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WYDZIAIY POLITECHNICZNE KRAKOW

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BIBLIOTEKA GfcÖWNA

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nunmehr über 800 Bände umfassend, bietet wirkliche „Einführungen" in abgeschlossene Wissensgebiete für den Unterricht oder Selbstunterricht des Laien nach den heutigen methodischen Anforderungen und erfüllen so ein Bedürfnis, dem weder umfangreiche Enzyklopädien noch fki^enhafte Abrisse entsprechen können. Die Bände wollen jedem geistig Mündigen die Möglichkeit schaffen, sich ohne besondere Vorkenntnisse an sicherster Quelle, wie sie die Darstellung durch berufene Vertreter der Wissenschaft bietet, über jedes Gebiet der Wissenschaft, Kunst und Technik }U unterrichten. Sie wollen ihn dabei zugleich unmittelbar im Beruf fördern, den Gesichtskreis erweiternd, die Einsicht in die Bedingungen der Berufsarbeit vertiefend.

Die Sammlung

„Nus Natur und Geisteswelt"

Die Sammlung bietet aber auch dem Fachmann eine rasche zuverlässige Übersicht über die sich heute von Tag Tag weitenden Gebiete des geistigen Lebens in weitestem Umfang und vermag so vor allem auch dem immer stärker werdenden Bedürfnis des Forschers ?u dienen, sich auf den Vachbargebieten auf dem laufenden )u erhalten. 3n den Dienst dieser Aufgaben haben sich darum auch in dankenswerter Weife von Anfang an die besten Namen gestellt, gern die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise )u wenden.

Seit Herbst 1925 ist eine Neuerung insofern eingetreten, als neben den Bänden im bisherigen Umfange solche in erweitertem, etwa anderthalbfachem )ü 1 ^fächern preise ausgegeben werden, weil abgeschlossene Darstellungen größerer Gebiete auf beschränkterem Raume heute schwer möglich sind. Diese Bände, die die Nummern von 1001 ab tragen, erscheinen, um die Einheitlichkeit der Sammlung ju wahren, in der gleichen Ausstattung wie die übrigen Bände. Sie sind nur auf dem Rückentitel durch je ein Sternchen über und unter der Nummer besonders gekennzeichnet.

Alles in allem sind die schmucken, gehaltvollen Bände besonders geeignet, die Freude am Buche ?u wecken und daran ?u gewöhnen, einen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej )e

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Leipzig, io

100000295962

>. Teubner

Et« vollständiges nach Wissenschaftsgebieten geordnetes Verzeichnis versendet aus Wunsch der Verlag, Leipzig C1, poststrasse 3/5

Jur Mathematik und Astronomie

sind bisher erschienen:

Einführung Ln die Mathematik.

Einführung in die Mathematik. Von Studienrat w. Mendelssohn. Mit 42 Zig. im Text. (Bd. 503.)

Arithmetik- Algebra und Analysis.

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz.

2 Bände. I. Teil: Die 7 Rechnungsarten. Gleichungen und Funktionen ersten und zweiten Grades. 9. Auf!. Veubearb. von Sludienrat Dr. M. Hauptmann. Mit 20 Figuren und 1 Logarithmentafel. (Bd. 120.) II. Teil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Iinseszms- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 6. Ausl. Mit 21 Textfiguren. (Bd. 205.)

Lehrbuch der Rechenvorteile. Schnellrechnen und Rechenkunst. Mit zahlreichen Übungsbeispielen. Von Ing. Dr. phil. Z. Bojko. 2. Ausl. (Bd. 739.)

Kaufmännisches Rechnen zum Selbstunterricht. VonStudienratK. D rö l l. (Bd. 724.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von Prof. Dr. G. Kowalewski. 4. Aufl. Mit 21 Fig. im Text u. einem Anhang über die Zahl e u. die natürlichen Logarithmen. (Bd. 197.)

Differentialrechnung unter Berücksichtigung der prakt. Anwendung in der Technik, mit zahlr. Beispielen und Aufgaben versehen. Von privatdozent Studienrat Dr. M. Lindow. 5. Ausl. Mit 50 Fig. und )6l Aufgaben. (Bd. 387.)

Integralrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlr. Beispielen und Aufgaben versehen. Von Privatdozent Studienrat Dr.M. Lindow.

3.    Ausl. Mit 43 Fig. im Text und 200 Aufgaben. (Bd. 673.)

Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik, mit zahlr. Beispielen u. Aufgaben versehen. Von privatdoz. Studienrat Dr. M. Lindow. Mit 38 Fig. im Text und 160 Aufgaben. (Bd. 589.)

Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von Geh.Reg.-Rat Prof. E. Hegemann. Mit 11 Fig. im Text (Bd. 609.)

Geometrie.

Planimetrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Prof.p. Crantz. 3. Aufl. Mit 94 Fig. im Text. (Bd. 340.)

Ebene Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Prof. p. Crantz.

4.    Aufl. Mit 50 Fig. im Text. (Bd. 431.)

^Sphärische Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Prof, p. C r a n h. 2. Aufl. von Studienrat Dr. M. H a u p t m a n n. Mit zahlr. Fig. im Text (Bd. 605.)

Analytische Geometrie der Ebene zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat Prof. p. Crantz. 4. Aufl., durchges. von Studienrat Dr. M. Hauptmann. Mit 55 Fig. im Text. (Bd. 504.)

Einführung in die darstellende Geometrie. Von Prof. p. B. Fischer. Mit59Sig. im Text. (Bd. 541.)

Angewandte Mathematik.

praktische Mathematik. Von Prof. Dr. R. Reuendorff. 2 Bd. I. Teil: Graphische Darstellungen. Verkürztes Rechnen. Das Rechnen mit Tabellen. Mechanische Rechenhilfsmittel. Kaufm. Rechnen im tagt. Leben. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 3. Aufl. Mit 29 Fig. im Text u. 1 Tafel. (Bd. 341.) II. Teil: Geometrisches Zeichnen, projektionslehre, Flächen-meffung, Körpermessung. Mit 133 Fig. (Bd. 526.)

Die Rechenmaschinen und das Maschinenrechnen. Von Regierungsrat Dipl.-3ng. K. Lenz. (2. Aufl. erschien außerhalb der Sammlung.)

Angewandte Mathematik.

Geometrisches Zeichnen. Von Oberschullehrer A. Schudeisty. Mt 172 Abb. im Text und auf 12 Tafeln. (33b. 568.)

projektionslehre. Die rechtwinklige Parallelprojektion und ihre Anwendung auf die Darstellung technischer Gebilde nebst einem Anhang über die schiefwinklige Parallelprojektion in kurzer leichtfastlicher Darstellung für Selbstunterricht und Schulgebrauch. Von Oberschullehrer N. Schudeisty. 2. Aufl. Mt 165 Abb. im Text. (35b. 564.)

Die Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. K. Doch le mann. 9., durchges. Ausl. Mt 91 §ig. und 11 Abb. (33b. 510.) Graphisches Rechnen. Von Studienrat O. prölst. Mit l64Zig. im Text. (33b. 708.) Maste und Messen. Von Dr. w. Block. Mt 94 Abb. (Bd. 985.)

Die Landmessung. Von Geh. Zinanzrat K. Suckow. Mt 69 Zeichnungen im Text. (9 b. 608.)

photogrammetrie (Einfache Stereo- und Luftphokogramwetrie). Von Dr.-3ng. tz. Lüscher. Mt 76 Zig. im Text und auf 2 Tafeln. (Bd. 612.)

Kartenkunde. Von Ainanzrat Dr. A. Egerer. I. Einführung in das Kartenverständnis. Mit 49 Abb. im Text. (33b. 610.)

Nautik. Von Direktor Dr. Z. Möller. 2. Aufl. Mt 64 Fig. im Text und 1 Seekarte. (Bd. 255.)

Mathematische Spiele.

Mathematische Spiele. Von Dr. w. Ahrens. 5. Aufl. Mt , Titelbild und 76 Zig. (Bd. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Principien. Von Dr. M. Lange. 4. Aufl. Mt einer Schachbrett-Tafel und 49 Diagrammen. (Bd. 261.)

Geschichte.

Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin im klassischen Altertum. Von

Prof. Dr. Oob. L. Heiberg. 2. Aufl. Mt 2Aig. (Bd. 970.)

Astronomie und Astrologie.

Der Vau des Weltalls. Von Prof. Dr. I. Scheine:. 5. Aufl. Bearbeitet von Prof. Dr. p. Guthnick. Mt 28 Zig. im Text. (Bd. 24.)

weltentstehung in Sage und Wissenschaft. Von Prof. Dr. K. Ziegler und Prof. Dr.

S. Oppenheim. Mt 4 Zig. im Text. (Bd. 719.)

Weltuntergang in Sage und Wissenschaft. Von Prof. Dr. K. Ziegler, und Prof. Dr. S. Oppenheim. (Bd. 720.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Von Prof. Dr. S. Oppenheim. I. Teil: Vom Altertum bis zur Neuzeit. 9. Aufl. Mit 16 Abb. (Bd. 444.) 11. Teil: Moderne Astronomie 2. Aufl. Mit 9 Ag. im Text und 1 Tafel. (Bd. 445.)

Astronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Leben. Von Prof. Dr. A. Marcuse. 2. Aufl. Mt 26 Abb. (Bd. 976.)

Die Planeten. Von Prof. Dr. B. Peter. Mit 16 Fig. 2. Aufl. von Obsew. Dr. H. Naumann. (33b. 240.)

Meteorologie.

Einführung in die Wetterkunde. Von Prof. Dr. L. Weber. 9. Aufl. von .wind u. Wetter". Mit 28 Abb. im Text u. 9 Tafeln. (Bd. 55.)

Unser Wetter. Einführung in die Klimatologie Deutschlands an der ßand von Wetterkarten. Von Dr. R. ßennig. 2. Aufl. Mit 46 Abb. im Text. (Bd. 949.)

Die mit * bezeichneten und weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.

Aus Natur und Geistesmelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

589. Band

Differentialgleichungen

Ausgaben.

tatman§$<tx + §|d,,-0;ti = -(§|):(^);ausi.er Tl-ichmg

Aufgaben.

Ausgaben.

VIII. Näherungsmethoden für Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

0,5 = 6,7 sin (0,0007471 x). Einheit cm. Maximum

Schattenbilder

Differentialgleichungen

unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen von

vr. Martin Lindow

Studienrat, Münster i. W.

Mit 38 Figuren im Text und 160 Aufgaben

1! * Oberr.r

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1921

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Schuhformel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1921 by B.G.Teubner in Leipzig.

Alle Rechte, einschließlich des Nberfehungsrechts, vorbehalten.

Druck von B.G.Teubner in Dresden.

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* Vorwort

Die in der Sammlung „Rus Natur und Geisteswelt" erschienenen Bände über Differential- und Integralrechnung erforderten einen Rbschluß, der hier gegeben wird. Es mußte nachgewiesen werden, wie gewisse Kurvengleichungen, z. B. die der elastischen Linie, der Ketten» Knie oder der gedämpften Schwingungen, abgeleitet werden, wie man zu dem Begriff des Trägheitsmomentes kommt uff. Jeder, der sich in naturwissenschaftliche Gebiete vertiefen will,, muß die wichtigsten Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen unbedingt beherrschen, mag er sich den Problemen der Mechanik, der Elektrotechnik, der modernen Ehemie oder irgendeines andern Gebietes zuwenden, das schon die vormathematifche Periode überwunden hat. Weswegen diese Behandlungsweise auch den „reinen" Mathematiker fördert, habe ich in dem Vorwort zu meiner „Integralrechnung" schon gesagt.

wie in den beiden andern Bänden habe ich versucht, aus der ungeheuren Fülle des Stoffes nur das wesentlichste zu bringen, das aber durch Rufgaben und Beispiele zu vertiefen. Immerhin dürste es für den Naturwissenschaftler und den Ingenieur im allgemeinen genügen — nur die partiellen Differentialgleichungen mußten fehlen — und dem Mathematiker eine Grundlage für das Studium umfangreicherer Werke geben. Neu ist die starke Betonung der numerischen Näherungsmethoden. Den Differentialgleichungen, die nach den allgemeinen Methoden nicht behandelt werden können, steht nicht nur der Ingenieur, sondern auch der Mathematiker ganz hilflos gegenüber, weil die Lehrbücher kaum jemals etwas darüber bringen. Und doch ist es eigentlich ein recht klägliches Gefühl, bei praktischen Notwendigkeiten von mathematischen Zufälligkeiten abzuhängen.

Durch die Einführung der Hyperbelfunktionen konnte die Darstellung wesentlich vereinfacht werden. Sie werden in der Neuauflage meiner Bändchen über Differential- und Integralrechnung behandelt werden; bis zu deren Erscheinen wolle man etwa die „Ejütte" zu Rate ziehen.

hinweise aus jene Bücher sind durch „D." und „I." gegeben.

Herrn h. Gütiges in Gpladen, der auch diesmal mit großer Sorgfalt den Text durchgesehen hat, spreche ich hier nochmals meinen herzlichsten Dank aus.

Möge das Büchlein dazu beitragen, Naturerkenntnis und Naturbeherrschung zu fördern.

Hl. Lindow.

Münster i. w., September 1921.

I. Rurvenscharen und Differentialgleichungen . . .

Die Entstehung ein. Kurvenschar. Enveloppen. Beispiele u. Aufgaben. Darstellung einer Kurvenschar durch eine Differentialgleichung. Mechanische Bedeutung der Differentialgleichungen. Einteilung.

. . 15

II. Differentialgleichungen erster Ordnung: Unmittelbare Integration. Trennung der variabeln. Substitutionen, homogene

Differentialgleichungen.....

A.yf — f(x). Integralionskonstante. Bezeichnungen. B Trennung der variabeln. Freier Fall im Luftraum. C. Substitutionen.

III.

= t, xy = t, x² + y² = r² u. a.j homogene Differentialgleichungen. Kurvenbestimmungen. Hohlspiegel. Differentialgleichungen erster Ordnung: Lineare Differentialgleichungen. Totale Disserentialausdrücke. Eulerscher Multiplikator. Differentialgleichungen höheren Grades. Singuläre Lösungen . 26

D.    Lineare Differentialgleichungen; 1. verkürzt, 2. vollständig. Variation der Konstanten. Zerfall radioaktiver Substanzen.

E.    Integration totaler Differentiale. F. Der Culersche Multiplikator. Ermittlung der integrierenden Faktors unter einschränkenden Voraussetzungen. Darstellung des Integrals als (Quotient zweier integrierender Faktoren. G. Differentialgleichungen erster Ordnung höheren Grades. Singuläre Lösungen und Enveloppen.

42

IV. Graphische Näherungsmethoden.....

53

V. Numerische Näherungsmethoden.....

A.£öfung durch Polenzreihen. B. Lösung durch dieSirnpsonscheFor-mel. Prüfung der Genauigkeit durch vergleich mit der exakten Lösung.

VI. Die einfachsten Tgpen der Differentialgleichungen zweiter

Ordnung . .

A.    #" = f(x). Elastische Linie. B. y" = f(y)- Knickung eines Stabes. Pendel. C. y" = f (yf). Kettenlinie. D. y" = f(yf, x).

E. y,r = f(yr, y). Kurvennormale unb Krümmungsradius.

VII. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . 74 verkürzte lineare Differentialgleichungen. A. Konstante Koeffizienten. Gedämpfte Schwingungen. Konstanter widerstand.

B.    veränderliche Koeffizienten. Technische Beispiele. C. vollständige lineare Differentialgleichungen. Erzwungene Schwingungen. Variation der Konstanten. Ermittlung des allgemeinen Integrals aus einem partikulären.

VIII. Näherungsmethoden für Differentialgleichungen zweiter

Ordnung........ ,

A. Entwicklung nach Potenzreihen. B. Lösung durch die Simpson» sche Formel. Endliche Pendelschwingungen. Ballistische Kurve. Lösungen

Graphische Ausführung der Integration. Diskussion der planck-schen Energiegleichung. Graphische Integration von Differentialgleichungen.

. . 61

. . 82

I. Uurvenscharen und visserenlialgleichungen.

• 4

Die graphische Darstellung der Gleichung y = — ist eine völlig bestimmte gleichseitige Hyperbel (D. S.47), wir haben es mit einem speziellen $all der Gleichung r/ — — zu tun (a = 2). Legen wir a

etwa die Werte 1, 2, 3, 4-«« bei, so bekommen wir eine ganze Reihe gleichseitiger Hyperbeln, und erteilen wir a alle möglichen werte, so entsteht eine S ch arvon Hyperbeln, deren Individuen stetig aufeinanderfolgen und den ihnen zugänglichen Teil der Zeichenebene lückenlos bedecken. Eig. 1.)

Die Zustandsgleichung der Gase lerntet pv = RT. Darin bedeutet p den Druck, v das Volumen und T die absolute Temperatur,-man erhält T, indem man die am Thermometer abgelesenen Telsius-grade um 273 o vermehrt. R ist eine Konstante, die durch den Anfangs-zustand bestimmt wird, haben wir anfangs ein Volumen von 1 Liter, den Druck einer Atmosphäre und die Temperatur t= 0°, also T= 273°,

so ist 1 • 1 = R • 273, also

<?

R = ^=-Bei isothermer Kom-

<?

\A

LP

X Pression oder Expansion ist R T dauernd gleich 1, zwischen v Druck und Volumen besteht die Beziehung pv= 1. Trägt x. man auf der Abszissenachse die werte von v, auf der Grdina-tenachse die von p ab, so liefert die Zeichnung eine gleichseitige Hyperbel, wenn '—    der versuch aber nicht bei 0°,

5ig. i.

; sondern bei einer bestimmten =₀x Temperatur t° ausgeführt wird, so lautet unsere Glei-

chung pv = 273 (273 +1), die graphische Darstellung gibt eine andere

gleichseitige Hyperbel. Durch Variation der Temperatur ändert sich die rechte Seite der Gleichung, welche hier ursprünglich gleich 1 war; es quillt aus der ursprünglichen Kurve eine ganze Kurvenschar heraus.

Der bekannte versuch, die Kraftlinien eines Magneten auf einem Blatt Papier durch Lisenfeilspäne sichtbar zu machen, zwingt die Natur dazu, vor unseren Augen eine Kurvenschar entstehen zu lassen, ohne uns mit der Mühe der Rechnung zu belasten,- die farbenprächtigen Bilder, die wir im Polarisationsapparat bewundern, werden durch Kurvenscharen gebildet.

Beispiel 1. Tin Punkt P habe von einer Geraden AX den konstanten Abstand ni. Man ziehe von ihm aus eine beliebige andere Gerade, welche die erste in S schneide und errichte auf PS in S die Senkrechte ST. Man lasse S auf AX wandern und ermittle die Gleichung der Geradenschar, welche von den Senkrechten gebildet wird.

(5ig- 2.)

AX sei die Abszissenachse, die Grdinatenachse 0 Y werde so gelegt, daß sie durch P gehe. OS sei gleich c. Die Gleichung einer Geraden

ist (D. S. 16) g = xtg« + b; tg u = ^; aus dem rechtwinkligen Drei»

T.

e<f PUS folgt, daß mb—c² ist, also Vi c ²

6 = — • Dab aber auf dem negativen

c²

Teil der Grdinatenachse liegt, so muß p man diesem Ausdruck das negative Vorzeichen geben; c

11 — x---

Ws

Ftg. 2.

y m m

Die Zeichnung lehrt, daß unsere Geradenschar nicht die ganze Ebene erfüllt, sondern nur ein Gebiet, welches von dem Heft durch eine Hurve & abgegrenzt wird. Ähnlich verhält es sich, wenn man die Lichtstrahlen einer Lampe aus ein gebogenes Ztahllineal . fallen läßt, mit dem man eine Kurve auf einer weißen Fläche verfolgt; die U

Lichtstrahlen treffen die spiegelnde Oberfläche, werden reflektiert und verbreiten sich auf der Papierfläche so, daß der Helle Teil von dem dunkeln durch eine deutlich ausgeprägte „Brennlinie" getrennt ist.

Derartige bei einer Kurven- oder Geradenschar auftretende Linien nennt man Umhüllungslinien oder Enveloppen, wie die Lichtstärke der Brennlinie beweist, empfängt jeder ihrer Punkte von mehreren reflektierten Strahlen sein Licht, allgemeingehortjederpunkt einer Enveloppe mindestens zwei Kurven der gegebenen Schar an, die sich nur wenig voneinander unterscheiden.

c²

ci    ci²

y —7t,

°    772    m

Beispiel 2. welche Gleichung hat die Enveloppe der in Beispiel 1 behandelten Geradenschar? Es sei cx ein wenig großer als c, dann genügen die Koordinaten x, y eines Punktes der gesuchten Kurve gleichzeitig den Gleichungen

y = -x—-

a 772 m

und allen anderen Gleichungen, die sich aus ihnen ableiten lassen. Es liegt hier nahe, zur Vereinfachung die Differenz zu bilden.

0 = lf-W-(m-s) ⁼ ^(ci™c)-i(ci2-c2)

^(c₁-c)-^(c₁-c)(c₁ + c) = (c]-c)g-i(c₁ + c)_-

Ein Produkt kann nur dann verschwinden, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist. Da ct von c verschieden sein soll, so muß x 1

- — - (cx + c) = 0 sein, also x = p₁ + c. Lassen wir ct immer

weniger von c verschieden sein, so nähert sich x unbegrenzt dem Werte x=2c. Dies ist die Abszisse des Schnittpunktes zweier Nachbargeraden

c² 2c²

------ Um

unserer Schar, die Grdinate wird y=^ x — —

uns von der Willkür des Wertes c zu befreien, eliminieren wir diese

X    1 / X\^ Jt²

Größe aus den letzten Gleichungen: c = ^; y = — ( ^ J — ^ • 3um Schluß können wir noch 4 m — a setzen, dann gilt für alle Schnittpunkte

X^

zweier unendlich naher Geraden die Beziehung r/ ----- — Dies ist die

Gleichung der (Ermeloppe; wir erkennen, daß sie eine Parabel ist (D. $. 16). Daß unser Ergebnis richtig ist, lehren die Bemerkungen über die Umhüllungskonstruktion dieser Kurven nur sind wir hier den umgekehrten weg gegangen, da wir in dem betreffenden Kapitel der

Differentialrechnung die Kurve, hier die Geradenschar als gegeben voraussetzten.

Die eben angestellten Betrachtungen lassen sich leicht verallgemeinern. (Es sei f(x,y, c) = 0 die Gleichung einer Kurvenschar, deren einzelne Individuen erhalten werden, wenn man dem Parameter c die verschiedensten werte beilegt. Unsere Aufgabe ist es, den Schnittpunkt zweier Uachbarkurven zu ermitteln, ihre (wenig voneinander verschiedenen) Parameter feien c und cv Die Koordinaten des gefuchten Punktes müssen den Gleichungen genügen

— 0; dies ergibt im Grenzfall (für zwei unend-8 fix, y,c)

f{x, y, c) = 0 und f(x, y, cx) = 0; also auch der durch Subtraktion erhaltenen Gleichung f(x, y, cf)—fix, y, c) = 0; ebenso ist f(-, V, Ci) - fix, y, c)

Cj — c

0. Die Größe c ist für die einzelne

de

lich nahe Kurven)

Kurve konstant, für die Kurvenschar variabel, also kann f nach ihr differentiiert werden. Da x und y sich bei dieser Operation nicht ändern,

so ist die Differentiation partiell. Aus f— 0 und 0 kann man

x und y berechnen und erhält so die Koordinaten des Punktes, in welchem die Kurve f ix, y, c) — 0 von der benachbarten geschnitten wird. Eliminiert man aber statt dessen aus den beiden Gleichungen den Parameter c, so erhält man eine Beziehung zwischen x und y, welche für alle Schnittpunkte gilt, welchen wert auch c haben mag, und diese Beziehung stellt die Gleichung der Enveloppe dar.

Beispiel 8. (Ein Geschütz ist in horizontaler und vertikaler Richtung beliebig drehbar. DieNlündungsgeschwindigkeitdesGeschossesistvam/ssc. Welche Punkte des Raumes find ihm erreichbar, welche vor ihm sicher?

Wir nehmen zunächst an, das Geschützrohr sei nur vertikal drehbar. Bildet die Seelenachse mit der Horizontalen den Winkel «, so ist unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes x = v₀tcos«; y =    t g t~ + v₀ /sin« (Ableitung in Beispiel 44)

A —9,81 m/sec². Die Flugbahn erhält man durch Elimination der

Größe t; es ist nach der ersten Gleichung t zweiten

VQ COS CC '

+ Vtx-----sin cc

o v₀ cos CC

also nach der

ff = -

1 ff*²

x²

2 Vq ² cos² cc

y = xtga —

Gibt man v₀ einen bestimmten Wert, legt « der Reihe nach alle möglichen Werte von 0 bis 90° bei und zeichnet die Kursen, so erhält man eine Schar von Parabeln, die aber nur einen bestimmten Teil der Zeichenebene erfüllen und gegen den Rest durch eine Enveloppe abgegrenzt werden. Diese gilt es zu ermitteln; « ist der Parameter. Man hat die Gleichungen

y=xiga —

0__X²____

2 u₀⁸cos²«

n _ x    gx*    2 sincc

cos²«    2v₀²    cos⁸«

0 = x cos a--2" sin cc, daher

2    V°

(c) tg« = "•    Ferner ist

(a)

(b)

und

• £tus (b) folgt

sin² c +cos⁸«

COS²«

cos²«

tg²«+ 1, also

in unserm Fall

(d)cos²«= ¹ + g'x*' betzt man (c) und (d) in (a) ein, so ergibt 9X*

sich y

2v„

g*x V g

v b>° g--

suchte Bahngleichung

(e> y = Vtg 2ü₀

Ist die Lafette drehbar, so erzeugt die Gesamtheit der Sicherheitsparabeln ein Rotationsparaboloid. Der innere Raum ist durch die Geschosse gefährdet, der äußere vor ihnen sicher.

Zur probe setzen wir in der Gleichung der Sicherheitsparabel x=0, suchen also den Punkt der Kurve aus, welcher senkrecht über dem Geschütze liegt. Klan erhält y = —• Diese Größe kommt genau der

*9

gx¹

2,diesogenannteSicherheitsparabel. (Fig.3.)

Rlaximalhöhe eines senkrecht nach oben mit der Geschwindigkeit v₀ geschleuderten Körpers gleich.

Macht man y — 0, so ist xä = %; x=±    • Der Punkt, in dem

9    9    die Sicher

heitsparabel die horizontale trifft, hat vom

Ge-

die

$ig. 3.

(Entfernung der größten Wurfweite; sie wird erreicht, wenn « = 45° gewählt wird.

vielleicht noch anschaulicher und dabei friedlicher wird das Bild, wenn wir an eine Vorrichtung zum Besprengen des Rasens denken. Vas Wasser trete aus einer unter Druck stehenden Leitung in eine hohlkugel, deren Wandung durch viele über die (Oberfläche verteilte Löcher durchbohrt ist. Da sich die herausströmenden Flüssigkeitsteilchen unmittelbar folgen, so entströmt jeber (Öffnung eine Parabel; alle diese Flüssigkeitssäden liegen im Innern eines Rotationsparaboloids. Man wähle für v₀ einen beliebigen einigermaßen passenden Zahlenwert und zeichne die Kuroen, welche den Winkeln a — 0°, 30°, 45°, 60°, 70°, 80°, 90° entsprechen.

Ausgaben.

1. Die Gleichung — AzD—1gilt nur für vollkommene Gase. Ist aber der Druck groß und die Temperatur tief, so nähert sich das Verhalten der Gase dem der Dämpfe. Diese Tatsache wurde von van der Waals in die Formel gebracht:

Man zeichne verschiedene Kuroen der Schar, die durch Variation des Parameters t gewonnen wird, vor allem die Kurve der kritischen Temperatur. (Es ist

Kritische Temperatur -241 + 31

K>

VO O

Stoff

Wasserstoff

Kohlendioxyd

0,00874

0,0037

0,00742

0,00786

Lust

Stickoxydul

Äthylen

0,00069

0,0023

0,0026

0,0019

0,00224

2. hat die Hyperbelschar xy — a²= 0 eine Enveloppe?

bestimmt

3.    Es soll die Enveloppe der Kurvenschar y werden, wenn a ein Parameter und m eine Konstante ist.

4.    Ruf der Rbszissenachse trägt man vom Rnfangspunkt aus das Stück c ab, auf der Grdinatenachfe das Stück Man verbindet die

Endpunkte und wiederholt die Konstruktion mit sehr verschiedenen Werten von c. hat die Geradenschar eine Enveloppe?

aufgaben

11

5. (Eine Strecke von der Länge l wird so bewegt, daß ihr eines Ende auf der Abszissen-, das andere auf der Grdinatenachse gleitet, welche Kuroe umhüllt die so erzeugte \ Geradenschar?

I Beispiel 4. Um den Mittelpunkt /    0 eines Koordinatensystems sei ein

' Kreis mit dem Radius a beschrieben;

^---um einen Punkt P auf

x seiner Peripherie ein zweiter Kreis, dessen Radius die Länge des Bogens AP hat. Führt man die Konstruktion für jeden Punkt der Peripherie aus, so entsteht eineKreisschar,- welche Enveloppe hat sie? (Fig.4.)

Die Koordinaten von P sind a cos cp und asin<p; ein beliebiger Punkt Q auf dem zweiten Kreise habe die Abszisse x und die Ordinate y. Dann ist die Gleichung dieses zweiten Kreises, wie sich aus dem Dreieck

(x — a cos<p)²+ (y — a sin <p)² = A P² = a²cp².

Die Differentiation nach dem Parameter cp läßt die Gleichung

2 asm cp (x — a cos cp) — 2 a cos cp (y — a sin cp) = 2 a² cp entstehen, hieraus wird 2ax sin cp — 2 a² sin cp cos — 2 a z/ cos 9? + 2 a² sin gp cos g? = 2 a² cp, oder vereinfacht xsmq) — y cos y = acp.

Den so erhaltenen wert von acp setzen wir in (1) ein

x* — 2ax cos cp + a² cos² cp + y² — 2ay sin cp + a² sin² cp ---x² sin² cp + y² cos² cp — 2xy sin cp cos cp; x² (1 — sin² cp) + y² (1 — cos² cp)+ 2xy sin cp cos cp +

+ a² (sin²cp + cos² cp) — 2ax cos cp — 2ay sin cp = 0.

Wegen der Beziehung sin² cp + cos² cp = 1 geht dieser Ausdruck über in x² cos² cp + y² sin² cp + a² + 2xysmcp cos cp — 2ax cos cp —

— 2ays\ncp — 0 [x cos cp + ysinq> — a]² = 0.

Die Gleichungen (1) und (2) können also ersetzt werden durch x sin cp — y cos cp = acp | sin cp \ — cos cp

5ig.4.

PQR ergibt

(1)

(2)

(3)

8-

.9

cos cp

x cos + # sin <p = a | cos cp Multipliziert man sie mit den angeschriebenen Faktoren und addiert sie, so erhält man endlich

(4)

sin cp

IO V£>

( )    x — a cos (p + acp sin cp

()    y— asm cp — acp cos cp.

Die Enveloppe ist eine Ureisevolvente (D.S. 56).

Beispiel 5. 3n der Gleichung der gedämpften Schwingungen y = ae~~bx sin cx soll sin cx durch sin (cx + ck) ersetzt werden, welche Enveloppe hat die Uurvenschar, die durch Variation des Parameters k entsteht?

Durch Differentiation der Gleichung y= ae~ ⁶*sin (cx + ck) nach k folgt 0 = ace~bx cos (cx + ck). Dies ist nur möglich, wenn cos (cx + ck) verschwindet. Dann ist aber sin (cx 4- ck) = 4-1 oder — 1, und durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung resultiert als Gleichung der Enveloppe y—± ae~bx.

Die Zeichnung lehrt, daß die Variation von L eine Phasenverschiebung bedeutet, während das Dämpfungsgesetz ungeändert bleibt. Die Enveloppe spricht dies Gesetz aus.

