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Balkenbrücken als räumliche Gebilde

Beitrag

mit besonderer Berücksichtigung der Förderbrücken

Von

Dr.-Ing. Siegmund Löschner

Saarbrücken

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A. Ziemsen Verlag Wittenberg (Bz. Halle) 1913

BIBLIOTEKA РОИТЕСНШМ

KRAKÓW

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Vorrede.

Die vorliegende Arbeit entstand aus der Beschäftigung des Verfassers mit der Konstruktion von fahrbaren Brücken für Verladezwecke, Laufkrane und dergleichen. Die Untersuchungen sind hauptsächlich auf diese Fälle zugeschnitten, wenn der Verfasser auch bestrebt war, den allgemeinen Gesichtspunkt zu wahren.

Der geneigte Leser wird aus dem Inhalt ohne weiteres erkennen, welche Untersuchungen neu sind, und was in der Arbeit längst bekannt ist. Trotzdem sei es dem Verfasser gestattet, auf einige Kapitel aufmerksam zu machen.

Der Absatz 3ß enthält den Aufsatz: Uber die Berechnung von Balkenbrücken mit gebogenem oder gebrochenem Windverbande bei Wirkung von parallelen, in der Fläche des Verbandes wirkenden Kräften. In diesem Aufsatz glaubt Verfasser eine neue, von bisher Üblichem abweichende Theorie dieses nicht unwichtigen interessanten Falles gegeben zu haben.

Auf den § 23, der mit diesem Thema in enger Beziehung steht, wird aufmerksam gemacht.

Der Absatz 4 enthält die Berechnung der Brücke unter der Wirkung der Längskräfte. Diese Berechnung wird selten durchgeführt, da es sich um sekundäre Kräfte handelt, und da sie in dem behandelten allgemeinen Falle nicht einfach ist. Gewisse Dienste leistet hier ein Satz, der im § 25 ausgesprochen wurde. Wenn der Satz auch etwas Selbstverständliches und allgemein Bekanntes ausdrückt, so ist doch seine Formulierung wichtig und nötig, um sich seiner bedienen zu können. Das Beispiel in § 26 zeigt, wie umständlich die Berechnung von Brücken in Hinsicht auf die Längskräfte werden kann.

Bei der Untersuchung der Wirkung von Längskräften und ähnlichen sekundären Einflüssen zeigt es sich oft, daß die Brücken statisch unbestimmt sind. Da es zu weit führen würde, überall die

Rechnung genau durchzuführen, so muß von Näherungstheorien weitgehender Gebrauch gemacht werden. In den §§ 28, 30 sind solche Näherungsverfahren angegeben und durch Beispiele nachgeprüft worden.

Die §§ 31—36 behandeln den seltener vorkommenden Fall von Brücken, die nur eine vertikale und dafür zwei horizontale Tragwände besitzen.

In den §§ 37—41 sind Betrachtungen über die elastischen Verschiebungen eines Brückenquerschnittes enthalten, ein Kapitel, das sonst ganz vernachlässigt wird.

In der Zweiten Abteilung (§§ 42—46) sind einige Untersuchungen über die einfach statisch unbestimmten Brücken, die aus vier Tragwänden und zwei steifen Endrahmen bestehen, enthalten. Es wurde der Nachweis erbracht, daß die Balkenträgerbrücken dieser Bauart, sofern sie parallelepipedische Form haben, sich genau so verhalten, wie statisch bestimmte Brücken, als welche sie gewöhnlich gerechnet werden. Voraussetzung ist: genaue Höhe der Auflagerpunkte.

Der Einfluß der statischen Unbestimmtheit bei einer Parabel

brücke und der Einfluß der Ungenauigkeit der Auflagerpunkte einer parallelepipedischen Brücke wurde durch Beispiele gezeigt.

In der Dritten Abteilung (§§ 47—51) wurde der mehrfach statisch unbestimmte Fall behandelt, indem eine parallelepipedische Brücke außer den vier Tragwänden und zwei steifen Endrahmen noch mehrere steife Zwischenquerrahmen besitzt. Für diesen oft vorkommenden Fall wurde eine Näherungstheorie entwickelt, die es ermöglicht, diese Brücken in überaus einfacher Weise zu berechnen. Gleichzeitig wurde gezeigt, daß sich diese Brücken in bezug auf Eisengewicht überaus günstig verhalten. Im Verlaufe der Entwicklung ergab sich die Gelegenheit, die Verschiebung eines Querrahmens infolge der Belastung zu untersuchen. Die Einführung des Begriffes : statischer Mittelpunkt des Brückenquerschnittes, sowie die Untersuchung seiner Eigenschaften sei hervorgehoben.

In der ganzen Arbeit wurde versucht, den Untersuchungen einen allgemeinen Wert dadurch zu leihen, daß erstens die Brückenform und die Lage der Auflagerpunkte durch Koordinaten festgelegt wurde, so daß auf die einfachste Weise zu den speziellen Fällen

der Praxis übergangen werden kann (selbst die Angriffspunkte der einzelnen der 7 bis 8 Auflagerreaktionen wurden voneinander getrennt gewählt,

um

den allgemeinsten Fall zu erreichen); zweitens wurden

die Untersuchungen jeweils durch Einflußwerte geführt, so daß zum speziellen Fall einer stetigen Belastung leicht übergangen werden kann.

Indem Verfasser hofft, daß sein Beitrag dem einen oder anderen seiner in der praktischen Tätigkeit stehenden Fachgenossen von Nutzen sein werde, übergibt er ihn dem Leserkreise mit der Bitte um ein wohlwollendes Urteil.

Saarbrücken, im Juli 1912.

Dr.-Ing. Siegmund Löschner.

Inhaltsverzeichnis.

Vorrede.........

Literaturangaben.....

Einleitung........

§ 1. Allgemeines .    .    .    .

§ 2. Auflager der Brücke § 3. Zur Zahl der Stäbe

x3S

Erste Abteilung.

Statisch bestimmte Brücken.

§ 4. Allgemeines

I. Abschnitt.

Balkenbrücken mit zwei Hauptträgern und einem Horizontalverband.

1.    Bauart der Brücke. § 5. Festsetzungen...........

2.    Einfluß der lotrechten Kräfte:

a)    § 6. Berechnungsvorgang................

b)    § 7. Größe der Auflagerdrucke...........    .    .    .

c)    § 8 Einflußflächen..................

§ 9. Einfluß flachen für eine statische Größe U der Hauptträger    14

§ 10. Einflußflächen für die Auflagerdrucke..........

3.    Einfluß der wagerechten Kräfte der y-Richtung (Querkräfte

der Brücken):

«) Die Horizontalverspannung ist eben

a)    § 11. Berechnungsvorgang

b)    § 12. Auflagerdrucke ....

c)    § 13. Einflußflächen.....

ß) Die Horizontalverspannung ist eine gebogene oder gebrochene Fläche 17

§ 14. Allgemeines

§§ 15—24. Über die Berechnung von Balkenbrücken mit gebogenem oder gebrochenem Windverbande bei Wirkung von parallelen in der Fläche des Verbandes wirkenden Kräften. (Zusatzkräfte in den Hauptträgern infolge der gebogenen oder gebrochenen Form des Windverbandes.) Anwendung auf gegliederte Balkonträger:

I. § 15. Festsetzungen .....

§ 16. Fortsetzung § 17. Fortsetzung

12

13

14

15

. 16

16

. . 17

18

. . 19 . . 20

VII

Seite

22

II.    Einflußlinien der Auflagerdrucke der Hauptträger......

§ 18. Entwicklung.................

§ 19. Konstruktion.................

III.    Einflußlinien der Biegungsmomente des Hauptträgers infolge

der Zusatzkräfte Л V. § 20.............

IV.    Einflußlinien der Scherkräfte des Hauptträgers der Balkenbrücke

infolge der Zusatzkräfte /1V. § 21..........

V.    Direkte Bestimmung der Zusatzkräfte Д V. § 22......

VI.    Anwendung auf Bogenträger. § 23..........

VII.    Balkonträger. § 24................

4. Einfluß der wagerechten Kräfte der X-Richtung (Längskräfte

der Brücke):

«) Die Horizontalverspannung ist eben......

§ 25. a) Berechnungsvorgang........

b) Beanspruchung der einzelnen Tragwände .

§ 26. c) Bestimmung des Wertes .......

ß) Der Windverband ist gebogen. § 27.....

y) Statisch unbestimmter Fall. § 28.......

5 Brücken mit zwei wagerechten Auflagern der x-Richtung und einem wagerechten Auflager der y-Richtung: § 29.....

a)    Bauart ....    ...................

b)    Einfluß der wagerechten Kräfte der }»-Richtung (Querkräfte) .... 65

c)    Längskräfte der Brücke (wagerechte Kräfte der X-Richtung) .... 68 6. Brücken mit vier wagerechten Auflagern:

Statisch unbestimmter Fall. § 30

a)    Querkräfte (Kräfte parallel

b)    Längskräfte (Kräfte parallel

zur J'-Achse) zur X-Achse)

II. Abschnitt.

Brücken mit zwei horizontalen und einem vertikalen Hauptträger.

22

25

29

31

34

35

40

41

41

. 48

51

54

59

64

65

. 70

70

76

1.    Allgemeines. § 31....................

2.    Einfluß der lotrechten Kräfte:

§ 32. «) Die Verspannungen sind eben.............

ß) Die Horizontalverspannung ist gebogen..........

3.    Querkräfte (Kräfte der ^-Richtung). § 33..........

4.    Längskräfte (Kräfte der X-Richtung). § 34.........

5.    Brücken mit zwei wagerechten Auflagern der x-Richtung und

einem Auflager der y-Richtung. § 35...........

6.    Brücken mit vier wagerechten Auflagern. § 36.......

Bemerkung 1......................

Bemerkung 2......................

78

79

80

80

81

84

87

87

88

III. Abschnitt.

Durchbiegung von Brücken.

§ 37. Allgemeines.......

§ 38. Ebenes Parallelfachwerk.    .    .

VIII

Seite

§ 39. Brücke mit drei selbständigen Tragwänden

§ 40. Brücke normaler Bauart.......

§ 41. Erweiterung...........

90

93

96

Brücken mit vier Tragwänden und steifen Zwischenquerrahmen.

Zweite Abteilung.

Einfach statisch unbestimmte Brücken.

Brücken mit vier Außentragwänden.............

§ 42. Bauart.....................

Fortsetzung....................

«) Parallelepipedische Brücken. § 43..........

ß) Brücken mit gebogenen Verbänden. § 44.......

§ 45. Einfluß der Ungenauigkeit der Widerlager........

§ 46. Berechnungsvorgang. Günstige Anordnung der Querrahmen .

Dritte Abteilung.

§ 47. Entwicklung.................

§ 48. Lage des statischen Mittelpunktes.........

§ 49. Berechnungsvorgang..............

§ 50. Verschiebung de^ belasteten Querrahmens......

§ 51. Übergang auf Brücken mit mehreren steifen Querrahmen

Anhang.

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ersten Abteilung, I. Abschnitt 3 ß :

I. Spezialfälle

§ 52. 1. Spezialfall: Trapezgurtung..........

§ 53. 2. Spezialfall: Parabelgurtung..........

§ 54. Einflußlinien hierzu.............

§ 55. 3. Spezialfall : Halbkreisgurtung H = w .1; w — konstant

zur

US

§ 56. 4. Spezialfall: Halbkreisgurtung H — wl; w = —; w = konstant

§ 57. 5. Spezialfall: Halbkreisgurtung H = wl; w = \v.z; tt' — konstant

§ 58. 6. Spezialfall: Halbkreisgurtung. Einflußlinien........

II. § 59. Rechnungsbeispiel zur ersten Abteilung, I. Abschnitt 3 ß .    .    .    .

III.    § 60. Beispiel eines Balkonträgers (Fahrbahnträger einer Drehbrücke)

zur ersten Abteilung, I. Abschnitt 3ß, § 24........

IV.    § 61. Radreibungskraft bei beweglichen Brücken und ähnliche Be

anspruchungen. Spezialfall zur ersten Abteilung, I. Abschnitt 5, § 29 b § 62. Desgleichen. Spezialfall zur ersten Abteilung, II. Abschnitt 5 .    .

V. § 63. Bemerkung über die Belastungskräfte bei Brücken......

zur dritten Abteilung.............

VI. § 64. Beispiel

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Literaturangaben.

1.    Fr. Engesser: Über den Horizontalverband bei Bogenbrücken.

Erschienen in Zeitschrift für Bauwesen 1881.

Die Berechnung des gebogenen Windverbandes erfolgt auf die Weise, daß zunächst die Füllungsstäbe berechnet werden und dann die Stabkräfte dieser Stäbe (eigentlich die zur Tragwand parallelen Komponenten dieser Kräfte) als Angriffskräfte des Bogens eingeführt werden. Diese Angriffskräfte werden in wagerechte und lotrechte Komponenten zerlegt und der Einfluß dieser Lastarten gesondert untersucht.

Die Untersuchung gebogener Windverbände ist in vorliegender Arbeit ganz abweichend hiervon geführt. Siehe die Bemerkungen in § 16. Ein Hinweis auf diese Arbeit von Engesser befindet sich im § 23.

2.    Fr. Engesser: Die Zusatzkräfte und Nebenspannungen eiserner

Fachwerksbrücken. Berlin 1892.

Mit diesem Werke hat vorliegender Beitrag gegenständlich viele Berührungspunkte, jedoch ist die Art der Untersuchung eine andere. Das sehr wertvolle Buch beschränkt sich auf normale Balkenbrücken, bei denen die Auflagerpunkte in den Ebenen der Hauptträger liegen. Die Untersuchung der gebogenen Windverbände ist wesentlich die gleiche, wie in der unter 1. genannten Arbeit. Die statisch unbestimmten Brücken mit mehreren steifen

Querrahmen sind in diesem Werke ganz anders behandelt. Die dort entwickelte Näherungstheorie berücksichtigt nur eine gleichmäßig verteilte ‘ Belastung.

Auf dieses Buch wird in vorliegender Arbeit öfters hingewiesen.

3. Dr. August Föppl: Das Fachwerk im Raume. Leipzig 1892.

In den §§ 71, 72, 73 dieses Buches wird das Thema des Absatzes 3ß der ersten Abteilung meiner Arbeit prinzipiell behandelt und erledigt. Auf eine Abhandlung von Winkler im Zivilingenieur 1884 ist Bezug genommen. Die Berechnung einer gebogenen Verspannung läuft gemäß diesem Buche auf die Untersuchung eines zweidimensionalen zylindrischen Fachwerkes aus, das, um statisch bestimmt zu sein, an jedem Knotenpunkte eine Auflagerbedingung zugeschrieben bekommt, die den Knotenpunkt zwingt, im Zylindermantel zu verbleiben.

Derselbe Weg wurde im Absätze 3ß der ersten Abteilung der vorliegenden Arbeit eingeschlagen.

Über die Art der Kräfte, die diese Auflagerbedingung erfüllen und dann die Hauptträger belasten, über deren unmittelbare Ermittelung aus der geometrischen Form der Leitlinien des Zylinders und aus dem System der in der Mantelfläche desselben wirkenden Lasten ist, dem Zweck des genannten Buches entsprechend, in diesem grundlegenden Werke Föppls keine Rede.

4.    A. Zschetzsche: Berechnung von Bogenbrücken bei Wirkung

seitlicher Kräfte. Erschienen in Zeitschrift für Architektur- und

Ingenieurwesen. Hannover, Jahrg. 1897, Heft 4.

Diese Arbeit enthält eine sehr ausführliche Berechnung von Bogenbrücken bei Wirkung seitlicher Kräfte. Der allgemeine Fall eines gelenklosen Bogens ist vierfach statisch unbestimmt. Die Grundidee bei der Berechnung der Hauptträger ist, genau wie bei den unter 1. und 2. zitierten Quellen, daß nach Bestimmung der Spannkräfte der Füllungsstäbe der gebogenen Verspannung die zum Hauptträger parallelen Komponenten dieser Stabkräfte als Angriffskräfte des Hauptträgers eingeführt werden.

Siehe die Bemerkungen im § 16 und § 23.

5.    H. Müller-Breslau: Beiträge zur Theorie der Windverbände

eiserner Brücken, Teil I. Zeitschrift für Bauwesen 1904, S. 115. Desgl. Teil II. Zeitschrift für Bauwesen 1905.

Ausführliche Behandlung des Einflusses des Windes auf die Bogen und des Einflusses der vertikalen Kräfte auf die Windverbände.

Die vorliegende Arbeit hat mit obigen Beiträgen keine Berührungspunkte.

6.    Handbuch der Ingenieurwissenschaften. II. Band. Der Brückenbau.

Über die Unterschiede in der Betrachtungsweise der gemeinsamen Abschnitte dieses Buches und der vorliegenden Arbeit gilt ziemlich das Gleiche, wie das bei den unter 1. und 2. zitierten Quellen Gesagte.

Einleitung.

von

§1. Allgemeines. Eine Brücke ist in statischer Beziehung ein System von mehreren verspannten Wänden zur Übertragung Kräften auf die Auflager. Für gewöhnlich erfolgt diese Übertragung so übersichtlich und einfach, daß es genügt, die einzelnen Wände für sich zu betrachten und zu berechnen.

Bei vielen Brücken jedoch, insbesondere bei den immer häufiger zur Ausführung kommenden Kran- und Verladebrücken, deren Behandlung den ersten Anlaß zu dieser Arbeit gab, bei Brücken auf hohen Stützen, bei denen sich die Lagerpunkte tief unterhalb des Brückenrumpfes befinden und dergleichen mehr, genügt oft die einfache Zerlegung der Brücke in die ebenen Tragwände nicht. Es muß vielmehr die Brücke als räumliches Gebilde im ganzen angesehen werden, um die Wirkung und Belastung der einzelnen Tragwände festzustellen. Es sollen im folgenden einige der üblichen Brückentypen unter diesem Gesichtspunkte behandelt werden. Es ist unvermeidlich, daß dabei viel Selbstverständliches und allgemein Bekanntes gesagt wird. Da es aber im Interesse der Geschlossenheit der Arbeit geschieht, möge es entschuldigt werden.

Bei einer Brücke unterscheiden wir Längswände, das sind die Hauptträger und Windverbände, und Querwände oder Querrahmen. Die letzteren dienen zur Übertragung der zur Brückenachse rechtwinklig wirkenden Lasten auf die Längswände. Die Querrahmen sind scheibenartige Gebilde, deren Auflagerlinien durch die Schnittgeraden der Querrahmenebene mit den Längswänden gebildet werden. Sind die Querrahmen so beschaffen, daß zwischen der Anzahl к ihrer Knotenpunkte und der Anzahl 5 ihrer Stäbe die Beziehung besteht so nennt man die Querrahmen steif. Obige Bedingung ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend, da auch der innere Aufbau von

Löschner, Balkenbrücken.

Bedeutung ist. Es muß nämlich die Nennerdeterminante des Gleichungssystems, die das Gleichgewicht in allen Knotenpunkten ausdrücken, ungleich Null sein.¹) Natürlich können Teile des Querrahmens durch vollwandige Scheiben (Biegungsträger) ersetzt werden.

Es ist noch zu bemerken, daß die erwähnte Determinante nur von der Struktur und den Koordinaten der Knotenpunkte abhängig ist, von den angreifenden Kräften dagegen unabhängig.

Es darf auch ein Stab im Querrahmen fehlen, ohne daß der Rahmen dadurch unsteif wird, wenn der fehlende Stab zwei Knotenpunkte derselben Längswand verbindet, die durch den Umstand, daß die Längswand ein kinematisch bestimmtes Fach werk ist, eine unveränderliche Entfernung voneinander besitzen. Aus diesem Grunde dürfen auch diejenigen Stäbe eines Querrahmens, die in den Längswänden liegen, zu den Längswänden gezählt werden. Um die Berechnung eines Rahmens durchzuführen, empfiehlt es sich, die fehlenden Stäbe einzusetzen und die Längswände dann mit je zwei gleichen, entgegengesetzt gerichteten Kräften von der Größe der errechneten Stabkraft zu belasten, welche in den Knotenpunkten angreifen, die der gedachte Stab verbindet. Druckkräfte in den Stäben sind hierbei von den Knotenpunkten weggerichtet zu denken, Zugkräfte umgekehrt. Läßt man die Stäbe des Rahmens, die in die Tragwände (Längs-) der Brücke fallen, bei der Zählung weg, dann ist die Bedingung für einen steifen Rahmen: Sp*2k — 3 — W, wobei w die Anzahl der anschließenden Längswände bedeutet.

Außer den Querrahmen gibt es noch gewöhnlich Zwischenkonstruktionen zur Übertragung der Längskräfte auf die Hauptwände.

§2. Auflager der Brücke. Unter Auflager wird im allgemeinen ein Punkt der Brücke verstanden, an dem äußere Lagerkräfte (Auflagerdrucke, Auflagerwiderstände, Auflagerreaktionen) übertragen werden. Im engeren Sinne kann unter Auflager die Richtungslinie einer Lagerkraft verstanden werden (Lagerstab). In der Regel werden an einem Lagerpunkte mehrere Auflager (Lagerstäbe) vereinigt, jedoch höchstens drei, die nicht in einer Ebene liegen. Ferner dürfen zwei in einem Punkte vereinigte Auflager (Lagerstäbe) nicht in eine Gerade fallen. Wenn nichts erwähnt wird, soll jedes Lager ein sogenanntes freies Lager sein, d. h. nur eine Auflagerkraft übertragen. Dies wird bekannterweise durch einen Lagerstab oder

ł) Die Bedingung Nennerdeterminante D ungleich Null gilt bei statisch unbestimmten Fachwerken für den statisch bestimmten Grundfall. Über die Auszählung der Systeme findet man in allen Lehrbüchern Näheres.

dadurch erreicht, daß der Lagerpunkt in einer zur Lagerkraft winkelrechten Ebene frei (reibungslos) beweglich geführt wird. Überträgt ein Lagerpunkt mehrere Auflagerkräfte, so kann aus den allgemeinen Betrachtungen und Formeln zu dem speziellen Falle leicht übergegangen werden, indem man die Koordinaten der sonst getrennten Lagerpunkte gleichsetzt.

Fast alle Balkenbrücken haben vier vertikale Auflager (im Sinne von Lagerstäben). Die Anzahl der wagerecht gerichteten Auflager muß mindestens drei sein, die nicht durch einen Punkf durchgehen, also auch nicht parallel sein dürfen. Jede Brücke besitzt somit sieben Auflager. Mit diesen Brücken, die sieben Auflager haben, von denen vier lotrecht gerichtet sind, wollen wir uns in der Folge hauptsächlich beschäftigen.

Auf Tragwerke, die keine Balkenbrücken sind, insbesondere auf Bogenbrücken, lassen sich nachstehende Betrachtungen zum großen Teile ebenfalls anwenden. Die Bogenbrücken besitzen überzählige wagerechte Auflager, die auch infolge lotrechter Angriffslasten der Brücke beansprucht werden.

§3. Zur Zahl der Stäbe. Die Anzahl der Knotenpunkte der Brücke, in denen Stäbe, wozu auch Auflagerstäbe zu zählen sind, Zusammenkommen, die nicht in einer Ebene liegen, sei ns (räumliche Knotenpunkte); die Anzahl der Knotenpunkte, in denen bloß Stäbe vereinigt sind, die zwar in einer Ebene liegen, aber nicht in eine Gerade fallen, sei n₂ (ebene Knotenpunkte), und schließlich sei die Anzahl aller Knotenpunkte, in denen bloß Stäbe einer Richtung auf-treten, nl (lineare Knotenpunkte). „S“ sei die Anzahl aller Stäbe, die Auflagerstäbe ausgenommen.

Es muß dann die Beziehung bestehen:

1)

3 n₃ -j-2 n.₂ -j- rij — s <T 7,

damit eine mit sieben Auflagern versehene Brücke für alle Angriffe standfest ist.

Ist 3 n₃ -j- 2n₂ -|~ n₁ — s = 7, dann ist die Brücke statisch bestimmt.

Ist 3 n:i —(- 2 ft₂ -f- Tl₁—s<7, dann ist sie statisch unbestimmt. Die Gleichung 1) ist ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kennzeichen der Unbeweglichkeit des Brückensystems, da der sonstige Aufbau auch eine wichtige Rolle spielt. Im besonderen darf an den Knotenpunkten, in denen Stäbe vereinigt sind, die in einer Ebene liegen, keine äußere (auch Lager-) Kraft angreifen, die nicht in derselben Ebene liegt. Ebenso müssen in den linearen Knotenpunkten die äußeren Kräfte in der Stabachse liegen. Natürlich muß die Nennerdeterminante des Gleichungssystems, die das Gleichgewicht in allen Knotenpunkten ausdrücken, ungleich Null sein.¹)

Eine statisch bestimmte Brücke mit sieben Auflagern (im Sinne von Lagerstäben) ist ein sogenanntes gestütztes räumliches Fachwerk im Gegensatz zum freien Raumfachwerk. Als freies Fachwerk müßte die Brücke einen Stab mehr haben und könnte durch sechs Auflager vollständig gestützt sein. Durch den Ersatz eines Stabes durch ein Auflager entsteht dann das gestützte Brückenfachwerk.

Eine kurze prinzipielle Bemerkung sei noch zu der Auszählung der Stäbe und Knotenpunkte gestattet. August Föppl, der den Begriff Raumfachwerk eigentlich einführte, verstand darunter einen Verein von Stäben und Knotenpunkten, der für alle Kräfte stabil ist, die auf die Knotenpunkte wirken und ein Gleichgewichtssystem bilden. Unter diesem Gesichtspunkte betrachtet, ist das oben erwähnte Brückenfachwerk kein statisch bestimmtes, da es 77₂ Knotenpunkte enthält, in denen Stäbe vereinigt sind, die in einer Ebene liegen und 71, Knotenpunkte, in denen Stäbe vereinigt sind, die in eine Gerade fallen. Dieses Fachwerk ist gegen Kräfte, die auf die erwähnten Knotenpunkte wirken und nicht in der Ebene bzw. in der Geraden der Stäbe gelegen sind, nicht standfest. (Es mußten tatsächlich auch solche Kräfte ausgeschlossen werden; aber der Ausschluß gewisser Kräfte ist im Föpplschen Sinne ein Zeichen, daß das Fachwerk nicht statisch bestimmt ist.) Zu einem standfesten, statisch bestimmten Fachwerk im Sinne von Föppl wird die Brücke entweder durch Unterdrückung der Knotenpunkte n₂ und 77, oder, falls das Fachwerk nicht abgeändert werden soll, dadurch, daß man diesen Knotenpunkten bestimmte Bedingungen vorschreibt. Die Bedingungen lauten: Die n,₂ Knotenpunkte werden in der Ebene der Stäbe, die in ihnen vereinigt sind, geführt, am besten durch je einen Auflagerstab, der nicht in diese Ebene fallen darf. Die 77, Knotenpunkte werden in der Geraden der Stäbe geführt, am besten durch je zwei Auflagerstäbe, die nicht in diese Gerade fallen. Die Anzahl der Auflager wird dadurch um n₂-\-2n₁ vergrößert, und es ist

3ns -f- 3u₂ -j- 37i₁ — s 7 -j- n₂ -\-2nx.

*) Die Bedingung: Nennerdeterminante D un

gleich Null gilt bei statisch unbestimmten Fachwerken für den statisch bestimmten Grundfall. Uber die Auszählung der Systeme findet man in allen Lehrbüchern Näheres.

Mit der stillschweigenden Annahme der n₂-\-2nl Auflagerstäbe, die bei Ausschluß der bewußten Kräfte spannungslos werden und die das Fachwerk erst zu einem bestimmten im Föpplschen Sinne machen, wollen wir von statisch bestimmten Raumfachwerken sprechen, bei denen es ebene und lineare Knotenpunkte gibt. Das Gleichgewicht in diesen Knotenpunkten ist entsprechend ein ebenes (je zwei Gleichungen) oder ein lineares (je eine Gleichung).

Das so entstandene gestützte Fachwerk ist nun gegen alle Kräfte widerstandsfähig. Treten die oben ausgeschlossenen Kräfte nicht auf, so sind die hinzugefügten Lagerstäbe spannungslos. In dem System der Gleichgewichtsbedingungen, die das Gleichgewicht in allen Knotenpunkten nach den drei Koordinaten des Raumes aus-drücken, gibt es bei geschickter Wahl der Koordinatenachsen n.₂ -j-2 nt voneinander ganz unabhängige Gleichungen, die nur je eine Unbekannte, und zwar die Spannkraft des entsprechenden Lagerstabes, haben. Treten die oben ausgeschlossenen Kräfte nicht auf, dann sind die rechten Seiten dieser Gleichungen gleich Null und somit auch die unbekannten Spannkräfte. Streicht man die Gleichungen weg, dann bleibt ein System von 3 n.A -f- 2 n₂ -\- Gleichungen zurück, deren Nennerdeterminante ungleich Null sein muß und die zur Ausrechnung der 5 Stabkräfte und der sieben Auflagerkräfte genügen.

Diese Abweichung von der Föpplschen Festsetzung soll deswegen beibehalten werden, weil es tatsächlich viele Brückenfachwerke mit ebenen Knotenpunkten gibt. Man denke an das К-System für Horizontalverspannungen oder an Systeme mit Hilfsdiagonalen. Die in diesen Knotenpunkten auftretenden geringen Kräfte, die nicht in der Ebene der Stäbe wirken, wie das Eigengewicht (bei Horizontalverspannungen), die Windkraft usw. werden lediglich durch die Biegungssteifigkeit der Stäbe und Nichtgelenkigkeit der Knotenpunkte übertragen.

Erste Abteilung.

Statisch bestimmte Brücken.

§ 4. Allgemeines. Die statische Bestimmtheit möge sich vor allem auf die äußeren Verhältnisse, wie Anzahl der Wände, der Lager usw. beziehen. Ist irgendwo eine lokale statische Unbestimmtheit, wie steife Gegendiagonalen, vorhanden, oder ist eine Tragwand statisch unbestimmt, so gelten die nachfolgenden Betrachtungen trotzdem im vollen Maße. Ausgeschlossen seien lediglich Fälle, wo durch Hinzutreten eines weiteren Lagers, oder einer Tragwand die statische Bestimmtheit gestört wird. Man könnte demnach dieser Abteilung den Titel

äußerlich und räumlich statisch bestimmte Brücken

geben.

Zu diesen gehören vor allem die Brücken mit drei Längswänden, also die oben oder unten offenen Brücken, ferner Brücken mit einem

vertikalen und zwei wagerechten Hauptträgern.

Es soll nun nachgewiesen werden, daß ein Brückenfachwerk, das aus drei Längswänden und den nötigen steifen Querrahmen besteht und sieben Auflager besitzt, statisch bestimmt ist, d. h. daß es 3 n₃ -{- 2 я₂ —f— nl — 7 Stäbe besitzt.

Um es zuerst auf einem einfachen Beispiel zu zeigen, sei ein parallelepipedisches geschlossenes Fachwerk angenommen. Die vier Längswände sind Parallelträger mit m-Feldern und einfachen Pfosten und Diagonalen. An den Enden ist in den Querrähmenebenen je eine Diagonale. Dieses Fachwerk ist ein Flechtwerk, somit ein freies, räumliches, statisch bestimmtes Fachwerk. Es erfordert zur Stützung sechs Auflager. Die Anzahl der Stäbe ist: 4 m Gurtstäbe, 4 m Diagonale, 4 (m -f-1) Riegel bzw. Pfosten und zwei Diagonalen in den Endquerrahmen, zusammen 5 = 12 rtl -j- 6. Die Anzahl der Knotenpunkte ist n.₃ = 4 (m -j- 1) = 4 m -j- 4, n.₂ =o, nl = o. Zwischen 5 und n besteht die Beziehung 3 7l₃ -f- 2 Я, nl — 5 = 12 m 12 — (12 m -f- 6) = 6 das Kriterium eines freien räumlichen Systèmes. Man entferne nun die m-Diagonale einer Längswand und setze m—1 Diagonale der Zwischenquerrahmen ein, die bisher unsteif waren. Das System besitzt nun 3 ns -f- 2 n₂ -f- nx—7 Stäbe, da ein Stab weniger eingesetzt, als weggenommen würde. Es ist somit in der Tat 3 n₃ -j- 2 tl.₂ -J- nl—5 = 7. Dieses Fachwerk erfordert auch ein Auflager mehr als das Ausgangsfachwerk, also 7. •

um

Dieselbe Auszählung soll nun gemacht werden bei einer ganz allgemeinen Beschaffenheit der Längswände.

Wir nehmen ein beliebiges ebenes Fachwerk als eine Längswand. Es besitze s₁ Stäbe und kt Knotenpunkte, und es sei Sl=2kl— 3 als Zeichen eines statisch bestimmten Fachwerkes. Nun wählen wir ein zweites ebenes Fachwerk als zweite Längswand und stellen es in einen gewissen Abstand von der ersten Wand. Die Lage braucht aber nicht parallel zu sein, auch braucht das System, Stab- und Knotenpunktanzahl nicht dieselbe zu sein, wie beim ersten Fachwerk. Auch bei diesem Fach werk ist5₂=2/c₂—3.

Von den кj bzw. k₂ Knotenpunkten werden fx bzw. f₂ ausgesucht, an welchen eine dritte Längswand an die zwei bestehenden angeschlossen wird. Damit die dritte Längswand statisch bestimmt ist, müßten die fj —J— f₂ Knotenpunkte durch 2 (ft -(- f₂) — 3 Stäbe verbunden werden. Nun sind aber zwischen den ft Knotenpunkten der einen Wand bzw. f₂ Knotenpunkten der zweiten Wand f,—1 bzw. f₂—1 Beziehungen vorhanden, die bedingen, daß diese Punkte gegeneinander in ihrer Ebene unverrückbar sind. Es sind z. B. gewöhnlich zwischen diesen Punkten fL—1 bzw. f₂—1 Gurtstäbe vorhanden. Man braucht also um fx—1 -j- f₂ — 1 weniger Stäbe einzusetzen, um die fx f₂ Punkte der neuen Längswand gegenseitig zu verbinden. Die Anzahl der neu einzusetzenden Stäbe ist daher

2 (f₁ + f₂)-3-(f₁-l)-(f₂-l) = f₁ + f₂-l.

Außer den -f- f₂ Knotenpunkten der dritten Längswand, die noch den ersten zwei Wänden mit angehören, seien in dieser Wand f₃ Knotenpunkte gebildet. Dann erhöht sich die Anzahl der notwendigen Stäbe um 2 f₃, und es ist die Gesamtzahl der neuen Stäbe 0 = fi -f- ^2 “b 2 f₃ — 1.

Es sollen nun Querrahmen gebildet werden. Man wähle fj Knotenpunkte der ersten, 1.₂ Knotenpunkte der zweiten und Z₃ Knotenpunkte der dritten Wand, die alle in einem Querschnitt der Brücke liegen mögen. Der Querschnitt braucht keineswegs ein senkrechter zu sein. Unter den Z₄ bzw. Z₂ Knotenpunkten seien jedesmal diejenigen mitgerechnet, die in der Schnittgerade der dritten Tragwand mit der ersten bzw. der zweiten liegen. Sollte an dieser Stelle ursprünglich kein Knotenpunkt vorhanden sein, so ist der Knotenpunkt durch Ziehen je eines Stabes in jeder der Längswände zu bilden. Nun verbinde man die Zt —|— —[— Z₃ Knotenpunkte durch Stäbe so, daß ein steifer Querrahmen entsteht. Dazu braucht man allgemein 2 (Z₄ -}- Z₂ -j- Z₃) — 3 Stäbe, von denen jedoch Zj —j— Z₂ —j— Z₃ — 1 hier überflüssig sind, weil die Entfernungen der zugehörigen Punkte in ihren Ebenen wegen der Steifigkeit der Längswände konstant sein müssen. Wurden bei der Ausbildung der Querrahmen Z₄ neue Knotenpunkte gebildet, die in keiner der drei Wände liegen, dann erhöht sich die Zahl der Stäbe um 2 Z₄. Die Anzahl t der Stäbe in einem steifen Querrahmen ist daher t = 2 (Zx —f— Z₂ —|— Z₃) — 3 — (h + 4 h — 1) + 2 Z₄ = Z₄ -f Z₂ -f- Z₃ -f- 2 Z₄ — 2.

Man denke sich m Querrahmen eingeschaltet, die durch die Zeiger а b с . . . m gekennzeichnet werden.

Die Gesamtzahl der Stäbe in der so gebildeten Brücke beträgt:

5 = Sj -j- s₂ -}- © -j- ta -j- ti -j- Zc -f⁻ ... ~\~ tm = 2 kl — 3 —j— 2 k₂ — 3 “Mi 4M + 2 f₃ — 1 + [Z“ + Z“ -j- Z₃ -f- 2 Z₄ — 2] -j— [l\ + l\ -f- Z3 _j_2ZJ-2] +... + [Zr+Zr+Z₃-+2Zr-2]

5 == 2 kx -}- f₄ -j- ^Zx -j- 2 /c₂ -{- f₂ -J- Zl₂ -f- 2 f₃ -f- ^Z₃ — 7 — 2 m -|- 2    .

Die Anzahl der sämtlichen Knotenpunkte beträgt:

K + K + h +

Hiervon ist räumlich die Anzahl:

N₃ = fx —]— f₂ —{— 2’Z₁ -j- Il₂ -J- — Z₃ — 2 m.

Das letzte negative Glied rührt daher, daß in jedem der m-Querrahmen zwei Punkte vorhanden sind, die sowohl unter bzw. f₂ als auch unter Z₄ bzw. Z₂ mitgezählt wurden und somit je einmal abgezogen werden müssen. Es sind dies die Knotenpunkte, die zwei Tragwänden gemeinsam sind.

Die Anzahl ZV₂ der ebenen Knotenpunkte ist gleich dem Unterschiede der Anzahl sämtlicher Punkte und der der räumlichen, somit ist:

■^2 — К + К~Мз4“-Z₄ — (ft + f₂-j-~K + -Z₂*-{-i’Z₃ — 2 m).

Wir bilden nun den Ausdruck: 3 Ns -j- 2 N₂ -f-1 iV,—S. Da Nx = Oy so ist:

3 Ns

3 N, + 2 N, + N, — S = 3tx + 3f₂ +3^4-3^2+3^4—6/71

2iV₂

+2 Ä₁ + 2 /c₂ + 2 kä + 21’4 — 2 4 — 2 f₂ — 2 ^4 — 2 2? 4 — 2^4 +4m —2/ct —4-Г4-2/с₂ —f₂—Г4 —2f₃-2’4+7+2m—2^4 =7.

Es ist somit der Beweis erbracht, daß ein Fachwerk, das aus drei Längswänden und den nötigen Querrahmen besteht und sieben Auflager besitzt, ein statisch und kinematisch bestimmtes sein kann.

I. Abschnitt.

Balkenbrücken mit zwei Hauptträgern und einem Horizontalverband.

1. Bauart der Brücke (Fig. 1).

das parallel zur linken Endquerrahmen.

Der Abstand der zwei Hauptträger sei überall gleich t. Die Ecke, die durch den linken Endquerrahmen, den hinteren Hauptträger und die horizontale Verspannung gebildet wird, sei der Ursprung 0 eines rechtwinkligen Koordinatensystemes. Die positive ^-Richtung Brückenachse nach rechts, also wagerecht, die

§ 5. Festsetzungen. An allen Lastangriffsstellen sind steife Querrahmen eingebaut. An den Enden sind Endquerrahmen vorhanden, in deren Ebenen sich die Lagerpunkte befinden. Die vier lotrechten Auflager haben die Angriffspunkte 1, 2 im linken und 3, 4 im rechten Endquerrahmen. Zwei wagerechte Auflager, deren Richtungslinien winkelrecht zu der Brückenachse sind, greifen an den Punkten l und Г (links und rechts) an. Ein wagerechtes Auflager, Brückenachse wirkt, befindet sich im Punkte a im

laufe parallel zur positive y-Achse sei ebenfalls wagerecht, winkelrecht zu X und nach

vorn gerichtet. Die Z-Achse sei lotrecht und werde nach oben positiv bezeichnet.¹)

Die Punkte 1, 2, 3, 4 haben die Koordinaten:

X-Richtung: 0, 0, —j— /,    /,

У-

— ^i» ^+4» —4» t_M₄,

z-

belanglos ;

siehe Fig. 1. (I als Maß heißt Brückenlänge, als Zeiger und Bezeichnung: links.)

tX

0\

t-

Cr

сТёпЪлсА-f

Л* л

*г

Hi

Fig. 1 a.

*$

Яг

"“i

fyurtrc/ueo

~\0

t Л Л/-4-³

4>

».

Fig. lb.

