f *

j::..

m

SK2

Γ.:

H·'

y

$ a

:

mm

y y

§^gt§g£££§

■ > i: ·¹

--

' r: -

iggSSa^SSg

•    >--■· - f: -

L, ··,

.:■:··

,: 1

y

m

v:

!;|;I

:

yy :·: . yrr;

:·

yy-

..y:

yy

; ·:.··

:Κ:

M;

Bi

w

:.V

,ϊί

:

y Π

: ·:'■

:

,

:;1

Γ::ί:

m

tSÄ&yyyä

yy.

·: ·..

5

mUm

: .

: :

11

:···:>

y

y

y:

m

...

yy

:-i

ksi

feil

:

·'

...

- ·

iffl

.y,::

II

y-i

mm

s

r.

■ -

■ .

yy

i£5

Ü ■ 8 :

■>-

y yy

y.

m

äS

yyy

] -y.:

!l

«Sary.

■

K2

v:

m

KE

. -;j·

M

■ >-

-Π:

yyy y

p;

:5

5

.

m

y

£2

yy

y,

y«

■Mi

y-y

y

1

y

HI

. :■

m

y-yyyyy

:

m

m

ii

V .    - -

■ y.

··:

.-.y:

SS

::y

SH»

:

I

• y

.Vi

Γ

y

ήί

■

yfi

y

s

i

::··:·κ

, y ~......"

y%

-

: rr ;.γγγ.--·γ·

y

:: ;

y

y v.

φ

BIBLIOTHECA

ΣΤΟΙΧΕΙΑ.

r.

Έάν άρα δυο εν&εΐαι υπο παραλλήλων έπιπέδων τέμνων

έότι τοίς άπδ τών &Ρ. τοΐς δε άπδ των Λ&,

XXVII.

(F hoc loco difficilis est lectu).

10. ίαα V, sed corr.

τέρα, καί γωνία η υπό ΕΘΗ γωνία τη υπό ΚΑΑ έΰτιν ΐ

r.

3. λοιπόν Ρ. 5. μεΐξον V q, 6. ΟΘΕΠΖΡΗΣ PBq et e c

5 παραλληλω δντι τοΐς άπεναντίον έπιπέδοις. έΰτιν

XVIII.

V.

Ergo quadratum lateris pentagoni aequale est qua

15 ’Εκκείΰ&ω ή τής δο&είΰης ΰφαίρας διάμετρος ή AB

Λει δη αυτό και σφαίρα περιλαβεΐν τη δο&είση 15 κα

Demonstrationes alterae.

6.

10.

 II. 1 (Odyssea I) . . . . —.75

BIBLIOTHECA

SCRIPTORUM GRAECORUM ET ROMANORUM TEUBNERIANÄ.

EUCLIDIS

OPERA OMNIA.

EDIDERUNT

I. L. HEIBERG ET H. MENGE.

EUCLIDIS ELEMENTA.

EDIDIT ET LATINE INTERPRETATUS EST

I. L. HEIBERG,

DR. DHIL.

UOL. IY. LIBROS XI—ΧΠΙ CONTINENS.

LJPSIAE

IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.

BIBLIOTHECA

SCRIPTORUM GRAECORUM ET ROMANORUM TEUBNERIANA.

JC Λ .    9.—

. —.90 . 1.85 . —.90

Aelianus ed. Ilercher. 2 voll..

----varia historia . . .

Aeneae comment. ed. Hug . .

Aeschines ed. Franke.....

Aeschylus ed. Dindorf ....

----------einzelne Stücke . . . k —.30

--tragoediae ed. Weil. . .

--lyrica ed. Bergk. Ed. III. . .

Antiphon ed. Blafs. Ed. II . . .

Antoninus ed. Stich.......

Apollodorus ed. Bekker......

Appollon. Rhodius ed. Merkel . .    1

Äppian ed. Mendelssohn. 2 voll.. .    9.—

Archimedis opera omnia. Ed.

Heiherg. 3 voll

1.20

1.50

«t- H

1.80

18.—

Aristophanes ed. Bergk. 2 voll. .    3.—

—----------- einzelne Stücke . . . k

Aristoteles de partibus animal.

ed. Lar.gkavel.........

------ de arte poetica ed. ChtHst . . —.60

1.50

— .45

1.80

--physica ed. Prantl

--Ethica Nicomacheaed.Sw$<erm'AJ 1.80

- Ethica Eudemia ed. Susemihl 1.80

- de coelo etc. ed. Prantl. . .    1.20

--de coloribusj audibilibus,

physiognomonica ed. Prantl .

— .60

- scripta min. ed. Eberhard. .

Athenaeus ed. Meineke. 4 voll. . . 12.— Augustinus iter. ed. Dombart. 2 voll. 6.—

1.50

Aulularia ed. Peiper . Autolycus ed. Hultsch. Avienus ed. Breysig. . Bahrius ed. Schneidewin

1.—

— .60

Boetius de inst. math. ed. Friedlein 5.10

--------- de consolotione ed. Peiper .    2.70

---com m. in libr. Arj“+''*«iis ΛβοΙ

έρμψβίας ree. Mei

Bucolici Graeci ed. .

Caesar ed. Dinter, kp —— ed. Dinter. 3 v<

----de bello Gallic

---- civili. Ed

Cassius Felix ed. Ä< Catullus ed. Müller Catullus, Tibullus, Cebetis tabula ed. L·., Celsus ed. Daremberg .

Jt Λ

Cicero ed. Müller Pars I Opera

rhetorica ed. Friedrich. Yol. I 1.35

---— Pars Π. Vol. I. II., Pars IV.

Yol. I. Π. III, jeder . . . . & 2.10

- ed. Klotz. 5 part. 11 voll., kplt. 22.35

- orat, selectae ed. Klotz. 2 part. 1.50

----orationes sei. edd. Eberhard

et Hirschfelder .    ......

- epistolae selectae ed. Dietsch.

2 partes...........

----- epistolae ed. Wesenberg. 2 voll. 6.—

Commodianus ed. Ludwig, I & II 2.70 Cornelius Nepos ed. Fleckeisen . .

Cornutus ed. Lang........

Curtius Rufus ed. Vogel.....

2,—

2.50

3«!

1.50

1.20

Dinarchus ed. Blafs Dio Cassius ed. Dindorf. 5 voll. . 13.50 Dio Chrysost. ed. Dindorf. 2 voll. 5.40 Diod. Siculus ed. Dindorf. 5 voll. 15.⁷5 Dionysius ed. Kiefsling. 4 voll.. . 10.80 Dracontius ed. de Duhn . .

75

1.—

. . 1.20

Eclogae poet. latin. ed. Brandt .    1

poet. graec. ed. Stadtmüller. 2.70 Epicorum Graecorum fragm. ed.

Kinkel. Vol. I . .

Fabulae Roman, ed. Eberhard. Vol. 1 3.75 Florus ed. Halm . . .

Frontinus ed. Dederich

Gaius ed. Huschke . . . Galeni scripta minora.

ed. Marquardt . . . . Gellius ed. Hertz. 2 voll.

Biblioteka Politechniki Krak

— .30

1.50

Vol. I

2.70

2.10

3.30

2.40

Heliodor ed. Bekker Herodian ed. Bekker Herodotus ed. Dietsch. 2 voll. . k 1.35

in 5 einz. Fase.:

.II.. . .

II. IV. .

r. vi. . .

3·— | ___ wnj

owskiej

m.

7III. IX.

1.20

—    .75

—    .75

60

—.45

60

......—.45

Flach. . . —.75

Riese . . . res ed. Din-

2.40

1.—

8.25

V

BIBLIOTHECA OBAECA

VIRORUM DOCTORUM OPERA

RECOGNITA ET COMMENTARIIS INSTRUCTA

CURANTIBUS

FR. JACOBS ET VAL. CHR. FR. ROST.

, KLEIN-ÖELS

Bedeutend ermässigte Preise.\J^^^/

LIPSIAE IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.

Erschienen sind bis jetzt:

Aeschinis in Ctesiphontem oratio

ed. Weidner.........

3. 60

Aeschyli Agamemno ed. R. Enger 3. 75 Aristophanis Nubes ed. Teuffel.

Ed. II............

Delectus epigramm. Graec. ed.

Jacobs ............

Demosthenis concione ed. H. Sauppe. Sect. I. (cont. Philipp. I. et Olynthiacae I—III.) Ed. II. 1. — Euripidis tragoediae ed. Pflugk et Klotz. Yol. I, II et III. Sect.

I—III. .

Einzeln:

Yol. I. Sect. 1. Medea. Ed. III.. 1. 50 I. „    2. Hecuba. Ed. III.

ed. Wecklein . .    1. 20

I. „    3. Andromacha.

Ed. II

1. 20

1. 80

14. 70

1. 20

II.    „    3.    Hercules furens

Ed.II. cur. Wecklein 1. 80 „ II.    „    4.    Phoenissae.

Ed.II. cur. Wecklein 2. 25 1. 20

„    2. Iphigenia Taurica 1. 20

„    3. Iphigenia quae est

Aulide.....

lesiodi carmina ed. Goettling et Flach. Ed. III. . . lomeri Ilias ed. Spitzner. Sect.

I—IY............

Einzeln:

Sect. I. lib. 1—6.....

Sect. II. lib. 7—12.....

„ III. „ III. „ III.

„    1. Orestes

1. 20

. . 6. 60

4. 50

Jt Λ

i. δο

Lysiae orationes selectae ed. Bremi — 90 Pindari carmina cum deperditarum fragm., variet, lect. adi. et comment. illustr. L. Dissen.

Ed. II. cur. Schneidewin. Yol. I. 3.90

-Yol. II. Sect.I.II. (Comment. in

Olymp, et Pyth.) (ä, 1 Jl 50 A) 3. — Platonis opera omnia ed. Stallbaum X voll. (21 Sectiones.)

Einzeln:

Yol. I. Sect. 1. Apologia Socratis et Crito. Ed. Wohlrab ....    2. 40

Vol. I. Sect. 2. Phaedo. Ed. V.

cur. Wohlrab.........

Yol. I. Sect. 2. Symposium c. ind.

Ed. III. Vergr........

Yol. II. Sect. 1. Gorgias. Ed. III 2. 40 Yol. II. Sect. 2. Protagoras c. ind.

Ed. IY. ed. Kroschel.....

Yol. III. Politia sive de republica libri decem. 2 voll. Ed. II.[Yrgr.j 7. 50 Yol. III. Sect. 1. Politia lib. I—V 4. 20 Yol. III. Sect. 2. lib. YI—X . .    3. 30

Vol.IY. Sect. 1. Phaedrus. Ed.II 2. 40 Yol.IY.Sect.2. Menexenus, Lysis, Hippias uterque, Io. Ed. II .

Yol. Y. Sect.l. Laches, Charmides, Alcibiades I. II. Ed. II . . .    2. 70

Vol. Y. Sect. 2. Cratylus cum. ind. 2. 70 Yol. VI. Sect. 1. Euthydemus .    2. 10

VoL YI. Sect. 2. Meno et Euthy-phro itemque incerti scriptoris Theages, Erastae, Hypparchus.

[Vergr.]...........

Yol. VII. Timaeus et Critias. [Vergriffen.].........

Lysiae et Aeschinis orationes so-lectae ed. Bremi.......

2. 70

2. 25

2. 40

2. 70

4. 20

5. 40

Platonis opera omnia ed. Stallbaum. Einzelnen:

Vol. VIII. Sect. 1. Theaetetus.

Ed. II. rec. Wohlrab.....

Vol. VIII. Sect. 2. Sophista . . Vol. IX. Sect. 1. Politicus et incerti auctoris Minos.....

Vol. IX. Sect. 2. Philebus . . . Vol. X. Sect.l. Leges. Vol. I. lib.

I—IV............

Vol. X. Sect. 2. lib. V—VIII. . Vol. X. Sect. 3. lib. IX—XII et Epinomis..........

Sophoclis tragoediae ed. Wunderus.

2 voll.............

Einzeln:

Vol.I. Sect. 1. Philoctetes. Ed. IV

ed. Wecklein.........

Vol.I. Sect. 2. Oedipus Rex. Ed.V

ed. Wecklein.........

Vol.I. Sect. 3. Oedipus Coloneus.

Ed. III...........

Vol. I. Sect. 4. Antigona. Ed. V

ed. Wecklein.........

Vol. II. Sect. 1. Electra. Ed. III Vol. Π. Sect. 2. Aiax. Ed. III . Vol.II. Sect. 3. Trachiniae. Ed.H

Thucydidis de hello Peloponne-siaco libri VIII ed. Poppo. Einzeln :

Vol. I. Sect. 1. Lib. I. Ed. II . Vol. I. Sect. 2. Lib. II. Ed. II . Vol. II. Sect. 1. Lib. III. Ed. II

ed. J. M. Stahl........

Vol. II. Sect. 2. Lib. IV. Ed. II

ed. J. M. Stahl........

Vol. III. Sect. 1. Lib. V. Ed. II

ed. J. M. Stahl........

Vol. III. Sect. 2. Lib. VI. Ed. II

ed. J. M. Stahl........

Vol. IV. Sect. 1. Lib. VII. Ed. II.

ed. J. M. Stahl........

Vol. IV. Sect. 2. Lib. VIII. Ed. II

ed. Stahl...........

Xenophontis Cyropaedia ed. Bornemann. [Vergriffen.].....

-Memorabilia ed. Kühner. Ed. II

-Anabasis ed. Kühner ....

Einzeln ä 1 Jii. 80 Sect. I. lib. I—IV.

Sect. II. lib. V-VIII.

-    Oeconomicus ed. Breitenbach

1. 80 - Agesilaus ed. Breitenbach . .

--Hiero ed. Breitenbach ....

1. 50 —-    Hellenica, Sect. I. (lib. I. II.)

1. 20

1. 20--Sect. II. (üb. ΙΠ—VII.)

1. 20

Jl. Λ

3. — 2. 70

3. — 2. 25

2. 40

2. 70 2. 70

2. 70

3. 60 3. 60

2. 40

2. 40

3. 60

2. 70

9. 90

2. 70

1. 50

1. 50

1. 50 1. 20 — 75

ed. Breitenbach. Ed. II . .

1. 80

ed. Breitenbach

4. 80

.

EUCLIDIS

OPERA OMNIA.

EDIDERUNT

I. L. HEIBERG ET H. MENGE.

LIPSIAE

IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.

EUCLIDIS

ELEMENTA,

EDIDIT ET LATINE INTERPRETATUS EST

I. L. HEIBERG,

ER. PHIL.

UOL. IV.

LIBROS XI—XIII CONTINENS.

LIPSIAE

IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.

HD 5lV. OM-.ft tubi' ie.t,

KRAKOW

ΙΪ00

lipsiae: typis b. a. tetjbneri.

Äkc. Nr.

iÄ-fss

PRAEFATIO.

Prodit iam, uti dixeram in uol. II p. XXII, quartum Elementorum uolumen ante tertium, id quod hoc ad-tulit incommodum, quod propositiones quaedam libri X non iis numeris citandae erant, quibus in editionibus uulgatis feruntur, sed iis, quibus in hac editione cum codicibus significabuntur, sed hoc incommodum edito tertio uolumine sublatum erit, et nunc quoque propositiones illae facile reperientur addita ad numerum a me citatum unitate.

In hoc uolumine praeter codices solitos PBFV¹) (u. uol. I p. VIII—IX) his subsidiis usus sum: b — cod. Bononiensi, de quo u. uol. I p. IX; extremam partem libri XI et totum librum XII in append. II recepi, sicut in codice legitur; cfr. p. 385 not. q — cod. Parisino 2344, de quo u. uol. II p. V. usurpatus est ab initio libri XII, quia in XII, 3 p. 154, 7 deficit F.

L — cod. palimpsesto Londinensi Musei Britannici Add. 17211, qui praeter partes quasdam libri X etiam XIII, 14 continet ab initio p. 296, 3 ad uocabulum ί'ΰη p. 300, 4. de hoc codice pluribus egi et scripturam plenam edidi in Philologi uol. XLIV p. 353 — 366.

Praeuideram fore, ut inter hoc uolumen et prius satis magnum temporis spatium intercederet; sed maius etiam euenit, quam putaueram, quia interim nouum munus scholasticmgi suscepi et praeterea alio opere ad usum scholarum destinato occupatus fui. sed finito iam hoc labore et primis difficultatibus noui officii superatis spero, me breui hoc opus diuturnum ad finem perducturum esse, praesertim cum materiam reliquorum uoluminum iam omnem fere collectam habeam.

Scr. Hauniae mense Iunio MDCCCLXXXV.

I. L. Heiberg.

¹

Hoc loco additamenta quaedam cod. B subiungam, quibus in adparatu locus non fuit. XI, 4 enim p. 14, 1 supra άπειλήφ&ωσαν add. τετμήΰ&ωβαν m. rec. XI, 10 p. 30, 2 supra παρά add. ήτοι παράλληλοι ταις dvolv εν&είαις ταις άπτομέναις άλληλων m. rec. XII, 12 p. 208, 9 in mg. add. pro scholio ορΟτ/ >’άρ εκατερα αυτών m. 1.

ΣΤΟΙΧΕΙΑ.

ια .

"Οροι.

a'. Στερεόν έότι τό μήκος καί πλάτος και βάδος

£χον.

β'. Στερεόν $£ πέρας επιφάνεια. γ . Ενδεια προς επίπεδον ορδή έατιν, όταν προς πάόας τάς άπτομένας αυτής ενδείας καί ονΰας εν τω [νποκειμένω] έπιπέδω όρδάς ποιή γωνίας.

’Επέπεδ ον προς επίπεδον όρδόν έΰτιν, όταν αί τή κοινή τομή των επιπέδων προς όρδάς άγό-10 μεναι ενδεΐαι εν ενί των επιπέδων τω λοιπω έπιπέδω προς όρδάς ώΰιν.

ε . Ενδειας προς έπιπεδον κλιόις έΰτιν₉ όταν άπό τον μετεώρου πέρατος τής ενδείας έπϊ τό έπιπεδον κάδετος άχδή, και άπό τον γενομένον όημείον 15 έπϊ τό έν τω έπιπέδω πέρας τής ενδείας ενδεΐα έπι-ζενχδή, ή περιεχομένη γωνία νπό τής άχδείόης και τής έφεΰτώΰης.

ς\ ’Επιπέδον προς έπιπεδον κλίΰις έ<5τίν ή περιεχομένη οξεία γωνία νπό των προς όρδάς τή κοινή 20 τομή αγόμενων προς τω αν τω ΰημείω έν έκατέρω των έπιπέδων.

Def. 1 — 2. Hero def. 13, Psellus p. 49. 3 — 4. Hero def.

115, 2.

Ενκλείδον στοιχείων Tä PY et b, sed mg. m. 1: γρ. στερεών. Ενκλείδον στερεών α στοιχ. icc Β. Ενκλείδον στερεών ια, add. στοιχείων F. 1. όροι] om, codd. Numeros om. codd.

7. νποκειμένω] supra scr. m. rec. P, supra m. 1 V; αντώ b, mg.

XI.

Definitiones.

1.    Solidum est, quod longitudinem et latitudinem et altitudinem habet.

2.    Terminus autem solidi superficies est.

3.    Recta ad planum perpendicularis est, ubi ad omnes rectas eam tangentes et in plano illo ductas rectos angulos efficit.

4.    Planum ad planum perpendiculare est, ubi rectae ad communem sectionem planorum perpendiculares in alterutro planorum ductae ad alterum planum perpendiculares sunt.

5.    Rectae ad planum inclinatio est, ubi ab eleuato termino rectae ad planum perpendicularis ducitur, et ab puncto ita orto ad terminum rectae in plano positum recta ducitur, angulus a recta ita ducta et ab erecta comprehensus.

6.    Plani ad planum inclinatio est angulus acutus comprehensus a rectis in utroque plano ad idem punctum perpendicularibus ad communem sectionem ductis.

m. 1: γρ. νποκειμένω-, F mg. m. 1: γρ. εν τω αυτώ. ποιεί F, et Ρ, corr. m. 2.    9. πρός— 10. επιπέδων] mg. m. 1 V.    10. τω]

καί τω Υ, καί supra scr. m. 2 F. 12. ευθείας] -ας post ins. m. 1 Ρ. ευθείας— 17. εφεστώσης] m. 2 Β, om. Fb. 15. έπϊ τό] Ρ, από τον Β (sed corr.), in ras. Y, m. rec. Ρ. πέρας] Ρ, πέρα-τος B (sed corr.), e corr. Y, m. rec. P. 19. οξεία] om. Y (ras. est 3 litt.). 20. Post τομή spatium 4 litt, relinquitur in F. των επιπέδων] corr. ex τής επιπέδου m. 1 b.

ξ'. Επίπεδον προς επίπεδον ομοίως κεκλίΰ&αι λέγεται και έτερον προς έτερον, όταν αι είρημέναι των κλίΰεων γωνίαι ίΰαι άλληλαις ώΰιν.

7]'. Παράλληλα επίπεδά έΰτι τα άΰύμπτωτα. οΚ. "Ομοια ΰτερεά ΰχηματά έ<5τι τά νπδ δμοίων επιπέδων περιεχόμενα ίΰων το πληϋνς.

ι. "1(5α δε καί όμοια ΰτερεά ΰχηματά έΰτι τά νπδ δμοίων επιπέδων περιεχόμενα ίΰων τω πληγεί καί τω μεγέ&ει.

10

ια'. Στερεά γωνία εΰτϊν η νπδ πλειόνων η δυο γραμμών άπτομένων άλληλων και μη εν τη αντη επιφάνεια ονΰών πρδς πάΰαις ταΐς γραμμαΐς κλίΰις. ”Λλ-λως* ΰτερεά γωνία έΰτιν η νπδ πλειόνων η δύο γωνιών επιπέδων περιεχομένη μη ονΰών εν τω αντώ 15 επιπέδω πρδς ένι ΰημείω ΰννιΰταμένων.

ιβ'. Πνραμίς έΰτι ΰχημα ΰτερεδν έπιπέδοις περί-χόμενον άπδ ένδς έπιπέδον πρδς ένι ΰημείω ΰννεΰτώς.

ιγ\ Πρίΰμα έΰτι ΰχημα ΰτερεδν έπιπέδοις περι-εχόμενον, ών δνο τά άπεναντίον ί'ΰα τε και όμοιά 20 έΰτι και παράλληλα, *τά δέ λοιπά παραλληλόγραμμα. ιδ'. Σφαιρά έΰτιν,όταν ημικνκλίον μενούΰηςτης δια-μέτρον περιενεχ&έν τδ ημικύκλιον εις τδ αντδ πάλιν άπο-καταΰτα&η, ό&εν ηρζατο φέρεΰ&αι, τδ περιληφ&έν ΰχημα. ιε\ "Αξ,ων δέ της ΰφαίρας έΰτϊν η μένονΰα 25 εν&εια, περί ην τδ ημικύκλιον ΰτρέφεται.

ιζ'. Κέντρον δέ της ΰφαίρας έΰτι τδ αντο, ο και τον ημικνκλίον.

11. ib. 24.

9. ib. 118, 2.

11—15. Psellus p. 49—50.

12. ib. 100.

8. Hero def. 115, 2

14. ib. 77.

2 V.

4. παράλληλα επί- in ras., -πεδα mg. m. 5. -υπό] corr. ex από m. 1 b. 12. προς] Β·, η προς

3. cogi Yb.

7.    Planum ad planum similiter inclinatum dicitur atque aliud planum ad aliud, ubi anguli inclinationum, quos definiuimus, aequales sunt inter se.

8.    Parallela plana sunt, quae non concurrunt.

9.    Similes figurae solidae sunt, quae planis similibus continentur numero aequalibus.

10.    Aequales autem et similes figurae solidae sunt, quae planis similibus continentur et numero et magnitudine aequalibus.

11.    Solidus angulus est amplius quam duarum rectarum inter se tangentium nec in eadem superficie positarum ad omnes rectas inclinatio.¹) Aliter. Solidus angulus est, qui amplius quam duobus angulis planis continetur non in eodem plano positis et ad unum punctum coniunctis.

12.    Pyramis est figura solida planis comprehensa, quae ab uno plano ad unum punctum componitur.

13.    Prisma est figura solida planis comprehensa, quorum duo opposita et aequalia et similia sunt, reliqua autem parallelogramma.

14.    Sphaera est figura comprehensa, ubi manente diametro semicirculi semicirculus circumactus rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptus est.

15.    Axis autem sphaerae est recta manens, circum quam semicirculus circumagitur.

16.    Centrum autem sphaerae idem est ac semicirculi.

1) Haec definitio, quae loquendi genere ab Euclide abhorret, fortasse ex Elementis antiquioribus ab eo desumpta est.

PFVb.

15. Ante ενί dei. εν F. 18. εΰτιν PF. κνηλιον^ mg. m. 1 b.

13. επίπεδων" γωνιών' F, επίπεδων γωνιών B.

17. ΰννεΰτός Bb; in P non liquet.

20. εΰτιν F. 22. τό ήμι-

19. ών'] om.

φ.

26. εΰτιν F.

ιζ\ Αιάμετρος δέ της όφαίρας έότϊν εύθείά τις διά τού κέντρου ηγμένη και περατουμένη έφ’ έκάτερα τά μέρη υπδ της επιφάνειας της όφαίρας. ιη . Κώνος έότϊν, όταν ορθογωνίου τριγώνου με-5 νούόης μιας πλευράς των περί την ορθήν γωνίαν περιενεχθέν το τρίγωνον εις το αυτό πάλιν άποκατα-όταθη, οθεν ηρξατο φέρεόθαι, το περιληφθέν όχημα, καν μέν η μένουόα ευθεία ίόη η τη λοιπή [τη] περί την ορθήν περιφερόμενη, ορθογώνιος έόται δ κώνος, 10 εάν δε έλάττων, αμβλυγώνιος, έάν δε μείζων, δξυγώ νιος.

ιθ'. "Λξων δε του κώνον έότϊν η μένουόα ευθεία, περί ην το τρίγωνον ότρέφεται.

κ . Βάόις δέ δ κύκλος δ υπδ της περιφερομένης 15 ευθείας γραφόμενος.

κα'. Κύλινδρός έότιν, όταν ορθογωνίου παραλληλογράμμου μενονόης μιας πλευράς τών περί την ορθήν γωνίαν περιενεχθεν το παραλληλόγραμμον εις το αυτό πάλιν άποκαταόταθη, οθεν ηρξατο φέρεόθαι, 20 το περιληφθέν όχημα.

κβ'. ”Λξων δέ τού κυλίνδρου έότϊν η μένουόα ευθεία, περί ην το παραλληλόγραμμον ότρέφεται.

κγ'. Βάόεις δέ οι κύκλοι οι υπδ τών άπεναντίον περιαγομένων δύο πλευρών γραφόμενοι.

25 κδ'. rΌμοιοι κώνοι και κύλινδροί είόιν, ών οΐ τε άξονες και αι διάμετροι τών βάόεων άνάλογόν είόιν.

18. Hero def. 84, 2.    21—23. ib. 96.    18—23. Psellus

p. 50.

1. σφαίρας] 6- supra scr. m. 1 P. 3. τά] om. b. μερει φ. 4. τρι- in ras. m. 1 B. 5. πλευράς μιας V. τών] corr. ex τον m. 1 b. όρ-ibjv] om. Vb, -v euan. F. γωνία φ. 8. vfj]

17.    Diametrus autem sphaerae est recta aliqua per centrum ducta et ad utramque partem superficie, sphaerae terminata.

18.    Conus est figura comprehensa, ubi manente alterutro latere trianguli rectanguli eorum, quae rectum angulum comprehendunt, triangulus circumactus rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptus est. et si recta manens aequalis est reliquae ad angulum rectum positae, quae circumagitur, conus rectangulus erit, sin minor est, obtusiangulus, sin maior, acuti -angulus.

19.    Axis autem coni recta est manens, circum quam triangulus circumagitur.

20.    Basis autem circulus est, qui a recta circumacta describitur.

21.    Cylindrus est figura comprehensa, ubi alterutro laterum parallelogrammi rectanguli rectum angulum comprehendentium manente parallelogrammum circumactum rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptum est.

22.    Axis autem cylindri recta est manens, circum quam parallelogrammum circumagitur.

23.    Bases autem circuli sunt, qui a duobus lateribus inter se oppositis in circumagendo describuntur.

24.    Similes coni et cylindri sunt, quorum axes et basium diametri proportionales sunt.

m. rec. P, om. Vbqp. 9. Post όρ^ήν add. γωνίαν Psellus et F, sed punctis dei. 10. άμβνγωνιος φ. 12. de] supra scr. m. f'üO’eta] om. V. 16. δε εατιν V.

23. βάβις Vbqp. άπεναντίων b. ώβιν F, εΐαι Vb.

1 V.

B.

18. γωνίαν] om. 26. ανάλογοι Vb.

κε . Κύβος έότι όχημα ότερεον νπο τετράγωνων ί'όων περιεχόμενον.

κζ'. Όκτάεδρόν έότι όχημα ότερεον νπο οκτώ τρίγωνων ί'όων καί ιόοπλεύρων περιεχόμενον.

κζ'. Είκοόάεδρόν έΰτι όχημα ότερεον νπο εί'κοόι τριγώνων ί'όων και ιόοπλεύρων περιεχόμενον.

κη'. Αωδεκάεδρόν έότι όχημα ότερεον νπο δώδεκα πενταγώνων ί'όων καί ιόοπλενρων και ίόογωνίων περιεχόμενον.

ίο

Εν&είας γραμμής μέρος μεν τι ονκ έότιν εν τω νποκειμένω έπιπέδω? μέρος δέ τι εν μετεω-ροτέρω.

Ei γάρ δννατόν₅ εν&ειας γραμμής της ΑΒΓ μέ-15 ρος μέν τι το AB έότω εν τω νποκειμένω έπιπέδω, μέρος δέ τι το ΒΓ εν μετεωροτέρω.

’Έόται δη τις τη AB όννεχης εν&εϊα έπ εν&είας εν τω νποκειμένω έπιπέδω. έότω η ΒΑ’ δύο άρα εν&ειών των ΑΒΓ\ ΑΒΑ κοινόν τμημά έότιν η AB' 20 οπερ έότιν αδύνατον, έπειδηπερ έάν κέντρω τω Β και διαότηματι τω AB κύκλον γράψωμεν, αι διάμετροι άνίόους άπολήψονται τον κύκλον περιφέρειας.

Εν&είας άρα γραμμής μέρος μέν τι ονκ έότιν έν

25. Hero def. 104. 28. ib. 103.

26. ib. 102. 25—28. Psellus p. 50—51.

27. ib. 101.

Def. 27 — 28 hoc

2. Post ί'ΰων eras. %αι ισοπλεύρων V. ordine habent P et Psellus; permutauit Theon (BFVb).

5. σχήμα στερεόν] τό V, et b, sed mg. m. 1: γρ. σχήμα, στερεόν.

είκοσι] κ F. 7. έστιν F.    in ras. V. 8. -γω

νιών supra ras. m. 1 V. 10. θεώρημα a' V. 12. τι εν] τι εν τωΒΥ. μετεώρω b, mg. m. 1: γρ. εν τω μετεωροτέρω. 16. έν] έν τω F. 18. αρα] δή B, supra scr. m. 1.

25.    Cubus est figura solida sex quadratis aequalibus comprehensa.

26.    Octaedrum est figura solida octo triangulis aequalibus et aequilateris comprehensa.

27.    Icosaedrum est figura solida uiginti triangulis aequalibus et aequilateris comprehensa.

28.    Dodecaedrum est figura solida duodecim pentagonis aequalibus et aequilateris et aequiangulis comprehensa.

I.

Fieri non potest, ut rectae lineae pars sit in plano subiacenti, pars autem in eleuatiore.

Nam si fieri potest, rectae lineae ΑΒΓ pars AB sit in plano subiacenti, pars autem ΒΓ in eleuatiore.

/A

/B

erit igitur in plano subiacenti recta aliqua rectam AB in directum continuans, sit BA. itaque duarum rectarum ΑΒΓ, AB A pars communis est AB; quod fieri non potest, quia, si centro B, radio autem AB circulum descripserimus, diametri [ΑΒΓ, AB A] inaequales arcus circuli abscindent.¹)

Ergo fieri non potest, ut rectae lineae pars sit in

1) Eos scilicet, qui inter puncta A, Γ et inter Ay z/ positi sunt, tum cfr. I def. 17.

19. δο&εισών ευθειών Theon (BFVb). AB] B in ras. m. 1 B.

η] in ras. V, τό b. 20. εστιν] om. V. επειδηπερ — 22..ττερι-φερεί'ας] P {εάν m. 1 ex av corr.); εν&εΐα γάρ ευθεία ον συμβάλλει κατά πλείονα σημεία η καθ’⁵ εν ’ εί δε μη, εφαρμόσονσιν άλληλαις αί εν&εΐαι Theon? (BFVb); idem mg. m. rec. P., add. ούτως εν άλλοις ενρηται, επειτα τό' εν&είας άρα γραμμής.

τα υποκείμενα επίπεδα, το <Ϊ£ εν μετεαροτέρα' δπερ εδει δείζαί.

/5'·

’Εάν δυο εύ&εΐαί τέμναβίν άλληλας, εν ενί 5 είβίν επίπεδα, καί παν τρίγανον εν ενί έΰτΐν επίπεδα.

Αύο γάρ εύ&εΐαί αί AB, ΓΑ τεμνέχαβαν άλληλας κατά το Ε βημεΐον’ λέγα, δτί αί AB, ΓΑ εν ενί είβίν επίπεδα, καί παν τρίγανον εν ενί έβτίν επίπεδα.

10

Είλήφ&α γάρ επί ταν ΕΓ, ΕΒ τυχόντα βημεΐα τά Ζ, Η, καί έπεξεύχ&αβαν αί ΓΒ, ΖΗ, καί δίηχ&α-6αν αί ΖΘ, HK' λέγα πρώτον, δτί το ΕΓΒ τρίγανον εν ενί έβτίν επίπέδα. εί γάρ έβτί του ΕΓΒ τριγώνου μέρος ητοί το ΖΘΓ η το ΗΒΚ εν τα υπο-15 κείμένα [επίπέδα], το δέ λοιπόν εν άλλα, έβταί καί μίάς ταν ΕΓ, ΕΒ ευ&είών μέρος μέν τί εν τα υπο-κείμένα επίπέδα, το δε εν άλλα, εί δε του ΕΓΒ τριγώνου το ΖΓΒΗ μέρος y εν τα υποκείμένα έπί-πέδα, το δε λοιπόν εν άλλα, έβταί καί άμφοτέραν ταν 20 ΕΓ, ΕΒ ευθειών μέρος μέν τί εν τα υποκείμένα έπί-πέδα, τό εν άλλα' δπερ άτοπον έδείχ&η. το άρα ΕΓΒ τρίγανον εν ενί έΰτιν επίπέδα. εν α δέ έβτί τό ΕΓΒ τρίγανον, εν τούτα καί εκατέρα ταν ΕΓ, ΕΒ, εν α δε εκατέρα ταν ΕΓ, ΕΒ, εν τούτα καί αί 25 AB, ΓΑ. αί AB, ΓΑ άρα εν&εΐαί εν ενί είβίν επί-πέδα, καί παν τρίγανον εν ενί έβτίν επίπέδα* δπερ έδεί δείζαί.

έν] έν τώ F. 7. αί] 11. ΓΒ] corr. in ΒΓ Υ.

1. τό fo'] Pb, μέρος δέ τι BPV.

om. F.

10. ΕΓ. ΕΒ] in ras. Υ.

12. ΕΓΒ] litt. Β in ras. m. 1 Ρ; ΕΒΓ Β. " 14. ΖΓΘ Ρ.

Ιν — 15. άλλω] om. b, mg. m. 1 V. 15. έπιπέδω] om. Ρ.

plano subiacenti, pars autem in eleuatiore; quod erat demonstrandum.

II.

Si duae rectae inter se secant, in eodem plano sunt, et omnis triangulus in eodem plano est.

Nam duae rectae AB, ΓΑ inter se secent in puncto E. dico, rectas AB, TA in eodem plano esse, et omnem triangulum in eodem plano esse.

sumantur enim in ET\ EB quaelibet puncta Z, H, et ducantur ΓΒ, ZH et eas secantes ΖΘ, HK. dico primum, triangulum ΕΓΒ in eodem plano esse.

nam si pars trianguli ΕΓΒ uel ΖΘΓ Ay—y uel HBK in subiacenti est, reliquum /ß    autem in alio, etiam rectarum ΕΓ, EB

Xff    pars in plano subiacenti, pars autem in

alio erit, sin trianguli ΕΓΒ pars, quae est ΖΓΒΗ, in plano subiacenti est, reliquum autem in alio, etiam utriusque rectae ΕΓ, EB pars in subiacenti plano erit, pars autem in alio; quod demonstrauimus absurdum esse [prop. I]. ergo triangulus ΕΓΒ in eodem plano est. in quo autem est triangulus ΕΓΒ, in eo est etiam utraque ΕΓ' EB, in quo uero utraque ΕΓ, EB, in eo etiam AB, ΓΑ sunt [prop. I]. ergo rectae AB, ΓΑ in eodem plano sunt, et omnis triangulus in eodem plano est; quod erat demonstrandum.

II. Galen. III. p. 830.

16. EB] ΓΒ φ. εβτιν bene August. 21. ααΠωι F.

V] P, BFVb, 20. EB, ΕΓ F.

18. ΓΖΒΗ V.

19. £6τοίΐ\ είη αν F.

22. ΕΓΒ] litt. ΓΒ in ras. Υ, ΕΒ" Γ' b.

23. ΕΓΒ] litt. ΓΒ in ras. Y, EB" Γ b. 24. EB, ΕΓ Yb. 25. εν&εΐα φ (non F).

27. δεΐξαι,]

Εάν δύο έπίπεδα τέμνη άλληλα, ή κοινή αυτών τομή ευθεία έΰτιν.

Αύο γάρ επίπεδα τα AB, ΒΓ τεμνέτω άλληλαr 5 κοινή δε αυτών τομή έβτω η AB γραμμή' λέγω, δτι ή AB γραμμή ενΟ'είά έβτιν.

Εί γάρ μη, έπεζεύχ&ω άπδ του Α έπι τδ Β εν μεν τώ AB έπιπέδω εύ&εΐα ή ΑΕΒ, εν δε τώ ΒΓ έπιπέδω εύ&εΐα ή ΑΖΒ. εβται δή δύο εύ&ειών των 10 ΑΕΒ, ΑΖΒ τα αυτά πέρατα, και περιέξουόι δηλαδή χωρίον οπερ ατοπον, ούκ αρα αί ΑΕΒ, ΑΖΒ εύ&εΐαί είβιν. ομοίως δή δείζομεν, δτι ουδέ άλλη τις άπδ τού Α έπι τδ Β έπιζευγνυμένη εύ&εΐα εΰται πλήν τής AB κοινής τομής των AB, ΒΓ επιπέδων.

15 Εάν άρα δύο έπίπεδα τέμνη άλληλα, ή κοινή αυτών τομή εύ&εΐά εΰτιν δπερ έδει δεΐζαι.

δ\

Εάν εν&εΐα δύο εν&είαις τεμνού 6αις άλλή-λας πρδς δρ&άς έπι τής κοινής τομής έπι-20 6τα&ή, και τώ δι αυτών έπιπέδω πρδς δρΟ'άς εόται.

Εύ&εια γάρ τις ή ΕΖ δύο εύ&είαις ταΐς AB, ΓΑ τεμνούβαις άλλήλας κατά τδ Ε όημειον άπδ τού Ε πρδς oplhxg εφεβτάτω' λέγω, δτι ή ΕΖ και τώ διά 25 τών AB, ΓΑ έπιπέδω πρδς όρ&άς έότιν.

3. εβτι V, comp. b. 7. τό] τον φ. 9. PV, et B, sed corr.; ovd’ Yb.

4. ΒΓ] ΓΔ F.

13.

μεν η φ.

bic legi uix potest.

:i F.    16. εατιν ή ΔΒ F.

>τω

τεμνέτωβαν BFYb. 10. περίέί-οναν 12. δή] δε Pb. 18. εάν

III.

Si duo plana inter se secant, communis eorum sectio recta est.

Nam duo plana AB, ΒΓ inter se secent, et communis eorum sectio sit linea AB. dico, lineam AB rectam esse.

nam si minus, ab A ad B in plano AB ducatur recta AEB, in plano autem ΒΓ recta AZB. itaque duarum rectarum AEB, AZB iidem

Z'

-β/ termini erunt, et ita spatium compre-hendent; quod absurdum est. quare AEB, AZB rectae non sunt, similiter demon-j strabimus, ne aliam quidem ullam a A ad B ductam rectam esse praeter AB communem sectionem planorum AB, ΒΓ.

Ergo si duo plana inter se secant, communis eorum sectio recta est; quod erat demonstrandum.

IV.

Si recta ad duas rectas inter se secantes in communi sectione perpendicularis erecta erit, etiam ad planum earum perpendicularis erit.

PT/

Nam recta EZ ad duas rectas AB, ΓΑ inter se in puncto E secantes ab E perpendicularis erecta sit. dico, EZ etiam ad planum rectarum AB, ΓΑ perpendicularem esse.

— 19. ορΌ’άς] in ras. V.

23. τεμνονβας b.

&ε£ας τάς b.

20. κντόν F, sed corr.

22. εν-25. τών~\ της b, corr. m. 1.

’Απειλήφ&ωΰαν γάρ αί ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΑ ίΰαι άλληλαις, καί διήχ&ω τις δια τον Ε, ως έτυχεν, ή ΗΕΘ, καί έπεξεύχ&ωΰαν αί ΑΑ, ΓΒ, και έ'τί. από τυχόντος τον Ζ έπεξεύχ&ωΰαν αί    ΖΑ,    Ζζ/?    ΖΓ^

5 ΖΘ? ZiJ. κα£ ΙπεΙ ίιίο αί    ΑΕ,    i£z/    duffi τταΓ^    Γ2£,

.Εϋ /'<?«£ είβΐ καί γωνίας ίΰας περιέχουΰιν, βάΰις άρα η ΑΑ βάΰει τη ΓΒ ίΰη εΰτιν, καί το ΑΕΑ τρίγωνον τω ΓΕΒ τριγωνω ίΰον έΰται’ o5(;Tf καί γωνία η νπό ΑΑΕ γωνία τη νπό ΕΒΓ ίΰη [εΰτιν]. έΰτι δε και 10 ή ύπό ΑΕΗ γωνία τη υπό ΒΕΘ ίΰη. δνο δη τρίγωνά εΰτι τα ΑΗΕ, ΒΕΘ τάς δύο γωνίας δυΰι γω-νίαις ίΰας έχοντα έκατέραν εκατέρα καί μίαν πλευράν μια πλευρά ίΰην την προς ταΐς ίΰαις γωνίαις την ΑΕ τη ΕΒ’ και τάς λοιπάς άρα πλευράς ταΐς λοιπαϊς 15 πλευραίς ίΰας έξονΰιν. ίΰη    άρα    η μεν    ΗΕ τη    ΕΘ,

η δε ΑΗ τη ΒΘ. και επει    ίΰη εΰτιν    η    ΑΕ τη    ΕΒ,

κοινή dt και προς όρ&άς η ΖΕ, βάΰις άρα η ΖΑ βάΰει τη ΖΒ εΰτιν ίΰη. διά τά αυτά δη και η ΖΓ τη ΖΑ εΰτιν ίΰη. καί επει ίΰη εΰτιν η ΑΑ τη ΓΒ, 20 έΰτι δε και η ΖΑ τη ΖΒ ίΰη, δύο δη αί ΖΑ, ΑΑ δυΰι ταΐς ΖΒ, ΒΓ ΐΰαι είΰϊν εκατέρα εκατέρα’ και βάΰις η ΖΑ βάΰει τη ΖΓ έδείχ$η ίΰη’ και γωνία άρα η ύπδ ΖΑΑ γωνία τη υπό ΖΒΓ ίΰη εΰτιν. και επεϊ πάλιν έδείχ&η η ΑΗ τη ΒΘ ίΰη, αλλά μην και 25 η ΖΑ τη ΖΒ ίΰη, δύο δη αί ΖΑ, ΑΗ δυΰι ταΐς ΖΒ, ΒΘ ίΰαι είΰίν. και γωνία η υπό ΖΑΗ έδεί-χ&η ίΰη τη υπό ΖΒΘ' βάΰις άρα η ΖΗ βάΰει τη

6. περιεχοναι FYb. 7. ΒΓ F. Y. 8. τωJ corr. ex το m. 1 F.

3. ΗΕΘ~\ Ε Θ F, et Υ m. 1, corr. m. 2; E eras. B. ai — 4. επεξευχ^ωοαν] postea ins. m. 1 P. 5. EA\ eorr. ex EB m. 2 F.

εοτίν] comp. Fb, είΰίν τριγωνω] om. BF Yb.

abscindantur enim A E, EB, ΓΕ, EA inter se aequales, et per E quaelibet recta ΗΕΘ ducatur, et ducantur A A, ΓΒ, et praeterea a quolibet puncto Z ducantur ZA, ZU, ZA, ΖΓ^ ΖΘ, ZB. et quoniam duae rectae i£z/ duabus ΓΕ, EB aequales sunt et aequales angulos comprehendunt [I, 15], basis A A basi ΓΒ aequalis est, et triangulus AEA triangulo ΓΕΒ aequalis [I, 4]. quare etiam L ΛAE = ΕΒΓ [id.], uerum etiam LAIEH—ΒΕΘ [I, 15]. itaque duo trianguli sunt AHE, ΒΕΘ duos angulos duobus angulis alterum alteri aequalem habentes et unum latus uni lateri aequale, quod ad angulos aequales positum est, A E = EB. itaque etiam reliqua latera reliquis lateribus aequalia habebunt [I, 26]. quare HE = ΕΘ, AH = ΒΘ. et quoniam AE = EB, et ZE communis est et perpendicularis, erit ZA — ZB [I, 4]. eadem de causa erit etiam ΖΓ=ΖΑ. et quoniam ΑΑ=ΓΒ et ZA = ZB, duo latera ZA, A A duobus lateribus ZB, ΒΓ alterum alteri aequalia sunt; et demonstratum est, esse ZA = ΖΓ. erit igitur etiam L ZAA = ΖΒΓ [I, 8]. et quoniam rursus demonstratum est, esse AH — ΒΘ, et est ZA = ZB, duo latera ZA, AH duobus ZB, ΒΘ aequalia sunt; et demonstratum est, esse L ZAH — ΖΒΘ. itaque ZH — ΖΘ [I, 4], et quoniam rursus demonstratum

11. Βΰτι] £i6L FV.

13. τηνJ τά? V. τάς ί'ΰας Vb. scr. m. 1 b. 17. ZA\ A in ras. B. corr. V. 23. η] m. 2 F. comp, b, 8GTL P. comp. F, slgl Yb. Z A Η] corr. ex Z AB m. 1 b. B e corr. m. 1 F. «ρα] om. V. Z Η] H" Z' b.

9. sgtlv] om. P.

12. έχοντας φ. yώνιας bqp. 14. τη] supra ΑΔ\ A e εΰτιν

26.    SLGLV

27.    ΖΒΘ]

20. 86XLV B.

Ante ZAA eras, των F. 25. ZΑ] (ait.) A e corr. m. 1 F.

ΖΘ έΰχιν ίΰη. και επει πάλιν ίΰη εδείχ&η η HE xfj ΕΘ, κοινή δε η ΕΖ, δυο δη αι ΗΕ, ΕΖ δνΰΐ χαΐς ΘΕ, ΕΖ ϊΰαι είΰιν' και βάΰις η ΖΗ βάΰει xη ΖΘ ίΰη * γωνία αρα η νπδ ΗΕΖ γωνία χη νπδ ΘΕΖ 5 ίΰη έΰχιν. δρ&ή αρα έκαχέρα χών νπδ ΗΕΖ, ΘΕΖ γωνιών, η ΖΕ αρα πρδς χην ΗΘ χνχόνχως διά χον Ε άχ&εΐΰαν όρ&ή έΰχιν. ομοίως δη δείζομεν, όχι η ΖΕ καί πρδς πάΰας χάς άπχομένας ανχης εν&είας και ονΰας εν χω νποκειμένω έπιπέδω όρ&άς ποιηθεί γω-10 νιας, εν&εΐα δε προς επίπεδον όρ&η έΰχιν, δχαν προς πάΰας χάς άπχομένας ανχης ευθείας και ονΰας εν χω ανχώ έπιπέδω όρ&άς ποιη γωνίας* η ΖΕ αρα χω νποκειμένω επιπεδω προς όρ&άς έΰχιν. χδ δε υποκείμενον επίπεδόν έΰχι χο διά χών AB, ΓΗ εν&ειών. 15 η ΖΕ αρα προς όρ&άς έΰχι χω διά χών AB, ΓΑ επιπεδω.

’Εάν αρα εν&εΐα δυο ενΰ'είαις χεμνονΰαις άλληλας προς opOxeg έπι χης κοινής χομης επιθχα&ή, καί χω δι’ ανχών επιπεδω προς όρ&άς έΰχαι' οπερ εδει δεΐξαι

20

:Εάν εν&εΐα χριΰϊν ενδείαις άπχομέν αις άλληλων προς δρ&άς έπι χης κοινής χομης έπι-ΰχα&η, αι χρεΐς εν&εΐαι εν ένί είΰιν επιπεδω.

Εν&εία γάρ χις η AB χριΰϊν εν&είαις χαΐς ΒΓ, 25 ΒΑ, ΒΕ προς όρ&άς έπι χης καχά χδ Β άφης εφε-ΰχάχω' λέγω, όχι αι ΒΓ, ΒΑ, ΒΕ εν ένί είΰιν έπιπέδω.

5. εβτιν ίαη BFV.

6. ή διά b.

8. αυτής'] corr. ex αυτή m.

11. πςός] ins. m.

3. είΰιν] comp. F.

7. άχϋ'εισα Fb. δή] om. F.

1 B. 9. τω] τω αντω F, sed corr.

est, esse HE = ΕΘ, et Z E communis est, duo latera HE, Z£Z duobus ΘΕ, 2£Z aequalia sunt; et ZH = ΖΘ. itaque L HEZ = @2£Z [I, 8]. itaque uterque angulus HEZ, ΘΕΖ rectus est [I def. 10]. ergo ZE ad rectam ΗΘ fortuito per E ductam perpendicularis est. ihm eodem modo demonstrabimus, ZE ad omnes rectas eam tangentes et in plano subiacenti positas rectos efficere angulos, recta autem ad planum perpendicularis est, ubi ad omnes rectas eam tangentes et in eodem plano ductas rectos angulos efficit [def. 3]. itaque ZE ad planum subiacens perpendicularis est. subiacens autem planum id est, quod per rectas AB, ΓA ductum est. itaque ZE ad planum rectarum AB, ΓΑ perpendicularis est.

Ergo si recta ad duas rectas inter se secantes in communi sectione perpendicularis erecta erit, etiam ad planum earum perpendicularis erit; quod erat demonstrandum.

Y.

Si recta ad tres rectas inter se tangentes in communi sectione perpendicularis erecta erit, tres illae rectae in eodem plano sunt.

Nam recta AB ad tres rectas ΒΓ, BA, BE in puncto sectionis B perpendicularis erecta sit. dico, rectas ΒΓ, BA, BE in eodem plano esse.

αυτής] corr. ex ccvrij m. 1 B. ποιεί P.

14. των] bis V, sed corr.

16. επιπέδων b. 17. ενΟ'εια δνο εν&ειαις] β εν&& F.

17. τεμνονσαις — 19. οπερ £Ösl descii-]

25. έφεστάτω] corr. ex άφεοτάτω m. rec. P. Euclides, edd. Heiberg et Menge. IY.

2 F. αντωλ om. Υ. Fb, εατι Ρ. Yb.

13. έν τώ Β.

12. έν\ επί φ.

έστιν~] comp. 15. ΓΔ ενϋ'ειών

δνο — 19. δεϊζαι\ καί τα εξής Β. εαταί] καί τα εξής F. comp. F.

19. έατιν Yb.

Μη γάρ, άλΓ εί δυνατόν, έΰτωΰαν ai μεν ΒΑ, ΒΕ εν τω υποκειμένω έπιπέδω, η δε ΒΓ εν μετεω-ροτέρω, καί έκβεβλήΰ&ω τδ διά των AB, ΒΓ επίπεδον' κοινήν δη τομήν ποιηΰει εν τω υποκειμένω 5 έπιπέδω εύ&εΐαν. ποιείτω την ΒΖ. εν ένϊ άρα είΰιν έπιπέδω τω διηγμένω διά των AB, ΒΓ αί τρεις εύ&εϊαι αι AB, ΒΓ, ΒΖ. και έπεϊ η AB όρ&η έΰτι προς έκατέραν των ΒΑ, ΒΕ, και τω διά των ΒΑ, ΒΕ άρα έπιπέδω όρ&ή έΰτιν η AB. το δε διά των ΒΑ, 10 ΒΕ επίπεδον τδ υποκείμενόν έΰτιν' η AB άρα όρ&ή έΰτι πρδς τδ υποκείμενον επίπεδον, ωΰτε και πρδς πάΰας τάς άπτομένας αυτής ευθείας και οϋΰας έν τω υποκειμένω έπιπέδω ορ&άς ποιηΰει γωνίας η AB. άπτεται δε αυτής η ΒΖ ούΰα έν τω υποκειμένω έπι-15 πέδω* η άρα υπδ ΑΒΖ γωνία όρ&ή έΰτιν. ύπόκειται δε και η υπδ ΑΒΓ όρ&ή’ ίΰη άρα η υπδ ΑΒΖ γωνία τη υπδ ΑΒΓ. καί είΰιν έν ένι έπιπέδω* δπερ έΰτϊν αδύνατον, ούκ άρα η ΒΓ ευ&εΐα έν μετεωρο-τέρω έΰτιν έπιπέδω' αι τρεις άρα εύ&είαι αί ΒΓ\ ΒΑ, 20 ΒΕ έν ένί είΰιν έπιπέδω.

’Εάν άρα εύ&εΐα τριΰιν εύ&είαις άπτομέναις άλλη-λων έπι της άφης προς όρ&άς έπιΰτα&η, αι τρεις εύ&εΐαι έν ένί είΰιν έπιπέδω ' όπερ έδει δεΐζαι.

25 Έάν δύο εύ&εΐαι τω αυτώ έπιπέδω πρδς όρΟ'άς ώΰιν, παράλληλοι έΰονται αί εύ&εΐαι.

1. ΒΑ\ e corr. m. 1 b. 2. ή δε — 5. εν&ειαν] mg. m. 1 V, in textu ras. est. 2. μετεώρω V. 3. και\ καί δι b. 4. δή] postea ins. F. 5. καί ενδειαν b, et B, corr. m. 2; yiai (comp.) ins. m. 1 F. ποιητω φ. είΰϊν άρα b. 7. έΰτιν Ρ; έΰται Β,

ne sint enim, uerum, si fieri potest, BA, BE in plano subiacenti sint, ΒΓ autem in eleuatiore, et producatur planum per AB, ΒΓ. communem igitur sectionem in plano subiacenti rectam efficiet [prop. III]. efficiat BZ. itaque tres rectae AB, ΒΓ, BZ in eodem plano sunt, quod per AB, ΒΓ ducitur, et quoniam AB ad utramque BA, B E perpendicularis est, etiam ad planum rectarum BA, BE perpendicularis est AB [prop. IV]. planum autem rectarum BA, BE subiacens est; AB igitur ad planum subi acens perpendicularis est. quare etiam ad omnes rectas eam tangentes et in subiacenti plano positas rectos angulos efficiet A.B [def. 3]. tangit autem eam BZ in subiacenti plano posita, itaque i ABZ rectus est. supposuimus autem, etiam LABT rectum esse, erit igitur L ABZ = ΑΒΓ. et in eodem plano sunt; quod fieri non potest, itaque recta ΒΓ in plano eleuatiore posita non est; itaque tres rectae ΒΓ, BA, BE in eodem plano sunt.

Ergo si recta ad tres rectas inter se tangentes in puncto tactionis perpendicularis erecta erit, tres illae rectae in eodem plano sunt; quod erat demonstrandum.

YI.

Si duae rectae ad idem planum perpendiculares sunt, rectae parallelae erunt.

corr. m. 1. in ras. m. 1 P.

8. BA] (alt.) B in ras. m. 1 B. 9. αρα] prius a 10. AB] B" A' F. 12. αντηι b. 19. B Γ] corr. ex AB V; AB supra scr. Γ m. 1 b. 26. ωσι PVb.

2*

Αύο γάρ εύ&εΐαι αι AB, ΓΑ τω ύποκειμένφ έπι-πέδω προς όρ&άς έΰτωΰαν λέγω, ότι παράλληλός έΰτιν η AB τη ΓΑ.

Συμβαλλέτωΰαν γάρ τω υποκειμένω έπιπέδω κατά 5 τά Β, Α 6η με iα, καί έπεξεύχ&ω η ΒΑ εύ&εΐα, και ηχ&ω τη ΒΑ προς op'frag εν τω υποκειμένω έπιπέδω η ΑΕ, και κείΰ&ω τη AB ΐΰη η ΑΕ, και έπεζεύχ&ω-6αν αι BE, ΑΕ, ΑΑ.

Και έπει η AB όρ^ή έ<5τι προς τό υποκείμενον 10 επίπεδον, και προς πάΰας [άρα] τάς άπτομένας αυτής εύ&είας και ουΰας εν τω υποκειμένω έπιπεδω όρ&άς ποιηΰει γωνίας. άπτεται $£ της AB εκατέρα των ΒΑ, ΒΕ ούΰα εν τω υποκειμένω έπιπεδω* όρ&η άρα έότιν εκατέρα των υπό ΑΒΑ, ΑΒΕ γωνιών, διά τά 15 αυτά δη και εκατέρα των υπό ΓΑΒ, ΓΑΕ όρ&ή έότιν. και έπει ί'6η έΰτιν η AB τη ΑΕ, κοινή δε η ΒΑ, δύο δη αι AB, ΒΑ δυοι ταΐς ΕΑ, AB ίόαι ειΰίν’ και γωνίας όρ&άς περιέχουΰιν' βάΰις άρα η ΑΑ βάοει τη ΒΕ έότιν ίΰη. και έπει ί'6η έότϊν η AB τη ΑΕ, 20 άλλα και η ΑΑ τη ΒΕ, δύο δη αι AB, ΒΕ δυβϊ ταΐς ΕΑ, ΑΑ ί'6αι ειΰίν * καί βάΰις αυτών κοινή η ΑΕ* γωνία άρα η υπό ΑΒΕ γωνία τη υπό ΕΑΑ έότιν ΐόη. υρ&η δε η υπό ΑΒΕ* όρ&η άρα και η υπό EAA' η ΕΑ άρα προς την ΑΑ όρ&η έότιν. 25 έΰτι δε και πρίς έκατέραν τών ΒΑ, AF όρ&ή. η ΕΑ άρα τριαιν εν&είαις ταΐς ΒΑ, ΑΑ, ΑΓ προς όρ&άς

1. αΐ] supra m. rec. Ρ. 4. σνμ,βαλέτωοαν Ρ (ονμ,πιπτέτωΰαν supra scr. m. rec.) et supra scr. λ V. 5. ΒΔ] corr. ex B m. 2 Β.

6. τω] τω αντώ Ρ. 9. έοτίν F. ^    10. aqa] om. Ρ. 12. Ante τών

ras. 2 litt. V, της τών b. 13. ov6cu F. Iß. τη — ΒΔ] mg. m. 1 Ρ.

17.    ταΐς] miro comp. F, ut lin. 21. εισίΥb, comp. supra scr. φ.

18.    καί] comp, supra scr. φ. πεςιέχουβι BVb A Δ] corr. ex

Nam duae rectae AB, ΓΑ ad planum subiacens perpendiculares sint, dico, AB rectae ΓΑ parallelam esse.

concurrant enim cum plano sub-iacenti in punctis B, A, et ducatur recta BA, et ad rectam BA perpendicularis in plano subiacenti ducatur A E, et ponatur AB = AE,

et ducantur BE, A E, A A. et quoniam AB ad planum subiacens perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano subiacenti positas rectos angulos efficiet [def. 3]. uerum utraque BA, BE in plano subiacenti positae rectam AB tangunt; itaque uterque angulus AB A, ABE rectus est. eadem de causa etiam uterque angulus ΓΑ B, ΓΑ E rectus est. et quoniam AB = A E, et BA communis est, duo latera AB, BA duobus EA, AB aequalia sunt; et aequales angulos comprehendunt. itaque A A = BE [I, 4]. et quoniam AB = AE, et A A = BE, duo latera AB, BE duobus EA, A A aequalia sunt; et basis eorum communis est AE. itaque L ABE = EA A [I, 8]. uerum L ABE rectus est; quare etiam i EA A rectus est. itaque EA ad A A perpendicularis est. sed etiam ad utramque BA, AΓ perpendicularis est. itaque EA ad tres rectas BA, A A, ΑΓ perpendicularis in puncto tactio-

AB m. 1 b. 19. ΐαη εβτίν V. 21. εΐαί Vb, comp. F. 23. ί'ση έβτίν Yb. (prius) ins. m. 2 F. 24. τώνΕΑΑΫ. 25. εστι] supra scr. comp, m.^1 F. Sequentia usque ad p. 22, 5: επι-πεδω in ras. V. oq&tj'] corr. ex ο&η m. rec. P.

έπι της αφής έφέΰτηκεν* αί τρεις άρα εύ&εΐαι αί ΒΑ, ΑΑ, ΑΓ εν ενί είΰιν έπιπεδω. εν ω de αί AB, ΑΑ, εν τούτω και η AB' παν γάρ τρίγωνον εν ενί έΰτιν έπιπεδω’ αί άρα AB, ΒΑ, ΑΓ εν&εΐαι εν ενί 6 είΰιν έπιπεδω.    καί έΰτιν όρ&η έκατέρα των υπό

ΑΒΑ, ΒΑΓ γωνιών* παράλληλος άρα έΰτιν η AB τη ΓΑ.

’Εάν άρα δυο εύ&εΐαι τω αύτώ έπιπεδω προς όρδάς ώΰιν, παράλληλοι εβονται αί avfraiai’ δπερ έδει δεΐζαι.

10

r.

'Εάν ώΰι δύο εύ&εΐαι παράλληλοι, ληφ&ή de εφ’ έκατ,ερας αυτών τυχόντα όημεΐα, η έπι τα ΰημεΐα έπιξευγνυμένη ευ&εΐα εν τω αντω έπιπεδω έΰτι ταΐς παράλληλοις.

15 ΛΕΰτωΰαν δύο εύ&εΐαι παράλληλοι αί AB, ΓΑ, και είλήφϋ'ω έφ’ έκατέρας αυτών τυχόντα ΰημεΐα τα Ε, Ζ* λέγω, ότι η έπΙ τα E, Ζ ΰημεΐα έπιξευγνυμένη εύ&εΐα έν τω αύτώ έπιπεδω έότι ταΐς παραλληλοις.

Μη γάρ, άλΓ ει δυνατόν, έΰτω έν μετεωροτέρω 20 ως η ΕΗΖ, και διηχ&ω διά της ΕΗΖ έπίπεδον* τομήν δη ποιήβει έν τω ύποκειμένω έπιπεδω εύΟ'εΐαν. ποιείτω ώς την EZ' δύο άρα εύδεΐαι αί ΕΗΖ, ΕΖ χωρίον περιέζουΰιν όπερ έότϊν αδύνατον, ονκ άρα η από του Ε έπι το Ζ έπιξευγνυμένη εύ&εΐα έν μετεω-25 ροτέρω έΰτιν έπιπεδω’ έν τω διά τών AB, ΓΑ άρα

J corr. άλληλαις 17. λέγω 20. η) φ, αί? F. 21. έπιπεδω] mg. Υ.

2. ώ — 5. έπιπεδω] om. b. 2. ΔΒ, ΔÄ] ΔΑ, ΔΒ Ρ; ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ F. 6. ΒΔΓ] Β in ras. V; ΓΔΒ Ρ. άρα] ex a m. 2 Ρ. 8. έπιπεδω] om. V. 9. ωσι Yb. αΐ Υ. 11. ωσιν Β. 13. αντω] supra m. 2 Β.

— Ε, Ζ] mg. m. 1 F.    σημεία] om. Υ.

διά] το διά BF, τδ supra scr. Υ.

nis erecta est; quare tres rectae Fz/, z/ A, z/F in eodem plano sunt [prop. V]. in quo autem plano sunt z/F, A A, in eodem est etiam AB\ omnis enim triangulus in eodem plano est [prop. II]. itaque rectae AB, 5z/, z/F in eodem plano sunt, et uterque angulus AB A , ΒΑΓ rectus est. itaque AB rectae Fz/ parallela est [I, 28].

Ergo si duae rectae ad idem planum perpendiculares sunt, rectae parallelae erunt; quod erat demonstrandum.

ΥΠ.

Si duae rectae parallelae sunt, et in utraque quaelibet puncta sumuntur, recta puncta coniungens in eodem plano est, in quo parallelae.

B Sint duae rectae parallelae AB, Fz/, et in utraque quaelibet puncta sumantur F, Z. dico, rectam puncta F, Z coniungen-— tem in eodem plano esse, in quo sint rectae parallelae, ne sit enim, sed, si fieri potest, in eleuatiore sit ut E HZ, et per E HZ planum ducatur, itaque in plano subiacenti sectionem efficiet rectam [prop. III]. efficiat FZ. ergo duae rectae E HZ, FZ spatium comprehendent; quod fieri non potest, itaque recta F, Z coniungens in plano eleuatiore non est. ergo recta F, Z coniungens in plano parallelarum AB, Fz/ est.

22. ώς] supra scr. m. 1 B; om. FVb.

αδύνατον] mg. Y.

23. πεςιέχοναιν Yb. scr. Y.

EHZ] HZ Y.

25. aqa] supra

παραλλήλων έΰτιν έπιπέδω ή άπδ τον Ε έπϊ το Ζ έπιξενγννμένη εν&εια.

Εάν άρα ώΰι δυο εν&εΐαι παράλληλοι, ληφ&ή δέ έφ’ έκατέρας αυτών τυχόντα ΰημεια, ή έπι τά ΰημεΐα 5 έπιξενγννμένη εύ&εΐα έν τώ αν τώ έπιπέδω έΰτϊ ταις παραλλήλοις' όπερ έδει δεΐζαι.

-S'·*

’Eccv ώβι övo εν&εΐαι παράλληλοι, έτέρα αυτών έπιπέδω τινι προς όρ&άς η, και 10 η λοιπή τώ αντώ έπιπέδω προς όρ&άς έόται.

’Έότωόαν δυο εν&εΐαι παράλληλοι αι AB, ΓΑ, η δέ έτέρα αυτών η AB τώ νποκειμένω έπιπέδω προς όρ&άς έ<5τω' λέγω, ότι και η λοιπή η ΓΑ τώ αύτώ έπιπέδω προς όρ&άς έΰται.

15

Σνμβαλλέτωΰαν γάρ αι AB, ΓΑ τώ νποκειμένω έπιπέδω κατά τά Β, Α ΰημεια, και επεξενχ&ω η BAm αι AB, ΓΑ, ΒΑ άρα έν ένί είόιν έπιπέδω. ηχ&ω τη ΒΑ προς    έν τώ νποκειμένω έπιπέδω η ΑΕ,

και κεί<5&ω τη Α Β Ϊ6η η ΑΕ, και έπεζενχ&ωΰαν αι 20 BE, ΑΕ, ΑΑ. και έπει η AB δρ&ή έ<5τι προς το υποκείμενον έπίπεδον, και προς πάόας άρα τάς άπτο-μένας αυτής εν&είας και ονΰας έν τώ νποκειμένω έπιπέδω προς όρ&άς έΰτιν η AB’ δρ&η άρα [έΰτιν] έκα-τέρα τών νπδ ΑΒΑ, ΑΒΕ γωνιών, και έπει εις 25 παραλλήλους τάς AB, Γ Α εν&εΐα έμπέπτωκεν η ΒΑ, αι άρα νπδ ΑΒΑ, ΓΑΒ γωνίαι δνοϊν όρ&αΐς ί'ΰαι είΰίν. δρ&ή δέ η νπδ ABAm όρ&η άρα και η νπδ ΓΑΒ* η ΓΑ άρα προς την ΒΑ δρ&η έβτιν. καί

om. Υ.

3. ωΰιν ΡΒ. 8. ώαιν ΡΒ. η $ε] rj δέ η Υ. 9. ??] 10. προς όρ&άς έΰται τώ κντω έπιπέδω b. 12. Ante

Ergo si duae rectae parallelae sunt, et in utraque quaelibet puncta sumuntur, recta puncta con-iungens in eodem plano est, in quo parallelae; quod erat demonstrandum.

VIII.

Si duae rectae parallelae sunt, et alterutra ad planum aliquod perpendicularis est, etiam reliqua ad idem planum perpendicularis erit.

Sint duae rectae parallelae AB, Γ A, et alterutra earum AB ad planum subiacens perpendicularis sit. dico, etiam reliquam ΓΑ ad idem planum perpendicularem fore.

concurrant enim AB, ΓΑ cum plano subiacenti in punctis B, A, et ducatur BA. itaque AB, ΓΑ, BA in eodem plano sunt [prop. VII]. ad BA in plano subiacenti perpendicularis ducatur A E, et ponatur AE = AB, et ducantur BE, AE, AA. et quoniam AB ad planum subiacens perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano subiacenti positas perpendicularis est AB [def. 3]. rectus igitur uterque angulus AB A, A B E. et quoniam in parallelas AB, TA recta incidit BA, anguli AB A, ΓΑΒ duobus rectis aequales sunt [I, 29]. uerum LABA rectus est; quare etiam LTAB rectus est. quare ΓΑ ad B A perpendicularis est.

έπιπέδω m. 1 dei. εν P. corr. ex B m. rec. B. ορθάς] ορΌ’ή BFY.

26. γωνιαι] F, γωνία φ.

13. καί η] F, $η φ. 17. ΓΑ] Α 20. JE] ΔΕ φ. εατιν Ρ. 23. προς εατίν] (alt.) om. Ρ. 25. εν&είας Υ.

έπεί ί'ΰη έΰτίν η AB τη ΑΕ, κοινή δε η ΒΑ, δνο δη αι AB, ΒΑ δνΰί ταΐς ΕΑ, AB ί'ΰαι είαίν' καί γωνία η νπδ ΑΒΑ γωνία τη νπδ ΕΑΒ ί'ΰη’ ορθή γάρ έκατέρα’ βάβις άρα η ΑΑ βάόει τη ΒΕ Ϊ6η.

5 καί έπεί ί'Οη έΰτίν η μεν AB τη ΑΕ, η δε ΒΕ τη ΑΑ, δυο δη ai AB, ΒΕ δνΰί ταΐς ΕΑ, ΑΑ ί'ΰαι είαίν έκατέρα έκατέρα.] και βάΰις αυτών κοινή η ΑΕ* γωνία αρα η νπδ ΑΒΕ γωνία τη νπδ ΕΑΑ έβτιν ί'6η. ορθή δε η νπδ ΑΒΕ* ορθή αρα και η νπδ 10 EAA‘ η ΕΑ αρα πρδς την ΑΑ ορθή έατιν. εΰτι δε και πρδς την AB ορθή* ή ΕΑ αρα καί τω διά των ΒΑ, ΑΑ έπιπέδω ορθή έβτιν. και πρδς πάβας αρα τάς άπτομένας αντης ευθείας και ονβας εν τω διά των ΒΑΑ έπιπέδω όρδάς ποιηβει γωνίας η ΕΑ. 15 έν δε τω διά των ΒΑΑ έπιπέδω έβτιν η ΑΓ, έπει-δηπερ εν τω διά των ΒΑΑ έπιπέδω είβίν αί AB, ΒΑ, έν ω δε αι AB, ΒΑ, έν τοντω έβτί καί η Α Γ. η ΕΑ άρα τη ΑΓ πρδς όρ&άς έ(5τιν' ωβτε καί η ΓΑ τη ΑΕ πρδς δρ&άς έβτιν. έβτι δε καί η ΓΑ τη ΒΑ 20 πρδς όρ&άς. η ΓΑ αρα δνο εν&είαις τεμνονβαις άλ-ληλας ταις Α E, AB άπδ της κατά τδ Α τομής πρδς όρθά$ έφέβτηκεν' ώβτε η ΓΑ καί τω διά των ΑΕ, AB έπιπέδω πρδς όρ&άς έβτιν. τδ δέ διά των ΑΕ, AB έπίπεδον τδ υποκείμενόν έβτιν' η ΓΑ άρα τω 25 νποκειμένω έπιπέδω πρδς όρ&άς έβτιν.

Εάν άρα ώ<5ι δνο εν&εΐαι παράλληλοι, η δέ μία

bIgl Yb, comp. F.

2. AB] ΒΑ b.

7. έκατέρα] supra scr. F.

8.    E ΔΑ] ΒΔ seq. ras. 1 litt. φ.

9.    όρ&ή — ΑΒΕ] in ras. plurium litt. F.

11. ΔΒ] in ras. Y.    12. έΰτι Υ, comp. Fb.

Ρ; ΑΔ, ΔΒ Β; ΒΔ, AB b et in ras. FV.

12

4. έΰτιν ίαη BYb.

) supra scr. m. 1 Υ. gzlv] supra scr. m. 1 F.

10. A AI ΔΑ P. 14. ΒΔΑ] ΔΕ P. 15. ΒΔ,

et quoniam AB = A E, et B A communis est; duo latera AB, BA duobus    AB aequalia sunt; et

L AB A = E AB (uterque enim rectus est); itaque A A = BE [I, 4]. et quoniam AB = A E, et BE — AA, duo latera AB, BE duobus EA, A A aequalia sunt; et basis eorum communis est AE\ itaque LABE = EAA [I, 8]. uerum LABE rectus est; itaque etiam L EA A rectus est; ergo EA ad AA perpendicularis est. uerum etiam ad AB perpendicularis est. EA igitur etiam ad planum rectarum BA, A A perpendicularis est [prop. IV]. quare etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano rectarum BA, A A positas rectos angulos efficiet EA. in plano autem rectarum BA, A A posita est ΑΓ, quoniam AB, BA in plano rectarum BA, A A sunt [prop. II], in quo autem plano sunt AB, BA, in eodem etiam ΑΓ posita est. itaque EA ad AΓ perpendicularis est; quare etiam ΓΑ ad A E perpendicularis est. uerum Γ A etiam ad BA perpendicularis est. ΓΑ igitur ad duas rectas inter se secantes A E, AB in sectione A perpendicularis erecta est; quare ΓΑ etiam ad planum rectarum A E, AB perpendicularis est [prop. IV], uerum planum rectarum A E, AB subiacens est. itaque ΓΑ ad planum subiacens perpendicularis est.

Ergo si duae rectae parallelae sunt, et alterutra ad planum aliquod perpendicularis est, etiam reliqua

Ρ.

17. ΔΓ] ΓΔ b.

19. rij — ΓΔ] bis P, corr. m. 1.

ΒΔ] ΔΒ F.

21. ΔΒ] in ras. V.

24. υποκείμενόν εατιν] in ras. Y.

ΔΑ BFb, in ras. Y. m. 1 PV.

τή] και τύ\ Ρ.

corr. m. 1*

23. ΔΒ] ΔΕ b. ώβιν ΡΒ.

18. ΔΓ] in ras.

καί] om. 20. άλληλαις b, 22. ή] και η V.

αυτών επιπέδω τινι προς όρΟάς η, καί η λοιπή τω αντω επιπέδω προς όρΟάς έύται* οπερ έδει δεΐζαι.

0\

Αι τη αντη ευθεία παράλληλοι καί μη ον-5 βαι αντη εν τω αντω έπιπέδω και άλληλαις εΐόι παράλληλοι.

’Έβτω γάρ έκατέρα των AB, ΓΑ τη ΕΖ παράλληλος μη ονβαι αντη εν τω αντω επιπέδω* λέγω, ότι παράλληλός έΰτιν η AB τη ΓΑ.

10

ΕίληφΟω γάρ έπι της ΕΖ τυχόν ΰημεΐον το Η, και απ' αντον τη ΕΖ έν μεν τω διά των ΕΖ, AB έπιπέδω προς όρΟάς ηχΟω η ΗΘ, έν δε τω διά των ΖΕ, ΓΑ τη ΕΖ πάλιν προς όρΟάς ηχΟω η ΗΚ. και έπει η ΕΖ προς έκατέραν των ΗΘ, ΗΚ ορθή έβτιν, 15 η ΕΖ άρα και τω διά των ΗΘ, ΗΚ έπιπέδω προς όρΟάς έότιν. καί έΰτιν η ΕΖ τη AB παράλληλος¹ και η AB άρα τω διά των ΘΗΚ έπιπέδω προς όρΟ'άς έΰτιν. διά τά αυτά δη και η ΓΑ τω διά των ΘΗΚ έπιπέδω προς όρΟάς έΰτιν έκατέρα άρα των 20 AB, ΓΑ τω διά των ΘΗΚ έπιπέδω προς

έΰτιν. έάν δε δυο ενΟεΐαι τω αντω έπιπέδω προς όρΟάς ώΰιν, παράλληλοί είβιν αι ενΟεΐαι* παράλληλος άρα έβτϊν η AB τη ΓΑ* οπερ έδει δεΐζαι.

15. ΗΘ] Θ 16. εστιν]

comp. Fb, εστι PY. 17. αρα] om. P.

ad idem planum perpendicularis erit; quod erat demonstrandum.

IX.

Quae eidem rectae parallelae sunt, etiam si in eodem

plano non sunt, etiam inter se parallelae sunt.

Nam utraque AB, ΓΑ

E_

rectae EZ parallela sit, non

positae in eodem plano, dico,

AB rectae ΓΑ parallelam r

~ esse.

sumatur enim in EZ quoduis punctum H, et ab eo ad rectam EZ perpendicularis ducatur in plano EZ, AB rectarum ΗΘ, in plano autem ZE, ΓΑ rectarum ad EZ rursus perpendicularis ducatur HK. et quoniam EZ ad utramque ΗΘ, HK perpendicularis est, EZ etiam ad planum rectarum ΗΘ, HK perpendicularis est [prop. IV]. et EZ rectae AB parallela est. itaque etiam AB ad planum rectarum ΘΗ₅ HK perpendicularis est [prop. VIII]. eadem de causa etiam ΓΑ ad planum rectarum ΘΗ, HK perpendicularis est; quare utraque AB, ΓΑ ad planum rectarum ΘΗ, HK perpendicularis est. sin duae rectae ad idem planum perpendiculares sunt, rectae parallelae sunt [prop. VI]. ergo AB rectae ΓΑ parallela est; quod erat demonstrandum.

ΗΘ,

20. τώ] corr. ex των P.

siGLv] εαονται V.

P. 19. αρα] supra F.

HK m. 2 FV. 22. ωσυ Vb. 23. οπερ εδει $£Γξαί.] om. V.

’Εάν δνο εν&εϊαι απτό μεναι άλλήλων παρά δυο εν&είας άπτομέν ας άλλήλων ώόι μή εν τώ αντώ έπιπέδω, ίΰας γωνίας περιέζονβιν.

Ανο γάρ εν&εΐαι αί AB, ΒΓ άπτόμεναι άλλήλων παρά δνο εν&είας τάς AE, ΕΖ άπτομένας άλλήλων εΰτωΟαν μή εν τώ αντώ έπιπέδω' λέγω, ότι ί'6η έ<5τ\ν ή νπδ ΑΒΓ γωνία τή νπδ ΑΕΖ.

Άπειλήφ&ωβαν γάρ αί ΒΑ, ΒΓ, EA, ΕΖ ίβαι 10 άλλήλαις, καί έπεζενχ&ωβαν αί ΑΑ, ΓΖ, jBjB₅ ^JT, ζ/Ζ. καί έπεϊ ή ΒΑ τή ΕΑ ί'ΰη έΰτΐ καί παράλληλος, καί ή ΑΑ άρα τή ΒΕ ί'ΰη έβτι και παράλληλος. διά τά αντά δή και ή ΓΖ τή ΒΕ ίόη έβτι και παράλληλος' έκατέρα άρα των ΑΑ, ΓΖ τή ΒΕ ί'ΰη εότϊ 15 καί παράλληλος. αί δε τή αντή εν&εία παράλληλοι και μή ονβαι αντή εν τώ αντώ έπιπέδω και άλλήλαις είΰι παράλληλοι* παράλληλος άρα εΰτίν ή ΑΑ τή ΓΖ καί Ϊ6η. και έπιξενγννονόιν αν τάς αί ΑΓ, ΑΖ* και ή ΑΓ άρα τή ΑΖ ί'ΰη εότι και παράλληλος, και έπει 20 δνο αί AB, ΒΓ δνΰι ταίς ΑΕ, ΕΖ ίΰαι είβίν, και βάοις ή ΑΓ βάΰει τή ΑΖ ί'6η, γωνία άρα ή νπδ ΑΒΓ γωνία τή νπδ ΑΕΖ έΰτιν ί'ΰη.

⁵Εάν άρα δνο εν&εΐαι άπτόμεναι άλλήλων παρά δνο εν&είας άπτομένας άλλήλων ώΰι μή εν τώ αντώ 25 έπιπέδω, ί<5ας γωνίας περιέζονβιν όπερ έδει δειξαι.

3. ώσιν ΡΒ. 4. ονααι, ίαας b. περιεζουαι Vb. 5. αί AB, ΒΓ] om. BFV.^ ΒΓ] postea ins. m. 1 P. 6. αί AB, ΒΓ παρά BFV. 7. αντώ] supra scr. F. 9. ΒΑ] in ras. m. 1 P. ΕΖ] litt. Z e corr. V. 11. εστίν B. 12. εβτιν ί'ΰη BFb. 14. εκατέρα — 15. παράλληλος] bis F, sed corr. m. 1; mg. V. 16. καί μή — επιπεδω] om. V. 17. παράλληλοι] supra scr. m. 1 F. αρα] supra scr. m. 2 B. 18. καί] (primum) supra m. 1 V. 19. ίΰτιν PB. 20. είαί Vb, comp. F.

X.

Si duae rectae inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus non positis in eodem plano parallelae sunt, angulos aequales comprehendent.

Nam duae rectae AB, ΒΓ inter se tangentes duabus

v/

rectis inter se tangentibus A E, EZ non positis in eodem plano parallelae sint, dico, esse i AΒΓ = AEZ.

^z

/E

ponantur enim BA — BT = EA = EZ, et ducantur A A, JTZ, BE, ΑΓ₅ AZ. et quoniam BA rectae EA aequalis et parallela est, etiam A A rectae BE aequalis et parallela est [I, 33]. eadem de causa etiam ΓΖ rectae BE aequalis et parallela est. itaque ufcraque A A, ΓΖ rectae BE aequalis et parallela est. quae autem eidem rectae parallelae sunt, etiam si in eodem plano non sunt, etiam inter se parallelae sunt [prop. IX]. itaque A A rectae ΓΖ parallela est et aequalis, et eas iungunt ΑΓ, AZ\ quare etiam AT rectae AZ aequalis et parallela est [I, 33]. et quoniam duo latera AB? ΒΓ duobus A E, EZ aequales sunt, et AT=AZ, erit L ΑΒΓ = AEZ [I, 8].

Ergo si duae rectae inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus non positis in eodem plano parallelae sunt, angulos aequales comprehendent; quod erat demonstrandum.

V.

BFb.

22. νπό~\ oieu V. 23. άπτόμεναι — 25. $ε£ξαι] καί τα έξης 24.^ cogl {ώΰΐν F) naqa δνο ευϋ'είας άπτομένας άλλήλων (QGLV Ρ.

ια .

⁷Απδ τού δοδέντος ΰημείου μετεώρου έπϊ το δο&έν επίπεδον κά&ετον ευθείαν γραμμήν άγαγεΐν.

5 ”Εΰτω το μεν δο&εν ΰημεΐον μετέωρον το Α, το δε δο&έν επίπεδον τδ υποκείμενον· δει δη άπδ τού Α ΰημείου έπϊ τδ υποκείμενον επίπεδον κά&ετον ευθείαν γραμμήν άγαγεΐν.

Αιηχ&ω γάρ τις εν τω ύποκειμένω έπιπέδω ευθεία, 10 ως έτυχεν, η ΒΓ, καϊ ηχ&ω άπδ τού Α ΰημεΐον επί την ΒΓ κάθετος η ΑΑ. εί μεν ούν η ΑΑ κά&ετός έΰτι καί επί τδ υποκείμενον επίπεδον, γεγονδς αν εί'η τδ έπιταχ&έν. εί δέ οϋ, ηχ&ω άπδ τού Α ΰημείου τη ΒΓ εν τω ύποκεομένω έπιπέδω πρδς όρ&άς η ΑΕ, 15 καί ηχ&ω άπδ τού Α έπϊ την ΑΕ κά&ετος η ΑΖ, καί διά τού Ζ ΰημείου τη ΒΓ παράλληλος ηχ&ω η ΗΘ.

Καί έπεϊ η ΒΓ εκατέρα των ΑΑ, ΑΕ πρδς όρ-&άς έΰτιν, η ΒΓ άρα καί τω διά των ΕΑΑ έπιπέδω πρδς    έΰτιν. καί έΰτιν αύτη παράλληλος η

20 ΗΘ* εάν δε ωΰι δύο εν&εΐαι παράλληλοι, η δέ μία αυτών έπιπέδω τινϊ πρδς δρ&άς η, καί η λοιπή τω αύτω έπιπέδω πρδς όρ&άς έΰται% καί η ΗΘ άρα τω διά των ΕΑ, ΑΑ έπιπέδω πρδς όρ&άς έΰτιν. καί πρδς πάΰας άρα τάς άπτομένας αυτής εύ&είας καί 25 ούΰας έν τω διά των ΕΑ, Α Α έπιπέδω ορ&ή έΰτιν η ΗΘ. άπτεται δέ αυτής η ΑΖ ούΰα έν τω διά

2. μετέωρον φ (non F), μετεωροτέρον b. 3. do'O’sV] Ρ, υποκείμενον BFYb, Ρ mg. m. 1.    9. γάρ] om. Υ. εν&εια]

postea ins. F. 10. ΓΒ F. 12. έατι καί] έΰτιν e corr. τη. 2 F. έπϊ] om. b. γεγονός] eras. V. 13. τό] supra scr. F. δέ] supra scr. Y. 17. επί φ.

XL

A dato puncto eleuato ad datum planum perpendicularem lineam rectam ducere.

Nam datum punctam eleuatum sit A, et datum planum sit, quod subiacet. oportet igitur a puncto A ad planum subiacens rectam lineam perpendicularem ducere.

Ce

Z"

ducatur enim in plano subia-centi recta quaelibet ΒΓ, et ab A puncto ad 5Γ perpendicularis ducatur A A [I, 12]. iam si A A etiam ad planum subiacens perpendicularis est, factum est, quod propositum erat, sin minus, a A puncto in plano subiacenti ad rectam ΒΓ perpendicularis ducatur A E [I, 11], et ab A ad A E perpendicularis ducatur AZ [I, 12], et per Z punctum rectae ΒΓ parallela ducatur ΗΘ [I, 31].

et quoniam ΒΓ ad utramque A A, A E perpendicularis est, etiam ad planum rectarum EA, A A perpendicularis est ΒΓ [prop. IV]. et ei parallela est ΗΘ. sin duae rectae parallelae sunt, et alterutra ad planum aliquod perpendicularis est, etiam reliqua ad idem planum perpendicularis est [prop. VIII]; itaque etiam ΗΘ ad planum rectarum EA, A A perpendicularis est. quare etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano rectarum EA, A A positas perpendicularis est ΗΘ [def. 3]. uerum AZ eam tangit in plano

25. JA] J, ut uidetur, e corr. F. εν τω] sustulit reparatio in F.

21 — 24 nonnulla in F euan.

£6TCU V.

23. εατιν] comp. Fb, sgtl P, 26. ΘΗ B.

των ΕΑ, ΑΑ έπιπέδω* η ΗΘ αρα ορθή έβτι προς την ΖΑ* ώΰτε καί η ΖΑ ορθή έβτι προς την ΘΗ. εΰτι δε η ΑΖ καί προς την ΑΕ όρθη’ η ΑΖ αρα τίρος έκατεραν των ΗΘ, ΑΕ όρθη εΰτιν. εάν δε 5 ευθεία δνΰϊν εύθείαις τεμνονβαις άλληλας επί της τομής προς όρθάς έπιΰταθη, καί τω δι’ αυτών επιπεδω προς όρθάς εΰται' η ΖΑ αρα τω διά των ΕΑ, ΗΘ επιπεδω προς όρθάς εΰτιν. το δε δια των ΕΑ, ΗΘ επίπεδόν εΰτι το υποκείμενον* η ΑΖ αρα τω νποκει-10 μένω επιπεδω προς opHag εΰτιν.

’Απο τον αρα δοθέντος Σημείου μετεώρου τον Α επί το υποκείμενον επίπεδον κάθετος ευθεία γραμμή ηκται η ΑΖ* οπερ εδει ποιηΰαι.

ιβ\

15

Τω δοθέντι επιπεδω άπδ τον προς αύτω δοθ εντός ΰημείου προς όρΟ'άς ετθειαν γραμμήν άναΰτηΰαι.

”Εΰτω το μεν δοθ εν επίπεδον το υποκείμενον, τι δε προς αυτω ΰημεΐον το Α* δει δη άπδ του Α ΰη-20 με ίου τω υποκειμενω επιπεδω πρδς όρθάς ευθείαν γραμμήν άναΰτηΰαι.

Νενοηΰθω τι ΰημεΐον μετέωρον τι Β, και άπδ τον Β επί το υποκείμενον επίπεδον κάθετος ηχθω η ΒΓ, και διά του Α ΰημείου τη ΒΓ παράλληλος ηχθω 25 η ΑΑ.

1. εατιν PV. 2. εΰτιν cp.

ΘΗ] ΘΚ cp , ΗΘ Β , ΖΗ Ρ, et b, sed corr. m. 1.    3. εΰτι — καί] sustulit reparatio in F.

η] (prius) ΆΟίϊ η V. την] m. 2 F. AZ] (alt.) e corr. m. 2 F, seq. ras. 1 litt. άρα καί F. 5. εν&είας] ενθεΐαι cp. τεμνονΰαις] Pb, F mg.; άπτομέναις BF V, b mg. άλληλας] -ας in ras. m. 1 b, άλληλων BFV. 6. δι⁹] om. φ. 8. εΰτιν] comp.

rectarum EA ^ A A posita, itaque ΗΘ ad ZA perpendicularis est; quare etiam ZA ad ΗΘ perpendicularis est. uerum AZ etiam ad A E perpendicularis est. AZ igitur ad utramque ΗΘ, A E perpendicularis est. sin recta ad duas rectas inter se secantes in sectione perpendicularis erigitur, etiam ad planum earum perpendicularis erit [prop. IV]. itaque ZA ad planum rectarum EA, ΗΘ perpendicularis est. uerum planum rectarum EA, ΗΘ subiacens est. itaque AZ ad planum subiacens perpendicularis est.

Ergo a dato puncto eleuato A ad planum subiacens perpendicularis ducta est recta linea AZ; quod oportebat fieri.

XII.

Ad datum planum a puncto in eo dato rectam lineam perpendicularem erigere.

Sit datum planum, quod subia cet, et punctum in eo datum sit A. oportet igitur, ab A puncto ad planum subiacens perpendicularem rectam lineam erigere, supponatur eleuatum aliquod punctum B, et a B ad planum subiacens perpendicularis ducatur ΒΓ [prop. XI], et per A punctum rectae B Γ parallela ducatur A A,

Fb, έ6xi PBV. 9. επίπεδόν έβτι το υποκείμενον] επίπεδων προς όρ&άς έΰτιν φ Ζ A b. 10. εΰται V. 11. αρα] om. F. δο&έντος αρα V. 13. ή ΑΖ~\ om. Fb; add. m. 2 B. ποιηααί] δείναν P. 15. έαυτω P, sed corr. 16. δο&έντι θΎ\μεΐον φ (non F). Post γραμμήν dei. άγαγεΐν m. 1 b. 19. αυτό V, et P, sed corr. Post prius A ras. 1 litt. F. 22. μετέωρόν τι ση-μείον P. 23. κάθετος] comp, in ras. F. 24. τή ΒΓ] om. b.

’Επει ονν δύο εύ&εΐαι παράλληλοί είΰιν αί ΑΑ ? ΓΒ, η δε μία αυτών η ΒΓ τώ ύποκειμένω έπιπέδω προς όρ&άς έΰτιν, και η λοιπή άρα η ΛΑ τώ ύποκειμένω έπιπέδω προς όρ&άς έΰτιν.

5 Τώ άρα δο&έντι έπιπέδω από τον προς αντώ ΰη-μείου του Α προς    άνέΰταται η ΛΑ' οπερ έδει

ποιηΰαι.

ιγ.

’Λπό του αυτόν ΰημείον τώ αντώ έπιπέδω 10 δυο ευ&εΐαι προς δρ&άς ουκ άναΰτηΰονται έπί τα αυτά μέρη.

Εί γάρ δυνατόν, από τον αυτοί) 6 η με ίου του Α τώ ύποκειμένω έπιπέδω δυο ευ&εΐαι αι AB, ΑΓ προς όρ&άς άνεΰτάτωΰαν έπι τα αυτά μέρη, και διήχ&ω το 15 διά τών ΒΑ, ΑΓ έπίπεδον τομήν δη ποιηΰει διά του Α έν τω ύποκειμένω έπιπέδω εύ&εΐαν. ποιείτω την ΑΑΕ* αι άρα AB, ΑΓ, ΑΑΕ ευ&εΐαι έν ένί είΰιν έπιπέδω. και έπει η ΓΑ τώ ύποκειμένω έπιπέδω προς όρ&άς έΰτιν, και προς πάΰας άρα τάς 20 άπτομένας αυτής ευθείας και οϋΰας έν τώ ύποκειμένω έπιπέδω όρ&άς ποιηΰει γωνίας, άπτεται δε αυτής η ΑΑΕ ούΰα έν τώ ύποκειμένω έπιπέδω* η άρα υπό ΓΑΕ γωνία όρ&ή έΰτιν. διά τά αυτά δη και η υπό ΒΑΕ όρ&ή έΰτιν* ίΰη άρα η υπό ΓΑΕ τη υπό ΒΑΕ. 25 ocai είΰιν έν ένι έπιπέδω * όπερ έΰτιν αδύνατον.

Ούκ άρα από του αυτού ΰημείον τώ αύτώ έπιπέδω

1/ είσιν    αί] om. ψ    (non Ρ).    3.    εστι FV, comp. b.

4. εστι ΒΥ,    comp. Fb.    5. από    — 7.    ποιήσαί] καί τά εξής Υ.

5. αυτό b. 6. τον — άνέσταται] euan. F. 7. ποιήσαί] δεΐξαι Ρ. 9. από —,έπιπέδω] PBFV, b mg. m. 1 (γρ.)ί in textu b:    τω δο&έντι έπιπέδω    από    τον προς αντώ σημείου,

et idem in    mg. habuit    F, sed uestigia    sola restant. 10. ava-

iam quoniam duae rectae parallelae sunt AA, ΓΒ, et altera earum ΒΓ ad planum subiacens perpendicularis est, etiam reliqua A A ad planum subiacens perpendicularis est [prop. VIII].

Ergo ad datum planum a puncto in eo dato A perpendicularis erecta est AA\ quod oportebat fieri.

XIII.

Ab eodem puncto ad idem planum duae rectae perpendiculares ad easdem partes erigi non possunt.

JB

A,

Nam si fieri potest, ab eodem puncto A ad planum subiacens duae rectae AB, AT perpendiculares erigantur ad easdem partes, et ducatur per BA, AT planum, sectionem igitur in plano subiacenti rectam efficiet per A punctum [prop. III]. efficiat A A E. itaque AB, AT, AAE rectae in eodem plano positae sunt, et quoniam TA ad planum subiacens perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in / plano subiacenti positas rectos angu-/ los efficiet [def. 3]. tangit autem 'E eam AAE in plano subiacenti posita. itaque LTAE rectus est. eadem de causa etiam L BAE rectus est. quare TAE = BAE] et in eodem plano positi sunt; quod fieri non potest.

Ergo ab eodem puncto ad idem planum perpen-

15. ΒΑ] B e corr.

gxα&ήσονται b.    13. αΐ] ins. m. 1 F.

Y. 16. εν&εΐαν] οηα. V. ποιείται] -τω supra add. m. 2 B.

17. Supra την add. εν&. Y. Δ AE] corr. ex ΔΑ m. 2 Y. ΔΑΕ] corr. exzJE m. lb. 19. εστιΒΥ, comp. Fb. 23. ΓΑΕ] seq. ras. */₆ lin. Y. εατι PV, comp. Fb. 25. ενί] P, τω ενίΒΕΥ; τω αυτω b, mg. 79. εν ενι επίπ.\ αντω mg. F., in quo τω in ras. est. 26. των κντών φ (non F).

δύο εύδεΐαι προς όρ&άς άναΰταϋ'ηΟονται έπι τά αυτά μέρη' όπερ εδει δεΐζαι.

ιδ'.

ΤΙρος ά επίπεδα η αύτη ευ&εΐα όρ&ή έότιν, 5 παράλληλα εβται τά επίπεδα.

Εύ&εϊα γάρ τις η AB προς έκάτερον των ΓΑ, ΕΖ επίπεδων προς όρ&άς εΰτω* λέγω, ότι παράλληλα εΰτι τά επίπεδα.

Εί γάρ μη, εκβαλλόμενα ΰυμπεαο ϋνται. 6υμ-10 πιπτέτωΰαν ποιηόουΰι δη κοινήν τομήν εύ&εΐαν. ποιείτωβαν την ΗΘ, καί είλήφ&ω επι της ΗΘ τυχόν ΰημειον το Κ, και επεξεύχ&ωβαν at AK, BK. και έπεϊ η AB όρ&ή έότι προς το ΕΖ επίπεδον, και προς την ΒΚ άρα εύ&εΐαν ονόαν εν τω ΕΖ εκβλη-15 &έντι έπιπέδω όρ&η εότιν η AB' η άρα υπό ΑΒΚ γωνία όρΟι] έΰτιν. διά τά αυτά δη και η υπό ΒΑΚ όρ&ή εΰτιν. τριγώνου δη του ΑΒΚ αι δύο γωνίαι αι υπό ΑΒΚ, ΒΑΚ δυόΐν όρ&αϊς είΰιν ίοαι* όπερ έότίν αδύνατον. ούκ άρα τά ΓΑ, ΕΖ επίπεδα εκβαλ-20 λόμενα όυμπεΰούνται' παράλληλα άρα έβτι τά ΓΑ, ΕΖ επίπεδα.

Προς ά επίπεδα άρα η αύτη εύ&εΐα όρ&ή έβτιν, παράλληλά έότι τά επίπεδα* όπερ εδει δείξαι.

4. εστί PBV, comp. Fb. επίπεδοί] αυτά μέρη φ.

1. άναστήσονταί Υ.

Ρ, εστί BFYb.

7. ΕΖ] ΖΕ b.

Κ" Β’ b.

ΒΥ, comp. Fb; item lin. 17. αί] om. V.

20. εστί] comp. F.; είσίν in ras. m. 1 P.

(non F). εστι B, et corr. in εστιν V, comp. Fb. πεδα] i in ras. m. 1 Ρ. δπερ εδει δεΐξαί] om. Y.

5. εσταί] 6. ΓΑ] in ras. V. 12. BK] corr. ex KB m. 2 V; KB B;

16. εστι

13. καί] (alt.) supra scr. comp. m. 1 b.

17. ABK] corr. ex AB F.

ί'σαί είσίν Y.

22. ά] om. φ 23. επί-

18. είσίν] supra m. 1 Ρ.

diculares duae rectae ad easdem partes erigi non possunt; quod erat demonstrandum.

XIV.

Ad quae plana eadem recta perpendicularis est, ea parallela erunt.

Recta enim AB ad utrumque planum JHz/, EZ perpendicularia sit. dico, plana parallela esse.

nam si minus, producta concurrent, concurrant; communem igitur sectionem rectam facient [prop. III]. faciant ΗΘ, et in ΗΘ punctum quodlibet sumatur A, et ducantur AK, BK. et quoniam AB perpendicularis est ad planum EZ, etiam ad rectam BK in

H/plano EZ producto / positam perpendicu-

K laris est AB. ergo LABK rectus est [def. 3]. eadem de causa etiam L BAK rectus est. trianguli igitur ABK duo anguli ABK + BAK duobus rectis aequales sunt; quod fieri non potest [I, 17]. itaque plana Γζ/, EZ non concurrent producta, ergo plana Fz/, EZ parallela sunt [def. 8].

Ergo ad quae plana eadem recta perpendicularis est, ea parallela sunt; quod erat demonstrandum.

ιε .

'Εάν δυο εν&εΐαι άχτόμεναι άλλήλων χαρά δνο εν&είας άχτομένας άλλήλων ώβι μή εν τω αντω έχιχέδω ονΰαι, χαράλληλά έΰτι τα δ ι’ 5 αυτών έχίχεδα.

Ανο γάρ εν&εΐαι άχτόμεναι άλλήλων αιΑΒ, ΒΓ χαρά δνο ευθείας άχτομένας άλλήλων τάς A E, ΕΖ εβτωΰαν μή εν τω αντω έχιχέδω ονόαι* λίγω, ότι εκβαλλόμενα τά διά των AB, ΒΓ, AE, ΕΖ έχίχεδα 10 ον ΰνμχεβεΐται άλλήλοις.

’Ήχ&ω γάρ άχδ τον Β ΰημείον έχΐ το διά των A Ε, ΕΖ έχίχεδον κά&ετος ή ΒΗ και Ονμβαλλέτω τω έχιχέδω κατά το Η ϋημεΐον, κχι διά τον Η τη μεν ΕΑ χαράλληλος ήχ&ω ή ΗΘ, τη δε ΕΖ ή ΗΚ. 15 και έχεϊ ή ΒΗ όρ&ή έΰτι χρδς το διά των ΑΕ, ΕΖ έχίχεδον, και χρδς χά<5ας άρα τάς άχτομένας αντής εν&είας και ovöag έν τω διά ιών ΑΕ, ΕΖ έχιχέδω δρ&άς χοιήΰει γωνίας, άχ&ται δέ αντής έκατέρα των ΗΘ, Η Κ ονΰα έν τω δ>ά των ΑΕ, ΕΖ έχιχέδω* 20 όρ&ή άρα έΰτιν έκατέρα τών νχδ ΒΗΘ, ΒΗΚ γωνιών. και έχει χαράλληλος έβτιν ή ΒΑ τή ΗΘ, αί άρα νχδ ΗΒΑ, ΒΗΘ γωνίαι δνόϊν όρ&αις ίύαι είύίν. όρΰ'ή δε ή νχο ΒΗΘ δρΰ'ή άρα και ή νχδ ΗΒΑ* ή ΗΒ άρα τή ΒΑ χρδς όρ&άς έΰτιν. διά τά αντά 25 δή ή ΗΒ και τή ΒΓ έΰτι Χρος δρ&άς. έχει ονν εν&εΐα ή ΗΒ δνοιν εν&είαις ταΐς ΒΑ, ΒΓ τεμνον-

3. Ante ωσι ra*· 3 litt. V; ωσιν Β. 4. έΰτιν Ρ. 6. Β Γ] corr. ex TB Υ; ΓΒ Β 10. ονμ- in ras. Υ. ονμπεαοννται b, corr. m. 1.    11. B] e corr. m. 1 b. 13. τον Η] τον Η σημειον b,

αημείον add. m. 2 F. 15. εΰτιν PY, comp. F. 16. αντής] om. φ. 17. διά τών] om. Ρ. 19. τών ΗΘ — 20. εκατερα] mg. m. 1 Τ. 20. εατίν] om. Υ. ΒΗΘ] Θ in ras. Υ.

XV.

Si duae rectae inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus parallelae sunt non in eodem plano positae, plana earum inter se parallela sunt.

Nam duae rectae inter se tangentes AB, ΒΓ duabus rectis inter se tangentibus A E, EZ parallelae sint non in eodem plano positae, dico, plana rectarum AB, ΒΓ et A E, EZ producta inter se non concurrere.

ff

ducatur enim a B puncto ad planum rectarum Λ E, EZ perpendicularis BH [prop. XI] et cum plano in H puncto concurrat, et per H rectae EA parallela ducatur ΗΘ, rectae autem EZ parallela HK. et quoniam BH ad planum rectarum A E, EZ perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano rectarum A E, EZ positas rectos angulos efficiet [def. 3]. uerum utraqueif@, ifi£eam tangit in plano rectarum A E, EZ posita, itaque uterque angulus ΒΗΘ, BHK rectus est. et quoniam BA rectae ΗΘ parallela est [prop. IX], anguli HBA + ΒΗΘ dqobus rectis aequales sunt [I, 29]. uerum L ΒΗΘ rectus est; itaque etiam LHBA rectus. HB igitur ad BA perpendicularis est. eadem de causa HB etiam ad ΒΓ perpendicularis est. iam quoniam recta HB ad duas rectas inter.: se secantes BA, BΓ perpendicularis

22. HBÄ] H ins. V. in ras. Y, BH Bb. BFVb.

25. HB} 26. HB} P, BH

23. ή] (alt.) supra scr. V. hul] in ras. V. εν&είοας] όςδαΐς B, supra scr. εν&είοας m. 2.

<5αις άλληλας προς ορ&άς έφέΰτηκεν, η ΗΒ άρα καί τω διά των ΒΑ, ΒΓ έπιπέδω προς όρ&άς έΰτιν. [διά τα αυτά δη η ΒΗ καί τω διά των ΗΘ, ΗΚ έπιπέδω προς όρ&άς έΰτιν. το δε δία των ΗΘ, ΗΚ 5 επίπεδόν έΰτι το δία των ΑΕ, EZ' η ΒΗ άρα τω διά των AE, ΕΖ έπιπέδω έΰτί προς όρ&άς. έδείχ&η δε η ΗΒ καί τω διά των AB, ΒΓ έπιπέδω προς optfrig]. προς ά δε επίπεδα η αντη ευθεία όρ&η έΰτιν, παράλληλα έΰτι τά επίπεδα* παράλληλον άρα έΰτί 10 το διά των AB, ΒΓ επίπεδον τω διά των AE, ΕΖ.

’Εάν άρα δύο εύ&εΐαι απτόμεναι άλληλων παρά δυο ευθείας άπτομένας άλληλων ώΰι μη εν τω αντω επί-πέδω, παράλληλά εΰτι τά δι αυτών επίπεδα' όπερ έδεί δεΐξαι.

15

’Εάν δνο επίπεδα παράλληλα ίπό έπιπέδ ον τίνος τέμνηταί, αί κοίναί αυτών τομαί παράλληλοί είΰιν.

Ανο γάρ επίπεδα παράλληλα τά AB, ΓΑ υπό έπι-20 πέδου τον ΕΖΗΘ τεμνέΰ&ω, κοίναί δε αυτών τομαί έΰτωΰαν αί ΕΖ, ΗΘ* λέγω, ότι παράλληλός έΰτιν η ΕΖ τη ΗΘ.

Εί γάρ μη, έκβαλλόμεναί αί ΕΖ, ΗΘ ήτοι έπί

Ρ.

2. έοτι ΒΥφ, comp. b. 3. διά τά — 8. όραίά^] mg. m. 2 B, punctis dei. m. 2 Y. 4. έΰτι BY, comp. Fb. 5. έΰτιν Post EZ dei. έπί m. 1 P. 7. ΒΓ] ΑΓ BV. Ad lin. 3 —8 mg. b m. 1: γρ. έΰτι δε καί τω διά των JE, ΕΖ έπιπέδω OQ&rj * η Β Η άρα προς έκάτερον των διά των ΑΒΓ, JEZ επιπέδων όρ&ή έΰτι; idem in textu ΒΥ (τω corr. ex το, Γ in ras. Υ; έΰτιν B]>, mg. m. 1 F. 9. έβτι BY, comp. Fb. 12. ωΰΐν Β. έπιπέδω ovGai B. 13. έβτι τά] τά seq. lac. φ. δπερ έδει δειξαι] om. Υ. 17. παράλληλοι] έοτωοαν φ. 18. είΰΐ

erecta est, HB etiam ad planum rectarum BA, ΒΓ perpendicularis est [prop. IV].²) ad quae autem plana eadem recta perpendicularis est, ea parallela sunt [prop. XIV]. itaque planum rectarum AB, ΒΓ parallelum est plano rectarum A E, EZ.

Ergo si duae rectae inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus parallelae sunt non in eodem plano positae, plana earum parallela sunt; quod erat demonstrandum.

XVI.

Si duo plana parallela plano aliquo secantur, communes eorum sectiones parallelae sunt.

fZ

comniu-

Nam duo plana parallela AB, TA plano ΕΖΗΘ se-centur , nes autem eorum

H)

(Θ

sectiones sint EZ, H®. dico, EZ rectae ΗΘ parallelam esse.

nam si minus, EZ, ΗΘ productae concurrent aut

Yb, comp. F. m. 1.

19. ΓζΤ, AB' F. 23. αί] ονμπεΰουντοα αΐ Y.

20. τετμήΰ&ω b, corr.

τά Ζ, Θ μέρη η έπι τα Ε, Η 6υμπε6οϋνταν. εκβε-βλη6&ω6αν ώς έπι τα Ζ, Θ μέρη καί 6νμπιπτέτω6αν πρότερον κατά το Κ. και έπει η ΕΖΚ εν τω AB ε6τιν έπιπέδω, και -πάντα άρα τα έπι της ΕΖΚ 6η-5 μεια εν τω AB εΰτιν έπιπέδω. εν δε των έπϊ της ΕΖΚ εν&είας 6η με ίων ε6τΙ τδ Κ* τδ Κ άρα εν τω AB ε6τιν εταπέδω. διά τα αυτά δη τδ Κ καί εν τω ΓΑ ε6τιν έπιπέδω' τα AB, FA άρα επίπεδα εκβαλλόμενα 6υμπε6οϋνται. ον 6νμπίπτον6ι δέ διά τδ 10 παράλληλα νποκεΐ6&αι' ουκ άρα αί ΕΖ, ΗΘ εν&εΐαι έκβαλλόμεναι έπι τα Ζ, Θ μέρη 6υμπε6οννται. ομοίως δη δείξομεν, ότι αί ΕΖ, ΗΘ εν&εΐαι ονδε έπι τα Ε, Η μέρη εκβαλλόμεναι 6υμπε6ούνται. αί δε έπι μηδ-έτερα τα μέρη 6νμπίπτον6αι παράλληλοί εί6ιν. παρ-15 άλληλος άρα ε6τϊν η ΕΖ τη ΗΘ.

Εάν άρα δυο επίπεδα παράλληλα νπδ επιπέδου τίνος τέμνηται, αί κοιναι αυτών τομαι παράλληλοι ει6ιν οπερ έδει δεϊί,αι.

20

Εάν δυο ευ&εΐαι υπδ παραλλήλων επίπεδων τέμνωνται, εις τούς αυτούς λόγους τμη-&η6ονται.

Αύο γάρ εύ&ειαι αί AB, ΓΑ νπδ παραλλήλων επιπέδων των ΗΘ, ΚΑ, ΜΝ τεμνέ6$ω6αν κατά τά 25 A, E) Β, Γ, Ζ, Α 6ημεΐα* λέγω, ότι ε6τϊν ώς η ΑΕ εύ&εΐα πρδς την ΕΒ, ούτως η ΓΖ πρδς την ΖΑ.

1. τά] (ait.) supra scr. m. 2 B.    ονμπεοονντοίί] om. V.

Post καί spatium 6 litt.

4. επιπέδω

έκβεβλήσ&ω in ras. V. 2. ώς] P, F m. 1; πρότερον ώς BVb, F m. 2.    3. πρότερον] om. BFV.

reliq. φ.    τω AB] ενί b, mg. γρ. εν τω AB έατιν.

ad Z? @ partes aut ad E, H. producantur ad Z, @ partes et prius concurrant in K. et quoniam EZK in plano AB posita est, etiam omnia rectae EZK puncta in plano AB posita sunt [prop. I]. ex punctis autem rectae EZK unum est K. itaque K in plano AB positum est. eadem de causa K etiam in plano ΓA positum est. quare plana AB, ΓΑ producta concurrent. uerum non concurrunt, quia parallela esse supponuntur, itaque rectae EZ} ΗΘ productae ad Z, Θ partes non concurrent, iam similiter demonstrabimus, rectas EZ, ΗΘ ne ad E, H quidem partes productas concurrere, quae autem ad neutras partes concurrunt, parallelae sunt, itaque EZ rectae ΗΘ parallela est.

Ergo si duo plana parallela plano aliquo secantur, communes eorum sectiones parallelae sunt; quod erat demonstrandum.

XVII.

Si duae rectae planis parallelis secantur, secundum eandem rationem secabuntur.

Nam duae rectae AB} ΓΑ planis parallelis ΗΘ, KA, MN in punctis A, E, B et JT, Z, A secentur. dico, esse AE : EB = ΓΖ: ZA.

έβτίν F. καί — 5. επιπέδώ] mg. F (euan.). 5. επιπέδω εστίν BV, F?; επιπεδω είΰίν b. τών~\ τω B, et Y, sed corr. m. rec. 6. αημείω Βφ, et Y (corr. m. rec.); βημεΐον b.

12. αί] και ai BY. ovd’ P. 13. μέρη] supra scr. m. 1 F. εκβαλλόμεναι ον b. ε πι\ επϊ τά Y cp. 14. τα] om. BY. είβι Vb, comp. F.    15. η] post ins. Y.    τη] om. b.

16. παράλληλα — 18. δεΐξαά]: oj Y. 17. τετμηται B. 21. τε-μνονταί P, corr. m. 1.    24. τεμνέτωααν b.    25. A] insert.

postea Y. B] in ras. Y. z/, Z B. 26. Zz/] e corr. Y, in ras. m. 1 P; z/Z B.

’Επεζενχ&ωΰαν γάρ αί ΑΓ, ΒΑ, ΑΑ, και ΰυμ-βαλλέτω η ΑΑ τώ ΚΑ έπιπέδω κατά το Β ΰημεΐον, και έπεζεύχ&ωΰαν αι ΕΒ, ΒΖ. και έπει δυο επίπεδα παράλληλα τά ΚΑ, ΜΝ υπό επιπέδου τον ΕΒΑΒ 5 τέμνεται, αι κοιναι αυτών τομαι αι ΕΒ, ΒΑ παράλληλοί είΰιν. διά τά αυτά δη έπει δυο επίπεδα παράλληλα τά ΗΘ, ΚΑ υπό επιπέδου τον ΑΒΖ,Γ τέ-μνεται, αι κοιναι αυτών τομαι αί ΑΓ, ΒΖ, παράλληλοί είΰιν. και έπει τριγώνου τοϋ ΑΒΑ παρά μίαν τών 10 πλευρών την ΒΑ ευ&εΐα ηκται η ΕΒ, άνάλογον άρα έΰτιν ώς η ΑΕ προς ΕΒ, όντως η AB προς ΒΑ. πάλιν έπει τριγώνου τον ΑΑΓ παρά μίαν τών πλευρών την ΑΓ ευθεία ηκται η ΒΖ,, άνάλογον έΰτιν ώς η AB προς ΒΑ, όντως η ΓΖ προς ΖΑ. έδείχ&η 15 δέ και ώς η AB προς ΒΑ, όντως η ΑΕ προς ΕΒ* και ώς άρα η ΑΕ προς ΕΒ, όντως η ΓΖ προς ΖΑ.

¹

η] εστιν φ, supra scr. rj. 2. έσται] εστιν BFY.

6. εΐσίν Ρ. 7. 7«ρ] γ corr. ex π m. rec. Β. παράλληλος τη ΕΖ Υ. παράλληλοι Β. 9. ΔΓ Υ. 10. Post τυχόν ras. 2 litt. Υ. 12. η] supra m. 1 Ρ. 13. ΖΕ] in ras. Υ.

ΗΚ] ΝΚ F, Η post ins. Υ. 14. η] αι F. b supra scr. m. 1; litt. H postea ins. m. 1 BF.

καί — 18. εστιν] mg*, m. 2 Β.

19. εκατερα — 21. εστιν] mg. m. 1 in ras.

²

Uerba διά τά lin. 3 — όρ&άς lin. 8 ab Euclide profecta esse nequeunt, quippe quae per ambages demonstrent, BH ad planum rectarum z/E, EZ perpendicularem esse, id quod e praeparatione patet (p. 40, 11), ad quam Euclides tacite respicit contra morem suum, inde factum est, ut uerba illa interpolarentur et id quidem iam ante Theonem, scriptura codicis B per se bona sine dubio e coniectura satis recenti orta est.

Έάν άρα δυο εν&εΐαι υπο παραλλήλων έπιπέδων τέμνωνται, εις τους αύτους λόγους τμη&ήΰονται' όπερ έδει δεΐζαι.

4. παρ-

2. τώ] τό φ. 3. ΕΖ] Ζ' b. επίπεδου φ. άλληλοί] = ⁰⁴ φ. ΕΒΑ&] & in ras. V, corr. ex Ζ m. 1 F.

5. E#, BA] in ras. Y, # eras. B; EZ, BA b. 6. είΰΐ Yb, comp. F. διά — 9. είΰιν] mg. Y. 7. έπιπέδου του corr. ex επιπέδου P. m. 2. Α&ΖΓ] & in ras. Y.    8. &Z

corr. ex Z m. 2 B. 9. είβι b, comp. F. μία φ.    10. την

τη b. ευ&είαν B, sed corr. 11. έΰτιν] om. Y. την ΕΒ V. 12. ΑΑ" Γ' b. 13. την] τών φ (nonF). ευθείαν B, sed corr. έΰτιν] αραΒΥ.    14. την EA BF. ΓΖ] Ζ in ras. m. rec. Y.

τμή-

την ZA BFYb. έδείχ&η— 15. EB] mg. m. 2 B. 15. την EA FVb. την ΕΒ Y. 16. καί ώς αρα] έΰτιν άρα καί ώς b, 3 in spatio plur. litt. φ. ΑΕ] Α in ras. m. 2 Y. την EB BFb. την ZA B. 17. υπό — 19.    καί τά

έξης V. 18. τέμνωνται, είς] οτερεών seq. lac. φ. ΰονται B, corr. m. 2.

ducantur enim ΑΓ, BA, A A, et A A cum plano KA concurrat in puncto et ducantur E&} &Z. et quoniam duo plana parallela KA, MN plano EBA& secantur, communes eorum sectiones ES, BA parallelae sunt [prop. XVI]. eadem de causa, quoniam

A,

<E

duo plana parallela ΗΘ, KA plano Α&ΖΓ secantur, communes eorum sectiones ΑΓ,    parallelae sunt,

et quoniam in triangulo AB A uni laterum BA parallela ducta est recta EE, erit AE : EB = AS : EA [VI, 2]. rursus quoniam in triangulo ΑΑΓ uni laterum ΑΓ parallela ducta est recta $Z, erit A&i&A = ΓΖ: ZA. sed demonstratum est, esse etiam AIS: E A = AE : EB. quare etiam AE : EB = ΓΖ : ZA.

Ergo si duae rectae planis parallelis secantur, secundum eandem rationem secabuntur; quod erat demonstrandum.

ιη\

Εάν εύ&εΐα έπιπέδω τινι προς όρ&άς ή, και πάντα τά δ ι’ αυτής επίπεδα τω αντω έπιπέδω προς ορ&άς εόται.

Εν&εϊα γάρ τις ή AB τω υποκειμένω έπιπέδω προς opxhig έ<5τω' λέγω, δτι και πάντα τά διά τής AB επίπεδα τω υποκειμένω έπιπέδω προς όρ&άς έότιν.

’Εκβεβλήό&ω γάρ διά τής AB έπίπεδον το ΑΕ, και έατω κοινή τομή τον ΑΕ έπιπέδου και τον νπο-10 κειμένου ή ΓΕ, και ειλήφΰω έπι τής ΓΕ τνχδν 6η-μεΐον το Ζ, και άπο τον Ζ τή ΓΕ προς όρ&άς ήχ&ω έν τω ΑΕ έπιπέδω ή ΖΗ και έπει ή AB προς το υποκείμενον έπίπεδον    έατιν, και προς πάόας άρα

τάς άπτομένας αυτής εν&είας και οϋΰας έν τω υπο-15 κειμένω έπιπέδω όρ&ή έατιν ή AB* ωατε και προς τήν ΓΕ ορΟ'ή έατιν* ή άρα ύπδ ΑΒΖ γωνία δρ&ή έατιν. έατι δε και ή νπο ΗΖΒ όρΰ'ή’ παράλληλος άρα έατιν ή AB τή Ζ Η. ή δε AB τω νποκειμένω έπιπέδω προς όρ&άς έατιν* και ή ΖΗ άρα τω υπο-20 κειμένω έπιπέδω προς ορ&άς έατιν. και έπίπεδον προς έπίπεδον όρ&όν έατιν, όταν αι τή κοινή τομή των έπιπέδων προς ορ&άς άγόμεναι εν&εΐαι έν ένι των έπιπέδων τω λοιπω έπιπέδω προς όρ&άς ώαιν. και τή κοινή τομή των έπιπέδων τή ΓΕ έν ένι των 25 έπιπέδων τω ΑΕ προς όρ&άς άχ&εΐαα ή ΖΗ έδείχ&η

5. ευ&εΐα — 7. έατιν] mg. 13. έατι PBFV, comp.

17. ΗΖΒ] in 19. έατι Β. 20. έατι

γωνίαν φ. τω] τω αντω F.

4. εαταί] corr. ex έατιν Υ. m. 1 Υ. 6. τής] om. φ (non F). b. 14. οναα Ρ. 16. έατι Υ. ras. Υ. 18. έατιν] om. Υ.

19. HZ Ρ.

21. πςος έπίπεδον] ωαι Yb.

ΡΒΥ, comp. F. sapra m. 2 Υ.

καί ή — 20. έατιν] om. b, mg. Υ.

καί] και έπεί ΒΥ.

23. έπιπέδω] των έπιπέδων Υ.

XVIII.

Si recta ad planum aliquod perpendicularis est, etiam omnia plana, quae per eam ducuntur, ad idem planum perpendicularia erunt.

Nam recta AB ad planum subiacens perpendicularis sit. dico, etiam omnia plana, quae per AB ducantur, ad planum subiacens perpendicularia esse.

Tri

ducatur enim per AB planum A E, et communis sectio plani A E et subiacentis sit ΓΕ, et in ΓΕ sumatur punctum aliquod Z, et ab Z ad ΓΕ perpendicularis in plano A E ducatur ZH et quoniam AB ad planum sub-—j iacens perpendicularis est, etiam ad /v omnes rectas eam tangentes et in plano subiacenti positas perpendicularis est AB [def. 3]. quare etiam ad ΓΕ perpendicularis est. itaque LABZ rectus est. uerum etiam LHZB rectus est. itaque AB rectae ZH parallela est [I, 28]. AB autem ad planum subiacens perpendicularis est. itaque etiam HZ ad planum subiacens perpendicularis est [prop. VIII]. et planum ad planum perpendiculare est, si rectae in altero plano ad communem planorum sectionem perpendiculares ductae ad reliquum planum perpendiculares sunt [def. 4]. et demonstratum est, ZH in altero plano A E ad communem planorum sectionem ΓΕ perpendicularem ductam ad planum subiacens perpen-

XVIII. Eutocius in Apollon, p. 23.

τομή] τομή UQCi φ.

24. των επιπέδων τομή b.

-ή e corr. Y.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV.

τω υποκειμένω επιπέδω προς ορ&άς' το άρα ΑΕ επίπεδον ορθόν. εΰτι προς το υποκείμενον. ομοίως δη δειχ&ήΰεται και πάντα τά διά της AB επίπεδα ορθά τνγχανοντα προς το υποκείμενον επίπεδον.

5 Εάν άρα ευ&εΐα επιπέδω τινϊ προς όρθά$ η₉ καί πάντα τά δ i αυτής επίπεδα τω αύ τω επιπέδω προς ορδάς έΰται * οπερ έδει δείξαι.

6θ'.

Εάν δυο επίπεδα τέμνοντα άλληλα επιπέδω 10 τινι προς όρθά$ η₉ και η κοινή αυτών τομή τω αύτώ επιπέδω προς όρ&άς έόται.

