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I. Bojko

H| Lehrbuch

W Rechenvorteile

9. Zweistellige Faktoren mal zweistellige.

35. Tie Quadrate der Zahlen 750 bis 1250. Regel. Um eine Zahl, die zwischen

II. Ungerade Wurzelexponenten.

Nus Natur und Geisteswelt

H|    Lehrbuch

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W Rechenvorteile

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Die Sammlung

„Nus Natur und Geisteswelt"

nunmehr über 800 Bande umfassend, bietet wirtliche „Einführungen" in abgeschlossene Wissensgebiete für den Unterricht oder Selbstunterricht des Laien nach den heutigen methodischen Anforderungen und erfüllen so ein Bedürfnis, dem weder umfangreiche Enzyklopädien noch skizzenhafte Abriffe entsprechen können. Die Bände wollen jedem geistig Mündigen die Möglichkeit schaffen, sich ohne besondere Vorkenntniffe an sicherster Tuelle, wie sie die Darstellung durch berufene Vertreter der Wissenschaft bietet, über jedes Gebiet der Miffenschaft, Kunst und Technik?u unterrichten. Sie wollen ihn dabei zugleich unmittelbar im Beruf fördern,den Gesichtskreis erweiternd, die Einsicht in die Bedingungen der Berufsarbeit vertiefend.

Die Sammlung bietet aber auch dem Fachmann eine rasche zuver-lässigeUbersicht über die sich heute von Tag zu Tag weitenden Gebiete des geistigen Lebens in weitestem Umfang und vermag so vor allem auch dem immer stärker werdenden Bedürfnis des Forschers ?u dienen, sich aus den Vachbargebieten aus dem laufenden ?u erhalten. 9n den Dienst dieser Aufgaben haben sich darum auch in dankenswerter Meise von Anfang an die besten Vamen gestellt, gem die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise }u wenden.

Seit herbst 1925 ist eine Veuerung insofern eingetreten, als neben den Bänden im bisherigen Umfange solche in erweitertem, etwa anderthalbfachem }\i 1 ^fächern Preise ausgegeben werden, weil abgeschloffene Darstellungen größerer Gebiete aus beschränkterem Raume heute schwer möglich sind. Diese Bände, die die Vummern von 1001 ab tragen, erscheinen, um die Einheitlichkeit der Sammlung ?u wahren, in der gleichen Ausstattung wie die übrigen Bände. Sie sind nur auf dem RückentUel durch je ein Sternchen über und unter der Vummer besonders gekennzeichnet.

Alles in allem sind die schmucken, gehaltvollen Bände besonders geeignet, die Freude am Buche ju wecken und daran ju gewöhnen, einen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürsniffe nicht anzusehen pflegt, auch

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Leipzig, in

100000296014

>. Teubner

€in vollständiges nach Wissenschaftsgebieten geordnetes Verzeichnis versendet aus Wunsch der Verlag, Leipzig CI, poststrajse 3/5

Jur Mathematik und Astronomie

sind bisher erschienen:

Arithmetik, Algebra und Analysis.

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Cranh. 2 Bde. I. Teil: Die 7 Rechnungsarten. Gleichungen und Funktionen ersten und zweiten Grades. 9. Aufl. Veubearb. von Studienrat Dr. Nl. Hauptmann. Mit 20 Fig. u. 1 Logarithmentaf. (Bd. 120.) II. Teil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reiben. Iinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 6. Aufl. Mit 21 Textfig. (Bd. 205.)

Lehrbuch der Rechenvorteile. Schnellrechnen und Rechenkunst. Mit zahlr. llbungsbei-spielen. Von 9ng. Dr. phil. Z. Bojko. 2. Aufl. (Bd. 739.)

Kaufmännisches Rechnen zum Selbstunterricht. VonStudienratK. Droll. (Bd. 724.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von Pros. Dr. G.Kowalewsti. 4. Aufl. Mit 21 Fig.i.T. u. einem Anhang über die Zahle u. die natürlichen Logarithmen. (Bd. 197.)

Differentialrechnung unter Berücksichtigung der prakt. Anwendung in der Technik, mit zahlr. Beispielen u. Aufgaben versehen. Von Prof. StudienratDr. M. Lindow. 5. Aufl. Mit 50 Fig. u. 161 Aufgaben. (Bd. 987.)

Integralrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlr. Beispielen u. Aufgaben versehen. Von Pros. Studienrat Dr. M. Lindow. 3.Aufl. Mit 43 Fig. i. T. u. 200 Aufgaben. (Bd. 673.)

Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik, mit zahlr. Beispielen u. Aufgaben versehen. Von Pros. Studienrat Dr. M. Lindow. Mit 98 Fig. i. T. u. 160 Ausgaben. (Bd. 569.)

Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von Geh.Reg.-Rat Prof. C. Hegemann. Mit 11 Fig. i. T. (Bd. 609.)

Geometrie.

Planimetrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Prof.p. Cranh. 4. Aufl. durchges. von Studienrat Dr. M. Hauptmann. Mit96 Fig. i. T. (Bd. 940.)

Ebene Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Prof. p. Cranh. 4. Aufl. Mit 50 Fig. i. T. (Bd. 431.)

Sphärische Trigonometrie nebst Anwendungen zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Prof. p. Cranh. 2. Aufl. Veubearb. von Studienrat Dr. M. Hauptmann. Mit 114 gelösten Aufgaben, 67 Fig. u. einem Vomogramm des allgemeinen Kugeldreiecks. (Bd.605.)

Analytische Geometrie der Ebene zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Prof. p. Cranh. 4. Aufl., durchges. von Studienrat Dr. M. Hauptmann. Mit 55 Fig. i. T. (Bd. 504.)

Einführung in die darstellende Geometrie. Von Prof. p. B. Fischer. Mit59Fig. i. T. (Bd. 541.)

Angewandte Mathematik.

praktische Mathematik. Von Prof. Dr. R. Veuendorff. 2 Bd. I. Teil: Graphische Darstellungen. Verkürztes Rechnen. Das Rechnen mit Tabellen. Mechanische Rechenhilfsmittel. Kaufm. Rechnen im tägl. Leben. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 3. Aufl. Mit 29 Fig. i. T. u. 1 Taf. (Bd. 941.) II. Teil: Geometrisches Zeichnen, projektionslehre, Flächenmessung, Körpermessung. Mit 193 Fig. (Bd. 526.)

Die Rechenmaschinen und das Maschinenrechnen. Von Regierungsrat Dipl.-9ng. K. Lenz. (2. Aufl. erschien ausserhalb der Sammlung.)

Angewandte Mathematik.

Geometrisches Zeichnen. Von Oberschullehrer A. Schudeisky. Mt 172 Abb. i. T. u. auf 12 Taf. (Bd. 566.)

profektionslehre. Die rechtwinklige Parallelprofektion und ihre Anwendung auf die Darstellung technischer Gebilde nebst einem Anhang über die schiefwinklige Parallelprojektion in kurzer leichtfastlicher Darstellung für Selbstunterricht und Schulgebrauch. Von Oberschullehrer A. Schudeisky. 2. Aust. Mt 165 Abb. i. T. (Bd. 564.)

Die Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. K. Doeh lemann. 3., durchges. Aust. Mt 9! Zig. u. 11 Abb. (Bd. 510.) Graphisches Rechnen. Von Studienrat O.prölst. Mit l64Zig. i. T. (Bd. 706.) Maste und Messen. Von Dr. W. Block. Mt 34 Abb. (Bd. 385.)

Die Landmessung. Von Geh. Zinanzrat Z. Suckow. Mit 69 Zeichnungen i. T. (Bd. 608.)

Photogrammetrie (Einfache Stereo- und Lustphotogrammetrie). Von Dr.-9ng. H. Lüscher. Mt 76 Zig. i. T. u. auf 2 Taf. (Bd. 612.)

Kartenkunde. Von Zinanzrat Dr. A. Egerer. I. Einführung in das Kartenverständnis. Mt 49 Abb. i. T. (Bd. 610.)

Nautik. Von Dir. Dr. Z. Möller. 2. Aufl. Mit 64 Zig.!. T. u. 1 Seetatte. (Bd. 255.)

Mathematische Spiele.

Mathematische Spiele. Von Dr. W. Nh re ns. 5. Aufl. Mt 1 Titelbild u. 78 Zig. (Bd. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. Lange. 4. Aufl. Mit einer Schachbrett-Taf. u. 43 Diagrammen. (Bd. 281.)

Geschichte.

Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin im klassischen Altertum. Von

Prof. Dr. (lob. L. Heiberg. 2. Aufl. Mit 2 Zig. (Bd. 370.)    ,

Astronomie und Astrologie.

Der Bau des Weltalls. Von Prof. Dr. Z. Scheiner. 5. Aufl. Bearb. von Prof. Dr. p. Guthnick. Mit 28 Zig. i. T. (Bd. 24.)

Weltentstehung in Sage und Wissenschaft. Von Prof. Dr. K. Ziegler u. Prof. Dr. S. Oppenheim. Mit 4 Zig. i. T.. (Bd. 719.)

Weltuntergang in Sage und Wissenschaft. Von Prof. Dr. K. Ziegler, u. Prof. Dr, S. Oppenheim. (Bd. 720.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Von Prof. Dr. S. Oppenheim. I. Teil: Vom Altertum bis zur Neuzeit. 3. Aufl. Mit 16 Abb. (Bd. 444.) 11. Teil: Moderne Astronomie 2. Aufl. Mit 9 Zig. i. T. u. 1 Taf. (Bd. 445.)

Astronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Leben. Von Prof. Dr. A. Marcuse. 2. Aufl. Mit 26 Abb. (Bd. 378.)

Die Planeten. Von Prof. Dr. B. peter. Mit 16 Zig. 2. Aufl. von Obsew. Dr. H. Naumann. (Bd. 240.)

Meteorologie.

Einführung in die Wetterkunde. Von Prof. Dr. L. Weber. 3. Aufl. von »Wind u. Wetter". Mit 28 Abb. i. T. u. 3 Taf. (Bd. 55.)

Unser Wetter. Einführung hu^te Klimatologie Deutschlands an der Hand von Wetterkarten. Von Dr. R. Hennig. 2. Aufl. Mit 46 Abb. i. T. (Bd. 349.)

Weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.

Aus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

739. Bändchen

Lehrbuch der Rechenvorteile

Schnellrechnen und Rechenkunst

Mit zahlreichen Nbungsbeispielen von

Ingenieur Dr. phil. Bojko

Zweite Auflag

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Verlag und Druck von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1926

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Schuhformel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1926 by B. G. Teubner in Leipzig

Alle Aechte, einschließlich des Nberfehungsrechts, vorbehalten

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Vorwort.

Alle praktischen Rechnungen und die meisten wissenschaftlichen Aufgaben in Mathematik, Naturwissenschaft und Technik erfordern numerisches d. h. zahlenmäßiges Rechnen. Es ist daher fraglos für jedermann von Vorteil, Rechenverfahren zu kennen, die vorteilhafter und schneller zum Ziele führen als die in den Schulen gelernten Verfahren. Da nur geringe Vorkenntnisse zum Verständnis des vorliegenden Buches vorausgesetzt werden, dürfte es sicherlich weiten Kreisen zugänglich und wegen der vielen Übungsbeispiele auch zum Selbstunterricht geeignet sein. Die dargelegten Rechenvorteile habe ich selbst viele Jahre hindurch erprobt und mit bestem Erfolge im mathematischen und elektrotechnischen Unterricht mit meinen Schülern eingeübt.

An dieser Stelle möchte ich noch meinem verehrten Fachkollegen Oberlehrer Dr. E. Freund in Oppeln aufrichtigen Dank für seine bereitwillige Unterstützung bei' der Redaktion dieses Buches aussprechen, ebenso allen denen, die freundliche Anregungen für Verbesserungen oder Ergänzungen gegeben haben. Sie sind in der nun vorliegenden neuen Auflage, soweit sie angebracht und in dem durch Zwecke und Umfang der Sammlungsbände gegebenen Rahmen erfüllbar erschienen, auch berücksichtigt worden.

I. Bojko.

Juni, 1926.

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Einleitung

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Seite

Erster Teil.

A.Ebbitiottuitb Subtraktion.

1.    Addition........

2.    Das arithmetische Mittel .    10

3.    Subtraktion

12

B. Multiplikation.

4.    Die erste Ziffer sei bei beiden Faktoren die gleiche . . .

5.    Ergänzungen und Überschüsse .........

6.    Ein Zahlenfaktor sei 25 oder

dessen Vielfaches.....

7.    Die Zahlen 11, 12, 13, 14

und 15 werden als einstellige aufgefaßt......

8.    Allgemeines......

9.    Zweistellige Faktoren mal

zweistellige.......

10.    Zweistellige Faktoren mal

dreistellige.......

11.    Zweistellige Faktoren mal

vierstellige.......

12.    Zweistellige Faktoren mal

fünfstellige.......

13.    Beide Faktoren seien dreistellig .........

14.    Dreistellige Faktoren mal

vierstellige.......

15.    Dreistellige Faktoren mal

fünfstellige.......

14

16

20

16.    Vier- und fünfstellige Faktoren

17.    Angenäherte Multiplikation 34

18.    Abgekürzte Multiplikation

von Dezimalbrüchen ...    36

C. Division.

19.    Divisor 5; Divisor 25;

Divisor 50 und 500 ...    41

20.    Divisor 125; Divisor 250 42

21.    Divisor 75; Divisor 15. . 44

22.    Divisor 376; Divisor 625 44

23.    Divisor 11 bis 15 als einstellige Zahl aufgefaßt . . 45

24.    Angenäherte Division . . 46

25.    Abgekürzte Division von Dezimalbrüchen

. 33

46

26

28

29

30

31

31

31

32

32

D. Potenzieren.

I. Quadrieren.

26.    Allgemeines......

27.    Quadratbildung von Zahlen

mit Endziffer 5.....

Das 25er System.

28.    Quadrate der Zahlen 25

bis 75.........

29.    Quadrate der Zahlen 75

bis 125........

30.    Quadrate der Zahlen 125

bis 175........

31.    Quadrate der Zahlen 175

bis 225 ........

50

52

53

54

55

56

Seite

32.    Quadrate der Zahlen 225

bis 275 ........

33.    Wiederholungsbeispiele . .    57

34.    Quadrate der Zahlen 250

bis 750 ........

35.    Quadrate der Zahlen 750

bis 1250 ........

36.    Übungen und Wiederholungsbeispiele ......

37.    Quadrate der Zahlen 1250

bis 1750 ........

38.    Quadrate der Zahlen 1750

bis 2250 ........

39.    Quadrate der Zahlen 2250

bis 2500 ........

40.    Übungen........

41.    Dezimalbrüche. — Angenähertes Quadrieren .... 66

56

59

61

51.    Die Ziffernzahl.....

52.    Die Endziffer......

53.    Endquersumme oder Neunerrest .........

54.    Elferrest........

55.    Logarithmen......

Seite

79

80

81

83

83

62

63

64

65

66

II. Dritte Potenz.

42.    Allgemeines.....

43.    Zahlen mit Endziffer 5    .    69

44.    Höhere Potenzen ....    70

67

Zweiter Teil.

E. Die Neuner- und Elferprobe.

45.    Allgemeines......

49.    Elferprobe.

73

77

II. Ungerade Wurzelexponenten.

56.    3. Wurzel

57.    5. Wurzel

58.    7. Wurzel

59.    11. Wurzel

60.    13. Wurzel

61.    Höhere Wurzeln ....    91

62.    Wurzeln mit dreistelliger Basis

III. Gerade Wurzelexponenten.

86

88

89

90

90

91

63.    Allgemeines

64.    Zwei- und dreistellige Basis 93

65.    Vierte und höhere Wurzeln 97

66.    Effektvolle Lösungen ...    97

67.    Näherungsweises Wurzelausziehen

Dritter Teil.

G. Anwendungen.

92

99

F. Das Radizieren.

I. Hilfsmittel.

50. Allgemeine Vorbemerkungen ........

77

68.    Planimetrie

69.    Stereometrie .

70.    Trigonometrie

71.    Zinseszinsrechnung . . . 108

72.    Schnelligkeitsversuche. . . 108

73.    Einige bemerkenswerte Zah-leneigenschaften

103

104

106

110

Einleitung.

Zu beachten:

1.    Da das Schnellrechnen bzw. die mannigfachsten Rechenvorteile in den Schulen nicht genügend gelehrt werden, so muß das vorliegende Buch — soll es seinen Zweck erfüllen — nicht nur Regeln angeben und Fingerzeige bieten, sondern häufig auch den Lehrer ersetzen, daher die zahlreichen Beispiele und ausführliche Behandlung des Stoffes. Sollte sich jedoch der Mathematiklehrer einer Mittel-, technischen oder Handelsschule, den Wert des Schnellrechnens erkennend, entschließen, dieses oder jenes Kapitel den Schülern vorzutragen und vor allem dessen Inhalt einzuüben, so kann dies natürlich nur erwünscht sein und zum Vorteil der Schüler gereichen.

2.    Für wen ist dieses Buch geschrieben?

Eigentlich für jeden, der mehr oder weniger häufig, sei es in der Schule, sei es beim Fachunterricht oder im praktischen Leben, zahlenmäßig zu rechnen hat. Der Studierende der Mittelschule, der Fach-und Hochschüler, der Kaufmann sowie der Techniker, der Chemiker sowie der Baumeister usw., jeder wird das Gelernte mit Nutzen anwenden können. Besonders aber dürfte dieses Buch für den Techniker und den Kaufmann während deren Studienzeit und in ihrer Praxis eine willkommene Hilfsquelle sein.

3.    Die schriftliche Darlegung bringt es mit sich, daß manche Rechenvorteile nicht genügend zur Geltung kommen; häufig hat es gar den Anschein, als ob keine Zeit- und Raumersparnis erzielt wäre. Das ist aber, wie gesagt, nur Schein und ist durch die ausführliche Beschreibung erklärlich; beim mündlichen Unterricht fällt dieser Nachteil weg.

4.    Wer Stenographie lernt, wird, solange er noch nicht genügende Übung besitzt, in bezug auf Schnelligkeit kaum mit der gewöhnlichen Schrift in Wettbewerb treten können; der Anfänger im Rechnen mit dem Rechenschieber wird sich zufrieden geben, wenn er die

Schnelligkeit und Sicherheit, die er beim Rechnen ohne dieses Hilfsmittel besitzt, erreichen kann. Wer wollte jedoch die Vorteile der soeben erwähnten Hilfsmittel leugnen? Aber alles will gelernt und geübt sein; die Stenographie wird in den Handelsschulen u. dgl., die Handhabung des Rechenschiebers auf den technischenLehranstalten gelehrt, es wird hierfür etwa während eines Semesters eine Stunde wöchentlich angesetzt. Man wundere sich nach diesem durchaus nicht, wenn nach dem flüchtigen „Lesen" der mannigfachen Rechenvorteile dieses Buches sich bei der ersten Anwendung keine wesentliche Zeitersparnis oder Vereinfachung bei den zu lösenden Aufgaben zeigen sollte. Man setze aber einmal in einer Schule dafür eine Stunde wöchentlich mit systematischen Übungen an, der Erfolg wird gewiß schon nach einigen Wochen nicht ausbleiben und sich in allen Fächern, wo es eben zahlenmäßig zu rechnen gibt (und das sind namentlich beim technischen Unterricht die meisten), zeigen. Die Fassung dieses Buches wird aber dem Leser ermöglichen, auch durch Selbstunterricht den Stoff zu erlernen, und er wird bereits nach kurzer Übung den Vorteil unbedingt merken. ,,EH' du in der Tafel oder im Kalender nachschlägst, habe ich die Quadratzahl bereits hingeschrieben", so weit konnte ich stets meine Schüler nach wenigen Ünterrichtsstunden bringen, abgesehen von den Vorteilen bei der abgekürzten Multiplikation, Division usw. usw. Freilich liegt es mir fern, den Wert der Tafeln und deren Benutzung irgendwie herabzusetzen. Der geübte Rechner soll über viele Hilfsmittel verfügen, er wird sie stets an der richtigen Stelle anzuwenden wissen.

5. Es ist nicht jedermanns Sache, Rechenkünstler zu sein, daher bleibt es jedem, je nach den Fähigkeiten usw., überlassen, inwieweit Nebenrechnungen im Kopfe oder schriftlich durchzuführen sind. Also wird der eine beispielsweise (vgl. S. 53) rechnen dürfen:

38² = 13^144 ---- 1444, d.h.zunächst 13 und 144 hinschreiben und dann 1444, der andere hingegen denkt sich im Kopfe 13 und 144 und schreibt das Ergebnis 1444 ohne jegliche Hilfszahlen hin.

Erster Teil.

A. Addition und Subtraktion.

1. Addition. Diese Rechnungsarten sind ja bereits die einfachsten und lassen sich daher im allgemeinen nicht noch weiter vereinfachen, wie wir beispielsweise durch Logarithmieren eine Multiplikation, eine Division usw.auf die einfacheren Rechenoperationen Addition, Subtraktion usw. zurückführen.

Genau wie wir zwei einstellige Zahlen addieren, lassen sich auch oft zwei zweistellige Zahlen in einem Überblick addieren. Man kann, wie etwa folgende Fälle zeigen, das Resultat ohne weiteres hinschreiben: 12 + 16 = 28, 15 + 33 = 48, 24 + 52 = 76, 41 + 53 = 94 usw.

Sind die Summanden etwas unbequeme Zahlen, so addiere man zu einem Summand zunächst die Einer des anderen und dann die Zehner desselben.

Z. B. 66 + 38 = 74 (66 + 8) + 30 = 104 49 + 73 ----- 52 + 70 = 122 usw.

Hiernach sind folgende Aufgaben leicht zu behandeln. 524 + 22 = 546; 842 + 14 = 856;4526+ 13 = 4539usw. Ebenso274+ 67 = 281 + 60 = 341; 658 + 38 = 666 + 30 = 696; 533 + 324 = 557 + 300 = 857; 3624 + 512 = 3636 + 500 = 4136; 764 + 478 = 772 + 470 = 842 + 400 = 1242.

Wenn die Summanden oder deren letzte Stellen in der Nähe von 10, 100, 1000, 10000 usw. liegen, so rechne man zweckmäßig mit Ergänzungen: es wird also statt des Summanden eine passende runde Zahl addiert und dann die Ergänzung subtrahiert. Freilich darf das nur dann geschehen, wenn die Ergänzung sofort überblickt und die Subtraktion rasch mit genügender Sicherheit ausgeführt werden kann. Überhaupt sei an dieser Stelle bemerkt, daß jeder Vorteil seinen Wert verliert oder gar in einen „Nachteil" ausartet, sobald man erst nachdenken muß oder neue Fehlerquellen sich öffnen. Demgegenüber ist nicht zu vergessen, daß die meisten brauchbaren Rechenvorteile erst eingeübt werden müssen, um bei praktischen Aufgaben zur Geltung zu gelangen.

Beispiele. 92 + 66 = 166 — 8 = 158; 89 + 74 = 174 — 11 = 163.

Es kann auch zuerst die Ergänzung vom zweiten Summanden abgezogen und dann 100 hinzugezählt werden, also: 89, 11; 74 ab 11 = 63, 163; 89 + 97; 97 — 11 = 86, 186. Oder 89-3 = 86; 186. 97 + 96 = 200 - (3 + 4) = 193 oder = 196 — 3 = 193. Weitere Beispiele: 979 + 443 = 1443 — 21 = 1422. 587 + 256 = 600 + (256 — 13) 243 = 843. 3498 + 6503 = 3500 + 6501 = 4001 + 6000 = 10001.

Sind mehrere Summanden zu addieren, so wird man, wenn möglich 2 bis 3, selten 4 Ziffern (der gleichen Vertikalreihe) zusammen-foffen, deren Summe = 10, 20, evtl. 30 ist.

Man kann zu diesem Zwecke gelegentlich eine Ziffer überspringen und diese hinterher berücksichtigen. Es empfiehlt sich auswendig zu merken, daß folgende Zahlentripel 20 ergeben:

2, 9, 9; 3, 8, 9; 4, 7, 9; 4, 8, 8; 5, 6, 9; 5, 7, 8; 6, 6, 8; 6, 7, 7.

87

48

(8 + 2) + 6 + (9 + l)

65

(7 + 8 + 5) + 3 + (9 + 9 + 2) + (4 + 5) = 20 + 3 + 20 + 9 = 52; 5+ 8+ (4 + 6) + 4 + 2 + 6 +(8+ 8 + 4) = 55.

43

29

69

82

84

45

+ 3+ (5 + 5)+ 4 = 10 und 6 ist 16 und 10 ist 26 und 3 ist 29 und 10 ist 39 und 4 ist 43; 4 + 4 ist 8 und 7 ist 15 und 5 ist 20 und 10 (8 + 2) ist 30 und 2 ist 32 und 10(4+5

552

423* + 1) = ⁴²-

Auch hier ist Bedingung, daß man die Summanden, deren Summe = 10, 20 oder 30 ist, nicht erst lange suchen muß; ferner dürfen diese Summanden nicht ausgesprochen werden, auch nicht im Gedanken „mitgesprochen" werden, wie etwa 9 + 9 + 2 = 20; vielmehr muß das bloße Ansehen der Ziffern, deren Addition sozusagen im Unterbewußtsein erfolgt, genügen, um die Summe 10, 20 usw. anzugeben. Würde ich hingegen im Gedanken addieren: 9 und 9 ist 18 und 2 = 20, dann könnte man natürlich durchaus nicht von einem „Vorteil" reden.

Ob es vorteilhaft ist, gelegentlich im Gedanken auch zwei oder drei Zahlen zusammenzufassen, deren Summe keine runde Zahl ist, muß dem Rechner selbst überlassen bleiben.

Im letzten Beispiel tat ich es für 4 + 5 = 9.

Sind Ziffern derselben Vertikalreihe einander gleich oder bestehen sie aus einigen Gruppen gleicher Ziffern, so ersetze man die Summation durch eine oder mehrere einfache Multiplikationen.

00 00 00 00 00 00

6 • 8 = 48; 4 und 6 = 10unb 10(8 + 2) = 20 und 20(4 + 9 + 7) = 40;

408.

312

408

Die ersten zwei Verti-328 kalreihen werden wie ge-327 wohnlich addiert, während 364 die dritte Reihe gefunden 343 wird: 6 - 3 ist 18 und 2 = 20; 2020.

346

2020

3,05 Jt

6.15    „ 7,40 „ 4,35 „ 2,05 „ 5,60 „

8.15    „ 9,75 „ 2,65 ,.

Gerade bei kaufmännischen Rechnungen können diese Fälle häufig vorkommen. In nebenstehendem Beispiele rechne man: 7 - 5 = 35 usw.

49,15 Jt

00, 25, 50 und 75 können durch lauter Viertel (von Hundert) ausgedrückt werden; 00=0, 25 = 7₄, 50=²/₄, 75 = ³/₄ vom Hundert. Also in unserem Beispiele:

1 und 2 ist 3 und 3 ist 6 und 1 ist 7 und 2 ist 9 und 1 ist 10undl ist llund 2 ist 13 und 1 ist 14; ¹⁴/₄=3^Hunderter = 50, 3 im Sinne; die weitere Addition geht wie

14.25    Jt

12.50    „

24,75 „

13.25    „

4,50 „

6,25 „

45.25    „ gewöhnlich und liefert in der nächsten Reihe 48 und dann

16.50    „    17. Daß man ebenso mit den Zahlen 20, 40, 60, 80

17,00 „ als Fünftel von Hundert, oder beispielsweise mit 12 7ä,

24.25    „    25, 377z, 50 usw. als Achtel von Hundert rechnen kann,

178,50 ~ji und wie weit man mit diesen Vereinfachungen zu gehen

hat, wird wohl der Leser selbst in jedem Einzelfalle

entscheiden können.

Bei technischen und kaufmännischen Rechnungen hat man häufig Gelegenheit, mehrere annähernd gleiche Zahlen zu summieren.

Es ist dann zweckmäßig, eine passende runde Zahl (am besten eine etwas kleinere als jeder einzelne Summand) als Mittelwert zu wählen, diesen mit der Anzahl der Summanden zu multiplizieren und die Summe der Abweichungen vom gewählten Mittel — die auch negativ sein können — hinzuzählen.

Beispiele.

43 = 40 + 3

Die positiven bzw. negativen Abweichungen vom l gewählten Mittelwert braucht man natürlich nicht auszuschreiben, wie hier der Deutlichkeit wegen ge-^ geschehen ist.

38    = 40 — 2

39    = 40 —

45 = 40 + 5

41    = 40 + 1

39 = 40 —

42    = 40 + 2 287 = 7 • 40 + 7.

8 + 3 + 2 — 3 — 1 + 4 = 13 unb 6 • 500 = 3013. 2 + 3 — 4 + 4 — 5 + 1 = 1 mtb 6-750 = 4501.

2. Das arithmetische Mittel, darunter versteht man die Summe zweier oder mehrerer Zahlen, dividiert durch die Anzahl derselben. Also: 42 und 36, arithmetisches Mittel (42 + 36): 2 = 78 : 2 = 39; 12,5 + 16,4 + 19,7 = 48,6; arithmetisches Mittel: 48,6 : 3 -----16,2.

Z B. 1,75 Häufig haben die Glieder, von denen der 1^73 Mittelwert gebildet werden soll, nur geringe Ab-1,78 Weichungen voneinander. In diesem Falle nehme 1 70 man schätzungsweise eine passende runde Zahl 1^71 als Mittelwert, am besten kleiner als der zu er-l'f74 wartende Mittelwert, an und bilde hierauf das 1^73 arithmetische Mittel der Abweichungen, wel-1^74 ches letztere zu der angenommenen Zahl addiert +75 Wird.

1,72 In nebenstehendem Beispiele liegen sämtliche Mittelwert 1/735 Werte zwischen 1,70 und 1,80; wir berück-sichtigen zunächst nur die Abweichungen von 1,70, das sind die Einer.

5 + 3 + 8+ 0 + 1+ 4 + 3 + 4 + 5 + 2 = 35; 35: 10 = 3,5; arithmetisches Mittel der zehn Werte: 1,735.

4,65 M

4.73    „

4,75 „ Abweichungen von4,70 abgesehenvomKomma:

4.67    „ — 5 + 3 + 5 — 3 + 8 + 4—-2+2 = 12, 4,78 ,. durch 8 = 1,5. Mittelwert: 4,715 JL rund

4.74    „ 4,71 Jt.

4.68    „

_4,72 „_

Mittelwert 4,715 ^ 4,71 eM.

2,99

2,97

2,98

2,93

2,96

2,94

2,99

2,96

2,93

In nebenstehendem Beispiele ist es vorteilhaft, die Abweichungen in bezug auf 3,00 zu bilden; und da sie sämtlich negativ sind, deren Mittelwert von 3,00 abzuziehen. Man erhält, abgesehen vom Komma:

1 + 3 + 2 + 7 + 4 + 6 + 1 +4 + 7 + 10 = 45; 45 :10 = 4,5;300 —4,5 = 295,5; arithmetisches Mittel: 2,955¹).

2,90

29,55 gleich dem arithmetischenMittel malAnzahlderGlieder.

Dies läßt sich bei Aufgaben folgender Art verwerten: 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50 + 55 + 60 + 65 =?

Eine Reihe von Zahlen, bei denen die Gesetzmäßigkeit besteht, daß die Differenz zweier aufeinander folgenden Zahlen konstant (unveränderlich) ist, wird als arithmetischeReihe bezeichnet. In unserem Beispiel 30 — 25 = 35 - 30 = 40 - 35 =... = 5; ist die Anzahl der Glieder ungerade, so bilde man das arithmetische Mittel und multipliziere mit der Anzahl der Glieder, ^ ⁶⁵ = 45, 9 4 5 = 405.

Unter allen Umständen ist die Summe sämtlicher Glieder

1) Wenn aus 10 Werten das arithmetische Mittel zu bilden ist, so addiere man diese (evtl, unter Beachtung der gleichen Ziffern) und verschiebe das Komma um eine Stelle nach links. Im letzten Beispiele ist die Summe 29,55, Mittelwert: 2,955.