Die Uurven einer Schar entstammen alle derselben Gleichung f(x, y, c) = 0, sie verhalten sich wie die Glieder einer Familie. Das, was die einzelnen Individuen unterscheidet, ist die Größe c, die für jedes einen bestimmten, von den andern verschiedenen wert hat. Es fragt sich, ob andrerseits auch eine gewisse Familienähnlichkeit vorhanden ist, ein gemeinsamer Zug, der die Einzelwesen der Uurvenschar als gleichartig und von den Mitgliedern einer andern Schar wesentlich verschieden erkennen läßt. Man könnte an die Enveloppe denken, indessen charakterisiert diese doch immer nur einen Punkt jeder Uurve als merkwürdig, nämlich den Schnittpunkt mit der Nachbarkurve.

Erinnern wir uns, daß durch Integration einer völlig eindeutig definierten Funktion, z. B. f= x³, eine Funktion mit einem Parameter, der Integrationskonstante, entsteht (hier Jfdx = ^x4: + c)l Dann ist es klar, daß dieDifferentiation diese Vieldeutigkeit wieder rückgängig machen wird. Aus y = ~x⁴ + c folgt denn aud), daß — x3 ist, und das kennzeichnet jedes Individuum der Uurvenschar y= \x*+c.

Beispiel 6. Die Gleichung einer Parabel ist y — durch Differentiation ergibt sich ff =    • Man kann a eliminieren, indem man

13 den so erhaltenen Wert in die zweite Gleichung einsetzt. (Es ergibt sich

dy__2g dx x

Man erhält eine Differentialgleichung, da außer x und U noch der Differentialquotient auftritt. Sie sagt aus, daß für jeden Punkt

jeder Kurve der Schar, die durch Variation des Parameters a entsteht, die Tangente gefunden wird, indem man von diesem Punkt auf die yAd)fe das Lot fällt, die entstehende Ordinate um sich selbst (über den Scheitelpunkt hinaus) verlängert und den so erhaltenen Endpunkt mit dem Kurvenpunkt verbindet (D. S. 17). Der gemeinsame Zug der Kurvenindividuen ist somit gefunden.

Ist allgemein die Kurvenschar gegeben, welche das anschauliche Bild der Gleichung cp (x, y, c) = 0 ist, so hat man (D. S. 25)

|^ +11 — 0. Auch in der zweiten Gleichung kommt im allgemeinen der Parameter c vor; eliminiert man ihn aus den beiden Gleichungen, so erhält man die Differentialgleichung, welche für die vorgelegte Kurvenschar charakteristisch ist.

Aufgaben.

tz.wielautetdieDifferentialgleichungderKurvenschar^U—a²=0?

7.    Klan beantworte dieselbe §rage für y=(Dgj Aufgabe 3).

x    m

8.    Dgl. für y = x + ace a; a fei eine Konstante, c der Parameter.

9.    In Aufgabe 7 soll m als Parameter, a als Konstante aufgeführt werden.

10.    In Aufgabe 8 soll a als Parameter, c als Konstante aufgeführt werden.

wir beschäftigten uns bisher damit, von der Gleichung einer Kurvenschar (f(x, y, c) — 0) ausgehend, die sie charakterisierende Differentialgleichung zu finden. Kehren wir das Problem um, so steht die Aufgabe unserer weiteren Untersuchungen vor uns. wir wollen später aber eine Beschränkung fallen lassen, die wir uns bisher auferlegten, indem wir auch Gleichungen behandeln, die nicht nur den ersten Differentialquotienten y\ sondern den zweiten, y", enthalten. Natürlich lassen sich auch Differentialgleichungen studieren, in denen y'", yiV uff. vorkommt, doch ist das praktische Interesse für sie nicht sehr groß.

Die geometrische Bedeutung ist klar: fordern wir von der Tangente einer noch unbekannten Kurve gewisse Eigenschaften, so können

wir diese Forderung durch eine Gleichung f{x,y,^j ausdrücken. Soll

sich unserm willen fügen,

aber der Krümmungsradius p—

so tritt in der betreffenden Gleichung auch der zweite Differentialquotient auf.

In der Mechanik besteht zwischen der Geschwindigkeit v, dem

(l/l + (ö'),)s

V"

ds

Wege s und der Zeit t die Beziehung v —    (3.S. 13).

Erfüllt die Geschwindigkeit ein gegebenes Gesetz, so liefert diese Formel eine Differentialgleichung, aus der die Abhängigkeit des Weges s von der Zeit t ermittelt werden kann.

In den meisten Fällen kennt man bei derartigen Aufgaben aber nichtdieGeschwindigkeit, sondern die Kraft. Unter derBeschleu-nigung b versteht man den Zuwachs, welchen die Geschwindigkeit in

der Sekunde erfährt, es ist also 6 = ^ = ^*

Nach den Lehren der Mechanik ist die Kraft P (bei passend gewählten Einheiten) gleich dem Produkt aus der Klaffem und der Beschleunigung b

d⁸s

P = mb = m1?-

Ist die Kraft, etwa als Funktion von s, gegeben, so erhält man für seine Differentialgleichung zweiter Ordnung,- in einer Differentialgleichung nter Ordnung tritt der nte Differentialquotient der gesuchten Funktion aus, aber kein höherer. Ihre allgemeine Form ist

F (x, y, y\ y" ■■■ y(n)) = O; wobei y' = ^; y" = A ist usw.

Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn y, y\ y" nur in der ersten Potenz auftreten; in diesem Fall ist

yW+X₁y(n-P + X₂y(n~»+■■■+Xny + X=0.

Die Größen Xv X₂ • • • Xn, X find beliebige Funktionen von x. Ist X= 0, so spricht man von einer verkürzten linearen Gleichung, wir beschäftigen uns zunächst mit den Differentialgleichungen erster Ordnung. Tritt bei ihnen die Größe y' höchstens inderntenpotenz auf, so sagt man, sie seien vom nten Grade; es ist dann

(y')n + A (y')""¹ + B (y')—² + • • ■■ + Ky' + L = 0.

A, B ■ • ■ K, L bedeuten hier Funktionen von x und y. (Eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades hat also die Form y' + A ix y) = 0; sie braucht nicht linear zu sein, da hier über die Funktion A keine einschränkenden Voraussetzungen gemacht worden sind; soll die Gleichung noch linear sein, so mutz A die Form L--y Xi-l-X haben.

Xi und X dürfen nur x als variable enthalten.

Aufgaben.

11.    wirkt eine (int allgemeinen veränderliche) Kraft P auf einen Körper während einer sehr kurzen Zeitspanne dt, so nennt man das Produkt Pdt den Antrieb. Bei einer endlichen Zeit verstehen wir unter dem Antrieb die Summe der Elementarantriebe. Sie soll mit Benutzung der Formeln auf S. 14 berechnet werden.

CdsD 5ig. 5.

12.    Ein Punkt bewegt sich unter dem ,

Einflutz einer Kraft P (die veränderlich 4 sein kann) von A nach B (Fig. 5). Dann versteht man unter der Arbeit, welche diese Kraft auf dem Weg-element CD — ds leistet, das Produkt P ■ ds, und unter der Gesamtarbeit längs des Weges AB die Summe aller dieser Elementararbeiten. Diese Summe soll nach den Formeln auf S. 14 berechnet werden.

13.    Zu welcher Art von Differentialgleichungen gehört ^ = —x?

. dx m

14. DgI.-)/TTW=Jr 15. Dgl. --- 16. Dgl

II. Differentialgleichungen erster Ordnung: Unmittelbare Integration. Trennung der variabeln. Substitutionen, homogene Differentialgleichungen.

X. Differentialgleichungen von der Zorn, y'=f(x). Bezeichnungen.

Eine Differentialgleichung erster Ordnung von zwei veränderlichen x und y darf außer x, y und Konstanten nur den Differentialquotienten || enthalten. Der einfachste Fall ist offenbar ^ = a, wo-16 II. Differentialgleichungen erster Ordnung: Unmittelbare Integration usw.

bei a eine Konstante ist. hieraus folgt unmittelbar durch Integration y = ax + c, die Gleichung einer Schar von Geraden, welche alle mit der positiven Xflcfjfe denselben Winkel a bilden (tg a — a), aber auf der ^Achse alle möglichen Abschnitte c erzeugen (vgl. v. S. 16). Die Parallelenschar, welche so entsteht, hat die Eigenschaft, daß jedes ihrer Individuen gleich gerichtet ist, was die Differentialgleichung fordert.

Ist ~ =f(x), so erhält man, wieder durch Integration, y =sf(x) dx

+ c = F(x) + c, wenn F(x) einen Ausdruck bedeutet, der aus der gegebenen Funktion f(x) durch Integration, ohne Berücksichtigung der Integrationskonstante, entsteht. Auch hier liegt ein System von parallelkurven vor, denn stellt man y = F(x) graphisch dar, so erhält man eine bestimmte Kurve, aus der eine zweite der Schar entsteht, wenn man jede Ordinate um denselben Betrag c (z. B. c = 4) vergrößert. Aus der Zeichnung ergibt sich die Richtigkeit unserer Behauptung von selbst; da das Steigungsmaß der Tangente, nur

von der Abszisse x, nicht von der Ordinate y abhängen soll, wie es die Differentialgleichung fordert, so ist das Ergebnis auch unmittelbar einleuchtend. .

Ist z. B. ~ = 3 *, so erhält man y = 1,5 *² + c, eine Schar paralleler Parabeln, bei denen die Ordinatenachse die Symmetrielinie ist. Klan nennt den Ausdruck A — 1,5 x² + c die vollständige Lösung der vorgelegten Gleichung. (Erteilt man c einen speziellen wert, etwa c— 0, so entsteht eine partikuläre Lösung (y = 1,5 xs); man nennt y— 1,5 jc² — c = 0 die vollständige Integralgleichung iy —1,5 x² — 0 ist eine partikuläre Integralgleichung), ferner heißt y—1,5 je²—cöas Integral öer gegebenen Differentialgleichung. Im allgemeinen werden die Verhältnisse nicht so einfach liegen; wir

werden aus der gegebenen Differentialgleichung f(x, y, ^ — 0

die vollständige Lösung y = fx (x, c) erhalten müssen, aus der wir durch Spezialisierung der Größec beliebig viele partikuläre Lösungen hervorgehen lassen können, oder wir werden die vollständige Integralgleichung f₃(x,y,c) = 0 oder das Integral f₃(x,y) = c aufsuchen; sobald eine der Funktionen fvfv f₃ vorliegt, kann man meist ohne große Schwierigkeit die andere durch algebraische Umformungen gewinnen.

Differentialgleichungen von der Form #' = /(*)

17

Die überwiegende Bedeutung der Integralrechnung bei her Behandlung der Differentialgleichungen geht schon aus den VenennungeVchÄ-vor. Sachlich ist sie dadurch begründet, daß wir einen Disferentialquo-Kg^ „! J tienten beseitigen sollen, was natürlich nur durch JntegllMechpung-rnög' lich ist. Selbstverständlich tritt bei jeder Integration em«^rrt|grations* konstante auf; wir erhalten nicht ein Kurvenindividuum^f^MsK, Kurvenschar, oder, algebraisch gesprochen, eine Funktion Parameter.

Beispiel 7. (Ein Stab AB von der Länge l cm, dem Querschnitt q qcm und der Dichte <r zieht einen äußeren Punkt P, der auf seiner Achse liegt und von seinem einen Ende a cm weit entfernt ist, an.

Es soll die Größe dieser Attraktionskraft ermittelt werden, wenn die Masse des äußeren Punktes m Gramm beträgt (Fig. 6). Das Stab- p dement, welches von A die Ent- ? fernung x cm hat, besitzt die sehr , geringe Länge dx cm. Sein Volumen ist qdx ccm, seine Masse aqdx Gramm Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz zieht dies Element die Masse P mit der kleinen Kraft

dK— — ™a^xyX- Dynen an. hierbei ist f= 6,65 IO⁻⁸ eine Naturkonstante.

fluS ddx-(am+xr^tK=C-unserer Differentialgleichung. Es ist die Kraft, welche die Gesamtheit der Teilchen von AHsdx aus P ausüben. Um hieraus diejenige partikuläre Lösung zu erhalten, welche unserem konkreten Fall entspricht, beachten wir, daß die Kraft gleich Null wird, wenn der Stab überhaupt keine Länge hat (jc = 0). Es ist also 0 — c —    K —

Ist z B. der Stab unendlich lang, so behält doch seine Gesamtanziehung den endlichen Wert    Für einen Eisendraht (<s --- 7,5) von 10nt %

Länge und 1 qmm Huerschnitt ist die Anziehung auf eine Kugd von 1 Gramm Masse, welche 5 cm vor seinem AnschigLPUyk^chäflgt,.

K= 6,65 • 10-⁸ • I • 7,5 • 0,01 (| -    ~ I • 10%l^ne, tifsdroa ^ U

fmaq

a-\-x

$ig. 6.

a-\-x

dx

als vollständige Lösung

x ist aber gleich l, also roirb K^fmcq^

der tausendmillionste Teil eines Milligramms, wäre der Draht unendlich lang, so wäre seine Anziehungskraft nur um % % größer.

Bet Laboratoriumsversuchen ist man auf Körper angewiesen, welche keine übermäßig großen Abmessungen besitzen; die Kräfte, welche die allgemeine Massenanziehung zwischen ihnen erzeugt, sind so minimal, daß die Bestimmung der Konstante f mit großen Schwierigkeiten verbunden ist. Die Gravitationskraft der Erde nennen wir Schwere; die komplizierten Bewegungen der Himmelskörper folgen allein aus ihrer gegenseitigen Anziehung und aus dem Trägheitsgesetz.

Ausgaben.

Manbildedievollständige Losung, dievollständigeIntegralgleichung und das vollständige Integral der folgenden Differentialgleichungen.

17. ^ = asinx. 18. g')/<z² +x²= a. 19. lny'=

20.    Bei welcher Kurve ist die Steigung (tg «) der Abszisse proportional?

21.    Bei welcher Kurve ist sie der Abszisse umgekehrt proportional?

22.    wann ist sie der n ten Potenz der Abszisse proportional? (n sei von — 1 verschieden)

23.    Für welche Kurve ist die Länge der Tangente, gerechnet vom Berührungspunkt bis zur Abszissenachse, dem Produkt aus der Abszisse und der Ordinate proportional?

24.    Für welche Kurve ist die Länge der Subtangente (Projektion der Tangente auf die Abszissenachse), dem Produkt aus der Abszisse und der Ordinate proportional?

B. Trennung der variabeln.

Beispiel 8. wenn ein Körper im luftleeren Raum fällt, so unterliegt er allein der Anziehungskraft der Erde, welche ihm die Beschleunigung g — 9,81 m/sec² erteilt; bezeichnet man mit v die Geschwindigkeit, so ist ™ — g. Der Luftwiderstand bewirkt eine Verzögerung, welche man dem Ouadrat der Geschwindigkeit proportional setzen kann, ihre

v“

Größe ist Nach der „Hütte" ist A.⁸

Gewicht des Körpers in kg, y —1,293 das Gewicht (in kg) eines Kubikmeters Luft, F die senkrecht zur Bewegungsrichtung genommene größte Ouerschnittsfläche des Körpers in qm, f eine Zahl, welche die

ipyF

²⁰ • Hierin bedeutet G das

Trennung der Darmbein

Gestalt des Körpers berücksichtigt; sie ist für Kugeln gleich 0,5. wenn die Kugel aus einem Stoff vom spezifischen Gewicht s (kg/cdm) besteht, so findet man im obigen Maßsystem A² = (2 • fr³7t • 1000 s)

16000 rs

4125 rs, also ist für Gußeisen (s — 7,25) der

:(jfjyr² 7t) =

(1)

wert üotvA² = 29910r~ 30000r. Dann hat man dv    v²

Stände Iinfs — , so wäre die Differentialgleichung nach dem vorigen Verfahren integrabel. hier führt dieTrennungdervariabeln zum Ziel. (Es ist nämlich dv = (g— p) dt;

(2)

dt

dv

v'

⁹~V

Jetzt steht auf jeder Seite nur eine veränderliche; man kann also unmittelbar integrieren und erhält, wenn mit t₀ eine Integrationskonstante bezeichnet wird

t~U

(3)

k² ist dabei für gl² gesetzt; in unserem Beispiel ist k²= 293400 r.

f-t₀ = £artEg^flr<E₉£=f (f-U (5) v = k Tg    - Ist die 6nfangsgeschwindigkeit gleich Null, so ist

, k r, TT v k , k + V

gt _gt_

k—~e

ß Bl

(4)

(4 a)

(5 a)

v = k^k

91 —

— Bl ek + e k

Ist k sehr groß, so ist die Verzögerung91L sehr klein. In diesem

, also v = gt;

Fall wird in (4 a) t = ~ ln

man kommt auf eine Formel zurück, die für den freien Fall im luftleeren Raum gilt.

wird k = v, so wird nach (4 a) t= oo; d. h. im Laufe der Seit nähert sich die Geschwindigkeit v immer mehr dem konstanten wert ft, ohne ihn jemals zu erreichen oder zu überschreiten, die Bewegung wird also schließlich gleichförmig.

— dJ^ ist, so hat man h = k J'lg    dt — ln Cos + c,

(Es fei h der durchfallene weg.

Da v

wie man durch Differentiation leicht bestätigt. Soll h für t = 0 verschwinden , so muß c — 0 sein.

Aufgaben.

25.    welches ist die größte Geschwindigkeit, die ein wassertropfen von 1 mm Radius beim freien Fall im Luftraum erreichen kann?

26.    Ulan stelle das Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm für die vorige Rufgabe her und vergleiche es mit dem der ungehemmten Bewegung (v — g t).

27.    Die für v und h gewonnenen Rusdrücke sollen bis auf die sechsten Potenzen von t in Reihen entwickelt werden.

28.    Eine Lisenkugel vom Radius 2 cm läßt man aus einer höhe von 1200 m fallen. 3n welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit erreicht sie die Erde? Der Luftwiderstand werde einmal vernachlässigt, einmal berücksichtigt (s = 7,5).

29.    Line holzkugel (s — 0,9) vom Radius r = 3 cm fällt aus einer höhe von 100 in. Wie groß ist die Fallzeit und die Endgeschwindigkeit?

30.    Rlan löse die Rufgabe 29 für h— 20 m (vierstöckiges Haus).

31.    INan integriere die Differentialgleichungen des freien Falles

ohne Luftwiderstand ^7 = ff! ^7 ⁼ 0 und weise nach, daß die Lösungen

aus den früheren Formeln hervorgehen, wenn man k — oo setzt.

Das Verfahren der Trennungdervariabeln ist in feinen Grundzügen durch Beispiel 8 klargelegt. Ist die Differentialgleichung erster

Ordnung f (x, g, — 0 gegeben, so versucht man (was durchaus

nicht immer gelingt) sie auf die Form y (x) dx — y (y) dg 3U bringen. Man kann dann links und rechts integrieren und erhält <Z> (x) = *F(y) + c, wobei ®(x) =f <p (x) dx unb W(y) = ff (y) dg ohne Berücksichtigung

der Sntegrationskonstanten ist. Man könnte auf den Gedanken kommen, links und rechts die Sntegrationskonstanten hinzuzufügen, also zu

schreiben aber dann wäre

<Z> (x) = W (y) + c₂ — c1( und wenn man cs - q = c setzt, so kommt man auf den vorigen Ausdruck zurück; wir haben also nur eine Jntegrationskonstante.

Ausgaben.

H ICCS

32.

y* qq dV₌_blX.

a*y ⁰⁰‘ dx a*y

34.    Man löse die Differentialgleichungen in Aufgabe 14 und 16.

35.    Eine Kugel wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀ senkrecht in die höhe geschleudert. Der Luftwiderstand ist dem (Quabrat der Geschwindigkeit proportional. Wie groß ist die in t Sekunden erreichte höhe h und welche Geschwindigkeit besitzt der Körper dann? Zahlenbeispiel: v₀ — 600 m/sec, k — 10 sec, k² = 5868 (vgl. Aufgabe 28).

36.    wann erreicht die Kugel unter den Bedingungen der vorigen Aufgabe ihre größte höhe? Wie weit ent, ernt sie sich von der Erdoberfläche?

37.    Die Kugel wird in die soeben berechnete höhe gebracht. Man läßt sie ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen. Wann erreicht sie

ZZ q Zz die spezifische wärme c. Seine Anfangstempe-y/'/ zzz ratur fei ■9’₁, feine Endtemperatur &₀. Die t ////// .. Änderungsgeschwindigkeit des momentanen

die Erde? Wie groß ist ihre Endgeschwindigkeit?

38. Ein Körper von der Masse m kg habe

| l Wärmeinhaltes IVfei proportional der Diffe-\ renz zwischen der augenblicklichen Tempe-\ ratur & und der Endtemperatur. (Es soll das x \ Lrkaltungsgesetz gefunden werden.

\    39. Der nebenstehend ($ig. 7) skizzierte

\ Rotationskörper soll so konstruiert werden,

Ci

! i \ daß für jeden der Grundfläche parallelen \ (Querschnitt der Druck P (hervorgerufen \ durch die konstante Last/) und das (Eigen« \ gewicht des oberen Teiles) eine konstante \ Größe hat. Beispiel: Q = 400kg, P = \    0,45 kg/qcm, spezifisches Gewicht des

!_\p Körpers y --- 7,8.

C. Substitutionen.

Ebenso wie man Integrale durch Substitutionen, durch Einführung passend gewählter neuer Variabein, oft bedeutend vereinfachen kann, so auch Differentialgleichungen. Allgemeine Regeln über die Wahl der neuen veränderlichen lassen sich hier so wenig wie dort aufstellen.

Beispiels. gy' = a-^-

17*

Wirfetzen^-t, a!foz/²= tx. Durch Differentiation folgt 2 r/r/— t4- xt\

also~t + ^xtr = a — t; \ x^xz=a~\^ xdt~(2a — Zt) dx-Trennt man die variabeln, so entsteht

dt

dx

2a — 3t

und hieraus ln x — ln x₀ = — ln (2 a — 31), wenn — ln x₀ die Iln-tegrationskonstante ist.

xos

2a —3t

2a-³-^'

xo j/2a-3t' x³(2a-~-S) = x₀³-, 2ax³ — ‘5x²ys = x₀³. hieraus folgt

y = ±

Man zeichne für einen gegebenen wert von a (z. B. 1,5) die Rurvenschar. Beispiel 10. yy' = wenn f eine gegebene Funktion ist. Dieselbe Substitution wie int vorigen Beispiel liefert \t + \xt'=f(t)

dt

dx

dt

; ln

®=s.

dt

x 2f(t) — t

Da f eine bekannte Funktion ist, so ist das Integral der rechten Seite

im allgemeinen ausführbar, esfeiF(f). Setzt man jetzt wieder t— —, so erhält man die gesuchte Beziehung zwischen x und y.

verspiel ii. % + !L₌l±gBl.

(Es fei xy = t, also | =    y = ~;    =    resultiert

2/(0 -i

dt

dx

t_.L4.1 = 1 _i_ *■.

/nO=arctgZ: *=tg/n©; y== tg/n ©•

Man zeichne einige Kurven der Schar.

Beispiel 12. gf + f = <*>(*)/■(*•»).

Bei derselben Substitution erhält man

~ -^i + ^t = <p(x)-f(t);    = x<p(x)dx.

sm⁼⁼sxvMdx+a

Beispiel 13. X + yy' — sin ^ • /x² + y².

Man setze x² + y² = r², dann wird 2x + 2yy' — 2rr', also . x dr

rsmä> di = sm _

r = r₀ — a cos    y = ]/(r₀ — acos^)² —x².

Ausgaben.

" ff' = |äx!» + f; konstant.

•    43. y' =

rrf =

©>

1+**

42.#

44.    y'=y² f(x ■ y); f sei eine gegebene Funktion.

45.    y' = (3x+4y)².    46. y' = f(ax + by).

47. x + yy' = /"(x) <p("|/x² + y²).

1 y⁶-xs

2x*y y —x

1    y⁶—-a⁸x³

2ax²y y² —ax

homogene Differentialgleichungen.

Läßt sich eine Differentialgleichung erster Ordnung auf die Form ™ = f bringen, so heißt sie h o m o g e n. 3n diesem Falle setzt man

bann isty==xt; y'=t + xf'; t+xt'=f(t)-, =    *

also yr^rt= hieraus folgt lnx-lnx₀ =    f(|^r

Beispiel 14. (Eine Kurve ist durch folgende Tangentenkonstruktion charakterisiert. Man verbindet einen Kurvenpunkt P mit dem Einfangs-

Punkt 0, errichtet auf OP in P die Senkrechte, welche die Abszissenachse in R schneidet und trägt ihre Projektion QR von 0 aus auf der Abszissenachse bis S ab. Dann ist —    SP die Kurventangente. Welche Gleichung hat

10

<9

die Kurve? (Zig. 8.)

X. , Aus dem rechtwinkligen Dreieck \ ,T OPR folgt, daß der kjöhenabschnitt

Fig. 8.

) / SK-^ ist. es ist also SQ=x-f*;

Pa

y'={ga =

PQ__ v

1-

(f)’

Wir haben es mit einer homogenen Differentialgleichung zu tun;

; ln:t — ln x₀ =

1 x²

2p — ln t; ln x — ln x₀ = — 2

2 8    4 Q 6

J dt ₌J\l -t¹) dt

rr*“*    ,

— ln y + ln x; — 2ln also ist die gesuchte Gleichung x=±y}/2 Inh

alt

l-t*

Ausgaben.

48. Wie lautet die Gleichung der Kurve, bei der das Stück QR (Beispiel 14) dem Abschnitt gleichkommt, den die Tangente auf der Grdinatenachse erzeugt?

49.

x dy — y dx = * tg dx.

Beispiel 15. Tine Rotationsfläche soll so berechnet werden, daß jeder Lichtstrahl, welcher ihrer Achse parallel ist, nach der Spiegelung an der polierten Fläche durch denselben Punkt der Achse geht.

Legt man eine Ebene durch die Achse, so wird die Rotationsfläche in einer Kurve geschnitten, durch deren Drehung die Fläche entsteht. <Es genügt also, diese Linie zu untersuchen. Wir nehmen den charakte» ristischen Punkt der Achse als Anfangspunkt 0 des Koordinatensystems, jene als Grdinatenachse an. Die gesuchte Kurvengleichung sei y — f{x). (Zig. 9.) SP sei ein achsenparalleler Lichtstrahl, P der Punkt, in welchem er die Kuroe erreicht. N TPR fei die Tangente, PN die Normale; T undtVmögen aus den Achsen liegen. Der Tin- K fallswinkel SPN=a mu jj nach den Spiegelgesetzen gleich dem Ausfallswinkel NPO — <*, fein. Ferner ist SPR = ß=90° — u = TP Q (Scheitelwinkel), und da das Dreieck PTQ rechtwinklig ist, so ist auch •$C 7= 90° — ß = cc. Die Größe dieses Winkels wird aber bestimmt durch die Be« o Ziehung 1§ « — Man hat also in dem A

5ig.9.

eben genannten Dreieck PQ=y, TQ=A;

PT

(Ein ähnliches rechtwinkliges Dreieck erhält man, wenn man in dem gleichschenkligen DukdNOP (es ist N= NPS) die Symmetrie-linie OV zieht; daher gilt die Proportion

VP:OP=TQ:PT, oder die Gleichung VP ■ PT= OP ■ TQ.

Zieht man durch P die parallele PK zur Abszissenachse, so sieht man, daß PK = x, NK=^, jVP = ]/x² + (p-)² = ^/l + (-,')' ist, also wird unsere Gleichung

2y-,    +(y')² * ~t yT+lz/T = Vx² + y² ■ oder vereinfacht

^[i + (y,n = Yxf+7²

(y')ä

’2y'Vx^+tp

wir behandeln aus praktischen Gründen hier nur den Fall des post-tiven Vorzeichens. Die Gleichung ist homogen,- wir setzen ^ = t und

f(0=yY+e + t.

Dann wird nach S. 23

k-smw+iT'i⁼svm-~,n(l+y'+|S)

£_(,+J^n9_g₊yI+g)

^ = y + Yx* + y*''Yx²+yi=^—ylx²+y³=^-i-²^J[+y²l also"**-£ + ²-0 = 0; f (y +|-g) = 0. °°Man W ent

x* x0 »⁼2

weder das bedeutungslose Ergebnis ^- = 0; x = 0 (Grdinatenachfe)

0te„ + S_^_0;

Würde auf der rechten Seite nur das erste Glied stehen, so hätten wir die Normalform einer Parabelgleichung (v. S. 17) mit dem Parameter 2x₀; der zweite Term bewirkt eine Verminderung aller Ordinalen um

y, also eine Verschiebung um den vierten Teil des Parameters, die

Brennweite, nach „unten". Die gesuchte Fläche ist daher ein Rotations-paraboloid.

III. Differentialgleichungen erster Ordnung: Lineare Differentialgleichungen. Totale Differentialausdrücke. Eulerscher Multiplikator. Differentialgleichungen höheren Grades. Singuläre Lösungen.

D. Lineare Differentialgleichungen.

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung muß (ogLS. 5.) die Form haben y' + yXt + X— 0, worin Xt und X Funktionen bedeuten, die (außer eventuellen Konstanten) nur die variable x enthalten.

l. verkürzte lineare Differentialgleichungen. Ist die Funktion x gleich Null, so spricht man von einer verkürzten linearen Differentialgleichung; unsere Formel reduziert sich dann aus ~ + y ^ = 0.

calschale*

verkürzte lineare Differentialgleichungen Die Trennung der Variabein liefert , y = — Xldx-, hieraus folgt lny-lnc=-sx₁dx = ce~SXldx; c ist eine willkürliche Konstante.

Beispiel 16. Eine Kurve ist dadurch charakterisiert, daß man für jeden Punkt die Tangente erhält, wenn man die zugehörige Abszisse verdoppelt und den Endpunkt mit dem Kurvenpunkt verbindet, wie o lautet die Gleichung der Kurve?

Aus Zig. 10 folgt, daß tg(180°— a)= ist, also tg « ——

demnach lautet die Differentialgleichung des Problems ü' = - | oder g' + | = 0.

hier ist = —sX₁dx= — lnx = ln ; g =

Klan erhält eine Schar van gleichseitigen Hyperbeln (D. S. 47). Man behandle die Gleichung zur Übung auch als homogene.

Aufgaben.

50.    Man teilt die Abszisse eines Kurvenpunktes in n gleiche Teile und verbindet den Kurvenpunkt mit dem nächsten Teilpunkt. Wie lautet die Kurvengleichung, wenn die Verbindungslinie eine Tangente sein soll?

51.    g' — (x sin x — cos x) g.

52.    Gegeben ist ein Achsenkreuz und ein fester Punkt mit den Koordinaten x = a, g = 0. Zieht man durch ihn eine parallele zu einer beliebigen Kurventangente, so ist das Dreieck, welches die Achsen mit ihr bilden, flächengleich dem Rechteck aus den Koordinaten des Kurvenpunktes. wie lautet die Gleichung der Kurve?

2. vollständige lineare Differentialgleichungen. Die Lösung der verkürzten linearen Differentialgleichung erster (Drbnung y'+yXt — 0 hat die Form y~cF(X), worin F(X) = e~\Xidx ist.

Die Lösung der vollständigen linearen Differentialgleichung y' + yX₁-j-X — 0 sei g = 5><*), wofür wir auch schreiben können

y — — - F(*) — CF(x). Diese Änderung der Schreibweise ist bei jeder

S:V

y\ I80°^~a

*X

X las

„(i)

ce x*', z/= •

C = — j^ + K. K ist die Jntegrationskonstante. Die Lösung der voll-

-£+*

Funktion 0 möglich; man erreicht, daß die Lösung der vollständigen Gleichung der der verkürzten formal angegliedert wird, nur tritt hier an Stelle der Konstanten c die Funktion C auf. Ist sie bestimmt, so kennt man auch die gesuchte Lösung <Z>, wenn man vorher die Lösung der verkürzten Gleichung, F, gefunden hatte.

