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Darstellende

Geometrie

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Die Sammlung

Aus Natur uud Geisteswelt'

Nus Natur und Geisteswelt

3. Aufgaben über die Ebene.

6. Zentralprojektion.

8. Die Ebene, bestimmt durch Haupt- und Zallinien.

13. Durchdringungen und Schatten.

Mathematisch-Physikalische Bibliothek

Teubners

Aus Natur uud Geisteswelt'

nunmehr über 800 Bände umfassend, bietet wirtliche .Einführungen' in die hauptwiffensgebietesür den Unterricht oder Selbstunterricht des Laien nach den heutigen methodischenAnforderungen, feit ihrem Entstehen 0898) den Gedanken dienend, auf denen die heute so mächtig entwickelte Volkshoch schulbewegung beruht. Sie will jedem geistig Mündigen die Möglichkeit schaffen, sich ohne besondereVorkennmiffe an sicherster Tuelle, wie sie die Darstellung durch berufene Vertreter derWiffenschast bietet, über jedes Gebiet derWiffenschast, Kunst und Technik)» unterrichten. Sie will ihn dabei zugleich unmittelbar imBerus fördern,denGesichtskreiserwetternd, dteLinficht in die Bedingungen der Berufsarbeit vertiefend. Diesem Bedürfnis können Skizzen im Charakter von .Auszügen' aus großen Lehrbüchem nie entsprechen, denn solche sehe« eineVerttautheitmitdem Stoffe schon voraus.

Die Sammlung bietet aber auch dem Fachmann eine rasche zuverlässige übersicht über die sich heute von Tag zu Tag weitenden Gebiete des geistigen Lebens in weitestem Umfang und vermag so vor allem auch dem immer stärker werdenden Bedürfnis des Forschers zu dienen, sich «uf den Vachbargebteten auf dem laufenden zu erhalten.

3n den Dienst dieser Ausgabe haben sich dämm auch in dankenswerter Weise von Ansang an die besten Aamen gestellt, gem die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden.

So konnte der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Mehr als die Hälfte der Bände liegen, bet jeder Auflage durchaus neu bearbeitet, bereits in 2. bis 8. Auflage vor, insgesamt hat die Sammlung bis jetzt eine Verbreitung von fast 5 Millionen Exemplaren gefunden.

Alles in allem sind die schmucken, gehaltvollen Bände besonders geetgnet-die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen Bettag, de« man sür Erfüllung körperlicher Bedürfntffe nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden.

^und Insbesondere Biblioteka Politechniki Krakowskiej ft

Wenn eine Verteuemng der Sammlung infolge der durch die wirtschaftliche Lage bedingten außerordentlichen Steigerung der Herstellungskosten auch unvermeidbar gewesen ist, so ist der preis doch entfernt nicht in dem gleichen Verhältnis gestiegen, und auch jetzt ist ein Band .Aus Vatur und Geifteswf ‘

Leipzig, in

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Teubner

«m vsUjtattöig«», «ach Mifsensgebtete» geordaets» Vsrreichat» owrseadet auf Wu*f4 6sw Verlag, Leipzig, psjtstr. s/s

Zur Mathematik und Astronomie

sind bisher erschienen:

Einführung Ln die Mathematik.

Einführung in die Mathematik. Von Studienrat W.Mendelssohn. Mit 48 Figuren im Text. (ob. 503.)

Arithmetik- Algebra und Analysis.

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz. 2 Bände. I. Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. 7. Aust. Mit - Figuren im Tex«. (Bd. 120.) II. Teil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 5.Aufl. Mit 21 Textfiguren. (Bd.20S.) Lehrbuch der Rechenvsrtelle. Schnellrechnen und Rechenkunst. Mit zahlreichen Übung»-freispielt«. Von 9ng. Dr. pkil. Z. Bojko. (Sfr. 739.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von Prof. Dr. G. Kowalewski. 3^ verbesserte Ausl. Mit 16 Figuren. (Bd. 1-7.)

Differentialrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindow. 4. Ausl. Mit 50 Figuren unfr 161 Aufgaben. (Bd. 387.)

Integralrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindow. 3. Ausl. Mit 43 Figuren im Text und 200 Aufgaben. (Bd. 673.)

Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindow. Mit 36 Figuren im Text und 160 Aufgaben. (Bd. 56-.)

"Einführung in die Vektorrechnung. Von Prof. Dr. F. Jung. (Bd. 666.)

Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von Geh.Reg.-Rat Prof. E. ß eh mann. Mit li Fig.». Text. (Bd. 60-.)

Kaufmännisches Rechnen zum Selbstunterricht. VonStudienrat K.Droll. (Bd. 724.)

Geometrie.

Planimetrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat prof.p. Crantz. 3. Ausl. Mit -4 Figuren im Text. (Bd. 340.)

Ebene Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat pwf.p. Crantz. 3. Aust. Mit 50 Figuren tm Text. (Bd. 431.)

Sphärische Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studtenrat Prof, p. Cra ny. Mit 27 Figuren im Text. (vd. 605.)

Analytische Geometrie der Ebene zum Selbstunterricht. Von Geh. Studtenrat Pros. p. Crantz. 3. Aust. Mit 55 Figuren im Text. (vd. 504.)

Einführung in die darstellende Geometrie. Von Prof. p. B. F i s ch e r. Mit 5-Fig. im Text. (Bd. 541.)

Angewandte Mathematik.

praktische Mathematik. Von Pros. Dr. R. V e ue nd orsf. 2 Bde. 1. Teil: Graphische Darstellungen. Verkürztes Rechnen. Da» Rechnen mit Tabellen. Mechanische Rechenhiiss-mittel. Kaufm. Rechnen im tägl. Leben. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2.» verbesserte Auslage. Mit 29 Figuren und l Tafel. (Bd. 341.) II. Teil: Geometrische» Zeichnen, projektion»-lehre, Flächenmesiung, Körpermessung. Mit 133 Figuren. (Bd. 526.)

Die Rechenmaschinen und das Maschtnenrechnen. Von Regierungsrat Dipl.-3ng. K. Lenz. Mit 43 Abbildungen. (Bd. 4-0.)

Geometrische» Zeichnen. Von akad. Zeichenlehrer A. Schudeiskß. Mit 172 Abb. im Text und auf 12 Tafeln, (vd. 568.)

projektionslehre. Die rechtwinklige Parallelprojektion und ihre Anwendung auf die Darstellung technischer Gebilde nebst einem Anhang über die schiefwinklige Parallelprojektton in kurzer leichtsasilrcher Darstellung für Selbstunterricht und Schulgebrauch. Von akad. Zeichenlehrer A. Schudetsky. Mit 208 Abbildungen im Text. (vd. 564.)

Di« Grnndxüge der Perspektive nebst Anwendungen. Von Prof. Dr. K. Doehte-wann. 2. Aust. Mit -l Figuren und 11 Abbildungen. (Bd. 510.)

Angewandte Mathematik.

Graphisches Rechnen. Von Prof.O.p ro ist. Mit)64 Zig. im Text. (9b.708.)

Die graphische Darstellung. Eine allgemeinverständliche, durch zahlreiche verspiele aus allen Gebieten der Wissenschaft und Praxis erläuterte Einführung in den Sinn und Gebrauch der Methode. Von hofrat Prof. Dr. F. Auerbach. 2. Aufl. Mit) 39 Zig. im Text. (Bd. 437.) Masse und Messen. Von Dr. W. Block. Mit 34 Abbildungen, (vd. 385.)

Nautik. Von Direktor Dr. Z. MS Her. 2. Aufl Mit 64 Figuren im Text und 1 Seekarte. (9b. 255.)

Die Landmessung. Von Geh. Finanzrat F. Suckow. Mit 69 Zeichnungen im Text. (9 b. 608.)

Photogrammetrie (Einfache Stereo - und Luftphotogrammetrie). Von Diol.-9ng. Hermann Löscher. Mit 78 Figuren im Text und aus 2 Tajetn. (vd. 612.) Kartenkunde. Von Finamrat Dr. 9ng. A. Egerer. I. Einführung in das Kartenoer-ständnis. Mit 49 Abbildungen im Text. (9b. 6)0.)

Mathematische Spiele.

Mathematische Spiele. Von vr. W. Ah re ns. 4.» verbesserte Ausl. Mit ) Titelbild und 78 Figuren. (9b. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. Lange. Mit den 9 ildu.E. Lasters u.p.Morphys, ) Schachbrettafel u.43Diagrammen. 3.Anst. (9b. 261.)

Geschichte.

Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin im klassischen Altertum. Von Prof. Dr. Zoh. L. heiberg. 2. Ausl. Mit 2 Figuren. (vd. 370.)

Astronomie und Astrologie.

Der Bau des Weltalls. Von Prof. Dr. Z. Scheinet. 5. Aufl. Bearbeitet von Prof. Dr. p. Guthnick. Mit 28 Figuren im Text. (9d. 24.)

Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. Von Geh. Ne-gierungsrat Prof. Dr. M. 9. wetnstein. 3. Auf!, (vd. 223.)

Weltuntergang in Sage und Wissenschaft. Von Prof. Dr. K. Ziegler. und Prof. Dr. S. Oppenheim. (9 b. 720.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Von Prof. Dr. S. Oppenheim.

I.    Teil: Vom Altertum bis zur Neuzeit. 3. Auslage. Mit 16 Abbildungen. (9b. 444.)

II.    Teil. Moderne Astronomie 2. Auslage. Mit 9 Figuren im Text und 1 Tafel. (9b. 445.) Astronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Lebe». Von Professor Dr. A. Mareuse. 2. Ausl. Mit 26 Abbildungen, (vd. 378.)

Die Planeten. Von Prof. Dr. 9. Peter. Mit 16 Figuren. 2. Anst. von Obst». Dr. h« Vaumann. (9b. 240.)

Der Kalender« Von Prof. Dr. W. F. W i s l i cen u s. 2. Aust. (9b. 69.) Sternglaude und Sterndeutung. Die Geschichte und das Wejen der Astrologie. Umer Mitwirkung von Geh. Aar Prof. Dr. L. 9ezold dargestetlt von Geh. hojrat Prof. Dr. Franz voll. 2. Aust. Mit 1 Sternkarte und so Abbildungen. (9b.636.)

Meteorologie.

Einführung in die Wetterkunde. Von Prof. Dr. L. weder, s. Aust. Mü ae Abbildungen im Text und 3 Tafeln. (9b. 55.)

Unser Wetter. Einführung in die Klimatologie Deutschlands an der Hand von Wetterkarten. Von Dr.DL Mennig. 2. Aust. Mit 48 Abb. im Text. (vd. 349.)

Die mit * bezeichneten u. wettere Bände befinden sich in Borb.

Nus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

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541. Band

Einführung in die

Darstellende Geometrie

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Prof. p. 33. Zischer

in Berlin-Lichterfelde

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Mit 59 Figuren im Text

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Verlag und Druck von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1921

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Vorwort.

Der vorliegende Band der Sammlung will vom mathematischen Standpunkt eins in die Grundlehren der darstellenden Geometrie einführen und hofft, auch für Schüler der technischen und höheren Lehranstalten ein brauchbares Hilfsbüchlein zu werden. Eingehendere Studien in größeren Werken will es vorbereiten und wird so auch Studierenden an technischen Hochschulen ein Wegweiser sein können. Besonders zugeschnitten ist das Bändchen seiner Anlage nach für das Selbststudium, indem der gebotene Stoff an der Hand von Aufgaben behandelt wird. Der leider nur in geringem Blaß zur Verfügung stehende Raum brachte es mit sich, daß die Darstellung etwas knapp gehalten wurde, wenn das für den Anfänger ein bloßes Durchlesen ausschließt, so ist das hoffentlich kein Schade, ebensowenig, wie wenn er die oder jene fehlende Figur sich an der Hand der Entwicklung wird selbst Herstellen müssen. Überhaupt kann dem Anfänger nur dringend geraten werden, alles nachzuzeichnen, auch einmal in anderen Lageverhältnissen wie vielleicht angegeben. Für die praktische Ausführung der Zeichnungen wird der Abschnitt in der Einleitung willkommen sein. Der Ausbildung der Raumanschauung wird es zweifellos förderlich sein, wenn in einem ersten Teil zunächst die Projektionen auf nur eine Ebene behandelt werden; außerdem bereitet diese Behandlung der Grundaufgaben in bester weise auf das Rkongefche Zweitafelverfahren vor, das dann im zweiten Teil behandelt wird. Ein sorgfältig ausgewähltes Literaturverzeichnis beschließt das Buch.

P. v. Fischer.

Berlin-Lichterfelde, Gstern 1921.

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Schutzformel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1921 by B. G.Teubner in Leipzig

Alle Rechte» einschließlich des Nberfetzurrgsrechts» vorbehalten

Inhaltsverzeichnis.

Einleitung.

Die geometrischen Konstruktionsaufgaben .

Die darstellende Geometrie und ihre geschichtliche Entwicklung .    6

Die Projektion, das Grundprinzip der darstellenden Geometrie. Zeichenhilfsmittel und Zeichenpraxis.........

Leits

. 10

!. Darstellende Geometrie bei Verwendung nur einer projektionstafel.

- 14

1.    Der Punkt und die Gerade

Punkt, Strecke, Gerade, sich schneidende und windschiefe Geraden (Regelflächen 2. (D), Graduierung der Geraden. (flufg. 1—21.)

2.    Ebene Vielecke..................

Haupt- und Fallinien einer Ebene, orthogonale Winkelprojektionen, das Dreieck, affine Lage von Dreiecken, Affinität und per-spektivitat ebener Figuren, ebene Schnitte von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Regeln, Kegelschnitte. (Aufg. 22—34.)

3.    Aufgaben über die Ebene.............

Darstellung der Ebene, die Ebene und in ihr liegende Punkte und Geraden, Neigungen von Ebenen und in ihnen liegenden Geraden gegen die Horizontalebene, besondere Lagen von Ebenen, Aufgaben über Ebenen und sie schneidende Geraden, Lote auf Ebenen, rechtwinklige Achsenkreuze in senkrechter Projektion, mehrere Ebenen, Neigungswinkel zweier Ebenen, kürzester Abstand zweier windschiefen Geraden. (Aufg. 35—58.)

4.    Dreikantkonstruktionen...............

Die verschiedenen Fälle, die drei Grundaufgaben, Anwendung auf die Nautik. (Aufg. 59-62.)

5.    Körperdarstellungen mit einem Ausblick auf Durchdringungen, Schattenkonstruktionen und schiefe Parallelprojektion .... 41 Würfel und Duader, Körper, die sich aus dem Würfel ableiten lassen, rechtwinklige Axonometrie, Durchdringungen, Schattenkonstruktionen, schiefe Parallelprojektion und allgemeine Axonometrie (Pohlkescher Satz). (Aufg. 63—75.)

6.    Zentralprojektion. ........

Darstellung des Punktes, der Geraden und der Ebene, Grund-aufgaben (ohne Auge), Maßaufgaben (mit Auge). (Aufg. 76—85.)

20

28

36

. 46

Seite

II. Die Mongesche Zweitafelmetho de.

7.    Der Punkt und die Gerade .............

Erklärung der Zweitafelmethode, der Punkt, die Strecke, die Gerade, besondere Lagen der Geraden, Lote auf Geraden, Neigungen von Geraden gegen die Tafelebenen, sich schneidende Geraden, Durchdringungen, parallele und windschiefe Geraden. (Rufg. 86-108.)

8.    Die Ebene, bestimmt durch Haupt- und Fallinien.....

Darstellung der Ebene durch diese Linien, Grundaufgaben über die Ebene, mehrere Ebenen. (Rufg. 109—130.)

9.    Die Ebene, bestimmt durch ihre Spurgeraden.......

horizontal- und vertikalspur einer Ebene, ebene Figuren, Neigungen einer Ebene gegen die Tafelebenen, mehrere Ebenen, Gerade und Ebene. (Rufg. 131—147.)

10.    projektionshilfsebenen...............

Erklärung des Umprojizierens, Anwendung auf die Bestimmung des kürzesten Abstands zweier windschiefen Geraden, Bestimmung der Projektionsstrahlen, Umprojizieren auf eine gegebene Ebene. (Rufg. 148—152.)

11.    Schiefwinklige Parallelprojektion, Axonometrie......

Erklärung und mehrfache Darstellung eines hausähnlichen Gebildes.

12.    Ebene Schnitte.................

Prismen-. Zylinder-, Pyramiden- und Kegelschnitte. (Rufg. 153 bis 158 c.)

13.    Durchdringungen und Schalten............

Schnitte von Geraden mit Körpern, Durchdringungen von Körpern, Notationsflächen, Schattenaufgaben. (Rufg. 159—182.)

Anhang: Literaturangaben..............

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Einleitung.

Die geometrischen Uonstruktionsanfgaben. von grundlegender Bedeutung für die ganze Geometrie sind die Konstruktionsaufgaben, im besonderen erst recht für die darstellende Geometrie, die körperliche (geometrische) Dinge zeichnerisch darstellen will. Sehen wir zunächst von der darstellenden Geometrie ab, so besteht ein wesentlicher Unterschied zwischen den planimetrischen imd stereometrischen Konstruktionsaufgaben hinsichtlich ihrer Ausführung. 3n der Planimetrie führt man die Konstruktionsaufgabe mit Hilfe von Lineal und Zirkel wirklich aus; man verbindet Punkte miteinander durch Geraden, bringt Geraden zum Schnitt, schlägt Kreise usw. (Es wird also tatsächlich konstruiert, man bleibt (bei endlicher Unzahl der Einzelkonstruktionen!) stets im Bereich des wirklich Ausführbaren. 3n der Stereometrie dagegen stößt man sofort auf die größten Schwierigkeiten, wollte man da ebenso vorgehen. Wohl könnte man sich irgendwie Punkte im Raunt sichtbar darstellen und sie vielleicht auch noch durch Geraden (straffe Fäden) verbinden, aber schon deren beliebige Verlängerung würde auf Schwierigkeiten stoßen. Auch eine Darstellung der Ebenen ist noch angängig (Papier- oder Pappblätter), aber solche miteinander oder mit Geraden zum Schnitt zu bringen, führt wieder zu Schwierigkeiten; ähnlich wird es, wenn wir beliebige Kugelflächen schlagen sollen usw. Ulan kann eben dem direkten Zeichnen in der Ebene nichts Entsprechendes im Raum an die Seite setzen, mit anderen Worten: Klan kann nicht räumlich zeichnen.

Und doch spricht man von stereometrischen Konstruktionsaufgaben, und doch sind sie gerade von der größten Bedeutung für die Ausbildung der geometrischen Raumvorstellung, wie hilft man sich nun, um die genannten Schwierigkeiten einer tatsächlichen Konstruktion im Raum zu umgehen? Auf die einfachste Weise! Ulan konstruiert im Geist! Man nimmt an, daß die stereometrischen Grundaufgaben ausführbar sind, daß man also durch drei Punkte (oder durch einen

Punkt und eine Gerade, durch zwei sich schneidende Geraden oder zwei Parallelen) eine Ebene legen kann, daß sich eine Ebene mit einer andern zum Schnitt bringen läßt, ebenso eine Gerade mit einer Ebene, daß sich ferner um einen Punkt eine Kugelfläche schlagen läßt. Line stereometrische Konstruktionsaufgabe gilt dann als gelöst, wenn man mit Ejtlfc dieser stereometrischen Grundaufgaben die Gesamtkonstruktion aus solche in Ebenen, also auf ausführbare Konstruktionen zurückgeführt hat.

Um dies näher zu erläutern, fei die Lösung einer einfachen stereometrischen Konstruktionsaufgabe angeführt, das Fällen eines Lotes von einem Punkt P auf eine Ebene E: Man lege durch P eine beliebige Ebene E₁₍ die E in einer Geraden g₁ schneidet; in E, fälle man von P auf gt das Lot Zt, der Fußpunkt heiße F,, in F, errichte man auf gl in E das Lot Z₂ und fälle in der durch P und Z₂ bestimmten Ebene E» das Lot Z von P auf Z„, das dann das gesuchte Lot ist.

Die darstellende Geometrie. Mit den eben entwickelten rein theoretischen Lösungen stereometrischer Konstruktionsaufgaben kann sich der Mathematiker zufrieden geben, aber dem einfachen Handwerker, . dem Baumeister oder Ingenieur ist damit nicht geholfen. Diese mußten die Schwierigkeiten des räumlichen Zeichnens überwinden. Ihnen steht die Ebene ihres Reißbretts als einzige Zeichenebene zur Verfügung, in der alles Notwendige ausgeführt werden muß. Und das leistet die darstellende Geometrie. Die fertige Zeichnung muß dann folgender Forderung Genüge leisten: sie hat für die Herstellung des zu konstruierenden Gegenstandes (Tisch, Maschine, Gebäude, Kanal-anlage usw.) alle nötigen Maße zu liefern. Eine andere Forderung wäre noch, von dem herzustellenden Gegenstand eine bildliche Darstellung (Schaubild) zu geben, denn das wünscht gegebenenfalls der Auftraggeber, und das ist einem teuren Modell vorzuziehen. Durch die so gekennzeichneten Anforderungen an eine technische Konstruktionszeichnung ist zugleich mit den obigen Darlegungen die Aufgabe der darstellenden Geometrie klargestellt, die wir jetzt — dem technischen Gewand entkleidet — rein mathematisch fassen können: die darstellende Geometrie lehrt, räumliche Konstruktionsaufgaben (Darstellung räumlicher Gebilde und Aufgaben über diese) in einer einzigen Ebene, der Zeichenebene, auszuführen; sie führt also stereometrische Konstruktionen auf planimetrische zurück.

Die anzufertigende Zeichnung mutz den Beschauer in die Lage versetzen, sich im Geist (und damit natürlich erst recht in Wirklichkeit) ein zum dargestellten Gebilde vollständig kongruentes konstruieren zu können.

Wenn wir hier die darstellende Geometrie rein mathematisch best» niert haben, trotzdem praktische Forderungen sie entstehen lietzen, so mag das noch ein wenig näher erläutert werden. (Es ist — um ein einfaches Beispiel zu wählen — einleuchtend, datz jemand, der ein Prisma mit einer Ebene oder zwei Prismen miteinander zum Schnitt bringen kann, auch die Aufgabe des Zimmermanns zu lösen vermag, zwei oder mehrere prismatische Balken in einer Ecke zu vereinigen, also ihre Formen an der vereinigungsstelle anzugeben. Ähnlich steht es mit der Darstellung krummer Flächen einerseits und der von Maschinenteilen andererseits. Die Darstellung der einfachsten geometrischen Gebilde ist eben die Grundlage für all das, was die Praxis in ihren Aufgaben von uns fordert, wer sich genügend Übung in der darstellenden Geometrie angeeignet hat, wird sich unschwer in die Varstellungsweise der Techniker finden und die technischen Zeichnungen verstehen können. 3n diesem Sinne spricht man auch von der darstellenden Geometrie als der Weltsprache der Ingenieure.

Die geschichtliche Entwicklung der darstellenden Geometrie. In ihren einfachsten Methoden ist die darstellende Geometrie schon sehr alt, denn die oben angedeuteten praktischen Aufgaben forderten eben stets eine Lösung. So sind manche Dokumente vorhanden, die zeigen, datz die alten Kulturvölker ihren mächtigen Bauten sorgfältige Pläne zugrunde gelegt haben. Aber immer blieben diese Fertigkeiten je nach der Art der Aufgabe Einzelkünste; sie wurden nur für die besonderen Zwecke ausgebildet und meist geheimgehalten, wie zum Beispiel in den Zunfttraditionen der „Bauhütten". Der Meister übermittelte seine Kenntnisse dem Lehrling, der Lehrer dem Schüler und nur gerade so viel, wie eben gebraucht wurde. Dem deutschen Maler Albrecht Dürer¹) verdanken wir die erste Sammlung solcher Methoden der darstellenden Geometrie in seiner „Unterweisung".

Die erste wissenschaftliche Behandlung (unter Ausschluß der Perspektive) der darstellenden Geometrie, also eine methodische Zusammenstellung ihrer Lösungsverfahren, rührt von Gaspard Monge her. Seine Schrift „GeomStrie descriptive“ gehört heute noch zu den lesenswertesten Büchern über darstellende Geometrie wegen ihrer großen Rlarheit in der Darstellung und der Einfachheit der Beweise. Buch Monge durste als Lehrer an einer französischen militärischen Genie-schule (1765—1783 in Mezi'eres) die Ergebnisse seiner Studien zunächst nicht veröffentlichen, und erst die Französische Revolution brachte es mit sich, daß Monge 1795 seine darstellende Geometrie veröffentlichen konnte. Die Methoden von Monge werden in der Hauptsache heute noch verwendet, außer daß vielleicht die gerade zu Monges Zeiten erst entstehende Geometrie der Lage im Laufe des 19. Jahrhunderts Vereinfachungen brachte.

heute geht der Anwendungsbereich der darstellenden Geometrie weit über das hinaus, was wir oben andeuteten und was zu Monges Zeiten damit geleistet wurde. Das ist auch gar nicht verwunderlich, wenn wir den ungeheuren Aufschwung der technischen Wissenschaften seit jener Zeit bedenken, wir wollen hier nur aus eines hinweisen, worin gerade in der letzten Zeit gewaltige Fortschritte gemacht wurden; wir meinen die Photogrammetrie, die aus photographischen (Flieger-)Aufnahmen des Erdbodens dessen wahre Gestalt zu rekonstruieren gestattet.

Die Projektion, dar Grundprinzip der darstellenden Geometrie.

3n Handwerkerkreisen weiß man nichts von darstellender Geometrie, und doch wird sie dort in ihren einfachsten Methoden sehr gebraucht. Man findet sie da unter dem Namen „projektionszeichnen". Darin offenbart sich schon das Grundprinzip unserer Wissenschaft.

Unter der Projektion eines Punktes auf eine Ebene versteht man den Durchstichspunkt des durch diesen Punkt verlaufenden Projektionsstrahls mit dieser Ebene, die dann Projektionsebene heißt.

Soll ein geometrisches Gebilde auf eine Ebene projiziert werden, so muß zunächst irgendwie bestimmt werden, in welcher weise der zu jedem Punkt notwendige Projektionsstrahl gefunden wird. Das führt zu den verschiedenen Projektionsarten. Gehen alle projektions-strahlen von einem bestimmten Punkt, dem Zentrum, aus (Lichtstrahlen einer punktförmigen Lichtquelle), so ist zu jedem Punkt im Raum der zugehörige Projektionsstrahl eindeutig bestimmt. Das ist die sogenannte Zentralprojektion. Unter Parallelprojektion wird man dann sinngemäß den Fall verstehen, wenn die Projektionsstrahlen alle zueinander parallel ftnb; damit zu jedem Punkt der Projektionsstrahl gefunden werden kann, muß natürlich die Richtung gegeben sein. Unter senkrechter oder rechtwinkligerprojektion im besonderen versteht man den ball, daß die Projektionsstrahlen senkrecht auf der Projektionsebene stehen; man spricht in diesem Fall auch von normaler oder orthogonaler Projektion.

hat man vielleicht das Drahtmodell eines Würfels, das ja leicht herzustellen ist, so kann man sich mit dessen Hilfe die eben beschriebenen drei Arten von Projektionen leicht klarmachen. Bringt man ein solches Drahtmodell in den Lichtkegel einer Taschenlampe, so ist das Schattenbild auf irgendeiner hellen ebenen Fläche eine Zentralprojektion des Würfels (die Lichtstrahlen als von einem Punkt ausgehend angenommen!). Um eine Parallelprojektion desselben Würfels zu erhalten, bringen wir den Würfel in die Strahlen der Sonne (diese aber punktförmig gedacht!). Vas Schattenbild unseres Würfels auf eine zu den Sonnenstrahlen schiefstehende ebene Helle Fläche ist dann eine schiefe Parallelprojektion des Würfels, während sie zur rechtwinkligen wird, sobald die Sonnenstrahlen jene Projektionsebene senkrecht treffen, wir empfehlen dem Anfänger, sich wirklich solche vrahtmodelle herzustellen, und zwar nicht nur von einfachen Körpern, sondern auch von einfachen geometrischen Gebilden (Gerade, Winkel, Dreiecke, Kreis usw.), um deren Projektionen, also deren Schattenbilder, im Lichtkegel und Sonnenlicht bei den verschiedensten Lagen und in der Bewegung entstehen zu sehen. Das klärt mehr auf als hundert der besten Abbildungen in Büchern.

Bei dieser eben erwähnten projektionsart durch Schattenbilder — auch die Lichtbildervorführungen find nichts anderes — liegt der zu projizierende Gegenstand zwischen Projektionszentrum und projektionsbild. Bei der Camera obscura liegt das Projektionszentrum zwischen Gegenstand und Bild, ebenso beim Photographenapparat und beim Auge, wo ein Bild auf die Netzhaut projiziert wird. Betrachten wir jedoch von unserm Zimmer aus durch ein Fenster ein Gebäude im Freien oder einen Baum, so projizieren wir von unserm Auge aus jenen Gegenstand im Freien auf die Fensterscheibe, wir könnten unter Umständen mit einem Stift die Linien des Gebäudes oder Baumes auf dem Glase nachziehen, um ein Bild des Gegenstandes im Freien zu erhalten, wie wir es vom Zimmer aus sehen.

Solche Projektionen herzustellen, ist die Aufgabe des Malers, würde man um sich herum einen großen Glaszylinder gestellt denken, so stellt dann die Projektion der Außenwelt vom Auge aus auf diese Zylinderfläche die Aufgabe des Panoramenmalers dar. 3n der Projektion räumlicher Gebilde auf krumme Flächen würde man die allgemeinste Krt einer Projektion zu erblicken haben, wie sie in der Bemalung von veckengewölben, Kuppeln stattfindet, hier haben wir es schon mit einer schwierigeren Anwendung der darstellenden Geometrie zu tun.

wir werden in diesem Bändchen in der Hauptsache die rechtwinklige (Parallel-) Projektion verwenden, und zwar im ersten Teil eine solche aus nur eine Ebene, die kotierte Projektion, und im zweiten Teile die der Mongeschen Methode, die zwei aufeinander senkrechte Projektionsebenen (= Tafeln) benutzt.

Zeichenhilfsmittel und Zeichenpraxis. Ehe wir uns den Metho-den der darstellenden Geometrie selbst zuwenden, sei noch der Praxis des Zeichnens gedacht, denn ebenso wichtig wie das Verständnis der Methoden ist das Zeichnen selbst. Die darstellende Geometrie ist eben eine praktische Wissenschaft, und Zeichensertigkeit muß mit der Theorie Hand in Hand gehen.

Die notwendigen technischen Hilfsmittel sind: Reißbrett, Zeichenpapier, Reißschiene, Zeichendreiecke, Kurvenlineale, Reißzeug, Bleistift, Tusche, Gummi.

