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Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

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Verlag von I. I. MM ln KeWg.

-Katechismus der Algebra.

Vierte Aufl. Vollständig neu bearbeitet von Richard Schllllg.

Preis gebunden 3 Mark.

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Kurzgefaßtes Lehrbuch der Rechenkunst für Lehrende und Lernende von E. Schick. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage, bearbeitet von War Meyer.

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Von Uta Meyer. Mit 8 Tafeln und 7 Abbildungen.

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Anleitung zur Größenbestimmung von Flächen und Körpern jeder Art von Dr. C. pietsch. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 55 Abbildungen.

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Von Iran; Brndt. Zweite, erweiterteAufl. Mit 42 Figuren.

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Katechismus der

Differential- und Integralrechnung.

Katechismus der

Differential- nni IntMtreckming

von

Iranz Wendt.

Mit 39 in den Test gedruckten Figuren.

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Verlagsbuchhandlung von I. I. Weber - -1896

Alle Rechte vorbehalten.

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Vorwort.

Es sind kaum fünf Jahrzehnte verflossen, da war die Differential- und Integralrechnung noch ein Wissensgebiet, mit dem sich ausschließlich der Mathematiker und der Astronom beschäftigten. Die Vertreter der anderen naturwissenschaftlichen Fächer standen Untersuchungen, die ihre Kenntnis voraussetzten, ganz fern, und selbst die Mehrzahl der Physiker, vorzüglich die deutschen Physiker, glaubten sich solchen Untersuchungen verschließen zu können.

Das hat sich seitdem durchaus geändert.

Es giebt jetzt fast kein Gebiet im Reiche der Naturwissenschaften und der Technik mehr, in dem nicht häufig Untersuchungen angestellt werden müssen, die die höhere Analysis voraussetzen. Wer genötigt ist, Abhandlungen technischen oder chemischen, physiologischen oder statistischen Inhalts und dergl. zu lesen, oder Lehrbücher über die Disziplin zu studieren, bedarf der höheren Mathematik.

Allüberall stößt man in ihnen auf Differentialformeln und schlanke Integralzeichen. Der Arzt, der Chemiker, / der nicht akademisch gebildete Techniker und überhaupt jeder Freund der Naturwissenschaft kommt daher häufig beim Studium bedeutungsvoller Arbeiten in Verlegenheit und ist nicht fähig sie ganz zu erfassen. Er wird gezwungen, sich mit der Jnfinitesimalmethode vertraut zu machen, wenn er sich nicht in seinen Zielen beschränken will.

In Deutschland giebt es jetzt eine große Zahl ganz vortrefflicher Lehrschriften über die Differential- und Integralrechnung. Aber fast alle diese Werke sind zum Studium für den künftigen Mathematiker verfaßt oder sie wenden sich gar an den vollendeten Fachmann. Es sind daher zumeist umfangreiche Werke, die häufig mehrere Bünde umfassen und eine nicht geringe algebraische Gewandtheit und bedeutende Kenntnisse voraussetzen. Männer mit mathematischen Kenntnissen kann man aber — selbst unter solchen von akademischer Bildung — mit der Laterne suchen. Der Durchschnittsleser wird daher nicht imstande sein diese Lehrbücher zu bewältigen, ganz abgesehen davon, daß ein Mann, der seinen Beruf zu erfüllen hat, nur selten Zeit dazu findet, umfangreiche Werke zu studieren.

Das ist auch seit lange erkannt worden. Die deutsche mathematische Litteratur besitzt Lehrschriften, die auf wenigen Bogen die ersten Elemente der höheren Mathe-

matik entwickeln. Sie verfallen nur wiederum in den entgegengesetzten Fehler, sie geben zu wenig!

Der Verfasser hat den Versuch gemacht, zu vermitteln. Der Katechismus der Differential- und Integralrechnung enthält die wichtigsten Methoden und Verwendungen, die auch die größeren Lehrschriften bringen; ein Blick in das Inhaltsverzeichnis giebt dafür den Beweis. Er hat sich ferner bemüht die Entwickelung ganz elementar zu gestalten und die Rechnungen fast überall vollständig durchgeführt. Um das auf kleinem Raume zu ermöglichen, mußte er die Darstellung nach anderer Richtung beschränken.

Unser Katechismus soll der Praxis dienen. Er wendet sich an Leser, die die Mathematik nur als Bkittel für ihren besonderen Zweck betreiben. Der Verfasser durfte daher auf absolut strenge Beweisfühmug der Lehrsätze verzichten und sich begnügen sie verständlich zu machen. Das geschah u. a. dadurch, daß an Stelle allgemeiner Ableitungen charakteristische Beispiele gesetzt und durchgeführt wurden.

Der Verfasser rechnet und hofft nicht auf die Gunst der Mathematiker; er ist befriedigt, wenn es ihm gelingt, seinen Lesern in kurzer Zeit das Studium der Schriften zu ermöglichen, in denen die höhere Mathematik verwendet wird. Vielleicht stellt sich bei solchen später, nachdem die ersten Schwierigkeiten überwunden sind, der Wunsch ein, auch noch aus tieferen Quellen mathematische Weisheit zu schöpfen.

Ueber das Maß von Kenntnissen, die der Katechismus voraussetzt, sowie über die besten Werke, die sich zum Weiterstudium eignen, giebt der kleine Anhang unter dem Titel „Mathematische Litteratur" Auskunft.

Endlich sei noch Herrn Gymnasiallehrer Scheibe der Dank für die gefällige Ausführung der Figuren hier öffentlich ausgesprochen.

Iran) Gendt.

Inhaltsveyeichnis.

Seite

Einleitung

Erster Teil.

Die algebraische Analylis.

Erstes Kapitel. Vom binomischen Lehrsatz    . . . .

1.    Der binomische Lehrsatz........

2.    Die Binomial-Koeffizienten.......

Zweites Kapitel. Die unendlichen Reihen . . . .

3.    Definition ............

4.    Untersuchungen über Konvergenz .....

5.    Alternierende Reihen.........

6.    Die Methode der unbestimmten Koeffizienten .    .

7.    Die Entwickelung von ax .......

8.    Die Entwickelung von ex.......

9.    Logarithmen-Systeme.........

lO lO CO X 00 05

11

. 12

13

15

. 17

Zweiter Teil.

Bis Differentialrechnung.

Drittes Kapitel. Die allgemeine Lehre von den Funktionen 20

20

10.    Definitionen

11.    Die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen .    22

12.    Die Funktionsarten. .    . .

13.    Darstellung der Funktionen .

14.    Die Grenzen der Funktionen .

15.    Die Stetigkeit der Funktionen

24

25

. 25

28

Viertes Kapitel. Die Entwickelung der Differentialformeln 29

16.    Der Differentialbegriff

17.    Die allgemeine Bestimmung des Differentialquotienten 32

18.    Bestimmung des Differentialquotienten für eine Potenz 33

19.    Beispiele

24.    Bestimm, des Differentialquotienten eines Produktes 42

25.    Beispiele.............

26.    Der Differentialquotient eines Quotienten . .

27.    Beispiele..........'. . .

37.    Die Differentialqnotienten für y = arc sec x und

y ----- arc cosec x...........

Tafel der Differentialquotienten.....

29

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45

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54

54

55

56

Fünftes Kapitel. Die Bildung der Difserentialguotienten der Funktionen von Funktionen. Aufgaben.....57

38.    Erläuterungen .    .    .

39.    Allgemeine Bestimmung

40.    Aufgaben.....

. 57

57

Seite

Sechstes Kapitel. Die höheren Disferentialguotienten . 64

.    .    64

. . 68

41.    Ableitungen und Aufgaben.....

42.    Gleichheit der Differentialquotienten .    .

Siebentes Kapitel. Die Reihen von Taylor u. Mac-Laurin 69

43.    Vorbereitungen.......

44.    Die    Taylorsche Reihe.....

45.    Herleitung    des Binomischen    Lehrsatzes

46.    Allgemeine Ableitung der Taylorschen Reihe ... 72

47.    Die Reihe von Mac-Laurin .

54.    Die    Reihe    für arc tang x

Tafel der wichtigsten Reihen

69

. 69

71

73

. 74

75

76

77

78

79

80

. 81

Achtes Kapitel. Die Bestimmung unbestimmter Formen . 82

55.    Erklärung .

56.    Der Wert

57.    Der Wert —.....

OÜ

58.    Andere unbestimmte Ausdrücke

59.    Beispiele.......

63

83

84

86

86

Neuntes Kapitel. Vom Maximum und Minimum der Funktionen...............

60.    Erläuterungen............

61.    Kennzeichen für das Maximum u. Minimum einer Kurve 87

62.    Schema für die Untersuchung.

63.    Aufgaben...... . .

64.    Untersuchung von Brüchen

65.    Funktionen, wo ™ = oo wird

87

87

89

91

96

Zehntes Kapitel. Von den Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen der Kurven.....

66.    Erklärungen.............

67.    Formeln..............

68.    Umformungen............

69.    T, N, Sn und St an der Parabel.....

70.    Analytische Ausdrücke..........

71.    Anwendung auf die Parabel.......

72.    Bezeichnungen in Polarkoordinaten.....

73.    Ableitung der Formeln in Polarkoordinaten .    .

74.    Ein Beispiel.............

75.    Die Asymptoten . r ........ .

76.    Ein Beispiel.............

Elftes Kapitel. Von der Konvexität, der Konkavität und

den Wendepunkten einer Kurve........

77.    Erklärungen.............

78.    Feststellung der Konkavität und der Konvexität .

78 a. Desgleichen............

79.    Der Wendepunkt...........

80.    Beispiele..............

Zwölftes Kapitel. Die Krümmung der Kurven und der Krümmungskreis. Evoluten und Evolventen . . . .

81.    Die Berührung der Kurven........

82.    Der Krümmungskreis..........

83.    Die Krümmung der Kurven........

84.    Evoluten und Evolventen........

85.    Zusammenstellung der Regeln.......

Schlüssel für die Untersuchung der Kurven .

Dreizehntes Kapitel. Die Bildung der Difserentialquot. von mehreren unabhängigen Veränderlichen . . . .

86.    Erklärungen.............

87.    Ableitung der partiellen Differentialquotienten .    .

88.    Beispiel..............

89.    Funktionen von mehr als zwei unabhängigen Variabeln

90.    Die höheren Differentialquotienten......

98

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127

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132

Seite

Vierzehntes Kapitel. Differentialquotienten für die nicht entwickelbaren Funktionen.......

91.    Allgemeines.........

92.    Bildung der Differentialquotienten .    .

93.    Beispiele...........

94.    Höhere Differentialquotienten ....

95.    Beispiele..........

Fünfzehntes Kapitel. Vertauschung der unabhängig veränderlichen Größen...........

96.    Erklärungen............

97.    Bestimmung der Differentialquotienten .    .    .    .    141

98.    Andere Formen

99.    Beispiele . .

.    134

134

.    .    134

136

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140

140

143

144

Dritter Teil.

Die Integralrechnung.

Sechzehntes Kapitel. Die Jntegralformeln .... 146

100.    Erklärungen......

101.    Jntegralformeln.....

102.    Allgemeine Sätze.....

103.    Uebungen.......

104.    Integration durch Substitution

105.    Beispiele.......

106.    Integration einiger trigonometrischen Funktionen 157

111.    Entwickelung . .

112.    Beispiele . . .

113.    Erweiterte Beispiele

146

148

149

150

152

152

161

163

164

165

165

114.    Neduktionsformeln ....

169

170

171

172

173

173

119.    Wert der abgeleiteten Formeln

174

Integral-Tafel......

Achtzehntes Kapitel. Die bestimmten Integrale ... 178

178

120.    Definitionen .

181

121.    Allgemeine Sätze

Neunzehntes Kapitel. Die Quadratur der Kurven . . 183

183

122.    Erklärungen ....

185

123.    Quadratur der Parabel.

186

124.    Quadratur der Ellipse .

187

125.    Quadratur der Hyperbel

191

191

194

132.    Rektifikation der Parabel........

196

133.    Rektifikation der Eykloide........

198

134.    Rektifikation in Polarkoordinaten......

200

Einundzwanzigstes Kapitel. Die Inhaltsbestimmung der Rotationsflächen............

200

135.    Definition. Herleitung der Formeln.....

201

136.    Oberfläche der Kugel.........

137.    Oberfläche des Rotationsparaboloides .... 203

205

138.    Rotationsfläche der Cykloide . .

206

139.    Oberfläche des Rotationsellipsoides

140.    Oberfläche des Sphäroides. . .

Zweiundzwanzigstes Kapitel. Die Kubatur der Rotationskörper.............

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239

141.    Erklärung und Ableitung der Grundformeln .    .

142.    Inhalt des geraden Kegels.......

143.    Inhalt des Paraboloids........

144.    Inhalt des Sphäroids.........

145.    Formeln für die geometrische Anwendung der

Integralrechnung...........

Dreiundzwanzigstes Kapitel. Die vielfachen Integrale

146.    Neue Erklärung des Integrals......

147.    Die vielfachen Integrale........

148.    Ein Beispiel............

149.    Das dreifache Integral.........

Vierundzwanzigstes Kapitel. Die Differentialgleichungen

150.    Erklärung u. Einteilung der Differentialgleichungen

151.    Homogene Differentialgleichungen.....

152.    Die unmittelbare Integration vollständ. Differentiale

153.    Beweise..............

154.    Beispiele.............

155.    Weitere Beispiele...........

156.    Allgemeine Form der Differentialgleichung vom

ersten Grade und der ersten Ordnung . .    . .

157.    Trennung der Variabeln........

158.    Beispiele.............

159.    Beispiele.............

160.    Beispiele.............

161.    Nutzen der Differentialgleichungen.....

162.    Substitutionsmethoden.........

163 u. 164. Beispiele...........

165.    Das Homogenmachen der Differentialgleichungen.

166.    Die linearen Differentialgleichungen.....

167.    Beispiel..............

168.    Der integrierende Faktor........

169 ix. 170. Desgleichen..........

171. Beispiel durch Probe.........

Fünfundzwanzigstes Kapitel. Die Differentialgleichungen (Fortsetzung)...............

172.    Differentialgleich, erster Ordnung u. höheren Grades

173.    Besondere Lösungen......... .

174.    Beispiel..............

175.    Andere Lösungen...........

176.    Singuläre Integrale.........

177.    Beispiel..............

178.    Differentialgleichungen höherer Ordnung . .    .

179.    Beispiel..............

180.    Differentialgleichungen als Funktion des kleineren

Differentialquotienten.........

181.    Beispiel..............

182.    Zweiter Differentialquotient als Funktion von x

183.    Zweiter Differentialquotient als Funktion von y

184.    Höhere Gleichungen..........

Sechsundzwanzigstes Kapitel. Die komplexen Zahlen

185.    Allgemeine Erklärung.........

186.    Rechnung mit komplexen Zahlen......

187.    Konjugierte komplexe Zahlen. Norm. Modulus.

188.    Division.............

189.    Imaginäre Ausdrücke in der Exponentialreihe

190.    Die Moivresche Formel.........

191.    Ableitungen aus der Moivrescheu Formel .    .    .

192.    Geometrische Darstellung der Zahlen . . .    .

Allgemeine Formeltafel............

Mathematische Litteratur . . ..........

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„ hf'(x) statt hf"(x).

Katechismus der

Differential- und Integralrechnung.

Einleitung.

Die Differential- und Integral- oder die Infinitesimalrechnung, die in ihrer gesamten Ausdehnung auch wohl als höhere Analysis bezeichnet wird, bildet den Schlußstein am Palaste der Mathematik. Wenn auch in vereinzelten Fällen schon die alten Mathematiker Aufgaben lösten, aus denen die Grundidee der höheren Analysis hervorleuchtet, — wir erinnern nur an die Kugelbeweise des Archimedes —, so muß sie dennoch in ihrer methodischen Entwickelung als eine durchaus moderne Wissenschaftbezeichnet werden, die den Stempel der neuen Zeit an ihrer Stirn trägt. — Jsaae Newton (1643—1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646—1716) sind unabhängig von einander die Erfinder der Differential- und Integralrechnung.

Ermöglicht wurde die merkwürdige Disziplin durch die Analytische Geometrie, deren Erfinder der große Franzose Rene Descartes (1596—1650) ist. Er zeigte, daß geometrische Gebilde durch Formeln dargestellt werden können, mit denen man fähig ist, wie mit algebraischen Gleichungen zu operieren.

Aber erst die Differentialrechnung giebt die Methoden, durch die man im stände ist aus den Gleichungen einer Kurve oder Fläche ihre Eigenschaften zu ermitteln.

Sie schildert gleichsam auf das genaueste ihren Verlauf, ihre Krümmungen und Knickungen, ihre höchsten und tiefsten Punkte u. s. w.

Die Integralrechnung kann als das Umgekehrte der Differentialrechnung bezeichnet werden. Sie lehrt beispielsweise aus den Eigenschaften eines geometrischen Gebildes dessen Gleichung finden. Aber auch der Astronom, der durch die Beobachtung eines Gestirns, der Physiker, welcher aus dem Studium einer Erscheinung gewisse Regelmäßigkeiten ermittelt hat, erhält aus der Integration den Weg, auf dem sich das Gestirn bewegt, resp. das Gesetz, dem die Erscheinung folgt. Die höhere Analysis ist daher von größter Bedeutung für die astronomische, physikalische und technische Wissenschaft; ja diese sind jetzt ohne die erste nicht mehr denkbar.

Unser Buch zerfällt in drei Abschnitte. Im ersten werden Sätze entwickelt, die der algebraischen Analysis zugehören, einer Disziplin, welche man als Fortsetzung der elementaren Algebra betrachten kann. Sie sind unerläßlich zum Verständnis des zweiten und dritten Abschnittes, in denen die Differential- bezüglich die Integralrechnung zum Bortrag kommt.

Erster Teil.

Die algebraische Änalysis.

Erstes Kapitel.

Wom binomischen Lehrsatz.

2. 1 Der binomische Satz.

In den Elementen der Algebra wird gelehrt, daß man für ein Binom, das auf einen Exponenten erhoben, also zu einer Potenz gemacht worden ist, einen Ausdruck erhält, der gesetzmäßig verläuft, z. B.:

(a-|-b)² = a²-)- 2ab-f-b²,

(a -f- b)⁴ = a⁴ -f“ 4 a³ b -j- 6 a²b² -f- 4a b³ -)- b4 u. s. w.

Durch den großen Mathematiker Newton wurde gezeigt, daß man in dieser Weise auch zu dem ganz allgemeinen Ausdruck von der Form kommt:

1) (a -f b)n = a'¹ + y.a11 4. b -f    -a¹¹“⁵. b²

a¹¹“³,* b³ -f------f-nab¹¹-¹ + bn,

in dem der Exponent n jeden beliebigen Wert annehmen kann, gleichgültig ob er positiv oder negativ ist. Dieser Satz wird als der binomische Lehrsatz bezeichnet.

, n(n—l),(n—2)

1.2.3

n n/n—1)

Die Ausdrücke

T’ ......i :₂    2C*

nennt man die Binominal-Koeffizienten, und schreibt in ihnen die Nenner 1.2, 1.2.3k. gewöhnlich kürzer, und zwar

1.2 = 2!, 1 .2.3 = 3!

1.2.3.4.... ii = ii! und liest für n! „n-Fakultät", für A! „^.-Fakultät".

Das beachtet, erscheint der binomische Lehrsatz in der Form:

+ bn.

2) (a -f b)n == an + n a"“¹ b + lv(n~¹⁾ a¹'“² b2 ₊ ^=!)an 3 bs +

5, 2; Die Binomial-Koeffizienten.

Es sollen nun zunächst einige Sätze aus dem binomischen Lehrsätze entwickelt werden.

Setzen wir in die Gleichung 2) a = b = 1, dann geht sie über in:

n(n-l)(n-2)

+i.

3!

3) 2n = l+n + ^=^

Es folgt aus 3) der bedeutungsvolle Satz: daß die Summe aller Binomial-Koeffizienten gleich 2nist.

Entwickeln wir ferner die Binomial- Formel für irgend einen bestimmten Exponenten, z. B.

(a -f“ b)⁷ = a⁷ -f- 7 a⁶ b -j- 21 a⁵ b² -(- 35 a⁴ b³    35 a³ b⁴

-\- 21 a² b⁵ -j- 7 ab⁶ -f~ b⁷,

so wird sich stets zeigen, daß die Koeffizienten, die gleich weit vom Ende und Anfang entfernt stehen, gleich groß sind.

Das Gesetz der Binomial-Koeffizienten, das im binomischen Lehrsätze klar hervortritt, hat Pascal bereits in einer sehr übersichtlichen Form angegeben, die man als das Pasealsche Dreieck bezeichnet.

Entwickeln mir, um diese Form zu erhalten, den Ausdruck (a -f- b)n, indem wir für n nach einander 1, 2, 3 u. s. w. setzen und die Koeffizienten unter einander schreiben. Dann ergießt sich:

y 1    8    28    56    70

U. s. W.

28 8

Das Pasealsche Dreieck.

Aus dem Ausdruck ersieht man unmittelbar, daß die Summe des r teil und (r -j- 1) ten Koeffizienten immer gleich ist dem (r + 1)ten Koeffizienten^, der nächst höheren Potenz. Also wenn man die Binomial-Koeffizienten mit b bezeichnet, so folgt:

4)

(n + 1) br+x = (n) br + (n) br+⁴.

Hierin bedeuten n und n-(- 1 die Potenzen, r und r +1 die Stellung der Koeffizienten. — Erläutern wir den Satz 4) noch an einem praktischen Beispiele. Aus dem Pasealschen Dreieck ergießt sich, daß der dritte Koeffizient von (a + b)5 gleich ist dem zweiten und dritten Koeffizienten von (a + b)⁴. Daher

10 = 4 + 6 oder in der Sprache der Formel 4)

(5) b³ = (4) b² + (4) b³.

Zweites Kapitel.

Die unendlichen Weihen.

Definition.

Schon die Elemente der Algebra machen mit unendlichen Reihen bekannt. Wir haben nur nötig uns an die unendlichen Dezimalbrüche und an die arithmetischen und geometrischen Reihen zu erinnern. Sollen solche Reihen nutzbringend sein, dann müssen ihnen bestimmte Eigenschaften zukommen, welche wir zunächst besprechen wollen. Wir Verfahren da am besten, wenn wir an die bekannten Vorgänge, die die geometrischen Reihen zeigen, anknüpfen. Nehmen wir die geometrische Reihe an:

1) V2 + Vi + Vs + Vi6 + V32 +

u. s. w.

Sie soll sich beliebig weit erstrecken. Die Summe der Reihe kann dann, wie bekannt, durch die Formel:

a(qj—1)

q-i

bestimmt werden, in der a das Anfangsglied, q den Quotienten und n die Anzahl der Glieder bedeutet. Die Summe entspricht einer unendlichen Reihe, wenn n — 00 wird. — Bestimmen wir zunächst die Summe für die Reihe 1) für unendlich viele Glieder. Dann ist:

1.

M'A)⁰⁰-!]

V2-I

—7*

Das besagt also, daß je mehr Glieder der Reihe 1) man addiert, um so mehr sich ihre Summe der Eins nähert.

Eine Reihe, deren Summe für eine sehr große Anzahl von Gliedern sich einer bestimmten endlichen Zahl oder, wie man zu sagen pflegt, einer bestimmten Grenze (limes, abgekürzt lim.) nähert, nennt man konvergent. Bezeichnet s die Summe, dann deutet man das an durch den Ausdruck:

2)

CD

b. h. „der Grenzwert der Reihensumme für n gleich unendlich ist s“.

Kann ein solcher Grenzwert nicht nachgewiesen werden, dann nennt man die Reihe eine divergente. Für uns sind nur die konvergenten Reihen von Bedeutung.

«T, *4 Untersuchungen über die Konvergenz.

Die allgemeine geometrische Reihe: 3) a -|- ax -f- ax² ax³ -J- ax⁴ -f-hat die Summe:

-f ax¹¹“¹

ax¹¹ — a

a — ax¹¹

x— 1

1 —x

Nehmen wir an, es sei in der Reihe 3) n = oo. Ist nun x— 1, dann ergiebt sich, daß die Reihe divergent ist; daraus folgt, daß sie für x) 1 erst recht divergent sein muß. — Wir wollen nun untersuchen, wie sich die Angelegenheit für x< 1 gestaltet. Schreiben wir hierzu die Summenformel:

ax¹¹

ax¹¹

dann zeigt sich sofort, daß x¹¹ = x⁰⁰ = 0 ist. Somit muß auch das Glied:

sein.

Die Summenformel der geometrischen Reihe für x.( 1 geht also über in:

1 —X

und das ist ein endlicher Wert.

Das ergiebt den Satz:

I. Eine unendliche geometrische Reihe ist immer konvergent, wenn ihr Quotient kleiner als Eins, also ein echter Bruch ist. Kann man somit von irgend einer Reihe nachweisen, daß der Quotient zwischen zwei sich folgenden Gliedern immer derselbe und kleiner als Eins ist, dann ist auch der Nachweis für ihre Konvergenz gelungen.

Die Untersuchungen über die unendlichen Reihen und ihre Konvergenz sind besonders in den Fällen von Wichtigkeit, wo es darauf ankommt, einen geschlossenen Ausdruck in eine Reihe zu entwickeln, die nach ganzen und positiven Potenzen von x fortschreitet. Der binomische Lehrsatz ist ein Beispiel dafür, daß ein geschlossener Ausdruck durch eine Reihe dargestellt werden kann. Ist in ihm der Exponent ein echter Bruch, dann geht die Entwickelung in eine unendliche Reihe über, die für x( 1 immer konvergent ist. Z. B. (1 -j-x)1/2 und x( 1.

Auch durch einfache Division können unendliche Reihen erzeugt werden.

Dividieren wir in dem Bruch ₁ mit dem Nenner in den Zähler, dann ergiebt sich nach der Reihe:

x²

— ¹ + x+ i

= 1 -j- X + X² +

X³

Allgemein:

x¹¹

4) r^=l+x + x² + x³+.....+ xn-¹-f

1 —X

Die Division kann selbstverständlich beliebig weit ausgeführt werden. Es ist hier wohl unzweifelhaft, daß die Summe auf der rechten Seite der Gleichung dem geschlossenen Ausdruck auf der linken Seite gleich sein muß. Das führt zu folgenden zwei Sätzen, die nunmehr leicht einzusehen sind.

Satz II. Jede unendliche Reihe:

a + ai x + a2x2 + a3 x³ + a4 x⁴ 4™......,

die nach ganzen positiven Potenzen von x fortschreitet und in der a, alt a₂ re. endliche Zahlen sind und x ( 1 ist, ist konvergent.

Satz III. Das Endglied einer solchen konvergenten Reihe muß immer gleich Null sein.

In unserer Reihe ist für n = 00 und x < 1 der Ausdruck

X⁰⁰

0.

5. Alternierende Reihen.

Häufig erscheinen in der Rechnung Reihen, deren Vorzeichenfortdauerndwechseln; listn nennt sie alternierende Reihen. So ist z. B.

1 — V2 + Vs — V4 + V 5 — Ve + Vt 2C- —.....

eine alternierende Reihe.

Satz IV. Alternierende Reihen, in denen die Glieder immer bis zu Null abnehmen, sind immer konvergent. Man kann sich t om schnellen Abnehmen solcher Reihen auch leichs überzeugen, beim may immer zwei Glieder zusammennimmt) Z. B.:

(1 —V2) + (Vs |— V4) “H (Vs — Ve) +.....

V2 j4~ V12VV30 +

Merken wir uns noch den ßatz V. Eine Reihe von der Ftzrm:

1 + 1 + JL +

lr I 2r 1 3r *

das giebt:

5)

4"r+.....

ist immer konvergent, denn r größer als Eins ist. Z.B.:

y₂ + ^2 + -52 + ^2    f ’ =rl + V4 + V- + Vie

Wie man hier sof irt sieht ist diese Keihe vom zweiten Gliede an eine geometrische Rxihe mit dom Quotienten 1/2-Satzl (Seite 9) kann al 0 hier unmittelbar Verwendung finden.

Allgemeines: Es seien zwei unendliche konvergente Reihen gegeben, die mit der Veränderlichen x fortschreiten und die für denselben Wert vpn x, für jedes Glied, den gleichen Wert geben. Also:

-s- dx cx² dx³“f- • ■ • -j- ßx y*² f öxSJ[—'

6)

Q es

und 7)

a ßx-\- yx² dxs 1 1 und es sind gleichfalls die Koeffizienten, die vor gleichen Potenzen von x stehen, einander gleich. Also:

Dann muß auch sein: -f-bx-|-cx²-j-dx³-|-----

a — ö; b = ß; cf= y; ä — 6 :c.

6. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Die Reihenentwickelung geschlossener Ausdrücke ist in hervorragender Weise bedeutungsvoll für die trigonometrischen und Exponentialfunktionen, also für sinx, ax re. Diese Reihen sind fast immer transcendent, d. h. unendlich. Im zweiten Teile unserer Ausführungen werden wir sie mit Hilfe der Differentialrechnung entwickeln. Zunächst sollen hier schon'einige Reihen Erledigung finden, um den großen Vorteil der Differentialmethode recht deutlich zu erkennen. Man bedient sich zur Entwickelung sehr häufig der Methode der unbestimmten Koeffizienten, und diese soll daher an einigen praktischen Beispielen vorgeführt werden.

Wählen wir einen Bruch, dessen Zähler und Nenner nach steigenden ganzen Potenzen von x fortschreiten und bilden wir, wie auf Seite 10 angedeutet, durch Division eine Reihe. Der Bruch sei:

2 + 4x

1 — 2x + 3x‘² ’

dann wird:

8)

2 + 4x

2    8x-f- 10x²—4x³ 2C.

1 —2x + 3x²

Durch dieMethode der unbestimmten Koeffizienten kann das Verfahren sehr vereinfacht werden.

Die Reihe, die nach ganzen positiven Potenzen von x fortschreiten muß, soll zunächst nur angedeutet werden.

Wir schreiben daher:

2-j-4x

1 —2x + 3xl

9)

ao + aiX+a₂x²+a₃x:'+a4X¹-|-----

Es müssen nunmehr die Koeffizienten a₀, ax rc. bestimmt werden. Das geschieht in folgender Weise. Man schafft den Nenner fort; also

10)    • 2 -f- 4x = (1 — 2x-f- 3x²) (a₀ -j- ax x -f- a2 x²

+ a₃x³+ a₄x⁴-|----••)

und führt die Multiplikation wirklich aus. Dann stellt man das Resultat in der folgenden übersichtlichen Weise zusammen:

11)    2-j- 4x = a₀—2a₀ x-f~ 3a₀ x²-{- 3ax x³

— 2sl±

— 2 a₂ 2C.

+ al    a2 + a3 ,

Die Ausdrücke linker und rechter Hand müssen sich gleich sein. Steht nun rechts vom Gleichheitszeichen eine konvergente Reihe, dann werden auch die Koeffizienten für gleich hohe Potenzen von x auf beiden Seiten mit einander übereinstimmen. Man denke sich nunmehr, um zum Ziele zu gelangen, den linken Ausdruck folgendermaßen geschrieben:

re.

2 -f- 4x -j- 0^x²“(~ 0x³+0x⁴-f-dann ist, wenn wir die Ausdrücke gleich hoher Potenzen von x einander gleich setzen:

a₀ = 2

ai — 2ao — 4 und somit:

% =: 4 —|— 2 No :==r 4 —j- 4 = 8 3    — 2 a^ —|— a₂ = 0 daher:

= 2at — 3a₀ = 16 — 6 = 10

a₃ = 2 a₂ — 3a: = 20 — 24 = — 4.

Wir erhalten also den Wert:

= 2 + §x+ 10x² — 4x³-2C.

2 + 4x 1 — 2x + 3x2 Es ist derselbe, den uns die Division gab.

7. Die Entwickelung von ax.

Es soll mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten die Exponential-Funktion ax in eine Reihe entwickelt werden.

Da für x = 0 der Ausdruck ax — 1 wird, so muß, wie unmittelbar ersichtlich, die Reihe mit 1 beginnen. Man kann nunmehr setzen:

12) ax = 1    1% x -f- m₂ x² -f- m₃ x³ -f- m₄ x⁴ -f- • • • • rc.

Um zu entwickeln setzen wir für x den Ausdruck x -j- a, dann geht die Reihe 12) über in:

13)

ax+a ₌ i _j_ mi (x _|_ a) -J- m2 (x --j- a)²

+ m3 (x + a)³ +

Entwickeln wir nun die einzelnen Werte:

Mi (x -p a) — mi x 4- m₁ a, m₂ (x-f- «)² — m₂ x² -j- 2 m₂ x a -}- m₂ a², m₃ (x -p a)³ = m₃ x³ -f- 3 m₃ x² a 3 m₃ xa² -f- m₃ a³, u. s. w.

Setzen wir in 13) ein und ordnen nach Potenzen von a, so folgt:

14)    ax+a = (1 -f- nii x -f- m₂ x² -(- m₃ x³ -f-.....)

-j- (jni -)- 2 m₂ x -(- 3 m₃ x² .....) a

+ (m₂ + 3m₃x +.....) a²+.....

Vergleichen wir diese Ausführung mit der Gleichung 12), dann sieht man, daß die erste Klammer von 14) gleich ax ist. Das berücksichtigt ergiebt:

)a

15)    ax+a = ax -f- (wi -f- 2 m₂ x -f- 3 m₃ x² -|—

+ (m₂ + 3 m₃ x +.....)a² +.....

Erinnern wir uns nun der Beziehung:

ax+a = ax . aa,

und daß entsprechend 12) der Ausdruck

art = 1 -j“ a -f- m₂ a² m₃ a³ -}-.....ist,

so geht der Ausdruck 15) über in:

16)    ax+a = ax.aa = ax(l + a + m2a2 + ni₃a³H----)

= ax+m₁ axa+m₂ axa²+m₃ axa³-|----

Da die Beziehungen 15) und 16) gleich sind, so müssen, nach dem bereits verwendeten Grundsätze, auch die Koeffizienten der übereinstimmenden Potenzen von a einander gleich sein.

Also:

Mi ax a — (mi -f 2 m₂ x -f 3 m₃ x² -----) a

ober

m₁ ax —    -)- 2 m₂ x -j- 3 m₃ x² -|-----

Setzen wir weiter in m₁ ax für ax den Wert der Gleich. 12) ein, dann ergießt sich die Beziehung:

mr (1 -f- mi x -(- in₂ x²-j- m₃ x³-|----

=    -j~ 2 m₂ x -f- 3 m₃ x² -f- • • ■ •

ober auch:

19)    m₁-|-mi²x_|_ mi m2 x² -|- m₁ m₃ x³ -f-

=    2 m₂ x -f- 3 m₃ x² -|-----

Da die Koeffizienten gleicher Potenzen von x gleich sind, so folgt unmittelbar:

17)

18)

•)

ober

1111=1111,

2 m₉ — Mi²

m.²

in₂ =

daher:

3 m₃ = mi m₂, mt m₂

m₃

m. m.²

nV

2.3

Setzen wir nunmehr zum Schluß die Werte in 12) ein, so erhalten wir die gewünschte Reihe

20) ax = l + m₁x + ^x²

in der die Koeffizienten Mi einen ganz allgemeinen Wert besitzen.

2.3

<x» +

2.3 I

8. Die Entwickelung von ex.

Wir wollen die Reihe 20) spezialisieren. Setzen wir x= 1, dann geht 20) über in:

21)

mi²

mi

kürzer in

a=l+m1 + ^ + |r

2    ¹ 1.2.3

H-----,

Wie man sofort sieht, ist der Wert von a durch m₁ gegeben. Sei 1% —' 1; wir wollen, wie es gebräuchlich ist, diesen Wert von a mit 6 bezeichnen. Also:

22) e=l + l+-^ + |y + || + ^H

Addiert man die Ausdrücke auf der rechten Seite, dann erhalten wir den bemerkenswerten Wert:

e — 2.7182818 .....

In Gleichung 20) eingefügt ergiebt die Reihe:

23)

Cx=l + x + |y + |y+.....

Das ist ein sehr bedeutungsvoller und wichtiger Satz.

Die Koeffizienten m₁ in der Reihe 20) sollen jetzt noch genauer bestimmt werden.

Da x für jeden beliebigen Wert gilt, so dürfen wir auch

x = —

- mi

setzen. Thun wir das, dann geht 20) über in die Reihe :

i m-3 1 _u

m ² 2!

= 1 + “‘--H

¹ m. ¹

oder in

24)

a">i— 1 +l + Y, + 3j+

Vergleicht man diesen Ausdruck mit 22), dann folgt:

und daraus:

ami = e a = em*.

Nunmehr nehmen wir die Logarithmen, also m₁ log e — log a,

dann erhalten wir einen neuen Wert für :

_log a

mi log 6'

den wir in 20) einsetzen:

log a log 6

I /log a\² X² , /log a\³ X³ . Uoge/ 2!~\loge/ 3! '

25) ax = 1 -f

Das ist die Reihe für ax, die wir erhalten wollten.

9. Logarithmen-Systeme.

Unsere Auseinandersetzungen führen zu einer Erweiterung des Logarithmen-Systems, die für die höhere Mathematik von großer Bedeutung ist; wir wollen daher dieser Angelegenheit nähertreten.

Die Basis der sogenannten gemeinen oder Briggsschen Logarithmen, die man in den Tafeln berechnet vorfindet, ist bekanntlich 10. In der höheren Mathematik verwendet man fast ausschließlich ein System, dessen Basis die von uns soeben bestimmte Zahl e — 2.7i828i8.... ist. Diese Logarithmen nennt man natürliche Logarithmen und man bezeichnet sie durch ein einfaches „1". Also 1 a heißt der natürliche Logarithmus von a.

Auch die natürlichen Logarithmen findet man in den meisten Tafeln bereits berechnet vor. Beispielsweise im Katechismus der Logarithmen. Wir wollen nunmehr die Reihe für ax auch durch die natürlichen Logarithmen ausdrücken.

In der Algebra wird gezeigt, daß der Logarithmus von der Basis eines jeden Logarithmen-Systems immer den Wert 1 hat und daß der Logarithmus von 0 gleich — oo ist. Also ist:

log 0 = — oo ,

10 = - oo.

log 10 = 1,

1 e = 1,

Bedenken wir das, dann können wir schreiben:

log a_l.a_ 1. a _,

löge ~T7e~~ ~T — 1 a*

26) a*=l+xla + ^la)2 ' (x'la)

Die Reihe 25) geht nun wiederum über in die von uns gewünschte Form:

Bendt. Differential- u. Integralrechnung.

Wir wollen nun noch zeigen, wie die verschiedenen Logarithmen - Systeme in einander übergeführt werden können. Bezeichnen wir zu dem Zweck den natürliche^ Logarithmus einer Zahl N mit n und den gemeinen Logarithmus derselben Zahl mit g. Also:

iog N = g 1. N = n.

und

Dafür kann man wiederum schreiben:

10g = N, en = N.

Also folgt:

27)

KP = en.

Logarithmieren wir 27) also:

gk 10 = nie

und bedenken, daß le = 1 ist, dann ergiebtsich unmittelbar:

In den Tafeln für die natürlichen Logarithmen findet man 1.10 — 2.30259. Wir erhalten daher für g:

28)

• n.

02&9

Führen wir die Division von ~ - aus, so erhalten wir

^•30259

eine Zahl, die man den Modulus nennt und mitM bezeichnet.

M = 0.43429.

29)

Der Modulus in 28) eingeführt giebt endlich die Beziehung: g = M.n.

Wir gelangen somit zu der Regel:

Der gemeine Logarithmus g von einer Zahl N ist gleich dem natürlichen Logarithmus von derselben Zahl multipliziert mit dem Modulus.

30)

Formen wir 29) n^ch n um, dann ergießt sich:

n = *

31

und die Regel lautet:

Der natürliche Logarithmus von einer Zahl N ist dem gemeinen Logarithmus der gleichen Zahl gleich, wenn man ihn durch den Modulus dividiert.

Wie die Logarithmen wirklich berechnet wurden zu erklären, ist in diesem der Praxis gewidmeten Buche nicht notwendig, da wir sie in den Tafeln vorfinden.

Zweiter Teil.

Die Differentialrechnung.

Die Wikdung der Differentiakqnotienten der Knnktionen von Junktionen. Aufgaben.

y==f(x)

g) der zweite Disferentialqiwtient für einen Punkt (x y) positiv, dann ist die Kurve nach unten konvex;

=s'(F3+c-

nn' = Ax n, Q, = y+Ay

Die Differentialgleichungen.

^-i+x+S+S+S+-:+s

Die Differentialrechnung.

Drittes Kapitel.

pie allgemeine Lehre von den Kunktionen.

10. Definitionen.

Verbindet man zwei Größen durch ein Gleichheitszeichen mit einander und legt der einen Größe nacheinander verschiedene Werte bei, so erhält dadurch in jedem Falle auch die andere Größe bestimmte Werte. Die eine Größe ist von der anderen abhängig. Eine solche Gleichung nennt man eine Funktionsgleichung. So ist z. B.

1)

y — 2x

eine Funktionsgleichung. Setzt man nach der Reihe in dieselbe für x,

x=l, 2,    3.

dann erhält man für y

y — 2,    4,    6,...

Die Größe x, deren Wert man beliebig wählte, nennt man die unabhängige Veränderliche oder das Argument. Die Größe y, die durch x bestimmt wurde, be-zeichnet man als die abhängige Veränderliche oder als die Funktion von x.

Die Gleichung 1) wird daher gelesen: „jr ist eine

Funktion von,2.x.!'.    " ~

Solche Funktionsgleichungen oder kurz Funktionen lehrt die Trigonometrie, die analytische Geometrie und auch schon die Elementargeometrie kennen. Funktionen sind z. B.

a)

y — sin x, b) J= 2px,

c)

y=|-r

Setzt man in sin x für x nach und nach verschiedene Werte, dann erhält man für y die verschiedenen Funktionswerte. Also: y = sin30° ergietit y — y = sin 90°

ergiebt y — 1. Werden in den Ausdruck b) für x eine Folge von Werten eingefügt, die entsprechenden Werte von y bestimmt und diese in ein Koordinatensystem gezeichnet, dann entsteht, wie die analytische Geometrie zeigt, eine Parabel. Ans Gleichung c) erkennt man endlich, daß der Inhalt einer Kugel von der Größe des Radius bestimmt wird.

Auch die Physik und die Technik geben Beispiele für den Funktionsbegriff. So ist die Spannkraft des Dampfes eine Funktion der Temperatur; die Schwingungsdauer eines Pendels eine Funktion seiner Länge; die Kraft eines Elektromagneten eine Funktion der Stromstärke und der Windungszahl.

Soll ganz allgemein angedeutet werden, daß y von x abhängt und x in irgend einer Form erscheint, dann pflegt man zu schreiben:

2) y = f(x); y= F(x); y —<x(x); y = y(x) u. f.f.

und man liest „y ist eine Funktion von x\

Es ist nun leicht einzusehen, daß auch wiederum in jedem solchen Falle x als eine Funktion von y betrachtet werden kann. Sei z. B. II = 2rn, d. h. der Umfang eines Kreises, ist eine Funktion des Radius; dann ist auch der Radius eine Funktion des Umfanges. Oder allgemein: Ist:

dann ist auch

U = f(r), r = F(U).

