M - WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

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Pruk. ü. J. Zam. 356. 10.000.

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Graphisches

Rechnen

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Dieses Buch ist dem Schutze des Publikums empfohlen.

Volksbibliothek Schweidnitz.

Das Entleihen der Bücher geschieht an Wochentagen von h¹/* bis 7l/a Uhr nachmittags, Sonntags von 11 >biS- lüt/r. >Uhv mittsgs,

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Leipzig, ii

Aedes der meist reich illustrierten Bändchen

Biblioteka Politechniki Krakowskiei >«4

M.1.90

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b. Teubner

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Bisher sind erschienen

zur Mathematik und Astronomie:

Einführung Ln die Mathematik.

Einführung ln die Mathematik. Von Oberlehrer M. Mendelssohn. Mit 42 Figuren im Text. (Bd. 503.)

^Mathematische Formelsammlung. Ein Wiederholungsbuch der Elementarmathematik. Von Prof. Dr. S. dato bi. (Bd. 567.)

Arithmetik, Algebra und Analysis.

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz. 2 Bände. (Bd. J 20, 205, auch in 1 Band gebunden.) I. Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiien Grades. 6. Ausl. Mit 0 Figuren im Text. (Bd. 120.) It. Teil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 5. Aufl. Mit 21 Textfiguren. (Bd. 205.)

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Differentialrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindow. 3. Ausl. Mit 45 Figuren und I6l Aufgaben. (Bd. 387.)

Integralrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindow. 2. Ausl. Mit 43 Figuren im Text und 200 Aufgaben. (Bd. 673.)

*E nführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von pkvf. Dr. R. Suppant-schitfch. (Bd. 560.)

Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von Geh. Regierungsrat Prof. E. Hegemonn. Mit 11 Figuren im Text. (Bd. 600.)

Geometrie.

Planimetrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz. 2. Aufl. Mit 94 Figuren im Text. (Bd. 340.)

Ebene Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. C r a n tz. 2. Aufl. Mit 50 Figuren im Text. (Bd. 431.)

*Sphärische Trigonometrie. Von Geh. Studienrat p. Crantz. (Bd. 605.) Analytische Geometrie der Ebene zum Selbstunterricht. Von Gch. Studienrat p. Crantz. 2. Aufl. Mit 55 Figuren im Text. (Bd. 504.)

^Analytische Geometrie des Raumes. Von Geh. Studienrat p. Crantz. (Bd. 543.)

Angewandte Mathematik.

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*Lehrbuch der Rechenvorteile. Von 3ng. Dr. G. B ojto. (Bd. 739.)

Die Rechenmaschinen und das Maschinenrechnen. Von Regierungsrat Dipl.-3ng. K. Lenz. Mit 43 Abbildungen. (Bd. 490.)

Geometrisches Zeichnen. Von akad. Zeichenlehrer A. Schudeisky. Mit 172 Abb. im Text und auf 12 Tafeln. (Bd. 566.)

projektionslehre. Die rechtwinklige Parallelprojektion und ihre Anwendung auf die Darstellung technischer Gebilde nebst einem Anhang über die schiefwinklige Parallelprojektion in kurzer leichtfafllicher Darstellung für Selbstunterricht und Schulgebrauch. Von akad. Zeichenlehrer A. Schudeisky. Mit 206 Abbildungen im Text. (Bd. 564.)

AVuG 14: Mathematik u. Astronomie. VII. 19-

Jedes Bändchen kartoniert M. I.öo, gebunden M. ).90

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Angewandte Mathematik.

Die Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen. Von Prof. Dr. K. Doehle-mann. 2. Aufl. Mit 91 Figuren und 11 Abbildungen. (Bd. 510.)

»Graphisches Rechnen. Von Oberlehrer Prof. O. prölst. (Öb. 708.)

Die graphische Darstellung. Line allgemeinverständliche, durch zahlreiche Beispiele aus allen Gebieten der Wissenschaft und Praxis erläuterte Einführung in den Sinn und Gebrauch der Methode. Von Hofrat Prof. Dr. F. Auerbach. 2. Ausl. Mit 139 5*0* im Text. (Bd. 437.) Maste und Messen. Von Dr. W. Block. Mit 34 Abbildungen. (Bd. 9S5.)

Mathematische Spiele.

Mathematische Spiele. Von Dr. W. Ährens. 4., verbesserte Aufl. Mit 1 Titelbild und 78 Figuren. (Bd. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. Lange. Mit den Bildn. L. Lasters u.p.Morphhs, 1 Schachbrettafel u. 43 Diagrammen. 3. Aufl. (Bd. 281.) »Die Hauptvertreter der Schachsptelkunst und die Eigenarten ihrer Spielsührung. Von Dr. M. Lange. (Bd. 531.)

Geschichte.

Naturwissenschaften, Mathematik und Mediän im klassischen Altertum. Von

Prof. Dr. Zoh. L. Heiberg. Mit 2 Figuren« (Bd. 370.)

»Die Naturwissenschasten im Mittelalter und im Zeitalter des Wiedererwachens der Wissenschaften. Von Direktor Dr. F. D a n n«m a n n. (Bd. 095.)

* Die Naturwissenschaften in der Neuzeit. Von Direktor Dr. F. D a n n e m a n n. (Bd. 696.)

Astronomie und Astrologie.

Der Bau des Weltalls. Von Prof. Dr. Z. Scher ner. 4. Aufl. Mit 26 Figuren. (Bd. 24.)

Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. Von Geh. Negierungsrat Prof. Dr. M. B. W e t n st e i n. 3. Aufl. (Bd. 223.)

Untergang der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. Von Geh. Re-glerungsrat Prof. Dr. M. B. W e i n st e i n. (Bd. 470.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Von Prof. Dr. S. Oppenheim. 2. Aufl. Mit 19 Abbildungen. (Bd. 110.)

Probleme der modernen Astronomie. Von Prof. Dr. S. Oppenheim. 2. Aufl. Mit Figuren. (Bd. 355.)

Die Astronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Leben. Von Prof. Dr.

A. Marcuse. Mit 26 Abbildungen. (Bd. 378.)

Die Sonne. Von Dr. A. Krause. Mit 64 Abbildungen. (Bd. 357.)

Der Mond. Von Prof. Dr. Z. Franz. Mit 34 Abbildungen. 2. Aufl. (Bd. 90.) Die Planeten. Von Prof. Dr. B. Peter. Mit Figuren. 2.Aufl. vonDr.H.Naumann. (Bd. 240.)

»Die Fixsterne. Von Dr. Aug. Kühl. Mit Abbildungen. (Bd. 677.)

Der Kalender. Von Prof. Dr. w. F. W i r l i c e n u s. 2. Aufl. (Bd. 69.) Sternglaube und Sterndeutung. Die Geschichte und das wesen der Astrologie. Unter Mitwirkung von Geh. Rat Prof. Dr. C. Bezold dargestellt von Geh. Hosrat Prof. Dr. Franz Bolk. 2. Aufl. Mit 1 Sternkarte und 20 Abbildungen. (Bd. 638.)

Meteorologie.

Einführung in die Wetterkunde. Von Pros. Dr. L. Weber. 3. Aufl. Mit 28 Abbildungen im Text und 3 Tafeln. (Bd. 55.)

Unser Wetter. Einführung in die Klimatologie Deutschlands an der Hand vors Wetterkarten. Von Dr. X Mennig. 2. Aufl. Mit 46 Abb. im Text Md. 349.)

Die mit * bezeichneten u. weitere Bände befinden sich in Vorb.

Nus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

708. Bändchen

Graphisches Rechnen

Von

Otto prölß

Oberlehrer an der Hansa-Schule in Hamburg-Bergedorf

Mit ) 64 Aguren jm Text

Verlag und Druck von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1920

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Schuhsormel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1920 by B. G. Teubner in Leipzig

Alle Rechte, einschließlich des llbersehungsrechts, vorbehalten

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Vorwort.

Während sich die graphische Darstellung in den Letzten Jahrzehnten als ein Hilfsmittel von unübertrefflicher Übersichtlichkeit gewaltige Gebiete, wie die der Naturwissenschaften, der Technik, der Statistik, erobert hat, ist die rechnerische Auswertung der Zeichnung, das graphische Rechnen, noch wenig in Anwendung. Und doch läßt sich jede Rechenaufgabe, von der einfachen Addition bis zur kompliziertesten Gleichung, graphisch lösen, und meist ist diese Lösung einfacher zu verstehen und schneller auszuführen, als die rechnerische. Das vorliegende Bändchen soll dem praktischen Rechner Gelegenheit geben, die wichtigsten Methoden des graphischen Rechnens sich bei geringen Vorkenntnissen anzueignen. Von der Behandlung einer größeren Zahl von Beispielen aus der Praxis mußte abgesehen werden, da die notwendigen Erläuterungen zu viel Raum beanspruchen und anderseits diese Beispiele meist nicht so gut zur Erlernung der Methode geeignet sind, wie die zu Übungszwecken konstruierten.

Die Figuren sind — mit verschwindenden Ausnahmen — in der für die betreffende Aufgabe günstigsten Größe konstruiert; die Reproduktion mußte mit Rücksicht auf den zur Verfügung stehenden Raum in kleinerem Maßstab erfolgen (im allgemeinen in 1:2 oder 1:3 linear).

Wer das Büchlein zur Hand nimmt, um das graphische Rechnen zu erlernen, vergesse nicht, daß er zur Erlernung des Zahlenrechnens viele Jahre gebraucht hat. Er erwarte also nicht, vom bloßen Durchlesen ein flotter graphischer Rechner zu werden. Dazu gehört viel Übung; jede Aufgabe des Buches muß in geeignetem Maßstabe nachkonstruiert, und möglichst viele Beispiele müssen dazu genommen werden. Millimeter- und Logarithmenpapier sind dabei unentbehrlich. Mit der Übung wird sich die Überzeugung von den Vorteilen der graphischen Methoden einstellen. Möge das Buch diesem wichtigen Zweige des praktischen Rechnens recht viele Freunde und Anhänger gewinnen!

Bergedorf-Hamburg, im Oktober 1919.

Otto Prölß.

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung: Das Gebiet des graphischen Rechnens........

I. Die Rechenoperationen in graphischer Behandlung.......

A.    Addition und Subtraktion................

10

10

11

12

12

13

14

15

15

15

16

17

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19

22

22

23

23

28

25

26

27

28

1.    Graphische Addition.................

2.    Graphische Subtraktion...............

3.    Mechanische Addition und Subtraktion.........

4.    Mechanische Addition und Subtration von Logarithmen: der

Rechenstab.....................

B.    Multiplikation und Division...............

1.    a-b........................

2.    Sab.......................

„ Zab

S‘ Sa.......................

4 a ^

c.......................

6. Graphische Flächenberechnung............

a)    Fläche des Rechtecks. Kurventrapez........

b)    Fläche des Dreiecks...............

c)    Vielecksfläche..................

C.    Potenzieren und Radizieren..............

1.    Graphisches Potenzieren..............

a)    y = ax....................

b)    y = ax*f y = axs, - - y — axn........

c)    y = a₀xn + axxn~l + a₂xil~² -s-----f- an-xx + an

(Segnersche Konstruktion) ?............

2.    Graphisches Radizieren...............

a)    j/a......................

b)    ya² ± &²...................

D.    Graphisches Tabellenrechnen..............

Allgemeine Zahlentabellen..............

Kreistabellen...................

Trigonometrische Tabellen..............

Die logarithmische Additionskurve..........

Nomogramme..................

E. Die geometrische Addition.........

Seite

33

35

1.    Addition von 2 Vektoren....

36

37

2.    Zerlegung eines Vektors in Komponenten

37

3.    Addition beliebig vieler Vektoren . . .

37

II.    Graphische Lösung von Gleichungen.....

45

A.    Aufgaben ohne Gleichungsansatz.....

45

B.    Gleichungen mit einer Unbekannten....

53

1.    Lösung mittels der Fehlerkurve ....

59

2.    Das Lillsche Verfahren........

3.    Lösung durch zwei Kurven.....

68

2.    Gleichungen ersten Grades mit 3 Unbekannten nach dem

Vektorverfahren.................

71

3.    Auflösung einer Gleichungstreppe ersten Grades mit n Unbekannten .....................

4.    Auflösung eines vollständigen Systems von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten. Graphische Elimination. . .    74

78

III.    Vereinfachung graphischer Berechnungen durch Abbildung auf eine

neue Koordinatenebene............

80

. 81

Die logarithmische Abbildung..........

85

Koordinatenachsen mit Funktionsskalen......

92

Auslösung von Gleichungen mit Hilfe der Abbildung

92

IV.    Graphische Jnfiniresimalrechnung .........

93

A.    Graphische Integration...........

96

1.    Das Sehnenverfahren...........

99

2.    Das Tangentenverfahren..........

99

3.    Jntegralkurve einer geschlossenen Kurve . . .

99

4.    Veränderung des Maßstabs der Jntegralkurve

99

B.    Graphische Differentiation..........

1.    Das Tangentenversahren..........

100

a)    Graphische Bestimmung des Differentialquotienten (Verfahren von Melchior)?..............

100

b)    Konstruktion der Differentialkurve unter Benutzung des

101

Pols......................

102

2.    Das Sehnenverfahren................

a)    Umkehrung des Jntegrationsverfahrens.......

b)    Das Slabysche Verfahren .............

Literaturverzeichnis.

Luckey, P., Einführung in die Nomographie. Mathematisch-Physikalische Bibliothek. Bd. 28. Leipzig, Teubner 1918.

Mehmke, R., Leitfaden zum graphischen Rechnen. Sammlung mathematisch-physikalischer Lehrbücher. Bd. 19. Teubner 1917.

Neuend orff, R., Praktische Mathematik. ANuG. Bd. 341. 1917. 2. Ausl. Bd. 526. 1918. Teubner.

d’Ocagne, M., Calcul graphique et nomographie. Paris 1908. Perry, I., Höhere Analysis für Ingenieure. Deutsche Bearbeitung von R. Fricke und F. Süchting. 2. Aufl. Teubner 1910.

Runge, C., Graphische Methoden. Sammlung math.-phys. Lehrbücher. Bd. 18. Teubner 1915.

Schesfers, G., Lehrbuch der Mathematik. 3. Aufl. Leipzig 1916. Schilling, F., Über die Nomographie v. M. d’Ocagne. 1. Aufl. Teubner 1900.

Einleitung.

Bei der Lösung mathematischer Aufgaben müssen wir unterscheiden zwischen einer allgemeinen Aufgabe, die alle besonderen eines ganzen Gebietes enthält, und einem ganz bestimmten Problem. Im ersten Falle sind die bekannten Größen durch allgemeine Zahlen, d. h. Buchstaben ausgedrückt; auch die Lösung enthält diese Buchstaben; sie ist eine Formel, die durch Einsetzen bestimmter Zahlwerte anstelle der Buchstaben alle Einzelausgaben zu lösen gestattet. Solche Aufgaben bilden das Gebiet der Buchstabenrechnung. So enthält die Formel

— y ± "j/(y) — d die Lösungen sämtlicher quadratischer Glei-

x -----

chungen der Normalform x² + ax + l = 0. Im zweiten Falle handelt es sich darum, eine ganz bestimmte Aufgabe mit gegebenen Zahlen zu lösen. z. B. die quadratische Gleichung x² — hx + 6 = 0. Hierbei ist es nicht immer nötig, die allgemeine Methode anzuwenden. Im vorliegenden Bei piel findet man durch Zerlegung der linken Seite in das Produkt (x — 2) (x — 3) oder auch durch Probieren die Lösungen ^ ----- 2, x₂ = 3. Nur mit solchen bestimmten Aufgaben haben wir es im Folgenden zu tun. Sie bilden das Gebiet des „numerischen Rechnens".

Bei der Wahl des Lösungsweges müssen wir uns klar machen, welcher Grad der Genauigkeit erreicht werden soll. Hier besteht ein Unterschied zwischen den Aufgaben der Übungsbücher und denen der Praxis, wie sie auf dem Gebiete der angewandten Mathematik, der Physik und der Jngenieurwissenschaften sich bieten. Erstere haben meist einfache Zahlenwerte und liefern genaue Lösungen schon mit Rücksicht auf die vorzunehmenden Proben. Kommen irrationale oder transzendente Zahlen (wie Wurzeln, trigonometrische Funktionen, Logarithmen) vor, so wird diejenige Genauigkeit verlangt, die sich

mit den benutzten Tabellen erreichen lägt. Anders bei den Aufgaben der angewandten Mathematik. Hier handelt es sich nie um absolute Genauigkeit, selten um eine größere Zahl von genauen Dezimalstellen. Denn die Rücksicht auf die Abmessungen der Handelsfabrikate (z. B. -Querschnitte elektrischer Leitungen, Rohrdurchmesser), auf vorhandene Modelle und endlich die vielfach notwendige Anwendung von Sicherheitskoeffizienten bedingt erhebliche Abweichungen von dem berechneten Werte. Dagegen wird man bei solchen technischen Rechnungen, eben weil die Rechnung nicht Selbstzweck ist, größten Wert auf Schnelligkeit und Bequemlichkeit legen. Das Ideal ist, Rechnungen auf mechanischem Wege zu erledigen, wie es bei den elementaren Rechenoperationen durch die Rechenmaschinen geschieht. Man wird deshalb einer langwierigen genauen Methode eine bequeme, wenn auch minder genaue vorziehen, wenn die bei ihr erreichte Genauigkeit den Anforderungen der Praxis genügt.

Diesen Anforderungen wird in vielen Fällen die „graphische Methode" gerecht, d. h. die Lösung einer Aufgabe ohne Rechnung auf zeichnerischem Wege. Es handelt sich darum, aus den gegebenen Größen eine Unbekannte mittels Lineal, Reißdreieck und Zirkel zu konstruieren und zu messen. Da die erreichte Genauigkeit nicht nur von der Leistungsfähigkeit der gewählten Methode, sondern auch von der Fertigkeit im Zeichnen abhängt, wird der graphische Weg hauptsächlich für die geeignet sein, die — wie der Ingenieur — durch ihren Beruf an genaues Zeichnen gewöhnt sind. So sind auf vielen Einzelgebieten der Technik für häufig wiederkehrende Probleme graphische Methoden ausgebildet worden, z. B. die graphische Statik.

Mit Vorliebe wird man den graphischen Weg wählen, wenn solche Größen weiteren Rechnungen zu unterwerfen sind, die selbst durch Konstruktion gefunden sind; denn der Übergang von der konstruierten Größe zur Zahl ist wegen der jeder Messung anhaftenden Ungenauig-keiten mit kleinen Fehlern verbunden. Schließlich gibt es Fälle, in denen der rechnerische Weg überhaupt ausgeschlossen ist, z. B. bei Kurven, die — durch Registrierapparaie oder durch Versuchsreihen — empirisch gegeben sind, deren analytischer Ausdruck also nicht bekannt ist. So lassen sich Differential- und Jntegralkurven. Flächenberechnungen für empirisch gegebene Kurven nur graphisch bestimmen.

Im Folgenden sollen zunächst graphische Methoden für die elementaren Rechenoperationen entwickelt werden; der Hauptabschnitt be-schäftigt sich mit der zeichnerischen Lösung von Gleichungen, und endlich sollen einige Gebiete der Differential- und Integralrechnung graphisch behandelt werden?)

I. Die Rechenoperationen in graphischer Behandlung.

A. Addition und Subtraktion.

cm,

Eine Zahl wird geometrisch dargestellt durch eine Strecke, deren Länge so viele Einheiten beträgt, wie die Zahl angibt. Auch das Vorzeichen der Zahl läßt sich berücksichtigen, wenn eine bestimmte Richtung der Strecke als positiv gewählt wird. Ein Fortschreiten in positiver Richtung vom Anfangspunkt aus führt zu den positiven, in entgegengesetzter Richtung zu den negativen Zahlen. Als Einheit kann eine beliebige Strecke gewählt werden, doch erweist es sich bei allen graphischen Rechnungen als praktisch, metrische Einheiten (dm, mm) zu wühlen. Die Wahl der Einheit erfolgt mit Rücksicht auf den für die Zeichnung zur Verfügung stehenden Raum, aber möglichst groß: bei zu großer Einheit wird die Zeichnung nicht Platz finden; bei zu kleiner Einheit kann das Ergebnis der Rechnung nicht genau genug abgelesen werden. Die Wahl der Einheit spielt bei allen graphischen Rechnungen eine wesentliche Rolle; sie erfordert für jeden Fall eine besondere Überlegung. Liegen keine Gründe für die Wahl einer andern Einheit vor, so nehmen wir als solche das Zentimeter. In Fig. 1 sind die Zahlen — 3 und + 5 dargestellt.

-3

Fig. 1.

et + b

B___j>

Fig. 2.

1. Die graphische Addition von Zahlen besteht in der Addition der diese Zahlen darstellenden Strecken. Ist AB ----- a, Cl)*=b, so A ist a + b zu finden, indem man CD auf der Verlängerung von AB über B hinaus von B bis X abträgt: a + b * AX (Fig. 2).

1) Über die Anfangsgründe der Algebra, Planimetrie und Trigonometrie siehe ANnG Bd. 120. 205. 340. 431.

-Xr

2. Tie graphische Subtraktion a — b

wird ausgeführt, indem man CD von B aus in der Richtung BÄ abträgt; Y sei der Endpunkt. Dann 3s ist A Y = a - b (Fig. 3).

Ist b > a, also a — b negativ, so ist die Richtung von AY ent-

Fig. 3.

b_

Fig. 4.

gegengesetzt der von AB (Fig. 4).

3. Mechanische Addition und Subtraktion mit Hilfe zweier Maßstäbe. Die Maßstäbe haben die gleiche Teilung, z. B. in cm; der eme, der als festliegend zu betrachten ist, trägt die Teilung auf der oberen Seite, der andere, der am festen Lineal verschoben werden kann, an der unteren Seite. Zur Ausführung der Addition 3 + 4 wird Teilpunkt 0 des Schiebers über Punkt 3 des festen Lineals geschoben; das Ergebnis wird unter Punkt 4 des Schiebers auf dem festen Lineal abgelesen: 3 + 4 = 7 (Fig. 5).

^ j 2    3 4    5    6    7    8    9 10 11 12J

Fig. 5.

Fig. 6.

hm - - Jf

\-5 -4 -3 -2 -1 o 1 s s 4 5

traktion 8 — 5 wird Punkt 5 des Schiebers über j Punkt 8 des Lineals gestellt; das Ergebnis wird unter Punkt Ödes

n_: Schiebers ans

Fig. 7.

l dem Lineal abgelesen: 8 — 5 = 3 (Fig. 6).

Ist b > a, z. B. in 4 — 7, so kann das Ergebnis — 3 auf dem Lineal abgelesen werden, wenn letzteres auch die negativen Zahlen (links vom Nullpunkt) enthält. Andernfalls nehme man die über 0 des Lineals liegende Zahl des Schiebers mit dem Minuszeichen: 4-7 = -3 (Fig. 7).

Übungen: 2 + 3; 5 -3;— 3 + 5; - 2 + (-3); — 3 —(—5) graphisch zu berechnen.

4. Mechanische Addition nnd Subtraktion von Logarithmen. Der Rcchenstab. Beide Lineale erhalten eine logarithmische Tei-

hGO

Fig. 8.

lung auf folgende Weise: in einer großen Einheit, z. B. 25 cm (Fig. 8 im Maßstab 1:4) werden Logarithmen aufgetragen: log 1=0, log 2 ----- 0,301, log 3 = 0,477, . . ., log 10 = 1. Die erhaltenen Punkte werden mit den Werten der numeri bezeichnet: 1,2,3,..., 10, .. .. Legt man Punkt 1 des Schiebers über Punkt 3 des Lineals, so zeigt der unter 2 des ersteren liegende Punkt des letzteren das Ergebnis der Rechnung log 3 + log 2, also nach dem bekannten Logarithmengesetz log (2 • 3) = log 6 an. Der Punkt trägt aber die Bezeichnung des numerus, also „6". Wir können demnach mit einer aus zwei logarithmischen Teilungen bestehenden Vorrichtung, die unter dem Namen „Rechenstab" bekannt ist, mechanisch multiplizieren. Zur Ausführung der Rechnung 2,3 • 3,4 stelle man den Punkt l des Schiebers über Punkt 2,3 des Lineals. Das Ergebnis wird auf letzterem unter Punkt 3,4 abgelesen: 2,3 • 3,4 = 7,82 (Fig. 9).

W

-06

² 2,3

Co-

Oi-

®6-

7 8 910

Fig. 9.

Stellt man Punkt 4 des Schiebers über Punkt 8 des Lineals, so findet man das Ergebnis der Subtraktion log 8 — log 4 unter dem Nullpunkt des Schiebers. Da log 8 — log 4 = log (8 :4) = log 2 ist, finden wir an dieser Stelle des Lineals „2". Wir haben also die

-tß-

-Co

-06

06-

Oo-

Fig. 10.

Division 8:4 = 2 mechanisch ausgeführt. Fig. 10 zeigt die Stellung des Rechenstabs für die Division 6,4 : 1,6 = 4.

Mit Rücksicht auf die Bedeutung des mechanischen Rechnens mit Hilfe des Rechenstabes seien dieser Vorrichtung noch einige Zeilen

gewidmet. Außer der bisher benutzten unteren Teilung enthält Lineal und Schieber noch eine zweite im halben Maßstabe, also mit der Einheit 12,5. Die aufgetragenen Zahlen gehen hier bis 100, da 2 • log 10 ----- log (IO²) ----- log 100 ist. Diese Teilung wird vorzugsweise für Rechnungen im Zahlenkreise 1—100 benutzt. Über einem log a darstellenden Punkt der unteren findet sich auf der oberen Teilung der Punkt 2 log a oder log a². Diese Punkte sind aber mit a bzw. a² bezeichnet. Man kann daher mechanisch quadrieren, z. B. 2,4², indem man die Basis 2,4 auf der unteren Teilung und den genau darüber liegenden Punkt der oberen aufsucht: 5,76 (Fig. 11). Ein Läufer, aus einer verschiebbaren Glasplatte mit feinem Strich bestehend, ermöglicht das genaue Auffinden der an gleicher Stelle stehenden Zahlen beider Teilungen. Umgekehrt findet sich zu jeder Zahl der oberen Teilung an

J2

2,25

5,TS    gleicher Stelle der

3.-i—\ ? ? JP //unteren dieQua-

2,4

Fig. 11.

t dratwurzel?) b Fig. 11 zeigt das Beispiel: j/2,25 ---- 1,5.

Übungen: 3,4 - 2,1; 8,6 : 3,2; 19,3 • 4,5; 81,6 : 27,2; 5,3²; 1,13²; ]/8l; Y30,2.

Wir werden an späterer Stelle von den logarithmischen Maßstäben weiteren Gebrauch machen.

B. Multiplikation und Division.

1. a * b. Der Ausdruck x = a - b läßt sich als Strecke konstruieren nach der Proportion: !:& = «:#; es ist also x die „vierte Proportionale" zu 1, b und a. Man gibt der Zeichnung zweckmäßig

!■

die Anordnung der Fig. 12. Sind meh-j rere Aufgaben glei-r cher Art zu erledi-

----jr/—a—l gen, so empfiehlt sich

Fig. 13.

Fig. 12.

p 1    '    dieZerlegunginzwei

Teile

gesonderte

l) Näheres siehe mathem.-physik. Bibliothek Bd- 23. Rohrberg, Theorie u. Praxis des Rechenschiebers-(Fig. 13). Es ist Ob ----- b, Öxa ----- a, Oxx « x. Den um die Einheit links von 0 liegenden Punkt P bezeichnet man als ,.Pol". 0 und Ox können auch in einen Punkt zusammenfallen.

2. J5>ab. Die vorstehend angegebene Konstruktion gestattet die Darstellung einer Summe von Produkten:

x ---- 2cib — axbx + a₂b₂-\-----b anbn.

Man konstruiert zunächst Strecke äxxx ----- ax-bx* Punkt xx wird als Ausgangspunkt einer zweiten Konstruktion genommen, die a₂ • b2 liefert. Die Strecke bis zur Achse der a ist dann: x~ä₂ ----- axbx + a₂b₂. Indem man mit der Konstruktion von x₂ aus fortfährt, gelangt man zu MgÄz ----- axbx + a₂b₂ + a₃b₃ und schließlich zu xnan

= axbx + a₂b₂ H-----\-anbn = x. Unter Fortlassung überflüssiger

Konstruktionslinien ergibt sich folgende Konstruktion (Fig. 14): es sei OP ----- l; Obx ----- blf Öb₂ ------- fc₂, Öb₃ ------ dg - - - Od ----- d ; Oxax=*aXf

Tjr

V    100,

a,

Fig. IX

Fig. 14.

»I«s = «2, «8«s = a„ ... ä*™ä» = an. Man ziehe 0^, || P6, bis zur Senkrechten in alf .<s || P6₃ bis zur Senkrechten in «»,

■■xn-ixn II Pljn bis zur Senkrechten in an; dann ist anxn = » = b.

Ist ein Teilprodukt negativ, also einer der Faktoren desselben negativ, so ist es gleichgültig, welchen der beiden Faktoren wir negativ rechnen. Wir wollen das Minuszeichen in diesem Falle stets deni b-Faktor zuerteilen. Die negativen b sind dann unterhalb OP auf der d-Achse abzutragen. Fig. 15 löst die Aufgabe: x =    — aibi

+ asb₃. Der Zeichnung ist das Zahlenbeispiel x = 1,5 0,8 — 2,5 • 1,3 + 1,2 • 0,3 zugrunde gelegt. Es ergibt sich: x = — 1,69.

3.    Zieht man in Fig. 14 die Schlußstrecke 0₁xn und den

dazu parallelen Polstrahl Pm. so ist

3f.

r.....-Oy

--m,-

Om

ai -\r    ein

sti “t“ Hh * ’ * an ₌ &t + fl₈ bz-s----

ai + a2 + * ' * an

Om

.....e*

in <7. i6.

Es ist also Om der Mittelwert von -»Größen at, a₂,.. . an, die bzw. mit den Faktoren Z>,, ö₃, ..., 6„ multipliziert sind. In der Mechanik treten derartige Ausdrücke mehrfach auf, z. B. bei der Lehre vom Schwerpunkt?) Sind M₁, Js₂,. .. Mn Punkte mit den Mafien m₁, mi,.. . mn, die von einer beliebigen Achse AX die Abstände yt, .. yn haben, so ist der Abstand des Massenmittelpunktes

■

(„Schwerpunktes") von derselben Achse durch die Gleichung

«r,Nl + ”»3 y°-l----rnnyn

ml + f«2 H----mn

bestimmt. In Fig. 16 ist y₀ graphisch bestimmt. Als Achse der a, auf der die Werte m₁, ms, m₃ abgetragen sind, ist die Achse OX gewählt. Die y sind auf die --Achse übertragen, indem durch die Massenpunkte Parallele zu OL gezogen sind, welche die b-Achse in yx, y.ity%, schneiden. Der zur Schlußlinie parallele Polstrahl ergibt auf der b-Achse Punkt y₀. Der Schwerpunkt liegt dann auf der Parallelen durch y₀ zu OX. Sind xt, x₂,... xn die Abstände von einer zweiten Achse (z. B. der auf OX senkrechten Achse OY), so wird dieselbe Konstruktion mit OY als Achse der m und einer zu OX parallelen Achse der x ausgeführt. Man erhält so eine Parallele zu 0 r

im Abstande

beiden konstruierten Parallelen ist der Schwerpunkt des Massensystems. Der Figur 16 liegen die Zahlwerte zu Grunde: m\ — 1,5; m₂ = 1,8; m₃= 2,2; yx=> 2,2; y₂= — 1,5; t/₃ = 0,65. Es ergibt sich in Übereinstimmung mit der Rechnung

____ Vo =° 0,4.

1) Siehe Hamel, Mechanik (ANnG Bd. 684).

der Schnittpunkt der

ff J)

ab

4. —. Der Ausdruck x = — läßt sich wie der unter 1. behan< beite ab oder — konstruieren, wenn c an Stelle von 1 tritt: c: 6 = a : x.

'S

Der Pol ist hierbei um c Einheiten links von 0 zu wählen. Fig. 17.    ,

~c~~

Für 6 = 1 erhält man die reine Division /_

Fig. 17.

a    p

x = —.

Übungen: 2,1 - 1,8; 2 • 1,5 + 3 • 1,2 — 4 • 0.8;

Graphische Schwerpunktbestimmung für = 2, m₂ = 3; xt= 2, =    3; Xq — ?

5. Graphische Flächenberechnung. Häufig liegt die Aufgabe vor, die Größe einer Fläche durch eine einzige Messung zu finden. Diese Bestimmung ist namentlich dann von Wichtigkeit, wenn der Flächeninhalt zu weiteren graphischen Rechnungen verwendet wird, so daß seine Maßzahl doch durch eine einzige Strecke dargestellt werden muß. Hierzu sind Konstruktionen erforderlich, die in der Planimetrie als „Flächenverwandlungen" behandelt werden. Die wichtigsten dieser Umformungen sollen im Folgenden ausgeführt werden.

f — 9 " h'

seine Fläche. Soll diese durch eine einzige Strecke dargestellt werden, so ist das Rechteck in ein flächengleiches mit der neuen Grundlinie / = 1 zu verwandeln. Es fei ABCD(gig. 18) das Rechteck, ^ L = 1. Das Lot in E auf AB schneidet DG in F\ AF schneidet B0 in G.

Dann ist

u) Fläche des Rechtecks. Bezeichnet g bie Grundlinie, Ti die Höhe des Rechtecks, so ist

f = BG.

Beweis: Es folgt aus dem „Proportionalsatz":

fl

: 1 — h': g ■ h = 1 • ti f=h’.

Beispiel: g ----- 3,2 cm; ln ----- 1,4 cm. Die Messung ergibt: //----4,48 cm; also ist jf=4,48 cm².

JU

____fl’ jjrA

Sind die Flächen mehrerer Rechtecke mit den Grundlinien 1 zu addieren, so genügt es, ihre Höhen nach S. 9 zu ad-bierett. Dies Verfahren kommt in Betracht bei der annähernden Bestimmung einer

1 B A Fig. 19.

Cr;

_____Fläche, die von einer Geraden, zwei zu

1 B ihr senkrechten Geraden und einer Kurve begrenzt wird. Wir betrachten zunächst ein „Kurventrapez" ABCB mit der Grundlinie g = 1 (Fig. 19). Die Fläche wird schätzungsweise in ein Rechteck ABC’B' verwandelt, indem C'B'WAB so gezogen wird, daß die horizontal und die vertikal schraffierten Flächenstücke ungefähr gleich werden. Dann ist f = AB'. Die „mittlere Höhe" des Kurventrapezes von der Grundlinie 1, gibt also annähernd dessen Flächeninhalt an. Eine größere Fläche dieser Art tvird zunächst in Streifen von den Grundlinien 1 zerlegt; jeder Streifen wird annähernd in ein Rechteck verwandelt. Dann ist der • Flächeninhalt gleich der Summe der mittleren Höhen. Die Addition erfolgt graphisch nach S. 9 oder mechanisch mit Hilfe eines Lineals, das einen verschiebbaren Zeiger besitzt. Wird die Grundlinie z. B. in halbe cm geteilt, so ist die Summe der mittleren Höhen noch zu halbieren.

b) Fläche des Dreiecks. Da Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe flächengleich sind,-wählen wir das für die Messung vorteilhafteste: das Dreieck mit einem rechten Winkel an der Grundlinie. Ein beliebiges Dreieck ABC wird in ein solches verwandelt, indeni man als neue Spitze A' den Schnittpunkt der Parallelen durch A zu B C mit der in B auf BC errichteten Senkrechten wählt. (Fig. 20).

Um nun den Dreiecksinhalt durch eine einzige Strecke darzustellen, verwandeln wir A ABC (das bei B schon den rechten Winkel haben soll), in ein slächengleiches mit der neuen Grundlinie BC' = g' = ‘2-, dann gibt die neue Höhe A’B = ti den Flächeninhalt

von AABC an. Denn es ist: f = g.h — g --

2 h' ,

- — = 1t ■

\ Die Umwandlung geschieht, wie aus der Plani-c nietrie bekannt ist, so: man mache BC' = 2, ziehe

AG und durch C die Parallele dazu. Diese schneidet BA in A'; dann ist Ä B = h’ — f (Fig. 21).

A\

L C

Fig. 21.

c) Vielecksfläche. Um den Inhalt eines Vielecks graphisch zu bestimmen, zerlegt man es durch die von einer Ecke ausgehenden Diagonalen in Dreiecke, die nach S. 16 b) berechnet werden, ■p- Für je zwei zusammenstoßende Dreiecke kann man die gemeinsame Seite als Grundlinie nehmen. Dann ist die aus ihnen zusammengesetzte Vierecksfläche durch eine einzige Messung zu bestimmen. Fig. 22 zeigt die graphische Berechnung einer Vierecksfläche. Es ist f=\-\- K Beispiel: Schwerpunkt einer Vierecksfläche. S, und S\ seien die Schwerpunkte der beiden Teildreiecke, die auf den Mittellinien in den

Abständenund * h,₂ von der gemeinsamen Grundlinie liegen,

/ij und Äg sind die Höhen der unveränderten Dreiecke. Der Schwerpunkt S des Vierecks liegt auf -S', <S’a im Abstande y₀ von der Diago-

nale, wobei y₀ =

fiT+f, i\ + ft

³ ist. Durch die Konstruktion b) wird

fl = K> fi = K< f=K+ K gefunden, also ist:

V-

+ V-t

K' + K

Wir führen nun die Konstruktion S. 14 aus, wobei ht' und h₂ auf der a-Achse,

h.

3 un^ ~i auf der b-Achse abzutragen sind.

Zieht man mit dem gefundenen y₀ eine Parallele zur Diagonale, so schneidet diese S±S₂ in S.

Fig. 22.

Übungen: Graphische Messung einer Rechtecks-, Dreiecks- und Fünfecksfläche. I Vergleich der gemessenen Werte mit den berechneten. Schwerpunkt einer Fünfeckfläche.

ANuG. 708: Prvlß, Graph. Rechnen

C. Potenzieren und Radizieren.

ax⁴

axs

1. Graphisches Potenzieren. Tie Darstellung von Potenzen durch Strecken ist für die Konstruktion von Kurven nach gegebener Gleichung und für die graphische Auflösung von Gleichungen von Wlchtigkeit. Mit Rücksicht auf die spätere Verwendung wollen wir die Aufgabe wie folgt stellen:    J

ax* x¹ ax° dx~¹

i__J

Fig. 24.

Fig. 23.

Ausdrücke der Form y ---- axtl, wobei n eine positive ganze Zahl ist, sind graphisch zu berechnen.

a)

y ----- ax

oder 1 :x = a:y. In Fig. 23 ist auf der n-Achse in der Entfernung 1 vom Nullpunkte eine Senkrechte von der Länge a errichtet. Der Strahl OA schneidet auf der im Punkte x errichteten Senkrechten die Strecke y = ax ab. Denn nach dem Proportionalsatz ist y:a — x: 1, woraus die Behauptung folgt.

b)

y = axn.

• •/

y = ax% y ----- ax°.

Erseht man in der vorigen Konstruktion a durch ax, so wird y = (ax)-x ----- ax²\ tritt ax² an die Stelle von a, so wird y = (ax²)x ----- ax3 usw. Man erhält die Strecken axf ax², ax³, • • ax™ nacheinander an derselben Figur, wenn man jedesmal den für y gefundenen Wert durch eine n-Parallele auf die Senkrechte in 1 überträgt (Fig. 24).

Für cr ----- 1 erhält man so die Potenzen einer beliebigen Zahl x. Die Konstruktion läßt sich nach unten fortsetzen und liefert so die

Werte: a • #°= a, a#“¹«-—, ax~², ax~³ usw. Das erste Er-

gebnis ist klar; für die an zweiter Stelle erhaltene Strecke z besteht die Proportion: a : z = x: 1, also: £=-—== ax*¹. Entsprechend sind die übrigen Beweise zu führen, c) y = a₀xn + a\Xn-x+ a±x

Es handelt sich hier um Summen von Ausdrücken der oben betrachteten Form mit demselben Wert von x, aber verschiedenen Werten von a und n. Solche Ausdrücke sind für die Konstruktion von Kurven mit algebraischen Gleichungen von größter Wichtigkeit. Wir beginnen mit n = 1, also mit

y = a₀x -f- «!

Oj!

a₀x wird konstruiert wie unter a); um at hinzuzufügen, verschieben wir die X-Achse um die Strecke ax nach unten in die Lage 0₂X. In Fig. 25 ist y ------ 0,5# + 0,8 für

x = 1,4: im Maßstab 2:1 konstruiert. Es 4s ergibt sich: y ----- 1,5.

0,5

0,8

Fig. 25.

*/ = a₀x2+ aix + «2

zu konstruieren, setzen wir die rechte Seite in die Form:

y ----- (a₀x + ajx + a₂.

Man erkennt dann, daß die Konstruktion Fig. 25 angewendet werden kann, wenn man a₀x + ax an die Stelle von a₀, a₂ an die Stelle von at setzt. Die Ausführung erfolgt so, daß zunächst die nach Fig. 25 konstruierte Strecke a₀x + ax durch eine X-Parallele auf die 1-Ordinate übertragen wird. Der erhaltene Punkt wird durch einen vom bisherigen Nullpunkt 02 ausgehenden Strahl auf die n-Ordinate übertragen und schließlich die X-Achse um a₂ in die Lage 0₃x 0j abwärts verschoben. Fig. 26 zeigt die Konstruktion von y ----- 0,4a?² + 0,6# + 0,5 für x ----- 1,3. Die <>-Messung ergibt: y ----- 1,96 (berechnet 1,956). Um ^/=a₀^³+a₁ #²+ a₂x-\- a₃= (a₀x² + dLx + a₂)x-f- a₃ 0(S> zu konstruieren, wird das y der vorigen Konstruktion (a₀x² axx-{- a₂) durch eine X-Parallele auf die 1-Ordinate übertragen, der erhaltene Punkt von 0₂ aus auf die n-Ordinate projiziert

Um

i/

0,4

0,6

Fig. 26.

und schließlich die X-Achse um a₃ nach abwärts in die Lage 0±x verschoben (gtg. 27).

So fortfahrend gelangt man schließlich zur Konstruktion von V =    + a₁xn~¹+ • - • an_tx + an.