Nun ist in diesem Falle das mittlere (hier das 5. Glied) = 45, gleich dem arithmetischen Mittel der Endglieder. Die Regel wird demnach noch einfacher: Die Summe einer arithmetischen Reihe mit einer ungeraden Anzahl von Gliedern ist gleich dem mittleren Gliede mal Anzahl der Glieder.

Bei einer geraden Anzahl von Gliedern ist die Summe der arithmetischen Reihe gleich der Summe des ersten und letzten Gliedes mal der halben Anzahl der Glieder.

36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 = (36 + 56) - 3 = 3 • 92 = 276.

1 i 99

Beispiele. Berechne die Summe aller Zahlen von 1-99; —^—=50;

50 • 99 = 4950. Die Summe aller ungeraden Zahlen bis 20?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19=?

1 + 19 = 20; Anzahl der Glieder durch 2 = 10:2 = 5; 5-20=100

3. Subtraktion. Vielfach addiert man statt zu subtrahieren.

8965 In nebenstehendem Beispiele: Von rechts angefangen 4 und — 3674 1 = 5, 7 und 9 = 16, 1 im Sinne; 1 und 6 = 7 und

5291 2 = 9; 3 und 5=8.

So zählen die meisten Kaufleute beim Herausgeben von dem zu zahlenden Betrag weiter, bis der tatsächlich gezahlte — größere als der zu zahlende — Betrag erreicht ist, was eine Subtraktion ersetzen soll. Z. B. Gekauft Ware für 3,64 Jl, herauszugeben sei auf 20,— Jt\ hier müßte man naturgemäß den zu zahlenden Betrag von 20,— Jl subtrahieren. Statt dessen zählt der Kaufmann beispielsweise: 3,64 Jl unb 6 ist 3,70 Jl und 30-P ist 4 Jl und 6 Jl ist 10 Jl und 10 Jl ist 20 Jl, d. h. er addiert zu 3,64 Jl solange, bis der gezahlte Betrag von 20 Jl erreicht ist.

100,00 Jl 8,35"”

14,55 „ Addition ist besonders vorteilhaft, wenn 7,50 „ mehrere Zahlen von einer Zahl zu sub-— ■ 26,45 „ trahieren sind. Die Subtrahenden wer-9,70 „ den addiert und Ziffer für Ziffer auf 18,85 „ den Minuenden ergänzt (s. nebenstehen-2,15 „ des Beispiel).

12,45 Jl

6484

572

484

566

321

248

36

3233

Das Ersetzen der Subtraktion durch

Man rechne also: 9 + 5 + 6 + 8 + 1 + 6 + 4 + 2 = 41 und 3=44,

4 gemerkt; 4 + 4 + 7 + 3 + 4 + 2 + 6 + 8 + 7 = 45 „ 3 = 48 „    ; 4 + 8 + 1 + 2 + 3 + 5+ 4+ 5=32 „ 2 = 34,

„    ; 3 + 3 = 6.

Ebenso verfährt man im zweiten Beispiel, wo von 100 Ji sieben einzelne Posten abzuziehen sind. Man erhält unmittelbar die Differenz 12,45 Jt, ohne die Summe der einzelnen Subtrahenden = 87,55 Jl zu kennen.

Liegt der Subtrahend in der Nähe einer passenden runden Zahl, so kann man diese subtrahieren und die Ergänzung addieren.

Ergänzung auf 3000, 3000 = 2988 + 12; 6457 = 3000 + 3457; 3457 + 12 = 3469. 15876 - 4946 = 10876 + 54 = 10930.

Z. B. 6457 — 2988

3469

Allgemein: zu berechnen sei die Differenz zweier Zahlen a und b, wobei b in der Nähe einer passenden runden Zahl c liegt; man setze b = c — d und erhält: a — b = a — (c — d) = a — c + <Z.

Auch im Kopfe kann man zweckmäßig addieren statt subtrahieren; also 264—82 wäre zu rechnen 82 und 2 = 84, 84 und 180 = 264; 264 — 82 = 182.

324 - 168; 168 und 6 ist 174 und 150 = 324; 324 — 168 = 156. 2463 — 997 = 1463 + 3 = 1466.

Wenn sich zwei oder mehrere Endziffern im Minuend und Subtrahend decken, wird man die Rechnung wesentlich vereinfachen können.

4563 — 1363 = 4500 — 1300 = 3200.

(Sprich: 45 Hunderter — 13 Hunderter = 32 Hunderter = 3200).

19468 — 3668 = 19400 - 3600 = 15800.

37684 — 11684; 37 tausend — 11 tausend = 26 tausend = 26000.

Bei mehreren Addenden und Subtrahenden wird man suchen, je nach deren Beschaffenheit, von den bisher dargelegten Rechenvorteilen Gebrauch zu machen. Die Beschaffenheit der Einzelglieder entscheidet auch darüber, ob es vorteilhafter ist, jeden Subtrahenden der Reihe nach oder sämtliche Subtrahenden zusammenzuzählen und dann von den mit dem Pluszeichen versehenen Gliedern zu subtrahieren.

Z. B. 2442 — 120 — 240 — 120 — 120 = 2442 — 600

(= 5 - 120) = 1843:

327 + 248 + 664 — 148 - 307 - 364 = 20 + 100 +300 = 420,

Häufig hat man von einer Zahl, die aus einer 1 und einigen Nullerl besteht, eine andere Zahl zu subtrahieren,

z. B.

1000 — 346 = 654.

Man denke sich jede Ziffer von links nach rechts von 9 subtrahiert (oder auf 9 ergänzt) und füge zur letzten so erhaltenen Ziffer noch 1 hinzu, also:

3 und 6 = 9; 4 und 5 = 9; 6 und 3 = 9; 3 + 1 = 4. Ebenso findet man 10000 — 4388 = 5612.

Diese Aufgaben kommen vor beim Herausgeben auf 10,— Jl = 1000 Pf., 100,- Jt = 10000 Pf. usw. (Vgl. S. 12).

Die Probe kann bei der Addition vorgenommen werden, indem man einmal von oben nach unten und dann von unten nach oben addiert. Besteht eine Addition, wie dies in Kontobüchern vorzukommen pflegt, aus einer so großen Reihe von Summanden, daß die Rechnung unübersichtlich wird, wodurch die Sicherheit verloren geht, so unterteilt man am besten die ganze Reihe in einige Gruppen, summiert jede Gruppe für sich und bildet dann die Summe der letzteren.

B. Multiplikation.

Diese Rechnungsart bildet den Angelpunkt im bürgerlichen, kaufmännischen und technischen Rechnen. Wenn man von Schnellrechnern spricht — um nicht Rechenkünstler zu sagen — meint man auch in der Regel, daß diese rasch im Kopfe oder vereinfacht auf Papier multiplizieren können.

Der Grund hierfür ist leicht einzusehen; denn abgesehen von den zwei ersten Rechnungsarten, die eben die einfachsten sind, nimmt die Multiplikation als solche infolge ihrer häufigen Anwendung in Schule und Praxis einen sehr wichtigen Platz ein. Ferner ist das Potenzieren ja nur ein Spezialfall der Multiplikation; endlich kehrt letztere als Bestandteil beim Dividieren und Wurzelziehen wieder.

4. Die erste Ziffer sei bei beiden Faktoren die gleiche.

10 -10 bis 20 - 20.

Beispiele.

12 - 13 = ?

12 + 3=15 Zehner 2 - 3 =

13 - 17 = ? 13+7= 20 Zehner 3 - 7 =

21 Einer

6 Einer

13 • 17 = 221

12 • 13 = 156

12+3 2 3

oder 12 13 = 156

Ebenso

12 - 16 = 18^12 = 192

Der Rechnungsvorgang spielt sich rasch im Kopfe etwa folgendermaßen ab: 18; 180 und 12 = 192.

Regel: Man addiere die Einer des zweiten Faktors zu dem ersten und hänge eine Null an, zu der so gebildeten Zahl addiere man das Produkt der Einer beider Faktoren.

Allgemein läßt sich diese Regel so fassen:

Man addiere die Einer des zweiten Faktors zum ersten Faktor, multipliziere mit den Zehnern und hänge eine Null an; zu der so gebildeten Zahl addiere man das Produkt der Einer beider Faktoren.

Beispiele.

•    36 = ?

. 3 = 114;    1140

•    6 =

CO CO

24    - 21 = ?

24+ 1 = 25

12

25    • 2 = 50;

1152

4 - 1 = . . .

24 -

504

rH Ol

to fco

23 -

Kürzer gefaßt:

= 506

[(23 + 2) 2 = 50, 2-3 = 6] 34 • 38 = ?

52 - 56    ?

32 - 36 = 114^12 = 1152

CO IO

42 -    = 126    1260 und 32 = 1292.

58 •

= 290    2900    und 12    --- 2912,

oder    58 : 2    = 29 Hunderter, 2 • 6 = 12 Einer, 52 56    = 2912.

62:2 4 • 8

Ebenso 54 • 58 = 31 32

Es seien m = 10a + b und n = 10a + c 2 zweistellige Zahlen, bei denen die erste Ziffer die gleiche ist, dann ist:

n ----- (10a + b) • (10a + e) ----- 100a² + 10ab + 10ac + bc — 10a [(lOa    +    ö) + cj + bc ----- 10a {th + c) +    bc.

$a m +    c gleich    ist    dem 1. Faktor, vermehrt um die    Einer des

zweiten und bc gleich ist dem Produkt der Einer beider Faktoren, findet man leicht die Übereinstimmung mit der oben angegebenen Regel.

Sind die Endziffern beider Faktoren größer als 5, so kann es von Vorteil sein, die Rechnung durch Ergänzung auf die nächst höhere Zehnerzahl durchzuführen.

Z. B. 17 - 19 rechne man so: an 20 fehlen bei beiden Faktoren bezüglich 3 und 1; diese Zahlen werden miteinander multipliziert,

3-1 = 3.

ANuG. 739: Bojko, Rechenvorteile. 2 Aufl.

Vom ersten Faktor subtrahiere man das beim zweiten Faktor an 20 Fehlende und multipliziere mit 2 (nächst höhere Zehnerzahl), hänge eine Null an und addiere das obige Produkt.

17-1 = 16; 2-16 = 32..;    320,

2 16 1 -3

17 • 19 = 323. Kürzer: 17 • 19 = 323.

Auch hier ist wiederum die wirkliche Durchführung der Rechnung bedeutend einfacher, als es in Worten ausgesprochen erscheinen mag.

(17 - 2) - 2 3 - 2

17 - 18 = 306,

4 35 3 2

37 - 38 = 1406,

44 5 4 2

46 • 48 = 2208.

Die Multiplikation wird nach den bisherigen Regeln unbequem, sobald die Faktoren etwa größer als 60 sind, namentlich aber, wenn einer oder beide Faktoren in die Nähe von 100 rücken. Man rechne daher in diesen Fällen nach den im folgenden entwickelten Regeln.

5. Ergänzungen und Überschüsse.

Ergänzung ist eine Zahl, die man zu einer gegebenen Zahl hinzufügen muß, um eine für die Rechnung geeignete runde Zahl zu erhalten. Z. B. 88, Ergänzung 12 (bezogen auf 100),

491,    „    9 (    „    „    500).

Überschuß ist ein Betrag, um den eine gegebene Zahl größer ist, als eine für die Rechnung geeignete runde Zahl, z. B. 106, Überschuß 6 (bezogen auf 100),

513,    „    13 ( „    „ 500).

91 • 97 =

97,

? Regel: Man subtrahiere von dem ersten 91, Ergänzung 9 Faktor die Ergänzung des zweiten, hänge zwei 3 Nullen an und addiere hierzu das Produkt der 91— 3 =    88 Ergänzungen.

99 • 3 =    27 Das Anhängen von zwei Nullen kann natur-

9lT~97~Z 8827 gemäß erfolgen, indem man eine zu addierende zweistellige Zahl „ansetzt":

8800 + 27 = 8827.

Beispiele. 93-98 = 9 114(93 — 2 = 91, 2-7 = 14); 87-89 = ? 87 - 11 = 76,    11 - 13 = 143,    87 - 89 = 76^143 = 7743.

Hier brauchen die Zehner beider Faktoren nicht übereinzustimmen. Vielmehr ist obige Regel stets anwendbar, sobald die Ergänzungen so beschaffen sind, daß ihr Produkt leicht zu bilden ist.

86-3 3 14

Z. B. 86 - 97 = 8342

77-4 4-23

77 . 96 = 7392

136 ----- 7636

168 ----- 7568

87 • 94 = 8178 (87 — .6 = 81, 13 • 6 = 78) 83 - 92 ----- 75 86 • 88 = 74

Beweis zu der oben angegebenen Regel. Es seien M ----- 100 — 5 und n ----- 100 — c 2 zweistellige Zahlen, dann ist:

n ----- (100 - 5) - (100 — c) = 100 • 100 - 1005 — 100c + 5c = 100 [(100 — 5) - c] + 5c = 100 (ni - c) + 5c.

Da nr — c gleich ist dem 1. Faktor, vermindert um die Einer des zweiten und bc gleich ist dem Produkt der Einer beider Faktoren, findet man leicht die Übereinstimmung mit der früher angegebenen Regel.

Wir gehen nun über zu Faktoren, die größer sind als 100.

Z. B. 107 - 109 ---- ?

107 + 9 = 116;    11600 tor den Uberschuß des zweiten, hänge

zwei Nullen an und addiere zu der so ^ erhaltenen ZahldasProduktderÜber-

Regel: Man addiere zum ersten Fak-

107 • 109 = .. . . 11663 schüsse.

124 . .    12400, 11 13 = 143 (Vgl. S. 14);

111 - 113 = 12543.

Beispiele. 104.123 ----- 12792(104 + 23 = 127,4-23 = 92) 111 • 113 = ?

106-123 = 129 112-118 = 130^216 = 13216

138 = 13038

103-142 = 145^126 = 14626

102 + 37 2-37

102-137 = 13974

Der Beweis zu dieser Regel ist analog dem Beweis auf Seite 15, wenn man a ----- 10, demnach 10 a = 100 setzt.

In entsprechender Weise rechne man:

88 - 107 ----- 9500 — 84 = 9416 93 • 106 = 9900 -42 = 9858 89 • 115 = 10400 — 165 = 10235 Bei den letzten Beispielen sei m ----- 100 — 5 und n = 100 + c; man erhält dann nach entsprechender Zwischenrechnung:

mn ----- 100 (m + c) — 5 c, oder: mn ----- 100 (n — 5) — 5c.

Auch für Zahlen in der Nähe von Tausend gelten sinngemäß dieselben Regeln.

976-3 3- 24

Beispiele. 976 • 997 ----- 973072; 988 • 993 = 981084;

825-4 4-175

966 - 995 = 961 170;    825 • 996 ----- 821 700.

1004 - 1027 = 1031108 (1004 + 27 = 1031, 4 • 27 = 108!) 1007 - 1034 ---- 1041238 (1007 + 34, 7 • 34).

1012 - 1025 ---- 1037300

1031 - 1032 ----- 1063992 (31 • 32 vgl. S. 15).

Liegen die Faktoren in der Nähe der Zahlen 50, 500 usw., so läßt sich ebenfalls mit Ergänzungen rechnen, sobald nur das Produkt dieser Ergänzungen bequem zu bilden ist; dies ist aber sicher der Fall für Ergänzungen, die kleiner sind als 20 (vgl. S. 14).

Z. B. 44 - 48    44 — 2 ----- 42, 42 • 5 = 210 . . . 2100,

(Hier würde es einfacher sein, 42 durch 2 zu dividieren und mit 100 zu multiplizieren, f = 21 Hunderter), 6 • 2 = 12, mithin 44 • 48 = 2112.

00

CO CO

Beispiele.

- 46 -- 1748 (38 — 4 = 34; :2 = 17;g 12 • 4 = 48);

39 48 = 1850 + 22 = 1872; 54 • 58 = 3132;

54 f 8; 62; 31; 4 • 8 = 32;

69:2    6 • 13

56 - 63 = 3450 + 78 = 3528; 54 • 74 = 3996

(78 : 2 = 39, 4 • 24 = 96); 61 • 63 = 37^143 = 3843; (Auch: 60 • 63 = 3780,

3780 + 63 = 3843);

492 • 496 = ? m = 244; 8 • 4 = 32;

492 • 496 = 244032;

491 • 498 = 244518 (489 : 2 = 244,5; 9 • 2 = 18!)

474:2 4-22

478    • 496 = 237088;

479    - 495 = 237105;

483 - 488 = 2 355'~'204 = 235704;

466 • 494 = 230204.

Ebenso:

507 • 509 = 258063 = 258, 7 • 9 = 63);

502    • 513 = 257526

(515 : 2 = 257,5; 2-13 = 26!) 509 - 511 = 260099;

512 • 513 = 2625^156 = 262656;

503    • 531 = 267093;

508 - 535 = 2715^280 = 271780 usw.

Nunmehr stelle ich die Regeln zusammen, nach denen wir auf den letzten Seiten gerechnet haben.

I.    Regel. Für Zahlenfaktoren, die in der Nähe von 50 liegen und kleiner als diese sind. Subtrahiere vom ersten Faktor die Ergänzung des zweiten, dividiere durch 2, hänge 2 Nullen an und addiere zu dieser Zahl das Produkt der Ergänzungen.

II.    Regel. Für Zahlenfaktoren, die in der Nähe von 50 liegen und größer als diese Zahl sind. Addiere zum ersten Faktor den Überschuß des zweiten, dividiere die Summe durch 2, hänge 2 Nullen an und addiere zu dieser Zahl das Produkt der Überschüsse.

Ia. Regel. Für Zahlen, bte in der Nähe von 500 liegen, verfahre man genau wie bei l. bzw. II., nur sind 3 Nullen anstatt 2 Nullen anzuhängen.

Anmerkung. Für die Vorstellung ist es mitunter einfacher, anstatt an eine Zahl 1, 2 oder 3 Nullen anzuhängen, die Zahl als Zehner, Hunderter, Tausender usw. aufzufassen.

Die bisherigen Regeln lassen sich folgerichtig auch auf Faktoren in der Nähe von 5000, 50000 usw., ebenso entsprechend auf Faktoren in der Nähe von 10000,100 000... anwenden, wenn nur die Ergänzungen, bzw. die Überschüsse, so beschaffen sind, daß ihre Produkte sich leicht bildenlassen.

Die Anzahl der anzuhängenden Nullen vergrößert sich entsprechend auf 4, 5 usw.

4774:2 223 3

4777 - 4997 = 23870669

4184:2 4-812

4188.4996 = 20923248

5020:2 8-12

5012.5008 = 25100096 5014 - 5018 = 25160252 5009 - 5112 = 2505^1008 = 25606008 5026 - 5029 = 25275754 (5055 : 2 = 2527,5; 26 • 29 = 754)

5004 - 5336 = 26 701344 5006 - 5225 = 26155^1350 = 26156350

Beispiele.

4968 - 4994 = ?

Mp ₌ 2481, 32 • 6 = 192 4968 - 4994 = 24810192 4976 - 4979 = 24775504 = 2477,5; 24 - 21 = 504 (Vgl. S. 15)

4970:2 18-12

4982 - 4988 = 24850216 4893 • 4994 = 24435 642 (4887 : 2 = 2443,5; 6 • 107 = 642)

Ebenso rechne man:

9946-8 8-54

9946 - 9992 = 99380432

9976 - 9972 = 99480672 9954 - 9958 = 99121932

CO

^ fco fco 00

tH

l>- CO CO 05

10006 + 9 6 9

Selbst wenn man etwa bei den letzten Beispielen die Produkte der Ergänzungen 24 - 28 = 672 und 46 • 42 = 1932 nicht im Kopfe, sondern als kleine Nebenrechnung, rechnen würde, wäre dieses Verfahren noch empfehlenswert.

Ebenso:

10006 - 10009 = 100150054

10013 - 10019 = 100320247

10022 - 10027 = 100490594 (22 • 27 vgl. S. 15)

10087 - 10093 = 101808091

87    7 7 13

10087 + 93 = 10180; 87 - 93 ----- 8091 (vgl. S. 16) 10012 - 10225 = 102 372 700

11 64

10011 • 10064 ----- 100 750 704

7 500 3 750

150 - 75

10075 • 10150 ----- 10225^11250 ----- 102261250

11250

Es erübrigt sich wohl, Beispiele für noch größere Zahlen anzuführen.

Übung. Berechne folgende Produkte: 11 • 18, 12 • 15, 34 • 27, 33-37, 107-108, 109-115, 1008-1012, 1013-1019, 83-88, 86 • 97, 79 • 98, 76 • 98, 69 • 99, 83 • 95, 988 • 993, 982 • 983, 9978 • 9989, 9906 • 9993; 507 • 508, 467 • 497, 491 • 498, 506 - 512, 505 • 567, 5007 • 5034, 5006 • 5086, 10009 • 10824, 10025 • 10225

6. Ein Zahlenfaktor sei 25 oder dessen Vielfaches. Es sei erinnert, daß die Multiplikation einer Zahl mit 100, 1000, 10000 usw. durch Anhängen von 2, 3, 4 usw. Nullen erfolgt und daß überhaupt die Multiplikation wesentlich vereinfacht wird, sobald ein Faktor mit einer oder mehreren Nullen endet, indem bei der wirklichen Multiplikation weniger Stellen in Frage kommen als der Faktor insgesamt enthält. Soll beispielsweise das Produkt 18000 • 486 ermittelt werden, so bilden wir bekanntlich das Produkt 18 • 486 und hängen hieran 3 Nullen an.

Bedenkt man, daß 25 = % • 100, 50 = y, • 100, 75 = % • 100, 125 --- y₈ • 1000, 250 = y, • 1000 usw., so lassen sich Multiplika-

Weitere Beispiele.

tionen, bei denen etwa der Multiplikator ein passendes Vielfaches von 25 ist, bequem ausführen.

Beispiele.

25 ■ 88 = 2200 [y = 22; 25 • 88 = 22 mal Hundert = 2200.]

25 . 96 = 2400; 25 • 84 = 2100.

Ebenso: 25 • 73 = 1825; 73 :4 = 18 Rest 1, folglich:    25 • 73 = 1800 + 25 = 1825.

25 - 147 = 3675.

Man dividiere 147 durch 4 und erhält zunächst 36, Rest 3; durch Anhängen von Nullen wird jedoch die Division fortgesetzt, bis der Rest gleich Null wird. Man kann demnach das Produkt 3 6 7 5 Ziffer für Ziffer von links nach rechts hinschreiben.

25 - 14 764 -- 369 100 25 • 68 225 = 1 705 625 usw 125 • 232 = 29 000 (232 : 8 = 29!)

125 • 393 = 49 125 125 • 864 = 108 000 125 • 971 = 121 375

25 • 256 = 6400 25 - 763 -- 19075 (763:4 = 190,75!)

25 • 2341 = 58 525 25 • 5338 = 133 450

Falls die Division nicht restlos aufgeht, wird sie auch bei der Multiplikation mit 125 durch sukzessives Anhängen von Nullen an den Rest solange fortgesetzt, bis der Rest gleich Null wird. Im letzten Beispiele erhält man zunächst ^ = 121, Rest 3.

Die weitere Division ergibt sich wie bei der Verwandlung von % in einen Dezimalbruch, so daß = 121,375. Das Anhängen von 3 Nullen kann hier offenbar erfolgen durch Fortlassung des Kommas, — demnach 125 • 971 = 121 375.

Wer es bequemer findet, wird sich merken, daß jedem Rest ganz bestimmte Endziffern entsprechen, und zwar 125, multipliziert mit dem Rest, der höchstens 7 betragen kann. — Die Division wird dann nur bis zum Komma fortgesetzt.

Den Resten 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 entsprechen beziehungsweise die Endziffern 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.

Weitere Beispiele.

125 • 1465 --- 183 125 [1465 : 8 = 183, Rest 1]

125 - 3227 = 403 375 [3227 : 8 = 403, Rest 31]

Ebenso:

125 - 645 ----- 80 625

125 - 4527 = 565 875: 125 • 14 624 = 1 828 000

125 - 15 243 ----- 1 905 375; 125 • 56 727 ----- 7 090 875 Ist der eine Faktor = 50, 500 usw., so dividiere man den zweiten durch 2 und hänge 2, 3 usw. Nullen an.

Auch mit 5 wird man mitunter multiplizieren, indem man durch 2 dividiert und eine Null anhängt.

Beispiele.

5 - 362 ---- 1810 [362 : 2 ----- 181]

5 - 743 ----- 3715; 5 • 1264 ----- 6320;

5 - 8649 ---- 43 245; 5 - 13 564 ----- 67 820 usw.

68 : 2

50.68 ----- 3400; 50.83 ----- 4150;

50 - 1564 ----- 78 200; 50 • 33 713 ---- 1 685 650.

42 : 2

500.42 --- 21 000; 500.663 = 331 500;

500 • 7 426 = 3 713 000; 500 • 14721 ----- 7 360 500.

Geht die Division durch 2 nicht auf, so dividiere man wie bei Dezimalbrüchen weiter und beachte, daß die Endziffer — da der Rest = 1 — eine 5 ist. Es wird in diesem Falle eine Null weniger angehängt, also statt 1, 2, 3 usw. Nullen keine. 1, 2 usw. Nullen.

Die Multiplikation mit 75 = s/₄ • 100 kann erfolgen ähnlich wie die Multiplikation mit 25, d. h. man dividiere durch 4 und multipliziere mit 100; zuerst muß jedoch der Multiplikandus mit 3 multipliziert werden.

75 - 121 ----- 9075

^363 ₌ 90,75!)

75 - 362 = 27 150

[1086 : 4 = 271,5!] 75 • 4924 = 369 300

[3 • 1231 = 3693!]

Beispiele.

75 • 78 = 25 • 234 = 5850 75 - 64 = 4800 (vgl. Anm.)

3 • 24

75 • 96 = 7200 (vgl. Anm.)

Anmerkung. Falls der Multiplikandus durch 4 teilbar, ist es bequemer, zuerst die Division durch 4 und dann die Multiplikation mit 3 auszuführen. Vgl. letztes Beispiel.

Ähnlich findet man die Multiplikation mit 150 = % • 100 durch Multiplikation mit 3, Division durch 2 und Anhängen von 2 Nullen, oder man dividiere zuerst durch 2 und multipliziere dann mit 3.

Die Multiplikation mit 250, 2500 erfolgt genau wie diejenige mit 25, nur werden statt 2 Nullen 3 bzw. 4 Nullen usw. angehängt.

Die Multiplikation mit 375 — ³/₈ - 1000 kann offenbar erfolgen durch Multiplikation mit 3, Division durch 8 und Anhängen von

3    Nullen. Geht die Division durch 8 auf, so dividiere man zuerst durch 8, multipliziere dann mit 3 und hänge 3 Nullen an.

375 • 84 = ? 375 - 728 =

-1 to

lQ CO

: 8 = 31,5; 375 • 84 = 31 500.

00 (728 : 8 = 91; 91 • 3 = 273).

375.4564 = 1 711 500 (13 692:8 = 1711,5).

Der Multiplikator 625 wird aufgefaßt als yi6 - 10000. Regel: Um eine Zahl mit 625 zu multiplizieren, dividiere man durch 16 und hänge 4 Nullen an oder verschiebe das Komma um

4    Stellen nach rechts.

Beispiele: 625-41 =?    41 : 16 = 2,5625;

625 • 41 = 25 625.

Diese Multiplikation läßt sich offenbar ohne jegliche Nebenrechnung durchführen, indem man ungeachtet des Kommas immer weiter dividiert, bis sich der Rest 0 ergibt.

625 • 84 = 52 500; 625 • 117 = 73 125;

625 - 448 = 280 000 (448 : 16 = 28!);

625 - 5461 = 3 413 125.

Bis 1000 sind demnach folgende Faktoren hervorgehoben:

5, 25, 50, 75, 125, 150, 250, 375, 500, 625.

Übung. Berechne folgende Produkte: 25 • 764, 25 - 6426; 125 - 864, 125 • 2771; 5 - 2327, 5 - 87 624; 50 - 83, 50 • 3276; 75 • 213; 625 • 746, 625 • 1467.

Der Leser hat bisher viele Regeln zur Vereinfachung bzw. zur schnelleren Ausführung der Multiplikation kennen gelernt, die aber trotzdem nicht für beliebige Faktoren (wenn auch deren Stellenzahl beschränkt wird) ausreichen. Es fragt sich, gibt es vielleicht eine Regel, die allgemein anwendbar wäre? Eine solche Regel (die schon lange bekannt ist und auf die ich später zurückkomme) ist vorhanden; aber hier möchte ich auf den Unterschied zwischen „halb" und „ganz" im Kopfe rechnen zurückkommen, oder auf den Unterschied zwischen Rechenkunst und Rechenvorteil.

Die echten Rechenkünstler (namentlich Kinder bis zu einem gewissen Alter, die eben dazu besonders veranlagt sind) werden eine Multipli-

kation zweier 4—5 stelliger Zahlen vollständig im Kopfe ausführen, etwa so, daß man die Faktoren ansagt und der Betreffende nach einer gewissen, nicht allzu langen Pause das Produkt hinschreibt, ohne vorher auch nur eine Ziffer hingeschrieben zu haben, oder die Faktoren während des Rechnens anzusehen. Was das bedeutet, davon hat nur der einen Begriff, der einmal im Kopfe solche Rechnungen durchgeführt hat?) Der Leser versuche einmal, eine beliebige 4- und eine 5stellige Zahl sich zu merken und im Kopfe das Produkt zu bilden und zwar, wie oben angedeutet. Das kann im allgemeinen nur derjenige leisten, der besonders dafür veranlagt ist. Andern hingegen wird es schon eine gewisse Schwierigkeit bereiten, sich die Faktoren zu merken. Aufgaben, die so gelöst werden, zähle ich zu den „vollständig im Kopfe gerechneten? Handelt es sich hier um eine Rechenkunst, so wird hingegen in den meisten Fällen die Einhaltung dieser Bedingung nicht verlangt. Vielmehr wird es dem Rechnenden frei bleiben, die Faktoren hinzuschreiben, resp. die bereits hingeschriebenen während des Rechnens anzusehen; auch kommt es nicht darauf an, ob das Produkt auf einmal oder Ziffer für Ziffer, diese wiederum von rechts nach links oder umgekehrt oder sonst in irgend einer Reihenfolge geschrieben werden. Als einzige Bedingung soll immerhin bleiben: außer den Faktoren und dem eigentlichen Produkte sollen keine Ziffern, die etwa zu einer Nebenrechnung gehören, schriftlich fixiert werden. Das wäre eben kein vollständiges, sondern ein „bedingtes im Kopfe rechnen", und wie wir sehen werden, wird die Aufgabe auch für den von Natur aus weniger Begabten lösbar. Soll das Kopfrechnen nicht als Kunststück, sondern als praktischer Behelf angewendet werden, so wäre es richtiger,dasselbe als Rechenvorteil zu bezeichnen. Man wird einen Rechenvorteil überall da anwenden, wo er gegenüber dem gewöhnlichen Rechnen eben einen Vorteil bietet. Ein Rechenvorteil kann also auch dann angewandt werden, wenn bei dessen Anwendung Nebenrechnungen auszuführen sind, die evtl, auch hingeschrieben werden können odermüssen (vgl. Seite 19 das Beispiel 9954 • 9958; hier kommt man, selbst wenn das Produkt der Ergänzungen 46 • 42 in der gewöhnlichen Weise berechnet werden soll, doch noch schneller zum Ziele als bei der Bildung des Produktes 9954 • 9958 in der üblichen Weise). In

1) Das hat der Verfasser zwischen seinem 12. und 19. Lebensjahre ausgeführt. Mit zunehmendem^, Alter nimmt diese Fähigkeit in der Regel ab.

manchen Fällen, wo ein Produkt bereits gebildet ist, möchte man zur Kontrolle noch auf eine andere Art das Produkt bilden und da wird man naturgemäß gerne Rechenvorteile benutzen. Auch derjenige, der zum Kopfrechnen veranlagt ist, wird besondere Rechenvorteile gern benutzen und dadurch in der Lage sein, die vorgelegte Aufgabe rascher zu lösen.