а) Es wird hervorgehoben, daß -f- z nach oben gerichtet ist. Auch die Lastrichtung nach oben wurde als positiv gewählt. Das wird deshalb betont, da es sonst üblich ist, die positive Lastrichtung nach unten zu wählen, während bei Auflagerdrucken die Richtung nach oben als positiv angenommen wird. Diese übliche Wahl entspricht den natürlichen Verhältnissen. Wegen der Schwierigkeiten, die durch die verschiedenen positiven Richtungen von Last und Reaktion bei der analytischen Berechnung entstehen, wurde in den nachfolgenden Ausführungen die positive Richtung aller angreifenden lotrechten Kräfte nach oben gewählt. Ebenso ist die positive Richtung der Quer- und Längskräfte, sei es für Last oder Reaktion, parallel zu den positiven Richtungen der y- und der ЛГ-Achse gewählt.

„Z“ und „r“ haben die Koordinaten:

X-Richtung: 0, Z, belanglos,

— hh

Der Punkt „a“ hat schließlich die Koordinaten:

Xa -0, Уа - ta, Za - Ha.

Außer dem Endquerrahmen befindet sich an einem Brücken-+% t

У-

Z-

УУ

— hr.

4Г

Лл

4i\]&

У-а

“Л*

/у

* н?т

Fig. 1 с.

Fig. 1 d.

Г;

,?ПЛ

Fig. 1 е.

Fig. If.

ende noch ein Verbindungsglied zwischen dem Punkte „a“ und einem der Hauptträger zur Aufnahme der Längskräfte der Brücke.

Die Brückenseite, an der sich der Punkt a befindet, nennt man die feste Stütze der Brücke. Sie besteht, wie gesagt, aus einem Endquerrahmen, einem anderen Querrahmen im Abstande w und aus einem Verbindungsgliede zwischen den Querrahmen und dem Punkt a. Die Gestaltung der festen Stütze kann überaus mannigfaltig sein. Sie ist bedingt durch den Zweck, dem die Brücke dient. Als Beispiel sei in Fig. le die feste Stütze einer Brücke abgebildet, welche Form bei Verladebrücken häufig vorkommt.

Die andere Brückenseite, an der keine Längskräfte übertragen werden, nennt man die bewegliche, sehr oft die Pendelstütze.

Eine Abart der festen Stütze ist in Fig. lf abgebildet, bei der sich die Auflagerpunkte nicht unterhalb eines Querrahmens befinden, sondern seitlich. Es sind hier zwei abgebogene Endquerrahmen vorhanden, die unten zusammenfließen. In diesem Falle sind die Längswände so zu rechnen, als wären zwischen den beiden Knoten an der betreffenden Stütze Balanciers vorhanden mit dem Hebelverhältnis m : n, wenn der Abstand der lotrechten Auflagerebene von den Querrahmenwänden m und n beträgt. Eine besondere Schwierigkeit in der Berechnung tritt demnach nicht auf.

Bei der festen Stütze ist nur die Verbindung des einen Hauptträgers mit dem Punkte GL erforderlich. Besteht noch eine weitere Verbindung zwischen dem Punkte CL und dem zweiten Hauptträger, dann ist die Brücke eigentlich statisch unbestimmt. Darüber folgt Näheres später.

Die Auflagerdrucke der Brücke seien:

Auflager der Z-Richtung: Rlt i?₂, R₃ und Riy

» y-

Rry Ri,

Ra.

X-

Die Zeiger der Auflagerkräfte R deuten den Angriffspunkt an.

2. Einfluß der lotrechten Kräfte,

Y KbdS = -^Fb.

h

у und fr = G.

II. Abschnitt.

Für a = 0: y a = tf Za — O; für a = t: yd — 0, Zd = 0.

— dhlf —dh2f —dh.ä und —dhi verschieden.

3d?/i 4“<г a)6'2 (/, +/J

s* dx+ c2 =1[x - 6 ^+4|p] + c„

— X (50 — X)

174

2. Einfluß der lotrechten Kräfte,

a) §6. Berechnungsvorgang.

Bei Berechnung von Brücken wird gewöhnlich jede Wand für sich gerechnet, indem sie als ein ebenes Fachwerk angesehen wird. Von dieser Berechnungsart wird auch im folgenden häufig Gebrauch gemacht. Daß dies zulässig ist, muß jedoch noch bewiesen werden. Bemerkt sei, daß bei anderen räumlichen Fachwerken, wie Kuppeln, Tonnenflechtwerken usw. das Gleichgewicht der Stäbe in einem jeden Knotenpunkte festgelegt werden muß, um die Stabkräfte zu ermitteln. Die Einfachheit der Berechnung bei Brückenfachwerken ist eine bedeutende Erleichterung, deren Zulässigkeit aber noch bewiesen werden muß. Der Beweis stützt sich auf einen Satz, der erst im § 25 ausgesprochen und bewiesen wird. Anschließend an diesen Satz in § 25 ist der eigentlich hierher gehörende Beweis gebracht und wird hiermit darauf hingewiesen.

Die Kräfte treten in den Querrahmen auf. Durch diese werden sie auf die zwei Hauptträger übertragen. Der Querrahmen ist somit als Scheibe, die durch zwei vertikale, von den Hauptträgern ausgeübte Reaktionen im Gleichgewicht gehalten wird, zu rechnen. Eine dritte Reaktion, nämlich die in der Horizontalverspannung gelegene, wird durch diese Belastung nicht hervorgerufen. Die auf die Hauptträger entfallenden Teilkräfte belasten dieselben und werden auf die Endquerrahmen übertragen. Zum Schlüsse sind die Endquerrahmen zu berechnen. Sie übertragen die Lasten auf die Punkte 1, 2, 3 und 4.

b) §7. Größe der Auflagerdrucke.

Zur Berechnung der vier Drucke stehen uns ohne weiteres drei Gleichungen zur Verfügung:

2) R{ R»    - P — о 3) Rx -j-    — ZP

4)

M₀ -f- M₀'—sPy = о

wobei M₀ bzw. M₀* die Summe der Momente aller am linken bzw. rechten Endquerrahmen wirkenden Lagerdrucke in bezug auf die X-Achse bedeuten.

Es ist

M₀ = P, — P₂ (t -{- 4) und

M₀‘ = R₃1₃ — Ri (t -f- 4)-

Eine vierte Beziehung zur Ermittlung der vier Drucke ergibt sich aus der Bauart der Brücke. Sind die Querrahmen parallel zur У — Z- Ebene, dann ergibt sich:

l — X t -\- t₀ у

'*+*!+*. 2 R - vp* *+*4-У l t+% + tt

Wie man sieht, zerlegen sich die Summen R₁-\-R₂ bzw. Rs 4 die aus Gleichung 2) und 3) bekannt sind, auf die einzelnen Auflager im selben Verhältnisse, wie sich eine Kraft zerlegen würde, die auf die Balken von der Länge t -f- tl    bzw. t ~\~ t₃ ~\~ im Abstande

tlJry bzw. 4 + у vom Punkte 1 bzw. 3 angreift.

Dieses scheinbar selbstverständliche Ergebnis trifft bloß bei zu den Hauptträgern rechtwinklig eingebauten Querrahmen zu. Bei anderer Kraftübertragung, z. B. bei schrägen Querträgern, oder bei Reibungs-, Zahnrad- und anderen Zwischengliedern ist obige Regel ungültig.

/?, =—IP

__vpZ — X f, + у

5)

l t -j- tx 4-1

___4 ~f' У

i t + h + 4

с) Е i n f 1 u ß f I ä ch е n.

§ 8. Unter Einflußfläche sei (analog der Einflußlinie bei ebenen Fachwerken) die Fläche verstanden, die entsteht, wenn man die Werte einer statischen Größe für verschiedene Lagen einer sich im Raume parallel zu sich selbst verschiebenden Kraft Eins — am Orte der Kraft als Strecken aufträgt. Die Fußpunkte dieser Strecken liegen hierbei in einer Grundebene, die Endpunkte in der Einflußfläche. Es gelten für die Einflußfläche die gleichen Regeln, wie für die Einflußlinie beim ebenen Fachwerk. Die gesuchte statische Größe sei Z. Die X—y-Ebene sei die Grundebene, Ç seien die Applikaten der Fläche.

=pv.

Z = P, -f- P₂ Ç₂ -J- ... = iPt oder Z = pfft dxdy

Hierbei sind Px P₂ . . ., allgemein P die wirkenden Kräfte, p die konstante Belastung pro Flächeneinheit, V der Kubikinhalt des von der Einflußfläche und der Grundebene eingeschlossenen Raumes. Die Integration erstreckt sich auf die belastete Fläche.

§9. Einflußflächen für eine statische Größe U der Hauptträger. Denkt man sich beide Hauptträger einer Brücke, deren Querrahmen rechtwinklig zu den Hauptträgern sind, zusammengelegt und alle Brückenlasten darauf wirkend, und bestimmt man nun den Wert U, so nennen wir diesen Wert — den Totalwert —.

Die Einzelwerte dieser Größe Uv, Uh, die zu den einzelnen

Hauptträgern (vorn und hinten) gehören, ergänzen sich gegenseitig zum Totalwerte Ut

Uv + Uh = Ut

Uv und Uh sind die Ergänzungswerte.

Man zeichne sich die Einflußlinie ll des Totalwertes unter den hinteren Hauptträger bzw. unter die Projektion dieses Trägers auf die X — y-Ebene. Ferner zeichne man die Projektion V des vorderen Hauptträgers auf die X—y-Ebene, und lasse sich nun eine erzeugende Gerade so bewegen, daß sie die Linien и und V schneidet und parallel zur Z — у -Ebene verbleibt. Die Erzeugende beschreibt eine KonoYdfläche, die gleichzeitig die Einflußfläche für den Wert Uh des hinteren Hauptträgers ist. Die Linien и und V sind die Leitlinien des Konoids. Wenn die Träger statisch bestimmt sind, dann übergeht die KonoYdfläche in ein oder mehrere hyperbolische Para-boloYde, da dann U aus einer oder mehreren Geraden besteht.

Beweis: Ist eine Last Eins im Abstande у von der X — Z-Ebene vorhanden, so ist der Anteil, der auf den hinteren Träger entfällt:

t — y    '    f_y

und der Wert der statischen Größe U beträgt: U—~-t wenn

u= f (x) die Einflußlinie des Wertes U für einen ebenen Träger darstellt.

7)

y. t — y

ist aber gleichzeitig die Applikate der vorhin konstruierten Konoidfläche.

Für У-t ist Ç — о, oder: Lasten, die in die Ebene des vorderen Trägers fallen, haben auf den hinteren Träger keinen Einfluß. Für у = О ist £ = U, was auch selbstverständlich ist.

§10. Einflußflächen für die Auflagerdrucke. Die Gleichungen 5) geben mit Weglassung des Koeffizienten lP die Gleichungen der Einflußflächen. Es sind hyperbolische Parabolo’ide. Beispielsweise hat für den Auflagerdruck Rx die Einflußfläche die l— X

; y = — tx und U = 0; y=t-\-ta.

Leitlinien: U

Die Erzeugenden sind parallel zur у — Z-Ebene.¹)

Bei Lasten, die eine und dieselbe Ordinate haben, gestaltet sich die Rechnung sehr einfach. Eine zweigleisige Eisenbahnbrücke z. B. trägt außer dem Eigengewicht nur Lasten bei У=Уг und У~Уг, wenn yx und y₂ die Abstände der Gleismitten vom hinteren Träger bedeuten. Von der ganzen Einflußfläche für den Wert U der Brücke haben für uns nur zwei Linien auf dieser Fläche eine Bedeutung, und zwar die Schnittlinien der Einflußfläche mit den zwei Ebenen У = Уг und у ⁼⁼⁼ у2. Die Schnittlinien sind ähnlich beschaffene (verzerrte) Linien, wie die Einflußlinie U=f(x) des ebenen Trägers. Die Applikaten Ç verhalten sich zu U wie t — yt bzw. t—y₂ zu t. Durch Änderung des Maßstabes können diese Werte direkt von der Linie U abgelesen werden.

Die Konstruktion der Linien и ist aus der Lehre vom ebenen Träger bekannt.

3. Einfluß der wagerechten Kräfte der »/-Richtung (Querkräfte der Brücke).

a) Die Horizontalverspannung ist eben.

a) § 11. Berechnungsvorgang.

Die in den Querrahmen wirkenden Kräfte H erzeugen drei Reaktionen, die ihnen das Gleichgewicht halten und die in den

0 Die Bemerkung gilt für alle Einflußflächen.

f Schnittgeraden eines jeden Querrahmens mit den drei Längswänden wirken. Hat die Kraft die Applikate z, so beträgt ihre Wirkung!) auf die horizontale Verspannung Hw = H

v’=~Hf

п=+я4

„ den vorderen Träger

„    „ hinteren

Die drei Längswände übertragen diese Kräfte auf die Endquerrahmen, und diese auf die Auflager.

b) § 12. Auflagerdrucke.

8)

Die wagerechten Auflagerdrucke Ri und Rr betragen: l — X

Ri = — IH

8 ) R,. = — IH j

9) Ra = O.

Der Auflagerdruck Ra:

Zur Bestimmung der vertikalen Auflagerdrucke Rj R„ R₃ R4 dienen drei Gleichgewichtsbedingungen:

Rx -j- Ro = O wegen - D/ly — О;

Ж₀ + Ж; + 1Яг = о,

wobei

ЛГ₀ ⁼    “j-* ^ —f⁻ ^2) — ^¹ hi und

Mo = Rs (t t₃ tA) — Rr hr.

Eine vierte Beziehung zur Ermittelung von Rr bis ergibt sich aus der Beschaffenheit der Brücke. Sind die Querrahmen parallel zur у—Z-Ebene und die Windverspannung parallel zur X—y-Ebene bzw. mit ihr zusammenfallend, so ist

•z,

und demnach:

in

^--Ą--1Я

Й„=-Й₄=-2Я4.

l — X ht -f Z

l t -f- tx -j- t₂ ’ hr -J- z Ż t + 4 + ^

c) § 13. Einflußflächen.

Als Grundebene der Einflußfläche sei die X—Z-Ebene oder eine zu ihr parallele Ebene gewählt.

a) Einflußfläche einer Größe U der horizontalen Verspannung. Ist die Einflußlinie dieser Größe U bei einem

9 Siehe Fußnote S. 10.

ebenen Träger eine Linie, deren Gleichung U = f (x) ist, so ist die Gleichung der Einflußfläche:

12)

n=f(x).

Es ist dies eine Zylinderfläche mit zur ^-Achse parallelen Erzeugenden. Die Zylinderfläche besteht bei statisch bestimmten Verspannungen aus einer oder mehreren Ebenen.

b) Einflußfläche einer Größe U der vertikalen Hauptträger. Ist die Einflußlinie dieser Größe beim ebenen Träger и = f (x), so lautet die Gleichung der Einflußfläche für den vorderen bzw. für den hinteren Hauptträger:

13)

“ = + |/W-

Es ist dies ein Kono’id, das meistens aus einem oder mehreren hyperbolischen Paraboloïden besteht. Die Leitlinien des Konoids sind:

Die Gerade U= O, Z = O; und die Linie и = f (x), z =t. Die Erzeugenden sind parallel zur z — y-Ebene.

Für konstante Z-Werte der Kräfte H sind für uns nur die entsprechenden Niveaulinien der Einflußfläche von Interesse. Diese Linien sind verzerrte / (x)-Linien, verzerrt im Maßstabe Z : t. Durch Änderung des Maßstabes können die Werte U von der Linie / (x) abgelesen werden.

c)EinflußflächenderAuflagerdrucke. Die Gleichungen dieser Einflußflächen sind in Gleichung 8) 9) und 11) angegeben.

Die Einflußflächen für Ri und R, sind Ebenen, die parallel zur Z-Achse liegen und deren Projektionen auf die X—у-Ebene die Gleichungen haben

x .    x

— und U =--

Die Einflußflächen für i?, usw. sind hyperbolische Paraboloïde. Beispielsweise sind die Leitgeraden für die Rr- und R₂-Flächen:

= 0;

t + *i ~ь 4 *

Die Einflußfläche für Ra fällt mit der X — Z-Ebene zusammen.

11 = 0, Z — — hi ; und u = —

ß) Die Horizontalverspannung ist eine gebogene oder gebrochene

Fläche.

§ 14. Für diesen Fall gelten die Ausführungen unter ci weiter. Als x — y-Ebene ist die wagerechte Ebene zu betrachten, die durch den Eckpunkt geht, in dem die horizontale Verspannung, der linke Endquerrahmen und der hintere Hauptträger Zusammenkommen. Außer den Kräften, die durch die beiden Hauptträger übertragen werden und außer den lotrechten Auflagerdrucken entstehen hier noch vertikale Zusatzkräfte und infolgedessen Zusatz-Auflagerdrucke. Die genaue Berechnung dieser Zusatzkräfte ist im beifolgenden Aufsätze des Verfassers enthalten:

„Uber die Berechnung von Balkenbrücken mit gebogenem oder gebrochenem Windverbande bei Wirkung von parallelen in der Fläche des Verbandes wirkenden Kräften.

(Zusatzkräfte in den Hauptträgern infolge der gebogenen Form des Windverbandes.)

Anwendung auf gegliederte Balkonträger.“

Dieser Aufsatz möge sich hier vollinhaltlich anreihen.¹)

Über die Berechnung von Balkenbrücken mit gebogenem oder gebrochenem Windverbande bei Wirkung von parallelen in der Fläche des Verbandes wirkenden Kräften.

(Zusatzkräfte in den Hauptträgern infolge der gebogenen oder gebrochenen Form des Windverbandes.)

Anwendung auf gegliederte Balkonträger.

I. § 15. Festsetzungen. Eine Brücke bestehe aus zwei parallelen ebenen Hauptträgern, die eine gebogene bzw. gebrochene Gurtung haben. Diese Gurtungen seien durch eine Horizontalverspannung verbunden. Die Brücke habe vier Auflager, die in vertikaler Richtung wirken, ferner zwei Auflager an den beiden Brückenenden, die in wagerechter Richtung, parallel zur y-Achse, Kräfte übertragen. Ein weiteres Auflager in der X-Richtung ist ebenfalls vorhanden.

Auf die Brücke wirken wagerechte zu den Hauptträgern rechtwinklige Kräfte. Diese Kräfte H' werden vermittels der Querrahmen auf die Verspannung übertragen, wobei ein zusätzliches Kräftepaar von den Hauptträgern übernommen werden muß. Ist z die Entfernung einer Horizontalkraft H von dem gebogenen Gurt, in dem sich die Verspannung befindet, dann erhält die letztere den Angriff

H = H', während die Hauptträger die Kräfte erhalten: + H -•

Unser Augenmerk sei lediglich (gemäß dem Titel dieses Aufsatzes) auf die Kräfte, die in der Verspannungsfläche liegen, gerichtet,

L) Siehe Literaturbesprechung- im Vorwort.

während die Wirkung der übrigen Kräfte als bekannt betrachtet und deshalb nicht weiter erörtert wird.

Die in der Zylinderfläche der Verspannung wirkenden Kräfte H rufen Spannungen sowohl in den Stäben der Verspannung als auch in den Hauptträgern hervor.

Die Verspannung wird gewöhnlich so gerechnet, daß man die Horizontalprojektion der Verspannung als ebenen Fachwerkträger behandelt, wobei man sich die Lasten in der Projektionsebene wirkend denkt. Die wirklichen Spannungen der Stäbe erhält man, indem man die so berechneten Stabkräfte mit der Sekante des Neigungswinkels des betreffenden Stabes zur Projektionsebene multipliziert. Die so erhaltenen Stabkräfte mögen die Hauptstabkräfte heißen. Die skizzierte Berechnungsweise ist richtig, aber soweit die Stäbe der Hauptträger in Frage kommen, nicht vollständig. Die Hauptträger erhalten nämlich infolge der gebogenen Form der Verspannung Zusatzkräfte, deren Bestimmung und Theorie den Inhalt der folgenden Zeilen, gemäß dem Untertitel des Aufsatzes, bilden möge.

§ 16. Fortsetzung. Die genaue Berechnung der Brücke erfolgt in der eingangs erwähnten Literatur auf diese Weise, daß man zuerst die Stabkräfte der Füllungsstäbe der Verspannung bestimmt und sich nun den Hauptträger durch einen zur Brückenachse parallelen Längsschnitt losgetrennt denkt, wobei die Spannkräfte der Anschlußstäbe als äußere Lasten hinzugefügt werden. Bei diesem Verfahren werden die infolge der Zusatzkräfte der Hauptträger entstehenden Stabspannkräfte in den Gurtungen zusammen mit den Hauptstabkräften der Gurtungen ermittelt. Dies hat den Nachteil, daß man die Stabkräfte erst nach einer mühevollen Arbeit erhält. Die er-rechneten Kräfte sind dabei verschiedener Größenordnung, es fallen nämlich die Stabkräfte des gebogenen Gurtes ziemlich groß aus, während die Diagonalen und der gerade Gurt gewöhnlich nur wenig beansprucht werden. Das hier angegebene Verfahren schlägt einen anderen Weg ein. Zuerst wird die Horizontalverspannung als ebener (projizierter) Balkenträger gerechnet, die Stabkräfte dann mit der Sekante des Neigungswinkels multipliziert, was sehr einfach geschieht, da sowohl die wahre Länge des Stabes (Zähler der Sekante) als auch die Länge in der Projektion (Nenner der Sekante) bekannt sind. Nun hat man bereits die Hauptstabkräfte und damit die angenäherten Endwerte der Stabkräfte gefunden, und man wird oft bei dieser Annäherung stehen bleiben. Der weitere (zweite) Teil der Rechnung beschränkt sich lediglich auf die Zusatzkräfte, die nur Korrektionswerte liefern, und wird erst gewöhnlich bei der zweiten genaueren Berechnung des Bauwerkes durchgeführt. Beim zweiten Teil der Rechnung erhält man Stabkräfte der gleichen Größenordnung, die zumeist ziemlich klein ausfallen. Die für die Diagonalen und den geraden Gurt der Hauptträger erhaltenen Stabkräfte sind die einzigen, die bei dieser Belastung auftreten, während die Stabkräfte des gebogenen Gurtes zu den Hauptstabkräften algebraisch addiert werden müssen.

Ein weiterer Vorteil dieses Verfahrens ist, daß sich für die Zusatzkräfte eine verhältnismäßig einfache Theorie aufstellen und dadurch die Berechnung leicht durchführen läßt.

à'

-"tV

9n’⁴

£■

Fig-. 2.

Fig. 3.

am linken Auflager ist Z = ha und am

§ 17. Fortsetzung. Die Entfernung einer wagerechten Kraft H von der linken Auflagerebene sei CL. Die Entfernung der Hauptträger sei t, die Spannweite /. Der Untergurt der Brücke sei wagerecht. Die Brückenhöhe in einem Punkte mit der Abszisse X sei Z = f (X). Die Höhe rechten, bei X = l — sei z = hb.

Der linke Auflagerquerrahmen überträgt die Last 2^ H der rechte Zl₀ H .. Die horizontale Projektion der Gurtspannung eines Stabes ist zunächst

±-ЪЩх-а).

Nun betrachte man das Gleichgewicht in einem beliebigen Knotenpunkte des gebogenen Gurtes. (Fig. 2.)

wobei Mh — X- Il₀ H

G — + —

Gn, GnĄ.i, D' seien die wagerechten Projektionen der Stabkräfte G,„ Gn + i und D R ist die Stabkraft im Riegel. Aus dem Kräfteplan Fig. 3 ersieht man, daß zum Gleichgewicht eine vom Hauptträger zu leistende Vertikalkraft Л V bzw. dV nötig ist.

JV= — (Gn + D sin y) (tg an+ j. — tg an) = — Gn + ^ (tg ctn + x — tg a„).

Nun ist: Gn -f- D' sin у — G'n 4. ! = Somit beträgt:

Ml

14)

,I7 -Mhn _    ,    ,T/    _ Mn d²z , ₂.

JV=-\- — dtga; bzw. dV= + ~ far₂dx-).

Mn ist das Biegungsmoment eines Balkens, der entsteht, wenn man die Verspannung samt den Kräften H auf eine wagerechte Ebene projiziert und a ist der Neigungswinkel der Gurtungen zum Horizont.

Mit diesen Lasten J V bzw. d V belaste man nun die Hauptträger und berechne die Zusatzstabkräfte.

Bei der Betrachtung der Hauptträger muß der Wirkungssinn der Kräfte V bzw. d V umgekehrt werden.

lfh

JV=-\- J tg a, dV

T

Mn d² » t dx²

Л V gilt für einen gebrochenen Windverband, d V dagegen für einen stetig gebogenen fiktiven Träger, bei dem die Feldweite unendlich klein ist. Trotzdem wird in der Folge der Bequemlichkeit halber gewöhnlich der Ausdruck d V geschrieben. Die Konstruktion der einzelnen Ausdrücke wird natürlich trotz dieser Schreibweise für den endlichen Wert Л V und nicht d V durchgeführt. Bei der analytischen Berechnung der Spezialfälle dagegen wird d V genommen, um die Summierung glatt durchführen zu können. Die Formeln sind dort daher Annäherungsformeln.

Bei Brücken mit zwei gebogenen Windverbänden, die eigentlich nicht in diesen Abschnitt gehören, müssen die Zusatzkräfte Л V₀ und

14)

d X.

Bei anderen Systemen als dem Ständerfachwerk ist das Resultat natürlich genau das gleiche.

²) Das obere Vorzeichen gilt für den vorderen gezogenen Gurt der Ver

spannung, das untere Zeichen für den hinteren gedruckten Gurt. In der Zukunft wird immer nur das eine Vorzeichen, nämlich für den vorderen gezogenen Gurt,

d²z

geschrieben werden. Man beachte, daß

sowie Л tg « bei konkav nach oben

dx²

liegenden Kurven positiv, bei konvex nach oben liegenden negativ ist.

4VU besonders gerechnet werden. Z₀=f₀(x) und z„ =/u ( x) sind dann die Gleichungen der Gurtkurven, nicht mehr die Höhen der Träger. Wenn beide Verbände die gleichen Windkräfte zu übertragen haben, dann braucht man die Zusatzkräfte nur einmal zu rechnen. Unter Z=f(x) kann dann die Trägerhöhe verstanden werden.

II. Einflußlinien der Auflagerdrucke der Hauptträger.

§ 18. Entwicklung. Wir betrachten nun den Einfluß einer Kraft H, deren Abstand a von der linken Auflagerebene veränderlich sei. Die wagerechten Auflagerdrucke sind

links: Ha = H

rechts : Hb — H

Außerdem entstehen an den Eckpunkten der Hauptträger vertikale Auflagerdrucke; links Ra und —Ra, rechts Rb und —Rb.

[Die Zeiger a und b haben hier eine andere Bedeutung als im übrigen Aufsatze.]

aussagen: Ra+Rb==H~

Uber diese Drucke läßt sich

15)

16)

Man zerlege die Auflagerdrucke Ra und Rb in R°, 9v« und R°b, 9vj.

J Ra = R°(l -f <3ia \ Rb — Rb -j- Яъ

l — a ha

wobei

R°a= H

und

по rr Æ bb

Rb=Hll

17)

Ra und R°b sind die Reaktionen, welche durch die auf die Endquerrahmen entfallenden Anteile Ha und Hb der Kraft H erzeugt werden.

91« und 9\b sind die Auflagerkräfte infolge der Zusatzkräfte JV

bzw. dV.

9ia + ^b = — UV=—/dV=— V.

Eine oberflächliche aber oft vorkommende Annahme geht dahin, daß sich die Kräfte 9t« und 9v& ebenso zueinander verhalten, wie die Abschnitte l — a zu CL. Sie trifft bloß bei symmetrischer Gurtung und Belastung zu.

V=IJV=

¹ Mhn

dV= + Z~Jtga = +

Mhxd²z

t dx

>dx.

Die Tangente an den Gurt im Punkte X — a und der Gurt selbst schneiden auf den Auflagerlotrechten die Abschnitte a und b

l—

— a -j- y b somit ist

23

Andererseits ist:

V — - (Dva -j- 9tb) - - {Ra -j~ Rb) “f* {Ra + Rb)

= — H — -\- H j^[{l — cl) ha -j- ei hb\

^ — (г~а) +

Verbindet man die Endpunkte des gebogenen Gurtes miteinander und nennt man die Ordinaten dieser Geraden Z₀, so findet man, daß

Setzt man nun Z — Z₀ -|- Ç, dann ist

Z₀ —

hJ-j^+h Ï (Fig. 4).

Ла.

Â.4X.

Zo

Jt

JL

Fig. 4.

V= +

Mldfz. H;,

-T7n?dx — Ji und

MU²Z

H dx²

dx = —

l—a d²z l X dx²

dx —

d² z

dx²

dx.

ab. Aus Fig. 4 erkennt man, daß 'Ç

dx und b — — / (l — x) -

d²z

dx²

dx.

24

[Zu obigen Ausdrücken gelangt man gleichfalls auf geometri-

d'² z

schem Wege, da dx den Kontingenzwinkel des Gurtes im Punkte x bedeutet.]

Die Einflußlinien der Werte R°a und Rl sind bekannt, ihre Gleichungen übrigens durch die Gleichungen 17) angegeben. Es fehlen nur noch die Einflußlinien der Werte 9ta und Ütj, die ja eigentlich den Einfluß der gebogenen Form der Verspannung darstellen.

9îa = — dV

l—xMhx d² z

l t dx²

dx =

It

It

l — x tf(Z— a)x d²z dx

l — xH a(l — x) d² z A dx2 dx

-*)

d² z

dx²

dx + J I

9îa ⁼⁼⁼ -1—г⁻ ■ Ka wobei Ka = —

rZ —a 1 /

x(l~x)j^dx

+ T* Z

(l-x)

2 d2 z dx²

18)

ebenso ist

Э1ь = -f- y Къ wobei Кь — —

d²z

dx²

dx

+ 7‘Z

X (Z — x)

d² z

dx]

Ferner ist:

t^ = s. Somit ist

Ka + Kb=l(m. + %)=—~v=tH

к„ = t —

§ 19. Konstruktion. Da die Konstruktion der Ausdrücke x dx und / (I — x)

ta its

dx nach Vorigem bekannt ist, so können

o'

bt\ 4, 4

гг A. s.s

г. s

г. г

3'

5'

>£

77

Xe

tir

5<ч

SI

5»'

2°

T⁷⁵"

»    a///

===!“•

г«--

e»'

7//

S'

Tir

6i'

*•<

JH

SA

2'

ï»

4’ Ą 3"

V>

Fig. 5.

auch die Integrale in den Klammerausdrücken K« und K& mit Hilfe von Seillinien leicht konstruiert werden. Man beachte, daß diese

Integrale die Summen der statischen Momente von x

о-

dx*

dx bzw.

26

d*z

(l — x) dx in bezug auf die Auflagerpunkte darstellen, wobei

diese Größen bei x angreifend zu denken sind.

Man zieht in den Knotenpunkten (Fig. 5) des Gurtes 0, 1, 2 ... 9 Tangenten an den Gurt und erhält als deren Schnittpunkte mit der Auflagerlotrechten bei 10 die Punkte O', T, 2', ... 9'. Bildet der Gurt, was ja die Regel ist, ein Polygon, so verlängert man die Seiten bis zu den Auflagerlotrechten. Die Strecke 0' 4' beispielsweise ist

(l-x)

d-z

dx²

dx und 4 9 = — / (/ — x)

d-z

dx²

dx. Man betrachtet

die Strecken 0' T, T 2'

usw. als Kräfte, die in den Punkten 1, 2 usw. auftreten und im Kräftepolygon 0' bis 9' aufgetragen sind.

d'²z

Ihre Größen sind gleich — (l — x) dx. Nun zeichne man zu diesem

Kräftepolygon mit der Polweite l ein Seilpolygon Ś. Der Punkt 0 sei der Pol des Kräftepolygons, die Seilseite IX falle mit der x-Achse zusammen. Verlängert man die einzelnen Seilseiten bis zur linken Auflagerlotrechten, so erhält man

nun

die Punkte 0” T 2" ... 9". Die

Strecke 0" 4" ist beispielsweise gleich

o.

UJ

er

<v

ist 4" 9

Verlängert man gleicherweise die Seilseiten des Polygons s' bis zur Auflagerlotrechten bei 10 und nennt die Schnittpunkte 0 ' 1" 21" . . . 9"', so ist beispielsweise:

0'” 4'" =

(l-x)

°.di±

dx²

dx und 4'" 9 " —

Die Projektionen der Knotenpunkte des Gurtes auf die X-Achse nenne man l°2°usw. Die Lotrechten durch diese Punkte seien die Knotenpunktslotrechten. Die Gerade 0" 9 " (die Schlußlinie des Seil-polygones s') schneidet diese Lotrechten in den Punkten ls 2S . . . 9₃. Verbindet man die Punkte 0 bis 9 mit dem Punkte 9 und be-4S 4"" = 0" 4"-

,, l — CL

27

stimmt die Schnittpunkte dieser Verbindungsgeraden mit den entsprechenden Knotenpunktslotrechten 1"", 2 Strecken beispielsweise:

///>

////

, so sind die

wenn CL den Abstand des Punktes 4 von der linken Auflagerlotrechten bedeutet.

Cc

тН

das ist aber der erste Summand des Klammerausdruckes Ka. Verbindet man den Punkt 0 mit den Punkten 0 " 1" 2 " .... 9 " und bestimmt die Schnittpunkte dieser Verbindungsgraden mit den entsprechenden Knotenpunktslotrechten 1“, 2“ bis 9a, so sind die Strecken beispielsweise:

Ąo 4« _ g"' 4'"

U(l-xy^dX.

Dies aber ist der zweite Summand des Klammerausdruckes K„. Das letzte Integral lautet für die Grenzen 5 bis /. Das versteht sich für die Grenzen 4 bis l ausschließlich der Kraft bei 4, da diese Kraft bereits in der Strecke 4S 4"" berücksichtigt wurde, d. h. im ersten Summand von Kn. Man könnte ebensogut die Kraft bei 4 in den zweiten Summand hineinnehmen; daß dieses gleichgültig ist, erhellt aus folgendem.

Im ersten Summand beträgt der Einfluß der Kraft bei 4:

Im zweiten Summand dagegen:

Man sieht, daß beide Werte gleich sind. Es kann somit geschrieben werden:

4 о 4 a __ _

(l-x)

₂ d-z

dx²

dx.

28

Man muß bloß merken, daß die Kraft bei 4 nur einmal genommen wird, d. h. man nehme die Integrationsgrenzen entweder von 0 bis a und von a -f- e bis l oder von 0 bis a — e und von a bis /.

Trägt man die Strecken ls 1"", 2S 2"" usw. über den Punkten lo, 2a usw. auf, und zwar lsl"' —lale, 2s2"" = 2a2e usw., so erhält man die Einflußlinie des Klammerausdruckes Ka; denn es ist beispielsweise

4₀ 4e = 4₀ 4“ -j- 4a 4e =

rH !*■*»

(l-x)

*dzdx

dx²

l—a 1

/ T

dlz

X(l~X) ^dX = Ka.

Die Strecke 4e4 = 4₀4 — 4₀4e = L — К — Kb. Somit stellt die Fläche zwischen der Einflußlinie für Ka und der Gurtlinie die Einflußfläche für Къ dar.

Hat man die Auflagerdrucke der Hauptträger berechnet, so können die Endquerrahmen weiterbehandelt werden. So wird z. B. der linke Rahmen mit den Kräften Ha, 9la und — 9la belastet und berechnet. (Fig. 4.)

Aus der Beziehung, daß V —--— Ç, ergibt sich, daß für gleich

mäßige volle Belastung der Verspannung mit einer Windkraft W pro Längeneinheit des Gurtes

V beträgt:

V= —

fF'’>

wobei F der vom gebogenen Gurte und seiner Sehne eingeschlossene Flächeninhalt ist. Bei symmetrischer Gestalt des Gurtes beträgt

1    = ₊ ^F

2    ^2t

Bei unsymmetrischer Gestaltung ist

SK« =

J~K« = -TlK«dS = -^Fa

w

!) V—F— auf anderem Wege abgeleitet, siehe F. Engesser, Die Zusatz

kräfte und Nebenspannungen eiserner Fachwerksbrücken (Springer, Berlin 1892) 2. A. ß.

Y KbdS = -^Fb.

Die Größen Fa und Fb stellen die Flächeninhalte der Einflußflächen von Ka und Kb dar.

III. Einflußlinien der Biegungsmomente des Hauptträgers infolge der Zusatzkräfte z/ V.

§ 20. Für einen Punkt des Hauptträgers, dessen x—b ist, beträgt das Biegungsmoment der Kräfte zl V, hervorgerufen durch eine Kraft H, bei x = a

a<b Mb = 9U(/ — fc)+ dV(x— b)¹)

Mb =

(l-b)K„+ g dxH^l -x)(x- b)

a>b Mb = 9la b + / d V (b - x)

Mb =

lbK‘ +

dx Kl1 a) X

(b-x)

=    - b) \ k„

l — b 'ïfv x> 6)

d~z

dx*

dx] a <b

20)

Mb =

■T X (b —x)

H . i , r i l et 1

Jb LK* + s

dx J ... a >> b.

von

Die Konstruktion der beiden Klammerausdrücke ist sehr einfach. Man trage die Einflußlinie für Kb) deren Ermittelung bekannt ist,

0 Siehe Fußnote S. 10.

einer X-Achse nach unten ab. (Fig. 6.) Außerdem trage man das Spiegelbild der Seillinie S auf. Die Eckpunkte der Seillinie, so wie sie in deren richtiger Lage gelten, übertrage man

(9). Nun verbinde man den Punkt О (Ursprung des Koordinatensystems) mit den Punkten (1) (2) .... und verlängere nach Bedarf diese Verbindungsgeraden bis zur gleichnamigen Knotenpunktslotrechten. Die Gerade 0 (4) hat beispielsweise die Gleichung

ins Spiegelbild: (1)

(2) (3)

lg)

£_

b‘

l*J

'9,

dl

r;'l

0)

У)

Jo

Wt.

Fig. 6.

d²z

(4) X

(l — x) (x — b) -,-t dx

l-b

a 1

T—b’1

•l

d²z

(l — x) (x — b)d^dx-

Somit bildet diese Gerade die Einflußlinie des zweiten Gliedes im Klammerausdruck für Mb für den Punkt X — b. Diese Gerade gilt bloß bis a = b. Die schraffierte Fläche in Fig. 6 zwischen der Linie Kb und der so gefundenen Geraden ist die Einflußfläche für den ganzen Klammerausdruck oder für das Moment Mb. Man er-

31

hält somit aus der einen Figur durch einmaliges Zeichnen der Linie Kb und Seillinie s' die Einflußflächen der Momente für alle Brückenpunkte, jedoch mit Gültigkeit von о bis b.

Für a^> b muß die Ka - Linie gezeichnet werden, am besten oberhalb derselben X-Achse. Es muß ferner das Spiegelbild einer

dx mit

Seillinie s" aufgetragen werden, die zu den Kräften X

d²z dx²

der Polweite l gezeichnet wird. Die Ordinaten der Seillinie sind dann

j Ix {b x)

d²z

dx²

dz.

ver-

Die Eckpunkte der Seillinie im Spiegelbild (1) (2) (3) usw., bunden mit dem Punkte der X-Achse für X = 1, geben Geraden mit der Gleichung

У = (l — a)

X (b — X) d²z

dx²

dx =

X (b — x)

d²z

dx*

dx.

Dies ist aber der zweite Ausdruck des Klammerwertes für Mby gültig von b bis l. Die schraffierte Fläche zwischen der Linie Ka und den letzthin genannten Geraden ist die Einflußfläche für den Klammerausdruck von Mb für a^> b. Man kann somit aus dieser zweiten Figur die Einflußflächen von Mb für alle Brückenpunkte entnehmen, jedoch gültig von b bis l.

fî

Man beachte, daß der Klammerausdruck einmal mit y b, das

andere Mal mit у (/ — b) multipliziert werden muß, um das Moment selbst zu ergeben.

Bei symmetrischen Brückenträgern genügt das Aufträgen der Einflußlinien für a <^b oder für a~^> b.

IV. Einflußlinien der Scherkräfte des Hauptträgers der Balkenbrücke infolge der Zusatzkräfte Л V.

§ 21. Gesucht sei die Einflußlinie der Scherkräfte in einem Punkte, dessen Abstand von der linken Auflagerlotrechten, o, gleich b ist. Die Kraft H sei von О um a entfernt.

32

a < b F₆ = — 9îb — dV=— j Къ

Ha(l — x) d-z 11 dx²

dx.

21a)

Vb = ~

HK>+îf

ъ

(l — x)

d'²z

dx²

dx]    für a < b.

Die Einflußlinie des Ausdruckes Къ ist bekannt. Sie sei zuerst nach oben von der X-Achse aufgetragen (Fig. 7). Der zweite Ausdruck in der Klammer stellt eine Gerade vor, die durch den Ursprung geht

und auf der anderen Auflagerlotrechten die Strecke:

(l — x)

d-z

dx²

dx

j*

0-

A.