Das Reißbrett sei nicht zu unhandlich, vielleicht so, daß es einen Zeichenbogen von 50 cm x 70 cm fassen kann. Das holz soll weich sein, damit die Reißstifte oder Reißnägel sich leicht eindrücken lassen. Das Zeichenpapier wähle man leicht körnig und nicht zu dick. Der Einfachheit halber befestigt man den Zeichenbogen meist mit Reißstiften ; man lasse aber dabei vom Bogen nichts über den Brettrand herausragen (Schnittwunden beim Entlang gleiten mit der Hand!). Die Nachteile solcher Befestigung zeigen sich einmal im Lockern der Stifte und damit des Bogens, was ein genaues Zeichnen ausschließt,-dann aber stören die Reißstifte beim Gebrauche der Reißschiene und der Zeichendreiecke. Man klebt daher besser den Zeichenbogen auf, indem man die eine Seite gleichmäßig mit einem Schwamm anfeuchtet, auf der andern Seite einen knapp 1 cm breiten Rand mit Syndetikon bestreicht und den so behandelten Bogen aufklebt.

Die Reißschiene (Hartholz!) muß so lang sein, daß sie beim An-

legen an die linke Reißbrettseite — anders lege man sie überhaupt nie an, da man sich auf die Rechteckform des Reißbretts nicht verlassen kann — noch etwa handbreit über die rechte Seite hinausragt. Reißschienen mit drehbarem Kopf sind nicht zweckmäßig. Man achte aber darauf, daß das Kopfstück mit der Schiene nicht durch Nägel, sondern durch kleine Schräubchen (möglichst aus Messing) befestigt ist. Die Schiene selbst soll poliert sein, also nicht roh, da sich sonst mit der Zeit Schmutz in den Holzporen festsetzt. Dasselbe gilt auch von den Zeichen- oder Schiebedreiecken (wieder Hartholz!). Ihre Dicke muß mit der der Reißschiene übereinstimmen. Dreiecke aus Zelluloid benutze man nicht; der Vorteil der Durchsichtigkeit überwiegt nicht den Nachteil durch das Aufbiegen der Ecken, außerdem sind sie feuergefährlich. 3n der Regel genügen zwei solcher Dreiecke, ein gleichschenklig-rechtwinkliges und eins mit Winkeln von 30", 60° und 90". Die rechten Winkel der Dreiecke sind nachzuprüfen durch zweimaliges Anlegen an dieselbe Reißschienenseite mit gleichbleibendem Scheitel des rechten Winkels, so daß also die beiden Lagen des Dreiecks symmetrisch zueinander sind.

hat man die rechten Winkel der Dreiecke nachgeprüft und für genau befunden, so benutze man sie auch beim Zeichnen von rechten Winkeln, aber nicht derart, daß man die eine Kathete an die Gerade anlegt, zu der ein Lot gezogen werden soll, um dann bei unveränderter Lage des Dreiecks an dessen anderer Kathete mit dem Stift entlangzuziehen, denn so erhält man den Scheitel des rechten Winkels nie genau. Man verschiebe vielmehr, nachdem man das Dreieck mit der einen Kathete an die Gerade angelegt hat, dieses Dreieck längs seiner Hypotenuse am andern Dreieck oder an der Reißschiene und benutze zum Ziehen der Senkrechten die zweite Kathete in der verschobenen Lage. Dies kann man noch variieren, indem man das so verschobene Dreieck auf die andere Seite legt, und zwar so, daß die Schenkel desjenigen spitzen Winkels vertauscht werden, von dem der eine Schenkel senkrecht zur gegebenen Geraden liegt; man erhält dadurch oft günstigere Lagebeziehungen. Das muß aber geübt werden!

Das Reißzeug enthalte zunächst einen Stechzirkel zum Abgreifen von Strecken. Dann sei ein Einsatzzirkel vorhanden für den Bleistift» und für den Ziehfedereinsatz. Außerdem sei eine Reißfeder mit festem Griff vorhanden, letzterer aus Metall oder holz. Jür technische Zwecke braucht man noch einen Nullenzirkel, um wichtige Punkte hervor-

heben zu können. Oft empfiehlt sich auch ein Einsatzstück für den Zirkel, um den Schenkel verlängern zu können. Ruf weitere Stücke kann man verzichten. Es braucht wohl nicht noch besonders hervorgehoben zu werden, daß peinlichste Sorgsalt im Gebrauch des Reißzeugs anzuraten ist. Um die Spitzen zu schonen, stecke man auf sie ein Stückchen Kork; die Reißfedern reinige man stets nach Gebrauch und bewahre sie entspannt auf.

DieTusche sei tiefschwarz und leichtflüssig; der fertig ausgezogene Bogen muß unter Umständen eine kräftige Wäsche zwecks Säuberung vertragen! Ulan probiere stets erst die gefüllte Reißfeder auf einem Stück Papier von derselben Rrt des Zeichenbogens; man setze sorgfältig am Zeichendreieck an und führe die Reißfeder in einer senkrechten Ebene zum Reißbrett etwa unter einem Winkel von 80° gegen die Ziehrichtung. Hilfslinien werden kurz und dünn gestrichelt, nicht punktiert, denn das erfordert zuviel Übung. Gleichartige Linien müssen durchweg von derselben Stärke sein. Die Hilfslinien dürfen nie besonders hervortreten; deswegen deutet man oft nur ihre Schnittpunkte an. Sind mehrere Einzelkonstruktionen derselben Rrt ausgeführt, so deutet man nur eine davon durch die Hilfslinien an. will man bei einer Geraden sichtbare und unsichtbare Teile unterscheiden, so zieht man erstere aus, während man die nicht sichtbaren Stücke in derselben Stärke strichelt, aber mit längeren Strichen wie bei den Hilfslinien.

Vas Rusziehen von Kurven mit Hilfe von Kurvenlinealen will sehr geübt sein. Für den Anfang zeichne man die Kurve sehr genau und sauber zunächst mit Bleistift, ehe man sie am Kurvenlineal mit Tusche nachzieht. Erst wenn man größere Übung hat, genügen einige wichtige Punkte der Kurven bereits zum Zeichnen mit der Reißfeder am Kurvenlineal.

Schließlich noch ein paar Worte zu Bleistift und Gummi! Man wähle nicht zu weiche Stifte, weil da die Linien leicht zu stark werden, was die Zeichnung verschmiert. Zu harte Stifte geben zu dünne Linien und bei stärkerem Aufdrücken zu starke Eindrücke ins Papier (also wirkliche „Risse"). Für den Anfang nehme man Stifte in der Stärke von Faber Nr. 3. Auf eine gute Spitze des Stiftes ist natürlich großer wert zu legen; Techniker lieben es, der Spitze eine Keil-form zu geben, aber das Gewöhnliche ist wohl die Kegelform. Beim Anspitzen lege man den Kegel der Bleistiftspitze mit einer seiner Man-tellinien auf die Tischebene; dadurch erreicht man ein weniger oft eintretendes Abbrechen während des Anspitzens. Auch der Gummi ist nicht ganz Nebensache, besonders wenn es sich um Radierungen von Tusche handelt. Da empfiehlt sich ein sogenannter Tuschgummi neben dem gewöhnlichen Gummi. Ausgezogene Linien mit dem Nlesser zu radieren erfordert die größte Sorgfalt!

Wegen der Beschriftung der Zeichnungen gewöhne man sich eine der Druckschrift ähnliche an und bezeichne Geraden durch kleine lateinische Buchstaben, Punkte durch große lateinische Buchstaben, Winkel durch kleine griechische Buchstaben und Ebenen durch große griechische Buchstaben.

von großer Wichtigkeit für das praktische Zeichnen ist noch die Genauigkeit des Zeichnens. Zunächst darf eine mit Bleistift gezogene Gerade kein parallelstreifen fein, d. h. der Strich muß so dünn wie möglich sein, denn zwei solcher parallelstreifen schneiden sich nicht in einem Punkt, sondern in einem Parallelogramm; Ähnliches gilt von krummen Linien. Ferner benutze man zur Festlegung eines Punktes nie Geraden, die sich unter einem sehr spitzen Winkel schneiden; jenes „Fehlerparallelogramm" wird dann recht lang, selbst bei sehr dünnen Linien.

Zuweilen kommt es vor, daß der Schnittpunkt zweier Geraden gebraucht wird, die sich außerhalb des Zeichenbrettes schneiden. Da muß man gewisse Kniffe anwenden, die sich aus einfachen geometrischen Sätzen ergeben. Wir deuten nur einen solchen Fall an. Zwei Geraden a und b sind gegeben, und es wird durch einen gegebenen Punkt P eine dritte Gerade nach dem unzugänglichen Schnittpunkt von a und b gesucht. Man richtet es so ein, daß P Höhendurchschnitts-punkt in einem Dreieck wird, von dem a und b Seiten sind; zu dem Zweck fällt man von P auf a und b Lote ha und hb und verbindet den Schnittpunkt von a und hb mit dem von b mit ha durch c. Dann ist das Lot von P auf c die gesuchte Gerade. Solcher Konstruktionen gibt es sehr viele, und man muß sie je nach den vorhandenen Lageverhältnissen zu verwenden wissen. Wir verweisen da auf die außerordentlich lesenswerte Schrift von P. Zählke^).

I. Darstellende Geometrie bei Verwendung nur einer Projektionstafel.

t. Der Punkt und die Gerade.

Alle Punkte eines Projektionsstrahls haben als Projektion auf eine Projektionsebene ein und denselben Punkt, nämlich den Durchstichspunkt des Strahls mit jener Ebene. Daraus folgt, daß man wohl zu jedem Punkt im Raum seine Projektion finden kann, aber nicht rückwärts zur Projektion den projizierten Punkt. (Es mutz also, um das zu ermöglichen, noch eine Bestimmung hinzutreten. Da wir uns hier zunächst nur mit der senkrechten Projektion beschäftigen, geschieht diese Zusatzbestimmung am besten durch Hinzufügung der Entfernung des Punktes von der Projektionsebene. P'(p) in der Projektionsebene soll nun die Projektion eines Punktes P im Raum darstellen, der um die Strecke p von der Projektionsebene — die wir im folgenden immer mit TT bezeichnen — entfernt ist und senkrecht über P' 3U TT liegt. Will man noch die beiden Raumteile zu jeder Seite von TT unterscheiden, so rechnet man die Entfernung p (auch höhe oder Kote*) genannt, wenn TT horizontal gedacht wird) positiv oder negativ, je nachdem der Beschauer sich mit P aus derselben Seite von TT befindet oder nicht. Damit ist jedem Punkt P im Raum ein bestimmtes P'(p) zugeordnet, und umgekehrt gehört zu jedem P'(p) in TT ein bestimmter Punkt P im Raum. Wir sagen absichtlich nicht, zu dem Punkt P int Raum ist ein bestimmter Punkt P' in TT zugeordnet, sondern ein Etwas, das aus dem Punkt P' im Verein mit der näheren Bezeichnung p besteht, also eben ein bestimmtes P'(p). Man sagt, die Punkte P im Raum sind den Begriffen P'(p) in TT eindeutig umkehrbar oder eindeutig zugeordnet, mit andern Worten, der ganze Raum der P ist auf die Ebene der P'(p) abgebildet worden. Das erst ermöglicht uns, jeder Punktmenge im Raum etwas Entsprechendes in TT an die Seite zu setzen und umgekehrt aus der Projektion heraus das räumliche Gebilde vollkoinmen eindeutig zu rekonstruieren. Inwiefern uns diese Überlegung gestattet, räumliche Konstruktionen durch solche in der einen Projektionsebene TT zu

*) Daher auch der Name „Kotierte Projektion", wenn es sich wie hier um rechtwinklige Projektion auf nur eine Ebene handelt.

ersetzen, wollen wir im folgenden sehen; das war ja die Hauptaufgabe der darstellenden Geometrie. Eine solche ebene Darstellung von räumlichen Punktgebilden verwendet man bei der Geländeaufnahme^). Man denkt sich alle Punkte von derselben höhe (etwa über dem Meeresspiegel) durch eine Linie verbunden. Das ist dann, wenn man von der Kugelgestalt der Erde absieht, eine ebene Kurve, deren Projektion auf die horizontalebene eine dazu kongruente Kurve liefert. Denkt man sich jetzt irrt Gelände etwa alle jene Höhenkurven von fünf zu fünf Metern gezeichnet, so gibt die Projektion aller Höhenkurven ein gutes Bild von der räumlichen Beschaffenheit des Geländes. Dorrt, wo sie eng aneinander liegen, hat man ein starkes Gefälle und dort, wo sie weiter auseinander liegen, ein weniger starkes Gefälle. Jetzt könnte man vielleicht in der so entstandenen Geländeaufnahme einen Weg einzeichnen, der immer dieselbe Steigung hat, indem man von einem bestimmten Ausgangspunkt aus immer dieselbe Strecke bis zur nächsten Höhenlinie einträgt. Man überlege sich, wie man einen solchen lveg (natürlich nur als eine Linie) von bestimmter konstanter Steigung konstruiert!

Die Strecke. Denken wir UNS in der obigen Weise zwei Punkte P₁ und P₃ im Raum durch ihre P/(p/) und P/(p₂') in TT darge-stellt, so haben wir in P, P₃P/P/ ein Trapez, das durch die Strecken P\P\ — Pu P₂P/ — Pi und P/P/, außerdem durch die rechten Winkel bei P,' und P₃' vollständig bestimmt ist, also um P/P/ in TT umgelegt konstruiert werden kann. Zugleich mit dem Trapez hat man auch die wahre Länge von PXP₃ gefunden; ebenso gibt dann die Umlegung in der Neigung von PXP₃ gegen P/P₃' die Nei» gung der dargestellten Strecke gegen TT. Bei großen Längen von pL und p₃ wird man sich damit begnügen, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, dessen eine Kathete P/P/ ist, während die andere Kathete durch px — p₃ dargestellt wird , falls pL > p₂. Die Hypotenuse ist dann die wahre Länge von P₁P₃. Man übe auch den Fall, wo Pt und P₃ auf verschiedenen Seiten von TT liegen. Damit hat man die Aufgabe erledigt, [1] die wahre Länge einer Strecke zu finden und deren Neigung gegen TT. Tine zweite Aufgabe, die man jetzt sofort lösen könnte, wäre: [2] Man soll die wahre Größe eines Dreiecks PjP₃P₃ konstruieren, von dem P/(px), P₃'(p₃), P/(p₃) gegeben ist.

Die Gerade. Bei der Darstellung der Strecke haben wir ohne weiteres vorausgesetzt, daß die Projektion einer Geraden wieder eine 16 l. Darft. Geometrie bei Verwendung nur einer projektionstafel

Gerade ist. Man erkennt dies so: projiziert man jeden einzelnen Punkt einer Geraden auf TT, so liegen alle projektionsstrahlen in einer (Ebene, deren Schnitt mit TT wieder eine Gerade ist. Kennt man zwei Punkte der zu projizierenden Geraden, so würde ihre Darstellung auf [1] zurückgeführt sein. Mir wollen im folgenden immer nur den Teil der Geraden (bezeichnet durch g) darstellen, der mit dem Beschauer aus derselben Seite von TT liegt und kurz reden von dem Teil von Qi der oberhalb TT liegt; die Projektion von g auf TT sei g\ ihren Schnittpunkt mit g nennen wir den Spurpunkt oder auch nur die Spur von g. Die Umlegung in TT von <£ gg (Neigungswinkel von g gegen TT) um g bezeichnen wir durch <£ (g) g. Überhaupt werden wir in Zukunft immer die Umlegung eines Punktes P oder einer Geraden g um die zugehörige Projektion hinein in TT durch Einklammern ausdrücken: (P), (g). Eine Gerade g im Raum ist stets bestimmt durch g und (g), ihre Spur durch deren Schnittpunkt: g | (g). Eine parallele Gerade g zu TT wird dann dargestellt durch zwei parallele Geraden g und (g) in TT, während eine Senkrechte g zu TT nur durch einen Punkt in TT mit der Bezeichnung g gekennzeichnet wird.²) Jetzt sind wir imstande folgende Rufgaben zu losen:

[3]    Gegeben ist eine Gerade g durch g und (g), gesucht wird der Punkt P aus A, dessen höhe gleich einer gegebenen Entfernung p ist. Man sucht auf (#) den Punkt (P), der von g die Entfernung p hat. Damit ist zugleich die $rage gelöst, wann ein Punkt P auf einer Geraden g liegt, oder wie man sich auch ausdrückt, wann P mit g vereinigt (inzident) liegt.

[4]    Ruf einer Geraden g soll von einem gegebenen Punkt P aus eine gegebene Strecke s abgetragen werden. Die Abtragung geschieht in TT aus (g) von (P) aus. (Zwei Lösungen!)

[5]    Durch einen gegebenen Punkt P soll zu einer gegebenen Geraden g die parallele gezogen werden. Man sucht zunächst den Punkt Q auf g, der mit P dieselbe höhe p hat; dann zeichnet man zu dem von g', (g) und p gebildeten Dreieck ein kongruentes, das mit dem Scheitel des rechten Winkels bei P' liegt, und dessen Seiten zu denen des ersteren parallel und gleichgerichtet sind. Damit hat man auch die Aufgabe gelöst, [6] durch einen Punkt P eine Gerade g zu legen von gegebener Neigung ct gegen TT, so daß g parallel zu einer in TT gelegenen Geraden l ist. (Zwei Lösungen!)

(F)

[7]    von einem Punkt P soll auf eine Gerade g das Lot gefällt werden. Denkt man sich von P auf die durch g und g bestimmte und zu TT senkrechte Ebene, sie sei durch (gg) bezeichnet, das Lot gefällt (Fußpunkt F) und von F in (gg') wieder das Lot auf g (Fußpunkt G), v so ist PG das gesuchte Lot /. hierbei ist F'

(Fig. 1) der Fußpunkt des Lotes von P' auf g-,

S'

⁶>;4,

Stg. 1.

(F) findet man durch die gegebene höhe p von P. Vas Lot von F auf g wird in der Umlegung gezeichnet. Die wahre Länge von l findet man dann als Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Ratheten P'F' und (F)(G). Diese Aufgabe gestattet dann die Lösung der folgenden:

[8]    Durch einen Punkt P ist eine Gerade zu legen, die eine gegebene Gerade g unter einem gegebenen Winkel a schneidet. Sei X der gesuchte Schnittpunkt und G der Fußpunkt des Lotes von P auf g, so ist von dem rechtwinkligen Dreieck PGX <£ PXG gegeben; die Seite PG findet man nach [7], so daß GX konstruiert werden kann und [8] auf [4] zurückgeführt ist. (Zwei Lösungen!)

Sich schneidende und windschiefe Geraden. Sollen sich zwei Geraden g und ft int Raum schneiden, so müssen sie einen Punkt, ihren Schnittpunkt S, gemein haben, das heißt der Schnittpunkt S' von g und ti muß für beide Geraden dieselbe höhe aufweisen. Errichtet man also in S' auf g und auf ti Lote, so müssen diese (g) und (ft) in Punkten schneiden, die von S' gleichweit entfernt sind. Ist das nicht der Fall, so stellen die beiden Geraden windschiefe oder sich kreuzende Geraden dar. Damit sind die beiden Aufgaben, [9] sich schneidende Geraden und [10] windschiefe Geraden darzustellen, erledigt.

[11] Gs soll der Winkel zweier sich in S schneidenden Geraden g und ft bestimmt werden. Bezeichnet man die Spur von g mit TT durch G, die von ft mit TT durch H, so ift<£ GSH der zu bestimmende Winkel; da aber SG und SH aus den Umlegungen leicht zu finden sind, ferner GH gegeben ist, kann man A GSH und damit den gesuchten Winkel konstruieren.

HTtu<5 541: bischer, Einführung in die darstellende Geometrie 2

18 i. Varst. Geometrie bei Detroenbung nur einer projektionstasel

Unter dem Minke! zweier windschiefen Geraden versteht man den, welchen man erhält, wenn man durch einen Punkt der einen Geraden eine parallele zur andern zieht. Demnach kann man [12] den Winkel zweier windschiefen Geraden durch [11] unter Benutzung von [5] finden.

Besonders einfach gestaltet sich [11], wenn die beiden sich schneidenden Geraden eine Ebene ± TT bilden. Damit ist zugleich folgende Aufgabe gelöst: [13] Ulan soll ein rechtwinkliges Achsenkreuz zeichnen, dessen Spitze in einem gegebenen Punkt P liegt und von dem zwei Achsen eine zu TT senkrechte Ebene bilden.

[14]    In welchem Punkt trifft eine Gerade g die von zwei sich schneidenden Geraden und gebildete Ebene H? Legt man durch glsl eine Ebene E, so kann man in E die Schnittgerade 1 von H mit E konstruieren als die Gerade, welche die beiden Schnittpunkte von und /,g mit E verbindet. 3n der Umlegung ist dann (Z) leicht zu finden; ihr Schnittpunkt mit (g) liefert den gesuchten Punkt, wie ist die Lösung, wenn gt \\ g₂?

Damit hat man die Grundaufgabe der Durchdringungen gelöst, und folgende Aufgaben sind nur noch Anwendungen:

[15]    Ein Dreieck oder [16] ein Parallelogramm soll mit einer Geraden zum Schnitt gebracht werden.

[17] Zwei Ebenen sind durch zwei paare sich schneidender Geraden gegeben; man soll die Schnittgerade der Ebenen finden. Ulan bestimmt erst den Schnittpunkt der ersten Ebene mit der einen Geraden der zweiten Ebene und dann ebenso mit der andern Geraden der zweiten Ebene. Die verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte ist die gesuchte.³)

Eine andere Sorte von Aufgaben, die wir jetzt auch lösen können, ist: [18] Durch einen Punkt P ist eine Gerade e zu legen, die zwei windschiefe Geraden gx und gä schneidet. Ulan greift auf gt einen beliebigen Punkt Q heraus und legt die Hilfsgerade h = PQ. Nach [14] bestimmt man den Schnittpunkt X von g.t mit der Ebene (g₁h). Dann ist PX die gesuchte Gerade. Ulan löse diese Aufgabe auch da-

durch, daß man die hilfsgerade h\\g₁ legt. Line andere Fassung dieser Aufgabe wäre: Man soll von einem Punkt P aus nach dem scheinbaren Schnittpunkt zweier windschiefen Geraden einen Sehstrahl legen.

[19]    3u einer Geraden m ist eine parallele l zu ziehen, die zwei zueinander windschiefe Geraden gt und g₂ schneidet oder, was auf dasselbe hinauskommt, welche beiden Punkte zweier windschiefen Geraden kommen zur Deckung, wenn man parallel zu einer gegebenen Richtung projiziert? Bei der Lösung dieser Aufgabe mutz man beachten, daß jetzt der Punkt P von Aufgabe [18] ins Unendliche gerückt ist; sonst ist die Lösung dieselbe. Man legt also durch einen beliebigen Punkt Q aus gx eine parallele h zu m und sucht den Schnittpunkt X der Geraden g₂ mit der durch gx und h bestimmten Ebene. Die durch X gelegte parallele zu m ist die gesuchte.

[20]    Gesucht wird eine Gerade l, die drei zueinander windschiefe Geraden glt gä, gs schneidet. Man wählt auf g₃ einen beliebigen Punkt Q und legt durch ihn die Gerade l, die gx und g₂ schneidet, also Kusg. [18]. (Es gibt somit unendlich viele solche Geraden m, die auch alle zueinander windschief sind; sie bilden in ihrer Gesamtheit eine sogenannte Reg elf lädje 2.Grdnung. Bewegt man sich irgendwie auf dieser Regelfläche, so scheinen sich stets die drei Geraden g in der Richtung der jeweiligen Geraden l der Regelschar in einem Punkt zu schneiden. Line solche Fläche der i hat auch noch eine zweite Schar unendlich vieler Geraden, die ganz in ihr liegen. Man findet sie, wenn man zu irgend drei der Geraden l die Geraden g konstruiert, die diese drei schneiden; zu ihnen gehören natürlich die drei gegebenen Geraden gv g.₂, gs. Längs jeder Geraden der einen Schar scheinen sich alle anderen in einem Punkt zu schneiden. Man kann eine solche Fläche auch so definieren: sie ist die Gesamtheit aller Punkte, von denen aus sich drei beliebige zueinander windschiefe Geraden in einem Punkt zu schneiden scheinen. Daß eine solche Fläche eine Regel-fläche ist (also eine solche, die unendlich viele Geraden enthält), geht aus der Definition hervor, denn wenn von einem Punkt aus die drei Geraden sich zu schneiden scheinen, ist das auch von allen anderen Punkten der Blickrichtung der Fall.

Die Graduierung einer Geraden. Um von der Umklappung (g) einer Geraden g in TT unabhängig zu fein und damit von <£ (gg), versieht man g auch mit einer Matzeinteilung unter Zugrundelegung einer bestimmten Maßeinheit, etwa 1 cm. Die Spur von g mit TT bekommt dann die Marke Null, ein auf der Seite des Beschauers liegender Punkt auf g, der 1 cm vom Nullpunkt entfernt ist, die Marke + 1, ein 7 cm vom Nullpunkt entfernter Punkt auf g in dem vom Beschauer abgewandten Teil des Raumes die Marke — 7 usw. Diese Graduierung der Geraden denkt man sich mit projiziert. Rus der Verkürzung der Maßeinheit ergibt sich ohne weiteres der Neigungswinkel der Geraden gegen TT. Man löse folgende Rufgaben: [21] Unter welchem Winkel ist eine Gerade gegen TT geneigt, wenn bei Zugrundelegung von 1 cm als Einheitsmaß ihre Projektion eine Graduierung von -§- cm 3U -§- cm aufweist? welche höhe hat ein Punkt dieser Geraden, dessen Projektion die Marke + 7,2 hat? Beide Fragen sollen konstruktiv beanwortet werden.

Man versuche ferner die bisherigen Rufgaben über Punkte oder Geraden mit dieser varstellungsweise einer Geraden zu lösen. Diese Methode wird besonders mit Nutzen in der darstellenden Geometrie des Geländes benutzt?)

2. Ebene Vielecke.

Haupt- und Söllinten einer Ebene, wir verwendeten bisher schon Ebenen und bestimmten sie durch zwei in ihr liegende Geraden. Das soll auch weiterhin so geschehen, nur wählen wir jetzt besondere Geraden, einmal die Schnittgerade der Ebene mit TT, also ihre Spur mit TT oder eine parallele dazu, also eine Spurparallele, dann eine auf diesen Geraden senkrechte Gerade der (Ebene. Erstere bezeichnet man auch als Hauptlinien; es sind die Linien aller Punkte gleicherhöhen der Ebene, sie werden aus diesem Grunde auch Höhenoder Schichtlinien der Ebene genannt. Die zu den Hauptlinien senkrechten Geraden der Ebene sind solche, die unter dem größtmöglichen Winkel gegen TT, also unter dem Neigungswinkel der (Ebene gegen TT verlaufen; sie haben von allen Geraden der Ebene den stärksten Fall gegen TT, daher heißen sie Fallinien oder Böschungslinien.

Orthogonale Winkelprojektionen. Zwei derartige aufeinander senkrechte Geraden einer Ebene haben den Vorteil, daß sie sich wieder als aufeinander senkrechte Geraden in TT projizieren, denn ein rechter Winkel projiziert sich stets wieder als ein rechter, wenn einer seiner Schenkel zu TT parallel verläuft. Rußerdem projizieren sich Hauptlinien als Parallelen zu TT ohne Verkürzung, hier fei noch der pro-jeftion von beliebigen winkeln gedacht. Ein spitzer (stumpfer) Winkel projiziert sich gleichgroß oder kleiner (größer), wenn einer seiner Schenkel || TT liegt. Dann gilt von einem beliebigen Winkel noch der Satz, daß man ihn stets in solche Lage bringen kann, daß er in jeden anderen Winkel orthogonal projiziert werden kann.

Das Dreieck. 3rt [2] wurde bereits vom Dreieck gesprochen. Jetzt soll diese Aufgabe noch einmal dadurch gelost werden, daß man die ganze Ebene eines Dreiecks um die Spur der Dreiecksebene mit TT in die Projektionsebene hineindreht. Die Spur dieser Dreiecksebene erhält man durch zwei ihrer Punkte, also z. B. durch die Spuren zweier ihrer Seiten. Eine derartige Umlegung haben wir schon in [11] vorgenommen. Die weitere Durchführung ist ohne Schwierigkeiten. Wir wollen aber diese Aufgabe noch auf eine dritte Art lösen. Es kann sehr wohl vorkommen, daß die Spur der Dreiecksebene sehr weit weg fällt, dann führt folgender weg besser zum Ziel.

[22]    — [2] wir ziehen eine solche Hauptlinie der Dreiecksebene, die durch eine Ecke und innerhalb des Dreiecks verläuft; das ist besonders leicht, wenn die Dreiecksseiten graduiert sind, denn dann braucht man nur die Gerade zu ziehen, die die in Hrage kommende Ecke mit dem Punkt H der Gegenseite verbindet, die mit der Ecke dieselbe höhe hat. Sonst müßte man auf der Gegenseite den Punkt H suchen, der mit jener Ecke dieselbe höhe hat; vgl. [3]. Ein Lot in der Dreiecksebene von einer der anderen Ecken auf diese Hauptlinie stellt dann eine Fallinie dar. Um nun die wahre Größe des Dreiecks ABC 311 finden, denken wir uns das Dreieck so um die gezeichnete Hauptlinie gedreht, bis seine Ebene parallel zu TT wird, dann ist die Projektion kongruent mit dem Dreieck selbst; wir zeichnen zwar in TT, denken uns aber alles in der zu TT parallelen Ebene gelegen, verläuft die Hauptlinie durch A, die Fallinie durch C, so mögen sich beide in D schneiden. Dann ist DC'C ein rechtwinkliges Dreieck, in dem C D schon konstruiert ist und CCr gleich der Differenz der höhen von A und C ist. Die Hypotenuse fällt dann bei der Drehung über C' hinaus bis (C). Ziehen wir jetzt (C)H und bringen es mit der Fallinie durch B' zum Schnitt in (B), so ist AA(C)(B) das gesuchte.

[23]    Man bestimme den Neigungswinkel eines Dreiecks gegen TT. Die Fallinie eines Dreieckspunktes gibt in der Umlegung um ihre Projektion gegen diese den Neigungswinkel der Ebene gegen TT an.