Auch ein geübter Kopfrechner wird beispielsweise bei der soeben erwähnten Aufgabe bedeutend rascher zum Ziele kommen, wenn er anstatt 9954 mit 9958 zu multiplizieren, in Wirklichkeit nur das Ergänzungsprodukt 46 • 42 bilden und das andere durch Subtraktion usw. finden würde.

Die Ausführung der Rechnungsarten, nämlich der Addition, Subtraktion, Multiplikation, des Potenzierens und, mit einer gewissen Einschränkung, der Division und des Radizierens (letzteres, soweit es ohne Logarithmen ausführbar ist), läßt sich im wesentlichen zurückführen auf die Ausführung namentlich der ersten drei Rechenoperationen mit einstelligen Zahlen.

Die Addition, Subtraktion, bzw. die Multiplikation zweier einstelliger Zahlen bilden die Elemente alles zahlenmäßigen Rechnens und werden teilweise durch Erlernen, teilweise durch die Erfahrung als bekannt vorausgesetzt.

Wie addieren wir denn eigentlich?

68472

Von rechts nach links werden je zwei einstellige Zahlen 5 327 addiert und sofern ihre Summe größer als 10 ist, wird die 73799 Einheit zur nächsten Summe hinzugezählt.

Bei der Subtraktion ist der Vorgang bekanntlich ähnlich, hier wird ebenfalls von rechts nach links jede Ziffer des Subtrahenden von der entsprechenden Ziffer des Minuenden subtrahiert (also Erfahrungssache) und, falls eine Ziffer des Subtrahenden größer als die entsprechende des Minuenden, von der nächsten Ziffer des Minuenden nach links 1 entliehen.

Soll beispielsweise eine fünfstellige Zahl mit einer dreistelligen multipliziert werden, so bilden wir durch Multiplikation je einer Ziffer des Multiplikators mit sämtlichen Ziffern des Multiplikanden 3 Reihen und addieren sie in bekannter Weise. Im vorliegenden Falle führen wir also nicht weniger als 15 Multiplikationen und eine Addition aus 3 Reihen (die wiederum als mehrere Additionen einstelliger Zahlen aufgefaßt werden kann) aus. Es wird demnach 15 mal das kleine Ein-maleins angewendet, ferner mehrmals die Addition einstelliger Zahlen und auf diese Weise das Produkt der fünf- in die dreistellige Zahl gefunden. — Wem das Einmaleins nicht ganz geläufig ist, der wird öfters Fehler machen, oder die Bildung des Produktes wird verhältnismäßig viel Zeit in Anspruch nehmen.

Hätten wir ein anderes Zahlensystem, beispielsweise ein Zwölfersystem, so würde den Kindern in der Schule das Einmaleins etwas schwerer fallen, dies würde statt 1 - 1 bis 10 - 10 alle möglichen Produkte von 1-1 bis 12 - 12 umfassen. Bei der Lösung zahlenmäßiger Aufgaben, hätten wir es aber etwas bequemer, denn es wären auch die Zahlen 10 und 11 einstellige; die Zahlen von 12 bis 143 zweistellige, von 144 bis 1727 dreistellige usw.

Aber auch bei unserem dekadischen Zahlensystem würden die Rechenoperationen bei gegebenen Zahlen bedeutend weniger Zeit in Anspruch nehmen, wenn wir das größere Einmaleins 1-1 bis 100 • 100 ebenso beherrschen würden, wie das kleine Einmaleins. Wir würden in diesem Falle 2 Ziffern so handhaben, wie jetzt eine Ziffer. Multiplikationen mit dem Multiplikator 1—100 würden wir in einer Reihe ausführen; sollte eine vierstellige Zahl mit einer vierstelligen multipliziert werden, so würden wir 4 Multiplikationen statt 16 auszuführen und 2 Reihen statt 4 zu addieren haben. Diese Vereinfachungen ließen sich dann naturgemäß auf alle Rechenoperationen übertragen. Leider aber ist unser Geist nicht so beschaffen — wenigstens könnte man das nicht allgemein voraussetzen —, daß wir zweiziffrige Zahlen ebenso beherrschen wie die einziffrigen, 36 - 78 ist uns eben nicht so geläufig wie etwa 4 - 7, ebenso 36 + 78 nicht so geläufig wie 4 + 7, 78 — 36 nicht so geläufig wie 7 — 4 usw.

7. Die Zahlen 11, 12, 13, 14 und 15 werden als einstellige aufgefaßt. Wenn wir auch das Einmaleins, welches sämtliche zweistellige Zahlen umfaßt, nicht beherrschen, so kann es doch mitunter von Nutzen sein, wenn wir das kleine Einmaleins nur ein wenig erweitern. Nehmen wir einmal an, wir behandeln alle Zahlen bis 15 einschließlich als einstellige Zahlen; oder zunächst sogar nur nach einer Richtung hin, d. h. 1 bis 15 als Multiplikator und 1 bis 9 als Multiplikand oder umgekehrt. Beispielsweise soll 14 -1, 2,3,4,... 8, 9 unmittelbar angegeben werden; also 8 • 14 = 112, wie etwa 3-7 = 21, soll nicht wie üblich, d. h. 8.4 = 32 ... 2, 3 gemerkt usw., gerechnet werden.

Diese Fertigkeit kann man wohl von einem nur einigermaßen geübten Rechner verlangen. Es soll im folgenden gezeigt werden, wie viele Vereinfachungen schon mit dieser geringen Erweiterung des Einmaleins sich erzielen lassen. Sollte der Leser sich mehr zutrauen, also eine Beherrschung^) des Einmaleins etwa bis 20 • 20, so würde der hier gemachte Fingerzeig genügen, um eine Anwendung des Beherrschten zu gestatten.

Zunächst werden alle Multiplikationen, deren Multiplikators 15 in einer Reihe ausgeführt werden können, d. h. die Zahlen 11, 12, 13, 14, 15 so gehandhabt, als ob es einstellige Zahlen wären.

Beispiele.

384

4587

5798

7 654

12

13

15

11

4608    59631    86970    84194

Die Zahl 11 bietet an und für sich noch besondere Vorteile, die in manchen Büchern erwähnt sind. Soll eine Zahl mit 11 multipliziert werden, so braucht man nur unter der gegebenen Zahl dieselbe Zahl um eine Stelle nach links verschoben hinzuschreiben und beide Reihen zu addieren, z. B.

11 • 836 = ?

00 CO

CO CO

11 - 836

oder einfacher

836

9196

9196

11 - 4576 4576

11 - 8723 8723

95953

50336

Man kann auch zu jeder Ziffer des Multiplikanden stets die nächste Ziffer rechts hinzu addieren. Also beispielsweise

11 . 784 = ?

Von rechts angefangen ist die erste Ziffer des Produktes 4, die zweite 4 + 8 = 12 ... 2, 1 gemerkt, die dritte 1 + 8 + 7 = 16 ... 6, 1 gemerkt und schließlich die vierte Ziffer 7 + 1 = 8, 11 - 784 = 8624. Ebenso: 11 • 5926 = 65186.

*) Darunter soll verstanden werden eine glatte, sofortige Angabe des Produktes fast ohne Zeitaufwand und Geistesanstrengung (wie das eben beim üblichen Einmaleins der Fall ist).

(Hier ist natürlich die Beschreibung wesentlich komplizierter als die Ausführung.) Immerhin ist es noch bequemer, wenn mit der 11 so gerechnet wird, als wenn es eine einstellige Zahl wäre.

Kehren wir also zu den früher angeführten Beispielen zurück und erweitern diese.

Hier wurde zunächst der Multiplikand mit 13 (als ein-

_ stellige Zahl aufgefaßt) multipliziert, darauf das Produkt

76128 mit 12 gebildet und, um 2 Stellen nach links versetzt, zum 70272 obigen addiert. Die weiteren Beispiele kann sich der Leser 7103328 Wohl selbst erläutern.

5856 1213

09 CD

00

3546

614

49644

21276

63392

103012

2177244

1093512

8112

1514

113568

121680

6426

51213

83538

77112

32130

51745

12611

569195

310470

620940

12281568

652556195

329094738

Übung. Berechne: 14-86427, 11-7654, 1312-4562, 128-7263.

8. Allgemeines. Bei der Multiplikation in der üblichen Weise multiplizieren wir den Multiplikanden mitjeder Ziffer des Multiplikators und addieren die so entstehenden richtig untereinander geschriebenen Reihen. Da eben nur das Produkt der gegebenen Faktoren verlangt wird, empfinden wir das Aufschreiben der einzelnen Zwischenreihen als überflüssig oder richtiger als notwendiges Übel. Sind wir jedoch in der Lage, die Multiplikation mit den einzelnen Ziffern des Multiplikators und die entsprechenden Additionen in der unten erläuterten Weise im Kopfe durchzuführen, so können wir das Produkt Ziffer für Ziffer von rechts nach links hinschreiben, und die Zwischenreihen verschwinden. (Vgl. a. a. O.: „Bedingtes im Kopfe rechnen".) — Wir haben also ein allgemeines Mittel, die Nebenrechnungen (Zwischenreihen), soweit sie auf dem Papier sichtbar sind, auszuschalten. Aber mit zunehmender Ziffernzahl wird die Rechnung in progressiver Weise komplizierter (was allerdings in Bezug auf Zeitaufwand auch nach der allgemein üblichen Rechenmethode der Fall ist), wodurch von selbst die Grenze der Anwendbarkeit gegeben ist. Während mancher noch bei fünfstelligen Faktoren nach dem unten entwickelten Verfahren rechnen kann, wird ein Anderer, um Rechenfehler zu vermeiden, schon bei dreistelligen Zahlen aufhören müssen.

9. Zweistellige Faktoren mal zweistellige.

Man erhält die Ziffern des Produktes von rechts nach links, indem man multipliziert, wie die Striche andeuten und entsprechend addiert. Einer mit Einer: 4-2 = 8, Einer des Produktes

Beispiele. 34 - 52    ?

17 6 8

|i-5 + 3- 2 = 26 Zehner des Produktes 6 ge-

Einer mit Zehner und umgekehrt

schrieben, 2 gemerkt. Zehner mit Zehner 3-5 + 2 = 17 Hunderte des Produktes, mithin 52 - 34 = 1768.

86 .

Kürzer gefaßt:

47    7 • 6 = 42 ... 2 geschrieben, 4 gemerkt,

7 - 8 + 4- 6 + 4 = 84...4 geschrieben, 8 gemerkt.

4 • 8 + 8 = 40    93

47 - 86    = 4042 IXI

IXI

4042

32

32

36

31

24

3348

992

768

Es mögen noch einige Beispiele angeführt werden, wo die Endoder Anfangsziffern beider Faktoren übereinstimmen.

46

3 • 6 = 18 ... 8 geschrieben, 1 gemerkt,

IXI 3 • 4 + 4 • 6 + 1 = (3 + 6) 4 + 1 = 37,

43    4.4 ₊ 3 = 19; 46.43 = 1978.

1978

Bei der kreuzweisen Bildung der Summe der Pro-

butte ist hier zu beachten:

3.4 + 4 • 6 = (3 + 6) • 4 = 36,

d.h.man multipliziere dieSumme der Endziffern (ungleiche) mit der Anfangsziffer (also mit derjenigen, die bei beiden Faktoren die gleiche ist).

IXI

76

Das kreuzweise Produkt ist hier 8 • 7 = 56.

5472 Ebenso: 78

48

Das kreuzweise Produkt ist hier 8 • 11 = 88.

3744

Ganz besonders vereinfacht sich die Rechnung, wenn zufällig die Summe der End- oder Anfangsziffern gleich 10 und die Anfangs- resp. die Endziffern einander gleich sind.

34

36

1224

Endziffern 6 - 4 ----- 24,

Anfangsziffern 3 + 3- 3 = 3- 4 = 12

83

87

(3 • 7 = 21, 8 • 9 = 72!)

7221

10. Zweistellige Faktoren mal dreistellige. Ist der Multiplikand drei-, vier- oder fünfstellig usw., der Multiplikator jedoch zweistellig, so bleibt das Prinzip wie bisher und die Rechnung wird nicht wesentlich komplizierter.

56 - 324 ----- ?

6 • 4 = 24 (4 geschrieben, 2 gemerkt) 6-2+ 5-4 + 2 = 34 (4 geschrieben, 3 gemerkt)

18 14 4

6-3+ 5-2 + 3 = 31 (1 geschrieben, 3 gemerkt")

5 • 3 + 3 = 18.

56 • 324 = 18144.

deuten an,

Die sich kreuzenden Linien, die gleich ausgezogen sind, welche Produkte jeweilig zu bilden sind.

Entsprechend findet man:

564

42

O)

CO

00 CO

707

64

23688 64158 24010 21844 45 248

11. Zweistellige Faktoren mal vierstellige.

= 12 (2 geschrieben, = 27 (7 = 29 (9 = 21 (1

81972

to fco Ito fco

1    gemerkt)

2    )

2    )

2 „ )

Ebenso:

7624

4056

68

83

336648

12. Zweistellige Faktoren mal fünfstellige.

13289

34

451826

518432

1<X*

24605

76458

304<$

66

87

26

1623930

Der Rechnungsgang ist der gleiche wie im letzten Paragraphen. 13. Beide Faktoren seien dreistellig. Ist der Multiplikator dreistellig, der Multiplikand drei-, vier-, fünf- usw. stellig, so wird die Multiplikation komplizierter, da man hier auch die Summe dreier Produkte zu bilden und außerdem noch die etwa vorhandene gemerkte Zahl hinzuzuzählen hat.

Beispiele.

-CO

6651846

790634

24 7

153

37791

1(2)

247

91(4) 2 4 7

7 91(3)

153

15 3

7791(1)

37791

Obiges Schema zeigt, wie die Ziffern des Produktes der Reihe nach gefunden werden; die eingeklammerten Ziffern bedeuten die zu merkende Zahl, welche zur nächsten Produktensumme addiert wird.

Ebenso findet man:

724

609

GO iQ

440916    122958    584430

ANuG. 739: Bojko, Rechenvorteile. 2. Aufl.

278438

14. Dreistellige Faktoren mal vierstellige.

2 6 2 3

co io

00 fco

CO Mi

cq oo

2699832

2 (1)

32 (3)

8 3'2 (5) 4 6 2 3

9 8 3 2 (7)

In der Multiplikand vierstellig, so ist der Vorgang ähnlich wie bisher. In obenstehendem Beispiel ist das Produkt 584 • 4623 angegeben und im Schema gezeigt, wie die einzelnen Ziffern entstanden sind.

2408    57

Beispiele.

2364

783

9 9 8 3 2 (6)

2 699832

846

O CO

CO 00

1851012    2037168    2364768

7528    7004    9008

433

914

707

3259624    6401656    6368656

15. Dreistellige Faktoren mal fünfstellige. Ist der Multiplikand fünf- sechsstellig usw., so bleibt das Verfahren das gleiche wie bisher. Es soll immerhin ein Schema für einen fünfstelligen Multiplikand

5 3 8 2 7

X

4 9 6

gegeben werden.

CO 00

cq co

26698192

2 (4)

9 2 (7) 5 3 8 2 7

MX

4T 6

19 2 (10)

5 3 8 2 7

8 19 2 (10)

9819 2(9)

"X

6 9 8 1 9 2 (6)

26698192

Beispiele. 30 509

61 478

85 643

744

326

701

22 698 696    20 041 828    60 035 743

95 008

80 704

654

609

49 148736

62 135 232

Wenn die Faktoren eine oder mehrere Nullen enthalten, müßte — so sollte man meinen — die Multiplikation leichter fallen; in Wirklichkeit aber muß man, wie der Leser wohl gemerkt haben wird, die Rechnung viel aufmerksamer durchführen, um Rechenfehler zu vermeiden.

Ebenso rechne man:

235 643

760 804

657 004

487

563

809

114 758 141

428 332 652

531 516 236

16. Bier- und fünfstellige Faktoren. Obwohl das Prinzip sich nicht ändert, soll zur Erleichterung auch hier ein Schema gegeben werden. Vierstellige mal drei-, bzw. zweistellige Zahlen lassen sich durch Vertauschen von Multiplikator mit Multiplikand auf die früheren Fälle zurückführen.

Bei der Multiplikation zweier vierstelliger Zahlen dürfte wohl für viele die Grenze liegen, wo bei Anwendung der bisherigen allgemeinen Methode die Aufgabe fehlerfrei in angemessener Zeitspanne nicht mehr gelöst werden kann.

2364

5813

5 8 13

5 8 13

13741932

2 (!)

3 2 (2)

2 3 6 4

5 8 13

5 8 13

5 8 13

9 3 2 (4)

1 9 3 2 (8)

41932 (6)

GO

1 3

741932 (3)

5 8 13

13741932

1 653 489 548

4 759 127 277

Es ist zweckmäßig, am Rande oder unter dem Produkt die zu merkende Zahl — wie im folgenden Beispiel geschehen — jeweilig hinzuschreiben.

Beispiele.

8 226 7 144

9 345 6 083

6 014 4 007

9 006 4 008

58 766 544 258 232

56 845 635

24 098 098

36 096 048

46 743 3 126

59 073 4 602

70 806 5 078

146 118 618

47 413 32 562

271 853 946 547 1 675 83 70 419

359 552 868

96 9

80 407 20 564

1 543 862 106 5 785

Übung: Berechne folgende Produkte: 27 • 36,    978 • 52,

46 • 246583; 495 • 873, 246 • 328, 823 • 5407; 947 • 9225; 336 - 456 782, 603 • 745683, 4785 • 1645, 23008 • 42076.

17. Angenäherte Multiplikation. Bisher wurde die Multiplikation ganzer Zahlen behandelt. Bei Dezimalbrüchen verfährt man bekanntlich genau so wie bei ganzen Zahlen und braucht nur beim Produkt das Komma an richtiger Stelle zu setzen (um soviel Stellen von rechts nach links, als beide Faktoren zusammen Dezimalstellen haben).

Abgesehen vom Komma liefern beispielsweise 89 • 96; 8,9 • 96; 0,89 • 9,6; 0,089 • 96; 0,89 • 0,096 usw. die gleichen Produkte.

Ebenso 374 - 2635; 3,74 • 26,35; 0,374 • 2635; 0,374 - 0,2635 usw.

Es genügt also in dieser Beziehung, auf die bisherigen Regeln zu verweisen.

Mitunter soll das Produkt zweier Zahlen nicht exakt, sondern nur näherungsweise angegeben werden. Hierbei wird häufig die Genauigkeit nicht vorgeschrieben, vielmehr wird nur eine rohe Annäherung gefordert, das Ergebnis wird nur überschlägig verlangt (über näherungsweis es Rechnen mit vorgeschrieben er Genauigkeit siehe später).

In diesem Sinne kann man sagen, daß fast jede Zahl eine Eigenschaft besitzt, welche die näherungsweise Multiplikation in mehr oder weniger einfacher Weise ermöglicht.

Einige Winke mögen das Gesagte näher erläutern. 11 ~ % -100; 12 --- % - 100; 13 --- y₈ - 100; 14 ~ x/₇ • 100; 15 ~ x/₇ • 100; 16 u. 17 --- % - 100; 25 = % • 100; 33, 34 = Vs • 100; ebenso 111 as % - 1000; 112 ~ % - 1000; 124, 125, 126 ---- % • 1000; 132,133,134,135 = ⁴/s ' 100; 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337 --- Vs • 1000; zur ersten Annäherung kann man noch eine Korrektur anbringen, z. B. 33 = % • 100 — V₃ d. h.: man dividiere die Zahl durch 3. hänge 2 Nullen an und subtrahiere V₃ der vorgelegten Zahl. 33 • 746 -- 24800 — 250 --- 24550 (genau 24618)

17 - 268 ~ 4500 (genau 4556)

Da 17 etwas größer ist als % • 100, rundet man bei der Division 268 : 6 nach oben auf; im umgekehrten Falle würde man naturge-' mäß nach unten abrunden und so den Fehler auf ein Minimum reduzieren. 168 - 4,56 ~ 765,00; 3,37 • 872 ~ 2910; 99 • 56,4

480 : 8

--- 5600; 372 • 486 ~ 3 • 60 • 1000 = 180000.

Da 372 etwas kleiner ist als 375 = ³/₈ • 1000, wird bei der Division 486 : 8 --- 60 abgerundet nach unten.

Es hätte keinen Zweck, noch mehr Beispiele anzuführen, da in jedem Falle der Rechner selbst beurteilen muß, mit welcher Annäherung gerechnet werden soll, ob und wie Korrekturen vorzunehmen sind.

Es wird sich nach der Art der Aufgabe richten, ob meinetwegen die Genauigkeit 16 -- x/₆ • 100, 17    • 100; 163 ~ l/₆ • 1000,

378 --- ³/& • 1000, 39 ~ 40, 99 = 100 usw. genügt und ob evtl, auch 35 --- x/s¹ 100 u. dgl. zugelassen werden kann. In den meisten Fällen kann man durch passendes Aus- bzw. Abrunden die Genauigkeit erhöhen, wie früher bereits angedeutet. Das kann mitunter zu einem vollständig genauen Resultat führen. Ersetzen wir beispielsweise 98 durch 100 und ziehen dann das doppelte des Produktes des Multiplikators ab, so ist dasProdukt genau; nehmen wir hingegen nur annähernd das doppelte Produkt, so ist auch das Produkt nur annähernd richtig. Z. B. 98 - 72 = 7200 - 144 = 7056 (vgl. auch S. 17)

98 - 481 ---- 47100 (48100 — 2 - 500)

102 • 1264 = 126400 + 2500 = 128 900 126 • 875 ~ 110000

27-33 =?    30²

Es sei noch auf die in vielen Schulbüchern angewendete Formel (« + b) (a — b) = a² — b² hingewiesen, die in gewissen Fällen bequem ist. Natürlich ist dabei Voraussetzung, daß die Faktoren so beschaffen sind, daß man sofort das a und b überblickt und sich a² und b², also auch ihre Differenz, bequem bilden läßt.

Beispiele.

3² = 891

48 52 = 2500 — 4 = 2496 65 - 75 = 4900 — 25 = 4875 83 - 97 = 8100 - 49 = 8051 (vgl. auch S. 17) 88 - 112 = 10000 - 144 = 9856 117 • 123 = 14400 — 9 = 14391 237 - 263 = 62 500 — 169 = 62331 584 • 616 = 360000 — 256 = 359 744 685 - 715 = 490000 — 225 = 489 775

750²

746 • 754 = 562500 — 16 = 562484 979 • 1021 = 1000000 — 441 = 999559 Wenn man das Quadrieren beherrscht (vgl. S. 53 Kap. D), so kann man von dieser Regel weitgehenden Gebrauch machen und sie für große Zahlen anwenden.

z. B. 92 3 - 9 3 7 = 930² - 7² = 8 6 4 9 00 - 49 = 8 6 4 8 51;

■>

988²

464 - 49 6 = 480² - 16² = 230 400 — 256 = 230 1 44 4871 • 4889 = 4880² - 9² = 23 814400 - 81 = 23814319: 9864 - 9876 = 97416900 — 36 = 97416864 (vgl.S. 62);

9864 • 9896 = 97614400 — 256 = 97614144;

11000² 18²

10982 • 11018 = 121000000 — 324 = 120999676;

10116 - 10124 = 102414400 — 16 = 102414384.

Übung. Berechne: 95 • 105, 144 • 156, 492.508, 887 . 913; 9858 - 9882.

18. Abgekürzte Multiplikation von Dezimalbrüchen. Haben wir etwa das Produkt einer fünfstelligen mit einer vierstelligen Zahl zu bilden, so wird das Produkt acht- oder neunstellig; sind beide Faktoren Dezimalbrüche, die, abgesehen vom Komma, die erwähnte Stellenzahl haben mögen, so wird das gebildete Produkt, abgesehen vom Komma, ebenfalls acht- oder neunstellig. In der Regel braucht

Angenommen, wir wollen das vorliegende Produkt auf 5 Dezimalstellen bilden, d. h. mit einer Genauigkeit bis Hunderttausendstel, wobei die letzte Stelle wegen den Abrundungen ungenau ausfallen darf. Nachdem Multiplikator und Multiplikand untereinander geschrieben sind, multiplizieren wir 0,91554 letzteren mit der ersten Ziffer links des Multiplikators, in unserem Beispiele also mit 2 und erhalten die Reihe 66512. Das Komma kann in dieser Reihe gleich festgelegt werden, und zwar denken wir uns zunächst, es sei nur das Produkt 3,3256 • 0,2 zu bilden, dann müßten rechts vom Komma 5 Stellen vorhanden sein, d. h. die oberste Reihe lautet 0,66512. Die erste Stelle rechts des Multiplikanden bedeutet in unserem Beispiele 6 Zehntausenstel, hingegen die erste Stelle links des Multiplikators das Produkt dieser liefert (12) Hunderttausendstel, die wir eben noch berücksichtigen wollen. Die zweite Stelle von links des Multiplikators bedeutet jf0 und liefert mit multipliziert Milliontel. Diese wollen wir aber nur insofern berücksichtigen, als sie nach entsprechender Aufrundung Hunderttausendstel liefern, und als Korrektur zu den Hunderttausendsteln hinzuzählen. In unserem Falle hätten wir ^ • ₁₀ooö = iöwöoo ~ ⁴ Hunderttausendstel zu dem Produkt ^ ^ ~ Tos₀bm hinzuzufügen und erhalten jöooöö* die zweite Reihe beginnt daher von rechts mit der Ziffer 9, die genau unter der ersten Ziffer rechts der ersten Reihe zu setzen ist. Um das Komma braucht man sich weiter nicht zu kümmern, da es in der ersten Reihe bereits festgesetzt ist

man aber nicht eine so weitgehende Genauigkeit, sondern man wird sich mit 5—6 Stellen (mitunter auch mit 4) begnügen. Die Logarithmentafeln, die gewöhnlich in höheren Schulen und technischen Lehranstalten Verwendung finden, sind fünfstellig, gestatten also auch nur eine solche Genauigkeit. In unserem Falle würden wir von dem erhaltenen Produkt 3—4 Stellen abstreichen und evtl, die erste Ziffer links nach den gestrichenen um 1 erhöhen. Die Arbeit zur Berechnung der gestrichenen Ziffern wäre an und für sich unnötig. Im Folgenden soll gezergt werden, wie wir das Produkt mit der gewünschten Genauigkeit erhalten können, ohne hinterher Ziffern streichen zu müssen. Es werden hierbei nur so viele Stellen ermittelt (oder um eine mehr), als nachher behalten werden sollen.

Beispiel. 3,3236 0,2753 0^66512 23279 1663

100

I. 3,3256 0,2753 0,66512

II. 3,3250 0,2753 0,66512 23279

III. 3,3250 0,2753

0,66512

23279

1663

IV. 3,3250 0,2753

0,66512

23279

1663

100

0,91554

Die dritte Ziffer des Multiplikators von links bedeutet Tausendstel, ebenso die zweite Ziffer des Multiplikanden von rechts; das Produkt dieser Stellen liefert Milliontel und ist deshalb ebenfalls nur als Korrektur zu berücksichtigen. Um daher die dritte Reihe zu erhalten, streiche man die zweite Ziffer rechts des Multiplikanden (in unserem Beispiel 5) und verfahre ähnlich wie bei Reihe 1, indem man jetzt mit der drittenZiffer von links des Multiplikators multipliziert (vgl.III). 5 • 5 = 25, Korrektur 3 (oder 2)

5 • 2 = 10; 10 + 3 = 13 ... 3 geschrieben, 1 gemerkt;

die dritte Reihe beginnt daher von rechts mit Ziffer 3.

Ähnlich verfährt man bei der Bildung der vierten Reihe, indem nunmehr beim Multiplikanden die Ziffer 2 (dritte von rechts) gestrichen und mit der vierten Ziffer von links des Multiplikators multipliziert wird. Hier erhält man als Korrektur eine 1, da * i§ö ⁼ töööööö ~ looooo IV).

Wir erhalten schließlich 3,3256 • 0,2753 ^ 0,91554; durch Bildung des vollständigen Produktes findet man 0,91553768 und bei Aufrundung auf fünf Dezimalstellen 0,91554, mit unserem Ergebnis übereinstimmend. Die genaue Übereinstimmung der Ergebnisse erklärt sich dadurch, daß die bei den Abrundungen gemachten Fehler im allgemeinen ebenso oft positiv wie negativ sind. Immerhin kann es vorkommen, daß die letzte Ziffer um eine oder zwei Einheiten vom wirklichen Produkt abweicht; aber das hat keine Bedeutung, da man in Zweifelsfällen eine Stelle mehr berechnen kann, als man in Wirklichkeit zu haben wünscht: also etwa statt 3 mit 4, statt 4 mit 5, statt 5 mit 6 Stellen rechnen.

Die weiteren Beispiele soll der Leser selbst nachrechnen, was nach dem ausführlich durchgerechneten Beispiele wohl ohne weiteres möglich sein dürfte.

62,34    0,74382    0,84325

4,573    0,4695    4,6432

4820,3

0,0227

249,36    0,297528    3,37300

31,17    44629    50595

6694    3373

4,36

so" oT co"

uO SO CO

00 05 Ol

2,3504

0,38952

0,70692

18851

2120

19

372

253

285,08    0.349223

17

109,557 --- 109,56

118

0,91786

3,91538

In den bisherigen Beispielen wurden gerade soviele Stellen berücksichtigt, als die Multiplikation der ersten von Null verschiedenen Ziffer des Multiplikators in den Multiplikanden ergab (die 1. Reihe). Dieses Verfahren ist am bequemsten. Nachdem die erste Reihe gebildet ist, wird bei den weiteren Reihen immer eine Ziffer des Multiplikanden gestrichen und diese nur zur Korrektur berücksichtigt. Haben die Faktoren abgesehen vom Komma eine verschiedene Stellenzahl, so erhält man im allgemeinen beim Produkt mehr Stellen, wenn der Faktor mit der größeren Stellenzahl als Multiplikand (wie bei den bisherigen Beispielen geschehen) aufgefaßt wird und weniger Stellen im umgekehrten Falle. Dies kann mitunter gewissermaßen zur Regulierung der Stellenzahl des Produktes dienen.

Beispiele. 0,8470 0,432 0,33904 2543

hingegen

0,432

0,8476

0,3456

173

169

30

0,36616

0,56432

0,394

hingegen

0,3661

0,394

0,56432

0,169296

50789

2257

0,1970

236

16

0,222342

0,2223

Wir erhielten je nach Anordnung beim 1. Beispiel 5 bzw. 4 Stellen und beim 2. Beispiel 6 bzw. 4 Stellen des Produktes. Genügt diese

Umstellung nicht, oder möchte man sie aus irgendeinem Grunde vermeiden, oder haben beide Faktoren die gleiche Stellenzahl, so kann man eine größere Stellenzahl erreichen durch Anhängen von einer oder mehreren Nullen an den Multiplikanden; eine kleinere Stellenzahl, indem gleich bei Beginn der Multiplikation eine oder mehrere Stellen des Multiplikators rechts gestrichen werden, und die von diesen am weitesten links befindliche Ziffer in bekannter Weise zur Korrektur benutzt wird. Beispiele. 4,166 •

4,1660

0 2386 0,2386. Würden wir in der bisherigen Weise rechnen, erhielten wir im ganzen 4 Stellen, sollen jedoch etwa 5 erhalten werden, so rechne man 0,99401 mie folgt'

0,8053 0,7482

0,83320

12498

3333

250

0,6548 - 78,43 soll aus 6 Dezimalstellen berechnet werden.

78,430

0,6548

47,0580

3,9215

3137

627

51,3559

0,6057 Soll umgekehrt das Produkt 0,8653 • 0,7482 nur auf 346 4 Stellen berechnet werden, dann streiche man gleich bei 69 Beginn der Rechnung die Ziffer 3 des Multiplikanden und 2 berücksichtige sie nur zur Korrektur.