Unter Fortlassung der nur für die Überlegung nötigen Linien gestaltet sich die Kon-struktion wie folgt: auf der z,-Achse werden von 0(On+1) aus hintereinander nach oben die Strecken an bis On, an_l bis On_u ... a₂ bis 0₂, x bis 0₁ a₀ bis O₀ abgetragen i (Fig. 28). O₀ wird durch eine X-Parallele auf die 1-Ordinate übertragen in Q₀. Strahl 0^ Hg schneidet die L- Ordinate in 7^. Die ^-Parallele durch Pt schneidet die 1-Ordinate in Qv Strahl 0₂Q₁ schneidet die a:-Ordinate in P₂, die re-Parallele durch Ps trifft die 1-Ordinate in Hz. Weiter ergibt Strahl 0₃Q₂ den Punkt Ps usw. Der von 0n ausgehende Strahl liefert auf der ^-Ordinate den Punkt P, dessen Abstand von der a:-Achse das gesuchte y ist. Es sind also die a von der X-Achse aus in der Reihenfolge an, an_lt all a₀ in der umgekehrten Reihenfolge der Normalform

Ol

0,1

b-€—

Fig. 27.

da

äi

dl

a₃

a₀

75

C,

P₂

Q,

di

0;

Oi

a₃

Pn

Fig. 28.

y --- a₀xn + a±xn-M----an-ix + an

aufgetragen. Die Punkte 0₁₉ 0₂,.. . On werden in der Reihenfolge des Index zu Ausgangspunkten der Strahlen 0₁Q0f    gemacht;

On+1 ----- 0, der Nullpunkt des Achsenkreuzes, wird nicht mehr zur Konstruktion eines Strahles verwendet.

Häufig wird es sich empfehlen, für die x* und die 7/ - Werte verschiedene Maßstäbe zu wählen, um die Figur nicht zu groß oder zu klein werden zu lassen. Handelt es sich, wie in unseren Beispielen, nur um den Wert von y, so wird man auf der Achse, also als Maßstab der a, das Zentimeter als Einheit nehmen; das gefundene y ist dann ebenfalls in cm anzugeben. In mehreren der folgenden Figuren ist der Deutlichkeit halber (und da für x nur kleine Werte

vorkommen) für die x ein größerer Maßstab gewählt, z. B. 2 oder 4 cm als Einheit. Da die Konstruktion auf der Proportion x:l =» y:a beruht, ergibt sich y im Maßstab von a unab- y hängig von der für x gewählten Einheit.

Die Konstruktion ist als „Segnersche Kon- ^ struktion" bekannt. Sft y=%xnJr a₁xn-¹--an ₀[. or. eine algebraische Funktion, so findet man durch das angegebene Verfahren den zu beliebigem x gehörigen Funktionswert auf rein zeichnerischem Wege.

Wir haben bisher angenommen, daß alle Koeffizienten a positiv seien. Ist einer derselben nega- °m " ^ ^ tiv, so ist er vom Endpunkt der den vorhergehenden Koefficienten darstellenden Strecke nach oben abzutragen. In Fig. 29 sind die 2^-Achsen für folgende Ausdrücke dargestellt: y ----- 5x² —. 3x + 4 y ---- 2x² + 5x — 3 y ---- bx*—x²+ 3x + 2.

Fig. 30 zeigt die Konstruktion von y = 2,5xs — 2x² + 3x + l für 0,5. Es ergibt sich: y ----- 2,3.

Ist einer der Koeffizienten gleich 0, z. B. a₂, so fallen 0₂ und 03 in einen Punkt zusammen; 0₃ ist dann auch mit 0₂ zu bezeichnen und ist zweimal als Ausgangspunkt eines Strahles zu benutzen. Fig. 31 zeigt die 2^-Achsen für die Ausdrücke:

y ----- 5x² — 1 (a₄ = 0, 0₂ ----- Oj) y= — 5#⁴+ 3x²— 2(as= 0,^ = 0; 0₄= 0₃, Ö₂= Ot) y = 3a;³ — hx -f 2 (ax = 0; 0₂ = 0lf ö₀ = ö₄).

X -----

y,

o<io,

o₀.

<>»-

Or

0,

j;

■Oj

0,

0₃

0,«,

0W°° x

Om

0,1

-X

0y0₄

o,

-r--x °m

2    O^O-

¹Oo

0»L

Fig. 32 zeigt das Beispiel: —- x4 — 2xs — x2 + 2 f

y = Vi + % = iaix + M + (a2x + öz) ---- K + O ^ +

werden zunächst berechnet. Ox' und Oy seien unter

Graphische Elimination.

Es ist klar, daß diese Betrachtungen nur für verhä

Zeder Banb karl. M. 1.60 ctllS tlatUT Ultö Geistes

für Schule und Leben. Unter Mitwirkung von Zachgenoffen herausgegeben von Dir. vr. W.Liehmann und Studienratvr.N. Wittlng.

Fig. 32 zeigt das Beispiel: —- x⁴ — 2xs — x² + 2 für a; = 0,5; es ergibt sich: y = 1,44.

Ist schließlich x negativ, so ist der entsprechende Punkt links vom Nullpunkt des Achsenkreuzes zu zeichnen. Fig. 33 zeigt die graphische Berechnung von t/ = —0,5a;2 — 1,4# + 2,3 für a; ----- — 1,5. Es ergibt sich: y ----- 3,3 (genau: 3,275).

O₀

X ■'^(3)    1

Fig. 33.

Das Aufträgen der Koeffizienten und das Messen der konstruierten Strecke wird durch Anwendung ^ des käuflichen Millimeterpapiers erleichtert, dessen Benutzung sich bei den meisten graphischen Rechnungen empfiehlt.

Übungen: graphisch zu berechnen:

für a; ---- 2

y = — 2x + 3 y = 2a;² — 3x — 1 „ n ----- 2 y ----- x*- 2,3a;² — 2,6a; + 4,7 für a; ---- 2

tf x => 1,5 ,, a; ------    1,5 .

V = — a;² + 4,5 y = x⁵— 1,5 a? + 2

2. Graphisches Radizieren, a) ]/<x. Aus a; ----- ]/a folgt: a;² ----- a oder a; - x = a • 1, 1: x = x : a. Es ist also x die „mittlere Proportionale" zu 1 und a. Zur Konstruktion des Ausdrucks benutzen wir den Satz, daß die Höhe eines R. W.- Dreiecks mittlere Proportionale zu den Hypotenusenabschnitten ist. Fig. 34 zeigt die aus der Planimetrie bekannte Konstruktion. Es ist a = 3 gewählt; die Messung ergibt: x = 1,73.

YB

ls

Fig. 34.

Fig. 35.

Ersetzt man 1 durch b, so erhält man durch dieselbe Konstruktion x = ]/a • b. Beispiel: ]/3,6 • 4,3 ----- 3,93.

BeiderBestimmung von Ya,. . . Ya sind wir zunächst auf die Berechnung oder auf Tabellen angewiesen. Eine graphische Methode wird in dem Abschnitt „graphisches Tabellenrechnen" behandelt werden.

b) yW² + b'²' Der Ausdruck x ----- ]/a² + 5² läßt sich in die Form setzen: #³ = a² + b². Man erkennt bierin den durch den Pylhagoras-Satz gegebenen Zusammenhang zwischen dem Hypotenusen- und den Kalhetenquadraten eines R. W.-Dreiecks. Daraus folgt, daß x die Hypothenuse ist, wenn a und ö zu Katheten genommen werden. Fig. 35 gibt die graphische Berechnung von x = ]/3,7² + 2,3² wieder. Es ergibt sich: x ----- 4,36.

Um x = Ya² — b² konstruieren, macht man a znr Hypotenuse, b zu einer Kathete; dann ist x = |/a² — b² die andere Kathete. Beispiel: # = j/5,7²- 3,9² = 4,16.

Das graphische Radizieren ist praktisch nur dann lohnend, wenn der Radikand eine durch Konstruktion gefundene Strecke ist. also nicht zahlenmäßig gegeben ist. Um aus gegebenen Zahlen die Quadrat--oder Kubikwurzel zu ziehen, benutzt man natürlich bequemer die entsprechenden Tabellen, die in jedem technischen Taschenkalender zu finden sind. Dagegen ist bei den Ausdrücken ]/a • b und Va²±b² die graphische Methode der rechnerischen überlegen, sobald die Zahlen nicht so einfach sind, daß man die Radikanden im Kopf ausrechnen kann.

D. Graphisches Tavellenrechnen.

Sind zwei veränderliche Größen durch ein Gesetz derartig miteinander verbunden, z. B. Dampfdrucks und Temperatur daß zu jedem Werte der einen —unabhängigen Veränderlichen,F, —ein ganz bestimmter Wert der anderen — abhängigen Veränderlichen, t, — sich ergibt, so kann man sich über die Gesamtheit aller zusammengehörigen Wertepaare — den „Verlauf der Funktion" — bekanntlich in zweifacher Weise eine Übersicht verschaffen. Die erste Methode ist die „Tabellendarstellung": man ordnet die Ergebnisse der bei verschiedenen Drucken (p= 1, 2, 3 ... Atmosphären) ausgeführten Versuche übersichtlich in eine Tabelle ein:

jj |    1    2    3    4    5    6    7    8    9    Atm.

t | 100    120    133    143    151    158    164    169    174    Grad

Die zweite Darstellungsweise, die für uns hauptsächlich in Betracht kommt, ist die graphische: man nehme einen Wert der Unabhängigen

in irgendeinem Maßstab (in Fig. 36: 1 Alm. = 1 cm) als Abszisse, den zugehörigen Wert der Abhängigen als Ordinate eines Punktes (in Fig. 36: 10°== 1 mm). Jedes Wertepaar ergibt so einen Punkt. Je dichter man die Werte von p wählt, um so dichter folgen die Punkte aufeinander, sodaß sie schließlich sich zu f~2~~h~4 6    f-~8~i~Mm einem Kurvenzug zusammenschließen. Diese

Kurve nennt man „die Bildkurve, das Diagramm oder die Schaulinie" des betrachteten Funktionszusammenhangs. Praktisch genügen im allgemeinen wenige Punkte, um die Schaulinie nach dem Auge ausziehen zu können. In Fig. 36 sind nur die Wertepaare der Tabelle benutzt*).

Rein mathematisch ist der Zusammenhang zwischen zwei Veränderlichen durch eine Gleichung zwischen diesen gegeben, wobei die Unabhängige mit x, die Abhängige mit y bezeichnet wird.

Nach solchen Funktionsgleichungen können wir Tabellen berechnen und in der angegebenen Weise Schau-linien konstruieren. So ist nach der Gleichung y = f/2x die Tabelle x I o | i

y | 0 j ± 1,41 ¹ ± 2 ± 2,45 | ± 2,82 | ± 3,16

berechnet und hiernach in Fig. 37 die Schaulinie gezeichnet.

Sei nun das Diagramm nach einer Reihe von Beobachtungen für ein Gesetz mit unbekanntem mathematischen („analytischen") Ausdruck, oder nach einer aus gegebener Gleichung berechneten Tabelle gezeichnet, so ist klar, daß es weit umfassender ist, als die Tabelle. Letztere kann naturgemäß nur für eine beschränkte Anzahl von Wertepaaren berechnet werden. Die Kurve hingegen liefert alle Wertepaare, auch die nicht berechneten. Aus Fig. 36 folgt z. B. für p = 2,5 t = 127°, indem man die zur Abszisse 2,5 gehörige Ordinate in dem bei der Konstruktion verwendeten Ordinatenmaßstab mißt. Um den Dampfdruck bei t----- 140° zu bestimmen, messe man die zu

Grad 170\,

L60\

m\

uo\

130\

120\ , uo\

lOO'L

Fig. 36.    1 : 3

Fig. 37.

1) Weitere Beispiele siehe Auerbach, Die graphische Darstellung (ANuG

t = 140 gehörige Abszisse (im Abszissenmaßstab): p = 3,7 Atm. Die Kurve stellt also eine Erweiterung der Tabelle dar; das Verfahren, aus der Kurve solche Wertepaare abzulesen, die in der Tabelle nicht enthalten sind, heißt „graphische Interpolation". Sie ist von besonderer Wichtigkeit, wenn die Schaulinie nicht nach einer Gleichung oder nach einer Versuchsreihe konstruiert, sondern „empirisch" gegeben ist, z. B. durch ein Registrierinstrument wie den Indikator, der den Druck im Dampfzylinder als Funktion des Kolbenweges aufzeichnet.

Erwähnt sei noch die wichtige Rolle, die das Diagramm bei der Ermittelung von Versuchsfehlern spielt. Fällt ein Beobachtungspunkt wesentlich aus der durch die übrigen bestimmten Kurve heraus, so ist anzunehmen, daß ein Fehler vorliegt. Durch Wiederholung dieses zweifelhaften Einzelversuchs wird man den Fehler meist berichtigen können.

Für das graphische Rechnen kommen die Schaulinien der meist gebrauchten Funktionen als Ersatz der sonst üblichen Tabellen in Betracht. Die technischen Kalender enthalten in den „allgemeinen Zahlentabellen" die Tabellendarstellungen der Funktionen: y = x²,

,    7t X²

y = logx, y = 7txf y ----- ₄

y = x*,y = Va?, y = fx, y =

Für die meisten Anwendungszwecke würden die entsprechenden Kurven hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Es wäre zu wünschen, daß sie Eingang in die Tabellenwerke fänden. Da dies zurzeit noch nicht der Fall ist, sind wir gezwungen, die Kurven uns nach den Tabellen zu konstruieren. Hierbei ist, wie bei allen graphischen Rechnungen, der Maßstab für die Abszissen und Ordinaten zweckmäßig zu wählen, sodaß die Figur einerseits nicht den zur Verfügung stehenden Raum überschreitet, anderseits aber die Ablesungen möglichst genau erfolgen können. Der Leser möge die Konstruktionen selbst auf Millimeterpapier ausführen. Der Maßstab ist, um Irrtümer auszuschließen, für beide Achsen besonders anzugeben: Für y ----- x¹ nehme man z. B. für die x: cm, für die y: mm. Die abgelesenen Ordinaten sind dann in mm anzugeben. Für y = x³ sind die Ordinaten in ^ mm aufzutragen, die in mm gemessenen also mit 10 zu multiplizieren. Diese Kurven sind auch entsprechend statt der Tabellen der Quadrat- und

Kubikwurzeln zu brauchen. Bei y ----- — und y = log# trage man

0,5

0,4

0,3

0,2

04

0,5

die Ordinaten im 10fachen Maßstab der Abszissen auf; bei y = nx nehme man für die

Ordinaten ~ und bei y -----

|L^! i. des Abszissenmaß-

stabes. Die erhaltenen Kurven bedecken für x = 0 bis x = 10 (in cm) je etwa 1 dm² und gestatten binreichend genaue Ablesungen. Sie sind bequemer als die Tabellen, wenn die entuommenenen Werte ohne Ablesung bei weiteren graphischen Rechnungen Verwendung

finden sollen. Die Werte werden dann

Fig. 38.

kies io

20

lGfrad~5mm

0,4-

0A

0,2 ■

0,1

mit dem Zirkel abgegriffen und nach entsprechender Kürzung oder Streckung benutzt. Aus der Tabelle 120Grad fcer „Größen irrt Einheitskreise" seien erwähnt die zu gegebenem gehörigen Bögen und Pfeilhöhen. Die Schaulinie der Kreisbögen ist besonders einfach zu konstruieren, da wegen der Proportionalität von Winkel und Bogen die graphische Darstellung des Bogens als Funktion des Winkels eine Gerade ist. Sie ist in Fig. 38 konstruiert aus den Punkten (0°; 0) und (30°; 0,524); als Einheit ist 1 dem, für die Winkel 1° = 5 mm gewählt (Maßstab der Figur: 1:3). Die Schaulinie der Pfeilhöhen Fig. 39 ist mit den Einheiten: 1° = 1 mm und 1 -----1 dem nach der Ta-

Fig. 39.

10 20 SO 40 50

Fig. 40.

100

B,

belle konstruiert (Maßstab der Figur 1 : 2).

Es sei an dieser Stelle eine Näherungskonstruktion zur Rektifikation des Kreisbogens erwähnt, die praktisch gut zu brauchen ist (Fig. 40). AB sei der Kreisbogen, M der Mittelpunkt des Kreises. Man verlängere den Durchmesser um den Radius, sodaß al\oAC=3r ist, ziehe CB bis zum Schnitt D mit der Tangente in A. Dann ist

AD — AB. Die mathematische Begründung dieser von Nicolaus v. Cusa*) angegebenen Konstruktion muß hier übergangen werden.

Fig. 41.

Der gebier beträgt bei Winkeln bis 60° unter 1%. Größere Winkel können durch die Mittellinie geteilt werden, sodaß die angegebene Genauigkeit bis au Bögen von der Größe eines Kreisdrittels bestehen bleibt. Besonders wichtig ist die Übertragung eines Bogens auf einen Kreis von anderem Radius. Fig. 41 zeigt die Ausführung für einen großen Winkel.

Bon weiteren Funktionen, deren Schaulinien statt der Tabellen vorteilhaft benutzt werden, seien noch die trigonometrischen Funktionen erwähnt.

Fig. 42.

so

Aus der Trigonometrie ist bekannt, wie man die trigonometrischen Funktionen aus einem „Vektordiagramm" entnehmen kann. Ist der Radius eines Kreises 1 (z. B. 1 dm), und mißt man die Winkel, die ein beweglicher Radius mit einem festen bildet, so ist sin a durch das Lot vom Endpunkt des beweglichen auf den festen Radius bestimmt, cos cc durch die Projektion des beweglichen auf den festen Radius. Häufig ist nun der Winkel nicht im Gradmaß, sondern durch den Kreisbogen zwischen den Schenkeln bestimmt („Bogenmaß"). Um sin a als Funktion des Bogens darzustellen, teile man den Einheit-kreis in eine Anzahl gleicher Teile, z. B. 12; der Kreisumfang wird nun rektifiziert, d. h. in eine gerade Strecke verwandelt. Dies geschieht mit großer Annäherung durch folgende Konstruktion l Fig. 42): im unteren Endpunkt des vertikalen Durchmessers wird eine Senkrechte gezogen, die von einem unter 30° gegen den vertikalen Durchmesser geneigten Radius in z geschnitten wird. Von z aus wird auf der Senkrechten in Richtung zy die Strecke 3 r abgetragen bis u\ dann ist xu der halbe Umfang des Kreises (Fig. 42 ist mit r = 1 cm ausgeführt). Wird nun

1) Kardinal Nicolaus Cusanus 1401—1464.

im Vektordiagramm (Fig. 43) der feste Schenkel um 2tt verlängert und diese Verlängerung in 12 gleiche Teile geteilt, so entspricht jeder

Teil ™ einem Winkel von 30°. Parallele durch die entsprechenden KreispunkLe schneiden sich mit den Ordinaten der Teilpunkte von

3n

2    2x

“Tj ryz

Fig. 43.

in Punkten der „Sinuskurve", die den Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Sinus darstellt (Fig. 43). Da sin (90 — a) = cos a

ist, stellt dieselbe Kurve, von aus gerechnet, die Kosinuslinie dar.

Die Tangenslinie wird entsprechend konstruiert, wenn man beachtet, daß die Tangenswerte vom beweglichen Radius auf der Senkrechten abgeschnitten werden, die im x Endpunkt des festen Radius ' errichtet ist.

Beispiele:

sin 2,3 = 0,75 — 0,81 = sin 4,1.

Fig. 44.

Fig. 44 stellt die Tangenslinie von 0 bis n dar.

Die Konstruktion der Schaulinie lohnt sich für jede in irgend einem Gebiete zu graphischen Rechnungen häufiger gebrauchte Funktion. Als Beispiel wollen wir die in einem späteren Abschnitt zu benutzende „logarithmische Additionskurve" behandeln.

Aufgabe: Aus den bekannten Logarithmen zweier Zahlen« und v ist der Logarithmus der Summe (u + v) zu finden (v > u).

c>

<2>

'S

OC

Ol

$>

D. Graphisches Tabellenrechnen —J    Es ist

J    log 0 + v) --- log    ■ v)

+ log V

J    = log(l+ ~)+logt>

7    ==i°g(i+^)+i°gt;-

j Bezeichnet man log-- mit s, log 7 + -*-) mit t, so ' gehört zu jedem Wert von ^ ein bestimmtes s und ein

solcher von z. B. für ~ = 1 ist s = log 1 = 0;

t --- log (1 + j) = log 2 ----- 0,301. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über zusammengehörige Werte von s und t:

Maßst 10:1

= log

Fig. 45 a.

8'0 l'O

s 0,0    0,1 |0j2| OjSl 04j 0,5    0,6    0,7

t |0,30l|0,254|0,2l2!0,176|0,146|0,119|0,097|i),079

S | 0,8 | 0,9 I 1 I 1,1 I 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5

t |0,064|0,052|0,041|0,033|0,027|0,02]|0,017|0,014

so

Kk

Diese Tabelle ersetzen wir nun zur Benutzung bei graphischen Rechnungen durch die entsprechende Kurve, die wir als die „lo-garithmische Additionskurve'' bezeichnen wollen. In Fig. 45a ist sie mit 1 dm als Einheit konstruiert. Als Abszissen

Sel VT S'T    l'T

Maßst 2:1

Fig. 45 b.

sind die s, als Ordinaten die entsprechenden, d. h. zu gleichem ujv gehörigen t genommen. Für die vorliegende Aufgabe kommt nun diese Kurve nach der folgenden Überlegung in Betracht: es seien u, v, u + v die den Werten log u, log v, log (u + v) entsprechenden Punkte eines logarithmischen Maßstabes (Fig. 46 a). Dann ist die

Strecke üv --- log v — logu ---- log — = s; nach der

Gleichung log (u + v) = log v + log ^1 +

= log v + t ist Punkt (u + v) des logarithmischen Maßstabes von Punkt v um die Strecke t entfernt.

OL Fig. 46. b

Fig. 47.

Zusammengehörige § und t sind //! aber die Koordinaten eines Punk-^ / tes der Additionskurve; zu jedem / Werte von s können wir das zugehörige t an w+v dieserKurveab-lesen. Folglich können wir den gesuchten Punkt (u + v) des logarithmischen Maßstabes wie folgt finden: man nehme die gegebene Strecke üv in den Zirkel und trage sie als Abszisse in die Additionskurve ein. Die [I !ü zugehörige Ordinate wird abgegriffen und an den Punkt v nach oben angetragen.

Man prüfe diese Methode an dem Beispiel log (2 + 3) bei gegebenen Logarithmen von 2 und 3.

Ersetzt man in Fig. 46 a u + v durch u, also u durch u — v, \o ergibt sich Fig. 46 d. Aus ihr folgt durch Umkehrung des oben angewendeten Verfahrens folgende Methode zur Konstruktion von log(w—w) bei gegebenen Werten von log w und logn: man nehme die Strecket des logarithmischen Maßstabes als Ordinate eines Punktes der Additionskurve; die zugehörige Abszisse wird mit dem Zirkel abgegriffen und von v aus nach abwärts abgetragen. Dann kommt man auf den gesuchten Punkt u — v. Man prüfe das Ergebnis für log 7, log 5 und log (7 — 5).

Noch bequemer als die Additionskurve ist der „logarithmische Zirkel" von Prof. E. A. Brauer, bei dessen Konstruktion diese Kurve verwendet ist (Fig. 47). Setzt man Spitze I auf Punkt u, Spitze II auf v, so gibt Spitze 111 den Punkt (u + v) des logarithmischen Maßstabs. Für die Subtraktion setze man III auf u, II auf v, dann ergibt I den Punkt (u — v).

Es ist selbstverständlich, daß bei allen Konstruktionen mit Hilfe der Additionskurve entweder der Maßstab der letzteren (in Fig. 45a: 1 dm) auch der Hauptzeichnung zu Grunde gelegt werden muß, oder daß die benutzten Abszissen und Ordinaten dieser Kurve dem Maßstab der Hauptzeichnung angepaßt werden müssen. Ist die Einheit für letztere 1 cm, so ist das § der Hauptfigur zu verzehnfachen, das zugehörige t dann in ^ Größe zu verwenden.

Von Eigenschaften der Additionskurve sei hier erwähnt, daß die positive §-Achse und die Halbierungslinie des Winkels zwischen der negativen §-Achse und der positiven §-Achse Asymptoten der Kurve sind, d. h. daß die Kurve in diese Geraden ausläuft. Die Annäherung erfolgt sehr schnell, sodaß selbst im Maßstabe 10:1 der Abstand der Kurve bei s = 2,5 cm nur -/₀ mm beträgt. In Fig. 45b ist auch der

zu negativen s gehörige Teil der Kurve gezeichnet; ist s = log ~

negativ, so ist ^ < 1, ~ + 1 und damit t --- log + l) wird mit wachsendem negativen s immer größer, die Kurve also nach links immer höher. Z. B. ist für ~    ^

s=log-- = — 1 ° u

# = log^ + 1 = logll == 1,041.

§--log—--ö u

t = log 101 ----- 2,004.

Man benutzt diesen Teil der Kurve, wenn s sehr groß, also t sehr klein und deshalb nur ungenau abzugreifen ist. In diesem Falle nimmt man s negativ und trägt die zugehörige (große) Ordinate t von u (dem kleineren Werte) aus nach oben ab, um zu u + v zu gelangen. (Fig. 45 b ist mit 2 cm als Einheit gezeichnet.)

Übungen: log (3 + 4) aus log 3 und log4; log 5 aus log 7 und log 2; log 10 aus log 1 und log 9 zu konstruieren.

Nach dem bisher benutzten Verfahren kann man jeden Zusammenhang zwischen zwei veränderlichen Größen durch eine Zeichnung darstellen. Die Darstellung durch eine Kurve in einem — meist rechtwinkligen — Achsenkreuz vermag eine Tabelle „mit zwei Eingängen" in gewissen Grenzen ersetzen und hat jedenfalls den Vorzug der Übersichtlichkeit.

Die Ausdehnung dieser Methode auf drei Veränderliche, die auf eine räumliche Konstruktion führen würde, ist wegen der zeichnerischen Schwierigkeiten praktisch nicht ausführbar. Man hat in neuerer Zeit wegen der Häufigkeit der Zusammenhänge zwischen drei und mehr Veränderlichen in Physik und Technik eine neueArt von graphischen Tabellen entworfen, die „Nomograrnme" genannt werden. Die Tafeln für drei Veränderliche sind leicht verständlich. Es sei z. B. z = x-y, so zeichne man ein Koordinatennetz aus den verschiedenen x' und ^/-Werten; für einen bestimmten §-Wert, z. B. § ----- 30, erhält man in diesem Netz eine gleichseitige Hyperbel von der Gleichung x • y = 30, für alle möglichen §-Werte z = 1, 2, 3, . . . eine das Netz durchsetzende Schar solcher Kurven. Die so entstandene Zeichnung stellt eine graphische Multiplikations- und Divisionstabelle dar. Um z. B. 6 • 8 zu finden, suche man den Schnittpunkt der Netzgeraden x = 6, y = 8. Diese liegt auf der mit „48" bezeichneten Hyperbel. Die Division 40:5 wird ausgeführt, indem man den Schnittpunkt der Hyperbel 40 mit der Geraden x = 5 aufsucht. Die zugehörige Ordinate y = 8 ist der gesuchte Quotient. Diese Art von Nomogrammen, bestehend aus einem Koordinatennetz und einer Kurvenschar, heißt „Netztafeln". In dem Nomogramm für z ----- ]/x² + y² besteht die Kurvenschar aus allen Geraden, die Punkte der n-Achse mit denen der 7/-Achse verbinden. (Siehe S. 16.) Man zeichnet diese nicht aus, sondern benutzt als „Weiser" eine auf Zelluloid geritzte Gerade, welche die gleiche Teilung wie die Achse besitzt. Durch diese Gerade wird der x* und §/-Wert verbunden und die dazwischen liegende Länge abgelesen?)

Eine andere Methode, die auf Zusammenhänge zwischen beliebig vielen Veränderlichen anwendbar ist, benutzt Gerade mit Funktions-

l) Siehe Neuendorff, Praktische Mathematik (ANuG 341).

teilungen. Eine solche,,Funk-    ₍₀

tionsleiter" wird dadurch _! hergestellt, daß die Werte 40°— einer Funktion in bestimmtem Maßstab auf einer Ge- ₃₆»_ raden aufgetragen werden, wobei jeder Punkt mit dem Wert der Unabhängigen be- ' zeichnet wird. (Siehe S. 11:

//

SööV

—700

—600

Logarithmischer Maßstab.) ¹ _

Solcher Leitern werden so viele gezeichnet, wie Veränderliche vorhanden sind. Alle Ablesungen erfolgen auf einfachste Art durch geradlinige Weiser. Auf die Herstellung der Nomogramme dieser Art nach dem „Prinzip der fluchtrechten Punkte" kann hier nicht eingegangen werden, da jeder Zusammenhang besondere Überlegungen erfordert. Im einfachsten Falle mit zwei Veränderlichen werden die beiden „Leitern" nebeneinander gesetzt, z. B. bei y = xi eine Leiter mit natürlicher Teilung und eine für mit Quadratteilung (b. h. Punkt 4 mit 2, 9 mit 3 ... w² mit n bezeichnet).

Als Beispiel eines komplizierteren Nomogramms diene Fig. 48 für die Reduktion des Barometerstandes nach der Formel s=0,00016 t-H. Für t --- 22°. H = 770 mm ergibt sich e

Wenn auch die Herstellung des Nomogramms häufig recht mühsam ist, so ist die Anwendung so bequem, daß diese Form der Rechentafeln vom praktischen Rechner immer mehr bevorzugt wird. Für zahlreiche Probleme der Physik und Jngenieurwissenschaften sind bereits Nomogramme konstruiert worden?)

Fig. iS.

'O

-500

2,7 mm Abzug.

E. Die geometrische Addition.

1. Addition von zwei Vektoren. Die am häufigsten für die graphische Berechnung unbekannter Größen angewendete Konstruktion ist die bekannte Parallelogrammkonstruktion, bei der es sich darum handelt, aus zwei Seiten eines Parallelogramms und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die Diagonale zu finden (Parallelogramm

1) Siehe Luckey, Einführung in die Nomogravhie, Mathematisch -physikalische Bibliothek, Bd. 28; Schilling, Über die Nomographie von M. d'Ocagne.

ANllG. 708: Prölß, Braph. Rechnen

der Kräfte, Geschwindigkeiten usw. in der Mechanik). Bei der Wichtigkeit dieser Konstruktion für alle Zweige der angewandten Mathematik sollen die Grundzüge dieser graphischen Methode, bereit Überlegenheit über die rechnerische Behandlung ihr auf allen Anwendungsgebieten zum Siege verholfen hat, hier kurz behandelt werden.

Fig. 49.

c,

Bekanntlich ist eine Strecke durch zwei Größen charakterisiert: durch ihre Länge und ihre Richtung. Jede physikalische Größe, die ebenfalls durch eine Zahl und eine Richtung bestimmt ist, läßt sich graphisch durch eine Strecke darstellen, z. B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft. Solche „gerichteten Größen" heißen (als rein mathematische Gebilde, ohne Rücksicht auf ihre wirkliche Bedeutung) „Vektoren". Für gerichtete Größen gilt nun allgemein das Gesetz der „Superposition", wonach die gleichzeitige Verwendung zweier Vektoren dasselbe Ergebnis liefert, wie die Verwendung der einzelnen Vektoren nacheinander. Hat z B. ein Fluß ct = 3 m Geschwindigkeit und wird einem Boote senkrecht zur Stromrichtung durch Rudern eine Geschwindigkeit c₂ = 2m erteilt, so ist das Ergebnis dasselbe, als ob zunächst nur die Stromgeschwindigkeit auf das Boot wirkt, z. B. l" lang, dann aber, ebenfalls l", nur die Rudergeschwindigkeit, die das Boot senkrecht zum Strom bewegt (Fig. 49). Tatsächlich ist das Boot dann nach 1" zum Punkte P gelangt, seine wirkliche Geschwindigkeit ist durch OP dargestellt und zwar nach Größe und Richtung.

In Fig. 49 ist der Geschwindigkeitsmaßstab lcm = l in diesem

Maßstab ist die „resultierende Geschwindigkeit" r = 3,6-^,

ihre Abweichung von der Stromrichtung (von cx) ist a = 34°. Die rechnerische Behandlung ergibt (nach dem Pythagoras):

r = W + t»₂* = 3,6056 ~ ■

Zur Berechnung von a müssen wir die Trigonometrie zu Hilfe nehmen:

= 0,666; a = 33° 40'.

tg« = ^ =

⁸ ",

Es ist klar, daß die Messung von r und a viel bequemer ist als die Rechnung; das Ergebnis ersterer ist bei sorgfältiger Zeichnung für alle Anwendungszwecke ausreichend.

Noch umständlicher gestaltet sich die Berechnung, wenn die zu addierenden Vektoren einen von 90° verschiedenen a einschließen.

Beispiel: 2 Kräfte Px = 2,7 t und P₂ — 2,3 t wirken unter dem Winkel 35° an demselben Angriffspunkt. Wie groß ist die Ersatzkraft (Resultierende) B (Fig. 50)?

P,

Fig. 51.

Fig. 50.

Es sei OA = P₁, 02? = P₂. Durch Ergänzung des Dreiecks AOL zum Parallelogramm ergibt sich C; dann ist die Ersatzkraft nach Größe und Rechnung durch OG bestimmt. Die Messung ergibt (bei dem Kräftemaßstab 1 cm = 11) B = 4,8 t <£(^,20 = 15!°.

Die rechnerische Auflösung verlangt Anwendung des Kosinussatzes: B = Y'P^P/^Yp^-- 4,77

und zur Bestimmung von ^ (P₁, P₂) Anwendung des Sinussatzes. Diese äußerst mühsamen Rechnungen lassen sich also vermeiden, wenn das Parallelogramm in bestimmtem Maßstab (z. B. 1 cm = 11) und unter Benutzung des gegebenen Winkels genau konstruiert wird.

Diese Konstruktion, die allgemein für die Addition zweier Vektoren gilt, heißt geometrische Addition.

2. Zerlegung eines Vektors in Komponenten von gegebener Richtung. Sind von dem Parallelogramm (Fig. 50) B und die Mehrungen OA und OB gegeben, so ergeben Parallele durch den Endpunkt von B iw. OA und OB die Punkte A und B als Schnittpunkte mit den gegebenen Richtungen. OA und OB sind die gesuchten Komponenten Px und Pä.

Beispiel 3: Eine Kraft B = 5000 kg ist in 2 Komponenten P, und P₂ zu zerlegen, die mit B die Winkel u = 35°, ß = 25° einschließen (Fig. 51). Kräftemaßstab: 1 cm----1000kg. Die Messung

ergibt

P₁ = OA = 2400 kg P₂ = OB = 3300 kg.

B e i s P i e l 4: Die Zug- und Druckspannungen in den Konstruktionsteilen des skizzierten Krahnes (Fig. 52) sind graphisch zu berechnen. (<r = 350 kg, « = 50°).

't

<

Dy

Fig. 52.

Kräftemaßstab 1 cm == 100 kg. Die Messung ergibt als

Zugspannung im horizontalen Teil: Z=400kg Druckspannung im schrägen Teil: D=525kg.

Die Beispiele zeigen die Anwendung der geometrischen Addition auf die Mechanik. In der Tat bildet die Mechanik das Hauptanwendungsgebiet dieser graphischen Methode (Graphische Statik).

3. Addition beliebig vieler Vektoren. Sind mehrere Vektoren vu va, v₃. . . }U addieren, so wird zunächst aus vi und vi durch die Parallelogrammkonstruktion die Resultierende r₁₂ gefunden; diese ergibt mit vs nach derselben Methode, die Resultierende r12s und so fort. (Fig. 53.) Unter Fortlassung der, wie Fig. 53 zeigt, überflüssigen Linien r1Sl r12S... ergibt sich folgende Methode: Im Endpunkt von v₁ wird vt nach Größe und Richtung angetragen; im neuen Endpunkt desgleichen vs und so fort. Die Strecke vom Angriffspunkt 0 bis zum letzterhaltenen Punkt Pn gibt nach Größe und Richtung die Resultierende von vlr

*>3,

Das bei dieser Konstruktion erhaltene Vieleck heißt: „Vektorpolygon". In der Mechanik tritt es hauptsächlich als „Kräftepolygon" auf.

Die Konstruktion zeigt auch, unter welchen Umständen die an einem Angriffspunkt wirkenden Kräfte sich aufheben. Dann ist nämlich B ---- OP„ --- 0, Pn muß mit 0 zusammenfallen.

Das Kräftepolygon ist geschlossen (Fig. 54).

As

Ps

(Pt

X*

Pl

Vi

Fig. 53.

Fig. 55.

Tage

4t

2i

X

t--> — 4-    —--1--1- —4— Pferde

01234 5    678 J

II. Graphische Lösung von Gleichungen.

A. Aufgaben ohne Glrichungsansatz.

Häufig lassen sich Aufgaben, deren rechnerische Behandlung die Aufstellung und Lösung einer Gleichung mit einer Unbekannten erfordert, auf rein graphischem Wege unter Umgehung der Gleichung lösen. Hierher gehören alle Aufgaben die sonst mit kg Hilfe des „Dreisatzes" oder einer Proportion ₅[ gelöst werden. Es gibt zwei Fälle solcher ^

Aufgaben, je nachdem die gegebenen Größen sj-des Vordersatzes a und b direkt oder umge- 2t kehrt proportional sind.    ⁷!

Beispiel 1: a = 3 kg kosten 5 = 5 Jt\ oTTSTsty$Mark wieviel erhält man für j; = 7 Jt ? Die gesuchte Größe y ergibt sich aus der Proportion: a:b = y:x. Macht man die Jt zu Abszissen, die kg zu Ordinate» (oder umgekehrt), so wird das Gewicht als Funktion des Preises durch eine Gerade dargestellt, die aus zwei Punkten (OJl, 0 kg) und (5 Jt, 3 kg) konstruiert wird (Fig. 55). Dann ist y die zu 7 Jt gehörige Ordinate: y --- 4,2 kg. Ist bei gegebenem Gewicht nach dem Preise gefragt, z B. wieviel Jt kosten 5 kg? — so beantwortet die zur Ordinate 5 kg gehörige Abszisse die Frage: % ---- 8,33 Jt.

Beispiel 2: a---5 Pferde reichen mit einem Futtervorrat b---3 Tage; x = 4 Pferde reichen damit wieviel Tage? Hier sind die Zahlen für die Tage umgekehrt proportional denen für die Pferde. Die gesuchte

Tageszahl y ergibt sich aus der Proportion a: x = y: b y =    , die

nach S. 15 konstruiert werden kann. Eine zweite Methode ist die folgende: es muß a • b = «/ • x sein. Das Produkt stellt die Größe des Futtervorrats dar: a • b ---5-3 Futtertage für 1 Pferd. Graphisch bedeutet a - b die Fläche eines Rechtecks; x-y muß dieser Fläche gleich sein. Es ist also das Rechteck a • b in ein flächengleiches mit der neuen Grundlinie c zu verwandeln;

dessen Höhe gibt y an:y=3³/i Tage. Fig. 56 zeigt die Konstruktion.

Konstruiert man die zu verschiedenen Abscissenwer-ten gehörigen Ordinaten, so liegen die erhaltenen Punkte nicht auf einer Geraden, sondern auf einer

km

Fig. 57.

40\

20!

___^-stunden gleichseitigen Hyperbel";

⁰    1 2 3 4    5 6 7    8 t    bettn tote m der analyti

schen Geometrie gezeigt wird, ist deren Gleichung y = -~ oder xy = c.

Nach diesen beiden Typen lassen sich sämtliche Regeldetri-Ausgaben graphisch lösen.

Im folgenden sollen nur solche Aufgaben behandelt werden, die, wie das erste Beispiel, auf gerade Linien führen. Als weitere Beispiele wählen wir zunächst Bewegungsaufgaben. In der angewandten Mathematik ist zur Veranschaulichung einer Bewegung das „Zeit-Weg-Diagramm" allgemein in Benutzung, bei dem der Weg als Funktion der Zeit dargestellt wird. Als unabhängige Veränderliche werden die Zeiten als Abszissen, als abhängige die vom Beginn der Bewegung bis zu der betreffenden Zeit zurückgelegten Wege als Ordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem aufgetragen. Fig. 57 zeigt das Zeit-Weg-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung s = c • t mit der Geschwindigkeit c = 5 km pro Stunde; die Zeiten sind im Maßstab 1 cm = 1 Std., die Wege im Maßstab 1 mm = 1 km dargestellt. Die Kurve ist eine Gerade durch den Koordinatenanfang. Das Diagramm jeder gleichförmigen Bewegung ist eine Gerade, da die Wege proportional der Zeit wachsen. Nachdem S. 24 über die Benutzung der Schaulinien Gesagten lassen sich alle Fragen über die in der Fig. 57 dargestellte Bewegung ohne Rechnung aus dem Diagramm beantworten. So zeigt Fig. 57, daß in 3 Stunden 24 Minuten (£=3,4 cm) 17 km (s = 17 mm) zurückgelegt werden; daß ferner 28 km (s = 28 mm) 5,6 = 5 Stunden 36 Minuten (t ----- 5,6 cm) erfordern.

Das Zeit-Weg-Diagramm der gleichförmigen Bewegung läßt sich als Gerade besonders einfach konstruieren, da eine Gerade durch zwei Punkte bestimmt ist. Es genügen also zu ihrer Konstruktion zwei Paare zusammengehöriger Werte von 1 und §. Die Gerade wird umso genauer, je weiter die beiden zur Konstruktion benutzten Punkte

i»

E

9

0

S

10    20    30    40    50    60    70    80 km

/

X

I

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4

+

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4

4

4

4

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k

/

1

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A

4

A

\A

A

Büchen

Schwanheide

h Boizenburg

\Kuhlenfeld

Brahlsiorf

Pritzier

/

r

\Hagenoto

Jasnitz

Ludwigslust

Grabow

auseinanderliegen, z. B.: t «=> 0; s = 0 und t = 5, s = 25. (Ungleichförmige Bewegungen haben keine Geraden als Schaulinien. Die gleichförmig befchleunigte Bewegung ist durch eine Parabel dargestellt.)

Praktische Verwendung findet das Zeit-Weg-Diagramm u. a. im Eisenbahnwesen als ,,graphischer Fahrplan", da es eine viel größere Übersicht gewährt als ein gewöhnlicher Fahrplan in Tabellenform. Fig. 58 gibt einen Ausschnitt solchen Fahrplans. Die Zeiten rechnen von 12 Uhr Mitternacht bez. Mittag ab; die entsprechenden Punkte der Zeitachse sind mit 12, 1, 2,... Uhr bezeichnet. Als Maßstab ist 4 om -----1 Stunde gewählt; die Unterteilung gibt 10 Minuten an. Der Wege-Maßstab ist 2 mm ----- 1 km. Neben die Kilometerzahlen werden die Namen der in entsprechender Entfernung vom Ausgangspunkt liegenden Stationen geschrieben. Je größer die Geschwindigkeit des Zuges, um so steiler verläuft seine Gerade. Bei Aufenthalt des Zuges vergrößert sich während der Aufenthaltszeit die Entfernung vom Ausgangspunkt nicht, die Gerade verläuft während dieser Zeit parallel der Zeitachse. Ein zum Ausgangspunkt fahrender Zug verkleinert seine Entfernung von diesem Punkte, die Gerade verläuft also von links oben nach rechts unten. Es ist klar, daß der graphische Fahrplan alle im Eisenbahnbetrieb vorkommenden Fragen betreffs Überholung und Kreuzung von Zügen, Einschaltung von Sonderzügen usw. ohne Rechnung auf einen Blick beantwortet. Diese starken Linien bedeuten Schnellzüge, die schwachen Personenzüge, die gestrichelten Güterzüge.

