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BIBUOTEKA BLÖWNA

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N. Schmitt

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DI Aufgaben aus der jjjj j technischen Mechanik

I: Bewegungslehre, Statik und Festigkeitslehre

Zweite Auflage

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Die Sammlung

„Nus Natur und Geisteswelt"

nunmehr über 800 Bände umfassend, bietet wirkliche „Einführungen" in abgeschlossene Wissensgebiete für den Unterricht oder Selbstunterricht des Laien nach den heutigen methodischen Anforderungen und erfüllen so ein Bedürfnis, dem weder umfangreiche Enzyklopädien noch skizzenhafte Abrisse entsprechen können. Die Bände wollen jedem geistig Mündigen die Möglichkeit schaffen, sich ohne besondere Vorkenntniffe an sicherster Quelle, wie sie die Darstellung durch berufene Vertreter der Wissenschaft bietet, über jedes Gebiet der Wiffenfchaft, Kunst und Technik zu unterrichten. Sie wollen ihn dabei zugleich unmittelbar im Beruf fördern, den Gesichtskreis erweiternd, die Einsicht in die Bedingungen der Berufsarbeit vertiefend.

Die Sammlung bietet aber auch dem Fachmann eine rasche zuverlässige Übersicht über die sich heute von Tag zu Tag weitenden Gebiete des geistigen Lebens in weitestem Umsang und vermag so vor allem auch dem immer stärker werdenden Bedürfnis des Forschers zu dienen, sich aus den Aach bargebieten aus dem laufenden zu erhalten. 9n den Dienst dieser Aufgaben haben sich dämm auch in dankenswerter Weise von Anfang an die besten Aamen gestellt, gern die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden.

Seit Herbst )-25 ist eine Neuerung insofern eingetreten, als neben den Bänden im bisherigen Umfange solche in erweitertem, etwa anderthalbfachem zu 1 Vgfacbem preise ausgegeben werden, weil abgeschloffene Darstellungen größerer Gebiete auf beschränkterem Aaume heute schwer möglich sind. Diese Bände, die die Nummern von 100) ab tragen, erscheinen, um die Einheitlichkeit der Sammlung zu wahren, in der gleichen Ausstattung wie die übrigen Bände. Sie sind nur auf dem Nückentitel durch je ein Sternchen über und unter der Nummer besonders gekennzeichnet.

Alles in allem sind die schmucken, gehaltvollen Bände besonders geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürsniffe nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej de

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Leipzig, it

100000296023

X Teubner

El» »ollftösWgtt auch Wissenschaftsgebiete» geordnetes Verzeichnis versendet auf Wunsch »tt Verlag. Leipzig. Poffffraf?« 3/S

Bisher sind ) ur Physik und Chemie erschienen:

Physik: Einführung, Grundlagen und Geschichte.

Naturphilosophie. Von Prof. Dr. 9. M. Verwegen. 2. Nu fl. (Bd. 491.)

Die Grundbegriffe der modernen Naturlehre. Einführung in die Physik. Von Hofrat Prof. Dr. F. Auerbach. 5. Aufl. Mit 63 Figuren, (Bd. 40.)

Einleitung in die Experimentalphysik, Gleichgewicht und Bewegung. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. R. L 8rnstein. Mit 96 Abbildungen. (8b. 371.)

Einführung in die Nelativitätstheorie. Von Dr. W. Bloch. 3., verb. Auflage. Mit 18 Figuren. (Bd. 618.)

Naturwissenschaften, Mathematik und Medhln im klassischen Altertum. Von

Prof. Dr. Doh. L. Heiberg. 2. Aufl. Mit 2 Figuren« (Bd. 370.)

physikalisches Wörterbuch. Von Prof. Dr. G. Bern dt. (Teubners kl. Fachwörterbücher Bd. $.)

Mechanik.

Mechanik. Von Prof. Dr. G. Homel. 3 Bande. (Bd. 6S4/S6.) I. Grundbegriffe der Mechanik. Mlt 38 Fig. im Text. *11. Mechanik der festen Körper. *111. Mechanik der flüssigen und luftförmigen Körper.

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II. Dynamit und Hydraulik. 2. Aufl. bearb. von Studiendirektor Prof. Dr. G. Wtegner. >9a Aufgaben und Lösungen. Mit )ahlr. Figuren im Text.

Statik. Von Gcwerbefchulrat Oberstudiendirektor A. Schau. 2. Aufl. Mit >2 Figuren im Text. (Bd. 828.)

Festigkeitslehre. Von Gewerbeschulrat Oberstudiendlrettor A. Schau. 2. Ausl. Mit 119 Figuren im Text. (Bd. 829.)

Optik, angewandte Optik und Strahlungserscheinungen.

Das Licht und die Farben. (Einführung in die Optik.) Von Prof. Dr.L. Graek. 5. Auflage. Mit 100 Abbildungen. (Bd. 17.)

Sichtbar« und unsichtbare Strahle«. Von Geh. Regierungs-Rat Prof. Dr. R. Börnsteia. 3., aeubearb. Aufl. von Prof. Dr. G.Reg en er. Mit7> Abbildungen. (Bd. 64.)

Das Auge und die Brille. Von Prof. Dr. M. o.Ro h r. 2. Aufl. Mit 84 Abbildung^ und 1 Lichtdrucktafel. (Bd. 372.)

Das Mikroskop, seine wiflenschaftlichen Grundlagen und seine Anwendung. Von Dr A« Ehringhaus. Mlt 75 Abbildungen im Text. (Bd.676.)

Einführung in die Mikrotechnik. Von Prof. Dr. V. Fran) und Oberstudlendirektm Dr. H. Schneider. Mit isAbb. (Bd. 765.)

Spektroskopie. Von Prof. Dr. L. Grebe. 2. Aufl. Mit 63 Figuren im Text und auf 2 Doppeltafeln. (Bd. 284.)

Die Kinematographie, ihre Grundlagen und ihre Anwendungen. Von Dr. £ e b» mann. 2. Auflage von Dr. W. Mertä. Mit 68 xum Teil neuen Abbild. (Bd. 358.)

Die Photographie, ihre wiflenschaftlichen Grundlagen u. ihre Anwendung. Von Dipl.-9ng. Dir. Dr. O. Preisn9et. 2., verb. Aufl. Mit 64 Abbildungen, i. T. (Bd.414.)

Die künstlerische Photographie. 9hre Entwicklung, ihre Probleme, ihre Bedeutung. Von Studtenrat Dr. W. Warstat. 2., verb. Aufl. Mit Bikderanhang. (Bd. 410.)

Die Rontgenstrahlen und ihre Anwendung. Von Dr. med. G. Buckö. Mit 94 Abbildungen im Text und auf 4 Tafel«. 2. verb. Aufl. (Bd. 556.)

Wärmelehre.

Dt« Lehr« von der Wärme. Gemeinverständlich dargestellt von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. Ti, Börnftein. 2., durchgesehene Auslage. Hrsg, von vrof. Dr. 3). Wigand. Mit 33 Abbildungen im Text. (9d. 172.)

Einführung in die technische Wärmelehre (Thermodynamik). Von Geh. Vergrot Prof. R. Vater. 3.Aufl. von vrof. Dr. Fr. Schmid t. Mit 46 Abb. im Text. (Bd. 516.) praktische Thermodynamik. Aufgaben und Beispiele rur technischen Wärmelehre. Von Geh. Bergrat vrof. R. Vater. 2. Aust, herausgegeben von Prof. Dr. Fr. Schmidt. Mit 40 Abb. im Text und 1 Tafeln. (Bd. 5-6.)

Einführung in die Chemie.

Einführung in die allgemeine Chemie. Von Oberstudienrat Dr. B. Bavink. 2. Ausl. Mit 24 Figuren, (vd. 582.)

Einführung in die anorganische Chemie. Von Oberstudienrat Dr. B. Bavink. Mit 31 Abbildungen im Text. (vd. 598.)

Einführung in die organische Chemie. (Natürliche und künstliche pflanien- und Tier« stoffe.) Von Oberstudienrat Dr. B. Bavink. 3. Ausl. Mit - Abh. im Text. (Bd. 187.) Einführung in die analytische Chemie. Von Dr. F. Rüsberg. 2 Bde. I. Theorie und Gang der Analyse. Mit 15 Fig. i. T. II. Die Reaktionen. Mit 4 Fig. i. T. (Bd. 524/25.) Einführung in die Biochemie in elementarer Darstellung. Von Prof. Dr. W. Löb. 2. durchgef. u. verm. Aufl. V. Prof. Dr. H. Friebenthal. M. 12 Fig. t. T. (Bd. 352.) Elektrochemie und ihr« Anwendungen, 'Hon Prof. Dr. K. Arndt. 2. Auflage. Mi« 37 Abbildungen im Text. (Bd. 234.)

Da« Radium und die Radioaktivität. Von Prof. Dr. M.Centnersxwer. 2. Aufl. Mit 33 Figuren im Text. (5b. 405.)

Photochemie. Von Prof. Dr. G. Küm mell. 2. Aufl. Mit 23 Abb. k. T. u. aus l Tafel. (227.) Luft, Wasser, Licht und Wärme. Einführung in die Experimentalchemie. Von Geh Reg.-Rat Prof. Dr. R. 9 loch mann. 5. Aufl. Mit -2 Abbildungen. (Bd. 5.)

Das Wasser. Von Geh. Regierungsrat Dr. O.Anfelmino. Mit 44 Abbild. (9b.291.)

Chemisches Wörterbuch. Von Prof. Dr. H. Remtz. Mit ts Abb. im Text und 5 Tabellen im Anhang. (Teubners tl. Fachwörterbücher vd. 10/11.)

Chemische Technologie.

Die künstliche Herstellung von Naturstoffen. Von Prof. Dr. E. R ü st. (9b.674.) Der Luststirkstoss und seine Verwertung. Von Prof. Dr. K. Kaiser. 2.Aufl. Mit 13 Abbildungen (Vd. 313.)

Agrttulturchemte. Von Dr.p.Krtsche. 2., oerb. Aufl. Mit21 Abbildungen. (9b.314.) Die Sprengstoffe, ihre Chemie und Technologie. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. R.Biedermann. 2. Auflage. Mit 12 Figuren, (vd. 286.)

Farben ».Farbstoffe. Zhre Erxeugung ».Verwendung. Von Dr. A. I a r t. Mit 31 Abb. (Bd. 463.)

Bierbrauerei. Von Dr. A. 9 a u. Mit 47 Abb. (vd. 333.)

Wörterbuch der Warenkunde. Von Prof. Dr. M. pietsch. (Teubnero kleine Fach. Wörterbücher Bd. 3.)

Naturlehre im tzause.

Physik in Küch € u. Haus. Von Studiendirektor Prof. H. S p e i t k a m p. 2. Aufl. Mit 54 Abb. (9b. 476.)

Chemie in Küche und Haus. Von Dr. 0. Klein. 5. Aufl. (Bd. 76.) Desinfektion. Sterilisation, Konservierung. Von Regierung»- und Medhinalrat Dr. O. Solbrig. Mit 20 Abbildungen. (Bd. 401.)

^Ernährung und Nahrungsmittel. Von Geh. Rat Prof. Dr. V. gunh. 4. Aufl. (9b. 19.)

Di« Bakterien im Haushalt der Natur und des Mensche«. Von Prof. Dr. L. Gut,eit. 2. Aufl. Mit 13 Abbildungen. (Bd. 242.)

Die mit * bezeichneten und weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.

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Nus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

558. Band

Aufgaben

aus der technischen Mechanik

für den Schul- und Selbstunterricht

Von

Prof. V. Schmitt

Oberlehrer in Dortmund

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I. Bewegungslehre, Statik und Festigkeitslehre

240 Aufgaben und Lösungen Mit zahlreichen Figuren im Text

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Verlag und Druck von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin )92t

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Schuhformel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1921 by B.G.Teubner in Leipzig

3We Aechte, einschließlich des llberfehungsrechts, vorbehalten

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Vorwort.

Der vorliegende Band enthält Aufgaben aus der Bewegungslehre, der Statik und Festigkeitslehre. So bildet sein erster und zweiter Teil die zweite Auflage der früheren Aufgabensammlung „Bewegungslehre und Statik" mit Ausnahme der Aufgaben der Hydrostatik. Diese soll der zweite, demnächst erscheinende Band bringen, dessen Hauptinhalt „Ausgaben aus der Dynamik" sein wird. Den Schluß der Statik bilden die Kapitel „Das Trägheitsmoment" und „Das Zentrifugalmoment". Mit der Lösung dieser Ausgaben mutz jeder vertraut sein, der sich mit Festigkeitslehre und Dynamik beschäftigen will. Der dritte Teil bringt Ausgaben aus sämtlichen Gebieten der Festigkeitslehre der Bau- und Maschinentechnik.

Bei der Bearbeitung des Bandes ist sein Zweck, den Unterricht iy der Mechanik zu erleichtern, dem Schüler Freude an der Arbeit zu machen und den Techniker bei seiner weiteren Ausbildung zu unterstützen, im Auge behalten worden.

Dortmund, im Juni 1921.

N. Schmitt.

Inhalt.

Seite

f. Bewegungslehre........

1.    Gleichförmige Bewegung.....

2.    Gleichförmig beschleunigte Bewegung .

3.    Kreisbewegung.........

4.    Zusammensetzen der Geschwindigkeiten .

II. Statik............

1.    Zusammensetzen der Kräfte.....

2.    Das Drehmoment oder statische Moment

3.    Der Schwerpunkt........

4.    Arbeit und Leistung der Kräfte . . . Die Leistung der Maschinen ....

5.    Das Gleichgewicht der Kräfte ....

6.    Innere und äußere Kräfte.....

7.    Die Reibung..........

a)    Gleitende Reibung......

b)    Seilreibung.........

8.    Das Trägheitsmoment......

9.    Das Zentrifugalmoment......

II.Festigkeitslehre........

1.    Zug- und Druckfestigkeit......

2.    Scherfestigkeit.........

3 Biegungsfestigkeit........

4.    Torsionsfestigkeit........

5.    Zusammengesetzte Festigkeit.....

Lösung der ausgaben.......

I. Bewegungslehre.

I. Ein Körper bewegt sich, wenn er seinen ®rt im Raum ändert. Die Ursache der Bewegung heißt Kraft, der Körper durchläuft bei der Bewegung einen gewissen Weg und braucht dazu eine gewisse Zeit.

Bet geradlinigen Bewegungen führen alle Punkte eines Körpers gleiche Bewegungen aus; die Bewegung eines Punktes ist auch die Bewegung des Körpers dem der Punkt angehört.

Die Länge des Weges, den ein Punkt zurücklegt, wird in Bieter (m), die Zeit in Sekunden (sec) angegeben. Die Länge des Weges, den ein Punkt in einer Sekunde zurücklegt, ist die Geschwindigkeit (m/sec) des Punktes.

Bleibt die Geschwindigkeit des Punktes immer dieselbe, so bewegt er sich gleichförmig, ändert sich die Geschwindigkeit, so bewegt er sich ungleichförmig.

1- Gleichförmige Bewegung.

II. 3ft c die Geschwindigkeit, t die Zeit, s der weg, so ist § ----- c -1,

CO l't-»

c -----

1.    Welchen Weg legt ein Körper, der sich mit einer Geschwindigkeit c ----- 7,5 m/sec. gleichförmig bewegt, in 20 Sekunden zurück?

2.    welche Geschwindigkeit muß ein Körper haben, der in einer Rlinute einen weg s = 240 m zurücklegt?

3.    3n welcher Zeit legt ein Körper, der sich mit einer Geschwindigkeit c = 5 m/sec gleichförmig bewegt, einen Weg s ----- 600 m zurück?

4.    Zwei Züge fahren gleichzeitig von den Endpunkten I und II einer 45 km langen Bahnstrecke mit den Geschwindigkeiten 0i=10 m/sec, c₂=12,5 m/sec gegeneinander ab. wann und wo kreuzen sich die Züge?

5.    Eine Last soll in 10 Sekunden 20 m hoch gehoben werden. Wie groß muß ihre Geschwindigkeit sein?

6.    In welcher Zeit passiert ein mit der Geschwindigkeit c—10 m/sec fahrender Zug von 200 m Länge eine 180 m lange Brücke?

2. Gleichförmig beschleunigte Bewegung.

III.    wächst die Geschwindigkeit eines Punktes stetig und gleichmäßig, so bewegt er sich gleichförmig beschleunigt.

Nimmt die Geschwindigkeit stetig und gleichmäßig ab, so bewegt sich der Punkt gleichförmig verzögert. Der Zuwachs der Geschwindigkeit in der Sekunde wird Beschleunigung (m/sec²) genannt.

Ein Punkt, dessen Anfangsgeschwindigkeit c und dessen Beschleunigung p ist, erreicht in t Sekunden eine Endgeschwindigkeit v = c + pt. Seine mittlere Geschwindigkeit in der Zeit t ist

vm —    - = c + y und der zurückgelegte weg s — vm -1 = ct

+ Ei\

7.    (Ein Körper bewegt sich gleichförmig beschleunigt mit einer Anfangsgeschwindigkeit c = 0 und einer Beschleunigung p — 0,5 m/sec². Welchen Weg legt er in 20 Sekunden zurück?

8.    (Ein Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit c--- 50 m/sec lotrecht hochgeworfen, wie hoch steigt er?

9.    welche Anfangsgefchwindigkeit mutz ein Körper haben, der lotrecht hochgeworfen eine hohe von 500 rn erreicht?

10.    (Ein Zug soll beim Anfahren seine vorgeschriebene Geschwindigkeit v = 15m/sec in 5 Sekunden erreichen. welcheBeschleunigung mutz er haben und welchen weg legt er während der Beschleunigung zurück?

3. Kreisbewegung.

IV.    (Ein Körper dreht sich im Kreise, wenn alle Punkte des Körpers Kreise um denselben Mittelpunkt, Drehpunkt genannt, beschreiben. Der Abstand eines Punktes des Körpers vom Drehpunkt ist des Punktes vrehradius.

Alle Punkte des Körpers durchlaufen ihre Kreisbahnen in derselben Zeit. Die Kreisbahnen haben verschiedene Längen, daher die Punkte des Körpers verschiedene Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeiten zweier Punkte eines sich im Kreise drehenden Körpers verhalten sich wie die Drehradien der Punkte.

Sind vi und v₂ die Geschwindigkeiten, rx und r₈ die Drehradien

Zweier Punkte, so ist: ^ --- ~, ^    = w.

Vas Verhältnis w wird die Winkelgeschwindigkeit des Körpers genannt. Ist r = 1, so wird rr> ----- v, d. h. die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers ist die Geschwindigkeit eines Punktes des Körpers, dessen vrehradius gleich (Eins ist.

Die Tourenzahl eines Rades ist die Zahl der Umdrehungen, die das Rad in einer Minute macht. Ist d der Durchmesser, n die . Tourenzahl eines Rades, so ist seineUmfangsgeschwindig» f o '

keit v—

n d-n

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wird v = w = ü;

demnach die Tourenzahl n —    Für d = 2 k-d

30

11.    wie groß ist die Umfangsgeschwindigkeit einer Scheibe von 800 mm Durchmesser, wenn sie 90 Touren macht?

12.    wie groß ist die Umfangs» und Winkelgeschwindigkeit der Scheibe, wenn a) d = 0,9 in, n — 120, b) d == 1,5 m, n = 60?

13.    (Es sei dt — 800 mm, d₂ — 600 mm, n! = 120. wie groß ist n₂?

14.    Die Zahnräder haben z, = 60, z₂ — 20 Zähne, wie groß

macht das Rad?

16.    (Es sei dt = 900 mm, nx = 60, n₂ — 120, ns = 240,

d₃ = 300 mm. Zu bestimmen ist: vu v₂, wu w₂, w₃, d2a, d2b.

17.    Die an der winde hängende Last Q soll mit einer Geschwindigkeit c = 0,5 m/sec gehoben werden, wie groß muß die Geschwindigkeit v des Riemens sein?

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3u 13.

3u 14.

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3u 16.

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Zu 17.

4. Zusammensetzen der Geschwindigkeiten.

V.    Die Bewegung eines Punktes ist durch die Richtung und Größe seiner Geschwindigkeit gegeben.

Die Geschwindigkeiten werden durch gerade Strecken dargestellt. Die Länge einer solchen Strecke gibt die Größe, die Richtung der Strecke die Richtung der Geschwindigkeit an.

hat ein Punkt zwei Geschwindigkeiten cx und c₂, so ist die wirkliche Geschwindigkeit v des Punktes die Diagonale des Parallelogramms, dessen Seiten c, und c₂ sind.

v wird die resultierende Geschwindigkeit oder Resultante genannt, und c₂ sind die Geschwindigkeitskomponenten.

Es kann auch eine Geschwindigkeit v in zwei Komponenten c, und c₂ zerlegt werden.

18.    Ein an einem Laufkran hängendes Gewicht wird mit einer Geschwindigkeit c, = 1,2 m/sec gehoben und gleichzeitig mit einer Geschwindigkeit c₂ — 0,9 m/sec wagerecht bewegt, wie groß ist die wirkliche Geschwindigkeit v des Gewichts?

19.    Ruf einer unter einem Winkel von 30° ansteigenden Bahn bewegt sich ein Körper mit einer Geschwindigkeit v = 4 m/sec.

wie groß ist die Hubgeschwindigkeit c, des Körpers?

20.    Lin Körper bewegt sich mit einer Geschwindigkeitc;=l m/sec wagerecht und mit der Beschleunigung p = 1 m/sec¹, lotrecht. (Es ist der weg des Körpers und sein Geschwindigkeitsdiagramm zu zeichnen.

VI.    Die Geschwindigkeit c eines sich gleichförmig im Kreise drehenden Punktes behält ihre Größe c, ändert aber fortwährend ihre Richtung.

Die Drehgeschwindigkeit c ist stets tangential zur Kreisbahn gerichtet, sie steht immer senkrecht auf dem Drehradius des Punktes.

3u 21.

3u 19.

Zu 18.

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3u 25.

22.    Der Zapfen der Rurbelschleife dreht sich mit der Geschwindigkeit c = 1,2 m/sec.

(Es ist das Geschwindigkeitsdiagramm der Stange zu zeichnen.

23.    Eine zrsiindrischeScheibe rollt mit der Geschwindigkeit c=2m/sec. wie groß sind die Geschwindigkeiten der Umfangspunkte/, 11,111 unfc IV?

24.    Die Durchmesser der Treibräder einer Lokomotive, die 72 km in der Stunde fährt, betragen 1,5 m. wieviel Touren machen die Räder?

25.    Zwei Räder von 600 mm und eine Trommel von 300 mm Durchmesser sitzen auf einer Rchse. Rn einem über die Trommel gewickelten Seil, das über eine feste Rolle geht, hängt ein Gewicht G. TTTit welcher Geschwindigkeit v wird G gehoben, wenn die Räder mit einer Geschwindigkeit c = 2 m/sec rollen?

II. Statik.

1. Zusammensetzen der Kräfte.

VII. (Eine Kraft ist durch ihre Richtung und Größe bestimmt. Die Größe der Kraft wird in Kilogramm angegeben. Die Kräfte werden durch gerade Strecken dargestellt, deren Längen die Größen, deren Richtungen die Richtungen der Kräfte angeben. Der Angriffspunkt einer Kraft, die an einem Körper wirkt, kann in der Richtung der Kraft beliebig verschoben werden.

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Zu VII.

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3u 26.

3u 27. A

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24 kg

4 cm

32 kg 3u 28.

Zwei in einer (Ebene wirkende Kräfte können durch eine Kraft, die Mittelkraft oder Resultante der beiden gegebenen Kräfte ersetzt werden. Die gegebenen Kräfte heißen Zeitenkräfte oder Komponenten. Die Resultante zweier Kräfte, deren Richtungen sich in einem Punkte schneiden, ist die Diagonale des Parallelogrammes, dessen Seiten die beiden Kräfte sind. Die Diagonale gibt die Richtung und Größe der Resultante an.

Jede Kraft kann in zwei Komponenten von beliebigen Richtungen zerlegt werden. Die Summen der parallelen Komponenten xx x, und Ui 9s zweier Kräfte Pt und P₂, die sich in einem Punkte schneiden, sind gleich den in dieselben Richtungen fallenden Komponenten x und y der Resultante R von P, und P₂. Sailen die Komponenten auf dieselbe Seite vom Schnittpunkte A der Kräfte, so wird x = x, + x2 9 = 9i + 92-

Sollen die Komponenten auf verschiedene Seiten von A, so wird * =    — *2 9 = 91 — 92-

Die Resultante zweier parallel und gleich gerichteter Kräfte

ist gleich der Summe der Kräfte. Sie ist parallel zu den gegebenen Kräften gerichtet und fällt in dieselbe (Ebene.

Die Resultante zweier parallel, aber entgegengesetzt gerichteter Kräfte ist gleich der Differenz der Kräfte und fällt in dieselbe (Ebene.

26.    Es ist die Resultante der beiden Kräfte von 30 und 40 kg, deren Richtungen aufeinander senkrecht stehen, zu bestimmen.

27.    Es ist die Resultante der Kräfte zu bestimmen, deren Richtungen sich in einem Punkte schneiden und Winkel von 120° miteinander bilden.

28.    Es ist die Resultante der Kräfte von 50 kg, 24 kg und 32 kg zu bestimmen.

29.    Die Resultante dreier Kräfte von 25 kg, 60 kg und P kg, die sich in einem Punkte schneiden, ist gleich Null. Die Richtungen der beiden ersten Kräfte stehen senkrecht zueinander. Es ist die Größe und Lage von P zu bestimmen.

30.    Die in der Figur angegebenen Kräfte feien / = 180 kg, II

—    100 kg, III — 60 kg und die Resultante sämtlicher Kräfte R

—    200 kg. Es ist die Kraft P zu bestimmen.

31.    Es fei (flufg. 30) I— 5 kg, 11=5 kg, 111= 25 kg, R= 25 kg. Es ist die Kraft P zu bestimmen.

32.    Die Richtungen der gegebenen Kräfte von 9, 12 und 20 kg fallen mit den Kanten eines Würfels zusammen, wie groß ist ihre Resultante?

33—35. Ls ist die Größe und Lage der Resultante der gegebenen Kräfte durch Zeichnung zu bestimmen.

Zu 30. 1__90 Ul

J10 kg

--3 0171-

20 kg 3u 33.

\u^-

Zu 32.

20 kg

-4 cm

30 kg j 10 kg ■2 —

\20kg

10 kg

4 cm— Zu 35.

2 cm

2. Vas Drehmoment oder statische Moment.

VIII. Der Abstand a der Richtung einer Kraft P von einem Punktes wird der Hebelarm oder Dreharm der Kraft bezogen auf den Punkt A genannt. Das Produkt M=Pa aus einer Kraft P und ihrem Arm a ist das statische Moment oder Drehmoment der KraftP bezogen auf den Punkt A. Das Drehmoment der Kraft P ist gleich dem doppelten Inhalt des Dreiecks, dessen Basis gleich P und dessen

höhe a ist.

M = Pa = cd.

Die Maßeinheit für das Drehmoment ist das Meterkilogramm (mkg).

Das Drehmoment M der Resultante R zweier sich schneidender Kräfte P₁ und P₂ für einen Punkt A ist gleich der Summe der Drehmomente Mt und M₂ ihrer beiden Komponenten

M --- cd, M, --- cd₁ M₂ --- cd₂. dt + d₂ = d. M =    + Ms.

Die Momente M₁ und M₂ haben gleiche Vorzeichen, wenn die Kräfte Pt und P₂ in gleichem Sinne um A drehen, im anderen Falle haben sie verschiedene Vorzeichen. Liegt A auf der Resultante, so ist M = 0, Mt -- M₂.

Die Resultante zweier parallel und gleich gerichteter Kräfte teilt den Abstand der beiden Kräfte voneinander innerlich int umgekehrten Verhältnis der anstoßenden Kräfte.

Ax.

■R "'"y

3u VIII.

p,

p Ai

3u VIII.

Die Resultante zweier parallel, aber entgegengesetzt gerichteter Kräfte teilt den Abstand der Kräfte voneinander äußerlich im umgekehrten Verhältnis der anstoßenden Kräfte. Sind diese Kräfte gleich groß, so bilden sie ein Kräftepaar oder Drehpaar. Das Produkt M = Pa ist das Drehmoment des Kräftepaares, a ist der Abstand der Kräfte voneinander.

