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ÜBER DIE BERECHNUNG VON EISENBETONKONSTRUKTIONEN

ENTWURF ZU EINER EINHEITLICHEN ELEMENTAREN THEORIE

VON

R. EKWALL

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PREISGEKRÖNT VON DEM SCHWEDISCHEN INGENIEUR- UND ARCHITEKTENVEREIN, SVENSKA TEKNOLOGFÖRENINGEN, SOWIE HERAUSGEGEBEN MIT UNTERSTÜTZUNG DIESES VEREINS

SVENSKA TEKNOLOGFÖRENINGENS FÖRLAG STOCKHOLM

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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ÜBER DIE BERECHNUNG VON EISENBETONKONSTRUKTIONEN

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TEKNISKT BIBLIOTEK X

UBER DIE BERECHNUNG VON EISENBETONKONSTRUKTIONEN

ENTWURF ZU EINER EINHEITLICHEN ELEMENTAREN

THEORIE

VON

R. EKWALL

Ingenieur der Kgl. Schwed. Weg-und Wasserbaudirektion

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PREISGEKRÖNT VON DEM SCHWEDISCHEN INGENIEUR- UND ARCHITEKTENVEREIN, SVENSKA TEKNOLOGFÖRENINGEN, SOWIE HERAUSGEGEBEN MIT UNTERSTÜTZUNG DIESES VEREINS

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SVENSKA TEKNOLOGFÖRENINGENS FÖRLAG

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BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA

KRAKÓW

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UPPSALA 191G

AIAIQVIST & WIKSELLS BOKTBYCKEIU-A.-B,

Àkc. Nr.

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INHALTSVERZEICHNIS

I.    Allgemeine Sätze der Festigkeitslehre, ausgedehnt auf Material mit beliebigen Elastizitätseigenschaften.......

II.    Allgemeines Verfahren für Biegungsberechnungen bei elastisch ungleichförmigem Material............

III.    Die physischen Eigenschaften des Betons........

IV.    Anwendung auf Platten und Balken ....    ......

V. Anwendung auf Gewölbe................

Seite

CT 03 05 CT H 00 C

Die Berechnungsmethoden für Eisenbetonkonstruktionen sind immer noch in vielen Punkten unaufgeklärt, obwohl dieses Material Jahr für Jahr ein immer grösseres Anwendungsgebiet zu umfassen scheint. Die Unsicherheit glaubt der Verfasser darauf zurückführen zu müssen, dass der Begriff Sicherheitsgrad für diese Art von Konstruktionen nicht fixiert ist. Dass dies geschieht ist jedoch erforderlich, um zuverlässige Vergleiche anstellen zu können, sowohl mit Konstruktionen aus gewöhnlichen Materialien, als auch zwischen verschiedenartigen Eisenbetonkonstruktionen untereinander.

Ein schwach armierter Balken von gewissen Dimensionen, nach den üblichen Formeln berechnet, kann beispielsweise unter gewöhnlicher Belastung eine geringere Beanspruchung zeigen, als ein stärker armierter, aber dünnerer Balken. Steigert man dagegen die Belastung bis zum Bruch, so zeigen sowohl Theorie als auch Versuche, dass der stärker armierte Balken eine bedeutend höhere Bruchbelastung erträgt als der Andere. Trotz der berechneten geringeren Beanspruchungen muss nach den gewöhnlichen Begriffen Letzterer als schwächer angesehen werden.

Die allgemein übliche und richtige Definition des Sicherheitsgrades scheint die Folgende zu sein:

Eine Konstruktion hat eine m-faltige Sicherheit, wenn für die Bruchbelastung derselben wenigstens m-mal so grosse Belastung erforderlich ist als die in Wirklichkeit vorkommende ungünstigste Belastung.

Diese Definition wird beispielsweise in der gewöhnlichen Festigkeitslehre für Knicken angewandt. Ein Spezialfall dagegen ist der, dass bei einem Material, bei welchem Spannung und Dehnung innerhalb gewisser Grenzen proportional sind, das Verhältnis zwischen der am wenigsten schädlichen und der grössten wirklichen Beanspruchung als Sicherheitsgrad angesehen werden kann. Eisenbeton kann man zu diesem Spezialfall nicht rechnen.

Der Zweck der folgenden Abhandlung ist zu untersuchen, inwieweit man bei Anwendung der allgemeinen Definitionen eine praktische Berechnungsmethode erreichen kann und inwieweit Einheitlichkeit auf diesem Wege zu erhoffen ist.

Sicher ist jedenfalls, dass infolge der verschiedenen Werte der Betonzugspannungen eine Berechnung für hohe Belastungen mehr mit der Wirklichkeit übereinstimmt und auch leichter experimentell kontrolliert werden kann, als eine Berechnung für die gewöhnlichen schwächeren Belastungen.

Es ist notwendig, die allgemeinen Theorien über Formänderungsarbeit, statische Unbestimmtheit, Biegungsdeformation, Arbeitsgleichungen u. s. w. kurz durchzugehen, da eine kritiklose Anwendung dieser Theorien auf armierten Beton sowohl im Allgemeinen, als auch besonders bei hohen Beanspruchungen zu ganz falschen Resultaten führen kann.

Diejenigen Leser, welche für die zunächst folgenden, rein theoretischen Entwicklungen ein besonderes Interesse nicht hegen, können direkt zu Kap. III übergehen.

I. Allgemeine Sätze der Festigkeitslehre, auf Material mit beliebigen Elastizitätseigenschaften angewandt.

Der Kürze wegen sollen die Ausführungen von Prof. Müller-Breslau, »Die graphische Statik der Baukonstruktion» sowie seine Bezeichnungen in derselben dem Folgenden zugrunde gelegt werden, ebenso im Bedarfsfälle Castigliano, »Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques» (Turin 1879). Ferner werden diejenigen Beweise, die mit den entsprechenden Schlussfolgerungen der obigen Abhandlungen analog sind, hier nicht besonders entwickelt, sondern nur in wichtigeren Fällen beschrieben werden.

Ein homogenes Material von solcher Beschaffenheit, dass die Dehnungen proportional mit den Spannungen wachsen, wie dies innerhalb weiter Grenzen bei Eisen, Stahl u. s. w. der Fall ist, werden wir im Folgenden als Material mit elastischer Gleichförmigkeit bezeichnen. Andere Materialien, unter diesen Beton und Eisenbeton, bezeichnen wir als elastisch ungleichförmig.

Die Clapeyron'sche Definition der Formänderungsarbeit eines

Stabes :

r-H CN

kann bei elastischer Ungleichförmigkeit nicht angewandt werden.

Fläche dargesteilt und A = j PxdX. Ist Px = kXx, d. h. das Material elastisch gleichförmig, so erhält das Diagramm eine Form wie in Fig. 2 und die Formänderungsarbeit A wird = - PX. Betrachten wir wiederum das erste allgemeine Diagramm, so bemerken wir zuerst, dass es bei Anwendung des Prinzipes der virtuellen Verschiebung in Frage kommen kann, ebenso gut das Produkt PX der Endwerte zu verwenden, als P mit einer anderen beliebigen, gegen die geometrischen Bedingungen nicht verstossenden Verschiebung zu multiplizieren. PX kann man ja ebenfalls als eine

hv

Wir nehmen an, dass ein Stab gedehnt wird durch eine sukzessive von 0 wachsende Kraft Px, deren End-wert=P (Fig. 1). Jedem Px entspricht eine gewisse Verlängerung Xx mit dem Endwert X, wo Xx — ff{Px), eine beliebige kontinuierliche Funktion, oder umgekehrt Px = ltJ{Xx). Wenn man nun die Werte von Xx auf einer Linie und die W⁷erte Px senkrecht hierzu abträgt, so entsteht ein Diagramm, die Deformationskurve. Die Formänderungsarbeii A wird durch die schraffierte

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-Y...

sjl'

/?

Fig. 1.

Fig. 2.

T"

-v

v-

fr)

-v

er

fr)-*.

..Y...

•H

Ÿ..

Fig. 4.

Fig. 3.

Arbeit betrachten. Um eine Bezeichnung hierfür zu erhalten, wollen wir hierfür jAj schreiben, oder die virtuelle Formänderungsarbeit. (Siehe Fig. 3).

Wie es sich zeigen wird, erhält man fast die meiste An-

Wendung für noch eine dritte Arbeitsfunktion

lxdP, deren

<r

Fläche in obenstehender Figur 4 schraffiert ist. Wir bezeichnen:

I lxdP = jA ! — A = Komplement der Formänderungsarbeit.

Für elastisch gleichförmige Materialien ist das Komplement = der Formänderungsarbeit.

Schon eine erste Überlegung ergibt, dass der Satz von der Addition oder Zusammensetzung der Wirkungen für besondere Fälle äusserst genau untersucht werden muss. Der Satz gilt natürlich unbedingt bei einem statisch bestimmten System für die Kräfte und Spannungen untereinander. Derselbe hat aber keine Giltigkeit, auch nicht in statisch bestimmten Fällen, bei Kräften und Biegungen oder bei Spannungen und Dehnungen untereinander, wenn nicht die Dehnungen rechtwinkelige Funktionen der Spannungen sind.

In statisch unbestimmten Fällen, wo Dehnungen in die Berechnung eingeführt werden, um die Spannungen zu erhalten, gilt derselbe natürlich nicht für äussere Kräfte und Spannungen untereinander.

Das Prinzip der virtuellen Ver Schiebung, welches für beliebige, geometrisch mögliche Verschiebung gilt, kann man natürlich zu allererst auf die virtuelle Formänderungsarbeit für ein Fachwerk anwenden, aber ebenfalls auf die beiden anderen Funktionen, wenn man sich sowohl die äusseren Kräfte und Biegungen, als auch die Spannungen und Dehnungen sukzessive mit ungestörtem Gleichgewicht von Obis zu den Endwerten wachsend denkt. Folgen wir Müller-Breslaus Entwicklung des entsprechenden Prinzips statisch bestimmter Fachwerke Schritt für Schritt bis zum Resultat: 2Qmdm = 2Sz/s, oder dass die virtuellen Arbeiten der äusseren und inneren Kräfte summiert gleich sind, so finden wir, dass in dieser Entwicklung ein Elastizitätsmodul oder etwas Entsprechendes nicht vorkommt, und die Entwickelung kann für virtuelle, ideelle Formänderungsarbeiten für beliebige Materialien gelten.

Die Biegungen in einem statisch bestimmten System kann man folglich in der gewöhnlichen Weise berechnen dadurch, dass man in der Richtung und in dem Punkte, wo man die Biegungen sucht, eine Kraft = 1 setzt, wobei dm = 2SmJs\ hier bedeutet zls die Dehnung, welche den wirklichen Stabspannungen entspricht, dagegen bedeutet Sm die Stabspannung, welche durch eine Kraft = 1 entsteht, allein wirkend auf das Fachwerk in den Punkten m, und mit der Richtung von + ö

/// •

Das Korollarium, dass die äusseren und inneren Arbeiten gleich sind, gilt natürlich auch für alle drei Arbeitsfunktionen.

Maxwells und Bettis Sätze dagegen haben keine allgemeine Giltigkeit.

Als notwendige Bedingung für die Giltigkeit dieser beiden Sätze kann man leicht herleiten, dass

ff[S) = JcS,

d. h. dass die Materialien elastisch gleichförmig sein müssen.

Daraus folgt natürlich nicht, dass der Elastizitätsmodul derselbe für alle Stäbe sein muss.

Es ist jedoch einleuchtend, dass ein grosser Teil der auf diesen Sätzen gegründeten Speziahnethoden, welche man an wendet, um Spannungen oder Biegungen in statisch unbestimmten Balken und Bogenkonstruktionen zu suchen, nicht ohne genauere Untersuchung auf Fachwerke aus Stäben von beliebigen Materialien angewendet werden kann, also, streng genommen, beispielsweise nicht für eine statisch unbestimmte Konstruktion, in welcher Gusseisenstäbe enthalten sind.

Die Sätze von den Ableitungen der Forniänderungsarbeit.

In ihrer für die elastische Gleichförmigkeit gütigen Form sind folgende 2 Sätze bewiesen:

1) Wenn man die Formänderungsarbeit A in einem Stabsystem als Funktion der äusseren Kräfte ausdrückt, so erhält man die Durchbiegung unter einer gewissen Kraft Pn dadurch, dass man die partiellen Ableitungen der Funktion in Bezug auf Pn sucht.

= àn.

2) Wenn man die Formänderungsarbeit A als Funktion der Verschiebung der Knotenpunkte ausdrückt, so erhält man dadurch die mit einer gewissen Verschiebung von ön:s Richtungslinie zusammenfallende Kraftkomponente, welche im Verein mit den übrigen im System angebrachten Kräften die Verschiebung ön hervorruft, dass man die partielle Ableitung der Funktion in Bezug auf ó'n sucht.

Alle diese Spannungen, sowohl Sr als auch S den statischen Gleichungen als Funktionen der äusseren Kräfte berechnet werden.

können direkt aus

Die Verlängerung eines gewissen Stabes r nennen wir ln und wie oben schreiben wir:

Sr - Wr)

Die virtuelle Formänderungsarbeit für den Stab r = laj r — Svf.r.

).r

dA

ddn

= Pn.

Vorläufig nehmen wir einen statisch bestimmten Fall an.

Die gegebenen äusseren Kräfte: PaPb . . . Pm . . . Pn. Die Nummern der Stäbe:

Die re-

<3

Fig. 5.

1, 2, 3 ... r ... ź. spektiven Stabspannungen :

S₂ S₃. .. Sr . . . St. Die speziell von der Kraft Pm her-

rührende Spannung im Stabe r bezeichnen wir mit: S

rm •

Wir erhalten auf gewöhnliche Weise:

— Sra + Srb + • • • S

+ ■■■ s

nt •

Die Formänderungsarbeit . . . ar

Das Komplement der Formänderungsarbeit... /a/r—ar = jr/>(S)dS.

Wir gehen der Fmtwicklung etwas im Voraus und schreiben zwei besondere Ableitungen der Arbeitsfunktionen dieser einzelnen Stäbe. Aus der Definition eines finiten Integrals erhalten wir:

= ip(Ar) = Sr; sowie

d(/a/r — ar)

dSr

= fp{Sr)= Ir.

Hiervon ist nur ein kurzer Schritt zur Erkenntnis, dass der erste Satz von den Ableitungen in dem Falle, wo eine elastische Gleichförmigkeit nicht vorkommt, auf das Komplement der Formänderungsarbeit, nicht auf die Formänderungsarbeit selbst, angewandt werden muss.

Der Beweis hierfür ergibt sich wie folgt:

/ Af — A = 2(/a/r — CLr) = (/ci/i — «J + (/a/₂ — a₂) + etc.

.■Jt-UAI-A)-

«i m

as

(/ah — a,) +

,/p-(/a/2~a₂) + etc. . ..

-Ł m

t Stück Ausdrücke,

aber:

A'

•r

<5L' ^

Co cl.

Während wiederum Sr in einem statisch bestimmten System auf gewöhnliche Weise als eine Funktion ersten Grades der äusseren Kräfte bewiesen werden kann:

Sr — ktPL + k₂P2 4- k₃P₃ 4- ••• + knP

0Sr

Dieses km ist wiederum, wie gewöhnlich, der Wert, welchen die Spannung im Stabe r erhält, wenn die Kraft

; folglich erhalten wir

so wird

UPm

m-

Pm

= 1, oder km — >

rm

Pm

{/ A/ — A) =klki + k₂ k₂ + k₃k₃ + etc.

Oben wurde bewiesen, dass man für ein statisch bestimmtes System die Durchbiegungen nach der gewöhnlichen Methode mit der virtuellen Arbeit finden kann, und also:

mj

wo öm = der Durchbiegung unter Pm\ Sm bezeichnet die in den einzelnen Stäben infolge der in Pm's Angriffspunkt wirkenden Kraft = 1 entstehenden Spannungen, sowie lm die wirklichen Stabdehnungen.

Die Werte Sm werden also, in Nummerfolge geschrieben:

und folglich:

JhiAi~A)’

t'C 5e

S >7)1 .

; oder also kxk₂. . . kt;

711

öm = kxkx 4- k₂’k₂ 4* k₃k₃ 4~ etc. =

Der erste Satz von den Ableitungen der Arbeitsfunktionen muss also für die allgemeine Anwendung auf folgende Form umgewandelt werden:

Wenn man das Komplement der Formänderungsarbeit fAf— A in einem Stabsystem als Funktion der äusseren Kräfte ausdrückt, so erhält man die Durchbiegung unter einer gewissen Kraft Pm dadurch, dass man die partielle Ableitung der Funktion in Bezug auf Pm sucht.

Der reziproke Satz betreffend Aufsueben der äusseren Kräfte, wenn die Knotenpunktsverschiebungen als gegeben angenommen werden, bedarf dagegen keiner neuen Form und wird vollkommen analog bewiesen:

dA

ädn

Ön

ân

- S3 4- etc. = Pn,

Diese Sätze, deren Bedeutung bei Anwendung auf ein statisch bestimmtes System ausschliesslich theoretischer Art ist, gelten in unveränderter Form auch bei statischer Unbestimmtheit aller Art und haben hierbei, im Verein mit dem hergeleiteten Schlusssätze betreffend Arbeitsminimum, auf Grund ihrer Allgemeingiltigkeit die praktische Bedeutung, dass sie bei mehr verwickelten Berechnungen als Schemas dienen können.

Um die Ausdehnung der Sätze auch betreffend die statisch unbestimmten Systeme zu beweisen, kann man auf gewöhnliche Art überzählige Stäbe oder Reaktionen mit Spannungen Xx X₂ X₃. . . etc. entfernt denken. Wenn man an deren Stelle äussere Kräfte mit derselben Richtung wie die ausgeschiedenen Spannungen einführt, so bleibt ein statisch bestimmtes System übrig, in welchem alle Knotenpunkte dieselbe Verschiebung erhalten und folglich alle Stabspannungen dieselben bleiben wie in dem ursprünglichen System.

Wenn man festhält, dass das Fachwerk in ein statisch bestimmtes übergegangen ist, so kann man also die Abstandsver-änderungen zwischen den Endpunkten der überzähligen Stäbe, oder mit anderen Worten die Dehnungen schreiben:

Xx₂ =

'lr(IAI-A)-, %-UAI-A);

<)X

()X₂

Fig. 6.

Das Minuszeichen, welches bezeichnet, dass Dehnung und Kraft entgegengesetzte Richtungen haben, wenn ein überzähliger Stab oder eine Reaktion durch eine äussere Kraft ersetzt worden ist, möge man besonders beachten, da dies für gewisse Anwendungen von Wichtigkeit ist.

/AI — A ist für das statisch bestimmte Hauptnetz giltig und ist eine Funktion der gegebenen äusseren Kräfte P und der Grössen X, als äussere Kräfte betrachtet; alle diese Quantitäten sind beim Differenzieren als unabhängig von einander zu betrachten.

Wir bezeichnen nun, wie oben, die elastischen Eigenschaften der Materialien mit:

l = cp(S); 8 = ip(X).

Angewandt auf die überzähligen Stäbe ergibt dies

Xxi — fPi(Ax); Xx, = (p₂{X₂)\ etc. etc.

Die beiden so gefundenen Ausdrücke für Xxn müssen gleich sein; und hieraus erhält man die Gleichungen:

ox

i-UA/-A) + <pl(Xl)-0; t (JA/-A) + cpJX,) = 0;

ox₂

Das Komplement der Formänderungsarbeit für das statisch bestimmte Hauptnetz haben wir mit jAj — A bezeichnet.

Das Arbeitskomplement für die überzähligen Stäbe wird:

Xi

Xi

X,,

I <Pi(Xi)dXl + | cp₂(X₂)dX₂ + I (f,{X₃)dX₃ + etc.

• '    tv

o    o    o

und folglich wird das Arbeitskomplement für das ganze, ursprüngliche statisch unbestimmte Fachwerk:

— {jAj — A) + —’ j Cßn(Xn)dXn.