Affine Lage ven Dreiecken. Ein Dreieck ABC werde um eine

22 I. Daist. Geometrie bei Verwendung nur einer projektionstafel

Hauptlinie als Drehgerade in eine zu TT parallele Ebene TT₁ gedreht und heiße dann A^B^. A'B'C' sei ferner die Projektion von ABC auf T7t. Denken wir uns die Seiten des Dreiecks A, B{ Ct verlängert bis zur vrehgeraden und ebenso die Seiten des Projektionsdreiecks A'B'C', so müssen sich entsprechende Seiten je im nämlichen Punkt der vrehgeraden schneiden,- außerdem liegen entsprechende Punkte auf parallelen, nämlich auf Senkrechten zu jener Drehgeraden (die ja eine Hauptlinie ist). Der Grund des ersten Teiles unserer Behauptung liegt darin, daß sich die Schnittpunkte auf der Drehgeraden in sich selbst projizieren; daß ferner z. B. A, A' senkrecht zur Drehgeraden liegt, folgt daraus, daß bei solchen Drehungen um eine hauptgerade die Fallinien sich in (Ebenen senkrecht zur vrehgeraden bewegen, also auf ihre Projektion zu liegen kommen. Eine solche Lagenbeziehung wie die der beiden Dreiecke A,BtCx und A'B’C' ist ein besonderer Fall von Affinität.

Affinität und perspektivität ebener Figuren. Die letzten Betrachtungen führten auf Lagenbeziehungen von affinen Dreiecken, die wir noch von einem allgemeineren Gesichtspunkt aus betrachten müssen, um uns dann weiter ebenen Schnitten von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Regeln zuwenden zu können. Da nun die Affinität nur ein besonderer Fall der Perspektivität ist, wenden wir uns gleich dieser zu und betrachten zwei ebene Schnitte ein und derselben Pyramide. Der Einfachheit halber wählen wir zunächst eine dreiseitige Pyramide AB CO, die von einer beliebigen Ebene entsprechend im Dreieck A'B'C' geschnitten werden mag. Das Dreieck A'B'C' kann dann von 0 aus durch Zentralprojektion aus ABC entstanden gedacht werden oder umgekehrt; solche Dreiecke nennt man Perspektive Dreiecke; für sie gilt folgender Satz:

Liegen zwei Dreiecke perfpektiv, also derart, daß die Verbindungslinien entsprechender Ecken durch einen Punkt 0 gehen, so schneiden sich entsprechende Seiten oder deren Verlängerungen in Punkten, die auf einer Geraden liegen. Da sich die verbindungsgeraden AA', BB', CC' in einem Punkt 0 schneiden, müssen sie zu zweit je in einer Ebene liegen; folglich find die in diesen Ebenen liegenden-Seitenpaare AB und A'B', BC und B'C', CA und C'A' nicht windschief, sondern schneiden sich in drei Punkten, die sowohl in der (Ebene ABC als auch in der von A'B'C', also in der den beiden vreiecksebenen gemeinsamen Schnittgeraden liegen.

Aber auch die Umkehrung des obigen Latzes gilt, daß nämlich zwei Dreiecke, deren entsprechende Seiten sich in Punkten einer Geraden schneiden, perspektiv sind, d. h. daß die Verbindungslinien entsprechender Ecken sich in einem Punkt schneiden.

Denn zwei entsprechende Seiten der Dreiecke liegen in einer Ebene, und zwei solcher Ebenen schneiden sich in einer Geraden, die zwei entsprechende Ecken miteinander verbindet; die drei Ebenen der drei Seitenpaare schneiden sich dann in drei Geraden, die natürlich als Schnitte dreier Ebenen sich in einem Punkt, also O, schneiden müssen. Dieser letzte Punkt 0 heißt Perspektivitätszentrum, die von 0 ausgehenden Strahlen nach den Ecken der Dreiecke heißen Perspek-tivitätsstrahlen, und die Schnittgerade der Dreiecksebenen heißt Perfpektivitätsachfe.

Nachdem auf diese weise der Satz von Perspektiven Dreiecken mit seiner Umkehrung im Raum bewiesen ist, gilt er für Perspektive Dreiecke in derselben Ebene natürlich auch; wir können sie zwar nicht mehr als ebene Schnitte von einer dreiseitigen Pyramide ausfassen, aber sie haben immer noch dieselbe Eigenschaft wie oben, daß die Verbindungsstrahlen entsprechender Ecken durch einen Punkt gehen. Der Beweis dafür, daß auch dann noch die Schnittpunkte entsprechender Seiten auf einer Geraden liegen, beruht darauf, daß die jetzt ebene Konfiguration (0,ABC, A'B'C') als Zentralprojektion der obigen räumlichen auf eine Ebene aufgefaßt werden kann; entsprechendes gilt von der Umkehrung. Diesen Sonderfall des Doppelsatzes über Perspektive Dreiecke bezeichnet man als Desarguesschen Satz.

Dieser Satz ist ein schönes Beispiel für das Prinzip der Dualität in der Geometrie der Lage. Jedem Satz, der reine Lagenbeziehungen von Geraden und Punkten behandelt, kann sofort ein anderer an die Seite gestellt werden (wir nannten das oben Umkehrung), der von Punkten und Geraden handelt; so z. B. wird einmal von drei Strahlen gesprochen, die sich in einem Punkt schneiden, auf der anderen Seite von drei Punkten, die in einer Geraden liegen.

Rückt das Perspektivitätszentrum ins Unendliche, so daß die per-spektivitätsstrahlen zueinander parallel werden, so spricht man von einer Affinität der Dreiecke, die parallelen Geraden find dann Affinitätsstrahlen, und dieperspektivitätsachse wird zurAffinitäts-achfe. Liegen die Affinitätsstrahlen senkrecht zur Kffinitätrachse, wie oben, so spricht man von senkrechter Affinität, welche besonde-

5ig. 2.

reit Lagen der Dreiecke ergeben sich, wenn statt des Perspektivitäts-zentrums die Perspektivitätsachse ins Unendliche rückt, oder wenn ^jt    beide ins Unendliche rücken?

^/\    Sind zwei Perspektive Dreiecke in bet»

i    selben Ebene gegeben, gehen also die ver-

AI    bindungsstrahlen entsprechender Ecken

durch einen Punkt, so ist die Perspektivi-\    I \ tätsachse konstruierbar. Andererseits kann

\ / N\rsA man zu einem gegebenen Dreieck das per-\ /    AI A spektive konstruieren, wenn Perspektivi

tätsachse und -Zentrum und ein Punkt des Dreiecks gegeben ist. Ulan überlege

sich das Entsprechende bei der Affinität!

Durch drei Punkte läßt sich stets eine Ebene legen, d. h. das Dreieck ist von selbst eine ebene $igur; das gilt nicht mehr von vier beliebigen Punkten im Raum. Daher kann man nicht von einem vesar-guesschen Satz von Perspektiven Vierecken reden. Zeichnet man sich also in der Ebene zwei Vierecke, deren entsprechende Ecken auf Strahlen von einem Punkt aus liegen, so brauchen entsprechende Seiten sich nicht mehr in Punkten einer Geraden zu schneiden. Erst wenn sie das tun, spricht man von Perspektiven Vierecken in der (Ebene; entsprechendes gilt auch von n-Ecken. Geht man int besonderen zu affinen Vielecken in der Ebene über, so kann man sagen, wenn zwei n-Ecke in derselben Ebene liegen, so daß die verbindungsgeraden zueinander parallel sind und daß außerdem entsprechende Seiten sich in Punkten derselben Geraden schneiden, so sind sie affin.

[24]    Ulan zeichne zwei zueinander Perspektive Vierecke. Die Konstruktion ergibt sich aus der beigegebenen Figur 2. Man übe selbst weitere Konstruktionen, auch wenn die beiden Vielecke nicht auf verschiedenen Seiten der Achse liegen, oder wenn sie dieselbe schneiden.

[25]    Man zeichne zwei zueinander affine Fünfecke.

[26]    Man zeichne die zum Kreis affine Figur. Zu beachten ist, daß der Kreis als Vieleck mit unendlich vielen Ecken angesehen werden kann, und daß zur Konstruktion affiner Vielecke auch die Diagonalen benutzt werden können.

Ebene Schnitte von Prismen, Pyramiden. Zylindern und Kegeln.

Ein schiefes n* fettiges, oben vorläufig unbegrenztes Prisma mag mit der Grundfläche in TT liegen; dann ist die Projektion völlig bestimmt, wenn noch irgendein Punkt A einer Seitenkante in der früheren weise gegeben ist. Soll das Prisma mit einer Ebene geschnitten werden, deren Spur s mit TT gegeben ist und die durch A verläuft, so sind vier n-Ecke zu betrachten: erstens die Grundfläche AlBlClD₁ .. dann die Schnittfigur ABCD ..., deren Projektion A'B'C'D'... auf TT und schließlich die Umlegung (A)(B)(C)(D)... von ABCD ... um s in TT. Nach unseren letzten Betrachtungen sind nun A, B₁C₁D₁... und A'B'C'D'... affin mit s als Affinitätsachse. Da A' gegeben ist, so kann A'B'C'D'... konstruiert werden. Nun können wir nach [11] die Schnittebene mit dem Punkt A um s in TT drehen, wobei A nach (A) fällt. Da s Affinitätsachse ist, kann (Ä)(B)(C)(D)... affin zu A'B’C'D’... konstruiert werden, und man hat die wahre Größe von der Schnittfigur erhalten.

Einfacher wird natürlich alles, wenn ein zu TT senkrechtes Prisma gegeben ist, denn da fällt A₁B₁C₁D₁... mit A’B'C’D'... zusammen, und es muß nur die wahre Größe gesucht werden. Jetzt können folgende Aufgaben gelöst werden.

[27]    Ulan soll ein gerades quadratisches Prisma, das mit der Grundfläche in TT steht, mit einer Ebene zum Schnitt bringen, deren Spur mit TT und deren Neigungswinkel gegen TT gegeben ist. Wie sieht die Schnittfigur aus?

[28]    Bestimme das Schnittdreieck, in dem ein schiefes dreiseitiges Prisma von einer Ebene E geschnitten wird, deren Spur mit TT gegeben ist und die durch einen auf einer Prismenkante gegebenen Punkt A hindurchgeht. Ulan führe die Lösung auch durch für den Sonderfall E ± TT!

[29]    Löse die entsprechende Ausgabe für ein schiefes regelmäßiges fünfseitiges Prisma.

[30]    und [31] Löse die entsprechenden Aufgaben zu [27] und [29], wenn einmal ein gerader oder das andere Mal ein schiefer Kreis« Zylinder gegeben ist.

Bisher kamen wir mit der Affinität aus; das ist nicht der Fall, wenn es sich um ebene Schnitte von Pyramiden handelt:

[32] Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide A₁BlClS, die mit A₁BiCi in TT liegt; sie soll mit einer (Ebene zum Schnitt gebracht werden, deren Spur s mit TT gegeben ist und die AtS in A schneidet. wenn S wie früher durch seine Projektion und höhe gegeben ist, so ist A bestimmt, wenn seine Projektion A' gegeben ist. Jetzt ist wieder, wenn ABC die Schnittfigur darstellt, A₁B₁C₁ Perspektiv zu A'B'C' {s Perspektivitätsachse); also kann B' und C' nach [24] gefunden werden, will man auch noch die wahre Größe von ABC konstruieren, so wird man die Umlegung (A)(B)(C) von ABC um s in TT konstruieren. (A) findet man nach [11], und (B) und (C) sind dann mit Hilfe der Affinität zu erlangen, denn A'B'C' und (A)(B)(C) sind affin.

[53]    Ulan übe die entsprechende Aufgabe auch für eine fünfseitige Pyramide und schließlich noch

[54]    für einen Ureiskegel; zunächst achte man aber darauf, daß die schneidende Ebene alle Erzeugenden des Kegels im Endlichen schneidet.

Kegelschnitte. Die letzte Aufgabe führt UNS bereits zu den Kegelschnitten, d. h. zu den ebenen Schnitten eines Kreiskegels. Da sind drei Fälle zu unterscheiden: 1. daß die schneidende Ebene E alle Erzeugenden des Kegels im Endlichen schneidet, das gibt die Ellipse; 2. daß E einer Erzeugenden parallel läuft, das gibt die Parabel, und 3. daß E zwei Erzeugenden parallel läuft, das gibt die Hyperbel. Ulan beachte, daß E im 3. Fall die Erzeugenden des Kegels zum Teil jenseits der Spitze, also den anderen Teil des Doppelkegels schneidet; die Hyperbel besteht also aus zwei Asten.

Um eine Anschauung der drei verschiedenen Kegelschnitte zu erhalten, wollen wir noch eine Ulethode anführen, die diese Kurve wirklich als Kegelschnitte vor unserem Auge erzeugt. Ulan lasse eine Taschenlampe im finstern, möglichst mit etwas Uauch angefüllten Zimmer aufleuchten, der Lichtkegel fei dann unser Kreiskegel (in der Regel wird es wohl ein gerader Kreiskegel sein), hält man die Taschenlampe derart, daß die Kegelachse senkrecht auf eine wand trifft, so ist die beleuchtete Fläche ein Kreis, der um so größer ist, je weiter die Lampe von der wand weggehalten wird. Neigt man die Lampe ein klein wenig, so erscheint die Ellipse als Randkurve der beleuchteten Fläche; sie ähnelt um so weniger einem Kreis, je mehr die Kegelachse gegen die wandfläche geneigt wird. Dabei rückt aber der äußerste Punkt der Ellipse immer weiter weg. Neigt man dann die Lampe noch weiter, so daß der Strahl nach jenem äußersten Punkt der wandfläche parallel wird, so ist die Randkurve eine Parabel, die damit als eine Ellipse aufgefaßt werden kann, von der ein Punkt im Unendlichen liegt. Dreht man nunmehr die Lampe noch weiter herum, so erscheint ein Stück eines Hyperbelastes. Denkt man sich vielleicht vor der Lampe einen

Kreis aus Draht so befestigt, daß er gerade auf dem Lichtkegel liegt, so hat man in dieser einfachen Anordnung ein Modell vor sich, das zeigt, wie der Kreis durch Zentralprojektion in die verschiedenen Kegelschnitte übergeführt werden kann.

Auf eine genaue Theorie der Kegelschnitte, im besonderen auf ihre projektive Erzeugung kann hier nicht eingegangen werden; wir verweisen da auf die angeführte Literatur?) Aber von dem für die Praxis wichtigsten Kegelschnitt, von der Ellipse, mag wenigstens eine punktweise Konstruktion angegeben werden, die sie als Parallelprojektion des Kreises erkennen läßt.

Die Ellipse wurde oben als Schnitt eines Kreiskegels mit einer Ebene definiert, die alle Erzeugenden des Kegels int Endlichen schneidet. Da ein Kreiszylinder als Kegel mit unendlich fern liegender Spitze aufgefaßt werden kann, muß auch ein ebener Schnitt dieses Zylinders als Ellipse angesehen werden. Eine solche Ellipse kann dann als Parallelprojektion eines Kreisschnittes des Zylinders gedeutet werden, wobei die Zylindererzeugenden als Projektionsstrahlen benutzt werden. Könnten wir für den zu projizierenden Kreis eine Konstruktion angeben, die projektionsfeft ist, wobei also die einzelnen Schritte in der Projektion ebenso wie beim Kreis ausgeführt werden können, so hätten wir zugleich eine Konstruktion der Ellipse.

Um eine solcheKonstruktion des Kreises zu erhalten, bei der dieGIeich-heit der Radien oder der Peripheriewinkel — denn diese Eigenschaften gehet! durch die Projektion verloren — nicht benutzt wird, denken wir uns dem Kreis ein (Quabrat ABCD umbeschrieben und die Mittel-paraMenFF, 6//gezogen, die sich im Mittelpunkts schneiden. Ziehen wir von E eine beliebige Gerade, die DG in J schneidet, und fällen wir van F auf EJ das Lot EP, so muß P ein Kreispunkt sein. PF mag GM in K schneiden, dann ist ADEJ = AFMK, was aus ED = MF und der Gleichheit der Winkel folgt. Dann ist aber auch DJ— KM, also auch JG = GK, woraus folgt JK\\ DM. Man hätte also folgende Konstruktion für P: Man zieht EJ beliebig, JK\\ DM und bringt die Verlängerung von KF mit EJ in P zum Schnitt. So findet man alle Punkte des Kreises in EMGD, die anderen Kreisviertel ergeben sich durch Symmetrie (Fig. 3).

In der Parallelprojektion wird das Quadrat zu einem Parallelogramm. Die Konstruktion bleibt dieselbe, liefert aber jetzt eine Ellipse, die dem Parallelogramm einbeschrieben ist und dessen Seiten in den

Mitten berührt. (Einen beliebigen Ellipsenpunkt P erhält man, wenn man EJ beliebig zieht, von J parallel zu DM bis K auf GH geht, K mit F verbindet und FK mit EJ in P zum Schnitt bringt (Zig. 4).

Mit Hilfe dieser Konstruktion kann man eine Ellipse stets konstruieren, sobald man ein ihr umbeschriebenes Parallelogramm hat. Darin liegt der

d j

Pk

ii

(K

rp

JE/

Fig. 4.

5ig. 3.

wert der Konstruktion für die darstellende Geometrie. Denkt man sich zum Beispiel einen Nreiszylinder gegeben, der mit einer Ebene zum Schnitt gebracht werden soll (vgl. [30] und [31]), so kann man die frühere Lösung bedeutend vereinfachen, wenn man dem Nreiszqlin-der ein quadratisches Prisma umschreibt, so daß also den einzelnen Nreisschnitten Quadrate umbeschrieben werden. Man braucht dann nur dieses quadratische Prisma mit jener Ebene zum Schnitt zu bringen und in das erhaltene Schnittparallelogramm die Ellipse einzuzeichnen.

¹

Liehe bei diesen fortlaufenden Kümmern die Literaturangaben im Anhang.

²

Sind in einer Rufgabe mehrere Punkte gegeben und ebenso mehrere Geraden, so wird man die höhen und Neigungswinkel besser in einer Nebenfigur durch einen höhenmatzstab und ein Winkelfeld angeben.

³

Bei diesen Aufgaben muß beachtet werden, daß gegebenenfalls beide Raumteile benötigt werden; dann müssen die Projektionen der Geraden über ihre Spur hinaus verlängert und vielleicht dadurch gekennzeichnet werden, daß man die Projektionen der Geradenteile vom andern Raumteil zur Unterscheidung strichelt.

3. Aufgaben über die Ebene.

Darstellung der Ebene. Zuerst hatten wir die Ebene dargestellt durch zwei in ihr liegende beliebige Geraden, dann durch ihre Spur s mit TT und ihrem Neigungswinkel gegen TT oder s und P, einem ihrer Punkte. Wir vereinigen jetzt beide Methoden. Wenn wir durch einen Punkt der Ebene die zugehörige Fallinie (vgl. S. 20) ziehen, so stellt sie im Verein mit der Spur zwei Geraden der Ebene dar, ganz wie im ersten Fall. Aber wir können uns auch auf die Zallinie allein beschränken, denn durch ihren Spurpunkt mit TT ist ja senkrecht zur Projektion der Fallinie die Ebenenspur s schon mit bestimmt. Durch eine einzige Gerade ist also eine Ebene bestimmt, wenn man weiß, daß sie Fallgerade dieser Ebene sein soll, wir setzen an den Spurpunkt der Zallgeraden mit TT den Namen der Ebene, also z. B. E(e). Mit dem entsprechenden

kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnen wir die Zallinie. Sonst wird e genau so dargestellt wie früher (vgl. S. 17).

xM<y

.0)

Q’

<PK

Die Ebene und in ihr liegende Punkte und Geraden. [35] Man soll einen Punkt P bestimmen, der in einer gegebenen Ebene E(e) liegt. Offenbar kann [eder Punkt P' in TT als Projektion eines Punktes P in E angesehen werden. (Es ist nur noch nötig, seine höhe p zu bestimmen. \i Denken wir uns durch P in E die Hauptlinie h gelegt, so ist h -L e und treffe e in A, ser- p<

Ä e'

■€(«)

net ist ti -1 e, und A mutz die-_

5ig. 6.

,p(p)

5ig. 5.

selbe höhe haben wie P. Also gibt A'(A) die gesuchte höhe an. Demnach muß man zu einem beliebigen Punkt P' eine höhe setzen, die gleich dem Stück ist, welches auf einer Geraden ± e durch P' zwischen e und (<?) liegt (Zig. 5).

[36]    Gegeben ist eine Ebene E(e) und die Projektion g' einer in E liegenden Geraden g\ man soll den Neigungswinkel von g gegen TT finden. Die Spur von g mit TT ist der Schnitt von g mit der Spur von E mit TT, also mit dem im Spurpunkt von e mit TT auf e errichteten Lot. Zieht man nun eine beliebige Hauptlinie h in E, deren Projektion auf TT e in Q\ (e) in (Q) schneidet, so mag sie g in P'schneiden ^ zieht man ferner P'(P) ± g und — QQ', so ist (P) ein Punkt von (g), womit aber die Gerade (g), also auch g selbst und ihr Neigungswinkel a gegen TT gefunden ist (Zig. 6). Man beantworte nach [35] und [36] die Frage: Wann liegen eine Ebene E und ein Punkt P oder eine Ebene E und eine Gerade g vereinigt?

[37]    (Es soll durch eine Gerade g und einen nicht auf ihr liegenden Punkt P eine (Ebene E gelegt werden. Man sucht zunächst auf g einen Punkt 0, der dieselbe höhe wie P hat [3], dann ist Q'P' eine Hauptlinie, und ihre parallele durch die Spur von g mit TT ist die Spur von E. Da man außer der Spur von E mit TT noch den Punkt P kennt, ist die Darstellung von E durch die durch P gehende Fallinie gefunden.

[38]    Durch zwei sich schneidende Geraden g und h ist eine Ebene zu legen. Die Spuren von g und h mit TT liefern die Spur s der gesuchten (Ebene und der Schnittpunkt P von g und h die zu bestimmende Fallinie.

50 I- Durft. Geometrie bei Verwendung nur einer projektionstasel

[39]    Man soll die Winkelhalbierende zwischen zwei sich schneidenden Geraden bestimmen. Durch Umlegung des Dreiecks g, h, s in [38] um s in TT erhält man <£gh, diesen halbiert man und dreht zurück.

[40]    Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h; man soll ihren Abstand ermitteln. Ulan legt die Ebene der beiden parallelen um in TT und bestimmt da den gesuchten Abstand.

Neigungen von Ebenen und in ihnen liegenden Geraden gegen die horizontalebene. [41 ] Durch einen Punkt P ist eine Ebene zu legen, die gegen TT unter einem Winkel <x geneigt ist und die außerdem zu einer Geraden g parallel ist. Die Spurpunkte der Fallinien aller Ebenen durch P, die gegen TT unter <£ « geneigt sind, liegen aus einem Kreis um P', dessen Radius r als Kathete aus einem rechtwinkligen Dreieck gefunden wird, dessen andere Kathete gleich der höhe von P ist, der <£ <x gegenüberliegt. Zieht man durch P eine parallele zu g mit dem Spurpunkt S, so muß die Spur der gesuchten Ebene durch S gehen und Tangente an dem obigen Kreis sein. Die Lote von P auf die beiden möglichen Tangenten sind die Fallinien der gesuchten Ebenen.

[42]    Durch eine Gerade g ist eine Ebene von gegebener Neigung a gegen TT zu legen. (Zu lösen wie [41].)

[43]    Klan soll durch einen Punkt P in einer Ebene E eine Gerade g von gegebener Neigung « gegen die Spur von E mit TT ziehen. Klan zeichne in der Umlegung der Ebene E um die Spur in TT. Diese Aufgabe ist nicht zu verwechseln mit der folgenden:

[44]    Ulan soll durch einen Punkt P in einer Ebene E eine Gerade g von gegebener Neigung a gegen TT ziehen. Klan zeichne wie in [41] den Kreis um P' für a; er schneidet die Spur von E in zwei Punkten, durch die die gesuchten Geraden g verlaufen müssen. (Anders ausgedrückt würde diese Aufgabe auch lauten: In einem Strahlenbüschel sollen diejenigen Strahlen gefunden werden, die eine gegebene Neigung gegen TT haben.) Wann hat die Aufgabe keine Lösung?

Besondere Lagen von Ebenen. Eine Darstellung der Ebene in der bisherigen Art ist unmöglich, wenn die Fallinien sich nicht darstellen lassen, also wenn die Ebene || TT oder ± TT ist. 3m ersten Fall sind alle Projektionen von Figuren in der Ebene mit diesen kongruent,- es muß nur der Abstand der Ebene von TT irgendwie angegeben werden. 3m zweiten Fall ist die Projektion einer Fallinie ein einziger Punkt und die Ebene ist durch ihre Spur eindeutig gegeben. Klan löse hiernach die Aufgabe:

[45]    Durch einen gegebenen Punkt P ist ± Ts eine Ebene parallel zu einer gegebenen Geraden g zu ziehen.

parallele Ebenen haben parallele Spuren und parallele Fallinien.

[46]    Durch einen Punkt P ist eine zu

bZ

{ff) :

einer gegebenen Ebene E parallele (Ebene zu legen. Man sucht auf e den Punkt Q, der mit P die gleiche höhe hat [3]; dann sind Haupt- und Fallinie der gesuchten (Ebene durch P parallel zu den entsprechenden Linien der gegebenen (Ebene durch Q.    i:

(h)

(B)

5ig. 7.

Aufgaben über Ebenen und sie schnei- */; dende Geraden. [47] (Eine (Ebene E ist mit j; einer beliebigen Geraden g zum Schnitt zu bringen. Wir legen durch g eine hilfsebene JL TT, die E in ft schneiden mag.

Kann man ft konstruieren, so liefert in der Umlegung der Schnittpunkt (S) von (g) und (ft) den gesuchten Schnittpunkt S von g mit E. Fig. 7 erläutert die hier angedeutete Konstruktion. Die hilfsgerade ft ist gefunden durch die beiden Punkte A und B. A ist der Spurpunkt von ft und liegt als solcher auf der Spur von E, aber er muß auch auf g liegen, das mit ft' zusammenfällt. B ist der Punkt von ft, also auch von der (Ebene E, dessen Projektion mit dem Spurpunkt von g zusammenfällt; seine hohe k erhält man rote in [3] durch ein Lot von B' aus e. (B)A ist dann (ft).

[47a] Lin Dreieck ist durch seine Eckpunkte gegeben; man soll es mit einer Geraden g zum Schnitt bringen. Man legt wieder eine hilfsebene ± TT durch g, die die Dreiecksebene in ft schneidet und konstruiert in der in TT um g umgelegten hilfsebene den Schnittpunkt von (g) und (ft).

Die Aufgabe [47] ist die Grundaufgabe für alle Parallelprojektionen irgendwelcher Figuren auf eine gegebene (Ebene oder, was auf dasselbe hinauskommt, aller Schattenaufgaben bei parallelem Licht auf irgendeine (Ebene. Man löse hiernach [48]: Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC, eine beliebige (Ebene E und die Richtung paralleler Lichtstrahlen. Man soll den Schatten von ABC auf E ermitteln. Besonders einfach wird die Aufgabe, wenn E mit TT zusammenfällt.

32 l. Durft. Geometrie bei Verwendung nur einer Projektionstafel

Lste auf Ebenen. [49] von einem Punkt P soll auf eine Ebene E das Lot l gefällt und der Fußpunkt F ermittelt werden, mit anderen Worten: Ein Punkt P soll auf eine Ebene E senkrecht projiziert werden. Denken wir uns durch F in E die Hauptlinie gezogen, die senkrecht zur Fallinie durch F verläuft, so mutz l auf beiden senkrecht stehen also 11| e werden. (Es wird also stets ein Lot zu einer Ebene auf TT parallel zu der Projektion der Fallinien dieser Ebene projiziert oder mit anderen Worten senkrecht zur Spur dieser Ebene. In unserer Aufgabe legen wir somit durch P eine Ebene A _L TT und || e, drehen A um in TT und fällen von (P) auf (e) ein Lot, dessen Schnittpunkt mit der Umlegung der Schnittgeraden von E mit A (P) liefert. Bitt dieser Aufgabe ist auch zugleich die folgende gelöst: [49 a] Gesucht wird der Abstand eines Punktes P von einer Ebene E. Besonders einfach würde sich jetzt die Lösung folgender Ausgabe gestalten:

[50] In einem Punkt P soll auf einer Ebene E ein Lot errichtet werden. Blan errichtet in der Umlegung in (P) auf (e) das Lot. Damit ist zugleich auch umgekehrt die Aufgabe gelöst [51]: Gegeben ist eine Gerade g und aus ihr ein Punkt P, man soll durch P1 g eine Ebene legen.

Rechtwinklige Achsenkreuze in senkrechter Projektion. In einem besonderen Fall hatten wir schon in [13] die Projektion eines solchen Achsenkreuzes (drei von einem Punkt ausgehende aufeinander senkrechte Strahlen) konstruiert; jetzt soll [52] ein beliebiges rechtwinkliges Achsenkreuz auf TT projiziert werden. (Ein Lot auf einer Ebene E können wir errichten; es fehlt also nur noch, daß man in E durch den Fußpunkt zwei sich senkrecht schneidende Geraden konstruiert, was in der Umlegung der Ebene E um ihre Spur in TT ausgeführt werden kann, wir wollen aber diese Ausgabe von einer anderen Seite aus betrachten und folgende Aufgabe lösen:

[53] Ein beliebiges Tetraeder ABCO, dessen von 0 ausgehende Kanten ein dreiseitiges rechtwinkliges Achsenkreuz bilden, soll auf die Grundfläche ABC (= TT) projiziert werden. Ist 0' die gesuchte Projektion von 0 auf ABC, so können die Seiten dieses Dreiecks als Spuren der Seitenflächen mit der Grundfläche ABC betrachtet werden. Nun ist z. B. OA ± OBC, d. h. es mutz auch O'A ± BC sein als Lot auf einer Ebene, deren Spur BC ist; dasselbe gilt von den anderen Seiten. Aber auch die Fallinien der Seitenflächen und ihre Projektion müssen senkrecht auf deren Spuren stehen; so muß 3. B. die Projektion der höhe 0AX von AOßC, das ist Ö ± BC sein. Mt anderen Worten: A 0' und 0'Al müssen auf einer Geraden liegen; dasselbe gilt von BO' und 0' Bu CO' und 0'Cl. Das rechtwinklige dreiseitige Achsenkreuz projiziert sich also in die drei höhen des Grunddreiecks ABC.

B,

07

b!

X / s'S / x \ : s' y /

(OV.....

Um nun rückwärts aus der Projektion A ABCOi die Längen OA, OB, OC$u erhalten, denken wir uns das Dreieck AOB in die Ebene der Grundfläche (in TT) hin- \ eingedreht und müssen nur beachten, daß \ bei (0) dann ein rechter Winkel auftritt.

Fig. 8.

In Fig. 8 liefert die Umlegung AßfOX die Längen AO und BO. Um CO 3« erhalten, legt man ACOC₁ um CCX um und erhält so die noch fehlende dritte Länge CO — C(0)₂.