Αύο γάρ επίπεδα τά AB, ΒΓ τω υποκειμένω έπι-πέδω προς όρθά^ έΰτω, κοινή όέ αυτών τομή έβτω η ΒΑ* λέγω, δτι η ΒΑ τω υποκειμένω επιπέδω προς 15 όρϋ’άς έότιν.

Μη γάρ, και ηγβϊωβαν άπο του Α 6η με ίου εν μέν τω AB επιπέδω τη ΑΑ εύ&εία προς όρ&άς η ΑΕ, εν τω ΒΓ επιπέδω τη ΓΑ προς όρ&άς η AΖ. και έπεϊ το AB επίπεδον ορθόν έβτι προς το υπο-20 κείμενον, και τη κοινή αυτών τομή τη ΑΑ προς ορ-θά$ εν τω AB επιπέδω ηκται η ΑΕ₉ η ΑΕ άρα ορ&η εΰτι προς το υποκείμενον επίπεδον, ομοίως δη

2. έΰτιν P. m. rec. Y. έπι- euan. F.

Post υποκείμενον add. επίπεδον b et mg. 5. καί — 7. δειξαι]: ~ V. 6. τά δι’ αυτής 9. τέμνοντα] στερεοντα φ (non F). επιπέδω τινί] om. F, sed uidetur fuisse in mg. 10. τομή] in ras. m. 1 P. 12. τω] bis P; corr. m. 1.    15. εστι BV, comp. F.

16. από] υπό P. 17. τή] e corr. b. πρός] om. φ.

ΔΕ] Δ e corr. Y. 18. δε] om. Ρ.    ΓΔ] ΔΓ b. z/Z] Ζ

in ras. Y. 19. έατί] om. φ (non F).    20. καί] επίπεδον,

καί b. ΑΔ] Α in ras. FY.

di cularem esse, ergo A E planum ad subiacens perpendiculare est. iam similiter demonstrabimus, etiam omnia plana, quae per AB ducantur, ad planum subiacens perpendicularia esse.

Ergo si recta ad planum aliquod perpendicularis est, etiam omnia plana, quae per eam ducuntur, ad idem planum perpendicularia erunt; quod erat demonstrandum.

XIX.

pi duo plana inter se secantia ad planum aliquod perpendicularia sunt, etiam communis eorum sectio ad idem planum perpendicularis erit.

■N

Nam duo plana AB, ΒΓ ad planum subiacens perpendicularia sint, et communis eorum sectio sit BA. dico, BA ad planum subiacens perpendicularem esse.

Ne sit enim, et a, A puncto in plano AB ad rectam A A perpendicularis ducatur A aE, in B Γ autem plano ad Γ A perpendicularis AZ.¹) et quoniam AB planum ad subiacens perpendiculare est, et ad communem eorum sectionem A A in plano AB perpendicularis ducta est AE, A E ad planum subiacens perpendicularis est [def. 4]. similiter demonstrabimus,

δείζομεν, ότι και η ΑΖ δρ&ή έβτι πρδς το υποκείμενον επίπεδον, άπδ τον αυτόν αρα ΰημείον τον Α τω νποκειμένω έπιπέδω δνο εν&εΐαι προς άνεΰταμέναι είΰιν έπι τα αντά μέρη* οπερ έβτιν άδν-5 νατον. ονκ αρα τω νποκειμένω έπιπέδω άπδ τον Α ΰημείον άναΰτα&ηΰεται προς δρ&άς πλην της AB κοινής τομής των AB? ΒΓ επιπέδων.

’Εαν άρα δνο επίπεδα τέμνοντα άλληλα έπιπέδω τινϊ προς δρ&άς η ? και η κοινή αυτών τομή τω αντω 10 έπιπέδω προς ορ&άς έΰται* δπερ έδει δεΐζαι.

⁵Εάν ΰτερεά γωνία νπδ τριών γωνιών έπι-πέδων περιέχηται? itSo δποιαιονν της λοιπής μείξονές είΰι πάντη μεταλαμβανόμεναι.

15 Στερεά γάρ γωνία η προς τω Α νπδ τριών γωνιών έπιπέδων τών νπδ ΒΑΓ, ΓΑΑ? ΑΑΒ περι-εχέό&ω' λέγω, ότι τών νπδ ΒΑΓ\ ΓΑΑ, ΑΑΒ γωνιών δνο δποιαιονν της λοιπής μείξονές είΰι πάντη μεταλαμβανόμεναι.

20 Εί μεν ονν αι νπδ ΒΑΓ₅ ΓΑΑ, ΑΑΒ γωνίαι ίΰαι άλληλαις είΰίν, φανερόν, οτί, ίυο δποιαιονν της λοιπής μείξονές είΰιν. εί δέ ον, £(?τω μείξων i νπδ ΒΑΓ, καί ΰννεΰτάτω πρδς τη AB εν&εία και τω πρδς αντη ΰημείω τώ Α τη νπδ ΑΑΒ γωνία έν τω

om. Υ. : ~ Υ.

1. δτι καί η] om. φ (non F).

6. ττ\ς] e corr. m. 1 b, 9. η, ν.αί] euan. F.

ζ/Ζ] z/"Z' b.

ras. 1 litt. P.

4. έστίν] 8. επίπεδα — 10. δείξαι] πάντη 16. περι-

14. μείζονς Υ φ. 15. τώι corr. in τό m. 1 b.

seq.

εχέσ&ω — 17. γωνιών] mg. m. 2 Y, in text. eras. γωνιών. 16. ΓΔΑ b.

20. ΓΑΔ] Δ e corr. Y.

21. icai] είαι ίΰαι

etiam A Z perpendicularem esse ad planum subiacens. itaque ab eodem puncto A ad planum subiacens duae rectae ad easdem partes perpendiculares erectae sunt; quod fieri non potest [prop. XIII]. itaque a A puncto nulla recta ad planum subiacens perpendicularis erigetur praeter AB, quae communis est sectio planorum AB, ΒΓ.

Ergo si duo plana inter se secantia ad planum aliquod perpendicularia sunt, etiam communis eorum sectio ad idem planum perpendicularis erit; quod erat demonstrandum.

XX.

Si angulus solidus tribus angulis planis continetur, duo quilibet reliquo maiores erunt quoquo modo con-iuncti.

Nam angulus solidus, qui ad A positus est, tribus

angulis planis ΒΑΓ\ ΓΑΑ, A AB continea-\    tur. dico, duos quos-

Aj

\    libet angulorum ΒΑΓ'

\\ ΓΑΑ, A AB reliquo "e~ B maiores esse quoquo modo coniunctos. iam si anguli ΒΑΓ, ΓΑΑ, A AB inter se aequales sunt, adparet, duos quoslibet reliquo maiores esse, si minus, maior¹) sit L ΒΑΓ, et ad rectam AB et punctum eius A in plano rectarum BA, ΑΓ angulo A AB

1) Sc. angulo JAB. neque enim necesse est, omnium eum maximum esse.

V.

ΔΑΓ P.

sich] om. Y.

22. slol V, comp. F. εν] om. B, supra scr. V.

24. A AB]

διά των ΒΑΓ έπιπέδω ίΰη η νπδ ΒΑΕ, καί κείΰδω τη ΑΑ ίΰη η ΑΕ, και δια τον Ε ΰημείον διαχ&είΰα η ΒΕΓ τεμνέτω τάς AB, ΑΓ εν&είας κατά τά Β, Γ ΰημεΐα, και έπεξενχ&ωΰαν αι AB, ΑΓ. και έπεί ίΰη 5 έΰτίν η ΑΑ τη ΑΕ, κοινή δε η AB, δυο δνΰίν ίΰαι* καί γωνία η νπο ΑΑΒ γωνία τη νπδ ΒΑΕ ίΰη' βάΰις άρα η AB βάΰει τη ΒΕ έΰτίν ίΰη. και έπεί δνο αι ΒΑ, ΑΓ της ΒΓ μείζονές είΰιν, ών η A Β τη ΒΕ έδείχ&η ίΰη, λοιπή άρα η ΑΓ λοιπής της ΕΓ 10 μείξων έΰτίν. καί έπεί ίΰη έΰτίν η ΑΑ τη ΑΕ, κοινή δε η ΑΓ, καί βάΰις η ΑΓ βάΰεως της ΕΓ μείξων έΰτίν, γωνία άρα η νπδ Α ΑΓ γωνίας της νπδ ΕΑΓ μείξων έΰτίν. έδείχ&η $£ καί η νπδ ΑΑΒ τη νπδ ΒΑΕ ίΰη* αι άρα νπδ ΑΑΒ, Α ΑΓ της νπδ 15 ΒΑΓ μείξονές είΰιν. ομοίως δη δείξ,ομεν, δτι καί αι λοιπαί ΰννδνο λαμβανόμεναι της λοιπής μείξονές είΰιν.

Έάν άρα ΰτερεά γωνία νπδ τριών γωνιών έπι-πέδων περιέχηται, δνο δποιαιονν της λοιπής μείξονές είΰι πάντη μεταλαμβανόμεναι* δπερ έδει δεΐζαι.

20

κα .

"Απαΰα ΰτερεά γωνία νπδ έλαΰΰόνων [η] τεΰ-ΰάρων όρ&ών γωνιών έπιπέδων περιέχεται.

’Έΰτω ΰτερεά γωνία η πρδς τώ Α περιεχομένη νπδ έπιπέδων γωνιών τών νπδ ΒΑΓ, ΓΑΑ, ΑΑΒ* λέγω, 25 οτι αι νπδ ΒΑΓ, ΓΑΑ, ΑΑΒ τεΰΰάρων όρ&ών έλάΰ-ΰονές είΰιν.

1. επίπέδω] in ras. m. 1 Ρ. ή] supra scr. Υ, ut lin. 2. ν,είΰ&ω τή] διά τον Ε ση φ (non F). Hinc plerasque ineptias manus φ omisi, maxime ubi aut certa uestigia ueri supererant, aut certe nulla erat causa de scriptura cod. F dubitandi.

aequalis construatur i BAE, et ponatur A E = A A, et ΒΕΓ per punctum E ducta rectas AB, ΑΓ secet in B, Γ punctis, et ducantur AB, AΓ. et quoniam A A = AE, et AB communis est, duo latera duobus aequalia sunt; et L A AB = BAE. itaque AB = BE [I, 4]. et quoniam BA -f- ΑΓ> ΒΓ [I, 20], et demonstratum est, esse AB = B E, erit z/jT> ΕΓ. et quoniam A A = AE, et ΑΓ communis est, et z/jT> ΕΓ, erit L ΛΑΓ> ΕΑΓ [I, 25]. et demonstratum est, esse etiam i A AB = BAE. itaque ΑΑΒ-\-ΑΑΓ > ΒΑΓ. eodem modo demonstrabimus, etiam reliquos angulos duo simul coniunctos reliquo maiores esse.

Ergo si angulus solidus tribus angulis planis continetur, duo quilibet reliquo maiores sunt quoquo modo coniuncti; quod erat demonstrandum.

XXI.

Omnis angulus solidus planis angulis minoribus, quam sunt quattuor anguli recti, continentur.

Sit angulus solidus, qui ad A positus est, comprehensus planis angulis ΒΑΓ, ΓΑΑ, A AB. dico, esse ΒΑΓ + ΓΑΑ -f- A AB minores quattuor rectis.

4. AB] BA F.

6. Post

7. έβτιν ί'ΰη] ί'ση seq. spatio uaeuo — — ττ} Y? 10. έατίν] 11. ΑΓ] corr. 12. εατί PBY, comp. F. Dein add. κα*Ύ. zM Γ] 14. rncl bis P, corr. m. 1: τοΓς F. 17. υπό —

3. Γ] corr. ex E m. 1 b. i'acu ras. 4 litt. hab. V.

3 litt. V. 8. BA] B" A’ b, AB BV. rfj Y? (prius) εατί PBY, comp. Fb.    AE] in ras. Y.

ex A E B.    ’ 'ττττττ    τη ΤΛ__· - 1 1

ΑΒΓ φ. 14. τής] bis Ρ, corr. m. 1; τοΐς F. 19. δεΐξαι] καί τά εξής Υ.    ' /Ί

ή] om. Ρ. in τό m. 1 b.

ΑΑΓ φ et in ras. V.

F m. 1, ΑΑΓ F m. 2 et Y in ras. 26. εΐαι Y.

21. υπό] corr. ex από P. 22. επιπέδων όρ&ών γωνιών Y.

24. υπό — 25. αί] mg. m. 2 B.

25. υπό] eras. B; m. 2 Y.

23. τώ] corr. 24.' ΓΑΑ] ΓΑΑ]

Ειλήφ&ω γάρ έφ? εκάβτης τών AB, AjΓ,    τυ

χόντα όημεΐα τα Β, JP? ζ/₅ καί έπεξενχ&ωύαν αί ΒΓ, ΓΑ , ζ/ß. καί έπεϊ Οτερεά γωνία η πρδς τω Β νπί τριών γωνιών επιπέδων περιέχεται τών νπδ ΓΒΑ, 5 ΑΒΑ, ΓΒΑ, Wo δποιαιοϋν της λοιπής μεέζονές είοιν' αί άρα νπδ ΓΒΑ, ΑΒΑ της νπδ ΓΒΑ μείξονές είΰιν. διά τά αντά δη και αί μεν νπδ ΒΓΑ, ΑΓΑ της νπδ ΒΓΑ μείξονές είΰιν, αί δε νπδ ΓΑΑ, ΑΑΒ της νπδ ΓΑΒ μείξονές είόιν' αί αρα γωνίαι αί νπδ 10 ΓΒΑ, ΑΒΑ, ΒΓΑ, ΑΓΑ, ΓΑΑ, ΑΑΒ τριών τών νπδ ΓΒΑ, ΒΓΑ, Fz/ß μείξονές είόιν, άλλα αί τρεις αί νπδ ΓΒΑ, ΒΑΓ, ΒΓΑ δνΰιν δρ&αΐς ί'όαι ειύίν' αί αρα αί νπδ ΓΒΑ, ΑΒΑ, ΒΓΑ, ΑΓΑ, ΓΑΑ7 ΑΑΒ δνο δρ&ών μείξονές είβιν. και έπει έκάβτον 15 τώ^ ΑΒΓ, ΑΓΑ, ΑΑΒ τριγώνων αί τρεις γωνίαι δνοϊν όρ&αΐς ίΰαι είβίν, αί άρα τών τριών τριγώνων έννέα γωνίαι αί νπδ ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΑ, ΓΑΑ, ΓΑΑ, ΑΑΒ, ΑΒΑ, ΒΑΑ ορΟ’αί^ /da^ είβίν, ών αί νπδ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΑ, ΓΑΑ, ΑΑΒ, 20 ΑΒ Α γωνίαι δνο όρ&ών είβι μείξονες' λοιπαϊ άρα αί νπδ ΒΑΓ, ΓΑΑ, ΑΑΒ τρεις [γωνίαι] περιέχονβαι την ΰτερεάν γωνίαν τεόΰάρων δρ&ών έλάΰύονές είόιν.

2. F] supra scr. m. 1 Υ. 3. ζ/Β] -<4Β φ. 4. Ante τριών ins. y<Y£ m. 2 Y. 5. ΓΕζ/] in ras. m. 1 P. 6. -υπό] (alt.) om. F.    BY, comp. Fb. 7. ΰΓ^] supra ./4 scr. J m. 1 b.

8. ΕΓζΙ] FBz/ F, corr. m. 2 (sed euan.). sfct BYb, comp. F. αΓ $ε] καί ετί. aiBF Yb. 10. ABA~\ ΒΑ in ras. Β, item litt. seq. ΓζΜ] in ras. Y. 11. Β ΓΑ] TA in ras. Y. Γζ/ B] in ras. Y. kU’ b. 12. Β Γζ/] B et A in ras. Y.    Y, comp. F.

13. ^4Bz/J m. rec. Y. ΓΑΑ] in ras. Y; Jz/Γ e corr. m. 2 B.

14. Auo] ^4 Bz/dvo Y. siGi BYb^ comp. F. 15. αί τρε££ τρι-γώνων F, corr. m. 1. τρίγωνον P, et b, sed corr. m. 1.

17. ΓΒ./4] ΓΒζ/ F, Bz/ e corr. Y. ΛΓΒ] ΑΒΓ P. 18. Γζ4Λ]

sumatur enim in singulis rectis AB, ΑΓ, A A quaelibet puncta B, Γ\ A, et ducantur ΒΓ, ΓΑ, AB.

'A

et quoniam angulus solidus, qui ad B positus est, tribus angulis planis continetur ΓΒ A, ^ ΑΒΑ,ΓΒΑ, duo quilibet reliquo maiores sunt [prop. XX]. itaque ΓΒΑ + AB A > ΓΒΑ. eadem de causa erunt etiam ΒΓΑ-\-ΑΓΑ>ΒΓΑ, ΓΑΑ + AAB > ΓΑΒ.

itaque ΓΒ A + AB A + ΒΓΑ + ΑΓΑ + ΓΑ A + AAB > ΓΒΑ + ΒΓΑ + ΓΑΒ. uerum ΓΒΑ + ΒΑΓ+ ΒΓΑ

duobus rectis aequales sunt [I, 32]. itaque sex anguli ΓΒΑ + AB A + ΒΓΑ + ΑΓΑ + ΓΑΑ + AAB

duobus rectis maiores sunt, et quoniam singulorum triangulorum ΑΒΓ, ΑΓΑ, AAB tres anguli duobus rectis aequales sunt, nouem anguli trium triangulorum ΓΒΑ + ΑΓΒ + ΒΑΓ + ΑΓΑ + ΓΑΑ + ΓΑΑ + AAB + ΑΒΑ + BAA sex rectis aequales sunt, quorum

ΑΒΓ+ ΒΓΑ + ΑΓΑ + ΓΑΑ + AAB + AB A duobus rectis maiores sunt, itaque reliqui ΒΑΓ+ ΓΑΑ + AAB,

qui angulum solidum continent, quattuor rectis minores sunt.

in ras. V; ΛΑΓΒ.    ΓA A\ A J in ras. V; ΓΑΑ B. BAJ]

BAA P. 20. μείζονές εΪ6ί(ν) BV. 21. yrnvicu] om. P.

22. sl6l Y, comp. F. Seq. in Y πάντη, sed dei.

ΓΆπαβα άρα ΰτερεά γωνία νπδ έλαόΰόνων [η] τεβ-ΰάρων όρ&ών γωνιών επιπέδων περιέχεται· όπερ έδει δεΐζαι.

κβ'.

5 ’Εάν ώ<5ι τρεις γωνίαι επίπεδοι, ών αι δυο της λοιπής μείζονές ειόι πάντη μεταλαμβανό-μεναι, περιέχωΰι δέ αντάς ίοαι εν&εΐαι, δυνατόν έότιν εκ των έπιζενγννονόών τάς ί'6ας ευθείας τρίγωνον όνΰτήΰαΰ&αι.

10 "Εΰτωΰαν τρεις γωνίαι επίπεδοι αι νπδ ΑΒΓ, AΕΖ, ΗΘΚ, ών αι δνο της λοιπής μείζονές είόι πάντη μεταλαμβανόμεναι, αι μεν νπδ ΑΒΓ, ΑΕΖ της νπδ ΗΘΚ, αί δε νπδ ΑΕΖ, ΗΘΚ της νπδ ΑΒΓ, και έτι αι νπδ ΗΘΚ, ΑΒΓ της νπδ ΑΕΖ, καί έότωβαν 15 ftfia αι AB, ΒΓ, z/i£, i£Z, ii©, ©if εν&εΐαι, και έπεζενχ&ωύαν αι ΑΓ, ζ/Ζ, ϋϋΓ* λέγω, ότι δννατόν έ(5τιν έκ των ί'όων ταις ΑΓ, ζ/Ζ, ϋϋΓ τρίγωνον ύν-ύτηύαβ&αι, τοντέΰτιν ότι των ΑΓ, ζ/Ζ, ΗΚ δνο όποιαιονν της λοιπής μείζονές ειόιν.

20 Εί μεν ονν αι νπδ ΑΒΓ, ΑΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι ίόαι άλληλαις είΰίν, φανερόν, ort καί των ^ΪΠ, ζ/Ζ, ΗΚ ί'όων γινομένων δννατόν έΰτιν έκ των ίΰων ταΐς ΑΓ, ζ/Ζ, ÜÜT τρίγωνον Ονΰτήόαό&αι. εί δέ ον,

νπό — 3. δείξαί]: ~ V.

7. περιεχωαιν P, περιέχονσι F.

1. αρα] supra scr. m. 1 Ρ.

1. 7/] postea add. m. 1 P.

8. Supra ft?as add. γωνίας m. 2 ß, dei. m. rec. i'üO’ftag] γωνίας ενδείων V.    11. ε/tft] έστωσαν BFV et b

(εί?- in ras.). 15. εΰ'Ο’εΓα*] m. rec. V. 17. οννατήσαοδαι, P, corr. m. 2.    18. ότί] corr. ex ro m. 2 F. 19. μείξονς

V. είΰΐ πάντη μεταλαμβανόμεναι Theon (BFVb). 21. εία l'eai V. είΰίν] PBb, comp. F.; om. V. 22. γιγνομενων F, γενομενων b.

Ergo omnis²) angulus solidus planis angulis minoribus, quam sunt quattuor recti, continetur; quod erat demonstrandum.

XXII.

Si tres anguli plani sunt, quorum duo reliquo maiores sunt quoquo modo coniuncti, et eos aequales continent rectae, fieri potest, ut ex rectis aequales rectas coniungentibus triangulus construatur.

Sint tres anguli plani ΑΒΓ, AEZ, ΗΘΚ, quorum duo reliquo maiores sunt quoquo modo coniuncti, ΛΒΓ + AEZ > ΗΘΚ, AEZ + ΗΘΚ > ΛΒΓ, ΗΘΚ + ΛΒΓ> AEZ,

et sit AB = ΒΓ = Λ E = EZ = ΗΘ = ΘΚ, et ducantur ΑΓ' z/Z, HK. dico, fieri posse, ut ex rectis aequalibus rectis ΑΓ, A Z, HK triangulus construatur, hoc est, rectarum ΑΓ, z/Z, HK duas quaslibet reliqua maiores esse.

iam si anguli ΑΒΓ, A EZ, ΗΘΚ inter se aequales sunt, manifestum est, cum etiam ΑΓ, AZ₇ HK aequales sint [I, 4], fieri posse, ut ex rectis aequalibus rectis ΑΓ, z/Z, HK triangulus construatur, sin minus, in-

έΰτωΰαν άνιΰοι, καί ΰννεΰτάτω προς τη ΘΚ εν&εία και τω προς αντη ΰημείω τω Θ τη νπο ΑΒΓ γωνία ίΰη η νπο ΚΘΛ' και κείΰ&ω μια των AB, ΒΓ, ΑΕ, ΕΖ, ΗΘ, ©ÜC ίΰη η ΘΑ, καί έπεζενχ&ωΰαν αί ΚΑ, 5    όνο αί AB, J5F dvtfi ταΓ$ ϋίΘ, 6Μ

i'Ocu είΰιν, και γωνία η προς τω Β γωνία τη νπο ΚΘΑ ίΰη, βάΰις άρα η ΑΓ βάΰει τη ΚΑ ίΰη. καί επεί αί νπο ΑΒΓ, ΗΘΚ της νπο ΑΕΖ μείζονές είΰιν, ίΰη δε η νπο ΑΒΓ τη νπο ΚΘΑ, η αρα νπο 10 ΗΘΑ της νπο ΑΕΖ μείζων έΰτίν. καί επεί δύο αί ΗΘ, ΘΑ δύο ταΐς AE, ΕΖ ίΰαι είΰιν, καί γωνία η νπο ΗΘΑ γωνίας της νπο ΑΕΖ μείζων, βάΰις αρα η ΗΑ βάΰεως της ΑΖ μείζων έΰτίν. άλλα αί ΗΚ, ΚΑ της ΗΑ μείζονές είΰιν. πολλώ άρα αί HK, ΚΑ 15 της ΑΖ μείζονές είΰιν. ίΰη δέ η ΚΑ τη ΑΓ' αί ΑΓ, ΗΚ αρα της λοιπής της ΑΖ μείζονές είΰιν. ομοίως δη δείζομεν, οτι καί αί μεν ΑΓ, ΑΖ της ΗΚ μείζονές είΰιν, καί έτι αί ΑΖ, ΗΚ της ΑΓ μείζονές είΰιν. δννατον άρα έΰτίν εκ των ίΰων ταις ΑΓ, 20 ΑΖ, ΗΚ τρίγωνον ΰνΰτήΰαΰδαι' οπερ έδει δεΐζαι.

κγ'.

’Εκ τριών γωνιών επιπέδων, ών αί δνο της λοιπής μείζονές είΰι πάντη μεταλαμβανόμεναι,

1. Post uvLGoi add. καί έστω μείζων η προς τω Ε mg. m. rec. V. 2. αυτήν b. 3. AB] ΑΓ φ. 4. ίση rj ΘΑ] supra scr. m. 2 Υ; Λ in ras. Β. έπεζενχ&οισαν — 5. καί] postea ins. m. 1 P. 5. AB] in ras. m. 1 P. 6. είσίΒΥΙο, comp. F. τω] mutat, in τό b. 7. ΘΚΛ F. εοτιν ίΰη BF. 8. αί] om. F; uidetur supra scr. fuisse, sed euan. AEZ] in ras. V.

10. Θ Ή"Ά F. εατί PBY, comp. F. 11. <W P. slai Yb,

aequales sint, et ad rectam ΘΚ et punctum eius Θ angulo ΑΒΓ aequalis construatur L ΚΘΑ, et ponatur ΘΛ cuilibet rectarum AB, ΒΓ, AE, EZ, ΗΘ, ΘΚ aequalis, et ducantur KA, HA. et quoniam duae AB, ΒΓ duabus ΚΘ, ΘΑ aequales sunt, et angulus

ad B positus angulo ΚΘΑ aequalis est, erit etiam ΑΓ ■Λ = KA [I, 4]. et quoniam ΑΒΓ + ΗΘΚ > AEZ, et ΑΒΓ = ΚΘ A, erit L ΗΘΑ > AEZ. et quoniam duae ΗΘ, ΘΑ duabus A E, EZ aequales sunt, et L ΗΘΑ

>    AEZ, erit HA > AZ [I, 24]. uerum HK + KA

>    HA [I, 20]. itaque multo magis erunt

HK + KA> AZ.

sed KA — AΓ. itaque ΑΓ + HK > A Z. iam similiter demonstrabimus, esse etiam ΑΓ + AZ> HK, A Z + HK > ΑΓ. itaque fieri potest, ut ex rectis aequalibus rectis ΑΓ, A Z, HK triangulus construatur; quod erat demonstrandum.

XXIII.

Ex tribus angulis planis, quorum duo reliquo maiores sunt quoquo modo coniuncti, angulum solidum

12. νπο JEZ] προς τώ E Y, et fort. F in mg., 13. sgti V, comp. F.

16. Post Agiv una linea eras, in V.

18. slgl P, comp. F.

14. slgl PY, comp. F. 17. οτι Ttca] καί Y.CU ίτι af] P; αΐ δέ Theon JZ"HK' b, HK, AZ BFY. 19. slgl b. 20. δπερ sösl ösl^ccl] 22. ccl] ol F.

comp. F. sed euan.

ο τι Y.

(BFYb); sed cfr. p. 64, 4. μείζονές siglv] om. BFA⁷", om. Y. Seq. demonstr. alt.; u. app.

ΰτερεάν γωνίαν ΰυΰτηΰαΰδαι' δει δη τάς τρεις τεΰΰάρων δρ&ών έλάΰΰονας είναι.

’Έΰτωΰαν αί δο&εΐΰαι τρεις γωνίαι επίπεδοι αί ύπδ ΑΒΓ, AΕΖ, ΗΘΚ, ών αί δύο της λοιπής μείξονες 5 εΰτωΰαν πάντη μεταλαμβανόμεναι, δ'τ^ δε αί τρεις τεΰΰάρων όρ&ών έλάΰΰονες* $δΓ δ’κ rcoz/ /'tfow raig ίπ:ό ΑΒΓ, A ΕΖ, ΗΘΚ ΰτερεάν γωνίαν ΰυΰτή-ΰαΰ&αι.

’Απειλήφ&ωΰαν ί'ΰαι αι AB, ΒΓ, z/i£, 2£Ζ, ϋ©, 10 ©ϋί, καί έπεξεύχ&ωΰαν αί ΑΓ, ζ/Ζ, ϋϋ* δυνατόν αρα έΰτιν έκ των ί<5ων ταις ΑΓ, ζ/Ζ, ΗΚ τρίγωνον ΰυΰτήΰαΰ&αι. ΰυνεΰτάτω το ΑΜΝ, ω^Τδ δίν*^ τήν μδν ^jT τ?5 ζίΜ, τήν $δ ζ/Ζ τη ΜΝ, και δΤ£ τήν ϋϋ r?J iVzZ, καί περιγεγράφ&ω περί τδ ΑΜΝ 15 τρίγωνον κύκλος δ ΑΜΝ, καί είλήφΟ'ω αυτόν τδ κέν-τρον και έΰτω τδ Η, και έπεζεύχ&ωΰαν αι Α&, Μ&, ZV,λέγω, δτι η AB μείξων έΰτι της Α&. εί γαρ μη, ήτοι ίΰη έΰτιν η AB τη AR η έλάττων. έΰτω πρότερον ίΰη. και έπει ίΰη έΰτιν η AB τη Α&, άλλα η μεν AB 20 τη ΒΓ έΰτιν ίΰη, η <?δ ΒΛ τη SM, δύο δη αί AB, ΒΓ δύο ταις Α{Ε], ΕΜ ίΰαι είΰιν έκατέρα έκατέρα' και

1. στερεά γωνία F, sed corr. συστήσασ&αι γωνίαν Υ. σνν-στήσασ&αι Ρ, corr. m. 2.    2. έλάττονας Ρ. Post είναι add.

διά το και πάσαν στερεάν γωνίαν νπδ τριών (φ) η τεσσάρων ορϋ'ών γωνιών περιέχεσ&αι F. 4. ών αί] γωνίαι F, ών αί add. m. 2.    6. έλάττονες Ρ, έλάσσονς FY. Dein add. εστω-

σαν F.

b.

7. σννστησασΟ'αι Ρ, corr. m. 2.    9. ΒΓ] ΒΓ, ΓΔ

ΔΕ] corr. ex ΓΕ m. 1 b. 11. αρα έστϊν εκ τών ίσων ταις] δη εκ τριών τών b; mg. γρ. αρα έστϊν έκ τών ίσων.

12. σννστησασΟ'αι Ρ, corr. m. 2.    13. AM] AB φ. 14. τη]

supra scr. Y. NA] AN BFV. 15. Post κέντρον add. εσται δη ήτοι έντδς τον ΑΜΝ τρίγωνον η έπι μιας τών πλευρών αντον η έκτος, έστω πρότερον έντός BV. 17. έστί] έστϊν

construere; oportet igitur¹), tres angulos illos quattuor rectis minores esse [prop. XXI].

Sint dati tres anguli plani ΑΒΓ, AEZ, ΗΘΚ, quorum duo reliquo maiores sint quoquo modo con-iuncti, et praeterea tres illi quattuor rectis minores, oportet igitur ex angulis aequalibus angulis ΑΒΓ\ AEZ, ΗΘΚ angulum solidum construere.

abscindantur inter se aequales AB, ΒΓ, A E, EZ, ΗΘ, ΘΚ, et ducantur ΑΓ, AZ, HK. fieri igitur

rZ

potest, ut ex rectis aequalibus rectis ΑΓ\ AZ, HK triangulus construatur [prop. XXII]. construatur AMISI, ita ut sit ΑΓ = AM, AZ = MN, HK = NA, et circum triangulum AMN circulus describatur AMN [IV, 5], et sumatur centrum eius et sit 3? et ducantur A E, M&, N&. dico, esse AB > AS^ nam si minus, erit, aut AB = AR aut AB < AS· sit prius AB = AS· et quoniam AB — AS, et AB = ΒΓ, SA = SM, duo latera AB, ΒΓ duobus lateribus AS, SM alterum alteri aequalia sunt; et supposuimus,

1) Nam drj cum omnibus codicibus retinendum est. idem I, 22 p. 52, 17 pro δέ cum codicibus restituendum est. nam etiam apud Eutocium in Apollonium p. 10 in codd. δή scribi pro δέ, nunc cognoui.

P.    τής] corr. ex τήι B. 18. i'arj] supra scr. m. 1 V.

19. «U⁵ BF. 20. ΙΞ}Λ] Λ& Bb. 21. duo] δνσί b.

βάΰις η ΑΓ βάΰει τη Λ Μ νπόκειται ίΰη’ γωνία άρα η νπο ΑΒΓ γωνία τη νπο ASM εΰτιν ίΰη. διά τα αντα δη καί η μεν νπο ΑΕΖ τη νπο MSN εΰτιν ίΰη, και ετι η νπο ΗΘΚ τη νπο NSA’ αι αρα τρεις 5 αι νπο ΑΒΓ, ΑΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι τριΰι ταΐς νπο ASM, MSN, NSA είΰιν ίΰαι. άλλα αι τρεις αι νπι ASM, MSN, NSA τετταρΰιν όρ&αΐς είΰιν ίΰαι' και αι τρεις αρα αι νπο ΑΒΓ, ΑΕΖ, ΗΘΚ τετταρΰιν όρ&αΐς ίΰαι είΰιν. νπόκεινται δε και τεΰΰάρων δρ-10 &ών ελάΰΰονες* δπερ άτοπον. ονκ αρα η AB τη AS ίΰη εΰτιν. λέγω δη, crt    ελάττων εΰτιν η AB

της AS- εί γάρ δννατόν, εΰτω' και κείΰ&ω τη μεν AB ίΰη η SO, δε ΒΓ ίΰη η Sn, καί έπεξενχ&ω η Ο Π. και επεί ίΰη εΰτιν η AB τη ΒΓ, ίΰη 15 καί, η SO τη Sn’ ώ'<1τ£ καί /Ιο^ττή η ΑΟ τη Π Μ εΰτιν ίΰη. παράλληλος άρα εΰτιν η AM τη Ο Π, καί, ίΰογώνιον το AMS τ,ω OnS' εΰτιν άρα ως η SA προς AM, όντως η SO προς Ο Π' εναλλάξ ως η AS προς SO, όντως η AM προς Ο Π. μείξων δε η A S 20 rijg SO- μείζων άρα καί AM της Ο Π. αλλά η AM κεΐται τη ΑΓ ίΰη* καί η ΑΓ άρα της ΟΠ μεί-

2. ΑΕΜ] supra ras. m. 2 Β. 3. ΜΕΝ] ΕΝ in ras. m. 1 PV. 5. τριΰι] ίΰαι είΰΐ τρισίΥ. 6. ΜΕΝ] corr. ex MNE Y, MN & b. NBA — 7. MEN] mg. m. 2 B.

6. είΰιν ίσαι] om. Υςρ, ίΰαι είΰιν Bb. αλλ’ b. αί] (alt.) supra m. 2 F. 7. τετραΰΐν BF Yb. ίΰαι είΰιν BY. 8. nai αί — 9. είΰιν] mg. m. 2 Y, euan. in F.    8. αρα αί] αί αρα

Ρ. τέΰΰαρΰΐν Υ, τέτραΰΐ BFb. 9.    Γσαί-Bb. 11. sffrtv

euan. Υ.

in ras. Υ, ΜΠ F.

AM] A in ras. m. 1 B.

EA] AE F, corr. m. 2.

ΠΜ] εΰτιν] om. 17. Post AME add. τρίγω-18. την AM, M

ι'ση Υ. 13. ή] (prius) supra scr. Y. 14. εΰτί] εΰτιν ΡΒ, δε 15. Ο Λ Β. Ιοίπ^ Theon (BFVb).

Y.

16. εΰτιν] in ras. Υ.

vov comp. b.

esse ΑΓ = AM. itaque erit L ΑΒΓ = ASM [I, 8]. eadem de causa etiam

L AEZ = MSN, L ΗΘΚ = NSA.

ergo

L ΑΒΓ + AEZ + ΗΘΚ = L ASM + MSN + NSA.

sed L ASM-\- MSNNSA quattuor rectis aequales sunt.¹) quare etiam L ΑΒΓ-{- AEZ -1- ΗΘΚ quattuor

]N

rectis aequales sunt, uerum supposuimus, eos quattuor rectis minores esse; quod absurdum est. itaque non erit AB = AS- iam dico, ne minorem quidem esse AB quam AS· nam si fieri potest, sit minor, et ponatur SO = AB, STI = ΒΓ, et ducatur 077. et quoniam A B = ΒΓ, erit etiam SO = Sn. quare etiam AO — ΠΜ. ergo AM rectae 077 parallela est [YI, 2], et AMS triangulo OTIS aequiangulus est [I, 29]. itaque erit SA : AM = SO : 0Π [YI, 4]. permutando AS · ISO = AM: ΟΠ [V, 16]. uerum AS>&0. itaque etiam ΑΜ>ΟΠ [V, 14]. sed posuimus AM = ΑΓ. itaque etiam ΑΓ> ΟΠ. quo-

1) Hoc nusquam demonstratum est, sed facillime ex I, 13 concluditur; cfr. ad I, 15 coroll.

in ras. Y. m. 2 Y.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV.

ώ$] ccqoc ώς V (F?).

20. καί] om. Y. rj] ins. m. 2 F. άλλ' BF.

την ΟΠ Y.

η] ins.

ζων έΰτίν. έπεί ονν δύο αι AB, ΒΓ δνΰί ταΐς OB, ΒΠ ίΰαι είΰίν, καί βάΰις ή ΑΓ βάΰεως τής Ο Π μείζων έΰτίν, γωνία άρα ή νπδ ΑΒΓ γωνίας τής νπδ OB Π μείζων έΰτίν. ομοίως δή δείζομεν, ότι και ή 5 μεν νπδ ΑΕΖ τής νπδ ΜΒΝ μείζων εΰτίν, ή δε νπδ ΗΘΚ τής νπδ NBA. αι αρα τρεις γωνίαι αι νπδ ΑΒΓ, ΑΕΖ, ΗΘΚ τριών των νπδ AB Μ, ΜΒΝ, NBA μείζονές ειΰιν. άλλα αι νπδ ΑΒΓ, ΑΕΖ, ΗΘΚ τεΰΰάρων δρ&ών έλάΰΰονες νπόκεινται* πολλω 10 άρα αι νπδ AB Μ, ΜΒΝ, NBA τεΰΰάρων όρ&ών έλάΰΰονες ειΰιν. άλλα καί ίΰαι* δπερ έΰτίν άτοπον. ονκ αρα ή AB έλάΰΰων έΰτί τής ΑΒ· έδείχ&η δε, δτι ονδε ίΰη' μείζων άρα ή AB τής ΑΒ· άνεΰτάτω δή άπδ τον Β ΰημείον τω τον ΑΜΝ κύκλον επιπέδω 15 πρδς όρ&άς ή ΒΡ, καί ω μειζόν έΰτι τδ άπδ τής AB τετράγωνον τον άπδ τής AB, έκείνω ίΰον έΰτω τδ άπδ τής ΒΡ, καί έπεζενχ&ωόαν αι PA, ΡΜ, ΡΝ. και έπεί ή ΡΒ όρ&ή έΰτι πρδς τδ τον ΑΜΝ κύκλον επίπεδον, και πρδς έκάΰτην άρα των AB, MB, NB 20 ορ&ή έΰτιν ή ΡΒ· καί έπεί ίΰη έΰτίν ή AB τή 3Μ, κοινή öf και πρδς δρ&άς ή ΒΡ, βάΰις άρα ή ΡΑ βάΰει τή ΡΜ έΰτιν ίΰη. διά τα αντά δή καί ή ΡΝ εκατέρα των ΡΑ, ΡΜ έΰτιν ίΰη⁹ αι τρεις άρα αι ΡΑ, Ρ Μ, ΡΝ ίΰαι άλλήλαις είΰίν. καί έπεί ω μειζόν 25 εΰτι τδ άπδ τής AB τον άπδ τής AB, έκείνω ίΰον νπόκειται τδ άπδ τής ΒΡ, τδ άρα άπδ τής AB ίΰον

2. είοί Yb, comp. F. 5. MSN] S in ras. m. 1 P. supra scr. m. 2 B. τριών — 9. ΗΘΚ] mg. m. 2 Y.

1. Post δνο add. ενΟ'εΐαι FY, Β supra scr. m. 2. dvat]

δύο b (F ?).

3. εοτί BYb, comp. F. 6. νπδ] (prius) om. V, 7. AB, ΒΓ, JE, EZ, ΗΘ, ΘΚ P.

8. άλλ’ FYb. 9. ελάττονες

niam igitur duo latera AB, ΒΓ duobus OS, &Π aequalia sunt, et ΛΓ> ΟΤΙ, erit L ΑΒΓ> ΟΕΠ[Ι, 25]. similiter demonstrabimus, esse etiam L AEZ > MSN, LHOK> NSA. itaque ΑΒΓ+ AEZ + ΗΘΚ> ASM + MSN + NSA. uerum supposuimus, esse

ΑΒΓ+ AEZ + ΗΘΚ

quattuor rectis minores, multo igitur magis ASM + MSN -f- NS4 quattuor rectis minores sunt, sed iidem quattuor rectis aequales sunt; quod absurdum est. itaque AB recta AS minor non est. et demonstratum est, eam ne aequalem quidem esse, ergo AB> AS- erigatur igitur in puncto S ad planum circuli AMN perpendicularis SP [prop. XII]. et sit SP² = AB² -f- AS², et ducantur PA, PM, PN. et quoniam PS ad planum circuli AMN perpendicularis est, PS ad singulas rectas AS, MS, NS perpendicularis est. et quoniam AS = SM, et SP communis est et perpendicularis, erit

PA = PM [I, 4].

eadem de causa erit etiam PN — PA = PM. itaque PA, PM, PN inter se aequales sunt, et quoniam suppositum est, esse SP² = AB² -f- AS², erit AB²

uerum

= AS² + HP²·

10. ΜΕΝ] ΕΝ in ras. m. 1 Ρ.

12. εστιν Ρ.

εστιν] om. V. άνεστάτω] bis b; litt, ν in ras. m. 1 Ρ. 15. εστιν Ρ.

11. είσιν ελασσόνες 13. οίρα] εστιν αρα F.

14. κύκλον]

om. φ.

17. ΡΝ] supra scr. V. επίπεδον κύκλον F.

22. ΡΝ] Ν e corr. V. corr. ex είσίν V, comp. F.

16. τό] corr. ex τώ m. 2 F.

εστιν Ρ.

18. PE] EP B.

20. EM] ME corr. ex NE m. 1 b. 23. ί'ση εστιν V.

26. τό] (prius) corr. ex τω F.

24. είσί b,

¹

Nam si communis planorum sectio ad planum subiacens . perpendicularis non est, ad rectas ΔΑ, ΔΓ rectos angulos non efficiet, ergo et in plano AB et in B Γ locus est perpendiculari ad A Δ et ad Δ Γ in Δ erectae.

²

Nam in angulis solidis, qui plus quam tribus planis angulis continentur, similiter ratiocinandum est.

έότι τοίς άπδ τών    &Ρ. τοΐς δε άπδ των Λ&,

των

&Ρ ίόον έότι το άπο της ΑΡ* ορθή γάρ η νπδ A&P' το άρα άπο της AB ί'όον εότι τω άπο της ΡΑ* ίόη άρα η AB τη ΡΑ. άλλα τη μεν AB ίόη έότϊν εκάότη 5 των ΒΓ\ ΛΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ₉ τη δε ΡΑ ί'όη εκατέρα ΡΜ, ΡΝ* εκάότη άρα των AB, ΒΓ' AE, ΕΖ, ΗΘ₉ εκάότη των PA, ΡΜ, ΡΛΤ /tfi? εότίν. καί επει δυο αί ΑΡ, ΡΜ    ^25, J5P είόίν,

και βάόις η AM βάόει τη ΑΓ νπόκειται ίόη, γωνία 10 άρα η νπδ ΑΡΜ γωνία τη νπδ ΑΒΓ εότιν ίόη. διά τα αντά δη και η μεν νπδ ΜΡΝ τη νπδ ΑΕΖ εότιν ίόη ₅ η δε νπδ ΑΡΝ τη νπδ ΗΘΚ.

’Εκ τριών άρα γωνιών επίπεδων τών ίπδ ΑΡΜ, ΜΡΝ, ΑΡΝ₅ αΐ είόιν ίόαι τριόι ταΐς δο&είόαις ταΐς 15 νπδ ΑΒΓ₉ ΑΕΖ₉ ΗΘΚ₉ ότερεά γωνία όννεόταται η προς τω Ρ περιεχομενη νπδ τών ΑΡΜ₉ ΜΡΝ9 ΑΡΝ γωνιών οπερ εδει ποιήόαι.

Αημμα.

"Ον δε τρόπον, ω μεΐξόν έότι τδ άπδ της AB τον 20 αττό τή$ έκείνω ίόον λαβεΐν εότι τδ άπδ της &Ρ, δείζομεν όντως, έκκείόδωόαν αί AB₉    εν&εΐαι₉

1. τοΓ? $ε — 2. ΛΡ] mg. m. 1 F. 4. ΡΛ] corr. ex AP Υ.

Ante PA del. Λ m. 1 Ρ.

7. Ιατίν] om. V.

9. Ante γωνία ins. ν,αί m. 2 V. ins. F.

3. PA] e corr. V.

5. ΘΚ] corr. ex HK m. 1B.

6. Post PN ras. 3 litt. Y.

είαί Vb, comp. F.

10. γωνία] om. B; post ίση εατίν FY.    14. τρισίν B.

15. αννίαταται FYb. 16. ή] om. φ. τω] mut. in τό b, τό φ. τών] τών νπό b. 17. οπερ εδει ποιτίΰαι] om. ποιήααί] δεΐξαι, Pb, γρ. ποιησαι mg. b. Seq. duo casus

Hoc lemma in

8 AP] PA F.

11. MNP F.

Y.

singulares cum demonstrationibus, u. app. b et in textu (b) et in mg. a m. 1 (ß) reperitur, add. γρ.

AP² = AS² + SP² [I, 47]; nam /_ A'SP rectus est. quare AB² = PA², itaque AB — PA. sed

AB = ΒΓ = AE == EZ = ΗΘ = ΘΚ et PA = PM= PN.

itaque

AB = ΒΓ ===== AE = EZ = ΗΘ ===== ΘΚ = PA = PM = PJV.

et quoniam duae rectae ./4P, PM duabus rectis AB, jBP aequales sunt, et suppositum est, esse AM= ΛΓ7 erit etiam L ΑΡΜ = ΑΒΓ [I, 8]. eadem de causa erit etiam L MPN= AEZ, L APN = ΗΘΚ.

Ergo ex tribus angulis planis ΑΡΜ, MPN, APN, qui tribus datis angulis ΑΒΓ, ΑΕΖ₇ ΗΘΚ aequales sunt, solidus angulus constructus est, qui ad P positus est angulis APM, MPN, APN comprehensus; quod oportebat fieri.¹)

Corollarium.

Quomodo autem fieri possit, ut sumatur HP² = AB2 AS², sic demonstrabimus.

exponantur rectae AB, AS, et maior sit AB, et

1) Quae in codd. sequuntur demonstrationes casuum singularium, ab Euclide profectae esse non possunt, nam praeparatio p. 62, 14 (u. adn. erit.) omnino necessaria, si tres casus separantur, manifesto interpolata est, neque post clausulam legitimam p. 68, 13—17 plura addi possunt, praeterea demonstrationes ipsae uerbosiores sunt neque apud Campanum in-ueniuntur, neque consuetudo fert Euclidis, ut ad omnes casus respieiatur.

όντως. sed euan.

18. λήμμα] om. codd. 21. δείζωμεν P.

και έΰτω μείξων ή AB, καί γεγράφ&ω έπ αυτής ημικύκλιον το ΑΒΓ\ καί εις το ΑΒΓ ημικύκλιον ένηρ-μ06&ω τή ΑΕ εν&εία μη μείζονι ονΰη τής AB διάμετρον ίβη ή ΑΓ\ και έπεζενχ&ω ή ΓΒ. έπει ονν 5 εν ήμικνκλίω τω ΑΓΒ γωνία εΰτϊν ή νπδ ΑΓΒ , ορδή άρα έΰτιν ή νπο ΑΓΒ. το άρα άπδ τής AB ϊβον έΰτι τοίς άπδ των ΑΓ, ΓΒ. ωβτε το άπδ τής AB τον άπδ τής ΑΓ μείζόν έΰτι τω άπδ τής ΓΒ. ι<5η δέ ή ΑΓ τή ΑΕ’ τδ αρα άπδ τής AB τον άπδ τής 10 ΑΕ μείξόν εΰτι τω άπδ τής ΓΒ. εάν ονν τή ΒΓ ί'όην την ΕΡ άπολάβωμεν, εβται τδ άπδ τής AB τον άπδ τής ΑΕ μείζόν τω άπδ τής EP' όπερ προεκειτο ποιήβαι.

κδ\

⁵'Εάν οτερεδν νπδ παραλλήλων επίπεδων περιέχηται, τα άπεναντίον αντον επίπεδα ίΰα τε και παραλληλόγραμμά έΰτιν.

Στερεδν γάρ τδ ΓΑΘΗ νπδ παραλλήλων επιπέδων περιεχέΰ^ω των ΑΓ, HZ? ΑΘ, ζ/Ζ? ΒΖ, ΑΕ* 20 λέγω, ότι τά άπεναντίον αντον έπίπεδα ίΰα τε και παραλληλόγραμμά έΰτιν.

Έπει γάρ δνο έπίπεδα παράλληλα τά ΒΗ₅ ΓΕ νπδ έπιπέδον τον ΑΓ τέμνεται, αί κοιναι αυτών το-

15

2. ΑΓΒ b.

εις — ημικύκλιον] om. b.    ΑΒΓ]

AB Ρ. ημικύκλιον] ® β. ήρμόσ&ω β.    3. μη μείζονι

— διαμέτρου] om. Bb. AB] m. 2 Ρ. 5. τω] corr. ex τό m. 1 F. τω ΑΓΒ γωνία] om. b. ΑΓΒ] B ins. m. 1 Ρ, Β in ras. F. νπδ] om. b. όρ&ή — 6.ΑΓΒ] γωνία δρ&ή έστιν b. 7. των] τής b. ΓΒ] supra scr. m. rec. Ρ. ώστε] om. b. AB] AB άρα b. 8. μείζόν έστί] υπερέχει Ρ.

9. τή] postea ins. V. τδ άρα] ώστε τό Ρ; τό b. AB] AB άρα b, AB μείζόν έστι Ρ. 10. μείζόν εστι] om. Ρ. τής] an. 2 F. εάν — 13. ποιήσαι] om. b. 10. ΒΓ] corr. ex

in ea semicirculus describatur ΑΒΓ, et in semicirculo ΑΒΓ recta ΑΓ aptetur [IV, 1] rectae AS aequalis, quae maior non est diametro AB, et ducatur ΓΒ. iam quoniam in semicirculo ^f-BJTpositus est LATB, rectus erit LATB [III, 31]. itaque AB² == ΑΓ² + ΓΒ² [I, 47]. erit AB² -ΐ- ΑΓ² = ΓΒ². uerum ΑΓ B = AS. itaque ΓΒ² = AB² H- Ag². ergo si sumpserimus !SP= B Γ, erit & P² = A B² A- A S²·, quod oportebat fieri.

quare

XXIV.

Si solidum planis parallelis comprehenditur, plana eius inter se opposita aequalia sunt et parallelo-gramma.¹)

Nam solidum ΓΑΘΗ planis parallelis comprehendatur ΑΓ, HZ, ΑΘ, AZ, BZ, AE. dico, plana eius inter se opposita aequalia esse et parallelogramma.

nam quoniam duo plana parallela BH, Γ E plano ΑΓ secantur, communes eorum sectiones inter se

non

1) Haec propositio parum diligenter exposita est; intelli-gitur enim solidum sex planis parallelis comprehensum neque pluribus, et plana, quamquam omnia parallelogramma sunt, omnia aequalia sunt, sed opposita sola inter se aequalia.

ΓΒ V, ΓΒ BF(3.    11. το\ τφ ß. AB μεΐζον P. 12. μει-

ζον~\ om. Ρ. PS P.    οπερ — 13. ποήσαί] om. V.

14. κ$'] corr. ex υ.ύ\ F.    17. παραλληλόγραμμα] παράλληλα

b, mg. m. 1 γρ. παραλληλόγραμμα (comp.). -γραμμά εβτι φ, m. 2 add. V. εοτι Bb. 18. ΓΑΘΗ] corr. ex ΓΑΗΘ Υ, ΓΑΗΘ b.    19. ΖΒ BF. 21. παράλληλα b et seq.

ras. F. -γραμμά εστιν suj)ra m. 2 Y. 22. Post επίπεδα ins. όμοια m. 2 F.    παράλληλα] supra ras. m. 2 V.

μαι παράλληλοί είΰιν. παράλληλος άρα έΰτιν η AB τη ΑΓ πάλιν, έπεϊ δυο επίπεδα παράλληλα τα ΒΖ, ΑΕ υπό επίπεδον του ΑΓ τέμνεται, αί κοιναι αυτών τομαι παράλληλοί είΰιν. παράλληλος άρα έΰτιν η ΒΓ 5 τη ΑΑ. εδείχ&η δε καί η AB τη ΑΓ παράλληλος* παραλληλόγραμμον άρα έΰτι το ΑΓ. ομοίως δη δει-ζομεν, ότι και έκαΰτον των ΑΖ, ΖΗ, ΗΒ, BZ, ΑΕ παραλληλόγραμμόν έΰτιν.

’Επεζεύχΰωΰαν αί ΑΘ, ΑΖ. και επει παράλληλός 10 έΰτιν η μεν AB τη ΑΓ, η δέ ΒΘ τη ΓΖ, δυο δη αί AB, ΒΘ άπτόμεναι άλληλων παρά δύο ευθείας τάς ΑΓ, ΓΖ άπτομενας άλληλων είΰιν ούκ εν τω αύτω έπιπέδω' ίΰας άρα γωνίας περιέξουΰιν ϊ<5η άρα η υπό ΑΒΘ γωνία τη υπό ΑΓΖ. και επει δύο αί 15 AB, ΒΘ δυΰι ταΐς ΑΓ, ΓΖ ίΰαι είΰιν, και γωνία η υπό ΑΒΘ γωνία τη υπό ΑΓΖ έΰτιν ίΰη, βάΰις άρα η ΑΘ βάΰει τη ΑΖ έΰτιν ϊΰη, καί το ΑΒΘ τρίγωνον τω ΑΓΖ τριγώνω ίΰον έΰτιν. καί έΰτι του μέν ΑΒΘ διπλάΰιον το ΒΗ παραλληλόγραμμον, του δε ΑΓΖ 20 διπλάΰιον το ΓΕ παραλληλόγραμμον ίΰον άρα το ΒΗ παραλληλόγραμμον τω ΓΕ παραλληλογράμμω. ομοίως δη δείξομεν, ότι και το μέν ΑΓ τω HZ έΰτιν ίΰον, το δέ ΑΕ τω ΒΖ.

’Εάν άρα ΰτερεόν υπό παραλλήλων έπιπέδων περί-25 έχηται, τα άπεναντίον αυτόν έπίπεδα ίΰα τε και παραλληλόγραμμά έΰτιν⁹ όπερ έδει δεΐζαι.

1. είαί Yb, comp. F. 2. ΓΔ Β.

ΒΖ] supra scr. Γ b; corr. ex ΒΓ Y. τέμνονται b. 4. είΰΐ Vb, comp. F. in ras. Β.

ΓΔ b. 13. περιέχοναιν BF (in F corr. m. 2).

παράλληλοί] om. V.

3. τεμνεται] corr. ex Β Γ] corr. ex Α Γ b; Β 9. εστι παράλληλος Vb. 10. Δ Γ] corr. ex Γ Δ V,

15. ειαί Yb,

parallelae sunt [prop. XVI]. itaque AB rectae ΑΓ parallela est. rursus quoniam duo plana parallela BZ, A E plano ΑΓ secantur, communes eorum sectiones

parallelae sunt, itaque ΒΓ rectae A A parallela est. sed demonstratum est, esse etiam A B rectae Z ΛΓ parallelam, itaque ΑΓ parallelogrammum est. similiter demonstrabimus, etiam singula AZ7 ZH, HB, BZ₇ A E parallelogramma esse.

ducantur ΑΘ, AZ. et quoniam AB rectae ΑΓ} ΒΘ rectae ΓΖ parallelae sunt, duae rectae AB₇ ΒΘ inter se tangentes duabus rectis ΑΓ₇ ΓΖ inter se tangentibus parallelae sunt non in eodem plano positae. aequales igitur comprehendent angulos [prop. XV]. itaque L ΑΒΘ = ΑΓZ. et quoniam duae rectae AB, ΒΘ duabus ΑΓ,ΓΖ aequales sunt [1,34], et L. AB® = z/JTZ, erit etiam ΑΘ = AZ, et Δ ΑΒΘ = ΑΓΖ [I, 4]. et BH = 2ΑΒΘ, ΓΕ = 2 ΑΓΖ [I, 34]. itaque BH = ΓΕ. similiter demonstrabimus, esse etiam ΑΓ= HZ, AE = BZ.

Ergo si solidum planis parallelis comprehenditur, plana eius inter se opposita aequalia sunt et parallelogramma·, quod erat demonstrandum.

comp. F. 17. ί'ΰη εατι BVb. 18. i'aov εατίν καί εατί] om. F, hab. φ.    εατίν] εβτί PBV, comp. b.    20. ΒΗ] φ

seq. lac. 4 litt. 21. τω ΓΕ παραλληλογ ράμμω] om. F.

22. HZ] nmt. in HS b. 24. επίπεδων — 26. δεΐξαι] καί τα εξής V. 26. παραλληλόγραμμα] παράλληλα b, corr. mg. m. 1.

κε .

⁵Εάν ΰτερεδν παραλληλεπίπεδον έπιπέδω τμη&η παραλληλω δντι τοίς άπεναντίον έπι~ πέδοις, έΰται ώς η βάΰις προς την βάΰιν, ον-5 τως το ΰτερεδν προς το ΰτερεδν.

Στερεόν γαρ παραλληλεπίπεδον το ΑΒΓΑ έπιπέδω τω ΖΗ τετμήΰ&ω παραλληλω δντι τοΐς άπεναν-τίον επιπέδοις τοΐς ΡΑ, ΑΘ' λέγω, δτι εΰτιν ως η ΑΕΖΦ βάΰις προς την ΕΘΓΖ βάΰιν, όντως το 10 ΑΒΖΤ ότερεδν προς το ΕΗΓΑ ΰτερεόν.

Έκβεβλήΰ&ω γαρ η ΑΘ εφ⁹ έκάτερα τα μέρη₉ καί κείΰ&ωΰαν τη μεν ΑΕ ίΰαι δΰαιδηποτονν αί ΑΚ9 ΚΑ, τη δε ΕΘ ίΰαι δΰαιδηποτονν αι    ΜΝ, και

ΰνμπεπληρώΰ&ω τα ΑΟ, ΚΦ, ΘΧ, Μ27 Λαραλλ^λό-15 γραμμα καί τα ΑΠ? ΧΡ, ζ/Μ? ΜΤ <?τ£ρ£α. καί «τεί £<?αέ είΰιν αί ΑΚ, üf^,    ενϋ'εΐαι άλληλαις, ίΰα

έΰτι καί τα μεν ΑΟ₉ ΚΦ, ΑΖ παραλληλόγραμμα άλληλοις, τα    ΚΒ,    άλληλοις καί έτι τα

ΑΨ, ΚΠ, ^4Ρ άλληλοις' άπεναντ ίον γάρ. διά τα 20 αυτά ίή καί ra μ£ΐ/ ΕΓ\ @Χ₅ Μ27 παραλληλόγραμμα ίΰα είΰιν άλληλοις, τα    ΘΙ₉ IN ίΰα είΰιν άλ-

ληλοις, καί m τα ζ/Θ, ΜΏ, IV Τ* τρί,'α αρα επίπεδα των ΑΠ, ΧΡ₅    ΰτερεων τριΰϊν έπιπέδοις έΰτίν

ίΰα. άλλα τά τρία τριΰι τοις άπεναντίον έΰτίν ίΰα*

2. παράλληλον επίπεδον Fb.

6. παράλληλον επίπεδον Fb. τω b.

14. ζίΟ] in ras. F; corr. ex z/M] M"zT 21. τά

1. κ?'] καί' F. 4. οντω B.

10. iEZT] Z in ras. m. 1 B. zi® m. 1 b. 15. ΛΠ] zi corr. ex Δ b. b.    MT] NT P, ΜΓ b. 19. AP] A e corr. b.

δέ — άλληλοις] mg. m. 2 euan. F. ΘI] ΘΡ e corr. b. IN] 'T'N, I corr. ex P b. 23. £<m'v] ffctv P. glv P. I(m'v] mut. in εΐοίν b, είΰιν F.

XXV.

Si solidum parallelepipedum¹) plano secatur planis inter se oppositis parallelo, erit ut basis ad basim, ita solidum ad solidum.

Nam solidum parallelepipedum ΑΒΓΑ secetur plano ZH planis PA, ΑΘ parallelo, dico, esse ΑΕΖΦ : ΕΘΓΖ = ABZT: ΕΗΓΑ.

producatur enim ΑΘ in utramque partem, et ponantur quotlibet rectae AK, K A rectae A E aequales,

jr_p t δ si r

/\ bA hA 7\ 7l7\

\o 1 ιφ LJ i \ 1

; i/ mm

A    jE Θ M

ΑΘ = MU

rectae autem ΕΘ aequales quotlibet ΘΜ, MN, et expleantur parallelogramma AO, ϋΓΦ, ©X, ΜΣ et solida ATI, KP} AM, MT. et quoniam AK = KA = AE, erit AO = ΚΦ = AZ, Kg = KB = AH²) et praeterea ΑΨ = ΚΠ = AP, nam inter se opposita sunt [prop. XXIV]. eadem de causa erit etiam ΕΓ = ΘΧ = ΜΣ, ΘΗ = ΘΙ = IN = NT. itaque solidorum ΑΠ, KP, AT tria plana tribus planis aequalia sunt, uerum tria illa plana tribus,

τα άρα τρία βτερεά τα ΑΤΙ, KP, έβτίν. δια τα αυτά δη καί τα τρία βτερεά τα ΕΑ, Λ Μ, ΜΤ ίβα άλληλοις έβτίν όβαπλαβίων άρα έβτϊν η ΑΖ βάβις της ΑΖ βάβεως, τοβανταπλάβιόν έβτι 5 και το ΑΤ βτερεόν τον ΑΤ βτερεον. διά τα αντά δη όβαπλαβίων έβτϊν η ΝΖ βάβις της ΖΘ βάβεως, τοβανταπλάβιόν έβτι καί το ΝΤ βτερεον τον ΘΤ βτερεον. και εί ίβη έβτϊν η ΑΖ βάβις τη ΝΖ βάβει, ϊβον έβτϊ και το ΑΤ βτερεον τω ΝΤ βτερεω, και εί 10 υπερέχει η ΑΖ βάβις της ΝΖ βάβεως, υπερέχει και το ΑΤ βτερεον τον ΝΤ βτερεον, και εί έλλείπει, έλ-λείπει. τεββάρων δη δντων μεγε&ών, δυο μεν βά-βεων των ΑΖ, ΖΘ, övo $£ βτερεων των ΑΤ, ΤΘ, είλητιται ίβάκις πολλαπλάβια της μεν ΑΖ βάβεως και 15 τον ΑΤ βτερεον η τε ΑΖ βάβις και το ΑΤ βτερεόν, της δε ΘΖ βάβεως και τον ΘΤ βτερεον η τε ΝΖ βάβις καϊ το ΝΤ βτερεόν, και δέδεικται, ότι εί υπερέχει η ΑΖ βάβις της ΖΝ βάβεως, υπερέχει και το ΑΤ βτερεόν τον ΝΤ [βτερεον], και εί ίβη, ϊβον, και 20 εί έλλείπει, έλλείπει. έβτϊν άρα ως η ΑΖ βάβις προς την ΖΘ βάβιν, όντως το ΑΤ βτερεόν πρός το ΤΘ βτερεόν* όπερ έδει δεΐζαι.

κς\

Πρός τη δο&είβη εν&εία και τω πρός αντη 25 βημείω τη δο&είβη βτερεά γωνία ίβην βτερεάν γωνίαν βνβτήβαβ&αι.

1. αρα] α supra m. rec. Ρ; post ras. 2 litt. F. τα] e eorr. Y. AH] KH F; supra Λ scr. A m. 1 b. 2. εστί BV, comp, b, εiGi F.    τά] (alt.) ins. m. 2 F. 3. εστίν] mut.

in είΰίν m. 1 P.    4. AZ] AZ supra scr. AB m. 1 b.

τοααντοίΊτλαοίων b et e corr. F. 7. εοτί] supra m. 1 P.

quae iis opposita sunt, aequalia sunt [prop. XXIV], ergo ATI — KP — AT.¹) eadem de causa erit EA — AM—MT\ itaque quoties multiplex est AZ basis basis AZ, toties multiplex erit etiam solidum AT solidi AT. eadem de causa quoties multiplex est basis NZ basis ΖΘ, toties multiplex erit etiam solidum NT solidi ΘΤ. et si AZ — NZ, erit etiam AT = NT, sin AZ> NZ, erit etiam AT> NT, sin autem AZ < NZ, erit AT<CNT. itaque datis quattuor magnitudinibus, duabus basibus AZ, ΖΘ et duobus solidis AT, ΤΘ sumpta sunt aeque multiplicia basis AZ et solidi AT basis AZ et solidum AT, basis autem ΘΖ et solidi ΘΤ basis NZ et solidum NT, et demonstratum est, si AZ>ZN, esse etiam AT>NT, sin AZ = ZN, esse AT = NT, sin autem AZ <ZN, esse AT<.NT. erit igitur AZ : ΖΘ = A T : ΤΘ [Y def. 5]; quod erat demonstrandum.

XXVI.

Ad datam rectam et punctum eius angulum solidum construere dato angulo solido aequalem.

1) Ex def. 10, quia plana ea comprehendentia etiam similia sunt bina simul coniuncta. de trinis u. pag. 75 not. 2. de ceteris ex prop. 24 sequitur, nec opus erat, ut ibi propria demonstratione ostenderetur, quia p. 72, 17 demonstratum est, triangulos congruentes esse (u. I, 4), b. e. ίσα τε καί ομοια.

9. εατί] supra scr. comp. m. 2 F. 10. NΖ] Z in ras. V. δε] corr. ex δη m. 2 V, δη b. 15. AΖ] corr. ex m. 1 et 18. ZN] NZ B Vb. ΐση] ίσον PFY et in ras. b. 25. -σην e corr. m. rec. Y.

8. η ΛΖ] bis P, corr. m!*l.

ΛΤ] supra Λ scr. A m. 1 b.

13. των] supra scr. m. 2 B. των] supra scr. m. 2 B.

m. 2 b.

16. ΘΤ] EA, E in ras. P.

19.    στερεόν] om. BFYb.

20.    η] supra scr. m. 1 P.

”Εότω ή μεν δοθεί6 α ευθεία ή AB, τδ δε πρ ς αυτή δοθεν 6ημείον το Α, ή δε δοθεΐ6α 6τερεά γωνία ή προς τώ Α περιεχομένη νπδ των νπδ ΕΑΓ, ΕΑΖ₅ ΖΑΓ γωνιών επιπέδων' δει δη προς τη AB 5 ευθεία και τω προς αντί} 6ημείω τώ Α τη προς τώ Α ότερεα γωνία ίδην βτερεαν γωνίαν 6ν6τη6α6θαι.

C'

Είλέ^φθω γάρ έπι της ΑΖ τνχδν 6ημεΐον το και ήχθω άπδ τον Ζ έπι το διά των ΕΑ, ΑΓ έπί-πεδον καθ'έτος η ΖΗ, και 6υμβ αλλέτω τω έπιπέδω 10 κατά το Η, καί έπεξενχθω η ΑΗ₅ και 6ννε6τάτω προς τη AB ευθεία και τω προς αυτή 6ημείω τω Α τη μεν νπδ ΕΑΓ γωνία ί6η η νπδ ΒΑΑ, τη $£ νπδ ΕΑΗ Ιδη η νπδ ΒΑΚ, και κείΰθω τη ΑΗ ίδη η ΑΚ, και άνεβτάτω άπδ τον Κ 6η με ίου τω διά των 15 ΒΑΑ έπιπέδω πρδς όρθάς ή ΚΘ, και κειδθω Ϊ6η τη HZ η ΚΘ} και έπεξενχθω η ΘΑ' λέγω, οτι η πρδς τω Α βτερεά γωνία περίεχομενη νπδ των ΒΑΑ, ΒΑΘ? ΘΑΑ γωνιών ίδη έότϊ τη πρδς τώ Α 6τερεα γωνία τη περίεχομενη νπδ τών ΕΑΓ, ΕΑΖ? ΖΑΓ 20 γωνιών.

’Απειλήφθωόαν γάρ ίδαι αί AB, ΑΕ, και έπεξενχ-θωβαν αί ΘΒ₅ ΚΒ, ΖΕ, ΗΕ. καί έπει η ΖΗ ορθή έδτι πρδς τδ υποκείμενον επίπεδον, και πρδς πάόας άρα τάς άπτομένας αυτής ευθείας και ον6ας έν τώ 25 νποκειμένω έπιπέδω δρθάς ποιήόει γωνίας' ορθή άρα

3. τώ] mut. in το m. 1 b. 4. ΕΔΖ] Ζ non liquet in F.

5. τω Δ\ τή Δ Ρ. 9. τώ] Om. Ρ. τώ £πιπέδω] supra scr. m. 1 F.

12. tfij om. F. 14. AK] K e corr. m. 1 F. 16. η] (tert.) supra m. 2 P. 18. εστίν B, corr. m. 2. Post Δ ras. 1 lit. B.

19. τη] om. Vbqp. Ζ Δ Γ] supra scr. m. 2 B. 21. αί ϊβαι B, corr.'m. 2. 22. ΚΒ, Ζ E, HE] ZE" HE" KB' Vb (in HE tertia lineola add. in b); ZE, HE F uel potius φ, in ZE uestig. 2 lineolarum.

Sit data recta AB et datum eius punctum A, datus autem angulus solidus is, qui ad A positus est angulis planis ΕΑΓ, EAZ, ΖΑΓ comprehensus, oportet igitur ad rectam AB et punctum eius A angulum solidum construere solido angulo, qui ad A positus est, aequalem.

sumatur enim in AZ punctum aliquod Z, et a Z ad planum rectarum EA, ΑΓ perpendicularis ducatur ZH [prop. XI], et cum plano concurrat in H, et du-

Δ

catur AH, et ad rectam AB et punctum eius A construatur LBAA = ΕΑΓ, LBAK = E AH [I, 23], et ponatur AK = A H, et in puncto K ad planum rectarum BA, A A perpendicularis erigatur ΚΘ [prop. XII], et ponatur ΚΘ = HZ, et ducatur ΘΑ. dico, angulum solidum, qui ad A positus sit angulis BAA, ΒΑΘ, ΘΑΑ comprehensus, aequalem esse angulo solido, qui ad A positus sit angulis EAΓ, EAZ, ΖΑΓ comprehensus.

abscindantur enim AB, A E inter se aequales, et ducantur ΘΒ,ΚΒ,ΖΕ,ΗΕ. et quoniam ZU ad planum subiacens perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano subiacenti positas

έβτιν έκατέρα των νπδ ΖΗΑ, ΖΗΕ γωνιών, δια τα αντά δη καί έκατέρα των νπδ ΘΚΑ, ΘΚΒ γωνιών δρ&η έβτιν. και έπει δυο αι ΚΑ, AB δύο ταΐς ΗΑ, ΑΕ ΐβαι είβιν έκατέρα έκατέρα, καί γωνίας ΐβας περι-5 έχονβιν, βάβις    άρα    η Κ Β βάβει    τη    ΗΕ ΐβη έβτίν.

έβτι δε και η    ΚΘ    τη HZ ΐβη *    και    γωνίας όρ&άς

περιέχονβιν ΐβη αρα καί η ΘΒ τη ΖΕ. πάλιν έπει δύο αι ΑΚ, ΚΘ δνβι ταΐς ΑΗ, HZ ΐβαι είβιν, και γωνίας δρ&άς περιέχονβιν, βάβις αρα η ΑΘ βάβει τη 10 ΖΑ ΐβη έβτιν. έβτι δε και η AB τη ΑΕ Ϊ6η' δύο δη αι ΘΑ, AB δύο ταΐς AZ, ΑΕ ΐβαι είβιν. και βάβις η ΘΒ βάβει τη ΖΕ ΐβη* γωνία αρα η νπδ ΒΑΘ γωνία τη νπδ ΕΑΖ έβτιν ΐβη. διά τά αντά δη και η νπδ ΘΑΑ τη νπδ ΖΑΓ έβτιν 1<5η [έπειδήπερ 15 έάν άπολάβωμεν ΐβας τάς ΑΑ, ΑΓ και έπιξεύξωμεν τάς ΚΑ, ΘΑ,    ΗΓ,    ΖΓ, έπεϊ ολη η    νπδ ΒΑΑ δλη

τη νπδ ΕΑΓ    έβτιν ΐβη, ών η    νπδ    ΒΑΚ τη νπδ

ΕΑΗ νπόκειται ΐβη, λοιπή αρα η νπδ ΚΑΑ λοιπή τη νπδ ΗΑΓ έβτιν ΐβη. και έπει δύο αι ΚΑ, ΑΑ 20 δνβι ταΐς ΗΑ, ΑΓ ΐβαι είβίν, και γωνίας ΐβας περί-έχονβιν, βάβις άρα η ΚΑ βάβει τη ΗΓ έβτιν ΐβη. έβτι δε καί η ΚΘ τη HZ ΐβη* δύο δη αι ΑΚ, ΚΘ δνβι ταΐς ΓΗ, HZ είβιν ΐβαι* καί γωνίας δρΟ'άς περιέχονβιν βάβις άρα η ΘΑ βάβει τη ΖΓ έβτιν ΐβη. 25 καί έπει δύο αι ΘΑ, ΑΑ δνβϊ ταΐς ΖΑ, ΑΓ είβιν ΐβαι, και βάβις η ΘΑ βάβει τη ΖΓ έβτιν ΐβη, γωνία άρα η νπδ ΘΑΑ γωνία τη νπδ ΖΑΓ έβτιν ΐβη]. έβτι δε και η νπδ ΒΑΑ τη νπδ ΕΑΓ ΐβη.

Πρδς άρα τη δο^είβη εν&εία τη A Β και τώ πρδς

3. έΰτι Y, comp. Fb. έχονβι PYb.

4. περι-εστιν] om. Yb.

(alt.) δυαί Yb.

5. BK B.

HE] E H F.

rectos angulos efficiet [def. 3], itaque uterque angulus ZHA, ZHE rectus est. eadem de causa etiam uterque angulus ΘΚΑ, ΘΚΒ rectus est. et quoniam duae rectae KA, AB duabus HA, A E singulae singulis aequales sunt, et angulos aequales comprehendunt erit KB = HE [I, 4]. uerum etiam ΚΘ — HZ-et angulos rectos comprehendunt, itaque ΘΒ = ΖΕ [id.], rursus quoniam duae rectae AK, ΚΘ duabus AH, HZ aequales sunt, et angulos rectos comprehendunt, erit ΑΘ = ZA [id.], uerum etiam AB = A E. itaque duae rectae ΘΑ, AB duabus AZ, A E aequales sunt; et ΘΒ = ΖΕ. itaque L ΒΑΘ = EAZ [I, 8]. eadem de causa¹) erit etiam L ΘΑΑ = ΖΑΓ. uerum erat etiam L BA A = ΕΑΓ.

Ergo²) ad datam rectam AB et punctum eius A

1)    Haec uerba (lin. 13 seq.) satis ostendunt, ea quae sequuntur lin. 14 — 27 genuina esse non posse; huc adcedit, quod totus ille locus perplexiore sententiarum nexu laborat, quam quo utitur Euclides.

2)    Simsonus iure uituperauit, quod nusquam demonstratum est, angulos solidos, qui aequalibus angulis planis eodem ordine contineantur, aequales esse, nam hoc quasi axiomate nititur demonstratio Euclidis, saltim ad similitudinem def. 10 definiri debuerunt aequales anguli solidi.

6. εοτιν PB, comp. b. 7. περιεχον6ΐ Vbqp. ί'ση] βάοίς Vb et φ (non F). καί] om. Y et φ (non F). ZE] ZE i'ari εατί Yb; γρ. ιβη αρα καϊ rj ΘΒ τη ZE mg. m. 1 b.

8. ειαί Yb, comp. F.    9. περιέχονβι Vb et φ (non F).

-JZT " F.

ΘΛ~] corr. ex ΘΑ Fb. PYb.

10. Z J] ΞΛ F, ΔΖ B. εβτιν B. 11. ΔΖ, JE] "JZ’ ZE, supra ait. Z scr. J m. 1 b; litt. JZ, Z eras. Y; ZJ, JE B. stVY, comp. Fb. 14. ΘΑΑ] Θ JA, corr. m. 1 b. Z J Γ] 15. JF] ΛΓ, sed corr., b. 16. ΚΛ] AK F.

K&] ΘΚ F. 25. l'aca tielv B.

20. dvciv B. εΐΰίν] comp. F, slgl περιέχονΰΐν] BF, περΰχονβί PYbqp. 22. zgxlv FB. ΑΚ] e corr. b. 24. περιέχονα Yb.

26. Z Γ] Γ Z F. γωνία] ν,αϊ γωνία BF Yb. 27. ΘΑΑ] corr. ex ΘΒΑ m. 1 b.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IY.

αντη βημείω τω A τη δο&είΰη ΰτερεα γωνία τη πρδς τω Α ί'ΰη βννέΰταται' όπερ εδεί ποιηΰαι.

*r.

’Απδ της δο&εί<5ης ενϋ'είας τώ δο&έντι 6τε-5 ρεώ παραλληλεπίπεδα δμοίόν τε και ομοίως κείμενον ΰτερεδν παραλληλεπίπεδον ανα-γράψαί.

’Έΰτω η μεν δο&εΐΰα εν&εΐα η AB, το δε δο&εν ύτερεον παραλληλεπίπεδον τδ ΓΑ* δει δη άπδ της 10 δο&είόης εν&είας της AB τω δο&έντι οτερεώ παραλληλεπίπεδα τω ΓΑ δμοιόν τε και ομοίως κείμενον βτερεδν παραλληλεπίπεδον άναγράψαί.

Σννεότάτω γάρ προς τη AB εν&εία καί τω προς αν τη βημείω τω Α τη προς τω Γ ότερεα γωνία ’ ίύη 15 ή περίεχομενη νπδ των ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ, ωβτε ίβην είναι την μίν νπδ ΒΑΘ γωνίαν τη νπδ ΕΓΖ, την νπδ ΒΑΚ τη νπδ ΕΓΗ, την δε νπδ ΚΑΘ τη νπδ ΗΓΖ* καί γεγονετω ώς μεν η ΕΓ προς την ΓΗ, όντως η ΒΑ πρδς την ΑΚ, ώς δε η ΗΓ πρδς 20 την ΓΖ₅ όντως η ΚΑ πρδς την ΑΘ. καί δί ϊ<5ον αρα έότϊν ώς η ΕΓ πρδς την ΓΖ, όντως η ΒΑ πρδς την ΑΘ. και ΰνμπεπληρώΰ&ω τδ ΘΒ παραλληλόγραμμον καί τδ ΑΑ ύτερεόν.

Καί έπεί έΰτιν ώς η ΕΓ πρδς την ΓΗ, όντως η 25 ΒΑ πρδς την ΑΚ, καί περί ί'όας γωνίας τας νπδ ΕΓΗ, ΒΑΚ αί πλενραί άνάλογόν είόίν, όμοιον αρα έβτί τδ ΗΕ παραλληλόγραμμον τω ΚΒ παραλληλο-

2. βννίβταται, ί in ras., V; οννεβτάτω φ. ποιηβαί] δεΐξαι, mg. γρ. ποιηααt, m. 1 Vb. 3. κ£'] m. rec. F. 5. παραλ-ληλωεπιπ. corr. in παράλληλοεπιπ. b, qui hanc formam lin. 6

dato angulo solido, qui ad A positus est, aequalis angulus constructus est; quod oportebat fieri.

¹

   Sicut in primo libro (prop. 34) post propositionem praecedenti correspondentem sine definitione infertur uocabulum παραλληλόγραμμον, ita hic παραλληλεπίπεδον usurpatur, nomen per se perspicuum etiam nulla praemissa definitione.

²

   Nam et angulos et latera aequalia habent, ergo etiam similia sunt.

XXVII.

In data recta solidum parallelepipedum construere dato solido parallelepipedo simile et similiter positum.

Sit data recta AB et datum solidum parallelepipedum ΓΑ. oportet igitur in data recta AB solidum parallelepipedum construere dato solido parallelepipedo ΓΑ simile et similiter positum.

construatur enim ad rectam AB et punctum eius A solido angulo, qui ad Γ positus est, aequalis angulus angulis ΒΑΘ, ΘΑΚ, KAB comprehensus, ita ut sit L ΒΑΘ = ΕΓΖ, ΒΑΚ=ΕΓΗ, ΚΑΘ = ΗΓΖ [prop. XXVI]. et fiat

ΕΓ: ΓΗ = BA : AK, ΗΓ : ΓΖ = KA : ΑΘ. quare etiam ex aequo erit ΕΓ: ΓΖ = BA:ΑΘ [V, 22]. et expleantur parallelogrammum ΘΒ et solidum A A.

et quoniam est ΕΓ:ΓΗ=ΒΑ:ΑΚ} et latera aequales angulos ΕΓΗ, BAK comprehendentia proportionalia sunt¹), erit HE ~ KB. eadem de causa

1) H. e. „et quoniam aequales sunt anguli, quos latera haec proportionalia comprehendunt“, de eo, quod inde concluditur, esse HE KB, cfr. uol. II p. 153 not. 2.

8. εν&εΐα] postea add. m. 1 P. 15. των] των νηό Vb.

14. γωνία 17. την de] καί 18. ΗΓΖ] litt. ΗΓ e corr. b.

21. ΓΕ P.

praebet. ατερεα Yb.

hl τήν Theon (BFVb). τ?^ν] om. FVb.    19. ifJT] ΓΗ Yb.

ΖΓ P. 22. ΘΒ] Pb et corr. ex ΘΓ m, 1 V; ΒΘ B et ut uidetur F (HE cp).    23. AÄ\ in ras. Y, ^b.    24. ή~\

(prius) supra m. 1 F. την ΓΗ] mg. m. 1 Y, Γ litt, e corr. b. 26. αί] nai comp, b, v.ai corr. in ai Y. Ant§ αρα eras, y m. 1 P. 27. εβτίν P. KB] litt. B e corr. b.    παρ-

αλληλογράμω P.

κη.

γράμμω. διά τά αυτά δη καί τδ μεν ΚΘ παραλληλόγραμμον τω HZ παραλληλογράμμω- όμοιόν έΰτι καί έτι τδ ΖΕ τω ΘΒ* τρία άρα παραλληλόγραμμα τον ΓΗ ΰτερεον τριΟΪ παραλληλογράμμου του Λ Λ οτε-5 ρεοϋ όμοια έατιν. άλλα τα μεν τρία τριαϊ τοΐς άπεναν-τίον ίΰα τέ έΰτι και όμοια₉ τα δε τρία τριαϊ τοΐς άπεναντίον ί'ΰα τέ έατι και όμοια' όλον αρα τδ ΓΗ ατερεδν όλω τω Λ Λ ατερεω όμοιόν έατιν.

’Απδ της δο&είαης άρα εν&είας της AB τω δο-10 %ένχι ατερεω παραλληλεπιπέδω τω ΓΗ όμοιόν τε και ομοίως κείμενον άναγέγραπται τδ ΑΛ’ όπερ έδει ποιηααι.

Εάν ατερεδν παραλληλεπίπεδον έπιπέδω 15 τμη&ή κατά τάς διαγωνίονς των άπεναντίον έπιπέδων, δίχα τμη&ηαεται τδ ατερεδν νπδ τον επιπέδου.

Στερεόν γάρ παραλληλεπίπεδον τδ AB έπιπέδω τω ΓΗΕΖ τετμήα&ω κατά τάς διαγώνιους των άπεν-20 αντίον επιπέδων τάς ΓΖ, Η E' λέγω₅ ότι δίχα τμηδη-όεται τδ AB ατερεδν νπδ τον ΓΗΕΖ επιπέδου.

’Επει γάρ ί'αον έατι τδ μεν ΓΗΖ τρίγωνον τω ΓΖΒ τριγώνω, τδ δέ ΑΗΕ τω ΗΕΘ, έβτι δέ και τδ μέν ΓΑ παραλληλόγραμμον τω ΕΒ ΐαον* άπεναντίον 25 γάρ* τδ δέ ΗΕ τω ΓΘ? και τδ πρίόμα άρα τδ περι-

1. μέν] mg. m. 1 V. 3. τον] mg. m. 1 Υ; ante hoc uocab. rep. lin. 2. όμοιόν — 3. τον, sed delet, m. 1 V. 4. τριαίν B.

6. τέ] om. P. τα δέ — 7. ομοια] punctis dei. b, dei. m. 2 B, om. FV. 6. τριαίν P. 9. αρα do&siarg Theon (BFVb).

12. ποιηΰαί] δεΐξαι PFVbjyp. ποιηααι mg. m. 1 b. 13. λβ' F. 16. -μη- in ras. m. 1 P. 21. νπό τον ΓΔ in ras. m. 1 B. 23. ΓΖ"B' Vb. έατιν P. κεα] τιαί ώς P. 24. BE F.

erit etiam ΚΘ ~ HZ et ZE ~ ΘΒ. itaque tria par-allelogramma solidi ΓΑ tribus parallelogrammis solidi

A A similia sunt, ue-rum in utroque so-A lido tria . parallelo-gramma tribus, quae iis opposita sunt, aequaliax) sunt B et similia. itaque ΓΑ~ΑΑ [def.9]. Ergo in data recta AB dato solido parallelepipedo ΓA simile et similiter positum constructum est AA\ quod oportebat fieri.

XXVIII.

Si solidum parallelepipedum secundum diagonales planorum inter se oppositorum plano secatur, solidum plano in duas partes aequales secabitur.

Nam solidum parallelepipedum AB plano ΓΑΕΖ secundum diagonales planorum ΓΖ, A E inter se oppositorum secetur. dico, solidum AB plano ΓΑΕΖ in duas A partes aequales secari.

Quoniam enim ΓΗΖ = ΓΖΒ et AAE = ΑΕΘ [I, 34], et praeterea ΓΑ = BE (nam inter se opposita sunt) et HE = ΓΘ [prop. XXIV], prisma duobus

1) Ex prop. XXIV. cur eadem similia sint, supra dictum est p. 77 not. hoc solo utitur; nam ut adhibeatur def. 9, satis est demonstrare, duo solida omnibus planis similibus contineri.

εχόμενον νπδ δυο μεν τριγώνων των ΓΗΖ, ΑΑΕ, τριών δε παραλληλογράμμων των ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ ίΰον έΰτι τω πρίΰματι τώ περιεχομένω νπδ δυο μεν τριγώνων των ΓΖΒ, ΑΕΘ, τριών δε παραλληλογράμμων 5 των ΓΘ, BE, FF* }/άρ /'<?ωι/ επιπέδων περιέχον-ται τω τε πλή&ει και τω μεγέ&ει. ω(?τ£ ο Aoi/ το AB ΰτερεδν δίχα τέτμηται νπδ τοϋ ΓΑΕΖ επιπέδου* οττδρ έδει δεΐζαι.

κθΛ

10

Τά έπι της αν της βάΰεως δντα ΰτερεά παραλληλεπίπεδα και νπδ τδ αντδ ύψος, ών αί έφεΰτώΰαι έπϊ τών αυτών είΰιν εν&ειών, ίΰα άλληλοις έΰτιν.

ΛΕΰτω έπϊ της αντης βάΰεως της AB ατερεά παρ-15 αλληλεπίπεδα τά ΓΜ, ΓΝ νπδ τδ αντδ νψος, ών αί έφεΰτώΰαι αί Α Η, ΑΖ, Λ Μ, ΑΝ, ΓΑ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ έπι τών αυτών εν&ειών έΰτωΰαν τών ΖΝ, AK' λέγω, δτι ίΰον έΰτι τδ ΓΜ ΰτερεδν τω ΓΝ ΰτερεω.

Έπεί γάρ παραλληλόγραμμόν έΰτιν έκάτερον τών 20 ΓΘ, ΓΚ, ίΰη έΰτιν η ΓΒ έκατέρα τών ΑΘ, ΕΚ* ωΰτε καί η ΑΘ τη ΕΚ έΰτιν ίΰη. κοινή άφηρήΰ&ω η ΕΘ' λοιπή αρα η ΑΕ λοιπή τη ΘΚ έΰτιν ίΰη. ώΰτε και τδ μέν ΑΓΕ τρίγωνον τω ΘΒΚ τριγώνω ίΰον έΰτιν, τδ δέ ΑΗ παραλληλόγραμμον τω ΘΝ 25 παραλληλογράμμω. διά τά αντά δη και τδ ΑΖΗ τρίγωνον τω MAN τριγώνω ίΰον έΰτιν. έΰτι $£ και

15. νπδ] v- e corr. m. AZ] AH BF et 23. ΘBK] ΘΒ"'Κ" F, ΘΚΒ

9. ly F.

16. AH] e corr. b, AZ BF V. 20. ΓΒ] ΒΓ F.

7. τέμνεται BF.

2 b.

e corr. Y.

triangulis ΓΗΖ} AAE et tribus parallelogrammis HE, A Γ, ΓΕ comprehensum prismati duobus triangulis ΓΖΒ , A ΕΘ et tribus parallelogrammis ΓΘ, BE, ΓΕ comprehenso aequale est; nam planis et numero et magnitudine aequalibus comprehenduntur [def. 10].¹) quare totum solidum AB plano ΓΑΕΖ in duas partes aequales sectum est; quod erat demonstrandum.

XXIX.

Solida parallelepipeda in eadem basi collocata et eandem altitudinem habentia, quorum rectae eminentes in iisdem rectis sint, inter se aequalia sunt.

In eadem basi AB solida parallelepipeda ΓΜ, ΓΝ

collocata sint eandem alti-

4"-x-x—tudinem habentia, quorum

z\v W_\\ \j rectae eminentes AH, AZ,

*\11 AM> AN>ΓΑ’rE’ ΒΘ> ----------—----B K in iisdem sint rectis

\__________ \ ZN, A K. dico, esse ΓΜ

Λ = ΓΝ.

Nam quoniam utrumque ΓΘ, ΓΚ parallelogranimum est, erit ΓΒ utrique ΑΘ, EK aequalis [I, 34]. quare etiam ΑΘ — EK. auferatur, quae communis est, ΕΘ. itaque ΑΕ=ΘΚ. quare etiam

ΑΓΕ = ΘΒΚ [I, 4] et AH = ΘΝ [I, 36]. eadem de causa erit etiam AZH = MAN. uerum

24. Jo τι PB, comp. Fb.

25. AZH] AHZ BF.

e corr. V. corr. ex εατινο V.

J<mV, το] εατι το,

τό μεν ΓΖ παραλληλόγραμμον τω ΒΜ παραλληλόγραμμα ί'όον, το δε ΓΗ τω BN' άπεναντίον γάρ’ καί το πρίόμα άρα το περιεχόμενον υπό δυο μεν τρ-γώνων των ΑΖΗ, ΑΓΕ, τριών $£ παραλληλογράμ-5 μων των ΑΑ, ΑΗ, ΓΗ ίΰον εβτϊ τω πρίόματι τω περιεχόμενα υπό δυο μεν τριγώνων των MAN9 ΘΒΚ, τριών δε παραλληλογράμμων τών ΒΜ, ©Ny ΒΝ. κοινόν προακείό&ω το ΰτερεόν, ον βάΰις μεν το AB παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε το ΗΕΘΜ* 10 όλον άρα το ΓΜ ατερεόν παραλληλεπίπεδον δλω τω ΓΝ βτερεώ παραλληλεπίπεδα ίΰον έΰτίν.

Τά άρα έπι τής αυτής βάΰεως όντα ΰίερεά παραλληλεπίπεδα και υπό το αυτό ύψος, ών αι έφεΰτώΰαι έπι τών αυτών είΰιν εύ&ειών, ϊΰα άλλήλοις έΰτίν* 15 όπερ έδει δεΐζαι.

λ\

Τά έπι τής αυτής βάΰεως οντα ΰτερεά παραλληλεπίπεδα και υπό το αυτό ύψος, ών αι έφ-εΰτώΰαι ούκ είΰιν έπϊ τών αυτών εύ&ειών, ΐ<5α 20 άλλήλοις έΰτίν.

’Έΰτω έπι τής αυτής βάΰεως τής AB ΰτερεά παραλληλεπίπεδα τά ΓΜ, ΓΝ υπό το αυτό ύψος, ών αι έφεΰτώΰαι αι AZ, ΑΗ, AM, ΑΝ, ΓΑ, ΓΕ, ΒΘ> ΒΚ μή έΰτωΰαν έπι τών αυτών ευ&ειών λέγω, ότι 25 ίΰον έΰτϊ το Γ Μ ατερεόν τω ΓΝ ΰτερεώ.

’Εκβεβλήΰ&ωΰαν γάρ αι ΝΚ, ΑΘ και ΰυμπιπτε-

2. τό] corr. ex τώ m. 1 F. 3. μ,εν νπ6 δνο Vb.

4. ζ/ΓΕ] JET Β. 5. ΓΗ] ΗΓ V, et supra scr. m. lr corr. in ΓΗ m. 2 b. 6. MAN] N e corr. Y. 7. τών] sustulit macula in Y, supra est ώ add. v m. 2. ΘΝ] ΝΘ BF et e corr. Y. 9. τό ΗΕΘΜ] mg. (addito γρ.) b; in textu

etiam JTZ = BM, ΓΗ — BN [prop. XXIV]; nam inter se opposita sunt, itaque etiam prisma duobus triangulis ΑΖΗ, ΑΓΕ et tribus parallelogrammis A A, AH, ΓΗ comprehensum prismati duobus triangulis MAN, ΘΒΚ et tribus parallelogrammis BM, ΘΝ, BN comprehenso aequale est. commune adiiciatur solidum, cuius basis est AB parallelogrammum, ei autem oppositum ΗΕΘΜ. itaque ΓΜ = ΓΝ.

Ergo solida parallelepipeda in eadem basi collocata et eandem altitudinem habentia, quorum rectae eminentes in iisdem rectis sint, inter se aequalia sunt; quod erat demonstrandum.

XXX.

Solida parallelepipeda in eadem basi collocata et

WZfir

ΑΆλ

E L Ab

eandem altitudinem habentia, quorum rectae eminentes in iisdem rectis non sint, inter se aequalia sunt.

In eadem basi AB solida sint parallelepipeda ΓΜ, ΓΝ eandem altitudinem habentia, quorum rectae eminentes AZ, AH, AM, ΑΝ, ΓΑ, ΓΕ,ΒΘ, BK in iisdem rectis non sint, dico, esse ΓΜ = ΓΝ. producantur enim NK, ΑΘ et inter se concurrant

10. ατερε- in ras. m. 1 B.

ras. est.

εβτί V, comp. Fb. παράλληλα επίπεδα F. 26. NIC] N e corr. m. 2 b.

11. ΓΝ] N e corr. F. 21. εβτωβαν BFV.

16. λ'] om. φ.

22. ai] supra scr. m. rec. P.

τωΰαν άλληλαις κατά τό Ρ, και έτι έκβεβληΰ&ωΰαν αί ΖΜ, ΗΕ έπι τα Ο, 77, καί έπεξενχ&ωΰαν αι ΑΕ, ΑΟ, F77, 75 Ρ /'(ιόν s<m ro FM <7τδρδόν, ού βάΰις μεν το ΑΓΒΑ παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε το 5 ΖΑΘΜ, τω FO ότερεω, ού βάΰις μεν το ΑΓΒΑ παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε το ΕΠΡΟ' επί τε γαρ της αν της βάΰεώς είΰι της ΑΓΒΑ καί νπό το αυτό νψος, ών αί έφεΰτώΰαι αί ΑΖ, ζ/#, J M, ζίΟ, Fz/, F77, 75 Θ, 75 Ρ δττί των αυτών είΰιν ευθειών των ΖΟ, #10 ζ/Ρ. αλλά tc FO ΰτερεόν, ον βάΰις μεν έΰτι το ΑΓΒΑ παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε το ΕΠΡΟ, Ιΰον έΰτί τω ΓΝ ΰτερεω, ον βάΰις μεν το ΑΓΒΑ παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε το Η ΕΚ Ν' επί τε γάρ πάλιν της αντης βάΰεώς είΰι της ΑΓΒΑ και 15 ντζό τό αντο νψος, ών αι έφεΰτώΰαι αι ΑΗ, ./7#, ΓΕ, ΓΠ, ΑΝ, ΑΟ, ΒΚ, ΒΡ έπι των αυτών είΰιν εν&ειών των Η Π, iVP. coVts καί ro FM ΰτερεόν ίΰον έΰτι τω ΓΝ ΰτερεώ.

Τα άρα επί της αντης βάΰεως ΰτερεά παραλληλ-20 επίπεδα και νπό τό αυτό νψος, ών αι έφεΰτώΰαι ονκ είΰιν έπι των αυτών εν&ειών, 7<?α aAA^Aotg έΰτίν' όπερ έδει δεΐζαι.

3. £<mr Ρ.

5. ΑΓΒ

5. ΖΖΘΜ] z/ e corr. b, ΖΛΜΘ F?, sed euan.; corr. in mg. Pro τό ZΑΘΜ in B est τό &ΠΡΟ, sed dei. τό Z ΔΟΜ — 6. E ΠΡΟ] mg. m. rec. B.

B. 6. τε] eras. V. 7. εστι comp. V. ΑΓΒΑ] Λ e corr., supra scr. A m. 1 b. _ και νπο το αυτό νψος] August; om. Ρφ; καί BVb.    8. ών] om. φ; αυτών B et corr. ex αυτών

ών m. 2 V; αυτών ών b. AZ] corr. ex A E m. 2 V.

9. ΓΠ] ΤΠ, sed T e corr. m. 2 b; ΓΕ P, sed corr. m. 2 euan.

10.    μεν] om. B, supra add. postea m. 1F. εστι] om. FVb.

11.    ΑΓΒΑ] Γ in ras. m. 2 B. #I7"OP' V, 3ΠΡ' O' b.

12.    μεν] om. Ρ. μεν το ΑΓΒΑ] om. φ. 13. επί] corr.

in P, et praeterea producantur ZM, HE ad O, 77, et ducantur AS, ΛΟ, ΓΠ, BP. itaque solidum ΓΜ, cuius basis est parallelogrammum ΑΓΒΑ, ei autem oppositum ΖΑΘΜ, aequale est solido ΓΟ, cuius basis est parallelogrammum ΑΓΒΑ, ei autem oppositum 8ΠΡ0- nam in eadem basi sunt ΑΓΒΑ et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes AZ, AS, AM, AO, ΓΑ, ΓΤ1, ΒΘ, BP in iisdem rectis sunt ZO, AP [prop. XXIX]. sed solidum ΓΟ, cuius basis est parallelogrammum AΓΒΑ, ei autem oppositum STIPO, aequale est solido ΓΝ, cuius basis est parallelogrammum ΑΓΒΑ, ei autem oppositum HEKN- nam rursus in eadem basi sunt ΑΓΒΑ et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes AH, AS, ΓΕ, ΓΠ, AN, AO, BK, BP in iisdem rectis sunt ΗΠ, NP [id.], quare erit ΓΜ = ΓΝ.

Ergo solida parallelepipeda in eadem basi collocata et eandem altitudinem habentia, quorum rectae eminentes in iisdem rectis non sint, inter se aequalia sunt; quod erat demonstrandum.

ex επείΥ. om. PF; καί BVb. V; αυτό cbv b. e corr. m. 2 V.

14. πάλιν'] om. BF. και νπό το αντο ύψος] August;

et mg; Yb m. 1. 21. αϊτών] om. F.

15. ών] αντών B et corr. ex αυτών ών 16. ΓΠ] e corr. m. 2 V, Γ"Π’ b. ΛΝ] Ν 19. της αυτής βάσεως στερεά] Ρ; τ. α. β. οντα στερεά in ras. V, της αυτής βάσεως b; ίσων βάσεων στερεά BF 20. αι] καί Ρ, supra scr. αι m. 2. εστίν] εισίν BF.

ΣΤΟΙΧΕΙΏΝ ια\ λα.

92

Τα επί ί'6ων βάΰεων όντα ΰτερεά παραλληλ-επίπεδα καί νπδ το αντδ νψος ί'<5α άλληλοις έύτίν.

5 ’Έΰτω επί ϊΰων βάΰεων των AB, ΓΑ ΰτερεά παραλληλεπίπεδα τα ΑΕ, ΓΖ νπδ το αντδ νψος. λέγω, ότι 1(5ον έΰτί το ΑΕ ότερεδν τω ΓΖ ΰτερεω.

*Εΰτωΰαν δη πρότερον αί εφεΰτηκνΐαι αί ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, AM, Ο Π, ΑΖ, Γ&, ΡΣ προς όρ&άς ταΐς AB, 10 ΓΑ βά<5ε<5ιν, καί εκβεβλήΰ&ω επ εν&είας τη ΓΡ εν&εϊα η ΡΤ, και ΰννεΰτάτω προς τη ΡΤ εν&εία και τω προς αντη ΰημείω τω Ρ τη νπδ ΑΑΒ γωνία ϊΰη η νπδ ΤΡΤ, καί κεί<5&ω τη μεν ΑΑ ί'ΰη η ΡΤ, τη δε AB ί<5η η ΡΤ, και ΰνμπεπληρώύΰω η τε ΡΧ βά-15 <5ις καί τδ ΨΤ ΰτερεόν. καί επεί δύο αι ΤΡ, ΡΤ δνβί ταις ΑΑ, AB ί<5αι είΰίν, καί γωνίας ί'ΰας περι-εχονόιν, ί'όον άρα καί ομοιον τδ ΡΧ παραλληλόγραμμον τω ΘΑ παραλληλογράμμω. καί επεί πάλιν ίΰη μεν η ΑΑ τη ΡΤ, η δε AM τη ΡΣ, καί γωνίας 20 δρ&άς περιέχονΰιν, ί(5ον άρα καί ομοιόν έ<5τι τδ ΡΨ παραλληλόγραμμον τω AM παραλληλογράμμω. διά τα αυτά δη καί τδ ΑΕ τω ΣΤ ί<5ον τε εΰτι καί ομοιον' τρία άρα παραλληλόγραμμα τον ΑΕ ΰτερεον τριΰί παραλληλογράμμοις τον ΨΤ ατερεον Ϊ6α τε έΰτι καί 25 όμοια, άλλα τα μεν τρία τριΰί τοΐς απέναντι'ον ίΰα

1. λα'] om. φ.

9. ΡΣ] Σ e corr. Β. 10. βάσεσι "V b

5. AB] A e corr. b.    7. AE] E e corr. b.

ταις] e corr. m. 2 B. AB] A e Dein add. B: ή δε νπό AΛΒ τη 12. ΑΑΒ] A e corr. m. 2 b.

14. ΒΛ F.

18. ΘΑ] Θ e

corr. b.

νπό ΤΡ A άνιΰος. τη] της Fb.

13. Α Λ] corr. ex Η Λ et m. 1 et m. 2 b.

εΐΰί BVb, comp. F.

16. ΑΑ] ut lin. 13 b. corr. b; ΑΘ F, et V, corr. ex ΘΑ.

19. μεν η] η μεν

XXXI.¹)

Solida parallelepipeda in aequalibus basibus collocata et eandem altitudinem habentia inter se aequalia sunt.

Solida parallelepipeda A E, ΓΖ in aequalibus basibus AB, ΓΑ collocata eandem altitudinem habeant, dico, esse AE = ΓΖ.

Iam prius rectae eminentes ΘΚ, BE, AH, AM, ΟΠ, AZ, rS, ΡΣ ad bases AB, ΓΑ perpendiculares sint, et recta ΓΡ in directum producatur, ut fiat PT, et ad rectam PT et punctum eius P angulo A AB aequalis construatur L TPT [I, 23], et ponatur PT = A A, PT = AB, et expleantur basis PX et solidum ΨΤ. et quoniam duae rectae TP, PT duabus A A, AB aequales sunt, et angulos aequales comprehendunt, parallelogrammum PX parallelogrammo ΘΑ et aequale et simile est [VI, 14]. et rursus quoniam A A = PT, AM = ΡΣ, et rectos angulos comprehendunt, parallelogrammum ΡΨ parallelogrammo AM aequale et simile est [id.], eadem de causa etiam A E parallelogrammo Σ T et aequale et simile est. itaque tria parallelogramma solidi A E tribus parallelogrammis solidi Ψ T et aequalia et similia sunt, ueruin in utro-

1) Prior figura huius propositionis ita prorsus descripta est, ut in cod. P inuenitur, in quo in mg. add. m. 1: γρ. εν άλλοις ,γ (id quod ad litt, siue compendium ö referendum est), nisi quod solidum A E ibi non satis adcurate descriptum hic emendatum est.

22. ΣΤ] T in ras. 25. μεν] supra scr. F et Ante i6a in b τα δε τρία τριβϊ τοΐς

ατιν Ρ.

ΑΛ] A e corr. b. 21. AM] A e corr. b. B. 23. τα τρία F. 24. ε m. 2 B. νπεναντίον F. νπεναντίον (v corr. in a m. 1) dei. m. 2.

zέ εΰτι και όμοια, τα τρία τριΰι τοΐς άπεναντίον' όλον αρα το ΑΕ ΰτερεόν παραλληλεπίπεδον όλω τω ΨΤ ΰτερεω παραλληλεπίπεδα ίΰον εΰτίν. διηχ&ωΰαν αί ΑΡ, ΧΤ καί ΰνμπιπτετωΰαν άλληλαις κατά το 5 και διά του Τ τη Α 61 παράλληλος ηχ&ω η ,αΤκαί έκβεβλήΰ&ω η ΟΑ κατά το ,α, και ΰνμπεπληρώΰ&ω τά ίΙΨ, ΡΙ ΰτερεά. ίΰον δη εΰτι το ΨίΙ Στερεόν, ον βάΰις μεν εΰτι το ΡΨ παραλληλόγραμμον₉ άπεν-αντίον δε το ^q, τω ΨΤ ΰτερεω, ον βάΰίς μεν το 10 ΡΨ παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε το ΤΦ* επί τε γάρ της αντης βάΰεώς είΰι της ΡΨ και υπό το αυτό ύψος, ών αι εφεΰτώΰαι αι P£l, ΡΤ,    ΤΧ,

Σζ, Σό, Ψ§, ΨΦ επί των αυτών είΰιν εν&ειών των SIX, ζΦ. άλλα το ΨΤ ατερεόν τω ΛΕ έΰτιν ί'ΰον

1. τα δε τρία — άπεναντίον] om. BF Yb. 2. στερεόν] bis P, alterum dei. m. 1, sed renou. n. 3. εΰτί PBY, comp. Fb. 4. JP] e corr. Y. 5. ΛΩ] J e corr. Y. ,aT%] τ% post ras. 1 litt. FY, τ$>> B, eras. λτρ b, τ% mg. m. 2.    6. ,a] corr. ex ί m. 2b.    9. <aq B, eras, q; ως b,

10. ΤΦ] e corr. m. 2 b. 11. είσί] comp, in 12. ών] PFVb, καί αυτών αΓ) (alt.) om. B. TX] in ras. Y, ras. )] 6ö P; σ$ F, supra B; <jy" b (y e corr.). 14. τω] post ras. 1 litt, b; corr. ex

corr. m. 2.

ras. V, corr. ex Sgtl b; είαιν B.

B; γρ. καί αυτών καί (comp.) mg. b m. 1. T%] % in ras. FV, e corr. m. 2b 13. Σς~\ in ras. V, σ£ F. cy in ras. Y et corr. ex εγ corr. b.

4 litt. b.

Σ0

scr. αη m. 1

yq] q

το m. 1 P.

CD

que solido tria parallelogramma tribus, quae iis opposita sunt, et aequalia et similia sunt [p. 77 not. 1], itaque totum solidum parallelepipedum A E toti solido parallelepipedo ΨΤ aequale est [def. 10]. edu-

JÄ

Σ_

*ψ»

cantur AP₇ XT et inter se concurrant in Sl₇ et per T rectae A SI parallela ducatur ,αΤ^, et producatur OA ad ,a₇ et expleantur solida £llF, PL itaque solidum Ψ£1, cuius basis est ΡΨ parallelogrammum, ei autem oppositum SIq, solido ΨΤ₇ cuius basis est ΡΨ parallelogrammum, ei autem oppositum ΓΦ, aequale est; nam et in eadem basi sunt ΡΨ et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes PSl₇ PT, T^, TX₇ Σς, Σο, Ψρ, ΨΦ in iisdem rectis sunt SIX₇ ζΦ [prop. XXIX].

και τό Φ£1 άρα βτερεόν τώ Α Ε ΰτερεώ έβτιν ίύον. και έπεϊ ί'ΰον έΰτι το ΡΤΧΤ παραλληλόγραμμον τώ SIT παραλληλογράμμω’ επί τε γάρ της αντης βάβεώς ειΰι της ΡΤ καί εν ταΐς ανταΐς παραλληλοις ταΐς ΡΤ, 5 X’ άλλα το ΡΤΧΤ τώ ΓΑ έΰτιν ίόον, έπεϊ και τώ AB, καί τό IIΤ άρα παραλληλόγραμμον τώ ΓΑ έΰτιν ΐΰον. άλλο δε το AT’ έ<5τιν άρα ώς η Γ Α βάΰις προς την ΑΤ, όντως η IIΤ προς την ΑΤ, καί έπεϊ Στερεόν παραλληλεπίπεδον το ΓΙ έπιπέδω τώ ΡΖ 10 τέτμηται παραλλήλω όντι τοΐς άπεναντίον επιπέδους? έΰτιν ώς η Γ Α βάβις προς την ΑΤ βάΰιν, όντως το ΓΖ ΰτερεον προς το ΡΙ βτερεόν. δυά τα αντά δη, έπεϊ ότερεόν παραλληλεπίπεδον το HI έπιπέδω τώ ΡΦ τέτμηται παραλλήλω όντι τοις άπεναντίον έπι-15 πέδοις₅ έύτιν ώς ή IIΤ βάόις προς την ΤΑ βάόιν, όντως τό ΙΙΦ ότερεόν προς το PL άλλ’ ώς η Γ Α βάόις προς την Α Τ, όντως ή IIΤ προς την Α Τ* και ώς άρα το ΓΖ ότερεόν προς το ΡΙ στερεόν, όντως το & Φ ύτερεόν προς τό ΡΙ. έκάτερον άρα τών ΓΖ, 20 &Φ ΰτερεών προς τό ΡΙ τίν αντόν έχει λόγον * ί<5ον άρα έότι τό ΓΖ ότερεόν τώ ΙΙΦ <5τερεώ. άλλα τό ΙΙΦ τώ ΑΕ έδείχ&η ί'ΰον και τό ΑΕ άρα τώ ΓΖ έΰτιν ί'ΰον.

Μη έΰτωΰαν δη αι έψεΰτηκνΐαι αι ΑΗ, ΘΚ, ΒΕ, 25 AM, ΓΝ₅ Ο Π, ΑΖ, ΡΣ προς όρ&άς ταΐς AB, ΓΑ βάΰεΰιν λέγω πάλιν₅ ότι ΐΰον τό ΑΕ ΰτερεόν τώ

2. ΡΤΧΤ] Τ e corr. b.

5. ίσον εοτίν BF. 6. AB] A e corr. m. 1 b. corr. m. 2 Ρ.    αρα] supra scr. m. rec. B.

"Δ'Γ Yb. 11. οντω PB. 12. τό] (alt.) e corr. F. I add. m. 2 b. 15. ΤΔ] T e corr. m. 2 P. άλλ³ ώς — 19. PI] om. F.

4. SL6W Β. ΡΤ] (prius) ΡΓ Β.

ÄT] Τ e 7. ΓΔ] ΔΓ F;

13. ΏΙ] 16. οντω Β.

17. £1Τ βάαις Ρ. Δ Τ] in ras. V;

uerum ΨΤ — A E. itaque etiam Ψ£1 = A E. et quoniam PTXT = SIT (nam et in eadem basi sunt PT et in iisdem parallelis PT, SIX [I, 35]), sed PTXT = T A, quoniam PTXT = AB, erit etiam SIT—ΓΑ. aliud autem quoduis est AT. itaque ΓA : AT = SIT : A T [V, 7]. et quoniam solidum parallelepipedum ΓΙ sectum est plano PZ parallelo planis oppositis, erit ΓΑ : AT = ΓΖ : PI [prop. XXV]. iam eadem de causa, quoniam solidum parallelepipedum SII sectum est plano P Ψ parallelo planis oppositis, erit SI T: TA = ΩΨ:ΡΙ[ id.], sed ΓΑ: A T=SIT: A T. quare etiam ΓΖ: PI = SI Ψ: PL itaque utrumque solidum ΓΖ, Sl*F ad PI eandem rationem habet, quare ΓΖ = SI Ψ [V, 9]. uerum demonstratum est, esse &Ψ = A E. quare etiam A E = ΓΖ.

iam rectae eminentes AH, ΘΚ, BE, AM, ΓΝ,

ΊΙ

E,

j'

ιν\ ο χ\ s»

\si

Ο Π, ΑΖ, ΡΣ ad bases AB, ΓΑ perpendiculares ne sint, rursus dico, esse A E = ΓΖ. ducantur enim a

ΤΔ Β; " Τ' Δ b. (BFVb).

21. έατίν Ρ.

£1 e corr. b. ιηΛΙ Vb.

PF Yb. scr. m. 2 Y.

19. PI] I euan. Y.

20. οτερεόν B, corr. m. ree.

Dein add. ατερεόν Theon λόγον εχει Β.

τό] (alt.) mut. in τω b; τώ BV. 22. βφ] τω] mut. in τό b, τό BY; όντως εν αλλω mg. 23. ί'αον εβτίν Vb. Dein add. όπερ εδει δεΐζαι 25. ΓΝ] Ν in ras. Y. 26. βάσεσι, b et supra ί'αον εοτί Theon (BFYb).

ΓΖ ότερεω. ηχ&ωόαν γάρ άπδ των Κ, Ε, Η, Μ, 77, Ζ, IV, Σ όημείων έπϊ το υποκείμενον επίπεδον κάθετοι αί Κβ, ΕΤ, ΗΤ, ΜΦ,    77Χ, ΖΨ, 7V&,

X/, καί όνμβαλλέτωόαν τω έπιπέδω κατα τα Η, Τ, 5 Τ, Φ, X, Φ, I 6ημεια, καί έπεξεύχ&ωόαν αί ST,    8Τ, ΤΦ, ΤΦ,    ΧΦ, Xß, III,    ΙΨ.    ϊόον δη

έότι    το ΚΦ ότερεδν    τω ΠΙ ότερεω*    Τ£    /άρ ί'6ων

βάόεών εί6ι των ΚΜ, 77 Σ καί νπδ το αντδ ύψος, ών αί έφεότώ6αι προς όρ&άς είόι ταΐς βάόεόιν. αλλά 10 τό μεν ΚΦ ότερεδν τω ΑΕ ότερεω έότίν ί'όον, το δε ΠΙ    τω TZ' επί τε    γαρ της αυτής βάόεώς    είόι καί

υπό    το αυτό ύψος,    ών αί έφεότώόαι    ουκ    είόιν έπϊ

των αυτών ευθειών. και το ΑΕ αρα ότερεδν τω ΓΖ ότερεω έότίν ί'όον.

15

Τα αρα έπϊ ί'όων βάόεων δντα ότερεά παραλληλεπίπεδα και υπδ το αυτό ύψος ί'όα άλληλοις έότίν * οπερ έδει δεΐζαι.

λβ\

Τα υπό το αυτό ύψος δντα ότερεά παραλ-20 ληλεπίπεδα προς άλληλά έότίν ως αί βάόεις.

’Έότω υπδ το αυτό ύψος ότερεά παραλληλεπίπεδα τα AB, ΓΑ* λέγω, δτι τά AB, ΓΑ ότερεά παραλληλεπίπεδα προς άλληλά έότίν ως αί βάόεις, τοντέότίν δτι έότίν ως η ΑΕ βάόις προς την ΓΖ βάόιν, ούτως 25 ro AB ότερεδν προς το ΓΑ ότερεόν.

2. 17] e corr. b.

ΠΧ~\ Π in ras. m. 1 P. σνμβαλέτωααν Y.

5. αημείωι B, ω in ras.

N] in ras. V.

3. KEJ KZ F; E in Nil] N in ras. Y.

E] in ras. Y.

6. ET] E in ras. Y. ET] E in ras. Y; ΤΦ F. ΤΦ] ET F. ΙΨ] ß^ b. 7. ΚΦ] Φ e corr. Y. 8. ΠΣ] corr. ex ΠΕ m. 1 b. υπό] ini b; corr. mg. m. 1.    9. siglv B. 11. sIglv P. 12. υπό] ini b; corr. mg.

ras. Y.

4. ΣΤ P.

r, rb.

punctis K, E, Η, Μ, Π, Z, N, Σ ad planum subia-cens perpendiculares KS, ET, HT, ΜΦ, ΠΧ, ΖΨ, ■NSl, ΣΙ, et cum plano in punctis E, T, T, Φ, X, Ψ, SI, I concurrant, et ducantur #T, &T, ΤΦ, ΤΦ, ΧΨ, XSl, SII, ΙΨ. iam erit ΚΦ = 771; nam in aequalibus basibus sunt KM, ΠΣ et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes ad bases perpendiculares sunt [per priorem partem huius prop.]. uerum ΚΦ — AE, ΠΙ = ΓΖ; nam et in eadem basi sunt et sub eadem altitudine, et rectae eorum eminentes in iisdem rectis non sunt [prop. XXX]. itaque etiam AE = ΓΖ.

Ergo solida parallelepipeda in aequalibus basibus collocata et eandem altitudinem habentia inter se aequalia sunt; quod erat demonstrandum.

XXXII.

Solida parallelepipeda, quae eandem habent altitudinem, inter se eandem rationem habent quam bases.

)E

Solida parallelepipeda AB, ΓΑ eandem altitudinem habeant, dico, solida parallelepipeda AB, ΓΑ eandem inter se rationem habere quam bases, hoc est, esse A E : ΓΖ — AB : ΓΑ.

14. ί'ΰον εοτίν b.

18. λβ']

13. στερεόν αρα b.

19. παράλληλο επίπεδα, eras, ο, V; item lin. 22.

23. εστίν] om. φ.

m. 1. om. ςρ.

21. παραλληλοεπίπεδα V, nt p. 100, 3, 6.

βάαις] om. FY. 25. στερεόν] (prius) om. V.

Παραβεβληό&ω γάρ παρά την ΖΗ τώ A Ε νόον το ΖΘ₅ καν από βάόεως μεν της ΖΘ₅ νψονς δε τον αυτόν τώ ΓΑ ότερεον παραλληλεπίπεδον όνμπεπλη-ρώό&ω το ΗΚ. νόον δη έότν το AΒ ότερεον τώ Η Κ 5 ότερεώ’ επί τε γαρ ί'όων βάόεών ενόν των ΑΕ, ΖΘ καν νπδ το αντο νψος. καν έπεν ότερεον παραλληλεπίπεδον το ΓΚ έπνπέδω τώ Α Η τέτμηταν παραλληλω δντν τονς άπεναντίον έπνπέδονς₅ εότνν αρα ό ς η ΓΖ βάόνς προς την ΖΘ βάόνν₅ όντως το ΓΑ ότερεον 10 προς το ΑΘ ότερεον. νόη δε η μεν ΖΘ βάόνς τη ΑΕ βάόεν, το δε ΗΚ ότερεον τώ AB ότερεώ# εότνν αρα καν ως η ΑΕ βάόνς προς την ΓΖ βάόνν, όντως το AB ότερεον προς το ΓΑ ότερεον.

Τά αρα νπο το αντο νψος όντα ότερεά παραλληλία επίπεδα προς άλληλά εότνν ως αν βάόενς' οπερ εδεν δενξ,αν.

λγ.

Τα ομονα ότερεά παραλληλεπίπεδα προς αλ-ληλα εν τρνπλαόίονν λόγω ενόΐ τών ομολόγων 20 πλευρών.

”Εότω ομονα ότερεά παραλληλεπίπεδα τά AB? ΓΑ5 ομόλογος δε εότω η ΑΕ τη ΓΖ* λέγω₅ ότν το AB ότερεον προς το ΓΑ ότερεον τρνπλαόίονα λόγον εχεν, ηπερ η ΑΕ προς την ΓΖ.

Έκβεβλήό&ωόαν γάρ επ’ ευθείας τανς ΑΕ, ΗΕ, ΘΕ αν ΕΚ₅ EA? ΕΜ, καν κείό^ω τη μεν ΓΖ νόη η ΕΚ₅ τη δε ΖΝ ίόη η ΕΑ? καν ετν τη ΖΡ νόη η ΕΜ? καί όνμπεπληρώό&ω το ΚΑ παραλληλόγραμμον καν το Κ Ο ότερεον.

3. τώ] το post ins., euan. F; supra scr. Y. καί. σνμπ. b. 4. εατιν P. 5. τε] om. b. εΐαί] εατi B, om. FY.

nam rectae ZH parallelogrammo A E aequale ad-plicetnr ΖΘ [I, 45], et in ΖΘ basi, altitudine autem eadem, qua ΓΑ, solidum parallelepipedum expleatur HK. erit igitur AB = HK·, nam et in aequalibus basibus sunt A E, ΖΘ et sub eadem altitudine [prop. XXXI]. et quoniam solidum parallelepipedum ΓΚ sectum est plano AH parallelo planis oppositis, erit ΓΖ : ΖΘ = ΓΑ : ΑΘ [prop. XXV]. uerum ΖΘ = A E et HK = AB. erit igitur AE : ΓΖ — AB : ΓΑ.

Ergo solida parallelepipeda, quae eandem habent altitudinem, inter se eandem rationem habent quam bases·, quod erat demonstrandum.

XXXIII.

Similia solida parallelepipeda triplicatam inter se rationem habent quam latera correspondentia.

71

N

Similia sint solida parallelepipeda AB, ΓΑ, et A E lateri ΓΖ correspondens. dico, esse - A B : ΓΑ — A EB: ΓΖ³.

producantur enim in directum A E, ip HE, ΘΕ, ut fiant EK, EA, EM, et _ / ponatur

ΕΚ = ΓΖ, EA = ZN, EM = ZP, et expleantur parallelogrammum KA et solidum KO. ²

12. ΓΖ] Z in ras. F.

17. λγ'] 19. εΐαίν B.

26. αί]

om. φ.