Differenziert man diesen jetzt gefundenen Ausdruck nach einer äusseren Kraft P, so wird die Ableitung des letzteren Teils = 0, da ja die Grössen X ebenfalls als äussere, von P unabhängige Kräfte zu betrachten sind. Hieraus ist zu erkennen, dass die Giltigkeit der oben, für statisch bestimmte Systeme bewiesenen Sätze über die Ableitungen in unveränderter Form auch auf statisch unbestimmte Konstruktionen ausgedehnt werden kann.

Differenziert man nun denselben Ausdruck nach einer gewissen überzähligen Spannung Xn, so erhält man:

~UA/^A)+(pn{Xn).

Nach Obigem ist dieser Ausdruck = 0.

Das ganze Gleichungssystem, welches ebenso viele Gleichungen als die Anzahl überzähliger Stäbe und Reaktionen enthält, kann man also dadurch erhalten, dass man die partiellen Ableitungen eines Ausdrucks für das ganze Arbeitskomplement des statisch unbestimmten Fachwerkes nach den Quantitäten Xn aufschreibt und diese Ableitungen = 0 setzt.

Man hat auf diese Weise ein System von Nullwerten für die partiellen Ableitungen erhalten, welches ein relatives Maximum oder Minimum der differenzierten Funktion andeutet.

Der ausführliche Beweis hierfür ist unter Beachtung des oben Angeführten vollständig analog mit Castiglianos Beweis in der »Théorie de l’équilibre» Kap. I. 14.

Der Kürze halber auf denselben verweisend, wollen wir nur anführen, dass, wie aus dem Obigen hervorgeht, das Resultat bei Verwendung beliebigen Materials das Folgende wird:

Die Stabspannungen in einem statisch unbestimmten System erhält man, wenn man das Komplement der Formänderungsarbeit als Funktion der Stabspannungen ausdrückt, und die Werte derselben, welche die Funktion zu einem Minimum macht, sucht, wobei als Bedingungsgleichungen diejenigen Gleichungen gelten sollen, welche man aus den allgemeinen statischen Bedingungen für das Gleichgewicht des Systems herleitet.

Ebenfalls ist einleuchtend, dass, wenn man von der Betrachtung ausgeht, dass

S=ip(k),

so kann man in analoger Weise einen reziproken Satz in folgender Form herleiten, nämlich:

Die Stabdehnungen in einem statisch unbestimmten System kann man erhalten, wenn man die Formänderungsarbeit als Funktion dieser Dehnungen ausdrückt, und die Werte der Dehnungen sucht, welche unter den gegebenen, äusseren, geometrischen Bedingungen die Funktion zu einem Minimum machen.

Die obenstehende oder eine andere, entsprechende Herleitung wird in der einen oder anderen Form unumgänglich, wenn man Arbeitsgleichungen auf massive Körper von elastisch ungleichförmigem Material anwenden will. Natürlich braucht man nicht mehr als den einen der beiden Minimisätze, beliebig welchen, anzuwenden, aber der, welcher angewendet wird, muss mit den richtigen Bedingungsgleichungen verbunden werden, und diese dürfen nicht verwechselt w erden.

Zur näheren Erläuterung und zur Kontrolle der Richtigkeit der Sätze wollen wir, bevor wir zu massiven Körpern übergehen, folgendes Beispiel durchrechnen, welches das denkbar einfachste, aber gerade deswegen auffallend klar ist.

Beispiel: Ein starrer, gerader Stab liegt auf 3 elastischen Stützen, von welchen zwei sich proportional den Spannungen dehnen, der dritte dagegen proportional dem Quadrate der Spannungen. Gesucht : die Spannungen in den Stützen bei einer gegebenen Belastung Q.

Wir gehen zuerst von den Spannungen aus und schreiben:

Pi

\ = ap\; V

~hdp = ₃ ap\;

in

yr

X₂ = bp₂; V

Ldp = 2 bpi-,

Ï/////K ////?/ ////77/S// s/" S//'S/ą/s '////// ///'"//s "Y .....^---- - <3    " '

X..

ff

V////S

pZ

^3= cp₃;    ldp =

c pl;

Fig. 7.

Die drei Arbeitsfunktionen werden :

! A! = ap\ A bpi + cpl;

Ol CO

«•H

a.

toi

rO

to

Cu CO

und endlich das Arbeitskomplement:

/A/— A = -ap? + - bpi + Qcpl,

welch’ letzteres nun angewandt werden soll.

Die statischen Bedingungsgleichungen werden am einfachsten geschrieben (aus den Momenten in Bezug auf p₃ und pt):

p — Q 'G A 0_ P2I3

Das Minimum der Arbeitsfunktion findet man dadurch, dass man schreibt:

dp₂    dp₂    dp₂

wobei aus den Bedingungsgleichungen folgt:

a a. a a

i? ‘S⁵ i?

H--

und daraus erhält man eine Gleichung :

ał₃

Pi + &P₂ ~

c*i

Pa =

(a)

welche im Verein mit den Bedingungsgleichungen die gesuchten Spannungen ergibt. Gleichzeitig wollen wir das reziproke Problem näher betrachten:

Auf demselben Stabe erhält ein gewisser Punkt eine senkrechte V er Schiebung (o). Gesucht: die Dehnungen der Stützen.

Zuerst wird abgeleitet :

/.i

«0| Cd

/?,

--i/--

/.2

>4

>?

•rc

.....*■■

-Ti «

/•³

>4

V \padl = —'

Fig. 8.

**!

Folglich wird die Formänderungsarbeit (ausgedrückt in K :

CO

Kl»

J-¹

-M

,r.

<N

«E

Die geometrischen Bedingungsgleichungen werden :

Weiter erhält man das Minimum, wenn:

K r«? 'S 'S

o l-^i

aj a.

0-1 I—

=r

a. i a.

wobei aus den Bedingungsgleichungen hervorgeht:

dt.₂ d'h 3 = d/~₂

und die gesuchte Gleichung, welche im Verein mit den Bedingungen die Dehnungen ergibt, wird : (b)

0.

In einem so einfachen Fall wie dem vorhergehenden kann die erforderliche dritte Gleichung auf viel leichtere Weise erhalten werden, beispielsweise, wenn die beiden ersten und statischen Bedingungsgleichungen komplettiert werden mit der geometrischen Bedingung:

V J'2 _ Vs_V?

woraus :

V ^a (ji + 1₃) + X₃ t₁ 0 ;

oder mit Einführung von p anstelle von X sowie Division mit — (t₁ + t₃) = — l

at

³ PÏ + b p₂ —

c tt

p₃ = 0,

d. h. dieselbe Gleichung wie Gleichung (a).

Oder wenn die zwei geometrischen Bedingungsgleichungen komplettiert werden mit der statischen Gleichung (die Momentengleichung um den Angriffspunkt der Kraft Q):

Pi (V — t) = p₂ t + p₃ (t₃ + t)

0;

v p' 0~** ) + Ps+P₃(l + y) =

sowie mit Einführung der X-Werte

a \s~'

oder dieselbe Gleichung wie Gleichung (b), wodurch also auch festgestellt wird, dass die beiden aus den reziproken Arbeitsgleichungen hergeleiteten Resultate mit einander übereinstimmen, insoweit als o gerade die Q entsprechende Durchbiegung ist, sowie, bei näherem Nachsehen, dass die beiden paarweisen Bedingungsgleichungen mit einander nicht vertauscht werden können.

Halten wir uns endlich etwas bei der virtuellen Formänderungsarbeit auf:

IAl = p₁ \ + p₂ X₂ + Pa K = « Pi +bp I + C pi ;

V |,A / ⁼ \ P* ⁺ \ P* ⁺ \ P* »

so

können wir leicht feststellen, dass, wenn Vs lAl nach p₂ differenziert wird

to

ic w

es

?..

dPi

dp o

+ bp₂ + cp₃

dPi

dp 2

die so erhaltene Gleichung nicht ein richtiges Resultat ergibt.

Wenn ein massiver Gewölbequerschnitt aus Beton als geradelinig deformiert angesehen wird, und als Arbeitsfunktion für die Berechnung der Bruchbelastung

der Ausdruck —

2 E

angeführt werden können (Zeitschr. d. Oesterr. Ing.- u. Arch. Ver. 1896), so enthält dies denselben Fehler.

angewandt wird, wofür Beispiele in der Literatur

Nebenbei ist jedoch zu bemerken, dass wenn, wie hier, es sich nur um eine Kraft handelt, man direkt aus der Anwendung des Prinzipes der virtuellen Verschiebung ^ Q o — 2 p X, (d. h. die äusseren und inneren virtuellen Formänderungsarbeiten sind gleich) ableiten kann :

; u. s. w.

Pl G ~h Pi i'2 Ps hg

Die Biegungsprobleme.

Wenn es sich um Stabsysteme handelt, leitet die Anwendung der Minimisätze auf einen Umweg in der Rechnung und hat, wie oben erwähnt, hauptsächlich schematische Bedeutung. Beim Biegungsproblem kann das Verhältnis in gewisser Weise umgekehrt sein, d. h. die Minimisätze können, wenn man so will, mit Vorteil als Prinzip für die Berechnung von elastischen Linien, Spannungen in komplizierten Fällen u. dgl. angewandt werden. Jeden festen Körper kann man als ein Stabsystem mit unendlich vielen Knotenpunkten und unendlich kleinen Stablängen betrachten. Wie leicht einzusehen ist, müssen die fraglichen Sätze, sowohl die über die Ableitungen als auch die über Minima, unveränderte Giltigkeit haben für angreifende Kräfte und deren Verschiebungen, für Spannungen und Dehnungen, auch innerhalb eines solchen unendlich zerteilten Systems, und gleichfalls für dessen Kombinationen mit einfachen Versteifungen und Streben, z. B. armierte Holzbalken, Spannwerke u. a. m., für welch’ letztere kombinierte Fälle die Berechnung mit Arbeitsfunktionen leichter als andere Methoden zum Ziele führt.

Eine notwendige Voraussetzung für das praktische Resultat der Anwendung der Arbeitsfunktionen ist, dass nach der Teilung in Axial- und Transversalspannungen sowie Schubspannungen innerhalb des gebogenen Körpers die beiden letzten Gruppen als klein gegenüber den Axialspannungen betrachtet werden können, wobei auch der Einfluss der Aussenkonturen auf die Spannungen u. dgl. wegfällt.

In einem langgestreckten Körper, auf welchen Axial- und Biegungsbelastungen, nicht aber Drehungen, wirken, findet ja ein solches Verhältnis über gewisse Strecken statt, doch nicht in der Nähe der Angriffspunkte, konzentrierter Kräfte, Auflagerpunkte u. s. w. Je mehr überwiegend die Längsdimension ist, desto mehr überwiegend werden genannte Strecken und am allermeisten wird die Bedingung in der Nähe der Stellen erfüllt, wo das Momentendiagramm unter verteilter Belastung Maxima zeigt. Wenn also die vereinfachten elementaren Formänderungsarbeiten in den meisten Querschnitten genügend genaue Werte erhalten, so folgt, dass die Summation der Sektionsarbeiten über die Längsachse ein gutes Resultat geben kann, obgleich die Summation auch über die Ausnahmestellen ausgedehnt wird.

Die hier berührte Annäherung markiert eine Grenzlinie zwischen der Festigkeitslehre und der reinen, streng mathematischen Ela-stizitätstheorie.

Es ist nicht die Absicht, mit vorstehender Untersuchung in irgend einer Weise über den Bahmen der gewöhnlichen Festigkeitslehre herauszugehen, weshalb u. a. die sogenannten lokalen Per-turbationen, d. h. besondere Spannungsverteilungen in der Nähe der Angriffspunkte konzentrierter Kräfte und der Nullpunkte der Angriffsmomente, ganz weggelassen werden. In diesem Zusammenhang wollen wir jedoch hervorheben, dass bei Eisenbetonkonstruktionen die Nebenspannungen und Unregelmässigkeiten bei den Auflagern weit grössere Bedeutung haben können, als in anderen Fällen und eine ganz andere Aufmerksamkeit seitens der Konstrukteure erfordern.

Im Allgemeinen wird bekanntlich die Festigkeitslehre betr. die Biegungsproblerae aus Naviers Annahme hergeleitet, dass ein ebener Querschnitt eines Balkens nach der Biegung eben bleibt. Ein zuverlässiger experimenteller Beweis dieser Annahme wird, wie leicht einzusehen ist, immer schwer zu erbringen sein, da auch eine unmerkliche Kurvatur auf einem beobachteten Querschnitt wesentlichen Variationen in den Spannungen entsprechen kann. Castigliano hat einen theoretischen Beweis für die ebene Deformation geliefert, wobei er von folgender, einfacher Annahme ausgeht:

Wenn ein langgestreckter Körper an den Enden von äusseren Kräften angegriffen wird, wird die Spannungsverteilung in den Querschnitten, welche nicht in der Nähe der Endflächen liegen, annäherungsweise unabhärigig von der Art, in welcher die Belastungen auf die Endflächen sich verteilen, wenn nur die Schnittresultanten und das Moment unverändert bleiben.

Wie allgemein vor Prof. Bach, hat er jedoch isotrope Materialien und Proportionalität zwischen den Spannungen und Dehnungen vorausgesetzt.

Inwieweit eine ebene Deformation vorkommt oder nicht, auch bei elastisch ungleichförmigen Materialien, ist nicht bewiesen (vergleiche Bach: Elast.- u. Fest.). Die Frage ist jedoch von fundamentaler Bedeutung für die vorliegende Untersuchung, bei welcher es gilt, die Spannungsverteilung nicht in den niederen Stadien, sondern in den oberen, in der Nähe der Bruchgrenzen zu untersuchen. Dieselbe soll daher so eingehend wie möglich behandelt werden, ohne andere Hilfe als die oben hergeleiteten allgemeinen Sätze über die Arbeitsfunktionen.

Castiglianos soeben genannter Ausgangspunkt dürfte ohne weiteres als für alle Arten von Materialien giltig angenommen werden können, auch für zusammengesetzte, wenn nur eine der Schubfestigkeit entsprechende Adhäsion zwischen den verschiedenen Bestandteilen vorkommt.

Der Satz kann durch Folgendes veranschaulicht werden:

3_

<y c

Fig. 9.

Auf die eine Endfläche A eines langgestreckten Körpers wirkt die auf vorstehender Zeichnung mit kleinen Pfeilen angegebene, nach einer gewissen Kurve a — c — e verteilte Belastung.

Ersetzt man diese Belastung auf die Endflächen mit einer anderen, welche dieselbe Schnittresultanten und Momente ergibt, beispielsweise mit 2 konzentrierten Kräften P, Q, welche nach Lage und Grösse den Resultanten für die beiden Diagramme abc und ede entsprechen, lässt aber alle übrige äussere Belastung unverändert, so kann die Spannungsverteilung angenähert unverändert angesehen werden und in diesem Sinne unabhängig in allen Schnitten rechts von einem Querschnitt xy, welcher in der Nähe von A liegt.

Kommt ferner eine so grosse Veränderung nicht in Frage, sondern nur eine kleine Variation der Form der ersten Belastungskurve, so wird die Annäherung sehr scharf und xy verschiebt sich verhältnismässig immer näher nach A.

Weiter wird angenommen, dass ein langgestreckter Körper ACB beliebig belastet ist, und ausgewählt auf diesem ein kurzes Stück Jx, so gelegen, dass der Einfluss der auf Jx angebrachten äusseren Belastung gegenüber den auf den Endflächen db und cd angreifenden Spannungsmomenten und Axialkräften vernachlässigt werden kann. Bedingung hierfür ist nur, dass ACB lang und die äussere Belastung verteilt (nicht konzentriert) ist.

Nehmen wir nun an, dass das Stück AC weggenommen ist und dass die links von einem Mittelschnitt yz angreifenden Spannungen dazu übergegangen sind, äussere Kräfte zu werden. Nach oben genanntem Satze würde eine beliebige kleine Änderung der Angriffsweise dieser Spannungen, unter Voraussetzung, dass sie weiterhin das Stück CB im Gleichgewicht halten, keine Änderung der Span-

\c

3.

Fig. 10.

nungen zwischen cd und B herbeiführen. Betrachten wir in derselben Weise die in Bezug auf die vorigen entgegengesetzten Spannungen rechts vom Querschnitt yz, so wird der Schlussatz derselbe für die Länge zwischen ab und A.

Hiernach kann man sich den ganzen Balken in derartige Stücke Jx eingeteilt denken, für welche man als also berechtigt ist, die Spannungsverteilungen der betr. Mittelquerschnitten von einander vollständig unabhängig zu betrachten, d. h. nur mit den einschränkenden Bedingungen, dass die Schnittresultanten und Momente gegeben und über die ganze Länge des Balkens unverändert sind.

Castigliano behandelt jedes derartige kurze Stück nach dem Problem von Saint-Venants und beweist elastizitätstheoretisch, dass die Deformation eben wird insoweit, als man von den von den Transversal- und Schubspannungen herrührenden Formänderungen ab-sehen kann, und zeigt schliesslich, dass diese letzteren Formänderungsarbeiten im Allgemeinen wirklich klein sind im Vergleich mit den axialen Dehnungen.

Hier unten muss die Entwicklung auf Folgendes beschränkt

werden :

Untenstehende Fig. zeigt ein Stück Jx mit zugehörigem Mo-

mentendiagramm, dessen Zunahme verhältnismässig unbedeutend ist, wie sich die Verhältnisse auf dem grössten Teil eines langen biegungsbelasteten Körpers gestalten. Mit anderen Worten, Schnittresultante und Moment können ohne nennenswerten Fehler als konstant auf der kurzen Strecke Jx an- ^ gesehen werden.

!*■

Aus der konstanten Schnittresultante und dem Momente für ein Prisma folgt ohne weiteres, dass auch die Spannungen Schnitt für Schnitt innerhalb des Stückes Jx als konstant angesehen werden können. Hiernach folgt:

Fig. 11.

Der Balken AC B kann ohne nennenswerten Fehler als aus kürzeren Prismen Jx zusammengesetzt angesehen werden, mit für jedes derselben konstanten, sowie von den Spannungen der nebenliegenden Prismen unabhängigen Spannungen, nur mit dem Vorbehalt, dass die Schnittresultanten und Momente ihre für jedes Jx gegebenen Mittelwerte erhalten.

Betrachten wir weiter den Körper AC B als ein Stabsystem mit unendlich vielen Knotenpunkten, so folgt, dass das gesamte Arbeitskomplement für A C B ein Minimum sein muss. Dies ist nur möglich unter der Voraussetzung, dass die elementaren Arbeitskomplemente für die Prismen Jx jedes für sich Minima sind, während sie unter einander unabhängig sind. Für ein Prisma Jx wiederum, über welches die Spannungen konstant sind, wird das Minimum der Arbeitsfunktion durch das entsprechende Arbeitsminimum des konstanten Querschnittes bestimmt, und damit dürfte Folgendes bewiesen sein:

Man erhält einen Ausdruck für die wirkliche Verteilung der Normalspannungen in den meisten Querschnitten eines langen Balkens aus beliebigem Material dadurch, dass man diejenige Spannungsverteilung sucht, welche unter den gegebenen äusseren statischen Bedingungen das Arbeitskomplement des Querschnitts zu einem Minimum machtd

¹ Es ist von gewissem Interesse zu sehen, wie nahe man auf diese Weise den richtigen Werten kommen kann auch in solchen Fällen, wo die Spannungsverteilung zwischen den Schnitten nicht unabhängig ist und folglich die notwendigen Voraussetzungen nicht erfüllt sind, wenn nur die Konstruktion langgestreckt ist. Schreibt man das Gleichungssystem für die Lösung der Spannungen, beispielsweise in einem Fachwerkbalken mit 10-Fächern und doppelt steifen Diagonalen, so ist ja die Lösung dieses 10-fach statisch unbestimmten Falles eine sehr unbequeme Prozedur. Schreibt man weiter daneben die einfachen Gleichungen,

Die Einschränkungen werden, unbeachtet des Umstandes, dass wir uns mit den Arbeiten der Tangentialspannungen nicht befasst haben, dieselben wie die oben betreffend die lokalen Perturba-tionen etc. angeführten.