Ein dreiseitiges rechtwinkliges Achsenkreuz kann nun durch eine Ebene stets so geschnitten werden, daß das Dreieck aus den drei Achsenschnittpunkten — das Schnittdreieck — einem gegebenen spitzwinkligen Dreieck kongruent wird. Da aber die drei höhen in einem solchen Dreieck stets stumpfe Winkel miteinander bilden (es find die Supplementwinkel der Dreieckswinkeh, so kann man auch sagen, daß unser Achsenkreuz stets so von einer Ebene geschnitten werden kann, daß die höhen des Schnittdreiecks irgend drei Richtungen parallel laufen, die stumpfe Winkel miteinander bilden. Daraus folgt der wichtige Satz: Irgend drei von einem Punkt ausgehende Strahlen, die in einer Ebene liegen und miteinander stumpfe Winkel bilden, können stets als senkrechte Projektion eines recht-winkligen Achsenkreuzes auf jene (Ebene angesehen werden.

Eigentlich bildet das Achsenkreuz acht einzelne ©ftanten; wir haben bisher immer nur denjenigen betrachtet, dessen drei Achsen sämtlich die Projektionsebene schneiden. Ein solcher einzelner Gktant kann also auch so im Raum liegen, daß nur zwei oder nur ein oder gar kein Strahl die Projektionsebene schneidet. Wir können von einem Gktanten, dessen Achsenprojektionen dann nicht mehr alle stumpfe Winkel miteinander zu bilden brauchen, sofort zu demjenigen übergehen, dessen Achsen wieder alle die Projektionsebene schneiden, wenn

KNuG 541: Fischer, Einführung in die darstellende Geometrie 3 34 I- Daist. Geometrie bei Verwendung nur einer projektionstafel

wir diejenigen Strahlen rückwärts über den Achsenschnittpunkt verlängern, die die Projektionsebene nicht schneiden. Nach diesen Betrachtungen können wir uns auf solche Oktanten beschränken, wie wir sie zuerst betrachtet haben.

Rite Strecken auf derselben Rchse werden nun bei der Projektion im gleichen Maße verkürzt, aber für jede Rchse kommt ein anderes Verkürzungsverhältnis in Betracht. (Es bleibt also noch die Rufgabe zu erledigen, für jede Rchse das Verkürzungsverhältnis anzugeben. Vas geschieht am besten dadurch, daß man aus jeder Rchse vom Rchsen-schnittpunkt aus die (Einheitsstrecke abträgt.

[54] 3n der Projektionsebene TT ist ein Achsenkreuz durch die Projektion der Achsen gegeben,- man soll für jede Achse das Verkürzungsverhältnis angeben. Die Projektion des Achsenschnittpunktes 0 sei wieder 0', die drei Achsen seien durch I, II, III bezeichnet; dann wähle man zwei Punkte A und B auf I und II derart, daß die Verbindungslinie AB 1III wird und ferner auf III den Punkt C, so daß AC ± II wird, von selbst wird dann BC-L I. Die wahren Längen von OA, OB, OC konstruiert man dann wie in [52], auf denen man dann eine Einheitsstrecke OA₁= OAs= OAs = 1 annehmen kann, die rückwärts die Projektionen O'A/, 0'A₂', O'A/ liefert.

Mehrere Ebenen. [55] Man soll die Schnittgerade zweier Ebenen A und B bestimmen. Ist eine der beiden Ebenen ± TT, so haben wir diese Aufgabe schon in [47] gelöst. Liegen die beiden Ebenen aber beliebig, so lösen wir die Aufgabe dadurch, daß wir eine Hauptlinie von A mit einer solchen von B zum Schnitt bringen, die denselben Abstand von TT hat. Ihr Schnittpunkt ist ein Punkt der Schnittgeraden, seine verbindungsgerade mit dem Schnittpunkt der beiden Spuren von A und B mit TT ist die gesuchte Gerade. Wie findet man nun jene beiden Hauptlinien? Wir greifen auf a, die unsere Ebene A darstellende Fall-linie, einen beliebigen Punkt P heraus und ziehen durch ihn die Haupt-linie in A. Dann suchen wir auf b nach [3] denjenigen Punkt Q, der dieselbe höhe wie P hat und ziehen dadurch die Hauptlinie in B. Der Schnittpunkt X der beiden Hauptlinien ist ein Punkt der Schnittlinie von A und B und die Verbindungslinie von X mit dem Schnittpunkt Y der beiden Spuren von A und B ist die gesuchte Schnittlinie x. Da man die höhe von X kennt, ist die Umlegung (x) sofort konstruierbar und damit auch der Neigungswinkel a von x gegen TT (Fig. 9).

Solche Aufgaben spielen eine Nolle bei der Nonstruktion von Dächern

TJsj

5tg. 9.

(Dachausmittlungen!), die in allen größeren Werken über darstellende Geometrie behandelt werden.

[56] Gesucht wird der Schnittpunkt von drei Ebenen. (Eine zweimalige Durchführung von [55] führt zum Ziel.

Neigungswinkel zweier Ebenen.

[57] ITtan soll den Neigungswinkel a zweier Ebenen A und B bestim-

(a

sp)

xj

/(X)

(<-)

/•

/ /(Q)

Q'

Q_

\/

5(g. io.

men. Zunächst könnte man von irgendeinem Punkt im Raum je ein Cot auf A und B fällen nach [49] und dann nach [11] den Winkel dieser beiden Cote bestimmen; er ist der Supplementwinkel des gesuchten. Will man aber die Rufgabe direkt lösen, so muß man zunächst nach

[55] die Schnittgerade der beiden Ebenen bestimmen und zu ihr eine senkrechte Ebene E legen. Seien r und q die Spuren der Ebenen A und B und s die Schnittgerade, so möge t die Spur einer Ebene E sein, die _L s verläuft. Um den Schnittpunkt P von s mit E zu bestimmen, fällen wir von Q, dem Schnittpunkt von s mit t, das Cot auf (s), der Fußpunkt (P), muß dann der in TT umgelegte Punkt P fein. Cegen wir dagegen die Ebene E um t in TT um, so fällt P in der Umlegung nach (P)₂, und die Verbindungslinien von (P)₂ mit den Schnittpunkten von t mit r und q geben den gesuchten Winkel, während die entsprechenden Verbindungen mit P' die Projektion dieses Winkels bei P auf TT geben (Fig. 10).

Haben die beiden Ebenen A und B eine Schnittgerade s || TT, so liegt der gesuchte Winkel in einer zu TT senkrechten Ebene, die dann auch zu s senkrecht ist; in dieser Ebene konstruiert man den gesuchten Winkel.

Uürzester Abstand zweier windschiefen Geraden. [58] Man soll zu zwei windschiefen Geraden a und b den kürzesten Abstand konstru-

36 l. varst. Geometrie bei Verwendung nur einer projektionstafel

ieren. Um zunächst festzustellen, was man darunter versteht, denken wir uns auf der Geraden a einen Punkt A wandern und jedesmal seinen Abstand von b gemessen. Einer dieser Abstände muß der kürzeste sein. Stellen wir uns dasselbe mit einem Punkt B längs b vor, so muß B ebenfalls einmal einen kürzesten Abstand von a haben. Diese beiden ausgezeichneten Lagen müssen aber zusammenfallen, da sonst zwei kürzeste Abstände möglich wären. Der kürzeste Abstand der beiden windschiefen Geraden ist somit diejenige verbindungsgerade zweier Punkte auf a und b, die zugleich auf beiden senkrecht steht,- man nennt sie daher auch das gemeinsame Lot.

Die Losung von [58] beruht darauf, daß man diejenige Ebene E durch b legt, die zu a parallel ist; der Abstand der Geraden a von E ist der gesuchte. Eine zweite Losung ist folgende: Ulan konstruiert

[51] eine Ebene ± a und eine Ebene ± b. Ihre Schnittlinie s muß zu der gesuchten Geraden parallel sein. Ulan hat also nur noch || s eine Gerade zu legen, die a und b schneidet; vgl. [19].

Besonders einfach wird die Konstruktion von [58], wenn eine der beiden Geraden a i. TT gegeben ist. Dann muß das gemeinschaftliche Lot 11| TT sein, also wird sich auch <£ (/, b) wieder als Rechter projizieren. Ulan braucht also nur von dem Punkt, der die Projektion von a darstellt, auf die Projektion d von b bas Lot zu fällen. Liegen die beiden Geraden a und b derart, daß d\\b\ so ist das gesuchte gemeinschaftliche Lot gleich dem Abstand der beiden Projektionen d und b'f denn dieses ist dann ||TT. Ulan muß also in TT eine Gerade konstruieren, welche die zwei Punkte gleicher Hohen auf d und d verbindet.

VreilanttonstruMoneir.

Die verschiedenen Fälle. Drei von einem Punkt ausgehende Geraden, die nicht in einer Ebene liegen, bilden eine dreiseitige Ecke oder ein Dreikant. Die von je zwei Ranten gebildeten Winkel heißen die Seiten- oder Flächenwinkel, kurz die Seiten der Ecke, während die Winkel, unter denen die Ebenen je zweier Konten gegeneinander geneigt sind, die Kantenwinkel oder kurz die Winkel der Ecke heißen; erstere werden mit a,b,c bezeichnet, letztere mit a, ß, y*). Aus je

*) Ausnahmsweise bezeichnen hier die kleinen lateinischen Buchstaben keine Geraden; diese Inkonsequenz in der Bezeichnung sei hier gestattet, weil diese Art der Bezeichnung bei den vreikantkonstruktionen allgemein üblich ist und hier nicht zu Verwechslungen Anlaß bieten kann.

dreien dieser sechs Stücke können die übrigen durch Konstruktion gefunden werden. Es sind folgende Fälle der gegebenen Stücke möglich:

l. l. a, b, c 2.

II. 1. a, ß, t 2.

b,    r 3.

c,    a a, ß

ßi c 3. T, a a, b

b,    a

c,    ß

a, T

, ßr a

, T, b

I Ms C

ö ccl y-

Alle 20 Fälle lassen sich auf drei zurückführen. Zunächst die unter II auf die entsprechenden unter I mit Hilfe der Satzes über die Polarecke. Fällt man nämlich im Innern einer Ecke von einem beliebigen Punkt P auf die drei Seitenflächen der Ecke die Lote, so bilden diese eine Ecke, deren Seiten und Winkel entsprechend mit a, b', c, a ß', f bezeichnet werden mögen. Stellt man sich von einer Ecke mit ihrer Polarecke ein Modell her und fällt man außerdem von den Fußpunkten der drei Lote aus P auf die Seitenflächen in diesen die Lote auf die Kanten, so erkennt man ohne weiteres, daß je zwei dieser Lote in derselben Seitenfläche der Ecke die Winkel der Polarecke einschließen, während solche in zwei verschiedenen Seitenflächen die Winkel der Ecke einschließen. Je ein Winkel der Ecke liegt mit einer Seite der Polarecke in einem Vierecke, dessen beide anderen Winkel Rechte fittb; dasselbe gilt von je einem Winkel der Polarecke und der entsprechenden Seite der Ecke, hiernach gilt folgender Satz: Je ein Winkel einer Ecke ist der Supplementwinkel zur entsprechenden Seite der Polarecke, und umgekehrt je ein Winkel der Polarecke ist der Supplementwinkel zu der entsprechenden Seite der Ecke selbst. Karrn man also die Aufgaben I losen, so findet man die Losungen der Aufgaben II dadurch, daß man z. B. bei II 1. aus den Supplementwinkeln zu a, ß, 's, also aus a', b't c die Ecke konstruiert, also a, ß', f findet; die Supplemente zu a', ß', f sind die gesuchten Seiten zu den gegebenen Winkeln a, ß, y.

Die drei Grundaufgaben. Die zehn verschiedenen Aufgaben I können nun auf die drei folgenden Aufgaben zurückgeführt werden, da sich die anderen durch zyklische Vertauschungen der Benennungen darauf zurückführen lassen:

l» df bi c 2. ci, b, s 3. cts bf ö*

Bei den Lösungen dieser drei Aufgaben denken wir uns stets eine Seite

in TT gelegt; es soll dann jedesmal die Projektion der dritten in den Raum ragenden Kante auf TT gefunden, sowie die fehlenden drei Stücke

P).

konstruiert werden.

mW

(PVT'

/!

Tptk.

§ig. 11.

[59] Lin Dreilaut soll aus \ den drei Seiten a, b, c lonftru* , iert werden: Wir legen die drei ; gegebenen Größen a, b, c in die Ebene TT, so daß sie einen gemeinsamen Scheitel S und zwei gemeinsame Schenkel haben ($ig. 11). Die Aufgabe besteht nun darin, a und c je um den mit b gemeinsamen Schenkel herumzudrehen, daß sich ihre freien Schenkel zur dritten Kante der Ecke vereinigen. Wir greifen auf den beiden freien Schenkeln zwei Punkte (P)₁ und (P)₃ heraus, so daß S(P)t — S(P)₂. Bei dem herumdrehen wandern dann die Projektionen dieser Punkte auf Loten zu den gemeinsamen Schenkeln; ihre Fußpunkte heißen Q und R. Der Schnittpunkt der Lote muß P' sein, also die Projektion von P auf TT. SP' ist die Projektion der dritten Kante der Ecke auf TT. Die rechtwinkligen Dreiecke QP'P und RP'P können in der Umlegung um QP’ und RP' konstruiert werden, weil man die eine Kathete QP' bzw. RP' und die Hypotenuse QP = Q(P)₃ = Q(P\ bzw. RP --- R(P)₄ ---- P(P)₃ kennt. Die winke! bei Q und R sind die gesuchten Neigungswinkel f und a. Um ß zu finden, denkt man sich in P zur Kante SP in den Seitenebenen der Seiten a und c Lote errichtet, die die beiden gemeinschaftlichen Schenkel SQ und SR in T und U schneiden. Schlägt man um T mit T(P)1 und um U mit U(P)S Kreisbögen, so mögen sich diese in (P)5 treffen. 4 T(P)₅ U ist der dritte Winkel ß der Ecke. vgl. hierzu auch [57].

[60] Ein Dreikant soll aus zwei Seiten a, b und dem eingeschlossenen Winkel y konstruiert werden. Legen wir a und b wieder wie oben hin, so kann daraus und mit Hilfe des Winkels y die ganze Fig. 11 rekonstruiert werden. Titan nimmt (P), wieder beliebig an, zieht (P)₁ Q, konstruiert AQP'(P)S, P'P, AP'P(P)₄ (da P'(P)₈ = P'(P)₄), P(P)₂= P(P), usw.

[61] Aufgabe: (Ein Dretfant soll aus zwei Seiten a,b und dem der einen Seite gegenüberliegenden Winkel a konstruiert werden.

yv

.\

wir denken uns wieder a, b, c wie oben in TT ausgebreitet; jetzt soll aber die Seite c in TT festliegen, und es muß erst b herumgedreht werden / / und auch noch a um die dann \?T    \

1« PT

tP)t

5tg. 12.

im Raum liegende Kante, wir greifen auf der a und b ge- yf meinfamen Kante einen belie- 7 bigen punft(P)t heraus, fällen das Lot {P)₁ Q, tragen in Q an der Verlängerung a an und machen den freien Schenkel gleich (P),Q bis (P)₂, ziehen (P)₂P'\\SQ. Die sage des freien Schenkels von c kennen wir noch nicht, aber das Lot von P' auf diesen können wir bestimmen aus einem rechtwinkligen Dreieck, von dem die eine Kathete PP' — (P)₂P’ ist. Die Hypotenuse in diesem rechtwinkligen Dreieck ist das von P in der (Ebene von a auf jenen freien Schenkel gefällte Lot, das man erhält, wenn man von (P)i in dem schon gezeichneten Winkel a das Lot (P)₁R₁ fällt. Innerhalb a ist diese andere Kathete als TRt konstruiert, wobei (P), T — P'(P)2 ist. Der gesuchte freie Schenkel für c von S aus mutz jetzt Tangente an einen Kreis um P' mit TPt als Radius fein; ß₃ fei Berührungspunkt , bann ist •£ Q S i?₂ = «£ c unb <£ TR₁ {P),=< ß. Den Winkel t findet man dadurch, daß man die a und b gemeinsame Kante in einem beliebigen Punkt C durch eine (Ebene rechtwinklig schneidet, die die beiden anderen Kanten in A und B trifft. <£ ACS ist dann der gesuchte. Die Konstruktion ergibt sich aus $ig. 12.

vertauscht man in der eben behandelten Aufgabe a mit b und ersetzt man a durch ß, so ist auch die erste der Aufgaben der zweiten Gruppe I. 3. gelöst. Auch die ersten drei Aufgaben von II. lassen sich direkt lösen, aber darauf gehen wir nicht ein.

Zu bemerken ist noch, daß für die Seiten und Winkel folgende Bestimmungen gelten müssen, falls die Konstruktionen möglich sein sollen: die Summe der Seiten (I d) muß kleiner als 4 Rechte sein, während die Summe der Winkel (Za) kleiner als 6 Rechte, aber größer als

V@?r;

2 Rechte sein muß. Die Aufgaben [59] und [60] sind dann stets möglich, dagegen muß bei flufg. [61] <£ a größer fein a\s<£PS P'. (weshalb?)

tik. Die Konstruktion kommt einfacher und schneller zum Ziel als die Rechnung mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie. viele Aufgaben der sphärischen Trigonometrie, insbesondere solche aus der Nautik, der mathematischen Trd- und himmels-

Tn

\ X /

V.

|    (£)«    JT—(i),

5ig. 13.

künde, sind konstruktiv in einfacher weise zu lösen⁶“) und die erreichbare Genauigkeit ist für die Praxis wohl ebenso ausreichend wie andere graphische Methoden.⁶'') Besonders interessante Aufgaben aus dem Gebiete der Astronomie, die mit Hilfe der darstellenden Geometrie gelöst werden können, sind solche über die Sonnenuhr; wir verweisen da aus Scheffers?)

[62] (Eine Aufgabe aus dem Gebiete der mathematischen Trd- und Himmelskunde werde int folgenden behandelt: Man soll die Länge des kürzesten Weges auf der Erdoberfläche von Lissabon nach Neuqork konstruieren, d. h. natürlich nur den Zentriwinkel zum zugehörigen Bogen im größten Erdkreis.

Die Aquatorebene sei unsere Zeichenebene TT; der Mittelpunkt des den Äquator darstellenden Kreises, der Erdmittelpunkt, kann dann als Projektion N' des Nordpols N auf TT angesehen werden. L' sei die Projektion von L (Lissabon) auf TT und Y' die von Y (Neuqork). Dann ist cpl = <LN'L' die geographische Breite von L, cpy = <£ YN’Y' die von Y; ferner ist Xy— X/, = X die Differenz der geographischen Längen der beiden Grte Y und L. Gesucht wird •Z.LN'Y — x; er kommt vor in der vierseitigen Pyramide N'(L'Y'LY), deren auf TT senkrechte Seitenflächen rechtwinklige Dreiecke sind, die sich konstruieren lassen; folglich kann auch L'Y' und damit dann auch das Trapez L'Y'LY in der Umlegung als L'Y'(L)₂(Y)₂ gefunden werden. Legt man schließlich L Y irgendwie als Sehne in den Aquatorkreis, so ist der zugehörige Zentriwinkel x der gesuchte, vgl. Zig. 13.

Auf diese Art hat man die Dreikantkonstruktionen nicht benutzt; will man das tun, so betrachtet man das sphärische Dreieck L YJY auf der Kugeloberfläche oder bas Dreifant N'(LYN), von dem man die beiden Seiten 90 — cp/,, 90 — cp// kennt und den Winkel X ---- Xy—X/, bei N. IHan konstruiere diese zweite Lösung tatsächlich durch und vergleiche das (Ergebnis mit dem der Zig. 13, wo genommen wurde:

cpL = 38|°, Xz = 9i° tö. und cpy = 40^°, Xy = 74°

Die Konstruktion der fehlenden Seite liefert den gesuchten Winkel für den kürzesten weg von L nach Y, während die fehlenden Winkel den Abfahrts- und RnfunftsroinM gegen die Nordsüdrichtung geben. Der Winkel, unter dem die Erdachse N’N geneigt ist gegen die Ebene der gesuchten Seite, liefert die höchste nördliche Breite, die auf dem kürzesten weg von Lissabon nach Neuyork erreicht wird.

5. ASrper-arstellungen mit einem Ausblick auf Durchdringungen, SchattenkonstruMonen und schiefe Parailelprofektion.

Würfel und Guader. [63] man gebe die Darstellung eines Würfels in beliebiger Lage. Diese Aufgabe wurde eigentlich schon durch

[52] und [54] gelöst, man braucht nämlich nur in TT die Projektion eines rechtwinkligen dreiseitigen Achsenkreuzes zu zeichnen und auf dessen Achsen vom Schnittpunkt aus drei R gleichgroße Strecken — die würfelkanten —, abzutragen. /

Sig. 14.

3n Zig. 14 wurde so bas Achsenkreuz A(BCD) in der t— Projektion gezeichnet. Dann mutz man durch die Achsen- \ / enden B, C, D jedesmal zu den beiden anderen Achsen parallelen legen, die sich in den Würfelecken E, F, G schneiden. Legt man schließlich noch durch diese so erhaltenen Ecken parallelen zu den Achsen, so schneiden sie sich in H, der letzten wiir-felecke. Diese Art des Aufbaus eines Würfels muß in der Projektion dieselbe sein, da parallelen bei der Projektion als solche erhalten bleiben. 3n der Darstellung denkt man sich dann den Würfel von oben betrachtet, so daß man die von A ausgehenden Kanten nicht sieht, sie wurden daher gestrichelt gehalten, alle anderen Kanten sind sichtbar.

Etwas umständlicher kommt man auf folgende Art zur Lösung der Aufgabe [63]. wir deuten sie trotzdem an, weil ihre Durchführung ein vielfach benutztes Verfahren enthält, man denkt sich den Würfel zunächst mit einer Seitenfläche in TT liegen und kippt ihn aus dieser Lage um eine Kante etwas auf, vielleicht um den Winkel a. Die

A-4L—

$ig. 15.

Verkürzung der dann nicht mehr zu TT parallelen Seitenkanten konstruieren wir in der Umlegung ihrer Seitenfläche in TT und zwar um eine Gerade, die sich als Schnittgerade jener Seitenfläche mit TT ergibt. Um jene selbe Schnittgerade kippen wir den ganzen Würfel abermals etwas auf, etwa um den Winkel ß, so daß dann nur noch eine Ecke in TT liegt. Die neuen Verkürzungen der nach der ersten Drehung noch parallel gebliebenen Kanten konstruieren wir durch Umlegungen der durch diese Kanten zu TT senkrecht verlaufenden Ebenen in TT. Auch bei dieser Lösung empflehlt es sich zunächst die Konstruktion für drei von einer Lcke ausgehende Kanten zu zeichnen und dann wie oben durch parallelen den Würfel zu vervollständigen.

[64] Man zeichne auf eine der beiden eben beschriebenen Urten die Projektion eines (yuaders, dessen Kanten 2, 3 und 4 cm lang sind, falls man zuerst einmal um einen Winkel von 30° und dann um einen solchen von 45° aufkippt.

Körper, die sich aus dem Würfel ableiten lassen. [65] Man soll den Körper darstellen, der entsteht, wenn man auf vier solche Seitenflächen des Würfels, deren Schnittkanten zueinander parallel laufen, ebensolche Würfel aufsetzt. Man hat die in Betracht kommenden Kanten nach beiden Seiten um sich selbst zu verlängern und die Endpunkte zu verbinden, wie es in Zig. 15 geschah. Ferner konstruiere man

[66]    den Körper, der aus dem Würfel entsteht, wenn man durch die Mittelpunkte je dreier in einer Ecke zusammenstoßenden Kanten Ebenen legt und so die 8 Ecken des Würfels abschneidet.

[67]    Darstellung des Khombendodekaeders. Dieser Körper entsteht aus dem Würfel, wenn man auf die 8 Seitenflächen gerade Pyramiden aufsetzt, deren höhe gleich einer halben Würfelkante ist. Benachbarte Seitenflächen je zweier benachbarter Pyramiden bilden dann eine ebene Figur (weshalb?), und zwar einen Rhombus, so daß 12 Rhomben den neuen Körper bilden. Die Spitzen der Pyramiden erhält man durch Verbindung der Mitten zweier zueinander parallelen chuadrate und Verlängerung nach beiden Seiten um die halbe würfelkante; ihre Verkürzung ist durch die zu ihnen parallelen würfelkanten gegeben.

[68]    Darstellung des regelmäßigen Oktaeders. Man erhält diesen

Körper aus dem Würfel durch Verbindung der Mittelpunkte der Quadrate oder direkt durch Verbindung der Endpunkte eines dreiseitigen, rechtwinkligen Achsenkreuzes mit gleichlangen Achsen, die man auch über den Kchsenschnittpunkt hinaus verlängert und ebenfalls den ursprünglichen Achsen gleich gemacht hat. So FT wurde es in Fig. 16 gezeichnet.    V

5ig. 16.

[69]    Vas regelmäßige Tetraeder erhält man aus \ dem Würfel, indem man in zwei parallelen Seitenflä-chen zwei zueinander windschiefe Flächendiagonalen zeichnet und deren Endpunkte miteinander verbindet.

[70]    Darstellung des regulären Dodekaeders und Ikosaeders. Vas Dodekaeder, ein aus 12 untereinander kongruenten Fünfecken bestehender Körper, entsteht aus dem Würfel, indem man auf die würfelflächen dachförmige Körper aufsetzt, wobei der Dachfirst gleich der Seite desjenigen regelmäßigen Fünfecks ist, dessen Diagonale gleich der würselkante ist; die höhe des Daches ist gleich dem halben Dachfirst. Die Projektion dieses Dachfirstes auf die jeweilige Würfelfläche muß in der Mitte parallel zu zwei Würfelkanten liegen; ferner laufen die Dachfirste, die man auf gegenüberliegenden Würfelflächen auf-gesetzt hat, zueinander parallel, während solche von zwei benachbarten Dächern zueinander windschief, aber rechtwinklig sind. Man überlege sich, weshalb benachbarte Dachflächen aneinander angrenzender Dächer in ein ebenes, gleichseitiges Fünfeck übergehen.

[71]    Das Skofaeder erhält man aus dem Dodekaeder, wenn man die Mittelpunkte der Fünfecke des letzteren miteinander verbindet und umgekehrt.

Rechtwinklige Axonometrie. Bei den bisher dargestellten Körpern legten wir stets einen Würfel zugrunde oder, was auf dasselbe hinauskommt, ein dreiseitiges rechtwinkliges Achsenkreuz. Die Darstellung eines solchen mit Angabe der Verkürzungen ist schon die Grundausgabe der rechtwinkligen Axonometrie, die bei axonometrischer Darstellung immer wiederkehrt. Denkt man sich irgendeinen Körper, vielleicht einen Maschinenteil, in einem solchen Achsenkreuz gelegen, so kann man von seinen markanten Punkten Lote auf die Ebenen des

Achsenkreuzes fällen, so daß jeder solche Punkt einen Quaber bestimmt. Alle diese Quaber kann man sich dann nach Aufgabe [64] axono-metrisch dargestellt denken, wenn man die Abstände jener / Punkte von den Achsenebenen oder die Projektionen dieser j Abstände auf die Achsen kennt. Uns interessieren natür-I lich nur die Ecken der Quader, die mit den Punkten des darzustellenden Körpers zusammenfallen; kann man diese darstellen, so kann man den Körper selbst auch darstellen. Es ist also bei einer axonometrischen Darstellung eines Körpers nur nötig, daß man ihn aus ein rechtwinkliges dreiseitiges Achsenkreuz beziehen kann, d. h. daß man die Entfernungen der Projektionen seiner Punkte auf die Achsen vom Achsenschnittpunkt kennt. Da mit der Konstruktion des Achsenkreuzes auch die Verkürzungen der Achsen bekannt sind, kann man durch Ziehen von Parallelen leicht zu den einzelnen Punkten gelangen. Die axonometrische Darstellung gibt von Körpern, wie man sich ausdrückt, eine plastische Darstellung, die durch Klitzeichnung der Achsen erhöht wird. Ulan wird natürlich besonders einfache axonometrische Darstellungen vorziehen, z. B. eine solche, bei der das Achsenkreuz mit den Achsen unter gleichen Winkeln gegen die Projektionsebene geneigt ist, weil dann das Verkürzungsverhältnis für alle Achsen dasselbe ist und diese unter 120° gegeneinander geneigt sind. In der beigegebenen $ig. 17 ist für den letzteren Fall ein Punkt dargestellt, dessen Entfernungen von den Achsenebenen sich wie 1:2:3 verhalten.

$ig. 17.

Durchdringungen, hat man zwei Körper in senkrechter Projektion dargestellt, so kann es vorkommen, daß sie ineinander einbringen oder daß sie sich sogar ganz durchdringen. Um die Lindringungsfigur, die einteilig ist, oder die Durchdringungsfigur, die zweiteilig ist, zu finden, muß man die Kanten jedes der beiden Körper mit dem anderen Körper zum Schnitt bringen, sofern sie überhaupt in den anderen Körper eindringen. Die Grundaufgabe dafür besteht also darin, einen Körper mit einer Geraden zum Schnitt zu bringen. Diese Aufgabe wurde bereits in den Aufgaben [14] bis [16] besprochen. Auf diese Durchdringungsaufgaben kommen wir S. 81 ff. noch zu sprechen.

Schatteuksnstruktisneu. Ist paralleles Licht vorhanden (angenähert Sonnenlicht), so wirft jeder Punkt eines Dreiecks einen Schatten in die Projektionsebene, also das ganze Dreieck wieder ein Dreieck, das Schatten, dreieck. Will man diesen Schatten konstruieren, so muß man die Licht-

5. Körperöorft. mit einem Ausblick auf Durchdringungen usw. 45

strahlen durch die Eckpunkte mit TT zum Schnitt bringen. Wir stehen also vor der Aufgabe, durch einen Punkt in gegebener Richtung eine Gerade zu legen, deren Spur mit TT bestimmt werden soll; vgl. Aufgabe [5] und [48]. Man löse hiernach folgende Aufgaben:

[72]    3n der horizontalebene TT stehe ein Stuhl (schematische Zeichnung!); man soll bei gegebenem parallelem Licht den Schatten in Ti bestimmen.

[73]    Man bestimme die Schattenverhältnisse bei einer offenen in TT stehenden Riste (auch im Innern!).

Ist die Lichtquelle punktförmig und im Endlichen gelegen, so besteht die Grundaufgabe der Bestimmung des Schattens in der Aufsuchung der Spur des durch zwei Punkte (Lichtquelle und Punkt des Körpers) bestimmten Strahls mit TT. [74] und [75] Man löse auch dafür die beiden letzten Aufgaben! Die Aufgabe, den Schatten eines Körpers auf einem anderen Körper festzustellen, wird gelöst als vurch-dringungsaufgabe des Schattenprismas oder der Schattenpqramide mit dem anderen Körper.