22. AE] corr. ex Λ E m. 2 P. supra m. 2 B; εν&εΐαί αΐ FV. 27. ετι] om. φ.

Kal έπει δνο ai KE, ΕΛ δνΰϊ ταΐς TZ, ZN ίΰαι είΰίν, άλλα και γωνία η νπο ΚΕΑ γωνία τη νπο ΓΖΝ εΰτιν ίΰη, έπειδηπερ και η νπο AEH τη νπο ΓΖΝ εΰτιν ίΰη διά την ομοιότητα των AB, ΓΑ 5 ΰτερεών, ίΰον άρα έΰτϊ [καί όμοιον] το ΚΑ παραλληλόγραμμον τω ΓΝ παραλληλογράμμω. διά τά αντά δη και το μεν ΚΜ παραλληλόγραμμον ίΰον έΰτι και όμοιον τω ΓΡ [παραλληλογράμμω] και Οτι το ΕΟ τω AZ' τρία άρα παραλληλόγραμμα τον ΚΟ ΰτερεον 10 τριΰι παραλληλογράμμου τον ΓΑ ΰτερεον ίΰα έΰτι και όμοια, άλλα τά μεν τρία τριΰι τοΐς άπεναντίον ίΰα έΰτι και όμοια, τά δε τρία τριΰι τοις άπεναντίον ίΰα έΰτϊ και όμοια* όλον άρα το ΚΟ ΰτερεον όλω τω ΤΑ ΰτερεω ίΰον έΰτϊ και όμοιον. ΰνμπεπληρώΰ&ω 15 το ΗΚ παραλληλόγραμμον, και άπό βάσεων μεν των ΗΚ, ΚΑ παραλληλογράμμων, νψονς τον αντον τω AB ΰτερεά ΰνμπεπληρώΰ&ω τά Ε&, ΑΠ. και έπει διά την ομοιότητα των AB, ΤΑ ΰτερεών έΰτιν ως η ΑΕ προς την ΓΖ, όντως η ΕΗ προς την ΖΝ, 20 και η ΕΘ προς την ΖΡ, ίΰη δέ η μεν ΓΖ τη ΕΚ, η δε ΖΝ τη ΕΑ, η δέ ΖΡ τη ΕΜ, έΰτιν άρα ως η ΑΕ προς την ΕΚ, όντως η ΗΕ προς την ΕΑ και η ΘΕ προς την ΕΜ. άλΈ ώς μέν η ΑΕ προς την ΕΚ, όντως το Α Η [παραλληλόγραμμον] προς το ΗΚ παρ-

1. ΚΕ] ΕΚ BFV. 4.^ ΓΖΝ] ΖΝ in ras. Β. εστιν ίση] supra m. 2 V. κατά κορυφήν γάρ mg. m. 1 b. 5. και όμοιον] postea add. mg. m. 1 P. 7. παραλληλόγραμμον] om. F.

FV.

8. παραλληλογράμμω] om. P. ΕΟ] O in ras. B. 9. ΖΔ BFV. στερεόν] εο eras. B. 10. ίσα — 11. άπεναντίον] mg. m. 2 B. 10. εστί] εισίν P. 12. εστί] εισίν Ρ; τε εστι τρία] λοιπά τρία V et bis F. 13. ίσα] ίσα τε b; τε add. m. 2 Β. εστί] τε FV. In V lin. 12 τά δε — 13. όμοια punctis dei. 13. ΚΟ] Ο in ras. V. 15. άπό] επί b.

et quoniam duo latera KE, EA duobus ΓΖ, ZN aequalia sunt, uerum etiam i ΚΕΑ = ΓΖΝ (quia L AEH = ΓΖΝ propter similitudinem solidorum AB, Γζ/)¹), erit KA = ΓΝ.²) eadem de causa etiam KM parallelogrammuin parallelogrammo ΓΡ aequale est et simile et praeterea EO parallelogrammo AZ. itaque tria parallelogramma solidi KO tribus paralle-

logrammis solidi ΓΑ aequalia sunt et si-K milia, uerum in utro-que solido tria parallelogramma tribus, K quae iis opposita \ sunt, aequalia sunt et similia [prop. XXIY]. itaque totum \ solidum KO toti solido ΓΑ aequale est et simile [def. 10]. expleatur parallelogrammum HK, et'in basibus parallelogrammis HK, KA, altitudine autem eadem, qua AB, solida expleantur ES, ATI. et quoniam propter similitudinem solidorum AB, ΓΑ est A E: ΓΖ = EH:ZN= ΕΘ:ΖΡ [def. 9; YI def. 1], et ΓΖ = ΕΚ, ZN = EA, ZP = EM, erit AE: EK

1)    Def. 9; VI def. 1. et L AEH = KEA. [b 15].

2)    VI, 14. eadem similia esse ut per se intellegitur, ita addi debuit, sed cfr. p. 75 not. 2.

20. ΕΘ] Θ e corr. m. 1 b. η Η E — 24. ούτως] om. το] corr. ex zr\v V.

17. τώ] corr. ex τον m. 1 V.

ΓΖ] ΖΓ V. 22. AE\ EA b.

b.

24. παραλληλόγραμμον], om. P.

αλληλόγραμμον, ώς δε η ΗΕ προς την ΕΑ, όντως το ΗΚ προς τδ ΚΛ, ως ds η ΘΕ πρδς ΕΜ, όντως το ΠΕ πρδς τδ ΚΜ* καί ώς άρα τδ Α Η παραλληλόγραμμον προς τδ ΗΚ, όντως τδ ΗΚ πρδς τδ ΚΑ 5 καί τδ ΠΕ προς τδ ΚΜ. άλλ’ ώς μεν τδ ΑΗ πρδς τδ ΗΚ, όντως τδ AB ΰτερεδν πρδς τδ ES Στερεόν, ώς δε τδ ΗΚ πρδς τδ ΚΑ, όντως τδ SE ΰτερεδν πρδς τδ ΠΑ ΰτερεόν, ώς δε τδ ΠΕ πρδς τδ ΚΜ, όντως τδ ΠΑ ΰτερεδν πρδς τδ ΚΟ ΰτερεόν καί ώς 10 αρα τδ AB ΰτερεδν πρδς τδ ES, όντως τδ ES Λρδς τδ ΠΑ και τδ ΠΑ πρδς τδ ΚΟ. εάν δε τέΰΰαρα με-γέ&η κατά τδ ΰννεχες άνάλογον η, τδ πρώτον πρδς τδ τέταρτον τρίπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ πρδς τδ δεύτερον το AB αρα βτερεδν πρδς τδ ΚΟ τρίπλαΰίονα 15 λόγον έχει ηπερ τδ AB πρδς τδ ES· άλλ⁹ ώς τδ AB πρδς τδ ES, όντως τδ Α Η παραλληλόγραμμον πρδς τδ ΗΚ καί η ΑΕ εν&εΐα πρδς την EK' ώΰτε καί τδ AB ΰτερεδν πρδς τδ Κ Ο τρίπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ΑΕ πρδς την ΕΚ. ϊΰον δε τδ [μεν] ΚΟ 20 ΰτερεδν τω Γ Α ΰτερεω, η df ΕΚ εν&εΐα τη ΓΖ' καί τδ AB άρα ΰτερεδν πρδς τδ Γ Α ΰτερεδν τρίπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ομόλογος αντον πλενρά η ΑΕ πρδς την ομόλογον πλενράν την ΓΖ.

Τά άρα ομοία ΰτερεά παραλληλεπίπεδα εν τρίπλα-25 ΰίονί λόγω έΰτϊ των ομολόγων πλενρών* δπερ έδεί δεΐί,αί.

Πόρίΰ μα.

³Εκ δη τούτον φανερόν, ότι εάν τέΰΰαρες εν^εΐαί άνάλογον ώΰίν, έΰταί ώς η πρώτη πρδς την τετάρτην,

2. την EM ΒΥ.

1. HE] corr. ex NE m. 1 b.

3. Post ΠΕ add. παραλληλόγραμμον Y et m. rec. F.

5. τό

= HE : EA = ΘΕ : EM. sed A E : EK = AH: HK, HE : EA = HK : KA, ΘΕ : EM = ΠE: KM [VI, 1]. itaque AH: HK = HK : KA = ΠΕ : KM.

uerum

AH:HK = AB: ES, HK : KA — SE : ΠΑ, ΠΕ: ATM = 77Λ: XO [prop. XXXII]. quare : AJ# =    : ΠΑ — ΠΑ : ÜCO. sin quat

tuor magnitudines deinceps proportionales sunt? prima ad quartam triplicatam rationem habere dicitur quam ad secundam [V def. 10]. itaque AB: KO = AB³: ES³· est autem AB : ES = AH: HK — A E : EK. quare AB :KO = AE³: EK³. sed KO = ΓΑ, ΕΚ = ΓΖ. quare etiam A B : ΓΑ = A E³ : ΓΖ³.

Ergo similia solida parallelepipeda triplicatam rationem habent quam latera correspondentia; quod erat demonstrandum.

Corollarium.¹)

Hinc manifestum est, si quattuor rectae inter se proportionales sint, esse, ut prima ad quartam, ita

1) Num hoc corollarium genuinum sit, iure ambigi potest.

11. KO] O non liquet, 13. ηπερ] το πρώτον φ. 14. ΚΟ] Ο 16. το Λ Η] τό τε AH F? AH] corr. ex AB m. 1 b; 18. KO] O in ras. B; supra scr. Θ m.

20. στερεω]

KM~\ KM F. 7. το KÄ\ KA b. supra scr. Θ m. 1 b. in ras. B. τρίπλααί- in ras. m. 1 P.

¹

Cum hic nihil ad rem pertineat, quod parallelogramma, quae solida comprehendunt, et ipsa solida eadem similia sunt, parte sola definitionis 10 usus est Euclides.

²

αρα] om. FV. ΓΖ] P; "ΓΖ b; ΘΖ BFV. 9. ΖΘ] Pb; ΓΖ B; ZTF et in ras. V. οΰτω B. ΓΔ\ P, "FΔ" b; ΘΔ BFV. 10. J®\ P, 'ΔΘ b; JTBFV.

14. παραλληλοεπίπεδα V. 15. εΰτιν] ειβιν FV.

18. παραλληλοεπίπεδα V, ut lin. 21.

25. ταϊς] της b.

EM] M corr. ex IV m. 1 F. 29. KO] in ras. B; O in ras. m. 1 P.

(F hoc loco difficilis est lectu).

H e corr. B m. rec.

1 b. 19. μεν] om. P. ΚΟ] O in ras. B. om. b. 21. στερεόν αρα B. 23. αντον πλευράν b.

24. παραλληλοεπ. Y. 25. εστίν Β. 28 sq. Ex porismate nullum uestigium est in F; in b totum in mg. est m. 1, add. όντως εν άλλω. 29. Ante άνάλογον ras. 1 litt. P.

οντω τδ ano της ηρώτης βτερεδν ηαραλληλεηιηέδ ον ηρδς το άηό της δεντέρας το όμοιον καί ομοίως αναγραφόμενου? έηείηερ καί η ηρωτη ηρδς την τετάρτην τριηλαύίονα λόγον έχει ηηερ ηρος την δεντέραν.

λδ'.

Των ΐΰων ΰτερεών ηαραλληλεηιηέδων άντι-ηεηόν&αόlv αι βάβεις τοΐς νψεΰιν’ και ών Στερεών ηαραλληλεηιηέδ ων άντ ιηεηόν&αΰ ιν αι βάόεις τοΐς νψεΰιν, ΐΰα έΰτιν εκείνα.

10 ’Έΰτω ΐΰα ΰτερεά ηαραλληλεηιηέδα τα AB₅ ΓΑα λέγω, ότι των AB, ΓΑ ΰτερεών ηαραλληλεηιηέδ ων άντιηεηόν&αΰιν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν, καί έΰτιν ως η ΕΘ βάΰις ηρος την ΝΠ βάΰιν, όντως το τον ΓΑ ΰτερεον νψος ηρδς το τον AB ΰτερεον νψος.

15    ΛΕΰτωΰαν γάρ ηρότερον αι έφεΰτηκνΐαι αι ΑΗ,

ΕΖ, AB, ΘΚ, ΓΜ, Ν8, ΟΑ, ΠΡ ηρδς όρ&άς ταΐς βάΰεΰιν αντών* λέγω, <m ε<?τΙι/ 97 ΕΘ βάΰις ηρδς την ΝΠ βάΰιν, όντως η ΓΜ ηρδς την ΑΗ.

Εί μεν ονν ΐΰη έΰτιν η ΕΘ βάΰις τη ΝΠ βάΰει, 20 έΰτι δε και τδ AB ΰτερεδν τω ΓΑ ΰτερεω ΐΰον, έΰται καί η ΓΜ τη ΑΗ ΐΰη. τα γάρ νηδ τδ αντδ νψος ΰτερεά ηαραλληλεηιηέδ α ηρδς άλληλά έΰτιν ως αι βά-

1. όντως FYb. παραλληλοεπ. Υ. 3. επειδηπερ BV.

5. λ seq. ras. 1 litt. F.

12. νψεαι FYb. Θίί m. 1 b. αντών] om. b.

20. εατιν B.

7. νψεαι Yb et seq. ras. 3 litt. cp. 16. AB] Λ e corr. B. ΘΚ] corr. ex ΓΜ] supra scr. N m. 1 b. 17. βάσεσι b.

18. AH] inter A et Η 1 litt. eras. P. έσταί] έατι Ybqp. 21. τα γάρ — 22. βάσεις] om. ΒΥ; hab. Pb et fuerunt in F, sed nihil relictum est nisi το νψος στερε, quibus add. cp: -ον τοΐς νψεαι omissis uerbis εί γάρ — οναών ρ. 108, 1.

solidum parallelepipedum in prima descriptum ad solidum in secunda simile et similiter descriptum, quoniam etiam prima ad quartam triplicatam habet rationem' quam ad secundam.

XXXIV.

Aequalium solidorum parallelepipedorum bases in contraria ratione sunt atque altitudines; et quorum solidorum parallelepipedorum bases in contraria ratione sunt atque altitudines, ea aequalia sunt.

Sint AB, ΓΑ aequalia solida parallelepipeda. dico, solidorum parallelepipedorum AB, ΓΑ bases in contraria ratione esse atque altitudines, et esse, ut ΕΘ ad ΝΠ, ita altitudinem solidi ΓΑ ad altitudinem solidi AB.

Prius enim rectae eminentes AH, EZ, AB, ΘΚ, ΓΜ, NS, OA, ΠΡ ad bases suas perpendiculares sint, dico, esse ΕΘ : ΝΠ = ΓΜ: AH.

Λ Ιί

.N

iam si ΕΘ = Ν.Π, et AB = ΓΑ, erit etiam ΓΜ = AH; nam solida parallelepipeda, quae eandem ha-

βεις [ει γάρ των ΕΘ, ΝΠ βάβεων ί'βων ονβών μη εί'η τα ΑΗ, ΓΜ νψη ί'βα, ονδ’ άρα το AB βτερεδν ί'βον έβται τω ΓΑ. νπόκειται δε ί'βον’ ονκ αρα άνιβόν έβτι τδ ΓΜ νψος τω Α Η νψει' ί'βον άρα]. και έβται 5 ως η ΕΘ βάβις προς την ΝΠ, όντως η ΓΜ προς την ΑΗ, καϊ φανερόν, ότι των AB, ΓΑ βτερεών παραλληλεπιπέδων άντιπεπόν&αβιν αι βάβεις τοις νψεβιν.

Μη έβτω δη ϊ<5η η ΕΘ βάβις τη ΝΠ βάβει, άλλ’ έβτω μείζων η ΕΘ. έβτι $δ και το AB βτερεδν τώ 10 ΓΑ βτερεω ί'βον’ μείζων αρα έβτι και η ΓΜ της ΑΗ [ει γάρ μη, ονδ’ αρα πάλιν τα AB, ΓΑ βτερεά ί'βα έβται' νπόκειται δέ ί'βα]. κειβ&ω ονν τη Α Η ιβη η ΓΤ, και βνμπεπληρώβ&ω από βάβεως μεν της ΝΠ, νψονς δέ τον ΓΤ, βτερεδν παραλληλεπίπεδον το ΦΓ 15 και επει ΐβον έβτι τδ AB βτερεδν τω ΓΑ βτερεω, έζω&εν δέ τδ ΓΦ, τα δέ ί'βα πρδς τδ αντδ τδν αντδν έχει λόγον, έβτιν άρα ως τδ AB βτερεδν πρδς τδ ΓΦ βτερεόν, όντως τδ Γ Α βτερεδν πρδς τδ ΓΦ βτερεόν. αλΓ ως μέν τδ AB βτερεδν πρδς τδ ΓΦ βτερεόν, 20 όντως η ΕΘ βάβις πρδς την ΝΠ βάβιν' ιβονψή γάρ τα AB, ΓΦ βτερεά’ ως δέ τδ ΓΑ βτερεδν πρδς τδ ΓΦ βτερεόν, όντως η Μ Π βάβις πρδς την ΤΠ βάβιν και η ΓΜ πρδς την ΓΤ* και ως άρα η ΕΘ βάβις πρδς την ΝΠ βάβιν, όντως η ΜΓ πρδς την ΓΤ. ιβη 25 η ΓΤ τη ΑΗ’ και ως άρα η ΕΘ βάβις πρδς την

3. έσται] έστί b. 7. ΰψεσι Ybgp.

2. εί'η] έστω φ.

5. ΝΠ βάσιν b.

11. πάλιν] snpra m. rec. Y.

BV. AH] H in ras. m. 1 P. 14. ΓΤ] Γ in ras. B. παρκλληλοεπ. Y. ΦΓ] Γ in ras. B.    16. έξω&εν <5ε] άλλο

δε τί έστι b, άλλο δε τι Υ, άλλο τι supra scr. δέ m. 2 B.

Φ Γ Bb, et F, sed corr. Dein add. στερεόν F Y. In F uerba

12. έσονται P.

ΓΗ στερεώ FY. 10. έστί] om. Y.

νπόν,ειντοιι

bent altitudinem, inter se eandem rationem habent quam bases [prop. XXXII].¹) et erit ΕΘ : ΝΠ = ΓΜ: AH,

et adparet, solidorum AB, ΓΑ parallelepipedorum bases in contraria ratione esse atque altitudines.

iam ne sit ΕΘ = ΝΠ, sed ΕΘ>ΝΠ. uerum etiam AB = ΓΑ. itaque etiam ΓΜ> AH.²)

ponatur igitur ΓΤ = AH, et in basi NΠ, altitudine autem ΓΤ expleatur solidum parallelepipedum ΦΓ. et quoniam AB = ΓΑ, extrinsecus autem ad-sumptum est ΓΦ, et aequalia ad idem eandem rationem habent [V, 7], erit AB : ΓΦ = ΓΑ : ΓΦ. uerum A B : ΓΦ = ΕΘ : IVΠ [prop. XXXII]; nam solida AB, ΓΦ eandem habent altitudinem, et ΓΑ : ΓΦ = ΜΠ : ΤΠ [prop. ΧΧΥ] = ΓΜ: ΓΤ [VI, 1], quare etiam ΕΘ : ΝΠ = ΜΓ: ΓΤ. sed ΓΤ = AH itaque etiam

1)    Ita concludi uoluit Euclides: adparet, solida aequalia eandem rationem habere quam bases et ipsas aequales, nec hoc fieri potest, nisi altitudines et ipsae aequales erunt, et hanc concludendi rationem recte, sed paullo breuius indicauit citata prop. 32. hoc interpreti alicui satis antiquo ansam dedit uerbis ει γάρ — lg ον αρα lin. 1 — 4 interpolatis mentem Euclidis uerbose explicandi, cpio facto in codd. deterioribus uerba illa genuina τά yuQ — βάαεις p. 106, 21—22 deleta sunt, cum intellegeretur, duplicem causae indicationem per γάρ illatam ferri non posse, illo loco damnato sequitur, uerba simillima εί yuq — io a p. 108,11—12 et ipsa esse interpolata, et per se suspectissima sunt, quippe quae causam idoneam eius rei, quam confirmare debeant, minime contineant.

2)    Hoc uia indirecta ex prop. 31 demonstrari potest, cum adpareat, solida augeri et basibus et altitudinibus auctis.

22. στερεόν] 23. ΜΓ BFV.

17. 6τε-ins.

άλλο δε εβτι το ΦΓ στερεόν mg. m. 1, ut uidetur. ρεόν] om. V.    18. ουτω B V, comp. F.

m. 2 F. TU] mut. in ΠΤ Y, HTBb.

24. ßuGLv] supra m. 2 F. ΜΓ] ΝΓ B.

ΝΠ βάΰιν, όντως η ΜΓ προς την ΑΗ. των ABy ΤΑ άρα ΰτερεών παραλληλεπίπεδων άντιπεπόν&αΰιν αί βάΰεις τοΐς νψεΰιν.

Πάλιν δη των AB, ΓΑ ΰτερεών παραλληλεπιπέδων 5 άντιπεπον&έτωΰαν αί βάΰεις τοΐς νψεΰιν, και έΰτω ως η ΕΘ βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως το τον ΓΑ ΰτερεον νψος προς το τον AB ΰτερεον νψος* λέγω, δτι ΐΰον έΰτι το AB ΰτερεον τω ΓΑ ΰτερεω.

"Εΰτωΰαν [^άρ] πάλιν αί έφεΰτηκνΐαι προς όρ&άς 10 ταΐς βάΰεΰιν. και εί μεν ΐΰη έΰτιν η ΕΘ βάΰις τη ΝΠ βάΰει, καί έΰτιν ως η ΕΘ βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως το τον ΓΑ ΰτερεον νψος προς τι τον AB ΰτερεον νψος, ΐΰον άρα έΰτι και το τον ΓΑ στερεόν νψος τω τον AB ΰτερεον νψει. τα δέ έπι ΐΰων 15 βάΰεων ΰτερεα παραλληλεπίπεδα καί νπδ το αντδ νψος ΐΰα άλληλοις έΰτίν* ΐΰον άρα έΰτι το AB ΰτερεον τω ΓΑ ΰτερεω.

Μη έΰτω δη η ΕΘ βάΰις τη ΝΠ [βάΰει] ΐΰη, άλλ’ έΰτω μείζων η ΕΘ% μεΐζον άρα έΰτι καί το τον ΓΑ ΰτερεον 20 νψος τον τον AB ΰτερεον νψονς, τοντέΰτιν η ΓΜ της ΑΗ. κείΰ&ω τη ΑΗ ΐΰη πάλιν η ΓΤ, και ΰνμ-πεπληρώΰ&ω ομοίως το ΓΦ ΰτερεον. επεί έΰτιν ώς η ΕΘ βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως η ΜΓ προς την ΑΗ, ΐΰη δε η ΑΗ τη ΓΤ, έΰτιν άρα ώς η ΕΘ 25 βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως η ΓΜ προς την ΓΤ. άλΤ ώς μέν η ΕΘ [βάΰις] προς την ΝΠ βάΰιν, ούτως το AB ΰτερεον προς το ΓΦ ΰτερεον’ ίΰονψη γάρ έΰτι τά AB, ΓΦ ΰτερεά* ώς δε η ΓΜ προς την

1. TM b. 3. ΰψεα Yb.

AB, ΓΑ] om. FV. 4. ΤΑ άρα b.

2. αρα] δε F. παραλληλεπιπέδων] om. V.

ΕΘ : ΝΠ = ΜΓ: AH. ergo solidorum parallelepipe-dorum AB, ΓΑ bases in contraria ratione sunt atque altitudines.

Rursus solidorum parallelepipedorum AB, ΓΑ bases in contraria ratione sint atque altitudines, et sit ut ΕΘ ad ΝΠ, ita altitudo solidi ΓΑ ad altitudinem solidi AB. dico, esse AB — ΓΑ.

rursus rectae eminentes ad bases perpendiculares sint, et si ΕΘ = ΝΠ, et est ut basis ΕΘ ad basim ΝΠ, ita altitudo solidi ΓΑ ad altitudinem solidi AB, erit altitudo solidi jTz/ altitudini solidi AB aequalis, uerum solida parallelepipeda in aequalibus basibus collocata et eandem altitudinem habentia inter se aequalia sunt [prop. XXXI]. ergo AB = ΓΑ.

iam ne sit ΕΘ — ΝΠ, sed ΕΘ^> ΝΠ. itaque etiam altitudo solidi ΓΑ maior est altitudine solidi AB [p. 109 not. 2], hoc est JTM> AH ponatur rursus ΓΤ = AH, et similiter expleatur solidum ΓΦ. quoniam ΕΘ : ΝΠ = ΜΓ: AH, et est AH = ΓΤ, erit ΕΘ : NH = ΓΜ: ΓΤ. uerum ΕΘ : ΝΠ = AB : ΓΦ [prop. XXXII]; nam solida AB, ΓΦ eandem altitudi-

5. άντιπεπόν&ασι b. νιρεσι Yb. 6. βάσιν] om. V.

ΓΑ] in ras. Y. 7. AB] in ras. Y.    λέγω — 8. έοτέ] mg. φ.

9. γαρ~] om. P. 10. βάσεσι Ybtp. έϋτίν'] om. Υφ. η ΕΘ βάαις] mg. φ. 12. το] (prius) mg. m. 2 P. 13. l'gov αρα — 14. νψει] om. φ. 13. έστέ) om. Υ. και] om. b.

14. da] d’ b. 15. βάσεων οντκ Theon (BF Yb). παρ-κλληλοεπ. Y. 16. έστί | έστίν P. 18. βάσει] om. BF Yb. 19. μεΐζον] μείζων F. έστί] om. Y. 21. της] τη b. 22. Ante έπεί add. καί m, 2 Y.    23. ΓΜ b.

25 ΓΜ] PB, Y m. 2; ΜΓ b, Y m. 1, F in mg. m. 2. προς — 26. βάσιν] om. F; in mg. quaedam euan. 26. βάσις] om. P. 27. Οντοις — πρός] φ.

ΓΤ, όντως η τε Μ Π βάΰις προς την ΠΤ βάΰιν και το ΓΑ ΰτερεόν προς το ΓΦ ΰτερεόν. και ώς άρα το AB ΰτερεόν προς το ΓΦ ΰτερεόν, όντως το ΓΑ ΰτερεόν προς το ΓΦ ΰτερεόν έκάτερον αρα των AB, 5 ΓΑ προς το ΓΦ τον αντόν έχει λόγον, ίΰον αρα έΰτΐ το AB ΰτερεόν τω ΓΑ ΰτερεώ [οπερ έδει δεΐίςαι].

Μη έΰτωΰαν δη αί έφεΰτηκνΐαι αι ΖΕ, ΒΑ, ΗΑ, ΘΚ, SN, ΑΟ, ΜΓ, ΡΠ προς όρ&άς ταΐς βάΰεΰιν αντών, και ηχ&ωΰαν από των Ζ, Η, Β, Κ, Μ, 10 Α, Ρ ΰημείων έπι τα διά των ΕΘ, ΝΠ επίπεδα κά&ετοι και ΰ^μβαλλέτωΰαν τοΐς επιπέδοις κατά τα Σ, Τ, Τ, Φ₉ X, Ψ, £1, καί ΰνμπεπληρώΰ&ω τα ΖΦ, ΰτερεά* λέγω, ότι και όντως ΐΰων όντων των AB, ΓΑ ΰτερεών άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν, καί 15 έΰτιν ώς η ΕΘ βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως το τον ΓΑ ΰτερεόν νψος προς το τον AB ΰτερεόν νψος.

’Επει ίΰον έΰτι το AB ΰτερεόν τω ΓΑ ΰτερεώ, άλλα το μεν AB τω ΒΤ έΰτιν ίΰον' επί τε γάρ της αντης βάΰεώς είΰι της ΖΚ και νπό τό αντό νψος 20 [ών αι έφεΰτώΰαι ονκ είΰιν έπι των αντών εν&ειών]· τό δε ΓΑ ΰτερεόν τω Α Ψ έΰτιν ίΰον* επί τε γάρ πάλιν της αντης βάΰεώς είΰι της PS και νπό τό αντό νψος [ών αι έφεΰτώΰαι ονκ είΰιν έπι των αντών εν~ τϊειών]· και τό ΒΤ αρα ΰτερεόν τω ΑΨ ΰτερεώ ίΰον 25 έΰτίν [τών δέ ΐΰων ΰτερεών παραλληλεπιπέδων, ών τα νψη προς όρΰάς έΰτι ταΐς βάΰεΰιν αντών, αντί-

2. βτερεόν] (alt.) om. Β.    6. όπερ έδει δεΐξαι] dei.

August. 7. μη] e corr. m. 2 V. αί] (prius) om. FV. ΒΛ] supra scr. Δ m. 1 b.    8. ©A) supra scr. A? m. 1 b.

9. Κ] corr. ex Γ V. 10. επεί F, et V, sed corr. ölu] om. B. ΝΠ βάαεων B. 11. ΰνμβαλέτωβαν ΡΥ. Σ] postea ins. B; ras. 1 litt. b. 12. ς] renou. m. 2 B. Post <s in fine lin.

nem habent, et ΓΜ : ΓΤ = ΜΠ: ΠΤ [VI, 1] = ΓΑ : ΓΦ [prop. XXY]. quare etiam AB:ΓΦ = ΓΑ: ΓΦ. itaque utrumque AB, ΓΑ ad ΓΦ eandem rationem habet, ergo AB = ΓΑ [Y, 9].

Iam rectae eminentes ZE, BA, HA, ΘΚ, EN, AO, ΜΓ, ΡΠ ad bases suas perpendiculares ne sint, et ducantur a punctis Z, Η, B, K, E, M, A, P ad plana per ΕΘ, ΝΠ ducta perpendiculares, et cum planis in punctis Σ, T, T, Φ, X, Ψ, SI, ζ concurrant, et expleantur solida ΖΦ, ESI. dico, sic quoque, si AB = ΓΑ, bases in contraria ratione esse atque altitudines, et esse ut ΕΘ ad ΝΠ, ita altitudinem solidi ΓΑ ad altitudinem solidi AB.

quoniam AB = ΓΑ, et AB = BT [prop. XXIX —XXX] (nam in eadem basi sunt ZK et eandem habent altitudinem)¹), et ΓΑ = ΑΨ [id.] (nam rursus in eadem basi sunt PE et eandem habent altitudinem), erit etiam BT — A Ψ. erit igitur²) ut ZK basis ad

1)    Rectissime obseruauit Simsonus p. 402: „inepte excluditur alter casus“, quare cum eo uerba ών ai — ευθειών lin. 20, 23 — 24, p. 116, 7—8 pro interpolatione imperita habenda sunt.

2)    Quae sequuntur uerba των δε — νψεσιν p. 112,25 — p. 114,1 et p. 116, 2 — 4 inepta sunt, quia altitudines semper ad bases perpendiculares sint necesse est, quae est iusta eiusdem Sim-soni obiectio. sed τα υψη cum Augusto in αί έφεοτώσαι, mutare temerarium est; quare uerba illa delenda sunt.

καί, dein mg. m. 2 add. σημεία F; <s σημεία Y. SSI] SI in ras. Y. 13. ότι] δη Y. 14. υψεσι Yb. 15. IVIT] ΠΝ in ras. Y. 17. Post επεί add. γάρ BFb, et supra scr. m. 1, sed deletum Y. τό] corr. ex τω m. 1 Y. 18. BT] T in ras. Y.

19. είσιν P. υπό] επί Y. 22. είσί] εστι comp. b.

P#] SP Bb. υπό] επί Y. 24. Post το del. τον^ F. BT] B e corr. Y. εστιν ίσον Y. 25. των] corr. ex ωι; m. 2 F; ών V. ών] om. Y. 26. εστι] είσι b.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV.

πεπόνι αΰιν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν]. έΰτιν άρα ώς η ΖΚ βάΰις προς την HP βάΰιν, όντως το τον ΑΨ ΰτερεον νψος προς το τον ΒΤ ΰτερεον νψος. ιΰη δε η μεν ΖΚ βάΰις τί] ΕΘ βάΰει, η δε HP βάΰις τη 5 ΝΠ βάΰει' έΰτιν άρα ώς η ΕΘ βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως το τον Α Ψ ΰτερεον νψος προς το τον Β Τ ΰτερεον νψος. τα δ⁹ αντά νψη έΰτι των Λ Ψ, ΒΤ Στερεών και των ΑΓ, BA' έΰτιν αρα ώς η ΕΘ βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως το τον ΑΓ ΰτερεον 10 νψος προς το τον AB ΰτερεον νψος. των AB, ΓΑ αρα ΰτερεών παραλληλεπιπέδων άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν.

Πάλιν δη των AB, FA ΰτερεών παραλληλεπιπέδων άντιπεπον&έτωΰαν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν, και έΰτω ώς 15 η ΕΘ βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως το τον ΓΑ ΰτερεον νψος προς το τον AB ΰτερεον νψος* λέγω, οτι ϊΰον έΰτι το AB ΰτερεον τω ΓΑ ΰτερεω.

Των γάρ αντών καταΰκεναΰ&έντων, έπεί έΰτιν ώς η ΕΘ βάΰις προς την ΝΠ βάΰιν, όντως το τον ΓΑ 20 ΰτερεον νψος προς το τον AB ΰτερεον νψος, ιΰη η μεν ΕΘ βάΰις τη ΖΚ βάΰει, η δέ ΝΠ τη HP, έΰτιν άρα ώς ή ΖΚ βάΰις προς την HP βάΰιν, όντως το τον ΓΑ ΰτερεον νψος προς το τον AB ΰτερεον νψος. τά δ’ αντά νψη έΰτι των AB, ΓΑ ΰτερεών 25 και των ΒΤ, ΑΨ' έΰτιν αρα ώς η ΖΚ βάΰις προς την HP βάΰιν, όντως το τον ΑΨ ΰτερεον νψος προς το τον Β Τ ΰτερεον νψος. των ΒΤ, ΑΨ άρα ΰτε-

2. την EP] corr. ex τη Ν&Ρ Υ. 4. ΕΘ] e corr. Υ.

βάσει b.

11. στερεών άρα Β.

7. στερεού] om. Β.

3. ΒΤ] Te corr. V.

τη ΝΠ

5. βάσει εστιν Ιση V.

10. ΓΔ] in ras. Ρ.

14. νψεσι FVb.

12. νψεσι Vbqp.

basim HP, ita altitudo solidi A Ψ ad altitudinem solidi B T [p. 110, 1 sq.]. uerum ZK = ΕΘ, HP = ΝΠ.

JL

XL

M

erit igitur ut ΕΘ basis ad basim ΝΠ, ita altitudo solidi ad altitudinem solidi B T. sed solidorum ΑΨ, BT et ΑΓ, BA eadem est altitudo, quare erit ut basis ΕΘ ad basim ΝΠ, ita altitudo solidi ΑΓ ad altitudinem solidi Α>Ψ ^B. ergo solidorum AB, ΓΑ parallelepipedorum bases in con-

traria ratione sunt atque altitudines.

Iam rursus solidorum parallelepipedorum AB, ΓΑ bases in contraria ratione sint atque altitudines, et sit ut ΕΘ basis ad basim ΝΠ, ita altitudo solidi ΓΑ ad altitudinem solidi AB. dico, esse AB = ΓΑ.

iisdem enim comparatis, quoniam est ut basis ΕΘ ad ΝΠ basim, ita altitudo solidi ΓΑ ad altitudinem solidi AB, et ΕΘ — ZK, ΝΠ=ΗΡ, erit ut basis ZK ad HP basim, ita altitudo solidi ΓΑ ad altitudinem solidi AB. sed solidorum AB, ΓΑ et BT, ΑΨ eadem est altitudo, erit igitur ut ZK basis ad basim HP, ita altitudo solidi A Ψ ad altitudinem solidi BT. itaque solidorum parallelepipedorum BT, A Ψ bases

17. i'öovJ om. 'Vφ. 23. ABI B A FV.

l6ov τφ V φ.

27. BT] (alt.) T in ras. V.

19. ΓΔ\ bis φ.

ρεών παραλληλεπίπεδων άντίπεπόν&αΰιν αί βάύεΐζ τοΐς νψεΰιν [ών δε ατερεών παραλληλεπίπεδων τα υψη προς όρ&άς εότί ταΐς βάΰεΰίν αυτών? άντίπεπόν&ααί δε αί βάαείς το Ις νψεΰίν, ΐαα έατίν εκείνα]* ία ον αρα 5 έατϊ το ΒΤ ατερεδν τω Α Ψ ατερεώ. άλλα το μεν ΒΤ τω ΒΑ ί'αον έατίν’ επί τε γάρ της αντης βάαεως [είαΐ] της ΖΚ καί νπδ το αν το νψος [ών αί έφεατώ-6αί ονκ είαϊν επί των αυτών εν&είών]. το δε ΑΨ ατερεδν τω ΑΓ ατερεώ ί'αον έατίν [επί τε γάρ πάλιν 10 της αντης βάαεως είαί της RP καί νπδ τδ αντδ νψος καί ονκ εν ταΐς ανταΐς εν&είαίς]. καί τδ AB αρα ατερεδν τω ΓΑ ατερεώ έατίν ί'αον* δπερ έδεί δεΐζαί.

λε'.

Εάν ώαί δνο γωνίαί έπίπεδοί ί'ααί₅ έπϊ δε 15 τών κορυφών αυτών μετέω ροί εν&εΐαί έπί-αταΟ'ώαίν ΐαας γωνίας περίέχονααί μετά τών ε’ξ άρχής εν&είών έκατέραν έκατέρα, έπϊ δε τών μετεώρων ληφ&ή τυχόντα αημεΐα₅ καί άπ αυτών έπϊ τά έπίπεδα, έν οίς είαϊν αί ε’ξ άρ-20 χης γωνίαί₅ κάθετοί άχ&ώαίν₅ άπδ <ϊε τών γε-νομένων αημείων έν τοΐς έπίπέδοίς έπϊ τάς εξ άρχης γωνίας έπίξενχ&ώα ίν εν&εϊαί₅ ΐαας γωνίας περίέζοναί μετά τών μετεώρων.

’Έατωααν δνο γωνίαί εν&νγραμμοί ί'ααί αί νπδ 25 ΒΑΓ, ΕΑΖ₅ άπδ <^ε τών A₅ Α αημείων μετέωροί εν&εΐαί έφεατάτωααν αί AH, AM ΐαας γωνίας περίέχονααί μετά τών ε’ξ άρχης ευθειών έκατέραν έκατέρα?

2. τά νψη] αί εφεατηκνΐοα August. 3. εατι] φ, comp, b, έατίν Ρ, είαι ΒΥ. άντίπεπόν&α6ΐν ΡΥ. 4. ίε] supra

in contraria ratione snnt atque altitudines.

quare

sed BT=BA [prop.

BT = A Ψ [p. 112, 5 sq/J.

XXIX—-XXX]; nam in eadem basi sunt ZK et eandem habent altitudinem; et ΑΨ = ΑΓ [id.].¹) ergo AB = ΓΑ; quod erat demonstrandum.

XXXV.

Si datis duobus angulis planis aequalibus in uer-ticibus eorum rectae sublimes eriguntur angulos singulos singulis aequales cum iis, quae a principio erant, comprehendentes, et in erectis puncta quaeuis sumuntur, et ab iis ad plana, in quibus sunt anguli illi, perpendiculares ducuntur, et a punctis, quae in planis oriuntur, ad angulos²) a principio datos rectae ducuntur, hae cum erectis aequales angulos comprehendent.

Duo anguli rectilinei sint ΒΑΓ, EAZ, et a punctis A, A rectae AH, AM sublimes erigantur angulos singulos singulis aequales cum iis, quae a principio

scr. m. 2 V. 6. ΒΑ] AB P. 7. εισι] om. P. 9. τώ Δ Γ — 10. βάαεως] F, praecedentibus iisdem uerbis a manu φ. 9. ΓΔ b. της αυτής πάλιν V et φ (non F).    10. εατι

PH b.    11. άρα] om. V, ins. m. 2 F.

13. λε'] non liquet in F. 14. ώσιν PB.

17. εκατέρανΊ -αν in ras. B.

21. ενΛ νπο των κα&ετων 26. ΛΗ\ Η

comp. b.

12. ΔΓ Β.

Post επί dei. πέδω m. 1 Ρ. 19. επι τά~\ om. F. εν Theon (BFVb). in ras. B.

ΔΗ, AM F.:

ειαι b.

23. μετεωροτερων Vφ.

την μεν νπό MAE τη vitb HAB, την δε νπό ΜΑΖ τη νπό ΗΑΓ, καί είληφ&ω επί των ΑΗ, AM τυχόντα σημεία τα Η, Μ, καί ηχ&ωσαν από των Η, Μ σημείων έπϊ τα διά των ΒΑΓ, ΕΑΖ επίπεδα κάθετοι 5 αί Η A, ΜΝ, καί σνμβαλλέτωσαν τοΐς έπιπέδοις κατά τα Ν, καί έπεζενχ&ωΰαν at ΑΑ, NAm λέγω, ort έστ\ν η υπό ΗΑΑ γωνία τη υπό MAN γωνία.

Κείσ&ω τη AM Ιση η ΑΘ, καί, η%&Μ δια τον Θ σημείου τη ΗΑ παράλληλος ή ΘΚ. η δε ΗΑ κά&ετός 10    £ττί το όΥά των ΒΑΓ επίπεδον* καί ή @ϋΓ αρα

κάΟ^τδ^    έπϊ το διά των ΒΑΓ επίπεδον, ηχ&ω-

σαν από των Κ, JV σημείων έπϊ τάς AB, ΑΓ, ΑΖ, ΑΕ ευθείας κάθετοι αί ΚΓ, iVZ, ϋίΒ? iVjE, καί έπεζενχ&ωΰαν αί ©JT? ΓΒ, ΜΖ, ΖΕ. έπεϊ το από 15 της ΘΑ ίσον έστΧ τοΐς από των ΘΚ, ΚΑ, τω δε από της ΚΑ ίσα έστΧ τα από των ΚΓ, ΓΑ, και το από της ΘΑ άρα ίσον έστΧ τοίς από των ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ. τοΐς από των ΘΚ, ΚΓ ί'σον έστI το από της ΘΓ’ το άρα από της ΘΑ ί<Ιον έ(5τϊ τοΐς από των ΘΓ, ΓΑ. 20 όρ&η άρα έστΧν η νπό ΘΓΑ γωνία, διά τα αντά δη καί η υπό ΑΖΜ γωνία όρ&ή έστιν. ίση άρα έστΧν η νπό ΑΓΘ γωνία τη νπό ΑΖΜ. έστι δέ και η νπό ΘΑΓ τη νπό ΜΑΖ ίση. δυο δη τρίγωνά έστι τα ΜΑΖ, ΘΑΓ δυο γωνίας δνσΧ γωνίαις ί'σας έχοντα 25 έκα'τέραν έκατέρα καί μίαν πλευράν μία πλευρά ΐσην την υποτείνουσαν νπό μίαν των Ισων γωνιών την ΘΑ τη ΜΑ* καί τάς λοιπάς άρα πλευράς ταΐς λοιπαΐς

2. A Η] HA V. 4. σημείων] om. Υ. ΒΑ Γ] Β in ras. Β.

5. σνμβαλετωσαν Υ et supra scr. λ m. 1 Ρ. 6. Ν, Λ] supra Λ quaedam euan. F m. 2, ras. Υ. καί] σημεία καί Υ. 7. ί'ση εστίν] ins. m. 1 F, om. Υ. γωνία τη νπο ΜΗΝ] in mg. trans-

erant, comprehendentes, L MAE = HAB, [Mz/Z = ΗΑΓ, et in AH, AM puncta quaeuis sumantur Η, M, et a punctis Η, M ad plana per ΒΑΓ, EAZ ducta jip perpendiculares ducantur HA, MN, et cum planis in IV, concurrant, et ducantur A A, NA. dico, esse

n/

®A

KA

L HA A = MAN. ponatur ΑΘ = z/M, et per © punctum rectae HA parallela ducatur ΘΚ. HA autem ad planum per ΒΑΓ ductum perpendicularis est; itaque etiam ΘΚ ad planum per ΒΑΓ ductum perpendicularis est [prop. VIII]. a punctis K, N ad AB, ΑΓ, AZ, A E rectas perpendiculares ducantur ΚΓ, NZ, KB, NE, et ducantur ΘΓ, ΓΒ, MZ, ZE. quoniam ΘΑ2 = ΘΚ² + KA² et KA² = ΚΓ² + Γ^² [I, 47], erit etiam ©^² = ©X² + ϋίΓ² + Γ^². uerum ©Γ² = ©X2 + 7VJT² [id.]. quare ΘΑ² = ΘΓ² + Γ^².    itaque

i ΘΓΑ rectus est [I, 48]. eadem de causa etiam L AZM rectus est. itaque L ΑΓΘ = AZM. sed etiam L ΘΑΓ = MAZ. itaque duo trianguli sunt MAZ, ΘΑΓ duos angulos duobus angulis singulos singulis aequales habentes et unum latus uni lateri aequale, quae sub altero angulorum aequalium subtendunt, ΘΑ = MA. itaque etiam reliqua latera reliquis late-

fcv S !>»

■

' fetJa s g N m· S „

i g. s rl

o « μ g'

te 3 ■ s

^ *"0 O (V5vj Φ

fc“®S.5S fcd Γ³ td' 3

^ S· P¹ o ^

is*§|

πλενραΐς ί'ΰας έξει έκατέραν εκατέρα. ιΰη αρα έΰτιν η ΑΓ τη ΑΖ. ομοίως δη δείζομεν, δτι και η AB τη ΑΕ έΰτιν ΐΰη [όντως· έπεζενχ&ωσαν αι ΘΒ} ΜΕ. και έπει το άπδ της ΑΘ ί'ΰον έΰτι τοις άπδ 5 των ΑΚ, ΚΘ, τω δε άπδ της ΑΚ ί'ΰα έ(5τι τα άπδ AB, ΒΚ, τα αρα άπδ των AB, ΒΚ, ΚΘ ί'ΰα έΰτι τω άπδ ΑΘ. άλλα τοις άπδ των ΒΚ, ΚΘ ί'ΰον έΰτι τδ άπδ της ΒΘ' δρ&η γάρ η νπδ ΘΚΒ γωνία διά τδ και την ΘΚ κάθετον είναι επί τδ υποκείμενον 10 επίπεδον* τδ αρα άπδ της ΑΘ ί'ΰον έΰτι τοις άπδ των AB, ΒΘ· όρ&ή αρα έΰτιν η νπδ ΑΒΘ γωνία, διά τα αυτά δη και η νπδ ΑΕΜ γωνία δρ&η έΰτιν. έΰτι δε και η νπδ ΒΑΘ γωνία τη νπδ ΕΑΜ ί'ΰη* νπδκεινται γάρ* και έΰτιν η ΑΘ τη AM ί'ΰη* ίΰη

των

15 αρα έΰτι και η AB τη AΕ]. έπει ονν μεν ΑΓ τη ΑΖ, η δε AB AB δνΰι ταΐς ΖΑ, ΑΕ ί'ΰαι είΰίν. άλλα και γωνία η νπδ ΓΑΒ γωνία τη νπδ ΖΑΕ έΰτιν ί'ΰη* βάΰις αρα η ΒΓ βάΰει τη ΕΖ ί'ΰη έΰτι και τδ τρίγωνον 20 τω τριγώνω και αι λοιπαϊ γωνίαι ταΐς λοιπαΐς γωνίαις' ί'ΰη αρα η νπδ ΑΓΒ γωνία τη νπδ ΑΖΕ. έΰτι δέ και όρ&η η νπδ ΑΓΚ δρ&η τη νπδ ΑΖΝ ί'ΰη* καί λοιπή άρα η νπδ ΒΓΚ λοιπή τη νπδ ΕΖΝ έΰτιν ί'ΰη. διά τά αυτά δη και η νπδ ΓΒΚ τη νπδ ΖΕΝ 25 έΰτιν ί'ΰη. δυο δη τρίγωνά έΰτι τά ΒΓΚ, ΕΖΝ [τάς] δνο γωνίας δνΰί γωνίαις ί'ΰας έχοντα έκατέραν εκατέρα και μίαν πλευράν μια πλευρά ί'ΰην την πρδς ταΐς ί'ΰαις γωνίαις την ΒΓ τη ΕΖ% καί τάς λοιπάς

ΑΕ, δνο

έΰτιν η αι ΤΑ,

1. ί'ΰη] ί'ΰην Ρ, corr. m. 1.    3. ίση] om. Β. 4. τοις] τό

Ρ. 7. της ΑΘ V. 8. yag] in ras. m. 1 Ρ.    9. είναι] om.

ribus aequalia habebunt singula singulis [I, 26], itaque ΑΓ — AZ. iam eodem modo demonstrabimus, ess e AB = A E.x) iam quoniam ΑΓ— AZ₇ AB = AEt duae rectae ΓΑ, AB duabus ZA, A E aequales sunt, sed etiam /_ ΓΑΒ = ZAE. quare etiam ΒΓ = EZr et triangulus triangulo aequalis et reliqui anguli reliquis angulis [I, 4]. itaque L ΑΓΒ = A ZE. uerum etiam L ΑΓΚ = AZN, quia recti sunt, ergo etiam LBTK = EZN. eadem de causa etiam LTBK — ZEN. quare duo trianguli sunt ΒΓΚ, EZN· duos angulos duobus angulis singulos singulis aequales habentes et unum latus uni aequale, quod ad angulos aequales positum est, ΒΓ — EZ. itaque etiam reliqua

1) Sequentia p. 120, 3—15, quae post ομοίως lin. 2 prorsus inutilia sunt et inusitata, rectissime interpolatori tribuerunt Simsonus et August; om. Campanus.

10. της] corr. ex των m. 1 b. 11. AB] B corr. ex Θ Post ΒΘ ras. 1 litt. b. εστίν] corr. ex εστί m. 1 P.

13.    εστίν B. ΕΔΜ] E supra scr., post Δ ras. 1 litt. V.

14.    7«ρ ίσαι F V. 15. εστί] om. P.

ΔΖ BVbqp. άλλα] εκατέρα εκατέρα Υφ.

Ζ et Ε in ras. V, Z"z/'E b. εοτιν] om. Υφ. καί το τρίγωνον τφ τριγώνω] mg. Υ.

εατιν Β.

Τ·

Υ.

17. δνσί\ δνο Ρ. 18. Ζ ΔΕ] 19. εστίν 21. ίση] ί'η b. 22. Δ Ζ Ν’]

Ν in ras. m. 1 B; pro N in b est E, supra scr. M m. 1. καί] om. Y qp.

H b.

P.

ΔΖΕ] corr. ex EZA m. 1 b.

ίση εστίν P. γωνίαις] γωνίας P.

28. ίσαις] supra scr. m. 2 B.

23. EZIV] ante N ras. 1 litt. Y; N corr. ex 26. τάς] deleo.

25. ΕΝ Ζ Y. έχοντας ΡΥφ; in P σ dei. m. 2.

άρα πλευράς ταΐς λοιπαις πλενραΐς ϊ(5ας έξονβιν. Ϊ6η άρα έύτίν η ΓΚ τη ΖΝ. εΰτι δε καί η ΑΓ τη ΑΖ Ιβη' δυο δη αί ΑΓ, ΓΚ δνβί ταΐς ΑΖ, ΖΝ ίβαι ειβίν' καί όρ&άς γωνίας περιέχονΰιν. βάόις άρα η 5 ΑΚ βάΰει τη A Ν ΐΰη έοτίν. καί έπεί ι6η έΰτίν η ΑΘ τη AM, ΐ6ον έΰτί και τδ άπδ της ΑΘ τω άπδ της AM. άλλα τω μεν άπδ της ΑΘ ΐΰα έΰτί τά άπδ των ΑΚ, ΚΘ' δρ$η γάρ η νπδ ΑΚΘ’ τω δε άπδ της AM ΐΰα τά άπδ των ΑΝ, ΝΜ’ όρ&η γάρ 10 η νπδ ΑΝ Μ’ τά άρα άπδ των ΑΚ, ΚΘ ΐΰα έβτϊ τοϊς άπδ των ΑΝ, ΝΜ, ών τδ άπδ της ΑΚ ϊΰον έΰτί τω άπδ της ΑΝ’ λοιπδν άρα τδ άπδ της ΚΘ ίο ον έΰτί τω άπδ της ΝΜ’ ί(5η άρα η ΘΚ τη ΜΝ. και έπεί δυο αί ΘΑ, ΑΚ δνΰί ταΐς ΜΑ, ΑΝ ΐΰαι 15 είαϊν εκατέρα εκατέρα, καί βάΰις η ΘΚ βάΰει τη ΜΝ έδείχ&η ΐΰη, γωνία άρα η νπδ ΘΑΚ γωνία τη νπδ MAN έΰτιν ΐΰη.

'Εάν άρα οιΰι δνο γωνίαι επίπεδοι ΐΰαι καί τά έξης της προτάΰεως [οπερ εδει δεΐξαι].

20

Πόριΰμα.

'Εκ δη τοντον φανερόν, ότι, εάν ώΰι δνο γωνίαι επίπεδοι ΐΰαι, έπιΰτα&ώΰι δε επ' αντών μετέωροι εν&εΐαι ΐΰαι ΐΰας γωνίας περιέχονΰαι μετά των εξ άρχης εν&ειών εκατέραν εκατέρα, αί άπ’ αντών κά&ετοι 25 άγόμεναι επί τά επίπεδα, εν οίς είΰιν αί έξ άρχης γωνίαι, ΐΰαι άλληλαις είΰίν. οπερ έδει δεΐξαι.

1.    εξονσι Υ; dein 1 linea eras.    2.    ΖΝ] corr. ex ZΜ B.

εατιν B. 3. εΐαν i'eca Y.    4.    είοί    P, comp. Fb. περι-

έχονα    Yb. 5. εατί Y, comp.    Fb.    7.    ΐσα] post i del. a m.

2 P.    8. AK©] ΚΘ e corr. V.    9.    AN] N corr. ex M Bb.

10. 4M”N' b. 11. B, sed corr.; item lin. 14.    12. τω

latera reliquis aequalia habebunt [I, 26]. ergo ΓΚ = ZN sed etiam AT = AZ. ergo duae rectae ΑΓ? ΓΚ duabus AZ? ZN aequales sunt; et rectos angulos comprehendunt, itaque A K = A N. et quoniam A® = AM, erit etiam ΑΘ² = A M². uerum ΑΘ² = AK² -f- K®²; nam L ΑΚΘ rectus est [I; 47]; et AM² = AN² + NM²; nam L ANM rectus est [id.], itaque AK² + ΚΘ² = AN² + NM²·, quorum AK² = AN², itaque K®² = NM² et K® = NM. et quoniam duo latera ®A, AK duobus MA, AN singula singulis aequalia sunt, et basim ®K basi MN aequalem esse demonstrauimus, erit L@AK = MAN

[I, 8].

Ergo si datis duobus angulis planis aequalibus, cetera, ut in propositione.

Corollarium.

Hinc manifestum est, si datis duobus angulis planis aequalibus in iis aequales rectae sublimes eriguntur angulos singulos singulis aequales cum rectis a principio datis comprehendentes, rectae ab iis ad ea plana perpendiculares ductae, in quibus sunt anguli ab initio dati, inter se aequales sunt.¹) — quod erat demonstrandum.

1) Nam demonstratum est (lin. 13), esse ΚΘ — NM.

από — 13. εατί] mg. m. 2B.    12. της] (prius) om. P.

b.

13. τω] corr. ex του V. ΘΚ] e corr. V. 14. όνο] αΐ övo 17. M/JN sötlv] in ras. m. 1 P. 18. coglv F. i'oai επίπεδοί P. 19. της πςοτάαεως] P; om. BFVb.

20. πόρισμα'] mg. m. 2 FY.    22. ίσαι] ευϋνγραμμοι ί'σαι

Theon (B FVb). επιστα&ώαιν PBF. αύτάς P. 23. ιβαι] om. b. 26. όπερ εδει δεΐζαι] P; om. Theon (BFVb).

λς'.

⁵Εάν τρεις εν&εΐαι άνάλογον ώαιν, το εκ των τριών ατερείν παραλληλεπίπε δον ία ον έατϊ τώ άπδ της μέαης ατερεω παραλληλεπίπεδα ίβο-5 πλενρω μεν, ίαογωνίω δε τώ προειρημένα.

”ΕύταΟαν τρεις εν&είαι άνάλογον αι Α, Β, Γ, ας η Α προς την Β, όντως η Β προς την Γ* λέγω, δτι το εκ τών Α, Β, Γ ατερεδν ίαον έατι τώ άπδ της Β ατερεω ίαοπλενρω μέν, ίαογωνίω δε τώ προειρημένα. 10 ’Εκκεία&ω ατερεά γωνία η προς τώ Ε περιεχομένη ύπδ τών νπδ ΑΕΗ, ΗΕΖ, ΖΕΑ, και κεία&ω τη μεν Β ίαη έκάατη τών ΑΕ, HE, ΕΖ, καί αυμπεπλη-ραα&ω το ΕΚ ατερεδν παραλληλεπίπεδον,    df ^4

föi? ή    και αυνεατάτω προς τη AM εν&εία και

15 τώ προς αντη αημείω τώ Α τη προς τώ Ε ατερεά γωνία ίαη ατερεά γωνία η περιεχομένη νπδ τών ΝΑ&^ Η AM, MAN, και κεία&ω τη μέν Β ίαη η Α$, τη da Γ ίαη η ΑΝ. και έπεί έατιν ώς η Α προς την Β, όντως η Β προς την Γ, ίαη δε η μέν Α τη AM, 20 η δέ Β έκατέρα τών Α^, ΕΑ, η δέ Γ τη ΑΝ, έατιν

1. λς] non liquet in F. Hinc usque ad finem libri XII b tanto opere discrepat, ut scriptura eius integra in appendicem reiicienda fuerit. 2. ώαι Y. 3. στερεών F; -ov in ras. Y. έατιν Y, sed corr.    4. ατερεω'] om. Y. 8. τό] postea

ZE Y. (BFY).

ins. m. 1 P. εκ] από Β, υπό FY. Post Γ supra add. περιεχόμενον F. ατερεδν] -όν in ras. Y. 10. τώ] corr. ex τό Y. 11, Post prius νπδ add. τριών γωνιών επιπέδων m. rec. FY; νπδ τριών γ. έ. mg. m. 2 Β; in textu νπδ dei. m. 2. νπδ] (alt.) om. BFY. 12. HE] E H P. EZ] corr. ex 14. ίαη ν.είαΟ'ω Β. 16. ατερεά γωνία] P; om. Theon 17. MAN] Μ e corr. Y. 18. Post AN add. καί ανμ-πεπληρώα&ω τό ΑΘ στερεόν FY, in Y punctis dei.; Θ e corr.

Y.

20. εκατερα] Ρ; έκάατη Theon (BFY). AE] AE, EZ, E H Theon (B F V).    Ε Δ] corr. exEHY. Ante Γ ras. 1 litt. B.

XXXYI.

Si tres rectae proportionales sunt, solidum paral-lelepipedum ex tribus illis constructum aequale est solido parallelepipedo ex media constructo, quod aequi-laterum est et priori aequiangulum.

Tres rectae proportionales sint A, B, Γ, ita ut sit A : B = B : Γ. dico, solidum ex A, B, Γ constructum aequale esse solido ex B constructo, quod aequilaterum est et priori aequiangulum.

ponatur angulus solidus ad E angulis AEH, HEZ, ZEA comprehensus, et ponatur A E = HE = EZ = B, et expleatur solidum parallelepipedum EK, ponatur³)

Jii

fcj

i*

'N

autem AM = A, et ad rectam AM et punctum eius A angulo solido, qui ad E positus est; aequalis angulus solidus construatur angulis NAS? ISAM, MAN comprehensus [prop. XXIII, cfr. prop. XXI], et ponatur AS = B, AN = Γ. et quoniam est A : B = B : Γ et A = AM, B = AS = EA⁴), Γ = AN,

άρα ως η AM προς την EZ, όντως η AE προς την ΛΝ. και περί ίσας γωνίας τάς νπό ΝΛΜ₅ ΑΕΖ αί πλενραι άντιπεπόν&ασιν* ίσον άρα έ(5τϊ το ΜΝ παραλληλόγραμμον τω ΑΖ παραλληλόγραμμα), καί 5 έπεϊ όνο γωνίαι επίπεδοι, εν&νγραμμοι ίσαι είσϊν αί νπό ΑΕΖ, ΝΛΜ, καί επ’ αυτών μετεώρου εν&εϊαι έφεστάσιν αί Λ&, ΕΗ ίσαι τε άλληλαις και ί'ΰας γωνίας περιεχονΰαι μετά των εξ αρχής εν&ειών εκατεραν έκατέρα, αί άρα από των Η, & σημείων κά&ετοι άγό-10 μεναι έπι τα διά των ΝΛΜ, ΛΕΖ επίπεδα ίσαι άλληλαις είσίν ώστε τά ΛΘ, ΕΚ στερεά νπό το αντό νψος έΰτίν. τά δε έπι ίσων βάσεων στερεά παραλληλεπίπεδα καί νπό το αντό νψος ίσα άλληλοις έστίν ίσον άρα έστι το ΘΛ στερεόν τω ΕΚ στερεω. καί 15 έστι τό μεν ΛΘ τό έκ των Λ, Β, Γ στερεόν, το ΕΚ το άπό της Β στερεόν* τό άρα έκ των Λ, Β, Γ στερεόν παραλληλεπίπεδον ίσον έστι τω άπό της Β στερεω ίσοπλενρω μέν, ίσογωνίω δε τω προειρημένω* όπερ έδει δεΐξαι.

20

«'■

’Εάν τέσσαρες εν&ειαι άνάλογον ώσιν, και τά άπ αντών στερεά παραλληλεπίπεδα όμοια τε καί ομοίως άναγραφόμένα άνάλογον έσται* και έάν τά άπ’ αντών στερεά παραλληλεπίπεδα 25 όμοια τε και ομοίως άναγραφό μένα άνάλογον η, και ανται αί εν&ειαι άνάλογον έσονται.

ενδεΐαι] om. FV. 8. εκα-11. ΛΟ Ρ. 12. έΰτί έΰτίν' ία ον ΟΛ Ρ. 15. ΛΟ Ρ.

2. ΛΝ] ΝΑ Ρ. τέραν'] supra Ρ. PBV, comp. F. αρα] om. φ.

6. καί ai Β.

¹

Uerba Ini τε — εν&είαις lin. 9—11 subditiua existimo.

²

-2) H. e. ad. uertices' eorum.

³

   Intellegitur χεία&ω ex lin. 11; sed fortasse uerba καί — παραλληλεπίπεδον lin. 12—13 interpolata sunt. cfr. lin. 18.

⁴

   Propter sequentia exspectaueris B = EZ = JE.

10. ίαα V, sed corr.

13. νπό] corr. ex επί m. 2 Β. 14. έΰτί] έΰτίν Ρ.

erit AM: EZ = A E : AN. et latera aequales angulos NAM, A EZ comprehendentia in contraria ratione sunt.¹) itaque MN = AZ [VI, 14]. et quoniam cluo anguli plani rectilinei aequales sunt A EZ, NAM, et in iis sublimes erectae sunt rectae Λ%, EH, quae et inter se aequales sunt et angulos singulos singulis aequales cum rectis a principio datis comprehendunt, rectae a punctis H, & ad plana per NAM, AEZ ducta perpendiculares ductae inter se aequales sunt [prop. XXXV coroll.]; quare solida ΑΘ, EK eandem altitudinem habent, solida autem parallelepipeda, quae in aequalibus basibus sunt posita et eandem altitudinem habent, inter se aequalia sunt [prop. XXXI]. itaque ΘΑ — EK. et ΑΘ solidum est ex A, B, Γ constructum, EK autem solidum ex B constructum, ergo solidum parallelepipedum ex A, B, Γ constructum aequale est solido ex B constructo, quod aequilaterum est et priori aequiangulum; quod erat demonstrandum.

XXXVII.

Si quattuor rectae proportionales sunt, etiam solida parallelepipeda in iis similia et similiter constructa proportionalia erunt; et si solida parallelepipeda in rectis similia et similiter constructa proportionalia sunt, etiam rectae ipsae proportionales erunt.

1) Cfr. p. 83 not. 1.

βτερεόν] om. V.    17. παραλληλ’ επίπεδον, nt semper fere, P;

hic ’ in o mut. m. 2; item lin. 24.    20. !£'] non liquet in F.

21. ώϋί V. 22. παράλληλα επίπεδα F. 23. εαται] miro comp. F (corr. ex */.?).    24. παράλληλα επίπεδα F.

”Eöτωβαν τέβΰαρες εν&εΐαι άνάλογον αι AB, ΓΑ, ΕΖ, ΗΘ, ώς ή AB προς την ΓΑ, oiircag ή 2£Ζ πγό$ τήν ii@₅ καί άναγεγράφ&ωόαν από των AB, .Γζ/, 2£Ζ? ΗΘ όμοιά τε και ομοίως κείμενα ΰτερεά παραλ-5 ληλεπίπεδα τα ΚΑ, ^jT? MÜJ, iVif*    ort £<5τίι/

cog το ΚΑ προς το ΑΓ, oiircog ro Mi£ ττρό^ το IVif.

’Επει γάρ όμοιόν έΰτι το ΚΑ ΰτερεόν παραλληλεπίπεδον τω ΑΓ, τό ϋΓ^ όίρα προς το ΑΓ τριπλα-όίονα λόγον έχει ηπερ η AB προς την ΓΑ. δια τα 10 αυτά δη και το ΜΕ προς τό ΝΗ τριπλαβίονα λόγον εχει ηπερ η ΕΖ προς την ΗΘ. καί έΰτιν ώς η AB προς την ΓΑ, οίίτω^ η ΕΖ προς την ΗΘ. και ώς άρα τό A Κ προς τό ΑΓ, όντως τό ΜΕ προς τό ΝΗ.

’Αλλά δη εότω ώς τό ΑΚ βτερεόν προς τό ΑΓ 15 ατερεόν, όντως τό ΜΕ βτερεόν προς τό ΝΗ* λέγω, ότι έότϊν ώς η AB εν&εΐα προς την ΓΑ, όντως η ΕΖ προς την ΗΘ.

Έπει γάρ πάλιν τό ΚΑ προς τό ΑΓ τριπλαόίονα λόγον έχει ηπερ η AB προς την ΓΑ, έχει δέ και τό 20 ΜΕ προς το ΝΗ τριπλαβίονα λόγον ηπερ η ΕΖ προς την ΗΘ, καί έβτιν ώς τό ΚΑ προς τό ΑΓ', όντως τό ΜΕ προς τό ΝΗ, καί ώς άρα η AB προς την ΓΑ, όντως η ΕΖ προς την ΗΘ.

Έάν άρα τέόόαρες εν&εΐαι άνάλογον ώβι καί τα 25 έί,ής της προτάόεως' όπερ έδει δεΐζαι.

4. Ante τε m. 1 dei. στερεά F.

7. όμοιον] om. Theon (BFY). εστινΒ. (BFV).    12. η ΕΖ] ΕΖ F.

liquet in F. 14. Λ Γ] ΓΛ Υ.

στερεόν] om. Υ. ΗΝ Υ.

(alt.) εδείχΰη Υ. 20. ΝΗ] ΜΕ F.

5. ΑΓ] ΛΓ, AM F.

8. ΛΓ ομοιον Theon 13. ΝΗ] Η ηοη EM Υ. 19. έχει]

καί] om. Β.

15. στερεόν] om. Υ. 18. ΚΑ] A eras. Ρ.

λόγον έχον Υ.

Sint quattuor rectae proportionales AB, ΓΑ, EZ ΗΘ, ita ut sit ΛΒ : ΓΑ = EZ : ΗΘ, et in AB, ΓΑ, EZ, ΗΘ similia et similiter posita construantur so-

y'

A’

lida parallelepipeda    y/JP, ME, NH. dico, esse

KA : ΑΓ — ME : NH.

Nam quoniam ΚΑ^ΑΓ, erit ΚΑ:ΑΓ=ΑΒ3 fFz/³ [prop. XXXIII]. eadem de causa erit etiam ME: NH= EZ³: ΗΘ³. et AB : ΓΑ = EZ : ΗΘ . quare etiam AK : ΑΓ = ME : NH.

At uero sit AK : ΑΓ = ME: NH. dico, esse AB : ΓΑ = EZ : ΗΘ.

nam quoniam rursus ΚΑ:ΑΓ=ΑΒ³: JTz/³ [prop. XXXIII], et ME:NH= EZ³:ΗΘ³, etÜL4: ΑΓ= ME : NH, erit etiam ΑΒ:ΓΑ = EZ : Η®.

Ergo si quattuor rectae proportionales sunt, et quae sequuntur in propositione; quod erat demonstrandum.

ώΰΐν

21. ΑΓ] Λ e corr. m. 1 F. 24. ώα κοά τά] ώβιν F. Β. De propositione, quae uulgo est 38, u. app.

ΣΤΟΙΧΕΙΏΝ ια. λη.

130

'Εάν κνβον των απέναντι ον έπιπέδ ων αι πλενραι διχα τμη&ώΰιν, διά των τομών επίπεδα έκβλη&η, η κοινή τομή των επιπέδων 5 και η τον κνβον 6ιάμετρος διχα τέμνονΰιν άλληλας.

Κνβον γάρ τον ΑΖ των άπεναντίον επιπέδων των ΓΖ, ΑΘ αι πλενραϊ διχα τετμήΰ&α)ΰαν κατά τά Κ, Α, Μ, IV, #, 77, Ο, Ρ ΰημεϊα, διά δέ των το-10 μών επίπεδα έκβεβληΰ^ω τά ΚΝ, £?Ρ, κοινή δε το μι των επιπέδων έΰτω η ΤΣ, τον δε ΑΖ κνβον διαγώνιος η ΑΗ. λέγω, δτι ίΰη έΰτιν η μεν ΤΤ τη ΤΣ, η δέ ΑΤ τη ΤΗ.

’Επεζενχ&ωΰαν γάρ αί ΑΤ, ΤΕ, ΒΣ, 2777. καί 15 «τεί παράλληλός έΰτιν η Aß τη ΟΕ, αι εναλλάξ, γω-νίαι αι νπο AßT, ΤΟ Ε ίΰαι άλληλαις είόίν. και έπει ίΰη έΰτιν η μεν Α & τη ΟΕ, η δε &Τ τη ΤΟ, καί γωνίας 7<?ag περιέχονΰιν, ßa'tftg αρα η ΑΤ τη ΤΕ έύτιν ίΰη, καί το AßT τρίγωνον τω ΟΤΕ τρι-20    ftfriv ίΰον και αι λοιπαι γωνίαι ταϊς λοιπαΐς

γωνίαις ίΰαι * ίΰη αρα η νπΐ &ΤΑ γωνία τη νπο ΟΤΕ γωνία, διά δη τοντο εν&εΐά έΰτιν η ΑΤΕ. διά τά αντά δη καί η ΒΣΗ εν&εΐά έΰτιν, καί ή

1. lat' codd. 2. κνβον] στερεού παραλληλεπιπέδου Theon (BFY). αττεναντ^ον] corr. ex άπεναντίων m. 1 Ρ. 3. τμη-ϋ'ώσι FV. 4. έκβλη&η η] έκβλη&είη F. 5. κύβον] στερεού παραλληλεπιπέδου Theon (BFY). 7. κύβου γάρ] στερεού γάρ παραλληλεπιπέδου Theon (BFY). 10. KN] ras. 2 litt. Y*. HP] H e corr. P, eras. Y. των επιπέδων τομή BFY.

11. κύβου] στερεού παραλληλεπιπέδου Theon (BFY). 12. η] έστω ή FY.    δτι] om. F; δτι αι (η YF) ΤΣ, ΔΕ διχα

ίση

13. ΔΤ] ΤΔ Ρ.

τέμνουσιν άλληλας, τουτέστιν δτι ΒΥ et mg. m. rec. F. έστίν] om. BFY. ΤΣ ίση έστίν BFY.

XXXVIII.

Si in cubo¹) latera planorum inter se oppositorum in duas partes aequales secantur, et per puncta sectionum plana ducuntur, communis planorum sectio et cubi diametrus inter se in duas partes aequales secabunt.

Nam in cubo AZ latera planorum inter se oppositorum ΓΖ, ΑΘ in duas partes aequales secentur in punctis K, A, Μ, N, S> 77, Ο, P, et per puncta sectionum plana ducantur KN, £?P, et communis planorum sectio sit ΤΣ, diametrus autem cubi AZ sit AH. dico, esse TT = ΤΣ, AT = TH.

ducantur enim AT, TE, ΒΣ, ΣΗ. et quoniam AS rectae OE parallela est, anguli alterni A ST, TOE inter se aequales sunt [I, 29]. et quoniam AS = OE, ST= TO, et aequales angulos comprehendunt, erit AT=TE et A ST = OTE, et reliqui anguli reliquis aequales [I, 4]. itaque L STA = OTE. quare recta est A TE [I, 14]. eadem de causa etiam

1) In hac scriptura tuenda consentiunt Campanus, Bononiensis, Vaticanus P, quamquam in hoc legitur mg. m. 1: γρ. εάν ατερεον παραλληλεπίπεδον, sane eadem demonstratio de quouis parallelepipedo ualet, sed cum propositio de cubo solo demonstrata propositioni 17 libri XIII, cui soli inseruit haec nostra propositio, satisfaceret, Euclides hoc casu speciali contentus fuit.

14 γάρ] om. F. ΒΣ] corr. ex B E m. 2 F. 15. at] supra m. 1 F. 16. α£] om. F. είοί V, comp. F. 17. OEJ ΘΕΕ. 18. περιεχονοι V. τη] ßa6SL τη FV. 19. ΐοη εατί Υ. TOE B; OT E' F; OET, supra ET ras., V. ^ 20. i'aov εοτίν B. 21. i'cai] om. BF; Ϊ6αι εοονται εκατέρα εκατεραΥ.

22. OTE] TOE B; supra TE add. · · et · m. 2 F.

23. εοτι PV, comp. F. ίοη] supra scr. m. 2 B.

ΒΣ τη ΣΗ. και έπει η ΓΑ τη AB ί'6η έΰτΐ και παράλληλος, άλλα η ΓΑ και τη ΕΗ ί'ΰη τέ έ<5τι και παράλληλος, και η AB άρα τη ΕΗ ί'ΰη τέ έΰτι και παράλληλος.    και έπιζενγννονΰιν αντάς εν&εϊαι αι

5 AE, ΒΗ* παράλληλος άρα έβτιν η ΑΕ τη ΒΗ. ΐόη άρα η μεν νπο ΕΑΤ γωνία τη νπο ΒΗΤ’ εναλλάξ γάρ' η δε νπο ATT τη νπδ ΗΤΣ. δνο δη τρίγωνά έοτι τά ATT, ΗΤΣ τάς δνο γωνίας ταΐς δνΰι γω-νίαις ΐΰας έχοντα και μίαν πλενράν μια πλενρα ίΰην 10 την νποτείνονβαν νπο μίαν των ίόων γωνιών την A Τ τη Η Σ' ημίόειαι γάρ ειΰι των AE, ΒΗ* και τάς λοιπάς πλενράς ταΐς λοιπαΐς πλενραΐς ΐΰας έξει. ίση άρα η μεν A Τ τη ΤΗ, η δέ ΤΤ τη ΤΣ.

⁵Εάν άρα κύβον των άπεναντίον επιπέδων αι πλενραι 15 δίχα τμη&ώόιν, διά δέ των τομών επίπεδα εκβλη&η,

η][corr. ex αι V.

3. αρα] om. V.

1. ΣΗ] in ras. V. lin. 2, 3.    2. καί τη] τη FT.

e corr. F; EH άρα V. εΐληπται εφ³ εκατέρας αυτών τυχόντα σημεία τά Π, Τ (d, ΕΤ F), Η, Σ, καί έπεζενχ&ωσαν αί dH, ΤΣ. εν ένί άρα εΐσϊν έπιπέδω αί dH, ΤΣ. καί έπεί παράλληλός εστιν η dE τη ΒΗ (BFV). Dein in F V seq. καί εις αυτάς έμπέπτωκεν ευ&εΐα η

7. η df] εστιν δε η Β.

8. εστιν Β.

13. dT] d e corr. V.

στερεού παραλληλεπιπέδου Theon (BFV); item p. 134 lin. 1.

15. τμη&ώσι V.

έστίν Β; item ΕΗ] Η

5. Post alt. ΒΗ add. Theon: καί

6. μεν] om. B.

ΗΤΣ 9. πλευράν' 14. κύβου

dH.

11. είσιν B.

ΤΣ in ras. m. 1 P; ΗΤΣ ίση B. om. V.

ΒΣΗ recta est, et ΒΣ = ΣΗ. rectae AB et aequalis est et parallela, et ΓΑ etiam rectae EH et aequalis et parallela est, etiam AB rectae EH et aequalis est et parallela [prop. IX].

et quoniam ΓΑ

et eas coniungunt rectae A E, BH. itaque A E rectae BH parallela est [I, 33]. itaque¹) L EA T = BHT (nam alterni sunt) [I, 29], et L ATT = ΗΤΣ [I, 15]. quare duo trianguli sunt ATT, ΗΤΣ duos angulos duobus angulis aequales habentes et unum latus uni lateri aequale, quod sub altero angulorum aequalium subtendit, ΑΤ=ΗΣ (nam dimidiae sunt rectarum A E, BH), et reliqua latera reliquis lateribus aequalia habebunt [I, 26]. ergo AT= ΤΗ, TT = ΤΣ.

Ergo si in cubo latera planorum inter se oppositorum in duas partes aequales secantur, et per puncta sectionum plana ducuntur, communis planorum sectio

η κοινή τομή των επιπέδων καί η τον κύβον διάμετρος δίχα τέμνονΰιν άλληλας* όπερ έδει δεΐ\αι.

’Εάν η δύο πρίό ματα ίόονψή, και το μεν έχη 5 βάΰιν παραλληλόγ ραμμον, το δε τρίγωνον, δι-πλάόιον df fi το παραλληλόγραμμον τον τρίγωνον, ίΰα έόται τα πρίσματα.

”Εότω δύο πρίόματα ιΰονψή τα Α ΒΓΑ ΕΖ, ΗΘΚΑΜΝ, και το μεν έχέτω βάβιν το AΖ παραλ-10 ληλόγραμμον, το df το ΗΘΚ τρίγωνον, διπλά<5ιον δε εότω το ΑΖ παραλληλόγραμμον τον ΗΘΚ τρίγωνον* λέγω, ότι ί'ΰον έότΐ τό ΑΒΓΑΕΖ πρίόμα τω ΗΘΚΑΜΝ πρίόματι.

Σνμπεπληρώό&ω γάρ τα Α Η, HO Στερεά, έπεϊ 15 διπλάόιόν έότι το ΑΖ παραλληλόγραμμον τον ΗΘΚ τρίγωνον, έΰτι δέ και τό ΘΚ παραλληλόγραμμον διπλάΰιον τον ΗΘΚ τρίγωνον, ίόον άρα έ<5τϊ τό ΑΖ παραλληλόγραμμον τω ΘΚ παραλληλογράμμω. τα δέ επί ’έ<5ων βάΰεων όντα ότερεά παραλληλεπίπεδα καί 20 νπό τό αντό νψος ίΰα άλληλοις έΰτίν* ί'ΰον άρα εΰτί τί Α$ ΰτερεόν τω HO βτερεω. καί έΰτι τον μέν Α% ότερεον ημιον τό ΑΒΓΑ ΕΖ πρίσμα, τον δέ HO ότερεον ημιόν τό ΗΘΚΑΜΝ πρίσμα* ίΰον

3. μ' codd. (in F seq. ras. 1 litt.).    10. δέ] δε λοιπόν F.

τό] o e corr. m. 2 B. διπλάαιον — 11. τρίγωνον] om. F. 14. HO] in ras. m. 2 V; H e corr. m. rec. P. Ante έπεί add. nui m. 1 — 2 V. 16. έατιν B. εατι — 17. τριγώνου] mg. m. 2 V. 18. δέ] δ’ F. 20. ίαα] om. F. έατίν] εατϊν Ϊ6ον F, εατϊν ίαα m. 2.    21. HO] Ο non liquet FV. έατιν

B. 22. ΑΒΓΑZE F, corr. m. 2.    23. ΗΘΊ F.

et cubi diametrus inter se in duas partes aequales secabunt; quod erat demonstrandum.

XXXIX.

Si duorum prismatum eandem altitudinem habentium alterum basim parallelogrammum, alterum triangulum habet, et parallelogrammum duplo maius est triangulo, prismata aequalia sunt.

Duo prismata sint ΑΒΓΑEZ, ΗΘΚΑΜΝ eandem altitudinem habentia, et alterum basim habeat AZ parallelogrammum, alterum triangulum ΗΘΚ, et sit AZ = 2ΗΘΚ. dico, esse ΑΒΓΑΕΖ = ΗΘΚΑΜΝ.

expleantur enim solida A3, HO. quoniam AZ = 2ΗΘΚ, et ΘΚ = 2ΗΘΚ [I, 34], erit AZ = ΘΚ.

0

-\x·

solida autem parallelepipeda, quae iu aequalibus sunt basibus et eandem altitudinem habent, aequalia sunt [prop. XXXI]. itaque AS = HO. et ΑΒΓΑΕΖ = £ AS, ΗΘΚΑΜΝ = i HO [prop. XXVIII]. itaque ΑΒΓΑΕΖ = ΗΘΚΑΜΝ.

αρα εότΐ το AB ΓΑ E Ζ πρίόμα τω Η Θ ΚΛΜΝ πρίόματι.

³Εάν αρα η δυο πρίσματα ίβονψη, και το μεν εχη βάΰιν παραλληλόγραμμον, το δε τρίγωνον, διπλάβιον 5 δε η το παραλληλόγραμμον τον τριγώνου, ίΰα εΰτΐ τα πρίσματα* όπερ εδει δεΐξαι.

1. πρίσμα] om. BF. 3. εχει φ et Ρ (corr. m. 2). Ενκλείδον στοιχείων ϊα PF; Ευκλείδου στερεών ία Β.

Ergo si duorum prismatum eandem altitudinem habentium alterum basim parallelogrammum, alterum triangulum habet, et parallelogrammum duplo maius est triangulo, prismata aequalia sunt; quod erat demonstrandum.¹)

Δ

1) In ΡΒ figura haec est: E

w

A T

Deinde haec sequitur addito ΰαφης (σαφέστερα B) καταγραφή

Μ Ο

In Β in fig. alt. pro E est B, et B in Δ mutatum est.

Τά εν τοΐς κύκλοις όμοια πολύγωνα προς άλληλά έ<5τιν ώς τα από των διαμετρων τετράγωνα.

5 ”Ε<5τω<5αν κύκλοι οι ΑΒΓ, ΖΗΘ, και εν αντοΐς όμοια πολύγωνα ε<5τω τά ΑΒΓΑΕ₅ ΖΗΘΚΑ, διάμετροι δε των κύκλων ε<5τω<5αν αί Β Μ? HN' λέγω, οτέ,    ω£ τό από της ΒΜ τετράγωνον προς το

από της ΗΝ τετράγωνον, όντως το ΑΒΓΑΕ πολύ-10 γωνον προς το ΖΗΘΚΑ πολύγωνον.

’Επεζεύχ&ωβαν γάρ αί ΒΕ, AM, 12^/₅ ZiVr. και επεϊ όμοιον το ΑΒΓΑΕ πολύγωνον τω ΖΗΘΚΑ πολνγώνω, 1(5η έΰτΐ και η νπό ΒΑΕ γωνία τη νπό ΗΖΑ? καί εΰτιν ώς η ΒΑ προς την ΑΕ, ούτως η 15 HZ προς την ΖΑ. δύο δη τρίγωνά έ(5τι τά ΒΑΕ, ΗΖΑ μίαν γωνίαν μια γωνία ίβην εχοντα την νπό ΒΑΕ τη νπό ΗΖΑ, περί δε τάς 1(5ας γωνίας τάς πλενράς άνάλογον ίΰογώνιον άρα ε(5τι το ΑΒΕ τρί-

κλείδου ιβ q. κλοι eras, ίσοι V. 6. πολνγώνια, Β. scr. Υ.

Ενκλείδον στοιχείων ιβ Ρ; Ενκλείδον στοιχείων της Θέω-νος εκδόσεως ιβ F; Ενκλείδον στερεών β στοιχείων ιβ BV; Εν-1. α] om. Υ. 2. πολνγώνια Β. 5. Ante κύ-Α Β ΓΑ Ε, ΖΗΘΚΑ Theon (BF Υ q).

8. ΒΜ] Β supra 12. εστι το BYq.

14. ΗΖΑ]

7. λέγω] ω e corr. Υ.

9. πολυγώνων Β, item lin. 10.

13. εστϊ καί] εστίν α; εστιν καίΒ. υπό] (alt.) bis F.

Liber XII.

I.

Similia polygona in circulis inscripta eam inter se rationem habent quam quadrata diametrorum.

Sint circuli ΑΒΓ, ΖΗΘ, et in iis inscripta sint polygona ΑΒΓΑΕ, ΖΗΘΚΑ, diametri autem circulorum sint BM, HN. dico, esse

BM²: HN² = ΑΒΓΑ E : ΖΗΘΚΑ . ducantur enim BE, AM, HAy ZN. et quoniam ΑΒΓΑ E ~ ΖΗΘΚΑ, erit L BAE = HZ A et BA \AE = HZ:ZA [VI def. 1]. itaque duo trianguli

\E H(

In

sunt BAE, HZ A unum angulum uni angulo aequalem habentes, L BAE = HZ A, et latera aequales angulos comprehendentia proportionalia, itaque triangulus ABE

την] τη F.

in ras. m. 1 P; H Z in ras. m. 2 B.

H 'Z A F (puncta post add.); Z ΗΛ V, HÄ Z Bq.

16. Η ZA\ την~\ τίν λ⁷".

γωνον τω ΖΗΑ τριγώνω. ί'ύη αρα έύτιν η νπδ ΑΕΒ γωνία τη νπδ ZA Η. άλλ’ η μεν νπδ ΑΕΒ τη νπΐ ΑΜΒ έύτιν ί'ύη' επί γάρ της αντης περιφέρειας βε-βηκαύιν' η δε νπδ ΖΑΗ τη νπδ ZNH' και η νπδ 5 ΑΜΒ αρα τη νπο ΖΝΗ έύτιν ί'ύη. έύτι δε και ορ^η η νπδ ΒΑΜ όρ&η τη νπδ ΗΖΝ ί'ύη' και η λοιπή αρα τη λοιπή έύτιν ί'ύη. ισογώνιον αρα έύτι τδ AB Μ τρίγωνον τω ΖΗΝ τριγώνω. άνάλογον αρα έύτιν ως η ΒΜ πρδς την ΗΝ, όντως η ΒΑ πρδς την HZ. 10 άλλα τον μεν της ΒΜ πρδς την ΗΝ λόγον διπλαύίων έύτιν δ τοϋ άπδ της ΒΜ τετράγωνον πρδς τδ άπδ της ΗΝ τετράγωνον? τον της ΒΑ πρδς την HZ διπλαύίων έύτΙν δ τον ΑΒΓΑΕ πολνγώνον πρδς τδ ΖΗΘΚΑ πολύγωνον* και ως αρα τδ άπδ της ΒΜ 15 τετράγωνον πρδς τδ άπδ της ΗΝ τετράγωνον, όντως τδ ΑΒΓΑΕ πολύγωνον πρδς τδ ΖΗΘΚΑ πολύγωνον.

Τα άρα έν τοΐς κύκλοις όμοια πολύγωνα πρδς άλληλά έύτιν ως τα άπδ των διαμέτρων τετράγωνα' όπερ έδει δεΐζαι.

20

β'-

Οι κύκλοι πρδς άλληλονς ειύιν ως τα άπδ των διαμέτρων τετράγωνα.

³'Εύτωύαν κύκλοι οι ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ₅ διάμετροι <ϊ£ αντών [εύτωύαν] αί ΒΑ? ΖΘ’ λέγω, ότι έύτιν ως 25 ό ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τον ΕΖΗΘ κύκλον, όντως τδ

1. ΖΗΑ] corr. ex ΖΛΗΥ, ΖΑΗ Β, ΗΖΑ    φ.    2.    ΖΑΗ]

ΖΗΆ* F. 3. Supra περιφέρειας m. rec. add.    της    ΒΑ    Ρ.

η F.

4. δε] δ⁹ Ρ. 5. νπο] bis V. έστιν Β. 6. η] η γωνία AB Μ F. ίαη] om. Β. η] om. q. 7. Α MB Β. 9. JiZ] Η in ras. m. 1 Ρ. 10. MB V.    12.    δέ]    δε

από F, et dei. από V. 24. έΰτωΰαν] mg. postea    add.    m.    1 Ρ.

triangulo ZHA aequiangulus est [VI, 6]. quare L AEB = ZAH. sed L AEB = AMB (nam in eodem arcu positi sunt) [III, 27], et i ZAH = ZNH. quare etiam L AMB = ZNH. uerum etiam L BAM=HZN\ nam uterque rectus est [III, 31].

itaque etiam reliquus reliquo aequalis est. triangulus igitur ABM triangulo ZHN aequiangulus est. quare BM: HN = BA : HZ [VI, 4]. uerum BM²: HN2 ratio duplicata est quam BM:HN, et

ΑΒΓΑ E: ΖΗΘΚΑ = BA²: HZ² [VI, 20]. itaque etiam

BM²: HN² = ΑΒΓΑ E : ΖΗΘΚΑ.

Ergo similia polygona in circulis inscripta eam inter se rationem habent quam quadrata diametrorum; quod erat demonstrandum.

II.

Circuli eam inter se rationem habent quam quadrata diametrorum.

Sint circuli ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ et eorum diametri BA, ΖΘ. dico, esse

ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = BA²: ΖΘ².

II. Simplicius in phys. fol. 15. Psellus p. 65.

ΛB F. λέγω — p. 142, 5. ως το από] λέγω, οτι έατϊν ως το από της ΒΑ τετράγωνον (comp. add. m. 2 V) προς το από της ΖΘ τετράγωνον (om. Υ) όντως 6 ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, εί γάρ μή έατϊν (hic seq. in q: ό ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ) ως το από της ΒΑ τετράγωνον (om. Υ) προς το από της ΖΘ (τετράγωνον add. Yq), ούτως 6 ΑΒΓΑ κύκλος πς>ος τον ΕΖΗΘ κύκλον (ούτως — κύκλον om. q), έαται ως το άπό (προς τόν — από om. F) BFVq et Ρ mg. m. 2 (γρ. και ούτως et in fine η δητα γραφή καί κρείττων έατϊν).

ΣΤΟΙΧΕΙΏΝ iß', άπδ τής ΒΑ τετράγωνον προς το άπδ τής ΖΘ τετρά

142

γωνον.

Εί γάρ μή έΰτιν ώς 6 ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ₅ όντως το άπο τής ΒΑ τετράγωνον προς το 5 άπο τής ΖΘ, έύται ώς το άπο τής ΒΑ προς το άπο τής ΖΘ, όντως 6 ΑΒΓΑ κύκλος ήτοι προς έλαββόν τι τον ΕΖΗΘ κνκλον χωρίον ή προς μεΐζόν. εΰτω πρότερον προς έλαΰΰον το Σ. καί έγγεγράφ&ω εις τον ΕΖΗΘ κνκλον τετράγωνον το ΕΖΗΘ' το δή 10 εγγεγραμμενον τετράγωνον μεΐζόν εΰτιν ή το ήμιΰν τον ΕΖΗΘ κνκλον, έπειδήπερ εάν διά των Ε, Ζ? Η? Θ ΰημείων έφαπτομένας [εν&είας] τον κνκλον άγάγωμεν, τον περιγραφομενον περί τον κνκλον τετράγωνον ήμιΰν έΰτι τδ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τον δε περι-15 γραφέντος τετράγωνον έλάττων έΰτϊν δ κνκλος' ώΰτε τδ ΕΖΗΘ εγγεγραμμενον τετράγωνον μεΐζόν έΰτι τοϋ ήμιΰεως τον ΕΖΗΘ κνκλον. τετμήΰ&ωΰαν δίχα αΐ ΕΖ, ΖΗ₅ ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι κατά τά Κ₅ Λ, Μ, Ν ΰημεΐα, καί έπεζενχ&ωΰαν αι ΕΚ₉ ΚΖ ₅ ΖΛ, ΑΗ, 20 Η Μ, ΜΘ₅ ©JV, ΐνΈ* καί έκαΰτον άρα των ΕΚΖ? ΖΛΗ₅ ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων μεΐζόν έΰτιν ή τι ήμιΰν τον κα&’ εαντο τμήματος τον κνκλον, έπειδήπερ εάν διά των Κ, Λ? Μ, iV ΰημείων εφαπτομένας τον κνκλον άγάγωμεν καί άναπληρώΰωμεν τά επί των 25 ΕΖ,ΖΗ,ΗΘ,ΘΕ εν&ειών παραλληλόγραμμα, έκαΰτον

3. ό] supra m. 1 Ρ. 5. τής jBz/ — 6. κνκλος] om. F.

13. διάγωμεν 15. ελάαοων φ. 20. ΕΚΖ]

21. ΗΜΘ] Η e corr. ττ; ΘΗΜΘ, dei.

6. BJ τετράγωνον V. 7. rt] om. V; supra έλαβσον ras. est. κνκλον] supra scr. m. 1 V. 9. ΕΖΗΘ] (alt.) E supra m. 1 V.

δη] δε FV. 12. εν&είας] om. BFVq.

Bq, διαγάγωμεν B m. 2 et F (δι- euan.).

17. ήμίΰεος BY q. 18. ΘΕ] supra m. 2 B.

Z e corr. m. 1 V.

Nam si non est ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = BA²: ΖΘ²} erit nt ΒΑ²:ΖΘ², ita ΑΒΓΑ aut ad minus aliquod circulo ΕΖΗΘ spatium aut ad maius, sit prius ad minus, Σ. et in circulo ΕΖΗΘ inscribatur quadratum ΕΖΗΘ [IV, 6]. quadratum igitur inscriptum maius est quam dimidium circuli ΕΖΗΘ, quoniam, si per puncta Ey Z, Η, Θ rectas circulum contingentes duxerimus, quadratum ΕΖΗΘ dimidium¹) est quadrati circum circulum circumscripti, et circulus minor est quadrato circumscripto; quare quadratum inscriptum ΕΖΗΘ maius est quam dimidium circuli ΕΖΗΘ.

\ä

<ar

iam arcus EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ in punctis K₇ A, M, N in binas partes aequales secentur, et ducantur EK, KZy ZAy AHy HMy ΜΘ, ΘΝ, NE. itaque etiam singuli trianguli EKZ₇ ZAH, ΗΜΘ, ΘΝΕ maiores sunt quam dimidia segmentorum circuli ad eos pertinentium, quoniam si per puncta KP A, Μ, N rectas circulum contingentes duxerimus et parallelogramma in rectis EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ posita expleuerimus, 1) Hoc facile ex I, 47 demonstratur, coli. VI, 20 coroll.

ΘΝΕ] supra add. N m. 2 F.

25. Post snciGTOv

pr. Θ et supra scr. bis M F.

22. εαυτό] corr. ex εαυτόν m. 2 B. add. αρα m. 2 F.

των ΕΚΖ, ZÄH, ΗΜΘ, ΘΝΕ τριγώνων ημιΰν έΰται τον κα&’ εαυτό παραλληλογράμμου, άλλα τό καθ'⁹ εαντο τμήμα ελαττόν έΰτι τον παραλληλογράμμου' ώβτε εκαΰτον των ΕΚΖ, ΖΑΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ τρι-5 γώνων μεΐζόν έΰτι τοϋ ημίΰεως τον κα& εαντο τμήματος τον κύκλον. τέμνοντες δη τάς νπολειπομένας περιφέρειας δίχα και έπιζενγννντες ευθείας και τούτο άει ποιονντες καταλείψομέν τινα άποτμηματα τον κύκλον, ά έΰται έλάΰΰονα της υπέροχης, η υπερέχει 6 ΕΖΗΘ 10 κύκλος τον Σ χωρίον. έδειχ&η γάρ εν τω πρώτω &εωρήματι τον δεκάτον βιβλίου, ότι όνο μεγε&ών άνίΰων έκκειμένων, εάν άπο τον μείζονος άφαιρε&η μεΐζόν η το ημιΰν καί τον καταλειπομενού μεΐζόν η το ημιΰν, και τούτο άει γίγνηται, λειφΟ'ήΰεταί τι μέ-15 γεΟνς, ο έΰται έλαΰΰον τον έκκειμένον έλάΰΰονος μεγέ&ονς. λελειφ&ω ονν, και έΰτω τα έπι των ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, Η Μ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τμήματα τον ΕΖΗΘ κύκλον έλάττονα της υπέροχης, η υπερέχει δ ΕΖΗΘ κύκλος τον Σ χωρίου, λοιπδν άρα τό 20 ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολύγωνον μεΐζόν έΰτι τοϋ Σ χωρίον. έγγεγράφ&ω και εις τον ΑΒΓΑ κύκλον τω ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολνγώνω όμοιον πολύγωνον τό Α&ΒΟΓΠΑ P' έ<5τιν άρα ως τό άπο της ΒΑ τετράγωνον προς τό άπο της ΖΘ τετράγωνον, ούτως τό Α&ΒΟΓΠΑ Ρ πολύγωνον 25 προς τό ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολύγωνον, άλλα και ως τό άπο της ΒΑ τετράγωνον προς τό άπο της ΖΘ, ούτως δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τό Σ χωρίον* και ώς άρα δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τό Σ χωρίον, ούτως τό

1. ΕΚΖ] KZ in ras. m. 1 Ρ; ΕΖΚ <j. Post ΘΝΕ ras. 2 litt. Β. τριγώνων] ι in ras. m. 2 B. ημισυ — 4. τριγώνων] bis Β. 2. εαυτό] corr. ex εαυτόν m. 2 B (priore tantum loco).

singuli trianguli EKZ, ZAH, ΗΜΘ, ΘΝΕ dimidia sunt parallelogrammorum ad eos pertinentium, et segmenta ad eos pertinentia minora sunt parallelo-grammis; quare singuli trianguli EKZ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ maiores sunt quam dimidia segmentorum ad eos pertinentium, itaque relictos arcus secantes et rectas ducentes et hoc semper facientes segmenta quaedam circuli relinquemus, quae minora erunt excessu, quo circulus ΕΖΗΘ spatium Σ excedit; nam in primo theoremate decimi libri demonstratum est, si datis duabus magnitudinibus inaequalibus a maiore plus quam dimidium subtrahatur et a relicta plus quam dimidium et hoc semper fiat, magnitudinem relictum iri, quae minor sit data magnitudine minore, relinquatur igitur, et segmenta circuli ΕΖΗΘ in rectis EKj KZ, ΖΛ, AH, HM, ΜΘ, ΘΝ, NE posita minora sint excessu, quo circulus ΕΖΗΘ spatium Σ excedit. itaque ΕΚΖΑΗΜΘΝ > Σ. inscribatur etiam in circulo ΑΒΓΑ polygonum ΑΕΒΟΓΠΑP polygono ΕΚΖΑΗΜΘΝ simile, erit igitur BA² : ΖΘ2 = ΑΒΒΟΓΠΑΡ: ΕΚΖΑΗΜΘΝ [prop. I]. etiam BA²: ΖΘ² = ΑΒΓΑ: Σ. quare etiam ΑΒΓΑ : Σ

uerum

3.    αυτό P. ελασσον B (utroque loco), Vq; comp. F.

4.    ώστε καί V. 5. ημίθεος BFVq. 8. αίεί F, αεί φ. τμήματα Β. 9. ελάττονα BFVq. 10. Σ] corr. ex E B.

12. εκ- corr. ex £y- in scr. F. 13. καί — 14. ημισν] om. P.

EZ q.

20. ΕΖΚΛΗΜΘN P. m. 2 Y.

ΖΘ] bis Y, corr. m. 1.

14. ληφ&ήαεταϋ q. 15. εσται] εστιν FV. 16. λελήφ&ω F et V (sed corr.); είλήφ&ω q. 17. HM] mg. m. 1 P. τμήματα — 18. κνκλον] mg. m. 1 V. 18. ΕΖΗΘ] ΕΖΘ V, ελασσόνα Β. 19. ΕΖΗΘ] pro Ε c m ras. φ.

πολυγώνων q. 22. όμοων] in ras. Ο in ras. m. 1 B; Γ mg. V. 24. όντως — 26.

ΑΕΒΟΓΠΑΡ πολύγωνον προς το ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολύγωνον* εναλλάξ, άρα ως 6 ΑΒΓΑ κύκλος προς το εν αντω πολύγωνον, όντως το Σ χωρίον προς το ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολύγωνον, μείζων δε ο ΑΒΓΑ κύ-5 κλος τον εν αντω πολνγώνον* μεΐζον άρα και το Σ χωρίον τον ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολνγώνον. αλλά καί ελαττον' δπερ εότιν αδύνατον, ονκ άρα έοτιν ως το άπδ τήςΒΑ τετράγωνον προς το άπδ τής ΖΘ, όντως ο ΑΒΓΑ κύκλος προς ελαβοόν τι τον ΕΖΗΘ κύκλον 10 χωρίον. ομοίως δή δείξομεν, δτι ονδε ως το άπί ΖΘ προς το άπδ ΒΑ, όντως ο ΕΖΗΘ κύκλος προς ελα6-6ον τι τον ΑΒΓΑ κύκλον χωρίον.

Αεγω δή, οτι ονδε ως το άπδ τής ΒΑ προς το άπδ τής ΖΘ, όντως δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς μεΐζον τι 15 τον ΕΖΗΘ κύκλον χωρίον.

Εί γάρ δννατόν, εΰτω πρδς μεΐζον τδ Σ. άνά-παλιν άρα [εότϊν] ως τδ άπδ τής ΖΘ τετράγωνον πρδς τδ άπδ τής AB₉ όντως τδ Σ χωρίον πρδς τδν ΑΒΓΑ κύκλον. άλΓ ως τδ Σ χωρίον πρδς τδν ΑΒΓΑ 20 κύκλον, όντως δ ΕΖΗΘ κύκλος πρδς ελαττόν τι τον ΑΒΓΑ κύκλον χωρίον* και ως άρα τδ άπδ τής ΖΘ πρδς τδ άπδ τής ΒΑ, ούτως δ ΕΖΗΘ κύκλος πρδς έλαΰΰόν τι τον ΑΒΓΑ κύκλον χωρίον' δπερ άδύνατον έδείχ&η. ονκ άρα έότϊν ως τδ άπδ τής ΒΑ τετρά-25 γωνον πρδς τδ άπδ τής ΖΘ, ούτως δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς μεΐζον τι τον ΕΖΗΘ κύκλον χωρίον. εδείχ&η δε, δτι ονδε πρδς ελαΰόον' εβτιν άρα ως τδ άπδ τής ΒΑ τετράγωνον πρδς τδ άπδ τής ΖΘ, ούτως δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τδν ΕΖΗΘ κύκλον.

4. μείζων] eorr. ex μεΐ-7. εστίν] om. Υ.

3. εν αντω] ΑΕΒΟΓΠΛΡ Υ. ζον m. 1 BV. 5. ν,αί] supra m. 2 Β.

= Α8ΒΟΓΠΑΡ: ΕΚΖΑΗΜΘΝ. tando [V, 16]

itaque permu-

ΑΒΓΑ : ΑΕΒΟΓΠΑΡ= Σ: ΕΚΖΑΗΜΘΝ. sed ΑΒΓΑ > Α&ΒΟΓΠΑΡ. quare etiam Σ> ΕΚΖΑΗΜΘΝ.

uerum etiam Σ < ΕΚΖΑΗΜΘΝ] quod fieri non potest, itaque non est ut BA² ad ΖΘ², ita circulus ΑΒΓΑ ad spatium aliquod minus circulo ΕΖΗΘ. iam similiter demonstrabimus, ne circulum ΕΖΗΘ quidem ad spatium aliquod minus circulo ΑΒΓΑ eam rationem habere quam ΖΘ²:ΒΑ².

Iam dico, ne ad maius quidem spatium aliquod circulo ΕΖΗΘ circulum ΑΒΓΑ eam rationem habere quam BA²: ΖΘ².

nam si fieri potest, habeat ad Σ maius circulo ΕΖΗΘ. e contrario igitur [V, 7 coroll.] ΖΘ²: BA2 = Σ: ΑΒΓΑ, uerum ut Σ spatium ad circulum ΑΒΓΑ, ita circulus ΕΖΗΘ ad spatium minus circulo ΑΒΓΑ [u. lemma], quare etiam ut ΖΘ² : B A², ita circulus ΕΖΗΘ ad spatium aliquod minus circulo ΑΒΓΑ; quod fieri non posse demonstratum est. itaque non est, ut B A² : ΖΘ², ita circulus ΑΒΓΑ ad spatium aliquod maius circulo ΕΖΗΘ. demonstra-uimus autem, ne ad minus quidem eum illam habere rationem, est igitur BA²: ΖΘ² = ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ.

εοτίν — αρα] supra m. 2 B. om. V.

ΖΘ V.

17. εβτίν] om. P. ώς — 20. κύκλον] om. q. ώς εν&νς έρεΐ P.

27. nqog] om. V.

ΖΘ τετράγωνον BFVq. 11. τής ΒΔ Υ.

από τής] 10. τής

8. τής] om. Bq.

9. ελαττον Β.

13. δ ή] St, FY.

18. dB] ΒΔ τετράγωνον Υ.

20. κύκλον] om. V; mg. m. 1: 24. ΒΔ] AB P.

ΖΘ τετράγωνον ΒΥ.

ελαΰΰον B Υ q. 28. ΒΔ] AB Ρ.

ονδ⁹ F.

19. αλλ⁹

10*

Οι αρα κύκλοι προς άλληλονς είΰιν ω£ τα άπδ των διαμέτρων τετράγωνα* όπερ εδει δειξαι.

Λήμμα.

Λέγω δη, ότι τον Σ χωρίου μείζονος όντος τον 5 ΕΖΗΘ κύκλου έΰτιν ως το Σ χωρίον προς τον ΛΒΓΛ κύκλον, όντως ό ΕΖΗΘ κύκλος προς έλαττόν τι τον ΛΒΓΛ κύκλον χωρίον.

Γεγονέτω γάρ ως το Σ χωρίον προς τον ΛΒΓΛ κύκλον, όντως 6 ΕΖΗΘ κύκλος προς το Τ χωρίον. 10 λέγω, οτι έλαττόν έΰτι το Τ χωρίον τον ΛΒΓΛ κύκλον. έπεϊ γάρ έΰτιν ως το Σ χωρίον προς τον ΛΒΓΛ κύκλον, όντως δ ΕΖΗΘ κύκλος προς το Τ χωρίον, εναλλάξ έΰτιν ως το Σ χωρίον προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, όντως δ ΛΒΓΛ κύκλος προς το Τ χωρίον. 15 μεΐζον $£ τδ Σ χωρίον τον ΕΖΗΘ κύκλον' μείζων αρα και δ ΛΒΓΛ κύκλος τον Τ χωρίον. ωΰτε έΰτιν ως τδ Σ χωρίον πρδς τδν ΛΒΓΛ κύκλον, όντως δ ΕΖΗΘ κύκλος πρδς έλαττόν τι τον ΛΒΓΛ κύκλον χωρίον' όπερ έδει δεΐξαι.

20

Πά(5α πνραμις τρίγωνον έχονΰα βάΰιν διαιρείται εις δύο πνραμίδας ϊΰας τε καί δμοίας άλληλαις και [δμοίας] τη όλη τριγώνους έχού-ΰας βάΰεις καί εις δύο πρίΰματ a ιΰα' και τα 25 δύο πρίΰματα μείξονά εΰτιν η τδ ημιΰν της όλης πνραμίδο ς.

om. Υ.

F.

3. λήμμα] om. codd.

9. τό] corr. ex τον m. 1 Ρ. 12. %νκλος] om. Υ.

6. έλααοον BVq.

13. 27] E F.

7. κνκλον] 10. έλααοον Β, comp. 15. μεΐζον] -ον

Ergo circuli eam inter se rationem habent quam quadrata diametrorum; quod erat demonstrandum.

Corollarium.¹)

Dico, si ΕΖΗΘ > Σ, esse ut Σ spatium ad circulum ΑΒΓΗ, ita circulus ΕΖΗΘ ad spatium aliquod minus circulo ΑΒΓΑ.

fiat enim Σ : ΑΒΓΑ = ΕΖΗΘ : T. dico, esse T< ΑΒΓΑ. nam quoniam est Σ : ΑΒΓΑ = ΕΖΗΘ: T, permutando erit [V, 16] Σ : ΕΖΗΘ = ΑΒΓΑ : T. sed Σ > ΕΖΗΘ. quare etiam ΑΒΓΑ> T [V, 14]. est igitur, ut spatium Σ ad ΑΒΓΑ circulum, ita circulus ΕΖΗΘ ad spatium minus circulo ΑΒΓΑ· quod erat demonstrandum.

III.

Omnis pyramis triangulam basim habens in duas pyramidas inter se et aequales et similes totique similes triangulas bases habentes et in duo prismata aequalia diuiditur; et duo prismata maiora sunt dimidio totius pyramidis.

1) Hoc lemma an genuinum non sit, dubitare licet; etiam loci quidam in ipsa demonstratione suspecti sunt, sed de hoc toto genere, scilicet interpolationibus ante Theonem ortis, post modo uidebimus.

e corr. V.    Σ] E F. 18. ελασσον BFVq. κύκλον] orn.

V. 20. y'] om. q; non liquet F. 21. Post τρίγωνον 4 litt, eras. P.    22. Post εις ins. τε m. 2 F.    τε και δμοίας]

supra m. 2 B, om. FV q. 23. άλληλας P, -ας e corr. Dein seq. in BFVq: τριγώνους (ον e corr. V) εχονσας (corr. ex εχουσα m. 2 F) βάσεις.    δμοίας] om. P. τριγώνου P, corr.

m. 1. τριγώνους εχονσας βάσεις] om. BFVq. 24. ίσα] om. F, in ras. V. και τά δυο πρίσματα] om. F.

’Έΰτω πυραμίς, ής βάΰις μεν έΰτι τό ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφή δε το dl ΰημεΐον λέγω, δτι η ΑΒΓΑ πυραμϊς διαιρείται εις Wo πυραμίδας ίΰας άλληλαις τριγώνους βάΰεις έχούΰας και δμοίας τη όλη και εις 5 Wo πρίΰματα ίΰα* καί τα δύο πρίσματα μείζονά έΰτιν η το ημιΰυ της όλης πυραμίδος.

Τετμήΰ&ωΰαν γαρ αί AB, ΒΓ, ΓΑ, ΑΑ, Jß, ΑΓ δίχα κατά τα Ε, Ζ? Η, Θ, Κ, Α ΰημεΐα, και έπεζεύχ&ωΰαν αι ΘΕ, ΕΗ, ΗΘ, ΘϋΓ, ΚΑ, ζ/©₅ ÜCZ? 10 Zif.    ίΰη έΰτιν η μεν ΑΕ τη ΕΒ, ή δέ ΑΘ τη

ΑΘ, π:αράλλ^λθ£ αρα atfrh/ ή J£© τ?} ζ/Β. <^ά τα Wra δη και η ΘΚ τη AB παράλληλός έΰτιν. παραλληλόγραμμον άρα έΰτι τό ΘΕΒΚ* ίΰη άρα έΰτιν η ΘΚ τη ΕΒ. άλλα η ΕΒ τη ΕΑ έΰτιν ίΰη * και η 15 ΑΕ άρα τη ΘΚ έΰτιν ίΰη. έΰτι δέ και η ΑΘ τη ΘΑ ίΰη’ δύο δη αί ΕΑ, ΑΘ δυΰι ταΐς ΚΘ, ΘΑ ίΰαι είΰιν έκατέρα έκατέρα' και γωνία η υπό ΕΑΘ γωνία τη υπό ΚΘ Α ίΰη' βάΰις άρα η ΕΘ βάΰει τη ΚΑ έΰτιν ίΰη. ίΰον άρα και όμοιόν έΰτι τό ΑΕΘ 20 τρίγωνον τω ΘΚΑ τριγώνω. διά τά αυτά δη και τό ΑΘΗ τρίγωνον τω ΘΑΑ τριγώνω ίΰον τέ έΰτι και όμοιον. και έπει δύο εύ&εΐαι άπτόμεναι άλληλων αί ΕΘ, ΘΗ παρά δύο εύ&είας άπτομένας άλληλων τάς ΚΑ, ΑΑ είΰιν ούκ έν τω αύτω έπιπέδω ούΰαι, ίΰας 25 γωνίας περιέζουΰιν. ίΰη άρα έΰτιν η υπό ΕΘΗ γωνία τη υπό ΚΑΑ γωνία, και έπεϊ δύο εύ&εΐαι αί ΕΘ, ΘΗ δυΰι ταΐς ΚΑ, ΑΑ ίΰαι είΰιν έκατέρα έκα-

1. τό] corr. ex TQLyoovov] di F.

1 F.

m. 2 F.

7. dB] dE F.

9. EH] HE FV.

11. d@] in ras. Y, &d B, Ed F.

ABTd F, et B, eras. d.

8. dV] re corr. m. ΘΚ] supra scr. m. 2 B. dB] dE F.

12. £6Tl

Sit pyramis, cuius basis sit ΑΒΓ triangulus, uertex autem punctum A. dico, pyramidem ΑΒΓΑ in duas pyramides diuidi inter se aequales triangulas bases habentes et toti similes et in duo prismata aequalia, et duo prismata maiora esse dimidio totius pyramidis.

secentur enim AB, ΒΓ\ ΓΑ, AA} ABy ΑΓ in duas partes aequales in punctis E, Z, H, ©, Kf A, et ducantur ΘΕ, EH, ΗΘ, ΘΚ, KA, ΑΘ, XZ, ZU. iam quoniam A E = 2£j5, ΑΘ — ΑΘ, erit rectae parallela [VI, 2]. eadem de causa etiam @Z£ rectae AB parallela est. itaque parallelogrammum est ΘΕΒΚ. itaque ΘΚ = EB [I, 34]. uerum etiam EB = EA. quare etiam EA = ΘΚ. uerum etiam ΑΘ = ΘΑ. itaque duae rectae EAy ΑΘ duabus ΚΘ, ΘΑ aequales sunt singulae singulis; et L ΕΑΘ = ΚΘΑ [I, 29]. itaque ΕΘ = ΚΑ [I, 4]. quare triangulus ΑΕΘ triangulo ΘΚΑ et aequalis est et similis [I, 4], eadem de causa etiam triangulus ΑΘΗ triangulo ΘΑΑ et aequalis est et similis, et quoniam duae rectae inter se tangentes ΕΘ, ΘΗ duabus rectis inter se tangentibus KA, A A parallelae sunt in eodem plano non positae, aequales angulos comprehendent [XI, 10]. itaque LE@H=KAA. et quoniam duae rectae ΕΘ, ΘΗ duabus rectis KA, A A aequales sunt singulae

q·

14. EÄ\ in ras. V, JE BF. ΑΘ] ΘΑ Ρ.

17. ΕΑ, ΑΘ ΡΒ. ΑΕΘΑ F.

21. ΑΒΗ φ.

15. ΑΕ] EA Ρ.

I'<m] ΕΑ] EA q,

16. ΘΑ] ΑΘ Β.

18. ΚΘ, ΘΑ PBF.

20. τρίγωνον] comp. F.

Post τριγώνω rep. in F: διά τά αντα δη και το ΑΘΗ τρίγωνον τω ΘΑΑ τριγώνω.

ξ'βτιν Ρ.

AE BV.

19. ί'αη εατί q. ΚΘΑ FV.

ΘΚΑ F.

τε] om. Ρ. Ε Θ\ ΘΗ PBF.

23. άπτόμεναι q.

25. εαται q. 26. KA, AA PF, et Β, alt. A eras.

¹

Nam z/E, z/if, BH in eodem plano sunt (prop. VII).

τέρα, καί γωνία η υπό ΕΘΗ γωνία τη υπό ΚΑΑ έΰτιν ΐΰη, βάΰις άρα η ΕΗ βάΰει τη ΚΛ [έΰτιν] ΐΰη* ΐΰον αρα καί ομοιόν έΰτι το ΕΘΗ τρίγωνον τω ΚΑΑ τριγώνω. δια τα αυτά δη και το Λ ΕΗ τρίγωνον τω 5 ΘΚΛ τριγώνω ΐΰον τε καί ομοιόν έΰτιν. η αρα πυρα-μίς, ßaüig μέν έΰτι το ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφή δε το Θ ΰημεΐον, ΐΰη καί όμοια έΰτι πυραμίδι, ής βάΰις μέν έΰτι το ΘΚΑ τρίγωνον, κορυφή δε το Α ΰημεΐον. καί έπεί τριγώνου του ΑΑΒ παρά μίαν 10 των πλευρών την AB ηκται η ΘΚ, ισογώνιόν έΰτι το ΑΑΒ τρίγωνον τω ΑΘΚ τριγώνω, καί τag πλευρά άνάλογον έχουΰιν ομοιον αρα έΰτι το ΑΑΒ τρίγωνον τω ΑΘΚ τριγώνω. δια τα αυτά δη καί το μεν ΑΒΓ τρίγωνον τω ΑΚΑ τριγώνω ομοιόν εότιν, 15 το δε ΑΑΓ τω ΑΑΘ. καί έπεί δυο εύ&εΐαι άπτό-μεναι άλληλων αι ΒΑ, ΑΓ παρά δύο ευθείας άπτο-μένας άλληλων τάς ΚΘ, ΘΑ είΰιν ούκ εν τω αντω έπιπέδω, ΐΰας γωvίag περιέί,ουΰιν. ΐΰη αρα έΰτιν η υπό ΒΑΓ γωνία τη υπό ΚΘΑ. καί έΰτιν ως η ΒΑ 20 πρόg την ΑΓ, oύτωg η ΚΘ πρόg την ΘΑ* ομοιον άρα έΰτι το ΑΒΓ τρίγωνον τω ΘΚΑ τριγώνω. καί πυραμίς άρα, ής βάΰις μέν έΰτι τό ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφή δε τό Α ΰημεΐον, όμοια έΰτι πυραμίδι, ής ßdüig μέν έΰτι τό ΘΚΑ τρίγωνον, κορυφή δε τό Α 25 ΰημεΐον. αλλά πυραμί’g, ης βάΰις μέν [έΰτι] τό ΘΚΑ τρίγωνον, κορυφή δέ τό Α ΰημεΐον, όμοια έδείχ&η

1.    ΕΘ, ΘΗ PF, et Β, eras. alt. Θ. ΚΑ, JA PBF.

τη FYq.

ΑΘΚ τρίγωνον F. corr. ex ΑΒΑ Y, ΑΒΑ F.

2.    EH] HE F, νπό EH B. έΰτιν] om. P. 3. KAJ F Y. 4. EAH FV. 5. τέ έΰτιν ν,αϊ ομοιον P. 7. έΰτι] έΰτι

8. ΘΚΑ] Θ in ras. B. 11. AB J P. τον ΑΘΚ] ΘΑΚ Y; JΚΘ Β. 12. AJB] 14. έΰτι PBYq, comp. F.

singulis¹), et i ΕΘΗ = KA A, erit EH = KA. quare triangulus ΕΘΗ triangulo KAA et aequalis est et similis [I, 4]. eadem de causa etiam triangulus AEH triangulo ΘΚΑ et aequalis est et similis, itaque pyramis, cuius basis est triangulus A EH, uertex autem punctum Θ, aequalis est et similis pyramidi, cuius basis est ΘΚΑ triangulus, uertex autem punctum A [XI def. 10]. et quoniam in triangulo A AB uni lateri AB parallela ducta est ΘΚ, triangulus A AB triangulo ΑΘΚ aequiangulus est [I, 29], et latera proportionalia habent, itaque triangulus A AB triangulo ΑΘΚ similis est [YI def. 1]. eadem de causa etiam triangulus ΑΒΓ triangulo AKA similis est et ΑΑΓ triangulo ΑΑΘ. et quoniam duae rectae inter se tangentes BAj ΑΓ duabus rectis inter se tangentibus ΚΘ, ΘΑ parallelae sunt non in eodem plano, aequales angulos comprehendent [XI, 10]. itaque LBAr=K&At et ΒΑ:ΑΓ=ΚΘ:ΘΑ.²) itaque triangulus ΑΒΓ triangulo ΘΚΑ similis est [YI, 6]. quare etiam pyramis, cuius basis est triangulus ΑΒΓ, uertex autem A punctum, similis est pyramidi, cuius basis est triangulus ΘΚΑ, uertex autem A punctum [XI def. 9]. sed pyramis, cuius basis est triangulus ΘΚΑ, uertex autem A punctum, similis est pyramidi, cuius basis

1)    Nam ΕΘ = KA et Δ ΑΘΗ~ ΘΑ A.

2)    Nam AB : ΘΚ = A A : ΘΑ, quia Δ ΑΒΑ ^ ΘΚΑ\ et A A : Θ A = ΑΓ : ΘΑ, quia Δ ΑΓΑ ~ ΑΘΛ. tum u. V, 16.

15. ΑΒΓ F.

16. Post 17. ΘΚ FV. 19. γω-gös] supra m. 1 V. rf\ corr. ex A V.

23. εατίν B. 25. ης βάΰΐς] mg. m. 1 P. έατι τό — p. 154, 1 μεν J<m] mg. m. 2 B.

ΑΑΘ τριγώνω Theon (BFVq). άλλήλων dei. m. 1: αί BA, AΓ P. νία\ om. V.

22. «ρα] om. FV.

J<m] om. PF.

πυραμίδι, ής βάΰις μεν εΰτι τδ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφή δέ τδ Θ ΰημεΐον [ώΰτε και πυραμίς, ής βάΰις μεν τδ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφή δε τδ Α ΰημεΐον, δμοία εΰτι πυραμίδι, ής βάΰις μεν τδ ΑΕΗ τρίγω-5 νον, κορυφή δε τδ Θ ΰημεΐον]. έκατέρα άρα των ΑΕΗΘ, ΘΚΑΑ πυραμίδων δμοία έΰτϊ τη δλη τή ΑΒΓΑ πυραμίδι. — Και έπει ΐΰη έΰτιν ή ΒΖ τή ΖΓ, διπλάΰιόν εΰτι τδ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον του ΗΖΓ τριγώνου. και έπεί, εάν ή δύο πρίΰματα 10 ίΰοϋψή, και τδ μεν εχη βάΰιν παραλληλόγραμμον, τδ δε τρίγωνον, διπλάΰιον δε ή τδ παραλληλόγραμμον του τριγώνου, ϊΰα εΰτι τα πρίΰματα, ΐΰον άρα εΰτι τδ πρίΰμα τδ περιεχόμενον ύπδ δύο μεν τριγώνων των ΒΚΖ, ΕΘΗ, τριών δε παραλληλογράμμων των 15 ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ, ΘΚΖΗ τω πρίΰματι τω περιεχόμεν ω ύπδ δύο μεν τριγώνων των ΗΖΓ, ΘΚΑ, τριών ds παραλληλογράμμων τών ΚΖΓΑ, ΑΓΗΘ, ΘΚΖΗ. και φανερόν, ότι έκάτερον τών πριΰμάτων, ου τε βάΰις τδ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε ή ΘΚ 20 εύ&εΐα, και ού βάΰις τδ ΗΖΓ τρίγωνον, άπεναντίον δε τδ ΘΚΑ τρίγωνον, μεΐζόν έΰτιν έκατέρας τών πυραμίδων, ών βάΰεις μεν τά ΑΕΗ, ΘΚΑ τρίγωνα, κο-ρυφαι δε τά Θ, Α ΰημεΐα, έπειδήπερ [καί] εάν έπι-ξεύζωμεν τάς ΕΖ, ΕΚ ευθείας, τδ μεν πρίΰμα, ού 25 βάΰις τδ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε ή ΘΚ εύ&εΐα, μεΐζόν εΰτι τής πυραμίδος, ής βάΰις τδ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφή δε τδ Κ ΰημεΐον. άλλ’

1. εΰτι] om. Fq. τό] et in textu et mg. m. 2 B.

2. ωατε — 5. ΰημεΐον] om. P. 3. μεν έΰτι V. 4. εΰτι] om. F. μεν εΰτι V. τρίγωνον] J N F. 7. πυραμίδι] in syll. πυρά des. F; reliquam partem a φ suppletam hic neglexi.

10. εχη] corr. ex εχει m. 2 P. 11. η] εΐη V. 14. KZB V.

est AEH triangulus, uertex autem Θ punctum, ut demonstrauimus. itaque utraque pyramis ΑΕΗΘ, ΘΚΑΑ similis est toti pyramidi ΑΒΓΑ,

fA

'Z

Et quoniam ΒΖ — ΖΓ, erit EBZH= 2ΗΖΓ[1,41]. et quoniam, si datis duobus prismatis eandem altitudinem habentibus alterum basim habet parallelogrammum, alterum triangulum, et parallelogrammum duplo maius est triangulo, prismata aequa-\ lia sunt, prisma comprehen-\ sum duobus triangulis BKZ, \ ΕΘΗ et tribus parallelo-M grammis EBZH? ΕΒΚΘ, B ΘΚΖΗ aequale est prismati comprehenso duobus triangulis ΗΖΓ, ΘΚΑ et tribus parallelogrammis ΚΖΓΑ, ΑΓΗΘ, ΘΚΖΗ [XI, 39]. et adparet, utrumque prisma, et cuius basis sit EBZH parallelogrammum, ei autem opposita recta ΘK., et cuius basis sit triangulus ΗΖΓ, ei autem oppositus triangulus ΘΚΑ, maius esse utraque pyramide, quarum bases sint trianguli AEH, ΘΚΑ, uertices autem puncta Θ, A, quoniam, si duxerimus rectas EZ₇ EK, prisma, cuius basis est parallelogrammum EBZH, ei autem opposita recta ΘΚ, maius est pyramide, cuius basis est triangulus EBZ, uertex autem

corr.