Fig. 7.

abschneidet. Diese Strecke wurde bereits als Abschnitt der - rechten Auflagerlotrechten erkannt zwischen der Tangente an den Gurt im Punkt X = b und der Tangente im Endpunkte, der so wie der Anfangspunkt in der X-Achse gelegen sei. Die Tangente an den Gurt im Punkte X = b schneide die linke Auflagerlotrechte im Punkte b¹ und die rechte im Punkte b’. Verbindet man b' mit dem Ursprung, so erhält man die Gerade, die den zweiten Ausdruck in der Klammer darstellt. Die zwischen der Linie Kb und dieser Geraden eingeschlossene Fläche ist die gesuchte Einflußfläche, gültig jedoch nur von о bis b.

TI

Cs

ft

ft.

J Ka +

H (l — а) X d²z

dx²

dx.

21b)

Vb =

t²z 1

J

für a > b.

33

Die Einflußfläche von Ka ist bekannt. Sie werde zunächst nach unten von der X-Achse aufgetragen. (Fig. 7.) Macht man auf der linken Auflagerlotrechten О bn= — ob¹ und verbindet den Punkt bn mit dem Punkte x = l der x-Achse, so erhält man eine Gerade, die den zweiten Ausdruck in der Klammer darstellt. Es ist nämlich

о bT = —

d-z

* dx *

dx. Der Raum zwischen der Linie К,л und dieser

-fr

fl

•«

c.

fl

* fl w

ft?

INi

(pr

SI

Fig. 8.

Geraden ist die gesuchte Einflußfläche. Sie gilt von b bis l.

Bei gebrochenem Gurt verfährt man ganz ähnlich (Fig. 8). Sucht man beispielsweise die Einflußlinie der Scherkräfte für das Feld 3—4, so verlängert man den Gurt 3—4 nach beiden Seiten bis zu den Auflagerlotrechten und erhält links den Punkt 3l und rechts den Punkt 4'.

3¹ x — —

d-z ,

xdZ‘dx’

4' X = — / (l — x)

d-z

dx-

dx.

Man trägt die Strecke 3JX nach unten von der X-Achse ab X 3¹¹ =— 3¹ x und verbindet den Punkt 3¹¹ mit dem rechten (10),

Lös ebner, Balkenbrücken.

34

-10-g₄

das Feld 3 — 4.

den Punkt 4' mit dem linken (0) Auflager bzw. mit deren Projektionen auf die X-Achse. Ferner zeichnet man die Linien K& oberhalb, die Linie Ka unterhalb der X-Achse und zieht die Knotenpunktslotrechten bei 3 und 4. Dieselben schneiden die zwei Kurven und die zwei Geraden in den Punkten K₃, Gs und Kif G₄. Ks, G₃ liegen oberhalb, Kif G₄ unterhalb der X-Achse. Zieht man noch die Geraden KsKi und G₃ G₄, so ist die Fläche, die vom Linienzug 0 — K₃—Ki G:i — о umschlossen wird, die gesuchte Einflußfläche für Der Beweis liegt darin, daß die Einflußfläche zwischen 3—4 linear umgrenzt sein muß.

Durch einfaches Linienziehen erhält man in einer Figur die Einflußflächen der Scherkräfte für alle Brückenfelder (Fig. 8).

o /<£■>

di

cC '

04

\J" S’

4-

Fig. 9.

V. Direkte Bestimmung der Zusatzkräfte Л V.

§ 22. Eine direkte Berechnung der Kräfte Л V ohne Zuhilfenahme von Einflußlinien, wenn nur die Kräfte H gegeben sind, sei im folgenden angegeben. Man zeichne die Momentenlinie Mh mit wagerechter Schlußlinie für die horizontalen Kräfte H. Diese Linie gibt gleichzeitig den Verlauf der horizontalen Komponenten der Haupt-

Mh

gurtspannkräfte G' = G cos cc

der Gurtstäbe zum Horizont.

d²z dx²

um dx entfernter Punkte miteinander einschließen. Bei gebrochenem

an. cc ist der Neigungswinkel

dx ist der Winkel, den die Tangenten zweier voneinander

35

Gurt ist es der spitze Winkel zwischen zwei Seiten des Gurt-polygones.

Punkte i" 2    3

Unterhalb der Gurtknotenpunkte 1, 2, 3 usw. (Fig. 9) liegen die Punkte des Momentenpolygons 1 2' 3' usw. Man ziehe durch diese Punkte zur Schlußlinie parallele Geraden. Von einem Punkte der Schlußlinie beginnend, zeichne man zu den Gurtelementen bzw. Stäben rechtwinkelige Geraden, deren Schnittpunkte auf den oben erwähnten Parallelen liegen. Es entsteht eine Art von Seilpolygon. Verlängert man alle Seilseiten bis zur Schlußlinie, so erhält man die usw. Diese Punkte schneiden auf der Schlußlinie die Strecken J V ab. Es ist zum Beispiel:

Л V₂' — 2" 3" — -j- 2 X • tg a₂ — 2 X tg a₃ = -j- Ml J tg a₂

Somit ist

22)

da J V₂ =

Ml (d²z , \

t \dx2 dx)xt *

90° gedrehte Kräfte-

um

Die Strecken 0 ' Î" 2 " .. . stellen das polygon der Zusatzkräfte des Hauptträgers dar. Sind aber diese gegeben, so können die Momente und Scherkräfte, ferner das Fachwerk nach der Lehre vom ebenen Fachwerk berechnet werden.

Man wird sich hauptsächlich der letzteren Methode bedienen, wenn man an die Bestimmung der Zusatzspannungen im Hauptträger, hervorgerufen durch die Kräfte Л V, geht, seltener der Einflußlinien. Statt mit Hilfe der letzteren festzustellen, welche Laststellung der Kräfte H für einen Stab die ungünstigste ist, wird man am einfachsten diese Kräfte gleichmäßig über den Träger verteilen und diese Laststellung für alle Stäbe zugrunde legen.

Für den Fall einer stetig verteilten Horizontalkraft, die auf die ganze Brückenlänge (nicht Gurtlänge) gleich pro Längeneinheit ist, mögen im Anhang Spezialfälle ausgerechnet werden.

VI. Anwendung auf Bogenträger.

§ 23. Bei Bogenträgern kann die Horizontalverspannung nicht mehr als ein gewöhnlicher, frei aufliegender Balken betrachtet werden, da auf den beiden Enden je zwei Horizontalkräfte in der Richtung der Brückenachse, entsprechend den zwei festen Lagern eines jeden

36

der zwei Hauptträger, auftreten. Sie ist vielmehr als ein beiderseitig eingespannter Träger zu behandeln. Bei diesem Träger überträgt sich die Kraft H, die im Abstande a vom linken Auflager in der Fläche des gebrochenen oder ebenen Verbandes wirkt, nicht mehr im Verhältnisse der Hebelarme (l — a) und Ci auf die beiden Auflager, da an den Enden Einspannungsmomente Ml und Mhr auftreten. Sind diese Momente bekannt und benennt man die Biegungsmomente im Träger ohne Endeinspannung mit    dann ist

Ml = M' + Ax-S’₀H{x-a).

Der Wert von A bestimmt sich:

T'

. Il₀H(l-ä) Ml Ml A~    l

.    Ml + Ml

А = Л--«--у

MXMXIXIXIXIXMXI

/о-__5tf

-~

■to

‘ffVO 7914

Ч! к

A O At. г A

ml

Al.

onj'

A £-x

-4>Г%

Fig. 11.

MÎ = 3(X—2’₀x(x— a)H

ЛЕЧ-ЛЙ

Mr Î-

х + М? = ФЙ + М?

Fig. 11 zeigt den Verlauf der Momente. Es ist zum Verständnis der Fig. 11 nötig, zu beachten, daß Ml und Mi immer entgegengesetzt bezeichnet und Mi immer negativ ist.

Die Größe der Zusatzkräfte beträgt nach wie vor:

N&dAz

t dx-

Dagegen gelten die vorangegangenen anderen Formeln und Verfahren nur für den einen Summanden des Momentes Ml lieh für $9?l.

Will man die Formeln auch für den neuen Fall benutzen, so verwandle man die wirkliche Belastung der H-Kräfte in eine andere

JV =

Ml

-j- -1 tg a oder =

dx.

näm-

37

durch Hinzufügung von vier Kräften an den vier Knotenpunkten der Endfelder der Verspannung. Die hinzukommenden Kräfte seien:

Mhr

MÏ

und +    • Der Balken kann jetzt als auf den Enden frei auf

liegend betrachtet werden. Zu beachten ist jedoch, daß die Diagonalen und teilweise die Gurtungen der Endfelder unrichtige Werte erhalten, dagegen haben alle anderen Stäbe richtige Werte, da sowohl die Biegungsmomente als auch die Scherkräfte die richtigen sind, bi und br sind die Feldweiten des linken bzw. des rechten

Endfeldes.

mî und ж¹:.

Die Berechnung setzt die Kenntnis von

voraus. Die

genaue Ermittelung der Einspannungsmomente ist ziemlich umständ-ich, da die Aufgabe ein- oder mehrfach statisch unbestimmt ist, je nach der Beschaffenheit der Hauptträger. Sie gehört deswegen nicht in den Rahmen dieses Aufsatzes.

Prof. F. Engesser bewies,¹) daß es statthaft ist, anzunehmen, daß sich eine Kraft H im Verhältnisse der Hebelarme (l — ä) und a auf die beiden Auflager überträgt. Daraus folgt aber, daß Mhr = — M% ist und es wäre hierdurch eine statische Unbestimmtheit behoben.

Dies angenommen, kann man leicht nach weisen, daß es einen Einfluß der Einspannungsmomente überhaupt nicht gibt, also M? = — Mhr — 0. Der Nachweis kann wie folgt geführt werden.

Das wagerechte Biegungsmoment besteht aus dem Teile

M\

— M’ï ~ = M\l (also konstant auf die ganze Brückenlänge)

die Zusatzkräfte dV =

dx hervorrufen. Diese Zusatzkräfte sind

und aus dem Teile Шс*. erzeugt Gurtkräfte + SO?» sec ß, die dann sroj d-z t dx²

als Belastung des Bogenträgers anzusehen. Bleibt noch zu erwägen,

welche Wirkung der Anteil M? hat. Er erzeugt zunächst Gurtkräfte

MÏ    Mh d-z

+ —sec« und Zusatzkräfte + — dx. Bei der jetzt folgenden

Berechnung des Bogens muß man die das Einspannungsmoment

;    MÏ

Mi vertretenden zwei Reaktionen der Horizontalverspannung — - in ihrem Wirkungssinne umkehren und als Belastung des Hauptträgers

Siehe Fr. Engesser, Zeitschrift für Bauwesen 1881, Über den Horizontalverband bei Bogenbrücken.

die in allen Knotenpunkten angreifen, in denen ein Bruch des Gurtes (bzw. Tangentenablenkung) vorhanden ist, und durch die zwei

Kräfte —

Mh

- , die an den Enden des gebrochenen Gurtes wirken, belastet.

Nun ist aber der Gurt nichts anderes als eine Seillinie der Kräfte

Mf

M^ d²Z    ;    i'4

t dx²    ^ konstant), deren Polweite eben--— ist. Daraus folgt: erstens, daß sich die angreifenden Kräfte das Gleichgewicht halten, ohne Reaktionen an den Auflagern hervorzurufen; zweitens, daß außer den Gurtstäben keine anderen Stäbe des Bogenträgers beansprucht werden ; und drittens, daß die Spannkräfte des gebogenen

Gurtes--— sec cc betragen. Diese Spannkräfte sind aber entgegen

gesetzt gleich, wie die durch das Einspannungsmoment М{¹ hervor-

M'i

gerufenen Gurtspannkräfte -j—j- sec cc.

Man sieht, daß das Einspannungsmoment M? der Horizontalverspannung gar keinen Einfluß besitzt, man es somit gleich Null setzen kann, immer noch mit der Voraussetzung, deren Zulässigkeit von F. Engesser bewiesen wurde, daß sich H im Verhältnisse der Hebelarme (Z — CL) und d auf die Auflager verteilt.

Die Berechnungsart ist somit bei Bogenträgern buchstäblich die gleiche, wie bei Balkenträgern. Natürlich gestaltet sich die Berechnung der Bogen selbst anders, für gewöhnlich schwieriger, als die des Balkens, aber die Bestimmung der Zusatzkräfte, der Einflußlinien dieser Kräfte, deren Scherkräfte, Momente usw. ist dieselbe.

man das kleinere von

38

einsetzen. Der Bogen wird nun durch die Zusatzkräfte -J-

Mid²! t dx-

dx,

Noch eine wichtige Folgerung läßt sich aus der obigen Beweisführung ziehen. Will man genauer rechnen und verzichtet auf die Annäherung, daß sich H im Verhältnisse der Hebelarme (Z — d) und CL auf die Auflager verteilt, dann ist Ml[ Ф — Mnr, und dieser eine Grad der statischen Unbestimmtheit bleibt bestehen. Es ist aber nicht notwendig, ein M\ und ein Mhr zu suchen, da beiden auf beiden Seiten unterdrücken kann. Die Differenz M’i — Mr (eine arithmetrische Differenz) wird gleichgesetzt M\ und ist die einzige statisch unbestimmte Größe.

39

h    Mi

Mi' kommt in zwei Kräften +-y-zum Ausdruck, von denen je

eine in jedem der Hauptträger angreift. Außerdem wirken in den End-

mY

querrahmen die Kräfte +

, die aufzufassen sind als die Unter-

- und H a die die Kraft H nach

schiede zwischen den wirklichen Reaktionen, die die Kraft H hervorruft, und den Reaktionen H

dem Hebelgesetz erzeugen würde.

Die Belastung bei Annahme der letzteren Reaktionen, die ja einen Gleichgewichtszustand darstellt, sei der statisch bestimmte Grundfall ₀Mlh' — o. Die Stabkräfte haben für diesen Fall die

— 1, seien S' die Stabkräfte, deren

Für den Fall ₁ЛГ^'

Werte S₀.

Ausrechnungsgang früher angedeutet wurde. Es ist dann:

iVIVN

is₀s

7/

MÏ

Ef

IS"¹ —

Ef

Fig. 12.

Die Summen beziehen sich auf alle Stäbe der Brücke. Ist Mi bekannt, so sind die Spannkräfte der einzelnen Stäbe:

S = S₀ — MÎ' • S'.

Es wird für gewöhnlich statthaft sein, das Moment Mf ganz zu unterdrücken. Dieses Verfahren ist auch im allgemeinen üblich. Seine Berechtigung hat es in dem Umstande, daß die wagerecht wirkenden Kräfte ja doch nicht genau bekannt sind und man sich infolgedessen die umständliche genaue Berechnung der von ihnen hervorgerufenen Stabkräfte sparen kann.

Es gibt übrigens ein Mittel, um das Mi’ ganz zu vermeiden, ohne den statischen Charakter der Hauptträger (Dreigelenkbogen, Zweigelenkbogen usw.) zu ändern. Dieses Mittel ist zwar nicht üblich, und man dürfte bloß dann zu ihm greifen, wenn man um jeden Preis eine statisch bestimmt gelagerte Brücke haben möchte. Es beruht darin, daß man die wagerechten Lagerungsstäbe beider Hauptträger paarweise aus einem Lagerpunkt CL ausgehen läßt (Fig. 12). Da diese Lagerungsart noch nicht ausgeführt ist, kann man nicht sagen,

40

ob sie nicht noch andere Vorteile birgt. Die festen Lager des Bogens werden aufgelöst in je ein in einer wagerechten Ebene bewegliches Auflager und werden dann gegen den Punkt a abgestützt. Den Punkt Ci kann man sich in eines der beiden Lager verlegen, so daß an jedem Brückenende ein festes Lager (z. B. für den vorderen Bogenträger) und ein im Horizont bewegliches Lager (für den hinteren Bogen) vorgesehen ist. Die Kräfte, winkelrecht zur Brückenachse, werden vorteilhaft auch im Punkte a übertragen.

Bemerkung.

Die im obigen Aufsatz dargestellte Theorie der Zusatzkräfte wird im Laufe dieser Arbeit noch bei mehreren Gelegenheiten zur Anwendung gelangen.

VII. Balkon träger.

§ 24. Besondere Bedeutung erhalten die Ausführungen dieses Aufsatzes bei fachwerkartigen Balkonträgern, die aus einem oder zwei gekrümmten Hauptträgern und zwei horizontalen Verspannungen bestehen.

Man betrachte die gekrümmten Hauptträger als Windverbände einer Brücke; die wirkliche Belastung des Balkonträgers spielt die Rolle der //-Kräfte. Die horizontalen, ebenen Verspannungen erhalten jetzt die Zusatzkräfte d V, welche hier die Hauptkräfte bilden. Die Berechnungsweise eines solchen Balkonträgers bietet demnach nach dem oben Gesagten nichts Neues mehr. Ein Beispiel zeigt im Anhang die Anwendung obiger Ausführungen.¹)

Die Belastung des Balkonträgers wird gewöhnlich sein:

1.    eine stetige zur Bogenlänge proportionale Belastung, herrührend vom Eigengewicht des gekrümmten Trägers (des eigentlichen Balkonträgers) und von der etwaigen Ubermauerung, (Spezialfall 4 des Anhanges);

2.    eine stetige zum Flächeninhalt der wagerechten Träger bzw. zur Balkontiefe proportionale Belastung, herrührend vom Eigengewicht der wagerechten Verspannungen und von der Belastung des Balkons (Spezialfall 5 des Anhanges);

3.    etwaige Einzellasten.

x) Die hier weggelassene Fig. 13 erscheint ebenfalls im Anhang.

41

4. Einfluß der wagerechten Kräfte der öc-Richtung (Längskräfte der Brücke).

«) Die Horizontalverspannung ist eben. (Fig. 1, Fig. 14—23.)

§ 25. a) Berechnungsvorgang. Bei Brücken, deren Lagerpunkt Ci, also der Punkt, an dem die Längskräfte der Brücke auf die Widerlager übergehen, sich in der Gurthöhe der Brücke befindet, ist der Einfluß der Längskräfte ein geringer. Anders bei Brücken, deren Enden mit hohen beinartigen Stützen versehen sind, bei denen also der Punkt „ß“ sich tief unter den Angriffsorten der Längskräfte befindet, mit anderen Worten, wenn ha groß ist. Die Hauptträger erleiden in diesem Falle unter Umständen sehr hohe Beanspruchungen.

Liegt der Punkt ß in der Ebene des Hauptträgers, an dem die Kräfte der X-Richtung auftreten, so ist der Fall höchst einfach (Fig. 14). Die Auflagerkräfte betragen:

X*

Ra —- ZH

ha-\- z

Jł-CL

Fig. 14.

Daß die Spannungen ziemlich erhebliche werden, erkennt man schon daraus, daß das Moment der Kraft Ra im Schnitte tt recht bedeutend werden kann.

Im allgemeinen Falle, also wenn „ß“ sich nicht in der Ebene des Hauptträgers befindet, ist die Berechnung viel verwickelter. Dies trifft z. B. bei allen fahrbaren Brücken ein, da die die Längskräfte aufnehmenden Laufräder immer außerhalb der Hauptträger liegen.

Zur Lösung sei folgendes allgemeine Verfahren angeben.

Um die Brücke zu berechnen, „reduziere man zunächst alle Längskräfte auf den Punkt О der Brücke“, welcher Punkt, wie bisher, der Ursprung des Koordinatensystemes sei. Unter der Reduktion wollen wir die Übertragung der Kräfte in den Punkt о verstehen, bei gleichzeitiger Hinzufügung von Momenten, die durch die verspannten Wände auf die Auflager R₁ bis RA und Ri, Rr übertragen werden. Bei diesem Prozeß werden selbstredend die Tragwände beansprucht.

Im einzelnen ist folgendes hervorzuheben. Die Längskräfte H, die gewöhnlich vom Längswind auf die Brücke, ferner von den Fahr- und Bremswiderständen herrühren, treten an den verschiedenen Stellen der Brücke auf. Durch Zwischenkonstruktionen werden sie auf die

42

Hauptträger übertragen. Nun berechne man die Hauptträger für diese Teillängskräfte, wobei als Lagerlinien (Lagerstäbe) die Schnittgeraden der Hauptträger mit den zwei Endquerrahmen und der Horizontalverspannung zu nehmen sind. Die Kräfte, die dadurch auf die Endrahmen übertragen werden (die Reaktionen der Haupt-

■v»

Xo 4)

2/i

•HT à,

/I '

?!

Np

—¹

Ъ.г

fl/ V

*S

/>

xr"

Л)

XJL

-o'

•Ol

72

Fi g. 15.

träger mit umgekehrten Richtungssinne), belasten diese Rahmen und erzeugen in deren Ebenen liegende vertikale Auflagerdrucke. Die dritte Reaktion des Hauptträgers, die in der Längsrichtung der Brücke an der horizontalen Verspannung angreift, wird nun als Angriffskraft der Verspannung betrachtet, wobei als Lagerlinien (Lagerstäbe) die durch О gelegte x-Achse, sowie die zur y-Achse parallelen Schnittgeraden der Verspannung mit den Endquerrahmen anzusehen sind. Die zwei zur y-Achse parallelen Reaktionen belasten, in ihrem Wirkungssinne umgekehrt, die Endquerrahmen und erzeugen lotrechte und wagerechte Auflagerreaktionen. Die noch in der x-Achse wirkende Kraft ist gleich der Summe aller Längskräfte und ist die

SoXÖ

У’-⁰⁰“ fi

/

Tie £

*4U-

«4*

Y-

43

einzige, die noch zu berücksichtigen ist. J? = l'H. Durch diese Vorgänge wurden alle Längskräfte auf den Punkt О reduziert.

Damit ist der erste Teil der Berechnung abgeschlossen. Durch die Reduktion aller Lasten auf den Punkt О entstehen folgende Auflagerdrucke :

Rr'= — R{ = -H ~ :

Sind die Koordinaten der Längskräfte gleich z und y, so ist: Ra=0:

23) -

R/=IH

r.;=ih

-z(t+1—у) — у hi ' I (t+ tx+4 )

Z(t+t4 —y)-\-yhr

; R,; = IH -

-z(tl+y)+yhi

\r;=xh

+z(ti+y)-yh

Zu bemerken ist noch, daß bei einer Reduktion der //-Kräfte auf den Punkt „0“ zwei Arten von Momenten hinzugefügt werden mußten: erstens Momente H-z, um die y-Achse drehend, und zweitens Momente Hy, um die Z-Achse drehend. Die ersten Glieder im Zähler von Rx' R₂ R₃ und RJ geben den Einfluß der Momente H-Z wieder, während die zwei Glieder und die Auflagerdrucke Rr' und Ri von den Momenten H y herrühren.

Zu berechnen ist nun der Einfluß einer Kraft <0 = ~H, die im Punkte О in der ^-Richtung auf die Brücke wirkt, was den zweiten Teil der Aufgabe bildet.

Zur Bestimmung der durch diese Kraft entstehenden sieben Auflagerdrucke stehen uns sechs Gleichungen zu Gebote. Es sind dies die sechs allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen. Aus diesen Gleichungen lassen sich ohne weiteres berechnen:

ta

Ra = — '0 R> — — Ri — -j⁻

Über die lotrechten Auflagerdrücke Rx R₂ Rz" und Ri ist bloß bekannt, daß

^2 ~Ь ~f~ ^4 = °>    ^2 ⁼ — (Ä. Ri )

o,

wobei M₀ = Rx" tx — R₂' (t -j- t.₂) — Ri" hi und

M₀ =RZ ts — R₄ (t-\- f₄) Rr hr.

Um die lotrechten Auflagerdrucke zu berechnen, muß auf die Beschaffenheit der Brücke selbst zurückgegriffen werden.

Bevor dieses geschieht, wollen wir einen Satz festlegen, der die Berechnung der Auflagerdrucke und der Stabkräfte erleichtert, .

44

die sonst nur mit einigen Schwierigkeiten unter Zuhilfenahme des Stabvertauschungsverfahrens von Henneberg und Müller-Breslau möglich wäre. Der Satz lautet:

S₀.“

„Wird bei einem statisch bestimmten (ebenen oder räumlichen) Fachwerke ein beliebiger Teil desselben abgetrennt gedacht, wobei es gleichgültig ist, ob dieser Teil, für sich betrachtet, stabil ist oder nicht, und wird dieses Bruchstück des Fach Werkes durch hinzugefügte Lagerstäbe genügend gestützt und berechnet, so ergeben sich Stabkräfte, die wir S₀ und Reaktionen der Lagerstäbe, die wir R₀ nennen wollen. Dabei können von den auf das Bruchstück entfallenden Lasten P alle oder auch nur einige ausgesuchte P₀ als wirkend angenommen werden. Kehrt man nun die Reaktionen um und belastet das ganze Fachwerk mit den so erhaltenen Kräften, sowie mit den übrigen Lasten P (P P P₀), so ergeben sich Stabkräfte, die wir S' nennen wollen. Die wirklichen Stabkräfte sind S = S'

Der Beweis dieses Satzes stützt sich auf die Eigenschaft des statisch bestimmten Fachwerkes, daß die Werte der Stabkräfte eindeutig sind. Ein Gleichgewichtszustand in allen Knotenpunkten des Fachwerkes, der auf irgendwelchem Wege bestimmt wird, ist zugleich der einzige und richtige. Sowohl beim Bruchstück des Fachwerkes (Kräfte S₀), als auch beim ganzen Fachwerk (Kräfte S') wurde ein Gleichgewichtszustand in allen Knotenpunkten erzielt. Die Addition der Stabkräfte (S = S₀ -j- S ) ist eine Überlagerung zweier Gleichgewichtszustände, die auch ein Gleichgewicht ergibt. Man bemerke, daß etwa zugefügte Reaktionen (bei den Kräften S₀) später umgekehrt wurden, und daß diese Kräfte bei der Überlagerung der Zustände herausfallen.

Dieser Satz gilt lediglich für statisch bestimmte Fachwerke. Bei einem statisch unbestimmten nur dann, wenn das Bruchstück von der statisch unbestimmten Größe unabhängige Stabkräfte hat, also für den Zustand X — — 1, P = 0, keine Beanspruchung erleidet. Hierbei ist X die statisch unbestimmte Größe (Stabkraft, Moment, Lagerreaktion usw.) und P sind die angreifenden Kräfte.¹)

*) Dieser Satz bildet auch ohne weiteres den Beweis, daß die übliche und in den vorigen Ausführungen angewandte Berechnungsmethode der Brückenfachwerke, nach welcher jede Fachwerkswand für sich betrachtet und berechnet wird, richtig ist. Wirkt z. B. in der Ebene einer Fachwerkstragwand, beispielsweise in der oberen Verspannung eine wagerechte Kraft, so trenne man diese Tragwand vom ganzen . Brückenfachwerk. Man erhält ein ebenes Fachwerk. Zu einem räumlichen wird dieses

45

In Fig. 15 ist die feste Stütze einer Brücke stark ausgezogen. Sie sei das vom Rest abgetrennt gedachte Bruchstück des Fachwerkes. Die nötige Lagerung dieses Teiles sei folgendermaßen gewählt: In den Punkten 0, o", p und p" greifen lotrechte Reaktionen an, ferner sei im Punkte о eine wagerechte zur x-Achse parallele Reaktion und schließlich in den Punkten 0 und o" je eine wagerechte zur jy-Achse parallele Lagerkraft vorhanden.

im Punkte o" : Y₀" Z₀" »    »    P":

Um nun die lotrechten Auflagerdrücke zu berechnen, beachte man die alleinige Wirkung der Kraft Ra auf die feste Stütze. Ra kann durch das Verbindungsglied zwischen Cl und dem hinteren Hauptträger auf die vier Punkte 0, p, 0 und p" übertragen werden und erzeugt hier sieben Reaktionen, die vorhin erwähnt wurden. Die in ihrem Wirkungssinne umgekehrten Reaktionen, die nach dem oben ausgesprochenen Grundsätze das ganze Fachwerk belasten, seien im Punkte 0: X₀ Y₀ Z₀

Z/'.

P:

und

Die Größe der Kräfte Z richtet sich nach der Bauart der festen Stütze. Wegen der Mannigfaltigkeit, mit der diese feste Stütze aus-

Fachwerk, wenn man in einem jeden Knotenpunkte einen Lagerstab anschließt, der nicht in der Ebene des Fachwerkes liegt. Nun berechne man dieses Fachwerk auf die in dessen Ebene wirkenden Kräfte. Alle Lagerstäbe werden spannungslos, und das System der Stabkräfte des ebenen Fachwerkes ist gleichzeitig das Spannkräftesystem des räumlichen Fachwerkes, da in jedem Knotenpunkt Gleichgewicht herrscht. Die Reaktionen, die der angreifenden Kraft das Gleichgewicht halten, liegen in den Ebenen der Endquerrahmen und eventuell in den Ebenen der vertikalen Tragwände. Nun stellt man die Verbindung des abgetrennten Teiles mit dem Brückenfachwerk her, kehre die Reaktionen um und lasse nun die das Teilfachwerk belastenden Kräfte weg. Man sieht daraus, daß dieser Weg derselbe ist wie der bereits bei der Berechnung eingeschlagene, dessen Berechtigung erst jetzt erwiesen ist.

Nun berechne man die Querrahmen. Man trenne zunächst den linken Rahmen vom Brückenfachwerk los, stütze einen jeden Knotenpunkt durch einen Lagerstab, der nicht in der Rahmenebene liegt, und berechne den Rahmen. Die Angriffskraft ist die Reaktion vom ersten Teil dieser Berechnung. Die Lagerstäbe sind spannungslos. Der Rahmen verhält sich genau wie ein ebenes Fachwerk. Die Reaktionen greifen in den Punkten l, 1, und 2 an. Dann wird die Verbindung hergestellt. Die Reaktionen brauchen nun nicht mehr umgekehrt zu werden. Denselben Weg schlägt man dann beim rechten Endquerrahmen und beim Vertikalträger ein.

Dieser Zusatz verdankt seine Entstehung dem Herrn Prof. A. Hertwig von der Kgl. Technischen Hochschule zu Aachen, der mir die Anregung gab, einen Beweis zu geben, daß die Auflösung des В rückenfach Werkes in einzelne Tragwände, die als ebene Fach werke behandelt werden, statthaft ist. Es sei mir gestattet, dem Herrn Prof. Hertwig an dieser Stelle für diese Anregung zu danken.

46

gebildet werden kann, ist es schlechthin unmöglich, einen allgemeinen Ausdruck für diese Kräfte zu geben.

Ist die Bauart der festen Stütze wie in Fig. 15, wo eine direkte ebene Verbindung zwischen CL und den Punkten 0 und 0 ange-

ha ry ^_ у tt_

Ajp    ^ P •

nommen wurde, dann sind: Z₀ = — Z₀" = — Ra

Bei einer anderen Bauart der Brücke, z. B. nach Fig. 1, kommt zu Z noch ein Wert +Ra cc hinzu. Durch dieses Glied, dessen Bestimmung später gezeigt wird, findet die Mannigfaltigkeit der festen Stützen Berücksichtigung.

Uber die Ermittelung von a siehe später im § 26.

Es betragen:

Ra Y₀ — — Ra

Z₀ = -Ra

- Ra - а

Im Punkte O: X₀ =

Yo" = + Ra

Z₀ --j- Ra

zP = zp"=

~b Ra • a

~\- Ra • а

— Ra - «

Nun betrachten wir die Wirkung dieser sieben Kräfte und der früher nicht berücksichtigten Kraft Jp. Man beachte, daß Ra=—

X₀ = -j- Ra — — .£> hebt sich auf mit der Kraft Jp, die wie X₀ im Punkte 0 angreift.

Y₀ und Y₀" bilden im Kräftepaar, dessen Moment ~b Ra ~7 ’ W = - J? ta

Tv

in den Punkten О und 0 der Horizontalverspannung Reaktionen von

ta

der Größe + Лр -7- hervorruft.

Diese, durch die Endquerrahmen

übertragen, erzeugen in den Lagerpunkten l und r die schon früher bekannten Reaktionen

ta

und in den Punkten 1, 2, 3 und 4 die Teilreaktionen:

Ria — — Ri a =■ - ‘О

к, ;' =+■(? %

ta__hi_

l t tt -f- t₂ ⁹

hr

I tJrts~Yti

Die Kräfte Z₀ und Z₀" ergeben ein Kräftepaar in der Ebene des hinteren Hauptträgers, dessen Moment die Größe hat: — Jp ha — J?aW.

47

Dieses Moment, durch den Hauptträger auf die Punkte О und О

übertragen, bildet hier die Kräfte + *0    ~T~}’

Ebenso bildet das Kräftepaar Zv, ZJ ' in den Punkten p und p

а w

die Kräfte: + 4?

Faßt man die Kräfte, die im linken und die im rechten Endquerrahmen wirken, paarweise zusammen, so erhält man:

h

im Punkte O, eine lotrechte Einzelkraft: + *0

-Mc,

und das Moment: —

h

im Punkte O, eine lotrechte Einzelkraft: —4?

und das Moment: — 4?

a tW

= - M₀\

Diese Kräfte in den Endquerrahmen verursachen die Teil

reaktionen :

kg tt— CctW

I (t++ 4)

hgt.A — a tW

l (H~ 4 + 4)

Nun kann man alle Auflagerkräfte, hervorgerufen durch 4?, hinschreiben

Rib =—4?

Rsb — -j- 4?

l    —J—    —j— t₂)

R-2b" = ~ 4?

hg (£-f~ ^4) -f- CC t W '

tj

; Rib — -j-4?

Rg'=-$

Rr = -Rr'' = -$~

R1" =    g -f- RX ъ" = J?

— tghl — (t-\- 4) hg — at w

1 + 4)

24)

R₂" =

Rs" =

~j~ tg hr -{-(£-{- ^₄) hg -j- a t W

t₄)

*4" =

- tg hr    t.A hg - atW

t (t H" tS -|- t₄)

Hiermit wäre der zweite Teil der Aufgabe, nämlich die Überführung der auf den Punkt о reduzierten Kraft 4? = -(- ZH auf die sieben Auflagerpunkte, erledigt. Die Ermittelung der Stabkräfte ist jetzt, da alle Auflagerdrucke bekannt sind, höchst einfach, wurde im übrigen schon angedeutet.

48

Die Auflagerdrucke R und R zusammengefaßt, ergeben:

Ra = — IH; R, = — Rr = —

-jS H (y -\-ta)

Rl = I (t -\- tt -f t.₂) { ta hl~(tJr U) Ьа — aw*\ • -H

-f- 2" [— t₂ — y) — у hi] HI

25)

I [-|- ta hi — ti ha —[- a w i] • — H

*(*i ^y) + yh>]H\

Ht +1₃ -f-1₄)

I [+ ta hr (t 1₄) hacc w t] • 2 H

~b ~ [-f- z (t -f- ti — у) + У hr] HI

I [ ta hr -f- täha — aWt]lH    i\z (ts -j- y)

— yhr]H\

*    I/»'

Ä,

£_

H3/t

“Tit

V-2/VoC

Fig. 16.

Fig. 17.

b) Beanspruchung der einzelnen Tragwände.

a) Vorderer Hauptträger. Bei der Reduktion der Kräfte H auf den Punkt О wird der vordere Hauptträger nach dem Schema

linken bzw. rechten Auflager,

Fig. 16 beansprucht. Die äußeren Kräfte sind allgemein -j-H~, die _ 2

am

Lagerkräfte: lotrecht: -\-lH j У

wagerecht: — 2H^ im Punkte p.

Beim zweiten Teil der Aufgabe entsteht vorstehendes Belastungsbild dieses Hauptträgers (Fig. 17).

In den Punkten p und p" wirken zwei lotrechte Kräfte von der Größe ф 2 H a, denen zwei Reaktionen in den Punkten p und p' von

der Größe + 2H —=- das Gleichgewicht halten.

49

b) Hinterer Hauptträger. Beim ersten Teil der Aufgabe entsteht das Belastungsbild nach Fig. 18.

(wagerecht).

Angreifende Kräfte: allgemein H

t—у

Reaktionen: im Punkte 0: — 1' H —-— (wagerecht),

t — у z ~~ГТ

im linken bzw. rechten Endquerrahmen : -j- 2 H (lotrecht).

-^77 f <#*

*IV

'шштг

x±?

'i

-k

Fig. 18.

Z-

Fig. 19.

Beim zweiten Teil der Aufgabe entsteht das Belastungsschema nach Fig. 19.

Angreifende Kräfte: im Punkte 0 und o" die lotrechten Kräfte: ±(*Я) (§ + «).

Reaktionen: im linken bzw. rechten Endquerrahmen die lotrechten Kräfte :

•N

-j- (— Ff) -j \ha -|- a w\.

c) Horizontale Verspannung. Beim ersten Teil der Aufgabe entsteht das Belastungsbild nach Fig. 20.

тшмшл

Fig. 20.

t—У

Angreifende Kräfte: im Punkte O: -j- IH——■ in x-Richtung,

fi'

im Punkte p: -J- - Hj in x-Richtung.

Reaktionen: im Punkte 0: — 4? =: — Z H in x-Richtung,

in den Endquerrahmen parallel zur y-Richtung links bzw.

rechts : -f IH^ .

50

Beim zweiten Teil der Aufgabe entsteht das Schema Fig. 21.

WÆ//Æm.

/*

-ZH %

•ÎK

/•'

Fig. 21.

Angreifende Kräfte: im Punkte 0 bzw. 0 in der ^-Richtung: -|~(lH)

Reaktionen:

ta

im Punkte о bzw o' in der ^-Richtung: -f- (■£ H)—.

b) Rechter Endquerrahmen. Beim ersten Teil der Aufgabe: siehe Fig. 22.

Angreifende Kräfte: im Punkte О : wagerecht: —IH -

lotrecht :

im Punkte p': lotrecht:

У

Reaktionen: im Punkte Г: wagerecht: -{- 2H4

z{t+tj—y)+yhr

IX)

z{tb+y)—yhr

X~X HX)

im Punkte 3: lotrecht: -\-SH

im Punkte 4: lotrecht: Ą-1H Beim zweiten Teil der Aufgabe: Fig. 23.

-ZH

5h

-Z//Ś1L

г.

-V

•u

1.

?

унЦ4

_X.br* C

* *

л-

■4?

«N

■f-

л%

Fig. 22.

Fig. 23.

51

Angreifende Kräfte: im Punkte o' : wagerecht:—(IH)-y,

lotrecht:

— (ZH)~[ha + aw],

aw

im Punkte p' : lotrecht: -f- (- H)

ta

Reaktionen: im Punkte Г: wagerecht:    (- H)

im Punkte 3 : lotrecht :

\ta /lr+(f+4) ha-\-tWa\

i (4+4 + 0

imPunkte 4: lotrecht: (XH)

-fa + 4 ha-fw«

^ (f+4 + 4)

e) Linker Endquerrahmen. Dieser Endquerrahmen wird wesentlich mit den gleichen nur entgegengesetzt gerichteten Kräften belastet, wie der rechte. Außerdem aber erhält er eine Belastung aus seiner Eigenschaft als Teil der festen Stütze. Diese Belastung, sowie die Beanspruchung des Verbindungsgliedes zwischen dem Punkte „a“ und dem hinteren Hauptträger bezieht sich bloß auf den zweiten Teil der Aufgabe, ist lokal beschränkt, im übrigen aber in allgemeiner Form schwer festlegbar.

Da die Auflagerkräfte bekannt sind, ist die Berechnung dieses räumlichen Fachwerkes sehr einfach. Der Gang der Berechnung ist auf Seite 45 bis 47 angedeutet.

Die Gleichungen der Einflußflächen für die Auflagerdrucke sind in den Gleichungen 25) enthalten.

c) Bestimmung des Wertes or. (Fig. 24, S. 52.)

§ 26. Um cc zu bestimmen, wird im Punkte „a“ eine zur x-Achse

parallele Kraft ,,-f- Eins“ angenommen, die durch die feste Stütze geleitet, in den Punkten о und О", p und p" die sieben Reaktionen

ZL, Z₀", Zp, Zp", X₀, Y0y Y₀" hervorruft.

— Zp= -f- Zp".

or ist gleich der Reaktion

Ein Blick auf die Fig. 24 zeigt, daß die Aufgabe statisch bestimmt ist. Es handelt sich um die Ausrechnung eines räumlichen Fachwerkes. Die Aufgabe beginnt man am einfachsten mit der Ausrechnung der drei wagerechten Reaktionen X₀, Y₀, Y₀", die gleich sind:

— 1,    —— . Die Stäbe sind numeriert nach der Reihenfolge ihrer Bestimmbarkeit.

52

Einfach gebaute feste Stützen können analytisch berechnet werden, während man bei verwickelteren Stützen am leichtesten zeichnerisch zum Ziele kommt.

ч> • Z т.

fff"

Ar

ff J

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А>

ЛЬ //

Fig. 24.

Die graphische Berechnung des „a“ einer komplizierteren festen Stütze nach Fig. 24 zeigt Fig. 25 (S. 53).