Betreffend die Dehnungen, die geometrischen Bedingungen und das Minimum der eigentlichen Formänderungsarbeit, so könnte man einen reziproken Satz aufstellen. Im Folgenden haben wir keinen Bedarf hiervon.

Nun folgt zunächst die Frage:

Wie deformiert sich ein beliebig¹ zusammengesetzter, elastischer Querschnitt?

Angenommen eine Serie von n Stück parallelen Kräften XtX₂ . . . Xn, beliebig wirkend, aber mit gegebenem Abstand ax a₂ a₃. . . an von einer gewissen Koordinatenachse, mit den Angriffspunkten über eine gegen die Kraftrichtung senkrechte Linie und gegen elastische Stützen, welche auf untereinander ungleiche, beliebige, aber bekannte Weisen reagieren. Wie gross werden diese Kräfte, wenn sie den Bedingungen unterworfen sind,dass deren Summe einen gegebenen Wert P hat, dass deren Momen-tensumme einen gegebenen Wert M hat, sowie dass die Summe der Komplementen der Formänderungsarbeiten nach der Deformation ein Minimum sein soll?

Nehmen wir die Verschiebungen

welche man durch Anwendung obenstehenden Satzes für einen Schnitt durch jedes Fach erhalten kann, so scheinen bei einem Vergleich diese Gleichungen eine annähernd richtige Lösung zu geben, sobald die Vertikalkraft im Vergleich mit den Spannungen der Rahmstücke als klein betrachtet werden kann und exakt richtig in der Mitte, wo die Vertikalkraft = 0. Die meisten Spannungen im Fachwerk kann man auf diese Weise annähernd sehr einfach erhalten. Nimmt man einen der von Castigliano behandelten armierten Holzbalken, bispielsweise N:r 2. wo natürlich die Spannungen in den respektiven Schnitten auch nicht als unabhängig von einander betrachtet werden dürfen, aber wendet trotzdem die Methode für den Mittelquerschnitt allein an, so erhält man als Eisenspannung 2080 Kg., während der nach Integration der Formänderungsarbeit über die ganze Länge der Konstruktion berechnete Wert 2122 Kg. ist; also beträgt der Fehler nicht ganz 2%.

X/7.

Xm

Xz

_ï___i_____i_.    __

Fig. 12.

in den respektiven Stützen kLX₂. . . ln• Weiter kennen wir nach den Voraussetzungen, dass:

K=<Px{Xl)

= ⁽Pi {X₂)

Î-n — ⁽Pn{Xn)

wo (px(p₂ • • • u. S. W.

ungleiche, aber bekannte Funktionsformen bezeichnen. Die Arbeitskomplemente werden:

Xi

<Px{Xx)dX

x,

I cp₂(X)dX

o

wo jedes besondere Integral folglich ebenfalls eine bekannte Funktion ist.

I r«(X)dx

Das Problem kann man nun mit folgenden 3 Gleichungen aufstellen:

%Xm-P = 0,

in welcher wir das linke Glied A nennen wollen

2 Xmam XL — Oy

13

xm

(fm(X)dX = min. »

von welchen die beiden ersteren den gewöhnlichen äusseren statischen Gleichungen für einen Schnitt entsprechen und die letzte die Arbeitsgleichung ist.

Weiter schreibt man mit Anwendung von 2 Hilfsgrössen u und v allgemein n Stück Gleichungen:

OXm

Die Beanspruchung des Eisens bei M — 1260 wird nac

— >7/+ (4fM

IL 1838

OXm

sowie die Bedingungsgleichungen:

y,xm~p = o,

2 Xmüm — M = 0;

Summe n + 2 Gleichungen mit n + 2 Unbekannten, nämlich Xt X₂ . . . Xn sowie u und r.

Indem wir festhalten, dass Xt X₂. . . etc. als von einander unabhängig zu behandeln sind, werden:

d Xm

ca

CL'

(JA

d Xm

= l;

-äk

Sk

<1

Xm

ÖX

und zum Schluss erhalten wir also

n Stück Gleichungen == uam + v\

11

y,xm-p = o-,

11

y, Xmam — M = 0;

Summe n + 2 Stück Gleichungen, wo u und v sowie Xt X₂. . . Xn gelöst werden können, durch die bekannten Grössen P, M und a₂.. . an ausgedrückt.

Da u und v in sämtlichen Gleichungen lm — uam + v dieselben bleiben, so lässt sich erkennen, dass die Angriffspunkte der Kräfte

X nach der Deformation immer noch auf einer geraden Linie liegen, deren Gleichung in dem angenommenen Koordinatensystem geschrieben werden kann h = u a + v\

Führen wir nun anstelle am die Bezeichnung z,

Xm ^

hm ^

a, »

a, »

(LU dz,

hz (siehe die Fig.),

ei »

ß2

ein und betrachten wir n = qo ,

r** * ■

«/

Fig. 13.

so geht beim Vergleich mit obenstehender Figur hervor, dass für einen Querschnitt von beliebiger Form, aus einem oder mehreren, elastisch gleichförmigen oder ungleichförmigen Materialien bestehend, unter den gemachten Voraussetzungen gilt:

hg = 1.1 z + v\

Cl

I ozydz

-P=0;

Cl

I azzydz — M= 0;

wo hg für jede besondere Höhe eine 1 beliebige, aber bekannte kontinuierliche Funktion oz sein kann.

Da u und v nur aus den äusseren, gegebenen Bedingungen berechnet werden, und also im Verhältnis zu z und h konstant sind, so sind diese Gleichungen die allgemeinen Gleichungen, welche man für einen ebenen deformierten Querschnitt eines gebogenen

Balkens aufstellen kann. Die erste Gleichung gibt, nachdem u und V gelöst sind, die Koordinaten für die deformierte Lage des Schnittes, bezogen auf die unbelastete.

an-

Obenstehender Beweis gilt, wie es scheint, eigentlich nur für den Fall, dass die Schnittresultante in einer Symmetrieebene greift, kann jedoch unbehindert dahin verallgemeinert werden, dass er auch für eine Ebene durch die Hauptträgheitsachse gilt.¹

Mit Obenstehendem dürfte also folgender Satz als bewiesen angesehen werden können:

Unter den eingeführten Einschränkungen und Voraussetzungen kann man mit guter Annäherung davon ausgehen, dass die meisten Querschnitten in einem langgestreckten Körper von beliebigem Material, und von Biegungs- und Axialkräften, aber nicht Drehung beeinflusst, in allen Spannungsstadien bis hinauf zur Bruchgernze eben deformiert werden.

II. Allgemeines Verfahren für Biegungsbereclmungeii bei elastisch ungleichförmigem Material.

Zuerst wollen wir ein für statisch bestimmte Fälle allgemein erläuterndes Beispiel für die Berechnung der Spannungen in einem Querschnitt mit Hilfe der 3 zuletzt hergeleiteten Gleichungen anführen. Wir nehmen beispielsweise 3 ungleiche, aber mit einander genügend adhärierende Materialien an.

Zwischen den Grenzen

O,

gilt \ = 'fj G.J

So

» K = ?2 O*)

....y.

Fig. 14.

Folglich erhält man :

zwischen

2=0,

cpj (sz) = u 2 + v oder invertiert zz = b (tx z + v)

cv o/ o/ o/

K5    M    H*    »O

f₂ ipz) = JX 2 + V »

?3 (³J = :j-² + y

3* = 4»« (iA 2 + v)

Man zerlegt nun die Integrale, setzt die zwischen den respektiven Grenzen geltenden Werte für az ein, und erhält :

’o

öi

I <Ml«

— P == 0;

— M = 0;

y ist durch die gegebene Breite des Querschnitts als Funktion von z bekannt und wird eingesetzt. Wir integrieren hierauf, setzen die Grenzen, und erhalten 2 Gleichungen zwischen y, v, P und M sowie die Dimensionen des Querschnitts, woraus y und v gelöst werden, worauf a in jedem beliebigem Punkte des Querschnitts erhalten werden kann, durch Einsetzen des entsprechenden Wertes von z im respektiven Ausdruck:

O = Ipiuz + v) .

Wie auch ein bestimmter Querschnitt mit den Längskoordinaten x beschaffen oder zusammengesetzt ist, so entspricht jeder bestimmten Deformationslage und daraus folgender Spannungsverteilung innerhalb des Querschnitts teils eine bestimmte Achsendehnung rx und Drehung ux, teils eine bestimmte resultierende Axialkraft Px und d:o Moment Mx teils schliesslich auch bestimmte

0    l

Ö r    a r

ad/..

Sektionsarbeitsfunktionen ^ I kda und V I

o    b

Vorbereitend möge nun festgestellt werden, dass neben jedem P alle möglichen M Vorkommen können und umgekehrt, oder P und M sind gegenseitig unabhängig, ebenso v und u gegenseitig, aber sobald ein gewisses Grössenpaar oder ein gewisses Grössenpaar | gegeben ist, so folgen bestimmte Werte für die beiden

übrigen genannten Quantitäten. Der Funktionszusammenhang zwischen den Quantitäten muss, wenn eine Berechnung möglich sein soll, auf die eine oder andere Weise bekannt sein, sei es durch mathematische Ausdrücke oder in Ermangelung dieser durch experimentell hergeleitete Tabellen.

Bei Berechnung von Durchbiegungen und statisch unbestimmten Fällen kann man die Anwendung der Arbeitsfunktionen vermeiden und die Rechnung nach folgender allgemeinen Ableitung vereinfachen.²

Nebenstehende Figur zeigt schematisch einen ebenen deformierten Querschnitt mit * der Axialkraft P, dem Moment il/, der Dehnung in der Momentenachse = v und der Dehnung im Abstand der Längeneinheit von der Achse als Mass der Dehnungen = u.

Das Prinzip der virtuellen Verschiebung kann in folgender Weise ausgedrückt werden :

Wenn ein starres System, welches von

gegebenen Kräften angegriffen wird, eine__L _ C

beliebige Verschiebung erfährt, so werden die Arbeiten der Resultante = der Summe der

Fig. 15.

Arbeiten der Komposanten. Ein deformierter Querschnitt, welcher unter Deformation nicht aufhört eben zu sein, kann als ein starres

System betrachtet werden. Die Resultante für die Spannungen im Querschnitt ist auch die Resultante von Denkt man sich nun, dass die Deformation .von 0 bis zur

P,MV.

P]

Lage auf der Figur wächst und dass gleichzeitig in entsprechender Weise wachsen, so erhält man nach dem angeführten Prinzip :

I Md a,

welche neugefundenen Ausdrücke für das Arbeitskornplement und die Arbeit eines Querschnitts wir resp. FX{P,M) und Gx(v, p) benennen. Aus der Definition von finitem integral folgt, da P und M von einander unabhängig sind:

UFX

UP

= r;

0FX

UM

= /<;

sowie in derselben Weise:

CL'I ^

Im Folgenden werden wir nur das Arbeitskomplement, Fx, behandeln, weil dieses am schnellsten für die meisten praktischen Probleme zum Ziele führen dürfte.

Wenn mandas Arbeitskomplement der Querschnitte nach deren Längsachse summiert, sowie hierzu event. vorkommende Arbeitskomplemente in den Stützen L hinzufügt, so erhält man eine

Summe F =

FX(P, M)ds + L, mit Integration über die Längs-

achse.

Um die Ableitung und das Minimum aus dieser Funktion zu erhalten, schreibt man dessen vollständiges Differential

wo

4F = 4 FX{P, M)ds + 4L,

4 FX(P, M)ds

-J

4 Fx.(P,M)ds =

noFx

J \U PX

dPx +

UM

dMx

as:

und, nach dem was soeben gefunden ist, also

(vdPx + udMx)ds + 4L.

Sucht man die Ableitung in Bezug auf irgend eine Kraft pa unter der äusseren Belastung, so leitet man ab:

Ç.

’S !

0MX

Ci:

as +

UL

U Va

(1)

Gleichung (1) ist ein für alle massiven langgestreckten Körper geltender Ausdruck für die Durchbiegung rlU in einem gewissen

Ein elastisch gleichförmiger Balken A —B hat einegleich-g m'issig verteilte Belastung = p pro Längeneinheit zu tragen. Gesucht soll werden mit Hilfe der Gleichung (l) die Durchbiegung rj im Abstand x = a.

Zur Erläuterung führen wir folgendes einfaches Beispiel an, welches der Übersichtlichkeit und Kontrolle halber, für gewöhnliches elastisch gleichförmiges Material gelten soll.

Fig. 16.

Punkte, wo ein äusseres Belastungselement pa gesetzt wird, oder mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der elastischen

Integration j ( )ds ist über die ganze Länge der

dPx <)MX dL

dp a d pa <) pa

die Axialkräfte, Momente und Reaktionen, welche von einer gewissen Kraft = 1 entstehen, mit Angriffspunkt und Richtung von pa.

Linien. Die

Konstruktion ausgedehnt.

sind wie gewöhnlich

Da Axialkräfte und Stützenreaktionen nicht Vorkommen, geht der Ausdruck

über in:

X=l

Va

l d Mx

~ I

dx.

x=0

Pa

Das Moment aus einer Kraft = 1, angreifend bei a, wird:

auf der Strecke x — 0 bis x = a ;

à Mx

Pa

x — l;

dVa

to

/( findet man leicht (vergleiche das Folgende) bei elastischer Gleichförmigkeit Mx

gleich ; Mx ist in diesem Biegungsfalle die ganze Strecke über: Mx — x(l — x); IE

und erhalten wir, da das Integral bei a geteilt werden muss,

x—l

Va ⁼

I — a 21E l

x(l — x)'dx,

x=0

sowie nach der Integration :

₂~ + a\ 24IE XI* l³ Ij

, worin man, wenn a dazu übergeht, die Längskoordinate zu bedeuten, die Gleichung der elastischen Linie für diesen Biegungsfall wiedererkennt.

Wenn überzählige Reaktionen und das Reaktionsmoment Xn Vorkommen, setzt man:

Px = fl(Xl X₂X,...) Mx = f₂(X,X₂ X₃.. .) L = /₃(X₁ X₂ X₃. ..)

Das

(Wie erkenntlich erfordert diese Methode etwas Übung, die zwei Längskoordinaten x und a auseinander zu halten, aber aus schematischen Rücksichten und für die vorliegende Untersuchung ist sie ohne Zweifel vorzuziehen, anstatt

oder 2 Seilpolygone zu zeichnen.)

zweimal zu integrieren

dry

Mx

dx! r'x IE

d. h. Xj X, X₃. . . werden als äussere Kräfte betrachtet, übrigbleibende ist ein statisch bestimmtes System und also /x /₂ /3 ein Ausdruck ersten Grades in Bezug auf Xx X₂ X₃ . . .

Hieraus erhält man:

dPx

OU

OX,

dXv +

dMx - -

0- dX x +

Oh

<)X,

dX₂ +

Of

dX 3

sowie

dL =

Oh

OX.

dX, +

oh

dX,

dX 2 T

oh

dX₃ + •••

Die Arbeitsfunktion F wird zum Minimum, wenn JF — 0.

Der erste Teil von JF ist mit Obenstehendem klar; der andere Teil J L — XJ La + XJ Lx, worin La die Arbeiten in den Stützen A,    welche in dem statisch bestimmten System

übrig bleiben, sowie Lx die Arbeiten der überzähligen Reaktionen darstellt. Sowohl La als auch Lx sind die oben angeführten Positiven und werden am einfachsten als Arbeiten innerhalb elastischer Stützen betrachtet, welche in einem unverschiebbaren Stützpunkt schliessen, sei es, dass es in der Tat so ist oder nicht (siehe die Figur). F ist das Arbeitskomplement innerhalb des ganzen so ausgedehnten Systems mit unverschiebbaren Stützen. Mit dieser Anschauungsweise kann, wenn das Zeichen für eine Stützenverschiebung rj zweifelhaft scheint, die Frage entscheidet

werden. Wenn man dagegen sowohl Reak-tionen als auch StützenverSchiebungen posi-7 tiv in derselben Richtung rechnet, welche für die äussere Belastung gewählt wurde, so muss man setzen (vergleiche Seite 15)

Fig. 17.

dLA

dLß

dA

= — r]B;

dLx i

= —rtl u. s. w. Man hat weiter

A La =

dX₂ -j----etc.,

wo

u. s. w. =

d.LA dA dA''»Xj“ ^i/X,

u. s. w.

sowie

A Lx = — rndX₁ — i].,dX₂ — rj₃dX₃ — etc.

Das Endresultat des Ganzen wird, wenn man alle mit dX multiplizierten Ausdrücke für sich sammelt u. s. w.:

Vx

dP*

dX

+ llX

dMx

(IX,

ds —

dPx

dX₂

+ !<x

^riAYX--+

v dA ]7V

" YjA 'j    Îy2 d A₂ -f"

.......=0.

(IM,

dX₂

ds —

Und da in dieser Gleichung den Grössen dX₁ dX₂. . . etc. beliebige, von einander unabhängige Werte gegeben werden können, so muss jeder Ausdruck für sich = 0 sein, und die Gleichung zerfällt in n Stück Gleichungen, oder ebensoviel wie die Anzahl der statisch unbestimmten Quantitäten:

8 ti

'S

<1A

dXn

— rin = 0

(2)

(n Stück Gleichungen).

Die Integration J ( )ds bedeutet die Summierung Querschnitt

auf Querschnitt über die ganze Länge der Konstruktion.

dPx

dXn'

dMx OA

Mx, A für

sind wie gewöhnlich die resp. Werte P

dXn ÜXn

Xn = 1 allein wirkend.

Nach Gleichung (2) können die Spannungen bei statisch unbestimmter Auflage oder Einspannung in beliebiger Weise gelöst werden, sobald man aus der Zusammensetzung der Querschnitte weiss, welche Funktionen v und a von P und M sind.

Kann man aus den allgemeinen elastischen Eigenschaften der Materialien den analytischen Ausdruck aus der Form herleiten:

v = u (P, M); u = w(P, M),

so kann die Integration in gewöhnlicher Weise geschehen. Ist dagegen der Zusammenhang nur durch Tabellenwerte bekannt, so muss man das Integralzeichen mit und ds gegen eine geeignete Anzahl A X vertauschen, d. h. den Körper in kurze Prismen teilen, für welche die Mittelquerschnittswerte berechnet und summiert werden.

Bei den reinen Biegungsaufgaben verschwinden in (2) die

OP*

()Xn

-, weil die Axialkraft und folglich auch

Ausdrücke vx tisch = 0 ist.

Für den Fall, dass ein homogenes Material mit elastischer Proportionalität vorliegt, sowie ausserdem die Schwerpunktachse der Querschnitte als Momentenachse gewählt wird, nimmt vorstehende Ableitung folgende bekannte Form an :

iden-

Fx--=

1 IPI Ml\

2*Uv J.r und daraus, wenn man von Stützenverschiebungen absielit, die Gleichung (2)

ds = 0,

Px dPx Mx <1MX EFX <lXn EIx (lXn,

(n Stück Gleichungen)

woraus, verglichen mit (2), hervorgeht, dass, wie leicht zu kontrollieren, für gewöhnliche, einfache Materialien mit konstantem

p

E die spezifische Dehnung v in der Schwerpunktachse =

M

der Drehungswinkel pro Längeneinheit ⁼ jjrf'

Für Beton und Eisenbeton sind die Beziehungen zwischen einerseits v, u, anderseits P, M bei weitem nicht so einfach und allgemein giltig, sondern nur für gewisse Aufgaben und Gebiete kann man verhältnismässig einfache, angenäherte Ausdrücke für v und u erhalten, wobei jedoch im allgemeinen jeder von sowohl P wie auch M abhängig ist. Zuletzt bleibt immer noch die Teilung in Prismen übrig.