Schiefe Parallelprojektion, allgemeine Axonometrie. Mit den Aufgaben [72] und [73] sind eigentlich auch schon die Grundaufgaben der schiefen Parallelprojektion erledigt. Denken wir uns das Drahtmodell eines Würfels, so ist sein Schatten eine Darstellung des Würfels in schiefer Parallelprojektion, hier erscheint der Würfel um so verzerrter, je weniger die Projektionsstrahlen gegen TT geneigt sind. Sind zwei Würfelflächen parallel zu TT, so werden diese in derselben Größe und wieder als Cjuadrat abgebildet. (Es kann also bei der schiefen Parallelprojektion eines dreiseitigen Achsenkreuzes sehr wohl vorkommen, daß in der Projektion zwei Achsen aufeinander senkrecht stehen, was offenbar bei der rechtwinkligen Projektion nicht möglich ist, falls man den einen Fall ausschaltet, wo die dritte Achse ± TT ist. 3m übrigen führt hier die Projektion unseres senkrechten Achsenkreuzes zur schiefwinkligen oder allgemeinen Axonometrie im Gegensatz zu den Betrachtungen von S. 43 f., wo die rechtwinklige Projektion eines senkrechten Achsenkreuzes zur rechtwinkligen Axonometrie führte.

Der Hauptsatz für die allgemeine Axonometrie ist von pohlke um die Mitte des vorigen Jahrhunderts aufgestellt worden und lautet:

Drei beliebige in einer Ebene gelegene und von einem Punkt 0' derselben ausgehende Strecken O'Ä, O B', O'C' — sofern 0', A',

B', C nicht in einer Geraden liegen — können stets als die schiefwinklige Parallelprojektion eines gleichseitigen, rechtwinkligen Achsenkreuzes OABC angesehen werden.

Den Beweis dieses Satzes müssen wir uns aus Raummangel versagen. Alle größeren Lehrbücher^) beschäftigen sich mit ihm (besonders Scheffers). Wir führen den Satz an, weil wir uns mit seinem Spezialfall der rechtwinkligen Axonometrie eingehender befaßt haben.

Rach diesem Satz ist es nicht schwer (genau wie früher S. 44), sich von irgendeinem Körper ein axonometrisches Bild zu entwerfen, wenn man die Abstände der markanten Punkte des Körpers von den drei Achfenebensn kennt. Wir werden auf solche Konstruktionen noch später (S. 77) zurückkommen. Natürlich geben nicht alle Lagenmög-lichkeiten O'A'B'C' günstige Bilder. Da zeigt sich eben die große Annehmlichkeit des obigen Satzes, nach dem man sich die günstigsten Lagenverhältnisse selbst heraussuchen kann. Als beste Regel gilt da die folgende: wähle eine derartige Projektion O'A'B'C', daß die Ergänzung zum Würfel ein günstiges Bild gibt. Natürlich wird man auch solche Winkel und Verkürzungen wählen, die unschwer herzustellen sind, wie Winkel von 90", 45° oder 30" und Verkürzungen von oder |.

Allgemein ist zu den Abbildungen in schiefwinkliger Parallelprojektion oder Axonometrie zu sagen, daß sie erst dann richtig wirken, wenn man sie in der Richtung (strenggenommen aus dem Unendlichen) der Projektionsstrahlen betrachtet. Für kleinere (Objekte, wie z. B. Maschinenteile, genügt diese Darstellung immer. Erst wenn die (Objekte größer werden (Häuser, Brücken), wird man störend empfinden, daß bei allen Parallelprojektionen gewisse perspektivische Wirkungen fehlen; das kann nur bei Darstellungen durch Zentralprojektion vermieden werden.

6. Zentralprojektion.

Die Ausgaben [74] und [75] führten bereits zur Zentralprojektion oder Perspektive; der Schatten eines Gegenstandes bei endlicher punktförmiger (Quelle auf eine Ebene ist eben eine Zentralprojektion jenes Gegenstandes auf die Ebene. Im folgenden wollen wir zugleich als Abschluß der darstellenden Geometrie bei Verwendung nur einer Projektionsebene einige Grundaufgaben der Zentralprojektion erledigen. Auf die Hauptaufgabe der Zentralprojektion selbst, perspektivische

Bilder zu entwerfen, brauchen wir um so weniger einzugehen, als diesem Gegenstand bereits ein Bändchen dieser Sammlung gewidmet ist.')

(!)V

A° M),

SZ)

,Ä

VI).

Darstellung des Punktes und der Geraden. AIs Projektionszentrum (Auge) wählen wir einen Punkt Z und bezeichnen seine rechtwinklige Projektion auf die Bildebene TT mit Z'. Z ist dann bestimmt, wenn seine Höhe, die Länge ZZ' ober &iel)tftstn3, gegeben ist; wir denken uns um Z' mit ZZ' einen Kreis geschlagen und nennen ihn Diftanzkreis. Der Punkt Z' wird gewöhnlich als Augenpunkt bezeichnet; er ist der einzige Punkt, in dem der Projektionsstrahl 1 TT steht.

g:

Zig. 18.

Um den Zusammenhang mit dem früheren zu behalten, denken wir uns jetzt genau wie auf S. 17 eine Gerade g gegeben durch g und (gr); ihr Spurpunkt mit TT werde mit G's bezeichnet. Auf g liege ein Punkt A. wir wollen jetzt g und A von Z aus auf TT projizieren. Zu diesem Zweck legen wir das Trapez AZ'AZ um AZ' in die Ebene TT als AZ'(A),(Z). Die Verlängerung (A)ä(Z) schneidet dann die von AZ' in A°, dem Bild von A. A°Gs ist dann die Zentralprojektion von g — AG's aus Z aus TT, wir sagen kurz die Abbildung oder das Bild von g und bezeichnen es durch einen oberen Index: g°. Da G's sein eigenes Bild ist, mag es ebenfalls durch Gl bezeichnet sein, von besonderer Bedeutung ist das Bild des unendlich fernen Punktes der Geraden g. Man findet es, wenn man durch Z eine parallele zu g zieht und ihren Schnittpunkt mit TT bestimmt: er sei mit Gl bezeichnet. 3n Fig. 18 kommt es auf dasselbe hinaus, wenn wir durch Z' eine parallele zu g ziehen und sie mit g° zum Schnitt bringen.

Das Bild g° einer Geraden g ist hiernach vollständig bestimmt, wenn man Gl und Gl kennt. 3ft der Distanzkreis gegeben, so kann

48 1- Darst. Geometrie bei Verwendung nur einer projektionstafel

man g im Kaum aus g° rekonstruieren, stus der Konstruktion von Gi ergibt sich ferner, daß wir zu demselben Punkt kommen, wenn wir irgendeine zu g parallele Gerade verwendet hätten. Mit anderen Worten: Ein Bündel paralleler Geraden wird in der Abbildung zu einem Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt jener Punkt ist. Man bezeichnet diesen Punkt als Fluchtpunkt, hiernach wird z.B. Z' der Fluchtpunkt aller auf TT senkrechten Geraden sein, ferner werden die Fluchtpunkte aller Geraden, die unter 45° gegen TT geneigt sind, auf dem vistanzkreis liegen. Nur solche Geraden, die zu TT parallel sind, werden wieder als parallele abgebildet (Fluchtpunkt und Spurpunkt liegen im Unendlichen und fallen zusammen); außer der Richtung des Spurpunktes muß da noch ein Punkt gegeben sein. Fallen im Endlichen Gt und 6° zusammen, so haben wir einen Sehstrahl vor uns, also eine durch Z gehende Gerade.

Um auch den Punkt P aus P° rekonstruieren zu können, denken wir ihn uns stets auf einer Geraden g° — G$G° gegeben; da wir g selbst finden können, ist es auch für P möglich.

Darstellung der Ebene. Irgendeine Ebene E mag TT in der Spurgeraden e" schneiden. (Eine parallele Ebene durch Z zu E wird dann TT in einer zu et parallelen Geraden schneiden, die wir analog der Bezeichnung bei der Geraden durch e“ kennzeichnen und mit dem Namen Fluchtgerade der Ebene E belegen wollen. Dann ist wieder e° zugleich die Fluchtgerade aller zu E parallelen Ebenen, mit anderen Worten: parallele Ebenen haben dieselbe Fluchtgerade. Jede Ebene ist wieder durch ihre Spur- und Fluchtgerade bestimmt. Irgendeine Gerade der Ebene wird dann mit ihrem Spurpunkt auf e° und mit ihrem Fluchtpunkt auf e" liegen. Ist eine (Ebene parallel zu TT, so fallen und e° in die unendlich ferne Gerade, und eine solche Ebene ist durch einen ihrer Punkte bestimmt. Aber auch bei (Ebenen durch Z (Sehebenen) fallen et und e” zusammen. Ebenen ± TT haben Fluchtgeraden, die durch den Augenpunkt Z' verlaufen. Ebenen, die gegen TT unter 45° geneigt sind, haben Fluchtgeraden, die Tangenten an den Distanzkreis sind. Diese Sätze sind alle durch die Definition der Fluchtgeraden einer Ebene bedingt und bedürfen weiter keiner Erläuterung. Die bisherigen Betrachtungen geben uns die Möglichkeit, sofort an die Behandlung einiger Grundaufgaben zu gehen.

Grundaufgaben. Soweit es sich nur um Aufgaben der reinen Geometrie der Lage handelt, sobald also von Maßbeziehungen (wahrer

Länge von Strecken und Winkeln, Abständen, Senkrechtstehen von Geraden usw.) nicht die Rede ist, werden wir den Distanzkreis nicht brauchen. Die Zeichnungen gelten dann gewissermaßen für jedes Auge. Aus diesem Grunde spricht man auch von einer Zentralprojektion oder Perspektive ohne Auge; man hat sie auch die Perspektive der Blinden genannt. Wir geben zunächst davon die wichtigsten Aufgaben.

p; ■

-r

[GZ m LZ

p:

Fig. 19.

Die Darstellung [76] sich schneidender und [77] sich kreuzender Geraden beruht darauf, daß sich schneidende Geraden in derselben Ebene liegen, d. h. ihre Spurpunkte müssen auf der Spurlinie der Ebene und ihre Fluchtpunkte auf der Fluchtlinie der Ebene liegen. Sind also g und h die beiden Geraden, so muß Gl Hl j| 0®//“ sein, und der Schnittpunkt S° von g° und h° ist das Bild des Schnittpunktes S der gegebenen Geraden. Ist dagegen GlH°s + G®/7®, so stellen g° und h° zwei windschiefe Geraden dar, der Schnitt von g° und h° hat jetzt keine Bedeutung, es fei denn, daß man ihn als den scheinbaren Schnittpunkt von g und h aus Z betrachtet.

[78]    Man soll durch einen gegebenen Punkt P zu einer gegebenen Geraden g die parallele l legen, g sei gegeben durch g° — G°s G® und P durch P\ gelegen auf p° — P®P®. verbinden wir P° mit G®, so ist das schon 1°. Aber die Gerade / ist erst bestimmt, wenn ich nicht nur ihren Fluchtpunkt L®=G® habe, sondern auch ihren Spurpunkt L®. Diesen findet man durch Rennzeichnung der (Ebene (p/), deren Fluchtgerade P®I® ist und deren Spurgerade durch P'l dazu parallel verläuft; ihr Schnittpunkt mit Z® gibt L® (Fig. 19). Damit ist aber die gesuchte parallele 1° vollständig bestimmt. Aber auch die folgende Aufgabe ist dadurch gelöst:

[79]    Durch einen Punkt P und eine Gerade g soll eine Ebene gelegt werden. Die (Ebene ist bestimmt durch g und ihre parallele l durch P. Da aber in Fig. 19 die Spurgerade der gesuchten Ebene durch GsL® schon bestimmt ist, hat man nur noch dazu durch G® = L® die parallele zu legen, die die Fluchtgerade der gesuchten (Ebene abgibt.

[80]    Man soll die Schnittgerade g zweier (Ebenen A und B finden. Die Ebenen sind gegeben durch ihre Spurgeraden a® und bl und ihre Fluchtgeraden a® und b®. Wie die beigegebene Fig. 20 zeigt, führt

flUu® 541: Fischer, Einführung in die darstellende Geometrie der Schnitt der Spurgeraden zum Spurpunkt und der Schnitt der Flucht-geraden zum Fluchtpunkt der Schnittgeraden g¹).

a°

Fig. 20.

19°

Zig. 21.

[81] Ulan soll eine Ge-rade g mit einer Ebene E zum Schnitt bringen. Legt man eine beliebige hilfsebene H durch g, dann kann man die Schnittgerade a von E und H finden, und deren Schnittpunkt P mit g liefert den gesuchten Punkt; vgl. Fig. 21.

[82]    Ulan soll die verbindungsgerade zweier Punkte A und B finden. A und B find gegeben als Punkte je einer Geraden a(AsA°) und b(B⁰sB^). Legt man nach [79] durch die Gerade a und den Punkt B eine (Ebene E, so geben die Schnittpunkte von AB mit e°s und die gesuchten Spur- und Fluchtpunkte der verbindungsgeraden c.

[82 a] Wie findet man hiernach Spur- und Fluchtgerade einer durch 3 Punkte bestimmten Ebene?

[83]    Man soll durch einen gegebenen Punkt P zu einer gegebenen Ebene E die parallelebene konstruieren. Die gesuchte Ebene hat als Fluchtgerade dieselbe wie E. Man braucht also nur noch die Spurgerade zu suchen oder einfacher nur einen ihrer Punkte. Man legt durch P, gelegen mifp(Ps°P°), eine beliebige aber zu E parallele Gerade h\ ihr Fluchtpunkt muß auf e® liegen. Durch Konstruktion der Spurgeraden der Ebene (p^h) findet man den Spurpunkt der hilfsgeraden h und durch diesen muß die Spurgerade der gesuchten Ebene || e°s verlaufen.

Nach diesen Grundaufgaben versuche man die schwierigeren früheren Nufgaben [18] und [19] zu losen.

[84]    Auf einer Geraden g (G°SG°) ist eine Strecke AB gegeben; sie soll in n gleiche Geile geteilt werden. Man legt durch g eine beliebige Ebene E und verbindet irgendeinen Punkt P auf mit A° und B°, bringt PA⁰ und PB° mit e°s zum Schnitt in C und D und teilt CD in n gleiche Geile. Die Strahlen von den Geilpunkten nach P (in Wirklichkeit parallelen in E, baP im Unendlichen liegt) geben dann auf A°ß°

die gesuchten Teilpunkte, weil sie ja die Spur e°s in der gewünschten Weise teilen.

A)

Mahausgaben. [85] Gesucht wird die wahre Länge einer Strecke AB, deren Bild A°B° aus der Geraden g°==GsG° ge- / geben ist.    /

Z'

HTcnt denkt sich durch dar Projektions- /

Zentrum Z mb AB die projizierende Ebene F E gelegt, deren Spurgerade dann mit g° zusammenfällt. Dreht man dann E um g° hinein in TT, so mutz AB in der Umlegung (A) (B) die gesuchte wahre Länge ergeben.

g:

$ig. 22.

Denkt man sich von Z aus g° das Lot ZF gefällt, so sei (Z^F die wahre Länge desselben, so daß Z durch das Umlegen nach (Z)₂ gelangt. Die umgelegte Gerade g mutz auch nach der Umlegung von G°s ausgehen und auch dann noch parallel zu ZGl, also zu (Z)₂0° sein, so daß man nur durch G°s eine parallele zu G°(Z)₂ zu ziehen hat, um g in der Zeichnung (Fig. 22), also (g), zu erhalten. Die Schnittpunkte von (g) mit (Z)₂A° und (Z)₂ß° liefern die gesuchte Strecke (A)(B).

In dieser Weise könnte man auch Seite für Seite von ebenen Figuren behandeln, um deren wahre Größe zu ermitteln, oder umgekehrt, um deren Perspektive Bilder zu finden. Ulan kann nun frühere Sätze benutzen und die Konstruktion vereinfachen, wenn man bedenkt, daß die zu projizierende ebene Figur (der Gegenstand) zum Bild perspektiv liegt, wobei Z Perspektivitätszentrum und die Spurgerade der Ebene, in der die Figur liegt, Perspektivitätsachfe ist. Gegenstand und Bild liegen auch nach der Umlegung noch perspektiv, wobei die Perspek-tivitätsachse dieselbe wie vorher ist. Nur das Perspektivitätszentrum ist ein anderes; es ist, woraus wir nicht näher eingehen, die Umlegung des Perspektivitätszentrums mit der Fluchtebene in TT.

Um die wahre Größe eines Winkels zu finden, muß man bedenken, daß die Fluchtgeraden der Schenkel denselben Winkel bilden, und dieser kann dann nach den bisherigen Betrachtungen unschwer gefunden werden.

Bezüglich des Senkrechtstehens von Geraden auf Ebenen oder umgekehrt sei kurz folgendes angedeutet. Alle Lote auf einer Ebene sind zueinander parallel, haben also denselben Fluchtpunkt. Ulan konstruiert also das Lot vom Projektionszentrum auf die Ebene und dessen Spurpunkt ist jener Fluchtpunkt, hat man also auf irgendeinem Punkt der Ebene das Lot zu errichten, so braucht man nur dessen Bild mit jenem Fluchtpunkt zu verbinden. Analog ist es mit einer Ebene, die in einem bestimmten Punkt auf einer Geraden senkrecht steht.²)

II. Die Mongesche Zweitafelmethode.

1. Der Punkt und die Gerade.

Erklärung der Zweitaselmethode. 3m ersten Teil wurden raumgeometrische Ausgaben durch Projektion auf eine Ebene (TT) gelöst. Monge projizierte außerdem noch auf eine zweite Ebene, die zu TT senkrecht steht. Dann ist der Abstand irgendeines Punktes von der ersten Ebene gegeben durch den Abstand seiner Projektion in der zweiten Ebene von der Schnittgeraden dieser Ebene mit der ersten Ebene, wir bezeichnen die erste Ebene durch TT, und die zweite durch TT₂, entsprechend die Projektionen eines Punktes P durch P, und Pä .³) Solche zu TT₁ senkrechte Ebenen hatten wir bisher auch schon verwendet: um in diesen zeichnen zu können, drehten wir sie um ihre Schnittgerade mit TT hinein in TT. Dies tun wir jetzt auch wieder und nennen diese Schnittgerade Achse. Für gewöhnlich denken wir uns TT, horizontal gelegen und können sie als horizontalebene bezeichnen, während TTz dann vertikalebene genannt wird. P,P., steht nach der Umlegung senkrecht zur Achse und soll Achsenlot heißen. Irgendwelche räumliche Aufgaben könnten nun genau wie früher gelöst werden, da man ja die Projektion eines räumlichen Gebildes in TT, kennt und die nötigen Abstände von der Projektionsebene TT, aus TT₂ abgreifen könnte. Aber die Zusammenfassung beider Projektionen nach der Umlegung gestattet meistens einfachere oder praktischere Lösungen, und darin liegt der wert der Zweitafelmethode. Außerdem bieten die beiden Projektionen die Ansichten von „oben" (Blickrichtung

_L 77z) und von „vorn" (J. 77g). Diese beiden Ansichten bezeichnet man auch als Grundriß und Aufriß oder entsprechend den Ebenen 77, und 77g als „erste und zweite P p Projektion".«)

Der Punkt. Die beiden Tafelebenen 77,    : f fi V

--oQl¹

und 77g teilen den ganzen Raum in vier —

(Quadranten. Den Beschauer denkt man i p' t‘!\ [ sich für gewöhnlich „oberhalb" 77, und    j, P, \p

„vor" 77g und nennt diesen Teil des Rau-    / u /fj IV' l

mes den I. Quadranten; der hinter 77g    Jig 23

gelegene obere (Quadrant ist dann der II., der Hintere untere Guadrant der III. und der vordere untere der IV. (Quadrant, wenn es irgend angeht, wird man alles in den I. (Quadranten legen. Die Umlegung von T7ä hinein in 77, um die Achse geschieht stets so, daß sich der I. Csuadrant öffnet, so daß also der Hintere Teil von 77, mit dem oberen von 77g zur Deckung kommt. Demnach wird ein Punkt P im I. (Quadranten bestimmt durch seine Projektionen P, und P₂, wovon nach der Umlegung P, unterhalb der Achse und P₃ oberhalb derselben liegen muß. Bewegt sich dieser Punkt P aus dem I. Quadranten nach dem II., so muß er dabei durch 77g hindurch; das drückt sich in der Projektion dadurch aus, daß sich dann P, der Achse nähert, während des pas-sierens von 77g auf der Achse liegt und schließlich oberhalb der Achse liegt, wenn P sich im II. Quadranten befindet. Wandert nun P weiter aus dem II. (Quadranten nach dem III., so nähert sich jetzt in der Projektion P₈ der Achse, liegt im Fall des Passierens von 77, auf der Achse und liegt schließlich, wenn P im III. (Quadranten liegt, unterhalb der Achse. Denkt man sich P ferner aus dem III. nach dem IV. (Quabranten wandernd, so wird P 77g, also P, die Achse passieren usw. 3n Fig. 23 ist die Aufgabe gelöst:

[86] Man soll die Projektionsbilder eines Punktes P zeichnen, falls P der Reihe nach sich in allen vier Quadranten befindet, im besonderen auch wenn P gerade von einem in den anderen (Quadranten übergeht.

Fallen P, und P., aufeinander, so liegt P entweder int II. oder int IV. Quadranten, je nachdem sich dieser Doppelpunkt oberhalb oder unterhalb der Achse befindet; außerdem liegt P von beiden Projektionsebenen gleichweit entfernt, d. h. auf der Halbierungsebene des

Die Strecke. [87] Man soll die Entfernung zweier durch ihre Projektion gegebenen Punkte P und Q ermitteln. Dar war auch die frühere Ausgabe [1]. Mir können sie hier ebenso lösen wie dort und zwar einmal durch Umlegung der Ql Trapezes PQPtQ± in T\₁ und einmal durch dar entsprechende von PQP₂Q₂ in TT₂, wobei sich beidemal dieselbe Länge ergeben muß. Aber wir können hier noch eine andere Lösung angeben, wenn wir bedenken, daß eine Strecke, die 3. B. || TT₂ liegt, in wahrer Größe in TT2 projiziert wird. Man dreht die durch P Q ± TTj gehende Ebene um PPlt bis sie in ber £ctge PQ'\\ TT₂ wird. Dabei beschreibt Q einen zu J1₁ parallelen Kreisbogen, der sich in wahrer Größe projiziert, dagegen bewegt sich Q₂ auf einer parallelen zur Achse. Die Endlage P?Q' der Strecke in der Projektion auf TT₂ gibt dann die wahre Länge an ($tg. 24). Man führe dar Entsprechende auch so aus, daß man die durch PQ ± TT₂ gehende (Ebene um PP₂ dreht. In beiden Lösungen unserer Aufgabe ist folgende schon mit gelöst: [88] Man soll die Winkel konstruieren, unter denen eine Strecke gegen T\₁ und TI₂ geneigt ist. Inwiefern?

II. und IV. Quadranten. Liegt im besonderen jener Doppelpunkt auf der Achse, so liegt P selbst auf der Achse.

Q» Qi

•C>,

5ig. 24.

Die Gerade. Irgendeine Gerade g im Raum wird dargestellt durch ihre beiden Projektionen gx und g₂, und umgekehrt bestimmen stets irgend zwei (bexaben gt und g₂ in den Projektionsebenen eine und nur eine Gerade im Raum, denn je eine Ebene durch gt J_ TT₁ und g₂ ± TT₂ schneiden sich in einer ganz bestimmten Geraden g im Raum. Die verschiedenen Lagen, die g einnehmen kann, ergeben sich daraus, daß dar von TT₁ und TT₂ begrenzte Stück auf g (der Hauptteil) in allen vier Quadranten liegen kann, wir stellen uns und TT₂ immer als undurchsichtig vor und denken den Beschauer im I. (yua-dranten, dann kann immer nur ein Stück der Geraden sichtbar sein. Liegt der Hauptteil von g im I. Tuadrant, so ist dieser sichtbar; wir ziehen ihn daher aur und stricheln die nicht sichtbaren Teile. Liegt der Hauptteil im II. (Quadranten, so ist der durch fT₂ in ben I. (Quadranten ragende Teil sichtbar, während nichts sichtbar erscheint, wenn der Hauptteil im III. (Quadranten liegt; schließlich voixb der durch Tl₁

nach dem I. (Quadranten hindurchtretende Teil von g sichtbar, wenn der Hauptteil im IV. (Quadranten liegt.

[89] Blan stelle die beiden Projektionen einer Geraden dar, so daß ihr Hauptteil der Reihe nach in den vier (Quadranten liegt. In Fig. 25 a und b liegt der Hauptteil einmal im I. und einmal im IV. (Quadranten.

s- . T S-

JkJtf

Lh, V,

s.j ?

kr¹9,

P'''!F= r,

5tg. 26.

5ig. 25 a u. b.

Die Zeichnungen werden nach den obigen Erläuterungen leicht verständlich fein; um anzudeuten, in welchem Quadranten der fjauptteil liegt, wurde auf diesem ein Punkt P markiert. Die Spurpunkte der Geraden mit und fs₂ wurden durch H und V gekennzeichnet, stus $ig. 25 geht auch hervor, wie man die Spurpunkte von g mit TT₁ und TT₂ findet. Blatt zeichne die beiden fehlenden Fälle selbst. Zur Übung lege man sich auch einmal gt und g., ganz beliebig hin, bestimme die Spuren mit und TT₂ und hebe die Sichtbarkeit und Unsichtbarkeit von g hervor. Blatt löse hier zur Übung nochmals [4].

Besondere Lagen der Geraden. [90] Blan zeichne die Projektionen einer Geraden a) g || TTt und b) g ||TT₂. Ist g ||TT₁₍ so kann g, beliebig liegen, während g₂ parallel der Achse sein muß.

[91] Blatt zeichne eine Gerade parallel zur Achse (vier Fälle in den vier verschiedenen (Quadranten!).

Geraden ± TT₁ oder TT₂ projizieren sich aus die Ebenen, zu denen sie senkrecht stehen, als Punkte, während die anderen Projektionen senkrecht zur Achse stehen. [92] Blan zeichne eine Halbgerade, also den Teil einer Geraden, der liegt a) int l. (Quadranten ± TTj, ferner b) im III. (Quadranten ± TT₂ und c) ermittle die Halbgeraden, die durch Fig. 26 dargestellt sind.

[93] Darstellung von Geraden senkrecht und windschief zur Achse. Solche Geraden projizieren sich derart, daß nach der Ümlegung gt mit g₂ zusammenfällt und diese voppelgerade senkrecht zur Achse steht. Dann ist es nicht mehr möglich aus den Projektionen die Gerade im Baum zu rekonstruieren. Wir geben daher eine solche Gerade g durch

zwei ihrer Punkte A und B und können in einer zur Achse senkrechten Ebene durch g zeichnen, wenn wir sie um ihre Schnittgerade mit

[AY-

di

^₃psCil'⁾'N

TT₂ hinein in TT₂ drehen (im Zinne des Uhrzeigers!) und dann mit TT₂ in umlegen.

(UL

i7?:X/ p\ So ift cs auch möglich, zu irgendeinem Punkt Px auf g1 den entsprechenden Punkt P2 l i ?    ! aus ^₂ zu finden, vgl. Zig. 27,

Pi

ff,

Bt

5ig. 27 a u. b.

in der eine solche Gerade g mit dem Hauptteil a) im I. und b) im II. Quadranten dargestellt wurde; H und V sind wieder die Spuren mit TT* und TT₂. Man überlege sich diese Zölle praktisch mit Hilfe eines senkrecht aufgeklappten Buches und eines der zum Zeichnen nötigen rechtwinkligen Dreiecke; ebenso führe man die beiden nicht dargestellten Zölle vom III. und IV. Tua-drant selbst durch.

Es gibt auch noch andere Zölle, in denen nach der Umlegung von TT₂ in T\t die beiden Projektionen zusammenfallen, nämlich dann, wenn sämtliche Punkte der Geraden zusammenfallende Projektionen haben (vgl. $. 68), also wenn die Gerade g in der Halbierungsebene des II. und IV. (Quadranten liegt. In diesem Zall ist es aber trotzdem möglich, aus den Projektionen die Gerade g im Raum zu konstruieren, weil die Ebenen durch g und je durch gx und g₂ verschiedene Ebenen sind, also eine Schnittgerade haben müssen.

tote aus Geraden. [94] oder [7] Der Abstand eines Punktes von einer Geraden soll bestimmt werden, oder: Dort einem Punkt P soll auf eine Gerade g das Lot gefällt werden, wir verfahren wie in [7], legen zunächst durch g₁ ± TT₁ eine Hilfsebene E und projizieren P auf E, der Zußpunkt sei F; dann drehen wir E hinein in TT₁ (die Abstände von T\t greifen wir wieder aus dem Aufriß ab) und fällen in der Umlegung von (P) auf {g) das Lot, der Zußpunkt sei ((/). Gt und G₂ ist dann leicht zu finden, und damit kann auch PG selbst ermittelt werden. Liegt g parallel zu einer Projektionsebene, z. B. g || TT-l , so wird die Lösung sehr vereinfacht, wenn man bedenkt, daß das Lot l mit g einen rechten Winkel bildet, von dem ein Schenkel, nämlich g, || TT^ ist; dann projiziert sich der rechte Winkel wieder als Rechter (vgl. $. 20). Man hat also nur von P1 auf gt bas Lot Zx zu fällen und vom Fußpunkt Gt auf dem Achsenlot herauszugehen nach g₂, um G₂ zu finden (Zig. 28). Den Fall, daß ^||TT₂ ist, konstruiere man sich selbst durch! Überhaupt bevorzuge man nicht eine der beiden Projektionsebenen einseitig, sondern wähle immer diejenige, in der es sich bequemer zeichnen läßt.

<h

Jh_

p,kly.

V,

Gl

Jh

Fig. 28.

Fig. 29.

Ist nun gx und g₂ beliebig gegeben, so kann man diesen allgemeinen Fall auf den eben behandelten zurückführen durch Einführung einer hilfsebene T7₃ _L TT₂ und || g. Die Projektion unserer räumlichen Figur in diese dritte Projektionsebene kann auch als eine zweite Vertikalprojektion aufgefaßt werden. Der Vorteil ist dann der, daß die Projektionen in T]i und in TT₃ dasselbe Bild ergeben wie in dem obigen Fall, den der Leser selbst behandeln sollte, hat man aber jenen Sonderfall erledigt, so ist es nicht schwer aus Gx auch G₂ zu finden. Man übe auch hier wieder den andern Weg, daß man eine dritte Projektionsebene TT₃' einführt JL TT₂ und || g. In Fig. 29 ist der Fall TT₃ _!_ I7X und || g durchgeführt.