Geben wir noch ein Beispiel aus der Algebra und zwar aus der Logarithmenlehre. Man schreibt bekanntlich:

y=10x,

so ergiebt sich sofort die Umkehrung:

x = log¹⁰y.

11. Die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen.

Von Wichtigkeit für die späteren Untersuchungen ist die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen, also die Umkehrung von sinx, cos x, u. s. w. In der höheren Mathematik versteht man in diesen Funktionen unter x nicht den Winkel, sondern das zugehörige Bogenstück eines Kreises für den Radius, der der Einheit gleich ist. Die Formel für den Umfang des Kreises ist bekanntlich 2xn und der Zentriwinkel, welcher diesem größten Bogenstück gegenüberliegt, beträgt 360°. Setzt man nun, wie angegeben, r — 1, dann findet sich, daß einem Winkel von 360° das Bogenstück 2n gegenüberliegt. Somit liegt dem Winkel von einem Grad das

Bogenstück gegenüber, das um ^stel kleiner ist. Also 1°

entspricht dem Bogenstück von ^,

2jt

7t

3.14159 . . .

0.017453 ,

dem Winkel von einem Grad entspricht das Bogenstück: 0.017453. Es folgt somit unmittelbar, daß einem Winkel von

a Grad ein Bogenstück von — 0.017453. a gegenüber liegt.

360°    180°

180°

Übertragen wir nun dieseAuseinandersetzungen anschaulich in das Geometrische. (Siehe Fig. 1.)

Setzen wi,r das Bogenstück AB gleich x, dem der

JET

00/

"C

T=i

Fig. 1.

Winkel a gegenüberliegt, dann können wir nach unseren Untersuchungen schreiben:

AB — x

a . ui

180°

Für r — 1 ist, wie die Trigonometrie lehrt und unter Berücksichtigung des eben Erörterten y — sin x. Es ist also x dasjenige Bogenstück, dessen Sinus gleich y ist. Um das anzudeuten, schreibt man:

x — arc sin y

und liest: „x ist gleich arcus sinus y Merken wir noch:

x — arc cosy, x — arc tangy, x — arc cot y.

3) Wenn y = cos x, dann ist y = tangx,    „    „

y — cotx,    „    „

Diese Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen nennt man eyklometrische Funktionen.

12. Die Funktionsarten.

Die Funktionen, die wir bisher betrachteten, waren nach der einen Veränderlichen, und zwar zumeist nach y aufgelöst, z. B. y — sin x. Man nennt solche Funktionen entwickelte oder explizite Funktionen von x.

Es kommt aber auch vor, daß eine Funktion nicht nach einer Veränderlichen aufgelöst ist, z. B.:

y² —axy + b = 0

oder

xy -]- sin x -j- 3 x = 0

Man bezeichnet hier y als eine unentwickelte oder implizite Funktion von x. — Allgemein schreibt man:

f(x, 7)^=0; F(x, y) = 0;    <p(x» y) = 0;

v(x, y) = o

u. s. w.

4)

u. s. w.

Die Funktionen teilt man auch in algebraische und in transcendente Funktionen ein.

Man bezeichnet y als eine algebraische Funktion, wenn der Ausdruck, der y gleichgesetzt wird, gebildet ist durch die Operationen der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation, der Division, der Potenzierung oder der Radizierung. Zum Beispiel:

y — 3x²-j-4x — 2,

r-ViS'

Diese Ausdrücke sind algebraische Funktionen.

Sämtliche anderen Funktionen, die unter der Form von Logarithmen, als Potenzen mit veränderlichen Exponenten oder als trigonometrische Ausdrücke erscheinen, heißen transcendente Funktionen. Zum Beispiel:

y = tangx, y = ax, y — log x.

DieseAusdrücke stellen transscendente Funktionen dar.

Auch die algebraischen Funktionen zerfallen nochmals. Man teilt sie in rationale und irrationale Funktionen ein. Es ist y = bx-j-c eine rationale, y = l/2bx-f-o eine irrationale Funktion.

Häufig spricht man in der Analysis auch von:

Alternierenden Funktionen. Darunter versteht man Funktionen aus mehreren Veränderlichen, die, wenn man zwei Veränderliche mit einander vertauscht, wohl ihren absoluten Wert behalten, aber ihr Vorzeichen verändern, z. B.

l0g(fJ;    (y —z)(x—z). rc.

x—y;

13.    Darstellung der Funktionen.

Man kann, wie die analytische Geometrie lehrt, mittels eines Koordinaten-Systems eine Funktion bildlich darstellen. Hierfür gaben wir schon unter 10. die entsprechenden Beispiele. Arithmetisch werden die Funktionen ebenfalls ausgewertet, und häufig in Zahlentabellen die Ergebnisse zusammengestellt. Beispiele hierfür sind die logarith-mischen und die trigonometrischen Tafeln.

14.    Die Grenzen der Funktion.

Nähert sich eine veränderliche Größe x immer mehr einer bestimmten konstanten Größe c, bis endlich der Unterschied zwischen beiden verschwindet, d. h. nicht mehr angebbar ist, so bezeichnet man die konstante Größe c als die Grenze der Veränderlichen. Wir wiesen schon in 3. darauf hin, daß die geometrische Reihe:

2n

I + I + I + I6 + Ä +

Auch auf die unendlichen Dezimalbrüche haben wir in 3. aufmerksam gemacht. Der Dezimalbruch:

0.33333 ....

nähert sich z. 93., wie bekannt, für eine sehr große Zahl von Stellen immer mehr dem Bruche ¹/₃, wie man sich durch direkte Division unmittelbar überzeugen kann. Man kann daher schreiben:

¹/s — lim . 0.33333 ....

Es ist ys die Grenze des unendlichen Dezimalbruches. Das wird noch klarer, wenn man den Dezimalbruch in eine Reihe auflöst und schreibt:

7₃ = lim

11=00 V

10n

für n — oo den Wert „1" ergiebt. Man bezeichnet dann 1 als die Grenze (limes) der geometrischen Reihe und schreibt:

und liest: Eins ist gleich limes • j-^-|-----f-~j für n

11

2nj

— oo .

102 1 IO3 1 IO4 In ihr ist ³/₁₀ das Anfangsglied und l/₁₀ der Quotient.

Ein anderes instruktives Beispiel giebt die Trigonometrie. Es ist:

6)

lim

= 1,

d. h. die Grenze für sinx, durch den Bogen x, ergiebt für x —0 den Wert 1. (Siehe Fig. 1.)

Aus Abschnitt 11 und Fig. 1 sahen wir, daß man setzen kann: y = sin x. Das besagt, daß x der Bogen ist, dessen Sinus gleich y ist. Dann kann man für den vorstehenden

Ausdruck 5) auch schreiben:

x=0

I“.

>rx

Also:

sin x_ y

Die Figur läßt unmittelbar erkennen, daß für x= 0 auch y = 0 werden muß. Im Augenblick des Verschwindens ist also:

1. — Man möge sich hierbei

recht klar machen, daß nicht der Zeitpunkt gemeint ist, wo x schon Null geworden ist, sondern der Augenblick kurz vorher.

Auch in der Geometrie erscheint bereits der Begriff der Grenze und in Verbindung damit die Begriffe unendlich groß und unendlich klein. So denkt man sich bekanntlich bei der Bestimmung des Kreisumfanges um und in den Kreis ein reguläres Vieleck konstruiert. Beide fallen zusammen, wenn ihre Seitenzahl „unendlich groß" wird. Die Kreislinie selbst stellt die Grenze der Vielecke dar. Ähnliche Überlegungen werden angestellt bei der Ableitung der Kugeloberfläche sowie bei der Bestimmung der Jnhaltsformeln für den Kreis und die Kugel.

~~ wird —-

Unabweisbar drängt sich uns hier auch der Begriff des unendlich Kleinen auf. Nähert sich eine Größe der Grenze Null, dann bezeichnet man sie als unendlich klein. In der geometrischen Reihe 1 1

2n

2' 4'    ' 16'""    ' ₂n

für n — w sofort:

2°°

- =0.

oo oder unendlich klein.

Auch bei der Bestimmung des Kreisumfanges wird in dem Augenblick, wo das eingeschriebene und das umschriebene Vieleck in der Kreislinie zusammenfallen, jede ihrer Seiten unendlich klein.

Mit dem Begriff der Grenze sind somit die Begriffe des unendlich Großen und unendlich Kleinen durchaus verbunden.

15. Die Stetigkeit der Funktionen.

Man denke sich eine Funktion:

6)

y=f(x)

geometrisch durch eine Kurve dargestellt, dann wird in den meisten Fällen jede kleine Änderung von x auch eine kleine Änderung von y herrufen. Die Kurve erscheint, wenn man sie mit Hilfe der ermittelten Werte konstruiert, als eine Folge sehr eng an einander liegender Punkte. Eine solche Funktion und ihre bildliche Darstellung, die sich in der geschilderten Weise gleichmäßig entwickelt, nennt man eine stetige oder kontinuierliche Funktion resp. Kurve.

Fig- 2.

Auf der vorstehenden Linie haben die sehr nahe an einander liegenden Punkte P und P, die Koordinaten xy bezw. x, y,. Ändert sich x um QQ,, dann muß sich auch y um P,R ändern. Wenn bei sehr kleinem QQ, auch P, R sehr klein ist, dann ist die Funktion und ihre Kurve stetig.

Stetige Funktionen sind z. B.:

y = ax; y = sin x; y = cosx; y = Vx.

Auch y — xn ist eine stetige Funktion, wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet. Das gleiche gilt für y = log x für das Intervall von x — 0 bis x —

00 .

Setzt man in die Funktion y = — den Ausdruck x= 0, dann wird y = — = oo. Der Wert der Funktion wird also

- für X = b.

für x— 0 unendlich groß, und der Weg der entsprechenden Kurve wird hier plötzlich und unvermittelt unterbrochen. Funktionen dieser Art heißen: diskontinuierliche oder unstetige Funktionen. Diskontinuierliche Funktionen find z. B. noch: a

y = cot x für x = 0; 180° re.

Bei der Rechnung mit Funktionen hat man vor allen Dingen zu untersuchen, ob sie stetig sind und, gegebenen Falls, die Werte zu ermitteln, für welche sie unstetig werden.

viertes Kapitel.

Die Entwickelung der Differentialforrneln.

16. Der Differentialbegriff.

Man zeichne eine Linie, die durch die stetige Funktion

7)

y = fO)

gegeben ist. (Siehe Fig. 3 S. 30.)

Seien zwei Punkte der Kurve mit P und P, bezeichnet. Ihre Koordinaten feien x, y bezw. x,, yy. Man verbinde die Punkte durch die Sekante P, P,, die mit der Abfeisie X den Winkel ß bildet. Sodann ziehe man durch den Punkt P parallel zur X-Achfe eine Linie, die P, Q, (— yy) in R schneidet. Es ist dann

P, R

Aus der Figur ergiebt sich unmittelbar, daß man schreiben kann:

und

P,R = y,— PR = x,—

'aC

Ar

ä,

cct

8ig. 3.

und

Es ist nun gebräuchlich für

y, — y=Ay X, — x = A x

zu setzen.

Dann geht 8) über in:

Ay

Man lasse nun den Punkt Pz sich auf den Punkt P zu bewegen, dann werden Ay und Ax immer kleiner. Während dieses Vorganges wird sich die Sekante P Pz in der dem Uhrzeiger entgegengesetzten Richtung (/? wird größer) um P drehen. In dem Augenblick, wo das Kurven stück PPZ

9)

Ax

verschwindend klein geworden ist, sind auch Ay unt) Ax verschwindend klein geworden. Gleichzeitig fällt die Sekante mit der Tangente im Punkte P zusammen, die mit der Abseisse denWinkel a macht. Der Winkel ß ist in den Winkel a übergegangen. Es ist gebräuchlich, die Differenzen Ax und

-Ai

Ay, wenn sie verschwindend klein geworden sind und sich daher der Grenze Null nähern, mit clx f und ä y zu bezeichnen. Man nennt dann die neuen *

Ausdrücke Differentiale. Wir setzen nun:

'Vl/u rv-vx. I *

jj * ‘ 1 1 > pt vV    W

Ay_ dy

Ax dx A£-,

nennt man den Differential-

10)

tang a — lim

Den Quotienten

quotienten.

Der Differentialquotient einer Funktion y = f(x) ist somit gleich der trigonometrischen Tangente des Winkels, den die geometrische Tangente an einem Punkte der durch die Funktion bestimmten Kurve mit der Abscissenachse macht.

Da die geometrische Tangente die Richtung einer Linie in dem betreffenden Punkte angiebt, so wird man durch die Differentialquotienten die Richtungsänderungen an den einzelnen Stellen einer Kurve feststellen können. Man ist daher in dieser Weise fähig zu ermitteln, wie die Kurve verläuft; ob sie konvex oder konkav gegen eine Koordinatenachse ist, wo ihre höchsten und tiefsten Punkte liegen und dergl. mehr. Schon allein diese Überlegung giebt eine Vorstellung von der Wichtigkeit der Differentialrechnung, deren Aufgabe es ja an erster Stelle ist, die Differentialquotienten der Funktionen zu bestimmen. Wir wollen zunächst zeigen, wie sich aus dem Differentialquotienten einer gegebenen Funktion erkennen läßt, ob die ihr entsprechende Kurve steigt oder fällt in Beziehung zur Abscissenachse.

In dem einfachsten Falle, den wir im Vorstehenden behandelten (siehe die Figur3), war der Winkel« spitz; die

trigonometrische Tangente desselben ist somit positiv. Wir ziehen daraus sofort den Schluß: daß die Kurve dann über der Abseissenachse mit wachsendem x sich erhebt und steigt, wenn der Differentialquotient positiv ist.

Weiter wissen wir aus der Trigonometrie, daß die Tangente eines stumpfen Winkels negativ ist. Das giebt uns den

Fig- 4.

Satz. Die Kurve fällt bei wachsendem x gegen die Abseissenachse, wenn der Differentialquotient negativ erscheint.

Die Figur 4 giebt für die beiden Sätze eine gute Anschauung.

17. Die allgemeine Bestimmung des Disferentialquotienten.

Denken wir uns die Funktion:

11)

y=f(x)

wiederum als Kurve dargestellt. (Siehe Fig. 3 S. 30.)

Es nehme die Abseisse x des Punktes P um die kleine Größe Ax zu, dann wird auch y um die kleine Größe Ay zunehmen. Man erhält dann aus 11):

y -f- A y = f (x -f- A x).

18. Bestimmung des Differentialquotienten für eine Potenz.

Satz I. Wenn eine Funktion y — xm gegeben ist, in der m eine beliebige reelle Zahl ist, dann wird der Differentialquotient:

mx

m—i.

Will man nunmehr A y erhalten, dann hat man nur Gleichung 12) von Gleichung 11) zu subtrahieren. Das ergiebt:

13)

A y = f (x + A x) — f (x).

14)

Wir dividieren jetzt die Gleichung 13) durch Ax, so folgt: Ay_f(x + Ax) — f (x)

Ax

Ax

Nähert sich Ax der Grenze Null, dann geschieht das Gleiche mit Ay und es geht ^ in den Differential-

X7

quotienten

rÖ \r&

über. Wir schreiben daher:

15)

dy

f(x + Ax)-f (x)

-A — lim

x Ax=0

Für den Differentialquotienten einer Funktion f (x) schreibt man wohl auch f'(x) oder d x Dann ergiebt sich:

15 a) 4^- = lim

dx A-x=0

Es sollen nun der Reihe nach die Differentialquotienten für die einzelnen Funktionen entwickelt werden.

Ax

d . f (x)

f(x +Ax) —f(x)

Ax

f'(x)

d . f(x)

dx

dy^d(xm) dx dx

Beweis. Wir schreiben:

y = xm. Bendt, Differential- u. Integralrechnung.

Es wächst x um Ax und somit auch y um Ay, dann geht 16) über in:

17)

y + Ay = (x-f- Ax)m.

Entwickeln wir die rechte Seite der Gleichung 17) nach dem binomischen Lehrsätze in Abschnitt 1. Also:

y + Ay

I m(m~ !)„m

18)

= xm-|-mxm 1 Ax

2!

-²Ax²H----

Wir subtrahieren nun um Ay zu erhalten 16) von 18), so folgt:

19) Ay = rnxm—¹ Ax -[■

m(m — 1)

2!

~²Ax² -)----

Dividieren wir nun, wie in Abschnitt 17, Gleichung 14) durch Ax um den Quotienten zu erhalten, dann wird:

20)

Ay

Ax

mx

Nähert sich jetzt Ax der Grenze Null, dann werden alle Ausdrücke ans der rechten Seite der Gleichung 20), die

mit Ax behaftet sind, auch gleich Null; geht über in

und man erhält, wie behauptet wurde:

m—1

dy

3    ——- m . x

dx

Zusatz. Sei in der Funktion: y —x™>

m = 0,

dann ist:

22)

y = x° = 1,

und bildet man hieraus den Differentialqnotienten, dann erhält man Null. Also:

dy_d. (x°)_d(l)

Der Differentialquotient aus einer konstanten Zahl ist immer gleich Null, wie man sich leicht überzeugen kann, wenn man dieselbe Operation ausführt. Ist y = a, dann ist auch

24)

0.

dy _d(a) dx dx

Hieraus folgt, daß zwei Funktionen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden, denselben Differentialquotienten haben müssen. — Werden endlich in einer Funktion mehrere Ausdrücke durch 4- oder — Zeichen mit einander verbunden, dann nimmt man den Differentialquotienten für jeden einzelnen Ausdruck.

19. Beispiele.

dx

a) Es ist: y — x², dann ergiebtsich nach dem Vorstehenden:

^2x?

b) Es ist: y = x⁹, dann ist:

c)    Es sei: y = 4x³-|-2x²-|-5, dann ist:

- = 3.4. x²-j- 2.2x^

— 12x²-j- 4x.

d)    Es sei: y = 5x⁴-f-3x³—5x²-j- 6, dann ist:

- = 4.5.x³+3.3x²—2.5x — 20x³-s- 9x² — 10x.

3*

e) Es sei: y = 4x%—8x²/³ -f™ 6, bann ist:

- = — 4x¹/²~-¹_— • 8 x²/³⁻¹

d 2*X    3 ö

= 2x-V₂ —2x“1/3

XV2 XVs l/x V^x

f) Es sei: y

e Vf

— ~ x~% -f-    x⁻² -)- 9, dann wird :

x”⁷/* — 2 •

6x²

dy __

dx

CO

CO IO

x "³

¹⁵ -v,_

-7T7X

24

x-³

dx

15

24. x7/*

3xs

3/

g) Es sei: y = ||/ x² =

dy_l

dx 3 ■ 4

£x%.

Also:

2 x^

2^i

1i) Es sei: y— (3x — 5) (x²-j~ 10x—1). In diesem Falle multipliziert man die Klammer aus. Also:

y — 3x³ — 5x²

4“ 30x² — 50x

oder

— 3x + 5

y = 3x³-j- 25x² — 53x-f- 5. = 9x² -{- 50x — 53.

Also:

i) Nehmen wir endlich noch ein Beispiel zu Gleichung 24) und dem Folgenden. — Gegeben seien:

y = 5x²— 7 x und yi — 5x²—7 x -j- 4.

Dann ist:

^=10x —7 und

dji

dx

10x —7.

20. Bestimmung des Disserentialquotienten für y = sinx.

cos. x.

Satz II. Ist eine Funktion y = sinx gegeben, dann ist der Differentialquotient: dy_d (sin x)

dx dx

Beweis. Wir schreiben:

25)

y = f (x) = sin x.

Es nimmt xuntAx und y itm A y zu, dann ergießt sich:

26)

y -f- A y = f (x A x) = sin (x -f- A x).

Wir subtrahieren Gleichung 25) von 26). Also:

27) Ay = f(x-f Ax) — f (x) = sin(x-f- Ax) — sinx. Schreiben wir der Kürze halber für:

f(x-(-Ax) — f (x) = A f (x),

dann geht 27) über in:

27 a)    A y = A f (x) = sin (x -f- A x) — sin x.

Zur weiteren Umformung erinnern wir uns der bekanntentrigonometrischen Beziehung:

<* + ß

sin a — sin ß = 2 . sin .....^ • cos ₂

und wenden sie auf 27 a) an. So wird:

x+Ax—x

28)

Ay=Af (x) = 2sin|

x+Ax+x

= 2 sin

(4^).cos(x + 4^).

Zur Vereinfachung setzen wir sodann:

2u = Ax,

so wird jetzt:

29)

A y = A f (x) = 2 sin u. cos (x -j- u).

Dividieren wir durch A x und entwickeln:

30)

A y_A f (x)_2 sin u . cos (x -f-u)

Ax Ax

Ax

2 sin u. cos (x-s-n)

2u

sin u /in • cos (x + u).

Es möge sich nun wiederum A x — 2 u der Grenze Null nähern, dann ergiebt sich:

dy_d. f (x)

31)

dx

dx

lim

u=0

f sin

1 u

• cos(x

+ U)}

sinn

— cosx • lim •

u=0 U

In Abschnitt 14 Gleichung 5) wurde nachgewiesen, daß

sinn

lim-— 1

u=0

zu setzen ist. Wird das beachtet, so erhalten wir:

dy

d. f (x)

2L Bestimmung des Differentialquotienten für y = cos x.

Satz III. Ist eine Funktion y = cos x gegeben, dann ergießt der Differentialquotient:

dy_d (cos x)

dx

dx

sin x.

Beweis. Der Beweis schließt sich der vorigen Ableitung eng an. In

33)

y = f(x) = cos x lassen wir wiederum x um Ax wachsen, dann folgt zunächst: y -f- Ay = f(x -f- Ax) = cos (x-f- Ax) und Ay = f(x-f Ax) — f (x) = A f (x)

— cos (x 4™ A x) — cos x.

Diesmal verwenden wir natürlich die Formel: cos a — cos p — — 2 sin —~~ sin —•

34)

35)

Dann ergießt sich:

36) Ay = Af(x) = — 2sin(x + ^) sin ^• Wiederum 2 u = A x gesetzt.

A y = A f (x) = — 2 . sin (x 4~ u) sin u.

37)

38)

Dividieren wir durch Ax, so ergießt sich:

2 sin (x 4“ u). sin u

Ay_As W

Ax Ax

Ax

2 sin (x -f- u). sin u

2u

sin u . f | s =--—' sin (x 4- u).

Es möge sich jetzt Ax= 2u der Grenze Null nähern, dann erhalten wir:

-9,

dy __

dx

v sinn sin x. lim-

u=0 u

.. sinn lim--— 1.

22. Bestimmung des Differentialquotienten für y = log x.

Satz IV. Ist eine Funktion y = logx gegeben, dann ist ihr Differentialquotient:

dy d (log x) log e

dx

Beweis. Wir schreiben:

41)

y = f (x) = log x

und lassen in der gebräuchlichen Weise x um /\x zunehmen. Also:

42) y + Ay = fO + Ax) = iog(x+A*)-

Nunmehr erhalten wir aus der Differenz der Gleichungen 41) und 42):

43) Ay^fO+Ax)—f(x)=:Af(X)

— log (x + Ax)—log X.

Aus der Lehre von den Logarithmen ergiebt sich die Formel: log A = log a —logb.

Demgemäß wird: 44) Ay= AfM=iogj^“=^} =iog{i-}-^j-

Wir dividieren durch A x:

45)

Ay ₌ Af(x) ₌ J_ s , Ax) Ax Ax Ax AOg\ ^ X j

Durch eine leichte Substitution kann das Ziel schneller erreicht werden, daher schreiben wir:

Ax

Ax = --

n ^ n

In Gleichung 45) eingefügt:

Ay_As (x)

Mit Hilfe der Beziehung n . log a = log a¹¹ geht 46) über in:

4₇)    Ay _ As (x)

Ax

Ax

Nähert sich jetzt A x der Grenze Null, dann wird

Ax — —; n

Und es folgt:

⁴⁸> d«

Durch eine einfache Herleitung kann endlich gezeigt werden, daß:

Ax

ö=°°;

n = oo •

dy

dx

Hm sl “f- —\ — 6 — 2.71828 *) ist. n=cc V n/

Also:

49)

dy

d. (log x)

loge

dx

dx

Bei dieser Ableitung ist über die Basis desLogarithmen-Systems nichts vorausgesetzt. Sie ist also ganz beliebig.

*) Nach dem binomischen Lehrsätze ist:

(l + l)n=l+n(l)+fcA

Gr) "I"—

“¹+¹+G"~4)+(t—4) (i-4) h—

n(n-l)(n-2)

3!

oder:

Da n, wie wir im Text sahen, unendlich wird, so werden alle Glieder, die n im Nenner haben, Null. Es bleibt also für die Grenze n =x:

&n(Y+i)n = 2 + i+A

= e. (Siehe Abschnitt 8. Gleich. 22.)

23. Bestimmung des Differentialquotienten für y = 1 x.

Satz V. Ist eine Funktion y = lx gegeben, dann ist ihr Differentialquotient:

dx

dx

Beweis. Den Differentialquotienten des natürlichen Logarithmus kann man unmittelbar aus dem Differentialquotienten des vorstehenden Logarithmus mit allgemeiner Basis herleiten. Hierzu ist nur nötig, daß man zur Basis die Zahl e selbst wählt. Wie wir in Abschnitt 9 sahen, wird dann loge= 1. Somit ergiebt sich:

d.flx)

50)

dy

dx

dx

Vergleiche übrigens auch die anderen Auseinandersetzungen in Abschnitt 9.

Zusatz. Hat man, was aber in der höheren Mathematik nur sehr selten vorkommt, den Differentialquotienten vom gemeinen Logarithmus zu nehmen, den man gewöhnlich auch mit log x bezeichnet, so hat man den Differentialquotienten des natürlichen Logarithmus mit dem Modulus zu multiplizieren. Also:

Mlogx)

51)

dx

24. Bestimmung des Differentialquotienten eines Produktes.

Wenn mehrere Funktionen von x gegeben sind, die die einzelnen Faktoren eines Produktes bilden, dann bedarf es besonderer Methoden, um den Differentialquotienten des Produktes zu finden.

Satz VI. Sei u eir andere Funktion von

von x. und v eine V, dann ist der

dy

dx

du, d v

='y- dic+udr

Beweis. Schreiben wir wiederum:

52)

y = u. v.

In diesem Produkt ist:

53)

i\ = cp (x) und v = ip (x).

OT

Dann muß auch y selbst eine Funktion von x sein. Also: 5 )    y = f (x) und somit:

5 )    y = f (x) = u . v = cp (x). \p (x).

Wie gebräuchlich lassen wir nun x um A x wachsen und verändern dementsprechend den Ausdruck 55):

56) y+Ay==f(x+Ax)==9>(x+A'x)-v(x+Ax)-

Hiervon Gleichung 55) subtrahiert ergiebt:

57)

Ay = f(x+ Ax) — f(x)

= 9? (x+ A x) • w (x+ A x) — 9 W • v W-

Um leicht zur Aufstellung des Differentialquotienten zu gelangen macht man einen Kunstgriff, den man sofort aus der folgenden Gleichung ersehen kann. Setzen wir hierbei, der Kürze halber, wieder:

f(x +Ax) —f(x)== A -f(x).

58) A y = A f(x) = <p (x+ A x) v (x+ A x)

— 9?(x)^(x+ Ax) + 9⁹(x)^(x+ Ax) — 99 (x) . yi (x).

Die rechte Seite der Gleichung 58) vereinfachen wir nun in der Weise, daß wir ^(x-j- Ax) und <p(x) ausklammern. Dann geht 58) über in:

59) Ay =    = v(x+Ax) i<p(x+Ax)—y(x) j

+ 9⁹(x) |WX + Ax) —y(x)|.

Wir dividieren durch A x:

60)

= ^(x+Ax)

Ay _Af(x) Ax Ax y(x+Ax) — y(x)

Ax

Nähert sich je£t Ax der Null, dann werden die Ausdrücke nach der Reihe:

lim xp (x -f- A x) ⁼ W (x) = v* Ax=o

lim

<P (x + Ax) — <p(x) d . (p (x) du

Ax=o

Ax

dx

dx’

lim

^(x-j-Ax) — y-(x)_d . xp (x)_ d v

Ax

dx

u und endlich

Ax=o

r Ay

lim -r^-

Ax=oAx

Setzen wir die so umgeformten Ausdrücke in 60) ein, dann ergiebt sich:

dy

dx

61)

dv

dy    du i vA v

IX—v'dAu" dT

Das Produkt von zwei veränderlichen Faktoren wird differentiiert, indem man jeden Faktor differentiiert, das Differential mit dem anderen Faktor multipliziert und die Produkte addiert.

Zusatz I. Durch die gleichen Untersuchungen kann man auch den Differentialquotienten ermitteln für ein Produkt, das aus drei oder mehr variabeln Faktoren besteht. — Sei:

62)

62 a)

y = F (x) und

u = f (x); v = 99 (x); w — xp (x). Also:

y = u . v. w.

Dann ergiebt sich: d y d (u . v . w)

dw ,    dv

uv-dAu-wdr

Zusatzll. Besteht einProdukt aus zweiFaktoren und ist der eine Faktor eine Funktion von x, der andere eine Konstante, dann ist der Differential-

c;» a,

dx

du

dx

quotient gleich dem Differentialquotienten der Funktion multipliziert mit der Konstanten. Sei:

64)

y = av, dann folgt aus Gleichung 61):

dy

dv

da ,

— Vdx^adx’

Da nun der Differentialquotient einer Konstanten a immer Null ist, so wird auch:

dx

65)

dy

dv

dx

adT

25. Beispiele.

Sei gegeben:

y = (i + x²) (i —x²). Hier sei: u = 1 -j- x² und v — 1—x²,

a)

also:

y = u. v

dy

du

dv

dx V dx ' U dx *

Es ist:    2x und ^ — —2x.

Setzen wir ein:

Az = (l—X2).2x + (l + x²).-2x = —4x³.

Von der Richtigkeit der Lösung kann man sich hier leicht überzeugen, wenn man die Klammer auflöst, zusammenfaßt und differentiiert. — Es giebt:

y=(l-fx²) (1 — x²) = 1 — x⁴.

4x³.

Also:

dy

dx

¥’(x +Ax)

Nun lassen wir in der gewohnten Weise x um /\x re. wachsen. Dann ergiebt sich:

y(x +Ax)

b) Es sei:

y = sin x. cos x,

also:

Daher ^ — cosx—^

Nach Abschnitt 20 und 21 wird dann:

—    cosx. cos x -f- sin x. (— sin x)

—    cos²x — sin²x

—    cos 2 X.

u = sin x; V — cos X. d (sin x)

sinx.

d (cos x)

dx

26. Der Differentialquotient von einem Bruch (Quotienten) soll gesunden werden.

Satz VI. Der Zähler und der Nenner soll je eine Funktion von x sein. Ist y — wo u und v Funktionen von x sind, dann wird:

du    d v

dy_V dx U dx

dx —

Beweis. Wir schreiben:

66)

und:

y = fW = 7

11 = cp (x); v = V (x).

So folgt zunächst:

67)

y = f(x)

y(x)

V-(x)

68) y +Ay = f(x+Ax)

Wir bilden die Differenz und erhalten Ay;

Ay — f(x + Ax)—f(x) = Af(x)

69)

oder:

70) AfW =

y(x + Ax) y(x)

V(x +Ax) v(x)

y(x + Ax).^(x) —y(x)y(x +Ax)

v(x +Ax).v(x)

Jetzt dividieren wir Gleichung 70) durch Ax- So giebt es, wenn wir geschickt ordnen:

71)

Af(x)

Ax

y(x +Ax)v(x)

und:

72)

y(x + Ax)y>(x) —y(x)y>(x + Ax)

Ax

V(x+Ax)y(x)-

Af(x)

Ax

_y(x +Ax)y>(x) — y(x)y(x + Ax) _

Ax

Um nun leicht zu dem gewünschten Ergebnis zu kommen, addieren und subtrahieren wir zu dem vorstehenden Ausdruck das Produkt: <p(x).y(x). — Das ergiebt:

V(x+ Ax)v(x)-

73)

Af(x)

Ax

<P(x +Ax)v-(x) —y(x)y(x) —y(x).^(x+Ax) + y(x).y>(x)

Ax

gs(x)

y(x +Ax) —y(x)

Ax

V(x +Ax) — y>(x)

Ax

Nähert sich endlich Ax der Null, dann werden die einzelnen Ausdrücke in Gleichung 73):

lim ip (x -)- A x)⁼ W (x) — v > Ax=o

lim

Af(x) df(x)

Ax=o

Ax

clx '

Der Differentialquotient eines Bruches ist somit gleich dem Nenner mal dem Differentialquotienten des Zählers, vermindert um den Zähler mal dem Differentialquotienten des Nenners; die Differenz dividiert durch das Quadrat des Nenners.

27. Beispiele.

a)

Setzen wir:

u = a — x und v — a-f-x und setzen in Formel 74) ein, nachdem bestimmt wurde:

dv

lim

y(x +Ax) — y(x)

Ax=o

Ax

<p'(x)

d . cp(x) du

dx

dx’

lim

y(x + Ax) —yj(x)

Ax

y'O)

d • W (x)

dx

dv

dx

Ax==o

Diese Werte setzen wir jetzt in Gleichung 78) ein. Dann wird unter Beobachtung, daß u = <p(x) und v = t/;(x) ist: dy

V • V • -7— = v • — dx    dx

du

dv

U dx

und endlich:

du

dv

74)

dy

V* dx udx

dx dx

v²

du

dann folgt:

dy

(a + x) • — 1 — (a — x) • 1

Pu

(a + x)²

dx

(a + x)²

— 2a (a + x)²

b) Es sei gegeben:

sin x

COS X

Also:

u — sin x;

In Formel 74) eingesetzt, nach Bestimmung von:

sinx,

V = COS X .

du

dx

cosx und

6y

exQitU: dx

dx

cos x . cos x — sin x (— sin x)

COS² X

cos² x -|- sin² x

COS² X

COS² X

c) Es sei:

◄ iS

Also:

dy

xn. 0 — a n x11 1

dx

(x¹¹)

anx11 1

x2n

— anx11 1. x 2n

— — anx

-(n+l)

an

xn+1'

d) Es sei:

Also:

ciy

i+y?

y=jz~^-

(i-yp-.x^'+b + YZlr¹*'

dx

(i-yx)²

yx.(i-Vx)

28. Bestimmung des Difserentialguotienten für y = ax.

Satz VII. Der Differentialquotient der Exponentialfunktion y = ax, in der a eine Konstante bedeutet, ist:

dy

d.(ax)

dx

dx

ax . 1 a.

Bendt. Differential- und Integralrechnung.

Beweis. Schreiben wir:

75)

y = ax,

und nehmen auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus, wodurch oft eine Ableitung vereinfacht wird, so folgt:

76)

1. y = 1 (ax) — x. 1. a.

In Abschnitt 23 erhielten wir für den Differentialquotienten des natürlichen Logarithmus:

dx x

Daraus:

dy

dx

Vergegenwärtigen wir uns noch Abschnitt 24, Zusatz H, dann erhalten wir, wenn wir von Gleichung 76) links und rechts das Differential nehmen:

-^ = dxla.

y

Um den Differentialquotienten zu erhalten, dividieren wir Gleichung 77) durch dx und setzen für y aus Gleichung 75) den Wert ein. Dann ist:

^ = a*.la.

77)

78)

dx

29. Bestimmung des Differeiitialquoticntcn für y = ex.

Satz VIII. Der Differentialquotient der bestimmten Exponentialfunktion y=exift gleichfalls:

_d(ex) dx dx

dy

ex.

Beweis. Der Beweis ergiebt sich sehr einfach aus 28. Wir müssen nur in y = ax für a den Wert e als speziellen Fall einsetzen. Also:

Der Differentialquotient für y = ax war:

dx

4^ = ax.la.

Setzen wir nun a — e, dann wird:

dx

4^ = ex. 1 e.

Aus Abschnitt 9 wissen wir aber, daß 1 e = 1 ist. Daher:

80)

4^- — ex.

dx

30. Bestimmung des Disferentialquotienten von y = lang x.

Satz IX. Der Differentialquotient der Funktion y — tangx ist:

cos² x

dy__d (tang x)_    1

dx

dx

Beweis. Siehe Abschnitt 27, Aufgabe b. Wir erhalten durch Anwendung der Quotienten-Regel dort unmittelbar:

81)

dy_ d . (tangx) _ 1

dx

dx

COS*² X

31. Bestimmung des Difserentialquotienten von y ----- cotang x.

Satz X. Der Differentialquotient der Funktion y — cotangx ist:

dy_d . (cotangx) __

dx

dx

sin² x

Beweis. Wie in 30 mit Hilfe der Quotienten-Regel

ist.

zu ermitteln, da cotang x

COS X

sin x

Also:

dy sin x . (— sin x) — cos x . cos x

dx

sin² x

— sin² x — cos² x

sin² x

(sin² x cos² x)

sin² x

Da sin² x cos² x = 1 ist, so folgt sofort:

82)

dy

dx

sin² x

32. Angabe der Differentialquotienten für y—secx und y=cosec x.

Satz XI. Die Differentialquotienten für die selten vorkommenden Funktionen y = secx und y = cosec x wollen wir nicht weiter ableiten, sondern die Arbeit dem Leser überlassen und das Resultat hier nur hinschreiben. Also:

d. (sec x)

83)

dy

sin x

dx

dx

COS²X

und

84)

dy

d. (cosec x)

COS X

dx

dx

sin²x

sec x

Man hat sich bei der Ableitung nur daran zu erinnern, daß

-¹— ist: und die Quotienten-

sm x 1 7

cosx

Regel anzuwenden.

und cosecx

Wir wend en uns nun zur Ableitung dercyklometrischen Funktionen und verweisen nochmals auf ihre Bedeutung, die in Abschnitt 11 dargelegt wurde.

33. Bestimmung des Differentialquotienten für y = are sin x.

Satz XII. Der Differentialquotient für y — arc sin x ist:

dy_d . (arc sin x)

dx

l/l— x²

Beweis. Wie wir in Abschnitt 11 zeigten, ist die Umkehrung von y — arc sin x, der Ausdruck x — sin y. Bilden wir von dem Ausdruck x — sin y den Differentialquotienten' dx

d^eosy.

Kehren wir den Bruch um, so kommt:

dy

d x    cos y

wofür wir auch schreiben können:

86)

dy

dx

l/l — sin² y

Nun erhalt man aus x — sin y sofort x² — sin² y und fügt man den neuen Wert ein, dann ist:

87)

dy

dx l/l—x¹²

34. Bestimmung des Differentialquotienten für y = arc cos x.

SatzXIII. DerDifferentialquotient der Funktion y = arc cos x ist:

d y_d . (arc cos x)

dx

dx

l/l— x²

Beweis. Er ist der gleiche wie in 33. Day — aroco8x, die Umkehr x = cosy ergießt, so differentiieren wir diesen Ausdruck. Also:

x — cos y

daher:

dx

88)

CU pL

— sin y und:

siny*

Mit Hilfe einer bekannten trigonometrischen Formel:

dx

dy

PL

l/l — cos*² y

Da nun cosy — x ist:

dy __

dx

l/l - x²

35. Bestimmung des Differentialqnotienten für y = are tang x.

Satz XIV. Der Differentialquotient der Funktion y — arc tangx ist:

dy_d . (arc tang x)

1+x²

Beweis. Wiederum setzen wir, da y = arc tangx ist, den Ausdruck: x = tang y und differenzieren. Daher:

Somit:

dx

dx

dy

90)

dy

dx

cos² y.

In der Trigonometrie wird die leicht zu erweisende Relation abgeleitet:

1 -st tang² y

cos²y — Wir erhalten demgemäß:

dy

dx

l+tang²y’

91)

Setzen wir endlich für tang²y den Wert x², dann ist:

d . (arc tang x)

dy

dx

dx

1 ■+ x²

36. Bestimmung des Disferentialquotienten von y ---- arc cotang x.

SatzXV. Der Differentialquotient der Funktion y — arc cotang x ist:

dy

d . (arc cotang x)

1+x²

Beweis. Wenn y = arc cotangx ist, wird die Umkehrung : x — cotang y. Wir differentiieren:

dx

dx

dx

dy

sin²y

und daraus:

92)

dy

--^-sin’y. Es ist, wie die Trigonometrie lehrt: sin²y

1 -j- cotang² y

dy

Daher: und da x — cotang y ist:

dx

1 -\- cotang² y

93)

dy

dx

1+x²

37. Angabe der Disferentialquotienten für die Funktionen y=arc sec x und y = arc cosec x.

Satz XVI. Die Differentialquotienten für y —arc sec x und arc cosec x sind:

d . (arc sec x)

94)

dy

dx

dx

xl/x² -— 1

dy

dx

d . (arc cosec xy

dx

xl/x² — 1

Wir wollen die Ableitung dem Leser zur Übung überlassen.

9) y = cosec x IG) y = logx 11) y^lx

1)    y = f(x)

2)    y = f(a)

3)    y = xm

4)    y — sin x

5)    y = cos x

6)    y — lang x

7)    y = cotang x

8)    y — sec x

♦noiuunS 3i®

P! P X Im

di

dy

xp

Ip

Ap

loge

x₅soo _xp

x uis

dy

XgUtS

X sS00 _ xp

dy

xp

dy

— sin x

— — cos x

dy

x ra — —

dy

xp

0 ip

di

dy

m—1

KX

(WT = (x),j

20)    y = ii. y

21)    y = u. v . w

12)    y — a

13)    y = ex

14)    y = arc sin x

15)    y = arc cos x

16)    y — arc lang x

17)    y = arc cotangx

18)    y = arc secx

19)    y = arc cosec x

P I P P

Im x Im m

P Pj Pj p M .X M X

p Pi p M IkIm

du

U .    -

dx

I xp

A‘n+^ M-n-t xp

Ap    ¹

T — gx/lx

S*+I

s* — T/1

l/l — X²

ö*

y = ax.la

dx

Tafel der Differrniialquotrenten. Der Disfcrcntialquot. I Die Funktion.

PI p

X I <1

Der Difsercntialqnoticnt.

^    c~- f SS

; V fX)* -

HW -

Fünftes Kapitel.

¹

y_

Die Wikdung der Differentiakqnotienten der Knnktionen von Junktionen. Aufgaben.

38. Erläuterungen.

Es kommt sehr häufig vor, daß mehrere Funktionen mit einander verknüpft sind/ von denen der Differentialquotient gebildet werden soll. Wir wollen das zunächst an einem Beispiele darlegen. Sei z. B.:

y = 1. sin x.

Um zum Ziel zu gelangen setzt man für sin x einen anderen einfachen Wert ein, also z. B.:

sin x — u.

Dann geht die Gleichung über in:

y = lu.

Hiervon können wir sofort den Differentialquotienten bilden.

du

Es ist:

dy = — J u

dy 1    ,

= — und: du u

Es kommt nun darauf an, du wirklich zu bestimmen. Da u — sin x du — 608 x dx .

war, ist:

Somit ergiebt sich:

dy

du

-J¹— • cos xdx . sin x

Also:

dy

cos X

dx sin x

cot x.

39. Allgemeine Bestimmung des Differentialquotienten einer Funktion von einer Funktion.

l)

y = F(z)

aber zugleich auch

2)

z — f(x).

Dann erhalten wir den Ausdruck:

3)

y = F{f(x)|.