III. Die physischen Eigenschaften des Betons.

Die Verhältnisse zwischen Formänderung und Schnittresultante in einem rechteckigen Beton- oder Eisenbetonquerschnitt.

Im Folgenden wenden wir cm. und hg. als Einheiten an, sowie, wenn nicht anders angegeben, folgende Bezeichnungen:

ô = Höhe eines rechteckigen Querschnitts = Betonfläche pro Breitencentimeter.

Fe = Eisenhöhe, wenn man das Eisen ausgebreitet annimmt, oder Eisenfläche pro Breitencentimeter.

100 F

% Eiseneinlage.

()' = Abstand zwischen oberer und unterer Eiseneinlage in einem doppelt armierten Querschnitt. x — Längskoordinate.

2 = Höhenkoordinate, gerechnet von einer Momentenachse für den Querschnitt.

a/,, Ge — Beton-, resp. Eisenspannungen.

(7j = Betonspannung in der Unterkante eines Querschnitts. r/₂ = Betonspannung in der Oberkante eines Querschnitts.

££[£;, = resp. Dehnungen pro Längeneinheit.

<5

a dz — der aus der äusseren Belastung gegebenen Schnittresultante.

ö

I (jzdz=dem aus der äusseren Belastung gegebenen Moment

v = dem Wert e bei der Momentenachse.

u = der Winkelveränderung bei der Deformation von zwei in 1 cm. Abstand belegenen Querschnitten.

E = Elastizitätsmodul des Eisens = 2,000,000 kg./cm².

— für Beton bei |°

«    U = o

, einem Koeffizient, welcher die Quantität des Be-

E₀ — Grösse

SA SA

250000 tons angibt.

Die Betonspannungen und relativen Dehnungen haben, um überwiegend negative Ausdrücke zu vermeiden, positive Zeichen für Druck und negative für Zug. Auch die Zugspannungen in der Eiseneinlage bezeichnen wir als negativ.

Bei Elastizitätsproben eines Betonmaterials von einem gewissen Mischungsverhältnis erhält man, wie bekannt, aus « den Proben ein Bündel Defor- ^ mationskurven, d. h. Dia-gramme über den Zusammen- +■ hang zwischen Dehnungen und Spannungen, mit nebenstehendem allgemeinem Aussehen auf der Druckseite.

Die Spannungen wachsen verhältnismässig geringer als die Dehnungen und streben

nach einer asymptotisch abso--

luten Maximalspannung K, welche jedoch nicht erreicht wird, weil der Bruch früher eintrifft.

Man kann eine Mittelkurve einlegen, wie auf der Figur punktiert bezeichnet. Als solche Mittelkurve hat Prof. Ritter (Schweizer.

o » Bruch

V/,

Ci

■V*

/.

'ii

/,

/.

tyV-

Fig. 18.

/.

<T- K.

di

1/ &

+ (V (Druck)

Bauzeitung 1899) diejenige vorgeschlagen, welche durch den analytischen Ausdruck repräsentiert wird:

a = K(1 — g—looo 6).

In der hier folgenden Darstellung wenden wir diese Kurve an, sind aber unverhindert, die abgeleiteten Methoden auf jede beliebige experimentell gefundene Mittelkurve anzuwenden. [Professor Bachs einfache Formel (Flasticität und Festigkeit) kann man aus dem Grunde nicht anwenden, weil sie nur für geringere Spannungen gilt.]

In der Zugseite ist, wie bekannt, die Spannungszunahme noch viel geringer. Der Bruch trifft schon bei 1000 £ = 0,i à 0,2 mit <5 = — 8 à 12 Atm. ein, wenn Eiseneinlagen fehlen. Sind jedoch geeignete Eiseneinlagen vorhanden, so wird der Beton auf der Zugseite gewissermassen plastisch (Considères Versuch) und folgt, ohne wesentliche Spannungszunahme die Dehnung des Eisens bis

1000 f = ~— l,o de ----2000

. Erst kurz vor dem

zur Proportionalitätsgrenze |

Stadium, wo man bei Streckproben die bekannte Quetschung hört, kann man die erste haarfeine Rissbildung im Beton beobachten, wenn derselbe mit der nötigen Sorgfalt hergestellt ist.

irf- . .

⁷⁷⁷⁷K

//SS//////

£* ' '*7

C ■ y/c ¹

/Ä.

:/

n*"

.. J*. J

->r

Fig. 19.

annehmen und den Bruch bei Zug

kann man bei

Auf PL 1 ist die hier gewählte, oben beschriebene Deformationskurve dargestellt. Die Druckbruchgrenze des Betons flOOOe = ~ 1,9 \ob = ~ 210

ohne Eiseneinlage bei Ob — 10 Atm. Diese 10 Atm. kann man, wenn Eiseneinlagen vorhanden sind, als mitarbeitend annehmen, dagegen rechnet man event. darüber hinaus wirksame Betonzugspannungen nicht mit. Letzterwähnte Verhältnisse müssen ja nach der Natur der Sache immer ungewiss bleiben. Die hier angewandte Betrachtungsweise repräsentiert eine Mittellage, und wenn sie auch in Wirklichkeit in dem einen oder anderen Falle etwas

variiert, so spielt dies in den folgenden Berechnungen für hohe Belastung praktisch genommen keine Rolle. Der Elastizitätsmodul, in oben angegebenem Sinne aufgefasst, wird E₀ = 250000.

Ein Beton von oben beschriebener Beschaffenheit kann ungefähr aus 1 Teile Portlandzement und 4 Teilen Sand und Kies hergestellt werden. Der Kürze halber werden wir im Folgenden Beton von dieser Qualität mit k = 1 bezeichnen. Ein Mischungsverhältnis, dessen ^0 = 200000 ist, hat k 0,8 u. s. w. proportional zu E₀.

In einem eben deformierten Querschnitt stellt, wie bekannt, die Spannungsverteilung denjenigen Teil der Deformationskurve dar, welcher zwischen den Dehnungen in der obersten und untersten Faser liegt. Die Skala über die e-Achse der Deformationskurve muss man sich hierbei ausgedehnt oder zusammengedrückt denken, so dass der Abstand bis e₂ mit der Querschnittshöhe ô übereinstimmt. Für die im Beton verteilten Eiseneinlagen bestimmen sich die Spannungen durch die Werte s, welche in gleiche Höhe mit den resp. Eisen kommen (vergl. Figur).

Die Eisenspannung beispielsweise in der Einlage Fn ist diejenige Eisenspannung, welche der Dehnung entspricht, d. h. E.en.Fn, wobei oe = Een.

Man erhält als Ausdruck für die Schnittresultante:

*2

-/■

Gbdz + 20e Fe\

Z'2

abzdz + 2oeFeze.

zi

Das Vorhergehende ist also eine graphische Methode um das Grös-zu bestimmen, wenn das Grössenpaar gegeben ist

senpaar ^

(vergl. Seite 32).

Der Einfachheit halber verschieben wir nun die Momenten-achse nach der Querschnittsmitte, wohin wir sie überall im Folgenden verlegt denken, wenn nicht anders angegeben. Hierbei wird:

"C 71

ć₂ + £( >

und

U = ^T

-t-

•MIO.

Gjjzdz + 2aeFez:

ctxö a₂ä

Die Ausdrücke Fe können wir mit

u. s. w. ersetzen,

100’ 100

wo a die Prozentzahl der einzelnen Eiseneinlagen bedeutet.

Um die Variable 2 gegen die Variable e zu vertauschen, schreiben wir weiter:

e₂ 8X

s — v + pz;

¹ oder *

sowie ‘.'dz —

fi₃ 8X

• de,

woraus wir ableiten:

(Je j

V__T

“ 100

£l

Af

£2

(3)

â' (e₂ — eL)a

«2 + «I

| cr*cZe +

2 [e —

e₂ + «A «

100

(Je-

£l

In diesen beiden Ausdrücken, welche für die praktische Anwendung nicht bestimmt sind, möge Folgendes beachtet werden : Ob und ce sind Funktionen ausschliesslich von resp. s. Alle 8 sind Längsveränderungen pro Längeneinheit und also unbenannte Zahlen. Ebenso alle a.

ö kommt rechts vom Gleichheitszeichen nicht vor.

«₂ + «,

und f.i ô = e₂ — et ist dasselbe

(4)

In den Ausdrücken v = zu bemerken.

Eine Sammlung aller Querschnitte, die von derselben Sorte Beton ausgeführt sind und eine proportionale Grösse von Eiseneinlagen, also dieselben Werte a haben, welche proportional verlegt sind, mit anderen Worten wenn sie dieselben relativen Dimensionen haben, wollen wir als eine Quersclinittssorte bezeichnen.

Wenn in Querschnitten von ungleicher Höhe ö, aber von derselben Querschnittssorte die Kantenspannungen «t und e₂ dieselben sind, wobei also zwischen diesen derselbe Teil der Deformationskurve gebildet wird, obwohl mit mehr oder weniger ausgedehnter Höhenskala, und wobei die Grösse der Eisenspannungen ebenfalls bestimmt werden, so nennen wir dies, dass die Querschnitte dieselbe Spannungsverteilung haben.

Nun geht aus dem Obigen hervor:

Bei jeder bestimmten Spannungsverteilung haben die Quantitäten v und uö Werte, welche für alle Querschnitte von derselben Querschnittssorte konstant sind.

Ö * <P ’

Jedem, innerhalb der Bruchgrenzen möglichen Grössenpaar

' entspricht ein gewisses, bestimmtes Grössenpaar

Ö*

in eine

nen, dass

Wenn die Momentenachse unter Beibehaltung von neue Lage im Abstand a = £ö verschoben wird, lässt sich erken-und u sich hierbei nicht ändern, während

M, _ M Ö² ~ ö-

vl = v ± Çuö

(5)

mit Zeichen, je nachdem der Momentenhebelarm sich vergrössert oder vermindert.

Hieraus folgt, dass der Satz für beliebige Momentenachsen gilt, sobald £ sich innerhalb der Querschnittssorten konstant hält.

M

, welche für das Folgende von gros-

Ö²

Die Quantitäten und

ser Bedeutung sind, werden beide mit der Einheit kg/cm² gemessen und können folglich als Spannungen betrachtet werden. Dieses lässt sich erkennen teils direkt, in Anbetracht dessen, dass sie für eine Querschnittsbreite von 1 cm. gelten, teils geht es aus den Ausdrücken (3) hervor, in welchen o* und ae als einzige benannte Zahlen enthalten sind. Sie werden im Folgenden als die Mittelspannung und das spezifische Moment benannt.

Die Quantitäten v und uö, welche leicht wiederzuerkennen sind (siehe Fig. 19), nennen wir die axiale Dehnung und den Dehnungsunterschied (gerechnet für die Längeneinheit).

Bei Anwendung auf elastisch gleichförmige Materialien kommt man hiervon auf die sog. Trapezregeln, wobei man mit den hier angewandten Bezeichnungen erhält, als Modifikation von bekannten Formeln:

’cT to“

H-

ta

c<

IC

u. s. w.

o«| l'ö

<M

ö Ev]

Die Beziehungen zwischen >    » r, u ö werden bei elastischer

Gleichförmigkeit und rechteckigen Querschnitten äusserst einfach M E

Ô'2 = 12^ ^ ; dagegen sind für genanntes Material die äus-

sere Form der Querschnitte von sehr wechselnder Beschaffenheit, welches zur Aufstellung von Tabellen über Trägheitsmomente, Querschnittsmodule u. s. w. geleitet hat. Die in der Praxis vorkommenden Eisenbetonkonstruktionen haben fast ohne Ausnahme äusserst einfache, äussere Form, nämlich eine rechteckige, oder eine solche, die man als Kombination von zwei Rechtecken betrachten kann, wie T oder CZ-Form. Dagegen ist der Zusammenhang zwischen der Schnittresultante und der Deformation umso mehr verwickelt. Von den vier Ausgangsbegriffen, zu welchen wir oben gekommen sind, ist einer, und zwar ein beliebiger, immer

= /(v, u) und nicht Funktion

abhängig von 2 anderen, so dass

von nur v, u. s. w. Die alten Begriffe I und W helfen hier nichts. Auch die Begriffe ideelle Area, Trägheitsmoment u. dgl., welche manchmal in der betr. Literatur versucht worden sind und welche für zusammengesetzte Materialien angewendet werden können, deren Bestandteile ungleiche, aber jedes für sich konstante Elastizitätsmodule Elf E₂, Ex u. s. w. haben, führen nicht weit, da ein Bestandteil, wie hier der Beton kein konstantes E hat. Die ideelle Area, das ideella Trägheitsmoment u. s. w. variieren nämlich mit wachsenden Spannungen und geben, wie aus Obenstehendem ersichtlich, im allgemeinen fehlerhafte Resultate, wenn man sie als konstant

M P

betrachtet. Dasselbe ist der Fall mit dem Relativmass C = vö : *

<F u

d. h. dem Abstand zum Schwerpunkte der Spannungen, von welchem

als Ausgangsbegriff

M

man natürlich annehmen könnte, dass es ....

0“

ersetzen könnte. Soweit der Verfasser bei praktisch ausgeführten Rechnungen finden konnte, würde dagegen dieses nur zu einem Umweg führen, während die systematische Aufstellung verschlechtert würde. Bei den meisten, aus der Wirklichkeit herrührenden, hierher gehörenden Problemen scheint man mit den hier vorgeschlagenen Ausgangsbegriffen am einfachsten und schnellsten zum Ziele zu kommen. Den Zusammenhang zwischen diesen kann man jedoch in praktisch anwendbarer Form nicht anders erhalten als durch Ziffertabellen oder graphische Tabellen.

Die Aufstellung solcher Tabellen ist eine Arbeit, entsprechend derjenigen, welche schon vor längerer Zeit für die /- und IT-Werten

der gewalzten Eisenprofile ausgeführt wurde, und ist sicherlich unvermeidlich.

Das am meisten anschauliche Bild in diesem Zusammenhang dürfte man erhalten, wenn man sich v und gö als gewöhnliche Koordinaten in einer Ebene aufgetragen denkt, so dass sie ein von den Bruchgrenzen umgeschlossenes Gebiet bilden, das Deformationsgebiet der Querschnittssorten. Senkrecht gegen die Ebene können

einige Punkte j ' ^ bestimmt, welche einigermassen nahe

für

die Spannungen und aufgetragen werden. Diese bilden dann zwei krumme Flächen. Auf jeder Normale zur Ebene schneiden die beiden Flächen ein Grössenpaar ^ ab, welches den Koordinaten v und f.iö für das Ausgangspunkt der Normale entsprechen. Irgend welche Diskontinuitäten oder dgl. in den Flächen kommen nicht vor, und sind also die Grössenpaare P M Ö ’ () -

P M Ö ’ ö-

zu einander liegen, so können die approximativen Werte für in der Nähe dieser Punkte durch Interpolieren erhalten werden.

Wenn man daher ein für allemal mit geeigneten Intervallen, jedoch mit Ausdehnung über das ganze Deformationsgebiet, die einander entsprechenden Grössenpaare berechnet hat, so sind faktisch alle beliebigen Aufgaben der betreffenden Querschnittssorte auf Versuchsrechnung reduziert, falls es nicht andere Auswege gibt. Für die einzelnen Querschnittssorten wiederum müssen mit geeigneten Armierungsintervallen in gewissen Fällen besondere Tabellen aufgestellt werden.

i.

Tabelle I zeigt eine solche Tabelle für Beton ohne

<?i

-X- —

rCC(f

Eiseneinlage, wo teils die * numerischen Werte einge-

schrieben sind, teils die

-*-<T

und ^-Flächen graphisch

mit gewöhnlichen »Niveaukurven »veranschaulicht sind.

Fig. 20.

Die Betonqualität ist hierbei k = 1. Die Tabelle ist, wie sich zeigen wird, auch für andere Qualitäten geeignet und ebenso

für alle Querschnitte mit einfacher Armierung von beliebigem Eisenprozent an der unteren Seite.

Die übrigen Tabellen gelten für Beton von derselben Qualität, aber mit doppelter Armierung.

Tabelle I oder dessen Gegenstück muss zuerst aufgestellt werden. Bei Berechnung der einzelnen Spannungsverteilungen ab c d ist zu beachten, dass auf der Druckseite bei kleinem uö angenähert ist

<j₂ + a,

und

12

()-

wovon der letztere approx. Ausdruck sogar innerhalb sehr weiter Grenzen angewandt werden kann. (Die Momente der Spannungen db heben einander auf mit Ausnahme des Dreieckes cde.)

Im übrigen kann das Verfahren, allgemein genommen, folgendes sein:

Das Diagramm PI. 1, oder eine Deformationskurve an beliebiger Stelle, wird in Elemente J von z. B. l,o cm. Höhe geteilt.

a,: ns

Zuerst erhält man eine Serie

dadurch, dass man die Werte Ob

schreibt und allmählich summiert, sowie darauf mit der entsprechenden Anzahl zl in nachstehender Weise dividiert:

: nJ

2-(jJ

10

10

10

20

10

30

10

40

— 10 — 10 — 10 — 10

48

9,6

+ 24 + 64 + 98 + 124 + 148 + 166 + 182 etc.

24

4,o

+ 40 + 138 + 262 4- 410 + 576 + 758 etc.

: 10 = : 11 =

: 12 =

etc.

+ 5,7 + 17,2 + 29,2 + 41,o + 52,3 + 63,2 etc.

Mx

Hierauf wird am besten eine Serie entsprechender

rechnet, wo die Momentenachse nach der Unterkante der Spannungsverteilungen verlegt wird:

Ö²

be-

: (nJ)²

15

25

35

35

+ 134

20

45

80

— 115

+ 19

64 .    6,6 =

98 .    7,5 =

124 .

422

736

441

1177

. 16 =

: 25 = : 36 = : 49 =

—    5

—    4,6 + 0,5»

9,o

64

18,4

8,5 = 148 .    9,5 =

166 . 10,5 = 182 . 11,6 = etc.

1055

1410

1745

2000

etc.

etc.

2232

3642

5387

7477

etc.

81 =

100 = 121 = 144 =

27,6

etc.

36.4

44.5 51,8 etc.

Verschiebt man hiernach die Momentenachse nach der Mitte der Spannungsverteilungen, so erhält man nach oben abgeleiteten M Mt -P ö² ~ ö*

Formeln

'Ç und in diesem Falle 'Ç = ^ das gesuchte

^ dadurch, dass man das eben gefundene Va erhalten hierbei in ihrer Reihenfolge folgende Werte:

subtrahiert.

ö*

= 0 0 0 0 0,2 2,5 6,i 9,8 13,o 15,9 18,3 20,2 etc.

Die entsprechenden v und /.io erhält man aus den resp.

1000 V = — 0,9 —0,8 —0,7 —0,6 —0,5 —0,4 —0,3

— 0,2 —0,1 —0,o —0,i —0,2 etc.

1000 ud = 0,2 0,4 0,6 0,8 l,o 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 etc.

Die auf diese Weise erhaltenen

finden wir so auf

? und **

Tabelle I auf der steigenden Diagonale wieder, welche von 1000?' —

= — 1 ausgeht. In der Nähe der Lage

= 0 war es nötig, die

Zifferwerte etwas zu verbessern, welches durch Anwendung von schmäleren J oder in anderer Weise geschehen kann. Die übrigen Diagonalen können in entsprechender Weise berechnet werden.

Beim Durchsehen der Tabelle I findet man, dass

auf jeder

von der ?/-Achse in 45° fallenden Diagonale konstante Werte hat auf jeder steigenden.

und

<L.

Nimmt man an, dass die Zugbruchgrenze des Betons ohne

1000 s = —0,12

Eiseneinlage bei

pb = — 10

liegt, sowie dass die Druck-

bruchgrenze z. B. bei

1000 £ = 1,9

liegt, so werden die Bruch

öö = 212

grenzen von den diesen Werten entsprechenden Diagonalen repräsentiert, welche auf Tabelle I ausgezogen sind.