3u 36.

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36.    (Ein drehbar gelagerter Körper wird von zwei Kräften Pt = 60 kg, P₃ = 80 kg, deren Richtungen u~ senkrecht auseinander stehen, gedreht. Ihre Hebelarme l

sind rt — 0,6 m, r₃ = 0,4 m. (Es ist die Größe der T ~A-‘

Resultante, ihr Hebelarm und Moment zu bestimmen.

100 kg

37.    Zwei parallel und gleich gerichtete Kräfte von 50 und 100 kg haben einen Abstand von 0,3 m voneinander. (Es ist die Größe und Lage ihrer Resultante zu berechnen.

0,4 m

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0,3 m

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3u 39.

100 kg

3u 38.

38.    Drei gleiche Kräfte P = 50 kg drehen um dieselbe Achse am Hebelarm von 0,3 m. Zwei Kräfte sind entgegengesetztgerichtet, die dritte wirkt senkrecht zu den beiden ersten. (Es ist die Größe und Lage der Resultante durch Rechnung und Zeichnung zu bestimmen.

39.    (Es ist die Größe und Lage der Resultante der in beistehender Zig. gegebenen Kräfte zu bestimmen.

5. Der Schwerpunkt.

IX. Die Gewichte der Teilchen, aus denen ein Körper besteht, bilden eine Schar paralleler Kräfte, deren Resultante das Gewicht des ganzen Körpers, gleich der Summe dieser Kräfte ist und wie diese stets in der Richtung des Lotes wirkt.

Wird der Körper verschoben oder gedreht, so behält diese Resultante ihre Richtung, sie ändert ihre absolute Richtung nicht, wohl aber ihre Richtung gegen den Körper. Jede solche Richtung ist eine Schwerachse des Körpers.

Alle Schwerachsen eines Körpers schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Körpers.

3n der Mechanik wird auch von den Schwerpunkten der Linien und Flächen gesprochen, obwohl dieselben keine Gewichte haben. Bei den Linien werden an Stelle der Gewichte die Längen, bei den Flächen die Flächeninhalte gesetzt.

40.    (Es ist das statische Moment einer Strecke von 2 m Länge bezogen auf den Endpunkt A geometrisch darzustellen.

41.    Zwei Strecken von je 4 cm Länge stehen senkrecht zueinander. Wo liegt der gemeinschaftliche Schwerpunkt der Strecken?

42.    (Es ist der Schwerpunkt dreier Strecken von 3, 4 und 5 cm Länge, die ein rechtwinkliges Dreieck bilden, zu bestimmen.

43.    (Es ist der Schwerpunkt eines Kreisbogens zu bestimmen, dessen Zentriwinkel 60° und dessen Radius 5 cm beträgt.

44.    (Es ist der Schwerpunkt eines Halbkreisbogens zu bestimmen, dessen Radius 2 cm beträgt.

45.    (Es ist das statische Moment der Rechteckfläche bezogen auf die Achse AB geometrisch darzustellen.

46.    (Es ist das statische Moment des gleichschenkligen Dreiecks bezogen auf die Achse AB geometrisch darzustellen.

47.    wo liegt der Schwerpunkt der in der vorigen Aufgabe gegebenen Dreieckfläche?

48.    wo liegt der Schwerpunkt der Trapezfläche?

49.    (Es ist der Schwerpunkt des Kreisausschnittes zu bestimmen, dessen Zentriwinkel 60° und dessen Radius 6 cm beträgt.

Zu 40.

cm

Zu 41.

4 cm

<v ,

60

k7? cw?

Zu 42.

Zu 43-

6 cm

~T

u 4 cm

Zu 44.

k—4 crn—m

Zu 48.

2V

__

50. (Es ist der Schwerpunkt des winkeleisenquer-    _— it

schnittes zu bestimmen. (Es sei k = k — 100 mm, t-I ■    |

— §z — 10 mm.

Zu 50.

51. (Es ist der Schwerpunkt des N T Profiles zu bestimmen. Es sei " l₂ = 270 mm, = 125 mm, si == s₂ = 20 mm.

Zu 51.

⁸2

bestimmen. (EsfeiZ₂=300mm, ^=140 mm, =20 mm, s₂=15 mm.

53. Es soll der Schwerpunkt eines Profileisenquerschnittes auf graphischem lvege bestimmt werden.

52. (Es ist der Schwerpunkt des T Profiles zu

4. Arbeit und Leistung der Urafte.

X. wirkt eine nach Richtung und Grötze unveränderliche Kraft P während der Zeit auf einen Körper, in welcher dieser den geradlinigen Weg s zurücklegt, so ist p A=P-scosaMe von der Kraft ' in dieser Zeit an dem Körper geleistete Arbeit. «ist der Winkel, den die Kraftrichtung mit der ^

Wegrichtung bildet, s cos a=p ist die Projektion des Weges auf die Kraftrichtung. Die Arbeit ist das Produkt aus der Kraft und der Projektion des Weges auf die Kraftrichtung. Dieser Satz gilt auch für krummlinige Wege bei unveränderlicher Kraft. Ist a = 0, fallen also Kraft- und Wegrichtung zusammen, so wird A = Ps, d.h.die Arbeit ist das Produkt aus Kraft und weg.

Ist ei = 90°, so wird A = 0, d. h. die Arbeit wird gleich Rull, wenn die Kraftrichtung senkrecht zur Wegrichtung steht.

Ist x die in die Wegrichtung und y die dazu senkrecht stehende Komponente von P, so ist

Die Arbeit ist das Produkt aus der Weglänge s und der Projektion x der Kraft auf die Wegrichtung.

Die Arbeit der Resultante zweier Kräfte, deren Richtungen

\,/

<⁹⁰^

yz

Zu X.

A — x • s.

sich schneiden, ist gleich der Summe der Arbeiten der Kräfte (vgl. VII).

Eine Kraft kann auch als widerstand, d. h. der Bewegung des Körpers entgegenwirken, dann muß eine zweite Kraft in der Bewegungsrichtung wirken, welche die Arbeit leistet, die der widerstand verbraucht.

Die Maßeinheit der Arbeit ist das Meterkilogramm (mkg).

54.    Line Kraft P soll eine Last 0 = 500 kg an einer Rolle 20 m hoch heben. Es ist die Arbeit graphisch darzustellen.

55.    Eine Last Q — 1000 kg soll 20 m hoch gehoben werden. Sie hängt an einem Seil, das auf eine Trommel gewickelt wird und 2 kg pro lfd. m wiegt. (Es ist die Arbeit graphisch darzustellen.

56.    Mit einem einfachen Flaschenzug soll eine Last Q = 300 kg

-«s

'r'O

v*>    \

Zu X.

///////////

/. 'S////////.'////

\1000 kg

500 kg

LJ

200 m

20

20

711

20 m

1400 kg

10 m gehoben werden. Es sind die Arbeitsbtagramme ö von Q und P zu zeichnen.

57.    mit beistehender Hebevorrichtung soll eine Last Q — 200 kg 20 m gehoben werden. Die Arbeitsdiagramme von Q und P sind zu zeichnen.

58.    (Eine Kraft P soll die dreieckige Platte von 600 kg Gewicht durch Drehen um die Kante AB aus der wagerechten in die lotrechte Lage bringen.

Die Kraft P soll stets senkrecht zur Platte wirken. 10m Die Arbeitsdiagramme sind zu zeichnen.

59.    Die mittlere Kolbenkraft einer Dampfmaschine ist gleich 1200 kg. Me groß wird die mittlere Kurbelkraft?

Ist v die Geschwindigkeit der Richtung einer Kraft P, so ist L — Pv die in der Sekunde von der Kraft geleistete Arbeit (~!~r) oder die Leistung der Kraft.

Die Leistung eines Kräftepaares ist L — Pa ■ w, wenn w die Winkelgeschwindigkeit ist.

V'

20 m

l-J -J i~

300 kg 150 kg

3u 56.

wr

3u 57.

(T\ p

200 kg

20 m

1vn    IS

Im----«—

-0,5-m

.1.

-Iß rn-

P-

3u 58.

3u 60.

3m.

77/77777/77777777777/////

////////////////A/////

Zu 61. x

9°

iU

3u 62.

So">*

<?

30"

x-

50 kg

3u 63.

3u 64.

60.    Ls ist P = 50 kg, o = 3 ^ (f. Zig.), wie groß ist L?

61.    P = 60 kg bewegt den Körper mit v — 5 ^ • Kraft- und Bewegungsrichtung bilden einen Winkel von 60° miteinander, wie groß ist 1?

62.    Die Richtung der Drehkraft P = 50 kg steht immer senkrecht zur drehbar gelagerten Stange und hat eine Geschwindigkeit v — 2,5 m/sec. wie groß ist LI

63.    Line Kraft von 60 kg dreht die in der Figur gegebene Stange mit der Winkelgeschwindigkeit w — 5/sec. Die Kraftrichtung bildet mit der Stange einen Winkel von 30°. wie groß ist L?

64.    Die Kräfte drehen die Welle mit der Winkelgeschwindigkeit 1 5

zv ⁼ sec" ®QS listet das Kräftepaar wenn

a)    Zt — 0,4 m, Z₂ = 0,8 m.

b)    lt = 0,6 m, Z₂= 1,0 m.

Die Leistung der Maschinen.

XI. Sn der Praxis wird die Leistung der Kraftmaschinen (Dampfmaschinen, Gasmaschinen, Turbinen) wie auch der Rrbeitsverbrauch von Rrbeitsmafchinen (Werkzeugmaschinen, winden usw.) in Pferdestärken (PS oder HP) angegeben. (Es ist 1 PS = 75    •

Die Leistung (Ln Nutzleistung) einer Kraftmaschine ist stets kleiner als die Leistung (Lb) des die Maschine treibenden Körpers (Dampf,

Wasser usw.). Das Verhältnis n = V² wird der Wirkungsgrad

oder Nutzeffekt der Maschine genannt. Der Wirkungsgrad ist immer ein echter Bruch, je großer derselbe ist, um so vollkommener ist die Maschine.

Die nützliche Leistung Ln einer Arbeitsmaschine ist stets kleiner als die von der Kraftmaschine aus die Arbeitsmaschine übertragene Leistung Lb. Auch hier ist -r- ein echter Bruch.

Lb

65.    Line Dampfmaschine leistet 30 PS, hat einen hub von 500 mm und macht 90 Touren, wie groß ist die mittlere Kolbenkrast P und die mittlere Kurbelkraft K?

66.    (Ein Elektromotor hat ein Drehmoment Md= 5 mkg und macht 720 Touren. Wieviel PS leistet er?

67.    wieviel PS sind zum Betrieb einer Pumpe erforderlich, die in der Stunde 18 cbm Wasser 15 m hoch fordert, wenn der Wirkungsgrad der Pumpe n — 0,75 ist?

68.    Das Schwungrad einer Dampfmaschine ist gleichzeitig Riemscheibe und hat einen Durchmesser von 1800 mm. Die Maschine leistet bei 150 Touren 20 PS. wie groß ist die Riemenkraft P und ihr Drehmoment?

69.    Das Arbeitsvermögen eines Baches, der bei 5 m Gefälle in der Minute 24 cbm Wasser liefert, wird durch ein Wasserrad gewonnen, dessen Wirkungsgrad r>—0,75 ist. wieviel PS liefert das Rad?

70.    Eine Last von 600 kg wird mit einer Geschwindigkeit v = 1,5 m/sek gehoben. Der Wirkungsgrad der Winde ist n — 0,8. Wieviel PS sind zum Betrieb der Winde erforderlich?

71.    (Eine Turbine, welcher in der Minute 20 cbm Wasser mit 3 m Gefälle zufließen, treibt eine pumpe, deren Förderhöhe 20 m beträgt. Der Wirkungsgrad der Turbine ist ni=0,75, der Wirkungsgrad der Pumpe rj₂= 0,8. Wieviel cbm Wasser fördert die Pumpe in der Stunde?

72.    Auf einer schiefen Ebene, die auf 10 m Wegelänge 1 m steigt, soll ein Wagen von 3600 kg Gewicht mit einer Geschwindigkeit v — 1,5 m/sec aufwärts bewegt werden. Wieviel PS sind hierzu erforderlich, wenn n — 0,9 ist?

73.    auf der Welle eines Elektromotors, der bei 900 Touren 8 PS leistet, sitzt ein Zahnrad von 120 mm Durchmesser, das in ein Rad von 600 mm Durchmesser greift, wie groß wird der Zahndruck?

74.    wie groß ist das an der Welle wirkende Drehmoment, die bei 300 Touren 12 PS überträgt.

5. Vas Gleichgewicht -er Kräfte.

XU. Zwei an einem Körper wirkende Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet sind und ihre Richtungen in eine gerade Linie fallen. Diese Kräfte haben auf die Bewegung des Körpers keinen Einfluß.

Drei oder mehrere an einem Körper wirkende Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn eine dieser Kräfte gleich aber entgegengesetzt gerichtet der Resultante der andern ist und ihre Richtung mit der Richtung der Resultante in eine gerade Linie fällt.

Kräfte in einer Ebene sind im Gleichgewicht, wenn:

a)    die Summe ihrer Horizontalkomponenten gleich Null,

b)    die Summe ihrer Vertikalkomponenten gleich Null,

c)    die Summe ihrer Drehmomente für einen beliebigen Drehpunkt gleich Null ist.

3m Gleichgewicht stehende Kräfte lassen sich zu zwei Kräftepaaren mit gleichen Momenten und verschiedenen Drehrichtungen zusammensetzen.

75.    (Es ist die Größe und Lage der Kraft R

zu bestimmen, die den beiden parallelen Kräften 5, von 50 und 30 kg das Gleichgewicht hält.    ~¹

76.    Art den Ecken eines aus drei Stäben gebil

deten rechtwinkligen Dreiecks wirken die Kräfte P₁P₂P₃, die im Gleichgewicht sind. Pt ist senkrecht zu Stab /, P₂ senk-recht zu Stab II gerichtet, und es ist a = 1,5 m, Z> = 2 m, Px = 30 kg. Es sind die Kräfte P, und Ps zu bestimmen.    _

77.    (Es sei /= 60 kg, //=45 kg, 1 T\$

III — 30 kg; a = 0,4 m, b = 0,4 m, ^ c — 0,2 m. wie groß muß die Kraft R "7 N und ihr Drehmoment bezogen auf Punkt u A sein, die den gegebenen Kräften das A Gleichgewicht hält?

4m—$

h—*—4

öS

3u 75.

t-f

h-i-

i->z-

i ilH

J-r

3u76.

3u 77.

78. (Es soll die Größe und Lage der Kraft P₄ durch Zeichnung bestimmt werden, die mit den drei gegebenen Kräften im Gleichgewicht ist.

6. Innere und äußere Kräfte.

XIII. stuf jeden Körper, der sich nicht bewegt, muß eine Kraft wirken, die feinem Gewicht das Gleichgewicht hält. Dem Gewicht eines auf einer ebenen Fläche stehenden Körpers hält die Reaktion der Fläche das Gleichgewicht, die durch den Druck des Gewichts hervorgerufen wird. Die Zugkraft des Seiles (Seilreaktion) hält dem am Seil hängenden Gewicht das Gleichgewicht.

Jede senkrecht zu einer festen ebenenFläche wirkendeKraftrust in der Fläche eine ebenso große aber entgegengefetztgerichteteReaktionhervor.

Jede in der Richtung eines festen Stabes wirkende Zug- oder Druckkraft ruft im Stab eine ebenso große aber entgegengesetzt gerichtete Reaktion hervor.

Seile können nur Zugkräfte aushalten. Die Reaktion einer ebenen Fläche steht senkrecht zur Fläche.

Die Reaktion einer zylindrischen Fläche steht in jedem Punkte der Fläche senkrecht zur Fläche, sie geht also durch den Mittelpunkt bzw. durch die stchfe der Fläche.

Die Reaktionen werden innere Kräfte, die Kräfte, welche die Reaktionen hervorrufen, äußere Kräfte genannt.

Kräfte an einem geradlinig geführten Körper sind im Gleichgewicht, wenn ihre Resultante senkrecht zur Führung steht. Die Reaktion der Führung hält der Resultante das Gleichgewicht. Kräfte an einem drehbar gelagerten Körper sind im Gleichgewicht, wenn ihre Resultante durch den Drehpunkt geht. Die Lagerreaktion hält dann der Resultante das Gleichgewicht.

7 9.Ls sind die stuf lagerreaktionen Nt und N₂ des Balkens zu bestimmen.

80. wie groß find die stuflagerreaktionen A', und N.₂ des Balkens?

1«—im

i500 kg

-4*—1,5 m I

b-3m

2,5 m— 3u 79.

n₂

Zu 80.

|h2mJ^500kg \^² "h 750 kg

300 kg

-3 m

3u 81.

r—3 m— /

—P-

:"4

0,9 m

P-----

3,6 m

600 kg

if

1,6 m

V-1,2

m \^/ 1,2 m— 3(X)kg 3u 83.

///

//

~Ü~£m

3u 84.

P,8 m

tp

777^77777777777777^/77

3u 86.

1 20°

■pf

r«

3u 85.

81.    wie vorige Aufgabe.

82.    Hm Kran hängt eine Last von 600 kg. (Es sind die Stabkräste / und II sowie die Zapfenreaktionen zu bestimmen.

83.    Die Stäbe des Vierecks sollen an ihren Endpunkten durch reibungslose Gelenke verbunden sein. In der obersten und untersten Ecke wirken die lotrecht gerichteten Kräfte von je 300 kg. Wie groß müssen die wagerecht gerichteten Kräfte P sein, damit die Verbindung die gegebene Form behält?

7. Die Reibung.

84.    Ls sollen P und die Stabkräfte für 9—120 kg bestimmt werden.

85.    stuf den Kreuzknopf einer Dampfmaschine wirkt eine Kraft P = 800 kg. (Es find die Stangenkraft T und der Führungsdruck N zu bestimmen.

86.    wie groß muß die Kraft P fein, die das Gewicht 6 — 50 kg auf der zylindrischen Fläche hält, wenn a) ot = 60°, b) a = 45° ist?

87.    (Es sollen die an der Winde wirkenden Kräfte bestimmt werden.

88.    Aus der Kolbenkrast P sind die übrigen an dem Kurbelmechanismus wirkenden Kräfte durch Zeichnungen zu bestimmen.

89.    (Es soll der Druck auf den Zapfen einer Seilleitrolle für eine Seilkraft von 1000 kg bestimmt werden.

90.    wie groß ist die Summe der Reaktionen einer Rolle der vorigen Aufgabe?

XIV. Zur Bewegung einer Last auf wagerechter Bahn ist, wie die Erfahrung lehrt, eine gewisse Arbeit erforderlich, obwohl die Last nicht gehoben, eine nützliche Arbeit nicht geleistet wird.

Die Leistung L = Pv ber bewegenden Kraft P wird von der zwischen Last und Bahn wirkenden Reibung aufgezehrt. Die Reibung ist eine Kraft, die der äußeren Kraft P das Gleichgewicht hält.

Die Größe der Reibungskraft muß durch versuche bestimmt werden, versuche haben ergeben, daß die Reibungskraft W= p • N ist. p der Reibungskoeffizient oder die Reibungsziffer ist gewöhnlich ein echter Bruch, N ist wie früher die Normalreaktion der Bahn.

(Es wird also L = Pv — N ■ \x ■ vl. v ist die Geschwindigkeit der Kraftrichtung, vt die Geschwindigkeit der Last auf der Bahn. wird die Last auf fester Bahn bewegt und wirkt die Kraft unmittelbar an der Last, so ist vl = v,P = JVp.

versuche zeigen, daß die KraftP₀, die den Körper aus der Ruhe inBe-wegung bringt, größer als die Kraft P sein muß, die den in Bewegung gebrachten Körper weiter bewegt. (Es ist P₀ = N- p₀. p₀ ist der Reibungskoeffizient der Ruhe, p der Reibungskoeffizient derBe-wegung. Die Reaktion N der Bahn wirkt senkrecht, die Reibung W parallel zur Bahn. Die Resultante Nt beider Kräfte bildet mit N einen Winkel p, der Reibungswinkel genannt wird. (Es ist

N\x

tang p = -jy- = p.

a) Gleitende Reibung.

Die beim Gleiten eines Körpers auf einem anderen Körper wirkende Reibung wird gleitende Reibung genannt.

91.    (Ein Gewicht G = 50 kg, soll auf einer wagerechten Bahn bewegt werden. Wie groß muß die Schubkraft P fein, wenn \x --- 0,2 ist?

92.    Die Komponenten einer schräg gerichteten Kraft, P= 125 kg, die einen Körper auf wagerechter Bahn bewegen soll, sind K= 100 kg, N= 75 kg. Der Reibungskoeffizient ist ju = 0,2. Wie groß ist die Reibung W?

93.    wie groß darf der Neigungswinkel a der schiefen Ebene höchstens fein, damit das Gewicht G noch darauf stehen bleibt?

94.    welche Arbeit ist erforderlich, um ein Gewicht G auf der schiefen Ebene um a m zu bewegen?

95.    Die vorige Aufgabe ist für G = 100 kg, ju = 0,2, a = 20 m, 2 m zu losen.

96.    Lin Gewicht G soll die Spindel abwärts drehen. Wie groß mutz die Steigung h der Spindel mindestens sein, wenn ju — 0,1 ist?

97.    Wie groß muß die wagerecht wirkende Kraft P sein, die ein Gewicht G aus der schiefen Ebene bewegt?

98.    An einer Schraubenspindel von 40 mm Gewindedurchmesser und 10 mm Steigung wirkt ein Kräftepaar Pa = 3,6 mkg. wie groß wird der Achsialdruck Q, wenn ju = 0,1 ist?

99.    Auf einen neuen 60 mm starken Stirnzapfen wirkt ein Druck von 2400 kg. Der Zapfen macht 180 Couren, es ist |u = 0,05. wie

PN,

3u 91.

V*

Au 92.

Zu 93.

$

S/S///A// f///////

u

slt

00-

sl

Au 94.

Au 96.

'•*------b

3u 97.

Zu 98. V P

groß ist der strbeitsverlust durch die Reibung und welche Kräfte wirken an Lager und Zapfen?

100.    stuf einen eingelaufenen Zapfen von 80 mm Stärke wirkt ein lotrechter Druck Q ----- 2400 kg. Der Zapfen macht 180 Touren, es ist ju — 0,05. Wie groß wird der strbeitsverlust durch die Reibung und welche Kräfte wirken am Lager?

101.    wieviel nimmt die Spannung des Seiles der stufg. 89 ab, wenn es über eine Rolle geht? Die Rollenzapfen sollen 30 mm stark und p ----- 0,1 sein.

lP

102.    Lin Spurzapfen von 60 mm Stärke erleidet einen Druck von 800 kg. wie groß ist der strbeitsverlust durch die Reibung, wenn der Zapfen 150 Touren macht und ju — 0,1 ist?

103.    Ritt dem stufzug soll eine Last von 500 kg,

deren Schwerpunkt 0,4 m von der Mittellinie liegt, ge- E J>A ^ hoben werden. Das Eigengewicht des stufzuges beträgt    -p"'

180 kg, der Reibungskoeffizent an den Führungen ist    \nn ,

»wn o,i. ,„;T’

,= 08f8

96. Die Schraubenfläche ist eine um einen Zylinder

+ ,M ML

Bilder zur Kunst- und Kulturgeschichte

¹

21.    Ruf einer Stange, die sich mit der Winkelgeschwindigkeitul——

um den Punkt A dreht, wird eine hülse mit der Geschwindigkeit c = 1 m/sec verschoben, welche Geschwindigkeiten hat die hülse, wenn sie im Punkte I und wenn sie im Punkte II steht?

»wn o,i.    ,„;T’

wie groß muß die Zugkraft P fein?

104.    mit der Backenbremse soll eine Last = 150 kg gehalten werden. Wie groß muß die Hebelkraft P sein, wenn n = 0,2 ist?

105.    Unter welchem Winkel« gegen die horizontale muß die Stange stehen, damit sie nicht abrutscht?

106.    (Es ist die zum Unziehen des Keils erforderliche Kraft P durch Rechnung und Zeichnung zu bestimmen.

107.    Zwischen zwei Rädern von 1200 mm Durchmesser sitzt ein ITtotor. Räder und Motor wiegen zusammen 1800 kg. Wie groß kann

800

£120*

////;////////

\N2

120

□ 150 kg Au 104.

3u 105.

TW

Zu 106. LJ

-A4-

v_y

LJ 200 kg

3u 109.

3u 108.

60

500

5i_

S,

3u 111.

□ 500 kg

das Drehmoment des Motors sein, wenn g = 0,15 ist, und wie grotz wird die Zugkraft Z des Magens?

b) Seilreibung.

Die Wirkung der Beitreibung soll bei den zwei folgenden Aufgaben erläutert werden.

108.    wie gross mutz eine Kraft P sein, die ein Seil, an dem eine Last n von 100 kg hängt, über eine fest- • . stehende Rolle zieht?

109.    Mit einer Seilreibungsrolle soll eine Last von 200 kg gehoben werden, wie grotz mutz das Gegengewicht G fein?

110.    (Ein Riementrieb soll 6 PS übertragen, wenn die Riemen

4 PS übertragen werden. Die Welle ist 60 mm stark und der Koeffizient der Zapfenreibung g — 0,05. (Es sind die Riemenspannungen und die Zapfenreibungen zu berechnen.

113.    Ruf den Kolben einer liegenden Dampfmaschine von 500 mm hub wirkt, wenn der Kolben in seiner Mittellage steht, ein Druck P= 1000 kg.

Das Schwungrad, das gleichzeitig Riemenscheibe ist, hat einen Durchmesser D — 2400 mm und ein Gewicht G ----1200 kg. wie groß werden die Lagerdrucke der Welle, wenn Gleichgewicht der äußeren Kräfte angenommen wird.

114.    Ein Riemen wird mit einer Spannung S — 225 kg über die Scheiben gelegt. 3m Betriebe soll das Verhältnis Sx: S₂ der beiden Riemenspannungen höchstens gleich 2 werden können, a) wieviel PS

kann der Riemen mit Geschwindigkeit v = 10 ^ übertragen? b) wie groß werden die Spannungen Sx und S₂, wenn der Riemen

sh/

!L

—I U-POO-J -

I--400-

120

120

I*—150^

360 kg\ \Ni

ly

(4. ±-900 Zu 112.

120

Zu 113.

jf 240 kg

dH

ly

400 kg

S₂

'"Ü

ZU 115.

Si

bei derselben Geschwindigkeit nur % der Höchstleistung zu übertragen hat? c) wie groß werden die Kchsendrucke in beiden Fällen?

115. Bitt der Bandbremse soll eine Last von 400 kg gehalten werden. Wie groß werden die Bandspannungen Si und S₂, wenn : S₂ --- 2,25 ist?

8. Var Trägheitsmoment.

XV. xb ist das statische Moment der Strecke b, bezogen auf den Punkt Ä (s. Hufg. 40). Xxb, das statische Moment der ganzen Strecke Z, ist gleich dem Inhalt des gleichschenklichen Dreiecks, also l²

x²b ist das Trägheitsmoment von d, bezogen auf den PunktA. (Es ist aber x²b=x-(xb) das statische Moment des statischen Moments von b. Daher ist das Trägheitsmoment der ganzen Strecke l gleich dem statischen Moment des Dreiecks bezogen aus die linke Ecke:

^    r Z² 2 , Z³

¹    2 ' 3 ¹    3 '

Demnach ist das Trägheitsmoment einer 3 m langen Strecke für

3⁸

einen Endpunkt / = | = 9 m⁸. Das Trägheitsmoment der

bh³

Rechteckfläche mit den Seiten b und h für eine Seite b ist gleich dem statischen Moment des dreiseitigen Prismas (f. ctufg. 45). ,_bh*    2

¹--T' 3A“ 3

₂ M' 2

Das Trägheitsmoment der Rechteckfläche für die zur--Seite parallele Schwerachse ist gleich der Summe der Trägheitsmomente der beiden halben Rechtecke

c*i sr

bh*

12

116.    wie groß ist das Trägheitsmoment der Rechteckfläche für die gegebene Rchfe?

117.    Es soll das Trägheitsmoment Ix des Rastenquerschnitts bestimmt werden.

118.    wie groß ist das Trägheitsmoment Ix des H-Lisenz?