0,6474

0,64324

0,0563 soll auf 5 Dezimalstellen berechnet werden. Beim Produkt 0,05.0,64325 müßte man 7 Stellen abschneiden, es werden daher bei Beginn der Multiplikation 2 Stellen des Multiplikanden gestrichen und in bekannter Weise weiter gerechnet. Auch das Vertauschen der Faktoren würde in diesem Falle genügen.

0,5074

0,0809

5,082

0,8043

3,2040

2,0803

Zum Schluffe seien noch einige charakteristische Beispiele angeführt. 0,0594 0,7843

0,04158    4,5456

6,5298    0,04059

475

227

2611

45

24

17

10

2    4,5700

6,7919

0,04104 (0,04104 866)

0,04659

Übung. Berechne: 4,6432 • 0,84325, 4,4076 • 0,7235, ferner 0,34 753 - 0,1946 auf 6 Dezimalstellen.

C. Division.

Die umgekehrten Rechnungsarten: Subtraktion, Division, Wurzel-ziehen (ebenso Logarithmieren) lassen sich im allgemeinen unbequemer durchführen als die unmittelbaren: Addition, Multiplikation und Potenzieren. Während die unmittelbaren Operationen stets ausführbarsind, und z. B. ganzzahlige Faktoren wieder ganzzahlige Produkte liefern, gibt z. B. die Division zweier ganzer Zahlen nicht immer ganzzahlige Quotienten, was diese Rechnungsart wesentlich unbequemer macht.

Zunächst betrachten wir Divisionen, bei denen der Divisor von bestimmter Beschaffenheit ist.

Der Divisor sei eine der Zahlen:

5, 25, 50, 75, 125, 150, 250, 375, 500, 625, ....

5 = ¹⁰/ä; 25 = \ - 100; 50 = V* • 100; 75 = % • 100; 125 =

Vs • 1000 (Vgl. § 6);

ober: V₅ — ²/io > Vs5⁼ Vioo> Vs»= 2/ioo > V75⁼Vs: * 00; V125= 8/iooo uf'⁰'

19. Divisor 5; Divisor 25; Divisor 59 und 590. Anstatt eine Zahl durch 5 zu dividieren, multipliziere man den Dividenden mit 2 und dividiere durch 10.

Beispiele. 835 : 5 = 167;    6470 : 5 = 1294 (2 • 647).

Hat der Dividend eine Null an Stelle der Einer, so lasse man diese fort und multipliziere die übrigbleibende Zahl mit 2.

7430 : 5 = 1486 (2 ■ 743);    8665 : 5 = 1733;

42485 : 5 = 8497;    92340 :5 = 18468 usw.

Auch wenn die Division nicht aufgeht, d. h. die letzte Ziffer rechts sei keine 5 oder 0, bleibt die Regel bestehen. Man wird am besten zuerst mit 2 multiplizieren und dann eine Stelle rechts abschneiden (allgemein das Komma um eine Stelle weiter links als beim Dividenden setzen).

673 : 5 — 134,6 [2 - 673 = 1346; m6/₁₀ = 134,6]

8546: 5 = 1709,2; 936,48 :5 = 187,296; 0,1374: 5 = 0,02748.

Divisor 25. Man dividiert eine Zahl durch 25, indem man zuerst den Dividenden mit 4 multipliziert und dann 2 Nullen abschneidet.

Wenn die Division aufgeht, so sind offenbar die 2 letzten Ziffern des Dividenden 00, 25, 50 oder 75. Dies entspricht aber beim Divisor 25 den Quotienten 0, 1, 2 oder 3. Die Division wird in diesen

Wenn die Division nicht aufgeht, multipliziere man zuerst den Dividenden mit 4 und verschiebe beim Produkt das Komma um 2 Stellen nach links.

87 : 25 ----- 3,48 (4-87 — 348)

326 - 25 ----- 13,04 8970 : 25 ----- 358,80 43 721 : 25 ----- 174-8,84

Ebenso: 6,45 : 25 = 0,2560 (4 - 645 = 2580)

0,925 : 25 = 0,03 700 = 0,037 0,064 : 25 = 0,00256 534,14 : 25 = 21,3656

Divisor 50, 500 usw. Bei diesen verfährt man ähnlich wie beim Divisor 5; man multipliziere den Dividenden mit 2 und verschiebe das Komma von links um 2, bzw. um 3 usw. Stellen.

68 : 50 = 1,36 (2 • 68 = 136) 493 : 50 = 9,86 9545 : 50 ----- 190,90 34230 : 50 = 684,6

900 : 50 = 2 • 9 - 18

64750 : 50 ----- 1295,0 (2 . 647 + 1)

3465900 : 50 --- 69318

Hier kürzt man zweckmäßig die Null im Dividenden und Divisor und verschiebt beim Produkt das Komma nur um eine Stelle nach links.

23,46 : 50 = 0,4692 0,0496 : 50 ----- 0,000 992 6247,2 : 50 ----- 124,944 8,435 : 50 ----- 0,16870

20. Divisor 125; Divisor 250.

a : 125 ------ a : 1000

Fällen äußerst einfach, indem man beim Dividieren 2 Stellen rechts abschneidet, die übrigbleibende Zahl mit 4 multipliziert und (je nach Beschaffenheit der 2 letzten Ziffern des Dividenden) hierzu 0, 1, 2 oder 3 addiert.

GO

K>

4-6 + 3

Beispiele. 675 : 25 = 27 925 : 25 = 37 (4 • 9 + 1) 2450 : 25 = 98 (4 • 24 + 2)

4 - 1243

124300 : 25 = 4972

472150 : 25 = 18886. [$er Quotient wird hingeschrieben von rechts nach links:

4 • 1 + 2 = 6, 4 •    =

4 • 7 = 28, 4 • 4 + =    ].

Ebenso: 3250 : 500 = 6,500 74245 : 500 = 148,490 624,24 : 500 = 1,24848 1946,8 : 500 = 3,8936 0,643 : 500 = 0,001286 usw

Sa

1000'

d. h. eine Zahl wird durch 125 dividiert, indem man diese mit8 multipliziert und durch 1000 dividiert. Endet die Zahl mit einer oder mehreren Nullen, so können von diesen bis 3 weggelassen werden und das Produkt anstatt durch 1000 nur durch 100, bzw. 10, bzw. 1 dividiert werden.

Ist eine Zahl durch 125 teilbar, so ist dies kenntlich an den letzten 3 Stellen, welche 000 oder ein Vielfaches von 125 sein müssen. Man braucht in diesem Falle nicht die ganze Zahl mit 8 zu multiplizieren, sondern dividiere die 3 letzten Ziffern als Zahl für sich durch 125 und addiere diesen Quotienten zum achtfachen Produkt der unter Weglassung der 3 letzten Ziffern des Dividenden erhaltenen Zahl. Beispiele. 9250 : 125 = 74 (250:125 = 2; 9 • 8 -f 2 = 74)

368875 : 125 = 2951 (rechne von rechts nach links:

8.8 + 7 = 7l 8 • 6 + 7 = 55 usw.] Ebenso: 91,125 :125 = 0,729

(8-91 + 1,)    ......

213,75 :125 --- l,fl

3375 : 125 = 27 (8 • 3 + 3 = 27!)

7625: 125 = 61 (56 + 5)

24000: 125 = 192 (8 • 24)

Es wird verfahren wie oben, indem man das Komma zunächst unbeachtet läßt.

Also: 8 - 21 + 3 — 171

8-2 + 7

2,875 :125 = 0,023 Ebenso:

83:125 = 0,664 (8-83 = 664)

--

I

43,66 :125 - 0,34 »28 594U80 3,92 :125 = 0,03436 0,81:125 = 0,00648 usw

«0/i

742 685 : 125 =

>//

Divisor 250.

a: 250

lüüü

Hier ist das Verfahren offenbar genau wie beim Divisor 25, es muß nur das Komma anstatt um 2, um 3 Stellen nach rechts verschoben werden.

Geht die Division auf, so kann man durch Streichen einer Null im Divisor und Dividenden sofort die Aufgabe auf die Division mit 25 zurückführen.

Beispiele.

86 750:250 = 8675:25 = 347,00 (4-86 + 3!)

614250:250 = 61425:25 = 2457

41562 : 250 = 166,248 [4 • 41562 = 166 248] 784376 : 250 = 3137,504 6,32 :250 = 0,02528 0,941 : 250 = 0,003764ufa>.

21. Divisor 75, Divisor 15. Auch hier wird häufig die Division bequemer durchzuführen sein, wenn berücksichtigt wird: =    : 100.

Man dividiere den Dividenden durch 3, multipliziere mit 4 und verschiebe das Komma um 2 Stellen nach links.

24150 : 75 -- 8050 : 25 — 322,

6486 : 75 = 2162 : 25 = 86,48,

2,743 : 75; 0,91433; 0,0365732,

2,743 : 75 --- 0,0365732 oder: 0,10972 : 8 = C,036573. Divisor 15; a: 15 = ^ : 10.

Auch hier ist die Division bequem, wenn der Dividend durch 3 teilbar ist, z. B.

1695 : 15 -- 113 (1695 : 3 = 565; 565 • 2 — 11301) 2184 : 150 = 14, 56 (728 • 2 = 14561)

22. Divisor 375; Divisor 625. 375 = 3 • 125 = -f • 1000.

a : 375 = ^ : 1000.

Das Verfahren ist also ähnlich wie bei der Division durch 125, nur muß man den Dividenden zuerst durch 3 dividieren.

2745 : 375 = q, 9l5 • 8 = 7320; q ---- 7,320.

724,2 : 375 = g; 241,4; q = 1,9312.

16«

10 000

Divisor 625. 625 = a • 10000; a: 625 =

Um eine Zahl durch 625 zu dividieren, multipliziere man diese mit 16 und dividiere durch 10000 (das Komma um 4 Stellen nach links verschieben). Dabei wird man die Multiplikation mit 16 so ausführen, als ob 16 eine einstellige Zahl wäre (vgl. S. 27).

Beispiele.

4264 : 625 = q,

4264 - 16 = 68224; q --- 6,8224;

54624 : 625 = 87,3984 92,25 : 625 = 0,147600 = 0,1476

384,2 : 62,5 ---    6,1472

645 : 6,25 = 103,20 0,8432 : 0,625 = 843,2 : 625 = q; q = 1,34912;

4,76 : 62,5 = 47,6 : 625 ----- g; q = 0,07616.

Übung. Berechne: 12460 : 5; 748,25:5; 63425:25; 981:25; 386400 : 25; 82,36 : 25; 4550 : 50; 680250 : 125; 7,45 :125; 4365 : 625; 1478,3 : 625;

23. Divisor 11—15 als einstellige Zahl aufgefaßt. Ähnlich wie bei der Multiplikation wird man auch bei der Division, Divisoren etwa bis 15 als einstellige Zahlen behandeln. Merkt man sich jeweilig die Reste im Kopfe, so kann man den Quotienten von links nach rechts Ziffer für Ziffer hinschreiben. Dies dürfte im allgemeinen nicht schwerer fallen, als im entsprechenden Falle bei der Multiplikation.

2748 : 12 = 229, 24675 : 15 = 1645.

Beispiele. 385 : 11 = 35,

868 : 14 ----- 62,

Geht die Division nicht auf, so berechne man eben den Quotienten auf soviel Dezimalen als erwünscht, indem man erforderlichenfalls Nullen anhängt (wie bei der Verwandlung eines echten Bruches in einen Dezimalbruch).

46,25 : 13 ---- 3,5577; 0,843 : 11 ----- 0,07664 12467 :14 = 890,5; 78,425 :15 = 5,2283 675,9 :12 = 56,325 usw.

An dieser Stelle sei erwähnt, daß man — ähnlich wie bei der Multiplikation-Divisoren, die in der Nähe von 100, 1000, 10000 sowie 50, 500, 5000 usw. liegen und kleiner als diese Zahlen sind, auf die nächst passende runde Zahl erhöht und dies bei der weiteren Rechnung entsprechend berücksichtigt.

7896 : 94 == 84

Beispiele.

376

789 ..: 94 == 8, int Kopfe rechnet man: 8 • 94 = 800 — 48, da aber von 789 bis 800 11 fehlen, ist der erste Rest 48 — 11 = 37; weiter findet man 4 • 94 = 400 — 24 = 376, Rest 0.

4362579 : 97 --- 44975

482

lO (M ^

r— ec

CD

H Ti CO rfi ist

Rest 4 •

+ 4- + +

<1 CD ^

15-11

24.    Angenäherte Division. Soll der Quotient nur näherungsweise ermittelt werden, so kann man (vgl. S. 35 u. fort) den Divisor durch einen Passenden Bruch ersetzen. Hier wird es darauf ankommen, mit welcher Annäherung der Quotient bestimmt werden soll. 12% %

00 H-

•    100; 13 % y₈ • 100; 16 u. 7% % • 100; 32, 33, 34 % l/₃

•    100; 15 % V, • 100; 37 u. 3 % % • 100; 110, 111, 112,. .. % y₉ . 1000; 124, 125, 126 % r/z • 1000; 132, 133, 134, 135 % % • 100; etwa 330, 331, 332, 333, 334 . . 337 . . = ys • 1000 usw. (Vgl. S. 35.) Nach der ersten Annäherung kann man auch eine Korrektur anbringen (und erhält auf diese Weise mitunter ein vollständig genaues Resultat).

Beispiele.

= 277,44 ~ 270

100

74625903 : 493 = 151371 2532

675

1829

3500

493

1. Rest 246 + 7 = 253 „    32 + 35 = 67

„    175 + 7 = 182

„    329 + 21 = 350

7 -    7-49

3468: 13

6458 : 124 ~ 51,664 % 52

3 - 74523

74523 : 335 ~ 223,569 = 223; 6325 : 334 ~ 18,975 ~ 18,9;

9 - 5485

5485 : 112 ~ 49,365 ZT 49.

25.    Abgekürzte Division von Dezimalbrüchen. Bei dieser wird die abgekürzte Multiplikation angewandt. Führt man schon ein Produkt mehrstelliger Zahlen ungern aus, so trifft dies für die Division zweier Dezimalbrüche, bei denen der Divisor etwa vier- bis sechsstellig sein möge, erst recht zu.

Allgemein wird ja bei der Division eine Zahl gesucht (der Quotient), die mit dem Divisor multipliziert, den Dividenden ergibt. Die abgekürzte Division besteht eben darin, daß eine Zahl gesucht wird, die nach den Regeln der abgekürzten Multiplikation mit dem Divisor multipliziert, den Dividenden ergibt.

Das Komma wird festgestellt wie bei der gewöhnlichen Division. Nehmen wir das Beispiel S. 39, 62,34 - 4,573 = 285,08; es muß umgekehrt nach der abgekürzten Division 285,08:62,34 den Quotienten 4,573 ergeben. Da hier im Dividenden und Divisor die gleiche Stellenzahl vom Komma rechts vorhanden ist, kann dasselbe unbeachtet bleiben. Es soll beim ersten Beispiel die Division wiederum stufenweise durchgeführt werden, um zu zeigen, wie jede Ziffer des Quotienten entsteht.

I. 285,08 : 62,34

249,36 35,72

II. 285,08 : 62,34

249,36 ~ 4,5 35 72 31 17

4 55

III. 285,08 : 62,34

249,36    4,57

3572 3117

IV. 285,08 : 62,34 4,573

455

I l-L t—*■

O ! CD to

436

19

Die erste Ziffer 4 des Quotienten entsteht wie bei der gewöhnlrchen Division (vgl. I.). Der erste Rest ist, abgesehen vom Komma, 3572; anstatt nun wie sonst an diesen eine Null anzuhängen, streiche man beim Divisor die erste Ziffer rechts, bestimme die zweite Ziffer des Quotienten und bilde in bekannter Weise das Produkt 5 • 6234 = 3117 (vgl. II.). Der zweite Rest ist 455; nunmehr wird die zweite Ziffer rechts des Divisors gestrichen, die dritte Ziffer des Quotienten bestimmt und das Produkt 7 • 623 ----- 436 vom zweiten Rest abgezogen (vgl. III.). Man erhält den dritten Rest =19 und findet schließlich in analoger Weise die letzte Ziffer des Quotienten (vgl. IV.). Dieser ist, wie nach dem gewählten Beispiel zu erwarten war, gleich 4,573.

ANuG. 739: Bojko, Rechenvorteile. L.Aufl.

0,86436 : 0,34326

68652 2,5181

17784

17163

Beispiele. Nebenstehend sind die Ziffern des Divisors 343 nach und nach gestrichen, d. h. bei jeder neuen Ziffer des Quotienten, wie dies im vorigen Beispiele in I bis IV ge-₇ zeigt wurde.

621

fco fco

Rest:

^ CO | tH

5,743 : 0,8934 = ? 57 430 : 8934

53 604    6,4282

3 826"

3 574

252 Hier kann man an den Dividenden eine Null anhängen 179 und beim Dividenden und Divisor das Komma fortlassen.

CO T-l

Im folgenden soll der Leser das Komma selbst feststellen; in den Nebenrechnungen wird es außer acht gelassen.

Bei einiger Übung kann man die Multiplikation und Subtraktion gleichzeitig ausführen und braucht nur die Reste hinzuschreiben, wie im folgenden Beispiele gezeigt wird.

40,724 : 7,4m 37 212 3512 2977

5,472

40724 : 7,4423 3512    5,472

Crt Crt

CO

535

14

- 1

15 In nebenstehendem Beispiel wurde die 3 beim Divisor ^ Rest:^1 gleich bei Beginn der Rechnung gestrichen.

14

6287 :0,8532 5972

7370

WO CD Ci Ci

■H lO tO WO CO <N

Rest: 0

oder:

6287 : 0,8532 ---- 62870 : 8,532.

62870 : 8,532 59724

7369

3146

2560

Das Produkt 76 und der Rest — 2 brauchen nicht 586    hingeschrieben, vielmehr braucht die letzte Ziffer des

512    Quotienten nur abgeschätzt zu werden. In unserem Falle

₇₄ könnte diese 8 oder 9 sein, jedoch näher an 9.

76

Rest:-2

31,245 : 340,27 31 164 0,09024

5,732 : 0,0673 5 384

81

348

85,17

0,9643 : 28,33 8499

69

337

1144

1133

0,03404

12

11

11

14

11

Rest: - 2

7,4681 : 0,0592

592

Rest: 0

0.4652 : 0,00074 = 46520 : 7 4

1548

1184

126,15

444

212

148

628,66

rl (M Q TP lO QO CD IQ CO CO

Ox Ci ^    <X>

00 w o

59

44

30 30

Rest: 0

Rest: 0

Will man mehr Stellen, als sich nach Bisherigem ergeben würden, erzielen, so hänge man an den Dividenden eine oder mehrere Nullen an. 3,84 : 2,563 soll beispielsweise auf 6 Stellen berechnet werden.

3,8400 : 2,503 2563

1,49825

12770

10252

0,963 : 0,48037 = 0,96300 : 0,48037 96074 2,0047

2518

2307

CD

CD <M

CM M

rH uO

CO CO

Rest : 0

Rest: 0

Übung. 5,732 : 0,0673, berechne ferner 0.374 : 40,923 auf 6 Dezimalstellen.

D. Potenzieren.

I. Quadrieren.

26. Allgemeines. Das Potenzieren ist bekanntlich ein Sonderfall der Multiplikation, und man erhält die -r-te Potenz einer Größe a, indem man diese -rmal mit sich selbst multipliziert.

Abgesehen von der praktischen Bedeutung dieses Abschnittes tritt hier infolge der Gleichheit der Faktoren eine Reihe von Vorteilen besonders hervor.

Von den Potenzen im allgemeinen werden die Quadrate und Kuben wohl am häufigsten gebraucht.

Z. B. bei der Berechnung von Kreisflächen %r², Quadratflächen et², Kugelmantel (Oberfläche) 47rr², bei vielen Formeln in der Mechanik

z. B. -, schließlich bei vielen physikalischen Gesetzen kommt das Quadrat der Entfernung vor.

Wenn in den Schulen das Kopfrechnen im allgemeinen wenig gepflegt wird, wird dagegen das Quadrieren häufiger geübt. Dies geschieht auch mitunter, um die bekannten algebraischen Formeln (a ± b)² einzuüben und zahlenmäßig zu bestätigen. So kommen wir auch auf die gebräuchlichen Methoden, die beim Quadrieren Anwendung finden.

Die zu quadrierende Zahl wird in Zehner und Einer zerlegt und nach der Formel (a + b)²=o² + 2ab + b² quadriert. So hätten wir beispielsweise 36² = 900 + 2 ■ 30 • 6 + 6² = 1296.

43² = 1600 + 240 + 9 = 1849.

Auch die Formel (a—b)* = a² — 2ab + b² wird angewendet, und zwar, wenn die Endziffer der zu quadrierenden Zahl etwa eine 8 oder eine 9 ist.

Z. B. 39² — 40² — 2 • 40 + 1 = 1601 — 80 = 1521 48² = 2500 - 2 • 2 • 50 + 4 = 2304.

Die Ausdrücke a² + 2ab + b² und a² — ‘2ab + b² lassen sich auch etwas anders schreiben, nämlich [(« + b) + b) a + b² bzw. [(« — d) — 6] a + b²; man kommt so auf die Regel, die bei der Multiplikation erwähnt war (vgl. S. 15), wenn man bedenkt, daß beim Quadrieren die Zehner beider Faktoren übereinstimmen.

22²;

Z. B. 36² = ?

(36 + 6) • 3 = 126 6²=    36

24 • 2 = 48 2² =    4

484

23s= 529 (2-26 = 52, 3²= 9) 43² = ? 46 • 4 = 184; 1840 + 3² = 1849, 43² = 1849.

Die soeben erwähnten Regeln sind bequem anwendbar hauptsächlich bei zweistelligen Zahlen und auch bei diesen nur, solange die erste Ziffer etwa kleiner als 6 ist, weil von da an die Multiplikation im Kopfe mehr oder weniger unbequem wird. — Soll z. B. 86² gebildet werden, so hätten wir 80² + 2 • 80 • 6 + 6² = 6400 + 960 + 36 = 7396, oder:

1296

92 - 8    =

6² =

CD CO

Etwas kürzer:

86² = 7396 88-8

84² = 704"~'16 = 7056

Bei dreistelligen Zahlen wird die Multiplikation im allgemeinen noch unbequemer, z. B. bei 184² müßte man das Produkt 188 - 18 bilden.

27.Quadratbildung von Zahlen mit Endziffer 5. Auf eine sehr bequeme Regel sei noch hingewiesen, die zur Quadratbildung von Zahlen dient, deren Endziffer gleich 5 ist.

Die erste Ziffer der vorgelegten Zahl sei a, so daß a = 10 a', dann ist für 6 = 5, (a + 6) + b = a + 10 = (a + 1) • 10.

a [(a + 6) + 6] = 10 a' - (a' + 1) 10 = 100 a • («' + 1)

(« + 6)² = 100« - («' + 1) + 25.

Die Endziffern sind somit stets 25. Man multipliziere demnach die erste Ziffer (a') mit einer um 1 größeren Zahl und setze rechts an das Produkt die Zahl 25.

Ebenso:

Beispiele.

12 ■ 13

125² = 15625 (Vgl. RegelS. 14)

14-15

145² = 21025

235² = 55225 (23 • 24 = 552)

35² = ?    3 • 4 = 12

35²= 1225!

55² = 3025

75² = 5625: 45² = 2025

Das 25 er System.

Wie früher erwähnt, wird in den Schulen im allgemeinen die zu quadrierende Zahl in ihre Zehner und Einer zerlegt und so als Summe, oder auf die nächste mit Rull endigende Zahl ergänzt und als Differenz aufgefaßt. Diese Methode wollen wir „Zehner-System" nennen. Im Gegensatz hierzu wird im folgenden mein „2 5er System" dargestellt. ^)

Hier wird die zu quadrierende Zahl je nach ihrer Größe auf 50, 100, 150, 200 usw. bezogen, wobei in Wirklichkeit stets nur eine Zahl <125 quadriert und zu einer, nach einer jeweilig angegebenen Regel zu bildenden Zahl, addiert wird.

Weil aber bei diesem System immer wieder die Quadrate der Zahlen 1—25 vorkommen, empfiehlt es sich im Interesse einer Zeitersparnis diese Quadrate auswendig zu lernen.

l)Neues System zum Technischen Kopsrechnen vonJ.BojkoundEWend-ling. E. Speidel, Zürich 1907.

II² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16²= 256.17²= 289,18²= 324,19²=361, 20²=400, 21²=441, 22² --- 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625. Man Wird aber ohnehin etwa die Quadrate der Zahlen 1—13, ferner der Zahlen 15, 20, 25 auswendig wissen, so daß nur noch wenige hinzuzulernen wären. Zur Übung kann man auch die Regel Seite 15 benutzen.

Hauptsache ist, daß der Leser die Quadrate 1—25 auswendig so beherrscht, wie etwa das kleine Einmaleins, also in der Lage ist, jedes Quadrat in diesem Bereiche sofort — sozusagen automatisch — anzugeben. Dies vorausgeschickt, sei noch an dieser Stelle erwähnt, daß jeder, dem ich mündlich die nächstfolgenden Regeln vorgetragen habe und der sich bis dahin mit Quadrieren im Kopfe nie befaßt hatte, innerhalb % — 1 Stunde jede Zahl zwischen 1 und 125 verhältnismäßig rasch im Kopfe quadrieren konnte.

28. Quadrate der Zahlen 25 bis 75. Regel. Um eine Zahl die zwischen 25 und 75 liegt, zu quadrieren, subtrahiere man von dieser 25, hänge an die Differenz zwei Nullen an und addiere hierzu das Quadrat der Ergänzung bzw. des Überschusses bezogen auf 50.

Ist z.B. 38²zu berechnen, so verfährt man folgendermaßen: 38 — 25 ----- 13, hänge 2 Nullen an — 1300; die Ergänzung auf 50 ist 50 — 38 = 12 oder 38 und 12 --- 50, das Quadrat der Ergänzung ist 12² = 144, demnach:

Ebenso:

289

38² --- 1300 + 144 = 1444 33²; 33 — 25 = 8; 800 33 und 17; 17² =

33² =    1089

Abgekürzt: 39²; 14; ll² = 121; 39² --- 14^121 = 1521.

Ist die Ergänzung bzw. der Überschuß einstellig, was für die Zahlen 40 bis 60 zutrifft, also deren Quadrat höchstens zweistellig, so kann das Anhängen von 2 Nullen und die Addition des Quadrates einfach durch Anhängen des letzteren erfolgen. Die Rechnung wird außerordentlich einfach, da die Hunderter und Einer unabhängig von einander berechnet werden können. Zu beachten ist, daß das anzuhängende Quadrat stets zweistellig zu schreiben ist.

Also:

1² = 01. Hunderter 49 Einer

GO

3² = 09;    2² = <

43²;    43 - 25 =

43 und 7 = 50;    7² =

43²= 1849

42 — 25 8²

45² = 2025 (45 — 25, 5²);    42² = 1764;

48 — 25

48² ---- 2304 (rechne: 25 und 23 = 48 usw.)

53 — 25 3²

53² = 2809

Anmerkung. Hier bietet sich ein Vorteil; es ist nämlich 53 — 25 = 25 + 3, d. h. anstatt von der gegebenen Zahl 25 zu subtrahieren, addiere man zum Überschuß die Zahl 25. Es sei jedoch dem Rechner überlassen, auf die eine oder andere Art zu rechnen.

25 + 7 7²

Beispiele.

57² = 3249;    58² == 3364

In Worten: 8 und 25 = 33, 8² = 64;    58² = 3364.

63²; Überschuß 13; 13 + 25 = 38 Hunderter, 13² = 169, 632 = 38^169 = 3969.

65²; 15 + 25 = 40; 15² = 225, 65² = 4225; 73²=48^529 = 5329. Gemischte Beispiele. 36² = 11^196 = 1296; 46² = 2116

25 + 9 9²

59² = 3481;    74² = 49^576 = 5476.

100 und 125 liegt, zu quadrieren vermehre man diese um ihren Überschuß bezogen auf 100, hänge 2 Nullen an und addiere hierzu das Quadrat des Überschusses.

29. Quadrate der Zahlen 75 bis 125. Regel. Um eine Zahl, die zwischen

75 und 100 liegt, zu quadrieren, vermindere man die gegebene Zahl um ihre Ergänzung auf 100, hänge zwei Nullen an und addiere hierzu das Quadrat der Ergänzung.

Bei der Bildung von 83² verfährt man also wie folgt: Man bestimme die Ergänzung auf 100; 100 — 83 = 17 oder 83 und 17 = 100; subtrahiere diese von der gegebenen Zahl 83 — 17 = 66, Quadrat der Ergänzung: 17² = 289, demnach:

83² = 6600 + 289 = 6889; oder kürzer: 83 — 17 = 66 Hunderter und 17² (= 289) = 6889.

Beispiele. 86²; 86 - 14 = 72; 14² = 196;

89-11 ll²

86* = 72^196 - 7396; 89² = 78^121 = 7921;

85² = 70'~'225 = 7225; 79² = 58^441 = 6241.

Bei den Quadraten der Zahlen 90 bis 110 lassen sich — ähnlich wie bei den Zahlen 40 bis 60 — die Hunderter und Einer vollständig

unabhängig voneinander berechnen, und das Quadrat fast mühelos hinschreiben.

92²; Ergänzung 8

92 — 8 = 84 Hunderter 64 Einer

8² =

92²= 8464

93 — 7 7²

98 — 2 2²

102 + 2 2²

93² = 8649;    98² = 9604;    102² = 10404;    109² = 11881.

Einige weitere Beispiele.

lll² = 122^121 = 12321. In Worten: 111 und 11 = 122;

12200 hierzu ll² --- 121; lll² = 12321;

114² = 128^196 = 12996.

In Wirklichkeit braucht man nicht im vorletzten Beispiele 128^196 und dann erst 12996 hinzuschreiben, vielmehr nimmt man die Addition im Kopfe vor „128 und 196 = 12996" oder man schreibt die Zahl 128 und korrigiert die 8 auf eine 9 also 12996.

122² = 144^484 = 14884;

30. Die Quadrate der Zahlen 125 dis 175. Regel. Man addiere zu den zwei letzten Ziffern der zu quadrierenden Zahl 25, multipliziere mit 3, hänge 2 Nullen an und addiere schließlich hierzu das Quadrat der Ergänzung bzw. des Überschusses bezogen auf 150.

137² würde man also wie folgt berechnen: 37 + 25 = 62, mal 3 = 186; 18 600, Ergänzung = 13, zum Quadrat = 169.

137² = 18600 + 169 = 18769; 135² = 180^225 = 18225.

Für die Zahlen 140 bis 160 tritt wiederum die bekannte Vereinfachung ein.

125² = 150^625 = 15 625

73 - 3 2²

142³ = 20164;    145² = 21025;    148² = 21904;

151² = 22 801 (3 • 76 = 228).

Man wird 3 76 auch „von hinten" rechnen können und sich damit auch die kleine Multiplikation erleichtern, also 228 von rechts nach links aufschreiben.

Einige weitere Beispiele.

163²; 63 + 25 = 88, mal 3 = 264 und 13²= 169; 163² = 26 569;

3 • 93 18²

168² = 279^324 = 28224:

67-3 8⁵

3-70 5²

154² = 23716.

3 90 15²

165² = 270^225 = 27225;

173² = 294^529 = 29929.

Beachte 98 • 3 = 300 — 6 = 294, oder „von hinten" rechnen: 3 • 8 usw.

31. Die Quadrate der Zahlen 175 bis 225. Regel. Man

bilde die Zahl, die angibt, um wieviel die gegebene Zahl größer ist als 100, multipliziere diese mit 4 und hänge 2 Nullen an; hierzu addiere man schließlich das Quadrat der Ergänzung bzw. des Überschusses bezogen auf 200.

Anmerkung. Die Zahl, die angibt, um wieviel die gegebene Zahl größer ist als 100, ist für die Zahlengruppe 175 bis 200 gleich den zwei letzten Stellen und enisteht für die Gruppe 200 bis 225, wenn man sich beider zu quadrierenden Zahl anstatt der Anfangszifser 2 eine 1 denkt.