17. Post των dei. Z m. iAV. _ΚΖΓΜ, ΛΓΗΘ, ΘΚΖΗ] mg. m. 2 B, in textu eras. ER, Zif, ΙΘ. 18. οτι καί V. 19. EBZH] B in ras. B. 22. βάβις PVq, et B, sed AEH] in ras. V. κορυφή q. 23. καί] om. BVq. 26. μείξον] supra scr. ω m. rec. P. τής] om. V.

27. τρίγωνόν εοτι Y.

ή πυραμίς, ής βάΰις το ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφή 0£ το Κ ΰημεΐον, ΐΰη εΰτι πυραμίδι, ής βάΰις το ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφή δε το Θ ΰημεΐον’ υπό γάρ ΐΰων και δμοίων επιπέδων περιέχονται. ώΰτε και το τνρίΰμα, 5 ου βάΰις μεν το ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, άπεναν-τίον δέ ή ΘΚ εύ&εΐα, μεΐξόν έ<5τι πυραμίδος, ής βάΰις μεν το ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφή δε το Θ ΰημεΐον. ΐΰον δε το μεν πρίΰμα, ού βάΰις το ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, άπεναντίον δε ή ΘΚ εύ&εΐα, τω πρίΰματι, 10 ού βάΰις μεν το ΗΖΓ τρίγωνον, άπεναντίον δε το ΘΚΑ τρίγωνον* ή δε πυρά μις, ής βάΰις το ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφή δε το Θ ΰημεΐον, ΐΰη εΰτϊ πυραμίδι, ής βάΰις το ΘΚΑ τρίγωνον, κορυφή δε το Α ΰημεΐον. τά άρα είρημένα δύο πρίΰματα μείξονά εΰτι των είρη-15 μενών δύο πυραμίδων, ών βάΰεις μεν τά ΑΕΗ, ΘΚΑ τρίγωνα, κορυφαι δε τά Θ, Α ΰημεΐα.

Η άρα όλη πυραμίς, ής βάΰις το ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφή δε το Α ΰημεΐον, διήρηται εις τε δύο πυραμίδας ΐΰας άλλήλαις [και όμοιας τή όλη] και εις δύο 20 πρίΰματα ΐΰα, και τά δύο πρίΰματα μείζονά έΰτιν ή το ήμιΰυ τής όλης πυραμίδος* όπερ εδει δεΐξαι.

δ\

’Εάν ώΰι δύο πυραμίδες υπό το αυτό ύψος τριγώνους έχουΰαι βάΰεις, διαιρετή δε εκα-25 τέρα αυτών εις τε δύο πυραμίδας ΐΰας άλλή-λαις καί όμοιας τή όλη και εις δύο πρίΰματα

Υ.

2. το] (alt.) τά q. 4. τό] om. V. 15. δνο] β V (in nig. transit). πυραμίδων] in ras. m. 1 Β. βάσεις] βάσις B (corr. m. 2), q, comp. V. ΘΚΛ] ΘΚ in ras. V. 18. τε] om. 19. ΐσας τε καί όμοιας edd. καί όμοιας τη όλη] om. Ρ.

punctum K\ pyramis autem, cuius basis est triangulus EB Z, uertex autem punctum K, aequalis est pyramidi, cuius basis est AEH triangulus, uertex autem punctum Θ; nam planis aequalibus et similibus comprehenduntur; quare etiam prisma, cuius basis est EBZH parallelogrammum, ei autem opposita recta ΘΚ, maius est pyramide, cuius basis est triangulus AEH, uertex autem punctum Θ. prisma autem, cuius basis est parallelogrammum EBZH, ei autem opposita recta ΘΚ, aequale est prismati, cuius basis est triangulus ΗΖΓ, ei autem oppositus triangulus ΘΚΑ; pyramis autem, cuius basis est triangulus AEH, uertex autem Θ punctum, aequalis est pyramidi, cuius basis est triangulus ΘΚΑ, uertex autem A punctum, itaque duo illa prismata, quae nominauimus, maiora sunt duabus pyramidibus, quas nominauimus, quarum bases sunt trianguli AEHy ΘΚΑ, uertices autem puncta A.

Ergo tota pyramis, cuius basis est AB Γ triangulus, uertex autem punctum A, in duas pyramides inter se aequales diuisa est et in duo prismata aequalia, et duo prismata maiora sunt dimidio totius pyramidis; quod erat demonstrandum.

IV.

Datis duabus pyramidibus sub eadem altitudine et bases triangulas habentibus si utraque in duas pyramides inter se aequales totique similes et duo prismata aequalia diuiditur, erit ut basis alterius pyra-

crv

Wg

ίΰα? έΰται ώς η της μιας πυραμίδ ος βάΰις πρδς την της έτέρας πυρά μίδ ος βάΰιν, όντως τα έν τη μια πυραμίδ ι πρίΰματα πάντα προς τά έν τη έτέρα πυραμίδ ι πρίσματα πάντα ίΰοπλη&ή.

5 "Εΰτωΰαν δυο πυραμίδες ύπδ τδ αντδ ύψος τριγώνους έχουΰαι βάΰεις τάς ΑΒΓ, ζ/ΕΖ, κορνφάς δε τά Η, Θ <5ημεία, και διηρήΰ&ω εκατέρα αυτών εις τε δύο πυραμίδας ΐ<5ας άλληλαις και δμοίας τη δλη και εις δύο πρίσματα ίΰα' λέγω, δτι έΰτϊν ώς η ΑΒΓ 10 βάΰις προς την ΑΕΖ βάΰιν, ούτως τά εν τη AB ΓΗ πυραμίδι πρίΰματα πάντα προς τά εν τη ΑΕΖΘ πυρά-μίδι πρίΰματα ίΰοπλη&ή.

’Επει γάρ ίΰη έΰτϊν η μεν BIS τη    η δε ΑΑ

τη ΑΓ, παράλληλος άρα έΰτϊν η AIS τη AB και 15 ομοιον τδ ΑΒΓ τρίγωνον τω AISΓ τριγώνω, διά τά αυτά δη και τδ ΑΕΖ τρίγωνον τω ΡΦΖ τριγώνω δμοιόν έΰτϊν. και έπεϊ διπλαΰίων έΰτϊν η μεν ΒΓ της Γ&, η ΕΖ της ΖΦ, έΰτϊν άρα ώς η ΒΓ πρδς την ΓΗ, ούτως η ΕΖ πρδς την ΖΦ. και άναγέγραπται 20 άπδ μεν των ΒΓ₉ Γ& δμοιά τε καί ομοίως κείμενα εύ&ύγραμμα τά ΑΒΓ, Α&Γ, άπδ $£ των ΕΖ, ΖΦ δμοιά τε και ομοίως κείμενα [εύ&ύγραμμα] τά ΑΕΖ,

1. Post ίσα add. Theon: και των γενομένων (γεναμ. Β) πυραμίδων έκατέρα τον (e corr. V) αυτόν τρόπον, καϊ τούτο άεϊ γίνηται (<γίνεται q) (BVq). έΰται — τ/jg] supra scr. m. 2 Β (έστιν). 2. έτέρας] post ρ dei. ε m. 1 Ρ. ουτω BV.

3. πρίΰματα — 4. πυραμίδι] mg. m. 2 Β.    4. πάντα]

om. V. 8. ομοίως V.    9. Post ΐΰα add. καί των γενο-

μένων πυραμίδων εκατέρα τον αυτόν τρόπον νενοηΰ&ω διη-ρημένη και τούτο άεϊ γινέΰ&ω Bq, Υ mg. m. 2.    10. βάΰιν]

om. Υ. ουτω Bq. 13. BZ q. 14. έοτίν] om. V.

ΖΦ]

16. όμοιόν έΰτι τω ΡΦΖ τριγωνω BVq (ΡΦ in ras. Υ).

18. ΓΗ] corr. ex Η Γ Υ.? Post δέ ras. 1 litt. Ρ. corr. ex ΦΖ V. 22. εύ&νγραμμα] om. Ρ.

midis ad basim alterius, ita omnia prismata alterius pyramidis ad omnia prismata numero aequalia¹) alterius pyramidis.

Sint duae pyramides sub eadem altitudine triangulas bases habentes ΑΒΓ, AEZ} uertiees autem H,

:r

ΊΓ

0,

A<

JC

Θ puncta, et utraque in duas pyramides inter se aequales totique similes et duo prismata aequalia diuidatur [prop. III]. dico, esse ut ΑΒΓ.ΑΕΖ, ita omnia prismata pyramidis ΑΒΓΗ ad prismata numero aequalia pyramidis ΑΕΖΘ.

Nam quoniam BS = &Γ₉ A A ==» ΑΓ [prop. III], erit A $ rectae AB parallela είΑΒΓ^ΑΕΓ [p. 152, 9]. eadem de causa erit etiam AEZ ~ ΡΦΖ. et quoniam ΒΓ= 2Γ3, EZ = 2ΖΦ, erit ΒΓ:Γβ = ΕΖ :ΖΦ. et in ΒΓ₇ ΓΕ constructae sunt figurae rectilineae similes et similiter positae ΑΒΓ, ΑβΓ, in EZ? ΖΦ

ΡΦΖ' εθτον αρα ώς το ΑΒΓ τρίγωνον προς το ΑβΓ τρίγωνον, όντως το ΑΕΖ τρίγωνον προς το ΡΦΖ τρίγωνον' εναλλάξ ’άρα εθτϊν ώς το ΑΒΓ τρίγωνον προς το ΑΕΖ [τρίγωνον], ούτως το ΑβΓ [τρίγωνον] 5 προς το ΡΦΖ τρίγωνον, άλλ⁹ ώς το Α&Γ τρίγωνον προς το ΡΦΖ τρίγωνον, όντως το πρίθμα, ον βάθος μεν [εθτο] το Α&Γ τρίγωνον, απεναντίον δετό ΟΜΝ, προς το πρίθμα, ον βάθος μεν το ΡΦΖ τρίγωνον, απεναντίον δε το ΣΤ Τ' καί ώς αρα το ΑΒΓ τρίγω-10 νον προς το ΑΕΖ τρίγωνον, όντως το πρίθμα, ον βάθος μεν το Α&Γ τρίγωνον, απεναντίον δε το ΟΜΝ, προς το πρίθμα, ον βάθος μεν το ΡΦΖ τρίγωνον, απεναντίον το ΣΤΤ. ώς δε τα είρημενα πρίθματα προς άλληλα, όντως το πρίθμα, ον βάθος μεν το 15 ΚΒβΑ παραλληλόγραμμον, απεναντίον δε η Ο Μ εν&εοα, προς το πρίθμα, ον βάθος μεν το ΠΕΦΡ παραλληλόγραμμον, απεναντίον δε η ΣΤ εν&εοα. καί τα δύο αρα πρίσματα, ον τε βάθος μεν το ΚΒ&Α παραλληλόγραμμον, απεναντίον δε η Ο Μ, καί ον 20 βάθος μεν το Α&Γ, απεναντίον δε το ΟΜΝ, προς τα πρίθματα, ον τε βάθος μεν το ΠΕΦΡ, απεναντίον δε η ΣΤ εν&εοα, καί ον βάθος μεν το ΡΦΖ τρίγωνον, απεναντίον δε το ΣΤΤ. καο ώς αρα η ΑΒΓ βάθος προς την ΑΕΖ βάθον, όντως τα είρημενα δύο 25 πρίθματα προς τα είρημενα δύο πρίθματα.

Kal ομοίως, εάν δοαορε&ώθον αο ΟΜΝ Η, ΣΤΤΘ πυραμίδες εί'ς τε δύο πρίθματα καο δύο πυραμίδας,

Y.

6. οντω Β. εοτι Y.

8. μεν

1. ΡΦΖ] Pe corr. V, ΕΦΖ q. 2. τρίγωνον] (prius) om. 4. τρίγωνον] (prius) om. P. τρίγωνον] (alt.) om. P.

7. εατι] om. P. ΟΜΝ τρίγωνον V.

11. μεν εΰτί Y. 12. τρίγωνον] supra comp. Β. 13. ώς δε — ρ. 162, 14] mutauit Theon; u. app.

autem similes et similiter positae AEZ, ΡΦΖ. erit igitur [VI, 22]

ΑΒΓ: Α&Γ = AEZ : ΡΦΖ.

itaque permutando ΛΒΓ: AEZ — ΑβΓ: ΡΦΖ [V, 16]. sed ut ΑΗΓ: ΡΦΖ, ita prisma, cuius basis est ΑβΓ triangulus, ei autem oppositus OMN, ad prisma, cuius basis est ΡΦΖ triangulus, ei autem oppositus ΣΤΤ [u. lemma], quare etiam ut ΑΒΓ: AEZ, ita prisma, cuius basis est Α&Γ triangulus, ei autem oppositus OMN, ad prisma, cuius basis est ΡΦΖ triangulus, ei autem oppositus ΣΤΤ. uerum quam rationem habent duo prismata, quae diximus, eam habet prisma, cuius basis est parallelogrammum KBHA, ei autem opposita recta OM, ad prisma, cuius basis est parallelogrammum ΠΕΦΡ, ei autem opposita recta ΣΤ [XI, 39; cfr. prop. III]. quare etiam duo prismata, et cuius basis est parallelogrammum KB&A, ei autem opposita OM, et cuius basis est Α&Γ, ei autem oppositus OMN, ad duo prismata, et cuius basis est ΠΕΦΡ, ei autem opposita ΣΤ recta, et cuius basis est ΡΦΖ triangulus, ei autem oppositus ΣΤΤ, illam habent rationem [V, 12]. *) quare etiam ut ΑΒΓιΑΕΖ, ita duo prismata, quae diximus, ad duo prismata, quae diximus.

Et similiter, si pyramides OMNH, ΣΤΤΘ in duo prismata duasque pyramides diuiduntur, erunt ut

1) Sint prismata p ρλ PPlt demonstrauimus ΑΒΓιΑΕΖ = P : Pi; P - Pi = P : P₁ = p + P : px + Pt. ergo ΑΒΓ: AEZ = p + P : p₁ + Px.

18. KB&B, sed &B in ras. e corr. P.

14. διά τα αυτά mg. m. 1 P, qui ad lia. 8 adscr. hab. m. 1: ώς εύ&νς εςει.

11

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IY.

έθτac ώς η ΟΜΝ βάΰις πρδς την ΣΤΤ ßaöcv, όντως τα έν τη ΟΜΝ Η πνραμίδι δνο πράματα προς τα εν τη ΣΤΤΘ τίνραμίδυ δνο πράματα. άλλ’ ώς η ΟΜΝ βάΰις προς την ΣΤΤ ßaöcv, όντως η ΑΒΓ βάΰις 5 προς την AEZ ßaöcv' i'öov γαρ εκάτερον των ΟΜΝ, ΣΤΤ τρίγωνων έκατερω των Α&Γ, ΡΦΖ. καί ώς αρα η ΑΒΓ βάΰις προς την AEZ ßaöcv, όντως τα τε00αρα πρίΰματα προς τα τε00αρα πράματα, ομοίως δε καν τάς νπολε^ομένας πνραμίδας δ^λωμεν εις τε 10 δνο πνραμίδας καί εις δνο πρίοματα, έΰται ώς η ΑΒΓ 13döcς προς την AEZ ßaöcv, όντως τα έν τη ΑΒΓ Η πvρaμίδc πρίβματα πάντα προς τά έν τη ΑΕΖΘ πvρaμίδc πρίοματα πάντα ίοοπλη&η' οπερ έδεί δεΐ%ac.

15

Αημμα,

Ort δέ έΰτcv ώς το ΑβΓ τρίγωνον προς το ΡΦΖ τρίγωνον, όντως το πρί0μα, οί ßάöcς το Α&Γ τρίγωνον, άπεναντίον δέ το ΟΜΝ, προς τι πρίομα, ον βάύις μέν το ΡΦΖ [τρίγωνον], άπεναντίον δέ το ΣΤΤ, 20 οντω δεcκτέov.

’ΕπΙ γάρ της αντης καταγραφής νενοη0&ω0αν άπδ των Ή, Θ κά&ετοc έπϊ τά ΑΒΓ, ΑΕΖ έπίπεδα, löac δηλαδη τνγχάνο vöac δ ca το (0ονψεΙς vπoκεcö&ac τάς πνραμίδας. καϊ έπεί δνο εν^ε^ η τε ΗΓ καί η άπδ 25 τον Η κάθετος νπδ παραλλήλων έπιπέδων των ΑΒΓ, ΟΜΝ τέμvovτac, εις τονς αντονς λόγονς τμη&ήοοντac. καϊ τέτμητac η ΗΓ δίχα νπδ τον ΟΜΝ έπιπέδου κατά το Ν' καϊ η άπδ τον Η άρα κάθετος έπϊ το

ΖΡΦ Ρ.

15. λήμμα] om. ΒΥ. 17. οντω Β.

16. Α&Γ] Γ e corr. m. 2 V. 19. τρίγωνον om. Ρ.

ΎΣΤ τρ£-

OMN: ΣΤΤ, ita duo prismata pyramidis OMNH ad duo prismata pyramidis ΣΤΤΘ. sed OMN: ΣΤΤ = ΑΒΓ: AEZ\ nam uterque triangulus OMN) ΣΤΤ utrique triangulo A ST, ΡΦΖ aequalis est. quare etiam ut ΑΒΓ: AEZ, ita quattuor prismata ad quattuor prismata [V, 12], et similiter si etiam reliquas pyramides in duas pyramides duoque prismata diuiserimus, erunt ut ΑΒΓιΑΕΖ, ita omnia prismata pyramidis ΑΒΓΗ ad omnia prismata pyramidis A E ΖΘ numero aequalia; quod erat demonstrandum.

Lemma.

uerum esse, ut ΑβΓ.ΡΦΖ, ita prisma, cuius basis sit triangulus Α&Γ, ei autem oppositus OMN, ad prisma, cuius basis sit ΡΦΖ, ei autem oppositus ΣΤΤ, ita demonstrandum est.

In eadem enim figura fingantur perpendiculares a punctis Η, Θ ad triangulos ΑΒΓ, AEZ ductae, quae scilicet aequales sunt, quia supposuimus, pyramides aequales altitudines habere, et quoniam duae rectae ΗΓ et perpendicularis ab H ducta planis parallelis ΑΒΓ, OMN secantur, secundum eandem rationem secabuntur [XI, 17j. et ΗΓ plano OMN in duas partes aequales secta est in IV; quare etiam perpen-

γωνον V. 20. δείξομεν όντως V. οντω] -ς dei. m. 1 Ρ.

21. kl άπό BVq. 22. τών\ της Β. τα] τά των V.

JEΖ] JEΖ τρίγωνα Bq; JEΖ τρίγωνων V. 23. ίαονψεΐς] -ει- e corr. V. 24. ή] in ras. V.

ΑΒΓ επίπεδον δίχα τμη&ήόεται νπδ τον ΟΜΝ επίπεδον. διά τα αυτά δη και η άπδ τον Θ κάθετος επι το A ΕΖ επίπεδον δίχα τμη&ήόεται νπο τον ΣΤΤ επίπεδον, καί είόιν ίόαι αι άπδ των Η, Θ κάθετοι 5 έπι τα ΑΒΓ, ΑΕΖ επίπεδα* ίόαι άρα και αι άπδ των ΟΜΝ, ΣΤΤ τριγώνων επι τα ΑΒΓ, z/i£Z κά&ετοι. ίόονψη άρα [εότϊ] τα πρίόματα, ών βάόεις μεν είόι τά ΑΕΓ, ΡΦΖ τρίγωνα, άπεναντίον δε τα ΟΜΝ, ΣΤΤ. ώότε και τά ότερεά παραλληλεπίπεδα 10 τά άπδ των είρημένων πρισμάτων άναγραφόμενα ίόονψη και πρδς άλληλά [είόιν] ως αί βάόεις* και τά ημίόη άρα εότιν ως η Α&Γ βάόις πρδς την ΡΦΖ βάόιν, όντως τά είρημένα πρίόματα πρδς άλληλα* δπερ εδει δεΐξαι.

15

ε.

Αι νπδ τδ αντδ νψος ονόαι πνραμίδες και τριγώνονς εχονόαι βάόεις πρδς άλληλας είόιν ώς αι βάόεις.

ΛΕότωόαν νπδ τδ αντδ νψος πυραμίδες, ών βάόεις 20 μεν τά ΑΒΓ\ ΑΕΖ τρίγωνα, κορνφαϊ δε τά Η, Θ όημεια* λέγω, δτι εότιν ώς r. ΑΒΓ βάόις πρδς την ΑΕΖ βάόιν, όντως η ΑΒΓ Η πνραμις πρδς την ΑΕΖΘ πυραμίδα.

Εί γάρ μη εότιν ώς η ΑΒΓ βάόις προς την ΑΕΖ 25 βάόιν, όντως η AB ΓΗ πνραμϊς πρδς την ΑΕΖΘ πυραμίδα, εόται ώς η ΑΒΓ βάόις πρδς την ΑΕΖ βάόιν, όντως η AB ΓΗ πνραμϊς ήτοι πρδς ελαόόόν

3. επίπεδον αγόμενη Υ.

7. κά&ετοί\ in ras. Υ, seq. εοτί] om. Ρ.

1. επίπεδον αγόμενη Υ.

5. άρα εΐοί Υ. αί] om. Pq. ras. dimid. lin. (i'Gai .... άπδ των ομν).

dicularis ab H ad planum ΑΒΓ ducta plano OMN in duas partes aequales secabitur, eadem de causa etiam perpendicularis a © ad planum AEZ ducta in duas partes aequales secabitur plano ΣΤΤ. et perpendiculares ab Η, Θ ad plana ΑΒΓ, AEZ ductae aequales sunt, itaque etiam perpendiculares a triangulis OMN, ΣΤΤ ad ΑΒΓ, AEZ ductae aequales sunt, quare prismata, quorum bases sunt trianguli Α&Γ, ΡΦΖ, iis autem oppositi OMN, ΣΤΤ, aequales altitudines habent, itaque solida parallelepipeda a prismatis, quae diximus, constructa eandem habent altitudinem et eam inter se rationem habent quam bases [XI, 32]. itaque etiam prismata, quae diximus, ut quae dimidia sint parallelepipedorum [XI, 28], eam rationem habent, quam slfir: ΡΦΖ] quod erat demonstrandum.¹)

V.

Pyramides sub eadem altitudine et bases triangulas habentes eam inter se rationem habent quam bases.

Sint pyramides sub eadem altitudine, quarum bases sint trianguli ΑΒΓ, AEZ, uertices autem Η, Θ puncta, dico esse

ΑΒΓ: AEZ = ΑΒΓΗ: A ΕΖΘ.

Nam si non est ΑΒΓ: AEZ = ΑΒΓΗ: AΕΖΘ, erit ut ΑΒΓ: A EZ, ita pyramis ΑΒΓΗ aut ad so-

1) Hoc quoque lemma et per se et propter orationis genus suspectum est.

βάσις Bq, sed corr. 11. καλ] (prius) τυγχάνοντα Theon (BVq).

slülv'] om. P. 12. εστΐν] sozai BYq. ί3. οντω Bq. 17. ccl-ληλα P, corr. m. 2.    24. ΔΈΖ — 25. την] mg. m. 2 B. 25. ΔΕΖΘ

πυραμίδα] et in textu et mg. m. 2 B. 27. ητοί] η V.

τι της ΑΕΖΘ πυραμίδος βτερεον η προς μειζον. έΰτω πρότερον προς έλαόόον το X₅ και διηρήΰ&ω η ΑΕΖΘ πυραμϊς εις τε δύο πυραμίδας ΐόας άλληλαις καί ομοίας τη δλη καί εις δυο πρίΰματα ίΰα’ τα δη 5 δυο πρίΰματα μείζονά έΰτιν η το ημιΰυ της όλης πυραμίδος. και πάλιν αι εκ της διαιρέΰεως γινόμεναι πυραμίδες ομοίως διηρηΰ&ωΰαν, και τούτο άει γινέ-(ΤΟ’ω, εως ου λειφ&ώΰί τινες πυραμίδες από της ΑΕΖΘ πυραμίδος, αΐ είΰιν έλάττονες της υπέροχης, η ύπερ-10 έχει η ΑΕΖΘ πυρά μις τού X ΰτερεού. λελείφ&ωΰαν και έΰτωΰαν λόγου ενεκεν αι ΑΠΡΣ, ΣΤΤΘ’ λοιπά άρα τα εν τη ΑΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά εΰτι τού X ΰτερεού. διηρηΰ&ω και η AB ΓΗ πυραμϊς ομοίως και ίΰοπληΟ’ώς τη ΑΕΖΘ πυραμίδι* έΰτιν άρα 15 ως η ΑΒΓ βάΰις προς την ΑΕΖ βάΰιν, ούτως τα εν τη AB ΓΗ πυραμίδι πρίΰματα προς τα εν τη ΑΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα, άλλα και ως η ΑΒΓ βάΰις προς την ΑΕΖ βάΰιν, ούτως η AB ΓΗ πυραμις προς το X ΰτερεόν καί ως άρα η AB ΓΗ πυραμις προς το X 20 ΰτερεόν, ούτως τα εν τη AB ΓΗ πυραμίδι πρίσματα προς τα εν τη ΑΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα* εναλλάξ άρα ως η ΑΒΓ Η πυραμϊς προς τά εν αύτη πρίΰματα, ούτως το X ΰτερεόν προς τά εν τη ΑΕΖΘ πυραμίδι πρίΰματα. μείζων δέ η ΑΒΓ Η πυραμις των εν αύτη 25 πρισμάτων’ μειζον άρα και το X ΰτερεόν των εν τη ΑΕΖΘ πυραμίδι πριΰμάτων. αλλά και έλαττον* δπερ

10. λε-11. ΕΤΤΘ B, 19. καί

6. γενόμενοα q. 7. γιγνέα&ω BV. 8. λειφ&ώΰί] -ει-corr. ex η Υ, mnt. in η m. 1 Bq; λειφ&ώσιν ΡΒ. άπό — 9. πυραμίδος'] mg. m. 2 ΒΥ, om. q. 9. ελάΰΰους ΒYq. λεί^ωααν] -ει- corr. ex η Υ, mut. in η q. corr. m. 2.    12. εατιν P. 17. ή] post ins. Υ.

ώς — 20. ΰτερεόν] om. q; suo loco m. 1, sed alio atramento

lidum minus pyramide ΑΕΖΘ aut ad maius, sit prius ad minus X, et pyramis ΑΕΖΘ in duas pyramides inter se aequales totique similes et duo prismata aequalia diuidatur. itaque duo prismata maiora sunt quam dimidia totius pyramidis [prop. III]. et rursus pyramides ex diuisione ortae similiter diuidantur, et hoc semper fiat, donec e pyramide ΑΕΖΘ relinquantur pyramides quaedam minores excessu, quo pyramis ΑΕΖΘ excedit spatium X [X, 1]. relinquantur et sint uerbi causa ΑΠΡΣ, ΣΤΤΘ. reliqua igitur prismata pyramidis ΑΕΖΘ maiora sunt spatio X. iam etiam pyramis ΑΒΓΗ similiter et toties diuidatur,

quoties ΑΕΖΘ pyramis. erunt igitur ut ΑΒΓ-.ΑΕΖ, ita prismata pyramidis ΑΒΓΗ ad prismata pyramidis

[prop. IV]. uerum ΑΒΓ: AEZ = ΑΒΓΗ

ΑΕΖΘ

<A

/A

: X. quare etiam ut ΑΒΓΗ: X, ita prismata

pyramidis ΑΒΓΗ ad prismata pyramidis ΑΕΖΘ. permutando igitur [V, 16] ut pyramis ΑΒΓΗ ad sua prismata, ita X solidum ad prismata pyramidis ΑΕΖΘ. sed pyramis ΑΒΓΗ maior est prismatis, itaque etiam X solidum maius est prismatis pyramidis ΑΕΖΘ [V, 14].

II

B.

23. οντω B.

19. ccqcc ή] corr. ex η ctQa m. 1 Y, aqa ώς η P.

εότϊν αδύνατον. ονκ αρα εότϊν ώς ή ΑΒΓ βάόίς προς την ΑΕΖ βάόίν, όντως η AB ΓΗ πνραμϊς προς ελαόόόν τι της ΑΕΖΘ πνραμίδος ότερεόν. ομοίως δη δειχ-&ήόεταί, δτί ονδε ώς η ΑΕΖ βάόίς προς την ΑΒΓ 5 βάόίν, όντως η ΑΕΖΘ πνραμϊς προς ελαττόν tl τής ΑΒΓ Η πνραμίδος ότερεόν.

Αέγω δη, δτι ονκ εότίν ονδε ώς ή ΑΒΓ βάόίς προς την ΑΕΖ βάόίν, όντως ή AB ΓΗ πνραμϊς προς μεΐζόν τι τής ΑΕΖΘ πνραμίδος ότερεόν.

ίο

Ei γάρ δννατόν, εότω προς μεΐξον το X' άνάπαλίν αρα εότίν ώς ή ΑΕΖ βάόίς προς την ΑΒΓ βάόίν, όντως το X ότερεδν προς την AB ΓΗ πνραμίδα. ώς δε το X ότερεδν προς την ΑΒΓ Η πνραμίδα, όντως ή ΑΕΖΘ πνραμϊς προς ελαόόόν Τί τής AB ΓΗ πνρα-15 μίδος, ώς εμπροό&εν έδείχ&η' και ώς αρα ή ΑΕΖ βάόίς προς την ΑΒΓ βάόίν, όντως ή ΑΕΖΘ πνραμϊς προς ελαόόόν τί τής AB ΓΗ πνραμίδος* δπερ άτοπον εδείχ&η. ονκ αρα έότϊν ώς ή ΑΒΓ βάόίς προς την ΑΕΖ βάόίν₇ όντως ή AB ΓΗ πνραμϊς προς μεΐζόν τί 20 τής ΑΕΖΘ πνραμίδος ότερεόν. εδείχ&η δε, οτί ονδε προς ελαόόόν. εότίν αρα ώς ή ΑΒΓ βάόίς προς την ΑΕΖ βάόίν, όντως ή AB ΓΗ πνραμϊς προς την ΑΕΖΘ πνραμίδα' όπερ εδεί δεΐζαί.

25 Αί νπδ το αντο νψος ονόαι πνραμίδες καϊ πολνγώνονς εχονόαί βάόείς προς άλλήλας είόϊν ώς αι βάόείς.

2. ελαττον Υ. 3. JEΖΘ] Θ eras. Ρ; ΔΕΖΗΘ q. δείζομεν V. 5. ελαοβον Β. 11. ή βάόίς ή ΔΕ Ζ Vq.

uerum etiam minus est; quod fieri non potest, ergo non est ut ΑΒΓ: AEZ, ita pyramis ΑΒΓΗ ad minus aliquod pyramide AΕΖΘ solidum, similiter demonstrabimus, ne ΑΕΖΘ quidem pyramidem ad minus aliquod pyramide ΑΒΓΗ solidum eam rationem habere quam A EZ : ΑΒΓ.

Iam dico, ne ad maius quidem aliquod pyramide ΑΕΖΘ solidum pyramidem ΑΒΓΗ eam rationem habere quam ΑΒΓ: A EZ.

Nam si fieri potest, habeat ad maius aliquod X. e contrario igitur [V, 7 coroll.]

AEZ : ΑΒΓ =X: ΑΒΓΗ. uerum ut Χ-.ΑΒΓΗ, ita ΑΕΖΘ pyramis ad minus aliquid pyramide ΑΒΓΗ, ut supra demonstratum est [prop. II lemma], quare etiam ut AEZ : ΑΒΓ, ita pyramis ΑΕΖΘ ad minus aliquid pyramide ΑΒΓΗ; quod absurdum esse demonstrauimus. itaque ne ad maius quidem aliquod pyramide ΑΕΖΘ solidum pyramis ΑΒΓΗ eam rationem habet quam ΑΒΓ: AEZ. demonstrauimus autem, eam ne ad minus quidem hanc habere rationem, erit igitur

ΑΒΓ: AEZ = ΑΒΓΗ: ΑΕΖΘ-quod erat demonstrandum.

VI.

Pyramides sub eadem altitudine et polygonas bases habentes eam inter se rationem habent quam bases.

17. πνραμίδος στερεόν q; στερεόν add. m. 2 V.

25. πυραμίδες ονσαι B.

supra scr. m. 1 P. om. Y.

21. βάβίς']

0V6CU]

ΛΕΰτωΰαν ύπο το αυτό ύψος πυραμίδες, ών [αι] βά-ΰεις μεν τα ΑΒΓΑΕ, ΖΗΘΚΑ πολύγωνα, κορνφαί τα Μ, Ν ΰημεΐα* λέγω, <m    cog ή ΑΒΓΑ E

βάΰις προς την ΖΗΘΚΛ βάΰιν, όντως η ΑΒΓΑΕΜ 5 πνραμϊς προς την ΖΗΘΚΑΝ πυραμίδα.

Έπεζεύχ&ωΰαν γάρ αι ΑΓ, ΑΑ, ΖΘ, ΖΚ. έπεϊ ούν δυο πυραμίδες είΰϊν αι ΑΒΓΜ, ΑΓΑ Μ τριγώνους εχουΰαι βάζεις καί ύψος ίΰον, προς άλληλας είΰϊν ως αι βάΰεις' εΰτιν άρα ως η ΑΒΓ βάΰις προς 10 την ΑΓΑ βάΰιν, όντως η ΑΒΓΜ πνραμϊς προς την ΑΓΑ Μ πυραμίδα, και ΰυν&έντι ως η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΑΓΑ βάΰιν , όντως η ΑΒΓΑ Μ πνραμϊς προς την ΑΓΑ Μ πυραμίδα, άλλα και ως η ΑΓΑ βάΰις προς την ΑΑΕ βάΰιν, όντως η ΑΓΑ Μ πυρα-15 μις προς την ΑΑΕΜ πυραμίδα, δι ίΰου άρα ώς η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΑΑΕ βάΰιν, ούτως η ΑΒΓΑ Μ πνραμϊς προς την ΑΑΕΜ *πυραμίδα. και ΰυν^εντι πάλιν, ώς η ΑΒΓΑΕ βάΰις προς την ΑΑΕ βάΰιν, ούτως η ΑΒΓΑ ΕΜ πνραμϊς προς την ΑΑΕΜπυρα-20 μίδα, ομοίως δη δειχ&ηΰεται, δτι και ώς η ΖΗΘΚΑ βάΰις προς την ΖΗΘ βάΰιν, ούτως και η ΖΗΘΚΑΝ πνραμϊς προς την ΖΗΘΝ πυραμίδα, και έπεϊ δύο πυραμίδες είΰϊν αι ΑΑΕΜ, ΖΗΘΝ τριγώνους εχουΰαι

1. αί] deleo. ών — 2. κορνφαί] πολυγώνους εχουσαι βάσεις τάς ΑΒΓΑΕ, ΖΗΘΚΛ, κορνφάς Theon (BVq). 6. επεξενχϋ'. — 10. βάαιν] διηρήσ&ω γάρ ή μεν ΑΒΓΑΕ βάσις εις τά ΑΒΓ, ΑΓΑ, ΑΕΑ τρίγωνα, ή δε ΖΗΘΚΑ (Ν eras. V) εις τά ΖΗΘ, ΖΘΚ, ΖΚΑ τρίγωνα, και νενοήσ&ωσαν άφ’ έκάστον τριγώνου πυραμίδες ισοϋψείς (-εις corr. ex -οι m. rec. V) ταίς εξ άρχής πνραμίσι (πυραμίσιν Β) και επεί εστιν ώς το ΑΒΓ τρίγωνον προς το ΑΓΑ τρίγωνον Theon (BVq). 11. σνν&εντα άρα ώς V.

ή — 12. βάσιν] mg. γρ. τραπέξιον et γρ. τρίγωνον m. 1 Ρ; το ΑΒΓΑ τραπέξιον προς το ΑΓΑ τρίγωνον Theon (BVq).

Sint sub eadem altitudine pyramides, quarum bases sint ΑΒΓΑ E, ΖΗΘΚΛ polygona, uertices autem M, N puncta, dico, esse

ΑΒΓΑE: ΖΗΘΚΑ = ΑΒΓΑ EM: ΖΗΘΚΑΝ. ducantur enim ΑΓ, AA, ΖΘ, ZK. iam quoniam duae pyramides sunt ΑΒΓΜ, ΑΓΑ M triangulas bases habentes et altitudinem aequalem, eam inter se rationem habent quam bases [prop. Y]. erit igitur ΑΒΓ: ΑΓΑ = ΑΒΓΜ: ΑΓΑ M. efc componendo [V, 18] ΑΒΓΑ : ΑΓΑ — ΑΒΓΑ Μ: ΑΓΑ Μ. uerum etiam [prop. V] ΑΓΑ : A AE = ΑΓΑ Μ: A A EM. itaque ex aequo [Y, 22] ΑΒΓΑ : AA E = ΑΒΓΑ M : A A EM. et rursus componendo [V, 18] ΑΒΓΑ E: A A E=ΑΒΓΑ EM : A A EM. similiter demonstrabimus, esse etiam ΖΗΘΚΑ : ΖΗΘ = ΖΗΘΚΑΝ: ΖΗΘΝ.

Δ

i:

et quoniam duae pyramides sunt A A EM, ΖΗΘΝ triangulas bases habentes et altitudinem aequalem,

7]_— 14. βάαιν] το ΑΓΑ 15. αρα εατίν

13. ΑΓΑ Μ] supra A scr. E m. 2 Β. τρίγωνον προς το ΑΑΕ τρίγωνον Theon (BVq).

17. ΑΑΕ Μ] Μ supra scr. m. rec. P. 19. ΑΒΓΑ E add. Mm. 2 V.

Theon (BVq).

18. Βάαι,ν]

— οτι] διά τά αυτά δή Theon (BVq). Theon (Bq et Λ e corr. m. 1 V).

N in ras. V).

om.

Bq.

23. Z KAN Theon (BVq).

20. ομοίως 21. ΖΗΘ] P; ZΚΛ 22. ZKAN Theon (Bq et

βάΰεις και ύφος ί'ΰον, έΰτιν άρα ώς ή AAE βάΰις προς τήν ΖΗΘ βάΰιν, όντως η ΑΑΕΜ πνραμϊς προς την ΖΗΘΝ πυραμίδα, άλλ⁹ ώς η ΑΑΕ βάΰις προς την ΑΒΓΑΕ βάΰιν, όντως ήν η ΑΑΕΜ πνραμϊς 5 προς την ΑΒΓΑ ΕΜ πυραμίδα, καί δι ί'ΰον άρα ώς η ΑΒΓΑΕ βάΰις προς την ΖΗΘ βάΰιν, όντως η AB ΓΗΕΜ πνραμϊς προς την ΖΗΘΝ πυραμίδα, άλλα μην και ώς η ΖΗΘ βάΰις προς την ΖΗΘΚΛ βάΰιν, όντως ην καί η ΖΗΘΝ πνραμϊς προς την ΖΗΘ ΚΑΝ 10 πυραμίδα, καϊ δι ί'ΰον άρα ώς η ΑΒΓΑΕ βάΰις προς την ΖΗΘΚΑ βάΰιν, όντως η ΑΒΓΑ ΕΜ πνραμϊς προς την ΖΗΘΚΑΝ πυραμίδα* δπερ έδει δεΐζαι.

¹

πάντα et ίαοπλη&ή addidit Euclides ad finem propositionis p. 160, 26 respiciens, ubi eam quasi quodam corollario dilatauit.

r.

Παν πρίΰμα τρίγωνον εχον βάΰιν διαι-15 ρειται εις τρεις πυραμίδας ί'ΰας άλληλαις τριγώνους βάΰεις έχονΰας.

"Εΰτω πρίΰμα, ον βάΰις μεν το Α ΒΓ τρίγωνον, άπεναντίον δε το AEZ' λέγω, δτι το ABΓΑΕΖ πρίΰμα διαιρείται εις τρεις πυραμίδας ί'ΰας άλληλαις 20 τριγώνους έχονΰας βάΰεις.

’Επεξενχ&ωΰαν γάρ αι ΒΑ , ΕΓ', ΓΑ. επεϊ παραλληλόγραμμόν έΰτι το ΑΒΕΑ, διάμετρος δε αντοϋ έΰτιν η ΒΑ, ί'ΰον άρα έΰτϊ το ΑΒΑ τρίγωνον τω ΕΒΑ τριγώνω* καϊ η πνραμϊς άρα, ής βάΰις μεν το 25 ΑΒΑ τρίγωνον, κορυφή δε το Γ ΰημεϊον, ΐΰη έΰτϊ πυραμίδι, ής βάΰις μεν έΰτι το ΑΕΒ τρίγωνον, κορυφή δε το Γ ΰημεϊον. άλλα ή πνραμϊς, ής βάΰις μεν έΰτι

1. καί νψος ί'ΰον] καί υπό το αντο νψος Theon (BVq).

2. ZK A Theon (BVq), ut lin. 6, 8.    3. ΖΚΛΝ Theon (BVq),

ut lin. 7, 9. άλλ’ ώς — 5. πυραμίδα] επεϊ ονν εατιν (om.

erit [prop. V] A A E: ΖΗΘ = AAEM: ΖΗΘΝ. uerum AA E : ΑΒΓΑ E = AA EM : ΑΒΓΑ EM, quare etiam ex aequo [V,22] ΑΒΓΑΕ:ΖΗΘ=ΑΒΓΑΕΜιΖΗΘΝ. uerum etiam ΖΗΘ : ΖΗΘΚΑ = ΖΗΘΝ: ΖΗΘΚΑΝ. quare etiam ex aequo [V, 22J ΑΒΓΑE: ΖΗΘΚΑ = ΑΒΓΑ EM: ΖΗΘΚΑΝ· quod erat demonstrandum.

VII.

Omne prisma triangulam basim habens in tres pyramides inter se aequales diuiditur triangulas bases habentes.

Sit prisma, cuius basis sit ΑΒΓ triangulus, ei autem oppositus AEZ. dico, prisma ΑΒΓΑΕΖ in tres pyramides inter se aequales diuidi triangulas bases habentes.

ducantur enim BA, ΕΓ\ ΓΑ. quoniam parallelo-grammum est A BEA, diametrus autem eius BA, erit AB A — ΕΒΑ [I, 34]. quare etiam pyramis, cuius basis est triangulus ABA, uertex autem Γ punctum, aequalis est pyramidi, cuius basis est triangulus A EB, uertex autem Γ punctum [prop. V]. uerum

VII. Hero stereom. II, 39.

Bq) ώς η ABT ΔΕ βάαις προς την ΑΔ Ε ßacuv, όντως η (ην η q) ΑΒΓΔΕΜ πνραμϊς προς την ΑΔΕΜ πυραμίδα Theon (BVq) ; dein add. ώς δε η ΑΔΕ βάΰίς προς την ΖΚΑ βάΰΐ,ν, ούτως η ΑΔΕΜ πνραμϊς προς την ΖΚΑΝ πυραμίδα Vq et mg. m. 2 B.

5. καί] om. Theon (BVq).    6. βάαιν] om. BVq.

V.

όντως] om. q.    8. ΖΗΘΚΑ] KA add. B m. 2.    9. ην~\ om.

q·

Bq.

10. αρα] πάλιν εατίν Bq; άρα εατίν V. 12. ΖΗΘKAM 17. βάαεις q. 20. βάσεις εχούαας V. 21. και επεί 24. ΕΔΒ Β. μεν] om. V. 25. εατίν ΡΒ, εστϊ τη 26. εατίν Β. 27. αλλά — ρ. 174, 1. ΰημειον] om. q. 27. άλλ⁹ Β. η] om. V.

το Α ΕΒ τρίγωνον, κορυφή δε το Γ όημεΐον, ή αυτή έότι πυραμίδί, ής βάόις μεν έότι το ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφή δε το Λ όημεΐον⁹ υπό γάρ των αυτών επιπέδων περιέχεται. και πυραμις άρα, ής βάόις μέν 5 έ<5τι το ΑΒΑ τρίγωνον, κορυφή δε το Γ όημεΐον, ΐόη έότϊ πυραμίδί, ής βάόις μέν έότι το ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφή δε το Α όημεΐον. πάλιν, έπει παραλληλόγραμμόν έότι το ΖΓΒΕ, διάμετρος δε έότιν αυτόν ή ΓΕ, ίόον έότι το ΓΕΖ τρίγωνον τώ ΓΒΕ τρι-10 γώνω. και πυραμις άρα, ής βάόις μέν έότι το ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφή δε το Α όημεΐον, ί'όη έότι πυρα-μίδι, ής βάόις μέν έότι το ΕΓΖ τρίγωνον, κορυφή δέ το Α όημεΐον. ή δε πυραμις, ής βάόις μέν έότι το ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφή δε το Α όημεΐον, ί'όη 15 έδείχ&η πυραμίδί, ής βάόις μέν έότι το ΑΒΑ τρίγωνον, κορυφή $£ το Γ όημεΐον* και πυραμϊς άρα, ής βάόις μέν έότι το ΓΕΖ τρίγωνον, κορυφή δε το Α όημεΐον, ί'όη έότϊ πυραμίδί, ής βάόις μέν [έότι] το ΑΒΑ τρίγωνον, κορυφή δε το Γ όημεΐον⁹ διήρηται 20 άρα το ΑΒΓΑΕΖ πρίόμα εις τρεις πυραμίδας ΐόας άλλήλαις τριγώνους έχούόας βάόεις.

Και έπεϊ πυραμις, ής βάόις μέν έότι το ΑΒΑ τρίγωνον, κορυφή δε το Γ όημεΐον, ή αυτή έότι πυρά-μίδι, ής βάόις το ΓΑΒ τρίγωνον, κορυφή δε το Α 25 όημεΐον' υπό γάρ των αυτών έπιπέδων περιέχονται' ή δε πυραμις, ής βάόις το ΑΒΑ τρίγωνον, κορυφή

%α\ ή Υ. BYq. ras. V. om. Ρ.

2. εστί] (prius) εστιν ΡΒ; έατι τη Υ.

6. εστί] έστίν ΡΒ; έστϊ τη Υ. αυτόν εστίν Bq.

14. ΒΕΓ Υ.

9. ΕΓ Υ.

Δ] in ras. m. 2 Β. 21. βάσεις εχονσαις, eras, ι, Υ.

4. xat] om. q; 8. εστιν] om. 12. ΕΓΖ] ΓΖ in 18. εστι] 23. εστι τη Υ.

pyramis, cuius basis est A EB triangulus, uertex autem Γ punctum, eadem est ac pyramis, cuius basis est ΕΒΓ triangulus, uertex autem A punctum; nam iisdem planis continentur, quare etiam pyramis, cuius basis est

(Γ

AB A triangulus, uertex autem Γ punctum, aequalis est pyramidi, cuius basis est ΕΒΓ triangulus, uertex autem A punctum, rursus quoniam par-allelogrammum est ΖΓΒΕ, et diametrus eius est ΓΈ, erit ΓΕΖ = ΓΒΕ [I, 34]. quare ^ etiam pyramis, cuius basis est ΒΓΕ triangulus, uertex autem A punctum, aequalis est pyramidi, cuius basis est E ΓΖ triangulus, uertex autem A punctum, demonstrauimus autem, pyramidem, cuius basis sit ΒΓΕ triangulus, uertex autem A punctum, aequalem esse pyramidi, cuius basis sit ABA triangulus, uertex autem Γ punctum, quare etiam pyramis, cuius basis est ΓΕΖ triangulus, uertex autem A punctum, aequalis est pyramidi, cuius basis est ABA triangulus, uertex autem Γ punctum, ergo prisma ΑΒΓΑΕΖ in tres pyramides aequales diuisum est triangulas bases habentes.

et quoniam pyramis, cuius basis est A BA triangulus, uertex autem Γ punctum, eadem est ac pyramis, cuius basis est ΓΑΒ triangulus, uertex autem A punctum (nam iisdem planis continentur), pyramidem autem,

24. τό] (prius) μεν το q; μεν έατι τό Υ. ΓΑΒ] e corr. Υ. 26. τό] εβτϊ τό Υ.

δε τό Γ ΰημεΐον, τρίτον εδείχ&η τον πρίσματος, ον βάΰις το ΑΒΓ τρίγωνον₉ άτίεναντίον de το ΑΕΖ, και η τινραμις άρα, ης βάΰις το ΑΒΓ τρίγωνον, κο-ρνφη δε το Α ΰημεΐον, τρίτον εότι τον τιρίόματος 5 τον έχοντος βάΰιν την αντην το ΑΒΓ τρίγωνον, άτίεναντίον δε το ΑΕΖ.

Πόριΰμα.

’Εκ δη τοντον φανερόν, ότι τιάΰα τινραμις τρίτον μέρος έΰτι τον πρίσματος τον την αντην βάόιν έχοντος 10 αντη και νψος ί'ύον [έτιειδήπερ καν έτερόν τι ΰχημα εν&νγραμμον έχη η βάΰις τον τιρίΰματος, τοιοντο και το άτίεναντίον, και διαιρείται εις τιρίόματα τρίγωνα εχοντα τάς βάΰεις και τα άτίεναντίον, καί ώς η όλη βάΰις τίρος εκαΰτον]' όπερ εδει δειζαι.

15

η.

Αί όμοιαι τινραμίδες και τριγώνονς εχονΰαι βάΰεις εν τρι τιλαΰίονι λόγω είΰι των ομολόγων τίλενρών.

’Έβτωβαν όμοιαι και ομοίως κείμεναι τινραμίδ ες, 20 ών βάΰεις μεν είΰι τα ΑΒΓ, ΑΕΖ τρίγωνα, κορνφαι de τα Η, Θ ΰημεια* λέγω, ότι η ΑΒΓΗ τινραμις τίρος την ΑΕΖΘ τινραμίδα τριτίλαΰιονα λόγον έχει ητιερ η ΒΓ τίρος την ΕΖ.

εστι τό Υ. 3. η] om. Υ. 5. τον — αντην] ον 11. η — πρίσματος] βάσιν το πρίσμα q. , τοιοντο] 12. τό] το αντό Bq et corr. ex αντό τό Υ. και] om. BVq. τριγώνονς, -ονς e corr. m. 2 Υ. 13. τάς'] om. q. και] om. q. τά] τάς q. καί ώς — 14. όείξαι] om. Theon (BYq). 17. είσίν Β. 20. βάσις Β, corr. m. 2. κορνφή Β, corr. m. 1.    21. $ε] δε αντών έστω V.

1.

βάσις

βάσις om. BYq.

cuius basis est ΑΒΑ triangulus, uertex autem JHpunctum, tertiam partem esse demonstrauiraus prismatis, cuius basis sit ΑΒΓ triangulus, ei autem oppositus AEZ, etiam pyramis, cuius basis est ΑΒΓ triangulus, uertex autem A punctum, tertia pars est prismatis eandem basim habentis triangulum ΑΒΓ, ei autem oppositum AEZ.

Corollarium.

Hinc manifestum est₅ omnem pyramidem tertiam partem esse prismatis, quod eandem basim habeat et altitudinem aequalem.¹ 2) — quod erat demonstrandum.

VIII.

Δ\

\r

Similes pyramides triangulas bases habentes tri-— 0 plicatam inter se ratio-sfr nem habent quam latera correspondentia.

Sint pyramides simi-

les et similiter positae, z quarum bases sint ΑΒΓ'

AEZ trianguli, uertices autem H, © puncta, dico, esse ΑΒΓΗ.ΑΕΖΘ = J3Γ³: EZ\

12

Σνμπεπληρώΰ&ω γάρ τά ΒΗΜΑ, ΕΘΠΟ στερεά παραλληλεπίπεδα, και έπει όμοια έστϊν η AB ΓΗ πνραμϊς τη ΑΕΖΘ πνραμίδι, ίΰη άρα έστϊν η μεν νπδ ΑΒΓ γωνία τη νπδ AΕΖ γωνία, η $£ νπδ ΗΒΓ 5 τη νπδ ΘΕΖ, η δε νπδ ΛΒΗ τη νπδ ΑΕΘ, καί έστιν ως η AB προς την ΑΕ, όντως η ΒΓ πρδς την ΕΖ, καί η ΒΗ πρδς την ΕΘ. και έπεί έστιν ως η AB πρδς την ΑΕ, όντως η ΒΓ πρδς την ΕΖ, και περί ίΰας γωνίας αί πλενραί άνάλογόν είσιν, δμοιον 10 αρα έστι τδ Β Μ παραλληλόγραμμον τω ΕΠ παραλ-ληλογράμμω. διά τα αντά δη και τδ μεν Β Ν τω ΕΡ δμοιον έστι, τδ δε ΒΚ τω ES’ τά τρία άρα τά MB, BK, ΒΝ τριβϊ τοις ΕΠ, ES, ΕΡ δμοιά έστιν. αλλά τά μεν τρία τά MB, ΒΚ, ΒΝ τρισϊ τοις απεναν-15 τίον ίσα τε και δμοιά έστιν, τά δε τρία τά ΕΠ, EIS, ΕΡ τρισϊ τοις άπεναντίον ίσα τε καί δμοιά έστιν. τά ΒΗΜΑ, ΕΘΠΟ άρα στερεά νπδ όμοιων επιπέδων ίσων τδ πληΟνς περιέχεται. δμοιον άρα έστι τδ ΒΗΜΑ στερεδν τω ΕΘΠΟ στερεω. τά δέ δμοιά στερεά παρ-*20 αλληλεπίπεδα εν τριπλασίονι λόγω έστι των ομολόγων πλενρών. τδ ΒΗΜΑ άρα στερεδν πρδς τδ ΕΘΠΟ στερεδν τριπλαύίονα λόγον έχει ηπερ η ομόλογος πλενρά η ΒΓ πρδς την ομόλογον πλενράν την ΕΖ. ως δε τδ ΒΗΜΑ στερεδν πρδς τδ ΕΘΠΟ στερεόν, 25 όντως η ΑΒΓ Η πνραμϊς πρδς την ΑΕΖΘ πνραμίδα, έπειδηπερ η πνραμϊς έκτον μέρος έστι τον στερεόν διά τδ και τδ πρίσμα ημισν ον τον στερεόν παραλληλεπίπεδον τριπλάσιον είναι της πνραμίδος. και η

2. Ύ]\ bis Ρ, corr. m. 1.    5. ΘΕΖ] e eorr. V. 9. εατιν

q. 10. παςαλληλόγςαμμ,ον] (prius) om. Y. 13. εατι V.

Expleantur enim solida parallelepipeda ΒΗΜΑ, ΕΘΠΟ. et quoniam similis est ΑΒΓΗ pyramis pyramidi ΑΕΖΘ, erit L ΑΒΓ=ΑΕΖ, ΙΗΒΓ=ΘΕΖ, L ABH = ΑΕΘ, et est AB : A E = ΒΓ: EZ = BH : ΕΘ [XI def. 9]. et quoniam est A B : A E = B Γ: EZ, et latera angulos aequales comprehendentia proportionalia sunt, erit BM^EII [p. 83 not. lj. eadem de causa erit etiam BN ~ EP, BK~E&. itaque tria MB, BK, BN tribus Eli, E$, EP similia sunt, uerum tria MB, BK, BN tribus oppositis aequalia sunt et similia, tria autem EII, E&, EP tribus oppositis aequalia sunt et similia [XI, 24]. itaque solida ΒΗΜΑ, ΕΘΠΟ planis similibus numero aequalibus continentur, ergo B Η ΜΑ ~ ΕΘ ΓΙΟ [XI def. 9]. similia autem solida parallelepipeda triplicatam rationem habent quam latera correspondentia [XI, 33]. itaque ΒΗΜΑ : ΕΘΙΙΟ = ΒΓ³: EZ³. sed ΒΗΜΑ: ΕΘΙΙΟ = ΑΒΓΗ: AΕΖΘ, quoniam pyramis sexta pars est solidi, propterea quod prisma, quod dimidium est so-

15.    ΐαα τε καί] om. V.

16.    τρίΰί — εατιν] ί'αα 16. εατι Ρ.

19. στερεόν] om. Υ.

26. εκτον] ζ q.

BVq.

ian q, comp. V. τα] (alt.) om. B. τε και όμοί a τριαϊ τοΐς άπ εναντίον εβτί 17. στερεά παραλληλοεπίπεδα Υ.

20. εοτίν Β. 22. τον τριπλααίονα q.

27. παράλληλο επιπ. V.

12*

AB ΓΗ άρα πυραμίς προς την ΑΕΖΘ πυραμίδα τρι-π?,αβίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ* όπερ έδει δεΐζαι.

Πόρισμα.

Εκ δη τούτον φανερόν₅ ότι καί αι πολυγώνους έχονβαι βάβεις όμοιαι πυραμίδες προς άλληλας εν τριπλαβίονι λόγω είβί των ομολόγων πλευρών. δ tat-ρε&ειβών γαρ αυτών εις τάς εν αύταΐς πυραμίδας τρίγωνους βάβεις έχούβας τώ καί τα όμοια πολύγωνα 10 τών βάβεων εις όμοια τρίγωνα διαιρεΐβ&αι καί ιβα τώ πλη&ει καί ομόλογα τοΐς όλοις έβται ως [η] εν τη ετέρα μία πυραμίς τρίγωνον έχουβα βάβιν προς την εν τη ετέρα μίαν πυραμίδα τρίγωνον έχονβαν βάβιν. όντως και άπαβαι αι εν τη ετέρα πυραμίδι πυραμίδες 15 τριγώνους έχονβαι βάζεις προς τάς εν τη ετέρα πνρα-μίδι πυραμίδας τριγώνους βάβεις έχούβας, τουτέβτιν αυτή η πολύγωνον βάβιν έχουβα πυραμίς προς την πολύγωνον βάβιν έχονβαν πυραμίδα, η δε τρίγωνον βάβιν έχουβα πυραμίς προς την τρίγωνον βάβιν έχονβαν j εν τριπλαβίονι λόγω έβτί τών ομολόγων πλευρών καί η πολύγωνον άρα βάβιν έχουβα προς την όμοίαν βάβιν έχονβαν τριπλαβίονα λόγον έχει ηπερ η πλευρά προς την πλευράν.

25

Τών ί'βων πυραμίδων καί τριγώνους βάβεις έχονβών άντιπεπόνΟ'αβιν αι βάβεις τοΐς νψεβιν

2. όπερ] punctis dei. V.

4.    πόρισμα] om. q.

5.    αΐ] om. q. 7. είσίν PB.

αν τοΐς q.    10. καί] και εις Υ.

12. τρίγωνους et βάσεις VT, corr. m. 1.

3. έδει δεΐί-αι] om. Y. πόρ. — 23. πλευράν] mg. m. 1 Ρ. 8. h] om. Y.

αντάς Y,

11. ή] om. Ρ.

13. μίαν πυραμίδα]

lidi parallelepipedi [XI, 28], triplo maius est pyramide [prop. VII]. ergo etiam ΛΒΓΗ: ζ/ΕΖΘ = ΒΓ³:ΕΖ³] quod erat demonstrandum.

Corollarium.

Hinc manifestum est, etiam pyramides similes, quae polygonas bases habeant, triplicatam rationem habere quam latera correspondentia. nam si eas in pyramides triangulas bases habentes diuiserimus, eo quod etiam similia polygona basium in similes triangulos numero aequales et totis correspondentes diuiduntur [VI, 20], erunt, ut in altera una pyramis triangulam habens basim ad unam pyramidem alterius triaugulam basim habentem, ita omnes pyramides alterius pyramidis triangulas bases habentes ad omnes pyramides alterius pyramidis triangulas bases habentes [V, 12], h. e. ipsa pyramis polygonam basim habens ad pyramidem poly-gonam basim habentem, pyramis autem triangulam basim habens ad pyramidem triangulam basim habentem triplicatam rationem habet quam latera correspondentia [prop. VIII]. ergo etiam ea, quae polygonam habet basim ad eam, quae similem basim habet, triplicatam habet rationem quam latus ad latus.

IX.

Pyramidum aequalium et triangulas bases habentium bases in contraria ratione sunt atque altitudines;

VIII. coroll. Psellus p. 55.

βάσιν εχονσαν BV.

20. εστί] om. q.

14. εν]

πνραμίδι (i e corr.) μίαν V. ini q.    15. βάσεις εχονσαι V.

22. τριπλάσιον V. 26. νψεσι PVq.

και ών πυραμ ίδων τριγώνους βάΰεις έχουΰών άν τ ιπεπόν&αΰ ιν αί βάΰεις τοΐς ΰψεΰιν, ιΰαι είΰ\ν εκ είναι.

’Έΰτωΰαν γάρ ιΰαι πυραμίδες τριγώνους βάΰεις 5 έχουΰαι τάς ΑΒΓ\ ΑΕΖ, κορυφάς δέ τα Η, θ 6ψ μεΐα* λέγω₉ οτι των ΑΒΓ Η, ΑΕΖΘ πυραμίδων αντι-πεπόν&αΰιν αί βάΰεις τοΐς νψεΰιν^ καί έΰτιν ώς ή ΑΒΓ βάΰις προς την ΑΕΖ βάΰιν, ούτως το τής ΑΕΖΘ πυραμίδος ύψος προς το τής AB ΓΗ πυρά-10 μίδος ύψος.

Συμπεπληρώΰΰω γάρ τα ΒΗΜΑ, ΕΘΗ Ο ΰτερεά παραλληλεπίπεδα, και έπει ί'ΰη έΰτιν ή ΑΒΓΗ πν-ραμίς τή ΑΕΖΘ πνραμίδι, καί έΰτι τής μεν ΑΒΓΗ πυραμίδος έζαπλάΰιον το ΒΗΜΑ ΰτερεόν, τής δε 15 ΑΕΖΘ πυραμίδος έξ,απλάΰιον το ΕΘΙ10 ΰτερεόν, ϊΰον άρα έΰτι το ΒΗΜΑ ΰτερεόν τω ΕΘΠΟ ΰτερεω. των δέ ί'ΰων ΰτερεών παραλληλεπιπέδων άντιπεπόν-&αΰιν αί βάΰεις τοΐς νψεΰιν* έΰτιν άρα ώς ή ΒΜ βάΰις προς την ΕΓΙ βάΰιν^ όντως τό του ΕΘΠΟ 20 ΰτερεόν ύψος προς τό τον ΒΗΜΑ ΰτερεόν νψος. άλΓ ώς ή Β Μ βάΰις προς την ΕΠ₅ όντως τό ΑΒΓ τρίγωνον προς τό ΑΕΖ τρίγωνον, καί ώς άρα τό ΑΒΓ τρίγωνον προς τό ΑΕΖ τρίγωνον, όντως τό τον ΕΘΠΟ ΰτερεόν νψος προς τό τον ΒΗΜΑ 25 ΰτερεόν νψος. άλλα τό μεν τον ΕΘΠΟ ΰτερεόν νψος τό αυτό έΰτι τω τής ΑΕΖΘ πυραμίδος ΰψει, τό δε του ΒΗΜΑ ΰτερεόν νψος τό αυτό έΰτι τώ τής ΑΒΓΗ πυραμίδος ϋψει' έΰτιν άρα ώς ή ΑΒΓ

εατίν Y.

2.16CU ειαίν] mg. m. 1 postea add. P; ΐοα (corr. m. rec.) 3. Ικεινα V, corr. m. rec.

4. icca] om. q.

et quarum pyramidum triangulas bases habentium bases in contraria ratione sunt atque altitudines, eae aequales sunt.

Sint enim aequales pyramides bases triangulas habentes ΑΒΓ, AEZ, uertices autem Η, Θ puncta, dico, pyramidum ΑΒΓΗ, AΕΖΘ bases in contraria ratione esse atque altitudines, et esse ut AΒΓ: AEZ, ita altitudinem pyramidis ΑΕΖΘ ad altitudinem pyramidis ΑΒΓΗ.

expleantur enim solida parallelepipeda ΒΗΜΑ, ΕΘΠΟ. et quoniam ΑΒΓΗ— ΑΕΖΘ, et ΒΗΜΑ = 6ΑΒΓΗ, ΕΘΠΟ = 6ΑΕΖΘ [ρ. 178, 26j, erit ΒΙΙΜΑ = ΕΘΠΟ. uerum aequalium solidorum par-

Ρ]

l/X

ii ΖΓ

allelepipedorum bases in con-7 traria ratione sunt atque altitudines [XI, 34]. erit igitur, ^ ut BM: ΕΠ, ita altitudo solidi ΕΘΠΟ ad altitudinem solidi ΒΗΜΑ, sed ΒΜ:ΕΠ = ΑΒΓ: AEZ [1,34]. quare etiam ut ΑΒΓ:ΑΕΖ₉ ita altitudo solidi ΕΘΠΟ ad altitudinem solidi ΒΗΜΑ, uerum altitudo solidi ΕΘΠΟ eadem est atque altitudo pyramidis ΑΕΖΘ, altitudo autem solidi ΒΗΜΑ eadem est atque altitudo pyramidis ΑΒΓΙΙ: itaque ut ΑΒΓ: AEZ, ita altitudo

7. vtybGL Yq.

1δ. πυραμίδας] om. Y. 19. ΕΘΠΘ q.

22. AB Τ' τρίγωνον] ΕΘΠΟ το] ins. m. 1 q.

εχουβοίΐ βάσεις B.

ΕΘΟΠ Y. 16. iczt] om. Y. .21. MB Yq. ΕΠ βάσιν Yq. στερεόν ν'ψος Y, corr. mg. m. 2.

26. stmv PB. 27. εστιν B.

βάβις προς την ΑΕΖ βάΰιν, όντως το της ΑΕΖΘ πνραμίδος νψος προς το της ΑΒΓΗ πνραμίδος νψος. των ΑΒΓΗ, Λ ΕΖΘ αρα πυραμίδων άντιπεπόν&αΰιν αί βάΰεις τοΐς νψεΰιν.

των ΑΒΓΗ, ΑΕΖΘ πυραμίδων άντι-πεπον&έτωΰαν αί βάοεις τοΐς νψεΰιν, καί έΰτω ως η ΑΒΓ βάΰις προς την ΑΕΖ βάΰιν, όντως το της ΑΕΖΘ πνραμίδος νψος προς το της ΑΒΓΗ πυρά-μίδος νψος* λέγω, ο τι ί'6η εΰτϊν η ΑΒΓΗ πυραμϊς

’Αλλά δη

10 τη ΑΕΖΘ πυραμίδά

Των γάρ αυτών καταΰκεναΰ&έντων, έπεί έΰτιν ώς η ΑΒΓ βάΰις προς την ΑΕΖ βάΰιν, ούτως το της ΑΕΖΘ πνραμίδος νψος προς το της ΑΒΓΗ πυρα-μίδος ΰψος, άλλ’ ώς η ΑΒΓ βάΰις προς την ΑΕΖ 15 βάΰιν, ούτως το Β Μ παραλληλόγραμμον προς το ΕΠ παραλληλόγραμμον, και ώς αρα το ΒΜ παραλληλόγραμμον προς το ΕΠ παραλληλόγραμμον, ούτως το τής ΑΕΖΘ πνραμίδος νψος προς το τής ΑΒΓΗ πνραμίδος νψος. άλλα το [μεν] τής ΑΕΖΘ πνραμίδος 20 νψος το αυτό έΰτι τω τον ΈΘΠΟ παραλληλεπίπεδον νψει, το δε τής ΑΒΓΙΙ πνραμίδος νψος το αυτό έΰτι τω τον ΒΗΜΑ παραλληλεπιπέδου νψει' έΰτιν αρα ώς ή ΒΜ βάΰις προς την ΕΠ βάΰιν, όντως το τον ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου νψος προς το του 25 ΒΗΜΑ παραλληλεπιπέδου νψος. ών δε ΰτερεών παραλληλεπιπέδων άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν, ΐΰα έΰτιν εκείνα' ϊΰον αρα έΰτι το ΒΗΜΑ ΰτερεόν παραλληλεπίπεδον τω ΕΘΠΟ ΰτερεω παραλληλεπιπέδω.

3. άρα] om. V. 15. το] (prius) bis Y.

-ftaciv in ras. V.

17. παραλληλόγραμον P.

6. νψεσι Vq.

18. τής]

pyramidis ΑΕΖΘ ad altitudinem pyramidis ΑΒΓΗ. erg° pyramidum ΑΒΓΗ, ΑΕΖΘ bases in contraria ratione sunt atque altitudines.

Iam uero pyramidum ΑΒΓΗ, ΑΕΖΘ bases in contraria ratione sint atque altitudines, et sit ut ΑΒΓ.ΑΕΖ, ita altitudo pyramidis ΑΕΖΘ ad altitudinem pyramidis ΑΒΓΗ. dico, esse ΑΒΓΗ = ΑΕΖΘ.

nam iisdem comparatis quoniam est, ut ΑΒΓ: AEZT ita altitudo pyramidis ΑΕΖΘ ad altitudinem pyramidis ΑΒΓΗ, et ΑΒΓ: A EZ = BM: ΕΠ [I, 34], erit etiam ut BM : Eli, ita altitudo pyramidis ΑΕΖΘ ad altitudinem pyramidis ΑΒΓΗ. uerum altitudo pyramidis ΑΕΖΘ eadem est atque altitudo parallel-epipedi ΕΘΠΟ, altitudo autem pyramidis ΑΒΓΗ eadem atque altitudo parallelepipedi ΒΗΜΑ, quare ut ΒΜ:ΕΠ, ita altitudo parallelepipedi ΕΘΠΟ ad altitudinem parallelepipedi ΒΗΜΑ, quorum autem solidorum parallelepipedorum bases in contraria ratione sunt atque altitudines, ea aequalia sunt, itaque ΒΗΜΑ

(prius) ins. m. 1 V. Ιοτι τω] έστω q.

27. εστ*.'] om. V.

22. εατιν B.

19. μεν] om. P.

25. παςαλληλεπίπέδου ύψος] om. Y.

καί έστι τον μεν ΒΗΜΑ έκτον μέρος η ΑΒΓΗ πν-ραμίς, τον ΕΘΠΟ παραλληλεπίπεδον έκτον μέρος η ΑΕΖΘ πνραμίς' ίση αρα η ΑΒΓΗ πνραμίς τη ΑΕΖΘ πνραμίδί.

Των αρα ίσων πνραμίδων και τριγώνονς βάσεις έχονσών άντιπεπόν&ασιν αί βάζεις τοΐς νψεσιν καί ών πνραμίδων τριγώνονς βάσεις έχονσών άντιπεπόν-&α6ίν αί βάζεις τοΐς νψεσιν, ίσαι είσιν εκείναι' οπερ έδει δεΐζαι.

10

ι.

Πας κώνος κνλίνδρον τρίτον μέρος έστί τον την αν την βάσιν έχοντος αντω καί νψος ίσον.

’Εχέτω γάρ κώνος κνλίνδ ρω βάσιν τε την αντην τον ΑΒΓΑ κύκλον και νψος ίσον' λέγω, οτι δ κώνος 15 τον κνλίνδ ρον τρίτον έστι μέρος, τοντέστιν οτι δ κύλινδρος τον κώνον τριπλασίων έστίν.

Εΐ γάρ μη έΰτιν δ κύλινδρος τον κώνον τριπλασίων, έσται δ κύλινδρος τον κώνον ήτοι μείζων η τριπλασίων η έλάσσων η τριπλασίων, έστω πρότερον 20 μείζων η τριπλασίων, και έγγεγράφ&ω εις τον ΑΒΓΑ κύκλον τετράγωνον το ΑΒΓΑ* το δη ΑΒΓΑ τετράγωνον μεΐζέν έστιν η το ημισν τοϋ ΑΒΓΑ κύκλον, και άνεστάτω άπδ τον ΑΒΓΑ τετραγώνον πρίσμα ισοϋψές τω κνλίνδ ρω. τδ δη άνισ τάμενον πρίσμα μεΐζόν

3. ΐΰΤ) αρα η] η άρα Β V q.    4. πνραμίδί

6. νψεοι q. 7. -μιδών τρι- in ras. m. 8. ica έΰτιν εκείνα Ρ. 9. έδει δεΐζαι] in ras. m. 14. ΑΒΓ Ρ. ό] om. q. 15. μέρος εατί Υ.

16. τριπλάΰΐον Ρ, corr. m. 2. έαται Β.

1. έατιν ΡΒ. ία η έΰτίν BYq. rec. Υ. rec. Υ. ό] om. q.

17. εΐ — 18. έοται] om. Β, mg. add. m. 2: εΐ γάρ — μείζων, deletis uerbis ό κύλινδρος τον κώνον. 17. μη γάρ Ρ.

19. έλάττων Υ. 20 γεγράφ&ω q. 21. τό ΑΒΓΑ] supra m. 2 Β. 23. καί] om. q. 24. άνεαταμενον PBYq.

= Ε&ΠΟ. et ΑΒΓΗ = ¹/GBHMA, ΑΕΖΘ = %ΕΘΠΟ [p. 178, 26]. itaque ΑΒΓΗ = ΑΕΖΘ.

Ergo aequalium pyramidum et triangulas bases habentium bases in contraria ratione sunt atque altitudines; et quarum pyramidum triangulas bases habentium bases in contraria ratione sunt atque altitudines, eae aequales sunt; quod erat demonstrandum.

X.

Omnis conus tertia est pars cylindri, qui basim eandem habet et altitudinem aequalem.

Nam conus eandem basim habeat, quam cylindrus, circulum ΑΒΓΑ, et altitudinem aequalem, dico, conum tertiam esse partem cylindri, h. e. cylindrum triplo maiorem esse cono.

nam si cylindrus cono triplo maior non est, erit

E)

\d

a [p. 142, 9].

cylindrus aut maior quam triplo maior cono aut minor. prius sit maior, et in circulo ΑΒΓΑ inscribatur quadratum ΑΒΓΑ [IV, 6]. itaque quadratum ΑΒΓΑ maius est quam dimidium circuli A B ΓΑ et in quadrato ΑΒΓΑ construatur prisma eandem altitudinem habens quam cylindrus. itaque prisma constructum maius est quam dimidium cylindri, quoniam

X. Hero stereom. I, 14, 3. Psellus p. 56.

εΰτιν η τδ ημιΰυ τον κυλίνδρου, έπειδήπερ καν περί τον ΑΒΓΑ κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, το εγγεγραμμένου εις τον ΑΒΓΑ κύκλον τετράγωνον ημιΰυ εΰτι του περιγεγραμμένου' καί εΰτι τά άπ αυτών άν-5 ιΰτάμενα ΰτερεά παραλληλεπίπεδα πρίσματα ίΰοϋψη * τά δε ύπδ το αύτδ ύψος οντα ΰτερεά παραλληλεπίπεδα πρίς άλληλά εΰτιν ως αί βάΰεις* και το επί τού ΑΒΓΑ άρα τετραγώνου άναΰτα&έν πρίΰμα ημιΰύ εΰτι τού άναΰτα&έντος πρίΰματος άπδ τού περί τον ΑΒΓΑ 10 κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου* καί εΰτιν δ κύλινδρος ελάττων τού πρίΰματος του άναΰταδεντός άπδ τον περί τδν ΑΒΓΑ κύκλον περιγραφεντος τετραγώνου' το άρα πρίΰμα το άναΰτα&εν άπδ τού ΑΒΓΑ τετραγώνου ίΰοϋψες τω κυλίνδρω μεΐξόν εΰτι τού ημίΰεως 15 τού κυλίνδρου, τετμήΰ&ωΰαν αί AB, ΒΓ, ΓΑ, ΑΑ περιφέρειαι δίχα κατά τά Ε, Ζ, Η, Θ ΰημεΐα, και έπεξεύχ&ωΰαν αί AE, ΕΒ, BZ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΑ, ζ/©? ΘΑ* και εκαΰτον άρα των ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ τριγώνων μεΐξόν εΰτιν η τδ ημιΰυ τού κα%' έαυτδ 20 τμήματος τού ΑΒΓΑ κύκλου,    έμπροΰ&εν έδείκνυμεν.

άνεΰτάτω εφ εκάΰτου των ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ τριγώνων πρίΰματα ίΰοϋψή τω κυλίνδρω* καί εκαΰτον άρα των άναΰτα&έντων πριΰμάτων μεΐξόν εΰτιν η τδ ημιΰυ μέρος τον κα&’. έαυτδ τμήματος τού κυλίνδρου, 25 έπειδηπερ εάν διά των Ε, Ζ, i/, © ΰημείων παραλλήλους ταΐς AB, ΒΓ, ΓΑ, ΑΑ άγάγωμεν, και ΰυμ-πληρώΰωμεν τά έπι των AB, ΒΓ, ΓΑ, ΑΑ παραλ-

(BVq).

1. έστω q. 4. J<m] (prius) έ'σται q; εστΓν Β. 5. ισοϋψή στερεοί Theon (BVq). ττρο'σμ.οίτο'] om. q. ισοϋψή] om. Theon 6. δε — παραλληλεπίπεδα] αρα πρίσματα Theon

si circum circulum ΑΒΓΑ quadratum circumscribimus [IV, 7], quadratum in circulo ΑΒΓΑ inscriptum dimidium est circumscripti [p. 143 not. 1]; et solida in iis constructa parallelepipeda¹) sunt prismata eandem altitudinem habentia, solida autem parallelepipeda eandem altitudinem habentia eam inter se rationem habent quam bases [XI, 32]. quare etiam prisma in quadrato ΑΒΓΑ constructum dimidium est prismatis constructi in quadrato circum ΑΒΓΑ circulum circumscripto; et cylindrus prismate in quadrato circum ΑΒΓΑ circulum circumscripto minor est; itaque prisma in quadrato ΑΒΓΑ constructum eandem altitudinem habens, quam cylindrus, maius est dimidio cylindri, secentur arcus AB, ΒΓ' ΓΑ, A A in punctis E, Z, Η, Θ in binas partes aequales, et ducantur A E, EB, BZ, ZjT, ΓΗ, HA, ΑΘ, ΘΑ. itaque etiam singuli trianguli AEB, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ maiores sunt dimidio segmentorum ad eos pertinentium circuli ΑΒΓΑ, ut supra demonstrabamus [p. 142, 22]. iam in singulis triangulis AEB, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ prismata construantur eandem altitudinem habentia quam cylindrus, itaque etiam singula prismata constructa maiora sunt quam dimidia segmentorum cylindri ad ea pertinentium, quoniam si per puncta E, Z, Η, Θ rectas rectis AB, ΒΓ\ ΓΑ, A A parallelas ducimus, et parallelo-

1) παραλληλεπίπεδα hic ut semper fere adiectiuum est, sed pertinet ad πρίσματα, non ad στερεά. exspectaueris av-ιστάμενα πρίσματα στερεά παραλληλεπίπεδα taovipfj (άνιστ. πρίσματα ισοϋψή στερεά παραλλ. coniecit August).

14. ήμίσεος BVq.

23. -ν ή] add, m. 2 P.

(BVq). 7. είσιν Bq. επί^ άπό q. 19. τρίγωνον q. 21. εφ’] αφ’ V.

ληλόγραμμα₉ και άπ αυτών άναότήόωμεν ότερεα παραλληλεπίπεδα ίόονψή τω κνλίνδρω, έκάότον των άναότα&έντων ήμίόη έότι τά πρίόματα τά έπϊ των ΑΕΒ? ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ τριγώνων καί έότι τά 5 τοϋ κυλίνδρου τμήματα έλάττονα των άναότα&έντων ότερεών παραλληλεπίπεδων* ώότε και τά έπϊ των ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ τριγώνων πρίόματα μείζονά έότιν ή τδ ήμιόυ των κα& έαυτά τοϋ κυλίνδρου τμημάτων, τέμνοντες δη τάς ϋπολειπομένας περιφερείας δίχα και 10 έπιξευγνύντες ευθείας και άνιότάντες έφ⁷ έκάότου των τριγώνων πρίόματα ίόουψή τω κνλίνδρω και τούτο άει ποιονντες καταλείψομέν τινα άποτμήματα τοϋ κυλίνδρου, ά εόται ελάττονα τής υπεροχής, ή υπερέχει δ κύλινδρος τοϋ τριπλαόίου τον κώνον. 15 λελείφ&ω, και έότω τά ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ZF, ΓΗ, Hz/, ΑΘ^ ΘΑ' λοιπδν άρα τδ πρίόμα, ου βάόις μεν τδ ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, νψθ£ de τδ αντδ τω κνλίνδρω., μεΐξόν έότιν ή τριπλάόιον τοϋ κώνον, αλλά τδ πρίόμα, ού βάόις μέν έότι τδ AΕΒΖΓΗΑΘ πολύ-20 γωνον, vz/jog de τό αντό τω κνλίνδρω, τριπλάόιον έότι τής πυραμίδος, βάόις μέν έότι τδ Α ΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, κορυφή de ή αυτή τω κώνω' και ή πυ-ραμις άρα, %    μέν [έότι] τδ Α ΕΒΖΓΗΑ Θ πο

λύγωνον , κορυφή δε ή αυτή τω κώνω, μείζων έότι 25 τον κώνου τού βάόιν έχοντος τδν ΑΒΓΑ κύκλον, αλλά και έλάττων' έμπεριέχεται γάρ ύπ⁹ αντον* d:7rep

3. ημίθεα Β Vq. ματα BVq. e corr. m. rec. scr. m. 2 B. λήφ&ω q.

18. πόνου q.

5. άποτμή-έαντά] -τά 13. α] supra 15. λε-

πρίομα Ρ, corr. m. rec. ή] bis P.    των] του q.

ετά q. 10. έφ’] άφ⁹ V. ελάααονα Ρ.    14. πόνου q.

17. ΑΒΕΖΓΗΔ ΘΑ Ρ, ΑΕΒΖΓΗΔ ΘΑ V. 21. ϊΰτι] om. V. ΑΕΒΖΓΗΘΔ V.

cd

gramma in rectis AB, ΒΓ\ ΓΑ, A A explemus et in iis solida parallelepipeda construimus eandem altitudinem habentia, quam cylindrus, prismata in triangulis AEB, ΒΖΓ, ΓΙΙΑ, ΑΘΑ constructa dimidia sunt singulorum parallelepipedorum⁴ 5); et segmenta cylindri minora sunt solidis parallelepipedis, quae construximus; quare prismata in triangulis AEB, ΒΖΓ\ ΓΗΑ, ΑΘΑ constructa maiora sunt quam dimidia segmentorum cylindri ad ea pertinentium, itaque si arcus relictos in duas partes aequales secuerimus et rectas duxerimus et in singulis triangulis prismata construxerimus eandem altitudinem habentia, quam cylindrus, et hoc semper fecerimus, frusta quaedam cylindri relinquemus, quae minora sunt excessu, quo cylindrus triplum coni excedit [X, 1]. relinquantur et sint A E, EB, BZ, ΖΓ, ΓΗ, HA, A®, ΘΑ. itaque quod relinquitur prisma, cuius basis est polygonum ΑΕΒΖΓΗΑΘ, altitudo autem eadem ac cylindri, maius est quam triplo maius cono, uerura prisma, cuius basis est polygonum ΑΕΒΖΓΗΑΘ, altitudo autem eadem ac cylindri, triplo maius est pyramide, cuius basis est polygonum ΑΕΒΖΓΗΑΘ, uertex autem idem ac coni [prop. YII coroll.]. quare etiam pyramis, cuius basis est polygonum ΑΕΒΖΓΗΑΘ, uertex autem idem ac coni, maior est cono, qui basim habet ΑΒΓΑ circulum, uerum etiam minor est (nam

25. %ovov in ras. q.

23. έατι] om. P.

έατίν

24. κόνω q.

26. νπ⁹] corr. ex an m. 2 B.

έστϊν αδύνατον, ονκ άρα έστϊν δ κύλινδρος του κώνον μείξων ή τριπλάσιος.

Λέγω δη, δτι ονδε έλάττων έστϊν η τριπλάσιος δ κύλινδρος τον κώνον.

Ει γάρ δυνατόν, έστω έλάττων η τριπλάσιος δ κύλινδρος τον κώνον* άνάπαλιν άρα δ κώνος τον κυλίνδρου μείξων έστϊν η τρίτον μέρος, έγγεγράφ&ω δη εις τον ΛΒΓΛ κύκλον τετράγωνον το ΛΒΓ/!' το ΛΒΓΛ άρα τετράγωνον μεΐξόν έστιν η το ημισν τον 10 ΛΒΓζί κύκλου, και άνεστάτω άπδ τον ΛΒΓΛ τετραγώνου πνραμϊς την αυτήν κορυφήν έχονβα τω κώνω* η άρα άναστα&εΐσα πνραμϊς μείξων έστϊν η το ημισν μέρος τον κώνον, έπειδηπερ, ως έμπροσθεν έδείκννμεν, ότι έάν περϊ τον κύκλον τετράγωνον περιγράφω μεν, 15 έσται το ΛΒΕΛ τετράγωνον ημισν τοϋ περϊ τον κύκλον περιγεγραμμένον τετραγώνου* και έάν άπδ των τετραγώνων στερεά παραλληλεπίπεδα άναστήσωμεν ισοϋψή τω κώνω, ά και καλείται πρίσματα, έσται το άναστα&εν άπδ τον ΛΒΓΛ τετραγώνου ημισν τον 20 άναστα&έντος άπδ τον περϊ τδν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου* πρδς άλληλα γάρ είσιν ως αι βάσεις, ώστε καί τά τρίτα’ και πνραμϊς άρα, ής βάσις το ΛΒΓΛ τετράγωνον, ήμισύ έστι τής πνραμίδος τής άναστα-&είσης άπδ τον περϊ τδν κύκλον περιγραφέντος τετρα-25 γώνον. καί έστι μείξων ή πνραμϊς ή άναστα&εΐσα άπδ τοϋ περϊ τδν κύκλον τετραγώνου τον κώνον * έμπεριέχει γάρ αυτόν, ή άρα πνραμϊς, ής βάσις το

1. εστιν] om. Υ. postea saepe.

έστϊν] έσται Β V.

3. έστϊν] om. Υ.

8. το ΑΒΓΑ — 9. τετράγωνον] mg. m. 1 Ρ.

13.    om. V.

νον] in ras. q.

Υ,όνον q et sic τριπλάσιός έστιν Υ.

10. τετραγώ-14. περιγράφω μεν

ab eo comprehenditur)·, quod fieri non potest, itaque cylindrus maior non est quam triplo maior cono.

Iam dico, cylindrum ne minorem quidem esse quam triplo maiorem cono.

Nam si fieri potest, sit cylindrus minor quam triplo maior cono, e contrario igitur conus maior est tertia parte cylindri, iam in circulo ΑΒΓΑ quadratum inscribatur ΑΒΓΑ [IY, 6]. itaque quadratum ΑΒΓΑ maius est quam dimidium circuli ΑΒΓΑ [p. 142, 11]. et in quadrato ΑΒΓΑ pyramis construatur eundem uerticem habens, quem conus, itaque pyramis ita constructa maior est quam dimidium coni, quoniam, ut supra demonstrabamus [p. 143 not. 1], si circum circulum quadratum circumscripserimus [IY, 7], quadratum ΑΒΓΑ dimidium erit quadrati circum circulum circumscripti; et si in quadratis solida parallelepipeda eandem altitudinem habentia, quam conus, construxerimus, quae eadem prismata uocantur, solidum in quadrato ΑΒΓΑ constructum dimidium erit solidi constructi in quadrato circum circulum circumscripto (nam eam inter se rationem habent quam bases) [XI, 32]. quare etiam partes tertiae, itaque etiam pyramis, cuius basis est quadratum ΑΒΓΑ} dimidium est pyramidis, quae in quadrato circum circulum circumscripto construitur [prop. VII coroll.]. et pyramis in quadrato circum circulum circumscripto constructa maior est cono (nam eum comprehendit), itaque pyramis, cuius basis est

τετράγωνον BVq. 15. ημι,σν] -μι- in ras. Y. γεγραμμένον] περιγραφομένου Υ. τετράγωνον] om. V. 18. καλεί in fine lin. P. 19. του] (alt.) corr. ex τό m. 1 P. 23. εστιν P.

16. περι-

22. τρία q, corr. m. 1.

27. περιέχει q.

ΑΒΓΑ τετράγωνον, κορυφή δε η αύτη τω κώνω, μείζων έΰτιν η το ημιΰυ τον κώνου, τετμηΰ&ωΰαν αι AB, ΕΓ’, JTz/, ΑΑ περιφέρειαι δίχα κατά τά E, Ζ7 Η, Θ ΰημεΐα, καί έπεξεύχ&ωΰαν al ΑΕ, ΕΒ, 15 Ζ, 6 ΖΓ, ΓΗ, Hz/, ζ/@, ΘΑ' και έκαΰτον άρα των ΑΕΒ\ ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ τριγώνων με ιξόν έΰτιν η το ημιΰυ μέρος του κα& εαυτό τμήματος του ΑΒΓΑ κύκλου, και άνεΰτάτωΰαν έφ’ έκάΰτου των ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ τριγώνων πυραμίδες την αυτήν 10 κορυφήν έχουΰαι τω κώνω* καί. έκάΰτη άρα των άναΰτα&ειΰών πυραμίδων κατά τον αυτόν τρόπον μείζων έΰτίν η το ημιΰυ μέρος τον κα& έαυτην τμήματος τον κώνου, τέμνοντες δη τάς ύπολειπομένας περιφερείας δίχα και έπιζευγνύντες εύ&είας και άν-15 ιΰτάντες έφ’ εκαΰτον των τριγώνων πυραμίδα την αυτήν κορυφήν έχουΰαν τω κώνω και τούτο άει ποι-οϋντες καταλείψομέν τινα άποτμηματα τον κώνον, ά έΰται έλάττονα της υπέροχης, η υπερέχει ό κώνος τού τρίτου μέρους τού κυλίνδρου, λελείφ&ω, και έΰτω 20 τά έπι των ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ZJH, ΓΗ, Hz/, ζ/@, ΘΑ· λοιπή άρα η πυραμίς, ης βάΰις μέν έΰτι το ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, κορυφή δε η αντη τω κώνω, μείζων έΰτίν η τρίτον μέρος τού κυλίνδρου, άλλ’ ή πυραμίς, ης βάΰις μέν έΰτι το ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, κορυφή 25 $£ η αυτή τω κώνω, τρίτον έΰτι μέρος τού πρίΰματος, ού βάΰις μέν έΰτι το ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, ύψος δέ το αυτό τω κυλίνδρω* τό αρα πρίΰμα, ού βάΰις

2. τό] om. Ρ. αΓ] bis Ρ, sed corr. 3. τά] τό q.

5. Θ^] om. Β. 8. εφ⁵] άφ’ BVq. 10. έχοντες V.

12. μεΐζον Ρ, eorr. m. rec. εαυτό PBVq; corr. ed. Basii.

17. τμήματα BY. 19. λελήφ&ω q. 21. ΑΕΒΖΓΗΛΘ] Θ

quadratum ΑΒΓΑ, uertex autem idem ac coni, maior est quam dimidium coni, iam arcus AB, ΒΓ, ΓΑ, A A in punctis E, Z, Η, Θ in duas partes aequales secentur, et ducantur AE, EB, BZ, ΖΓ' ΓΗ, HA, ΑΘ, ΘΑ. itaque singuli trianguli AEB, ΒΖΓ', ΓΗΑ, maiores sunt quam dimidium segmentorum circuli ΑΒΓΑ ad eos pertinentium [p. 142, 22]. et in singulis triangulis AEB, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ pyramides construantur eundem uerticem habentes, quem conus, itaque etiam singulae pyramides, quas construximus, eadem ratione*) maiores sunt quam dimidium segmentorum coni ad eas pertinentium, si igitur arcus reliquos in duas partes aequales secuerimus et rectas duxerimus et in singulis triangulis pyramides construxerimus eundem uerticem habentes, quem conus, et hoc semper fecerimus, frusta quaedam coni relinquemus, quae minora erunt excessu, quo conus tertiam partem cylindri excedit [X, 1]. relinquantur et sint ea, quae in A E, EB, BZ, ΖΓ, ΓΗ, HA, ΑΘ, ΘΑ posita sunt, itaque quae relinquitur pyramis, cuius basis est polygonum ΑΕΒΖΓΗΑΘ, uertex autem idem ac coni, maior est tertia parte cylindri, uerum pyramis, cuius basis est polygonum ΑΕΒΖΓΗΑΘ, uertex autem idem ac coni, tertia pars est prismatis, cuius basis est polygonum ΑΕΒΖΓΗΑΘ, altitudo autem eadem ac cylindri.

1) Sc. ac supra p. 192, 12 sq. in pyramidibus, quae in quadratis constructae erant.

corr. ex B uel Z q. 22. ή] om. q. 24. AEB ΓHJΘ V.

26. £6tiv B. ΑΕΒΖΓΗΑΘ] Z supra scr. m. 2 Y. 27. το] o in ras. m. 2 B. το αρα — p. 196, 2. κνλίνδρω] om. q.

μεν έστι τδ ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, ύψος δε το αντδ τώ κνλίνδρω, μεΐζόν έστι τον κύλινδρον, ον βάσις έστιν 6 ΑΒΓΑ κύκλος. άλλα καί ελαττον έμ-περιέχεται γάρ νπ αντον’ δπερ έστιν αδύνατον, ονκ 5 άρα δ κύλινδρος τον κώνον έλάττων έστιν η τριπλάσιος. έδείχ&η δε, δτι ονδέ μείζων η τριπλάσιος* τριπλάσιος άρα δ κύλινδρος τον κώνον ώστε 6 κώνος τρίτον έστι μέρος τον κνλίνδρον.

Πας άρα κώνος κνλίνδρον τρίτον μέρος έστι τον 10 την αντην βάσιν εχοντος αντω και ύψος ίσον’ δπερ εδει δεΐξαι.

ια.

Οι νπδ το αντδ ύψος δντες κώνοι και κύλινδροι προς άλληλονς είσϊν ως αι βάσεις.

15 ’Έστωσαν νπδ το αντδ ύψος κώνοι και κύλινδροι, ών βάσεις μεν [είσιν] οι ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ κύκλοι, άξονες δε οι ΚΑ, ΜΝ, διάμετροι δε τών βάσεων αι ΑΓ, ΕΗ’ λέγω, οτι έστιν ως δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τίν ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως δ ΑΑ κώνος πρδς τδν 20 ΕΝ κώνον.

Εί γάρ μη, έσται ως δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τδν ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως δ ΑΑ κώνος ήτοι πρδς έλασ-σόν τι τον ΕΝ κώνον στερεδν η πρδς μειζον. έστω πρότερον πρδς έλασσον τδ &, και ω έλασσόν έστι τδ 25 £? στερεδν τον ΕΝ κώνον, έκείνω ίσον έστω τδ Ψ* στερεόν* 6 ΕΝ κώνος άρα ίσος έστι τοΐς Β, Ψ στε-ρεοΐς. έγγεγράφ&ω εις τδν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τδ ΕΖΗΘ* τδ άρα τετράγωνον μειζόν έστιν

έστιν ό] mg. m. 1 Ρ. 8. μέρος έστί V. '

3.    μεν έστιν V q.

4.    έστίν] om. V.

έλάττων V q. 9. άρα δ V.

prisma igitur, cuius basis est ΑΕΒΖΓΗΑΘ polygonum , altitudo autem eadem ac cylindri, maius est cylindro, cuius basis est circulus ΑΒΓΑ. uerum etiam minus (nam ab eo comprehenditur); quod fieri non potest, itaque cylindrus minor non est quam triplo maior cono, demonstrauimus autem, eum ne maiorem quidem esse, triplo igitur maior est cylindrus cono, itaque conus tertia pars est cylindri.

Ergo omnis conus tertia pars est cylindri, qui eandem basim habet et altitudinem aequalem; quod erat demonstrandum.

XI.

Coni et cylindri, qui eandem habent altitudinem, eam inter se rationem habent quam bases.

Eandem altitudinem habeant coni et cylindri, quorum bases sunt circuli ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ, axes autem KA, MN, diametri autem basium ΑΓ' EH. dico, esse ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = A A : EN.

Nam si minus, erit ut ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ, ita conus A A aut ad minus aliquod cono EN solidum aut ad maius, prius sit ad minus E, et sit Ψ = EN & itaque EN = E + Ψ. iam in circulo ΕΖΗΘ inscribatur quadratum ΕΖΗΘ [IV, 6]. itaque quadratum maius est dimidio circuli [p. 142, 11]. in quadrato

τον την — 11. δείξαι] και τα. εξής Υ. 12. ια] om. q.

2 B.

10. i'aov] supra m. 15. nat] ή B. 16. 8l6lv] om. P. 17. διάμετροί — 18. EH] om. q; mg. m. 2 B. 19. κύκλον] supra m. 2B. Ad B, sed corr. πρός — 22. κώνος] mg. m. 2 B.    20. κώνον] om. BVq. 21. έστω Yq. 22. κύκλον]

om. q.    ήτοι] om. q; ή BY. ήτοι — 23. ή] et in textu et

in mg. m. 2 B (ή pro ήτοι). 24. πρότερον] om. q. 28. εοτi q.

η το ημιΰν τον κύκλον. άνεΰτάτω άπδ τον ΕΖΗΘ τετράγωνον πνραμϊς ίΰονφης τω κώνω* η άρα άνα-ΰτα&εΐΰα πνραμϊς μείξων έΰτϊν η το ημιΰν τον κώνον, επειδήπερ εάν περιγράφω μεν περί τον κύκλον 5 τετράγωνον, και άπ⁹ αντον άναΰτηΰωμεν πνραμίδα ίΰονφη τω κώνω₉ η εγγραφειΰα πνραμϊς ημιΰύ εΰτι της περιγραφείΰης' προς άλληλας γάρ είΰιν ως αί βάΰεις* έλάττων δε δ κώνος της περιγραφείΰης πνρα-μίδος. τετμηΰ&ωΰαν αί ΕΖ, Ζ7ί, 77©, ©£ περι-10 φερειαι δίχα κατά τα Ο, Π, Ρ, Σ ΰημεΐα, καί επεξεύχ&ω-ΰαν αί ©Ο, ΟΕ, £77, 7ΖΖ, ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ, 2:©. εκαΰτον άρα των ΘΟΕ, 7£77Ζ, ΖΡΤί, ΗΣΘ τριγώνων μεΐζόν έΰτιν η το ημιΰν τον κα& εαντδ τμήματος τον κύκλον, άνεΰτάτω έφ⁵ εκαΰτον των ΘΟΕ, 15 £77Ζ, ΖΡΤί, ΗΣΘ τριγώνων πνραμϊς ίΰονφης τω κώνω* καί εκάΰτη άρα των άναΰτα&ειΰών πνραμίδων μείζων έΰτϊν η το ημιΰν τον κα& εαντην τμήματος τον κώνον, τέμνοντες δη τάς νπολειπομένας περιφέρειας δίχα και έπιξενγνύντες εν&είας και άνιΰτάντες 20 επί εκαΰτον των τριγώνων πνραμίδας ίΰονψείς τω κώνω και αεί τοντο ποιονντες καταλείψομέν τινα ⁶

ΕΖΗΘ pyramis construatur, quae eandem altitudinem habeat, quam conus, pyramis igitur constructa maior est dimidio coni, quoniam si circum circulum quadratum circumscripserimus [IV, 7] et in eo pyramidem construxerimus eandem altitudinem habentem, quam conus, pyramis inscripta dimidia est circumscriptae; nam eam inter se rationem habent, quam bases [prop. VI]; conus autem pyramide circumscripta minor est. se-centur arcus EZf ZH, ΗΘ, ΘΕ in punctis O, 77, P, Σ in duas partes aequales, et ducantur ΘΟ, OE, ΕΠ,

T-

ol

.4 Ψ Xj

V.

JE

IV

T>

ΠΖ, ZP, P77, ΗΣ, ΣΘ. singuli igitur trianguli ΘΟΕ, ETIZy ZPH, ΗΣΘ maiores sunt dimidio segmentorum circuli ad eos pertinentium [p. 142, 22]. iam in singulis triangulis ΘΟΕ, ΕΠΖ, ZPH, ΗΣΘ pyramis construatur eandem altitudinem habens, quam conus, itaque etiam singulae pyramides constructae maiores sunt dimidio segmentorum coni ad eas pertinentium [p. 194, 10]. quare si arcus reliquos in duas partes aequales secuerimus et rectas duxerimus et in singulis triangulis pyramides construxerimus eandem altitudinem habentes, quam conus, et hoc semper fece-

άποτμήματα τον κώνου, ά εΰται ελάΰβονα τον Φ ότερεον. λελείφ&ω, καί εΰτω τα έπι των ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ⁹ λοιπή άρα ή πυραμίς, ής βάόις το ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ύψος το αύτδ τω 5 κώνω , μείξων εΰτι τον & στερεού. έγγεγράφ&ω και εις τον ΑΒΓΑ κύκλον τω ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολν-γώνω ομοιόν τε και ομοίως κείμενον πολύγωνον το Α ΤΑΤΒΦΓΧ, και άνεΰτάτω επ αυτού πυραμίς ίόοϋψής τω ΑΑ κώνω. επει ούν έότιν ως το άπδ 10 τής ΑΓ προς το άπο τής ΕΗ, ούτως το Α ΤΑ ΤΒ ΦΓΧ πολύγωνον προς το ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ως δε το άπο τής ΑΓ προς το άπο τής ΕΗ, ούτως ο ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, και ως άρα ο ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως το 15 Α ΤΑΤΒΦΓΧ πολύγωνον προς το ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ως δε ί ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως δ ΑΑ κώνος προς το £? Στερεόν, ως δε το Α ΤΑΤΒΦΓΧ πολύγωνον προς το ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ούτως ή πυραμίς, ής βάΰις μεν τδ 20 Α ΤΑΤΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφή δε τδ Α οημεΐον, προς τήν πυραμίδα, ής βά<5ις μεν τδ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφή δε τδ Ν ΰημειον. και ως άρα ό ΑΑ κώνος πρδς τδ Η ΰτερεόν, ούτως ή πυραμίς, ής βάΰις μεν τδ Α ΤΑΤΒ ΦΓΧ πολύγωνον, κορυφή δε 25 τδ Α ύημεϊον, πρδς τήν πυραμίδα, ής βάόις μεν τδ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, κορυφή δε τδ Ν ΰημειον εναλλάξ άρα έΰτϊν ώς δ ΑΑ κώνος πρδς τήν εν αύτω πυραμίδα, ούτως τδ & ΰτερεδν πρδς τήν εν τω ΕΝ

¹

Quae sequuntur uerba lin. 10—14 sine dubio subditiua sunt, scripturam codicis P in fine lacunam habere, recte signi-ficauit August; nam uerba xcd ώς η ολη βάσις προς εν,αβτον principium est amplioris demonstrationis, cetera in P satis emendate leguntur, cum in codd. Theoninis omni sensu ca-reant. sed etiamsi sana essent omnia, haec uerba tamen su

²

specta essent, quia, ut saepius monui, demonstrationem corollarii adferre nihil adtinet.

³

Euclides, edd Heiberg et Menge. IV.

⁴

Hoc ex XI, 28 colligitur ductis ab E, Z, Η, Θ rectis

⁵

ad AB, ΒΓ, ΓΑ, JA perpendicularibus.

⁶

   Ρ. 7. άλληλα Β, corr. m. 2^    8. έλάσσων Ρ.

Post πνραμίδος add. η άρα πνραμϊς, ης βάσις το ΕΖΗΘ τετράγωνον, κορνφη δε η αυτή τω κώνω, μείζων εΰτϊν η το ημιΰν τον κώνον Yq, mg. m. 2 Β. 10. τά] τό q. ΡΣ] corr. ex IT, Ρ m. rec. Ρ. 11. ΟΕ] ΘΕ q. 12. ΗΕΘ q.

13. αντό Y. 14. άφ³ Bq; uerba άφ³ έκαστον supra m. 2 Y (uidetur fuisse έφ³ εκάστω).    16. καί] om. Y.

17. μέρος τον V. εαντην] corr. in εαντό Υ; εαντό corr. ex έαντον Ρ. 20. εκάστω V.

1. εοται] εβτιν Ρ.

2. ΘΟΕ] e corr. q. 4. ΟΘΕΠΖΡΗΣ ΡΒ, ΟΕΠΖΡΗΣΘ Υ. et Β, sed corr. ίατίν Ρ.

3. λοιπόν Ρ. 5. μεΐξον V q, 6. ΟΘΕΠΖΡΗΣ PBq et e corr.

rimus, frusta quaedam coni relinquemus minora solido Ψ [X, 1], relinquantur et sint ea, quae in ΘΟΕ, EHZ, ΖΡΗ,ΗΣΘ posita sunt, itaque quae relinquitur pyramis, cuius basis est polygonum ΘΟΕΠΖΡΗΣ, altitudo autem eadem ac coni, maior est solido £?· etiam in circulo ΑΒΓΑ polygono ΘΟΕΠΖΡΗΣ simile et similiter positum polygonum A TATB ΦΓΧ inscribatur [cfr. VI, 18], et in eo pyramis construatur eandem altitudinem habens, quam conus A A. iam quoniam est

ΑΓ²: EH² — A ΤΑ TB ΦΓΧιΘΟΕΠΖΡΗΣ [prop. I], et ΑΓ² : EH² = ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ [prop. II], erit etiam ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = A ΤΑΤΒΦΓΧ: Θ Ο E Π Z P Η Σ. uerum ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = ΑΑ : fi, et ut Α ΤΑ TB ΦΓΧ: ΘΟΕΠΖΡΗΣ, ita pyramis, cuius basis est polygonum A ΤΑΤΒΦΓΧ, uertex autem punctum A, ad pyramidem, cuius basis est polygonum ΘΟΕΠΖΡΗΣ, uertex autem iVpunctum [prop. VI]. quare etiam ut A A : £?, ita pyramis, cuius basis est polygonum A ΤΑΤΒΦΓΧ, uertex autem punctum A, ad pyramidem, cuius basis est polygonum ΘΟΕΠΖΡΗΣ, uertex autem punctum N. permutando igitur erit [V, 16], ut conus A A ad pyramidem in eo comprehensam, ita solidum & ad pyramidem in cono EN comprehensam, conus autem AA maior est

V.

an q.

8. Δ ΤΑ ΤΒΦΓΧ] litt. Γ postea add. V.

10. τό (alt.) — 12. όντως ό] mg. m. 1 V.

11. ΟΟΕΠΡΗΣ B, et P, corr. m. 1.    12. όντως ό] etiam in

textu V. 15. ΟΘΕΠΡΗΣ P, corr. m. 1.    18. ΔΤΑΎΦΓΧ

20. ΘΟΕΠΖΡΗΣ B, εν ετέρω τ'ο Δ ΤΑΤΒΦΓΧ πολν-24. Δ ΤΑΤΒΦΓΧ] Γ postea add. V.

αντώ Β.

V.

γωνον mg. m. 2.

κώνω πυραμίδα, μείζων δε δ ΑΛ κώνος της εν αντώ πνραμίδοςm μεΐζον άρα καί τδ & ότερεδν της εν τώ ΕΝ κώνω πνραμίδος. άλλα καί ελαόόον δπερ άτοπον. ονκ άρα έότϊν ώς δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τον ΕΖΗΘ 5 κύκλον, ούτως δ ΑΑ κώνος προς ελαόόδν τι τον ΕΝ κώνον ότερεδν. δμοίως δη δε ιξό μ εν, δτι ονδε εότιν ως I ΕΖΗΘ κύκλος προς τον ΑΒΓΑ κύκλον, ούτως 6 ΕΝ κώνος προς ελαόόδν τι τον ΑΑ κώνον ότερεδν.

Αεγω δη, δτι ονδε εότιν ως δ ΑΒΓΑ κύκλος 10 προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως δ ΑΑ κώνος προς μεΐζδν τι τον ΕΝ κώνον ότερεδν.

Εί γάρ δννατδν, εότω προς μεΐζον τδ £?* άνάπαλιν άρα έότίν ώς δ ΕΖΗΘ κύκλος πρδς τον ΑΒΓΑ κύκλον, ούτως τδ $ ότερεδν πρδς τδν ΑΑ κώνον. άλΓ 15 ώς τδ & ότερεδν πρδς τδν ΑΑ κώνον, ούτως δ ΕΝ κώνος πρδς ελαόόδν τι τον ΑΑ κώνον ότερεδν* και ώς άρα δ ΕΖΗΘ κύκλος πρδς τδν ΑΒΓΑ κύκλον, ούτως δ ΕΝ κώνος πρδς ελαόόδν τι τον ΑΑ κώνον ότερεδν' δπερ αδύνατον εδείχ&η. ονκ άρα εότιν ώς 20 ό ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τδν ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως δ ΑΑ κώνος πρδς μεΐζδν τι τον ΕΝ κώνον ότερεδν. έδείχ&η δε, δτι ονδε πρδς ελαόόον* εότιν άρα ώς δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τδν ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως δ ΑΑ κώνος πρδς τδν ΕΝ κώνον.

25 ’ΑλΓ ώς δ κώνος πρδς τδν κώνον, δ κύλινδρος πρδς τδν κύλινδρον’ τριπλαόίων γάρ εκάτερος έκα-τερον. καί ώς άρα δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τδν ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως οι επ αντών ίόονψεΐς [τοΐς κώνοις] κύλινδροι.

1. εαντω Ρ. 4. εατίν] om. V. 6. ονδε εατιν ώ$] ονδ9 ο V, ονδ⁹ ώς δ m. 2; ονδε ώς εατιν q. 13. v.vvlov\ om. Β.

pyramide in eo comprehensa, itaque etiam solidum 8 maius est pyramide in cono EN comprehensa [V, 14]. uerum idem minus est; quod absurdum est. itaque non est ut ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ, ita conus A A ad solidum minus cono EN. iam similiter demonstrabimus ^ ne EN quidem conum ad solidum minus cono A Λ eam rationem habere quam ΕΖΗΘ : ΑΒΓΑ.

Iam dico, ne ad maius quidem cono EN solidum conum A A eam rationem habere quam ΑΒΓΑιΕΖΗΘ.

Nam si fieri potest, habeat ad maius £?. itaque e contrario erit ΕΖΗΘ : ΑΒΓΑ = 8: A A [V, 7 coroll.]. uerum ut 8: AA, ita conus EN ad solidum minus cono A A [prop. II lemma], quare etiam ut ΕΖΗΘ : ΑΒΓΑ, ita conus EN ad solidum minus cono Ajfi quod fieri non posse demonstrauimus. itaque non est ut ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ, ita conus AA ad solidum maius cono EN. demonstrauimus autem, eum ne ad minus quidem illam habere rationem, itaque

ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = AA : EN.

sed ut conus ad conum, ita cylindrus ad cylindrum; nam uterque utroque triplo maior est [prop. X]. itaque etiam ut ΑΒΓΑ: ΕΖΗΘ, ita cylindri in iis constructi, qui eandem altitudinem habent.¹)

14. άλλ’ — 15. κώνον] mg. m. 1 P. cos] om. q.

21. τϊ\ om. q.

κώνου] om. Y.

19. εστύν] om. Y.

25. άλλά P.

Ol άρα νπό το αντδ νψος όντες κώνοι και κύλινδροι προς άλληλονς ειΰιν ώς αι βάόεις· όπερ έδει δεΐξαι.

Οι όμοιοι κώνοι και κύλινδ ροι προς άλλη-λονς έν τριπλαόίον ι λόγω είόι τών εν ταΐς βά-<5ε<5ι δ ιαμέτρων.

βά-

’Έότωόαν ομοιοι κώνοι και κνλινδ ροι, ών βάόεις μεν οι ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι τών 10 όεων αί ΒΑ, ΖΘ, άξονες δε τών κώνων και κυλίνδρων οι ΚΛ, ΜΝ* λέγω, ότι δ κώνος, ον βάόις μεν [έατιν] δ ΑΒΓΑ κύκλος, κορνφη δε το Λ όημεΐον, προς τον κώνον, ού /3a<ng μέν \έ<5τιν\ δ ΕΖΗΘ κύκλος, κορνφη δε το Ν όημεΐον, τριπλαόίονα λόγον 15 έχει ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ.

Εί γάρ μη έχει δ AB ΓΗ Λ κώνος προς τον ΕΖΗΘΝ κώνον τριπλαόίονα λόγον ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ, έξει δ ΑΒΓΑ Λ κώνος η προς έλαόόόν τι τον ΕΖΗΘΝ κώνον ύτερεδν τριπλαόίονα λόγον η προς μεΐξον. έχέτω 20 πρότερον προς έλαόόον το και έγγεγράφ&ω εις τον ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον το ΕΖΗΘ’ το άρα ΕΖΗΘ τετράγωνον μεΐξον έότιν η το ημιόν τον ΕΖΗΘ κύκλον. και άνεότάτω έπι τον ΕΖΗΘ τετραγώνον πν-ραμις την αντην κορνφην έχονΰα τώ κώνω’ η άρα 25 άναότα&εΐόα πνραμϊς μείξων έότιν η τό ημιόν μέρος

ΡΒ.

2. όπερ έδει δεΐξαι~\:^>Υ. βάσεσιν Ρ. καί~\ η Β V q.

6. εΐαίν

om. q. om. BYq. postea corr. m. 1. έλαοαον πρότερον BYq.

δ. ν,αί] καί οι q.

8. βάσις q. 10. αΐ] οι ΒΥ.

12. εοτιν] om. ΒΥ q. 13. εατιν 16. έχηι Ρ, έχοι Β.    17. τριπλάΰΐον Ρ,

Post λόγον ras. 3 litt. Υ. 20. προς 22. κύκλον — 23. ΕΖΗΘ] mg. m.

δε

Ergo coni et cylindri, qui eandem habent altitudinem, eam inter se rationem habent quam bases; quod erat demonstrandum.

XII.

Similes coni et cylindri inter se triplicatam rationem habent quam diametri basium.

Sint similes coni et cylindri, quorum bases sint circuli ΛΒΓΛ, ΕΖΗΘ, diametri autem basium Bz/, Z@, axes autem conorum et cylindrorum ΚΛ, MN. dico, conum, cuius basis sit circulus ΛΒΓΛ, uertex autem Λ punctum, ad conum, cuius basis sit circulus ΕΖΗΘ, uertex autem N punctum, triplicatam rationem habere quam ΒΗ:ΖΘ.

nam si non est ΑΒΓΗΛ: ΕΖΗΘΝ = BH³: ΖΘ³, conus ΑΒΓΑ A aut ad solidum aliquod minus cono ΕΖΗΘΝ triplicatam rationem habebit aut ad maius.

jvr    prius habeat ad minus

#, et in circulo ΕΖΗΘ inscribatur quadratum ΕΖΗΘ[IV, 6]. itaque z quadratum ΕΖΗΘ maius est dimidio circuli ^ ΕΖΗΘ [p. 142, 11]. et in quadrato ΕΖΗΘ pyramis construatur eundem uerticem habens, quem conus, itaque pyramis constructa maior erit

;X

v\

Bl

B*

~ΚΣ7\

XII. Psellus p. 65.

23. επί] από V. ίσουψής Theon (BVq).

1 P.

24. την αυτήν κορυφήν εχονσα]

τον κώνον. τετμήΰδωΰαν δη αί ΕΖ, Ζ77, 77©, ©Ρ περιφέρειαν δίχα κατά τά Ο, 77, Ρ, 2? ΰημεια, καί έπεξεύχ&ωΰαν αί ΕΟ, ΟΖ, Ζ77, 7777, 77Ρ, Ρ©, ©27, 27Ε. και έκαΰτον άρα των ΕΟΖ, Ζ7777, 77Ρ©, 5 ΘΣΕ τριγώνων μεΐξόν έΰτιν η το ήμιΰν μέρος τον καθ'³ έαντδ τμήματος τον ΕΖΗΘ κύκλον, και άνεΰτάτω έφ’ έκαΰτον των ΕΟΖ, Ζ7777, 77Ρ©, ©277£ τριγώνων πνραμις την αντην κορνφην έχονΰα τω κώνω' και έκάΰτη άρα των άναΰτα&ειΰών πνραμίδων μείξων έΰτιν 10 η το ημιβν μέρος τον κα&’ έαντην τμήματος τον κώνον, τέμνοντες δη τάς νπολειπομένας περιφέρειας δίχα και έπιξενγνύντες εν&είας και άνιΰτάντες έφ’ εκάΰτον των τριγώνων πνραμίδας την αντην κορνφην έχούΰας τω κώνω και τούτο άεϊ ποιονντες καταλειψομέν τινα 15 άποτμήματα τον κώνον, ά έΰται έλάΰΰονα της νπερ-οχής, η νπερέχει ο ΕΖΗΘΝ κώνος τον Ε ΰτερεον. λελείφ&ω, και έΰτω τά έπι των ΕΟ, ΟΖ, Ζ77, Π Η, HP, Ρ©, ©27, 277£* λοιπή άρα η πνραμις, βάΰις μέν έΰτι το ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορνφη δέ το 20 JV ΰημειον, μείξων έΰτι τον Ε ΰτερεον. έγγεγράφ&ω και εις τον AB ΓΗ κύκλον τω ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολν-γώνω ομοιόν τε και ομοίως κείμενον πολύγωνον το ΑΤΒΤΓΦΑΧ, καί άνεΰτάτω έπϊ τού ΑΤΒΤΓΦΑΧ πολνγώνον πνραμις την αντην κορνφην έχονΰα τω 25 κώνω, καί των μέν περιεχόντων την πνραμίδα, ής βάΰις μέν έΰτι το ΑΤΒΤΓΦΑΧ πολύγωνον, κορνφη δέ το Α ΰημεΐον, έν τρίγωνον έΰτω το ΑΒΤ, των $£ περιεχόντων την πνραμίδα, ής βάΰις μέν έΰτι το

2. τά] το Υ. 4. ΡΡ©] ΡΕ© q. in ras. m. 2 B, ΕΘΖ q.

8. έχονΰα] χ in ras. B.

7. άφ’ Υ. ΕΟΖ] Ο 9. μεί-

dimidio coni [p. 192, 12]. iam arcus EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ in punctis Ο, Π, P, Σ in duas partes aequales secentur, et ducantur EO, OZ, ZH, ΠΗ, HP, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ. itaque etiam singuli trianguli EOZ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ maiores sunt dimidio segmentorum circuli ΕΖΗΘ ad eos pertinentium [p. 142, 22]. et in singulis triangulis EOZ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ pyramis construatur eundem uerticem habens, quem conus, itaque etiam singulae pyramides constructae maiores sunt dimidio segmentorum coni ad eas pertinentium [p. 194, 11]. iam si arcus reliquos in duas partes aequales secuerimus et rectas duxerimus et in singulis triangulis pyramides construxerimus eundem uerticem habentes, quem conus, et hoc semper fecerimus, frusta quaedam coni relinquemus, quae minora erunt excessu, quo conus ΕΖΗΘΝ solidum & excedit, relinquantur et sint ea, quae in EO, OZ, ΖΠ, ΠΗ, HP, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ posita sunt, itaque quae relinquitur pyramis, cuius basis est ΕΟΖΠΗΡΘΣ polygonum, uertex autem punctum N, maior est solido £?· iam etiam in circulum ΑΒΓΑ polygono ΕΟΖΠΗΡΘΣ simile et similiter positum polygonum ΑΤΒΤΓΦΑ X inscribatur [VI, 18], et in polygono ΑΤΒΤΓΦΑ X pyramis construatur eundem uerticem habens, quem conus, et ex triangulis comprehendentibus pyramidem, cuius basis est polygonum ΑΤΒΤΓΦΑX, uertex autem A punctum, unus sit ABT, ex iis autem, qui pyramidem comprehendunt, cuius basis est polygonum

10. μέρος] om. Y. 20. μεΐξον q.

27. ΛΤΒ P.

ζων] in ras. B.

18. ΘΣ] om. q. άπ αυτόν Theon (BYq).

17. εέληφ&ω q.

23. ini — 24. πολύγωνον] 28. την] om. Y.

ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφή δε το Ν όημειον, εν τρίγωνον έότω το ΝΖΟ, και έπεξενχ&ωόαν αι ΚΤ, ΜΟ. και επει δμοιός εότιν δ ΑΒΓΑΑ κώνος τω ΕΖΗΘΝ κώνω, εότιν άρα ώς ή ΒΑ προς τήν Ζ®, 5 όντως ι ΚΑ άξων προς τον ΜΝ άξονα, ώς <?£ ή ΒΑ προς τήν ΖΘ, όντως ή ΒΚ προς τήν ΖΜ* και ώς άρα ή ΒΚ προς τήν ΖΜ, όντως ή ΚΑ προς τήν ΜΝ. και εναλλάξ ώς ή ΒΚ προς τήν ΚΑ, όντως ή ΖΜ προς τήν ΜΝ. και περί ί'όας γωνίας τάς νπδ 10 BKA, ΖΜΝ αι πλενραι άνάλογόν ειΟιν* δμοιον άρα έότϊ το ΒΚΑ τρίγωνον τω ΖΜΝ τριγώνω. πάλιν, έπεί εότιν ώς ή ΒΚ προς τήν ΚΤ, όντως ή ΖΜ προς τήν ΜΟ, και περί Ιό ας γωνίας τάς νπδ ΒΚΤ, Ζ ΜΟ, έπειδήπερ, ο μέρος εότιν ή νπδ ΒΚΤ γωνία των προς 15 τω Κ κέντρω τεόόάρων δρ&ών, το αντδ μέρος έότϊ και ή νπδ ΖΜΟ γωνία των πρδς τω Μ κέντρω τεόόάρων όρ&ών έπεί ονν περί ίόας γωνίας αί πλενραι άνάλογόν είόιν, δμοιον άρα έότι τδ ΒΚΤ τρίγωνον τω ΖΜΟ τριγώνω. πάλιν, έπει έδείχ&η ώς ή ΒΚ 20 πρδς τήν ΚΑ, όντως ή ΖΜ πρδς τήν ΜΝ, ίόη δε ή μεν ΒΚ τή ΚΤ, ή δε ΖΜ τή Ο Μ, εότιν άρα ώς ή ΤΚ πρδς τήν ΚΑ, όντως ή Ο Μ πρδς τήν ΜΝ. και περί ί'όας γωνίας τάς νπδ ΤΚΑ, Ο Μ Ν' όρ&αι γάρ* αι πλενραι άνάλογόν είόιν* δμοιον άρα έότϊ τδ 25 AKT τρίγωνον τω ΝΜΟ τριγώνω. καί έπεί διά τήν ομοιότητα των ΑΚΒ, ΝΜΖ τριγώνων εότιν ώς ή AB πρδς τήν ΒΚ, όντως ή ΝΖ πρδς τήν ΖΜ, διά δε τήν ομοιότητα των ΒΚΤ, ΖΜΟ τριγώνων

1. ΕΟΖΠΗΡΟΣ q. V, eorr. m. 2.

3. ΑΒΓΔ B, et

2. NO Ζ P.

4. ΕΖΗΘ B, et V, corr. m. 2 (ZH in ras.).

ΕΟΖΠΗΡΘΣ, uertex autem N punctum, unus sit NZO, et ducantur KT, MO. et quoniam conus ΑΒΓΑΑ cono ΕΖΗΘΝ similis est, erit ΒΑ:ΖΘ = ΚΛ : MN [XI def. 24]. uerum ΒΑ:ΖΘ = ΒΚ: ZM; quare etiam BK : ZM =    : MIV. et permutando

[V, 16] BK: ΚΛ = ZM: MN. et. circum angulos aequales BKA, ZMN latera proportionalia sunt, itaque BKA~ZMN [VI, 6]. rursus quoniam BK: KT = ZM: MO, et angulos aequales BKT, ZMO comprehendunt (quoniam quae pars est L BKT quattuor rectorum ad centrum K positorum, eadem¹) pars est LZMO quattuor rectorum ad centrum M positorum), erit BKT ~ ZMO. rursus quoniam demonstrauimus BK: KA = ZM: MN, et BK — KT, ZM=OM, erit TK : KA = OM: MN. et latera aequales angulos TKA, OMN (recti enim sunt) comprehendentia proportionalia sunt, itaque AKT ^ N MO [VI, 6]. et quoniam propter similitudinem triangulorum AKB, NMZ est AB:BK=NZ:ZM, et propter similitudinem BKT, ZMO triangulorum KB : BT — MZ

1) Nam polygona similia sunt et latera eorum numero aequalia. Deletis uerbis επείδήπερ lin. 14 — γωνίας lin. 17 molestam anacoluthiam euitabimus et solitam orationis formam efficiemus; nec sane iis opus est.