119.    wie groß ist das Trägheitsmoment des I-Trägers?

xx sei eine Schwerachse, xtxx eine hierzu parallele Achse, die von der Schwerachse den Abstand e hat. Ein Flächenteilchen f hat von der Schwerachse den Abstand y, von der anderen Achse den Ab-stand y + e. Dann ist

f(y + ey=fy²+2fye + fe².

4i = ?-f(y + e)²= 5i/y²+ 2<?Ify + <?²-1f. 4i = 4 +    weil Tfy = 0 ist.

120.    Wie groß ist das Trägheitsmoment des halben Rechtecks für die zur Seite b parallele Schwerachse des Rechtecks?

121.    Wie groß ist das Trägheitsmoment des Dreiecks für die zur Seite b parallele Achse?

122.    Wie groß ist das Trägheitsmoment des Dreiecks für die b-Seite?

123.    Wie groß ist das Trägheitsmoment des Dreiecks für die durch die Spitze gehende, parallel zu b laufende Achse?

124.    (Es ist das Trägheitsmoment des Dreiecks für die zur höhe h parallele Schwerachse y zu bestimmen.

125.    (Es ist das Trägheitsmoment der Halbkreislinie für den Durchmesser zu bestimmen.

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126.    Wie groß ist das Trägheitsmoment der halbkreisfläche für fcert Durchmesser?

127.    wie groß ist das Trägheitsmoment der Ringfläche für den Durchmesser?

Das auf einen Punkt, bzw. auf eine senkrecht zur FlächestehendeRchsebezogeneTräg-heitsmoment wird polares Trägheitsmoment genannt. Die in den vorstehenden Rufgaben bestimmten Trägheitsmomente find äquatoriale Trägheitsmomente.

-iöoH

150

128. wie groß ist das polare Trägheitsmoment einer Kreislinie von 10 cm Durchmesser für den Mittelpunkt?

3U 127.

Die Summe zweier äquatorialen Trägheitsmomente einerLinie oderFlächefürzwei senkrecht zueinander stehenden Schwerachsen ist konstant und gleich dem polaren Trägheitsmoment für den Schnittpunkt der Rchfen bzw. den Schwerpunkt.

fx² + fy²--- fr², Tfx² + I/y²= I fr².

Das äquatoriale Trägheitsmoment des Quadrates ist für jede Schwer-

CL⁴

achse gleich ^ , wenn a die Seitenlänge ist.

129.    Wie groß ist das polare Trägheitsmoment einer Kreisstädte von 10 cm Durchmesser für den Mittelpunkt?

130.    Wie groß ist das polare Trägheitsmoment der in flufg. 127 gegebenen Ringfläche für den Mittelpunkt?

9. Var Zentrifugalmoment.

XVI. Das Produkt bxy aus der kleinen Strecke d und ihren Abständen von zwei Achsen x und y wird das Zentrifugalmoment der Strecke d für die beiden Achsen genannt.

Vas Zentrifugalmoment der Strecke l für die auf der Strecke senkrecht stehende Schwerachse x und die mit der Strecke zusammenfallende Achsen ist gleich Rull. Diese Achsen sind die Hauptachsen der Strecke. Das Zentrifugalmoment der Strecke l für die zu den Hauptachsen parallelen Achsen xtyx ist

Zxly₁ = Ib (y + <?,) • <?ä = <?₂• lyb + ete₂ • Ib.

3u 132.

3u 133.

Da aber Zyb — 0, Zxtyt = et • e₂ • l.

131.    Wie groß wird das Zentrifugalmoment der 5 cm langen Streife für die Achsen x und y, wenn e, = 2 cm, e₂ — 4 cm?

132.    Wie groß ist das Zentrifugalmoment der Kreislinie von 10 cm Durchmesser für die gegebenen Achsen?

133.    (Es ist das Zentrifugalmoment der beiden aufeinander senkrecht stehenden Strecken von 8 und 12 cm Länge für die zu den Strecken parallelen Schwerachsen zu bestimmen.

XVII. Die beiden Achsen x und y stehen senkrecht zueinander. Die kleine Strecke d hat die Abstände x und y von den Achsen. Wird die U-Achse um den Schnittpunkt der Achsen so gedreht, daß sie mit ihrer ursprünglichen Lage den Winkel« bildet, so sind die schiefwinkligen Koordinaten der der Strecke d:

r«y

*i = * ± y tg a, j/! = —; und daher j-y &*!* = &(* ±9 tga) •

Zu XVII.

-X----

-~r-4----

X-

5 cm

h*i

.1.

4 cm-

2 cm

Zu XVI.

Zu XVI.

Zu 131.

r-jiO cm\-

Li

— *-4 —

-L

14 cm ~x~-i—i—

L.

a:-

8 cm

*—b~*I

-Xv

■8 cm-

Das Zentrifugalmoment einer Strecke l für

bas neue Achsenkreuz ist

W) = ds~a &*« ± *8 a 4).

Ist tga =    -, so wird das Zentrifugalmoment gleich Null. Die Achsen

-E X

sind dann zugeordnete Achsen. Stehen diese Achsen aufeinander senkrecht, so sind sie Hauptachsen.

134.    (Es soll zu der v-Achse die zugeordnete Achse der beiden Strecken bestimmt werden.

XVIII. Werden die beiden senkrecht zueinander stehenden Achsen x und y um ihren Schnittpunkt um gleiche Winkel a gedreht, so wird

= x cos a + y sin a, yt = y cos a — x sin a.

^xiVi = & (x cos a + y sin a) (y cos a— x sin a).

)

= 0, wenn tg2a

(Es wird Z

2 Vx ¹ yJ-_ 2Zxy

xiyi

<?1-V

>4

11

y>'

SW

-s.s^

ar—

ZZZ

Li*

PV

yK

12~t

K-Zcm-j

ML

■*r

■+

3u XVIII.

ZU 134.

3u 136.

W*'

135.    (Es sind die Hauptachsen der in der letzten Ausgabe gegebenen Strecken zu bestimmen.

hat eine ebene Fläche zwei zueinander senkrecht stehende Symmetrieachsen, so sind diese die Hauptachsen der Fläche, hat die Fläche eine Symmetrieachse, so bildet diese mit der dazu senkrecht stehenden Schwerachse das Hauptachsenpaar.

Für zwei zu den Hauptachsen einer Fläche parallelen Achsen ist Z*„ = F-el-e₂, wenn F der Inhalt der Fläche ex und e₂ die Abstände der Achsen von den Hauptachsen sind (vgl. XVI).

136.    wie groß ist bas Zentrifugalmoment bes Rechtecks für bie beiben gegebenen Rch-fen unb für zwei Seiten.

137.    wie groß ist bas

Zentrifugalmoment ber Kreisfläche für bie gegebenen Rchfen.

138.    Zu einer Schwerachse eines Rechtecks, bie ben Winkel ß mit ber zu b-Seite parallelen Schwerachsen bilbet, ist bie zugeorbnete Rchse zu bestimmen.

139.    (Es soll bas Zentrifugalmoment bes Winkeleisenprofils für bie zu ben Kanten parallelen Schwerachsen bestimmt werben.

140.    (Es soll bie zur x-Rchse ber in voriger Rufgabe gegebenen Fläche zugeorbnete Rchse bestimmt werben.

141.    (Es sollen bie Hauptachsen ber in voriger Rufgabe gegebenen Fläche bestimmt werben.

u-40—^

10—|

Zu 139.

IT

-x -j--------4-

y    Zu 137.

SO

-fr-

x~

y/r—±-----4----

!    7

x-^

20

120

III. Festigkeitslehre.

XIX. Zwei ober mehrere an einem festen Körper wirkenbe Kräfte, bie im Gleichgewicht sinb, änbern bie Form bes Körpers. Die Form-änberung besteht in einer Verschiebung ber Körperteilchen gegenein-anber.

Der Formänberung setzt bie Kohäsion bes Materials einen wiber-ftanb entgegen. Diese wiberstanbskräfte, bie burch bie Formänberung im Körper geweckt werben, heißen innere Kräfte zum Unterschiebe von ben äußeren, bie Formänberung bewirkenben Kräften.

Zu ber Formänberung eines Körpers ist eine gewisse Rrbeit er-forberlich, bie von ben äußeren Kräften vor Eintritt bes Gleichgewichts geleistet wirb. Rn jebem Körperteilchen wirken zwei entgegengesetzt gerichtete, gleich große, innere Kräfte.

Ist ber Gleichgewichtszustanb ber äußeren Kräfte eingetreten, so sinb auch bie inneren Kräfte unter sich im Gleichgewicht.

5MuG 557: Schmitt» Nufgabensammlung a.d. Mechanik!. 2. flufl.

Die inneren Kräfte wachsen mit der Formänderung des Körpers bis zu dem Augenblick, in welchem eine Trennung der Körperteilchen, eine Zerstörung des Körpers eintritt. Der in diesem Augenblick wirkende größte widerstand des Körpers ist seine Festigkeit.

hört die Wirkung der äußeren Kräfte auf, nachdem sie eine gewisse Formänderung bewirkt haben, so nimmt der Körper seine ftühere Form wieder vollständig oder teilweise an. Diese Eigenschaft der Körper ist ihre Elastizität. Nimmt der Körper seine frühere Form wieder vollständig an, so ist er vollkommen elastisch, nimmt er sie nur teilweise wieder an, so ist er unvollkommen elastisch.

Zug- und Druckfestigkeit.

3uXX.

.1

XX. An einem geraden Stabe wirken zwei entgegengesetzt gerichtete Kräfte von gleicher Größe Q, die gleichmäßig über die Endquerschnitte verteilt sind, und deren Richtung mit der Stabachse zusammenfällt. Diese Kräfte verlängern den Stab und rufen in demselben innere Kräfte hervor.

wird aus dem Stab ein Stück/ geschnitten, so müssen, um dieses Stück in dem Zustand zu erhalten, in dem es vorher Q war, in den Schnittflächen Kräfte Q angebracht werden, die wieder gleichmäßig über die Flächen verteilt sind. Diese Kräfte sind gleich den inneren Kräften, die vor dem Zerschneiden, in den Querschnitten gewirkt haben.

Ist der Stabquerschnitt gleichem², soists—y die innere Kraft pro

qcm Querschnitt, Zugspannung, auch Normalfpannung genannt.

Bet Bau- und Maschinenteilen soll die Spannung des Materials eine gewisse Grenze nicht überschreiten. Diese Grenzspannung ist die zulässige Spannung des Materials.

142. wie groß ist die Tragfähigkeit eines schmiedeeisernen Stabes von nebenstehendem Querschnitt, der auf Zug beansprucht wird, wenn die zulässige Spannung kz — 1000 kg/cm² ist?

3u 142.

r->

143.    wie groß ist die Tragfähigkeit eines 30 mm starken Hanfseils, das zu einem Auszug verwendet wird, wenn kz — 100 kg/cm² ist?

144.    wie groß ist die Tragfähigkeit einer 10 mm starken Gliederkette, wenn kz — 600 kg/cm² ist?

145.    ITtit welchem Druck können die beiden Platten durch die Schraube zusammengepreßt werden, wenn die Schraube 1" stark und kz — 600 kg/cm² Kernquerschnitt ist?

146.    Lin Riemen von 100 mm Breite und 6 mm Stärke überträgt bei einer Geschwindigkeit

v—10 m/sec 10 PS. Me groß wird die Riemen- W/WM spannung kz?    T'lMp

147. (Ein hansseil von 30 mm Stärke soll bei > L

-I-

UW-

einer Geschwindigkeit v — 15 m/sec 8 PS übertragen. wie groß wird die Seilspannung kz?

148. wieviel PS kann ein Stahlband von 50 mm Breite und 0,5 mm Stärke bei einer Geschwindigkeit v — 15 m/sec übertragen,

I    |    wenn kz — 1000 kg/cm² ist?

149. Die Tragfähigkeit einer Gallschen Kette die aus 4 Platten von 2 mm Stärke P und den beistehenden maßen besteht, wird zu 1000 kg angegeben. töte groß wird die Zugspannung kz der Platten?

150.    Ruf der Konsole soll ein Sellers-Lager von 50 mm Bohrung und 200 mm Schalenlänge stehen, das einen Flächendruck p=4 kg/cm2 auszuhalten hat. Drei Schrauben sollen die Konsolplatte so stark gegen die wand pressen, daß die Reibung zwischen Platte und wand gleich der Last wird.

Der Reibungskoeffizient ist p — 0,2.

wie stark müssen die Schrauben sein?

151.    Ruf die Innenfläche eines Kreisringes wirken radial nach außen gerichtete, gleichmäßig verteilte Kräfte. Der innere Durchmesser des Ringes ist gleich d cm; der Druck pro qcm Innenfläche gleich pkg, die Ringstärke d cm, die Ringbreite b cm.

Sll 145.

io

r—

1*— 35—*1 3» 14S.

wie groß wird die Ringspannung fez?

152.3n einer Wasserleitung wirkt ein Überdruck von

-W-------1

3u 150.

SOKtm. Wiegrotz h muß die Wand- ~ll stärke der schmiede- > eisernen geschweißten Rohre sein,

r— d —i

3u151.

Zug- und Druckfestigkeit wenn die lichte Rohrweite 300 mm beträgt, und k. — 600 kg/cm²

36

ist?

153. Lin geschweißtes Rohr, das als Siederohr verwendet werden soll und bei 70 mm lichter Weite 3 mm Wandstärke hat, mutz einen Probedruck von mindestens 50 Atm. aushalten können, ohne eine Formänderung zu zeigen. Wie groß wird | die Zugspannung kz bei diesem ' Probedruck?

500-

154. Lin Schrumpfring, der auf eine Nabe gezogen wird, ist g 10 mm stark und 20 mm breit.

ZU 156.

Zu 155.

Er erleidet eine Spannung kz — 500 kg/cm². Wie groß wird die Reibung zwischenRing und Nabe, wenn m = 0,2 ist?

155.    Der Abschluß eines zylindrischen Behälters ist eine Rugelfläche, die einen radial gerichteten gleichmäßig über die Fläche verteilten Druck von p kg/cm² erleidet. Wie groß wird die Normalspannung dieses Bodens?

156.    Der Windkessel einer Pumpe erleidet einen Druck p=10 kg/cm². Sein Durchmesser beträgt 500 mm, der Radius des Rugelbodens 1000 mm, die Wandstärke 16 mm. (Es sind die Wandspannungen zu bestimmen.

157.    Die Sitzfläche des Druckventils einer Pumpe hat die Durch

messer D —100 mm, d=85 mm. wie groß wird der Flächendruck, wenn die jyc Druckhöhe 50 m beträgt?    w,

Schraube pro cm⁵⁵ Gewinde?

XXL wird ein Stab von der Länge Z, der an einem Ende befestigt ist, durch .I eine Kraft Q verlängert, so wächst die innere Kraft des Stabes mit der ver-

158.    Die Tragfähigkeit einer 1" j| starken Schraube beträgt 2145 kg, wenn < kz — 600 kg/cm² ist. Die Mutterhöhe dieser Schraube beträgt 1", die Anzahl der Gänge in der Mutter 8. Wie groß wird der Druck zwischen Mutter und

■80~

ZU 157.

längerung. Die Rrbeit, welche am Stab geleistet wird, kann durch ein Dreieck dargestellt werden, dessen Inhalt bzw. geleistete Rrbeit A -----

j*- A-*l

ist. X ist die Verlängerung des Stabes.

3u XXI.

Nach Hookes Gesetz sind Spannungen und Dehnungen proportional. Dieses Gesetz gilt bis zu einer bestimmten Dehnungsgrenze, der sog.

Proportionalitätsgrenze, wenn also s die Spannung des Stabes bei der Dehnung X imb£ die Spannung bei der Dehnung / ist, so wird:

£'

\:l = s:E, X = Z$

E wird Elastizitätsmodul genannt. Demnach wird:

a = 21 = 21l ₌ 21 2 n 2    2E 2E'F’

Ä = 21L.

n 2 EF

F ist der Querschnitt des Stabes. Statt E wird vielfach der Dehnungskoeffizient a=-£ eingesetzt. (Es wird dann

Demnach ist die Arbeit, welche in einem Stab steckt, wenn seine Spannung s ist, dem Stabvolumen V und den Csuadrat von s proportional.

159.    Ein hansseil von 2 cm² Querschnitt und 15 m Länge wird mit 200 kg belastet, wieviel wird das Seil verlängert und welche Arbeit wird hierbei geleistet, wenn E — 10000 kg/cm² ist?

160.    Welche Arbeit ist erforderlich, um einem Ring von 100 mm äußerem Durchmesser, 10 mm Stärke und 20 mm Breite eine Spannung von 600 kg/cm² zu geben, wenn E — 1000000 kg/cm² ist?

161.    stuf einen lotrecht stehenden, seitlich geführten Stab wird ein Gewicht von 5000 kg gelegt, wie groß wird die Stabkrast Q?

5000

162. Ruf den in voriger Aufgabe gegebenen Stab fällt ein Gewicht von 100 kg, das eine Stabkraft Q —1000 kg hervorruft und den Stab um 2 cm verkürzt.

ay*

jm

V777>

Zu 161.

^ wichts?

3u 164.

163. Der in voriger Aufgabe gegebene Stab soll eine ursprüngliche Länge von 1000 mm und einen Querschnitt /*= 5 cm² haben. Wie groß ist der Elastizitätsmodul E des Stabmaterials?

164. Einwagerecht liegender Balken ist an seinen Enden so gelagert, daß keine Verschiebung der Endpunkte möglich ist. Eine mit der Balken-achse zusammenfallende Kraft P beansprucht das linke Balkenstück auf Zug, das andere auf Druck. Wie groß sind die in den Balkenstücken wirkenden Kräfte?

2. Scherfestigkeit.

XXII. Die Scher- oder Schubfestigkeit eines Stabes ist sein Widerstand gegen das Zerschneiden, senkrecht zur Stabachse. Die Scherfestigkeit eines Stabes ist dem (Querschnitt des Stabes proportional, ebenso die Tragfähigkeit eines auf Abscheren beanspruchten Stabes. Letztere ist also P = Fks. Die zulässige Spannung ks des Materials kann im allgemeinen gleich -\kz angenommen werden.

165.    Zwei Bleche von 12 mm Stärke sollen durch eine einfache Überlappungsnietung verbunden werden. Die Nietstärke soll 20 mm betragen. Cs sind die Maße der Verbindung zu bestimmen.

166.    Zwei Bleche von 12 mm Stärke sind durch eine zweireihige

Hietnat zu _____

verbinden.    '    ,    . . f ..Ih

Diettietftärfe ,i    ! z±n

rrn:

düng zu be-    rjltBifddr

3u 165.

stimmen.    Zu 166.

167.    Zwei Vieche r—p-

von 18 mm Stärke    j ; , . ; > > \ ; ,

sollen durch eine Dop- i! J-|~L j 44 ' i Tf

Nietstärke soll 25 mm ) | VjJjyjVjT/IXT./ betragen. (Es sind die |L_l_—i_ >—x—j-44—{—— Maßederverbindung !/T    | !'\

zu bestimmen.    '{    _X m¹ ; Mi

168.    Zwei SU-.AM AffAfl stanzen von 150 mm \ /; v1-j-i ' riT" ! ""j Breite und 10 mm

-i.

I-

gll

3v

/!

Stärke, die eine Zugkraft von 6000 kg zu übertragen haben, sollen durch vier Niete von 20 mm Stärke verbunden werden. (Es sind die Zugspannung des Bleches und die Scher-fpannung der Niete zu bestimmen.

169. Welche Arbeit ist erforderlich, um ein 12 mm starkes Blech zu lochen? Die Lochweite soll 20 mm, die Festigkeit des Bleches 4000 kg/cm² betragen.

3u 167.

'eWcX

i / ⁷ / I A \ i

Y//k\v/

5. viegungsfestigkeit.

XXIII. Der Querschnitt eines geraden prismatischen Stabes hat eine Symmetrieachse y.

Die Symmetrieachsen sämtlicher Querschnitte liegen in der Symmetrieebene y, senkrecht hierzu steht die Schwerebene x des Stabes. Die Ebenen x und y schneiden sich in der Stabachse.

äußere Kräfte sollen den Stab so umformen, daß die Stabachse in eine ebene Kreislinie übergeht, wobei sie in der (Ebene y liegen bleibt. Diese Ebene wird die Biegungsebene, die x-Ebene wird eine Zylinderfläche, die damit zusammenfallende Stabschicht soll keine Längenänderung erleiden. Sie wird neutrale Schicht genannt. Die Zylinderfläche schneidet jeden Stabquerschnitt in der neutralen Achsen des Querschnitts. Die <l)uerschnitte standen früher senkrecht zur x=(Ebene, jetzt stehen sie senkrecht zur Zylinder-

Hfffl

i ¹ v i i ¹

TI“

150

3u 168.

X-

-j

-x

3u XXIII. if

V""' 7-,

/-

\-

y—

Zu XXIII.

V //

Zu XXIII.

fläche x. Die Richtungen der Querschnitte schneiden sich in der Rchse 0 der Zylinderfläche.

Bei der Formänderung drehen sich die ursprünglich parallelen Stab5 querschnitte gegeneinander. Die über der neutralen Schicht liegenden Stabschichten werden verlängert, die unteren verkürzt. In den oberen Schichten wirken Zug-, in den unteren Druckspannungen. Diese Spannungen wirken senkrecht zu den Stabquerschnitten und werden deshalb Normalspannungen genannt. In der neutralen Schicht wirken keine Spannungen. Die Dehnung oder Rürzung einer Stabschicht ist proportional dem Rbstand der Schicht von der neutralen Schicht.

Ist s die Normalspannung im Rbstande 1 von der x-Rchse, so ist ys die Spannung im Rbstander/, fys die Normalkraft im Flächenteilchen/'. Die Resultante der Zug- oder Druckkräfte eines (Huerschnitts ist K₀ = Ify • s — sTfy. (Es ist aber Tfy das statische Moment der oberen oder unteren (Huerschnittsfläche bezogen auf die neutrale Rchfe. Die neutrale Kchfe ist eine Schwerachse, daher ist das statische Moment der oberen gleich dem statischen Moment der unteren Fläche. Die Zugkräfte der oberen und die Druckkräfte der unteren Fläche, also die inneren Kräfte des Stabes bilden ein Kräftepaar, dessen Moment K₀a = saTfy ist. a ist der Rrm des Kräftepaares. Ls wirkt in der r/-Lbene. Deshalb müssen auch die äußeren Kräfte, welche die Formänderung des Stabes bewirken, ein in der r/-Cbene wirkendes Kräftepaar bilden, dessen Moment gleich K₀a ist. Die

Biegungsfestigkeit

Kraft sfy im Zlächenteilchen f hat den Dreharm y, also das Moment sfy'\ Die Summe der Momente der inneren Kräfte ist

s^fy² = s-lxl

wenn 4 das Trägheitsmoment des Querschnitts für die x-5lchse ist. Kq • sl = s * 4, ß == 5 • — •

Die größte Spannung wirkt in der Stabschicht, welche den größten Abstand von der x-Achse hat. Diese Spannung ist kb = s-c, wenn c der größte Abstand ist

K₀ • a == 4 • s

Das Moment des Kräftepaares, auch Biegungsmoment genannt, ist

Y = Wx ist das Widerstandsmoment des Querschnittes. Die allgemeine Biegungsgleichung lautet:

Mb ----- K₀a = Wx- kb.

XXIV. Die Kraft fys leistet eine Arbeit

l , l    ls* , ₂

⁼ 2 fys ' E ' ys = ZE fy ■

ro| cz

f-ys ■

Die ganze Arbeit im Stabe ist

(Es ist auch A =    • a •    = Mb • j, wenn a der Drehwinkel ist,

a=*T-Tx'Mb-

Für den Krümmungsradius r gilt die Gleichung:

E EIX Es' r “ s ~ Mb

3u XXV.

— L.

80—

3u 170.

*CZ-

125

300

f-JJ

.1

r*>i

-iZ¹

*—50—>

3u 171.

3u 172.

v//7/yyw/////y

10,8

3u 173.

16,2

&'

1-«

j,

FZ

ippr^

3u XXV.

%60

>tsg

30

150

3u XXV.

170.    (Ein gerader Stab von beistehendem (Querschnitt und 2 m Länge soll durch ein Kräftepaar eine Kreiskrümmung erleiden. Die Viegungsfpannung kb = 2500 kg/cm² soll noch unter der Proportionalitätsgrenze des Materials liegen und E = 2 000000 kg/cm2 sein. Zu bestimmen sind: K₀, a, A.

171.    Ein 50 mm starkes Rundeisen von 5 m Länge soll durch ein Kräftepaar so gekrümmt werden, daß der Krümmungsradius r = 50 m beträgt. Zu bestimmen sind: b, kbl Mb und A.

172.    Ein gußeiserner Träger von beistehendem Querschnitt und 3 m Länge wird durch ein in der r/-Cbene wirkendes Kräftepaar so gekrümmt, daß kb ----- 900 kg/cm² wird. (Es sind Mbt K₀; a und A zu bestimmen.

173. Ein I-Träger N. P. 30 erleidet durch ein Kräftepaar eine Biegungsspannung kb ----- 1000 kg/cm². (Es sind Mb, K₀ und a zu bestimmen.

XXV. Der eingespannte Balken trägt am freien Ende eine Last Q, die in der Zymmetrieebene y des Balkens wirkt. Sie ruft die Reaktionen hervor:

Nt-f- JV, = 2fct2:

Die inneren Kräfte int (huerschnitt z müssen Q das Gleichgewicht halten, sie müssen ein Kräftepaar K ■ a und eine auswärts gerichtete Kraft Q bilden. (Es ist Ka = Qz = Mz das Biegungsmoment des Querschnittes, das mit dem Abstand Z wächst und bei JV₃ den größten Wert Mb = Ql erreicht. Die beiden Rechtecke mit den höhen Q und tVi bilden die Scherkraftsläche. Der Inhalt dieser ganzen Fläche ist gleich Rull. Das Dreieck mit der höhe Ol ist die Momentenfläche. stn einem ausgeschnittenen Balkenstück werden die vorher inneren Kräfte als äußere angebracht. Dann ist

Kx • a + Q (z₂ — zt) = K₃ • a Afi + Q (f₂ — Zi) --- Af₂,

M% M₁ — Q (z₃ Zj)

ist der Zuwachs des Biegungsmoments aus der Strecke z₂ — z,; bei gleich bleibendem (huerschnitt auch der Zuwachs der Kraft K. Für z₂ — z, = 1 wird dieser Zuwachs gleich Q. Die Scherkraftsläche gibt an, wieviel das Biegungsmoment pro Längeneinheit des Balkens wächst. Der Inhalt Hz der Scherkrastfläche ist gleich dem Biegungsmoment im Abstande z. Die gerade Schwerachse des Balkens geht in eine Kurve, die elastische Linie, über, die aus kleinen Kreisbogen besteht. Die y=<E6ene ist Biegungsebene.

XXVI. Die Arbeit der Normalspannungen in einem kleinen Balken-

i jvp

stück X ist gleich gy-y • X. Die ganze Arbeit im Balken l

Das Stück X senkt sich um

'K

3u XXVI.

SZ

3u XXVI.

^    - X ist das statische Moment der

Momentenfläche für die Basis AB; daher

1 QE Ql _ Q'-E A~ El' 2 * 3 — 6 El'

Nach XXIV ist et =    hier ist Mb = Mz

veränderlich, et wächst im Stück X um cp = .As • X

~gy- und der Neigungswinkel am freien Ende wird a₀ = ~TMz ■ X. (Es ist IMZX gleich

dem Inhalt der Momentenfläche. Im vorliegenden Falle ist

1 Ql2 a° ⁼ El ' ~2~

Im Abstande z vom freien Ende ist der Neigungswinkel

a = F7 2⁽*2-z2)

Xa = H2(z3~ ^

Die Linsenkung im Abstand z vom freien Ende ist

az = -gj IMZ • Xz.