Um den Ausdruck 8) differentiieren zu können, lassen wir, wie bereits vielfach ausgeführt, in 1) und 2) x um /\x und zum Az wachsen. So ergiebt sich:

und

y +Ay=F(z+Az) z+Äz = f(x + Ax)-

In gewohnter Weise bilden wir nun die Ausdrücke Ay und Az.

Ay = F(z + Az) — F(z) = AF(z) Az=f(x+ Ax) —f(x) = Af(x). Nun dividieren wir 4) durch A X. Daher:

Ay_F(z +Az) —F(z)_AF(z)

4)

5)

6)

Ax

Ax

Ax

und

Wir wollen nun die Gleichung 6) im Zähler und Nenner mit dem Ausdruck:

f(x+Ax) —f(x) = Az

in entsprechender Weise multiplizieren, so daß der Ausdruck:

7)    —

F(z + Az)-F(z) f(x + Ax)-f(x)

Ax

Az

Ax

AF(z) Af(x)

Az Ax

sich ergiebt. Nähert sich jetzt Ax der Grenze Null, daun geht 7) unter Berücksichtigung der Gleichungen 4) und 5) über in:

dy

8)

dy dz dx dz dx

Wir erhalten also den Satz: Der Differentialquotient einer Funktion von einer Funktion ist dem Produkte der Differentialquotienten der Funktionen gleich.

a) Es sei:

y sin² x;

40. Aufgaben.

dy

soll bestimmt werden.

Lösung. Wirschreiben: u — sinx. Also:

y = u²

und daher:

chr=2u;

dy—2udu.

Da u — sinx ist, so ergiebt sich du — cosxdx. Setzt man jetzt ein, so wird:

dy — 2udu — 2 . (sin x). cos xdx.

Und:

dy

-yy = 2 sin x cos x = sin 2x.

b) Es sei:

y=(a + bx)²;

dy

gf zu bilden.

Lösung. Manscht:

Also ergiebt sich: Das Differential: und:

Eingefügt:

Also:

u — (a-j- bx). y = u². dy — 2udu du = b. dx. dy — 2(a -f- bx). b . dx.

dx

2b(a-j- bx).

c) Es sei:

•y = y₃ax-t-x²;

dy

dx

Setzen wir: u= 3ax-)-x², so ergiebt sich: y —in — u1/2.

Differentiiert:

du

dy = V₂u 1/2du = ^=

Bilden wir nun das Differential von u — 3ax -j- x², du = (3a-|- 2x)dx.

Al^o:

dy

3a -f- 2x

dx

2V3ax -)- x²

d) Es sei:

dy

dx —'

y = esin x ;

Wir setzen u = sin x, also:

y = eu-

und differentiieren: dy = eud-u.

Bilden wir das Differential von u = sinx, du —eosxdx.

So folgt:

— (esin x). cos x.

e) Es sei:

__ x² + 3x — 4 . y ~ x² — 3x + 4>

dy

dx

Setzen wir:

u —x²-s-3x — 4 und du = (2x-{-3)dx V — X²—3x-^- 4 und dv = (2x — 3)d>x.

Dann ist:

. X „

(x² — 3 x -f- 4) (2 x -|- 3) — (x²-|— 3 x— 4) (2 x — 3)

dy

(x² — 3 x —J— 4)²

2 x (8 — 3 x)

(x² — 3x —j— 4)²

f) Es fei; y = cos (a + bx) ; ^ = •>

Wir setzen: "y Dann wird:

Nach der Formel:

du

dy

vd^-ucü

dx

v²

u = a-f- bx. y = cos u.

Bilden wir nun die Differentiale:

dy = — sinn du und du = bdx, dann folgt: dy = sin (a-j-bx). bdx.

Also:

dy

dx

b . sin (a b x).

g) Es sei: _yf= Vj +x.tzi — x².

— (1 -ff- x)1/2. (1 — x²)¹/³.

Hier können wir mit Hilfe der Formeln y =' u. v und

dy

du . dy dx V dx U dx

unmittelbar drfferentiieren. Also:

dy

dx

(l-x²)Vs. i/₂(l+x)-V.

+ (1 + x)¹A . y₈ (1 - X2)-% ; (_ 2x) 3 —4x —7 x2 _" 6(l+x)1/3 . (1 —x²)%

3 — 4x — 7x®

6 |i —x . ]/(l — x-)-

Lösung. Wir setzen:

U — —5

y — arc sin u.

h) Es sei:

dy

di=1?

Zuweilen, wie in diesem Falle, kann es praktisch sein, vor der Disferentiierung rechts und links den natürlichen Logarithmus der Gleichung zu nehmen und erst dann zu differentiieren. Also:

Ly = xdx.

Differentiieren wir nun:

dy

— Ix. dX —r~x —— •

dy = dx . y(lx-(- 1)

i) Auf die gleiche Weise ist:

y — r;;

Der Leser möge die Lösung selbst suchen, sie führt auf den Ausdruck:

oder:

sin x

zu behandeln.

dy

dx

k) Es sei:

p~ -f cosx.lxj

y:===J?(^); dx

-xsin x

dy _o

l.

also:

Das Differential:

dy

du

l/l — u¹ 2

und du

adx dx

a²

dy_₉

1) Es sei:

y = xn . ex;

dx r

Lösung. u = xn; v = ex. Also:

dy dv , du ds = Udx“rVdx

—    x¹¹. ex -j- ex. nxn~¹

—    ex (x¹¹ -j- n xn—1)

—    ex. x¹¹“¹ (x -f- n).

Nachfolgende Aufgaben möge der Leser selbständig zu lösen versuchen.

dy

dx

1) y = x³. Vx

Also:

2) y = ri

dy

4a

dx

x⁵

dy

3)    y

4)    y = l.(x + ]/a²-f x²) • • • dx

5)    y = (a —)— x²)³

COS X

dx~ a '

sin x cos² x

dy

Va² -s- x2 = 6x(a-|-x²)²

6) y

Va + bx

2a-|-bx

dy ___

dx    2x²ya + bx

7) y — e

arc sin x

dy

^arc sin x

dx y 1 — x²

8) y = 1. (1 x)

dy

dx x.Ix

■j“ — b. cos (a -j- bx).

10) y==

a — b cos x a b . cos x

dy

2 ab sin x

dx (a-j-bcosx)²

11) y = arc cos (' x ' ) - -

dy

"Ö ’-Ö

x Vk2ax — a²

12)    y = l. (arctgmxj - - - ^

₁ ^    l/l— COSX

13)    y — J/—2

14)    y = (cos x)sm

dy

(1-j- ni² x²) arc tgmx sin x

dx y8.4l —cosx

Pa Pa

— (cos x) ¹ +sm x | cos² x 1. (cos x) -— sin² x J •

15) y = (lf)

dy dx"

i(#i'

Sechstes Kapitel.

Die Höheren Differentialquotienten.

41. Ableitung der höheren Disscrentialquotieuten.

Im vierten Kapitel wurde auseinandergesetzt, wie man aus einer Funktion y = f (x) den Differentialquotienten erhalten kann. Wir bezeichneten ihn mit:

d-f(x)

1)

dy

dx

dx

f'(x).

Wie man sieht, ist der Differentialquotient wiederum eine Funktion' von x. Man nennt ihn deshalb die abgeleitete Funktion von x und bezeichnet ihn zumeist mit f (x). Es leuchtet nun sofort ein, daß man auch mit der abgeleiteten Funktion die gleichen Überlegungen anstellen kann, wie mit der direkten, und daß man hierdurch zum zweiten Differentialquotienten gelangt. Es sei:

2)

dy

y^fO)

d . f (x)

3)

Dann kann man auch schreiben:

d.f(x)

dx

dx

d( " )    (J* y

Den Ausdruck    schreibt man gewöhnlich und

nennt ihn den zweiten Differentialquotienten.

Daß der zweite Differentialquotient die vorstehende Form annehmen muß, tritt noch deutlicher hervor, wenn man vom Differential ausgeht. — Es sei:

y = f(x)

dy = f' (x). dx.

2 a)

und:

3)

(Siehe Gleich. 1.) Differentiiert man nun noch einmal, so ergiebt sich: d.[dy] = d[f/l(x)]dx d. [f' (x)] — f" (x) d x.

und:

Somit folgt:

4)

d . [dy] = f " (x) dx . dx — f" (x) dx².

<Py

Daher:

dx²

In Gleichung 4) haben wir also den zweiten Differentialquotienten der Funktion x.

In der gleichen Weise kann man nun auch den dritten, vierten re. Differentialquotienten bilden. Es ist dann:

5)

a(S)

cFy

dx

dx³

6)

*(S)

dx

_ d⁴y

Bendt, Differential- u. Integralrechnung.

Wiederholt man die Ableitungen n mal, dann erhält man endlich den nten Differentialquotienten:

7)

= fn(x).

dny dx¹¹

Wir wollen nun die Bildung der höheren Differential-quotienten an einigen Aufgaben üben.

Aufgaben, y = x⁴.

a) Es sei:

Dann erhalten wir nach der Reihe:

dx

4^ =4x3.

d²y

dx²

3.4.x².

d³y

dx³

2.3.4.x,

d⁴y

dx⁴

2.3.4 = 24.

dx⁵

y = xm.

b) Es sei: Wir erhalten:

dy

dx

m. xm

d²y

dx²

m (m — l)xm 2.

dsy

dny

dxn

= m (m—1) (m — 2)xm — 3. Endlich: m(m— 1) (m — 2) (m — 3)...(m—n-|-l)xm—n.

dx³

Dann werden:

ciy

dx

cos x.

d²y

dx²

d³y

— sin x.

dx³

d⁴y

— cos x.

Es ist also:

dx4 _ d⁴y

sin x.

sin x.

dx⁴

Wie man sieht, wiederholen sich die Werte. Der gleiche Vorgang findet sich beispielsweise auch bei y = cos x.

c) Es sei:

y — sin x.

d) Es sei:

y — ax³-(- bx²-f- cx-f- d.

Dann wird nach der Heihe:

ciy

% p-

3ax² -j- 2bx —j— c.

dx²

d³y

2.3.ax-|-2b = 6ax-(-2b.

dx³

2.3 . a = 6a.

dx⁴

e) Wir wollen nun noch die höheren Differentialquotientenfür ein Produkt aus zwei Funktionen von x bilden. Es sei daher:

8)

u=f(x) v = F(x).

dy dv , du

<5 = uH + vdT

42. Wenn Funktionen einander gleich sind, aber in ihren Formen sich von einander unterscheiden, dann sind auch ihre Differentialquotienten einander gleich.

Wir wollen den Satz hier zunächst an einem Beispiel erläutern. Es sei:

y — k(x) — (x-j-h)⁴ = x⁴-)-4x³h-|- 6x²h²-(-4xh³-|-h⁴.

Nunmehr nehmen wir von diesen gleichen Ausdrücken die Differentialquotienten nach der Reihe:

^ — f'(x) = 4 (x-(-h)³= 4x³-j- 12x²h-f- 12xh²-(-4h³

=    = 12 (x —}— h)² = 12x²+24xh+12h².

d³y

d²y

dx³

d⁴y

{'" (x) = 24(x + h) =24x4-241i.

dx⁴

und:

Differenliiere man nun jeden Teil der Summe für sich. Also:

_ d²y , dv du

dxj~~u dx»

_ ( du\ d²u

dVd^)==Vch^

du

dv

dx

dv

dx dx

Addiert, ergiebt das den zweiten Differentialquotienten:

d² v u dx²

Um den dritten Differentialquotienten zu erhalten, muß man wiederum in der gleichen Weise verfahren, dann ergiebt sich Gleichung:

d³v - ₀du d²v - ₀d²u dv , d³u u'd^⁵'+ddx'diEi"+³dx?' H + Vdx⁵" Der Leser bemerkt wohl, daß hier das Gesetz der Binomial-Koeffizienten hervortritt.

10)

11)

d²y

dx²

d³y

dx³

dv . du

dx . dx

d²u V dx² '

f'///(x) = 24 = 24.

Führen wir die Berechnung einer jeden Klammer aus, so werden wir finden, daß die entsprechenden Differentialquotienten einander gleich sind.

Siebentes Kapitel.

3>ie Weihen von Taylor und Wac-Laurin.

43. Vorbereitungen.

Gesetzt, es sei eine Funktion

1)

y — f (x) = ax³p- bx²-|- cx-)- d gegeben. Es soll in derselben die Veränderliche x um die Größe h wachsen, dann erhält man mittels der einfachen bekannten algebraischen Operationen einen Ausdruck, der nach wachsenden Potenzen von h fortschreitet. Es wird:

2) f(x-ph) = a (x-f-h)³-j-b (xp-h)² -(- c (x-j-h) -f-d.

Führen wir die Rechnung wirklich aus:

2a) f(xp-h) = ax³-|- 3ax²li p- 3axh²p-ah3 -j-bx² + 2bxh -fbh²

p-cx

4- ch

-)-d.

Ordnen wir und fassen immer die Glieder mit gleichen Potenzen von h zusammen. So ergiebt sich:

2 b)

f (x p- h) = (ax³ p-i bx² -(- cx -p d) p- (3ax² p- 2bx p- c) h p- (3ax P~ b) h² -p ah³.

44. Die Daylorsche Reihe.

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man leichter zum gleichen Ziele gelangen. Man erhält Methoden, durch die jede rationale ganze Funktion in eine Reihe entwickelt werden kann, die nach steigenden Potenzen fortschreitet, wie in 2 b). — Vergleiche die Abschnitte 3 und 6.

Man kann sich also auch die Funktion f (x ~P h) in einen Ausdruck entwickelt denken, der nach Potenzen von h*) fortschreitet. Deuten wir das zunächst an:

f (x “P h) = A -p Bli-p Ch² -p Dh³.

Hier sind A, B, C, D selbst Funktionen von x.

*) h denke man sich als kleinen Zuwachs von x.

Wir wollen nun nach der Reihe die Disserentialguotienten

bilden:

4)

f' (x+li) = B + 2Ch+3Dh2 f"(x + h) = 2C + 2.3D.h f"'(x + h) = 2.3D.

Nähert sich nun h der Grenze Null, dann gehen nach einander die Ausdrücke 3) und 4) über in:

4 a)

f(x)=A f'(x) = B i" (x) = 2 C

r (x)=c. d.

Und hieraus folgt:

5)

A = f (x). B = f'(x).

c=m

V 2!

f,z,(x)

Werden diese Ausdrücke in 3) eingesetzt, so folgt:

3!

Diese Gleichung ist in folgender Weise in Worte zu fassen: Eine jede ganze rationale Funktion läßt sich in eine Reihe entwickeln, von der das erste

Glied die Funktion selbst ist, jedes weitere Glied aber, durch den ersten, zweiten re. Differentialquotienten dargestellt, wird multipliziert mit h oder den folgenden Potenzen von h.

Wir wollen den Satz 7) zunächst auf das Beispiel 1) anwenden. Es war dort:

f(x) — ax³-|-bx²-f- cx-f- d.

Somit ist nach der Reihe:

f' (x) — 3ax²-f- 2bx -f- c f"(x) = 6ax-f 2b;

f(x)

3ax -j— b

a.

3!

{"' (x) = 6a;

Setzen wir in 7) ein: f(x-j-li) — (ax³-j- bx²-j-cx-|-d)-|™(3ax²-[- 2bx4-c)h + (3ax + b)h²+ah³.

Wie man sieht, entspricht dieser Ausdruck ganz der Gleichung 2 b).

Von der Taylorschen Reihe lassen sich nun schöne Anwendungen machen. Wir wollen u. a. mit ihrer Hilfe den Binomischen Lehrsatz herleiten.

45. Herleitung des Binomischen Satzes. Es sei die Funktion:

8)

y = xm gegeben.

Wir setzen unseren Ausführungen in Abschnitt 44 entsprechend:

9)

f(x + h) = (x+h)m. und bilden nach der Reihe die Differentialquotienten:

10) f' (x -f- h) = m (x -{- h)

m—1

in—2

f" (x h) = m (m — 1) (x -(- h) f'" (x -j- h) = m (m — 1) (m — 2) (x -f- h)

fm (x -(- h) = m (m — 1) (m —2) (m — 3).... 2. 1.

Wird nun wiederum h gleich Null, dann erhalten wir die Reihe der abgeleiteten Funktionen:

m—2

f (x) — xm i' (x) — mxm~1 f" (x) = m (m — l) x f/" (x) = m (m — 1) (m — 2) x

fm (x) = m! —

Setzen wir diese Werte in Formel 7) ein, dann ist:

rnCm-lU¹”-²

(x + h)m = xm +

m—1

•M

2!

•h²

m (m — 1) (m — 2) x

m—3

m!

•h'"i-----sr'h"

Setzt man x = a und h = b, dann ergiebt sich der Binomische Lehrsatz:

3!

(a + b)m = am +

ma

m—1

•b +

m(m— l)a

m—2

2!

•b²

m(m—l)(m—2)am 3

3!

• b⁸ H-----bm.

46. Allgemeine Ableitung der Taylorschen Reihe.

Es läßt sich leicht zeigen, daß die Ausführungen in Abschnitt 44 sich auch auf eine jede nicht rationale

f(x + h) = f(x) +f'(x) . h-j

Funktion erweitern lassen, wenn sich diese nur in einenach steigenden Potenzen boiih fortlaufende Reihe entwickeln läßt.

In Gleichung 7) erhielten wir den Ausdruck:

2!    '    ¹ n!

der für eine ganze rationale Funktion gültig ist. — Wenn f (x) keine rationale Funktion ist, so wird die obige Reihe (7) nicht dieser Funktion entsprechen können, sondern sich von ihr um eine Größe unterscheiden. Wir wollen diesen Unterschied mit R bezeichnen. Dann ist ganz allgemein:

fn(x)

hn,

12)

f(x + h) = f(x)+^yr -h

Die Gleichung 12) bezeichnet man ganz allgemein als die Taylorsche Reihe und den Ausdruck R nennt man den Rest der Taylorschen Reihe.

Wird in Gleichung 12) n sehr groß, dann muß R selbst zur Null werden, wenn die Reihe einen Sinn haben soll. Das besagt, daß die Reihe konvergent sein muß.

Der beschränkte Raum unseres Buches macht uns die Besprechung des Restgliedes unmöglich. Unsere weiteren Ausführungen, in denen wir uns zumeist mit den ersten Gliedern begnügen, sowie die unmittelbar vorstehende Bemerkung lassen diese Einschränkung zu.

47. Die Reihe von Mac-Laurin oder die Stirlingsche Reihe.

Die Mac-Laurinsche Reihe ist ein spezieller Fall der Taylorschen Reihe und sie kann unmittelbar aus dieser entwickelt werden. — Setzt man in die Taylorsche Reihe:

12 a) f (x -f- h) = f (x) -f- f' (x) h

öh2 2!

fn(x)

^h*+K'

w.h8+f^h,

7)

f(x + h) = f(x)

, f"(x) ,₉ , f"'(x)h3 1!    '    2!    ³ “T 3!

f' (x) h

f“ (x)

h⁴.

mX2

x gleich Null und für h den Ausdruck x, dann geht sie über in:

f(x)=:f(0)+f,(0)x4

{-qfxM-....

13)

Der Ausdruck 13) stellt die Mae-Laurinsche Reihe dar. Sie ist sehr brauchbar zur Entwickelung von Funktionen in Reihen. Wir wollen daher einige wichtige Reihen durch sie herleiten.

48. Es soll eine Reihe für sin x entwickelt werden.

Es sei:

14)

y = f (x) = sin x.

Wir bilden die Differentialquotienten:

15)

I    f'(x) = cosx

f" (x) = — sin x f'" (x) = — cos x f"" (x) — sin x u. s. w.

Wie wir schon oben darauf aufmerksam machten, ist sin x eine Periodische Funktion, die bei der weiteren Bildung der Differentialquotienten wieder auf die gleichen Ausdrücke führt. — Wir setzen nun x — 0. Dann gehen die Ausdrücke in 14) und 15) über in:

f (0) — sin 0° f' (0) — cos 0° f" (0) — — sin 0° = 0 f(0) — — cos 0° = — 1 f""(0) = sinO°

Man bemerkt leicht, daß in dem Falle, wo n eine ungerade Zahl ist: f¹ (x) — dz cos x wird;

also:

fn(0) = ±cosO° = ±l.

1 .x³

Führen wir diese Ausdrücke nun in Gleichung 13) ein, dann ist:

3!

Und somit:

17)

sinx = x-g + |5--h-

Es entspricht also die Funktion sin x einer Reihe, die nach ungeraden Potenzen von x mit abwechselnden Vorzeichen fortschreitet.

49. Es soll die Reihe für cos x entwickelt werden.

Es sei:

18)

y = f (x) = cos x.

Wir entwickeln die Differentialquotienten:

19)

f' (x) — — sin x f" (x) — — cos x f'" (x) — sin x i"" (x) — cos x.

DieDifferentialquotienten wiederholen sich dannwiederum. Der Ausdruck fn (x) — ± cos x, wenn n eine gerade Zahl ist. — Wie in 48 setzen wir x gleich Null. Dann ergiebt sich:

f(0) =

i' (0) — — sin 0° = 0 f" (0) = — cos 0° = — 1

cos⁰ — 1

f'"(0) = f"" (0) = cos 0° =    1

sin 0° =    0

fn (6) = ± cos 0° = ± i |

wenn n eine gerade Zahl ist.

Setzen wir diese Werte in Gleichung 13) ein und ziehen zusammen, dann ist:

v4    „6

COSX = l

Die Funktion cos x entspricht einer Reihe, die nach geraden Potenzen von x mit abwechselnden Vorzeichen fortschreitet.

21)

50. Es soll die Reihe für die Exponcntiolfiinktiou ox entwickelt werden.

(Siehe Abschnitt 8, Gleichung 23.)

Es sei:

22)

23)

I    y=f(x)=ex.

Wir bilden die Differentialquotienten: i    f (x) — ex

f' (x) — ex f" (x) — ex u. s. w. fn (x) — ex.

Setzen wir hier auch x — Null, dann folgt für alle Differentialquotienten:

24)

fn (0) = e°= 1.

Setzen wir die Werte in Gleichung 13) ein, so folgt:'

25)

x²

x³

e*_l+x-f %i H- äi H

..+^.

' n!

Wird in 25) x — 1, so erhält man den uns bekannten Ausdruck:

e=l + l+^ + 2^₃

— 2.71828 ....

2.3.4

1 .2 ... n

5L Es soll die Reihe für die Exponentialsunktion ax entwickelt werden.

(Siehe Abschnitt 9, Gleichung 26.)

Es sei:

26)

y — f (x) = ax.

Die Differentialquotienten:

27)

28)

f' (x) = ax . 1 a f" (x) — ax (1 a)2 {'" (x) = ax (1 a)³

u. s. to.

fn (x) — ax (1 a)n.

Auch hier setzen wir für x Null, dann ergießt sich: f(0)=l f' (0) = I a f"(0) —(la)2 i'" (0) — (la)8 u. s. w.

fn(0) = (la)n.

Setzen wir in Gleichung 13) ein, dann ist:

ax = 1 + x . la

x²(la)² [ x³ (la)³

■2!

3!

i xn (la)n ‘ ~T n!

52, Für die Funktion I (I + x) soll eine Reihe entwickelt werden.

(Siehe Abschnitt 23.)

Es sei:

30)

y = fCO = i(i+x)-

Die Differentialquotienten:

f'(x)

1+x

(1+x)-¹

f"(x)

(1+x)-²

(1+xf

i'" (x) = 1.2 (1 + x)_8 f(x) = — 1.2.3 (1+x)-⁴

*    u. s. w.

f¹¹ (x) = — 1. (n — 1)! (1 + x) n.

Setzen wir für x, wie in den vorigen Fällen, Null. Dann wird:

31)

f (0) = 0 f (0) = 1 f" (o) = — 1 f'" (0) = 1.2 f"" (0) = — 1.2.3 u. s. w.

fn(0) = (- !).(»-1)!

Somit in Gleichung 13) eingefügt ergiebt die Gleichnng:

xn

X²

X³

X⁴

32) I(l+X) = x—2~ + t

Wird z.B.x—1, dann geht die Reihe in den Ausdruck über:

1-1+ -i-i—...± .

Vergleiche hierzu Abschnitt 9.

33)    1.2 =

rH CO

Nicht immer sind die Reihenentwickelungen mit Hilfe der Mac-Laurinschen Reihe zweckmäßig, weil die Bildung der höheren Differentialquotienten oft sehr umständlich wird. Man bedient sich dann anderer Methoden. Der folgende Abschnitt giebt hierfür ein Beispiel.

53. Die Funktion: arcsinx soll in eine Reihe entwickelt werden.

Daß die Ausführung mit der Mac-Laurinschen Reihe sehr umständlich werden müßte, ersieht man leicht, denn schon der erste Differentialquotient unserer Funktion ergießt:

- • Die Entwickelung erfolgt daher besser in folgender

[1 — X²

Weise. Es sei:

34)

y — arc sin x

Man deutet wie in Abschnitt 6 und 44 die Entwickelung zunächst an:

35)

arc sin x.

=A+Bx+Cx²+Dx³+Ex⁴+Fx⁵+Gx⁶+Hx⁷+-Nehmen wir nun rechts und links den Differentialquotienten Don 35):

== = (1— X²) 1/2 x²

=B+2Cx+3Dx²+4Ex³+5Fx⁴+6Gx⁶+7Hx⁶+ —

Entwickelt man die linke Seite von 36) nach dem Binomischen Lehrsätze, dann ergießt sich die Form:

(1 —X²)-¹/*

36)

37)

Vl-

= 1 + V2X²

1.3

2.4

X⁴

1.3.5

x⁶H—

2.4.6

Aus den Gleichungen 36) und 37) folgt nun wiederum:

38) B + 2Cx + 3Dx²+4Ex⁸+5Fx⁴+6Gx⁵+7Hx⁶+-

1.3.5

2.4.6

= i + y,x*-t

2.4

xM

x⁶H—

Und hieraus, da die Koeffizienten gleicher Potenzen von X übereinstimmen:

A= 0

1.3

Diese Werte eingesetzt in die Gleichung 35):

2.4.5

39)

arc sin x = x

G = 0 u. s. w.

, 1.x³ ,

1.3x⁵

2.3

2.4.5

54. Die Reihe für arc lang x.

Irr derselben Weise wie in Abschnitt 53 kann diese Reihe erhalten werden. Der Leser möge seine Kräfte an dieser Aufgabe prüfen. Die Lösung führt dann zu dem Ausdruck:

X⁷

40)

arc tang x — x —    -j- ~

Diese Gleichung kann verwendet werden, um den Wert von n zu ermitteln. Man bedenke, daß

tang ^=tang45°=list. Setztmannunx— 1, dann ergiebt sich: arc tang 1 = ^* Dann erhält man den Ausdruck:

41)

H-----

4    3 ' 5

Diese Reihe nennt man die Leibnizsche Reihe; man kann mit ihrer Hilfe den Wert von n ermitteln.

Uns genügt es gezeigt zu haben, wie Reihenentwickelungen mittels derDifferentialrechnung auszuführen sind. Es ergiebt sich, wie sehr viel einfacher diese neuen Methoden sind, als diejenigen, die wir im 2. Kapitel vorführten. Wir wollen nun in einer Tabelle die wichtigsten Reihen zusammenstellen.

Tafel der wichtigsten Reihen.

Q^h³4-----l-f7,rh" + R: Taylorsche Reihe.

xn-|-R: Mac-Laurinsche Reihe.

I 1)    f(x+h)=f(x)+f'(x).h+f^hM

I 2)    f(x)=f(0)+f'(0)x

I 3) Sinx=x—Yi+Ii--1------s-^,: n eine ungerade Zahl.

£* I    __I____+

2! i 4! 6M 8!    —

CO    Y

| 5) ex=l+x+2!+3T+4!'^ ^nT | 6) .-=1+,1. '

7)    1(1+*)=* —y+y

8)    (1—x²)-V₂₌i+1x2.

. X³ ■

9)    arc sinx = x

X³ x^

10) arc tangx=x———|——

fn(0)

f"(0)x² | fw(0)xa

3!

2!

x¹¹

: n eine gerade Zahl.

xn(la)n

n!

11

3!

2!

008 x— 1 —

x¹¹

----KX

^+-

4 >

1.3.5

2.4.6

xM

1.3

2.4

x⁵+-

x⁷

1.3

2.4.5

2.3

Achtes Kapitel.

Die Bestimmung unbestimmter Aormen.

55. Erklärung.

Es kommt häufig vor, daß eine Funktion für einen bestimmten Wert der Veränderlichen zu einem unbestimmten Ausdruck führt. Der Grund hierfür liegt, wie leicht einzusehen ist, nur in der Form des betreffenden Ausdruckes. Formen solcher Art sind:

O⁰⁰;    0° rc.

OO-OO *

0 oo

p °-°°;

Wir wollen das zunächst an einem Beispiel auseinandersetzen. Gegeben sei die Funktion:

1)

_ x² — 4 y —4(x —2)'

Setzen wir in diesen Ausdruck x — 2, dann wird er:

4 — 4 4 (2 — 2)

Daß die Funktion 1) thatsächlich auch für x — 2 einen bestimmten Wert hat, kann man sehr leicht zeigen, indem man sie durch Division umformt, wodurch ihr Wert, wie in den Elementen schon gelehrt, nicht verändert wird. — Es ist nämlich:

2)

4 (x — 2)

3)

y=-i-=4 = 1-

Durch die Differentialrechnung kann man in solchen Fällen leichter zum Ziel gelangen.

Der Funktionsbruch ist also dem Bruch der Differentialquotienten gleich. — Das ergießt die Regel:

Wenn eine gebrochene Funktion für einen bestimmten Wert von x auf den unbestimmten Ausdruck -■ führt, so differentiiert man je für sich den Zähler und den Nenner.

Es war:

Wenden wir die Regel auf unser erstes Beispiel an: x² —4

Es ist dann:

y — 4(x — 2)* dy_ 2x

dx

56. Bestimmung des unbestimmten Wertes •

ergebe für x = x₀ den

Die gebrochene Funktion unbestimmten Ausdruck

<p (x)

0 Um den wahren Wert durch die Differentialrechnung zu ermitteln, setze man in Zähler und Nenner des Bruches für x den Ausdruck: x₀-{-h und entwickle Zähler und Nennerjefürsich nach dem Taylorschen Satze. Also:

f(x₀ + h)_ f (x₀) + f (x₀)h + y₂ f" (x₀)h²-|----

y <P (xo +h) cp (x₀) + cp' (x₀) h + V, cp" (x₀)

Das erste Glied der rechten Seite: gleich, kann also fortgelassen werden. Es geht dann 4) über in:

f(*o+h) ₌ r(x₀)h + V₂ f" (x₀)h²H----

(xo + h)j    <p' (xo) ß + V₂ <P " (xo) hM----

Dividieren wir Zähler und Nenner durch h, so ist:

f (x₀ + h)^f' (x₀) + ya k" (x₀)h-|----

<P (x0 + h) cp' (x₀) + y₂ cp" (x₀)h-j----

Nähert sich jetzt h der Grenze Null, wird also h= 0, so erhalten wir den Ausdruck:

ist der Null

5)

5 a)

6)

f(xo)

f'(xo)

<P(xo)    9?'(xo)

Also für x = 2:

dx

6*

Beispiel 2. Gegeben sei der Ausdruck:

sin x

y== TT'

Dieser wird für x — 0:

sin 0

y=—

Differentiieren wir Zähler und Nenner je für sich:

d . (sin x)_cos x

d . (4 x)

Dann erhalten wir:

cos 0

57. Bestimmung des unbestimmten Wertes

Es ist leicht, den Ausdruck auf die Form zurückzuführen.

Wird f(x₁) = oo und 99 (xx) =00, dann ist nach den Gesetzen der Algebra auch:

— 0 und

f(xj — 00

Der Ausdruck: geht dann über in:

f(Xi)_oo

oc

— = 0.

v> (xi)

Der Ausdruck kann also wie in 56 behandelt werden. Nehmen wir hierfür ein Beispiel. Der Ausdruck:

wird für x = 90°:

_ tang 3 x y tang x

tang . 3 (90°)_oo

y tang 90° öc"

Differentiieren wir Zähler und Nenner, dann ergiebt sich:

d (tang 3 x)

cos²3x 3cos²x

d (tang x)

cos²3x

cos²x

Setzen wir auch hier x — 90°, dann wird:

3 cos².90°_ cos² 3.90°    0 *

Wir erhalten von neuem eine unbestimmte Form. Wir werden daher noch einmal den Ausdruck differentiieren:

d (3 cos² x)

— 6 . cos x . sin x

d(cos².3x)

— 6 . cos 3x . sin 3x

sin 2x sin 6x

Auch hier x = 90° gesetzt:

o |o

sin 2.90° sin 180°

sin 6.90° sin 540°

ergiebt den unbestimmten Wert. Endlich durch erneutes Differentiieren:

d . (sin 2 x)

d. (sinßx)

2 . cos 2 x

6 . cos 6 x

giebt für x = 90°:

0)1 ro

— 2.1

— 6.1

Das Beispiel lehrt also zugleich, daß man in einem solchen Falle, wo das Differentiieren wiederum auf den unbestimmten Wert führt, man mit der Differentiierung fortfahren muß.

58. Die anderen unbestimmten Ausdrücke lassen sich auf die behandelten stets zurückführen.

Es sei z. B.:

y x3

Dieser Ausdruck wird für x — 0 zum Ausdruck:

sin x

oc — oo«

sin 0

Die Umformung auf eine bekannte Form gelingt, indem man die rechte Seite auf einen Nenner bringt. Also:

sin x — x³ x³. sin x

Setzen wir nun x — 0, so ergiebt sich:

sin 0 — 0    0

-ö

Den wirklichen Wert mag der Leser nach der ersten Methode ermitteln.

59. Beispiele.

1) Für x — 0 wird:

o| o

sin²x

Wie heißt der wahre Wert? Er ist — 2.

2) Für x— 0 wird:

o |o

ex - e“x

sinx

Wie heißt der wirkliche Wert? Er ist — 2.

3) Für x — 1 wird:

v —---— = oo — oo«

y X— 1 Ix

Wie heißt der wirkliche Wert? Er ist — x/₂-

4) Für x = oc wird:

y = xx = oü°.

Wie heißt der wirkliche Wert? Man nimmt hier den Logarithmus und schreibt: • 1 x = 1 y.

oc

Er ist:

i    lx

'y= t oc

Diesen Ausdruck differentiiert man:

— = 0.

Man erhält endlich den Wert — 1.

Neuntes Kapitel.

F5om Maximum und Minimum der Aunktionen.

60. Erläuterungen.

Im Abschnitt 16 haben wir bereits auseinandergesetzt, daß man aus dem ersten Differentialquotienten einer Funktion erkennen kann, ob ihr Bild, also z. B. die Kurve, die sie darstellt, steigt oder fällt gegen die Abscissenachse. Wir erkannten, daß die Kurve wächst, wenn der erste Differentialquotient Positiv ist, daß sie fällt, wenn der erste Differentialquotient negativ ist. Wir wollen hieran weitere geometrische Untersuchungen über die Funktionen und ihre Bilder anknüpfen.

61. Kennzeichen für das Maximum und Minimum einer Kurve.

Es sei eine Funktion:

¹

y

²

dx    1/a²—i²

³

) f(x+h) = f(x)+    -

⁴

Ist die Funktion nicht nur vom dritten, sondern vom nten Grade, so erhält man unmittelbar durch dieselben Operationen die Taylorsche Reihe:

l)

y==f(x)

gegeben und wir denken sie uns gezeichnet in Fig. 5 (S. 88).

Es hat hier das Bild der Funktion, die Linie MN, in A ihren höchsten Punkt, also ihr Maximum, und in B ihren niedrigsten Punkt oder ihr Minimum. Eine andere Art des Maximums zeigt außerdem der Punkt E. — Der Punkt A der Kurve ist dadurch ausgezeichnet, weil alle unmittelbar vorhergehenden und alle unmittelbar folgenden Ordinaten (y) der Kurve kleiner sind als die Ordinate A C des Punktes A. Die Ordinaten wachsen also bis zu A und fallen dann. Im Gegensatz hierzu sind alle vorhergehenden und alle folgenden Ordinaten der Kurve größer

JE

v,

~jr

Ng. 5.

als die Ordinate des Punktes B, die in der Figur mit B D (y,) bezeichnet ist. Die Kurve wird also bei B zuerst fallen und dann wachsen. — Für einen Punkt, in dem ein Maximum oder Minimum eintritt, spielen nun die ersten Differentialquotienten der Funktion eine bedeutungsvolle Rolle. Ist er positiv, dann steigt das Bild der Funktion, ist er negativ, dann fällt es. Da nun beim Maximum erst ein Steigen, dann ein Fallen, beim Minimum erst ein Fallen und dann ein Steigen der Kurve eintritt, so muß in den betreffenden Punkten ein Übergang vom Positiven zum Negativen oder umgekehrt, kurz ein Zeichenwechsel eintreten. — Das Positive und das Negative sind durch die Null oder durch das Unendliche von einander geschieden. Findet daher in einer Funktion oder in ihrem Bilde an einer Stelle ein Maximum oder Minimum statt, so muß der erste Differentialquotient der Funktion an dieser Stelle Null oder Unendlich werden.

Für diese Auseinandersetzungen giebt uns die Figur 5 eine gute Anschauung. Es ist, wie wir zeigten, der erste Differentialquotient gleich der trigonometrischen Tangente des Winkels, den die Tangente in dem bestimmten Punkte mit der Abscissenachse macht. — In unserer Figur läuft die Tangente in A und B mit der Abscissenachse parallel, der Winkel ist also gleich Null und die trigonometrische Tangente daher auch gleich Null. In E steht die Tangente senkrecht auf der Abscisse, der Winkel ist gleich 90° und die trigonometrische Tangente somit gleich unendlich.

Um nun festzustellen, ob in einem Punkte einer Kurve (Funktion), für den der erste Differentialquotient Null ist (wir wollen uns zuerst mit diesem Fall beschäftigen), ein Maximum oder ein Minimum eintritt, muß untersucht werden, ob die Kurve im weiteren Fortschreiten fällt oder steigt. Bei einem Maximum muß die Funktion in der Folge fallen, für ein Minimum wachsen. Daher werden die zweiten Differentialquotienten hier entscheiden! Ist er negativ, dann hat die Kurve in dem betreffenden Punkte ein Maximum, ist er positiv ein Minimum.

62. Schema für die Untersuchung einer Funktion nach dem Maximum oder Minimum.

Es sei eine Funktion f (x) gegeben. Für den Wert x = a wird der erste Differentialquotient: f' (a) — 0.

Ist dann:

f " (a) negativ, dann ist an dieser Stelle ein Maximum, f " (a) positiv, dann ist an dieser Stelle ein Minimum.

Um ein Maximum ober Minimum von einer Funktion wirklich zu bestimmen, setzt man daher den ersten Differentialquotienten gleich Null und bestimmt den Wert vonx. Diesen Wert setzt man in den zweiten Differentialquotienten; wird das Resultat negativ, dann hat die Funktion für diesen Wert ein Maximum, wird das Resultat positiv, ein Minimum.

Das soll zunächst an einem Beispiel ausführlich illustriert werden. Es sei eine Funktion:

y = x³+ 6x² — 15x

gegeben.

Wir wollen untersuchen, ob sie ein Maximum oder Minimum besitzt, und ermitteln, wo es sich befindet. — Nehmen wir den ersten Differentialquotienten:

ll=3x2-|-i2x—15.

Wir setzen ihn der Null gleich und bestimmen aus der quadratischen Gleichung die Werte von x. Also:

3x²+12x—15 = 0 x² + 4x — 5 = 0.

— 2 ±VI+5 = — 2 + /9 2±3=[+J-

Bilden wir den zweiten Differentialquotienten:

d²y

dx²

Setzen wir nach einander die beiden Wurzelwerte ein: 6.1 + 12 = + 18 6. —5 + 12 = —18.

Für x= 18 erhält man also das Minimum und für x = — 18 das Maximum der Funktion resp. des Bildes, das sie darstellt.

= 6 x —j— 12.

Zunächst wollen wir nun an einer größeren Anzahl von Beispielen dem Leser Gelegenheit geben, diese Methode einzuüben.

63. Aufgaben.

1) Von einem Dreieck seien zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben. Wie groß muß der Winkel sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird? Siehe Figur 6.

c.

Lösung. In der Trigonometrie wird gezeigt, daß man den Inhalt eines Dreiecks durch die Formel:

F — ¹/₂ ab . sin x ausdrücken kann.

B

Fig- 6.

Schreiben wir der Bequemlichkeit halber:

y = 2F = ab . sin x.

~ = ab . cosx.

Es ist nun : Also wird:

dy

dx

ab cos x = 0; cos x = 0 und x —

Der zweite Differentialquotient ergiebt: d²y

j-4 — — ab. sin x. dx²

Da sin ^ — 1 ist, wird:

— ab . sin x = — ab.

Das Dreieck wird also ein solches mit maximalem Inhalt, wenn der eingeschlossene Winkel ein rechter ist.

2) Von einem Rechteck mit dem bestimmten Inhalt I soll die Grundlinie und die Höhe ermittelt werden, die veranlassen, daß der Umfang U ein Minimum werde.

Lösung. Bezeichnen wir die Grundlinie mit x, dann muß die Höhe durch — ausgedrückt werden, denn es ist:

I = x~e

der Inhalt des Rechtecks.

Wir erhalten nun die Formel für den Umfang durch die Formel:

U = 2x + 2-

Es wird dann:

dü

21

dx

1 — ^ = 0 ergiebt sich: = U.

Aus:

x² — I und x

Es folgt hieraus, daß von allen Rechtecken von demselben Inhalte das Quadrat den kleinsten Umfang hat.

3) Wie heißt das Maximum oder Minimum der Funktion: y = x² -f- ax -f- b.

Lösung. Wir nehmen den ersten Differentialquotienten:

toi ED

Also:

8-----2x-j-a — 0; x — — Der zweite Differentialquotient ist:

d²y

dT²

Die Funktion hat also ein Minimum.

4) In ein Dreieck mit der Grundlinie a und der Höhe h soll so ein Rechteck gezeichnet werden, das auf der Grund-linie a ruht, daß sein Flächeninhalt ein Maximum werde. (Siehe Figur 7.)

Lösung. Die Höhe des fraglichen Rechtecks sei gleich x. Dann kann man die Höhe des kleinen Dreiecks ADE mit

71

Wg. 7.

h—x bezeichnen. Mit Hilfe eines bekannten Satzes aus der Proportionslehre ergiebt sich dann:

h : (h — x) = a : D E; a(h — x)

also:

DE

li

Der Inhalt des Rechtecks kann also bezeichnet werden durch:

E(hx —x*).

¹ — ^ x (h — x)

Daher:

dl

und:

d^-h~2x’

2x = 0; x = |-Bilden wir den zweiten Differentialquotienten:

dx2 — Je

Es giebt also ein solches Maximum, wie der zweite Differentialquotient erweist.

5) In eine Kugel soll ein solcher Kegel eingeschrieben werden, daß sein Mantelinhalt ein Maximum werde.

Lösung. Nennen wir (siehe Fig. 8) den Kegelrad ins r, den Radius an der Basis des Kegels y, die Höhe des

Mg. 8.