Sind dagegen Eiseneinlagen vorhanden, so werden diese bestimmend und die kleinste schädliche Zugspannung entsteht ein

wenig vor der Streckgrenze 1000 e = — 1

1000 e= l,i

ae = 2200

, man kan annehmen bei

<)e = — 2000

. Auf der Druckseite wiederum wird, wenn auch

dort Eiseneinlagen vorhanden sind, die Flussgrenze des Eisens bestimmend und die am wenigsten schädliche Spannung dürfte je nach

1000£= + l,o à 1,2

der Beschaffenheit des Eisens bei ungefähr

angenommen werden können.

Die Tabellen zeigen nur das halbe Deformationsgebiet. Auf der anderen Seite der ?'-Aehse ist eine symmetrische Hälfte mit den negativen Momenten vorhanden.

Für die Berechnung von Tabelle II u. f., welche, wie gesagt, für Beton Je = 1 mit einer unteren und einer oberen gleichen

oe = + 2000 à + 2400

Ô¹

Eiseneinlage im Abstande ö'¹ und mit ^ =£=0,8 gelten, wird das Verfahren folgendes:

Fe

im

V -b

H-

</lrr

...C 1

'T

<uS

Pe= Fe{o'è + o'e); V ,

100

• 2v;

oT

CD

7.

05

t»

■Jf)

. . d/e a

s²

100 ‘ 2 ‘<Ó ;

/c

Wenn man hier Z? = 2000000 einführt sowie der Kürze halber

...../*•••“'

.....cT -»)

Fig. 21.

1000 v

= »,

1000 ud - m,

Pc

so erhält man -^- = 40a??: o

Mt

Ó'²

sowie für £ = 0,8

~d

Me

= 40 « Tz ;

6,4 am,

welche, nach Einsetzen der für die Tabellierung gewählten Werte

von a, ausgerechnet und zu den entsprechenden

Tabelle I addiert werden. Tabelle II, III etc. sind für a = 0,25 0,5o 0,75 l,oo 1,25 1,50 und 2,00 ausgerechnet. Die mehr oder weniger grosse Dichtigkeit der »Niveaukurven» gibt ein Bild über die ungleiche Stärke der resp. Querschnittssorten.

Pb

und

Mb

ä*

aus

Ungleiche Betonqualitäten und Deformationskurven.

Wenn man sich alle Spannungen in den hier angewandten Deformationskurven geändert mit einem gewissen Verhältnis =fc denkt, so dass a’ = ko, so folgt:

P’

•?2

= kadź

r°

und in derselben Weise

Zi

Aus der Gleichung a = K(l— e⁻¹⁰⁰⁰*) erhält man:

’c « ■>5

er»

In den Punkten    ^ wird v

da

de

= 1000 K

V nach der Definition E₀ = 1000 K.

In der hier angewandten Deformationskurve mit K — 250 ist also E = 250000. K ist dagegen die absolute Bruchspannung und muss

sein.

Kx

also nach der Definition k auch =

A

Als die den Umständen nach geeignetste Weise, den Wert k zu bestimmen, erhält man also

250

oder:

El 250000

Sobald eine experimentell gegebene Deformationskurve auf der Druckseite einigermassen sich unter die Rittersche Form bringen lässt, sowie unter der Voraussetzung, dass die Zugspannungen im Beton ebenfalls mit dem Verhältnis k geändert gedacht werden können, was auf alle Fälle von geringer Bedeutung ist, so ist Tab. I auch für entsprechendes Material anwendbar, wenn

q*i ha

alle Zifferwerte und mit k multipliziert werden. Oder auch:

Tab. I enthält Grössen

und

M'

kö²

für beliebige Betonmaterialien. Tn

P' JF kÖ’ kd²

derselben Weise geht hervor, dass in Tab. II u. f.

und

r für beliebige Materialien gelten.

rC

IV. Anwendung auf Platten und Balken.

Statisch bestimmte Fälle.

Die Bezeichnungen siehe Seite 38, sodann der Kürze halber: 1000 v = n\ und 1000<tó' = ra.

Die Quantitäten für die Bruchgrenze bezeichnen wir weiter /, so dass /M/ = Bruchmoment, /<7e/ Bruchspannung für Eisen = — 2000 kg./cm² u. s. w.

yW77777777

Wenn nur untere Eiseneinlagen vorhanden sind, soll ö den Abstand von der Eiseneinlage bis zur Oberkante bezeichnen, wobei von den Betonzugspannungen in dem schmalen Streifen unterhalb des Eisens abgesehen wird.

In den reinen Biegungsproblemen ist die Summe der Axialspannungen eines Querschnittes 0, und also, wenn P = Resultante der Axialspannungen des Betons:

P + Feoe = 0; woraus -

o

100

(Je»

(6)

(////Xi

Fig. 22.

Halten wir fest, dass ein gewisses, bestimmtes a, beispiels-

weise a = 2, letztgenanntem Ausdruck eine Beziehung zwischen

und öe gibt, welche als eine Kurve im Deformationsgebiet Tab. I eingezeichnet werden kann. oe finden wir hierbei konstant auf derselben Diagonale wieder, wie die resp. Dehnungen, nach dem

oe; die Spannung ae — — 800

Oe

Schema:

2000

ei — looo £j =

folglich auf der Diagonale 1000 et = — 0,4 u. s. w.

Auf Tab. I sind, wie ersichtlich, zwei solche a-Kurven eingezeichnet, nämlich a = 0,4 und a = 2,5; das zwischenliegende Gebiet, welches schraffiert ist, sowie ausserdem teils von der Bruchgrenze (7e = —2000, teils von der Bedingung ae = — 500 begrenzt wird, kann man als das Gebiet der ordinären, reinen Biegungsprobleme bezeichnen, da dies die grösste Mehrzahl praktisch vorkommender Fälle enthält. Innerhalb des Gebietes kann ein Kurvenbündel a-Kurven mit ihren Spitzen gegen den Origo eingezeichnet werden.

Tabelle I ist aber nicht für direkte graphische Lösung einfacher Biegungsprobleme anzuwenden, kann jedoch leicht für diesen

Koordinaten genommen und die Kurven

Zweck umgewandelt werden, wobei beispielsweise a und ae als

eingezeichnet werden

kd²

können. Ml ist hierbei das Moment der Betonspannungen um die Eiseneinlage und gleich dem Moment der äusseren Kräfte.

Aus Tab. I erhält man die Werte

kd²

! durch die Beziehung:

M, MAP kd² kd* ⁺ 2 kd

Es gibt indessen eine einfachere Verfahrungsweise. Diese setzt jedoch voraus, ebenso wie im allgemeinen die ganze folgende Darstellung, dass man davon Abstand nimmt, allzu genau zu verfahren. Die Grenzen, innerhalb welcher die gemachten Annäherungen erlaubt sind, müssen immer deutlich angegeben werden. Ferner darf man natürlich nicht aus dem Auge lassen, dass die numerischen Formeln, welche folgen, nur für die hier angewandten Einheiten kg. und cm. gelten.

M

Betrachten wir auf Tab. I die

kd'²

- und

kd

-Kurven, so finden

wir, dass innerhalb und nächst dem schraffierten Gebiet für die

M

-Fläche nur schwach gebogen und

reinen Biegungsprobleme die

kd²

-Fläche eher schwach gedreht ist. Die Flächen können

diep

innerhalb des fraglichen Gebietes durch ein Paar Ebenen ersetzt werden. Die Gleichungen:

kd

= 82,5 n + 20,75 m; sowie

kd²

20,8 n + 6,6 m + 3;

(7)

stellen zwei solche Ebenen dar, bei deren Bestimmung das Bestreben galt teils dass man im allgemeinen mit kleinen Fehlern die grösstmöglichen Flächen deckt, teils besonders dass man gute Übereinstimmung mit den höheren Spannungsstadien gewinnt.

Zur Kontrolle schreiben wir unten die durch die Gleichungen

M

verglichen mit den in Tab. I enthaltenen, entsprechenden Werten innerhalb des Gebietes.

berechneten Werte

o«

und

kd*

Aus den Gleichungen

Aus den Tabellen

kö

kö*

kö

lcö²

n 0 m 0,8 n 0 m 1,2 n 0 m 1,6

16,7

25,2

33,5

8,3

10,3

13,6

17,5

26,3

34,5

8,2

ll,i

14,o

2,0 (

n 0,i

41,6

16,2

41,o

15,9

m l,o n 0,2 m 1,2 n 0,2 m 1,6

12,6

8,7

17,9

7,5

6,7

9,4

12,o

7,5

8,3

6,7

17,2

9,8

Die Übereinstimmung ist hinreichend genau für die Anwendung. Bei Eisenspannungen zwischen 800 und 2000, sowie Einlagen zwischen a = 0,5 und a = 2,o dürfte im allgemeinen der Fehler + oder — 4 à 5 % des Resultates nicht übersteigen. Auch innerhalb etwas weiterer Grenzen werden die Resultate voll anwendbar, ausser bei schwachen Armierungen mit niedrigen Spannungen.

Zuerst kann man einen Ausdruck für das spezifische Moment der Betonspannungen ableiten:

M 1 P

kö² kÖi +2 Ô

J/,

— 20,8 w+6,6m + 3 + - (82,5 n 4- 20,8 m)

Ad

..Mi

‘ kö²

(8)

= 62 n + 17 m + 3.

Darnach aus (6) und (7)

100 k

Ge = 82,5 n + 20,7 5 m

und endlich aus den Definitionen

Aus den drei so gefundenen Gleichungen eliminieren wir m und n, wobei wir als allgemeinen Ausdruck für die Eisenspannungen erhalten:

oe = — 1000 •

7,75 a + k

(9)

M₁ ist das gegebene äussere Belastungsmoment.

Hiermit ist ein Biegungsproblem gelöst. Wollen wir auch die Betonspannungen suchen, so erhalten wir teils direkt aus ue die

untere Dehnung, teils den Wert

ist die Spannungsverteilung aus der Tabelle und der Deformationskurve bekannt.

Die Giltigkeitsgrenzen für (9) wurden mit den Tabellenwerten besonders kontrolliert und werden am besten ausgedrückt:

Oc •>)

nach Gleichung (6) und damit

sowie

— 500 >oe> — 2000;

0,4<!<2,4.

Werfen wir einen Blick auf das Gebiet der reinen Biegungsprobleme in Tabelle I, so können wir feststellen, dass innerhalb dieses der Druckspannungsbruch im Beton k = 1 nicht vorausgesetzt zu werden braucht. Für eine so starke Armierung wie a = 2,f> werden die Betondruckspannungen nicht höher als 174 Atm., wenn das Eisen an der Bruchgrenze angelangt ist. Die Bedingung dafür, dass der Druckspannungsbruch eintreffen kann, leiten wir, nebenbei gesagt, aus (6) und (7) her: a >=k (2900/fi₂ / — 0,9), wo/e₂/die Dehnung bezeichnet, welche der Bruchdruckspannung entspricht. Hierbei sind hohe Armierung und niedrige Betonqualität vorauszusetzen.

Gehen wir zum Zugspannungsbruch über, wobei /Gej = — 2000, so kann man durch Einsetzen in (9) ableiten

/ == 15,5 a + 5 k;

(10)

Giltigkeitsgrenzen = (9). Damit bestimmen wir den Sicherheitsgrad für Rechteckquerschnitte. Die Formel kontrolliert man am besten, wenn man davon

p

ausgeht, die Kurven

kö

und aufzuzeichnen, welche man aus

Tab. I auf der Bruchgrenze erhält. Diese Kurven sind angenähert gerade Linien, u. s. w. (Die Momentenachse verschiebt sich nach der Eiseneinlage.)

Beispiel I. Eine Platte aus Beton k = 1,1 mit einer Höhe über den Eisen d = 14,0 cm. ist mit 8 mm Rundeisen in 5,1 cm. Abstand armiert. Das Maximalmoment der äusseren Belastung ist = 1260 cmkg pr. Breiten-cm. Wie gross ist der Sicherheitsgrad?

Ein 8 mm. Rundeisen hat eine Fläche von 0,5 cm*.

-.'Fe

_ °’⁵⁰ _

5,1

0,098;    a = 0,7 ;    \ ' j = 1$>⁵ • 0,7 + 5.1,1 = 16,35 ;

\- / Ml = 16,35. 14'² = 3210 cmkg;

'.'der Sicherheitsgrad =

I MI 3210 M max

1260

= 2,55.

¹

Wenn man weiter die Aufgabe so verallgemeinert, dass man den Kräften X beliebige Richtungen mit ungleichen Winkeln a gegen die Horizontalachse gibt, sowie 3 Bedingungsgleichungen aufstellt, IX cos a = P, XX sin a = V, und XXa cos a = M, sowie wie oben fortfährt, so geht daraus hervor, dass die Deformation nicht eben wird, wenn man nicht von den Tangentialspannungen absehen kann.

²

Hiervon sind solche Konstruktionen ausgenommen, bei welchen gebogene Körper mit einander oder mit Stäben kombiniert sind.

Die Beanspruchung des Eisens bei M — 1260 wird nach den gewöhnlichen Ivoenenschen Formeln = 1000 Atm., wenn ein durchschnittlicher Elastizitätsmodul für die Betonspannungen von 225000 angenommen wird.

Beispiel II. Eine Platte von derselben Stärke und Armierung wird von Beton k — 0,7 ausgeführt und ist ungefähr demselben Mmax = 1220 cmkg. ausgesetzt. Wie gross ist der Sicherheitsgrad?

/f,/= 15,5.0,7 + 5.0,7 = 14,35;    • .* / M / = 2810 cmkg;

V der Sicherheitsgrad =

2810

1220

= 2,3.

Nach den Koenenschen Formeln und mit einem Durchschnitt s-Fö = 150000 wird die Eisenbeanspruchung auch in diesem Falle = 1000.

Aus den Beispielen geht hervor teils dass die Betonqualität keine grosse Rolle für die Bruchbelastung der Axialspannungen spielt (was die Schubspannungen und zuverlässige Adhäsion betrifft, wird natürlich das Verhältnis ganz anders), teils auch dass der Einfluss der Betonqualität durch Koenens Formeln noch weniger zum Vorschein kommt. Dies ist jedoch ein grosser Vorteil, verglichen mit den meisten anderen Niedrigspannungsformeln, wobei bei näherer Untersuchung der Sicherheitsgrad für ungleich angenommene Betonelastizitätsmodule ganz bedeutend variiert mit daraus folgender Unsicherheit und Absurdität bei der Anwendung. Koenens Formeln, welche mit derselben Methode, wie hier angewandt, für das Spannungsstadium oe = — 1000 in den numerischen Aus-

,    .    ]\:I rsj

druck ^ =8,2«+ 0,6

Ei

200000

zusammengefasst werden können, ge-

ben wie hieraus hervorgeht, immer innerhalb der gewöhnlichen Armierungsgrenzen bei genannten Eisenspannungen einen Sicherheitsgrad zwischen 2,i und 2,6. Wenn ein gewöhnlicher, gewalzter Eisenbalken 1000 Kg. berechnete Beanspruchung erhält, dürfte dies keine wirklich grössere Sicherheit enthalten, da auch hierbei die Streckgrenze (ue = ~2000) als schädlich angesehen werden dürfte. Die Frage hierüber scheint in jedem Falle den Kernpunkt für die Feststellung von Normalbestimmungen für Eisenbetonkonstruktionen auszumachen.

Gegenüber den hier aufgestellten (9) und (10) haben dagegen Koenens Formeln den Nachteil, dass sie bei der Bruchgrenze nicht experimentell bewiesen werden können und dass sie von selbst auf falsche Wege führen, sobald Deformationen mit in Rechnung kommen, also sie können für Berechnung von Durchbiegungen und statisch unbestimmte Systeme nicht angewandt werden.

Beispiel III. Die vorteilhafteste Grösse der Eiseneinlagen.

Wenn die Kosten pro cbm Beton = b und cbm Eisen = p gegeben sind, so können die Dimensionen für <5 und Fe, welche ein gewisses Bruchmoment / M / tragen und gleichzeitig den kleinstmöglichen Preis für den Querschnitt erfordern, berechnet werden.

Der Preis für einen Querschnitt von 1 cm. Länge und Breite wird

= bd + pFe + Ai =

wo die Konstante A die Kosten für die Schalung und für den Beton unterhalb der Eiseneinlage bedeutet. Nach (10) wird d Kosten

-V-

IM/

15,5a + 5k

und also die

+ A.

V 15,5a + 5k

Dieser Ausdruck erhält, mit Rücksicht auf « abgeleitet, das Minimum für:

— 0,65 k.

a = 100-

Beispielsweise wird für einen

Betonpreis = 20 Mk/Cbm

V100-

Eisenpreis = 100 Mk/t = 780 Mk/Cbm

- = 2,56 ; P

sowie für k — 1, das vorteilhafteste a = 1,9%. Wenn dagegen der Eisenpreis 200 Mk/t, so ist a = 0,65 %.

Durchbiegungen.

Untenstehende Figur dürfte hinreichend deutlich beweisen, wie die Durchbiegung in der Mitte eines symmetrisch belasteten,

'/

//

<T-

Fig. 23.

frei aufliegenden Balkens in der Form ausgedrückt werden kann:

rj =

*u \2~XrX'

x=0

welcher Ausdruck, wenn man so will, aus (1) kontrolliert werden kann. Da m = 1000 uö, geht die Formel über in:

=>(

Iw

Aus den beiden unmittelbar nach (8) geschriebenen Gleichungen sowie aus (9) kann man oe und n eliminieren, worauf eine gerade-

M

' übrig bleibt, welche hier ver-

linige Relation zwischen m und

nachlässigt und nur mit m == / in (11) einzusetzen und zu integrieren wird umständlich. Für

Ô²

bezeichnet werden kann.

/ff)

gleichmässig verteilte Belastungen kann hierfür folgendes abgeleitet werden :

Mitte

Wenn für eine solche Belastung das Angriffsmoment in der pP

mit M₀ bezeichnet wird, so kann das Angriffsmoment

in einem Punkte im Abstand x von der Mitte ausgedrückt werden in:

Mx =

'6

Wenn man anderseits

/(Ä

mit dem Diagramm wie nebenstehende Figur konstruiert, wird die Funktion durch eine Kurve Ocb dargestellt, dessen oberer Teil mit oben genanntem, geradelinigem Ausdruck ersetzt werden kann. m₀ ist der Wert mx in der Mitte, — entsprechend M₀. Hierbei fällt die Kurve Ocb vollständig zwischen die gerade Linie Ob und die Parabel Odb, so lange man sich an die praktisch vorkommenden, normalen Werte für a und k hält.

c//

7*

///

'/

/ //

/©•’

'‘*7

4-

Fig. 24.

Dies ist nur eine einfache Tatsache, welche durch Versuchsrechnungen gefunden wurde und nur durch solche kontrolliert werden kann. Man hat also zwischen 0 und b

mn

Mx

Mn\ Ô²

> mx >

m₀

r¥

0    (Mx\*

Aus oben angegebenem Ausdruck für das äussere Angriffsmoment M und (11) erhalten wir nun:

4 m₀

l*d

je

o

i C-l

s~

*2 OS ⁰⁵ §

o(

toi

'S

(M

a-

sowie nach vorgenommener Integration:

I-

Ol

00

0*1 'S

rH

0*1 'S

oder

P    P

0,104 ß Wjq > 1000 r] > 0,092 ^ m₀

Bei gewöhnlichem Material fällt die Kurve Ocb mit der rechten Linie Ob zusammen. Desgleichen ist m₀ = 1000,« ó' = 1000-^-^—- =

1000 Aber (vergl. die Biegungsfälle in Hütte)

4-

'S

‘ 48

1000

2kb

'S

K» l*o

Damit ist die obere der Grenzen kontrolliert.