Die Fig. 25 a und 25 b sind    * j*

zwei Projektionen des räum- *--

liehen Kräfteplanes (Stäbe 1 bis 23). Man sieht, daß die Stäbe des Endquerrahmens hohe Ordnungszahlen haben (24 — 39). Dies kommt daher, daß der Endrahmen ein Dreigelenkbogen ist. Eigentlich ist die Ausrechnung der Stäbe (24—39) in Fig. 25c nicht notwendig, wenn

JL

*7 A/г Y \

7 w>V V V-

1%

\v

.4

+)

lu

Jf-

4+

г*

53

es sich bloß um Ausrechnung¹ von a = -j- Zp" = — Zp handelt. Der Vollständigkeit halber ist der Dreigelenkbogen in Fig. 25 c mit-

c.

<9+

\it T

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146-

*9+

h‘

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•V

if*

O’f

IF

bestimmt worden. Bei dieser Bestimmung ist zu bemerken, daß die zu der Querrahmenebene parallelen Komponenten der Stabkräfte, die sich an den Bogen anschließen, als Kräfte einzusetzen sind. Die zum Querrahmen winkelrechten Komponenten der sich anschließenden

54

Stabspannkräfte heben sich gegenseitig in jedem Knotenpunkte auf. Die Berechnung des Dreigelenkbogens konnte deswegen erst so spät vorgenommen werden, da man früher die anschließenden Stabkräfte ausrechnen mußte. Die Summe aller den Bogen selbst angreifenden Kräfte ist Null, ohne irgendwelche Reaktionen hervorzurufen, was als

O'

У*

А* О-

■ч-

/    |/^<Х

и. . £

* .Æ.

rß

-«г

<7г

-а-

Я*

Fig. 26.

Fig. 27.

•O'"

■й

л-

■ кг и-

ч*

4L.

-Ä

-t

гг

!Й»

^3,

Fig. 29.

Richtigkeitsprobe gelten mag. Es ergab sich а = 2,25.

Für einige einfacher gebaute Stützen, die jedoch die Mehrzahl aller in der Praxis vorkommenden Fälle umfassen, sei in den Fig. 26 bis 29 der Wert des Ausdruckes „a“ angegeben. Die Bestimmung dieser Größe ist verhältnismäßig einfach, so daß ein Hinschreiben der Formeln genügen dürfte.

*.

cć* +

Л-а. ï<i w ■

Fig. 28.

oC » 0.

ß) Der Windverband ist gebogen.

§ 27. Die Ausführungen unter a) sind für diesen Fall im allgemeinen gültig, nur ist noch zu beachten, daß bei Berechnung der Horizontalverspannung die Krümmung nicht vernachlässigt wird. Es

55

entstehen nämlich Zusatzkräfte, die die beiden Hauptträger belasten. Siehe Punkt 3ß. Da die Horizontalverspannung nach den einfachen Schaubildern (Fig. 20 und 21) belastet wird, ist auch die Berechnung der Zusatzkräfte sehr einfach.

Am rechten Querrahmen (Punkt Ó) wirken die Kräfte 2H

ta

und IH y> entsprechend dem 1. und dem 2. Teil der Aufgabe,

zusammen

SHU + y

Rr.

In einem Punkte, der die Abszisse x besitzt, ist das durch Rr erzeugte Moment in der Horizontalverspannung Rr (Z—x). Die Zusatzkräfte in den Hauptträgern betragen demnach:

1 d-z

wobei Z — f(x) die Gleichung des gebogenen Gurtes darstellt.

In den Punkten o, p bzw. o\ p' entstehen somit Zusatzreaktionen

dx. i)

d²z

dx²

г) Den Ausdruck 2f = — 23 = + -jj-

(I — x) X

d²z

dx²

dx kann man graphisch

leicht deuten. Es ist

Rr

tl

Es ist aber

d²z J xd?dx

der Abschnitt А С der linken Auflagerlotrechten , der von den 2 Tangenten an die Endpunkte des Gurt-

i d² z _Rr lxd^dx + Tt

Is dx=

dx²

dx

Fig. a.

56

Die Konstruktion dieser Ausdrücke ist sehr einfach (Fig. 30), Fig. 30 a zeigt den Aufriß einer Brücke mit einer gebogenen

Лк.

*■

Fig. 30.

I d² z

bogens abgeschnitten wird. Somit ist l' I x -dx, die doppelte Fläche de»

Dreieckes zwischen der Gurtsehne, der linken Auflagerlotrechten und der Tangente

i d² z

an den rechten Endpunkt des Gurtes: l / x dx = 2 ' Fzl (ABC).

Ferner ist / x²

d² z dx²

dx =

d²z

X ^ dx ¹ X. Die Strecke EF, wie schon früher er-

57

Verspannung-, Fig. 30 b stellt den Grundriß dar. Eine Last R, am rechten Ende wirkt auf die Verspannung-, Zeichnet man das aus Figf. 5 (§ 17) bekannte Seilpolygon (Fig. 30 c) der ideellen Lasten

wähnt, beträgt x

d² z dx²

dx und das Flächendifferential EFM ist zl F —

1 d*z 2 X dx²

dx • x.

Somit ist

d² z Xdx²

dx • x —

2zIF=2F (ACBDA).

Man kann nun schreiben

Rr

Rr

tl

[2 Fzl (ABC) — 2 F (ACBDA)] =±^-2 F,

wobei F die vom Gurtbogen und Sehne eingeschlossene Fläche darstellt.

Man kann 3t = — iS noch auf anderem Wege ableiten. Auf den Hauptträger Mh d² z

wirken die Zusatzkräfte d V

t dx²

dx =

Rr (l — x) d² z

dx²

eine Zusatzkraft bei X — о vorhanden, deren Größe beträgt

dx. Außerdem ist noch

M? = 0

---zJ tg «o

4~°dz

t dx

nennen wir

CI X= 0

Der Auflagerdruck Ш berechnet sich:

dz0 dx ‘

Rr I dz

t dx

dV-

t dx

Rr d²z It / dx²

dx (l — .r)²

d² z dx³

tl I dx

Nun ist

aF

ÄX

Fig. b.

58

(l—x) dx, welche Lasten bei x angreifend gedacht werden, so

d²Z dx²

schneiden dessen Endseiten auf den Auflagerlotrechten die Strecken auf:

pp

ZT

>3 в

-¹ „ rt.

'S

С/Г

«4

X ¹⁰

i© b*

r©

Auf anderem Wege kommt man zum Ziele, wenn man das Verfahren nach § 22 (Fig. 9) anwendet. Fig. 30 d stellt die Momenten-linie (-gerade) infolge der Wirkung der Last R, dar. Fig. 30 f zeigt die Konstruktion des um 90° gedrehten Kräftepolygons der Zusatzes?

kräfte Mh dx.¹) Fig. 30e stellt das Seilpolygon dieser Kräfte dar.²)

Die Reaktionen 3f und 23 bilden je ein Moment und werden durch die Endquerrahmen auf die Auflagerpunkte 1, 2 bzw. 3, 4 übertragen. Die Zusatzmomente vergrößern (algebraisch) die Momente

d² z

dx²

dx(l—x)* = / 2JF = 2F(ACBDA).

Ü, b» CN

kann man setzen r/m. die mittlere Höhe der Gurtkurve. Somit ist

Somit ist П = j^[2 FJ(ABC'A) - 2 F (A C BD А)] = ^ 2 F = — 83. Statt

Vm.

Auf anderem Wege kann dieser Ausdruck ebenfalls abgeleitet werden. Vergleiche darüber F. Engesser, Zusatzkräfte und Nebenspannungen eiserner Fachwerksbrücken.

*) Die Summe aller ^F-Kräfte ist Null. Der Endpunkt des Kräftepolygons fällt mit dem Anfangspunkt zusammen.

²) Das Seilpolygon hat parallele Endseiten. Daraus erkennt man auch, daß die beiden Auflagerdrucke entgegengesetzt gleich sein müssen. Die Größen der Auflagerdrucke sind gleich plus, minus dem Momente der äußersten Seilseitenspannungen, dividiert durch die Spannweite l. Die Größe der Auflagerdrucke erhält man auch, wenn man die letzte Seilseite, die durch die (durch den Punkt x = о gehende) Kraft ЛЩ erzeugt wird, wegläßt. Zieht man zu dem unvollständigen Seilpolygon die Schlußlinie und dann den zu dieser Linie senkrechten Polstrahl im Kräftepolygon, so erhält man 83 = — 3(. Daß dies richtig ist, sieht man ein, denn die durch den linken Auflagerpunkt gehende Kraft Л 83 hat auf den rechten Auflagerdruck keinen Einfluß.

59

Mo bzw. M₀'

um

die Beträge

d²z

dx²

(I—x)xdx, und die Zusatz-

auflagerdrucke betragen :

(i-x)x^dx

%=—%

Rr

l (t-\

26)

Rr

( l — x) X

d²z

dx²

dx.

Hierbei ist Rr = ZH

y) Statisch unbestimmter Fall.

§ 28. Sind beide Hauptträger mit dem Punkte a verbunden, was bei symmetrischen Brücken öfters Vorkommen kann, dann ist die Brücke statisch unbestimmt. Es sei gleich bemerkt, daß diese Bauart nur dann Vorkommen wird, wenn die Brücke ganz oder nahezu

t    t

symmetrisch gebaut ist. ta ist dann gleich —^ oder nahezu —^

Eine angenäherte Berechnung kann so vorgenommen werden, daß anstatt alle Kräfte, die zur x-Achse parallel sind auf den einen Punkt „0“ zu reduzieren (unter Hinzufügung eines Momentes ZH- z, das um die y-Achse dreht und eines Momentes ZH-y, das um die Z-Achse dreht), man nun alle zur x-Achse parallelen Kräfte auf die zwei Punkte о und p reduziert, unter Hinzufügung des einen Momentes ZH-Z, das um die y-Achse dreht.

x-Achse) auf die Punkte о und p, entstehen in

zur

Beim ersten Teil der Aufgabe, nämlich der Reduktion aller Kräfte H (I

diesen Punkten die Kräfte:

und

Jpp — -j- zH^j.

Außerdem entstehen die Auflagerdrucke:

Z t -f 4 — у

R^ — ZH

R,'= + ZH^ Ri = Rr' = о

l t-f- + t₂’ z t-\~ti — y

r: = -sh-,

_A±y_

11 -j- tv -j-1.₂

Z %+y

Ra = 0.

o'

Fig. 31.

wäre und um obige Annäherungsregel zu erhärten, lassen wir nun ein Beispiel folgen.

Beispiel: Eine Brücke habe folgende Dimensionen: l —5 b, W — b, Trägerhöhe 1), Brückenbreite t

4 — 4 — 4 — о

hr = hi= ha

h. Fig. 31.

60

Im zweiten Teil der Aufgabe sollen nun die Kräfte J?₀ und JPp berücksichtigt werden.

Jede der beiden Verbindungsglieder des Punktes О mit den Hauptträgern überträgt einen Teil der Summe -j- 4?₀. Unter der Annahme, daß die Brücke und die Belastung halbwegs symmetrisch sind, kann man jede der Verbindungen die Größe \ (4?р -f- J?₀) übernehmen lassen. In Fällen, die ganz unsymmetrisch sind, kann man die Anteile abschätzen.

Um zu zeigen, wie eine genaue Berechnung durchzuführen

fl

fl

y&-‘

O-

e*i.

О*'

.i

c. ■

v<rtOL Æ. 3

fl“

4

fl

4 = 4

Die horizontale Verspannung ist unten. Die Fachwerke seien Ständerfachwerke. Die Diagonalen haben die Länge d in den Hauptträgern, und d in der horizontalen Verspannung. Die Länge der schrägen Streben im Hauptträger zwischen CL und o" beträgt у, die Länge der Verbindung zwischen a und dem Punkte p" des vorderen Hauptträgers sei x. и ist die Länge der Diagonalen der Endrahmen, unter der Verspannung.

61

Im Punkte О greife eine Last «£> an, die parallel zur x-Achse gerichtet sei. Der Punkt О und p" seien mit CL verbunden, о" CL = у, p” CL — X, die darin wirkenden Stabkräfte seien Y und X. Wir wählen

iS' s°~

X als statisch unbestimmte Größe, und es ist dann: X — wobei S' den Wert der Stabkräfte sei für X= — 1, J? = 0; S° den Wert der Stabkräfte für den Zustand X = O, s und / die Stablängen und Querschnitte der einzelnen Stäbe bedeuten. Die Summen beziehen sich auf alle Stäbe der Brücke. Die Auflager werden als unnachgiebig angenommen.

Es ist zu beachten, daß beim Spannungszustande X = o, nur die hintere Tragwand (in der sich der Punkt CL befindet) Spannkräfte erhält. Beim Zustande X — —1, kann man die Kraft X im Punkte a streichen, da sie an einem festen Lager angreift (Lagerpunkt mit drei Bedingungen, da im Punkte CL die drei Punkte 1, l und CL vereinigt sind). Die Gegenkraft X — — 1 am Punkte p" angreifend, läßt sich nach den

Xy-

x;

drei Koordinatenrichtungen zerlegen in Xx’ = h

=    . Xz' beansprucht lediglich die vordere Tragwand. Die

Kraft Xy beansprucht die untere Horizontalverspannung, sowie die Endquerrahmen. Die Kraft XJ muß zunächst auf den Punkt О reduziert werden, wobei die Horizontalverspannung und die Endquerrahmen beansprucht werden. Die reduzierte Kraft Xx' beansprucht dann die ganze hintere Tragwand. Es ist klar, daß bei der Zusammensetzung der Stabspannkräfte viele Kräfte sich aufheben, was in der Besonderheit der Belastung (X — — 1) seinen Grund hat und die Aufgabe wesentlich vereinfacht. (X geht nämlich in der Fortsetzung durch ein festes Lager.)

Die Spannungen S° und <S' sind tabellarisch geordnet.

Stäbe

'-h| Co

ьо

CO

со

Co

to

Co

Obergurt

vorn

+^(0,1,2,3,4) ~

h²b⁵

r (0,1,4,9,16)

Obergurt

hinten

■&>

*4 Sr*

•e-l !3-

CN

CO

S. £

to

(0,1,2,3,4) „ £

6</i²

xlHff

т (0,1,4,9,16)

VO

CN

СО

v-h| со

СО

со

,'~b| «о

«Я

СО

«о |ч-,

Untergurt

vorn

ftft²

xlb

(1,2,3,4,0)

h²b⁵

*²W<?

(1,4,9,16,0)

Untergurt

hinten

hb

hb²

+0-^(1,2,3,4,0)+^(1,2,3,4,0) „ 0

ft⁴ft²

xVYf

(1,4,9,16,0)

ff

Diagonale 1—4 vorn

ftftd

+-7S-<4mai)

h²b²d³

x'i*m

(4 mal)

Diagonale 5 vorn

ft (Z— ft) d

xlt)

ff

h²(l — b)²d³

**md

Pfosten 1—4

bh

vorn

~Yl

(4 mal)

fd

h²b²f> x4²D²fd *4 ma ^

Pfosten 5

h(l — ft)

vorn

xl

ff

ft²(Z —ft)²fr³

x4²b%

Diagonale 1—4 hinten

hd

-    (4 mal)

bhd

xl t)

(4 mal)

вг»| ».

b²h²d³

(4 mal)

h²b²d³

(4 mal)

Diagonale 5 hinten

+ f>

h(l — b)d

h(l— ft) d

blb,

xlh

h²{l — b)²d3 xl²bi,²fd

h²(l—b)²d³

xWfd

Pfosten 1—4 hinten

SL

^ xl²b,²bfd (4 ma^

ft²ft²b³

xWfd

(4 mal)

Pfosten 5 hinten

дHi-b) V Ы

h\l—ft)

xl

ff

ft²(Z — b)²t>³

^ *l²bi)²fd

ft²(Z — ft)²ft³

x4*%'fa

Diagonale und Pfosten unten

d’

fd

Stützenständer rechts vorn

й*

ft²ft³

Desgl.

rechts hinten

ft

ft ft

bh³

>»

Stützen

diagonale

rechts

Stützenständer links vorn

•R

S*

b²h³

Desgl. links hinten

h (l—b) * lb

h (I-b)

(,l-b)²h³

xl

* xt>bfs

x'l'f.

Stützen

diagonale

links

x Ir

Stäbe

S°

00

y-Strebe

o*| 4i

ON

CO

'-bl

Cg

«o

oo

>|4i

X 14^

S'*

-1

x-Strebe

Bemerkt sei, daß die fünf Stäbe der Gurtungen zusammengefaßt wurden. In der Klammer stehen die fünf ihnen zukommenden Koeffizienten nebeneinander.

Nun sei die Zählersumme Z und die Nennersumme N gebildet.

Das Verhältnis der Stabquerschnittsflächen sei

Unter fg ist der mittlere Gurtquerschnitt, unter fa der mittlere Querschnitt der Füllungsstäbe und unter fs der mittlere Querschnitt der Stützenstäbe verstanden.

f

fa

fs

у und fr = G.

sS°S'i=Z = Jp

xl²t)²bfg

^60bbh²-\-yh²(d³^³) (5b² + l² — 2lb) -\-oh³y (2 fc²-f l²—2lb) + (7y³P\)²}

K,

XPVbfg

(rf³ + <)a) (5b'+p-2lb) + CJ h³1)² (4 b² + l² — 2 Ib) + а и³ P f)2 -f- ay³1²1)²-(- ox³l²1)²|

Kn

X4²\)²fg

,x Kz N ^ b’ Kn

Die horizontale Komponente der X-Stabkraft in x-Richtung ist

K₂

Kn

X* = X- = J?

X

Kz

Kn

ist ein echter Bruch, der den Anteil von ^ angibt, den der

X-Stab überträgt.

64

Der Anteil des Stabes Y ist

^14»

X K Z у b Кпх b

•о

wie es nicht anders zu erwarten war.

Es ist recht lehrreich und dient als Probe, die Werte Y und Yx unabhängig- von X zu rechnen, indem man die Y-Strebe, d. i. die Verbindung zwischen a und o" als statisch überzähliges

Glied wählt.

Wählt man in einem konkreten Falle: <7=1, y= 1, Z = 5£, ty = b, h = 3b und t = b, dann ist d³—2V2b³', u³ = y³ = 31,5 b3 und Xs = 36,4b³.

Rechnet man die zwei echten Brüche aus, so erhält man

Kz

Kn

= 0,455 und 1 — -гг = 0,545.

ł\n

Wie man sieht, beteiligen sich die beiden Verbindungselemente des Punktes a mit den beiden Hauptträgern ziemlich gleichmäßig an der Übertragung der 4?-Kraft, trotzdem dieser Fall als ziemlich unsymmetrisch gelten darf, nachdem die Kraft J? vertikal über dem Punkte a angreift. Man sieht auch, daß das bloße Vorhandensein der X- Strebe eine Heranziehung der übrigen Brückenstäbe zum Tragen zur Folge hat.

5. Brücken mit zwei wagerechten Auflagern der æ-Richtung und einem wagerechten Auflager der ?/-Richtung.

§ 29. In den bisherigen Ausführungen war die Rede von Brücken, die zwei wagerechte Auflager der y-Richtung und ein Auflager der x-Richtung besaßen.

Nun gibt es, wie im Anhang ausgeführt wird, Fälle, wo von den drei wagerechten Auflagern zwei die x-Richtung und nur eines die y-Richtung besitzen.

Bei vertikal gerichteten Kräften ist es gleichgültig, wie die wagerechten Auflager gelegen sind. Deshalb bleibt der Absatz 2 dieses Abschnittes für die vertikalen Kräfte gültig.

Bevor auf den Einfluß der wagerechten Kräfte der y-Richtung und der x-Richtung eingegangen wird, sollen die nötigen Festsetzungen über Bauart gemacht werden.

65 a) Bauart (Fig. 32).

Das wagerechte y-Auflager bei „r“ fällt fort. Hinzu kommt ein wagerechtes Auflager der x-Richtung, das im Punkte „b“ angreifen möge. Der Punkt „b“ liege in der Feststütze, hb unterhalb des Punktes o, und um t-\-tb von ihm in der y-Richtung entfernt. Die Koordinaten des Punktes b sind somit: 0, t-\- tb,— hb. Der Ursprung des Koordinatensystems bleibt im Punkte 0 wie bisher.

Außer dem Verbindungsgliede zwischen dem Punkte „a“ und dem hinteren Hauptträger ist jetzt noch ein eben solches zwischen „b“ und dem vorderen Hauptträger vorhanden (Fig. 32).

4L -a,

b) Einfluß der wagerechten Kräfte der У-Richtung (Querkräfte).

Man reduziert, ähnlich wie unter 4., alle Kräfte auf die Punkte о und p, die Ecken zwischen den beiden Hauptträgern, der Horizontalverspannung und dem linken Endquerrahmen. Darunter versteht man die Ersetzung des Lastensystems H durch drei Kräfte, die in den Punkten 0 und p wirken, unter gleichzeitiger Beanspruchung der Brücke. Im einzelnen erfolgt diese Reduktion auf folgende Weise:

Die Querkräfte H der Brücke wirken allgemein in den Querrahmen. Sie werden durch den steifen Rahmen auf die zwei Hauptträger und die Horizontalverspannung übertragen. Die Hauptträger

bringen nun

Horizontalverspannung, die als eingespannter Balken, der am rechten Ende frei ist, wirkt, überträgt die Kräfte H auf den Punkt 0, wobei in 0 und p zwei zur x-Achse parallele, entgegengesetzt gerichtete

■&*3f

'S»

Fig. 32.

Z

die Lasten + H — auf die Punkte 0, p und о p .

Die

X

Kräfte entstehen, deren Größe + H — beträgt. Die lotrechten Reaktionen, die in den Punkten 0, p, o', p entstanden, werden von den

Löschner, Balkenbrücken.

66

Endquerrahmen geleistet, wodurch in den Punkten 1, 2, 3 und 4 Auflagerdrucke entstehen. Die Horizontalkraft, -f- IH, in der y-Richtung, die nun bei 0 wirkt, wird ebenfalls durch den linken Endquerrahmen auf die Punkte 1, 2 und l übertragen.

Insgesamt entstehen durch diese Reduktion folgende Reaktionen :

ht

R₁'= — /?a'= — 2H Y

l — X

* “Ml -f -    ’

27)

r:=~r;=-'-hz,

Ri— — zH.

Der erste Teil der Aufgabe wäre erledigt. Es bleibt noch der Einfluß eines Kräftepaares    H^zn berücksichtigen. Die

positive Kraft wirkt parallel zur x-Richtung im Punkt 0, die negative in p. Das Kräftepaar + 4? = + - H — erzeugt sieben Auflagerdrucke

Rx", Ro , Rs", Ri ", Ra", Rb' und Ri". Zur Bestimmung dieser Drucke stehen uns sechs Gleichungen zur Verfügung, aus denen sich sofort ergibt :

Ri" == O;

28)

Ra" = -Rb"=-$

t -f- ta -j- tb

Ri"+R."= - №"+ *₄"); W+ R,") i -f Ra" (K - hb) = 0;

M₀ -f- M₀' — of

wobei, wie bisher M₀ = Rx" tx — R₀" (t -j- t₂) und

M₀'=Ra"ta—Ré" (f+A) ist.

Um eine weitere Beziehung zur Berechnung der Auflagerdrucke zu finden, muß auf die Beschaffenheit der Brücke selbst zurückgegriffen werden.

Zu diesem Zwecke wird genau wie im analogen Fall unter Punkt 4 verfahren, indem man den Einfluß der zwei Kräfte Rh" und Ra" auf die feste Stütze betrachtet. Die feste Stütze wird in den Punkten Oy o", p und p" durch acht Auflager genügend gestützt, und damit das Bruchstück des Fachwerkes statisch bestimmt werde, sei die Diagonale des ersten Feldes der Horizontalverspannung heraus

genommen.

Die Reaktionen, die die zwei Kräfte Ra" und Rh" in den Punkten O, o", p und p" hervorrufen, seien:

-X₀y

Yo,

Zo;

Yo", - Zo"; -XVf — Zp; —Zp".

Diese Kräfte mit den positiven Zeichen belasten dann das ganze Fach werk, wobei man noch die restlichen Kräfte (+ >0) mitnimmt.

67

Es betragen: im Punkte О: Х₀ — Ra";

29)

Y o = — Ra"

+R.ÿZ,

■>Z₀"=+R„"^

-RS

imPunktep :XP =R";

imPunktep’.'

'^+Ra"a—Rb'ß; Zp =+R<l"a—Rb"^—Rt"ßi Z"=—Ra"a+Rb"~-{-Rb'’ti.

ß ist ein der festen Stütze eigentümlicher Koeffizient, der von der Belastung unabhängig ist; er spielt für das Verbindungsglied des Punktes „b“ mit dem vorderen Hauptträger die gleiche Rolle, wie der Koeffizient a für die Verbindung des Punktes d mit dem

hinteren Hauptträger.

Setzt man statt Ra und Rh ihre Werte aus Gleichung 28) ein, so sieht man, daß die Kräfte X₀, Xp und die zwei in о und p wirkenden Kräfte + >0» noch ein Kräftepaar in О und p bilden:

-, dessen Moment beträgt: ^ t

ta H⁻ h

t-\-ta -f- tb

Die beiden Kräfte Y₀ und Y₀" ergeben ebenfalls ein Moment,

ta ~b tb

dessen Größe: —J? t

t -j- ta -|- tb

beträgt. Diese beiden Momente

heben sich gegenseitig auf.

Die zwei Kräfte Z₀ und Z₀" bilden ein Kräftepaar, dessen Moment, durch den Hauptträger übertragen, in den Punkten О und d die

Kräfte gibt: +4?

I {t ta -1- tb)

[ha t -j- tw а -}- t W ß].

Ebenso entstehen durch die Kräfte Zp und Zp" in den Punkten

[hb t -\~ t W a tw ß\.

I (tta tb )

p und p die zwei Kräfte: + Ф

Die beiden Kräfte in о und p bzw. in d und p geben die gesuchten Momente — M₀ bzw. -f- M₀' und die lotrechten Einzelkräfte + V in O bzw. О .

— M₀ = -f Mo = $

l (t ta -f- tb) t (hg — hb) l (t ta -\- tb)

V=Q

[hb t -J- t a W -f- t ß W\.

68

Diese Größen werden durch die Endquerrahmen auf die Auflagerpunkte 1, 2, 3 und 4 übertragen, in denen sie die Auflagerdrucke hervorrufen :

l (tu + tb + t) (ty + t₂ + t)

R.₂ — +

t²

l (ta +4 + 0 (ty +4+0

-«о

30)

l (ta + 4 + 0 (4 “f" 4 H⁻ 0

[hb + w (a + ß)] t (4 + t) (hg —- hb)

l (ta -f- tb + t) (ty -J- t.₂ + t) ’

[hb -\-w(a + /?)]

_t (hg — hb) tt___

t (ta ~j“4 + 0 (ty -(- t.₂ + t) ’

[hb + w (« -f- /?)] t (hg— hb) (f + 4)__

I (ta + 4 + 0 (4 + 4 + 0 ’

t (ta + 4 + 0 (4 + 4 + 0

[hb + W (ce + /0]

tt:i (ha — hb)

l (ta + 4+0 (4 + 4 + 0-

Auch hier kann man mit Leichtigkeit die einzelnen Wände herausgreifen und ihre Beanspruchungsweise zwecks Berechnung der Stabkräfte angeben, ganz ähnlich, wie am Schlüsse von 4 ce geschehen.

(Siehe 4 ce, b.)

Bei symmetrischen Brücken vereinfachen sich die Werte der Gleichungen 30) bedeutend.

c)Längskräfte der Brücke (wagerechte Kräfte der x-Richtung).

Man reduziere alle Längskräfte der Brücke auf die beiden Punkte p und 0. Dies geschieht in bekannter Weise durch Übertragung der Kräfte, vermittels der verspannten Wände, bei deren gleichzeitiger Beanspruchung. Hierbei entstehen die Reaktionen:

Ra = О

■z t + 4 у it + 4 + 4 z * + 4 — У ^ + 4 + 4

Es bleibt noch der zweite Teil der Aufgabe zu erledigen, nämlich die Untersuchung des Einflusses einer oder zweier Kräfte, die in

31)

= — zH

R' = + sH~

Rb = о

Ri = о

R,'

l t + ty + 4

R.’^ + SH²,

4+У . i t + 4 + 4 ’

69

den Punkten 0 und p, wagerecht in der %-Richtung angreifen. Diese Kräfte sind in unserem Falle:

*0p — -f- — H

=+SI{t-r>

Von den sieben Auflagerdrucken, die diese Kräfte erzeugen sind drei aus den Gleichgewichtsbedingungen zu ermitteln:

R{'= о

Ra"= — Оо

32)

t -f- tb t -)- ta -j~ h

— 0P

t -j“ ta -(- tb

Rb - —

ta

t -f- ta tb

— 'Op

t -j- ta tb

Von den anderen vier Auflagerdrucken ist bekannt, daß

33) <

ЯГ+Я₂"+Я₃'Ч-Я₄'':=₀;

-1— Rb (Jla — tlh) ——• О

und M₀ -j- M ' = о,

wobei Mo, wie bekannt, gleich ist: M₀ — Rx" tx — R₂" (t -f-1₂) und

M₀'

R-i 4 — Ri (t + h)-

Um Rx bis R₄" zu berechnen, verfährt man genau so, wie bisher (z. B. unter b). Man erhält unter Verwendung der Gleichungen 29) die X, Y, Z-Komponenten der in den Punkten 0, o", p und p" von den Kräften Ra und Rß' ausgeübten Aktionen und schließlich die Werte der Auflagerdrucke.

Es betragen:

t [tg hb -j- ta W ß — (t -|- tb) W a]

l (t ta tb)

Mo — — M₀ --{- J?₀

t [(if -f- ta) Ilb -f- (f -f- ta) W ß tb WcĄ

I (t ta -\-tb)

Außerdem wirken in den Punkten 0 bzw. О die lotrechten Einzelkräfte + V:

V— -f-

(t -f- tb) ha -j- ta hb

I (t ta t b)

“h 'Op

ti> ha -f- (t -\- t ) hb

l{t-\-ta-\- h)

Ri' =

R₃" =

Die Auflagerdrucke Rß bis R±’ betragen: У jt-f- t₂) t + 4    ti

V (t-{-tĄ)

t-\-ts-\-ti ¹ t-\-L -f-t.

Mo

Mo

, R.₂"

M₀

vtx

Mo

Vts

70

Ist die Horizontalverspannung gebogen, dann kommen in den Hauptträgern noch Zusatzspannungen hinzu, die von den Zusatzkräften

Mj d² z

.—    dx herrühren. Die Momente M₀ und M₀' werden um

t dx-

die Größen + / M

d² z X

hdx*l

dx vergrößert. Siehe darüber Punkt 3 ß.

6. Brücken mit vier wagerechten Auflagern. Statisch unbestimmter Fall.

§ 30. Fast alle Brücken haben sowohl zwei wagerechte Auflager der x-Richtung, als auch zwei der y-Richtung. Dieser Fall gehört zwar eigentlich zu den statisch unbestimmten Brücken, da es sich aber um sekundäre Kräfte handelt, wird die Berechnung meist vereinfacht und die statische Unbestimmtheit bleibt unberücksichtigt.

Auf die Berechnung des Einflusses der lotrechten Kräfte hat diese Bauart keine Wirkung.

Bei der Berechnung der Brücke für wagerechte Kräfte ist die einfachste und üblichste Annäherung diese, daß man für alle Querkräfte nur die Auflager der y-Richtung, für alle Längskräfte nur die Auflager der л:-Richtung als vorhanden annimmt.

Somit reiht sich dieser Fall teilweise unter Punkt 3, teilweise unter Punkt 5 ein.

Um zu zeigen, inwiefern die obige Annäherung zutreffend ist, und gleichzeitig einen scharfen Berechnungsgang anzugeben, dienen folgende Überlegungen und Beispiele.

a) Querkräfte (Kräfte parallel zur y-Achse).

Die Auflagerkraft Rr an der Pendelstütze wird infolge der Einspannung des Horizontalverbandes an der festen Stütze kleiner, die Auflagerkraft Ri etwas größer, als wenn das eine Auflager der л:-Richtung wegfiele. Dies hat zur Folge, daß bei Vernachlässigung der Einspannung (angenäherte Berechnung) die positiven Momente und die Querkräfte (Scher-) am rechten Brückenteil zu groß herauskommen, während die Querkräfte am linken Ende, sowie die negativen Momente zu klein sind. Die negativen Momente verschwinden sogar ganz,

71

falls die obige Vernachlässigung vorgenommen wird, wenn es sich um reine Balken ohne Ausleger handelt.

Im folgenden Beispiel sei eine Brücke nach Fig. 33 zu berechnen. Die Horizontalverspannung ist unten. Die Verbindung der Punkte o' und p" mit den Auflagerpunkten a und b ist auf die einfachste Weise, nämlich durch gerade Stäbe hergestellt.

Es sei ta = h — tx — t₂ — t:i = ti = 0, die Fachwerke seien Strebenfachwerke.

Eine Kraft H, deren Abstand von der y-z-Ebene CL beträgt,

-?

-Is*:

ä?

"V

T⁷

42

Fig. 33.

sei in die Ebene der Horizontalverspannung gebracht. Sie erzeugt die wagerechten Auflagerdrucke:

--Rö = Rr.

i Und

Rr-\-Ri —— H, Rxt = Mh. Außerdem entstehen die Reaktionen Rlt R4, Rs und R₄.

Mh sei die statisch unbestimmbare Größe.

Bemerkt sei, daß zur statisch unbestimmbaren Größe das Moment des Kräftepaares Ra, Rb = — Ra gewählt wurde, das sonst gemäß der angegebenen Annäherung vernachlässigt zu werden pflegt.

Dem Zustande M°h—о entsprechen die Werte Ri =—H ~ a R°r= — H und die Stabkräfte S₀.

72

Dem Zustande Mh' = — 1 entsprechen die Werte

Rr = — Ri = -(- t

und die Stabkräfte S'.

IS° S' i

Ca

Es ist Mh —

Zu bemerken ist, daß beim Spannungszustande M°h — о nur die Horizontalverspannung und die Endquerrahmen Spannkräfte erhalten. Beim Zustande Mh' = — 1 wird das Moment durch die zwei Kräfte

+ j gebildet, die in den Punkten CI und b angreifen. Die Berechnung

erfolgt am einfachsten so, daß jede der Haupttragwände für sich behandelt wird, wobei folgendes Spannungsbild entsteht: Die Kraft

-j- ^ erzeugt im Punkte o" bzw. p” eine wagerechte Reaktion + ~

und in den Punkten О und o' bzw. p und p' je eine lotrechte h

Reaktion + ~fT Die wa8‘erec^ten Reaktionen, in ihren Wirkungssinnen umgekehrt, beanspruchen die Horizontalverspannung und die zwei Stützquerrahmen. Die letzteren mit den Kräften + -J- •

Die Stabkräfte S° und S' werden unten tabellarisch zusammengestellt.

Nach der Näherungstheorie müßten sein:

-, Rr = R° = -H f-

Ra = R°a=o, Rb = R°h = o, Ri =Ri = — H

Um eine allgemeine, wenn auch angenäherte Formel zu erhalten, werden bei der Summierung die Feldweiten gleich d x gesetzt. Ferner sei w = b. Die Längen der Diagonalen seien im Hauptträger „d“, in der Horizontalverspannung d'. Die Trägerhöhe sei I). ha = hb = hi = hr = h. Die Brückenbreite sei wie gewöhnlich t. Die schrägen Streben zwischen den Punkten CL bzw. b und den Punkten o" bzw. p" der Hauptträger haben die Längen y. Sie liegen im vorliegenden Beispiele in den Ebenen der Hauptträger. Die Diagonalen der Endquerrahmen unterhalb der Verspannung haben die Längen u.

73

СО

со

со

to

Obergurt vorn, rechts von X — a

h(l — x)\l

tlb) Ja

h²(l — x)-dx i t²l²b%~ a

Desgl. links von X—a

h{l — x) a tlb) 0

h²(l — x)²dxa

"W/Г 0

Untergurt vorn, rechts -{-H von X—a

h(l-x)i (l-x)t

a{l x)¹ Щ a It a

It a _ _ (h + b) (l—x) i

-H

a(h+b)(l-x)²dx i {кЩ²(1-х)Чх}

l²t²bfg

tlb

t4²b%

von x—a

«s.

rj(l—a)(h+b)x(l-x)dx« (h+b)²(l—x)²dx a ь t4*b)²fg |ь

Diagonale vorn, rechts von p'

h²d³

Desgl. links von p

h(l — b) d

tlb ь

h²(l — b)²d³

tH²b²b%

Obergurt hinten,rechts von X = a

h(l—x) i

tlb) а

h*(l—x)²dx\i t'l'Wg \a

Desgl. links von X = a

h(l — x)\a tlb J о

ft

h²{l — x)²dx\*

t²l4% |o

hSu-Ä¹

„    „    It а

von X — а

(h+Ь) (l-x)i

tlb)

ff

a(h + b)(l-x)²    \i (h+h)²(l—x)²dx¹

l²t²bfg    ja t²i>²l²fg ja

Desgl. links von X — a

_H(ba)xa

(h + b) jl-x) «

It

tlb

„ !-Я

(la)(h+b)x(l~x),Y

lH²bfg

а (h+b)²(l—x)²dx «

t²b²l%

Diagonale hinten,rechts von o'

а; 1-к,

4=г

а.

h²d³

f44ffd

Desgl. links von o'

h(l—b)d

tblb

h²(l — b)²d³

t²i²bfb²fd

Stützenpfosten vorn rechts

-H

<4 а а*

Т:!а*

КЗ

2 a hl lH²fs

4 h³

t4²f₃

Desgl.

hinten rechts

Stützen

diagonale

rechts

a |ч-а |~

•я ITM » it:

h³

t²l²fs

to⁴“! я

-H

au³

u³

r-t²fs

<1

to

Cg

to

in

«О I⁵*--,

Stützenpfosten vorn links

h(l — 2b)

tlb

(l — a) (l — 2b)h³

h³ (l — 2 b)~

t4*bf

t*l*b²f

Desgl. hinten links

h (l—b)

tlb

h³(l — b)'²

t*l*b*fs

Stützen

diagonale + H ——— links

(l— а) и³

l~ t fs

Strebe у

_y

vorn

tb

b²t*fs

Strebe y hinten

tb

bit* fs

Diagonale

unten,

rechts von a

-H

ч ⁰

>ч-|

-H

ad'³

Wfä

d'³

Desgl. links von a

(l—a) d'

it

d'

Tt

(l— a)d'³

d'³

Endpfosten vorn rechts

h²i)b2 f'² V¹ b²f

Desgl.

hinten rechts

~Ti

h²bb2 t4*b%

Desgl. vorn links

h(l — b)

tlb

h²(l — b)4

t4²b'fs

Desgl. hinten links

h(l— b)

h*(l—b)* b

tlb

t4²b*fs

Zähler: Z = ZS₀S-„

a(hAr b)

WM

(l—a)*—2H

(h-\- b) (/ — a)

2 a hs

а и³

Wf.

l²t²bf₉

h*(l — a) (l—2b) PPbfs

(.l—a) и³

W,fs

ad'* (l—a)

PP\)²b*fg

(l—a) ad'*

Pt* b fi

{i (h-f b) t) b² [2a P—3 (a² + b-) Z²-f (3ab² + 2b3 -f a³)/—2b*a] + oÿbh*[P— l (a-f 2 b)-{-4 ab]

-J-a b² b² u* (2a—Z)j

p t² b U

75

Nenner: N—IS'² —

[2y-h^P + 2b²(h-\-t))--l(l— by~\-y2h²d³b(l — b) -{-y2h²ds (l — by~\-o5h* i)² b²-{- o2u³b²i)2 +ohsy(2l²—61Ь-У5Ь*)+о2уг\)Ч²-{-/d'³bt)4 —}—cr4/i²t>³i>²—j— ct27i² t)³ (l²—2 lb)]

¹    [%b²h²l³+%b²\h+l,y{l-by-yy2h²d³b(l-b)

-\-ob)²hs (10b²-\-2l²— 6bl)-\-o2\)²(b² u³-\- l²y³) -у у If Ib d'³о 2h² ty³ (l²— 2lb-\-2b-)]

Mh —jj und R[ = -R{Mh=—R) ^-y~

R] und R! ist der Einfluß der statischen Unbestimmtheit.