Bei den folgenden Aufgaben sind zur Vereinfachung Aufenthalte nicht angenommen.

Beispiel 3: Von zwei Stationen, die 200 km von einander entfernt sind, fahren 12 Uhr mittags ein Schnellzug mit 75 km und ein Personenzug mit 40 km Stundengeschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung. Wann und wo kreuzen sie sich?

Die Gerade des Schnellzugs (Fig. 59) ist bestimmt durch die Punkte (12 Uhr, 0 km) und (l Uhr, 75 km); die des Personenzugs durch die Punkte (12 Uhr, 200 km) und (1 Uhr, 160 km). Sie kreuzen sich um 1,75 Uhr -----1 Uhr 45 Minuten in einer Entfernung von 131 km von der Ausgangsstation des Schnellzugs.

Beispiel 4: Von einer Station fährt um 3 Uhr nachmittags ein Güterzug mit 15 km, um 5 Uhr 30 Minuten ein Schnellzug mit 65 km Stundengeschwindigkeit. Wann und wo überholt der letztere den ersteren (Fig. 60)?

y

j tritt

Fig. 62.

km

200

Punkte der Güterzuggeraden: (3 Uhr, 0 km) und (4 „    „ Schnellzuggeraden: (5^ Uhr, 0 km) „ (6:

Uhr, 15 km); Uhr, 65 km).

Die Überholung findet um 6,25 = 6 Uhr 15 Minuten, 49 km vom Ausgangspunkt statt.

km

km

l________>

r(

65h

75L

*—

12 l

Fig. 59.

“ ~S S    89 lOlfßT t~3 4mr

Fig. 60.

Fig. 61.

Beispiel 5: Ein Auto fährt um 8 Uhr morgens von A nach B — 65 km — mit 25 km Geschwindigkeit und nach l'/z stündigem Aufenthalt mit 18 km Geschwindigkeit zurück. Ein Fußgänger mit 5 km Geschwindigkeit verläßt einen 20 km von A aus auf AB liegenden Ort um 12 Uhr 30 Minuten. Wann und wo trifft er das Auto?

Fig. 61 gibt die Lösung. Die Gerade des Autos, eine gebrochene Linie, ist bestimmt durch die Punkte (8 Uhr, 0 km) und (9 Uhr, 25 km); vom Schnittpunkt der Geraden mit der X-Parallelen durch 65 km bleibt die Linie des Autos für l'/z Stunden parallel der Zeitachse, die Gerade der Rückfahrt ist bestimmt durch den Schlußpunkt des parallelen Teils und einen zweiten Punkt, der um 1 Stunde weiter rechts und um 18 km unterhalb der Parallelen liegt. Die Gerade des Fußgängers ist bestimmt durch die Punkte *m (12³⁰ Ubr, 20 km) und (l⁸⁰ Uhr, 25 km). Treff- zooj—

Punkt 29 km vom Ausgangspunkt des Autos, Treff- j zeit 2,1 --- 2 Uhr 6 Minuten.    j

Beispiel 6: Vom Punkte A fährt um 1 Uhr ein S¹⁽k—

Zug mit 60 km Geschwindigkeit in der Richtung nach j dem 300 km entfernten 5; er trifft einen von B ' um 2 Uhr 30 Minuten abgegangenen Zug in einer !

Entfernung von 210 km von A. Welche Geschwin- gjl—/ bigfett hat letzterer (Fig. 62)?

Die Gerade des ^.-Zuges ist durch die Punkte (1 Uhr, 0 km) und (2 Uhr, 60 km) bestimmt; die des F-Zuges durch (2,5 Uhr, 300 km) und den Schnittpunkt der ^.-Geraden mit der L-Parallelen durch 210 km. Die gesuchte Geschwindigkeit ist die Länge der durch (3,5 Uhr, 300 km) gezogenen ^Parallele bis zur L-Geraden. Antwort: 45 km.

Beispiel 7: Wann decken sich die beiden Uhrzeiger? Für jeden Zeiger ist der von der 12^-Stellung an zurückgelegte Winkel — in Graden gemessen — proportional der Zeit. Als Abszissen nehmen wir die Stunden (1 ©tt>e = 1 cm), als Ordinate» die Winkel (l° = 1 mm). Der kleine Zeiger ist zur Zeit x = 0 cm der Stelle y = 0, zur Zeit x — 12h an der Stelle y = 360". Seine Bewegung ist dargestellt durch die Gerade zwischen den Punkten (0,0) und (12; 360). Der große Zeiger ist zur Zeit x = 0 an der Stelle y = 0, zur Zeit x = 1 an der Stelle y = 360, zur Zeit x — 1 an der Stelle y = 0, zur Zeit x = 2 an der Stelle y = 360 usw. Seine Bewegung wird durch 12 parallele Gerade dargestellt. Die Schnittpunkte der ersten Geraden mit den 12 letzteren geben durch ihre Abszissen die Zeiten an, zu denen sich beide Zeiger decken: 1 lh 6m; 2h 10™ (genau l^h, 2A) usw. Die Ordinalen der Schnittpunkte geben den Winkel der sich deckenden Zeiger mit der 12-Uhr-Stellung an (z. B. um 2h 10m ungefähr 65" (genau 65^°). Die Figur ist vom Leser zu entwerfen.

Die Darstellung durch Gerade ist bei allen Vorgängen zutreffend, bei denen die Änderungen der zwei beteiligten Größen proportional sind. So wird die durch ein Rohr von 5 1 Minutenleistung fließende Wassermenge in ihrer Abhängigkeit von der Zeit, eine Arbeitsleistung, deren Größe in der Zeiteinheit gegeben ist, (z. B. 10 m³ Mauerwerk an einem Tage) als Funktion der Zeit durch eine Gerade dargestellt. Physik und Technik bieten Beispiele in großer Fülle. Die Ausdehnug eines Stabes ist proportional der Temperatur, die Stromstärke proportional der Spannung usw. Alle Aufgaben aus diesen Gebieten lassen sich wie Bewegungsaufgaben mit Hilfe von Geraden graphisch lösen.

Eine besondere Betrachtung erfordert der Fall, daß mehrere Vorgänge, die einzeln durch Gerade dargestellt werden, gleichzeitig eintreten. Die allgemeine Gleichung der Geraden ist: y = ax + ö. Sei nun ein Vorgang durch die Gerade: y₁ — axx -f ein anderer durch y₂ = a₂x + b₃ dargestellt, dann ist für das gleichzeitige Eintreten beider Vorgänge im gleichen Sinne (also bei Addition der Wirkungen):

y = Vi + % = iaix + M + (a2x + öz) ---- K + O ^ + (A + b-),

bei Subtraktion der Wirkungen:

2/ = Vi — Vz = K» + bi) — (a₂x + &₂) ---- («i — a₂) x -f (bt — b₂).

A+B

Gl

Die Schaulinien der zusammengesetzten Vorgänge sind ebenfalls Gerade, lassen sich also aus 2 Punkten konstruieren. Bei Leistungsaufgaben läßt sich also aus den Leistungsgeraden der Einzelvorgänge die „ge meinsame Leistungsgerade leicht finden.

Liier

ibiii

Min

20    40    60

Fig. 63.

--Min

0    5    10    15    20    25    30

Fig. 64.

Beispiel 8: Ein Behälter kann durch eine Röhre A in 60 Min., durch eine andere B in 40 Min. gefüllt werden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt, wenn beide Röhren gleichzeitig geöffnet sind (Fig- 63)?

Horizontalmaßstab: 1 Min. = 1 mm; Vertikalmaßstab: 1 cm.

Da der Behälterinhalt nicht gegeben ist. können wir ihn beliebig wählen; in Fig. 64 ist er gleich 3 ; Einheiten, z. B. m:i) angenommen. Die L-Parallele G durch 3 nennen wir die „Jnhaltslinie". Wir konstruieren die Leistungsgeraden A und B, indem wir den Nullpunkt mit dem Punkte 60 Min. bezw. 40 Min. der Jnhaltslinie verbinden. Die gemeinsame Leistungslinie wird konstruiert, indem wir zu irgend einer Zeit, z. B. 30 Min., die Einzelleistungen (BC und BE) addieren und den erhaltenen Punkt mit dem Nullpunkt verbinden:. Gerade {A + B). Der Schnittpunkt S dieser Geraden mit der Jnhaltslinie hat die Abszisse OF = 24. Also wird der Behälter in 24 Minuten gefüllt.

Beispiel 9: Ein Behälter hat zwei Zuflußröhren A und B mit

den Minutenleistungen 201 und 251, eine Abflußröhre C mit der Minutenleistung 80 1. Zunächst sei nur A geöffnet, nach 5 Minuten auch B, nach weiteren 10 Minuten C. Der Inhalt des (zuerst leeren) _ _ L - i -, - - Tage Behälters ist graphisch ö 7 8 9 10    als Funktion der Zeit

Arb

a+b~~c

Sy

sTT

Fig. 65.

darzustellen (Fig. 64).

Die Wirkung von A allein wird durch die Gerade A, die von B und C allein durch die Geraden B und C dargestellt. Während der ersten 5 Min. kommt nur A in Betracht. Während der nächsten 10 Min. totrlen A mtb B zusammen; die einströmenden Wassermengen addieren sich. Man konstruiere die Summengerade (A + B), indem man den Punkt 5 Min. von A mit einem zweiten verbindet, dessen Ordinate als Summe der zu gleichem x gehörigen Ordinaten von A und B gefunden ist. Von der Zeit ,r = 15 an wirken alle 3 Öffnungen, die dritte negativ; man konstruiere die gemeinsame Leistungsgerade (A + B — O) aus Punkt 15 Min. von (A -f- B) und einem zweiten Punkte, der durch Subtraktion einer <7-Ordinate von der zu gleichem x gehörigen {A 4- L)-Ordinate erhalten wird. Die starke gebrochene Linie gibt zu jeder Zeit x (in Min.) den Behälterinhalt (in 1) an. Man sieht, daß der Behälter in etwa 31 Min. wieder geleert ist.

Beispiel 10: A leistet eine gewisse Arbeit allein in 7, B in 5, C in 6 Tagen. B fängt 2 Tage, C 3 Tage später an als A. In welcher Zeit, vom Arbeitsbeginn des A an gerechnet, leisten sie gemeinsam die Arbeit (Fig. 65)?

G sei die „Arbeitslinie"; A ist bestimmt durch (0,0) und (7,(?); B durch (2, 0) und (7, (?); G durch (3, 0) und (9, G). Die gemeinsame Leistungslinie ist durch den Linienzug A---(A-\-B)---(A-\-B -f C) dargestellt. Sie schneidet G in S. Die Abszisse von S ist 3,7. Also wird die Arbeit gemeinschaftlich in 3,7 Tagen erledigt.

B. Gleichungen mit einer Unbekannten.

fix) --- 0

1. Lösung mittels der „Fehlerkurve". Jede Gleichung läßt sich so umformen, daß die rechte Seite den Wert „Null" hat. Diese Form wollen wir als die „Normalform" der Gleichung bezeichnen; xs — 8x -j- 15 — 0; #s — 5xa + 6ir — 7 = 0; x — 3 sin# = 0; x + log x = 0 sind Beispiele für Gleichungen in Normalform. Allgemein ist

die Normalform einer Gleichung mit einer Unbekannten.

Setzen wir in die Gleichung für x irgend einen Wert ein, so wird im allgemeinen die linke Seite nicht gleich 0 werden, sondern einen bestimmten Wert y annehmen. Wir wollen diesen Wert als den „Fehler" bezeichnen. Dieser Fehler hat für jeden Wert von x einen bestimmten Wert, ist also eine „Funktion" von x. Die Schaulinie dieser Funktion wollen wir die „Fehlerkurve" der gegebenen Gleichung nennen. So ergibt sich für die Gleichung #⁸ — 8# +15 = 0 die Fehlertabelle

y +15    8

Nach dieser Tabelle wird die Fehlerkurve konstruiert.

Ist das gewählte x gerade eine Lösung der Gleichung, so ist der Fehler gleich 0. Das Auflösen der Gleichung besteht also im Aufsuchen der #-Werte, für die der Fehler 0 wird. Bei der Fehlerkurve sind das diejenigen #-Werte, bei denen sie die X-Achse schneidet.

-JS

Um die Lösung der Gleichung f(x) = 0 zu finden, konstruiere man die der Gleichung y = f(x) entsprechende Fehlerkurve; die Abszissen ihrer Schnittpunkte mit derX-Achse sind die Lösungen der Gleichung f(x) --- 0. Wir haben hiermit also ein Verfahren, um durch Zeichnung und Messung, d.h. graphisch, eine gegebene Gleichung zu lösen (Fig. 66).

Beispiel 1: 2x + 5 = 0.

Wir konstruieren die Fehlerkurvey=2x-{-5.

r t,

Nach der analytischen Geometrie ist dies eine Ge- _

Fig. es.

rade. Zur Konstruktion genügen zwei Punkte, i.93.

Die Gerade schneidet die X-Achse im Punkte x = — 2,5 (Fig. 67). Also ist x = — 2,5 die Lösung der Gleichung 2x + 5 = 0.

Beispiel 2:

x² —4,1 x + 2,1 --- 0.

Die Kurve y = x² — 4,lx + 2,1 wird nach folgender Fehlertabelle konstruiert, die zunächst zu berechnen ist:

y 2,1

— 1    — 2,1 — 1,2 | + 1,7

ly

-V _ T

Tr -r

~4 ~

" “# / VTif“B⁸

"S

67.

/r'A. 6ö>.

69.

Eine Fortsetzung der Tabelle nach rechts oder links ist nicht nötig, da man erkennt, daß mit wachsendem positiven oder negativen x der Fehler y immer größer wird, die Kurve also beiderseits immer höher geht (Fig. 68). Die Kurve schneidet die X-Achse in den Punkten

xt — 0,65 x% = 3,5.

Diese Werte sind also die Lösungen der gegebenen Gleichung.

Beispiel 3: x* - 2,3x² — 2,58a- + 4,68 = 0 (Fig. 69).

Zur Konstruktion der Fehlerkurve y = xs — 2,3a? — 2,58a- + 4,68 berechnen wir die folgende Tabelle:

x \ —2    — 1 y | — 7,36 i + 3,96 -f- 4,68 + 0,80 — 1,68 i + 3,24

Größere negative x ergeben immer tiefere, größere positive x immer höhere Kurvenpunkte, sodaß weitere Schnittpunkte als die durch die Tabelle bestimmten nicht vorhanden sein können. Die Kurve schneidet die X-Achse in den Punkten

--1,0; %2 — 1,2) — 2,6

1,5

Diese Werte sind somit die Lösungen der gegebenen Gleichung.

Beispiel 4: ]/x + ]/x -1 = 3,45.

Fig. 70.

Wir stellen zunächst die Form f(x) = 0 her: y Vx + Yx - 1 - 3,45 = 0.

Die Fehlerkurve y = YX + ]/x — 1 — 3,45 wird nach der Tabelle konstruiert:

X ; _ 1__I__2

y | — 2,45 | — l,03ti — 0,304 + 0,282 | -}- 0,786

Kleinere Werte als x = 1 ergeben keine reellen Kurvenpunkte, da Yx — 1 hierfür „imaginär" wird. Für größere Werte als i = 5 steigt die Kurve immer höher, sodaß weitere Schnittpunkte mit der X-Achse nicht vorhanden sind. Die Kurve schneidet letztere im Punkte x = 3,5; dieser Wert ist also die Lösung der gegebenen Gleichung (Fig- 70).

x + log x — 5 (Fig. 71).

Beispiel 5:

Die Fehlerkurve y = x + log x — 5 wird konstruiert nach der Tabelle:

y I - 1,52 - 0,4 ! + 0,7    1,78

Die Lösung ist: x — 4,35.

iß.

Fig. 71.

Die vorstehend behandelten Beispiele zeigen, daß sich die Fehlerkurve zur graphischen Auflösung von Gleichungen aller Art benutzen läßt, auch zu der von irrationalen und transzendenten Gleichungen. Da es nur auf den Schnitt mit der X-Achse ankommt, ist es nicht nötig, für beide Veränderliche denselben Maßstab zu wählen. Sind die y sehr groß, so wird man sie, um die Figur auf den zur Verfügung stehenden Raum zu beschränken, entsprechend verkleinern; kleine Werte werden, um die Auftragung genauer bewirken zu können, mit einem passenden Faktor '

multipliziert. Die Benutzung von Millimeterpapier erleichtert die Konstruktion der Kurve ganz bedeutend.

Die Berechnung der Tabelle erfordert auch unter Benutzung von Potenz-, Wurzel- usw.-Tabellen meist erhebliche Arbeit. Diese einzuschränken oder besser durch Zeichnung zu ersetzen, ist das nächste Ziel des graphischen Rechnens. Wir werden später wenigstens für gewisse Klassen von Gleichungen rein graphische Methoden zur Gewinnung von Kurvenpunkten kennen lernen, sodaß dann die Auflösung ohne jede Rechnung erfolgt.

Eine Schwierigkeit liegt darin, daß man nicht weiß, für wieviele und für welche x die Fehler zu berechnen oder zu konstruieren sind. Da die Fehlerkurve nicht in ihrem ganzen Verlauf in Betracht kommt, sondern nur in der Nähe der Schnittpunkte mit der L-Achse, handelt es sich darum, ungefähr die Lage dieser Punkte zu ermitteln. Bei den meisten technischen Aufgaben sind die Grenzen, innerhalb deren die Lösung zu suchen ist, durch die Natur der Aufgabe festgelegt. Häufig ist sogar, durch Überlegung oder durch Erfahrung bei ähnlichen Aufgaben, der ungefähre Wert der Lösung bekannt. In Beispiel 5 kann die Lösung nur zwischen 4 und 5 liegen, denn 4 + log 4 = 4,... ist kleiner, 5 + log 5 = 5, ... größer als 5. Allgemein hat der Fehler y ----- fix) vor und hinter einer Wurzel verschiedene Vorzeichen. Man wird deshalb die Lösung immer nur zwischen -v-Werten suchen, zwischen denen der Fehler „das Zeichen wechselt". Es genügen daher meist wenige rr-Werte vor und hinter dieser Zeichenwechselstelle, um das Kurvenstück genau genug zu zeichnen; in Beispiel 5 die Werte x = 3, 4, 5, 6.

h: 0,4 = (l — 7t): 0,7 0,77t = 0,4(1-7t) 0,77t + 0,4 7t = 0,4

Bei wenig gekrümmten Kurven erhält man eine brauchbare Annäherung, wenn man die Kurve zwischen zwei möglichst dicht benachbarten rr-Werten, zwischen denen die Fehlerfunktion das Zeichen wechselt, durch eine Gerade ersetzt. Es ist dies die Methode, die beim numerischen Rechnen unter dem Namen: „regula falsi (Fehlerregel)" angewendet wird. In Beispiel 5 liegt x zwischen 4 und 5, ist also von der Form re = 4 + 7t. h ergibt sich rechnerisch aus der Proportion:

also ist

7t = 0,4:1,1 --- 0,36, rr = 4 + 0,36 = 4,36.

7* = 0,304:0,586 = 0,52

x = 3,52.

Bei der graphischen Methode fällt diese Berechnung fort; man braucht bei wenig gekrümmten Kurven nur zwei zu benachbarten x gehörige Punkte, die zu beiden Seiten der X-Achse liegen, geradlinig zu verbinden (Fig. 72). Die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden mit der X-Achse gibt dann einen angenäherten Wert der Lösung. Man überzeugt sich durch Einsetzen des gefundenen Wertes für x in die Funktionsgleichung, ob eine beträchtliche Abweichung von 0 sich ergibt. In diesem Falle suche man zwei näher aneinanderliegende L-Werte, zwischen denen Zeichenwechsel stattfindet, und wende das gleiche Verfahren an.

Schneidet die Kurve an mehreren Stellen die X-Achse, so hat die Gleichung mehrere reelle Lösungen. Es ist bei den Gleichungen der angewandten Mathematik meist nicht nötig, alle Lösungen zu bestimmen. Oft liegt es in der Natur der Aufgabe, daß nur eine Lösung praktische Bedeutung hat. Man beschränkt sich auf die Bestimmung dieser Lösung, deren ungefährer Wert meist bekannt ist.

Beispiel. Wie tief taucht eine Holzkugel (r --- 1 dm) vom spez. Gewicht y — 0,3 in Wasser ein?

Nach dem Archimedischen Gesetz ist Wasserverdrängung = Kugelgewicht. Ist x die Eintauchtiefe, so ist die Wasserverdrängung gleich

dem Volumen eines Kugelabschnitts: - (3r — x), das Kugelgewicht ist: \r%n y, also für r — 1, y = 0,3:

(3 — x) — n ■ 0,3

x\3 - x) — 4 • 0,3 --- 1,2

3.r²—.r>= 1,2

x? - 3a-² + 1,2 -- 0.

ANuG. 708: Prölß, Grapli. Rechnen

In Beispiel 4 ergibt sich n ----- 3 -s- h. 1 —K

0,282

0,304

0,2827* = 0,304 (1 — h) = 0,304 — 0,3047* 0,282 7* + 0,3047* = 0,304

Y Fig. Ti.

Q,T

Eine genaue Betrachtung der Fehlerfunktion y = x* — 3x² + 1,2 würde Zeichenwechsel zwischen —1 und 0, 0 und 1, 2 und 3 ergeben. Von den dadurch festgestellten Wurzeln kann aber nur die mittlere in Betracht kommen, da x weder negativ noch größer als 2 sein kann. Zur Bestimmung der brauchbaren Lösung wird die Tabelle berechnet:

y | + 1,2 I - 0,8 ! - 2,8

k Fig. 73.

.6

T"\lf

Da die Kurve (Fig. 73) nach dieser Tabelle wenig gekrümmt verläuft, verbinden wir die Kurvenpunkte für x = 0 und x = 1 geradlinig. Die Gerade schneidet die X-Achse in x = 0,6. Für x = 0,6 wird y = + 0,336. Da die Abweichung von Null noch erheblich ist, suchen wir eine weitere Abszisse, für die y negativ wird. Wir müssen diese, der Tabelle nach, in der Richtung der wachsenden x suchen. Für # = 0,7 ergibt fidj y = + 0,07; erst x ---- 0,8 liefert ein negatives y=* — 0,74. Der Fehler ist viel größer als bei x --- 0,7; also liegt die Lösung näher an 0,7. Die Gerade zwischen den Punkten mit x = 0,7 und x ----- 0,8 schneidet die X-Achse in x = 0,71. Die Kugel taucht also 0,71 dm ----- 7,1 cm tief ein. Eine größere Genauigkeit kann nicht erreicht werden, da das spezifische Gewicht nur auf eine Dezimale genau gegeben ist.

Bei algebraischen Gleichungen, d. h. solchen, in denen nur positive ganze Potenzen der Unbekannten vorkommen, läßt sich ohne genaue Zeichnung der Kurve eine Angabe über die Anzahl der reellen Lösungen machen. Die höchste Potenz möge einen positiven Koeffizienten haben, was sich nötigenfalls durch Veränderung sämtlicher Zeichen erreichen läßt. Für große Zahlwerte von x ist dann das höchste Glied überwiegend, sodaß sein Vorzeichen das des Fehlers bestimmt. Setzt man # = — oo, so hat bei ungeradem Grade die Funktion das Minuszeichen, bei x = + oo das Pluszeichen. Die Kurve kommt also aus — oo und verschwindet bei + oo, muß somit notwendig dieX-Achse schneiden: Gleichungen ungeraden Grades haben also stets mindestens eine reelle Wurzel. Bei geradem Grade ist für x = — oo wie für x = + oo das höchste Glied und damit der Fehler + oo, die Kurve kommt aus + oo und verschwindet bei + oo; das Schneiden der X<Achse tritt also garnicht oder 2, 4, ... d.h. eine gerade Anzahl von Malen auf: Gleichungen geraden

Grades haben keine oder eine gerade Anzahl reeller Wurzeln. Die Zahl der reellen Wurzeln kann, wie aus der Algebra bekannt ist, höchstens dem Grade der Gleichung gleichkommen. Somit hat eine Gleichung

1.    Grades 1 reelle Wurzel

2.    „    0 oder 2 reelle Wurzeln

Q    1    9

,,    n u tf    ii

4.    „    0, 2 oder 4 reelle Wurzeln usw.

Die Fehlerkurven für Gleichungen 2. und 3. Grades sind in den Figuren 74 und 75 gezeichnet.

Fig. 74.

Fig. 75.

Rein graphische Bestimmung der Kurvenpunkte. Besteht die rechte Seite der Gleichung aus einer Summe von einfachen Funktionen von x, deren Schaulinien gezeichnet vorliegen, so lassen sich die Kurvenpunkte ohne Rechnung finden.

Beispiel 1: x + log# = 5; y = xA-logx — 5 = log# + (x —5).

Um die zu einem gegebenen x gehörige Ordinate y zu finden, entnehmen wir den zu diesem x gehörigen Wert von log x aus der Logarithmenkurve und addieren dazu graphisch den um 5 Einheiten verkleinerte n-Wert. Die gefundene Länge wird im Punkte lr aufgetragen und liefert den gesuchten Punkt. Da für x = 4 n — 5 ------ 1

negativ ist, muß x — 5 vom Endpunkt von log 4 nach abwärts abgetragen werden. Für (— 1) ist n — 5 ----- 0; der zur Abszisse x = 5 gehörige Punkt der Logarithmenkurve ist somit der zweite Punkt der Kurve y = x + logx — 5. Die Lösung der Gleichung wird als Schnitt der Geraden zwischen beiden Punkten mit der X-Achse gefunden (Beispiel 5 S. 41).

Beispiel 2: x = tga?; hier ist y = x — tgx\ da zwischen 0° und 90° die Tangenten größer als die Bögen, zwischen 90° und 180° negativ sind, kann die Lösung von x = tgx erst hinter x = n liegen, da mit diesem -r-Werte die Tangenswerte von neuem mit 0 beginnen. Um den Kurvenpunkt für x = 4 ju finden, entnehmen wir tg 4 aus der Tangens-linie S. 28 und subtrahieren die gefundene Länge von x = 4; diese Differenz wird als Ordinate zu * = 4 aufgetragen und liefert so den gesuchten Kurvenpunkt. Entsprechend wird für x = 5 y = 5 — tg 5 konstruiert und als Ordinate zu x 5 aufgetragen. Die Gerade zwischen den beiden konstruierten Punkten ergibt als Schnitt mit der X-Achse die Lösung der Gleichung x = tgx: x = 4,9.

Fig. 76.

Bei algebraischen Gleichungen

a₀x” + atxn~lH-----b «„_xx +    = 0

liefert die Segnersche Konstruktion beliebig viele Punkte der Fehlerkurve y --- f(x), indem für x verschiedene Werte, j. 58. x — 0, 1, 2, 3,... gewählt werden. Hierbei ist zu beachten, daß schon bei der Konstruktion des Schemas zwei Punkte der Kurve festgelegt werden. Es ist nämlich für x = 0, y = an, b. h. Punkt On (Fig. 28)

ist ein Kurvenpunkt. Ferner ist für x — 1, y = a₀ + a, ■]-----\-an,

d. h. die Übertragung von O₀ durch die X-Parallele auf die 1-Ordinate ergibt ebenfalls einen Kurvenpunkt, der in Fig. 28 mit Q₀ bezeichnet wurde. Wir wollen O₀ und Q₀ als die „Hauptpunkte" der Kurve bezeichnen (Fig. 76). Aus der Lage der Hauptpunkte ist meist zu ersehen, in welcher Richtung wir weitergehen müssen, um zum Schnitt mit der X-Achse zu gelangen.

Beispiel 3: a;² — 4,1-e + 1,8 = 0 (Fig. 77).

Die Hauptpunkte von y — xi — 4,1* + 1,8 lassen eine Wurzel zwischen 0 und 1 erkennen: x --- 0,5; eine zweite ist weiter rechts zu suchen. Die Konstruktion weiterer Punkte ist für x = 2, 3, 4 ausgeführt. AlszweiteWur-zel ergibt sich x = 3,6.

°r\l

Beispiel 4:

"5"

" * 9£C² -f 25a:—12 = 0. *"

Fig- 77.

Fig. 78.

Die Hauptpunkte der Fehlerkurve y = 9.r2 + 25 a —12 (deren

Ordinalen in mm aufgetragen sind), zeigen eine , positive Wurzel zwischen 0 und 1; die zweite Wur- <+ zel ist negativ. Die Segnersche Konstruktion ist für x = — 1, — 2, — 3, — 4 durchgeführt. Als j Lösungen der Gleichung lesen wir ab: 2^ =+ 0,42; 0,\ xa---3,20 (Fig. 78).    !

fig. 79.

Beispiel 5: 0,8a:⁸ — 2a;²-1,4*+ 3,9 = 0. °-\

ö<« ' 1    \2j~ ~3~~

Außer den Hauptpunkten benutzen wir die Punkte o\ x — 2, x = 3, a: — 1,5, * — 2,5, *-=2,3. Als Lösungen der Gleichung ergeben sich: xx = 1,5; xa ----- 2,4 (x₃ ist nicht bestimmt, es muß negativ sein) (Fig. 79).

2. Das Lillsche Verfahren. Im vorigen Abschnitt wurde zur graphischen Berechnung des zu beliebigem x gehörigen Wertes y einer-algebraischen Funktion und damit zur Konstruktion des entsprechenden Kurvenpunktes das Segnersche Verfahren benutzt. Handelt es sich nur um eine» einzelnen Wert von y, so ist das Verfahren jedenfalls bequemer als das rechnerische, wenn auch die Anzahl der bei der Konstruktion benutzten Linien bei höherem Grade der Funktion recht groß wird. Sind viele Werte derselben Funktion zu berechnen oder, was auf dasselbe herauskommt, viele Punkte der Kurve zu konstruieren, so gestaltet sich das Segnersche Verfahren zu langwierig, als daß es praktisch große Verbreitung finden könnte.

Ein Verfahren, das mit einem äußerst geringen Aufwand an Konstruktionsarbeit die zu gegebenem x gehörigen Wert einer algebraischen Funktion liefert und das in Verbindung mit einem systeniatischen Probieren auf bequemste Art die Auflösung einer algebraischen Gleichung bewirkt, ist das Lillsche.

Funktionen ersten Grades. Beispiel 1: Es sei </ = «„* + ax (= 2x + 3) (Fig. 80). Von einem Anfangspunkt 0 aus wird OA = a₀ = 2 nach oben gezeichnet, im Endpunkt A nach rechts AB = «] = 3 rechtwinklig zu OA. Bon 0 aus sei unter dem Winkel <p ein Strahl gezogen, bereis in ? schneidet. Dann ist

PB = AP + ax — a₀ ■ tg <p + at.

Setzt man tg<p = x, so ist.

PB *» a₀x + % = y.

X>

0 Fig. So.

PB ist also der Wert, den y ----- u₀x + ax für den Wert r = tgy annimmt. In Fig. 80 ist x = tg<p == 1 : 2,'^y = 2x + 3 = 4.

Die Messung ergibt: PB = 4. Wird cp₁ so gewählt, daß P mit B zusammenfällt, so ist für x = tg cp₁ y = 0, d. h, xx = tg ist die Lösung der Gleichung 2x + 3 = 0. Wird also der aus den Koeffizienten a₀ und stx gebildete „Rechtwinkelzug" OAB durch den Strahl OB „geschlossen", so ist der tang des Winkels zwischen a₀ und OB die Lösung der Gleichung y = a₀x + Der Winkel (und damit x) ist positiv zu rechnen, wenn sein freier Schenkel durch eine Drehung im Sinne des Uhrzeigers — positiver Drehungssinn — in a₀ übergeführt wird. Es werden nur Winkel von — 9u° bis + 90° angegeben. In Fig. 80 ist cpt negativ. Da nur der tang, nicht cp selbst gebraucht wird, ist die Messung von cp überflüssig: es ist

x = tg cp = A~- = y = 0,5

- =-1,5.

<x.

«o

AB

= tg tpt = -

Ist a₀ negativ, so ist OA von 0 aus nach unten, ist al negativ, so ist AB nach links abzutragen.

Beispiel 2: 2x — 5 = 0 (Fig. 81). Hier ist a₀= 2 nach oben, a, = — 5 als negativ nach links anzutragen. Die Lösung der Gleichung ist: x = tg cp = +    = 2,5.

Fig. 81.

a₀

Pz

ftPi

0,3^1

VA

-7 -lo

'p

Vi

y*~*

Fig. 83.

Fig. 82.

Beispiel 3: */ = —3# + 4. Werte der Funktion für^--- — x₂ = 2. Lösung der Gleichung — 3x + 4 = 0. Die Fig. 82 ergibt in Übereinstimmung mit der Rechnung: yt = 5,5; y₂ = — 2; x = + y.

Funktionen zweiten Grades. Beispiel 4: y = x²+ 2,5x + 1,5. a₀ = 1 wird nach oben von 0 bis A, ----- 2,5 nach rechts bis B, a₂ = 1,5 nach unten bis C gezeichnet. Der Rechtwinkelzug OABC heiße das „Schema" der Funktion. Es sei <£ AOPi ----- cp (positiv), dann ist, wenn tg cp = x gesetzt wird, nach dem vorigen Abschnitt

y — Skala

1\B = a₀x + «v Errichtet man in P₁ auf OP^ das Lot, das die Gerade CB in P₂ schneidet, so ist <^P₂P₁P ----- <p, P₂P: P^P = tg<p = x,

P₂B = PXB x = (gqX + ax)x = a₀#² +

P₂C = P₂B + a₂ = a₀#² + Ki2 + ß₃ ~ Vt

d. h. P₂ C gibt den Wert der Funktion y ---- a₀#² + a^x-\- a₂ für den Wert x = tgcp an. In Fig. 83 ist * — Skala X = tg9> = 0,3, y= 2,34.

Wird Pi so gewählt, daß P₂ mit C zusammenfällt, so ist y = 0, d. h. ^ ----- tg cp₁ ist eine Lösung der Gleichung tf₀#² + axx + a₂ = 0.

In unserem Beispiel ist xt = tg cpi = — { ------ 1; eine zweite Lö-

jO

Fig. 84.

sung ist = tg (p₂ = - ₁

Es ergibt sich somit zur Lösung einer quadratischen Gleichung folgende graphische Methode: Man zeichne das Schema der Funktion y = f(x) und probiere einen Rechtwinkelzug („Lösungszug") von Ö unter Berührung von a₁ nach C. Der tangens des Winkels zwischen a₀ und dem Lösungszuge ist die Lösung der gegebenen Gleichung.

Beispiel 5: y = 10#² -j- 25a:    15 (Fig. 84). Sollen für eine

größere Zahl von x die ^-Werte bestimmt werden, so empfiehlt sich die Anbringung zweier Skalen, um an ihnen die zusammengehörigen Werte ablesen zu können. Die X-Skala liegt längs AB mit dem Nullpunkt über A, mit der positiven Richtung nach links. Ihre Teilpunkte entsprechen denen des Grundmaßstabes nach Multiplikation mit a₀. Die Einheit dieser Skala ist also a₀ • 1 == 10 • 1 = 10 Grundeinheiten. Da der Nenner von x = tgy a₀ = 10 ist, gestattet diese Skala die Ablesung der n-Werte ohne weitere Rechnung. Dre X-Skala liegt längs CB mit dem Nullpunkt bei C\ die positive Richtung weist nach oben. Tie Einheit entspricht der Konstruktionseinheit (Fig. 84 1 mm). Für x ----- 0,5 lesen wir ab: 7/ ----- 30; für x — — 2, r/----- 5. Eine Lösung der Gleichung 10^²+ 25x+ 15 = 0 ist 2, ----- — 1,5.

Es empfiehlt sich, vor der Zeichnung des „Schemas" ein „Richtungskreuz" zu skizzieren, wie es in den folgenden Figuren geschehen ist.

Dieses gibt die positiven Richtungen der aneinander zu reihenden Strecken    an. Negative Koeffizienten sind in entgegengesetzter

Richtung zu verwenden.

Beispiel 6: 3a;*— 5 a; -s- 2 ----- 0 (Fig. 85). a₀ ist nach oben. % nach links, a₂ nach unten zu zeichnen Es ergeben sich durch Probieren mit einem rechten Winkel, dessen Schenkel durch 0 und C

»0

S, 8,

—j— a, "V

a, /

P.

v, 4-4

A.L *•

a.

«o‘

r«.

a₂^ Fig. 85.

o-L

Fig. 87.

~'P,

Fig. 86.

gehen, während der Scheitel auf AB bewegt wird, zwei Lösungszüge mit den Winkeln und g>₂. Da beide Winkel positiv sind, sind auch die Lösungen positiv. Es ergibt sich

*i= tg?>i= i =

*2 = tg <p₂ = f —    .

Vereinfachung bei quadratischen Gleichungen. Bei der graphischen Lösung quadratischer Gleichungen mit Hilfe des Lillschen Schemas kommt es darauf an, die Punkte S₁ und Sa zu finden, in denen der Lösungszug die Gerade AB berührt. Nun sind die Dreiecke 08₁C und OS₂C rechtwinklig über der gemeinsamen Hypotenuse OC. Da alle rechtwinkligen Dreiecke über OC in einem Kreise mit dem Durchmesser 0 C liegen („Thaleskreis"), so find S₁ und S₂ die Schnitt^ punkte dieses Kreises mit der Geraden AB (Fig. 86).

Beispiel 7: 7 a;² + 25a; - 12 = 0.

Es ist

*i“oZ“ ⁺ T" + 0,43

S,0

28

----- - 4.

OA

Funktionen dritten Grades, y =*    + axx² + a₂x + a₃.

Wir fahren in der Bildung des Schemas fort (Fig. 87), indem wir

ct₈ rechtwinklig int Endpunkt von as ansetzen und b zwar so, daß bei nur positiven Koeffizienten der Rechtwinkelzug im Sinne des Uhrzeigers durchlaufen wird. Die Positive Richtung von as ist also die des vierten Armes des Richtungskreuzes.

a₃

Fig. 88.

Ist D der Endpunkt von Ä₃ und wird auf P₁P2 in P das Lot errichtet, so schließt dieses mit der Geraden BC wieder den <t 9 ein. Der Schnittpunkt des freien Schenkels von 9 mit der Ge- L raden CD sei P₃. Dann ist

P₃ C: P₂ 0 = tg qo; P₃C = P₂C • tg 9 = (a₀xs + axx + st₂) • x — a₀xs + a, $s +

PPg = P₃C + «₃ =• a₀xs + «i #²+ a₂x + a₃.

Es ist also JDPg = y der Wert der Funktion für z — tgcp. Fällt P₃ mit D zusammen, so ist OP₁P₂D ein „Lösungszug"; xt = tg 94 eine Lösung der Gleichung a₀xs + a₄a;²-i- a₃x + a₈= 0.

Beispiel 8: a;³ — 3,3a;² + 3,8a; —3,45 = 0 (gig. 88). Es wird nach oben, aL nach links, a₂ nach unten, «₃ nach rechts gezeichnet.

9 ist positiv; x = tg 9 = ²~; x = 2,3.

di

Das Verfahren läßt sich ohne weiteres auf die Berechnung von Werten der Funktionen 4ten, 5 ten... »den Grades sowie auf die Auflösung von Gleichungen entsprechenden Grades ausdehnen. Der Richtungssinn der weiter anzutragenden Strecken a₄, «₅,... ist so zu bestimmen, daß die Positiven Richtungen einen Rechtwinkelzug ergeben, der von a₀ bis a„ im Sinne des Uhrzeigers durchlaufen wird. Es wird also <t₄ dieselbe Richtung wie «₀, ah wie aL usw haben. Ist ein Koeffizient negativ, so wird er in umgekehrter Richtung gezeichnet, als im Richtungskreuz angegeben. Den Koeffizienten der / höchsten Potenz wählt man zweckmäßig positiv, was sich nötigenfalls durch Umkehrung aller Zeichen erreichen läßt.

Beispiel 9:

x*~ 4x³ + 3a;²— 7 a; + 8 =- 0 (Fig. 89);

Fig. 89.

X « tg cp ~ 1,1.

Eine wesentliche Erleichterung beim Zeichnen des Rechtwinkelzuges zur ^Bestimmung eines Funktionswertes bietet die Verwendung von durchsichtigem Millimeterpapier. Man steckt es mit einer Nadel so auf dem Schema in Q fest, daß eine Hauptlinie durch 0 geht. In den Schnittpunkten mit den Geraden AB,BC. . . geht man von

y — Skala

IC

D^—yC

ii

Fig. 90.

\x —Skala

Q-q

A Ji

<r

Fig. 91.

einer Linie des Netzes auf die dazu senkrechte über. Auch der Lösungszug einer Gleichung läßt sich durch Drehen des Millimeternetzes um die Nadel als Achse leicht ausprobieren. Wir haben unter Verwendung des Netzes im Lillschen Verfahren eine mechanische Methode zur Auflösung algebraischer Gleichungen von kaum zu übertreffender Einfachheit.

Beispiel 10: In Fig. 90 ist das Schema der Funktion 6ten Grades

y = 9^⁶+ 10x⁵+ 8^⁴+ 7x* + 6x²+ 4# + 5

gezeichnet mit den oben erwähnten Skalen für die Ablesung der x* und ?/-Werte. Die n-Skala hat als Einheit das Neunfache der Konstruktionseinheit — mm —, die -/-Skala ist in mm zu teilen. Mit Hilfe des durchsichtigen Netzes sind die Rechtwiukelzüge für xx = + 0,4 und x₂ = — 0,3 festgelegt. Man liest ab: y₁ = 8,3, y₂ ----- 4,2 (berechnet: y\ ~ y₂ — 4,22).*)

Eine besondere Erwähnung verlangt der Fall, daß ein oder mehrere Koeffizienten Null sind. Wenn auch die entsprechende Strecke des Schemas ausfällt, so läßt sich doch die Gerade, auf der die Strecke liegen würde, zeichnen, somit auch ihr Schnitt mit dem Rechtwinkel-

1) In Fig. 90 ist die ^/-Skala um 5 Einheiten nach unten zu verschieben.

bzw. Lösungszuge. Der Punkt, hinter dem die folgende Strecke ausfällt, ist auch mit dem folgenden Buchstaben zu bezeichnen.

""Al

a₄a°

as

Fig. 92.

Beispiel 11: Fig. 91 zeigt das Schema für y= 3#³ — 2x + 1 und den Lösungszug der Gleichung 3#⁸ — 2# + 1 = 0. a₀ wird nach oben gezeichnet; B fällt mit A zusammen; BC ist nach oben, CD nach links \ gezeichnet. Die Lösung ist    i

x = tg g> = - f--1.    ⁶

Beispiel 12: lOx⁴ — 10x + 2,91 = 0 (3ig. 92). a₀ wird nach oben gezeichnet; ax = 0 ergibt die Senkrechte in A zu OA] a₀= 0 bestimmt die Verlängerung von 0A\ az ist von A aus nach rechts, von D aus nach oben zu zeichnen. Ter Lösungszug ergibt # = tg<p = + ~^= + 0,3.

3. Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten durch zwei Kurven. Es sei fix) = 0 eine Gleichung, deren linke Seite sich leicht in zwei Teile zerlegen läßt, z. B. #³ + ax — b = 0 ober #³= — ax + b; x — logo? = 0 oder x ----- log#; allgemein:

f(x) = AO) — AO) = o.

Ist x — a eine Lösung dieser Gleichung, so ist

AO) — A(«) = O, fx (a) = f₂ (a).

Ist nun y₁ = f,(x) die graphische Darstellung der einen, y₂ --- f₂(x) die der anderen Teilfunktion, so bedeutet /s(«) = f₂(a), daß beide Kurven für einen bestimmten Wert x = a bte gleiche Ordinate haben, also sich schneiden. Die Abszisse dieses Schnittpunkts erfüllt die Gleichung fi(x) ----- f₂(x) oder /i(#) — f₂(x) ----- 0, ist also eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Wir erhalten so die folgende Methode der Gleichungsauflösung: Man konstruiere die' Bildkurven der Funktionen der rechten und linken Seite und suche ihre Schnittpunkte. Die Abszissen dieser Schnittpunkte sind Lösungen der gegebenen Gleichung.

Diese Methode ist immer dann vorteilhaft, wenn sich die linke Seite der in Normalform f(x) ----- 0 gegebenen Gleichung in zwei Teilfunktionen zerlegen läßt, die bequemer zu konstruieren sind, als die unzerlegte Funktion.

a;² — 4,1a; 4- 2,1 = 0 oder ar = 4,1a; — 2,1 (Fig. 93).

Beispiel 1:

Es ist yt ---- a;², y% — 4,1 x — 2,1. Die erste Kurve, eine Parabel, läßt sich nach der Tabelle konstruieren:

2/3 I 2 | 6,r⁻

Die Kurven schneiden sich in zwei Punkten mit den Abszissen:

0,6, a"g⁼⁼⁼ 3,5;

diese Werte sind also die Lösungen der gegebenen Gleichung.

Beispiel 2: x³— 2% + 0,674 = 0 oder a;³ = 2a; — 0,674 (Fig. 94).

yt = a:³ wird nach folgender Tabelle konstruiert:

x | — l,i> | —1    | — 0,5    |    0    ! 0,5    |    1    | 1,6

Vx I — 3,75 | -1 | — 0,125 |    0

0,125 |    1    | 3,76

Fig. 93.

IZ

Fig. 95.

Fig. 94.

\j

~/0/s    \    ~~$,5

Die Gerade ?/₂ = 2x — 0,674 wird aus zwei Punkten konstruiert:

y. I - 0,674 11,326 "

xx — — 1,56; x. = 0,36; xa — 1,2.

Die Abszissen der drei Schnittpunkte, zugleich die Lösungen der Gleichung, sind:

Beispiel 3:

Fig. 96.

Yx + x — 3,82 = 0 oder

}/# = — # + 3,82 (Fig. 95)

Vi = V*, Vt ” — x + 3,82.

x = 2,3.

Die Kurve von yt wird nach einer Wurzeltabelle oder Wurzelkurve konstruiert, die Gerade aus zwei Punkten. Schnittpunktsabszisse, also Lösung der Gleichung:

Beispiel 4: x — log# --- 3,4 oder log# = x — 3,4 (Fig. 96).

V\ = l°g x wird nach einer Logarithmentafel oder -kurve konstruiert, die Gerade aus zwei Punkten. Lösung: # = 4.

Beispiel 5: # --- tg#.

</, = tg # ist die „Tangenslinie" (S. 28), y₂ = # eine Gerade mit dem Steigungswinkel 45° durch den Nullpunkt. Lösung: #----4,5.

Das geschilderte Verfahren eignet sich besonders für Gleichungen der Form x” ax b = 0 oder #” = — ax — b.

y'

Pc

T>

<L

Fig. 97. R

ÄT

.t'

Hierin kann n jeden positiven oder negativen, ganzen oder gebrochenen Wert haben. Die Kurve j/₈ = — ax — b ist eine Gerade; #/₁ --- #" ist eine „Potenzkurve". Diese Kurven lassen sich aus wenigen Punkten konstruieren: bei positivem n ist der Nullpunkt ein Kurvenpunkt („Parabel nten Grades"), bei negativem n sind die Achsen „Asymptoten" („polytropische Kurven"). Soweit sich Tabellen benutzen lassen (für n = 2, 3, — 1, y, y), ist es am bequemsten, die Kurvenpunkte durch Berechnung zu finden. Für andere Werte von n bedient man sich zweckmäßig eines graphischen Verfahrens, deren mehrere bekannt sind. Wir geben ein solches an, bei dem aus 2 Punkten beliebig viele weitere gefunden werden. x Konstrukti on der Potenzkurve aus 2 Punkten (Fig. 97). Die Punkte P₀ und

werden zunächst berechnet. Ox' und Oy seien unter beliebigen Winkeln gegen Ox und Oy gezogen. Durch P₀ unb sind Q₀R₀S₀2,0 und <9,Pj Sl Tt bestimmt. Die Parallele durch ß₁ zu R₀Q-l gibt die Abszisse, die durch S, zu S₀1\ die Ordinate eines weiteren Kurvenpunktes. Die Fortsetzung der Konstruktion nach links und rechts ist aus Fig. 97 zu ersehen.

Zeichnet man für die häufiger vorkommenden Werte von n die Kurven y — xn auf durchsichtiges Millimeterpapier, so kann man Gleichungen der Form xn + ax + b = 0 auf folgende Weise mechanisch lösen. Die Gerade y₂ — — ax — b wird (in dem für die Kurven y = xn benutzten Maßstabe) gezeichnet und darüber das durchsichtige Kurvenblatt gelegt, so daß die Koordinatenanfangspunkte und die entsprechenden Achsen aufeinander fallen. Die Abszissen der Schnittpunkte der Geraden und der Potenzkurve sind auf dein Millimeterpapier bequem abzulesen; sie sind die Lösungen der gegebenen Gleichung.

Übungen: IO#⁴— 10# + 2,91 = 0 {y₁ — #⁴, yi = x — 0,291)

~ +x=5,2 (yx= y₂= 5,2 - #)

2 jtx

sin —

x + 2,5*'= 11    = 2,5*; y₂ = 11 — x).

Auflösung quadratischer Gleichungen durch ein Nomogramm.

Die mechanische Auflösung der quadratischen Gleichung #²+ ax + b = 0 mit Hilfe einer für alle Fälle gezeichneten Parabel y = x2 und einer Geraden y = — ax — b hat noch den einen Nachteil, daß diese Gerade für jede Aufgabe besonders aus 2 Punkten konstruiert werden muß. Diese Unbequemlichkeit fällt fort bei der folgenden Methode, bei der eine für jede Gleichung gültige Kurve mit einer Geraden zum Schnitt gebracht wird, die sich unmittelbar aus den Koeffizienten a und b

-|s<> zeichnen läßt. Wir haben es hier also mit

- einem „Nomogramm", einer graphischen ^-Rechentafel zu tun, welche die Lösungen aller quadratischen Gleichungen der Normalform x² + ax + b = 0 enthält.

Fig. 98.

Es seien zwei Achsen gezeichnet, die in beliebigem Abstand senkrecht auf der Hori-

zontalen A₀B₀ stehen (Fig. 98). Auf der ^.-Achse seien die Werte der a, auf der L-Achse die der 6 in gleichen Einheiten aufgetragen; positive Werte nach oben, negative nach unten. Ist xx eine Lösung der Gleichung, so ist: x² + ci%x +6 = 0. 3ft x² axx + bx== 0 eine zweite Gleichung mit derselben Wurzel x₁, so ist auch xx² +

+ bx = 0. Durch Subtraktion folgt:

xx(a — stj) + (6 — dz) ----- 0

BB

_ \ — b Xl a — al

Gn

Dann ist nach Fig. 98 auch

also

SB, _ SB •ri ” N .1 [ ~ SÄ '

x² — x = 0, d. h. «--- — 1,6 = 0 und

+ — 2x + 1 = 0, d. h. «    - 2, 6 = 1,

die beide eine Wurzel x = l haben. Für Punkt 2 wählen wir z. B. die Gleichungen:

x{x — 2) = 0 oder x²— 2x = 0, d. h. « = — 2, 6 = 0 (x-l)(x-2) = 0 oder a?-3n + 2=, d. h. « = -3, 6 = 2

d. h. ist das Teilverhältnis, in dem die Verbindungslinie der Koeffizienten a und b oder ax und bx oder überhaupt der zwei Koeffizienten jeder quadratischen Gleichung, die xx zur Lösung hat. durch S geteilt wird. Alle diese Verbindungsgeraden gehen durch S. Wir bezeichnen diesen Punkt mit xx. Wenn die Verbinduugsgerade der Koeffizienten irgend einer quadratischen Gleichung durch Punkt xx geht, hat die Gleichung die Wurzel xx. Wir konstruieren nun die Punkte xx für die Wurzelwerte 0,1,2, 3 ... und beliebige Zwischenwerte und bezeichnen die Punkte mit den entsprechenden Zahlen. Für jeden Punkt genügen 2 Gerade. Z. B. für Punkt 1 wählen wir die Gleichungen

und

usw. Der Schnittpunkt der Geraden a = — 1, 6 = 0 und a = — 2, 6 = 1 ist Punkt 1, der Geraden a = — 2, 6 = 0 und a = — 3, 6 = 2 ist Punkt 2 usw. Die Punkte und nötigenfalls Zwischenpunkte

0,1; 0,5 usw. ergeben eine Kurve, auf der weitere Zwischenpunkte leicht zu interpolieren sind. Um nun eine bestimmte Gleichung zu lösen, z. B. x? — 3,5# -j- 1,5 ----- 0, zeichne man die Gerade a = —3,5, b -----1,5

-l3

-.2

--0

-7--

--7

-2 -

-3 -

" -4

-S-

- -6

-6

-7

-8

-S

J%. SS.

(oder lege einen Faden oder einen auf Celluloid geritzten „Weiser" durch diese Punkte); diese schneidet die Kurve in den Punkten 3 und 0,5, dann sind xx = 3, #₂ = 0,5 die gesuchten Wurzeln (Fig. 99).

Um negative Wurzeln zu finden, ersetze man x durch (— #), be* stimme die positiven Wurzeln der so entstehenden Gleichung #² — ax + b 0 und erteile ihnen das Minuszeichen.

bx + 3y = + 15,7 2x — Ty = — 5,2.

C. Auslosung von GleichuugSsystemen mit mehreren Unbekannten.

1. Auflösung von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, a) Lösung durch 2 Kurven.

Beispiel 1:

Ji»

Fig. 100.

Betrachtet man x und y in der ersten Gleichung nicht als Unbekannte, sondern als Veränderliche, so ist die Bildkurve der unentwickelten Funktion bx + 3y = 15,7 eine Gerade; zur Konstruktion genügen daher 2 Punkte, z. B.

X 1    0__|__5

y \ 5,233 | —3,1

Die der 2 ten Gleichung entsprechende Gerade 2x— ly — — 5,2 wird ebenfalls aus 2 Punkten konstruiert:

2,17

y I 0,743

Die beiden Geraden (Fig. 100) schneiden sich im Punkte x = 2,3, y = 1,4. Da dieser Punkt auf beiden Geraden liegt, erfüllten seine Koordinaten die Gleichungen beider Geraden, d. h. beide gegebenen Gleichungen. Die Lösung des Gleichnngssystems ist somit:

x --- 2,3; y = 1,4.

Am einfachsten konstruiert man eine Gerade aus ihren Abschnitten auf der X- bzw. I-Achse, die man findet, indem man y = 0 bzw. x ---- 0 setzt. Die Tabellen werden dann

0 I -2,6

und

x :    0    : 3,14

V I 0,743 I 0

y \ 5,233    0 ,

Es seien allgemein die beiden gegebenen Gleichungen in die Form gebracht:

fi(x, y) --- 0; f₃(x, y) --- 0.

Konstruiert man die diesen unentwickelten Funktionsglei-

ANuG. 708: Prölß, Graph. Rechnen.

chungen entsprechenden Bildkurven und sucht deren Schnittpunkte auf, so sind deren Koordinaten die Lösungen des gegebenen Gleichungssystems.

Die Schwierigkeit dieser Methode liegt in der Konstruktion der Kurven, wenn deren Gleichungen unentwickelt sind; nach dem Einsetzen beliebiger -r-Werte würde jedesmal eine Gleichung für y zu lösen sein. Kommt in beiden Gleichungen eine der Unbekannten z. B. y nur im ersten Grade vor, so kann man sie auf die Form bringen: y ----- fx(x) und y ----- f₂ (x). Dann ist die Methode gut zu verwenden.

Sind beide Gleichungen vom 2ten Grade, so sind die Bildkurven nach der „analytischen Geometrie" Kegelschnitte. Es gelingt dann durch Umformungen sie auf eine der bekannten Kegelschnittsgleichungen zu bringen; die Kegelschnitte werden dann nach den Methoden der analytischen Geometrie gezeichnet und die Schnittpunktkoordinaten ab gelesen.

4#²+ 9/ — 54t/ -j- 45 ----- 0 y² — 2 X — 2 = 0.

Die erste Gleichung läßt sich auf die Form bringen:

4tf²+ 9 (t/ — 3)² = 36 , (3/-S)²

3 ² '    2²    ~~

Beispiel 2:

Die Kurve ist eine Ellipse mit den Halbachsen 3 und 2, deren Mittelpunkt um 3 über dem Nullpunkt liegt.

Die zweite Gleichung ergibt durch Umformung

y²= 2(s + l);

sie stellt eine Parabel dar, deren Scheitel um 1, deren Brennpunkt um links vom Nullpunkt liegt. Die Schnittpunkte beider Kurven haben die Koordinaten

2,80.

*1 = — 0,45 yx — 1,05 £C₂ — 2,95

Diese Wertepaare sind somit die Lösungen des gegebenen Gleichungssystems.

Von einer allgemeinen Behandlung der Gleichungen höheren Grades mit mehreren Unbekannten soll abgesehen werden.

0. Auflösung von Gleichuugsfystemeu mit mehreren Uubek.

67

p.

«i

Fiy. 101.

b) Die Vektormethode. Gleichungen ersten Grades mit 2 Unbekannten. Bei a2 der allgemeinen Methode mußten die beiden Geraden erst durch Berechnung von je 2 Punkten ag konstruiert werden. Eine Methode, bei der direkt die Koeffizienten der Unbekannten in der Normalform für die Zeichnung benutzt werden, soll im folgenden entwickelt werden.

Eine Kraft Pt habe die Komponenten at und a₂ in Richtung der X- und X-Achse. Aus und a₂ läßt sich dann Pt konstruieren (Fig. 101). Eine zweite Kraft P₂ sei durch \ und b₂ bestimmt, eine dritte B durch ct und r₂ (Fig. 102). Vergrößert man at und a2 um den gleichen Faktor x, so vergrößert sich auch 1\ ohne Richtungsänderung um den Faktor x; denn da

P, = y«i²+ «₃², ist Vis^xf + (ch/xf = I\x.

Ebenso soll öj und bi um den Faktor y vergrößert werden, so daß Pz sich auf I\y vergrößert, x und y sollen nun so gewählt werden, daß Pl und Pz gerade die Komponenten von P werden, so daß also P/ = Pxx und P/ = P₂y ein Parallelogramm mit der Diagonale B ergeben. Aus OP/ - * • 0P₁₍ 0P₂' - y ■ 0P₂ ergibt sich:

OP/

OP

OP, ' y OP. •

P/ ist der Schnittpunkt von OP, mit der Parallelen durch B zu 0Pa; Pz' der von 0P₂ mit der Parallelen durch B zu OP,. Da die Summe der L-Komponenten von P, und P₂ die X-Komponente von P, die Summe der X-Komponenten von P, und P₂ die X-Komponente von P ergibt, bestehen die Gleichungen:

«i# + bty = clf a₂a; + b₂y = c₂.

Dies ist aber das gegebene Gleichungssystem mit 2 Unbekannten. Wir finden also die Unbekannten, wenn wir

■P₂

o, und a₂ zuKomponenten einer Kraft Plr J .,/

6, „ b₂ „    D ' /V""

C1 „ c2 „

machen und vom Endpunkt von P aus die

Parallelen zu OP, und OP₂ ziehen, die P, und P₂ in P,' und P₂' schneiden; dann ist

OP,'

OP,'

OP,

OP, '

Beispiel 1:

8,6a: + 6*/ = 7,5

1,5* + 6.8y = 3,7 (Fig. 103).

Wir konstruieren

o~-------mjt den Komponenten 8,6 und 1,5

6 „ 6,8

7,5 .. 3,7

Figrm.

^2    II    ll

P    „    „

7?

Es ergibt sich:

,-i'

PV''

OP,'

OP, 8,8    0,6

; = 0,4 .

OP,' 3,7

^ ⁼ OP, 9,0

Beispiel 2:

Es ist klar, daß eine der Parallelen durch P erspart werden kann, da OP,'--- PP»', OP/-- PP,' ist.

3* -s- 2 z/ — 2 2 a; —

= 4 (Fig. 104). #

Negative Komponenten sind in entgegengesetzter Richtung zu verwenden, also der Koeffizient von y in der zweiten Gleichung nach unten

abzutragen. Es ergibt sich x =

P₂' auf der rückwärtige» Verlängerung von 0P₂ liegt, ist 0P₂' negativ zu rechnen; daher wird y negativ).

2. Gleichungen ersten Grades mit 3 Unbekannten. Die Betrachtungen des vorigen Abschnitts lassen sich in den Raum übertragen. Eine Kraft P, ist zerlegbar in 3 Komponenten nach den Richtungen eines rechtwinkligen Koordinatensystems: a,, a.₂, a₃. 3 weitere Kräfte P₂, P₃, P haben die Komponenten 6,, 6₂, 6₃; c,, c», c3 und dl, dt,di. Es sollen nun die Kräfte P,, P₂, P$ mit den Faktoren x, y, z multipliziert werden, die so gewählt sind, daß P die

5,1

3,65

= 1,4; y--

2 6 =-1,14 (bo

2,28

Resultierende der veränderten Kräfte xPlf yP₂, zP3 ist. Dann bestehen die Gleichungen:

axx +    + cte = dt

aax + b₂y +    ---

»z-r + h y + c₃z = d3l

\J ,£

d. h. die Faktoren, mit benenPlz P₂,P₃ multipliziert werden müssen, um E zur Resultierenden zu haben, sind die Lösungen des vorstehenden Systems von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Zur Bestimmung von x ist folgende Konstruktion im Raume auszuführen (Fig. 105): Durch E wird die Parallele zu OPx bis zum Schnittpunkt S mit der Ebene P₂ 0P₃ gezogen; dann ist x • OPx ----- ES] oj 2

r.

i%.

,y

Pj

a₃

x = ^ . OS wird in der Ebene P₂ÖP₃ in zwei Komponenten in Richtung OP₂ und OP₃ zerlegt. Diese seien ST und OP; dann ist y =

SP r

<*i

ÖÄ’

n 7>

Zur wirklichen Ausführung benutzen | «

r-

Z ~ ops-

wir die in der darstellenden Geometrie gebräuch-g, liche Methode, eine Geraden im Raume / durch zwei Projektionen z. B. auf die H-Ebene und die

Pb

s,

FZ=66ene darzustellen (Sig. 106).

Beispiel 1:

\_$i    1,6* + 0,63, + 1,5 2= 1,59

*■ —y 1,1* + l,8y + 2,3« — 2,19

Fig. 106.

X -----

T-ijcc t-pi

KPi

2,3a: + 1,2t/ + 0,3§ ----- 1,47    -----

(Fig. 107).

Die Projektionen der Kräfte PXP₂P₃E seien in der H-Ebene mit pxp₂P$P, in > der I^-Ebene mit qxq₂q^q bezeichnet. Die Endpunkte der Strecken tragen diese

Buchstaben. Die Ausführung gestaltet sich wie folgt: es wird ton* firmiert

px aus der ^--Komponente 1,1, der X-Komponente 1,6

P% tt

Pb n

1,8, „ 2,3    „

0,6

1,5

t ft

1,59

5i „ 5s „ 5z ,'

1.8. „

2,3

2,3

1,2

co -

0,3

! tt

1,47.

Die Parallele durch p zu Opx schneidet Op₂ in r₂, OpB in r₃; Parallele zu OZ durch r₂ schneidet Oq₂ in s₂, die durch r₃ schneidet Ög3 in s₃. Nun wird s₂ mit sB verbunden; die Parallele durch q in Oqt schneidet s₂sB in tx, Parallele durch tx zu Oq₂ schneidet Oq₃ in t₂] dann ist

qtr    11₉

In unserm Beispiel ergibt sich:

5= 0,4; y^=

Man kann natürlich die Konstruktion in der XX-Ebene mit einer Parallelen durch q zu Oqx beginnen und die Schnittpunkte mit Oq2r Oq₃ auf Op₂ nnb Op₃ hinunterloten. Dann wird die Parallele durchs zu Opx mit der durch die genannten Punkte bestimmten Geraden zum Schnitt gebracht, durch den letztgefundenen Punkt die Parallele zu Op₂ gezogen bis zum Schnitt mit OpB.

Ferner ist es, da die Koeffizienten abc gleichberechtigt sind, also auch die Reihenfolge gleichgültig ist, ebenso gut, mit einer Parallelen durch p(q) in Op₂ (Oq₂) in beginnen, die mit Op± (0#,) und Opz (Og₃) zum Schnitt gebracht wird, oder mit einer Parallelen durch p {ti) zu OpB (OqB). Es ergibt sich oft, welche Parallele vorzuziehen ist, nämlich die, welche mit den beiden Geraden Schnitte liefert, die noch auf der Zeichnung sind.

Es ist, um bei den immerhin zahlreichen Linien die Übersicht zu behalten, dringend erforderlich, die bei der Konstruktion erhaltenen Punkte zu bezeichnen.

Negative Koeffizienten sind in entgegengesetzter Richtung aufzu-

1,45

4,40

= 0,33; «_

²^ = 0,5.

tragen. Dadurch gelangt z. B. der Punkt px, der aus a₂ = 3, a₃ = — 2 zu konstruieren ist, in den oberhalb der X-Achse gelegenen Teil der XX-Ebene, also scheinbar in die XX-Ebene. Entsprechend tritt ein Punkt q, dessen X-Komponente negativ ist, scheinbar in der XX ©bette auf. Nur genaue Punktbezeichnung schließt hier Verwechselungen aus. Es können auch mehrere Punkte zusammenfallen, z. 93. p₂ = (2, 3) der XX-Ebene, und q₃ = (3, — 2) der XX-Ebene; der Punkt ist dann doppelt zu bezeichnen und sowohl als pa wie als q₃ zu benutzen (Fig. 108).

r-r

Beispiel 2: x + 2y + 2# = 3 x — y + bz = 2 3x + 2y z = 2.

Hier ist die Parallele durch p zu Op₂ benutzt, ___________

entsprechend in der XX-Ebene die Parallele durch xf q zu Oq₂.

Die Konstruktion (Fig. 109) ergibt:

r — AA —    — () 4. ,, -3. 9A __ M — 0 8*

x Oqt    1,4 ~ U'⁴’ y    Og₂ 4,6

2,7 st .

z =s -----    0,5.

OS»    5,4    '

3. Auflösung einer Gleichungstreppe ersten Grades mit Unbekannten. Eine von der im vorigen Abschnitt behandelten ganz verschiedene Methode der Auflösung linearer Gleichungen mit n Unbekannten gründet sich auf fol-_____

gende Betrachtungen.

Es sei die Gleichung

a + bx = 0    ¹

aufzulösen; a und b seien zunächst positiv. Auf der X-Achse eines Koordinatenkreuzes

.s-

Sj

p>

w.

Uc

(Fig. 110) seien a und b hintereinander abgetragen bis a und k-; in a fei nochmals a nach oben aufgetragen bi£ A. Pfet ein „Pol", eine Einheit links von 0 gelegen. Es soll der Wert von a + b • x füt einen gegebenen Wert x bestimmt werden. Man trage x auf der X-Achse

,i

Fig. 110.

A/

P P---4

ic

'zJl

•I-

Fig. 111.

ab bis x (positiv nach oben, negativ nach unten), und ziehe durch A die Parallele zu Bx] dann schneidet diese ans der Ordinate in b die gesuchte Strecke ab: Bb = a 4* bx. Denn es ist

Bb — a x „    ^

b ----- Y f also Bb = a + bx.

Ist xx eine Lösung der Gleichung a + bx = 0, so ist Bb = 0, Pxt II Ab. Um also die gegebene Gleichung graphisch zu lösen, verbinde man A mit d und zieht durch P die Parallele in Ab] dann wird das gesuchte xt auf der X-Achse abgeschnitten.

Beispiel 1: 2 + 3x = 0; x₂ == — 2/3 (Fig. 111).

Die Betrachtungen bleiben unverändert, wenn a auf der X-Achse bis A, b auf der X-Achse von 0 aus bis b abgetragen wird.

Fig. 112.

B,

Ist eine Gleichung mit 2 Unbekannten gegeben: a + bx + cy = 0, so wird dem bisherigen „Schema" auf der X-Achse die Strecke bc = c angefügt (Fig. 112). Die Werte von x und y, für die der Wert der linken Seite bestimmt werden soll, werden beide von 0 aus (nicht hintereinander!) auf der X-Achse abgetragen. Die Parallele durch A zu Bx trifft die Ordinate von b in B, die ^ Parallele durch B zu By trifft die Ordinate von c in C. Dann ist

Al

B b ----- a 4* b x,

Cc — B b __ y

Cc^Bb-\ cy*= a 4 bx 4 cy.

C. Auflösung von Glerchungssysternen mit mehreren Unbek.

73

J*

Soll (x, y) ein Lösungspaar der gegebenen Gleichung sein, so muß Cc = 0 sein, der Linienzug ABC somit in c endigen. Bei beliebig ge-ivähltem x findet man also das zugehörige«,, indem man zur „Schlußlinie" Bc die Parallele durch den Pol zieht, die auf der 1^-Achse das gesuchte y abschneidet (Fig. 113).

'I

)x

"TsT¹"

C)

<5--7

Fig. 113.

Fig. 114.

Fig. 115.

Beispiel 2: 1,25 + 2,25#+1,25#=0. Für # --- 0 3 2/= 0,75 ergibt sich (Fig. 112) Cc ---- 2,86. Für # --- 0,5 ergibt sich als Lösung von 1,25 + 2,25# + 1,25y = 0, y = — 1,5 (Fig. 113).

Beispiel 3: 1 — 2# + Sy = 0 (Fig. 114); b muß, als negativ, von 0 aus nach links, c von b aus wiederum in positiver Richtung abgetragen werden. Für x = 2, y = 1 ist das Schema geschlossen, da dieses Wertepaar die Gleichung befriedigt.

Beispiel!: 5 — 3# — y = 0 (gig. 115). Für n ----- 2 ergibt sich:

)x

c--p\y-----

is Fig. 110.

*--

In entsprechender Weise können wir nun aus den Koeffizienten jeder Gleichung nttn Grades mit n Unbekannten ein Schema konstruieren und für beliebige Werte der Veränderlichen den Wert der linken Seite finden. Ist n der Koeffizient der letzten Unbekannten, der letzte Punkt des Schemas also n, und schneidet die Parallele zum Polstrahl der letzten Veränderlichen die -r-Ordinate in Nt so gibt Nn den Wert der linken Seite für die gewählten Werte der Veränderlichen an. Sind(-r—1) _

Veränderliche beliebig gewählt, so schneidet der zur Schlußlinie Mn

parallele Polstrahl auf der X-Achse den Wert der fehlenden Veränderlichen ab.

Beispiel 5: 2 + 5# —82/ + 3# ----- 0. Für x = 1, y = 0,5 folgt —1 (Fig. 116). Wird beim Auftragen der Koeffizienten a,b,c...n auf der X-Ächse ein Punkt mehrmals erreicht, so ist er auch mehrfach zu bezeichnen; im Beispiel 5 fällt Punkt d mit 0 zusammen; in 3 + 4a? 4- 32/ — 3§ ----- O fällt d mit c zusammen. Das Verfahren selbst ändert sich nicht.

Für die Auflösung eines Systems von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten läßt sich das behandelte Verfahren zunächst nur in dem Falle benutzen, daß in den Gleichungen die Unbekannten nacheinander auftreten:

^ |^ = 0 a₂ + b₂x + §2 2/ ⁼ O % + b₃x + c₃y + d₃z ----- 0

Ein solches System wollen wir eine „Gleichungstreppe" nennen. Hier liefert die Schlußlinie der ersten Gleichung x; dieser Wert wird in das Schema der zweiten Gleichung aufgenommen; dessen Schlußlinie liefert 2/; die Schlußlinie der dritten Gleichung, in welche die gefundenen Werte von x und y eingeführt werden, liefert # usw.

Beispiel:

1,15 — 4,6a? ----- O 3,5 — 2a? — 2y = 0 3 - 3x - 2y + * = 0.

Fig. 117 zeigt die    Auf-

__lösung. Es    ergibt    sich:

/    x — 0,25;    y -----    1,5;

/    §---- 0,75.

4. Auflösung eines vollständigen Systems von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten. Diese Aufgabe läßt sich auf die Auflösung einer Gleichungstreppe zurückführen. Eliminiert man aus je 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten eine der letzteren, z. B. z, so erhält man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten x unb 2/; aus letzteren

/I

\z

Ol

Fig. 117.

wird z. B. y eliminiert, sodaß eine Gleichung mit einer Unbekannten n sich ergibt. Diese Gleichung bildet mit einer der 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten und mit einer der 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten eine Gleichungstreppe.

Die Elimination einer Unbekannten ans zwei Gleichungen läßt sich graphisch nach einem sehr einfachen Verfahren ausführen.

Graphische Elimination.

Es soll aus 2 Gleichungen

cl± -j- x -{- c^y -j" d^z — 0 st₂ + b₂x + £₂ y + d₂z ----- 0

eine neue Gleichung abgeleitet werden, die eine der Unbekannten, z. B. z, nicht mehr enthält. Das rechnerische Verfahren besteht darin, daß eine der Gleichungen mit einem zunächst unbestimmten Faktor X multipliziert und zu der zweiten addiert wird:

-f* b^x -f- c^y -f- d^z = 0 a₂X + b₂lx + c₂Xy + d₂Xz = 0 + Xa₂) + x(bx + Xb^) +2/^ + Xc₂) + z(d± + hd₂) = 0. Nun wird über X so verfügt, daß der Koeffizient von 5 verschwindet.

d^ -f- X d₂ = 0 ^ X — —

di .

dt*

dann verbleibt eine Gleichung mit 2 Unbekannten:

+ ßx + yy = 0.

Um die Elimination graphisch auszuführen, tragen wir auf 2 Parallelen (mit beliebigem Abstand) die Schemata der beiden Gleichungen nach

dt

di

0₂, ax mit a2l bt mit b2f ct mit c2t °i d, mit dr Soll ^ eliminiert werden,

so ziehe man durch den Schnittpunkt von cx c₂ mit d« die Parallele zu den Schemaachsen. Auf dieser Parallelen schneiden die Verbin-dnngsgeraden Oi 0₂, axa₂... das Schema der Gleichung

a -s- ßx + yy — 0

ab. (Konstruktion von van den Berg.) Beweis: Es ist:

ci y rfi c₂ y <Z„

Cjl —y _ e>7

— Zieht man durch y die Parallele zu 6, b₃, so ist

c. — r c₈y

— A, also

Cj — y ■— — A (c.₂ — y) = — Ac₃ + Ay C\ + Ac₃ — y + ly = y (1 + A)

Ebenso findet man 6₁ + A6₃= ß(l + A), «₁4-A.a₂ = «(l -f A); durch Einsetzen in die Gleichung (a₄+A as) + (6t + A 6₃) a; + (ct + A cs)y=0 und Division mit 1 + A folgt:

« + ßx + yy = 0.

Der Anfangspunkt 0U2 des Schemas von a + ßx + yy «=» 0 liegt auf der Geraden 0, 0₃. Es ist: a = 0₁₃a, (3 = aß, y = |?y.

Läßt man y = 0 werden, so ergibt sich eine Gleichung mit den Unbekannten x und z\ für ß = 0 eine solche mit y und z. Ersteres tritt eilt, wenn die Parallele durch den Schnittpunkt von bx ö₃ und cx c₃, letzteres, wenn sie durch den Schnittpunkt von a₁ a„ und bx b„ gezogen wird. Die Schnittpunkte liegen umso näher, je weniger Abstand die beiden Schemageraden haben, am nächsten, wenn die Mitten der Strecken, deren Endpunkte zu verbinden sind, senkrecht übereinander liegen.

Beispiel 1:    2 + 2x + 5y = 0

4 + Öse— 3y = 0 (Fig. 119).

Wir eliminieren y, indem wir durch den Schnitt von 6, b., und ct c3 die Parallele zu den Schemaachsen ziehen. Die Verbindungsgeraden at a₃ und ftj b.₂ ergeben das Schema der neuen Gleichung: 3,25 + 3,9 &

__a.—----- 0; hieraus folgt (rechnerisch oder gra-

J_____J____\Z- phisch): x = — 0,84.

Beispiel 2:    2 + hx -f 3# * 0

Cjf

Fig. 119.

1 + 3x + 2y == 0.

Fig. 120 zeigt die Elimination von z, es ist also y^O. Die neue Gleichung ist: 1 — # = 0; i/ = 1.

Bl.

^    Beispiel 3:

4 — # — 2 y — 5 ----- 0

Ci

2    — 2# + # — 4# = 0

Fig. 120.

3    — 3# — 2 y + z = 0.

IV

Aus I und II folgt durch graphische Elimination von £ (Fig. 121 a) ccx + ßi% + y — 4,66 — 0,66# — 3 y — 0.

Aus II und III auf dieselbe Weise

«2 + ß₂# + y₂y ----- 3,5 — 2# — 2-, -- 0.

dä

b»

c»

ax

11

Ci

___

bi

///

Fig. 121a.

ß*\'

0_

/I

2SL

Ol Yt

ß»

«3

ßl «1

Fig. 121b.

Die Elimination von y aus den letzten beiden Gleichungen ergibt Fig. 121b:

Hieraus folgt:

Die Bestimmung von y und z kann graphisch durch Auflösung einer Gleichungstreppe erfolgen. Sie ist S. 74 an den Gleichungen VI, V, III durchgeführt.

ec + ßx = 1,15 — 4,6# ----- 0 # = 0,25.

VI

III. Vereinfachung graphischer Berechnungen durch Abbildung ans eine neue Koordinatenebene.

Die Bildkurven von Funktionen müssen, wie in Teil II gezeigt ist, punktweise konstruiert werden. Ob nun die Punkte rechnerisch oder zeichnerisch ermittelt werden, bei komplizierteren Funktionen ist diese

y\

y’\

Fig. 123.

Fig. 122.

Ermittelung mühsam und zeitraubend. Nur diejenigen Funktionen sind bequem graphisch darzustellen, deren Bild eine Gerade ist, da zu ihrer Festlegung nur zwei Punkte nötig sind. Es gibt nun eine große Zahl von Funktionen mit komplizierten Bildkurven, die durch Einführung neuer Koordinaten auf lineare Form gebracht werden können, sodaß ihr Bild in dem neuen Koordinatensystem eine Gerade ist.

Beispiel 1: y= Die Originalkurve ist eine gleichseitige Hyperbel mit der X- und X-Achse als Asymptoten. Wir führen für x eine neue Veränderliche ein durch die Substitution: = dann ist

die neue Funktionsgleichung: y = ax, ihr Bild eine Gerade durch den Koordinatenanfang mit der „Steigung" cr. Fig. 122 zeigt ^„Abbildung" von y = auf die (a/?/)-Ebene.

Aus dieser Bildgeraden kann man nun zu beliebigem x gehörige Werte der Originalfunktion und damit Punkte der Originalkurve wie

folgt ablesen: für x = “ ist: xs =- — = 5; aus der Bildgeraden ergibt sich die zugehörige Ordinate: y ----- 0,4 «    0,4- 5 ----- 2. Der

----- 2.

gesuchte Punkt der Originalkurve ist also: x \ y

Beispiel 2: y²= 2px] die Originalkurve ist eine Parabel mit der L-Achse als Symmetrieachse. Die Substitution y' = y² liefert bei unverändertem x als Bildkurve die Gerade / = 2px durch den Nullpunkt mit der Steigung 2p. Fig. 123 zeigt die Abbildung von

y² = 2 • 0,7 • x auf die (x, /)-Ebene. Für x = 2 folgt aus der Figur: /= 2,8, damit y² = 2,8, y ---- l/2^= + l,67.

I____

Beispiel 4: y =*

Beispiel 3: 3/ = a + bx². Substitution: x' = *²; die Bildkurve in der (V, y)-Ebene hat die Gleichung: y=st+5*', ist also eine Gerade durch den Punkt a der 2"-Achse mit der Steigung b. 3fl y = 2 + 3 x², so ergibt •— sich für *=1,5, also *'---1,5²= 2,25: ¹³ y =8,75.

i + ölv'

bringen: — (1 +    =    —+ Z>t/ = a. Substituiert man — =

Ä    ^    x    y x

so hat die umgeformte Funktion # + ly = a oder ~    ^ = 1 eine

Gerade zum Bilde, deren Achsenschnitte a und a/b sind. Fig. 124 zeigt

die Abbildung von y — 2x

Diese Gleichung läßt sich in die Form

₁ _j_ 3a_ auf die (V, y)-Ebene; die Gerade wird

konstruiert aus den Achsenschnitten 2 auf der *'-Achse, 2/3 auf der Achse. Nimmt man z. B. das zu *' = 3 gehörige y = —0,3, so ist nach

y —0,3

0,1. Dann

der Substitutionsgleichung = *' ist * = — 0,1, y = — 0,3 ein Punkt der Originalkurve.

* a⁸

x + ~ = 1, die Bildkurve ist eine Gerade mit den

Beispiel 5: ^. +1-₂ = 1. Der entwickelte Ausdruck dieser Funktion ist: y = + ^ ]/a² —a². Die Bildkurve ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Substituiert man: x' = x², y' = y², so lautet die Gleichung:

Achsenabschnitten a² und b². In Fig. 125 ist diese für die Gleichung 32 +    = 1 gezeichnet. Um den Funktionswert für * = 2 zu finden,

ys

suche man die zu *' = 2² = 4 gehörige Ordinate der Bildgeraden auf: y' = 2,25; dann ist y = ]/y⁷ = ]/2^5 = ± 1,5.

m. .

Die Abbildung der Hyperbel    =1 y

x'

durch die Substitution x' = x², y' = y² ist

ebenfalls eine Gerade:    -j

mit den Achsenabschnitten a² und (— b²). 0-

y ₌ .

(- 6‘)

cf

Die logarithmische Abbildung. Einige Gruppen technisch wichtiger Kurven lassen sich dadurch als Gerade abbilden, daß man eine oder beide Veränderliche durch die Substitution x' = log x und y == log y verändert. Es sind dies die Potenzkurven y = axn (wobei

y\

fl Fig. 128.

Fig. 126.

log 3

Fig. 127.

+ ~’s'

--x

log 2

n jede Zahl sein kann), und die Exponentialkurven y = a • ebx (mit beliebigem b).

1. y = ax¹¹. Durch Logarithmieren folgt hieraus: log?/ = loga + n • logx. Substituiert man y' = logy, x'*= logx, so erhält man:

y' ----- loga n • x .

Dies ist eine lineare Funktion, deren Bild eine Gerade ist: Das logarithmische Bild der Potenzfunktion ist eine Gerade. Ihr Abschnitt auf der ^-Achse ist log a, ihre Steigung n.

(Fig. 126).

y = 3#-¹ (Isotherme).

Be ispiel 6:

log ^ ----- log 3 — log x, \s = log 3 — x . Die Gerade (Fig. 127) geht durch den Punkt log 3 der Ordinatenaxe und bildet mit der X' 316)\t den Winkel x= 135° (tga = — 1). Für x = 2 ist #' = log 2 ----- 0,30, die zu x' = 0,3 gehörige Ordinate ergibt sich zu ?/' = 0,l8; y ----- num log 0,18 ----- 1,5.

(Adiabate) (Fig. 128).

- in

Beispiel 7: y — x log y = — 1,41 logx\ y' = — 1,41 x. Tie Bildgerade geht durch den Nullpunkt; ein zweiter Punkt ist: x'= 1, #'= —- 1,41. Um einen Punkt der Originalkurve zu konstruieren, lesen wir die Koordinaten eines Punktes der Bildgeraden ab und tragen deren Numeri in der U-Ebene als Koordinaten auf. Z. B. für x' = 0,3 finden wir y' = — 0,42 ----- 0,58000 — 1; die Numeri sind: x = 2, z, ----- 0,38. Dies sind somit die Koordinaten eines Punktes der Kurve y = x~l'il. 2 y ----- a • ebx (Funktion des organischen Wachstums). Durch Lo-

garithmieren folgt: log y = log «-(-&#■log e ---- log a + (6 -log e) - #. Durch die Substitution y =\ogy erhält man die lineare Form ?/'=loga + (6 loge)#.

Die Abbildung der Exponentialfunktion auf die Ebene (#, log y) ist also eine Gerade mit dem Ordinatenabschnitt log a, der Steigung (6 • log e).

ll

Beispiel 8: y = 2 • e0,3:c log y = log 2 + (0,3 • log e) y' = log 2 + (0,3 • log e)

/ = 0,30 + 0,13#.

Fig. 129.

Hierin ist e = 2,7183, loge = 0,4343, log 2 = 0,30. Nach Fig. 129 gehört z. B. zu x — 2 die Ordinate der Geraden: y’ = 0,56, daher y — num. log 0,56 = 4,6.

Koordinatenachsen mit Funktionsskalen. Die Abbildung einer Funktion durch Veränderung der Koordinaten gestaltet sich dann besonders einfach, wenn die Achsen nicht nach gewöhnlichen Einheiten geteilt sind, wie das Millimeterpapier, sondern nach Funktionsskalen (s. S. 33).

gär y = nehme man auf der X-Achse eine Skala l,f,|, 7,

.lii * m 31 41 ’

. . Die L"-Skala erhält

2, 3, 4 . .., bezeichne jedoch die Skalenpunkte mit den reziproken Werten, also mit: 1,2,3, 4, .. die gewöhnliche Teilung. Durch jeden Teilpunkt einer Achse ziehe man die Parallelen zur andern Achse (Fig. 130). Die Bildgerade von

y — in der Ebene (V = yj wird dann konstruiert aus den

Fig. 130.

Punkten (0, 0) und (l, j) der y (x ,y) Ebene. Die auf den Skalen der Achsen abgelesenen Ko- 3 ordinalen #', y eines Geradenpunktes ergeben dann, in der (#,^) Ebene aufgetragen einen 2 Punkt der Originalkurve, z. B.