Die beiden Grenzen liegen so nahe an einander, dass man die Zifferkoeffizienten ganz einfach =0,i setzen kann, wobei wir erhalten :

l-s

O-r !

to

Die Durchbiegung in °/oo der Spannweite erhält man also bei gleichmässig verteilter Belastung, wenn man aus dem äusseren

den entsprechenden Wert

Angriffsmoment in der Mitte M₀ — ——

in oben angegebener Weise oder aus der Tabelle sucht und in (12) einsetzt.

Die Gleichung (12) kann zu Schlussätzen von sehr grossem Interesse Veranlassung geben. Als Beispiel nehmen wir Untersucht man die beiden Fälle a — 0,4 % sowie a = 2,0 %, so erhält man:

= 10 und k — 1 an.

Für a = 0,4%: m₀ — 0,176 1000 r, _

0,1 . 10.0,176

GG³)-

sowie hieraus für

1 ; d. h. wenn t] übergeht zu einem tausendstel

= 8,7 = das spezifische Angriffsmoment im Mittel-

der Spannweite

querschnitte. Auf der anderen Seite ergibt die Gleichung (10), dass das spezifische Bruchmoment

15,5 a + 5 = 11,2.

/*/-

Da also der Sicherheitsgrad

-Mmax.

= 1,3, so lässt sich erkennen, dass für

ß = 10, h — 1 und a = 0,4 nur ein unbedeutender Zuschuss von Sicherheit vorhanden ist, wenn rj auf 1 °/oo der Spannweite hinaufgeht.

Für a = 2% erhält man

1000 r? _

0,06

(£-0

; und unter denselben Verhältnissen wie oben

= 36.

19,4 sowie an der Bruchgrenze: j~j

Also in diesem Falle ein grösserer Sicherheitsgrad = 1,8, aber auch nicht mehr.

Schon aus diesen Beispielen und noch besser bei näherer Untersuchung mit Hilfe von (12) geht Folgendes hervor:

Eine einfache Vorschrift, beispielsweise über die grösste Durchbiegung im Verhältnis zur Spannweite, ist sinnlos ohne gleichzeitige Rücksicht auf -, sowie auf die Grösse der Eiseneinlagen

und die Beschaffenheit des Betons. Eine Probelastung kann also nur bei grösseren Konstruktionen und inr Verein mit besonderen Berechnungen in Frage kommen.

Bei der gebräuchlichen Grösse der Eiseneinlagen ist im allgemeinen der beabsichtigte Sicherheitsgrad nicht vorhanden, wenn

— bei | ungefähr 10 — die Durchbiegung unter gewöhnlicher Belastung auf 1 %o steigen sollte.

Wenn gewisse erlaubte Grenzen für die Durchbiegung gegeben sind, kann die Konstruktionshöhe d im Verhältnis zur Spannweite viel kleiner gehalten werden als bei Eisenkonstruktionen.

Bei statisch unbestimmter Auflage muss, wenn die Eiseneinlagen verhältnismässig klein, immer grössere Vorsicht beobachtet werden, als wenn die Armierung kräftiger ist; im ersteren Falle ist, wenn die Stützen etwas verschoben werden, die Rissgefahr viel grösser als im Letzteren.

Breite Plattenbalken.

( Deckenkonstruktionen.)

ar

-----0°~OPQ

____JL._

- <5

Fig. 25.

«i

Die Bezeichnungen siehe auf der Figur, sowie:

M = Moment aus der Belastung über die ganze Breite des Plat-. tenbalkens.

JMJ — Bruchmoment.

F = dem gesamten Eisenquerschnitt.

Ge = Eisenspannung.

öm = Mittelspannung in dem breiten Teil des Betons.

Unter Vernachlässigung der Spannungen in dem schmäleren Teil des Betons schreibt man gewöhnlich:

M = — Ge F a ;

ofYi. bt — OqF.

Die Einführung der Bruchbelastung mit /M/ = S .M

max

als Ausgangspunkt verursacht keine Änderung dieser Formeln, sondern für oe = — 2000 erhalten wir mit kg. und cm. als Einheiten:

! M ! = 2000 .F a;    /uw/=2000

rO

13

Der Fehler, welcher dadurch entsteht, dass der Schwerpunkt der Betonspannungen oberhalb von Plattenmitte liegt, wird unbedeutend. Eine genauere Untersuchung zeigt, dass dieser Fehler 10% nicht übersteigen kann, sobald a > 2,5t. Die grösste Betonspannung in der Oberkante kann aus am durch einen Blick auf die Deformationskurve leicht geschätzt werden. In normalen Fällen dürfte eine Gefahr für einen Druckspannungsbruch niemals Vorkommen.

Durchbiegungen.

Über die Durchbiegung der Plattenbalken gilt dasselbe, was oben über Rechteckquerschnitte angeführt wurde, und die Formel (12) ist auch in diesem Falle anwendbar. Man muss natürlich einen richtigen, für den fraglichen Plattenbalken geltenden Wert m₀ berechnen.

; sowie die Formel

Am besten ist es auszudrücken m₀=/|^vj (12) zu schreiben:

1000 rj _

0,1

a ' m° *

Schmale T-Querschnitte sowie it-duerschniUe.

(.Brückenquerschnitte.)

Wir nehmen an, dass der Querschnitt mit einem Gesamtmoment über die ganze Breite = N belastet ist, eine Gesamt-Eisenspannung = Q und einen gesamten Eisenquerschnitt = G hat, sowie dass er als Differenz zwischen 2 rechteckigen Querschnitten b'ö' und b"d" betrachtet werden kann. Für diese soll wie oben M, P u. s. w. pro Breitencm. gelten.

Wir haben alsdann:

N = M'b' — M"b";

Q = P'b' — P"b".

Die Eisendehnung muss für beide gleich sein, ebenfalls die

Winkel u, und folglich: -=

m"

^ÏT-

Bezeichnen wir für diesen Fall lOOOfij^ej, wobei nach den

TTh

Definitionen eL — n — —, welches anstatt n in den Ausdruck (7)

P    M

betreffend -,r und in den Ausdruck (8) für (die untere Momen-

tenachse) eingeführt werden, so erhalten wir:

kö'

= 62rax + 82,5 e.;

M\

kÖ\

48 m' + 62 er + 3;

P"

kö"

= 62m" -b 85,5 e,;

M"

köi

= 48 m" + 62 e, + 3;

tC

- i-

o.

. V''

Os.

H.

..T..

* ' AA

_.±.

•>T

X.

"...

"A

<$"

...i..

»l

--

ST?

Fig. 26.

V Q = ß2k (m'd'b' — m"ö"b") + 82,5 ket (ö'b' — ö"b );

und N — 48 k (m'ü? b' — m"d^b") + k (62    + 3) (ö^b¹ — ölb").

Setzen wir nun, wie die Figur zeigt:

d' = d;

b' = b;

ô" = Çd;

b" = üb sowie

m' = m und also m" = 'Çm,

abgeleitet werden.

Zur Übereinstimmung mit Obigem können wir setzen ~ = P N

und -r = M, also Kräfte und Momente verteilt pro cm. der oberen

so können die Ausdrücke für

kÖb

und

kö²b

Breite m. Daraus erhalten wir:

kö

= 62(1— ¥t))m + 82,5 (1 —

(14)

kö²

= 48(1 —^S)m + 62(1— ^d)e, + 3 (1 —4'²^>) •

Setzen wir hierzu als Definition: a

100 G

—si—; sowie ausserdem: oo

ae = 2000 ex ; P <JeG

Öb ’

so können, nachdem die Zifferw^erte für 'Ç und $ in die Koeffizienten für die Gleichungen (14) eingerechnet sind, Ausdrücke für die Eisenspannungen und das Bruchmoment abgeleitet werden, obigen (9) und (10), welche für rechteckige Balken gelten, vollständig entsprechend.

Die Grenzen für diese Ausdrücke bleiben betreffend das eine Paar —500>ae> — 2000 unverändert; was dagegen das andere

Ci

Grenzenpaar 0,4 < ^ < 2,4 betrifft, so sollte man sich streng genommen die Eiseneinlage G als Differenz zwischen zwei G' — G" denken, welche für die beiden Rechtecke gelten, sowie die daraus abgeleiteten a! und a" jedes besonders prüfen.

Die Tangentialspannungen und sekundäre Armierung.

Die Frage über Schubspannungen haben wir weggelassen, da diese mit dem Grundthema dieser Darstellung nicht wesentlich zusammenhängt. Für eine vollständige Erläuterung dieser Frage müsste man u. a. eine vollständige, durch Experimente gewonnene Kenntnis über das Verhalten zwischen Tangentialspannungen und Schubdeformationen im Beton verlangen. Hierüber ist kaum mehr bekannt als gewisse, ziemlich unsichere Werte über die Bruchbeanspruchung Tmax. Es ist als wahrscheinlich anzunehmen, dass eine Proportionalität zwischen Spannung und Dehnung im Beton ebenso wenig bei Schub vorhanden ist, als bei Druck oder Zug. Und ferner, dass die Schubbruchbeanspruchung Tmax nicht einmal bei ungleichen Normaldehnungen innerhalb desselben Materials einen konstanten Wert hat.

Ein Umstand, welcher mit der Frage über den Sicherheitsgrad und die Bruchbelastung zusammenhängt, kann jedoch hier vorübergehend berührt werden. Bezeichnen wir mit P, M, V Eisenzugkraft, Angriffsmoment und Vertikalkraft in einem bestimmten, beliebigen Querschnitt bei einer mit dem Sicherheitsgrad wachsenden, äusseren Belastung. Wenn der Querschnitt n Stück untere Eiseneinlagen mit dem Radius r hat, und also F = nrer"¹, und die Eisenspannung in dem fragl. Querschnitt mit einem Zuschuss dP wächst, so wird die Bedingung, dass die Adhäsion in dem Umfange der Eiseneinlagen nicht überschritten wird oder dass der Schubspannungsbruch in der den Eisenumfängen zunächst liegenden Betonperipherie nicht eintrifft:

dP < n . 2rrrmaxd;c,

Hieraus folgt der Vorteil, den Eisenquerschnitt auf mehrere kleine Eisen zu M

= a innerhalb des Querschnittes den Abstand

verteilen, und ferner: wenn

zwischen der Eiseneinlage und dem Schwerpunkt der Betondruckspannungen bezeichnet, wobei innerhalb aller Querschnitte über die ganze Länge des Balkens a kleiner, jedoch nur unbedeutend kleiner als die Querschnittshöhe d ist, und daher ohne grosse Fehler als konstant betrachtet werden kann, so kann man die Bedingung, dass sekundäre Armierung weggelassen werden kann, schreiben:

r dP _ r 1 dM 2 Fe dx 2 Fe a dx

2 a-F~e<TmAX-

(15)

Hierin tritt alsdann ausser anderen die Frage über die lokalen Perturbatio-nen an den Auflagern auf, welche u. a. von der elastischen Beschaffenheit der Auflager und anderen Umständen abhängig sind, welche bei Beton grössere Bedeutung haben können als bei härteren Materialien.

Dass

Die sowohl experimentellen als auch theoretischen Kenntnisse über die Schubspannungsverhältnisse des Betons sind allerdings mangelhaft; jedoch ist dies von verhältnismässig geringer Bedeutung, weil die sekundäre Armierung in der Regel ohne grossen ökonomischen Nachteil überstark gemacht werden kann, sekundäre Armierung in jedem Falle hilft, wenn dieselbe genügend dicht und stark gemacht wird, darf wohl durch ausgeführte Konstruktionen als bewiesen angesehen werden.

Statisch unbestimmte Fälle.

Platte auf unendlich vielen Stützen, mit gleichmässig verteilter Totalbelastung.

Dieser Fall wird derselbe, wie ein an beiden Enden horizontal eingespannter Balken. Geometrisch geht hervor, dass der Mittelquerschnitt und die Stützenquerschnitte nach der Deformation parallel bleiben müssen, woraus der kürzeste Weg zur Elastizitätsgleichung:

Fig. 27.

J uxdx = 0;

o

oder, wenn die Balkenhöhe konstant ist, nach der Multiplikation mit 1000 ö

p x²

Fig. 28.

Ist nun die Armierung der Platte wie auf nebenstehender Skizze angeordnet, so dass sie in den positiven Momenten in derselben Weise wirkt wie in den b negativen (die Doppelarmierung in der Nähe der Nullpunkte der Momente, wo m klein wird, hat keinen besonderen Einfluss), so kann man die Ausdrücke, welche für einfach armierte Platten aufgestellt sind, anwenden. Die Giltigkeitsgrenzen werden dieselben. Aus den beiden nachfolgenden Gleichungen (8) kann man ebenso wie bei den Durchbiegungen ableiten:

Oe = — 1000 •

mxdx = 0.

Die statische Gleichung ist:

6,2 m

I + ⁴>125 welches, verglichen mit Gleichung (9), ergibt, dass zwischen m und M ein Ausdruck von der Form gilt:

m= U . M — W.

Dieser Ausdruck ist zwar nicht korrekt in der Nähe der Nullpunkte der Momente, aber das entsprechende kleine m hat bei der Addition keine Bedeutung.

U und W sind nur von ô, a und k abhängig, und folglich konstant, sobald der Querschnitt konstant ist, und weiter ist, wie leicht ersichtlich:

= 3kôî:

•' I u(mo-ëy)

/'

IF d x = 0 ;

vif o

4^ "Ö coj 'S

U ' 2    °;

_ pl¹

24

+ 3 kd*.

Und schliesslich das Moment über den Stützen:

pl²

-M₀ = -Ms

pl²

12

— 3 kö³.

(16)

Fern dem Resultate jür elastische Proportionalität weicht also Obenstehendes in beiden Fällen mit der Quantität 3 k à² ab, welche für Eisenbeton den Unterschied zwischen Slützenmoment und Mittelmoment einigermassen ausgleicht.

= 0 und zeichnet ein Diagramm für die

Betreffend Platten mit doppelt armiertem Querschnitt kann man ohne weiteres die Schlussfolgerung ziehen, dass die Momente zwischen den soeben abgeleiteten und den für elastische Gleichförmigkeit geltenden liegen müssen, also derselbe Ausdruck wie (16), obwohl mit dem Term 3kö² multipliziert mit einem Koeffizient zwischen 0 und 1. Wünscht man genauere Auskunft, so kann die Frage ohne Schwierigkeit mit Hilfe von Tab. II und folgender gelöst werden. Man sucht, nachdem a gegeben ist, in der passenden Tabelle die Kurve

für diese Kurve einander entsprechenden Werte von m und nun ersetzt man den oberen, allein praktischen, wichtigen Teil

dieser Kurve mit einer geraden Linie, deren Gleichung m = /

geschrieben wird, und fährt alsdann fort wie oben.

Zuerst folgt aus dem Vorstehenden, dass eine Belastung, welche in der frei aufliegenden Platte Bruch verursacht, um mehr als 50 % gesteigert werden muss, wenn ein Bruch über den Stützen entstehen soll, wenn die Platte an beiden Enden horizontal eingespannt ist. Desgleichen geht bei einem Vergleich mit (10) hervor, dass es nur wenn der Koeffizient k im Verhältnis zu a (&>~4a) sehr gross ist, also kaum in praktischen Fällen in Frage kommen kann, dass das absolute Bruchmoment von den Stützen nach der Mitte sich verschiebt. Gegenüber der Belastung ist also die Kontinuität bei Auflagerung einer Eisenbetonplatte unbedingt günstiger als für gewöhnliche Materialien. Inwiefern dasselbe betreffend Auflagerverschiebungen gesagt werden kann, ist eine andere Frage, die einer besonderen Untersuchung wert wäre.

Plattenbalken auf drei oder mehreren Stützen.

+1

er

i«.

•>»

3.

Fig. 29.

Wenn man X durch eine äussere Kraft = 1, als allein wirkende Belastung, ersetzt denkt, so erhält man unmittelbar:

Für die Momente auf der Strecke a:

(1MX

dX

= x;

>>

>>

0 Mx _ a(b — x) _

(IX

sowie

Beim Einsetzen dieser Ableitungen ins Gleichungssystem (2) und unter Beachtung dessen, dass P eine identische Null ist, erhält man, mit Umstellung der Reihenfolge der Terme, die Gleichung:

a

Jttxxdx — rj0 + ^

•Va —

— a ¹

• rlb +

fx{b—x)dx=0. (17)

Eine geometrische Illustration der Gleichung (17) erhält man, wenn man durch den deformierten Querschnitt über der Mittelstütze A eine winkelrechte Linie, also eine Tangente zur elastischen Linie, einlegt. Diese Linie schneidet auf den übrigen Stützen die beiden Integrale ab. Für die übrige Figur sind r]₀riar]b = 0; in den unteren positiven:

"A"

X.

<y

s. r ;    *

6-0 /“

r.

f 6-a?6'

A ß-*)**.

...i

Fig. 30.

Wenn man als Zeichenregel beachtet, dass man die ^ix, welche die Biegungsmittelpunkte nach oben verlegen, als negativ rechnet, so zeigt die Figur, dass die Summe der positiven Terme in (58) ebenso gross ist wie die Summe der negativen.

Jetzt ist es keine Schwierigkeit, direkt auf geometrischem Wege die Elastizitätsgleichungen für einen Balken auf beliebiger Anzahl Stützen aufzustellen:

.*.......L

fl.

c.

Fig. 31.

Für den Fall, dass die Stützen unverschiebbar sind, werden sie:

uxxdx -r

a>

a    («2 — x)dx = 0;

«1

a>    «3

ux (a₃ — x) dx = 0;

jt,,{x-at)dx + ^ß^-J

(i3    a\

/ •    / •

I Hx (x — «₂) dx + a'A _-a- I Hx {a₄ — x)dx = 0; J    ai asJ

a-2

«T3

u. s. w. ebensoviel Gleichungen wie überzählige Stützen.

Für die Lösung des Problems ist nun zuerst erforderlich, dass Hx als Funktion von Mx ausgedrückt wird. Nachdem dies geschehen, ist man auf demselben Wege wie bei gewöhnlichen Materialien. Mx sucht man auf dem gewöhnlichen, statisch bestimmten Wege als Funktion der Zusatzkräfte Xt X₂ u. s. w., worauf die Einsetzung in die Gleichungen (18) vorgenommen wird und diese gelöst werden.

Alles dies sind bekannte Massnahmen, mit Ausnahme des Aufsuchens des Ausdruckes Hx = / {Mx). Wenn es sich um einen doppeltarmierten Balken mit gewöhnlichem Rechteckquerschnitt handelt, so geschieht dies ganz einfach so, dass man in der am

= 0 ver-

p

meisten passenden der Tabellen II—VIII die Kurve folgt, und auf dieser die einander entsprechenden Werte von

und m— 1000uö schreibt und darauf zu einem Diagramm zusammenstellt.

Die Kurve erhält immer eine

+m

c/

Fig. 32.

H-

Form wie ungefähr die auf der Figur. Der obere Teil, welcher aus oben mehrfach angegebenen Ursachen für das Resultat allein Bedeutung hat, wird mit einer geraden Linie ab ersetzt, welche durch eine numerische Gleichung durch Messen der Abstände c, d und e im Diagramm,

S* M

Ô²

— mausgedrückt wird. Diese

Gleichung gibt nach Einsetzen des numerischen Wertes von d² sowie von m = 1000fi à einen anwendbaren Ausdruck für ^ = /(Jf).

Für Plattenbalken können die hier beigefügten Tabellen nicht angewendet werden. Demselben Weg zu folgen wie oben für Brük-kenquerschnitte wird nämlich zu schwer. Es werden besondere Tabellen aufgestellt, am besten ein für alle Male für alle gewählten Normaltypen, und diese können ohne Schwierigkeit, ebenso wie für die Rechteckquerschnitte, so angeordnet werden, dass sie für alle Querschnitte innerhalb derselben Querschnittssorte giltig sind.