+ ob,²b²u³(2a — l) —2b³a\+o\₎²bh³[l²— l(a+2b)-y4ab] ^ (h    b² [2 a l³—3(a²-\-b²)l²-{-l(3ab²y-2b³-\-a³)

I b² h² R + 1 b² (1) + h)² (l — b)³1 -f y 2h² d³1² (l — b) -\-y Уl²bd'³-\-g\)²h³1(10b²y-21² — 6bl)

-yo2\)²l(b²u³-yi²y³)-yo2yh²(2b²-y l²—2bl)l

Für l = 8b, \) = b, h = 4b, t = b, d = d'=V2b, u = Vl7b,

1,5, y =2, ist, wenn für ^ = a gesetzt wird:

40 a³— 960 a² + 4882 a -f 6656 847859

Für a = 0 beträgt Rl = — 6656 : 847859 mal H = 0,008 H Ri= — 10618:847859 „ H = 0,012 H Rl = — 12900: 847859 „ H = 0,015 H Ri = — 13742 : 847859 „ H = 0,016 H Ri — — 13384 : 847859 „ H = 0,015 H Ri = — 12066 : 847859 „ H = 0,014 H R] = — 10028:847859 „ H = 0,012 H Ri = — 7510:847859 „ H = 0,009 H R] = — 4752:847859 „ H = 0,006 H Der maximale Zuwachs bzw. Abfall der Reaktion Rr bzw. Ri infolge erwähnter Vernachlässigung beträgt 0,016 H, also 1,6 °/₀, während die Reaktion selbst sich zwischen 0,0 und 1,0 H bewegt.

Die angenäherte Berechnungsweise erscheint hiernach zulässig.

t²Pyb²fg

t²l²yb²fg

Rl = — Rlr=—H

y = Yl7b, 0=1, y

Ri = — Rl = — H

a = 2 a = 3 a — 4 a = 5 a = 6 a = 7 a = 8

76

Die Gleichung R} = — Rr—... ist gleichzeitig die Gleichung der Einflußlinie der R\-Werte.

Für volle Belastung mit w pro Längeneinheit berechnet sich :

40

R\^-R'r = -

(I )-⁹⁶⁰ (I) +⁴⁸⁸² (f)+

6656

847859

da

847859

(40 а³—960 а² + 4882 а + 6566) da = — w

847859

[10 • 8³ — 320 • 8² + 2441 • 8 + 6656] = — wl

=2,6%

von

10824 847859 R% daR°i = — 0,5 wl.

= — 0,013 w l

fti

Somit ist:

ел ftp

%*L -o" ‘V"    U'

R^RI+Rl^ — 0,5 wl — 0,013 wl = — 0,513 wl,

Fig-. 34.

während nach der Annäherung Ri = 0,5 wl ist.

b) Längskräfte (Kräfte parallel

zur

x-Achse.) (Fig. 34.)

Die zu berechnende Brücke sei dieselbe wie im letzten

Beispiel.

Bei О wirke eine Längskraft    Nach der Näherungsmethode

müßte Ra = — *0, Rh = O, Ri = 0, Rr — о sein. Als statisch unbestimmte Größe wählen wir die Lagerkraft Rh.

Für den Zustand Rl = О ist R° = R° = O, R°a = — 4?, die Werte der Stabkräfte = S°.

Für den Zustand Rh =

Werte der Stabkräfte = S'. iS⁰ S' -

1 ist R{= — Rr —

+ p    die

Es ist dann Ri

±S'²-—

Zu bemerken ist, daß man die Werte S' erhält, wenn man die vom vorigen Beispiel mit — t multipliziert. Der Nenner kann mithin sofort hingeschrieben werden.

Stabkräfte S'

77

f b*ÿl*fg

[%b²h4³+%b²(h+by(l-by+y2h²d³l(l-b) + (7l)²/z³(10Z?²+2 Z² —6Z>Z)+a2/z²t)³(Z²—2ZZ? + 2 b-)

+ ff2 I)² (Ь²и³ + Ру³) +y't)4bd'³]

Um den Zähler zu berechnen, stellen wir die Kräfte tabellarisch zusammen. Tabelle siehe nächste Seite. Aus der Tabelle ergäbt sich:

Z=lS°S'j = —j?

Ąh*b3+ih(h + i» (l-ъуъ²

Somit ist

z²ifb*/

+ yh²d³ {l — b)l + oh* t)²(2 Z>²+-Z² — 2 Ib)

+ ff/i²{)³(Z² — 2W + 2Z>²)-f ai)²;y³Z²]

R}j=—4?

-f Z² — 2 ZZ>) -f u Zz²1)³ (Z² — 2 b l -f 2 Z>²) -+ а t)² y³ Z2 lh”-b4³+Uh+l))h(l—byb²-\-yh²d³(l~b)l+oh³\)²(2b2 $b*h²l³-\-%b²(h-\-t)y(l—by+y2h*d³l(l—b)+y't)4bd'3 + (7t)²Zz³ (10Z?²-f 2Z² — 6Z>Z) + (7 2/z²l)³(Z² — 2 Z6+2Z?²)

-j- o2 t)²(Z?²zz³-f- Z²;y³).

Mit Einsetzung- der einzelnen Werte, wie im vorigen Beispiele

ergibt sich:

Rb = — 0,061 J?

gegenüber Rb — О

Ra = — (1 — 0,061) J5

¹ nach der Näherungsmethode, — 0,939 4? gegenüber Ra = 1*1? nach der

Näherungsmethode.

Auch in diesem Falle sind die Abweichungen der Näherungsmethode ziemlich gering.

Greift die Last 4?

am anderen Ende der Brücke an, so wird die Spannkraft des Untergurtes um -+ 4? größer, der Zähler erhält

noch das Glied: —4? scharfe Berechnung wird um

(h+W-by

2 Z i)fg

, und die Differenz gegen die

0,003 4? größer.

Stäbe

S°

со

Cg

‘-*>1 !»

Obergurt

hinten

hl — x ¹

I i) о

h (I— x)¹ dx

li)

fg

h*(l—x)4x\i

~mg

1°

Untergurt

hinten

hl — x\i

(h+b)(l-x) i

1) \b

li)

Diagonale hinten, rechts — $ von o'

ы;(+)

lh’

ma!

'-I S* Sri Su

аГ⁵! а.

h²d³

Stäbe

Cg

Desgl.

links von o'

+ ■£>

h(l — b)d lb h

00

4,1

Cg

14

lo

]4

h(L— b) d

blh

~f>

h²(l — b)²d³

Stützenpfosten rechts hinten

H s*

H s*

HI s*

H s* П>! “

Desgl. links hinten

h(l — b)

lb

h(l-b)

hs(l — b)²

lb

l²b²fs

Stützenstrebe y

Endpfosten hinten rechts

Hs* Нч»

iH«⁴ |Н!ч;

'S

~ s* 'S че > £ > -

Desgl.

links

h(l — b)

* lb

Zähler =ZSCS' j = — $

lb

ЪУЬ

V l₄2fs

[ih*b4* + Uh + \))h(l-byb*

l²b*t)*fg

-\-yh²d³ (l—b)l + oh³t)²(2b² + l² — 2lb) + a h² у (l² — 2 lb -f 2 b²) -f (7 \)²ys Р].

II. Abschnitt.

Brücken mit zwei horizontalen und einem vertikalen Hauptträger.

1. Allgemeines.

§ 31. Diese statisch bestimmten Brücken zeichnen sich dadurch aus, daß die Horizontalverbände auch infolge lotrechter Lasten Spannkräfte erleiden. Sie bilden für gewisse Zwecke ein sehr gut brauchbares System und wurden schon mit Erfolg angewandt. (Unter anderem für die Schwebebahn Elberfeld-Barmen, Rieppelträger.)

Prinzipiell bieten diese Träger nichts Neues. Die in den Ebenen der Querrahmen wirkenden Kräfte werden durch drei Reaktionen im Gleichgewicht gehalten. Die drei Reaktionen liegen in den Schnittgeraden der Querrahmenebene mit den drei verspannten Wänden. Die Reaktionen, in ihrem Wirkungssinne umgekehrt, belasten die drei Wände. Die Längswände übertragen die Kräfte auf die Endquerrahmen, und diese auf die Auflagerpunkte.

79

Die Lagerung- der Brücke erfolgt, wie bisher in sieben Punkten mit je einer Auflagerbedingung. Von diesen sieben Punkten können mehrere zusammenfallen. In vier Punkten gibt es lotrechte, in drei Punkten wagerechte Auflager. Von den letzteren wirkt zunächst eines in der л;-Richtung und zwei haben die у -Richtung. Die Bezeichnungen und Lage der Lagerpunkte bleibt im großen ganzen wie bisher. Der Wert t ist nun gleich Null.

2. Einfluß der lotrechten Kräfte.

§ 32.    «) Die Verspannungen sind eben.

- я„ = — Pi

wobei $ der

Eine lotrechte Kraft P, die in einem Querrahmen angreift und den Abstand у vom vertikalen Hauptträger hat, belastet den vertikalen Hauptträger mit der Kraft: V —-\- P, die zwei Verspannungen mit den Kräften: H₀

Abstand der beiden Verspannungen ist.

Ist die Einflußlinie einer statischen Größe U des von der Brücke losgelöst gedachten vertikalen Hauptträgers ausdrückbar durch U= f (x), dann ist die Gleichung der Einflußfläche dieser Größe für die Brücke ebenfalls

34)

“=/(*)•

и Hz

Die Einflußfläche ist ein Zylinder mit zur у-Achse parallelen Erzeugenden. Die Leitlinie des Zylinders ist u=f(x), y = 0; bei statisch bestimmten Fachwerken besteht die Zylinderfläche aus Ebenen. Ist die Einflußlinie einer statischen Größe U der oberen Horizontalverspannung, die von der Brücke losgelöst gedacht werden möge, ausdrückbar durch U=f (x), dann ist die Gleichung der Einflußfläche

-/w¹-

35)

и =

Diese Fläche ist ein Konoid mit zur и — у-Ebene parallelen Erzeugenden. Die Leitgerade des Konoids ist die x-Achse (Schnittgerade der Ebene des Hauptträgers mit der x—y-Ebene): ll=o, y=0.

Die zweite Leitlinie hat die Gleichung и — — — /(x), y = l.

S

Das Konoid besteht bei konstantem $ und statisch bestimmten Fachwerken aus hyperbolischen Paraboloiden.

Die Größen und Einflußlinien der Auf lager drucke bleiben dieselben, wie bei Brücken mit zwei vertikalen Hauptträgern und einer Horizontalverspannung.

80

ß) Die Horizontalverspannung ist gebogen.

Die Berechnung ist nach dem Aufsatz in Abschnitt I. 3. ß durch

zuführen.

Zunächst wird die Horizontalverspannung gerechnet, indem ihre Projektion auf die Sehnenebene behandelt. Dann werden die so erhaltenen Stabkräfte, welche nichts anderes bedeuten, als die Projektionen der wirklichen Stabkräfte auf die Sehnenebene, mit der Sekante des Neigungswinkels des betreffenden Stabes zur Sehnenebene multipliziert.

In den Gurtknotenpunkten der gebogenen Verspannung entstehen die lotrechten Zusatzkräfte: 4~ — M

h dx²

man

dx, welche ein Moment

M ~

Mh dx‘

die beiden Verspannungen in Form zweier Kräfte 4--Мд

dx bilden. Dieses Moment wird durch den Querrahmen auf

d- z dx²

übertragen.

Auf Berücksichtigung dieser letztgenannten Kräfte, welche nur die Horizontalverspannungen und nicht den vertikalen Träger belasten, wird sich gewöhnlich die Berechnung beschränken. Genau genommen müßte man beachten, daß durch diese Zusatzkräfte 1. Ordnung, noch weitere Zusatzkräfte 2. Ordnung bedingt werden usw., die jedoch sehr gering sind und vernachlässigt werden können.

3. Querkräfte (Kräfte der ?/-Richtung).

§ 33. Diese Kräfte werden durch die Querrahmen auf die beiden Verspannungen gebracht, die sie dann auf die Endquerrahmen übertragen. Der vertikale Träger wird nicht belastet.

Liegt die x — y-Ebene in der oberen Verspannung (bzw. wenn diese gebogen ist, in deren Sehnenebene), und hat die Querkraft H, die Applikate Z, so beträgt der Anteil von H, der auf die obere

> _j_ 2    Z

Verspannung wirkt: H---und auf die untere Verspannung:—H —.

5    î

Die Einflußfläche einer Größe U der oberen bzw. der unteren Verspannung hat die Gleichung (u 'Jy).

36)

и = f (х) bzw. и

Ob*

wenn U = f (x) die Gleichung der Einflußlinie der Größe U ist, bei von der Brücke losgelöst gedachter Lage der Verspannung.

81

Diese Flächen sind Konoide. Die Leitlinien sind U = 0, Z — — $ und и =f (x), z — 0 für das erste Konoid, bzw. u= 0, z = О und U = f (x), z — — J für das zweite Konoid. Die Erzeugenden sind parallel zur у— Z-Ebene.

Wie man sieht, sind die Leitlinien für das erste (bzw. für das zweite) Konoid:

1. Die Projektion der unteren (bzw. oberen) Verspannung auf die z — x-Ebene

2. Die Linien u =/(x), die von der Projektion der oberen (bzw. der unteren) Verspannung auf die Z — x-Ebene in den projizierenden Ebenen aufgetragen werden.

Ist eine von den Verspannungen (oder beide) gebogen, dann

■erhalten sie Zusatzkräfte von der Größe 4

dx, die ihrerseits

Mhd*z

dx²

/yp

-tr"

4t

/O-

<x

4X

j»'

A Fig.35.

weitere Zusatzkräfte höhere Ordnung hervorrufen, welche letztere jedoch verschwindend klein sind.

Die Auflagerdrucke sind bei diesen Brücken genau so groß, wie bei den Brücken mit zwei vertikalen und einer horizontalen Tragwand.

4. Längskräfte (Kräfte der ^-Richtung).

§ 34. Die feste Stütze habe folgende Gestaltung. Der Punkt Zl ist mit dem Hauptträger durch ein Verbindungsglied, das nach Fig. 35 ausgebildet werden möge, verbunden. Dieses Verbindungsglied mündet in zwei Querrahmen der Brücke, deren Abstand w sei.

Über die Drucke R/'R.₂"R₃" und R₄" ist bekannt, daß

38")

R,"+R,"+R₃"+Rt"=o- (R"+R,")=~(Л,"+ДЛ—Фу

und M₀ -J- ATó = о, wobei M₀=R"tr— R₂ 4 — Ri'hi und MÓ=R.i 'ts — R₄ "4— R”hr.

Zur Berechnung der Drucke R," bis R₄" erhält man aus der Bauart der Brücke eine weitere Beziehung durch Anwendung des im § 25 ausgesprochenen Satzes, wie dies schon wiederholt bei ähnlicher Aufgabe geschehen ist.

Wir betrachten die Wirkung der Kraft Ra '= — 4? auf die feste Stütze der Brücke. In den Punkten o o" p und p" (es seien dies die vier Eckpunkte zwischen dem vertikalen Hauptträger, den zwei Querrahmen an der festen Stütze und den zwei horizontalen Verspannungen) entstehen als Folge der Kraft R , folgende Kräfte:

ha

X₀ = Ra"; Y₀ = -R"

— Ra'a, Z₀ = — Ra ,

82

Der Koordinatenursprung 0 liege in der Ecke, die vom vertikalen Hauptträger, dem linken Endquerrahmen und der oberen Verspannung gebildet wird.

Man reduziere die Längskräfte auf den Punkt 0 in bekannter Weise. Es entsteht im Punkte 0 eine Längskraft ф = -\- 2 H und in den Lagerpunkten der Brücke folgende Reaktionen:

R/ = — Ri = jlHy,

z(4 —y)~\~yhi 44+4)

*(*4—y)+yftr

44 + *4)

Der zweite Teil der Aufgabe, nämlich die Berechnung des Einflusses einer im Punkte о vereinigten Längskraft J?, bleibt noch zu erledigen. Die Auflagerdrucke betragen:

38')

Ra=0,

37)

Rt'=— iH

R:,' = + 1Я

Ra —

R,’=-zH

Rl'=+2H

*(4 +У) —У hi 44 + 4) +4 +y)-yhr 44 + 4)

in о:

„ o" :

Yo"= - Ra"

+ Ra ai Zo + Ra

Ts TS

„    •    Yp —|— Ra &,

,',    Yp" = — Ra'a.

„a“ hat hier eine ähnliche Bedeutung, wie früher bei Abschnitt I, 4 a und ff.

Das Kräftepaar Y₀ und Y₀" bildet ein Moment, das durch die obere Horizontalverspannung auf die Punkte о und o’ übertragen wird.

ta

In diesen Punkten entstehen dadurch die Kräfte + «0 -r +

aw

Ebenso entstehen infolge des Kräftepaares Yp, Yp" in den Ebenen der unteren Verspannung, in den Punkten p und p' die

Kräfte + <£>

83

Xa = Râ' = — und die Kraft .£>, die gleichfalls in о angreift, heben sich auf. Das Moment des Kräftepaares Z₀ und Z₀" wird durch die vertikale Tragwand auf die Punkte о und ó übertragen,

Diese Kräfte

wo dadurch die Kräfte entstehen: -j~Ra erzeugen die Auflagerdrucke

_ - ha _4_

^ I 4 + 4’

in 3.    -f+~r

39)

ha

=++•

in 1.

in 2.

4 ha

44+4)’

^ 4+4’

in 4.

aw

Die zwei Kräfte in 0 und p bzw. in О und p', die in den Ebenen der beiden Endquerrahmen wirken, lassen sich ersetzen

durch die zwei wagerechten Einzelkräfte in О und o' : + Jp und die beiden Momente — M₀ und — M₀':

Die zwei Einzelkräfte in 0 und o’ und die zwei Momente ergeben die Auflagerdrucke:

ta

tahi

44 + 4)

.0

Яз'"=-Я₄"'=+£

tahr

44 + 4)’

i (4 + 4) f ^ (4 + 4)

Somit sind die gesamten Auflagerdrucke, hervorgerufen durch eine Kraft J?, im Punkte O:

ta

Ra"

40)

Rx —+>0

R₃ —+

— Uhg—tghl—aWb

44+4)

4    +4 hr+a Wft '

44+4)

; Ri —+

, -—£, ha-\~tahi~\-aw^

^    44+4)    ;

4 h/л ta hr a iw ^

44+4)

wobei $г und die Abstände der Horizontalverspannungen an den Endquerrahmen bedeuten.

5. Brücken mit zwei wagerechten Auflagern der ac-Richtung und einem Auflager der ^/-Richtung.

§ 35. Die Auflagerdrucke der я-Richtung greifen in den Punkten a und b an. Die Koordinaten dieser Punkte seien, wie früher; o, —ta, —ha; und o, 4 tb, —hb.

Das rechte wagerechte Auflager der y- Richtung (Rr) fällt

nun fort.

— J; dx bzw.

84

Somit wäre der zweite Teil der Aufgabe erledigt. Zusammengefaßt betragen die Auflagerdrucke R = R'    R".

— R i =    (ta 4 y)

—H [z (t₂ — y) 4 hiy 4t₂ ha -j- tahi-j- aw$]

Ra = — iH,

Rr =

l (tx -j- t₂)

41)

я₂ = -

iH [z (tx -\-y) — hy + txha — tah — awt]

I (4 + 4)

IH [z (4 — y) 4 Ky 44/44 tahr + ctWb]

^ (4 + 4)

iH [z (4 -f y) — hry 4- 4 ha — tahr — an>i\.

Ist eine oder beide Verspannungen gebogen, so sind noch die dadurch entstehenden Zusatzkräfte erster Ordnung 4

Mh d-z

dx,

dx²

die die Horizontalverspannungen belasten, zu berücksichtigen. Diese Zusatzkräfte vermehren (algebraisch) die Momente M₀ und M₀' um die Größen:

Mh d² zl — j dx² /

Mh d* z l —

5 dx² l

Für den Einfluß der lotrechten Kräfte ist es gleichgültig, wie die drei wagerechten Auflager gerichtet sind. Es bleibt somit der Punkt 2 dieses Absatzes für diese Kräfte gültig.

Es handelt sich lediglich

um

Kräfte H.

den Einfluß der wagerechten

85

Man reduziere alle wagerechten Kräfte auf die Punkte 0 und o". Dadurch entstehen im Punkte о die Kräfte:

JPy = -j- iH sin cp

= -f- 2 H cos cp

ferner in den Punkten о und o" ein Kräftepaar mit zur J-Richtung parallelen Kräften

sin cp — у cos cp).

cp ist der Neigungswinkel der Richtungslinie der Kraft H zur

X-Achse.

Gleichzeitig entstehen die Auflagerdrucke:

im Punkte 1: —-H

cos cp - z (t₂ — y) -\- sin cp- z • (l — X)

1 (tx -j- t₂)

2: — IH z

cos cp ■ (ft + y) — sin cp - (l — x)

I (4 -f-t₂)

3: -f- IHz

cos cp • (t₄ — y) — sin cp - x

cos cp - (f₃ -f- y) -f- sin cp • x

4: -f iHz

i (4 -b 4)

Bringt man noch die Kraft »0 auf die Auflagerpunkte, so entstehen insgesamt beim ersten Teil der Aufgabe die Reaktionen:

Ra' = P Rb = о Ri = — ZH sin cp

Ri = — ZH i Д-ц [(4 — У) cos </>+(/—x)sinr/)]—    IH sin cp

Rt' — zH

2H sin cp

42)

Д4Т4)[(tl +y) cos (p~{l~x) 5'mcp]+

Rs=+lH    — cos (p ~ x sin cp]

[(4 + У)cos CP + x sin cp].

Es bleibt noch der zweite Teil der Aufgabe zu erledigen, nämlich die Überführung der Kraft S$x = ~H • cos « und des Kräftepaares: Mh — IH (л: sin cp — у cos cp).

Infolge dieser Kräfte entstehen sieben Auflagerdrucke R

43)

-fax

ta

ta I 4

f Mh

4+4

86

Zur Bestimmung der anderen vier Drucke Rß bis Rß dienen die Gleichungen :

44 \j^l    ~b ^3 ~b^b = 0> № ~Ь^Ь    (^а — kb) = О

und М₀ -j- Mó — о

wobei M₀ — Rß' t₁ — R₂" t₂ und M₀' = Rs" t.à — Rß' tL.

Eine weitere Beziehung ergibt sich aus der Bauart der Brücke bei Anwendung des Satzes vom § 25 wie in früheren Fällen.

Die Kräfte Ra” und Rb erzeugen in den Punkten o, o", p und p" die Kräfte:

" ta + — + Rb

w

Z₀= — Ra

in O: X₀ == Ra" -(- Rb "; Y₀ = — Ra

n ha r> " hb

--/4,    -

w    w

in о

Y о" = + Ra

„ ta -f ClW

Rb

„ tb -4- ßw

z;-=+R."^ + Rb"

in p:

in p":

Yp = + Ra" —

*    ¹ w

Yp” = - Ra

R "^W b W

,, a W    ßW

-------fii -

w    w

Ersetzt man die Größen Ra" und Rb" durch ihre Werte und beachtet, daß im Punkte о eine Kraft und in der oberen Verspannung das Moment Mh wirkt, so erhält man:

in den Punkten о und ö die vertikalen Kräfte

Mh (ha — hb)

I (ta “b tb)

ta hb —b tb ha

(ta ~b tb) I

und die Momente — M₀ und — M₀'

-M₀ = -j-M₀' =

Wh (atb — ßtg) -f Mh Wb(a 4-ß)

i (ta “b tb)

Diese Einzelkräfte und Momente ergeben die Auflager

drucke :

R" =

vt₂

Mo

R>" =

Vtx

Mo

Ь “b Ь Ь ~b b

Rz" = — V

Mo'

b ~b Ь Ь ~b ь

R4"

Vt,

Mo'

b ~b Ь b _b ь

87

Faßt man alle Auflagerdrucke zusammen (R = R'-f- R"), so

erhält man:

46)

47)

R =—•£#; Я.=-4~-

й₁=-гЯсо»?.^^-«„А

Я.=

Mh

ta~\~ tb

! i?»

ta

Mh

4 H⁻ tb ’

__F-²

4+4    4+4

Rs=+lHcos г/)

/г₄=+-гЯсо8у

*(4~У), v 4 44+4) 4+4 *(4+У) , т/ 4 ^(^3+^4)    4+4

Hierbei ist:

ta~\~ tb

tl -+МаЛ--гН<Ап<рр£-?\ 4+4    /(4+4)

+ЛГ;г^г-+Яз!пг/) г*

4+4

44+4)

-м₀

4+4

+2Н sin cp

44+4)

Mh = IH (xsin cp— y cos cp) V=

*0* = -7/ COS cp £>y = iH sin Cp

___r M. ^a~~^ł

Ц4 + 4) T *i(4 + 4)

ta hb T" tb h;l

M₀ = -M₀'=-

W %{atb — ß ta) +Mhw i(a + ß)

I {ta H⁻ tb)

a und ß haben hier ähnliche Bedeutung wie früher.

7. Brücken mit vier wagerechten Auflagern.

durch die zu ihnen parallelen Auflager auf-man die anderen zwei Auflager

§ 36. Die meisten Brücken haben zwei wagerechte Auflager der x-Richtung und zwei der ^-Richtung. Diese Fälle gehören eigentlich zu den statisch unbestimmten Brücken; da es sich aber um sekundäre Kräfte handelt, wird die Unbestimmtheit gewöhnlich nicht beachtet und die Berechnung so durchgeführt, daß die wagerechten Kräfte der J-Richtung nur genommen gedacht werden, während als nicht bestehend betrachtet. Ebenso läßt man die Kräfte der x-Richtung durch die Auflager der x-Richtung übertragen.

Eine genaue Berechnung ist ohne weiteres durchführbar, jedoch wird die angenäherte Berechnungsart zumeist recht gute Werte ergeben. Siehe auch § 30.

Bemerkung 1.

Ein vom Schreiber dieser Zeilen ausgeführtes Beispiel einer großen Förderbrücke mit zwei horizontalen und einem vertikalen Träger zeigt Fig. 36. Dieser Träger hat noch die Eigentümlichkeit,

88

daß der Obergurt des Hauptträgers aufgelöst ist und durch die obere Verspannung mit ihren zwei Gurten ersetzt wurde. Der Zweck dieser Maßnahme war, einen Obergurt zu sparen, da rechts außen ja doch eine schwere Hängebahnschiene angebracht werden mußte. Der

Träger ist sehr leicht (siehe „Fördertechnik“ 1911, Heft 5 und 6).¹) Die Brücke wurde in einer Länge von 750 m, als Gerberträger ausgeführt.

Bemerkung 2.

Fig. 36.

Hierher gehören auch verwandte Konstruktionen, wie Dreiecksträger mit drei verspannten Wänden, die ein dreieckiges Prisma bilden. Im statischen Sinne bieten sie nach dem Vorausgegangenem nichts Neues.

,    III. Abschnitt.

Durchbiegung von Brücken.

§ 37. Allgemeines. Wirken auf eine Brücke allerlei Kräfte, so ist der Weg eines Punktes m der Brücke in der Richtung mm' gleich

48) öm=!SS‘ ~ + L + £S’ets.

Dabei ist:

S die wirkliche Stabkraft eines Stabes;

S die Stabkraft des Stabes für die Belastung 1, die im Punkte m in Richtung mm wirkt (Belastungseinheit des Punktes m);

S, F und E die Länge, Querschnittsfläche des prismatischen Stabes und Elastizitätsmodul;

9 Der Titel des erwähnten Aufsatzes in der „Fördertechnik“ lautet:

Beitrag zur theoretischen Gewichtsbestimmung ladezwecke. Sonderabdruck erschienen.

von Brücken, insbesondere für Ver-

89

L die virtuelle Arbeit der Auflagerdrucke bei der Belastungseinheit des Punktes m und der wirklichen Verschiebung der Auflagerpunkte;

sts die Verlängerung des Stabes infolge Temperaturerhöhung um t° C, e — linearer Wärmeausdehnungskoeffizient.

Der erste Ausdruck zeigt den Einfluß der elastischen Formänderung des Fachwerkes, L ist der Einfluß derNachgiebigkeit der Widerlager, und das dritte Glied zeigt den Einfluß der Temperaturerhöhung.

Unter Weg eines Punktes m in Richtung mm versteht man die Projektion des tatsächlichen Weges auf die Richtung mm'.

Mit Hilfe der obigen Gleichung kann man jede gesuchte Verschiebung berechnen.

Die Summe erstreckt sich auf alle notwendigen Stäbe des Systems.

In der nachfolgenden Betrachtung wird die Nachgiebigkeit der Widerlager und die Temperaturänderung nicht berücksichtigt. Da die drei Ausdrucke von einander unabhängig sind, kann man die einzelnen Einflüsse getrennt rechnen.

§ 38. Ebenes Parallelfachwerk. Bevor auf die elastische Deformation der Brücke eingegangen wird, sei die Durchbiegung eines ebenen parallelen Fachwerkträgers abgeleitet. Es sei h die

Trägerhöhe, / die Trägerlänge, £= — ^ie überall gleiche Feldweite.

Die Last P greife bei x=a an. Sie erzeugt am Angriffsort eine Durchbiegung ö.

ö = lPS'²f

Ef

, wo S' die Stabkraft ist, hervorgerufen durch die

Last 1 am Durchbiegungsorte. Der Träger sei ein Strebenfachwerk. Die Stabkräfte seien tabellarisch zusammengestellt:

l—a X    s dx

I h    f fg

a l—X T ~h~ l—a X

~T~ h

a l—X J ~h~ l—a X

Gurt oben links von

P: S'

„ rechts „ P:

„ unten links „ P:

„ rechts „ P:

Diagonale links „ P:

dx

fg

dx

fg

dx

fg

fd

fd

rechts „ P:

90

/«-H

dx~^² Vh²

P d³ Ul—aya а\1—а)Л

Efd l²h²\_ b ⁺ b J

49) Ü = Pf

₂ (l—aya-

a(l—a)d³

l Vf g E

TmjaE'

Der erste Ausdruck zeigt den Einfluß der Gurte auf die Durchbiegung, der zweite den Einfluß der Diagonalen.

Es sei l = 8b, h = b, fg=fd = /, a = 3b, d = V2b, dann

ist ö = p^j (18,75 + 5,25).

/п

-г.

н    /гть

±.

Fig-. 37 a.

Fig. 37 b.

Man sieht, daß der Einfluß der Gurte (Beiwert : 18,75) den Einfluß der Diagonalen bei weitem übersteigt. Oft wird vom Einfluß der Diagonalen abgesehen.

Ist das Fachwerk ein Ständerfachwerk, so ist in der Formel 49 statt d³ nun (d³-{-h³) zu schreiben.

§39. Brücke mit drei selbständigen Tragwänden. Wir betrachten nun eine Brücke, die aus drei Parallelträgern zusammengesetzt ist: zwei vertikalen Hauptträgern und einer Horizontalverspannung oben. Wir sehen von der Formänderung der Querrahmen ab und untersuchen die Bewegung eines Querrahmens im Abstande x vom linken Auflager.

Ist die Brücke nach Fig. 37 a gebaut, d. h. hat jede der drei Tragwände besondere Gurtungen, dann ist die Ermittelung der Bewegungen sehr einfach. Ist die Schnittgerade der oberen Ver-91

Spannung mit dem linken Hauptträger die x-Achse, so betragen die Verschiebungen eines Punktes, dessen Koordinaten: x=a, y, Z,

50) ô, = d₀- (är - i,) j ; 4 = 1 [<5, y+Ô, (t-y)].

Hierbei sind und öt die zur y- bzw. Z-Richtung parallelen Komponenten der Verschiebung. dr öt ö₀ sind die Wege des rechten, linken bzw. oberen Trägers in seiner eigenen Ebene.

b£

Diese Beziehungen kann man am leichtesten erhalten, indem man sich die Brücke durch folgenden Mechanismus ersetzt denkt. Man löst den Querrahmen heraus und denkt sich an Stelle eines jeden der Brückenträger einen Stab, der in die Projektion des betreffenden Trägers auf die Querrahmenebene fällt. Der Stab besitze eine solche Länge und Elastizitätsmodul, daß seine elastische Dehnung gleich ist der Durchbiegung des ersetzten Trägers an der Stelle, wo der betrachtete Querrahmen sich befindet.

(Fig. 37b),

Fig. 38.

Man erhält eine Scheibe, die mittels dreier Stäbe mit der festen Erde verbunden ist. Sind die Dehnungen der drei Ersatzstäbe ör, ät und d0y sokann man, bei Annahme der Starrheit des Querrahmens, einen einfachen Williotschen Verschiebungsplan zeichnen aus dem sich obige Beziehungen sofort ergeben.

Es ist bemerkenswert, daß auch bei lotrechten Lasten (ö₀ = 0) die Punkte des Querrahmens eine Bewegung im wagerechten Sinne ausführen.

Wir fragen jetzt nach dem augenblicklichen Drehpunkt des Querrahmens.

Seine Koordinaten lassen sich leicht finden. Es sind

t___

öi — ör

y* = tö

die Ordinate und Applikate des Drehpunktes.

Betrachten wir die Durchbiegung am Orte der Last, die in der Ebene eines Querrahmens wirke (Fig. 38). Die Kraft P, deren Richtungslinie und Lage durch den Punkt Z — O, y = CL und durch den Winkel a, zwischen der positiven Kraftrichtung und positiven y-Richtung festgelegt sei, wird in die drei Komponenten R, L und О zerlegt, die

92

in die Projektionen Г, l, und о der drei Tragwände der Brücke auf den Querrahmen fallen.

R = Pj sin a, L = P~- sin«, 0 =

Für a — o haben diese Formeln eine ungünstige Form, deshalb schreiben wir für

51') a = 0:    L= — PJ ° = P’

51)

P COS Ci.

wobei b die Applikate des Schnittpunktes der Kraft P mit der Linie / ist.

Greift an der Querrahmenstelle eine Kraft Eins nach einander in den Ebenen der Tragwände V, l, о an, so erzeuge sie eine Durchbiegung <5/, öl, ö₀'f wobei man sich die einzelnen Tragwände von der Brücke losgelöst denken muß. Die Durchbiegung ör, öi und ö0 haben die Werte:

= dr’R = P % sin « ö;, öl = öi'L — Pl~~ Sin « öl,

52)    -

ö₀ — 0 ö₀' = P cos a ö₀\

Bei а = O ist ör = P — ör' ;

Der Weg eines beliebigen Punktes des Querrahmens, zerlegt in seine beiden zur y- und Z-Achse parallelen Komponenten, beträgt:

52')

ö, = — pKö’

Öo =PÖo.

53)

öy — ö₀ — (dr — öi) j = P I cos а • öo ö,=\[öry -f *10t-y)\=P [£• sin а. су.у + -

f-s-^[ör'a-ö{(t-d)]}

— sin aö{(t — y)J

Für а = 0

53') âs = p[â‘

s.

p₇wy-»at-y)\.

Die Koordinaten des augenblicklichen Drehpunktes des Querrahmens sind:

Öo

54)

Ö₀

t cotg a

a (V;    tdl—ör

t—a öl

_ ör

CL—.

Öl

Öo

Für а = О

54')

yd — -f-1-

ö;

; zd = t-

öl

Ör"

öl

1 +T7

Öl

t — a di

falls der Nenner von Za nicht gleichzeitig⁻ Null wird, d. h. wenn

t— а фа

ö;

93

a) Für lotrechte Lasten ist a = 90°, yd = t

а dr

7, Za = O,

Für a = 0: y a = tf Za — O; für a = t: yd — 0, Zd = 0.

Daraus folgt, daß, wenn eine vertikale Last in der Ebene des rechten bzw. linken Hauptträgers wirkt, sich der Querrahmen um die Schnittgerade des linken bzw. des rechten Hauptträgers mit der Horizontalverspannung dreht.

-    ,    ör

1st t—а = а -.гг- oder

Ol

Bewegung des Querrahmens ist eine fortschreitende, parallele zur 2-Achse.

vT» dann ist yd =

<v

со oder die

b) Für а = о also bei wagerechten Lasten ist:

für b = O: zd= oo, d. h. die Bewegung ist fortschreitend, parallel zur y-Achse.

ô/=ô'

•L

Bei symmetrischer Brücke ö{ =

ya = t

/i

1Г;

io

7i

Zd =

d'

cotg cc

— 2a ’

Fig. 39.

г- К

2 ЪдГ

für а = 0°; у а

für cc = 90°: Za = cc, wenn ^ф2а; ist t—2a, dann ist yd = со; für а = 0°: yd = —|— -5-1} für b^=0: Уа = Н~^^> Zd= со.

+1 tf

zd =

Da diese Bauart der Brücke nach Fig. 37 a) selten ist, mögen die weiteren Spezialfälle nicht verfolgt werden.

§ 40. Brücke normaler Bauart. Haben die drei Tragwände, was die Regel ist, zwei gemeinsame Gurte 1 und 2, dann sind die Durchbiegungen ör, öt und d₀ nicht mehr unabhängig voneinander (Fig. 39).

Man betrachte die Wirkung einer Last P, die in der Ebene eines Querrahmens angreift, und zerlege sie in die drei Teilkräfte R, L und O. Jede der drei Kräfte belastet die entsprechende Tragwand und erzeugt Stabkräfte.

94

Denkt man sich die Tragwände durch je eine Kraft - 1 am Querrahmenorte belastet, so erzeuge sie folgende Gurtspannungen: rechts G2rG3r; links GuGu; oben G₁oG2o.

Sieht man von dem Einflüsse der Diagonalen auf die Form-

änderung ab, so kann man schreiben, wenn q

S    . ,

Ef

gesetzt wird :

Die Kraft R verursacht: ö₃ = ö₂ = R (Z Glrçs-\- Z G²2r q₂)

ôï=â[ = R(lG-2rGioQ,)

Ó* = Ó4 = О

R G₂r(GioJr^:G<2^Q<L-\-Z^GlrQ.^.

ôï=ôï =

Die Kraft L verursacht: dlz = ôijS = L [rG^^-j-^G^^]

ô2y=ôly=L(lGliGl0Q₁)

d4j/=L^i:Gu(G₁₀— Guj G^CiJ

^2 z-^3z-O.

Die Kraft О verursacht: с51г/= <J2î/= Of^G^Çj -\-ZG1₀q₂]

дзу=д4у=0[^Gi₀(G₁₀ jGu) qx -j- ±'q.₂ G2o

• (Go₀ -j- Y G-2rjJ

d]/=(Î4*=0[2’Gl0GHÇ₁]

d-2z= дзг— O [^GooG-2r (?*]•

R-'G2rG2oQ, -f LzGuG.oQ^ 0[2Gf₀^ + ZGÎ₀().₂]

Die Bewegungen der einzelnen Punkte infolge der Last P sind:

(

L[zGllQl^zGllQi]^OiG,₀GllQl

Punkt 1 L

Punkt2

Ą,=ff[zGlres+i:Glre!!] + Oi-G₂„G₂,e2 (5₂»=ÄXG2rG2o?3+Ll'G₁,G,0?, + O[JGf0?1+2:GLe2] <JW=ß[i'G^₉₃+iGSre;]+OJG₂„G2re2

Punkt4

10~

Punkt3l,5»»=Ä[-G^(G2»+|G.,r)?,+bGlrs₃]+Lp'Gli(Gi<1-|G,,)f| iGuÿjj+OpGi^Gi,,- |Gł j)(v₍ +-(G₂o+ ^G2r) G,..,«,! ⁽hz⁼L[± GnQx -j-1 G₄i0₄] -j- 0[A GioGu^j] ^,=/?[^G2r(G₂₀+ Gi^o.i+^lGsrQz J+L^-iGn^G

--|G^4]+0[2’Gl0^Gl0-^Gi!|o₁ +-G2o(G2o+|G2r|o.,J

\g, g!o =+\g,

Gio =

95

Man setze für eine Brücke, die aus drei Parallelträgern besteht und deren Höhe $, deren Weite t beträgt:

G-2r =

— G, G3r =

\g, Gu — + Î-G, Gu

-~G,

was zulässig ist, da die Gurtspannkräfte den Trägerhöhen direkt, proportional sind und alle drei Träger gleiche Längen haben.

Setzt man ferner für IG~q den Abkürzungswert A ein, so ist:

56)

für Punkt 1: öiy=^^R

f(r

I <-+■

»    »    2: ô-2y—

»,    »    3 : d₃ у

2z ——

(2й^⁺⁰т);

d₃z—

[²4+⁰Д;

■ ' ,i:'

Aus den Größen <51г=(54г und д2г=$3г erhält man die Ordinate y,i des augenblicklichen Drehungsmittelpunktes:

57')

yd = ö]2

à\z—à.2 z

2 Lt-Oh 2 (L — R)t — 2 О j ’

Ebenso erhält man aus d'iy — d2y und ôiy = ô4y die Applikate zd des Drehungsmittelpunktes:

57") zd = i

ÖUj

0зу— di y

(R-Ltb + 20f R{4+tü-2Ltb + 20f

(R—L)t-\-20b 2(R—L)t-\~20i

Der Ausdruck A = IG²q = IG² ist nichts anderes als die

Ef

halbe Durchbiegung eines Trägers von der Höhe h = 1, infolge einer Last 1 am Lastorte, wobei jedoch angenommen wird, daß die Diagonalen keinen Einfluß auf die Durchbiegung haben.

Cl ist die Lastabszisse.