TMz-\z ist das statische Moment der Momentenfläche für den Endpunkt B des Balkens. Im vorliegendem Falle ist die Durchbiegung an einer beliebigen Stelle und die Durchbiegung am freien Ende

,0*1

• ~5El'

Ist die Last Q gleichmäßig über die ganze Länge l verteilt, so kommt

auf die Längeneinheit eine Last q = j ■ stuf der Länge z liegt die

Last qz, die in der Mitte des Stückes wirkend angenommen werden kann. Die Scherkraft qz wächst mit z bis auf ql — Q, die Scherkraftfläche ist ein Dreieck. Das Biegungsmoment im Abstand z vom freien Ende ist

qz¹

Qz ■ 2    2

Das größte Biegungsmoment an der wand ist

Mb = T 2

ql* Ql

Die untere Begrenzungslinie der Mamentenfläche ist eine Parabel.

q*p

40 ei'

(Es wird ferner:

QP

“o — 6 El'

Qz%

9 = 817'

174.    (Ein Zapfen erleidet einen Druck Q —1250 kg. wie stark muß der Zapfen fein, wenn feine Länge l—l,6d und ft₆=400kg/cm² ist?

175.    Ein Zahnrad hat eine Teilung t = 50 mm, eine Zahnbreite b — 60 mm und 60 Zähne.

a)    Wieviel PS kann das Rad bei einer Umfangsgeschwindigkeit v — 2,1 m/sec übertragen, wenn die zulässige Biegungsspannung des Zahnes kb — 300 kg/cm² ist?

b)    (Es ist der Armquerschnitt zu bestimmen.

I — 8 EI

-h-    ₁₆

—21 —

3u 174.

~\6\

3u 175.

-300

100

Zu 176.

Z,

900-<J

wr

3ll 178.

24

M-!

-180 kg-

so

2S0

3u 177.

-fr

fa

au

::d

LL

380

Zu 178.

t54»

---

300

200

22'L

Zu 179.

300

(?

176.    (Eine Blattfeder von 300 mm Länge, 100 mm Breite und 12 mm Stärke erleidet durch eine am freien Ende wirkende Kraft Q eine größte Biegungsspannung kb= 4000kg/cm², wie groß sind Q und die Durchbiegung f der Feder?

177.    Eine Leitrolle führt einen Riemen von 120 mm Breite unb 6 mm Stärke, der V₄ des Rollenumfanges belegt. Die größte Riemenspannung ist kz — 25 kg/cm². Es ist die Rchfenftärke nach den angegebenen Maßen für kb = 400 kg/cm² zu bestimmen.

178.    wie groß wird die Spannung Kb des Balkens, wenn mit dem Rufzug eine Last von 600 kg gehoben wird? Der Balkenquerschnitt soll ²⁴/so cm sein.

179.    Der größte Querschnitt einer Wandkonsole hat die in der Figur angegebenen Matze. Die Ausladung der Konsole beträgt 380 mm.

(Es ist die Biegungsspannung kb des (Querschnitts für einen Lagerdruck Q — 3000 kg zu bestimmen.

180.    Auf einen 1 % " starken Anker wirkt eine Zugkraft von 5000 kg. Die Ankerplatte hat einen Durchmesser von 300 mm und ist 40 mm stark.

a)    wie groß wird der Druck auf das Mauerwerk pro cm²?

b)    wie groß wird die Biegungsspannung kb der Platte?

181.    (Ein Holzbalken von 3 m Länge trägt am freien Ende eine Last von 600 kg. Der rechteckige Balkenquerschnitt ist 20/30 cm.

(Es sind die inneren Kräfte des Balkens, die Arbeit A und die Durchbiegung f zu bestimmen.

XXVII. (Ein auf zwei Stützen ruhender Balken trägt eine Last Q. Diese Last ruft in den Stützen die Reaktionen Nx und Na hervor

N₂l = Qzu

Ä-Sä.

2s---

Wi + JVä=Q,

K.-³?

Die Scherkraftfläche besteht aus zwei Rechtecken ^ (f. Figur). Der Inhalt der ganzen Scherkraft- + fläche ist gleich Null.

Die Formänderung des Balkens ist dieselbe, als wenn er im Angriffspunkte von Q einge- X j klemmt wäre und an den Enden die aufwärts ge- N jjy

richteten Kräfte Nt und N₂ wirkten. Die Rlo-

3u XXVII.

El

Zu XXVIII.

mentenfläche ist ein Dreieck. Vas größte Biegungsmoment wirkt im Angriffspunkt von Q und ist

_ Q£iji

Mb ---- Nlzl --- N₂z₂

Zu XXVII.

Liegt die Last in der Mitte des Balkens, so ist

Ql

z₁=z₂, Mb = --

Die Arbeit der Normalspannungen ist in diesem Falle:

QH°

96 El

die Linsenkung in der Mitte f —

Ql¹

48 EI

XXVIII. Ist die Last Q gleichmäßig über die ganze Balkenlänge verteilt, so kommt aus die Längeneinheit des Balkens die Last

<7 = t-

die Kuslagerdrucke sind

qi

Rn dem Balkenstück z wirken die Kräfte y und qz, die vertikale Scherkraft in dem angenommenen Schnitt ist V=f-qz = q(L-z)-

3n der Mitte des Balkens ist die Scherkraft gleich Null. Die Scherkraftfläche besteht aus zwei Dreiecken.

Das Biegungsmoment in dem angenommenen ?! Schnitt ist

U-

"i 2

?²

12

[17

Mz = -z — qz • y = y • (Zz -- z²).

Das größte Viegungsmoment in der Mitte des Balkens ergibt sich, wenn z = y gefetzt wird

Die Arbeit der Normalspannungen ist

¹

b— 8

,= 08f8

A    240 EI'

,    _L 5Ü

'    384 £/

182.    Wie groß wird die Scherkraft in der neutralen Schicht der in flufg. 176 gegebenen Blattfeder?

183.    (Ein Stab von kreisförmigem (Querschnitt, 100 mm Starte und 1 m Länge trägt ant freien Ende eine Last von 600 kg. wie groß wird die Scherspannung in der neutralen Schicht?

184.    wie verteilt sich die Scherkraft Q über den Huerschnitt des

I-Trägers N. P. 30?    i

-- 200 f-

185.

185.    (Ein an einem Ende eingemauerter Holzbalken, der am freien Ende eine Last von 1000 kg trägt, ¹ besteht aus zwei übereinanderliegenden Balten von gleichem Huerschnitt, die L so miteinander verschraubt sind, daß sie wie ein massiver Balten wirken. Die Schrauben sind 1 V₄" stark und stehen 20 cm voneinander, wie groß wird die Zugspannung des Schraubenkerns wenn der Koeffizient der Reibung zwischen den Balten gleich 0,2 ist?

186.    (Ein I-Träger N. P. 40 ist durch zwei Platten von 200/15 mm verstärkt. Die Niete sind 20 mm stark, die Nietteilung beträgt 200 mm, der Träger ist 5 in, die Platten sind 3 m lang. (Es sind die Träger-

y-t-

400

"1

l'F

iCfl

V-^200

3ul86. I

Aß

Zu 186.

CD

C2

ANuG 557: Schmitt, Aufgabensammlung a d.Mechanik!. 2.flufl.

3j

*

L Obet^

und Nietspannungen für eine gleichmäßig verteilte Last von 30 000 kg ] zu bestimmen.

187.    Es sollen die Scherkraft- und Momentenfläche des Balkens be-

; stimmt werden.

188.    Es ist die Momentenfläche des in voriger Aufgabe gegebenen Balkens durch Zeichnung zu bestimmen.

189.    (Es ist die Momentenfläche des Balkens zu zeichnen.

190.    Es ist die Ukomentenfläche des Balkens zu zeichnen.

191.    Line schmiedeeiserne Achse wird in der Mitte mit 2500 kg belastet. Die Achsenlänge von Zapfen- zu Zapfenmitte beträgt 800 mm. Es ist die Achse für kh — 500 kg/cm² zu berechnen.

192.    Das in dem Hängebock stehende Lager von 80 mm Bohrung und 320 mm Schalenlänge erleidet einen Zlächendruck von 5 kg/cm². (Es ist der (Querschnitt des I-Trägers, an dem der Hängebock befestigt ist, für kb — 500 kg/cm² zu bestimmen.

1—45 m-M300

375

TM II fl 11111 fTTTT

375

3u 187.

6 in-

;4 M

450

200 N,

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jVi

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200 N,

Zu 189.

-50-

SU

-3 m-

r* n

2Q0

i.L

U£

Zu 188.

193.    Die Eisenbahnwagenachse soll eine Last von 16000 kg tragen. (Es sind die Biegungsspannungen der Zapfen und der Achse zu berechnen.

194.    Rn dem Rnkerbolzen von ly/'StäTfe wirkt eine Zugkraft von 5000 kg. (Es ist die Splinthöhe h für den Fall zu bestimmen, daß die Splintstärke mm beträgt und kb=1000 kg/cm

300

,    450

-ik—    -H

12

JL

jJC,

300

450

50

Zu 190.

—1500

-750-*

3u 192.

ist-

195.    Der Gabelzapfen soll 4000 kg tragen, Gesamtlänge l — 2,5 cf, eine Traglänge lx — 1,5 d haben und eine Spannung kb = 500 kg/cm² erleiden. (Es sind die Maße des Zapfens zu bestimmen.

196.    (Es ist die Biegungsspannung des Gabelauges zu bestimmen.

eine

—155------

r---

- - 1500-

aq

25Ö

-N-

71

-*] 3u 193.

3u 194.

4*

197.    Lin Zapfenlager von 60 mm Bohrung und 90mmScha-lenlänge erleidet einen Druck Q = 2400 kg. Die Lagerbreite beträgt 65 mm, die Zutzlänge 300 mm. (Es ist die hohe hx des Lagers für kb -----300 kg/cm² zu berechnen.

198.    Ls ist die veckelhöhe/rz des in voriger Aufgabe gegebenen Lagers zu bestimmen.

199.    Der Ketn der Vs" starken Schraube soll beim Anziehen eine Spannung von 600 kg/cm2 erleiden. Wie groß wird die Spannung kb des Gabelbolzens?

200.

Laufkran soll eine Spannweite von 10 m und eine Tragfähig-

■2,5 d

-75—

vv

-öl

Lin

|—-120-

300

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4,5

3u 195 u. 196.

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JIIHthtik!

3u 197 u. 198.

3u 199.

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3u 200.

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1000 kg

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180C

1000

1800

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11111 \m>

i-

I*--2 m--«

3u 201.

¹ 3u 200.

fett von 2000 kg haben. (Es sind die Trägerquerschnitte zu bestimmen.

201.    Der Balten trägt eine gleichmäßig verteilte Last von 2000 kg und eine Einzellast von 1000 kg. Wie groß ist das größte Biegungsmoment Mb des Balkens und wo wirkt es?

202.    stn einem Deckenträger, der eine gleichmäßig verteilte Last von 3000 kg trägt, soll ein Hängelager angebracht werden, das einen Druck von 1200 kg erleidet, wo wirkt das größte Biegungsmoment Mb und wie groß ist es?

203.    (Ein Träger von 6 m Länge trägt eine gleichmäßig verteilte Last von 3000 kg und zwei mit je 1200 kg belastete Hängelager. (Es soll das größte Biegungsmoment Mb des Balkens bestimmt werden.

—2 m—

Li

2Vt

2500

11

El

2,5 m

®rf

mo

Zu 202.

11

eeF

-t r

5=R ii

204.    (Eine kreisförmige Platte von 5 cm Stärke liegt am Rande auf und trägt eine gleichmäßig verteilte Last, die einschließlich Eigengewicht 6000 kg beträgt. Der mittlereDurchmesser der Ruflagerfläche beträgt 1,8 m. (Es ist kb zu bestimmen.

dzi4-"-³⁵⁰

soo,

205.    fln einem eingemauerten Balken wirken zwei entgegengesetzt gerichtete Kräfte P und Q. Wie groß wird die Durchbiegung am Ende des Balkens?

MM

Mfmrrrm^

■3,4

Zu 203.

206.    Wie groß muß bei der vorigen Rufgabe die Kraft P sein, damit die Durchbiegung am Ende gleich Null ist?

207. Wie groß mußbeider

- vorigen Rufgabe die Kraft P

sein, damit die Einsenkung im Rngriffspunkte von Q gleich Null ist?

208.    (Es ist der Ruflagerdruck N des Balkens zu bestimmen.

209.    (Es ist die Momentenfläche des in voriger Rufgabe gegebenen Balkens für 1—2^ zu zeichnen.

210.    (Es ist der Ruflagerdruck N des Balkens zu bestimmen (s.Lösung).

„    211. (Es ist die NIomentenfläche des in vo-

¹ /'

- riger Rufgabe gegebenen Balkens l — -z zu

&- i

Zu 205.

zeichnen.

¹ -*1

212.    (Es ist der Auflagerdruck N des eingemauerten Balkens zu bestimmen, der eine gleichmäßig verteilte Last Q — ql trägt.

213.    (Es ist die Momentenfläche des in voriger Aufgabe gegebenen

A-----.

Balkens zu zeichnen.    >-—

f---

214.    Wie groß ist der Auflagerdruck N des einge- |*_a—L mauerten Balkens, der zwei gleiche Lasten Q trägt?

3u 214.

215.    (Es soll die Momentenfläche des in voriger Aufgabe gegebenen Balkens gezeichnet werden.

216.    (Ein an beiden Enden eingemauerter Balken trägt in der Mitte eine Last Q. (Es ist die Nlomentenfläche des Balkens zu zeichnen.

217.    (Ein an beiden Enden eingemauerter Balken trägt eine gleichmäßig verteilte Last Q. Es ist die Momentenfläche des Balkens zu zeichnen.

218.    (Ein auf drei Stützen ruhender Balken trägt in der Mitte jedes Feldes von der Länge l eine Last Q. (Es sind die Auflagerdrucke Nt und N₂ zu bestimmen und die Momentenfläche zu zeichnen. Die Stützpunkte sollen in gleicher höhe liegen.

219.    Der auf drei Stützen ruhende Balken soll eine gleichmäßig verteilte Last Q tragen. (Es sind die Auflagerdrucke und N₂ zu bestimmen und die Momentenfläche zu zeichnen.

4. Torsionssestigleit.

XXIX. Zwei an einem Stab wirkende Kräftepaare von gleichem Moment Mt, deren Ebenen senkrecht zur Stabachse stehen und welche entgegengesetzt drehen, sich also das Gleichgewicht halten, beanspruchen den Stab aus Verdrehung oder Torsion. Die Spannungen jedes Stabquerschnitts bilden ein in diesen (Querschnitt fallendes Kräftepaar. Die Formänderung besteht in einer Verdrehung der (Querschnitte gegeneinander. Jeder Querschnitt dreht sich um seinen Mittelpunkt. Die (Querschnitte gleiten aufeinander, wodurch in den (Querschnitten Schubspannungen entstehen.

Die Verschiebung eines Tuerfchnittpunktes ist proportional dem Abstand des Punktes vom Mittelpunkt, daher ist auch die Spannung diesem Abstand proportional. Die Spannung im Flächenteilchen f ist fps, wenn s die Spannung im Radius 1 und p der Abstand des f vom Mittelpunkt ist.

Zusammengesetzte Festigkeit Ifps ----- slfp

ist die Summe aller Spannungen des Querschnitts. Das Drehmoment ber Spannung/"ps ist gleich fP'-s, daher wird das ganze Drehmoment

Mt = Xfp²s — sX/p² = slp

oder auch Mt— Wp-kt (vgl. polares Trägheitsmoment und Widerstandsmoment). kt ist die Spannung in der äußersten Zaser, also am Umfang. Dieselbe ist hier in allen Querschnitten dieselbe.

220.    Wieviel PS kann eine 60 mm starke welle bei 150 Touren übertragen, wenn kt= 200 kg/cm² ist?

221.    (Eine 100 mm starke Welle soll bei 180 Touren 80 PS übertragen. Wie groß wird kt?

222.    Wieviel PS kann eine Hohlwelle von 120/80 mm bei 120 Touren übertragen, wenn kt — 200 kg/cm² ist?

223.    (Eine 80 mm starke welle, die bei 120 Touren 20 PS überträgt, soll mit einer Schalenkupplung versehen werden, die vier, bzw. acht Schrauben hat. Wie stark müssen die Schrauben sein, wenn kz — 450 kg/cm² und p — 0,2 ist?

224.    (Es sollen die Schrauben einer Scheibenkuppelung mit Zwischenstück berechnet werden. Der Wellendurchmesser sei d = 100 mm und kt — 300 kg/cm².

225.    Die Spannringe einer Hülsenkupplung für eine welle von 60 mm Durchmesser haben einen rechteckigen Tuerschnittvon20/30mm. Wie groß muß die Zugspannung kz der Ringe sein, wenn die Torsionsspannung der Melle kt= 300 kg/cm² und p — 0,2 ist?

226.    Ruf einer Transmissionswelle von 80 mm Stärke wird eine geteilte Riemenscheibe von 600 mm Durchmesser befestigt, die bei 150 Touren der Welle 6 PS übertragen soll. Ittit welchem Druck müssen die beiden Scheibenteile auf die Melle gepreßt werden, wenn der Koeffizient der Reibung zwischen Welle und Scheibennabe p —0,15 ist?

5. Zusammengesetzte Festigkeit.

227.    Wie wird der in der Figur dargestellte Balken von der Kraft Q beansprucht?

228.    Wie wird der in der Figur gegebene Balten durch eine parallel zur Rchse im Rbstande a von der Achse wirkende Kraft beansprucht?

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SS

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3il 223.

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12000 kg

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Zu 230.

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3u 233.

229.    Eine Last von 12000 kg wirkt int Punkte A, dem Schnittpunkte der Hauptachse des Querschnitts mit der Seitenfläche. Wie wird der Balken beansprucht?

230.    Eine Last Q — 3000 kg wirkt am Rande eines Rundstabes von 120 mm Durchmesser parallel zur Stabachse. Wie wird der Stab beansprucht?

231.    Der Querschnitt AB des offenen Hängelagers soll die in der zweiten Figur angegebenen Maße haben. Es sind die größten 3ug-und Druckspannungen des Querschnitts für einen Lagerdruck 0=500 kg zu bestimmen.

232.    Dieselbe Aufgabe wie 231 ist für nebenstehende Matze und Q = 600 kg zu lösen.

233.    Mit der Schraube der gegebenen Klemme soll ein Druck von 300 kg ausgeübt werden. Wie groß werden die Spannungen im gegebenen Querschnitt.

234.    Der haken soll eine Last von 2000 kg tragen. Wie groß werden die Spannungen im Querschnitt AL?

235.    Der haken soll für eine Last von 1200 kg berechnet werden.

M_______/s

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1,5 m

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3u 237.

2,5 m

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////////// //////

7/////J////7777 -

-l-H

236. stuf dem unteren horizontalen Träger des Wandkrans wird eine Last von 500 kg bewegt. (Es sollen die in den einzelnen Teilen des Krems wirkenden Kräfte bestimmt werden.

237.    (Es sind die Teile des Schachtkrans für eine Last von 1500 kg zu berechnen.

238.    Die Welle einer Dynamomaschine hat 30 PS bei 750 Touren zu übertragen. Die freigetragene Rierrv scheibe hat einen Durchmesser von 400 mm. (Es ist die wellenstärke d für&6=300kg/cm zu bestimmen.

239.    (Es ist die Spannung der 30 mm starken Kurbelwelle der winde für eine Last von 500 kg zu bestimmen.

240. Mit dem Vorgelege sollen 12 PS übertragen

c:

Tff

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r- 700-4

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3u 239.

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\\\\V'\\\W-.X\\V-\\\V    |

MM

140- -

ip-

30

450

mt-

werden, wenn die Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe I

200J-------800------•s'20(

ui = ⁶ 55? 4 =

400 mm,

Zu 240.

600 mm ist. (Es ist die lvellenstärke für kb — 300 kg/cm zu berechnen.

Lösung der Aufgaben.

• 20 = 150 m.

----- 4 m/sec.

= 120 sec.

§ o (M ° so

1. s =

2. c =

3.    -----

o

4.    (10 + 12,5) t --- 45000; t ---- 2000 sec.

s, = 10    • 2000 = 20000 m = 20 km.

sä — 12,5 • 2000 — 25000 m — 25 km.

5.    c — jq 2 = 4 m/sec.

6. t

38 sec.

7. s = ^ • 0,5 • 20² = 100 m.

200 + 180

10

50

50

⁸- t = TÖ

Der Körper steigt gleichförmig verzögert. Die Verzögerung beträgt 10 m/sec².

9.    ~ 10 t² = 500.

15

10.    p = y = 3 m/sec². vm ----- 7,5 m/sec, § = 7,5'5 = 37,5 m

77 0,8 - 90    _    ,

—— = 3,768 m/sec.

= 5 sec.

s = ~2 • 5 = 125 m.

t = 10 sec.

c = 10 • 10 = 100 m.

12a. v =

TT -0,9    120

12,56

60

d. v —

Tr -1,5 - 60

60

r ,r /    TT - n

= 5,65 m/sec. w =

/    Tr» 60    6,28

= 4,71 m/sec. iv —    ”

sec

sec

1 3. Tl₂ -

800 -120

600

= 160

60-30

1 A _    _ ri ’ ni

U. n₂- —

15. (Eine eingängige Schnecke kann als ein Rab mit einem Zahn angesehen werben.

20

= 90.

1 -1200

30

= 40.

16.    = 2,826 m/sec, v₂ = 3,768 m/sec,    ,

u>₂ =

12,56

sec '

m₃ =

17. v = 0,5

750 - 480

150 - 120

25,12 sec '

= 10 m/sec.

d2 a = 450 mm, d2 6 = 600 mm.

18.    v =]/1,2* + 0,9² = 1,5 m/sec.

19.    Ci = 4 sin 30°= 2 m/sec.

y₁=]/l² + l²=l,414 m/sec. Seine Geschwinbigkeit nach bet zweiten Selunbe ist

20. Figur a ist bas Geschwinbigkeitsbiagramm. Nach bet ersten Sefunbe hat bet Körper eine wagerechte Geschwinbigkeit von 1 m/sec unb eine lotrechte Geschwinbigkeit von I m/sec. Daher ist feine Geschwinbigkeit

y₂=]/₁² + 2²= 2,236 m/sec uff.

Die punktierten Linien finb bie mittleren Geschwinbigkeiten in bet ersten, zweiten usw. Sehmbe. Zu biefen Linien finb in Figur b parallele gezogen, beten Schnittpunkte 0 III uff. Punkte bet Kurve finb, bie bet Körper burchläuft.

i>i =~)/(0,4 • 2)ä+lä= 1,3 m/sec, v₂="|/(1,2 - 2)² + 1² = 2,6 m/sec.

22. wird ein Kreis mit dem Radius c gleichmäßig eingeteilt, so sind die Lote v von den Teilpunkten aus den wagerechten Durchmesser

21. Die beiben Geschwinbigkeiten bet hülse stehen immer senkrecht aufeinanbet.

7

'S* v .

1/

c₂ —W Zu 18.

L2

30°

Zu 19.

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L\

<lm >k Im ?c7w >

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.1

Zu 22.

II

Zu 20.

_^j

0ß m

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Zu 21.

II

F : f"/ L.\ iz

—0

Zu 25.

3u23.    ^'

die zu den betreffenden Kurbelstellungen gehörigen Geschwindigkeiten der Stange. Der zweite punktierte Ureis, der Kurbeßreis, wird ebenso eingeteilt, dann werden die in der ersten Figur bestimmten Geschwindigkeiten v auf den durch die Teilpunkte gehenden Lote aufgetragen. Ihre Endpunkte werden durch eine Kuroe (Geschwindigkeitskurve) verbunden.

23. Die Scheibe rollt, wenn sie sich mit einer Geschwindigkeit c geradlinig bewegt und gleichzeitig mit der Umfangsgeschwindigkeit c dreht. Jeder Punkt der Scheibe hat zwei Geschwindigkeiten. Die beiden Geschwindigkeiten des Punktes I sind wagerecht und gleich gerichtet, die Geschwindigkeiten der Punkte 11 und IV stehen auseinander senkrecht, die Geschwindigkeiten des Punktes III sind wagerecht und entgegengesetzt gerichtet. Daher wird

cx = 2 c = 4 m/sec, cä = c₄ = '|/2c²= 2,82 m/sec, c₃ — 0.

32

& ’^i

^^40 kg^ Zu 26.

50_

Cts

.—50 kg—(—Rj-4

ZU 27. T>

Zu 28.

iv<*

^J2-j

U--4 cm

60-20 3,14 -1,5

25.    Die Trommel hat eine geradlinige Geschwindigkeit von 2 m/sec und eine Drehgeschwindigkeit von 1 m/sec. Daher ist die Geschwindigkeit ihres höchsten Punktes oder die Hubgeschwindigkeit des Gewichts v = 2 + 1 = 3 m/sec.

26.    R = j/40² + 30² --- 50 kg.

27.    Die Resultante der beiden Kräfte von 60 kg, K, — 60 kg, ist der dritten Kraft entgegengerichtet, daher R — 10 kg.

28.    R=V24² + (50 - 32)² = 30 kg. Nach Zig. a kann die

Größe und Richtung, nach b die Größe, Richtung und Lage von R bestimmt werden.    _

29.    Die Resultante der beiden ersten Kräfte ist R₁== ]/25² + 602 — 65 kg. Die Kraft P muß gleich R₁ aber entgegengesetzt gerichtet sein.

30.    (180 — 60)² + (100 - P)² = 200²,

P1 = 260 kg, P₂ = - 60 kg.

31.    Px = 20 kg, P₂ = - 10 kg.

32.    R =Y¥T 12² + 20² = 25 kg.

33.    Die Kräfte werden aus der Geraden A B

in einem bestimmten Rlaßstab aufgetragen, dann \ werden die punfte AI IIB mit einem beliebigen \    9?

Puntte P (pol) verbunden. 3um Seilstrahl IP \|/ wird durch D die parallele I bis zum Schnitt F mit der Kraft von 30 kg, durch diesen Schnittpunkt die parallele II zum Strahl IIP gezogen. DH ist parallel zu AP, EH parallel zu

KNuD558: Schmitt, Aufgabensammlung a.d. Mechanik!. 2.Hufl. 5

24. v --

72000

3600

— 20 m/sec, n —

= 255.

Z-K

180

3u 30.

Z+-100-

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20 kg

30 kg

.■5.

30 kgj^20 kgß"

—20 kg— **>Wk£i

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tq 10 kg

.10 kg

20 kg

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co

hl

3u 34.

'N

-V

___

Zu 38.

3u 35.

BP. Durch den Punkt//geht die Resultante Ä=20 + 30 +10=60 kg. Die Figur DFEH wird Seilpolqgon oder Seileck genannt.

34.    hier ist 11| AP, II || BP, III || CP, R = 10 kg.

35.    11| AP, II || BP, III || CP, IV || AP, R = 10 kg.

36.    R=y60² + 80² = 100 kg.

Rx ----- PiT-1 + P₂r₂.

100* = 60 • 0,6 + 80 • 0,4. x = 0,68 m.

Lösungen

37. K ---- 50 -j- 100 --- 150 kg.

Wird ein Punkt der Kraft 50 kg als Drehpunkt angenommen und der Abstand der Resultante von diesem Punkte mit x bezeichnet, so ist

R • x = 100 • 0,3.

0,2 : 0,1 = 100 : 50.

x — 0,2 m.

wird ein Punkt der andern Kraft als Drehpunkt angenommen, so wird

Rxt = 50 • 0,3,

x₁ — 0,1 m.

x + x, = 0,3 m.

38. R = 50 kg.

Rx — 3 - 50 - 0,3 — 45 mkg.

45

5Ö ⁼ °'9 m-

In beistehender Figur sind R und x durch Zeichnung bestimmt. R = 200 kg.

40.    Die Strecke wird in kleine Stücke von der Länge d geteilt. Das statische Moment eines solchen Stückes m = xb läßt sich geometrisch durch ein Rechteck darstellen, dessen Inhalt „xd" +-x 4» gleich m ist. Wenn so die Inhalte aller Stücke dargestellt werden, ergibt sich eine treppenförmige Figur, deren Inhalt gleich dem statischen Moment der ganzen Strecke ist. Die Darstellung wird um so genauer, je kleiner d genommen wird. Wird d unendlich klein genommen, so geht die Figur in ein Dreieck über, dessen Inhalt

M = y~ 2 m² das statische Moment der ganzen Strecke ist.

- Das statische Moment einer Linie ist also eine Fläche.