7. την ZM] ZM Y. 9. MN] corr. ex NM m. 1 P.

11.    εστί] om. V. ZMN] Z corr. ex B m. rec. P.

15. τεσ-

12.    την ΚΤ] ΚΤΎ. 13. MO] O in ras. m. 2 B. βάρων] corr. ex d mg. m. 1 P. 16. ZMO] O in ras. m. 2 B. 17. επεί — γωνίας] om. q; mg. m. 2 B. 18. εστί] om. Y. 20. την KA] KA B. 21. BK] K e corr. Y. KT] TK P. MO B. 22. η] (prius) om. P 24. είσιν] om. Y. εστί] om. Y. 27. την] om. BY. την] om. BYq.

14

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IY.

εύτϊν ώς η ΚΒ προς την ΒΤ, όντως η ΜΖ προς την ΖΟ₉ δι ίύον άρα ώς η AB προς την ΒΤ, όντως η ΝΖ προς την ΖΟ. πάλιν, έπεϊ διά την ομοιότητα των ΑΤΚ, ΝΟΜ τριγώνων εύτϊν ώς η ΑΤ προς 5 την ΤΚ₉ όντως η ΝΟ προς την Ο Μ, διά δε την ομοιότητα των ΤΚΒ, ΟΜΖ τριγώνων εύτϊν ώς η ΚΤ προς την ΤΒ, όντως η ΜΟ προς την ΟΖ, δι9 ί'ύον άρα ώς η ΑΤ προς την ΤΒ , όντως η ΝΟ προς την ΟΖ. εδείχ&η δε και ώς η ΤΒ προς την ΒΑ, 10 όντως η ΟΖ προς την ΖΝ. δι⁹ ί'ύον άρα ώς η ΤΑ προς την AB, όντως η ΟΝ προς την ΝΖ. των ΑΤΒ, ΝΟΖ άρα τριγώνων άνάλογόν είύιν αί πλενραί* ίύογώνια άρα έύτι τά ΑΤΒ, ΝΟΖ τρίγωνα· ωύτε και όμοια, και πνραμις άρα, ης βάύις μεν το ΒΚΤ τρί-15 γωνον, κορνφη δε το Α ύημειον, όμοια έύτι πνραμίδι, ης βάύις μεν το ΖΜΟ τρίγωνον, κορνφη δε το Ν ύημειον# ijto όμοιων επίπεδων περιεχονται ΐύων το πληΟνς. αί δε όμοιαι πνραμίδες και τριγώνονς έχονύαι βάύεις εν τριπλαύίονι λόγω είύι των όμο-20 λόγων πλενρών. η άρα ΒΚΤΑ πνραμις προς την ΖΜΟΝ πνραμίδα τριπλαύίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΚ προς την ΖΜ. ομοίως δη έπιξενγννντες από των Α₅ X, ζ/₅ Φ, Γ, Τ έπι το Κ εν&είας και από των Ε, X, ©, Ρ₅ Η₅ Π έπι το Μ καί άνιύτάντες έφ9 25 έκάύτον των τριγώνων πνραμίδας την αντην κορνφην εχονύας τοις κώνοις δείζομεν₉ ότι και έκάύτη των όμοταγών πνραμίδων προς έκάύτην όμοταγη πνραμίδα τριπλαύίονα λόγον ε%ει ηπερ η ΒΚ ομόλογος πλενρά

1. την] om. Υ. 2. την ΖΟ] ΖΟ BVq. 3. ΛΖΖ Β, et Υ, sed corr. επεί] om. Ρ. 4. ΛΤΚ~\ Τ supra m. 1 Υ.

:ZO [VI def. 1], ex aequo erit AB : BT — NZ:ZO [V, 22]. rursus quoniam propter similitudinem triangulorum ΛΤΚ, NOM est AT: TK —NO : OM, et propter similitudinem TKB, OMZ triangulorum K T : TB = MO : OZ, ex aequo erit AT: TB = NO:OZ. demonstrauimus autem, esse etiam TB: B A = OZ:ZN. ex aequo igitur erit TA : AB = ON: NZ. itaque triangulorum ATB, NOZ latera proportionalia sunt, quare aequianguli sunt trianguli ATB, NOZ [VI, 5], itaque iidem similes sunt [VI def. 1]. itaque etiam pyramis, cuius basis est triangulus BKT, uertex autem A punctum, similis est pyramidi, cuius basis est triangulus ZMO, uertex autem N punctum; nam planis similibus comprehenduntur numero aequalibus [XI def. 9]. similes autem pyramides, quae triangulas habent bases, in triplicata sunt ratione laterum cor-respondentium [prop. VIII]. itaque erit

BKTA : ZMON = BK³ : ZM³. iam ductis rectis ab A, X, A, Φ, Γ, T ad K et ab E, 27, Θ, P, U, Π ad M et in singulis triangulis erectis ‘pyramidibus eosdem uertices habentibus, quos coni, similiter demonstrabimus, etiam singulas pyramides eiusdem ordinis ad singulas pyramides eiusdem ordinis eam rationem habere quam BK³:ZM³, h. e.

6. OMZ] Z corr. ex N m. rec. P. 7. KT] K in ras. m. 2 B. 8. A T] in ras. V; A corr. ex A m. 2 B. 9. την BA] BA V. 10. την] om. V q. 12. A TB] litt. A non liquet in P.

28. ομόλογον πλευράν P, corr. m. 1.

14. αρα] alt. a e corr. V. μέν εστi Bq. 19. βάσεις, εχονααι, q. είσίν PB. 23. Δ\ postea ins. m. 1 P. 24. έφ’ έκαστον'] επί Theon (BVq).    25. τάς αντάς κορνφάς Theon

(BVq).

14*

προς τήν ΖΜ ομόλογον πλευράν, τουτέΰτιν ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ. και ώς εν των ηγουμένων προς $ν των επομένων, ούτως άπαντα τα ηγούμενα προς άπαντα τα επόμενα· έΰτιν άρα και ώς η ΒΚΤΑ πυ-5 ραμις προς την ΖΜΟΝ πυραμίδα, όντως η όλη πυ-ραμίς, ής βάΰις το ΑΤΒΤΓΦΑX πολύγωνον, κορυφή δε το Α ΰημεΐον, προς την όλην πυραμίδα, ης βάΰις μεν το ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφή δε το Ν ΰημεΐον’ ώΰτεκαίπυραμίς, ης βάΰις μέν το ΑΤΒΤΓΦΑΧ, 10 κορυφή δε το Α, προς την πυραμίδα, ης βάΰις [μεν] το ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφή δέ το Ν ΰη-μεΐον, τριπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ. ύπόκειται δέ και ο κώνος, ου βάΰις [μέν] ό ΑΒΓΑ κύκλος, κορυφή δέ το Α ΰημεΐον, προς το Η 15 ΰτερεόν τριπλαΰίονα λόγον έχων ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ* έΰτιν άρα ώς 6 κώνος, ου βάΰις μέν έΰτιν 6 ΑΒΓΑ κύκλος, κορυφή δέ τό Α, προς το & ΰτε-ρεόν, ούτως η πυραμίς, ης βάΰις μέν τό ΑΤΒΤΓΦΑΧ [πολύγωνον], κορυφή δέ τό Α, προς την πυραμίδα, 20 ής βάΰις μέν έΰτι τό ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφή δέ τι Ν⁹ εναλλάξ άρα, ώς ό κώνος, ου βάΰις μέν 6 ΑΒΓΑ κύκλος, κορυφή d« τό Α, προς τήν εν αύτώ πυραμίδα, ής βάΰις μέν τό ΑΤΒΤΓΦΑΧ πολύγωνον, κορυφή δέ τό Α, ούτως τό & [ΰτερεόν] προς 25 τήν πυραμίδα, ής βάΰις μέν έΰτι τό ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφή δέ τό Ν. μείζων d£ ό είρημένος κώνος τής εν αύτώ πυραμίδος* εμπεριέχει γάρ αυτήν, μείξον άρα και τό & ΰτερεόν τής πυραμίδος, ής βάΰις

2. τήν] om. Bq. 8. μέν έΰτι Bq.

καί] άΧΤ BVq. 10. Λ σημεΐον V.

4. ά'ρα] δέ V. τήν] om. V.

μέν]

Bz/³ : Z©⁸. et ut unum praecedentium ad unum sequentium, ita omnia praecedentia ad omnia sequentia [V, 12]. est igitur ut BKTA : ZMON, ita tota pyramis, cuius basis est polygonum ΑΤΒΤΓΦΑ X, uertex autem A punctum, ad totam pyramidem, cuius basis est polygonum ΕΟΖΠΗΡΘΣ, uertex autem N punctum. quare etiam pyramis, cuius basis est ΑΤΒΤΓΦΑΧ, uertex autem z/, ad pyramidem, cuius basis est polygonum ΕΟΖΠΗΡΘΣ, uertex autem N punctum, eam rationem babet quam Bz/³: Z©³. supposuimus autem, etiam conum, cuius basis sit circulus ΑΒΓΑ, uertex autem A punctum, ad & solidum eam rationem habere quam Bz/³: Z©³. itaque ut conus, cuius basis est ΑΒΓΑ circulus, uertex autem z/, ad E solidum, ita pyramis, cuius basis est ΑΤΒΤΓΦΑΧ, uertex autem z/, ad pyramidem, cuius basis est ΕΟΖΠΗΡΘΣ polygonum, uertex autem N. permutando igitur [Y, 16], ut conus, cuius basis est ΑΒΓΑ circulus, uertex autem z/, ad pyramidem suam, cuius basis est polygonum ΑΤΒΤΓΦΑΧ, uertex autem z/, ita fi* ad pyramidem, cuius basis est polygonum ΕΟΖΠΗΡΘΣ, uertex autem N. uerum conus, quem diximus, maior est pyramide sua; nam eam continet, itaque etiam £? solidum maius est pyramide, cuius

11. Litt. ΠΗ e corr. Y. 13. μέν] om. P.

om. P. mg. m. 2 B.

15. εχων] ω in ras. P, εχον q.

17. Α σημεΐον Y. 19. πολύγωνον] om. P. Λ αημεΐον Y. 23. πνραμίδος Y. 28. Ä] Z q?

Bq.

rec. P.

αημεΐον — 21. το N'] 14. βημεων] om. Bq.

16. εΰτιν] om. Y.

22. μέν έβτιν 24. 6τερεόν~\ m.

μεν έότι το ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφή δε το Ν. άλλα και ελαττον * δπερ έότιν αδύνατον, ονκ άρα δ κώνος? ον βάόις δ ΑΒΓΑ κύκλος₉ κορυφή δε το Α [όημεΐον], προς ελαττον τι τού κώνου ότερεόν, ού 5 βάόις μεν δ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφή δε το Ν όημεΐον, τριπλαόίονα λόγον εχει ήπερ ή ΒΑ προς τήν ΖΘ. δμοίως δή δείζομεν₅ δη ό ΕΖΗΘΝ κώνος προς ελαττον τι τον ΑΒΓΑΑ κώνου ότερεδν τριπλαόίονα λόγον εχει ήπερ η ΖΘ προς τήν ΒΑ.

10

Λέγω δή, δη ουδέ δ ΑΒΓΑ Λ κώνος προς μειζόν τι τον ΕΖΗΘΝ κώνου ότερεδν τριπλαόίονα λόγον εχει ήπερ ή ΒΑ προς τήν ΖΘ.

Εί γάρ δυνατόν, εχετω προς μεΐζον το Β. άνά-παλιν άρα το Β ότερεδν προς τον ΑΒΓΑΑ κώνον 15 τριπλαόίονα λόγον εχει ήπερ ή ΖΘ προς τήν ΒΑ. ώς δε το Β ότερεδν προς τον ΑΒΓΑΑ κώνον, ούτως δ ΕΖΗΘΝ κώνος προς ελαττον τι τού ΑΒΓΑΑ κώνου ότερεόν. και δ ΕΖΗΘΝ άρα κώνος προς ελατ-τόν τι τον ΑΒΓΑΑ κώνου ότερεδν τριπλαόίονα λό-20 γον εχει ήπερ ή ΖΘ προς τήν ΒΑ* δπερ αδύνατον έδείχ&η. ονκ άρα δ ΑΒΓΑΑ κώνος προς μειζόν τι τον ΕΖΗΘΝ κώνου ότερεδν τριπλαόίονα λόγον εχει ήπερ ή ΒΑ πρδς τήν ΖΘ. έδείχ&η δε, ότι ουδέ πρδς ελαττον. δ ΑΒΓΑΑ άρα κώνος πρδς τδν ΕΖΗΘΝ 25 κώνον τριπλαόίονα λόγον εχει ήπερ ή ΒΑ πρδς τήν ΖΘ.

'61ς δε δ κώνος πρδς τδν κώνον, δ κύλινδρος πρδς τδν κύλινδρον* τριπλάόιος γάρ δ κύλινδρος τον κώνον δ έπι τής αυτής βάόεως τώ κώνω και ίόοϋψής

1. έστιν Ρ. Ζ] ins. m. 1 Ρ. 2. ελάττων Β. δπερ άτοπον V. 3. βάσι,ς μεν έΰτιν b Theon (BVq). 4. ΰημεΐον]

basis est polygonum ΕΟΖΠΗΡΘΣ, uertex autem N. uerum idem minus est; quod fieri non potest, itaque conus, cuius basis est circulus ΑΒΓΑ, uertex autem A, ad solidum minus cono, cuius basis est circulus ΕΖΗΘ, uertex autem N punctum, eam rationem non habet quam BA³: ΖΘ³. iam similiter demonstrabimus, ne ΕΖΗΘΝ quidem conum ad solidum minus cono ΑΒΓΑ A eam rationem habere quam ΖΘ³ :BA³.

iam dico, conum ΑΒΓΑ A ne ad maius quidem cono ΕΖΗΘΝ solidum eam rationem habere quam BA³: ΖΘ³.

nam si fieri potest, habeat ad maius e contrario igitur [V, 7 coroll.] & : ΑΒΓΑΑ = ΖΘ³: BA³. uerum ut & solidum ad conum ΑΒΓΑ A, ita conus ΕΖΗΘΝ ad solidum minus cono ΑΒΓΑΑ [prop. II lemma], itaque etiam conus ΕΖΗΘΝ ad solidum minus cono ΑΒΓΑ A eam rationem habet quam ΖΘ3 : BA³; quod fieri non posse demonstrauimus. itaque conus ΑΒΓΑ A ad solidum maius cono ΕΖΗΘΝ eam rationem non habet quam BA³: ΖΘ³. demonstrauimus autem, eum ne ad minus quidem hanc rationem habere, ergo ΑΒΓΑ A : ΕΖΗΘΝ = BA³ : ΖΘ³.

sed ut conus ad conum, ita cylindrus ad cylindrum; nam cylindrus, qui in eadem basi et sub eadem altitudine est ac conus, triplo maior est cono [prop. X].

om. Ρ.

7. οτι    bis Ρ, corr. m. 1.    8. ελασσον BYq.

10. om. B. ονδ’ V.

ελασσον BV. 5. ΕΖΗΘ] ΗΘ in ras. m. 2 B.

9. ή] ins. V.

BVq. ΑΒΓ/1 B.

18. ελασσον BVq. ρεόν~\ supra V.

27. τριπλάσιος — 216, 1. αντώ] om. q, mg. m. 2 B.

16. ΑΒΓ/1 q, et B, corr. m. 2. όντως καί q. όντως — 17. κώνος] mg. m. 2 B. 17. ελασσον

18.    και 6 — 19. ΰτερεόν~\ mg. m. 2 V.

19.    ΑΒΓ/1 q. τριπλάσιον V. 22. στε-24. ελασσον ΒΥ. ό άρα AB Γ/1 Λ Υ.

αντω. και δ κύλινδρος αρα προς τον κύλινδρον τρι-πλαόίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ.

Οι αρα όμοιοι κώνοι και κύλινδροι προς άλληλονς εν τριπλαΰίονι λόγω είΰι των εν ταΐς βάΰεΰι διαμέ-5 τρων* οπερ εδει δεΐξαι.

ιγ.

Έαν κύλινδρος έπιπεδω τμη&ή παραλληλω όντι τοις απέναντι ον έπιπέδοις, εΰται ως ο κύλινδρος προς τον κύλινδρον, όντως δ άξων 10 προς τον άξονα.

Κύλινδρος γάρ 6 ΑΑ έπιπεδω τα HO τετμήό&ω παραλληλω όντι τοις άπεναντιον έπιπέδοις τοις AB, ΓΑ, και όνμβαλλέτω τω άξονι το ΗΘ έπίπεδον κατά τό Κ <5ημεΐον λέγω, ότι έΰτϊν ως δ ΒΗ κύλινδρος 15 προς τον ΗΑ κύλινδρον, όντως 6 ΕΚ άξων προς τον ΚΖ άξονα.

’Εκβεβλήό&ω γάρ δ ΕΖ άξων έφ’ έκάτερα τά μέρη έπι τά Α, Μ ΰημεΐα, και έκκει6&ω<5αν τω ΕΚ άξονι 1(5οι δόοιδηποτονν οι ΕΝ, ΝΑ, τω δε ΖΚ Ι'ΰοι δόοι-20 δηποτονν οι ΖΒ, ΒΜ, και νοεί<5&ω ό έπι τον AM άξονος κύλινδρος ό ΟΧ, ον βά<5εις οι ΟΠ, ΦΧ κύκλοι. και έκβεβληΰ&ω διά των Ν, Β ύημείων έπι-πεδα παράλληλα τοις AB, ΓΑ και ταΐς βά(5ε<5ι τού ΟΧ κνλίνδρον και ποιείτωΰαν τούς ΡΣ, ΤΤ κύκλονς 25 περί τά Ν, Β κέντρα, καί έπει οι ΑΝ, ΝΕ, ΕΚ

1. Post αντω add. Theon: έδείχδη γάρ (supra V) πας (haec tria uocab. et in textu et mg. m. 2 B) κώνος κνλίνδρον τρίτον μέρος τον την αντην βάοιν έ'χοντος αντω καί νψος ί'βον (BVq).

ό] om. Ρ. 4. είαίν ΡΒ. βάαεοιν Ρ. 5. όπερ έδει δεΐξαι] om. V. 6. ιγ'] om. q. 13. ανμβαλέτω Ρ. τω] τω ΕΖ

itaque etiam cylindrus ad cylindrum eam rationem habet quam BAd: Z©³.

Ergo similes coni et cylindri triplicatam inter se rationem habent quam diametri basium; quod erat demonstrandum.

XIII.

Si cylindrus plano planis oppositis parallelo secatur, erit ut cylindrus ad cylindrum, ita axis ad axem.

Nam cylindrus A A plano ΗΘ planis oppositis AB, ΓΑ parallelo secetur, et planum ΗΘ cum axe in puncto K concurrat, dico, esse

BH: HA — EK : KZ.

producatur enim axis EZ ad utramque partem ad puncta A, M, et ponantur axi EK aequales quotlibet

rectae EN, NA, axi

irMw§v§\ sute“ ZÄ rq“‘~

ί » ) 1 '■ ) ( 7 ί ! M ¹ y ν^Γ ) duotllbet rectae Z#9 Ii ^    ^ φ Δ x SM, et OX fingatur

cylindrus in axe AM, cuius bases sunt circuli ΟΤί, ΦΧ. et per puncta N, E plana planis AB, ΓΑ et basibus cylindri OX parallela ducantur et circulos ΡΣ, TT circum centra N, Ϊ3 efficiant, et quoniam axes AN, NE, EK inter

Theon (BVq). τό ΗΘ επίπεδον] om. Theon (BYq).

18. κείβΟ'ωοαν q. 20. καί— 21. κύκλοι] om. Theon (BVq).

22.    εκβεβλι]ΰ^ω] διήχ&ω Theon (BVq). IV, #] A, N,

M Theon (B V q}.    23. ταΐς βάοεοι 25. κέντρα] νενοψ

g&cogccv εν τοις δια των Λ, IV, Μ έπιπέδοις περί κέντρα τά Λ, IV, Ε, Μ, κύκλοι οι ΟΠ, ΡΣ, ΤΤ, ΦΧ igoi τοις AB, ΓΑ. και νενοηΰϋ'ωΰαν κύλινδροι οι ΠΡ, ΡΒ, AT, ΤΧ Theon (BYq).

23.    βάοεοιν Ρ. 25. οίΛΝJ mg. m. 1 Υ.

άξονες ίσοι είσίν άλληλοις, οι άρα ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι προς άλληλονς είσίν ώς αν βάσεις. ίσαι δέ είσιν αί βάσεις⁹ ίσοι αρα και οι ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι άλληλοις. έπεί ονν οι ΑΝ, ΝΕ, ΕΚ άξονες 5 ίσοι είσιν άλληλοις, είσϊ και οι ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ίσοι άλληλοις, καί έστιν ίσον το πλή&ος τω πλή&ει, δσαπλασίων αρα δ ΚΑ άξων τον ΕΚ άξονος, τοσανταπλασίων έσται και 6 ΠΗ κύλινδρος τον ΗΒ κυλίνδρου, δια τα αυτά δη και δσαπλασίων έστϊν δ 10 ΜΚ άξων τού ΚΖ άγονος, τοσανταπλασίων έστι και δ ΧΗ κύλινδρος τού ΗΑ κυλίνδρου. και εί μεν ίσος έστιν δ ΚΑ άξων τω ΚΜ άξονι, ίσος έσται και δ Π Η κύλινδρος τω ΗΧ κυλίνδρω, εί δε μείζων δ άξων τον άγονος, μείζων και δ κύλινδρος τού κυ-15 λίνδρον, και εί έλάσσων, έλάσσων. τεσσάρων δη μεγεθών δντων, αγόνων μεν των ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων δέ των ΒΗ, ΗΑ, ειλητίται ισάκις πολλαπλάσια, τού μεν ΕΚ άγονος και τού ΒΗ κυλίνδρου ο τε ΛΚ άξων και δ Π Η 'κύλινδρος, τον δε ΚΖ άγονος και 20 τον ΗΑ κυλίνδρου ο τε ΚΜ άξων και ο ΗΧ κύλινδρος, και δέδεικται, δτι εί υπερέχει δ ΚΑ άξων τού ΚΜ άγονος, υπερέχει και δ ΠΗ κύλινδρος τον ΗΧ κυλίνδρου, και εί ίσος, ίσος, και εί έλάσσων, έλάσσων. έστιν αρα ως δ ΕΚ άξων προς τον ΚΖ άξονα, όντως 25 ό ΒΗ κύλινδρος προς τον ΗΑ κύλινδρον* δπερ έδει δεΐξαι.

ιδ'.

Οι επί ίσων βάσεων δντες κώνοι καί κύλινδροι προς άλληλους είσίν ως τα ύψη.

4. άλληλοις] om. Υ. είαί] είσίν Β.

καί Ρ.

1. οί αρα] και οι Ρ.

5. είσίν] om. Υ.

ονν'] ονν 6. πλή&ος των

se aequales sunt, cylindri ΠΡ, PB, BH eam inter se rationem habent quam bases [prop. XI]. uerum bases inter se aequales sunt; quare etiam ΠΡ= PB = BH. iam quoniam axes AN, NE, EK inter se aequales sunt, et etiam cylindri ΠΡ, PB, BH inter se aequales, et multitudo multitudini aequalis est, quoties multiplex est axis KA axis EK, toties erit etiam cylindrus ΠΗ cylindri HB multiplex, eadem de causa quoties axis MK multiplex est axis KZ, toties etiam cylindrus XH multiplex est cylindri HA. et si KA = KM, erit etiam ΠΗ = HX, sin axis axe maior est, etiam cylindrus cylindro maior est, sin minor est, minor, iam datis quattuor magnitudinibus, axibus ΕΚ, KZ et cylindris BH, HA, aeque multiplicia sumpta sunt, axis EK et BH cylindri axis AK et cylindrus ΠΗ} axis autem KZ et HA cylindri axis KM et cylindrus HX, et demonstrauimus, si KA > KM, esse etiam ΠΗ > HX, sin KA = KM, esse ΠΗ = HX, sin KA < KM, esse ΠΗ < HX. itaque EK : KZ = BH : HA [V def. 5]; quod erat demonstrandum.

XIV.

Coni et cylindri, qui aequales bases habent, eam inter se rationem habent quam altitudines.

BH Theon (BVq). ΕΚ] KE Ρ.

10. εατοα Υ. αξονος Theon (BVq). Theon (BVq). μεγεθών V.

ΛΝ (Λ e corr. m. 2 B), NE, ΕΚ τφ πλή&ει των ΠΡ, ΡΒ, 7. άρα εστίν Bq. ΚΛ] AK Ρ.

8. Ή. Β ] ΒΉ Vq. 9. εστίν] εστι καί q.

17. πολλαπλάσιος V. 21. AK Ρ. ■    23. ίσος εστίν, ίσος Ρ.

12. εσταί] εστί V. 14. ΚΛ άξων του ΚΜ Π Η κύλινδρος τον ΗΧ κυλίνδρου 15. Ante δη dei. γάρ m. 1 Ρ. δντων 20. ό ΗΧ] η X q.

’Έβτωβαν γάρ επί ί'6ων βάΰεων των AB, ΓΑ κύκλων κύλινδροι οι ΕΒ, ZA' λέγω, δτι έΰτίν ως δ ΕΒ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον, όντως δ ΗΘ αί,ων προς τον ΚΑ αξονα.

’Εκβεβλήα&ω γάρ δ ΚΑ αξων επί το Ν ΰημεΐον, και κείβ&ω τω ΗΘ αξονι ί'ΰος δ ΑΝ, και περί α%ονα τον ΑΝ κύλινδρος νενοήΰιϊω 6 ΓΜ. έπει ονν οι ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι νπδ το αντδ νψος είΰιν, προς άλληλονς είΰίν ως αί βάόεις. ί'όαι δε είβιν αί βάζεις 10 άλληλαις* ίόοι αρα εί<5ι καί οι ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι. και έπει κύλινδρος δ ΖΜ έπιπέδω τέτμψαι τω ΓΑ παραλληλω δντι τοις άπεναντιον επίπεδοις, έΰτιν αρα ως δ ΓΜ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον, όντως δ ΑΝ α\ων προς τον ΚΑ αξονα. ί'όος δέ έβτιν δ 15 μεν ΓΜ κύλινδρος τω ΕΒ κνλινδρω , δ δε ΑΝ α%ων τω ΗΘ α%ονιΛ έύτιν αρα ώς δ ΕΒ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον, όντως δ ΗΘ άξ,ων προς τον ΚΑ αξονα. ώς $£ δ ΕΒ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον, όντως δ ΑΒΗ κώνος προς τον ΓΑΚ κώνον. 20 και ώς αρα δ ΗΘ αζων προς τον ΚΑ αζονα, όντως δ ΑΒΗ κώνος προς τον ΓΑΚ κώνον και δ ΕΒ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον* δπερ έδει δεΐζαι.

ιε

Τών ί'όων κώνων και κνλίνδρων άντιπεπόν-25 &αόιν αί βάΰεις τοις νψεβιν' καί ών κώνων καί κνλίνδ ρων άντιπεπόν&αΰιν αί βάΰεις τοις νψε-6ιν, ίΰοι είΰιν εκείνοι.

1. κύκλων] om. Theon (BVq). V supra scr. m. 1).

5. ΚΑ] K ins. m. 1 V.

2. ΖΔ, EB BVq (Z in το] corr. ex

Nam cylindri EB, Z A aequales bases habeant circulos AB, ΓΑ. dico, esse EB : ZA = ΗΘ : KA.

axis enim KA ad N punctum producatur, et ponatur AN = ΗΘ, et circum axem AN fingatur cylindrus ΓΜ. iam quoniam cylindri EB, ΓΜ eandem altitudinem habent, eam inter se rationem habent

iK

ΛΓ

quam bases [prop. XI]. uerum bases inter se aequales sunt, itaque etiam EB = ΓΜ. et quoniam cylindrus ZM plano ΓΑ planis oppositis parallelo sectus est, erit [prop. XIII] ΓΜ: ZA = AN: KA. sed ΓΜ= EB, AN = ΗΘ. itaque EB : ZA = ΗΘ : KA. uerum EB : ZA = ABH: ΓΑΚ [prop. X]. ergo erit ΗΘ : KA = ABH: ΓΑΚ = EB : ZA·, quod erat demonstrandum.

XV.

Aequalium conorum et cylindrorum bases in contraria ratione sunt atque altitudines; et quorum conorum et cylindrorum bases in contraria ratione sunt atque altitudines, ii aequales sunt.

τινί Υ. λινδροι των κώνων (BVq). civ] mg. m. 1 Y.

τόν P. 7. εννοήΰ&ω P. 8. slgl codd. 10. είΰίν PB. ΕΒ] eras. V. κύλινδροί άλλήλοίς Bq. 11. επιηέδω 19. Post κώνον add. Theon: τριπλάοιοι γάρ οί κν-25. νψεσι q. καί — 26. νιρε-

*.Εΰτωΰαν ίΰοι κώνοι και κύλινδροι, ών βάΰεις μεν οι ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι αυτών αί ΑΓ\ ΕΗ, άξονες δε οι ΚΑ, ΜΝ, οΐτινες και ύψη είΰι τών κώνων η κυλίνδρων, και ΰυμπεπληρώΰΟ'ωΰαν h οι Α$, ΕΟ κύλινδροι, λέγω, οτι τών Aß, ΕΟ κυλίνδρων άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοϊς ύψεΰιν, καί έΰτιν ως η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΕΖΗΘ βάΰιν, ούτως το ΜΝ ύψος προς το ΚΑ ύψος.

Τδ γάρ ΑΚ ύψος τώ ΜΝ ϋψει ήτοι ίΰον έΰτιν 10 ^ ον. έΰτω πρότερον ίΰον. έΰτι δε και δ AB κύλινδρος τώ ΕΟ κυλίνδρω ίΰος. οι νπδ τδ αύτδ ύψος δντες κώνοι και κύλινδροι προς άλληλονς είΰϊν ως αι βάΰεις* ίΰη άρα και η ΑΒΓΑ βάΰις τη ΕΖΗΘ βάΰει. ώΰτε και άντιπέπον&εν, ως η ΑΒΓΑ βάΰις 15 πρδς την ΕΖΗΘ βάΰιν, ούτως τδ ΜΝ ύψος πρδς τδ ΚΑ ύψος, άλλα δη μη έΰτω τδ ΑΚ ύψος τώ ΜΝ ίΰον, άλλ’ έΰτω μεΐζον τδ ΜΝ, και άφηρήΰ&ω άπδ τον ΜΝ ύψους τώ ΚΑ ίΰον τδ ΠΝ, και διά του Π ΰημείου τετμηΰ&ω δ ΕΟ κύλινδρος έπιπέδω τώ ΤΤΣ 20 παραλληλω τοίς τών ΕΖΗΘ, ΡΟ κύκλων έπιπέδοις, και άπδ βάΰεως μεν τον ΕΖΗΘ κύκλον, ύψονς δε τού ΝΠ κύλινδρος νενοήΰ&ω δ ΕΣ. και έπει ίΰος έΰτιν δ AB κύλινδρος τώ ΕΟ κνλίνδρω, έΰτιν άρα ώς δ AB κύλινδρος πρδς τδν ΕΣ κύλινδρον, ούτως 25 6 ΕΟ κύλινδρος πρδς τδν ΕΣ κύλινδρον. άλΓ ώς μεν δ AB κύλινδρος πρδς τδν ΕΣ κύλινδρον, ούτως

1. βάσις q. 3. ds] om. q. νψη] corr. ex νψει Y. 4. καί — 5. κύλινδροι] punctis dei. V.    6. ύψεΰΐ V q.

καί] τουτέΰτιν δτι Theon (BYq).    7. βάσις] corr. ex

βάσεις m. 1 Ρ. 8. ΛΚ Bq. 9. ΚΛ P. 10. έστιν P.

11. νπδ] corr. ex από m. rec. P. 16. ΚΛ] ΛΚ Β; supra eras. " ' Υ. μη] supra scr. m. 1 Y. ΛΚ] ΚΛ P.

Sint aequales coni et cylindri, quorum bases sint circuli ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ, diametri autem eorum ΑΓ' EH, axes autem KA, MN, qui iidem altitudines sunt conorum uel cylindrorum, et expleantur cylindri A H, EO. dico, cylindrorum AS, EO bases in contraria ratione esse atque altitudines, et esse ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = MN : KA.

nam altitudo AK aut aequalis est altitudini MN aut non aequalis, prius sit aequalis, uerum etiam A&= EO. coni autem et cylindri, qui eandem habent altitudinem, eam inter se rationem habent quam bases [prop. XI]. itaque etiam ΑΒΓΑ — ΕΖΗΘ. quare etiam in contraria ratione est ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ — MN: KA. iam uero ne sit AK = MN, sed sit MN> AK, et ah altitudine MN altitudini KA aequalis abscindatur ΠΝ, et per Π punctum cylindrus EO

|CT>

'A

uerum

plano ΤΤΣ planis circulorum ΕΖΗΘ, PO parallelo secetur, et cylindrus fingatur ΕΣ basim habens circulum ΕΖΗΘ} altitudinem autem ΝΠ. et quoniam AS = EO, erit AS : ΕΣ = EO : ΕΣ [V, 7].

17. noti — 18. ΠΝ] P, B mg. m. 2, Y (τώ corr. ex τό, τό ex τω m. 2; Π Μ pro ΠΝ, sed Μ e corr. m. 2); καί κείΰ&ω τω ΛΚ νιρει ΐΰον τό Π Μ B in textu, q (τώ Π Η pro τό ΎΐΜ), V in textu post καί άφΆρήΰ&ω — τό Π Μ, sed punctis dei.

19. ΕΟ]„0 in ras. m. 2 B. ΤΤΣ] T eras. P. αλλήλω όντι τοΐς άπεναντίον επιπέδους των ΕΖΗΘ, ΤΟ ν,λων. Theon (BVq). 22. ΠΝ Ρ, ΜΠ corr. ex ΝΠ m.

23. Post ηνλίνδρω add. άλλος δε τις ό ΕΣ κύλινδρος

20. παρ-^ Λ %ν-

2 V.

Yq, B mg. m. 2.

η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΕΖΗΘ* νπδ γάρ το αντο vipog είΰιν οι ΛΒ, ΕΣ κύλινδροί⁹ ώς δε 6 ΕΟ κν-λινδροg προς τον ΕΣ, όντως το ΜΝ vipog προς *ό ΠΝ vipog* ό    ttiUti/dpog έπιπέδω τέτμηται

¹

Uerba τοΐς κώνους lin. 28 uereor ne antiqua glossa sit; neque enim hic de eo agitur, ut cylindri eandem altitudinem habeant quam coni, sed ut demonstremus, cylindros ισοϋψείς eam rationem habere quam bases.

5 παραλληλω δντι τοΐς άπεναντίον έπιπέδοις. έΰτιν αρα και ώς η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΕΖΗΘ βάΰιν, όντως το ΜΝ vipog προς το ΠΝ vipog. ί'ΰον δε το ΠΝ vipog τω ΚΛ νψει' έΰτιν αρα ως η AB ΓΗ βάΰις προς την ΕΖΗΘ βάΰιν, όντως το MN vipog 10 προς το ΚΛ vipog. των αρα Α&, ΕΟ κνλίνδρων άντιπεπόνϋ'αΰιν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν.

Αλλα δη των ΑΒ^ ΕΟ κνλίνδρων άντιπεπον&έ-τωΰαν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν, και έΰτω ως η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΕΖΗΘ βάΰιν, όντως το MN vipog 15 προς το Κ Λ vipog' λέγω, δτι ΐΰος έΰτιν ο Λ & κύλινδρος τω Ε Ο κνλίνδρω.

Των γάρ αντών καταΰκεναΰ&έντων έπεί έΰτιν ως η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΕΖΗΘ βάΰιν, όντως το MN vipog προς το ΚΑ vipog, ΐΰον δε το ΚΑ vipog 20 τω ΠΝ νψει, έΰτιν αρα ώς η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΕΖΗΘ βάΰιν, όντως τΐ MN vipog προς το Ι1Ν vipog. άλΓ ώς μεν η ΑΒΓΑ βάΰις προς την ΕΖΗΘ βάΰιν, όντως 6 AB κύλινδρος προς τον ΕΣ κύλινδρον νπδ γάρ το αντο vipog είΰίν ώς tfs το ΜΝ 25 vipog προς το ΠΝ [vipog], όντως δ ΕΟ κύλινδρος προς τον ΕΣ κύλινδρον' έΰτιν αρα ώς δ AB κύλιν-

1. ΕΖΗΘ βάΰιν ΒΥ. 3. ΕΣ κύλινδρον Υ. 4. ΠΜ Β, ΜΠ Υ. Post επιπέδω add. τω ΤΣ Ρ m. 3 e corr.; eadem uerba post τέτμηται hab. Y et m. 2 Β. 6. καί] om. BYq.

βάΰις] βάΰιν, sed corr. m. 1, Ρ. 7. ΠMBΥ. το] supra add. ω Υ. 8. Π Μ BV. 9. βάαιν] om. BYq. 12. αλλά

AS : ΕΣ = ΑΒΓΑ: ΕΖΗΘ (nam eandem altitudinem habent cylindri AS, ΕΣ) [prop. XI], et EO: ΕΣ = MN: ΠΝ\ nam cylindrus EO plano planis oppositis parallelo sectus est [prop. XIII]. itaque ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = MN: ΠΝ. uerum ΠΝ = ΚA. erit igitur ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = ΜΝ: ΚΛ. ergo cylindrorum AS, EO bases in contraria ratione sunt atque altitudines.

-Iam uero cylindrorum AS, EO bases in contraria ratione sint atque altitudines, et sit ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = MN: ΚΛ. dico, esse AS = EO.

uerum ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = AS · ΕΣ

nam iisdem comparatis quoniam est ΑΒΓΑ:ΕΖΗΘ = MN : ΚΛ, et ΚΛ = ΠΝ, erit ΑΒΓΑ : ΕΖΗΘ = MN: ΠΝ.

(nam eandem habent altitudinem) [prop. XI], et MN: ΠΝ = EO : ΕΣ [prop. XIII]. est igitur AS

— 13. vipB6Lv] mg. m. 2 B.

21. ΠΜ corr. ex ΠΝ V.

ΕΟ] E in ras. m. 1 P.

ν<ψοςΊ rec. P.

oir. P.

13. νψεΰί BVq.

25. ΠΜ corr. ex ΠΝ Y.

26. ώς] supra m.

20. ΠΜ BY.

δρος προς τον ΕΣ κύλινδρον, όντως ο ΕΟ κύλινδρος προς τον ΕΣ. ιβος άρα ο Λ & κύλινδρος τω ΕΟ κυ-λίνδρω. ώΰαύτως δε και επί των κιονών* όπερ εδει δεϊζαι.

Λίνο κύκλων περί το αντδ κεντρον δντων εις τον μείζονα κύκλον πολύγωνον ίβόπλενρόν τε και άρτιόπλενρον εγγράψαι μη ψανον τον έλά<56ονος κύκλον.

10    ΛΕότωόαν οι δοΟέντες δύο κύκλοι οι ΑΒΓΑ?

ΕΖΗΘ περί το αντδ κεντρον το Κ* δει δη εις τον μείζονα κύκλον τον ΑΒΓΑ πολύγωνον ίόόπλενρόν τε και άρτιόπλενρον εγγράψαι μη ψανον τον ΕΖΗΘ κύκλον.

15 "ΗχΟω γάρ διά τον Κ κεντρον ενΟεια η ΒΚΑ 5 και άπδ τον Η βημείον τη ΒΑ ενΟ'εια προς όρΟάς ηχΟω η ΗΛ και διηχΟω επί το Γ' η ΛΓ άρα εφάπτεται τον ΕΖΗΘ κύκλον, τέμνοντες δη την ΒΑΑ περιφέρειαν δίχα και την ημίβειαν αντης δίχα και τούτο 20 άει ποιονντες καταλείψομεν περιφέρειαν έλάββονα της ΛΑ. λελείφΟω; και έβτω η ΛΑ , και άπδ τον Λ έπι την ΒΑ κάθετος ηχΟω η AM και διηχΟω έπι τδ Ν, και έπεξεύχθωβαν αι ΑΑ, ΑΝ* Ϊ6η άρα έΰτιν η ΑΑ τη ΑΝ. και έπει παράλληλός έΰτιν η ΑΝ τη ΑΓ, 25 η $£ ΑΓ έφάπτεται τον ΕΖΗΘ κύκλον, η ΑΝ άρα

1. ό ΕΟ] δε in ras. m. rec. V. 2. κνλίνδρω] -ω in ras. Y. 3. ωσαύτως] δει in ras. m. rec. V. όπερ έδει δειξαι] om. Y. 5. is'] om. q. 6. κύκλων] κυλίνδρων q. κέντρων P, sed corr. 7. πολύγωνον] om. Y. 8. ιρανσονΊ Y, ψαύον-τος q. τον] om. q. 10. oi doO’fVrsg] om. Y. 12. κύκλον] om. Y. ΑΒΓΑ] ΒΓ eras. Y. Dein add. κύκλον Y. πολυγωνιον q.

: ΕΣ = EO : ΕΣ. ergo Λ8 = £0 [V, 9]. et eodem modo etiam in conis; quod erat demonstrandum.

XVI.

•V'

Datis duobus circum idem centrum circulis in maiorem circulum polygonum aequilaterum, cuius latera paria sunt numero, ita inscribere, ut minorem circulum non tangat. Sint dati duo circuli ΑΒΓΑ, U ΕΖΗΘ circum idem centrum K. V oportet igitur in maiorem circulum ΑΒΓΑ polygonum aequilaterum, cuius latera paria sunt numero, ita inscribere, ut circulum ΕΖΗΘ non tangat.

ducatur enim per K centrum recta BKA, et ab H puncto ad rectam BA perpendicularis ducatur HA et producatur ad Γ. itaque ΑΓ circulum ΕΖΗΘ contingit [III, 16 coroll.]. iam si arcum BAA in duas partes aequales secuerimus et partem eius dimidiam in duas partes aequales et hoc semper fecerimus, arcum arcu A A minorem relinquemus [X, 1], relinquatur et sit A A, et ab A ad BA perpendicularis ducatur AM et ad N producatur, et ducantur A A, AN. itaque A A = AN [III, 3. I, 4]. et quoniam AN rectae ΑΓ parallela est [I, 28], et ΑΓ circulum ΕΖΗΘ contingit,

13. μη] in ras. m. 2 V. 15. BKJ] βάας in ras. m. rec. V.

17. HA] AH BV. κα*'] ί'αη in ras. m. rec. V.

20. ποιονντες] -ες in ras. m. rec. V. 21. AA~\ AB q.

ΛΔ\ Λ e corr. m. 1 B. 22. ΛΜ] Me corr. m. 2 B.

23. JN] z/Z@, sed ΖΘ in ras. m. rec. V. Ι'ΰη] ic- eras. 24. AN] ΛΗ q. 25. ΑΓ] A in ras. m. rec. V.

ονκ εφάπτεται, τον ΕΖΗΘ κύκλον* πολλω άρα αί ΛΑ, ΑΝ ονκ εφάπτονται, τον ΕΖΗΘ κύκλον, εάν δη τη ΛΑ εν&εία ίθας κατά τδ θννεχές έναρμόθωμεν εις τον ΛΒΓΑ κύκλον, έγγραφηθεται εις τον ΛΒΓΑ κύκλον 5 πολύγωνον ίθόπλενρόν τε και άρτιόπλενρον μη ψανον τον έλάθθονος κύκλον τον ΕΖΗΘ' δπερ έδει ποιηθαι.

£·

Αύο θφαιρών περί τδ αντδ κέντρον ονθών εις την μείζονα θφαΐραν θτερεδν πολύ εδρ ον 10 έγγράψαι μη ψανον της έλάθθονος θφαίρας κατά την επιφάνειαν.

Νενοήθ&ωθαν δύο θφαΐραι περί τδ αντδ κέντρον τδ Λ' δει δη εις την μείζονα Σφαίραν θτερεδν πολύεδρον έγγράψαι μη ψανον της έλάθθονος Σφαίρας κατά την 15 επιφάνειαν.

Τετμήθ&ωθαν αι θφαΐραι έπιπέδω τινϊ διά τον κέντρον' έθονται δη αι τομαϊ κύκλοι, έπειδηπερ με-νούθης της διαμέτρον και περιφερομένον τον ημικν-κλίον έγίγνετο η θφαΐρα' ώθτε και κα& οΐας άν &έ-20 θεως έπινοηθωμεν τδ ημικύκλιον, τδ δι αντον έκβαλ-λόμενον επίπεδον ποιηθεί έπι της επιφάνειας της θφαίρας κύκλον, και φανερόν, ότι και μέγιθτον, έπει-δηπερ η διάμετρος της θφαίρας, ητις έθτΐ και τον ημικνκλίον διάμετρος δηλαδη και τον κύκλον, μείζων 25 έθτι παθών των εις τδν κύκλον η την θφαΐραν δια-γομένων [εν&ειών]. έθτω ονν εν μεν τη μείζονι

1. αί] η q. 2. κύκλου] -κλου eras. V.    δε ΒΥ.

5. τδ] om. Ρ. 6. τον] (alt.) τό q. πόρισμα, καί φανερόν, ότι η από τον Α κάθετος επί την BJ ονκ έφάψεται τον εντός κύκλον mg. m. 1 Ρ. 10. έλάττονος V. 11. περιφέρειαν

AN circulum ΕΖΗΘ non contingit, multo igitur magis AA, AN circulum ΕΖΗΘ non contingunt, itaque si rectas rectae AA aequales in circulum ΑΒΓΑ continue aptauerimus [IV, 1], in circulum ΑΒΓΑ polygonum aequilaterum, cuius latera paria sunt numero, ita inscribemus/ut minorem circulum ΕΖΗΘ non tangat; quod oportebat fieri.

XVII.

Datis duabus sphaeris circum idem centrum positis in maiorem sphaeram solidum polyedrum ita inscribere, ut minorem sphaeram secundum superficiem non tangat.

Fingantur duae sphaerae circum idem centrum A.¹) oportet igitur in maiorem sphaeram solidum polyedrum ita inscribere, ut minorem sphaeram secundum superficiem non tangat.

secentur sphaerae plano aliquo per centrum posito. sectiones igitur circuli erunt, quoniam sphaera orta est manente diametro et circumacto semicirculo [XI def. 14]; quare in quacunque positione semicirculum finxerimus, planum per eum ductum sectionem in superficie sphaerae efficiet circulum, et ad-paret, etiam maximum circulum id effecturum esse, quoniam diametrus sphaerae, quae eadem diametrus est semicirculi et ipsius circuli, ut adparet, maior est omnibus rectis, quae in circulo uel sphaera ducuntur

1) Figuram dedi ex P; in B recta KSl omissa est. nouam delineauit Peyrardus.

19. εγένετο V (ante r ras. 24. %aC\ ins. m. 1 Y.

P; yq. επιφάνειαν supra m. rec.

1 litt, et accentus corr.). 23. εβτίν P. 26. εν&ειών~\ om. P.

ύφαίρα κύκλος ο ΒΓΑΕ, εν δε τη ελα66ονι ύφαίρα κύκλος δ ΖΗΘ, και ηχ&ωΰαν αυτών δυο διάμετροι προς όρΰ'άς άλληλαις αι ΒΑ, ΓΕ₉ και δυο κύκλων περί το αντδ κεντρον δντων των ΒΓΑΕ, ΖΗΘ εις 5 τον μείξονα κύκλον τον ΒΓΛΕ πολύγωνον ίβόπλενρον και άρτιόπλενρον έγγεγράφ&ω μη ψανον τον έλάόύονος κύκλον τον ΖΗΘ, 'ον πλενραι εότωόαν εν τω ΒΕ τεταρτημοριω αι ΒΚ, ΚΑ, Λ Μ, ΜΕ, και έπιζενχ&εΐΰα η ΚΑ διήχ&ω επί το JV, καί αι/δ(?τάτω άπδ τον Α 6η-10 μείον τω τον ΒΓΑΕ κύκλον επιπεδω προς δρ&άς η

2. κύκλος] bis Ρ, corr. m. 2.

ΓΕ] z/ et Γ e corr. V; ΒΓ, JE Β. 10. τω] om. q.

$νο] om. q.

6. τε xca Y.

3. BJ,

[III, 15]. iam in maiore sphaera sit circulus ΒΓΑΕ, in minore autem circulus ΖΗΘ, et duae eorum diametri inter se perpendiculares ducantur BA, ΓΕ, et datis duobus circulis circum idem centrum positis ΒΓΑΕ, ΖΗΘ in maiorem circulum ΒΓΑΕ polygonum

Pt

Kf

Ψ)

A!

Id'

aequilaterum, cuius latera paria sunt numero , ita inscribatur, ut minorem circulum ΖΗΘ non tangat [prop. XVI], et latera eius in B E quarta parte circuli sint BK, ΚΑ, AM, ME, et ducta KA producatur ad N, et ab A puncto ad planum circuli ΒΓΑΕ per-

AS και βνμβαλλέτω τη επιφάνεια της ΰφαίρας κατά το S, καί διά της AS ^ccl έκατέρας των ΒΑ, ΚΝ επίπεδα έκβεβλήό&ω' ποιηύονόι δη δια τα είρημένα επί της επιφάνειας της ΰφαίρας μεγίΰτονς κνκλονς. 5 ποιείτωΰαν, ών ημικύκλια έΰτω επί των ΒΑ, ΚΝ διαμέτρων τα BSA, KSN. καί έπει η SA όρ&ή έΰτι προς το τον ΒΓΑΕ κύκλον επίπεδον, και πάντα άρα τα διά της $Α επίπεδά εΰτιν όρ&ά προς το τον ΒΓΑΕ κύκλον επίπεδον' ωΰτε και τα BSA, Κ&Ν 10 ημικύκλια δρ&ά έΰτι προς το τον ΒΓΑΕ κύκλον επίπεδον. και έπει ϊΰα έΰτϊ τα ΒΕΑ, BSA, Κ&Ν ημικύκλια' επί γάρ ΐΰων ειΰι διαμέτρων των ΒΑ, ΚΝ* ί'ΰα έότι και τα BE, BS, KS τεταρτημόρια άλλήλοις. όΰαι άρα ειόϊν εν τω ΒΕ τεταρτημορίω πλενραι τοϋ 15 πολνγώνον, τοΰαϋταί ειΰι καί εν τοΐς BS, KS τεταρ-τημορίοις ίόαι ταΐς ΒΚ, ΚΑ, Λ Μ, ΜΕ εν&είαις. έγγεγράφ&ωόαν καί έΰτωΰαν αι ΒΟ, Ο Π, ΠΡ, PS, ΚΣ, ΣΤ, ΤΤ, TS, καί έπεξεύχ&ωΰαν αι ΣΟ, Τ77, καί ατζό των Ο, 27 έπϊ το τον ΒΓΑΕ κύκλον 20 επίπεδον κάθετοι ηχ&ωΰαν πεΰοννται δη έπι τάς κοινάς τομάς των επιπέδων τάς ΒΑ, ΚΝ, έπειδηπερ και τά των BSA, KSN επίπεδα όρ&ά έότι προς το τον ΒΓΑΕ κύκλον επίπεδον, πιπτέτωΰαν, και έΰτω 6 αν αι ΟΦ, ΣΧ, και επεζεύχ&ω η ΧΦ. και έπει εν ϊοοις 25 ημικνκλίοις τοΐς BSA, KSN ί'ΰαι άπειλημμέναι είΰϊν αι ΒΟ, ΚΣ, και κάθετοι ηγμέναι είΰιν αι ΟΦ, ΣΧ, ί'ΰη [άρα] έΰτίν η μεν ΟΦ τη ΣΧ, η δέ ΒΦ τη ΚΧ. έότι δε και όλη ΒΑ όλη τη ΚΑ ΐΰη’ και λοιπ

3. τιoirjcoveiv Ρ, ποιοναι q. 5. έστωααν BVq. 6.^ τά] corr. ex τό Β. 7. εατιν Β. 8. όρ&ά εΰτι BYq. 10. εστιν PB. BJTE q. 11. εστίν PB. KRN] om. Ρ.

pendicularis erigatur AS et cum superficie sphaerae concidat in S, et per AS et utram que BA, KN plana ducantur, itaque propter ea, quae supra diximus, in superficie sphaerae maximos circulos efficient, eos efficiant, quorum semicirculi in diametris BA, KN sint, BSA, KSN. et quoniam SA ad planum circuliΒΓΑΕ perpendicularis est, etiam omnia plana, quae per SA ducuntur, ad planum circuli B ΓΑ E perpendicularia sunt [XI, 18]. quare etiam semicirculi B SA, K SN ad planum circuli ΒΓΑΕ perpendiculares sunt, et quoniam semicirculi BEA, BSA, KSN aequales sunt (nam in aequalibus sunt diametris BA, KN) [III def. 1], etiam quartae circulorum partes BE, BS, KS inter se aequales sunt, itaque quot sunt in BE quarta parte latera polygoni, totidem etiam in BS, KS quartis partibus sunt rectis BK, KA, AM, ME aequalia, inscribantur et sint j80, ΟΠ, ΠΡ, PS et ΚΣ, ΣΤ, TT, TS, et ducantur ΣΟ, ΤΠ, TP, et ab Ο, Σ ad planum circuli ΒΓΑΕ perpendiculares ducantur, cadent igitur in communes planorum sectiones BA, KN, quoniam etiam plana circulorum BSA, KSN ad planum circuli ΒΓΑΕ perpendicularia sunt [tum u. XI def. 4]. cadant et sint ΟΦ, ΣΧ, et ducatur ΧΦ. et quoniam in aequalibus semicirculis BSA, KSN aequales abscisae sunt BO, ΚΣ [III, 28], et perpendiculares ductae sunt ΟΦ, ΣΧ, erit ΟΦ = ΣΧ, ΒΦ = KX [III, 27. I, 26]. uerum etiam BA — KA. itaque ΦΑ — XA. quare 13. Post BE eras. Δ P. Post B# ras. 1 litt. P. X#] in ras. m. 1, dein dei. N, P. 15. τοααυτα q. slglv PB.

21. και επειδήπερ καί q. 24. ΧΦ] corr. ex ΦΧ m. 1 V, ΦΧ B. 27. αρα] m. rec. P. ΣΧ] Σ e corr. V. 28. εβτιν B. KA] e corr. m. 2 V.

άρα η ΦΑ λοιπή τη ΧΑ έότιν ίόη' έότιν άρα ως η ΒΦ προς την ΦΑ, όντως η ΚΧ προς την ΧΑ* παράλληλος άρα έότιν η ΧΦ τη ΚΒ. καί έπεϊ έκατέρα των ΟΦ, ΣΧ όρ&ή έότι προς το τον ΒΓΑΕ κύκλον 5 επίπεδον, παράλληλος άρα έότιν η ΟΦ τη ΣΧ. έδείχ&η δε αντη και Ιόη* και αι ΧΦ, ΣΟ άρα ίόαι είόι και παράλληλοι, και επεϊ παράλληλός έότιν η ΧΦ τη ΣΟ, άλλα η ΧΦ τη ΚΒ έότι παράλληλος, και η ΣΟ άρα τη ΚΒ έότι παράλληλος, και έπιξενγνύουόιν 10 αύτάς αι ΒΟ, ΚΣ* το ΚΒΟΣ άρα τετράπλευρον εν ένί έότιν έπιπεδω, έπειδηπερ, εάν ώόι δύο εύ&εΐαι παράλληλοι, και icp’ εκατερας αυτών ληφ&η τνχόντα όημεια, η έπι τα όημεια έπιζενγννμενη εύ&εια έν τώ αύτώ έπιπεδω έότΙ ταΐς παραλληλοις. διά τα αυτά 15 δη και έκάτερον των ΣΟΠΤ, ΤΠΡΤ τετράπλευρων εν ένί έότιν έπιπεδω. έότι δέ και τό ΤΡ& τρίγωνον έν ένι έπιπεδω. έάν δη νοήόωμεν από των Ο, Σ, Π, Τ, Ρ, Τ Σημείων έπι το Α έπιξενγννμένας εύ&είας, όυότα&ηόεταί τι όχημα Στερεόν πολύεδρον μεταξύ 20 των ΒΗ, Κ& περιφερειών έκ πυραμίδων Συγκείμενον, ών βάόεις μεν τά ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, ΤΠΡΤ τετράπλευρα και τό ΤΡ& τρίγωνον, κορυφή δε τό Α όη-μεΐον. έάν δέ και έπι έκάότης των ΚΑ, AM, ΜΕ πλευρών κα&άπερ έπι της ΒΚ τά αυτά καταόκευάόωμεν 25 και έτι έπι τών λοιπών τριών τεταρτημόριων, όυότα-&ήόεταί τι όχημα πολύεδρον έγγεγραμμένον εις την Σφαίραν πυραμίόι περιεχόμενον} ών βάόεις [μέν] τά

1. τη λοιπή τη q.

6. π ca'] (alt.) om. q.

7. εατιν] -iv in ras. Y, om. q. in ΦΧ m. 1 Y.

2. ΒΦ] e corr. Y m. 2. ΣΟ] O euan. P. ΦΧ P.

10. ΚΒΟΣ] ΒΟΚΣ Y.

P.

4. εατιν εΐαίν ΡΒ. 8. ΧΦ] corr. 11. ώαιν ΡΒ.

ΒΦ : ΦΑ — KX: XA. itaque ΧΦ rectae KB parallela est [VI, 2]. et quoniam utraque ΟΦ, ΣΧ ad planum circuli ΒΓΑΕ perpendicularis est, ΟΦ rectae ΣΧ parallela est [XI, 6]. esse etiam ΟΦ = ΣΧ. quare etiam rectae ΙΦ, Σ0 aequales sunt et parallelae [I, 33]. et quoniam ΧΦ rectae ΣΟ parallela est, eadem autem ΧΦ rectae KB parallela, etiam ΣΟ rectae KB parallela est [I, 30]. et eas iungunt BO, ΚΣ. itaque quadrilaterum ΚΒΟΣ in uno plano positum est, quoniam, si datis duabus rectis parallelis in utraque sumuntur quaelibet puncta? recta ad puncta ducta in eodem plano est ac parallelae [XI, 7]. eadem de causa etiam utrumque quadrilaterum ΣΟΠΤ, ΤΠΡΤ in uno est plano, uerum etiam triangulus TP& in uno plano est [XI, 2]. iam si a punctis Ο, Σ, Π, T, P, T ad A rectas finxerimus ductas, figura quaedam solida polyedra inter arcus B&, KS construetur ex pyramidibus composita, quarum bases sunt quadrilatera ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, ΤΠΡΤ et triangulus TP&, uertex autem A punctum, et si etiam in singulis lateribus KA, AM, ME eadem com-parauerimus, quae in BK, et praeterea in reliquis tribus quartis circuli partibus eadem, figura quaedam polyedra construetur in sphaera inscripta ex pyramidibus composita, quarum bases sunt quadrilatera,

demonstrauimus autem

14. εστίν B. 15. εκάτερα BV. 16. εηιπεδω εστίν q. εστίν B. 21. βάσίς BVq. ΠΤΡΤ q. 22. τον q. T&P P, corr. m. 1. τρίγωνον q. 24. καταατιενάσομεν e corr. m. 1 q.    25. Post τεταρτημόριων add. Theon: καί

επί τον λοιπον ημισφαιρίου (BVq). 26. σχήμα] σχήμα στερεόν V. σνγγεγραμμενον Ρ. 27. πνραμίσιν Ρ, εκ πνρα-μίδων BVq. συγκείμενον BV. μεν] om. BVq.

είρημένα τετράπλευρα καί το ΤΡ&1 τρίγωνον καί τά δμοταγή αντοΐς, κορυφή δε το Λ όημεΐον.

Λέγω, δτι το είρημένον πολύεδρον ούκ εφάψεται της ελάβΰονος ΰφαίρας κατά την επιφάνειαν, έφ⁹ ής 5 έότιν ο ΖΗΘ κύκλος.

’Ήχ$ω άπδ τον Α ΰημείου επί το του ΚΒΟΣ τετραπλέύρου επίπεδον κά&ετος η Α Ψ καί ΰυμβαλ-λέτω τω έπιπέδω κατά το Ψ ΰημειον, και έπεξεύχ&ω-ΰαν αι ΨΒ, ΨΚ. και επεϊ η Α Ψ όρ&ή έΰτι προς 10 το τού ΚΒΟΣ τετράπλευρου επίπεδον, και προς πά-6ας άρα τάς άπτομένας αυτής εύ&είας και ούόας εν τω τοϋ τετραπλεύρου έπιπέδω όρ&ή έβτιν. η Α Ψ άρα όρ&ή έβτι προς έκατέραν των ΒΨ, ΨΚ. και επει ί6η έότϊν η AB τη ΑΚ, ίύον εότϊ και το άπδ 15 της AB τω άπδ της ΑΚ. καί έβτι τω μεν άπδ της AB ίόα τά άπδ των ΑΨ, ΨΒ' όρ&η γάρ η πρδς τω Ψ* τω δέ άπδ της ΑΚ ΐ<5α τά άπδ των ΑΨ, ΨΚ. τά άρα άπδ των ΑΨ, ΨΒ ί<5α έότι τοις άπδ των ΑΨ, ΨΚ. κοινδν άφηρή<5&ω το άπδ τής ΑΨ· λοι-20 πδν άρα τδ άπδ τής Β Ψ λοιπω τω άπδ τής ΨΚ ίόον εΰτίν* ’έ(5η άρα i ΒΨ τή ΨΚ. ομοίως δη δεί-ζομεν, δτι και αι άπδ τοϋ Ψ έπι τά Ο, Σ έπιξευγνύ-μεναι ευ&εΐαι ίόαι είόϊν έκατέρα των Β]Ψ, ΨΚ. δ άρα κέντρω τω Ψ και διαβτήματι ένι των ΨΒ, ΨΚ 25 γραφόμενος κύκλος ήξει και διά των 0, 27, καί έΰται εν κύκλω τδ ΚΒΟΣ τετράπλευρον.

as*

Και έπει μείξων έΰτϊν ή ΚΒ τής ΧΦ, ίόη δέ ή ΧΦ τ 270, μείξων άρα ΚΒ τής 27Ο. ΐΰη δέ ή

1. Τ3Ρ ΒΥ.

9. ΨΒ] Β e corr. Ρ, ΒΨ BVq. e corr. m. 1 P, mut. in ΒΚΟΣ m. 1 V, ΒΚΟΣ q.

εατιν Ρ.

2. ομοιοταγή Β. 3. λέγω δή q.

10. ΚΒΟΣ] Σ τετρα-quae nominauimus, et triangulus TPE, et quae similem obtinent locum, uertex autem punctum A.

dico, polyedrum, quod significauimus, minorem sphaeram non tangere secundum superficiem, in qua est circulus ΖΗΘ.

angulus ad Ψ positus

nam

ducatur ab A puncto ad planum quadrilateri ΚΒΟΣ perpendicularis ΑΨ et cum plano in puncto Ψ concidat, et ducantur ΨΒ, ΨΚ. et quoniam ΑΨ ad planum quadrilateri ΚΒΟΣ perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano quadrilateri positas perpendicularis est [XI def. 3]. itaque ΑΨ ad utramque B Ψ, ΨΚ perpendicularis est. et quoniam AB = AK, erit etiam AB² = AK². est autem ΑΨ² + ΨΒ² = AB²-rectus est [I, 47]; et A Ψ² -f- ΨΚ² = AK². quare A ψ2 ψβ2 = A ψ2 + ψΚ2 auferatur, quod commune est, A Ψ². itaque ΒΨ² = ΨΚ². quare B Ψ — ΨΚ. similiter demonstrabimus, etiam rectas a Ψ ad Ο, Σ ductas aequales esse utrique ΒΨ, ΨΚ. itaque circulus, qui centro Ψ et radio alterutra rectarum ΨΒ, ΨΚ describitur, etiam per Ο, Σ ueniet, et quadrilaterum ΚΒΟΣ in circulo erit.

et quoniam KB > ΧΦ et ΧΦ = ΣΟ, erit KB > ΣΟ. uerum KB = ΚΣ = BO. quare etiam ΚΣ

πλενρον] om. Y.

13. εΰτιν P.

18. εΰτιν P.

ΨΒ P.

23. ΨΚ] K in ras. V. -ΰτη- e corr. m. rec. P.

27. εΰτί Y. της B.    τής] τή q.

14. τό] corr. ex τώ m. 1 P.

19. άπό] -πό in ras. Y.

22. τά Ο, Σ] corr. m. 2 ex τό Ο Β.

24. τώ] bis P, sed corr. m. 1. ΒΨ Y q.

ΧΦ] corr. ex ΦΙΥ, ΦΧ Β.

12. εΰτιν~\ Igxlv rj ΑΨ Theon (B Vq).

15. SGTLV P. 21. sgtcu q.

26. τό] corr. ex τώ Υ.

28. τή]

ί'ΰη δε — ρ. 238, 2. εοτίν] mg. m. 2 Β.

KB εκατερα των ΚΣ, BO· και εκατερα άρα των ΚΣ, ΒΟ της ΣΟ μείζων έΰτίν. και έτιεϊ εν κνκλω τετράπλενρόν έΰτι το ΚΒΟΣ, και ίΰαι αι ΚΒ, ΒΟ, ΚΣ, και ελάττων η ΟΣ, και εκ τον κέντρου τον 5 κύκλον εΰτιν η Β Ψ, το αρα άπδ της ΚΒ τον άπδ της BW μειζόν έΰτιν η διπλάΰιον. ηχ&ω άπδ τον Κ έπι την ΒΦ κά&ετος ή ΚΩ. και έπει η ΒΑ της ΑΩ ελάττων έΰτιν η διπλή, καί εύτιν ως η ΒΑ προς την ΑΩ, όντως το νπδ των AB, ΒΩ προς το νπδ 10 [των] ΑΩ, ΩΒ, αναγραφόμενου άπδ της ΒΩ τετραγώνου και ΰνμπληρονμένον τον έπι της ΩΑ παραλληλογράμμου και το νπδ AB, ΒΩ άρα τον νπδ ΑΩ, ΩΒ έλαττόν έΰτιν η διπλάΰιον. καί έΰτι της ΚΑ έπιζενγννμένης τδ μεν νπδ AB, ΒΩ ί'ΰον τω άπδ 15 της ΒΚ, τδ δέ νπδ των ΑΩ, ΩΒ ίΰον τω άπδ της ΚΩ* τδ άρα άπδ της ΚΒ τον άπδ της ΚΩ έλαΰβόν έΰτιν η διπλάΰιον. άλλα τδ άπδ της ΚΒ τον άπδ της BW μειζόν έΰτιν η διπλάΰιον μεΐζον άρα τδ άπδ της ΚΩ τον άπδ της Β Ψ. και έπει ί'ΰη έΰτίν η ΒΑ 20 τη ΚΑ, ίΰον έ<5τι τδ άπδ της ΒΑ τω άπδ της ΑΚ. καί έότι τω μεν άπδ της ΒΑ ίΰα τά άπδ των BW, WA, τω δε άπδ της ΚΑ ίΰα τά άπδ των ΚΩ, ΩΑ* τά άρα άπδ των Β W, Ψ Α ίΰα έΰτι τοις άπδ των ΚΩ, ΩΑ, ών τδ άπδ της ΚΩ μειζόν τον άπδ τής Β Ψ' λοιπδν άρα τί άπδ τής ΩΑ έλαΰΰόν έΰτι τον άπδ τής WA. μείζων άρα ή AW τής ΑΩ% πολλω

%αί —

1. κα/] om. q.

BO] corr. ex ΙΕ, ΣΟ P. O’fTog] bis P, sed corr. m. 1. supra scr. g, mg. ς m. 1 P, sed in V supra scr. ω m. 1.

cq I gcö

ο*?

3. g a

. r**

ΙΣ-·

** , tde ¹

ΗΗ -3 ·*®

·?3*; *

►OiP

> ΣΟ, BO> ΣΟ. et quoniam in circulo est quadri-laterum ΚΒΟΣ, et KB, BO, ΚΣ aequales, ΟΣ autem minor, et radius circuli est ΒΨ, erit¹) üCjB²> 2ΒΨ². ducatur a K ad ΒΦ perpendicularis Kil.²) et quoniam BA < 2 Aii, et BA : A il = AB X Bil: Aii X HB, constructo in Bil quadrato et parallelogrammo in HA expleto erit etiam AB X Bil < 2Aii X HB. et ducta KA erit ABxBil = BK², AilxBil = Kil² [III, 31. VI, 8 coroll.]. itaque KB² < 2Kil². uerum ΚΒ²>2ΒΨ². itaque X&² > B Ψ². et quoniam BA = KA, erit BA² = AK². et BA² = ΒΨ2 + ΨΑ², KA² = Kil² + il A² [I, 47]. itaque B Ψ2 + ΨΑ² = Κ&² + &Α²} quorum Kil²> B Ψ². quare &Α²<ΨΑ² et ΑΨ> Aii. multo igitur magis

1)    Nam singula latera KB, BO, ΚΣ maiora sunt latere quadrati inscripti, quod aequale est ΒΨ|/2 .

2)    Facile demonstratur, perpendicularem hanc in ipsum punctum Φ cadere, et huc spectat emendatio Theonis Φ ubique pro SI reponentis, sed tum demonstrandum ei erat, ΚΦ perpendicularem esse. Euclides hoc aut non intellexit aut, quod potius crediderim, non curauit, quia ad tenorem demonstrationis nihil prorsus refert.

m. rec.; item lin. 9, 10, 12, 15.    9. Bß] P m. 1, ΒΦ BVq,

P m. rec.; item lin. 10, 12, 14.    10. των'] om. P.^ , SIB]

P m. 1, ΦΒ BVq, P m. rec.; item lin. 13, 15.    από] corr.

ex αντον m. 2 B. 11. SIJ] P m. 1, ΦΑ BVq, P m. rec.; dein add. V: ΦΒ εν ετέρω (in textu m. 1).    12 νπό]

q·

(alt.) τον V. lin. 22, 24 bis. 21. εβτιν P.

22. SIA] P m. 1, ΦΑ 23. τα aqa — 24 SIA] 26. iiß] P m. 1, BVq,

νπό των Vq. νπό] νπό των V. 13. η διπλάΰίον] δι,πλα-cCov Ρ. εστιν Ρ. 15. BK] KB q et in ras. V. BK — της] bis 16. KSi] (prius et alt.) P m. 1, ΚΦ BVq, P m. rec. της] 19. KSi] P m. 1, ΚΦ BVq, P m. rec.; item 20. εστϊ κα\ τό V. AK] in ras. V, KA B. τω] corr. ex τό V.

25. εατιν P.

BVq, P m. rec.; item lin. 24, 25. mg. m. 2 V.

P m. rec.

άρα η ΑΨ μείξων εότι της ΑΗ. καί έΰτιν η μεν Α Ψ έπι μίαν τον πολυέδρου βάΰιν, η δε ΑΗ έπι την της έλάΰΰονος όφαίρας επιφάνειαν* ωότε το πολύεδρον ον ψαύΰει της έλάόβονος ΰφαίρας κατά την 5 επιφάνειαν.

Αύο άρα όφαιρών περί το αύτδ κέντρον ούΰών εις την μείζονα ΰφαΐραν ότερεόν πολύεδρον έγγέ-γραπται μη ψανον της ελάΰόονος όφαίρας κατά την επιφάνειαν* δπερ εδει ποιηόαι.

10

Πόριβμα.

’Εάν δε και εις ετέραν ΰφαΐραν τω εν τη ΒΓΑΕ ύφαίρα ότερεω πολνεδρω ομοιον ατερεόν πολύεδρον έγγραφη, το εν τη ΒΓΑΕ βφαίρα ότερεδν πολύεδρον προς το εν τη ετέρα ΰφαίρα ότερεδν πολύεδρον τρι-15 πλαόίονα λόγον έχει, ηπερ η της ΒΓΑΕ όφαίρας διάμετρος προς την της έτερας όφαίρας διάμετρον, διαιρεΰ'εντων γάρ των ΰτερεών εις τάς όμοιοπλη&είς και όμοιοταγεϊς πυραμίδας εΰονται αι πυραμίδες όμοιαι. αι δε δμοιαι πυραμίδες προς άλληλας εν τρι-20 πλαοίονι λόγω ειΰι των ομολόγων πλευρών η άρα πυραμίς, ής βάαις μεν έ<5τι το ΚΒΟΣ τετράπλενρον, κορυφή δε το Α όημεΐον, προς την εν τη ετέρα βφαίρα δμοιοταγη πυραμίδα τριπλαόίονα λόγον έχει, ηπερ η ομόλογος πλευρά προς την ομόλογον πλευράν, τουτ-25 έΰτιν ηπερ η AB εκ του κέντρου της όφαίρας της περί κέντρον το Α προς την εκ του κέντρου της έτέ-

1. ΑΨ] ΟΨ q. altera, u. app. ριαμα] mg. m. 1 P; om. BVq. mg. m. 2 B.

4. ψαύει Ρ.

9. ποΐΎ\6αι\ δεΐξαι Theon (Β V q).

14. προς το — πολύεδρον] σφαίρας] Om.

16. στερεας Β, ελάσσονος q.

5. Seq. demonstr.

10. πό-

ΑΨ > AH. et ΑΨ ad unam basim polyedri, AH autem ad superficiem minoris sphaerae ducta est. quare polyedrum minorem sphaeram secundum superficiem non tanget.¹)

Ergo datis duabus sphaeris circum idem centrum positis in maiorem sphaeram solidum polyedrum ita inscriptum est, ut minorem sphaeram secundum superficiem non tangat; quod oportebat fieri.

Corollarium.

Sin etiam in aliam sphaeram solido polyedro in sphaera ΒΓΑΕ inscripto simile polyedrum solidum inscripserimus, solidum polyedrum in sphaera ΒΓΑΕ inscriptum ad solidum polyedrum in altera sphaera inscriptum triplicatam rationem habebit quam dia-metrus sphaerae B ΓΑ E ad diametrum alterius sphaerae, solidis enim in pyramides numero aequales et simili loco positas diuisis pyramides similes erunt, similes autem pyramides triplicatam inter se rationem habent quam latera correspondentia [prop. VIII coroll.]. itaque pyramis, cuius basis est quadrilaterum ΚΒΟΣ, uertex autem A punctum ad pyramidem in altera sphaera simili loco positam triplicatam rationem habet quam latus correspondens ad latus correspondens, h. e quam AB radius sphaerae, cuius centrum est A, ad radium

17. δμοπλη&εΐς V. πνραμίς αρα P. ταγή V et B, sed corr. m. 1.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV.

q.

18. ομοταγεϊς BV.

21. ΚΘΣΟ V, sed corr. 26. περί τό Bq.

20. είβίν B. 23. ομο-

16

ρας ΰφαίρας. ομοίως και έκάΰτη πυραμϊς των εν τη περί κέντρον το Α ΰφαίρα προς έκάΰτην δμοταγή πυραμίδα των εν τη ετέρα ΰφαίρα τριπλαΰίονα λόγον έζει, ηπερ η AB προς την εκ τον κέντρου της ετέρας 5 ΰφαίρας. καί ως εν των ηγουμένων προς εν των επόμενων, ούτως άπαντα τα ηγούμενα προς άπαντα τα επόμενα* ώΰτε όλον το εν τη περί κέντρον το Α ΰφαίρα ΰτερεόν πολύεδρον προς όλον το εν τη ετέρα [ΰφαίρα] ΰτερεόν πολύεδρον τριπλαΰίονα λόγον έξει, ηπερ η 10 AB προς την εκ του κέντρου της ετέρας ΰφαίρας, τουτέΰτιν ηπερ η ΒΑ διάμετρος προς την της ετέρας ΰφαίρας διάμετρον’ όπερ έδει δεΐζαι.

ιη .

Αί ΰφαΐραι προς άλληλας εν τριπλαΰίονι 15 λόγω είΰϊ των ιδίων διαμέτρων.

Νενοηΰ&ωΰαν ΰφαΐραι αί ΑΒΓ, ΑΕΖ, διάμετροι δέ αυτών αί ΒΓ, EZ' λέγω₉ ότι η ABΓ ΰφαΐρα προς την ΑΕΖ ΰφαιραν τριπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ.

2. περί τό Bq. 4. ετέρας] om. Ρ. 7. ώστε καί Ρ. περί τό Β.    κέντρω τώ q.    8. σφαίρα] om. Ρ.

10. ετερα?] Β supra scr. στερεά? m. 2.    15. είσίν ΡΒ.

16. έννοήσ&ωσαν Ρ.

alterius sphaerae, similiter etiam singulae pyramides in sphaera positae, cuius centrum est A, ad singulas pyramides simili loco positas in altera sphaera triplicatam rationem habent quam AB ad radium alterius sphaerae, et ut unum praecedentium ad unum sequentium, ita omnia praecedentia ad omnia sequentia [V, 12]. quare totum solidum polyedrum in sphaera positum, cuius centrum est A} ad totum solidum polyedrum in altera sphaera positum triplicatam rationem habebit quam AB ad radium alterius sphaerae, h. e. quam diametrus BA ad diametrum alterius sphaerae; quod erat demonstrandum.

¹

Idem enim similiter fere de ceteris basibus solidi demonstrari potest.

XVIII.

Sphaerae triplicatam inter se rationem habent quam diametri.

[B

Λ⁷

IM

«■

/X

Fingantur sphaerae ΑΒΓ' AEZ, earum autem diametri ΒΓ, EZ. dico, esse ΑΒΓ: AEZ = ΒΓ³: EZ\

El γάρ μη η ΑΒΓ βφαΐρα προς την ΑΕΖ βφαΐραν τριπλαβίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ, έζει άρα η ΑΒΓ βφαΐρα προς έλάββονά τινα της A ΕΖ βφαίρας τριπλαβίονα λόγον η προς μείξονα ηπερ 5 η ΒΓ προς την ΕΖ. έχέτω πρότερον προς έλάββονά την ΗΘΚ, καί νενοηβ&ω η ΑΕΖ τη ΗΘΚ περί τό αυτό κέντρον, καί έγγεγράφΰ'ω εις την μείζονα βφαΐραν την ΑΕΖ βτερεόν πολύεδρον μη ψανον της έλάβ<5Ονος βφαίρας της ΗΘΚ κατά την επιφάνειαν, εγγε-10 γράφ&ω δε και εις την ΑΒΓ βφαΐραν τω έν τη ΑΕΖ βφαίρα βτερεω πολνέδρω όμοιον βτερεόν πολύεδρον το άρα έν τη ΑΒΓ βτερεόν πολύεδρον προς τό έν τη ΑΕΖ βτερεόν πολύεδρον τριπλαβίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ. έχει δε και η ΑΒΓ βφαΐρα 15 προς την ΗΘΚ βφαΐραν τριπλαβίονα λόγον ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ* έβτιν άρα ώς η ΑΒΓ βφαΐρα προς την ΗΘΚ βφαΐραν₅ όντως τό έν τη ΑΒΓ βφαίρα βτερεόν πολύεδρον προς τό έν τη ΑΕΖ βφαίρα Στερεόν πολύεδρον* έναλλάξ [άρα] ώς η ΑΒΓ βφαίρα 20 προς τό έν αντί] πολύεδρον, όντως η ΗΘΚ βφαίρα προς τό έν τη Α ΕΖ βφαίρα βτερεόν πολύεδρον, μείξων δε η ΑΒΓ βφαΐρα τον έν αντη πολνέδρον μειξων άρα και η ΗΘΚ βφαΐρα τον έν τη ΑΕΖ βφαίρα πολνέδρον. άλλα και έλάττων έμπεριέχεται γάρ νπ 25 αντον. ονκ άρα η ΑΒΓ βφαΐρα προς έλάββονα της ΑΕΖ βφαίρας τριπλαβίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ διάμετρος πρός την ΕΖ. ομοίως δη δείξομεν, ότι

εννοήσ&ω Ρ. Post 7. γεγράφ&ως q.

9. Ηθ Ρ. 10. ΑΕΖ] Ε

3. σςραΓρα] om. q.

6. ΗΘ Ρ.

ΑΕΖ add. σφαίρα Vq et Β m. 2.

8. ΑΕΖ] E supra scr. m. 1 V.

nam si non est ΑΒΓ: AEZ = ΒΓ³: EZ³, sphaera ΑΒΓ aut ad sphaeram minorem sphaera A EZ triplicatam rationem habebit quam ΒΓ:ΕΖ, aut ad maiorem. prius habeat ad minorem ΗΘΚ, et fingantur A EZ, ΗΘΚ circum idem centrum positae, et in maiorem sphaeram AEZ solidum polyedrum ita inscribatur, ut minorem sphaeram ΗΘΚ secundum superficiem non tangat [prop. XVII], et etiam in sphaeram ΑΒΓ solido polyedro in AEZ sphaera inscripto simile solidum polyedrum inscribatur, itaque polyedrum solidum in ΑΒΓ inscriptum ad solidum polyedrum in AEZ inscriptum triplicatam rationem habet quam ΒΓ:ΕΖ [prop. XVII coroll.]. uerum etiam ΑΒΓ: ΗΘΚ = BΓ3 : EZ³. itaque ut AΒΓ: ΗΘΚ, ita erit solidum polyedrum in ΑΒΓ sphaera inscriptum ad solidum polyedrum in AEZ sphaera inscriptum, permutando [V, 16] ut sphaera ΑΒΓ ad polyedrum in ea inscriptum, ita sphaera ΗΘΚ ad solidum polyedrum in AEZ sphaera inscriptum, sed sphaera ΑΒΓ maior est polyedro in ea inscripto, itaque etiam sphaera ΗΘΚ maior est polyedro in sphaera AEZ inscripto [V, 14]. uerum eadem minor est·, nam ab eo comprehenditur. itaque sphaera A ΒΓ ad minorem sphaera AEZ triplicatam rationem non habet quam ΒΓ diametrus ad EZ. similiter demonstrabimus, ne AEZ quidem

στερεόν] om. V. 14. ΑΒΓ]ΑΓ Ρ.

17. σφαίρα] om. V. 18. σφεαρα] om. 22. σφαΓρα]

supra scr. m. 1 V. 11. σφαίρα] om. V.

12. προς τό — 13. πολύεδρον] om. q.

15. λόγον] λόγον εχει Ρ. 16. AB q.

V.

18. προς τό — 19. πολύεδρον] om. q.

19. αρα] om. Ρ. 20. σφαίρα] om. V. om. V. 25. έλάττονα Ρ. 26. JZ Υ.

ουδέ ή ΑΕΖ ύφαΐρα προς έλάύύονά τής ΑΒΓ ύφαίρας τριπλαύίονα λόγον έχει ήπερ ή ΕΖ τζρός την ΒΓ.

Λέγω δή, ότι ουδέ ή ΑΒΓ ύφαΐρα προς μειζονά τινα τής ΑΕΖ ύφαίρας τριπλαύίονα λόγον έχει ήπερ & ή ΒΓ προς την ΕΖ.

Εί γάρ δυνατόν, έχέτω προς μειζονά την ΑΜΝ* άνάπαλιν άρα ή ΑΜΝ ύφαΐρα προς την ΑΒΓ ύφαΐ-ραν τριπλαύίονα λόγον έχει ήπερ ή ΕΖ διάμετρος προς την ΒΓ διάμετρον, ώς δέ ή ΑΜΝ ύφαΐρα 10 προς την ΑΒΓ ύφαΐραν, όντως ή ΑΕΖ ύφαΐρα προς έλάύύονά τινα τής ΑΒΓ ύφαίρας, επειδήπερ μείζων εύτϊν ή ΑΜΝ τής ΑΕΖ, ώς έμπρού&εν έδείχ&η. και ή ΑΕΖ άρα ύφαΐρα προς έλάύύονά τινα τής ΑΒΓ ύφαίρας τριπλαύίονα λόγον έχει ήπερ ή ΕΖ προς την 15 ΒΓ· όπερ αδύνατον έδείχ&η. ονκ άρα ή ΑΒΓ ύφαΐρα προς μειζονά τινα τής ΑΕΖ ύφαίρας τριπλαύίονα λόγον έχει ήπερ ή ΒΓ προς την ΕΖ. έδείχ&η δέ, ότι προς έλάύύονά. ή άρα ΑΒΓ ύφαΐρα προς την ΑΕΖ ύφαΐραν τριπλαύίονα λόγον έχει ήπερ ή ΒΓ προς την 20 ΕΖ’ όπερ έδει δεΐζαι.

4. έζει V.    11. ύφαίρας, ώς έμπροα&εν εδείχ&η, his

uerbis infra lin. 12 omissis, BV.    13. αρα] om. BV.

τινα] om. BV. 16. τινα\ om. BY. 18. έλαggov q. ΑΒΓ] ΒΓ q. In fine: Ενκλείδον οτοιχείων ι(3 Pq, Ενκλείδον ύτερεών β, έοτι δε των ΰτοιχεέων τδ ιβ Β. In q seq. τούτο το θεώρημα το s' εοτϊ τον iy' βιβλίου, deinde in textu XIII, 6 (in mg. {ϊεοίρημά εοτι τούτο ζ' τον ιγ' βιβλίου); u. app.

sphaeram ad minorem sphaera ΑΒΓ triplicatam rationem habere quam EZ ad ΒΓ.

iam dico, sphaeram ΑΒΓ ne ad maiorem quidem sphaera AEZ triplicatam rationem habere quam ΒΓ ad EZ. nam si fieri potest, habeat ad maiorem AMN. itaque e contrario [V, 7 coroll.] sphaera AMISI ad sphaeram ΑΒΓ triplicatam rationem habet qpam diametrus EZ ad diametrum ΒΓ. sed ut AMN sphaera ad ΑΒΓ sphaeram, ita AEZ sphaera ad minorem sphaera ΑΒΓ, quoniam AMN > AEZ, ut antea demonstratum est [prop. II lemma]. itaque etiam AEZ sphaera ad minorem sphaera ΑΒΓ triplicatam rationem habet quam EZ : ΒΓ-, quod fieri non posse demonstrauimus. itaque ΑΒΓ sphaera ad maiorem sphaera AEZ triplicatam rationem non habet quam ΒΓ:ΕΖ. demonstrauimus autem, eam ne ad minorem quidem hanc rationem habere, ergo ΑΒΓ: AEZ = ΒΓ³: EZ³-quod erat demonstrandum.

’Eccv εν&εΐα γραμμή ακρον καϊ μύθον λόγον τμη&β, τό μεΐξον τμήμα προΰλαβόν την ήμί-<5 ει αν της όλης πενταπλάσιον δνν αται τον από 5 της ήμιόείας τετραγώνου.

Ενδεια γάρ γραμμή η AB ακρον και μέσον λόγον τετμήο&ω κατά τό Γ σημεΐον, και έστω μειζον τμήμα τό ΑΓ₅ και έκβεβλήσ&ω έπ εν&εέας τη ΓΑ εν&εΐα η ΑΑ, και κείσ&ω της AB ημίΰεια ή AA' λέγω, ότι 10 πενταπλάσιόν έστι τό από της ΓΑ τον από της ΑΑ* ’Αναγεγράφ&ωσαν γάρ από των AB, ΑΓ τετράγωνα τα AE, ΑΖ, και καταγεγράφ&ω εν τω ΑΖ τό όχημα^ και διήχ&ω η ΖΓ έπι τό Η. και έπει η AB ακρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά τό Γ, τό άρα 15 υπό των ΑΒΓ ίσον έστι τω από της ΑΓ. καί έστι τό μεν υπό των ΑΒΓ τό ΓΕ, τό από της ΑΓ τό ΖΘ* ίσον άρα τό ΓΕ τω ΖΘ. και έπεϊ διπλή έστιν η ΒΑ της ΑΑ, ίαη ds ή μεν ΒΑ τη ΚΑ, ή ΑΑ τη ΑΘ, διπλή άρα και η ΚΑ τής ΑΘ. ώς 20 δέ ή ΚΑ προς την ΑΘ, όντως τό ΓΚ προς τό ΓΘ*

Ενκλείδον στοιχείων Τγ PYb, Ευτιλείδου στερεών γ στοιχείων ΐγ Β, Ενκλείδον στοιχείων ϊγ στερεών γ q. 5. τετράγωνον] Ρ, comp, supra m. 2 V; τής όλης Theon (BVbq). 8. τη] τής Ρ et Β. sed corr. ευθεία] εί&είας Β, corr. m. 1.    9. xcu —

XIII.

I.

Si recta linea secundum rationem extremam ac mediam diuiditur, quadratum maioris partis adiuncta dimidia parte totius aequale est quadrato dimidiae quinquies sumpto.

&/

Nam recta linea AB secundum rationem extremam ac mediam diuidatur in puncto Γ\ et pars maior sitAT, et ΓΑ in directum producatur, ut fiat A A, et ponatur A A = \ A B. dico, esse JTz/² = 5 A A*. construantur enim in AB, ΑΓ quadrata A E, AZ, et in AZ figura describatur [I p. 137 not. 1], et ΖΓ ad H producatur, et quoniam AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam diuisa T B est, erit AB X ΒΓ— ΑΓ² [VI def. 3. ' VI, 17]. et AB χ ΒΓ = ΓΕ, ΑΓ2 = ΖΘ. itaque ΓΕ=ΖΘ. et quoniam BA = 2AA, et BA== KA, AA E E = ΑΘ, erit etiam KA — 2ΑΘ. ue-rum ΚΑ:ΑΘ = ΓΚ:ΓΘ [VI, 1]. itaque ΓΚ = 2ΓΘ.

ΑΔ] mg. postea add. m. 1 P.

11. -βαν] eras. P.

V q. 12. εν] το εν P. επεί m. 2 P. 15. AB, ΒΓ 16. AB, ΒΓ m. 2 V.

τετραγώνων 13. επί] corr. ex έατιν l'üov BV. 20. ΓΚ] ΚΓ P.

10. ΑΔ q et corr. ex ΔΑ V. ΔΓ] in ras. m. 1 F. rό] om. P. q et m. 2 Y. από] νπό q.

διπλάσιον άρα το ΓΚ τον ΓΘ. είσϊ καί τα ΑΘ, ΘΓ διπλάσια τον ΓΘ. ίσον αρα το ΚΓ τοΐς ΑΘ, ΘΓ. έδειχ&η δε καί το ΓΕ τω ΘΖ ϊβον' δλον αρα το ΑΕ τετράγωνον ίσον έστI τω ΜΝ& γνώμονι. καί 5 έπεί διπλή έστιν η ΒΑ τής ΑΑ, τετραπλάσιόν έστι το από της ΒΑ τοϋ από της ΑΑ, τοντέστι το ΑΕ τοϋ ΑΘ. ίσον δε το ΑΕ τω ΜΝ& γνώμονι' καί δ MNIS άρα γνώμων τετραπλάσιός έστι τον ΑΟ* όλον άρα το ΑΖ πενταπλάσιόν έστι τοϋ ΑΟ. καί έστι το 10 μεν ΑΖ το από της ΑΓ, το δε ΑΟ το από της AA' το άρα από της ΓΑ πενταπλάσιόν έστι τον από της ΑΑ.

Εάν άρα εν&εΐα άκρον και μέσον λόγον τμη&ή, το μείξον τμήμα προσλαβόν την ημίσειαν της όλης πενταπλάσιον δνναται τον από της ημισείας τετρά-15 γώνον' όπερ έδει δεΐξ,αι.

/5'·

Έάν εν&εια γραμμή τμήματος έαντης πενταπλάσιον δννηται, της διπλασίας τον είρη-μένον τμήματος άκρον καί μέσον λόγον τεμνο-20 μένης το μεΐζον τμήμα το λοιπόν μέρος έστι της έξ αρχής εν&εέας.

Εν&εΐα γάρ γραμμή η AB τμήματος έαντης τον ΑΓ πενταπλάσιον δννάσ&ω, της δε ΑΓ διπλή έστω η ΓΑ· λέγω, ότι της ΓΑ άκρον και μέσον λόγον τεμ-2δ νομένης το μείζον τμήμα έστιν ή ΓΒ.

’Αναγεγράφ&ω γάρ άφ έκατέρας των AB, ΓΑ τετράγωνα τά ΑΖ, ΓΗ, καί καταγεγράφ&ω έν τω

manu π.

1. ΚΓ Ρ. Hic in Ρ litt. Κ saepius in Η renouatum est

2. τον ΓΘ διπλάσια Ρ.

ΑΘ] Λ e corr. m. 1 V.

uerum etiam ΑΘ + ΘΓ = 2 ΓΘ [I, 43]. itaque ΚΓ = ΑΘ + ®Γ. demonstrauimus autem, esse etiam ΓΕ = ΘΖ. itaque AE = MNE. et quoniam BA — 2AA, erit BA² = 4:AA², h. e.AE = 4:A&. sed AE = MNS. itaque etiam MNE = 4:AO. quare AZ = 5 AO. et AZ = ΑΓ², AO = A A², itaque ΓΑ² = 5z/^².

Ergo si recta secundum rationem extremam ac mediam diuiditur, quadratum maioris partis adiuncta dimidia parte totius aequale est quadrato dimidiae quinquies sumpto; quod erat demonstrandum.

II.

Si quadratum lineae rectae quadrato partis eius quinquies sumpto aequale est, duplo partis illius secundum rationem extremam ac mediam diuiso maior pars reliquum est rectae ab initio sumptae.

nam sit AB² — 5ΑΓ² et ΓΑ = 2ΑΓ. dico, recta ΓΑ secundum rationem extremam ac mediam diuisa maiorem partem esse ΓΒ.

construantur enim in utraque AB, ΓΑ quadrata AZ, ΓΗ, et in AZ figura describatur, et producatur

3. ΖΘ BV.

4. Post

ολον] om. P.

5. AB q.

7. ΑΘ] e corr. V, ΑΘ P et B sed corr. γνώμων uga b. εΰτιν P. ex A Θ B, A Θ q et in ras. V; item lin. 9, 10.

(ait.) εΰτιν PB.

ΓΚ BVq.

MNS eras, τετςαγωνω (comp.) b. 6. τουτέστιν B.

8. αρα] om. P.

εΰτιν P.

P.

10. ΓΑ B et Y, sed corr. m. 2.

14. δννηαεται BVbq.

AO] corr. 9. εβτι\ 11. εΰτιν

13. την] e corr. m. 1 q.

27. το εν P.

23 δννείΰ&ω b.

ΑΖ το σχήμα, και διήχ&ω ή ΒΕ. καϊ έπει πενταπλάσιόν έστι τδ από τής Β Α τον από τής Α Γ, πενταπλάσιόν έ<5τι το ΑΖ τον ΑΘ. τετραπλάσιος άρα 6 MNR γνώμων τον ΑΘ. και έπει διπλή έστιν ή ΑΓ 5 τής ΓΑ, τετραπλάσιον άρα έστϊ το από ΑΓ τον από ΓΑ, τοντέστι το ΓΗ τον ΑΘ. έδείχ&η δε και ό ΜΝ& γνώμων τετραπλάσιος τον ΑΘ* ί'σος άρα ό ΜΝΒ γνώμων τω ΓΗ. και έπει διπλή έστιν ή ΑΓ τής ΓΑ, ίση δε ή μέν ΑΓ τή ΓΚ, ή δε ΑΓ τη ΓΘ [διπλή 10 άρα και ή ΚΓ τής ΓΘ], διπλάσιον άρα καί το ΚΒ τον ΒΘ. είσϊ δε και τα ΑΘ, ΘΒ τον ΘΒ διπλάσια* ίσον άρα το ΚΒ τοΐς ΑΘ, ΘΒ. έδείχ&η δε καί δλο$ ό ΜΝ& γνώμων όλω τω ΓΗ Ισος* καϊ λοιπόν άρα το ΘΖ τω ΒΗ έστιν ίσον, καί έστι το μεν ΒΗ το 15 νπό των ΓΑΒ% ίση γάρ ή ΓΑ τή AH' το δε ΘΖ το από τής ΓΒ* το άρα νπό των ΓΑΒ ίσον έστι τω από τής ΓΒ. έστιν άρα ως ή ΑΓ προς την ΓΒ, όντως ή ΓΒ προς την ΒΑ. μεέζων δέ ή ΑΓ τής ΓΒ· μείξων άρα και ή ΓΒ τής ΒΑ. τής ΓΑ άρα εν&είας 20 άκρον και μέσον λόγον τεμνομένης το μεΐζον τμήμα έστιν ή ΓΒ.

’Εάν άρα εν&εΐα γραμμή τμήματος έαντής πενταπλάσιον δννηται, τής διπλάσιάς τον είρημένον τμήματος άκρον καϊ μέσον λόγον τεμνομένης το μεΐζον 25 τμήμα το λοιπόν μέρος έστι τής έζ αρχής εν&είας* όπερ έδει δεΐζαι.

1. το] om. Pb. από τής Β V q. μων] supra m. 2 Β.

6. τοντέϋτιν P.

8. ΓΑ] corr. ex ΔΑ m. 2 B. πλή — 10. ΓΘ] mg. postea add. P m. 1.

11. είαίν P.

5. από] om. b, από τής BVq. από] 7. τετραπλάαος — γνώ-9. δι-10. ΚΓ] ΓΚ Ρ. εΐϋί — ΘΒ (alt.)] et in textu m. 1 et mg.

BE. et quoniam BA² — hAT², erit ΑΖ = 5ΑΘ. itaque MN& = 4?ΑΘ. et quoniam ΑΓ=2ΓΑ, erit ΑΓ² = 4ΓΑ², h. e. ΓΗ = 4A'Θ. demonstrauimus autem, esse etiam Μ N!S = 4:ΑΘ. itaque MN& — ΓΗ. et quoniam ΑΓ— 2ΓΑ, et AΓ = ΓΚ, ΑΓ— ΓΘ, erit etiam KB = 2ΒΘ [VI, 1]. uerum etiam ΑΘ + ΘΒ = 2ΘΒ [I, 43]. itaque KB = ΑΘ + Θ B. demonstrauimus autem, esse etiam MN& = ΓΗ. quare ©Z = BH. et BH == ΓΑ X AB B Δ (nam ΓΑ = ΑΗ), ©Z = ΓΒ². itaque erit ΓΑ X AB = ΓΒ². est igitur ΑΓ:ΓΒ=ΓΒ:ΒΑ [VI, 17]. est autem ΑΓ>ΓΒ jj [u. lemma], quare etiam ΓΒ > BA [V, 14]. itaque recta ΓΑ secundum rationem extremam ac mediam diuisa maior pars est ΓΒ.

Μ/Θ

Ergo si quadratum lineae rectae quadrato partis eius quinquies sumpto aequale est, duplo partis illius secundum rationem extremam ac mediam diuiso maior pars reliquum est rectae ab initio sumptae; quod erat demonstrandum.

διπλάβια τον ΒΘ BV.

12. ί'σον — ΘΒ] mg. m. 2 B.

14. εοτιν Ρ.

τό] (ait.) mutat, in τώ m. 1 q. τω] corr. ex τό m. 1 Ρ.

25. έστίν Ρ.

m. 2 Β. διπλάβιον q.

olog] corr. ex όλον m. 1 Ρ. AH] BH b.

ΘΒ] (alt.) ΒΘ b.

τοίς] τον b. 15. ΓΑ.

AB q.

16. εβτίν Ρ. del. Am. 1 b. b, om. BVq.

19. ΓΑ] ante Γ 26. όπερ εδει δειξαι] ο): -

Λήμμα.

'Ότι δε η διπλή τής ΛΓ μείζων έστϊ τής ΒΓ, ούτως δεικτέον.

Ei γάρ μή, itfrca, £6 δυνατόν, ή ΒΓ διπλή τής 5 ΓΛ. τετραπλάσιον άρα το από τής ΒΓ τον από τής ΓΛ* πενταπλάσια άρα τά από των ΒΓ\ Γ!/4 τοΰ από rijg    νπόκειται δε και το από τής ΒΑ πεντα

πλάσιον τον από τής ΓΛ* τό αρα από rijs £<?τΙ τοΓ$ από των 25 JT, δπερ αδύνατον, ονκ άρα 10 ή ΓΒ διπλάσιά έστι τής ΛΓ. ομοίως δή δείζομεν, ort οόόε ή έλάττων τής ΓΒ διπλάσιων έστϊ τής ΓΛ' πολλω γάρ [μεΐζον] τό άτοπον.

'Η άρα τής ΛΓ διπλή μείζων έστϊ τής ΓΒ’ οπερ εδει δεΐξαι.

15

/·

’Εάν εν&εΐα γραμμή άκρον και μέσον λόγον τμη&ή, τό έλασσον τμήμα προσλαβόν τήν ήμί-σειαν τον μείζονος τμήματος πενταπλάσιον δν-ναται τον από τής ήμισείας τον μείζονος τμή-20 ματος τετράγωνον.

Εν&εΐα γάρ τις ή AB άκρον και μέσον λόγον τετμήσ&ω κατά τό Γ σημεΐον, και έστω μεΐζον τμήμα τό ΛΓ\ και τετμήσ&ω ή ΛΓ δίχα κατά τό Λ' λέγω, ότι πενταπλάσιόν έστι τό από τής ΒΑ τον από τής ΑΓ. 25 ’Λναγεγράφ&ω γάρ από τής ΛΒ τετράγωνον τό ΛΕ? και καταγεγράφ&ω διπλονν τό σχήμα, έπει διπλή έστιν ή ΛΓ τής ΑΓ, τετραπ?Μΰιον άρα τό από τής 1. λήμμα] om. codd. 2. εστίν Ρ. ουτω Β. 10. Ε Γ Ρ. διπλάσιων Ρ. εστίν Β. 11. ή] om. Β, ins. m. 1 b,

Lemm a.*)

Esse autem 2ΑΓ> ΒΓ, sic demonstrandum.

uerum

Nam si minus, sit, si fieri potest, ΒΓ = 2ΓΑ. ergo ΒΓ² = 4ΓΑ². itaque ΒΓ² + ΓΑ² = 5ΓΑ². supposuimus, esse etiam BA² = 5ΓΑ². itaque BA2 = ΒΓ² -f- ΓΑ²· quod fieri non potest [II, 4]. itaque non est ΓΒ = 2ΑΓ. similiter demonstrabimus, ne minorem quidem recta ΓΒ duplo maiorem esse recta ΓΑ; multo enim magis absurdum est. ergo 2 ΑΓ>ΓΒ} quod erat demonstrandum.

III.

Si linea recta secundum rationem extremam ac mediam diuiditur, quadratum minoris partis adiuncta dimidia maioris parte aequale est quadrato dimidiae maioris partis quinquies sumpto.

Nam recta AB secundum rationem extremam ac mediam diuidatur in puncto Γ, et maior pars sit ΑΓ, et ΑΓ in A in duas partes aequales diuidatur. dico, esse BA² = 5ΑΓ².

construatur enim in AB quadratum A E, et figura duplex describatur, iam quoniam ΑΓ=2ΑΓ' erit

1) Dubito, an hoc lemma genuinum non sit. neque enim opus est, et dicendi genus lin. 11 paullo insolentius est.

διπλάσιων] in ras. V.

13. 8στίν

supra m. 2 V. ΓΒ] ΒΓ B Vq.

Dein add. άρα B. έβτίν PB. 12. μεΐζον] om. P.

B. 18. τμήματος] om. q. 21. τις ή] corr. ex της m. 2 P.

27. τετραπλάσιον —

23. τό] (prius) η Vq. 24. τον] τοις q. 26. δι,πλονν] om. B Vbq. όχημα διπλονν bq. y.al 57rstBVbq. p. 256, 1. ΔΓ] om. b.

ΑΓ τον από της Α Γ, τοντέστι το ΡΣ τον ΖΗ. και έπεϊ το νπό των ΑΒΓ ίσον έστϊ τω από της ΑΓ, καί έστι το νπό των ΑΒΓ το ΓΕ, το άρα ΓΕ ίσον έστϊ τω ΡΣ. τετραπλάσιον δε το ΡΣ τον ZH' τετραπλά-5 σιον άρα καί το ΓΕ τον ΖΗ. πάλιν έπει ίση έστϊν η ΑΑ τη ΑΓ, ίση έστϊ καί η ΘΚ τη ΚΖ. ώστε καί το HZ τετράγωνον ίσον έστϊ τω ΘΑ τετραγώνω. ίση άρα η ΗΚ τη ΚΑ, τοντέστιν η ΜΝ τη ΝΕ⁹ ώστε και το ΜΖ τω ΖΕ έστιν ίσον, αλλά το ΜΖ τω ΓΗ 10 έστιν ίσον' και το ΓΗ άρα τω ΖΕ έστιν ίσον, κοινόν προσκείσ&ω το ΓΝ' 6 άρα 13 Ο Π γνωμων ίσος έστϊ τω ΓΕ. αλλά το ΓΕ τετραπλάσιον έδείχ&η τον ΗZ' και 6 30Π άρα γνωμων τετραπλάσιός έστι τον ΖΗ τετράγωνον. I 30Π άρα γνωμων και τό ΖΗ τετρά-15 γωνον πενταπλάσιός έστι τον ΖΗ. αλλά ο 30Π γνωμων και τό ΖΗ τετράγωνόν έστι τό ΑΝ. καί έστι τό μεν AΝ τό από της AB, τό HZ τό από της ΑΓ. τό άρα από της AB πενταπλάσιόν έστι τον από της ΑΓ' οπερ έδει δείζαι.

20

<Τ.

Εάν εν&εΐα γραμμή άκρον καί μέσον λόγον τμη&η, τό από της όλης και τον έλάσσονος τμήματος, τά σνναμφότέρα τετράγωνα, τριπλάσιά έστι τον άπό τον μείζονος τμη ματος τετρα-25 γωνον.

*Έστω εν&εΐα η AB, και τετμησ&ω άκρον καί μέσον λόγον κατά τό Γ, και έστω μεΐζον τμήμα τό ΑΓ'

Post prius ΓΕ add. τό $ε τό άρα — 4. ΡΣ]

1. ΓΑ Υ. 3. των] τω b. άπό της ΑΓ το (τώ Υ) ΡΣ Vbq, B m. 2.

ΑΓ² = 4:Α Γ², h. e. ΡΣ = 4ZH. et quoniam AB X BΓ = ΑΓ² [VI def. 3. VI, 17] et AB X ΒΓ = FF, erit ΓΕ = ΡΣ. sed ΡΣ = 4Z H. quare etiam FF = 4ZU. rursus quoniam = AΓ, erit etiam ΘΚ = KZ.

7T

quare 80Π

& quare etiam HZ = ©z/. est igitur HK = Fz/, h. e. MN = IVF. quare etiam MZ = ZF. M sed MZ = FJF. quare etiam ΓΙΙ = ZE. commune adiicia--y tur Γ.ν itaque #0 Π= ΓΕ. demonstrauimus autem, esse ΓΕ — 4tHZ. itaque etiam E $$ΟΠ — 4ZH.

-f- ZH = bZH. sed &ΟΠ -f- ZH = z/IV. et AN — z/B², HZ = z/F². ergo z/B² = 5z/F²; quod erat demonstrandum.

IV.

Si recta linea secundum rationem extremam ac mediam secatur, quadratum totius et quadratum partis minoris coniuncta triplo maiora sunt quadrato partis maioris.

Sit recta AB et secundum rationem extremam ac

(prius) om. V. i P.

ΓΗΊ q. om. P.

Bbq, supra m. 1 V. N e corr. V, A H q). -dor BVbq. om. Theon (BVbq). corr. m. 1.

6. εατίν P.

8. τfj] (alt.) τήι, ι in ras. m. 9. αλλά — 10. ί'σον (prius)] postea ins. m. 1 P. εβται b.

S6TLV B.

11. ΓΝ]

12. HZ] corr. ex ZH q. 13. αρα] HZ BVbq. 14. τετράγωνον] om. o — ZH] το άρα AN Theon (BVbq; 15. πενταπλάαος] -ς e corr. m. 1 P; ZH τετράγωνον BVbq. αλλά — 16. AN] 16. εατιν P. 17. εβτιν B.

22. ελάττονος P.

19. ΓΑ P.

(prius)] εν&εΐα γάρ γραμμή η AB V.

AH q, 26. εατω — καί

λέγω₅ 3tι τά άπό των AB, ΒΓ τριπλάόιά έότι τον άπό της ΓΑ.

’Αναγεγράφ&ω γάρ άπό της AB τετράγωνον το ΑΑΕΒ₅ και καταγεγράφΟ-ω το όχημα, έπεί ονν η ο AB άκρον καί μέόον λόγον τέτμηται κατά το F, καί το μεΐζον τμήμα έότιν η ΑΓ, το άρα υπό των ΑΒΓ ϊόον έότι τω άπό της ΑΓ. καί έότι το μεν υπό των ΑΒΓ το ΑΚ, το δέ από της ΑΓ το ΘΗ ϊόον άρα έότϊ το ΑΚ τω ΘΗ. και έπεί ϊόον έότι το ΑΖ τω 10 ΖΕ, κοινόν προόκείό&ω το ΓΚ* όλον άρα τό ΑΚ ολω τω ΓΕ έότιν ϊόον* τα άρα ΑΚ, ΓΕ τον ΑΚ έότι διπλάόια. άλλα τα ΑΚ, ΓΕ ό ΑΜΝ γνώμων έότι καί τό ΓΚ τετράγωνον 6 άρα ΑΜΝ γνώμων καί τό ΓΚ τετράγωνον διπλάόιά έότι τον ΑΚ. άλλα 15 μην καί τό ΑΚ τω ΘΗ έδείχ&η ϊόον* ό άρα ΑΜΝ γνώμων καί [τό ΓΚ τετράγωνον διπλάόιά έότι τον ΘΗ* ωότε ό ΑΜΝ γνώμων καί] τα ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα τριπλάόιά έότι τον ΘΗ τετραγώνου, καί έότιν ό [μεν] ΑΜΝ γνώμων καί τά ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα 20 όλον τό ΑΕ καί τό^ΓΚ, άπερ έότι τά άπό των AB, ΒΓ τετράγωνα, τό δε ΗΘ τό άπό της ΑΓ τετράγωνον. τά άρα άπό των AB, ΒΓ τετράγωνα τριπλάόιά έότι τον άπό της ΑΓ τετραγώνου' όπερ έδει δεΐζαι.

ε.

25    ?jΕάν ευ&εΐα γραμμή άκρον καί μέόον λόγον

τμη&η, καί προότε&η αυτή ϊόη τω μείξονι τμη-ματι, η όλη εύ&εΐα άκρον καί μέόον λόγον τέ-

1. τριπλααίονά q. 5. Γ σημεϊον V. corr. m. 1 ex E Ρ.

3. Ante άναγ. dei. καί m. 1 b.

8. AK] Κ 9. ΘΗ] Θ e corr. m.

7. έβτί] (prius) εστϊν Ρ.

ΑΓ] AK b.

mediam secetur in F, et maior pars sit ΑΓ. dico, esse AB² + ΒΓ² = 3ΓΑ².

construatur enim in AB quadratum AAEB, et describatur figura, iam quoniam AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam secta est, et maior pars est ΑΓ, erit AB χ ΒΓ = A Γ² [VI def. 3. VI, 17]. et ΑΒχΒΓ=ΑΚ, ΑΓ2 β = ΘΗ. itaque AK = ΘΗ. et quoniam AZ = ZE [I, 43], com-£ mune adiieiatur ΓΚ. itaque AK = ΓΕ. ergo AK + ΓΕ — 2ΑΚ. sed AK + ΓΕ = AMN + ΓΚ. itaque AMN + ΓΚ = 2AK. de-monstrauimus autem, esse etiam A Κ=ΘΗ. itaque AMN + ΓΚ + ΘΗ = 3ΘΗ. uerum AMN -f- ΓΚ + ΘΗ = AE + ΓΚ = AB² + ΒΓ², et ΗΘ = ΑΓ². ergo -f- ΒΓ² — 3ΑΓ²·, quod erat demonstrandum.

V.

Si recta linea secundum rationem extremam ac mediam secatur,^ et ei adiicitur recta parti maiori aequalis, tota recta secundum rationem extremam ac

1 b. S6ZLV P. 10. πρθ6Κείΰ&ω κοινόν BY. b. igov saxi Y. 12. γνώμων — 13. AMN] bis b.

14. 8GTiv P. 15. μην καί] om. q. 16. το ΓΚ — 17. καί] om. P. 16. διπλάσιον Y. 17. ΘΗ — AMN] ia ras. m. 1 q. 18. διπλάΰΐα b. τριπλάσια — 19. τετράγωνα] bis P, corr. m. 1.    19. μέν] om. P (etiam in repet.).

22. διπλάσια b.

11. ΓΕ] Γ

Ρ.

20. όπερ εστιν

εοτίν ΡΒ. τά] om. b.

^ 26. προτε&η q. τώ —- 27.    mg. m. 1 b, in textu:

τω ολω τμηματι ί'ΰη εν&εΐα όλη. 27. όλη η BV.

Ρ.

τμηται, και τό μεΐζον τμήμα έβτιν ή ίξ άρχής εν&εΐα.

Ενδεια γάρ γραμμή ή AB άκρον καί μέβον λόγον τετμήβ&ω κατά το Γ βημεΐον, και έβτω μεΐζον τμήμα h ή ΑΓ, και τή ΑΓ ΐβη [κείβ&ω] ή ΑΑ. λέγω? ότι ή AB εν&εΐα άκρον και μέβον λόγον τέτμηται κατά το Α? καί το μεΐζον τμήμα έβτιν ή εξ αρχής εν&εΐα ή AB.

’Αναγεγράφ&ω γάρ από τής AB τετράγωνον το 10 ΑΕ₅ και καταγεγράφ&ω το βχήμα. επει ή AB άκρον και μέβον λόγον τέτμηται κατά το jT, το άρα νπό ΑΒΓ ίβον εβτι τω από ΑΓ. καί εβτι το μεν νπό ΑΒΓ το ΓΕ, το δε από τής ΑΓ το ΓΘ‘ ίβον άρα το ΓΕ τω ΘΓ. αλλά τω μεν ΓΕ ίβον έβτϊ το ΘΕ9 15 τω δε ΘΓ ίβον το ΑΘ* και τό ΑΘ άρα ίβον εβτι τω ΘΕ [κοινόν προβκείβ&ω τό ΘΒ], όλον άρα τό ΑΚ όλω τω ΑΕ έβτιν ίβον. καί έβτι τό μεν ΑΚ τό νπό των ΒΑ, Α A’ ίβη γάρ ή ΑΑ τή Α Α’ τό δε ΑΕ τό από τής AB* τό άρα νπό των ΒΑ Α ίΰον έβτι τω 20 emo τής AB. έβτιν άρα ως ή AB προς την ΒΑ, όντως ή ΒΑ προς την ΑΑ. μείζων δέ ή AB τής ΒΑ* μείζων άρα και ή ΒΑ τής ΑΑ.

*Η άρα AB άκρον καί μέβον λόγον τέτμηται κατά τό Α, και τό μεΐζον τμήμα έβτιν ή AB* όπερ έδει 25 δεΐζαι.

^ 3. ή] ή τό b. 7. ή] om. q. ή

m. 1 b.

5. κείσϋ'ω] om. Ρ.

— εν&εΐα] om. V.

9. άναγεγεγρ. Ρ, corr. m. 1.

12. των ΑΒΓ Υ. από] corr. ex νπό m. 1 Ρ. έβτιν Ρ. 13. των ΑΒΓ V.

6. AB] ΑΑ b.

8. AB] snpra scr. Α 10. επει γάρ Β Υ.

ΑΓ V.

14. ΘΓ] corr. ex ΓΘ m. 2 V.

16. κοινόν — ΘΒ] postea add. m. 1 Ρ.

τής

ΓΘ] ΘΓ Ρ.

15. ΘΓ] Θ e corr. Υ.

ΘΒ] Θ e corr. b.

mediam secta est, et maior pars est recta ab initio sumpta.

Nam recta linea AB secundum rationem extremam ac mediam in puncto Γ secetur, et maior pars sit ΑΓ et ΑΛ = ΑΓ. dico; rectam AB secundum rationem extremam ac mediam in A sectam esse, et partem maiorem esse rectam ab initio sumptam AB.

construatur enim in AB quadratum A E, et describatur figura, quoniam AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam secta est, erit ΑΒχΒΓ = ΑΓ² [VI def. 3. VI, 17]. et ΑΒχΒΓ = ΓΕ, ΑΓ² = ΓΘ. itaque ΓΕ = ΘΓ. uerum ΘΕ = ΓΕ [I, 43], ΑΘ = ΘΓ. quare etiam ΑΘ = Θ E. itaque

r B

AK = A E. et A K = B A X A A (nam A A = A A), AE = AB², erit igitur BA X A A = AB², itaque AB : BA = BA : AA [VI, 17]. sed AB>BA. itaque etiam BA>AA [V, 14].

Ergo AB in A secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars est AB; quod erat demonstrandum.

JÄ] corr. ex A A m. 1 b.

20. ΛΒ] A corr. ex A m. 1 b.

23. ΒΔ BY.

19. το ciQOc

18. ΔΑ] ΔΑ q.

— 20. AB] om. q.

22. BA] (alt.) AB V, ΔΒ B, ΒΔ bq.

25. Seq. alia demonstratio et analysis propp. I—Y in bq; u. app.

sr'.

’Εάν εν&εια ρ7]τη άκρον καί μεΰον λόγον τμη&η, έκάτερον των τμημάτων άλογός έΰτιν 7] καλούμενη άποτομη.

5    ’ΈίΙτω εν&εϊα ρητη η AB καί τετμηΰ&ω άκρον και

μεΰον λόγον κατά τό Γ\ καί έΰτω μεΐξον τμήμα η ΑΓ· λέγω, ότι έκατέρα των ΑΓ, ΓΒ άλογός έΰτιν η καλούμενη άποτομη.

’Εκβεβλήΰ&ω γάρ η ΒΑ, καί κειΰ&ω της ΒΑ ημί-10 θεία η ΑΑ. έπεϊ ονν εν&εϊα η AB τέτμηται άκρον καί μεΰον λόγον κατά το Γ\ καί τω μείζονι τμηματι τω ΑΓ πρόΰκειται η ΑΑ ημίΰεια ονΰα της AB, τό άρα από ΓΑ τον από ΑΑ πενταπλάΰιόν έΰτιν. τό άρα από ΓΑ προς τό από ΑΑ λόγον έχει, ον άρι&μός 15 προς άρι&μόν' ΰνμμετρον άρα τό από ΓΑ τω από AΑ. ρητόν δε τό από AA' ρητη γάρ [έΰτιν] η ΑΑ ημίΰεια ονΰα της AB ρητης ονΰης' ρητόν άρα καί τό από ΓΑ* ρητη άρα έΰτϊ και η ΓΑ. καί έπεϊ τό από ΓΑ προς τό από ΑΑ λόγον ονκ έχει₅ όν τετράγωνος 20 άρι&μός προς τετράγωνον άρι&μόν, άΰνμμετρος άρα μ7]κευ η ΓΑ τη ΑΑ* αί ΓΑ, ΑΑ άρα ρηταί είΰι δν-νάμει μόνον ΰνμμετροι' άποτομη άρα έΰτιν η ΑΓ. πάλιν₅ έπεϊ η AB άκρον καί μεΰον λόγον τέτμηται,

Hanc prop. om. bq. τομή] ρητή Β, corr. m. 2.

AB, ΒΓ B, corr. m. 2.

2 Β. τής] τή Β, corr. m. 2. 11. λόγον τέτμηται Υ. εοτι Β V.

ras. plurium litt. m. 1 Ρ. ρητή V.

3. εστιν] mg. m. 1 V. 4. άπο-7. ΑΓ] Γ in ras. m. 1 Ρ.

9. εκβεβλήΰ&ω] κ corr. ex μ m. 10. τετμηταί] om. V.

13. τής ΓΔ V. τής ΔΑ Υ.

14. τής ΓΔ Υ. πρό?] supra m. 1 Ρ.    το] in

τής ΔΑ V.    16. ΑΔ bis Ρ.

Ρ.

δε] in ras. V. τό — 7<χρ] om. Υ. εστιν] om. 18. εοτίν Β. 21. ειοιν ΡΒ.

VI.¹)

Si recta rationalis secundum rationem extremam ac mediam diuiditur, utraque pars irrationalis est apo-tome quae uocatur.

Sit recta rationalis AB et secundum rationem extremam ac mediam in Γ diuidatur, et maior pars sit ΑΓ. dico, utramque ΑΓ\ ΓΒ irrationalem esse apo-tomen quae uocatur.

producatur enim BA et ponatur A A = ¹/₂BA. iam quoniam recta AB in Γ secundum rationem ex- . tremam ac mediam diuisa est, et parti maiori ΑΓ ad-iecta est A A dimidia rectae AB, erit ΓΑ² = οΑΑ² [prop. I]. itaque ΓΑ² ad A A² rationem habet quam numerus ad numerum, itaque ΓΑ² et A A² commensurabilia sunt [X, 6]. sed A A² rationale est; nam AA, quae dimidia est rectae rationalis AB, rationalis est. itaque etiam ΓΑ² rationale est [X def. 9]. quare ΓΑ et ipsa rationalis est. et quoniam ΓΑ² ad A A² rationem non habet quam numerus quadratus ad numerum quadratum, ΓΑ et A A longitudine incommensurabiles sunt [X, 9]. itaque ΓΑ, A A rationales sunt potentia solum commensurabiles, itaque apotome est ΑΓ [X, 73]. rursus quoniam AB secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars est

και τδ μεΐζον τμήμα έΰτιν η ΑΓ\ το άρα υπδ AB, ΒΓ τω άπδ ΑΓ ίΰον έΰτιν. το αρα άπδ τής ΑΓ άποτομής παρά τήν AB ρητήν παραβλη&έν πλάτος ποιεί τήν ΒΓ. το δε άπΐ άποτομής παρά ρητήν παρα· 5 βαλλόμενον πλάτος ποιεί αποτομήν πρώτην άποτομή άρα πρώτη έΰτιν ή ΓΒ. έδείχ&η δε και ή ΓΑ άποτομή.

⁵Εάν άρα ευ&εια ρητή άκρον και μέΰον λόγον τμη&ή, έκάτερον των τμημάτων άλογός έΰτιν ή καλούμενη άποτομή’ δπερ έδει δεΐξαι.

ιο

Γ

⁵Εάν πενταγώνου ίΰοπλεύρου αι τρεις γω-νίαι ήτοι αι κατά το εξής ή αι μη κατά το εξής ίΰαι ώΰιν, ίΰογώνιον έΰται το πεντάγωνον.

Πενταγώνου γάρ ίΰοπλεύρου του ΑΒΓΑΕ αι τρεις 15 γωνίαι πρότερον αι κατά το εξής αι Ήρός τοΐς A, Β, Γ ίΰαι άλλήλαις έΰτωΰαν λέγω, ότι Ιΰογώνιον έΰτι το ΑΒΓΑΕ πεντάγωνον.

’Επεξεύχ&ωΰαν γάρ αι ΑΓ, ΒΕ, ΖΑ. και έπει άΰο αι ΓΒ, ΒΑ δυΰϊ ταις ΒΑ, ΑΕ ίΰαι ειΰΐν έκα-20 τέρα έκατέρα, και γωνία ή ύπδ ΓΒΑ γωνία τή υπό ΒΑΕ έΰτιν ίΰη, βάΰις άρα ή ΑΓ βάΰει τή Β Ε έΰτιν ίΰη, και το ΑΒΓ τρίγωνον τω ΑΒΕ τριγώνω ίΰον, και αι λοιπαϊ γωνίαι ταις λοιπαΐς γωνίαις ίΰαι εΰονται, ύφ’ άς αί ίΰαι πλευραι υποτείνουΰιν, ή μεν υπό 25 ΒΓΑ τή υπδ ΒΕΑ, ή $£ υπδ ΑΒΕ τή υπδ ΓΑΒ* ώΰτε και πλευρά ή ΑΖ πλευρά τή ΒΖ έΰτιν ίΰη. έδείχ&η δε και όλη ή ΑΓ όλη τή ΒΕ ίΰη* και λοιπή

1. Ante καί add. κατά το Γ Υ.    ΑΒΓ Υ. 2. εστί

ΒΥ.

4. άποτομής] άπο- supra scr. m. 2 Β. 6. ΓΑ] ΑΓ ΒΥ. 7. όητή — 9. δεΐξαι]: ρο ΒΥ, 8. άλογον Ρ. Seq. in

ΛΓ, erit AB X ΒΓ=ΑΓ² [VI def. 3. VI, 17]. itaque quadratum apotomes ΑΓ ad AB rationalem adplica-tum latitudinem efficit ΒΓ. quadratum autem apotomes ad rationalem adplicatum latitudinem efficit apotomen primam [X, 97]. itaque ΓΒ apotome est prima, demonstrauimus autem, etiam ΓΑ apotomen esse.