Beispiel 17. y' + ^ 4- j = 0; a sei eine gegebene Konstante. Die verkürzte Gleichung heißt g' 4-    = 0, ihre Lösung ist y=~v

Die Lösung der vollständigen Gleichung setzen wir in der Form

r    ~ ■ x*-2xC

-tan. (Es ist dann ä|=    -

man die Werte für y und y' ein, so entsteht aus der gegebenen Gleichung 1 dC_ 2C . 2 C , x x² dx x⁸ ‘ x x* ‘ a    '

- 1 dC 2C. Sefet ~x'd~x X» 5e8t

1 dC____,

x² dx~~    af

de

X⁸

dx a '

x⁴

ständigen Gleichung lautet also g =

Nach diesem Beispiel können wir unser Problem leicht allgemein behandeln. (Es war y' +yX₁ + X = 0; F war die Lösung der verkürzten Gleichung, d. h. F' + F ■ Xt = 0, und y war — CF gefetzt. Ls ist dann y' = C'F+CF', also C'F + CF' + CF-X₁ + X = 0; C' F+C(F' + F- Xt) + X = 0. Da der Klammerinhalt verschwindet, so ist C'F + X = 0, also C=- f-dx + K; y = CF.

Man nennt dies von Lagrange herrührende Verfahren die Variation der Konstanten. Seine großartigste Anwendung findet es in der Mechanik des Himmels. Unter dem alleinigen Einflüsse der Sonnenanziehung würde ein planet eine Ellipse beschreiben, deren Gestalt, Lage und Größe für alle Zeiten gleichbliebe; sie ließe sich durch fünf konstante Größen, die Bahnelemente, eindeutig festlegen, wegen der Anziehungen der andern Planeten komplizieren sich aber die Differentialgleichungen derBewegung ähnlich wie in unserem Falle; man nimmt dann die Bahnelemente als variabel an und bestimmt ihre Differentialgleichungen. Man verbiegt also die ursprüngliche Ellipse von Zeitmoment zu Zeitmoment so, daß sie jedesmal eine Ellipse bleibt und sich der wirklichen, sehr komplizierten Bahn ctufs beste anpaßt.

Aufgaben.

5© X

53. y'+ =sinx. 54. g' + 2ff=e3x. 55.    +    0.

Beispiel 18. Eine radioaktive Substanz, welche zur Zeit t—0 aus TV₀ Atomen bestand, zerfällt im Laufe der Zeit in einen andern Stoff. Nach t Sekunden sind nur noch N=N₍₎e~> t Atome von der ursprünglichen Beschaffenheit vorhanden (3. S. 59). X ist dabei die für das Präparat charakterische Zersallskonstante. 3n der Zeiteinheit (1 sec)

dN

wächst TV um = — N₀Xe~** — — XN Atome; die ursprüngliche

Masse A verliert X N Atome, die neue Beschaffenheit (B) annehmen. Es kann nun vorkommen, daß der neue Stoff sich in einen dritten (0 umwandelt (Es soll das Umwandlungsgesetz angegeben werden, wenn die Zerfallskonstante des zweiten Stoffes Xt ist und zur Zeit t — 0 schon M₀ Atome von B vorhanden waren.

Wäre die Substanz B stabil, so würden zur Zeit t vom ersten Stoffe X N Atome in jeder Sekunde hinzukommen. Unsere Voraussetzung trifft aber nicht zu; der Stoff L verliert in jeder Sekunde durch eigenen Zerfall Xx M Atome, wenn M die Anzahl Atome bedeutet, die er zur Zeit t besitzt. Daher ist

^—XN—Xj M=XN₀e~li — X₁M; ^ + XtM-XN₀e~xt= 0.

Wir haben eine lineare unverkürzte Differentialgleichung mit den variabeln M und t, den Konstanten X, Xv N₀ (und e) vor uns. *i=*i? X = -XN₀e~xt; x=t, y =    M=Ce~^;

c=-J-XN'e~xt

dt + K;

C=XN₀dt + K=

M=^le~u + Ke-^t.

Zur Bestimmung der Größe Tt beachten wir, daß zur Zeit t=0 vom zweiten Stoffe M₀ Atome vorhanden waren; da für t= 0 sowohl e~lt

+ K- Setzt man diesen

wert von K in den Ausdruck für M ein, so ergibt sich

¹ xx-x

,—zlt

Xx-l

wie e~*it gleich I werden, so ist M₀

(e~Xi — e~Xlt) +M₀e~llt.

Ausgaben.

56.    Wieviel Atome Radiumemanation (1, = 2,085 - 10~⁶) entstehen im Laufe eines Tages aus 1000 000 Atomen Radium (A = 1,26 - 10—!1)r wenn anfangs nur Radium vorhanden war?

57.    Wieviel Atome Radiumemanation sind nach einem Tage vorhanden, wenn anfangs 500000 Atome Radium und 500000 Atome Emanation nebeneinander bestanden?

58.    Wieviel Atome Radiumemanation sind nach einem Tage vorhanden, wenn man anfangs 1000 000 Atome Emanation und kein Atom Radium hatte?

59.    Wieviel (Emanation besteht in den drei vorher behandelten Fällen noch nach unendlich langer Zeit?

60.    Wann ist unter den Anfangsbedingungen der Aufgabe 56 der Emanationsgehalt maximal? wie groß ist er?

E. Integration totaler Differentiale.

Die zuletzt behandelten Differentialgleichungen hatten die Form y' + f(x, y) — 0. Hierin bedeutete f eine Funktion, die in bezug auf y vom ersten Grade war. Mir wollen diese Voraussetzung jetzt fallen lassen. Derartige Gleichungen sind uns schon aus der Differentialrechnung bekannt; ist nämlich cp (x, y) = 0, so hat man (D. S. 24 f.)

v (x, yt) - cp (x, y)

Ay und im

Ay

A «p(*i.g.)-y(*.gi) a ,

^    A x    '

dq>

dy; es ist das totale Differential von cp

6xmtfa.lt dq> = ^dx + dy

gebildet. Aus<p=0fotgt |xdx+^ydy==0 oöer s' = (- §|) : (||) -

Ist umgekehrt eine Differentialgleichung dieser Art gegeben, so kann man aus ihr schließen, daß zwischen den variabeln die Beziehung <p (x, y) = 0, aber auch allgemein cp (x, y)= c besteht; c ist eine willkürliche Konstante.

Beispiel 19. (ax + by) dx + (bx + cy) dy = 0.

Alan sieht leicht, daß ax+by der partielle Differentialquotient nach x der Funktion <p = y ax² + bxy + C ist. C braucht hier nur in bezug aus x konstant zu sein, kann aber wohl noch y als variable enthalten, denn bei der partiellen Differentiation nach x wird y und jede Funktion dieser Größe als Konstante behandelt.

Soll unsere Funktion <p der vorgelegten Differentialgleichung ge-

nügen, so mutz = bx + cg sein; bx += bx + cy (der partielle visserentialquotient von C nach g ist mit dem totalen identisch, weil

HC    1

C außer y keine variable enthält). Aus — cy folgt C = - cy² + ft

(ft ist konstant); die gesuchte Lösung ist j ax² + ftxg + -| cg² + ft=0. wie eine eingehendere mathematische Untersuchung und die graphische Darstellung lehrt, erhält man Regelschnitte.

Ausgaben.

61.    (3x² + g²)dx+2g(x-2a)dg = 0.

62.    (3x²—ag) dx + (3 g² — ax) dg= 0.

63.    [x (x² -f g⁸) — a²x] dx + [g (x² + g²) + a²g] dg = 0.

64.    x'g²dx + (2g³ + 36g² + 6²g — a²g + x²y — a³b) dy = 0. Um zu entscheiden, wann eine Differentialgleichung nach dem eben

besprochenen Verfahren behandelt werden kann, gehen wir auf den Begriff der partiellen Differentiation zurück, deren Wesen ja darin besteht, daß eine variable als konstant behandelt wird. (Es fei z = g> (x, g). 9 (*!>»)-<?(*.»). ör ^ cp (x, gt) - P (x, g)

~ 1h-V

dz

Dann ist^kL

und x, y₁ und g werte sind, die sich sehr wenig unterscheiden. Dif-ferentiiert man z erst partiell nach x, dann das Ergebnis partiell nach

x₁ — x

' ög

wenn x₁

d²z

; führt man die Operationen in um»

g, so schreibt man dafür dxdy gekehrter Reihenfolge aus, so erhält man 3n Aufgabe 62 findet

tnan3.B.^ = 3x²-slg;^

In Aufgabe 6 l erhält man

a\d-£=Zy²-ax)

0sqp

a.

d²cp

2g;

d²cp

dydx

dydx'

hat denselben wert. (Es

dxdy d z

ist allgemein, wennund A- stetige Funktionen von X und g sind,

02-    S2Z

Der Nachweis ist leicht.

dxdy dydx

dz

dr^.P(x„g)-P(x,g) 8⁸z 0x~ x, — x ' dxdy^ d'r ^. P (a-i, gi) - P (--.Nl) - V (^,S) ^ P (^,g)

(Xi - x) (g, - g)

0g(fx), f° änöcrt sich nur die Stellung

Xt — X

dxdy~

Bildet man analog

d²z

dydx

Vi-y

der mittleren Glieder im Zähler, nicht der wert des Bruches. Geht man zur Grenze über, so wird aus der ungefähren Gleichheit (px) die genaue (=).

x he

Es fei jetzt die Gleichung Pdx + Qdy = 0 gegeben, in welcher P und Q Funktionen von x und y find. Zur Anwendung unseres Verfahrens ist notwendig, daß p — ^ und 9-- | ist. also

Jjjrx ⁼ % öas gesuchte Kriterium

Aufgaben.

Sind die folgenden Differentialgleichungen nach dieser Methode lösbar?

65. [3 (x² + y²) x —4a²xy²] dx + [3 (x² + y²)y — 4a²x²y] dy

= 0.

66.    (2x³ + 2mxy) dx + (2y³ — Zay² 4- mx²) dy= 0.

67.    (4x³y³+ 3<zx²y²4- 6y)cfx + (4x⁴y² + Zaxsy + 2 bx)dy = 0.

68.    y* dx + x²dy = 0. 69. (2x + ay) dx + (2y + bx)dy= 0.

70. xa yb dx = xc yk dy.

F. Der Lulerfche Multiplikator.

vifferentiiert man y> — ^ 4- ^ — c total, so erhält man —\ dx 2    x y    x

—    —,dy = 0 oder nach Beseitigung der Brüche y² dx + x²dy = 0. hier ist ~ = 2y,^ — 2x, der neue Ausdruck ist also kein totales Differential, wohl aber kann er dazu gemacht werden, wenn man ihn

mit

x'y"

multipliziert, er geht dann in die zuerst hingeschriebene

Differentialgleichung über. von Euler rührt der Gedanke her, eine beliebige Differentialgleichung durch Multiplikation mit einem passend gewählten „integrierenden Faktor" so umzuwandeln, daß links vom Gleichheitszeichen ein totales Differential, rechts Null steht.

Beispiel20. (2y³— 5ax³)dx + Zx'y*dy=0. (Esift|~>=6y²;|^

—    3 y², wir haben also kein totales Differential vor uns. Der integrierende Faktor fei M er wird im allgemeinen eine Funktion von x und y fein. Für die neue Gleichung M(2y³ — 5ax⁸) dx + ZMxy² dy

—    0 ist die Sntegrabilitätsbedingung

33

Eulerscher Multiplikator

Sjj [M (2y "‘ — 5axs)]= — [5Mxy²] oder (produktenregel!) (2ys - 5 ax³) + 6My~ = -^ xy² + 3 My° dy (2ys-5ax³)~d^xy!!=-5My².

Wir haben also statt einer totalen Differentialgleichung eine partielle (da partielle Differentialquotienten auftreten),- deren allgemeine Behandlung überschreitet die Aufgabe unseres Buches. Jedenfalls scheint das Problem schwieriger, statt einfacher geworden zu sein. Indessen kann man oft durch Vermutungen wenigstens eine Losung der neuen Gleichung finden, und eine genügt, vielleicht ist in unserem besonderen Falle M gar nicht notwendigerweise eine Funktion von x und y,

sondern enthält nur x. Dann ist 0,    = und wir haben

dM    dM    Gx ax

— 3 xy² — — 3My¹, x ^ = M, woraus sich sofort InM = Inx,

M = x ergibt. (Die Integrationskonstante spielt hier keine Rolle.)

wir erhalten (2z/³* — 5 axi)dx + '5 x²y²dy = 0. Die Integrabili-tätsbedingung ist erfüllt,- man findet als Integral leicht x²yz— ax⁶=k.

Es gibt zu einer gegebenen Differentialgleichung Pdx + Qdy = 0 unendlich viele Multiplikatoren; es mögen zwei von ihnen, M und N, gefunden feilt. Dann ist

dM

<0E ä| (FM - (QM-

Die erste Gleichung gibt ausgerechnet

dy M + dy F

d_M

dM

CV)i QO

dM

M+j^Q

dy

dx

Q = m(

cy| h

8PX

dy)

1 dM MdyF

1 dM dQ dP M dx y ~~ dx dy

Differentiiert man z = /nM partiell nach y, so erhält man

dz dM _

Ty~~~ dM'Jy~ MJy’

also gerade einen Bestandteil des ersten Gliedes; es ist

Ebenso kann man mit dem Multiplikator N verfahren; dann ist

NNuG 589: Lindow, Differentialgleichungen

dz

1 dM

Ist nun P (x, y) — k das Integral der ursprünglichen Gleichung, so

tatman§$<tx + §|d,,-0;ti = -(§|):(^);ausi.er Tl-ichmg

P (InN) — Q (InN) = ^    Durch Subtraktion der beiden

letzten Gleichungen findet man

P [~ (ZnM) - ~ (ZniV)] - S [/- (ZnM) - ^ (ZnZV)] = 0;

P^(lnM-lnN)-Q^ (InM- InN) = 0;

₌ Ä/nZ^.AM.

dxln\N)‘dy \n)

selbst    ₌ _ P:Q,„|,.||;«| ₌ P:Q.

verbinden wir diese Formel mit dem soeben gefundenen Resultat, so

finden mir^:||=^Zn(f):AZn(^).

M

wir können also y — ln^ setzen, und ba cp = k das Integral der

Zn(f) = ft, %=eh = kv

Sind also zwei Lulersche Multiplikatoren bekannt, so erhält man das Integral der vorgelegten Differentialgleichung einfach dadurch, daß man den (Quotienten der beiden integrierenden Faktoren einer beliebigen Konstanten gleichsetzt.

Beispiel 21. y¹ dx + x² 3 4 5 6 7 dy— 0.

Die Differentialgleichung des Multiplikators lautet

vorgelegten Differentialgleichung ist, so können wir es auch in der Form schreiben

dM SM dM dt dM

dt’ °lso

dM

Beispiel und Aufgaben zum Lulerschen Multiplikator lnM=-2lnt; M=

Ist cp (x, y) = 0 das gesuchte Integral, so hat man

dM

hieraus folgt M

2 dt

t'    (*+l/)²'

9²

9²

(* + »)

2f

+ C; C ist eine Funktion von z/ allein.

x²

x + g

2g(x + g)-l(g⁸) , dC

x²

öS (x + g)²'

(x + g)²

dg (x + g) demnach C—y — k ist. Es ergibt sich cp

V hieraus folg t leicht, daß t?—l, +g-6₁-*-S

k.

x + g

2) vielleicht ist M eine Funktion, die als variable allein u — xy

.    .-,3M dM öM dM ~    n

enthalt^ dann tfiTx⁼^dü y'~dy⁼⁼~dü x- Se^ man diese ausdrücke in die Differentialgleichung für M ein, so erhält man

2M ,,    1

u'M~

+ pyf — 0 liefert uns das Integral — ^    ^ oder

— —• Bezeichnen wir die willkürliche Kon-

dM

dM

du (g²x — x²g) = 2M(x — y); du y*dx

x²g²

2M

xg

xg    °der

ftante — r- mit k, so kommen wir auf die unter 1) ermittelte Form.

Der zuerst gefundene Multiplikator ist Mt =    der zweite

der (Quotient~ =    lvenn wir ihn gleich einer

Konstanten ft² setzen, so kommen wir <tuf = wodurch der vorher abgeleitete allgemeine Satz an einem Beispiel bestätigt wird.

Ausgaben.

71.    (3xg + 2g²) dx + (3xg + 2x²)dg = 0. Man nehme an, daß der Multiplikator a) eine Funktion von x + g, b) von xg sei.

72.    (x²— 2xg — 3g²) dx — (g² — 2xg — 3x²) dg — 0; M = /i (x + g); M = fi (x — g).

73.    g (x² + 2g²) dx + x(g² + 2x²) dg — 0; Mi —^ (x² + g²); M = Zs (xg).

74.    (4x² + 3g²) dx + xgdg = 0; M₁=f₁(x)-I M₂ = f₈(x²+g²).

75.    Nach welcher andern Methode lassen sich die letzten Aufgaben lösen?

G. Differentialgleichungen erster Ordnung höheren

Grades.

Beispiel 22. (t/')³-z/' = o.

Cs liegt nahe, aus dieser Gleichung zunächst y' zu bestimmen, wofür wir vorübergehend z schreiben wollen. Es ist z³ — z = 0; z (z² — 1) = 0; z (z — 1) (z + 1) = 0. Daher muß entweder z = 0

sein, oder z= 1, oder z = — 1. 3ft z = ^ = 0, somußz/—esein,-aus z— = 1 folgt y — x -l-c; ausz — — I resultiert— x +- c.

Da entweder y — c — 0 oder y — x - c= 0 oder y f r — c = 0 ist, so lautet das vollständige Integral (y — c) (z/ - r — c) (y + x — c) = 0. Geometrisch stellt sich die Gleichung als ein System von drei Scharen paralleler Geraden dar.

Beispiel 23. (yr)²-y'(2x -f 1) 4- 2* = 0.

(Es fei yf = z. Die Gleichung z²—z (2x + 1) + 2r = 0 fyat Me wurzeln Zi = 2x, z₃= 1. Da also yx = r² + c, y% = x + c sein muß, so ist die gesuchte Losung (y — x² — c) (y — x — c) = 0. Ulan erhält eine Schar von Parabeln und eine Schar von Geraden.

Aufgaben.

= 0.

76. (yfy - (a + b)yf+ab= 0. 77. (y')² -

78.    (y')² -y² — x² = 0.

79.    (Es soll eine Kurve bestimmt werden, bei welcher die zwischen den zu x = a und x = x gehörigen Grdinaten liegende Fläche der Bogenlänge proportional ist.

Singulare Lösungen.

Wir haben zu Beginn unserer Betrachtungen (S.l2f.) gesehen, daß die Kurven einer Schar eine gemeinsame Difserentialgleichung besitzen,-wir haben vorher gefunden, daß eine Kurvenschar eine Enveloppe besitzen kann. (Es erhebt sich die Frage, ob jene Differentialgleichung auch wohl für die Enveloppe gilt, die ja kein Individuum jener Schar ist, aber doch mit ihren Gliedern im engen Zusammenhange steht. Beispiel 24. In Beispiel 2 wurde gezeigt, daß die Schar der Geraden,

welche durch die Gleichung (l)y = ^x — ~ charakterisiert ist, als Enveloppe die Parabel (2) y = besitzt, m ist eine Konstante, c ein

Parameter, dessen Größe die einzelnen Glieder der Kurvenschar kennzeichnet.

Um die Differentialgleichung der Kurvenschar zu finden, bildet man (3)    - und eliminiert aus (1) und (3) die Größe c, indem man

in (I) einfach ™ durch y' ersetzt. Man erhält (4) y = xy' — m (z/)².

Nach (2) ist die Differentialgleichung der Enveloppe (5)y'= Sagen die Gleichungen (4) und (5) dasselbe aus? Dann müssen wir, wenn wir y = ^ in (4) einsetzen, etwas Selbstverständliches erhalten.

x² x*

2m

4 m' y ~ 4m' ^*efe Gleichung gibt uns nichts Neues,

sondern wiederholt nur, daß wir es mit den Punkten der Enveloppe (2) zu tun haben, was wir bei der Bildung von (5) schon voraussetzten. Die Differentialgleichung (4) gilt also nicht nur für jedes Glied der Kurvenschar, sondern auch für deren Enveloppe, obwohl wir es in dem einen Zalle mit Geraden, im zweiten mit einer Parabel zu tun haben.

In der Cat gibt es für jeden Parabelpunkt eine Gerade der Schar, welche sich der Kurve so genau anschmiegt, daß ihre Elementarstücke zusammenfallen. Die Differentialgleichung gibt aber an, welche Beziehung zwischen den unendlich kleinen Stücken dxl dy und den Koordinaten des betreffenden Kurvenpunktes x, y, bestehen,- gilt sie für die Geradenschar, so stimmt sie auch für die Parabel.

Diese Betrachtung gilt für jede Kurvenschar (die Individuen brauchen keine Geraden zusein), welche eine Enveloppe hat. Die Enveloppe berührt in jedem Punkte eine bestimmte Kurve, sie hat also mit dieser eine gemeinsame Tangente; die Großen x, y, dx, dz/fallen bei der Kurve, der Enveloppe und der Tangente zusammen; die Differentialgleichung der Kurvenschar gilt auch für die Enveloppe.

Gehen wir jetzt von der Differentialgleichung aus; sie sei in der

$oxm (a) ^ = f (x, y) gegeben, wir betrachteten sie bisher als gelöst,

wenn wir ihre vollständige Integralgleichung (b)g? (x, y,c)= 0 hinschreiben konnten. Jetzt aber wissen wir, daß auch die Enveloppe der Kurvenschar eine Lösung der Differentialgleichung ist; wir nennen sie die singuläre Losung. Nach früheren Untersuchungen (S. 8f.)

«'S

• £

finden wirsie, indem wir aus    0 und - = 0 die Große c eliminieren, so daß nur noch eine Gleichung zwischen x und r/ übrig bleibt. Die singuläre Lösung enthält also keine willkürliche Konstante mehr. Sie ist nicht, wie die partikuläre, nur ein Spezialfall der allgemeinen Lösung.

Zur Sicherheit wollen wir dies noch analytisch begründen. Fassen wir in y die drei Größen x, y, c als veränderlich auf, so gilt, wie man sich leicht überzeugt (vgl. S. 30), die Beziehung

dcp

dcp

dcp

dv = dxdx+didv +icdc=o-

Ist P — 0, so muß auch

«^+na+n£=°f>"-

Nun folgte nach Voraussetzung aus der Differentialgleichung (a) öte vollständige Integralgleichung (b), in welcher c eine willkürliche Kon-

fc+Äg- 0.»

staute war. Hus (b) entsteht nach S. 30 (d) für jeden beliebigen, also für alle Werte von c. Sollen (c) und (d) miteinander verträglich sein, so mutz (e)    = 0 sein. Dies ist entweder

dadurch zu erreichen, daß man c konstant hält — oj; man erhält dadurch wieder die allgemeine Integralgleichung (Uurvenschar), oder auch dadurch, daß man = 0 setzt, ohne daß c konstant ist. Diezweite

Möglichkeit liefert in Verbindung mit (b) die singuläre Lösung (Enveloppe).

Aufgaben.

Man bestimme die Enveloppen der folgenden Nurvenscharen und weise nach, daß sie denselben Differentialgleichungen genügen wie jene. 80. x + c²y — c — 0. 81. y = — xtgc + Zsinc.

82.

1 = 0.

ae⁸

c8 T (1 - c)⁸

Ls gibt noch eine andere Methode zur Aufsuchung der singulären Lösung; sie hat den Vorzug, daß man das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung gar nicht nötig hat. 3u ihrem Verständnis braucht man einen einfachen Satz über die Doppelwurzeln algebraischer Gleichungen. Deren Normalform ist ja f(x) — xn + axn ~¹ + bxn~² 4- • • • + kx +1 = 0. (3. S. 65).

Sind ihre Wurzeln «, ß, y • • - x, l, so kann man sie auch schreiben

f{x) = (x — a) (x — ß) (x — y) • • • (x — jc) (x — *) = 0.

« heißt eine Doppelwurzel, wenn ß = a ist, also

hierfür kann man schreiben f (x) = (x — a)⁸ • cp ix) — 0, wenn man unter cp (x) das Produkt (x — y) • • • (x — x) (x — A) versteht. (Es ist dann

fix) = (x - a)⁸ (x — y) ■ ■ ■ ix — v) (x -1) = 0.

f ix) = 2 (x — «) cp (x) + (x — a)⁸ <x' (x).

Setzt man x = c, so verschwindet jeder der beiden Summanden, also auch f (x). Das Kennzeichen einer Doppelwurzel « der Gleichung f (x) = 0 ist also, daß für a nicht nur die Funktion selbst, sondern auch ihre Ableitung gleich Null wird. Wenn 3. B. x³ — 3 x⁸ + 4 = 0 eine Doppelwurzel haben soll, so muß auch gleichzeitig 3 x⁸ — 6 x verschwinden. Der zweite Ausdruck hat die Wurzeln 0 und 2, der erste verschwindet nicht für x = 0, wohl aber für x — 2, dies ist also die gesuchte Doppelwurzel; es ist

fix) — xs — 3 x⁸ + 4 = (x — 2)⁸ (x -f 1) == 0.

<so

Die singuläre Lösung einer Differentialgleichung F (x, y, y') — 0 ist, wie wir wissen, die Enveloppe der Kurvenschar, welche durch die allgemeine Lösung cp (x, y, c) = 0 definiert wird. Zwei benachbarte Kurven, welche dem Wert c und dem wenig von diesem verschiedenen Wert entsprechen, müssen sich schneiden (auch wenn im Grenzfall ct — c= 0 wird), sonst kann von einer Enveloppe keine Rede sein. Zwei Kurven schneiden sich im allgemeinen unter einem gewissen Winkel, der durch die Richtungen ihrer Tangenten im Schnittpunkte (x, y) gegeben ist (Fig. 11). hat also für jeden Wert x, y die Ableitung y' nur einen ganz bestimmten Wert, so schneiden sich die Kurven nicht (Beispiel: konzentrische Kreise); es mutz für den Schnittpunkt x, y die Ableitung also eine Doppel-oder mehrfache Wurzel sein; d. h. es kann die ursprüngliche Differentialgleichung in die Form ^tf gebracht werden (y¹ — u) iy' — v)(y' — w)---iy' — z) = 0, worin u,v,w ■ Funktionen von x und y sind. Damit aber eine Enveloppe existiert, müssen die Tangenten im Schnittpunkte zusammenfallen. Es fei etwa u — v, also hat unsere Differentialgleichung Fix, y,y') die Form iy' u)⁸ iy* iv) iy' -z) = 0, sie besitzt für x,y die Doppelwurzel y' = u.

Nach unserem hilfsfatz muß daher für bas betreffende Wertepaar nicht nur F (x, y, y) = 0 sein, sondern auch der Ausdruck, den man hieraus durch partielle Differentiation nach y’ erhält,- für die Enveloppe

W,y,y')

= 0.

dy'

gilt gleichzeitig (a) F(x,y,y') = 0 und (b)

Die Differentiation ist dabei natürlich so auszuführen, als ob y gar nichts mit x und y zu tun hätte, das ist ja die Bedeutung der partiellen Differentiation.

Man kann jetzt etwa aus (a) die Größe y bestimmen und sie in (b) einsetzen, dann erhält man eine Gleichung (ohne Differentialquotienten), die für die Punkte der Enveloppe gilt, und unser Ziel ist erreicht. Selbstverständlich kann man die Elimination von y' auch auf irgend einem andern Wege vornehmen.

AIs Beispiel hatten wir vorher (S. 37). F—y—xy'4 m(y')⁸=0.

hier ist = — x + 2my', also y'= Dieser wert gibt, in die gegebene Differentialgleichung eingesetzt, (wie oben) y — ^ = 0.

Bei konzentrischen Kreisen ist x² + y² = r², also lautet ihre Differentialgleichung y'= — Da zu jedem Wertepaar x, y ein völlig

bestimmter Wert y' gehört, so ist keine Enveloppe möglich, versucht man unser zweites Verfahren anzuwenden, so liefert die

dF

ly'

Gleichung ^ — 0 als Forderung für die Existenz der Enveloppe 1 = 0.

Eine bündigere Form der Ablehnung kann man sich kaum vorstellen. Verspiel 25. (Es soll die allgemeine und die singuläre Lösung der

Differentialgleichung y — xy' —

r. gefunden werden.

yi+

Wäre l~ 0, so würde man y — cx als allgemeine Lösung finden. Das legt die Vermutung nahe, daß auch bei beliebigem l die Größe y eine ähnliche Struktur zeigt. Wir setzen versuchsweise y—cx + d,

• Der Der-

dann ist nach der Differentialgleichung y — cx = —. c •

such ist geglückt. Zur Vereinfachung kann man c= —tggp setzen, dann

wird y= — xtg<p + /sin <p. Nach Aufgabe 5 hat die Enveloppe dieser

2 2_ _2

Geradenschar die Gleichung x+ y³ = l³ .

Singuläre Lösungen d F

Das zweite Verfahren (F = 0, ^, = 0) liefert die Gleichungen

(a)

y~xy

ly'

(b)

-x=-l-Durch Umformung erhält man

[1+(J/')²]“

(b)

(b)

yr+tor

-V

(c)    (z/)² =

yi+(9')

1/1 +(!/')“---- •

K yr+ter

l+(Zf')s

[i +(»')*]

T oder

; i + (z/T=y

_2_ _2

/3 -X3

JC3

1_ j,

5etzt man (b)in (a) ein, so ergibt sich y — xy    x⁸ ober

4 -L

X — Z ³ X³

y

1/2 1_\» X⁸ V⁸ -X⁸)

(d)

y²

^ )    2_ / _2    Jj_\2

X⁸ V³ -x³) _2_

/3

indem man (c) mit (d) vergleicht —

2* Die (Elimination von z/' geschieht, y2 • Jetzt ist

X³

X³

ÄZ A ÄV V⁸ - X⁸/

(zi

-x»

Y = y*, also x’ + ys =Z* (vgl. flufg. 81).

Ausgaben.

83.    Ls soll die allgemeine und die singuläre Lösung der Differentialgleichung yy' — yy') = a² gefunden werden.

84.    wie heißt die singuläre Lösung der Gleichung

= 0?

85.    y?(yy+xgy' + X*⁺f : ¹

86.    m(x + yy') = y² [1 + (y')*].

II «bi

In einigen Fällen kann man voraussagen, daß das Aufsuchen einer singulären Lösung ein nutzloses Beginnen ist.

Fehlt in einer Differentialgleichung erster Ordnung die Größe y, so hat sie die Form F(x,y') — 0. hieraus kann man y' als Funktion oon x bestimmen; es ergebe sich y'=f(x). Die Integration gibt dann y als Funktion von x; y = <p (x) + c. Die Differentiation nach dem Parameter c würde die widersinnige Gleichung 0=1 zutage fördern; in der Tat kann ein System von parallelkurven keine Enveloppe haben.

Bei der linearen Gleichung y'+ yX, + X — 0 (S. 15) ist für jeden Punkt x, y die Größe y' völlig eindeutig bestimmt, auch dieser Typ hat keine singuläre Lösung.

IV. Graphische Näherungsmethoden.

Die bisherigen Methoden gestatteten uns, gewisse Massen von Differentialgleichungen anzugeben, die sich „exakt" behandeln lassen, in denen y als mathematisch genau definierte Funktion von x gesunden wird. Ebenso wie in der Integralrechnung solche genauen, aber etwas engherzigen Verfahren bisweilen versagen, so ist es in noch höherem Maße bei den Differentialgleichungen. Dort wandten wir Näherungsverfahren an, die mit dem Vorteil der allgemeinen Anwendbarkeit auch noch den der geometrischen Anschaulichkeit verbanden,- hier soll es ebenso sein. Gehen wir zunächst auf das Problem der Integralrechnung zurück! wir beschäftigen uns zunächst mit der graphischen Integration,

b

d. h. wir suchen den wert des 3ntegralsff(x)dx durch Zeichnung

a

zu finden. Das folgende Beispiel soll seiner hervorragenden physikalisch-technischen Bedeutung wegen etwas ausführlicher behandelt werden, als hier unbedingt nötig wäre.