Kegels x und seine Seitenlinie s, dann wird die Mantelfläche des Kegels:

M = y. s. n.

Aus der Stereometrie erhalten wir dann die Bedingungen: y² = x (2r — x)

s² = 2rx.

mit) ^

Es wird daher:

M² = 2rx² (2r — x) jt².

Der Einfachheit wegen können wir schreiben:

Y = x² (2r — x) — 2rx² — x³

und es wird:

dY

_4rx —3x², dx

d²Y

dx²

4r— 6x.

ober:

3x² — 4rx = 0

x² — |rx= 0

⁼ir±y{r2

2,2

3r±3

Setzen wir diese Werte in den zweiten Differential-

4

quotienten ein, dann erhalten wir für x — — r ein Maximum.

6) Es sei ein rechter Winkel gegeben. Zwischen seinen Schenkeln soll durch einen Punkt A die kürzeste Linie gezogen werden. (Siehe Figur 9.)

Lösung. Bezeichnen jB wir sie mit BC. — Die Koordinaten des fraglichen Punktes seien:

DE = a und AE = b. F Setzen wir außerdem DC —x und BD = y.

Wir erhalten nunmehr die Proportion:

y : x = b . (x — a) und hieraus ergiebt sich: y —

Dann ist aber: B Cf = x² -\-

Fig. 9. a v

C'

bx

b²x²

(x —a)²

Nehmen wir den ersten Differentialquotienten: ^-2x

(x — a)².2b²x — b²x².2 (x — a)

dx

(x — a)⁴

(x — a)².2b²x— b²x².2 (x— a)

Setzt man: 2x-f-dann ergiebt sich:

(x —a)⁴

x = a-(~ ]/ ab² — D C. Damit ist die Lage der Linie BC bestimmt.

64. Die Untersuchung des Maximums und Minimums von Brüchen.

Die Maximum- und Minimumuntersuchungen lassen sich zuweilen wesentlich vereinfachen. Unbequem wird zum Beispiel die Rechnung, wenn der erste Differentialquotient ein Bruch ist. Es sei also:

dy

dann wird:

d²y vdu — udv dx²

dx y ’

Wie wir uns erinnern, muß der erste Differentialquotient gleich Null sein. Der Bruch ^ ist aber Null, wenn u der

Null gleich wird. Daher muß auch in vdu—udv

v²

d²y

dx²

v²

d²y

es wird:

der zweite Teil des Zählers Null sein, also udv = 0 und vdu du

dx² V²

Nehmen wir hierzu ein Beispiel. Es sei:

y x² + l

also:

dy

(x²-{- 1) — X . 2x

1 — X²

dx

(x² + l)²

(x² + l)²

(1 +x) (1 — x)

(x²+ir

0 und x = + 1

d²y_du

dx² v

— 2x

P+Ö~²’

65. Das Maximum und Minimum solcher Funktionen, für die ’ ^ = oü wird.

dx

Wir haben bisher diejenigen Fälle betrachtet, in denen der erste Differentialquotient Null wurde, und bei denen in dem betreffenden Punkte die Tangente der Abscissenachse parallel lief. Seltener kommt es vor, daß der erste Differentialquotient unendlich wird. Wie in Abschnitt 61 auseinandergesetzt wurde, steht in dem Falle die Tangente senkrecht auf der Abseissenachse. Diese Untersuchungen sind viel weitläufiger. Die allgemeine Regel, die dann eingeschlagen werden muß und die für jeden Fall gilt, ist die nachfolgende.

Die Funktion wird differentiiertund der Wert ermittelt, für den f' (x) — 0 oder f' (x) = oo wird. Er sei gleich a. Nehmemannunden n ächst vorher geh end enund den nächst folgenden Wert dieser Differentialquotienten, also f' (a[— h) und f' (a -f- h). Diese Ausdrücke müssen entgegengesetzte Vorzeichen haben, daß ein Maximum oder Minimum eintreten kann. Ist nun:

1)

j Maximum statt.

f'(a —h) positiv und | dann findet ein f' (a + h) negativ,

Ist aber:

2)

dann findet ein Minimum statt.

Endlich:

d²v

dx²

io

d²y

dx²⁻

— - - — —g-: Maximum. Y = -|Minimum.

f' (a—Ii) negativ und f' (a-(-h) positiv,

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Zehntes Kapitel.

Won den Znngenten, Normalen, Snbtangenten und Suvnormaken der Kurven.

66. Erklärungen.

Es sei eine Kurve gegeben (Fig. 10), die der Gleichung:

1)

y = f 0)

entspricht.

Auf der Kurve nehmen wir einen Punkt P an, der die Koordinaten x und y hat. In P ziehe man die Tangente, welche die Abseissenachse in R schneidet und mit ihr den Winkel a bildet. Wir bezeichnen nun die Strecke P B, als

Py f9C

's*

-s-x

JT

P Subtcmyente ^jSubnor-Tttctle

Fig. 10.

die Tangente = T; die im Punkte P auf der Tangente senkrechte Linie PS als die Normale — ^ der Kurve. Sodann nennt man die Projektion der Tangente auf die x-Achse, also die Strecke RQ, die Subtangente — St und die Projektion der Normale auf die x-Achse, also die Strecke QS, die Subnormale — Sn der Kurve.

pr² = pq²+ qr².

Fügen wir nun die ermittelten Werte in die rechte Seite ein, dann wird:

67. Formeln für die Tangente rc.

Es sollen nunmehr die entsprechenden Differentialausdrücke für T, N, St und Sn gefunden werden. Unmittelbar aus

der Figur (siehe Fig. 10) ersieht man, daß —

tanga ist.

Da nun der erste Differentialquotient einer Funktion der trigonometrischen Tangente entspricht, so kann man auch schreiben:

2)

dy^PQ

dx R Q

Aus der Figur ergiebt sich außerdem:

tang a.

3)

dx — PQ 1 g

Wir erhalten aus 8):

4)

QS — PQtang a

und, da PQ = y ist:

5)

QS = Subnormale = y • ^ = Sn. In ähnlicher Weise aus Gleichung 2):

6) RQ

PQ

PQ

dx

tanga

Snbtangente = y ^ = st.

Mit Leichtigkeit sind aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken PQR und PQS auch die Formeln für die Tangente und die Normale zu ermitteln. Nach dem Pythagoräischen Lehrsätze ist:

™² = f- + y >(Jf)

= y'(i +[:!v|)’    8ter"8:

PR = Tangente = y]/i + (^) = T. In der gleichen Weise erhält man:

7)

8)

ps²=pq²+qs²

oder:

PS = Normale = y ]/1 + (^~j'=n.

68. Umformung dieser Formeln.

Die Differentialausdrücke für die Tangente und die Normale können noch in anderer Form geschrieben werden, in der fie zuweilen bequemer sind. Es sei wiederum eine Kurve gezeichnet, die der Funktion:

i)

y = f (x) entspricht.

Wir denken uns auf der Kurve (siehe Fig. 3 Seite 30) zwei sehr nahe Punkte gezeichnet, die wir mit P und P, bezeichnen wollen. — P habe die Koordinaten x und y und P, die Koordinaten (x -f- A x) und (y + A y)* Bezeichnen wir die Sehne PP, mit As* Dann ist nach dem Pythagoras:

9)

As² = Ax²+Ay2.

Kommt der Punkt P, dem Punkt P unendlich nahe, dann geht die Sehne A s in ds über und fällt mit dem Kurvenstück PP, zusammen und Ax und A y werden zu äx und dy. Daher:

10)

d s² = d x² -j- d y².

Wenn wir den Ausdruck 10) durch dx² und sodann durch dy² dividieren, dann erhalten wir zwei neue Beziehungen, die für die Neuableitung bedeutungsvoll sind. Also:

69. 2>te T, N, Sn und St an der Parabel.

Zur Erläuterung des vorhergehenden Abschnittes wollen wir zunächst die Größen T, N, Sn, St für die Parabel ableiten. In der analytischen Geometrie wird gezeigt, daß die Gleichung der Parabel die Form hat:

15)

y² = 2px.

Differenzieren wir:

2y dy — 2p dx

und bilden Differentialquotienten:

16)

dy _ 2p _ dx 2y

Diesen Wert setzen wir in Formel 11) und 12) ein. Also:

r+t

li)

12)

E=E+E⁼¹+E-

EHE+E-'+E-

Setzen wir diese Bezeichnungen in die Gleichungen 7) und 8) ein, dann erhalten wir die neuen Tangenten-und Normalenformeln:

13)

ds

14)

T = Tangente = y ^ N = Normale = y4|-

und

y2 - Daher:

22)

P-

Sn = ya^

Es ergeben sich aus 21) und 22) die interessanten geometrischen Sätze:

1)    Die Subnormale einer Parabel ist immer konstant und zwar gleich dem Parameter.

2)    Die Subtangente einer Parabel ist gleich dem doppelten Abseissenstücke.

70. Die analytischen Ausdrücke für Tangente und Normale. Wir wollen nunmehr noch die analytischen Ausdrücke mittels der Methode der analytischen Geometrie herleiten. Betrachten wir zu dem Zwecke die Figur 10 (Seite 98). Die allgemeine Gleichung einer Tangente ist:

23)

p²+y²

P²

• Daher:

=^p²+y²-Werden die Ausdrücke 17) und 18) endlich in die Formeln für T, N, Sn und St eingefügt, dann ergeben sich die gewünschten Formeln für die Parabel:

j •V+y²-

}/p2_[_y2

^=2x.

18)

19)

20)

21)

St = y

ds

co

y²

y, = ax, + m,

wenn y, und x, die laufenden Koordinaten sind. Für die Tangente im Berührungspunkte P sind die Koordinaten x und y. Also wird hier:

Differentiieren wir den Ausdruck 24).

dy = a . dx; und ^ = a.

Wir erkennen aus 25), daß der Koeffizient a von x, die trigonometrische Tangente des Winkels ist, den die Tangente mit der Abseisse macht.

Subtrahieren wir 24) von 23) und setzen den Wert von a ein, dann erhalten wir die Gleichung der Tangente:

y'-y-dx

Die analytische Formel für die Normale erhalten wir leicht aus derselben Gleichung, es ist nur gleichfalls a zu bestimmen. Also wiederum ist:

y, — y = a (x, — x).

Die Normale bildet mit der positiven Richtung der x-Achse den Winkel PSx,, der gleich 90°~l-a ist. Also:

tangPSx — cot a =

Somit ergiebt sich als Formel für die Normale:

25)

26)

27)

28)

y.—y =

dy

(x, — x).

taug a

dx

dy

(x, — x).

dx

dy

71. Anwendung auf die Parabel.

Entwickeln wir auch die analytischen Ausdrücke der Tangente und Normale für die Parabel.

Wir erhielten als allgemeine Formel für die Tangente:

y, —y

Aus Gleichung 16) ergab sich die Beziehung: dy _ p

dx y*

dy

dx

(x, — x).

Somit wird die Gleichung für die Tangente an der Parabel:

y,—y= (x, — x).

In der gleichen Weise erhalten wir die Gleichung für die Normale der Parabel. Die allgemeine Gleichung lautet:

29)

dx

(x, — x).

y> — y = —

Also wird die Normalengleichung der Parabel:

^ (x,f— x).

Zur Uebung möge der Leser die gleichen Aufgaben für die Sinuslinie lösen, deren Gleichung ist:

y — sin x.

30)

dy

y, — y = —

Durch Anwendung der Formeln 5,6,7 und 8 gelangt man zu den Ausdrücken:

N = sin x 11 -j- cos² x.

T — tang x. ]/l -j- cos² x. Sn — sin x cos x.

Und

St — tang x.

72. Die Bezeichnungen für die Tangente und Normale rc. in Polarkoordinaten.

Häufig ist es vorteilhaft, statt des rechtwinkligen Koordinatensystems sich der Polarkoordinaten zu bedienen. Wir wollen hier zunächst die Formeln für die Tangenten • und Normalen in Polarkoordinaten herleiten. Betrachten wir die Figur 11. In der analytischen Geometrie bezeichnet man o als den Pol des Koordinatensystems und ox als die Polarachse. Ferner nennt man r (oP) den Radius vector und den Winkel a das Argument des Punktes P.

Die Gleichungen, die das rechtwinklige Ko ordinatensystem mit dem Polarkoordinaten system verbinden, ergeben sich unmittelbar aus der Figur 11. Es ist:

x — r . cos a

31)

y = r . sin a Und r² = x² -f- y².

Um nun eine Anschauung von der geometrischen Lage der Tangenten und Subtangenten, der Normalen und Subnormalen im System der Polarkoordinaten zu gewinnen, betrachten wir die Figur 12. — Es ist uns

'Vi

Ty

Fig. 11.

Kt

Fig. 12.

hier ein Bogenstück IK einer Kurve gegeben und auf dieser ein Punkt P. Sind r und a die Polarkoordinaten, dann ergiebt sich als Gleichung der Kurve:

Errichten wir nun auf dem Radius vector r im Punkte 0 eine Senkrechte und ziehen durch P die Tangente, welche die Senkrechte in T schneidet. Endlich errichten wir in P die Normale P Q.

Wir erhalten nunmehr folgende Stücke und ihre Bezeichnungen.

Man nennt:

PT die Polar-Tangente = T. p Q die Polar-Normale = N.

TO die Polar-Subtangente^8t.

Und:

QO die Polar-Subnormale^8n.

Diese Strecken sollen nun formuliert werden.

73. Ableitung der Formeln für T, N, St und Sn in Polarkoordinaten.

Der Punkt P (siehe Fig. 12) verschiebe sich um die kleine Strecke PP,. Dann sind die Koordinaten für P,: r-|- dr und a-(-da. — Man beschreibe nun mit r um o einen Kreisbogen, der die Linie P,0 in Q, trifft; es ist dann P,Q, gleich dr. Da wir uns die Strecke PP, unendlich klein vorstellen können, so darf man das Dreieck PP,Q, als ein geradliniges Dreieck betrachten. Es steht dann PQ, senkrecht zu P, 0 und es ist:

33)

PQ, = rda.

Es ist dann auch:

3CQ,PP, = 3CPTO = <OPQ und die entsprechenden Dreiecke sind ähnlich:

P,PQ,~OPT^OPQ.

Es läßt sich daher die Proportion bilden:

TO:PO = Q,P:Q,P, oder: TO: r —rda : dr.

10 — Subtangente — ^ = 8t.

Daher:

35)

Aus den ähnlichen Dreiecken läßt sich auch folgende Proportion bilden:

36)

OQ:OP=Q,P,:Q,P oder: OQ: r — dr : i da.

Und hieraus folgt:

37) OH ^ Subnormale

r.dr dr

r.da da

Sn.

Wenden wir den Pythagoras an, so folgt:

PQ² = PO² -f- QÖ² oder:

(Normale)² — r²    -

Es ergiebt sich somit für die Normale die Formel:

38)

n = Normale = ]/r²+ ('}),) -

Verwenden wir wiederum den Pythagoras, so ergiebt sich: PT² = P0²-)-ÖT² oder:

(Tangente)² — r² +    -

Somit erhalten wir für die Tangente die Formel:

39)

t = Tangente = r j/i + r² •

74. Ein Beispiel.

Wir wollen Me T, N, St und Sn in Polarkoordinaten an der Archimedischen Spirale ableiten. Eine Archimedische Spirale entsteht, wenn sich eine gerade Linie um einen festen Punkt 0 dreht, während ein anderer Punkt P auf der geraden Linie sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit bewegt.

Die Gleichung der Archimedischen Spirale (siehe Fig. 13) lautet:

40)

r — aa.

V'

Fig. 13.

Die Formel besagt, daß der Radius veetor dem Argument proportional ist.

Differentiieren wir zunächst die Gleichung 40) nach a.

41)

dr

da

— = a = Sn.

Wie wir aus Gleichung 37) wissen, ist das der Ausdruck für die Subnormale. — Die Subnormale ist also für alle Punkte der Archimedischen Spirale konstant.— Wir erhalten sehr leicht die Formel für die S übt an gen te, wenn wir den Wert von 41) in die Form 35) einfügen. Also:

42)

St = r²

= r² • — =    -

Mit Verwendung von 40) endlich:

Subtangente

Setzen wir unsere Werte in die Formeln 38) und 39) ein, so ergeben sich die Ausdrücke für:

die Tangente: T = rVl + a2 die Normale: N = a) l + a².

75. Von der Asymptote.

Eine Asymptote ist eine Tangente, die eine Kurve in einem unendlich fernen Punkte berührt.

In der analytischen Geometrie machen wir die Bekanntschaft der Asymptoten bei den Untersuchungen über die Hyperbel.

Wir wollen nun die Methode ermitteln, um bestimmen zu können, ob eine Kurve eine Asymptote hat. (Siehe Fig. 14.)

43)

44)

45)

-X

a².«²

aa².

und

Py

+X

Fig- 14.

In unserer Figur sei MN ein Kurvenstück einer krummen Linie, die durch die Gleichung gegeben ist:

y = f(x).

Ferner sei UV die im Folgenden näher zu bestimmende Asymptote. Sie kann ermittelt werden durch Bestimmung

46)

der Punkte Rund II, die sie gemeinschaftlich mit der y= und der x-Achse hat. Nehmen wir nun an, es sei P ein Punkt der Kurve, der durch die Koordinaten x und y bestimmt ist. Ferner sei PT die Tangente im Punkte P. Je mehr P nach N zugleitet und darüber fort geht, um so mehr nähert sich S dem Punkte E. Wird x = oo, dann werden auch die Stücke UT und SR unendlich klein. Um zu einem analytischen Ausdruck zu gelangen, wollen wir To und So durch x ausdrücken. Bleiben To und So für den Wert x — oo selbst endlich, dann ist eine Asymptote für die gegebene Kurve vorhanden. Bleibt eine der beiden Strecken endlich, während die andere unendlich wird, dann ist die Asymptote einer Koordinatenachse parallel. Werden endlich die genannten Strecken gemeinschaftlich zur Null, dann geht die Asymptote durch den Anfangspunkt des Koordinatensystems hindurch.

Stellen wir nun folgende Ueberlegungen an: In unserer Figur ist oT negativ und öS positiv.

dy

Es wird:

tanga-^-

und

dx

oT —x — der Subtangente — x — St ₀g —_oT • — •

Fügen wir den Wert der Subtangente ein, dann ist: oT =

47)

dx

und

48)

oS=y-xdr

Wird in diesen Ausdrücken x = oc, dann ergeben sich die Grenzwerte von oT und öS.

76. Ein Beispiel zur Erläuterung der Asymptoten.

Die analytische Geometrie entwickelt für die Hyperbel die Formel:

-Vx² —a². a

Wir wollen die Asymptote für die Hyperbel bestimmen. Es ist zunächst:

50)

Vx² — a²

Diesen Wert wollen wir in die Ausdrücke 47) und 48) einfügen, dann ergießt sich:

dy₌b e dx a

51)

oT — x — — Vx² — a² • a

a Vx² — a²

X² —a²

x² — x²si- a²_ a²

und

52)

oS =

]/x² — a² — — •

a Vx² — a²

ab

b(x² — a²) — bx²

aVx² — a²

Vx² — a²

Setzen wir nun in die Ausdrücke 51) und 52) x = oof dann werden sie beide der Null gleich. Nach unseren Ausführungen in Abschnitt 75 geht somit die Asymptote an der Hyperbel durch den Anfangspunkt des Koordinatensystems. Nunmehr muß noch der Berührungswinkel a bestimmt werden. Es ist:

53) tang a —

dy _ b e dx a ’ yx² — a²

Setzen wir x = <x>, dann ist:

, b

tang a = ± — •

Elftes Kapitel.

Won der Konvexität, der Konkavität «nd von den Wendepunkten einer Kurve.

77. Erklärungen.

Legt man an einen Punkt einer Kurve eine Tangente, dann nennt man die Kurve nach unten konkav (also nach der Abscissenachse zu), wenn alle benachbarten Punkte, wie bet P„ unterhalb der Tangente liegen (siehe Fig. 15).

Jl

///

Fig. 15.

Man nennt eine Kurve nach unten konvex, wie bei P,„ wenn die benachbarten Punkte über der Tangente liegen. Ein Punkt endlich, wie bei P,„, bei dem die Konkavität in die Konvexität oder umgekehrt übergeht, nennt man einen Wendepunkt.

78. Ableitung, um die Bedingungen für die Konkavität und Konvexität einer Kurve festzustellen.

1)

Es sei eine Kurve gegeben, deren Gleichung ist: y = f(x).

Wir wollen die Bedingungen für ihre Konkavität oder Konvexität ermitteln. Betrachten wir hierzu die Fig. 16. —

In dem hier gezeichneten Kurvenstück hat btt: Punkt P die Koordinaten x, y. Wir denken uns durch P die Tangente gezogen. Dann sieht man, daß die Kurve nach unten konvex ist, weil alle dem Punkte P benachbarten Punkte, wie z. B. P, und P,„ über der Tangente liegen.

Ts,

1*

üo_

P, a, a

Fig. 16.

Die Ordinaten der Punkte P, bezw. P„ haben mit der Tangente die Durchschnittspunkte t, bezw. t„. Da, wie bekannt, die Ordinaten nach oben hin wachsen, so müssen die Strecken P, t, und P„ t„ positiv also größer als Null sein. Wir schreiben somit:

P, t, = P, Q, — Q, t, ) o und

Pff =: Pff Qff

2)

Hat, wie wir oben angaben, P die Koordinaten x und y, so hat P, die Abseisse (x — h) und P„ die Abseisse (x -f h). — Entwickeln wir nun nach dem Taylorschen Satze:

f"(x)h²

2!

3) P„ Q„ = f (x -f h) = f (x) -j- f' (x). h -f

, f'"(x) h8 '    3!

Ziehen wir durch P eine parallele Linie zur Abseisse und bezeichnen die Durchschnittspunkte mit den Ordinaten mit U, und U„, dann ergeben sich folgende Beziehungen:

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

4)

5)

Im rechtwinkeligen Dreiecke t„ U„ P ist:

t„U„ — PU„ . tanga — h . langn — h . f'(x). Daraus folgt, daß:

Q„t„ = t„U„ + U„ Q„ = y + t„U„ = y + h. f”(x)

oder:

5 a)

Q„t„ = f(x) + hf'(x) ist.

6)

Subtrahieren wir nun 5 a) von 8), dann folgt:

f "(x) h²

2!

P„t„.

In derselben Weise wollen wir den Wert von P, t, ermitteln. Wiederum gilt uns der Taylorsche Satz.

7)    P,Q,=f(x-h) = f(x)-f'(x).h+^-|p--1----

Es wird:

8)

t,U, — — h. tanga — — hf'(x).

9)

In gleicher Weise, wie in 5):

Q,t, = y — t,U, = y — hf'(x) — k(x)—h.f'(x).

Also endlich:

10)

P,Q, — t,Q,

f"(x)F

2!

p,t

Man erhält hieraus den Satz: Ist der zweite Disferential-qnotient einer Funktion y = f(x) positiv, dann ist die Kurve, die ihr entspricht, nach unten konvex.

78 a). Bedingungen für die Konkavität einer Kurve.

(Siehe Fig. 17.)

Durch dieselben Schlüsse wird festgestellt, das) eine Kurve nach unten konkav ist, wenn der zweite Diffcrentialquotient der Funktion, den sie darstellt, negativ ist.

79. Der Wendepunkt.

Aus dem Vorstehenden ist leicht einzusehen, daß, wenn der zweite Differentialquotient Null oder unendlich wird, die Kurve für diesen Punkt vom Konkaven zum Konvexen oder umgekehrt übergehen kann. An dieser Stelle wird sich also in gewissen Fällen ein Wendepunkt

T,

u„

Mg. 17.

befinden. Siehe P,„ in Fig. 15. — Wir wollen die Kennzeichen näher untersuchen. — Hat sich herausgestellt, daß für einen bestimmten Wert von x der zweite Differentialquotient Null oder unendlich geworden ist, so muß man die unmittelbar vorangehenden und folgenden Punkte untersuchen.

Ist f"(x—h)o und f(x —(— h) o, dann geht die Kurve von der Konvexität zur Konkavität über und in P befindet sich ein Wendepunkt.

Ist dagegen:

f"(x— h) <^o und f"(x-j-h)^>o,

dann geht die Kurve von der Konkavität zur Konvexität über und in P ist gleichfalls ein Wendepunkt.

80. Beispiele.

1) Die Parabel soll auf ihre Konkavität und Konvexität untersucht werden.

Die Gleichung der Parabel lautet:

y² — 2px.

Wir nehmen die Differentialquotienten:

2y dy = 2p dx. dy _ 2p

dx 2y P dy

Daher:

Sodann:

. d²y

p.2p

P²

dx²

y²

2y.y²

y³

d² y

Wie man nun sofort erkennt, wird ^ für positive

Werte von y negativ. Die obere Hälfte der Parabel ist also nach unten konkav. Setzt man für y negative Werte,

d* y

dann ist positiv und wir sehen, daß der untere Teil der Parabel nach unten konvex ist. Da für keinen endlichen Wert von y, ^ verschwindet, so ist kein Wendepunkt vorhanden.

Wir wollen die Sinuslinie untersuchen. Die Gleichung der Sinuslinie ist:

y — sinx.

Wir nehmen die Differentialquotienten. Also:

dy

dx

COS X

und

d²y

sin x.

dx2 —

Wie man sofort sieht, wird die zwischen o und n liegen. Die Kurve wird somit dort

d²y

dx²

für die Werte negativ,

nach unten konkav sein. Die Werte zwischen n unb 2n

V

eingesetzt in ergeben ein positives Resultat; unb es zeigt sich, baß bie Sinnslinie nach unten konvex ist. Zur

Fig. 18.

Null wirb ber Differentialqnotient für bie Werte o, n, 2 n re. Hier befinben sich Wenbepunkte unb sie liegen alle, wie bie Fig. 18 zeigt, ans ber Abscissenachse.

Zwölftes Kapitel.

Die Krümmung der Kurven und der Krümmungskreis. Evoluten und Evolventen.

81. Ueber die Berührung von Kurven.

1)

Wenn zwei krumme Linien, bie burch bie Gleichungen: y = f(x) und yi=<p(x)

bargestellt, unb bie auf basselbe Koorbiuatensystem mit beut gleichen Anfangspunkte bezogen sinb, für einen bestimmten Wert von x ein übereinstimmenbes Resultat geben, bann müssen sie beibe burch benselben Punkt P gehen. Das ist unmittelbar einleuchtenb unb folgt aus betn Begriff ber

Funktion. Lassen wir nun x in den beiden Funktionen um die kleine Größe h zunehmen und entwickeln wir nach dem Taylorschen Satze. Also:

h²

2) f (x + h) = f (x)-j-f' (x). h —j— i" (x)    ----

<p (x + h) = cp (x) + cp' (x).h + cp” (x)^-j----

Sind nun in den Funktionen außer f(x) = <p(x) auch noch f'(x) = cpr(x), resp. f/r(x) = (p"{x) k. einander gleich, dann findet im Punkte P zwischen den beiden Kurven eine Berührung erster, zweiter u. s. f. Ordnung statt.

Wird sogar fn(x) = <pn(x), dann ergießt sich eine Berührung uter Ordnung; die Kurven schwingen sich also am innigsten an einander. Wir wollen diese Auseinandersetzung an einem Beispiel noch klarer machen.

Es sei eine Parabel mit der Formel:

y² = 4x

gegeben. Es soll die parabolische Linie ermittelt werden, die im Punkte P mit den Koordinaten j* Z4 mit der gegebenen Parabel die innigste Berührung hat. — Die Gleichung für die parabolische Linie sei:

yi=«+y5x+7x3-

Bilden wir nun die Differentialquotienten aus:

yi = « + /9x+yx3 y² = 4x y = 2 Vx ■■ß-\-S yx²;

und:

oder:

dyi

dy

dx

ckx 1/x

d²yi

dx²

6/x;

d²y

dx²

21/ x³

Nach unseren obigen Bemerkungen müssen also, wenn in P eine innige Berührung stattfinden soll, für x — 4 auch die Differentialquotienten gleich sein.— Zur Ermittelung der Koeffizienten in der parabolischen Gleichung können dann die folgenden drei Gleichungen aufgestellt werden.

a-j-4^-j-64/ —4, ß~\~ 48 7 =

24 y — tV

Wir erhalten die Werte: a = f, ß—§, y — —-%%-$• Somit hat die gewünschte parabolische Linie die Form:

Yr — f “l⁻    -g&irX³.

Es findet also hier eine Berührung zweiter Ordnung statt.

82. Der Kriimmungskreis.

In der Theorie über die Krümmung der Kurven spielt die Aufgabe eine wichtige Rolle, den Kreis zu ermitteln, der mit einer Kurve in einem bestimmten Punkt P die innigste Berührung hat. Man nennt diesen Kreis den Krümmungs- oder Oskulationskreis und seinen Radius den Krümmungsradius.

Es sollen von uns im Folgenden die Formeln für den Krümmungsradius und die Koordinaten für den Mittelpunkt des Oskulationskreises bestimmt werden. Dazu wird es gut sein, sich zunächst eine geometrische Vorstellung vom Krümmungskreise zu schaffen. Betrachten wir zu dem Zwecke Figur 19 (S. 120).

Die Kurve HI sei gegeben durch die Gleichung:

3)

y=f 0).

Wir legen an diese Kurve im Punkte P eine Tangente T F und eine Normale P U. Man ist nunmehr im stände von jedem Punkte der Normalen aus Kreise zu schlagen, die die Kurve HI im Punkte P berühren und deren gemeinschaftliche Tangente TF ist.

Derjenige von allen diesen Kreisen, der mit der Kurve HI die innigste Berührung eingeht, ist der Osku-lationskreis. — Um nun die gewünschten Bestimmungsstücke zu finden, können wir ähnlich Verfahren, wie in der vorbereitenden Aufgabe in Abschnitt 81. — Wir bezeichnen die Koordinaten des Punktes P mit x und y und die Koordinaten vom Mittelpunkte M des Krümmungskreises mit a und ß; sein Radius werde mit q bezeichnet.

Pj

4 M K*'

'A

ff

Fig. 19.

Wir werden daher, wie in 81, die Differentialquotienten für die Gleichung der Kurve: y = f (x), und für die Gleichung des Kreises: (y — ß)² -f- (x — a)² = q bilden. Es ist hierzu gut, die Kreisgleichung ein wenig umzuschreiben. Also:

4) Ji = ß—\Q2 k) *h

b) dx d²xt dx²

(x — a)²j ² und y=f(x). Daher:

= f'(x)=p*)

dx2=f"(x)=q-

Jf)² — (x — a)²{ ^

dy

dx

d²y

\q²- (x —«)²X

*) Man bezeichnet sehr häufig nach dem Vorgänge von Euler den ersten Differentialquotienten mit p, den zweiten mit q, den dritten mit r re.

Zur Bestimmung des Oskulationskreises müssen jetzt a, ß und q ermittelt werden. Das geschieht durch die drei Gleichungen:

6)

l+ie²—(x—a)²!

V.

Q²

= q-

{    — (x — a)² | /$$

Führen wir die Rechnung nach den Gesetzen der Algebra aus, dann ergiebt sich:

7)

-p.w) F q , (i + p²)

(i + p²)%

Wir wollen diese Ausdrücke mit Hilfe der Bestimmungen in Abschnitt 68 noch etwas umformen. Dort wurde gezeigt, daß man für dx²-|-dy = ds² setzen kann. — Schreibt man nun:

8) p = £ und

8 a)

P² = (|~) , dann wird:

1+P² = d-Wy--VH

Es gehen somit die Formeln 7) über in:

ds\²

K'

ds

i \dx

e = ±-

83. Die Krümmung der Kurven.

Von allen krummen Linien hat bekanntlich nur der Kreis stets dieselbe Krümmung und zwar ist diese um so größer, je kleiner der Radius ist. Man pflegt daher die Krümmung eines Kreises dem reeiproken Werte des Radius gleich zu setzen. Also:

Krümmung — — •

y² = 2 ax.

Wir bilden die Differentialquotienten. Also: 2y dy = 2a . dx

Alle anderen Kurven haben in den verschiedenen Punkten verschiedeneKrümmungen. ManmißtdieKrümmungen, indem man an den einzelnen Punkten ihren Osku-lationskreis ermittelt. — Bestimmen wir jetzt den Oskulationskreis für die Parabel. Die Gleichung der Parabel sei:

und daraus:

dy

dx y P*

(Siehe Anmerkung zu Abschnitt 82.) a dy y²' dx

Entwickeln wir nun die Werte, die in den Formeln 7) hervortreten, und setzen sie in diese ein:

d²y

dx²

a²

y³

q-

Es ist: Daher:

a²

¹ +P² — 1    —

«² + y²

y²

a a² + y²

ax = x —

y_yl

a²

x+^+y²

= x-

a²-f 2ax

_ A7_ («²+y²)y _

y³

«²+y²

ßi = y-f-

y²

a²

a²

m

a²

³/₂

=±

(«² + y f²

y³'

y³

y³

«²y

(a2_|_y2)3/₃

a²

(a² -)- 2 a x)³/³

a²

Ist hier X— 0, dann wird in diesem Punkte:

Der Krümmungsradius im Scheitel der Parabel ist somit gleich dem Parameter. Die Koordinaten und ß± des Krümmungskreises werden:

und

a₁ = a

Ä. — 0.

Der Krümmungsradius q muß natürlich immer positiv sein; man wählt daher dasjenige Vorzeichen, das ihn positiv macht. Für die Parabel ist also der Parameter entscheidend.

84 Evoluten und Evolventen.

Denken wir uns in Fig. 19 (S. 120) statt eines Punktesk eine ganze Zahl auf einander folgender Punktes, P₂, re. gezeichnet und für einen jeden den entsprechenden Krümmungsmittelpunkt konstruiert. Dann giebt die Verbindungslinie aller dieser Krümmungsmittelpunkte eine neue Kurve. Man nennt sie die Evolute der gegebenen

Kurve. Die Ursprungskurve bezeichnet man als die Evolvente. — Man kann sich die Beziehung der Evolvente und der Evolute durch die folgende Konstruktion leicht vergegenwärtigen. Man zeichne sich eine nach oben konvexe Linie AB und befestige in A einen Faden, der zunächst über die Kurve gespannt sei. — Wird nun, indem man den Faden stets stramm zieht, der Faden abgewickelt, dann beschreibt der Punkt B eine neue Kurve. Diese ist die Evolvente, die Abwickelnde; die ursprünglich konvexe Kurve wird die Evolute oder abgewickelte Linie genannt.

85. Zusammenstellung der Regeln, um die Formen der Kurven zu ermitteln.

Ist von einer Funktion y = f (x):

a)    der erste Differentialquotient in einem Punkte (xt yt) der Null gleich, dann läuft seine Tangente der X-Achse parallel;

b)    der erste Differentialquotient für einen Punkt (x, yx) unendlich, dann steht die Tangente in dem betreffenden Punkte auf der X-Achse senkrecht;

c)    der erste Differentialquotient, wie in a), gleich Null, und der zweite Differentialqnotient positiv, dann hat die Kurve in diesem Punkte ein Minimum;

d)    der erste Differentialquotient, wie in a), gleich Null, und der zweite Differentialquotient negativ, dann hat die Kurve in diesem Punkte ein Maximum;

e)    der erste Differentialqnotient für einen bestimmten Wert a, wie in b), unendlich und für:

dann findet ein Maximum statt;

f' (a — h)) 0

f' (a h) <( 0

f) der erste Differentialqnotient für einen bestimmten Wert a, wie in b), unendlich und für:

dann findet ein Minimum statt.

f' (a — h) < 0

f'(a-f-h)-(- J

In e) und f) bedeutet h eine sehr kleine Größe.

g) der zweite Disferentialqiwtient für einen Punkt (x y) positiv, dann ist die Kurve nach unten konvex;

h)    der zweite Differentialqnotient für einen Punkt (x y) negativ, dann ist die Kurve nach unten konkav;

i)    der zweite Differentialquotient für einen Punkt (xy) Null oder unendlich, dann findet in ihm ein Wendepunkt statt, wenn:

ist-

oder:

f"(x — h) ) 0 und f"(x-j- h) < 0 f"(x — h) <( 0 und f"(x-}-h) ) 0 Auch hier bedeutet h eine sehr kleine Größe.

k) In einer Funktion: y = f (x) ist der Mittelpunkt des Krümmungskreises bestimmt durch die Koordinaten:

-pl+£^ F q

ß=y

Ü'.P

q F

/dsV

i + p² _

v i W. J 1 q

Und der Radius durch die Formel:

(i+p²)%

d²y

dx²

dx

dy

INNMIMW

f'W = 0

4P

•utmttriu jcß

f' (a — h) ) 01 ff' (a — hj ( 0 f'(a-J-h) ( Oj jf' (a —fy li) ) 0

Minimum.

NlNNNivW

dx

dy

f' (x) — OC

SXP

d²y

Wendepunkt.

f" (x — h)>0 f"(x + h)<0

| oder |

= f"r«+-¥=f>)=-

Konvex.

'NvzuoU

5XP

d²y

(x)j = l

-uraanM aaq SunhmjaixuU qq attj jajinjipgr

f" (x —h)<0 f"(x + h)>0

00) 1/ „} =

Dreizehntes Kapitel.

Iie Aikdrmg der Iifferenliakquotienlen von mehreren unabhängigen Veränderlichen.

86. Erklärungen.

Es sei eine Funktion von der Form:

1)

z = f(x, y)

gegeben. In ihr bedeuten im allgemeinen x und y die unabhängigen Variabeln und z die abhängige Variable. Wir können in der Funktion 1) drei Fälle unterscheiden:

a)    Ist x konstant und nur y veränderlich, dann stellt

1) eine Linie dar, die in einer Ebene liegt, welche der ^y-Ebene des Koordinatensystems parallel ist.

b)    Ist dagegen y konstant und x veränderlich, dann liegt die Linie, die die Funktion giebt, in der Ebene, die der XL-Ebene parallel ist.

c)    Sind endlich x und y veränderlich, dann erhält man durch 1) eine Fläche, wie in der analytischen Geometrie gezeigt wird.

Um das klar zu legen sei z. B.:

z — 3x²-|⁻xy²-(⁻y⁴-

Wir wollen zuerst annehmen, daß, wie in dem Fall b), nur x eine Veränderliche sei und y konstant, dann muß sich selbstverständlich auch z verändern. Will man den Differentialquotienten bilden, dann muß man sich bewußt bleiben, daß z sich mir in Beziehung auf x verändern soll. Man deutet das dadurch an, daß man die Ableitung mit einem runden S schreibt: Also:

dz e dz

dl statt

d z

Man nennt ^ die partielle Ableitung vonznachx, oder den partiellen Differentialquotienten. —

Differentiieren tmr in diesem Sinne unser Beispiel:

= 6*+y*.

In gleicher Weise können wir die Funktion z auch nach y differentiieren, dann betrachtet man x als konstant. Also:

^|=2xy + 4y³.

87. Ableitung der partiellen Differentialquotienten.

Bei der allgemeinen Ableitung der partiellen Differentialquotienten wollen wir uns der Ueberlegungen erinnern, die wir im vierten Kapitel anstellten. Es sei also:

1)

2 —k(x, y).

Nehmen wir zuerst an, es sei nur x variabel und es wachse um die kleine Größe Ax. Es ergießt sich dann:

f(x + Ax,y) — f(x,y)

2)

dz

— = lim •

dx a

Ax—o

Ax

Nehme sodann in derselben Weise y um Ay zu, bei konstanten X) dann ist:

f(x,y + Ay)-f(x, y)

dz

3)

Ay

-r— = lim •

y Ay=o

Die Gleichungen 2) und 3) stellen also ganz allgemein die partiellen Ableitungen von z nach x und nach-y dar.

Man Pflegt die Gleichungen zuweilen noch in anderer Weise zu schreiben. Man bezeichnet nämlich die Größe, um die sich z ändert, wenn x um Ax zunimmt, häufig mit Axz; und die Größe, um die sich z ändert, wenn sich y um Ay erweitert, mit Ayz. Man nennt dann Axz, bezw. Ayz die Partielle Zunahme von z in Beziehung auf x, resp. auf y. — Verwenden wir diese Schreibart, so erhalten wir:

)    z+Axz = f(x+Ax, y)

)    z+Ayz = f(x, y + Ay).

Subtrahieren wir nun von 4) und 5) die Gleichung 1), dann ergeben sich die Ausdrücke:

Axz= f(x +Ax, y) — f(x, y)

AyZ =f(x, y+ Ay) — f(x, y).

Wir machen nun einen kleinen Kunstgriff und schreiben die Gleichungen 6) in der Form:

Axz =

OT

6)

7)

f(x +Ax, y) — f(x, y)

Ax

• Ax

und

und

Ay Z -

f(x,y + Ay)-f(x,y)

Ay

•Ay.

Nähern sich Ax und Ay der Grenze Null, dann müssen auch Axz und Ayz unendlich klein werden. Schreibt man:

Ax— dx und Ay — dy,

dann sind auch:

/\ y Z öyZ .

Man bezeichnet solche Ausdrücke als partielle Differentiale.

Die Gleichungen 7) können nach diesen Auseinandersetzungen mit Berücksichtigung der Gleichungen 2) und 3) nun auch geschrieben werden:

Axz — dxz

und

8) Az — lim •

Ax=o.

f(x + Ax,y)-f(x,y)

Ax

f(x, y + Ay) — f(x, y)

dz

• Ax — — • dx, dx ’

dz

dyZ = lim •

- Ay=0

Im Vorstehenden haben wir die Fälle a) und b) aus Abschnitt 86 allgemein behandelt und in 8) die partielle Zunahme von z nach x resp. y erhalten. Wir wollen nun den Fall c) allgemein betrachten, in dem in der Funktion

Ay

•Ay = r- • dy.

dy

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

z = f(x, y) sich x und y zusammen um die kleinen Werte Ax und Ay verändern. Dann bezeichnet man die Aenderung von z als die totale Zunahme und schreibt sie Az.

Es sei:

1)

z = f(x, y).

Es soll nun, wie bemerkt, x um Ax und y um Ay wachsen, dann ergiebt sich:

9)

z-j- Az — f(x-f- Ax, y-j-Ay). Subtrahieren wir 1) von 9), dann ist:

10)    Az = f(x + Ax, y -f- Ay) — f(x, y).

Verfahren wir nun mit diesem Ausdruck in derselben Weise, wie wir es im Abschnitt 24, Gleichung 58) (Seite 43) thaten, so gelangen wir sofort zu der Form:

11)    Az = f(i + Ax, y-(-f Ay) — f(x, y+ Ay)

+ f(x> J +Ay) —f(x, y).

Um die Ausführungen besser überschauen zu können, wollen wir schreiben:

y +Ay = u.

Dann geht 11) über in:

12)

Az = f(x-f Ax, u) — f(x, u)

+ f(x, y + Ay)-f(jy).

Ordnen wir nun 12) und dividieren und multiplizieren die entsprechenden Teile mit Ax und Ay, dann erhalten wir:

13)

k(x si-Ax, u) — f(x, u)

Ax

• Ax

f(x, y + Ay) — f(x, y)

Ay

•Ay.