Ergo si recta rationalis secundum rationem extremam ac mediam diuiditur, utraque pars irrationalis est apotome quae uocatur; quod erat demonstrandum.

VII.

Si pentagoni aequilateri tres anguli, siue deinceps positi sunt siue non deinceps, inter se aequales sunt, pentagonum aequiangulum erit.

Nam pentagoni aequilateri ΑΒΓΑ E prius, qui deinceps positi sunt, tres anguli A, Bf Γ inter se aequales sint, dico, pentagonum ΑΒΓΑ E aequiangulum esse.

ducantur enim ATy BE, ZA. et quoniam duo latera ΓΒ, BA duobus lateribus BA, A E singula singulis aequalia sunt, et L ΓΒΑ = BAE, erit ΑΓ = BE et Δ A ΒΓ = ABE, et reliqui anguli reliquis angulis aequales erunt, sub quibus aequalia latera subtendunt [I, 4], L ΒΓΑ = BEA, L ABE = ΓΑΒ. quare etiam AZ — BZ [I, 6]. demonstrauimus autem, esse etiam ΑΓ = BE. itaque etiam ΖΓ=ΖΕ.

P altera demonstr. prop. V et analysis prop. I—V, in BV analysis prop. I — V; u. app. ^ 10. £'] om. b, qui hinc meros propp. om.    12. ήτοι] r\ V. η ai — gjijg] om

rj ai] in ras. m. 1 B. 16. sgtlv P. 18. -χ&ωοαν — AE] mg. m. 2 B, sed etiam m. 1 in textu, om. BE — ΓΒ.

19. duo] ai δνο P. 22. lgov Igzi q. ras. V, BAT B.

nu-

19.

25. BTÄ| ΓΑ in

αρα η ΖΓ

τη ΖΕ έΰτιν ίΰη. εΰτι δέ και

•iS'’*

ΓΑ τη ΑΕ ίΰη. δνο δη αι ΖΓ\ ΓΑ δνΰϊ ταΐς ΖΕ, ΕΑ ίΰαι είΰίν * και βάΰις αυτών κοινή η ΖΑ γωνία άρα η νπο ΖΓΑ γωνία τη νπο ΖΕΑ έΰτιν ίΰη. έδείχ&η 5 $£ και η νπο ΒΓΑ τη νπο ΑΕΒ ΐ<3η’ και ολη αρα η νπο ΒΓΑ ολη τη υπό ΑΕΑ ίΰη. άλλ’ η νπο ΒΓΑ ίΰη νπόκειται ταΐς προς τοΐς A, Β γωνίαις* και η νπο ΑΕΑ αρα ταΐς προς τοΐς A, Β γωνίαις ίΰη έΰτιν. ομοίως δη δείί,ομεν, δτι και η νπο ΓΑΕ γω-10 νία ίΰη εΰτι ταΐς προς τοΐς Α, Β, Γ γωνίαις* ίΰο-γώνιον αρα έΰτϊ το AB ΓΑΕ πεντάγωνον.

Αλλά δη μη εΰτωΰαν ίΰαι αι κατά το έξης γωνίαι, άλλ’ εΰτωΰαν ίΰαι αι προς τοΐς A, Γ, Α ΰημείοις* λέγω, δτι και όντως ίΰογώνιόν εΰτι το AB ΓΑΕ 15 πεντάγωνον.

’Επεξενχ&ω γάρ η ΒΑ. και έπεί δύο αι ΒΑ, ΑΕ δνΰϊ ταΐς ΒΓ, ΓΑ ίΰαι είΰι και γωνίας ίΰας περι-έχουΰιν, βάΰις αρα η ΒΕ βάΰει τη ΒΑ ίΰη έΰτιν, και το ΑΒΕ τρίγωνον τω ΒΓΑ τριγώνω ίΰον έΰτιν,.κα\ 20 αί λοιπαι γωνίαι ταΐς λοιπαΐς γωνίαις ίΰαι έΰονται, νφ⁹ άς αι ίΰαι πλενραι νποτείνονΰιν ίΰη αρα έΰτίν η νπο ΑΕΒ γωνία τη νπο ΓΑ Β. εΰτι δέ και η νπο ΒΕΑ γωνία τη νπο ΒΑΕ ίΰη, επει κα\ πλευρά η ΒΕ πλευρά τη ΒΑ έΰτιν ίΰη. και ολη αρα η νπο 25 ΑΕΑ γωνία ολη τη νπο ΓΑΕ έΰτιν ίΰη. αλλά η νπο ΓΑΕ ταΐς προς τοΐς Α, Γ γωνίαις νπόκειται ίΰη*

Vb.

BYb.

1 Y.

1. εατιν ίση — 3. Ed] bis b.

5. καί] om. ΒΥ.

7. ΒΓΔ] sic, sed mg. m. 1 ΓΔΕ b. 8. τοΐς] τονς q.

10. Γ] om. B, supra m. 1 V.

3. είσί άλλά Β V q. γωνίαις] om. Post Β add. Γ q et supra m. 11. εστιν B, om. Y.

1. εστιν B. 6. εστιν ίση ΒΥ.

uerum etiam ΓΑ = A E. itaque duo latera ZjT, ΓΑ duobus lateribus ZE, EA aequalia sunt; et basis eorum communis est ZA. itaque L ΖΓΑ = ZEA [I, 8]. demonstrauimus autem, esse etiam L ΒΓΑ = AEB. quare etiam i ΒΓΑ = AEA. supposuimus

autem, angulum ΒΓΑ angulis ad A, B positis aequalem esse, itaque etiam L AEA angulis ad A₇ B positis ιΈ aequalis est. iam similiter demonstrabimus, etiam angulum ΓΑΕ angulis ad A} Β,Γ positis aequalem esse, ergo pent agonum ΑΒΓΑ E aequi-angulum est. iam uero anguli deinceps positi aequales ne sint, sed aequales sint anguli ad puncta A, Γ₇ A positi, dico, sic quoque pentagonum aequiangulum esse.

•ducatur enim BA. et quoniam duo latera BA, A E duobus lateribus ΒΓ} ΓΑ aequalia sunt et aequales angulos comprehendunt, erit BE=BA et /SABE = ΒΓΑ₇ et reliqui anguli reliquis angulis aequales erunt, sub quibus aequalia latera subtendunt [I, 4]. itaque L AEB — ΓΑΒ. uerum etiam L BEA — BA E, quoniam etiam BE = BA [1,6]. itaque i A EA — ΓΑ E. supposuimus autem, angulum ΓΑΕ angulis ad A, Γ positis aequalem esse, ergo etiam L Λ EA angulis ad

14. Ιβτιν B. 16. επεξενχ&ωσαν B. η] ccl B.

περίέχονσι, PVbq. 18. εβτί Vq,? comp. b. bq. εστί PVq, comp. b. 21. εατίν] om. Y. — ΓΔΒ] ΑΒΓ P.

εβτιν B.

17. εΐβίν PB. 19. ABE ocqcc 22. AEB

24. καί] om. BY.

και η υπό Α ΕΑ άρα γωνία ταΐς προς τοΐς Α, Γ ίΰη έΰτίν. δια τα αυτά δη και η νπο ΑΒΓ ίΰη έΰτι ταΐς προς τοΐς Α, Γ, Α γωνίαις. ίΰογώνιον αρα έΰτι το ΑΒΓΑΕ πεντάγωνον* όπερ εδει δεΐζαι.

η.

Έάν πενταγώνου ιΰοπλεύρου και ίΰογω-νίου τάς κατά το έξης δυο γωνίας ύποτείνωΰιν εύ&εΐαι, άκρον καί μέΰον λόγον τέμνουΰιν άλ-ληλας? και τα μείζονα αυτών τμήματα ίΰα έΰτι 10 τη του πενταγώνου πλευρά.

Πενταγώνου γάρ ίΰοπλεύρου και ίΰογωνίου του ΑΒΓΑΕ δύο γωνίας τάς κατά το εξής τάς προς τοΐς Α, Β ύποτεινέτωΰαν εύ&εΐαι αι ΑΓ, ΒΕ τέμνουΰαι άλληλας κατά το Θ ΰημεΐον λέγω, ότι έκατέρα αυτών 15 άκρον και μέΰον λόγον τέτμηται κατά το Θ ΰημεΐον, και τά μείζονα αυτών τμήματα ίΰα έΰτι τη τού πενταγώνου πλευρά.

Περιγεγράφ&ω γάρ περί το ΑΒΓΑΕ πεντάγωνον κύκλος 6 ΑΒΓΑΕ. και έπει δύο εύ&εΐαι αι EA, AB 20 δυΰι ταΐς AB, ΒΓ ίΰαι ειΰι και γωνίας ίΰας περί-έχουΰιν, βάΰις αρα η ΒΕ βάΰει τη ΑΓ ίΰη έΰτίν, και το ABΕ τρίγωνον τώ ΑΒΓ τριγώνω ίΰον έΰτίν, και αι λοιπαι γωνίαι ταΐς λοιπαΐς γωνίαις ίΰαι έΰονται έκατέρα έκατέρα, υφ’ ας αι ίΰαι πλευραί υποτείνουΰιν. 25 ίΰη άρα έΰτίν η υπό ΒΑΓ γωνία τη υπό ABE' διπλή

1. γωνία άρα bq.    τοΐς] ταΐς b. 2. έΰτίν] έΰτι Vbq.

εοτί] έΰτίν Β. 3. τοΐς] τοι Ρ. έΰτι] om. V. 4. όπερ εδει δείξαι] om. Bbq. 7. νποτείνουοιν Pq. 9. εΰται q. 16. είΰίν Β, είΰί V. 20. είΰίν ΡΒ. περιέχουΰΐ Vbq. 21. εοτί PVq, comp. b. 22. έΰτι PVbq. 23. εΰον-ταί] είΰίν q. 25. ίΰη — ρ. 270, 1 ΒΑΘ] sic b, sed mg. m. 1:

A, Γ positis aequalis est. eadem de causa etiam L ΑΒΓ angulis ad A, Γ, A positis aequalis est. ergo pentagonum ΑΒΓΑ E aequiangulum est; quod erat demonstrandum.

VIII.

Si in pentagono aequilatero et aequiangulo sub duobus angulis deinceps positis rectae subtendunt, inter se secundum rationem extremam ac mediam secant, et partes earum maiores aequales sunt lateri pentagoni.

E,

Nam in pentagono aequilatero et aequiangulo ΑΒΓΑ E sub duobus angulis ad A, B deinceps positis rectae ΑΓ, BE subtendant inter se # secantes in puncto ©. dico, utram que secundum rationem / extremam ac mediam sectam esse in puncto Θ, et partes earum maiores aequales esse lateri pentagoni, circumscribatur enim circum ΑΒΓΑ E pentagonum circulus ΑΒΓΑ E [IV, 14]. et quoniam duo latera EA, AB duobus AB, ΒΓ aequalia sunt et aequales * angulos comprehendunt, erit BE = ΑΓ, et A AB E = ABΓ, et reliqui anguli reliquis aequales erunt singuli singulis, sub quibus aequalia latera subtendunt [I, 4]. itaque L ΒΑΓ = ABE. quare 1_ΑΘΕ

Vq.

γωνία] om. q.

γρ. ί'ΰ7] αρα η υπό ABE καί η ΑΘΕ αρα διπλή J<m της ΒΑΘ γωνίας εκτός γάρ εατι του ΑΒΘ τρίγωνον. 25. εστίν] om. διπλή αρα] om. q.

άρα η νπο ΑΘΕ της νπο ΒΑΘ. εβτι δε καί η νπο ΕΑΓ της νπο ΒΑΓ διπλή, έπειδηπερ καί περιφέρεια η ΕΑΓ περιφέρειας της ΓΒ έβτι διπλή' ϊβη άρα η νπο ΘΑΕ γωνία τη νπο ΑΘΕ* ώβτε και η ΘΕ εν&εΐα τ ΕΑ, τοντέβτι τη AB έβτιν ϊβη. καί έπεί ϊβη έβτιν η ΒΑ ενΰεια τη ΑΕ, ϊβη έβτί και γωνία η νπο ΑΒΕ τη νπο ΑΕΒ. άλλα η νπο ΑΒΕ τη νπο ΒΑΘ έδείχ&η ϊβη' καί η νπο ΒΕΑ άρα τη νπο ΒΑΘ έβτιν ϊβη. και κοινή των δνο τριγώνων τον τε ΑΒΕ καί 10 τον ΑΒΘ έβτιν η νπο ΑΒΕ* λοιπή άρα η νπο ΒΑΕ γωνία λοιπή τη νπο ΑΘΒ έβτιν ϊβη* ίβογώνιον άρα έβτί το ΑΒΕ τρίγωνον τω ΑΒΘ τ ριγώνω' άνάλογον άρα έβτιν ως η ΕΒ προς την ΒΑ, όντως η AB προς την ΒΘ. ϊβη δέ η ΒΑ τη ΕΘ* ώς άρα η ΒΕ προς την 15 ΕΘ, όντως η ΕΘ προς την ΘΒ. μείξων δε η ΒΕ της ΕΘ* μείξων άρα καί η ΕΘ της ΘΒ. η ΒΕ άρα άκρον καί μέβον λόγον τέτμηται κατά το Θ, και το μεΐζον τμήμα το ΘΕ ϊβον έβτί τη τον πενταγώνον πλενρα. ομοίως δη δείζομεν, ότι καί η ΑΓ άκρον 20 καί μέβον λόγον τέτμηται κατά το Θ, καί το μεΐξον αντης τμήμα η ΓΘ ϊβον έβτί τη τον πενταγώνον πλενρα* όπερ έδει δεΐΐ\αι.

θ'.

Εάν η τον έξαγώνον πλενρά καί η τον 25 δεκαγώνον των εις τον αντόν κνκλον έγγρα-φομένων βνντε&ώβιν, η όλη εν&εϊα άκρον

Post ΒΑΘ add.

1. Post ΑΘΕ add. άρα διπλή εβτι q. γωνίας· εκτός γάρ εβτι τον ΑΒΘ τρίγωνον Vq, Β m. 2. 2. επειδή BV. καί] supra m. 2 Β. έβτιν Β.

έβτιν ΡΒ. ΕΔΤ τής q.

3. ΕΔΤ]

4. ΘΑΕ] ΑΘΕ q, ΘΑΕ" b.

= 2ΒΑΘ [I, 32]. uerum etiam LEAr=2BAr' quoniam arcus ΕΑΓ duplo maior est arcu ΓΒ [III, 28. VI, 33]. itaque [_Θ A E = ΑΘΕ. quare etiam ΘΕ = EA = AB [I, 6]. et quoniam BA = AE, erit etiam i AB E = AEB [I, 5]. demonstrauimus autem, esse LABE—ΒΑΘ. quare etiam i BEA = ΒΑΘ. et duorum triangulorum AB E, ΑΒΘ communis est LABE, itaque /_ BA E = ΑΘΒ [I, 32]. quare trianguli AB E, ΑΒΘ aequianguli sunt, erit igitur [VI, 4] EB : BA = AB : ΒΘ. sed BA = ΕΘ. itaque BE : ΕΘ = ΕΘ : ΘΒ. uerum jBE > ΕΘ. itaque etiam ΕΘ>ΘΒ [V, 14]. ergo BE in Θ secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars ΘΕ lateri pentagoni aequalis est. similiter demonstrabimus, etiam ΑΓ in Θ secundum rationem extremam ac mediam diuisam esse, et maiorem eius partem ΓΘ lateri pentagoni aequalem esse; quod erat demonstrandum.

IX.

Lateribus hexagoni et decagoni in eundem circulum inscriptorum coniunctis tota recta secundum rationem

IX. Theon in Ptolem. p. 181.

ΑΘΕ] ΕΑΘ q, ΑΘΕ' b. εστί] om. q, εατίν B. άλλ’ bq. aga γωνία V.

10. BAE] e corr. V.

12. ΑΒΘ] ΒΘ in ras. V. corr. in ES b et B m. 2. 21. εβτίν B. των m. 2 P.

5. τοντέστίν B.

ΒΑΘ] ΑΒΘ B, corr. m. 2. εστιν] om. V.

6. BA\ AB bq. 7. τγι νπο AEB] mg. m. 2 B.

8. αρα] om. P, 9. ίση] in ras. m. 1 b.

Ιστί] om. V.

11. ΑΒΘ b.

16. αρα] εστί comp. V. 18 εστίν PB.

25. των] corr. ex τον m. 2 P. αυτόν] om. b.

ΕΘ]

19. ΓΑ q. τόν] corr. ex

και μέσον λόγον τέτμηται, και το μεΐξον αυτής τμήμα έστιν η τον εξ,αγωνον πλευρά.

'Έστω κύκλος ό ΑΒΓ, καί των εις τον ΑΒΓ κύκλον έγγραφομένων σχημάτων, δεκαγώνου μεν έστω 5 πλευρά ή ΒΓ, έξαγώνου δε η ΓΑ, και έστωσαν επ9 ευθείας' λέγω, ότι η όλη εύ&εΐα η ΒΑ άκρον και μέσον λόγον τετμηται, και το μεΐζον αυτής τμημά έστιν η ΓΑ.

Είληφ&ω γάρ το κεντρον του κύκλον το Ε σημεΐον, 10 και έπεζεύχ&ωσαν αι ΕΒ, ΕΓ, ΕΑ, και διήχ&ω η ΒΕ έπι το Α. έπεϊ δεκαγώνου ισοπλεύρου π?,ευρά έστιν η ΒΓ, πενταπλασίων άρα η ΑΓΒ περιφέρεια της ΒΓ περιφέρειας' τετραπλασίων άρα η ΑΓ περιφέρεια της ΓΒ. ως δέ η ΑΓ περιφέρεια προς την 15 ΓΒ, ούτως η υπό ΑΕΓ γωνία προς την*υπό ΓΕΒ' τετραπλασίων άρα η υπό ΑΕΓ της υπό ΓΕΒ. καί έπει ίση η υπό ΕΒΓ γωνία τη υπό ΕΓΒ, η άρα υπό ΑΕΓ γωνία διπλάσιά έστι *της υπό ΕΓΒ. και έπεϊ ίση έστϊν η ΕΓ ενΰ'εια τη ΓΑ' έκατέρα γάρ 20 αυτών ίση έστϊ τη τού εναγών ου πλευρά τον εις τον ΑΒΓ κύκλον [έγγραφομένου]’ ίση έστι και η υπό ΓΕΑ γωνία τη υπό ΓΑΕ γωνία' διπλασία αρα η υπό ΕΓΒ γωνία της υπό ΕΑΓ. αλλά της υπό ΕΓΒ διπλασία έδείχ&η η υπό ΑΕΓ* τετραπλασία άρα η 25 υπό ΑΕΓ της υπό ΕΑΓ. έδείχ&η και της υπό ΒΕΓ τετραπλασία η υπό ΑΕΓ' ίση άρα η υπό ΕΑΓ

7. Post τετμηται 11. EB b. Ante επεί add. κα*,' 12. ΑΓΒ] in ras. m. 2 V, 15. ΑΕΓ] 17. ίβη εοτίν διπλααίων V.

1. %αί] (prius) corr. ex κατά m. rec. P. add. κατά τό Γ V, B m. 2.

τον δεκαγ. q.

13. ΒΓ— 14. της] om. b. 16. άρα εοτίν Ρ.

18. ΑΕΓ] ΕΑΓ B, corr. m. 2.

BVq, P m. 2.

B add. m. rec. b.

Γ corr. ex B m. rec. b.

Ρ.

extremam ac mediam diuisa est, et maior eius pars latus est hexagoni.

Sit circulus ΑΒΓ} et figurarum in circulo ΑΒΓ inscriptarum decagoni latus sit ΒΓ\ hexagoni autem

ΓΑ, et in eadem recta positae sint, dico, totam rectam BA secundum rationem extremam ac mediam diuisam esse, et maiorem partem esse ΓΑ.

sumatur enim centrum circuli E punctum [III, 1], et ducantur EB, ΕΓ\ EA, et BE ad A producatur, quoniam ΒΓ latus est decagoni aequilateri, arcus ΑΓΒ quintuplo maior est arcu B Γ. itaque arcus ΑΓ quadruplo maior est arcu ΓΒ. sed ut arcus ΑΓ ad arcum ΓΒ, ita angulus ΑΕΓ ad angulum ΓΕΒ [VI, 33]. itaque L ΑΕΓ = 4ΓΕΒ. et quoniam L ΕΒΓ = ΕΓΒ [I, 5], erit L ΑΕΓ = 2ΕΓΒ [I, 32]. et quoniam ΕΓ = ΓΑ [IV, 15 coroll.] (nam utraque lateri hexagoni in circulo ΑΒΓ inscripti aequalis est), erit etiam L E EA = ΓΑ E [1,5]. itaque [_ΕΓΒ=2ΕΑΓ [I, 32]. demonstrauimus autem, esse etiam L ΑΕΓ = 2ΕΓΒ. itaque L ΑΕΓ = 4ΕΑΓ. demonstrauimus

£GTLV B.

20. εΰτίν B. ή γωνία ή V. γωνίας b.

24. ΑΕΓ] A corr. ex Δ b.

19. ΕΓ] corr. ex ΒΓ m. 2 B. 21. εγγραφομένον] om. P. 22. γωνία] om. V. διπλή b.

^ τή] τής b. εστίν B.

23. ΕΔΓ

ΕΓΒ] B in ras. V; supra scr. ΕΔΓ m. 2 B.

25. ΑΕΓ] A corr. ex Δ m. 2 P.

τη νπδ ΒΕΓ. κοινή δε των δύο τρίγωνων, τον τε ΒΕΓ και τον ΒΕΑ, η νπδ ΕΒΑ γωνία* και λοιπή άρα η νπο ΒΕΑ τη νπο ΕΓΒ έΰτιν ίΰη* ίΰογώνιον άρα e ότι το ΕΒΑ τρίγωνον τω ΕΒΓ τριγώνω. άνά-5 λογον αρα έΰτϊν ώς η AB προς την ΒΕ, όντως η ΕΒ προς την ΒΓ. ίΰη δε η ΕΒ τη ΓΑ. εΰτιν αρα ώς η ΒΑ προς την ΑΓ, όντως η ΑΓ προς την ΓΒ. μείξων δε η ΒΑ της ΑΓ’ μείξων αρα και η ΑΓ της ΓΒ. η ΒΑ αρα εν&εΐα ακρον και μέΰον λόγον τε-10 τμηται [κατά το Γ], και το μεΐξον τμήμα αντής εΰτιν η ΑΓ’ όπερ εδει δεΐζαι.

Έαν εις κύκλον πεντάγωνον ίΰόπλενρον έγγραφη, η τον πεντάγωνον πλενρά δνναται την 15 τε τον εναγών ον και την τον δ εκαγώνον των εις τον αντδν κύκλον έγγραφο μενών.

”Εΰτω κύκλος δ ΑΒΓΑΕ, και εις τον ΑΒΓζίΕ κύκλον πεντάγωνον ίΰόπλενρον έγγεγράφ^ω το ΑΒΓΑ Ε. λέγω, ότι η τον ΑΒΓΑ Ε πεντάγωνον πλενρά δνναται 20 την τε τον έξαγώνον και την τον δεκαγώνον πλεν-ράν των εις τον ΑΒΓΑΕ κύκλον έγγραφομένων.

Είληφ&ω γάρ το κέντρον τον κύκλον τδ Ζ ΰημεΐον, και έπιξενχ&εΐΰα η ΑΖ διήχ&ω έπι τδ Η ΰημεΐον, και έπεξεύχ&ω η ΖΒ, και άπδ τον Ζ έπι την AB κά-25 &ετος ηχ&ω η ΖΘ, και διήχ&ω έπι τδ Κ, και έπε-ζεύχ&ωΰαν αι AK, ΚΒ, και πάλιν άπδ τον Ζ έπι την ΑΚ κάθετος ηχ&ω η ΖΑ, και διήχ&ω έπι το

2. ΒΕΓ] ΒΕΔ Ρ. ΒΕΔ] ΒΕΓ Ρ. 4. ίστί] om. Υ. δ. ΔΒ] ΒΔ Β. 6. ΓΔ] Γ supra scr. m. 1 V, ^ΓΡ. 7. την ΓΒ] ΓΒ Bq. 8. Δ Γ] (prius) ΑΓ b, ΓΔ Β. 9. αρα ευθεία]

autem, esse etiam ΑΕΓ = 425ΕΓ. ergo LEAT=BEr duorum autem triangulorum ΒΕΓ et BEA communis est angulus EBA. itaque etiam L BEA = ΕΓΒ [I, 32]. itaque trianguli EBA, ΕΒΓ aequianguli sunt, quare erit [VI, 4] AB : BE — EB : B Γ. uerum EB = ΓΑ. itaque B A: A Γ = A Γ: ΓΒ. uerum BA > ΑΓ. itaque etiam ΑΓ>ΓΒ [V, 14]. ergo recta BA secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars eius est ΑΓ; quod erat demonstrandum.

X.

Si in circulum pentagonum aequilaterum inscribitur, quadratum lateris pentagoni aequale est quadratis laterum hexagoni et decagoni in eodem circulo inscriptorum.

Sit circulus ΑΒΓΑ E, et in circulum ΑΒΓΑ E pentagonum aequilaterum inscribatur ΑΒΓΑ E. dico, quadratum lateris pentagoni ΑΒΓΑ E aequale esse quadratis laterum hexagoni et decagoni in circulo ΑΒΓΑ E inscriptorum.

sumatur enim centrum circuli Z punctum [III, 1], et ducta AZ ad H punctum producatur, et ducatur ZjB, et a Z ad AB perpendicularis ducatur ΖΘ, et ad K producatur, et ducantur AK, KB, et rursus a Z ad perpendicularis ducatur ZA, et ad M pro-

X. Pappus V p. 440, 13. Theon in Ptolem. p. 181.

10. κατά το F] om. P. αυτής τμήμα P. 11. z/ Γ] Δ corr. ex Γ m. 1 b. οπερ εδει δεΐζαύ\ • 0.5 °)— h; οπερ εδει,: ~ B.    15. τών~\ om. Y.

17. είς — κύκλον] om. q, είς αυτόν Y, κύκλον om. Bb.

24. καί — Ζ] bis b.

mg.

αύτη q.

m. 1 Y.

om

Μ, και έπεζενχ&ω η ΚΝ. έπεϊ ίΰη έΰτιν η ΑΒΓΗ περιφέρεια τη AEA Η περιφερεία₉ ών η ΑΒΓ τη AEA έΰτιν ίΰη? λοιπή άρα η ΓΗ περιφέρεια λοιπέ] τη HA έΰτιν ίΰη. πενταγώνου δε η ΓΑ’ δεκαγώνον 5 αρα η ΓΗ. και έπεϊ ίΰη έΰτιν η ΖΑ τη ΖΒ, καί κά&ετος η ΖΘ, ίΰη αρα και η νπδ ΑΖΚ γωνία rfj νπδ ΚΖΒ. ωΰτε και περιφέρεια ή AK rfj KB έΰτιν Ιΰη⁹ διπλή αρα η AB περιφέρεια της ΒΚ περιφέρειας’ δεκαγώνον αρα πλευρά έΰτιν η ΑΚ εν&εΐα. διά τά 10 αυτά δη και η ΑΚ της ΚΜ έΰτι διπλή, καϊ έπεϊ διπλή έΰτιν η AB περιφέρεια της ΒΚ περιφέρειας, ίΰη δέ η ΓΑ περιφέρεια τη AB περιφέρεια? διπλέ] άρα και έ] ΓΑ περιφέρεια τέ]ς ΒΚ περιφέρειας, έΰτι δέ η ΓΑ περιφέρεια και της ΓΗ διπλέ]’ ίΰη άρα η 15 ΓΗ περιφέρεια τη ΒΚ περιφερεία. άλλα η ΒΚ τέ\ς ΚΜ έΰτι διπλέ], έπεϊ και r KA’ και η ΓΗ άρα της ΚΜ έΰτι διπλέ], αλλά μην και η ΓΒ περιφέρεια της ΒΚ περιφέρειας έΰτι διπλέ]⁰ ίΰη γάρ η ΓΒ περιφέρεια τη ΒΑ. και δλη άρα η ΗΒ περιφέρεια της ΒΜ έΰτι 20 διπλέ]’ ώΰτε και γωνία η νπο ΗΖΒ γωνίας της νπο ΒΖΜ [έΰτι] διπλέ], έΰτι δέ η νπο ΗΖΒ και τέ\ς νπδ ΖΑΒ διπλέ]* ίΰη γάρ η νπδ ΖΑΒ τη νπδ ΑΒΖ. και έ] νπδ ΒΖΝ άρα τη νπδ ΖΑΒ έΰτιν ίΰη. κοινή δέ των δύο τριγώνων, τον τε ΑΒΖ και τον ΒΖΝ, η

1. καί έπεϊ BV. 5. αρα] έτι Υ.

4. ΔΗ Υ.    <ϊε-] supra m. 1 b.

6. ΑΖΚ] Κ supra m. 1 V. 7. ΚΖΒ γωνία q. 9. ΑΚ] A corr. ex B V, BK P. δεκαγώνον — 11. περιφέρειας] bis Y (in rep. AK). 9. διά] τής BK. διά q. 11. KB B. 12. ΓΔ] corr. ex ΓΒ m. 2 B. 13. έΰτιν B. om. b. 17. εατιν B. 18. έατίν B.

ΒΑ περιφερεία Y. _ έατί] om. P; εατιν B.

αρα] ex τής B.

b.

20. HEB q. εατιν B.

16. εατιν B. 19. τή] corr. 21. B"Z'M 22. ABZ]

ducatur, et ducatur KN. quoniam arcus ΑΒΓΗ arcui AEAH aequalis est, quorum ΑΒΓ = AEA, erit ΓΗ = HA. ΓΑ autem pentagoni est; itaque ΓΗ est de-cagoni. et quoniam ZA — ZB, et ΖΘ perpendicularis est, erit etiam L AZK = KZB [I, 5. I, 26]. quare etiam arcus' AK arcui KB aequalis est [III, 26]. itaque

B,

arcus AB duplo maior est arcu BK. quare recta AK latus deca-goni est. eadem de .E causa etiam AK duplo maior est arcu KM. et quoniam arcus AB duplo maior est arcu B K, et arcus ΓΑ arcui AB aequalis, etiam arcus ΓΑ arcu BK duplo maior erit, ue-rum arcus ΓΑ etiam arcu ΓΗ duplo maior est. itaque arcus ΓΗ arcui BK aequalis est. sed arcus BK arcu KM duplo maior est, quoniam arcus KA eo duplo est maior, itaque etiam ΓΗ arcu KM duplo maior est. uerum etiam arcus ΓΒ arcu BK duplo maior est; nam arcus ΓΒ arcui BA aequalis est. quare totus arcus HB arcu BM duplo maior est. itaque etiam L HZB — 2BZM [VI, 33]. uerum etiam L HZB — 2 ΖΑΒ] nam ZAB = ABZ. itaque L BZN — ZA B. duorum autem triangulorum ABZ, BZN communis

corr. ex AZB m. ree. b. ZBN b, corr. m. rec.

23. BZN] N corr. ex H m. 2 B; 24. BZN} N corr. ex H m. 2 B.

νπο ABZ γωνία* λοιπή άρα η νπο ΑΖΒ λοιπή τη νπο ΒΝΖ εΰτιν ίΰη* ίΰογώνιον άρα εΰτι το ΑΒΖ τρίγωνον τω ΒΖΝ τριγώνω. άνάλογον αρα έΰτίν ως 7] AB εν&εία προς την ΒΖ, όντως η ΖΒ προς την 5 ΒΝ* το αρα νπο των ΑΒΝ ίΰον έΰτϊ τω άπο ΒΖ. πάλυν έπεϊ ίΰη εΰτιν η ΑΑ τη ΑΚ₉ κοινή δε και προς όρ&άς η ΑΝ, βάΰις αρα η ΚΝ βάΰει τη ΑΝ εΰτιν ίΰη* καί γωνία άρα η νπο ΑΚΝ γωνία τη νπο ΑΑΝ εΰτιν ί'ΰη. άλλα η νπο ΑΑΝ τη νπο ΚΒΝ εΰτιν 10 ιΰη' και η νπο ΑΚΝ άρα τη νπο ΚΒΝ εΰτιν ίΰη. και κοινή των δύο τριγώνων τον τε ΑΚΒ και τον ΑΚΝ η προς τω Α. λοιπή άρα η νπο ΑΚΒ λοιπή τη νπο ΚΝΑ εΰτιν ίΰη* ίΰογώνιον άρα εΰτι το ΚΒΑ τρίγωνον τω ΚΝΑ τριγώνω. άνάλογον άρα εΰτϊν ως 15 η ΒΑ εν&εΐα προς την ΑΚ₉ όντως η ΚΑ προς την AN' το άρα νπο των ΒΑΝ ίΰον εΰτι τω άπο της ΑΚ. έδείχ&η δε και το νπο των ΑΒΝ ίΰον τω άπο της ΒΖ* το άρα νπο των ΑΒΝ μετά τον νπο ΒΑΝ, οπερ εΰτι το άπο της ΒΑ₉ ίΰον εΰτι τω άπο της ΒΖ 20 μετά τον άπο της ΑΚ. καί εΰτιν η μεν ΒΑ πεντα· γώνον πλενρά, η δε ΒΖ έξαγώνον, η δε ΑΚ δέκα-γώνον.

cΗ άρα τον πενταγώνον πλενρά δνναται την τε τον έζαγώνον και την τον δεκαγώνον των εις τον 25 αν τον κύκλον έγγραφομένων οπερ εδει δείξαι.

ια .

’Εάν εις κύκλον ρητην εχοντα την διάμετρον πεντάγωνον ίΰόπλενρον έγγραφη, η τον

2. ΒΖΝ Ρ, et Β, sed corr. m. rec. 4. ΖΒ] BZ P.

5. AB, ΒΝ V q, b e corr. m. rec. εΰτιν Ρ. της BZ

est L ABZ. itaque erit L AZB = BNZ [1,32]. itaque trianguli ABZ, BZN aequianguli sunt, erit igitur [VI, 4] AB:BZ = ZB:BN. quare ABxBN=BZ2 [VI, 17]. rursus quoniam A A = AK, et AN communis est et perpendicularis, erit KN = AN et L AKN = AAN [I, 4]. sed L AAN = KBN [III, 29. I, 5]. quare etiam L AKN = KBN. et duorum triangulorum AKB, AKN communis est angulus ad A positus. erit igitur L AKB = KNA [I, 32]. quare trianguli KBA, KNA aequianguli sunt, erit igitur [YI, 4] BA:AK = KA : AN. itaque BAxAN = AK² [VI, 17]. demonstrauimus autem, esse etiam AB X BN = BZ². ergo ΑΒχΒΝ + BAx AN = BZ² -f- A K² = BA² [II, 2]. et BA latus est pentagoni, BZ hexagoni [IY, 15 coroll.], AK decagoni.

¹

In P in mg. add. m. 1: τοντο το θεώρημα εν τοΐς πλεί-

²

ατοις της νέας εκδόσεως ον φέρεται, εν δέ τοΐς της παλαιάς ενρίΰν,εται. de q u. app.

Ergo quadratum lateris pentagoni aequale est quadratis laterum hexagoni et decagoni in eodem circulo inscriptorum; quod erat demonstrandum.

XI.

Si in circulum, cuius diametrus rationalis est, penta-gonum aequilaterum inscribitur, latus pentagoni recta est irrationalis minor quae uocatur.

Vq.

7. uqcc kccl P. AN] A corr. ex Λ m. 2 B.

10. καί rj — εατιν ΐση] bis P, corr. m. 1; supra m. 1 V. εοτιν ί'αη] ccqcc ί'βη εστί Υ. 11. τε] om. Ρ.    AKB] ΑΒΚ

om. q.

corr. ex ANK m. rec. b. b; item lin. 18.

19. οπερ εβτίν P. supra scr. Δ m. 1 b.

Ρ. 12. η προς τώ Α] om. Υ; η νπό ΝΑΚ Theon (Bbq). 13. εοτίν B. KBA" b. 14. KNÄ b. 15. εν&εΐα] 16. BA, Α Ν’ q et e corr. m. rec. b. 17. AK] AB, BN Nq et e corr. m. rec.

18. BA, AN Vq et corr. ex ABN m. rec.

b.

BZ] corr. ex ZB Y. 21. AK]

25. οπερ εδει δεΐξοα] om. bq.

πεντάγωνον πλευρά άλογος έβτιν ή καλούμενη έλάββων.

Eig γαρ κύκλον τον ΑΒΓΑΕ ρητήν έχοντα την διάμετρον πεντάγωνον ίβόπλενρον έγγεγράφ&ω τδ ό ΑΒΓΑ E' λέγω, οτι >] τον [ΑΒΓΑΕ] πεντάγωνον πλευρά άλογός έβτιν ή καλούμενη έλάββων.

Είλήφ&ω γάρ το κέντρου τον κύκλον το Ζ βημεΐον, και επεζενχ&ωβαν αί ΑΖ, ΖΒ καί διήχ&ωβαν επί τα Η, Θ βημεΐα, καί έπεξενχ&ω ή ΑΓ, καί κείβ&ω τής 10 ΑΖ τέταρτον μέρος η ΖΚ. ρητή δέ η ΑΖ· ρητή αρα καί η ΖΚ. έβτι δε καί η ΒΖ ρητή· ολη αρα η ΒΚ ρητή έβτιν. καί, έπεί ί'βη έβτίν η ΑΓΗ περιφέρεια τη ΑΑΗ περιφέρεια, ων η ΑΒΓ τη ΑΕΑ έβτιν ί'βη, λοιπή αρα η ΓΗ λοιπή τη ΗΑ έβτιν ί’βη. καί έαν 15 έπιξενξωμεν την ΑΑ, βυνάγοιπαι όρ&αί αί προς τώ Α γωνιαι, και διπλή η ΓΑ τής ΓΑ. διά τα αυτά δη καί αί προς τω Μ δρ&αί είβιν, καί διπλή ή ΑΓ τής ΓΜ. έπεί ούν ί'βη έβτιν ή νπδ ΑΑΓ γωνία τή νπδ ΑΜΖ, κοινή δε των δυο τρίγωνων τον τε ΑΓΑ 20 καί τον ΑΜΖ ή νπδ ΑΑΓ, λοιπή αρα ή νπδ ΑΓΑ λοιπή τή νπδ ΜΖΑ έβτιν ί'βη■ ίβογώνιον αρα έβτι τδ ΑΓΑ τρίγωνον τω ΑΜΖ τριγώνω· ανάλογου αρα έβτίν ώς ή ΑΓ πρδς ΓΑ, όντως ή ΜΖ πρδς ΖΑ· καί των ηγουμένων τά διπλαβια" ώς άρα ή τής ΑΓ 25 διπλή πρδς την ΓΑ, ούτως ή τής ΜΖ διπλή πρδς τήν

(alt.) om. P. ex τον P.

bq.

1. aloyog] corr. es άνάΐογον m. rec. P. 5. ΑΒΓ4Ε] 6. Ante άλογος eras, άν- P. 7. το] (alt.) corr. 11. sgtvv B. 12. εατν Yq, comp. b. ΑΒΓΗ 13. AJH] AE AH bq. AEA] EA in ras. m. 2 V. ierj sgtvv P. 14. αρα] om. q. 15. τω] τό bq.

Post

16. ΑΓ P. 17. τω] τό q, τω supra scr. ο m/ 1 b.

M add. γωνίαν m. rec. P. slgv Ybq.    δνπλη aqa η P.

Nam in circulum ΑΒΓΑΕ, cuius diametrus rationalis sit, pentagonum aequilaterum inscribatur ΑΒΓΑ E. dico, latus pentagoni rectam esse irrationalem minorem quae uocetur.

sumatur enim centrum circuli Z punctum [III, 1], et ducantur AZ, ZB et producantur ad puncta H, Θ, et ducatur ΑΓ' et ponatur ZK = ¹/±AZ. AZ autem rationalis est; itaque etiam ZK rationalis est. uerum etiam BZ rationalis est. itaque tota BK rationalis est. et quoniam arcus ΑΓΗ arcui AAH aequalis est, quorum ΑΒΓ = AEA, erit ΓΗ = HA. et ducta A A concludimus, angulos ad A positos rectos esse, et ΓΑ = 2 ΓΑ [I, 4]. eadem de causa etiam anguli

M/

ad M positi recti sunt, et ΑΓ =2ΓΜ. iam quoniam Γ LAAr= AMZ, et duorum trian-I    gulorum    A ΓΛ

AMZ communis est L ΑΑΓ, erit L ΑΓΑ = MZA [I, 32].    itaque

trianguli    ΑΓΑ,    AMZ    aequianguli    sunt, erit    igitur

[VI, 4]    A Γ: ΓΑ = MZ : ZA.    et    sumpto duplo    prae

cedentium erit 2ΑΓ:ΓΑ = 2ΜΖ:ΖΑ. sed 2 MZ

ΑΓ] supra scr. z/ m. 1 b. ΑΓΑ] ΑΑΓ BV.

ΑΑΓ m. rec. B.

19. των] corr. ex η m. 1 b.

20. AA Γ] AA e corr. V. A ΓΑ] corr. ex 23. ΑΓ] ΓΑ Vq. την ΓΑ V. την ZAY.

ΖΑ. ώς δέ ή τής ΜΖ διπλή προς ή ΜΖ προς τήν ήμίσειαν τής ZA' και ώς άρα ή τής ΑΓ διπλή προς τήν ΓΑ, όντως ή ΜΖ προς τήν ήμίσειαν τής ΖΑ. και των επόμενων τα ήμίσεα* ώς 5 αρα ή τής ΑΓ διπλή προς τήν ήμίσειαν τής ΓΑ, όντως ή ΜΖ προς το τέταρτον τής ΖΑ. καί έστι τής μεν ΑΓ διπλή ή ΑΓ, τής δε ΓΑ ήμίσεια ή ΓΜτής δε ΖΑ τέταρτον μέρος ή ΖΚ* εοτιν αρα ώς ή ΑΓ προς τήν ΓΜ, όντως ή ΜΖ προς τήν ΖΚ. σνν-10 &έντι και ώς σνναμφότερος ή ΑΓΜ προς τήν ΓΜ, όντως ή ΜΚ προς KZ' καϊ ώς αρα το άπδ σνναμ-φοτέρον τής ΑΓΜ προς το άπο ΓΜ, όντως το άπο ΜΚ προς το άπο KZj. και έπει τής νπδ δυο πλενράς τον πεντάγωνον νποτεινούσης, οΐον τής ΑΓ, άκρον 15 και μέσον λόγον τεμνομένης το μεΐζον τμήμα ίσον έστι τή τον πεντάγωνον πλενρα, τοντέστι τή ΑΓ, τδ δε μεΐξον τμήμα προσλαβδν τήν ήμίσειαν τής όλης πενταπλάσιον δνναται τον άπο τής ήμισείας τής όλης, καί έστιν όλης τής ΑΓ ήμίσεια ή ΓΜ, τδ αρα άπδ 20 τής ΑΓΜ ώς μιας πενταπλάσιόν έστι τοϋ άπδ τής ΓΜ. ώς δέ τδ άπδ τής ΑΓΜ ώς μιας πρδς τδ άπδ τής ΓΜ, όντως εδείχ&η τδ άπδ τής ΜΚ πρδς τδ άπδ τής KZ' πενταπλάσιον αρα τδ άπδ τής ΜΚ τον άπδ τής ΚΖ. ρητδν δέ τδ άπδ τής KZ' ρητή γάρ ή 25 διάμετρος* ρητδν αρα και τδ άπδ τής ΜΚ’ ρητή άρα έστϊν ή ΜΚ [δννάμει μόνον], και έπει τετραπλάσια έστίν ή ΒΖ τής ΖΚ, πενταπλάσια άρα έστϊν ή ΒΚ τής KZ' είκοσιπενταπλάσιον άρα τδ άπδ τής ΒΚ τον

ΖΑ, όντως

1. ώς $ε] αλλ ως BVb. scr. A m. 1 b.

2. τής ΛΓ] τον ΑΓ V; supra 4. ήμίαεια Ρ et b, corr. in ήμίΰη m. 1; ή μίση

: Z A = MZ: V₂ZA. est igitur 2ΛΓ.ΓΛ — ΜΖ: %Zz/. et sumpto dimidio sequentium erit 2ΛΓ: ¹^TA = MZ : V₄Zz/. et 2ΛΓ = ΑΓ, % ΓΑ = PM, V₄Zz/ = ZP. itaque z7P: ΓΜ = MZ : Ζϋί. et componendo [V, 18] ΑΓ+ΓΜ:ΓΜ=ΜΚ:ΚΖ. quare erit (z/P+PM)

: PM² = Müf²: KZ². et quoniam recta sub duobus lateribus pentagoni subtendenti uelut ΑΓ secundum rationem extremam ac mediam diuisa maior pars lateri pentagoni aequalis est [prop. VIII], h. e. z/P, et quadratum maioris partis adiuncta dimidia parte totius aequale est quadrato dimidiae totius quinquies sumpto [prop. I], et ΓΜ — % ΑΓ₇ erit (z/P + PM)2 = 5 PM². demonstrauimus autem, esse (z/P-f- PM)2 : PM² = MK² : JYZ². itaque MJY² = 5KZ². uerum KZ² rationale est; nam diametrus rationalis est. itaque etiam MK² rationale est. MK igitur rationalis¹) est. et quoniam est BZ — AZK, erit BK = 5KZ. itaque BK² = 25KZ². uerum MK² = 5KZ². itaque BK²

1) Uerba δυνάμει μόνον lin. 26, quae huc nihil pertinent, glossema sapiunt.

BY.

5. Supra ΛΓ scr. A m. 1 b. 7. ΑΓ P. ήμιΰείας B, corr. m. 2.    10. ΑΓΜ] M supra scr. m. 2 B.    11. την

KZ bq, ZK B, την ZK Y.    12. ζ/ΓΜ] M supra scr. m.

έστιν

2 B. ttJs ΓΜ Y. 13. τής KZ Y. 15. τετμημένης Theon (BVbq). 16. τουτέστιν PB. 17. προσ- in ras. m. 1 b.    19. έοτιν] έΰτι της q.    20. ττις] om. q.

ζ/Γ supra scr. M m. 2 B; item lin. 21. ώς από q.

P.

25.    άρα έΰτι P. ρητη — 26. μόνον] προς τό από ΚΖ

Sl·

26.    έοτίν] έατϊ καί V. δυνάμει μόνον] λόγον ^άρ έχει ον άρι&μός προς άρι&μόν το από της ΜΚ προς τό από (τής add. Y) KZ Theon (BYq). 27. έοτίν] (alt.) om. Y. 28. Post KZ in P dei. m. 1: είκοαιπενταπλά (-giov postea add.) άρα έοτϊν η BK της BZ.

άπδ της KZ. πενταπλάσιον δε το άπδ της ΜΚ τον άπδ της KZ' πενταπλάσιον άρα το από της ΒΚ τον άπδ της ΚΜ* το άρα από της ΒΚ προς το άπδ ΚΜ λόγον ούκ έχει, ον τετράγωνος άριθμδς πρδς τετρά-5 γωνον άριθμόν' ασύμμετρος άρα έστίν η ΒΚ τη ΚΜ μήκει. καί έστι ρητη έκατερα αυτών. at ΒΚ, ΚΜ άρα ρηταί είσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, εάν δε άπδ ρητης ρητη άφαιρεθή δυνάμει μόνον σύμμετρος ούσα τη όλη, η λοιπή άλογός έστιν άποτομη' άποτομη άρα 10 έστιν η MB, προσαρμόζουσα δε αυτή η ΜΚ. λέγω δη, ότι και τετάρτη. ω δη μεΐξόν έστι τδ άπδ της ΒΚ τον άπο της ΚΜ, έκείνω ίσον έστω τδ άπδ της ΒΚ άρα της ΚΜ μεΐξον δύναται τη Ν. και επει σύμμετρός έστιν η ΚΖ τη ΖΒ, και συνθέντι σύμ-15 μετράς έστιν η ΚΒ τη ΖΒ. άλλα η ΒΖ τη ΒΘ σύμμετρός έστιν* και η ΒΚ άρα τη ΒΘ σύμμετρός έστιν. και έπει πενταπλάσιόν έστι τδ άπδ της ΒΚ τον άπο της ΚΜ, τδ άρα άπδ της ΒΚ πρδς τδ άπδ της ΚΜ λόγον έχει, ον έ πρδς έν. άναστρέψαντι άρα το άπδ 20 της ΒΚ πρδς τδ άπδ της Ν λόγον έχει, ον έ πρδς δ, ούχ ον τετράγωνος πρδς τετράγωνον' άσύμμετρος άρα έστιν η ΒΚ τη Ν' ή ΒΚ άρα της ΚΜ μεΐξον δύναται τω άπο άσυμμέτρου εαυτη. επει ούν όλη η ΒΚ της προσαρμοξούσης της ΚΜ μεΐξον δύναται τω 25 άπδ άσυμμέτρου εαυτη, και όλη η ΒΚ σύμμετρός έστι τη έκκειμένη ρητη τη ΒΘ, άποτομη άρα τετάρτη έστϊν η MB. τδ ύπδ ρητης καί άποτομης τετάρτης περιεχόμενον ορθογώνιον άλογόν έστιν, και η δννα-

Ν·

2. ΒΚ] Β corr. ex Γ m. 1 b. 3. KM] (alt.) MK b; της MK Bq, της KM Y. 5. εΰτίν] om.Y. KB P. 6. ίΰτιν PB.

= 5KM². itaque BK² ad KM² rationem non habet, quam numerus quadratus ad numerum quadratum, itaque BK, KM longitudine incommensurabiles sunt, et utraque earum rationalis est. itaque BK, KM rationales sunt potentia solum commensurabiles, sin a recta rationali rationalis aufertur toti potentia solum commensurabilis, quae relinquitur, irrationalis est, scilicet apotome. itaque MB apotome est et ei congruens MK [X, 73]. iam dico, eandem quartam esse, sit enim N² = BK² KM². itaque BK² = KM2 + N². et quoniam KZ, ZB commensurabiles sunt, etiam componendo KB, ZB commensurabiles sunt, uerum BZ, ΒΘ commensurabiles sunt, itaque etiam BKj ΒΘ commensurabiles, et quoniam BK² = 5KM², erit BK²: KM² = 5:1. conuertendo igitur [V, 19 coroll.] B K²: N² = 5:4, quae non est ratio quadrati ad quadratum. itaque BK, N incommensurabiles sunt [X, 9]. quadratum igitur rectae BK quadratum rectae KM excedit quadrato rectae ei incommensurabilis. iam quoniam quadratum totius BK quadratum rectae congruentis KM excedit quadrato rectae ei incommensurabilis, et tota BK et ΒΘ commensurabiles sunt, MB quarta apotome erit [X deff. tert. 4].

KM] K corr. ex M m. 1 V. 7. είαιν B. 9. εατι καλείται δέ bq. άποτομή] om. BV. 10. έατίν] om. Y.

11. δή] δέ B.    γάρ BY. εατιν P. τής] om. q.

Bb.

τον ä b. q et P, sed corr. m. rec. μετρος B.

14. ZB] Z in ras. m. 1 P. 15. ZB] BZ Bq et supra scr. Δ b. 16. εατι PBYq, comp. b. Dein add. μήκει BY. καί — έστιν] mg. m. 2 ins. ante μήκει B. έβτι Yq, comp. 18. το] (alt.) τον Y. 19. ε] πέντε q. εν] ά BV, 20. τό] τόν Υ. 21. δν] δ b. 23. συμμέτρου 25. Ante BK eras. Κ Ρ. άσύμ-

27. BMP. 28. εατι Yq, comp. b.

μένη αυτό άλογός έστιν, καλείται δε ελάττων. δύ-ναται δε τό υπό των ΘΒΜ ή AB διά τό έπιξευγνυ-μένης τής ΑΘ ισογώνιον γίνεσ&αι τό ΑΒΘ τρίγωνον τω AB Μ τριγώνω καί είναι ως την ΘΒ προς την 5 ΒΑ, ούτως την AB προς την ΒΜ.

'Η άρα AB τού πενταγώνου πλευρά άλογός έστιν ή καλού μένη ελάττων* όπερ έδει δεΐζαι.

’Εάν εις κύκλον τρίγωνον ίσόπλευρον εγ-10 γραφτή ή τον τριγώνου πλευρά δυνάμει τριπλασίων έστι της εκ του κέντρου του κύκλου.

'Έστω κύκλος δ ΑΒΓ\ και εις αυτόν τρίγωνον ισόπλευρον έγγεγράφ&ω το ΑΒΓ* λέγω, δτι τού ΑΒΓ τριγώνου μία πλευρά δυνάμει τριπλασίων έστι της έκ 15 τού κέντρου του ΑΒΓ κύκλου.

Είληφ&'ω γάρ το κέντρον τού ΑΒΓ κύκλου το Α, καί έπιζευχ&εΐσα η ΑΑ διήχ&ω επί το Ε, και επεζεύχ&ω η ΒΕ. και έπει ισόπλευρόν έστι το ΑΒΓ τρίγωνον, η ΒΕΓ άρα περιφέρεια τρίτον μέρος έστι 20 της τού ΑΒΓ κύκλου περιφέρειας, η άρα ΒΕ περιφέρεια έκτον έστι μέρος της τού κύκλου περιφερείας* έζαγώνου άρα έστϊν η ΒΕ εν&εΐα* ίση άρα έστι τη έκ τού κέντρου τη ΑΕ. καί έπεί διπλή έστιν ή ΑΕ τής ΑΕ, τετραπλάσιόν έστι τό από τής ΑΕ τού από

1. εοτι ΒΥ q, comp. b. ΘΒ, ΒΜ Vq. γωνω] om. b.

6. εστιν] om. Ρ.

ΒΘ q.

2. τό] om. Β, add. mg. m. 2. 3. γίγνεα&αι, V. ΑΘΒ q. 4. τρι-

5. την] (prius) corr. ex ή m. 1 P. 7. πλευρά ελάττων b. 11. έΰτίν P.

13. εγεγράφ^ω (sic) ιβόπλευρον b, supra scr. β — a. ή τον ΒΥ. 15. JET] om. Y. 16. ΑΒΓ] om. BY. 20. κύκλον] om. q. 22. έζάγωνος B. Post prius άρα add. πλευρά Y. εατίν PB.

rectangulum autem rationali et quarta apotome comprehensum irrationale est, et recta, cuius quadratum ei aequale est, irrationalis est uocaturque minor [X, 94]. uerum AB² = ΘΒ X BM} quia ducta ΑΘ trianguli ΑΒΘ, ABM aequianguli fiunt [VI, 8], et est ΘΒ : BA = AB: BM [VI, 4].

Ergo AB latus pentagoni irrationalis est minor quae uocatur; quod erat demonstrandum.

XII.

Si in circulum triangulus aequiangulus inscribitur, latus trianguli potentia triplo maius est radio circuli.

Sit circulus ΑΒΓ, et in eum triangulus aequiangulus ΑΒΓ inscribatur [IY, 2]. dico, latus quoduis trian-\ guli ABr^otentm triplo maius \ esse radio circuli ΑΒΓ.

sumatur enim A centrum I circuli ΑΒΓ [III, 1], et ducta ^ AA ad E producatur, et ducatur BE. et quoniam triangulus ΑΒΓ aequiangulus est, arcus ΒΕΓ tertia pars est ambitus circuli ΑΒΓ. itaque arcus BE sexta pars est ambitus circuli.¹) itaque hexagoni est recta BE. quare .B E = A E [IY, 15 coroll.]. et quoniam AE = 2 A E, erit AE² = AA E² = ABE².

XII. Theon, in Ptolem. p. 183.

της ΕΑ, τοντέστι τον άπο της ΒΕ. ίσον δε το άπο της ΑΕ τοΐς άπο των AB, ΒΕ* τά άρα άπο των AB, ΒΕ τετραπλάσια έστι τού άπο της ΒΕ. διελόντι άρα το άπο της AB τριπλάσιόν έστι τον άπο ΒΕ. 5 ίση δε η ΒΕ τη ΑΕ* το άρα άπο της AB τριπλάσιόν έστι τον άπο της ΑΕ.

Ή άρα τον τρίγωνον πλενρά δννάμει τριπλάσια έστι της έκ τον κέντρον [τον κύκλον]* οπερ έδει δειζαι.

ιγ.

10

Πνραμίδα σνστήσασ&αι και σφαίρα περι-λαβεΐν τη δο&είση και δείζαι, ότι η της σφαίρας διάμετρος δννάμει ημιολία έστι της πλεν-ράς της πνραμίδος.

’Εκκείσ&ω η της δο&είσης σφαίρας διάμετρος η 15 AB, καί τετμησ&ω κατά το Γ σημεΐον, ώστε διπλάσιάν είναι την ΑΓ της ΓΒ’ και γεγράφ&ω έπϊ της AB ημικύκλιον το ΑΑΒ, και ηχ&ω άπο τον Γ ση-μείον τη AB προς όρ&άς η ΓΑ, και έπεξεύχ&ω η AA' και έκκείσ&ω κύκλος 6 ΕΖΗ ίσην έχων την 20 έκ τον κέντρον τη ΑΓ, και έγγεγράφ&ω εις τον ΕΖΗ κύκλον τρίγωνον ίσόπλενρον το ΕΖΗ* και είλήφ&ω το κέντρον τον κύκλον το Θ σημεΐον, και έπεζεύχ&ω-σαν αι ΕΘ, ΘΖ, ΘΗ* και άνεστάτω άπο τον Θ ση-μείον τω τον ΕΖΗ κύκλον έπιπέδω προς όρ&άς η 25 ΘΚ, καί άφηρήσ&ω άπο της ΘΚ τη ΑΓ εν&εία ίση η ΘΚ, και έπεξεύχ&ωσαν αι KE, KZ, ΚΗ. καί έπεί

4. διπλάσιάν b.

εστιν Ρ.

άπο της V.

5. διπλά-

8. εστίν Ρ.

σιόν b. 7. διπλάσιά b, τριπλασίων V. του κύκλον] om. Ρ. 10. Ante καί ins. εκ τεσσάρων τριγώνων ισοπλεύρων mg. m. 1 pro scholio Ρ. σφαίραν b. 12. εστίν 14. εκκείσ&ω] prius κ supra scr. m. rec. P.

P.

15. Ante

uerum A E² = AB² -f- BE² [III, 31. I, 47]. itaque AB²+BE² = 4:BE². subtrahendo igitur AB* = 3BE*. sed BE = A E. itaque AB² = SAE².

Ergo latus trianguli potentia triplo maius est radio; quod erat demonstrandum.

XIII.

Pyramidem construere et data sphaera comprehendere et demonstrare, diametrum sphaerae potentia sesquialteram esse lateris pyramidis.

Ponatur AB diametrus datae sphaerae et in Γ puncto ita secetur, ut sit ΑΓ = 2ΓΒ [VI, 10]. et in

r_

AB semicirculus describatur A AB, et a Γ puncto perpendicularis ducatur ΓΑ, \ et ducatur A A. et ponatur circulus EZH radium aequalem habens rectae A Γ, et in circulum EZH triangulus \    aequilaterus inscribatur EZH

\ [IV, 2], et sumatur centrum J circuli punctum Θ [III, 1], JR et ducantur ΕΘ, ΘΖ, ΘΗ. et in Θ puncto ad planum circuli EZH perpendicularis erigatur ΘΚ, et a ΘΚ rectae ΑΓ aequalis abscindatur ΘΚ et ducantur KE, KZ, KH. et quoniam ΚΘ ad

XIII—XVII. Hero def. 101, 2.

κατά dei. δίχα m. 1 (et m. rec.) P. add. m. 1 P, της ΒΓ V. supra m. 1 b.

1 P.

19. E HZ V.

22. κέντρον b.

16. της ΓΒ] mg. postea ηαταγεγράφ&ω P. εχον q.

25. acpciLQriG&co P.

17. αη-~\ 20. εκ] supra m.

η ΚΘ όρ&ή εΰτι προς το τον ΕΖΗ κύκλον επίπεδον, και προς πάΰας άρα τάς άπτομενας αν της εν&είας και ονΰας έν τω τον ΕΖΗ κύκλον επιπέδω ορ&άς ποιηΰει γωνίας. άπτεται $£ αν της εκάΰτη των ΘΕ, 5 ΘΖ,    ΘΗ*    η ΘΚ    άρα    προς εκάΰτην των ΘΕ, ΘΖ,

ΘΗ    δρ&ή    εΰτιν.    και    επεϊ ίΰη εΰτιν η    μεν ΑΓ τη

ΘΚ, ή δε ΓΑ τη ΘΕ, και ορ&ας γωνίας περιέχονΰιν, βάΰις αρα η ΑΑ βάΰει τη ΚΕ εΰτιν ίΰη. διά τά αντά δη και εκατέρα των KZ, ΚΗ τη ΑΑ εΰτιν ίΰη' 10 αι τρεις αρα αι KE, ΚΖ, ΚΗ ίΰαι άλληλαις είΰίν. καί έπεϊ διπλή εΰτιν η ΑΓ της ΓΒ, τριπλή αρα η AB της ΒΓ. ως δε η AB προς την ΒΓ, όντως τδ άπδ της ΑΑ προς το άπδ της ΑΓ, ως έξης δειχ&ή-ΰεται. τριπλάΰιον    αρα    το άπδ της ΑΑ    τον άπδ της

15 ΑΓ.    εΰτι    $£ και    τδ άπδ της ΖΕ τον    άπδ της ΕΘ

τριπλάΰιον, καί εΰτιν ίΰη η ΑΓ τη ΕΘ* ίΰη αρα καί η ΑΑ τη ΕΖ. άλλα η ΑΑ εκάΰτη των KE, ΚΖ, ΚΗ έδείχ&η ίΰη* και εκάΰτη άρα των ΕΖ, ΖΗ, ΗΕ εκάΰτη των ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ εΰτιν ίΰη* ίΰόπλενρα άρα 20 εΰτι τά τέΰΰαρα τρίγωνα τά ΕΖΗ, ΚΕΖ, ΚΖΗ, ΚΕΗ. πνραμϊς άρα ΰννεΰταται εκ τεΰΰάρων τριγώνων ίΰοπλενρων, ής βάΰις μεν εΰτι τδ ΕΖΗ τρίγωνον, κορνφη δε τδ Κ ΰημεΐον.

Αεί δη αντην και ΰφαίρα περιλαβεΐν τη δοΟ'είΰη 25 και δείξαι, οτι η της ΰφαίρας διάμετρος ημιολία εΰτι δννάμει της πλενράς της πνραμίδος.

1. εΰτιν Ρ.

3. ΕΖΗΘ Bb.

5. ΘΚ] Θ e corr. m. 1 b. 7. περιέχονΰΐ Ybq.

10. άλληλοις V.

2 B.

2. άρα] ετι V. αυτής] corr. ex αντην m.

5. η ΘΚ — 6. ΘΗ] mg. m. 2 Β.

6. εατι Yq, comp. b.

<1·

8. ΔΑ] A e corr. m. 2 P. 9. ί'ΰη * καί αΓ είαί q, comp. b. 11. τριπλή] διπλή b. 13. Post ΔΓ add. Ρ: επεϊ γάρ εΰτιν ως η AB προς ΑΓ

planum circuli EZH perpendicularis est, etiam ad omnes rectas eam tangentes et in plano circuli EZH positas rectos angulos efficiet [XI def. 3]. tangunt autem ΘΕ, ©Z, ΘΗ. ΘΚ igitur ad singulas ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ perpendicularis est. et quoniam ΑΓ = ΘΚ, ΓΑ = ΘΕ, et rectos angulos comprehendunt, erit A A — KE [I, 4]. eadem de causa etiam KZ = A A et K H = A A. itaque K E = KZ = KH. et quoniam ΑΓ = 2ΓΒ, erit AB = 3 ΒΓ. sed AB : ΒΓ = A A2 : A Γ², ut postea demonstrabitur [u. lemma], itaque A A² = 3ΑΓ². uerum etiam ZE² = 3 ΕΘ² [prop. XII]. et ΑΓ=ΕΘ. itaque etiam A A — EZ. demonstra-uimus autem, esse A A = KE = KZ = KH. itaque singulae EZ, ZH, HE singulis KE, KZ, KH aequales sunt, quare quattuor trianguli EZH, KEZ, KZH, KEH aequilateri sunt, ergo ex quattuor triangulis aequilateris pyramis constructa est, cuius basis est triangulus EZH, uertex autem K punctum.

oportet igitur eam etiam data sphaera comprehendere et demonstrare, diametrum sphaerae potentia sesquialteram esse lateris pyramidis.

ούτως (eorr. ex οντος m. 2) το από JA προς τό από ΑΓ, άναοτρέψαντι, ώς η AB προς ΒΓ, όντως τό από AJ προς τό από ΔΓ\ idem mg. m. 2 Β (ΒΑ pro priore AB, ΑΓ pro JΓ), add. in fine ώς έξης δειχ&ι\οεται, sed ins. post δειχ&ήβεται lin. 13; eodem loco baec uerba επεϊ γάρ — δειχ&ήσεταί in textu bab. V (ΒΑ, την ΑΓ, της JA, της ΑΓ), sed περητόν add. m. 2.    15. εοτιν ΡΒ. 17. JA] AJ Ρ. τη] της

Ρ.    18. HE] corr. ex ΗΘ m. 2 V, Η© q. 19. ΚΕ] ΕΚ

q.    ί'αη i'ca %αί q. 20. εβτίν Β. τέσσερα Β. ΚΖΗ]

KEH q et V (E e corr.). 21. KEH] KZH q et V (ZH e corr.), ΚΗΘ Β. αννίΰταται BVb. Post τριγώνων add. ϊοων καί Vq, m. rec. B. 22. η q. 25. δυνάμει ημιολία εβτί Y. εβτίν Ρ.

19*

’Εκβεβλήΰ&ω γαρ έτί εν&είας τη ΚΘ εν&εΐα ή ΘΑ, και κείΰ&ω τή ΓΒ ίΰη ή ΘΑ. καί έπεί εΰτιν ως ή ΑΓ προς την ΓΑ, όντως η ΓΑ προς την ΓΒ, ίΰη δε η μεν ΑΓ τη ΚΘ,    ΓΑ τη ΘΕ, η δε

H ■S'*

5 ΓΒ τη ΘΑ, εΰτιν ά α ως ΚΘ προς την ΘΕ, όντως η ΕΘ προς τη ΘΑ· ό αρα νπδ των ΚΘ, ΘΑ ίΰον έΰτϊ τω άπδ της ΕΘ. καί εΰτιν όρ&ή έκα-τέρα των νπδ ΚΘΕ, ΕΘΑ γωνιών το αρα επί της ΚΑ γραφόμενον ημικύκλιον ηζει και διά τον Ε [έπει-10 δήπερ εάν επιζενζωμεν την ΕΑ, δρ&η γίνεται η νπδ ΑΕΚ γωνία διά τδ ίΰογώνιον γίνεΰ&αι τδ ΕΑΚ τρίγωνον έκατέρω των ΕΑΘ, ΕΘΚ τριγώνων], εάν δη μενονΰης της ΚΑ περιενεχ&εν τδ ημικύκλιον εις τδ αντδ πάλιν άποκαταΰταΰή , δ&εν ηρζατο φέρεΰ&αι, 15 ηζει και διά των Ζ, Η ΰημείων έπιξενγννμενών των ΖΑ, ΑΗ και δρ&ών ομοίως γινομένων των πρδς τοΐς Ζ, Η γωνιών και εΰται η πνραμις ΰφαίρα περιει-λημμένη τη δο&είΰη. η γάρ ΚΑ της ΰφαίρας διά-μετρος ίΰη έΰτI τη της δο&είΰης ΰφαίρας διαμέτρω 20 τη AB, επειδηπερ τη μεν ΑΓ ίΰη κεΐται η ΚΘ, τη δε ΓΒ η ΘΑ.

Αέγω δη, δτι η τής ΰφαίρας διάμετρος ημιολία έΰτι δννάμει τής πλενρας τής πνραμίδος.

’Επει γάρ διπλή εΰτιν ή ΑΓ τής ΓΒ, τριπλή αρα 25 εΰτιν ή AB τής ΒΓ* άναΰτρέψαντι ημιολία άρα έΰτϊν ή ΒΑ τής ΑΓ ως δέ ή ΒΑ πρδς την ΑΓ', όντως τδ άπδ τής ΒΑ πρδς τδ άπδ τής ΑΑ [επειδηπερ έπι-ξενγννμένης τής AB εΰτιν ως ή ΒΑ πρδς την ΑΑ, όντως ή ΑΑ πρδς την ΑΓ διά την ομοιότητα τών

2^ ΘΑ] supra scr. A m. 6. Ante ΕΘ dei.

1. τη] scripsi; της PBVbq.

1 b. εΛκεία&ω q. 5. αρα] e corr. V.

producatur enim recta ΚΘ in directum et fiat ΘΑ, et ponatur ΘΑ = ΓΒ. et quoniam est ΑΓ: ΓΑ = ΓΑ : ΓΒ [VI, 8 cor oli.], et ΑΓ = ΚΘ, ΓΑ — ΘΕ, ΓΒ = @Ay erit ΚΘ : ΘΕ = ΕΘ : ΘΑ. itaque ΚΘ X ΘΑ = ΕΘ² [VI, 17]. et uterque angulus ΚΘΕ, rectus est. itaque semicirculus in KA descriptus etiam per E ueniet.¹) itaque si manente recta KA semicirculus circumuolutus rursus ad idem punctum refertur, unde circumuolui coeptus est, etiam per puncta Z, H ueniet ductis rectis ZAy AHy quo facto anguli ad Z, H positi et ipsi recti fiunt, et pyramis data sphaera erit comprehensa; nam KA diametro sphaerae AB aequalis est, quoniam posuimus ΚΘ = ATy ΘΑ = ΓΒ.

iam dico, diametrum sphaerae potentia sesquialteram esse lateris pyramidis.

nam quoniam ΑΓ=2ΓΒ} erit AB — 3ΒΓ. itaque conuertendo ΒΑ=³/₂ΑΓ. uerum BA : ΑΓ = BA²

Θ m. 1 P.

K(9, ΘΕ m. 1 P. 10. yCyvszcu P. a&at Vb.

7. εΰτί] εΰτίν P.

8. ΚΘΕ] ΚΘ B; corr. ex ΕΘΑ] corr. ex ΕΘ, ΘΛ m. 1 P.

11. AEK~\ EAK B, corr. m. 2.

12. ΕΚΘ P.

γιγνομ,ένων Pb. 23. εοτίν PB. άρα V, sgzlv ctQU B. bis P.

corr. in BA Bb.

yiyvz-

16. ZA] Z corr. ex A m. 1 V. 19. iativ P.

17. ίαην P.

24. της] τη b.

26. BA] (prius) AB V.

28. AB] in ras. V, AB b et B, sed corr.

διπλή b.

αρα εατίν προς την BÄ

ΑΑΒ, ΑΑΓ τριγώνων, και είναι ώς την πρώτην προς την τρίτην, όντως το άπδ της πρώτης προς το άπδ της <ϊει>τερα£]. ημιόλιον άρα και το άπο της ΒΑ τον άπο της ΑΑ. καί εΰτιν η μεν ΒΑ η της δο&είόης 5 ύφαίρας διάμετρος, η δε ΑΑ ΐοη τη πλενρα της πν-ραμίδος.

'Η άρα της ΰφαίρας διάμετρος ημιολία εΰτϊ της πλενράς της πνραμίδος' οπερ εδει δείξαι.

Αήμμα.

10

Αεικτέον, οτι έΰτϊν ώς η AB προς την ΒΓ, όντως το άπο της ΑΑ προς το άπο της ΑΓ.

των

’Εκκείό&ω γάρ η τον ημικνκλίον καταγραφή, και επεξενχ&ω η AB, και άναγεγράφ&ω άπο της ΑΓ τετράγωνον το ΕΓ, και <5νμπεπληρώβ&ω το ΖΒ παρ-15 αλληλδγραμμον. έπει ονν διά το ισογώνιον είναι το ΑΑΒ τρίγωνον τω ΑΑΓ τριγώνω εότιν ώς η ΒΑ προς την ΑΑ, όντως η ΑΑ προς την ΑΓ, το άρα νπδ των ΒΑ, ΑΓ ίΰον έβτι τω άπο της ΑΑ. και έπεί έύτιν ώς η AB προς την ΒΓ, όντως το ΕΒ 20 προς το ΒΖ, καί έβτι το μεν ΕΒ το νπδ των ΒΑ, ΑΓ* 1'6η γάρ η ΕΑ τη ΑΓ* το δε ΒΖ το νπδ ΑΓ, ΓΒ) ώς άρα η AB πρδς την ΒΓ, όντως τδ νπδ των ΒΑ, ΑΓ πρδς τδ νπδ των ΑΓ\ ΓΒ. καί εΰτι τδ μεν νπδ των ΒΑ, ΑΓ ί’όον τω άπδ της ΑΑ, τό 25 δε νπδ των ΑΓΒ ίΰον τω άπδ της ΑΓ η γάρ ΑΓ κάθετος των της βάβεως τμημάτων των ΑΓ, ΓΒ μέΰη άνάλογόν έΰτι διά τδ όρ&ην είναι την νπδ ΑΑΒ. ώς

4. ή] (alt.) om. q. Gregorius.

5. ΑΔ] om. b. 9. λήμμα] om. codd.

7. δυνάμει ημιολία 13. AB] supra scr. A

: AA². itaque BA² — ³/₂AA². et BA datae sphaerae diametrus est, AA autem lateri pyramidis aequalis.

Ergo diametrus sphaerae potentia²) sesquialtera est lateris pyramidis; quod erat demonstrandum.

Corollarium.

Demonstrandum, esse AB : ΒΓ = AA²: ΑΓ². exponatur enim figura semicirculi, et ducatur AB, et in ΑΓ quadratum ΕΓ describatur, et expleatur

parallelogrammum iam quoniam est BA:AA

—    A A : ΑΓ' quia A AB ~ΑΑΓ\VI, 8. VI, 4], erit BA x ΑΓ==ΑΑ² [VI, 17]. et quoniam est ΑΒ:ΒΓ = EB : BZ [VI, 1], et EB

—    BA X ΑΓ (nam EA = ΑΓ), BZ = ΑΓΧ ΓΒ, erit AB: ΒΓ= BA X

ZB.

:    X ΓΒ. et 5^/ X

= AA², ΑΓχΓΒ = ΑΓ². nam perpendicularis AΓ media est proportionalis partium basis ΑΓ, F5 [VI, 8 coroll.], quia rectus est

14. ΕΓ] corr. ex ΒΓ m. 1 B. 23. εατιν B.

m. 1 b.

21. γάρ εατιν Y.

Ad] sic, sed mg. m. 1 dB b.

Υ.

20. εατιν B.

24. τό] τώ Y.

25. ΑΓ, ΓΒ ΒΥ;

τώ] τό

άρα η AB προς την ΒΓόντως το από της ΛΑ προς το από της Α Γ' όπερ έδει δειζαι.

ιδ\

Οκτάεδρον 6υστήσ ασ&αι καί σφαίρα περί-5 λαβεΐν, η καί τα πρότερα, καί δεΐξαι, ότι η της σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλάσιά εΰτϊ της πλευράς του οκτάεδρου.

’Εκκείσ&ω η της δο&είσης σφαίρας διάμετρος η AB, και τετμήσ&ω δίχα κατά το Γ, και γεγράφ&ω 10 έπι της AB ημικύκλιον το ΑΑΒ, και ηχ&ω από τού Γ τη AB προς όρ&άς η ΓΑ, και έπεξεύχ&ω η AB, και έκκείσ&ω τετράγωνον το ΕΖΗΘ ίΰην εχον εκά-στην των πλευρών τη AB, και επεξεύχ&ωΰαν αί ΘΖ, ΕΗ, και άνεστάτω από τού Κ σημείου τω τον ΕΖΗΘ 15 τετραγώνου έπιπέδω προς ορ&άς εν&εΐα η ΚΑ και διήχ&ω έπι τά έτερα μέρη τού επιπέδου ώς η ΚΜ, και άφηρησ&ω άφ’ έκατέρας των ΚΑ, ΚΜ μια των ΕΚ, ZK, ΗΚ, ΘΚ ίση έκατέρα των ΚΑ, ΚΜ, και έπεξενχ&ωσαν αί AE, AZ, ΑΗ, ΑΘ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ, 20 ΜΘ. και επεϊ ίση έστϊν η ΚΕ τη ΚΘ, καί έστιν όρ&η η υπό ΕΚΘ γωνία, τό άρα από της ΘΕ διπλάσιάν έστι τον από της ΕΚ. πάλιν, έπει ίση έστϊν η ΑΚ τη ΚΕ, καί έστιν όρ&η η υπό ΑΚΕ γωνία, τό άρα από της ΕΑ διπλάσιάν έστι τον από ΕΚ. 25 έδείχ&η δε και τό από της ΘΕ διπλάσιον του από

2. όπερ εδει δεϊξαί] om. V.    Figura lemmatis fuit in

3. ιδ'] L. 4. cvvGTrjGKGd'ca Ρ, corr. m. 2. δ. τά προτερα] την πυραμίδα Tbeon (LBVbq), }/ρ. ηι ν,αϊ την πυραμίδα mg. m. 1 pro schol. P.

PLP.

L.

εΰτίν

8.    om. q.

6. της] om. b. σφαίρας] ΰφαίρας η A B L.

L AAB [III, 31]. ergo AB : ΒΓ = AA²: ΑΓ²; quod erat demonstrandum.

XIV.

Octaedrum construere et sphaera comprehendere sicut priora et demonstrare, diametrum sphaerae potentia duplo maiorem esse latere octaedri.

ponatur datae sphaerae diametrus AB, et in Γ in duas partes aequales diuidatur, et in AB semicirculus describatur AAB, et a Γ ad AB perpendicularis ducatur ΓΑ, et \ ducatur AB, et exponatur quadratum ΕΖΗΘ singula latera rectae AB q aequalia habens, et ducantur ©Z, EH, et in K puncto ad planum quadrati ΕΖΗΘ perpendicularis ducatur recta KA, et ad alteram partem plani producatur ut KM, et ab utraque KA, KM uni rectarum EK, ZK, HK, ©E aequales abscindantur KA, KM, et ducantur .ΛΕ, ΛΖ, ΛΕΓ, ΑΘ, ME, MZ, ΜΗ, ΜΘ. et quoniam EE = E©, et L EE© rectus est, erit [I, 47] ©E2 = 2EX², rursus quoniam AK = KE, et LAKE rectus est, erit E^4² = 2EE² [id.], demonstrauimus

XIY. Pappus V p. 414, 7.

12. εκεία&ω supra ΘΖ] ΖΘ LBb. μια — 18. EM] ZK] KZ

επεζευ q„

13. ΔΒ] in ras. V, ΒΔ B. 17. καί] om. L?

11. ΓΔ] Δ e corr. Υ. scr. κ m. 1 P.

16. μέςη] om. Y.

18. EK] KE supra m. 2 B, KE Y.

22. εατιν L. εοτιν L.

om. L.

BYq.

24. Post EA ras. 1 litt. P.

KH, ΕΘ BV.

23. ΕΛΕ b. EE LBY.

τής EK' το άρα άπο ΕΘ* ίΰη άρα έΰτίν ή καί ή ΑΘ τή ΘΕ έΰτϊν ίΰη * ίΰόπλενρον αρα έΰτί το ΑΕΘ τρίγωνον. ομοίως δή δείζομεν, οτι καί έκαΰτον 5 των λοιπών τριγώνων, ών βάΰεις μεν είΰιν αί τον ΕΖΗΘ τετράγωνον πλενραί, κορνφαί δε τα Λ, ikf ΰημεΐα, ίΰόπλενρον έΰτίν' οκτάεδρον άρα ΰννέΰταται νπο οκτώ τριγώνων ίΰοπλεύρων περιεχόμενον.

ΑΕ ίΰον έΰτί τώ άπο τής τή ΕΘ. διά τά αντά 6ή

Αεί δή αντο καί ΰφαίρα περιλαβεΐν τή δο&είΰη 10 καί δεΐζαι, ο τι ή τής ΰφαίρας διάμετρος δυνάμει δι-πλαΰίων έΰτί τής τον οκτάεδρον πλευράς.

Επεί γάρ αί τρεις αί AK, ΚΜ, ΚΕ ίΰαι άλλή-λαις είΰίν, το άρα έπί τής AM γραφόμενον ημικύκλιον ήζει καί διά τον Ε. καί διά τά αυτά, £αζ/ 15 μενούΰης τής AM περιενεχ&εν το ημικύκλιον εις το αντο άποκαταΰτα&ή, ο&εν ήρξατο φέρεΰ&αι, ή%ει καί διά των Ζ, Η, Θ ΰημείων, καί έΰται ΰφαίρα περιει-λημμένον το οκτάεδρον, λέγω δή₉ ότι καί τή δο&είΰη. έπεί γάρ ίΰη έΰτίν ή ΑΚ τή ΚΜ₉ κοινί δέ ή ΚΕ, 20 καί γωνίας όρ&άς περιέχονΰιν, βάΰις άρα ή ΑΕ βάΰει τή ΕΜ έΰτϊν ίΰη. καί έπεί όρ&ή έΰτϊν ή νπο ΑΕΜ γωνία· έν ή μ ικνκλίω γάρ' το άρα άπο τής AM διπλά-ΰιόν έΰτι τον άπο τής ΑΕ. πάλιν₅ έπεί ίΰη έΰτίν ή ΑΓ τή ΓΒ₅ διπλαΰία έΰτίν ή AB τής ΒΓ. ώς ή 25 AB προς την ΒΓ\ όντως τι από τής AB προς το άπο τής BA' διπλάΰιον άρα έΰτί το άπο τής AB τον άπο τής ΒΑ. έδείχ&η καί το άπο τής AM διπλά-ΰιον τοϋ άπο τής ΑΕ. καί έΰτίν ίΰον το άπο τής

1. έατίν L. ών add. ai b.

3. έβτίν L.

2. έΰτίν] om. V. βάΰις L et B, sed corr. m. 2.

5. Post

έΰτίν L.

autem, esse etiam ΘΕ² = 2EK². itaque AE² = ΕΘ². quare A E = ΕΘ. eadem de causa igitur etiam ΑΘ — Θ E. quare triangulus ΑΕΘ aequilaterus est. similiter demonstrabimus, etiam reliquos triangulos, quorum bases sint latera quadrati ΕΖΗΘ, uertices autem puncta A, M, singulos aequilateros esse, ergo oeta-edrum constructum est octo triangulis aequilateris comprehensum.

Oportet igitur data sphaera idem comprehendere et demonstrare, diametrum sphaerae potentia duplo maiorem esse latere octaedri.

nam quoniam tres rectae AK, KM, KE inter se aequales sunt, semicirculus m. AM descriptus etiam per E ueniet. et eadem de causa si manente AM semicirculus circumuolutus ad idem punctum refertur, unde circumuolui coeptus est, etiam per puncta Z, H, Θ ueniet, et octaedrum sphaera comprehensum erit, iam dico, etiam data id sphaera comprehensum esse, nam quoniam AK = KM, et KE communis est, et rectos angulos comprehendunt, erit AE = EM [I, 4]. et quoniam i A EM rectus est (nam in semicirculo est) [III, 31], erit AM² — 2 A E² [I, 47]. rursus quoniam ΑΓ = ΓΒ, erit AB = 2ΒΓ. uerum AB : ΒΓ = AB² : BA² [YI, 8. Y def. 9]. itaque AB² = 2BA². demonstrauimus autem, esse etiam AM² = 2AE². et

7. ισόπλευρα bq.

6. κορυφή Pq. corr. m. 1.

at] (ait.) « (a?) L.

17. Ζ] E, Z P.

23. εστί] om. V, εβτιν L.

26. BJ] Δ in ras. Y.

11. έστίν L.

b.

Τ

Ι P, τή q. om. L, m g. m. 2 B.

8. περιεχομένων P, 12. Post γάρ dei. έστιν m. 1 P. ΛΚ] KA b.

20. περιέχουσι Vbq.

24. τής] g in ras. 2 litt. m. διπλάσιον — 27. ΒΑ]

13. είσί Vq, comp. 21. ή] om.

AB τω άπο τής AE' ί'ΰη γάρ κείται η ΕΘ τη AB. ίΰον άρα καί το άπο της AB τω άπο της AM* ί'ΰη ’άρα η AB τη AM. καί έΰτιν η AB η της δο&είΰης ΰφαίρας διάμετρος* η AM άρα ί'ΰη εΰτϊ τη της δ ο-5 &είΰης ΰφαίρας διαμέτρω.

Περιείληπται άρα το οκτάεδρον τη δο&είΰη ΰφαίρα. καί ΰνναποδέδεικται, οτι η της ΰφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλαΰίων εΰτϊ της τον οκταέδρου πλευράς * δπερ έδει δεΐξαι.

ίο

ιε .

Κύβον ΰυΰτήΰαΰ&αι και ΰφαίρα περιλαβειν, η και την πν ραμίδα, και δεΐζαι, οτι η τής ΰφαίρας δ ιάμετρος δυνάμει τριπλαΰίων έΰτι τής τον κύβον πλευράς.

¹

Hoc ex VI, 8 concluserat Euclides; nam quae sequuntur lin. 9 —12 male cohaerent et subditiua uidentur, sicut etiam lin. 27 — pag. 294, 3. ibi Euclides tacite usus erat VI, 4 et V def. 9. quae leguntur, et re (cfr. lemma) et uerbis (tlvai pag. 294 lin. 1) offendunt.

²

Uocabulo δυνάμει aegre quidem caremus, sed fortasse tamen audiri potest.

15 ’Εκκείΰ&ω ή τής δο&είΰης ΰφαίρας διάμετρος ή AB και τετμήΰϋ'ω κατά το Γ ωΰτε διπλήν είναι την ΑΓ τής ΓΒ, και γεγράφ&ω έπι τής AB ημικύκλιον το ΑΑΒ, καί άπο τον Γ τη AB προς όρ&άς ήχ&ω ή ΓΑ, και έπεξεύχ&ω ή AB, και έκκειΰ&ω τετράγωνον 20 το ΕΖΗΘ ίΰην έχον την πλευράν τή AB, και άπο των E, Ζ, Η, Θ τω τον ΕΖΗΘ τετράγωνου έπιπέδω προς όρ&άς ήχ&ωΰαν αι ΕΚ, ΖΑ, Η Μ, ΘΝ, καί

1 b.

1. ΑΕ] supja scr. z/ m. 1 b.

2. εΰτιν άρα P. 3. ή] (tert.) om. b. 7. otl ry] corr. ex οτι b m. 1.

11. κύκλον q.

dB] supra scr. A m.

4. εστίν P. 8. δπερ έδει δείξαι] om. σννΰτήαασϋ'αι P. 12. ή] την πυραμίδα] τα πρότερον Theon (BYbq).

έστίν ΡΒ. 15. ή] (prius) postea 20. έχων P, corr. m. 2. 21. τω τον ΕΖΗΘ] supra m. 2 P. 22. καί] seq. ras. 8 litt. Y.

Y, δπερ ity B. om. b.

13. τριπλή Bqb, comp. Y. add. m. 1 P.

την] έκάοτην Yq. επίπεδων B, corr. m. 2.

19. dB] AB b.

AB² = AE²: itaque etiam AB² = AM², quare AB = AM. et AB diametrus est datae sphaerae, ergo AM diametro datae sphaerae aequalis est.

supposuimus enim esse ΕΘ = AB.

Ergo octaedrum data sphaera comprehensum est; et simul demonstrauimus, diametrum sphaerae potentia duplo maiorem esse latere octaedri; quod erat demonstrandum.

XV.¹)

Cubum construere et sphaera comprehendere, sicut pyramidem, et demonstrare, diametrum sphaerae potentia triplo maiorem esse j Z_-ß latere cubi.

Exponatur diametrus datae sphaerae AB et in & Fita diuidatur, ut sit ΑΓ = 2ΓΒ [VI, 10], etin^ß semicirculus describatur AAB, et a Γ ad AB perpendicularis ducatur Fz/, et ducatur AB, et exponatur quadratum ΕΖΗΘ latus rectae AB aequale habens, et in E, Z, Η, Θ ad planum quadrati ΕΖΗΘ perpendiculares erigantur EK, ZAjHM, ΘΝ, et a singulis

Ν

71

1) In B figura textus eadem est ac nostra, sed in mg. m. 1 haec figura descripta est additis nerbis: ^ εν αλλω b κύβος όντως.

\Λ

άφηρήσ&ω από εκάστης των ΕΚ, ΖΑ, Η Μ, ΘΝ μια των ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ ίση εκάστη των ΕΚ, ΖΑ, Η Μ, ΘΝ, και έπεζεύχ&ωσαν αίΚΑ, AM, MN, ΝΚ* κύβος άρα σννέσταται 6 ΖΝ νπό τετραγώνων ίσων ο περιεχόμενος. δει δη αύτδν και σφαίρα περιλαβεϊν τη δο&είση καί δεΐξαι, δτι η της σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασία έστι της πλευράς τον κύβον.

εάν δη

’Επεξεύχ&ωσαν γάρ αί ΚΗ, ΕΗ. και έπεί όρ&ή έστιν η ντίο ΚΕΗ γωνία διά το και την ΚΕ όρ&ην J0 είναι προς το ΕΗ επίπεδον δηλαδη και προς την ΕΗ εύ&εΐαν, το άρα έπι της ΚΗ γραφόμενον ημικύκλιον ηζει και διά τον Ε σημείου. πάλιν, επεϊ η HZ όρ&ή έστι προς έκατέραν των ΖΛ, ΖΕ, και προς το ΖΚ άρα επίπεδον όρ&ή έστιν η HZ’ ώστε και εάν επι-15 ξεύζωμεν την ΖΚ, η HZ όρ&η εΰται και προς την ΖΚ’ και διά τούτο πάλιν το επι της ΗΚ γραφόμενον ημικύκλιον ηζει και διά τον Ζ. ομοίως και διά των λοιπών τον κύβον σημείων ηξει. μενούσης της ΚΗ περιενεχ&έν το ημικύκλιον εις τδ 20 αυτό άποκαταστα&η, ό&εν ηρξατο φερεΰ&αι, έσται σφαίρα περιειλημμένος δ κύβος, λέγω δη, ότι και τη δο&είση. έπει γάρ ίση έστϊν η HZ τη ΖΕ, καί έστιν όρ&ή η προς τω Ζ γωνία, το άρα από της ΕΗ διπλάσιάν έστι τον από της ΕΖ. ίση δε η ΕΖ τη ΕΚ’ 25 το άρα από της ΕΗ διπλάσιάν έστι τον από της ΕΚ’ ώστε τά από των ΗΕ, ΕΚ, τουτέστι το από της ΗΚ, τριπλάσιόν έστι τον από της ΕΚ. και έπει τριπλασίων έστιν η AB της ΒΓ, ως δε AB προς τ ν

1. άφηρήο&ωΰαν BVbq. in ras. m. 1 P. m. 1 B, KN q.

4. GVVLGTCiTCU V ?

7. τριπλαοίων P.

9. την] corr. ex το m. 1 q.

ZN] N 8. KH] corr. ex KN 12. HZ] in

ΕΚ, ZA, HM, ΘΝ uni rectarum EZ, ZH, ΗΘ, ΘΕ aequales abscindantur singulae ΕΚ, ZA, HM, ΘΝ, et ducantur KA, AM, MN, NK. itaque cubus constructus est sex quadratis aequalibus comprehensus, oportet igitur eundem data sphaera comprehendere et demonstrare, diametrum sphaerae potentia triplo maiorem esse latere cubi.

ducantur enim KH, EH. et quoniam i KEH rectus est, quia KE ad planum EH perpendicularis est et manifesto etiam ad rectam EH [XI def. 3], semicirculus in KH descriptus etiam per E punctum ueniet. rursus quoniam HZ ad utram que ZA, ZE perpendicularis est, HZ etiam ad planum ZK perpendicularis est [XI, 4]. quare ducta ZK recta HZ etiam ad ZK perpendicularis erit, qua de causa rursus semicirculus in HK descriptus etiam per Z ueniet. similiter etiam per reliqua puncta cubi ueniet. iam si manente KH semicirculus circumuolutus ad idem punctum refertur, unde circumuolui coeptus est, cubus sphaera comprehensus erit, iam dico, etiam data sphaera eum comprehensum esse, nam quoniam HZ = ZE, et angulus ad Z positus rectus est, erit EH² = 2EZ2 [I, 47]. uerum EZ = EK erit igitur EH² = 2EK². quare HE² + ΕΚ² = 3EK² = HK². et quoniam AB = 3ΒΓ, et AB : ΒΓ=ΑΒ²:ΒΑ² [VI, 8. Ydef.9],

13. εοτιν P.

ras. V.

Λ in ras.)

14. HZ] in ras. V.

16. καί] om. q.

23. τω] τό Vq.

HE] EH q.

HK] H corr. ex E m. rec. B.

bq.

ΖΛ", ZE' b, ZE, ΖΛ q et Y (E et KZ q et in ras. V.

15. HZ] in ras. V. 20. εβτοα ccgcc

καί] supra m. 1 b.

και av q, καν B Vb.

17. ομοίως δε καί V.

26. τά] καί τά Υ, τά postea add. P.

της] τον q. 28. ΒΓ] corr. ex BK m. 1B,

EK] supra scr. N m. 1 b.

ΒΓ\ όντως το άπο της AB προς το άπο τής ΒΑ, τριπλάσιον άρα το άπο τής AB τοϋ άπο τής ΒΑ. έδείχ&η δέ και το άπο τής ΗΚ τον άπο τής ΚΕ τριπλάσιον. και κεΐται ίση η ΚΕ τή AB* ίση άρα και 5 η ΚΗ τη AB. καί έστιν ή AB τής δο&είσης σφαίρας διάμετρος' καί η ΚΗ άρα ίση έστί τή τής δο&είσης σφαίρας διαμέτρω.

Τή δο&είση άρα σφαίρα περιείληπται δ κύβος* και σνναποδέδεικται, ότι ή τής σφαίρας διάμετρος δννάμει 10 τριπλασίων έστί τής τον κύβον πλενράς* οπερ εδει δεΐζαι.

ιζ'.

Είκοσάεδρον σνστήσασ&αι καί σφαίρα περι-λαβεΐν, ή και τά προειρημένα σχήματα, και δεΐ-ί,αι, οτι ή τον είκοσαέδρον πλενρά άλογός έστιν 15 ή καλόνμένη έλάττων.

’Εκκείσ&ω ή τής δο&είσης σφαίρας διάμετρος ή AB και τετμήσ&ω κατά το Γ ώστε τετραπλήν είναι την ΑΓ τής ΓΒ, και γεγράφ&ω επί τής AB ημικύκλιον το ΑΑΒ, και ήχ&ω άπο τον Γ τή AB προς 20    γωνίας εν&εΐα γραμμή ή ΓΑ, καί έπεξεύχ&ω ή

AB, καί έκκείσ%ω κύκλος δ ΕΖΗΘΚ, ον ή εκ τον κέντρον ίση έστω τή AB, καί έγγεγράφ&ω εις τον ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ίσόπλενρόν τε καί ισογώνιον το ΕΖΗΘΚ, καί τετμήσ&ωσαν αι ΕΖ, ΖΗ, 25 ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατά τά Α, Μ, Ν, S, Ο σημεία, καί έπεζεύχ&ωσαν αι AM, MN, NS, SO, ΟΑ, ΕΟ. ίσόπλενρόν άρα έστί καί το AMNSO

1. ΒΓ~\ corr. ex BK m. 1 Β.

m. 1.

2. τριπλαΰίων Ρ, corr. 4. ΔΒ] AB corr. in ΒΔ Β, AB supra scr. Δ m. 1 b,

et AB diametrus est datae spliaerae. itaque etiam KH diametro datae sphaerae aequalis est.

erit AB² — 3BA². demonstrauimus autem, esse etiam HK² = 3 KE². et posuimus KE = AB. itaque etiam KH= AB.

Ergo cubus data sphaera comprehensus est; et simul demonstrauimus, diametrum sphaerae potentia triplo maiorem esse latere cubi; quod erat demonstrandum.

XVI.

Icosaedrum construere et sphaera comprehendere, sicut figuras supra nominatas, et demonstrare, latus icosaedri irrationalem esse minorem quae uocatur.

Exponatur diametrus datae sphaerae AB et in Fita secetur, ut sit ΑΓ=4:ΓΒ [VI, 10], et in AB semicirculus describatur AAB, et a Γ ad AB perpendicularis ducatur recta ΓΑ, et ducatur AB, et exponatur circulus ΕΖΗΘΚ, cuius radius aequalis sit rectae AB, et in circulum ΕΖΗΘΚ pentagonum aequilaterum et aequi-angulum inscribatur ΕΖΗΘΚ [IV, 11], et arcus EZ; ZH, ΗΘ, ΘΚ, KE in punctis A, Μ, N, #, O in binas partes aequales diuidantur, et ducantur z/M, MN, NS, 3Ο, OA, EO. itaque pentagonum AMN&0

XVI. Pappus V p. 440, 19.

5. της] η της q.

6. καί] om. q. 8. δο&είαη] om. P.

εστίν B.

10. εστίν P. 16. σφαίρας] bis P, τη AB] om.

BJ Vq.

τη] supra scr. m. 1 P.

12. 6υνατηααβϋΌίί P, corr. m. rec.

17. ώστε] ώς b.

b. 21. ΒΔ e corr. b. εγ,γ,είσ^ω] alt. κ postea add. m. 1 P. η εκ του] bis P, corr. m. 1.    25. KE at q. 26. 0] postea

27. EO] om. q, supra scr. B uel Θ b.

corr. m. 1.

19. ΑΒΔ b.

ins. B.

πεντάγωνον, καί δεκαγώνον η ΕΟ εν&εΐα. και άν-εβτάτωΰαν από των Ε, Ζ, Η, Ο, Κ βημείων τω τον κύκλον έπιπέδω προς όρϋ'άς γωνίας εν&εΐαι αί ΕΠ, ΖΡ, U27, ΘΤ₅ ϋίΡ ίΰαι ονΰαι τη εκ τον κέντρου 5 τον ΕΖΗΘΚ κύκλον, και επεζενχ&ωΰαν αί ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΓ, Γ77, iLi, ΛΡ? ΡΜ, ΛΤ27, 2;iV, iVT, Τ#, £?P, PO, Oil. καί άτβί έκατέρα των ΕΠ, ΚΤ τω αντω έπιπέδω προς όρϋ'άς έΰτιν, παράλληλος άρα έΰτίν η ΕΠ τη ΚΤ. έΰτι δε αντη και ίΰη* αί ds ras itfas 10 τ£ καί jrapa/U^Aoug έπιξενγνύονΰαι επί τά αν τα μέρη εν&ειαι ϊ(5αι τε και παράλληλοί είΰιν. η ΠΤ άρα τη ΕΚ ίβη τε και παράλληλός έΰτιν. πεντάγωνον δέ ίΰοπλεύρου η EK' πεντάγωνον άρα ίΰοπλεύρον και η ΠΤ τον εις τον ΕΖΗΘΚ κύκλον έγγραφομένον. διά 15 τά αντά δη και έκάΰτη των ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΤ πεντάγωνον έότίν ίβοπλεύρον τον εις τον ΕΖΗΘΚ κύκλον έγγραφομένον* ίΰόπλενρον άρα το ΠΡΣΤΤ πεντάγωνον. καί έττεί έζαγώνον μέν έΰτιν η ΠΕ, δεκαγώνον δε η ΕΟ, καί έΰτιν όρ&ή η νπΐ ΠΕΟ, 20 πεντάγωνον άρα έΰτϊν η ΠΟ' η γάρ τον πεντάγωνον πλευρά δύναται την τε τον εναγών ον και την τον δεκαγώνον των εις τον αυτόν κύκλον έγγραφομένων. διά τά αντά δη και η ΟΤ πενταγώνου έΰτί πλευρά. έΰτι δε και η ΠΤ πενταγώνου* ίΰόπλενρον άρα έΰτϊ 25 το ΠΟΤ τρίγωνον. διά τά αντά δη και έκαύτον των ΠΛΡ, ΡΜΣ, ΣΝΤ, ΤβΤ ίαόπλενρόν έύτιν. καί έπει πενταγώνου έδείχϋη έκατέρα των ΠΑ, Π Ο, έΰτι

1. δεκαγώνον, mut. in δεκαγώνον q. εατάτω q. 4. ονααι] om. b.

8. εβτι BVq, comp. b. μέςη επιζενγννονΰαι Υ.

άν-

ΟΕ Ρ.

7. ΕΠ] ΘΠΊ B, sed corr. 9. εατιν ΡΒ.

11. τε] om. q.

10. επϊ τά αυτά 12. τέ εατι Υ.

aequilaterum est, et decagoni latus est recta EO. et in punctis E, Z, Η, Θ, K ad planum circuli perpendiculares erigantur rectae ΕΠ, ZP, ΗΣ, ΘΤ, KT radio circuli ΕΖΗΘΚ aequales, et ducantur 77P, ΡΣ, ΣΤ, TT, ΤΠ, 7L7, ΛΡ, PikT, Μ27, iVT T8, ST, TO, 077. et quoniam utraque £/7, TCP ad idem planum perpendicularis est, ΕΠ rectae KT parallela erit [XI, 6]. uerum etiam ΕΠ — KT. quae autem rectas aequales et parallelas ad easdem partes coniungunt rectae, inter se aequales et parallelae sunt [I, 33]. itaque ΠΤ rectae EK aequalis et parallela est. uerum EK latus pentagoni aequilateri est. quare etiam ΠΤ latus est pentagoni aequilateri in ΕΖΗΘΚ circulo inscripti, eadem de causa etiam singulae 77P, ΡΣ, Σ T, TT latera sunt pentagoni aequilateri in ΕΖΗΘΚ circulo inscripti, itaque pentagonum ΠΡΣΤΤ aequilaterum est. et quoniam hexagoni latus est ΠΕ, decagoni autem EO, et L 77EO rectus est, 770 latus est pentagoni; nam quadratum lateris pentagoni quadratis laterum hexagoni et decagoni in eodem circulo inscriptorum aequale est [prop. X]. eadem de causa etiam OT latus est pentagoni, uerum etiam ΠΤ pentagoni est. triangulus igitur ΠΟΤ aequilaterus eat. eadem de causa etiam singuli trianguli ΠΑΡ, ΡΜΣ, ΣΝΤ, T&T aequilateri sunt, et quoniam de-monstrauimus, utramque ΠΑ, Π0 latus pentagoni

εβτιν] om. V, εβτι q, comp. b. 13. -πλενρον — lgo-~\ 15. δη] om. q. 16. f<m', supra add. πλενρα, 17. αρα εατίν P. 19. E Ο] E Θ b, OE 22. των] om. q. 23. TO q. THT τριγώνων V.

mg. m. 2 B.

V.

q·

Ε2ΗΘ V.

21. rf] om. q.

24. εβτιν B.

PYq, comp. b.

26. PME b. 27. εβτιν B.

εστ i

de και η ΑΟ πενταγώνου, ισόπλευρόν άρα έστϊ το ΠΑΟ τρίγωνον, δια τα αυτά δη και έκαστον των ΑΡΜ, ΜΣΝ, ΝΤΒ, STO τριγώνων ισόπλευρόν έστιν. είλήφ&ω το κέντρον τού ΕΖΗΘΚ κύκλου το 5 Φ σημεϊον' και από τού Φ τω τον κύκλον έπιπέδω προς όρ&άς άνεστάτω η ΦΩ, καί έκβεβλήσ&ω επί τά έτερα μέρη ως η ΦΨ, και άφηρήσ&ω έ%αγώνου μεν η ΦΧ, δεκαγώνου δε έκατερα των ΦΨ, ΧΩ, και έπεξεύχ&ωσαν αί ΠΩ, ΠΧ, ΤΩ, ΕΦ, ΑΦ, ΑΨ, 10 ΨΜ. και έπει έκατερα των ΦΧ, ΠΕ τω τον κύκλον έπιπέδω προς όρ&άς έστιν, παράλληλος άρα έστιν η ΦΧ τη ΠΕ. είσϊ δε και ίσαι* και αί ΕΦ, ΠΧ άρα ϊσαι τε και παράλληλοί είσιν. εζαγώνου δέ η ΕΦ· έξαγώνου ’άρα και η ΠΧ. και έπει έζαγώνου μεν 15 έστιν η ΠΧ, $εκα^ωΐΌΐ> ds ή    καί όρ&ή έστιν η

υπό ΠΧΩ γωνία , πενταγώνου άρα έστιν η ΠΩ,, διά τά αυτά δη και η ΤΩ πενταγώνου έστίν, έπειδηπερ, έάν έπιζεύξωμεν τάς ΦΚ,    /<7ca καί άπεναντίον

έσονται, καί    ή ΦϋΓ ίκ τού κέντρου ούσα εζα-

20 γώνου' έξαγώνον άρα και η ΧΤ. δεκαγώνου δε η ΧΩ, και όρ&ή i υπό ΤΧΩ* πενταγώνου άρα η ΤΩ. έστι δε και η ΠΤ πενταγώνου* ισόπλευρον άρα έστι το ΠΤΩ τρίγωνον, διά τά αυτά δη καί έκαστον των λοιπών τριγώνων, ών βάσεις μέν είσιν αί ΠΡ, ΡΣ, 25 ΣΤ, ΤΤ εύ&εΐαι, κορυφή δε το Ω σημεϊον, ισόπλευρόν έστιν. πάλιν, έπεϊ εναγών ου μέν η ΦΑ, δεκαγώνου

3. τρίγωνον comp. b. 6. εκβεβλη q.

9. ΑΦ] ΛΨ Ρ, ΦΛ q.

4. τον Υ,νΥ,λου τον

2. ΠΛΘ q.

ΕΖΗΘΚ V. ras. m. 1 Ρ.

10. ΨΜ] in ras., dein add. ΜΦ V; ΜΨ, dei. m. 1 et m. ree. 11. εατιν] comp, b, εΰτι PBVq.

7. ΨΦ b.

8. ΦΨ] Ψ in ΛΨ] ΑΦ Ρ.

Ρ.

12. Ante ΦΧ dei.

esse, et A O et ipsa pentagoni est, triangulus ΠΛΟ aequilaterus est. eadem de causa etiam singuli trianguli APM, ΜΣΝ, NTS, STO aequilateri sunt, iam sumatur centrum circuli ΕΖΗΘΚ [III, 1] et sit punctum Φ. et in puncto Φ ad planum circuli perpendicularis erigatur Φβ et ad alteram partem producatur ut ΦΨ, et abscindatur latus hexagoni ΦΧ, decagoni autem utraque ΦΨ, XSl, et ducantur IlSi, ΠΧ, TSi, ΕΦ, ΑΦ, ΑΨ, ΨΜ. et quoniam utraque ΦΙ, ΠΕ ad planum circuli perpendicularis est, ΦΧ rectae ΠΕ parallela est [XI, 6]. uerum etiam aequales sunt, quare etiam ΕΦ, ΠX aequales et parallelae sunt [I, 33]. sed ΕΦ latus est hexagoni, quare etiam ΠΧ hexagoni est. et quoniam ΠΧ latus est hexagoni, XSl autem decagoni, et Ζ.77ΧΏ rectus est [XI def. 3. I, 29], IISl latus est pentagoni [prop. X]. eadem de causa etiam TSI pentagoni est, quoniam, si duxerimus ΦΚ, XT, aequales erunt et inter se oppositae, et ΦΚ radius aequalis est lateri hexagoni; quare etiam X T hexagoni est. decagoni autem XSl, et L TXSl rectus est; quare TSI pentagoni est. uerum etiam ΠΤ pentagoni est. itaque triangulus I1TSI aequilaterus est. eadem de causa igitur etiam reliqui trianguli, quorum bases sunt rectae ΠP, ΡΣ, ΣΤ' TT, uertex autem punctum SI, singuli aequilateri sunt, rursus quoniam hexagoni est ΦΑ, decagoni

SL6LV PB. 19. ΦΧ B.

1 litt. P. bigiv q. bgtl] om. V, bgtlv P. 24. ων] supra m. 2 B. q, μεν bgtlv b.

15. iativ] (prius) bgtl P, 22. k'cTLv B.

ΧΠ P.

21. TSI] SIT P.

23. καί] om. bq, supra m. 2 B.

26. bgtl Pq, comp. b. μετ'] bgtlv

ΛΦ q.

Αεί δη αυτό και σφαίρα περιλαβεΐν τη δο&είση και δει%αι₉ ότι η του είκοσαεδρου πλευρά άλογός έστιν η καλούμενη έλάσσων.

δέ η ΦΨ, καί όρ&ή έστιν η υπό ΑΦΨ γωνία, πεντάγωνον άρα έστιν η Α Ψ. δια τα αυτά δη εάν έπι-ζεύζωμεν την ΜΦ ούσαν έξαγώνον, συνάγεται και η ΜΨ πενταγώνου, έστι δε και η AM πενταγώνου· 5 ισόπλευρον άρα έστι το ΑΜΨ τρίγωνον, ομοίως δη δειχ&ηΰεται, ότι και έκαστον των λοιπών τριγώνων, ών βάσεις μεν είσιν αι ΜΝ, iV#, 30, ΟΑ, κορυφή δε το Ψ σημειον, ισόπλευρόν έστιν. συνέσταται άρα είκοσάεδρον υπό είκοσι τριγώνων ισοπλεύρων περι-10 εχόμενον.

’ΕπεΙ γάρ έζαγώνου έστιν η ΦΧ, δεκαγώνου δέ η 15 XSl₉ η ΦβΙ άρα άκρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά το X, και το μεΐζον αυτής τμημά έστιν η ΦΧ* έστιν άρα ώς η £ΙΦ προς την ΦΧ, ούτως η ΦΧ προς την XSI. ίση δε η μεν ΦΧ τη ΦΕ, η δε XSI τη ΦΨ' έστιν άρα ώς η ίΙΦ προς την ΦΕ, ούτως ‘20 η ΕΦ προς την ΦΨ. καί είσιν ορ&αί αι υπό ίΙΦΕ, ΕΦΨ γωνίαι* έάν άρα έπιζεύζωμεν την ESI εύ&είαν9 όρ&η έσται η υπό ΨΕ£1 γωνία διά την ομοιότητα των ΨΕ£1, ΦΕ£1 τριγώνων, διά τα αυτά δη έπεί έστιν ώς ή £ΙΦ προς την ΦΧ, ούτως η ΦΧ προς 25 την ΧΏ, ίση δέ η μέν £ΙΦ τη ΦΧ, δέ ΦΧ τη Χϋ, έστιν άρα ώς η ΨΧ προς την ΧΠ, ούτως η ΠΧ προς την XSI. και διά τούτο πάλιν έάν έπι-ξεύζωμεν την Π Φ, όρ&η έσται η προς τω Π γωνία·

η] supra scr. m. δη] om. Υ.

3. ΦΜ Ρ. 4 ΨΜ Ρ. έατιν ΡΒ.

1 b. 5. εστι] om. Υ, έατιν Ρ. ΨΛΜ Ρ.

autem ΦΨ, et L ΑΦΨ rectus est, ΑΨ pentagoni est [prop. X]. eadem de causa ducta ΜΦ, quae latus est hexagoni, concludimus, etiam ΜΨ pentagoni esse, uerum etiam AM pentagoni est. itaque triangulus ΑΜΨ aequilaterus est. similiter demonstrabimus, etiam reliquos triangulos, quorum bases sint MJV, NS, HO, OA, uertex autem punctum Ψ, singulos aequilateros esse, ergo icosaedrum constructum est uiginti triangulis aequilateris comprehensum.

oportet igitur etiam data id sphaera comprehendere et demonstrare, latus icosaedri irrationalem esse minorem quae uocatur.

uerum

nam quoniam hexagoni est ΦΙ, decagoni autem XSl, recta Φ£1 in X secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars eius est ΦΧ [prop. IX]. itaque £ΙΦ : ΦΧ — ΦΧ-.XSl.

ΦΧ= ΦΕ, Χ£1=ΦΨ. quare &Φ:ΦΕ = ΕΦ:ΦΨ. et anguli &ΦΕ, ΕΦΨ recti sunt, ergo ducta ESI L ΨΕ&1 rectus erit, quia Δ ΨΕ& ~ ΦESl [YI, 8]. eadem de causa quoniam est &Φ: ΦΧ — ΦΧ-.XSl, et £ΙΦ=ΨΧ, ΦΧ=ΧΠ, erit ΨΧ:ΧΠ = I1X:XSI. quare rursus ducta ΠΨ angulus ad Π positus rectus

20. ΕΦ] ΑΦ SlΦA Vbq, A e corr. m. 2 B. 22. WASl BVbq.

6. λουπών] i supra scr. m. 1 P. 7. ών] mg. m. 2 B. μεν] om. B. 8. εβτι Pq, comp. b. 14. εατιν] μέν Y.

18. ΦΕ] ΦΑ Theon (BVbq), item lin. 19.^

BVbq (A e corr. m. 2 B).

21. ΑΦΨ BVbq. ASl BVbq.

23. ΨΑ£1 BVbq. ΦΑίΙ BVbq. Post τριγώνων add. το άρα επί της Ψ SI γραφόμενον ημικύκλιον ηζει και διά τον Α Vbq, mg. m. 2 B (καί om. q).    24. η] (prius) in ras. m. 1 P.

25. ΨΧ] ΧΨ q. 27. τοντο] τά αντά q; γρ. διά τά αντά mg. m. 1 b. ει επιζενξομεν q. 28. τω] τό q.

τδ άρα έπι της    γραφόμενον ημικύκλιον ήζει και

δια τού Π. και έάν μενούσης της Ψ£1 περιενεχ&εν το ημικύκλιον είς το αντδ πάλιν άποκατασταδή, ο&εν ήρζατο φέρεσ&αι, ήζει και διά του Π και των λοιπών 5 σημείων τον είκοσαέδρου, και έσται σφαίρα περιειλημ-μένον το είκοσάεδρον. λέγω δη, δτι και τη δο&είση. τετμήσ&ω γάρ η ΦΧ δίχα κατά το A'. και έπει εν&εΐα γραμμή ή Φ£1 άκρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά το X₉ και το έλασσον αυτής τμήμά έστιν η SIX, 10 η άρα &Χ προσλαβοϋσα την ήμίσειαν τον μείξονος τμήματος την ΧΑ' πενταπλάσιον δύναται τον άπδ τής ήμισείας τον μείζονος τμήματος* πενταπλάσιον άρα έστι το άπδ τής £ΙΑ' τον άπδ τής A' X. καί έστι τής μεν £ΙΑ' διπλή ή £ΙΨ, τής δέ A'X διπλή ή ΦΧ¹ 2 3 15 πενταπλάσιον άρα έστι τδ άπδ τής £1 Ψ τον άπδ τής ΧΦ. και έπεϊ τετραπλή έστιν ή ΑΓ τής ΓΒ, πενταπλή άρα έστιν ή AB τής ΒΓ. ως δε ή AB πρδς την ΒΓ\ όντως τδ άπδ τής AB πρδς τδ άπδ τής ΒΑ· πενταπλάσιον άρα έστι τδ άπδ τής AB τον άπό τής 20 ΒΑ. έδείχ&η δε και τδ άπδ τής £1 Ψ πενταπλάσιον τον άπδ τής ΦΧ. καί έστιν ίση ή AΒ τή ΦΧ* έκα-τέρα γάρ αύτών ίση έστι τή έκ τον κέντρου τον ΕΖΗΘΚ κύκλον* ίση άρα και ή AB τή Ψ£1. καί έστιν ή AB ή τής δο&είσης σφαίρας διάμετρος* και 25 ή Ψ£1 άρα ίση έστι τή τής δο&είσης σφαίρας διαμέτρω. τή άρα δο&είση σφαίρα περιείληπται τδ είκοσάεδρον.

Αέγω δή, οτι ή τον είκοσαέδρον πλευρά άλογός έστιν ή καλονμένη έλάττων. έπει γάρ ρητή έστιν ή

3. oft εν ν.αί q.

2. Π] supra scr. Ψ b.

Μ mut. in a V, a Bb (in fig. ,αςΒ). αυτής'] έΰτι b, αυτής εατι Bq.

erit [VI, 8]. itaque semicirculus in Ψ£1 descriptus etiam per Π ueniet [I, 31]. et si manente Ψ& semicirculus circumuolutus rursus ad idem punctum refertur, unde circumuolui coeptus est, et per Π et per reliqua puncta icosaedri ueniet, et icosaedrum sphaera comprehensum erit, iam dico, data id sphaera comprehensum esse, nam ΦΧ in A' in duas partes aequales diuidatur. et quoniam recta Φβ secundum rationem extremam ac mediam in X diuisa est, et minor eius pars est ΩΧ, erit A'£l² = hA'X² [prop. III]. est autem &Ψ = 2SIA', ΦΧ= 2A'X. itaque βψ2 = 5ΧΦ². et quoniam ΑΓ= 4ΓΒ, erit AB = 5ΒΓ. uerum AB : ΒΓ = AB²: BA² [VI, 8. V def. 9]. itaque AB² = 5BA². . demonstrauimus autem, esse etiam £ΙΨ² = 5ΦΧ². et AB = ΦΙ; nam utraque earum radio circuli ΕΖΗΘΚ aequalis est. itaque etiam AB = Ψ£1. et AB diametrus est datae sphaerae, quare etiam ψβ diametro datae sphaerae aequalis est. ergo icosaedrum data sphaera comprehensum est.

iam dico, latus icosaedri irrationalem esse minorem quae uocatur. nam quoniam diametrus sphaerae

τετ^απλαΰίων πενταπλααίων Y et, supra scr. η ΒΓ] in ras., dein add. εστιν

BVbq.    εδτιν] om. q.

m. 1, b.    17. εβτίν] om. Y.

V, ΓΒ B. AB — 18. τής (prius)] bis P, corr. m. 1.

19. εατίν B. 20. de] om. b. 21. ίση] om. V. JB ί'αη Y. 22. εβτιν PB. τον κύκλον τον ΕΖΗΘΚ Y.

23. ΕΖΗΘ q. καί] om. q. τής SI Ψ b. 25. εατίν PB. 28. ίλάβαων BYq.

της σφαίρας διάμετρος, καί έστι δυνάμει πενταπλασίων της έκ του κέντρου τού ΕΖΗΘΚ κύκλου, ρητη άρα έστι και η εκ του κέντρου του ΕΖΗΘΚ κύκλου* ώστε και η διάμετρος αυτού ρητη έστιν. εάν δε εις κύκλον 5 ρητην έχοντα την διάμετρον πεντάγωνον ισόπλευρον

Μλ

Ίΐ

·'

'Φ

Λ⁷

\Θ

έγγραφη, η τού πενταγώνου πλευρά άλογός έστιν η καλουμένη έλάττων. η δέ τού ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρά η τού είκοσαέδρου έστίν. η άρα του είκοσαέδρου πλευρά άλογός έστιν η καλουμένη έλάττων.

1. εστιν Β, τετραπλασίων b. 2. ΕΖΗΘ q. 3. εστίν ΡΒ. 7. ελάσσων V. ή δε ή b. 8. η άρα η b. 9. ελάσσων Ρ.

rationalis est et potentia quintuplo maior est radio circuli ΕΖΗΘΚ, etiam radius circuli ΕΖΗΘΚ rationalis est. quare etiam diametrus eius rationalis est. sin in circulum rationalem diametrum habentem penta-gonum aequilaterum inscribitur, latus pentagoni irra-

7Δ

tionalis est minor quae uocatur [prop. XI]. uerum latus pentagoni ΕΖΗΘΚ latus est icosaedri. ergo latus icosaedri irrationalis est minor quae uocatur.

Πόρισμα.

’Εκ δη τούτον φανερόν, ότι η της σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων έστϊ τής εκ τον κέντρου τού κύκλου, άφ⁹ ού το είκοσάεδρον άναγέγραπται, και δ οτι ή τής σφαίρας διάμετρος σύγκειται έκ τε τής τού εζαγώνου και δύο των τού δεκαγώνου των εις τον αυτόν κύκλον έγγραφομένων. όπερ έδει δεΐζαι.

*'·

Αωδεκάεδρον συστήσασ&αι και σφαίρα περί-10 λαβεΐν, ή και τά προειρημένα σχήματα, και δει %αι₉ ότι ή τον δ ωδ εκα έδ ρου πλευρά άλογο\ς έστιν ή καλουμένη άποτομή.

Έκκείσ&ωσαν τον προειρημένου κύβου δύο επίπεδα προς όρ&άς άλλήλοις τά ΑΒΓΑ, ΓΒΕΖ, και τετμή-15 σ&ω έκάστη των AB, ΒΓ\ ΓΑ, ΑΑ, ΕΖ, ΕΒ, ΖΡ πλευρών δίχα κατά τά Η,    X, Μ, IV, 3, και

έπεξεύχ&ωσαν αί ΗΚ, ©z/,    IV#, καί τετμήσ&ω

έκάστη των ΝΟ, 03,    άκρον και μέσον λόγον

κατά τά Ρ, Σ, Τ σημεία, καί    αυτών μείξονα

20 τμήματα τά ΡΟ, ΟΣ, Τ77, καί άνε^ταταχίαι/ απτό των Ρ, Σ, Τ σημείων τοίς τον κύβον έπιπέδοις προς ορ&άς έπϊ τά έκτος μέρη τον κύβον αί ΡΤ, ΧΦ, ΤΧ, καί κείσ&ωσαν ί'σαι ταις ΡΟ, ΟΧ, Τ77, καί έπεζεύχ&ωσαν αί ΤΒ, £Χ, ΧΓ, ΓΦ, ΦΡ. λή,ω, ow ro ΤΒΧΓΦ 25 πεντάγωνον ισόπλευρόν τε και έν ένι έπιπέδω καί εττ^

1. πόρισμα] om. bq. 3. J<m'v Β. 5. τον] om. BV. 6. των dvo V.    7. οπερ εόει $ειξαι] om. BV.

8. i£'] om. q.    9. ovv6tr\Ga6&ca P, corr. m. rec.

10. προειρημένα] προ'τερον q; mg. m. 1: 7ρ. τά πρότερον b.

13. κυβου] κύκλον comp. b. 16. 3 σημεία V. 17. τετμη-

Corollarium.

Hinc manifestum est, diametrum sphaerae potentia quintuplam esse radii circuli, in quo icosaedrum descriptum est, et diametrum sphaerae ex latere hexagoni et duobus lateribus decagoni in eodem circulo inscriptorum compositam esse. — quod erat demonstrandum.

XVII.

Dodecaedrum construere et sphaera comprehendere, sicut figuras, quas supra nominauimus, et demonstrare, latus dodecagoni irrationalem esse apotomen quae uocatur.

exponantur duo plana cubi, quem nominauimus [prop. XV] inter se perpendicularia ΑΒΓΑ, ΓΒΕΖ, et singula latera AB, ΒΓ, ΓΑ, A A, EZ, EB, ΖΓ in binas partes aequales diuidantur in punctis H, ©, K, A, Μ, IV, #, et ducantur HK, ΘΑ, ΜΘ, IV#, et singulae NO, Ο#, ΘΠ secundum rationem extremam ac mediam in punctis P, Σ, T secentur, et maiores earum partes sint PO, ΟΣ, ΤΠ, et in punctis P, Σ, T ad plana cubi perpendiculares in partes exteriores cubi erigantur PT, ΣΦ, TX, et ponatur PT = PO, ΣΦ = ΟΧ, TX= T77, et ducantur PB, ΰΐ, XT, ΓΦ, ΦΤ. dico, pentagonum ΤΒΧΓΦ et aequilaterum esse et in uno plano positum et praeterea aequiangulum.

G&coGciv ai NO V. svfreiaL V. ras. Y.

18. @IT] IT e corr. m. rec. P; ΘΠ 22. κ-υβου] in 24. BX'

21. κνβον] κνκλου comp. b.

PT] P eras. Y. 23. εκκείΰ&ωβαν P. ΙΓ] X, ΙΓ in ras. m. 2 Y.

ΤΒΧΓΦ] pro ΧΓ in q X corr. ex Γ m. 1. ras. m. 2 Y.

ΓΦ] mg. m. 2 Y, ΓΧ B.