Beispiel 26. Diskussion der planckschen Energiegleichung.

Die genauere Bedeutung des Begriffs „schwarzer Körper" möge in physikalischen Lehrbüchern nachgesehen werden?) hier sei nur bemerkt, daß er nicht dunkel im gewöhnlichen Zinne zu sein braucht, sondern durch intensive Strahlung unserm Auge sogar sehr hell erscheinen kann. Auch die Sonne kann mit großer Annäherung als „schwarzer" Körper im Sinne der modernen Physik aufgefaßt werden.

1) vgl. z. B. Scheiner, Populäre Astrophysik.

0-3

0-2

0-1

Zerlegt man durch ein Prisma die Strahlung eines schwarzen Körpers, so erhält man ein kontinuierliches Spektrum. In diesem Farbenband ordnen sich die Lichtarten nach ihrer Wellenlänge. Die durch ein Bolometer zu messende Intensität ist aber nicht für alle Farben gleich groß, sondern der Streifen, welcher zwischen den Wellenlängen l und l + dl liegt, erhält nach Planck die Energiemenge

dS = Jdl

dl.

XO(eOßT_X)

Darin ist T die absolute Temperatur (Eelsiustemperatur + 273°)l c— 14600, wenn die Wellenlänge in Mikron (Viooomm) gemessen wird, und C eine Konstante, welche durch die Versuchsbedingungen gegeben ist. Fig. 12 stellt die Abhängigkeit zwischen J und l bar für C= 1, T — 6500 (Sonnentemperatur). Die Gesamtstrahlung des schwarzen Körpers wird durch Lichtarten aller Wellenlängen hervorgebracht, sie ist also

sSjdi-J^A

0 0

-1)

dl.

Will man die Strahlung nur für das Gebiet haben, welches den Wellenlängen lt bis entspricht, so hat das Integral diese Grenzen statt 0 und oo.

Zur Berechnung von S setzen wir (T sei konstant) cjl T — x, also

c dx

Ti?*

Dann wird S

CT_ rx dx xier wert des J ex—\ o

Integrals ist eine Konstante, die wir A, nennen und später ermitteln wollen; es sei ferner gleich der Konstanten e gesetzt, dann ist

^ S = a Tl. Die Gesamtstrahlung eines schwarzen Körpers ist also der vierten Potenz seiner absoluten Temperatur proportional; steigert man die absolute Temperatur einer Bogenlampe auf das Doppelte, so wird sie nicht doppelt, sondern 16 mal so hell leuchten.

0*2 0*4 0*6 0*8 1 ultra- violett gelb rot violett

S-> tz •* 'S

Oo

H L A> i-M.2rs

(Es werde beiläufig untersucht, für welche Wellenlänge bei einem gegebenen werte von 7 die Strahlung maximal ist. Dann muß

A⁵ (ec/x T- 1) ein Minimum sein, also 5 -l⁴ {edl T—1)—^yec/;'T- —0,

woraus sich leicht ergibt ec,x T (5 — c l 7) — 5. Vir setzen c/lT—u und finden eu (5 — u) — 5; hieraus erhält man durch Näherungsmethoden, die in der „Differentialrechnung" dargelegt wurden, u —

= 4,965-XT = ~, IT — 2940,5 (wiensches Verschiebungsgesetz). Man sieht, daß mit wachsender Temperatur der Wert von 4, welcher der Maximalstrahlung entspricht, kleiner werden muß, entsprechend der Tatsache, daß glühende Körper von geringer Temperatur vorzugsweise rotes Licht (große Wellenlänge!) aussenden, bei höherer gelbes uff. Bogenlampen von sehr hoher Temperatur würden also unser Rüge durch die vielen violetten Strahlen bald belästigen, ja schädigen. t)at man etwa festgestellt, daß ein glühender Körper das Maximum seiner (Energie bei l — 0,589 (Wellenlänge der gelben Natriumlinie=0,000 589 mm) hat, so folgt daraus, daß feine Temperatur 7=^™ = 4992 =4719° C ist.

u,oöy    c

Setzt man in den Rusdruck für J Öen eben ermittelten werN----^ ein,

so ergibt sich als Betrag der Maximalstrahlung J,

; -, also eu— 1 = ₅ ~- ist, so wird J,

hier ist alles außer 7 konstant, also Jmax=A 7⁵; die Maximalstrahlung ist sogar der fünften Potenz der absoluten Temperatur proportional.

Wir wollen jetzt die Gesamtstrahlung S und die Teilstrahlung, welche durch die Gebiete 1 = 2,3(1 bis 3 (i und l = 3,9 ft bis 4,7 ß begrenzt wird, berechnen. 7 sei gleich der absoluten Sonnentemperatur 6500. (Es sind also die Integrale

max

Da aber eu

cu⁶r6 cr,(e“ — l)" _C7⁶u⁴(5-u)

max

C⁵

00    Xi    X%

_ sx* dx _ sxsdx _

0    x₀    *₂

xs dx

ZU finden. Dax= cfiT

= -f⁶ ist. so wird x₀ = ²f⁶ = 0,7487; x, =    = 0,9766;

x₈ = 0,4779; x₃= 0,5759,

ex—\

a y = fix) und den im

Abstande Xi ¹ V und x₂ zur

Wiensches Verschiebungsgesetz. Graphische Integration F 0

5ig.i3.

z>

*2

Will man sf(x)dx

Xi

aAb

berechnen, so muß man zunächst die Funktion F(x) finden, welche der Bedingung genügt, daß

5" = /Xx) ist. Dann ist

F(x₂) — F{xl) das gesuchte Integral; geometrisch wird es durch die Fläche dargestellt, welche von b der X Achse, d der Kurve

/ 9 p

Grdinatenachse gezogenen parallelen begrenzt wird.

y = f(x) sei durch die Kurve k = ax bx cx d₁ ex fx g (Fig. 13) dargestellt; wir suchen ihre Integralkurve y=F(x), welche X benannt und in das obere Achsenkreuz eingezeichnet werden möge, um Verwechselungen mit der gegebenen Kurve zu vermeiden. Jede ihrer Grdi-naten ist dann gleich dem bis zu dieser Ordinate reichenden Flächeninhalt, der von k begrenzt wird.

Wir ersetzen k jetzt durch eine Fig. kv welche durch einen treppenförmig gestalteten Linienzug aaib₂bBc₁dBd₂fBfa begrenzt wird, also leicht in Rechtecke zerlegt werden kann. Man erreicht dies, indem man durch den Anfangspunkt ax, den Endpunkt g und den höchsten Punkts der Kurve k parallelen zur XAchse zieht und zwischen diesen nach Bedarf weitere parallelen. In der linken Hälfte der Figur wurde davon abgesehen, rechts wurde in willkürlichem Abstande von den Grenzgeraden d₂ fB eingefügt.

Jetzt zieht man die Ordinate b^nach Augenmaß so, daß die links und rechts von ihr liegenden „Dreiecke" aL b₂ bx und bx b₃ cx möglichst slächengleich sind. Dann ist ae ^ bi a, a = accx b₃ b₂ ax a. Die zweite Fläche hat das schraffierte Dreieck bx cx bB zu viel, aber das

nicht schraffierte a₁ b.₂ b₁ zu wenig, stuf der rechten Seite muß man, weil eine chilfsparallele vorhanden ist, auch eine Ordinate mehr einzeichnen, man konstruiert dd₃ und ff₃ so, daß das anliegende schraffierte Dreieck gleich dem aus der andern Seite anstoßenden nicht schraffierten ist. Man erkennt jetzt sofort, daß die gesamte schraffierte Fläche

gleich der zu berechnenden, also gleich^f(x) dx ist. Statt aber die ein»

zelnen Rechtecke zu berechnen und zu summieren, konstruiert man ein Polygon, welches die Integralkurve der Hilfsfläche ist.

Dazu nimmt man irgendwo auf der Xfldife (zweckmäßig außerhalb der Figur) den pol P an, trägt von ihm aus nach rechts das Stück PQ gleich der Einheit ab und errichtet im Endpunkte die Senkrechte. Ihre Länge fei zunächst gleich der vertikalen Seite des ersten Rechtecks atz,. Man erhält so den Winkel a, definiert durch die Beziehung tg « = "== aav Durch A zieht man die parallele zu dem

freien Schenkel von a. Dann haben wir die Rnfangstangente der Integralkurve Kv welche zu der schraffierten Fläche gehört, denn die Tangensfunktion des Steigungswinkels ist gleich der zugehörigen Ordinate von Li- Da diese Ordinate sich nicht ändert, roernt x oon a bis b wandert, so bleibt auch der Steigungswinkel der Integralkurve konstant, mithin ist deren erstes Stück eine Gerade. Ihre Endpunkte werden erhalten, wenn man in a und b Senkrechte errichtet. In der Tat ist deren Endordinate gleich ab\ga (wie aus dem oberen kleinen Dreieck hervorgeht) und da tg a nach Konstruktion gleich aa, ist, so erhält man ab - aav und das ist gerade der Inhalt des ersten Rechtecks.

Jetzt trägt man in die Polfigur die Senkrechte bb₃ ein. Die parallele zu ihr durch den zuletzt erhaltenen Punkt der Integralkurve gibt deren Fortsetzung; sie reicht bis zur Abszisse Od. Fährt man so fort, so erkennt man, daß Kt ein leicht zu konstruierender Zug von Geraden ist, nämlich ABDFG.

(Es ist klar, daß dieser Linienzug sich um so mehr der Integralkurve K annähert, je größer die Zahl der Stücke ist, in welche man k zerlegt. Die Zeichnung der Integralkurve wird aber noch dadurch erleichtert, daß man aus Kt gewisse Punkte angeben kann, die auch gleichzeittg K angehören. Die durch einen derartigen Punkt gehende Gerade von ist gleichzeitig Tangente an K.

Der Beweis ist leicht geführt. Zur Abszisse x möge bei ft die Ordinate y, bei ft, die Ordinate y„ bei K die Ordinate 7, bei Kx die Ordinate 7, gehören. Die Abszisse von a sei xa, die von b Xb uff. Da bei a sowohl k wie ft, beginnt, so ist die zugehörige Fläche bei k und kx gleich 0, also 7= 7, = 0 (Punkt A). €s ist 7**= aa, und ebenso 7,' = an, nach der Definition der beiden Integralkurven. Diese selbst, sowie ihre Tangenten fallen für x= xa zusammen; d.h. AB ist die Anfangstangente von K.

x⁸dx

ex-l

$ür xc ist die Fläche a c c, ft, a, nach Konstruktion gleich acc, &₃ a„ also muß auch für diese Abszisse 7=7, sein. Da die Tndordinaten von k und /z, gleich sind (ct¹,) und jede von ihnen gleich dem Steigungs-maß der zugehörigen Integralkurve (7' und 7/) ist, so haben K und Kx auch hier eine gemeinsame Tangente. Dieselbe Überlegung kann man auch für den Endpunkt g und jeden Schnittpunkt der Kurve k mit einem wagerechten Stück von ft, anstellen. Jede Gerade des Linienzuges Ä, ist also eine Tangente an K; den Berührungspunkt kann man nach der eben angegebenen Kegel leicht finden. Jetzt läßt sich K mit großer Genauigkeit zeichnen. wenden wir unser Verfahren auf unser Integral (S. 43) /

o

an (Zig. 14), so finden wir durch Zeichnung den Wert 6,5; der genaue wert ist, wie man durch Näherungsmethoden (3. B. die Simpfonsche

-1

Hegel, 3. S. 76 und 81) leicht bestätigt, 6,4939 • • •. [$üx x= 0 erscheint

x⁸    0    x²

in der unbestimmten $oxm es ist aber e*— 1 = x + yH----•

, also ist für x = 0 der wahre Wert des Bruches 0.]

X⁸

ex-\

! + ! + •••

3n Zig. 15 ist dieselbe Aufgabe etwas anders gelöst. Entbehrliche Hilfslinien sind fortgelassen. Die gegebene Kurve und die Integralkurve find auf dasselbe Achsensystem bezogen, um Platz zu sparen. (Es sind mehr parallelen gezeichnet, wodurch man mehr Punkte und Tangenten der Jntegralkurve erhält. Endlich ist der Maßstab verändert. Die Grdinaten wurden nämlich in doppelter Größe aufgetragen. Dadurch können die Schnittpunkte von k mit den parallelen genauer bestimmt werden. Wäre nur diese Änderung getroffen worden, so müßte man die Lndordinate der Jntegralkurve durch 2 teilen, um den wahren Wert der Fläche zu erhalten. Es ist aber gleichzeitig bei der Polfigur die Einheit dreimal so groß angenommen worden wie bisher. Dadurch wird Platz gespart, es wird jede Ordinate der Jntegralkurve dreimal so klein wie vorher. Wäre diese Änderung allein erfolgt, so müßte man jede Ordinate mit 3 multiplizieren. Bet Berücksichtigung beider Änderungen muß also jede abgelesene Größe Y durch Multiplikation mit §- auf den richtigen wert reduziert werden. Für die Schlußordinate liefert die Zig. 15 den wert 4,4; der wahre wert ist daher 6,6.

Es ist zu beachten, daß die Genauigkeit hier insofern größer ist, als die Jntegralkurve aus mehr Punkten und Tangenten als vorher konstruiert werden muß. Anderseits sind mehr Hilfslinien nötig, so daß die kleinen Zeichenfehler sich summieren können. Der endgültige Fehler wird bei der Multiplikation der Ordinate mit 1,5 noch um 50 % erhöht.

\3

*A

2,,

r»

V.

$ig. 15.

0,6

0,5

04

0,3

0,2

0,1

Sind die Abszissen im Verhältnis a: 1 vergrößert, die Grdi-naten im Verhältnis b : 1, wählt man ferner als Horizontallinie der polfigur nicht 1, sondern c, so hat man an der Ablesung Y den Reduktionsfaktor anzubringen,- das gesuchte Integral ist ^ Y.

0,9766

*x*dx e*^l

>k

Will man etwa A

0,7487

berechnen (Zig. 16), so ist es zweckmäßig, für eine Einheit der Größe J 10 cm 311 wählen, ebenso für eine 1-Einheit. Macht man die Polstrecke PQ —5cm und liest stets cm ab, so ist a— 10, b= 10, c=5, also der Reduktionsfaktor Kls Endordinate der Sntegralkurve findet man 2,16 cm, daher ist das gesuchte Integral A₂ ---- 0,108. Für As (Grenzen 0,4779 und 0,5759) ergibt sich 0,021.

Die Strahlungsenergie, welche zwischen l — 2,3 und 1 = 3, sowie zwischen 1 = 3,9 und 1—4,7 liegt, wird von der Kohlensäure der

0,7 0,8 0,9 1,0

5ig-16.

<? x

Ti

Erdatmosphäre absorbiert. Die gesamte Sonnenstrahlung ist —t Av wobei?— 6500 und c— 14600 ist; der absorbierte Teil ist (A₂+A₃). Es gehen von der Sonnenstrahlung durch die Kohlensäure der Luft 100 —»= 2% verloren.

Nimmt man T— 2000° (Temperatur des schmelzenden Platins), so ist die spektrale Energieverteilung aus Fig. 17 ersichtlich, wegen der ganz abweichenden Verhältnisse mußten die Maßstäbe der klchfen geändert werden, so daß sie nicht unmittelbar mit o-oooi Fig. 12 vergleichbar ist.

Vas Maximum der Energiestrahlung, welches dort bei 1 — 0,45 lag, ist hier nach 1 — 1,47 verschoben, es liegt

flltu® 589: Lindow, Differentialgleichungen

Fig. 17.

50

IV. Graphische Näherungsmethoden also im Ultrarot. Die Gesamtenergie ist hier S — (^55)* • A — — 0,002287, während sie dort 0,2550 war, = 111,6 mal so groß. Die durch die Uohlensäure absorbierte Energie ist hier

•Das erste Integral fei Bv

S,

/ 2000 \* s: *    U4600/ J ₍

x*dx

e*—1

und

£3

/ 2000 V Z*j U4600/ J ₆

x* dx

ex—l

das zweite ß₃. Obwohl die Wellenlängen dieselben sind, wie bei der Sonnenstrahlung, sind g₀, §,, |₂, §₃ von x₀, x„ x₂, x₃ verschieden, denn es

ist x (oder 5) = ^und T hat hier einen anderen wert. Ulan erhält

14600

14600

2,433; Ij 2,3 • 2000

3 • 2000

= 3,174; |₂ = 1,553, |₃=1,872. Dann wird ß₂ = 1,046, Bä = 0,351. Die absorbierte Strahlung ist hier 100 •    ^ = 21,5 %. Sie läßt sich durch Laboratoriumsver-

suche erfahrungsgemäß feststellen,' dadurch kann man die begrenzenden Wellenlängen finden und, ist dies geschehen, die vorher angestellten Überlegungen über die Absorption der Sonnenstrahlung anstellen.

¹

dt x-\-y

²

diese Größen nur in der Verbindung x + y auftreten, mit andern

³

Worten, wir machen die Annahme, daß M eine Funktion von t allein

⁴

ist, wenn x + y = t gesetzt wird. Dann ist

⁵

SM ₌ dM8t^:=dM . ₌₌_.%

⁶

dx dt dx~ dt    dt' dy dt Sy

⁷

^7 (y⁹ — x⁹) = 2M(x-y); ^ (y~x) (y + x) = 2M (x-y);

⁸

,3

51g. H.

⁹

wir sehen zu, ob M vielleicht derart von x und y abhängt, daß

Aufgaben.

87.    (Es soll die Wellenlänge ermittelt werden, welche das Spektrum in zwei gleichstark bestrahlte Gebiete zerlegt.

88.    Man zeichne die Cnergiekurve für verschiedene Temperaturen (Me man zunächst in absolute Temperaturen umrechnen muß) und vergleiche sie mit den Abbildungen physikalischer Lehrbücher (z. B. Lommel).

89.    Wo liegt das Maximum der Strahlung für 540 ¹ (dunkle Rotglut). 700° (helle Rotglut), 1200° (Weißglut), 1350° (Schmelzpunkt des Stahls), 3600° (Bogenlampe)?

90.    (Ein neuerer wert der Raturkonstanten c ist 14 200. Wie ändern sich dadurch die bisher erhaltenen Ergebnisse?

GraphischeIntegrationvonvifferentlalgleichungen.

Beispiel 27. Es soll die Differentialgleichung ~ = y graphisch

gelöst werden. Die exakte tösung ist hier durch Trennung dervariabeln sehr leicht ausführbar,- sie ergibt y = ex + c; man kann sie benutzen, um die Genauigkeit unseres Verfahrens zu kontrollieren.

wir wissen, daß die Lösung der vorgelegten Gleichung eine Km> venschar sein muß; jede einzelne Kurve ist festgelegt, wenn man fordert, daß sie durch einen bestimmten Punkt gehen soll. wir setzen willkürlich fest, daß der Anfangspunkt die Koordinaten x= 0, y = 1 haben soll. Für ihn ist nach der Differentialgleichung y' = y = 1; d. h. die Kurventangente steigt unter dem Winkel a = 45u gegen die x-Achse an (tg45° = 1). Gehen wir auf ihr ein kleines Stückchen weiter, so entfernen wir uns nicht merklich von der gesuchten Kurve, wir machen halt und messen die neue Ordinate y. Sie liefert uns yr für das nächste Kurvenelement. Durch Wiederholung des Verfahrens können wir die gesuchte Linie beliebig weit verfolgen.

(Es ist zweckmäßig, wenn wir als werte von y die Größen 0; 0,5; 1; 1,5 usw annehmen, damit uns im Verlauf der Zeichnung das Messen der Grdinaten(Zig. 18) erspart bleibt; wir zeichnen also gleich anfangs die Geradenschar z/ — p, indem wir dem Parameter/) die eben genannten werte beilegen.

Auch den Steigungswinkel können wir schneller durch Zeichnung, als durch Rechnung finden; wir legen uns nur eine polfigur (S. 46) an.

TUI

TU

VI

wir gehen also von dem Punkte x = 0, y --- 1 aus. Da er auf der Geraden p = I liegt, so ziehen wir durch den Anfangspunkt die parallele zu P 1, bis die folgende Gerade, p =

p~3

IV

III

1,5, geschnitten wird (Punkt II). hier ziehen wir die parallele zu P 1,5 bis III; jetzt kommtdieparallele zu P 2 an die Reihe uff.

II

Q >r

Zur Prüfung zeichnen wir die genaue Kurve. Damit y -----ex + c für die werte x = 0, y = 1 gilt, muß 1 ----- e0 + c, (JL

5kg.18.

4*

also c == 0 fein; z/ = g*. Der vergleich lehrt, daß unser Linienzug schwächer als die richtige Kurve steigt. Dapr=p, so ist y" = y' = y, d. h. unsere Kuroe ist, weil P positiv ist, stets konkav. Wie Zig. 19 zeigt, ist in diesem Fall die mittlere Steigung der Kurve, d. h. die der Kurven-sehne, großer als die der Anfangstangente und geringer als die der Endtangente. Man erhält / also bei unserem Verfahren im vorliegenden Fall eine zu schwach ansteigende Linie; trägt man aber im Anfangspunkte (p = 1) die 3U p= 1,5 gehörige y Tangente an, im Schnittpunkt // mit der parallelen p = 1,5 die 3U p = 2 gehörige, uff., so steigt der Linienzug zu a start; der wahre Verlauf der Kuroe liegt zwischen den beiden Polygonen.

5fg. 19.

3m allgemeinen Falle löst man die vorgelegte Differentialgleichung nach y' auf, so daß sie die Form z/ = f(xf y) annimmt. Man zerlegt sie in zwei Gleichungen, nämlich (1) yf —p und (2) f(x,y) =p. Die Gleichung (2) läßt sich geometrisch durch eine Kurvenschar darstellen (imBeispiel 27 erhielt man eine Schar von parallelen Geraden); gibt ntanp einen speziellen Wert, so greift man damit eine bestimmte Kurve heraus. Zeichnet man eine zweite Kurvenschar, welche die Lösung unserer Differentialgleichung darstellt, so wird sie jene Kurve in vielen Punkten schneiden. Da in den Schnittpunkten überall p=f(x, y) ist und bap den Differentialquotienten jedes Gliedes der zweiten Kurvenschar für den Wert x, y darstellt, so kann man die Richtung der gesuchten Tangente mit Hilfe der oben angewandten Nebenkonstruktion (DveiedPQR) finden. Das Verfahren ist daher genau dasselbe wie in Beispiel 27, nur daß statt der parallelen Geraden eine Kurvenschar auftritt.

Es braucht nicht besonders betont zu werden, daß die Werte für p nicht wie dort in gleichmäßigen Abständen aufeinander folgen müssen; entfernen sich die Kurven der Schar zu weit voneinander, so wird man Größen von p einschalten, rücken sie zu eng zusammen, so darf man parameterwerte auslassen.

3n der „praktischen Analysis" von h. v. Landen findet sich ein Verfahren zur Verbesserung der Näherungskurve.

Ausgaben.

91. (Es soll die Kurve näherungsweise gezeichnet werden, welche der vifserentialgleichung y'= x + y genügt und von dem Punkte x₀=0, y,-0 ausgeht. 92.Manbehandleebensoy'—x-i-^y;x,—0;yg—— 3.

93.    vesgl. y'==y —e*;x₀ = 0; y₀ = 1.

94.    y'

T/x⁸ + y²'

; x₀ = 0,5; y₀ = 0.

V. Numerische Näherungsmethoden.

A. Lösung durch Potenzreihen.

Gft läßt sich die Funktion, welche einer gegebenen Differential« gleichung genügt, durch eine Potenzreihe y = a + bx + cx! + ex3 + fx*-\----darstellen. Setzt man diesen wert von y in die Diffe

rentialgleichung ein, so muß deren linke Seite der rechten identisch gleich werden, und das ist nur möglich, wenn die entsprechenden konstanten Koeffizienten links und rechts gleich sind.

ftls Beispiel diene klufgabed l. hat y den eben genannten wert, so ist

y' = b + 2cx + 3ex² + 4/x³ H----. Anderseits ist

X -f y = a + (b + 1) X + cx² + ex³ H----. hieraus folgt

b = a; 2c=b + 1; 3e = c; 4f=e uff. Man kann alle Größen durch a ausdrücken und erhält

„ _ _CL -|- 1

b~a' C~TT' e~~ 1-2-3"    12 3 4

y = a + ax + a^r x* +    ----

y = (a+l)+(a+l)x+^x²+^x⁸+^±V+---x-l y = (a+l)e* — x — 1= fee* — x— 1.

Man sieht auch, warum a aus unsern Gleichungen nicht bestimmt werden konnte; es ist die willkürliche Integrationskonstante.

Man behandle nach dem eben beschriebenen Dersahren die Aufgaben

r₌_9.

uff., also

95.

dv

-• 98. äi-9-ii (Luftwiderstand proportional der ersten Potenz der Geschwindigkeit,

dv

v\

vgl. Beispiel 8). Die Anfangsgeschwindigkeit sei 0. 99. ^ = g — pl

Anfangsbedingung wie vorher. 100. ^ — 0 — Anfangsbedingungen wie vorher. 101. z/' = ^+ I. 102. z/z/ =

Eine Modifikation des eben beschriebenen Verfahrens möge folgen. Ist y eine Reihe, die nach Potenzen von x fortschreitet — eine Annahme, die nicht immer zutrifft —, so gilt die Mac Laurinsche Formel

f(x) = f(0) +    (0) + ~ f" (0) + J f" (0) + • • •.

©ft gelingt es, f (0), f" (0) uff. aus der Differentialgleichung auf einfache weise zu bilden.

In Aufgabe 96 ist z. B. y' — e* — y. hieraus folgt y" = e* — y' — e* — (e* — y)=y Dann ist aber y"=y'=e —y; ylv=y"=y uff. Setzen wir fest, daß für x = 0 die Größe y den wert a annehme, so ist f(0) = a\ f (0) = 1 - a; f" (0) = a; f" (0) = 1 - a; fw (0) = a uff. Man erhält daher (1-a)x

4!

•-I* £

~ 2! T    3!

= a(l

I X² X*    \    X X* X⁶

~    ⁺2!⁻3!±-"J⁺n ⁺ 3!⁺5! ⁺ '

y = ae~ * + Stnx.

Jede Differentialgleichung erster Ordnung läßt sich auf die Form j/ — cp (x, y) bringen, worin cp eine bekannte Funktion ist. Ist y = a für den Wert x = 0 bekannt oder willkürlich gegeben, so läßt sich

y'₀ = <p (0, a) unmittelbar berechnen. Ferner ist y" =    4-• y';

= ^ +    (x,y); y" ist wieder eine bekannte Funktion von

x und y, die wir kurz mit ip (x, y) bezeichnen wollen; y"₀ — f (0, a)

ist berechenbar, y"' =    4 || •    cp (x, y) uff. Die Kn-

wendbarkeit dieses scheinbar sehr allgemeinen Verfahrens scheitert aber oft daran, daß y nicht den vorausgesetzten einfachen Aufbau besitzt,-

es können Größen von der Form ]/*, —, Inx usw. auftreten, die eine

Entwicklung der vorausgesetzten Art nicht gestatten. Auch ist meistens die Funktion <p{x,y) so beschaffen, daß die Ausführung der Differentiationen recht unübersichtliche Funktionen gibt.

B. Lösung durch die Zimpsonsche Formel.

Ist ^ = <p (x, y), so ist y=scp(x,y)dx.

Um dies Integral exakt ermitteln zu können, müßte man y als Funktion von x bestimmen (y=f(:c)) und den erhaltenen Rechenausdruck in qp (x,y) einsetzen. Die Ermittlung von /'ist aber gerade unsere Rufgabe; das eben versuchte Verfahren setzt schon die Kenntnis der exakten Lösung voraus. Damit ist sein Urteil gesprochen.

Ganz anders ist es, wenn wir uns mit Näherungen begnügen wollen. Wir schreiben vor, daß zu x = a der wert y = b gehöre. Ferner tragen wir auf der X Achse vom Punkte x= a aus ein kleines Intervall tu wiederholt ab. (Fig. 20.) In jedem Teilpunkte (a',a + w', a -4- 2 w uff.) errichten wir das Lot und machen es gleich y’ (obet cp (x, y)). Die von der Anfangsordinate, welche zu x=a, und der Cndordinate, welche zu x—a + nw gehört, der Abszissenachse und dem die Endpunkte verbindenden Kurvenzuge begrenzte Fläche ist

a -\-ntu

F=s(p(x,y)dx; y=b+F; können wir die Abhängigkeit, in der diese

Fläche von der Abszisse steht, durch eine Formel wiedergeben, so ist

die Aufgabe exatt gelöst, können wir sie in einer Tabelle niederlegen, so haben wir numerisch unser Ziel erreicht. Das

5ig. 20.

läßt sich mit Hilfe der 5imp-sonschen Regel angenähert mit beliebiger Genauigkeit durchführen.

y» y\ y* y*

n in

Ausgaben.

103. g'= •    104. y' = ax + by. 105. y'= -

toj

H |css

wir setzen voraus, daß y nicht nur für den Wert a,

a + w a + 2w a + 3w

für den Nachbarwert a + w bekannt sei. 3m ersten $ alle sei y = b, im zweiten y = yx (= b + /)• Man kann sich vorstellen, daß dies durch eins der bisherigen Verfahren erreicht fei. Man kennt dann die beiden ersten Drdinaten unserer Fläche, nämlich y\ = <p (a, b) und y'i = cp (a + w, y,).

a+ 2 m

Für die dritte Grdinate, y\, suchen wir zunächst einen Näherungswert, indem wir annehmen, daß die drei Endpunkte in gerader Linie liegen, was bei engem Intervall nahezu richtig fein wird. Dann ist r/r - y'i ~ y'i ~ y'oi also y'.₂ Rd 2y\ - y'₀. Jetzt läßt sich aber die zu der Endordinate y'₂ gehörige Fläche nach der Simpsonschen Regel berechnen; es ist

F=f p (x, y) dx Rd

a

^[zz'o + 9,2 + ⁴y'i];

y₂ Pti 6 + ~ [y'o + y'z + VJ-

Die Formel würde genau sein, wenn die begrenzende Kurve vom dritten Grade in x wäre; dies wird zwar nicht exakt der Fall sein, aber die passende Wahl der in der Gleichung dieser Kurve auftretenden Koeffizienten wird es gestatten, sie viel besser der wahren Gestalt der Kurve anzupassen, als die starre Gerade, welche wir vorher, bei der „Extrapolation" zur Berechnung von y₂ benutzten. Die Koeffizienten selbst brauchen wir gar nicht zu kennen, da die Inhaltsformel für jede Kurve dritten Grades gilt, welche durch die Endpunkte y!0f y'v y's geht.

Mit demneuen Näherungswerten r/2könnenwirr/2—y)(a-^2rr-,r/,) genauer als bisher berechnen. Wenden wir wieder die 5impsonfche Formel an, so erhalten wir y₂ besser als vorher uff. Man bricht die Rechnung ab, wenn man bei einer neuen Näherung auf den Rus-gangswert von y₂ oder y\ kommt, denn dann würde nur das vorige Resultat wieder erscheinen.

Jetzt extrapolieren wir y₃, indem wir zunächst annehmen, daß die Endpunkte der Grdinaten y\, y\, y\ auf einer Geraden liegen. Es istz/₃^2y\-y\ mtiy₃ = b + I+II + III = (b + I) +(11+ III)

^ Ui + \ k/i + z/b + 4z/₂]. Alle rechts auftretenden Größen find

wenigstens näherungsweise bekannt, so daß ein Näherungswert von y₃ berechnet werden kann; er gestattet uns, y\ = y (a + 3w, y$)

y'k

genauer als bisher zu sin« y den. Mit ihm bestimmen ^ wir z/₃ nach der Formel

#3 = lh + lr/i + z/₃ + 4z/₂] schärfer uff. Auf diese Weise kann man, von Intervall zu Intervall fortschreitend, die werte von y für jeden Wert von x festlegen, und zwar, wenn das

y\

5ig.21.

Intervall genügend eng ist, mit beliebig hoher Genauigkeit. Sucht man, nachdem dies geschehen ist, g für einen wert von x, der innerhalb eines Intervalles liegt, 3. B. x— a + 2,5 id, so kann man sich durch Interpolation wie bei der Logarithmentafel helfen.