Mit den eben besprochenen Aufgaben sind im Prinzip auch folgende gelöst-

[95]    von einem Punkt P ans soll man nach einer Geraden g zwei Strahlen m und n ziehen, so daß g, m, n ein gleichseitiges Dreieck bilden, hat man in [94] die Länge l des Lotes bestimmt, so ist in

der Umlegung vom Fußpunkt (G) auf (g) nach beiden Seiten jj/3

abzutragen. Die Endpunkte (Q) und (R) sind dann die beiden anderen Eckpunkte des gleichseitigen Dreiecks, aber erst in der Umlegung. Man überlege sich hiernach selbst folgende Aufgabe:

[96]    von einem Punkt P ans sind zwei Geraden m und n so zu ziehen, daß sie eine gegebene Gerade g unter einem gegebenen Winkel a schneiden, vgl. hierzu [8]!

Neigungen einer Geraden gegen die Tafelebenen. [97] Man soll die Neigungswinkel a, und cu einer Geraden q gegen TT. und

9i

5ig. 30 a u. b.

17, konstruieren In Zig. 24 ist diese Aufgabe teilweise schon gelöst, wenn man PQ als die Gerade g ansieht. Mir benutzen hier statt der Punkte P und Q auf g die Spuren von g mit und TT₂. Entsprechend den beiden Losungen von [87] können wir auch [97] in doppelter weise lösen. Die zweite Art wird aus Fig. 30a klar. Fig. 30b stellt den besonderen Fall dar, wenn die Gerade g die Achse schneidet. 3m zweiten Fall greift man auf der Geraden g einen beliebigen Punkts heraus und konstruiert die rechtwinkligen Dreiecke, die durch das Stück auf g zwischen P und dem Achsenschnitt und durch dessen Projektionen bestimmt sind; <£(5^) und *K(gg₂) sind die gesuchten Winkel a₁ und a₂.

Zwischen den beiden Winkeln a, und a₂ mutz die Beziehung <*! + a₂ < 90° gelten. 3n dem rechtwinkligen Dreieck in Fig. 30a, das aus g und <7, gebildet wird, ist der eine spitze Winkel ctu der andere spitze Winkel 90 — a,; letzterer ist aber zugleich ein Winkel, den g mit einer Geraden in TT₂ bildet; folglich mutz der Neigungswinkel a₂ von g gegen TT₂ kleiner als 90 — ax sein. Dies ist wichtig für die umgekehrte Aufgabe:

[98] Man soll eine Gerade konstruieren, deren Neigungen und tt₂ gegen TT, und TT₂ gegeben sind. Alle Geraden durch einen festen Punkt P, die gegen TT₁ unter dem gleichen Winkel a, geneigt sind, bilden einen geraden Ureiskegel, dessen Achse ± TT₁ ist, ebenso bilden alle Geraden durch P, die gegen TT₂ unter a₂ geneigt sind, einen entsprechenden zweiten Kegel. Die gemeinsamen Erzeugenden dieser beiden Kegel, von denen wir uns jeden als Doppelkegel vorzustellen haben, sind dann Geraden, die gegen TT₁ unter a± und gegen TT2 unter a₂ geneigt sind. Solcher Schnittgeraden gibt es vier, sie liegen zu je zwei bezüglich parallelen Ebenen durch P zu TT₁ und TT₂ symmetrisch. Die Lösungen ergeben sich ohne weiteres aus den Figuren 30. Konstruieren wir z. B. nach Zig. 30a von a, ausgehend zunächst ein rechtwinkliges Dreieck AVVlt das bei A den Winkel a, hat und das

wie in Zig. 30a liegt, so muß dann noch ein zweiter, ABHH₂, konstruiert werden, wo HB = AV ist, und das bei B den Winkel a₂ besitzt. Dieser Dreieck kann man sich irgendwo konstruieren und kennt so die Entfernung HH₂. Schlägt man nun um Vx mit AVX einen Kreisbogen, der eine parallele von A irrt Rbftand HH₂ in H trifft, so hat man auch H₂ der Lage nach, und man kennt folglich auch HVt= gL und H₂V = g₂. Die Symmetrie liefert die drei übrigen Lösungen, verfährt man ganz ähnlich nach Zig. 30b, so kommt man ebenfalls zum Ziel. Zieht man jetzt durch einen beliebigen Punkt im Raum zu je einer der vier Losungsgeraden eine parallele, so bilden diese eine Pyramide, deren Grundfläche in T\₁ ein Rechteck ist; entsprechendes gilt auch von TT₂.

9*

xxxA/1A)

5tg. 3t.

Titan versuche eine Lösung von [98] auch direkt durch Ruseinander-legung des Tetraeders HH^V zu erhalten, das nur aus rechtwinkligen Dreiecken besteht. Ruch als Dreikantkonstruktion läßt sich diese Rufgabe lösen, wenn man bedenkt, daß von dem in H zusammenstoßenden Dreikant //(//₂ KKi) zwei Seiten und 90 — a₂ und ein Winkel von 90° gegeben sind.

Sich schneidende Geraden. Schneiden sich zwei Geraden, so haben sie einen Punkt gemein; also werden zwei sich schneidende Geraden g und h beim Zweitafelverfahren dargestellt durch je zwei Geraden glt h± und g₂, h₂, die aber derart liegen müssen, daß ihre Schnittpunkte und S₂ sich auf demselben Rchsenlot befinden. 3ft das nicht der Fall, so liegen die Geraden g und h windschief zueinander.

[99]    Titan stelle einmal zwei sich schneidende und einmal zwei zueinander windschiefe Geraden dar.

[100]    oder [11] (Es soll der Winkel zweier sich schneidenden Geraden g und h bestimmt werden. Die Lösung geschieht wie in [II], nur daß jetzt die Entfernung des Schnittpunktes S(g, h) aus dem Rufriß abgegriffen wird. Zig. 31 erläutert die Konstruktion.

Liegen die Spurpunkte Gt und Ht außerhalb der Zeichenebene, so benutzt man eine hilfsebene TT' || TTlf die dann g und h in G[ und

H[ schneiden möge. Die Konstruktion ist dann genau so; es wird also AG[SH[ um in TT( gelegt. Natürlich kann man auch um Ä/V die Verbindungslinie der Spurpunkte von g und ^'(j2 h mit TT₂ hinein in TT₂ drehen. Überhaupt ver-^ nachlässige man, wie schon einmal erwähnt, TT2 ^ nicht; TT₂ ist mit Tf₁ vollkommen gleichberechtigt und bietet manchmal günstigere Lagenverhält-nisse wie TTV

»8

m₂

ms

$iQ. 32.

<r Durchdringungen. [101] oder [14] Line Gerade g ist mit der durch zwei sich schneidende Geraden m und n bestimmten Ebene E zum Schnitt zu bringen.

wir werden in Zukunft die Achse nicht mehr zeichnen, denn sie ist in ihrer Richtung durch die Achsenlote bestimmt; wir haben dann außerdem den Vorteil, daß nach den letzten Bemerkungen stets eine passende Ebene TT' || TJ₁ gelegt werden kann. Die Lösung von [101] geschieht wieder wie früher bei [14]. wir legen (f. $tg. 32) durch g ±T\₁ eine hilfsebene H, die E in einer hilfsgeraden h schneiden möge. Im Grundriß fällt mit g₁ zusammen, im Aufriß nicht. Aber der Aufriß h₂ ist dadurch bestimmt, daß dessen Schnittpunkte M₂ und N₂ aus den entsprechenden Grundrißpunkten M₁ und Nx durch Achsenlote heraufgeholt werden können, denn diese sind dort ja auch durch die Schnitte von gt mit m₁ und nt bestimmt. Der Schnittpunkt von g₂ mit h₂ ist die Vertikalprojektion D2 des gesuchten Durchschnittspunktes D von g mit E; damit ist aber auch Dt festgelegt.

Denkt man sich in [101] die Ebene E undurchsichtig, so ist die Gerade g sowohl im Grundriß wie im Aufriß von D an entweder sichtbar oder nicht sichtbar, wir denken uns den Beschauer für den Grundriß von „oben" in der Richtung der Projektionsstrahlen J_ 11^ blicken, für den Aufriß von „vorn" analog in der Richtung ± TT₂. Dann wird man beidemal dieselbe Seite von E sehen oder verschiedene Seiten, je nachdem die beiden Dreiecke S₁M₁N₁ und S₂M₂N₂ beidemal denselben Umlaufssinn haben oder entgegengesetzten. Im ersten Fall wird sowohl im Grundriß wie im Aufriß dasselbe Stück der Geraden g sichtbar, während im zweiten Fall zum sichtbaren Teil der Geraden im Grundriß ein entsprechendes nicht sichtbares Stück im Aufriß gehört, weil es ja auf der anderen Seite der Ebene E liegt.

Es braucht dann nur noch ermittelt zu werden, ob eins der Geradenstücke von D ab sichtbar ist oder nicht. Blickt man in unserer Fig. 32 von „oben", also mit den Projektionsstrahlen ± T\it so gibt der Aufriß darüber Auskunft, ob man zuerst auf die Gerade trifft und dann auf die Ebene oder umgekehrt. In unserem Fall treffen Achsenlote auf der rechten Seite von D₂ erst g und dann die Ebene, also mutz dieser Teil der Geraden von „oben", d. h. im Grundriß sichtbar fein; daher wurde g± rechts von Dl ausgezogen. Links von Dx treffen die Achsenlote zunächst h₂, also die Ebene E, d. h. für den Beschauer von „oben" ist dieser Teil nicht sichtbar; daher mutz im Grundriß der links von D{ gelegene Teil von gx gestrichelt gehalten werden. Da die beiden Dreiecke    und S₂M₂N₂ gleichen Umlaufrsinn haben,

wird es im Aufriß ganz ebenso sein.

Man konstruiere selbst einen solchen Fall, wo verschiedene Stücke der schneidenden Geraden im Grund- und Aufriß sichtbar sind, d. h. wo die Dreiecke S₁M₁N₁ und S₂M₂N₂ verschiedenen Umlauf haben. Dann löse man Aufgabe

[102]    Gegeben ist ein Dreieck ABC durch Grund- und Aufriß; man soll es mit einer Geraden g zum Schnitt bringen und die Sichtbarkeitsverhältnisse von g festlegen. In dieser Aufgabe, allerdings nur im ersten Teil, steckt auch folgende Ausgabe:

[103]    Man soll parallel zu einer gegebenen Richtung r einen Punkt P auf die Ebene eines Dreiecks projizieren und feststellen, ob die Projektion innerhalb oder außerhalb des Dreiecks fällt. Das ist zugleich die Grundaufgabe der Schattenaufgaben. Aber auch die Durchdringungsaufgaben stecken schon in [101] bis [103]. Man löse folgende Aufgaben:

[104]    Zwei Dreiecke sind durch ihre Projektionen gegeben; man soll ihre Schnittgerade bestimmen. Man sucht hier die Durchstichspunkte der beiden schneidenden Seiten des einen Dreiecks mit der Fläche des anderen. Solche Aufgaben treten auf bei der Durchdringung zweier Pyramiden; der Schnitt zweier Parallelogramme (s. unten parallele Geraden) tritt auf bei der Durchdringung zweier Prismen und Dreieck mit Parallelogramm bei der Durchdringung einer Pyramide mit einem Prisma. Mir kommen später noch einmal auf diese Durchdringungsaufgaben zurück.

[105]    Zwei Ebenen Ex und E₂ sind gegeben durch je zwei sich schneidende Geraden g, h und m, n; gesucht wird ihre Schnittgerade.

Man bestimmt zunächst den Schnitt von E, (g, h) mit m und ebenso den von E,(gr, h) mit n; die Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte ist die gesuchte. Zur Übung versuche man die Sichtbarkeitsverhältnisse darzustellen.

parallele und windschiefe Geraden, parallele Geraden projizieren sich sowohl in TT₁ wie in TT₂ wieder als parallelen. Man löse folgende Ausgaben:

[106] Durch einen gegebenen Punkt P zu einer gegebenen Geraden g soll die parallele gezogen werden, oder: [107] Man bringe einen ebenen parallslstreifen mit einem anderen zum Schnitt. (Es ist allein schon lehrreich, sich dazu passende parallelen im Grund- und Aufriß herauszusuchen.

[108] Man bestimme den Abstand zweier parallelen Geraden g und h. (Entweder löst man diese Aufgabe durch die Bestimmung der Entfernung eines Punktes P auf g von h nach [94], oder man legt die Ebene der beiden parallelen um ihre Spur mit hinein in TT,, wo dann der Abstand direkt bestimmt werden kann.

Die früheren Aufgaben [18] bis [20] über windschiefe Geraden können jetzt ebenfalls nach dem Zweitafelverfahren gelöst werden; der Leser kann sie zur Übung wirklich durchführen; sie bieten weiter keine Schwierigkeiten.

¹

Mir empfehlen zur besseren Unterscheidung in dieser Art von Auf- ' gaben die Spur- und Fluchtgeraden einer Ebene auszuziehen (erstere stärker), dagegen Gerade zu stricheln.

²

Bezüglich eingehenderer Darstellung dieser letzten Betrachtungen verweisen wir wieder aus die Literaturangaben im Anhang unter 8), im besonderen auf Rohn-Papperitz.

³

3n vielen Werken bezeichnet man die Taselebenen auch durch TT und TT" und entsprechend die Projektionen eines Punktes P durch P und P".

8. Die Ebene, bestimmt durch Haupt- und Zallinien.

Darstellung der Ebene durch diese Linien. Zu Beginn von Nr. 2 hatten wir bereits diese Linien einer Ebene definiert. Da wir jetzt zwei Projektionsebenen haben, gehen durch jeden Punkt einer Ebene vier solcher Linien, diejenigen bezüglich TT₁ nennen wir Haupt- und Zallinien l.Art, die bezüglichTT₂ solche 2.Art, kurz erste und zweite Haupt- und §allinien. Da die Hauptlinien den Spuren der Ebene mit den Projektionsebenen parallel laufen, also auch ihre Projektionen, werden sie auch Spurparallelen genannt. Sie sind dann von Wichtigkeit, wenn die Spuren der Ebene mit oder TT₂ außerhalb der Zeichenebene liegen.

Die Fallinien bilden mit den entsprechenden Hauptlinien rechte Winkel, und da die Hauptlinien parallel den entsprechenden Projektionsebenen laufen, werden sie in den entsprechenden Projektionsebenen wieder als rechte Winkel projiziert. Daraus folgt: Haupt-und Fallinien projizieren sich auf den entsprechenden Projektionsebenen wieder als zueinander rechtwinklige Geraden. Es stehen also in TT₁ die Horizontalprojektionen der ersten Fallinien aus den Horizontalprojektionen der ersten Hauptlinien (Spurparallelen) senkrecht und in TT₂ stehen die Vertikalprojektionen h[ ^ der zweiten Fallinien auf den Vertikalprojektionen der zweiten Hauptlinien (Spurparallelen) senkrecht.

¥;

$ig. 33.

Damit ist das wichtigste klargestellt, und wir können uns folgenden Aufgaben zuwenden:

[109]    Eine Ebene E ist gegeben durch zwei sich in P schneidende Geraden m und n; man soll die durch P gehende erste Haupt- und Fallinie dieser Ebene bestimmen. Legt man eine zu TTj parallele Ebene TT{, die m in M und n in N schneidet, so ist MN eine erste Hauptlinie oder erste Spurparallele ft von E. Fällt man dann von Pt auf M₁Nl das Lot flt so ist die Horizontalprojektion der durch P gehenden Fallinie f\ ihre Vertikalprojektion f₂ ist auch sofort an-gebbar. Die zu ft durch P gezogene parallele ist dann die durch P gehende erste Hauptlinie (Fig. 33). Man konstruiere sich ebenso die zweite Haupt- und Fallinie durch P. Erste Hauptlinien bezeichnet man durch ft' im Gegensatz zu den zweiten ft", ähnlich s und /*" Eine Ebene ist genau wie früher (S. 28) schon durch eine Fallinie allein bestimmt, weil man sofort auch eine entsprechende Hauptlinie konstruieren kann. Man lose hiernach die Aufgabe:

[110]    von einer (Ebene ist eine erste Fallinie s (fl und fl) gegeben man soll eine zweite Fallinie f" konstruieren. Durch einen beliebigen Punkt P₁ auf f' legt man eine Senkrechte ft' zu fl und durch P₂ eine Senkrechte ft' zum Achsenlot P₃ P₂. Legt man jetzt eine hilfsebene n₂1| ü₂, so schneidet sie h[ in Ht und fl in Fv Dadurch ist H₂ und F₂ bestimmt, und HF ist eine zweite Hauptlinie ft"; dann ist eine Senkrechte von P₂ auf Hl die Vertikalprojektion f". Die hori-zontalprojektion fl' bietet weiter keine Schwierigkeit. Es ist also gezeigt, daß im allgemeinen eine Ebene vollständig durch eine Fallinie bestimmt ist.

wie schon S. 30 hervorgehoben wurde, gilt das nicht, wenn die Fallinie senkrecht zu einer Projektionsebene steht, wir müssen dann eine Spurparallele hinzunehmen, die dann sogar allein für sich schon die Ebene bestimmt, während im allgemeinen eine solche Linie allein

"T [111] Man bestimme in einem durch seine projek--/ tionen gegebenen Dreieck eine erste Zallinie.

eine Ebene nicht bestimmt. Ist dagegen die Ebene parallel zu einer Projektionsebene, so existieren überhaupt keine Zallinien; solche Ebenen f; sind z. B. gegeben durch ihre vertikalspur, falls sie P, Q./K II ni sind.

<Pi

90°

Sig. 34.

[112]    Durch den Mittelpunkt eines durch feine Projektionen gegebenen Parallelogramms soll man eine zweite Fallinie legen.

[113]    oder [22] Man lege durch eine Ecke eines Dreiecks eine erste Hauptlinie und drehe es um diese in eine zu TT1 parallele Lage, um damit die wahre Größe zu finden.

[114]    Man führe das Entsprechende auch für ein Parallelogramm aus, indem man durch seinen Mittelpunkt eine solche Hauptlinie legt. Damit kann man auch den Abstand [108] zweier parallelen ermitteln.

Die Grundaufgaben über die Ebene, wir wenden uns denselben Aufgaben über die Ebene zu, die wir schon im I. Teil behandelt haben (S. 28 ff.), natürlich jetzt im Zweitafelverfahren.

[115]    Man soll die Neigungswinkel einer durch eine Fallinie gegebenen Ebene gegen die Tafelebenen bestimmen. Ist wieder eine erste Fallinie s gegeben, so gibt der Neigungswinkel von f' gegen TT₁ sofort den einen gesuchten Winkel an, während der einer zweiten Zallinie, die nach [110] bestimmt wird, gegen T7₂ den anderen gesuchten Winkel darstellt, vgl. hierzu [137].

[116]    Eine Ebene E ist durch eine ersteFallinies(f[, f₂) gegeben; man soll zu gegebener Horizontalprojektion Pt eines Punktes P die Vertikalprojektion P₂ bestimmen. Legt man durch P₁ die horizontal-projektion einer ersten Hauptlinie ti, daß h\ _L f', so ist der Schnittpunkt Qi von f' und h\ die Horizontalprojektion eines Punktes Q in E, der mit P dieselbe höhe hat. Durch Q₂ geht die Vertikalprojektion von ti senkrecht zu den Achsenloten, so daß P₂ angegeben werden kann; s. Fig. 34. wie ist die Konstruktion, wenn P₂ gegeben ist und Pi gesucht? Würden wir dieselbe Konstruktion noch für einen anderen Punkt ausführen, so hätten wir die Aufgabe gelöst:

[117]    Eine Ebene E ist durch eine erste Fallinie gegeben; wie findet man zu gegebener Horizontalprojektion gx einer Geraden g in E die Vertikalprojektion g₂?

[118]    Man soll die Ebene E (also eine ihrer Mallinien) angeben, wenn sie bestimmt ist durch einen Punkt P und eine nicht durch P gehende Gerade g. wir legen durch P eine hilfsebene TT' |j TTV die g in Q schneidet; damit ist die Vertikalprojektion ti₂ einer ersten hauptgeraden ti und damit auch h[ gegeben, woraus sich wiederum f'± h[ und dann f₂ finden läßt hj (Fig. 35). Löse hiernach:

9t.

KU,

[119]    Die durch zwei parallelen festgelegte Ebene ist durch eine erste Fallinie zu bestimmen.

[120]    Unter den Ebenen eines Ebenenbüschels durch

eine gegebene Gerade g soll diejenige bestimmt werden, f^o^. die zu einer gegebenen Geraden r parallel ist. Ulan \⁹⁰° lege durch einen beliebigen Punkt von g eine parallele ⁵*⁸'³⁵'

q 3U r und bestimme die Ebene durch q und r. von großer Wichtigkeit ist folgende Aufgabe:

[121]    Huf eine Ebene E soll von einem außerhalb derselben ge

legenen Punkt/» das Lot Z gefällt und der Fußpunkt/» bestimmt werden. Ist E durch zwei sich schneidende Geraden gegeben, so hat man nur die Richtung von Z zu bestimmen und parallel zu dieser Richtung durch P das gesuchte Lot zu legen. Um die Richtung von    h"

l zu finden, muß man sich überlegen, daß Z mit einer    \

ersten Hauptlinie ti durch F einen Rechten bildet, und pJydgo° auch lt± h'i (weil A'|| Fsj), also /, || ff; dagegen wird iy : y Zj JL A" oder Z₂1| f₂. Je nachdem nun aus der Figur \j/ sich die h oder f konstruieren lassen oder gezeichnet    ■

vorliegen, wird man hiernach die Projektionen von    V,

Lig. 36.

l zeichnen können. Ist also eine (Ebene durch die ersten und zweiten Hauptlinien oder Spurparallelen gegeben, so zieht man Zj von P₁ aus ± h[ und Z₂ von P., aus ± ti'. vgl. Fig. 36. Den Fußpunkt F bestimme man nach [101]; das ist in der Figur nicht ausgeführt. Ist die Ebene E nur durch eine Fallinie, z. B. f’(fl und f.f) gegeben, so kann man nach [110] eine erste und eine zweite Hauptlinie konstruieren und dann l wie oben finden. Damit sind auch die Aufgaben gelöst:

[122]    Den Abstand eines Punktes P von einer Ebene und

[123]    Den Abstand zweier parallelen Ebenen zu finden.

[124]    Zur Übung dieser Darlegungen errichte man im Schwerpunkt eines Dreiecks ein Lot auf der Dreiecksfläche von gegebener Länge.

[125] Gegeben ist eine Gerade g und außerhalb g ein Punkt P, gesucht wird die Ebene E, die durch P geht und g rechtwinklig schneidet. Ulan legt durch P eine erste und eine zweite haupt-! linie ti und h", und zwar h\±gt, h'₂±PlP₂, ti₂± gs und hl±P₁P.i. 3« Fig. 37 ist noch der Schnittpunkt D von g mit E nach [101] konstruiert. Damit ist auf an*

C;

j j

i    dere Weise wie in [94] der Abstand des Punktes P von

5ig. 37.

g gefunden.

[126] Gesucht wird der Neigungswinkel einer Geraden g gegen eine Ebene E. von einem beliebigen Punkt P auf g fällt man auf E das Lot l und bestimmt <£ (l, g), der dann das Komplement zu dem gesuchten ist.

[127] oder [58] Ulan konstruiere das gemeinsame Lot zweier windschiefen Geraden. Diese Aufgabe kann jetzt nach Behandlung der Ebene genau wie in [58] gelöst werden. Die dort angeführten Einzelkonstruktionen sind jetzt alle auch für das Zweitafelverfahren gelöst worden.

is*

yii

\!/

Fig. 38.

Mehrere Ebenen. [128] Gesucht wird die Schnittgerade zweier Ebenen A und B. Die beiden Ebenen mögen durch ihre ersten Falllinien a und b’ gegeben fein; dann ist die Schnittgerade s der beiden Ebenen die Gesamtheit der Punkte, in denen sich die Hauptlinien gleicher höhen über der betreffenden Projektionsebene _ i y j|) ßX schneiden. Legen wir also || TTj eine hilfsebene TT, so schneidet sie die Fallinien a und b in zwei Punkten A und B. A₂B₂ ist dann die Vertikalprojektion h₂ sowohl einer ersten Hauptlinie in A wie in B; die entsprechenden Horizontalprojektionen Ai(A) und h[ (B) dieser Hauptlinien sind in A, ± at und in Bt ± b,; ihr Schnittpunkt S ist dann ein Punkt der Schnittgeraden s (Fig. 38). Durch eine andere Ebene TT' || TTX bekäme man einen zweiten Schnittpunkt S'; da außer S, und auch S₂ und S₂ mit Hilfe der Achsenlote angegeben werden können, ist s = SS' gefunden.

[129] Ulan bestimme den Schnittpunkt dreier Ebenen, indem man

[128] zweimal ausführt.

[ 130] oder [57] Gesucht wird der Neigungswinkel zweier Ebenen. Ulan sucht nicht den Neigungswinkel direkt, sondern seinen Supple-

9. Die Ebene, bestimmt durch ihre Spurgeraden

67

mentroinfel, indem man den Winkel zwischen den beiden Loten aufsucht, die man von einem beliebigen Punkt aus die (Ebenen fällt, wie gestaltet sich die Lösung dieser Aufgabe für den Fall, daß die beiden (Ebenen durch je einen Punkt und die Schnittgerade gegeben sind?

Die Lösung von fl 30] ist auch möglich nach der Art, wie sie in [57] durchgenommen wurde; man nimmt eine hilfsebene || TTlr so daß die früheren Geraden r und q hauptgeraden werden, wir kommen auf diese Lösung bei [147] zurück.

9. Die Ebene, bestimmt durch ihre Spurgeraden.

horizontal- und vertikalspur einer Ebene. [i3i] von einer Ebene sind zwei sich schneidende Geraden g und h durch ihre Projektionen gegeben; gesucht werden die Spurgeraden, also die horizontalspur s und die vertikalspur s". Itlcm bestimmt von jeder Geraden sowohl ihren horizontal- wie ihren Vertikalspurpunkt; die Verbindungslinie der beiden Horizontalspurpunkte liefert s, die der beiden Vertikalspurpunkte s". s und s" müssen sich in einem Punkt der Achse schneiden, (weshalb?)

Eine Ebene ist jetzt durch ihre beiden Spurgeraden s und s" eindeutig definiert, ebenso wie sie es früher durch zwei beliebig in ihr liegende Geraden war, oder wie sie im vorigen Paragraphen durch die Haupt- und Fallgeraden bestimmt war. Auch die Spurgeraden sind nur besondere hauptgeraden. 3m allgemeinen wird man die frühere Darstellung stets dann anwenden müssen, wenn die Spurgeraden außerhalb der Zeichenebene fallen, wir wollen aber die Darstellung einer Ebene durch ihre Spurgeraden nicht ganz übergehen, weil sie doch oft von Nutzen ist und vor allem, weil sie in vielen Büchern sogar ausschließlich gegeben wird.

[132] Man soll die Spurgeraden einer Ebene finden, die durch eine Fallgerade f gegeben ist. Man bestimmt zunächst den Horizontalspurpunkt (Fig. 39) H von f; das Lot in H auf /V ist s'. Zieht man jetzt durch einen beliebigen Punkt P von f eine erste hauptgerade oder Spurparallele ti, also h[ durch P, || s und durch P₂ parallel der Achse, so liefert der Vertikalspurpunkt V von ti einen Punkt von s"; s muß sich mit s" im selben Punkt der Achse schneiden. [133] wie findet man s' und s", wenn je eine Spurparallele der ersten und zweiten Art gegeben ist?

P₂ bestimmen, so daß P in der Ebene liegt.

[134] von einer Ebene sind ihre Spurgeraden s' und s" gegeben; man soll zu gegebener Horizontalprojektion P₁ die Vertikalprojektion

v.S

S> :

fl

•5

sX

s'

vV/

5t g. 39.

5ig. 40.

- Die Lösung gibt Fig. 39. Man geht durch P₁ par-/ \ allel zu s bis zur Achse, yftvx.o von da senkrecht bis zum \i /! Schnitt mit s" und weiter parallel zur Achse bis zum Schnittpunkt mit dem Achsenlot durch Pv wäre P₂ gegeben, so führt man die eben angeführte Konstruktion rückwärts aus. Aber man könnte auch von P₂ aus parallel zu s" bis zur Achse gehen, von da senkrecht zur Achse bis zum Schnittpunkt mit s und von da parallel zur Achse bis zum Schnitt mit dem Achsenlot durch P₂. Die hierzu entsprechende Konstruktion hätte man auch im ersten $all ausführen können. Diese Konstruktionen kommen immer wieder vor, und man führe sie wirklich alle durch!

Ebene Ziguren in einer durch die Spurgeraden gegebenen Ebene. [135] von einer durch s' und s" gegebenen Ebene ist eine Gerade g durch gt gegeben; gesucht wird g₂. Man beachte nach [131], daß die Spurpunkte von g mit TT, und TT₂ auf s und s" liegen müssen.

[136] von einem ebenen Vieleck in der durch s und s" gegebenen Ebene ist die Horizontalprojektion gegeben; gesucht wird die Vertikalprojektion. Man kann hier für jeden Eckpunkt einzeln [134] anwenden. Die Genauigkeit der Zeichnung prüft man mit Hilfe der Affinität (S. 22 ff.). Unsere Ebene schneidet die halbierungsebene des II. und IV. (Quadranten in einer Geraden a (ax = a₂), auf der sich alle entsprechenden Seiten der beiden Projektionen unseres Vielecks schneiden müssen; a ist Asfinitätsachse für die beiden Projektionen, sie geht durch den Schnittpunkt von s und s". wie findet man a aus s' und s"?

Auf die Bestimmung der wahren Größe ebener Vielecke aus den Projektionen gehen wir hier nicht ein; wir verweisen da auf die früheren Darlegungen (S. 25).

Neigungen einer Ebene gegen die Tafelebenen. [i 37] oder [ns] Gesucht werden die Neigungswinkel et, und a₂ einer durch s' und s" gegebenen Ebene gegen 77i und TT₂. wir lösen die Aufgabe im Grunde

9. Die Ebene, bestimmt durch ihre Lpurgeraden

69

tK

/9\

9'/ A

ebenso wie S. 64. stuf der Achse werde ein beliebiger Punkt 0 herausgegriffen, durch den wir je eine Hilfsebene JL s' und ± s" legen, diese schneiden die gegebene Ebene in den Fallgeraden, die in [115] betrachtet wurden, und dann werden hier wie dort die rechtwinkligen Dreiecke, die at und a₂ enthalten, in die Tafel-ebene gedreht. Aber unsere Fig. 40 gestattet jetzt auch die umgekehrte Aufgabe zu lösen.