25. ε7Γ^7Γ£^ω] in

Ισογώνιόν έστιν. έπεζενχΰωσαν γάρ αι ΡΒ, ΣΒ, ΦΒ. και έπει εν&εΐα η ΝΟ άκρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά τό Ρ, και τό μεΐζον τμημά έστιν η ΡΟ, τα άρα από των ΟΝ, ΝΡ τριπλάσια έστι τον από της ΡΟ.

5 ίση δε η μεν ΟΝ τη ΝΒ, η δε ΟΡ τη ΡΤ' τα άρα από των ΒΝ, ΝΡ τριπλάσια έστι τον από της ΡΤ. τοΐς δε από των ΒΝ, ΝΡ τό από της ΒΡ έστιν ίσον' τό αρα από της ΒΡ τριπλάσιόν εΰτι τον από της PT' ώστε τά από των ΒΡ, ΡΤ τετραπλάσια έστι τον από 10 της ΡΤ. τοΐς δε από των ΒΡ, ΡΤ ίσον έστι τό από της Β Τ' τό άρα από της Β Τ τετραπλάσιόν έστι τον από της TP' διπλή άρα έστϊν η ΒΤ της ΡΤ. έστι δε και η ΦΤ της ΤΡ διπλή, έπειδηπερ και η ΣΡ της ΟΡ, τοντέστι της ΡΤ, έστι διπλή' ίση άρα η ΒΤ τη 15 ΤΦ. ομοίως δη δειχ&ήσεται, ότι και έκάστη των ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ έκατέρα των ΒΤ, ΤΦ έστιν ίση. ΐσόπλενρον άρα έστι τό ΒΤΦΓΧ πεντάγωνον, λέγω δη, ότι και έν ένί έστιν έπιπέδω. ηχ&ω γάρ από τοϋ Ο έκατέρα των ΡΤ, ΣΦ παράλληλος έπι τά εκτός τον κύβον 20 μέρη η Ο Ψ, και έπεζενχ&ωσαν αί ΨΘ, ΘΧ* λέγω, ότι η ΨΘΧ εν&εΐά έστιν. έπει γάρ η ΘΠ άκρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά τό Τ, και τό μεΐζον αντης τμημά έστιν η ΠΤ, έστιν άρα ως η ΘΠ προς την ΠΤ, όντως η ΠΤ προς την ΤΘ. ίση δε η μέν ΘΠ 25 τη ΘΟ, η δέ Π Τ έκατέρα των ΤΧ, ΟΨ’ έστιν άρα ώς η ΘΟ προς την ΟΨ, όντως η ΧΤ προς την ΤΘ. καί έστι παράλληλος r μεν ΘΟ τη ΤΧ' έκατέρα γάρ αντών τω ΒΠ έπιπέδω προς όρ&άς έστιν’ η δε ΤΘ τη ΟΨ* έκατέρα γάρ αντών τω ΒΖ έπιπέδω προς

3. μεΐζον αντης V. 4. ΝΡ] HP Β.

PO] in ras. V. τά] τό q. τρίπλάαικ] mut. in τριπλάσιον m. 1 q.

ducantur enim PB, ΣΒ, ΦΒ. et quoniam recta NO secundum rationem extremam ac mediam diuisa est in P, et maior pars eius est PO, erunt ON² -f- NP = 3P0² [prop. IV]. uerum ON = NB, OP=PT. itaque BN² + NP² = 3PT². est autem BP² = BN2 + NP² [1,47]. itaque BP² = 3PP². quare 5P2 + PT² = 4PP². uerum BT² = BP² + PP² [I, 47]. itaque B T² = 4:PT². quare BT = 2PT. est autem etiam ΦΤ=2 TP, quoniam etiam ΣΡ= 2 OP— 2ΡΤ itaque ΒΤ=ΤΦ. similiter demonstrabimus, esse etiam singulas 51, XF, ΓΦ utrique BT, ΤΦ aequales, ergo pentagonum ΒΤΦΓΧ aequilaterum est. iam dico, idem in uno plano positum esse, ab O enim utrique PT, ΣΦ parallela in partes exteriores cubi ducatur ΟΨ, et ducantur ΨΘ, ΘΧ. dico, ΨΘΧ rectam esse, nam quoniam ΘΠ in T secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars eius est ΠΤ, erit ΘΠ:ΠΤ=ΠΤ:ΤΘ. uerum ΘΠ=ΘΟ, ΠΤ = TX — ΟΨ. itaque ΘΟ:ΟΨ = ΧΤ:ΤΘ. et ©O rectae TX parallela est (nam utraque earum ad planum ΒΛ perpendicularis est) [XI, 6] et ΤΘ rectae ΟΨ (nam utraque earum ad planum BZ perpendicu-

S6TLV P.

9. 86TLV P. corr. m. 1. in ras. V.

5. ΡΤ] ΡΓ q.

10. ΡΤ] (ali) ΡΓ q.

12. εοτίν'] om. V.

ΣΡ] supra ras. m. 2 q. έβτιν B.

18. εβτιν'] ε ins. m. 1 q.

20. μέρη τού κύβον Υ. γον~] om. b.

24. ΘΠ] ΠΘ Ρ.

ΡΓ m. 1 q.

6. ΝΡ] P e corr. Υ.

1L αρα] bis P, postea 13. ΤΡ διπλή] 14. ΡΤ] corr. ex ΒΧ] ΦΧ q.

ηχ&ω] η e corr. m. 1 b.

ΨΘ] Θ e corr. m. 1 b.

23. την ΠΤ] ΠΤ in ras. V, ΠΤ Bb.

εΰτιν B.

15. καί] om. q.

22. Ιό-

όρΰάς έστιν. εάν δε δύο τρίγωνα συντε&η κατά μίαν γωνίαν, ώς τά ΦΟΘ, ΘΤΧ, τάς δυο πλευράς ταΐς δυσϊν άνάλογον εχοντα, ώστε τάς ομολόγους αυτών πλευράς και παραλλήλους είναι, αί λοιπαι ευ&εΐαι επ' 5 ευθείας έσονται* άτ* ευθείας άρα έστιν η ΦΘ τ η ΘΧ. πάσα δε εύ&εΐα εν ένί έστιν επιπέδω* εν ένι αρα επιπέδω έστι το ΤΒΧΓΦ πεντάγωνον.

Λέγω δη, ότι και ισογώνιόν έστιν.

ΈπεΙ γάρ εύ&εΐα γραμμή η ΝΟ άκρον και μέσον 10 λόγον τέτμηται κατά το Ρ, και το μεΐζον τμήμα έστιν η ΟΡ [έστιν αρα ώς συναμφότερος η NO, ΟΡ προς την ΟΝ, ούτως η ΝΟ προς την ΟΡ], ίση δε η ΟΡ τη ΟΣ [έστιν άρα ώς η ΣΝ προς την ΝΟ, ούτως η ΝΟ προς την ΟΣ], η ΝΣ άρα άκρον και μέσον 15 λόγον τέτμηται κατά το Ο, και το μεΐζον τμήμα έστιν η ΝΟ* τά άρα από των ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά έστι του από της ΝΟ. ίση δέ η μεν ΝΟ τη ΝΒ, η δε ΟΣ τη ΣΦ' τά άρα από των ΝΣ, ΣΦ τετράγωνα τρι-πλάσιά έστι του από της ΝΒ' ώστε τά από των ΦΣ, 20 ΣΝ, ΝΒ τετραπλάσιά έστι τού από της ΝΒ. τοΐς δε από των ΣΝ, ΝΒ ίσον έστι το από της ΣΒ* τά άρα από των ΒΣ, ΣΦ, τουτέστι το από της Β Φ (ορ&η γάρ η υπό ΦΣΒ γωνία), τετραπλάσιόν έστι τού από της ΝΒ· διπλή άρα έστιν η ΦΒ της ΒΝ. 25 έστι δέ και η ΒΓ της ΒΝ διπλή# ίση άρα έστιν η ΒΦ τη ΒΓ. και έπει δύο αί ΒΤ, ΤΦ δυσι ταΐς ΒΧ, ΧΓ ίσαι είσίν, και βάσις η ΒΦ βάσει τη ΒΓ Ιση,

3. δυσϊ

2. ΘΤΧ] ΟΤΧ Β, et b supra scr. Θ m. 1.

ρά$] om. Υ. καί] om. Ρ. q. επιπέδω άρα Β.

(δύο q) πλευραΐς Theon (BVbq). πλευράς αυτών q. 4. πλευ-

5. ΟΧ b. 6. αρα] ^άρ εΰτιν 7. εατί] om. q; έστιν Ρ. ΤΒΧΓΦ]

laris est), sin duo trianguli in uno angulo con-iunguntur ut ΨΟΘ, ΘΤΧ duo latera duobus lateribus proportionalia habentes, ita ut latera correspondentia etiam parallela sint, reliqua latera in eadem recta erunt posita [VI, 32]. itaque    ΘΧ in eadem

recta positae erunt, omnis autem recta in uno plano posita est [XI, 1]. ergo pentagonum ΤΒΧΓΦ in uno plano positum est.

iam dico, idem aequiangulum esse, nam quoniam recta NO in P secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars eius est OP, et OP= ΟΣ, recta ΝΣ in O secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars est NO [prop. V].⁴) itaque ΝΣ⁵ + Σ0⁵ = 3NO⁵ [prop. IV]. uerum NO = NB, ΟΣ=ΣΦ. itaque ΝΣ⁵ + ΣΦ⁵ = 3NB⁵. quare ΦΣ⁵ + ΣΝ⁵ + NB = 4NB⁵. sed ΣΒ⁵ = ΣΝ⁵ + NB⁵ [I, 47]. itaque ΒΣ⁵ + ΣΦ⁵ = ANB⁵ = ΒΦ⁵ (nam L ΦΣΒ rectus est) [XI def. 3]. itaque ΦΒ = 2BN. uerum etiam ΒΓ = 2BN. quare ΒΦ — ΒΓ. et quoniam duae rectae BT, ΤΦ duabus BX, ΧΓ aequales sunt, et

9. ενΟ'ει,

13. τη] της b. 17. ΟΝ bis V.

19. ώστε] corr. ex ώΰα m. 1 b; τά] om. q. 20. εΰτιν P.

ΣΒ] ΒΣ in ras. m. 1 P, ΒΣΒ V. 22. ΒΣ] 24. εΰτίν] om. V.

26. ΒΦ] corr. ex ΦΒ V.

T eras. V, post Φ ras.; ΒΧΓΦΤ το ΒΓΧΦΤ q. postea add. a m. 1 P.

18. τη] corr. ex της m. 1 P. ωατε ν,αί Y. ras. m. 1 b.

ΣΒ b.

25. £6τιν PB.

27. £ΐβί Ybq.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IV.

τοντεΰτιν P.

ΦΒ V. εΰτίν] om. Vq. ΦΒ Vq.

21. ,271V] N in

21

γωνία άρα η νπο ΒΤΦ γωνία τη νπο ΒΧΓ έστιν ίση. ομοίως δη δείζομεν, ότι καί η νπο ΤΦΓ γωνία ίση έστϊ τη νπο ΒΧΓ* αί αρα νπο ΒΧΓ\ ΒΤΦ₅ ΤΦΓ τρεις γωνίαι ί'σαι αλληλαις είσίν. εάν δε πεντάγωνον 5 ισοπλεύρου αί τρεις γωνίαι ί'σαι αλληλαις ώσιν, ισογώνιον έσται το πεντάγωνον· ισογώνιον άρα έστϊ το ΒΤΦΓΧ πεντάγωνον. έδείχ&η δε καί ισόπλευρον* το άρα ΒΤΦΓΧ πεντάγωνον ισόπλευρόν έστι και ισογώνιον ₅ καί έστιν επί μιας τον κύβον πλευράς της 10 ΒΓ. εάν άρα έφ’ εκάστης των του κύβον δώδεκα πλευρών τά αυτά κατασκευάσω μεν, σνστα&ήσεταί τι σχήμα στερεόν νπο δώδεκα πενταγώνων ισοπλεύρων τε και ισογωνίων περιεχόμενον, ο καλείται δωδεκάεδρον.

¹

Λ'] Ρ,

²

9. ίλαττον V.

³

εΰτιν] om. Bbq.

⁴

Forma prop. V, ad quam apertissime hic respicit Eu

⁵

clides, docet, uerba sotlv uqcc — OP lin. 11—12 et sgtlv ccQCi — ΟΣ lin. 13—14 superuacua et subditiua esse, nec satis est cum ed. Basii, et Gregorio pro OP lin. 12 ΟΣ scribere.

Λει δη αυτό και σφαίρα περιλαβεΐν τη δο&είση 15 καί δεΐζαι, ότι η τον δωδεκάεδρον πλενρά άλογός έστιν η καλονμένη άποτομη.

Έκβεβλήσ&ω γάρ η ΨΟ? και έστω η Ψ&' συμβάλλει άρα η OSI τη τον κύβον διαμέτρω, και δίχα τέμνονσιν άλληλας’ τούτο γάρ δέδεικται εν τω παρα-20 τελευτώ &εωρήματι τον ενδεκάτου βιβλίου, τεμνέτωσαν κατά το το £1 άρα κέντρον έστϊ της σφαίρας της περιλαμβανούσης τον κύβον, και η £10 ημίσεια της πλευράς τον κύβον. έπεζεύχ&ω δη η Τ&. και έπεϊ

2. δειχ&ηξοιιιεν, sed χ&η dei., b. 3. έστιν ΡΒ. ΒΧΓ] (prius) X in ras. m. 1 P. 5. ίβόπλενρον q.    ώοιν] corr. ex

εΐοίν m. 1 P. 6. έοται] εοτι BV. 7. ΒΤΦΧΓ q. df] om. q. 8. τε έοτιν P. 9. κύβον] κνκλον b. 13. τε] om. Ρ. ο καλείται (ίω^εκάε^ρον] om. Theon (BVbq). 17. Ψ£1] ΨΟ q. ονμβαλεί Ρ. 18. ÖSI] ΘΏ Β, ΨΏ Yb, ΨΟ q. κνβον] κύκλον comp, b, corr. in Π3.    19. τεμονοιν, corr. m.

1, P.    παρατελενταίω q. 21. τό] (alt.) και τό q.

22.    ΟΏ Υ, ΏΘ Β.    Ante της dei. εοτι m. 1 Ρ.

23.    ΓΏ q.

basis B Φ basi B Γ aequalis, erit [I, 8] /. -B ΓΦ = ΒΧΓ. similiter demonstrabimus, esse etiam L ΤΦΓ = ΒΧΓ.

itaque tres anguli ΒΧΓ' ΒΤΦ, ΤΦΓ inter se aequales sunt, sin pentagoni aequilateri tres anguli inter se

;v

N,

Ml:

Ί\

aequales sunt, penta-~~7 gonum aequiangulum / erit [prop. VII]. ergo J& pentagonum ΒΤΦΓΧ aequiangulum est. de-monstrauimus autem, idem aequilaterum esse, ergo pentagonum ΒΤΦΓΧ

aequilaterum est et aequiangulum, et in uno latere cubi B Γ constructum est. itaque si in singulis duodecim lateribus cubi eadem comparauerimus, figura quaedam solida construetur duodecim pentagonis aequilateris et aequiangulis comprehensa, quae uocatur dodecaedrum.

oportet igitur idem data sphaera comprehendere et demonstrare, latus dodecaedri irrationalem esse apo-tomen quae uocatur.

producatur enim ΨΟ, et fiat Ψ&. itaque OSI cum diametro cubi concurrit, et inter se in binas partes aequales secant; hoc enim in paenultimo theoremate undecimi libri demonstratum est [XI, 38]. secent in SI. SI igitur centrum est sphaerae cubum comprehendentis, et SI O dimidia lateris cubi, ducatur TSl. et

εν&εϊα γραμμή η ΝΣ άκρον καί μέσον λόγον τέτμηται κατά τό Ο, καί το μείξον αντης τμημά έστιν η ΝΟ, τά άρα από των ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά έστι τον από της ΝΟ. ίση δε η μεν ΝΣ τη Ψ&, έπειδψϊερ και 5 η μεν ΝΟ τη 0& έστιν ίση, η δε ΨΟ τη ΟΣ. αλλά μην και η ΟΣ τη ΨΤ, έπει και τη ΡΟ* τά άρα από των Ω,Ψ, ΨΤ τριπλάσιά έστι τον από της ΝΟ. τοΐς δε από των &Ψ, ΨΤ ίσον έστι τό από της T&’ τό άρα από της Τ£1 τριπλάσιόν έστι τον από της ΝΟ. 10 έστι δε και η εκ τον κέντρον της'σφαίρας της περί-λαμβανονσης τον κνβον δννάμει τριπλασίων της ήμι-σείας της τον κνβον πλενράς’ προδέδεικται γάρ κνβον σνστήσασ&αι και σφαίρα περιλαβείν και δείξαι; ότι η της σφαίρας διάμετρος δννάμει τριπλασίων έστι της 15 πλενράς τον κνβον. εί $£ όλη

όλης, και [η]

ημίσεια της ήμισείας' καί έστιν η ΝΟ ημίσεια της τον κνβον πλενράς* η άρα Τ& ίση έστι τη εκ τον κέντρον της σφαίρας της περιλαμβανονσης τον κνβον. καί έστι τό £1 κέντρον της σφαίρας της περιλαμβα-20 νονσης τον κνβον’ τό Τ άρα σημεΐον προς τη έπι-φανεία έστι της σφαίρας, ομοίως δη δείζομεν, ότι και έκάστη των λοιπών γωνιών τον δωδεκαέδρον προς τη έπιφανεία έστι της σφαίρας* περιείληπται άρα τό δω-δεκάεδρον τη δοΰ'είση σφαίρα.

1. NE Β, corr. m. 1.    3. έστιν Ρ.

9. αρα] om. q. τον] τό q. 10. έστιν ΡΒ. bis b. 12. τής] ins. m. 1 V. δέδεικται q. νάμει] om. Ρ. διπλάσιων Β, corr. m. rec.

15. εί] ή V. ή όλη Bq.

16. ημίσεια — NO] bis Ρ, postea corr. m. 1. 19. έστιν Β.    20. σημεΐον ugcc q.

εί q.

17. έστίν Ρ.

22. την έπιφάνειαν q, ν bis supra scr. m. 1 b.

4. NO] NE Β.

τής] (alt.)

14. δν-έστίν ΡΒ. ή] postea ins. m. 1 Ρ,

23. έστίν Ρ.

quoniam recta ΝΣ in O secundum rationem extremam ac mediam diuisa est, et maior pars eius est NO, erunt

ΝΣ² + Σ0² = 3NO² [prop. IV]. sed ΝΣ = ΨίΙ, quoniam

iVO = Oß, ΨΟ = ΟΣ.

et praeterea

ΟΣ= ΨΤ,

quoniam ΟΣ = PO. itaque

&Ψ² + ΨΤ² = 3 NO².

uerum

TSl² = £ΙΨ² + ΨΤ² [I, 47].

itaque

Uß² = 3 IVO².

sed radius sphaerae cubum comprehendentis et ipse potentia triplo maior est dimidio latere cubi; nam antea explicauimus, quomodo cubus construendus sit et sphaera comprehendendus, et quo modo demonstrandum sit, diametrum sphaerae potentia triplo maiorem esse latere cubi [prop. XV]. sin tota triplo maior est tota, etiam dimidia triplo maior est dimidia; et NO dimidia est lateris cubi, itaque T& radio sphaerae cubum comprehendentis aequalis est. et Ώ centrum est sphaerae cubum comprehendentis, quare punctum T ad superficiem sphaerae positum est. iam similiter demonstrabimus, etiam reliquos angulos dodecaedri singulos ad superficiem sphaerae positos esse, ergo dodecaedrum data sphaera comprehensum est.

Λέγω δη, ότι η τον δωδεκαέδρον πλευρά άλογός έότιν η καλούμενη άποτομή.

’Επει γάρ της ΝΟ άκρον και μέόον λόγον τετμημένης το μεΐξον τμήμά έότιν η ΡΟ, τής δέ ΟΕ άκρον 5 καί μέόον λόγον τετμημένης το μεΐξον τμήμά έότιν ή ΟΣ, όλης άρα τής ΝΕ άκρον και μέόον λόγον τεμνο-μένης το μεΐξον τμήμά έότιν ή ΡΣ. οίον έπεί έότιν ώς ή ΝΟ προς την ΟΡ, ή ΟΡ προς την ΡΝ, και τα διπλάόια* τα γάρ μέρη τοΐς ίόάκις πολλαπλαόίοις 10 τον αυτόν έχει λόγον ώς άρα ή ΝΕ προς την ΡΣ, όντως ή ΡΣ προς όνναμφότερον την ΝΡ, ΣΕ- μειξων df ή ΝΕ τής ΡΣ' μειξων άρα και ή ΡΣ όνναμφο-τέρου τής ΝΡ, ΣΕ' ή ΝΕ άρα άκρον και μέόον λόγον τέτμηται, και το μεΐξον αυτής τμήμά έότιν ή 15 ΡΣ. ί'όη δέ ή ΡΣ τή ΤΦ' τής άρα ΝΕ άκρον και μέόον λόγον τεμνομένης το μεΐξον τμήμά έότιν ή ΤΦ. και έπει ρητή έότιν ή τής όφαίρας διάμετρος καί έότι δυνάμει τριπλαόίων τής τον κύβον πλευράς, ρητη άρα έότϊν ή ΝΕ πλευρά ούόα του κύβον, εάν δέ ρητή 20 γραμμή άκρον και μέόον λόγον τμη&ή, έκάτερον των τμημάτων άλογός έότιν άποτομή.

Ή ΤΦ άρα πλευρά ούόα τον δωδεκαέδρον άλογός έότιν άποτομή.

1. η] om. q. 3. Post τής ins. μέν m. rec. P. τεμνο-μένης P; item lin. 5.    6. τετμημένης bq. 8. NO] ΟΝ B.

OP] (prius) e corr. V; dein del. καϊ τα διπλάσια.

9. Ισάκις] ωσαύτως B.    10. ως] και ως b.    15. ΝΕ άρα q.

16. τετμημένης bq. ΦΤΡ. 17. έστιν PB. De scholio

quodam in P hic adscripto u. app. corr. m. 1; εύ&εΐα γραμμή q.

21. έστιν ή καλονμένη Vbq, e corr. m. 2 B. καλουμένη Ybq.

•'S·

20. γραμμή] γ μη b, τετμηται q. εκατέρα q.

23. έστιν

iam dico, latus dodecaedri irrationalem esse apo-tomen quae uocatur. nam quoniam PO maior pars est rectae NO secundum rationem extremam ac mediam diuisae, et ΟΣ maior pars est rectae OE secundum rationem extremam ac mediam diuisae, ΡΣ maior pars est totius rectae NE secundum rationem extremam ac mediam diuisae. quoniam enim¹) NO : ΟP = OP: PN, etiam dupla eandem rationem habebunt; nam partes eandem rationem habent quam aeque multiplicia [V, 15]. itaque ΝΗ:ΡΣ=ΡΣ:ΝΡ+ ΣΕ. sed NB > ΡΣ. itaque etiam ΡΣ > NP -f- ΣΕ [V, 14]. ergo N& secundum rationem extremam ac mediam di-uisa est, et maior pars eius est ΡΣ. sed ΡΣ = ΤΦ. itaque ΤΦ maior pars est rectae NE secundum rationem extremam ac mediam diuisae. et quoniam dia-metrus sphaerae rationalis est et latere cubi triplo maior est potentia, etiam NE, quae latus est cubi, rationalis est. sin recta rationalis secundum rationem extremam ac mediam diuiditur, utraque pars irrationalis est apotome [prop. VI]. ergo ΓΦ, quae latus est dodecaedri, irrationalis est apotome.

Π όρια μα.

’Εκ δη τούτον φανερόν₅ ότι της του κύβον πλευράς άκρον και μέΰον λόγον τεμνομένης το μεΐζον τμήμά έΰτίν η τον δωδεκαέδρον πλευρά, όπερ έδει δεϊζαι.

ιη\

Τάς πλευράς των πέντε Οχημάτων έκ&έΰ&αι και ΰυγκρΐναι προς άλλήλας.

’Εκκείΰ&ω η τής δο&είΰης ΰφαίρας διάμετρος η AB? και τετμήΰ&ω κατά το Γ ωΰτε ίΰην είναι την 10 ΑΓ τή ΓΒ? κατά δέ το Α ωΰτε διπλαΰίονα είναι την ΑΑ τής AB, και γεγράφ&ω επί τής AB ημικύκλιον το ΑΕΒ₅ καί από των Γ, Α τή AB προς όρχϊάς ήχ^ωΰαν αι ΓΕ, ζ/Ζ₅ καί έπεζεύχ&ωΰαν αι ΑΖ, ΖΒ, ΕΒ. καί έπεί διπλή έΰτίν ή ΑΑ τής AB, 15 τριπλή άρα έΰτίν ή AB τής ΒΑ. άναΰτρέψαντι ημιολία άρα έΰτίν ή ΒΑ τής ΑΑ. ώς δέ ή ΒΑ προς την ΑΑ₉ ούτως το από τής ΒΑ προς τό από τής AZ' ι0ογώνιον γάρ έΰτι τό ΑΖΒ τρίγωνον τω ΑΖΑ τρι-γωνω' ήμιόλιον άρα έΰτί τό από τής ΒΑ τον από 20 τής ΑΖ. έΰτι δέ καί ή τής ΰφαίρας διάμετρος δυνάμει ημιολία τής πλευράς τής πυραμίδος. καί έβτιν ή AB ή τής ΰφαίρας διάμετρος* ή ΑΖ άρα ίΰη έΰτί τή πλευρά τής πυραμίδος.

Πάλιν? έπεί διπλαΰίων έΰτίν ή ΑΑ τής AB, τριπλή 25 άρα έΰτίν ή AB τής ΒΑ. ώς δέ ή AB προς την ΒΑ, όντως τό από τής AB προς τό από τής ΒΖ* τριπλά-

3. τετμη-5. ιη']

μένης bq. om. Bbq.

1. πόρισμα] comp. mg. m 1 PBVq, om. b.

4. όπερ έδει δεΐζαι] om. Vq, o)— b.

9. κατά μεν ΒΥ. 10. τή] corr. ex της B.

Corollarium.

Hinc manifestum est, latus dodecaedri maiorem esse partem lateris cubi secundum rationem extremam ac mediam diuisi. — quod erat demonstrandum.

XVIII.

Latera quinque figurarum exponere et inter se comparare.

Exponatur diametrus datae sphaerae AB et in Γ ita secetur, ut sit ΑΓ = ΓΒ, in A autem ita, ut sit AA — 2 AB, et in AB semicirculus describatur AEB,

et in Γ, A ad AB perpendiculares ducantur ΓΕ, AZ, et ducantur AZ, ZB, EB. et quoniam est A A = 2 AB, erit AB = 3BA. itaque conuer-tendo BA = d/₂AA. sed \B BA:AA = BA²:AZ² [V def. 9]; nam AZB ~ AZA [VI, 8]. itaque BA² = ³/₂^Z². uerum etiam diametrus sphaerae potentia lateris pyramidis sesquialtera est [prop. XIII]. et AB diametrus sphaerae est. ergo AZ lateri pyramidis aequalis est.

rursus quoniam A A = 2 AB, erit AB = 3BA. sed AB : BA = AB²: BZ² [VI, 8. V def. 9]. itaque

ΓΒ] Γ corr. ex Δ Y.

12. Δ\ e corr. m. 1 b.

AZ, ZE, EB B; ZB, EB, AZ q.

ΒΔ] ΔΒ B.

m. 1 τριπλαβία yq. b. 20. Βΰτιν PB. πλη] τρίπλοίΰΐων P.

διπλαβιον P, a supra scr. m. 1.

14. Ante AZ dei. ΓΕ, ΔZ m. 1 P.

15. τρι,πλααία q, mg. 18. AB Z b.

23. της] om. Yq.

22. εατίν P.

26. ZB Bbq.

24. TQL-

όιον άρα εότι το άπο της A Β τού άπο της Β Ζ. εότι δε και η της Σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλαόίων της τον κύβον πλευράς, και έότιν η AB η της όφαίρας διάμετρος* η ΒΖ άρα τον κύβον έότϊ πλευρά.

Και έπει ίόη έότιν η ΑΓ τη ΓΒ, διπλή άρα έότιν η AB της ΒΓ. ώς δε η AB προς την ΒΓ', όντως το άπο της AB προς το άπο της ΒΕ' διπλάόιον άρα έότϊ το άπο της AB τον άπο της ΒΕ. εότι δε και η τής όφαιρας διάμετρος δυνάμει διπλαόίων της τον 10 οκταέδρου πλευράς, καί έότιν η AB η της δο&είόης όφαιρας διάμετρος* η ΒΕ άρα τον οκταέδρου εότι πλευρά.

’Ήχ&ω δη άπο τού Α όημείον τη AB ευθεία προς όρ&άς η ΑΗ, και κείό&ω η ΑΗ ίόη τη AB, και 15 έπεξεύχ&ω ή Η Γ, και άπο τού Θ έπι την AB κά&ετος ηχ&ω f ΘΚ. και έπει διπλή έότιν η ΗΑ της ΑΓ* ί'όη γά η ΗΑ τη AB* ώς δε η ΗΑ προς την ΑΓ', ούτως η ΘΚ προς την ΚΓ, διπλή άρα καί η ΘΚ της ΚΓ. τετραπλάόιον άρα εότι το άπο της ΘΚ τού άπο 20 της ΚΓ* τα άρα άπο των ΘΚ, ΚΓ, οπερ εότι το άπο της ΘΓ, πενταπλάόιόν εότι τοϋ άπο της ΚΓ. ίόη δε η ΘΓ τη ΓΒ* πενταπλάόιόν άρα εότι το άπο της ΒΓ τού άπο της ΓΚ. και έπει διπλή έότιν η AB της ΓΒ, ών η ΑΑ της AB εότι διπλή, λοιπή άρα η ΒΑ 25 λοιπής τής ΑΓ εότι διπλή, τριπλή άρα ή ΒΓ τής ΓΑ· ένναπλάόιον άρα το άπο τής ΒΓ τού άπο τής ΓΑ. πενταπλάόιόν δε το άπο τής ΒΓ τού άπο τής ΓΚ* μεΐξον άρα το άπο τής ΓΚ τού άπο τής ΓΑ.

1. εατίν Ρ.

m. ree.

εατιν ΡΒ. 8. f(TTt] εστίν Ρ, om. V.

Ζ Β Β.

3. γ.νγ.λον Ρ, corr. τον] πςος τό q.

AB² = 3BZ², uerum etiam diametrus sphaerae latere cubi potentia triplo maior est [prop. XV]. et AB diametrus sphaerae est. ergo BZ latus cubi est.

et quoniam ΑΓ = ΓΒ, erit AB = 2ΒΓ. sed AB : ΒΓ = AB² : B E² [VI, 8. V def. 9]. itaque AB = 2BE², uerum etiam diametrus sphaerae latere octaedri potentia duplo maior est [prop. XIV]. et AB diametrus est datae sphaerae, ergo 13 ÜJ latus octaedri est.

iam ab A puncto ad rectam AB perpendicularis ducatur AH, et ponatur AH = AB, et ducatur ΗΓ, et a Θ ad ^13 perpendicularis ducatur ΘΚ. et quoniam HA = 2ΑΓ (nam HA = AB), et ΗΑ:ΑΓ = ΘΚ: ΚΓ [VI, 4], erit etiam ΘΚ — 2ΚΓ. itaque ΘΚ² = 4ΚΓ². quare ΘΚ² + ΚΓ² = 5ΚΓ² = ΘΓ2 [1, 47]. uerum ΘΓ — ΓΒ. itaque ΒΓ² = δΓΚ². et quoniam AB = 2ΓΒ, quarum A A = 2 AB, erit BA = 2ΑΓ. itaque ΒΓ=3ΓΑ. quare ΒΓ² = 9ΓΑ². sed ΒΓ² = 5ΓΚ². itaque ΓΚ² > ΓΑ². quare etiam

εστιν PB. 9. τρι,πλααίων b. rec. P.    πλευρά εατι q.

16. AH V. 17. ΗΑ] AH q. q. 19. εστίν P. 20. εστίν P. B Γ V. εστιν PB.

P.

11. BE] E corr. ex Θ in. 14. rij AB ΐση η AH V.

18. καί] om.

24. ΓΒ] 25. Δ Γ] ΓΔ

τή] της Ρ.

21. εστιν ΡΒ.

ΒΔ] supra scr. A b.

26. ΓΔ] in hoc uocab. des. b, λείπει ορνλλα Τς mg.

μείζων άρα έστιν η ΓΚ της ΓΑ. κείσ&ω τη ΓΚ ίση η ΓΑ, και από τον Λ τη AB προς όρ&άς ηχ&ω η AM, και έπεξενχ&ω η MB. και έπει πενταπλάσιόν έστι τό από της ΒΓ τον από της ΓΚ, καί έστι της 5 μεν ΒΓ διπλή η AB, της δε ΓΚ διπλή η ΚΑ πλάσιον άρα έστι τό από της AB τον από της ΚΑ. έστι δε και η της σφαίρας διάμετρος δννάμει πενταπλασίων της εκ τον κέντρον τον κνκλον, άφ’ ον τό είκοσάεδρον άναγέγραπται. καί έστιν η AB η της 10 σφαίρας διάμετρος* η ΚΑ άρα εκ τον κέντρον έστι τον κνκλον, άφ' ον τό είκοσάεδρον άναγεγραπται* η ΚΑ άρα έξαγώνον έστι πλενρά τον είρημένον κνκλον. και έπεί η της σφαίρας διάμετρος σύγκειται εκ τε της τον έξαγώνον και δύο των τον δεκαγωνον των εις 15 τον είρημένον κνκλον έγγραφομένων, καί έστιν η μεν AB η της σφαίρας διάμετρος, η δε ΚΑ έζαγώνον πλενρά, και ίση η ΑΚ τη AB, έκατέρα άρα των ΑΚ, AB δεκαγωνον έστι πλενρά τον έγγραφομένον εις τον κνκλον, άφ ον τό είκοσάεδρον άναγεγραπται. και 20 έπεί δεκαγωνον μέν η AB, έζαγώνον δε η MA' ίση γάρ έστι τη ΚΑ, έπεί και τη ΘΚ* ίσον γάρ άπέχονσιν άπό τον κέντρον* καί έστιν έκατέρα των ΘΚ, ΚΑ διπλάσιων της ΚΓ' πεντάγωνον άρα έστιν η MB. η δέ τον πεντάγωνον έστϊν η τον είκοσαέδρον* είκο-25 σαέδρον άρα έστιν η MB.

πεντα-

Και έπει η ΖΒ κύβον έστι πλενρά, τετμησδω άκρον και μέσον λόγον κατά τό Ν, καί έστω μεΐζον τμήμα τό ΝΒ* η ΝΒ άρα δωδεκαέδρον έστϊ πλενρά.

1. μείξον V. ex ΚΓ V.

εατϊν άρα q.    ΓΚ] ΚΓ V.

4. £6tlv Ρ. ΚΓ V. εατιν Ρ.

ΓΚ] corr. 7. έατιν

ΓΚ > ΓΑ. ponatur ΓΛ = ΓΚ, et ab A ad AB perpendicularis ducatur A M, et ducatur MB. et quoniam ΒΓ² = 5ΓΚ², et AB = 2ΒΓΚΛ = 2ΓΚ, erit AB2 = 5KA². uerum etiam diametrus sphaerae potentia quintuplo maior est radio circuli, in quo icosaedrum constructum est [prop. XYI coroll.]. et AB diametrus sphaerae est. ergo KA radius est circuli, in quo icosaedrum constructum est. KA igitur latus est hexagoni in circulo illo inscripti [IV, 15 coroll.]. et quoniam diametrus sphaerae ex latere hexagoni et duobus lateribus decagoni in circulo illo inscriptorum composita est [prop. XYI coroll.], et AB diametrus est sphaerae, KA autem latus hexagoni, et AK — AB, utraque AK, AB latus est decagoni in circulo inscripti, in quo icosaedrum constructum est. et quoniam AB latus est decagoni, hexagoni autem MA (nam MA = KA, quia ΜΑ = ΘΚ·, aequali enim spatio a centro distant; et ΘΚ = KA = 2ΚΓ), pentagoni est MB [prop. X. I, 47]. uerum latus pentagoni est icosaedri [prop, XVI]. ergo MB latus est icosaedri.

et quoniam ZB latus cubi est, secundum rationem extremam ac mediam diuidatur in N, et maior pars sit NB. ergo NB latus est dodecaedri [prop. XYII coroll.].

PB. 9. AB η] AB P. 10. εκ] rj ε’κ q.    s(niv P.

12.    είρημένον κύκλον] εν τω ειρημενω κνκλω m. 2 V.

P.

13.    της σφαίρας η Υ. 15. αναγραφόμενων q. 21. εβτιν ΘΚ] ΚΘ q. 23. εστίν] om. Υ. 24. η τον εικο-

σαε^ρου] mg. m. 2 Β, in text. dei. η του. 26. BZ q. εστίν P.

Και έπεϊ η της σφαίρας διάμετρος έδείχ&η της μεν ΛΖ πλευράς της πυραμίδος δυνάμει ημιολία, της δε του οκταέδρου της ΒΕ δυνάμει διπλάσιων, της δέ του κύβου της ΖΒ δυνάμει τριπλασίων, οΐων άρα η της 5 σφαίρας διάμετρος δυνάμει έ%, τοιούτων η μεν της πυραμίδος τεσσάρων, η δε του οκταέδρου τριών, η δέ του κύβου δύο. η μέν άρα της πυραμίδος πλευρά της μέν του οκταέδρου πλευράς δυνάμει έστιν έπί-τριτος, της δέ του κύβου δυνάμει διπλή, η δέ τού 10 οκταέδρου της του κύβου δυνάμει ημιολία, αί μέν ούν είρημέναι των τριών σχημάτων πλευραί, λέγω δη πυραμίδος και οκταέδρου και κύβου, προς άλληλας είσϊν εν λόγοις ρητοΐς. αί δέ λοιπαι δύο, λέγω δη η τε του είκοσαέδρου και η τού δωδεκαέδρου, ούτε προς 15 άλληλας ούτε προς τάς προειρημένας είσιν εν λόγοις ρητοΐς· άλογοι γάρ είσιν, η μέν έλάττων, η δέ άποτομη.

rΌτι μείζων έστιν η του είκοσαέδρου πλευρά η MB της τού δωδεκαέδρου της ΝΒ, δείζομεν ούτως.

’Επει γάρ ισογώνιόν έστι τδ ZA Β τρίγωνον τώ 20 ΖΑΒ τριγώνω, άνάλογόν έστιν ως η AB προς την ΒΖ, ούτως η ΒΖ προς την ΒΑ. και έπεϊ τρεις εύ&εΐαι άνάλογόν είσιν, έστιν ως η πρώτη προς την τρίτην, ούτως το άπδ της πρώτης προς το άπδ της δευτέρας* έστιν άρα ως η AB προς την ΒΑ, ούτως το άπδ της 25 AΒ πρδς τδ άπδ της ΒΖ· άνάπαλιν άρα ως η AB πρδς την ΒΑ, ούτως τδ άπδ της ΖΒ πρδς τδ άπδ

om. Ρ.

6. τεβαάρων 9. της] τη q.

13. τε] om. Ρ.

16. άλογοι γάρ είΰΐν] 18. ZVJB]

1. Ante εδείχ&η dei. ε Ρ. 4. η] των q. 7. μέν~\ corr. ex με m. 1 Ρ.

10. της] om. q. 11. πλενραί] om. q.

14. η] om. q. 15. τάς ττρο-] om. q. om. V. 17. οτι δε BY. MB] M e corr. Y.

et quoniam demonstrauimus, diametrum sphaerae AZ lateris pyramidis potentia sesquialteram esse, BE autem latere octaedri potentia duplo maiorem, ZB autem latere cubi potentia triplo maiorem, quarum magnitudinum sex aequalis est potentia diametrus sphaerae, earum quattuor aequale est latus pyramidis, tribus octaedri, duabus cubi, itaque latus pyramidis potentia supersesquitertium est lateris octaedri, latere autem cubi potentia duplo maius, latus autem octaedri lateris cubi potentia sesquialterum est. ergo latera, quae nominauimus, trium illarum figurarum, scilicet pyramidis, octaedri, cubi, inter se rationes habent rationales. reliqua uero duo, scilicet icosaedri et dode-caedri, neque inter se neque ad ea, quae supra nominauimus, rationes rationales habent; nam irrationales sunt, alterum minor [prop. XYI], alterum apotome [prop. XVII].

Latus icosaedri MB maius esse latere dodecaedri NB, sic demonstrabimus.

quoniam enim trianguli ZAB et ZAB aequianguli sunt [YI, 8], erit AB:BZ = BZ:BA [YI, 4]. et quoniam tres rectae proportionales sunt, erit ut prima ad tertiam, ita quadratum primae ad quadratum tertiae [Y def. 9].¹) itaque AB : BA = AB²: BZ². e con-

1) Miramur, cur haec definitio hoc loco omnibus uerbis citetur, praesertim forma parum Euclidea, cum tamen antea in hac ipsa propositione toties tacite sit usurpata, itaque puto, uerba καί επεί lin. 21 — δευτερας lin. 23 subditiua esse.

εατιν P.

N e corr. V. ΔΖΒ B, ΖΒΔ q. B Ζ] ZB P.

19. επεί] in ras. m. 1 P.

21. B Ζ] (prius) supra scr. BA m. 1 B. 26. ΖΒ] BZ q.

τής ΒΑ. τριπλή δέ ή AB τής BA' τριπλάσιον άρα το άπδ τής ΖΒ τον άπδ τής ΒΑ. έστι δε καί το άπδ τής ΑΑ τον από τής AB τετραπλάσιον' διπλή γάρ ή ΑΑ τής AB’ μεΐζον άρα το από τής ΑΑ τον από τής 5 ZB' μείζων άρα ή ΑΑ τής ΖΒ’ πολλω άρα ή ΑΑ τής ΖΒ μείζων έστιν. και τής μεν ΑΑ άκρον και μέσον λόγον τεμνομένης το μεΐζον τμήμα έστιν ή ΚΑ9 έπειδήπερ ή μεν ΑΚ εναγών ον έστιν, ή δε ΚΑ δεκα-γώνον’ τής δέ ΖΒ άκρον καί μέσον λόγον τεμνομένης 10 το μεΐζον τμήμα έστιν η ΝΒ* μείζων άρα ή ΚΑ τής ΝΒ. ίση δέ ή ΚΑ τή AM’ μείζων άρα ή AM τής ΝΒ [τής δέ AM μείζων έστϊν ή MB], πολλω άρα ή MB πλενρά ονσα του είκοσαέδρον μείζων έστϊ τής ΝΒ πλευράς οϋσης τον δωδεκαέδρου’ όπερ έδει δεΐξαι.

15

Αέγω δτ, ότι παρά τα είρημένα πέντε σχήματα ου σνστα&ήσεται έτερον σχήμα περιεχό-μενον υπό ισοπλεύρων τε και ίσογωνίων ίσων άλλήλοις.

'Τπό μέν γάρ δύο τριγώνων ή όλως επιπέδων 20 στερεά γωνία ον σννίσταται. υπό δέ τριών τριγώνων ή τής πνραμίδος, υπό τεσσάρων ή του οκταέδρου, υπό δέ πέντε ή του είκοσαέδρον’ υπό df τριγώνων ισοπλεύρων τε και ισογωνίων προς ένι σημείω σνν-ισταμένων ούκ έσται στερεά γωνία’ οϋσης γάρ τής 25 τον ισοπλεύρου τριγώνου γωνίας διμοίρον optHJg έσονται αι    τέσσαρσιν όρ&αΐς ίσαι’ όπερ αδύνατον*

5.    ν.αί μείζων Β.

6.    έβτί Vq.

τής

CCQCi Υ,Οίί V.

7. τετμημένης V.

12. τής δέ — MB] post-14. Se-

2. εβτιν ΡΒ.

ΖΒ] (alt.) om. Ρ.

11. AM τής NB] in ras. m. 1 Ρ. ea add. in mg. m. 1 Ρ. 13. μείζω, ν add. m. 2 V.

trario igitur AB : BA — ZB²: BA². uerum AB = 3BA. itaque etiam ZB² = 3BA². uerum etiam AA² = 4AB²] nam AA = 2AB. itaque AA²>ZB². quare A A > ZB, itaque multo magis ΑΛ > ZB. et rectae A A secundum rationem extremam ac mediam diuisae maior pars est KA, quoniam AK hexagoni est, KA autem decagoni [prop. IX]; rectae autem ZB secundum rationem extremam ac mediam diuisae maior pars est NB. itaque KA > NB. est autem KA = AM. quare AM> NB. ergo multo magis MB latus icosaedri NB latere dodecaedri maius est; quod erat demonstrandum.

Iam dico, praeter quinque figuras, quas nominaui-mus, nullam aliam construi posse polygonis et aequi-lateris et aequiangulis inter se aequalibus comprehensam.

Nam ex duobus triangulis aut omnino figuris planis angulus solidus construi nequit [XI def. 11]. ex tribus uero triangulis angulus pyramidis construitur, ex quattuor octaedri, ex quinque icosaedri. ex sex autem triangulis aequilateris et aequiangulis ad idem punctum coniunctis angulus solidus non orietur; nam cum angulus trianguli aequilateri duae partes sint recti, sex anguli quattuor rectis aequales erunt; quod fieri non

Cum epimetro lin. 15 sq. cfr. Psellus p. 51 sq.

16. 6W-

quitur alia demonstratio extremae partis, u. app. στα^ήοεταυ P. 19. η δλως~\ scripsi; ras. 2 uel 3 litt. P, supra scr. άλλ’ ονδε νπο δύο m. rec.; άλλ⁹ ονδε άλλων δύο Theon (Β Yq).

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IY.

20. ου] om. Pq.

26. ccl] om. q.

22

άπαόα γάρ ότερεά γωνία νπδ έλαβόδνων ή τεόόάρων δρ&ών περιέχεται. dia τα αυτά δη ονδε νπδ πλειδνων η εξ γωνιών επιπέδων ότερεά γωνία όννίόταται, νπδ δε τετραγώνων τριών η τον κύβον γωνία περιέχεται· 5 νπδ δε τεόόάρων αδύνατον έόονται γάρ πάλιν τέό-όαρες όρΟ'αί. νπδ δε πενταγώνων ίόοπλεύρων καί ίΰογωνίων ₅ νπδ μεν τριών η τον δωδεκαέδρον νπί $£ τεΰόάρων αδύνατον* ονόης γάρ της τον πενταγώνον ίόοπλεύρον γωνίας όρ&ής και πέμπτον, έόονται αί 10 τέόόαρες γωνίαι τεόόάρων δρ&ών μείζονς' δπερ αδύνατον. ονδε μην νπδ πολνγώνων ετέρων Οχημάτων περιόχε&ήόεται ΰτερεά γωνία διά τδ αντδ άτοπον.

Ονκ άρα παρά τά είρημένα πέντε όχήματα έτερον όχημα ότερεδν όνότα&ήόεται νπί ίόοπλεύρων τε και 15 ίΰογωνίων περιεχόμενον' δπερ έδει δειξαι.

Λήμμα.

"Οτι δε ή τον ιόοπλεύρον και ίόογωνίον πενταγώνον γωνία ίρ&ή έότι και πέμπτον, οντω δεικτέον.

20 ”Ε<5τω γάρ πεντάγωνον ίόόπλενρον καί ίόογώνιον τδ ΛΒΓΛΕ, και περιγεγράφ&ω περί αντδ κύκλος δ ΛΒΓΛΕ? και είλήφ&ω αντον τδ κέντρον τδ Ζ, και έπεξεύχ&ωόαν αί ZA, ΖΒ, ΖΓ\    ΖΕ. δίχα άρα

τέμνονόι τάς πρδς τοΐς A₅ Β, Γ\ A, Ε τον πεντα-

2. όρ&ών γωνιών q. ον#ε] om. c[, ονδ⁹ Ρ. 3. η\ om. Ρ, supra scr. m. 1 Β.    γωνιών] τριγώνων q. 5. τέοΰαρεις

Ρ.

8. δε] om. q. Ιαοπλενρου πενταγώνον Υ. 9. αί] supra m. rec. Ρ. 10.    -ες in ras. m. 1 Ρ. In mg.

(non Ρ).

m. 1 pro scholio: ώς δείξει υποκάτω Ρ. 11. πολνγωνίων π ετέρων] ατερεών q. 12. αντό\ om. ΒΥ.

potest; nam omnis angulus solidus minus quattuor rectis comprehenditur [XI, 21]. eadem de causa ne ex pluribus quidem quam sex angulis planis solidus angulus construitur, tribus autem quadratis angulus cubi comprehenditur, quattuor autem nullus; nam rursus quattuor recti erunt, pentagonis autem aequilateris et aequiangulis tribus angulus dodecaedri comprehenditur, quattuor autem nullus; nam cum angulus pentagoni aequilateri aequalis sit recto angulo cum quinta parte recti, quattuor anguli quattuor rectis maiores erunt; quod fieri non potest, eadem de causa ne aliis quidem figuris polygonis angulus solidus comprehendetur.

ergo praeter quinque figuras, quas nominauimus, nulla alia figura solida construetur figuris aequilateris et aequiangulis comprehensa; quod erat demonstrandum.

Lemma.

Angulum autem pentagoni aequilateri et aequi-anguli aequalem esse angulo recto et quintae parti recti, sic demonstrandum.

sit enim pentagonum aequilaterum et aequiangulum ΑΒΓΑ E, et circum id circulus circumscribatur ΑΒΓΑ E [IV, 14], et sumatur centrum eius Z [III, 1], et ducantur ZA, ZB, ΖΓ' ZA, ZE. itaque angulos pentagoni ad A, B, Γ, A, E positos in binas partes aequales secant [I, 4]. et quoniam quinque anguli ad

14. σννστα&ήσεται P, corr. m. rec.

17.    οτε q.

18.    εΰτιν PB. om. q.

τε καί V. πέμπτον q. 24. τεμνοναν PB.

16. λήμμα] om. codd. Post ίαογωνίον add. καί q.

22. τό] (prius)

20. τε καί V.

γώνου γωνίας. και έπεϊ αί προς τω Ζ πέντε γωνίαυ τέββαρβιν όρ&αίς ’ίβαι είβϊ καί είβιν i'Gac, μία αρα αυτών, ώς ή υπδ ΑΖΒ, μιας όρ&ής έβτι παρα πέμπτον λοιπαΧ αρα αί υπδ ΖΑΒ, ΑΒΖ μιας είΰίν 5 όρΟ'ής καί πέμπτου, ίόη δε η υπδ ΖΑΒ τΐ\ υπί ΖΒΓ* και ολη αρα η υπδ ΑΒΓ του πενταγώνου γωνία μιας έβτιν όρΰ'ής καί πέμπτου* οπερ έδεο δείί,αΰ.

2. είσί] εΙσίν ΡΒΥ. 5. ΖΒΑ q. 7. ορ0% εστι Υ. πεμπτον q.    In fine: Ευκλείδον στοιχείων ΐγ Ρ, Ευκλείδον

στοιχείων τής Θεωνος εκδόσεως ϊγ Bq.

Z positi quattuor rectis aequales sunt et inter se aequales, unus eorum, uelut AZB, recto angulo aequalis est deficiente quinta parte, itaque ZAB + ABZ

E,

\B

recto et quintae parti recti aequales sunt [I, 32]. et ZAB = ΖΒΓ. quare ΑΒΓ totus angulus pentagoni recto et quintae parti recti aequalis est; quod erat demonstrandum.

i'4

V

APPENDIX I

¹

Uocabulo olov lin. 7 uidetur significari, rectam NE non proprie secundum rationem extremam ac mediam diuisam esse, quia pars minor ex NP, ΣΕ diiunctis composita est. quod hic parum refert, quia maiore parte sola utimur, sed fortasse totus locus olov lin. 7 — έστιν η ΡΣ lin. 14 subditiuus est.

Demonstrationes alterae.

1.

Ad libr. XI prop. 22.

"Αλλως.

"Εβτωΰαν ai δο&εΐόαι τρεις γωιneu επίπεδοι αι υπό ΑΒΓ', ΑΕΖ, ΗΘΚ, ών αι δυο της λοιπής με ιξόν ες έβτωβαν πάντη μεταλαμβανόμεναι, περιεχέτωόαν 5 δε αντάς ί'ΰαι εν&εΐαι αι AB, ΒΓ', ΑΕ, ΕΖ,

καί έπεξενχ&ωόαν αι ΑΓ, AZ, ΗΚ. λέγω, οτί. δυνατόν έότιν εκ των ί'όων ταΐς ΑΓ', AZ, ΗΚ τρίγωνον övöt;ή<5α<5&αι, τοντεΰτι πάλιν ότι αι δυο της λοιπής μείξονές εΐόι πάντη μεταλαμβανόμεναι.

10 ει μεν ούν πάλιν αι προς τοΐς Β, Ε, Θ ΰημείοις γωνίαι ϊ<5αι είΰίν, ί'ΰαι εΰονται καί αι ΑΓ, ΑΖ, ΗΚ, και εΰονται αι ddo τής λοιπής μείξονες. ει δε ον, εΰτωΰαν άνιΰοι αι προς τοΐς Β, Ε, Θ βημείοις γωνίαι, και μείξων ή προς τω Β εκατέρας των προς τοΐς Ε, 15 Θ' μείξων άρα εϋται και ή ΑΓ ευθεία εκατέρας των ΑΖ, ΗΚ. καί φανερόν, ότι ή ΑΓ μετά εκατέρας

XI, 22 post δεΐξαι ρ. 60, 18 add. PBFVb.

3. νπό] om. F, supra m. 2 Β. 6. ζ/Ζ] Δ corr. ex Γ m. 1 F. είΰίν] SLGiv lg ca BV.

5. BF] ΒΓ, ΓΔ b. 8. τοντέΰτίν B.

11. LGca

lg ca] om. BY.

HK] HK I'gcu BY.

1.

Ad libr. XI prop. 22.

Aliter.

Sint dati tres anguli plani ΑΒΓ' AEZy ΗΘΚ, quorum duo reliquo maiores sint quolibet modo con-iuncti, et eos comprehendant rectae aequales AB, £Γ, z/£, EZ} ΗΘ, ΘΚ, et ducantur ΑΓ; z/Z, i/tf. dico, fieri posse, ut ex rectis aequalibus rectis ΑΓ, z/Z, HK triangulus construatur, hoc est rursus duas reliqua maiores esse quolibet modo coniunctas.

iam si rursus anguli ad puncta B, E, Θ positi aequales sunt, etiam ΑΓ\ AZ, HK aequales erunt,

>r

K Δ

et duae reliqua maiores, sin minus, anguli ad puncta B, E} Θ positi inaequales sint, et angulus ad B positus utroque angulorum ad E} Θ positorum maior sit. itaque etiam ^Γ>ζ/Ζ, ΑΓ> HK [I, 24]. et

13. ανιαοϊ] corr. ex ί'βοι m. rec. P. 14. Ante καί ras. 1 litt. F. 15. εατί BFb. η ΑΓ] in ras. V. εΰΦεΓαΊ om. Υ.

των z/Z? HK της λοιπής μείζονές είΰι. λέγω, οτι και αί ζ/Ζ, ΗΚ τής ΑΓ μείζονες είΰι. ΰννεΰτάτω προς τή AB ενδεία και τω προς αυτή ΰημείω τω Β τη νπο ΗΘΚ γωνία ίΰη ή νπδ ΑΒΑ, καί κείΰδω 5 μια των AB, ΒΓ, ΑΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ίΰη ή ΒΑ, * και έπεζεύχδωΰαν αί ΑΑ₅ ΑΓ. και έπει δύο αί AB, ΒΑ δνΰι ταις ΗΘ, Θίί ίΰαι είΰιν έκατέρα έκατέρα, καί γωνίας ίΰας περιέχουΰιν, βάΰις άρα ή ΑΑ βάΰει τή ΗΚ ίΰη έΰτίν. και έπει αί προς τοίς Ε, Θ ΰη-10 μείοις γωνίαι τής νπο ΑΒΓ μείζονές είΰιν, ών ή νπο ΗΘΚ τή νπο ΑΒΑ έΰτιν ίΰη, λοιπή αρα ή προς τω Ε γωνία τής νπο ΑΒΓ μείζων έΰτίν. και έπει δύο αί AB, ΒΓ δνΰι ταΐς ΑΕ, ΕΖ ίΰαι είΰιν έκατέρα έκατέρα? και γωνία ή νπο ΑΕΖ γωνίας τής νπο ΑΒΓ 15 μείζων, βάΰις αρα ή ΑΖ βάΰεως τής ΑΓ μείζων έΰτίν. ίΰη δε έδείχδη ή ΗΚ τή ΑΑ* αί αρα ΑΖ, ΗΚ των ΑΑ, ΑΓ μείζονές είΰιν άλλα αί ΑΑ, ΑΓ τής ΑΓ μείζονές είΰι' πολλω άρα αί ΑΖ, ΗΚ τής ΑΓ μείζονές είΰιν. των ΑΓ₉ ΑΖ, ΗΚ άρα ενδείων 20 αί δύο τής λοιπής μείζονές είΰι πάντη μεταλαμβανό-μεναΓ δννατδν άρα έΰτιν έκ των ίΰων ταις ΑΓ\ ΑΖ9 ΗΚ τρίγωνον ΰνΰτήΰαΰδαι’ οπερ έδει δεΐζαι.

B HA b, corr. mg. m. 1. έχονΰΐ PB Yb.

9. έβτιν ίΰη Y. είαι Y. όνο αί] αί δυο F. in mg. trans, m. 1 F. 16. έΰτίν] om. P.

18. πολλω — comp. F. ΰαΰ&αι P, corr. m. 2.

8. περι-βάΰει] supra m. 2 B. 10. τής] τοΐς F. έΰτί PY, comp. b.

14. -τέρα ν,αϊ γω-15. ΑΓ b.

17. άλλ⁹ Fb.

19. είΰι BVb, 22. ΰννΰτή-

1. μείζονές είΰι] Pb, γρ. μείζων έΰτίτηg. b; μείζων έΰτίBFV. 2. ΑΖ] corr. ex ΑΖ m. 2 Ρ. 3. Β] e corr. F. 4. AB Λ] 5. ΒΛ] corr. ex AΛ m. 1 F.

ΑΛ] A in ras. V. έΰτί B, comp. Fb.

12. ΑΒΓ bqp (non F).

13. AB] F, AB btp.

ή νπο] om. b.

19. είΰιν] postea 21. έΰτίν] om. Υ.

AA] corr. ex ΑΑ B.

add. m. 1 P.

AZ] AZ F.

adparet, esse ΑΓ-\-ΑΖ>ΗΚ, ΑΓ-\-ΗΚ>ΑΖ. dico? esse etiam AZ + HK > ΑΓ. nam ad rectam AB et punctum eius B construatur /_ AB A = ΗΘΚ [I, 23], et ponatur BA = AB = ΒΓ = A E = EZ = ΗΘ — ΘΚ, et ducantur AA, ΑΓ. et quoniam duae AB, BA duabus ΗΘ, ΘΚ singulae singulis aequales sunt et angulos aequales comprehendunt, erit AA = HK [I, 4]. et quoniam anguli ad puncta E, Θ positi angulo ΑΒΓ maiores sant, quorum L ΗΘΚ = AB A, angulus ad E positus angulo ΑΒΓ maior erit, et quoniam duae AB, ΒΓ duabus A E, EZ aequales sunt, et L A EZ > ΑΒΓ, erit etiam AZ > ΑΓ [I, 24]. demonstrauimus autem, esse HK = AA. itaque erit

AZ + HK>AA+ ΑΓ. uerum A A + ΑΓ> ΑΓ. multo igitur magis erit AZ + HK > ΑΓ.

ergo rectarum ΑΓ, AZ, HK duae reliqua maiores sunt quolibet modo coniunctae. fieri igitur potest, ut ex rectis aequalibus rectis ΑΓ, AZ, HK triangulus construatur; quod erat demonstrandum.

2.

Ad libr. XI prop. 23.

'Αλλά δη έΰτω τδ κέντρον τον κύκλον έπι μιας των πλενρών τον τρίγωνον της ΜΝ, και εότω τδ Ε> καί έπεζεύχ&ω η ΕΛ. λέγω πάλιν, δτι μείζων έΰτιν η AB της ΑΕ· εί γάρ μη, ήτοι ί'6η έατϊν η AB τη 5 ΑΕ η έλάττων. έ<5τω πρότερον ί<5η. δύο δη αι AB, ΒΓ, τοντέότιν αι AE, ΕΖ, δύο ταΐς ΜΕ, ΕΑ, τοντ-έβτι τη ΜΝ, 1(5αι εί(5ιν. άλλα η ΜΝ τη ΑΖ κειται ιΰη. και αι AE, ΕΖ άρα τη ΑΖ ί<5αι ειβίν’ όπερ εότιν αδύνατον. ονκ άρα η AB ί<5η έατι τη ΑΕ-10 ομοίως δη ονδέ έλάττων* πολλω γάρ τδ αδύνατον μείξον. η άρα AB μείζων έβτι της ΑΕ- καί εάν ομοίως, ω μεΐζόν έ(5τι τδ άπδ της AB τον άπδ της ΑΕ₅ έκείνω ί'<5ον πρδς δρ&άς τω τον κύκλον έπιπέδω άνα<5τή<5ωμεν ως τδ άπδ της ΕΡ, <5ν<5τα&ή<5εται τδ 15 πρόβλημα.

αλλά δη έ(5τω τδ κέντρον τον κύκλον έκτδς τον ΑΜΝ τρίγωνον και έ<5τω τδ Ε₅ ^ έπεζεύχ&ω<5αν αι ΑΕ? ΜΕ· λέγω δη και όντως, ότι μείζων έ<5τϊν η AB της ΑΕ- εί γάρ μη, ήτοι ί<5η έΰτϊν η έλάττων. 20 έότω πρότερον ί<5η. Wo ονν αί AB, ΒΓ δύο ταΐς

XI, 23 in textu post ποιηααι ρ. 68, 17 add. PBFVb.

1. τό] om. Ρ.

ΜΝ φ. μεΐζον φ.

2. της ΜΝ] ras. 3 litt. V, γωνίας της έστω τδ Ε] in ras. m. 1 b. 3. ότι πάλιν b.

4. η] corr. ex αί V. εί γάρ — 11. της ΛΕ] mg. m. 1, add. γρ. b, in textu: επει γάρ αι JE, ΕΖ της JΖ, τουτεατι της ΜΝ, μείζονς είβί, και ημίσειαι* η EJ άρα τοντ-

έστιν της ΜΕ η AB της ΑΕ μείζων εβτίν. 6. αί] in ras. m. 2 Ρ. JE, Ε Ζ δνΰί in spatio uacuo tertiae partis lineae m. 2 P. dvci b.    τουτεοτιν B. 7. άλλα η ΜΝ]

2.

Ad libr. XI prop. 23. *)

Uerum centrum circuli in aliquo latere trianguli sit, uelut MN, et sit S, et ducatur SA. dico rursus, esse AB>AS- nam si minus, erit aut AB = AIS, aut AB<AS- prius sit AB = AS· itaque duae rectae AB, ΒΓ, hoc est AE, EZ, duabus rectis MS, SA, hoc est MN, aequales sunt, supposuimus autem, esse MN = AZ. quare A E -f- EZ — AZ. quod fieri non potest, itaque non est AB = AH. iam similiter demonstrabimus, ne minorem quidem esse AB recta AS) nam hoc multo ini-nus fieri potest, ergo AB> AS· et si similiter HP ad planum jjy circuli perpendicularem erexeri-¹ mus, ita ut sitSP²=AB²-A-AS2 problema componetur.

Uerum centrum circuli extra triangulum AMN positum sit et sit S, et ducantur AS, MS- dico sic quoque, esse AB> AS- nam si minus, erit aut AB — AS aut AB < AS· prius sit

1) De figuris cfr. p. 62.

8. καί ί'ααι είαίν] εατί] om. Υ,

m. 2 P. κείταί] εατίν supra scr. κειται m. 2 B.

— αρα] om. F; uidentur fuisse in mg. a m. 2. m. 2 P. 9. εατίν] om. B Y, supra m. 1 F. αρα φ (non F). τη] bis φ. 13. εκείνω — 14. EP] mg. m. 1 b, add. γρin textu: εκείνωι ΐαην προς τω του κύκλον επιπεδω άναβτηαομεν την EP (in ras.). 13. εκείνο b.

14. άναατηαομεν b. 16. εντός Y, sed corr. 18. ΛΕ, ΜΕ] αι ΛΕ φ, ΕΛ, ΖΜ, ΕΝ b, AEj ΜΕ, NE V et B (NE m. 2).

καί] om. Υ, ότι καί b. ότι] om. b. 20. ούν] δη Υ, δει φ. dvo] δναί b.

MB, BA ίΰαι είΰϊν έκατέρα έκατέρα, και βάΰις η ΑΓ βάΰει τη ΜΑ ίΰη' γωνία άρα η νπο ΑΒΓ γωνία τη νπδ M&A ίΰη έΰτίν. διά τα αυτά δη και η νπδ ΗΘΚ τη νπδ AB Η έΰτϊν ίΰη. όλη άρα η νπδ MB Η 5 δνο ταις ΑΒΓ\ ΗΘΚ εΰτιν ίΰη. αλλά α[ νπδ ΑΒΓ\ ΗΘΚ της νπδ ΑΕΖ μείζονές είΰιν. καί η νπδ ΜΒΝ άρα της νπδ ΑΕΖ μείζων έΰτίν. και επεί δνο αι A E, ΕΖ δνο ταΐς MB, ΒΝ ίΰαι είΰϊν, και βάΰις η ΑΖ βάΰει τη ΜΝ ίΰη, γωνία άρα η νπδ MB Η γω-10 νία τη νπδ ΑΕΖ εΰτιν ίΰη. έδείχ&η δε και μείζων* δπερ άτοπον. ονκ άρα ίΰη εΰτιν η A Β τη AB-δε δείζομεν, δτι ονδε έλάττων. μείζων άρα. και εάν προς όρ&άς τω τον κνκλον έπιπέδω πάλιν άναΰτηΰωμεν την ΒΡ και ίΰην αντην άπο&ώμε&α, ώ μεΐζον δνναται 15 τδ άπδ της AB τον άπδ της AB, ΰνΰτα&ήΰεται τδ πρόβλημα.

λέγω δη, ότι ονδε έλάττων εΰτιν η AB της ΑΒει γάρ δυνατόν, έΰτω. και κείΰ&ω τη μεν AB ίΰη η ΒΟ) τη δεΒΓ ίΰη η ΒΠ, και έπεζενχ&ω η Ο Π. και 20 έπει ίΰη έΰτϊν η AB τη ΒΓ\ ίΰη έΰτϊ και η ΒΟ τη ΒΗ. ωΰτε και λοιπή η ΟΑ λοιπή τη ΠΜ εΰτιν ίΰη. παράλληλος άρα έΰτϊν η AM τη Π Ο, και ίΰογώνιον τδ ΑΜΒ τρίγωνον τω ΠΒΟ τριγώνω. εΰτιν άρα ως η ΒΑ πρδς την AM, η ΒΟ πρδς την Ο Π, και έναλ-

Υ.

1. έκατέρα] έκατέρας Ρ. ς dei. m. 1.    2. ΜΛ] Μ in ras.

εΰτιν ί'ΰη F. 3. ίΰη εΰτιν'] εΰτιν ίΰη b, ίΰη εΰτί Υ.

4. και όλη b. ,    5. dvo] ΡΒΥ, F m. 1, δνΰί b, F^ rn. 2.

ταις] ταις νπό Fb; νιτο supra scr. m. 2 BV. άλλ³ P. αι] η b. 6. εΐΰΐ BY, comp. Fb M&N] corr. ex ISMN m. 2 P, MB in ras. m. 2 B. 7. εΰτί PBY, comp. Fb.

νία] om. b.

8. δνο] δνΰί b et m. 2 F. είΰί PBY, comp. Fb. 9. yeo-10. ίΰη εΰτιν b. 11. εΰτιν] om. Y. έξης ομοίως δη τοΐς εμπροΰΰεν Fb, mg. m. 1: γρ. εξής δε b.

AB = AS· ergo duae rectae AB, ΒΓ duabus MS, SA singulae singulis aequales sunt, et ΑΓ = MA\ itaque erit L ΑΒΓ — MSA [I, 8]. eadem de causa etiam L ΗΘΚ = Λ SN. itaque χ L MSN = ΑΒΓ + ΗΘΚ. sed ΑΒΓ -f- ΗΘΚ > AEZ. etiam L MSN > AEZ. et quo-T niam duae rectae AE, EZ dua-j bus MS, SN aequales sunt, et AZ—MN, erit LMSN=AEZ [1,8]. demonstrauimus autem, esse etiam i MSN > AEZ. quod absurdum est. itaque non est AB = AS· deinceps autem demonstrabimus, ne minorem quidem eam esse, ergo maior est. et si rursus ad planum circuli perpendicularem erexerimus SP et sumpserimus SP² = AB²-i-AS², problema componetur.

(Ο

quare

iam dico, ne minorem quidem esse AB recta AS· nam si fieri potest, sit AB<CAS· et ponatur SO = AB, Sn = ΒΓ, et ducatur ΟΠ. et quoniam AB = ΒΓ, erit SO — SN. quare etiam ΟΑ = ΠΜ. itaque AM rectae ΠΟ parallela est [VI, 2], et triangulus AMS triangulo IISO aequiangulus [1,29]. itaque SA : AM — SO : Ο Π [ΥΙ, 4], et permutando [Υ, 16]

EP] Ρ

eras. Υ, EO b.

13. άναστησομεν Ρ, sed corr. 14. την] τό F.

νπο&ώμεΰ'α FV. ω] corr. ex δ Ρ m. 2. 15. το άπό — της] in spatio uacuo et mg. m. rec. P.^ τό άπό της] η b.    τον άπό] om. b.    Λ Η] Λ & ον b;

mg. m. 1: yp. τό άπό της AB τον άπό της ΛΕ' γς. καϊ όντως.

λέγω — ρ. 352, 29: άδννατον] mg. m. 1 b, adiecta figura, cui adscribitur: τοντο τό σχήμα ονκ εστι τον κείμενον.

20.    εατίν Ρ. καί] om. F, supra m. 2: και η; και η b.

21.    ΟΛ] Ο in ras. F. ΜΠ F. 23. ΑΜΕ] Λ&Μ Fb, Μ&Λ in ras. V. 24. η ΕΟ] όντως η EO Fb.

λάξ ως ή AS πρδς την SO, όντως η AM πρδς την Ο Π. μείξων δε η AS τής SO' μείξων άρα και ή AM τής Ο Π. άλλα ή AM τή ΑΓ έύτιν ΐύη · και ή ΑΓ άρα τής Ο Π έύτι μείξων. έπει ονν δυο αί AB, 5 ΒΓ δυο ταΐς OS? &<Π ΐύαι είύίν εκατέρα εκατέρα, και βάύις ή ΑΓ βάύεως τής Ο Π μείξων έύτιν, γωνία άρα ή νπδ ΑΒΓ γωνίας τής νπδ Ο Sn μείξων εύτίν. ομοίως δη καν την SP ΐύην εκατέρα των SO, Sn άπολάβωμεν και έπιξενζωμεν την ΟΡ, δείζομεν, οτι 10 και ή νπδ ΗΘΚ γωνία τής νπδ OSP μείξων εύτίν. ύννεύτάτω δη πρδς τή AS εν&εία και τω πρδς αντή ύημείω τω S τή μεν νπδ ΑΒΓ γωνία ΐύη ή νπδ ASS, τή δε νπδ ΗΘΚ ίύη ή νπδ AST, και κείύΰω εκατέρα των S£, ST τή OS ΐβη, παι έπεξενχ&ωύαν 15 αί ΟΣ, ΟΤ, ΣΤ. και έπει δνο αί AB, ΒΓ δνο ταΐς OS₅ S2J ί'ύαι είύίν, και γωνία ή νπδ ΑΒΓ γωνία τή νπδ OS£ ίύη, βάύις άρα ή ΑΓ, τοντέύτιν ή AM, βάύει τή ΟΣ έύτιν ίύη. διά τα αντά δη και ή ΑΝ τή ΟΤ ΐύη εύτίν. και έπει δνο αί ΜΑ, ΑΝ 20 δνο ταΐς ΣΟ, ΟΤ ΐύαι είύίν; καί γωνία ή νπδ MAN γωνίας τής νπδ ΣΟΤ μείξων έύτιν, βάύις άρα ή ΜΝ βάύεως τής ΣΤ μείξων εύτίν. άλλα ή ΜΝ τή ΑΖ έύτιν ΐύη* και ή ΑΖ άρα τής ΣΤ μείξων έύτιν. έπει ονν δνο αί AE, ΕΖ δνο ταΐς ΣS, &Τ ΐύαι είύίν, 25 και βάύις ύ ΑΖ βάύεως τής ΣΤ μείξων, γωνία άρα ή νπδ ΑΕΖ γωνίας τής νπδ ΣST μείξων έύτιν. ΐύη δε ή νπδ ΣST ταΐς νπδ ΑΒΓ, ΗΘΚ. ή άρα νπδ ΑΕΖ των νπδ ΑΒΓ, ΗΘΚ μείξων έύτιν. άλλα καί έλάττων * δπερ αδύνατον.

ΓΑ Ρ.

1. την ΒΟ] 80 V.

3. τη Α Γ] om. φ. μείξων έΰτί, sed εοτί supra scr., F.

4. ΑΓ] 6. μείξων]

erit AS : SO — AM: 077. uerum AS > SO. itaque etiam ΑΜ>ΟΠ [V, 14]. sed AM = ΑΓ. itaque etiam ΑΓ> ΟΠ. iam quoniam duae rectae AB, ΒΓ duabus rectis OS, SE singulae singulis aequales sunt, et ΑΓ> 077, erit L ABΓ> OSE [I, 25]. similiter si posuerimus SP = SO = Sn et duxerimus OP, demonstrabimus, esse etiam L ΗΘΚ > 0£?P. iam ad rectam AS et punctum eius S angulo ΑΒΓ aequalis construatur L ASΣ [1,23], et ponatur #27 = ST= OS, et ducantur ΟΣ, 0Γ, ΣΤ. et quoniam duae rectae AB, ΒΓ duabus OS, ΞΣ aequales sunt, et L ΑΒΓ = 03Σ, erit ΑΓ = ΟΣ [I, 4], h. e. AM= ΟΣ. eadem de causa etiam AN = OT et quoniam duae rectae MA, AN duabus Σ0, OT aequales sunt, et L MAN> ΣΟΤ, erit MN> ΣΤ [I, 24]. sed MN = AZ. itaque etiam z/Z > ΣΤ. iam quoniam duae rectae A E, EZ duabus ΣS, ST aequales sunt, et ΑΖ>ΣΤ, erit [_AEZ> ΣST [I, 25]. est autem ^LΣST= ΑΒΓ + ΗΘΚ. ergo L AEZ > ΑΒΓ + ΗΘΚ. uerum idem minor est. quod fieri non potest.

comp. F, ccqcc comp. cp. comp. supra scr. m. 2 F. γωνίας F. et B, sed corr. sed corr.

Λ&Τ] Te corr. m. 2 P. rec.

comp. Fb. eras. V.

20.    ΣΟ] corr. ex ΟΣ Y, ΟΣ B.

21.    ΣΤ F.

23. εΰτί Y.

εΰτί PBV, comp. Fb. 8. καν] P, '

7. αρα] 10. OgP 11. την Λ& ευ&ειαν π, 12. ί'βην P,

καί π.

εΰτί P, comp. b.

Post ΛΗ ras. 1 litt. Y. η] postea ins. m. 1 P.

13. ΘΗΚ B.

14. έπεξενχ&ω Y, cav add. m.

16. είΰί PY, 18. βάΰει] ει ΑΝ] Λ ins. m. 1 V. είΰί PY, comp. Fb. εΰτί PY, comp. Fb. 22. άλλ’ Fb.

24. ονν] om. B. Σ&] corr. ex EZ m. 2 P. είΰί PY, comp. Fb.? 25. μείξων εστί F Y; seq. ras. tertiae partis lineae F. 27. ή] (prius) και η b. 29. αδύνατον] ατο πον F, corr. mg. m. 2.

15. ai AB, ΒΓ dvo] mg. Y. 17. τη] η F, corr. m. 2. 19. εατιν ί'ΰη Yb.

3.

Uulgo XI prop. 38.

'Εάν έπίπεδον προς επίπεδον όρ&όν ή, και από τίνος όημείον των εν ένΐ των επίπεδων επί το έτερον επίπεδον κά&ετος άχ&ή, επί της κοινής τομής πεύεΐται των επίπεδων ή αγόμενη κάθετος.

5 επίπεδον γάρ το ΓΑ έπιπέδω τω AB προς όρΟ'άς έΰτω, κοινή δε αυτών τομή εβτω ή ΑΑ, και είλήφ&ω έπι τον ΓΑ επιπέδου τυχόν βημεΐον το E' λέγω, ότι, ή από του Ε έπι το AB έπίπεδον κά&ετος αγόμενη έπι τής ΑΑ πεΰεΐται.

10 μή γάρ, άλλ’ εί δυνατόν, πιπτέτω έκτος ώς ή EZy και όυμβαλλέτω τω AB έπιπεδω κατά το Ζ ΰημείον, και από τον Ζ έπι την ΑΑ έν τω AB έπιπέδω κάθετος έότω ή ΖΗ, ήτις και τω ΓΑ έπιπέδω προς όρ&άς έβτιν, καί έπεξεύχ&ω ή Ε Η. έπει ούν ή ΖΗ 15 τω ΓΑ έπιπέδω προς όρ&άς έότιν, απτεται δε αυτής ή ΕΗ ούόα έν τω ΓΑ έπιπέδω, όρ&ή άρα έΰτιν ή υπό ΖΗΕ γωνία, άλλα και ή ΕΖ τω AB έπιπέδω προς όρ&άς έΰτιν ή αρα υπό ΕΖΗ όρ&ή έΰτιν. τριγώνου δη του ΕΖΗ αί δύο γωνίαι όρ&αΐς Ϊ6αι ειβίν* 20 όπερ αδύνατον. ούκ άρα ή από τού Ε έπι το AB έπίπεδον κάθετος άγομένη έκτος πεόειται τής ΑΑ. έπι την ΑΑ άρα πεΰεΐτai' όπερ έδει δεΐίςαι.

XI, 38 post XI, 37 habent PBFY, om. b; έν τιαι των αντιγράφων ον φέρεται το λη Ρ mg. m. 1.

λη ΡΒΥ, in ras. m. 2 F. 2. των] (alt.) m. 2 F. έτερον] 3. άχ&εΐ Ρ, corr. m. 2.

post ρ dei. ε Ρ.

6. ΔΑ] corr. ex ΑΔ Y, ΑΔ F.

13. έστω] ήχ&ω BFV.

V.

11. συμβαλέτω ΡΥ.

5. ΓΔ] Γ eras. 9. ΔΑ] Α Δ FY.

14. έοτι BY,

3.

Uulgo XI prop. 38.

Si planum ad planum perpendiculare est, et a puncto aliquo alterius plani ad alterum planum perpendicularis ducitur, perpendicularis ducta in communem planorum sectionem cadet.

Nam planum ΓΑ ad planum AB perpendiculare sit, et communis eorum sectio sit A A, et in ΓΑ plano punctum aliquod sumatur E. dico, perpendicularem ab E ad planum AB ductam in A A cadere.

ne cadat enim, sed si fieri potest, extra cadat ut EZ et cum plano AB concurrat in puncto Z, et a Z ad A A in plano AB perpendicularis sit ZH, quae eadem ad planum ΓΑ perpendicularis est [XI def. 4], et ducatur EH. iam quoniam ZH ad planum ΓΑ perpendicularis est, et eam tangit EH in plano ΓΑ posita, L ZHE rectus erit [XI def. 3], uerum etiam EZ ad planum AB perpendicularis est. itaque L EZH rectus est. ergo trianguli EZH duo anguli rectis aequales sunt; quod fieri non potest [I, 17]. itaque perpendicularis ab E ad planum AB ducta extra A A non cadet, ergo cadet in AA] quod erat demonstrandum.

ΑΔ FV.

comp. F. EH] H eras. V. 18. εΰην] (alt.) εβτι BV, comp. F. 19. ός&αίς] dvo oq&ccls FV, dvo add. m. 2 B. dcCv 1 om. FV. 22. την] corr. ex rfjs m. 2 V. όπερ k'ösL    om· FV.

4.

Ad libr. XII prop. 4.

Καϊ έπεϊ τά έν τη AB ΓΗ πνραμίδι δύο πρίΰματα ί'ΰα έΰτιν άλλήλοίς, άλλα μην καϊ τα έν τη ΑΕΖΘ πνραμίδι δύο πρίΰματα ί'ΰα άλλήλοίς έΰτιν, έΰτιν άρα ώς το πρίΰμα, ον βάΰις το ΒΚΑβ παράλληλό-5 γραμμον, άπεναντίον δε η ΜΟ ενδεΐα, προς το πρίΰμα, ον βάΰις μεν το ΑΒΓ τρίγωνον, άπεναντίον de το ΟΜΝ, όντως το πρίΰμα, ον βάΰις το ΠΕΡΦ, άπεναντίον δε η ΣΤ, προς το πρίΰμα, ον βάΰις μεν το ΡΦΖ τρίγωνον, άπεναντίον δε το ΣΤΤ. ΰνν&έντι 10 έΰτιν άρα ώς τα ΚΒβΑΜΟ, Α&ΓΜΝΟ πρίΰματα προς το ΑίΞΙΓΜΝΟ πρίΰμα, όντως τα ΠΕΦΡΣΤ, ΡΦΖΣΤΤ πρίΰματα προς το ΡΦΖΣΤΤ πρίΰμα. εναλλάξ, άρα έΰτιν ώς τα ΚΒ^ΑΜΟ, Α&ΓΜΝΟ προς τα ΠΕΦΡΣΤ, ΡΦΖΣΤΤ πρίΰματα, όντως το 15 Α&ΓΜΝΟ πρίΰμα προς το ΡΦΖΣΤΤ πρίΰμα. ώς δε το ΑΕΓΜΝΟ πρίΰμα προς το ΡΦΖΣΤΤ πρίΰμα, όντως εδείχ&η η ΑβΓ βάΰις προς την ΡΦΖ, καϊ η ΑΒΓ βάΰις προς την ΑΕΖ βάΰιν. και ώς άρα το ΑΒΓ τρίγωνον προς το ΑΕΖ τρίγωνον, όντως τά έν 20 τη AB ΓΗ πνραμίδι δύο πρίΰματα προς τά έν τη ΑΕΖΘ πνραμίδι δύο πρίΰματα. ομοίως δε καν τάς νπολειπομένας πνραμίδας διέλωμεν τον αντόν τρόπον ο Ιον ώς τάς ΜΝΟΗ, ΣΤΤΘ, έΰται ώς η ΜΝΟ

XII, 4. Pro uerbis ώς δέ ρ. 160, 13 — δεΐξοα ρ. 162, 14 Theon (BVq). de figura u. p. 159.

corr. V.

2. έΰτιν ίΰα B.

6. μεν] om. V.

Δ. BKAin ras. V. 7. οντω B.

5. MO] M e 9. καί ουν&έντι

4.

Ad libr. XII prop. 4.

Et quoniam duo prismata pyramidis ΑΒΓΗ inter se aequalia sunt, uerum etiam duo prismata pyramidis ΑΕΖΘ inter se aequalia sunt, erit ut prisma, cuius basis est parallelogrammum BKAE, ei autem opposita recta MO, ad prisma, cuius basis est triangulus ΑΗΓ, ei autem oppositus OMN, ita prisma, cuius basis est ΠΕΡΦ, ei autem opposita ΣΤ, ad prisma, cuius basis est triangulus ΡΦΖ, ei autem oppositus ΣΤΤ. componendo igitur est KB^AMO + Α&ΓΜΝΟ : ΑΞΓΜΝΟ = ΠΕΦΡΣΤ+ ΡΦΖΣΤΤ: ΡΦΖΣΤΤ itaque permutando erit

KB# AMO + Α&ΓΜΝΟ : ΠΕΦΡΣΤ+ ΡΦΖΣΤΤ = Α&ΓΜΝΟ : ΡΦΖΣΤΤ demonstrauimus autem, esse Α&ΓΜΝΟ : ΡΦΖΣΤΤ — AST : ΡΦΖ — ΑΒΓιΑΕΖ. itaque etiam ut ΑΒΓ : AEZ, ita duo prismata pyramidis ΑΒΓΗ ad duo prismata pyramidis A E ΖΘ. similiter si reliquas pyramides, uelut MNOHj ΣΤΤΘ₎ eadem ratione diui-

15. ώς δε — 16. 19. οντω

q. 10. αρα εστίν Y. 11. οντω B. ΠΡΕΦΣΤ, post Φ ras., V. 12. ΡΦΖΣΤΤ] P inter duas ras. Y. ΕΦΖΣΤΤ V. πρίσματα q. 13. ΚΒΛ&ΜΟ B. &ΛΓΜΝΟ B, ASΓΜΟΝ q et ON in ras. V; seq. πρίσματα Y.

14. ΠΕΦΡΣΤ] ΦΡ in ras. V. οντω B.

ΡΦΖΣΤΤ πρίσμα] om. q. 18. βάσιν~\ om. Y. q. 22. νπολειπομένας] mg. m. 2 B, in textu γενομεν ας.

23. cos] (prius) bis Y.

βάσις προς την ΣΤΤ βάσιν, όντως τα εν τη ΜΝΟΗ πνραμίδι δύο πρίσματα προς τα εν τη ΣΤΤΘ πνρα-μίδι όνο πρίσματα, άλλ’ dbg η ΜΝΟ βάσις προς την ΣΤΤ βάσιν, όντως η ΑΒΓ βάσις προς την ΑΕΖ 5 βάσιν. καί ως αρα η ΑΒΓ βάσις πρ6g την ΑΕΖ βάσιν, όντως καί τα εν τη AB ΓΗ πνραμίδι δυο πρίσματα προς τα εν τη ΑΕΖΘ πνραμίδι δυο πρίσματα, και τα εν τη ΜΝΟΗ <Wo πρίσματα προς τα εν τη ΣΤΤΘ πνραμίδι δυο πρίσματα, και τα τέσσαρα προς 10 τα τέσσαρα. τα αυτά df δειχ&ήσεται καί έπϊ των γε-νομένων πρισμάτων εκ της διαιρέσεως των ΑΚΑΟ και ΑΠΡΣ πυραμίδων και πάντων απλώς των ίσο-πλη$ών' οπερ έδει δεΐξαι.

5.

Ad libr. XII prop. 17.

Αεικτέον δη και έτέρως προχειρότερον, δτι μείζων 15 έστ\ν η ΑΨ της ΑΗ. ηχ$ω άπδ τον Η τη Α Η προς δρΰ'άς η HA', και έπεξεύχ&ω η AA'. τέμνοντες δη την ΕΒ περιφέρειαν δίχα και την ημίσειαν αντης δίχα και τούτο άεϊ ποιονντες καταλείψομέν τινα περιφέρειαν, η έστιν έλάσσων της νποτεινομένης τον 20 ΒΓΑΕ κύκλον περιφέρειας νπο της Ισης τη ΗΑ'. λελείφΰω και έστω η ΚΒ περιφέρεια. έλάσσων άρα και η ΚΒ εν&εΐα της ΗΑ'. και έπει εν κύκλω έστι

XII, 17 inter επιφάνειαν et δύο ρ. 240, 5—6 PBVq. De figura u. ρ. 231. pro A' in P scribitur a; litteram hanc in fig. om. B.

6. ούτω Bq.

om. q.

dvo] om. V. πνραμίδι δύο πρίσματα] om. V.

7. προς τά — πρίσματα] 8. καί] και έτι

serimus, erunt ut MNO : Σ TT, ita duo prismata pyramidis MNOH ad duo prismata pyramidis ΣΤΤΘ. uerum MNO : ΣΤΤ = ΑΒΓ: AEZ. quare etiam ut ΑΒΓ: AEZ, ita duo prismata pyramidis ΑΒΓΗ ad duo prismata pyramidis A E ΖΘ et duo prismata pyramidis MNOH ad duo prismata pyramidis ΣΤΓΘ, et quattuor ad quattuor, eadem autem etiam in prismatis ex diuisione pyramidum AKAO, ΑΠΡΣ ortis demonstrabuntur, et omnino in omnibus prismatis numero aequalibus; quod erat demonstrandum.

5.

Ad libr. XII prop. 17.

Iam aliter quoque promptius demonstrandum est, esse ΑΨ > AH. ducatur ab H ad AH perpendicularis HA', et ducatur AA'. iam arcum EB in duas partes aequales secantes et dimidiam partem eius in duas partes aequales et hoc semper facientes arcum quendam relinquemus minorem arcu circuli ΒΓΑΕ, sub quo recta aequalis rectae HA' subtendit, relinquatur et sit arcus KB. itaque erit KB < HA', et

Y.    δνο] e corr. Y. 9. τά] om. B. τέοοερα B, corr.

m. 2.    10. τά] om. q. τέβοερα B, corr. m. 2. γινομένων q. 11. των] corr. ex τώ m. 2 B.    ΑΛΚΟ Y.

12. Ιοοπληδών] εις το πλή&ος q. 13. δπερ εδει δεΐξ,αι] om. ΒΥφ; in V dei. τι δε έοτιν ως τδ Λ. 15. ΑΗ] (prius) Η e corr. Υ, AK q% 16. HA'] HA Yq, H B. AA'] AA Yq, AB; mg. η HÄ και έπεξενχ&ω η AA m. 2 B.

18. τοντο] τδ αντό q. 19. έοτιν] έοται q. 20. τη] της Β. HA'] HA Y (A e corr.) et B (supra scr. A m. 2), HA q. 21. εέλήφ&ω q. 22. HA'] HA Y, HA q, Η B (supra scr. HA m. 2). έοτιν P.

το ΒΚΣΟ τετράπλενρον, καί είβιν ί'ΰαι αί OB, .ΒΑΤ, ΚΣ, και έλάττων ή ΟΣ₉ αμβλεία άρα ε6τιν ή νπο ΒΨΚ γωνία, μείξων αρα ή ΚΒ της ΒΨ. άλλα της ΚΒ μείξων έύτιν η ΗΑ'' κολλώ άρα η HA' μείξων 5 ε6τί της ΒΨ' μεΐξον άρα και το άπο της HÄ τον άπο της ΒΨ. και έπεϊ ί6η ε6τίν η ΑΑ' τη AB, ϊ6ον και το άπο της AÄ τω άπο της AB. αλλά τω μεν άπο της AÄ ί'ΰα τά άπο των ΑΗ, ΗΑ', τω δε άπο της AB Ϊ6α τά άπο των ΒΨ ₉ ΨA' τά άρα άπο των 10 ΑΗ₉ ΗΑ' ι6α τοΐς άπο των ΒΨ, ΨΑ₉ ών το άπο της Β Ψ ελαττόν εοτι τον άπο της ΗΑ' * λοιπόν άρα το άπο ΨΑ μειξόν εΰτι τον άπο AH' μείξων άρα η ΑΨ της ΑΗ.

6.

Ad libr. XIII prop. 6.

’Εάν ρητή εν&εΐα άκρον και μεΰον λόγον τμη%,ή9 15 εκάτερον των τμημάτων άποτομη ε6τι. ρητη γάρ η AB άκρον και μεΰον λόγον τετμήΰ&ω κατά το Γ 6 η-μεΐον. 6νμμετρον τμήμα ε6τι το ΑΓ. λέγω₉ οτι εκα-τερα των ΑΓ\ ΓΒ άποτομη ε6τι. κείΰ&ω της AB ημίΰεια η ΑΑ. ρητη δε η AB' ρητη άρα και η ΑΑ. 20 κ,αΧ επει πενταπλάσιόν ε6τι το άπο τής ΓΑ τον άπο τής ΑΑ₉ ρητόν de το άπο των ΑΑ₉ ρητόν άρα καί

6. Haec propositio inter libb. XII et XIII legitur in solo q (cfr. p. 246 adn. crit.). in re parum differt a XIII, 6, qualem recepimus; sed uerba magis abborrent, quam ut scriptura codicis q inter discrepantias meras recipi possit, est detruncatio prop. 6 genuinae, cum praeterea scriptura erroribus scribarum plurimis laboret, interpretationem Latinam non dedi.

1. ai] om. q. 2. υπό] υπό τό Β. 3. άλλα] άλλα καί q. 4. ΗΑ'] Η Λ V, ΑΗ q, Η Β (supra scr. HA m. 2).

quoniam in circulo est ΒΚΣΟ quadrilaterum, et OB = BK = ΚΣ, minor autem ΟΣ, obtusus est i ΒΨΚ. itaque KB > ΒΨ. uerum HA' > KB. itaque multo magis HA' > ΒΨ. quare etiam Λ'Η²>ΒΨ². et quoniam AA' — AB, erit etiam A'A² — AB², uerum AH² + A'H² = A'A², B Ψ² + ΨΑ² = AB², ergo + Α'Η² = ΒΨ²+ΨΑ², quorum B Ψ² < A' H². itaque ΨΑ² > AH², ergo ΑΨ >

Ιϊ^'] ΗΛΥ (A in ras.) et q, e corr. B. 5. μεΐξον] μεί-ξωνί.    HA'] HA V    in ras.), HA q et B (A postea ins.).

B.

6. om. P. AA'] AA Y q, AB (snpra scr. m. 2 AA). τrj] corr. ex της P. 7. AA'] AA Yq, AA postea ins.

τώ] corr. ex τον m. rec. P. τω] corr. ex τό m. 1 q. 8. AA'] AA Yq; AH B, AA m. 2. AH] ÖTrj B.

B.

HA'] HA Yq, HA B. 10. AH] ins. m. 2 in spatio uacuo Ύ HA'] HA Yq; HA B, corr. in HA. if6oc εοτί Y.

Yq.

11. εστι] om V; εΰτιν P. της] om. P. HA'] ras. Y, HA q (ff e corr. m. 1), ηας B; seq. kccl comp. V. 12. της ΨΑ της A H Y q; A mutat, in A B.

το άπό των ΑΓ. καί έπεί πενταπλάσιόν έστί το άπό της ΑΓ του άπό της ΑΑ, το άρα άπό των ΑΓ προς το άπό των ΑΑ λόγον ονκ έχει, όν τετράγωνος αριθμός προς τετράγωνον άρι&μόν, άλλ⁹ ον μεν άρί&μός προς 5 άρί&μόν. ασύμμετρος αρα έστίν η ΑΓ τη ΑΑ μηκει. καί έστί ρητή εκατέρα* αί ΓΑ, ΑΑ αρα ρηταί είβι δυνάμει μόνον σύμμετροί, άποτομη άρα έστίν η ΑΓ. ρητή δε η AB, καί τω από των ΑΓ ίσον παρά την AB παραβέβληταί το υπό των AB, ΒΓ. το δε ä 10 άποτομην παρά ρητήν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεί άποτομην πρώτην. άποτομη άρα καί η ΓΒ. εκατέρα ο άρα τον ΑΓ, ΓΒ άποτομη έστίν. εάν άρα ρητη ευθεία άκρον καί μέσον λόγον τμη&ή, έκάτερον των τμημάτων άποτομη έστίν.

7.

Ad libr. XIII prop. 5.

15

"Αλλως.

’Εάν εύ&εΐα γραμμή άκρον καί μέσον λόγον τμη&ή, έσταί ως σιγαμψότερος η όλη καί το μεΐζον τμήμα προς την όλην, ούτως ή όλη προς το μεΐζον τμήμα. Ευθεία γάρ τις ή AB άκρον καί μέσον λόγον τε-20 τμήσ&ω κατά το Γ, καί έστω μεΐζον τμήμα το ΑΓ* λέγω, ότι έστίν ως συναμφότερος ή ΒΑΓ προς AB, ούτως ή ΒΑ προς Α Γ.

Κείσ&ω γάρ τή ΑΓ ίση ή AA' λέγω, ότι έστίν

7. Hoc άλλως habet Ρ post XIII, 6, q in textu pro XIII, 6, b mg. m. 1 post XIII, 5.

15. άλλως] om. q, in quo numerus prop. erasus est. 16. μέοο q. 20. έατω] έΰτοα b. 21. AB] ΒΑ Ρ.

7.

Ad libr. XIII prop. 5.

Aliter.

Si recta linea secundum rationem extremam ac mediam secatur, erit ut tota cum parte maiore ad totam, ita tota ad partem maiorem.

nam recta AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam secta sit, et maior pars sit ΑΓ. dico, esse BA + ΑΓ: AB = BA : ΑΓ. ponatur enim A A — ΑΓ. dico, esse BA : BA = BA : ΑΓ. nam quo-

ώς η BA προς την BA, όντως η BA προς την ΑΓ. έπει γάρ η AB ακρον καί μέΰον λόγον τετμηται κατά το Γ, και μεϊζον τμημά έβτι το ΑΓ, εβτιν αρα ώς η ΒΑ προς την ΑΓ, όντως η ΑΓ προς την ΓΒ. ϊβη 5 δε ή ΑΓ τη A A' εότιν αρα ώς η ΒΑ προς ΑΑ, όντως η ΑΓ προς ΓΒ* άνάπαλιν αρα εΰτιν ώς η ΑΑ προς την AB, όντως η ΒΓ προς την ΓΑ* 6νν-ϋ'εντι αρα έΰτιν ώς η AB προς την ΒΑ, όντως η ΒΑ προς ΑΓ. ΐ<5η δέ έβτιν η ΑΑ τη ΑΓ* εΰτιν αρα 10 ώς όνναμφότερος η ΒΑΓ προς την AB, όντως η ΒΑ προς ΑΓ. καί έπεί δέδεικται ώς η AB προς ΒΑ, όντως η ΒΑ προς ΑΓ, ϊΰη δε η ΓΑ τη ΑΑ, εβτιν αρα ώς η AB προς την ΒΑ, όντως η ΒΑ προς την ΑΑ. και η AB αρα ακρον και μεΰον λόγον τετμηται 15 κατά το Α, και το μεϊζον τμημά έβτιν η εξ αρχής εν&εΐα η AB⁹ όπερ εδει δεΐξαι.

8.

Ad libr. XIII prop. 1-5.

Τι εΰτιν άνάλνύις και τί εότι 6νν&εΰις.

’Ανάλνΰις μεν ονν έβτι λήψις τον ζητονμένον ώς όμολογονμενον διά των άκολον&ων επί τι άλη&ες όμο-20 λογονμενον.

8. Hae analyses in meis codicibus coniunctae sunt, legun tur in P (in quo demonstr. ait. prop. 5 sextam sequitur) post demonstrationem alteram prop. 5 (supra nr. 7 signatam), in B post prop. 6, in b post prop. 5 (prop. 6 deest), in q post propositionem in eo sextam, quam supra nr. 7 signauimus; in V analyses prop. 1 — 3 in textu sunt post prop. 6, prop. 4 — 5 eodem loco mg. inf. m. 2.

AJ P.

2. AB] BA P.

~ την AJ P.

4. BA] AB q. 7. JA] JB b.

5. δέ] δ⁹ P. JA] τήν] (prius) om. b.

niam AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam secta est, et maior pars est ΑΓ, erit ΒΑ:ΑΓ = ΑΓ : ΓΒ. uerum ΑΓ = A A. itaque BA : A A = ΑΓ : ΓΒ. e contrario igitur A A : AB = ΒΓ: Γ A. componendo igitur A B : BA = BA : ΑΓ. uerum A A = ΑΓ. itaque BA + ΑΓ: AB = BA: ΑΓ¹) et quoniam demonstrauimus, esse AB : BA = BA : ΑΓ, et ΓΑ = A A, erit AB : BA = BA : A A. ergo etiam AB in A secundum rationem extremam ac mediam secta est, et maior pars est recta ab initio sumpta AB\ quod erat demonstrandum.

►Ί-

bs-

8.

Ad libr. XIII prop. 1 — 5.

Quid sit analysis, quid synthesis.

Analysis est adsertio eius, quod quaeritur, ut concessi, qua per consequentias ad aliquid peruenitur, quod uerurn esse conceditur.

1) Hic perfecta est demonstratio propositionis, qualis in nostro άλλως exposita est. reliqua addita sunt, ut intellegeretur, sub hac forma idem demonstrari ac in ipsa propositione 5, qualis in textu exposita est.

10. AB] ΔΑ] ΑΔ P. 17. τί — 6vv-ίΰτιν Ρ.

BA Ρ

9.    προς την P. δέ] δ³ Ρ. ΔΑ] ΑΔ Ρ.

11. την ΑΓ Ρ. 12. ΓΑ] ΑΓ Ρ.

14. καί] 'prius) om. Ρ. ^    15. καί] om. b.

O’fcrtg] om. V. 18. μεν ovv] om. BVbq.

Σνν&εΰις δε λήψις τον δμολογονμένον διά των άκολον&ων έπί τι άλη&ες δμολογονμενον.

Τον ä &εωρη ματος η άνάλνσις και η σνν&εσις άνεν καταγραφής.

5 Εν&εΐα γάρ τις η AB ακρον καί μέσον λόγον τε-τμησ&ω κατά το Γ', καί έστω μειξον τμήμα η ΑΓ', καί τη ημισεια της AB Ιση κεισ&ω η AA' λέγω, ότι πενταπλάσιόν έστι το άπδ της ΓΑ τον από της ΑΑ.

’ΕπεΙ γάρ πενταπλάσιόν έστι το άπδ της ΓΑ τον 10 άπδ της ΑΑ? το δε άπδ της ΓΑ έστι τά άπδ των ΓΑ₅ ΑΑ μετά τον δϊς νπδ των ΓΑ, ΑΑ, τά άρα άπδ των ΓΑ, ΑΑ μετά τον δϊς νπδ των ΓΑ, ΑΑ πενταπλάσιά έστι τον άπδ ΑΑ* διελόντι άρα τδ άπδ της ΓΑ μετά τον δϊς νπδ των ΓΑ, ΑΑ τετραπλάσιά 15 έστι τον άπδ ΑΑ. άλλά τω μεν δϊς νπδ των ΓΑ, ΑΑ ίσον έστι τδ νπδ των ΒΑ, ΑΓ* διπλή γάρ η ΒΑ της ΑΑ* τω δε άπδ της ΑΓ ίσον έστι τδ νπδ των AB, ΒΓ* η γάρ AB ακρον και μέσον λόγον τέ-τμηται· τδ άρα νπδ των ΒΑ, ΑΓ μετά τον νπδ AB, ‘20 ΒΓ τετραπλάσιόν έστι τον άπδ της ΑΑ. άλλά τδ νπδ των ΒΑ, ΑΓ μετά τον νπδ των AB, ΒΓ τδ άπδ της AB έστιν. τδ άρα άπδ της AB τετραπλάσιόν έστι τον άπδ ΑΑ. έστι δέ' διπλή γάρ έστιν η AB της ΑΑ.

2. τι άλη&ες δμολογονμενον] Ρ, την τον ξητονμένον κατά-ληξιν ήτοι κατάληιριν BVbq. 10. το\ τον ΐ).    εστιν Β.

12. ΑΑ] (alt.) corr. ex Α Γ m. 1 b.

14. τετραπλάΰΐόν Vq. των] om. q.

της ΑΑ Y.

16. τό] τον b. corr. ex των m. 2 Ρ. 20. της] om. V.

ΑΓ] ΓΑ q. τό] τώ q.

13. εατιν P. 15. των] om. bq. γάρ εοτιν bq.

17. τώ] 19. AB] των AB Ρ. 22. άπο] bis q.

τήί]

synthesis est adsertio concessi, qua per consequentias ad aliquid peruenitur, quod uerum esse conceditur.

Analysis et synthesis prop. I sine figura.

uerum

recta enim AB secundum rationem extremam ac mediam secetur in jP, et maior pars eius sit ΑΓ\ et ponatur AA = X/₂AB. dico, esse ΓΑ² = 5 A A². nam quoniam ΓA² — bAA²} et ΓΑ² = ΓΑ² + AA² + 2 ΓΑ X A A [II, 4], erit ΓΑ² + A A² -f- 2ΓΑ X A A = 5 A A². itaque subtrahendo ΓΑ² 4- 2ΓΑ X A A = 4 A A².

BA X ΑΓ = 2ΓΑ X AA (nam BA = 2AA), et ΑΓ² = ΑΒχΒΓ (nam AB secundum rationem extremam ac mediam secta est). itaque BAxAlT + AB X ΒΓ = 4AA². uerum ΒΑχΑΓ-\-ΑΒ X ΒΓ = AB² [II, 2J. ergo AB² = 4 A A², et est; nam AB = 2 A A.

om. P. I<m Y, i'cov laxi bq. άηο τής Y, vno b.

ano] vno b.

23. anό]

Σν v θ’ ε σι ς.

’Επει    ονν    τετραπλάσιόν έστι τό    άπό xrjg    AB τον

άπό τής    ΑΑ,    άλλα το άπό ΒΑ το    νπό ΒΑ,    ΑΓ έστι

μετά τον νπό AB, ΒΓ, το άρα νπό ΒΑ, ΑΓ μετά 5 τον νπο AB, ΒΓ τετραπλάσιόν έστι τον άπο ΑΑ. άλλα το μεν νπο των ΒΑ , ΑΓ ίσον έστί τω δις νπο των ΑΑ, ΑΓ, το όε νπό των AB,    ΒΓ Ισον    έστι τω

άπο τής    ΑΓ*    τό άρα άπο τής ΑΓ    μετά τον    δις νπό

των ΑΑ, ΑΓ τετραπλάσιόν έστι τον από τής ΑΑ% 10 ώστε τά άπο των ΑΑ, ΑΓ μετά τον δϊς νπό των ΑΑ, ΑΓ πενταπλάσια έστι τον από τής ΑΑ. τά δε άπο των ΑΑ, ΑΓ μετά τον δις νπό των ΑΑ, ΑΓ τΐ άπό τής ΓΑ έστιν. τό άρα άπο τής ΓΑ πενταπλάσιόν έστι τον άπό τής ΑΑ* οπερ έδει δεΐζαι.

15 Τον β θεωρήματος ή άνάλνσις και ή σύνθεσις άνεν καταγραφής.

Ενθεΐα γάρ τις ή ΓΑ τμήματος έαντής τον ΑΑ πενταπλάσιον δννάσθω, τής δε ΑΑ διπλή κείσθω ή AB* λέγω, ότι ή AB άκρον και μέσον λόγον τέτμηται 20 κατά τό Γ σημεΐον, και τό μεΐζον τμήμά έστιν ή ΑΓ, ήτις έστι τό λοιπόν μέρος τής εξ άρχής ευθείας.

ΈπεΙ ή AB άκρον καί μέσον λόγον τέτμηται κατά τό Γ, και τό μεΐζον τμήμά έστιν ή ΑΓ, τό άρα νπό των ΑΒΓ ϊσον έστι τω άπό τής ΑΓ. έστι δε και τό 25 νπό των ΒΑΓ τω δϊς νπό των ΑΑ, ΑΓ ίσον* διπλή γάρ έστιν ή ΒΑ τής ΑΑ* τό άρα νπό των AB, ΒΓ μετά τοΐ νπό των ΒΑ, ΑΓ, όπερ έστι τί άπό τής

3. εΰτιν Β.

2. ΒΑ BV, B"A’ b.

13. εατιν~\ έατι Vq, comp. b.

Vq.

11. πενταπλάοιόν 14. όπες έδει

synthesis.

Iam quoniam AB² — 4 A A², et BA² — ΒΑχΑΓ + AB ΧΒΓ [II; 2], erunt ΒΑΧ ΑΓ+ ΑΒχ ΒΓ = 4AA². ηβτηηιΒΑχΑΓ=2ΑΑχΑΓ,ΑΒχΒΓ = ΑΓ². itaque ΑΓ² -f- %AA X ΑΓ= ^AA², quare AA² + ΑΓ² + 2ΑΑχΑΓ=5ΑΑ². uerum A A2 + ΑΓ² + 2 A A X ΑΓ = ΓΑ² [II, 4]. ergo ΓΑ2 = 5 A A²· quod erat demonstrandum.

Analysis et synthesis prop. II sine figura, quadratum enim rectae ΓΑ quintuplum sit quadrati partis eius A A, et ponatur AB = 2 A A. dico,

pq

rectam AB secundum rationem extremam ac mediam in puncto Γ sectam esse, et maiorem partem esse ΑΓ, quae reliqua pars est rectae ab initio sumptae.

quoniam AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam secta est, et maior pars est ΑΓ' erit AB X ΒΓ= ΑΓ², uerum etiam ΒΑχΑΓ=2ΑΑχΑΓ\ nam BA = 2 A A. itaque erit AB X 5Γ+ BA X ΑΓ

15. Jf] (alt.) om. P.

τό] om. bq. 25. BA, ΑΓ b. τών~\ om. Bbq.

om. q, o)— b.

20. σημεΐον] om. Y. 22. επεϊ γάς B V.

27. του] om. q.

19. loyor] om. b. 21. S6TLV P.

26. BA] AB q.

EGTLV P.

AB, ίσον έστι τω δϊς νπό των ΑΑ, ΑΓ μετά τον άπό της ΑΓ. τετραπλάσιον δέ το άπό της AB τον άπό της AA' τετραπλάσιον άρα καί το δϊς νπό των ΑΑ, ΑΓ μετά τον άπο ΑΓ τον άπο AA' ώστε τά 5 άπο των ΑΑ, ΑΓ μετά τον δϊς νπο των ΑΑ, ΑΓ, οπερ έστϊ το άπο τής ΓΑ, πενταπλάσιόν έστι τον από τής ΑΑ. εστι δε.

Σνν&εσις.

’Επει ονν πενταπλάσιόν εστι το άπο τής ΓΑ τον 10 άπο    τής    ΑΑ, το δε άπό    τής    ΓΑ τά άπο των Α Α,

ΑΓ    έστι    μετά τον δϊς νπο    των    ΑΑ, ΑΓ, τά άρα άπό

των ΑΑ, ΑΓ μετά τον δϊς νπο των ΑΑ, ΑΓ πεντα-πλάσιά εστι τον άπό AΑ. διελόντι το δϊς νπο των ΑΑ, ΑΓ μετά τον άπό τής ΑΓ τετραπλάσιόν εστι 15 τον    άπό    τής AA' εστι δε    και    το άπό τής AB τετραπλάσιον    τον άπό AA' το    άρα    δις νπο των ΑΑ, ΑΓ,

όπερ εστι το άπαί, νπο των ΒΑ, ΑΓ, μετά τον άπό ΑΓ, ίσον έστϊ τω άπό τής AB. άλλά το άπό τής AB το νπο AB, ΒΓ έστι μετά τον νπο ΒΑ, ΑΓ* 20 το άρα νπό ΒΑ, ΑΓ μετά τον νπο AB, ΒΓ ίσον έστι τω νπό ΒΑ, ΑΓ μετά τον άπό ΑΓ’ και κοινον άφαιρε&έντος τον νπό ΒΑ, ΑΓ, λοιπόν άρα το νπό AB, ΒΓ ίσον έστι τω άπό ΑΓ' έστιν άρα ως ή ΒΑ προς την ΑΓ, όντως ή ΑΓ προς την ΓΒ. μείξων δε 25 ή ΒΑ τής ΑΓ' μείζων άρα και ή ΑΓ τής ΓΒ' ή AB άρα άκρον καί μέσον λόγον τέτμηται κατά το Γ, και το μεΐζον τμήμά έστιν ή Α Γ' όπερ έδει δεΐξαι.

τής AJ V. υπό] άπό q.

4. άπο τής ΑΓ V. — ΑΓ~\ supra m. 2 Β.

τά] το q. 5. μετά 6. εοτίν ΡΒ.

— 2ΑΑχΑΓ-\- ΑΓ²=ΑΒ² [11,2]. sed ΑΒ²=ΑΑΑ². itaque etiam 2 A Α X ΑΓ    ΑΓ² = ΑΑ Α².

quare

ΑΑ² + ΆΓ² + 2ΑΑ X ΑΓ = δΑΑ² = ΓΑ² [Π, 4]. et est.

synthesis.

iam quoniam ΓΑ² = δΑΑ², et ΓΑ² — AA²-{- ΑΓ2 + 2 A A X ΑΓ [11,4], erit A A² -f- ΑΓ² + 2AA X ΑΓ = δ A A², subtrahendo erit 2 A A X ΑΓ-\- ΑΓ2 = 4 A A², uerum etiam AB² = 4 A A², itaque 2 A A ΧΑΓ+ ΑΓ² = AB² = BAX ΑΓ+ ΑΓ². uerum AB² = ΑΒΧΒΓ+ ΒΑΧΑΓ [II, 2]. itaque BA X ΑΓ + AB x ΒΓ = ΒΑΧΑΓ+ΑΓ². et ablato, quod commune est, ΒΑΧΑΓ erit AB X ΒΓ — ΑΓ². itaque BA : ΑΓ — AT : ΓΒ. et BA > ΑΓ. itaque etiam ΑΓ>ΓΒ. ergo AB secundum rationem extremam ac mediam in Γ secta est, et maior pars est AT\ quod erat demonstrandum.

το] om. B. πενταπλάσια B, comp. V. 7. της] om. P. εστιν Bb, om. q. δέ] om. q, z/E b; dein add. διά την νπό-ftsGLv BYq, mg. m. 1 b. 10. τά] τό BV. 11. εστιν B. από] corr. ex νπό Y. 13. εστι] om. Y. AJ q, της 15. της] om. P. εστιν B. από] corr. ex a m. 16. της ΑΔ Y. των] om. P. 17. εστιν B.

18. αλλά — της AB] postea add. m. 1 mg. P. 19. νπό των εστιν B. 20. νπό] (alt.) από q. ί'σον — 21. BA, ΑΓ] postea add. m. 1 mg. P.    21. τώ] corr. ex τό m. 2 P.

23. AB, ΒΓ] corr. ex ΑΒΓ V; ‘AB b, ΑΒΓ B.

άρα AB Y.

ΔΑ Y.

1 P.

Y.

25. ΑΓ] (prius) ΓΑ q. om. Yq, o)— b.

27. οπερ εδει

Τον γ θεωρήματος ή άνάλνσις και ή σννθεσ ις.

Ευθεία γάρ γραμμή ή AB ακρον και μέσον λόγον τετμήσθω κατά το Γ σημειον, και έστω μεΐζον τμήμα 5 ή ΑΓ, και τής ΑΓ ήμίσεια ή ΓΑ' λέγω, ότι πενταπλάσιόν έστι το από τής ΒΑ τον από τής ΓΑ.

’Επει γάρ πενταπλάσιόν έστι το από τής ΒΑ τον από τής ΓΑ, τό δε από τής AB το νπό των AB, ΒΓ έστι μετά τοϋ από ΑΓ, τό άρα νπό AB, ΒΓ 10 μετά τοϋ από ΑΓ πενταπλάσιόν έστι τον από ΑΓ’ διελόντι τό άρα νπό AB, ΒΓ τετραπλάσιόν έστι τον από ΑΓ τω δε νπό AB, ΒΓ ίσον έστι τό από τής ΑΓ' ή γάρ AB ακρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά τό jΓ. τό άρα από τής ΑΓ τετραπλάσιόν έστι τοϋ από 15 ΑΓ. έστι δέ* διπλή γάρ ή ΑΓ τής ΑΓ.

'Η σννθεσις.

’Επει διπλή έστιν ή ΑΓ τής ΑΓ, τετραπλάσιόν έστι τό από ΑΓ τοϋ από ΑΓ. αλλά τω από ΑΓ ίσον έστι τό νπό AB, ΒΓ’ τό άρα νπό AB, ΒΓ 20 τετραπλάσιόν έστι τοϋ από ΑΓ. σννθέντι τό άρα νπό AB, ΒΓ μετά τοϋ από ΑΓ, όπερ έστι τό από AB, πενταπλάσιόν έστι τοϋ από ΑΓ* όπερ έδει δεΐζαι.

Τοϋ δ θεωρήματος ή άνάλνσις και ή σννθεσις.

25

Ευθεία γάρ γραμμή ή AB άκρον και μέσον λόγον τετμήσθω κατά τό Γ, και έστω μειζον τμήμα τό ΑΓ’

1. ή] (alt.) om. q.

8. JB] e corr. V, Bd q.

3. γάρ] om. bq.

9. BF] corr. ex A Γ m. 2 B.

Analysis et synthesis prop. III. recta enim AB in Γ puncto secundum rationem extremam ac mediam secetur, et maior pars sit ΑΓ et ΓΑ = Y₂ΑΓ. dico, esse BA² = 5ΓΑ².

nam quoniam BA² — 5ΓΑ², et AB² — ΑΒχΒΓ + ΑΓ² [II, 6], erit ΑΒχΒΓ + ΑΓ² = 5 ΑΓ². subtrahendo erit B X BF = 4ΑΓ². uerum ΑΓ² = AB

tu

b,

pq

X BF; nam AB m Γ secundum rationem extremam ac mediam secta est. ergo ΑΓ² — 4AΓ². et est; nam ΑΓ = 2ΑΓ.

synthesis.

quoniam ΑΓ = 2z/F, erit ΑΓ² = 4ΑΓ². uerum AB X ΒΓ — ΑΓ². itaque AB X ΒΓ — 4ΑΓ². addendo erit A B x ΒΓ + ΑΓ² = 5ΑΓ² = AB² [II, 6]; quod erat demonstrandum.

Analysis et synthesis prop. IV. recta enim AB in F secundum rationem extremam ac mediam secetur, et maior pars sit ΑΓ. dico, esse AB² + ΒΓ² = 3 ΑΓ².

11. αρα τό BV.

15. της

της ΔΓ V, ΓΔ P.

ΔΓ V. k'czLv B. 16. rf\ om. Bq. 17. ΓΛ P.

18. τω] corr. ex τό m. 1 b. από] om. b. 20. από] (prius) om. P. 22. έστιν P.    οπερ εόει δεΐζαι] om. q, o)— b.

23. η] (alt.) om. q. 25. ya^] om. bq.

λέγω, ότι τά άπο των AB, ΒΓ τριπλάσιά έστι τον άπο ΑΓ.

ΈπεΙ γάρ τα άπο των AB, ΒΓ τριπλάσιό έστι τον άπο ΑΓ, άλλα τα άπο των AB, ΒΓ το dlg νπο των 5 AB, ΒΓ έστι μετά τον άπο ΑΓ, το άρα dlg νπο των AB, ΒΓ μετά τον άπο ΑΓ τριπλάσιόν έστι τον άπο ΑΓ· διελόντι το άρα dlg νπο AB, ΒΓ διπλάσιάν έστι τον άπο ΑΓ* ώστε το νπο των AB, ΒΓ ίσον εστι τω άπο της ΑΓ. εστι δε* η γάρ AB άκρον και μέσον 10 λόγον τέτμηται κατά το Γ.

'Η σνν&εσ ις.

'Επει η AB άκρον και μέσον λόγον τετμηται κατά το Γ, καί εστι μεΐξον τμήμα η ΑΓ, το άρα νπο AB, ΒΓ ίσον έστι τω άπο ΑΓ* τό άρα dlg νπο AB, ΒΓ 15 διπλάσιάν έστι τον άπο ΑΓ* σνν&έντι τό άρα dlg νπο των AB, ΒΓ μετά τον άπο ΑΓ τριπλάσιόν έστι τον άπο ΑΓ. άλλα τό dlg νπο των AB, ΒΓ μετά τον άπο της ΑΓ τά άπο των AB, ΒΓ έστι τετράγωνα* τά άρα άπο των AB, ΒΓ τριπλάσιά έστι τον άπο ΑΓ* 20 όπερ έδει δεΐζαι.

Τον ε & εωρηματος η άνάλνσις καί η σύν&εσ ις.

Εν&εΐα γάρ τις η AB άκρον καί μέσον λόγον τε-τμήσ&ω κατά τό Γ, καί έστω μεΐξον τμήμα η ΑΓ, 25 καί τη ΑΓ ίση κείσ&ω η AA' λέγω, ότι η AB άκρον καί μέσον λόγον τέτμηται κατά τό Α, και τό μεΐξον τμημά έστιν η AB.

6. εατιν Ρ.

8. το] om. b.

7. των AB V.

νπο] άπό V,

5. τον] om. V. διπλάαιον — 8. ΒΓ] om. q.

nam quoniam AB² + ΒΓ² = 3ΑΓ², sed AB² + ΒΓ2 = 2AB ΧΒΓ+ ΑΓ² [II, 7], erit 2AB X ΒΓ + ΑΓ2 = 3 ΑΓ².

subtrahendo erit 2AB X ΒΓ = 2 ΑΓ².

quare AB X ΒΓ = ΑΓ². et est; nam AB secundum rationem extremam ac mediam in Γ secta est.

synthesis.

quoniam AB secundum rationem extremam ac mediam in Γ secta est, et maior pars est ΑΓ? erit AB X ΒΓ = ΑΓ²ο itaque 2ΑΒχΒΓ = 2ΑΓ². addendo erit 2AB χΰΓ+ ΑΓ² = 3ΑΓ². uerum 2AB X ΒΓ+ ΑΓ² = AB² + ΒΓ² [II, 7]. ergo AB2 + ΒΓ² = 3ΑΓ²; quod erat demonstrandum.

Analysis et synthesis prop. V. recta enim AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam secetur, et maior pars sit ΑΓ' et ponatur A A = ΑΓ. dico, AB m A secundum rationem extremam ac mediam sectam esse, et partem maiorem esse AB.

άπα'ξ νπό Bb. εατιν Β.

9. τώ] supra scr. ο m. 1 b. 10. Γ όπερ εδεί δεΐξαι Β.

τής] oru. Β. 11. η] om. Bb. 13. καί — ΑΓ] postea add. m. 1 Ρ, mg. m. 1 Y (ΑΓ e 14. i'cov — ΒΓ] mg. m. 2 Β. τώ] τό 15. διπλάαιον — ΑΓ]

18. τής] om. q. §στιν 20. δπερ εδεί δεΐξαι] om. q,

corr.) om. Β. a m., 2 Β (τής ΑΓ). τετράγωνα Bbq.

21. ή] (alt.) om. V.

νπό των Β.

o rsg.

από] in mg. 19. ΒΓ

- b.

’Επει γάρ ή Α Β άκρον καί μέσον λόγον τέτμηται κατά το Α, καί το μεΐξον τμημά έστιν ή AB, έστιν άρα ώς ή AB προς την ΒΑ, όντως η ΒΑ προς την ΑΑ. ίση $£ η ΑΑ τη ΑΓ' έστιν άρα ώς η AB προς 5 την ΒΑ, όντως η ΒΑ προς την ΑΓ' άναστρέψαντι άρα ώς η ΒΑ τιρός την ΑΑ, όντως η AB τιρός την ΒΓ' διελόντι άρα ώς η ΒΑ τιρός την ΑΑ, όντως τ; ΑΓ τιρός την ΓΒ. ίση δε η ΑΑ τη ΑΓ' έστιν άρα ώς η ΒΑ τιρός την ΑΓ όντως η ΑΓ τιρός την ΓΒ. 10 έστι δε' η γάρ AB άκρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά το Γ.

'Η σνν&εσις.

’Επει η AB άκρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά το Γ, έστιν άρα ώς η Β Α τιρός την ΑΓ, όντως η 15 ΑΓ τιρός την ΓΒ. ίση δε η ΑΓ τη AA' έστιν άρα ώς η ΒΑ τιρός την ΑΑ, όντως η ΑΓ προς την ΓΒ' σνν&έντι ώς η ΒΑ προς την ΑΑ, όντως η AB προς την ΒΓ' άναστρέψαντι ώς η AB προς την ΒΑ, όντως η ΒΑ προς την ΑΓ. ίση δε η ΑΓ τη ΑΑ* έστιν άρα 20 ώς η AB προς ΒΑ, όντως η ΒΑ προς ΑΑ. η άρα AB άκρον και μέσον λόγον τέτμηται κατά το Α, και το μεΐξον τμημά έστιν η AB' όπερ έδει δεΐξαι.

9.

Ad libr. XIII prop. 17.

'Ρητή γάρ ή AB άκρον και μέσον λόγον τετμήσ&ω κατά το Γ, και έστω μεΐξον το ΑΓ. προσκείσ&ω δέ

9. Ad uocabulum κνβον ρ. 326, 19 signo $ relatum in mg. inf. hab. P m. 1 (pro seholio).

2. κατά 8. ΐση — 9.