Nähern sich Ax und Ay der Grenze Null, dann geht Az in dz über. Also:

Wir setzten nun wieder u — y -f- Ay• Der Grenzwert lim • u wird gleich y, dost für ihn somit u — y ist. Wir schreiben ferner für Ax— 0, dx und für Ay = 0, dy. Aus den Gleichungen 2) und 3) und dem Vorstehenden

folgt:

14)

dz — lim •

Ax—0

t'(x -j- Ax, u) — f (x, u)

Ax

• Ax

-f- lim •

Ay=o

f (x, y + Ay) — f (x, y)

Ay

•Ay.

15) lim •

Ax=o

u) f (x, u)

d(x, u)

öl(x, y)

dz

Ax

dx

dx

dx

und

f(x, y + Ay) — f(x, y) _ dz _ d(x, y)

lim-

Ay—0

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichung 14) ein, dann haben wir die Formel für die gewünschte totale Zunahme der Funktion.

Ay

dy

16)

dx

dx

dy

dy,

oder kürzer: 16 a)

dz

dz

<lz==didx+dAy-

Das totale Differential ist also der Summe der partiellen Differentiale gleich.

88. Beispiel.

Führen wir die vorstehenden Auseinandersetzungen an unserem Beispiel in Abschnitt 86 weiter aus. Wir hatten

dort:

und

z = 3x²-f-xy²-|-y4 ^=6x + y³;    ||=2xy+4ys.

In die Gleichung 16 a) eingefügt, ergiebt das: dz = (6x-4-y²)dx-|-(2xy-)- 4y³)dy.

89. Funktionen mit mehr als zwei unabhängigen Variabel«.

Es kommen in der Rechnung zuweilen auch Funktionen vor, in denen mehr als zwÄ unabhängige Variable sich befinden. Z. B.:

17)

z = f(r, 8, t).

Um die Differentialquotienten für sie zu ermitteln, müssen die gleichen Ueberlegungen wie im Abschnitt 87 angestellt werden. Für Gleichung 17) erhält man dann:

dz = F> + Eds + !>

Der Satz zu 16 a) ist also ein ganz allgemeiner Grundsatz: Das totale Differential ist immer — die Zahl der unabhängigen Variabeln kann beliebig groß sein — gleich der Summe der partiellen Differentialquotienten.

18)

90. Die höheren Disserentialquotienten.

Wir wollen nochmals zu unserem Beispiel in Abschnitt 86 zurückkehren und an diesem speziellen Fall die Bildung der höheren Differentialquotienten zeigen. Es war:

z = 3x²-f xy²-f-y⁴

^=2xy + 4ys.

und

dz

di⁼6x + y2;

Differentiieren wir nun nochmals und zwar den Ausdruck, den wir nach x differentiiert haben, nunmehr nach y und den anderen jetzt nach x. — Dann ergiebt sich:

ö(E)

öy

= 2y;

dx

= 2y.

Aus diesem Beispiel erkennen wir, daß wir dasselbe Resultat erhalten, gleichgültig ob wir eine Funktion erst nach x und dann nach y, oder erst nach y und dann nach x differentiieren. Der Satz ist von allgemeiner Bedeutung: „Die Reihenfolge der partiellen Differentiation ist gleichgültig". — Es ergießt sich:

19)

»(£> ÜK

dy

dx

Oder zusammengezogen: 19 a)

d²z

d²z

dx•dy dy • dx

Nach dieser Vorbereitung ist die Ableitung für die zweite Differentiation nicht mehr schwer. Wir erhielten für:

1)

z = f(x, y):

dz = ||dx + ^dy.

Setzen wir jetzt in 16) überall für z den Ausdruck dz, dann geht 16) über in:

d (d z)

16)

20)

d (dz)    d (dz)

dx

dy

dy.

Entwickeln wir nun jeden der beiden Ausdrücke auf der rechten Seite, indem wir einmal nach x und dann nach y differentiieren:

21)

d (dz)

d²z

dx

dx²

dx -

d²z

dx - dy

dy

d(dz)

d²z

dy

dx+|pdy-

dy • dx

Multiplizieren wir endlich der Gleichung 20) entsprechend von den vorstehenden Gleichungen die erste mit dx und die zweite mit dy und addieren, dann erhalten wir den Ausdruck:

Vierzehntes Kapitel.

Entwickelung der Aifferentialquotienten für die nicht entwickelvaren JunKtionen.

91. Allgemeines.

In Abschnitt 12 wurden wir mit Funktionen bekannt, die nicht nach der einen Variablen aufzulösen sind. Wir nannten sie unentwickelte oder implizite Funktionen. Man bezeichnet sie gewöhnlich mit:

1) F(x, y) = 0; f(x,y) = 0; y (x, y) = 0 re.

Wir wollen sie auch noch in dem folgenden speziellen Beispiel vorführen:

x³y + xy —sin (x + y) = 0.

Es soll nun gezeigt werden, wie man in ihnen die Differentialqnotienten ausdrücken kann, ohne sie auflösen , zu müssen.

92. Bildung der Differcntialquotienten der impliziten Funktionen.

Die Ableitung ist verhältnismäßig einfach mit Anlehnung an die Ausführungen des vorigen Kapitels durchzuführen. —

1)

d²z dx²

und unter Ansicht von 20): 23) d²z

22)

dx²

d²z

dy²

dy²—|— 2 •

d²z

dx • dy

- dx-dy,

d²z

dxa + ^dy²+2-

b-z

- dx • dy.

dx²

Wie man sieht, erscheint hier das Gesetz der Binomialkoeffizienten.

dx - dy

Wir setzen: F (x, y) — 0.

Es ist also auch hier y eine Funktion von x, nur ist die Form, in der das Verhältnis zum Ausdruck

kommen soII, nicht unmittelbar bekannt, oder doch nur unter Schwierigkeiten zu entwickeln. Wir wollen daher den nachfolgenden Weg einschlagen, um dahinter zu kommen. Gehen wir von dem entsprechenden Ausdruck des vorigen Kapitels

2)

z = F (u, v)

aus und nehmen an, daß auch u und v Funktionen von x seien, also z. B.:

u = 99 (x) und v = ip (x). Differentiieren wir 2), dann folgt:

3)

dz = T-du -v-" d v.

du

dv

Dividieren wir 3) durch dx, dann geht es über in:

4)

dz_dz du , dz dv

dx du dx d v dx

Mit Verwendung von Gleichung 2) und indem wir für F (u, v) kurz F setzen, können wir nun wiederum diesen Ausdruck schreiben:

5)

dz _dF du , dF dv

dx du dx ' dv dx

Nehmen wir für einen speziellen Fall an, es sei u —x, v = y und z = 0 geworden, so vereinfachen sich die Ausdrücke, aus denen sich 5) aufbaut, in der folgenden Weise. — Es geht über:

z = F (u, v) in F (x, y) = 0

dF . dF

dx

x— in \

dF

dF

dv

- . . dy

dx

dx

Und es wird endlich:

7)

du

dx

dv

PPP

'<1 X X

sowie:

dx dx dz

dir⁻°-

Fügen wir die Beziehungen von 6) und 7) in Gleich. 5) ein, dann geht sie nunmehr über in:

8)

dF , d F

dy

9)

Daraus ergiebt sich der gesuchte erste Differentialquotient:

dF(x,y)

dF

dy

dx

dx

dx

ÖF

d F (x, y)

dy

d F (x, y)

Fi (x, y)

Häufig bedient man sich zur Aufstellung der Formel 9) einfacherer Ausdrücke für die partiellen Ableitungen. Man schreibt für:

dx

3F(x,y)

F₂ (x, y).

Es wird also die Ableitung nach der ersten Variabeln x mit Ft und die Ableitung nach der zweiten Variabeln y mit F₂ bezeichnet. Dann geht 9) über in:

dy^_ F₁(x,y)|

F₂ (x, y)‘

und

9 a)

dy

dx

93. Beispiele.

1) Die Gleichung eines Kreises:

X*-J-y2 —1-2—0

sei gegeben. Wie heißt der erste Differentialquotient?

Lösung. Die Gleichung des Kreises wird zuerst nach x und dann nach y differenziert, wie es in Kapitel 13 auseinandergesetzt wurde:

— Fx (x²-f-y²— r²) = 2x

dF(x² + y² — r²)

dx

und:

d F (x² + y² — r²)

dy

= F₂ (x² + y² —r²) = 2y.

Setzen wir diese Werte in 9) bezw. 9 a) ein, dann ist:

dy

Ft (x² y² — r²)

dx

F₂(x² + y²-r²)

2y

2) Es sei gegeben:

cos x — a cos y — 0.

Bilden wir die partiellen Differentiale:

Fi (cos x — a cos y) — — sin x F₂ (cos x — a cos y) = a sin y.

D°her: 55

dy_ Fj (cosx — a cosy)_ sinx

F₂ (cos x — a cos y) a sin y

3) Es sei gegeben:

und

x3~h y³ — 3axy — 0.

Bilden wir die partiellen Differentiale:

Fi (x³ + y³—3axy) = 3x² —3ay F₂ (x³-\-y³— 3axy) — 3y² — 3ax.

3x² — 3ax _

3y² — 3ax ___ ay — x2 y² — ax

dy

Somit: ^

3(x² —ay)

3(y² —ax)

4) Es sei gegeben:

ex —    4- xy = 0.

Die partiellen Differentiale:

Fi (ex —ey + xy) = ex + y.

Daher:

5) Es sei gegeben:

clx

F₂ (ex — ey + xy) = — ey + x. dy₌₌ex + y ey — x

ax—y — xy = 0.

Nochmals die partiellen Differentiale:

Fx (ax—y — xy) — ax—y. log a — y xy—1 F₂ (ax~y — xy) = — ax~y . log a — xy . log x.

Endlich:

dy

x . log a — y

d x x . log (a x)

94. Bildung der höheren Disferentialquotienten der impliziten Funktionen.

Bedienen wir uns, um die Ausdrücke übersichtlich zu erhalten, der schon oben verwendeten Ausdrücke für die Differentialquotienten. Also:

d³y_d²p_dq

r re.

dy=D. ^!i₌dp    _    _

dx p’ dx² dx    dx3 dx2 dx

dy F. (*■ y) __

dx    F₂(x,y) f'

Für den ersten Differentialquotienten erhielten wir die Formel:

Bedienen wir uns jetzt der Formel 16) ans dem Kap. 13, indem wir für z = f (x, y) setzen und durch d x dividieren. Dieselbe empfängt dadurch die Form:

df(x,y)_öf(x,y) , öf(x,y)dy

10)

dx

dx

d y dx

Oder kurz:

10a)

df

dx

_ df , df dy dx ¹ dy dx

11)

Setzen wir für f den Ausdruck p, dann wird:

dj> ₌ ^P I ÖJP . n dx dx ¹ d y P

d²y

dx²’

Das ist aber der zweite Differentialquotient.

95. Beispiele.

1) Es sei gegeben:

y² — 3 ax = 0.

Bilden wir zuerst die ersten Differentiale:

Fi (v² — 3ax) = — 3a F₂ (y² — 3ax) = 2y.

— 3a

Daher:

F, (y² — 3ax)_

3a

r₂ (y² —3ax)

2y

Es muß nun

^P_^P i dx dx * dy F

gefunden werden. Es ist:

dp

ö ßf)

dx

dx

dp

ö(S)

6a

3a

dy

dy

4 y²    2y²’

Also:

dp

d7’pz= Wir erhalten also:

9 a²

3a 3 a 2y² * 2y    4y³*

d²y dp 9 a²

dx²    dx    ^    4y³

2) Bilden wir auch den zweiten Difserentialquotienten für die Gleichung des Kreises.

x² -j- y² — r² — 0.

Im Abschnitt 92 erhielten wir bereits:

Fi (x² -j- y² — r²) = 2x F₂ (x² y² — r²) — 2y.

Also:

F₂ dx P

Wir haben also nur noch nötig ^ nach der geschilderten Methode zu ermitteln.

dp

dP

(Py __dp _    _

dx² dx ^    ()x

Es. ist:

K- )

dx

dp

d(-)

dy

dy

y²

Endlich dns Produkt:

X²

i)p    X

dy *p y²

d²y_dp _

dx² dx    y y³

Der Leser möge für die Beispiele, die im Abschnitt 92 gegeben sind, nunmehr auch den zweiten Differential-quotienten bilden.

Fünfzehntes Kapitel.

Wertauschnng der unabhängig veränderlichen Größen.

96. Erklärungen.

Zuweilen ist es für die Rechnung vorteilhaft, in einer Funktion y — f(x) oder f(x, y) — 0, die eine Veränderliche, z. B. x, durch eine andere Veränderliche t auszudrücken.

Besonders die technische und die wissenschaftliche Mechanik ist reich an Beispielen hierfür. Wir wollen untersuchen, wie in einem solchen Falle die Differentialquotienten zu bilden sind. — In der Funktion:

1)

sei:

2)

y = f(x) resp. f(x, y) = 0 y = 9?(t) u»d x = ip (t).

Es ist leicht einzusehen, daß, wenn x eine Funktion von t ist, auch y eine Funktion von t sein muß. Eliminiert man aus den Gleichungen 2) die Variable t, dann erhält man wiederum eine Gleichung zwischen y und x, nämlich:

y = f(x).

97. Bestimmung der Difserentialguotienten.

In den Gleichungen 2) soll sich t um den kleinen Wert A t vermehren, dann werden, wie bekannt, auch x um Ax und y um Ay wachsen. Also:

und:

)    y + Ay = 9³(t+ At)

)    x +Ax = y(t+At).

Entwickeln wir diese Ausdrücke nach dem Taylorschen Satze:

5)

y+Ay = »’(t+At)

= <p(t) + <p'(t) A t + <p"{t) x+Ax==v(t+ At)

= v(t) + v'(t) A t + v"(t) -f

A²t ,

2!

6)

Subtrahieren wir von 5) und 6) die Gleichungen 2), dann folgt:

7)

und:

Ay — «p'OO At +    -ff

A X = t/;'(t) A t + V'(t)    “

In derselben Weise erhalten wir aus Gleichung 1):

9)

Ay = f'(x)Ax+f"(x)^b-x 1

d²y

clx2>

Setzen wir nun in Gleichung 9), wie üblich: f'(x) = j und f"(x) =

dann geht sie über in:

cl²y A²x

Ay = ^Ax

In Gleichung 10) fügen wir, um auf die neue Veränderliche t zu kommen, jetzt die Werte aus Gleichung 8) ein, dann erhalten wir den ein wenig umständlichen Ausdruck:

10)

dx² 2!

11)

d²y

|V(t)At + v"(t)

|V(t)At+vf(t)%r

dy

A²t

2!

+ -}

' 2 . dx²

Multiplizieren wir 11) aus und ordnen entsprechend, so wird:

12)

Ay=AvAt)Ai

kwff+Sw»’}#

In den Gleichungen 7) und 12) müssen für jedes At, A²t K- die entsprechenden Koeffizienten gleich sein. Diese Bemerkung führt zu den neuen Gleichungen:

13)

und:

14)

X IM

d²y

dx²

[V(t)]² = <A(t).

dy

Lösen wir 13) nach auf, so haben wir den ersten Differentialquotienten:

dy _ AW

dx yj'( t)

98. Andere Formen der Differentialquotienten.

Gehen wir wiederum von den beiden Gleichungen 2) aus:

y = cp (t) und x = yj (t).

Bilden wir die Differentialquotienten:

dx

V(t)

und

S=V'(t).

Lösen wir 14) noch

d²y

auf und setzen den Wert von 15)

dx²

ein, dann ergiebt sich der zweite Differentialquotient:

d²y_y"(t) yj'{t) — cp' (t)

16)

dx²

Setzen wir sie in die Gleichungen 15) und 16) ein. Wir gelangen dann zu den neuen Formeln:

15a)

dy

dx

dy

ät

dx

und

dl

16a)

d²y

dx²

d²y dx dy d^x

dt² dt    dt dt²

Zdx\³

w

Verwenden wir endlich die Bezeichnungsweise:

dx5 = q"

und ziehen die Gleichungen 15 a) und 16 a) je für sich zusammen, dann können wir diesen Formeln noch die nachstehenden Formen geben:

p=—

P dx

_ d²y . dx— dy dx2 q==    dx⁵

15 b)

und

dy

d5"=P;

dy²

99. Beispiele.

1) Es sei eine Funktion gegeben:

y = x tang a.

Im Laufe der Rechnung ergießt sich, daß es vorteilhaft fei, eine neue Veränderliche einzuführen. Man setzt daher:

X — t cos a und y = t sin a.

dy

dx

Bilden wir nun nach 15 a) und 16 a) die Differential-quotienten :

n, = sin a; tt — cos a. dt    ' dt

Also:

dy

dx

dy

dt

sin a

dx

dt

COS a

tang a.

2) Es sollen für die Koordinaten x und y gesetzt werden:

1 — t 1 +t

2t

und y —

1 + t

Bilden wir die Differentialquotienten:

dx (1 —|— t'). 2 — 2t

2 + 2t —2 t

dt

(1 + t)²

(1 + t)²    (1+t)²

dy

— (i +1) — (i — t)

dt

dy

dy

dt

(i + t)²

(i+t)²

Daher:

dx

dx

— 1.

d?

3) Es sei:

y = a (1 — cos t); x = a(t — sin t).

Die Differentialquotienten:

dy

cU ⁼a.sint;

dx

= a (1 — cost).

Somit:

dy

dy_ at

dx dx

a. sin t

sin t

a (1 — cos t)

1 — cos t

der zweite Differentialquotient nach Formel 16b). Dazu bilden wir uns noch:

d²y    d²x

g-p = acost und y^- = asint. Daher:

d²y a² (cos t— 1) dt³

a(l —cos t)²

dx²    a³ (1 — cos t)³ d t³

10

und

Verändern wir die trigonometrischen Beziehungen: sin a = 2 . sin ~ cos ™

1 — COSa — 2 sin²^-,

2 sin y cos y

dann Wird:

dy

sin t

COSy

dx 1 — cos t

2 sin² 4

2“

sin

"2

. t

= cot 2

Bendt, Differential- u. Integralrechnung.

Dritter Teil.

Die Integralrechnung.

Sechzehntes Kapitel.

Die Integratformeln.

100. Erklärungen.

Die Integralrechnung ist das Umgekehrte der Differentialrechnung. Ist z. B. das Differential boit x³, tote wir wissen, gleich 3x² dx, so ist das Integral von 3x²dx wiederum x³. — Die beiden Operationen des Differentiierens und Jntegrierens heben sich somit gegenseitig auf. Um anzudeuten, daß zu einem Differential das Integral gesucht werden soll, stellt man vor den Differentialausdruck das Zeichen    welches

von Leibniz eingeführt worden ist und ein langgezogenes „S“ darstellen soll. Später werden wir in der That sehen, daß man ein Integral als eine Summe betrachten kann. — In mathematischen Zeichen stellt sich nun unser obiges Beispiel so dar:

d . (x³) = 3x²dx jSx² dx — x³.

Oder ganz allgemein:

Ist:

dann ergiebt:

Die Aufgabe der Integralrechnung besteht also bmttf zu einem Differential die ursprüngliche Funktion zu finden.

Das geschieht dadurch, daß man sich der in der Tafel der Differentialquotienten auf Seite 56 zusammengestellten Formeln bedient.

Ein Beispiel mag das noch erläutern.

ä. f (x) = f' (x) dx ff’ (x) d x = f (x).

Es soll das Differential von:

1)

_xm + ¹

y    m + l

ermittelt werden.

Das ergiebt:

2)

dy_(rn + l)xm

dx

xm

oder:

dy = xm . dx.

Diese Lösung giebt uns die Tafel der Differentialquotienten. Also ist umgekehrt:

xm+1e m+l *

Sei, um es noch zu erleichtern, m = 3, dann ergiebt sich:

^ ₌    4

@+l    4    4 * •

Wir können die vorstehende Aufgabe auch in eine leichte Regel kleiden. Das Integral aus einer Potenz ist gleich einer Potenz von der gleichen Basis und dem um Eins vermehrten Exponenten dividiert durch diesen neuen Exponenten. Wir wollen diesen neuen Fall noch näher untersuchen. Sei eine Funktion:

y=Sx²+4

3)

/xm dx —

/x³ dx =

4)

gegeben. Disferentiieren wir:

Das Differential der 4 ist Null, wie wir wissen, da das Differential einer jeden konstanten Zahl der Null gleich wird.

y=a’

Wir wollen nun durch Integration aus 5) den ursprünglichen Ausdruck zu erhalten suchen.

r    6x²

J6x dx = -g-

Also:

6)

3x².

Wie wir sehen, fehlt die Konstante 4. Man erhält also durch die Integration mit Hilfe der Formeln die Konstanten nicht unmittelbar. Man muß daher zu jeder Integration ein allgemeines konstantes Glied hinzufügen. Wir werden später sehen, wie man die bestimmte Konstante zu ermitteln vermag. Somit müssen wir jetzt für 6) schreiben:

/6x dx = 3x²-f-C.

6 a)

C bedeutet die Konstante.

3 a)

Auch die allgemeine Formel in 3) muß übergehen in: xm+¹

sxm dx

C.

m+l

Stellen wir uns nun zunächst zur Uebung die wichtigsten Jntegralformeln zusammen. Vergleiche Seite 56.

1)

101. Formeln für die Integration.

X-+¹

2)

3)

4)

sxm dx

jr-'H-a

/ex . d x = ex -j- C.

/ax.dx = nj--j-C.

fsinx dx = — cos x -|- C.

m+l

f C.

Jcos x dx = sin x -f- C.

6)

7)

dx

sifgx

cot x —j— C.

8)

dx

COS²X

tang x -f- C.

9)

sdx

Jr

Vl— X²

arc sin x -}- C.

10)

dx

1 —j— x²

arc tang x -f- C.

11)

sin x

cos² X

dx = sec x -j- C.

12)

dx

x Vx² — 1

arc sec x -|- C.

102. Einige allgemeine Jntegrationssätze.

Die Ausführung der Integration wird wesentlich erleichtert durch die Kenntnis einiger Sätze von allgemeiner Bedeutung, die wir vorausschicken wollen.

a) Wenn das Differential unter dem Integralzeichen mit einem konstanten Faktor behaftet ist, dann kann man ihn immer Vor das Integralzeichen stellen. Also:

7)

Ja i' (x) d x = a/f; (x) d x.

Oder ein praktischer Fall:

/dx² dx — 4/x² dx.

b) Soll eine Anzahl von Differentialen integriert werden, die durch -f- oder —Zeichen mit einander verbunden sind, dann bestimmt man einzeln die Integrale der Differentiale. Also:

(j F' (x) dx-j-f' (x) dx — cp (x) dx } — /f'(x) dx-f“/f'(x) dx —\cp (x) dx. Ein spezielles Beispiel:

8)

cosx-j- C.

4x²dx-j-sinx dx j — 4/"x²dx-|-jsinx dx 4 x³

103. Uebungen.

Wir wollen das bisher Vorgetragene zunächst an Beispielen einüben. Wir werden jedoch bei dieser Gelegenheit zur Erkenntnis einiger Sätze gelangen, denen eine allgemeine Bedeutung zukommt.

1)

/Gx⁴ dx

2) /i^x dx =/x¹/³ dx

6*4 + 1 i p. ._.6x* ,

x⁴/s

K = f- + c

3)    /5x³dx= s/x³d

Vs+l

= ³/₄x⁴/s + C = ³/₄^x⁴+C.

5 - — b 3 + 1

Vs

⁶+⁴+c.

4)

²/s/i^dx = 2/s/x ¹ 2 dx

= ²/s~

— 5 + 1

—+ c = -V₆x-⁴ + c = -6x4

fc.

Ist der Zähler eines Bruches das Differential des Nenners, dann ist sein Integral dem natürlichen Logarithmus des Nenners gleich.

6) Z. B.

dx

1 + x

Denn differentiieren wir 1-j-x, so erhalten wir dx; also ist hier der Zähler das Differential des Nenners. — In gleicher Weise:

7)

dx

8)

1. (x — a) —j— C.

}■>*

—sx³dx 7 /]/x dx 11    +

= /x³ dx—7/x¹/² dx;—11/x ⁵/sdx-f- ö/x ⁶ dx.

Integrieren wir einzeln:

fx³dx = J + C.

7/x%dx=7 • 11 /x-⁵/=dx=ll -5/x⁻⁶ dx = 5 •

xV₂+i

7.+1

7t

u/«Vx*H-c.

ll.X 2,'a

-7s+i

X-6+¹

6+1

-Vs

³³ I c

2.³/? ⁺

5.x⁻⁶

—5_

— 5

Ziehen wir die Ausdrücke zusammen, dann ergiebt das Integral:

dx

h+°-

= V4X⁴—i4/s y*³+

In C sind natürlich alle einzelnen Konstanten enthalten.

104 Erleichterung der Integration durch Substitution.

Nicht immer erscheinen die Differentiale in so übersichtlicher Form, wie bisher, daß man sofort das Integral finden kann. Man muß sich dann dadurch helfen, daß man durch eine geschickte Substitution das Differential fo umformt, daß es einer Integral-formel entspricht. — Auch hier wollen wir an Beispielen das Gesagte klar zu machen suchen.

105. Beispiele.

1)

s dx Ja+bx

Um eine bekannte Form hervortreten zu lassen, schreiben wir: u = a -j- dx.

Dann ist:

du = bdx und dx = -^*

Setzen wir die neuen Werte ein, dann geht unser Integral über in:

dx

_ J_ du 1 /du

a-|-bx J b    u    b J ii

¹‘U=b

9)

/{ 3 x⁵ —j—

/ { 3 x⁵ —cos x — ex | d x = /3x⁵ dx -(-/cosx dx — /ex dx

3 Jx⁵ dx ⁼ ~ß~ ⁼ V2 x6 “|~ C.

Jcosx dx — sinx-f- C.

/ex d x — ex -j- C.

— ex | dx — ³/₂ x⁶ -f- sin x — ex -f- C.

Daher:

cosx

5)

2) Der Leser erweise nach gleicher Methode, daß

f nx dx a -j-bx²

3)

= ^¹ (a + bx²) 4ft.

/eax dx = ?

Man setzt:

Differentiiert: Eingesetzt:

du

dx= —

/eax dx =ß

eu. du

4)

rl/e>'du = ^eu + C=|eax + C. Icos ax dx = ?

du

Man setzt: ax — u; x —

Also: /cos ax dx — ^-/cosu du =    • sin u -f- C

— sin ax-f- C.

/sin (a -j- bx) dx = ? u — a

Jsin (a -s- bx) dx — ^/sin u . du

r cos (a -f- bx).-f 0

dx — —

5)

Gesetzt: a-j-bx = u; x

b du du

b-

Daher:

cos u —

6)

sdx

Ji

a² + x²

In diesem Falle ist es praktisch für x den Wert au einzuführen. Also:

x — an; u —

Eingesetzt:

dx

adu

a²+x²

a² + a²u²

adu

J a² (1    u²)

du

ajl + u²*

Nach Formel 10) unserer Jntegralformeln Seite 149 ist aber:

/+

1 f du ajl+u²

Setzen wir jetzt die alten Werte wieder ein:

1 +u²

— arc tang u -(- C.

Daher:

• arc tang u -f~ C.

dx

a² + x²

arc tang

C.

7)

dx

x² — a²

Bedenken wir, daß man schreiben kann:

2a

X'—a x -|-a

dx

2a

2 a (x² — a²)

Setzen wir die Werte ein:

x² — a²

Daher:

2a\x — a x+a) ^X*

x² — a²

f dx _ 1 fl 1

Jx²-a² 2aJ\x — a

■ ! — j dx.

x-fa)

Nun ist, wie wir uns erinnern:

f dx

Jx — a

1 (x — a)

dx

Das eingefügt, ergiebt: f dx

— a²

und gedenken wir der logarithmischen Regeln:

¹

—1. dx — /+ = lx + C.

²

Die Aufgabe 5) führt auf einen solchen Fall. Zunächst sieht man, daß die Jntegralformel 1) in 2) übergeht, wenn der Exponent m = —1 wird. Sodann entsteht die Regel:

³

1 (3, —|— bx) —j— C.

=s'(F3+c-

8)

U

JVa?

adx

-X⁹

Setzen wir wiederum: x — au;

u = -;

dx = adu.

Somit:

adx

a²du

a²du

du

/,

fl —u²

Nach der Formel 9) der Jntegraltafel Seite 149 ist:

Va² — x²

ia²-a²u²

a]l — u²

s du

7 YT=

u²

arc sin u -f- C.

Also:

adx

fa² —x²

= a. arc sin

()+e.

9)

a² -tz- x²

Wir setzen:

du

a²_|_x² = U; 2xdx = du; xdx = ^ In 9) eingefügt, ergiebt:

xdx

__ i ß?

a'² + x² V u

= £lu + C =4l(a² + x*) + C.

xdx

10)

]/a² — x2 Setzen wir in diesem Falle:

Daher: udu.

Va² — x² = u; a²—x² — u².

2udu =— 2xdx; xdx — — —---— — Fügen wir ein:

xdx

udu

Va² - x²

/du

— Va² — x² -j- C.

Möge in der gleichen Weise der Leser zur Uebung beweisen, daß:

axdx

11)

Jia²

12)

— x2 xdx

und:

l-a² + x²

_l/a2 + x2 + C

sei-

13)

dx

--lx = ?

dx

Man setzt lx = u, dann ist — = du.

Gerade aus diesem Beispiel kann man gut ersehen, wie reifliche Ueberlegung zu einer geschickten Substitution führt!

Eingefügt:

= i(lx)² + C.

14) Der Leser beweise noch, daß:

ist-

dx

xlx

106. Die Integrale einiger trigonometrischen Funktionen.

Von den nachfolgenden zusammengesetzten trigonometrischen Ausdrücken wollen wir die Integrale bestimmen.

1) /sin x. cos xdx = ?

Setzen wir:

sin x = u, dann ist auch cos xdx = du. Eingesetzt:

s    s

/sin x cos xdx = Judu =    -f- C

— I sin²x -j- C.

2) /tang xdx = ? Wir setzen zunächst:

/tang xdx = f—— dx.

J °    J cos X

A“—.-+0

'sin xdx

Nun ist, wenn wir cosx — u setzen, du = — sin xdx. Daher:

cos x

— — 1 cosx-J- C.

3) /cot xdx = ? Wir schreiben:

/cot xdx =ß

cos x d x

sin x

Setzen wir hier sinx = u, dann wird cosxdx = du.

Also:

cos xdx

du

sin x

=Jt=,u+c

= lsinx+C.

4)

dx

sin x . cos x

Bekanntlich lehrt die Trigonometrie, daß:

sin²x-j- cos²x — l

ist. Wir dürfen daher unseren Ausdruck auch so schreiben:

Xsin² x -j- cos² x) d x sin x . cos x

f dx J sin x . cos x

Trennen wir den Ausdruck, so wird:

dx

sin x . cos x

/,

sin²x

sin x . cos x

dx

+/*

cos²x

sin x . cos x

dx

fi^dx + ß.

J cos x ¹ J sin x

—    /tang xdx -j-/cot xdx

—    — 1 (cos x)    1 (sin x)

—    1 (tang x)4™C.

/sinx\

\COS X /

COS X

dx

5)

dx

sin x

Um den vorstehenden Ausdruck bequem integrieren zu können, setzt man am besten:

x — 2u; daher dx= 2du.

Es ergiebt sich dann:

sin x = sin 2 u.

sin 2 a = 2 sin a cos a, sin x = sin 2 u = 2 sin u . cos u.

Und unter Verwendung der bekannten trigonometrischen Formel:

Setzen wir ein:

J sin x Ji

2du

2 sin u . cos u

sm u . cos u

l(tang)u-j-C.

Also:

dx

sin x

oder auch:

¹{tang(f)}+0, {C0t(|)[ + c

dx Je:

Wir können mit Hilfe der trigonometrischen Beziehung:

6)

COS X

cos a

= sin(f-a),

dieses Integral auf das vorige zurückführen. Also:

säx ₌ r_dx

J cos x    J sin (| -

Setzen wir nun:

71

und du — — dx

dann wird:

dx __

du

cos x

sin u

tang(|) +C

tang(j —f)]+C

= 1 cot

107. Die Integration rationaler gebrochener Funktionen.

Die gebrochenen rationalen Funktionen zerfallen in echt und unecht gebrochene Funktionen. In den ersteren ist der Grad des Zählerausdruckes niedriger als der Grad des Nenners. Die unecht gebrochenen rationalen Funktionen zeigen das umgekehrte Verhältnis. Es ist z. B.:

eine echt gebrochene rationale Funktion,

3x + 4 x² + 4x —~2

x³+8x²4- I2x — 6 eine unecht gebrochene rationale Funktion.

Die Algebra lehrt, daß sich eine jede unecht gebrochene rationale Funktion stets in eine echt gebrochene rationale Funktion, vermehrt um eine ganze Funktion, verwandeln läßt.

Es ist, um das auszuführen, nur nötig, mit dem Nenner in den Zähler zu dividieren. Wir wollen das an unserem Beispiele zeigen:

x³ —(— 8x² —12 x— 6 : x² + x—2 — X -s- 7 x³ + x²— 2x

7x²+ 14x— 6 7x²-j- 7x— 14

7x+ 8

Wir haben also:

x³ + 8x²-f 12x — 6

7x + 8

x² + x — 2

= x+7-i

x²-|- x —2

Es ist also nur notwendig noch Methoden zu suchen, mit deren Hilfe es möglich wird echt gebrochene rationale Funktionen zu integrieren.

Wir wollen die Integration einer gebrochenen rationalen Funktion zunächst an einem ganz einfachen Beispiel vorführen. Es soll bestimmt werden:

s(x⁴—6x³-f-13x² — 10x + 3)dx ₀

J x — 2

Trennen wir durch Division die ganze Funktion von der echt gebrochenen:

x⁴ — 6x³ -J- 13x² — lOx-j-3 : x— 2 = x³— 4x² -)- 5x-{- -

—    4x³+13x²

—    4x³+ 8x²

5x² — 10 x f>x² — 10x

+ 3.

Das gegebene Integral zerfällt somit in eine Reihe von Integralen:

— 6x³+13x² —10x + 3)dx

/x³dx —/4x²dx -j-s5 xdx -f'

Mit Hilfe der vorgetragenen Methoden ergiebt sich:

/x³dx— 4/x²dx-(- 5/xdx -j- 3    2

= i x⁴ — f X³ —f- f x²-f- 3 . l(x — 2) —f- C.

Die Integration des Bruches ergab sich hier unmittelbar aus der schon früher ermittelten Form. Der Bruch ist aber in den meisten Fällen nicht so einfach und muß dann in Partialbrüche zerlegt werden. Diese Operationen verlangen oft umfangreiche algebraische Untersuchungen. Die Integration rationaler gebrochener Funktionen nimmt daher in größeren mathematischen Werken einen recht bedeutenden Raum ein. Wir können uns hier nur mit den einfachsten Fällen beschäftigen.

108. Untersuchung einer echt gebrochenen rationalen Funktion, in der der Nenner ein Ausdruck zweiten Grades ist.

in der Form, z. B.: der Ausdruck in der Form:

> entgegen. Allgemeinerscheint

Schon im vorigen Abschnitt traten uns solche Ausdrücke 7x + 8 x²-f-x—2

x² 2ax -f- b

11

Bendt. Differential- und Integralrechnung.

Der Ausdruck 1) soll in Partialbrüche zerlegt werden. Zu dem Zwecke bestimmen wir die Wurzeln der Gleichung: x²-(-2ax-^b. Sie seien:    — a; x₂ = ß. Wir können

demnach nach den Regeln der Algebra schreiben:

2)

x² -st- 2 ax —J— b — (x — a) (x — ß).

Sind die Wurzeln unserer Gleichung reell, dann ist:

3)

mx n

A , B

x²-|-2ax-f-b x — a x — ß

Die beiden Brüche rechts sind die Partialbrüche, die wir zu bestimmen haben. Das geschieht bekanntlich leicht durch Multiplikation. Multiplizieren wir Gleichung 3) zuerst mit x — a:

(x - a) (x — ß)

5)

Fassen wir 4) zusammen:

mx + n _ \ x-ß

B (x — a)

x-ß

Setzen wir nun, zur Ermittelung von A, x = a, dann ergießt sich:

6)

ma 4~ n

a-ß

Zur Feststellung von B verfahren wir in der gleichen Weise. Also:

mx -s- n

7)

Wird nun x — ß, dann ergießt sich:

8)

D_ .raß + n

ober:

mß -f- n

Die beiden Brüche rechts setzen jetzt der Integration keine Schwierigkeiten mehr entgegen.

Wir wollen das ausführen:

10)

Werden die Ausdrücke für A und B in die Gleichung 3) eingesetzt, so ist endlich:

9)

mx-f-n

ma + n

m/? + n

*-ß

x² + 2ax + b

^(mx + n)dx x² + 2 ax + b

s dx

a — ß Jx-a ma + n

ma + n

l(x —a)

i sdx

a — ß'Jx—ß

mß + n

mß + n

109. Beispiele.

7x + 8 x-2_f_8 —2

Wir wollen nun diese allgemeinen Betrachtungen an speziellen Beispielen noch klarer zu machen suchen. Das

soll bestimmt werden.

Integral von

/(7x + 8)dx_₀

Jx² + x- 2

Nach der allgemeinen Anleitung müssen zuerst die Wurzeln der Gleichung:

x² + x —2 = 0

ermittelt werden. Wir finden:

Xl = a = 1 und x₂ = ß — — 2. Das ergiebt weiter:

7x+8

(x — 1) (x + 2)

Und:

7x+8

A4

B(x-l)

x-fi 2

Setzen wir jetzt x= 1, dann ergießt sich A. 7 + 8

15    -

3=⁵-

Führen wir die gleiche Rechnung für B durch:

7x + 8 _ A(x+2) ,

X — 1    *

Da x — — 2, wird, so folgt:

2.

— 14 + 8

Setzen wir ein:

(7x + 8)dx

m+h

2 dx

-•/Ä+-/Ä

= 5.1(x—l) + 2.1(x+2) + C. Mag der Leser erweisen, daß:

(2x + 6) dx

2x² + 3x+l

5 1 (x 4“ V2) — 41. (x -f-1) ist.

Siebzehntes Kapitel.

Die teilweise Integration. Aormeln.

110. Erklärung.

Die partielle oder teilweise Integration ermöglicht es, in vielen Fällen eine schwierige Integration auf eine einfache zurückzuführen. Man kann deshalb mit ihrer Hilfe nicht nur komplizierte Aufgaben verhältnismäßig leicht lösen, sondern durch sie auch Formeln erhalten, die zusammengesetzte Formen vereinfachen.

1)

Es seien:

111. Entwickelung.

u = f (x); v = (p (x)

zwei beliebige Funktionen von x. Wir wissen dann aus der Differentialrechnung, daß die Beziehung gilt:

d (u. v) = udv-f- vdu.

2)

Integrieren wir, dann ist:

3)

uv

— /udv-f- /v du.

Daher auch:

/udv = UY— /y du.

Wie wir aus dieser Umformung ersehen, stellt sich uns die partielle Integration als ein sehr geschickter Kunstgriff dar. Die folgenden Beispiele mögen das klar machen.

4)

112. Beispiele.

1) /xex dx = ? Setzen wir:

x = u und ex dx = dv, so wird nach Formel 4) in 111:

/x. ex dx = x . ex — /ex . dx = x. ex —* ex = ex (x—1) + C.

2)

Essei: Also ist:

/lx. dx = ?

u —Ix und dx = dv.

/lx dx— (lx)

(lx) — /dx = X1 (x) — X = X (1 [x] — 1).

3)

Setzen wir:

Also:

/x²lxdx = ?

U — 1 (x);

/ix. x²dx = lx •

d v = x² dx.

/x³ dx

J3

= lx -J — y₃/x²dx

x³

—--Ix —V -— ₃ -ix— /g₃

= J (lx — Vs)-

4) /x.emx dx = ?

dx — dv.

Wir schreiben: u —x; e

Also:

/=

x.e

1 femx

dx = x • —emx — /-dx

m    J in

—/emxdx-m ^

Da

/emx dx = — • e J    m

ist, so wird:

dx = x •

emx

m²

öx-4

m \ in/

5) /x . cosx dx = ?

Werde gesetzt:

u — x und cos . x dx = dv.

Es ist nun:

/x. cosx dx = x. sin x — /sin X dx. /sin xdx — — cos x.

Somit:

/x . cos x dx = x . sinx-f- cos x.

113. Erweiterte Beispiele.

Nicht selten kommt es vor, daß man die Methode der teilweisen Integration mehrmals wiederholen muß, bis die Integrale auf so einfache Formen gebracht sind, daß man das Schlußintegral unmittelbar hinschreiben kann. In einem solchen Falle wird natürlich das Resultat durch eine Anzahl von Ausdrücken dargestellt werden. Auch das mag durch Beispiele seine Erläuterung finden.

1)

/x³. ex dx — ?

Setzen wir: Es ist dann:

u = x³ und ex d x = dv.

/x³. ex dx = x³. ex —/ex. 3x² dx — x³. ex — 3/x². ex. dx.

Wir behandeln nun das vereinfachte Integral:

— 3/x². ex dx — — 3x². ex 2.3/x. ex dx. Und wiederum.

Endlich:

2.3/x. ex dx = -j- 2.3 . x. ex — 2.3 /ex dx. — 2.3/exdx = —2 < 3 . ex.

Durch Addition ergießt sich nun:

/x³.6Xdx — x³.6X — 3 x². ex -s- 2.3 x. 6X — 2.3 6X. = exJx³ — 3x²+2.3x— 2.3(*

2)    /x² cosx dx = ?

Daher:

Wir schreiben: x² — u; cosx dx = dv.

/x² cos x dx = x². sin x — 2/x . sin x . dx — 2/x. sin x = 2x cos x — 2/cos x dx — 2 Jcos x dx — — 2 sin x.

Addiert:

/x² cos x dx = x² sin x-j- 2x. cosx — 2 . sin x — sin x (x²~f- 2x — 2).

3) /eos²xdx = ?

Wir wollen in diesem Falle unser Integral schreiben: /cos² x dx = /cos x . cos X. dx.

Also:

Es wird: cosx = u und cosx dx = dv.

/cos x . cos x . dx — cos x . sin x -j-/sin x . sin x dx — cosx. sin x /sin²x. dx.

Man kann nun setzen:

sin²x = 1 — cos²x.

Dann wird:

/cos² xdx — cos x. sin x -j-/(I — cos² x) dx

= cos x. sin x-j-/dx —/cos² dx.

Bringen wir nun den negativen Ausdruck auf die linke Seite, so haben wir:

2/cos²x dx = cosx . sin x-f-/dx

und

/cos²xdx = 4 cosx. sinx-j⁻ 5/dx

= y cos x. sin x -f- ~    \ (cos x . sin x x).

4)    In der gleichen Weise möge der Leser zeigen, daß: /sin² xdx =— 4 (sinx.cosx — x) ist.

5)    /sin²xdx-f/cos²x dx —?

Der Wert des Integrals läßt sich sofort durch Addition der Beispiele 3) und 4) feststellen. Aber auch durch eine sehr leichte Betrachtung. Denn:

/sin²xdx-f-/cos²xdx= /(sin²x-f- cos²x) dx —/dx — x.

6) /arc sinx dx = ?

Wir setzen: u — arc sin x und dv — dx.

y i—x²

/arc sin x dx = x . arc sin x — /x •    ^X

dx

Denn nach Formel 14 der Tafel der Differentialquotienten auf Seite 56 ist:

Vl—x²

d (arc sin x)

x dx

Das Integral --fanden in Abschnitt 105 Aufgabe 10:

haben wir bereits ermittelt. Wir

fa²—x² + C.

x. dx

J\a?—x²

yr^+c.