IS²

4-82

Beispiele. 182s = 328^324 = 33124; 82-4-328Hunderter, 182 und 18 = 200 oder 200 — 182 = 18 — Ergänzung; 18²=324.

4 • 93 7²

185² = 340^225 = 34225 (4 • 85 = 340);

Bei der Quadratbildung der Zahlen 190 bis 210 werden wiederum die Hunderter von den Einern nicht beeinflußt.

199² = 39601, 4 • 99 = 4 • 100 — 4 oder rechne „von hinten" 4 - 9 = 36, 4 • 9 + 3 = 39.

209²= 43681;

193² = 37249.

4•102 2²

202² = 40804;

225² = 500'~'625 - 50625.

4 • 114    14²

214² = 456'~'196 = 45 796

Ist 32. Die Quadrate der Zahlen 225 bis 275. Für diese Gruppe gilt folgende Regel:

Man bilde die Zahl, die angibt, um wieviel die gegebene Zahl größer ist als 125, multipliziere diese mit 5 und hänge 2 Nullen an; hierzu addiere man das Quadrat der Ergänzung bzw. des Überschusses bezogen aus 250.

228²; 228 ist um 103 größer als 125 (sprich: 125 und 103 = 228 anstatt 228 — 125 = 103).

5 • 103 = 515 Hunderter 22²=    484

228² = 51984 233²= 540^289 = 54 289.

Hier fällt sofort auf, daß die Quadratbildung derungeradenZah-len dieses Intervalles sich besonders einfach gestaltet. Subtrahiert man nämlich 125, so ist in diesem Falle die Differenz eine gerade Zahl;

bei der Multiplikation dieser mit 5 wird die letzte Ziffer des Produktes stets eine Null, die man fortlassen kann und das zu addierende Quadrat dreistellig anschreiben. Die Multiplikation mit 5 kann hier ferner nach S. 22 als Division durch 2 erfolgen, wobei man ohne weiteres die Tausende des zu bildenden Quadrates erhält.

Also im letzten Beispiele:

112 : 2 13-

Ebenso: 237² = 56169; 245²= 60025;

5 -129 4'¹

254² = 64516.

108:2 17-

233² = 54289.

238² = 565^144 = 56644;

248² = 61504;

Rechne anstatt 254 — 125 = 129, Überschuß + 125 = 4 -f 125 = 129!

Nach den bisherigen Regeln sind also von den Quadraten der Zahlen 1 bis 275 nicht weniger als bei 40% der zu quadrierenden Zahlen die Hunderter unabhängig von den Einern, wodurch das Quadrat fast mühelos hingeschrieben werden kann.

Zwischen 100 und 200 sind es die Zahlen: 100 bis 110, 140 bis 160 und 190 bis 200.

138:2 13-

5 ■ 143 18-

WeitereBeispiele. 263²=69169; 268²= 715^324= 71824. Übung. Berechne: 272², 255², 241² 259², 236², 258², 267²,

239².

Bevor man die Quadratbildung fortsetzt, ist es unerläßlich, die bisherigen Regeln gründlich einzuüben, da die weiteren sich auf diese stützen.

33. Wiederholungsbeispiele. 1. Gib die Regel an, nach der gebildet ist:

37² = 1369; 62² = 3844; 82² = 6724; 218²= 47524.

209² --- 43 681;

89² =    7921;

243² = 59049; 246²= 60516;

96² —    9216;

lll² = 12321;

44² = 1936;

188² = 35344;

2. Bilde im Kopfe folgende Quadrate:

198², 142², 39², 62², 209², 93², 86², 242², 271², 57², 185², 962 114².

Wir hatten bis jetzt für die Quadratbildung der Zahlen 25 bis 275 fünf Regeln, die mehr oder weniger miteinander zusammenhängen.

Jede Gruppe umfaßt je 50 Zahlen und hat ein „Zentrum"; solche sind: 50,100,150,200,250. Allen Regeln ist gemeinsam, daß jeweilig der Üb ers chuß bzw. die Ergänzung der gegebenen Zahl bezogen auf das „Zentrum" (d. h. allemal das Nächstliegende Vielfache von 50 nach oben oder nach unten) quadriert und addiert wird. Diese Ergänzungen bzw. Überschüsse sind in allen Fällen kleiner oder höchstens gleich 25.

Bei jeder Regel, namentlich bei den drei letzten, wird noch eine bestimmte Zahl mit einem gewissen Zahlenfaktor nämlich mit 3, 4 bzw. 5 multipliziert. Auch hier ist ein gesetzmäßiger Zusammenhang vorhanden. Der Zahlenfaktor ist nämlich jedesmal genau so groß, wie oft das „Zentrum" die Zahl 50 enthält. In der Tat finden wir: „Zentrum" 150 — Zahlenfaktor 3, „Zentrum 200 — Zahlenfaktor 4, „Zentrum" 250 — Zahlenfaktor 5.

Die zu multiplizierende Zahl könnte man allgemein durch Subtraktion der Hälfte des „Zentrums" von der zu quadrierenden Zahl bilden. Z. B. 137 = ? Nach § 30 S. 55 bilde man 37 + 25 = 62; aber 137 — 75 ist ebenfalls 62. 75 = 150 : 2. Ebenso muß in der Gruppe 175 bis 225 von der zu quadrierenden Zahl 100 = 200 : 2 subtrahiert werden; schließlich wird bei der nächsten Grupppe 225 bis 275 125 = 250 : 2 subtrahiert.

Allen erwähnten Regeln ist endlich gemeinsam, daß zu dem in bestimmter Weise zu bildenden Produkt zwei Nullen anzuhängen sind.

Wenn also auf den ersten Blick die Regeln etwas kompliziert und voneinander verschieden erscheinen mögen, lassen sie sich doch infolge ihres inneren Zusammenhanges nach einiger Übung merken.

Es gibt also sozusagen eine höhere Regel, die sich diesen 5 Regeln „überlagert" und diese umfaßt. Will man aber das Quadrieren auf größere Zahlen ausdehnen, so muß man vorerst die bisherigen Regeln vollkommen beherrschen; denn diese wiederholen sich.

So lassen sich die Zahlen 250 bis 750 nach Regel § 28, 750 bis 1250 nach Regel § 29, 1250 bis 1750 nach Regel § 30, 1750 bis 2250 nach Regel § 31 usw. quadrieren, wenn man in den entsprechenden Regeln die Zahlen 25, 50, 75, 100, 125 usw. durch 250, 500, 750, 1000,1250 usw. ersetzt und statt 2 Nullen jeweilig 3 Nullen anhängt.

Wir haben demnach im folgenden, mögen wir das Gebiet der zu quadrierenden Zahlen beträchtlich erweitern, keine wesentlich neuen Regeln hinzuzulernen.

Den Beweis zu den in diesem Kapitel angeführten Regeln lasse ich hier folgen.

Quadrieren. Beweise

59

Zu § 28. Die zu quadrierende Zahl stellen wir dar in der Form 50 + bj

(50 + 6)² = 2500 + 100 b + b2 = (25 + b) 100 + b2 = [(50 + b) — 25] • 100 + b²

Hierbei bedeutet:

(50 + b) - 25 - .. .

[(50 =F b) — 25] • 100 . . . [(50 + b) — 25] • 100 + b² .. .

„Um eine Zahl, die zwischen 25 und 75 liegt, zu quadrieren, subtrahiere man von dieser 25'', „hänge an die Differenz zwei Nullen an"

„und addiere hierzu das Quadrat der Ergänzung bzw. des Überschusses bezogen auf 50".

Zu § 29 bis 32.

Der eben angeführte Beweis läßt sich verallgemeinern, wenn wir die zu quadrierende Zahl in der Form (50m + b) darstellen, wobei n eine der Zahlen 1 bis 5 und b 1 bis 25 bedeuten mögen.

(50 n + bf = 2500m² + 100 nb + b2 = (25 n + b) 100 n + b2 = | [(50m T b) — 25m] m) • 100 + d².

Der Leser möge selbst — unter der Beachtung der Ausführungen auf der vorigen Seite — dieses Ergebnis mit den Regeln § 29 bis § 32 vergleichen.

woraus

Die zu quadrierende Zahl sei z. B. 242, n = 5, b = 8,

125

so ist:    242² --- (242 — 5 • 25) • 5 • 100 + 64

= 117 • 5 • 100 + 64 = 58564..    ,,

wobei die wirkliche Rechnung, wie früher gezeigt/ '&ebe«tw6' kürzer ausfällt und int Kopfe leicht ausführbar ist. 7/J^

34. Die Quadrate derZahlen 250 bis 750. Regel. Mn eineZahl, die zwischen 250 und 750 liegt, zu quadrieren,,subtrahivke'stian von dieser 250, hänge 3 Nullen an und addiere Hiei^u-Ms ÄuAdrat dH: Ergänzung bzw. des Überschusses bezogen auf 500 (vas. S.

Anmerkung. Diese Ergänzung bzw. dieser Überschuß ist offrübirk kleiner oder höchstens gleich 250.

Beispiele.

289²; 289 — 250 = 39;

289 und 211 = 500; 211² = 44521 (nach § 31)

39000

289² ---- 83521

294-250 206²

407² = 157^8649 = 165 649 (Vgl. § 29)

343² = 93^24649 = 117649 418² = 168""'s6724 = 174724 391² = 14lTTl881 = 152 881 443² = 193^3249 = 196 249

Rechne: 443 — 250 = (450 — 250) - 7 = 200 — 7 = 193. 465² = 215^1225 = 216225.

Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein für die Zahlen 469 bis 531; hierbei sind nämlich die Ergänzungen bzw. die Überschüsse kleiner als 32 und ihre Quadrate kleiner als 1000, also höchstens dreistellig; sie können demnach die ersten drei Stellen des sechsstelligen Resultats nicht beeinflussen. Beide Teile werden getrennt berechnet undneben-einander hingeschrieben.

477 - 250 23²

477² = 227 529 485² = 235225 496² = 246016 Beachte: 250 und 246 = 496

Weitere Beispiele.

250 + 48    43²

543² = 293"~'1849 = 294849 596² = 346^9216 = 355 216

Übungen. Bilde nach obiger Regel: 294², 335², 411² 448², 457² 486², 514², 523², 555², 596², 608², 689².

In dieser Gruppe dürfte die Bildung der Quadratzahlen in der Nähe von 300, 400, 600 und evtl, in der Nähe von 700 bequemer sein durch Kombination der Regel (S. 53) und der üblichen Formel (a + 6)², wie diese auf S. 15 modifiziert ist, wobei 300 bzw. 600 und 700 als a und der jeweilige Überschuß als b aufgefaßt wird.

314²;    328 - 3 -= 984

14²=    196

314²= 98596

294² = 44 4 2 436 = 86 436

Z. B.

157«

250 + 7 7²

507² = 257049 (vgl. Anm. S. 54)

518²= 268324 531²= 281961

641² = 391 19881 = 410881 708² = 458 43264 = 501264 743² = 493 59049 = 552049

8■324 12*

3-314

307² = 94249

312² = 972^144 = 97344 358²;    1248

3364

358² = 128164

6-584 8*

592² = 350 464 6-616 8* 608² = 369664

8-634

617² = 3804^289 = 380689

7-682 9*

691² = 477481

7 - 708 4*

704²= 495616

722² - 5208^484 = 521284

Man denke sich die zu multiplizierende Zahl im Kopfe, in unserem letzten Beispiele 744 (722 + 22) und multipliziere diese Zahl ebenfalls int Kopfe mit 7, so daß das Produkt 5208 von rechts geschrieben Ziffer für Ziffer entsteht.

35. Tie Quadrate der Zahlen 750 bis 1250. Regel. Um eine Zahl, die zwischen

1000 und 1250 liegt, zu quadrieren, vermehre man die gegebene Zahl um ihren Überschuß bezogen auf 1000, hänge 3 Nullen an und addiere hierzu das Quadrat des Überschusses.

750 und 1000 liegt, zu quadrieren, vermindere man die gegebene Zahl um ihre Ergänzung auf 1000, hänge 3 Nullen an und addiere hierzu das Quadrat der Ergänzung.

889²; Ergänzung 111 889 - 111 = 778 Tausender

lll² = 12321(122^121) 889² = 790321

844 — 166 156*

844² = 688^24336 = 712336

792 - £08 208*

792z= 584^43264 = 627264

959-41 41*

959² = 918^1681 = 919681

963-37

963² = 926^1369 = 927369

Aus einem früher dargelegten Grunde tritt bei den Zahlen 969 bis 1031 eine wesentliche Vereinfachung ein; das Quadrat läßt sich fast mühelos hinschreiben, während nach der üblichen Rechnungsweise gerade die Zahlen 969 bis 1000 nicht zu den bequemsten zählen.

977 - 23 23²

977² = 954 529 985² = 970225 994² = 988036

999 -1 l²

999² = 998001

Weitere Beispiele.

1007 + 7    7²

1007²= 1014 049 1014³= 1028196 1031²= 1062961

1044 + 44    44²

1044² = 1088^1936 = 1089 936 1098² - 1196^9604 = 1 205 604 (Rechne: 1098 -f 98 = 1200 — 4 = 1196)

1107 + 107 107²

1107² = 1214^11449 = 1225449 1145²= 1290    21025 = 1311025

1164² = 1328^26896 = 1 354896 1193²= 1386    37249 = 1423249

1208 + 208 4-108 8²

1208² = 1416^43264 = 1459264 1223² = 1446 49729 = 1495 729

Übung. Berechne die Quadrate: 818² 792²,1023², 956², 1214², 988² 715², 1124², 1029² 1203², 991², 825², 789², 917², 1048², 1062², 1214².

Auch in dieser Gruppe dürfte es bequemer sein, die Quadratzahlen in der Nähe von 800 und in der Nähe von 900 anstatt nach der Regel S. 61 durch Kombination der Regel § 28 und der Formel (a ± b)³ = a (a ± 26) + Z>² zu bilden.

Beispiele. 784²;    768.8 = 6144

8 - 786    7*

793²= 6288 49;

8 - 812 «-

806²= 6496 36;

8 - 850    25²

825²= 680 625;

8-872_

836² -- 6976^296 --- 698896.

36. Übungen und Wiederholungsbeispiele» Berechne folgende Quadrate und gib die Regel an, nach der sie gebildet sind: 1036², 139², 924², 43²,1211² 188², 58², 478², 207² 239², 722², 96², 517²

909² = 8262 81;

917² = 8406^289 = 840889

Quadrieren. Übungen

63

In den meisten Fällen, namentlich in der Technik, wird man mit den Quadraten dreistelliger Zahlen auskommen und wird Zahlen, die etwa mehr Stellen aufweisen, auf dreistellige aufrunden. Deshalb sind auch in den gebräuchlichen technischen Taschenbüchern nur die Quadrate der Zahlen 1 bis 1000 angeführt.

Wir sind jedoch bereits über 1000 hinaus und wollen das Quadrieren für größere Zahlen fortsetzen. Im allgemeinen wird die Aufgabe mit Zunahme der Zahlen komplizierter, d. h. sie erfordert mehr Zeit und Zwischenrechnungen. Aber gerade weil bei 1000 die Tafeln in der Regel aufhören und die gewöhnliche Rechnung auch Verhältnis--mäßig viel Zeit erfordert, wird es von Interesse sein, unsere bisherigen Regeln auf größere Zahlen anzuwenden.

Wir haben früher bemerkt, daß bei Beherrschung der Quadratzahlen 1 bis 25 dieQuadrate derZahlen bis 250 (in Wirklichkeit bis 275) in einfacher Weise sich bilden lassen. Ebenso benötigt man zur Quadratbildung d er Zahlen 2 50 bis 2 500 die Quadrate 1 bis 2 50, schließlich zur Quadrat-bildung der Zahlen 2500 bis 25000 die Quadrate 1 bis 2500.

In den bisherigen Paragraphen haben wir angenommen, die Quadratbildung derZahlen 1 bis 250 werde ebenfalls—und damit die ganze Rechnung — im Kopfe durchgeführt. Für größere Zahlen würde es sich lohnen, dieQuadrate 1 bis 250 und evtl. Ibis 2500 einer Tafel zu entnehmen.

37. Die Quadrate der Zahlen 1250 bis 1750. Regel. Man addiere zu den letzten 3 Ziffern, als Zahl aufgefaßt, die Zahl 250, multipliziere mit 3, hänge 3 Nullen an und addiere hierzu das Quadrat der Ergänzung bzw. des Überschusses bezogen auf 1500 (vgl. § 30).

Anmerkung. Hier und bei den folgenden Beispielen wird es dem Leser überlassen, ob er die Quadrate 1 bis 250, die immer wieder vorkommen, im Kopfe berechnen, oder einer Tafel entnehmen will. Bei genügender Übung dürfte (vielleicht mit Ausnahme der Gruppe 125 bis 175) die Rechnung im Kopfe nicht mehr Zeit in Anspruch nehmen als die Benutzung einer Tafel. Verfasser hat sämtliche Beispiele bis 2500 (resp. 2750) ohne Benutzung einer Quadrattafel berechnet.

Beispiele. 1319²; 319 + 250 = 569, 569 • 3 = 1707

Ergänzung: 181, 181

oder kürzer gefaßt:

3. 569 181²

32761 1739761

1319² = 1707 32761 = 1739761;

106²

644 • 3

1394² = 1932 11236 ----- 1943236; 1413² ----- 1989^7569 = 1996569.

ANuG. 739: Bojko, Rechenvorteile. 3. Aufl.

Man denke sich die Zahl (413 + 250) ----- 663 im Kopfe und multipliziere mit 3 von rückwärts. Diese Aufgabe kann offenbar auch so gelöst werden:

13'²

1413 + 13

1426 - 14 -- 19964 Hunderter 4- 169 -- 1996 569; Voraussetzung ist hierbei jedoch, daß 14 als eine einziffrige Zahl (vgl. S. 27) aufgefaßt wird.

3 - 721    29a

3•759    9²

1471² = 2163841;    1488² = 2 21 4 1 44;    1509²= 2277081

(509 + 250 = 759);    1531² = 2343 961.

(Oder: 15 • 1562 = 23430, 2 343000 + 961 = 2343 961.)

3-842

1592² = 2526^8464 = 2534464;

165²

1614²= 2592 12996 = 2604996;

915 _s__

1665²= 2745 27225 = 2772225;

1708²= 2874 43264 = 2917264;

17342 ₌ 2952 54756 = 3006756.

38. Quadrate der Zahlen 1750 bis 2250. Regel. Man subtrahiere von der gegebenen Zahl 1000, multipliziere die Differenz mit 4 und hänge 3 Nullen an; hierzu addiere man schließlich das Quadrat der Ergänzung bzw. des Überschusses bezogen auf 2000 (vgl. § 31).

Für die Zahlen 1750 bis 2000 erfolgt offenbar die Subtraktion von 1000, indem man einfach die 3 letzten Ziffern der zu quadrierenden Zahlen hinschreibt oder sich denkt.

Für die Zahlen 2000 bis 2250 hingegen denke man sich die Anfangsziffer 2 durch 1 ersetzt.

4 • 92 8²

4-808 4 92 8²

Beispiele. 1808ä=3232 36864 = 3268864 (192²= 368641);

4 ■ 843    157a

1843²= 3372 24649 = 3396649;

1889² = 3556 12321 = 3568321,889 - 4 schreibe man von rechts nach links, indem man die 4 im Sinne hat, also 4 - 9 = 36, 4 - 8 und 3 = 35 usw.

1921² = 3684^6241 = 3690241; 1955² = 3820^2025 = 3822025;

4 • 972 2S²

1972² = 3888784 (vgl. S. 56);    1981² = 3924361;

4 • 1007 7²

19942 = 3976036;    2007² = 4028049,

oder 2 - 2014 --- 4028 Tausender und 7² = 49; 2007² = 4028049.

2023³ = 4092 529; 2029² = 4116841;

56²

4 • 1056

2056² — 4224^3136 = 4227136;

2083² = 4332^6889 = 4338889;

2109²= 4436 11881 = 4447881;

2175²== 4700 30625 = 4730625;

4 ■ 1194

4 • 94 6² - 194²

2194² = 4776 37*636 = 4813636;

2212²= 4848 44944 = 4892944.

39. Quadrate der Zahlen 2250 bis 2500. Regel. Um eins Zahl, die zwischen 2250 und 2500 liegt, zu quadrieren, bilde man die Zahl, die angibt, um wieviel die gegebene Zahl größer ist als 1250, multipliziere diese mit 5 und hänge 3 Nullen an; hierzu addiere man das Quadrat der Ergänzung bezogen auf 2500 (vgl. § 32).

Beispiele. 2257ä = ?

59049

2257 — 1250 = 1007, mal 5 = 5035 Ergänzung 243; 243² =

5094049

194²

5 • 1056

2306² = 5280 37636 ----- 5317636;

2335² ---- 5425 27225 = 5452225;

2388² --- 5690 12 544 = 5 702 544;

24 6 4² = 60 70^1296 = 6071296;

5 1224 26²

2474² = 6120676 (vgl. S. 22); 2487² = 6185169; 2496²= 6230016.

Bei sinngemäßer Anwendung der bisherigen Regeln lassen sich selbstredend auch manche Zahlen, die größer sind als 2500, bequem quadrieren. Inwieweit dies geschehen kann, wird der Leser selbst von Fall zu Fall zu entscheiden haben. Hier nur einige Beispiele.

524² =    274576 (vgl. § 34)

4476 — 2500 = 1976

4476²;

20034576

247868562496

999879—121

999879² = 999758014641.

121²

9984 - 16

2500 + 94 94²

5094² = 25 948836;    9984² --- 99680256

10212 + 212 212²

10212² = 10424^44944 == 104284944

4 - 9964    36²

19964²= 39856 1296;

5-12 389 lll²

24889² --- 61945^12321 -- 619462321 2074² =    4301476

25000 + 2074 = 27074

52074²;

2711 701476

60543²; nach Formel (a + &)²; 61086 - 6 = 366516 543² =

294 849

98155²;

3665454849 1845² -98155 — 1845 = 96310

3404025

9634404025

4-99 878

199878² = 399512 14884 2136² ==

497864 - 250000 = 247864

497864²;

122²

4562496

999064 — 936    9S6²

999064² = 998128 876096;

40.    Übung. Berechne: 1476², 1811², 1886², 1979², 2028², 2391², 4966², 5115², 5476² 7O14² 9526² 9983²,10092²,1O475², 11065², 14688², 14933² 15 lll², 16455², 19516², 19 8922 20 057², 21 065², 24 387², 49 9 54², 98 924², 99 8 78², 99 947².

Es empfiehlt sich, die Zahlenbeispiele zuerst in der hier angegebenen und dann in beliebiger Reihenfolge zu berechnen.

41.    Dezimalbrüche. Angenähertes Quadrieren. Im vorigen Abschnitte wurde nur die Quadratbildung ganzer Zahlen behandelt. Soll ein Dezimalbruch quadriert werden, so lasse man das Komma zunächst unbeachtet, quadriere diese Zahl und schneide dann doppelt soviel Stellen von rechts ab, als bei der zu quadrierenden Zahl bis zum Komma von rechts vorhanden sind. Hierfür würde ein Beispiel genügen.

116² ---- 13456;

sollte gebildet werden 11,6²; 1,16²; 0Z116²; 0,0116² usw., so bleiben offenbar die Ziffern dieselben, nur müssen entsprechend 2, 4, 6, 8 Stellen von rechts abgeschnitten werden, man erhält dann:

134,56; 1,3456; 0,013456; 0,00013456.

Auch beim Quadrieren wird mitunter nur ein angenäherter Wert verlangt. Hierüber dürfte das in den Abschnitten S. 35 — 37 gesagte ge-nügen. Je ein Beispiel soll jedoch angeführt werden: 333²= ? 333²=y₉. 1000000 ----- 111000 (genau 110889;).

00 00

8,4672²;

67,7376

3,3869

5080

592

17

71,6934

Auch die im Abschnitts S. 28ff. dargelegte „Kreuzmultiplikation" läßt sich selbstverständlich auf das Quadrieren anwenden. Der Leser versuche dies bei folgenden Beispielen:

CO CD

74

74

CO CO

CO CO

4096    5476    190096    140 175,36

Betrachten wir das erste dieser Beispiele, so werden doch die Ziffern des Produktes von rechts nach links wie folgt gebildet: 4 • 4 = 16, 6 geschrieben 1 gemerkt, 4-6 + 6- 4 = 48 + 1 = 49, 9 geschrieben 4 gemerkt usw.; hier wird es dem Leser ohne weiteres auffallen, daß er statt 4 • 6 + 6 • 4 einfacher 2 • 24 rechnen kann (vgl. S. 30). Sinngemäß läßt sich dies auf die weiteren Beispiele übertragen, wo öfters doppelte Produkte zu bilden sind. F erro l behandelt diese Methode des Quadrierens ausführlicher.

II. Dritte Potenz.

42. Allgemeines. Für die Bildung der dritten Potenz einer Zahl lassen sich im allgemeinen keine besonderen Rechenvorteile angeben, die unmittelbar zum Ziele führen. Vielmehr muß zuerst das Quadrat

82 21

0,26 522

Einfacher gestaltet sich mitunter das Kubieren, wenn die Basis selbst ein vollständiges Quadrat ist, z. B. 36³ = ?

46 656 (nach Regel S. 56); [36³ = (6²)³ = (6³)² ----- 216²1].

(vollständig oder näherungsweise) nach einer der in diesem Kapitel angegebenen Methoden gebildet werden und hieraus in gewöhnlicher Weise oder unter Beachtung der § 28—33 mit der Basis multipliziert werden. Wenn eine Tafel der Kubikzahlen nicht vorausgesetzt wird, werden freilich die Rechenvorteile des Ouadrierens von besonderem Nutzen sein.

Beispiele.

56³ ----- ?

3136 (nach S. 54) • 56 (nach S. 31)

175616

ebenso: 114³=? 114²= 12 996    218³; 218²= 47524 (vgl.S.56)

218 ( ,, „ 32) 218³ = 10360232

114

114³= 1481 544

531³ = ?

281961 Mit dem letzten Beispiele soll gezeigt werden, 531 daß gegenüber der gewöhnlichen Rechnungs-28T961 weise auch dann noch ein Vorteil besteht, wenn 845 883 5 3 l²nach unserer Methode (Seite 60) berech-1409 805 net und 281961 - 531 in der üblichen Weise multipliziert wird.

149721291

0,6425³ = ?    0,6425

0,6425 0,38550 2570

1063³;

1129969

1063

128

32

1201157047

0,41280

0,6425

0,24768

1651

36³ = 216² =

Man zerlege in diesem Falle die Basis in zwei gleiche Faktoren, bilde die 3. Potenz dieses Faktors und quadriere.

25³ = 125² = 15625; 64³ = 512²= 262144 (vgl. S. 60).

43. Zahlen mit Endziffer 5. Zum Schlüsse sei noch auf eine Vereinfachung hingewiesen, die für nicht zu große Zahlen, deren Endziffer 5, bequem anwendbar ist. Das ist ein Analogon zur Quadrierung von Zahlen mit der Endziffer 5.

Denken wir uns die gegebene Zahl in der Form 10a + 5, so bedeutet offenbar a diejenige Zahl, die man nach Fortlassung der Endziffer 5 erhält. Man nehme 125 sooft, als die gegebene Zahl 5 enthält (oder multipliziere die gegebene Zahl mit 25); die letzten 3 Ziffern des so gebildeten Produktes sind gleichzeitig die letzten drei Ziffern des gesuchten Kubus.

Die Tausende des Kubus liefert der Ausdruck

zu dem noch die etwa vorhandenen Tausende der oben erwähnten Multiplikation mit 125 zu addieren sind. Es ist bei dieser Regel noch folgendes zu beachten: 1. sooft a die Zahl 4 enthält, so viele Tausende erhält man bei der Bildung des Vielfachen von 125; zur Bestimmung der 3 letzten Ziffern, die nur eine der Zahlen 125, 375, 625, 875 sein können, genügt es, den Rest der vorgelegten Zahl in bezug auf den Divisor 40 zu bilden, und sooft dieser Rest die Zahl 5 enthält (also ein-, drei-, fünf- oder siebenmal), sooft mal 125 bilden die drei letzten Ziffern.

2. Der Ausdruck

ist stets ganzzahlig, indem entweder a oder a + 1 durch 2 teilbar. Ist a einstellig (also 10a + 5 zweistellig), so wird man diesen Ausdruck ohne weiteres im Kopfe berechnen können. Ist a zweistellig, so wird

man eventuell das Produkt

im Kopfe bilden und dieses mit dem noch fehlenden Faktor unter evtl. Beachtung der über Multiplikation angegebenen Rechenvorteile multiplizieren.

Beispiele.

Da 25 fünfmal 5 enthält, so sind die Endziffern des gesuchten Kubus 5 • 125 ----- 625 (oder auch 25 25 ---- 625). Die Anfangsziffern er-

a (a —|- 1) (2 a —f- 1)

a (a + 1)

oder

25³ = ?

a (a -j- 1) (2a+ 1)

a (2 a + 1)

oder

(a + 1) (2a-f-1)

3 • 4 • 7 : 2 7 • 125

hält man: -~ — = 15; 25³ = 15625. Ebenso: 15³ = ? Endziffern 3 • 125 = 375,

Anfangsziffern:- ^ - ^

= 3.    15³ = 3375;    35³ = 42 875

65³ = ?

Die Endziffern sind hier dieselben wie bei 25 = 65 — 40, nämlich = 625; da in 65 einmal 40 enthalten, muß zu den Anfangsziffern 1 (eintausend) zugezählt werden.

+ 1 = 7-39 + 1 = 274; 65³ = 274625

Anfangsziffern ⁶--?₂:13

Ebenso: 85³ = ?

125

Endziffern.....

8-9-17

Anfangsziffern    + 2 = 9 • 68 + 2 = 614

85³ = 614125;    115³ = ? Endziffern 875

11 • 12 - 23

(da 115 = 2 • 40 + 35).

f 2 = 11-138 + 2 = 1520

115³ = 1520875

245³ = ?    (245 = 6-40 + 5), Endziffern .... 125;

24 - 25 • 49

+ 6 = 300 • 49 + 6 = 14 706; 245³-- 14 7 06 125.

44. Höhere Potenzen. Bei Bildung der vierten oder noch höherer Potenzen können immer wieder die bisherigen Regeln über Multiplikation und Quadrieren Anwendung finden, je nachdem, ob ein genaues oder angenähertes Ergebnis verlangt wird.

Einige Beispiele über 4. Potenz mögen folgen:

8⁴ = ?    8⁴ = 64³ = 4096

23⁴ = ?    23⁴ = 529² = 279841 (vgl. S. 60)

47⁴ = ?    2209² = 4836^43681 = 4879681

98⁴; 98² = 9604;    98⁴ = 9604² = 92 2 3 6 816.

105⁴ ---- 1102 52

= 12050

1050625

121550625

0,3624⁴;    0,3624

0,3624 10872 2174

0,13132

0,13132

0,01313

394

72

13

14

0,01724

0,13132

Während im allgemeinen mit ganzen Zahlen und mit Dezimalbrüchen bequemer zu rechnen ist als mit gemeinen Brüchen, ist beim Potenzieren häufig der Fall umgekehrt. Einige Beispiele sollen dies erläutern:

0,25⁴ = (~)⁴ =    = 0,00390625

333,33« = (~°°)s =

0,421875

13,33⁴ = (l0 • |)⁴ --- —E ^ 31605 0,16 667« = A ₌ 0,027 778.

1000000

= 111111

Zahlen, die sehr nahe an 1 liegen, lassen sich nach dem binomischen Lehrsatz potenzieren, indem die vorgelegte Zahl als 1 + x aufgefaßt wird und höhere Potenzen von x (evtl, schon von der zweiten ab) vernächlässigt werden.

Es ist bekanntlich

(1 + oc)n = 1 + nx +

Für genügend kleine x und nicht zu große n reichen die ersten 2 bis 3 Glieder der rechten Seite obiger Gleichung aus, d. h.

n(n-\) „

n (n — 1) (n — 2)

(l + x)n = 1 + nx oder 1 + nx +

Beispiele.