41.    Die Figur hat eine Symmetrieachse, die Winkelhalbierungslinie. Diese Linie ist auch eine Schwerachse.

Zur Bestimmung einer zweiten Schwerachse wird das statische Moment bezogen auf den Punkt A bestimmt.

39.

x — 0,1 m.

h*— 2 m—^

3u 40.

.1

= 4a cm

Mt = 4 cm • a ^2 ----- 4 cm (a + 2) = 4a cm² + 8 cm²,

M =

M    z , tx

^=8^ = (sl+1)cm-

8 a cm² + 8 cm²,

A 4/

3u 41.

ty>v

42. (Es ist li ----- 4 cm 4= 3 4= 5 r -----12 CM

to ist

Ist Ist

— 0,0 cm2 = 4,5 „ = 7,5 „

M 12

X ~ ~l ⁼ \2 ⁼ 1 Cm-

12,0 cm

Für die zweite Lage ist A4 = 4 • 2 A4 = 3 • 0 A4 = 5 • 2

00 o o

cms

As =

18 cm²

M 18

9 = 7 =12 = 1,5 cm"

ulO

25

43. hier ist / ----- —----- 5,17 cm. Das statische Moment des Vogens bezogen auf den Mittelpunkt 0 ist gleich dem ftat. Moment seiner Projektion auf die Scheiteltangente

x — —yj = 4,8 cm. •2 = 8 cm³.

M= 5 • 5 = 25 cm

Af =

44. / = TT • 2 = 6,28 cm,

* 6,28 1,2 Cm'

45. Die Rechteckfläche wird in schmale Streifen zerlegt, die senkrecht zur Rchse AB stehen.

Das statische Moment eines Streifens kann durch ein rechtwinkliges Dreieck dargestellt werden. Die Dreiecke so nebeneinander ge-

Xs

4i Xx <

U

™fs

7^

B

V)

>x

SÄ

3u 43.

3u 45.

r?~4

legt, wie die Streifen liegen, bilden ein dreiseitiges Prisma, dessen Inhalt gleich dem statischen Moment des Rechtecks ist.

M -----    •2 = 16 cm⁸.

Vas statische Moment eines Rechtecks ist also ein Körper.

46.    Die Dreiecksfläche wird in schmale Streifen parallel zur Grundlinie zerlegt. Das statische Moment eines Streifens m = xy • ö läßt sich durch eine Platte von der Zläche xy und der

Stärke d darstellen, werden die Platten aller Strei- V/^ _ fen so aufeinander gelegt, wie die Streifen liegen, so bilden sie eine Pyramide, deren Inhalt M = 6    V-*

•4-|=32 cm³ gleich dem statischen Moment der \ Dreiecksfläche ist.

47.    Der Inhalt der Dreiecksfläche ist F -----    -----12 cm², daher

ist x = -p = || = | cm der Abstand des Schwerpunktes von der Achse AB.

48.    Die Trapezfläche wird in ein Parallelogramm / und ein Drei-

=    • 3 ----- 6 cm

eck II zerlegt:

(N CN

— =3 „

9 cm².

Bezogen auf die Achse AB ist:

M₁ = 6 • 1,5 = M₂ = 3 ■ 1    =

to

cm

12 cm

M 12    ,

* = /? =-9-= Ijcm.

:tr;

3u 46.

T /    V

I /// 07

L cm*2 cm

1 Cr

3u 48.

Die Parallele zu Aß im Abstande cm ist eine Schwerachse. (Eine zweite Schwerachse ist die Verbindungslinie der Mittelpunkte der parallelen Seiten. Beide Schwerachsen schneiden sich im Schwerpunkt S.

49. Das statische Moment des Ausschnittes ist gleich dem statischen Moment des gleichschenkligen Dreiecks, dessen Grundlinie und höhe je 6 cm ist

., 6*6 2    o

M — — • -g 6 = 72 cm³.

Der Inhalt der Ausschnittfläche ist F =    =18,84 cm⁸.

-17-

S ' e

Daher ist

72

F 18,84    3,8 cm

der Abstand des Schwerpunktes vom Mittelpunkt 0.

50. Die Winkelhalbierungslinie bzw. Symmetrieachse ist eine Schwerachse. Es ist:

^=10-1 = 10 cm2 F, - 9 1= 9 „

19 cm².

Für die Ecke ist:

— 10 1 0,5 = 5 cm M₃ = 9 • 1 • 5,5 = 49,5 „ 54,5 cm³,

54,5

x ----- 1 — 2,87 cm.

51.

Fj ----- 12,5 • 2 = 25 cm F₂ ----- 25    -2-50 „

75 cm²

Mx == 25 • 26 = 650 cm8 M₂ = 50 • 12,5 = 625 „

1275 cm

x =    = 17 cm.

75

52.    x = 20 cm.

53.    Die graphische Bestimmung soll , -w_.

an beistehenden Profileisen gezeigt wer- I    s    rn i

den. Die Inhalte der drei Rechtecke S--L——& tLU-s

Ft = 2 • 9 = 18 cm²,    j_[jj|!    *

F₂ == 1,5 -16 = 24 cm²,

F₃ = 2 • 6 == 12 cm

sind als Gewichte anzusehen, deren Re- ' sultante zu bestimmen ist.

Die durch den Schwerpunkt gehende #

Resultante wirkt im Rbstande x von ^ der rechtsseitigen Mittellinie.

54.    Die Rrbeit beträgt A ----- 500 * 20 == 10000 mkg. Sie kann durch ein Rechteck dargestellt werden, dessen Seiten 50 kg und 20 m

2q-

200

3u 53.

-H

betragen. Diese Zläche ist das Arbeitsdiagramm, es stellt die von der Kraft P geleistete und auch die von der Last Q verbrauchte Arbeit dar.

55.    Bei Beginn der Arbeit ist eine Last von 1000 + 200-2

—    1400 kg zu heben. Die Last nimmt, da das Seil immer kürzer wird, gleichmätzig ab bis auf 1000 kg. Das Arbeitsdiagramm ist ein Trapez, dessen parallele Seiten 1400 und 1000 kg betragen und dessen höhe gleich 200 m ist. Die Arbeit oder der Inhalt des Diagramms ist A — ¹⁰⁰⁰ ^-00.2oo — 240000 mkg. Diese Arbeit

wird von der an der Trommel wirkenden Drehkrast geleistet und von der Last verbraucht.

56.    Das Diagramm der von Q verbrauchten Arbeit ist ein Rechteck, das die Seiten 300kg und 10m, den Inhalt A — 300 10=3000 mkg hat. Da die Geschwindigkeit der Kraft P doppelt so groß als die Geschwindigkeit der Last ist, ist der Weg der Kraft gleich 20 m. P ■ 20

—    3000 mkg. P —    =150 kg. Das Arbeitsdiagramm der

Kraft P hat die Seiten 150 kg und 20 in.

57.    Das Diagramm für Q ist ein Rechteck, das die Seiten 200 kg und 20 in, den Inhalt A = 200 • 20 = 4000 mkg hat. Da die Geschwindigkeit von P halb so groß als diejenige der Last ist, wird der weg der Kraft gleich 10 m und P-10 = 4000 mkg. P = 400 kg.

58.    Ts kann angenommen werden, daß das Plattengewicht Q im Schwerpunkt der Platte wirkt, dann wird dieses Gewicht bei der Drehung um 0,5 m gehoben; so groß ist die Projektion des Schwerpunktweges auf die Richtung des Gewichts. Das Arbeitsdiagramm des Gewichts ist ein Rechteck mit den Seiten 600 kg und 0,5 m. A = 600 - 0,5 =300 mkg. Der weg der Kraft ist einviertelkreis mit dem Radius 1,5 m,

TT • 1 5

das Diagramm ein Rechteck mit den Seiten P und in.

P ~^ = 3°0mkg. P~ 127 kg.

59. Ist P die Kolben-, K die Kurbelkraft, so ist

K ■ n ■ r = P ■ 2r.

K = \ 1200 = 765 kg.

60. L = 50 kg • 3 m/sec = 150 mkg/sec.

61. Die Geschwindigkeit v des Körpers ist in eine in die Richtung der Kraft fallende Komponente vt und eine dazu senkrecht stehende Komponente zu zerlegen, ist die Geschwindigkeit der Kraftrichtung, daher    >

L = Pv₁ = 60 • 2,5 = 150 mkg/sec. Die Kraft P kann in zwei Komponenten K und N zerlegt werden. Die in die Bewegungsrichtung fallende Komponente ist

X — i — 30 kg.

fr f

Zu 61.

-V

L = K • v = 30 *5=150 mkg/sec.

62.    Die Geschwindigkeit v ist auch die Geschwindigkeit der Kraftrichtung 1 = 50 • 2,5 = 125 mkg/sec.

63.    Die Drehgeschwindigkeit ist v = 1,2 • 5 = 6 m/sec, die Geschwindigkeit der Kraftrichtung v₁ = 3 m/sec,

1 = 60*3 = 180 mkg/sec. Die Kraft von 60 kg kann auch in zwei Komponenten K und N zerlegt werden. (Es ist dann 1 = Kv = 30 • 6 = 180 mkg/sec. Die durch den Drehpunkt gehende Komponente N leistet keine Arbeit, weil sie keine Geschwindigkeit hat.

Zu 63.

^y/30‘

64.    a) I = (50 - 0,8 — 50 - 0,4) 7,5 = 150 mkg/sec. b) I = (50 • 1,0 - 50 • 0,6) 7,5 = 150 mkg/sec.

65.    L — Pv = 30 • 75 = 2250 mkg/sec,

0,5 2-SO

60

1,5 m/sec,

r, 2250    ,

P ⁼ ~ifi- ⁼ 1500 kg,

L = K ■ z>] = 2250 mkg/sec, ir • 0,5 • 90

--To”

= 2,36 m/sec,

2250

2,36

= 952 kg.

3,14 720

66.    1 = P • r • w = Md* w = 5 mkg. —^

376,8

376,8 mkg/sec,

75

Lösungen

73

67. Ln ==

3600

= 75 mkg/sec, Lb = ^ = 100 mkg/sec,

= hps.

68. L = Pv = 20 *75 = 1500 mkg/sec, 5,14-1,8-150

v -----

1500

ii §

= 14 m/sec,

p = _    108 kg,

Md= P - r = 108 • 0,9 = 97,2 mkg. 69. Lb = —— ⁼ 2000 mkg/sec,

Ln ----- 2000 • 0,75 = 1500 mkg/sec,

75

JV ₌ 1500 ₌ 20 PS.

70.    Ln — 600 • 1,5 = 900 mkg/sec, I₆ = ^= 1125 mkg/sec, AT=llp = i5PS.

71.    Q ■ 20 = 20 • 60 • 3 • 0,75 • 0,8, S = 108 m³.

72.    L„ = 3600 ™ = 540 mkg/sec,

Ifc = ^ = 600 mkg/sec,

75

JV=^2 = 8 PS.

73. Die Umfangsgeschwindigkeit der Zahnräder ist Tr-0,12-900

60

Pv = 8 75

----- 5,65 m/sec. 8-75

5,65

= 106 kg.

,,    12-75

74. Md=—

Ä = 80 kg.

30-4    _

* = -5JT = 1-5 m.

900

n - 300    31,4    ..

^ = gil~29mkg.

75.

Lösungen

/T\

IS.kg

Zu 76.

' *24 kg~* —

\sitj "*

24 kg

Il-

iC

:l_

*-0,75-»\ 1,5 m

\D

-+—24-

*0,75 mr1 50 kg ¹

\~24-

76.    Die graphischeBestiininung sieheFigur. Für denDrehpunkt^ ist:

d =]/2²— 1,2*= 1,6 m, 30-1,6

1,5    32 kg-

Für die Komponenten und //, von Pt gilt die Gleichung: 7₁:/f₁=l,5:2 = 3:4,

Fj = 18 kg, /sx = 24 kg.

Die Komponenten von P₃ sind F₃ = 18 + 32 = 50 kg,

tf₃=24 kg,    y —

P₃ =T/50s + 24= = 55,4 kg. ! <rV

77.    Ä =]/(/-ffl)²+/P 7 \

-VWTk'-54 kg.

Für den Drehpunkt A gilt:    ^4

Rx = Ia + Ilb -III- c, / 3u 76-

Pi ‘ d P₃ • sl    P2 ■ 1,6,

1^=1,2 111, P₂ =

/- =

x/

zl    §    I

\_2£kg\

32 kg

/,5

/i

/*

54 • x = 60 • 0,4 + 45 • 0,4 - 30 • 0,2, — 36 mkg,

36

78.    Die Kraft P₄ ist die Schlußlinie des Kraftecks der vier Kräfte.

Wird Punkt P als pol angenommen, werden dann die Strahlen 1 2 3 4 gezogen und hieraus das Seileck I II III IV gezeichnet,    J

so muß P₄ durch den Schnitt-Punkt von I und IV gehen. Bei    >■

Annahme eines anderen Pols ergibt sich ein anderes Seileck, aber die Lage vonP₄ gegen die anderen Kräfte bleibt dieselbe. Das Krafteck gibt die Größe und Richtung von P₄, das Seileck die Lage dieser Kraft an. Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn Krafteck und Seileck geschlossen find.

79.    7V₄ + JV₂ = 500 kg. Für den linken Auflagerpunkt als Drehpunkt gilt: Nt ■ 2,5 — 500 -1, JV₂ = 200 kg, Nx — 300 kg. In bei-stehender Figur sind die Kräfte graphisch bestimmt. (Es ist A C II PI, BC || PII, PIIIII AB.

80.    Nx + N₂ = 500 + 800 = 1300 kg,

JV₂ • 5 = 500 • 1,2 + 800 • 3,

JV₂ — 600 kg, M = 700 kg.

81.    ^ + Ns= 500 + 750 = 1250 kg,

N₂ - 3 = 500 ■ 1,2 + 750 • 4,2,

N= 1250 kg, Nt= 0.

P3

⁷\ \n/

3u 78.

d*

iß

J’² ^ Iß    2 m—*|

ui

T'W-

\~—500

ST

II

3u 79.

Zu 80.

82.    Die Reaktionen der Lager A und B halten der Last das Gleichgewicht. Die Reaktion H des Lagers A kann nur wagerecht wirken. Die Reaktion des Lagers B hat eine wagerechte Komponente H und eine lotrechte Komponente von h ,

/ Z-

iM s 71

-|2/J UL ¹⁰

K—

•ff. m

§ /,5 m

SO

3u 82.

600 kg, es wirken also zwei Kräfte- *J~ paare am Kran, deren Moment/s-4 = 600 3 ist. hiernach wird H = 450 kg. werden die Stäbe I und II durchschnitten, so müssen das Kräftepaar /• 1,8 und die auswärts gerichtete Kraft von 600 kg angebracht werden.

/• 1,8 == 600 • 1,5, / = 500 kg, II =V500² + 600* = 780 kg.

ctn dem links vom Schnitt liegenden Stück wirken 3 Kräftepaare /• 1,8 + 600 • 1,5 = //•4,

900 + 900

----- 1800.

300 kg

y/\^PS>m -—1,2 m—-i

Die Stabkraft / ist eine Zug-, Stabkraft II eine Druckkraft. Die Säule AB wird auf Druck und Biegung beansprucht.

22

83.    wird durch den oberen Teil ein wagerechter Schnitt gelegt, so müssen, um das abgeschnittene Stück im Gleichgewicht zu halten, in den Schnittflächen die beiden Stabkräfte I angebracht werden, die die Vertikalkomponenten Vu die Horizontalkomponenten Hx haben. (Es ist

Tfr

3001g jyN00 kg ^-312,5 kg^

1,6 m

Vx = ~y = ISO kg Hx : Vx = 1,2 = 0,9 = 4:3

Hx =| Ki = 200 kg.

3u 85.

Für einen wagerechten Schnitt durch den unteren

Teil ergibt sich V₂ = 150 kg. H₂= ^ V₂ = 112,5 kg. Dann wird P = HX + //₂ = 312,5 kg.

I =1/I50a + 200² = 250 kg. II =Vl50² + 112,5² = 187,5 kg.

Die vier äußeren Kräfte bilden ein Rechteck. Werden durch dessen Ecken parallele zu den Stäben gezogen, so schneiden sich diese im Pol P und die Strecken sind die Stabkräste. Wird ein fünfter Stab zugefügt, der die beiden Angriffspunkte der Kräfte P verbindet, so nimmt dieser Stab die Kraft P auf. Diese Verbindung behält ihre Form ohne die äußere Kraft P.

iV=

-II— V

+ 17

3» 84.

Wird die Kraft P größer als oben berechnet wurde, so erweitert sich die Verbindung nach beiden Seiten, die oberste und die unterste Ecke nähern sich bis wieder Gleich- : gewicht besteht. v

84.    Die Lösung

ist aus der Figur ersichtlich. (Es wird

Q = 120 kg. P = 60 kg.

II = Q = 120 kg.

I =K2 • 120² = 120]/2 kg.

III = P + <2=180 kg. IV=|/i20² + 60² = 60]/5 kg.

V = II= 120 kg.

N — 180 kg (Lagerdruck).

85.    Die Kräfte P und T sind die äußeren, auf den Kreuzkopf wir

kenden Kräfte, die im Gleichgewicht sind, wenn ihre Resultante senkrecht zur Führung steht. (Es ist T =    = 852 kg,

N = Ptg 20° = 290 kg.

86.    Die Resultante von G und P muß in die Richtung des Radius

fallen.

P =    a) P = 29 kg, b) P = 50 kg.

87.    Die Zahnraddurchmesser der Winde seien D ----- 600 mm, d — 120 mm, der Trommeldurchmesser ck, -----150 mm, Kurbellänge l — 300 mm, die Last Q — 600 kg.

Die Winde besteht aus zwei einfachen Maschinen. Die Trommel und das große Zahnrad bilden die erste, das kleine Zahnrad und die Kurbel die zweite Maschine.

a)    der Zahndruck Z wirkt als Kraft ant v___

großen Zahnrad und hält Q bas J---

der Kurbelkraft P im Gleichgewicht gehalten.

Ql-TT

ZA

3u 87.

->)

75 min

P • 300'= 150 • 60, P = 30 kg.

Die Reaktionen Ar, der Lager / haben eine Horizontalkomponente von 150 kg, eine Vertikalkomponente von 600 kg. Die Komponenten der Reaktionen M, der Lager II betragen 150 kg und 30 kg.

Rn der ganzen Maschine wirken Q, P, Nt und N₂, die sich zu drei im Gleichgewicht stehenden Kräftepaaren zusammensetzen lassen.

30 • 300 + 600 • 75 = 150 • 360.

Q ist nach Richtung und Größe, P der Richtung nach gegeben, die Richtungen von JV, und JV₂ können nach Satz XIII bestimmt werden, und Z, N₂ durch II und durch den Schnittpunkt der

i ji\*~300 mm ->j

Richtungen von Nx geht durch / und durch den    -->

Schnittpunkt der Richtungen von Q Zund P. Die ]' |

Kräfte Q, P, Nt und N₂ bilden ein geschlossenes | LJ.\ l_ Viereck bzw. Dreieck. Z ist eine innere Kraft. § [/ ! i

(§ig. 87 b.) Bet dieser Rechnung sind keine Reibungsverluste berücksichtigt.

88. Rn dem Kurbelmechanismus wirken die Stangenkraft P, der Kurbelwiderstand K, die Reaktion Nt der Kreuzkopfführung und die Reaktionen JV₉ der Kurbelwellenlager.

Der Mechanismus besteht aus zwei einfachen Maschinen, dem Kreuzkopf und der Kurbel.

U<

75 mm

3u 87.

Z_

5]

* *>:■

■*xZ

V; *%,'.

*--- '

;'/h>

/K.%

B/.v

Ai

Lp —

Zu 88.

a)    flm Kreuzkopf wirken die Kraft P und die Schubstangenkraft T. Diese Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn ihre Resultante TV, senkrecht zur Kreuzkopfführung steht.

b)    ctn der Kurbel wirken T und K, deren Resultante TV₂ durch den Kurbeldrehpunkt gehen, also mit der Kurbel zusammenfallen mutz.

Der Mechanismus kann auch als eine Rlafchine angesehen werden, an der die äußeren Kräfte P/CTV,TV₂ wirken. T ist die innere Kraft.

TV, und TV₂ schneiden sich in A, K und P in B, die Linie AB ist die Richtung der Resultante.

P und TV₂ schneiden sich im Kurbeldrehpunkt, TV, und K in B. Die Verbindungslinie des Drehpunktes mit B ist die Resultantenrichtung

(Sig. 88 b).

Bet allen Bestimmungen mutz entweder P oder K gegeben sein. Es ist noch eine dritte Lösung möglich.

89. Die im Seil wirkende Zugkraft ändert mit dem Seil ihre Richtung, die in den Seilstücken wirkenden Zugkräfte Z,Z₂ usw. unterscheiden sich, wenn von den Zapfenwiderständen abgesehen wird, nur durch ihre Richtungen voneinander.

Z₃ ist aber die Resultante von Z₂ und der Zapfenreaktion TV,. Ist TV, = Z = 1000 kg, so wirkt auf jeden der beiden Rollenzapfen ein Druck von 500 kg.

90. Die Richtungsänderung von Z₂ nach Z₃ findet nicht plötzlich in einem Punkte statt, sondern verteilt sich auf die Strecke, diezwischen dem Auflauf- und dem Ablaufpunkte liegt.    a

In jedem Punkte des umspannten Rollenbogens wirkt / \ eine radial gerichtete Reaktion. Die Reaktionen bilden

ein Kraftbüschel, dessen Spitze der Zapfenmittelpunkt Xx

ist. Werden die Reaktionen nach Richtung und Große \A ^

aneinander getragen, so bilden sie V₆ Kreis (Krastkreis), X<U-

dessen Radius gleich Z und dessen Sehne, die Resultante der Kräfte, gleich der Reaktion N ist. hier ist

N — Z — 1000 kg

S = J ■ 1000 --- 1046 kg.

und die Summe der Reaktionen gleich dem Umfang des Kreisbogens

91.    P = 50 • 0,2 = 10 kg.

92.    W = 75 • 0,2 ---- 15 kg.

3u 90.

93. Das Gewicht G kann in zwei Komponenten K und N parallel und senkrecht zur schiefen Ebene zerlegt werden

K — G sin a, N — G cos a.

Das Gewicht bleibt stehen, wenn K=N\x, ^ = ^^ = lga = fi.

Das Gewicht bleibt stehen, wenn der Neigungswinkel a gleich oder kleiner als der Reibungswinkel p ist.

94.    Zum heben des Gewichts ist eine Arbeit Al = G • s, zur Überwindung der Reibung Az — G cos a • p • a = G ■ b • p erforderlich.

Also ist die ganze Arbeit A = G (s + b • p). Der Wirkungsgrad ist

n = GjTTbT) = F+W Nach der Figur o ---    .

95.    A = 100 (2 + b • 0,2), b= 1/20²- 2² = 19,9 m,

rG-j

3u 94.

A ----- 598 mkg,

100-2

598

= 0,33.

¹

f-2Ö—

96. Die Schraubenfläche ist eine um einen Zylinder gewickelte schiefe (Ebene. Das Gewicht G dreht die Spindel abwärts, wenn der Steigungswinkel der Spindel a > p ist.

Pb = G • s + G ■ cos ct • p ■ a + P sin a • p • a,

97. a) Die Komponenten von G sind G cos cc und G sin et, die Komponenten von P, P sin ct und P cos a. Die Arbeitsgleichung lautet:

„-„.■ig.o.JLÜ,

1 —M-

■4-

L.lJ

Zu 47.

P = G • lang (a + p).

_ lang a

⁷¹ ~ tang(a -|-p)

b) Die Resultante von P und G bildet mit der Normalen zur schiefen Ebene den Winkel p, daher ist

P — G ■ tang(a + p),

98. Pa = Qr ■ tang - (ct + p), tang p = 0,1,

tang a —

tang (a + p) ~ 0,18, 0= 1000 kg.

10

3,14 - 40

= 0,08,

wirkt keine Reibung, so ist

Qi — 2250 kg, daher o = 2250 ⁼ 0,44.

99. Die ganze Reibungskraft ist

W= Qp-| = 2400 - 0,05 - 1,57 ~ 180 kg.

0,06-180 „ , v — Tt--— ~ 0,56 m/sec.

Lr = 180 • 0,56 ~ 100 mkg.

Die Summe der Drehmomente der Zapfenreibung ist W ■ t = 180 • 30 = 5400 mmkg.

Die Resultante der Reibungskräfte ist wagerecht gerichtet und be-

54Q0

trägt Qp = 2400 • 0,05 = 120 kg; daher ist ihr Htm a =

— 45 mm. Dreht sich der Zapfen rechts herum, so wirkt an dem

ctltu® 558: Schmitt, Aufgabensammlung a. d. Mechanik I. 2. ctufl.

Zu 99.

2400kg

Lager ein durch den Mittelpunkt gehender vertikaldruck von 2400 kg . und im Abstand 45 mm vom Mittelpunkt eine wagerechte von rechts nach links wirkende Kraft von 120 kg. stuf den Zapfen wirkt ebenfalls ein vertikaldruck von 2400 kg und eine linksdrehende Kraft von 120 kg bzw. ein Drehmoment 120 - 45 — 5400 mmkg.

Po

Po

100. hier wird angenommen, daß der Normaldruck auf ein Flächenteilchen des Zapfens proportional der Horizontalprojektion des Flächenteilchens ist. Demnach ist der Normaldruck pro qmm an der untersten Stelle am größten, er nimmt nach . oben hin ab und /

Zu 100.

■120 kg-

„L

2400 kg

120 kg—►

wird beim horizontalen Durchmesser gleich Null. Ist der Druck pro qmm an der untersten Stelle gleich Po kg, so wirkt dort auf einen Zlächenstreifen von 1 mm Breite und / mm Länge (/ Zapfenlänge) ein Druck von p₀ • l kg. wirkt an beliebiger Stelle ein Normaldruck p kg/mm², so wirkt auf einen ebenso

großen Streifen wie vorhin ein Normaldruck von p • Z kg und es ist:

p:p₀ = b: 1,

p/ = Po * b • /.

P ~ Po b-

Der veränderliche Druck p ist in beistehender Figur dargestellt.

(Es ist aber

b : 1 = y : r,

pl=p₀-y-l.

Die lotrechte Komponente des Normaldrucks im untersten Punkte ist gleich PqI und an einer beliebigen Stelle ist dieselbe gleich pj.

Pi = b-p.

Pi:p--b: I.

Pl. i=b ■ p • i=b • f • / • Po.

(Es ist aber by ----- f, gleich dem Inhalt des schraffierten Rechtecks

pj^fi-T-

Die Summe der Inhalte aller Rechtecke f ist gleich dem Inhalte der halben Kreisfläche. Demnach wird der ganze lotrechte Druck

_ -rrr⁴ p₀ _ irr ö ~2~ ' ¹' ~jT ~2~ ' ¹ ‘ Po•

Po =

2-S

Z - irr

p = püb ■ 1 =

2Qbl

2Qg-l

/ttt '

/irr²

und der Summe der Produkte y • 1. Diese Summe ist gleich

Demnach wird der ganze Normaldruck S gleich dem Produkte aus 2Q-Z Zirr⁵⁸

dem statischen Moment der Halbkreislinie bezogen auf den Durchmesser, also gleich 2 r². hiernach wird

S = ||-2r³= ^ und die Reibung W =

Bei dem gegebenen Zapfen wird

^p-0,05 ~ 153 kg,

das Moment der Reibung gleich 153 • 40 = 6120 mmkg, die wage-

103.    Für die Reaktionen H der Führung gilt:

H-1 = 500 -0,4, H= 200 kg,

P = 500 + 2 • 200 • 0,1 = 540 kg.

104.    Die Reibung am Umfang der Bremsscheibe ist W = 150-^ = 36 kg. Der erforderliche Normaldruck zwischen Bremsbacke und Scheibe N = ~ = 180 kg. Für die Hebelkraft gilt die Gleichung:

P ■ 800 = 180 - 120 + 36 - 60,

P = 30 kg.

105.    (Es wird ein Kreis gezeichnet, dessen Durchmesser gleich der

r/

Stablänge l ist und der lotrechte Durchmesser CD gezogen. Rn CD wird in C der Winkel p angetragen, dessen Schenkel den Kreis in A schneidet. AMB ist die Lage des Stabes. AC und BC find die Richtungen der Reaktionen der A •    ₍

Stützflächen. Aus der Figur ergibt sich tang a

----- cotang 2 p.

rechte Resultante der Reibung Q|u = 2400 - 0,05 = 120 kg, ihr Hrm 6120

sl = 12Ö ~ 51 mm-

Lr =

153-3,14-0,08-180

60

= 115 mkg/sec.