Hierzu kommt eine neue Schwierigkeit, nämlich die, dass ein Plattenbalken sich für positive und negative Momente wesentlich anders verhält. Also ein umgekehrter Plattenbalken hat im allgemeinen eine nicht so grosse Festigkeit und deformiert sich in ganz anderer Weise als ein richtig liegender. Anderseits werden, infolge des Umstandes, dass für Plattenbalken immer nur Biegung ohne Axialkraft in Frage kommt, die nötigen Tabellen bedeutend einfacher. Sie brauchen nicht bis auf gebogene Flächen ausgestreckt zu werden, sondern, unter Beachtung der Bedeutung P = 0, brachen nur einfache Kurven gesucht zu werden.

Für die inneren Teile der Spannweiten, welche gewöhnliche Momente aufnehmen, kann man am besten von den Formeln auf Seite 61 ausgehen, und aus diesen ableiten:

1000 ua — m =

ombt

2000F

+ 1000«m;

und

welche Ausdrücke u. a. die Bedingung P = 0 enthalten (in diesem Falle damit dass ombt = — oeF). Aus der Deformationskurve kann man schreiben:

1000£m = 0,i, am = 24 sowie hieraus m = 24

ht

2000 F

+ O, i ;

241

= 0,3,

=■ 64

m = 64

bt

2000 F

+ 0,3;

641

= 0,5,

= 98

m = 98

bt

= 0,7, = 0,9, etc.

= 124 = 148 etc.

2000 .F etc.

+ 0,5;

981

etc.

Nachdem die vorliegenden Zahlwerte für a, b, t und F eingesetzt

M

sind, erhält man eine Tabelle zwischen m und

gilt nicht nur für den speziell vorliegenden Fall, sondern für alle Querschnitte mit denselben, relativen Dimensionen, d. h. proportionalen Werten für a, b, t und F. Dies ist die Ursache, weshalb M

gewählt wurde an Stelle von M allein oder

wird wie oben in ein Diagramm / (m,

Diagramm leitet man wie oben einen geradelinigen Ausdruck zwi-

a²b'

a²

Die Tabelle

•j Die Tabelle

übersetzt und aus dem

sehen a und M ab, welcher als das gesuchte iu=^f{M) angewandt werden kann.

Für die Momente bei den Stützen muss man analog dem vorhergehenden sieh dadurch eine Kurve schaffen, dass man allmählich den Plattenbalken mit dem Schwerpunkte der Eiseneinlagen gegen einige Punkte der Deformationskurve umwendet, darauf

*1

Fig. 33.

sieht man durch Dehnung der e-Skale oder auf andere Weise, wie bei Rechteckquerschnitten, nach, dass die Summe der Eisenspannungen gleich der der Betonspannungen wird, vP = 0, alsdann leitet man aus der Kurve das gesuchte u = / (M) ab, welches auch jetzt mit genügender Annäherung geradelinig gemacht werden kann.

9 2* ••• n

Nachdem darauf auch die gewöhnliche, statisch bestimmte Prozedur vorgenommen ist, soll die Einsetzung in Gleichung (18) geschehen. Dann müssen die Nullstellen für die Momente, welche man im voraus ungefähr als richtig ansehen kann, gewählt werden. Hierbei darf man ein gewöhnliches Momentendiagramm für elastisch gleichförmiges Material zu Hilfe nehmen. Ob die gewählten Punkte dann nicht genau stimmen, hat keine praktische Bedeutung für das Schlussresultat. Die kleinen Deformationen in der Nähe der Stellen, wo die Zeichen wechseln, haben nämlich keinen besonderen Einfluss, wie oben mehrfach hervorgehoben wurde. Hat man sich also für die Momentennullstellen x = c,

Ol

bestimmt, so* müssen die Integrale geteilt werden; also J

teilt

man in

C1

! und j

0    ci

Ol

02

C2

C3

02

C/o

weiter

in

und

sowie

u. s. w. in zwei

ai

C2

C3

oder drei geteilte Integrale, je nach der Anzahl Nullstellen zwischen den Stützen. Der zuerst gefundene Ausdruck für u wird in

C\

C3

und

u. s. w. eingesetzt, der andere Ausdruck in die anderen.

C2

Darauf kann die Integration vorgenommen werden, und die Reaktionen und Momente über den Stützen werden bekannt.

So geht die explizite Lösung des Problems vor sich. Dagegen dürfte es in manchen Fällen einfacher sein, dass man, sobald die

beiden Kurven f(m, M) konstruiert sind, gewöhnliche Vertikalkräfte und Momentendiagramme zeichnet, so als ob der Balken elastisch gleichförmig wäre. Darauf nimmt man die so erhaltenen Reaktionen und Momente, teilt den Balken in eine geeignete Anzahl endlicher Längenelemente Jx (nicht notgedrungen gleich viele), die Integrale ersetzt man mit I, aus den gegebenen Momenten-werten sucht man mit den Kurven die Mittelwerte von u, setzt diese ein, nimmt die Summierung vor und so sieht man, ob die Gleichungen zufriedenstellend sind. Dies ist natürlich im allgemeinen nicht der vollständige Fall, aber wenn es sich nur um einen Balken mit zwei oder drei Feldern handelt, dürfte es ein gutes Resultat mit nur einer oder zwei Änderungen geben für die eine oder für die beiden überzähligen Reaktionen. Auf diese Weise wird das Problem durch Versuche gelöst.

Bei Bestimmung von / (m, M) für die Momente über den Stützen, also mit umgekehrtem Balkenquerschnitt dürfen natürlich die Zugspannungen des Betons, welche innerhalb der breiten Fläche der Platte fallen, nicht vernachlässigt werden. Eine Übereinstimmung mit den wirklichen Deformationen und damit eine giltige Lösung des Problems wird nicht möglich, wenn diese Zugspannungen nicht mitgerechnet werden.

Das Schlussresultat stellt sich natürlich wesentlich ungleich, je nach dem die obere Armierung über den Stützen stark oder schwach ist. Sobald der ganze, breite ^

Teil der Platte innerhalb der konstanten Zugspannungszone fällt (siehe Fig.

33), so entsteht, falls einigermassen starke Eiseneinlagen in oder in der Nähe der Platte fehlen, das Verhältnis, dass die Momente sich nur unbedeutend verändern, wenn m zu- oder abnimmt.

<fz

«c- ■ --

Mit anderen Worten, die Kurve f(m, O M) erhält nebenstehende Form.

Dies ist vom Verfasser zwar nicht

im Detail untersucht worden, aber es hat wenigstens den Anschein

dM

auf-

hierfür. Die Querschnitte können keine Vertikalkräfte ₇

dx

nehmen, da M auf eine gewisse Strecke konstant ist. Daraus folgt der Schlussatz, dass eine derartige Spannungsverteilung nur in einem Punkte möglich ist, nämlich mitten über einer Stütze, und damit sind in solchen Fällen die Momente über den Stützen bekannt, und jedes Feld kann für sich als statisch bestimmt mit gegebenen Endmomenten behandelt werden.

Fig. 35.

Je mehr biegsam ein Plattenbalken für diese Momente in der

Nähe der Stützen ist, verglichen mit dem anderen Gliede, desto mehr geht er dazu über, dass er so wirkt, als ob er in unabhängige Felder geteilt wäre, und desto weniger Recht hat man, sich auf die Kontinuität zu verlassen.

Dies könnte an und für sich von geringerer Bedeutung sein, aber die Gefahr für Rissbildung mitten über den Stützen infolge sehr starker Deformationen da-

Fig. 36.

selbst wird dadurch vergrös- woNaw sert oder zeigt sich bei näherer Untersuchung vielleicht unver-meidlich. Diese Risse sind relativ unschädlich, man sieht sie jedoch nicht gern. Man kann vielleicht dieselben vermeiden dadurch, dass man entweder ein oder zwei Ausdehnungsfugen anordnet, wie nebenstehende Figur zeigt, wenn dies aus praktischen Rücksichten möglich ist, oder man ordnet eine starke, obere Armierung an.

Bei starker oberer Armierung scheint wiederum eine Gefahr darin zu liegen, dass die Schubspannungen verwickelt werden, wenn man die Armierung über die ganze Breite der Platte ausbreitet. Was die Axialspannungen in diesem Falle betrifft, so wird die am meisten beanspruchte Stelle nach dem unteren Teile des schmalen, eigentlichen Balkens dort verlegt (bei a auf der Figur), wo die von den grossen Stützenmomenten herrührenden Druckspannungen sich konzentrieren.

V. Anwendung auf Gewölbe. Statisch bestimmte Fälle (I)reigelenkbogen).

Zu diesem Zwecke wollen wir folgende Variante der Theorie für den Dreigelenkbogen vorausschicken, obwohl diese nicht ausschliesslich zur Eisenbetonfrage gehört, sondern eher zu der über Gewölbe im allgemeinen.

n,------

Fig. 37.

Bogenhöhe / und Spannweite l, gemessen in Meter.

Nutzlast pro Längenmeter, gemessen in der Betonhöhe = h

Meter.

Das spezifische Gewicht des Betons = y. Die ruhende Belastung denken wir uns in zwei Teile geteilt:

1)    eine gleichmässig verteilte mit der Betonhöhe h₂ Meter;

2)    eine kontinuierlich wachsende von 0 bei dem Scheitel bis zu Betonhöhe g an den Auflagern.

Sowohl h₂ als auch g können bei der Projektierung mit Leichtigkeit vorerst geschätzt werden. Die Mittellinie des Gewölbes kann im Detail auf verschiedene Weise verlegt werden, aber die möglichen Variationen der Lage werden doch unter allen Umständen nicht grösser, als dass in der Geivichtsberechnung (nicht im übrigen) das Wachsen von g ohne bedeutenden Fehler im Resultat als parabolisch angesehen werden kann.

Die Resultante von der g-Belastung auf die halbe Spannweite

hat also die Grösse ~\yg~ Tonnen und liegt im Abstande vom Auflager = ~ j • — • Die von der g-Belastung herrührende Hori-

A

zontalkraft erhält also die Grösse: H₃ = ~

00

ri

Also :

hl = —\ der entsprechende Horizontaldruck bei Totalbelastung:

h z?

A| 8/

h₂~h₂-, der entsprechende Horizontaldruck bei Totalbelastung:

h —

Ä2 8/

; der entsprechende Horizontaldruck bei Totalbelastung:

H₂ =

Tonnen

Tonnen

ÖS ÎD

8/

Tonnen.

Das Seilpolygon durch die Gelenke für die Totalbelastungen h{ und h₂ ist eine gewöhnliche Parabel mit der Gleichung:

•/

(Origio im Scheitel, 7-Achse vertikal, positiv nach unten.)

Das Seilpolygon für die Totalbelastung h₃ jberechnet in ge-

ist eine Parabel 4. Grades = 16|^|/, welche ebenso leicht wie die

wohnlicher Weise: Hj pxdxj

mit den Ordinaten: y₃

vorhergehenden berechnet und konstruiert werden kann:

Hi—wollen wir vv3 nennen. An den beiden Kurven können wir sehen, dass rj sein

Maximum bei x = —— mit

J.i

'-Ł

yr

Yä

1/8

v = ~ hat.

4

Das Seilpolygon für eine

einseitig konstante Belastung

auf einer Gewölbehälfte ist auf der unbelasteten Seite die gerade

Linie A 0 und auf der belasteten eine Parabel mit den Ordinaten

2 cc    —

/, welche man mit Hilfe von y und OB, wie aus der

Figur ersichtlich, konstruieren kann.

y—tyi

jL

Fig. 38.

i9.

Fig. 39.

Der Horizontaldruck von der Belastung hl} einseitig angreifend Das Maximum aus dem Abstande r{ zwischen den Kur-

ven ergibt sich bei x = ^ mit dem Werte i] =    •

Das Seilpolygon für die Belastung h~, einseitig angreifend, kann man in analoger Weise erhalten aus der Kurve y₃ und OB-

2H -

Das oben beschriebene Seilpolygon zeigt folgende Form:

/JL

Horizontalkraft =

/y*

//>

'TTf

/y • r J*

-$N

■A

-V

Fig. 40.

Das Seilpolygon für eine konzentrierte Kraft Q besteht aus den geraden Linien AOC und CB.

<?

o.

~~A ... o-i

Fig. 41.

Die Horizontalkraft:

<M

|<N

Der Abstand C — D =

• ^max

= 2/ ₇ + Vl.

Sobald die Horizontalkräfte H berechnet oder bei der Projektierung geschätzt, sowie ferner die oben angegebenen Seilpolygone bekannt sind, so erhalten wir:

l:o. Das Moment für die Halbachse in einem beliebigen Querschnitt als Summe der Momente, welche von den einzelnen Belastungen entstehen, die als gleichzeitig auftretend angesehen

werden können. Das Seilpolygon für eine gewisse Belastung kann man als eine Art Einflusslinie für die Momente in den verschiedenen Querschnitten betrachten, mit der Gewölbeachse als Abszisse und mit ⁰ dem Horizontaldruck als y dem konstanten Faktor.

Fig. 42.

Ist die Kurve y₀ eine Gewölbeachse, sowie yn das dem Horizontaldruck Hn entsprechende Seilpolygon, so wird, wie man leicht sehen kann:

Mn — Hnrn

und also das totale Querschnittsmoment

M = A H nrn

2:o. Die Axialkraft P in einem Querschnitt, in derselben

Weise:

Pn = Hn

COS (cpn — ffn)

COS (pn

3:o. Die Lage der Gewölbeachse, wenn die Kurve y₀ nicht vorher gegeben ist. Bestimmt man sich dafür, dass bei einer gewissen Kombination der Belastungen das zusammengelegte Moment die Achse = 0 sein soll, so erhält man (siehe Fig.) für beispielsweise zwei Belastungen hm und hn:

um

D m ł,m    HnVn — 0.

Jf

Aus den Kurven yl und y3 kann also die gewöhnliche Tolk-mitt’sche Lage für die Gewölbeachse (nach der permanenten Belastung + Va Totalnutzlast eingerichtet) gefunden werden (siehe Fig. 44):

to i—i

4-

* *7l » 3

Fig. 43.

'M

•^1J3(Die einfaclien Werte hl etc. siehe oben.)

ViZ

Vut’f

2 k h% k h₃

(Die Gewölbeachse in dieser Form nennen wir im folgenden: Achse, eingerichtet nach der Normalbelastung.)

:X - /6 — / o /♦ j

Weiter findet man, dass überschlagsweise die Kräfte Pn keinen grossen Veränderungen von Querschnitt zu Querschnitt unterworfen sind, weshalb man die am meisten beanspruchte Stelle für eine gewisse Belastung in der Nähe der Punkte suchen kann, wo die Momente am grössten werden und also die Werte rj ihre Maxima haben. An solchen Stellen sind die ^/-Kurven parallel

Hn

COS</>₀

Alle solche Stellen liegen in den mittleren Teilen der Gewölbe-

mit der Achse und also Pn =

Fig. 44.

hälfte, weshalb man ohne grossen Fehler setzen kann:

max il/, ~— _ ³ 2

Yj —æj ; das Moment N unter Q = —

fpi} = v und cos cp₀ = cos v; —

Vf- + 4/-

Als erste Annahme bei der Projektierung, und bei mehr oberflächlichen Kontrollberechnungen kann man also für die mittleren

einen konstanten Mittelwert für rjl

Querschnitte, x — ■- bis x =

annehmen, welchen man misst oder berechnet. Hierbei erhält man (rjn nehmen wir als positiv in derselben Richtung wie y, d. h. von der Achse nach unten):

Die Totalbelastungen:

VS’

~ Hx . cos v'

max Mx — HxriV

max P

Für II, analog II x sowie:

max P₃

~ H, .

cos v'

maxil1,~ — H₃ —rx\.

Einseitige Belastungen :

max Px =

II

i_.

2 cos v*

19)

max -P₃~

II

3

2 cos v’

Konzentrierte Kraft (Dampfwalze): Nach obigem:    =

{CD + ?/o)^

— >7/⁺ (⁴fM

A,

worin von j^, welches im Vergleich mit den übrigen klein ist, abgesehen werden kann:

Hieraus resultiert, dass N Maximum wird bei x —

Ü12

, womit

-V max —

= '— 0, i Ql,

sowie entsprechend:

Da rp₀ hierbei appr. = v, so kann man setzen:

max Pq~ K ■

cos 2v cos v

+ Q sin v =

->■

+ 1,5

Q cos v

Fig. 45.

oder vielleicht besser graphisch nach nebenstehender Figur.

Aus obenstehenden Überschlagformeln erhält man bei der Projektierung schnell einen vorbereitenden Wert für die Axialkräfte und Momente, aus welchen die mittleren Querschnitte bestimmt werden können. Nachdem dies geschehen und nachdem mit Hilfe dessen der ganzen Konstruktion annehmbare Dimensionen gegeben worden sind, kann man eine genauere Kontrollberechnung für eine geeignete Anzahl Querschnitte nach 1) und 2) vornehmen.

Bisher haben wir die Frage über den Sicherheitsgrad und welche Belastungskombinationen angewendet werden sollen nicht berührt. Die gewöhnlich angewandten Kombinationen sind ja teils totale permanente Belastung im Verein mit totaler Nutzlast, teils totale permanente im Verein mit einseitiger Nutzlast. Für Betongewölbe müssten diese Belastungskombinationen mit dem Sicherheitsgrade multipliziert werden, worauf die Untersuchung, dass die Bruchgrenze an keiner Stelle überschritten wird, gemacht werden muss. Wenn man die Achse nach der sog. Normalbelastung konstruiert (Tolkmitt) ¹fs hl + h₂ + h₃ so wird, wie leicht zu kontrollieren, das Moment für die Mitte der Gewölbehälfte bei

einseitiger Nutzlast + totaler permanenter Belastung = ± ^ H₁ f

O

pl²

oder ±

64’

mit Zeichen, je nachdem die Belastung rechts- oder links-

seitig liegt. Dieser Wert ist aber an und für sich numerisch genommen ein Minimum, welches von einer der beiden Belastungen überschritten wird, soivohl wenn die Achse z. B. durch fehlerhafte Schätzung der permanenten Gewichte falsch angelegt worden ist, als auch wenn die Nutzlast und permanente Belastung nicht im seihen Verhältnis gesteigert icerden. Der Belastungsfall bietet daher gewisse Analogien mit einer labilen Gleichgewichtslage und mit Knickungsbelastungen auf einem geraden Stabe.

Man hat daher zu wählen, entweder dass man höhere Sicherheitsgrade als für die einfachen Biegungsfälle anwendet, oder aber dass man — und dieses dürfte das rationellere sein —, auch andere Belastungskombinationen untersucht, welche unter gewissen Verhältnissen gefährlicher sein können, und in welch’ letzterem Falle der Form der Gewölbeachse keine übertriebene Bedeutung beigemessen wird.

Ohne dieser Frage eine weitgehende Untersuchung zu widmen, dürfte man voraussetzen können, dass die vergrösserten Spannungen, welche unter dem Einfluss von Vibrationen in einer Konstruktion auftreten, in gewissen Fällen denjenigen ähnlicher sein können, welche auftreten würden, wenn die Nutzlast in höherem Ver

hältnis gesteigert würde als die permanente, als wenn die ganze permanente Belastung und die Nutzlast auf einmal genau dieselbe Steigerung erhielten.

o.

Fig. 4G.

Von dem Umstande abgesehen, dass ein Querschnitt, beispielsweise bei C, eigentlich das grössere Moment für eine solche Belastung erhält, wie die Figur zeigt (vergleiche dieEin-flusslinie für das Mo-

ment in C für eine über die Spannweite laufende, konzentrierte Kraft; der Überschuss über das Moment für halbe, einseitige Belastung wird immer sehr klein) und vorausgesetzt, dass die Gewölbeachse normale Form hat, so werden folgende Belastungskombinationen zur Untersuchung eines Querschnitts zu empfehlen sein.

Die rechte Gewölbehälfte-.

l:o Totale Nutzlast und totale permanente Belastung, beide mit dem Sicherheitsgrade gesteigert.

2:o Rechtseitige Nutzlast sowie Totalbelastung, beide mit dem Sicherheitsgrade gesteigert.