ZU    gehört y = 0,75; t

dann ist x = f, y = -³- ein Punkt der letzteren.

Xf

Entsprechende Teilungen ver- »Nri- j -j-einfachen das Auffinden der Ori-    '

OTu® 708: Prölß, Graph. Rechnen

ginalkurve in jedem der oben behandelten Beispiele; man braucht nur die Koordinaten eines Punktes der Abbildung an den entsprechend geteilten Achsen abzulesen; dieselben Zahlen sind in einem Achsenkreuz mit gewöhnlicher Teilung die Koordinaten eines Punktes der Origi-

101

91

---[- ,-|,...| 1-4-4-¹- nalkurve. In Beispiel 5 verwendet

6k

5t

31

man auf beiden Achsen eine Teilung mit den Punkten l², 2², 3²,..bezeichnet die Punkte jedoch mit 1, 2, 3,... Die Gerade in der Abbildungsebene ist durch die Achsenpunkte 3 und 2 bestimmt. Für x = 2 findet man: y'= 1,5; x = 2, y = 1,5 ist somit ein Punkt der Ellipse.

2    3~ 4 5 6 78910

y i! , Fig. 131.

Besonders wichtig sind die Potenzkurven. Da ihre Abbildung als Gerade durch die Substitution x ----- log x, y = log y gewonnen wird, benutze man zur Teilung beider Achsen einen logarithmischen Maßstab, wie S. 11, und ziehe durch die Teilpunkte jeder Achse (log 1, log 2, log 3,..., bie aber mit 1,2,3,.. bezeichnet sind) die Parallelen zur anderen Achse. Da die logarithmische Abbildung bei physikalischen und technischen Aufgaben viel gebraucht wird, ist „logarithmisch geteiltes Papier^ im Handel zu haben. Alle Figuren dieses Buches, bei denen diese Abbildung benutzt wird, sind auf solchem Papier konstruiert (Fig. 131).

Der Vorteil liegt darin, daß wir die bei der Abbildung gebrauchten Logarithmen und ebenso die zum Übergang auf die Originalkurve gebrauchten numeri nicht mehr aus einer Logarithmentafel zu entnehmen brauchen: um den zu #---3 gehörigen Punkt x = log 3 der Abbildung zu finden, nehme ich den auf der X"-Achse mit 3 bezeichneten Punkt. Eine Ordinate y' = 5 der Abbildung ergibt 2/ ----- 5 für den entsprechenden Punkt der Originalkurve. Erst durch Benutzung des logarithmisch geteilten Papiers wird die logarithmische Abbildung zu einer der wichtigsten graphischen Methoden.

Beispiel 9:

i_

7/ ----- 1,5 - #3

logy = log 1,5 + | log#.

Die Abbildung hat in der x'y's&btnt die Gleichung:

/= 1,5 + | x'

ist also eine Gerade durch Punkt 1,5 der -/'-Achse mit der Steigung 1 (Fig. 132); ju x = 3 gehört y = 2,16, somit ist x =» 3, y = 2,16 ein Punkt der Originalkurve.

Ist von letzterer nicht die Gleichung, sondern sind 2 Punkte gegeben, so lassen sich unmittelbar auf dem logarithmisch geteilten Papier die entsprechenden Bildpunkte und damit die Abbildungsgerade finden,

Fig. 132.

2,16V

2t

%44

Fig. 133.

1,51

L----->

h 7,5    2"    3    4

aus ihr die Koordinaten beliebig vieler Punkte der Originalkurve. Es habe z.B.i?, die Koordinaten *,= 1,5; «4 = 2; P₂: a?a=3,5;^₈= 1,3. Aus der Bildgeraden (Fig. 133) ergeben sich als Punkte der Originalkurve:

2,5

1,22

1,73    1,54    1,41

Sind also 2 Punkte einer Potenzkurve gegeben, so kann man graphisch, ohne die Kurve zu zeichnen, allein unter Benutzung der äußerst bequem zu zeichnenden Abbildungsgeraden zu jedem x den Funktionswert bestimmen und umgekehrt. Die Gleichung dieser Potenz-kurve ist ebenfalls sofort zu finden: geht die Gerade durch den Punkta der ^'-Achse, und ist ihre Steigung gleich n, so ist die Gleichung:

y = a ■ xn

(um n zu finden, gehe man von irgend einem Geradenpunkt um 1 Einheit des Originalmaßstabes nach rechts und messe die vertikale Erhebung des zugehörigen Geradenpunktes im Originalmaßstab; diese ist w; n ist positiv zu rechnen, wenn die Gerade mit wachsendem x steigt, negativ, wenn sie fällt). Für die durch die Punkte (1,5; 2)

und (3,5; 1,3) bestimmte Potenzkurve ergibt Fig. 133 a ----- 2,44, n — — 0,5, folglich ist ihre Gleichung

y = 2,44z⁻⁰'⁵.

Es ist zu beachten, daß dieses praktisch wichtige Ergebnis ohne jede Rechnung gefunden ist.

Die letzte Aufgabe, aus dem logarithmischen Bilde einer Potenzfunktion deren mathematischen Ausdruck zu bestimmen, ist oft zu lösen, wenn aus Versuchsergebnissen eine Formel („empirische Formel") abgeleitet werden soll. Viele technische Zusammenhänge, namentlich aus dem Gebiete der Wärmelehre, führen auf Potenzfunktionen. Um zu prüfen, ob eine solche vorliegt, tragen wir die Logarithmen von je 2 zusammengehörigen Versuchswerten als Koordinaten auf oder einfacher die Werte selbst auf Logarithmenpapier. Liegen die erhaltenen Punkte auf einer Geraden, so ist das gesuchte Gesetz durch eine Potenzfunktion gegeben, deren mathematische Form in obiger Weise bestimmt >vird. Wegen der unvermeidlichen Versuchs« und Beobachtungsfehler werden die Punkte nicht genau auf einer Geraden liegen. Die richtige, Lage der Geraden probiert man am besten nach der „Methode des gespannten Fadens" aus, indem man einen Faden so spannt, daß die Punkte des logarithmischen Bildes sich möglichst gleichmäßig zu beiden Seiten desselben verteilen.

Beispiel 10: Zwischen dem Druckp (in kg pro qcm) und dem dem Volumen v (in cbm) eines kg gesättigten Wasserdampfes ist durch eine Versuchsreihe folgende Beziehung gefunden:

1,0 .......j 2,0

y =P I o.6______

x ----- v 3,297    1,717 | 0,8960

j_7

11

i 15

v | 0,4673 | 0,2763 | 0,1807 j 0,1351

Diese Werte werden auf logarithmisch geteiltem Papier aufgetragen (Fig. 134). Sie ergeben ungefähr eine Gerade, deren genaue Lage mit Hilfe des Fadens ermittelt wird. Die Gerade schneidet \    die 1^-Achse im Punkt a ----- 1,8 ihre Steigung

!    ist: w = — ff = 1,08; folglich gilt zwischen p

Fig. 134.

und q die Beziehung:

jb - 1,8 • V-¹-⁰⁸.

Auflösung von Gleichungen mit Hilfe der Abbildung. Ein

i_J—v__

3T ST

4*

Fig. 135.

+ 5 = 1-5+S⁼¹ (Tig. 135)

Hier führt die Substitution x' — x-, y' = y² auf die Gleichungen

System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten läßt sich durch Abbildung bequem lösen, wenn es mög-lich ist, beide durch die gleiche Substitu-tiott auf lineare Form zu bringen. In diesem Falle handelt es sich um die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Geraden (s- @. 65).

fc©

Beispiel:

= 1.

S*+ »S“¹' Ts + 2,5*

Diese Gleichungen stellen zwei Gerade mit den Achsenabschnitten 2² und 3² bezw. 4² und 2,5² dar. Ans Fig. 135 ergeben sich die Schnittpunktkoordinaten

2/' = 5,8.

* -    = ± 1,2, y -1/5,8 = ± 2,4

x = 1,4

Somit sind

die Lösungen der gegebenen Gleichungen.

Auch für die Auflösung einer Gleichung mit einer Unbekannten bietet die Abbildung auf eine neue Ebene vielfach eine bedeutende Vereinfachung; besonders kommt hierfür die logarithmische Abbildung in Betracht. Die Lösung erfolgt nach S. 59 mit 2 Kurven. Es ist also zunächst die linke Seite der Normalform in zwei Teile zu zerlegen: f{x) = ft (x) — ft (x) = 0; ft (x) = ft(x). Voraussetzung ist natürlich, daß sich die logarithmischen Bilder von ft(x) und ft{x) leichter konstruieren lassen, als die Originalkurven. Die Abszissen der Schnittpunkte der logarithmischen Bilder von ft{x) und ft(x) sind die Logarithmen der gesuchten Wurzeln von/(«)= 0; bei Benutzung von Logarithmenpapier sind die Wurzeln selbst an der a/-Teilung abzulesen.

2 . x ³ = 0,8^2

Beispiel 1:

Da es sich um Potenzfunktionen handelt, verwenden wir die Substitution log#, ?/' = logy. Fig. 136 zeigt die auf Logarithmen-

2'

Papier gezeichneten Bildgeraden: Die erste geht durch Punkt 2 der X'-Achse nnd hat die Steigung (— f), die zweite geht durch Punkt 0,8 der I-Achse mit der Stei-— gung |. Der Schnittpunkt der Geraden hat die Abszisse x = 3, also ist x=3 die Lösung der gegebenen Gleichung.

Beispiel 2: x? — 4 = 0, x²= 4. @8 ist yt = x², y₂ = 4.

Das logarithmische Bild von y₁ ist eine Gerade durch den Punkt 1 mit der Steigung 2, das von y» eine X-Parallele durch Punkt 4 der I"-Achse. Als Lösung wird abgelesen: x' = 2, somit ist x = 2 eine Wurzel von x²— 4 = 0. (Fig. 137.)

Beispiel 2:    2a;-¹- 1,6 = 0,    2a;-¹ = 1,6

2/!= 2a;-¹, y₂ = 1,6 (Fig. 138).

Das logarithmische Bild von yt ist eine Gerade durch Punkt 2 der /-Achse mit der Neigung (—1); das von ya eine X-Parallele durch Punkt 1,6 der /-Achse.

Lösung der Gleichung: x = 1,25.

Beispiel 3: xs—5a:+ 2=0, x² — 5x — 2

= 5a; — 2 (Fig. 139).

Logarithmisches Bild von y₁ wie in Beispiel 1; das von y₃ ist keine Gerade, sondern eine punktweise zu konstruierende Kurve. Wir benutzen dazu die Tabelle:

1\--

0,8]

---1--

Fig. 136.

Fig. 137.

y»

x 1 2 3 4 5 yt 3 ! 8 13 j 18 j 23

[/ Fig. 138.

V\

Fig. 139.

-y*

■y*

1 IM

4M

Nach dieser Tabelle wird auf Logarithmenpapier (das das Aufsuchen der Logarithmen überflüssig macht) die Bildkurve von    5a;—2

konstruiert. Der Schnittpunkt beider Bildkurven hat die Abszisse af = 4,56, also ist die Wurzel der gegebenen Gleichung x ----- 4,56.

Beispiel 4: a;²-3a;-1,75 = 0, *²=3a;+l,75 (Fig.140).

\j

ihr

-&T

~X'

---Ttö---

Fig. 141.

Das logarithmische Bild der rechten Seite t/₂ = 3a; + 1,75 können wir ohne Rechnung konstruieren unter Benutzung der S. 29 behandelten „Additionskurve". Man zeichne zunächst die logarithmischenBilder von y₂₁ = 3a; (eine Gerade durch Punkt 3 der /-Achse mit der Neigung 1) und von yn = 1,75 (eine L-Parallele durch Punkt 1,75 dieser Achse). Es liegt dann die Aufgabe vor, aus den Logarithmen von(3a;) und von 1,75 log(3x+1,75) ju finbett. Diese wird nach dem S. 30 gesagten so gelöst, daß man für irgend eine Ordinate den Abstand der logarithmischen Bilder von 3# unb 1,75 als ,y' nimmt, aus der Additionskurve das zugehörige „v“ entnimmt und an die höhere Ordinate anträgt. So erhält man einen Punkt des logarithmischen Bildes von 3a?+ 1,75. Es genügen wenige Punkte, da die Summenkurve die beiden Teilkurven (Bilder von 3a; und 1,75) zu Asymptoten hat und sich diesen sehr schnell anschmiegt. Fig. 140 ist nach diesem Verfahren gezeichnet. Die Lösung der Gleichung, die bei Benutzung von Logarithmenpapier direkt als Schnittpunktabszisse der Bilder von x² und 3a; + 1,75 abgelesen werden kann, ist x ----- 3,5.

Fig. 141 zeigt die Konstruktion des logarithmischen Bildes von 5 a; — 2 (Beispiel 3) nach diesem Verfahren. Der Unterschied der zu gleicher Abszisse gehörigen Ordinaten der Bilder von 5 a; und 2 wird als Ordinate v der Additionskurve genommen, die zugehörige

3,5

X*

Fig. 140.

Abszisse der letzteren abgegriffen und an die kleinere Ordinate unter Berücksichtigung des Vorzeichens angetragen, positives v nach unten, negatives nach oben.

Das logarithmische Bild der rechten Seite der in die Form t\(x) ----- f₂(x) gebrachten Gleichung wurde in den letzten Beispielen

9i

*/

1ha

fjn

75.

LSZj

fr

-----j—v*

51

3L~L.-

y*

4J*

7,7

y»>

jFVgr. m

unter Benutzung der Additionskurve aus zwei Geraden konstruiert. Nun sind, wie früher gezeigt, die logarithmischen Bilder aller Ausdrücke der Form xn (wobei n jede positive oder negative, ganze oder gebrochene Zahl sein kann) Gerade. Besteht die linke Seite der Normalform aus einer algebraischen Summe von vier Gliedern der Form #n, so bringen wir zwei ans die rechte Seite; wir erhalten dann die Form ylt + y₁₂ = y₂₁ + y₂₂. Die Bilder aller y sind Gerade. Die zwei auf einer Seite stehenden werden mit Hilfe der Additionskurve zu je einer Summenkurve y₁ bzw. y₂ vereinigt. Die Abszissen des Schnittpunktes von yt und y₂ sind, an der logarithmischen Skala gemessen, die Wurzeln der Gleichung /*(#) ----- 0.

10 y'x³----y — 5# y'x ----- 0 (Fig. 142)

yx

3    _ JL    l

10#2 = 15# 2 -f 5#a

3.    _1    4

= 10#2, ytl=ss 15# 2,    f/₂ 2 =* ⁵#³ •

3

Die Pildkurven beider Seiten (eine Gerade für 10#s und die

Fig. 142.

Beispiel 5:

Summenkurve von 15a;⁻* und 5a^) schneiden sich int Punkte mit der Abszisse 1,7 des logarithmischen Maßstabes. Somit ist x ----- 1,7 eine Wurzel der gegebenen Gleichung.

Beispiel 6:    0,1a;² + 2^-^ = 2,53 (giß. 143)

0,1a? + 2a?l = 1,5a?“¹ + 2,53

Z/n ™ 0,1a;-; y₁₂ = 2a?3; y₂₁ == 1,5a;    ; y₂₂ — 2,53.

Das logarithmische Bild von #n ist eine Gerade durch Punkt 0,1 der /-Achse mit der Neigung 2; das log. Bild von y₁₂ ist eine Gerade durch Punkt 2 der /-Achse mit der Neigung §; das log. Bild von y₂₁ ist eine Gerade durch Punkt 1,5 der /-Achse mit der Neigung — 1; das log. Bild von y₂₂ ist eine Parallele zur n-Achse durch Punkt 2,53 der -/"-Achse.

Die Summenkurve von yxl und y₁₂ ist mit ylf die von y2i und y2i mit y₂ bezeichnet. Der Schnittpunkt von yx und y₂ hat die loga-rithmische Abszisse x = 1,9; also ist x ----- 1,9 eine Wurzel der Gleichung.

Die Konstruktion der Summenkurve aus zwei Bildgeraden gestaltet sich außerordentlich einfach, weil diese Kurve sich den beiden Geraden sehr schnell nähert. Es genügen deshalb meist drei Punkte, um ihren Verlauf genau genug festzulegen. Für den Schnittpunkt der Bildgeraden ist das u der Additionskurve gleich 0, daher das an die höhere Ordinate anzutragende Stück v = log 2 = 0,30. Dieser Punkt der Summenkurve ist also stets sofort zu finden; für zwei weitere benutzt man die logarithmische Additionskurve. Da man schon aus der Lage der beiden zu einer Summenkurve zu vereinigenden Geraden den ungefähren Verlauf dieser Kurve ersehen kann, somit auch die Lage des gesuchten Schnittpunktes, so wird man die zu konstruierenden Punkte so wählen, daß die Summenkurven nur in der Nähe des Schnittpunkts genau gezeichnet werden.

Das logarithmische Verfahren bildet eine wichtige Ergänzung des Lillschen; letzteres ist nur auf Gleichungen anwendbar, die aus einer algebraischen Summe positiver ganzer Potenzen der Unbekannten bestehen, während bei ersterem auch negative und gebrochene Potenzen der Unbekannten zulässig sinh,

Besteht die Gleichung aus mehr als vier Summanden der Form axn, so werden diese Glieder gleichmäßig auf beide Seiten verteilt, z. B. bei sechs Gliedern zu je drei. Es wird dann zunächst nach dem bisher benutzten Verfahren aus zwei Gliedern eine Summenkurve konstruiert und diese nach dem logarithmischen Additionsversahren mit der Bildgeraden des dritten Gliedes zu einer neuen Summenkurve vereinigt. Für jede Seite erhält man dann eine Kurve; die Abszisse des Schnittpunktes beider Kurven ist die Wurzel der gegebenen Gleichung. Es ist einzusehen, wie das Verfahren auf Gleichungen mit beliebig vielen Gliedern ausgedehnt werden kann.

«¹⁰+ 5a:⁸ + 3a?- 8 = 0

Sind die Exponenten einzelner Glieder groß, so verlaufen die Bildgeraden sehr steil, was für die weiteren Konstruktionen unvorteilhaft ist. In diesem Falle kann man durch eine Substitution eine günstigere Gleichung erhalten; ist m der höchste Exponent, so führt man durch die Gleichung xm = £ eine neue Unbekannte ein. Z. B. geht die Gleichung

durch die Substitution x¹⁰ = £, a; = £iö über in:

£ + 5§ii)+ 3£w — 8 = 0.

Die Bildgeraden der einzelnen Glieder sind dann wenig geneigt; von dem auf der logarithmischen Skala abgelesenen Wert von £ ist dann der 10. Teil zu nehmen und für den so bestimmten Punkt der Abszissenachse die zugehörige Zahl der Logarithmenskala abzulesen.

Besonders günstig gestaltet sich dies Verfahren bei Gleichungen mit nur zwei Potenzgliedern:

axrn + bxn + o = 0.

Diese Gleichung geht durch die Substitution £ = xm über in

oder

6£m = — a£ + c,

deren Lösung nach Beispiel 3 S. 86 erfolgt.

Da bei hohen Potenzen die Kurven yx und yi sehr steil verlaufen und daher schlechte Schnitte liefern, ist es vorteilhaft, durch Division mit einer geeigneten Potenz von x den Grad zu ermäßigen; daß dafür eventuell negative Exponenten auftreten, ist nach dem früher

gesagten nicht störend. In dem Beispiel r⁵—26x⁴+124.r³-103a;² + 12:K-0,2==0.

Un

y»

dividieren wir durch x*:

x²— 26a; + 124 — lOSar¹

+ 12a?

-2

—0,2 ar⁸ = 0

und zerlegen

a;³ + 124 + 12a?”² = 26a:+103a;-¹+0/2a;-³.

Fig. 144. ,

Bei der Konstruktion der logarithmischen Bilder ist die Arbeit nur von der Zahl der Glieder, nicht vom Grade abhängig. Die Arbeit wird auch nicht größer, wenn irrationale Glieder vorkommen. Daher ist es häufig bequemer, die Gleichung auf irrationale Form zu bringen, wenn dabei die Gliederzahl sich verringert.

Beispiel 7: x(2x + 3)s --- 7. Die Entwicklung der zweiten Potenz liefert vier Glieder; dagegen treten in der irrationalen Form

2x + 3 = ]/? -x~~i nur drei Glieder auf, weshalb wir diese bevorzugen. Fig. 144 zeigt als Lösung: x = 0,46.

Da die logarithmische Teilung nur positive Zahlen enthält (die Zahlen links vom Punkte 1 sind die echten Brüche), liefert das logarithmische Abbildungsverfahren nur die positiven Wurzeln der Gleichungen. Sollen auch die negativen gefunden werden, so ist die Gleichung f{— x) = 0 aufzulösen und ihre Wurzeln negativ zu nehmen.

Beispiel 8: x² + 3,8a; + 3,45 = 0. Um etwa vorhandene negative Wurzeln zu finden, betrachten wir die Gleichung:

(— z)² + 3,8 (-*) + 3,45 = 0 x² — 3,8x + 3,45 == 0 x² = + 3,8 ic — 3,45

Vi = x²\ y₂₁= 3,8x) y3S ----- 3,45 (y, ergibt sich durch log. Subtraktion).

Fi<i. HS.

Fig. 145 ergibt als Lösungen dieser Gleichung: xl -----1,5, xs----- 2,3; folglich hat die ursprüngliche Gleichung die negativen Wurzeln: ---- - 1,5, -= — 2,3

IV. Graphische Infinitesimalrechnung.

A. Graphische Integration.

Ist y ----- f(x) die Gleichung einer Kurve, so ist die Fläche, die von der Kurve, der X-Achse und zwei Ordinaten x = a und n ----- b begrenzt wird, durch den Ausdruck

- lim 'S fix) dx = f f(x) dx

dx = 0 x — a    *a

x = b    ~

Fig. 146.

Litt

a x

dargestellt. Wird die „untereGrenze"« festgehalten, die„obere Grenze" b veränderlich gelassen, b -- x, so ergibt sich zu jedem n-Wert ein ganz Y bestimmter Wert von <7. Es ist also J selbst eine Funktton von x: J — F(x), die „Jntegralfunk-t tion" zu der Urfunktion y = f(x) (Fig. 146). Die „Integralrechnung" lehrt, wie man bei gegebenem mathematischen Ausdruck von f(x) auf rechnerischem Wege die Jntegralfunktion findet?) --Die Fläche des Kurventrapezes zwischen x = a und x ist gleich der Differenz der Werte der Jntegralfunktion für a und b:

«7= F{x) - F(a),

Berechnet man die Werte der Jntegralfunktion für eine Reihe von «-Werten und trägt diese Werte in den den gewählten x entsprechenden Punkten der X-Achse als Ordinaten auf, so erhält man eine Reihe von Punkten, die sich bei Verengerung der Abszissendifferenzen zu einer Kurve zusammenschließen, die Bildkurve der Jntegralfunktion. Diese Kurve heißt Jntegralkurve zu der Urkurve y = f(x). Die Fläche des Trapezes, dessen obere Begrenzung die Kurve y ---- f(x) ist, ist gleich der Differenz der Ordinaten der Jntegralkurve.

Beispiel: Fläche der Parabel y==Y2px für p = f vom Scheitel

1) ANuG Bd. 197 Kowalewski, Einführung in die Infinitesimalrechnung; Pd. 673 Hindow, Integralrechnung.

■r, --- 0 bis zur Abszisse x = 3,5 (gtg. 147). Wir berechnen die Werte von J für x: 0, 1, 2, 3, 4, ... und konstruieren die Jntegralkurve; die Ordinate zu x = 3,5 ergibt sich durch Messung zu 5,04. (Die Berechnung der Fläche nach der bekannten Formel des Parabelsegments J = %xy er- „i gibt -/ = 5,0405 Flächeneinheiten.)

Fig. 147.

Ist die Jntegralkurve zu einer gegebenen Urkurve gezeichnet, so ist die Aufgabe der Flächenmessung von Kurventrapezen, die als obere Begrenzung die gegebene Kurve haben, zurückgeführt auf die Messung von Ordinatendifferenzen der Jntegralkurve. Es o ist daher praktisch außerordentlich wichtig,

Fig. 148.

Verfahren zu finden, zu jeder gegebenen y,

Kurve, deren Gleichung nicht bekannt zu | sein braucht, die Jntegralkurve zu finden: ;

\F

„Graphische Integration".    >

Da für die Flächeitberechnung nur die j[ /’S Differenz zweier Ordinaten in Betracht _ JIliiHL kommt, diese aber unverändert bleibt, wenn 0 a * jede Ordinate um den gleichen Betrag vergrößert oder verkleinert wird, kann man zu einer Urkurve beliebig viele Jntegralkurven konstruieren, die untereinander kongruent sind und durch Parallelverschiebung in Richtung der L-Achse ineinander übergehen. Praktisch wählt man zweckmäßig diejenige Jntegralkurve, deren Ordinate für die Anfangsordinate des Kurventrapezes den Wert 0 hat: F(a) = 0. Dann ist die Fläche durch die Endordinate angegeben (s. Beispiel).

1. Das Sehnenverfahren, a) Jntegralkurve einer L-par-allelen Geraden. Die Gleichung der L-Parallelen ist y = c. Die Fläche des Kurventrapezes zwischen den Ordinaten'a und x ist J = (x — a)c, somit die Jntegralfunktion J = xc — ac; dies ist die Gleichung einer Geraden mit der Steigung c durch den Punkt (— ac) der Abszissenachse (Fig. 148). Von den unendlich vielen parallelen Geraden, die zu der L-Parallelen als Urkurve Jntegralkurven sind, ist am bequemsten zu konstruieren diejenige, die durch den Punkt (—1) der Abszissenachse geht. Man erhält sie durch Verbindung des genannten Punktes P mit dem Schnittpunkt M der L-Parallelen auf der L-Achse. Den Punkt (— 1) nennen wir den „Pol". PM den „ Richtstrahl" der X-Parallelen (Fig. 149). Alle zu einer X-Parallelen gehörige Jntegralgeraden sind dem Richt strahl parallel. Um eine bestimmte Inte-gralgerade zu erhalten, muß ein Punkt derselben gegeben sein. Die Parallele durch diesen Punkt zum Richlstrahl ist die verlangte Jntegralgerade. b) Besteht die Urkurve aus treppenartig aneinandergefügten X-parallelen Strecken (Fig. 150), so zeichne man zu jeder der Parallelen den Richtstrahl, indem man die Parallele mit der X-Achse zum Schnitt bringt und den Schnittpunkt mit dem Pol verbindet. Die Gesamtheit der Richtstrahlen bildet das „Richtbüschel" der Urkurve. Mlt üsj,... seien die Schnittpunkte auf der X-Achse, dann bilden PMV PM₂, ... das Richtbüschel.

- __

P 0

Fig. 149.

Ist J₀ ein Punkt der Jntegralkurve zu der treppenförmigen Urkurve (in Fig. 150 aus der Anfangsordinate der letzteren gelegen), so ziehe man durch J₀ die Parallele zum Richtstrahl PMV die die Anfangsordinate der zweiten Stufe in J₁ trifft. Die Differenz der Ordinate» von «7₀ und Jx ist dann gleich der Rechteckfläche, die von der ersten Stufe begrenzt wird. Die Parallele durch Jx zum zweiten Richtstrahl schneidet die Anfangsordinate der dritten Stufe in J₂. Die Differenz der Ordinaten von Jt und J₂ gibt den Inhalt der zweiten Rechteckfläche an, die Differenz der Ordinaten von J₂ und J0 die Summe der ersten beiden Rechteckflächen. Die Parallele durch Jl

Fig. 150.

zu PM₂ ergibt mit der Anfangsordinate der dritten Stufe Ja, die Ordinatendifferenz von Js und J₀ gibt den Flächeninhalt der ersten drei Rechtecke, der gebrochene Linienzug J₀J₁J₂J3 ist die Jntegralkurve der treppenförmigen Urkurve für die ersten drei Stufen. Indem man in der gleichen Weise die Konstruktion fortsetzt, erhält man die Jntegralkurve bis zu einem beliebigen Punkte der Urkurve. Liegt

der gegebene Punkt auf der Anfangsordinate einer anderen Stufe, z. B. der dritten, so ist die Konstruktion nach rechts und links auszuführen; liegt J₀ zwischen den Begrenzungsordinaten einer Stufe, so zeichne man die Parallele durch J₀ zu dem Richtstrahl der Stufe, über der ,7₀ liegt, bis zum Schnitt mit den beiden benachbarten Ordinaten und setze die Konstruktion nach beiden Seiten fort (Fig. 151).

J,

I Fig. 152.

Fig. 151.

Jo/ 1

Jo,

p,

Po

e) Nimmt man statt des Rechtecks ein Kurventrapez von gleicher Fläche, so wird die Jntegralkurve nicht mehr eine Gerade sein. Aber da die Ordinate der Jntegralkurve um soviel wächst, wie der Flächeninhalt der Urkurve angibt, dieser aber gleich ist für Rechteck und Kurventrapez, so muß die Jntegralkurve der Begrenzungskurve der letzteren durch die Punkte J₀ und /, hindurchgehen, die für die obere Begrenzungsgerade des Rechtecks gefunden war. Wie also auch die Jntegralkurve in Wirklichkeit verlaufen mag, die für das Rechteck bestimmte Gerade J₀JX mwf? eine Sehne sein. Umgekehrt: um die Sehne der Jntegralkurve zu finden für die Begrenzungskurve eines Kurventrapezes, verwandle man das letztere in ein flächengleiches Rechteck. Für dessen L-parallele obere Begrenzung bestimme man die Jntegralgerade mit Hilfe des Richtstrahls. Die Schnittpunkte der Integral-geraden mit denOrdinaten desKurventrapezes sind Punkte der gesuchten Jntegralkurve (Fig. 152).

Es ist klar, daß diese Betrachtungen nur für verhältnismäßig schmale Kurventrapeze bzw. Rechtecke gelten. Größere Flächenstücke zerlegt man durch ^Parallele in so schmale Streifen, daß man die obige Konstruktion mit hinreichender Genauigkeit anwenden kann. Dann erhalten wir statt der Urkurve einen treppenartigen Linienzug

T: :

JL

Fig. 153.

Sl

<J

1    Jo

wie in Fig. 150; die nach der dort angegebenen Methode konstruierten Punkte    . .. sind dann Punkte der gesuchten Jntegralkurve,

die nach Gefühl sich ausziehen läßt (Fig. 153).

Dieses Verfahren, zu gegebener Urkurve die Jntegralkurve zu konstruieren, heißt das Sehnenverfahren.

Die Schwierigkeit liegt darin, das Kurventrapez in ein flächengleiches Rechteck zu verwandeln, wobei es sich natürlich nur um ein Näherungsverfahren handeln kann. Hierzu sind zwei Methoden brauchbar:

1.    Die Konstruktion erfolgt schätzungsweise, indem man die obere Seite des Ersatzrechtecks — die X-parallele Mittellinie — so wählt, daß die schraffierten Flächenstücke möglichst gleich sind.

2.    Man wählt als mittlere Ordinate diejenige, die in der Mitte zwischen den Ordinate« der Bogenendpunkte liegt. Man kann zeigen, daß diese Konstruktion mathematisch genau ist für eine Begrenzungs-knrve, deren Gleichung vom dritten oder niedrigeren Grade ist. Praktisch läßt sich jedes nicht zu ausgedehnte Kurvenstück mit großer Annäherung durch eine derartige Kurve ersetzen, sodaß diese Konstruktion weitgehende Genauigkeit bietet.

2. Das Tangentenverfahren. Ein zweites Verfahren liefert beliebig viele Tangenten der Jntegralkurve mit ihren Berührungspunkten. Betrachtet man ein sehr schmales Rechteck der Urkurve mit der Grundlinie dx, der Höhe y, so wird dessen Flächeninhalt durch den sehr kleinen Zuwachs dJ angegeben, den die Ordinate der Jntegralkurve zwischen den Abszissen x und x -f dx erfährt. Es ist also

y ■ dx = dJ, — = y (b. h. der Differentialquotient der Jn-

tegralfunktion ist gleich ber Urfunttion). Da die Verbindungsgerade j'oei unendlich benachbarte Punkte einer Kurve die Tangente der Kurve ergibt, ist JQJX (Fig. 154) die Tangente der Jntegralkurve

im Punkte J₀ und tg a —    = y bk „Steigung'' dieser Tangente.

Denselben Winkel u (tg a — — ==» y) hat der Richtstrahl der L-Par-

Fig. 155.

v,

allelen durch den Jurist P(x, y) der Urkurve. Wir haben demnach den Satz: Der Richtstrahl derX-Par-

J,

Joj

Pi

Po

r__|____dx

Fiy 154.

allelen eines Urkurvenpunktes gibt die Tangentenrichtung der Jntegralkurve für diesen Punkt an.

Zeichnet man die „^-parallele Mittellinie" eines kleinen Kurventrapezes so. daß die schraffierten Flächen gleich sind (Fig. 155), so ist die Fläche des Trapezes ersetzt durch zwei Rechtecke; die diesen zugehörigen Jntegralkurven sind Parallele zu den Polstrahlen der X'Parallelen der Endpunkte des Kurvenstücks. Aus dem vorigen Satze ist bekannt, daß diese Geraden Tangenten der Jntegralkurve sind, deren Berührungspunkte J₀ und auf den Begrenzungsordi-naten des Urkurvenbogens liegen. J₀ und Jj sind also Punkte der Jntegralkurve.

Die X-parallele Mittellinie findet man, entsprechend dem bei der X-parallelen Mittellinie geübten Verfahren, entweder durch Schätzung oder als Mittel aus den Begrenzungsordinaten.

Um nach diesem „Tangentenverfahren" die Jntegralkurve zu einer gegebenen Urkurve zu zeichnen, teile man die von letzterer begrenzte Fläche in Streifen und suche für jeden solchen die ^-parallele Mittellinie (Fig. 156). Durch die Teilpunkte der Kurve P₀, Pv P₂. Ps (nicht durch die auf den Mittellinien belegenen Kurvenpunkte Mtf

ANuG. 708: Prölß, Graph. Rechnen

Ma, ...) zeichne man die X-Parallelen bis zur V-Ach sc und verbinde die Punkte Q₀Qt ... mit dem Pol. Ist <7₀ ein Punkt der Jn-tegralkurve (in Fig. 156 auf der Anfangsordinate), so ziehe man durch J₀ eine Parallele zu PQ₀, welche die Mittellinie des ersten Streifens in schneidet, durch Nt eine Parallele zu 0Qlt die die Ordinate von 1\ in Jt und die Mittellinie des zweiten Streifens in Na schneidet; die Parallele durch Na zu 0Qa schneidet die ^-Ordinate in Ja, die nächste Mittellinie in 2VS usw. ®a J₀, Jt, Ja, ... Punkte und alle zu den Polstrahlen gezeichneten Parallelen Tangenten der Jntegralkurve sind, ist diese leicht auszuzeichnen.

Die Jntegralkurve findet in Technik und Physik zahlreiche Anwendungen, auf die wir aus Mangel an Raum nicht eingehen können. Hier soll nur die folgende gegeben werden:

Teilung einer Kurvenfläche in n gleiche Teile (Fig. 157). Ein Kurventrapez soll durch X-Parallele in vier gleiche Teile geteilt werden. Man konstruiert für die Begrenzungskurve die Jntegralkurve nach einem der beiden Verfahren mit dem Anfangspunkt auf der X-Achse. Die letzte Ordinate der Jntegralkurve gibt den Flächeninhalt des Trapezes. Diese wird in n = 4 gleiche Teile geteilt; X-Parallele durch die Teilpunkte schneiden die Jntegralkurve in Punkten, deren Ordinate« die gesuchten Teilungslinien des Trapezes sind.

Fig. 150.

nJU

Fig. 157.

p.

iE

-L

Po

Ist n = 2, so erhält man nach diesem Verfahren eine Teilungslinie; deren Länge innerhalb des Trapezes gibt die Höhe eines Rechtecks an, welches bei gleicher Grundlinie flächengleich dem Trapez ist. Diese Höhe ist die „mittlere Ordinate" des Kurvenstückes zwischen den Begrenzungsordinaten, die bei den Anwendungen eine wichtige Rolle spielt (z. B. mittlerer ₍

Fig. ISS.

Dampfdruck beim Jndikatordiagramm)

3.    Jntrgralkurve einer geschloffenen j Kurve. Ist f (Fig. 158) der Inhalt des \ zwischen den Bcgrenzungsordinaten gelege- j nen, von dem oberen Kurventeil begrenzten j Trapezes, s entsprechend das Trapez des i unteren Kurventeils, so ist die gesuchte Fläche i

F = f-s.    |

Man konstruiere die Jntegralkurven für ¹---

den oberen und unteren Kurventeil getrennt mit dem gemeinsamen Anfang auf der X-Achse. Dann ist F dargestellt durch die Differenz der Endordinaten der beiden Jntegralkurven.

4.    Veränderung des Maßstabes der Jntegralkurven. Häufig ist es zweckmäßig, den Maßstab der Jntegralkurve abweichend von dem der Urkurve zu wählen, um ein Heraustreten letzterer aus dem zur Verfügung stehenden Raume zu vermeiden oder — was seltener vorkommt — die Kurve in vergrößertem Ordinatenmaßstab zu erhalten. Diese Änderungen lassen sich nun bequem durch Verlegung des Pols bewirken. Wählt man letzteren statt im Punkte (—1) im Punkte (— 2), so werden sämtliche Ordinate« der Jntegralkurve auf die Hälfte verkürzt; bei der Pollage (— 3) auf ein Drittel usw. Verlegt man den Pol näher an die X-Achse heran, so entsteht die Jntegralkurve mit vergrößerten Ordinate».

B. Graphische Differentiation.

Die Aufgabe, zu einer gegebenen Kurve die Differentialkurve zu finden, tritt in der Technik häufig auf, so bei der Entwicklung des Geschwindigkeits- oder Beschleunigungsdiagramms aus betn Zeitwegdiagramm, bei der Darstellung der induzierten elektromotorischen Kraft aus der Feldkurve. Es handelt sich darum, zu jedem -r-Wert der Kurve y = f(x) den Wert der Ableitung (des Differentialquotienten)

= f’(x) zu bestimmen. Durch Aufträgen dieser Werte erhält man

die Differentialkurve zu der gegebenen Urkurve.

1. Das Tangentenverfahren. u) Graphische Bestimmung des Differentialquotienten. Zu einem bestimmten Punkt P erhält

man den zugehörigen Wert von s{x) als Richtungstangens der Tangente an die Kurve y ----- s(x) im Punkte P: ^ = tg cp.¹) Durch ein

einfaches Verfahren kann man diesen Wert schnell und genau ablesen (Fig. 159): man läßt eine Kante des Lineals die Kurve berühren,

pt

ZI

D'

V/

k:

Fiy. m.

zieht jedoch die Tangente nicht aus. Ein Stück durchsichtiges Millimeterpapier wrrd längs des Lineals so verschoben, daß die eine Ecke A auf die X-Achse oder eine Parallele zu dieser fällt (Fig. 159). Auf der Kante BC des Papiers kann dann BD AB -tg<p direkt abgelesen oder abgegriffen werden. $ft A£ = l, so ist £Z)=tg<p=/''(#). In Fig. 159 ist tg ----- 0,75. Die abgelesene Länge wird im Endpunkt Q der Abszisse des Urkurvenpunktes P aufgetragen bis P\ P’ ist der zu P gehörige Punkt der Differentialkurve. Man kann durch Wiederholung dieser Konstruktion für beliebig viele Punkte von y ---- f[x) die Differentialkurve so genau erhalten, wie nötig ist (Verfahren von Melchior).

b) Konstruktion der Differentialkurve unter Benutzung des Pols. Unter Einführung eines im Punkte (—1) der Abszissenachse gelegenen Pols läßt sich zu jedem Punkte der Urkurve, dessen Tangente gezeichnet ist, der zugehörige Punkt der Differentialkurve wie folgt konstruieren: der zu dieser Tangente parallele Polstrahl PQ

schneidet auf der X-Achse die Strecke tg« --- f\x) ab (tg« -----    ---- OQ).

Diese Strecke ist durch eine X-Parallele auf die Ordinate des Ur-

1) Siehe ANuG Bd. 197 Kowalewski, Infinitesimalrechnung; Bd. 387 Lindow, Differentialrechnung.

kurvenpunktes zu übertragen; dann ist D der zu P gehörige Punkt der Differentialkurve (Fig. 160). Die Anwendung dieser Konstruktion auf eine genügend große Anzahl von Urkurvenpunkten ergibt entsprechend viele Punkte der Differentialkurve (gig. 161). Es handelt sich also um eine Umkehrung des S. 97 gegebenen Tangentenverfahrens, die deshalb

Fig. 161.

Pr

Fig. 160.

< J)

&_

D,

P 1    0

sich einfacher gestaltet, todt zu jedem Kurvenpunkt nur ein Differentialkurvenpunkt gehört, während bei der Umkehrung wegen der dem Integral anhaftenden beliebigen Konstante nur die Richtung der Tangente der Jntegralkurve bestimmt ist. Zur Festlegung eines Punktes dieser Tangente war die Einführung der ^parallelen Mittellinie notwendig.

Tangente

Die Schwierigkeit dieser Konstruktionen liegt darin, daß die Tangente in einem Kurvenpunkte nur sehr schwer nach Augenmaß genau genug gezeichnet werden kann. Auch die Näherungskonstruktionen sind so mühsam, daß die Anwendung der graphischen Differentiation sich sehr langwierig gestalten würde. Eine einfache mechanische Konstruktion führt indessen bequem zum Ziel. Man benutzt ein Lineal mit spiegelnder Kante (Fig. 162). Diese Kante wird ungefähr in Richtung der Kurvennormale des betr Punktes aufgestellt und so um diesen Punkt gedreht, daß das Kurvenstück mit seinem Spiegelbild eine stetige Kurve, ohne Knick, bildet. Dann gibt die Kante des Lineals mit großer Genauigkeit die Normale der Kurve, die Senkrechte dazu somit die gesuchte Tangente.

Fig. 162.

2. Das Sehnenverfahren, a) Umkehrung desJntegrationsverfahrens (Fig. 163). Auf

p-

—k-

E7L

-i—»—i—

Fig. 163.

der Urkurve werden Punkte angenommen und durch Sehnen verbunden. Zu diesen werden die parallelen Richtstrahlen gezogen. Durch deren Schnitt mit der X-Achse gezogene X-Parallele sind die X-parallelen Mittellinien der Differentialkurve. Ein Punkt derselben muß mittels einer Tangente der Urkurve bestimmt werden. Von diesem aus wird nach Augenmaß durch die Mitten der Stufen die Kurve so gezogen, daß Flächenausgleich stattfindet. Hierbei läßt sich freilich eine gewisse Willkür nicht vermeiden, da die Form der Ausgleichung vom mathematischen Blick des Zeichners abhängt. Wenn es sich um größere Genauigkeit handelt, z. B. wenn auch zweite und dritte Differentialquotienten graphisch dargestellt werden sollen, muß man auf das erst angeführte Verfahren zurückgreifen.

b) Das Verfahren von R. Slaby. Das Ziehen der den Sehnen parallelen Polstrahlen und der X - Parallelen vermeidet vj man nach dem Verfahren / von R. Slaby, das im übri-^ v gen mit dem vorigen mathematisch übereinstimmt (Fig. 164).