101. (Es ist S = 146 kg, W=S\jl = 104,6 kg. Beträgt der Rollenhalbmesser 120 mm, so wird 104,6 • 30

= 26,15 kg.

102. Die mittlere Geschwindigkeit der Zapfen-Stützfläche ist

= 0,314 m/sec,

Lr --- 800 • 0,1 • 0,314 = 25,12 mkg/sec.

Zt-Z₃ =

°“T'

120

2    3,14-0,06-150

60

V¹ 'p 3u 105.

106.    Rn der Keilverbindung wirken die äußeren Kräfte Q, P, iVt und N₃. Die beiden letzten sind die Reaktionen der Führungen. Die

Kraft N₂ ist als Reaktion des Keilrückens eine innere Kraft. Wirkt keine Reibung, so stehen die Kräfte    N₂ N:i senkrecht auf den Führungsflächen. Die Kräftefigur ist ein    _ _ __

Rechteck und es wird    ,

P — Q tang a.    / k 1/’

N₃ 3u 106.

wirkt Reibung, so drehen sich die Rich- VSC tungen der Reaktionen um den Winkel p. i\\ und N₃ drehen sich in demselben Sinne, bleiben also senkrecht zueinander stehen, N.₂ bildet jetzt mit Q den Winkel a + p. Die Figur wird ein Viereck mit zwei rechten winkeln.

Es ergibt sich 7 — a + 2 p, P = Q tang (cc + 2 p).

107.    Md = 1800 • 0,15 • 0,6 -----162 mkg,

Z = 1800 - 0,15 = 270 kg.

108.    Das über die feststehende Rolle laufende Seil reibt sich an der Rolle, die Kraft P hat die Last zu heben und die Reibung zu überwinden. Zur Berechnung der Seilreibung dient die Formel

P = £?<?"“,

wo e ----- 2,718 ..., p der Reibungskoeffizient und a die umlegte Bogenlänge für den Radius 1 ist.

Den tDert„0tt“" findet man für verschiedene p und a in Tabellen angegeben, wird hier eua=2 angenommen, so wird P = 100 • 2 = 200 kg.

109.    3m vorigen Beispiel bewegt sich das Seil über die feste Rolle, hier dreht sich die Rolle gegen das Seil, die relative Bewegung des Seiles gegen die Rolle ist in beiden Fällen dieselbe, hier hat G und die Seilreibung der Last das Gleichgewicht zu halten, deshalb muß

^    200 _ 1 oo kg. |ejn_ xDirb G etwas größer, so wird die Last

gehoben.

fi. 75

110. Die Riementriebkraft ist P ---- —= 45 kg. Der Riemen

wird bei der Montage mit einer Spannung S₀ auf die Scheiben gelegt. wird nun die Rntriebscheibe gedreht, so wächst die Spannung im ziehenden Riemen auf und fällt im gezogenen Riemen auf S₂. (Es ist dann Sj + S₂= 2S₀,    — S₂ = P = 45 kg. wenn nun

S, =    2 S₂    ist,    wird S, — 90 kg,    S₂ — 45 kg.    Der    Druck    auf    die

Welle    ist    0 =    45 + 90 = 135 kg.    Der Druck 0,    die Resultante von

St und S₂ hat vom Mittelpunkt den Abstand ~, daher ist

Ch| ö.

L — 450 mkg/sec.

Md =

,    ,,    ~    d 10-2

L — Md - w = Q    ^ ■ —,

111. Die Übersetzung der Zahnräder bzw. das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten ist

wt 12 1 w₂ 60 5

Daher wird die Riementraft

500 • 0,06    1

0,25

•5 =24 kg.

Die Riemenspannungen

Sj = 48 kg, S₂ --- 24 kg.

u • 0,4 • 120 112. v,=--tzö-

— 2,5 m/sec, i>₂ = ^ • 2,5 = 3,75 m/sec,

Pt =    = 12° kg, P₂ = 80 kg.

klm linken Wellenende wirkt eine aufwärts gerichtete Kraft Qi= 3 Pt ----- 360 kg, am rechten Ende eine abwärts gerichtete Kraft 3 P2 =240kg. Es werden Nt = 440 kg; N₂ = 320 kg; Lr= 760 >pv = 14,4 mkg/sec.

113. klls äußere Kraft find P und die Resultante Q der Riemenspannungen anzusehen. Die Kraft P ruft in der Kreuzkopfführung eine Reaktion N hervor, für welche gilt:

X =Y 1250² — 250² = 1225 mm

N: P = 250 : x,

250

JV= 204 kg.

iV=P-,

werden in der Mittellinie des Kurbelzapfens zwei lotrecht, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte N angebracht, so bildet die abwärts ge-//»-1200 = 625 - 600 - 1000 - 250,

//x = 1522 kg, /s₂ = 104 kg,

V₂ -1200 = 1200 - 600 + 204 - 250,

V₂ = 643 kg, Kj = 357 kg.

hieraus können die resultierenden Reaktionen /V, und Na bestimmt werden.

114. a) Sx + S₂ = 2 • 225 = 450 kg, 3S₂ = 450 kg,

S₂=150kg, Sx=300kg, Pu=150 • 10=1500mkg/sec, N = 20 PS.

900

b)

P = lö = 90 kg-

augenblickliche Drehmoment der Maschine und gleich dem Drehmoment des Riementriebs

^-S-0.4 = 250 mkg,

Q = 625 kg,

\r

r-r*-

4-

J----1—Q — TUj.

¹5j4J-

1^'

250

3u 113.

S₁=417kg,

Die wagerechten Kräfte Q und P rufen die Lagerreaktionen und H₂, die Kräfte N und G die Reaktionen Vt und V₂ hervor

S₂ — 208 kg.

Z

Pv — g- 1500 = 900 mkg/sec,

Si — S₂ = 90 kg,

Sx + S₂ = 450 kg,

2 Sj = 540 kg. Sx = 270 kg. S₂= 180 kg. Der Rchsendruck ist in jedem Falle gleich 450 kg.

400 -150

115.

Si S₂

400

= 150 kg.

Sx = 2,25 - S₂.

(2,25 — 1) S₂ = 150,

S₂ =

150

1,25

= 120 kg.

Si =2,25 • 120 =270 kg.

116. Jx —    — 72 cm*.

117. Jx =

4 • 6³ — 3 • 4⁸

118. Jx

= 56 cm*.

₌ 10-50⁸ —9(50 —5,2)⁸

12

119. Jx

= 8063 cm*. 15,5 - 4P⁸—(15,5 - 1,44) (40 —2 • 2,16)⁸

12

12

992000 —14,06-45426,4⁸

12

= 29440 cm*.

bh³

120. Jx = ~n

bhs

36

— 4. ]?Il (JlY— UlL

36 ⁺ 2 ' V 3 /    12

bh* bh /2 LV b/r⁸

IT ⁺1-• (ta) ⁼ —

J ist hier gleich dem statischen Moment der in Aufgabe 46 ge-gefundenen Pyramide

122.

123.

. , h 3 . bh* bh-T-Th = -j-

124. JH = ^ - (bl + bl) — e² • F, e = j ■

«/ =

36 t^i "f" b'% + 2blb₂(bl + 6₂)]. Ist bt = b₂=*

C ’ V r

s° wird Jy = ~w-

125. Das statische Moment eines Vogenstückes d für den Durchmesser ist ö# =    - ~ (vgl. 43), also gleich dem Inhalt des schraf-

fierten Rechtecks. Das Trägheitsmoment von d ist by² —    ~,

T-

ly

4,

5\

\4

\5

3u 125.

3u 125.

also gleich dem statischen Moment der in der zweiten Figur schraffierten Fläche für die im Rbstande -y gezeichnete Ebene.

Das Trägheitsmoment der Halbkreislinie ist gleich dem statischen Moment der halbkreisfläche für diese Ebene

j_ -ird² d

izd³

16

126. Die halbkreisfläche wird in halbkreisringe zerlegt. Das Trägheitsmoment eines Ringes von der kleinen Breite d und dem Radius p ist gleich dem statischen Moment eines im Rbftande p von der Ebene

Tl p ²

gelegenen Zylinderftückes mit der Grundfläche und der höhe d. Die sich für die einzelnen Ringe ergebenden Zqlinderflächen bilden einen halbkreiskegel, die Grundfläche ist die höhe ^. Vas sta-

h | ;

r-l-H !

r-0 —

Zu 126.

tische Moment dieses Kegels für die 5pitze ist gleich dem Trägheitsmoment der halbkreisfläche.

rrd⁴

Ti d* d_ z_d__ 8*6*4 2 ““ 128 *

Demnach ist das Trägheitsmoment der ganzen Kreisfläche für einen Durchmesser

T _ud⁴

Jx~~W

127.    Jx = ^ (ö⁴ - d⁴) = ^ (15⁴ - 10⁴) = 1993 cm⁴.

128.    Jp = tt • 10 • (y)²=    = 785 cm³.

TT d⁴

129.    Jp = 2 • Jx —    = 980 cm⁴.

130.    Jp = 2 • 1990 = 3980 cm⁴.

131.    JXH = 2 • 4 • 5 = 40 cms.

a)    Geometrisch läßt sich das statische Moment der Strecke für die ^c-Achse durch ein Rechteck darstellen, dessen Inhalt 2 - 5 — 10 cm ist. Vas statische Moment des Rechtecks für die »-Achse ist das Zentrifugalmoment der Strecke Zxy = 10 • 4 = 40 cm³.

2. cm

b)    Das statische Moment der Strecke für die y-Achse ist ein Trapez, dessen Inhalt 1,5-5 -x-j---

^—4 cm—-j

3u 131.

+ — — 20 cm². Dieses Trapez liegt senkrecht zur xy«€6eite im Abstande von 2 cm. Z,u= 20-2-40 cm³.

132.    Zxy = tt • 10 - 4 - 8 = 1004,8 cm³.

133.    Der Abstand der Achse von der wagerechten Strecke ist

8 • 4

a = 12 + $— 1.6 cm, der Kbstand der r/-Kchse von der lotrechten Strecke 12-6

~w =³'6 cm-

Zxy =12 • 1,6(6 - 3,6) + 8 • 3,6 • (4 - 1,6) =115,2 cm³.

__ %xy

134.

tanga 115,2

12-1,6’ + |(1,6S+ 6,4³)

135. Zxy =115 cm³, Jx = 119,47 cm³. Jy = 8 • 3,6² + |(3,6³ + 8,4³) = 316,8 cm³. 2-115

316,8 — 119,7

2 a =48° 10', a = 24° 5'.

lang 2 a =

J,

= 0,906.

= 1,116.

y.

3u 135.

138. Der Winkel a, den die zugeordnete Achse mit der Seite bildet, ergibt sich aus der Gleichung fang cc

=    • tg ß. Ist tang ß = -y, d. h. fällt die gegebene

Achse mit der Diagonale zusammen, so wird tang <x !

Zu 138.

= die gesuchte Achse ist die andere Diagonale des Rechtecks, die Diagonalen sind zugeordnete Achsen des Rechtecks.

139.

Fj —    8 - 1,2 — 9,6 cm².

Fg= 10,8 • 1,2 = 12,96 „

22,56 cm

Mi = 9,6 - 0,6 = 5,76 cm³. Mt = 12,96 • 6,6 = 85,536 „

= 91,296 cm³.

136. Zxu

137. Z

xy

Lösungen

3 • 5 • 4 • 6 = 360 cm⁴, Zxy = ^~ = 56,25 cm⁴. • 6 • 8 = 3770 cm⁴.

TC-10*

91,296

22,56

Mg = 9,6 -4    = 38,4 cm³

M₄ = 12,96-0,6 = 7,78 „

= 46,18 cm³.

46,18    „

y = 22,56 ~2cm-

= 116,6 cm⁴.

1,2-6° 12 2" 10,8-0,83 —    3    ⁺    3    3

Zxy = 10,8 -1,2 - 1,4 (^ + 2,8) + 8-1,2-3,4-2 = 94,33cm⁴.

_ Zxy

Jx

140.    tanga

141.    Jx= 116,6 cm⁴.

= 317 cm⁴.

94,3

Jx 116,6

~ 0,81.

tang 2 ot =

2a = 43° 20',

Jy= 3 (1,2 - 8³ + 8 • 4³ - 8 • 2,8³) Zxy = 94,33 cm⁴.

2 - 94,33 317 — 116,6

= 0,943. ci = 21° 40'.

Lösungen

92

142.    Der Querschnitt ist F — (10 + 9) • 1 = 19 cm². Die Tragfähigkeit 9 — 19 -1000 = 19000 kg. Die Kraftrichtung mutz mit der Stabachse zusammenfallen.

143.    9 =    • 3² • 100 = 7,06 - 100 ~ 700 kg.

144.    Die Kette trägt in zwei Querschnitten

Q = 2 • — • kz = 1,570 • 600 ~ 1000 kg.

hiernach ist die Tragfähigkeit einer 5 mm starken Kette 9 = im = 250 kg,

die Tragfähigkeit einer 20 mm starken Kette 9=4-1000=4000 kg.

145.    Der Kernquerschnitt ist nach der Schraubentabelle

F = 3,57 cm², daher Q = 3,57 • 600 = 2145 kg.

Die Reibung, welche die Verschiebung der Platten verhindert ist, wenn H = 0,2, W = 2145 - 0,2 ~ 430 kg.

146.    Die Riementriebkrast ist P = ¹⁰1Q⁷⁵ = 75 kg, die größte Zugkraft im Riemen St = 2P = 150 kg und die Spannung

150

10 - 0,6

Der Druck auf die lvelle wird 3 P = 225 kg.

= 25 kg/cm².

147. P = ^~^ = 40kg, St= 80 kg,    = 11,4 kg/cm².

5 • 0,5 • 1000

148. P • 15 =

• 15 = 1875 mkg/sec.

As = IfP = 25 • PS.

149. 4 - 0,2 (2,7 -\)-Kz = 1000,

1000

0,8-1.7

= 735 kg/cm².

150. Die Reibung ist W — Q + G, wenn 9 der Lagerdruck, G das Eigengewicht ist. Wird G — 50 kg angenommen, so wird

W = 5 • 20 • 4 + 50 = 450 kg.

3Z = öT = 2250 kg. Z ----- 750 kg.

450

wird kz ----- 480 kg/cm² angenommen, so wird die Schraubenstärke

d = %”.

3n den Ausführungen ist die Wandplattenfläche F ~ 450 cm⁸,

_ 2250

demnach ist der Druck p = 5 kg/cm².

151. Die aus der Innenfläche des Ringes wirkenden Kräfte bilden nad) Richtung und Größe aneinander getragen einen geschlossenen Kreis (vgl.Statik); die Resultante der an dem Bogen a wirkenden Kräfte ist gleich der Resultante der an 1 dem Bogen ß wirkenden. Diese äußeren Kräfte rufen in den Radial-fugen normale Zugkräfte N hervor, die gleich dem Radius des Kraftkreises find

450

Tb

3u 151.

N₌bdP_ 2

Die in jeder Radialfuge wirkende Kraft N ist unabhängig von a. Die Rormalfpannung des Ringquerschnitts ist

N _bdp _ d-p

2bl ~~ 2bb ~~ ~2b~*

152. Die Normaldrücke p auf die innere Rohrwand bilden einen Kraftkreis, dessen Radius gleich der in der Wandung wirkenden Zugkraft ist. wird b = 1 cm genommen (s. vor. Hufgabe) so wird

—— = 750 kg, ö = 6ÖÖ= 1,25 cm-

3n der Ausführung ist die Wandstärke

di — d + 0,2 ~ 1,5 cm.

7 -30 2-0,3

154. hier wird JV= 2 • 1 • 500 = 1000 kg der Radius des Kraftkreises

153. kz =

= 350 kg/cm⁸.

^ dp ^ 50 -10 ~ 2-1,6

ist die in der Nchsenrichtung des Behälters wirkende Normalspannung des Mantels,

= 156 kg/cm

Die Summe der Normaldrücke zwischen Ring und Stab ist gleich dem Umfang des Krafttreifes Q — 2ir • N — 6,28 • 1000 kg und die Reibung

W=Q\x = 6,28 - 1000 kg - 0,2 ----- 1256 kg.

155. Der ganze Druck auf die Rugelfläche ist gleich dem Druck auf eine ebene Kreisfläche, deren Durchmesser gleich dem Durchmesser des Behälters ist

Tld*

Q = ~-P-

Ebenso groß ist die am Rugelrand in der Richtung der Behälterachse wirkende Zugkraft. Dann ist die Zugkraft pro lfcm

«-ä pd

Diese Kraft q ist eine Komponente der Kraft z, welche in der Kugelrichtung bzw. senkrecht zum Kugelradius wirkt. Diese Kraft pro lfcm

2qr _ 2pd . r _ pr

ist

² sin a

T*

k =B1 26 '

hiernach wird

wenn b die Wandstärke der Kugel ist.

Die Komponente h von z ist /r ----- z cos a

h = p g

wenn f die Pfeilhöhe der Kugel ist.

10-100

156. hier wird kz = -y ^ 6 die Normalspannung der Kugelwand.

TT ₉

j-d -P

= 312,5 kg/cm*

TT db

pd 10-50    ,    /    ₂

= 4b⁼⁼4Ti^ = 78 kg/cm²

Si

die Ringspannung. Die Spannung des Mantels in der Rchfenrichtung ist also gleich der halben Ringspannung.

Soll der Windkessel mit Schrauben befestigt werden, so ist die ganze Schraubenkraft

IT . NN 2

-—•10 = 15700 kg.

Eine Schraube von 1" Stärke hat bei Kz — 600 kg/cm² eine Tragfähigkeit von 2150 kg, mithin sind ~ 8 Schrauben erforderlich. 157. Der Druck ist

0 = ^-5 = |(10²- 8,5²)p = 18 kg/cm².

10' - 5

P — io' — 8,5* — 27,75

158.    j(l²- 0,84²)8p = 2145 kg.

p = 1166 kg pro Vuadratzoll

Pl= M5 = 180 k^/cm •

159.    kz —    = 100 kg/cm².

100-z 10000

200-15    ,

—2— — 1 500 cmkg.

• j(10²- 8¹) • 2 = 10,15 cmkg.

Die Verlängerung ist X =

Die Arbeit

s’-V

600'

500

= 15 cm.

160.    A = 2£ =

161.    Ist X die Verkürzung des Stabes so ist die von dem Gewicht At = 5000 X,

geleistete Arbeit

2-1000000

denn diese Arbeit läßt sich durch ein Rechteck darstellen, das die Seiten 5000 kg und X cm hat. Die Arbeit der inneren Kraft Q kann durch ein Dreieck dargestellt werden, weil die innere Kraft gleichmäßig mit der Verkürzung wächst, es ist also

Q\

Nun ist

As =

a*~T‘

A, ⁹₂X = 5000 X, 0 = 10000 kg.

Da nun die innere Kraft größer als das Gewicht ist, wird das Gewicht wieder gehoben. Ist der Stab vollkommen elastisch, so wird das Gewicht wieder auf seine ursprüngliche hohe gehoben, dann wiederholt sich die Bewegung, das Gewicht schwingt.

1000 - 2

162. 100 • x

*=10 cm.

163. s =    ----- 200 kg/cm²,

c x

sl 200-100    ,    ,    ₂

2— = 10000 kg/cm².

164. Die Verlängerung des linken Balkenstückes mutz gleich der Verkürzung des rechten sein. Ist Ex der Elastizitätsmodul für Zug, E2 derjenige für Druck und sind Px und P₃ die in Balkenstücken wirkenden Kräfte, so ist

A-V-x

Pl =

F-

E, L_ + Et h

Ist £, — E2i so wird

=M.X.

Pjjlk

P-2 =

El lz "(■ E% Z,

P it _Plt

k + k

Die Kräfte Pt und P₃ sind gleich den Auflagerreaktionen N₂ und N.,, wenn P eine vertikal wirkende Kraft ist.

165. hierbei werden folgende Annahmen gemacht:

1.    Werden zwei Bleche, in welchen eine Zugkraft wirkt, durch ein Niet verbunden, so wird das Niet, wenn es nicht genügend stark ist, in derBerührungsflächederBleche durchschnitten.

2.    hat das Blech nicht die genügende Stärke, so wird es in der Linie AL zerrissen.

3.    Steht das Niet zu nahe am Blech--— c \o rande, so wird das Blech in Linie OC oder OD aufgerissen.

Px

P*

P-h

mmm

m.

t⁵

iji

/!!

TT^TTTTTTyj/TW⁷⁷⁷⁷’

b/A\-

3u 165.

4. Wird der Druck des Mets gegen das Blech zu groß, so kann das Blech zerquetscht werden.

Nach I. und 2. mutz die Scherfestigkeit des Niets gleich der Zugfestigkeit des zum Niet gehörigen Bleches sein.

Bei einer Nietstärke von 20 mm ist die Tragfähigkeit eines Niets gleich

\• 2² • fts.

Das zum Niet gehörige Blech ist eine um das Niet liegende Schleife (s. Figur), deren Tragfähigkeit (t — d) ■ b ■ Kz ist. (Es wird also

(t-d)-b-kz = ^diks.

Da das Nietmaterial gewöhnlich besser als das Blechmaterial ist, kann Ks = K, gesetzt werden. Dann wird

(f-d)s = jd⁸, t —    + d —    + 20 = 46 mm.

Ist e der Nbstand des Nietmittelpunktes von der Blechkante, so muß nach 3

/    d\ .4 ird² ,

²v    2/ö"5" ⁼ ~rfetn'

wenn die Scherfestigkeit des Bleches gleich ⁴/s von der Scherfestigkeit des Nietes genommen wird.

ird² 5 d * ⁼ 8Ö + Y ⁼

314-5

8-12

+ 10 = 26,4 mm.

3n der Praxis wird e = 1,5 d = 30 mm genommen. Nach 4 wird der Laibungsdruck

Trd² • ks

TT d

4d ' ks

3,14-2 .    .

4.2₍2    l    ^s-

4öd

Ts ist q = 2KS zulässig.

Durch die Lochung erleidet das Blech einen Sd Verhältnis der Festigkeit des gelochten zu bere

46    =°-⁵⁷l*

Bleches

cp

46 — 20

ist der Wirkungsgrad der Verbindung.

kMuGSSL: Schmitt.

stl

[S Di

eum

Aufgabensammlung a. d. Mechanik I.

Lösungen

166. hier muß die Zugfestigkeit des zwischen zwei Nieten derselben Reihe sitzende Blech gleich der Scherfestigkeit zweier Niete sein:

(t ~ d)b ==-T-

2ird²

' t = ^b~ + d'

2-3,14

1,2

2 — 7,2 cm.

72_20

hier wird <P — —^— ⁼⁼ 0,72, die Verbindung ist also günstiger als die einreihige.

167. Bei der Doppellaschennietung trägt jedes Niet in zwei Quer» schnitten, deshalb ist

+ 25 ~ 80 mm.

ird⁸

²'-w + d=

_ ttd² 5 . d    „    5    ,25

e 2 " 4    8^2    ²'⁴⁹¹ " 8-18    2

e — 46 mm.

Die Laschenstärke braucht nur gleich der halben Blechstärke zu sein, sie soll hier 10 mm betragen. Die Laschenschleifen sind geschlossen, sie verbinden je zwei symmetrisch zur Stoßkante der Hauptbleche sitzende Niete miteinander.

168. Nach der Figur wird das Blech um eine Nietstärke geschwächt, der tragende Blechquerschnitt ist

K = Tr- “ 462 kg/cm²,

F = 1 - (15 — 2) = 13 cm⁸,

(Ein Niet trägt 1500 kg,

.    1500-4    1500    „_₀₁    , ä

^ = -SdT“ =3^4 = 478 kg/cm⁸.

Der Laibungsdruck P =

^-Z-²⁴°^m⁸

169. Die erforderliche Kraft ist

= tt • 2 • 1,2 = 4000, P = 30000 kg,

=    = 30000 - 0,6 = 18000 cm/kg.

kb _

E ~

170. hier ist

2500

2000000 800'

Lösungen

daher wird die Dehnung in der äußersten Zaser.

800

bh

K₀ = =f ■ kb = ^ • 2500 --- 30000 kg. a = -§- • 6 = 4 cm.

Mb --- 30000 - 4 -- 120000 cmkg,

Mb = W-kb= ■ 2500 --- 120000 cmkg. Der Weg der Kraft K₀ ist

auch

2.0,25 _ 0,5

cm.

A —    • —■ — 5000 cmkg,

1 Mb _    200    12    120000*

El' 2 — 2000000'8 • 6⁸ '    2

A — 5000 cmkg.

171. Nach Formel XXIV ist

Die Arbeit

auch

2000000

— 400 kg/cm³.

kb =    • s = 2,5 • 400 = 1000 kg/cm³.

Mb — W- = Yö ’ 1000 — 12500 cmkg. r_ d* ,

Ka = -g- • kb • a = 12500, a —

12500    2,

—— = 4166 j kg.

• 12500³ --- 625 cmkg.

500 - 20

2-2000000-5⁴

5000

12500-6

25 -1000

— 3 cm.

172. Zur Schwerpunktslage:

--- 72 cm³

= 18 „

90 cm².

Mt = 72 • 13,5 ----- 972 cm* Mä =18- 6    = 108 „

---- 1080 cm*.

_    1080    _ i«

x — 1 =12 cm.

Die Schwerachse xx fällt mit der untern Honte des Rechteckes 240/30 zusammen.

---- 216 cm⁴

Die Trägheitsmomente der beiden Rechtecke sind 24-3*

_ 1,5.12» h- ~    3

= 864 ..

^4 = TT = 90 cm*. Mb=W-kb = 90-900 = 81000 cmkg. a = -f- • 15 = 10 cm.

1080 cm⁴.

Mb

K= — = 8100 kg.

Die größte Druckspannung in der untersten Faser ist also 900 kg/cm², dann ist die größte Zugspannung in der obersten Faser

900 • h = 225 kg/cm².

— 911,25 cmkg.

A -----

300-81000»

2-1000000-1080 _ 2A _ 2-911,25 “ Mb =    81000

----- 0,0225

300

0,0225

= 133337s cm.

173. Das Trägheitsmoment des Querschnitts ist 12,5 - 30»

12

— 28125 cm⁴

11,42-26,76»

12

--- 18236

9 889 cm⁴.

Lösungen

w* = TT = 659 cm³.

Mb = 659 • 1000 = 659000 cmkg. s = T = 66⁸/₃ kg/cm⁸.

K— stfy.

T-fy =    12,5 • 1,62 • 14,19 = 287,35 cm

96,67 „

+ ,M ML

*/» =

384,02 cm³.

174. Der Zapfen kann als ein eingespannter Stab von der Länge / angesehen werden, der eine gleichmäßig verteilte Last Q trägt. Dann ist

m₆=2_J= W-kb,

1250 • 0,8d = ^ • 400,

1250 • 0,8

d⁸

--- 25,

d = 5 cm = 50 mm, Z — 80 mm.

175. a) hier wird angenommen, daß der Zahndruck P am Ende des Zahns wirke und den Zahn an der Wurzel abzubrechen suche. Die höhe des Zahns ist 0,7 i — 21 mm, der Bruchquerschnitt hat die INatze 0,51 = 15 mm und b — 60 mm.

Mb — P • 2,1 = —

P ~ 320 kg.

40

6-1.5-

vO

• 300,

28,7 cm.

t -----

Die Arbeit des Rades ist

= P • v = 320 • 2,1 — 672 mkg/sec, = w ~ 9 PS.

b) Der Halbmesser des Rades ist 60 - 5,0

2 it

Das Drehmoment Pr — 9184 cmkg.

So groß ist auch bas Biegungsmoment des Hrmes. hat bas Rab vier Arme, so wirb zur Sicherheit angenommen, baß Mb an einem Arm wirkt.

Mb= 9184 -- W-kbt W = ^ = 30 cm³.

Für den gegebenen Querschnitt ist angenähert

cm to

= . .h*₌a:

18'

= 30, h ~ 80 mm.

b ist gleich bet Rabbreite 60 mm.