Das einzige Bedenken, welches noch geltend gemacht werden könnte, ist, daß der Beginn der Rechnung ein anderes Verfahren (zur Ermittlung Don g,) voraussetzt. Das ist aber nicht notwendig. (Zig. 21.) ITtan braucht nur I in zwei Teilflächen A und B zu zerlegen, indem man in a + > Me Ordinate g'x zieht, und A als Trapez auffaßt. Nimmt

man in ganz roher Approximation g\ = g'„ an, so ifty₁ = 6+ ^ - g'₀.

2    2

hieraus berechnet man genauer y\ ==<p(a+’^,y^j, findet nach der

Trapezformel (genauer als bisher) yx = b + y • ^(g'₀ + g\) —

Z, + t(z/o + 9'i)i berechnet wieder g', uff. Sodann extrapoliert man

^ ~2 2

= 2 y\— y\, berechnet yL = b + ™ [y'„ + y\ + 4g'J, dann

y,₁ =    + u,, gj uff. hält man das Ergebnis noch für ungenau,

so kann man das erste Intervall noch einmal halbieren, also erst g' j und gx berechnen (Trapezregel!), dann y\ und yA (Simpsonsche

TT    22

Regel), dann y\ und yl. Damit ist die Grundlage für die weitere Rechnung gegeben.

wir prüfen unser Näherungsverfahren wie gewöhnlich an einer Aufgabe, die auch exakt zu lösen ist, um eine Kontrolle seiner Zuverlässigkeit zu haben.

V. Numerische Näherungsmethoden

58

Beispiel 28. y' = — \xy, für x= 0 sei y = 10.

So =

Wir wählen das Intervall w — 0,5. (Es ist y₀ = 10;

= -{•010 = 0.

A.    Beginn. I. Annahme: y'±= 0. (y\ ist der wert von y',

welcher der Abszissex = {id= 0,25 entspricht). Dann isty x = 10 +

¥

+ 0,25 0 = 10. Daraus folgt als genauerer Wert für die Ableitung: 1^=-{--0,25-10 =-0,5.

2 0 5

2.    Annahme: y'JL= —0,5. Dann ist yx— 10 + ~ (0 — 0,5)

= 10 — 0,0625 = 9,9375. Daraus folgt y\= —    • 0,25 - 9,9375

= — 0,4969.    's

3.    Annahme: y\ = — 0,4969. Dann ist y₁ = 10 +

°'-(0-0,4969) = 9,9379; y\ = - 0,4969. Die weitere Rech-

nung würde keine Verbesserung bringen.

B.    Fortführung. I. (Es ist jetzt y₀, y'₀; y± y’ t als bekannt anzusehen. y\ wird bestimmt, zunächst durch lineare (Extrapolation.

1.    Annahme: y\ = 2y\ -y'₀ = -0,9938 - 0 = -0,9938.

Dann ist 9l=10    [0 - 0.9938 - 1,9876], also 9l = 9,7515z.

hieraus- y',= -1 • 0,5 • 9.7515z = - 0,9752.

2.    Annahme: y', = - 0,9752; yx = 10 + -f [0 - 0,9752 -

1,9876] = 9,7531; y\ = -1 • °,5 • 9,7531 = - 0,9753.

3.    Annahme: y\ = — 0,9753; y, = 10 + ^ [0 — 0,9753 — 1,9876] = 9,7531; y\ = - 0,1 • 9,7531 = - 0,9753. Damit ist y'j und y, bestimmt.

II. Bestimmung von y'₂ und y.,.

1.    Annahme: y'₃ = 2y'₁ — y'« — — 1,9506. Dann ist y₂ = 10 +

+    [0 - 1,9506 - 3,9012] = 9,0247. y's = - -{ • 1 • 9,0247

= - 1,8049.

2.    Annahme: y'₂ = —1,8049;y₃ = 10 + -{-[—1,8049 — 3,9012] = 9,0490; y'₂=-|- 9,0490 = - 1,8098.

3.    Annahme: y'₂=—1,8098; y₂ = 10 + -{[—1,8098 —3,9012] = 9,0482; y'₂=- 1,8096.

III.    Bestimmung von z/'₃ und #₃.

Z/s = Z/i +

1.    Annahme: y'₃ ----- 2y'₃ - s', ----- — 2,6439;

+    [-0,9753-2,6439-7,2384] = 7,9435; y'₃ = -|.l,5-

7,9435 =-2,3830z.

2.    Annahme: y'₃ = - 2,3 8 30₅; y₃ = 9,7531 +1 [- 0,9753

-    2,3830g - 7,2384] = 7,9870; y'₃ = - 2,3961.

3.    Annahme: y'₃ = —2,3961; y₃= 7,9848; y'₃ = — 2,3954.

4.    Annahme: y\ = - 2,3954; y₃ = 7,9849; y'₃ = - 2,3955.

IV.    Bestimmung von y'₄ und y₄.

1. Annahme:y'₄ = 2y'₃-y', = -2,9814;y₄=yz-I'^[-l,8096

-    2,9814 — 9,5820] = 6,6527; y'₄ = - 2,6611.

2.    Annahme: y'₄ = — 2,6611; y₄ = 9,0482 + \ [- 1,8096 -2,6611 -9,5820] = 6,7061; y'₄ = -2,6824.

3.    Annahme: y'₄ = — 2,6824; y₄ = 6,7025; y'₄ = — 2,6810.

4.    Annahme: y'₄= — 2,6810; y₄ = 6,7028; y'₄ = — 2,6811.

Die exakte Lösung ist y=Ke¹; wegen der Anfangsbedingung mutz K = 10 sein. Die durch unser Verfahren erzielte Genauigkeit zeigt die folgende Tabelle.

0,25

0,5

1,0

1,5

2,0

y annähernd

10

9,9379

9,7531 9,0482 7,9849 6,7028

y genau

10

9,7531

9.0484 7,9851 6,7032

Zusatz I. Genauer als durch lineare Extrapolation kann man aus einer Reihe von gegebenen Funktionswerten, die in gleichen Abständen aufeinander folgen (hier y'₀; y\; y\• • •), den gesuchten nächsten Wert finden, wenn man nicht nur die beiden letzten, sondern alle bekannten benutzt. Das Verfahren sei hier ohne Beweis mitgeteilt; vgl. z. B. v. Landen, praktische Analysis, viertes Kapitel.

Man schreibt die gegebenen Zahlen untereinander und läßt zwischen ihnen immer eine Zeile frei. 3n diese trägt man, etwas weiter nach rechts gehend, die Differenzen ein. von der so erhaltenen Differenzenreihe bildet man wieder die Differenzen uff., bis das Lchema zu Ende ist oder die Differenz konstant wird. Die letzte Differenz benutzt man additiv zur Fortsetzung der Tabelle; die so erhaltenen Größen sind zur Unterscheidung eingeklammert.

I. Gegeben sei y'₀; y\; y\\ gesucht ist y’₃. wir bekommen mit unseren werten y'o o

- 0,9753

y'i -0,9753 y\ -1,8096

- 0,8343

0,1410

(0,1410)

(- 0,6933)

(y'i) (— 2,5029) Vieser wert ist viel genauer als — 2,6439. 2. Aus y'„; y\; y'₂; y'₃ (berechnet) soll y\ näherungsweise bestimmt werden. y'o o

y\ -0,9753 y\ -1.8096 y'i -2,3955

- 0,9753

- 0,8343

-0,5859

(- 0,2301)

0,1410

0,2484

0,1074

(0,3558)

(0,1074)

(y'₄)(- 2,6256)

3. (Es soll y\ und y₆ ermittelt werden. y'o 0

- 0,9753

0,1410

y\ -0,9753 - 1,8096 y'i -2,3955 y\ -2,6811 (y'₅)(- 2,6700).

1.    Annahme: y'z---2,6700. Dann ist y₅ = y₃ +1 (y'₃ + y'5 + 4y'J = 5,35 32₅; y'₅ = - 2,6766.

2.    Annahme: y₃ ⁼    2,6766j y₃ — 5,3521₃j y ₃ ⁼    2,6761.

3.    Annahme: y'₅ = — 2,6761; y₅= 5,3522; y'₅= — 2,6761 (genauer wert y₅ — 5,3526).

- 0,8343

ff 2

-0,5859

-0,2856

(+ 0,0111)

0,2484

0,1074

0,3003

0,0519

- 0,0555

(0,2967)

(- 0,0036)

(- 0,0555)

Man tut gut, in das Vifserenzenschema, welches für die ganze Rechnung benutzt werden kann, die extrapolierten Größen nur mit Blei« stist einzutragen und erst nach Erledigung des betreffenden Intervalles sie mit Tinte als gesichert zu kennzeichnen.

Man kann auch die ermittelten werte von y' graphisch darstellen und nach dem Verlauf der Ruroe den zu extrapolierenden abschätzen.

Zusatz 2. Es feien die Größen y₀, y'₀; y₁₍ y\; y₂, y\ bekannt. Dann ermittelt man y'₃ — m durch Extrapolation und findet y₃ —

= 9i +1" [ff'i + ⁴zz's + zz'sl — n. Aus xa und ys erhält man einen genaueren Wert von y'₈, er fei = m + h, worin h die Verbesserung bedeutet, die an den ersten anzubringen ist. Der genauere wert von ys

werde mit n + k bezeichnet; es ist n + k = yx + ~ \y\ + 4y'₂ + m

+ h]=n+ w~¹; d.h.es ist die für y₃ erforderliche Verbesserung k=~-

SotftmBetfpiel28,IIIm=-2,6439;n=7,9435;m+/i=-2,3830₅, also h = + 0,2608₅; k = y-0,5• 0,2608₅ = 0,0435, also ber genauere Wert von y₃ = n + k = 7,9870.

Ebenso kann man natürlich bei jedem weiteren Intervall verfahren. Man wende die näherungsweise Lösung durch die Simpsonsche Regel aus eine Reihe der bisher behandelten Aufgaben an.

Aufgaben.

dy

106. i/=yi - yd;für x=0 fei y= 0; w = 0,2.107. y' = -1 + + p + y²; x₀ = 1; y₀ = 0; w —0,1. 108. Warum muß bei der vorigen Aufgabe das Räherungsversahren schließlich versagen?

109.

*⁰⁼⁼⁰’5:ffo=0: w=0,2'

VI. Die einfachsten Typen der Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Erster Typus: y”=f(x).

Beispiel 29. Ein Stab von der Länge l cm ist in eine feste Wand so eingespannt, daß er senkrecht aus ihr heraustritt. An seinem Ende ist die Last P kg befestigt. (Es soll die Formänderung untersucht werden, welche er durch die Biegung erleidet (Fig. 22).

Der obere Teil bes Stabes wirb burch bie Biegung gedehnt, ber untere zusammengepreßt,- eine Schicht bazwi-schen behält ihre ursprüngliche fange; man nennt sie bienen» träte Faser; eine in ihr lie-genbe Linie, bie vor ber Biegung gerablintg war unb senkrecht zur VOanb staub, wirb zu einer Kurve gebogen, welche bie elastische Linie heißt.

5ig. 22.

TF

(Es läßt sich zeigen, baß bie neutrale Schicht burch ben Schwerpunkt bes (Querschnitts geht. Die Belastung möge im Schwerpunkt angreifen; wir wählen bie neutrale Linie, welche burch biefen Angriffspunkt geht. (Er fei (nach ber Biegung) zugleich Änfang bes Koordinatensystems, bie wüchse verlaufe in senkrechter Richtung auf bie Blauer, bie y Achse sei nach oben gerichtet. (In Fig. 22finb bie Achsen, ber Deutlichkeit halber, nach vorn verschoben.)

Jetzt greifen wir einen beliebigen (Querschnitt bes Trägers heraus, beffen Schwerpunkt bie Abszisse x hat. Die Stärke ber Drehung wirb burch bas Biegungsmoment M (= Kraft Kraftarm, 3. S. 37) bestimmt; hier ist M=Px. Damit Gleichgewicht herrscht, müssen bie im Innern bes (Querschnitts entstehenben Kräfte ein gleichgroßes Moment von entgegengesetztem Drehungssinn erzeugen. Die Spannung 6 (in Atmosphären gemessen) ist für jedes Flächenelement dfbes (Querschnitts (Fig. 23) durch bie Verlängerung ober Verkürzung ber betreffenden Faser entstanden; ist a ihre ursprüngliche Länge, A a

ihre Verlängerung, so ist sie nach dem hookeschen Gesetze ö = £y'

wobei die Proportionalitätsgroße L eine Naturkonstante bes Itlaterials, der (Elastizitätsmodul, ist. Die Länge eines kleinen Kurvenbogens ber elastischen Linie 'ist (Fig. 24) a = Q(p, wenn q ber Krümmungsradius unb cp ein kleiner Winkel (im Bogenmaß) ist. Die Faser, welche rj cm über ber neutralen liegt, hat ben Krümmungsradius Q + rj, also ben Kurvenbogen (q -f rj) cp.

Biegung

63

Er ist um r)gj größer als der vorige, d.h. Aa = ,/<x, s <p -

df herrscht, ist (Kraft — Fläche - Spannung) dK=

— <sdf=—das Biegungsmoment, welches sie hervorruft (natürlich auf die neutrale Faser bezogen) dM—tidK — —^das im ganzen Querschnitt herrschende Biegungsmoment M— ^    wo

bei die Summation über alle Flächenelemente zu erstrecken ist. Da für den betreffenden Querschnitt der Krümmungsradius q der elastischen Linie (an der Stelle, wo sie von dem Querschnitt

getroffen wird) konstant ist, so kann man auch schreiben M= — ^ tfdf

Bf*    ®

ober genauer M= - f rf df Das Integral ist aber gerade das Träg-

pj

heitsmoment J des Cjuerfchnittes (3.$.47). Somit ist M —• Damit die elastischen Kräfte der Durchbiegung, welche P allein verursachen würde, eine Grenzesetzen, mutz die Beziehung bestehen — =Px <    1 Px

ober - = g j- _₃

Nun ist q = ±    ⁸ • Bei geringen Durchbiegungen weichen

die Tangenten nur wenig von der horizontalen Richtung ab, yr und

7] E

—• Die Kraft, welche an der Stelle

\Q

Zig. 24.

MP

erst recht (z/')² kann gegen 1 vernachlässigt werden. Dann ist - = ± y",

die elastische Linie ist charakterisiert durch die Gleichung

Da die Kurve offenbar zur XAchse konkav ist, so muß für positive x die zweite Ableitung negativ sein (D. S. 41), es ist also das positive Vorzeichen zu unterdrücken.

Die Lösung dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung geschieht durch zwei Integrationen. Klan findet m dy_ Px*

⁽¹⁾ Tx--2EJ

+ k (2) y =

Px³

Px

±EJ

+ kx + klt wobei k

6EJ

und willkürliche Integrationskonstanten sind. Jede Differentialgleichung zweiter Ordnung hat deren zwei, da ein zweiter Differential-quotient zwei Integrationen erfordert.

Die Jntegrationskonstante einer Differentialgleichung erster Ordnung konnte durch eine Bedingung bestimmt werden, die wir der Lösung auferlegten (3. B., daß die betreffende Kurve durch einen ganz bestimmten Punkt gehen sollte); hier können wir sogar zwei Forderungen aufstellen. Und die liegen bei unserer Aufgabe auch in der Natur der Sache. Für x = 0 muß ja nach der Wahl unseres Koordinatensystems auch y = 0 sein und für x = l muß die Kurve wagerecht verlausen, also y'=0 sein. Für x = 0 findet man aus (2), daß kt = 0

sein muß, für x=l aus (1), daß k = ist daher

pn

2 EJ

ist. Die gesuchte Gleichung

Px* . PP

6EJ^ 2EJ 2EJ

Dr-sS] WD-S-45).

Ist allgemein y"=f(x), so ist g' =sf(x)dx=F(x) + k-,y—fF(x)dx + kx =    (x) + kx + kv 3ur Bestimmung der Integrationskon

stanten sind zwei vorgeschriebene Bedingungen erforderlich, die den speziellen Forderungen der Aufgabe gerecht werden.

Ausgaben.

110.    (Eine Stange aus Flußstahl (£= 2150000) hat, von der Einspannstelle an gerechnet, eine Länge von 1 m und einen Ouer-schnitt von 10 qcm. Am Ende ist sie mit 10 kg belastet, wie groß ist die Senkung des Endes (Pfeil der Biegung) für folgende Formen des Ouerschnitts: a) ein Ouadrat, b) einen Kreis, c) ein Rechteck, dessen horizontale Seite doppelt so groß ist wie die vertikale, d) ein Rechteck mit umgekehrtem Seitenverhältnis, e) einen Kreisring mit der Wandstärke 0,5 cm?

111.    warum liegt der Schwerpunkt des Ouerschnitts in der neutralen Faser?

112.    wie hängen die Spannungen in einem Ouerschnitt von dem Abstande des betreffenden Teilchens von der neutralen Linie ab?

113.    Ein Stab ruht frei aus zwei gleich hohen Stützen, deren Abstand AB = l ist, und ist in der Mitte durch das Gewicht P belastet, wie lautet die Gleichung feiner elastischen Linie?

114.    Man bestimme den Pfeil der Biegung für den frei aufliegenden Träger; die Abmessungen seien so gewählt wie in Aufgabe 110.

Zweiter Typus- y"=f(y).

Beispiel 30. Ein verhältnismäßig dünner und langer Stab, welcher einer Druckbelastung ausgesetzt wird, die sehr nahe in Richtung der

Biegung. Knickung

65

Stabachse wirkt, wird auf Knickung beansprucht. (Es soll ge-funden werden, welche Gestalt die ursprünglich gerade Stab- Ap]s achse dabei annimmt.

Es fei möglich, durch die Stabachse AB (Zig. 25) und die Kraftrichtung PP (die ja nicht genau mit ihr zusammenfällt), eine Ebene zu legen, die Zeichenebene der Zig. 25. Huf den deformierten Stob, dessen mittlere Zaser die krumme Linie ACB ist, können wir genau dieselben Überlegungen anwenden wie in Beispiel 29; das Biegungsmoment in dem (Querschnitt C ^

ist M= Wählen wir die Kraftrichtung zur XHchse, die

Richtung der Husbiegung zur Wüchse, so ist das Moment der äußeren Kräfte für diesen (Querschnitt M= Py. Letzen wir noch q fö ± ~r,, so ergibt sich als Gleichung der gefuchten Linie ACB die Formel EJi/' = -Py oder y" = -~y. Vas

Minuszeichen tritt auf, weil die Kurve zur X Achse konkav ist.

P

Zur Hbkürzung setzen wir^— a².

$tg.25.

(Es ist zweckmäßig, unsere Gleichung mit y’ zu multipli- s ? P zieren; sie wird dann y y"= — u²yy.

y'y” =\tx(z/T; vy'=\j~x(iA also folgt durch Integration (yr)²= — cc²y* + k². Die Integrationskonstante muß stets positiv sein, da (jj'y es auch sein mutz, sie wird daher mit k² bezeichnet.

=    V; yp=i=^; ^arcsinX=x + ki; f =

k    k    k    »

sin cc (x +k{ );y=—sm{ax+cckl)=—smccxcoscc kt+—cos ctx sin cckt

oder, wenn man zur Hbkürzung die konstanten Koeffizienten mit m und n bezeichnet, y== m cos ccx + n sin ccx. Zur Bestimmung der Jntegralionskonstanten m und n bedenken wir, daß 1) für x = 0 die Größe y den Wert p, 2) daß sie für x— /, die Stab* länge, den wert q haben muß (vgl. Zig. 25). Daher ist 1 )p = m;

2) n sin ccl + m cos ccl— q-, n sin ccl+p cos cd— q; n Setzt man diese Werte in den Husdruck für y ein, so erhält man

— 9 — V cos <*1 sin ccl

Aufgaben.

115.    fln welcher Stelle des auf Knickung beanspruchten Stabes ist die Abweichung maximal und wie groß ist ihr Betrag?

116.    Die in Aufgabe 110 beschriebene Stange wird mit 10 kg auf Knickung beansprucht. Km oberen Ende greift die Kraft in der Mitte des Stabquerschnitts an, am unteren ist ihr Angriffspunkt 0,5 cm von der Achse entfernt. Wie lautet die Gleichung der deformierten Mittellinie, wie groß ist die maximale Abweichung von der Kraftrichtung, welchen Winkel bildet die deformierte Mittellinie am Anfang und Ende mit der ursprünglichen? (Bei rechteckigem Huerschnitt soll q einmal der längeren, einmal der kürzeren Seite parallel verlaufen.)

117 Für welchen Wert von P wird y unendlich groß? hat diese Zrage eine technische Bedeutung?

118. Wie groß ist die höchste zulässige Knickbeanspruchung im Falle der Aufgabe 116, wenn man als Sicherheitskoefsi-zienten ^-annimmt?

119. y" = «²y. 120. y"= a*

Beispiel 31. Es soll die Bewegung des Uhrpendels untersucht werden.

p]

5*9. 26.

_ sin ccx y sin al

(q —p cos cd) f p cos ccx.

(Es sei jetzt allgemein y"= f(y). Dann ist y' y"=y' f{y) fjv) dy

dx

. also d (y')⁵= 2/(y) dy; (y')²=s2f(y) dy=F(y) + ft;

—— = dx; x

mz/)+*

hierbei enthält O noch die Konstante k.

VF(y) + k

<z>(y) + *v

Zur Vereinfachung denken wir uns die Masse der Pendellinse in ihrem Schwerpunkt P vereinigt und nehmen an, daß die Pendelstange wegen ihrer verhältnismäßig geringen Masse die Bewegung nicht beeinflußt. (Mathematisches Pendel, Fig. 26.)

Das Pendel wird durch die in P angreifende Schwerkraft in Bewegung gesetzt. Die vertikale Beschleunigung, welche die Schwere verursacht,

Aufgaben. Pendel

67

ist g— 9,81 m/sec², wir zerlegen sie in zwei senkrechte Komponenten, PN und PT. PN liegt in der Richtung der Pendelstange, erzeugt dort eine Spannung PS und wird durch sie aufgehoben. Der wirksame Bestandteil der Schwerebeschleunigung ist allein die Tangentialkomponente PT= g sin <p, wenn <p der momentane Rus-fchlagswinkel ist. Der vom Pendel zurückgelegte weg ist ein Stück eines Kreises, dessen Radius die Länge des Pendels, /, ist. Bezeichnen

ds

wir OP mit s, so ist die Geschwindigkeit in der Bahn v— -^mtb die d²s    d²s    at

Beschleunigung b= • (Es ist also ^j,= — g sin g>.

Das negative Vorzeichen ist rechts zu setzen, weil durch die Schwerkraft s (und auch q>) verkleinert wird.

Da s=Zg>ist, so hat man s’—lcp' und s"—lcp", also

g>"= — y sin g>.

Die strenge Lösung dieser die Pendelbewegung charakterisierenden Differentialgleichung führt auf elliptische Funktionen. Bei kleinen Schwingungen ist aber eine gute Näherung dadurch möglich, daß man sin P — y> fetzt. (D., Näherungsformeln.)

Nus cp"= — -<p folgt nach Beispiel 30

<p— m cos

Yft + nsinYft

Setzen wir als Anfangspunkt für die Zeitzählung den Nkoment fest, in welchem der tiefste Punkt der Pendelbahn passiert wird, so muß

für — 0 auch f= 0 sein. Dann wird cos j/y 1, sin Y also muß in unserer Gleichung für <p die Konstante m den wert 0

besitzen. (Es ist <p—nsin YY'

Der größte Ausschlagswinkel fei g>„ er wird erreicht, wenn der Sinus seinen größten wert, 1, annimmt. Dann ist g>,= n, wodurch die Bedeutung von n gesunden ist.

¹

9377

Ausgaben.

121.    Welche Zeit braucht das Pendel, um von dem tiefsten auf den höchsten Punkt zu gelangen?

122.    welche Zeit verfließt, wenn das Pendel vom höchsten Punkt auf den tiefsten sinkt?

123.    (Es soll die Symmetrie der Pendelschwingungen nachgewiesen werden.

124.    Welche Zeit verfließt, bis das Pendel, von einem höchsten Punkte ausgehend, zum andern gelangt (einfache Schwingungsdauer)?

125.    Wie hängt diese Zeit von dem größten Kusschlagswinkel ab? Wie vom Gewicht und Material?

126.    Wie hängt die Schwingungsdauer von der Länge der Pendelstange ab?

127.    Wie lang muß die Stange eines Sekundenpendels fein?

128.    wieviel geht eine Uhr mit Sekundenpendel täglich nach, wenn die Temperatur um (9° steigt? Die Stange fei aus (Eifert vom Ausdehnungskoeffizienten 0,000012. & fei beispielsweise 5° Celsius.

Dritter Tqpur: y"=f(y').

Beispiel 32. Ein unausdehnbarer, völlig biegsamer Setbett habe den konstanten (Querschnitt q qcm. Sein spezifisches Gewicht sei y Gramm pro ccm. Der Saden ist an zwei Punkten P und Q befestigt und unterliegt nur der Einwirkung der Schwere, welche Gestalt nimmt er an? (Sig. 27.)

(Es ist klar, daß die Kurve in der vertikalebene liegen muß, welche durch die beiden Stützpunkte geht, denn von Seitenkräften, wie sie p z. B. der Wind auf eine Wäscheleine ausübt, sehen wir ab. wir l betrachten ein kleines Sadenftück AB von der Länge ds cm. Sein l Gewicht ist qy ds Gramm. Daß es nicht fällt, bewirkt die Spannung

T\

des Sadens. In A fei sie T gl qcm, 'Mn £ sei sie Tx glqcm, die dort I wirkenden Kräfteerhältman durch Multiplikation mit dem Querschnitt q. Ihre Horizontalprojektionen sind qTcos(p=:q(T

V

aA

und q7\ cos g>,=    ihre

dy

if dx

Vertikalprojektionen q (j^j URÖ q (rS) ' Die Indizes den-_ten an, für welchen Punkt

Fig.27.

Kettenlime

der Klammerinhalt berechnet werden muß. Sie vereinigen sich zu einer (Be« samtkraft, die im Schwerpunkt des kleinen Fadenstückes A B angreift und

Me Komponenten q(r^-q^^nb q(r^)-q(T^)A hat (Minuszeichen wegen entgegengesetzter Richtung), vasür kann man kürzer q&(t g) und g A gj schreiben und schließlich das Zeichen

A durch d ersetzen (3.S.51). Da Gleichgewicht herrschen soll, so muß jede Spannungskomponente der entsprechenden Schwerkraftskompa-nente gleich fein, die in wagerechter Richtung 0 und in senkrechter

qy ds Gramm ist. Man hat die Gleichungen qd(jd^L\= 0 und gd(jg)=gyds. Die Gräße g hebt sich fort; das bedeutet, daß unsere

weiteren Betrachtungen für jeden dünnen ober dicken Faden gleichmäßig gelten. Unsere Gleichungen sind, wenn wir nach durch ds dividieren

Ö>    m Ä(rS)=>’-

+ dy'². Aus (I) folgt rg= k; die harizontalkomponente der Spannung (und auch die der Kraft) ist für jeden Querschnitt gleich groß. Setzt man dies Ergebnis in (II) ein, so erhält man

CO I X

d! (kdi -d£) = kTs O ⁼ r> °der nach Multiplikation mit

(III)    kj~i=y^c=y'\/\ + (g)S• Diese Differentialgleichung

ist dadurch charakterisiert, daß nur der erste und zweite Disserentialquo-tient, nicht die variabeln x und y selbst vorkommen. (Es liegt nahe, den ersten Differenttalquotienten als Unbekannte z aufzufassen, es ist

dann g= z; g^= g- Unsere Gleichung wird aus die erste Ordnung reduziert, sie lautet jetzt

(IV)    ftg=y/l +z⁸. Durch Trennung der variabeln erhält man

Rr Sin z = j (x — x₀) = kt (x — x₀); z = Sin kx (x — x₀). kjieraus findet man sofort y=szdx;

(V)    y — y₀= l Tos kt (x — x₀). Legt man die V-Rchse so, daß sie durch den tiefsten Punkt S der Kurve geht, so muß y'—0 sein für

70 VI. Die einfachsten Typen -er viffereniialgleichungen zweiter Ordnung x— 0; aus der Gleichung y'=Smkt (x — x₀)= 0 folgt x₀= 0. Für x=0 wird danny —y₀= j-; legt man die XAchse so, daß der tiefste Punkt der Kurve von ihr den Abstand Y hat (y — yji so wird y₀= 0 und die durch

21

passende Wahl des Koordinatensystems verein-" sachte Kurvengleichung

0,

(VI) y — -- Los fei x ist identisch mit der der c Kettenlinie (d.$.61 unb98;    3n

Zig. 28.

der Praxis ist (Zig. 28) meistens die höhe der _ „ - Aushängepunkte über dem Erdboden (a und c Meter), ihr wagerechter Abstand 2Z(m) und die Länge des Seiles (2 L Meter) gegeben. Dann muß man, um die Kurve zeichnen zu können,

den Parameter m (— ^-) und die Lage des Achsenkreuzes kennen, aus

(VII) 77 — % = rnCosO-- Für £ = 0 muß 77= a, für £— 21 muß 11= c sein, also ist

(VIII) a-Cos (IX) c-770 = 777 Cos—Ferner ist

Bogen SQ (3. S. 28) = 777 Sin²-^^, SP= 777 Sin also 21 =

777 {Sin ²--—-- + Sin ^ ] • Aus der Definition der Hyperbelfunktionen

überzeugt man sich leicht, daß Sin a + Sin ß = 2 Sin (a + ß) Cos f (a — ß) ist, ebenso Cos« — Cos ß= 2 Sttiy (a + ß) Sin™ (a — ß); Cofa + Cof/3= 2Cofy(a + ß) Cos-|(a — ß). Man findet dann

(X) L=m Sin ^ Cos Durch Subtraktion und Addition der

Gleichungen VIII und IX resultiert

das die soeben abgeleitete Gleichung bezogen ist. wir wählen zunächst ein anderes System, dessen Grdinatenachse der eine Stab ist. von dem das Seil ausgeht, und dessen Abszissenachse die Zußpunkte der beiden Stäbe verbindet. Die Koordinaten eines beliebigen Punktes in diesem System seien £, ?/; die Koordinaten für den Mittelpunkt 0 des gesuchten Systems £₀, %. Dann ist x= £ — £„, y= 77 — t?₀, und die Gleichung der Kettenlinie

io

(XI)    ^=6=mSinlsin^—Z-

2    mm

(XII)    ^- Vo = m dos ^ dof^- In (X). (XI), (XII) ist I, Z,

a, c, b gegeben, m, |₀ und rj₀ gesucht. Indem wir X und XI quadrieren

io -l

und subtrahieren, finden wir I² — b% — m² Sin² ~ j^dof m

Sin² -™J • Die eckige Klammer hat (v. S. 39, stufg. 112) den Wert 1,

VL*-V ~ {• Setzt man ~= cp,

Tt ... c. I l/P-b2 also tft Stn —

(XIII)

zu bestimmen. Das ist mit geeigneten

Tabellen (3. B. denen der Hütte) leicht,- man geht zunächst graphisch vor und wendet dann ein Näherungsverfahren an. Jetzt kennt man

so ist diese Größe aus der transzendenten Gleichung Sin <p yZ?H²

(XIV) 771=— Nus (X) und (XI) ergibt sich durch Division

(XV)    Tg    ~ • Findet man hieraus für den wert 1/-, so ist

(XVI)    §o=/-r- 777 ^. Endlich hat man nach (XII) — i?₀ = mdof^Sin^dtg™;

'    77Z    771    777

(XVII) »Zo=⁵y£-L<rtg«p.

Ausgaben.

129.    Zwei senkrecht auf der Ebene stehende Stangen haben die Länge von 3 m und sind 5 m voneinander entfernt. Ein Seil ist 7 m lang und verbindet die obersten Punkte der Stangen. Wie lautet die Kurvengleichung?