Fig. 164.

Man verschiebt die Urkurve um eine kleine Strecke h parallel zur X-Achse, was mit Hilfe von Pauspapier bequem geschieht, und trägt die Differenzen aus den Ordinaten der ursprünglichen (u) und der verschobenen Kurve (y) als Ordinaten einer neuen Kurve auf. Diese entspricht fast genau der gesuchten Differentialkurve. Damit sie auch in

der Lage der Urkurve entspricht, ist sie um die Strecke y nach links

zu verschieben (Fig. 164). Letzteres geschieht ebenfalls mit Hilfe von Pauspapier. Die Konstruktion ist um so genauer, je besser sich die Urkurve durch parabolische Kurven mit Achsen in Richtung der Ordi-natenachse ersetzen läßt.

Sachregister.

Abbildung 78. 85 — logarithmische 80 Addition 9

Additionskurve, logarithmische 28 Addition von Vektoren 33. 36 Adiabate 80

Algebraische Gleichung 19. 52 Bergsche Konstruktion 76 Besondere Teilungen 81 Bewegungsaufgaben 38 Bildkurve 24 Bogenmaß 27 Cusasche Konstruktion 27 Diagramm 24 38 Drfferentialquotient (Melchiorsches Verfahren) 100 Differentiation 99 Division 15 Dreiecksfläche 16 Dreisatzaufgaben 37 Einheit, Wahl der 9 Elimination, graphische 75 Emvirische Formel 8. 84 Fehlerkurve 45 Fehlerregel 48

Flächenberechnung 15. 92. 99 Flächenverwandlung 15

Formel aus Versuchsergebnissen 8. 84 Funktionsleiter 33. 81 Funktionsverlauf 23 Gemeinsame Leistungsgerade 43 Genauigkeitsgrad 7 Geometrische Addition 33 Gerichtete Größen 34 Gespannter Faden 84 Gleichförmige Bewegung 38 Gleichungen mit l Unbekannten 45. 85 — mit 2 Unbekannten 66. 67 Gleichungen mit n Unbekannten 71 Gleichungstreppe 71 Graphische Bestimmung von Kurvenpunkten 19. 51 Graphischer Fahrplan 39 Graphische Methode 8 Hauptpunkte der Segnerschen Konstruktion 52 Jnhaltslinie 43 Integration 92 Integralfunktion 92 Jntegralkurve 92 Interpolation 25 Irrationale Gleichungsform 91 Isotherme 80 Komponenten 35

Krättepolygon 36 Kurvemrapez 16. 92. 95 Leinungsaufgaben 34 Lillsches Versahien 53 Lö ung von Gleichungen durch 2 Ku.ven 59. 85 Logariihmische Abbildung 82

—    Additiv iskurve 28 Logarilhmisch geteiltes Papier 82 Logarithmischer Zirk l 30 Massenmittelpunkt 14 Mechanische Addition und Subtraktion 11

—    Lösung von xn ax -{-b = 0 61. 90

Melchiorsches Verfahren (Differentialquotient) 100

Methode des gespannten Fadens 84 Mittellinie 96 97 Mittlere Ordinate 98 Mittelwert von Produkten 14 Multiplikation 12 Netztafeln 32 Nomogramm 32 64 Nomographische Lösung der quadratischen Gleichung 64 Organisches Wachstum, Funktion des 80

Parallelogramm der Kräfte 34

Piinzip thr fluchtrechten Punkte 33

Pol 13. 93. 100

Potenzfunktiou 80

Poten teren 18

Potenzkurve 61. 80. 82. 83

Quadratiiche Gleichung 54.56.64.86

Rad zieren *2. 23

Rechenstab 11

Rechtecks! äche 15

Rechtw nkelzug 54

Regula fälst 48

Rektifikation des Kreisbogens 27

Resultierende 34 Richtbüschel 94 Richtstrahl 94 Schaulinie 24. 38 Sch ma der algebraischen Funktion (Lill) 54

—    der Gleichung mit mehreren Unbekannten 72

Schwerpunkt 14 Segnersche Konstruktion 21 Sehnenversahren der Integration 93

—    der Differentiation 101 Sinuslinie 28 S>abyjches Verfahren 102 Sviegellineal 101 Subtraktion 10 Summenkurve 28. 88 Summe von Produkten 13 Tabellendarstellung einer Funktion

23

Tabellenrechnen 23 Tangenslinie 28

Tangentenverfahren der Integration 96

—    der Differentiation 101 Teilung einer Kurvenfläche 98 Treppenartige Kurve 94 Trigonometrische Funktionen 27 Ve tor 34

Vektordiagramm 27 Vektormelhode für Gleichungen mit 2 und 3 Unbekannten 67. 69 Vektorpolygon 36 Veränderliche 23

Veränderung des Maßstabes der Jntegralkurve 99 Verlauf einer Funktion 23 Versuchsfehler 25. 84 Vi. lecksfläche 17 Weg-Zeit-Diagramm 38

Leitfaden zum graphischen Rechnen. Von Dr. R.Mehmke. Prof. a. d. Techn. Hochsch. Stuttgart. Mit 121 Fig. und 1 Additions- und Subtraktionskurve als Beilage. [VIIIu. 152S.] 8. 1917. (SMPL19.) Geh.M.4.80, geb. M. 5.40.

Im ersten Abschnitt werden die gewöhnlichen Rechnungen und die Auflösung von Gleichungen und Gleichungssystemen behandelt, im zweiten das Differenzieren und Integrieren und die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. Das logarithmographische Verfahren, das man hier zum ersten Male ausführlich dargestellt findet, ist auch bei der Integration berücksichtigt.

Graphische Methoden. Von Geh. Reg.-RatDr. C. Runge, Prof. a.d. Univ. Göttingen. 2.Aufl. Mit94Fig.i.T, [IVu. 130S.]gr.8.1919. Kart.M.4.80, geb.M.5.50

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Die graphische Darstellung. Von Hofrat Dr. F. Auerbach, Prof, an der Universität Jena. 2. Aufl. Mit 139 Figuren im Text. [118 S.] 8. 1919. (ANuG 437.) Kart. M. 1.75, geb. M. 2.15.

Das reichhaltige und allgemein verständlich geschriebene Büchlein zeigt die ausgedehnte Anwendbarkeit der graphischen Methode, die keineswegs nur auf Mathematik und Naturwissenschaften beschränkt ist, sondern überall da einsetzen kann, wo die quantitativen Beziehungen der Erscheinungen zu erfassen sind.

Einführung in die Nomographie. I. Teil: Die Funktionsleiter. Von Oberl.P. Luckey in Elberfeld. Mit24Fig.i.T.u. 1 Taf. [IVU.43S.] 8.1918. II.Teil: Die Zeichnung als Rechenmaschine. M. 34 Abb. (MPhB 28 u. 37.) Kart. je M. i —

Behandelt in anschaulicher Form die verschiedenen Funktionsleitern oder Funktionsskalen, mit deren Hilfe man anstelle langwieriger rechnerischer Arbeiten die Lösungen mit der hinreichenden Genauigkeit aus graphischen Tafeln ablesen kann und stellt gleichzeitig eine durch Beispiele gut veranschaulichte Einführung in die Nomographie dar.

Theorie und Praxis des Rechenschiebers. Von Oberl. A. Rohrberg in Berlin. Mit 2 Abb. [IV u. 50 S.] 8. 1916. (MPhB 23.) Steif geh. M. 1.—

Eine außerordentlich anschaulich und durchaus allgemein verständlich geschriebene Anleitung zum Gebrauch des Rechenschiebers.

Praktische Mathematik. Von Dr. R. Neuendorff, Prof. a. d. Univ. Kiel.

I.Teil: Graph. Darstellungen. Verkürztes Rechnen. Das Rechnen mitTabellen. Mech.Rechenhilfsmittel. Kaufm. Rechnen im tägl. Leben. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2.Aufl. Mit29Fig.u. iTaf. [IVu. 106S.) 8. 1917. (ANUG341.) II.Teil: Geometr. Zeichnen. Projektionslehre. Flächenmessung. Körpermessung. Mit 133 Fig. [IVU.102S.] 8. 1918. (ANUG526.) Kart. je M. 1.75, geb. je M. 2.15.

Der Stoff ist nunmehr so verteilt, daß das erste Bändchen die Rechenmetbodeu des häuslichen und beruflichen Lebens, das zweite die praktischen Anwendungen der Geometrie behandelt. Die durch zahlreiche Abbildungen erläuterte allgemeinverständliche Darstellung will vor allem dem Nichtmathematiker über die wichtigsten praktischen Anwendungen der Mathematik Aufschluß geben.

Die mathematischen Instrumente. Von Geh. Reg.-Rat Dr. A. Galle, Prof, am Geodät. Inst. in Potsdam. Mit 86 Abb. u. Fig. [VI u. 187 S.] 8. 1912. (SMPL 15.) Steif geh. M. 4.40, geb. M. 4.80.

„Das Buch zeigt, mit welchem Scharfsinn, oft mit geringen Mitteln, der menschliche Geist sich Instrumente ersonnen hat, die ihm dann die auf ihre Erfindung aufgewandte Mühe tausendfach vergelten. Es kann warm empfohlen werden.“ (Zeitschrift für Vermessungswesen.) Auf sämtliche Preise Teuerungszuschläge des Verlags uud der Buchhandlungen

ANuGK Prölß, Graph. Rechnen

Handbuch der angewandten Mathematik. Herausgegeben von Dr.

H.    E. Timerding, Prof, an der Techn. Hochschule Braunschweig, gr. 8.

I.    Bd.; Praktische Analysis. Von H. von Sanden. Mit 30 Figuren. [XIX u. 285 S.] 1916. Geh. M. 3.60, geb. M. 4.20. II. Bd.: Darstellende Geometrie. Von Johannes Hjelmslev. Mit 305 Figuren. [IX u. 320 S.] 1914. Geh. M. 5.40, geb. M. 6.— III. Bd.: Grundzüge der Geodäsie und Astronomie. Von M. Näbauer. Mit 277 Figuren. [XVI u. 420 S.] 1915. Geh. M. 9.—. geb. M. 9.60. Weiter werden zunächst folgen: IV. Bd.: Die graphischen Methoden der technischen Mechanik. V. Bd.: Mathematische Statistik und Versicherungsrechnung. VI. Bd.: Grundzüge der Astronomie.

geb. M. 22.—

Höhere Mathematik für Ingenieure. Von Prof. Dr./. Perry. Autor.dtsch. Bearb.v. Geh. Hofrat Dr.R.Fricke, Prof. a. d.Tech. Hochschule in Braunschweig, und F. Süchtmg, Prof, an d. Bergakademie in Clausthal. 3. Aust. Mit 106 in d. Text gedr. Fig. [XVI u. 450 S.] gr. 8. 1919. Geh. M. 20.—,

e mathematischen

„Hier ist ein Lehrmittel entstanden, das bei der Reichhaltigkeit der in di Aufgaben hineingearbeiteten Sammlung von Anwendungsbeispielen weit mehr bietet als ein gewöhnliches Lehrbuch der Integral- und Differentialrechnung.“ (Zentralbl. d. Bauverwaltg.)

Taschenbuch für Mathematiker und Physiker. Unter Mitwirkung namhafter Fach genossen herausg. von Hofrat Dr. F. Auerbach, Prof, in Jena, und Dr. R. Rothe, Prof, in Berlin. I. Jahrg. 1909. Mit Bildnis Lord Kelvins. [XLIV u. 450 S., unbedruckt 12 S.] 8. Geb. M. 6.— II. Jahrg. 1911. Mit Bildnis H. Minkowskis. [IX u. 567 S.] 8. Geb. M. 7.— III. Jahrg. 1913. Mit Bildnis Fr. Kohlrauschs. [X u. 463 S.] 8. Geb. M. 6.— IV. Jahrg. [In Vorb.]

Vorlesungen über numerisches Rechnen. Von Geh. Reg.-Rat Dr. /. Liiroth, weil. Prof. a. d. Univ. Freiburg i. B. Mit 14 Fig. [VI u. 194 S.] gr. 8. 1900. Geh. M. 8.—

Der Verfasser versucht in dem vorliegenden Buche eine Auswahl der wichtigsten Methoden und Hilfsmittel für das numerische Rechnen unter Beschränkung auf die Mittel zur Erzielung großer Genauigkeit vorzuführen.

Lehrbuch der Differenzenrechnung. Von Dr. D. Seliwanoff, Prof. a. d. Univ. St. Petersburg. [VI u. 92 S.] gr. 8. 1904. (TS 13.) Geb. M. 4.—

„Die Darstellung ist klar und leicht faßlich und ist das Buch zum Studium dieses interessant en Kapitels der Mathematik angelegentlichst zu empfehlen.“ (Dr. Servus im Päd. Arch.)

Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Ursprünglich Übersetzung des Lehrbuches von /. A. Serret, seit der 3. Ausl, gänzlich neu bearbeitet von Geh. Reg.-Rat Dr. G. Scheffers, Prof, an der Techn. Hochschule zu Berlin, gr. 8. I. Band: Differentialrechnung. 6. u. 7. Aust. Mit 70 Fig. [XVI u. 670 S.] 1915. Geh. M. 13.—, geb. M. 14.— II. Band: Integralrechnung. 4. u. 5. Ausl. Mit 108 Fig. [XIV u. 639 S.] 1911. Geb. M. 13.— III. Band: Differentialgleichungen und Variationsrechnungen. 4. u. 5. Ausl. Mit 64 Fig. [XIV u. 735 S.] 1914. Geh. M. 13.—, geb. M. 14.—

Die mathematische Ausbildung der Architekten, Chemiker und Ingenieure an den deutschen Technischen Hochschulen. Von Geh. Rat Dr. P. Stächet, Professor an der Univ. Heidelberg. [XIII u. 198 S.] gr. 8. 1915. (IMUK B. IV. Band. Heft 9.) Steif geh. M. 6.80.

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„Das sehr flüssig geschriebene Werk behandelt den Stoff in klarer, einfacher Weise, durch häufig eingeschriebene Beispiele die gegebenen Betrachtungen festigend, so daß auch beim Selbststudium wohl nirgends Schwierigkeiten auftreten werden. Es ist nicht nur die Materie als solche abgehandelt, sondern der Verfasser versucht es, indirekt den Leser zum Forschen und Experimentieren anzuregen, wozu ganz besonders die soweit als möglich vereinfachten, aber doch sehr zweckmäßigen Apparate, welche zur Selbstherstellung ermuntern, beitragen. Angenehm fällt es auf, daß zu den Abbildungen von Apparaten lediglich solche neuesten Typs verwendet sind.“    (Dinglers Polytechnisches Journal.)

Lehrbuch der praktischen Physik. Von Prof. Dr .Fr. Kohlrausch, weil. Präsident d. physikal.-techn. Reichsanstalt zu Berlin. 12., verm. Aufl. In Gemeinschaft mit H. Geiger, E. Grüneisen, L. Holborn, W, Jaeger, E. Or-lich, K. Scheel, O. Schönrock herausgegeb. von E. Warburg. Mit 389 Fig. [XXXI u. 742 S.] gr. 8.    1914. Geb. M. 11.—

ME

Kleiner Leitfaden der praktischen Physik. Von Prof. Dr. Fr. Kohlrausch, weil. Präsident d. physikal.-techn. Reichsanstalt zu Berlin. 3. Aufl. bearb. von Dr. H. Scholl, Prof, an d. Univ. Leipzig. Mit 165 Abbild, im Text. [VI u. 325 S.] gr. 8. 1919. Geb. M. 10.—

Auf sämtliche Preise Teuerungszuschläge des Verlags und der Buchhandlungen

Mathematisch=Physikalische Bibliothek

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Mathematik u. Physik. Unter Mitwirkung von Fachgenossen hrsg. von

Dr. A. Witting

und

Dr. W. Lietzmann

Studienrat, Gymnasialprof.in Dresden Fast alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren, kl. 8. Kart. je M. 1.-Hierzu Teuerungszuschläge des Verlages und der Buchhandlungen

Direktor der Oberrealschule zu Göttingen

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloser Folge herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besonderes wissenschaftliches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser, ohne zu große Anforderungen an seine Kenntnisse zu stellen, in neue Gebiete der Mathematik und Physik einführen.

Bisher sind erschienen (1912/19):

Der Begriff der Zahl in seiner logischen und Die Anfertigung mathemat. Modelle. (Für historischen Entwicklung. Von H Wie- Schüler mitll. Kl.) Von K.Giebel. (Bd.16.) seltner. 2., durchgeseh. Ausl. (Bd. 2.) Karte und Kroki. Von H. Wolfs. (Bd.27.) Ziffern und Zifiernsysteme. Von E. L ö f f 1 e r. Die Grund agen unserer Zeitrechnung. Von 2., neubearb. Ausl. I: Die Zahlzeichen der A. Baruch. (Kd. 29.) alten Kulturvölker. (Bd. 1.) II: Die Z. im Soldaten-Mathematik. Von A. Witting. Mittelalter und in der Neuzeit. (Bd. 34.)    2. Ausl. (Bd. 22.)

Die 7 Rechnungsarten mit allgemeinen Zah- Die mathemat. Grundlagen d. Variations- u. len. Von H. Wielei tner. (Kd. 7.)    Vererbungslehre. Von P. RiebeseII. <24.)

Von G. Wolfs. (Bd. 20 21.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung. Mathematik und Malerei. 2 Teile in 1 Bande. Von A. Witting. 2. Ausl. (Bd. 9.)

Wahrscheinlich eitsrechnung. V. O.Meiß- Der Goldene Schnitt. VonH.E.Timerding. ner. 2. Auflage. I: Grundlehren. (Bd.4.) (Bd. 32.)

II: Anwendungen. (Bd. 33.)    Beispiele zur Geschichte der Mathematik.Von

Vom periodischen Dezimalbruch zur Zahlen- A. Witting und M.Gebhard. (Bd. 15.) theorie. Von A. Le man. (Bd. 19.)    Mathematiker-Anekdoten. Von W. A h ren s.

Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Aus- (Bd. 18.)

blick auf das Fermatsche Problem. Von Die Quadratur d. Kreises. V. E.Beutel. (12.) W. Lietzmann. 2. Ausl. (Bd. 3.)    Wo stec t der Fehler? Von W.Lietzmann

Darstellende Geometrie des Geländes. Von und V. Trier. 2. Ausl. (Bd. 10.)

R. Rothe. 2. Ausl. (Bd. 35/36.)    Geheimnisse der Rechenkünstler. Von Ph.

Methoden zur Lösung geometrischer Auf- Maennchen. 2. Ausl. (Bd. 13.) gaben. Von B. Kerst. (Bd. 26.)    Riesen und Zwerge im Zahlenreiche. Von

Einführung in die projektive Geometrie. Von W. Lietzmann. 2. Ausl. (Bd. 25.)

M. Zacharias. (Bd. 6.)    Was ist Geld ? Von W. Li etzm ann. (Bd.30.)

Konstru Honen in begrenzter. Ebene. Von Die Fallgesetze. V.H.E.Tim er ding. (Bd.5) P. Zühlke. (Bd. 11.)    lonentheorie. Von P. Bräu er. (Bd. 38.)

Nichteuklidische Geometrie in der Kugel- Dreht sich die Erde? Von W. Brunner, ebene. VonW.Dieck. (Bd. 31.)    (Bd. 17.)

Einführung in die Nomographie. Von P. Theorie der Planetenbewegung. Von P. Luckey. I. Teil: Die Funktionsleiter. Meth. (Bd. 8.)

menten. Von Fr. Rusch. 2. Ausl. (Bd. 14.)

(Bd. 28.) II.Teil: Die Zeichnung als Rechen- Beobachtung d^Himmels mit einfach. Instru-maschine. (Bd. 37.)

Theorie und Praxis des logarithm. Rechen- Mattiern. Streifzüge durch die Geschichte der Schiebers.V. A. Rohrberg.2.Ausl.(Bd.23.) Astronomie. VonP.Kirchberger. (Bd.40.)

In Vorbereitung:

Angersbach, Das Relativitätsprinzip. Doehlemann, Mathematik und Architektur. Müller, Der Gegenstand der Mathematik. Winkelmann, Der Kreisel. Wolfs, Einführung in die Photogrammetrie. Wolfi, Feldmessen und Höhenmessen.

Aus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen aus allen^Gebieten des Wissens

Jeder Band ist einzeln käuflich

Verlag B.G.Teubner

KartoniertM.1.60,*) gebunden M. 1.90*)

■3 in Leipzig und Berlin

Verzeichnis der bisher erschienenen Bande innerhalb der Wissenschaften alphabetisch geordnet Werke, die mehrere Bände umfassen, auch in einem Band gebunden erhältlich

I. Religion, Philosophie und Psychologie.

Ästhetik. Von Prof. Dr. R. Hamann.

2. Anfl.    (Bd. 345.)

— Einführung in die Geschichte der Ä

(Bd. 602.)

Grau.

Bon Dr. H. Roh l.

Astrologie siche Sternglaube.

Aufgaben u. Ziele b. Menschenlebens. Von Prof. Dr. J.Unold. 5. Aufl. (Bd. 12.) Bergpredigt, Die. Bon Prof. D Dr. H.

Weinet.    Ob. 710.)

Bcrgfon, Henri, der Philosoph moderner Relig. Bon Pfarrer Dr E. O t t. (Bd.480.) Berkeley siehe Locke, Berkeley, Hume. Buddha. Leben u. Lehre d. B. V. Vrof. Dr. R Pischel. 3. A., durchges. v. Prof. Dr. H. L ü d e r s. M. 1 Tb. u. 1 T. (109.) Calnin, Johann Von Pfarrer Dr G. So-beut. 9Kit 1 Biibnis. 2. Stuft. Ob. 247.) Christentum. Airs der Werdezeit des Ehr. Studien u. Charakteristiken. B. Prof. Dr. I. @ eff den. 2. Ausl. (Bd. 54.)

—    Die Religion des Urchristentums. Von Prof. D. Dr. H. Windisch. (Bd. 641.)

—    Christentum und Weltgeschichte seit der

Reformation. Bon Prof. D. Dr. K. Sell. 2 Bde.    (Bd. 297.298.)

—    siehe Jesus, Kirche, Mystik im Christent. Ethik. Grundzüge d. E. M. bei Berncksicht.

d. päd. Probt. V. E. W e n t sch e r. (397.)

—    s. a. Aufg. u. Ziele, Serualethik, Sütl. Lebensanschauungen. Willensfreiheit.

Freimaurerei. Die. Eine Einführung in ihre Anschauungswelt u. ihre Geschichte. Von Geh. Rat Dr. L. Keller. 2. Aufl. von Geh. Archivrat Dr. G.Schuster. (463.) Griechische Religiou siehe Religion. Handschriftenbeurteilung, Die. Eine Einführung in die Psychol. d. Handschrift. Von Prof. Dr. G. Schneidemühl. 2., durchges. u. erw. Aufl. Mit 51 Hand-schriftennachbild. i T. u. 1 Taf. (Bd. 14.) Heidentum siehe Mystik.

Hellenistische Relig.on siehe Religion. Herbarts Lehren und Leben. Von Pastor O Flügel. 2. Aufl. Mit 1 Bildnis Herbarts.    (Bd. 164.)

Hume siehe Locke, Berkeley, Hume. Hypnotismus und Suggestion. Von Dr.

E. Trömner. 3. Ausl. (Bd. 199 ) Jesuiten, Die. Eine histor. Skizze. Bon Prof. Dr. H. Boehmer. 4.Aufl. (Bd.49.) Jesus. Wahrheit und Dichtung im Leben Jesu. Von Kirchenrat Pfarrer D. Dr. P. Mehlhorn. 2, Auf!. (Bd. 137.)

—    Die Gleichnisse Jesu. Zugleich Anleitung zum quellenmäßigen Verständnis der Evangelien. Von Prof. D. Dr.

H.    Weinel. 4. Ausl.    (Bd. 46.)

—    s. auch Bergpredigt.

Israelitische Religion siehe Religion. Staut, Immanuel. Darstellung und Würdigung. Von Prof. Dr. O- Külpe. 4. Ausl. brsg. v. Prof. Dr. A. Messer. Mit 1 Bildnis Kants. (Bd. 146.)

Kirche. Geschichte der christlichen Kirche. Bon Prof. Dr. H. Frchr. v. Soden:

I.    Die Entstehung der christlichen Kirche.

(Bd. 690.) II. Vom Urchristentum zum Katholizismus.    (Bd. 691.)

—    siehe auch Staat und Kirche. Kriminalpsychoiogie s. Psychologie d. Verbrechers, Handschriftenbeurteilung.

Kttlturreligionen, s. Religion Leben. Das L. nach dem Tode i. Glauben der Menschheit. Von Prof. Dr. C. Clernen.    (Bd. 506.)

Lebensanschauunaen siehe Sittliche L.

Leib und Seele. Von Dr. phil. et med. G.

Sommer.    (Bd. 702.)

Locke, Berkeley» Hume. Die großen engl. Philos. Von Oberlehrer Dr. P Thor-meye r.    (Bd. 481.)

Logik. Grundriß d. L. Von Dr. K. I.

(Bd. 637.)

Luther. Martin L. u. d. deutsche Reformation. Bon Prof. Dr. W Köhler. L.Aufl. Mit 1 Bildnis Luthers. (Bd. 515.)

—    s. auch Von L. zu Bismarck Abt. IV. Mechanik b. Geisteslebens, Die. B- Geh.

Medizinalrat Direktor Prof. Dr. M. öettootn. 4.St. SOI. 19$166. Ob. 200.)

*) Hierzu Teuerungszuschläge des Verlags und der Buchhandlungen. . .

Mission, Die evangelische. Geschichte. Arbeitsweise. Heutiger Stand. B- Pastor S. Säubert.    Ob. 406.)

Mystik inHe dentum ».Christentum BProf. Dr. E d o. Lehmann. 2. Aufl. B- B rst durchges. Übersetz, o. Anna Gr undt-v ig geb. Quittenbaum.    Ob. 217.)

Mythologie, Germanische. Bon Prof Dr.

I. von Negelein. 3. Aufl. Ob. 95.) Naturphilosophie. Die moderne. B- Priv.-Doz. Dr.J.M.Berweye n. 2. A- (49t) Palästina und seine Geschichte. Bon Pros-Dr. H. Frh. v. Soden. 4. Aufl. Mrt I Plan von Jerusalem und 3 Ansichten des Heiligen Landes.    Ob. 6.)

P. u. s. Kultur in 5 Jahrtausenden. Nach b. neuest Ausgrabgn. u. Forschgn. bärgest, von Prof. Dr. P. Thomsen. 2., neubearb Aufl. M- 37 Abb. (260.) Paulus. Der Apostel, u. sein Werk. Bon Prof Dr. E B i s ch e r.    Ob. 309 )

Philosophie. Die. Einführ. i. d. Wissensch.. ihr Wes. u. ihre Probleme. Bon Oberrealschuldir. H. Richert. 3. Ast. (186.) —- Ernsührung in die PH. Bon Prof. Dr. N. Richter. 4. Aufl. von Vriv-Doz. Dr. M- Brahn. Ob. 155.' -— Führende Denker. Geschichtl. Einleit, in bte Philosophie. Bon Prof. Dr. I. Cohn. 4. Aufl. Mit 6 Bildn. (Bd. 176.)

tum.

Theologie. Ob. 347.)

-— Die Phil. d. Gegenw. in Deutschland.

B. Prof. Dr. O. Külpe. 6.Aufl. (41.) Poetik. Bon Dr. R. Müller-Freien-fels.    (Bd. 460.)

Psychologie, Einführ. i.d.Ps. B. Prof. Dr. E. von Aster. LAN. M.4Abb. (492.)

—    Psychologie d. Kindes. B. Prof. Dr. R. Gaupv. 4.Aufl. M. 17Abb. (213 214.)

«- Psychologie d. Verbrechers. (Kriminal-psychol.) B. Strafanstaltsdir. Dr. med. P. Pollitz. 2. Aufl. M. 5 Diagr. (Bd. 248.) r- Einführung in die erperiment. Psychologie. Bon Brost Dr. R Brauns-Baulen. LAN M-17 Bbb. i. T. (484.)

—    s. auch Handschrifienbeurteilg.. Hypnotismus u Sugg.. Mechanik d. Geistes leb.. Poetik, Seele d. Menschen. Veranlag, u. Vererb., Willensfreiheit: PLbag.Abt.lt

Reformation sieche Calvin, Luther Neligion. Die Stellung der R. im Geistesleben. Bon Konsistorialrat Lic. Dr. P. Kalweit. 2. Aufl    (Bd. 225.)

—    Relig. tt. Philosophie im alten Orient. Bon Prof. Dr. E vonA ft e r. Bd. 521.)

—    Einführung in die allg. R.-Geschichte. Bon Prof D. Dr. K. Beth. Ob. 658.)

«— Die nichtchristlichen Kulturreligionen in ihrem gegenwärtigen Zustand. Boa Prof. Dr. C. Clernen. (Bd. 533.) —- Die Religion der Griechen. Bon Prot Dr.E.S a m ter. M. Bilderanb. Ob. 457.)

—    Hellenistisch-rörn. Religionsgesch. Bon Hofpredig. Lic. A. Iaöobv. (Bd. 584.)

fReltfridti. D. Grundzüg. d. israel. Seit-aionSgesch.V Prof.D.Fr. Giesebrecht.

2 A. V. Prof. O. A. Verth ölet. (52.)

—    Religion u. Naturwissensch. in Kamps tt. Fried. E. geschichtl. Rückbl. V. Pfarr. Dr. A Pfannkuche. 2 A- Bd. 141.)

—    Die relig. Strömungen der Gegenwart. B. Sup. D.A.H. B r aaich. 3. A (66.)

■— i a. Bergson, löuDDlia, Cauirn.Cbristeu-Luther.

Rousseau. Bon Prof. Dr. P. ©enfcL 3. Ausl. Mit 1 Bildnis. Ob. 180.) Schopenhauer. Seine Persönlich!., ft Lehre« s. Bedeutg. B. Oberrealschuldir. H. Richert- 3. Aufl. Mit 1 Bildnis. Ob. 81.) Seele des Menschen. Die. Bon (Heb. Rat Prof. vr.J.Nehmke. 4. Aufl. (Bd. 36.)

—    siebe Leib u. Seele, auch Pivcholo^ie.

Serualethik. Bon Prof. Dr. H. E. Timerding.    (Bd. 592.)

Sinne d. Menschen. D. Sinnesorgane und Sinnesempfind. B. Hofr. Prof Dr. I. K. Kreidig. 3., orb. A. M. 3l) Abb. (27.) Sitt!. Lebensanschauungen d Gegenwart. B. GH. Kirchenr. Prof. D. O. K i r n. 3. A. B. Pros. D. Dr. O- Stephan. (177.)

—    s. a. Ethik. Sexualethik.

Spencer, Herbert. Bon Dr. K. Schwarz e.

Mit t Bildnis.    (Bd 245.)

Staat und Kirche in ihrem gegenseitigen Verhältnis seit der Reformation. Bon Pfarr. Dr. A. P f a n n k u ch e. (Bd. 485.) Sternglaube und S^erndeutnng Tb'e Geschichte u. d. Wes. d. Astrolog. Unt. Mitw. v. Geh Rat Prof. Dr K B ^Z old sargest. ö. Geh. Hofr. Prof. Dr. F r. Voll.

2. Aufl. M. 1 Sternk.u.20 Abb. Ob.638.) Suggestion s. Hypnotismus. v Testament. Das Alte. Seine Gesch. u. Be-deutg. B Prof. Dr. P. Tho m i e n. (609.)

—    Neues. Der Tert d. N. T. nach s. ge* schichtl. Sntwickl. B- Div -Pfarr. Prof. Liz.A.Pott. 2.Afl. M Taf. Ob 134.)

Theologie. Einführung in die Bon Pastor M Cornils.

Veranlagung u. Vererbung. Geistige. B.

Dr. phil. et med. G. Sommer. 05.512.) Urchristentum hebe Christentum. Weltanschauung.Griechische. Bon Prof. Dr M Wundt. 2. Aufl. Ob. 329.) Weltanschauungen.D., d. grotz. Philosophen der Neuzeit. Bon Pros Dr. ß. B uske. 6. Aufl., Hrsg. ö. Geb. Hofrat Prof. Dr. R F a l cke n berg.    Ob 56.)

Wcltentstehung. Entsteh, d. W. u. d. Erde nach Sage u. Wissenschaft Bon Prof. Dr. MB-Wein stein. 3. Aufl. Ob. 223.) Weltuntergang. Untergang der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. B. Prof Dr M B. W e i n st e i n Bd. 470 )

@HHnt<sfrrihftt. Da«r Pr^hse^ d-i- W B^n

Prof. Dr.S-F-Ltvv» 2. Ast Ob.3S3L1

La. Ethik.Mechan. d.GeisteSleb.,Psychot

Jeder Band fort. TtL 1.60 ctttS NatUV Ultb Geisleswett Jeder Band geb. HL 1.90 Religion u. Philosophie, Pädagogik u VUüungswesen, Sprache, Literatur. Bildende Kunst u. Musik

II. Pädagogik und Bildungswesen.

Berufswahl. Begabung u. Arbeitsleistung in ihren gegenseitigen Beziehungen. Bon W I Ruttmann. M.7Abb. Ob.522.) Bildungswefen. D. deutsche, in s. geschichtlichen Entwicklung. Bon Prof. Dr. Fr. P a u lse n. 3. Aufl. Bon Prof. Dr. W. Münch. M. Bildn. Paulsens. (Bd. 100.)

—    s. auch Bolksbiloungswesen. Erziehung. E. zur Arbeit. Bon Pros. Dr.

Edv. Lehmann.    Ob. 459 )

—    Deutsche E. in Haus u. Schule. Bon

I. Tews. 3. Aufl.    Ob. 159.)

—    siehe auch Großstadtpädagogik. Fortbildungsschulwesen. Das deutsche. Bon

Dir. Dr. F Schilling.    (Bd. 256.)

Frödel. Friedrich. Bon Dr. Joh Prüfer. Mit 1 Tafel.    (Bd 82.)

Srodstadtpädagogik. D I. Tews. (327.)

—    siehe Erzieh., Cchulkämpfe d. Gegenw. Herbarts Lehren und Leben. Bon Pastor

O. Flügel. 2. Aufl. Mit 1 Bildnis Herbarts.    (Bd. 164)

Hochschulen f. Techn. Hochschulen u Univ. Jugendpflege. Bon Fortbildungsschullehrer W Wie mann.    Ob.    434.)

Leibesübungen siehe Abt. V.

Mittelschule s Volks- u. Mittelschule. Pädagogik, Allgemeine. Von Prof. Dr.

T h. Ziegler. 4. Aufl Ob. 33 ) -— Experimentelle P. mit bes. Rücksicht auf die Erzieh, durch die Tat. Bon De W. A. Lay. 3.,vrb.A. M. 6Abb. (93b. 224.)

—    s. Erzieh.. Großstadtpäd.: Handschrif-tenbeurteilung. Psychol.. Veranlag, u. Vererb. Abt. I.

Pestalozzi, sieben und Ideen. Bon Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. P. Natorp. 3. SufEj Mit Bildn, u l Briefsaksimile. (Bd. 250.$ Rousseau. Bon Prof. Dr. P. Hensei.

3. Aufl. mit X Bildnis. Ob. 180.) Schule siehe Fortbildung--. Hilf-schulwes., Techn. Hoch-. MLdlch«. Volksschule. Unib. Schulhygiene. Bon Prof Dr. L- Barger stein. 3 Aufl M. 33 Fig. Bd 96.) Schulkämofe d. Gegeuw. Bon I. Lews.

2. Aufl.    (Bd. tll.)

— liehe Erziehung. Kroßttadtpäd. Student. Der Leipziger, von 1409 BIS |909. Bon Dr. fe. Bruchmüller. Mit 25 SIbb.    (Sb    273.)

Sruoentenrum. Geschichte des deutsche« Sk.

(Bd. 411.)

Ob. 299.).

Bon Dr W. vruchmüller. (Bd. 477.) Tech«. Hochschulen i« Nordamerika. Borr Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. 3 Müller. M. zahlr. Abb. Karte u. Lagepl. (130.) Universitäten. aber U. u. UniversitärS-stud. B- Bros. Dr. Th. Ziegler. Mit 1 Bildn Humboldts, llnterrichtswesen. Das deutsche, der Gegen» wart. Bon Geh. Studienrat O betreut* schuldir. Dr K Knabe. Volksbildungswesen. Das mod. B Stadt-bbl. Pros. Dr.G. Fritz. M. l4Abb. 266.) Volks- und Mittelschule. Die Entwicklung und Ziele. Bon G h Reg* v Sckulrat Dr A Sachse. (Bd. 432.) Set4intunft. Der Weg zur Z. Ein B chl. f. theor. u. vrkt. Seldstbd. B. Dr. E. Weber. 2.A. M. 61 Abb. u. 1 Färbt. (430.)

III. Sprache, Literatur, Bildende Kunst und Musik.

Architektur siehe Baukunst und Renaissancearchitektur.

I. Deutsche Baukunst im Mittelalter. B d. Ans. Jb. z. Ausgang d. roman. Baukunst. 4. Aufl. Mit 35 Abb. Bd. 8 ) IL Gotik u. „Spätgotik". 4. Aufl. Mit 67 Abb. (Bd. 9.) III. Deutsche Baukunst in d. Renaissance u. d. Barockzeit b. z. Äusg. d. 18. Jahrh. 2. Ml. Mit 63 Abb.

1.    Tert. Ob. 326 IV. Deutsche B.

19. Jahrh. Mit 35 Abb. (Bd. 453.)

—    siehe auch Renaissancearchitektur. Beethoven siehe Haydn.

Bildende Kunst. Bau und Leben der b. K. Von Dir. Prof Dr. Th. Bolbehr.

2.    Ausl. Mit 44 Abb    (Sb. 68.)

—    siehe auch Baukunst, Sriech. Kunst. Impressionismus. Kunst. Maler. Ma

«öiurnfon siehe Ibsen.

Buch. Wie ein Buch entsteht siehe Abt. VL ~ !' auch Schrift- n Buchwesen Abt. £V. Dekorative ßunfL d. Altertums. B Dr.

nn

Fr. Poulsen M il2 äbb. Ob 454.) Deutsch siehe Baukunst. Drama. Frauendichtung. Heldensage. KunstLlteratur.Lyrik. Maler, Malerei, Personennamen. Romantik. Sprache. Bolkslied, Bolkslaae. Drama. Das. Bon Dr B Bulke. mit Abb. 3 Bde. I: Von b. Antike z. franz. Klassizismus. 2 A. neub. o. Oberl. Dr. Nie dl ich , Prof vr. R Imelmanu u. Pror. Dr. Glaser. M. 3 Abb D: Bon Bersailles bis Weimar 3 Aufl HI Bon d. Romantik z Gegenwart. (2s7 289.) Drama. D. dlsche. D. d. 19. Jahrh I s. Enüvtckl dgest.v Prof. DrG WitkomS * ft. 4 Aufl. M Bckdn Hebbels Ob 61.) —- siehe auch Grillparzer, Hauptmrmn, Hebbel, Ibsen. Aessing. Literatur. Schiller. Shakespeare, Tbeater.

Dürer. Albrecht. B Bros Dr. R. Wnst-mann. 2 Aufl. von Geh. Reg. Rat Prof Dr. A Matthaei. Mit Titelb. u. zahlt. Abbildungen.    (Bd. 97.)

ItBd.373.)

— s. auch Photographie Abt. VI.

Plastik s. Griech. Kunst, Michelangelo. Poetik. Von Dr. R. Müller-Freienfels.    085.460.)

Pompeji. Eine Hellenist. Stadt in Italien. Bon Prof. Dr. Fr. v. Duhn. 3.Aufl. M. 62Abb. i. T. u. auf ITaf.. sowie 1 Plan.    (Bd. 114.)

Projektionslehre. In kurzer leichtfaßlicher Darstellung f. Selbstunterr. und Schul-gebrauch. B. Zeichen!. A. Schudeisky. Mit 164 Fig.    (Bd. 564.)

Französisch siehe Roman.

Frauendichtung. Geschichte der deutschen F. seit 1800. Bon Dr. Ä- Sprero. Mtt 3 Bildnisien auf 1 Tafel. ^•390.) Fremdwortkunde. Von Dr. E. Richter. Gartenkunst siehe Abt. VI. l(Bd. 570.) Griech. Komödie. Die, V. Geh.-Rat. Prof Dr. A. K ö c t e. M. Tttekb. u. 2 Tas. (400.) Griechische Kunst. Die Blütezeit der g.K. im Spiegel der Reliefsarkophage. Eme

—    siehe auch Dekorative Kunst.

Griech. Tragödie, Die. V- Prof. Dr. I.

Geffcke n. M.üAbb.i.T.u.a.ITaf. (566.) Grillparzer. Franz. Bon Prof. Dr.

A. Kleinberq. M. Bildn. (Bd. 513.) Harmonielehre. Von Dr.

Harmonium f. Tasteninstrum.

Hauptmann. Gerhart. B.Prof.Dr. E. S u l -ger-Gebing. Mit 1 Bildn. 2. Verb u. verm. Ausl.    (Bd.283.)

Haydn. Mozart. Beethoven. Ben Prof.

Dr. C. Krebs. 2.Aufl. M. 4 Bildn. (92.) Hebbel. Friedrich. B. Geh. Hofr. Prof. Dr. O. Walzet. 2.21. M. 1 Bildn. (408.)

—    siehe auch Volkssage.

Homerische Dichtung. Die. Von Rektor Dr. G. Fiitsler.    (Bd. 496.)

Ibsen, Björnson u. i. Zeitgenossen. Von Prof. Dr. B.Kahle. 2. Ausl. v. Dr. G. Mora pudern. M.7B'ldn. (Bd.193.) Impressionismus. Die Maler des 3. Bon Prof. Dr. B. LLzär. 2. A. M. 32 Abb. u. 1 färb. Tafel.    (Bd. 395.)

Jnftrizmente s. Tasteninstrum., Orchester. Klavier siehe Tasteninstrumente.

Komödie siehe Griech. Komödie.

Kunst. Das Wesen der deutschen bildenden K. Bon Geh. Rat Prof. Dr. H. Xi) obe.    (Bd. 585.)

—    f. a. Bauk., Bild., Dekor., Griech. K.: Pompeii, Stile; Gartenk. Abt. VI.

Kunstpflege in Haus u. Heimat. 3.Aufl.

Mit Abb.    (Bd. 77.)