3:o Linksseitige Nutzlast, gesteigert mit dem Sicberheits-grad, und totale permanente Belastung ohne Steigerung.

4:o Konzentrierte (Dampfwalzen-) Belastung im Verein mit gesteigerter oder ungesteigerter permanenter Belastung, je nachdem das eine oder andere ungünstiger ist.

Mit dem hier angegebenen Schema für die Untersuchungen ist es nicht schwer, alle diese Belastungsfälle zu untersuchen.

Eine solche, etwas strengere Auffassung würde verursachen, dass die dünnsten Gewölbekonstruktionen aus Eisenbeton, welche für das praktische Gefühl wenig ansprechend sind, verworfen würden, was sicherlich kein Verlust wäre.

Um nachher zu untersuchen, dass kein Bruch eintrifft, muss

P M ö ’ <)²

aus-

man durch Division mit ö resp. ó'² die Grössenpaare

rechnen, darauf auf cm und kg als Einheiten übergehen, sowie (wobei 10 ton/m² = l kg/cm²) zuletzt in der passenden der hier beigefügten Tabellen nachsehen, dass die Schnittpunkte zwischen den beiden resp. Kurven innerhalb der auf der Tabelle eingezeichneten Bruchgrenzen fallen.

Liegen die Eisenprozente a zwischen zwei Werten, für welche Tabellen aufgestellt sind, so muss man diese beiden beiderseits liegenden Tabellen vergleichen.

Durchbiegungen.

Wenn man die Sehne C in einem symmetrisch und symmetrisch belasteten Dreigelenkbogen um das Stück lc verkürzt, so sinkt der Scheitel um das Stück:

lc

‘‘ sin v

Fig. 47.

Hieraus erhält man (siehe Figur) :

T‘ sin v

*7) V-

//jy

-i

//

//

ir-te

c~

TÎ

■/

I (r + ut)dc

(die Approximation: dc = ds)

oder, wenn man m und n einführt, sowie gleichzeitig c in endliche Elemente Je eingeteilt:

1000 rj =

Je

sin v

und

mit Hilfe der

n und m erhält man aus den gegebenen

Tabellen II bis VIII und so kann man die Berechnung vornehmen, wenn man grössere Genauigkeit als erforderlich ansieht. Um einen Überschlagswert für gleichmässig verteilte totale Nutzlast zu erhalten, ist es nach einer ähnlichen Überlegung wie für Formel (12) in gewöhnlichen Fällen genügend zu setzen;

Ö*

10001] = ~

sin v

(n₀ + 0,5 *-ra₀j

(20)

wo n₀, t₀ u. s. w. Werte in der Mitte der Gewölbehälfte sind.

Betreffend das Zeichen für m ist zu beachten, dass der Bogen mehr krumm wird, d. h. c verkürzt sich und rj vergrössert sich, wenn die Axialkraft in einem Querschnitt unter der Achse liegt. Folglich sind die Momente und Werte m positiv, wenn die grösseren Druckspannungen im unteren Teile des Querschnittes Vorkommen. Wenn die Drucklinie oberhalb der Achse fällt, wobei die m-Werte negativ werden, ist es leicht möglich, dass die Streckung des Bogens, welche hierbei vorkommt, die Axialzusammendrückung übersteigt, und dass also eine Überhöhung anstelle einer Durchbiegung im Scheitel eintritt.

Bei der Berechnung der Durchbiegung für Verkehrslast muss natürlich der Vorgang folgender werden:

Zuerst bestimmt man die P und M, welche aus der zufälligen + der permanenten Belastung entstehen und hieraus die Verschiebung rjx des Scheitels aus dessen Lage, wenn die Konstruktion gewichtslos wäre. Danach bestimmt man die Durchbiegung rl0, welche die permanente Belastung allein ausübt, wonach unter Beachtung dass die richtigen Zeichen eingeführt werden:

y = Vi — %-

Auf Grund der speziellen Elastizitätsverhältnisse des Materials wird das Resultat nicht richtig, wenn nur die von der Fahrbelastung herrührenden P und M der Berechnung zu Grunde gelegt werden.

Die Durchbiegungen in einem Dreigelenkbogen werden, wie bekannt und wie eine nähere Untersuchung obigen Ausdruckes ergibt, verhältnismässig gross, und muss ihnen eine grosse Aufmerksamkeit geschenkt werden. Die Verschiebungen des Scheitels auch bei unsymmetrischer Belastung kann man leicht in analoger Weise aus der Längsveränderung der Sehnen c ableiten.

Statisch unbestimmte Fälle.

Die Tab. II—VIII, welche bisher nur in dem einen oder anderen Spezialfalle angewandt wurden, sind aufgestellt, um die Berechnung von Gewölben auch in statisch unbestimmten Fällen zu ermöglichen.

Auf Seite 44 haben wir angeführt, dass für gewöhnliches Material mit konstantem Elastizitätsmodul bei rechteckiger Querschnittsform die äusserst einfachen Bezeichnungen

gelten. Auf den angehefteten Tabellen dargestellt, würden, wie P

ersichtlich, die ^.-Kurven für ein elastisch gleichförmiges Material von einer Serie horizontaler, gerader Linien im gleichen Abstand vertreten werden, sowie die entsprechenden ^-Kurven durch

vertikale gerade Linien im gleichen Abstand. Vergleicht man hiermit den charakteristischen, aber von der Geradelinigkeit ganz bedeutend abweichenden Verlauf innerhalb des Deformationsgebietes, welchen die Kurven haben, so ist es augenscheinlich, dass, wenn man einen Eisenbetonquerschnitt bei der Deformationsberechnung nach den gewöhnlichen Methoden behandelt, so ist dies von der Wirklichkeit stark abweichend. Die Annäherung dürfte nicht besser beurteilt werden können, als dass dieselbe gewagt, aber nicht zuverlässig ist.

und

parallel verschoben werden, so

Ô²

Eine Verbesserung hat man mehrfach darin gesucht, dass anstelle des wirklichen Trägheitsmoments des Querschnittes ein »ideelles» Trägkeitsmoment eingeführt wurde, obwohl, wie der Verfasser wenigstens finden konnte, mit mehr oder weniger zweifelhaftem Resultat. Sei es, dass man Reduktionen in der Höhe oder Breite innerhalb des Querschnitts vornimmt, so dürfte man wohl nichts anderes erreichen können, als dass die oben genannten geraden Linien für

lange man wenigstens das ideelle Trägkeitsmoment in allen Spannungsstadien als konstant betrachtet. Geht man so weit, dass man den Elastizitätsmodul und das Trägkeitsmoment variieren lässt je nach den verschiedenen, ungleichen Spannungen, so dürfte man damit z. B. die doppelte Abhängigkeit des Momentes von sowohl v als u nicht sicher erhalten. Würde trotzdem auch dieses gelingen, so wäre der Gewinn nur ein langer und beschwerlicher Umweg, um die Abhängigkeit zwischen Deformation und Schnittresultante auszudrücken, welches ja gleichwohl direkt geschehen kann, wenn auch mit der Umständlichkeit, dass man mehrere Tabellen aufstellen muss.

Um im Folgenden die Ungelegenheit mit negativen Achsenwinkeln, mit umgekehrten Integrationsrichtungen, mit einer zu grossen Anzahl negativer Ausdrücke u. s. w. zu vermeiden, ist folgendes System angewandt worden:

Zeichen- und Koordinatensystem.

Den Origo verlegt man in die Querschnittsmitte am Scheitel. Die Ordinaten y sind vertikal und positiv nach unten gerichtet. Die Abszissen sind positiv in der Richtung vom Origo, und sie werden rechts vom Origo x und links x' benannt.

H-

---Û

*y

rP

iS

\A.

P)

Fig. 48.

Die positiven Quantitäten sind:

Alle inneren Axialkräfte und v bei Zusammendrückung. Alle inneren Momente und u, welche bestrebt sind, die Krümmung des Bogens zu vergrossem.

Alle Komposanten aus der äusseren Belastung, die äusseren Reaktionen, Durchbiegungen und Stützenverschiebungen in derselben Richtung wie die resp. positiven Koordinatenrichtungen. Sowie schliesslich:

Für den Konstruktionsteil rechts vom Origo, das äussere Moment, das äussere Reaktionsmoment und die äusseren, gegebenen Deformationswinkel in den Stützen, wenn sie in trigonometrischer Richtung drehen, dagegen links vom Origo, wenn sie in der Richtung des Uhrzeigers drehen.

Zweigelenkbogen.

r--

........V..

o<

Fig. 49.

Es kommt nur eine statisch unbestimmte Quantität vor. Als solche kann man am besten das Scheitel moment M₀ wählen, wobei man aus der Gleichung (2) erhält:

, dPx 0MJ Vx d M₀ ⁺ "xdM₀,

ds

dH

dM o

r — 0,

wo Xa + lb = A = von den Stützenverschiebungen herrührende Spann weiten Verlängerung (die Stützenverschiebungen in vertikaler Richtung haben beim Zweigelenkbogen keine Bedeutung).

Führt man ein äusseres Scheitelmoment M₀ = 1 ein (siehe Figur), so erhält man wie gewöhnlich (vergleiche Seite 36 u. f.):

woraus für die rechte Gewölbehälfte:

dPx ]

dM₀ /C0Sf^

ryj/o

|j cos (fx vx +

f—y

ds 4- jh =0;

und für die linke:

dH

cos <px v'x +

f-

'io

ds + j ka— 0;

oder wenn das Gewölbe symmetrisch ist, zusammengelegt und multipliziert mit /

2 2

I (vx + v'J cos f/^ds + I (a + u'x) (f — y)ds+l = 0.

'    tJ

I    0

Diese Gleichung sagt, dass die Verlängerung der Spannweite infolge von Deformationen gerade das gegebene l ist und kann leicht in der Weise, wie oben in Fig. 47 geschehen, geometrisch dargestellt und kontrolliert werden. Aus den Zeichen in den Gleichungen geht weiter hervor, dass v und y überwiegend negativ sein müssen, v nach obenstehenden Zeichenregeln, Zugdehnungen und Streckungen des Bogens bedeuten, was ja mit den gegebenen positiven la und lb übereinstimmt.

Geht man über zu den Tabellenquantitäten 1000 v = n und 1000 ud = m, so erhält man

SS.

CO

"J ui !

Oe

!<s£

Co

-h

oder mit Einteilung in Prismen e Stück pro Gewölbehälfte

(n + n') cos (fJs + V (m + ml) J s + 100CM = 0.    (21)

In gewöhnlichen Fällen genügt es mit max. 5 à 6 Prismen pro Gewölbehälfte. Man kann entweder von Js oder gleich /Ix ausgehen, aber die Koordinaten für die Mittelpunkte der Prismen und im letzteren Falle auch die Längen <ds müssen konstruiert oder besser genau berechnet werden.

Nun nehmen wir an, dass das Gewölbe im voraus als Dreigelenkbogen statisch gelöst ist, d. h. mit gewöhnlichen Drucklinien durch die Scheitelmitte für alle Belastungen, die man untersuchen will. Die für Dreigelenkbogen geltenden gefährlichsten Belastungskombinationen dürften auch in diesem Falle als annehmbar gelten können.

Für eine gewisse Belastung hat man also aus dem Dreigelenkbogen das gegebene Moment N, den Axialdruck Q und die Horizontalkraft K für jeden Querschnitt.

Als erste Annäherung wählt man einen von der elastischen Gleichförmigkeit geliehenen Versuchswert für M₀, beispielsweise, wenn die Gewölbeachse nach der Normalbelastung geformt ist, und

das Gewölbe im übrigen die gewöhnlichen Formen ilf₀ — —

hat (nach Winkler). ü₀ = Gewölbestärke im Scheitel.

Numeriert man die Prismen in der Reihenfolge von der Mitte 1, 2, 3 etc. so hat man auf der rechten Seite:

15 KSl

WK1

Pn = Qn + T C0S ⁽Pn df ₀ ;

Mn = Nn +

und in derselben Weise auf der linken Gewölbehälfte:

P'n=Q'n + 7 eos <f n M(! ;

/ Vn

M' = N' +

n    n

■M₀.

Für jedes Prisma muss man aus dem Querschnitte der Eiseneinlagen und der Stärke des Prismas ó' resp. a berechnen. Hierauf sucht man für die resp. Prismen die Tabelle unter II bis VIII,

oder, wenn eine gewisse Tabelle nicht passt, zwei nebenliegende Tabellen und interpoliert zwischen diesen. Aus den soeben berechneten Quantitäten Pn und Mn schreibt man für jedes Prisma teils P M

^ und y,, wobei man, wenn Tonnen und Meter vorher als Einheiten angewandt werden, zu kg. und cm. übergeht (10 t/m² =

M

1 kg/cm²). Weiter entspricht der negativen

der symmetrischen, in der Tabelle nicht gezeichneten Hälfte des Deformationsgebietes. Die aus den Tabellen gefundenen, den resp. M

entsprechenden n und m werden für jedes Prisma behandelt, wie Gleichung (21) angibt, die Summation wird vorgenommen und die Summe muss == 0 sein.

Stimmt dies nicht, so war der Versuchswert für M₀ falsch. Derselbe wird geändert, eine andere Approximation vorgenommen, welches im allgemeinen sich als genügend erweisen dürfte, und das Problem ist gelöst.

In gewissen Fällen, wenn u. a. die Form der Gewölbeachse einen einfachen, elastischen Ausdruck hat, so kann man (21) direkt integrieren, an Stelle dass man das Gewölbe in Prismen teilt. Die Werte Px variieren nicht sehr von den dem Dreigelenkbogen entsprechenden Werten Qx, und diese wiederum, überschläglich genommen, nicht sehr untereinander. Mitunter kann man aus Q einen eini-

P

germassen guten Mittelwert für ^ für das ganze Gewölbe ableiten.

P

-Kurven in den am meisten

und

Ö²

J²

die negative m von

Wenn man hierbei findet, dass die

passenden Tabellen so sind, dass ziemlich einfache Ausdrücke m, M

n und y, genommen werden können, beispielsweise in der Querschnittssorte

1c —l

2 (cc = 0, 7 5 )

Tab. IV.

für die Kurve

= 120 (gesteigerte Belastungen vorausgesetzt)

0,56 P

~ 120 ö

und

~17ü²’

so können diese im Verein mit geeigneten, analytischen Ausdrük-ken für N und Q in die Integrationsgleichung (21) eingesetzt wer-

den, worauf man die Integration vornimmt (mit M₀ natürlich konstant) und M₀ wird aus der integrierten Gleichung gelöst. Nachdem man das Resultat erhalten hat, kann man M₀ in (21) einsetzen und die Nachprüfung dieses Versuches vornehmen.

Volleingespannter Bogen.

S...

//

Fig. 50.

Das Gewölbe wird als symmetrisch in Form und Beschaffenheit vorausgesetzt.

Ein Dreigelenkbogen mit derselben Achse wird zuerst für die Belastung gelöst, welche man untersuchen will, wobei man einen Horizontaldruck H sowie die Vertikalreaktionen A und B erhält.

Als überzählige Reaktionen nimmt man die Fer anderungen an, welchen h und b sowie die Grössen H und B durch die Ein-spannung unterworfen sind, sowie das Moment im rechten Widerlager = Mij.

Weiter setzt man voraus als äussere, gegebene, beliebige aber kleine Stützenverschiebungen eine Spannweitenverlängerung /.. eine ungleiche Vertikalsetzung rj und einen Drehwinkel u, welche sämtlich nach dem rechten Widerlager verlegt werden.

Fig. 51.

Die übrig bleibende, statisch bestimmte Konstruktion ist auf der linken Seite eingespannt und wird auf der rechten von äusseren Kräften getragen. In der gewöhnlichen Weise, dass in den Lagen der überzähligen Reaktionen Kräfte oder Mo-

mente = 1 eingeführt werden, erhält man (beachte die Zeichenregeln):

Auf der rechten Seite:

OP*

dh

= — cos <px;

dPx

db

= — sin ffx

dpx

d Mb

= 0;

<mx

dh

= — (f — y);

0Mm _ ^ , db~⁺ 2    *

d M x d Mb

(Streckung des Bogens).

= — i;

Auf der linken Seite: dieselben Werte mit denselben Zeichen überall ausser:

dPx

()b

(innerer Axialdruck) und

dMx

Weitere Ableitungen braucht man nicht zu suchen, da man hier Stützenverschiebungen und überzählige Reaktionen mit denselben Lagen gewählt hat. (Vergleiche Seite 35 über Lx und La-)

Das Gleichungssystem (2) besteht in diesem Falle aus folgenden 3 Gleichungen:

dh

°MĄds

vx

0PX

dPx

d Mb

0MX

+ fix

0MX

()Mb

ds — = 0 ;

ds — /.i = 0.

Die Zeichen für die gesamten Formen können jetzt umgekehrt werden. Dass die Ableitungen überwiegend negativ werden, beruht darauf, dass die Koordinatenrichtungen für die Reaktionen unnatürlich sind. Um Verwechslung zu vermeiden ist, es dagegen unumgänglich, dass man von denselben positiven Richtungen für alle Quantitäten ausgeht.

Nach Einsetzen und Umkehrung der Zeichen erhält man also:

|>x cos ffx + //*(/ — y)]ds + A = 0;

I ± vx sin (px — ilix || V a:) ds + rj = 0 ; <

das obere Zeichen für die rechte Gewölbehälfte; das untere Zeichen für die linke Gewölbehälfte;

J\ixds + /t = 0.

In der ersten dieser Gleichungen, welche dieselbe ist, wie die für den Zweigelenkbogen abgeleitete, kann man dieselbe geometrische Bedingung lesen, nämlich dass die Spannungsverlängerung nach der Deformation = lx. Die andere enthält entsprechende Bedingungen betreffend Setzungen in der Vertikalachse und die dritte betreffend die Änderung der gegenseitigen Winkel der Widerlager. Die Übereinstimmung der Zeichen mit den im voraus gewählten Regeln ist leicht zu kontrollieren. Die mittlere Gleichung hat nur Bedeutung, wenn das Gewölbe unsymmetrisch belastet oder deformiert ist.

Summiert man jede Gewölbehälfte für sich, so erhält man durch Zusammenlegung der symmetrisch belegenen Quantitäten, durch Einführung von n und m anstatt vx und ux und durch Übergang zu den Prismen:

2(n + n') cos (pJs + 2(m 4-    + 1000 X — 0;

(22)

cc    /

2(n — n') sin rpJs + 2(m — m')^Js + - - 1000/t + 1000 rj = 0; 2(m + rri) ^ z/5 + 1000/t = 0.

In dem einen oder anderen Ausnahmefall kann eine direkte Integration in derselben Weise wie beim Zweigelenkbogen beschrieben möglich sein:

Die allgemeine Methode wird indessen die folgende:

Man zeichnet oder berechnet eine Drucklinie in bekannter Weise unter Voraussetzung, dass das Gewölbe elastisch gleichför-

sucht man mit Hilfe

P M

mig ist. Aus den hierbei erhaltenen ^ und ä

der Tabellen die Werte n und m und führt sie in (22) ein. Werden die Gleichungen (22) nicht genügend genau, so muss man die Drucklinie durch versuchsweise angenommene Variation der Reaktionen ändern, bis man ein gutes Resultat erhält.

Die ÿ - und w-Werte haben im allgemeinen wenig Einfluss

in Gleichung (22) und können wenigstens zu Anfang bei Seite gelassen werden.

Bezüglich der geeigneten Belastungsfälle, so dürfte das von dem Dreigelenkbogen Gesagte als massgebend angesehen werden.

Es dürfte nicht unmöglich sein, für die Projektierung passende Annäherungsformeln aufzustellen. Bis dahin ist wenigstens so viel gewonnen, dass die Drucklinie, welche ein Konstrukteur als richtig aufstellt, leicht mit Hilfe von (22) kontrolliert werden kann, und dass die Wirkung der Stützenverschiebungen in den Fällen, wo solche möglich sind, beurteilt werden kann.

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