A\

130.    vom Dache eines dreistöckigen Hauses (— 16 m) geht eine Telephonleitung aus. Ein Draht ist gerissen, sein freies Ende ist 6 m vom Hause entfernt, in 1 m höhe befestigt, welche Kurve beschreibt der Draht, wenn seine Länge 21= 18 m ist?

181. Der Draht im Fall der vorigen Rufgabe berührt, wenn er frei herabhängt, den Erdboden in 6 m Entfernung vom Hause, wie 1mg ist der in der Luft schwebende Teil?

132. wie lautet die Gleichung einer Kurve, deren Krümmungsradius stets den konstanten Wert a hat?

133.    (Es soll der freie Fall untersucht werden, wenn der Luftwiderstand der nten Potenz der Geschwindigkeit proportional gesetzt wird.

vierter Typus: y'=f(y',x).

Beispiel 33. y"= y' -    + 2x.

Man setze y' = z, also y" = dann ist ™ = z — x² + 2x.

134.    (Eine Spiralfeber ist an beiden Enden so befestigt, daß sie sich in mäßiger Spannung befindet. Ihr Mittelpunkt wird gewaltsam ein Stückchen nach dem einen Ende hin bewegt und dann freigelassen. Die auf ihn wirkende Kraft ist proportional feiner Entfernung von der Ruhelage. Wie verläuft die Bewegung? (Elastische Schwingungen.)

Das allgemeine Integral dieser vollständigen linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist (vgl. S. 2 7 f.) z = x² -+ k e*. hieraus findet man durch Integration y— \xs-\-kex + ki.

Im allgemeinen Falle macht man dieselbe Substitution, löst die entstehende Differentialgleichung ^ = /"(z,x), so daß man z = <p (x, k) hat und integriert dann noch einmal; y=J<p (x, k) dx + kv

Ausgaben.

135. y" = y' + ex. 136. y"= — 2y' + ex.

137.    g"= ^ + x sin x.

138.    Ein Körper bewegt sich geradlinig unter dem Einflüsse einer Kraft, welche der Geschwindigkeit direkt und der seit Beginn der Be-wegung verflossenen Zeit umgekehrt proportional ist. Wie hängt sein Weg von der Zeit ab?

Zünsler Typus: !/"=/ü/,z/).

Beispiel 34. Bei welcher Kurve ist die Normale (vom Kurvenpunkt bis zur Abszissenachse) gleich dem Krümmungsradius? verlängert man in Fig. 9 NP über P hinaus bis zur XAchse, so

i + (y'Y

• Es

findet man für das gesuchte Stück leicht den IDerty )/l -+ (y')⁸; es ist daher±    =y]/l + (yV oder y"

fei wieder y'= g= z; dann isty"=~dl= H    -- wir

erhalten aus unserer Gleichung, wenn mir nur das positive Vorzeichen berücksichtigen,

1 4- z²

——, eine Differentialgleichung ersten Grades zwischen

dz

Zdy~ znnby. Sie ergibt z dz

l+z¹

f. KiHM' + A

±dx; x — x₀= ftctrLos;

-i;

ftdy

yy²-*²

y=ft(Eof (—"^—) (Kettenlinie).

Berücksichtigt man in der Ausgangsgleichung nur das negative z_ l + z²

z “ y '

Vorzeichen, so wird

z dz dy ,

—⁼y;Zn

l+z²'

--2+n(l + z⁸);^ =

yi+z

=; i+z

2__

k²

i2i

z-±yF-i=±

T/fe⁸-y²,

ydy

yfe²-»²

dx;

x —*o=± ^

9 <*9

+ /ft² —y⁸, also (x —x₀)⁸ = ft² —y⁸;

Vk'-if

(x — x₀)⁸ + y?= ft⁸. Das ist die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt aus der Abszissenachse liegt. Daß diese Kurve die verlangte Eigenschaft hat, ist aus der Elementargeometrie klar, von der Kettenlinie wurde sie früher (D. $. 98) nachgewiesen.

Allgemein wird die Gleichung y” = f(y\y) derart behandelt, daß

manczi=z setzt- Dann ist ^,=    - z; also z^J= f(z, y). Diese

Gleichung integriert man, d.h. man bestimmt z=<p(y,k)-, dann ist dx. Durch Integration erhält man jetzt die gesuchte Beziehung zwischen x und y.

Ausgaben.

139. Bei welcher Kurve ist der Krümmungsradius doppelt so groß wie die Normale?

149. y" = y' (y + a). 141. y"

(9 + 9

1+9²

- 142. y" = (y')sZny.

VII. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

von der verkürzten linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

(1) g" + X, g’ + X₂g— 0 (ogl.S. 14; verkürzt, weil das Glied X fehlt) feien zwei verschiedene partikuläre Lösungen, g, und g , bekannt. (Es ist also (2) g," + X, g/ 4 X₂ g, = 0 und (3) g₈" -f g/ + X,y₂=0. Multipliziert man (2) mit ft,, (3) mit ft₂ (ftx und ft2 sind willkürliche Konstanten) und addiert, so ergibt sich

(&i y\ z/2) " ^ -Xi (&i 2/i k₂ 2/2)    -^2 (&i 2/i    ^2 2/2) ⁼⁼ 0.

(Es ist also auch r/ — ft,4- k₂y₂ eine Lösung der vorgelegten Gleichung, und zwar die vollständige, da sie zwei willkürliche Konstanten enthält. Durch Spezialisierung erhält man aus ihr die partikulären Lösungen; für ft,= 1, ft₂ = 0 wird z/=z/,; für ft, = 0, ft₂= 1 wird y=y₂.S0 ist z. B. in y" + a*y — O eine partikuläre Lösung y₁ = sin ecx, eine andere z/₂ = cos ccx, die üollftänbig y= mcosccx nslnccx (Beispiel 30).

A. verkürzte lineare Differentialgleichungen mit konstanten Uoessizienten.

(Es sei vorausgesetzt, daß die Koeffizienten konstant seien. Xt — a, X, = b, also y" + ay -f by— 0. wäre das Problem von der ersten Ordnung, y’ + ay= 0, so wäre y= e~~ax eine partikuläre Lösung; wir versuchen, ob hier vielleicht y= ecx bei passender Wahl von c die vorgelegte Gleichung befriedigt. Führt man die Differentiationen aus, so ergibt sich c²ecx -4- acecx + becx= 0; ecx (c² 4 ac + ft)= 0. Da ecx für endliche werte von x nicht verschwinden kann, so muß c* + ac + ft=0 sein. Unser Unsatz ist richtig, wenn wir c aus dieser quadratischen Gleichung bestimmen.

Beispiel 35. z/"-3z/' + 2y= 0.

wir setzen y= ecx und finden ecx (c² — 3 c -4- 2) = 0, also entweder c— 1 oder c= 2. Da e* und e2x partikuläre Lösungen sind. so ist nach dem vorigen Satze die allgemeine Lösung y = ft, e* 4- ft₂ e2x.

Beispiel 36 .y"+y= 0. Man findet c²+l = 0,c= ±Y~T= ± z,

ly j? y2    j'S yJ

also g =    e'* + ä₂    (Es ist aber e'x = 1 + y, + yp + yp

₊ ^-⁴    1 ; /S= i . ,2= - f; ,1= j* ■    + 1 ; Z⁵= z⁴ • Z

=i; z⁶=i⁴ • f³=-1 uff.,dfoe«=l-*-’+*-,+•••    • •)

—    cos x + i sin x und entsprechend e~ix= cos x — i sin x. Die allgemeine Lösung wird y=kl (cos x + z sin x) + ft₂ (cos x — z sin x)

—    (ft, + ft₂) cos x + z'(ft, — ft₂) sin X. Führt man neue Konstanten ein, nämlich ft, + fe₂=m; z (ft, — ft₂)= n, so ergibt sich, wie in Beispiel 30, y = m cos x + n sin x-

Beispiel 37. y” - 4 y' + 5y= 0; cs - 4 c + 5 = 0; c,= 2 + i; c₂ = 2-z, y= ft, c(²+i^ + ftägt²-ö*=ft,g²*-cf* + ft₂c²*c-‘* — ft, e²* (cos x + z" sin x) + ft₂ e²* (cos x — z sin x); y= (ft, 4- ft₂) e² * cos x + z' (ft, — ft₈) e² * sin x= m e2 x cos 4- n e2 xsin x.

Beispiel 38. Bei einer elastischen Schwingung wirke außer der elastischen Kraft noch eine Dämpfungstraft (z. B. der Luftwiderstand), welche der augenblicklichen Geschwindigkeit proportional ist. Wie ver-läuft die Bewegung?

dx

dP

(Es ist, wenn wir die Bezeichnungen der Aufgabe 134 annehmen, dt\ i ist der konstante Proportionalitätssaktor der Bremswirkung, wir setzen x=ect und erhalten c²+ lc + fc²= 0,

“2

-n-*-

also c,= — ^ +j/j — ftsl c₂ =

3

1. Fall.

T — ft⁸ ist positiv — + y², dann sind c, und ca reelle

⁴    li    lt

__ ll _1_ y £    _    — —.yf

Zahlen; x = kx eCli + k₂ ec^= kx e ²    + e ²    =

e ² [ft, (Eofy t + ft,Siny t + ft₂(Tofy t—ft₃Smyf];x= c ² [m Cos y t 4- nSin yt], wenn ft, + ft₂ — m, ft, — ft₂ = n gesetzt wird. Soll für

t— 0 der Ausschlag x— 0 sein, so ist m= 0, x— ne ² Sinyf; soll

für t— 0 auch v

= zz₀fein,foiftn[— ² Siny< + y e ² Losy

— vg, also ny = v₀; n— x—^e ² Sinyk.

2. Fall. — ft² sei negativ, — — y², dann sind c, und c₂ Ion-

lt .. /t -- — yit — -

² (kx cos y t

+ k₂e ²

+ iftj sinyf + k₂ cosyt-^ik₂sinyt); x^e ² (mcosyt + nsmyt).

jugiert komplex. x— ft,e 2 +y‘f

Soll xftir t— 0 verschwinden, so muß m= 0 fein; x= ne soll v für t = 0 den wert v₀ annehmen, so muß ny=v₀ fein;

n

² sinyZ;

_«

x= je ² sinyZ.

Die Bewegung ist ' 'er periodisch (vgl. D. S. 59), im ersten Fall

Z*

nicht.

Z.Fall j — ki= 0. Jetzt wird c, — c₂ und unser verfahren, welches die Verschiedenheit der partikulären Integrale forderte, ist hier nicht anwendbar.

it

Für einen kleinen wert von y geht die allgemeine Lösung in

lt

x=e ² (m + nx t).

Bei unsern Anfangsbedingungen erhält man schließlich x = vQte ². Die Bewegung ist aperiodisch wie in Fall I.

5<tH 1 und 2 über in <? ² [m + nyt] (Reihenentwicklung!). Läßt man y sehr klein und gleichzeitig n sehr groß werden, so kann man für n y im Grenzfall die neue willkürliche Konstante nt einführen und hat für y = 0

Ausgaben.

143.    Klan zeichne das Zeit - Weg - Diagramm der gedämpften Schwingungen, wenn y₀ = 10 cm/sec, k=l, und / der Reihe nach 1,6; 2; 2,5 ist.

144.    wie wird eine elastische Bewegung durch eine konstante Kraft K (z. B. die Reibung zwischen festen Körpern) beeinflußt?

145.    (Ein Körper überschreitet, von links kommend, zur Zeit t=0 mit der Geschwindigkeit v₀ den Anfangspunkt des Koordinatensystems. Seine Bewegungsart entspricht der vorigen Aufgabe, welche Grenzen hat seine Bewegung und wann werden sie erreicht? (Beispiel v₀ = 10, k=\, L— 2).

146.    Klan verfolge den Weg des Körpers und seine Geschwindigkeit, von der linken Ruhelage ausgehend, so lange, bis er wieder feine linke Ruhelage erreicht.

wir sehen aus den letzten Aufgaben, daß sich eine lineare Differentialgleichung von der Form y" + ay' + by= c stets auf den einfacheren Fall, daß die rechte Seite verschwindet, zurückführen läßt.

(Es ist y" + a y + b (y —    = 0; setzt man y -

0*1 n

= z, so wird

y' — z\ y" — z", also z" + az' + bz = 0.

rem

So tritt bei der Berechnung der Festigkeit von Röhren unter äuße-Überdruck (Föppl, Festigkeitslehre) die Gleichung auf

E® af* = Mo+pcy₀-(pc+~) y. Außer x, y und y” sind hierin

alle Größen konstant. (Es fei (pc +    £<9 = 6; (M₀ + pcy₀):E®

—    c. Dadurch wird die vorgelegte Gleichung auf die Form y" + by

—    c gebracht;z=U —    z" + 6z=0; z = Asin Ybx + B cos 1/bx,

y = Ejr z, mithiny —    P£(!j + A sin Yb x f Beos Yb x.

. verkürzte lineare Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten.

Beispiel 39. Bei der Berechnung dickwandiger Röhren kommt die

fl % 11    d 11

Differentialgleichung x² + x — u = 0 vor. (Föppl.)

Statt ihrer untersuchen wir die Gleichung erster Ordnung x 5^ — u = 0 oder besser die allgemeinere x = tu, wobei r eine

dx    riu rdx aX

beliebige Konstante sei. hier ist — — v , also lnu=rlnx + lnk;

r (r-1) xr

XTXr

u = kxr, speziell u — xT. EDir prüfen, ob sich diese Annahme vielleicht auch hier bewährt. Aus u = xr folgt u' = rxr_1; u" — —²; man erhält beim Einsetzen x²r(r — l)xr —2 + — xr = 0, also, wenn man durch xr kürzt, r (r — 1) + r —1 =0; r² —1 = 0; r, =+ 1, r₂ = —1. Ls ist daher sowohl

x roie — eine partikuläre Lösung, die allgemeine ist nach S. 74 y = k₁x+~-

Aufgaben.

d*u

147.    Bei der Berechnung kugelförmiger Gefäße (Föppl) erhält man djc, + 2x^ — 2u = 0. wie heißt die allgemeine Lösung?

148.    ^^ + 9x^+\2y = Q.

X²— h X2+h

Beispiel 40. x²    + 4y=o.

Wir setzen y = xT und erhalten die Gleichung r(r — l) + 5r

fc

+ 4 = 0. Sie hat die Doppelwurzel r = — 2; y = ~\ ist zwar eine

Lösung, aber nicht die allgemeine da, diese zw ei willkürliche Konstanten enthalten muß. Wir nehmen an, daß unsere Gleichung für r aus einer von ihr wenig verschiedenen entstanden sei, welche die Lösungen r, = — 2 + A, r₈ = — 2 — A lieferte, wobei A eine kleine Zahl be-

(k₁x+h+ktx-h).

h

deuten möge. Dann ist y —    ¹

<ts\\txh=ehlnx,x~h—e~hlnx. Der Klammerausdruck wird, wenn man (wegen des kleinen ± A) nur die beiden ersten Glieder der Reihenentwicklung benutzt (D. S. 70) A, xh + kix~h = k₁ (1 + hlnx) + Az (1 —hinx) — (Aj + Az) + lnx(A, — k₂) h. Ist A noch so klein, immer kann A, — A₂ so bestimmt werden, daß (k₁ — A₂) h endlich bleibt, es müssen nur A, und Az groß und von entgegengesetztem Vorzeichen angenommen werden. Stets kann man es dann einrichten, daß A! + Aj endlich bleibt (als Differenz großer Zahlen), wenn die absoluten werte von Ax und A₂ sich nur um einen endlichen Betrag unterschei-

Az--500002, Az = -500 000, so ist

1000000'

den. Ist z.B.A —

A (Aj -- Ag) ~ 1, *! + Ä₂ = 2. (Es ist also yra~(A + Blnx), wenn man Aj + Aj = A, (A, — k%)h — B setzt. Im Grenzfall (A = 0) erhält man als allgemeines Integral y = ^ (A + B ln x). Klan kann durch (Einsetzen in die gegebene Gleichung leicht die Richtigkeit bestätigen.

149. x²-*¹

Ausgabe.

dy

dx^axTx + bU⁼⁰-wir hätten auch anders vorgehen können, um in Beispiel 40 die

allgemeine Lösung y zu finden, wenn die partikuläre y, = bekannt war. (Es ist xsy" + 5xy' + 4y= 0 und ebenso X²y" + 5xyi + 4y, = 0.

Multipliziert man die obere Gleichung mit yi, die untere mit — y und addiert sie, so ist x² (y"y, — y"y) + 5x (y’yl — y/y) = 0.

- — M

wir setzen y'yt — y/y = u, dann ist u' = (y"y₁ + y'y/) - (y/'y + y/zz') = 9"ffi-ffi"9, daher erhalten wir

x⁸n' + 5xzi = 0obet*™ + 5u = 0; ™ = — lnu = — 5 ln x + ln c^, u = —.

9'9, — Bi'9_ u.

Anderseits ist ^(f)

x⁶'x*

9?

9?' <**\9i/

“ = Cj lnx + cs; y = ^5(c₂ + c, lnx).

Schreibt man A statt c₂ und B statt c„ so hat man das frühere Ergebnis. Das eben geschilderte Verfahren läht sich auf jede verkürzte lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung anwenden, es fetzt nur voraus, daß ein partikuläres Integral bekannt ist.

150. Man führe den Gedankengang der letzten Bemerkung bei der Differentialgleichung y" + Xx y' + X₂ y = 0 durch, in welcher Jf, und X} gegebene Funktionen von x sind; yt sei eine bekannte Partikularlösung.

c. vollständige lineare Differentialgleichungen.

Beispiel 41. Auf einen elastisch schwingenden Körper (Aufgabe l 34) wirkt eine periodisch an- und abschwellende Kraft (z. B. die Luft-schwingungen , welche eine Stimmgabel erzeugt). (Es soll seine Bewegung untersucht werden. (Erzwungene Schwingungen.)

Die von dem fremden Körper herrührende Zusatzbeschleunigung ist von der Form Z⁸ sin U, wobei die Konstante Z⁸ die Stärke und 1 die

2%

Periode charakterisiert; nach der Zeit -j- wiederholt sich der Vorgang,

welcher die ursprüngliche Bewegung beeinflußt. (Es ist xn ----- —k*x +1* sin A t] x,r -f ft² x = Z² sin A t.

(Es liegt nahe, an die Lagrangesche Variation der Konstanten zu denken, welche die Lösung unverkürzter linearer Differentialgleichungen erster Ordnung gestaltete. Wäre in unserem Falle die rechte Seite gleich 0, so könnten wir das (Ergebnis sofort hinschreiben; die Gleichung x" + k% x = 0 hat die Löiung x = m cos k t + n sin k t m und n fassen wir jetzt aber nicht mehr als Konstanten auf, sondern als Funktionen von t, die so bestimmt werden sollen, daß y der unverkürzten Gleichung genügt. Dazu genügt es aber, wenn nur eine dieser Größen variiert wird; rechnen wir mit beiden, so können wir

ihnen noch eine beliebige Bedingung vorschreiben, ohne daß die Rechnung an Allgemeinheit einbüßt. Jetzt ist (I) * = m cos kt + n sin kt, x' = rrl cos kt — mksinkt + rlsinkt+nk cos kt.

(2)

(Der Strich bedeutet die Ausführung der Differentiation nach t) Machen wir jetzt von unserm Recht Gebrauch! Wir schreiben vor: rrl cos kt + v! sin kt = 0.

Dann vereinfacht sich xr auf den Ausdruck

(3)

x' = — m k sin kt + n k cos kt.

(4) x,f = — m!k sinkt —mk² cos kt + vl k cos kt— nk² sinkt. Jetzt setzen wir (4) und (1) in öie gegebene Differentialgleichung ein — m' k sin kt — mk²cos kt + n' k cos kt — nk² sin kt + mk²cos kt + nk² sin kt = l² sin X t

(5)

— ml sin kt + rl cos kt —

sin A1

Aus (2) und (5) finden wir rrl und rl. wir multiplizieren (2) mit cos kt (5) mit — sinkt und addieren, dann erhält man (6) nl =

— sin As sin ft/. Wählt man sin ft/ und cos kt als Faktoren, so /2

entsteht n' j sin 11 cos kt.

— ^ [cos (A + k) t — cos (A — k) t]

[sin (A + k) t + sin (A — k)t], also

]₊,

~sin (A + ft)/ sin (A -k)t A + ft

cos (A -\-k)t cos (A - ft) /

_ Ä+ft

A und B sind Integrationskonstanten. Diese Werte sind in (1) einzutragen.

(6)

(7)

n = 2k

X-k

]+ß

l¹ r sin (A -\-k)t cos kt — cos (A + ft) / sin k t

X ~ 2k L    X + k

J + A cos kt + B sin kt.

wendet man wie oben die Formeln sin (« + ß) an, so erhält man Zs rsinAZ sin Ar

sin (A — k)t cos kt-\- cos (X — k)t sin kt

A- k

+ AcosftZ + Bsinft/.

X 2k LA + fe ..

Der Inhalt der eckigen Klammer ist sin A f I

2 k sin A t . u    L

daher

X-k

X+k X-k

A⁵ — ki

(8)

V-k*

Ist allgemein die Gleichung

Variation der Konstanten - sin X t + A cos kt + B sin kt.

ai+^si+*•»=*»

gegeben, so löst man zuerst die verkürzte Gleichung

3 + Xiäi⁺^y = 0; sie liefert (vgl. S. 74)

(c) y = mf(x) + n(p (x). Jetzt faßt man m und n nicht mehr als Konstanten, sondern als passend zu bestimmende Funktionen von x auf: yr = m! f+ ms + nr v + n<p\ und setzt m! f+vl cp — 0, so daß y' = ms + nq> wird, hieraus folgt

(ei) y" — m’s + m fn + r! q>' + n q)n. Durch Einsetzen in (b) entsteht mf"+n q>" +m,s+ ri q>' + X±ms + X±n(pr + X₂mf+ X₂ nq> = X$.

(f) Cms' + nq>" + X₁ms + X₁ncp¹ + X₂mf+ X₂nq>) + m¹ s + n} 9/ = X₃. Da aber (c) die Losung von (b) darstellt, so ist der Ausdruck, den man erhalt, wenn man (c) in (b) einsetzt, gleich 0; in (!) verschwindet die Klammer, und rrl und nf können aus den Gleichungen m! f+ nf q) = 0

(!) m' s + n! q)’ = X3 bestimmt werden. Ist dies geschehen, so bildet man durch Integration m und n, setzt die werte in (c) ein und hat die vollständige Losung von (a).

Aufgaben.

151. In Beispiel 41 werde dieperiodische Störung durcheinebeliebige ersetzt, wie lautet die zugehörige Differentialgleichung und ihre Lösung? 152. y" +\0yf +\6y = ex.

153.    y" + 2ay' + b²y = ehx; b sei von a verschieden.

154.    a und b in Hufgabe 153 seien gleich.

155.    Bei der Berechnung der Lavaischen Dampfturbine kommt die

m d³x c dP

(a)

(b)

(d)

(e)

(d)

dy

■f x = — e cos ut vor; wie heißt ihre allgemeine

Gleichung

Losung? 156. ™yn + y = — esmut.

Wenn von einer unverkürzten linearen Differentialgleichung yn + Xti/ + X₂y = Xz ein partikuläres Integral yx bekannt ist,

flnu<5 589: Cinboro, Differentialgleichungen

Durch Subtraktion ergibt sich (y - y,)" + X₁(y — y,)' + X₂ (y - y,) = 0. 3ft hieraus y — y^ — f(x) bestimmt, so ist das allgemeine Integral y = f(x) + yv

so führt die Aufsuchung des allgemeinen auf eine verkürzte Differentialgleichung. Es ist dann nämlich

y" + X₁y'+Xiy = Xs, y^-bX.y’ +X,yi = Xr

157.    von der Differentialgleichung y¹' ay= — bx nimmt man an, daß yx = cx bei passender Wahl von c ein partikuläres Integral sei. Die Vermutung soll geprüft werden, und, wenn sie sich bestätigt, soll das allgemeine Integral angegeben werden.

±x^-<p = -Nx*

(Theorie der kreisförmigen Platte) ähnlich zu behandeln. Vermutung <p₁ = CX³.

158.    Man versuche die Gleichung x²^

VIII. Näherungsmethoden für Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

A. Entwicklung durch Potenzreihen.

Vas auf S. 53 dargelegte Verfahren läßt sich ohne weiteres auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung anwenden.

Beispiel 42.    ^ + y = o. wir versuchen die Lösung durch

den Ansatz y— a + bx + cx² + ex⁸ + fxA + yx⁵ + • • •• Dann ist y' = b + 2cx + Zex² + 4/x³ + 5 gxi + • • •. y" = 2 c + 6 ex + 12 fx² + 20yx³ + 30/zx⁴ + • • •. Faßt man die gleichhohen Potenzen zusammen und ordnet, so erhält man y" + ™ y' + y = ^

+ (2c + 2c + a) + (6<? + 3e + 6)x + (12/-+4/-+c)x³ + (20y + 5y + e)x³ -V (30 A + 6h + f)xi + • • Da dieser Ausdruck identisch verschwinden soll, so müssen alle Koeffizienten — 0 fein; also Ö = 0; C    f⁼ i6^⁼"i"64Q'l 9⁼    25^⁼®'

86 f~ 23Ü4 a ' ' ' •

x⁴

xe

/ X²

2*~ 2* ■ 4²    2²•4*• 6⁸

Aufgaben.

159. y" = x²y. 160. xy" + y'+y=0.

±- - (vesselscheZrilinder-

y = sl(l funktionen.)

ß. Lösung durch die Simpfonsche Formel.

(Es sei eine Differentialgleichung von der Form y" — <p (y, y, x) gegeben, welche als Konstanten nur bestimmte Zahlen, keine Buchstaben (a, b, c ■ ■ ■) enthalte. Wenn sie allen versuchen, ihre Lösung „exakt" nach den bisherigen oder andern Methoden zu finden, Trotz bietet, so können wir sie durch die Simpsonsche Regel mit beliebiger Genauigkeit näherungsweise integrieren. Vas Verfahren unterscheidet sich von dem auf S. 55 f. geschilderten nur dadurch, daß noch eine zweite Integration notwendig ist; diese macht aber gar keine Schwierigkeiten.

(Es sei für einen Wert von x, nämlich für x — a der Wert von y, y = b und der von y' (= c) gegeben. Dann ist (y") _    —

cp (c, b, a), also bekannt (— d). Wir wählen ein passendes Intervall w für die XAchse aus und suchen zunächst die Werte für x = a + y u>; sie seien bezeichnet mit y,A, y,A', y,". Die letzte Größe wird extrapoliert; in den meisten Fällen ist man zu der Annahme berechtigt daß sie nahezu gleich (y") _ , also gleich d ist. Dann ist y,A

-C+U

a + '/iW    X~a

,A") (Trapezregel!). Ferner ist y,A = = Z> +Jy' dxPäb + j (c + y,j’y Mit den so gefundenen Näherungs-

a

werten von y,A' und y% läßt sich y1;" genauer berechnen; es ist y," — cp(yt/\ y,A, a + {ir). Jetzt wiederholt man das Verfahren, bis eine neue Wiederholung keine Verbesserung mehr bringt.

Durch Extrapolation findet man nun für x = a + w den Wert y".

a-\- w

Dann ist y/= c +Ji>j"dx, also nach der Simpsonschen Regel y/ss

a    a + tv

P» c + ~ [d + y/' + 4y1/a"] mby₁ = b+Jy' dx£2 b + ~ [c + y/

a

+ 4yA'].ctus diesenRäherungswerten bestimmt many₁"—cp(y₁',y₁,xi) genauer und wiederholt das Verfahren genügend oft.

a + 2m

84 VIII. Näherungrmethoden für Differentialgleichungen zweiter Grdnung Man extrapoliert für x—a + 2wbm Wert y". Darauf hat man

a-\-2w

92

= c+fs dxK.c + ~[d + g₂" + 4y/']; y₂ = b+fy’ dx =

tu a    a

ö + y [c + y₂ + 4 y/]; y₂" wird genauer als vorher berechnet; y"=

<P (yj, y₂, a + 2m). Dann geht man das Rechenschema bis zur völligen Übereinstimmung durch.

a + 3m

Jetzt wird y₃" extrapoliert (x = a + 3 w). Dann ist ys' —

+fli'dx'Z, 9i'+1 [9i"+9s" + ⁴9₂"]; 9s

a + 3m

9i

=9i + I y' dxPäyt +

a + zv

+ I” Ü/i' + 9s' + ⁴ 9i']; der genauere wert von y₃" ist gleich

9> (y₃', y₈, a + 3zy). Der weitere Gang verläuft entsprechend.

Verspiel 43. (Ein Sekundenpendel (Rufgabe 127) wird so hoch gehoben, daß die Pendelstange wagerecht liegt. Dann läßt man es, ohne ihm eine Anfangsgeschwindigkeit zu erteilen, fallen. Der verlauf der Bewegung soll verfolgt werden.

Die in Beispiel 31 (S. 66 f.) abgeleitete Differentialgleichung

q>" = — j sin <p gilt auch hier, es ist aber nicht mehr gestattet, sin <p— zu setzen. DadasPendelbeikleinenKusschlägenzueinerSchwingung

eine Sekunde braucht, so ist    I, j =mä, also

cp" — — re¹ sin <p = — 9,8696 sin cp.

Für t = 0 ist cp = — 90° = — cp' = 0 (6a 6te Anfangsgeschwindigkeit s' =l<p' = 0 ist), <p" ist + 9,8696.

iv = 0,05. wir extrapolieren cp— 9,8696; dann ist g>,A

Als Intervall wählen wir den zehnten Teil einer Sekunde; w = 0,1;

0,05

0,4935; (p^ =

0 +f p"dt m 0,025 [9,8696 + 9,8696]; <p^=

0,05

2

— 89° 17' 40". Hieraus folgt ein genauerer Wert von nämlich

Pendel mit endlichen Schwingungen cp," = - 9,8696 sin (- 89° 17' 40"); tp1/r "= + 9,8690. Er liefert die werte <p^ = 0,4935; <p% = - 1,5585 = - 89° 17' 40". Da dieser wert schon vorher zur Berechnung von cp" diente, ist eine weitere Wiederholung unnötig.

cp" ist von 9,8696 auf 9,8690, also um 0,0006, gefallen; es wird der zu extrapolierende wert cp" ungefähr 9,8684 sein. Dann ist 90/

0.1

= 0+s<p"dt=^°A

0 0,1

<p₁ = - 1,5708 +J;p' dt Rd

-f [9,8696 + 9,8684 + 4 ■ 9,8690] = 0,9869;

- 1,5708 + ~ [0 + 0,9869 +

4 • 0,4935] = — 1,5215 = - 87° 10' 30". hieraus cp" = 9,8577. Jetzt wird (ptr = 0,9867; wie vorher. Wiederholung zwecklos. Trotzdem der extrapolierte wert für cp" recht ungenau war, führt die Rechnung schnell zum Ziel.

Die weiteren Ergebnisse sind in der folgenden kleinen Tabelle niedergelegt, die man von vornherein sich anlegen kann, wenn man die noch unsicheren werte erst mit Bleistift hinschreibt und nachher durch die endgültigen, welche mit Tinte eingetragen werden, ersetzt.

t (sec)

9>°

0,0

0,05

0,1

0,2

0.3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

-90°

-    89° 17'40" -87° 10' 30"

-    78° 42' 30"

-    64° 43' 40"

-    45® 40' 40"

-    22° 39' 20" + 2° 30'20" + 27° 25' 40"

49° 47'50" 67° 54'10" 80° 49' 20" 88° 10'40" 89® 53' 30"

cp (absolut)

-1,5708    0

-1,5585    0,4935

-1,5215    0,9867

-1,3737    1,9660

—    1,1297    2,9033

—    0,7973    3,7140

—    0,3954    4,2690

+ 0,0438    4,4419

+ 0,4787    4,1867

0,8691    3,5701

1,1851    2,7253

1,4106    1,7747

1,5390    0,7925

1,5689    -0,1943

ft

9,8696

9,8690

9,8577

9,6785

8,9250

7,0609

3,8016

-0,4315

-    4,5462

-7,5380

-9,1448

-    9,7433

-    9,8646

-    9,8696

(5ig- 29.)