Setzen wir hier a = 1, dann wird: s xdx jYi—x²

Somit alles eingefügt giebt:

/arc sin x dx= x. arc sin x -j- /l — x².

7)    In gleicher Weise läßt sich erweisen:

x . arc cos x

— Vl— x² + C.

/arc cos x d x =

8)    /arctaugxdx = arctangx —11(1 -s-x²)+C.

114. Reduttionsformeln.

Mit Hilfe der Methode der teilweisen Integration wollen wir nun noch eine Anzahl von Formeln entwickeln, die für die späteren Rechnungen von Vorteil sein werden.

Unsere sämtlichen Jntegralentwickelungen, die wir bisher ausführten, sind nicht nur willkürliche Aufgaben zur Uebung, sondern sie geben uns zugleich einen Formelschatz, der zu jeder etwas komplizierten Aufgabe herangezogen werden muß. Wir wollen ihn am Schluß dieses Kapitels übersichtlich in Tabellensorm zusammenstellen.

115. Erste Reduktionsformel.

I)

1)

Es soll bewiesen werden:

P+¹, dx

Ableitung. Wir setzen für:

/x¹¹+¹ . dx

J l/ä^^x⁵

xn

n+l

• /a²—x²

na² jxn 1 . dx

n+UTa^x⁵

/x¹¹-

x. dx

lZ a² — x²

Sei nun in diesem Ausdruck

x dx l/ a²—x²

u = xn; dv dann ist:

und v — — Va²—x²,

2) /xn -

xdx

Za²—x²

x¹¹. ]/a² — x²-[-/nx11 1 • Va² — x² dx.

Den letzten Ausdruck müssen wir noch umformen. Wir wollen zu dem Zwecke den Wert unter dem Integralzeichen und zwar Zähler und Nenner mit Va²— x² multiplizieren. Dann ergiebt sich:

3) — nx¹¹“¹. Va² — x²dx

na²xn 1 . dx , nxn_^¹dx

Za² — x²

Za² —x²

Fügen wir den neuen Wert wieder in 2) ein:

sxn+1dx

Z a²—x²

J \

__r

xn . Va² — x² -f- na² j-

x¹¹"¹ dx

Z a²—x²

sxn+1dx

J Za²—x²

und bringen das negative Integral auf die linke Seite. Also:

5)

fxa+ldx .    /■

J l/ä²—x² ' nj I

x^+Ux l/a²—x²

— — xn )ia² — x²-|-n a²j:

k““¹ dx

l/ a²—x²

Daher:

6)

in+1 dx

l/ a²—x²

xny^ZI^_(_na2

Dividieren wir endlich durch n-j- 1, so erhalten wir unsere Formel:

ku+¹ dx

I)

x¹¹

k'-'dj

n+Ul/F^k⁵

n+1

Dieser allgemeine Ausdruck führt zu speziellen Formen. Setzen wir z. B. in ihn n = l, dann wird:

l/ a²—x²

/.

x²dx

Va²—x²

u'-%'+U

dx

|a² — x²

Nun ist nach Formel 9) der Jntegraltafel und Aufgabe 8 in Abschnitt 105:

arcsin(*) + C.

2jya²—x² 2    \a/

Setzen wir wiederum zurück, dann erhalten wir Formel:

ia) ii

x²dx

ya2_x2

~ ] a² — x² “ arc sin j -f- C.

116. Die zweite Reduktionsformel.

In der gleichen Weise wie in Abschnitt 115 läßt sich die II. Reduktionsformel herleiten. Es ist:

xn+Mx

II)

/i

xn

ia²+x² n + 1

Va² -h- x²

na² jxn *dx n -4- lj Va²4-x²

Setzen wir auch hier n=l und verwenden die Beziehung:

^=i(,+r.'+.')+c,

dann erhalten wir Formel: 11 a) /y=^§i = § Va² + x² -• 1 (x +Ta² + x²) + C.

117. Die dritte Reduktionsformel. Es soll bewiesen werden:

III)

xn

Jxn 1 • dxVa²

• ja²—^x² -]--—ß

n + UVa²—x²

— x²

x11 1dx

Lösung. Wir wollen das Differential unter dem Integralzeichen auf der linken Seite der Gleichung mit dem Ausdruck ja² — x² multiplizieren und dividieren, dann wird es:

1)    xn—1dx)za² — x²

a²xn *dx x^dx

Va² — x²

Va² — x²

Wir können dann das Integral in zwei Teile zerlegen:

xn—1 d x    /xn+1 d x

J)

2) jxn ¹ d x }a² — x² = a² |j

Va² —x²

Va²—x²

Cy» ß

8nt ii

xn+1dx

setzen wir den Wert ein, den uns die Reduktionsformel I) liefert. Wir erhalten dann:

Va²-x²

— x²

/x“ *dxVa²

xn

na² sx¹¹ 'dx n + 1 JySTZp

a-/F,dl

JU-

]/a 2_x² —

Das ist aber, wie man sofort sieht, gleich Formel III):

n + Uia²—x²

Jx¹¹ 1dx}/a²

— x²

x¹¹

n + 1

Setzen wir auH in III) n = 1, dann ergiebt sich die vereinfachte Formel:

x“_1dx

ja²— x²--)- |

_ na? /x“/dx

Va²— x²    n 4- U ya² — x²

_]/a2~"x2 I /a2_ ßf-'ix

a²n + a² — na²^ [Mix Ufa²—x²

lila)

118. Die vierte Reduktionssormel.

Durch ähnliche Rechnungen wie in 117 läßt sich die vierte Reduktionsformel erweisen:

iv) jxn-idxya²4-x²

xn

xn-1|dx

n + 1

Setzen wir hier n — 1, so ergiebt sich:

• |'a²-j-x²—— f-_

¹ n+UVa²+x²

IVa) jdx . Va²-j- x² = ^- ja² -|- x² -f~ ~ • 1 (x —Va² —J— x²) —f-C.

119. Wert der abgeleiteten Formeln.

Die in den vorstehenden Abschnitten der Integralrechnung entwickelten Formeln sind nun hinreichend, um die wichtigsten Aufgaben der Integralrechnung lösen zu können. Wir werden daher im Weiteren immer wieder auf diese Formeln zurückweisen und der Leser wird sie stets bei der Lektüre von Schriften, in denen die Integralrechnung Verwendung findet, wiederfinden. — Zur größeren Bequemlichkeit stellen wir sie in einer „Integral-Tafel" zusammen.

Integral-Tafel.

1) /xnl dx

xm+¹

m-j-1

2)

3)

4)

5)

6)

7)

/exdx = ex + C

/.-dS=^+c

/sin x dx = — cosx —J— C /cos x dx = sin x-f- C — cot x —f- C

dx _

sin'x

8)

dx

COS² X

tang x    C

9)

s dx

fr⁻

\\ — x²

10)

dx

1—|—X²

= arc tang x -)- C

io

sin x

cos² X

dx = sec x-j“ C

12)

dx

x y x²—i

arc sec x C

13)

14)

15)

16)

jaf'(x) dx — a/f'(x) dx-j- 0 /jp'(x) +f'(x) — 9?'(x)} dx

= /f'(x) dx-J-/f'(x)dx—J<p'(x) dx -f- C l(l+x) + C

1 (x — a) C

dx

1+x

dx

17)

dx

18)

a + bx nx dx

a + bx²

19)

s dx

J - ‘

a² + x²

20)

dx

x² — a²

^ 1 (a -j- b x) -j- C ^l(a-j-bx²)-f-C ^ arc tang ( j + C -^J.l(x — a) — l(x + a)|

2a

■e-5)

21)

adx

—x²

a. arc sin

(3+°

22)

s dx

Jr

23)

Va² + x2 xdx

l(x+ya²+x²) + C

24)

a²+x²

xdx

i-l(a² + x²) + C

Va²—x² -j- C

25)

26)

27)

28)

29)

Va² —x2 axdx

xdx

/sin x cos xdx — ^ sin² x -\- C /tang xdx — — 1 cos x-j- C /cot x. dx = 1. sin x -f- C

/,

/a²—x²-f- C.

30)

dx

sin x cos x

1 . tang x-j- 0

31)

sdx

sinx

1 cot

(3+c

— 1. tang

32)

sdx J COS X

Itang(j —|) + C

lcot

(i-D+°

33)

(mx n) dx

34)

35)

36)

x -j- 2ax+b

ma + n As \

/ udv = uv — /vdu

/x . ex dx = ex (x — 1) -f- C

/l . x dx = x(lx — 1) —f- C

ma-fn s dx mß-\-n s a — ßjx — a a—ßjx—ß

mß-\-n

37)

/x²lx. dx = Y (lx — i)4~C

38)

dx =

— (x ——) + C

m \ in/

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47) (I)

x. e

/x. cos x dx — x. sin x-j- cos x C

/x² cos XdX — sinX (x² -j- 2 X. cotX— 2)-f-C

/cos²x. dx = \ (sinxcosx-f-x) -J- C

/sin² xdx — — \ (sin x cos x — x) -f- C

/sin²xdx-f-/cos²x dx — x-j- 0

/arc sin x dx — x. arc sin x -f- /l —x²-j- 0

/arc cos xdx — x . arc cosx — /l —x²-j- C

/arc tang xdx — arc tang x — \ 1 (1 -f- x²) -f- C

na² p-Mx n+Vj/a² — x²

sxn+1dx

xn

/a² —x²-f

49) (II)

xn+1dx

Xn

50) (IIa)

Fa²+x2 x² dx

n+1

/a² + x²

na² /xn 1dx

n-Hjyä^ + x"²

V a² + x²

to| X

ja² +x² —y 1 . (x + |'a² — x²) + C

51) (III) /xn 1 dx /a²—x²

a² sx11 1 dx

n+yya² — x²

Va²— x²

xn

n + 1

52) (lila) /dx. ya²—x²

~ l'a² — x² •+ ^ • arc sin

53) (IV) /x“ ¹ dx | a² + x²

n + 1

54) (IVa) /dx./a²+x²

SrVa² + x²

a²

n + uya² + x²

=    /a² + x² + y.l(x + /^+x²).

12

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Achtzehntes Kapitel.

Die Bestimmten Integrale.

120. Definitionen.

Man pflegt die Integrale, mit welchen wir uns bisher beschäftigt haben, unbestimmte Integrale zu nennen. So ,

istz.B.:

y=/f,(X)dx+C

ein unbestimmtes Integral und die Konstante C ganz beliebig. — Soll nun die Konstante C bestimmt werden, so setzt man den Wert von x in die Funktion ein, für welchen das Integral Null wird. Diesen Wert nennt man die untere Grenze des Integrals. Wird z. B. unser Integral für den Wert x = a zur Null, dann schreibt man:

1)

2)

oder:

3)

4)

/f(x)'dx = f(x) + C 0=f(a) + C.

Daraus folgt, daß die Konstante:

C = — f (a) ist.

Setzen wir diesen Wert in 2) ein, so ergiebt sich: /f'(x) dx — f(x) — f(a).

Nehmen wir hierfür ein Beispiel. Es sei das Integral gegeben:

fx³ dx — ?

Es ist an sich:

/x³dx = | + C.

Ist nun x — 3, wenn der Jntegralwert zur Null werden soll, dann setzen wir an:

t+c=¥ + c-

Nunmehr ist:

c = -⁸¹

Eingesetzt:

^=0; für x=3.

So ist man also stets im stände den Wert der Konstanten zu bestimmen.

Zuweilen wünscht man auch den Wert des Integrals für irgend einen gegebenen bestimmten Wert von x zu kennen. Man pflegt einen solchen Wert die obere Grenze des Integrals zu nennen.

In diesem Falle schreibt man:

b

5)

/f'(x) dx — f(b) -j- C.

In den meisten Fällen sind aber die beiden Grenzen, die untere und die obere, vereinigt, dann nennt man das Integral ein bestimmtes.

So ist:

b

/f'(x) dx

6)

= f (b) — f (a)

ein bestimmtes Integral.

Wir merken uns die folgenden Bezeichnungen:

a)    Hat in einem unbestimmten Integral die Konstante einen beliebigen Wert, dann heißt das Integral ein allgemeines.

b)    Hat die Konstante in einem unbestimmten Integral einen bestimmten Wert, so nennt man es ein partikuläres Integral.

c) Ist der Wert des unbestimmten Integrals für zwei gegebene Werte zu ermitteln, dann heißt es ein bestimmtes Integral.

Wir wollen nun mit Rücksicht auf Gleichung 6) bestimmte Integrale berechnen. Die Gleichung 6) giebt uns selbst hierzu die Regel an die Hand:

Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, ermittelt man zunächst das allgemeine Integral. Setzt sodann die obere Grenze ein, dann die untere und subtrahiert den letzten Wert vom ersten.

Mögen das einige Beispiele zeigen:

4 .

1) /x²d 2

' Es ist

X³

fx² dx == — -j- C

das unbestimmte Integral. Bilden wir nun den Wert für die Grenzen:

4

/x² dx —

2

o:| cd ccl to

56

2)

dx

Also:

Bekanntlich ist 11 = 0.

Daher:

dx

— = 12.

3)

I cos x dx = ?

0

/cos x dx = sin x-(- C

71

~2

/cosx dx = sin ^ — sin 0

0

sin i⁼ i

sin 0 = 0.

Daher:

/cos x dx = 1. 0

121. Allgemeine Sätze über bestimmte Integrale.

a)    In bestimmten Integralen kann immer die obere und die untere Grenze mit einander vertauscht werden.

b)    Werden die Grenzen in einem bestimmten Integral mit einander vertauscht, dann müssen auch die Vorzeichen verändert werden.

Die Sätze a) und b) lassen sich, wie man unmittelbar erkennt, durch die Formel ausdrücken:

7)

/f'(x) dx — — /f'(x) dx.

Und hieraus folgt:

8)

/f'(x) dx-}⁻/f'(x) dx

a    b

= 0.

4

/x² dx.

2

Mag das wiederum ein Beispiel erläutern. Es sei gegeben:

t „ , 4S 2³    64    8    56

JX~ dx_ _________

2³

2

Jx² d

Also:

4    2

/x² dx-f-/x² d 2    4

56

^=0 3 U-

Ein jedes bestimmte Integral kann in mehrere bestimmte Integrale zerlegt werden, indem man zwischen die Grenzen a und b neue Grenzen einführt. In Formel:

■9)

beb

/f'(x) dx — /f'(x)dx -j-/f'(x) dx.

Für einen bestimmten Fall:

3    2    3

/x² dx = /x² dx -f- fx² dx. 112

Führen wir die Rechnung aus:

Direkt:

/x²dx = f

/x² dx -j-/x² dx = —

1 2 d

/x²dx = -|-

l³

00 Ico

27__8 _ 19 3    3    3

«IS

26

1^_27

y

d) Es leuchtet ein, daß jedes so gewonnene bestimmte Integral wiederum zerlegt werden

26

kann; und so fort in beliebiger Wiederholung. In Formel:

io)

Neunzehntes Kapitel.

Die Huadratur der Kurven.

122. Erklärungen.

Es sei eine krumme Linie (siehe Fig. 20) PQ, durch die Funktion:

1)

y = f(x).

gegeben. Wir wollen die Fläche bestimmen, die von dem Kurvenstück PQ, den beiden Ordinaten PM und QN und

py

JC_

Jjc

Fig. 20.

der Abscissenachse begrenzt wird. — Die Koordinaten des Punktes Q seien x und y bezogen auf den Anfangspunkt A. — Wie man sofort einsieht, wächst das Flächenstück, wenn

die Abscissenachse zunimmt. Es ist also die Fläche (F) eine Funktion der Abseisse. Ganz allgemein:

2)

F = cp (x).

Wächst x um Ax in Gleichung 1), so nimmt auch y um Ay und die Fläche F um das Flächenelement AF zu. Betrachten wir nun unsere Figur (Fig. 20). In derselben ist:

nn' = Ax n, Q, = y+Ay

und:

NN, Q,Q= AF.

AF (N N, Q, Q) ist größer als das Rechteck QN,„ N, N, das wir gleich y. Ax setzen können, und kleiner als das Rechteck Ax (y + A y)- Also:

3)

Ax (y + Ay)> AF>y. Ax.

Lösen wir die Ungleichung 3)-in die Elemente auf, so ergiebt sich:

und:

Ax(y +Ay)> AF y Ax< AF

und hieraus:

4)

ÄF

Ax

<y+Ay

sowie:

AF

Ax

X/

5)

y-

Werden nun die Differenzen Ax, Ay, AF unendlich klein, gehen sie also in die Differentiale über, dann gehen die Ungleichungen in eine Gleichung über. Es ist, wie leicht zu erkennen, dy = 0, wenn es allein steht. dF(x)

dx

Und hieraus:

6)

d ’jF(x) — y dx.

Diesen Ausdruck nennt man das Differential der Fläche.

Integrieren wir die Gleichung 6), so erhalten wir die Fläche selbst:

F=/y dx.

7)

Die Quadratur einer Kurve wird durch das vorstehende Integral erhalten.

Wir wollen nun die Quadratur bekannter Kurven durch

führen.

123. Quadratur der Parabel.

Wir kennen aus der analytischen Geometrie die Formel für die Parabel. Sie lautet:

8)

y = l/2px.

Setzen wir den Wert in die Gleichung 7) ein, dann haben wir den Wert ihrer Quadratur.

9)1

F = / V2px.dx.

Wir wollen das Integral bestimmen und setzen daher zunächst die Konstante vor das Integralzeichen:

F = V2p /x1//$3 dx.

Wie bekannt ist:

sx¹'² d x

F = | • V2p • x³/² -[“ G?

X³/² — X . x1/a = X • Vx . x • y 2px.

Mit Verwendung von 8) folgt dann

F = fxy+C.

Zur Bestimmung der Konstanten wollen wir noch Folgendes überlegen. Beginnt die Parabel in ihrem Scheitelpunkte, dann ist für x —0 auch die Fläche der Parabel, also

Also:

Somit:

10)

x^t¹

fxs/² + C.

F— 0. Somit auch 0 — 0. Die Gleichung 10) geht dann über in:

11)

F = fxy.

124. Quadratur der Ellipse. Wie bekannt ist die Gleichung der Ellipse:

12)

-Va² —x², a

in der a und b die beiden Halbachsen darstellen (siehe

J)

Fig- 21.

Fig. 21). Somit lautet das Differential ihrer Fläche:

— Va² — x² dx a

und die Fläche selbst:

F = -

13)

Das Integral ist uns bereits bekannt, wir finden es in unserer „Integral-Tafel" unter Nr. 52. Somit er-giebt sich:

14) F =

|| i'a² — x² + ~ arc sin|

Zur Bestimmung der Konstanten bedenken wir wiederum, daß fürx—0 auch F = 0 und daher auch O— Owerdenmuß.

Wir wollen nun durch unsere Formel 14) vorerst einen Quadranten der Ellipse berechnen. — In dem Falle ist x = a. Setzen wir den Ausdruck in die Formel 14) ein. Das ergiebt:

a"-{⁰ + YarCsin( )}

15)

b a²

=■ — • Tr arc sin 1 a 2

=    • arc sin 1.

Wie wir wissen, ist arc sin 1 = y • Daher:

ab . 7t

16)

Die Fläche der ganzen Ellipse wird nunmehr: F = al)jr.

125. Quadratur der Hyperbel. Die Gleichung der Hyperbel ist:

17)

-Vx² —a². a

Es ergiebt sich sofort das Differential ihrer Fläche:

— Vx² — a². dx a

und das Flächenintegral:

18)

F — — fix² — a² . dx. a J

Auch dieses Integral ist bekannt und findet sich in der Integral-Tafel.

126. Quadratur der Cykloide.

Konstruktion und Gleichung der Cykloide: Wenn ein Kreis auf einer geraden Linie dahinrollt, dann beschreibt ein jeder Punkt der Peri-

Fig. 22.

ADE

pherie eine gesetzmäßige Linie. Man nennt sie die Radlinie oder die Cykloide. Siehe Figur 22.

Wir wollen zunächst die Gleichung der Cykloide herleiten.

Der Punkt C der Cykloide habe die Koordinaten: x = AD und y = CD.

Der Radius des Kreises CM sei gleich r und der Winkel, den er mit dem Lot ME bildet, cp] das Bogenstück CE des Kreises, das der Länge AE entspricht, wird durch das Produkt r. cp gemessen. Man kann also setzen:

und

CE — AE — r . cp CF = DE = r . sin cp, denn CF ist DE parallel. Weiter ist:

x — AD — AE — DE

= r . cp — r . sin cp.

In ähnlicher Weise giebt die Figur den Wert für y. Denn: y = ME — MF = r — r . cos cp. y = r (1 — cos cp).

19)

und:

Nachdem wir so die Gleichungen für die Cykloide: x — r (99 — sin 90) y = r (1 — cos 99) gefunden haben, gehen wir zur £Umbmtnr über.

Das Flächenstück ist in unserer Aufgabe zu bestimmen, das von der Kurve und von der Linie AB begrenzt wird. Um, der Formel F —jydx gemäß, das auszuführen, bilden wir dx.

dx = r (1 — cos99) diCp.

Also:    F=/r²(l—cos cp) (1 — cos 99) ücp -|- C.

20)

— r²/(l — cos 99)² äcp

= r²/(l — 2 cos99-{-cos²99)d99.

Um den Ausdruck für die Integration geschickter zu machen, bedienen wir uns der Beziehung:

Daraus:

cos 299 = 2 cos² 99 — 1. cos² 99 = \ cos 2 99 -f- \ und setzen ein: 21) F = r²/(1 — 2 cos99 -{- | cos 2 99 -J- I) d99 = r²/(i — 2 cos 99 -|- f cos 2 99) d 99 = r² J17 d 99 — 2/COS99 d99 -f- ^r/cos 2 99 d 99 (

= r² j f 99 —■ 2 sin 99 -(- -{ sin 2 9? j -f- C.

Die Cykloidenfläche beginnt im Anfangspunkt (A) des Koordinatensystems, daher ist für x— 0 auch F= 0 und auch 0 — 0. Für dieganzeFlächehat sich der Kreis

einmal aufgerollt und es ist cp = 2n geworden. Setzen wir diesen Wert von cp ein, so ist:

F = r² (f. 2 n — 2 sin 2 n -f- sin 4 n)

= r² (3 n — 0 4~ 0)

— 3 r² 7i.

Wir erhalten das Resultat, daß die Cykloidenfläche dreimal so groß ist als der Inhalt des erzeugenden Kreises.

22)

127. Quadratur der gleichseitigen Hyperbel.

In der Geometrie wird gezeigt, daß die Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel mit einander rechte Winkel

Fig. 23.

bilden. (Siehe Fig. 23.) Bei ber Weitung der Gleichung dieser Hyperbel nimmt man die Asymptoten als Koordinaten. Ihre Gleichung lautet:

xy = 1; also y =    •

Somit erhalten wir für die Fläche den Ausdruck:

23)

tH I M

f=/t+c

128. Quadratur der Kreislinie.

Es soll das Flächenstück mittels unserer Methode ermittelt werden, das von der halben Peripherie und dem Durch-'jt

Fig. 24.

messer begrenzt wird. (Siehe Fig. 24.) Der Halbkreis wird dargestellt durch die Gleichung:

25)

y = rjz.

Daher erhalten wir:

26)

F=/r. jrdr-(-C

r² n

Somit der Inhalt des ganzen Kreises r² n.

129. Quadratur solcher Kurveu, die durch Polarkoordinaten ausgedrückt sind.

Auf unserer krummen Linie (siehe Fig. 25) hat der Punkt P als Bestimmungsstücke r und a. Der Punkt P,,

P)

□c

Fig. 25.

r-|- dr und a-j-da. — Da die Strecke PP, sehr klein gedacht werden muß, so kann man sich den Sektor POP,

Es geht also 27) über in:

28)

dF= ir²da.

29)

Integrieren wir, so empfangen wir das Flächenstück: F = l/r²da.

130. Quadratur der Archimedischen Spirale.

Die Archimedische Spirale giebt ein gutes Beispiel für die Ausführung einer Quadratur, wo Polarkoordinaten zu Grunde liegen. Wir haben uns mit dieser Kurve schon im Abschnitt 74 Seite 108 beschäftigt. (Siehe Fig. 13.) Die Gleichung der Archimedischen Spirale lautet:

30)

r = a . a.

Führen wir diesen Wert in die allgemeine Formel 29) ein, dann erhalten wir:

31)

geradlinig denken. Dann stellt sich der Inhalt dieser Fläche durch eine bekannte trigonometrische Formel dar:

d F = | r (r “f“ d r) sin (d a)

= ir(r + dr)ElÄ^-

Indem sich das Flächenelement der Null nähert, wird, lim (r -s- dr) — r

sin (d a)

27)

wie bekannt:

und

lim

da

1.

F=|ja².a*da-1-C

l-JaMa + C

a² a³ ,    a² * , n

= 2 • 3 + c=ra +c-

Beginnt die Spirale für a = 0, dann ist auch F = 0 und daher auch C = 0.

Zwanzigstes Kapitel.

J>ie Notifikation der Kurven.

131. Erklärung und Ableitung der Formeln.

Die Rektifikation der Kurven lehrt, aus dem Differential einer krummen Linie, mittels der Integration, ein beliebig langes Stück der Linie zu bestimmen.

Betrachten wir das Stück AP einer Kurve, die durch die Gleichung:

1)

y = f(x)

ausgedrückt wird. (Siehe Fig. 26.) Bezeichnen wir das Bogenstück AP mit 8. Es ist nun klar, daß mit der Ver-

Ajc

a d,

Fig. 26.

änderung von s sich auch die Abscisse ändert, daß somit s eine Funktion von x ist. — Nehmen wir nun an, daß sich das Bogenstück AP —8 um PP, = As vergrößere. Dann wächst auch x um Ax und y um Ay, wie aus der Figur klar hervortritt. Nehmen wir das Bogenstück PP, sehr klein an, dann fällt es mit der Sehne zusammen und wirerhalten die Beziehung:

13

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

As²= A*²+Ay2 As = VAx²+ Ay²-

2)

und

Nähert sich endlich die Größe As der Null, geht sie also in ds über, dann geht auch Ax und Ay in dx, resp. in dy über, und 2) wird zu:

3)

ds = | dx²-f- dy²

= dx

lA+E-

Die Gleichung 3) giebt den Wert für das Bogenelement der Kurve an. Wollen wir die Kurve selbst oder ein Stück derselben erhalten, dann müssen wir 3) integrieren. Somit:

4)

H'+m

xo

=/dx/l+f'(x)².

XO

Manchmal ist es vorteilhaft, y zur Veränderlichen zu machen, dann erhält man in der gleichen Weise: 4 a)

Xo

Ein bestimmtes Integral ist hier notwendig, weil die Länge der Kurve in der Aufgabe zu bestimmen ist.

132. Die Rektifikation der Parabel.

Die Gleichung der Parabel lautet:

y² = 2px.

Bilden wir die Ausdrücke, die in den Formeln 4) oder 4a) zur Rektifikation sich vorfinden. Die Differentiierung ergiebt:

2y dy — 2p dx ydy —pdx dx_ y_ dy p"

und

In diesem Falle ist es vorteilhaft 4 u) zu verwenden. Daher:

= ^-/dy Vp²+y²-

Nun kann man schreiben: ds² = dx²-j-dy². dx²=‘-pdy².

Also:    ds²

dy² ■ P²

P²

dy²

dy²y² 4- dy²p²

P²

= iF<y= + P’)-

Daher: ds = ^~Vy²-f-p².

Also:

8 = ^/dyVy²+p² + c-

Mit Hilfe der Formel 54 der Integral-Tafel giebt das:

s^i/dyVpM⁷?

= ^!y^+? + P²-i(y+T/P²’+?)! + c.

Es ist klar, daß der Parallelbogen der Null gleich wird, wenn y zur Null wird. Setzen wir in die Formel für s, daher 8—0 und y — 0, so wird:

13*

Dritter Teil. Die Integralrechnung.

196

Somit:

O-^lpMÖ^j + C 0 = ^pMp + Q o =• lp-f-c. c = —f-ip.

Setzen wir diesen Wert von C in die obige Gleichung für 8 ein, dann geht sie über in:

i^P² + y² + fi(y + yp²+y²)-iip y + V^+f

133. Die Rektifikation der Cykloide.

x — v(cp — sin cp)

y — r(l — cos 99). (Siehe Fig. 22 Seite 188.)

Im Abschnitt 126 fanden wir als Formeln für die Cykloide:

Um diese Kurven zu rektifizieren bilden wir die Differentiale; also:

und

dx — r(l — cos99) dcp dy = r . sin99d99.

Da ds² = dx² -j- dy² ist, erhalten wir: ds² — dx² dy² = r² (1 — cos 9of dcp² -s- r² sin² cpdcp2 — r² (1 — 2 cos99-]- cos²99) d99²-[-r² sin²99 dcp2 = |r² — 2 r² cos99    r² (sin²99 -(- cos²90) j dcp².

Da nun sin² 99 -j- cos² 99 = 1 ist, wird wiederum: ds² = (2r² — 2r² cos99) dcp2 = 2r² (1 — cos99) dcp².

Wir setzen nach den Lehren der Trigonometrie: 1 — cos cp = 2 sin² ^ •

Dann ergießt sich:

ds² = 4r² sin² y dtp2 ds = 2r sin-y d<p.

Also kommen wir leicht zum Integral:

2 r/sin d<p + C = 4r /sin | • d ^ — — 4rcosy-j- C.

Die Cykloide beginnt mit cp— 0; in diesem Falle ist somit auch s—0. Setzen wir ein:

0 — — 4r cosO -f- C = —4r+C.

Daher:

Es wird daher die Cykloidenkurve:

— 4r cos y-st- 4r

C= 4r.

4r(l

— COS

3L .

Zur besseren Ausnutzung dieser Formel ist noch eine kleine Umformung vorteilhaft. Setzen wir:

cos st — 1 — 2 sin² ~

2    4

oder:

1 — cos -| = 2 . sin² j in die Formel.

Also:

s = 4r

('

— cos

|) = 8r.sin²|.

Da sich die Cykloide von cp = 0 hi§> cp = 2n entwickelt, so müssen wir ihr Bogenstück aus der Form eines bestimmten Integrals erhalten und zwar:

271

8— 2r

■ ßin²^-d(p -f~ C.

o

Nach den Auseinandersetzungen im Kapitel über bestimmte Integrale haben wir dann das allgemeine Integral zu suchen und die Werte der Grenzen in dieses einzusetzen.

Der Wert des allgemeinen Integrals ist:

s = 8r.sin²^.

4

Setzen wir cp = 2 n, dann geht es über in 8 — 8r. sin² y = 8r. sin² — — 8r.

Setzen wir <p = 0 , dann wird auch der allgemeine Ausdruck Null.

Es ist daher die Cykloide 8mal so groß, als der Radius des erzeugenden Kreises.

134. Die Rektifikation von Kurven in Polarkoordinaten.

Es sei die Gleichung einer krummen Linie in Polarkoordinaten gegeben:

5)

r = f(a).

Nennen wir ein Stück der Kurve s (siehe Fig. 27). Wenn der Winkel a wächst, nimmt auch die Kurve zu, somit ist auch s eine Funktion von a. Nehmen die Kurven um das kleine Stück PP' — ds zu, daun wächst a um da. Schlagen wir mit r = OP einen Kreis um 0; er trifft die Linie OP, in Q. Wir können nun, der sehr kleinen Seiten halber, wie

in Abschnitt 129, das Dreieck PQP, als ein gradliniges betrachten, das 6eiQ einen rechten Winkel enthält. Dann ist:

pE⁸=^q²+pq².

6)

Qi

yP

/d«

cv

Ng. 27.

Da nun P,Q = dr, PP, = ds und PQ = rda ist, folgt aus 6)

7)

ds² = dr²-(- r² da2 ds = Vdr²-f- r² da²

— da

r².

Nehmen wir jetzt das Integral, dann ergiebt sich:

8)

ME+r,+c'

Da die Länge des Kurvenstücks von a bestimmt wird, so können wir endlich auch schreiben:

8 a)

\(daV(£;)²+r2

«0

Der Leser mag zur Uebung die Archimedische Spirale rektifizieren.

Linundzwanzigstes Kapitel.

Die Inhaltsbestimmung der HlotationsMchen.

135. Definition, Herleitung der Formeln.

Wenn sich eine Linie um eine feste Achse bewegt, so daß sie stets von dieser in gleicher Entfernung bleibt, dann beschreibt die Linie eine Fläche. Die Bestimmung einer solchen Rotationsfläche nennt man die Komplanation der Flächen.

Wir wollen die Formeln zu ihrer Berechnung herleiten. (Siehe hierzu Fig. 28.)

Die Rotationsachse bezeichnen wir mit AX, sie sei zugleich die X-Achse des Koordinatensystems, und ihr Anfangspunkt liege m A. Die Kurve, die um die Achse rotiert,

B,

i:

Fig. 28.

sei BC. Es ist nun sofort klar, daß, wenn die Abscisse (X-Achse) wächst, die Oberfläche F, die wir uns vollendet denken können, auch zunimmt, daß also die Rotationsfläche eine Funktion der Abscisse ist. Daher:

1)

F = f(x).

Nimmt x um Ax zu, dann wächst auch F um /\F. Wie man aus der Figur leicht sieht, kann man das Element der Rotationsfläche /\F als den Mantel eines Kegelstumpfes betrachten, der durch Rotation der Sehne As= CD um die Achse entstanden ist. Die Stereometrie lehrt den Mantel eines Kegelstumpfes berechnen. Mit ihrer Hilfe erhalten wir daher:

M = tt(JC + KD)CD.

2)

Bezeichnen wir die Ordinaten der Punkte C resp. D mit y, beziehungsweise mit y' und CD mit As, als kleinen Zuwachs der Kurve BC = s, dann geht 2) über in:

3)

M = Ji(y + yz) As.

Rückt nun C sehr nahe an D heran, wird also A⁸ zu äs, dann wird auch y = y' und der Mantel M entspricht dem Elemente der Rotationsfläche dF. Wir (können daher schreiben:

4)

dF — 2 Tr y ds.

Nehmen wir das Integral, dann erhalten wir natürlich die Rotationsfläche selbst.

F — 2n/y ds-f- C.

5)

Rotiert die Kurve um die y- Achse des Koordinatensystems, dann verändert sich die Formel, wie sofort einzusehen ist, in:

5 a)

F = 27r/x.ds+C.

136. Bestimmung der Oberfläche einer Kugel.

Dreht sich ein Kreis um seinen Durchmesser, so entsteht eine Kugeloberfläche. Wir wollen sie nach den im vorstehenden Abschnitt entwickelten Formeln bestimmen. — Die Gleichung des Kreises ist:

Somit:

X² + y2 = r². y² = r² — x².

Differentiieren wir, dann folgt:

2 y d y = — 2xdx.

Also:

x dx

Um unseren Formelausdruck zu erhalten, bedienen wir uns der Bezeichnung:

ds² = dx²-)-dy².

Eingesetzt ergiebt das:

X²

ds² = dx²-|-pdx²

=dx;(i+y

Ziehen wir die Wurzel und gedenken wir der Beziehung r² — x² -f- y², dann erhalten wir:

ds

dx Vx² -(- y²_r dx

Fügen wir unser Resultat in Formel 5) ein, so wird: Jy r dx

so

F = 2jt = 2nr/dx-f- C.

Für eine bestimmte Aufgabe werden wir auch ein bestimmtes Integral einführen müssen.

Soll z. B. im vorliegenden Fall die ganze Kugelfläche berechnet werden, dann muß das Integral vonx — bis x — -f- r ausgedehnt werden. Also:

+ r

F = 2jzrsdx — 2^rr(r -f- r)

— 4jrr².

Wie dem Leser aus der analytischen Geometrie bekannt ist, wird bei der gebrauchten Kreisgleichung der Anfangspunkt des Koordinatensystems in den Mittelpunkt des Kreises gelegt.

137. Bestimmung der Oberfläche des Notationsparaboloides.

Rotiert eine Parabel um ihre Achse, dann entsteht ein Rotationsparaboloid. Wir gehen zu seiner Ableitung von der Gleichung der Parabel aus:

y² = 2px.

Differenzieren wir und dividieren durch 2: y dy = pdx.

Wir erhalten also für den ersten Differentialqnotienten: dy ₌ P.

dx y'

Bedenken wir wiederum, daß ds² = dx²-f- dy² ist. Dann wird:

p²

= i+E ¹ y

y²+p²

y² •

Setzen wir wiederum den Wert für y² = 2px ein.

p²-f- 2px

y²

und:

ds

dx”

Vp² 2px*

Und hieraus:

y ds — dx yp²-f- 2px.

Um das Integral leichter zu finden, machen wir mit der rechten Seite des vorstehenden Ausdrucks eine kleine Umformung.

u — i p² -j- 2px. u² — p²4- 2px.

Setzen wir:

Daher:

Differentiiert ergiebt das:

2udu=2pdx

udu = pdx

und:

_ udu dx — •

Nunmehr wird:

udu

u²du

Daher:

yds= —

F = Jyds = ^ Ju²du

2jtu³

3p

C:

Setzen wir wiederum den Wert von u ein:

3p

23r{Vp²+2pxj +C 2px = y²,

somit:

F=§i(|/p2+y2} +c.

Zur Bestimmung der Konstanten C bedenken wir, daß für y = 0 auch F = 0 sein muß.

Wir setzen daher:

2 7t

2jlV² I p —+ 0.

⁰=§5-Ps+c

6 — — -|p²ti.

Somit erhalten wir endlich als Oberfläche des Para-boloides mit der üblichen Umformung:

Also:

F=3li(p.²+y²)VFF?-P³}-

138. Die Oberfläche soll ermittelt werden, die entsteht, wenn sich eine Cykloide um ihre x-Achse dreht.

Siehe Figur 22 Seite 188. Die Gleichungen, die die Cykloide bestimmen, lauten, wie wir zeigten:

x = r (99 — sin 90) y = r (1 — cos 99).

Formen wir sie in solcher Weise um, wie es unsere Formeln verlangen. Durch Differentiierung ergiebt sich:

dx = r(l — cos 99) 699 — rä99 — r cos 99 d 99 dy = r. sin99d99.

Um den Ausdruck ds² = dx²-j- dy² zu bilden, müssen wir quadrieren:

d x² = r² d 99² — 2 r² cos 99 d cp² -f- r² cos² 99 d cp2 dy² — r² sin 9o² d cp².

Durch Addition folgt nunmehr: ds² — dx² -(- dy²

— r²d99² -j- r²dy9² (sin² 99 -j-cos 99) — 2r²cos99d99²

Da: sin² 99 -(- cos² 99 = 1, d s² = 2 r² d cp² — 2 r² cos (pd(p2 — 2r²d 99²(l — cos 99).

wird:

Zur weiteren Umformung setzen wir:

Also:

und:

1 — cos 99 = 2 sin² ~ • ds² — 4r²sin² dcp2 ds — 2r sin 7^99.

Setzen wir den Ausdruck jetzt in die Formel 5) Seite 201 ein, dann ist:

F = 2jr/r(l

cos99). 2r. sin ~ d99.

Dieser Ausdruck muß nun zur Integration geschickt gemacht werden. Wir erhalten nacheinander:

F = 2jrs2r²(l — cos cp) sin dtp = 4r² jt/(1 — cos cp) sin o" d cp = 4r²jr/2sin²|-* sin ^ dtp

—    4r²jr/2sin³ |-d<p

—    8r²jr/sin³-^ dtp-f- C = 16 r²7rjsin³^ d -f- C.

Ilm die ganze Oberfläche zu erhalten, muß cp von Null bis 2 Tr wachsen. Wir erhalten also ein bestimmtes Integral zwischen den Grenzen 2n und Null. — Daher:

F=16r²4sin⁸|.d(|)-

Bedient man sich der Beziehung sin³a = — sin 3 a -j-fsina und zieht entsprechend zusammen, dann wird:

F = ^r²Jt.

o

139. Die Oberfläche des Rotationsellipsoides.

Rotiert eine Ellipse um ihre.große Achse, dann beschreibt sie ein Rotationsellipsoid. Wir wollen diese Fläche ermitteln.

Die Gleichung der Ellipse ist bekanntlich:

y = “ Va² — x².

In ihr bedeutet 2a = AB die große Achse, CD = 2b die kleine Achse (siehe Fig. 29). Ferner bezeichnet man die

Entfernung eines Brennpunktes F vom Mittelpunkt der Ellipse mit 6 und nennt diese Größe die Excentricität. In der analytischen Geometrie wird gezeigt, daß immer:

Fig- 29.

e² = a² — b² ist. — Um mit Hilfe unserer Formel 5) Seite 201 die Fläche des Rotationsellipsoides zu finden, müssen wir den Ausdruck 68— fidx²-s-d^² bilden. Hierzu ist es nötig, die Gleichung der Ellipse zu differentiieren. Das ergiebt:

,    b

d^ = -ä

x . dx

V'a² — x²

Wir müssen nun folgende Umbildungen ausführen:

ds² = dx² + -.—— as ax ^ a² (a² —X²)

— dx² 11

b²x²

= dx²

a² (a² — x²)

a⁴ —a²x²-|-bx2 a² (a² — x²)

₃ja⁴-x²(a²-b²)l I a²(a² — x²)    |

Da wir e² = a³ — b² setzen können, so folgt weiter:

ds² —

— x²e²

dx2{a²(a² —x²)

Dividieren wir durch dx², so folgt:

a⁴ — x² e²

a²(a² — x²)

und somit:

ds =

a⁴ — x² e²

dx.

a²(a²—x²)

Es ist nunmehr der Formelausdruck zu bilden:

yds — ^Va² — x² •

— ^2 ]a⁴ — x²e²dx.

Va⁴ — x² e2 —7=— dx a Va² — x²

Das Integral der Rotationsfläche der Ellipse ist somit:

—x2e2

Wir wollen das vorstehende Integral berechnen und es zu dem Zwecke umformen:

. 6

— x² dx.

F =

a⁴

Setzen wir — n², dann ist:

Mit Hilfe der Formel 52) der „Integral-Tafel" können wir integrieren:

2jtb . 6

a²

a²

jrbe

{| ^— xä + \ arc »m Q] + c

a²

jx Vn² — x² -f- n² arc sin -j- C.

a⁴

Setzen wir nun wiederum für n²—^ und füre² —a²—b², also die ursprünglichen Werte, dann wird:

F ==

jrbya²—b²

a²

-X²

a*    . x.jV-b²

a’=b*arcsin---

| + c.

Lösen wir die Klammer:

jz: bx

a²

Va⁴—(a²—b²J x² -f

a²bjr

arc sin

X.Va²—b²

a²

Va² — b²

Die Bestimmung der Konstanten ist sofort erledigt, denn für F = 0 muß auch 0 — 0 werden. Setzen wir x—a, also gleich der halben großen Achse der Ellipse, dann erhalten

wir die Fläche des halben Rotationsellipsoides Somit:

C.