7/

$ig. 41.

[138] Gesucht werden die Richtungen der Spurgeraden der (Ebenen, die TT₁ und TT₃ unter den gegebenen Winkeln al und ct₃ schneiden. Man hat da nur zu beachten, daß die beiden eben betrachteten rechtwinkligen Dreiecke sich in einer Strecke schneiden, die für beide die Höhe ist. Man zeichnet also eines der beiden Dreiecke (es braucht natürlich nur ein ähnliches zu sein) in der obigen Lage und kann dann von diesem aus Fig. 40 rückwärts zeichnen.

Alle (Ebenen durch denselben Punkt mit gleicher Neigung gegen eine feste Ebene umhüllen einen geraden Kreislegel. Für [137] würde demnach die Lösung daraus hinauskommen, an zwei gerade Kreis-kegel mit gemeinsamer Spitze die gemeinsamen Tangentialebenen zu legen. Deren gibt es offenbar vier, ©b nun die obige Konstruktion zu allen vier Lösungen führt, mag der Leser selbst entscheiden. Vir wollen zu dieser Aufgabe nur noch hinzufügen, daß sie auch durch [98] gelöst werden kann, denn eine Senkrechte auf der gesuchten (Ebene schneidet LH unbTT₃ unter den Winkeln 90—und 90—ct₃. Daraus ergibt sich auch für at und ct₂ die Bedingung et, +<x₂>90°. Andererseits folgt diese Bedingung aus den Sätzen über die Winkelsumme einer dreiseitigen Ecke, die auch die Bedingung für die obere Grenze geben würde.

Mehrere Ebenen, parallele Ebenen haben parallele Spuren in derselben Projektionsebene. Man löse hiernach Ausgabe [139]: Durch einen Punkt P ist eine zu einer gegebenen (Ebene (s, s") parallele (Ebene zu legen. Durch P kann man sofort die Spurparallelen der (Ebene angeben und damit auch die Spuren selbst.

[140] Die Schnittgerade zweier (Ebenen ist zu konstruieren. Da man die Spurpunkte der Schnittgeraden g in den Schnittpunkten der entsprechenden Spuren H und V hat, kann man die Projektionen g₁ und s» sofort konstruieren, wie in Fig. 41 angegeben ist Diese selben im I. Quadranten liegen. Um uns des beschränkten Raumes wegen recht kurz auszudrücken, erwähnen wir, daß s' und s" nicht wie in Fig. 41 beide nach derselben Seite zu laufen brauchen, sondern nach verschiedenen; entsprechendes gilt von t’ und t". Das gibt schon recht viele Möglichkeiten, die das Aussehen der Konstruktion ganz anders erscheinen lassen wie oben. Dann kann eine der beiden Ebenen besondere Lagen zu 77, oder TT«, annehmen; z. V. kann die eine Ebene || 77, laufen, dann fällt g₂ mit t" zusammen und gr, || s' (Zig. 42).

Konstruktion ist äußerst wichtige man übe sie in den verschiedensten Lageverhältnissen der beiden Ebenen wirklich durch und verfahre stets nach dem dargestellten Schema; man achte auch auf Sichtbarkeit der einzelnen Teile der Schnittgeraden, je nachdem welche Stücke der-

t-S,

-f

Big. 42.

Liegt einer der Schnittpunkte der entsprechenden Spuren oder beide außerhalb der Zeichenebene, dann verwendet man zunächst eine hilfs-ebene || TTt, die mit jeder der beiden gegebenen Ebenen eine Schnittgerade liefert, deren Schnittpunkt ein Punkt der gesuchten Geraden ist; eine zweite solche hilfsebene, vielleicht diesmal || TT₂, würde ebenso einen zweiten Punkt der gesuchten Geraden liefern, wodurch sie festgelegt ist. Man vergesse hier nicht, Kontrollkonstruktionen auszuführen, ob die gesuchten Punkte wirklich auf der Ebene liegen.

Andere Schwierigkeiten entstehen, wenn die Achsenschnittpunkte der Spuren so nahe aneinanderrücken, daß ein genaues Zeichnen nicht mehr möglich ist. Man vermeide überhaupt stets, eine Gerade durch zwei sehr nahe aneinandergelegene Punkte zu bestimmen. In diesem Fall verwendet man eine hilfsebene parallel der einen der beiden Ebenen, so daß eine geeignetere Figur entsteht. Die erhaltene Schnittgerade ist dann zu der gesuchten parallel, so daß man jetzt durch die Schnittpunkte der Spuren parallelen legen kann. Ebenso verfährt man, wenn die Achsenschnittpunkte der beiden gegebenen Ebenen ganz zusammenfallen. Zu einer beliebigen hilfsebene, oder auch einer Ebene _L 77, und JL TT₂ (also zu einem Seitenriß) greift man, wenn die beiden gegebenen Ebenen parallel zur Achse liegen.

[141] Man soll den Schnittpunkt dreier Ebenen bestimmen, hier bringt man die erste Ebene mit der zweiten, die zweite mit der dritten zum Schnitt; der Schnittpunkt der beiden Schnittgeraden ist der gesuchte.

Gerade und Ebene. [142] Der Schnittpunkt P einer Geraden g

mit einer Ebene E ist zu bestimmen, wir legen durch die Gerade g eine hilfsebene _L TT, und bringen deren Schnittgerade mit E zum Schnitt mit g (Zig. 43). Damit ist auch folgende Aufgabe gelöst:

5ig. 43.

[143] von einem Punkt P ist auf eine Ebene E das Lot zu fällen und der Zußpunkt zu bestimmen. wir haben schon in [121] festgestellt, daß das Lot auf eine Ebene in der Projektion senkrecht auf den entsprechenden Hauptlinien steht.

Da die Spurgeraden solche sind, hat man nur von P, auf s' und von P₂ auf s" die Lote zu fällen und nach [142] den Zußpunkt zu bestimmen. Damit sind auch die Aufgaben über [144] den Abstand eines Punktes von einer Ebene, und über [145] den Abstand zweier parallelen Ebenen gelöst. Ferner kann man jetzt an die Konstruktion [146] des Neigungswinkels einer Geraden gegen eine Ebene gehen, indem man den Winkel dieser Geraden gegen ein Lot auf die Ebene sucht, will man [147] den Neigungswinkel zweier Ebenen finden, so kann man ihn aus dem Neigungswinkel zweier Lote bestimmen, die man von einem beliebigen Punkt auf die beiden Ebenen fällt.

wir können [147] auch genau so lösen wie früher bei [57]; wir drehen wie dort alles in 17,. Die nötigen Entfernungen der Punkte von TT, werden aus TT₂ abgegriffen. Klan führe diese Aufgabe nach dem Zweitafelverfahren wirklich durch!

10. ProjeMonshilfsebenen.

Erklärung des Umprojizierens. wir haben einigemal hilfsebenen — meist ± TT, — eingeführt, in die wir unsere räumlichen Figuren projizierten und erreichten dadurch günstigere Lageverhältnisfe zur Bestimmung der wahren Größe von geometrischen Gebilden, vgl. hierzu Zig. 44, wo durch Einführung einer zu TT, senkrechten und zur Strecke PQ parallelen Ebene TTS es ermöglicht wurde, daß die wahre Größe der Strecke P Q = P₃ Qs direkt erscheint, ebenso der Neigungswinkel a, von PQ gegen TT,, wir führen diese Aufgabe nur an, um das Wesen des Umprojizierens hervorzuheben. Die Spurgeraden von 17z sind in Zig. 44 wie bisher durch s und s" bezeichnet; für gewöhnlich lassen wir s" weg und betrachten s' = a,₃ als neue Achse,

dementsprechend wurde die alte Achse durch a₁ ä bezeichnet. Nun könnte man P₄ und P₃ Q₃ für sich als Grund- und Aufriß betrachten und abermals eine neue hilfsebene n₄ i. 77z einführen, die in Fig. 44 als 3U PQ senkrecht gedacht ist; in der vierten Projektionsebene 77₄

G.

77-

6-

Vi'

Pi

5tg. 45.

5ig. 44.

erscheint dann die Strecke PQ als ein einziger Punkt. Bezeichnet man allgemein den Schnittpunkt eines Achsenlotes P{Ph durch Pih, so ist P,P₁₈ = P₃P?3 und PiP1$ = P₄P₃₄. Dadurch ist rein mechanisch das Umprojizieren bestimmt.

Anwendung ans die Bestimmung der kürzesten Abstander, wie

man durch Senkrechtaufrichten von 77₂ um a₁₂ direkt zu der räumlichen Figur kommen kann, so ist dies natürlich auch möglich durch Senkrechtaufrichten von T7₃ um a₁₃, und wenn man dann nochmals in der so aufgerichteten Ebene 17₃ die vierte Projektionsebene T74 senkrecht um a3 4 herumdreht, hat man eine Vorstellung von der Lage der vierten Projektionsebene im Raum, die also im obigen Fall ±PQ liegt, wir verwenden jetzt Fig. 44 zur Lösung folgender Aufgabe.

[148] Gesucht wird der kürzeste Abstand zweier windschiefen Geraden g und h. Liegen die Geraden so, daß eine von beiden (g) auf einer Projektionsebene (77₂) senkrecht steht, so muß der kürzeste Abstand oder das gemeinsame Lot (l) von g und h parallel zu dieser Projektionsebene 77₂ fein. Dann projiziert es sich in wahrer Größe, und der rechte Winkel zwischen l und h muß sich wieder als rechter Winkel projizieren. Darauf beruht die folgende Lösung unter Zuhilfenahme zweier neuer Projektionsebenen T7₃ i. T7t und T7₄ ± T7₃. 3n Fig. 45 feien g und h zwei beliebige windschiefe Geraden, wir legen 77z || g und zeichnen durch Umprojizieren je zweier Punkte auf g und h die dritten Projektionen gs und h₃. Legen wir jetzt eine vierte

Projektionsebene ± g, so erscheint gi in TT₄ als Punkt G₄. von Gt aus fällen wir auf ft₄ das Lot Z₄= G₄//₄ und von //₄ gehen wir ±a34 bis zum Schnitt /f₃ mit ft₃. Das Lot Hs Gs auf g₃ ist die dritte Projektion des gesuchten kürzesten Abstandes. Durch Rückprojizieren ±a13 erhält man dann G₂H₂ und weiter ±a₁₃G₁H₁. G^H^ ist zugleich die wahre Länge von GH. Dian prüfe das in der ersten und zweiten Projektion nach [87]!

[149] Gesucht wird der Winkel zwischen zwei Ebenen, die durch ihre Schnittgerade g und je einen Punkt A und B gegeben sind. Wir projizieren so um, daß TT₄ J. g toirb; dann bilden die Verbindungslinien des Punktes, der als C?₄ in TT₄ erscheint, mit A₄ und ß4 den gesuchten Winkel. 3m Anschluß an diese Lösung stellen wir noch folgende Aufgabe:

[149 a] Dian soll auf dem kürzesten Weg von A über g nach B gelangen; in welchem Punkt P passiert man gl (Dian drehe in der 4. Projektion die Ebene (A, g) um g hinein in (B, g) und ziehe AB).

Liegen als und a₃₄ beliebig, so liefert die vierte Projektion von irgendeinem geometrischen Gebilde, das durch Grundriß und Aufriß dargestellt ist. die rechtwinklige Projektion auf irgendeine im Raum gelegene Ebene. Wenn also ein Körper durch Grund- und Aufriß gegeben ist, so kann man durch punktweises Umprojizieren dessen Projektion auf eine beliebige Ebene erhalten. Dian wird diese Methode anwenden, wenn man einen Körper in einer zu TT, und TT₂ besonderen Lage darstellen kann — was meistens der Fall ist —, um dann durch das Umprojizieren den Körper in einer beliebigen oder in einer bestimmten anderen Lage zur Projektionsebene zu erhalten.

Man übe selbst solche Konstruktionen an den Körpern durch, die in den Aufgaben [65] bis [71] behandelt wurden. 3m besonderen empfehlen wir ein Umprojizieren, bei dem TT₄ senkrecht zu einer bestimmten Achse des Körpers steht. Auch die Grundaufgabe der Axonometrie kann hier wieder durchgenommen werden, also ein dreiseitiges rechtwinkliges Achsenkreuz mit gleichen Achsenlängen auf eine beliebige Ebene zu projizieren.

Bestimmung der Projektionsstrahlen. [150] Die Richtung der Projektionsstrahlen auf TT₄ ist in TT₁ und TT₂ zu bestimmen, wenn a13 und a3i festgelegt sind. wir kehren zu Fig. 44 zurück und betrachten die Umprojektion von P. Denken wir uns die einzelnen Ebenen zurückgedreht, wie S. 72 angedeutet wurde, so wollen wir die Horizontal-

Projektion F, des im Raum liegend gedachten Punktes P₄ auf TT, konstruieren. P₄P₃₄ wird im Raum || TT, liegen und zwar um die Entfernung des Punktes P₃₄ von a,₃ Über TT₁. Fällen wir in Fig. 46 von P₃₄ auf a₁₃ das Lot (Fußpunkt F1S), so muß F, auf diesem Lote liegen und zwar ebensoweit von a₁₃ wie P,, so daß P₁F₁1| a,₃ ist. Die Vertikalprojektion des im Raum liegenden Punktes P₄ auf TT, liegt dann auf dem Rchsenlot durch F, zu a, ₂ und zwar um P₃₄F,₃ von a₁₂ entfernt. P₄F₄ und P₂F2 sind die Projektionsrichtungen r₄ und r₂ in Grund- und Rufriß. Man stelle sich von dieser Konstruktion nach den Betrachtungen von S. 71 f. vielleicht aus einer Postkarte ein Modell her. Die Fig. 46 wurde gleich in Form einer Postkarte gezeichnet, wo die eine Ecke (die rechte untere) den Punkt P₄ darstellen soll. Man lasse den Teil der Kartenebene zwischen a₁₂ und a₁₃ in der horizontalen liegen und richte zunächst TT₂ hoch, dann TTS und drehe schließlich TT4 um a₃₄.

es

Pu

$ig. 46.

Durch die Projektionsstrahlen in der Richtung PF ist aber auch die Richtung der Spurgeraden von TT₄ in TT, und TT₂ festgelegt. F,F13 ist eine erste Spurparallele. Die horizontalspur s' muß ± a₁₃ liegen und die vertikalspur s" ± P₂F₂; s' fällt in der Figur außerhalb der Karte. Die Spuren einer zu TT₄ parallelen Ebene sind in Fig. 46 eingezeichnet.

llmprojizieren auf eine gegebene Ebene. Ruch die umgekehrte Rufgabe zu [150] ist möglich, [151] durch Umprojizieren ein räumliches Gebilde auf eine durch ihre Spuren s' und s" gegebene Ebene zu projizieren. a₁₃ kann man ohne weiteres ± s' legen; es gilt somit nur a₃₄ zu finden, wir greifen einen beliebigen Punkt P(P,P₂) heraus , ziehen durch ihn eine Gerade r senkrecht zur gegebenen Ebene, also r₄ -L s' und r₂ ± s", greifen darauf einen beliebigen Punkt F(F, F₂) heraus und projizieren dies alles zunächst einmal hinein in TT₃. F₃ ist dann aber zugleich das frühere P₃₄ in Fig. 46, und durch P₃ geht ± P₃P₃₄ die gesuchte Rchse. Damit ist das Umprojizieren ermöglicht, hervorgehoben sei noch, daß man die Projektion eines räumlichen Gebildes auf eine durch ihre Spuren gegebene Ebene auch nach [143] finden kann, daß man von jedem Punkt auf die Ebene das Lot fällt und den Fußpunkt bestimmt. Das ist natürlich für viele Punkte zu umständlich, außerdem würde man dann auch erst nur die horizontal-und Vertikalprojektion von der gesuchten Projektion erhalten, die man dann in wahrer Größe noch besonders zu konstruieren hätte; das Um-projizieren liefert sie sofort. Man löse folgende Aufgabe mit Hilfe des Umprojizierens:

[152] (Eilt Dreieck ABC ist durch Grund- und Aufriß gegeben; gesucht wird seine senkrechte Projektion auf einer durch ihre Spuren s' und s" gegebenen Ebene.

11. Schiefwinklige Parallelprojektion, Axonometrie.

Erklärung und Darstellung eines hausähnlichen Gebildes, wir kommen hier zu Betrachtungen, die wir schon früher S. 45 f. anstellten; diese wollen wir hier ergänzen. Der letzte Paragraph ließ erkennen, daß ebenflächige Körper, die in der Hauptsache nach zwei oder gar drei aufeinander senkrechten Richtungen orientiert sind — wie Ouader, Häuser u. dgl. — im Grund- und Aufrißverfahren erst dann günstige Darstellungen ergeben, wenn sie beliebig zu den Projektionsebenen liegen. Die einfachen Lagen solcher Körper zu 17, und TTS lassen sich leicht zeichnen, dagegen etwas umständlich daraus beliebige Lagen, die aber wieder den Vorteil haben, günstigere Ansichten zu gewähren, hier greift die bereits S. 45 gestreifte schiefe parallel. Projektion, die Axonometrie, helfend ein. wir haben damals gesagt, daß ein Gegenstand leicht in schiefe Parallelprojektion gesetzt werden kann, wenn man die Abstände seiner markanten Punkte von drei aufeinander senkrechten Ebenen kennt. Schalten wir also eine zu TT, und 77z senkrechte Ebene T7₃ ein, eine Seitenrißebene, so können wir jene drei Abstände leicht abgreifen (vgl. Zig. 47). wir konnten früher auf diese Darstellung eines Körpers in schiefer Parallelprojektton nicht eingehen, weil wir das Grund- und Aufrißverfahren noch nicht erläutert hatten.

wir denken uns drei aufeinander senkrechte Ebenen TT₁₍ T7₂, ff₃, die sich in drei Achsen, der X-, Y-, Z=fld)fc schneiden. Denken wir uns ferner 77, und 77₂ wie früher im Raum gelegen, so beschränken wir uns auf den vorderen oberen, rechten Oktanten, in dem allein die darzustellenden Objekte sich befinden mögen. Den Scheitel dieser dreiseitigen, rechtwinkligen Ecke — deren Kanten ein dreiseittges recht-winkliges Achsenkreuz bilden — nennen wir 0. Jeder Punkt P im

Raum dieser Ecke ist dann bestimmt, wenn man seine (Entfernungen x,y,z von den drei Ebenen TT₁, fs₃, TT₈ kennt. Wir bezeichnen die drei Rchfen derart, daß sich TT₁ und ss₂ in der X-Rchse, TT, und TT₃ in der l^-Rchse und fs₃ und TTg in der ^-Rchse schneiden, von 0 aus gelangen wir zu P, wenn wir auf der X-Rchse um x fortschreiten, von da parallel zur l^-Rchse um y und von da wieder parallel zur ^-Rchse um z.

Ruf den drei Rchfen denken wir uns ferner die drei Einheitspunkte Ex, Ey, Ez markiert, so daß 0EX — 0Ey — 0EZ = 1 ist. Rach dem Pohlkeschen Satz (S. 45) kann jedes ebene Viereck angesehen werden als ähnlich zu einer schiefen Parallelprojektion des Tetraeders OExEyEz, wobei wir weder im Viereck noch im Tetraeder alle Verbindungslinien der Lcken ausziehen, sondern nur die, welche auf den Rchfen liegen, haben wir also irgendein ebenes Viereck 0'ExEyEz, so geben die Strecken 0'EX, O'Ey oder O Ez die Veränderungen der Einheitsstrecke e an, wenn sie parallel zur X-Rchse, X-Rchse oder 2-Rchse liegt. Die Veränderung ^irgendeiner anderen zur X-Rchfe parallelen Strecke s ergibt sich dann leicht aus der Proportion s:s'x = e:ex; für die anderen Rchfen ist es analog.    >

Beim praktischen Zeichnen wird es sich bei diesen Veränderungen nur um Verkürzungen handeln, denn wir haben früher empfohlen, nur solche pohlkesche Vierecke zugrunde zu legen, die zu günstigen Bildern führen. Da man aber irgendeine Strecke im Raum nie größer sehen kann als sie selbst ist, empfiehlt es sich, die obigen Veränderungen der Einheitsstrecken durch die Parallelprojektion nur Verkürzungen fein zu lassen (höchstens 1:1).

hat nun ein Punkt P von den drei Ebenen TT₃, TT₂, TT, entsprechend die Rbstände (Koorbinoten) x,y,z, so können wir auf dem oben angedeuteten Weg in drei Schritten von 0 nach P kommen, deren jeder einer Rchse parallel ist, und die gleich x,y, z sind. Mit Hilfe der obigen Proportionen können wir die Verkürzungen x, y, z finden und dann damit in der Parallelprojektion des Rchfenkreuzes die entsprechenden drei Schritte parallel zu den Rchfen O'X', O'T, Ö Z' wiederholen, die jetzt natürlich alle in einer Ebene liegen. Der Endpunkt P ist dann die Parallelprojektion des Punktes P.

Wir wählen jetzt den einfachen Fall:

O Ex: O'Ey: 0'EZ = 1: y: I

und <$.X'0'Z' = 90°, <X'0'Y' = Y'O'Z' = 135°.

Dann werden die beiden folgenden Figuren 47 und 48 von selbst verständlich sein.

/\

Der Anblick des Hauses in Fig. 48 erscheint von vorn und etwas von oben. Dieser Eindruck wird noch verstärkt, wenn die X-Achse auch etwas nach unten geneigt wird, wie die Fig. 49 zeigt, wo wir das Verhältnis !:-§:! wählten.

V⁷

Izx

Zig. 47.

xuA/

l zT —J

J/"

$iQ. 48.

Zig. 49.

Dagegen erscheint dar Haus von einem nicht so hoch gelegenen Punkt betrachtet, wenn die X-Kchfe wieder horizontal ist und die ^-Achse

?/

<1

/z

?!

il

--Orr:

Zig. 50.

Zig. 51.

Zig. 52.

einen kleineren Winkel mit der verlängerten X-Achse bildet, vgl. Zig. 50, wo bas Verkürzungsverhältnis 1: -: 1 gewählt wurde.

Dann mag noch ein Beispiel gegeben werden, das im besonderen der rechtwinkligen Axonometrie angehört; die drei Achsen sind in Zig. 51 alle unter 120° geneigt, unb das Verhältnis ist 1:1 :1, also derselbe $all wie in Zig. 17.

3um Schluß in Zig.52 noch eine beliebige Parallelprojektion (1 wieder desselben Gebildes, die andeutet, wie ungünstig ein solches

Bild wirken kann, wenn man alles willkürlich festsetzt. Durch probieren versuche man da die Richtung der Projektionsstrahlen im Raum festzustellen; in jener Richtung wird dann das Bild günstig wirken.

12. Ebene Schnitte.

Prismenschnitte, hier knüpfen wir an die Betrachtungen in Nr. 2 an. Die dort gelösten Ausgaben können wir ohne weiteres mit Hilfe des Iweitafelverfahrens lösen, ohne daß es nötig wäre, näher darauf einzugehen, zumal in [136] solche ebenen Figuren schon betrachtet wurden. Wir besprechen nur solche Fälle, bei denen das Zweitafelverfahren besonders ein*

A'

Lig. 53.

fache Ronstruktionsmöglichkeiten bietet.

[153] (Ein schiefes vierseitiges Prisma, das mit der Grundfläche in 77t liegt, soll durch eine (Ebene senkrecht zu den Zeitenkanten geschnitten werden; gesucht wird also der (Querschnitt.

Wir projizieren unser Prisma auf eine zu den Prismenkanten parallele und zu TTi senkrechte hilfsebene TT₃. Dann legen wir die Schnittebene so, daß s" die Prismenkanten rechtwinklig schneidet und s senkrecht zur Hilfsachse a₁₃ steht. Das Stück von s"zwischen den beiden äußeren Prismenkanten in der dritten Projektion ist zugleich die dritte Projektion der Schnittfigur. Um diese selbst zu erhalten, drehen wir die Schnittebene um eine durch einen Punkt P der einen Prismenkante H s' gehende Gerade parallel zu TTV Die Projektionen der Eckpunkte der Schnittfigur wandern dann in 7H auf den ersten Projektionen der Prismenkanten, während die dritten Projektionen auf Kreistagen um PB wandern, bis sie in eine zu <z₁₃ parallele Lage kommen. Das umgelegte Schnittviereck ist dann leicht zu konstruieren (vgl. Fig. 53); es stellt die wahre Größe des gesuchten ebenen Schnittes dar. wollte man noch Grund- und Rufriß der Schnittfigur haben, so müßte man die Schnittpunkte von s” mit den dritten Projektionen der Prismenkanten nach der ersten Projektion (JL ax 3) herüberloten und von da herauf (± al3) nach der ersten Projektion.

Denkt man sich das Prisma || 7H abgeschnitten, so könnte man noch die Rufgabe lösen [154], die Abwicklung des Prismas (Retz) zu ton» 12. Ebene Schnitte

79

Xi

situieren. Da hat man zu bedenken, daß TT₃ die wahren Längen der Seitenkanten enthält, während die Grundfläche schon die wahre Größe darbietet. Bet der Abwicklung geht die Schnittfigur in eine Gerade über, die dann senkrecht zu den Seitenkanten steht. Ganz ähnlich wird folgende Aufgabe gelöst: [155] INan wickle einen schiefen Kreiszylin-der ab. Die Abwicklung der Schnittellipse geschehe dadurch, daß man kleine Bogenstrecken gleich der Sehne setzt.

$\Q. 54.

[156] Gin schiefes Prisma, das mit der Grundfläche in TT, liegt, soll mit einer beliebigen Ebene (s', s") zum Schnitt gebracht werden. Die Nächstliegende Lösung wäre, daß man . ,, v jede Kante einzeln mit der Ebene zum Schnitt Jpe&s brächte. Wir wollen anders vorgehen. Durch jede Kante legen wir eine Ebene parallel zu s"; alle diese Ebenen haben dann horizontalspuren, die zueinander parallel sind, und deren Richtung ft' man leicht feststellen kann (vgl. die kleine Figur im Innern von Zig.54, an deren Seiten steht: ||ft,, ||ft₂, ||s"; die strichpunktierte Linie int Innern ist ft'). Nehmen wir jetzt an, Ä sei der Schnittpunkt der Prismenkante durch die Ecke A der Grundfläche mit der Schnittebene, so möge durch AA' eine solche hilfsebene |js" gelegt sein. Dann kann man von A' in der hilssebene ||s" heruntergehen bis zum Schnittpunkt S mit s. In der Projektion auf TT, geschieht das parallel zur Achse durchs', bis S. Gehen wir dann von S längs der horizontalspur ft' in der hilssebene weiter, so kommen wir zu A und schließlich längs der Prismenkante zurück zu A' (in der Projektion zu Aj). Das gibt uns folgende Konstruktion von Aj. Klan geht von A parallel der konstruierten Hilfsrichtung ft' bis zum Schnittpunkt S mit s' und von da parallel zurAchse bis zum Schnitt Aj mit der Projektion der Prismenkante durch A; das ist der gesuchte Schnittpunkt. Auf diese Weise kann man schnell durch bloßes Parallelenziehen den Grundriß der Schnittsigur ermitteln. Den Aufriß der Schnittsigur findet man entweder durch direktes heraufgehen längs der Achsenlote oder durch [134].

Kontrolle: Legt man durch einen Eckpunkt der Schnittfigur eine erste Hauptlinie in der Schnittebene, so müssen sich deren Projektionen auf der Affinitätsachse a,aa schneiden.

Zylinderschnitte. [157] Ein schiefer Kreiszylinder soll mit einer Ebene zum Schnitt gebracht werden. Titan könnte ebenso wie in [155]

verfahren und Punkt für Punkt der Schnittellipse konstruieren. Schneller kommt man zum Ziel, wenn man dem Grundkreis ein Quadrat umbe« schreibt, von dem zwei Seiten der Projektionsachse parallel laufen, und durch die Lcken parallelen zu den Zylindererzeugenden legt. Dann hat man dem Zylinder ein schiefes quadratisches Prisma umbeschrieben, dessen Schnittfigur mit der schneidenden Ebene nach [156] leicht aufzufinden ist; es ist ein Parallelogramm, in das man eine Ellipse einzubeschreiben hat. 3n den Projektionen ist es ebenso. Besonders zu konstruieren hat man die Berührungspunkte dieser Ellipse mit dem scheinbaren Umriß des Zylinders, das sind die Erzeugenden, deren Horizontalprojektionen den Grundkreis berühren. Man konstruiert diesen Berührungspunkt als affinen Punkt zu dem entsprechenden Berührungspunkt derselben Erzeugenden mit dem Grundkreis, vgl. hierzu die Ausführungen S. 28.

Pyramidenschnitte. [158] Man soll eine Pyramide, die mit der Grundfläche in TT₁ liegt, durch eine Ebene E(s', s") schneiden, Grund-und Aufriß der Schnittfigur angeben und den entstandenen Pyramidenstumpf abwickeln. Um die Schnittfigur zu ermitteln, wäre es das Nächstliegende, jede Kante einzeln mit E zum Schnitt zu bringen, aber besser führt folgende Konstruktion zum Ziel. Durch die Spitze P der Pyramide legt man eine parallele zu s", die die horizontalebene in P' schneidet. P' kann dann auch als die ||s" in TT, projizierte Pyramidenspitze angesehen werden. Nun legt man durch jede einzelne Pyramidenkante eine hilfsebene || s", deren Spuren sich alle in P' schneiden. 3n jeder solcher hilfsebene vergegenwärtigen wir uns wieder ein analoges Dreieck wie in [156], A sei eine Ecke der Grundfläche, Ä der Punkt der Schnittfigur auf der Prismenkante durch A und S der Schnittpunkt der Spur der hilfsebene durch AA' mit s. Die Punkte S entsprechend allen Eckpunkten der Grundfläche sind sofort angebbar, folglich auch wieder die Parallelen durch diese Punkte S zur Achse, so daß die Punkte Ä auch alle genau wie in [156] einfach zu konstruieren sind. Für die Ermittelung des Aufrisses gilt dasselbe wie am Schluß von [156].

Noch ein Wort zur Ermittelung des Netzes vom Pyramidenstumpf! Man wickelt zunächst die ganze Pyramide ab, bestimmt also zuerst die wahren Seitenlängen der Kanten (durch Drehung der rechtwinkligen Dreiecke bestehend aus der Pyramidenhähe und der betreffenden Seitenkante um die höhe in eine zu TTä parallele Lage). Zugleich mit dieser Drehung läßt man auch die Eckpunkte der Schnittfigur mitwandern, so daß man auch sofort die wahren Längen der Kanten der Pyramidenstumpfes hat. Dann kann man in die Abwicklung der ganzen Pyramide die der Schnittfigur hineinzeichnen. (Es wird sich empfehlen, diese Feststellung der wahren Seitenlängen besonders zu zeichnen, etwa derart, daß man sich Grund- und Aufriß der Pyramide noch einmal links neben der Zig. 55, also parallel der Achse verschoben, zeichnet und da jene Drehungen zur Ermittelung der wahren Längen ausführt.