Nach

Gleichung 49) ist A =

1 a-(l— a)²

3 lEfg

so ist:

a) für a = 0° (wagerechte Lasten).

fr”

96

Setzt man

wie früher (Fig-. 38)

О = P cos af R = P sin cc •

Г-ł-

fr

bzw. für а = о О = P, R = P —, L = — P — ,

für b — о ist Zd = î

„ b =

00 (Moment) ist Zd = ^    = — t.

Umgekehrt ist für b = —-

ГО ь-А

5 ...Zd = со.

pt — a t

b) für a = 90° (lotrechte Lasten). R = P-

. t — a yd = f t^2 a

% à 2 ^

für Ci = ~ ist yd = со Zd = ~2 5 fortschreitende Bewegung,

parallel zur Z-Achse

99

0 = 0 „ yd = t zd = -%

» Уа O Zd 2 5 а = со (Moment) ist у а = 77

Zi ==

5*

Wann liegt der augenblickliche Drehpunkt in der Richtungslinie der Kraft selbst?

Für cc = 0; Zd = — b, bei fr = komplexe Größe, für а = 90; yd = 0, bei 0 = komplexe Größe.

§ 41. Erweiterung. Bisher wurde die Annahme gemacht, daß die Diagonalstäbe keinen Einfluß auf die Formänderung

97

haben. Wären z. B. die Stabquerschnitte der Diagonalen oder deren E unendlich groß, dann hätten die Formeln strenge Geltung. Bei normalen Brückenbelastungen haben die Formeln den Wert einer Annäherung.

Nun kommen aber Belastungen vor, die kleine Gurtstabkräfte und hohe Diagonalkräfte ergeben (z. B. bei Brücken, die durch ein Torsionsmoment beansprucht werden). Will man deshalb oder aus einem anderen Grunde den Einfluß der Dehnung der Diagonalen auf die elastische Formänderung der Brücke mit berücksichtigen, so braucht man deswegen die Rechnung nicht etwa neu zu wiederholen, sondern es kann dem im vorigen Paragraphen betrachteten Bewegungsbilde ein zweites Bild überlagert werden. Im zweiten Bilde werden nur die Bewegungen der Brücke infolge der Längenänderungen der Diagonalstäbe berücksichtigt. Da die Diagonalspannkräfte einzig von Kräften herrühren, die in den betreffenden Tragwänden wirken, so können zur Berechnung dieser zweiten Bewegung das Verfahren und die Ergebnisse vom § 39 benutzt werden.

(Dieser Fall ist genau der gleiche, wie im § 39, da die Durchbiegung einer Wand infolge der Diagonalspannungen dieser Wand keinen Einfluß hat auf die Durchbiegungen der anderen Tragwände.)

Es sind nun d₀, öt und dr anzusehen als die Durchbiegungen der Träger (oben, links und rechts) infolge der Längenänderungen der Diagonalen bei Belastung der betreffenden Tragwand, mit den Kräften O, L und R. Die Gurte müssen bei diesem Teil der Aufgabe als starr angesehen werden, d. h. ihr Stabquerschnitt oder Elastizitätsmodul wird als unendlich groß angenommen.

Wie man Bewegungen zusammensetzt, die eine starre Scheibe ausführt, braucht hier nicht erörtert zu werden.

Zweite Abteilung.

Einfach statisch unbestimmte Brücken.

Die statische Unbestimmtheit möge darin bestehen, daß die Anzahl der Tragwände um eins größer ist als die notwendige. Unter diesen Brücken sind die wichtigsten die

Brücken mit vier Außentragwänden.

§ 42. Bauart: Es soll hier nur von den geschlossenen Brücken, d. h. von Brücken mit zwei vertikalen und zwei wagerechten Hauptwänden, die im Querschnitt ein Rechteck bilden, die Rede sein. Die Zwischenquerrahmen sind unsteif, mit einer Bewegungsfreiheit¹) (wenn sie von den Brücken losgelöst gedacht sind), die Endquerrahmen natürlich steif. Im übrigen sei die Bauart wie in Abteilung I.

Der Brückenrumpf ist ein starres Ganzes. Würde die Brücke mit sechs Auflagern ausgestattet sein, von denen drei vertikal und drei horizontal sind, dann wäre das System statisch bestimmt. Nun hat jede Brücke vier vertikale und drei bis vier horizontale Auflager. Wir wollen die Fälle festhalten, in denen die Brücke vier vertikale, zwei horizontale Auflager der y-Richtung und ein horizontales Auflager der x-Richtung besitzt. Diese Brücken sind äußerlich statisch unbestimmt, und zwar einfach.

Fortsetzung. Betrachten wir den Einfluß einer lotrechten Kraft P, die auf den vorderen Hauptträger²) (p, p ) wirkt. Der vertikale Auflagerdruck bei 1 (also näher dem hinteren Hauptträger) sei als statisch unbestimmbare Größe gewählt. Nimmt man das Auflager 1 weg, dann erzeugt P die Stabkräfte S° und die Auflagerdrucke P°. Zunächst wird die Kraft P durch den vorderen Haupt-

*) s = 2k — 4, wobei s die Stabzahl und к die Anzahl der Knotenpunkte des Rahmens bedeutet. Teile des Querrahmens können auch durch besondere Scheiben (vollwandige Teile, Biegungsbalken) ersetzt werden.

²) Bezeichnungen dieselben wie früher. Siehe auch Figur auf nächster Seite.

99

träger auf die Endquerrahmen übertragen, wo in den Punkten p und

p' die Teilkräfte P —und P~ entstehen. Die Kraft

wird

durch den rechten Endquerrahmen auf die Auflagerpunkte 3 und 4 gebracht, wo die Auflagerdrucke

Rh — — P ~r

auftreten.

Bei dieser Operation entstehen die Stabkräfte Sj₀.

— im Punkte p des linken Endquerrahmens,

— ein Kräftepaar, —1.₂ beträgt. Dieses Moment mit

Die Kraft P

bildet mit der Auflagerreaktion    — P

dessen Moment M: -f-P

x-Richtung parallelen Achse, (Torsionsmoment), wird durch den ganzen Brückenrumpf geleitet und erzeugt hierbei die Spannkräfte STr und die Auflagerdrucke

zur

3II — -

pbrJt

*2

l t -f- Zo

R°n-

xr

xr

jL

А

——w

100

R°i + Rn

Zusammengefaßt, betragen die Auflagerdrucke R°

RI = — P

RI

atA — (/ — a) U

no _ p — ci (t t.Ą) -j- (l — a) ⁴ !(* + *; + *,)•

und die Stabkräfte S° = Sj -(- Sn.

Denkt man sich nun am Auflagerpunkte 1 eine Kraft — 1 wirkend, so erzeuge sie die Stabkräfte S' und die Auflagerdrucke R'. Die letzteren betragen

Яа' = + 1 R./

Die Stabkräfte S' sind den Stabkräften S₀n proportional, da S' auch infolge eines Torsionsmomentes: —(t —|— -[-£,) entstehen, das am linken Endquerrahmen wirkt und durch den Rumpf geleitet

t, (l — ä) ti + £>)

Unter der Annahme einer gleichbleibenden Temperatur und richtiger unnachgiebiger Lage der Fundamente gilt folgende bekannte Beziehung:

•P.

wird. Es verhält sich S' zu S°n wie —(t -f- f, -f- t₂) zu P — r— t,. Somit ist S°n——S'■

zS'S°o

58)

-, wobei    ist.

Erstatt S° setzen wir Si-f-Sn.

_ZS'S°lQ    Z S'S» q

¹ ZS'*q zS’*q ‘

ZS’-о

Der zweite Ausdruck kann auch geschrieben werden :

t₂    l—a ZS'-q

t+ti+t' ~T ZS^Q

wenn die Brücke statisch Ье-z. B. eine der Horizontalverspannungen

Dies ist der Wert von stimmt wäre, also wenn wegfiele.

Der erste Ausdruck von R] :

zS S°lQ

ZS’*q

zeigt den Einfluß

101

der statischen Unbestimmtheit auf die Größe der Auflagerdrucke.¹)

lassen aber den Einfluß

Wir untersuchen nun den Wert 0t

der Querrahmen selbst als gering unberücksichtigt.

«) Parallelepipedische Brücke.

§ 43. Die Brücke sei ein orthogonales Parallelepiped. Die konstante Brückenhöhe sei j, die Brückentiefe (Abstand der beiden

Hauptträger) sei t. Die konstante Feldweite sei =

Die Stabkräfte S\ betragen :

a(l—X)

Gurte rechts von P im vorderen Hauptträger: + P

(I—a)x + P T sec av

links

P

УУ л УУ

Diagonalen rechts „ P „

links

P

УУ ¹ УУ

sec crv

Alle anderen Stäbe sind spannungslos bei Rx = 0. Die Stabkräfte seien gleich S'.

Diese Stabkräfte entstehen infolge eines Torsionsmomentes M =    ^ + t). Das Moment zerlegt sich in zwei Kräftepaare,

von denen das eine + F die zwei vertikalen, das andere + H die zwei horizontalen Längswände belastet.

zur Berechnung von V

H5 -f- Vt — M ist die eine Beziehung und H. Um eine zweite Beziehung zu erhalten, betrachte man den rechten Endpunkt des Obergurtes, an dem die Summe aller wagerechten Stabkräftekomponenten Null sein muß, da dort keine wagerechte äußere Kraft auftritt. Die Kraft H erzeugt eine wagerechte

einen Korrektionswert besitzt, also nicht den Auflagerdruck Ri,

o In dem mehrfach erwähnten Buche „Zusatzkräfte und Nebenspannungen“ empfiehlt Engesser, eine solche Größe als die statisch unbestimmbare Unbekannte zu wählen, die nur

an-

sondern den Zusatzwert Ши Diese Anregung ist in der Tat sehr glücklich. Da ich sie erst später erfuhr, habe ich sie nicht in diesem Falle verwerten können. Immerhin gelang es, durch Zerlegung des Wertes i?i in Ri und 9îi, wobei R° den genäherten und 9?i den Korrektionswert von Ri darstellen, die Vorteile des Verfahrens von Engesser beizubehalten.

102

Wirkung -|- H-т und die Kraft V eine wagerecbte Wirkung + V--t    5

Somit muß H~— V— — 0 sein, und H^=Vt. t h

M    M

25

2t

Somit ist H'ü — F/— — oder H =

Wie

man sieht, zerlegt sich das Moment M in zwei gleiche Momente, die in Form zweier Kräftepaare die vier Tragwände beanspruchen. Man merke, daß es sich um eine parallelepipedische Brücke handelt.

Jeder Gurtstab besitzt zwei ihm zugeordnete RitterscheMomenten-punkte, von denen jeder in eine der zwei Tragwände fällt, die als gemeinsames Glied den Stab besitzen. Diese zwei Punkte liegen manchmal in einem Brückenquerschnitt, manchmal sind sie aber um eine Feldweite entfernt. Die Spannkraft im Gurtstab beträgt:

(X, — x,)= — Ъа.

S„' = F^ — H% = ~

⁹ ä    t 2jt

a ist entweder gleich Null oder+1. Jedenfalls ist die Gurtspannung ganz klein. Bei einem Ständerfachwerk sind die Gurtstäbe in benachbarten Feldern gleich bezeichnet, jedoch wechselt das Vorzeichen in Brückenmitte, da dort gewöhnlich das System wechselt. Bei Strebenfachwerken sind die Gurtstäbe alternierend positiv und negativ. Haben die anstoßenden Wände verschiedene Systeme, so kann auch cc zwischen Null und +1 abwechseln.

Die Füllungsstäbe sind im vorderen Hauptträger

+ V sec av = + ^ sec av.

Nun sind wir in der Lage, die Zählersumme ZS°S'(> zu bilden. Die Summe erstreckt sich nur auf diejenigen Stäbe, die bei der Belastung des vorderen Trägers durch P Spannkräfte erhalten, also lediglich auf die Stäbe des vorderen Hauptträgers.

Für die Gurtstäbe ist die Summe ZSïS'g:

a)    bei Strebenfachwerken immer Null, da Sj° entweder О ist oder alternierend plus und minus;

b)    bei Ständerfachwerken hat diese Summe den Wert Null oder nahezu Null, da Si° entweder verschwinden oder rechts und links von der Mitte verschiedene Vorzeichen haben, so daß die Summe für symmetrische Belastung immer Null, für unsymmetrische da-

103

von nicht sehr verschieden ist. Diese an und für sich kleine

Summe verschwindet für a = 0, a = 2 unc^ a~l> somit ist der

Fehler nicht groß, wenn man sie ganz unterdrückt. Die Betrachtung galt bis jetzt für einen Gurt. Nun ist diese Summe (wenn sie nicht ganz verschwindet) im Obergurt und Untergurt meistens verschieden bezeichnet, so daß die Annahme um so mehr berechtigt ist.

Für die Füllungsstäbe ist die IS°S'q: a) bei Strebenfachwerken :

I secav- 2tsecc(v EFd b

\secavl-a PMsecsai r,, .a l-ал -£F7 b ^ 2tlEFj \ Cl> b a b \ = 0;

$ sec av a

loP

jDa M

2t

sec «v

- iu P-fSec av

b) bei Ständerfachwerken ist sie für die Diagonalen gleich Null und für die Pfosten: ya pl —a M j a ~° l 2t EFP b

— ip

aM_ $ l—a l 2 t EFP b

PMh

2 tlEFt

Somit kann die Zählersumme ISiS'q gleich Null gesetzt werden, und es ist

9l₁ = O, ferner Rx = P

l—a    t₂

l t-\-t₁-\-ti

Man sieht, daß sich die parallelepipedischen Brücken genau so verhalten wie statisch bestimmte Brücken, und daß man die Unbestimmtheit nicht zu beachten braucht.

ß) Brücken mit gebogenen Verbänden.

§ 44. Bevor auf eine Berechnung des Ausdruckes eingegangen wird, soll allgemein gezeigt werden, wie sich der Einfluß eines Torsionsmomentes M, das auf einem Brückenende angreift und zum anderen Endquerrahmen geleitet werden soll, bestimmt. Für das orthogonale Parallelepiped ist diese Frage erledigt.

Am linken Endquerrahmen, dessen Lagerpunkte weggenommen gedacht werden, wirkt ein Moment M. Dieses Moment zerlegt sich in zwei Kräftepaare, die beim Parallelepiped gleich waren, im allgemeinen aber verschieden sind. Die vertikalen Träger haben eine

104

variable Höhe Z, bestimmt durch Z=f(x). Am linken Auflager ist Z = $i, am rechten z = $r. Der Abstand der Hauptträger sei konstant gleich t.

Es ist von vornherein klar, daß + H, die Scherkräfte der Horizontalverspannungen, konstant sein müssen, da auf die Gurte keine wagerechten äußeren Kräfte einwirken. Anders V, die Scherkräfte der vertikalen Träger, die sich in jedem Punkte der Brücke ändern, in dem ein Knick im Gurte ist. Denn, wie in Abteilung I, Abschnitt 1,3/!? gezeigt, entsteht in jedem Knickpunkt des Gurtes eine vertikale Zusatzkraft

JV=±^Jtga oder dV=±^~dx.

Zwischen H und dem jeweiligen V besteht die Beziehung

Hz+Vt = M oder F=y— Я|.

Die Summe der horizontalen Komponenten der Stabkräfte am Ende eines Gurtes muß Null sein, da dort keine äußere Horizontalkraft auftreten kann. Somit ist

Mh d²z , l—x jj ~

hr

~fd^dx^-Hr

j li und statt Mh den

Setzt man statt Vi den Wert Vt = — Wert Mh — H • X, so erhält man

0 = -r

x(l — x)

dH

dx¹

dx — H-r

woraus sich ergibt

dH

x (l — x)

dx -j-

•l

hr + Si —

x(l — x)

dH

v=m\-

dx'²

dx — z

hr + hl — T

dH

x(l-x)dxidx

105

Da diese zwei Werte bekannt sind, können alle Stabkräfte ausgerechnet werden. Die Füllungsstäbe haben die Spannkräfte V sec ci y bzw. H sec ah und die Gurtkräfte werden:

Vi^ + z

Mh d'²z .

~f ~di? dx wobei ь den Ort des Stabes angibt und Mh — Hx ist.

Spezialfälle.

a) Trapezträger: / = a -f- b -j- c. Auf der Strecke d und C ist der Gurt geneigt, auf der Strecke b ist er wagerecht und hat die Höhe h. Am linken bzw. rechten Auflager ist die Trägerhöhe hi bzw. hr.

CL —J- Ъ —(— C

[^(Ь+Ф + ^-^ф + Ъ)]

h (a -)- 2 b -J- c) — hi (b -j- c) — hr (a -j- b)

Somit ist H=M

CL —1~ Ь —)- C CL —j- Ь —|— C

_____jyi +ft + C _ M

ahi-\-chr-\-(a-\-2b-\-c)h    2 Fa 2ym

Hz

F=T-T’

wobei Fa die Ansichtsfläche des Hauptträgers und ym die mittlere Höhe des Trägers ist.

Für а — C und hr — hi = h₀ (symmetr. Trapeztr.)

2 a-\-b

H= M

2 h₀ a -f- 2 h (a -J- b)

, Vi =

M 2haĄ-2hb — bh0 t 2 Ка-\- 2 ha -\- 2 hb’

h₀ -f h

b) Parabelgurt: z

4/

x(l — X),

dH

8/

x(l — x)

d²z

dx'¹

dx —

8/

x(l — x)dx = ~f,

²s4-|/

KD

5?

106

d-z

Die graphische Darstellung des Ausdruckes —

ist sehr einfach. Er wurde bereits in Fig. 5 als die Strecke gefunden, die von den äußersten Seilseiten des Seilpolygones s' auf der linken Auflagerlotrechten abgeschnitten wird.¹)

Nun kann die Aufgabe behandelt werden, wie groß der Ausdruck

wird, der den Einfluß der statischen Unbestimmtheit

SSÏS’q

2S’²q

auf den Auflagerdruck darstellt, und der, wie gezeigt, bei parallel-epipedischen Brücken verschwindet.

Hier ist er nicht mehr gleich Null und muß von Fall zu Fall ausgerechnet werden. Wir wollen ihn für den Fall einer Parabelbrücke ohne Endpfosten finden und dabei den Einfluß der Diagonalen vernachlässigen.

Die Zählersumme Z = I Sj S'q.

(l — a)l 4/(²-|)’

Für Gurte ist:    S/= + P

'/r,

(l — Ç) a

4 ff

-ZZ--"r

)A

fr

jB

d² z dx²

dx\

Nun ist aber (?j -j- fr) I die doppelte Trapezfläche AB CD, gebildet durch den geraden Gurt, die Sehne des gebogenen Gurtes und die Endpfosten des Haupt-

.    \    d² z

trägers. Ferner ist —j (x) (l — x) dx, wie bereits bei Fußnote 1 zur Seite 55 bewiesen, gleich der doppelten Fläche, die vom gebogenen Gurt und der Sehne eingeschlossen wird. Somit ist der Klammerwert im Nenner von H gleich der

M

doppelten Ansichtsfläche F des Hauptträgers H — --

. Setzt man

• F-2

ri cs

r,m

— Vmt der mittleren Höhe des Hauptträgers, so ist H —

Eine andere sehr elegante Ableitung dieses Satzes siehe Handbuch der Ingenieurwissenschaften II. Band (Der Brückenbau), auch im Buche von Engesser: Zusatzkräfte und Nebenspannungen.

107

5= + К₁|-я|

Hx8fÇ—x, М

л=_

Ч r,

I²

t 4fï(l-S)

s;

3^ьг 3 18/, ,, w 4 ft 4 ft l² Г^    *)dx'

4/!(/-§)

М Z2 т 4/(/-ё)

ЛГ 3 I 3 Ж

Т4/    2 Т б/ (Z —£)

С-З

'fr,

м г—2 g Т'~4Т’

Die Summe

/(/ — а) ЛГ 1 — 2S, dÇ 4fl-ï) t 4/ Шд

la М I — 2 d

Wf~t'~4f~ErFg

PMl(l—а)г . ,    Z—a-1 . PM la rn Z    -i

² 16ptEFg \2a+l-l°sn—j— ]+²Щ^ЁРд1По^Па ‘²(l~a)]

PM l² r    l — a . .    l~i

²16f²tEFg ~ Iog" ~T~ + a og/I äJ '

ZS°iS,q = 2 P

•’Jfl

'fr;

Der Klammerausdruck ist für a = о

für а = ~-

für а = I

Die Nennersumme N = i' S"² q

gleich о gleich О gleich О.

дг_п М'² (Z —2|)² d

/ t²    16 f² EFg

IГ,-

P 3t

Somit ist Otj = i

\{l—a) logn

60)

?»!=— P

₀ М² Z3 ² 48PPEF;

- + a\ognl];

а

- logn

l—

*+*1+л L iIogn

Gleichung der Einflußlinie für

«1

Daraus erkennt man, daß die übliche Methode der Berechnung von Parabelbrücken, die auf die statische Unbestimmtheit infolge der vier vertikalen Auflager keine Rücksicht nimmt, nicht streng richtig sein kann.

108

Beispiel. / — 40 Ttly а — 6 îîiy    —(— /о -\~ t — t. (t^ — t%2 — 0.)

% = — 3 P[0,15 logn 6,67 — 0,85 logn 1,17]

= — 3 P [0,15 (6,5 — 4,6) — 0,85 (4,8 — 4,6)]=-P- 3 (0,285 — 0,133) = — 0,453 P=--0,5 P.

Für welches a ist ein Extrem?

I — a

ft-

¹⁰+]

== 0

l — а l 1 l 1 —aï

lo gn

— ft

1 — log«

• у = ⁰ ; log«

(I — a) a

2,

V²

a (l — a)

= e²\ a² —

tel •«

tO| оч

1+

=1 + 1 2 — 2

Z4-0S47->°’84/

2 + 0,34/— ₀д6/

§ 45. Einfluß der Ungenauigkeit der Widerlager. Die Applikaten der vier Auflagerpunkte in deren richtiger Lage seien

—    hlf —h₂, —h₃ und —hi. Die wirklichen Applikaten seien um

¹

ür b = о ist H = M

²

Der Ausdruck für H läßt sich noch folgendermaßen deuten:

—    dhlf —dh2f —dh.ä und —dhi verschieden.

Sind die Größen dh₁ bis dhi so beschaffen, daß

61)

dh₁ = dh₂-{- (dh, — dh₄)

t 4 -f- tK

ist, dann geht diese Änderung spannungslos vor sich. Dies erkennt man daraus, daß, wenn man sich die Größen dh.₂, dh₃ und dhi von einer x — у -Ebene als Applikaten aufträgt, natürlich oberhalb oder unterhalb der zugehörigen Auflagerpunkte und durch die drei Punkte im Raume eine Ebene legt, so hat diese Ebene die Gleichung

dh.₂ (t -{- t:i -f- f₄) -f- dh₃ (tA — £>) H~ dhi (t-|-1₂-f- ts)

Ht “h 4 4“ О

dh. — dh.,

—±--* у

d\-\

d hi (t -f-1₂ ) — dhs (t -{-1₂) t-\~ts-\-tL

Dieser Gleichung genügen aber die Koordinaten eines Punktes

x = o, y = — tlf z = J₁.

Ist nun dhi    dann geht die Änderung der Höhenlagen nicht

mehr spannungslos vor sich. Eine Rolle spielt nur der Ausdruck:

dh. —    = — ó'..

109

Durch die beschriebene Senkung⁻ der Brücke entstehen Auflagerdrucke R und Stabkräfte.

" > wobei S den

folgt:

woraus

Es ist iS' Js = ölf

Einfluß einer Kraft — 1 am Punkte 1 bedeutet.

-S'²о ist der Ausdruck, der uns schon früher beschäftigte, und der die Deformation der Brücke, gemessen im Punkte 1 infolge der Kraft —1, darstellt.

Bei einer parallelepipedischen Brücke ist:

a) für die 4 Gurte: S'

kann, es ist somit infolge der Gurtkräfte

2*5

b m, wobei m — o oder + 1 sein

1'S²q =

M*

⁴ M "fl

b-m* dx

M*b4 EFg-f‘t^‘EF₃’

|it kann sein, О, 1 oder ¹/.₂ ; b) für die Diagonalen in den vertikalen Wänden:

o, ,M    .. . ,    ₀-M²jsec³ar /

о = + 2 ^ sec av somit ist - о -Q = 2 —4 fiß^ 5

c) für die Diagonalen in den horizontalen Wänden:

0/ ,M    ....    ₀M²tsec*cch l

о = + — sec «л, somit ist 2 6 Q — 2 —. „ ^ ^— y ; “2s    4 yEFd b'

b) für die Pfosten in den vertikalen Wänden:

S'= 4-

2V

somit ist - S' ² 0 — 2

му 1

4 t* b EFj

M²tl 1 4j² b EFP‘

S'= +

c) für die Riegel in den horizontalen Wänden: M

, somit ist ZS'²q = 2

Insgesamt ist:

1S’²q =

Hierbei ist M — — (t -|-    t₂).

Bei Strebenfachwerken entfallen die letzten zwei Glieder in der Klammer. Haben die parallellen Fachwerke andere Diagonalsysteme, dann kann die letzte Formel als Annäherung angewandt werden.

Beispiel. Eine parallelepipedische Brücke, deren Hauptträger Ständerfachwerke und deren Horizontalverspannungen Streben-

110

M — t— — 4,0 /71..

tc»-*

fachwerke seien, habe eine Spannweite / = 40 //I, n = 10 Felder, b = 4 m, 5 = 4 m, t = 4 m, tx = t₂ = o, Fg = 50 cm², Fd = 40 cm'², Fp =30 cm², E = 2000 tjcm²,

1S’²q =

400-400-10

2 X I X 400 X 400 X 400

50

2 • 400 • 400 • 400 • 400 • 2000

400• 400-400-1,41³ . 400-400-400-1,41³ , 400-400-400

40

40

30

64000000 = 0,194 cmjt.

[1280000 + 4512000 -f 4512000 -f 2133000]

Der Auflagerdruck ist R\ =

0,194

5,15 • d™\

Ebenso können

§ 46. Berechnungsvorgang. Günstige Anordnung der Querrahmen. Die Berechnung von Brücken mit vier Außentragwänden gestaltet sich gewöhnlich sehr einfach. Durch Zwischensysteme (z. B. Querträger) werden die Lasten auf die Außentragwände übertragen, von denen sie dann weiter auf die Auflager geleitet werden. Will man die oben beschriebene statische Unbestimmtheit berücksichtigen, so ist das Korrektionsglied des Auflagerdruckes zu bestimmen und dann die Brücke mit dem Torsionsmoment 9vj (t -f-    -j- f₂) zu belasten,

etwaige wirkliche oder mögliche Ungenauigkeiten der Auflager berücksichtigt werden.

Da die Ausbildung der Zwischensysteme verschieden sein kann, läßt sich nicht ohne weiteres sagen, welchen Anteil jede der Wände von einer Last erhält. Für gewöhnlich werden die vertikalen Lasten durch Querträger auf die zwei vertikalen Längswände im Verhältnisse y\t —y übertragen, ebenso die horizontalen Kräfte auf die horizontalen Verbände. Dies ist jedoch nicht immer der Fall, denn die Zv/ischen-systeme können so beschaffen sein, daß z. B. lotrechte Lasten durch eine lotrechte und die zwei wagerechten Wände übernommen werden.

Die Übertragung der äußeren Lasten auf die Auflagerpunkte bietet jedoch im allgemeinen nichts Neues. Systematisch die Materie zu fassen, ist wegen der erwähnten Mannigfaltigkeit der Ausbildung schwierig.

Der Freiheitsgrad der unsteifen Querrahmen kann dazu verwandt werden, die Lastanteile, die auf die einzelnen Tragwände entfallen, nach Bedarf und günstig zu regulieren.

111

Es zeige beispielsweise eine Brücke den Querschnitt nach Fig. 40. Lasten greifen an den äußersten Ecken an. Die Brücke könnte z. B. für eine Hängebahn bestimmt sein. Die Last P überträgt sich auf alle vier Wände. Es ist

V" = P~T

Я = +Р

Die Teilstrecken t' und t" sollen möglichst günstig gewählt werden. Als die günstigste Lösung wäre der Fall zu betrachten, in dem erreicht wird, daß die Last V auf beide Hauptträger gleichmäßig verteilt wird und das durch die Verschiebung entstehende Moment sich auf die zwei parallelen Paare von Wänden so überträgt, daß die Gurte infolge der Momente keine oder geringe Spannung erhalten. Dies wird erreicht, wenn das Verschiebungsmoment

IP

“T

ry-

V" *Y

Fig-. 40.

zer-

in zwei Kräftepaare mit gleichen Momenten

2 h’

fällt. Die Einzelkräfte der Kräftepaare sind 4~ 2 t

rechts:

links:

Insgesamt betragen nun die Beanspruchungen der Wände:

2 e'+t 3 2 • 2 t ~~ 4 2e+t _ 1 2 • 2 t — 4

ГГ =

p _ M 2 2t

— Pr

P4- i pP

2t’

lpé

2 t’

oben u. unten

Hl~— ~2h

Setzt man die Ausdrücke für V usw. einander gleich, so erhält

man

(P'=P; vx"=v\ Hl=H)

é + t' _ 2 é -j- t

Dieser Wert von f erfüllt auch die anderen zwei Gleichungen.

112

Bei dem ausgerechneten Werte von t' werden die Gurte genau dieselben Stabkräfte erhalten, als wenn die Last in Mitte des Querrahmens angreifen würde. Die Diagonalen der vertikalen Träger werden

3 le'

beansprucht, als wenn im rechten Hauptträger die Last ^ P-}⁻^ P y,

und in den Verspannungen die

1    1 e

im linken die Lasten ^ P—2 ^ t

тг

iLA

л'М

Lasten + P

2é + t

wirkten.

Würde ein gewöhnlicher Querträger eingebaut sein, der auf dem rechten und linken Hauptträger seine Stützpunkte hätte, so wäre der rechte Träger mit

é —|— t

P—j— nach unten, der linke mit

LP

Fig. 41.

— nach oben beansprucht,

wobei die Belastung für Gurte und Füllungsstäbe gilt. Bei Brücken, die rechts und links exzentrische Lasten aufzunehmen haben, leuchtet der Vorteil der beschriebenen Anordnung ohne weiteres ein.

Für e = — ergibt sich t = O, was besonders günstig ist, da

der Querrahmen sehr einfach aussieht. Es hat dann der Querrahmen die Form nach Fig. 41.

Selbstredend kann man auch andere Bedingungen vorschreiben und dementsprechend das t' wählen.

Dritte Abteilung.

Brücken mit vier Tragwänden und steifen Zwischenquerrahmen. ^

§ 47. Entwicklung. Aus dem Bisherigen geht es hervor, daß die statische Unbestimmtheit dieser Brücken um einen Grad höher ist, als die Anzahl der Zwischenquerrahmen beträgt; denn, die Brücken mit unsteifen Zwischenrahmen sind einmal statisch unbestimmt, wenn sie vier Tragwände besitzen. Jeder steife Zwischenquerrahmen bringt eine neue Unbestimmtheit herein. Die Unbestimmtheit, die durch die vier Tragwände bedingt ist, kann hier außer acht gelassen werden. Bei parallelepipedischen Brücken kann sie übrigens ganz vernachlässigt werden.

Es bleibt zu untersuchen, welchen Einfluß die Zwischenquerrahmen haben. Die folgenden Untersuchungen seien auf parallel-epipedische Brücken beschränkt.

Es sei vorausgeschickt, daß diese Brücken sehr oft ausgeführt werden, insbesondere bei den Brücken für Verladezwecke, ferner bei Hängebahnbrücken usw., weil sich hierbei die Notwendigkeit ergibt, Querrahmen zur Aufhängung von Fahrbahnen der auf den Brücken verkehrenden Hebezeuge, Hängebahnwagen usw. einzubauen. Meistens werden diese Querrahmen steif ausgeführt. In der Regel werden jedoch diese Brücken nicht ganz genau gerechnet, indem man das Vorhandensein der Querrahmen bei der Berechnung vernachlässigt und sie lediglich bei der Übertragung der Lasten auf die Tragwände berücksichtigt. Nun spielen die Querrahmen auch bei der

Dieses Thema wurde bereits vom Verfasser im Eisenbau 1912, Heft 3, bearbeitet. Leider muß er bekennen, daß durch Vernachlässigung- der Spannungen der Diagonalen und dergleichen sich ein prinzipieller Fehler eingeschlichen hat. Merkwürdigerweise sind die Schlußfolgerungen des dort Gesagten im ganzen richtig. Die Dritte Abteilung dieser Arbeit möge als Ersatz des Aufsatzes im Eisenbau dienen.

Löschner, Balkenbrücken.

114

schärferen Berechnung- eine Rolle. Die übliche Berechnung-sart könnte zwar manchmal zu Fehlern bei der Querschnittsbemessung- führen, in der Hauptsache aber ergibt sie ein zu großes Eisengewicht der Brückenkonstruktion. Insbesondere bei Brücken, bei denen Momente in zur Brückenachse senkrechten Ebenen wirken, kann man bei einer richtigen Berechnung Vorteile erzielen, also z. B. bei Verladebrücken mit ganz einseitig wirkenden Lasten oder bei einer mit einem fahrbaren Drehkran belasteten Konstruktion. Eine solche Brücke ist zwar mehrfach statisch unbestimmt, die Berechnung gestaltet sich aber in sehr vielen Fällen so einfach, daß man sie ruhig in Kauf nehmen kann.

Das kinematische Kennzeichen der statischen Unbestimmtheit obiger Brücken beruht darin, daß sich die einzelnen äußeren Tragwände nicht willkürlich durchbiegen können ; denn sie müssen dabei

dj

“Г

die Bedingung erfüllen, daß alle Brückenpunkte, die in einem Querrahmen liegen, nach der elastischen Deformation nahezu in derselben Lage zueinander verbleiben, wie bei der unbelasteten Brücke. Nahezu — weil die Querrahmen auch elastische

4'

von geringem

Man denke sich nun vorläufig, daß alle Zwischenquerrahmen bis

Deformationen erleiden, die jedoch auf die gesamte Durchbiegung und infolgedessen auf die Kräfteverteilung Einflüsse sind.

Fig-. 42.

auf einen durch Herausnahme gewisser Stäbe unsteif geworden sind und nur derjenige Rahmen steif bleibt, an dem eine im allgemeinen schräg gerichtete Kraft P angreift (Fig. 42). Die Brücke ist nun streng genommen, zweifach statisch unbestimmt; bei Vernachlässigung der einen Unbestimmtheit, die durch die vier Außenwände bedingt ist, verbleibt noch ein Grad der statischen Unbestimmtheit.

Es gibt innerhalb des Brückenquerschnittes einen ausgezeichneten Punkt M, den wir den „statischen Mittelpunkt“ des Brückenrahmens nennen wollen. Die Ermittelung seiner Koordinaten folgt später. Die Definition des statischen Mittelpunktes sei folgende: „Geht durch diesen Punkt M eine lotrechte Kraft, so werden lediglich die lotrechten Wände zur Übertragung der Kraft herangezogen. Geht durch ihn dagegen eine wagerechte Kraft, so werden nur die horizontalen

115

Verspannungen beansprucht.“ Es ist klar, daß bei einer Brücke, bei der alle vier Gurte denselben Querschnitt haben und ebenso alle gegenüberliegenden Diagonalen, der statische Mittelpunkt M in der Mitte des Rechteckes liegt, das durch die vier Projektionen der Tragwände auf die Querrahmenebene gebildet wird. Die im Brückenquerschnitt beliebig gelegene Kraft P verschieben wir parallel zu sich selbst in den statischen Mittelpunkt des Brückenrahmens bei gleichzeitiger Hinzufügung eines Momentes M, dessen Achse parallel zur Brückenachse liegt. Wir verfolgen nun die Wirkung der durch den statischen Mittelpunkt gehenden Kraft Pm und die Wirkung des Momentes M einzeln.

L = Vm —~~ und

Die Kraft Pm läßt sich zerlegen in zwei zu den Wänden parallele Komponenten Vm und Hm. Vm zerlegt sich in

R= Vm

, wobei L und R die Anteile der Kraft Vm sind, die durch

die linke bzw. rechte Tragwand übertragen werden, während p der Abstand des statischen Mittelpunktes von der linken Tragwand bedeutet. Nach der Definition des statischen Mittelpunktes werden die Kräfte L und R unmittelbar durch die beiden Tragwände auf die Auflagerquerrahmen übertragen.

Ebenso zerlegt sich Hm in О und U,

Ä-

4.

Sr -Ci

wobei q der Abstand des statischen Mittelpunktes von der oberen Verspannung ist.

Es bleibt jetzt noch übrig, die Wirkung des Torsionsmomentes M zu untersuchen. Das Moment verteilt sich in zwei Teilmomente, von denen jedes in Form eines Kräftepaares die beiden Wände belastet. M у sei das Moment, das durch die vertikalen, und Mh das Moment, das durch die horizontalen Wände übernommen wird. Es ist Mh -|- Mv — M. Eine zweite Gleichung zur Ermittelung der beiden Teiimomente erhält man nur auf Grund der Betrachtung der elastischen Verschiebungen. Als statisch bestimmten Grundfall wählen wir den Fall, daß die zwei Teilmomente Mh und Mv Werte besitzen, bei denen die Gurtspannungen der Brücke entweder ganz verschwinden oder ganz gering werden. Es ist dies nämlich dann der Fall, wenn

M°h = M°v =

-^-ist. Bei diesem Grundfall entstehen die Stabkräfte S₀.

116

Die Kräfte, welche durch die vier Tragwände übertragen werden, sind beim statisch bestimmten Grundfall

L₀ = — R₀ =

2t

und O₀ = — U₀ = Yh •

Die wirklichen Kräfte sind

L = L₀ -f- L,, R = R₀ -1~ Rlf 0 = 0₀ -|— Ox und U = U₀ -)- £/,. Die Kräfte Oly Ux> und L, bilden ein Gleichgewichtssystem.

L₁ sei die statisch

Es muß sein : Rl = — L,, O, = — U₁ = — L^.

unbestimmte Größe.

Beim Belastungssystem R'y L, O' und U'y wobei L'= — 1,

^ (siehe Fig. 43) entstehen die Stabkräfte S'.

Es ist iS’Js = О oder iS' -~4.= 0.

Ef

R — -j- 1, О —

Ź-4

/i

*4

?-+⁴x

Nach Einsetzung von S = S₀ —SL

S'²s

t

1C ---'7

- л..

erhält man lSS₀^r?.— L'I „ „

Ef Ef

iS's₀ 4

und Ly =

Ef

V Ç' 2 S

“ ö Ef

E sei konstant, / sei für jede Gruppe von Stäben konstant (bei ungleichen Querschnittsflächen ist ein mittlerer Wert zu nehmen).

Fig. 43.

62) Ll =

SGG.J-+ SD\D..^+ SD\Dio^

1C² i

-j- iD'f

ch

fd

-f IDÓ ²

d-2

fd 2

wobei G, Diy D₂ sich auf die Gurte, Diagonalen der Hauptträger und Diagonalen der Verspannungen beziehen.

Die einzelnen Summen im Zähler betragen:

iG'Go i-

fg

— o.

Beweis: Wir bilden die Summe für ein Feld. Es wird sich zeigen, daß nicht nur die Summe im ganzen, sondern auch für jedes Brückenfeld einzeln, als verschwindend angesehen werden kann. Das betrachtete Feld sei links vom Angriffsort der Kraft, und die Abszissen der Knotenpunkte dieses Feldes seien X und X -j- b.

117

Gy eines beliebigen Stabes kann nun sein:

1. wenn die beiden Ritterschen Momentenpunkte dieses Stabes in einem Brückenquerschnitt liegen (bei X)

S₀ = +

M x(l — a) — M x(l — a)

— 2 t Th ⁺ 2 h Tt =0;

2. wenn die beiden Ritterschen Momentenpunkte nicht in einem Querschnitt liegen, sondern um ein Feld voneinander entfernt sind.

S₀ = -\-

Mhx (l — a) __ Mh (x    — a)

-'-2 t

Ih ⁺2 h

— Mh (/ — a)b

It

2 thl

-G-

4-

—±—

+■

Fig. 44.

4L

/ûQ

4?.;

/>

xi )

Л)

%■)

y    *

xC)    <e)

V"“⁻

Fig. 45.

Die Fig. 44 a, b, c, d, e zeigen fünf verschiedene Fälle eines Feldes, die alle möglichen relativen Kombinationen der Diagonalrichtungen besitzen. Die Vorzeichen, die die Stabkräfte besitzen, sind in die Figuren eingetragen. Man sieht, daß entweder alle vier Gurte verschwinden, oder aber es verschwinden zwei Gurtkräfte, und die zwei nicht spannungslosen Stäbe sind entweder gleich bezeichnet (wenn sie in derselben Tragwand liegen) oder ungleich bezeichnet, (wenn sie in entgegengesetzten Trägern liegen, also diagonal gegenüber). Schließlich können alle vier Gurte Spannungen haben, die dann alle das gleiche Vorzeichen besitzen.