1,00035« = ?

1,00000 6 • 0,00035 = 0,00210 1,00035« = 1,00210

⁶-⁶ - 0,000352 ₌ 0,0000018375 beeinflußt die 5. Stelle nicht und

kann vernachlässigt werden.

Obige Formel läßt sich auch schreiben:

x² = 1 + nx + '",y —

n(n— 1)

K>! S

-r'.

1 + nx +

vernachlässigt man — ™ x<2f wodurch eine Korrektur für die noch fehlenden Glieder mit höheren Potenzen von x gegeben ist, so erhält man einen guten Näherungswert, der sich sehr rasch berechnen läßt:

(l 4- x)n = 1 + nx + y (nx)².

1,0002²° = 1,004008 ~ 1,00401;

20 - 0,0002 = 0,004 Va • 0,004² = 0,000 008 1,0008¹² = 1,009 646 ^ 1,00965.

Hat die zu potenzierende Zahl die Endziffer 5, so läßt sich auch bei der 4. Potenz eine wesentliche Vereinfachung erzielen. Die 4 letzten Ziffern von rechts sind nämlich stets 0625. Die ersten Ziffern findet man wie folgt: sei die vorgelegte Zahl 10 a + 5, so berechne man

zunächst (vgl. Quadrieren S.52)A = a(a + 1) und dann

Dieser Ausdruck, bei dem A stets gerade, demnach eine ganze Zahl ist, liefert die noch fehlenden Ziffern.

A(2A + 1)

Beispiele.

25⁴ = ?

Endziffern Anfangsziffern 39

0625

25⁴ = 390625

20-41

A = 20 = 410

45⁴ = ?

45⁴ = 4100625

66

1590

1590

115⁴ = ?

U5⁴= 174900625

17490

Zweiter Teil.

E. Die Neuner- und Elferprobe.

45.    Allgemeines. Dies ist eine altbekannte und doch wenig verbreitete Methode, um zahlenmäßig ausgeführte Rechenoperationen, namentlich Multiplikation, Division usw. auf ihre Richtigkeit hin zu prüfen. Bekanntlich ist eine Zahl teilbar durch 9, wenn ihre Quersumme (d. i. die Summe der Zrffern) durch 9 teilbar ist. Es läßt sich aber noch weiter sagen:

Der Rest, den die Quersumme bei Division durch 9 liefert, ist gleichzeitig der Neunerrest der Zahl selbst. Z. B. 4783 hat die Quersumme 22, diese liefert den Neunerrest 4; dann hat die Zahl selbst ebenfalls den Neunerrest 4. 4783 : 9 --- 531 Rest 4.

Nun gilt die Regel: Der Neunerrest eines Produkts ist gleich dem Neunerrest des Produktes aus den NeunerrestenderFaktoren. Diessoll an nebenstehendem Beispiel erläutert werden.

Der eine Faktor hat den Neunerrest 4, der andere den Neunerrest 7, das Produkt dieser Neunerreste den Neunerrest 1; das Produkt ¹    7868035 hat ebenfalls den Neunerrest 1.

4783 1645 7868035

46.    Anwendung der Neunerprobe auf Multiplikation. Die

Neunerreste werden also wie folgt zur Probe einer Multiplikation benutzt: Man bilde die Neunerreste der einzelnen Faktoren, multipliziere erstere und bilde den Neunerrest ihres Produktes; hierauf überzeuge man sich, ob der Neunerrest des Produktes der gegebenen Faktoren der gleiche ist. Stimmt dies nicht, so ist die Rechnung sicher falsch; stimmt dies, so ist die Rechnung im allgemeinen richtig, jedoch nicht unbedingt. Beträgt nämlich der Fehler ein Vielfaches von 9, so kann die Neunerprobe diesen Fehler nicht anzeigen, denn der Neunerrest

einer Zahl bleibt ja unverändert, wenn man ein Vielfaches von 9 hinzuzählt oder abzieht. Die Neunerprobe kann also unter Umständen stimmen, während das Ergebnis doch nicht stimmt. Dies ist wohl hauptsächlich der Grund, weshalb diese Probe selten angewendet wird. Aber mit Unrecht! Der Wahrscheinlichkeit nach würden von 100 falsch berechneten Aufgaben 89 auch als falsch angezeigt werden und nur 11 nicht, d. h. ca. % aller fehlerhaften Aufgaben. Gewiß ist eine unmittelbare Probe, in diesem Falle eine Wiederholung der Mulüpli-kation, sicherer (vorausgesetzt, daß man nicht, wie es gar häufig geschieht, just zweimal denselben Fehler macht!), aber diese Probe wird ja, weil zeitraubend und wegen der unbeliebten Wiederholung derselben Rechenoperation nur in seltenen Fällen wirklich durchgeführt. Da erhöht die Neunerprobe, die weniger Zeit beansprucht und Abwechslung bietet, wesentlich die Sicherheit der Rechnung. Angenommen, jemand rechne so, daß von 10 Aufgaben etwa 2 falsch sind, dann wäre die Wahrscheinlichkeit, daß irgend eine Aufgabe, trotzdem die Neunerprobe stimmt, dennoch falsch sei ca. % • % ----- V₄₅, rund 2%; während die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit der Aufgabe, die ohne Probe nur 80% betragen würde, sich auf ca. 98%, also fast zur vollen Sicherheit erhöht.

Wir werden aber außerdem später sehen, daß die Einführung der Neunerprobe und somit des Begriffes der Neunerreste auch für andere Zwecke nützlich ist.

Die Probe läßt sich auch so anordnen, daß man die vier in Frage kommenden Neunerreste in die vier Felder eines Kreuzes einträgt. In unserem Beispiel:

Ist das Kreuz so dargestellt wie ein X, so schreibe man in die Felder rechts und links die Neunerreste der Faktoren 4 und 7, in das Feld oben den Neunerrest (l) des Produktes dieser Neunerreste, hierauf bilde man den Neunerrest des berechneten Produktes, welcher in das untere noch freie Feld gesetzt wird. Die Zahlen in dem unteren und oberen Felde müssen übereinstimmen.

Beispiele. An jedem der folgenden Produkte, die zum Teil den Seiten 3Iss. entnommen sind, befindet sich die Neunerprobe.

00 Ox

00 CO

1296592

⁸X³

Z7X

CH 00

ZD CO

122958

9

⁹)v

Z9X

7528

433

3259624

Anmerkung. Wrll man den Neunerrest einer Zahl, z. B. 534674 bilden, so braucht man nicht immer sämtliche Ziffern der Zahl zu addieren, sondern läßt Vielfache von 9 fort. Der Neunerrest von 619 ist beispielsweise 6 + 1 = 7, während die 9 unbeachtet bleibt.

2364 783

1851012

9

⁶X⁹

Z9X

Der Neunerrest 9 ist offenbar gleichbedeutend mit dem Rest 0, Verfasser zog jedoch erstere Schreibweise vor.

1683

6014 4007 24098098

47. Anwendung auf Division. Die Probe bei der Division besteht ja darin, daß man das Produkt aus Quotienten und Divisor bildet und mit dem Dividenden vergleicht. Anstatt nun wirklich das Produkt zu bilden, multipliziere man die Neunerreste (Endquersummen) des Divisors und des Quotienten und vergleiche dieses Produkt (bzw. dessen Neunerrest) mit dem Neunerrest des Dividenden. Dies gilt allerdings nur für den Fall, daß die ausgeführte Division ohne Rest aufgeht. Andernfalls addiere man zum Produkte der Neunerreste von Divisor und Quotienten noch den Neunerrest des Divisionsrestes. Diese Summe (bzw. deren Neunerrest) muß mit dem Neunerrest des Dividenden übereinstimmen.

Beispiele.

23688

359744 : 616 = 584

729

1226907

»>(

Z9X

999559:979 = 1021    ¹

97614144:9864 = 9896

9

⁹X⁵

Z9X

3579763:421 = 8503

4

X⁷

' 4

13742311:5813 = 2364 Rest 379

8 • 6 + 1 = 49, Quersumme 4, Quersumme des Dividenden ebenfalls 4.

239668:624 ----- 384 Rest 52 Probe: 3 • 6 + 7 = 25, Quersumme 7 239668    „

48. Anwendung auf Potenzen. Es besteht offenbar kein wesentlicher Unterschied gegenüber der Multiplikation. Da aber sämtliche Faktoren einander gleich sind, können wir die Regel aussprechen: Die Potenz des Neunerrestes der Basis liefert denselben Neunerrest wie die vollständige Potenz.

Hat man demnach irgendeine Zahl potenziert und will hierauf die Neunerprobe anwenden, so bilde man den Neunerrest der Basis, erhebe diesen zur entsprechenden Potenz, bildewiederum den Neunerrest und sehe zu, ob dieser mit dem Neunerrest der vollständigen Potenz übereinstimmt

Beispiele.

887ä= 786769 öX

2184² = 4 769 856 ßX

218³ = 10360232

2³

23⁴ ----- 279841 5⁴ Neunerrest 4

42875

35³ ----- 42875 8³ liefert Quersumme 8

279841

Bei höheren Potenzen braucht man selbst den Neunerrest nicht wirklich zu potenzieren, sondern kann immer wieder den Neunerrest bilden und mit dem Neunerrest der Basis (oder mit einer Potenz derselben) multiplizieren (natürlich im Kopfe), bis die höchste Potenz erreicht ist.

In unserem letzten Beispiele ist der Neunerrest der Basis 5; 5² = 25, Neunerrest 7; 7 - 5 --- 35, Neunerrest 8; 5 - 8 ----- 40, Neunerrest 4; oder 7² ----- 49 Neunerrest 4.

Bei der Probe im letzten Beispiele würden demnach im Kopfe folgende Zahlen aufeinander folgen: 5; 25; 7; 49; 4.

Ist der Neunerrest der Basis einer Zahl beispielsweise gleich 4 und soll die Probe für die 5. Potenz erfolgen, so hätten wir folgende Zahlen: 4, 16, 7, 49, 4, 16, 7 oder 4, 64, 10, 1, 16, 7. Man wird immer den kürzeren Weg einzuschlagen suchen.

Die Anwendung der Neunerprobe auf Wurzeln ist genau die gleiche wie bei den Potenzen. Sei beispielsweise gefunden:

i/279 81L = 23,

so wird man die Probe machen, indem der Neunerrest von 23 = 5 zur vierten Potenz erhoben:

V-

aiaev^y

5⁴, Neunerrest 4

und mit dem Neunerrest der Basis verglichen wird: 279841, rest 4.

Im übrigen kommen wir später noch auf die Anwendung der Neunerprobe zurück.

49. Elferprobe. Alles, was bisher über den Neunerrest gesagt wurde, gilt auch sinngemäß in bezug auf jede andere Zahl, die wir anstatt 9 als Modul wählen würden. Speziell gilt auch für die Zahl 11 der Grundsatz: Der Elferrest eines Produktes ist gleich dem Elferreste des Produktes, welches aus den Elferresten der einzelnen Faktoren gebildet wird.

Es sei ferner daran erinnert, daß der Elferrest einer Zahl erhalten wird, indem man — von rechts nach links gezählt — die Summe der geraden Stellen (2., 4., 6. usw.) von der Summe der ungeraden Stellen (1., 3., 5. usw.) subtrahiert.

Im übrigen gilt auch bei der Elferprobe: stimmt die Probe nicht, so ist die Rechnung sicher falsch, stimmt sie, so kann immer noch ein Fehler sein, der ein Vielfaches von 11 beträgt.

F. Das Radizieren.

I. Hilfsmittel.

50. Allgemeine Vorbemerkungen. Schreiben wir uns einige Potenzen zweistelliger Zahlen auf, z. B.:

80³= 512000 81³ = 531441,

82³ = 551368>^9

83³ = 5717875 9 84³ = 592 704^Uyl'

>19441

10³ = 1000x„_ n³ = mi>^

12s= 1728(^q 13»    2197^09

14³ -- 2744>⁵⁴⁷

82⁵ = 3527 398 432 83⁵ --- 3939 040 643

ferner

Differenz 411 642 211

Die rechtsstehenden Zahlen bedeuten jeweilig die Differenz zweier aufeinanderfolgenden Potenzen. Man sieht, daß diese Differenzen einerseits mit wachsender Basis und anderseits mit wachsendem Exponenten sehr schnell wachsen; so haben wir beispielsweise: 13³ — 12³ = 469; bei dem gleichen Exponenten, jedoch größerer Basis, 83³—82³=20419, und schließlich unter Beibehaltung der Basis bei einem höheren Exponenten: 83⁵ — 82⁵ = 411642211.

Mit andern Worten: Zwischen den Zahlen 1728 und 2197 liegen 468 ganze Zahlen, zwischen 551368 und 571787 bereits 20418 ganze Zahlen, bei denen die dritte Wurzel irrational ist, oder wie man sagt, „nicht aufgeht". Da eben zwischen 12 und 13, ebenso zwischen 82 und 83 keine ganze Zahl sich befindet und die in Frage kommenden Zahlen zwischen 12³ und 13³ bzw. 82³ und 83³ liegen, ist dies begreiflich. Die gesuchten Wurzeln sind nicht einmal unechte Brüche, sondern eben irrationale Zahlen, auf deren nähere Betrachtung hier nicht eingegangen werden soll, mit deren Beschaffenheit aber der Leser vertraut sein dürfte?)

Mit wachsendem Exponenten werden die Lücken zwischen den rationalen Wurzeln sehr schnell größer, so liegen zwischen 3 527 398 432 und3939040643, wie wir gesehenhaben, nichtwenigerals411642210 ganze Zahlen, deren 5. Wurzel irrational ist, und zwischen 82 und 83 liegt. Ist demnach eine beliebig gewählte Zahl vorgelegt, aus der eine bestimmte Wurzel zu ziehen ist, so wird diese Wurzel im allgemeinen irrational und nur in seltenen Fällen rational sein. Je höher der Wurzelexponent, je größer die Basis bzw. die Nächstliegende ganze Zahl, desto seltener, wie wir gesehen haben, sind die rationalen ganzzahligen Wurzeln. Da aber eine irrationale Zahl durch einen Dezimal- oder gemeinen Bruch nie vollständig genau angegeben werden kann, so begnügt man sich mit Näherungswerten.

Die Näherungswerte werden nun je nach dem Grade der gewünschten Genauigkeit durch verschiedene Hilfsmittel gefunden, als solche

l) Zum Studium der irrationalen Zahlen sei für Forgeschrittenere verwiesen auf das Buch von Dedekind: „Stetigkeit und irrationale Zahlen" Braunschweig 1905.

sind: das unmittelbare Wurzelausziehen, die Logarithmen, der Rechenschieber, Hilfstafeln u. dgl. Die Auffindung dieser Näherungswerte hat offenbar mehr praktische Bedeutung, als die Auffindung der rationalen Wurzeln, da eben nur in seltenen Fällen solche vorhanden sind. Dennoch hat man, wenn vom Wurzelziehen bei einem Rechenkünstler die Rede ist, gerade die rationalen Wurzeln im Auge. Das leuchtet .psychologisch — dem Laien wenigstens — ein; denn wie soll man vom Rechenkünstler das Ausziehen einer Wurzel verlangen, die sich eben „nicht ausziehen läßt"; darunter ist natürlich gemeint, daß keine rationale Wurzel vorhanden ist. In diesem Falle denkt man weniger daran, einen Näherungswert zu verlangen; es würde dann auchdie Frage entstehen, welche Genauigkeit vom Rechenkünstler zu fordern wäre.

Wir unterscheiden demnach in diesem Abschnitte: 1. Das Ausziehen von Wurzeln vorwiegend als Rechenkunststück, wie es gewöhnlich von den Rechenkünstlern ausgeführt wird, und setzen dabei voraus, daß eine rationale Wurzel wirkich existiert, d. h. soll die n-te Wurzel aus einer vorgelegten Zahl b gezogen werden, so wird vorausgesetzt, daß eine ganze Zahl a existiert, die die Bedingung a” = & erfüllt. 2. Das Ausziehen von Wurzeln, auch wenn die Wurzel irrational wird, mit einer bestimmten Annäherung.

Im ersten Falle muß der Aufgabesteller die Aufgabe vorbereiten. Soll beispielsweise der Rechenkünstler die 17. Wurzel aus einer 18 bis 34 stelligen Zahl ziehen, so muß der Fragesteller zuerst eine beliebig gewählte zweistellige Zahl zur 17. Potenz erhöhen, aber natürlich vollständig, nicht etwa näherungsweise; soll ferner die 7. Wurzel einer Zahl dreistellig sein, so muß der Fragesteller vorerst eine dreistellige Zahl zur 7. Potenz erhöhen und erhält je nach Größe der gewählten Basis eine fünfzehn- bis einundzwanzigstellige Zahl usw. Es versteht sich, daß man wegen des damit verbundenen Zeitaufwandes nicht zu viele derartige Aufgaben mitbringen wird. Ja, der Rechenkünstler, der an einem fremden Orte einen Vortrag hält, wird sich sogar vorher umschauen müssen, daß ihm die erwünschte Anzahl von Aufgaben wirklich vorgelegt wird, um seine Rechenkunst von verschiedenen Seiten zeigen zu können. Dies vorausgeschickt, wollen wir einige Merkmale bzw. Hilfsmittel suchen, die von einer vorgelegten Potenz auf ihre Basis schließen lassen.

51. Die Ziffernzahl. Man dividiere die Ziffernzahl der vorgelegten Potenz durch den Wurzelexponenten; die erhaltene ganze

ANuG. 789: Bojko. ReÄenvorteile. 2. Aufl.

Zahl, und wenn die Division nicht aufgeht, die nächst größere ganze Zahl gibt die Stellenzahl der Basis an. Z. B. ist die 5. Wurzel einer elf- bis fünfzehnstelligen Zahl dreistellig; die 13. Wurzel einer vierzehn- bis sechsundzwanzigstelligen Zahl — zweistellig; die 29. Wurzel einer dreißig- bis einschließlich achtundfünfzigstelligen Zahl — zweistellig; die 73. Wurzel einer siebzigstelligen Zahl—einstellig usw. Anstatt die Ziffernzahl zu dividieren, teile man den Radikanden in Zifferngruppen von rechts nach links ein, wobei in jeder Gruppe so viel Ziffern vorhanden sind, als der Wurzelexponent angibt; die Anzahl der Gruppen — die kleinste links mitgerechnet — ergibt die Ziffernzahl der Basis.

Hat man die Ziffernzahl der Basis festgestellt, so betrachten wir jede Stelle als eine unbekannte und werden evtl, jede nach einer besonderen Regel auffinden.

52. Die Endziffer. Wird eine beliebig gewählte Zahl als Basis zwei oder mehrere Male mit sich selbst multipliziert, also zu einer bestimmten Potenz erhoben, so besteht zwischen der Endziffer der Potenz nnd derjenigen der Basis eine gewisse Beziehung, so daß man in vielen Fällen von der ersten auf die zweite rückschließen kann. Hat eine Zahl die Endziffer 0, 1, 5 oder 6, so sieht man leicht ein, daß jede ganze Potenz dieser Zahl dieselbe Endziffer ausweisen muß, denn diese Ziffern bleiben bei der Multiplikation mit sich selbst unverändert: 0-0 = 0, 1 1 -=- 1, 5 5 ----- 25, 6 • 6 --=36. Bei der dritten Potenz (und allgemein bei allen ungeraden Potenzen) bleiben auch die Endziffern 4 und 9 unverändert. Bei der 5. Potenz kehrt schließlich jede Endziffer der Basis wieder.

Dies fassen wir in einer kleinen Tabelle, von der wir später öfters Gebrauch machen werden, zusammen.

Es läßt sich leicht nachweisen, daß die Endziffern nicht nur bei der 5., sondern auch bei der 9, 13. . . ., allgemein bei der (4-r + 1). Potenz wiederkehren?)

Ähnlich findet man, daß in bezug auf die Endziffern, die 7., 11. . . . allgemein (4w + 3). Potenz mit der 3. Potenz übereinstimmen.

Tabelle 1.

Endziffern

05 H Oi H 05 GO ^ <M SO GO t-05CCHt>

co co so so so

lO lO lO lO lO

CO ^ so ^

TO 05 H CO CM ^ 00 SO CM

H H r( rl rl

1. Potenz

2.

3.

4.

5.

1) Vgl. vom Verfasser: Beitrag zum Ausziehen höherer Wurzeln, „Zeitschrift für Mathematik und Physik", 1909, Band 57, S. 373.

Wir sehen aber aus der Tabelle, daß bei der 3. Potenz die Endziffern 1, 4, 5, 6, 9 mit denjenigen der Basis genau übereinstimmen, während 8 und 2 bzw. 7 und 3 ihre Plätze tauschen. Endziffer 2 gibt bei der 3. Potenz Endziffer 8 und umgekehrt, ebenso gibt Endziffer 3 Endziffer 7 und umgekehrt.

Beschränken wir uns zunächst auf ungerade Potenzen, so läßt sich behaupten: aus der Endziffer der Potenz ist die Endziffer der Basis eindeutig bestimmt.

Auch ist diese Bestimmung durchaus leicht. Wir teilen nämlich sämtliche ungeraden Potenzen in 2 große Gruppen.

Die erste Gruppe umfasse die Exponenten der Form 4^+3 (also 3., 7., 11. usw.) das sind solche, die bei der Division durch 4 den Rest 3 ergeben.

Hat nun die Potenz eine der Endziffern 0, 1, 4, 5, 6, 9, so hat die Basis die gleiche Endziffer; hat hingegen die Potenz die Endziffer 8, 7, 3, 2, so hat die Basis eine Endziffer, die letztere auf 10 ergänzt, also entsprechend 2, 3, 7 oder 8.

Die zweite Gruppe umfasse die Exponenten der Form 4w + 1 (also 5., 9., 13. usw.), das sind solche, die bei der Division durch 4 den Rest 1 ergeben.

Bei dieser Gruppe ist die Endziffer der Potenz ohne Ausnahme genau die gleiche wie diejenige der Basis.

Wir sind nach dem bisherigen in der Lage, bei allen ungeraden Potenzen aus der Endziffer der Potenz, die Endziffer der Basis anzugeben.

Tabelle 2.

53. Endquersumme oder Neunerrest. Denken wir uns irgendeine Zahl mit einer beliebigen „Endquersumme", die jedoch eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sein muß, wobei die 9 durch 0 ersetzt werden kann, zur 2., 3., 4. usw. Potenz erhoben, so wird im allgemeinen die Endquersumme der Potenz eine andere sein als diejenige der Basis.

Endquersumme

1. Potenz

Gi    05    ci    oa    oa    oa    oa

CO    H    00    H    00    H    CO

T-t    t—    iH    t⁻“

CO    Oa    05    05    05    Oa    O)

>0t-00 ^ N HO

tJI    t>    H    t>    rH    Tji

M    Q    05    05    05    05    05

^ QO t- »O H (N rl W rl rl H rl rl

2.

3.

In folgender Tabelle ist zusammengestellt, wie und ob die Endquersumme einer Zahl bei den verschiedenen Potenzen sich ändert.

4.

5.

6.

7.

Dabei sind nicht die Potenzen wirklich ausgerechnet und dann erst die Endquersumme gebildet,sondern,wie bei der Neunerprobe auseinandergesetzt, auf kürzerem Wege erhalten.

Es dürfte genügen, wenn die Entstehung der Tabelle an einer Zahl gezeigt wird. Die erste Potenz, also die Basis, habe die Endquersumme e = 5; 2. Potenz 5² =25; e = 7; 3. Potenz 5 • 7 = 35; e = 8; 4. Potenz 5 - 8 ----- 40; e = 4; 5. Potenz 5 • 4 = 20; e = 2; 6. Potenz 5 2 = 10; 6=1; 7. Potenz 5 • 1 = 5; e = 5.

Betrachten wir Tabelle 2 näher, so finden wir, daß mit zwei Ausnahmen die Endquersummen bei der 7. Potenz mit denen der 1. Potenz übereinstimmen. Die Ausnahmen sind die Quersummen 3 und 6, die bei jeder Potenz die Endquersumme 9 liefern.

Anmerkung. Tabelle 2 lehrt ferner, daß bei keiner Potenz > 1 die Endquersummen 3, 6 vorkommen können. Sollte dies dennoch bei einer vorgelegten Potenz, aus der etwa die Wurzel gezogen werden soll, der Fall sein, so kann man auf einen Rechenfehler schließen.

Was für die 7. Potenz gilt, gilt auch, wie man sich leicht überzeugen

(6-r 4-1). Potenz, und wir erhalten

kann, für die 13., 19., für diese Gruppe die Regel: Hat die (6w + 1). Potenz einer Zahl eine von,9 verschiedene Quersumme, so hat die Zahl selbst die gleiche Quersumme. Ist hingegen die Endquersumme der (6w + l). Potenz gleich 9, wobei n selbstverständlich ^ 1, so kann die Endquersumme der Basis 3, 6 oder 9i sein. Man sagt in diesem Falle, die Endquersumme 9 habe 3 Wurzeln, während die übrigen Endquersummen je eine Wurzel haben.

Zu bemerken ist ferner, daß die 3 Wurzeln 3, 6, 9 der Endquersumme 9 um je 3 Einheiten auseinander liegen. Bei der 5., 11., 17.,

.....(6^ + 5). Potenz findet man ebenfalls, daß mit Ausnahme

der 9, aus der Endquerfumme der Potenz diejenige der Basis eindeutig bestimmt ist. In diesem Falle ist es aber etwas komplizierter nach der einen Endquersumme die andere anzugeben. Unverändert bleiben 1, 8; hingegen entspricht der

Endquersumme5 derPotenzdieEndquersumme2 der Basis u. umgekehrt.

CO

4

n    n rt tr    n    ^ tt n rr    n

„    „    „    „    „ 9,6 oder 3 der Basis.

Man beachte als Gedächtnisregel: 5 — 2 = 3;7 —4 = 3;9 — 6 = 3; 6 — 3 = 3.

Schließlich finden wir bei der 3., 9., 15., .... (6n + 3). Potenz nur die Endquersummen 1, 8, 9, von denen jede 3 Wurzeln hat, die ihrerseits um je drei Einheiten auseinanderliegen.

54.    Elferrest. Ähnlich wie beim Neunerrest, steht derElferrest einer Potenz mit dem Elferrest derBasis in einem bestimmten Zusammenhang.

Aus der Tabelle der Elferreste sieht man zunächst, daß die Elferreste der 11. Potenz mit denjenigen der 1. Potenz genau übereinstimmen. Ferner bemerken wir, daß jede durch 11 nicht teilbare Zahl zur 10. Potenz erhoben den Elferrest 1 liefert. Aber auch die 20., 30.,

10n. Potenz einer durch 11 nicht teilbaren Zahl liefert den Elferrest 1. Die Multiplikation einer Zahl mit ihrer io. Potenz ändert also den Elferrest nicht.

Was demnach früher über die 11. Potenz gesagt wurde, gilt auch für die 21., 31., (10n + 1). Potenz, d. h. bei diesen Potenzen stimmen die Elferreste jeweilig mit denjenigen der Grundzahlen überein.

Beschränken wir uns auf ungerade Potenzen, so zeigt die Tabelle, daß mit Ausnahme der 5., 15., 25.,... aus den Elferresten der Potenzen die Elferreste der Grundzahlen eindeutig bestimmt sind, es wäre jedoch etwas kompliziert, die entsprechenden Zahlen auswendig zu lernen.

55.    Logarithmen. Die bisherigen Hilfsmittel genügen im allgemeinen, wie wir sehen werden, um Wurzeln aus ungeraden Potenzen zu ziehen, sofern die Basis nur zweistellig ist (selbstverständlich darf sie auch einstellig sein!). Sollten jedoch auch Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten gezogen werden, soll ferner die Basis auch eine drei-bis vierstellige Zahl sein dürfen, soll endlich das Wurzelausziehen in manchen Fällen effektvoller oder „eleganter" erfolgen können, so wird man die Logarithmen als ein weiteres Hilfsmittel heranziehen. Darum dürfte Prof. Maennchen^ recht haben: Die Rechenkünstler bedienen

Tabelle 3.

Elferrest

1. Potenz

2.

3.

4.

CO © XQ

iO CO tH ©

o © co

© -=* co io

GO © CO ^

© tH

M- © CO QO -O © ot

0 1 10 1 1 1 10 10 10 1 10 01    93455439    1

01    7953    8    6    24    10

01359449531 01    6439    2    8    7 5 10

01111111111 01    2345    6    7    8 9 10

1) Maennchen, Geheimnisse des Rechenkünstlers, Verlag B. G. Teubner

sich in vielen Fällen der Logarithmen. Ob aber die Rechenkünstler die Logarithmen aller Zahlen bis 100, wenn auch nur auf drei Dezimalen auswendig wissen, das möchte ich bezweifeln. Nicht als ob dies nicht möglich wäre! Aber der Rechenkünstler hat ja noch manch andere Zahl im Kopf, die zu seinem Rüstzeug gehört, außerdem ist es eben nicht unbedingt notwendig.

Die Benützung der Logarithmen, neben anderen Hilfsmitteln ist jedoch nicht ohne grundsätzliche Bedeutung. Am besten sehen wir das an einem bestimmten Beispiel. Es soll die 11. Wurzel aus einer 30-fielligen Zahl gezogen werden. Der Rechenkünstler wird in diesem Falle besonders bewundert, weil beim Zuschauer die Vorstellung erweckt wird, ersterer ziehe wirklich die Wurzel (wie wir etwa die 2. oder 3. Wurzel ziehen), während wir die 11.Wurzelin diesemSinneüberhauptnicht ziehen können. Der Effekt ist also ein doppelter: 1. Der Rechenkünstler löst eine Aufgabe, die wir überhaupt nicht lösen können, 2. vollführt er die Rechnung im Kopfe.

In Wirklichkeit verhält sich aber die Sache etwas anders. Mit Hilfe der Logarithmen können wir jede Wurzel ziehen, zunächst allerdings nur angenähert. Soll also die 11. Wurzel aus einer 30stelligen Zahl gezogen werden und wir haben eine 5 stellige Logarithmentafel zur Hand, so lasse man sich die ersten 5—6 Stellen diktieren, diese seien 110 993 . .. , der zugehörige Logarithmus ist 29,04528 (ohne Beachtung der 3), diesen dividiere man durch 11 und erhält 2,64048; der Numerus ist 437.

Wenn der Numerus aber 436,99; 436,98 oder 437,01 lauten würde, wäre es wohl nicht schwierig zu erraten — da wir wissen, daß die Wurzel ganzzahlig sein soll — daß letztere eben 437 ist.