Ph |o*

Trba

a²

Va⁴— (a² — b²) a²

a²b Jt

Va² — b²

• arc sin

a Va² — b²

a²

= ^Va²b²-f

arc sin

a²b 7t

Va³ —b²

Va² — b²

arc sin

a²b 7t

Va² —b²

Va² —b²

Dann wird die ganze Fläche:

2a²b;r

F = 2 b² Tr

oder auch:

Va² — b²

n,o i 2a²bjr

— 2 b² n 4--

¹ e

arc sin

Va² —b²

• arc sin

Bekanntlich geht eine Ellipse in einen Kreis über, wenn a = b wird. Nehmen wir das im vorliegenden Falle an, dann wird das Rotationsellipsoid sich in eine Kugel verwandeln. Der Ausdruck c— Va² — b² erhält hier den Wert Null.

Aber auch das zweite Glied verlangt eine genauere Betrachtung. Ist nämlich a — b, dann wird der Ausdruck:

arc sin

arc sin

l/a²— b²

o Io

Va² — b²

also unbestimmt.

14

Bendt, Differential- u. Integralrechnung.

Mit Hilfe der Methoden über die Ausmittelung unbestimmter Ausdrücke in der Differentialrechnung ergiebt sich:

arc sin

l/a² — b²

Va⁹ — b²

Setzen wir diesen Wert in den zweiten Ausdruck ein und bedenken wir, daß man a = b setzen soll, dann geht:

• arc sin

y^b*²

2a²bjr

}a² —b²

über in 2b²jr. Also:

F — (Kugeloberfläche) = 2h²7iJr2k²n

— 4b²7r = 4a²jr.

Wie wir aus der Stereometrie wissen, ist das die Formel für die Kugelobersläche.

140. Die Oberfläche für das Sphäroid.

Dreht sich eine Ellipse um ihre kleine Achse, dann entsteht ein Sphäroid. Diese Fläche ist bedeutungsvoll in vielen Aufgaben der mathematischen Physik und der Astronomie. Die Erde hat die Gestalt eines Sphäroids. Plastische Körper nehmen auf der Zentrifugalmaschine Sphäroidform an u. s. w. — Um die Aufgabe, die Oberfläche eines Sphäroids aus der Ellipse zu lösen, müssen wir die Gleichung der Ellipse nach x auflösen. Also:

j/b²_y².

Führt man nun die Rechnungen in der gleichen Weise durch, wie im Abschnitt 139, dann erhält man die gewünschte Gleichung des Sphäroids:

F = 2a²jr -f

ab²?r

•1

a —j— eN

a — e.

Zweiundzwanzigstes Kapitel.

Pie Kubatur der Rotationskörper.

141. Erklärung und Ableitung der Grundformcln.

Wenn eine Kurve sich um eine feste Achse dreht, so beschreibt sie eine Fläche, wie wir es im vorigen Kapitel genau beschrieben haben. DieseFläche umschließt einen bestimmten Raumteil. Wir wollen die Methoden ermitteln, um ihn zu bestimmen. Man bezeichnet die Operation als Kubatur der Körper. (Figur 30.) Die Kurve AB

B?

v\Ay

VL

■r

A,

Fig. 30.

soll sich um die X-Achse, indem sie stets in derselben Entfernung bleibt, herumbewegen. Wir wollen den Inhalt „V" des Körpers ermitteln, den die Oberfläche umschließt.

Die Koordinaten des Punktes B seien x und y. Wächst nun die X-Achse DE um das Stück AX = EF, dann muß auch V um AV = BCC,B, zunehmen. Das Volumen des Körpers ist eine Funktion von x. Wenn Ax klein gedacht wird, und die Bogenstücke BC und B, C, als geradlinig

14*

betrachtet werden dürfen, dann können wir das Körperelement BCB,C, als einen abgestumpften Kegel auffassen. Aus den Lehren der Stereometrie folgt:

1)    Av = ^V+y(y+Ay) + (y + Ay)²i-

Nähert sich Ax der Grenze Null, d. h. wird es gleich dx, dann wird auch Ay = dy und /\Y = dV.

Aus der Gleichung 1) ergiebt sich:

2)    d V =    jy² —f- y (y —{— dy) —(y —dy)²|

= %^³y²+3ydy+dy²}.

Es ist nun unmittelbar einleuchtend, daß die Ausdrücke 3ydy imb dy², da sie mit Differentialen behaftet sind, gegen 3y² verschwindend klein werden und vernachlässigt werden können, d. h. Null werden. Dann geht 2) über in:

3)

—g—• 3y- = y²dx. n.

Aus dem Körperelement ergiebt sich durch Integration der Körper. Somit wird endlich:

4)

V    — n /y²dx.

Dreht sich die Kurve um die y-Achse, dann führen dieselben Ueberlegungen zu der entsprechenden Formel:

4 a)

Y    = n /x² dy.

142. Der Inhalt eines geraden Kegels.

Man kann sich einen geraden Kegel dadurch entstanden denken, daß sich ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete dreht. — In Fig. 31 mag sich das rechtwinklige Dreieck ACB um die X-Achse drehen. Es ist dann AC = h die Höhe, BC der Radius und AB die Seitenlinie des Kegels.

Unmittelbar aus der Figur erhalten wir die Proportion: x: y = h: r

und

y = Y als Gleichung der Linie.

Fig. 31.

Also nach Formel 4):

V = jz

/xMx.

_ jz r2 " h²

Integrieren wir, so wird:

v=T-f+C'

Das Integral muß genommen werden von x — 0 bis x = h. Das ergiebt:

|hr²7r.

jrr². h³

3 h²

h.jrr²

143. Der Inhalt des Paraboloids.

Das Paraboloid bildet sich, indem sich die Parabel um ihre Achse dreht. Die Gleichung der Parabel ist:

y²— 2px.

Die Aufgabe ist hier sehr leicht zu lösen, weil wir sofort das wichtigste Glied in die Formel 4) einfügen können. Also:

V = 7i /2px dx — 2p^r /xdx. Integrieren wir, dann ergiebt sich:

V=2p»y + C

= 2px^-|-C.

C.

Schreiben wir wieder für 2px = y², dann wird: y²^x

D)a für x— 0, auch V — 0 wird, so ist auch C = 0.

144. Der Inhalt des Sphäroids.

Da, wie wir bereits ausführten, ein Sphäroid durch Rotation um die kleine Achse einer Ellipse entsteht, so wird in diesem Falle 2 b — C D gur Rotationsachse. Siehe Fig. 32.

CsHJ

A-Af-

D(-6)

Fig. 32.

Die Gleichung der Ellipse ist, wie aus der analytischen Geometrie bekannt:

1.

x² = p (b² — y²)-

Lösen wir sie, auf Grund der vorstehenden Ueberlegnng, nach x auf, so wird sie:

Setzen wir diesen Ausdruck in Formel 4 a) ein:

V=JiJp(b² —y²)<iy = ^"7(b²-y²)dy.

Integrieren wir:

/(b² — y²j dy =/b²dy —Jy²dy

y¹

— b² y — 3 H“ C-

Eingesetzt ergiebt:

c.

Wie man gut aus der Figur ersehen kann, muß von — b bis -s-d integriert werden, um den ganzen Sphäroid-körper zu erhalten. — Setzen wir diese Werte ein:

^a²b³

Vb

jra²b⁸

b²

3b²

9l rca²b = jz^b--•

yra²b¹ jra² b⁸

b²

3b²

yra²b

7ra²b.

Vb — V—b =

— 2^ra²b — f jra²b.

V — Vb — V—b= 27ia²b — |jia²b V =

145. Formeln für die geometrischen Anwendungen der Integral-Rechnung.

I. Quadratur der Kurven: F=/yds.

F = \ /r²da in Polarkoordinaten.

II. Rektifikation der Kurven.

— /dxVl —(— ir (x)²

xo

ao

in Polarkoordinaten.

III. Komplanation der Rotationsflächen.

F = 2n /yd — 2 n /xds.

IV. Kubatur der Rotationskörper.

V — n /y²dx — n /x²dy.

Dreiundzwanzigstes Kapitel.

Die vielfachen Integrale.

146. Neue Erklärung des Integrals.

Bisher haben wir das Integral als eine Umkehrung des Differentials betrachtet. Wir wollen den Jntegralbegriff nun tiefer zu erfassen suchen. Gehen wir, um das zu ermög-lichen, noch einmal auf das bestimmte Integral zurück. — Erinnern wir uns zunächst, daß in der Lehre von der Quadratur der Kurven die Aufgabe zu lösen war, den Inhalt der Ebene zu bestimmen, die begrenzt wurde von der Kurve y = f(x), den beiden Endordinaten und der Abscissenachse. Denken wir uns die Abseissenachse QS der Kurve PR in n sehr kleine gleiche Teile — Ax geteilt (siehe Fig. 33) und durch die Teilpunkte parallele Linien zur

R/

M/

[Ar

QT Q, T S

Fig. 33.

T-Achse gelegt. Durch diese Konstruktion wird die Ebene in n Streifen zerlegt. Legen wir endlich noch parallel zur X-Achse durch die Punkte P, P, rc. entsprechende Linien. Ein jeder der genannten Streifen PMQT, P,M, Q,T, k. zerfällt dann in ein Rechteck PN QT rc. und in ein Dreieck PNM 2C. — Der Inhalt des Rechtecks ist = y Ax-Sei die Abscisse des Punktes P: a, also x = a, und die Abscisse des Punktes R: b, also x = b, dann ist die Summe aller Rechtecke, die dazwischen liegen, auszudrücken durch:

x — b — Ax

1) Summe aller Rechtecke — XyAx-

x= a

In 1) bedeutet X das Zeichen für eine endliche Summe. Setzen wir y = f(x), dann geht 1) über in:

x = b — Ax

2) Summe aller Rechtecke— Xk(x)/^x-

x = a

Wird nun n sehr groß und daher /\x sehr klein, daß es zu dx übergeht, dann werden auch die Dreiecke P MN re. verschwindend klein werden, so daß man sie vernachlässigen kann. Damit ist nun aber die Zahl der Rechtecke unendlich groß geworden. Wollen wir sie nunmehr summieren, dann müssen wir für X das Integralzeichen / setzen. Daher läßt sich jetzt die Ebene darstellen durch das bestimmte Integral:

b    b

3)

F — /ydx= /f('x)dx

⁼ f(b) —*■ f(a).

Wir erkennen somit, daß ein Integral zu betrachten ist als eine Summe, die sich aus einer unendlich großen Anzahl von Elementen zusammensetzt. Eine Integration ist also eine Summation und das Integralzeich en ist ein Summationszeichen.

147. Die vielfachen Integrale.

Die Ausführungen des vorstehenden Abschnittes führen zu den mehrfachen Integralen. Man denke sich die Strecke AB (siehe Fig. 34) in eine sehr große Zahl kleiner Teile geteilt und ebenso die Strecke AD. Zieht man nun durch die Teilpunkte zur X- und zur X-Achse parallele Linien, dann zerfällt das Rechteck AC in eine sehr große Anzahl kleiner Rechtecke, von denen jedes den Inhalt dx. dy hat. Der Inhalt des Rechteckes AC ist dann als das Integral über das Produkt dx. dy zu betrachten und zwar zwischen den Grenzen von x — 0 bis x = a und y = 0 bis y — ü*). In Zeichen:

4)

5)

F —//dx. dy.

0 0

Integriert man zuerst in Beziehung auf dx, also:

/dx — a

und dann in Beziehung auf dy, also

h

6)

/dy = ah = F,

0

dann erhält man den Flächeninhalt des Rechtecks. Man bezeichnet 4) als ein Doppelintegral. Da x und y ganz unabhängig in ihm sind, so ist es auch gleichgültig, nach

fn

J3

-X

Fig. 34.

welcher Variablen man zuerst integriert. — Hiervon tritt eine Ausnahme ein, wenn x und y zu einander in einer bestimmten Beziehung stehen. Um das darzulegen, wollen wir eine Aufgabe durchführen.

*) Denke man sich der Einfachheit halber A im Anfangspunkt des Koordinatensystems.

148. Inhalt eines Dreiecks durch Doppelintegrale zu bestimmen.

Es soll der Inhalt des Dreiecks A60 (siehe Fig. 35) mit der Grundlinie a und der Höhe h bestimmt werden. Auch hier können wir uns, wie im vorigen Abschnitt, das Dreieck in Elemente zerlegt denken. In unserem vorliegenden Fall

Fig. 35.

ist aber y nicht immer gleich, sondern mit wachsenden x veränderlich. Die kleinen Rechtecke dx. dy sind daher nicht immer dieselben. Es ist aber y selbst eine Funktion von x. — Wir wollen nun die Aufgabe formulieren. Die Linie AC wird durch die Gleichung:

7)

y = rx

dargestellt. — Integrieren wir nun das Doppelintegral:

xy

F = //dx.dy 0 0

zunächst nach y; dann ergiebt sich:

F —/ydx.

0

8)

Führen wir den Wert von y ein, dann wird

10) .

F = s-xdx = -/xdx. •o    a°

Da

/xäx —

U

ist, so wird

ii)

F = —/xdx =    •

a J    2 a

Da das Integral unserer Figur entsprechend von x — 0 bis x — a zu bestimmen ist, so setzen wir in 11) x = a. Somit wird:

12)

h.a²

2a

\ ah.

149. Das dreifache Integral.

Durch ein dreifaches Integral kann man sich leicht und anschaulich den Inhalt eines Körpers dargestellt denken. Stelle man sich vor, daß durch einen Körper drei sich unter

dx

Fig- 36.

rechten Winkeln schneidende Ebenen gelegt sind und zu diesen sehr viele parallele Ebenen, dann ist der Körper in eine große Zahl kleiner Prismen geteilt. Ist die Zahl der Ebenen unendlich groß, dann ist die Grundfläche von jedem Elementarprisma ein Rechteck vom Inhalt dx. dy. Die Höhe eines jeden Prismas ist dz. Somit ist der Inhalt eines Elementarprismas (siehe Fig. 36) auszudrücken durch dx.dy.dz. Also:

13)

dV = dx. dy. dz.

Das Gesamtvolumen entspricht dem dreifachen Integral ausgedehnt über dV. Also:

14)

V =///dx. dy. dz.

vierundzwanzigstes Kapitel.

¹

ra²b

²

(-)^-(+Wb

Die Differentialgleichungen.

150. Erklärung und Einteilung der Differentialgleichungen.

Die Gleichungen, in denen sich veränderliche Größen nebst ihren Differentialen und Differen-tialquotienten befinden, nennt man Differentialgleichungen. Sie werden in gewöhnliche und in partielle Differentialgleichungen eingeteilt, jenachdem sie totale oder partielle Differentialquotienten enthalten. Es ist z. B.:

dx

— mx

ydy

2T

eine gewöhnliche Differentialgleichung und: dT , dT

eine partielle Differentialgleichung.

Wir stellen uns nun die Aufgabe, die ursprüngliche Gleichung zu finden, aus der die Differentialgleichung entstanden ist. Diese nennt man die Integralgleichung.

Man teilt die Differentialgleichungen nach der Höhe des Differentials oder des Differentialquotienten in Differentialgleichungen von der lten, 2ten... nten Ordnung ein. So ist beispielsweise:

xdy — ydx = 0, oder eine Differentialgleichung erster Ordnung,

dy

dx

dx2 — IV-eine Differentialgleichung zweiter Ordnung,

dx¹¹

E)

eine Differentialgleichung nter Ordnung.

Zudem zerfallen die Differentialgleichungen noch in Grade, wie die algebraischen Gleichungen. Den Grad bezeichnet die höchste Potenz, in der sich das Differential in ihnen befindet.

In der von uns fchon angeführten Gleichung:

xdy — ydx — 0

stehen die Differentiale in der ersten Potenz; sie ist daher eine Differentialgleichung ersten Grades und, wie wir wissen, auch erster Ordnung. Die Gleichung:

©²+ax+by⁼⁰

ist nach der Definition vom zweiten Grade.

151. Homogene Differentialgleichungen.

Man bezeichnet eine Differentialgleichung als homogen, wenn die Summe der Exponenten der Variablen in jedem Gliede dieselbe ist. So ist z. B.:

xjdy+ x²dx-|- y²dy= 0

eine homogene Differentialgleichung, denn die Summe der Exponenten ist in jedem Gliede gleich zwei.

152. Die unmittelbare Integration vollständiger Differentiale.

Im dreizehnten Kapitel sind die Merkmale besprochen worden, aus denen man ein vollständiges Differential erkennen kann. Ist danach:

1)

z = f(x, y),

dann ergiebt sich:

2)

dz==£dx+Sdy

als das totale Differential der Funktion 1). Differenzierten wir sodann den Ausdruck ^ nach y und nach x, so erhielten wir die gleichen Differentiale:

3)

d²z

d²z

dy . dx dx . d y

Es ist also ein Kennzeichen für ein vollständiges Differential, daß es als gleichgültig erscheint, ob man dieFunktion erst nach x und dann nach y, oder umgekehrt differenziert hat.

Wir wollen, wie es gebräuchlich ist, 2) und 3) ein wenig anders schreiben. Setzen wir die partiellen Differentiale der Funktion:

z = f(x, y), — P und

/o I/O

4)

dann geht Gleichung 2) über in:

dz = Pdx-}~ Qcly.

Differentiieren wir nun P nach y und Q nach x, so ergiebt sich:

5)

dP

d²z

dy . dx

und:

d²z

dx dx . dy

6)

dP _dQ

Es ist also:

Grundsatz: Hat ein Differential die Form:

Pdx + Qdy,

oder läßt es sich auf diese Form bringen und ist zudem, gemäß 6) tial ein vollständiges.

Auf die Form 7) lassen sich die Differentialgleichungen der ersten Ordnung und deserstenGradesstetszurückführen. Gilt dann auch 6), so ist die Integration immer möglich!

dy dx

7)

dQ

dx , dann ist das Differen-

8)

153. Beweis für den Grundsatz.

Nehmen wir cm, daß eine Gleichung von der Form: dz — Pdx -f- Qdy

gegeben sei, und daß zudem:

dP_ dQ dy dx

ö z

ist. Wir erinnern uns, daß hierin P = ^j gesetzt worden war. Wir wollennunintegrieren, indem wiry als konstantbetrachten: Also: z=/Pdx + Y.

Y ist die Jntegrationskonstante und als eine Funktion von y zu betrachten. — Setzen wir nunmehr:

/ Pdx — U,

so ergießt sich, wenn wir diesen Wert in 10) einfügen: z = U + Y.

Die Teile von z sollen im Einzelnen bestimmt werden. Differentiieren wir daher diese Gleichung nach y: dz ₌dU , dY dy dy ' dy’ dz

und setzen, wie bekannt: -^ = Q, dann erhalten wir:

Bendt. Differential- und Integralrechnung.

9)

10)

11)

12)

13)

15

14)

dU , dY

^ dy ^ dy d Y

Nach -g— ausgelöst, ergießt :

15)

dY

dU

dy

dy

ober:

d Y = Qdy

du

dy

dy.

Es wirb bie Integration nach y ausgeführt:

16)

Y=/(Q-w)dy+c-

und dieser Wert von Y in 12) eingesetzt, dann haben wir:

17)

c+/(Q-f)dy+°-

154. Beispiele.

Die vorstehenben allgemeinen Betrachtungen sollen nun an einigen speziellen Beispielen erläutert werben. Wir haben bie Gleichung:

dz = (3y² — 4x²)dy-f- (3x² — 8xy) dx.

Die Gleichung soll integriert werben.

Zunächst haben wir zu untersuchen, ob unsere Gleichung ein vollstänbiges Differential ist. Setzen wir bazu:

P — 3x²— 8xy Q = 3y² — 4x².

Die Gleichung hat also bie gewünschte Form:

Pdx-f~ Qdy — dz.

Nun ist noch nach ben Regeln in Abschnitt 153 zu zeigen, baß auch:

unb

dP_ dQ

dy dx

ist-

Differentiieren wir P und Q um das zu ermitteln:

— 8x,

d P_d(3x²— 8xy)

dy

dQ_d(3y² — 4x²)

dx

dx

— 8x.

Unsere Gleichung stellt ein vollständiges Differential dar, wir können also nach den Methoden des vorigen Abschnittes direkt integrieren.

Nach Gleichung 11) wurde /Pdx = U gesetzt. Also:

U = /Pdx = /(3x² — 8xy)d Man erhält aus Gleichung 12): z = U + Y: z=/(3x² — 8xy)dx-f" Y, z = x³ — 4x²y -)- Y.

Nun muß Y bestimmt werden. Differentiieren wir nach y: dz=_4xM dY

X.

öy

dy

oder:

Lösen wir in entsprechender Weise auf, dann ist:

%=*+**

dY = Qdy-|-4x²dy.

Setzen wir nun den Wert von Q ein, dann wird: dY = (3 y² — 4x²)dy + 4x²dy = 3y²dy — 4x²dy-f- 4x²dy — 3y²dy.

Y=/3y²dy = y³+C.

und:

Endlich:

Fügen wir in die Gleichung z —U-|-Y auch noch den Wert für Y ein, dann erhalten wir die gewünschte Integralgleichung:

z — x³— 4x²y-}-y³-|- C.

155. Ein zweites Beispiel.

Gegeben sei die Gleichung:

dz = (2mx-f-ny 4~r)dx-{- (2py-{-nx-4-s)dy.

und:

Wir setzen:    P — 2wx-s-ny-s-r

Q= 2py-f-nx + s.

Unsere Gleichung entspricht also der Form:

Pdx-f-Qdy = dz.

Untersuchen wir, ob sie ein vollständiges Differential darstellt. Es ist:

dP_d(2mx-}-ny-|- r)

dy

dy

dQ___d(2py + nx-(-s) _

dx

dx

dP d Q , ¥,.    .

— —, und können mte-

dy dx

Also wir haben auch hier grieren. — Nach Regel 11) ist:

U =/Pdx = / (2mx-j-ny 4~r)d = mx² -(- nxy -f- rx.

In z = U-f-Y eingesetzt, wird:

z — mx²-j-nxy-^-rx-^Y.

Nach y differentiiert:

dz

dY

— = nx

dy

dy '

dz

di=Q-nx’

dY

dY — Qdy — nxdy. Setzen wir nun den Wert von Q ein:

dann wird:

Q=2py + nx + s, dY — (2py+ nx-|-s)dy — nxdy.

Integriert:

Y =/(2py -|-nx-|-s)dy — nxdy + C = Py² + nxy sy — nxy -f- C = py² + sy + c.

Fügen wir die Werte endlich in die Gleichung 2 — II -s- Y ein, dann erhalten wir die Integralgleichung:

z — mx² -)-nxy -|- rx-f~ py² -}- sy -f- C.

156. Allgemeine Form der Differentialgleichung vom ersten Grade und der ersten Ordnung.

Will man ganz allgemein eine Differentialgleichung der ersten Ordnung und des ersten Grades darstellen, dann bezeichnet man sie durch:

18)

f(x'y'3i) = Ö'

Man kann sie immer, wie wir sahen, auf die Form:

Pdx-(- Qdy = 0 zurückführen.

Löst man den Ausdruck 18) auf, dann erhält man auch die Form:

cky

19)

äi = F

Ist nun P eine Funktion von x und Q eine Funktion von y, also:

P = X und Q = Y,

20)

so erhält man das Integral:

21)

/Xäx-s- /Ydy = C.

Das Integral kann man aber immer mit Hilfe unserer Jntegrationsformeln integrieren. Ist es nun nicht der Fall, daß die Integrale in dieser Form sich unmittelbar darbieten, dann kann man es in vielen Fällen durch Trennung (Separation) der Veränderlichen erreichen.

157. Integration durch Trennung der Variabeln.

An einigen Beispielen wollen wir auseinandersetzen, wie man sich in solchen Fällen verhält.

Die Differentialgleichung:

xdy == ydx

soll integriert werden.

Dividiert man sie durch das Produkt xy, so erhält man: dy_dx

oder:

dy dx

— = 0.

Die Gleichung entspricht der Form 21) und kann sofort integriert werden. Es ist:

ly — Ix = IC.

Ausgeführt:

Es ist vorteilhaft, in einem solchen Falle die Jntegrations-konstante auch unter das Logarithmenzeichen zu setzen. Nehmen wir den Numerus, dann erhalten wir, nachdem wir gesetzt haben:

y = Cx.

oder:

158. Ein zweites Beispiel.

Die Differentialgleichung sei:

XYdx + X,Y,dy = 0.

Es sind in ihr X und X, Funktionen von x, und Y und Y, Funktionen von y.

Dividieren wir die Gleichung durch X, Y, so erhalten wir: X dx-j- y dy — 0.

Wie man sieht, ist das ein Ausdruck, den man direkt integrieren kann. Es wird:

= c.

/|dx+/fdy

159. Eiu drittes Beispiel.

Wir wollen nun einige Beispiele vorführen, in denen geometrische Aufgaben durch Differentialgleichungen ihre Lösung finden. Es soll die Gleichung der krummen Linie ermittelt werden, bei der die Subnormale der Abscisse gleich ist.

Subnormale — y ^ - Also wird unsere Gleichung:

Wie wir in Kapitel 10 zeigten, ist die Formel für die

dy

Hieraus folgt unmittelbar:

ydy — xdx.

Die Variabeln sind somit separiert. Integrieren wir:

/ydy + c— /xdx + c = 0. y²-{- 2 c = x².

Daher:

Setzen wir 2c = r², dann haben wir:

y — Vx² — r².

Das ist die gesuchte Gleichung.

160. Ein viertes Beispiel.

Wie heißt die Gleichung der Linie, deren Subtangente der doppelten Abscisse gleich ist? — Die

Formel für die Subtangente ist nach Kapitel 10 = y

Wir erhalten somit den Ansatz:

dx

y^=2x.

Sofort ergiebt sich hieraus die Trennung der Variabeln:

2^ — —. y x

Integriert:

21y = lx-f-lc — lex.

Gemäß den Gesetzen der Logarithmen:

y²— cx.

Das ist aber die Formel für die Parabel.

161. Nutzen der Differentialgleichungen.

Aus den vorstehenden Beispielen tritt recht klar der Nutzen der Differentialgleichungen hervor. Wir ersehen aus ihnen, daß man aus gewissen Beziehungen, die man z. B. an

einer Linie ermittelte, fähig ist, die ganze Kurve festzustellen. So kann man in den Naturwissenschaften aus einzelnen Beobachtungen den Weg, d. h. die Kurve finden, auf der sich ein Körper, z. B. ein Planet, bewegen muß.

162. Jntegrationsmethode durch Substitution.

Schon in den Elementen der Algebra wird gezeigt, daß man durch Einführung entsprechender Ausdrücke, einer Gleichung eine für die Berechnung geschicktere Form geben kann. Auch die Integration komplizierter Funktionen erleichterten resp. ermöglichten wir überhaupt im Vorstehenden durch geschickte Substitutionen. Dasselbe gilt auch für die Differentialgleichungen, wenn man die Integralgleichungen zu finden wünscht.

Wir wollen uns dabei merken, daß eine Differentialgleichung immer durch Substitution integrierbar gemacht werden kann, wenn sie homogen ist. — Auch das soll an Beispielen gezeigt werden.

163. Ein Beispiel.

Die homogene Differentialgleichung:

(x -(- y) dx -J- (y — x) dy = 0 soll integriert werden. Setzen wir in unserem Falle:

y = rx,

dann ist auch:

dy = rdx -j- xdr.

Setzen wir diese Werte in unsere Gleichung ein: (x-s- rx) dx-f- (rx — x) (rdx-f-xdr) — 0.

Dividieren wir durch x, dann ist:

x (1 -f- r) dx , x (r — 1) (rdx-j-xdr)

Lösen wir die Klammern: dx-j-rdx -j-r²dx-j- rxdr— rdx — xdr = 0. dx-|-r²dx-(-rxdr — xdr = 0.

Fassen wir die entsprechenden Glieder zusammen: (1 -tz-r²) dx-f- x (r — 1) dr — 0.

Durch die Trennung der Variabeln erhalten wir:

dx . (r—1) dr

1+r²

oder:

dx , rdr _ dr

l+r2_ 1+r²'

Nun ist die Integration unmittelbar möglich:

Und:

Jx~J 1+r² J 1+r2 lx -f- \ 1 (1 -f~ r²) -f- 1c = arc tang r.

Setzen wir nun die ursprünglichen Werte wieder zurück. Es war y — rx; daher:

r = —:

x'

r2_

y*

Somit:

lx -j- \ 1 |l -f- p| -j- lc = arc tang

Endlich mit Berücksichtigung der logarithmischen Regeln:

1c (x² —[— y²)¹^ = arc tang ^Jj •

164. Ein zweites Beispiel.

Es soll die Gleichung für eine Kurve ermittelt werden, deren Subtangente der Differenz zwischen der Ordinate und der Abseisse gleich ist. Mit Be-

rückstchtigung der Ableitungen im Kapitel 10 erhalten wir die Gleichung:

dx

oder:

ydx = (y —x)dy.

Als Substitutionsgröße setzen wir: x = ry. Dadurch wird: dx = rdy-f-ydr. — Setzen wir die Werte ein:

y(r. dy-f-ydr) = (y — ry)dy

und

rydy + y²dr = ydy — rydy

entwickeln nach der Reihe.

y²dr+ 2rydy = ydy

y²dr-j-(2ry —y)dy = 0

y²dr + y(2r— l)dy= 0

ydr-f-(2r — l)dy = 0

Dividiert durch (2r— l)y ergiebt endlich:

dr I dy = n 2r — 1 ' y U*

Durch Integration folgt unmittelbar:

|l(2r—- l) + ly = lc.

Setzen wir nun wiederum r— - so wird:

— lc.

Quadrieren wir:

= lc²

l(2xy — y²) = lc².

Fallen die Logarithmenzeichen fort und fassen wir zusammen, dann ergiebt sich endlich:

und:

2xy — y² = c2 y(2x —y) = c².

165. Das Homogenmachen der Differentialgleichungen.

Sind Differentialgleichungen nicht homogen, so gelingt es doch häufig, sie homogen zu machen. Das geschieht zumeist durch entsprechende Substitutionen. Auch ist oft eine Verschiebung des Koordinatensystems erfolgreich, indem man z. B. x — x, -f- u und y = y, -f- v setzt und u und v ermittelt.

166. Die linearen Differentialgleichungen.

Man bezeichnet hiermit eine Art Differentialgleichungen der ersten Ordnung und des ersten Grades von der Form:

22)

dy -(-yf(x)dx — F(x)dx.

In dieser Gleichung bedeuten f(x) und F(x) stetige Funktionen von x. — Es giebt zur Lösung dieser Differentialgleichung viele Wege, wir bebtenen uns im Anschluß an die vorhergehenden Ausführungen der Methode der Substitution. — Es sei hierzu wiederum y = rz und äy — räz-s-zär.

23)

Fügen wir diese Ausdrücke in Gleichung 22) ein. rdz-f- zdr-f- rzf(x)dx — F(x)dx.

Fassen wir entsprechend zusammen und reduzieren auf Null, dann ist:

24) [rdz-j~rzf(x)dx] -)- (zdr — F(x)dx) — 0.

Wir dürfen annehmen, daß eine jede der beiden Klammern für sich Null ist, und wir haben somit auch zwei Gleichungen, aus denen die Unbekannten r und z ermittelt werden können. Das wollen wir nun durchführen.

Die beiden Gleichungen lauten:

a) rdz -}-rzf(x)dx = 0 ß) zdr — F(x)dx = 0.

Reduzieren wir zunächst a) in folgender Weise: rdz -J- rzf(x)dx — 0;

dann ist: und:

/f(x)dx, lz — —/f(x)d — /f(x)dx

z = e.

Behandeln wir nun die Gleichung ß):

zdr — F (x) d x = 0 F(x)dx

dr

In diesen Ausdruck setzen wir den Wert von z ein. Also: F(x)dx

e-/f(x)dx ’

dr =

Integriert:

r=f-

Je-/f(x)dX

r=/P(x).e

jf (x)dx

d x —j— C.

Setzen wir die Werte für z und r endlich in den Substitutionsausdruck y = rz ein.

Dann ergiebt sich:

26)

f-f(x)dxf

J—Q    |F(x)

ff (x) d x

dx-f-c|«

dafür:

und

dz -f- zf(x)dx — 0 = —f(x)dx.

Integrieren wir:

167. Ein Beispiel.

Die lineare Differentialgleichung g + ay = be2x

soll integriert werden.

Möge der Leser die Aufgabe zur Uebung durchführen. Die Lösung giebt:

j'=inMe2x+ce “}•

168. Der integrierende Faktor.

Wir sehen, daß jede Differential-Gleichung erster Ordnung und ersten Grades sich auf die Form:

Pdx-f-Qdy = 0

27)

zurückführen läßt. Es kann nun der Fall eintreten, daß das Differential zwischen den Variabeln x und y kein vollständiges ist, daß die Integration also nicht unmittelbar durchgeführt werden kann. Man ist in solchen Fällen immer im stände einen Faktor u anzugeben, der selbst eine Funktion von x und y ist und der das Differential zu einem vollständigen macht. Die Zahl u nennt man den integrierenden Faktor.

Führen wir den integrierenden Faktor in 27) ein, dann geht die Form über in:

28)

P. u . dx -j- Q. udy = 0.

Unseren Ausführungen im dreizehnten Kapitel entsprechend muß dann als Kennzeichen für ein vollständiges • Differential die Beziehung gelten:

d(u.p)_d(u.Q)

29)

dy

dx

Führen wir den Ausdruck 29) aus. Das giebt:

und daraus:

dy ¹ dy ^ dx ¹ dx dQ__^P dx dy

Ist es möglich, u aus der Gleichung 30) zu ermitteln, dann ist es nur nötig, das Differential mit u zu multiplizieren und die Integration ist zu vollenden.

Wir wollen einige einfachen Fälle hier mitteilen.

30)

-{

}=päu

du

dy

169. Der integrierende Faktor u ist allein eine Funktion von x. Ist das der Fall, dann wird in Gleichung 30):

du

dy

du = 0 und

31)

Fügen wir diese Werte in 30) ein, so wird: öQ_öP|_ A

dx dy)    ^

ÖQ dP

"{

’-Ö TO

und hieraus:

du dx

-Q

dy

• dx

dP dQ

— 1z.

dx

dx.

Und wird integriert, so ergiebt sich:

dP dQ

82)

lu =

dx dx

dx.

170. Der integrierende Faktor u sei allein eine Funktion von y.

In der Gleichung 80) wird dann:

du

dx

— 0 und

du_du

dy dy *

Führen wir dieselben Rechnungen wie in 169 aus, dann ergiebt sich:

dQ dP du dx dy

und:

•dy

33)

In-

,dQ dP / dx J p

dy

dy.

171. Ein Beispiel durch Probe.

In sehr vielen Fällen kann man unmittelbar erkennen, wie der integrierende Faktor lauten muß. Sei z. B. die Differential-Gleichung:

xdy — ydx — 0

gegeben.

Untersuchen wir, ob hier ein vollständiges Differential vorliegt. Sei zu dem Zweck

P — x und Q — — y,

dann ist:

dP

dx

und:

dQ

öy

Das Differential ist also nicht vollständig. Man erkennt nun sehr leicht, daß, wenn die Gleichung durch x.y dividiert wird, ein Ausdruck erscheint, der integrierbar ist. Nämlich:

dy dx

Also:

ly — lx = lc

= lc

— c.

Und endlich:

y —ex.

Der integrierende Faktor war in diesem Falle: — •

xy

Fünfundzwanzigstes Kapitel,

Die Differentialgleichungen (Fortsetzung).

172. Differentialgleichungen erster Ordnung und höheren Grades.

Wir müssen uns an dieser Stelle mit einigen einfachen Fällen begnügen, die einen Einblick in den Gang der Lösungen geben. Die Gleichungen höheren Grades führen zumeist auf Schwierigkeiten, die den Rahmen des vorliegenden kleinen Merkchens weit übersteigen. — Um zum schnellen Verständnis zu gelangen, sei eine Differentialgleichung erster Ordnung und zweiten Grades gegeben:

oder:

l)

— a² = 0,

1 a)

— a².

Ziehen wir die Wurzel, so erhalten wir sofort die beiden Gleichungen:

2)

dy

dx

— a und

Und daraus:

3)

dy = adx und dy = — adx.

Durch Integration ergiebt sich:

4)

y = ax-j-c; y = —ax + c,.

Dann erhält man das vollständige Integral durch Multiplikation. Also:

5)

(y — ax — c) (y ax — c,) — 0.

Je höher der Grad einer Gleichung ist, um so mehr Wurzeln und Integralgleichungen wird man erhalten. Eine Gleichung nten Grades ergiebt somit n

16

Bendt, Differential- u. Integralrechnung.

Wurzeln und n Integralgleichungen. Die Ermittelung der Wurzeln führt aber im allgemeinen auf große algebraische Schwierigkeiten.

173. Andere Lösungen.

Für bestimmte Fälle kann man den Differentialgleichungen höheren Grades auch noch auf andere Weise nahe treten; das soll an einigen Fällen klargelegt werden.

Sei eine Differentialgleichung gegeben, die die Variable y nicht enthält und nach x auflösbar ist. Setzen wir, wie schon häufig an anderen Stellen,

^P, also dy — pdx.

Die genannte Gleichung wird die Form haben:

6)

x = y(p)-

Differentiieren wir 6), dann ist:

7)

dx = cp' (p)dp.

Hieraus ergiebt sich sofort:

8)

dy = pdx = 99r(p)pdp.

Durch die Integration folgt sodann:

9)

y=/y'(p)-pdp + c.

Die Gleichungen 6) und 9) gestatten die Elimination von p; dann hat man die Gleichung zwischen x und y. — Das wollen wir durch ein Beispiel erläutern:

174. Ein Beispiel.

Es sei :

x — 3 p⁴ — 5p²-j~ 6 p — 5.

Verfahren wir nun ganz wie in 173. Zunächst differentiieren wir:

dx — (12 p²— 10p —|— G) dp.

Wir können nun schreiben:

dy = pdx= (12p³— lOp-j⁻ 6) .pdp = (12p⁴— 10p²-j~ 6p)dp.

Integriert:

y = /(12p⁴ — 10 p²-f- 6 p) dp

= ¹²/5P⁵-¹⁰/3P³ + 3p² + C.

Aus der ersten und der letzten Gleichung dieses Beispieles ist endlich p zu eliminieren:

175. Andere Lösungsmethode.

Es kann eine Gleichung wie in 173 behandelt werden, wenn sie die Variable x nicht enthält und nach y auflösbar ist. Die Gleichung lautet:

10)

y = y(p)-

d y

Da wir P = ₍j^ setzen, ist wiederum dy — pdx.

Aus Gleichung 10) erhalten wir dy = 9/(p)dp, also ergiebt sich:

11)

dy = pdx = 9?'(p)dp.

Hieraus:

12)

dx

(p)dp

Integriert: 13)

176. Lösungsmethoden.

Eine Lösung läßt sich auch finden, wenn die Differentialgleichung in der Form erscheint:

•*+*($

14)

y=px+<p(p) =

Differentiieren wir die Gleichung 14), dann ist:

15)

dy = pdx-j-xdp 9?'(p)dp.

16)

Wir erinnern uns, daß wir schreiben konnten: dy — pdx.

Subtrahieren wir den Ausdruck 16) vom Ausdruck 15), daun bleibt:

17)

oder:

17a)

xdp-j-g/ (p)dp — 0 jx+99'(p)jdp = 0.

Diese Gleichung muß nun, wie wir aus der Algebra wissen, den Beziehungen genügen:

UNd

1 )    dp = 0

i )    ^(p) — o.

Die Integration von Gleichung 18) ergiebt sofort:

20)

p = c.

Setzen wir diesen Wert in die Ursprungsgleichung 14) ein, dann erhalten wir die Lösung:

21)

y = cx + <p(c).

Auch die Gleichung 19) führt uns zu einer Bestimmung von 14). Wir ersehen sofort aus 19), daß man sie auf p zurückführen kann; man empfängt dann die Lösung:

p = f(x).

Setzen wir diesen Ausdruck in 14) ein, dann erhalten wir eine zweite Lösung:

22)

y = f(x).x + 9>{f(x) )•

Die beiden Gleichungen 21) und 22) haben keine Konstanten , sie können daher auch nicht einem vollkommenen Integral der Ursprungsgleichung entsprechen. Man bezeichnet solche Integrationen der Differentialgleichungen, die ohne wirkliche Integration durchgeführt wurden, als singuläre Integrale oder besondere Auflösungen.

177. Ein Beispiel.

Die Differentialgleichung soll heißen:

ydx — xdy = aydx²-j-dy².

Wir wollen zunächst zeigen, daß sie der Form 14) im vorigen Abschnitt entspricht. Um das zu erreichen dividieren wir sie.durch dx, dann wird sie:

y-^=»lA+E-

Setzen wir nun, wie gebräuchlich ist, p — ll, dann ist:

dx

y — px = aVl +p².

Oder:

y = px + alT+p².

Der Ausdruck stimmt mit 14) überein.

Verfahren wir nun ganz wie im vorstehenden Abschnitt. Wir differentiieren:

dy — pdx-f- xdp

-^dp.

Vi + P²

Subtrahieren wir hiervon dy — pdx, dann bleibt:

xdp-[

i"¹    dv-..,

ft+p*

j dp = 0.

(x

oder:

ap

fi+P²

Wiederum giebt das die beiden Gleichungen: dp — 0

und

x-)~7===== 0.

Vi + p'²

Aus der ersten dieser beiden Gleichungen erhalten wir: p = c. Setzen wir in die Gleichung für y ein, dann haben wir das singuläre Integral: y — cx-j-aVl-j-c².

Va² — x²

Setzen wir auch diesen Wert in die Gleichung für y ein, so erhalten wir:

+ X²

— X²

Wir wollen nun das andere singuläre Integral er-

0 giebt nach p auf-

Mitteln. Die Gleichung x gelöst:

ap

Vi + P²

HW

±x²

V a² — X²

a² —x² + x2 a² —x²

_    +x²

]/a² — x²

a]

a²

a² — x²

a²

+ x²

Va² — x²

Va² - x²

Endlich als zweite singuläre Auflösung:

y — ja² — x².

178. Die Differentialgleichungen höherer Ordnung.

Die Differentialgleichungen der höheren Ordnung gehören mit zu den schwierigsten Gebieten der höheren Mathematik. Sie sind nur in einigen besonderen Fällen vollkommen zu integrieren. Dennoch spielen gerade sie in der Physik und den verwandten Disziplinen eine sehr bedeutende Rolle. Von solchen praktischen Aufgaben wollen wir hier einige vorführen.

179. Ein Beispiel.

Es sei die Differentialgleichung zweiter Ordnung gegeben:

23)

d²y

dx2 a’

4 y

Setzen wir wieder p — dann wird:

dp_cPy dx dx2 d'

Daher

dp

24)

g^ = a; dp = adx. Integrieren wir diesen Ausdruck:

/dp = a/dx, p —ax-s-e.

Setzen wir nun wieder den Wert für p ein:

so wird:

dy

25)

= ax -j- c,

oder:

dy = axdx -f- cdx und integrieren: y — a/xdx -)- c/dx -!^ + « + d.

dx

180. Differentialgleichungen, in denen sich der eine Differential-quotient als eine Funktion des nächstniedrigeren Differential-quotienten darstellen läßt.

Es sei daher:

26)

d'²y,,/dy\

27)

Setzen wir die Bezeichnung p ein, dann geht 26) über in:

Also:

dp

dx —F(p)

und:

Da nun dy = pdx ist und dx pdp

so ist auch:

F(p)

dy

F(p)

29)

Integrieren wir endlich, so wird:

pdp

F(p)

Nehmen wir hierzu eine Aufgabe als Beispiel.

f C₂.