Lesjing. Von Dr. C h. Schrempf. Mit einem Bildnis.    (Bd. 403 )

Literatur. Cutwickl. der deutsch. L. seit Goethes Tod. B. Dr. W. Brecht. (595.) Lyrik. Geschichte -.deutsch. L. s. Claudius.

V. Dr. H. Spiero. 2. Aufl. (Bd.254.) •— siehe auch Frauendichtung, Literatur, Minnesang, Volkslied.

Maler, Die altdeutschen, in Süddeutschland. Von H. N e m i tz. Mit 1 Abb. i. Text und Bilderanhang.    (Bd. 464.)

—    s. Michelangelo, Impression. Rembrandt.

Malerei, Die deutsche, im 19. Jahrh. Von Prof. Dr. N. Hamann. 2 Bde. Text,

2. Bde. nt. 57 ganzseit. u. 200 Halbs. Abb., a. t. Geschkausg. erhält!. (Bd. 448—451.)

Malerei, Nieder!. M. i. 17. Jahrh. B. Prof. Dr. H. Iantzen. Mit 37 Abb.

—    siehe auch Rembrandt.

Märchen f Voltsmärchen.

Michelangelo. Eine Einführung in das

Verständnis seiner Werke. V. Prof. Dr. E.Hitdebrandt. Mit 44 Abb (392.) Minnesang. D. Liebe i. Liede b. dtsch. Mit-telalt. V Dr.J. WB ruinier. (404.) Mozart siehe Haydn.

Musik. Die Grundlagen d. Tonkunst. Versuch einer entwicklungsgesch. Darstell, d. allg. Musiklehre. Bon Prof. Dr. H. Rietsch. 2. Ausl.    (Bd. 178.)

— Musikalische Kompositionssormen. B. S. G. Kallenberg. Band I: Die elementar. Tonverbindunaen als Grundlage d. Harmonielehre. Bd. II: Kontrapunktik u. Formenlehre. (Bd. 412. 413.) — Gcschichte der Musik. Bon Dr. A.

©in stein.    (Bd 438.)

— Beispielsammlung zur älteren Musikgeschichte. B Dr. A Einstein (439.) — Musikal. Romantik. Die Blütezeit d. m. R. in Deutschland. Bon Dr. E I st e l. Mit 1 Silhouette    (Bd. 239.)

—    s a Haydn. Mozart, Beethoven, Oper, Orchester, Tasteninstrumente. Wagner.

Mythologie. Germanische Von Prof. Dr. I. v. Negelein. 3. Stuft (Bd.95.)

—    siehe auch Volkssage, Deutsche. Niederländische Malerei s. Malerei. Novelle siehe Roman.

Oper. Die moderne. Vom Tode Wagners

bis zum Weltkrieg (1883-1914). Von Dr. E.Jste l. Mit 3 Bildn. (Bd. 495.)

—    siehe auch Haydn. Wagner.

Orchester. Das moderne Orchester. Bon

Prof. Dr. Fr. Volbach. I. Die Instrumente d. O. (Bd. 384.) II D. mob. O. i. s. Entwicklg. 2. Ausl. (Bd. 308.) Orgel siehe Tasteninstrumente. Personennamen, D. deutsch. V. Geh. Studienrat A. Bähn i ich. 2. 21. (Bd. 296.) Perspektive, Grundzüge der P. nebst Anwendungen. Von Prof. Dr. K. D oe h le-ntann. Mit 91Fig. u. 11 Abb. (510.) Phonetik. Einführ, i d. PH. W.ew. sprechen. V. Dr. E. R i ch t e r. M. 20 A. (354.1 Photographie. D. künstler. Ihre Entwcklg., ihre Prob!., i. Bedcutg. V. Dr. W. W.a r-st a t. 2., vrb. Ausl. M. Bilderanh. (410.)

3eöer Banö fort. HL 1.60 HUS Hatur und Geisteswett Jeder Sand geb.m. 1.96 Sprache. Literatur. Bildende Kunst und Musik — Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie

Remb raubt. Von Prof. Dr. P. Schub-ring. 2. Aufl. Mit 48 Abb- auf 28Taf. J- Anh.    (Bd. 158.)

Renaissancearchitektur in Italien. Bon Dr. P Frankl. 2 Bde. I. M. 12 Taf. u. 27 Tertabb. II. M.Abb. (Bd. 881/382.) Rhetorik. Bon Prof. Dr. E. Geißler. 2. Bde. 2. Aufl. I. Richtlinien für die Kunst des Sprechens. II. Deutsche Redekunst    (Bd. 455 456.)

Roman. Der französische Roman und die Novelle. Ihre Geschichte v. d. Ans. b. z. Gegenw. Bon O Flake. (Bd. 377.) Romantik. Deutsche. B Geh. Hosrat Prof. Dr O F. Walze!. 4. Aufl. I. Die Weltanschauung. II. Die Dichtung.

(Bd. 232/233.)

—    Die Blütezeit der mus. R. in Deutschland. Bon Dr E. Jstel. (Bd. 239.)

Sage siehe Heldensage. Mythol., Bolkssage. Schauspieler. Der. Bon Prof. Dr. Ferdinand Gregori.    (Bd. 692 )

Schiller. Bon Prof. Dr. Th- Ziegler.

Mir 1 Bildn. 3. Aufl.    (Bd. 74.)

Schillers Dramen. Bon Progymnasialdi--rettor E Heusermann. (Bd 493.) Shakespeare und feine Zeit. Bon Prof. Dr.

E. Sie per. M 3 Abb. 2. Aufl. (185.) Sprache. Die Haupttypen des menschlich. Sprachbaus. Bon Prof Dr. F. N. F i n ck. 2. Auf!, v. Prof. Dr. E. Kieckers. (268 )

—    Die deutsche Sprache von heute. Von

Dr. W Fischer.    (Bd. 475.)

Sprachstämme. Die. des Erdkreises. Von Prof Dr F N.Finck. 2Aufl. (Bd.267.) Sprachwissenschaft. Von Prof. Dr. Kr.

Sandfeld-Jensen. (Bd. 472.) Stile. Die Entwicklunqsgesch. d. St. in der bild Kunst. V. Dr E Cohn-Wiener. 2. Aufl. I.: V Altertum b. z. Gotik. M. 66 Abb. II : 93. d. Renaissance b. z. Gegenwart. Mit 42 Abb (Bd. 317/318.) Tasteninstrumente. Klavier. Orgel. Harmonium. Das Wesen der Tasteninstrumente. V Prof. Dr. O. Bie. (Bd. 325.)

Theater. Das. Schauspielhaus u. »fünft v. griech.Altert. bis auf d. Gegenw. V.Prof. Or.C hrGaehd e. 2.A. I8Abb. (Bd.230) Tragödie s. Griech. Tragödie.

—    siehe auch Schauspieler.

Urheberrecht liebe Abt. VI.

Volkslied. Das deutsche, über Wesen und

Werden d. deutschen Volksgesanges. Von Dr. I W Bruinie r. 5. Aufl. (Bd. 7.) Volksmärchen. Das deutsche V. Von Pfarrer K Svietz.    (Bd.587.)

Volkssage. Die deutsche. Übersichtl borgest, v. Dr. O. Böckel. 2. Aufl. (Bd. 262.)

—    siehe auch Heldensage. Mythologie. Wagner. Das Kunstwerk Richard W.S. Bon

Dr. E Jstel. M. 1 Bildn. 2. Aufl. (330.)

—    siehe auch Musikal. Romantik u. Oper. Zeichenkunst. Der Weg z. Z Ein Büchlein

für theoretische und praktische Selbstbildung. Von Dr. E. Weber. 2. Aufl. Mit 81 Abb. u. 1 Farbtafel. (Bd. 430.)

—    s. auch Perspektive. Projektionslehre; Geomtr. Zeichnen Abt. V, Techn.Abt. VI.

Zeilungswesen. B. Dr. H. Diez. (Bd.328)

IV. Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie.

Ideen. Die. Von H. Re irb au er. 2., neub. vadnlonische Kultur. Die. I Verbreit, u i. Aufl. von Dr. H. Slanar. Mit 26Abb. Nachwirkungen auf d. Gegenw. B. Prof.

(Bo. 276.) Dr.F.C. Lehmann-Haupt. (Bd.579.) Altertum. Das. im Leben der Gegenwart.    Provinzen.    Dr. B- T o»r.n i u^s.

vr    u₂ G^ Rea.-Rnt grof eou«nU”i &“ad4w"i,5Drulid,ei.⁾

^    B. Von Baurat Dr.-Jng. Chr R a n ck.

--D. «l ertum. feine staatliche u geistige    ₃₋ Aufl. Mit Abb.    (Bd. 121.)

Entwicklung und deren Nachwivkungen Bauernstand. Gesch. d. dtsch. B. V.Prof. Bon Oberlehr. H Preller. (Bd. 642.) Dr. H. Gerdes. 2., verb. Aufl. Mit Amerika. Besch d. Verein. Staaten v. A. B 22 Abb. i. Text    (Bd.    320.)

Prof Dr E Daenell. 2. A (Bd. 147.) Belgien. Bon Dr. P. Oßwald. 3. Aufl. «metilontt.Die B NM. Butler. Dtsch. ^Mii 4 Karten i. T.    iBd.    50l.i

°    f a Ti k°sk v (3.9.) Om»«» ««»„feto, Zeit.e«on M.ior

Antike Wirtschaftsgeschichte. B. Prwatdoz. 4. burcligef Aufl.    (Sb. 500.)

Dr. O Neurat h. 2.Auflage. (Bd. 258.) Böhmen. Zur Einführung in die böh-Anrtkes Leben nach den ägyptischen Papyri.    mische Frage. Bon Prof. Dr. R- F.

Bon Geh. Postrat Pros. Dr. F r. P re i - K a ' n d l. Mit 1 Karie. (©ö. 701.) sigke Mit 1 Tafel.    (Bd. 565.) Brandenburg.-prenfz. Gesch. Bon Archi

var Dr. Fr. Israel. 2 Bde I. Bon d ersten Anfängen b. z. Tode König Fr. Wilhelms 1. 1740. II. Bon dem Regierungsantritt Friedrichs d. Gr bis zur Gegenwart.    (Bd. 440/441.)

Dr. W Fischer.

- Fremdwortkunde. Von Dr Eliie

Richter. .    (Sb. 570.)

Richter.    (Bd 570.)

— siehe auch Phonetik, Rhetorik: ebenso Sprache u. Stimme Abt. V.

und 2 Karten.

Arbeiterbewegung s. Soziale Bewegungen. Australien und Neuseeland. Land. Leute und Wirtschaft. Von Prof. Dr. R. Sch achiier. Mit 23 Abb. (Bd. 366.)

R Mtelke. (Bd 192.)

Bon Prof Dr. (Bd. 571/572.)

(Bd. 723.)

wein.

auf

(8b. 14.)

—    siehe auch Dekorative Kunst Abt. III. Hans. Kunstpflege in Haus nnd Heimat.

3. Aufl Mit Abb    (Bd 77.)

—    siehe auch Bauernhaus. Dorf.

Bürger Im Mittelalter I Städte.

Lalvin. Johann Bon Pfarrer Dr G S o -bor. Mi, I Bildnis 2 Ausl (8b 247) ntM. 8 $rof. Dr » 6 o m a b e (567.) Christentum u, Weltgeschichte fett der Reformation Bon Pros D Dr K Seit 6 Bde    (Bd 297/298.)

Deutsch siehe Bauernhau- Bauernstand, Dorf. Fetze. Stauen leben, Geschichte. Handel Handwerk. Reich. Staat, Städte. Verfassung. DersassnngSrecht. Volkskunde. Volksstämme. Volkstrachten. Wirtschaftsleben usw Deutschtum im Ausland. Das. vor dem Weltkriege Bon Prof Dr R Horniger 2 Aufl    (Bd 402.)

Dort Das deutsche, B Prof.

L Auf! Mti öl Abb Gis-ril Die. und der vorgeschtchNiche Mensch Bo» Ged BergrrU Pros Dr. G Steinmann 2. Auf! M 24 Abbildungen    (Bd 302.)

BnelonSd Weltmächten ihrer Entwrckl fett b 17 Jahrh M Bildn D Dir Prof Dr. W Langenbeck 2 Aufl (Bd- 174.) Entdeckungen. Das Zeitalter der <£. Bon Prof Dr S Günther. 3. Aust Mit 1 Weltkarte    (Bd 20.)

Erd» Hebt Mensch st E.

Erdkunde. Allgemeine. 8 Bde Mit Abb

1. Die Erde, ihre Beweg u ihre Eigenschaften (matb Geogr u Geonomie). Bon Admir alitätsr Pros. Dr. E Kohlschüt-t e t (Bd 625.) Iljf&te Atmosphäre der Erde lKlimatologie. Meteorologie) Bon Bi ol L Balchin (Bd 626 ) III. Geomorphologie Bon Pros F Mach ätsche k M 33 916b (Bd 627 ) IV. Physio-geographre d SützwasserS B Prof F Mackatschek M 24 Abb (Bd. 628.) V Die Meere Bon Pros Dr A Merz. Wd 629) VI Die Verbreitung der Pflanzen Bon Dr Brockm ann-Je-toieb (Bd 630.) VII Die Verbreit« b. Tiere B Dr W Knopf) i. (Bd 631.) VIII Die Berbreitg d Menschen auf d. Erdoberfläche (Anthropogeographie). B Bros Dr N Krebs (Bd 632.) Europa. Borgeschichte H Schmidt.

Familienforschung Bon Dr E De -Orient 2 Ausl W 6916b. 1 T (350.) Feldherren. Grosze. Bon Major F T.

End res.    (Bd 687'688.)

Fetze Deutsche, u. DolkSdrüuche. B Priv.-Doz.DrE Febrle M 30 Abb (Bd 518.) Finnland. Bon Lektor F. Od a u itz. (700.) FrauzSs. Geschichte I.: D srz. Königstum B Pros. Dr. P Eck wem er. (Bd 574.) — Hebe auch Naooleon. Revolution Frauenbewegung. Die mod. B Dr Ma-ric Bernays.

Rraurnlrben. Deutsch. t. Wandel d. Jahrhunderte. Bon Geh. Schulrat Dr E d. Otto. 3 mifl 12 9166. i. T. (Bd- 45.) Friedrich d. Gr. 6Vortr. B Pros. Dr. T h.

Sitte rauf. 2 A I». 2 Bildn. (246.) Gartenkunst. Gesch. d. G. V Baurat Dr.-Jng. Cbr. Ranck M 419166. (274.) Geographie der Borwelt (Paläogeogra-phre) Von Priv.-Doz Dr. E-D ac a ue. Mit 78 9166    (Bd. 610 )

— Einführa. t. d Studium der G. Bon Pros Dr G Braun    (Bd- 693.)

Geologie siehe A6t. V.

German. Heldensage s. Heldensage Germanische Kultur in der Urzeit. Bon Bidliotheksdir. Prof. Dr. G Stein-bausen. 3. Aufl Mit 13 9166 (Bd. 75.)

Geschichte. Deutsche, im 19. Jahrh. b. z. Reichseinheil. B. Prof. Dr. R. Schwe -mer 3 Bde I.: Bon 1800—1848. Restauration und Revolution. 3. Aufl.

(Bd. 37.) IL: Bon 1848—1862. Die Reaktion und die neue Ära. 2. Aufl.

(Bd 101) III.: Bon 1862—1871. V. Bund z Reich. 2 Aufl. (Bd. 102.) Gesellschaft n. Geselligkeit in Vergangenh.

». Gegenwart. Von Oberitz S Traut-(Bd 706.)

Griechentum. DaS G. in feiner geschichtlichen Entwicklung Bon Prof. Dr R. v Scala. Mit 46 Abb. (Bd. 471.) Griechische Städte. Kulturbilder aus gr.

6t Bon Professor Dr. E Z ie b ar th.

2. A M 23 Abb. u. 2 Tafeln (Bd. 131.) Handel Geschichte d. Welthandels. Von j Realgymnasial-Dir Pros Dr M G. Schmidt. 3. Aufl.    (Bd. 118.)

— Geschichte des deutschen Handels seit d. Ausgang des Mittelalters. Von Dir. Prof. Dr. W Langen beck 2. Aufl Mit 16 Tabellen.    (Bd.237.)

Handwerk. Das deutsche, in seiner kultur-aeschtchtl. Entwickl. Von Geh. Schulrat Dr E Otto 4. Aufl. Mit 33 Abb 12 Tafeln.

Heldensage. Die germanische. Bon Dr I.

W Bruinier.    (Bd 486.)

Hellenist.-röm. Religionsgeschichte s. Abt. I. Jesuiten. Die. Eine hist. Skizze. Bon Prof. Dr H Boehmer. 4. Aufl. (Bd. 49.)

Indien. Bon Prof. Dr. Sten Konow.

<Bd. 614 )

Jndogermanenfrage. Bon Dir Dr R.

Ms abb.    (8b. 594.)

Island, d Land u. d. Volk. B. Prof. Dr. P.

Herrmann M 9 Abb    (Bd 461.)

Kaisertum und Papsttum. Bon Prof Dr. A Hofmeister.    (Bd 576.)

Zeber Banb tart m. 1.60 HUS ttatur und Geislesroelt Zeder Banb geb. m. 1.90

Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie

Kartenkunde. VermessuugS- u. K. 6 Bde. Naturvölker. Die geistige Kultur der N.

(Bd. 613.)

Mit Abb. I. Geogr Ortsbestimmung. V Pros Dr K Th. Pr e u ß. M. 9Abb. Bon Pros. Schnauder. (Bd 6ö6.) — s a Völkerkunde, allg. l(Bd 452.) IL Erdniessung Bon Prof Dr. O. Eg- Neugriechenland. Von Prof. Dr. A. 6 c i-gert (Bd. 607.) III. Landmess B Geh scn berg.

Finanzrat Suckow (Bd. 608.) IV Aus- Neuseeland s. Australien, gleichungsrechnung. Von Geh. Reg -Rat    f. Indien. Palästina, Türket.

Pros. Dr. E. Hegemann (Bd. 609.) Osten. Der Zug nach dem O Die Groß-V. Photogrammetrie und Stereophoto-    tat d. deutsch. Volkes i. Mittelalt. V.Geh.

grammetrie. Von Diplom-Ina H Lü-    Hofrat Prof. Dr. Hampe. (Bd. 731.)

scher. (Bd. 610 ) VI. Kartenkunde. Bon Ostmark f. Abt. VI.

Finanzrat Dr.-Jng A. Egerer. I.Ein- Österreich. O.'s innere Geschichte von 1848 führ. i. d Kartenverständnis. 2. Karten- bis 1895. V R. Eh arm atz. 3.. veränd. Herstellung (Landesaufn.) (Bd 611/612.) Ausl I Die Vorherrschaft der Deutschen. Kirche s. Staat u. K : Kirche Abt. 1.    II. Der Kampf der Nationen (651/652.)

Kolonien. Die deutschen. (Land u. Leute.) — Geschichte der auswärtigen Politik H.'S Von Dr. A. Heil born. 3. Ausl. Mit    im 19. Jahrhundert. V R. Eh arm atz.

28. Abb u. 8 K arten.    (Bd. 98.)    2.. veränd. Ausl. I. Bis zum Sturze Met-

KönigStum. Französisches. Von Prof Dr ternichs. II 1848—1895.    (653 654.)

R 6 et) mein er    (Bd 574.) — Österreichs innere u. äußere Politik von

Bon

Krieg. Kulturgeschichte d. Kr. Von Pros. 1895—1914. V R. Eharmatz. (655.) Dr. K Weule . Geh. Hosrat Prof Dr Ostseegebiet,Das. B. Pros. Dr. G. Braun. E. Bethe. Pros. Dr. B. Schmeid- M. 21 Abb. u, 1 mehrt. Karte. (Bd. 367.) ler. Prof. Dr. A Doren . Pros Dr —- f- auch Baltische Provinzen. Finnland. P. Her re.    (Bd. 561.) Palästina und seine Geschichte.

—    Der Dreißigjährige Krieg. Bon Dr. Prof. Dr. H Frh. pon Soden. 4. Ausl.

Fritz Endre s.    (Bd. 577.) Mit 1 Plan von Jerusalem u. 3 Ans. d.

—    s auch Feldherren.    Heiligen Landes.    (Bd. 6.)

Kriegsschiffe. Unsere. Ihre Entstehung u. •— P. u. f. Kultur in 5 Jahrtausenden.

Verwendung. V Geh. Mar.-Baur. a. D.    Nach d. neuest Ausgrab, u Forschungen

E. Krieger 2 Ausl. v. G-'h. Mar.-    bärgest, von Prof Dr P. Thomsen.

Baur. Fr. Schürer. M- 62Abb. (389.)    2., neubearb. Ausl. Mit 37Abb. (260.)

Luther, Martin L. u. d. dtsche.Reformation. Papsttum s Kaisertum.

Bon Pros. Dr W Köhler. 2.. verb. Paprrr, s Antikes Leben.

Ausl. M. UBildn. Luthers (Bd. 515.) Polarforschung. Geschickte der Entdeckungs-

—    s. auch Bon L. zu Bismarck    reisen zum Nord- u. Südpol v. d. ältest,

man. Karl. Versuch einer Einfükirg 8. Setten dis zur (Segenro B «tos. Dr S

«tos. Dr R Wiibrandt 2. A (621.) „®,af[Lr,l ⁹ ®ufI; 6 Kar'- Md. 38.) Mensch u. Erde Skizzen v den Wechsel- «ölen. Mit einem lirlchichtt.Lderbllck üb. d. beziehungen zwischen beiden. Bon Geh. voinisch-rulbe». Frage. B. «rol-Dr. R. F. Rai «r j Dr A Sit 4 ho ff. i. Ausl. Ko > ndl. 2.. »erd. Ausl. M. 6 Kart. (547.)

—    I. a. Eiszeit: Mensch Abt.V. [(Sb. 31.) Politik. W Dr. A Grabowsky. (Bd. 537.» Mittelalter. Mittelalter! Kulturid a>e. B — Umrilse der Weltpal. SB. «ros Dr.I.

«toi. Dr V Wedel. I: Heldenleben. H«">r°e^->b Bde I: 1871—1907. H: mtterroina.iiil. (Bd 292. 293.)    2 Asl. II: 1908-1914. 2. Ml. III:D-pol.

—    f. aud> Städte u Bürger i M.    Ereign, waM d. Krieges. (Bd. nüz/üS.)

Molkle. Bon Major F. E. Endres. Mit    «-»»ravhie. «c« «tof^r.

$!¹ü,w!b@runDt,6 d. Münzkunde^ AM?    «t^ D?

I. Die Münze nach Wesen. Gebrauch u. Be-    «”    ^««rhundert. Jion Mol Dr.

(Bd. 129.) in Jta-Duhn.

deut« B Hosral Dr. A Lnschin °.    8-    v. S'e iael. 4. nun. Don Dr.

Ebengreutb, M. SK Abb II Die ^veii eine belleniltischr Stadt SV’ ftXnslu Ära-Ä?"! lien Von Prof Dr. Fr. v.

Geld.L ⁹Ä 3. ma. Mit 62Abb. i. T. u. auH Taf..

WBtcmf.hr Kultur. Die. »on «toi Dr ». P„utzische Geschichke s. Brandend.-vr. G.

C Lehm ann-Haupt (Bd. 581.) Rraklion und neue Ära s @eicf>., deutsche. Mvthologte s Abt I    Reformation f Calvin. Luther.

Napoleon 1 Don Prof Dr Th. Bitter- Reich. Das Deutsche R. von 1871 b. z. Welt-auf 3 Ausl Mit 1 Bildn. (Bd. 195.) krieg. B Archivar Dr.F. Israel. (575.) Nationalbewußtsein siehe Volk.    Reügon s Abt I.

Natur u. Mensch. V. Dir. Prof. Dr. M. G. I Restauration und Revolution siebe Ge-Schmidt. M. 19 Abb. (Bd. 458.) ! schichte, deutsche.

Revolution. Geschichte der Franzöf. R. V Bros Dr. Tb- Bitterauf. 1 Stuft. Mit 8 Bildn.    (Bd. 846.)

—    1848. 6 Vorträge. Bon Prof. Dr.

O. Weber. 3. Aufl.    (Bd.53.)

Rom. Das alte Rom. Bon Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. O, Richter. Mit Bilderanhang u. 4 Plänen.    (Bd. 386.)

—    Die römische Republik. Von Privat-

doz. Dr. A Rosenberg. (Bd. 719.)

Soziale Kämpfe i. all. Rom. V. pirwat-dozent Dr L Bloch. 3. Aufl. (Bd. 22.)

Roms Kamps um die Weltherrschaft. Von Geh. Hofrat Prof. Dr. I. Kro-msloer.    Md. 868.)

Geschichte der Römer. Bon Pros. ur. R. v Scala.    >Bd. 578.)

—    siebe auch Hellenist -röm Religionsge-. schichte Abt. I: Pompeji Abt. III.

Rußland. Geschichte. Staat, Kultur Bon Dr. A Luther.    08b.563.)

Achrist- und Buchwesen in alter und neuer Seit. Bon Prof. Dr. O. Weife. 4. Aufl. Mit 37 Abb.    (Bd. 4.)

—    s. a. Buch. Wie ein B entsteht. Abt. VI. Schweiz. Die. Land, Volk. Staat u. Wirtschaft. Bon Reg.- u. Ständerat Prof. Dr. b. Wettstein. Mit I Karte. (Bd. 482.)

Seekrieg s. Kriegsschiff.

Sitten und Gebräuche in alter und neuer Zeit. Bon Prof. Dr. E. S a m te r. (682.) Soziale Bewegungen und Theorien bis zur modernen Arbeiterbeweguna Von G. Maier. 6. Aufl.    (Bd. 2.)

—    s. a. Marr.Rom: Sozialism. AR. Vi. Staat. St. u. Kirche in ihr. gegenj. Verhältnis seit d. Reformation. V. Pfarrer Dr. Phil. A. Pfannkuche. (Bd. 485 )

— Dtsche. Städte u. Bürger i. Mittelalter. B Prof. Dr B Heil. 3.Aull. Mit zahlr. Abb. u. 1 Dovveltafel. (Bd 43.) — Verfassung u. Verwaltung d. deutschen Städte. B Dr. M. Schmid. (Bd. 466.)

—    s. a. Grrecb. S'ädre. Pomvej., Rom. Sternglaube und Sterndeutung. Die Geschichte u. d Wesen d. Astrologie. Uut. Mitwirk. v. Geh. Rat Prof. Dr. C. Be-

) bärgest, v. Geh. Hofr. Prof. Dr. F r. ll. 2.W.2R.15ternt.u.203lb6. (638.) Stuveut. Der Leipziger, von I40u vis W. Bruchmüller.

(Bd. 273.)

ktudententum. Geschichte d. deutschen St. Bon Dr. W Bruchmüller. (Bd. 477.)

zold

Bo

1909. Bon Dr. Mit 25 Abb.

Türkei, Die. B. Reg.-Rat P.R. Kraule. Mit 2 Karten i. Text und auf 1 Tafel. 2. Aufl.    (Bd. 469.)

Urzeit s. german. Kultur in der U. Verfassung. Grundzüge der V. des Deutschen Reiches. Von Geheimrat Prof. Dr. E. Löning. ö. Aufl.    (Bd. 34.)

verfafsungsrecht. Deutsches, in geschichtlicher Entwicklung. Von Prof. Dr. Ed. Hubrich. 2. Aufl.    (Bd. d0.)

Vermessungs- u. Kartenkunde f. Kartenk. Volk. Vom deutschen V. zum dt. Staat. Eine Gesch. d. dt. Nationalbewußtseins. V. Prof. Dr. P. I o a ch i m s e n. (Bd.511.) Völkerkunde. Allgemeine. I: Feuer, Nahrungserwerb. Wohnung. Schmuck und Kleidung. Von Dr. A. Heil born. M. 64 Abb. m. 487.) II: Waffen u. Werkzeuge. Industrie, Handel u. Geld. Verkehrsmittel. Von Dr. A. Heilborn. M 51 Abb. (Bd. 488.) UI: Die geistige Kultur der Naturvölker. Von Prof. Dr. K. Th Preuß. M. 9 Abb. (Bd. 452.) , deutsche, siebe Feste. Deutsche, im Grundriß. Von Prof. Dr. C. Reusche l. I. Allgemeines. Sprache. Volksdichtung.    (Bd. 644.)

—    s. auch Bauernbaus, Feste, Sitten, Sternglaub., Volkstracht.. Volksstämme.

Vottsslämme. Die deutschen, und Landschaften. Von Prof. Dr. O. Weise. 6., völlig umgearb Aufl. Mit 30 Abb. i. Tert u. auf 20 Taf. u. einer Dialekt-karte Deutschlands.

Volkstrachten. Deutsche. Von Pfarrer K.

Spieß. Mit 11 Abb.    (Bd. 342./

vom Bund zum Reich siehe Geschichte, von Jena bis zum Wiener Kongreß. Von Pro?. Dr. G. Roloff (Bd. 465 ) Von Luther zu Bismarck. 12 Charakterbild. a. deutscher Gesch. V. Prof. Dr. O. Weber. 2 Bde. 2. Aufl. (Bd 123/124.) Vorgeschichte Europas. Von Prof. Dr. H.

Schmidt.    (Bd. 571/572.)

Weltgeschichte f. Christentum.

W lthandel s. Handel.

Weltpolitik s. Politik.

Wirtschaftsgeschichte. Antike. Bon Privat-dozent Dr O. Neurath. 2., umgearbeitete Auflage.    (Bd. 258.)

—    s a. Antikes Leben n. d. ägypt. Papyri. Wirtschaftsleben. Deutsches. Auf geogr.

Grundl. gesch. B. Prof. Dr. Chr. Gru -6 er. 4. Aufl. B Dr. H.R einlein. (42.)

—    s. auch Abt. VI.

Volksbräuche

Volkskunde.

(Bd. 16.)

V. Mathematik, Naturwissenschaften und Medizin.

Abstammungslehre ».Darwinismus. B Pr. Algebra Hebe Arithmetik. l Bo. 601.) Dr. R. Hesse. 5.21. M. 40 Abb. (Bd. 39.) Ameisen. Die. Von Dr. med. H. Brun.

Zeder Banb karl. M. 1.60 ctllS tlatUT Ultö Geisteswelt Zeder Band geb M. 1.90 Geschichre. ttulmrgejchichte und Geographie — Marhematik. Narunvissenschaften und Medizin

Ein-

u. 1 Lichtdruckiafel.

Herz. Blutgefäße und Blut und Erkrankungen. Von Prof Dr. H.

(Bd. 312.)

!8

Abb.

Anatomie d. Menschen, Die. V. Prof. Dr. K-v. Bardeleben 6 Bde. Jeder Bo. mit zahle. Abb. (Bd. 416/423.- I. Zelle und Gewebe, Entwicklungsgeschichte Der ganze Körper. 3. Anst. II. Das Steuert.

2. Aufl. III. Das Muskel- u. Gefäßsystem 2. Aufl. IV. Die Eingeweide (Darm-, Atmungs-. Harn- und Geschlechtsorgane, Haut). 3. Aufl. V Nervensystem und Sinnesorgane. VI. Mechanik (Sratik u. Kinetik) d. menscht. Körpers (Der Körper in Ruhe u. Bewegung). 2. Aufl.

•— siehe auch Wirbeltiere.

Aquarium. Das. Von E. W. Schmidt.

Mit 15 Fig    (Bd 335.)

Arbeitsleistungen des Menschen. Die. führ, in b. Arbeitsphysiologie. V Prof Dr £> Boruttau. M.I4 Frg. (Bd 539.)

—    Berufswahl. Begabung n. Arbeitsleistung in t. gegens. Beziehungen Von W I. R u t t m a n n. Mit 7 Abo. (Bd. 522.)

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Prof. P. Crantz 2 Bände. L: Die Rechnungsarten. Gleichungen

1. Grades mit einer u mehreren Unbekannten. Gleichungen 2. Grades. 6. Aufl. M 9 Fig. i.Text. Il : Gleichungen. Arirh-mct u geometr. Reih. Zinseszins- u. Rentenrechn. Kompl. Zahlen. Binom. Lehrsatz. 4.Afl. M. 21 Fig. (Bd. 120,205.) Arzneimittel und Genuhmittel. Von Prof.

Dr. O. Schmiedeberg.    (Bd. 363.)

Arzt. Der. Seine Stellung und Aufgaben im Kulmrlehen der Gegenw. Ein Leit faden der sozialen Medizin. Von Dr med M. Fürst. 2. Aufl. (Bd. 265.) Astronomie. Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. 2. Aufl. Von Prof. Dr S Oppenheim. I. Probleme der mod Astronomie. Mit 11 Fig. (Bd 355 ) II Mod. Astronomie.    (Bd. 445.)

—    Die A. in ihrer Bedeutung für das praktische Leben. Von Prof. Dr. A Marcuse. Mit 26 Abb. lVd.378.»

—    siehe auch Mond. Planeten. Sonne. Weltall, Weltbild: Sternglaube. Abt. I.

Atome s. Materie.

Auge. Das. und die Brille. Von Prof. Dr. M. v. Rohr. 2. Aufl. Mit 84 Abb.

(Bd. 372.)

AusgleichungSrechn. s Kartenkde. Abt. IV Böhmen, Die, im Haushalt und der Natur des Menschen. Bon Prof. Dr. E. ©utjeit. 2. Stuft. Mit I3 9lbb. (212.)

—    Die 'krankheiterregcnden Bakterien. Grundtatsachen d. Entsteh.. Heilung u. Verhütung d. bakteriellen Jnfektions-krancheiten d. Menschen. V. Pros. Dr. M. Loehlein. 2.Afl. M. 33 Abb. (Bd 307.)

—    s a Abwehrkräfte, Desinfektion. Pilze. Schädlinge.

Bau u. Tätigkeit b. menschl. Körpers. Eins, in die Physiologie d. Menschen. V. Prof. Dr.H.Sachs. 4.A M. 34Abb. (Bd.32.) Begabung s. Arbeitsleistung.

Befruchtung und Vererbung. Von Dr E. Teichmann 2. Aufl. M 9 Abb. u. 4 Dopveltafeln.    (Bd    70.)

Bewegungslehre s.Mechan.. Aufg. a. o. M. I. Bienen. Die. Don Prof. Dr. E Zander.

(Bd. 705.)

Biochemie. Einführung in die B. in eie-mrnrarcr Darstellung. Bon Prof Dr. 1k Löb. Mit l2Fig 2. Aufl. o Prof. Dr. H. Friedenthal (Bd. 3u2.) Biologie. Allgemeine. Einfuhr, i. d.Haupt-vrobleme d. organ. Natur. V Prof. Dr. H Miehe 2 Aufl. 52 Fig. (Bo. 130.) —, Erperimentelle. Regeneration. Tcans-olanrat. und verwandte Gebiete Von Dr C. Thesing Mit 1 Dasei und 69 Textabbildungen.    (Bd. 337.)

—    siehe a. Abstammungslehre. Bakterien. Befruchtung. Fortpflanzung. Lebewesen. Organismen. Schädlinge. Tiere. Urtiere.

Blumen. Unsere Bl. u. Pflanzen im ©arten. Von Prof. Dr. U. Dämmer. Mit 69 Abb.    (Bd 360.)

—    Uns Bl ».Pflanzen i.Zimmer. V Prof. Dr. U. D a m m e r. M. 65 Abb. (Bd 359 )

blut.

ihre

R o s i n. Mu Botanik. B. d. praktischen Lebens. VProf. Dr P G i f e o i u s. M.24Abb. Bd.l73.)

—    siehe Blumen. Lebewesen. Pflanzen, Pilze. Sckäolinae. Wald: Kolonialbota-nif. Tabak Abt. VI

Brille s. Auge u. d. Brille.

Chemie. Einführung in die allg. Ch. V. Studienrat Dr. B Bavink 2. Aufl. Mu zahlr Fig.    (Bd. 582.)

—    Ein ührg. t. d. organ. Chemie: Natürl. u knstl Pflanz - u. D.erstoft. V Sruoieu-rat Dr. S 'S an tut. 2 91. 9 jtbb. (187.)

—    Einführung L d. anorganische Chemie, ß. Studienrat Dr. B Bavink. (598 )

—    Einführung i. d. anatyt. Chemie. V. Dr. 8 Rüs-berg. 2 Bde. (Bd. 524. 525.)

—    Die künstliche Herstellung von Naturstoffen. V. Prof. Dr. E. R ü st. (Bd. 674.)

—    Ch. in Küche und Haus. Bon Dr. I.

«lein. 4. Aufl.    (Bd.    76.)

—    siehe a. Biochemie. Elektrochemie. Luft, Pdoroch.: Agrikulturch.. Sprengstoffe« Xvdm’f, Chem. Abr. VI.

Chemikalienkunde. Bon Chemiker Emil Drechsler.    (Bd. 728 )

Chirurgie. Die. unserer Zeit. Von Prof.

Dr. I. Feßler. Mir 52 Abb. Bd. 339.) Darwinismus. Abstammungslehre und D. Von Prof Dr. R.HeNe. 5. And. Mit 40 Textabb.    (Bd    39.)

Desinfektion. Sterilisation und Äonfcr-

Differentialrechnung unter Berücksichtig, d. prakt. Anwendung in der Technik mit zahlr. Beispielen u. Aufgaben versehe». Bon Studienrat Dr. M Lindow. 2 A. M. 45 Fig. i. Text u. 161 Aufg. (387.) — siehe a. Integralrechnung. Drogenkde.V.CHem.E D r e ch s ler. (727.) Dynamik s. Mechanik. Aufg. a. d. tech«.

M 2 Bd., ebenso Thermodynamik. Eiszeit, Die. u. der vorgefch. Mensch. Don Geh. Bergr. Prof. vr. G. S te i n m a n n. 2. Aufl. Mit 24 Abb.

(Bd. 234.)

untz. (19.)

ruttou. 2. Aufl M. 39 Abb. (Sb. 540.) Karten. Der Kleina. Bon Redakteur Schneider. 2. Afl. M.80Abb.

68

(Bd. 302.)

Elektrochemie u. ihre Anwendungen. Bon Pros. Dr. K. Arndt. 2. Aufl. Mit 37 Abb. i. T.

Elektrotechnik. Grundlagen der E. Von Oberiügenieur A. Rotth. 2. Aufl. Mit 74 Abb.    (Bd. 391.)

Energie. D. Lehre v. d. E. B. Oberlehr. A Stein. 2.A. M. 13Fig. (Bd. 257.)

Entwicklungsgeschichte d. Menschen. B- Dr. St. Seitborn. M. 60 Abb. (Bd. 3884

Erde s. Weltentstehung u. -Untergang

Ernährung und Nahrungsmittel. Bon Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. N B

3. Afl. Mit 6 Abb. i. T. u. 2 Taf.

Erverimentalchemie f. Luft usw.

Experimentalphysik f. Physik.

Farben s. Licht u. F.: s. a. Farben Abt. VI.

Festlgkeitslehre s. Statik.

Fixsterne. Die. B. Dr. Aua. Kühl. (677.)

Fortpflanzung. F. und Geschlechtsnnter-fchiede d. Menschen. Eine Einführuna in die Sexualbiologie. B Prof. Dr. H. Bo -(i»84

'— Der HauSgarten. Bon Gartenarchitekt W. S ch u b e r t. Mit Abb. (Sb. 502.) •— siebe auch Blumen. Pflanzen: Gartenkunst. Gartenstadtbewegung Abt. VI. Gebiß. DaS mensch!., s.Erkrank.u.Pflege. B.

Zahnarzt F r. I ä g e r. M.24 Abb. (229.) Geisteskrankheiten. B. Geh. Med.-Rat Ober-stabsarzt Dr. G. Ilberg 2. A. (151.) Genußmittel siehe Arzneimittel u. Genußmittel: Tabak Abt. VI.

Geographie s. Abt. IV.

—    Math. G. s. Astronomie u. Erdkunde Abt. IV.

Geologie. Allgemeine. D. Geh. Bergr.Prof. Dr. Fr. Frech 6Bde. (Bd. 207/211 u. Sb. 61.) I.: Vulkane einst und jetzt.

3. Aufl. M. Titelbild u. 78 Abb. II.: Ge-birgsbau und Erdbeben. 3.. wes. erw. Afl M. Titelbild u. 57 Abb. III.: Die Arbeit des fließenden Wassers. 3. Aufl M 56 Abb. IV.: Die Bodenbildung. Mit-telgebirgsformen u. Arbeit des Ozeans. 3.. wes. erw Aufl. Mit 1 Titelbild u. 68 Abb V. Steinkohle. Wüsten u. Klima der Vorzeit. 3. Aufl. Mil 39 Abb. VI. Gletscher einst u. jetzt. 3. Aufl. Mit .46 Abb. tm Text.

—    f. a. Kohlen, Salzlagerstätt. Abt. VL

Geometrie. Analyt. G. d. Ebene z. Selbstunterricht. Bon Prof. P. C r a n tz. 2. Afl. Mit 55 Fig.    (Bd. 504.)

—    Geometr. Zeichnen. Don Zeichenlehrer

A. Schudeisky.    (Bd. 568.)

—    s. a. Mathematik.

Geomorphologie s Allgem. Erdkunde. Geschlechtskrankheiten. Die. ihr Wesen, ihre

Berbreitg.. Bekämofg u. Berhütg. Für Gebildete aller Stände bearb. v. Generalarzt Prof. Dr. W. S ch u m b u r g. 4. A. Mit 4 Abb. u. 1 mehrfarb. Taf. (251.) Geschlechlsunterschiede s. Fortpflanzung. GesundheitsLehre. Bon Obermed.-OtatProf. Dr. M ö. ©ruber. 4. Aufl. Mit 26 Abbildungen.    (Bd. 1.)

—    G. für Frauen. Von Dir. Proi. Dr. S Baisch 2 Aufl. M-11 Abb. (538.)

—    s. a. Abwehrkräfte. Bakterien. Leibesüb. Graph. Darstellung. Die. V. dofrat Prof.

Dr. F Auerbach. 2. Aufl. Mil 139 Figuren.    (Bd. 437.)

Haushalt siehe Bakterien, Chemie. Desinfektion. Naturwissenschaften. Physik. Haustiere. Die Stammesgeschichte unserer

H.    Von Pros. Dr. C. Keller. 2. Aufl.

Mit 29 Figuren.    (Bd.    252.)

—    s. a Kleintierzucht. Tierzüchtg. Abt. VI

Herz. Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Bon Prof. Dr. H. Rolin. Mit 18 Abb.    (Bd.    312.)

Hygiene s. Schulhygiene, Stimme. Hypnotismus und Suggestion. Bon Dr.

E. Trömner. 3. Aufl. (Bd. 199.) ZmmunitätSlehre f. Abweyrkräfte d. Körp. Infinitesimalrechnung. Einführung in die

I.    Bon Prof Dr G- Kowalewiki.

3. Aufl. Mit 19 Fig    (Bd.    197.)

Integralrechnung mit Aufgabensammlung. B Studienrat Dr. M. Lindow. 2. Aufl. Mit Ftg.    (Bd.    673.)

Kalender, Der. Von Prof. Dr. W- F.