Für die gleichen fünf Fälle des Brückenfeldes sind in Fig. 45 a, b, c, d und e die Vorzeichen der Gurtspannungen eingetragen, die von der Belastung L — — 1 herrühren.

118

1. S' = 4

2. S' = 4

Die Stabkräfte für diesen Fall betragen: (l — d)x , t (l — a)x Th~ — h    Tt

(/— a)(x-\-b)    t (l—a)(x-\-b)

Th — h lt~

= 4-2

(l — a) X

lh

oder

(l—a) (x-^b)

lh

oder

(l — a) X

lh — h

t (l — ä)(x-\- b)

It

4-2

(l—a) (* +

lh

Die Stabkräfte unter 1. und 2. treten ein, wenn gleichzeitig die Stabkräfte S₀ verschwinden, unter 3. dagegen, wenn S₀ den Wert

hat.

Zu bemerken ist noch, daß die diagonal gegenüber liegenden Gurte gleich bezeichnet und die in derselben Wand liegenden ungleich bezeichnet sind.

Bildet man nun die Summe -S₀S' j, so ist diese entweder Null, weil alle S₀-Kräfte dieses Feldes Null sind, oder sie lautet:

Mh (l — a)b

2 thl

Mu (l — a)b

2t h l

— Mh(l — ä) b

2 th l

₀(Z“    + b

² lh

^{l—g)(*4-|)

lh

fg

f,

Null.

Ist fy nicht für alle Gurte desselben Feldes gleich, dann hat die ZG' G₀ — eines Feldes einen Wert, der von 0 verschieden, aber

Jg

immerhin sehr klein ist. trotzdem gewöhnlich die Summen verschwindend klein sein und für symmetrische Belastung ganz verschwinden aus den im § 43 angeführten Gründen, so daß man setzen kann.

Die zweite Summe im Zähler von L .

= ? Die Fig. 46 zeigt die Vorzeichen der Diagonalen beim statisch bestimmten Grundfall und beim Falle L = —1. Man sieht, daß die Summe ZDi Di ^4 negativ bezeichnet sein muß, da

/dl

Für alle Felder der Brücke werden

für alle Fälle ^ G' G₀ gleich Null

fg

id: di i-

fd

119

alle Glieder in den zwei Fällen entgegengesetzt bezeichnet sind.

о d₂

Dagegen muß die Summe ZD>'Dz

fdi

positiv sein.

Es ist für die Diagonalen der Hauptträger: links von CL\

Dl = ±L°

Dl,= ±L'

rechts von OL: D\ = + L°

Ml — a dl l h — 21 l h’ l — a d.    — / — öl d.

-ГТ = + -ГТ’

M a dx

~±Ttl T’

l — ad,

a N-! çj

« y/Ąb

* *_>

-щ

¥    - А

У.

Fig. 46.

Somit ist ZD°D

, dx

fd 1

M (I — a)² d\ a

Ma(l — a) d]

2 tPh²bfdl

2t l²h-fdib

Ma(l — a) d\ 2tlh-bfdV

Ma² d{ l — a

TtTfTrf-b-

Ebenso ergibt sich:

id°₂d]

d.,    ^ Ma (I — a) d?₂

fdi~ !    2 tlh² bfd2

Der Zähler von Lt beträgt somit:

d\

a (I — a) /dl 2 th- lb\fd2 fdlJ‘

Der Nenner von Ly setzt sich zusammen aus den drei Nenner-

summen :

lGn

о-

⁴/(²т/г*)

²dx

² dx

16 а¹ (/ — a)-

120

lDx'²

di    (l — a)- d\ а

l'h'fn b ¹ l²h²fdl b

a² dl l — a a(l — ä) d\

fd 1

lbh²fdl ’

a(l — a) d\

Jd 2

lbh*fdi

Der Nenner beträgt somit:

_16 a² (l—a)²    a(l — a)d\ . a(l — a)d\

~ 3 ~TWfg    TbWffT'

Die Größe L₁ hat den Wert:

L=M

_(dl__

2 th²lb\fd2 fdJ 16a²(l — a)² , a(l — a)

a(l — a)

63)

3 l h²fg

Ibh²

tO CO Äj f к; CC

^AxJ

dl

L° 16 a (l —a) b

fd

d\

d\ '

fdi fd i

Beim Strebenfachwerk ist der Ausdruck strenge gültig, beim Ständerfachwerk tritt an Stelle des Wertes df nunmehr d\ -f- h³ und an Stelle von d\ nunmehr d\ -f- tz.

Auf den ersten Blick sieht man, daß der Bruch in Gleichung 63) von Null nicht sehr verschieden ist. Befindet sich doch im Zähler eine Differenz zweier gleichartiger Größen, während im Nenner außer der Summe derselben zwei Glieder sich noch ein Summand befindet.

CN !co

Es sei l — 10 b, h = b, fd = \fg, fä=\fg, a = ~=5h.

b, dl—bV2, <г₂ = г>4?,

Es beträgt dann:

2 У 2 , 13 Vх 13 \ 1

/А

TJ

16 1

^-5-5-

3 fg

13/13 , 2/21 1

ł J

---L°

1-27

~b³

6,95 — 5,65

6,95 + 5,65 4-133,30

L°= 0,0089 L°=~ 1% von L°.

Daraus ist zu folgern, daß es in den meisten Fällen angängig ist, My — Mv — ~2 und Mh = Mh — — zu setzen oder mit anderen

121

Worten: Das Moment M verteilt sich so in zwei Kräftepaare, daß die Gurtkräfte entweder ganz oder beinahe ganz verschwinden.

§ 48. Lage des statischen Mittelpunktes M. Fig. 47. Die y-Koordinate des statischen Mittelpunktes sei p. Sie muß laut Definition des Punktes M so groß sein, daß eine Vertikalkraft Vm, die durch M geht, sich nach dem Hebelgesetz auf R und L zerlegt und damit О und U gleich Null werden. Wir nehmen vorläufig von dieser Eigenschaft von p keine Notiz und zerlegen nun die Kraft Vm in die vier Kräfte R, L, О und U.

R = R₀ + Rlt L = L₀-\~ Llf 0=0₀+0lf U=U₀Ą-U₁.

Als statisch bestimmten Grundfall wählen wir:

= o,

/?, Lj O, Uj verschwinden, R₀ = Vm —-

U₀ = 0, S — S₀. Die Kräfte Rlf Lif Ox und Ux bilden ein Gleichgewichtssystem, somit ist Rx = — Lj,

o, =

Für

Sr!

, S = S'.

is' sn 4

Es bestimmt sich: L

IS'² 4

Fig. 47.

Nach der Definition des statischen Mittelpunktes muß nun

s

0 — U = о, somit Lj = О sein, oder es muß IS' S₀j = о sein.

Die Gurte in den Punkten 1, 2, 3 und 4 haben die Querschnitte /j,/₂, /3 und/₄. Die Diagonalen in den Wänden: oben, rechts (vorne), unten, links (hinten) sind f₀, fr, fu und fi.

Gurt 1 rechts von а:

t-p a²(l- x)²dx

T]\—FW-

= +    S'=-2~(l-x), SaS' =-2V

Gurt 1 links von а:

So = + V t

t-p (l-a)x

S'- ax lh ’    ¹ Ih ’

c c'⁵ n„t-p(l-a)²x²dx ⁰ /“ tf. l²h²

122

Gurt 2 rechts von a:

S° = + Vl

p a(l-x) ~ThT'

C'_,oa(l-x) e c's_ , оираг(1-ху<1х

Gurt 2 links von CL\

p (l-a)x llT’

S'-=+2⁽ /Цх, S„S‘4=4-2V

p(l-ayx-dx tf₂PW

Gurt 3 rechts von CL:

S₀ = -Vf

p a(l-x) t lh ’

c, ₀a(/-x) cc,s , oT/pa\l-xfdx Ь-~²~ЛГ’ *obj--2V~ tfriïjjr-

Gurt 3 links von CL: с _ у/Р (l~ CL)X

s°—vl~lJT’

c,_ n(l-a)x c c,s _ , nup(l-ay-x*dx 3-2 lh , 3₀3^.-+2И    ^з/,Л2

Gurt 4 rechts, von <2:

S—V4

t-p a(l-x)

a(l-x)

lh ’    ih

, S₀S'~=-2V

(t-p)a²(l-x)-dx

tfJW

Gurt 4 links von CL:

t-p (l-a)x

lh

S-+²-Tir> s»s j=-2F

(t-p)(l-a)-x-dx

Diagonale vorn rechts von CL:

ç i/Р a

b°    V t l h ’

S'=i

ad,

lh’

q ç' s_ yp a d\

⁰ f~ tr-h²fr

Diagonale vorn links von ü: p l-a dx f~Th’

Diagonale hinten rechts von a: t-p a dx

~T1T*

s₀=+v

S₀ = -V

S'=

S'=

(il-a)dx c c,s_    p(l-a)-d\

lh ’ ⁰ f~ tPWfr

lh ’

С C'⁵_ , Tr{t-p)äld\

⁰ 7⁻^ twfx

Diagonale hinten links von a:

t-p l-a d

s°=+v~i

^S.* = -K«^{₂Je(J-a)[

+ 3d< [£

/ /I

S'-H

(l-a)dx c c,s_ , 1/(t-p)(l-a)²dl lh ’    ⁰ f~~h tllh²fx

(t-P)(flJrf4 P (f2~ЬЛ)~|

А/, J

/1/4

fl

]}•

123

Die Bedingung Z S'S₀-^ — о lautet demnach

3 d\j—4 a (I — a) b

fi

² 3 d 'Çip — 4 b a(l — а)

tjrîl

fÆî*

2 /,Л

fi /2 fs+Л Л /4 +Л /4 / -h/, /1 /2

4/,/2/3/4

3d?/i ⁴“<г a)6'2 (/, +/J

2    1

3 d³ • — J 1 2

sa\ und ebenso findet man die Z-Koordinate des statischen Mittelpunktes M

3d*j- — 4a(l — a)

2 о ля/° ~ł~ /ц

² 2/о/м

-si les

3d\

ч-H CS

fi Afs "К/а/аЛЧ" /в/4/1    1 /2

4/,/2/3/4

³d'Ä~⁴a(;~a)f,2 (л⁺л)________

(то⁺г)~4а(1~а)ЬНк⁺к⁺т*⁺г)-

4 а(1—a) b

Die Lage des statischen Mittelpunktes ändert sich von Brückenquerschnitt zu Querschnitt, da in den Koordinatenwerten p und q die Größe CL (l — a) vorkommt. Die Differenzen sind aber ganz gering, so daß man statt des й (l — ä) den konstanten Mittelwert (arithmetisches Mittel) von а (l — ä) nehmen kann, und zwar den Wert

j a(l — a)da = j-

Die Werte p und q, die jetzt konstant sind, haben die Werte pm, qm.

Os

Ю| <4-

со

St,

ч-H [CS

со

t—i

CS Ico

т-1 les

H-1

т-н |Ч^

les

co cs

Kl

es Ico CS Ico

K*

<3*

Isr т-h les

со

CO CS

т-H les

IK

es Ico

rH |тГ

ki

124

Der erste Ausdruck im Zähler und Nenner ist gewöhnlich viel kleiner als der zweite, so daß man die höheren Potenzen des Verhältnisses des ersten Ausdruckes zum zweiten vernachlässigen kann. Wir heben also im Zähler und im Nenner die zweiten Glieder aus der Klammer. Es ist

I\ 3

ON 'CS

Ь5

гн les

cs Ico

rH

bl

ON les

T-H les

tO| S3

СО-rH

I-

тн les

1-1 les

Ь>|

1-H l^r

гн |тГ

CO

-bl

Angenommen, daß alle Stabquerschnitte des rechten Trägers « mal so groß sind als die des linken, dann ist

prn =

CS

Ш+г) r

u,

,9 dĄ 1_

/2 , П 2 V, 'fj

2bP2fi

Denkt man sich im linken und rechten Hauptträger Gewichte vereinigt, wobei die im rechten a mal so schwer sind als die im linken Hauptträger, so liegt bekanntlich der Schwerpunkt dieser Gewichte in einer Entfernung p' vom linken Hauptträger, wobei

(X

р' = т~7—* ist. Das ist aber nichts anderes als die Größe für p, den 1 -|-a

Abstand des statischen Mittelpunktes vom linken Hauptträger.

Ebenso ergibt es sich: Ist die untere Verspannung ß mal so schwer als die obere, dann liegt der Schwerpunkt in einer Tiefe von

ist. Dasselbe ergibt sich für q, den Abstand des statischen Mittelpunktes von der

/*?

q unter der oberen Verspannung, wobei q =

1+/?

125

oberen Verspannung, wenn die Querschnitte der Stäbe unten ßma\ so groß sind, wie die der oberen Verspannung.

Der statische Mittelpunkt deckt sich somit mit dem Schwerpunkt des ideellen Brückenquerschnittes.

§ 49. Berechnungsvorgang. Ist nach obigen Regeln die Lage des statischen Mittelpunktes ermittelt, so verschiebe man eine jede Kraft P parallel zu sich selbst in den statischen Mittelpunkt und füge ein Moment M — 1' Pe hinzu. Die Kräfte P, zu einer Resultierenden vereinigt, geben IP. IP zerlegt man in zwei zu den Hauptrichtungen der Tragwände parallele Komponenten V=lPsina ; H = 2'P cos a. Die Kräfte V und H zerlegt man nun in je zwei parallele in die vier Tragwände fallende Kräfte nach dem Hebelgesetz. Jede der Tragwände wird nun für die auf sie entfallende Kraft R, L, O, U berechnet.

R=VP

t’

£, 0=Я^-Д Я=я|-

г    h    h

Das Moment M zerlegt man ferner in zwei Kräftepaare

±Я‘ = ±2 h

±F‘ = ±2i’

von denen das erste die vertikalen, das zweite die Horizontallängswände beansprucht. Die Momente der einzelnen Kräftepaare

• Der Sinn der vier Kräfte bestimmt

sind gleich und betragen

sich aus dem Sinn des angreifenden Momentes. Erwähnt sei, daß bei der Beanspruchungsart durch solche zwei Momente, die Gurtstäbe entweder gar keine oder nur ganz geringe Kräfte erhalten, die der jeweiligen Scherkraft und der Feldweite proportional sind. Man begeht sehr oft keinen großen Fehler, wenn man diese Kräfte überhaupt vernachlässigt, zumal sie nur an den Auflagern verhältnismäßig größere Werte erhalten.

Da das Moment keinen Einfuß auf die Gurtkräfte hat, hat es auch keinen Einfluß auf die Querschnittsbemessung der Gurte. Die Querschnittsbemessung richtet sich demnach ausschließlich nach der absoluten Größe der Kräfte P. Nimmt man vorläufig an, daß die

beträgt p — —, da

beiden Hauptträger gleich dimensioniert sind, so

■cc = 1 ist. Die vertikale Komponente von ~P verteilt sich demnach in zwei gleiche Teile R — L = \ V=^1'P sin «. Dadurch ist aber tatsächlich die Beanspruchung rechts und links gleich, und es liegt

126

keine Veranlassung vor, die beiden Hauptträger verschieden zu dimensionieren. Für die Berechnung einer solchen (symmetrischen) Brücke auf die vertikalen Komponenten der Kräfte ergibt sich daraus folgende einfache Regel :

je die Hälfte, also ^ P,

Von jeder Vertikalkraft P bringe man auf jeden der zwei Hauptträger und bestimme so die Gurtkräfte. Außerdem denke man sich im betreffenden Querrahmenorte der

Brückenhauptträger die Belastung 2’^P+^jP ^

und bestimme

danach die Füllungsstäbe der Hauptträger, e bedeutet hierbei die Entfernung der vertikalen Last von der Brückenmitte, und t die Entfernung beider Hauptträger voneinander. Das Zeichen von

bestimmt

man so, daß diejenige Tragwand, an welche P näher

liegt, das Zeichen -f- bekommt. Die Füllungsstäbe der beiden Verspannungen berechnet man, indem man die Verspannungen mit

I¹ P-⁼ 2 h

im Sinne des Momentes belastet.

Bei der Berechnung der Brücke auf horizontale Kräfte kann nicht mehr angenommen werden, daß die Gurtquerschnitte gleich sind, weil gerade die Obergurte gewöhnlich stärker ausgeführt werden, und zwar wegen der Knickgefahr, ferner weil sich am Obergurt von vielen Brücken, die gerade für Verladezwecke bestimmt sind, Kranfahrbahnen befinden, die eine stärkere Dimensionierung erfordern. Nimmt man nun an, daß der Untergurt ß mal stärker ist als der Obergurt, die darin befindlichen Diagonalen eingeschlossen, so liegt, wie früher gezeigt wurde, der statische Mittelpunkt in einer Tiefe

l-Ltf

h —-— unter der oberen Verspannung, ß ist gewöhnlich ei

echter Bruch.

Verschiebt man nun alle horizontalen Kräfte W (oder die wagerechten Komponenten der Lasten) in den statischen Mittelpunkt, und zerlegt man nun die Kräfte W nach dem Hebelgesetz auf die Verspannungen, so entfällt auf die obere Verspannung:

W,

1 + /*

l+ß

und auf die untere Verspannung: U = W

Man ersieht, daß sich О zu U verhalten, wie 1 zu ß, genau so, wie die Profile der oberen Verspannung sich verhalten zu denjenigen

127

der unteren. Die Spannungen werden daher nahezu gleich sein, und die Lastverteilung ist die denkbar günstigste.

Nennt man den Abstand der Kraft W (bevor sie in den Punkt M verschoben wurde) vom statischen Mittelpunkt w, so muß noch zwecks Berechnung der Füllungsstäbe der horizontalen Verspannung

außer der Kraft О und U noch die Kraft +

Ww

— 2h

angebracht werden.

Um die Füllungsstäbe der Hauptträger zu berechnen, belaste man

Ww

Durch diese letzteren Kräfte werden,

wie mehrfach erwähnt, die Gurtspannungen nicht tangiert.

Aus den obigen Ausführungen ergibt sich, daß die statisch unbestimmten parallelepipedischen Brücken, bei denen die statische Unbestimmtheit von den überzähligen steifen Querrahmen herrührt, sehr günstig sind, insbesondere wenn Torsionsmomente auftreten. Zwar kann man, wie in § 46 gezeigt, auch die in dieser Beziehung statisch bestimmten Brücken so konstruieren, daß sie diese Eigenschaften besitzen; jedoch erfordert jene Bauart besonders geartete unsteife Querrahmen.

Bei der üblichen Berechnungsart der Brücken überträgt man vertikale Lasten durch die zwei Hauptträger und horizontale durch die zwei Verspannungen, wobei die Kräfte nach dem Hebelgesetze verteilt werden.

Wirkt beispielsweise eine vertikale Kraft P im Abstande e von der Mitte der Brücke, so hat man nach der üblichen Rechnungsart

sie mit den Kräften +

— 2t •

die Kraft P zerlegt in ^ -j- P ^,

P-p 2 ’

die auf die näher gelegene und

г-t* Cb

die auf die entfernter gelegene Tragwand entfällt, was,

im Vergleiche mit der genaueren Rechnungsart, viel größere Stabkräfte ergibt, insbesondere bei den Gurtungen. Die Füllungsstäbe bei den Verspannungen werden dagegen nach der üblichen Methode als spannungslos angesehen, was natürlich falsch ist und zu Überbeanspruchungen führen kann.

§ 50. Verschiebung des belasteten Querrahmens. Wir untersuchen nacheinander die Verschiebungen, die der Querrahmen erleidet, wenn auf ihn eine Last Vm, die durch den statischen Mittelpunkt geht, einwirkt, ferner, wenn die Brücke durch ein Torsionsmoment M belastet ist.

128

Fall einer Einzellast Vm.

Bei der Belastung durch Vm sind gemäß der Definition des statischen Mittelpunktes die beiden Horizontalverspannungen unbelastet, d. h. die Diagonalen dieser Verspannungen sind spannungslos. Die linke Tragwand biegt sich durch. Da die Gurte der linken Tragwand gleichzeitig Gurte der Verspannungen sind, so bewegt sich der Obergurt, der Zugspannungen erfährt, nach außen, also nach links, und der gedrückte Untergurt nach innen, also nach rechts. Die ganzen Verspannungen machen diese wagerechte Bewegung mit. Nun erhält die rechte Tragwand ebenfalls Spannungen, so daß die obere Verspannung nach rechts und die untere nach links wandert. Diese beiden entgegengesetzt gerichteten Bewegungen heben sich

zum Teil oder ganz auf. Es ist nun die Frage: Wieviel beträgt die seitliche Ausbiegung der oberen und wieviel die der unteren Verspannung? Ferner: Welches ist der Weg dieses Querrahmens? Da der Querrahmen seine geometrische Gestalt infolge seiner ^ Steifigkeit behalten muß, und zwar vollkommen behalten muß, da wir ihn als starr ansehen wollen, genügt es, wenn wir den Weg eines einzigen Punktes ge-anderen Punkte wenigstens die eine

"i/t

³ fm*

Fig. 48.

nau ermitteln und von einem Komponente seiner Bewegung.

Wie groß ist ölh? dlh =

bei der Belastung L und R und S' bei Belastung О = -j- 1 ist. S' zerfällt nach der vorausgegangenen Theorie in S" und S'", wobei

£

2S₀ S jïj» wobei S₀ die Spannkraft

S" die Spannkraft ist bei О = -j- ^, U — -f- ~

Spannkraft beim Torsionsmoment M — ~ bedeutet (Fig. 48).

, während S'" die

t4

cd"

-j-ZS°Ss” y ~b 2S”S₄" s

J 3    J 4

2'DÎ Drî + SD°rD"' .

fi

129

Man beachte, daß für die Gurte S₀"', für die Diagonalen D°₀, Du, Di" und Dr" verschwinden.

S4=+L

l—a X

~l~h

bzw.+.L

a l—x lh~ a l—x

h—q l—a X

bzw. -

h—qal—x

~h~l~r

s ''=л-^У¹~ах

²    ‘ h

h—qal—x

” ⁺~7T7~T

50_-X

3_ l h ”

Sl=-L

D°i=-L

l—ax

~T~h ”

l—a d

,rTh

D°=-R

l—ad

c "_лЛ.\._a

3 ⁺h l t

j al—x    q l—ax

T /1 ;    4 ~~h~Tl

n q l—ax ~ 2t ~ Г t q l—a X 2t l t

j^al—x

” +Llh;

l h;

Dr"

q al—x

” ⁺hl t

q a l—x

hJ~T~

q a l—x 2tl~T q a l—x 2t1 t

Edlh ergibt sich zu

(l — a)² a²

3 l ht

a²(l—a)² /h — q 3lht \ hf₂

Nach Einsetzung der Werte L=    und R = V ~ ergibt sich:

{2 a₍l-a)b[₍t-p)(fr-!±^

+ P(~h]ł'~w)] + 3ld'[{t~P)

q a (l — a) <XA 2th²bl~

t\

Edlh=V

(l — a) a

\2lht² b

-pB-

Setzt

t-~

1 +«

man

wieder /a = « fx /₈=«/₄ fr=ccfh dann ist

t-fi JL 4±-

T { l* i*

1«

4»    4 l'

und Edlh = 0.

Man sieht, daß dann die horizontale Bewegung Null wird. Die Bewegung ist somit eine fortschreitende parallel zur Kraftrichtung Vm.

Wie groß ist die vertikale Bewegung des Punktes 1?

EölV= 2 S° S' wo S' jetzt die Stabkraft bedeutet, die entsteht, wenn im Punkte 1 eine Kraft 1 nach oben wirkt (Fig. 49).

Fig. 49.

130

Ä л+1 г а²(Г—a)²    1 г ä²(/ .—a)² ,

lF 2    3/Л²Л ⁺2    3/ä²/₄ ⁺

, f *—P , P J Г a(l~ a)d*

' Kr t 4r2t) Ihn fi

tzlV-

t    ' 1+a

— a /;, so ergibt sich

a² (l —ay / 1    1 \ y d³ a (l

61h¹    '    2 Ihn

Setzt man

/з = «Л

-£+ F —

Vr-

1    „а² (/ — a)² 1 „a²(Z—а)³

2    3/Л²/;    2    3//i²/₃

, /Р    p\pa(Z —

^Vf    2 i/ ih*bf₂ *'

i? = F ——

1+a

A = «Л

CN К

1JL.

Jl + а

Denkt man sich die beiden Hauptträger zu einem vereinigt, so daß alle Stabquerschnitte sich addieren, also

fi,2~fi +/a— (1+а)/г> /з,4—/в “h/* —    +    /л—/t+/r—(l + a)/t;

und läßt

man

§ 38 Gleichung 49)

auf diesen Träger eine Kraft Vm wirken, dann ist gemäß

Eö =

з/ń* \/ut⁺f,J+r

a(l — ä) d³ 1

I h¹ b fd

E di y.

Bemerkung: Die Berechnung des di;t und d^r kann auch auf die Weise einfacher vorgenommen werden, daß man in der Formel SS' S° unter S' nicht die Stabkräfte versteht, die entstehen, wenn auf den Querrahmen bei 1 eine Kraft 1 nach rechts bzw. nach oben wirkt, und das System der Brücke statisch unbestimmt bleibt; sondern man kann auch unter S' die Stabkräfte verstehen, die hervorgerufen werden, wenn eine Kraft 1 auf ein statisch bestimmtes System einwirkt, also wenn der Querrahmen durch Wegnahme eines Stabes unsteif und

dadurch die Brücke statisch bestimmt gemacht wird.

Wirkt eine schräge Last durch M, so zerlegt sie sich in eine Kraft Vm und Hm. Jede der beiden Kräfte ruft eine fortschreitende Bewegung des Querrahmens hervor, somit ist die resultierende Bewegung ebenfalls eine fortschreitende.

A = A = ßf

Ist A=f

fi=fr,    /* = /«• Ä dann ist

h—— 1 + /**

2’

Die Angriffskraft sei P und gehe durch M. Der Neigungswinkel zum Horizont sei cp. Die horizontale Komponente der Bewegung beträgt:

— 131 —

Die vertikale Komponente der Bewegung beträgt:

"T

a (l — ä) d\ 21 1

2th² b / J 2

3lh² /, /i

f/l²fr /]•

Die resultierende Bewegung ist <5 = T^ -)- O7. Der Winkel r/>x der

i

Bewegungsrichtung beträgt arctg .

dy

tg ⁽P

a(l — ä) [a (l — a) b

1 T~ ß

Aß

³ d\ Л 3 / f- b

6 Z h² b а (l — a) [a (/ — a) b | -f ³ d » I]

+ 3 d\

£2    <2 (/ — a)b

2[a(l-a)bl + 3dll}^

t- a) bf[Jr 2^ d\

^ a(l — a)bflJr^dljt 0°, für cp = 90° ist ГД = 90°.

tS9V

fl А

Für ß = 1 ist tg cpt = tg cp

für cp = 0° ist </)j

Fall eines Torsionsmomentes M.

Bei Wirkung eines Torsionsmomentes auf die Brücke macht der Querrahmen ebenfalls eine Bewegung.

Der Weg des Punktes 1 nach oben

beträgt 4?:= 1S°S' wobei S° die Spann-

it

•4t

"7

iTX * г

kraft eines Stabes ist bei der Wirkung des Moments M und S' die Stabkraft eines Stabes des statisch bestimmten Brückensystems, beim Angriff einer Last 1 am Gurte 1 in der Richtung nach oben. (Fie. 50).

'A

\t

4b

Fig. 50.

EölV = M

a(l — a) d\

2 tl h² b fi

und ebenso berechnet sich

a(l — a) d\ 2 tl h- bfr ’

132

Der Abstand des Drehungsmittelpunktes vom linken Hauptträger p' ist gleich:

fr

^lV    - <W lii fl fr *

, a

t Z-j- =P.

1 -j- a

Bei fr = <* fi ist p' =

Die zweite Koordinate des Drehungsmittelpunktes q berechnet

/«

sich analog zu : q = h ^—j—j-, bei fu = ßfo ist q — Jo ~r /«

frb=?-

Man sieht, daß der Drehungsmittelpunkt des Querrahmens bei der Wirkung eines Torsionsmomentes mit dem statischen Mittelpunkt zusammenfällt.

Welches ist das Maß der Drehung (Drehungswinkel)?

di г

~ Ma(l — a) dl fi -f- fr E 2 11 h- Ъ fi tfr

Ma(l — a) d\ ~    2 tHhJbE

Die beiden Ausdrücke von т sind nur angenähert gleich; ihre

. Die Differenz in

der Klammer wurde seinerzeit bei Ableitung des Ausdruckes für Lj vernachlässigt.

§ 51. Übergang auf Brücken mit mehreren steifen Querrahmen. Bisher wurde die Berechnung so durchgeführt, als ob die unbelasteten Querrahmen unsteif wären. Es soll nun nachgewiesen werden, daß, wenn auch die anderen Querrahmen steif sind, dies keinen besonderen Einfluß auf die Berechnung haben kann.

Der Beweis wird dann erbracht sein, wenn es gelingt, zu zeigen, daß die geometrische Form der anderen Querrahmen vor und nach der Belastung dieselbe ist, auch wenn die Rahmen unsteif sind. Sind dią Rahmen steif, so sorgen die Stäbe dafür, daß die geometrische Gestalt unverändert bleibt (bis auf die eigene geringe elastische Deformation), wobei jedoch diese Stäbe Spannungen erleiden. Sind aber die Querrahmen unsteif, indem beispielsweise eine Hauptdiagonale fehlt, und behalten sie trotzdem ihre geometrische Form, so ist klar, daß es gleichgültig ist, ob die Diagonale im Rahmen enthalten war oder nicht, mit anderen Worten: Die Diagonale erhält keine Spannung, und die Brücke verhält sich genau so, als ob der steife Querrahmen unsteif wäre.

Differenz beträgt    Щ +

dl

d\

d\

fo fu

133

Es bleibt uns also noch übrig, nachzuweisen, daß ein beliebiger unsteifer Querrahmen seine geometrische Gestalt, infolge der Belastung eines steifen Rahmens (in dessen Ebene), nicht verändert.

Fall einer Einzellast V.

Geht eine vertikale Last durch den statischen Mittelpunkt, so bewegt sich der Querrahmen fortschreitend um den früher ausgerechneten Betrag.

EöJ=V

a(l — a)d³1    1

TWb JiT+ä'

Der Zeiger a bedeutet, daß es sich um einen Querrahmen handelt, dessen Abstand vom linken Endrahmen CL beträgt.

Wie groß ist nun die Verschiebung eines unsteifen Quer-

Ef

rahmens, im Abstande X vom linken Endrahmen? öx = IS₀S'

wobei S₀ wie früher die Stabkraft infolge der Kraft Vm und S' die Stabkraft infolge einer Last -f-1 ist, die am Querrahmen X angreift, bedeutet (Fig. 51).

X)

Fig. 51.

Beim letzteren Angriff kann die Brücke als statisch bestimmt, also der Querrahmen CL als unsteif angesehen werden.

l—a § l—X

n~h~T

um |¹ c:

dî

⁺(h⁺r)Ll

rl—a £ X1—Ç

~Т~ЪТ~1Г

'Jr;

a Z—£ xl—I T~h~J~h~

db -j- E

⁺(k⁺r)Lf‘

(l—a)dl—x d x A filh ~Thb

l—ad X d(a—x)rt , т a

7ГГ hlh “T ⁺ /Г = L (fi⁺fÙ 6tfh'

-L

Sri SS.

~a A

TTd

x(2 Pa — 3 la² — Ix² Ą- ах² -\- а³)

I — ax d³ v

~TWb /Г’'

"I“ 6 X (/ — a)

Das Verhältnis der Durchbiegungen bei X und bei а beträgt:

/г

ßjt xb(2Pa—3la*—lx²-\-ax²-\-as)(^+j^-{-6x(l—a)ds

fi

134

Mit Einsetzung von L—V-- ergibt sich:

V 6ТИЩ1+0)[ХЪ('²¹

²а—3/a²

lx*+ax² + a³)

2/>а²(/ —а)² (+6a(l—a)d³

Dies war für den linken Hauptträger. Für den rechten ist:

vV _ tV

°a2-°al

/?

Nun ist -y

ÂV R (/г ¹ /₃)

X1 L'( I₊}Y

Vi /*/

V    A 1 , ¹

* — P    /2    /3

« Vi ' fj

, somit ist

<£ = «[«•-= ój,

Man sieht also, daß

Ô² ö¹

konstant für alle Punkte des

ä l    Л

Querrahmens, und da öl -- öl ist, so ist die Bewegung eines jeden Punktes des Querrahmens bei X im vertikalen Sinne konstant.

Wie verhalten sich nun die wagerechten Wege der Querrahmenpunkte (des unsteifen Rahmens bei x) bei der Wirkung der Kraft Vm im steifen Querrahmen bei а?

Diese Summe beschränkt sich bloß auf die

zwei Obergurte, und da sich gemäß (Fig. 52) für beide Gurte verschieden bezeichnete Werte von S° S' ergeben, so ist ölh — o. Wie früher gezeigt wurde, ist ölh = o.

Wir sehen somit, daß die Bewegung des Querrahmens bei x eine genau gleichartige ist, wie die des Querrahmens bei a. Da nun der Querrahmen bei а seine geometrische Gestalt nicht ändern kann, da er steif ist, so wird der Querrahmen bei X seine Gestalt

Ef

ölh = IS°S' 1

135

.ebenfalls nicht ändern, was aber nötig ist, damit das Steifsein dieses Querrahmens keine Rolle spielt.

Was für die vertikale Last Vm nachgewiesen wurde, gilt gleichfalls für horizontale Lasten Hm, somit für alle beliebig gerichtete durch den statischen Mittelpunkt gehende Kräfte Pm.

Fall eines Torsionsmomentes M.

Bei diesem Belastungsfalle beschreibt der Querrahmen bei a eine drehende Bewegung um den statischen Mittelpunkt.

Hierbei ist

<5 lv = M

a(l — a) df

"2tim/i *

A4

/1

ty

С X) о

тг

/t

■>

%)

Fig. 52.

Fig. 53.

Im Querrahmen bei X, der als unsteifer Rahmen angesehen wird, beträgt (Fig. 53)

(К'

IF

M l — adyl — x dxdxx Ml—ad 2t l h l h fi b 2t l h h

M a dx X d\ (l — a) _ M (l — a) d?

21 Ihlhfib “ ~2№TbV 'X'

СГ

си

s*

ГГ

5s II*⁵

Jeder Punkt des unsteifen Rahmens bei X macht eine gleichartige Bewegung, wie der steife Querrahmen bei a. Da nun der letztere seine geometrische Form behalten muß, da er steif ist, so behält auch der Rahmen bei X seine Gestalt, mit anderen Worten: Die Steifheit des Querrahmens bei X hat gar keinen Einfluß auf die Berechnung der Brücke. Maßgebend ist bloß die Steifigkeit des belasteten Rahmens.

Zusammenfassend sei wiederholt, das die besonders einfache, sehr günstige Resultate liefernde Berechnungsart eine angenäherte

136

ist und folgende Vereinfachungen bzw. Voraussetzungen zur Grundlage hat:

1. Die steifen Querrahmen werden als starr angenommen.

2. Der Ausdruck (^ + S) — Æ + S) wurden

Jr/ V/o /и'

den Ausdruck +    +

gegen

16 1

unterdrückt.

3 fg

a(l — а) Ъ

3. Von allen Gurtquerschnitten wurde ein Mittel

fg genommen,

was auch eine gewisse Fehlerquelle bilden kann, falls die Fachwerksysteme nicht so beschaffen sind, daß die Ritterschen Momentenpunkte eines jeden Stabes in einem Querschnitte der Brücke liegen.

Zum Punkte 1, ist zu bemerken, daß falls mehrere steife Querrahmen vorhanden sind, sie sich teilweise unterstützen können, da man gewissermaßen die Stabquerschnitte der unbelasteten Rahmen zum Teil zu den Stabquerschnitten hinzuschlagen kann, was seine Starrheit unterstützt. Ein Beispiel im Anhang zeigt den Unterschied der Ergebnisse der angenäherten und der scharfen Rechnungsart.

Anhang.

I. Spezialfälle zur ersten Abteilung 1,3ß.

1. Spezialfall: Trapezgurtung.

§ 52. Der Gurt besteht aus den zwei schrägen Endstrecken und aus einer wagerechten Strecke in der Mitte. CL, c, b sind die entsprechenden Längen der drei Brückenabschnitte, b ist die Länge der mittleren Strecke.

a-\-b -f- c = Z.¹)

Die Brückenhöhe im mittleren Teile sei h. Die Grenzpunkte der drei Strecken seien 0, /, II, III. Die Belastung sei H = TV l und gleichmäßig über / verteilt.

Mi=^a(b + e),

Mhn=

c(a-\-b)

Die Zusatzlasten sind:

V, =-

M)

Vn=-

rJtg«a =

Tiga‘ ⁼

w a(b-\- c) h _    w(b-{-c)h

2t a

2t

_w(a-\-b) h

2t

Die Auflagerdrucke betragen:

23)

_tv h (b c)² -f- (a -f- b) c

л —j— b -j— c

w

jFa-,

‘Æ

A-

*—a-

a -f- b -f- c = l.

138

ß_w h (a -J- h)* -j- (b -f- c) a

A Ą- B = — {Vi-j- Vл) =

W w-,

jFb'

w h ,    w _

₂ j(a + 2 b + c) — jF.

Das Verhältnis A : B — Fa : Fb =

b² -f- c² -j- 3 b c -|- a c b² -f- a² 3 b a -f- a c'

Die Höhe des Angriffspunktes der Resultierenden der W-Kräfte liegt in der Höhe rjs über der vierten Trapezseite (der Basis).

ist die mittlere Höhe des Trapezes.

Die Biegungsmomente des Hauptträgers infolge der Kräfte Vj und Vu betragen:

65)

M 1 n>h(a + b)c+(b + c)²a 2 t    a + b + c

Mv _wh (a -f by-~ a (b -f c)

¹¹    2 t    a+b+c"

M₀ =o,

c,

Mni=o.

Zwischen den Punkten 0—I, I—II, II—III ist der Momenten-verlauf ein linearer.

Die Scherkräfte betragen:

wh(b + c)² + (a + b)c a-\-b -j- c

zwischen 0 und I: S₀i = -f~

66)

»>

I „ II: Si и = -J-

wh — (b - j- c) a -}- (a -f b) c

II „ III: S a ni = —

w h(a-j- b)² -f- {b -f- c)a ci —J— b —j- c

Ist C — a, b — l — 2d, also beim symmetrischen Trapez,

dann ist:

Vi = Vu =—A = — B = —

Мх = Мц = -(I — а) а,

139

Bei einer Dreiecksgurtung, also wenn b0 und c — l — a, ist:

B=2 ta’

ist a = c =

щу w    /1    \    i    h

Mx = ~ (l — ä) a und rjs = 2 ;

^ ; dann ist

V₁ = -2A = — 2ß = | l-,

<ч-!

whl²

•Ï

2. Spezialfall: Parabelgurtung.

am Auflager h₀ ist auf die Kräfte zlV

§ 53. Die Trägerhöhe ohne jeden Einfluß, deshalb kann man schreiben: Z — ~x(l— X),

wobei / die Pfeilhöhe der Parabel in Brückenmitte bedeutet.

Die Horizontalkraft H = w l sei gleichmäßig über / verteilt.

Mh = jX(l — x);

4/

а.' а.

4-4^

l²

d² z

8/

dx²

dV=_vx(l-_x)8fdx

4 fw

l²t

x(l — x) dx.

67) A + B = — dV

4 fw l³

l²t 6

CN CO

w _

rF;

A = B = 4-

1 fw l wF

3 t ~ 2 t *

Die Höhe der Resultierenden beträgt

см ieo

Scherkräfte:

Sx — -j- / d V -j- Cx x)

4 fw

/²f

x (l — je) dx -f- Ci

4 fwlx² 4fwx³

Z² Г 2

Pt 3

f clf

*) Gewöhnlich lautet diese Gleichung- S — —f dV~\~ C. Dies hängt mit der in Fußnote zu Seite 10 besprochenen Wahl der positiven Richtung zusammen.

für X = о ist Sx = A =

fwl

ot — + Q » somit

68)

Sx

fwl

3t

[■-4+4].

für x = ^r ist Sx = o.

Momente:

¹

Diese Gleichung ist die Gleichung der Einflußlinie der Durchbiegung E ‘ Sx eines Punktes bei X infolge einer wandernden Einzellast L mit der Abszisse a für einen ebenen Parallelträger. Sie gilt für a X. Für a <T x erhält man die Gleichung durch Vertauschung von X und a.

s* dx+ c₂ =1[x - 6 ^+⁴|p] + c„

69)

für X — о ist Mx — О = C₂, somit ist fw P pX ₀ Xs , X⁴-|

~зг

5 fwP 48 Z *

Mx =

für x = — ist Mx =

für X = Z ist = о.