Wenn nun der Rechenkünstler zugeben würde, er benutze zum Wurzelausziehen Logarithmen, so fiele der erste Punkt (die Unlösbarkeit) weg. Es bliebe natürlich noch der zweite Punkt, der nicht zu unterschätzen ist. Denn, wenn auch der Rechenkünstler zugegebener- oder nichtzuge-gebenermaßenLogarithmen benutzt, so doch keine Logarithmentafel. Und so kommen wir zurück auf das Auswendigwiffen der Logarithmen. M. E. genügt es. wenn man die Logarithmen bis etwa 25 auswendig kennt; dabei die ersten 12 auf fünf, die übrigen auf 3 Dezimalstellen. Weitere Logarithmen findet man mit Hilfe dieser durch Interpolation n. dgl. mit der für diesen Zweck ausreichenden Genauigkeit. Bei der Interpolation muß allerdings der Rechner eine gewisse Geschicklichkeit zeigen, indem er „nach Gefühl" richtig abrundet. Der Logarithmus einer Zahl wächst nämlich absolut mit der Zahl, das Wachstum selbst, d.h. die Differenz zweier aufeinanderfolgender Logarithmen nimmt mit wachsenden Zahlen ab. (Erklärung: Differenz zweier Logarithmen---

Logarithmus eines Bruches; der Wert eines Bruches^, bei dem Zähler

und Nenner eine konstante Differenz haben, nähert sich mit wachsendem Zähler bzw. Nenner dem Wert 1 und dessen Logarithmus dem Wert 0). Wenn ich demnach durch Interpolation Logarithmus 43 gleich Loga-

z. B.

lg 40 -- 1,60206 Differenz für 10 Einheiten ca 0,097, pro Einheit rund 0,010, demnach Logarithmus 43 --- 1,632; in Wirklichkeit lg43 = 1,63347 - 1,633. Die Logarithmen der ersten 25 Zahlen seien hier zusammengestellt, lg 10 --- 1,00000 lg 11 -- 1,04139 lg 12 = 1,07918 lg 13 = 1,114 lg 14 --- 1,146 lg 15 = 1,176 lg 16 = 1,204 lg 17 = 1,230 lg 18 = 1,255

rithmus 40 + — (lg 50 — lg40) setze, so ist der Wert etwas zu klein; durch entsprechendes Abrunden wird der Fehler ungefähr ausgeglichen, lg 50 --- 1,69897

lg 19 -- 1,279 lg 20 ----- 1,301 lg 21 = 1,322 lg 22 = 1,342 lg 23 = 1,362 lg 24 ----- 1,380 lg 25 = 1,398

lg 1 = 0,00000 lg 2 = 0,30103 lg 3 = 0,47712 lg 4 ----- 0,60206 lg 5 = 0,69897 lg 6 -- 0,77815 lg 7 ----- 0,84510 lg 8 == 0,90309 lg 9 -- 0,95424

Die ersten 10 Logarithmen kennt man in der Regel auswendig; wenn die weiteren Schwierigkeiten machen sollten, so kann man sich diese mit Ausnahme derjenigen der Primzahlen in bekannter Weise aus der Summe zweier anderer bekannter Logarithmen zusammensetzen. Z.B.lg 14 ----- lg 2 -j- lg 7; lg 16 = 2 lg 4 ----- lg 4 -s- lg 4 = lg 2 + lg8, lg 24 = lg 3 + lg 8 usw. Dies ist auch bei größeren Zahlen statt der Interpolation zu empfehlen, aber man trachte mit der Summe zweier Logarithmen auszukommen. Z. B. lg 45 = lg 9 + lg 5, lg 56 = lg 8 + lg 7 usw. Man merke sich also für alle Fälle die Logarithmen von 11, 13, 17, 19 und 23, bzw. deren Mantissen.

II. Ungerade Wurzelexponenten.

Mit Basis kleiner als 100 (eins und zweistellig).

56. 3. Wurzel.

Beispiel.

f/54'872.

Schneidet man drei Ziffern von rechts ab, so findet man die Stellenzahl der Basis = 2; oder [5:3] = 2, wobei die Klammer bedeutet, daß die nächst größere ganze Zahl des unechten Bruches zu nehmen ist.

lautet 38.

Endziffer 2 des Radikanden läßt schließen auf Endziffer 8 der Basis; >/54> 3 und<4, die gesuchte Wurzel liegt zwischen 30 und 40 und 1/54872 = 38.

Beim Schnellrechner wird sich der Vorgang etwa so abspielen: zweistellig; 1. Ziffer 3, Endziffer 8; 38.

Beispiel. y/9261, zweistellig; erste Stelle 2; Endziffer 1; f/9261 = 21.

Daß man die Kuben von 1 bis 10 auswendig kennt, wird als selbstverständlich vorausgesetzt, da diese Voraussetzung auch sonst beim Ausziehen 3. Wurzeln gilt.

z/658 503;

zweistellig; 8³ = 512; 9³ = 729, Anfangsziffer 8;

Endziffer: 10 — 3 = 7; z/658503 = 87.

Ebenso: >/857375 = 95. 1. Ziffer 9; Endziffer 5; 95.

Bei diesen und den folgenden Aufgaben kann unabsichtlich oder absichtlich der Radikand fehlerhaft sein; namentlich im ersten Falle kann es vorkommen, daß der Schnellrechner trotz des fehlerhaften Radikanden die richtige (also vom Fragesteller beabsichtigte) Wurzel angibt.

Wäre etwa im vorletzten Beispiele fälschlich y⁷ 656 503 verlangt, so würde der Rechenkünstler trotzdem 87 angeben, und es könnte auch der Fehler dem Aufgabesteller und Rechner entgehen. Der Schnellrechner kann sich aber gegen unabsichtliche Fehler dadurch schützen, daß er das gefundene Resultat stets „prüft". Es stehen ihm da verschiedene Hilfsmittel zur Verfügung, sozusagen je nach dem Grad des Fehlers. Am einfachsten wird man die Neunerprobe heranziehen.

In unserem Beispiele ist die Quersumme des fehlerhaften Radikanden 7, die Wurzel hat jedoch die Quersumme 6, wonach, wie leicht einzusehen ist, der Radikand die Quersumme 9 haben müßte. In solchen Fällen kann der Effekt des Rechenkünstlers noch beträchtlich gesteigert werden; er würde sich zum Aufgabesteller etwa äußern: „Wollten Sie 87 zur dritten Potenz erhöhen?" „Ja", lautet die Antwort, worauf der Rechenkünstler hinzufügt: „Das sehe ich, aber Sie haben sich verrechnet, beim Nochmalrechnen werden Sie den Fehler schon finden".

Sollte aber die Antwort „Nein" lauten, d. h. die beabsichtigte Wurzel ist nicht gefunden, dann wird auch der Fehler etwas anders liegen müssen, jedenfalls so, daß er (bei zweistelligen Grundzahlen) die erste oder zweite Stelle beeinflußt, wovon erstes wahrscheinlicher ist.

Es sei vorgelegt ^656 533; der Fragesteller habe beabsichtigt ^456533 = 77 vorzulegen, hat sich aber beim Abschreiben oder beim Rechnen versehen.

Der Schnellrechner müßte zunächst antworten 87, denn 656 > 83 und < 9³ und Endziffer 3 läßt auf Endziffer 7 schließen.

Die Neunerprobe würde hier einen Fehler anzeigen; nachdem nun dem Schnellrechner mitgeteilt wird, 87 sei nicht die richtige Wurzel, erwidert er am einfachsten: „Sie haben nämlich einen Rechenfehler, weshalb ich die richtige Wurzel nicht angeben kann."

Wie an anderer Stelle erwähnt, kann die Neunerprobe nicht immer Rechenfehler anzeigen; im besonderen ist dies der Fall, wenn eine oder mehrere Ziffern umgestellt sind, d.h.wenn sie ihre Plätze vertauschen.

Damit erledigen wir auch den Fall, der Fragesteller lege absichtlich einen falschen Radikanden vor, und, um den Schnellrechner „hineinzulegen", macht er den Fehler, so daß er nicht gleich auffällt und auch durch die Neunerprobe nicht angezeigt wird.

Z. B. Frage: ^463553.

Antwort: 77. Sagt hierauf der Fragesteller, die Antwort stimme nicht, da der Radikand entschieden nicht gleich 77³ sei, so erwidert der Schnellrechner am einfachsten: „Es tut mir leid, wenn das nicht stimmt, dann haben Sie mir einen falschen Radikanden vorgelegt, während ich behauptete, nur dann Wurzeln ziehen zu können, wenn Sie eine Zahl zu einer bestimmten Potenz fehlerfrei erheben." Der Schnellrechner wird sich auch in der Regel populär etwa äußern: man multipliziere irgendeine Zahl eine Anzahl mal — beispielsweise 15 mal mit sich

selbst, lege ihm das Produkt (Radikand) vor, worauf er die Grundzahl angeben werde; fehlerfreie Rechnung ist hier selbstverständliche Bedingung. Stimmt die nach den dem Rechenkünstler zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln gefundene Wurzel auch bei etwa nochmaliger Rechnung nicht, so liegt der Rechenfehler im Radikanden, d. h. auf Seiten des Fragestellers und von einem „Hineinlegen" des Schnellrechners kann keine Rede sein.

Diese Frage ist deshalb etwas ausführlich behandelt, weil das Gesagte sinngemäß nicht nur für 3. Wurzeln, sondern für alle im folgenden behandelten Wurzeln mit ganzzahligen Grundzahlen gilt.

57. 5. Wurzel.

f/20730'715 Os

Stellenzahl 10; 10: 5 = 2, folglich Basis zweistellig; Endziffer 3, da wie früher auseinandergesetzt, bei der 5. Potenz Endziffer der Basis mit derjenigen der Potenz übereinstimmt. Die erste Stelle wird gefunden:

a) da 5 keine besonders hohe Potenz ist, durch Abschätzung der ersten Ziffer, indem man rechts eine Gruppe von 5 Stellen abschneidet und die übrigbleibenden Anfangsziffern, als Zahl für sich gelesen, mit der 5. Potenz der nächst größeren und nächst kleineren einstelligen Zahl verglichen werden. Im allgemeinen genügt hier eine ganz oberflächliche Bestimmung der 5. Potenz, wobei wiederum die Methode des Qua-drierens aus Abschnitt D gute Dienste leistet.

In unserem Beispiel: 7! = 49 ~ 50, 50² = 2500, 2500 • 7 = 17 500 < 20730; hingegen 8² = 64; 64² = 4096 ~ 4100, 8 • 4100 = 32 800 < 20730. Die gesuchte Wurzel liegt zwischen 70 und 80 und lautet 73,

^2073 071 593 = 73.

Die angedeuteten Zwischenrechnungen kann der geübte Rechner schnell im Kopfe durchführen. Hierauf wird man gut tun, die Neunerprobe zu machen. 73 Quersumme 1, l⁵ = 1, der Radikand weist die gleiche Quersumme auf.

b) Durch Logarithmen.

Die letzten 5 Stellen bleiben unbeachtet;

lg 20730 =4,31; lg 2 = 0,301, lg 3 = 0,477, durch Interpolation lg 2,07 = 0,31 bis 0,32, diese Genauigkeit genügt im vorliegenden Fall, daher lg 20730 = 4,31 (genauer: 4,31660),

4,31 : 5 ----- 0,862, nun ist lg 7 = 0,845 . . .

lg 8 = 0,903 . . .,

folglich die erste Stelle 7, und die gesuchte Wurzel ist unter Beachtung der Endziffer 73. Auch hier wird man zweckmäßig die Neunerprobe zur Kontrolle anwenden.

c) Schließlich kann man hier die Neunerprobe dazu verwenden, um die erste Stelle zu ermitteln.

Dazu müßte man sich die Tabelle 2, soweit sie sich auf ungerade Potenzen bezieht, auswendig merken. Man kann auch ohne Auswendiglernen auskommen; bildet man nämlich die Quersumme des Radikanden, erhöht diese zur 5. Potenz (vgl. § 48), so stimmt die neue Quersumme, die also von der 25. Potenz ist, mit derjenigen der Basis überein, abgesehen von den 2 Fällen, wo die Quersumme der Basis 3 oder 6 ist.

In unserem Beispiele ist die Quersumme des Radikanden 1 und läßt ohne weiteres darauf schließen, daß die Quersumme der Basis ebenfalls 1 (oder 1 + 9 = 10) ist; bk Endziffer ist 3, woraus folgt die erste Ziffer 10 — 3 ----- 7. Hier wird man die Probe machen durch Abschätzen der 5. Potenz der ersten Stelle (a) oder durch Logarith-mieren von 7⁵ = 5 lg 7 und vergleichen mit lg 20730.

f'/1564 0'31 349

zweistellig, Endziffer 9.

Quersumme des Radikanden 9, folglich Quersumme der Basis 3, 6 oder 9. Hieraus folgt, die erste Stelle müsse 3, 6 oder 9 sein. Nun ist 3⁵ wesentlich kleiner, 9⁵ wesentlich größer als 15 640; die gesuchte Wurzel lautet demnach 69,

-j/15 640 31349 = 69.

Probe: 6*=. 36; 36²= 1296 ~ 1300; 6 • 1300 = 7800<15640

7⁵ ~ 17000 > 15640.

j/803'l 810176 = ?

58. 7. Wurzel.

Basis zweistellig, Endziffer 6;

Quersumme des Radikanden 8 folglich Quersumme der Basis ebenfalls 8; erste Stelle 8-6 = 2;

|/803'18 10176 = 26 ]/ 744635 3 25 2 589

Basis zweistellig, Endziffer 9; Quersumme des Radikanden 9, folglich Quersumme der Basis 3, 6 oder 9 und auch erste Stelle derselben 3, 6 oder 9. Durch einige Überlegung findet man, daß nur 6 als Anfangsziffer in Frage kommen kann, demnach ]/

= 69.

59.    11. Wurzel. ^7 516 Ü65 509 350 965 248)

Basis zweistellig; Endziffer 8 läßt schließen auf Endziffer 2 der Basis (bie 11. Potenz entspricht in bezug auf die Endziffer der 3. Potenz, ba 11 = 2 • 4 + 3 oder 11 geteilt durch 4 liefert den Rest 3).

Die erste Stelle findet man hier am einfachsten durch die Elferprobe; Elferrest des Radikanden ist: 40 — 54 = 62 (40 + 2 -11) — 54 = 8; da es sich um die 11. Potenz handelt, ist dies zugleich der Elferrest der Basis. Anfangsziffer 13 (2 + 11) — 8 = 5.

Die gesuchte Wurzel ist 52.

8 Stellen 7516

Mit Hilfe von Logarithmen kommt man hier ebenfalls schnell zum Ziele. Nachdem 11 Stellen von rechts abgetrennt sind, bleiben noch , lg 75 .... = 7,88; 7,88 : 11 äs 0,71. Nun ist lg 5 = 0,69897, die erste Stelle ist demnach 5 und die gesuchte Wurzel 52.

60.    13. Wurzel. ¹³/1718 264 124 282 290 785 243; wie wir wissen, wiederholen sich die Endziffern bei der (4w + 1). Potenz, während die Quersumme, mit Ausnahme der Fälle wo die Basis durch 3 teilbar, bei der (6w + 1). Potenz wiederkehrt.

Wurzeln

Die Potenzen der Form 12n + 1 erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig. Der Schnellrechner wird demnach, was dem Aufgabesteller etwas sonderbar erscheinen möge, 13., 25., 37., 49., mit besonderer Vorliebe und sehr rasch ziehen; denn ist die Basis zweistellig, und das ist bei hohen Potenzen, die eben erst berechnet werden müssen, in der Regel der Fall, so ist die Endziffer des Radikanden auch die Endziffer der gesuchten Basis, Quersumme des Radikanden = Quersumme der Basis.

Auf unser Beispiel angewendet: Basis zweistellig; Endziffer 3; Quersumme des Radikanden 7 ----- Quersumme der Basis, mithin erste Stelle 7—3 = 4 und die gesuchte Wurzel ist 43.

Sollte der Radikand die Quersumme 9 haben, dann könnte die erste Stelle drei verschiedene, um je 3 Einheiten auseinander liegende Werte annehmen. In den meisten Fällen wird aber bloß die Ziffernzahl des

Radikanden, bzw. eine ganz oberflächliche logarithmische Rechnung, genügen, um die richtige Stelle zu finden.

61.    Höhere Wurzeln.

¹f/1461 920 290 375 446 110 677 = b 19 gehört der Gruppe 4w + 3; Basis zweistellig, Endziffer 10 — 7 = 3; Quersumme des Radikanden = 4, da 19 = 3 - 6 + 1, hat die Basis die gleiche Quersumme; erste Stelle 4 — 3 = 1, l = 13.

>/212 140 521 132 492 677 321 278 178 259 450 988 160

239 150~438 324 629 = b.

Basis zweistellig, da \^\ ⁼ Endziffer der Basis 9. Die erste Stelle

finden wir hier am einfachsten durch Logarithmieren, wobei man 29 Stellen abgeschnitten denkt, es bleiben dann 25 Stellen, von denen wir nur einige Ziffern auszuschreiben brauchen; lg 212 ~ 24,32    24,32:29

----- 0,839 ~ 0,84; die erste Stelle ist in der Nähe von 7; die Wurzel lautet 69. Probe: Quersumme des Radikanden ist 9, Quersumme der Basis 6, diese gibt aber zu jeder Potenz erhoben die Quersumme 9.

Der Leser sieht wohl ein, daß es auf die Höhe des Wurzelexponenten nicht ankommt, und er ist nach dem Bisherigen in der Lage, Wurzeln mit zweistelligen Grundzahlen und ungeraden Exponenten, mögen sie noch so hoch sein, zu ziehen. Bei größeren Exponenten ist im Gegenteil in der Regel die Auswahl der Hilfsmittel eine größere.

Z. B. kann man bei der 31. Wurzel den Neuner- oder Elferrest bequem heranziehen, denn 31 = 5 • 6 + 1 und 3-10 + 1; bei der 61. Wurzel stimmen sogar Endziffer, Quersumme (diese mit der bekannten Einschränkung) und Elferrest bei der Grundzahl und dem Radikanden überein.

Auch bei Anwendung der Logarithmen genügt bei höheren Wurzeln, wie das letzte Beispiel zeigt, nur eine geringe Annäherung für den Logarithmus des Radikanden. So hätte lg 2 . ... = 24,3 :29 ebenfalls zum Ziele geführt.

62.    Wurzeln mit dreistelliger Basis. Wenn auch höhere Wurzeln mit drei- und vierstelligen Grundzahlen dem Schnellrechner seltener vorgelegt werden dürften, so wollen wir doch an einigen Beispielen zeigen, daß das bisherige Rüstzeug genügt, um auch solche Aufgaben zu lösen. Während wir jedoch bei den ein- bis zweistelligen Grund-

zahlen in den meisten Fällen die Logarithmen umgehen konnten, werden wir jetzt von diesen öfters Gebrauch machen; ja in manchen Fällen auch eine etwas weitgehendere Genauigkeit verlangen müssen.

Beispiele.

^45 882 712;

Basis dreistellig; Endziffer 10 — 2 = 8.

3⁸ = 27; 4³ = 64, die gesuchte Wurzel liegt ungefähr in der Mitte zwischen 300 und 400, hat Ansangsziffer 3 und Endziffer 8 (10 — 2).

Quersumme des Radikanden ist 1, wonach Quersumme der Grunde zahl 1, 4 oder 7 sein muß; 358 hat die Quersumme 7 und ist die gesuchte Grundzahl.

^491 169 069;

Basis dreistellig; Endziffer 9.

7⁸—343; 8³=512, Differenz--170, pro Einheit^17;512-491 = 21, die ersten Stellen der Grundzahl liegen zwischen 78 und 79, die Wurzel zwischen 780 und 790 und lautet 789, worauf zur Vorsicht die Probe mit Hilfe der Quersumme zu machen ist.

789 Quersumme 6; Radikand hat die Quersumme 9.

Freilich erfolgen die Zwischenrechnungen und Überlegungen rasch im Kopfe. Die Logarithmen konnte man bei diesen Beispielen entbehren.

^135 393 237 703 353 943 528 128 490047012864 = b

Stellenzahl der Basis = |J~~j = 3; Endziffer4; schneidet man 26 Stellen ab, so bleibt eine zehnstellige Zahl, deren Logarithmus lg 135 ... ~ 9,13. . . (durch Abschätzen zwischen lg 13 = 1,11 . . . und lg 14 = 1,14. . ., wobei ganz oberflächliche Schätzung genügt],

9,13 : 13 = 0,70 ..., nun ist lg 5 = 0,69897.

b = 504.

Die Grundzahl liegt also ganz in der Nähe von 500 und ist etwas größer. Quersumme des Radikanden ist 9, demnach bei der Basis 3, 6 oder 9. 504 ist die richtige Basis (534 und erst recht 564 wären entschieden zu groß).

III. Gerade Wurzelexponenten.

63. Allgemeines. Der Rechenkünstler kann beinahe sicher sein, daß ihm gerade Wurzeln, d.h. solche mit geraden Wurzelexponenten nicht vorgelegt werden, ohne daß er dies zur Bedingung zu machen braucht. Der Fragesteller hält eben entschieden die 7., 13., 19. oder 37. Wurzel usw. für eine schwierigere Aufgabe als beispielsweise die 2., 4., 6., 12. Wurzel usw. Gar häufig wird sich der Fragesteller etwa sagen: „Lege ich dem Rechenkünstler die vierte Wurzel vor, so wird er zuerst die Quadratwurzel und dann wiederum die Quadratwurzel ziehen", und glaubt eben, dies wäre kein großes Kunststück. Ist aber der Wurzel exponent ungerade oder gar eine Primzahl, so dürste der Rechenkünstler vor einer besonders schwierigen, vielleicht unlösbaren Aufgabe stehen. Das wäre richtig, wenn der Rechenkünstler nach den Regeln rechnen würde, die in den Schulbüchern angegeben sind.

In Wirklichkeit aber verhält sich die Sache, wie wir bereits wissen, ganz anders. Während nämlich bei allen Wurzeln mit ungeradenWurzel-exponenten die Endziffer der Basis eindeutig bestimmt und in den meisten Fällen auch die Quersumme oder der Elferrest mit Vorteil herangezogen werden können, trifft dies bei geraden Wurzelexponenten nicht zu. So sehen wir aus Tabelle 1, daß bei der Quadratwurzel und allgemein (4w+2). Wurzel, abgesehen von der Endziffer 5, die letzte Stelle des Radikanden aus zwei verschiedene Endziffern der Basis hindeuten kann; bei der 4., 8., ..An. Wurzel sind gar vier Möglichkeiten vorhanden, so kann beispielsweise die Endziffer 1 des Radikanden aus einer Basis mit den Endziffern 1, 3, 7 oder 9 herrühren. Ähnlich ist der Neuner- oder Elferrest der Basis aus demjenigen des Radikanden im allgemeinen mehrdeutig bestimmt (vgl. Tabelle 2, S. 81).

Dennoch wollen wir der Vollständigkeit halber die geraden Wurzelexponenten wegen ihrer praktischen Bedeutung nicht übergehen.

Bei den folgenden Beispielen bleibe die Voraussetzung bestehen, daß die Wurzeln aufgehen. Die Regel über die Bestimmung der Stellenzahl der Basis bleibt dieselbe: Man dividiere die Stellenzahl des Radikanden durch den Wurzelexponenten und falls die Division nicht aufgeht, nehme man die nächstgrößere ganze Zahl; letztere gibt die Stellenzahl der Basis an.

64. Zwei- und dreistellige Basis. Quadratwurzel.

-j/1444 = 1.

Beispiele.

Stellenzahl der Basis 2; schneide man zwei Stellen von rechts ab, so bleibt die Zahl 14, 3² = 9; 4² ----- 16.

Die Grundzahl liegt zwischen 30 und 40, und zwar (da 14 wesentlich näher an 16 als an 9) näher an 40. Die Endziffer 4 des Radikanden läßt schließen auf Endziffer 3 oder 8; 32 wäre aber näher an 30, die gesuchte Wurzel ist daher 38. In der Tat 38² = 1444 (nach Regel S. 53). Wer den Abschnitt über das Quadrieren gründlich beherrscht, dem wird auch das Quadratwurzelausziehen durch Umkehrung der dort gezeigten Methoden keine Schwierigkeiten bieten. Die Quadratwurzel wird abgeschätzt und dann durch rasches Quadrieren festgestellt, ob die Schätzung stimmt. Mitunter läßt sich auch die Quersumme, aber am besten erst nach erfolgter Abschätzung, heranziehen.

Im letzten Beispiele haben wir zunächst festgestellt, daß die gesuchte Grundzahl zwischen 30 und 40 liegt, da 14 zwischen 9 und 16 sich befindet. Die Basis gehört also entschieden in die Zahlengruppe 25 bis 75, und nach Regel § 28 bekommt man die Hunderte, wenn die Zahl 25 von der Basis subtrahiert wird; verfahren wir nun umgekehrt; wir addieren zu den Hunderten des Radikanden die Zahl 25 und bekommen ungefähr die Basis. Genau erhalten wir auf diese Weise im allgemeinen die Basis deshalb nicht, weil die Hunderte des Radikanden ja die etwaigen Hunderte des Quadrades der Ergänzung bzw. des Überschusses mit enthalten. Als solche kommen aber nur die Zahlen 1 bis 25 in Frage, deren Quadrat höchstens 6 Hunderte enthält. Um soviel ist die Basis zunächst unbestimmt, aber durch Berücksichtigung der Endziffer wird man in den meisten Fällen sofort das Richtige finden.

14 + 25 = 39, die Grundzahl ist gleich oder kleiner als 39 und lautet in Anbetracht der Endziffer — 38.

VIÖ89 = b,

Wurzel zwischen 30 und 40; 10 + 25 = 35; Endziffer kann nur 3 oder 7 sein, folglich b --- 33.

y3136 -- b,

Wurzel zwischen 50 und 60 (5² = 25 < 31 < 36);

31 + 25 = 56; b ----- 56. i/4096 = b,

Wurzel zwischen 60 und 70, 40 + 25 = 65, 6 deutet auf Endziffer 4 oder 6, folglich b = 64. Kontrolle: 25 + 14 = 39; 14² = 196, 64² = 4096.

Beispiele.

Freilich könnte man auch hier durch Abschätzen zum Ziele kommen, da 40 näher an 36 als an 49, liegt die gesuchte Wurzel näher an 60 als an 70 und lautet der Endziffer wegen 64.

1/7569 = b

a)    Basis zweistellig; 8² = 64, 9² = 81; erste Ziffer 8; Endziffer 3 oder 7, da 75 näher an 81, 6 = 87; oder auch: der Radikand hat die Quersumme 9, 83 ist aber nicht durch 3 teilbar, folglich b = 87.

b)    Analog der Regel S. 54 addiere man zu 75 die Hälfte der Differenz an 100. Es fehlen 25; 75 + 12 = 87, b ist gleich oder kleiner als 87; in unserem Falle b --- 87.

l/7056 = b,

Basis zwischen 80 und 90; 100 - 70 = 30; y = 15; b £ 70 + 15

= 85. Wegen der Endziffer b ---- 84.

Probe durch Quadrieren oder Quersumme.

Dreistellige Basis.

1/12996 = b,

Basis dreistellig; schneidet man zwei Stellen rechts ab, so bleibt die Zahl 129; ll² = 121; 12² = 144; die Grundzahl liegt zwischen 110 und 120, näher an 110; aus der Endziffer 6 schließen wir

b --- 114. Oder: 129 — 100 = 29; y = 14, folglich wegen der Endziffer b --- 114 (vgl. § 29, S. 55).

1/21609 = b;

14² ---- 196, 15² = 225; die Basis liegt zwischen 140 und 150, näher an 150; ihre Endziffer kann 3 oder 7 sein, folglich b = 147.

1/34225 = 5;

18² = 324, 19² = 361; die Basis liegt zwischen 180 und 190 und hat die Endziffer 5, folglich b ---185.

l/ll8336 = 6;

Basis dreistellig, man ziehe erst die Wurzel aus 1183, d. h. bestimme die nächst kleinere und nächst größere ganze Zahl; /ll liegt zwischen 3 und 4, /l183 zwischen 30 und 40; durch schnelles Quadrieren findet man weiter 35* = 1225, 34² ---1156; die Grundzahl liegt zwischen 340 und 350, und zwar etwas näher an erstere Zahl; mit Rücksicht auf die Endziffer: fr — 344.

Q (344) ---- 2 flies: Quersumme von 344]; Q (118336) — 4.

/33Ö625 ----- ö;

1/3306 zwischen 50 und 60. 33 + 25 = 58; 58² = 3364; 572 = 3249, wegen der Endziffer: b — 575.

/654481 = b;

/6544 in der Nähe von 80, 80² = 6400, 81² = 6561; man beachte, daß zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen sich voneinander um die Summe der Grundzahlen unterscheiden. Kennt man beispielsweise 80², so findet man 81² durch Hinzufügen von 80 + 81= 161; ebenso auä 81² = 6561, 82² = 6561 + (81 + 82) = 6561 +163 usw.

Die Basis liegt zwischen 800 und 810, näher an letztere Zahl und lautet mit Rücksicht auf die Endziffer b — 809.

Vierstellige Basis. Auch hierbei wird man am besten durch Auffinden der Grenzen, zwischen denen die Basis liegt, und Beachtung der Endziffer das Richtige finden.

Wenn man zwei- bis dreistellige Zahlen rasch quadrieren kann, bieten auch diese Aufgaben keine Schwierigkeiten.

ysseWes) = l).

Basis vierstellig; /356 « 18, 18² = 324, 19² --- 361, 1/35607 liegt zwischen 180 und 190 und zwar wesentlich näher an 190; 188²= 35344, 189²= 35721 (nach § 31, S. 56); b liegt näher an 1890 als 1880, Endziffer kann 3 oder 7 sein, mithin b = 1887. Q (1887) = 6, Q (3560769) = 9.

Die Quersumme muß bei Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten mit Vorsicht als Probe angewandt werden.

1/41152 225 - 6,

Endziffer 5; l/41 zwischen 6 und 7 etwas näher an 6. 65²== 4225, 64² ----- 4096, 4115 — 4096 = 19; die Differenz pro Einheit der

3. Stelle beträgt rund 2 - 6,4 --- 13, 19:13 ~ 1,5 . . folglich liegt die Grundzahl zwischen 6410 und 6420 und lautet wegen der Endziffer b = 6415.

65. Vierte und höhere Wurzeln.

V28398241 = b.

Es wird dem Schnellrechner beileibe nicht einfallen, zuerst die y und dann wiederum die Y zu ziehen, Basis zweistellig; hier deutet die Endziffer 1 nur darauf, daß die Endziffer der Basis ungerade, jedoch keine 5 ist.

Schneidet man 4 Stellen von rechts ab, so bleibt die vierstellige Zahl 2839, deren Logarithmus lg 28...    3,45,.3,45:4 = 0,86.., lg 7

= 0,845, lg 8 = 0,903. ., die Grundzahl liegt in der Nähe von 73,

6= 73.

Man könnte auch durch Abschätzen, also ohne Logarithmen, zum Ziele kommen.

7² --- 49, 7⁴ « 2400; 8² = 64, 8⁴ = 4096 --- 4100;

4100 — 2400 = 1700; 2800 — 2400 = 400, b liegt in der Nähe von 73 und ist ungerade, folglich b ---- 73

135 637 000 670 178 176 410 246 734 932 581 577 148 578 721

Basis zweistellig und ungerade; schneidet man 24 Stellen ab, so bleibt eine 21 stelligeZahl, beginnend 1356..., deren Logarithmus--20,13.; 20,13:24 ss 0,839.., lg 7 = 0,84510, lg 6 = 0,778..., die Grundzahl liegt demnach sehr nahe an 70 und lautet b --- 69; auch hier wird man die zufällige Teilbarkeit durch neun gern zur Kontrolle benutzen.

Schließlich sei noch ein einfaches Beispiel angeführt.

^18 446 744 073 709 551 616 = 6.

Die gesuchte Grundzahl ist einstellig und gerade. Der Radikand ist 20stellig und dessen Logarithmus ist lg 184.. . ~ 19,26; 19,26 : 64 ~ 0,30. .., woraus 5 --- 2.

66. Effektvolle Lösungen. DieverschiedenenMethodenzumWurzel-ausziehen gestatten mitunter dem Schnellrechner, die vorgelegte Aufgabe besonders e ff e kt v o ll zu lösen, was in der Regel den Aufgabesteller und die sonstigen Anwesenden in Staunen versetzt. Wir benutzen hier einige der früher angeführten Beispiele. Im folgenden soll stets die Aufgabe angekündigt werden, etwa: „n-te Wurzel aus einer mftettigen Zahl", worauf der Schnellrechner sagt, was ihm vom Radikanden angegeben werden soll. Frst. = Fragesteller, Rechenk. = Rechenkünstler. Frst.:

Die 5.Wurzel einer zehnstelligenZahl. Rechenk.: Diktieren Sie bitte, die ersten zwei und letzten zwei Stellen, j/20. .. 93 = b. Basis zweistellig, Endziffer 3, lg 20... = 9,30; 9,30:5 = 1,86 die erste Stelle ist eine 7, folglich b = 73; vgl. S. 88. grft.: 19. Wurzel aus einer 22stelligen Zahl, u) Rechenk.: Bitte die drei letzten Stellen! Frst.: >/-zahl ist 13.