1. yap] ovv V. 6. BJ] corr. ex BA m. 2B.

1. hτεί — 2. AB~\ mg. V. το Ä] om. V.

nam quoniam A B m A secundum rationem extremam ac mediam secta est, et maior pars est AB, erit AB : BA = BA : A A. sed AA = ΑΓ. itaque AB : BA = BA : AΓ. itaque conuertendo erit BA

-I-

-I-

dirimendo igitur

: A A = AB : ΒΓ [V, 19 coroll.].

BA : A A = ΑΓ: ΓΒ [V, 17]. sed A A = ΑΓ. itaque BA : ΑΓ = ΑΓ: ΓΒ. et est; nam AB secundum rationem extremam ac mediam in Γ secta est.

synthesis.

quoniam AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam secta est, erit ΒΑ:ΑΓ = ΑΓ:ΓΒ. sed ΑΓ=ΑΑ. itaque B A : AA = ΑΓ: ΓΒ, componendo igitur ΒΑ:ΑΑ — ΑΒ:ΒΓ [V, 18]. itaque conuertendo AB : BA = BA : ΑΓ [V, 19 coroll.]. sed ΑΓ =AA. erit igitur AB : BA — BA : A A. ergo AB in A secundum rationem extremam ac mediam secta est, et maior pars est AB; quod erat demonstrandum.

9.

Ad libr. XIII prop. 17.x) recta enim rationalis AB in Γ secundum rationem extremam ac mediam secetur, et maior sit ΑΓ. adii) Hoc scholio idem demonstratur, quod in prop. VI, quam omittunt codices nonnulli; inter eos tamen P non est.

12. r[\ om. Bq.

ΓΒ] mg. m. 2 B.

19. τη Α Δ] in ras. m. 1 P.

21. ν,ατά το Α] postea add. m. 1 P. δείξου] om. q, o)— b.

Yb.

17. την] om. q.

20. προς την BA V. την ΑΔ 22. οπερ εδευ

Y.

η ΑΑ ημίσεια της AB. ρητη άρα και η ΑΑ. και έπει πενταπλάσιον τδ άπδ ΓΑ τον άπδ ΑΑ, αί ΓΑ. ΑΑ άρα ρηταί είσιν δννάμει μόνον σνμμετροι. άποτομη άρα η ΑΓ. ρητη δέ η AB. τδ δέ άπδ άποτομής 5 παρά ρητην παραβαλλόμενον πλάτος ποιεί άποτομην’ άποτομη άρα έστιν η ΒΓ. έκάτερον άρα των ΑΓ ΓΒ άποτομη έστιν ο* προσαρμόξονσα δέ της μέν ΑΓ ή ΑΑ, της δέ ΓΒ i, ΓΑ.

10.

Ad libr. XIII prop. 18.

*Αλλως ότι μείξων έστϊν η MB της NB.

10    ’Ejτεΐ γάρ διπλή έστιν η ΑΑ της AB, τριπλή άρα

.3'»

η AB της ΒΑ. ώς δε AB προς την ΒΑ, όντως τδ άπδ της AB προς τδ άπδ της ΒΖ δια τδ ίσογώ-νιον είναι τδ ΖΑΒ τρίγωνον τω ΖΑΒ τριγώνω. τριπλάσιον άρα τδ άπδ της AB τον άπδ της ΒΖ. έδείχ&η 15 τδ άπδ της AB τον άπδ της ΚΑ πενταπλάσιον, πέντε άρα τα άπδ της ΚΑ τρισί τοίς άπδ της ΖΒ ίσα έστίν.    άλλα τρία    τα άπδ της ΖΒ εξ    των    άπδ    της

ΝΒ μείξονά έστιν.    και πέντε άρα τα    άπδ    της    ΚΑ

εξ των άπδ της ΝΒ μείξονά έστιν. ώστε και έν τδ 20 άπδ της ΚΑ ένδς τον άπδ της ΝΒ μεΐξόν έστιν. μείξων    άρα η ΚΑ    της ΝΒ. ίση δέ η    ΚΑ    τη AM.

μείξων    άρα η AM    της ΝΒ. πολλω άρα η    MB    της

ΒΝ μείξων έστιν* οπερ έδει δεΐξαι. ότι δέ τρία τα άπδ της ΖΒ εξ των άπδ της ΒΝ μείξονά έστιν, δεί-

10. Post δεΐξαι ρ. 336, 14 hab. PBVq.

7. 6] h. e. οπερ έδει δεΐξαι. 9. Post NB add. V: άλλως δεικτεον, οτι μείζων εατιν η τον εΐκοσαέδρον πλευρά της

iiciatur autem A A — % AB. itaque etiam A A rationalis est. et quoniam est ΓΑ² = 5 A A² [XIII, 1], rectae ΓΑ, A A rationales sunt potentia solum commensurabiles. itaque ΑΓ apotome est. sed AB ra-

Γ B

tionalis est. quadratum autem apotomes ad rationalem adplicatum latitudinem efficit apotomen [X, 97]. itaque ΒΓ apotome est; ergo utraque ΑΓ\ ΓΒ apotome est; quod erat demonstrandum, congruens autem est ΑΓ rectae AA, et ΓΑ rectae ΓΒ.

10.

Ad libr. XIII prop. 18.

demonstrauimus autem, esse AB2 uerum 3ZB²

Aliter demonstratur, esse MB>NB. Quoniam enim A A = 2 AB, erit AB = 3BA. sed AB : BA = AB²:BZ², quia ZAB ~ ZAB. itaque AB² = 3 BZ².

= 5KA². itaque 5KA² = 3ZB².

>6 NB², itaque etiam bKA²>6NB². quare etiam KA²>NB². itaque KA > NB. uerum KA = AM. itaque AM>NB. ergo multo magis MJ3 > BiV; quod erat demonstrandum. — esse autem 3ZB²> 6BN², ita demonstrabimus, quoniam enim BN > NZ, erit

τον δώδεκαέδρον. 13. είναι] om. V. BVq.

εατι BYq.

11. BA] AB BV. 14. BZ] ZB V.

23. BN] NB B, NBN Y. οπερ εδεί δεϊξ,αϊ] om. q.

BA] AB Y. 18. εοτι q.

20. εατι

μείζων εατίν] om. BY. 24. της] (prius) των Y q.

ζομεν όντως' έπει γάρ μείξων έΰτιν ή ΒΝ της ΝΖ, το αρα νπο των ΖΒΝ μεΐξόν έΰτι του νπο ΒΖΝ. το αρα νπο ΖΒΝ μετά τον νπο ΒΖΝ μεΐξόν έΰτιν 7 διπλάΰιον τον νπο ΒΖΝ. άλλα το μεν νπο ΖΒΝ 5 μετά τον νπο ΒΖΝ το από της ΖΒ έΰτιν, το δε υπό ΒΖΝ το από της ΝΒ έΰτιν. το αρα από της ΖΒ τον από της ΒΝ μεΐξόν έΰτιν η διπλάΰιον. έν αρα το από της ΖΒ δνο των από ΒΝ μεΐξόν έΰτιν. ωΰτε και τρία τα από τής ΖΒ των από ΒΝ μείξονά 10 έΰτιν όπερ έδει δεΐί,αι.

2. τον νπό] 3. τό] corr.

Post τον 5. ΖΒ] Β Ζ

1. εατίν] om. q. τον νπο τής V, τον ex τά m. 2 V, mut. in τά Β. dei. a Ρ.

y ΒΝ] NB q,ΒΝΒ V. νπο των q, τον άπο τής Β.

των ΖΒΝ q. 4. ΒΖΝ] corr. ex ΖΒΝ m. 2 Β.

ZBxBN> BZxZN. itaque ZBx BN + BZ X ZN>2BZxZN. uerum ZBxBNBZxZN = ZB² [II, 2], et BZ X ZN = NB², itaque ZB >2BN². ergo etiam 3ZB² > 6BN²] quod erat demonstrandum.

Υ.

B. sgtl q, comp. Y. νπό των Y. 6. BZN] e corr. Y. τό] τό, supra ser. ί'σον m. 2 Β, ί'σον τω Ρ. NB] ΒΝΒ εστιν] om. Ρ. Dein add. άκρον γάρ (supra Y) καί μέσον λόγον τέτμηται η ΒΖ κατά τό ΙΥ, καί τό υπό των άκρων ί'σον έστϊ τω από τής μέσης Υ, et mg. m. 2 Β. 7. εν] corr. ex εάν m. 1 q. 8. των] τής Ρ. από των Υ. 10. έστιν] om. q. οπερ έδει δεΐξαί] om. Υ.

V

APPENDIX II.

XL λς\

’jΕάν τρεις εν&εΐαι άνάλογον ώΰι, το περιεχδμενον vito των τριών ΰτερεδν ίΰον εΰται τω άπδ της μέΰης ΰτερεω ίΰοπλενρω μεν, ίΰογωνίω δε τω προειρημένω-

εΰτωΰαν τρεις εν&εΐαι άνάλογον αί Α, Β, Γ, ώς η Λ προς την Β, όντως η Β προς την Γ. λέγω, δτι το νπδ των Α, Β, Γ περιεχόμενον ΰτερεδν ίΰον εΰτι τω άπδ της Β ΰτερεω ίΰοπλενρω τε και ίΰογωνίω. κείΰ&ω τη Α ίΰη η ΑΕ, και ΰννεοτάτω προς τη ΕΑ εν&εία και τω ΰημείω τω Α τνχονΰη ΰτερεα γωνία εν&νγράμμω ίΰη ΰτερεα γωνία εν&νγραμμος η περι-εχομένη νπδ των ZA, ΑΗ, ΗΑ, ΑΕ, ΖΑ, ΑΘ, και κείΰ&ω τη μεν Β ίΰη η ΗΑ, τη δε Γ ίΰη η ΘΑ, και ΰνμπεπληρώΰδω τδ ΑΚ ΰτερεόν, και κείΰ&ω τη Β ίΰη η AM, και ΰννεΰτάτω πρδς τη ΜΑ εν&εία και τω πρδς αντη ΰημείω τω Α τη ΰτερεα γωνία εν&ν-γράμμω τη περιεχομένη νπδ των ΘΑ, Α Ε, ΕΑ, ΑΗ, ΗΑ, ΑΘ ίΰη ΰτερεα γωνία εν&νγραμμος η περιεχομένη νπδ τών ΜΑ, ΑΝ, ΝΑ, Α$, %Α, AM, cotfw

Hic appendix scripturam cod. b inde a XI, 36 ad finem libri XII continet nulla littera mutata, quamquam sine dubio plurimi insunt meri errores scribendi, tamen dubitari nequit, quin cod. b quasi recensionem quandam propriam praebeat, cfr. Zeitschr. f. Math. u. Phys., hist.-litt. Abth. XXIX p. 1 — 22.

25

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IY.

ί'ΰην είναι την μεν νπδ των ΘΑ, ΑΕ τη νπδ των ΝΑ, AM, την δε νπδ των ΘΑ, ΑΗ τη νπδ των NA, ΑΕ·, την δε νπδ των ΗΑ, AΕ τη νπδ των ΕΑ, AM, και κείΰ&ω τη Β ίΰη έκατέρα των ΕΑ, ΑΟ, και ΰυμπεπληρώΰ&ω τδ ΑΠ ΰτερεόν. καί έπεί έΰτιν ώς η Α πρδς την Β, όντως η Β πρδς την Γ, ίΰη δε η μεν Α τη ΑΕ, η δε Β έκατερα των ΕΑ, ΑΟ, ή δέ Γ τη ΑΘ, ώς άρα η ΑΕ πρδς ΜΑ, όντως η ΟΑ προς την ΑΘ. καί περί ίΰας γωνίας τάς νπδ των ΘΑ, ΑΕ, ΟΑ, AM αί πλενραϊ άντιπεπόν&αΰιν' ία ον αρα εΰτϊ τδ ΑΘ, ΘΡ παραλληλόγραμμον τω ΟΑΜΣ. και έπει ίΰαι γωνίαι επίπεδοί είΰιν αί νπο των ΘΑ, ΑΕ, ΟΑ, AM, επί δε των κορυφών αν των μετέωροι γραμμαι έφεΰτάΰιν αί HA, ΕΑ, 1(5ας γωνίας περι-έχονΰι την μέν νπδ των ΘΑ, ΑΗ τη νπδ των ΟΑ, ΑΕ·, την δε νπδ των ΗΑ, ΑΕ τη νπδ των ΕΑ, AM, και άφηρημέναι είοϊν ίΰαι εν&εϊαι αί ΗΑ, ΕΑ, αί αρα άπδ των Η, Ε έπι τα διά των ΘΑ, ΑΕ, ΟΑ, AM επίπεδα κάθετοι άγόμεναι ίΰαι έΰονται. τά έπϊ ίΰων βάΰεων όντα ΰτερεά παραλληλεπίπεδα, ών τά υψη ί(5α εΰτϊ, ίΰα έΰτΙν εκείνα. ίΰον αρα εΰτϊ τδ ΑΚ τω ΑΗ. καί έΰτι τδ μεν ΑΚ τδ νπδ των Α, Β, Γ, τδ δε Α Π τδ άπδ της Β. τδ άρα νπδ των Α, Β, Γ περιεχόμενον ΰτερεδν ίΰον εΰτϊ τω άπδ της Β ΰτερεώ ίΰοπλενρω μέν, ίΰογωνίω δε τω προειρη-μένω* όπερ έδει δείξαι.

37

λζ'·

’Εάν ωΰιν δΰαιδη:ιοτονν εν&ειαι άνάλογον, και τά άπ αυτών όμοια και ομοίως κείμενα ΰτερεά παραλληλεπίπεδα άνάλογον έΰται. και εάν τά άπ⁵ αντών

όμοια και ομοίως κείμενα ΰτερεα παραλληλεπίπεδα άνά-λογον η, και ανται άνάλογον έβονται.

εβτωβαν όβαιδηποτονν εν&εϊαι άνάλογον η AB, ΓΑ, 1ΕΖ, ϋ©, η #ρο£ ΓΑ, όντως η ΕΖ προς ΗΘ, «να^ε^ραφ^ω «φ⁵ εκάβτης των ΑΒ: ΓΑ, ΡΖ, ϋ© ομοια και ομοίως κείμενα βτερεά παραλληλεπίπεδα τα ΑΚ, Γζί, ΡΜ, üiV. λέγω, ότι εβτιν ώς το ΑΚ βτερεον προς το ΓΑ βτερεον, όντως το ΕΜ βτερεον προς το ΗΝ βτερεον. πεποιήβ&ω γάρ    ώς η AB προς    την ΓΑ, όντως η    τε ΓΑ    προς

την    & και η Η προς    την Ο. ώς άρα η    πρώτη    προς

την τετάρτην, τοντεβτιν η AB προς την Ο, όντως το άπδ της πρώτης, τοντεβτι το ΑΚ, π:ρ0£ τό απ:ό τί^ δεντερας, τοντεβτι το ΓΑ* cog άε ή ΡΖ #ρο£ την ΗΘ, όντως η τε ΗΘ προς την Π και η Η προς εβτιν άρα ώς η ΕΖ προς την Ρ, oirrcog τό ΡΜ π;ρ0£ την ΗΝ. και έπεί εβτιν ώς η AB προς την ΓΑ, οί!-τω$    η ΕΖ προς την    ΗΘ, αλλ⁷ μετ'    η AB    προς

την    ΓΑ, oiirog ijf τε Ρζ/ π:ρο£ τήν $ και η £?    προς

την Ο, ω£ $έ 17 ΡΖ ^ρο£ τήν ii©, orrog ή' τε Η© π;ρ0£ τήν Η καί η Π προς την Ρ, δι ίβον άρα εβτϊν ώς η AB προς την Ο, όντως η ΕΖ προς την Ρ. άλΓ ώς μεν η AB προς την Ο, όντως το ΑΚ βτερεον προς το ΓΑ βτερεον, ώς δε η ΕΖ προς την Ρ, όντως το ΕΜ βτερεον προς το ΗΝ βτερεον. ώς άρα το ΑΚ βτερεον προς το ΓΑ βτερεον, όντως το ΕΜ βτε-ρεδν προς το ΗΝ βτερεον.

εβτω δη πάλιν ώς το ΑΚ βτερεον προς το ΓΑ βτερεον, όντως τό ΕΜ βτερεον προς τό ΗΝ βτερεον. λέγω, ότι εβτιν ώς AB προς την ΓΑ, όντως η ΕΖ προς την ΗΘ. πεποιηβ^ω γάρ ώς η AB προς

την ΓΑ, όντως η ΕΖ προς την ΣΤ, και άναγεγράφ&ω άπδ της ΣΤ τω ΗΝ ομοιον καί ομοίως κείμενον 6τε-ρεδν παραλληλεπίπεδον το ΣΤ. έπεί έΰτιν    η AB

προς την ΓΑ, όντως η ΕΖ προς την ΣΤ, καί ως άρα το AΚ ύτερεδν προς το ΓΑ ύτερεόν, όντως τδ ΕΜ βτερεδν προς τδ ΣΤ ατερεόν. τδ ΕΜ αρα πρδς έκάτερον των ΗΝ, ΣΤ τδν αντδν έχει λόγον, ΐόον αρα έβτϊ τδ ΗΝ τω ΣΤ, και ομόλογός εότιν η ΗΘ τη ΣΤ. ί'ΰη αρα έΰτϊν η ΗΘ τη ΣΤ. καί έπεί έΰτιν ως η AB πρδς την ΓΑ. όντως η ΕΖ πρδς την ΣΤ. ίοη δε η ΣΤ τη ΗΘ, ώς αρα η AB πρδς την ΓΑ, όντως η ΕΖ πρδς την ΗΘ· οπερ έδει δεΐξ,αι.

38

λη.

⁵Εάν κύβον των άπεναντίον επιπέδων αι πλενραϊ δίχα τμη&ώόι, διά δέ των τομών επίπεδα έκβλη&η, η των επιπέδων κοινή τομή δίχα τεμεΐ την τον κύκλον διάμετρον , και αντη δίχα τμη&η6εται νπδ της τον κύκλον διαμέτρον.

κύβον γάρ τον AB των άπεναντίον επιπέδων των ΓΑ, ΑΕ, 13 Ζ, ΗΘ αι πλενραϊ δίχα τετμηό&ωβαν αι ΓΑ, ΑΑ, ΑΕ, ΕΓ\ ΒΖ, Ζ7Ι, ΗΘ, Θ.Β κατά τα 7Γ, .7, Μ, Λ⁷, Ο, 77, Ρ, ό7α $£ των τομών επίπεδα έκβεβλη6&ω τά ΚΜ, ΤΙ#, Λ77, ΟΡ, καί £<?τω των επιπέδων κοινή τομή η ΣΤ, διάμετρος δε τον κύβον έότω η ΒΑ. λέγω, <m η ΣΤ δίχα τέμνει την τον κύβον διάμετρον, καί aiJrr; $ί^α τμη&ήβεται νπδ των¹) τον κύβον διαμέτρων¹).

έπεξεύχ&ωΰαν γάρ αι ΓΣ7, Ζ77, ΒΤ, ΤΗ. έπεί

ΐΰη εΰτϊν ή ΓΕ τή ΛΑ, καί έΰτι τής μεν ΓΕ ήμίΰεια η ΓΝ, της δε ΛΑ ήμίΰεια η slA, ΐΰη άρα εΰτΙν η ΓΝ τη ΑΑ* έΰτι δε καί η ΣΝ τη ΣΑ ΐΰη. δυο δη αί ΓΝ, ΝΣ δναϊ ταΐς ΑΑ, ΑΣ ΐΰαι είΰί’ και γωνία η νπδ ΓΝΣ γωνία τη νπδ ΣΑΑ ΐΰη' βάΰις αρα η ΓΣ βά^ει τη ΣΑ ΐΰη, και το ΓΝΣ τρίγωνον τω Α;1Σ τριγώνω ΐΰον έΰται, και αί λοιπαϊ γωνίαι ταΐς λοιπαΐς γωνίαις ΐΰαι έΰονται, νφ’ ας αι ΐΰαι πλενραϊ νποτείνονΰιν. ΐΰη αρα εΰτϊν η νπο των ΓΣ, ΣΝ γωνία τη νπδ των ΑΣ, ΣΑ. κοινή προΰκείΰ&ω η νπδ των ΝΣ, ΣΑ* αί άρα νπδ των ΓΣ, ΣΝ, ΝΣ, ΣΑ ταΐς νπδ των ΑΣ, ΣΑ, ΑΣ, ΣΝ ΐΰαι είΰίν. άλλ' αί νπδ των ΑΣ, ΣΑ, ΑΣ, ΣΝ δνΰΐν όρΟ’αΐς ΐΰαι είΰί* πρδς δη τινι εν&εία τη ΝΣ και τω πρδς αντη ΰημείω τω Σ δύο εν&εΐαι αί ΣΓ, ΣΑ μη επι τά αυτά μέρη κείμεναι τάς εφεξής γωνίας δνΰϊν όρ&αΐς ΐΰας ποιονΰι τάς νπδ των ΓΣΝ, ΝΣΑ. επ' εν&είας άρα εΰτϊν ή ΓΣ τή ΣΑ. διά τά αυτά δη και ή ΒΤ νή ΤΗ επ' εν&είας έΰτί. και επει ΐΰη εΰτϊν έκατέρα των ΓΒ, ΑΗ τή ΕΘ, αλλά και παράλληλοι, αί δε παρά την αντήν εν&εΐαν μη εν τω αντω έπιπεδω ονΰαι παράλληλοι είΰίν, αί ΓΒ, ΑΗ άρα ΐΰαι τε καί παράλληλοί είΰι. και έπεζενγμεναι είΰϊν αί ΓΑ, ΒΗ, καί έΰτι τής μεν ΓΑ ήμίΰεια ή ΣΑ, τής δε Β Η ήμί-ΰεια ή ΒΤ. αί ΣΑ, Β Τ άρα ΐΰαι τε και παράλληλοί είΰι* και έπεζενγμεναι είΰϊν αί ΣΤ, AB. ΐΰη άρα εΰτϊν ή μεν ΣΤ τή ΤΤ, ή δε ΑΤ τή TB' δπερ έδει δεΐξαι.

λ&\

'Εάν ή δύο πρίΰματα ίΰονψή, και τδ μεν έχει βάΰιν τρίγωνον, το δέ παραλληλόγραμμον, διπλάΰιον δε ή

το παραλληλόγραμμον τον τρίγωνον, Ϊ6α έΰται τα iχρίσματα.

”Εΰτω δύο πρίΰματα ιΰονψη τά ΑΒΓΑ ΕΖ,ΗΘΚ ΑΜΝ, καί το μεν έχέτω τρίγωνον βάΰιν το ΚΑΝ, το δε παραλληλόγραμμον το ΒΓΑΕ, και εΰτω το ΒΓΑΕ τον ΝΚΑ τρίγωνον διπλάΰιον. λέγω, ότι ίαα έΰτι τα πρίσματα, πεπληρώΰ&ω γάρ τα παράλληλα επίπεδα τα ΑΑ, ΗΑ. έπεί ονν το ΒΑ παραλληλόγραμμον τον ΝΚΑ τρίγωνον εΰτϊ διπλάόιον, έΰτι $£ τον ΝΚΑ τρίγωνον διπλάβιον το ΝΑ παραλληλόγραμμον, ϊ<5ον άρα έΰτϊ το ΒΑ τω ΝΑ. έπϊ ί'ΰων ονν βάΰεων των ΒΑ, ΝΑ ίΰονψή έότι ΰτερεά παραλληλεπίπεδα τά ΑΑ, ΗΑ. ί'ΰα εΰτιν άλληλοις. άλλα τον μεν ΑΑ ημιβύ έ(5τι το ΑΒΓΑΕΖ πρίΰμα, τον δε ΗΑ ημιΰν το ΗΘΚ AM πρίόμα. καί το ΑΒΓΑ ΕΖ άρα πρίΰμα τω ΗΘΚΑΜΝ πρίΰματι ί’ΰον εΰτίν όπερ έδει δεΐζαι.

Ενκλείδον ΰτοιχείων ΰτερεών Τά.

XII

Ενκλείδον ΰτοιχε ίων ίβ.

Τά εν τοΐς κύκλοig όμοια πολύγωνα προς άλληλά έ(5τιν ως τά από των διαμέτρων τετράγωνα.

έΰτωΰαν κύκλοι οι ΑΒΓΑ, ΗΘΚΑ, και εν τοΐς ΑΒΓΑ, ΗΘΚΑ όμοια πολύγωνα έατω τά ΑΒΓΑΕ, ΗΘΚ AM, διάμετροι των κύκλων έΰτωΰαν αι ΒΖ, ΘΝ. λέγω, ότι έΰτιν ως το από της ΒΖ τετράγωνον προς το από της ΘΝ τετράγωνον, όντως τό ΑΒΓΑΕ πολύγωνον προς τό ΗΘΚ AM πολύγωνον, επεξενχ&ω-<5αν γάρ αι BE, ΑΖ, ΘΜ, ΗΝ. καί έπεί έβτιν ώς η ΒΑ προς ΑΕ, όντως η ΘΗ προς την ΗΜ, και περί ίΰας γωνίας τάς νπό των ΒΑΕ, ΘΗΜ αι πλενραϊ άνάλογόν είΰιν, όμοιον άρα έΰτΐ τό ΑΒΕ τρίγωνον τω ΗΘΜ τριγώνω* ιΰη άρα έΰτϊν η νπδ των ΑΕΒ γωνία τη νπδ των νπδ ΑΖΒ εΰτιν ΐΰη, η 6ε νπο ΗΜΘ τη νπο ΗΝΘ εΰτιν ί'ΰη. έΰτι δε όρ&η νπο των ΒΑΖ όρ&η τη νπο ΘΗΝ ί'ΰη. λοιπή άρα η νπο ΑΖΒ λοιπή τη νπο ΗΘΝ εΰτιν ί'ΰη. ισογώνιον αρα έΰτϊ το ΑΒΖ τρίγωνον τω ΗΘΝ τριγώνω. άνάλογον αρα εΰτιν ως η ΒΖ προς την ΒΑ, όντως η ΘΝ προς ΘΗ. εναλλάξ αρα εΰτιν ώς η ΒΖ προς την ΘΝ, όντως η ΒΑ προς την ΘΗ. και έπεί το άπδ της ΒΖ τετράγωνον προς το άπο της ΘΝ τετράγωνον διπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ΖΒ προς την ΘΝ₉ έχει δε και το ΑΒΓΑΕ πολύγωνον προς το ΗΘΚΑΜ πολύγωνον διπλαΰίονα λόγον ηπερ η AB προς την ΗΘ, καί εΰτιν ως η ΒΖ προς την ΘΝ, όντως η AB προς την ΗΘ, και ώς αρα το από της ΒΖ τετράγωνον προς το άπο της ΘΝ τετράγωνον, όντως το ΑΒΓΑΕ πολύγωνον προς τδ ΗΘΚΑΜ πολύγωνον* οπερ έδει δεΐξαι.

ΗΘΜ. άλλ’ η μεν νπο ΑΕΒ τη

Οι κύκλοι προς άλληλονς είΰϊν ώς τα άπο των 2 διαμέτρων τετράγωνα.

έΰτωΰαν κύκλοι οι ΑΒΓΑ₉ ΕΖΗΘ, διάμετροι <5έ αυτών αι ΒΑ₉ ΖΘ. λέγω, ότι εΰτιν ώς το άπό της ΒΑ τετράγωνον προς τδ άπο ΖΘ τετράγωνον₉ όντως δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, εί γάρ μη εΰτιν ώς τδ άπδ της ΒΑ τετράγωνον πρδς τδ άπδ της ΖΘ τετράγωνον₉ όντως δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τδν ΕΖΗΘ κύκλον₉ ήτοι πρδς έλαΰΰόν τι τον ΕΖΗΘ κύκλον χωρίον η πρδς τδ μειζον. έΰτω πρότερον πρδς έλαΰΰον τδ Φ, και τω ΕΖΗΘ κύκλω ίΰα έΰτω τα ΦΧ₉ και έγγεγράφ&ω εις τδν ΕΖΗΘ κύκλον τετρά-

γωνον τό ΕΖΗΘ. το ΕΖΗΘ άρα τετράγωνον μεΐζόν έΰτιν η το η μιαν τον ΕΖΗΘ κύκλον, τετμηΰ^ωΰαν cd ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαν δίχα κατά τά Κ, Λ, Μ, Ν ΰημεΐα, και έπεζενχ&ωΰαν αί ΕΚ, ifZ, Zvi, yiif, HM, ΜΘ, ©iV? iVü?. έκαΰτον άρα ΕΚ, KZ, ZA, AH, HM, ΜΘ, ΘΝ, NE τρίγωνον μεΐζόν έΰτιν η το ημιΰν τον κα&’ έαντό τμήματος τον κύκλον. έκαΰτον άρα των ΕΚΖ, ΖΑΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ των τριγώνων μεΐζόν έύτιν ήτοι ημιΰν τον κα& αντό τμήματος τον κνκλον. τοιαύτης δη γινομένης της διαι-ρέΰεως ληφ&ηΰεται τοιαντα τμήματα από τον ολον κνκλον, α έΰται έλάΰΰονα τον X χωρίον. λελήφ&ω καί έΰτω τά ΕΚ, KZ, ZA, AH, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ. δνο ονν μεγεθών άνίΰων έκκειμένων τον τε ΕΖΘ κνκλον και τον X χωρίον άφηρηται από τον μείζονος μεΐζόν η το ημιΰν μέρος και τον καταλειπο-μένον μεΐζόν η το ημιΰν μέρος, και τούτο αεί γεγέ-νηται, καί καταλέλειπται χωρίον, ο έλαΰΰον έΰται τον X. λοιπόν άρα το ΕΚΖ Α ΗΜΘ Ν πολύγωνον μεΐζόν έΰτι τον Φ χωρίον. έγγεγράφ&ω δη εις τον ΑΒΓΑ κνκλον τω ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολνγώνω όμοιον πολύγωνον το Α&ΒΟΓΠΑΡ. έπεί έΰτιν ως το από της ΒΑ τετράγωνον το από της ΖΘ, όντως ό ΑΒΓΑ κύκλος προς το Φ χωρίον, άλλα μην και ά)ς το από της ΒΑ τετράγωνον προς τό από της ΖΘ, ούτως τό Α^Β Ο ΓΗ ΑΡ πολύγωνον προς τό ΕΚΖΑΗΜΘΝ, ως άρα ό ΑΒΓΑ κύκλος προς τό Φ χωρίον, ούτως τό Α&ΒΟΓΠ Α Ρ πολύγωνον προς τό ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολύγωνον, εναλλάξ άρα έΰτίν, ως ό ΑΒΓΑ προς τό εν αντω πολύγωνον, ούτως τό X χωρίον προς τό ΕΚΖΑΗΜΘΝ πολύγωνον, μείζων δε ό ΑΒΓΑ κύκλος

των

τού εν αντω πολυγώνου' μεΐζον άρα καί το Φ χωρίου τον Ε ΚΖΑΗΜΘΝ πολυγώνου, άλλα μην καί ελαΰ-6ον το Φ* δπερ αδύνατον, ονκ άρα έότίν ώς το άπδ της ΒΑ τετράγωνον προς το άπδ της ΖΘ τετράγωνον, όντως 6 ΑΒΓΑ κύκλος προς ελαΰΰόν τι τον ΕΖΗΘ κύκλου χωρίου.

λέγω δη, δτι ονδε προς μεΐζον. εί γάρ δυνατόν, εύτω προς τδ Φ. άνάπαλιν άρα εότίν ως τδ άπδ της ΖΘ τετράγωνον πρδς τδ άπδ της AB τετράγωνον, ούτως τδ Φ χωρίου πρδς τδν ΑΒΓΑ κύκλον, ως δε τδ Φ χωρίον πρδς τδν ΑΒΓΑ κύκλον, ούτως δ ΕΖΗΘ κύκλος πρδς ελαβόόν τι τον ΑΒΓΑ κύκλου χωρίον· ως άρα τδ άπδ της ΖΘ τετράγωνον πρδς τδ άπδ της AB τετράγωνον, ούτως δ ΕΖΗΘ κύκλος πρδς ελαό-όόν τι τον ΑΒΓΑ κύκλον χωρίον* δπερ άδύνατον δεδεικται. ονκ άρα έότίν ως τδ άπδ της ΒΑ τετράγωνον πρδς τδ άπδ τής ΖΘ τετράγωνον, ούτως δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς μεΐζον τι τού ΕΖΗΘ κύκλον χωρίον. εδείχ&η δε, δτι ούδε πρδς ελα<5<5ον. εΰτιν άρα ώς τδ άπδ τής ΒΑ τετράγωνον πρδς τδ άπδ τής ΖΘ τετράγωνον, ούτως δ ΑΒΓΑ κύκλος πρδς τδν ΕΖΗΘ κύκλον.

Πα<3α πνραμϊς τρίγωνον εχουΰα βάόιν διαιρείται 3 εις τε δύο πυραμίδας ίΰας άλλήλαις καί δμοίας τή δλη καί εις δύο πρίόματα Ϊ6α, καί τά δύο πρίΰματα τής δλης πνραμίδος μείζονά έύτιν ή τδ ήμιΟν.

εΰτω πνραμίς, ής βάΰις μεν εΰτω τδ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφή δε τδ Α όημεΐον. λέγω, δτι ή ΑΒΓΑ πνραμίς διαιρείται εις τε δύο πυραμίδας ΐόας άλλή-λαις καί δμοίας τή ολη καί εις δύο πρίσματα ί'6α.

Β τή ΖΘ. πάλιν έπεϊ ίΰη ₅ δε ΑΖ τή ΖΑ, παράλ-

τετμήΰ&ωΰαν αί πλενραϊ τής πνραμίδος δίχα κατά τά E, Ζ, Η, Θ, Κ, Λ ΰημεΐα, και έπεζενχ&ωΰαν at ΕΖ, ΖΗ, Ei7,    Ζ©? ΘϋΓ, ΧΛ, Λ@. καί έπεϊ

ίΰη έΰτιν ή μεν ΑΖ τή Ζζ/. ή δε ΒΘ τή ΘΑ, παράλληλος άρα έΰτιν έΰτιν ή μεν ΑΕ τ

ληλος άρα εΰτϊν ή ΒΑ τή ΕΖ. παραλληλόγραμμον άρα έΰτϊ το ΕΒΖΘ. ίΰη άρα εΰτϊν ή μεν ΕΒ τή ΖΘ,

-S'»

δ'ε

CS*» CS'»

<g> N

ίΰη

τή ΒΘ. άλλ’ Γ μεν ΒΕ τή ΕΑ έΰτιν τ ΘΑ. και    μεν ΑΕ άρ τή ΖΘ

έΰτιν ιΰη, ή δε ΕΖ τή ΘΑ. έΰτι δε και    ΑΖ τή

ΖΑ ιΰη. ίΰον άρα και όμοιόν εΰτι το ΑΕΖ τρίγωνον τω ΖΘΑ τριγωνω. διά τά αυτά δη και το ΑΖΘ τρίγωνον τω ΖΑΚ τριγωνω ίΰον τε και όμοιόν έΰτιν. το ΑΕΗ τρίγωνον τω ΖΘΚ τριγωνω ίΰον τε και όμοιόν έΰτιν. και επεϊ δυο εν&εΐαι άπτόμεναι άλλή-λων αί ΕΖ) ΖΗ παρά δνο εν&είας άπτομένας άλλή-λων τάς ΘΑ₉ ΑΚ κεινται μη έν τω αντω έπιπέδω ονΰαι₅ ίΰας γωνίας περιέίςονΰιν. ίΰη άρα έΰτιν ή νπό ΕΖΗ γωνία τή νπό ΘΑΚ γωνία, έπεϊ ονν δνο αί ΕΖ) ΖΗ δνΰϊ ταΐς ΘΑ) ΑΚ ίΰαι είΰϊν έκατέρα έκα-τέρα) και γωνία ή νπό ΕΖΗ γωνία τή νπό ΘΑΚ ίΰη έΰτιν) βάΰις άρα ή ΕΗ βάΰει τή ΘΚ έΰτιν ίΰη. ίΰον άρα καί όμοιόν έΰτι το ΕΖΗ τρίγωνον τω ΘΑΚ τριγωνω. και πνραμϊς άρα) ής μέν έΰτι το ΑΕΗ τρίγωνον) κορνφή δε το Ζ ΰημεΐον) ίΰη τε και όμοια έΰτϊ τή πνραμίδι τή βάΰιν μεν έχονΰη το ΑΒΓ τρίγωνον) κορνφήν δε το Α ΰημεΐον. και ή πνραμϊς άρα) ής βάΰις μέν έΰτι το ΑΕΗ τρίγωνον) κορνφή δε τό Ζ ΰημεΐον₅ όμοια έΰτϊ τή πνραμίδι τή βάΰιν μεν έχονΰη τό ΑΒΓ τρίγωνον? κορνφήν δε τό Α ΰημεΐον. διή-ρηται άρα η ΑΒΓΑ πνραμϊς εις δύο πυραμίδας ίΰας άλληλαις καί δμοίας τη όλη.

λεγοj 0ή, ότι και εις δυο πρίΰματα ίΰα. έπεί γάρ ίΰη έοτϊν η ΒΑ τη ΑΓ, διπλάΰιόν έΰτι τδ ΕΗΑΒ παραλληλόγραμμον τον ΗΑΓ τριγώνου, καί έπεί δε-δεικται, ότι, εάν δυο πρίΰματα υπό τδ αυτό ύψος, και το μεν έχει βάΰιν παραλληλόγραμμον, το δε τρίγωνον, η δε διπλάΰιον το παραλληλόγραμμον του τριγώνου, ίΰα εΰται τα πρίΰματα, τό άρα πρίΰμα τδ περι-εχόμενον νπδ δνο μεν τριγώνων των ΘΒΑ, ΕΖΗ, τριών δε παραλληλογράμμων του ΕΒΖΘ και τον ΕΒΑΗ καί ετι τον ΖΘΑΗ ίΰον έΰτί τω πρίΰματι τω περιεχομένω νπδ δυο μεν τριγώνων των ΗΓΑ, ΖΘΚ, τριών δε παραλληλογράμμων τών ΚΖΗΓ, ΑΓΘΚ, ΖΗΑΘ. διηρηται άρα η ΑΒΓΑ πνραμις εις τε δυο πυραμίδας ίΰας άλληλαις καί δμοίας τη όλη καί εις δύο πρίΰματα ίΰα, καί φανερόν, ότι τα δύο πρίΰματα ίΰα έΰτίν η τδ ημιΰν της όλης πνρα-μίδος : —

’Εάν ώΰι δύο πυραμίδες νπδ τδ αντδ νψος ονΰαι 4 καί τριγώνους έγονΰαι βάΰεις, διαίρεση δε εκατερα αυτών εις τε δύο πυραμίδας ίΰας άλληλαις καί δμοίας τη όλη καί εις δύο πρίΰματα ίΰα, εΰται ώς η της μιας πνραμίδος βάΰις πρδς την της έτερας πυραμίδος βάΰιν, όντως τα εν τη μια πυραμίδι πρίΰματα πάντα πρδς τα εν τη έτερα πυραμίδι πρίΰματα πάντα ίΰοπλη&η.

έΰτωΰαν <5υο πυραμίδες νπδ τδ αύτδ ύψος ονΰαι καί τριγώνους έγονΰαι βάΰεις τάς ΑΒΓ, ΜΝΕ, κο-ρυφάς δε τά Α, Ο ΰημεια, καί διηρήΰδω εκατερα αυτών εις τε δύο πυραμίδας ίΰας άλληλαις καί δμοίας

τη όλη και εις δνο πρίύματα ϊύα. λέγω, ότι έύτϊν ως η Α ΒΓ βάύις προς την ΜΝΕ βάύιν, όντως τα έν τη ΑΒΓΑ πνραμίδι πρίσματα πάντα προς τα εν τη ΑΕΖΘ πνραμίδι πρίύματα πάντα ίύοπλη&ή.

έπει γάρ παράλληλός έύτιν η AB τη ΑΗ, όμοιόν έύτι το ΑΒΓ τρίγωνον τω ΑΗΓ τριγώνω. το ΑΒΓ άρα τρίγωνον προς το ΑΗΓ τρίγωνον διπλαύίονα λόγον έχει ηπερ η ΝΕ προς την ΕΦ· καί έύτιν ώς η ΒΓ προς την ΓΑ, όντως η ΝΕ προς την ΕΦ. καί ως άρα το ΑΒΓ τρίγωνον προς το ΑΗΓ τρίγωνον, όντως το ΜΝΕ τρίγωνον προς το ΣΦΕ τρίγωνον. εναλλάξ, άρα έύτιν ώς το ΑΒΓ τρίγωνον προς το ΜΝΕ₅ όντως το ΗΑίΓ τρίγωνον προς το ΣΦΕ τρίγωνον, όντως τδ πρίύμα, ον άπεναντίον έύτι τα ΑΗΓ, ΖΘΚ έπίπεδα, προς τδ πρίύμα, ον άπεναντίον έύτι τα ΣΦΕ? ΡΤΝ έπίπεδα. ώς άρα η ΑΒΓ βάύις πρδς την ΜΝΕ βάύιν, όντως τδ πρίύμα, ού άπεναντίον έύτι τα ΑΗΓ, ΖΘΚ έπίπεδα, πρδς τδ πρίύμα, ον άπεναντίον έύτι τά ΣΦΕ₉ ΡΤΤ έπίπεδα. άλλα τα μεν έν τη ΑΒΓΑ πνραμίδι πρίύματα διπλάύιά έύτι τον πρίύματος, ον άπεναντίον έύτΙ τά ΑΗΓ', ΖΘΚ έπίπεδα. τά δ’ έν τη ΜΝΕ Ο πνραμίδι πρίύματα διπλάύιά έύτι τον πρίύματος, ον άπεναντίον έύτι τά ΣΦΕ₅ ΡΤΤ έπίπεδα. ώς άρα η ΑΒΓ βάύις πρδς την ΜΝΕ βάύιν, όντως τά έν τη ΑΒΓΑ πνραμίδι πρίύματα πρδς τά έν τη ΜΝΕ Ο πνραμίδι πρίύματα. διά τά αντά δη και ώς η ΑΕΗ βάύις πρδς την ΜΠΣ βάύιν, όντως τά έν τη ΑΕΗΖ πνραμίδι πρίύματα πρδς τά έν τη ΜΠΣΡ πνραμίδι πρίύματα. ώς δε η ΖΘΚ βάύις πρδς την ΤΡΤ βάύιν, όντως τά έν τη ΖΘΚΑ πνραμίδι πρίύματα πρδς τά έν τη ΡΤΤΟ

πυραμίδι πρίόματα. έόται άρα ως εν των ηγουμένων προς εν των επομένων, άπαντα τα ηγούμενα προς άπαντα τα επόμενα, έότιν άρα ως η ΑΒΓ βάόις προς την ΜΝΕ βάόιν, όντως τά έν τη ΑΒΓΑ πυραμίδι πρίόματα προς τα έν τη ΜΝΕ Ο πνραμίδι πρίό-ματα πάντα ίόοπλη&η.

Αί υπό τό αυτό ύψος ούόαι πυραμίδες και τρι- 5 γώνους έχονόαι βάόεις προς άλληλας είόϊν ως αί βάόεις.

έότωόαν υπό τό αυτό νψος πυραμίδες τριγώνους έχουααι βάόεις τάς ΑΒΓ, ΜΝΕ αί ΑΒΓΑ, Μ ΝΕΟ, κορνφάς δε τά Α, Ο όημεΐα. λέγω, ότι έότιν ως η ΑΒΓ βάόις προς την ΜΝΕ βάόιν, ούτως η ΑΒΓΑ πυραμϊς προς την Μ ΝΕΟ πυραμίδα.

εί γάρ μη έότιν ως η ΑΒΓ βάόις προς την ΜΝΕ βάόιν, ούτως η ΑΒΓΑ πυραμϊς προς την ΜΝΕ Ο πυραμίδα, έόται άρα ως η ΑΒΓ βάόις προς την ΜΝΕ βάόιν, ούτως η ΑΒΓΑ πυραμϊς ήτοι προς έλαττόν τι της Μ ΝΕΟ πυραμίδος ότερεόν η προς μείζον. έΰτω προς έλαττον τό £1, και τη ΜΝΕ Ο πυραμίδι ίόα έότω τά £1, X χωρία, και διηρηό&ω η ΜΝΕ Ο πυραμϊ ς εις τε δύο πυραμίδας ίόας άλληλαις και όμοιας τη όλη καί εις δύο πρίόματα. μείξονα άρα έότϊ τά πρίόματα της όλης πυραμίδος η τό ημιόυ. τέμνοντες δη τάς νπολειπομένας πυραμίδας είς τε δύο πυραμίδας ίόας άλληλαις και όμοιας τη όλη και εις δύο πρίόματα ίόα ληψομέν τινας πυραμίδας από της όλης πυραμίδος, αί έόονται έλάόόονες τού X ότερεοϋ. λεληφ&ω-όαν και έότοοόαν αί ΜΠΣΡ, ΤΤΟ. έπεϊ ούν η πυ-ραμϊς ίόη έότϊ τοΐς ότερεοις εις τά καταλελημμένα άποτμηματα έλάόόονά ειόι τού X. λοιπά άρα τά έν

τη ΜΝΕΟ πνραμίδι πρίΰματα μείζονά εΰτι τον Q ΰτερεον. διηρήΰ&ω ή ΑΒΓΑ πνραμίς ομοίως τή ΜΝΕΟ πνραμίδι. καί επεί εΰτίν ώς ή ΑΒΓ βάΰις προς την ΜΝΕ βάΰιν, όντως τα εν τη πνραμίδι τη ΑΒΓΑ πρίΰματα πάντα προς τα εν τη ΜΝΕΟ πνραμίδι πρίΰματα πάντα ίΰοπλη&ή, ώς άρα η ΑΒΓΑ πνραμίς προς το £1 ΰτερεόν, όντως τά εν τη ΑΒΓΑ πνραμίδι πρίΰματα πάντα προς τά εν τη ΜΝΕΟ πνραμίδι πρίΰματα πάντα ίΰοπλη&ή. εναλλάξ, άρα εΰτίν ώς η ΑΒΓΑ πνραμίς προς τά εν αντη πρίΰματα πάντα, όντως το £1 ΰτερεόν προς τά εν τη ΜΝΕΟ πνραμίδι πρίΰματα πάντα ιΰοπλη&ή. μείζων δε η ΑΒΓΑ πνραμίς των εν αντη πριΰμάτων πάντων, μεΐξον άρα και το £1 ΰτερεον των εν τη Μ ΝΕΟ πνραμίδι πριΰμάτων πάντων, αλλά και έλαττον δπερ άδννατον. ονκ άρα εΰτίν ώς η ΑΒΓ βάΰις προς την ΜΝΕ βάΰιν, όντως η ΑΒΓΑ πνραμίς προς ελαττόν τι της Μ ΝΕΟ πνραμίδος ΰτερεόν.

λέγω δη, ότι ονδ\ προς μειζον. εί γάρ δννατόν, εΰτω προς το £1. άνάπαλιν άρα εΰτίν ώς η ΜΝΕ βάΰις προς την ΑΒΓ βάΰιν, όντως το £1 ΰτερεόν προς την ΑΒΓΑ πνραμίδα. ώς δε το £1 ΰτερεόν προς την ΑΒΓΑ πνραμίδα. όντως η Μ ΝΕΟ πνραμίς προς ελαττόν τι τής ΑΒΓΑ πνραμίδος ΰτερεόν. ώς άρα ή ΜΝΕ βάΰις προς την ΑΒΓ βάΰιν, όντως ή ΜΝΕΟ πνραμίς προς ελαττόν τι τής ΑΒΓΑ πνραμίδος ΰτερεόν * όπερ άδννατον δέδεικται. ονκ άρα εΰτίν ώς ή ΑΒΓ βάΰις προς την ΜΝΕ βάΰιν, όντως ή ΑΒΓΑ πνραμίς προς μεΐξόν τι τής ΜΝΕΟ πνραμίδος ΰτερεόν. εδείχ&η δε, ότι ον δε πρός ελαττόν. εΰτίν άρα ώς ή ΑΒΓ βάΰις πρός την ΜΝΕ βάΰιν, όντως η

ΑΒΓΑ πυραμις προς την MNRO πυραμίδα' οπερ έδει δεΐΐ;αι.

Παν πρίΰμα τρίγωνον εχον βάΰιν διαιρείται εις τρεις 6 πυραμίδας ϊΰας άλληλαις τριγώνους βάΰεις έχονΰας.

έΰτω πρίβμα τδ ΑΒΓΑ ΕΖ τρίγωνον εχον βάΰιν την ΓΖΑ. λέγω₉ δτι τδ ΑΒΓΑΕΖ πρίΰμα διαιρείται εις τρεις πυραμίδας ίΰας άλληλαις τριγώνους βάΰεις έχονΰας. έπεξενχ&ωΰαν γάρ αι ΒΑ. ΒΖ, ΖΕ. η άρα πυραμίς, ης βάΰις μεν έΰτι τδ ΓΒΑ τρίγωνον, κορυφή δέ τδ Ζ ΰημεΐον ₅ ϊΰη έΰτι τη πυραμίδι τη βάΰιν μεν έχουΰη τδ ΒΑΕ τρίγωνον, κορυφήν δε τδ Ζ ΰημεΐον, ϊΰη εΰτϊ τη πυραμίδι τη βάΰιν μεν έχουΰη τδ ΑΕΖ τρίγωνον₉ κορυφήν δε τδ Ζ ΰημεΐον. και η πυραμίς άρα, ης βάΰις μέν έΰτι τδ ΒΓΑ τρίγωνον, κορυφή δέ τδ Ζ ΰημεΐον, ϊΰη έΰτι τη πυραμίδι τη βάΰιν μέν έχουΰη τδ ΑΕΖ τρίγωνον, κορυφήν δέ τδ Β ΰημεΐον. διηρηται άρα τδ ΑΒΓΑ ΕΖ πρίΰμα εις τρεις πυραμίδας ϊΰας άλληλαις, ών βάΰεις μέν είΰιν ΑΒΓΑ, ΕΑΕΖ₉ κορυφή δέ τά J5, Ζ ΰημεΐα.

Των ϊΰων πυραμίδων και τριγώνους βάΰεις έχου- 7 ΰών άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοΐς ϋψεΰι. και ών πυραμίδων τριγώνους βάΰεις έχουΰών άντιπεπόνΰαΰιν αι βάΰεις τοΐς νψεΰιν, ϊΰαι είΰιν έκεΐναι.

έΰτωΰαν ϊΰαι πυραμίδες και τριγώνους έχουΰαι βάΰεις τάς ΑΒΓ, ΕΖΗ αι ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ₉ κορυφάς δέ τά Α, Θ ΰημεΐα. λέγω₉ δτι των ΑΒΓΑ₉ ΕΖΗΘ πυραμίδων τριγώνων βάΰιν έχουΰών άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοΐς υψεΰι. ΰυμπεπληρώΰ&ω γάρ τά ΒΑ ΜΑ 9 ΖΘΡΘ ΰτερεά. και έπει ϊΰη έΰτιν η ΑΒΓΑ πυραμϊς

τή ΕΖΗΘ πνραμίδι, καί έατι τής μεν ΑΒΓΑ πνρα-μίδος έξαπλάαιον τδ ΒΑΜΑ ατερεόν, τής δε ΕΖΗΘ εζαπλάαιον τδ ΖΘΡΟ ατερεόν₉ ΐαον άρα εότϊ τδ ΒΑΜΑ ατερεδν τω ΖΘΡΟ ατερεω. των δε ΐαων ατερεών παραλληλεπίπεδων άντιπεπόν^ααιν αί βάζεις τοΐς νψεαιν εατιν αρα ως ή ΒΜ βάαις πρδς την ΖΡ βάαιν, όντως τδ τον ΟΡΘΖ ατερεόν νφος. ώς δε ή ΒΜ βάαις πρδς την ΖΡ βάαιν, όντως ή ΑΒΓ βάαις πρδς την ΕΖΗ βάαιν. ώς αρα ή ΑΒΓ βάαις πρδς την ΕΖΗ βάαιν, όντως τδ τον ΟΡΘΖ ατερεόν νφος πρδς τδ τον ΑΜΑΒ ατερεόν νφος. τα δ’ αντα νφη έύτΐ των τε ΒΑΜΑ, ΖΘΡΟ ατερεών και των ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ πνραμίδων. εατιν αρα ώς ή ΑΒΓ πρδς την ΕΖΗ βάαιν, όντως τδ άπδ τής ΕΖΗΘ πνραμίδος νφος των ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ πρδς τδ τής ΑΒΓΑ πνραμίδος νφος. των ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ αρα πνραμίδων άντιπεπόνΟ'αΟιν αί βάαεις τοΐς νφεαιν. ΙΕ

ΒΑΜΑ, ΖΘΡΟ ατερεών.

άντιπεπον&έτωΰαν δή πάλιν των ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ πνραμίδων αί βάαεις τοΐς νφεαι, καί εατω ώς ή ΑΒΓ βάαις πρδς την ΕΖΗ βάαιν, όντως τδ τής ΕΖΗΘ πνραμίδος νφος πρδς τδ τής ΑΒΓΑ πνραμίδος νφος. λέγω, δ τι εατιν ΐαη ή ΑΒΓΑ πνραμϊς τή ΕΖΗΘ πνραμίδι· των γάρ αντών καταΰκεναό&έντων έπεί εατιν ώς ή ΑΒΓ βά<5ις πρδς την ΕΖΗ βάαιν, όντως τδ τής ΕΖΗΘ νφος πρδς τδ τής ΑΒΓΑ πνραμίδος νφος, ώς δε ή ΑΒΓ βάαις πρδς την ΕΖΗ βάαιν, όντως ή ΒΜ βάαις πρδς την ΖΡ βάαιν, όντως τδ τής ΕΖΗΘ πνραμίδος νφος πρδς τδ τής ΑΒΓΑ πνραμίδος νφος. τά δ⁹ αντά νφη έατϊ των τε ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ πνραμίδων καί των εατιν άρα ώς ή ΒΜ βάαις πρδς την ΖΡ βάαιν, όντως

τό τού ΖΘΡΟ ΰτερεού ύψος, ών δε ΰτερεών παραλληλεπιπέδων άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοΐς ί'ψεΰιν, ίΰα έΰτιν εκείνα, ΐΰον άρα έΰτϊ τό ΒΑΜΑ ΰτερεόν τω ΖΘΡΟ ΰτερεω. καί έΰτι τού μεν ΒΑΜΑ ΰτερεοϋ έκτον μέρος η ΕΖΗΘ, ΑΒΓΑ πυραμϊς, τού δε ΖΘΡΟ ΰτερεού έκτον μέρος η ΕΖΗΘ πυραμϊς. ΐΰη άρα έΰτιν η ΑΒΓΑ πυραμϊς τη ΕΖΗΘ πυραμίδι. όπερ έδει δεΐζαι.

Αι όμοιαι πυραμίδες και τριγώνους έχουΰαι βάΰεις 8 προς άλληλας έν τριπλαΰίονι λόγω είΰι των ομολόγων πλευρών.

•θ'⁻*

έΰτωΰαν όμοιαι πυραμίδες και τριγώνους εχουΰαι βάΰεις τάς ΑΒΓ', ΕΖΗ αι ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ, κορυφας δε τα Α, Θ ΰημεΐα, και έΰτω ΐΰη μεν υπό των AB, ΒΓ γωνία τη υπό των ΕΖ, ΖΗ γωνία, η δε υπό των AB, ΒΑ τη υπό των ΕΖ, ΖΘ. και έπεϊ η υπό των AB, ΒΓ τη υπό των ΘΖ, ΖΗ, ομόλογος δε έΰτω η ΒΓ τη ΖΗ. λέγω, ότι η ΑΒΓΑ πυραμϊς προς την ΕΖΗΘ πυραμίδα τριπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΖΗ.

ΰυμπεπληρώΰ&ωΰαν γαρτα Β Α ΜΑ, ΖΘΡΟ ΰτερεά. έπεί έΰτιν ως η ΒΓ προς την ΒΑ, ούτως η ΖΗ προς την ΖΕ, και περί ΐΰας γωνίας τας υπό των AB, ΒΓ, ΕΖ, ΖΗ αι πλευραι άνάλογόν είΰιν, ομοιον άρα έΰτι τό Β Μ παραλληλόγραμμον τω ΖΡ παραλληλόγραμμοι, διά τα αυτά δη και τό μεν ΑΑ τω ΕΘ όμοιόν έΰτι, τό <Ϊ£ ΝΒ τω ΖΠ. αλλά τά μεν ΒΝ, ΑΑ, ΒΜ τα τρία τοΐς άπεναντίον αυτών τοίς ΑΑ, ΜΝ, ΑΑ ί'ΰα έΰτι, τά δέ ΖΡ, ΕΘ, ΠΖ τά τρία τοΐς άπεναντίον αυτών τοΐς ΘΟ; ΕΟ, ΡΠ Ιΰα έΰτιν. όλον άρα το

26

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IY.

BAMA στερεδν ολω τώ ΖΘΡΟ στερεώ ομοιόν έστι. τά δε όμοια στερεά παραλληλεπίπεδα προς άλληλα εν τριπλάσιον ι λόγω έστι των ομολόγων πλευρών, το ΒΑΜΑ άρα στερεδν προς το ΖΘΡΟ στερεδν τριπλά-σίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΖΗ. καί έστι τον μεν ΒΑΜΑ στερεού εκτον μέρος η ΑΒΓπνραμΙς τον ΖΘΡΟ στερεού εκτον μέρος η ΕΖΗΘ πνραμίς' καί η ΑΒΓΑ αρα πνραμίς προς την ΕΖΗΘ πυραμίδα τριπλάσιονα λόγον εχει ηπερ η ΒΓ προς την ΖΗ.

Πας κώνος κυλίνδρου τρίτον μέρος έστι του την αυτήν βάσιν εχοντος καί ΰψος ίσον.

έχέτω γάρ κώνος κυλίνδρω βάσιν την αυτήν τον ΑΒΓΑ κύκλον καί ύψος ίσον. λέγω, ότι τριπλάσιός έστιν δ κύλινδρος τον κώνου.

εί γάρ μη έστιν δ κύλινδρος τού κώνου τριπλάσιος, έσται άρα ήτοι μείξων η τριπλάσιος η ελάσσων η τριπλάσιος. έστω πρότερον δ κύλινδρος τού κώνον μείξων η τριπλάσιος τώ ΡΣ στερεώ. και έγγεγράφ&ω εις τον ΑΒΓΑ κύκλον τετράγωνον τδ ΑΒΓΑ, και άνεστάτω άπδ τού ΑΒΓΑ τετραγώνου πρίσμα ισοϋψές τώ κυλίνδρω. τδ άρα άνεσταμένον πρίσμα μειξόν έστιν η τδ η μι συ τού κυλίνδρου, τετμήσ&ωσαν αι AB, ΒΓ, ΓΑ, ΑΑ περιφέρειαι δίχα κατά τά E, Ζ, Η, Θ σημεία, και έπεξεύχ&ωσαν αι EA, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΑ, ΑΘ, ΘΑ, και άνεστάτω άφ’ έκάστου τών A ΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ τριγώνων πρίσματα ισοϋψές τώ κυλίνδρω. έκαστον άνασταμένων πρισμάτων μείξων έστίν η τδ ημισυ τού κα& αντδ τμήματος και κυλίνδρου. τοιαύτης δη γινόμενης άει έπισκέψεως ληφ&η-σεταί τινα τμήματα άπδ τού όλου κυλίνδρου, ά έσται

έλάττονα τον Ρ στερεού. λελήφ&ω καί έστω τα επί των ΑΕΒ, ΒΖΓ', ΓΗΑ, ΑΘΑ. λοιπδν άρα το πρίσμα, ον βάσις μεν έστι το ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, νψος δε το αντδ τω κνλίνδρω, μεΐζόν έστιν ή τριπλάσιον τον κώνον τον βάσιν μεν έχοντος τον ΑΒΓΑ κύκλον, νψος δε το αύτδ τω κνλίνδρω. αλλά το πρίσμα, ον βάσις μεν έστι το ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, νψος δε το αντδ τω κνλίνδρω, τριπλάσιόν εστι τής πνρα-μίδος τής βάσιν μεν έχούσης το ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, νψος δε το αντδ τω κνλίνδρω. καί ή πνραμϊς άρα, ής βάσις μεν εστι το ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, νψος δε το αύτδ τω κνλίνδρω, μεΐζόν εστι τον κώνον τον βάσιν μεν εχοντος τδν ΑΒΓΑ κύκλον, νψος δε τδ αντδ τω κνλίνδρω. άλλα και εμπεριέχεται εν αντω * οπερ αδύνατον, ονκ άρα δ κύλινδρος τον κώνον μείζων έστϊν ή τριπλάσιος.

λέγω δη, ότι ονδε έλάσσων ή τριπλάσιος.

εί γάρ δννατόν, έστω, άνάπαλιν άρα δ κώνος τον κνλίνδρον μείζων έστϊν ή τρίτον μέρος τω Ρ στερεω, και έγγεγράφ&ω εις τον ΑΒΓΑ κύκλον τετράγωνον τδ ΑΒΓΑ, καί άνεστάτω άπδ τοϋ ΑΒΓΑ τετραγώνον πνραμϊς ίσονψής τω κώνω. ή άρα άνεσταμένη πνραμίς μείζων έστίν ή τδ ήμισν τον κώνον, τετμήσ&ωσαν αι AB, ΒΓ, ΓΑ, ΑΑ περιφέρειαι δίχα κατά τδ ΕΖΗΘ σημεία, και έπεζεύχ&ωσαν αι AE, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΑ, ΑΘ, ΘΑ, καί άνεστάτω άφ⁵ έκάστον των ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΑ, ΑΘΑ τριγώνων πνραμίς ίσονψής τω κώνω. έκάστη άρα των άιζεσταμένων πνραμίδων μείζων έστίν ή τδ ήμισν των κα&’ αντδ τμήματος τον κώνον, τοιαύτης δή γινομένης άεί έπισκέψεως ληφ&ή-σεταί τινα τμήματα άπδ τοϋ όλον κώνον, ά έσται

26*

έλαττον αντον στερεού. λελήφ&ω και άνεστάτω έπι των ΑΕΒ, ΒΖΓ', ΓΗΑ, ΑΘΑ. λοιπή άρα η πνραμίς, ης βάσις μεν έστι το ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, ύψος δε το αντδ τω κωνω, μεΐξόν έστιν η τρίτον μέρος τον κυλίνδρου τού βάσιν μεν έχοντος τον ΑΒΓΑ κύκλον, ύψος <5ε το αντδ τω κωνω. άλλ’ η πνραμίς, ης βάσις μεν έστιν η Α ΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, νψος δε το αντδ τω κωνω, ττοί βάσιν μεν εχοντος τδ ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, ityjog $£ τδ αντδ τω κωνω. καί- τό πρίσμα άρα, ον βάσις μεν έστι τδ ΑΕΒΖΓΗΑΘ πολύγωνον, ύψος δε τδ αντδ τω κωνω, μείζόν έστι τον κυλίνδρου τού βάσιν μεν εχοντος τδν ΑΒΓΑ κύκλον, νψος δε τδ αντδ τω κωνω, μεΐξόν έστι τον κυλίνδρου τον βάσιν μεν εχοντος τδν ΑΒΓΑ κύκλον, νψος δε τδ αντδ τω κωνω. άλλα καί εμπεριέχεται εν αντώ*    αδύνατον,

ονκ άρα δ κύλινδρος τού κώνον έλάττων έστιν η τριπλάσιος. έδείχ&η δε, <m ού$£ μείξων η τριπλάσιος, τριπλάσιος άρα έστίν.

10

Οι ομοιοι κώνοι και κύλινδροι πρδς άλληλονς εν τριπλασίονι λόγω είσϊ των έν ταΐς βάσεσι διαμέτρων.

έστωσαν ομοιοι κώνοι και κύλινδροι, ών βάσεις μεν έστωσαν οί ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ κύκλοι, άξονες δέ οι ΚΑ, ΜΝ, διάμετροι δέ έστωσαν αί ΒΓ, Ζ@. λέγω, ότι δ Α ΒΓΑ ΚΑ κώνος πρδς τδν ΕΖΗΘ Μ Ν κώνον τρι-πλασίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΑ πρδς ΖΘ.

εί γάρ μη δ ΑΒΓΑΚΑ κώνος πρδς τδν ΕΖΗΘΜΝ τριπλασίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΑ πρδς την ΖΘ, έξει άρα δ ΑΒΓΑΚΑ κώνος ήτοι πρδς έλασσόν τι τον ΕΖΗΘΜΝ κώνον στερεδν τριπλασίονα λόγον ηπερ η ΒΑ πρδς την ΖΘ η πρδς τδ μειξον. έχέτω πρό-

τερον προς ελαΰΰον τί Α, και εγγεγράφ&ω εις τον ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον το ΕΖΗΘ, και άνεΰτάτω άπδ τον ΕΖΗΘ τετράγωνον πνραμις ιΰονψής τω κώνω. η άρα άνεΰταμένη πνραμϊς μεΐζόν έΰτιν η το ημιΰν τον κώνον, τετμήΰ&ωΰαν αι ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περι-φερειαι δίχα κατά τά Ξ, Ο, 77, Ρ ΰημεΐα, και επεξεύχ-&ωΰαν αΐ ΕΞ, ΞΖ, ΖΟ, 077, 7777, 770, OP, ΡΕ, και άνεΰτάτω άφ έκάΰτον των ΕΞ, ΞΖ, ΖΟ, 077, 7777, 770, ΟΡ, Ρ7£ τριγώνων πνραμϊς ίΰονψης τω κώνω. έκάΰτη άρα των άνεΰταμενων πνραμίδων μεί-ξων έΰτιν η το ημιΰν τον κα&’ αντην τμήματος τον κώνον, τοιαύτης δη γινόμενης αεί έπιΰκέψεως ληφ&ή-ΰεταί τινα τμήματα άπο τον δλον κώνον, ά έΰται έλάΰΰονα τον Α ΰτερεον. λελήφ&ω και έΰτω τά επί των ΕΞΖ, ΖΟΗ, 77770, ΘΡΕ. λοιπή άρα η πνραμις, ης βάΰις μεν εΰτι το ΕΞΖΖ ΟΗΗΠΘΡΕ πολύγωνον, κορνφη δε το Ν ΰημεΐον, μεΐξόν εΰτι τον Α ΰτερεον. εγγεγράφ&ω εις τον ΑΒΓΑ κύκλον τω ΕΞΖΟΗΠΘΡΕ πολνγώνω δμοιόν τε πολύγωνον τδ ΑΕΒΤΓΤΑΦΑ, και άνεΰτάτω άπο τον ΑΣΒΤΓΤΑΦ πολνγώνον πρίΰμα ίΰονψες τω κώνω, και των μεν περιεχόντων την πνρα-μίδα, ης βάΰις μεν εΰτι τδ ΑΕΒΤΓΤΑ Φ πολύγωνον, κορνφη δε το Α ΰημεΐον, τρίγωνον εφεΰτάτω τδ ΑΣΒ, των δε περιεχόντων την πνραμίδα, ης βάΰις μεν εΰτι τδ ΕΞΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορνφη δε τδ Ν ΰημεΐον εφεΰτάτω τδ ΝΖΞ τρίγωνον, και επεζεύχ&ωΰαν αι ΣΚ, ΜΞ· επει όμοιοι κώνοι και κύλινδροί είΰιν, ών αι/άλο^ον είΰιν οϊ τε άγονες και οι διάμετροι των βά-ΰεων,    αρα ο$£ η ΚΑ προς την ΜΝ, όντως ο

ΒΑ πρδς την ΖΟ. ως η ΒΑ πρδς την ΖΟ, οίίτω$ η ΒΚ πρδς την ΜΖ. ώς άρα η ΚΑ προς την ΚΒ, ούτως η ΜΝ προς την MZ' καί περί όρ&άς γωνίας τάς νπο των ΑΚ, ΚΒ, ΜΝ, ΜΖ αί πλενραϊ άνά-λογόν είΰιν. ομοιον άρα έΰτϊ το ΚΒΑ τρίγωνον τω ΜΝΖ τριγώνω. άνάλογον αρα έότϊν ώς η ΚΛ προς την AB, όντως η ΜΝ προς την ΖΝ εναλλάξ αρα έβτίν ώς η ΚΑ προς την ΜΝ, όντως η ΑΖ προς την ΝΖ. πάλιν έπεί εβτιν ώς η ΣΚ προς την ΚΑ, όντως η ΜΗ προς την ΜΝ, και περί όρ&άς γωνίας τάς νπδ των ΣΚΑ, ΗΜΝ αί πλενραϊ άνάλογον είόιν, ομοιον αρα έότϊ το ΣΚΑ τρίγωνον τω ΗΜΝ τριγώνω. άνάλογον αρα έΰτίν, ώς η ΚΑ προς την ΜΝ, όντως η ΑΣ προς την ΝΗ, έδείχ&η δε και ώς η ΑΚ προς την ΜΝ, όντως η AB προς την ΝΖ* ώς άρα η AB προς την ΝΖ, όντως η ΑΣ προς την ΝΗ· καϊ έπεί εΰτιν, ώς η ΒΚ προς την ΚΓ', όντως η ΖΜ προς την ΜΗ, και περί ΐόας γωνίας τάς νπο των ΒΚΣ, ΖΜΗ αί πλενραϊ άνάλογον είΰιν, ομοιον άρα έύτϊ το ΒΚΣ τρίγωνον τω ΖΜΗ τριγώνω* έβτιν άρα ώς η ΣΚ προς ΣΒ, όντως η Η Μ προς HZ,, άλλά μην και ώς η ΣΚ προς την ΣΑ, όντως η ΜΗ προς την ΗΝ. δά ΐΰον άρα έοτϊν η ΑΣ προς ΣΒ, όντως η ΝΗ προς την HZ. εναλλάξ άρα εότίν, ώς η ΑΣ προς την ΝΗ? όντως η ΣΒ προς την HZ. έδείχ&η και ώς η ΑΣ προς την ΝΗ? όντως η AB προς την ΝΖ. ώς άρα η AB προς την ΝΖ, όντως η ΑΣ προς την ΝΗ* ο μοιον άρα έότι το ΑΣΒ τρίγωνον τω ΝΗΖ τριγώνω. και πνραμϊς άρα, ής βάβις μεν έότι το ΚΒΣ τρίγωνον, κορνφη δε το Α βημεΐον, δμοία έότϊ τη πνραμίδι τη βάόιν μεν έχονΟη το ΜΗΖ τρίγωνον, κορνφην δέ το Ν ΰημεΐον. αί δε δμοιαι πνραμίδες καί τριγώνονς βάόεις έχονΰαι προς άλληλας εν τρι-

πλαΰίονι λόγω είΰϊ των ομολόγων πλευρών. η αρα πυραμίς, ης βάΰις μεν εΰτι το ΒΚΣ τρίγωνον, κορυφή δε το Λ ΰημεΐον, προς την πυραμίδα την βά<5lv μεν εχουΰαν το ΜΖ& τρίγωνον, κορυφήν δε το Ν ΰημεΐον, τριπλαΰίονα λόγον εχει ηπερ η ΒΚ προς την ΖΜΘ. και πυραμίς αρα, ης βάΰις μέν εΰτι το ΚΒΣ τρίγωνον, κορυφή δε το Α ΰημεΐον, προς την πυραμίδα την βάΰιν μεν εχουΰαν το ΜβΖ τρίγωνον, κορυφήν δε το Ν ΰημεΐον, τριπλαΰίονα λόγον εχει ηπερ η ΒΑ προς την ΘΖ. ομοίως δη δείζομεν, ότι και έκάΰτη των λοιπών πυραμίδων, ών βάΰεις μεν εΐΰι τα ΣΚ, ΜΚ, ΦΚΑ, ΚΑΤ, ΤΚΓ, ΚΓΤ, ΚΤΒ τα τρίγωνα, ρυφη δε το Λ ΰημεΐον, προς εκάΰτην των πυραμίδων, ών βάΰεις μεν είΰι τα ΕΜΕ, ΕΜΡ, ΜΘΡ, ΜΘΠ, ΜΠΝ, ΗΜΘ, ΜΟΖ τα τρίγωνα, κορυφή ds το Ν ΰημεΐον, τριπλαΰίονα λόγον εχει ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ.    και η πυραμίς αρα, ης βάΰις μεν εΰτι το

κο-

ΑΣΒΤΓΜΟΦΑ πολύγωνον, κορυφή δε το Α ΰημεΐον, προς την πυραμίδα την βάΰιν μεν εχουΰαν το ΕΕΕΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφήν δε το Ν ΰημεΐον, τριπλαΰίονα λόγον εχει ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ. και έπει ο ΑΒΓΑΚΑ κώνος προς το Α ΰτερεόν τρι-πλαΰίονα λόγον εχει ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ, εχει δε και η πυραμίς, ης βάΰις μεν εΰτι το ΑΓΒΠΤΦΑ πολύγωνον, κορυφή το Α ΰημεΐον, προς την πυραμίδα την βάΰιν μεν εχουΰαν το ΕΕΕΘΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφήν δε το Ν ΰημεΐον, τριπλαΰίονα λόγον εχει ηπερ η ΒΑ προς την ΖΘ, εΰτιν αρα, ως 6 ΑΒΓΑ ΚΑ κώνος προς το Α ΰτερεόν, ούτως η πυραμίς, ης βάΰις μεν εΰτι το ΑΣΒΤΓΤΑ Φ πολύγωνον, κορυφή δε το Α ΰημεΐον, προς την πυραμίδα την βάΰιν

μεν έχονόαν το Ε&ΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφήν δε το Ν όημεϊον. εναλλάξ άρα έότίν, ώς δ ΑΒΓΑΚΑ κώνος προς την πυραμίδα την βάόίν μεν εχονβαν το Α ΣΒΓΠΤΑ Φ πολύγωνον, κορυφή δε το Λ όημεϊον7 όντως το Α ότερεδν προς την πυραμίδα την βάόίν μεν έχονόαν το Ε$ΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφήν δε το Ν όημεϊον. μείξων δη δ ΑΒΓΑΚΑ κώνος της πνραμίδος της βάόίν μεν εχούόης το ΑΣΒΠΤΦΑ πολύγωνον? κορυφήν δε το Α όημεϊον. μεΐζον άρα καί το Α ότερεδν τής πυραμίδος τής βάόίν μεν εχού-όης το Ε&ΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορυφήν δε τί Ν όημεϊον. άλλα καί έλάττων' δπερ άτοπον. ονκ άρα δ ΑΒΓΑΚΑ κώνος προς ελαττόν τί τον ΕΖΗΘΜΝ κώνου ότερεδν τρίπλαόίονα λόγον έχει ήπερ ή ΒΑ προς την ΖΘ. λέγω δη, ότι ουδέ προς μεΐξον. εί γάρ δυνατόν,₎ έότω προς το Α. άνάπαλίν άρα το Α ότερεδν προς τον ΑΒΓΑΚΑ κώνον τ ρίπλαόίονα λόγον έχει ήπερ ή ΖΘ προς την AB. ώς δε το Α ότερεδν πρδς τδν ΑΒΓΑΚΑ κώνον, ούτως δ ΕΖΗΜΜΝ κώνος πρδς ελαττόν τί τον ΑΒΓΑ ΚΑ κώνον ότερεόν. δ ΕΖΗΘΜΝ άρα κώνος πρδς ελαττόν τί τον ΑΒΓΑΚΑ κώνον ότερεδν τρίπλαόίονα λόγον έχει ήπερ ή ΖΘ πρδς την ΒΑ’ όπερ αδύνατον δέδείκταί. ονκ άρα ο ΑΒΓΑ ΚΑ κώνος πρδς μεΐζόν τί τον ΕΖΗΘΜΝ κώνον ότερεδν τρίπλαόίονα λόγον έχει ήπερ ή ΒΑ πρδς την ΖΘ. έδείχ&η δε, ότι ονδε πρδς ελαττόν τί. ο ΑΒΓΑ ΚΑ άρα κώνος πρδς τον ΕΖΗΘΜΝ κώνον τρίπλαόίονα λόγον έχει ήπερ ή ΒΑ πρδς την ΖΘ.

Οί νπδ τδ αντδ ύψος όντες κώνοι καί κύλινδροι πρδς άλλήλονς είόΐν ών αι βάόείς.

έΰτωβαν νπδ το αυτό ύψος όντες κώνοι και κύλινδροι, ών αί βάΰεις έατωόαν οί ΑΒΓΑ, ΕΖΗΘ κύκλοι, άξονες δε οί ΚΑ, ΜΝ, διάμετροι των βά~ ΰεων έότωΰαν αι ΖΑ, ΖΘ. λέγω, δτι έότίν, ως δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, οίίτως ο ΑΒΓΑ Α¹) κώνος προς τον ΕΖΗΘΝ κώνον, εί γάρ μη έΰτιν ώς δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον , όντως δ ΑΒΓΑ κώνος προς τον ΕΖΗΘ, έ'ΰται 6 ΑΒΓΑ ΚΑ κώνος ήτοι προς έλαττόν τι τον ΕΖΗΘ κώνον ότερεδν η προς μεΐζόν. εΰτω πρότερον προς έλαττον το Α ότερεόνy και έγγεγράφΟ'ω εις τον ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον το ΕΖΗΘ, και άνεότάτω άπδ τον ΕΖΗΘ τετράγωνον πνραμις ιΰονψής τω κώνω. η άρα άνεύταμένη πνραμις μείζων έΰτίν η το ημιόν τον κώνον. τετμηΰ^ωβαν αί ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ περιφε-ρειαι δίχα κατά τά S, Ο, 77, Ρ ύημεΐα, και έπεζεύχ-&ω6αν αί ES, SZ, ΖΘ, ©77, 7777, 77©, ©Ρ, ΡΣ, και άνεότάτω άφ⁹ εκάότον τών ES, SZ₉ ΖΘ, ©77, 7777, 77©, ©Ρ, ΡΣ τριγώνων πνραμις ίΰονψης τω κώνω. έκάβτη άρα τών άνεΰταμένων πνραμίδων μεΐζόν έΰτιν η το ημιΰν τον κα&’ αντην τμήματος τον κώνον, τοιαύτης δη γινόμενης αεί επιΰκεψεως ληφϋ'ήΰεταί τινα τμήματα από τον όλον κώνον, ά έόται ελάττονα της υπέροχης, ης υπερέχει δ ΖΘ ΜΝ κύκλος τον Α ΰτε-ρεον. λελήφ&ω και έΰτω τά επί τών ESZ, ©7777,

λοιπή άρα η πνραμις,

ΘΡΕ.

βάόις μεν το

ESZOHΠΘΡ πολύγωνον, κορυφή δέ το Ν όημεΐον, μεΐζόν εΰτι τού Α ότερεον. εγγεγράφ&ω δη εις τον ΑΒΓΑ κύκλον τω Ε3ΖΟΗΠΘΡ πολνγώνω ομοιον

πολύγωνον το ΑΓΒΤΓΤΑ Φ πνραμίς ίΰονψής τώ κώνω. επεί εΰτίν ώς το άπο της ΒΑ τετράγωνον προς το άπο της ΖΘ τετράγωνον, όντως ο ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, άλλα μην καί ώς το άπο της ΒΑ τετράγωνον προς το άπο της ΖΘ τετράγωνον, ούτως το ΑΣΒΤΙΤΑΦ πολύγωνον προς το ΕβΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, ώς άρα 6 ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, όντως το ΑΣΒΤΓΤΑΦ πολύγωνον προς το ΕΒΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον. άλΓ ώς μεν 6 ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως 6 ΑΒΓΑΚΑ κώνος προς το Α ΰτερεόν, ώς δε το ΑΣΒΤΓΤΑ Φ πολύγωνον προς το ΕβΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, ούτως η πνραμίς, ής βάΰίς μεν εΰτί το ΑΣΒΤΓΤΑ Φ πολύγωνον, ούτως η πνραμίς, ής βάΰίς μέν εΰτί το ΑΣΒΤΓΤΑ Φ πολύγωνον, κορνφή de το Α ΰημεΐον, προς την πνραμίδα την βάΰίν μεν εχονΰαν το ΕΗΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορνφήν δε το Ν ΰημεΐον. ώς άρα δ ΑΒΓΑ ΚΑ κώνος προς το Α ΰτερεόν, ούτως ή πνραμίς, ής βάΰίς μεν εΰτί το ΑΣΒΤΓΤΑ Φ πολύγωνον, κορνφή de το Α ΰημεΐον, προς την πνραμίδα την βάΰίν μεν εχονΰαν το ΕβΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορνφήν δε το Ν ΰημεΐον. εναλλάξ άρα έΰτϊν ώς δ ΑΒΓΑ ΚΑ κώνος προς την πνραμίδα την βάΰίν μεν εχονΰαν το ΑΣΒΤΓΤΑ Φ πολύγωνον, κορνφήν δε το Α ΰημεΐον, ούτως το Α ΰτερεόν προς την πνραμίδα τήν βάΰίν μεν εχονΰαν το ESΖΟΗΠΘΡ πολύγωνον, κορνφήν δε το Ν ΰημεΐον. μείζων δε δ ΑΒΓΑΚΑ κώνος τής πνραμίδος τής βάΰίν μεν εχούΰης το ΑΣΒΤΓΤΑ Φ πολύγωνον, κορνφήν δε το Α ΰημεΐον. μεΐζον άρα καί το Α ΰτερεδν τής πνραμίδος τής βάΰίν μεν εχούΰης το ΕβΖΟ ΗΠΘΡ πολύγωνον, κορνφήν

το N όημεΐον. αλλά καί ελαττον* οπερ αδύνατον. ούκ άρα έότιν ώς δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, όντως δ ΑΒΓΑ ΚΑ κώνος προς ελαττόν τι τον ΕΖΘΝ κώνον ότερεόν.

λέγω δη ονδε προς μεΐζον. εί γάρ δννατόν, εότω προς μεΐζον το Α. άνάπαλιν άρα έότιν ώς δ ΕΖΗΘ κύκλος προς τον AB ΓΗ κύκλον? όντως το Α ότερεόν προς τον ΑΒΓΑΑ κώνον. ώς δε το Α ότερεόν προς τον ΑΒΓΑΑ κώνον₉ όντως δ ΕΖΗΘΝ κώνος προς ελαττόν τι τον ΑΒΓΑΑ κώνον ότερεόν. ώς άρα δ ΕΖΗΘ κύκλος προς τον ΑΒΓΑ κύκλον, όντως δ ΕΖΗΘΝ κώνος προς ελαττόν τι τον κώνον τον ΑΒΓΑΑ¹) ότερεον' όπερ αδύνατον δέδεικται. ούκ άρα έότιν ώς δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον , ούτως δ ΑΒΓΑΑ κώνος προς μειζόν τι τον ΕΖΗΘΝ κώνον ότερεόν. έδείχ&η δε, ότι ονδε προς ελαττον. έότιν άρα ώς δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως δ ΑΒΓΑΑ κώνος προς τον ΕΖΗΘΝ κώνον, καί έότι μεν κύλινδρος δ βάόιν έχων τον ΑΒΓΑ κύκλον, ύψος $£ το αντδ τώ κώνω, τριπλάόιος τον ΑΒΓΑΑ κώνον, τον δε ΕΖΗΘΝ κώνον τριπλάόιος δ κύλινδρος δ βάόιν μεν εχων τον ΕΖΗΘ κύκλον, ύψος ds το αντδ τώ κώνω. έότιν άρα ώς δ ΑΒΓΑ κύκλος προς τον ΕΖΗΘ κύκλον, ούτως δ ΑΒΓΑΑ κύλινδρος προς τον ΕΖΗΘΝ κύλινδρον.

Έάν κύλινδρος έπιπέδω τμηΟ'η παραλληλω όντι τοΐς 12 άπεναντίον επιπεδοις? εόται ώς δ κύλινδρος προς τον κύλινδρον, ούτως δ άξων προς τον άξονα.

κύλινδρος γάρ δ A Α έπιπέδω τω ΗΘ τετμηΰ&ω παραλληλω οντι τοΐς άπεναντίον έπιπέδοις τοΐς AB, ΤΑ, και ΰυμβαλλέτω τω τον κυλίνδρου άξονι το ΗΘ επίπεδον κατά το Κ ΰημεΐον. λέγω, οτι έΰτίν ως δ ΗΘ κύλινδρος προς τον ΗΑ κύλινδρον, ούτως δ ΕΚ άξων. έφ⁹ έκάτερα τα μέρη επί τά Α, Μ ΰημεΐα, καί κείΰ^ωΰαν τω μεν ΕΚ άξονι ΐΰοι δΰοιδηποτε δ Ζ&, ΖΜ, και έκβεβλήΰ&ω διά των Α, Ν, Μ¹) όη με ίων επίπεδα παράλληλα τοΐς AB, ΤΑ, και νε-νοήΰ&ωΰαν εν τοΐς διά των A, Ν, 3, Μ ΰημείων έπιπέδοις περί κέντρα τά A, Ν, 3, Μ κύκλοι οι ΟΠΡΣ, ΤΤΦΧ ΐΰοι δντες τοΐς ΑΒΓΑ, καί νενοήΰ&ω-ΰαν κύλινδροι οι ΠΡ, PB, A Τ, ΤΧ. καί έπεί οι ΑΝ, ΝΕ, ΕΚ άξονες ΐΰοι είΰίν άλληλοις, οι άρα ΠΡ, HP, ΒΗ κύλινδροι προς άλληλους είΰίν ως αι βάΰεις. ΐΰαι δε άλληλαις είΰίν αι βάΰεις. ΐΰοι άρα είΰί και οι ΠΡ, PB, ΒΗ κύλινδροι άλληλοις. καί έπεί οι Α Ν, ΝΕ, ΕΚ άξονες ΐΰοι είΰίν άλληλοις, είΰί δέ καί οι ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ΐΰοι άλληλοις, καί έΰτιν ΐΰον το πλή&ος τω πλη&ει, δΰαπλαΰίων άρα έΰτίν δ ΑΚ άξων τού ΕΚ άξονος, τοΰαυταπλαΰίων έΰτί καί δ ΠΗ κύλινδρος τού ΒΗ κυλίνδρου, διά τά αυτά δη καί δΰαπλαΰίων έΰτίν δ ΜΚ άξων τού ΚΖ άξονος, τοΰανταπλαΰίων έΰτί καί δ ΧΗ κύλινδρος τού ΗΑ κυλίνδρου, εί μέν ούν ΐΰος έΰτίν δ ΑΚ άξων τω ΚΜ άξονι, ΐΰος έΰτί καί δ Π Η κύλινδρος τω ΗΧ κυλίνδρω, εί δέ μείζων έΰτίν δ ΚΑ άξων τού ΚΜ άξονος, μείζων έΰτί καί δ Π Η κύλινδρος τού ΗΧ κυλίνδρου, εί de έλάΰΰων έΰτίν δ ΑΚ άξων τού

KM άξονος, έλάσσων έστι και ο Π Η κύλινδρος τον ΗΧ κυλίνδρου, τεσσάρων δη μεγε&ών οντων, αξόνων μεν των ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων των ΒΗ, Η Λ, είληπται ισάκις πολλαπλάσια του μεν ΕΚ άξονος καί ΒΗ κυλίνδρου ό τε ΚΑ άξων και ί Π Η κύλινδρος, του δε ΚΖ άξονος και του ΗΑ κυλίνδρου ο τε ΚΜ άξων και 6 Η κύλινδρος, καί δέδεικται, ότι, εί υπερέχει ο ΑΚ άξων τού ΚΜ άξονος, υπερέχει καί δ Π Η κύλινδρος τού ΗΧ κυλίνδρου, και εί ίσος έστιν ό ΚΑ άξων τω Κ Μ άξονι, ίσος έστι και 6 Π Η κύλινδρος τω ΗΧ κυλίνδρω, και εί έλάσσων έστιν ο ΑΚ άξων τού ΚΜ άξονος, έλάσσων έστϊ και δ Π Η κύλινδρος τού ΗΧ κυλίνδρου, έστιν άρα ως δ ΕΚ άξων προς τον ΚΖ άξονα, ούτως δ ΒΗ κύλινδρος προς τον ΗΑ κύλινδρον.

Οι έπϊ ίσων βάσεων όντες κώνοι και κύλινδροι 13 προς άλληλους είσϊν ως τα ύψη.

έστωσαν γάρ έπι ίσων βάσεων των AB, ΤΑ κύλινδροι οι ΕΒ, ΖΑ. λέγω, ότι έστιν ως δ ΗΒ άξων προς τον ΚΑ άξονα, ούτως δ ΕΒ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον.

έκβεβλήσ&ω γάρ ο ΚΑ άξων έπϊ το X σημειον, και κείσ&ω τω ΗΘ άξονι ίσος ο ΑΝ, καί περί άξονα τον ΑΝ κύλινδρος νοείσ&ω δ ΓΜ. έπει ούν οι ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι υπό το αυτό είσιν ύψος, προς άλληλους είσϊν ως αί βάσεις, ίσαι δέ είσιν αί βάσεις, ίσος άρα και δ ΒΕ κύλινδρος τω ΓΜ κυλίνδρω. και έπει κύλινδρος δ ΖΜ έπιπέδω τω ΓΑ τέτμηται παραλληλω όντι τοίς άπεναντίον έπιπέδοις, έστιν άρα ως δ ΓΜ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον, ούτως δ ΑΝ προς

τον ΚΑ άξονα, ίΰος δε εΰτιν ο μεν ΓΜ κύλινδρος τω ΕΒ κνλίνδρφ, ο δε AM άξων. τω ΗΘ άξονί έΰτιν. εΰτιν άρα ώς ο ΕΒ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλιν-δρον₅ όντως δ ΗΘ άξων προς τον ΚΑ άξονα, ώς δε δ ΒΕ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον, όντως δ ΑΒΗ κώνος προς τον ΓΑΚ κώνον, και ώς άρα δ ΗΘ άξων προς τον ΚΑ άξονα, όντως ο τε ΑΒΗ κώνος προς τον ΓΑΚ κώνον καί δ ΕΒ κύλινδρος προς τον ΖΑ κύλινδρον.

14

Τών ίΰων κώνων και κνλίνδρων άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοις ύψεΰι, και ών κώνων και κνλίνδρων άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοΐς ύψεΰιν, εκείνοι ίΰοι είΰίν.

εΰτωΰαν ίΰοι κώνοι και κύλινδροι, ών βάΰεις μεν οι ΑΒΓΑ κύκλοι, άξονες $£ οι ΕΖ₅ ΗΘ. λέγω? δτι τών ΑΒΖ? ΓΑΘ κώνων και κνλίνδρων άντιπεπόν&αΰιν αι βάΰεις τοις νψεΰι, τοντέΰτιν ώς η AB βάΰις προς την ΓΑ βάΰιν, όντως το ΗΘ ύψος προς το ΕΖ ύψος.

το γάρ ΕΖ ύψος τω ΗΘ ύψει ήτοι ίΰον εΰτιν η ον. εΰτω πρότερον ίΰον. οι δε νπδ το αντδ ύψος οντες κώνοι και κύλινδροι προς άλλήλονς είΰιν ώς αι βάΰεις. εΰτιν άρα ώς δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΘ κώνον η κύλινδρον, ούτως η AB βάΰις προς την ΓΑ βάΰιν. ίΰος δε εΰτιν δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος τω ΚΑΘ κώνω η κνλίνδρφ. ίΰη άρα και η AB βάΰις τη ΓΑ βάΰει. εΰτι δε και το ΕΖ ύψος τω ΗΘ ύψει ίΰον. εΰτιν άρα ώς η ΑΕ βάΰις προς την ΓΑ βάΰιν, ούτως το ΗΘ ύψος προς το ΕΖ ύψος, μη εΰτω δη ίΰον το ΗΘ ύψος τω ΕΖ ύψεΐ) άλΓ εΰτω μεΐζον το ΗΘ₅ και κείΰ&ω τδ ΕΖ

ίβον τώ HK, καί άπδ βάβεως της ΓΑ, ύψονς δε τον ΗΚ νενοηβ^ω κώνος η κύλινδρος δ ΓΑΚ. έπει ονν δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος τώ ΓΑ κώνω i} κνλίνδρω νπδ το αντδ ύψος έβτϊν άρα ώς η AB βάβις προς την ΓΑ βάβιν₅ όντως δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος προς ΓΑΚ κώνον η κύλινδρον. ίβος δε δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος τώ ΓΑΘ κώνω η κνλίνδρω. εβτιν αρα ώς η AB βάβις προς την ΓΑ βάβιν? ούτως δ ΓΑΘ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΚ κώνον η κύλινδρον.

δε δ ΓΑΘ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΚ κώνον η κύλινδρον, ούτως το ΗΘ ύψος προς το ΗΚ ύψος, και ώς αρα η AB βάόις προς την ΓΑ βάΰιν, ούτως το ΗΘ ύψος προς το ΗΚ ύψος. ιΰον δε το ΗΚ ύψος τώ ΕΖ ύψει. εβτιν αρα ώς η AB βάβις προς την ΓΑ βάβιν, ούτως το ΗΘ ύψος προς το ΕΖ ύψος. τών ΑΒΖ, ΓΑΘ αρα κώνων η κνλίνδρων άντιπεπόν&αβιν αι βάβεις τοίς ύψεβιν.

άλλα δη άντιπεπον&έτωβαν αι βάβεις τοΐς ύψεβιν, και εβτω ώς η AB βάβις προς την ΓΑ βάβιν, ούτως το ΗΘ ύψος προς το ΕΖ ύψος. λέγω? δτι ϊβος εβτιν δ ΑΒ& κώνος η κύλινδρος τώ ΓΘΑ κώνω η κνλίνδρω. πάλιν γάρ το ΕΖ ύψος τώ ΗΘ ύψει ήτοι ίβον εβτιν η ον. έβτω πρότερον ίβον. εβτιν αρα ώς η AB βάβις προς την ΓΑ βάβιν, ούτως δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΘ κώνον η κύλινδρον, ώς δε η AB βάβις προς την ΓΑ βάβιν, ούτως το ΗΘ ύψος προς το ΕΖ ύψος. και ώς άρα δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΘ κώνον η κύλινδρον, ούτως το ΗΘ ύψος προς το ΕΖ ύψος, ίβον δε το ΗΘ ύψος τώ ΕΖ ύψει. ίβος άρα και δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος τώ ΓΑΘ κώνω η κνλίνδρω. μη έβτω δη ίβον

το ΕΖ νψος τω ΗΘ νψει, και έβτω μεΐζον το ΗΘ τω EΖ, και κει<5&ω το ΕΖ ί'βον τω ΗΚ. έύτιν αρα ώς η AB βάόις προς την ΓΑ βάοιν, όντως 6 ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΚ κώνον η κύλινδρον, ώς δε δ AB βάΰις προς την ΓΑ βάΰιν, όντως το ΗΘ νψος προς το ΕΖ νψος, τοντέΰτι προς το ΗΚ. και ώς αρα δ ΑΖΒ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΚ κώνον η κύλινδρον, όντως το ΗΘ νψος προς το ΗΚ νψος, ώς δε το ΗΘ νψος προς το ΗΚ νψος, όντως δ ΓΑΘΑΒΖ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑ κώνον η κύλινδρον, και ώς αρα δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΚ κώνον η κύλινδρον, όντως δ ΓΑΘ κώνος η κύλινδρος προς τον ΓΑΚ κώνον η κύλινδρον, τα δε προς το αντδ τον αντδν εχοντα λόγον ί'όα έβτιν. Ι'ύος αρα δ ΑΒΖ κώνος η κύλινδρος τω ΓΑΘ κώνω η κνλίνδρω* όπερ εδει δεΐζαι.

15

Αύο κύκλων περί το αντδ κέντρον όντων εις τον μείξονα κύκλον πολύγωνον ίόόπλενρον εγγράψαι μη ψανον τον έλάΟΰονος κύκλον.

εότωόαν δύο κύκλοι περί το αντδ κέντρον οι ΑΒΓ, ΑΕΖ. δει δη εις τδν μειζονα κύκλον τον ΑΒΓΑ πολύγωνον ίοόπλενρον εγγράψαι μη ψανον τον έλάτ-τονος κύκλον τον ΕΖ.

ηχ&ωΰαν τών ΑΒΓ, Α ΕΖ κύκλων δύο διάμετροι πρδς όρ&άς άλληλαις αι ΑΓ, AB, και ηχ&ω άπδ τον Ζ τη ΑΓ πρδς όρ&άς η ΖΗ και έκβεβλήΰ&ω επί τδ ΖΘ. εφάπτεται άρα τον ΕΖ κύκλον, τέμνοντες δη την ΓΑ περιφέρειαν δίχα και την ημιΰειαν της ΓΑ δίχα και τούτο αεί ποιονντες καταληψομέν τινα περιφέρειαν, ητις έόται έλάΰΰων της ΗΓ. λελήφ&ω και έστω ή ΚΓ, και ήχ&ω άπό τοϋ Κ σημείου έπϊ την Α Γ κάθετος η ΚΑ και έκβεβλήσ&ω έπι το Μ, και έπεξεύγβωσαν αι ΚΓ, ΓΜ. εκατερα άρα των ΚΓ, ΓΜ πολυγώνου ισοπλεύρου έστι πλευρά τον εις τον ΑΒΓΑ εγγραφομεν ον. και έπει παράλληλός έστιν η ΗΘ τη ΚΜ, η δε ΗΘ εφάπτεται του ΕΖ κύκλου, η ΚΜ άρα ούκ εφάπτεται του ΕΖ κύκλου, πολλω άρα ουδέτερα των ΚΓ, ΓΜ εφάπτεται του ΕΖ κύκλου, εάν άρα τη ΚΓ περιφερεία ί'όας περιφέρειας άφαιρώμεν κατά το εξής και έπιξευγνύομεν ευθείας, έσται εις τον ΑΒΓΑ κύκλον πολύγωνον ισόπλευρον έγγεγραμμένον μη ψαΰον τού έλάσσονος κύκλου τοϋ ΕΖ, και φανερόν, ότι το έγγραφόμενον πολύγωνον άρτιόπλευρόν έστιν* όπερ εδει δειξαι.

Αύο σφαιρών περί το αυτό κέντρον ονσών εις την 16 μείξονα σφαίραν στερεόν πολύεδρον η και άρτιόπλευ-ρον έγγράψαι μη ψαϋον της έλάσσονος σφαίρας κατά την επιφάνειαν.

έννοείσ&ωσαν ίΰο σφαΐραι περί το αυτό κέντρον ούσαι το Α. δει δη εις την μείξονα σφαίραν στερεόν πολύεδρον και άρτιόπλευρον έγγρά'ψαι μη ψαϋον της ελάσσονος σφαίρας, τετμήσΰωσαν αι σφαΐραι έπιπέδω διά τοϋ κέντρον. ποιήσει δη τομάς μεγίστους κύκλους, ποιείτω τους ΑΒΓΑ, ΕΖΗ, και έστω ό μεν ΒΓΑ κύκλος έν τη μείξονι σφαίρα, ό δε ΕΖΗ έν τη έλάσ-σονι. και ήχ&ωσαν τον ΒΓΑ κύκλου δύο διάμετροι προς όρ&άς άλλήλαις αι ΒΕ, ΓΑ. και δύο κύκλων περί το αυτό κέντρον όντων ΒΓΑ, ΕΖΗ εις τον μείξονα κύκλον τον ΒΓΑ πολύγωνον ισόπλευρόν τε και άρτιόπλευρον έγγεγράφ^ω μη ψαϋον τοϋ έλάσσονος

27

Euclides, edd. Heiberg et Menge. IY.

κύκλον τον ΕΖΗ, και έΰτωΰαν πλενραί τον πολν-γώνον cd BK, ΚΑ, ^/Μ? MF, καί έπιξενχ&εΐΰα ή ΜΑ έκβεβλήΰ&ω έτά το Η, καί άνεΰτάτω άπδ τον Α ΰημείον τω τον ΒΓΑ κύκλον έπιπέδω προς όρ^άί? ή ΑΝ και ΰνμβαλλέτω τη επιφάνεια τής μείζονος Σφαίρας κατά το Ν ΰημείον, και δι’ έκατερας των ΓΑ, MS καί τής ΑΝ επίπεδα έκβεβλήΰ&ω. ποιηθεί δή τομάς κύκλονς. ποιείτω, ών ημικύκλια έΰτω τα ΓΝΑ, ΜΝ&. καί έπεϊ ίΰοι είΰίν οι ΒΓΑ, ΓΝΑ, MiV# κύκλοι    ₉ otfat αρα είαϊν εν τω ΒΓ τέταρτη-

μορίω πλενραί τον πολνγώνον, τοΰανταί είΰι και εν εκατερω τω ΓΝ, MiV MF ftfat. ένηρμόΰ&ωΰαν καί έΰτωΰαν ai ΓΟ, ΟΠ\ ΠΡ, ΡΝ, ΝΣ, ΣΤ, ΤΤ, ΤΜ, καί έπεξεύχ&ωΰαν αι ΤΟ, Τ7Γ, ΕΡ, και άπδ μεν τον Ο έπϊ τϊ\ν ΓΑ κάθετος ηχ&ω ή ΟΦ, άπδ δε τον Τ έπϊ την MS η ΤΧ, και έπεξεύχ&ω ή ΦΧ. εττεί οΰν ή ΝΑ όρ&ή έΰτι προς το ΒΓ επίπεδον, καί πάντα άρα τα διά τής ΝΑ επίπεδα όρ&ά έΰτι προς τδ ΒΓ επίπεδον. εν δε τι των διά τής ΝΑ επιπέδων έΰτίν ή ΓΝΑ κύκλος, δ ΓΝΑ άρα κύκλος όρ&ός έΰτι πρδς τδν ΒΓΑ κύκλον, διά τά αυτά δή και δ MNS κύκλος όρ$Ό£ έΰτι πρδς τδν ΒΓΑ κύκλον, και επεϊ τδ ΓΝΑ επίπεδον δρ&όν έΰτι πρδς τδ ΒΓΑ, και τή κοινή τομή αντών τή ΓΑ πρδς όρ&άς ήκται εν τω ΓΝΑ έπιπέδω ή ΟΦ, ή ΟΦ άρα καί τω ΒΓΑ έπιπέδω έΰτί πρδς όρ&άς. διά τά αντά δή καί ή ΤΧ τω ΒΓΑ έπιπέδω έΰτί πρδς όρ&άς. παράλληλος άρα έΰτίν ή ΟΦ τή ΤΧ. καί έπεί ϊΰη έΰτίν ή Τ Μ τή ΟΓ, ίΰον έΰτί τδ άπδ τής ΤΜ τετράγωνον τω άπδ τής ΟΓ τετραγώνω. άλλά τω μεν άπδ τής ΟΓ ίΰον έΰτί τδ νπδ των ΑΓΦ, τω $£ άπδ τής ΤΜ ί'ΰον έΰτί

τό άπο της¹) 3 MX. καϊ τό νπο των ΑΓΦ άρα ί'ύον έύτϊ τω νπο των 3ΜΧ καϊ ΑΓΦ²) τω νπο των 3 MX. καί έύτϊν ίύη η Α Γ τη 3Μ. ίύη άρα έύτϊ καί η ΓΦ

ΜΧ. έύτι <?£ καϊ όλη ΓΑ όλη τη

AM ίύη. παράλληλος άρα έύτϊν η ΦΧ τη ΜΓ. πάλυν έπεϊ το άπο της ΕΓΘ τετράγωνον ϊύον έύτϊ τω άπο της ΜΤ τετραγώνω^ άλλα τω μεν άπο της ΓΟ ιύα έύτϊ τά άπο των ΓΦ, ΦΟ* ίύη γάρ η νπο ΓΦΟ γωνία* τω δ’ άπο της ΜΤ ί'ύα έύτϊ τά άπο των MX, XT' όρ&ή γάρ έύτϊν η νπο MX Ο γωνία* και τά άπο των ΓΦ, ΦΟ άρα ί'ύα έύτϊ τοΐς άπο των 31X₅ ΧΤ, ών το άπο της ΓΦ ί'ύον έύτϊ τω άπο της MX. λοιπόν άρα το άπο της ΦΟ λοιπω τω άπο της ΧΤ έύτϊν ί'ύον. ίύη άρα έύτϊν η ΦΟ τη ΤΧ. έύΐί δέ αντη και παράλληλος, καϊ αί ΦΧ, ΟΤ άρα ίύαι τέ είύι και παράλληλοι, η άρα ΦΧ τη ΓΜ έύτι παράλληλος. και η ΓΜ άρα τη ΟΤ έύτι παράλληλος, και έφ’ έκατέρας αντών είληπται τνχόντα ύημεΐα τά Ν₅ Μ, Ο, JT₅ και έπεζενγμέναι είύιν αί ΜΤ, ΓΟ. αί άρα ΤΜ, ΜΓ\ ΓΟ, ΟΤ έν τοντω έύτι καϊ το ΤΜΓΟ τετράπλενρον. το άρα ΤΜΓΟ τετράπλενρον έν ένί έύτϊν έπιπέδω. διά τά αντά δη και έκάτερον των TOJ7T, ΡΣ τετραπλένρων έν ένί έύτϊν έπιπέδω. έύτι <5έ καϊ το ΣΡΝ τρίγωνον έν ένϊ έπιπέδω. καϊ έπεϊ ίύη έύτϊν η ΜΤ τη ΓΟ, καϊ παράλληλός έύτϊν η ΜΓ τη ΤΟ, έν κύκλω άρα έύτϊ τά Μ, Γ, Τ, Ο ύη-μεΐα. ηχ&ω άπο τον Α ύημείον έπϊ τό τον ΜΓΤΟ τετράπλενρον έπίπεδον κά&ετος η ΑΨ καϊ ύνμβαλ-λέτω τω έπιπέδω κατά τό Ψ. τό Ψ άρα ύημείον κέν-

1)    άπο της corr. in νπο των m. 1.

2)    Φ corr. ex X m. 1.

27*

τρον έΰτί τον περί τα Μ, Γ, Ο, Τ ΰημεΐα κύκλον, έπεζεύχ&ω ή ΨΓ. καί έτίεϊ τετράπλενρον εν κύκλω έΰτί το ΜΓΟΤ, καί τρεις αί ΤΜ, ΜΓ, ΓΟ ΐΰαι άλλήλαις είΰίν, καί μείζων έΰτίν ή ΜΓ της ΤΟ, το άρα aitό rijg ΜΓ τον άπο τής ΓΦ μεΐζόν έΰτιν ή διπλάΰιον. ηχ&ω άπο τον ΜΕ επί τήν ΓΦ κά&ετος ή MSI. καί έπεί έλάΰΰων έΰτίν ή Γ£1 τής SI Α, δε ή TSI προς τήν SI A, ουτω$ τό από τ^£ ΡΏ του από rijg ίϊ,Μ, τά αρα από τώυ Ρ&, ΏΜ έλάΰΰονά έΰτι τον δίς άπο των MSI. αλλά το άπο των rSl, £<7ου έΰτί τω άπο τής ΜΓ. το άρα άπο τής ΜΓ έλαΰΰόν έΰτι τον δίς άπο των MSI. το άπο τής ΜΓ τον άπο τής ΓΨ μεΐζόν έΰτιν ή διπλάΰιον. το άρα άπο τής MSI του άπο τής ΓΨ μεΐζόν έΰτιν. καί έπεί ΐΰη έΰτίν ή ΓΑ τή AM, ΐΰον έΰτί τό άπο τής ΓΘ τω άπο τής AM. άλλα τω μεν άπο τής ΓΑ ΐΰα έΰτί τα άπο των ΓΨ, ΨΑ. όρ&ή γάρ έΰτιν ή προς τω Ψ γωνία. τω δε άπο των MSI, SIA. όρ&ή γάρ έΰτιν ή υπό MSIA γωνία, τά άπο των ΓΨ, ΨΑ ϊΰα έΰτί τοΐς άπο των MSI, SIA, ών τό άπο τής MSI μεΐζόν έΰτι τον άπο τής ΓΨ. λοιπόν άρα τό άπο τής ΨΑ μεΐζόν έΰτι τον από τής ASI. μείζων αρα ή ΨΑ τής ASI' ή δε ASI μείζων έΰτί τής έκ τον κέντρον τής έλάΰΰονος ΰφαίρας. πολλω άρα ή ΨΑ μείζων έΰτί τής έκ τον κέντρον τής έλάΰΰονος ΰφαίρας. καί ή ΑΨ κάθετος έπί τό ΜΓΟΤ έπίπεδόν έΰτιν. τό άρα ΜΓΟΤ έπίπεδον ον ψαύει τής έλάΰΰονος ΰφαίρας. διά τά αυτά δή καί έκά-τερον των ΤΟΠΤ, ΤΠΡΣ τετραπλεύρων ον ψαύει τής έλάΰΰονος ΰφαίρας, ονδέ τό ΝΣΡ τρίγωνον ψαύει τής έλάΰΰονος ΰφαίρας. έάν δή έν εκάΰτη των λοιπών

ΜΑ ΐΰα έΰτί τά άπο

■a*

τεταρτημόριων τα αυτά καταόκευάόωμεν, εζομεν εις την μείξονα όφαΐραν ότερεόν πολύεδρον και άρτιόπλευ-ρον έγγεγραμμένον μη ψαϋον της έλάόόονος όφαίρας.

’Εάν δη εις έτέραν όφαΐραν τω εν τη ΒΓΑ όφαίρα ότερεω πολυέδρω δμοιον ότερεόν πολύεδρον έγγρά-ψωμεν, έόται έκάότη των πυραμίδων των βάόιν μεν έχουόών τα ΜΓΟΤ₅ ΤΟΠΤ₅ ΤΠΡΣ καί το ΝΟΡ τρίγωνον , κορυφήν δε το Α όημεΐον? όμοια τη όμο-ταγεΐ πυραμίδι. αί δε δμοιαι πυραμίδες προς άλληλας τριπλαόίονα λόγον έχουόιν ηπερ η ομόλογος πλευρά προς την ομόλογον πλευράν, έκάότη άρα των πυραμίδων των βάόιν των βάόιν μεν έχουόών τα ΜΓΟΤ, ΤΟΠΤ, ΤΠΡΣ τετράπλευρα και το ΝΣΡ τρίγωνον9 κορυφήν δε το Α όημεΐον, προς εκάότην των όμοταγων πυραμίδων τριπλαόίονα¹) λόγον εχει ηπερ η ΓΑ προς την εκ τού κέντρου της έτέρας όφαίρας. και όλον άρα το πολύεδρον τριπλαόίονα λόγον έχει ηπερ η ΓΑ προς την εκ του κέντρου της έτέρας όφαίρας. ως δε η ΓΑ προς την εκ του κέντρου της έτέρας όφαίρας, ούτως η ΓΑ προς την διάμετρον της έτέρας όφαίρας. και όλον ά^α το πολύεδρον προς όλον το πολύεδρον τριπλαόίονα λόγον έχει ηπερ η ΓΑ προς την διάμετρον της όφαίρας: ~

Αί όφαΐραι προς άλληλας εν τριπλαόίονι λόγω 17 είόί των διαμέτρων.

έότωόαν όφαΐραι αί ΑΒΓ, ΑΕΖ, διάμετροι $£ των ΑΒΓ, ΑΕΖ όφαιρων έότωόαν αί ΒΓ, ΕΖ. λέγω, ότι η ΑΒΓ όφαΐρα προς την ΑΕΖ όφαΐραν τριπλα-όίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ.

1) Corr. ex τ^ιπλάαα m. 1.

εί γάρ μη έχει η ΑΒΓ ΰφαιρα προς την ΑΕΖ τριπλαΰίονα λόγον ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ, έξει άρα η ΑΒΓ ΰφαίρα ήτοι προς έλάΰΰονά τινα ΰφαΐραν της ΑΕΖ η προς μείζονα τριπλαΰίονα λόγον ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ. έχετω πρότερον προς έλάΰΰονά την ΗΘΚ, και νενοήΰ&ω η ΑΕΖ τη ΗΘΚ περί το αυτό κέντρον, καί δύο ΰφαιρών περί το αυτό κέντρον ονΰών των ΑΕΖ, ΗΘΚ εις την μείζονα ΰφαΐραν την ΑΕΖ ΰτερεόν πολύεδρον έγγεγράφ&ω μη ψανον της έλάΰΰονος ΰφαίρας της ΗΘΚ κατά την επιφάνειαν, και έγγεγράφ&ω εις την ΑΒΓ ΰφαΐραν τω εν τω ΑΕΖ ΰτερεω πολνέδρω όμοιόν τε και ομοίως κείμενον ΰτερεόν πολύεδρον, το άρα εν τη ΑΒΓ ΰφαίρα Στερεόν πολύεδρον προς το εν τη ΑΕΖ ΰφαίρα ΰτερεόν πολύεδρον τριπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ. έχει $£ και η ΑΒΓ ΰφαιρα προς την ΗΘΚ τριπλαΰίονα λόγον ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ. έΰτιν άρα ως η ΑΒΓ ΰφαιρα προς την ΗΘΚ ΰφαΐραν, όντως το εν τη ΑΒΓ ΰτερεόν πολύεδρον, εναλλάξ άρα έΰτιν ως η ΑΒΓ ΰφαιρα προς το εν αντη πολύεδρον,₎ ούτως η ΗΘΚ ΰφαιρα προς το εν τη ΑΕΖ ΰφαίρα ΰτερεόν πολύεδρον, μείζων $£ η ΑΒΓ ΰφαιρα τον εν αντη πολνέδρον. μείζων άρα καί η ΗΘΚ ΰφαιρα τον εν τη ΑΕΖ ΰφαίρα ΰτερεόν πολνέδρον. αλλά καί έλάΰΰων⁹ εμπεριέχεται γάρ' οπερ αδύνατον. ονκ άρα η ΒΓ ΰφαιρα προς έλαΰΰόν τινα της ΑΕΖ τριπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ΒΓ προς την ΕΖ. ομοίως δη δείξομεν, ότι ούδέ η ΑΕΖ ΰφαιρα προς έλάΰΰονά τινα της ΑΒΓ ΰφαίρας τριπλαΰίονα λόγον έχει ηπερ η ΕΖ προς την ΒΓ.

λέγω δη, ότι ονδε η ΑΒΓ ΰφαιρα προς μείζόν

τινα τής ΑΕΖ τριπλαΰίονα λόγον έχει ήπερ ή ΒΓ προς τήν ΕΖ.

εί γάρ δυνατόν, ή AB Γ ΰφαΐρα προς μείζονα λόγον έχετω τής Α ΕΖ ΰφαίρας προς τήν Λ ήπερ ή ΒΓ προς τήν ΕΖ. άνάπαλιν αρα ή Λ ΰφαΐρα προς τήν ΑΒΓ ΰφαΐραν τριπλαΰίονα λόγον έχει ήπερ ή ΕΖ προς τήν ΒΓ. ώς δε ή Α ΰφαΐρα προς τή ΑΒΓ ΰφαΐραν, όντως ή ΑΕΖ ΰφαΐρα προς έλάΰΰονά τινα τής ΑΒΓ ΰφαίρας. καί ή Α ΕΖ αρα ΰφαΐρα προς έλάΰΰονά τινα τής ΑΒΓ ΰφαίρας τριπλαΰίονα λόγον έχει ήπερ ή ΕΖ προς τήν ΒΓ* οπερ αδύνατον, ονκ αρα ή ΑΒΓ ΰφαΐρα προς μείξονά τίνα τής ΑΕΖ ΰφαίρας τριπλαΰίονα λόγον έχει ήπερ ή ΒΓ προς τήν ΕΖ. εδείχ&η δε, ότι ουδέ προς έλάΰΰονά. ή ΑΒΓ ΰφαΐρα προς τήν ΑΕΖ ΰφαΐ-ραν τριπλαΰίονα λόγον έχει ήπερ ή ΒΓ προς τήν ΕΖ.

Ενκλείδον ΰτοιχείωνι) ιβ.

1) Infra add. ατεςεών.

SCf

Λ/S

i;9 ■<

—

•Λ Λ

Homeri Ilias, kplt. 1 Band mit

Einleitung von Sengebusch . .    2.25

----ed. Hentze. 2 voll. . . ä,

---Odyssea, kplt. 1 Band mit

Einleitung von Sengebusch . .    2.25

- carmina, I. 1 (Iliae 1) . . . — .75

2 (Ilias II)

— .75

. —.75

75

. . 1.20

6.75

- —— Editio minor

Iuvenalis ed. Hermann

1.50

1.80

. —.60

2.70

1.20

5.40

1.50

1.50

1.80

3.30

1.80

1.20

— .45

60

.30

30

1.50

1.20

4.5C

1.20

4.20

1.80

6.75

—.60

Quintilian ed. Bonnell. 2 voll.. .    2.40

------------ lib. X ed. Halm . .

Berum naturalium script. Graeci ed. Keller. Vol. I . .

ed. Fr Rutilius

......—.45

ed. Müller. . — .75

2.70

7.80

4.80

— .75

4.80

. .    9,60

Stobaei eclogae ed. Meineke. 2 voll. 6.— Strabo ed. Meineke. 8 voll Suetonius ed. Roth . . .

6.—

2.40

II. „ lib. XI-XVI. .

-----Germania, Agricola et dialogus ed. Halm . . .

Terentius ed. Fleckpisen.

1.20

--I.

¹

corr. in τής — διάμετρον m. 1.

---II. 1 (Odyssea I) . . . . —.75

--II. 2 (Odyssea Η)

Incerti auctoris lib. de Constantino

Magno ed. Heydenreich . . . . —.60 Iosephus,Flavius, ed.Bekker. 6voll. 12.60 Isaeus ed. Scheibe . . i socrates edd.Benseler et Blafs 2 voll. 2.70 Iulianiimp. op. od. Hertlein. 2 voll. 6.75 lurisprudent. antefust. reliquiae ed. Huschke. Editio IV

---— Indices ed. Fabricius 1.80

--Suppi. Bruchstücke a. Schriften

Vol. I—III auch in Heften. . λ —.60 Vol. I pars I lib. I—HI

---pars II lib. IV—VI

Vol. II pars I lib. VII—X

pare II lib. XXI—XXIII Vol. III pars I lib. XXIV—XXVI — pars II lib. XXVII-XXX Ferner einzeln: lib. I et H . . . —.45 Lucian ed. Jacobitz. 3 voll. ...    6.30

--Auch in 6 partes, & pars 1.05

Lucretius ed. Bernays ....

Lycophron ed. Kinkel.....

Lycurgus ed. Scheibe.....

Lydus ed. Wachsmuth.....

Lysias ed. Scheibe......

Macrobius ed. Eyfsenhardt . .

Manethon ed. Koechly.....

Martialis ed. Schneidewin . . .

Martianus Capella ed. Eyfsenhardt 4.50 Maximps et Ammon, ed. Ludwich Metrolog. script.ed.Hultsch. 2 voll. 5.10 Muretus ed. Frey. Vol. I et II. .    2.40

Nicephori opuscula historica ed.

de Boor............

Nicomachus ed. Hoche......

Nonnus ed. Koechly. 2 voll.. . . & 4.50 - paraphrasis ed. Scheindler . .    4.50

Onosander ed. Koechly......

Ovidii opera ed. Merkel. 3 voll. .    2.90

-- tristia

---fasti

-—- ------- met. delectus    ed. Merkel —.60

Panegyrici latini XII ed.Baehrens 3.60

·# A

Pausaniae ed. Schubart. 2 voll. .    8.60

Persius ed. Hermann.......

Phaedrus ed. Müller .......

Philodemi de musica librorum ed.

Kemke.............

Philostratus ed. Kayser. 2 voll. .    8.25

Pindarus ed. Christ Piato ed. Hermann et Wohlrab. 6 voll. 10.50 [Auch in 15 einzelnen Heften.]

Plautus ed. Fleckeisen. Vol. 1. II 2.70

--einzelne Stücke ... λ —.45

Plini epistolae ed. Keil

--natur, historia ed. Jan. 6 voll. 13.20

Plinius et Gargilius Mart. ed. Rose 2.70 Plotinus ed. Volkmann. 2 voll.. .    9.—

Plutarchus ed. Sintenis. 5 voll.. .    8.40

[Auch in 14 einzelnen Heften.]

-----moralia ed. Hercher. Vol. I 1.80

Poetaelatini min.ed.Baehrens. 5voll. 15.90 Polemon ed. Hinck . .

Polyaenus ed. Woelf nn Polybius ed. Dindorf. 4 voll. . . 11.70 Pomponii Melae de chorographia libri tres roc. Frick Porphyrion ed. Meyer Porphyrius ed. Nauck Proclus ed. Friedlein .

Propertius ed. Müller

. —.30

Rhetores Graeci ed. Spengel. 8 voll. 9.— Ruhnkenii elogium Hemsterhusii 'ey ... .

Namatianus

Sallustius ed. Dietsch. Ed. IV . . —.45 Script. histor. Augustae. 2 voll. 7.50 Script. metrici Graeci ed. Westphal.

Vol. I.......

Seneca ed. Haase. 3 voll —— tragoediae ed. Teiper et Richter 4.50 Seneca rhetor ed. Kiefsling. ...    4.50

Simeo Sethus ed. Langkavel. ...    1.80

Sophocles ed. Dindorf-Mekler. Ed.VI. 1.50

- -------- einzelne Stücke . . . ii —.30

Soranus ed. Rose Statius Vol. I Silvae ed. Baehrens. 1.80 ------ Vol. H Faso. I. Achilleis ed.

Kohlmann...........

---Vol. II Fase. II. Thebais ed.

Kohlmann...........

Stobaei llorilegium ed. Meineke.

4 voll. . .

. .    1.50

Tacitus ed. Halm. 2 voll. .

Vol. I. auch in 2 Fase.:

I. Annales, lib. I—VI. . . . —.75 — .75 . —.45

Testamentum, novum. Οι Buttmann.......

Themistlus ed. Spengel. 2 Theodorus Prodromus ed Theon Smyrnaeus ed. Hil\ Theophrastus ed. Wimmer Theophrasti char. ed. Fo\ Thucydides ed. Boehm:. J Tibullus ed. Müller. . . .

Ulpian ed. Huscht e. Ed. ]

Valerius Flaccus ed. Bae Valerius Maximus ed. Ha Vegetius ed. Lang .... Velleius Paterculus ed.

—--— ed. Halm . . .

BIBLIOTEKA GL0WNA

L. Inw.

700

Kdn. Zam. 480/55 20.000

. . Τ7=γ ZonariRrmi.

Χττπαοτι. ow

Verlag von B. Gr. Teufoner in Leipzl

Griechisclies Schulwörterbuch. 2 Bände, gr. Lex.-T *

I. Griechisch-Deutsch. Von G. E. Benseler. 7. Aufl. rieth. 1882. geh, 6 Jt 75 \.

II. Deutsch-Griechisch. Von K. Sc henk 1. 4. Aufl. 1884. gohK ,

Lateinisches Schulwörterbuch. Von F. A. He?

2 Bde.

4. Aufl. Von A. Draegor. gr. Lex.-8₍

I. Lateinisch-Deutsch. 1881, 6 Ji II. Deutsch-Lateinisch. 18

Wörterbuch zu den Homerischen Gedichten.

G. Autenrieth. Vierte Auflage, gr. 8. 1883. gL·' Wörterbuch zu Xenophons Anabasis. Von F. Volr ,

5. Aufl. gr. 8.    1882. geh. 1 Λ

rterbuch zu Xenophons Hellenica/ Von C. Thi gr. 8. 1883. geh. Λ 1.50.    /

iti ©01/3. i

Schulwörterbuch zu C. J. Cäsar/^Vtm Dr. Η. 1 Dritte Auflage, von Dr. A. Dr aeger, 'gr. 8. g| ©örtfrimd) ju bcn Öcbrn6&efc()mfiungcn bc8 perncIiijV on |>aa<ie. 8. 9luff. 8. 1884. g$. 1 ejcte beg 9iejpo§ 1 1 20 A SBörtrriiud) ja Dtüb8 SHcfamar^

SSierte Slttflage, hon %t. fßolie. gr. 8. 1885. gef). 2 gBBtictiutfj j« bcn fabeln bei ©fjabrue. ΰβη 91. <®i 2. Stuft 8. 1877. gefj.OOA. äRitbemSede begäbt Wörterbuch zu Siebelis’ tirocinium poeticum Biblioteka Polifechniki Krakowskiej fl· Kr' 8·    1882. geh. 45

tYFiS B. G. TEUBNERI.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

1-700

Biblioteka Politechniki Krakowskiej