Diesen Querschnitt müßte bet Arm an bet Nabe haben. Am Rranze würbe f h = 60 mm genügen.

• 4000

176. Mb= W * kbt Q-30-^

Q = 320 kg,

= 160 cmkg.

QHS _    320s • 30= • 12

A 6EJ 6 • 2000000 • 10 • 1,2®

Ist f die (Einbiegung, so ist

Qf

= 1 cm.

2 “ 160-2-160

320

177. Die größte Zugkraft des Riemens ist

S,= 12 • 0,6 • 25 = 180 kg.

Der Rchsendruck 9 = 180-/2 = 254 kg.

d³ =

~ 32

Mh = -y = 254 • 5 = ^d³- 400, 254-5

40

d= 35 mm.

178. Zum heben der Last ist eine Kraft P = 300 kg erforderlich, die feste Rolle bekommt einen Achsendruck von 600 kg, der Balken hat die Lasten von 600 und 300 kg zu tragen.

Mb = 300 - 120 + 600- 90 = kb — 25 kg/cm².

24-30* .

—₆—h,

179. Zuerst mutz die Lage der Schwerachse bestimmt werden (vgl. Statik, Schwerpunkt). In der Figur ist ihre Lage angegeben.

Für diese Achse ist:

r __ 14-2S

Jx--vT

9,33 cm⁴

+ 2 • 14 • 9² = 2268,00 „

= 256,00 „

. 1.5-8-"1"    3

= 4000,00 .,

I 1.5-20-"r 3

6533,33

6533,33 cm⁴

2q ~ 326 cm⁸,

h=

3000 • 38

326

— 350 kg/cm².

= 175 kg/cm².

Diese Spannung ist die größte Druckspannung in der untersten Faser. Die größte Zugspannung in der obersten Faser ist 350 • 100

200

-- 700 cm².

180. Die Plattenfläche ist ir • 30*

Der Flächendruck p =    ~ 7 kg/cm².

Der Druck ist gleichmäßig über die Platte verteilt. Der Druck 1 = 2500 kg

auf die halbe plaltenfläche greift im Schwerpunkt der halben Kreisfläche an, der Schwerpunkt liegt _ 2 rs _

2    15-30-2

~ 6,4 cm

* — I' ~b ~ 3" ir-3Ö

vom Mittelpunkt.

Das Biegungsmoment für einen Durchmesser ist

■k

39.42

Mb = 2500 - 6,4 = —g— kb — 200 kg/cm².

bhs h    y

K=-r.--by.s.-i

bs Ih* ₈\

\T — ® / '

181. 3n jedem Valkenquerschnitt wirken Normalspannungen und Scherspannungen. Die in dem schraffierten Stück des Huerschnitts wirkende Normalkraft ist

hierin ist

S- 12-9-z

bh³

60z//i*    ₂\

K ~ h~ \4 ~~ y ) '

Für einen Huerschnitt, der z + 1 vom freien Ende liegt, ist

K'~ u~y)■

Demnach wirkt in der horizontalen Schicht des Balkens, die den Abstand y von der neutralen Achse hat, eine Scherkraft

Für die neutrale Schicht isty — 0 und die Scherkraft 60 h* 3    0

rt° — "%? • 4~ = "2 TT •

Werden die in den horizontalschichten wirkenden Scherkräfte senkrecht zum Huerschnitt aufgetragen, so ergibt sich die in der Figur angegebene Parabelfläche.

Bei vorliegendem Beispiel ist die größte horizontale Scfyerfraftprolfcm in der neutralen Schicht

.....

/fo=lw=30kg.

Nun ist noch die Verteilung der vertikalen Scherkraft Q über den Querschnitt zu bestimmen. Art einem

Zu 181.

3u 181.

Li

TT

-L,-

-£s-

rechteckigen Balkenstück von der Seitenlängei wirkt die horizontale Scherkraft H und das Kräftepaar V der vertikalen Scherkraft. Für den angenommenen Drehpunkt ist

Zu 181.

V-\ =/f, V = H.

Zu 181.

Die vertikale Scherkraft verteilt sich über den Querschnitt auch nach der in der Kurvenfläche dargestellten Regel.

In gleicher Höhenlage des Valkenstückes find die Scherspannungen des (fluer- und Längenschnitts gleich groß.

a) in jedem Balkenquerschnitt wirken Normalspannungen, die ein Kräftepaar bilden. Die Kraft K dieses Paares wächst von Null am freien Ende bis auf

Kmax —

600 - 300

1-30

9000 kg

an der Wand

Die größte Normalspannung ist im (Querschnitt an der wand

kb ~ bh

9000 - 4    9000 - 4

20-30

60 kg/cm².

b) Ferner wirkt in jedem (Querschnitt die Scherkraft von 600 kg, die sich über den Querschnitt so verteilt, wie die Rurvenfläche angibt.

Lösungen

Die größte vertikale Scherkraft wirkt in der neutralen Achse und ist V = -| •    = 30 kg/cm.

c) Dann wirkt noch in jeder Horizontalschicht des Balkens eine horizontale Scherkraft, die in allen Punkten einer Schicht gleich ist. Die in den einzelnen Schichten wirkenden Scherkräfte find wieder durch die Uurvenfläche dargestellt. Die größte Scherkraft wirkt in der neutralen Schicht und ist gleich 30 kg/cm.

182.    (Es war Q — 320 kg, dann wird

„    3 Q 3    320 ,nn, i

H° = TX = T • X2 = 400 kg/cm-

183.    Für den (Querschnitt an der wand ist: 600 -100 — /₀ds 600

K = ^ • 600 = 10000 kg.

100

stuf 100 cm Länge wächst K von 0 bis auf 10000 kg, mithin ist die Scherkraft pro lfcm = 100 kg, auf 1 cm Breite kommen ₁₀ — 10 kg. (Ebenso groß ist die vertikale Scherspannung in der neutralen Schicht.

xrzn.'

300

—384--

—21

s-226-

23

3u 184-

184.    Die Scherkraft verteilt sich nach den statischen Momenten der Flächenteile des (Querschnitts. Das statische Moment des halben «Querschnitts für die neutrale Achse ist gleich 384 cm³, das statische Moment des Flansches gleich 287 cm⁸. Werden die Maße senkrecht zum «Querschnitt aufgetragen und die Endpunkte durch Parabelbogen verbunden, so ergibt sich die in der ersten Figur dargestellte Fläche, die die Verteilung der Scherkraft darstellt. Die Scherkräfte pro cm Breite sind in der zweiten Figur dargestellt,

w = 23 kg- m⁼²⁶⁶ kgi w = 355 kg-

3 1000 2    48

185.    Die Scherkraft pro lfcm in der neutralen Schicht ist = 32 kg. Dann muß der Normaldruck zwischen den Balken auf 20 cm

32 • 20

Länge 0 2 ⁼ 3200 kg betrogen. Die Schraubenspannung wird

3200

5,768

= 550 kg/cm².

186. In Aufgabe 119 ist für das Trägheitsmoment bes JV • P • 40 gefunden: J = 29440 cm⁴, W = 1472 cm³. Durch die Nietlöcher erleidet das Trägheitsmoment des Trägers einen Verlust.

z\ = ^ (40³ - 35,68³) = 6190 cm⁴.

Das Trägheitsmoment der Platten ist

4 = I (43® — 40³) --- 20670 cm⁴.

Demnach wird das Trägheitsmoment des verstärkten Trägers Jx — 29 440 + 20670 — 6190 = 43920 cm4 und das Widerstandsmoment

W -43920 x 21,5

--- 2040 cm⁸.

Die Biegungsspannung im mittleren Huerschnitt wird:

~ 920 kg/cm².

_ Mb _ Ql _ 30000-500 _    — 8 • Wx *    8 • 2040

Die Last pro lfcm beträgt q -----    = 60 kg/cm. hiernach wird

das Biegungsmoment in 1 m Abstand von einem Ende:

M = 15000 • 100 - 6000 • 50 ----- 1200000 cmkg und die Biegungsspannung

h = ^ ~ 815 kg/cm².

Die Scherkraft an dieser Stelle ist V = ¹⁵⁰^₅-— = 9000 kg. Die

Biegungsspannung wächst also hier um A = 4,5 kg/cm.

Da der Plattenquerschnitt f = (20 — 4) • 1,5 = 24 cm² beträgt, wächst die Scherkraft um 24 • 4,5 = 108 kg/cm. Sitzen die Niete 20 cm voneinander, so kommt auf ein Nietpaar eine Schubkraft

S = 108 • 20 = 2160 kg. ks =

--- 344 kg.

2160-4 2 •ird’

375 kg,

Die Nietteilung könnte noch größer sein, auch könnte sie nach der Trägermitte zu wachsen, weil V abnimmt.

500-1,5+ 450-4 _

187. N₂

Nt --- 300 + 450 - 375 = 375 kg.

In jedem Querschnitt zwischen N± und 300 kg wirkt eine Scherkraft von 375 kg, zwischen den beiden Lasten ist die Scherkraft 375 — 300 — 75 kg und von der zweiten Last bis zum rechtsseitigen Auflager 75 — 450 — — 375 kg. Die größten Biegungsmomente sind Mt = 375 • 1,5 = 562,5 mkg, Ms = 375 • 2 = 750 mkg.

188. Die Balkenlänge kann im Maßstab 1:50 gezeichnet werden. Die beiden Lasten sind an einer lotrechten Geraden aufzutragen, wird 1 mm — 10 kg angenommen, so sind die Lasten 30 und 45 mm lang. Der Pol, der 50mm von dieser Geraden absteht, wird mit den Endpunkten der Laststrecken verbunden. Zu diesenStrahlenwerdenparallele zwischen den Lasten und Auflager gezogen (vgl. Statik). Dann ergibt sich die Momentfläche, zu deren Schlußlinie eine parallele durch den pol gezogen wird. Dieser Strahl liefert die beiden Auflagerdrucke ^ und JVj. Der ganze Maßstab, der bei der Berechnung der Biegungsmomente in Betracht kommt, fetzt sich zusammen aus 1: 50 (Längenmaßstab), 1:10 (Nräftemaßstab), 1: 50 (Polweite). Demnach ist der Maßstab 1: 50 • 10 • 50 = 1: 25000.

(Es wird in der Figur ML — 23 mm, daher wird

Mi = 23 • 25000 = 575 mkg.

Ebenso

M₂ = 30 • 25000 = 750 mkg.

189.    hier wird Nt = N₂ = 200 kg, Mb= 20 • 50 • 10 • 20. Mb — 20 mkg, wenn der Längenmaßstab wieder 1:50, Kräftemaß-stab 1:10, Polweite 20 genommen wird.

190.    Die Ausführung ist dieselbe wie in den vorigen Aufgaben. Im Punkte B wird das Biegungsmoment gleich Null.

Mi = 3,6 • 25 000 --- 90 mkg, M, = 27 • 25 000

— 675 mkg.

191. Das Biegungsmoment in der Mitte ist

— 50000 emkg ----- W-kb.

2500-80 = ——

VE

d = V8 • 125 --- 2|/125.

3u 1 1.

1251.

Sri

• 500

q - 2500 kg

= 50000,

d = 10 cm — 100 mm

•—JOfc o

Wl —r=

400

*tr

400

10

ist die Kopfstärke in der Mitte der Achse.

c\ I

27

t-

V/c

<D

(Es ist also

125 mm sind in der Mitte aufgetragen, und dann ist das Dreieck gezeichnet, dessen

Basis 800 mm, dessen Höhe 125 mm ist. stn der vertikalen Linie auf der linken Seite sind die Kubikzahlen 8, 27, 64 aufgetragen und durch die Teilpunkte wagerechte Linien gezogen, die die vreiecksseiten in den Punkten C, D und £ schneiden Durch diese Punkte sind die Linien CI, D2, £3 gezogen. Dann ijt_bie Achsenstärke in 1 d, = 2V 8 — 40 mm, die Stärke in 2 d, — 2^27 — 60 mm, in 3 dg — 2K64 — 80 mm. Der Körper, welcher diese Maße hat, ist ein Körper gleicher Festigkeit. Die eigentliche Achse muß diesen Körper umhüllen, die beiden Achsschenkel sind konisch. Auf jeden Zapfen kommt ein Druck von 1250 kg. Wird die Zapsenlänge l = 2d angenommen, so ist:

1250d — yöds • 500, d — 50 mm, l = 100 mm.

192. Q == 8 • 32 • 5 = 1280 kg. 640 • 37,5

1500

r-750

— 48 cm³.

Q = 8000 kg,

Mb ---- 8000 • 22,8 ----- ^ 15,5* • kb.

193.

500

N-P-12.

Zu 192.

»-

Spannung der Achse kb -----

Lösungen

1824000

372,4

----- 490 kg/cm².

Ti

Li

T~

Für den Zapfen gilt:

8000^10 = ^11,5³-äö,

800000 1520,875

ln,    Ql 5000 12    1,2-h*

194. M₆=^- =-₅—-----^—-1000,

kb

— 526 kg/cm³.

3u 194.

h ~ 60 mm.

195. Mb

4000•2,5

= 20' ⁵⁰⁰f

/ — 125 mm.

196.    Mb = -j- (4,25 - 1,25)

kb ~ 600 kg.

197.    M₆ = 1200 • (7,5 - 1,5) =    .₃₀o, ft, ~

198.    M₆ = 1200 - (6 - 1,5) =    . 300, h₂ ~ 40 mm.

— 562 kg/cm³.

d — 50 mm,

2,5(6 —2,5)⁸

/ff,.

50 mm.

199. kb =

785 • 4.5 • 10

82'

200. Für die beiden Längsträger sind C= (Eisen N-P-28 gewählt, die je 10 - 42 — 420 kg wiegen. Dieselben werden am stärksten beansprucht, wenn die Last in der Mitte steht. Dann wird 420 -1000

1000 -1000

Mb = kb — 672 kg/cm².

= w ■ kb = 450 kb.

Lieht die Last an einer Seite, so kommt auf ein Rad ein Druck 1000 +if²-~ 1200 kg. Das Biegungsmoment des (Querträgers wird

wird Kb ----- 600 kg/cm angenommen, so wird 1200.120 2-600

— 120 cm⁸.

Jeder Träger mutz ein Widerstandsmoment von 60 cm³ haben, C NP- 12.

201. (Es wird Nj — 1800 kg, N₂ — 1200 kg. Hiernach kann die Scherkraftfläche gezeichnet werden. Da, wo die Scherkraft gleich Null ist, wirkt das grötzte Moment.

1200 - 3

—2— — 1800 mkg.

500 • 3 + 1200 • 4

Mb =

202.

----- 2300 kg.

N₂ = 3000 + 1200 - 2300 -----1900 kg.

Die Scherkraftfläche hat am linken Ruflager eine Höhe von 2300 kg, fällt nun nach rechts hin um q —    — 500 kg pro lfm; wird bei

1,7 m gleich 2300 -1,7 • 500 = 1450 kg, fällt in diesem Punkte noch um 600 kg und wird 850 kg. Ruf der Strecke von 0,6 m fällt die Scherkraft um 0,6 • 500 — 300 kg. (Es bleiben also 850 — 300

—    550 kg. Hiervon wieder ab 600 kg, bleiben 550 — 600 =

—    50 kg. Nun nimmt die Scherkraft gleichmäßig ab bis auf JV₂ —

—    1900 kg. Das größte Biegungsmoment, das im Rbstand 2,3 m vom linken Ruflager wirkt, ist gleich dem Inhalt der positiven oder negativen Scherkraftfläche.

2300 + 1450

850 + 550

• 1,7 +-2

50 + 1900

0,6 ----j-

•3,7,

Mb — 3607,5 mkg.

_ 5000-5 + 1200(2 + 5)

203. JVi

2900 kg. N₂ -- 2500 kg.

Das größte Biegungsmoment, das im Rbstande 3,4 in vom linken Ruflager wirkt, ist

2900 + 2550

Mb

150

⁼ ~2~ ' 0,3 + — 4090 mkg

•0,7 +

750 +1050

1950 +1650

•0,3 +

„ , . 1050    _ ,

- • 0,6 H--' 2,1

1650 + 2500

•1,7

Lösungen

oder auch: Mb --- 2500 • 2,6 - 1300 • 1,3 - 1200 • 0,6

= 2900 • 3,4 - 1200 • 2,4 —1700 • 1,7 --- 4090 mkg.

204. hier wird das in einem Durchmesser wirkende Biegungsmoment bestimmt. Der an der halben Platte wirkende Auflagerdruck wirkt im Schwerpunkt der mittleren Kreislinie, dessen Abstand vom

Schnitt Xj = y = ^ ist. Die auf der halben Platte ruhende Last wirkt im Schwerpunkt der halben Kreisfläche, dessen Abstand

2 rs 1,2

X* ⁼ II ⁼ 7 'st.

Demnach wird:

6000 (1,8-1,2) Mb —2

TT

W ----- —— ---- 750 cm³. 0

= 57300 cmkg. 57300

750

— 76,4 kg/cm².

205.    Q bewirkt in ihrem Angriffspunkte eine Durchbiegung

o£ 2,

EJ' 2    * 3 Ll

Pl³

P bewirkt am Ende die Einsenkung f₂ = des Balkenendes ist also

206.    Die Durchbiegung am Ende ist f = 0, wenn

P = 5- [Z³ + f l\ (Z - Z,)I = -ff (3Z - Zj).

207.    Die von Q bewirkte Cinsenkung ihres Angriffspunktes ist

- P bewirkt in diesem Punkte eine Einsenkung

p r    z² z³ ~

£7    + 4- •

und am Balkenende

3£J

=4,

3 EJ

5EJ

• Die Einsenkung

9,5'fl-

(Es muß also:

Lösungen

p-sv-O-f + i-

ii₌ oil

sein.

2Q/,

l-/i²(Z-Z,)+/l

208. Aus den letzten Ausgaben ergibt sich bei der Annahme, datz die Einsenkung an der Stütze gleich Null ist,

N=^-(3Z-/i).

209. hier wird lV —

^<61,-0-lg.

3n den Figuren sind die Scherkraft- und Nlomentenfläche dargestellt. Das größte Biegungsmoment an der Wand ift Mb = ±Ql 3n einem Punkte wird das Viegungs-moment gleich Null.

0-(3Z-Z.)

?—t-A-i

jr

QU

jV A

iV

— A -k-Zpi

210. N-

21,

1.

_L

211. Wird in der vorigen Aufgabe

Zi---^ gesetzt, so wird

«fu

Nl

-AH •

3u 210.

Ist |(N

■Q,

ii-Q

— *-4

-o»

hiernach ist die Nlo-mentenfläche dargestellt.

2U.Sd-j-

tst

JA,

N-P ..    3 ,

3    ' N=sQ-

~hl

£J

25 Q l

Zu 209.

Zu 211.

gEmn

M

2IT

S

h

i----r-

1

! !

M

N

h

Io

.i.

te

t^Ql

fcs

Iq

9$'

JP^

<1

*fsH

l

T

£i

jSL

3u 212—215.

W

_-’Ql

!

W"⁴ei

vffTlTihx

3u 216.

k

HijjjuFi'y-

ji B

Zu 217.

*y|S

<e

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Ä*.

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".....i-k-

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■£r: —^

-o

*9

Lösungen

213. Siehe Figur. Das größte Biegungsmoment an der wand ist

Mb = -

Qi

214.

n= V - (zi -h) + fr w* - 0

= £-,-[ll(Zl-lt) + l*-(Zl₂-l)].

215.    In der Figur ist die Momentensläche für den Fall, daß die Felderweiten gleich sind, gezeichnet. (Es wird JV = ffQ, Mb=Ql.

216.    N = y • An jedem'Auflager wirkt ein Moment Ql l

QP

<?/

M —

M-2=\

Das Biegungsmoment in der Mitte ist Mb = — y •

QZ Z Ql l -— . = ■— • —

8    4    4

S ,fi I.

2    "f" 2 " 4

218.    ^Vi = ^ £>, JV₈ = y Ö. 3n der Feldermitte wird

Mii⁼ Ä ⁹' i ⁼ 6 9/-

uber der Mittelstütze Afär= — in Ql.

219.    ^—^9, ^2 —is9- Über der Mittelstütze wirkt    -

Die Momente können aus den Scherkraftflächen berechnet werden.

217. N =

, M-

M„ =

SIS

220. M,= ¥ds-is,= y

— 8640 cmkg.

16 '

8"

SS

5*2

ITT

• 200

-SK-

<?

Die Leistung ist

L — Mt- w, «, = - = 3,14-5= — , L = 8640- 15,7

cmkg

h.-SkoV

Sie.

^86,4-15,7

75

- = 18 PS.

3u 219.

221. Mfiv = 8000 • 75,

10s

~T" k*'

.    600,000 -30-5    , ₂

1000.3,14 • 180 ~ ^0 kg/cm .

17 12⁴ — 8⁴    ,

g— = 277,6 cm³,

222. Wp —    '

--- 600000,

M, --- 277,6 • 200 --- 555,2 mkg,

w ---

tt-120 _ 12,56

I = Mt- w = 555,2 • 12,56,

555,1 - 12,56

75

~ 90 PS.

223. Ist W die Reibung zwischen Kuppelung und Welle, so ist

17-120 30    '

Mt=W ■ 0,04, L = W • 0,04 •

W- 0,04 • -^2~° = 20 • 75 = 1500 mkg, W= 3000 kg.

Der Normaldruck der Schraube ist dann:

„    3000

N = -q2 = 15000 kg.

stuf eine Schraube kommt eine Zugkraft

p --- l5|oo ~ 1900 kg.

Die Schrauben müßten 1" stark sein.

224. Der äußere Durchmesser des Zwischenstücks sei 380 mm, der innere 150 mm, dann ist der Durchmesser des Schwerkreises

,    2    38s— 15s

3 ' 38²— 15* ~ ^^0 mm.

Dieses soll der Durchmesser des Schraubenkreises fein M,= 14U^=|10³- 300 = 60000 cmkg,

W =    = 4200 kg.

3ft u --- o,25, so wird der ganze Normaldruck U- 16800 kg.

Bet sechs Schrauben wird

P ----- nF = 2800 kg, d= 1 Vs bis 1

225. Mt = j6⁸ • 300 — 12960 cmkg. Ist W die Reibung zwischen hülse und Welle, so ist Mt — W ■ 3.

W= --- 4320 kg.

Der ganze Normaldruck zwischen Welle und hülse ist

,,    4320    .

N--Q2⁻ — 21600 kg.

Dann ist der Radius des Rraftkreises bzw. die Zugkraft im Ring:

---- 3500 kg, kz = j^~ 590 kg/cm².

Tr • 0,08 -150

21600

2 TT

226. v =

60

= 0,62

' sec'

7^0

^ = 015= 5000 kS-

“'-öS!- 750 k='

227.    Die Last Q wird in zwei Komponenten zerlegt. Die in die Balkenachse fallende Komponente Q sin a beansprucht den Balten aus Druck, die senkrecht zur Achse wirkende Komponente Q cos a beansprucht ihn auf Biegung. (Ein Balkenquerschnitt im Abstand r vom freien (Ende erleidet den Druck Q sin a und das Biegungsmoment Mz = Q cos a • z. Das größte Biegungsmoment wirkt an der Wand. Die Last Q kann auch im Schnittpunkte A der Lastrichtung mit dem Querschnitt in die angegebenen Richtungen zerlegt werden. Die Komponente Q sin a beansprucht den Balken auf Druck und Biegung

Mz = Q sin a • z • ctg a = Q cos a • z.

Die Komponente Q cos a beansprucht den Balten auf Abscheren.

O <C>

3u 228.

228.    Werden in einem (Querschnitt zwei entgegengesetzt | gerichtete, mit der Achse zusammen fallende Kräfte Q ange-bracht, so wird hierdurch nichts geändert, weil sich die Kräfte aufheben. Die auswärts gerichtete Kraft bildet mit der gegebenen Last Q ein Kräftepaar, dessen Moment Qa, das in jedem Balkenquerschnitt wirkende Biegungsmoment ist. Außerdem wirkt in jedem (Querschnitt der Drucks. Die Bie-gungs- und Druckspannungen sind zusammenzusetzen (s. nächste Ausgabe).

—    180 000 emkg und daher kb= y0 30,

229. In jedem Querschnitt wirkt eine gleichmäßig verteilte Druckspannung kd = y =    = 20 kg/cm⁸. Das Biegungsmoment in

jedem Huerschnitt ist Mb — \2 000 - 15

180000-6

—    60 kg/cm⁸. Diese Spannung wirkt in den ttttt] Seitenflächen. Da die Biegungsspannungen

k.

gleichmäßig nach der Mitte des Huerschnitts \ Ki abnehmen, bilden sie in ihrer graphischen Darstellung zwei Dreiecke mit den höhen von 60 kg. Die Druckspannungen bilden ein Kd Rechteck von 20 kg höhe. Zusammengesetzt bilden die Spannungen zwei ungleiche Drei-I ecke von 80 und 40 kg höhe. Die größte Spannung von 80 kg ist Druckspannung.

Die Nullinie steht von der Achse 5 cm =y

ab. würde die Last im Punkte B wirken, so wäre der Abstand der Nullinie von der

Achse gleich y. Das Parallelogramm mit

^ den Diagonalen y und y ist der Rern des

rechteckigen Huerschnitts. Liegt der Angriffs* Punkt der Last im Kern, so entstehen nur

—---^ - Druckspannungen, wirkt Q in A, so fällt die

3u 229.

Nullinie durch A und ist parallel zu a uff.

Nullinie mit a zusammen, wirkt Q in B, so fällt die Nullinie mit b zusammen uff. wirkt Q im Mittelpunkt von a, so geht die

230. hier wird

k -2k

Kd ird²

k_°r

32

__169    . _

TTd³ irds' kb — *kd-

Die größte Druckspannung ist kb kd = 5kd —

3000 • 5

y₁₄    = 132,7 kg/cm².

Die Nullinie hat von der Achse den Abstand j, sie berührt einen Kreis vom Durchmesser d. i. der Kern des Kreisquerschnitts.

231. hier wird

Z⁷! = 6 • 1,2 = 7,2 cm F₂ = 6 • 1,2 = 7,2 cm

14,4 cm

Mi = 7,2- 3    =21,6 cm

M₂ = 7,2 • 6,6 = 47,52 cm 69,12 cm³.

Der Abstand der Schwerachse von der linken Kante ist

x=w = 4-8 cm-

=1,2 ₅4,8* = 44,2368 cm⁴

+    =    = 27,648 cm⁴

= 71,8848 cm⁴,

= 2,7648

r _ 4,8.1,2» “4--3—

4 = 69,12 cm⁴, = 14,4 cm³.

69,12

W4 =

_ 500 - 8,4

4,8

14,4    = 291,6 kg/cm².

500

= 34,7 kg/cm².

14,4

Die größte Druckspannung ist

Sx = — 291,9 + 34,7 = - 256,9 kg/cm².

Die größte Zugspannung , 291,6-2,4

4.8

+ 34,7 = 180,5 kg/cm².

232. hier wird x — 6 cm, lx = 168,75 cm⁴,

W* = 28,125 cm³, kb = 213,3 kg/cm², kz = 26,7 kg.

Die größte Druckspannung gleich 186,57 kg. Die größte Zugspannung gleich 123,2 kg.

233. 3n dem Querschnitt wirkt ein Biegungsmoment

Mb= 300 - 3,5 — 1050 cmkg, also wird kb —

1050 - 6

3-1,5*

kb ~ 930 kg,

300

= 67 kg,

kb + kz = 997 kg/cm², kb — kz = 863 kg/cm². 234. F₁ = ^~ = 16,2 cm²

1,5-3

= 16,2 ■ 6 = 97,2 cm

- M₂ = 1,8 • 2 = 3,6 „

14,4 cm²

Mt = * =    = 6,5 cm-

83,6 cm⁸.

93,6

Für die Spitze S ist:

h = 7* (3,6 • 9³ - 1,2 • 3³) = 648 cm⁴. 4= 648 — 14,4 • 6,5² = 39,6 cm⁴.

970 Wem*.

⁼ llj? = 140 kg/cm².

Die größte Zugspannung wird gleich 840 kg/cm², die größte Druckspannung gleich 830 kg/cm².