Zur probe kann man die Differentialgleichung auf beiden Seiten mit

'0,1

1,1

•0#

1,0\

>0,3

Sig. 29.

0,9.

0,8

>0,4

0,5

0,7

0,6

<p' multiplizieren und dann integrieren; man erhält -f(<p')¹ + C = = + n² cos <p. Für t=0 ist gp= — 90° und cp' = 0, also muß 6—0 sein; q>' =    2 cos cp. Die halbe Schwingungsdauer findet man,

wenn man y> als <! abhängig von t 2-graphisch darstellt j.

Slg.ro.

(Zig. 30) und fest- 0 stellt, wann P—0 wird; es geschieht -1-für t= 0,59. Mt-L einem genaueren Interpolationsverfahren (vgl. v. Landen, praktische Analysis) ergibt fid) aus den berechneten werten von cp, daß t--0,5902

7t

= 1 sl_ d{p

y yi

ist: es läßt sich zeigen, daß der strenge Wert

<P ist; er stimmt mit dem Näherungswert innerhalb der oter Stellen nach dem Komma völlig überein.

Beispiel 44. Die ballistische Kurve. Ein Geschoß verlasse mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀ m/sec den Geschützlauf, welcher mit der Horizontalen den Winkel a° bildet. (Fig. ZI.) Zerlegt man die Bewegung in eine horizontale (x) und eine vertikale (y) Komponente, so wirkt in jedem Punkte der Bahn die Beschleunigung der Schwere mit § — 9,8 l m/sec² nach unten, also nur auf die verti-

kale Komponente. Sehen wir vom Luftwiderstand ab, so lauten die Bewegungsgleichungen dti — 0 und

fchleunigung nach unten zieht).

hieraus ergibt sich sofort x=kt + kl; y= — \gti + lt + lv Zur Bestimmung der Jntegrationskonstanten k, ku /, Z, beachten wir, daß zur Zeit Z = 0 das (5e=ryl schoß den Laus verläßt, für = 0 ist x= 0, y = 0, x    dy

^-=y„cos«, ₅y=v₀smo:;

alfofc₁=Z₁=0;ft=y₀cos «, ti Z = v₀ sin «, mithin x = l y₀Zcosa; y = — y y Z² + ~ y₀ Z sin «. Es läßt sich leicht

d*y

Vr

g (minus, weil die Be«

5ig.31.

v₀ cosa

zeigen, daß die Bahnkurve eine Parabel sein muß. 3n $tg. 32 ist sie für v₀ = 100 m/sec, « = 30° gezeichnet; es ist die längere der beiden Kurven.

Jetzt wollen wir denLuftwiderstand berücksichtigen; seine Größe Ar

150

100

.7

so

WO

wo

500

5fg.32.

fei in einem beliebigen Bahnpunkte = — w (negativ wegen der Bremswirkung). Dann ist feine horizontale Komponente — w cos , seine vertikale — w sin ccx, wobei ccx den momentanen Steigungswinkel der

Kurve bedeutet, wir haben tg «i =    » sin ^    ^

(vgl. z. B. Zig. 27), also

dx

' C0Sai =ds

d*x    dx d*y    dy

dt} ~~~w~ds '' ~dtt~~ — g ~WJs'

Bei mäßigen Geschwindigkeiten ist w der Geschwindigkeit selbst pro-

H ci

portianal; iv = Zr dt\ fe² ist eine Naturkonstante. Bei dieser Annahme erhalten wir d²x

₂ds dx__bidx. d^y _

R dt ds R dt’ dts

Setzen wir ft² =0,1; y = 9,81, so haben wir

dt²

g k dt'

x" = - 0,1 x'; y" = — 9,81 — 0,1 y'.

Diese Gleichungen sollen numerisch integriert werden. Zu Anfang ist

x'

x"

86,6

y"

50    -14,81

-8,66

(Rechenschiebergenauigkeit).

Wir wählen als Intervall eine Sekunde, zu Beginn der Rechnung y sec. Extrapolieren wir, indem wir zunächst annehmen, daß x" und y" nach einer Sekunde ihren Wert noch beibehalten haben, so entsteht für t = Y die folgende, näherungsweise richtige Reihe

x'

x"

y"

0,5    42,2    82,3    -8,66    23,1z    42,6    -14,81.

Mit den Näherungswerten für x,x',y,y' ermitteln wir die zweiten Ableitungen genauer, x" = — 8,23; y" = — 9,81 — 4,26 = — 14,07. Legt man diese besseren Werte zugrunde, so ergibt sich

x'

x"

y'

y"

0,5    42,2z    82,4    -8,23    23,2    42,8    —14,07.

Bei einer nochmaligen Durchrechnung findet man endgültig

x'

x"

y"

0,5    42,2g    82,4    -8,24    23,2    42,8    -14,09.

Jetzt extrapoliert man die werte von x" imb#" für 1,0 und wendet zur Berechnung von x', x und y\y die Simpsonsche Formel an. Man findet als Endergebnis

x"

y"

86    - 8,66

Die kürzere Kurve in Kg. 32 zeigt, wie wesentlich der Luftwiderstand unter den angenommenen Bedingungen die Bahngestalt beeinflußt.

50    -14,81

42.8    -14,09

35.9    -13,40

23,2    —12,13

11,6    -10,97

1,2

9,93

6,02

(1 - e-hH), y = - f! + ~ (v₀ sin « +    (I - e~hH).

(Es braucht nicht besonders hervorgehoben zu werden, daß das numerische Verfahren auch dann brauchbar ist, wenn für den Luftwiderstand ein anderes Gesetz angenommen wird, z.B. w = k²vn, wobei n ein konstanter, passend gewählter Exponent ist (hier war n= 1; gewöhnlich setzt man n ----- 2). Die exakte Behandlung wird in den meisten Fällen versagen oder zu sehr komplizierten Formeln führen. 3n unserm Fall ist

V₀ COS a

k²

Für t = 9 erhält man unter Benutzung der angegebenen Werte x = 513,925; r/ — —4,032, wenn man mit sechsstelligen Logarithmen rechnet. Der sehr geringe Unterschied beweist schlagend die Genauigkeit des Näherungsverfahrens, praktisch ist er ganz bedeutungslos, da die werte für v₀, cc, g und besonders k², sowie die Annahme über das Gesetz des Luftwiderstandes viel zu ungenau sind, um die Anwendung einer vielstelligen Tafel erforderlich zu machen.

Sind die Differentialgleichungen von höherer als zweiter Ordnung, so ist die numerische Behandlung auch imstande, sie zu lösen; es ist nur eine weitere Integration erforderlich, da man vony,n schrittweise 3 uz/", g} und y übergehen mxlß; das Wesen des Verfahrens bleibt ungeändert.

Die naturwissenschaftlichen Probleme führen in den meisten Fällen auf Differentialgleichungen, die in der Mehrzahl von der zweiten Ordnung sind, da die Kräfte durch zweite Differentialquotienten dargestellt werden. Wir haben eine Reihe von Methoden kennen gelernt, um sie exakt zu behandeln; andere zu bringen verbot der Raum. Da wir aber gesehen haben, daß, wenn die exakten Verfahren versagen, jede konkrete Differentialgleichung mit beliebiger Genauigkeitnumerisch gelöst werden kann, mag es sich um die Bewegung der Gestirne oder der Elektronen handeln, so dürfen wir überzeugt sein, daß der moderne Naturforscher den auf ihn eindringenden Problemen gewappnet gegenübersteht.

{APmy

100-

80

60-

40-

20-

Lösungen.

I _L J_ f

1. p = —    + v — b~' 5ür Kohlensäure gilt Zig. 33.

Man vergleiche die Kapitel über die kritische Temperatur in physikalischen Lehrbüchern. Die Kurve, welche ihr entspricht, hat einen Wendepunkt, in welchem die Tangente

horizontal verläuft. 2.    = - 2a = 0, also

muß xy = 0 sein. Die Achsen sind Enveloppen, die schnitt-punkte benachbarter Kurven liegen aber erst in unend-

-lich-r Ent-

fernung.

---- 0 folgt 9 = 0. Die Abszissen-

5i .33.

0,01

0,02

⁽*-f⁾⁸ = 0;

m²

-3(*-a)²

3. Bus y —

achse ist die Enveloppe,- sie bildet keine Grenzlinie für die Kurvenschar. Bet der Zeichnung der einzelnen Kurven benutzt man zweckmäßig eine Schablone. 4. Bis Gleichung einer Geraden findet man f= x -f c²p

-c=0.

77Z²

df

(Es ist g^ = 2 cif—1=0, also c= — Durch Einsetzen in die erste

Gleichung erhält man xt/ = y, t iß Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel. Umhüllungskonstruktion (D. S. 4 ). 5. Eine Gerade der Schar schneidet auf der XBchse da§ Stück Z sin <p ab und bildet mit der positiven XBchse den Winkel — (p (Zig. 34); ihre Gleichung ist (1) y = — x tg cp + Z sin <p. Durch

Yk Differentiation nach dem Parameter g? entsteht (2) 0=

_ cöi”² q) "M COS <p.

Bus (2) folgt cos <p =

-I *

, also sin <p

tg <P =

• Durch Einsetzen in (1) entsteht

9>

9 = - Z³ x³

vW+y-cfr

hält die „Sternkurve", einen besonderen Zall der Hqpozykloide (Zig. 35).

6. y + x ^ ---- 0. Vgl. die Tan-gentenkonstruktion D. 5. 47.

7?/- ⁵    ' heraus und    ₃

aus der Kurvengleichung folgt y = m ² •

₈. „■ = -* + £+,

x(l-y')

10. y = x-

ln

Q S _ X~a S'"    3

• 11. Die gesuchte Sunt-

5ig. 35.

mdv = 7H (vx — v₀), wenn

v₁ die End-, v₀ die Anfangsgeschwindigkeit ist. Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit, mv, heißt auch Bewegungsgroße; es ist also der

Antrieb gleich dem Zuwachs an Bewegungsgroße. 12. A

L_ dvds .. mdtdtdt=m

wenn vl die Geschwindigkeit in B, v₀ die in A bedeutet. Zur die Arbeitsleistung auf dem Wege AB kommt also nur die Anfangs- und die Endgeschwindigkeit in Betracht. Bezeichnet man—als „lebendige Kraft" oder „Wucht", so ergibt

sich die von der Kraft P geleistete Arbeit gleich dem Zuwachs an Wucht, wenn man den Endzustand mit dem Anfangszustand vergleicht. 13. Derhochste Viffe-rentialquotient ist der zweite, also ist die Gleichung zweiter Ordnung; sie ist

me

Pds =

lßdVrvdt=m

ijvdv-m[l

linear nach der Definition dieser Gleichungen. 14. (y')²=    1 ist eine Diffe

rentialgleichung erster Ordnung und zweiten Grades. 15. Gleichung erster Ordnung und ersten Grades, aber nicht linear. 16. Lineare Gleichung erster Ordnung, verkürzt. 17. t/= — a cos x-\- c; y+a cos x — c = 0; y-fa cos x=c.

; r/--aAr5in + cu. entspr.

18. y’ =

19. y' = ea ; y = aea

+ c u. entspr. 20.    y = ^ +c (Parabel). 21.y' = ^; y =

xn+I

g^₊c.22.^g;g=(n + i)an < = yT//l+(yT¹'I)a< = '"a' feinfoIt'ifty,= i7x^0*'

24. z = —; y' = —; y = alnx + c=aln (—)•    25. k* = g ■ P =

= 9,81 • 4125 • 0,001; fc = umax = 6,36 m/sec. 27. (Es werde ^ = x gesetzt,

4-—V —

bann ist r>--üA^--k-/x⁸ ^ x^^v

'    ■ + (t+S+S»)i

mer im Nenner mit X, so ist v=k (* + f + ^j) (l-^+^⁸-X‘) Vernachlässigung der höheren Potenzen wird X'- = X~ -f , X³ = * ; y =

+a+«)-7-,I+I'-7{ -H+SI- »-I--IS+

+²S) P«b-Z

+ c. 23. Aus Zig. 36 folgt QR = zyr,

; y=a&x Cof^ + c.

• Bezeichnet man die Klarn-

; unter

15 &⁴

J • Ferner ist h = /n {1 -f *

tO| K-»

=u; H =    ^ ■ 28. Ohne Luftwiderstand:

du

-yi-

15,64 sec, v — gt — 153,4 m/sec. Kitt Luftwiderstand:

&* = 5868;    598,2; ln Los (0,1281 1) = 2,006; Los (0,12811) = 7,434;

* = 21,04 sec; u --- 76,60 Tg 2,695 --- 75,92 m/sec. 29. fc² = 1093; t — 5,21 sec; u = 30,19 m/sec. 30. t = 2,08 sec, u = 18,16 m/sec (Prüfung durch die Reihen der Hufgabe 27). Der Unterschied gegen den freien Fall im luftleeren Kaum ist bei dieser höhe noch sehr gering. 31. v=gt-\-c\ c Anfangsgeschwindigkeit; s= ^-#/²4-c£, roenn ber weg vom Zeitpunkt k ----- 0 an gerechnet wird. Der zweite Teil der Hufgabe wird am besten nach

b ²X ² CL ² 1J ²

Hufgabe 27 erledigt (c = 0). 32. b²xdx = a²ydy\ —---^- = c;

“    2« 2 2 2    __

y ---1; hyperbelschar mit den Halbachsen a ]/2c und b]/2c

x²

2a²c 2 b²c    .

(D. $. 54). 33. Cllipsenschar mit denselben Halbachsen. 34. a) ™ =

-±

Vy*-m»___________dg__

¹⁷¹    ' VU ‘ — 771

__. d*.

« ~m '

93

Lösungen (35—38)

35. Rechnet man h senkrecht nach oben, so ist ^ = — g —

yfi n gv*

M

vi

karctg (^)+c=-gt; fcarctg + c=0; k j^arctg- arctg =—gt; ~= tg sarctg    und nach der für tg (u — ß) gültigen Formel ■

dh

fe ⁼

—/n£&cos0^+i>osin    Setzt man fest, daß die Rnfangshöhe gleich 0

sei, so muß ^ = O gesetzt werden. Zahlenbeispiel: h== 598,2 ln [76,60 cos 1,281 + 600 sin 1,281]. Der im absoluten Maß ausgedrückte Winkel muß zur

1,281 180°

• Es ist ^ = v; /i + q =

Tabellenbenutzung in Bogenmaß umgerechnet werden; 1,281 =

= 73°, 37 = 73° 22/i = 598,2 ln 596,83=3823 m; y=12,61 m/sec. 36. Im höchsten Punkte muß die Geschwindigkeit gleich 0 sein, also arctg ^ = t= — arctg hier ist arctg82°, 72=1,444; t = 11s, 27. Man

findet ft --- 3831 m. 37. Aus ft = — fti Cos ergibt sich: ln Cos =

-- 6,405; Cos (+) = 604,87; j = 7,098, < = 55s, 43. Steigzeit und Fall-

zeit sind bei Berücksichtigung des Luftwiderstandes nicht mehr gleich. Oie

dW

Endgeschwindigkeit ist hier schon fast genau gleich k (= 76,6 m/sec). 38. — = --£?(# — #₀), wenn t die Zeit, & ein positiver Proportionalitätsfaktor ist. Anderseits ist W=mc (#—#₀); dW=mcd&; hieraus^ =— ^~mc

Die Kbkühlungsgeschwindigkeit ist also stets dem Unterschiede dermomentanen Temperatur von der Endtemperatur proportional. Die Trennung der vari-

kt

d#

; # = #₀ + (#₁-#₀)^e

abeln liefert

#-#o

_ _ k dt' # — #₀ _ßmc mc' 'O’i — 'O’o

Die Lndtemperatur wird theoretisch erst nach unendlich langer Zeit erreicht. Befindet sich z. B. eine erhitzte Eisenkugel von ^ =400° 6 in einem Raume, dessen Temperatur konstant auf ^ = 20° erhalten wird, und kühlt sie sich

in 10Minuten aus»-200°ab, so findet man leicht, daß — = 0,07472 ist.

mc

Das Abkühlungsgesetz lautet für diesen Fall #=20 + 380 e~0,mi2it wenn die Temperatur in Lelsiusgraden und die Zeit in Minuten gemessen wird. Die

Temperatur des Körpers nach t Minuten ist dann aus folgender Tabelle, die graphisch dargestellt werden möge, zu ersehen.

0m

10m

20m

30™

40m

50m

60m

400°

200°    105°,26 60°,39    39°,13    29°,06

24,29

39. Das Volumen ACDB ist jny²dx’, die Kraft, welche auf den Quer»

0 x

schnitt CD wirkt, beträgt Q + y Jity*dx\ die Unterstützungsfläche ist jty²,

o

X    x

also gilt die Gleichung \Q-\-ysny²dx] : ny² = P; Ö+y /ny²dx=nPy².

o    6

hieraus folgt durch Differentiation %yy²= 2% Pi/^; y y = 2P^5;

.    2 Pdy    2 P

dx — — —; * — *_ =

y y ⁰

r(x—x o) 2P .

~lny; (x₀ Integrationskonftante); y = e

V    s (

Durch Einsetzen in die Rusgangsgleichung erhält man [_Q-\-%P\e p /₀J

Y(x-x₀n    _ yx

p J=P;manfinöetf^terausx₀ = -~ln^p, so ^y=y -~e2P

wird. Führt man in unserem Beispiel als Einheiten das Gramm und das Zentimeter ein, so ist Q = 400000 g; P-- 450 g/qcm; y = 7,8 g/ccm; y ---16,82 g⁰-⁰⁰⁸⁶⁶⁷* Hai der Locke! eine höhe von 1 m, so findet man als oberen Radius (x---0) den wert 16,82 cm; als unteren (*=100) bekommt man 40 cm. 40. Multipliziert man beide Seiten mit y, so entsteht die in Beispiel 10 behandelte Form. f(t) = \-t²+t]ln(—\ = s™=Znt-Zn(f+l);

*    z    \xq/ J ¹ ~rt    t

y --    (Zeichnung der Kurvenfchar). 41. Letzt man * =-|;

dy dy dä dy

dx=S^ldx = a^dl,^° ^^fe Rufgabe auf die vorige zurückgeführt.

fürf=^; Zn (~) = arctg*.

Dgl. Beispiel 11.43. Vgl. 41.44. Man setze xy=Z;y-\-xy'—t’\ -— ^

X x⁸ x² ^ ^ x x    X    t + t*f(t)

3x + 4# = t, dann wird y' = ~ (V — 3); V - 3 = 4P;

\jte

=yV(0;

45. Man fetze

dt

3 +4P

--- dx;

8n

-2

-6

arc tg-^L;    tg {2V3 (x - x₀)}; 3 x + 4y

y 3 y 3

X x₀ —

= | 1/3 tg} 2 yr(x-x₀)}; 9=il/3" tg {21/3 (x-x₀) }-f*-46. Die Substitution ax + by = t liefert t' = a-\-bf(t)] x — x₀ =

s,ät

2yz

a + b/*(0

AP

V-xy',yf

■ 47. x⁸+ys=r²; x + yy' = rr'; rr'= f (x) g> (r);

e//r(x)dx 48-(Si9-36) 0Ä = ^ = OS. anderseits ist OS

= 00+ t/S = y + xtg/? = y-— xt gcc = y — xy\

12**~x hieraus folgt ~ —

^x — P* Die Gleichung ist homogen; f(t) = t—P, also

49.^ = ^

Sig.36.

6 ZZS

/S

Zn

dx x

H las

H |(ä

= f;

—; y = cxnt cgl.D.S. 49f. 51. y = ce

für C ist — = sinx; hieraus C=j x sin x dx = - xcos x + sin x + Zf.

Man erhält y = — cos x +    + — • Man prüfe durch Differen-

tiieren und stelle einige Kurven der Schar graphisch dar. 54. X₁—2;

₀§x    pZx

X=-e³*; P — e~2x\ C=~ + K; y = ™+Ke

1,26 10~

2,085 • 10“

_e-2,085 M0-⁶].    86400 sec = 8,64 - 10⁴, M = 6,043 [e~°'000001088

_e-o, 18015] Reihenentwicklung! M= 6,043 • 0,1649Xi 1. 57.417573; ber schnelle Zerfall der Emanation überwiegt die Neubildung aus bem Raöium,

50.y'=

— XCOSX

r~2x

+ Ke~x. 56 JV„ = 10⁶; Mo = 0; M =

(Zeichnung!).

. 55. y — xe * ^ • 10⁶ [e-¹-²“ ¹⁰⁻¹¹

dM

daher Verminderung. 58.835145. 59. Keine. 6V. ^ verschwindet gleich.

zeitig mit —Le te Xlt, also für t= werte wird t= 5763000 sec — 66,7 Tage,- M.

dC

ln ; für unsere Zahlen-Ä6. 61.|?^3x² + z,²; = 2xy-$ay\ C=-2ay* + k; cp = x³

max

gp=xs + xy² + C(y); 2xV + dy + xz/² — 2oz/² + & = 0; x⁸ —z/*(2o —x) + fc = 0. Für k = 0 erhält man die Zissoide des Diofles. Man zeichne einige Kurven der Schar, z. B. für 0 = 1. 62. qp = x⁸ — a xy -f C; — a x + Cr = 3y² —ox; C = ys + &; xs + y³ — axy -{-k = 0. Für ^ = 0 erhält man das „Kartefische Blatt".

63.    cp = 4-x⁴ + -|x²y² - o²x² + C; x²z/ + C' = x² z/ + y* + o²y; C'= T?/⁴+ ^a²U²-i-L,^(x²-i-r/²)²- ^a²(x²-U²)-^-^=0(Tassinische Kurven, wichtig für die Optik- für k = 0 gewöhnliche Lemniskate).

64.    x²r/²-j-r/²(r/-j-b)² —o²(r/ b)²-i-L = 0 (Konchoiden). 65. Ja. 66. Ja. 67. Nein. 68. Nein. 69. Nur, wenn a = b ist. 70. Nur, wenn b = — (o + 1),

c=o+l,Az=-(o+2)tft.71.M₁=

V* + y

; —xy\ Lösung xy]/x + z/ = &.

”•    «.-" *■ -<*’J»’>*■

iMg — (xy) ⁵, also ist das Integral der Differentialgleichung — = &;

(x² + y⁸) ⁴ -(xy)⁵ = k, oder, wenn man beide Setten mit -y potenziert: = A-₁. 74. Mx=x⁵; M, = (x²+z/²)"" ⁶; x⁶ (x² + z/²) = fc. 75. Die

ac²-i-r,2 x⁴r/⁴

Differentialgleichungen find homogen. 76. (z/ - o x — c) (y — b x — c) = 0; zwei Scharen von Geraden. 77. (y — 2|/ox + c) (z/*f2}/ax + c). Parabelscharen. 78. (z/ — ]/x² — c²) (z/ — j/c² — x*) = 0. Kreise und Hyperbeln.

⁼fvdx'L=fV1 + (‘ä9

tiation y - c|/l + (y')>; (ff')² = (f)*

79. Z⁷

dx; aus F= cL folgt durch Difseren-

-i;

dy

= ± dx;

-1

ein

to| n

+ (x-Ä); y

80. Nach Aufgabe 4 hat die Enveloppe die Gleichung xz/ = -*-• Die Differentialgleichung der Kurvenschar findet man, wenn man c aus x+c²z/—c=0

. Kettenlinie.

und l + c²z/' = 0 eliminiert. Setzt man c==^/—~xnbk erste Gleichung ein, so entsteht x - * - ]/- ^

= 0 oder

visserentialgleichung genügt die Uurvenschar und auch die Enveloppe, wie

tcr c

man sich leicht überzeugt. 81. y' = — tgc; tgc = — y'; sinc=-

y'

yi + (y'V , iy' y=*y -

Vl + tg’c

Durch Einsetzen in die Gleichung der Uurvenschar entsteht

oder (y-xy')² =

Vi + (yT

auch die Enveloppe (Aufgabe 5) x ³ + y

s_

i + teT

Dieser Gleichung genügt

X*

X

= /³. 82. Für die Enveloppe ⁹    ₃ = 0. hieraus findet

ist neben der gegebenen Gleichung noch —    + / j _ c)

2 2 _2_

y ³ : (x³ +y³); Gleichung der

_2_ 2_

man c = x³ : (x ³ + y ³) und 1 — c =

Enveloppe x ³ + y³ — 1. Die Differentialgleichung der Uurvenschar wird

„ „    . 2x . 2yy'

-1=0 wnö Cir+₍1__C)S

X²

8*

erhalten durch Elimination von c aus _ cy

w^-V-M'+v^w)

;i - c =

1: ^1 +]/ — y"y iy' Durch Einsetzen in die Gleichung der Xurvenschar ent-

(l+]/—(as-*8a') = l- 83. Substitution ^ = Differentialgleichung <⁸ —x⁸(f')⁸ —4a⁸; allgemeine Lösung ln (t+V<⁸ —4a⁸)

M-'    «der    M'-c'-'l

steht

Bus beiden

=±Zn(cx);Stemus2a8 4a»

(im wesentlichen identischen) Gleichungen folgt für die Enveloppe g⁴=4a⁸*⁸; g⁸= + 2ax; zwei Parabeln. Var zweite Verfahren leitet aus der gegebenen

Gleichung noch die Beziehung^-2g⁸ g' ab: aus ihr folgt g' = — Die Einsetzung dieses Wertes in die gegebene Gleichung führt unmittelbar zum

Ziel. 84. Zweites Verfahren. j~y ~ y]/-    = 0; 8 - \V~V' = ⁰>

y' =—4g*. Durch Einsetzen: x+^ —™ = 0; xg=^(vgl.Aufgabe80).

85. AIs singuläre Lösung findet man nach der zweiten Methode leicht r2    m²

y -f y* _ 1 = 0.    86. Singulare Lösung y² = mx + —•

halbiere die letzte Ordinate derIntegralkurvesjdX und ziehe durch ihren Mittelpunkt die parallele zur Kbszissenachse. Deren Schnittpunkt mit der Integralkurve hat die gesuchte Größe X zur Abszisse. Für T = 6500° erhält man etwa X = 0,6ft (gelb).* 89. 5,45(ultrarot); 4,2 (dgl.); 2,45 (dgl.)?

2a²

4as

87. man

flHu<5 589: Lindow. Differentialgleichungen

2,18 (bgl.); 0,82 (rot). 91. Da die Kurve für positive * und y konkav ist (y' = x + y; y" = 1 + y' = 1 + x + y)t so lassen sich nach dem obigen Verfahren zwei eingrenzende Kurven zeichnen. Nach Aufgabe 46 ist die exakte Lösung y = ke* — x — l; für unsern Anfangswert muß k = 1 sein. 93. Zur Konstruktion der Kurvenschar y    benutze man eine Schablone. Exakte

Lösung y = (-x-\-k)ex]k = l (Lineare Differentialgleichung). 91. Die kon-

zentrischenKreisex²-f- y²= find in möglichst gleichen Abständen zu ziehen; passende Wahl von/)! 95. z/ = a + bx + cx³ -|- exS+ • • • ;b+2cx + Zexi

+ • • •

= ~+h+ cx + ex* + • • -, also a = 0, b = b; c = 2c, d.h. c=0; e = 3e, d. h. e = 0 uff.; y = bx. 96. (b + 2cx + 3ex² + 4/xS + 5gx* + 6Zzx⁵- ) + (a + bx + cx* + ex*-\-fx* + gx⁵- • •)= 1 +Y\X + J\X*

⁺hx*⁺hxt+llx5' ' 'lieferta+f>=l;i> + 2c=l;c+3e =

= ~p /'+5fl = —; g + 6h==^- • •; hieraus b = 1 -a; c

c3 II

;e+4f=

2ö;

1 11 1

gj (1 - a); f=^ya\ 9 =gr(l -°); h=^ia •    • Durch Zusammenfassen ent

sprechender Glieder findet many = ae~ *+Sinx. (Es ist dann auch y=ae~x + -|-e*--|e~x = {a-\) e~x+ \= ke~x-\-\e*. Man behandle die Aufgabe auch als lineare Gleichung (S. 27f.). 97. Man würde finden a = 0; b = — b, 2c= —c, 3e = —e; alle Koeffizienten verschwinden. Die exakte

Lösung ist 9 — ~j sie zeigt, daß unsere Annahme, y lasse sich in eine Potenzreihe der Forma->-bx-s-cx²->-- • • entwickeln, hier falsch ist. 98. v = bt + cf² + ef= + ff⁴ + • - •; b+2cf+ 36^ + 4/^ • - -----

bf_cf²_cfs

a² x* x*

ft⁴

X³

- (Es wird b =

2X⁴ 3!XÖ 4!X⁸

ff;c = -2T2;e7+3^:/=-4fr«: y = . . .    der letzte Ausdruck ist die

Vg(l*

exakte Lösung. 99. Ist v = a -f bt -f cP + eP + fP + hPr so ist u² — a2 + 2abt + (b* + 2ac)P + (2ae + 2bc)P+{c² + 2af+2be)P + - -wie sich durch Multiplikation ergibt. Aus der Anfangsbedingung folgt a = 0,

alfoiftbierb+2cf+3ef²+4/'f⁸+5/zft. - •    V~e)?»

/.= 0;    D=9t-jlt

Man findet b —g-; c = 0; e— -

Ol.

31"

2 ys*&

■ Se6tman* = Aifoi(tD = ft[^-!2₊2g];

merausdruck enthält die ersten Glieder der Entwicklung von Tg

100. v = bt+ct² + et*+ft*+ht⁵+kt⁶+W; v*=bzt³ + Zb²ct*+(Zbc* + 36²e) *ö + (c³ + 3&Y+6&ce)f*. Die Koefsizientenvergleichung ergibt g*t* Zg*i'

4V ⁺ 28 V

exakte Lösung y = xln (cx) läßt sich nicht durch eine Potenzreihe von der

5oim a + £>x+ • - - darstellen. 102. y = a + &x + cx⁸+exs+/x⁴+/ix⁵;

yy' = a& + (b² + 2ac)x + (3Z>c + 3ae)x² + (4&e+2c²+4/a)x⁸+(5b/

, _    .    ,    , x x² , x* 5 x⁴ , 7 x⁵

+ 5ce+5ha)x*+..-;y=a + --^i + T^-m^ + —6aa-<EnU

wickelt man die exakte Lösung y =}/x + a², so erhält man denselben Ausdruck. Die Reihe konvergiert nur, wenn ^Zwischen —1 und +1 liegt. 103. yn und die folgenden Ableitungen verschwinden. 104. y" = a-\- abx + b²y; y"r— ab-j-ab²x-\-bzy, yIV = ab²-{- ab⁸x-\- b*y uff. Das Ergebnis läßt sich auf die Form y = fce⁶* — ^    ^ bringen. 105. Die Ent

wicklung versagt, y = C - 106. Endgültiges Disferenzenschema:

15V

v — gt —

; der Klarrv

101. Die Entwicklung führt nicht zum Ziel, die

j/x

v'

0 0,0000 1,0000

0,2 0,1987 0,9801

0,4 0,3894 0,9211

0,6 0,5646 0,8254

0.8 0,7174 0,6966

1,0 0,8414 0,5404 Die Differenzen sind Einheiten der vierten Dezimale.

199

590

957

-1288

-1562

-391

-367

-331

-274

+ 24

+ 36

+ 57

-H2

+ 21

107.

1,05

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

0,0466

0,0869

0,1535

0,2066

0,2497

0,2862

0,3173

y'

0,8649

0,7550

0,5900

0,4755

0,3943

0,3355

0,2929

Die Unterschiede gegen die exakten werte (Beispiel 11; x₀ = 1) sind fast un-n

merklich. 108. Für x = e ² =4,8105 wird y unendlich.

aitu© 589: £ in 5 OH), Differentialgleichungen

7*

109.