181. Eine Aufgabe. Es sei die Differentialgleichung:

8-1Ä+E

gegeben.

Mit Hilfe der bekannten Beziehungen wird sie:

j|=/r+p²

und hieraus, nach den Ausführungen des vorstehenden Abschnittes, wird weiter:

dx

dp

n + p²

und:

dy

Pdp

Vi + P²

Integrieren wir nun, dann entstehen die Gleichungen:

i|p+>T+7I+Ci

dp

fl+P³

Vi+P² + C₂.

pdp

Vi+p²

Berechnen wir hieraus zunächst p. Also:

Daher:

(y-C₂)²=l+P²*

P=V(y-C₂)i-i.

Setzen wir diesen Wert in den Ausdruck für x ein, dann ergiebt sich endlich:

x —1 jy — C₂ -j-V(y— C₂)²    1 j-f-C±.

dp = F(x)dx, p=/F(x)dx-f-C₁. Setzen mir für das Integral:

31)

32)

182. Der zweite Tifscrcntialqnotient sei eine Funktion der Abscisse.

Also:

30)

d²y

F(x).

dx²

Setzen wir wieder p = ^|, bann wird:

dy

dp

und:

/F(x)dx = f(x),

dann geht 32) über in:

dy — f(x)dx-j- Cidx.

Integrieren mir:

33)

y =/f(x) dx Ci X + C₂.

183. Der zweite Difscrentialquotient sei eine Funktion von y.

Die Gleichung lautet somit:

34)

d²y

F(y).

dx²

Wiederum bedienen wir uns der Ausdrücke: p dx

und

dp_d^y

dx dx²

Daher rnird: 34 a) dp

j|=F(y) und dp = F(y)dx.

d y

F(y)dy

Da nun, wie man sofort erkennt, dx — — wird, erhalten wir:    P

Hieraus wiederum folgt, wenn man mit zwei multipliziert: 2pdp = 2F(y)dy.

Integriert:

36)

Somit:

p* = 2/F(y)dy + C₁.

^H/s/FMay + c,

dx —

dy

Endlich:

|/2/F(y)dy + Cl

dy

2/F(y)dy + C₁

c₂.

184. Gleichungen von höherer Ordnung als der zweiten

finden in der Mechanik und Physik nur sehr selten Verwendung ; wir wollen es also für unsere engen Verhältnisse mit den vorstehenden Beispielen bewenden lassen.

Sechsundzwanzigstes Kapitel.

Die Komplexen Zahlen.

185. Allgemeine Erklärung.

Schon in der Algebra werden wir mit einer eigentümlichen Zahlengruppe, den imaginären Zahlen, bekannt. Eine imaginäre Zahl entsteht bekanntlich, wenn man eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl zu ermitteln versucht. So ist z. B. der Ausdruck /— 4 eine imaginäre Zahl. Alle imaginären Zahlen kann man auf eine bestimmte Größe zurückführen, so ist: V— 4 = 2. V— 1.

Der Ausdruck ~/—1 wird bekanntlich seit Gauß mit dem Buchstaben i bezeichnet. Der Wert von V— 1 = i ist, wenn man ihn potentiiert, einer bestimmten Periode unterworfen, in der dieselben Werte immer wiederkehren. Denn es wird, wie man sieht:

i = (TÖ=i.

l) (i)²=(y^T)²=(/=i) (y^i)=-1 (i)s=(y=ri)s=(y^i)² odi)=-y^T=-1 o)⁴=(V^)² (FF)²= — i • -1 = i (i)⁵=(FF⁴ (FF =    = i.

Der Wert von i⁵ — i.

Verbindet man eine imaginäre Zahl mit einer reellen Zahl durch Addition oder Subtraktion, z. B.:

2)

a + bi = a±b . V—1,

so erhält man eine Zahlenverbindung, die man als komplexe Zahl oder komplexe Größe bezeichnet. Die komplexen Zahlen spielen in der höheren Mathematik eine hervorragende Rolle. Auch auf technischem Gebiete werden sie jetzt vielfach hervorgezogen; deshalb wollen wir ihre bedeutungsvollen Gesetze und Beziehungen hier folgen lassen.

186. Die Rechnung mit den komplexen Zahlen.

Wir wollen zeigen, daß man mit den komplexen Zahlen wie mit den reellen rechnen kann und, daß man dabei im Resultat wiederum auf komplexe Formen stößt.

Addition. Zwei komplexe Zahlen: (a-j-bi) und (a-f-ßi) sollen addiert werden.

Man addiert in diesem Falle die reellen mit den reellen und die imaginären mit den imaginären Zahlen. Also: 3) (a -j- bi) -|- (a -j- ßi) — (a -f- a) -j- (b -f“ ß) *•

Setzen wir (a-|-a) = A und (b-f-ß) = B, so erhält man als Summe wiederum die komplexe Form A-j-Bi.

Subtraktion Die komplexen Zahlen (a-j-bi) und (ct-|-/?i) sollen subtrahiert werden. In der entsprechenden Weise wie bei der Addition erhält man:

(a-f-bi) — (a-j- ß\) — (a — ct) -|~ (b — ß)i.

4)

Multiplikation. Die komplexen Zahlen (a-|-bi) nnd (aßi) sollen mit einander multipliziert werden. Wir wollen die Rechnung wirklich ausführen nach den Regeln der Algebra.

5) (a -j- bi) (ct —|— ß\) = a et —[— et bi —|— <&ßi j— b . ßi. i = aot-j-ctbi-j-a/?i — b . ß ⁼⁼⁼ (a ct — b ß) —j— (ct b —j~ a ß) i.

187. Die konjugierten komplexen Zahlen. Norm, Modulus.

Eine bemerkenswerte Ausnahme tritt bei der Multiplikation zweier komplexen Zahlen ein, die sich nur durch das Vorzeichen von einander unterscheiden. Multiplizieren wir aus:

6)

(a -j- bi) (a — bi) = a² b².

Wir erhalten also hier als Resultat eine reelle Größe. Zwei komplexe Zahlen, wie die in 6), die sich nur durch das Vorzeichen der imaginären Größen von einander unterscheiden, heißen konjugierte komplexe Zahlen. Das Produkt zweier komplexen konjugierten Zahlen (a²-s-b²) nennt man die Norm. Die positive Quadratwurzel (Va²-|-b²) aus der Norm wird als der Modulus bezeichnet. Um anzudeuten, daß die Norm zu einer komplexen Zahl ermittelt werden soll, ist es gebräuchlich, ein „N“ davor zu setzen.

Also:

7)'

N(a + bi)r=N(a —bi) = a² + b².

Zur Bezeichnung des Modulus einer komplexen Zahl endlich setzt man ein „M“ vor dieselbe. Also:

8)

M(a-)-bi) = M(a — bi) = Va² —f- b².

188. Die Division.

dividiert werden.

Zwei komplexe Zahlen sollen durch einander a + bi

a + ßi

Wir wollen Zähler und Nenner dieses Bruches mit der konjugierten Zahl des Nenners multiplizieren. Also:

a + bi_(a + bi) (a — ßi)_aa-f-abi — zßi + bß

a² + ß²

(aa + bß) -j- (ab — &ß) i

⁹⁾ a + ßi — (a + ßi)(a-ßi)

a² + ß²

189. Imaginäre Ausdrücke in der Exponentialreihe.

Im Abschnitt 8 finden wir die Beziehung:

ea

= i+a+£+fi+!rh--+S

Setzen wir in diese Reihe für a den Wert ia, dann erhalten wir unter Berücksichtigung von 1):

10) eia= 1+ia —

Trennen wir in 10) die reellen Glieder von den imaginären, dann folgt:

ias

+ TI+

__^__i

5!    6!

ia⁵

11)

eto = {l-S + S-S + -}

-I-- {«    +fr H }

i.

In der „Tafel der Reihen" finden wir, daß:

= COS X •

und

— sin x •

sind.

eia — cos a -j- i • sin a

12)

e~ia — cos a — i. sin a.

und dementsprechend: 12a)

Durch Addition und Subtraktion von 12) und 12 a) gelangt man endlich zu Gleichungen, die merkwürdige Beziehungen zwischen den goniometrischen und den Exponential-Funktionen mit imaginären Exponenten darstellen. Es ergiebt sich:

ei« + e-ia

cos a

13)

14)

sin a

eia

21

190. Die Moivresche Formel.

Vereinigt man die Gleichungen 12) und 12 a), dann erhält man den allgemeinen Ausdruck:

e—ia = cos a dz i sin a.

15)

Setzen wir in ihn für a den Wert na, dann geht er über in:

16)

e-na= cos na + i sin na.

Bedenken wir nun, daß man mit Rücksicht auf 15) auch setzen kann:

(e±i“)n = (cosa±isin a)n e±in« ₌ (e+ia)n

ist, dann folgt sofort die sehr wichtige Moivresche Formel:

und daß

17)

(cos a dz i sin a)n — cos na dz i sin na.

Mit Hilfe der Moivreschen Formel gelangt man zu Ausdrücken, durch die man im stände ist die trigonometrischen Funktionen sin (na) und cos (na) durch sin a und cos a darzustellen:

191. Ableitungen aus der Moivreschen Formel.

Entwickeln wir zudem die Moivresche Formel in der folgenden Weise, indem wir ordnen:

COSn«

cos (n «) -f- i sin (n «) — (cos a -j- i sin «)n n{n — 1)

2!

cos11 2« . sin²«

n (n—l)(n — 2) (n — 3)

4!

cos11 4 a . sin⁴« —

+>

-f-i jn. cos11 —1«. sin «

n(n—l)(n—2)

3!

cosn-3a . sin³«“]----j-

Trennen wir nun die entsprechenden Werte, dann ergeben sich die Beziehungen:

18)    cos (n «) — cos¹¹«

I n (n — 1) (n — 2) (n — 3)

n(n-l)

2!

cos11 2 x sin²«

4!

C08n ~⁴ « . sin⁴ « — -)----

cos¹¹⁻³ « sin³ « -\--- • •

19) sin (n d) = n . cos11 1« sin « n(n — 1) (n—2)

3!

Sei z. B. n — 3, dann erhält man:

und

cos 3« — cos³« — 3cos« . sin²« sin 3« = 3cos²« . sin« — sin³«.

Die letzte Formel giebt auch die im Abschnitt 138 verwendete Beziehung. Setzen wir, um das zu zeigen, für cos²« den Wert 1 — sin²«, dann wird:

sin3« — 3 . (1 — sin²«) sin « — sin³«

—    3 sin « — 3 sin³« — sin³«

—    3 sin « — 4 sin³«

192. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen.

Man kann sich, wie in der Algebra auseinandergesetzt wird, die natürlichen Zahlen auf einer geraden Linie dargestellt denken. Zeichnet man sich eine gerade Linie und nimmt auf derselben einen Punkt als Anfangs-

+ 1    -f-z +3

X,

-3_-2 -/

Fig. 37.

Punkt (Nullpunkt) an, dann kann man auf derselben nach rechts unb links eine Zahl gleicher Teile abtragen. Die Teile nach rechts stellen die positiven Werte 1, 2, 3, ... u dar. die linken die negativen Werte — 1, —2, — 3,... —n. (Siehe Fig. 37.)

Auch die Reihe der imaginären Zahlen pflegt man in entsprechender Weise zu veranschaulichen. Wie in der

-t

-i - 2i

Fig. 38.

Figur 38 errichtet man int Punkte Null auf der Linie der reellen Zahlen eine Senkrechte nach beiden Seiten und trägt

auch auf dieser nach oben und unten eine Anzahl gleicher Teile auf. Die oberen entsprechen den positiven imaginären Werten i, 2i, 3i, . . . ni, die unteren den negativen imaginären Werten —i, — 2i, — 31, . . . — ni.

Man erkennt nun sofort, daß die aus reellen und imaginären Zahlen zusammengesetzten komplexen Größen ihre Darstellung in der Ebene der Koordinaten selbst erfahren.

Betrachten wir dazu den Punkts in der Figur 39. Er sei gegeben durch die Koordinaten OB — a und AB = b.

Es wird somit die Linie OA durch die komplexe Größe a-j-bi erklärt, welche durch ihre Länge und Richtung die Lage von A bestimmt. — Sehr häufig pflegt man diesen Ausdruck auch durch Polarkoordinaten wiederzugeben. Man nennt dann die Linie OA — r den Modulus und den Winkel a das Argument. Es ist nun:

AB = r sin a OB = r cos a.

a -f- bi = r (cos a -[- i sin a).

2 a)

und:

21)

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

T/

Oi

Fig. 39.

Also:

17

Allgemeine Formelkafel.

(a -j- b)n = a¹¹ -f~ n a¹¹ ~¹ b . i n(n —1)

an~²b²-l-----^-bn

n(n — 1) , n(n—l)(n —2)

2!

2n = 1+n-f (n + 1) br +¹ = (n) br + (d) br + !

2!

3!

lim (^]=1

x = 0 \ x /

dy

dx

lim

f(x + Ax)-f(x)

Ax=o

fz(a) = 0

= mxm

f' (sin x) = cos x f'(cosx) — — sinx

Ax

cl.f(s)

= f'(x) = ^Tx

f⁷ (tang x)

fz(cot x)

sin² x

f'(secx) = ;

sin x

cos² X

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

pf

24)

25)

26)

27)

f^cosec x)

loge

f'(logx) =

f'(i*)=4

f'(ax) = ax-la f'(ex) = ex

f'(arc sin x)

COS X

sin²x

e = 2.7182818 • \ •

yi—x²

f⁷ (arc cos x) —

f' (arc tang x)

f⁷ (arc cotang x)

f'(arc sec x) =

yi — x²

1+x²

1+x²

x Vx² — 1

f' (arc cosec x) —

x Vx² — 1

Wz x du , dv f (u.x) = vIi + uI5

vdu_uaj_

f'

di

V²

dy_dy dz

dx dz dx

d²y

dx2 f W

SS-«*»

n*

28)

29)

30)

31)

f(x -f- h) = f (x) -f f'(x). h + f" W - ^7

+ f'"(x).^+...f“(x).^ + R (Taylorsche Reihe)

f(x) = f(0) + f'(0)-x + f"(0).^

+ f"'(0).^4-----hfn(0)-^+R

(Mac-Laurinsche Reihe)

^-i+x+S+S+S+-:+s

x²

ax = 1 -f- x. la -f- (la)

32)

sin x = x —

+ Sda)³ + ---+^Nn

X³ , X⁵ X⁷ , X⁹    ,    , xn

3! + 5! — 7! + 9l--ree -iü

33)

34)

35)

(n eine ungerade Zahl)

C08X —

(n eine gerade Zahl)

(1-x²)-V2=1+1x²

1.3

2.4

X⁴

x⁶-|----

1.3.5

¹ 2.4.6

36)

arc sin x = x -f

x³

1.3

2.3

2.4.5

X5-J----

37)

x³

arc tang x — x — ₃

38)

Tangente (T) = y|/l+(^|]

ds

= y dy

Polar

koordinaten)

39)

Normal (N) = y]/l + (^)

ds

(Polar

koordinaten)

dx

40) Subtangente (St) = y-^

r²da

dr

(Polarkoordinaten)

41)

dy

Subnormale (Sn) — y ^

dr

(Polarkoordinaten)

42)

da

Formeln für den Krümmungskreis: i H— p²

P- 9 =x 1+P²

9--P

dy

/ds\³

±(1+P%

v    q

z = f(x,y)

dz=Sdx + ^dy

44) F (x,y) = 0

dy__F¹ (x, y)

dx

F²(x,y)

45) /xm dx

xm + U)

in -f- 1

46)

fr

47)

48)

49)

SO)

51)

— —Ix Jexdx = ex

/sinxdx = /cosxdx = sinx

cotx

ax

— COS X

52)

53)

54)

f dx J sin² x

f dx

JCOS² X

s dx r dx

Jl + x²'

tang x

arc sin x

arc tang x

55)

sin x

cos² x

dx — sec x

56)

57)

s dx

J

/af'(x) dx — a /f'(x) dx /1F' (x) -J- f'(x) — 93'(x)} dx =/F' (x) dx

+/f'(x) d x jcp (x) d

xVx²— 1

arc sec x

') Die Jntegrationskonstante ist hier sortgelaffen.

59)

f dx

J¹

60)

61)

62)

1(1 +x)

f = 1 (x — a)

Jx — a

^l(a-f-bx)

⁼ ^'^a + bs2)

1+x

f dx

a-f-bx

nx dx

a + bx²

63)

dx

a² + x²

arc tang

64)

x² —a²

2a !KX —a) —l(x + a)l

₌ J_.lfEZZ£)

2a \x + a/

65)

adx

Va²—x²

arc sin

66)

j'ww=li'+^+*²⁾

67)

xdx

a² + x²

2 1 (a² + x²)

68)

xdx

a² —x²

Va² — x²

69)

a xdx

70)

Va² — x2 xdx

Va² — x²

jV + X²

71)

Jya²4-x2 /sin x - cos xdx = { sin² x /tang x - dx — — 1 cos x

73)

74)

75)

/cot x • dx = 1 • sin x s_dx

Js

/dx _ j sinx

smx.cosx

1 tang x

— 1 cot

Itangg)

76)

/'dx

Je

COS X

= 1. cot

(-1)

77)

(mx + n) dx__ma -f~ n

x² + 2ax+b~" ma -j- n

s dx Jx — a

• 1 (x — a)

myS-j-n

mß+n f dx a—Jx—y?

•l(x —yS)

a—ß

78)

/ udv— vv —

Jvdu

79)

80)

81)

82)

83)

84)

85)

86)

87)

*" /x. ex dx = ex (x — 1)

/lx. dx = x(lx /x² lx dx —    (lx —-J)

/xe

m \

jx . cos x dx = x . sin x -f- cos X /x² cos x d x = sin x (x² -|- 2 x. cot x — 2) /cos²x dx — ^ (sin x. cos x-)-x)

/sin²x dx — — l (sin x cosx — x) /sin²xdx-f-/cos²x dx — x /arc.sinx dx —x.arcsinx-(-/1—x²

dx =

1)

x--

in

89)

90)

91)

92)

93)

94)

Jans, cos x dx = x . arc cosx — /l —x²

J arc tangx dx = arc tangx — 11(1 -}-x²)

xn+¹dx Fa²—x2 x²dx

'^dx_ x^y^i_j^/x^dx Fa²+x² X + 1    1 n + UFa²+x²

n + 1    ¹ n+V]

\ Va² — x² -j- \ arc sin (d

xn~idx

]4i²—x²

95)

/xn_1dx Va² — x²

xn 1dx

a² ß

n + iJVa²—x²

96)

97)

/dx /a²— x² —    /a² — x²-j- \ arc sin

a² /xn—1dx

n + U/?

/xn_1dx/a²-|-x²

— X²

98)

/dx "|/a²—|— x²

99)

—    /a²-f-x²-|-~ • 1 (x-j-/a²-f~^)

b

sf' (x) d x = f (b) — f (a)

100)

b    a

/f'(x)dx = —/f'(x)dx

beb /f'(x) dx — /f'(x) dx-j- /f'(x) d

102)

103)

F =/y ds (Formel für d. Quadratur d. Kurven) F = | /r²da (Quadraturformel in Polarkoord.)

104)

:Jd x]/i+E) ⁼/dx Vl + F (51²

(Formeln für die Rektifikation d. Kurven)

105)

(Formeln für die Rektifikation in Polarkoordinaten)

(Formeln für die Inhaltsbestimmung der Rotationsflächen)

106) F = 2tz /yd = 2 7t /x ds

V = jr/y²dx (Formeln für die Kubatur — n /x²dy

108)    (a —f- b i) —f- (« —/Si)    = (a —[—    oc) —f— (b —f— /5) i

109)    (a—[-bi)— (ot —|- ßi)    = (a —    ot) —|— (b ß) i

110)    (a —j— b i) (ot —j— ß i) =    (a ot — b    ß) —j— (ot b —J— a ß) i

111)    (a-[- bi) (a — bi) =    a²-f-b²

112)    N(a + bi) = N(a — bi) = a² + b²

113)    M (a -f bi) = M (a — bi) = /a² + b²

a + bi_(aa + b^) + (ab — &ß)i

a + ß i

115) eia = cos ot -f- i sin ot e~~ia = cos ot — i sin ot

107)'

114)

der Rotationskörper)

«² + /?²

116)

cosa —

Allgemeine Formeltafel. elg4-e-iq

117)

sin a

eia — e—ia

2i

118)

119)

(cos a zh i sin a)n = cos n a zh i sin n a (Formel von Moivre) n (n - 1)

cos (na) — cos¹¹«

, n(n — l)(n — 2)(n —3)

2!

cos11 2a.sin²a

4!

cos11 4a.sin⁴a--j— -

120)

sin (na) — n . cos¹¹⁻¹ a . sin a n (n — 1) (n — 2)

3!

cos¹¹⁻³a . sin³a -|--- • •

Mathematische Litteratur.

Für die Leser, die unser Büchlein studieren wollen, und die früher eine höhere Bildungsanstalt durchgemacht haben, empfehlen wir zur gründlichen Wiederholung der Elementarmathematik:

1)    Fischer: „Systematischer Grundriß der Elementar-Mathematik". 2 Teile. Berlin, Duncker.

2)    Baltzer: „Elemente der Mathematik". 2 Bde. Leipzig, Hirzel. Das letzte Werk setzt einen gewandten Mathematiker voraus.

Diejenigen Leser, welche keine systematische Ausbildung in der Elementarmathematik genossen haben, deren mathematische Kenntnisse nur gering sind, werden auf die mathematischen Katechismen im gleichen Verlage hingewiesen. Die folgenden sind zum Verständnis der Differential- und Integralrechnung unerläßlich:

Zetzsche: „Katechismus der Geometrie".

Herrmann: „Katechismus der Algebra".

Bendt: „Katechismus der Trigonometrie".

Äiriedrich: „Katechismus der analytischen Geometrie".

Zur Einübung der Differential- und Integralrechnung eignen sich die Aufgabensammlungen von:

-Dölp: „Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung".

X S chlömilch: „Uebungsbuch z. Studium d. höheren Analysis". 2Bde. Sohncke: „Sammlung von Aufgaben aus der Differential- und Integralrechnung". 2 Bde.

Für das weitere Studium sei empfohlen:

Schlömilch: „Kompendium der höheren Analysis". 2 Bde. ^Kiepert: „Grundriß der Differential-u. Integralrechnung". 2 Bde. ^ Web er: „Lehrbuch der Algebra". 2 Bde.

Schlömilch: „Handbuch der algebraischen Analysis".

Hesse: „Vorlesungen über die analytische Geometrie: a) der geraden Linie, b) der Kegelschnitte, c) des Raumes".

Druck von I. I. Weber tu Leipzig.

Wertcrg von I. I. Weber: in Leipzig.

Illustrierte Katechismen.

Belehrungen aus dem Gebiete der

Wissenschaften, Künste und Gewerbe re.

1890.    3 Mark.

Ackerbau, praktischer. Von Wilhelm Hamm. Dritte Auflage, gänzlich umgearbeitet von A. G. S ch m i t t e r. Mit 138 Abbildungen.

Agrikulturchemie. Von Dr. E. Wildt. Sechste Auflage. Mit 41 Abbildungen.

1884.

3 Mark.

3 Mark.

Algebra, oder die Grundlchren der allgemeinen Arithmetik. Vierte Auflage, vollständig neu bearbeitet von Richard Schurig. 1895.

Anstandslehre. — Katechismus des guten Tons und der feinen Sitte von Eufemia von Adlersfeld geb. Gräfin Ballestrem. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1895.    2 Mark.

Appretur s. Spinnerei.

3 Mark.

Archäologie. Übersicht über die Entwickelung der Kunst bei den Völkern des Altertums von Dr. Ernst Kroker. Mit 3 Tafeln und 127 Abbildungen. 1888.

Archivkunde s. Registratur.

Arithmetik. Kurzgefaßtes Lehrbuch der Rechenkunst für Lehrende und Lernende von E. Schick. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage, bearbeitet von „Max Meyer. 1889.

Ästhetik. Belehrungen über die Wissenschaft vom Schönen und der Kunst von Robert Prö lß. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1889. 3 Mark. Astronomie. Belehrungen über den gestirnten Himmel, die Erde und den Kalender von Dr. Hermann I. Klein. Achte, vielfach verbesserte Auflage. Mit einer

3 Mark.

3 Mark.

Sternkarte und 163 Abbildungen. 1893.

Aufsatz, schriftlicher, s. Stilistik.

Auswanderung. Kompaß für Auswanderer nach europäischen Ländern, Asien, Afrika, den deutschen Kolonien, Australien, Süd- und Zentralamerika, Mexiko, den Vereinigten Staaten von Amerika und Kanada. Siebente Auflage. Vollständig neu bearbeitet von Gustav Meinecke. Mit 4 Karten und einer Abbildung. 1896.    2 Mark 50 Pf.

Bankwesen. Von Dr. E. Gleisberg. Mit 4 Check-Formularen und einer Übersicht über die deutschen Notenbanken. 1890.    2 Mark.

Baukonstruktionslehre. Mit besonderer Berücksichtigung von Reparaturen und Umbauten. Von W. Lange. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 343 und 1 Tafel Abbildungen. 1895.    3 Mark 50 Pf.

Baustile, oder Lehre der architektonischen Stilarten von den ältesten Zeiten bis auf die Gegenwart von Dr. Ed. Freiherrn von Sacken. Zwölfte Auflage.

Mit 103 Abbildungen. 1896.

Beleuchtung s. Heizung.

Bergvaukunde. Von G. Köhler. Mit 217 Abbildungen. 1891.

Bergsteigen. — Katechismus für Bergsteiger, Gebirgstouristen und Alpenreisende von Julius Meurer. Mit 22 Abbildungen. 1892.    3 Mark.

Bewegungsspiele für die deutsche Jugend. Von I. C. Lion und I. H. Wortmann. Mit 29 Abbildungen. 1891.

Bibliothekslehre mit bibliographischen und erläuternden Anmerkungen. Neubearbeitung von Dr. Julius Petzholdts Katechismus der Bibliothekenlehre von Dr. Arnim Gräsel. Mit 33 Abbildungen und 11 Schrifttafeln. 1890.    4 Mark 50 Pf.

Bienenkunde und Bienenzucht. Von G. Kirsten. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage, herausgegeben von I. Kirsten. Mit 51 Abbildungen.

2    Mark.

Bildhauerei für den kunstliebenden Laien. Von Rudolf Maison. Mit 63

3    Mark.

2 Mark.

4 Mark.

2 Mark.

1887.

Abbildungen. 1894.

Bleicherei s. Wäscherei re.

Blumenzucht s. Ziergärtnerei.

Botanik, allgemeine. Von Prof. Dr. Ernst Hallier. Mit 95 Abbildungen.

1879.

2 Mark 50 Pf.

Botanik, landwirtschaftliche. Von Karl Müller. Zweite Auflage, vollständig umgearbeitet von R. Herrmann. Mit 4 Tafeln und 48 Abbildungen. 1876.    2    Mark.

Briefmarkenkunde und Briefmarkensammelwesen. Von V. Suppantschitsch. Mit 1 Porträt und 7 Textabbildungen. 1895.    3 Mark.

2 Mark 50 Pf.

Buchdruckerkunst. Von A. Waldow. Sechste, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 43 Abbildungen und Tafeln. 1894.

Buchführung, kaufmännische. Von Oskar Klemich. Fünfte, durchgesehene Auflage. Mit 7 Abbildungen und 3 Wechselformularen. 1895.

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Buchführung, landwirtschaftliche. VonProf. Dr. K. Birnbaum. 1879. 2 Mark.

Chemie. Von Prof. Dr. H. Hirzel. Siebente, vermehrte Auflage. Mit 35 Abbildungen. 1894.    4    Mark.

Chemikalienkunde. Eine kurze Beschreibung der wichtigsten Chemikalien des Handels. Von Dr. G. Heppe.    1880.    2    Mark.

Chronologie. Mit Beschreibung von 33 Kalendern verschiedener Völker und Zeiten von Dr. Adolf Drechsler. Dritte, verbesserte und sehr vermehrte Auflage. 1881.    1 Mark 50 Pf.

Corresponclance commercialc par J. Forest. D’aprös l’ouvrage de meme

nom en langue allemande par C. F. Findeisen. 1895.

3    Mark 50 Pf.

Tafeln.

Darwinismus. Von Dr. Otto Zacharias. Mit dem Porträt Darwins, 30 Abbildungen und 1 Tafel. 1892.    2 Mark 50 Pf.

Differential- und Integralrechnung. Von Franz Bendt. Mit 39 Figuren.

1896.    3 Mark.

Drainierung und Entwässerung des Bodens. Von Dr. W i l l i a m L ö b e. Dritte, gänzlich umgearbeitete Auflage. Mit 92 Abbildungen. 1881.    2 Mark.

Dramaturgie. Von Robert Prölß. 1877.    3 Mark.

Droguenkunde. Von Dr. G. Heppe. Mit 30 Abbildungen. 1879. 2 Mark 50 Pf. Einjahrig-Freiwillige. — Der Weg zum Einjährig-Freiwilligen und zum Offizier des Beurlaubtenstandes in Armee und Marine. Von Oberstlieutenant z. D. Exner. 1891.    2 Mark.

Dampfkessel, Dampfmaschinen und andere Wärmemotoren. Ein Lehr- und Nach-schlagebuch für Praktiker, Techniker und Industrielle von Th. Schwartze. Fünfte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 268 Abbildungen und 13 1894.    4 Mark 50 Pf.

Eissegeln und Eisspiele s. Wintersport.

Elektrotechnik. Ein Lehrbuch für Praktiker, Techniker und Industrielle von Th. Schwartze. Sechste, vollständig umgearbeitete Auflage. Mit 256 Abbildungen. 1896.    4 Mark 50 Pf.

Entwässerung s. Drainierung.

Ethik s. Sittenlehre.

Familienhäuser s. Villen.

Färberei und Zeugdruck. Von Dr. Hermann Grothe. Zweite, vollständig neu bearbeitete Auflage. Mit 78 Abbildungen. 1885.    2 Mark 50 Pf.

Farbwarenkunde. Von Dr. G. Heppe. 1881.    2 Mark.

Feldmeßkunst. Von Dr. C. Pietsch. Fünfte, vollständig umgearbeitete Auflage. Mit 75 Abbildungen. 1891.    l Mark 50 Pf.

Feuerwerkerei s. Lustfeuerwerkerei.

Finanzwissenschaft. Von Alois Bischof. Fünfte, verbesserte Auflage. 1890.

l Mark 50 Pf.

Fischzucht, künstliche, und Teichwirtschaft. Wirtschaftslehre der zahmen Fischerei von E. A. S ch r o e d e r. Mit 52 Abbildungen. 1889. 2 Mark 50 Pf.

Flachsbau und Flachsbereitung. Von K. Sontag. Mit 12 Abbild^gen. 1872.

Fleischbeschau s. Trichinenschau.

Forstbotanik. Von H. Fi sch b ach. Fünfte, vermehrte und verbesserte Auflage.

Mit 79 Abbildungen. 1894.    2 Mark 50 Pf.

Freimaurerei. Von Dr. Willem Smitt. 1891.    2 Mark.

Galvanoplastik und Galvauostegie. Ein Handbuch für das Selbststudium und den Gebrauch in der Werkstatt von G. Seelhorst. Dritte, durchgesehene und vermehrte Auflage von Dr. G. Langbein. Mit 43 Abbildungen. 1888.

Gartenbau s. Nutz-, Zier-, Zimmergärtnerei, und Rosenzucht. Gebärdensprache s. Mimik.

Gedächtniskunst oder Mnemotechnik. Von Hermann Kothe. Siebente, verbesserte und vermehrte Auflage, bearbeitet von Dr. G. Pietsch. 1893.

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Geflügelzucht. Ein Merkbüchlein für Liebhaber, Züchter und Aussteller schönen Rassegeflügels von Bruno Dürigen. Mit 40 Abbildungen und 7 Tafeln. 1890.    4 Mark.

Gemäldekunde. Von Dr. Th. v. Frimmel. Mit 28 Abbildungen. 1894.

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Geographie. Vierte Auflage, gänzlich umgearbeitet von Karl Arenz. Mit 57 Karten und Ansichten. 1884.    2 Mark 40 Pf.

Geographie, mathematische. Zweite Auflage, umgearbeitet und verbessert von Dr. Hermann I. Klein. Mit 113 Abbildungen. 1894. 2 Mark 50 Pf.

Geologie. Von Dr. Hippolyt Haas. Fünfte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 149 Abbildungen, einer Tafel und einer Tabelle. 1893. 3 Mark.

Geometrie, analytische. Von Dr. Max Friedrich. Mit 56 AbbildMgen.^iW4.

Geometrie, ebene und räumliche. Von Prof. Dr. K. Ed. Zetzsche. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 223 Abbildungen und 2 Tabellen. 1892.    3 Mark.

Gesangskunst. Von F. Sieber. Fünfte, verbesserte Auflage. Mit vielen Notenbeispielen. 1894.    2 Mark 50 Pf.

Gesetzgebung des Deutschen Reiches s. Reich, das Deutsche.

Geschichte, allgemeine, s. Weltgeschichte.

Geschichte, deutsche. Von Wilhelm Kentzler. 1879. Kartoniert2Mark50Pf. Gesetzbuch, bürgerliches, nebst Einführungsgesetz und Sachregister. 1896.

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Gesundheitslehre, naturgemäße, auf physiologischer Grundlage. Siebzehn Vor-Mit 7 Abbildungen. 1884.    3 Mark 50 Pf.

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(Unter gleichem Titel auch Band 20 von Webers Jllustr. Gesundheitsbüchern.) Girowesen. Von Karl Berger. Mit 21 Formularen. 1881.

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Handelsmarine, deutsche. Von R. Dittmer. Mit 66 Abbildungen. 1892.

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Heraldik. Grundzüge der Wappenkunde von Dr. Ed. Freih. v. Sacken.

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Wolde mar Götze. Mit 69 Abbildungen. 1892.    3    Mark.

Kompositionslehre. Von I. C. Lobe. Sechste Auflage. Mit vielen Musikbeispielen. 1895.    2    Mark.

Korrespondenz, kaufmännische, in deutscher Sprache. Von C. F. Find eisen. Vierte, vermehrte Auflage, bearbeitet von Franz Hahn. 1896. 2 Mark 50Pf.

--- tn französischer Sprache s. Correspondance commerciale.

Kostümkunde. Von Wolfg. Quincke. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 459 Kostümfiguren in 152 Abbildungen. 1896. 4 Mark 50 Pf. Kriegsmarine, deutsche. Von R. Dittmer. Mit 126 Abbildungen. 1890.

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Kulturgeschichte. Von I. I. Honegger. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1889.    2    Mark.

Kunstgeschichte. Von Bruno Bücher. Vierte, verbesserte Auflage. Mit 276 Abbildungen. 1895.    4    Mark.

Liebhaberkünste. Von Wanda Friedrich. Mit 250 Abbildungen. 1896.

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Litteraturgeschichte, deutsche. Von Dr. Paul Möbius. Siebente, verbesserte

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Logik. Von Friedr. Kirchner. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage.

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Münzkunde. Von H. Dannenberg. Mit li Tafeln Abbildungen. 1891.

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Musik. Von I. C. Lobe. Sechsundzwanzigste Auflage. 1896. 1 Mark 50 Pf. Musikgeschichte. Von R. Musiol. Mit 15 Abbildungen und 34 Notenbeispielen. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1888.    2 Mark 50 Pf.

Musikinstrumente. Von Richard Hofmann. Fünfte, vollständig neu bearbeitete Auflage. Mit 189 Abbildungen. 1890.    4 Mark.

Mythologie. Von Dr. E. Kroker. Mit 73 Abbildungen. 1891.    4 Mark.

Naturlehre. Erklärung der wichtigsten physikalischen, meteorologischen und chemischen Erscheinungen des täglichen Lebens von Dr. C. E. Brewer. Vierte, umgearbeitete Auflage. Mit 53 Abbildungen. 1893.

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Numismatik s. Münzkunde.

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Orgel. Erklärung ihrer Struktur, besonders in Beziehung auf technische Behandlung beim Spiel von E. F. Richter. Vierte, verbesserte und vermehrte Auflage, bearbeitet von Hans Menzel. Mit 25 Abbildungen. 1896. 3 Mark.

Ornamentik. Leitfaden über die Geschichte, Entwickelung und die charakteristischen Formen der Verzierungsstile aller Zeiten von F. Kanitz. Fünfte, verbesserte Auflage. Mit 131 Abbildungen. 1896.    2 Mark.

Pädagogik. Von Lic. Dr. Fr. Kirchner. 1890.

2 Mark.

Paläographie s. Urkundenlehre.

Paläontologie s. Versteinerungskunde.

Perspektive, angewandte. Nebst Erläuterungen über Schattenkonstruktion und Spiegelbilder. Von MaxKleiber. Zweites vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 145 in den Text gedruckten und 7 Tafeln Abbildungen. 1896. 3 Mark. Petrefaktenknnde s. Versteinerungskunde.

Petrographie. Lehre von der Beschaffenheit. Lagerung und Vildungsweise der Gesteine von Dr. I. Blaas. Mit 40 Abbildungen. 1882.    2 Mark.

Philosophie. Von I. H. v. Kirchmann. Dritte, durchgesehene Auflage. 1888.

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Philosophie, Geschichte der, von Thales bis zur Gegenwart. Von Lic. Dr.

Fr. Kirchner. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. 1896. 4 Mark Photographie. Anleitung zur Erzeugung photographischer Bilder von Dr. I. Schnauß. Fünfte, verbesserte Auflage. Mit 40 Abbildungen. 1895.

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Phrenologie. Von Dr. G. Scheve. Achte Auflage. Mit Titelbild und

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Physik. Von Dr. I. Kollert. Fünfte, verbesserte und vermehrte Auflage.

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Poetik, deutsche. Von Dr. I. Minckwitz. Zweite, vermehrte und verbesserte

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Porzellan- und Glasmalerei. Von Robert Ulke. Mit 77 Abbildungen. 1894.

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Psychologie. Von Fr. Kirchner. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1896.

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Raumberechnung. Anleitung zur Größenbestimmung von Flächen und Körpern jeder Art von Dr. C. Pietsch. Dritte, vermehrte und verbefferte Auflage. Mit 55 Abbildungen. 1888.

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Rechtschreibung, neue deutsche. Von Dr. G. A. Saalfeld. 1895. 3 Mark 50 Pf.

Redekunst. Anleitung zum mündlichen Vortrage von Roderich Benedi Fünfte Auflage. 1896.

Registratur- und Archivkunde. Handbuch für das Registratur- und Archivwesen bei den Reichs-, Staats-, Hof-, Kirchen-, Schul- und Gemeindebehörden, den Rechtsanwälten re., sowie bei den Staatsarchiven von GeorgHoltzinger. Mit Beiträgen von Dr. Friedr. Leist. 1883.    3 Mark.

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Reich, das deutsche. Ein Unterrichtsbuch in den Grundsätzen des deutschen Staatsrechts, der Verfassung und Gesetzgebung des Deutschen Reiches von Dr. Wilh. Zeller. Zweite, vielfach umgearbeitete und erweiterte Auflage. 1880. einigung s. Wäscherei.

Ritter- und Verdienstordeu aller Kulturstaaten der Welt innerhalb des 19. Jahrhunderts. Auf Grund amtlicher und anderer zuverlässiger Quellen zusammengestellt von Maximilian Gritzner. Mit 760 Abbildungen. 1893.

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Sprachlehre, deutsche. Von Dr. Konrad Mi chelsen. Dritte Auflage, herausgegeben von Eduard Mich elfen. 1878.

Staatsrecht s. Reich, das Deutsche.

Stenographie. Ein Leitfaden für Lehrer und Lernende der Stenographie im allgemeinen und des Systems von Gabelsberger im besonderen von Prof. H. Krieg. Zweite, vermehrte Auflage. 1888.    2 Mark 50 Pf.

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Stilistik. Eine Anweisung zur Ausarbeitung schriftlicher Aufsätze von Dr.Konrad Michelsen. Zweite, durchgesehene Auflage, herausgegeben von Ed. Michelsen. 1889.    2 Mark.

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Tanzkunst. Ein Leitfaden für Lehrer und Lernende nebst einem Anhang über Choreographie von Bernhard Klemm. Sechste, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 82 Abbildungen. 1894.

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Tierzucht, landwirtschaftliche. Von Dr. Eugen Werner. Mit 20 Abbildungen. 1880.    2 Mark 50 Pf.

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Trichinenschau. Von F. W. Rüffert. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 52 Abbildungen. 1895.    1 Mark 80 Pf.

Trigonometrie. Von Franz Bendt. Zweite, erweiterte Auflage. Mit 42 Figuren. 1894.    l Mark 80 Pf.

Turnkunst. Von Dr. M. K l o s s. Sechste, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 100 Abbildungen. 1887.    3 Mark.

Uhrmacherkunst. Von F. W. Rüffert. Dritte, vollständig neu bearbeitete Auflage. Mit 229 Abbildungen und 7 Tabellen. 1885.    4 Mark.

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Urkundenlehre. — Katechismus der Diplomatik, Paläographie, Chronologie und Sphragistik von Dr. Fr. Leist. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 6 Tafeln Abbildungen. 1893.    4 Mark.

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Verfassung des Deutschen Reiches s. Reich, das Deutsche.

Versicherungswesen. Von Oskar Lemcke. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1888.    2 Mark 40 Pf.

Verskunst, deutsche. Von Dr. Ro d e ri ch B en ed ix. Dritte, durchgesehene und verbesserte Auflage. 1894.    i Mark 50 Pf.

Bersteinerungskunde (Petrefaktenkunde, Paläontologie). Von Hippolyt Haas. Mit 178 Abbildungen. 1887.    3 Mark.

Billen und kleine Familienhäuser. Von GeorgAster. Mit 112 Abbildungen von Wohngebäuden nebst dazugehörigen Grundrissen und 23 in den Text gedruckten Figuren. Vierte, vermehrte Auflage. 1896.    5 Mark.

Völkerkunde. Von Dr. Heinrich Schurtz. Mit 67 Abbildungen. 1893.

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Völkerrecht. Mit Rücksicht auf die Zeit- und Streitfragen des internationalen Rechtes. Von A. Bischof. 1877.    1 Mark 50 Pf.

Volkswirtschaftslehre. Von Hugo Schober. Fünfte, durchgesehene und vermehrte Auflage von Dr. Ed. O. Schulze. 1896.    4 Mark.

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Wappenkunde s. Heraldik.

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Warenkunde. Von E. Schick. Fünfte, vermehrte und verbesserte Auflage, bearbeitet von Dr. G. Heppe. 1886.

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Wäscherei, Reinigung und Bleicherei. Von Dr. Herrn. Grothe. Zweite, vollständig umgearbeitete Auflage. Mit 41 Abbildungen. 1884.

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Weinbau. Von Fr. Jac. Dochnahl. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 55 Abbildungen. 1896.    2 Mark 50 Pf.

Weltgeschichte, allgemeine. Von Dr. Theodor Flathe. Zweite Auflage. Mit 5 Stammtafeln und einer tabellarischen Übersicht. 1884.    3 Mark.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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