Wislicenus. 2. Aufl. (Bd. 69.) Kalte. Die. Wesen, Erzeug, u. Verwert.

Von Dr. L>. Alt. 45 Abb. (Sb. 311.) Kinematographie f. Abt. VI.

Konservierung siehe Desinfektion.

Korallen u. and.gesteinbild. Tiere. B. Prof.

Dr. W. May. Mit 45 Abb. (Sb. 231.) Kosmetik. Ein kurzer Abriß der ärztlichen Berfchönerungskunde. Von Dr.I. Sau-d e k. Mit 10 Abb. im Text. (Bd. 489.) Lebewesen. Die Beziehungen der Tiere und Pflanzen zueinander. Von Prof. Dr. K Kr aevelin 2. Aufl. I.Ter Tiere zueinander. M. 64 Abb. II Der Pflanzen zueinander u. zu d. Tieren Mit (Bd. 426/427.)

—    s a. Biologie. Organismen, Schüblinge. Leib und Seele. Bon Dr. phil. et med G.

Sommer.    (Bd. 702.)

Leibesübungen. Die. und ihre Bedeutung für die Gesundheit Bon Prof. Dr. R. Zander. 4. Ausl. M. 20Abb. (13.)

—    s. auch Turnen.

8. Aufl

— ! o

Dr.

Licht. Das. u. d. Farben. Einführung in die Ovtik. Bon Prof. Dr. L Graeh.

4. Aufl. Mit 100 Abb. (Bd. 17.) Luft, Wasser. Licht und Wärme. Neun Borträge aus b. Gebiete d. Exverimen-talchemie. B.Geh.Reg.-Rat Dv.R.B l o ch-ntfliin. 4 Aufl. M. 115 Abb. (Bd. 5.) Luftstickstoff. D., u. s. Berwertg B. Pros.

Dr. «.Kaiser. 2.A. M. 13Abb. (313.) Malze und Messen. Bon Dr. W. Block.

Mir 34 Abb.    (Bd. 385.)

Materie, Das Wesen d. M. B- Prof. Dr. G. M ie. I. Moleküle und Arome. 4. A. Mit 25 Abb. 11. Weltäther und Materie. 4. Aufl. Mit Fig. (Bd. 58/59.) Mathematik. Einführung i» die Mathematik. Bon Oberlehrer W. Mendelssohn. Mit 42 Fig.    (Bd. 503.)

—    Math. Formelsammlung. Ein Wiederholungsbuch der Elementarmathematik. Bon Prof. Dr S. Jakobi. (33b.567.)

—- Raturwissenfch. tt. M. i. klaff. Alter-tum. Bon Prof. Dr. JobL-Heiberg. Mit 2 Fig.    (Bd. 370.)

Praktische M. Don Prof. Dr. R. Neuendorff. 1.Graphische Darstellungen. Verkürztes Rechnen Das Rechnen mit Tabellen. Mechanische Rechenhilfs-mittrl. Kaufmännisches Rechnen t. tägl. Leben. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2., derb A M. 29 Fig. i. T. u. 1 Taf. II.Geom. Zeichnen Proiektionsl. Flächenmessung. Körpermessung. M 133Fia,(341. 526.) •— Mathemat. Spiele.B.Dr W Ahrens.

M Tiielb u 77 Fig. (Bd. 170.) Arithmetik, Differentialrechnung. Geometrie. Infinitesimalrechnung. Integralrechnung. Perspektive, Planimetrie. Projektionslehre. Trigonometrie, Vektorrechnung. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mechanik. Von Prof Dr. tarnet. 3 Bde. I. Grundbegriffe der M H. M d. festen' Körper. III M. d. flüss. u. luftförm. Körper.    (Bd. 684/686.)

—    Aufgaben auS d. techn. Mechanik für den Schul- u. Selbstunterricht. V Pros. N. Schmitt. 1. Bewegungsl.. Statik. 156 «ufg. u. Lös. II. Dynamik. 140 «itfg. u. Lös m. zahlt. Fig. i. T. (558/559.)

—    siehe auch Statik.

Meer. Das M., f. Erforsch, u. f. Leben. Von Prf.Dr.O.J an so N.3.A.M.40F. (Bd30.) Mensch u. Erde. Skizzen v. d. Wechselbezieh, zwischen beiden Bon Geh. Rat Prof. Dr. A. Kirchhofs. 4. Aufl. (Bd. 31.)

—    Die Rassen der Menschen. Don Pros

Dr. E. Fischer.    (Bd. 624.)

—    s. Eiszeit. Entwicklungsgesch. Urzeit.

—    Natur u Mensch liebe Natur.

Mensch!. Körper. Bau ».Tätigkeit d.menschl.

K. einfuhr, i. d. Physiol. d. M. B. Prof. Dr.H. Sachs. 4. Aufl. M. 34 Abb. (32.)

—    f. auch Anatomie. Arbeitsleistungen. Auge. Blut. Fortpflanzg., Gebiß. Herz, Nervensystem, Physiol., Sinne, Verbild

Mikroskop, DaS. V Prof. vr. W- Schef-f.et 2. Aufl. Mit 99 Abb. (Bd. 35.) Moleküle s. Materie.

Mond. Der. Von Prof. Dr. I. Franz. „2. Ausl Mit 34 Abb,    Sb. 90 )

Nahrungsmittel f. Ernährung u. N. Natur u. Mensch. V. Direkt. Prof. Dr. M.

G Schmidt. Mit 19 «6b. (Bd. 458.) Naturlehre. Die Grundbegriffe der tuo« dernen N. Einführung in die Physik. Bon Hofrat Prof. Dr. F. Auerbach.

4. Aufl. Mit 71 Fig.    (Bd. 40.)

Naturphilosophie, Die mod. D. Privatdoz.

Dr. I. M. Verw ehen. 2. A. (Bd. 491.) Naturwissenschaft. Religion und N. in Kampf ».Frieden. Ein geschichtl. Rückblick B Pfarrer Dr. APfannkuche. 2. Aufl.    Md. 141.)

~7 N. und Technik. Am sausenden Webstuhl b. Zeit. Übersicht üb. d. Wirkungen d. Naturw. u. Technik a. d. gef. Kulturleben. B Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. W. Launhardt. 3. «fl. M 3Abb. (23.)

N u. Math. L «aff. Altert. V. Proft Dr I L Heiberg. 2Fig. (Bd. 370.) Nerven. Vom Nervensystem, sein Bau u. lern. Bedeutung für Leib u. Seele im gesund u. krank. Zustande. V. Prof. Dr. R. Zander. 3. Aufl M. 27Abb. (Bd. 48.)

—    siehe auch Anatomie.

Optik. Die ovt. Instrumente. Lupe. Mikroskop, Fernrohr, photogr. Objektiv u. ihnen verwandte Jnstr. B Prof. Dr. M. p. Rohr. 3.Aufl. M. 89 Abb. (88.)

—    s. a. Auge, Brille. Kinemat.. Licht u. Farbe, Mikrosk., Svektroskovie. 6trabten.

Organismen. D. Welt d. O. In Entwickl. und Zusammenhang dargestellt. Bon Oberstudienrat. Prof. Dr. K. Lamher t. Mit 52 Abb.    (Bd. 236.)

—    siehe auch Lebewesen.

Paläozoologie siehe Tiere der Borwelt. Perspektive, Die. Grundzüge d. P. nebst An-

wendg. B. Prof. Dr. K D o e h l e m a n n. Mit 91 Fig u. 11 Abb. (Bd 510 ) Pflanzen. Die fleischfress. PN. B- Prof. Dr.

A Wagner. Mit 82 Abb. (Bd. 344.) —-Uns. Blumen u. Pfl. i. Garten. B.Pros. Dr. U. D a m m e r. M. 69 Abb. (Bd. 360.)

—    Uns. Blumen « Pfl. t. Zimmer. B.Pros. Dr U Dämmer. M.65Abb. Md 359.)

—    s. auch Botanik, Garten, Lebewesen, Pilz«. Schädlinge.

Pflanzenphysiologie B. Prof. Dr. H. Mo-Hl*. Mit 63 Fig,    (Bd. 569.)

Photochemie. Bon Prof. Dr. G Kümmelt. 2. Aufl. Mit 23 Abb. i. Zext u. a. 1 Taf.    (Bd. 227.)

Photographie s. Abt. VI.

Physik. Werdegang d. mod. Ph. B. Oberl. Dr. H. Keller. 2 «fl. M. Fig. (343.)

—    Experimentalphysik. Gleichgewicht u. Bewegung. Bon Geh. Reg.-Rat. Prof.

R. Börnste in. M. 90 Abb. (371.)

Physik. PH. I. Küche ul haus.B. €Kubienr. Sprache^ Die menschliche Sprache. ^ (Ihre

(Bd. 586.)

—    Große Physiker. Von Prof. W. F-A. unb° beten⁰ beiUina?) %on deiner K.

Schulze 2 Aufl. Mit 6Bildn. (324.) Kiesel.    .....

—    s. auch Energie, Naturlehre. Do tu, — siehe auch Rhetorik. Sprache Abt. III.

Relativitätstheorie. Wärme:    ebenso Statik. Mit Einschluß der Festigkeitslebre.

Elektrotechnik Abt. VI.    V Vaugewerkschuldirektor Reg,-Baum.

Physiologie. PH. D. Menschen. B Privatdoz. A. Schau Mit 149 Fig. i. T. (Bd. 497 ) vr.A Lipschütz. 4Bde I: Allgem Pby- — Hebe auch Mechanik, fiologie. II: Physiologie d Stoffwechsels. Sterilisation siehe Desinfektion.

III: PH. d. Atmung, b KrelslauiS u. d. Stickstoff s. Luftstirfstosf.

Ausscheidung IV: PH. der Bewegungen Stimme. Die menschliche St. und ihre und der Empfindungen. (Sb o*27—-530.) Hygiene. Bon Geh. Med.-Rat Pros. Dr.

—    siehe auch Arbeitsleistungen. Menschl. P H. Gerber. 3., verb. Ausl. Mit

Körper. Pflanzenphysiologie.    21 Abb.    (Bd. 136 )

Pilze. Die Bon Dr A. E i ch i n g e r. Mit Strahlen. Sichtbare u. unsichtb. B. Geh.

—    s. a. Bakterien. [64 21 ob. (Bd. 334.) - Reg.-Rat Pros Dr. R Börnste in u. Planeten. Die. Bon Prof. Dr. B Beter. > Prof. Dr. W M arckw a l d 3. All v

2. Auil. Bon Dr. H. Naumann. Mit Pros. Dr. L Regener. M. zahlt. Abb. Figuren.    (Bd 249.)    (Bd. 64.)

Planimetrie z. Selbstunterricht. B. Prof. Suggestion. Hypnotismus und Suggestion.

P. Crantz. 2. Ausl. M- 94 Fig. (340.) i B. Dr. @ t r ö nx n c r. 3. Aufl. (Bd. 199.) Praktische Mathematik s. Mathematik. j Süszwasser-Planklon. Das. B Prof. Dr. Proiektionslehre. In kurzer lerchtfaßlicher ! O.Zach arias. 2.A. 57Abb. (Bd. 156 ) Darstellung f. ©elbftunterc. u. schulgebr. Tabak. Der. Bon Jak. Wolf. 2. Aufl. Von Avicbenl A. schadetsky. Mit Mit 17 Abb. i. T    (Bd. 416)

Thermodynamik s. Abt. VI.

Tiere. T. der Borwelt. Bon Prof. Dr. O. Abel. Mit 3l Abb.    (Sb. 399.)

—    Die Fortpflanzung der T. B Prof. Dr. R. Goldschmidt. Mit 77 Abb.

(Sb. 253.)

—    Tierkunde. Eine Einführung in die Zoologie. Bon Privatdozent Dr. K. Hennings. Mit 34 Abb. (Sb. 142.)

—    Lebensbedingungen und Verbreitung der Tiere. Bon Prof Dr. O- Maas. Mit 11 Karten und Abb. (Sb. 139.)

—    Zwiegestalt der Geschlechter in der Tierwelt (Dimorphismus). Von Dr. Fr. Knauer. Mit 37 F g (Sb. 148.)

—    f. auch Aquarium. Bakterien. Bienen, Haustiere. Korallen. Lebewesen, Schädlinge. Urtiere, Sogeileben, Vogelzug, Wirbeltiere.

208 Fig. tm Text.    (Bd. 564.)

Radium. Das. u. D. Radioaktivität. B Dr.

M Cen tnerszwer. 2.AH.M. 33%bb.

—    Die Hauptvertreter der Schochsviel- |

siebe Abt. VI: Kleintierzucht,

tunst u. d. Eigenart ihrer Svielführung. Tierzucht Bon Dr. M Lange.    (So. 531.) j Trerzüchtung.

Dr

Schädlinge. Die. im Tier-u. Pflanzenreich Trigonometrie. Ebene. z. Selbstunterr. B. u. i. Bekämpf. B. Geh. Reg.-Rat Prof. ©tubienr. P. Crantz. 2.21. M. 50 Fig. K. Eckstein. 3.A. M 36 Fig. (18.)    (Sb. 431.)

Schulhygiene. Bon Prof Dr. L. Burger- —Sphärische Tr. B Studienr. PC rantz.

stein. 3. Aufl. Mrt 43 Fig (Sb. 96.)    (Sb. 605.)

Serualbiologie s. Forwflanzuna. Pflanzen. Tuberkulose. Die. Wesen. Verbreitung, Serualethik. B- Prof. Dr. ©. (&. Timer- Ursache. Verhütung und Heilung. Bon ding.    (Bd. 592.) Generalarzt Pros. Dr. W S ch u m b u r a.

Sinne d. Mensch.. D. Sinnesorgane u. Sin- 3. flufl. M. 1 Taf. u. 8 Fig. (Bd. 47.) nevemofinbungen. B Horrat Prof Dr. tarnen. Bon Oberl. F. Erfardt. Mit I. Kre ibig. 3.Aufl. M. 30Abb. (27.) I Bildnis Zahns.    (Sb.583.)

Sonne. Die. Bon Dr. A. Krause. Mit — f auch Leibesübungen, Anatomie d.

64 Abb    (Bd    357.)    Menschen Bo. VI.

Spektroskopie. Bon Dr. L.G re be. 2. Aufl. Untere. Die. Einführung i. d. Wissenschaft Mit Abbild.    (Bd. 284.) vom Leben. Bon Prof. Dr. R. Gold-

vpiel siehe Mathem. Spiele, Schachspiel. schmtd t. 2.A. M. 44Abb. (Bd. 160.)

Jeder Band fart M. 1.60 ctus Htttur Ultb <5elftestDCtt Jeder Band geb. TU. 1.93 Mathematik, Naturwissenschaften und Medizin - Recht, wirtschaft und Technik_

Von Dr. W. R. (8b. 218.) E'Nführ. in Suppan -

(Bd. 580.)

Wald. Der dtsche. V. Prof. Dr. H. Haus -rath. 2 All. M. Bilderanh u. 2. Karten.

—    siche auch Holz Abt. VI. l(Bd. 153.) Wärme. Die Lehre v. d. W. B. Geh Reg.-Rat

Pros. Dr. R. Börnstein. Mit Abb. 2. Aufl. v. Prof. Dr. A. W i g an d. (172.)

—    st a. Luft, Wärmekrastmasch.. Wärmelehre. techn. Thermodynamik Abt. VI.

Wasser. Das. Bon Ged. Reg.-Rat Dr. O. Anselmino. Mit 44 Abb (8b.291.)

r-

Weltuntergang. Untergang der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. V. Prof. Dr M. B Weinstein. (Bd. 470 ) Wetter. Unser W. Einführ. i. d. ähniutoL

Uririt. Der Mensch d. U. Vier Vorlesung, aus der Entwicklungsgeschichte des Men-schengefchlechts. Bon Dr. A. H e i l b o r n.

з.    Ausl. Mit 47 Abb.    (Bd. 62.)

Vektorrechnung. Eintührung ist du V V

Prof. Dr. F Jung.    (Bd. 668.)

Verbildungen. Körperliche, im Kindesalter

и.    ihre Verhütung. Von Dr. M. David.

Mit 26 Abb.    (Bd 321.)

Vererbung. Erp. Abftammgs.- u. V -Lchre. Von Pro,. Dr. E. Lehmann. Mit 20 Abbildungen.    (Bd. 379.)

— Geistige Veranlagung u. V. V Dr.pdil.

et med. G. Sommer. 2. Aufl. (512.) Vogelleben. Deutsches. Zugleich als Ex-kursiousbuch für $8 og eifreu übe. V Prof. Dr. A Voigt. 2. Aufl. (Bd. 221.) Vogelzug und Vogelschutz.

Eckardt. Mit 6 Abb. Wahrscheinlichkeitsrechnung, die. Von Prof. Dr. R. tschitsch.

®Ä,rrti> ?n H n * fiSÄÄ)

Weltall. Der Bau des W. Von Pros. Dr.

J.Scheiner 4.A. M. 26 8tg. (8b. 24.) Weltäther f Materie.

Weltbild. Das astronomische W. im Wandel der Zeit. Von Prof.Dr. S-Oppen-beim. 2.Eu». SBit 19ätbb. (8b. 110.) — siede auch Astronomie.

Weltentsteh ng. Entstehung d. W. u. d. Erde nach Sag u. Wissensch. V. Prof. Dr 9)2. B. Weinstein. 3. Ausl. (Bd. 223.)

Deutsch!. V Dr. R Mennig. 2.Ausl. Mit 14 Abb.    (Bd. 349.)

— Einführung in die Wetterkunde. Von Pros. Dr. L. Weber. 3.Aufl. Mit 28 Abb. u. 3 Taf.    (Bd. 55.)

Wirbeltiere. Vergleichende Anatomie der Sinnesorgane der W. Von Prof. Dr. W. Lubosch. Mit lü7 Abb. (Bd. 282.)

Zahnheilkunde siehe Gebiß.

Zellen- und Gewebelehre siehe Anatomie des Menschen. Biologie.

Zoologie s. Abstammn ngsl., Aauarium, Bienen. Biologie. Schädlinge. Tiere, Urtiere. Vogelleben. Vogelzug, Weidwerk. Wirbeltiere.

TI. Recht, Wirtschaft und Technik.

fei!)

und Ausgaben

(Bd.

(Bd. 333.)

37 Abb. (Bd. 393.) und Verwendung. (Bd. 394.)

Agrikulturchemie. Bon Dr. P. Arische.

Mit 21 Abb.    (Bd. 314 )

Angestellte siebe Kaufmännische A.

Antike Wirtschaftsgeschichte. B Priv.-Doz. Dr. O. Neurath. 2., umgearb. A. (258.)

—    siehe auch Antikes Leben Abt. IV. Arbciterschutz und Arbeiterverficheruug.

B. Geh Hofrat Prof. Dr. 0. v. Zwie -dineck-Südenborst. 2. Aust. (78.) Arbeitsleistungen des Menschen. Die. Einfuhr in d. Arbeitsphysiologie. B Prof. Dr. H Boruttau. M.14 Fig. (Bd.539.)

—    Berufswahl. Begabung u. A. in ihre» gegenseitigen Beziehungen. Bon W I. R u t t m a n n. Mit 7 Abb (Bd. 522.)

Arzneimittel und Genutzmittel. Bon Dr. O. Schmiedeberg.

Arzt. Der. Seine Stellung im Kulturleben der Gegenw. Bon Dr. med. M. Fürst. 2. Aufl. (Bd. 265.) Automobil. Das. Eine Eins, in d Bau b. beut.Perionen-Kraftwagens. B Ob.-Jng.

K. Blau 3.. überarb. Aufl. M. 98 Abb. u. 1 Titelbild.    (Bd. 166)

Baukunde s. Eisenbetonbau.

Baukunst siehe Abt. III. Beleuchtungswefen. Das moderne. Bon Ing Dr. H. Lux. M. 54 Abb (Bd. 433.) Bergbau. Bon Bergassessor F. W. Wedding. .    (Bd. 467.)

Bewegungslehre s. Mechan .Ausg. a. d. M. Bierbrauerei. Bon Dr. A. Bau. Mit 47 Abb.

Bilanz s. Buchhaltung u. B.

Blumen. Uns. Bl. u. Pfl. i. Garten. Bon Pros.Dr.N. Dämmer. M.69Abb. (360.) •— Uns. Bl. u. Pfl. i. Zimmer. B Prof. Dr.U. Dämmer. M.65 Abb. (Bd. 359 )

—    siehe auch Garten.

Brauerei s. Bierbrauerei.

Buch. Wie ein B. entsteht. B. Prof. A. W. U n g e r. 4. Anst. M. 7 Taf. u. 26 Abb. im Text.    (Bd. 175.)

—    s. a. Schrift- u. Buchwesen Abt. IV. Buchhaltung u. Bilanz teuf nt., und ihre

Beziehungen z. buchhalter. Organisation. Kontrolle u. Sta istik B. Dr. P.Ge r st-n e r. 2. Afl M. 4 schemat. Darfst (507.) Chemie in Küche und Haus. Von Dr.

1.    Klein. 4 Aufl.    (B0. 76.)

—    s. auch Agrikusturchemie. Elektrochemie, Farben, Sprengstoffe. Technik: ferner Chemie Abt. V.

Dampfkessel siehe Feuerungsanlagen. Dampfmaschine. Die. Bon Geh Bergrat Pros. R. Vater. 2 Bde. I: Wirkungsweise des Dampfes im Kessel und in der Maschine 4 Aust. M.

II: Ihre Gestaltung

2.    Aufl. Mit 105 Abb.

Die.

. B Ing.

(93b. 424.)

Kaufmann. Das Recht des K. Ein Leitfaden f Kaufleute, Studier, n. Juristen. V. Juftizrat Dr. M. S t r a u ß. (Bd. 409.)

Kleintierzucht, Die. Von Redakt. Joh.

Schneider. M. 59 Fig. i. %. u. a. 6 Taf. — siehe auch Tierzüchtung. [(93b. 604.) Kohlen. Unsere. B. Bergass. P. Kukuk. Mit 60 Abb. i. Text u. 3 Ta:. (Bd. 396.)

Desinfektion. Sterilisation und Konservierung. Bon Reg.- und Med.-Rat Dr. O. Solbrig. Mrt 20 Abb. (935.401.) Deutsch J Handel, Handwerk, Landwirtschaft, Berfassung. Weibwerk, Wirtschaftsleben, Zivilprozeßrecht; Reich Abt. IV. Drähte u. Kabel, ihre Anfertig, u. Anwend.

1. d. Elektrotech. 95- Tel.-Jnsp.H.Brick.

2.    Aufl. M. 43 Abb.    (Bd. 285.)

Dynamik s. Mechanik. Aufg. a. d. M. 3, Bd..

ebenso Thermodynamik.

Eisenbahnwesen, Das. Bon Eisenbahnbau-u. Betriebsinsp. a. D. Dr.-Jng E. Biedermann. 3. A. M. zahlr. Abb. (144.) Eisenbetonbau, Der. 95- Dipl.-Jng. E.Hai-movici. 2. Aufl. Mrt 82 Abb. u X. sowie 6 Rechnungsbeisp. (93b. 275.) Visenhüttenwesen. Das. Bon Geh. Bergr. Prof. Dr. H. W e d d i n g. 5. Aufl. v. Bergass. F. W. Wed d ing. M. 22Abb. (20.)

Elektrische Kraftübertragung,

P. Stöhn, mit 137 Abb.

Elektrochemie. Bon Prof. Dr. St. Arndt.

mit 37 Abb.    (Bd. 234.)

Elektrotechnik. Grundlagen d. G. B. Obering. A. R o t t h. 2. Aufl. M. 74 Abb. (391.)

—    f. auch Drähte u. Kabel, Telegraphie. Erbrecht. Testamentserrichtung und 6. Bon

Prof. Dr. F. Leonhard. (Bd. 429.) Ernährung u. Nahrungsmittel s. Abt. V. Farben u. ftarbftoffe. I. Erzeug, u. Ber-wend. 95.Dr.9T. Bart. 31 Abb. (Bd. 483)

—    siehe auch Licht Abt. V. Fernsprechtechnik s. Telegraphie. Feuerungsanlagen, Jndus1r.,tt.Damvfkeskl.

B.Ing.J.E. Mayer. 83Abb. (Bd.34S.)

—    siehe auch Geldwesen. Funkentelegraphie siehe Telegraphie. Fürsorge s. Kinderf., Kriegsbeschädigten!. Harten. Der Kleingarten. B. Redakt-I o h.

Schneider. 2. Afl. M- 80 Abb. (498.) ■— Der Hausgarten. Bon Gartenarchitekt W. Schubert. Mit Abb. (Bd.502.)

—    siehe auch Blumen.

Gartenkunst. Gesch.d.G. V.Baurat Dr.-Jng.

Cbr. Stand, m. 41 mb. (Bd. 274.) Kartenstadtbewegung. Die. Von Landeswohnungsinspektor Dr. H Kampfs-wiener 2.Aufl. M. 43Abo. (93b.259.) Gefängniswesen s. Verbrechen.

Geldwesen, Zahlungsverkehr u. Vermögens-verwalt. BonG. Maier. 2.Aufl. (398.)

—    f. o. Finanzwiffensch.; Münze Sbt. IV. Genutzmittel siehe Arzneimittel und Genußmittel. Tavak.

Gewerblicher Rechtsschutz i.Deutschland 8. Patentanw. B TolkSdork. Wd. 138)

—    siehe auch Urheberrecht.

Graphische Dars1ell..Die. B.HofratProf.Dr.

F. Auer dach. 2.A. M- 139Abb. 1437.) Handel. Geschichte d. Welth. Bon Real-gymnasialdirektor Prof. Dr. M G. Schmidt. 3. Aufl.    Md. 118.»

Handel. Geschichte d. deutsch. Handels seit b. Ausaang des Mittelalters. Don Dir. Bros. Dr. W. Langenbeck. 2. Ausl. Mit 16 Tabellen.    (Sb.    287.)

Handfeuerwaffen, Die. Sntwickl. u. Techn.

B Major R. We i ß. 69 Abb. (95b. 364.) Handwerk. D. deutsche, ln s. kulturgeschichtl. Hntwicklg. 95. Geh. Schulr. Dr. E. O t t o.

4. Ausl. M. 33 Abb. aus 12 Taf. (93b. 14.) Haushalt s. Chemie, Desinsekt., Physik;

Dahrungsm. Abt. IV; Bakter. Abt. V. däuserbau siehe Baukunde. Beleuchtungswesen. Heizung u. Lüftung. Wohnungsw. Hebezeuge. Hilfsmittel zum Heben fester, flüssiger und gasf. Körper. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2. Ausl. M. 67 Äbb.    (93b.    196.)

Heizung und Lüftung. Don Ingenieur I.

E. Mayer. Mit 40 Abb. (Bb. 241.) Holz. Das H., seine Bearbeitung u. seine Berwendg. B. Jnsp. I. Großmann. Mit 39 Originalabb. i. T. (Bd. 473.) Hotelwesen, Das. Von P. Damm-Etienne. Mit 30 Abb. (93b. 331.) Hüttenwesen siehe Eisenhüttenwesen. Zmmunitätslehre s. Abwehrkräfte Abt. V. Jngenieurtechnik. Schöpfungen d. I. der Neuzeit. Bon Geh. Regierungsrat M. Grttkl. Mit 82 Abb.    (Sb.28.)

Instrumente siehe Optische I.

Kabel s. Drähte und K Kälte, Die, ihr Wesen. i. Erzeug, u. Verwert-. B.Dr.H.A l t. M-45 Achb. (311.)

Lanfmännischr Angestellte. D. Recht d. k.

A. 95. Justizr. Dr. M. Strauß. (36 L) Kinderfürsorge. Kon Bros. Dr. Chr. I.

Klumker.    (93b.    620.)

Kinematographie. Bon Dr. H. Le h m an n.

L.Aufl. B. Dr. W. Werte. Mit Abb.

(Bd. 358.)

Klein- u. Straßenbahnen, Die. V> Obering, a. D. Oberlehrer A. Ltebmann. Mit 85 Abb.    (93b.    322.)

Kolonialbotanik. Bon Prof. Dr. F. Tob-lcr Mit LI Abb.    (Sb. 184.1

Kolonisation. 3»nere. Bon A. Brennt n g.    (Bd. 261.1

Konservierung siehe Desinfektion. Konsumgenossenschaft, Die. Bon Prof. Dr.

F. Standinger.    (Bd.222.1

— s. auch Mittelftandsbewegung, Wirtschaftliche Organisationen.

Kraftanlagen siehe Dampfmaschine. Feuerungsanlagen und Dampfkessel, Wärmekraftmaschine, Wallerkrattmalchine.

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ferre    (Sb 56t) «aturwissensch. u. Technik, «m saus. Weh.

Kriegsbeschädigtenfürsorge. In Verbin-    &ll’hÄJlttlll6Jf'.ilh

düng mit Med.-Rat. Oberstabsarzt u.    'nJ'KrJ' rtsmÄun-

Wsit Dr R-bentUch .    Ms Mt* & «6&® (lb. 23.)

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säte «ST&& ää

Lrieasschiffe. Unsere. Ihre Entstehg. u.    tibnen verw. Jnstr. Bon Prof. Dr. M.

Berwendg. B- Geh. Marinebaur. a. D.    v. Rohr. 3.Ausl. M-89Abb. (Bd.88.)

E. Krieger. 2. Afl. v. Marinebaur. Organisationen. Die wirtschaftlichen. Bon Fr. Schürer. Mit 62 Abb. (389.) Bros. Dr. E. Lederer. (Bd. 428.) Kriminalistik, Moderne. Von Amtsrichter Dr. A. Hellwig. M.ISAbb. (Bd. 476.)

— i. a Verbrechen. Verbrecher.

Lüche siehe Chemie in Küche and Haus. Patente u. Patentrecht s. Gewerbl.Rechtssch. Landwirtschaft. Die deutsche. B- Dr. W- Perpetuum mobile. Das. B vr. F r.J ch ak. C l a a ß e n. 2. Ausl. Mit 15 Abb. u. gRü 38 Abb.    (Bd. 462.1

Körper.

WMVLtz.

- Aufgaben aus der technischen M. f. b. Schul- u Selbstunterr. V Prof. N. Schmitt. M. zahlr. Fig. I. Bewe-gungsl., Statik. 156 Aufg. u. Lösungen. U. Dvnam. 140 A u Lös. (Bd. 558/559.) Messen siehe Matze und Messen.

Miete, Dir, nach d. BGB. Ein Handbück-lein f. Juristen, Mieter u. Vermieter. ~ Justizrat Dr. M Strauß. (194.) Mikroskop. Das. V. Prof. Dr. W. Schef-{er. 2. Sufi. W. 99 Abb. OBb.35.)

HauSH

täglichen Lebens in mit. Bon Justizrat (Sb. 219.)

Bor-

1 Karte.    (Bd. 215.)

— s. auch Agrikulturchemie. Klerntrer-Sucbt, Luftstickstoff, Tierzüchtung: Haustiere, Tierkunde Abt. V.

Kandwirtschaftl. Maschinenkunde. V Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. G. Fischer. 2 Afl. Mit 64 Abbildungen. . (Bd. 816.) Jßuutauri, Die. ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre technische Entwicklung. Von Dr. R. Nimführ. 3. Aufl. v. Dr. Fr. Hutb. M. 60 Abb. (Sb- 300.) Lustftickstoff. Der. u. s. Verw. B. Prof.

Dr. $t. Salier. SA. SB. 13«66. (313.) Lüftung. Heizung und L. Von Ingenieur I. E Mauer. Mit 40 Abb. (Bd. 241.) Marx. Karl. Versuch e. Einführung. A.

Prof. Dr. R. Wil brand t. 2.A. (621.) -— s. auch Sozialismus.

Maschinen f. Dampfmaschine, Hebeheuge. Landwirtsch. Maschinenkunde. Warme-Irattmaicb., Wasserkraftmasch. Maichinenelemente. Von Geb.Bergral Prof.

R Vater. 3.A. M. 175Abb. (Sb.SOL) Matze und Messen. Von Dr. W. Block.

Mit 34 Abb.    (Sb. 385.)

Mechanik. V Prof. Dr. G. Harne l. 3Bde. I. Grundbegriffe d. M. U. M. der festen fit. M. d. klüss. u. luftförm.

(Bd. 684/686.)

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Photographie, Die, ihre wissenschaftlichen Grundlagen u. i. Anwendung. V. Dr O Prelinger. 2. Aufl. Mit Abb. (414.)

—    Die künstlerische Ph. Ihre Entwick

lung. ihre Probleme, ihre Bedeutung. Von Dr. W. Warftat. 2., Verb. Aufl. Mit Bilderanh.    (Bd. 410.)

—    Angewandte Liebhaber-Photographie»

K    W »'? LI! L' «K

—    siebe auch Phhsik in Abt. V.

«Sin ““»ö

Rechenmaschinen. Die. und das Maschinen-

Recht siehe Erbrecht, Gewerbl. Rechtsschutz. Kausm. Angest.. Kriminalistik, Urheberrecht. Verbrechen. Derfassunasrecht. Aivilprozeßrecht

—    RechtSfraaen des Familie und Dr. M. Strauß.

Rechtsprobleme. Moderne. B Geb. Justizr.

Prof.Dr.J.Kohler. 2.Aufl. (Bd. 128.) Salzlagerstätte». Die deutschen. Ihr kommen, ihre Entstehung und die Verwertung ihrer Produkte in Industrie

stuMtrV'¹ “■ L%u

—    siehe auch Geologie Abt V.

Stfes

Soziale Bewegungen u. Theorien b. z. mod.

Verbrecher. Die Psychologie deS V. (Sri. minalviych.) V-Strafanstaltsdir. Dr. med. P. Polli tz. 2A. M.5 Diagr. (Bd-248) s a. Handschrifkenbeurt. Abt. I. Verfassg. Grundz. d. V. d. Deutsch. Reiches. V. Geheimrat Prof. Dr. E. Loening. 5. Ausl.    (Bd. 34.)

Versu.sg. und Verwaltung der deutschen Städte. Von Dr. M. Schmid. (466.)

—    Deutsch. Verfassgsr. i. geschichtl. Ent-wickl. V-Pr.Dr.E.H u b r i ch. 2.A. Bd.80.)

Verkehrsentwicklung i. Deutscht. 1800 bis 1900 (sortges. b. z. Gegenw.). V-Prof. Dr. W Lotz. 4.. verb. Aufl. (Bd. 15.) Versicherungswesen. Grundzüge des V. (Privatversicher.). Von Pros. Dr. A. Manes. 3., veränd. Ausl. (Bd. 105.) Waffentechnik siebe Handfeuerwaffen. Wald. Der deutsche. V. Prof. Dr Haus-rath. 2. A Bilderanh. u. 2 Kart. (153.) Wärmekraftmaschinen, Die neueren. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2 Bde. I: Einführung in die Theorie u. d. Bau d. Gasmasch. ö.Aufl. M 41Abb. (Bd 21.) II: Gaserzeuger. Groszgasmasch., Dampf-

u.    Gaslurb. 4. Aufl. M. 43 Abb (Bd. 86.)

—    siehe auch Kraftanlagen.

Wärmelehre. Einführ. i. d. techn. (Thermodynamik). Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. M. 4OAbb. i.Text. (Bd.516.)

■— s. auch Thermodynamik.

Wasser. Das. Von Geh. Reg.-Rat Dr. O. An selmino. Mit 44 Abb. ($b.29U

—    k. Q. Lust. SBaff., 2i<f)t. Wärm? Abt. V. Wass-rkrnftinaschinen. D'n'. u. d. Ausnütza.

d. Wasserkräfte. Von Geh. Reg.-Rat A.

v.    1 b e v t >i a 2 A. M. 57 Abb. (Bd. 228.) Weidwerk. D. d che. B Forstmeist- G. F-hr.

v. Norden flucht. M. Titelb. (436.) Weinbau und Weinbereitung. Von Dr. F.

Schmittbenner. 34Abb. (Bd.332.) Welthandel siehe Handel.

Wirtschaftlichen Organisationen. Die. Von

Arb.it.rbew. V G Maier- 6.A iBd.2.)

—    , ü Ar veiler,chus u. Arbeiterversicher.

Sozialismus. Gcfch. der fozialist. Ideen L

19. Jrh. V. Privatdoz Dr. F r. Mückle.

3. A. 1: D. ration. Soz. II: Proudhon u.b. enrwlcklungsgeschichtl.Soz. Bd.269.270 >

—    s auch öTcirr; Nom, Soz. Kämpfe i. alt R- Abt. IV.

Spinnerei. Die. Von Dir. Prof. M Lehmann. Mit 35 Abb.    (Bd. 338-1

Sprengnoife. Die. ihre Chemie u. Technologie. V Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. R. B i e. der man n. 2.Ausl. 3». 12Big. (286.)

Staat siehe Abt. IV.

Statik. Mit Einschluss der Festigkeitslehre.

Bon Reg.-Baum. Baugewerkschuldirekt.

A. Schau. M. 119Fig. i T. (Bd. 497.1 ■— siehe auch Mechanik. Aufg. a. d. M 1 Statistik. V Pros. Dr. Schott. (442.)

Strafe und Verbrechen. Geschichte u Ov ganii. d.Gefängniswes. V. Strasanstalts-dir. Dr med. P. Polli tz. (Bd. 323.)

Straßenbahnen. Die Klein- u. Strayenb.

Von Oberino-nieur a. D. Oberie rer A.Liebmann. M. 85 Abb. (Bd. 322.)

Tabak Der. Anbau, Handel u. Verarveck.

(Bd. 416.)

V. Jac Wolf. 2., verb. u. ergänzte Ausl. Mit 17 Abb.

Technik. Die chemische. Von Dr.A. Müller. Mit 24 Abb.    (Bd. 191.)

—    Einführung in d. T. Von Geh. Reg.-Rar Pro,. Dr. H. Lorenz. (Bd. 729.)

Techn. Zeichnen (. Zeichnen.

Telegraph. D. Telegraph -n.Fernsprechw.

V. Cbertoftr. O Sieblist. 2. A. (183.)

-— Telegraphen- und Fernsprechtechnik in ihrer Entwicklung. V- Obervost-Iniv H. Brick 2.A. Mit 65 Abb. (Bd.235.)

—    Die Funkentelegr. V. Telegr.-Insy H.

Th u r n. 5. Ausl. M. 51 Abb. (Bd. 167.)

■— siebe auch Drähte und Kabel.

Prof. Dr. E. Lederer. (Bd. 428.)

—    s. Konsumgenoss.. Mittelstandsbewea. Wirtschaftsgeographie. Von Prof. Dr. F.

Heiderich.    (Bd. 633.)

Wirtschaftsgesch. s. Antike W., Ostmark. Wirtschaftsleben, Deutsch. Auf geograph Grundl. gesch. v. Prof. Dr. Chr. Gru-Der. 4. A v. Dr. H. 97 e in lein. (42.)

—    Die Entwicklung des deutschen Wirtschaftslebens i. letzten Jahrh. B. Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. L. P o h l e. 3 A. (57.)

■— Deutscht. Stellung i. d. WeDwirtsch.

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Zeitungswesen. V. Dr. H. Diez. 2. Ausl.

(Bd. 328.)

Zivilprozeßrecht. Das deutsche. Von In-stizrat Dr. M. Strauß. (Bd.315.)

Testamentserrichtung und Erbrecht. Bon Proi Dr F. Leonbar d. (Bd. 429 )

Thermodynamik. Praktische. Aufgaben u Beispiele zur technischen Wärmelehre.

Von Geh Bergral Prof Dr. R. Baker.

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¹— siehe auch Wärmelehre.

Tierzüchtung. Von Tierzuchtdirektor Dr.

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—    jie e auch Kleintierzucht.

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-— siehe auch gewerblich. Rechtsschutz.

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Deutsche Krtegsfcheiben

Schelbenbilder erster Münchener Künstler wie v. Defregger, I. Diez, (£. Drühner,

H.    v. Habermann, Th. Th. Heine, A. (sank, v. Züge! «. a. Sie bringen köstlich humorvolle, zumeist auf den Krieg bezüglich-» Darstellungen, wie den groft* mäuligen Engländer, die Entente, „Russen-Znvasion", U 21 auf der Zagd, u. a. und sind

zur Schießausbildung und als Ammerschmuck gleich geeignet und wertvoll.

Preis je ca. M. 1.50. Auf Pappe mit grünem Kranz je ca. M. 1.80. Auf Holz mit grünem Kranz je ca. M. 5.50. — Bei größeren Bezügen ermäßigen sich die preise. Als 12 er Scheibchen (Platten) Stück 15 Pf., 12 Stück M. 1.—-

Postkartenausgaben

Bede Karte 15 Pf., Reihe von 12 Karten in Umschlag M. 1.50, jede Karte unter Glas mit schwarzer Einfassung und Schnur M. j.—

Teubners Künftterftetnzelchnungen in 11 Reihen (davon 50 verfch. Motive auch u. Glas in ovalem Rahmen je M.2.—,1n eckigem Holzrahmch. jeM. 2.25). Bauers Führer u. Helden in 2Reihen. Winkler» Scherenschnitte, 0 Kart. in Umschl. M.-.60. Kriegsscherben-Karten in 2Reihen (diese ni cht mit Einsaff. käufl.). Denkwürdige Statten aus Nordfrankreich. 12 Katten nach Orig.-Lithograph. von K. Lohe. Diefenbachs Schattenbilder in 6 Reihen (diese auch in viereckigen oder ovalen Holzrähmchen zu je ‘Bu2.25 bezw.M.2.50). Aus dem Kinderleben» 6 Karten nach Bleistiftzeichn, von Hela Peters. 1. Der gute Bruder. 2. Der böse Bruder. 3.Mo drückt der Schuh? 4. Schmeichelkätzchen. 5. Püppchen, aufgepaßtl 0. Große Wäsche. Zn Umschl. M. —.60. Schattenrißkarton von Gerda Luise Schmidt:

I. Reihe: Spiel u.Tanz, Fest im Garten,^Blumenorakel, Die kleine Schäserin, Belauschter Dichter, Rattenfänger von Hameln. 2. Reihe: *Die Freunde, *Der Besuch, 3m Grünen, *Reifenspiel, *Ein Zrühlingsstrauß.^Der Liebesbrief. 3. Reihe: *DerBrief an .Zhn', Annäherungsversuch, ^Am Spinett,*Beim Wein,*Ein Märchen, *Der Geburtstag. Hede Reihe in Umschl. M. -.60 * Diese Schattenrtßkarten von Gerda Luise Schmidt auch als Bilder im Format 20X15 cm je M. —.50. Zn Mahagonirähmchen m. Glas einfchl. Bild je M. 5.50 Vollst. Kat. ü.künstler. Wandfchm. m. färb. Wiederg. v.ü. 200 Bl. geg. Einfendg. v.75ps. (Ausl. 65 Pf.) Ausf. Verz. d. postkartenausg. umsonst. Beide v. Verlag in Leipzig, poststr. 2.

Verlag von B.G. Teubner in Leipzig und Berlin

Bibiioteka Politechniki Krakowskii

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