0,5

0,6

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

2,1

0,1799

0,3228 0,5427

0,7139

0,8524

0,9735

1,0776

1,1732

1,2574

1,597

1,297

0,9515

0,763

0,643

0,559

0,497

0,448

0,4085

Man vergleiche die Zeichnung zu Hufgabe 94 und vervollständige diese durch eine zweite Näherungskurve wie in Beispiel 27, S. 50. 110. Den

Pfeil der Biegung, f, findet man, wenn man x = l setzt; f ⁼    ^ ⁼

10 kg, l = 100 cm, E = 2 150 000 ist f= cm. a) a² -----10, a = 3,162; 3. 5. 48) = 8,333 cm⁴; f = 0,186 cm = 1,86 mm; b)^f- = 10,

12    7t    ⁴

ck = 3,568 cm; «/=—-- = 7,958 cm⁴;/"=l,95 mm; c) 6 = 4,472 cm, h = = 4,167; f= 3,72 mm; d) <7 = 16,67; /*= 0,93 mm;

bhs

2,236 cm, t/= ^

e) 7? = 3,433 cm, r = 2,933 cm; </ = -| (/?* - r⁴) = 50,97; f= 0,30 mm.

111. Da der (Querschnitt im Gleichgewichtszustand nicht seitlich verschoben werden kann, so muß die Summe aller Kraftkomponenten in Richtung der

XKchse gleich Null sein, alsoj*

J*7)df=Q. Das ist aber die Bedingung dafür, daß die ^--Koordinate des

Schwerpunkts, d. h. fein Hbstand von der neutralen Faser, verschwindet

(3. 40 f.) 112 6 = -?,; direkte Proportionalität. 113. (Fig. 37.) In A Q p

wirkt der Huflagerdruck er erzeugt in dem (Querschnitte, der durch x, y geht, das Biegungsmoment M = ~ • x. Es ist also y" — —    ' V =

Px -{-kx+k^ Da für x = 0 auch y verschwindet, so ist ^ =0. Für

(?-!£)• .»■/-

PI 3

--; 16 mal so klein wie

s df= 0 oder

0, also

12 EJ

h mu6 y~0 fe$n -aIf0 k=wej'

A— 48 EJ'

in Aufgabe 110. 115. (Esset g-pcosal bann sin a l

y = A sin a x -f P cos a x, y'=Acc cos ccx —pcc sin ccx]

5fg. 37.

A

r/'verschwindetfürt§«2— -

Maximum, weil y" (= — a* y), negativ.

COS cc X —

p* V#JA’ , + , A -- yA«+p2 M‘+ps y A⁸+ps

= Vq⁸yp⁸-2pqcoso-r 116 p = 0; q = 0,5. a) « = 0,0007471; y =

sin ccx —

yA²+p²'

sin oc Z

A²

¹

1,5708 + 0,025 [0 + 0,4935] = - 1,5585 =

0,5 = 6,7 sin (0,0007471 x). Einheit cm. Maximum

der Abweichung erst jenseits des Stabendes. Der Winkel zwischen der deformierten Mittellinie und der X Achse ist gegeben durch tg cc₁=yr — 6,7 0,0007471 cos 0,0007471 x; x=0, also y'= 0,005005, <^=0° 17'12", 3. Der Winkel zwischen der ursprünglichen Mittellinie und der XAchse ist

gegeben durch tg = j = 0,005; cc₂ --- 0° 17' 11", 3. Die Differenz beträgt

also nur eine Vogensekunde. Für kleine Winkel im Bogenmaß ist tg a « a, also cc, — «2 --- 0,005005—0,005 = 0,000005; im Gradmaß ist at — cc₈ =

180°

0,000005 -

----- 0°,0002865 = 1",03 b) c) usw. liefern ähnliche Ergebnisse.

Man untersuche zur Übung dieselben Fälle für stärkere Belastungen. 117. Keiner der Teilausdrücke in der Formel für y kann unendlich werden; y

sin cc l

also nur, wenn sin cc Z = 0 ist. Dies tritt für « — 0 und cc = ~ ein. Für a = 0 wird Y unbestimmt    ; für kleine werte von cc ist sin a X

^    ~ T 5ür a = 0 nimmt also * den Grenzwert ~ an, der nicht

unendlich ist. Für cc = j wird aber y wirklich unendlich. Dann ist ~ = 7; p —(Lulersche Knickformel.) Tine unendliche Deformation

kann natürlich praktisch nicht eintreten; schon bei einer etwas geringeren

EJx*

Belastung wird die Form des Stabes dauernd verändert, P =

1 EJ%*

gibt

/2 =353,7 </.a)2947 kg,

die kritische Knickbeanspruchung an. 118.—P= -

b) 2815 kg, c) 1474 kg, d) 5894 kg (wertlos, da der Stab schon vorher nach c) zusammenknicken wird, e) 18026 kg, also das 6 Vs fache von b)!

; x + kx = * ctr Sin y =

119. (g')² = a²g² + *²;x

ya²g² + fc²' k    k    k

^ Sin (ax-f ockx) = — Sin ccx (Eos cckx + — Los ccxStna^ ;y = m Los ccx

— ccx.

-f n $in cc x. Hierfür kann man auch schreiben y = m₁eax + n₁ e

Lösungen (120-132)

120. k* (x — kxy = Zt²z/² - a*. Hyperbel. 121. Cs muß f|/y = ^-, also

Z =    j/^- fein. 122. t j/y muß von ~ auf sr wachsen, also um y; t um

| j|/y - Das Steigen dauert ebensolange wie das Fallen.

nimmt g? den entgegengesetzten wert wie für + Z an, da sin    — sin

124. r

102

123. Für -1

-Vr

125. Gar nicht, die Pendelschwingungen sind isochron. 126. hat eine Pendelstange die Lange Zlr eine andere die Lange Z₂, so ist Tt ; r₂ = -.Vit. 127. «j/i = l; 1 = ^ = 0,994m Sä Im. 128.1 = l (1 + ccQ), wenn 6 die Temperaturänderung ist. 7,    • 3n einem

Tage — 86400 sec vollführt das Pendel n = Schwingungen. 7, =

.    .    l/7„.    ...    86400

, da aber ® y - hier -- 1 ist, so ist n =

■r-H

86 400 (1 - y a 0). Die Uhr geht um 43 200 cc 0 Sekunden nach. in unserm Beispiel

a 0)

1/1+«0K

Sin

2,6 sec. 129. a = c = 3; Z = 2,5; Z, = 3,5, ö = 0; — -----1,4; hieraus Z    V

<jp —1,4682; Tsi — — -----1,70276; ip — 0;    ^Z; 7j₀ = ß — L Ctg 9 = 3— 3,8923

= — 0,892 (Bezeichnungen Meter). Man zeichne die Kurve und stelle fest, ob sie den geforderten Bedingungen genügt. Der Kurvenbogen kann durch Abstecken näherungsweise ermittelt werden. 130. a=l; c = 16; b = — 7,5;

1 = 5; 7 = 9.    —- = I/2g,7r> -- 1,65833; g> = 1,82871; m = 1,6405;

tp = 1,19896;    §„ = 1,03318;    = ~ 0,9766; jj + 0.9766 =

1,6405 Tos    - 131. 7) - 72₀ = m Cos    5ür 5=0 muß jj und

7j' verschwinden; für Z— 6 muß r; = 16 sein, (a) — t;₀ = m Tos^; (b) 0 = bin (- ^; (c) 16 - Vo = m Tos    • Aus (b) folgt £„ = 0, aus (a) ij₀ =

— m, aus (c) 16 + m = m Tos ^ • Diese Gleichung liefert m — 2,1144, also n + 2,1144 = 2,1144 Tos^ - (Zeichnung). 7 = m Sin4= 17,99 m.

132. A":( Trennung

er

⁷(vV)* =

variabel»; —

-• Man setze g'=

-*» _ s z -a j(VT+?r

= (yi+z³)⁵;

folgt Z -----

)/a²-(x-x.)s'

• hieraus

N — No gleich dem betreffenden Integral, also

yi+z²

Lösungen (133-140)

9 — »o = - Va*- (*umgeformt (x-x₀)'- + (y-y₀)*=aK Kreis

s    /ds

mit dem Mittelpunkt x₀, y₀ und dem Radius a. 133    = g—k \jß) ;

™ = y; — =zg — kvn; t — t₀

-\ln (9-ft»);»=1 (g- e~fc(*-M); s-so=^+fiie~kSoH für t — 0 die Größe v verschwinden, so muß g — ehi° — 0 sein, also s — s₀ = ^— +    e“"Soll für * = 0 auch s = 0 sein, so muß — s₀ == ^ sein. Durch

Reihenentwicklung findet man dann s +    — ir + Ti    +—/

2    6 ⁺    24

f dy

⁼J,

-kvn

- Zur n = 1 wird t — t₀ =

ft⁴*⁴

oder s

qp • • • Zür ä = 0 erhält man

24

die übliche Zallsormel. Für n = 2 ist die Rufgabe schon auf S. 18 behandelt; bei höheren werten von n wird die Rechnung schwieriger. 134. Die Zeder werde zur XRchse, ihr Mittelpunkt zum Anfangspunkt des Roordi-

natenfystems gewählt. — — krx. Nach Beispiel 30 ist x = m cos kt

+ n sin kt Zur Zeit t = 0 möge der Anfangspunkt passiert werden, dann muß m = 0 sein; x = n sin kt n ist der Betrag der größten Entfernung vom Nullpunkt, vgl. Pendelschwingungen. 135. yr = z; zr ~ z-\-e*;

xes + ke?; y = xex-{-kex—eXjrk₁. 136. z = ~e*+ ke-~2x; y=\ex

k    kx*

— ß—2x + ^₁.137. z = —xcosx + ßx; y = —cosx —xsinx + —- + ßv

. d²x ,dx 1 dx dv kv    j,    T . 5f4.

= ÄdT7: di=y; STT’ V=V>A 3ft k=~h f0 ,ft

k ^ - tft+¹. In $ig. 38 ist die Bewegung für verschiedene Werte von k dargestellt; die gleichzeitig erreichten Punkte

m. yi + <9')a3: g" =

1 4-z² 2z dz dg 2gFi+(g)s; g’' = [i + (g')²]:2g; g' = z; ^ =    f+z»-y'

±]/|

138.

dt²

x—x₀ = v₀ Int, sonst ist x — x₀ =

sind durch Rurven (Isochronen) verbunden.

ln

z ---

-i;

dz

dy

1+ i

yi

(*-*<,)*

= dx;

x-x₀ =

-1

⁼ ±2ftf/^ —1; hieraus y — k = robel. 140. z —= z(g + a); dz = (g + o) dg; z = i(g + a)*+z₀;

±k

Gleichung einer Pa-

104

Sig. 38.

Lösungen (141-145)

t=l t=2_

k = 0-

---2

---4

z.

z:

t-4

1-5

dy

y(i/ + a)⁸+Zo

= dx;

-y-i^

= tg]/|-(X-A:₀). 141.

*-*o

y + fl. g+a

y2z₀' V2^

dz    . dz a-ka .,

da l + a¹' z i + a⁸'

^ in (i + a³); « = k ]/i+as =

k (x — &x) = Hr Sin y; i/ = Sin & (x—Z^).

dz

dz

142. z 3— = zslny; —r-=Inydy;

z²

dx

ft---a(to»-i); - äg=yi"8

— y — k; x — x₀ = — Zny + —z/² + &y. 144. x" — — fe²x — L, wenn Z» die konstante Verzögerung (Kraft: Masse) ist. Setzt man L = k*c, so ist x” = -ft*(jc + c), also auch —⁽|±-c? = - (x + c). Nach Beispiel 30 erhält

man x + c = m cos kt 4-n sinkt, eine ungedämpfte elastische Bewegung um einen Punkt, welcher um die Strecke c links vom Koordinatenanfangspunkt liegt. Unsere Betrachtung gilt aber nur, wenn sich die Masse vom Unfangspunkt im Sinne der positiven XUchse bewegt. Läuft sie umgekehrt, so ist x" — — k*x + L, da die Reibung stets der vorhandenen Bewegung entgegenwirkt. Hier ist x — c = cos kt + nx sin kt 115. x-\-c = m cos k t + n sin kt) x' = k (— m sin kt n cos kt). Setzt man die für t = 0 angegebenen Merte ein, so findet man x + c = c cos kt -|~ ~ sin kt; xf =

— kc sinfc/-f n₀ cos kt Grenzlagen (x' -- 0) für kt ^ Ls muß also

sin kt=----------V° .

yv₀* + k*c*

cos kt=

kc

sein, oder sinkt——

yzV+&²c²'

cos kt——

kc

Vv* + k*c*

VvQ* + k*c*

• Fürdiesewerteergibtsichleichtx-s-c--^i    k

Vk*c*+v₀*

(Linker und rechter Grenzpunkt.) In unserem Falle ist tgZ= 5; t = 78° 41' = 1,5374 absolut oder 1,5734-er = -1,7682 absolut. Zur Zeit -1,7682 sec befand sich der Körper in momentaner Kühe 12,20 cm links, zur Zeit t= 1,3734 rechts im Kbstande 8,20. 146. x = - 2 + 2 cos t + 10 sin t\ xr = - 2 sin t + 10 cos t.

- 1,768

- 1,5

-1,0

-0,5

+ 0,5

1,0

1,373

-12,20

7,50

-11,83

-9,33

-5,04

+ 4,55

+ 8,20

+ 2,70

7,09

9,73

10

7,82

3,72

Für die Rückwärtsbewegung rechnen wir am besten die Zeit t von der Erreichung des rechten Ruhepunktes an. Es ist x = 2 + m₁ cos t + n₁ sin t xf =— m₁ sin t + n₁ cos t $ür t— Oiftx = 8,20;x' — 0, also ml = 6,20; n₁ = 0. Somit wird x = 2 + 6,2 cos t; x' = — 6,2 sin t

r>.

8,20

0,5

1,0

1,5

2,5

3,142

7,44

5,35

2,44

-0,58

-2,97

-4,14

-4.2

-2,97

-5,22

-6,18

-5.64

-3,71

-0,88

Die größte Ausweichung findet statt (x' = 0) für f = 0 und t=7c. Die erste ist 8,20, die zweite — 4,2 (Graphische Darstellung!) 147. u = x²*;

r(r—-1) +2r— 2 = 0;    = l,r₂ = —2; u = Ar₁x + ^₂-    148. y = xr;

r(r-l) + 9r+12 = 0;r = -4±2; 9 = ^ + ^- 149. y = xr; r(r-l)

+ ar + 6 = 0; r = —

V-l (V)

— b + q. 3ft q Dort 0 Der»

schieden,so istg=ki x^ ^ ^ + k₂ x    3ft <7Kein, so ist y xp {l+qln x)

+ &₂ (1 — qlnx)] =xp (L + L Znx). Für gf=O ist dies der genaue wert. 150. Durch Multiplikation undKddition erhält man (y,ry₁—y₁,fy)+X₁(y,yl-y₁,y)

= -Jxt dx • Da eine ge-

du

---0; y'yt -y^y^u; u, + Ä₁u = 0; —= - ^dx; Zn u = Fi (x); u — eFl ^ =

gebene Funktion von x ist, so ist ^ eine gegebene Funktion Fs (x) von x. Sie enthält eine willkürliche Konstante, die zuerst in Ft auftrat. S- = I Fs (x) dx = F₄ (x); F₄(x) enthält wegen der hinzukommenden 3n-

Z/i «y

tegrationrkonstante bereit zwei. y = y₁Fi (x) — Ffi (x). 151. x" -|- fc⁸ x=/(O-

*»(*)

(9i)

Blatt erhalt m' cos kt + n' sinH = 0; - mf sin kt + nf cos hieraus m ----- —\Jf (0 sin dt + A, n = f (0 cos Lk dt +

C0™ rf’(<)sinMl +    ^f(<)cosft<df + Acosft1+BsinH

~~8x\ne~~2x

152. Lösung der verkürzten Gleichung y = me

—8x

ex

, der voll-

+ Be~2x 158. Es sei a²-&⁸ = r⁸, dann ist

ne-(a-r)*. — (fl — r)*

die Lösung der verkürzten Gleichung y = me <a + r) * -{-

ehx

die der vollständigen y ----

+ Ae

— (a + r) x

+ Be

7t²+2a/z + &²

151. Die charakteristische Gleichung hat die Doppelwurzel—a. Eine Lösung der verkürzten Differentialgleichung ist y = e~~ax. Die andere wird nach Beispiel 38, Fall 3 oder nach dem Verfahren auf $.78 gefunden- sie ist xe~~ax; allgemeine Lösung der verkürzten Gleichung y = me~ax -f nxe~~ax. Durch Variation der Konstanten m und n ergibt sich als

allgemeine Lösung der unverkürzten Gleichung y =

ehx

(h + a)

-a + Ae~ax

Vi‘

+ Bxe ax. 155. Lösung der verkürzten Gleichung: x = a cos

+ b sin ~J/^ t. Durch Variation von a und b findet man    die    allgemeine

Lösung x — A cos TZ    — t + B sin!/ —t + „ e° cos    ut    (vgl.    Bei-

r    m    V m u“m — c

— • $etzt man y — yx = z, so ist z" + <zz = 0; z = Acos]/a- x

-fßsin]/a -x; y = z-^- 158. Durch Einsetzen findet man c = —

5ür z — cp — cpl gilt die Gleichung x²z" + xz' — z = 0. Nach Huf*

N s

— xs

wo cc² —

sin u t,

u² — a²

157. Durch Einsetzen findet man ac = — b, also

gäbe 149 ist die allgemeine Lösung z — Ax -|—, also q> = —

(1 + r4 +

159. y = a

+j*+«

+ <Z. (x + — +

T 1 \    ¹ 4.5 r4.5.g.g ¹ 4 5 8-9 12 13

Integral iftg = a(l-p +    ‘

x¹⁸

x⁹

X¹⁸

3-4 7 8 11 12 • • •    160. Ein partikuläres

34-7.8

X⁸

X⁴

1⁸.2⁸*3⁸ ' l⁸*2s-3⁸ -4²

' S. 61

Von Studienrat Dr. M. Lindow erschien ferner:

Differentialrechnung — Integralrechnung. Unter Berücksichtigung der prakt. Anwendungen in d. Technik. Mit zahln Beispielen u. Aufgaben versehen. 2 Bände. I: 3. Ausl. Mit 45 Fig. im Text u. 161 Aufgaben. [VI u. 97 S.] 8. 1919. (ANuG 387.) II: 2. Ausl. Mit 43 Fig. i. Text u. 200 Aufg. [102 S.] 8. 1919. (ANuG 673.) Kart. je M. 6.80, geb. je M. 8.80.

(Techn. Mitteil. u. Nachr.)

„... Der Verfasser hat es verstanden, in kurz gedrängtem Raume uns ein überaus klares Bild von dem Wesen der Differential- und Integralrechnung zu geben und bringt vor allem auch eine große Menge Beispiele aus den verschiedensten Gebieten der Technik, wodurch das Buch besonders für den Praktiker wertvoll wird.“

Differential- und Integralrechnung. Von Dr. Z. Bieberbach, Prof, an der Univ. Frankfurt. I. Differentialrechnung. Mit 32 Fig. [VI u. 130 S.] 8. Kart. M. 8.40. II. Integralrechnung. Mit 25 Fig. [VI u. 142 S.] (Teubners technische Leitfäden, 4 u. 5.) Kart. M. 10.80.

Der Gegenstand der einführenden UniversitätsVorlesung über Differential- und Integralrechnung wird hier in knapper, aber leichtfaßlicher Form dargestellt. Die geometrischen Anwendungen sind überall in gehöriger Weise berücksichtigt.

Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung und ihrer Anwendungen. Von Geh. Hofrat Dr. R. Fricke, Prof, an der Techn. Hochsch. Braunschweig, gr.8. I. Bd.: Differentialrechnung. 2. u. 3. Ausl. Mit 129 m d.Text gedr.Fig., 1 Samml.v.253 Aufg.u. 1 Formeltab. [XIIu.ß88S.] 1921.Geh. M.60.—, geb.M.72.—. II. Bd.: Integralrechnung. 2. u. 3. Ausl. Mit 100 in d.Text gedr.Fig., i Samml. v. 242 Aufg. u. 1 Formeltab. [IVu. 406S.] 1921. Geh. M.60.—, geb.M.72.—

Das Problem des Unterrichts in den Grundlagen der höheren Mathematik an den Technischen Hochschulen ist seit mehr als zwei Jahrzehnten nicht nur wiederholt besprochen und in Monographien behandelt, sondern hat auch die Gestaltung der neueren Lehrbuchliteratur wesentlich beeinflußt. Auch das vorliegende Lehrbuch ist aus dieser Bewegung hervorgewachsen.

Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Ursprünglich Übersetzung des Lehrbuches von J. A. Serret, seit der 3. Ausl, gänzlich neu bearbeitet von Geh. Reg.-Rat Dr. G. Scheffers, Prof, an der Techn. Hochschule zu Berlin, gr. 8. I. Band: Differentialrechnung. 6. u. 7. Ausl. Mit 70 Fig. [XVI u. 670 S.] 1915. Geh. M. 62.—, geb. M. 72.— II. Band: Integralrechnung. 6. u. 7. Ausl. Mit 108 Fig. [XII u.612 S.] 1921. Geh. M. 65.—, geb. M. 75.—. III. Band: Differentialgleichungen und Variationsrechnungen. 4. u. 5. Aufl. Mit 64 Fig. [XIV u. 735 S.] 1914. Geh. M. 65.—, geb. M. 75.—

„Die rasche Aufeinanderfolge der Auflagen spricht zur Genüge für die Güte des Buches, das auch wegen der Reichhaltigkeit des Stoffes und der leicht faßlichen Darstellung Lehrenden und Lernenden aufs wärmste empfohlen werden kann.“ (Archiv der Mathematik u. Physik.)

Sammlung von Aufgaben zur Anwendung der Differential- und Integralrechnung. Von Geh. Hofrat Dr. F. Dingeidey, Prof, an der Technischen Hochschule Darmstadt. I. Teil: Aufgaben zur Anwendung der Differentialrechnung. Mit 99 Fig. [V u. 202 SJ gr. 8. 1910. Geb. M. 42.—. II. Teil: Aufgaben zur Anwendung der Integralrechnung. 2. Aufl. Mit 96 Fig. [IV u. 382 S.] gr. 8. 1920. (TmL 32.) Geh. M. 60.—, geb. M. 72.—

Das Buch berücksichtigt außer Anwendungen in der Geometrie auch solche in der Physik und Technik. Dabei sind zur Lösung der den Zweigen der Technik entnommenen Aufgaben besondere technische Vorkenntnisse entweder nicht erforderlich oder, wo sie wünschenswert erscheinen, sind die nötigen Erläuterungen gegeben.

Die Leitfäden wollen zunächst dem Studierenden, dann aber auch dem Praktiker in knapper, wissenschaftlich einwandfreier und zugleich übersichtlicher Form ' das Wesentliche des Tatsachenmaterials an die Hand geben, das die Grundlage / seiner theoretischen Ausbildung und praktischen Tätigkeit bildet. Sie wollen ihm ] diese erleichtern und ihm die Anschaffung umfänglicher und kostspieliger Hand- \ foücher ersparen. Auf klare Gliederung des Stoffes auch in der äußeren Form der j Anordnung wie auf seine Veranschaulichung durch einwandfrei ausgeführte Zeich- [ nungen wird besonderer Wert gelegt. — Die einzelnen Bände, für die vom Ver- f, lag die ersten Vertreter der verschiedenen Fachgebiete gewonnen werden konnten, erscheinen in rascher Folge. Bisher sind erschienen bzw. unter der Presse: Analytische Geometrie. Von Geh. Hofrat Dr. R. Fricke, Professor an der Techn. Hochschule zu Braunschweig. Mit 96 Fig. [VI u. 135 S.j 1915. (Bd.l.) M.8.40 Darstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Prof, an der Eidgen.

Teubners Technische Leitfäden

Techn. Hochschule zu Zürich. Bd. L Mit 134 FIg. [IV u. 84 S.j 1917. (Bd.2.) M. 12.— Darstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Professor an der Eidgen. Technischen Hochschule zu Zürich. Bd. II. 2., umgearb. Ausl. Mit 144 Fig. [VI u. j 154 S.] 1921. (Bd. 3.) Kart. M. 24.—    J

Differential- und Integralrechnung. V.Dr.L.Bieberbach, o.ö.Prof.a,d. > Univ. Frankfurt a.M. I.Differentialrechnung. Mit32 Fig. [VI u.130 S.J 1917. (Bd.4) Geh.M.8.40. II.Integralrechnung. Mit 25Fig. [VIu. 142S.j 1918. (Bd.5.) Geh. M. 10.20 Funktionenlehre. Von Dr. L. Bieberbach, Prof. a. d. Univ. Berlin. [U. d. Pr.j Praktische Astronomie. Geograph.Orts-u.Zeitbestimmung. VonV.Theimer, Adjunkt an der Montanistischen Hochschule zu Leoben. Mit 62 Figuren. [IV u. 127 S.j 1921. (Bd. 13.) Kart. M. 24.—    I

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Hochschule zu Prag. Mit 110 Abb. [V u. 117 S.j 1920. (Bd. 7.) Kart. M. 11.40 Landstraßenbau einschl.Trassieren. V.OberbauratW.Euting,Stuttgart. Mit , 54 Abb. i. Text u. a. 2 Taf. [IV u. 100 S.j 1920. (Bd. 9.) Kart. M. 16.80    ¹

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Wörterbuch der Warenkunde von Pros. Dr. M. pietsch. (35b. 3.) Geb. JUC 4.60

Handelswörterbuch von Handelsschuldirektor Dr. V. Sittel und ZustizratDr.M.Strauß. ZugleichsünssprachigesWörterbuch.zusammengestellt v. V. Arm haus, verpfl. Dolmetscher. (35b. -.) Geb. JUC 4.60

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Eine Gesamtdarstellung der Urgeschichte, Menschen- und Völkerkunde.

Grundriß der Astrophysik

Eine allgemeinverständliche Einführung in den Stand unserer Kenntnisse über die physische Beschaffenheit der Himmelskörper. Von Prof. Dr. K. Grafs. Mit 467 Rbb. und 6 Lichtdruckes. Geh. JUl 42.60, geb. JUl 45.— Teil l: Die Wissenschaft. Grundlag. d.astro-physik. Forsch. Geh. JUl 15.-. Teil II: DieWeltkörp. d. Sonnenshst. Geh.^^ll I.-. Teil HI: Die Fixsterne, Nebelfleck, u. Sternhaufen. Geh.Z^l4.S0

»Die Bände dieser vorzüglich geleiteten Sammlung stehen wissenschaftlich so hoch und find in der Form so gepflegt und so ansprechend, daß sie mit zum Besten gerechnet werden dürfen, was in volkstümlicher Naturkunde veröffentlicht worden ist.'    (Natur.)

Teubners Naturwissenschaftliche Bibliothek

Mathematisch-Physikalische Bibliothek

herausgeg. von W. LLehmann u. R. Mitling. Jeder Band^LF 1.20, Doppelband JUl 2.40

»Jede d. einzelnen Darstellungen ist mustergültig i. ihrer Art u. vermag den Zweck voll zu erfüllen, in leichtverständlicher u. angenehmer Weise zur Vertiefung d. mathematischen Bildung beizutragen. Die Sammlung wird auf das allernachdrücklichste empfohlen.'    (Die Quelle.)

Verzeichnisse v. Teubn. Nat. Bibl. u. d. Math.-Phys. Bibl. v. Verlag, Leipzig, Poststr. 3 erhältlich.

Künstlerischer Wandschmuck

für Haus und Schule Teubners Künstler st einzeichnungen

Wohlfeile farbige Originalwerke erster deutscher Künstler fürs deutsche Haus

Die Sammt, enthalt jetzt über 200 Bilder in den Größen 100X70 cm {JUl io.-), 75x55 cm {JUl o.-), 103x4) cm bzw. 93 *4t cm {JUl 6.-), 90x50 cm {JUl 8.~), 55x42 cm {JUl 6.-), 41X30 cm {JUl 4.-). Gefchmaekvotts Rahmung au» eigener Werkstatte. Kleine Kunstblätter. 24X1S cm je JUl 1.-. Liebermann, 3m park. prenhel. Am Wehr. Hecker, Unter der alten Kastanie und Weihnachtsabend. Treuter» Bei Monden-schein. Weber» Apfelblüte. Herrmann, Blumenmarkt in Holland.

Schattenbilder

K. W. Diesenbach „Per aspera ad astra“. Album, die 34 Teilb. de» vollst.

Wandfrieses fortlaufend wiederg. (25X20 '/₂ cm) JUl 15.-. Teilbilder als Wandfriese (80x42 cm je JUl s.-, (35X1S cm) je JUl 1.25» auch gerahmt i. versch. Ausfuhr, erhältlich. „Göttliche Jugend." 2 Mappen mit je 20 Blatt (34X25 V» cm) je JUl 7.50. Einzelbilder je JUl -.90, auch gerahmt in verschiedenen Ausführungen erhältlich. Kindermufik. ,2 Blätter (34X25 V* cm) in Warn 6.-, Einzelblatt JUl -.90 Gerda Luise Schmidts Schatten^eichnungen. (20x15 cm) je jui -.50.

Auch gerahmt in verschiedenen Ausführungen erhältlich. Blumenorakel. Reifenspiel. Der Besuch. Der Liebesbrief. Lin Frühlingsstrauß. Die Freunde. Der Brief an „3hn". Annäherungsversuch. Am Spinett. Beim Wein. Ein Märchen. Der Geburtstag.

Friese zur Ausschmückung von Kinderzimmern

„Die Wanderfahrt der drei Wichtelmännchen." Zwei farbige wand-friese von M. Ritter. 1. Abschied - Kurze Rast. 2. Hochzeit - Tanz. Order Fries mit 2 Bildem (103X41 cm) JUl 9.-, jedes Bild einzeln JUl 3.-Ferner sind erschienen Herrmann: „Aschenbrödel" u. „Rotkäppchen"; Baurnfeind: „Die sieben Schwaben"; Rehm-Vietor: „Schlaraffenleben", „Schlaraffenland" .Englein zur Wacht" und .Englein z. Hut" (103X41 cm, je JUl 9.-)

Zwei Weihnachtsbilder und ?roet Osterbilder von R. Kämmerer.

1. Morgen, Kinder, wird's was geben. 2. Vom Himmel hoch da komm ich her. z 1. Ostern, Ostern ist es heut'l 2. Osterhase schleicht ums Haus (41X30 cm), preis je JUl 3.—. Postkartenausgabe je JUl—.15. Bilder einzeln gerahmt Ln weißem Rahmen unter Glas je JUl 9.—, die zusammengehörigen Bilder, als Wandfries gerahmt je JUl 17.—. Postkarten unter Glas mit schwarzer Einfassung, mit Aufhängeschnur je JUl —.95, in schwarz poliertem Rahmen mit Glas je JUl —.85

Rudolf Schäfers Bilder nach der Heiligen Schrift

Biblische Bilder

Der barmherzige Samariter, Zesus der Kinderfreund, Das Abendmahl, Hochzeit zu Kana, Weihnachten, Die Bergpredigt (75x55 bzw. 90X50 cm). JUl 9.— bzw. JUl 8.—. Diese 9 Blätter Ln Format 99X28 unter dem Titel

Karl Bauers Federzeichnungen

12Bl. .

Lharakterköpfe zur deutschen Geschichte. Mappe» 32 Bl. (39x28 cm) JUl s.—

JUH 2.—

Aus Deutschlands großer Zeit J8I3. 9n Mappe, 19 Bl. (39X28 cm) JUl 2.so Führer und Helden im Weltkrieg. Einzelne Blätter (39x28 cm) JUl —.50 2 Mappen, enthaltend je 12 Blätter, je..............JUl >.—

Teubners Künstlerpo st karten

Jede Karte JUl —.10, Reihe von 12 Karten in Umschlag JUl !.-(jede Karte unter Glas mit schwarzer Einfassung und Schnur eckig oder oval, teilweise auch in feinen Holzrähmchen eckig oder oval. Ausführliches Verzeichnis vom Verlag in Leipzig. Ausführt. illusLr.Wandschmutkeatalogf.^^1.-vom Verlag,Leipzig,poststr.3, erhältlich.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Biblioteka Politechniki Kiakowskiei

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