677 Rechenk.: Die Grund-

Erklärung: Der Logarithmus des Radikanden liegt unter Fort-lassung der letzten 19 Stellen zwischen 2 und 3, durch 19 dividiert, gibt einen Quotienten zwischen 0,1 und 0,2; nun ist lg 2 = 0,3 ..., die Grundzahl liegt demnach zwischen 10 und 20 und ist in Anbetracht der Endziffer = 13.

b) Dieselbe Aufgabe.

Bitte die Ziffern in beliebiger Reihenfolge.

Toöo 1111 223 4445 666 777~~9<b

Es wird zunächst wie unter a) festgestellt, daß b zwischen 10 und 20 liegt, also Anfangsstelle = 1 (wenn erforderlich, kann auch festgestellt werden, daß b zwischen 12 und 15 liegt!), hierauf Quersumme des Radikanden = Quersumme der Grundzahl = 4 festgestellt, woraus wiederum b = 13 gefunden wird.

Frst.: 64. Wurzel aus einer 20stelligen Zahl.

Rechenk.: Die Zahl ist 2!

Der Fragesteller wird sehr erstaunt sein, daß der Rechenkünstler nach der mühsam berechneten 20stelligen Zahl gar nicht fragt. Die Sache erklärt sich aber ganz einfach! Die Basis ist einstellig; Logarithmus einer 20stelligen Zahl liegt zwischen 19 und 20.

20:64 = 0,3 . . lg 1 = 0, lg 2 = 0,30. . ., lg 3 = 0,477. . . es kann demnach nur b = 2 sein.

Anmerkung. Der Rechenkünstler ließ sich in einigen Beispielen 2—3 End- oder Anfangsstellen oder beides zugleich angeben, obwohl er auch mit weniger (1—2 Stellen") auskommen könnte. Dies ist bloß, um nicht zu sehr die Ausmerkjamkeit der Zuhörer aus die Endziffer zu lenken und einen Teil der Rechenkunst gleich zu verraten.

Hier wäre noch zu erwähnen, daß nach Maennchen*) aus der zweit- bzw. drittletzten Ziffer des Radikanden auf die zweitletzte Ziffer der Basis geschloffen werden kann.

1) Vgl. a a. O.

Effektvolle Lösungen. Näherungsweises Wurzelausziehen

99

67. Näherungsweises Wurzelausziehen. Ermittelung von 2 bis 5 Stellen im Kopfe.

Bei den Aufgaben, wo es sich nicht um allzuweitgehende Genauigkeit handelt, stehe ich auf dem Standpunkt, es sei das beste, man schließe die Wurzel durch Quadrieren der angenäherten Basis zwischen zwei Grenzen ein und bestimme durch Interpolation eine weitere Stelle. Diese Stelle darf selbstverständlich um eine Einheit vom richtigen Wert abweichen. Je nachdem, ob man geläufig zwei oder dreistellige Zahlen quadrieren kann, wird man eine Genauigkeit von mindestens drei bis vier Stellen erzielen, welche Genauigkeit für viele Rechnungen namentlich in der Technik hinreichend ist.

Das Kapitel über Quadrieren muß man also auch für diese Aufgaben beherrschen.

}/6 = fc;

1/600 ~ 24; 24² = 576, 25² = 625.

Beispiele.

600 liegt nahezu in der Mitte zwischen 625 und 576..

Die Grundzahl liegt mit weitgehender Genauigkeit zwischen 2,4 und 2,5;

b --- 2,45 (genauerer Wert 2,4495).

33² = 1089, Differenz 11, 2 - 3,3 = 6,6; 11:6,6 -- 1,6; b --- 3,316 (genauerer Wert 3,3166).

Die Differenz pro Einheit der nächsten Dezimalstelle ist ungefähr gleich dem doppelten Produkt des bereits vorhandenen Wertes, dividiert durch 10. Sind z. B. die ersten zwei Ziffern = a, abgesehen vom Komma, festgestellt, so schneide man eine Stelle ab und multipliziere mit 2, durch dieses Produkt wird die Differenz dividiert.

an,

!l

Bei den Quadratwurzeln ist folgende Regel zu beachten: Ist im Radikanden ein Komma vorhanden oder wird ein solches zur Vergrößerung der Genauigkeit gesetzt, so muß die Stellenzahl, rechts tisjn Komma stets gerade sein. Trifft dies nicht zu, so hänge man eine Null also: yi,3 = ]/l,30; /Ö)456 = V0,4560)    yo,0830,

ferner:z/l2 = z/l2,00 = "j/l2,0000; VS = YSM = V3,00v>». Man sieht aus den letzten Beispielen, daß Nullen an gcmzzahlige Radikanden stets paarweise anzuhängen sind

l/1,30 = b.

/130 = 11, 11* = 121, 12* = 144, 114* = 12996. Die Abweichung von 130 ist hier sehr gering, daher b = 1,140.

Eine weitere Stelle könnte man erhalten: 13000 — 12996 = 4; 4:23 ~ y₅ = 0,2; b = 1,1402 (1,14018). In den Klammern ist zum Vergleich der genauere Wert angegeben.

93* = 8649, Differenz 51; 51 : 18,6 = 2,7; i/0,87 = 0,9327 (0,932741); natürlich wäre es kein wesentlicher Fehler, wenn man b = 0,9328 schreiben würde. l/4856 = b.

70* = 4900, Differenz 44; 44:14 = 3,1; 6 = 69,69 (69,685).

"l/oym = b;

11* = 121; 3:2,2~ 1,..; 111*= 12321, Differenz79; 79:22 = 3,5; b = 0,111351 (0,111355).

l/37 = b.

6* =36, 60* = 3600, 61*= 3721; 21:12,2 = 1,7; 6 = 6,083 (6,0828).

Freilich gehört zu allen diesen Beispielen eine gewisse Geschicklichkeit. Soll die 4. Wurzel näherungsweise gezogen werden, so hat man zweimal nacheinander die Quadratwurzel zu ziehen.

Beispiel.

^5 = b; y5 = 6i;

22* = 484,    23* = 529,    16:4,4 = 3,

bt = 2,23;    4/2(23 =    15* = 225;    2:3 = 0,65

y5 = 1,494! (genauer Wert logarithmisch: 1,4953).

Allgemein ist zu beachten: Hat man bei einer Quadratwurzel bereits n Ziffern genau berechnet, so kann man in einfacher Weise mit Hilfe der abgekürzten Division weitere n — 1 Stellen ermitteln. Soll beispielsweise j/29 auf 7 Stellen ermittelt werden, so berechnen wir zunächst in bekannter Weise 4 Stellen nach nebenstehendem Schema.

Weitere 3 Stellen werden mit Hilfe der abgekürzten Division ge' funden.

/29 = 5,385

25

O T* O ^

O Ci M

O O ⁰⁵ ® ^ CO I

T-i

CO CO

1775:1077 = 165

698

1068

52

V29 -- 5,385 165

55600 10765 53825    5

1775 10770 Folgende Wurzel soll auf 5 Stellen berechnet werden. j/42,6086 ----- 6,5275

36

co oq

Ol o

125

CO

GO O

982:130 (4)

5    6,52752 ^ 42,60825625 ----- 42,6083.

1302 eine Abweichung gegenüber dem Radi-2 kanden zeigt sich demnach nur in der 1304 letzten Stelle.

913

05 UO CO CD

Folgendes Schema zeigt die Berechnung von "|/37 auf 7 Dezimalstellen.

Y0,37 = 0,6082763

36

120

100

10000

9664

1208

33 600 24 324

12162

CO lO t>* tH

05 GO

12164 (Division vgl. S. 48).

T-l O

co co

CO

T—I

Auch in diesem Beispiele ist nur die letzte Stelle unsicher.

Falls der Radikand ein Komma enthält, ohne dieses aber eine ganzzahlige Wurzel haben würde, lasse man selbstverständlich das Komma beim Wurzelausziehen außer acht und setze es dann bei der Basis an die richtige Stelle. Ein paar Beispiele dürften genügen.

= 6; "|/6561 = 81; b = 8,1 1/0,011449 = 0,107; "|Z^89 -- 1,7 uff.

Ist der Radikand sehr nahe an 1, so läßt sich die Wurzel in erster Annäherung nach dem binomischen Lehrsatz wie folgt finden, wobei für genügend kleine x die höheren Potenzen vernachlässigt wurden

Yl+nx~l+x.

Schreibt man den Radikanden in der Form 1 ±«, so ist x =

fs+«^l+-.

r - - yi

1/1,000026 = 1,000013 1/1/307 ~ 1,0035 1/0^942 «1 - °^⁵⁸ ~ 71909,

|/1,00322 ä 1,00064;    ^0,9981 ----- 0,9995;

1/lM ----1,04; p/Ö^992 = 0,998;    ^0^99640 = 0,99928.

Unter Berücksichtigung der ersten drei Glieder und einfacher Umformung findet man nach dem binomischen Lehrsatz:

t(t)s

ebenso für n — 3, \\ + a = 1 +    — (t)²'

und

Beispiele.

2.

z. B. erhält man besonders einfache Formeln:

1/1 ±a = 1 + -J -

für n = 2

Man erhält auch für verhältnismäßig große Werte von a noch gute Resultate:

z.B.

]/l,06 = 1,03 - 0,00045 ---- 1,02 955 ^1/36 = 1,02 — 0,0004 = 1,0196.

Übung. Berechne: j/7056, /43264“ 1/49 729, l/l70569, 1/506 944~    1/5484964, /LI, l/l4,2,    l/l,004, y 0,9984,

y16,0032 = 4 y1,0002.

Dritter Teil.

Gr. Anwendungen.

Wenn der Leser mir so weit gefolgt ist und den ganzen Stoff nicht nur gelesen, sondern auch gründlich durchgearbeitet hat, wird er mit Recht fragen, wo und in welchem Maße er das Gelernte anwenden kann. Nun, eigentlich fast bei jeder Aufgabe, wo es eben numerisch zu rechnen gibt. Wie ein geübter Turner jede Bewegung — bewußt oder unbewutzt — geschickter, gelenkiger und rascher —so weit es darauf ankommt — ausführt, als einer der sich der Turnkunst nicht erfreut, wird auch derjenige, der die Rechenvorteile kennt und geübt hat, stets Gelegenheit finden, diese anzuwenden und dadurch seine Rechnung eleganter und mehr oder weniger kürzer gestalten.

68. Planimetrie. 1. Aufgabe. Der Inhalt eines rechtw. Dreieckes, dessen eine Kathete b = 18,9 cm, beträgt F = 45,36 cm²; man berechne die andere Kathete und die Hypotenuse.

ab

4,8 (durch Kürzen).

= Fi a = S

a²= 23,04 (Vgl. § 28); c=y380,25 = 19,5cm.

b²-- 357,21    19² = 361; 20² = 400, die Wurzel liegt in der

c² = 380,25; Mitte zwischen 19 und 20.

2F 90,72

18,9

2. Aufgabe. Ein Kreis hat den Radius r== 52,4 cm; man berechne den Inhalt des eingeschriebenen regelmäßigen 6-Eckes.

Der Inhalt des gleichseitigen Dreiecks ist F -----a , im vor-

4

Inhalt des

liegenden Falle ist r = a und F =

regelmäßigen 6-Eckes mit der Seite r.

52,42 ₌ 2745,76 (vgl. S. 60), durch 2 -----1372,88, mal 3 = 4118,04

6r²y3    3r²]/’3

F=978,34 dm³.

]/3 -

1,7321

4118 64 2883 05 123 56

8 24

41

7133,90cm²

69. Stereometrie. 1. Aufgabe. Von einer regulären 5-seitigen Pyramide sind gegeben der Radius des umbeschriebenen Kreises r ----- 6,25 dm und die Höhe h ----- 31,6 dm. Volumen I und Mantel M

der Pyramide sind zu berechnen.

Der Mittelpunktswinkel ist = 72°, Y = rsin36°;

a = 2r sin 36° = 12,5 sin 36°.

\h

i 3$°/ s

Aus einer trigonometrischen Tafel entnehme man sin 36° = 0,58779; » = 12,5-0,58779 = 7,3474 (dividiere durch 8 und multipliziere mit Hundert; vgl. S. 21).

Aus einer trigonom. Tafel: cos 36° = 0,80902; ht = r cos 36° = 6,25 • 0,80902 = 5,0564 (vgl. S. 23). Die Grundfläche ist:

„    5-a\    6.7,3474 • 5,0564    73,474.5,0564

G==~2------

18,369 5,0564;

5,0584

18,369

v Gh 92,88 - 31,6

50,564

40,451

1,517

CO CO

KO

303

45

978,336 (vgl. S. 32 ob. durch abgekürzte Multiplikation).

G = 92,880 dm

Die Höhe der Pyramidenseite, die mit \ bezeichnet sei, ist

/,„=!/F+V;

31,6?    =998,56

(vgl. S. 66; wenn die zu quadrierende Zahl unbequem ist, dann rechne nach ab-

_ gekürzter oder Kreuzmultiplikation); Ze₈ =

]/l024,12 =32,00 (32² = 1024, y liegt sehr nahe an 32, durch Zwischenwertbestimmung findet man 32,002).

18,369 • 32 = 587,808 M= 587,81 dm*.

2. Aufgabe. Von einem Holzkegel sind gegeben: Kantenlänge s = 76,5 cm und Halbmesser r = 32,1 cm; zu berechnen sind: Mantelfläche und Gewicht des Kegels, wenn das spezifische Gewicht y = 0,84 beträgt.

M = nrs = n 32,1 • 76,5; aus einer Tabelle entnehme man 76,5 % = 240,33

(vgl. S. 60).

1024,12

—    5 ah₉

M=~rA

240,33

32,1

72099

4807

240

M— 7714,6 cm².

7714,6

Höhe des Kegels:

% = y^^r²== ]/{s + r) (s - r) = ^108,6 • 44,4 (oder durch Quadrieren)

108,6. 44,4 4821,84

(nach Seite 32), 1/4821,84 = 69,44;

69² --- 4761; 69,5² = 4830,25; 30,2 — 21,8 = 8,4; 8,4:14 » 0.6 1/4821)84 = 69,50 — 0,06 = 69,44.

n ■ 64,2*

Aus einer Tabelle entnehme man F

0,84 . Fh

Gewicht: G

0,28 3237,1 - 69,44.

3237,13 cm².

3237,1 0, 28

647,42

258,97 906,30

69,44 543 83 81 57 3 62

36

629 38

G =62 938 g = 62,94 kg.

70. Trigonometrie. 1. Aufgabe. Von einem schiefwinkligen Dreieck sind gegeben c = 279; a = 30°30,6'; ß = 67°22,8'; gesucht y, a, b und F.

cc + ß.= 97053,4'; y = 82°6,6'.

Aus einer trigonometrischen Tafel entnehme man: sin a ----- 0,50769, sin ß = 0.92306, sin y = 0,99054;

0,50760

a:c = sinatsiny; a

c • sin cc

sin y

279

a ~ 1t !!

101 538 35 538 4 568

141,644 : 0,99034 (vgl. S. 50) 42 590 142,998 2 968

987

96

^_c sinß

siny

0,92306

279

184,612

64,614

8,307

257,533:0,99054

59 425 9 898

259,99

983

F = Ybcsma

-----130 141,64--13 1416,4 (vgl.S.27)

92

F = 18413,2

-18413

2. Aufgabe. Von einem Dreieck sind gegeben: a=52 m,Z> = 195m, c ----- 205 m; man berechne die Winkel a, ß, y und den Flächeninhalt

a² = 52² = 2704 (vgl. S. 54) b²------ 195² = 38O25 ( „ S. 52)

o²-----205² — 42025 ( ,, S. 52)

6² + c²-ti²=77346

2 de---2 195 -205-----2-39975 ----- 79950 (Vgl. S. 36) cos cc ---- 77346 : 79930 ----- 0,96744 5391

594

35

95

a² + (c² - ö²) ---- 2704 + 4000 ----- 6704 2 - 205 • 52 = 410 * 52 = 21320. cos ß = 6704: 2 1320 ³⁰⁸ 0,3145

10

a² + (d² — c²) ----- 2704 — 4000 = — 1296 2-195-52 = 390 • 52 = 20280 (vgl. S. 30).

cos y — — 1296 :

20280

79— 0,0639 18

Nach einer trigonometrischen Tafel findet man:

cc =

14°40' ß = 71°40' y = 180° — 86°20' = 93°40'

Cz + ß + y = 180° 00'.

Den Flächeninhalt finden wir nach der Formel

=    a) (I-b)(I-c) "der F=~acsinß,

Wobei wir der Kürze halber die zweite Formel benutzen wollen.

2 • 52 - 205 = 26 - 205 = 5330, aus einer trigonometrischen Tafel

entnehme man sin/$ = 0,94924. Mit Hilfe der abgekürzten Multi-plikation findet man 9,4924 • 533 --- 5059,45, somit _F= 5059 m².

71. Zinseszins-Rechnung. Aufgabe. Ein Kapital a = 11QQQJ6 steht zu 3% auf Zinsen. Zu welcher Summe wächst es mit Zinsen und Zinseszinsen in 11 Jahren an?

q = ¹⁰^q^ P = 1,03; das Endkapital ist b = aqn.

1,0000 0,3300

11 0,3 =

| -0,33²= | • 0,1089 =0,0544

l,03u~ 1,3844 (vgl. S. 72)

14000 • 1,3844 = 14 • 1384,4 = 19381,6 (vgl. S. 27), mithin: 6=19382 c4L

MitHilfe einer 5-stelligen Logarithmentafel findet mcmZ> = 19380 womit also unser Ergebnis gut übereinstimmt.

72. Schnelligkeitsversuche. Das Wort Schnellrechnen soll ohne Zweifel andeuten, daß der Schnellrechner unter Entfaltung einer gewissen Geschicklichkeit und Anwendung der mannigfachen Rechenvorteile in der Lage ist, eine zahlenmäßige Aufgabe schneller — und dazu noch im Kopfe —zu lösen, als es durchschnittlich eine andere Person mit Hilfe der üblichen Rechnungsweise vermag. Am einfachsten ließe sich wohl mit der Taschenuhr ein Vergleich über die Schnelligkeit anstellen, indem beobachtet wird, innerhalb wieviel Minuten resp. Sekunden jeder der Beteiligten ein und dieselbe Aufgabe, die zweckmäßig von einer dritten Person gestellt werden soll, zu lösen imstande ist. Gebraucht beispielsweise der eine 25, der andere 60 Sekunden, so wäre die Rechengeschwindigkeit umgekehrt proportional der Zeit, im vorliegenden Falle 60:25 = 2,4; d. h. der eine rechnet rund 2% mal schneller als der andere. Da es hier nur auf Durchschnittswerte ankommt, so kann man den Vergleich in bezug auf die Schnelligkeit ohne

Zeitbeobachtung und etwas unterhaltender wie folgt ausführen. Hat der Schnellrechner auf Grund der Rechenvorteile usw. eine besondere Fertigkeit beispielsweise im Quadrieren erlangt, so möge eine dritte Person auf 2 Blatt Papier die gleichen etwa je 5 zweistellige Zahlen aufschreiben und dem Schnellrechner sowie der Vergleichsperson gleichzeitig vorlegen. Der erstere rechnet im Kopfe und schreibt die Ergebnisse hin, während letztere die Aufgaben der Reihe nach in gewöhnlicher Weise rechnet. Wer zuerst mit sämtlichen Aufgaben fertig ist, meldet „fertig".

Hat nun der Schnellrechner sämtliche 5 Quadrate gebildet und hingeschrieben, während die Vergleichsperson in der gleichen Zeit ein Quadrat vollständig und das zweite etwa bis zur Hälfte berechnete, so ist die Rechengeschwindigkeit 5 :1,5 = 3Y₃. Diese Geschwindigkeit ist sehr leicht zu erreichen.

Einen anderen Versuch, der sich in Gesellschaft ausführen läßt, führte Verfasser einige Male durch.

Jemand, der sich bei der Rechnung weiter nicht beteiligt, schreibtauf etwa 4 Blatt Papier die gleichen je 2 beliebige zweistellige Zahlen, etwa 88 und 53. Der Schnellrechner und noch 3 Personen etwa A, B und C erhalten je 1 Blatt Papier mit den betreffenden Zahlen. Mit diesen Zahlen sollen die verschiedensten Rechenoperationen vorgenommen werden. Die zwei Zahlen werden addiert, subtrahiert, miteinander multipliziert, mit einer gewissen Genauigkeit dividiert, jede Zahl wird quadriert, es werden ferner mit einer gewissen Genauigkeit die Wurzeln gezogen, und evtl, auch auf 2—3 Stellen loga-rithmiert.

Die Arbeit wird ungefähr so verteilt: Person A hat die Addition, Subtraktion und Multiplikation auszuführen, B die Division und das Quadrieren, wärend C die Wurzeln auszieht. Zur gleichen Zeit führt der Schnellrechner sämtliche Rechenoperationen durch, wobei die Nebenrechnungen im Kopfe zu erfolgen haben. Der Schnellrechner rechnet nur solange, als A, B oder C noch rechnen, und meldet, sobald er früher fertig ist. Sind beispielsweise währenddessen A und B ebenfalls fertig, hingegen habe C noch ein wenig zu rechnen, so läßt sich hierdurch ein Maßstab für die Schnelligkeit des Rechnens gewinnen. Denn derSchnell-rechner kann sagen, er habe innerhalb einer bestimmten Zeit Rechnungen durchgeführt, mit denen 3 Personen, die gleichzeitig rechneten, kaum fertig wurden. Hierbei hat der Schnellrechner nur solche Zahlen hin-

110

Gr. Anwendungen

zuschreiben, die nur als Ergebnis aufzufassen sind und nicht zu den Hilfsrechnungen gehören, das wäre bei den angenommenen Zahlen:

1,66 Rest 2

9,38; 7,28.

Zu beachten ist, daß man unter Umständen sogar verlangen muß, daß die Vergleichspersonen A, B, C in der gewöhnlichen Weise rechnen, also insbesondere keine Nebenrechnungen unterdrücken dürfen.

73. Einige bemerkenswerte Zahleneigenschaften. Als Beispiel dafür, wie in manchen Fällen Zahlen, mit denen auf den ersten Blick unbequem zu rechnen ist, bei näherer Betrachtung sich als für die Rechnung durchaus nicht umständlich erweisen, sei die Zahl 37 angeführt.

Man beachte 3 • 37 = 111.

GO iO

00 CO

b- GO

rH iC

4664

Demnach

27.37 = 9-111 = 999 17-37 = 555 + 2-37 = 629 46-37 = 1665 + 37 = 1702 135-37 = 45-111=4995 usw.

Ebenso beachte: 13-77 = 1001, was in vielen Fällen sich verwerten läßt.

Z- B.

39-77 = 3-1001 = 3003 66-77 = 5005 + 77 = 5082 129 • 77 = 10010-77 = 9933 54-77 = 4004 + 154 = 4158 usw.

Beachte die Quadrate folgender Zahlen, die man vor-und rückwärts lesen kann.

(ll² =

12² =

13² =

102² =    10404,

103² =    10609,

112² =    12544,

113² =    12769,

122²=    14884,

1002²= 1004004,

1003²= 1006009,

121)

144,

169,

21² =

31² =

201² =

301² =

211² =

311² =

221ä =

2001²= 4004001 3001²= 9006001 usw.

441

961

40401

90601

44521

96721

48841

Hier fällt noch folgendes auf:

144

12³ =

102³ =    10404

1002³=    1004004,

ebenso

211² =    44521

20101² = 404050201, d. h. wenn ich auf der linken Seite zwischen je 2 Ziffern eine Null einschiebe, muß ich dasselbe auf der rechten Seite tun.

Zwei Zahlenreihen mit „6-Eigenschaft".

Die Zahlen 1, 5 und 6 haben die allgemein bekannte Eigenschaft, daß das Produkt zweier oder mehrerer sonst beliebiger Faktoren, die sämtlich eine bestimmte dieser Zahlen als Endziffer aufweisen, wiederum die Endziffer 1, resp. 5, resp. 6 aufweist. Im besonderen hat das Quadrat bzw. jede beliebige ganzzahlige Potenz einer Zahl mit der Endziffer 6 offenbar wiederum die Endziffer 6. Es genügt aber vollständig, wenn das Quadrat einer Zahl —bleiben wir bei der 6 — die Zahl selbst als Endziffer ergibt, um hieraus das oben allgemeiner Gesagte zu folgern. Denn, setzen wir im dekadischen System der 6 einerseits eine beliebige ein- oder mehrstellige Zahl «, andererseits die Zahl d vor, so ist das Produkt dieser Zahlen:

(10« + 6) (105 + 6) = 100«6 + 10 • 6 (« + 5) + 6²,

welcher Ausdruck dieselbe Endziffer wie 6² — also 6 — besitzt.

Der Kürze halber spreche ich in der Folge von der „6-Eigenschaft", und stelle gleich folgende Fragen, die später beantwortet werden.

1. Gibt es auch2-, 3-undmehrstelligeZahlenmitder„6-Eigenschaft"?

2.    Wenn ja, wieviel solcher Zahlen gibt es?

3.    Wie lassen sich diese Zahlen auffinden?

Ich gebe gleich eine 2stellige Zahl mit „6-Eigenschaft" an und zwar 76, um einige Bemerkungen hieran zu knüpfen.

Es ist 76²= 5776, die Endziffern des Quadrates sind also gleich der Basis. Der Leser kann sich leicht überzeugen, daß beispielsweise 176²= 30976,    276² = 76l76, 176s= 5451776, 2376 • 476

= 1130976 usw. Auch hier hätte es genügt festzustellen, daß 762 = 5776, um die „6-Eigenschaft" zu erkennen.

ANuG. 739: Bojko, Rechenvorteile. 2. Aufl.

Infolge Raummangels seien die Zahlenreihen I, II und III ohne Beweis angeführt. Zahlenreihe III ergibt sich durch Addition von I und II.

I.

n.

III.

5² = 25 25² = 625 625²= 390625

[0625³ -- 00390625]

...8212890625

90625²= 8212890625 890625²= 793212890625 2890625²= 8355712890625 12890625²= 166168212890625 212890625²= 45322418212890625 8212890625²=

6² = 36 76² = 5776 376² = 141376 9376² = 87909376 [09376²= 0087909376]

...1787109376

109376²= 11963109376 7109376² = 50543227 109 3 76 87109376² = 7588043387109376 787109376²= 619541169787109376 1787109376²=

11 = 10¹ + 1 101    =    IO²    +    1

1001    =    IO³    +    1

2890625 +    7109376    = 10000001    = IO⁷    + 1 uff.

Zum Schluß noch eins: 90625² = 821289 0625, welche Zahl merkwürdigerweise sich mit der 10. Zahl der Reihe I vollständig deckt!

Die Zahl 90625 bildet demnach den Schlüssel für die ersten 10 Zahlen beider Reihen d. h. aber für den Zahlenbereich bis 10000000000.

Man merke sich nämlich nur die Zahl 90625, bilde deren Quadrat, dann ergeben die Ziffern von rechts nach links sukzessive die Reihe I, und hieraus erhält man leicht unter Beachtung, daß die Summe der entsprechenden Anfangsziffern der Reihen I und II stets gleich 9, die ersten 10 Zahlen der Reihe II, hat jedoch bei der ganzen Rechnung nur ein einziges Quadrat zu bilden.

Zusammenfassung.

1.    Es gibt unendlich viele Zahlen mit der „6-Eigenschaft", die aber verhältnismäßig dünn ausgestreut sind; so sind für n 2 zwischen 10M_1 und 10", wie groß auch n sein mag, höchstens 2 derartige Zahlen vorhanden. Bis zu einer Million befinden sich nur 11, bis zu einer Milliarde 17 der fraglichen Zahlen, die 1 inbegriffen.

2.    Die Anzahl der Zahlen mit „6-Eigenschaft" in einem bestimmten Zahlenbereiche ist ungefähr gleich dem doppelten Logarithmus der Grenzzahl, also bis 10” ungefähr 2n.

3.    Das Auffinden der fraglichen Zahlen erfolgt nach einem einfachen Gesetz. Die Zahl 90625, respektive das Quadrat derselben bietet sozusagen den Schlüssel zu den Zahlen bis IO¹⁰.

8*

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Schattenbilder

K. w. Diesenbach „Per aspera ad astra“. Album, die 34 Tellb. des vollst.

Wandfrieses fortlaufend wiedergebend (25X20 '/₂ cm) JUt 15.-. Teilbilder als Wandfriese (80X42 cm je JUt5.-, (35X18 cm) je JUt 1.25, auch gerahmt!, versch. Ausfuhr, erhältlich. „Göttliche Jugend." 2 Mappen mit je 20 Blatt (34X25 V* cm) je JUt 7.50. Einzelbilder je JUt -.60, auch gerahmt in verschiedenen Ausführungen erhältlich. Kindermusik. 12 Blätter (34X25 V* cm) in Mappe JUt 6.-, Einzelblatt JUt -.60. Gerda Luise Schmidts Schatten^eichnungen. (20x15 cm) je JUt -.50.

Ruch gerahmt in verschiedenen Ausführungen erhältlich. Blumenorakel. Reifenfpiel. Der Besuch. Der Lieberbrief. Lin Frühlingsstraufi. Die Freunde. Der Brief an ,3hn". Annäherungsversuch. Am Spinett. Beim Wein. Lin Märchen. Der Geburtstag.

Zur Ausschmückung von Kinderzimmern

„Die Wanderfahrt der drei Wichtelmännchen." Zwei farbige wand-fliese von M. Ritter. 1. Abschied - Kurie Rast. 2. Hochzeit - Tan). Zeder Fries mit 2 Bildem (103X41 cm) JUt 6.-, jedes Bild ein)eln JlJt 3.-Ferner find erschienen: Herrmann: «Aschenbrödel" und «Rotkäppchen", Baumfeind: «Die sieben Schwaben"; Rehm-Vietor: .Wir wollen die goldene Brücke bauen", «Schlaraffenleben", «Schlaraffenland", «Englein zur Wacht" und «Englein zur Hut" (103X41 cm, je JUt 6.-)

Zwei Weihnachtsbilder und Osterbilder von N. Kämmerer.

1. Morgen, Kinder, wird'- was geben. 2. Vom Himmel hoch da komm ich her. / 1. Ostern, Ostern ist es heut'! 2. Osterhase schleicht ums Haus (41X30 cm). Preis je JUt 3.—. Postkartenausgabe je JUt—.15. Bilder einzeln gerahmt in meistern Rahmen unter Glas je JUt 9.—, die zusammengehörigen Bilder, als Wandfries gerahmt je JUt 17.—. Postkarten unter Dla» mit schwarzer Einfassung, mit Aufhängeschnur je JUt —.65, in schwarz poliertem Rahmen mit Glas je JUt —.85

Rudolf Schäfers Bilder nach der Heiligen Schrift

Der barmherzige Samariter, Zefus der Kinderfreund, Da» Abendmahl, Hochzeit zu Kana, Weihnachten, Die Bergpredigt (75X55 bzw. 60X50 cm). JUt 9.— bzw. JUt 8.—.

in Format 36x28 cm Zedes Blatt JUt —.75

SSiÄS Biblische Bilder Rar, Bauers Federzeichnungen

Lharakterköpfe zur deutschen Geschichte. Mappe, 32 Bl. (36X28 cm) JUt 5.—

12 Bl..............................JUt 2.—

Nus Deutschlands grosser Zeit 1813. In Mappe, 16 Bl. (36X28 cm) JUt 2.50 Führer und Helden im Weltkrieg. Einzelne Blätter (36x28 cm) JUt —.50 2 Mappen» enthaltend je 12 Blätter, je.............JUt 1.25

TeubnersKün ft lerpo ft karten

Jede Karte JUt —.10, Reihe von 12 Karten JUt ).-Zede Karte unter Glas mit schwarzer Einfaffung und Schnur eckig oder oval, teilweise auch in feinen Holzrähmchen eckig oder oval. Ausführliches Verzeichnis vom Verlag in Leipzig. Ausführt. tlluftr.Wandschmuckkatal. f. JUt 1.- vom Verlag. Leipzig 61. poststr. 3, erhältl.

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