235. Hier wird die größte Zugspannung gleich 730 kg/cm. Die größte Druckspannung gleich 750 gk/cm². Nach „Vach, Maschinenelemente" müssen bei einer genaueren Berechnung der Haken, die Krümmung der Hakenmittellinie und die damit verbundene Formänderung der äußersten Faser berücksichtigt werden. Die Zugspannung der inneren Faser wird dann größer, die Druckspannung der äußeren Faser kleiner als obige Rechnung ergibt.

236. Der untere Träger wird -'20-am stärksten beansprucht, wenn die Last in der Mitte des Trägers steht. Dann wirkt auf ihn ein Biegungsmoment H • 1. (Es ist

900-,

♦900s---

1-720*

H: 3,6 = ■y : 2.

3,6 • 250

Zu 236.

— = 450 kg.

Mb — 450 mkg.

Dann wirkt auf den Träger noch ein Druck von 450 kg. Die Zugstangen und die Uransäule werden am stärksten beansprucht, wenn die Last im äußersten Punkte steht. Für die Zugstangenkraft z ergibt sich:

500:z = 2:"|/2² + 3,6², z = 1030 kg. Der Zapfendruck wird in diesem Falle

Hi =    2,5    = 720 kg‘

fln der Uransäule wirken zwei horizontale Uräftepaare 720 - 2,5 = 900-2

und ein vertikaldruck von 500 kg. Die Uräftepaare beanspruchen die Säule auf Biegung. Das größte Biegungsmoment ist

Mb = 720 • 25 = 18000 cm/kg.

237. In beistehender Figur sind die Kräfte durch Zeichnung bestimmt. Die Horizontalkomponenten der Stangenkräfte / und II bilden ein Kräftepaar: H₁ ■ 1,7 = 1500 • 4, H₁= 3530 kg.

^ Hi • 5,2

1324 kg. Ebenso ist V₃

2824 kg.

Die Vertikalkomponente von I ist r ".-1.5

Die Stangenkräfte sind:

/ = ]/3530² + 1324² = + 3770 kg.

II = V3530² + 2824² = - 4736 kg.

/ wird auf Zug, II auf Druck bzw. Unicken beansprucht.

Die Säule erleidet im unteren Teil einen Druck von 1500 kg und ein größtes Biegungsmoment

Mb = 1500 • 4 =    • 2,5 = 6000 mkg.

3770

/ soll aus 2 Rundeisen bestehen, deren Querschnitt

f-

1,5 m

2-600

1500

"V

r-6ooo-*1 = 2,2 cm² sein Nluß.

TTCi⁸

v-

-Sh

4 2,2,

d = 20 mm.

1500

S₂

----sH---

___Ul--

I-

Zu 237.

7 Da die Stangen sich bei ihrer Länge leicht / durch ihr Tigenge-■ wicht durchbiegen soll d —25 mm sein. vorteilhafter sind zwei Flacheisen. Die Stange//soll aus zwei C= (Eisen bestehen. Jedes Eisen erleidet den Druck von rund 2500 kg. Die Formel für Knickfestigkeit lautet

P-z⁸-S

¹ ~ ir⁸-£ '

P ist der Druck, l die Länge und S der Sicherheitskoeffizient, der in diesem Falle zu 10 angenommen werden kann.

.    2500 -5,1* -10    ₄

¹ 10 • 2000000 330 Cm ’

(Es genügen zwei D(Eisen tt-P-12, die sich an die Säule von beiden Seiten anschließen und durch etwa 3—4 Stehbolzen versteift werden. Wird für die Säule Kb — 600 kg/cm² angenommen, so wird

y;d³ • 600 — 600000 cmkg. d ~ 210 mm.

— 2400 kg, d — 60 mm, l — 90 mm.

Die Säule kann auch als Hohlsäule ausgeführt werden (D — 250 cm, d — 190 mm). Huf den Spurzapfen wirkt ein Druck von 1500 kg und die biegende Kraft H 1500 • 4 2,5

Lösungen

238. Die Umfangsgeschwindigkeit der Riemenscheibe ist

^ "W'⁷⁵⁰ = 15,7 m/sec' die Riemenkraft P =    = 143 ~ 145 kg.

Dann werden die Riemenspannnngen — 290 kg, S₂ = 145 kg. Der Druck auf die Welle 290 +145 = 435 kg. Der Druck soll einschließlich Eigengewicht zu 500 kg angenommen werden. Dann wirkt in der Mitte des Zapfens ein Biegungsmoment

Mb --- 500 • 30 = 15000 cm/kg.

Außerdem wirkt an der Welle ein Drehmoment Mt = 145 • 20 = 2900 cm/kg.

Aus den beiden Momenten Mb und M{ wird das ideelle Biegungsmoment Mi nach der Formel berechnet:

Mi --- M„ + ~^VMl + Mt

m ist der Rontraktionskoeffizient des Materials, der durch versuche festgestellt werden muß. Früher wurde m — 4X jetzt m — y angenommen. dann ist-

Ist Mb > Mtl so kann M{ = Mb + ±MU ist Mb < Mt, so kann Mi = i(Mb + Mt)

gesetzt werden (f. Lindner, Maschinenelemente), hiernach wird Ms = 15000 + -j- ’ 2900 --- 15725 cmkg,

^ d³ • 300 = 15725, d =~ 80 mm.

239. Das Drehmoment an der Trommelwelle ist Md = 7 • 500 — 3500 cmkg.

Das große Zahnrad soll 60 Zähne mit t = 7n haben, bas kleine Rad 12 Zähne

—— 420 mm, d

12 777

TT

— 84 mm.

Das Drehmoment an der Kurbelmelle:

Mt = 170 • 4,2 = 714 cmkg,

Mb =

• 10 — 1400 cmkg.

124

Der Zahndruck wird: P -----

Lösungen 500 -14

420

----- 170 kg.

das Megungsmoment dort, wo das kleine Hab sitzt, 170 - 45

55

Mi = 1400 + Jr-= 1580 cmkg.

^ 3°. Kh ----- 1580, kb ----- 580 kg/cm⁵.

Kb wäre die größte Spannung der Welle bei der Maximallast

Q = 500 kg.

240. v₂ —    = 9 m/sec.    = 150 kg.

rr7h

Achsendruck

-800 ----*^200*

Pis=    = 100 kg,

3Pz --- 300 kg.

NZ._

7 ^ Das größte Biegungsmoment am linken Lager ist

3u 240.

Mb -- 450 • 20 --- 9000 cmkg, das Drehmoment Mt — 100 • 30 = 3000 cmkg.

Mi = 9000 + ^ = 9750 cmkg = ^d³- 3000. d ~ 70 mm.

Ferner erscheint in derselben Sammlung von Prot N. Schmitt als Bd. II des vorliegenden Buches:

Dynamik und Hydraulik. 2. Ausl. Mit Aufgaben und Lösungen. (Bd. 559.) Kart. M. 6.80, geb. M. 8.80

je M. 8.80. [Bd. II u. III in

Mechanik. Von Dr. G. Hamei, Professor an der Techn. Hochschule Charlottenburg. Bd. I: Grundbegriffe der Mechanik. Mit 38 Fig. im Text. [132 S.] 8. 1921. Bd. II: Mechanik der festen Körper. Bd. III: Mechanik der flüssigen und luftförmigen Körper. (ANuG Bd. 684/86.) Kart je M. 6.80, geb.

Vorbereitung 1921.]

Das Buch kann allen denen empfohlen werden, die ohne höhere mathematische Kenntnisse einen allgemeinen Überblick über die Mechanik zu gewinnen wünschen, als auch denen, die ein umfassendes Studium beginnen wollen.

Leitfaden der Statik. Von Reg.-Baumeister A. Schau, Gewerbeschulrat und Direktor der staatlichen Baugewerkschule in Essen:

Teil I: Grundgesetze. Anwend, d.stat. Gesetze a. Trägerordn. Einf.Stab-konstruktionen u. ebene Fachwerkträger. 3. Ausl. Mit 185 Abb. i.Text. IVI1I u. 105 S.] gr. 8. 1921. Kart. M. 19.-.

Teil II: Festigkeitslehre. Zug- und Druckfestigkeit, Schubfestigkeit, Biegungsfestigkeit u. Knickfestigkeit. 2. Ausl. Mit 208 Fig. [VI u. 149 S.] gr. 8. 1919. Steif geh. M. 12.60.

Teil III a: Für die Hochbauabteilungen. Mit 238 Abb. i.T. [VI u. 108 S.] gr. 8. 1921. Kart. M. 19.—.

Teil III b: Für Tiefbauabteilungen. [U. d. Pr. 1921.]

Teil IVa: Die Statik der Eisenbetonbauten. Mit 113 Abb. [IV u. 135 S.] gr. 8. 1921. Kart. M. 22.-.

Teil IVb: Für Tiefbauabteilungen. [U. d. Pr. 1921.]

Statik. Von Reg.-Baum. A. Schau, Gewerbeschulrat u. Direktor der staatl. Baugewerkschule, Essen. 2. Ausl. Mit 112 Fig. i.T. [110 S.] 8. 1921. (ANuG Bd. 828.) Kart. M. 6.80, geb. M. 8.80

In allgemein verständlicher Art werden die Grundsätze der Statik entwickelt und durch zahlreiche Anwendungen auf die Hauptgebiete der Technik, insbesondere für den Hoch- und Tiefbau sowie den Maschinenbau erörtert in der Weise, daß auch dem Leser die Möglichkeit zur selbständigen Lösung praktischer Aufgaben gegeben wird.

Festigkeitslehre. Von Reg.-Baum. A. Schau, Gewerbeschulrat und Direktor an der staatl. Baugewerkschule, Essen. 2. Ausl. Mit 119 Fig. [112 S.] 8. 1921. (ANuG Bd. 829.) M. 6.80, geb. M. 8.80

Das Ziel des vorliegenden Bändchens ist, in möglichst kurzer und klarer Weise die verschiedenartigsten Berechnungsweisen für die Abmessungsbestimmungen von Bauteilen dem Verständnis der Leser nahezubringen. Die zahlreichen Beispiele aus dem Hoch-u.Tiefbau sind durch eine Reihe von Beispielen aus dem Gebiete des Maschinenbaues ergänzt worden, so daß das Bändchen ein abgeschlossenes Ganzes darstellt.

Vorlesungen über technische Mechanik. Von Geh. Hofrat Dr. A. Föppl, Professor an der Techn. Hochschule München, gr. 8.

I.    Bd.: Einführung in die Mechanik. 7. Ausl. Mit 104 Fig. [XVI u. 414 S.] gr. 8. 1921.

V. Bd.: Die wichtigsten Lehren der höheren Elastizitätstheorie. 4. Ausl. [U. d.Pr.21]

VI. Bd.: Die wichtigsten Lehren der höheren Dynamik. 3. Ausl. Mit 30 Abb. im Text.

[XII u. 490 8.1 1921. Geh. 58.—, geb. .    .

. . M. 70 —

„Die Vorlesungen des Verfassers über technische Mechanik, denen viele Techniker ihre Anregung verdanken, werden überall in Deutschland eifrig studiert.

. .. Neben vielen Eigenschaften, verdankt das Werk seine Beliebtheit der persönlich gehaltenen Darstellungsform.“    (Archiv d. Mathematik u. Pyhsik.)

Lehr- und Ausgabenbuch der Physik für Maschinenbau und Gewerbeschulen, sowie für verwandte technische Lehranstalten und zum Selbstunterricht. Von Prof. Dr. G.Wiegner, Leipzig und Reg.-Baumeister Dipl.-Ing. P. Stephan, Altona. Mit zahlreichen Figuren im Text und ausgeführten Musterbeispielen. 3 Teile.

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II. Bd. Lehre von der Wärme. Einiges aus der Lehre vom Licht (Optik). Wellenlehre. 2., verb. Ausl. [IV u. 180 S.] gr..8. 1921. Kart. M. 22 —

III. Bd. Elektrizität (einschließlich Magnetismus). [VI u.192 S.] gr.8.1913. Steifgeh.M.26.— „Die Arbeit ist eine gelungene Vereinigung des Lehrbuches mit der Aufgabensammlung, gerade so, wie sie der Techniker braucht: kurz die Theorien an sich, inhaltsreich die praktische zahlenmäßige Anwendung in der Form gutgewählter Aufgaben ; beides durch zahlreiche gute Abbildungen gestützt. Ein übersichtliches Inhaltsverzeichnis vorn und ein ausführlichesSachverzeichnis amSchluß desTextes erleichtern das Nachschlagen einer gerade gesuchten Aufgabe, so daß die Sammlung auch dem bereits außerhalb der Schule stehenden Techniker ein liebes Nachschlagebuch sein wird.“    (Archiv der Mathematik und Physik.)

Kleiner Leitfaden der praktischen Physik. Von Professor Dr. Fr. Kohlrausch, weil. Präsident der physikal.-techn. Reichsanstalt zu Berlin. 4. Ausl.bearb. von Dr. H. Scholl, Prof, an der Univ.Leipzig. Mit 165 Abb. im Text. [XX U.332S.] gr.8. 1921. Geh. M. 30.—, geb. M. 35.— Lehrbuch der Physik. Von Prof. E.Grimsehl, weil. Direktor der Oberrealschule a. d. Uhlenhorst in Hamburg. Zum Gebrauch beim Unterricht, bei akademischen Vorlesungen u. zum Selbststudium. 2 Bände, hrsg.v. Prof. Dr. W. Hillersin Hamburg u. Prof. Dr.H.Starke in Aachen.

M. 95 —

I.    Band: Mechanik, Wärmelehre, Akustik u. Optik. 5., verm. u. verb. Ausl. Mit 1049 Fig. im Text. 10 Fig. auf 2 färb. Tafeln und 1 Titelbild. [XVI u. 1029 8.1 gr. 8. 1921. Geh. M. 80.—, geb

II.    Band: Magnetismus und Elektrizität. 4., verm. u. verb. Ausl. Mit 548 Fig.

[VIII u. 634 8.1 gr. 8. 1920. Geh. M. 55.—, geb..............M. 65.—

Grundriß der Physik. Für höhere Lehranstalten und Fachschulen sowie zum Selbstunterricht. Von Oberlehrer Dr. K. Hahn, Hamburg. Mit326Fig. [VII u.2748-1 gr.8.1920. Geh.M.18.-,geb.M.21.60

Der Grundriß der Physik soll in „knappester Form“ und in „streng logischem Aufbau“ eine Darstellung der Experimentalphysik geben, die bis zu den „neuesten Ergebnissen der Forschung“ führt.

Physikalisches Wörterbuch. Von Prof. Dr. G. Bern dt, Berlin. Mit 81 Figuren im Text. [IV u. 200 S.] 8. 1920. (Teubners kl. Fach-Wörterbücher Bd. 5.) Geb. M. 17.50.

Will schnell und treffend, ohne größere Vorkenntnisse vorauszusetzen, über alle wichtigeren physikalischen Erscheinungen und Begriffe unterrichten. Besonders berücksichtigt sind die Anwendungen der Physik unsäglichen Leben und in der Technik.

Zeitgemäße Betriebswirtschaft. Von Dir.Dr.-Ing.G.Peiseier, Leipzig. I. Teil: Grundlagen. Mit 30 Abb. [VI u. 182 S.] gr. 8. 1921. Geb. M. 34-

Das Werk entwickelt ein umfassendes System der deutschen Betriebswirtschaft, indem es, von dem wirtschaftlichen Aufbau des Einzelunternehmens (technisches Büro, Einkauf, Fertigung,Vertrieb,Selbstkostenberechnung,Preisbildung) ausgehend, alle grundlegenden Fragen, die unsere heutige Wirtschaft beherrschen (Verteilung des Ertrages, Wirtschaftsfrieden, Produktionssteigerung, Taylorsystem, verbandsmäßige Preisbildung, Geldentwertung, Auslandteuerungslage), in ihrem inneren Zusammenhange behandelt. Die Darstellung ist nach dem Grundsatz „Wahrheit und Klarheit“ ohne jede Parteinahme allein auf das Wohl aller Arbeitenden gerichtet, denen sie zu ihrem eigenen Nutzen und zum Wohle der allgemeinen deutschen Sache eine Fülle von Anregungen bieten wird.

Maschinenbau. Von Ing. O. Stolzenberg, Dir. d. Gewerbeschule u. der gewerblichen Fach- uM Fortbildungsschulen zu Charlottenburg.

I. Bd.: Werkstoffe des Maschinenbaues und ihre Bearbeitung auf warmem Wege.

Mit 255 Abb. im Text. [IV u. 177 S.] gr. 8. 1920. Geb. M. 28.—

II Bd.: Arbeitsverfahren. Mit 750 Abb. im Text. [IV u. 315 8 [ gr.8. 1921. Geb. M. 48.—

III. Bd.: Methodik der Fachkunde u. Fachrechnen. Mit ca. 35 A bb. im Text. [In Vorb.[ Das aus langjähriger Erfahrung iu der Praxis und im Unterricht hervorgegangene Werk behandelt in seinem I. Band die Rohstoffe des Maschinenbaues einschließlich der Ersatzstoffe, soweit sich ihre Verwendung bewährt hat, die Mittel und Wege zu ihrer Prüfung und ihrer Bearbeitung auf warmem Wege. ln Band II gelangt die Arbeit des Maschinenbauers in ihren sämtlichen Verfahren, sei es, daß sie mit der Hand oder der Maschine ausgeführt werden, zur Darstellung. Der III. Band ist für die Hand des Lehrers an gewerblichen Schulen bestimmt. Er gibt ihm eine bisher noch nicht vorhandene Anleitung, wie der in Band I und II dargebotene Stoff im Unterricht zu behandeln, wie das Anschauungsmaterial zu beschaffen und zu verwerten ist und bietet neben anderen wertvollen Winken zahlreiche Fachrechenaufgaben aus der Werkstattpraxis. Es wird sich dem Maschinenbauer sowohl für seine Ausbildung wie auch für seine spätere Praxis als gleich wertvoll erweisen.

Fachkunde für Maschinenbauerklassen an gewerblichen Fortbildungsschulen.

. . M. 7.60

I. Teil: Rohstoffkunde. Bearbeitet von Gewerbeschulrat Uhrmann in Cöln und Ingenieur F. Schuth, Gewerbelehrer der gewerblichen Fortbildungsschule in Cöln. Mit 96 Abb. [IV u. 635 S.]. gr. 8. 1921. . . .

— Arbeitskunde. Bearbeitet von Ingenieur O.Stolzenberg, Direktor der gewerblichen Fach- und Fortbildungsschulen zu Charlottenburg. Mit 304

Abb. [IV u. 1025 S.j. gr. 8. 1921..................M. 9.90

— Kraftmaschinen. Bearbeitet von Gewerbeschulrat Uhrmann in Cöln und Ingenieur F. Schuth, Gewerbelehrer der gewerblichen Fortbildungsschule in Cöln. Mit 96 Abb. [II u. 80 S]. gr. 8. 1921.......M. 8.10

Die Lehrhefte sollen das zeitraubende Niederschreiben des Vortrages ersparen und zur Wiederholung und Vorbereitung für den Unterricht dienen. Jedes Bändchen enthält auf ca. 75 Seiten mit zahlreichen Abbildungen den Lehrstoff für die einzelnen Stufen der gewerblichen Fortbildungsschule in anschaulicher und leichtfaßlicher Form unter Ausschaltung alles Nebensächlichen.

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

Preise freibleibend

Teubners Technische Leitfäden

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Die Leitfäden wollen zunächst dem Studierenden, dann aber auch dem Praktiker in knapper, wissenschaftlich einwandfreier und zugleich übersichtlicher Form das Wesentliche des Tatsachenmaterials an die Hand geben, das die Grundlage seiner theoretischen Ausbildung und praktischen Tätigkeit bildet. Sie wollen Ihm diese erleichtern und ihm die Anschaffung umfänglicher und kostspieliger Handbücher ersparen. Auf klare Gliederung des Stoffes auch in der äußeren Form der Anordnung wie auf seine Veranschaulichung durch einwandfrei ausgeführte Zeichnungen wird besonderer Wert gelegt. — Die einzelnen Bände, für die vom Verlag die ersten Vertreter der verschiedenen Fachgebiete gewonnen werden konnten, erscheinen in rascher Folge. Bisher sind erschienen bzw. unter der Presse: Analytische Geometrie. Von Geh. Hofrat Dr. R. Fricke, Professor an der Techn. Hochschule zu Braunschweig. Mit 96 Fig. [VI u. 135 S.] 1915. (Bd.l.) Darstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Prof, an der Eidgen.

Techn. Hochschule zu Zürich. Bd. I. Mit 134 Fig. [IV u.84 S.) 1917. (Bd. 2.) M. 10.— Darstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Professor an der Eidgen. Technischen Hochschule zu Zürich. Bd. II. 2., umgearb. Ausl. Mit 144 Fig. [VI u. 154 S.] 1921. (Bd. 3.) Kart.M.20.—

Differential- und Integralrechnung. V.Dr.L.Bieberbach, o. ö. Prof. a. d. Univ. Frankfurt a.M. I. Differentialrechnung. Mit32 Fig. (VI u.130 S.[ 1917. (Bd. 4) Geh.M.7.—. Il.Integralrechnung. Mit25Figuren. [VIu.l42S.]1918. (Bd.5.)Geh.M.8.50. Funktionenlehre. Von Dr. L. Bieberbach, Pros. a. d. Univ. Berlin. [U. d. Pr.j Praktische Astronomie. Geograph.Orts-u.Zeitbestimmung. VonV.Theimer, Adjunkt an der Montanistischen Hochschule «u Leoben. Mit 62 Figuren. [IV u. 127 S.] 1921. (Bd. 13.) Kart. M. 20.—

Feldbuch für geodätische Praktika. Nebst Zusammenstellung der wichtigsten Methoden und Regeln sowie ausgeführten Musterbeispielen. Von Dr.-Ing. O. Israel, Prof. a. d. Techn. Hochschule in Dresden. Mit 46 Fig. im Text. [IV u. 1608.j 1920. (Bd. 11.) Kart.M.20 —

Erdbau, Stollen- und Tunnelbau. Von Dipl.-Ing. A.Birk, Prof. a. d. Techn.

54 Abb. i. Text u. a. 2 Taf. [IV u. 100 S.] 1920. (Bd.9.) Kart. M. 14.-

GrundrißderHydraulik. Von Hofrat Dr. Ph. Forchheimer, Prof. a. d. Techn. Hochschule in Wien. Mit 114 Fig, !M Text. [V u. 118 S.] 1920. (Bd. 8.) M. 20.50.

Hochbau In Stein. Von Geh.Baurat H. Walbe, Prof. a. d. Techn. Hochschule zu Darmstadt. Mit 302 Fig. im Text. [VI u. 110 S.J 1920. (Bd. 10.) Kart. M. 16 —

Veranschlagen, Bauleitung, Baupolizei, Heimatschutzgesetze. Von Stadtbaur.Fr.Schultz, Bielefeld. Mit3Taf. [IVu.l50S.] 1921. (Bd 12.) Kart.M.23.50.

Mechanische Technologie. V.Dr.R.Escher. Prof.a.d.Eidgen.Techn.Hochsch. zu Zürich. Mit 418 Abb. i. Text. 2. Ausl. [VI u 164 S.J 1921. (Bd. 6.) Kart. M. 20.— In Vorbereitung sind auf dem Gebiete

DER MATHEMATIK UND DES MASCHINENBAUES:

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Versicherungsmathematik. Von Reg.-Rat Dr. P. E. Böhmer, Prof, an der Technischen Hochschule Dresden.

Praktische Geometrie. Von Dr.-Ing. Heinrich Hohenner, Prof, an der Technischen Hochschule Darmstadt.

Maschinenelemente.2Bde.V.K.Kutzb ach, Prof. a. d.Techn.Hochsch. Dresden.

Thermodynamik. 2B. V.Geh.Hofr.Dr.R.M o 11 i er ,Prof.a.d.Techn.Hochsch.Dresden.

Kolbenkraftmaschinen. V.Dr.-Ing.A.Nägel,Prof.a.d.Techn.Hochsch.Dresden.

Dampfturbinen und Turbokompressoren. Von Dr.-Ing. H. Baer, Prof, an der Technischen Hochschule Breslau.

Wasserkraftmaschinen und Kreiselpumpen. Von Oberingenieur Dr.-Ing. Franz Lawaczeck, Halle.

Grundlagen der Elektrotechnik. 2 Bde. Von Dr. E. Orlich, Prof, an der Technischen Hochschule Berlin.

ElektrischeMaschine n.4Bde.V.Dr.-Ing.M.Kl o ß .Prof.a.d.Techn.Hochsch.Berlin.

Baustoffe des Maschinenbaues. Von Dr. W. Schwinning, Prof, an der Technischen Hochschule Dresden.

Mech. Technologie der Textilindustrie. Von Dr.-Ing.W. Frenzei, Delft.

Hochschule zu Prag. Mit 110 Abb. [V u. 117 S.) 1920. (Bd.7.) Kart M. 9.50. Landstraßenbau einseht Trassieren. V. Oberbaurat W. Eut! ng, Stuttgart. Mit

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Sie geben rasch und zuverlässig Auskunft aus jedem Spezialgebiete und lassen sich je nach den Interessen und den Mitteln des einzelnen nach und nach zu einer Enzyklopädie aller Wissenszweige erweitern.

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Mil 60 Zig. (Bd. 7.) Geb. JUt 4.80 Wörterbuch zur deutschen Literatur von Oberstudienrat Dr.tz.Aöbl. (Bd. 14.) Geb. JUt 3.60

Musikalische» Wörterbuch von Pros. Dr. tz. Moser. (Bd. 12.) Geb. JUt 3.20

Kunstgeschichtliche» Wörterbuch von Dr. tz. Vollmer. (Bd. 13.) Geb. JUt 7.50. Ausführliche Anzeige f. nächste Seite, physikalisches Wörterbuch von Pros. Dr. G. Berndl. Mit 81 Zig. (Bd. 5.) Geb. JUt 3.60

Chemische» Wörterbuch von Pros. Dr. tz. Aemy. Mit 15 3*66. u. 5 Tabellen. (Bd. 10/11.) ©c6. JUt 10.60

Geographische» Wörterbuch von Pros. Dr. O. Kende. Allgemeine Erdkunde. 2., vielfach verb.Aufl. Mit 81 Abb. (35b. 8.) <$>d>.JUt6 —

Zoologische» Wörterbuch von Dr. Th. Knottn erus,Meyer. (33b. 2.) <9t6. JUt 4.—

Botanisches Wörterbuch von Pros. Dr. O. Gerte. Mit 103 Abb. (35b. 1.) Obtb.JUt*.—

Wörterbuch der Warenkunde von Pros. Dr. M. pietsch. (35b. 3.) Geb. JUt 4.60

tzandelsrvörterbuch von tzandelsschuldirektor Dr. V. Sittel und ZustizratDr.M. Strauß. Zugleich sünfsprachiges W ötterbuch, zusammen -gestellt v. V.Armhaus, verpfl.Dolmetscher. (35b.9.) ©tb. JUt4.60

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„Das Buch ist glänzend geschrieben, gliedert den ungeheuren und mannigfaltigen Stoff in übersichtlicher Art und legt Rachdruck auf manche bisher vemachlässtgte Epochen, wie zum Beispiel die deutsche Malerei der Zopfzeit..."    (Neue Freie Presse.)

Marburger Kunstbücher für jedermann

Malerei der Goethezeit. Sechzig ganzseitige Abbildungen mit einer Lin-ieitung von K. Schauer. kart. JUt 4.—, in ßeinett JUt 6.— Griechische Tempel — Olympische Kunst — Tempel Italiens Deutsche Köpfe — Deutsches Ornament IederBandm.60ganzseit.Abb.u.Einleit.kart.Z^3.—,in Leinen JUtS —

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Altertum, vornehmlich griechische und römische Kultur sowie frühchristliche Zeit. Das Mittelalter. Vorgeschichte und Entfaltung. Heft 3: Renaissance und Barock. Hefk 4: Vom Ende des 1 s. Jahrhunderts bis zur Gegenwart.

Heft 1—4 einzeln /Bestatte. 5134—5137), Heft 1—4 in einem Baud [Beft.-Ur. 5138)

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Das Buch bietet eine klare und allgemeinverständliche Einführung in die Wissenschaft vom Staat als Lebewesen und zeigt die geographischen Grundlagen für das politische und wirtschaftliche Leben der Staaten und Völker auf. Es bietet eine werwolle, ja unentbehrliche Ergänzung zu jeder Weltgeschichte.

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