P,

Sa₁ ä₃

y-y^ö-p

5lg. 55.

Kegelschnitte. Wegen der ebenen Schnitte von beliebigen Kreiskegeln (Grundfläche in ff) verweisen wir auf die Ausführungen S. 26f.; die Lösungsmethode ist dieselbe wie für die Pyramiden. Man führe [158 a, b, c] die drei Fälle: Ellipse, Parabel, Hyperbel mit Hilfe von Grund- und Aufriß durch. Aus andere weise kommt man zum Siel, wenn man hilfsebenen parallel zu fT₁ legt.

13. Durchdringungen und Schatten.

SchnittevonGeradenmitRörpern. Einfache Durchdringungen (also Schnitte) von Geraden mit ebenen Stücken (Dreiecken usw.) haben wir schon S. 60 f. besprochen. Damit wären eigentlich auch schon die Durchdringungen von Geraden mit ebenflächigen Körpern erledigt, wenn man feststellen konnte, welche Seitenflächen von der Geraden getroffen werden. (Es werden offenbar solche Seitenflächen durchschnitten, bei denen der Schnittpunkt der Geraden mit der betreffenden Ebene innerhalb der Seitenfläche liegt; das zu ermitteln ist natürlich nicht schwer, wenn auch manchmal umständlich.¹) wir wenden uns hier nur den Körpern zu, wo diese (Ermittelung besonders einfach ist, den Prismen und Pyramiden, und lösen folgende Aufgaben:

MM

i/ilg,

fr v

llX

"A

% O

56.

[159] Gesucht werden die Durchdringungspunkte einer Geraden mit einem Prisma, dessen Grundfläche , llfc/jXiij, in TTj liegt. Der Grundgedanke der x Konstruktion ist folgender. Klan legt durch die schneidende Gerade g eine Ebene parallel mit den Prismenkanten und bestimmt ihre horizontal-spur s. Durch die beiden Schnittpunkte A' und A" von s mit den Seitenkanten in der Grundfläche legt man in den Seitenflächen parallelen zu den Prismenkanten, das sind zugleich die Schnittgeraden der hilfsebene mit dem Prisma. Die gesuchten Schnittpunkte liegen einmal auf diesen Schnittgeraden durch A' und A", dann aber auf g selbst, so daß also die Horizontalprojektionen der gesuchten Durchdringungspunkte damit gefunden sind. Klan denkt sich das im Innern des Körpers liegende Stück von g gar nicht vorhanden und zieht dementsprechend dieses Stück auch nicht aus (Zig. 56). Trifft die horizontalspur der hilfsebene die Seitengrundfläche nicht selbst, so schneidet g das Prisma gar nicht.

[160]    Klan soll den Lin- und Austrittspunkt einer Geraden mit einer Pyramide bestimmen. Die Lösung ist ähnlich wie bei [159]. Klan legt die hilfsebene durch g und durch die Spitze der Pyramide; um die horizontalspur s dieser hilfsebene zu ermitteln, legt man noch eine Gerade gr'||gr durch die Pyramidenspitze und bestimmt sowohl den Horizontalspurpunkt H von g wie H' von g'. HH'=s bringt man zum Schnitt mit den Seiten der Pyramidengrundfläche in A' und A", legt durch A' und A" die Geraden nach der Spitze und bringt diese Geraden zum Schnitt mit g.

[161]    Die Durchdringungspunkte einer Geraden g mit einem Zylinder sollen ermittelt werden, vgl. [159].

[162]    Die entsprechende Aufgabe für einen Kegel wird nach [160] gelöst und ist in Zig. 57 dargestellt. Zur Erklärung dieser Figur sei auf [160] verwiesen.

[163]    Klan soll die Durchdringungspunkte einer Geraden g mit

einer Kugel bestimmen. Denkt man sich durch g _L TTj eine t)ilf$ebene E gelegt und diese mit der Kugel zum Schnitt gebracht, so kann man diese hilft ebene mit dem Schnittkreis und der Geraden g in TT1 umlegen da die Schnittpunkte konstruieren ($ig. 58).

t-

<h

J) 2

und

gl\

-v

FT

£Iq. 57.

5kg. 58.

Durchdringungen von Körpern. [164] Um die Durchdringung eines Prismas mit einem beliebigen ebenflächigen Körper zu erhalten, empfiehlt es sich die schon S. 81 in der Anmerkung gegebene Methode anzuwenden, nämlich die ganze räumliche Figur auf eine (Ebene senkrecht zu den Prismenkanten zu projizieren,- damit hat man bann in der vierten Projektion schon alles Gewünschte und man hat nur zurückzuloten. Man lose hiernach:

[165]    Man soll durch ein Dodekaeder ein quadratisches prismatisches Loch bohren.

Bei bey Durchdringungen von Körpern hat man zu unterscheiden zwischen wirklichen Durchdringungen, wobei zwei Durchdringungs-linienzüge vorhanden sind, und Einbringungen, wobei nur ein Linienzug vorhanden ist.

Besonders einfache Methoden ergeben sich wieder, wenn man Prismen und Pyramiden hat, deren Grundflächen in TT₁ liegen.

[166]    Zwei Prismen mit den Grundflächen in TT₁ sollen zum Schnitt gebracht werden. Man bestimmt zunächst die horizontalspur einer Ebene, die sowohl zu den Kanten des einen wie zu den Kanten des anderen Prismas parallel ist. Dann legt man zu dieser hilfs-ebene parallele Ebenen und bringt sie mit den Prismen zum Schnitt, von den dabei entstandenen Geraden sind die Schnittpunkte festzustellen, die dann Punkte der gefuchten Durchdringungsfigur find. Es genügt natürlich, die Durchstichspunkte der Kanten des einen Prismas mit dem anderen Prisma zu ermitteln und umgekehrt, von Wichtigkeit ist bei diesen Aufgaben die Bestimmung der Sichtbarkeit und

Unsichtbarkeit des Durchdringungslinienzugs. Darauf ist besonderes Augenmerk zu richten. Sichtbar sind nur solche Strecken der Durch-dringungsfigur, die als Schnitte zweier sichtbarer Flächen entstanden sind. Analog wird auch folgende Ausgabe gelöst:

[167]    (Es soll die Durchdringung zweier Pyramiden ermittelt werden, deren Grundflächen in liegen. Hier legen wir Hilfsebenen durch die beiden Pyramidenspitzen, also ein Ebenenbüschel. Die Spuren aller dieser Ebenen schneiden sich im Horizontalspurpunkt der Verbindungslinie der Pyramidenspitzen. Man hat also nur die nötigen Geraden in TTX durch jenen Spurhilfspunkt zu betrachten, sie mit beiden Grundflächen zum Schnitt zu bringen und in den Seitenflächen die Geraden jener Schnittpunkte nach den Spitzen zu ziehen; ihre Schnittpunkte sind Punkte der Durchdringungsfigur. Man wird auch hier nur wieder die vurchdringungspunkte der Kanten jedesmal mit der anderen Pyramide bestimmen.

[168]    Liegen dagegen ein Prisma und eine Pyramide vor, deren Grundflächen in TT₁ liegen, so wird man Hilfsebenen legen, die sich alle in einer Geraden schneiden, die durch die Pyramidenspitze geht und zu den Prismenkanten parallel ist.

Mie schon erwähnt wurde, bieten die Durchdringungen von ebenflächigen Körpern im Grunde genommen keine Schwierigkeiten, da die nötigen Einzelkonstruktionen alle behandelt sind. Die Schwierigkeit beginnt erst, wenn man die gefundenen Durchdringungspunkte richtig verbinden will, um den Durchdringungslinienzug darzustellen. Um dies deutlich erkennen zu lassen, bringen wir [169] ein vierseitiges gerades Prisma mit der Grundfläche in TT, zum Schnitt mit einer beliebig im Raum liegenden dreiseitigen Pyramide (Fig. 59), und zwar nicht nach der Methode der Hilfsebenen, denn dann müßten wir erst die schneidenden Kanten der Pyramide mit TT, zum Schnitt bringen, sondern nach der S. 61 erwähnten direkten Methode. Die Schnittpunkte der Pyramidenkanten mit den Prismenseitenflächen sind direkt aus dem Grundriß zu entnehmen und in den Aufriß nach den Pyramidenkanten heraufzuloten. So wurden die Punkte F', F₂", Gl, G” auf den Kanten P,F₃ und P₃G₂ gefunden. Daß die Kante PE das Prisma gar nicht schneidet, geht aus dem Grundriß hervor. (Es handelt sich nun noch um die Durchdringungspunkte der Prismenkanten mit den Pyramidenflächen. Zu diesem Zweck legen wir je eine beliebige Hilfsebene ± TT, durch die schneidenden Prismenkanten, die als solche ebenfalls sofort aus dem Grundriß erkennbar sind, lvir bezeichnen im folgenden die Prismenkanten nur durch ihre oberen Endpunkte A, B, C, D. Die hilfs-ebene durch die Kante C schneide die Pyramidenkanten PG und PE in den beiden Punkten X' und X", deren Grundrisse sofort angebbar sind, und deren Auf- f, risse durch heraufloten gefun-den werden. Der Schnittpunkt ^ '

A₂    Do

C\

Ff.

S

‘ W;

'"jo,

x:

ix.

Lg:

X,/„

x"

E,

S lg. 59.

C₂ von X₂X₂ mit der pris-menkante C₃ ist bereits der eine Durchdringungspunkt der Kante C mit der Pyramidenfläche PEG im Aufriß. Durch Herauf-loten des Schnittpunktes X," der hilfsebene mit der Pyramidenkante PF im Grundriß bekommt man auf P₂F₂ den Punkt X₂ , und der Schnittpunkt Cä' von X'₂X₂ mit der Prismenkante C₂ ist der zweite Durchdringungspunkt der Kante C mit der Pyramide. Ebenso wurden noch die Punkte D'₂ und D" gefunden. Nun gilt es, die richtigen Verbindungsstrecken zu ziehen. Jeder Durchdringungspunkt ist der Schnittpunkt dreier Ebenen. Geht man von einem solchen Punkt, z. B. von F₂, aus auf dem zu konstruierenden Durchdringungslinienzug vorwärts, so verläßt man eine der drei Ebenen und bewegt sich auf der Schnittgeraden der beiden anderen weiter bis zum nächsten Eckpunkt des Schnittvielecks (das natürlich kein ebenes ist). Man legt sich am besten ein Verzeichnis aller konstruierten Durchdringungspunkte an und schreibt zu jedem die drei Ebenen, in denen dieser Punkt liegt. Dann ist es ganz klar, daß der nächste Punkt beim Entlangwandern auf dem Durchdringungsvieleck derjenige ist, der auch noch in den beiden Ebenen liegt, in deren Schnittgeraden man sich eben befand, lvir gingen oben von Fr aus und wollen annehmen, daß wir die Pyramidenfläche PFG (wir lassen

in Zukunft P weg) verlassen und auf der Lchnittgeraden der beiden Ebenen LR und CD weiterwandern Unter allen Punkten des Durchdringungsvielecks kann nur der in Betracht kommen, der außer auf einer dritten Fläche auch noch auf EF und CD liegt, das ist aber/)', von hier aus gehen wir auf einer der drei in D' sich treffenden Schnittgeraden der drei durch D' gehenden Ebenen weiter, natürlich nicht längs derjenigen, auf der wir eben gekommen find, auch nicht auf der, die eine Prismenkante ist, also auf der dritten d. h. auf der, die durch die beiden Ebenen AD und EF gebildet wird. In dieser weise findet man stets den nächsten Punkt, bis man wieder zum Ausgangspunkt zurückkommt. Um in der Zusammenstellung der Punkte gleich zu wissen, ob zwei Ebenen der drei durch jeden Punkt zu einer Prismen- oder Pyramidenkante führen, auf der man ja nicht weitergehen darf, schreiben wir sie geordnet in einem Schema auf, wie es im folgenden geschehen ist:

Pyramide

Prisma

Punkt-

reihenfolge

bboooobb

EF, FG

EF,    FG

EG,    GF EG, GF

FG

CD

AD

CB

AD

msi

DC, CB DC, CB AD, DC AD, DC

Ü1 W O' CO ^ N) w

Auf der Schnittgeraden zweier Ebenen in derselben Rubrik darf man nicht weitergehen, ebensowenig auf der von zwei unterstrichenen — das sollen die Ebenen sein, auf deren Schnittgeraden man an» gekommen ist. wenn wir also oben von F' aus auf der Schnittgeraden von CD und EF weitergehen, so müssen wir auf der von CD und FG angekommen fein; daher wurden im Schema diese unterstrichen. Derjenige Punkt im Schema, der auch noch CD und EF ausweist, ist D', daher wurden diese bei D' unterstrichen. EF und AD bezeichnen dann die Ebenen, auf denen wir weitergehen müssen, sie kommen wieder bei F" vor (also ist dies der nächste Punkt) und müssen dort unterstrichen werden, stuf der Schnittgeraden von FG und AD geht es weiter, diese (Ebenen treten bei G " auf, also wurden sie unterstrichen. Nun geht es aus EG und AD weiter, also zum Punkt D", wo sie unterstrichen werden. Weiter wandern wir auf EG und DC und kommen zu C", von da zu G', C und zurück zu F'.

Diese Methode hat den Vorteil, daß sie selbsttätig Fehler korrigiert; denn ungenaues Zeichnen kann sehr wohl mal eine Durchdringung vortäuschen, wo vielleicht die Kante nur sehr nahe vorbeigeht; da würden die fälschlich konstruierten Punkte von unserer Methode gar nicht berührt werden. Wegen Sichtbarkeit und Unsichtbarkeit des Durchdringungsvielecks verweisen wir auf die obigen Bemerkungen §. 84.

[170] Man führe die entsprechende Aufgabe für zwei Pyramiden durch, achte aber darauf, daß deren Grundflächen wirklich ebene Figuren sind.

Die Aufgaben [166] bis [168] führen ohne weiteres zu den Durchdringungen von Zylindern und Kegeln, deren Grundflächen in 77^ liegen: [171] Man soll bestimmen die Durchdringung zweier Zylinder, [172] zweier Kegel und [173] eines Zylinders mit einem Kegel.

8u [171] ist zu bemerken, daß man gut tun wird, die Richtung der Aufrißerzeugenden so zu wählen, daß die Horizontalspurrichtung der hilfsebenen parallel der Achse gehe. Natürlich hat man nur solche horizontalspuren zu ziehen, die beide Grundflächen schneiden. Die Umrißpunkte sind besonders sorgfältig zu konstruieren. Die Sichtbarkeit regelt sich danach, ob eine sichtbare (Erzeugende mit einer ebensolchen zum Schnitt gebracht wurde; alle anderen Erzeugenden bringen einen unsichtbaren Durchdringungspunkt hervor, hervorzuheben ist noch, daß der Fall eintreten kann, wo eine der beiden äußersten horizontalspuren gemeinsame Tangente an beide Grundkreise ist. In diesem Fall schneidet sich die Durchdringungskurve selbst; man sagt, sie hat einen Doppelpunkt. Die beiden Zylinder oder Kegel haben dann eine gemeinschaftliche Tangentialebene.

Die angegebene Methode hat den Vorteil, daß sie auch zur Anwendung kommen kann, wenn die Grundflächen keine Kreise sind, sondern beliebige Kurven. Sind es aber Kreise oder liegen solche krumme Flächen vor, die von allen Ebenen || TTj in Kreisen geschnitten werden, so kann man die Durchdringungspunkte auch als Schnittpunkte jener Kreise finden, z. B. bei Rotationsflächen, deren Achsen

JL TT₁ sind, als solche Fläche kann auch die Kugel aufgefaßt werden, und man kann hiernach folgende aufgaben lösen.

[174] und [175] (Eine Kugel ist mit einem schiefen Kreiszylinder oder mit einem schiefen Kreiskegel zum Schnitt zu bringen.

[176] Lin Rotationskörper, dessen achse ± TT,, soll mit einer Kugel zum Schnitt gebracht werden.

[177 a u. b] Lin Rotationskörper soll einmal parallel und einmal senkrecht zur Rchse zylindrisch durchbohrt werden.

Rotationsflächen. Die allgemeine Behandlung dieser Flächen müssen wir uns leider wegen Raummangel versagen; hier mögen nur einige kurze Bemerkungen folgen, alle Ebenen senkrecht zur Rotationsachse schneiden solche Körper in Kreisen, die man Breitenoder Parallelkreise nennt, Ebenen durch die Rotationsachse schneiden diese Körper in kongruenten Rleridiankurven. Für gewöhnlich wählt man eine Darstellung derart, daß die Rotationsachse senkrecht zu TT, steht; dann bezeichnet man den Meridianschnitt || TT₂ als Hauptmeridian. Zu einem Punkt der Oberfläche in der Horizontalprojektion können mehrere Punkte in der Vertikalprojektion gehören, dagegen zu einem Punkt in der Vertikalprojektion zwei Punkte in der Horizontalprojektion. Die Grundaufgaben über solche Rotationsflächen sind folgende:

[178]    3n einem Punkt P einer Rotationsfläche soll die Tangentialebene konstruiert werden. Man denkt sich den durch P gehenden parallelkreis und die zugehörige Meridiankurve gelegt. Die Tangentialebene in P ist dann bestimmt durch die Tangenten an diese Kurven in P. Die Tangente t' an den Breitenkreis durch P ist im Rufriß parallel zur Rchse, während sie im Grundriß als Tangente direkt konstruiert werden kann. Die Tangente t" an die Meridiankurve ist im Grundriß dadurch bestimmt, daß sie durch die in TT, als Punkt erscheinende Rotationsachse verlaufen muß; für die Konstruktion von

ist zu bemerken, daß die Tangenten in sämtlichen Punkten eines Breitenkreises an die Meridiankurven einen Kreiskegel bilden, dessen Spitze auf der Rotationsachse liegt und daß diese Spitze gefunden werden kann durch die Tangente an den Hauptmeridian, t' und t" sind für die Tangentialebene Haupt- und Fallgerade.

[179]    Ist der Rotationskörper im besonderen eine Kugel, so legt man einfacher durch den gegebenen Punkt je eine Ebene || TT, und || TTS und bestimmt an die Schnittkreise die Tangenten t' und t", die

dann die Tangentialebene bestimmen. Im übrigen müssen die Spuren [Hauptlinien) der Tangentialebene an die Kugel senkrecht auf den Projektionen des Radius nach dem Berührungspunkt stehen.

(Eine weitere Grundaufgabe für Rotationsflächen wäre noch,

[180]    sie mit einer beliebigen Geraden g zum Schnitt zu bringen. Man legt durch g eine Hilfsebene ± TT₂, bestimmt die Schnittkurve und bringt diese mit g zum Schnitt. Im Rufriß fällt die Schnittkurve mit §2 zusammen: man braucht also nur die Punkte der Rotationsfläche im Grundriß zu bestimmen, die im Rufriß auf g₃ liegen. Der Schnitt von g, mit dieser so erhaltenen Hilfskurve gibt die Horizontalprojektion der gesuchten Durchdringungspunkte. (Eine dritte Grundaufgabe:

[181]    Klan soll die Schnittkurve einer beliebigen (Ebene E mit einer Rotationsfläche bestimmen. Entweder dreht man den Körper mit der Ebene E so, daß E ± TT₂, dann hat man die Rufgabe schon in [180] gelöst und muß nur zurückdrehen in die alte Lage: ober man bringt die einzelnen Hauptlinien erster Rrt mit den einzelnen Breitenkreisen zum Schnitt, die mit diesen Kreisen in einer Ebene liegen. Besonders sind da der höchste und tiefste Punkt der Schnittkurve genau zu bestimmen. Klan löse hiernach folgende Aufgabe:

[182]    Eine Kreisringfläche, deren Rotationsachse ± TT, ist, soll mit einer Ebene zum Schnitt gebracht werden.

Zu den Ausgaben über Durchdringungen mit Rotationsflächen haben wir dem oben bei [174] bis [177] Gesagten weiter nichts hinzuzusetzen, höchstens daß man in Fällen, wo sich die Achsen zweier solcher Körper schneiden, Hilfskugeln um den Schnittpunkt der Achsen verwendet.

vie Schattenausgaben. Soll der Schatten irgendeines Körpers auf TT, bestimmt werden, so denkt man sich den Körper undurchsichtig, so daß bei parallelem Licht ein Schattenprisma oder Schattenzqlinder, bei zentralem Licht eine Schattenpqramide oder ein Schattenkegel entsteht. Die Schnittfläche dieses Schattenraumes mit TT, stellt den [Schlag-] Schatten in TT, dar. Fällt ein Teil des Schattens auf TT₂, so hat man entsprechend den Schattenraum mit TT, zum Schnitt zu bringen. Hervorzuheben ist, daß dann der Schattenumriß in TT, die Projettionsachse in denselben beiden Punkten schneiden muß wie der Schattenumriß in TTj. Für Schattenkonstruktionen bei parallelem Licht wählt man für gewöhnlich Lichtstrahlen, deren Projektionen die Projettionsachse unter 45° schneiden. Wirst ein Körper (Schlag-)Schatten auf einen anderen Körper, so hat man die Durchdringung des Schattenraumes mit dem zweiten Körper zu bestimmen. Entsprechendes gilt natürlich auch, wenn irgendein Teil eines Gebildes Schatten auf andere Teile desselben Gebildes wirft, von den nicht beleuchteten Zlächen-teilen eines einzigen Körpers sagt man, datz sie im Eigenschatten liegen.

wegen all der in diesem letzten Paragraphen meist nur angedeuteten Ausgaben empfehlen wir eingehendere Studien in den unter 8) angeführten Lehrbüchern. Das war ja die Aufgabe dieses Bändchens, für diese größeren werke vorzubereiten.

Im Verlag von B. G. Teubner, Leipzig-Berlin ist erschienen:

Elemente

der darstellenden Geometrie von E. Prix

weil. Oberlehrer am Realgymnasium zu Annaberg

2 Teile. Mit Figuren im Text. gr. 8.

I. Teil. Darstellung von Raumgebilden durch orthogonale Projektionen, Mit Figuren im Text. [VII u. 72 S.]    1883.

Geh. M. 3.—, geb. M. 4.50

II. Teil. Schnitte von ebenen und krummen Flächen. Schiefwinklige und axonometrische Projektionen. Zentralprojektion. Mit Figuren im Text. [IV u. 120S.] 1883. Geh.M.5.—, geb.M. 6.50

Anhang.

Literaturangaben.

1. Albrecht Dürer, Underweysung der ITtefjung mit dem Zirkel und richtscheyt in Linien Ebnen un gantzen Lorporen, Nürnberg 1525 und 1538. — 2. (Z>. Ittonge, Geometrie descriptive, lecons donnäes aux ecoles normales, Paris 1798. 7. Hnfl. 1847. Deutsche Übersetzung von N. h a u ß n e r, Leipzig 1900, in Ostwalds Klassiker Nr.117. —3. P.Zühlke, Konstruktionen in begrenzter Ebene. Leipzig 1913, B. G. Teubner. Bö. 11 der mach.-Physik. Bibliothek von Lietzmann u. witting. — 4. N. Rothe, Darstellende Geometrie des Geländes. Leipzig 1913, B. G. Teubner. Bö. 14 der math.-phys. Bibi, von Lietzmann u. witting. — PH. Lötzbeyer, Grundlehren der darstellenden Geometrie des Geländes. Dresden 1918, Ehlermann. Beide Bücher behandeln auch die Grundaufgaben der kotierten Projektion. — 5. K. Doehlemann, projektive Geometrie in synthet. Behandlung. Sammlung Göschen Nr.72. — R. haußner, Darstellende Geometrie. II. Teil: Perspektive ebener Gebilde; Kegelschnitte. Sammlung Göschen Nr. 143. — Th. Reye, Die Geometrie der Lage. I. Abteilung. Leipzig, A. Kröner. — p. Schafheitlin, Synthetische Geometrie d. Kegelschnitte. Leipzig 1907, B. G. Teubner. — 6\ T. Schoy, Beiträge zur konstruktiven Lösung sphärisch-astronom. Aufgaben. Leipzig, B. G. Teubner.

—    6\ XD. Leick, Astronomische Ortsbestimmungen. Leipzig 1912, Quelle & Meyer. — 7. K. Doehlemann, Die Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen. Leipzig. B. G. Teubner. ARuG. Bd. 510. — 8. Allgemeine Werke über darstellende Geometrie: A. Schudeisky, projektionslehre. ANuG. Bö. 564; kann zum Vorstudium für unser Bändchen gewählt werden. — H. haußner, Darstellende Geometrie in drei Bändchen der Sammlung Göschen. Bd. 143ff. — IN. Grohmann, Elemente der darstell. Geometrie. Leipzig 1917. 84 Seiten; Ders., Darst. Geom. Leipzig 1915. 138 S. Beide Bändchen aus dem Teubnerschen Verlag bilden ein Ganzes und sind Studierenden der Technik sehr zu empfehlen. — I. hjelmslev, Darstellende Geometrie. Leipzig 1914, B. G. Teubner; 320 5.; für angehende INathematiker zu empfehlen. Ebenso: G. Loria, Vorlesungen über darst. Geometrie. Dtsch. v. Schütte u. Rohrbera. I. Bd.: Darstellungsmethoden. 11. Anwendungen a. ebenfläch. Gebilde, Kurven u. Flächen. III. Geschichte. Ist sehr theoretisch gehalten. — F. v. Dalwigk, Vorlesungen über darst. Geom. Leipzig 1911, B. G. Teubner. 1. Bd.: Die Methoden d. Parallelprojektion. II.: Perspektive, Zentralkollineation u. Photogrammetrie. — E. Müller, Lehrbuch der darst. Geom. für techn. Hochschulen. Leipzig 1918, B. G. Teubner; besonders für Bauingenieure. — Rohn u. Papperitz. Lehrbuch d. darst. Geom. Leipzig 1906, 1. Bd. Orthogonalproj. 2. Bö. Axonometrie, Perspektive, Beleuchtung. 3. Bd. Kegelschnitte, Fl. 2. Gr. usw.

—    G.Scheffers, Lehrb. d. darst. Geom. 2Böe. Berlin 1919, Z. Springer. Für Studierende jeder Art sehr zu empfehlen. — Für einzelne Fragen kommt der Artikel von E. Papperitz in Betracht in d. Enzyklopädie d. mathemat. Wissenschaften, Bö. III 1, heft 4. Leipzig 1910, B. G. Teubner.

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Die beiden Bändchen bilden ein Ganzes. Das erste kann auch zum Selbststudium der elementaren Teile der darstellenden Geometrie dienen; im zweiten werden zuerst die Darstellungsmethoden vollständig dargelegt, hierauf die Kurven und Flächen behandelt.

Darstellende Geometrie. Von Dr./. Hjebnslev, Prof. a.d.Techn. Hochsch. Kopenhagen. Mit 305 Abb. [IX u. 320 S.] 8. 1914. (Handb. der ang. Math. Bd. 2.) Geh. M. 15.—, geb..................M. 22.50.

„Von ganz hervorragendem mathematischen Wert ist die geradezu meisterhafte Behandlung der ebenen Kurven und der Raumkurven. Jeder, der das Buch zur Hand nimmt, wird Gewinn davon haben: der Student, der mathematische Forscher, der Mathematiklehrer — kurz, ein vortreffliches Buch."    (Zeitschr. f. d. math. u. naturw. Unterricht.)

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Einfacher kommt man zum Ziel, wenn man den Körper so utnpro« jiziert, daß man als Projektionsebene eine solche nimmt, die zur schneidenden Geraden senkrecht verläuft, dann gibt in der vierten Projektion die als Punkt erscheinende Schnittgerade zugleich den Vurchdringungs-punkt an.

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Der Begriff der Zahl in seiner logischen und Theorie und Praxis des logarithm. Rechenhistorischen Entwicklung. Von H. Wie- schiebers.VonA.Rohrberg.2.Aufl,(Bd.23.) leitner. 2., durchgcseh. Ausl. (Bd. 2.) Die Anfertigung mathemat. Modelle. (Für Ziffern und Ziffernsysteme. Von E.Löffler. Schüler mit«. Kl.) Von K. Oie bei. (Bd.16.) .VeSe,fb-,iun- &P?M d.er Karle and Kroki. Von H. Wolf!. (Bd.27.) MitklLr and in d⁽er Neazeii: (Bd 3™ D!e 5™"^**'"" Zeitreehnang. Von

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Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Aus- 2. Aull. (Bd. 18.) blick auf das Fermatsche Problem. Von Die Quadratur d. Kreises. VonE. Beatei. W. Lietzmann. 2. Ausl. (Bd. 3.)    2. Ausl. (Bd. 12.)

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Konstruktionen in begrenzter Ebene. Von Die Fallgesetze. Von H. E. Tim er ding. P.Zühlke. (Bd. 11.)    2. Ausl. (Bd.5.)

Nichteuklidische Geometrie ln der Kugel- lonemheorle. Von P. Bräu er. (Bd. 38.) ebene. Von W. Dicck. (Bd. 31.)    Das Relativitätsprinzip. Leichtfaßlich ent-

Einführung ln die Trigonometrie. Von A. wickelt von A. Angersbach. (Bd.39.) Witting (Bd. 43)    Drehtsich dteErde? VonW.Brunner. (17.)

Einführung!.d.Nomographie. V.P.Luckey. Theorie der Planetenbewegung. Von P. 1. Die Funktionsleiter. (28.) II. Die Zeichnung    Meth. (Bd. 8.)

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28X36 unter dem Titel OIIHlJCIje OH WvC Einzeldiatt je Hl. -.75 (Auch als »Kirchliche Gedenkblätter" und als »Glückwunsch- «. Einladungskarten' erhältlich.)

Karl Bauers Zeder,eichnunge«

Eharakterköpfe zur deutschen Geschichte. Mappe, 32 Bl. (28X36 cm) Hl. s.—

12 Bl. . .    ....................... Hl 2.—

Aus Deutschlands großer geit 1813. S« Mappe, 16 Bl. (28X36 cm) Hl. 2.50 Sichrer und Helden im Weltkrieg. Einzelne Blätter (28X36 cm) Hl —.30 2 Mappen, enthaltend je 12 Blätter, je . . .    ...... . Hl.).—

Katalog über künstlerischen Wandschmuck gegen Voreinsendung de» Betrage» (Höhe ist gegen Rückporto zu erfragen) oder gegen Hachnahme vom Verlag »n Leipzig, Poststraße3, erhältlich

Verlag von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin

Anfrage« ist Rückporto beizufügen

1-301549

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000296024