§54. Einflußlinien. Für diesen wichtigen Fall einer Parabelgurtung seien noch die Gleichungen der Einflußlinien abgeleitet.

dV

a) Einflußlinien der spezifischen Zusatzkraft

Punkt des Hauptträgers, dessen x = b.

Мь d²z

t dx²

MÎ d²z

t dx'-

für einen

a<ib

dV

70)

a>b TTx

H fb t l l

0-t)-

Die Einflußlinien sind Geraden.

b) Einflußlinien der Auflagerdrucke des Hauptträgers infolge der Zusatzkräfte zlV bzw. d V.

t dx²

Mh d²z , Z— x

Mhd'²dxl~x

Nach Einsetzung von Mh=

Hx(l—a)

im ersten und Mh~

Ha(l—x)

141

im zweiten Ausdruck, ferner nach Gleichsetzung von und Ausrechnung der Integrale ergibt sich:

4 uf l — a 21 —

3H1

4 uf l — a l-\-a 3 t ~l l~'

d¹ z

dx²

8/

— und ähnlich

71)

c) Einflußlinie der Scherkräfte im Punkte X = b des Hauptträgers infolge der Zusatzkräfte dV.

Mh d~z t dx ²

Für a<^b dVx>a = -f-

somit ist die Scherkraft

dx = —

H a (l — x) 8/

t l P dX’

Sx>a — J dV Сг -

H Sfa 1 t P 12

(/-*)*+CXV)

г, a l — CL l —J- CL

(2 P — 6 l X -f- 3 X² -J- cP) oder mit X — b

\Haf 3 t l P

Für a^> b ist dVx

für x — l ist Sx — Cx'= — B = —

4 Haf 3 t l P

72') Sb’=

somit die Scherkraft S

Tr со

, somit

(2P+.3b² — eib + tf) für a<b.

H (l — a)x 8/ 7 Ï P

Mh d²z

<a t dx2

dx = —

dx,

= + dV+Ct":

Hl—a8fx²

f er,

Ł    ,    4H„al — a2l —

fur X ⁼ О ist Sa; = Q = Л = ^ — f J —J

— oder

_4 H f l — а

x<a~3T P~T~

(— 3 %² _|_ 2 la — a²), d. h. mit Einsetzung

von X = b

72") S„"=

4 Hl — af

37-Г

P (— 3 b² -f 2 / a — a²) für a > fc.

Zur Probe der Richtigkeit dient, daß für a = b, Sb'—Sb" sein muß

Sab=-,

ĄjfTĄ(l-b)d-2b).

*) Gewöhnlich lautet diese Gleichung S — — f dV    C. Dies hängt mit

der in Fußnote zu Seite 10 besprochenen Wahl der positiven Richtung zusammen.

142 b) Einflußlinie der Momente im Punkte X = b des Haupte trägers infolge der Zusatzkräfte d V.

Für a> Z>:

Mx<a — / Sx<a dx    c₂

M*<‘ = ⁴3HtJ-Tx(²

Mb = H -

73')

AH fl—а /

-37ГТ '

für x — о ist Mx = о = C₂' oder

a — ja) °der mit Einsetzung X

a-b(2aT-a;-b;)«ra>b.

(— x³-\-2lax — a²x)-\- Cf

ico

a³

= b.

Ebenso ist für а <fb

Mx > a - / Sx > a dX -j- C₂ -

AH fa

j-₂j (2Px — 3Zx²-f x*-\- a²x) -f- C₂",

für X = l ist Мд; =

0 = 57PT (²*s—3i3+*³+a*0+cs" _4 H f a 3 f “Z² z a² x

a² Z, somit

73") Мъ' =

ч =

~-H-a Г—~-L——-L2——3—+ —1

з z L p^pw i Z2^z³J

L Z²⁺Z3_1_2Z    •³z²⁺z³J

гг eo

oder mit x — b

für a<Z>.

Für a = b muß Mb = Mb" — Mi

Z³

M^sHf_b4i-br

In den Gleichungen 70 bis 73 ist a die variable Laststellung, also die Abszissenkoordinate der Einflußlinie.

3. Spezialfall: Halbkreisgurtung H=wl\ w=konst.

vor,

dennoch besitzt dieser Fall eine gewisse Bedeutung für den Balkonträger

§ 55. Flache Kreisbögen betrachte man als Parabeln von gleicher Pfeilhöhe. Hier sei nur der Fall eines halbkreisförmigen Gurtes behandelt. Dieser Gurt kommt zwar als solcher selten

dz

z*=-x*+lx-, dx

l—2x

2 V x(l—x)

d²z

dx²

4x(l— x)Vx (I — x)

143

Die Verspannung sei durch eine Kraft H = wl, die gleichmäßig über die Spannweite Z verteilt ist, belastet.

dV=±

Mhd²z.    wx(l—X) P -l n v-f

-~-j—dx =--—'-rx ²{l—x) ¹ dx

t dx-    2t 4 v '

wГ- —4 /T -4    .

=--gyX ²(Z—:x) ² dx.

Für X = 0 und X = Z ist die spezifische Belastung ^- = oo.

Für X = 2 ist die spezifische Belastung ^

d V wl

4*

Auflagerdrucke:

74)

wl²

dx

W l² 7t

2-8fJ Vx(l—x)

16 t

Die Höhe der Resultierenden der ^-Kräfte beträgt:

T' da ^ ⁼ 2‘

(A-\-B)t F 1тг hrt

r ⁼ "8 ⁼

Scherkräfte :

Sa; =    dV+CJ

dx

8f / kVx—x

=+Q

2 ¹ ¹

75)

für X = — ist Sx = о = Clt somit sin (l — 2j-)

Sx —

wl²

8t

arc

für x = o, Sx =

Wl²7t

16t

A.

Momente :

Mx = Sxdx-\-C₂ =    arc sin

Wpj/l x\ * V2 _ Z 7

8f

arc

sin ( l

(l—21-) dx -J- C2 2x^ w>Z² rf/x

У T

arc sin

32 t

144

für X = О ist Mx — O —

Wl³7t

WlS7t

32 f

32 t

, somit

wl³

32 t

(»-2).

Für den halbkreisförmigen Gurt mögen noch zwei Fälle durchgerechnet werden, die von größerer Bedeutung sind: erstens, wenn die Belastung w proportional der Gurtlänge ist; zweitens, wenn sie proportional den Halbkreisordinaten ist. Diese Fälle sind auf den Halbkreisbalkonträger zugeschnitten.

4. Spezialfall: Halbkreisgurtung.

II—Wl; W

ds

Ш ■=—.

dx

§56. ds

dx

V'+O-

2 Vx(l — x)’W W2Vx(l — x) ⁷⁷^

für X — о ist w = oo

w — w

W = 00

г — 1 /

» л 1 >»

10 P

F - ² 0 -²f) arc sin(l-2y) -4/|(l -f)].

Bildet man die Ausdrücke für d V, so sieht man, daß so die Aufgabe nicht elementar zu lösen ist. Es ist nämlich:

79)

dx

32 t    x²)

wl

16f

1-2

h **>*

V(î-î5

arc sin^l —2 y)

го l*dx

Um die Aufgabe doch wenigstens angenähert scharf zu lösen, ersetze man den Ausdruck der Gleichung 77) durch einen angenäherten der die weiteren Rechnungen elementar gestaltet.

77a)

W~Vl[x ² +    — X) ² ]

Für X = о ist w — oo

W = 1,11 it), um ll°/o größer, als W nach der strengen Formel.

Y 2 7t

w =-

2    ”    4

X=l

145

„ w = CO.

Der Verlauf der Scherkräfte dieser Belastung W ergibt sich zu

für x =

Tx —    J'w dx -f- Cx — -j-

ш 7t Y l

ist Tx =0

VD7t V l

somit:

80)

Г,

[2^— 2(1 — х)Ч+С,>)

[**-(»-*>ł]

tt)7tl

Für X — о ist Tx = А —

81)

x = l „ —TX = B

го 7il

Man sieht, daß der Ausdruck für W in

tV7tl

2 '

Gleichung 77a) so gewählt wurde, daß die Gesamtbelastung die gleiche ist, wie nach der Formel 77).

Der Verlauf der Momente dieser Belastung w ergibt sich zu

Ml=f- rtdx + C, =

4J{¥+\\и-^]+сг

für X = 0 ist Mx — о

то^_г[2г|] ₊ С₂; с, =!»«/* und

Mhx

78 a)

m 7t P

für X -■=    ; Mx —    ^2

to

(2 — Y2) — 0,1544 roZ² gegen 0,1425 roZ²

nach der strengen Gleichung 78).

dV

Die Zusatzkräfte des Hauptträgers betragen:

Mxd²z t dx²

dx=—

ro 7i l2 24 tl

') Gewöhnlich lautet diese Gleichung S =—fd V -(- C. Dies hängt mit der in Fußnote zu Seite 10 besprochenen Wahl der positiven Richtung zusammen.

Löschner, Balkenbrücken.

146

79 a) dF

XV7tlr/X\—Z // — X\ _ 3    /1-X\_3    /X\_3-l

[(/) ²(-r) Y-(-r) ’-(t) ł]d*-

24t

Der Verlauf der Scherkräfte infolge dieser Zusatzlasten dV gestaltet sich:

Sx—V-\- Q

XVTtl

82)

Г-2-MŁ

L Vlx—x²

für x~tî ist Sx = О = Clf somit

+ lh(l-x)~ -lix-i]

24 t

XVTtPr t- 2 X

121 Vyix —~~x²

XV Ttl²

12 t

If?

2-

/

=2 + 0

für X = 0 ist Sa;= Л

XV7tP

83)

12 t

; [°°+l

oo] = unbestimmte Form=+1

yy X l yy Sx В

XVTtl²

T2T;[“

oo —1] =

Vs =

Die Höhe der Resultierenden aller ^-Kräfte liegt in der Höhe

als die genaue Schwer-

•    (v4 —|— B) t XVTtPt l

3 gegen

6 tWTtj

punkthöhe des Halbkreisbogens.

Der Verlauf der Momente der Zusatzkräfte d V bestimmt sich:

M.x — I Sx dx —[— C₂

XV Ttl²

12t

dx —j-

VI

dx —

/ й"']

M*

Vl—X

2 Vl(l — x) — 2 VTx\ + C2 • 2 Z -j- C₂ ; C₂ = -f

für X = -- / ist Ma; = ~у2у — 2 У 2 ).

12 t

[2/tx

— %² —

für X = 0 ist Mx — о = —

84) Mx

XV 7t Is

6t

XVTtl²

XV 7t l³

12 t

und

147

§ 57. 85)

5. Spezialfall: Halbkreisgurtung w = ш #.

Z=Y Ix — x²,

Für X — о ist w = o,

W = YûVl X — X².

to

= 0,5 m l,

Legt man die Belastung nach Gleichung 85) zugrunde, so läßt sich die Aufgabe elementar nicht zu Ende führen. Man erhält nämlich

\vP

86) Tx =

X¹

-f- arc sin (l — 2 j)J,

als Gleichung der Scherkräfte für die Belastung W, und

Mhx =/— Tx d X -f- C.

Man setze daher wieder an Stelle der Gleichung 85) eine andere angenäherte, die aber elementare Differentialgleichungen ergibt.

3 71 l w

85'a)

8/2

V\

u>

„    3 и l m yr₁

8/2

für o<x<-,

„    <X<1.

toi

Für x = о ist w' = o,

w' = w

3

" = — n Ivo = 0,59 l m,

16

x = l „ w"=o.

Der Verlauf der Scherkräfte dieser Belastung stellt sich:

8/2

~Ь

3 л P tu 2 8/2 3

+ С/

und ebenso

Tx" =

3 тс P n) 2 8/2 3

/ (i —y)⁸+ci"

/' für X = — ist Tx — Tx"

2

—/    7² VD. Somit ist

16

für 0<X<^,

= +    [1-2/2/(l-^)⁸] „ ~<x<l.

TC

Daraus bestimmt sich C/ = — ^7 Г² n>,

7Y = -

Q"

= o.

86)

7V'

148

Für х=о ist TJ = A =—

7t Z² ш

87)

16 ’ 7t P It)

. „ x = l „ -TJ' = B

Man beachte, daß A -j- В = 7t — ш ist. -5- P ist die Fläche des

о    о

16 *

Halbkreises. А -(- В ist somit genau so groß, wie nach der strengen Formel 85).

Der Verlauf der Momente dieser Belastung w ergibt sich:

Tzdx+C,,

0<*<

ÎCN

16

16

/ф⁶]+с;

1<X<1 MT

+ Q

für X = 0 ist Mhc — О — CJ; 7t Pw

16 7t l³ № 16

für X = l ist Mx —o — CJ'.

Somit ist

88) <

Mh; =

Mh"

[5-4/2/^]

(l-f)[5-4/2/(^|ÿ] ft,'<*<Ł

%r7tlzY0.

80

7t l³ tt)

80

für 0<X<-,

Für x =

I ist Ml'

=m:

h"

16Э

Die Zusatzkräfte dV der Hauptträger betragen:

dV

dx.

Mhxd²z

t dx²

8ЙТ, ï(î)‘

149

dV

89)

°<X< 2 TT/³«)

~ 32ÖZ

und ebenso

2<X<1

Die Scherkräfte Sx des Hauptträgers infolge der Lasten d V haben den Verlauf (mit Gleichsetzung у =

°<*<ï

dV"

320Z

s*'

n l³XQ

320 Z

5.x'

TtPvo

5/

90)

Г"*(1—4/2

<2|fc?ä]₊c-

Łz³m

Ю£

320 Z L]/

für X — 2 ist 5x' —

oder С/

2<X<1

7rZ³m

10 — 24

320

fC/

с/

7 л Is w

160 Z

[s/d-?)

*§    4/2j(l—g)S +J + C,"

t-⁵#ÿ- + 4/2'²yrl + C>"'

für X = ist § = und 5x"

320 Z

7rZ³m

320 Z

7tZ³m

to

320 Z

(-10+24)-f-C/'

oder C/'

7 7Г Z³m

Somit ist:

160 Z '

5x'=—

5, —+

7Г Z³ w

160Z

тг Z³ m

160 Z

[7+5

(Tfï

4/2

2-S

VI —§

[7 + 5

/§—£²

4/2"

VF

für o<x<2» für ^ < x < Z.

150

Für X = О; ь ~ О ist SJ — -j- A =

7t Pro

für X = l ; £ = 1 ist —SJ= B =

1601 TC P n>

(8 /2—7),

91)

160*

(8 /2 — 7).

7tPw

801

(8 /2 — 7).

Die Höhe der Resultierenden aller tt) Kräfte rj₃ beträgt:

_{A + B)t тс P w {8 /2 — 7) *    (8/2 — 7)/

H-----

80-/-

7Г P

10

8/2 — 7 .

I—*

0,856 /г gegen 0,848 h,

wenn man nach der strengen Formel 85) rechnen würde.

Der Verlauf der Momente der Kräfte dV ist Mx— fSxdx.

7t P №

160 t

l/YY

irrt

li rt

Vf—£

- + 4/2

ITlrt

4r:

■2 »

tcPcü

160/

[— 7£-f|arc

— /2 /(1 —£)⁸ — 8/2” /1—/] + С/.

sin (1 — 2£) + 5/£—£²

oo Ico

M*' ist für X = 0, 1- — 0: M₀ = 0

7t P П)

12■160/

(— 15^+128 /2).

1601

’/Г,

(1 -|)dg

/§—¥

4/2

йЩ£]+с,

7tPxo

160/

⁽/r;

— arc

für X — l, £=1 istMæ”=o

Q"

sin(l—2£) + 5/£-§² —4/2 2/1

-4/2|/F] + C₂",

(₇₊57r_8/2_|/2) ₊ ca”.

(— 84 —15 Tr -f-128 /2).

tcPyo

160/

7t P tt)

151

Somit ist:

M*'

7Г Z⁴ rt)

[—15ТГ + 128 /2 — 84^ + 30 arc sin (1 — 2 $)

92)

m;-

12-160 £

+ 60/£— £²—32/2Y(l — £)³—96/2/W]füro<x<|, [128 /2 —15 я; — 84 (1 — £) — 30 arc sin (1 — 2 £) + 60    — 96 Vi VT— 32 /2 /Т] für I < X < Z.

Für x = ^ £ = ^ ist №ź= M"=Mi.

[—15 я;-J-128/2 —124]

12-160 £

7Г Z⁴ tt) 12-160 £

TrZ⁴m

12-160 £ •

6. Spezialfall: Halbkreisgurtung, Einflußlinien.

§ 58. a) Einflußlinien der spez. Zusatzkräfte

Punkt X = b.

d²z dx²

für einen

a>Z?

a<Z>

Z = VX (Z — X)

(£)

(©

t dx²

d²z

4/

©"Ч¹-*)⁻*-

a;> a

£ dx²

Hx(l — a)

£ / 4/V/ V // ’ H (l — x) a i/A-l/.A-f

‘4/W V    ^ •

Setzt man X=b, so erhält man die Gleichungen der Einflußlinien.

a> b

dF

93)    <

dx

tf—

a <b

dF'

dx

tf—

6) Einflußlinien der Auflagerdrucke infolge der Kräfte dV.

dF'

*/

tf a

+ 'ifl? ¥(l-ś)+id§.

152

H (I—a) (it -- ^2 — arc sin

Z—2a

94)

а=+7[Щ

B= + j\~2

~HU +

— a) (l—2d)7t l

)+И2Тга=«,

I—2 a

u ICN

arc sin

-г arc sin

Mr)]

und

ebenso

— a) i (2a—Z)« ,..|.arosin(₁_2®)]

A-\- В —    — Vcl{1 — a) = -1—— za.

c) Einflußlinien der Scherkräfte für einen Punkt, dessen X = b, des Hauptträgers infolge der Kräfte dV.

й^>Ъ Sx<a—jdVx<a-\-C₁ ——    ^

d<Z b Sx>a — I dVx>a-^-Cl —    ^ ^

§ т(1-£) ^dÇ+C,’

Я(Г-а)§

¹

Hai-*    —¹

I Y(l—£)

Ha( 1-D

2tVl—i

Für л: = о, ь = о ist 5х;<а=Л nach Gl. 53) und für x — Z, a:>a = —ß nach Gl. 53), woraus sich ergibt:

TV(l — a)a , (Z—2а)тг    Z

L 2

r„_ , ЯГ /a(Z—a) (l—2a)rt

¹ t L 2    ¹    8

§■==1 ist 5

C,' = +

-r arc sin

-r arc sin 4

O-’f)]

0-’?)].

somit ist

T a(l—a) Jr~(l 2a)—^ arc sin Sx>a—~j: £—7^a(Z—а) + g (/—2d) — ^ arc sin

ßa;< а-

l—2a

i—i CN

/-2а , 1    l-£

na - —

² /£-£'

153

Setzt man § = y, so erhält man die Gleichungen der Ein-

flußlinien.

«s-1 U

a<b: S,'= P/a(l-a) + |(l-2a)

--r arc sin

l—2a

95)

г-н ICS

(l—a)

Vbl—b²

a>b: Sb"

=y[—    a)+f (*—2a)

--r arc sin

l—2a

Vbl—b²

Sab =

für a = b ist Sb' = Sb" = Sb

l—2b

— -r arc sin

b) Einflußlinien der Momente für einen Punkt, dessen X=b, des Hauptträgers infolge der Kräfte d V.

a^>b Mx<a — -\-/Sx<a dx-\-

M,<.= l\^YW^)i + ~(l-2ä) -i^arcsin

-\d-a)

Mx<a= ~    —a) §Jr⁷^(l—2a)t;—arc sin

—    V%— Ь² + ^ (l—CL) arc sin (1—2£)J -f С/

iil-CL),

Mx<a = jl[-^(l~a) +\Va{f^à) § +1 (l- 2 а) Ś-У arc sin

—а) У'ь—    a) arc sin (1 — 2§)].

Ebenso erhält man

«.>.= l[-%a+\VbQ

+ т(1—ь) arcsin

«■+1 tu

1Г ГТ

l — 2a

уД+с

l—2a

für X=0, £ = 0 ist M somit

x< а

= 0, woraus C₂ ~

Hl ус

1-2 а

4 tu

CN

a)(l-§)-~(l-2a) (1-Э

^ a arc sin (1—2 )J.

+₂-a/I

ITr.

•J Л

154

man

Setzt man ь = т> so erhält

die Gleichungen der Ein-

flußlinien:

a>b =    (!-a)+~Va(l-a) + ^(l—2a)

-|arcsin^-~+ (l—a)]/r‘a)arcsin(l—2^)]

a<bMt" = ^l[-^a +

, l-b . l—2a , ч/б b²    1

+ ^-arcs.n-₇--f- а [Z

Für a = b ist Мъ' — Мъ" — M

m=7¹ [f (2 b-l~² r) + fH

In den Gleichungen 93) bis 96) ist d der veränderliche Abstand der Kraft H von der linken Auflagerebene, somit die variable Abszissenkoordinate der Einflußlinien.

96)

£ loo

H ! CM

1 l-b

l-b

T—I CN

___ОТ

Va(l—a) — ^(l—2a)

о

a arcsin (l— 2    .

l—2b    . I—2ЬЛ

-r— arc sin —î— I .

4    l J

II. Rechnungsbeispiel zur ersten Abteilung 1,3 ß.

§ 59. Wir wollen für eine Halbparabelbrücke die Tragkraft des mittleren Untergurt- und Obergurtstabes U und О ausrechnen,

So, oo m

-A+1Ï

Fig. 10.

\Лоо.

um zu zeigen, wie groß der Einfluß der Zusatzkräfte ist.

Die Brücke (Fig. 10) diene zur Aufnahme einer Greiferkatze, die einen Lagerraum unterhalb der Brücke bedient. Sie muß unten offen sein, und sei daher die Horizontalverspannung oben angeordnet. Die

155

Die Wind-

am Untergurt konzentriert gedacht ist, beträgt 1,0 m²

am Obergurt 0,5 m²/m. Die

Brücke habe eine Spannweite von 50 m. Die Endpfosten seien 2 m hoch, die Höhe der Brücke in der Mitte sei 5,0 m. Die Brückenbreite beträgt t= 4 m. Das Eigengewicht der Brücke sei 60*, wovon die Hälfte auf einen Hauptträger entfäilt. Die Greiferkatze habe ein Gewicht von 16*, davon kommt auf einen Träger 8,0*. fläche, die

pro 1 m Brückenlänge, desgleichen Windstärke sei 150 kg/m².

fl) Das Eigengewicht erzeugt in Trägermitte ein Biegungsmoment

¹⁸Z’A = -f 37,5*.

g 30* • 50m= 187,5 tm, somit ist Ug =

f 20,0*.

b)    Desgleichen erzeugt das Gewicht der Greiferkatze ein Moment ~ 8,0* • 50m = 100 tm, somit ist Up = — Op — -f-

c)    Die am Untergurt wirkenden Windkräfte von

1,0 • 150 = 150 kg/m = wu

werden durch die Querrahmen nach oben übertragen, wobei der windseitige Hauptträger durch eine vertikal nach unten wirkende Zusatzlast beansprucht wird, die pro 1 m Brückenlänge beträgt:

Hierbei ist z = 2,0 -f

4-3

m = — Wu-z- —

— X (50 — X)

= 2,00 -f 0,24 X — 0,0048 x²,

t = 4,0 m,

w = — wu (0,50 4- 0,06 X — 0,0012 x²) kg/m.

Das Moment dieser Belastung in Trägermitte rechnet sich folgendermaßen:

Die Scherkräfte sind:

Sx = -f /» dx + Ct = — wu (0,50 x + 0,03x² - 0,0004 x³) + Q.

P... v I 50 Fur x = 2

y = 25 m ist Sx = o = — wu (12,50 + 18,75 — 6,25)

“b Q — — 25 wu -f- Cx.

Somit:

Sx = — wu (— 25,00 + 0,50 x + 0,03 x² — 0,0004 x³).

Der Verlauf der Momente ist:

Mx — f Sx dx -f- c₂,

Mx = — wu (— 25,00 x -f 0,25 x² + 0,01 x³ — 0,0001 x⁴) + C₂, für x = о ist Mx = о — C₂, 156

somit Mx = — wu (— 25,00 л: -f 0,25 x² -f 0,01 x³ — 0,0001 x⁴),

für x = ^ = 25 ist Mi =—wu{— 625-j-156,25-f-156,25 — 39,062 5) = 351,562 5 wu = 351,5625 X0,150 = 52,73 tm. 52,73

Somit ist

Uk — — Ok

5,0

= 10,55 t.

b) Die vereinigten Windkräfte auf Ober- und Untergurt w — w₀ -f- wu — (1,0 —(— 0,5) • 150 = 225 kg/m = 0,225 tm belasten die horizontale Verspannung und erzeugen in Brückenmitte ein horizontales Biegungsmoment von

Mh = 0,225 • 50² = 70,3 tm.

Der Obergurtstab auf der Windseite erhält die Stabkraft

0«,=

70,3

₄ = — 17,57*6 = — — 17,58*.

e) Infolge der Biegung der oberen Verspannung kommen noch auf den windseitigen Hauptträger vertikal nach oben gerichtete Zusatzkräfte hinzu, die in der Brückenmitte ein Biegungsmoment M°z erzeugen, das nach § 54 beträgt:

M°,=

, wobei f den Pfeil der Parabel 5,0 — 2,0 = 3,0m;

5 fw P 48 t~

W — 0,225 tm die wagerechte gleichmäßig auf die Brückenlänge verteilte Belastung, / = 50 m die Spannweite und t = 4,0 m die Breite der Brücke bedeutet.

Der Verlauf der Momente Mz über die ganze Brückenlänge ist

fwP/x    X³ x⁴\

Es beträgt M°z = der Gurtstäbe О und U

5 • 3 • 0,225 • 50

48 • 4,0

= 43,94 tm und die Stabkräfte

иг=-Ог=-

43,94

8,79*.

Zusammengestellt betragen:

U = -f 37,50 -f 20,00 -f 10,55 — 8,79 = -f 59,26 *.

О — — 37,50 — 20,00 — 10,55 - 17,58 + 8,79 = — 76,84*.

157

Man ersieht hieraus, daß der Betrag Uz und Oz im Vergleich zu den anderen Anteilen keineswegs klein ist, im gegebenen Beispiele aber die Gurtstäbe entlastet.

Will man noch den Wind auf die Katze berücksichtigen, so stellen sich die Stabkräfte:

Windfläche der Katze = 6 m². W = 6,0-150 = 900 kg = 0,9*;

Bei Übertragung dieser Kraft auf die

diese Kraft greift unten an. obere Verspannung erhält der windseitige Hauptträger einer nach unten gerichteten Last von

0,900-5,0

4,0

1,125*.

Diese Last erzeugt ein Moment in Trägermitte von

50

1,125— = 14,0625 tm,

das folgende Stabkräfte hervorruft:

14,0625

5,0

± 2,81*.

Das obere Zeichen gilt für den Untergurt, das untere Zeichen für den Obergurt.

An der oberen gekrümmten Verspannung greift nun eine Einzellast von 0,9* an, die zunächst eine Obergurtspannkraft von

0,9 • 50 4-4,0

- 2,81*

erzeugt. Außerdem entstehen Zusatzkräfte im Hauptträger, die nach oben gerichtet sind. Diese Zusatzkräfte erzeugen ein Moment, das aus der Gleichung der Einflußlinie der Momente Gl. 32' oder 32' berechnet werden kann.

oo !co

u>! oo

<У\

<x-

г—I

Mit Einsetzung der Werte ergibt sich

1 • 3,0 • 50

6-4,0

0,9 = 6,25-0,9 = 5,625"“.

158

Die dadurch entstehenden Stabkräfte sind im Obergurt:

—^3-- = -j- 1,12*; im Untergurt: — 1,12*.

Insgesamt entstehen infolge des Windes auf die Katze im

im Untergurt: -(-2,81 — 1,12 =-j- 1,69*; im Obergurt: — 2,81—2,81 + 1,12 = —4,50*.

Addiert

man diese Spannungen zu den früher erhaltenen Stabkräften, so erhält

man:

£/ = 59,26 + 1,69 = 60,95*

О = — 76,84 — 4,50 = — 81,34 *.

III. Beispiel eines Balkonträgers.

Fahrbahnträger einer Drehbrücke (zur ersten Abteilung 1,3/?, §24).

(Fig. 13.)

§ 60. Ein gebogener Fachwerkträger, dessen Grundriß ein Halbkreis bzw. ein in einen Halbkreis eingeschriebenes Vieleck ist, dient als Fahrbahn für eine Auslegerdrehbrücke, deren Königszapfen im Mittelpunkt des Halbkreises liegt. Der Radius des Halbkreises

Ю|

ist = 8,0 m. Die Trägerhöhe t ist 2,5 m. Die Feldteilung des

Trägers ist derart, daß die wirklichen Gurtlängen einander gleich

sind, und zwar    ~ 2,5 m.

Die Abszissen der einzelnen Knotenpunkte betragen:

3,30 m, .%₄=5,50 m, #₅=8,00 m.

#4 =0,40 m, x₂=1,50 m, xä

Die weiteren Knotenpunkte liegen symmetrisch zur Mitte (Punkt 5). In der Ober- bzw. Untergurtebene befinden sich ebene wagerechte sichelförmige Träger. Die Lagerung des Balkons sei statisch bestimmt gewählt. Im Punkt 0 befindet sich unten ein festes Lager mit drei Auflagerbedingungen, oben ein Lager mit der einen Bedingung, daß der Punkt in der lotrechten Ebene, die durch 0,10 geht, geführt ist (Lagerkraft horizontal). Der untere Punkt 10 kann Lagerkräfte im lotrechten und im wagerechten zur 0 10 Ebene winkelrechten Sinne

159

übertragen. Der obere Punkt 10 kann lediglich wagerechte, zur 0 —10 Ebene winkelrechte Kräfte aufnehmen.

Die Lasten sind:

1.    g = 600 kg/m gleichmäßig über den Bogen verteilt.

2.    Zwei Lasten ^ P= 12*, die Raddrücke der drehbaren Auslegerbrücke, auf dem Obergurt des Balkonträgers wandernd. Der Einfachheit halber wird angenommen, daß beide Lasten zusammengelegt sind, so daß nur eine wandernde Einzellast P = 24* in Frage kommt.

P.

J,in

2 * i, ont.

jj - ł,o*n

Fig. 13.

Zu ermitteln ist:

a)    Biegungsmomente und Scherkräfte für die einzelnen Knotenpunkte und Felder des gegliederten Balkonträgers zwecks Bestimmung der Stabkräfte.

b)    Biegungsmomente und Scherkräfte für die einzelnen Knotenpunkte und Felder der Sichelträger, die in den Ebenen der beiden Gurte des eigentlichen Balkonträgers wagerecht angeordnet sind.

Bei der Berechnung der Scherkräfte für einzelne Felder, sofern dieselbe nicht mit Hilfe von Einflußlinien erfolgt, soll der Einfachheit

160

halber die Scherkraft für denjenigen Knotenpunkt (Begrenzungspunkt) des Feldes ausgerechnet werden, der den größeren Wert ergibt, anstatt, daß sie für einen erst zu bestimmenden Punkt innerhalb des Feldes gerechnet werde.

Es sei hier vorweggenommen, daß dieses Beispiel einen aus der Luft gegriffenen Fall darstellt, der wohl noch nie vorgekommen ist. Immerhin ist es möglich, daß solche Fälle zum Teile deshalb nicht ausgeführt werden, weil die Theorie dieser Balken in breiteren Kreisen ziemlich unbekannt und bisher nicht weit genug entwickelt ist. Es will dem Schreiber dieser Zeilen scheinen, daß bei beweglichen Brücken, Balkonestraden in Festsälen, Unterbauten für Drehbühnen ähnliche gegliederte Balkonträger eine weitgehendere Verwendung, als bisher, finden können.

1. Gleichmäßig verteilte Last r/ = 600 kg/m.

a) Gebogener Träger.

Betrachtet man die Projektion des gebogenen Trägers, so be-, d s

trägt die Belastung g' = g (Spezialfall 4). Statt dieser wird eine angenäherte Belastungsverteilung nach Gleichung 77 a)

g’=

4Vl[

i J=1

Vx Vl — xi

angenommen.

Die Scherkräfte im gebogenen Träger betragen nach Gleichung 80)

Ty=-

gU-fl Wx-Vl-^c] =

rfyj

Die Auflagerkräfte des gebogenen Trägers betragen nach Gleichung 81)

gnl

A. y = В у =

Die Biegungsmomente im gebogenen Träger sind nach Gleichung 78 a)

My

161

Diese Momente sind bezogen auf die Projektion des Trägers. Um die wirklichen Momente zu berechnen, die für die Stabkraftbestimmung in Frage kommen, müssen obige Momente My noch mit der Sekante des Neigungswinkels des Stabelementes zur Projektionsebene multipliziert werden.

My = My sec ccx

ds

sec ux =    —

dx

/>+(£)'

2 Vlx — X¹

КГ'О-Г'-

Somit ist das Biegungsmoment M у

Мм

сл-м

Mv~~6~2

'-‘I X

м—

гН

“I-

Ausgerechnet, betragen die einzelnen Werte:

Feld Punkt

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

О гн N СО ^

Л у = By

о ч¹ со О* о' Т-Г со" Ю

gitl

— 7550 kg.

gTT.l

Vj+V'

Scherkraft

О    О    VO    00    Tf

О    СО    тГ    СП    го

О    00    ко    ТГ    CS

ГН    О*    О    О    О

+ 7550 kg + 6260 „ + 4880 „ + 3310 „ + 1690 „

1-

Punkt

12

m-iT

My (Moment)

0,000

0,025

0,094

0,206

0,344

0,500

Ui Ui д u to о 00 Kl 00 o o O Ł/l 0^ I—¹ Ul о

8 250    kgm

162 b) Sichelträger.

Die Auflagerkräfte der wagerechten Sichelträger berechnen sich nach Gleichung 83)

Ah — Bh —

grtl²

12 t *

Sh =

Die Scherkräfte betragen nach Gleichung 82) g n P Г / — 2x 12 t [y i X — x²

X

oder, geordnet nach у :

5а =

gnp

12 t

Г '-Ą

И(-т)

K-ï)

"'-en

g ni²

1—

12 t

Vîi'-т)

Die Biegungsmomente der Sichelträger berechnen sich nach Gleichung 84)

Mh =

gn P

6t

[■+vrï('-î)-vr>-!-vlJ

Ausgerechnet betragen die einzelnen Werte:

Feld

Punkt

0-1

1-2

2—3

3-4

4-5

Ah

Bh =

gnl²

gTll'²

12 t

к?

12 t

= 16100 kg.

1-

’т+Ут-У

VWÄ)

1-

Scherkraft

kg:

о    о    о    о    о

оэ    to    о    о    о

о    ю    м    о

|МЛ о

16100

16100

16100

16100

16100

1,000

0,770

0,570

0,378

0,185

+ 16100 +13 400 + 9 200 + 6100 + 2 980

Punkt

g Tl l³

6t

kgm

163

H I*-

►-¹ !

Moment

Mh

kgm

O H N CO 't

p p p о о p en w о о о

O 4^ О Ю Ю O 4^

516 000 516 000 516 000 516 000 516 000 516 000

O O CO TH ON CO O rt CO « MJO O O O O O O

о о о о o~ O

5160 17 020 31 500 40 800 44 400

2. Wandernde Einzellast P — 24000 kg.

a) Gebogener Träger.

Die maximalen Auf lagerdrucke betragen:

A = B = P = 24000 kg.

Die maximalen Scherkräfte betragen:

Tv =4- P

¹ max - j ¹

tv. — _

¹ min -

pv

Die maximalen Momente, bezogen auf die Projektion, betragen Mv':

MV'=P    = Plj( 1 - ).

Mr, die wirklichen Momente zur Ausrechnung der Gurtkräfte sind:

pl7 О-тЖтГ^-т)

M у = M y sec et у =

т—< !cn

Ausgerechnet, ergeben sich die einzelnen Werte: А у — В у = 24 000 kg.

Feld Punkt

0, *

МИ

oder

max Scherkraft min Scherkraft

kg

kg

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

O TH CN CO -»f

O    vn    Tf<    40    Tf

O    CN    СП    O    ^

о    о    o    eo

o'    o    o'    ©~    o"

24 000 24 000 24 000 24 000 24 000

О    1Л    g!    -cf    VO

О    f-    О    О    1Г)

O    ON    en    e-    VO

T-Г    o"    o"    o~    o~

IO -cf Ю Ч¹ O M O O O O O N CO

o' o~ o' сГ о

+ 24 000 + 23 400 + 21 800 + 19 100 + 15 750

600

— 2 260

—    4 950

—    8 270 —12 000

164

Punkt

PI

kgm

(f)Vr)ł

Moment Mv

kgm

O    vT)    Tf    ЧО    О

O    CN    0>    О    О

cd    q    о    cs    со    wo

о    о    о    ©    сГ    о

192 030 192 000 192 000 192 000 192 000 192 000

О    Ю    н    МЛ

О    I/O    ON    о    м

О    I—I    М    Tf    ^    1Л

сГ    о    о    о    о    о

30 000 56 000 78 200 91 200 96 000

b) Sichelträger.

Die Scherkräfte und Biegungsmomente der wagerechten Sichelträger berechnet man am einfachsten mit Hilfe der Einflußlinien, zeichnerisch. Sie aus den Formeln zu errechnen, ist allzu umständlich.

In Fig. 5, 6 und 8 sind bereits die Einflußlinien dargestellt. Der halbkreisförmige Gurt wurde dabei durch einen elliptischen ersetzt, dessen kleine Achse gleich der halben großen Achse angenommen wurde. Dies ist gleichbedeutend mit einer Änderung des Maßstabes (1 :2) der Ordinaten des Gurtes sowohl, als auch der Einflußlinien.

Auflagerdrucke. (Fig. 5.) P

л T/⁻max

tKa

A —

^max

Ka

24000^

I a = x±

2,5 m

Bmax = A

max

X 4,4”* = 42200 kg — 42200 „

Scherkräfte. (Fig. 8.)

j X Ordinate der Einflußlinie.

sb -p

umax

Feld

Ungünstigste Laststellung

Ordinate der Einflußlinie

Scherkraft max min

max

min

max

min

kgm

kg

kg

0-1

Xi

Xo

9600

1-2

Xi

Xo

9600

2—3

Xo

9600

3—4

Хо

9600

4-5

Xi

9600

+++++

^ СЛ in VO

СО CN Т-Г о

40

ON о о о о

165

Momente. (Fig. 6.)

P

= y b X Ordinate der Einflußlinie für a^> Ъ.

Punkt

Ungünstigste

Laststellung

bm

Ordinate der Einflußlinie

b X Ordinate

Moment

kg/m

m²

kgm

a = Хз

a — x i а —хъ

Хъ

а — Хъ

4,4

3,1

2,8

2,4

1,9

9600

VC    Ю    Ю    О    О

h    Vû    N    N    N    Q

T-H    ^    oC    CO    VO

16 900 44 600 89 000 126 600 146 000

Will man genauer rechnen, so bestimmt man mit Hilfe der Einflußlinien die ungünstigste Laststellung und setzt die Abszisse des Lastortes CL in die Gleichungen für S& und Mb [No. 95) und 96)].

Zusammenstellung der Auflagerkräfte, Scherkräfte und Momente.

a) Balkonträger (gebogener Träger).

9f

max A = max В = + 7550 + 24000 = + 31550 kg vertikal min A = min B = -j- 7550 -f-    0    =+ 7550 „

Feld

Scherkräfte

Scherkräfte

max

min

h CN СП ^

O h CN en ^

70 „

+ 7550 + 24 000 = + 31 550 kg + 6260 + 23 400 = -f 29 660 „ T- 4880 + 21 800 = -f 26 680 „ + 3310 + 19 100 = 4-22 410 „ -f 1690 + 15 750 = +17 440 „

4 7550 —    600 = 4 6 950 kg

4 6260 — 2 260 = 4- 4 000 „ 4 4880 — 4 950 = — 4-3310— 8 270 = — 4 960 „ 4 1690 — 12 000 = — 10 310 „

Punkt

My max

Mv min

O h CN en ^ lO

о —о = о

4 8    250 4 30 000    =    + 38 250    kgm

166

b) Sichelträger (wagerechte Träger), max A — max

В = -f 16100 + 42200 = -f 58300 kg wagerecht min A = min В = -(- 16100    0    =-(-16100 „

УУ

Feld

Scherkräfte

max

Scherkräfte

min

0—1

1—2

2—3

3-4

4-5

+ 16 100 + 42 200 = + 58 300kg + 13 400 + 31 700 = + 45 100 „ + 9 200 + 24 000 = + 33 200 „ + 6 100+ 15 400 —+ 21 500,, + 2 980 + 8 620 = + 11 600,,

Punkt

Mh max

Mh min

Obige Daten genügen, um die extremen Stabkräfte der Träger zu berechnen.

Die Gurtkräfte des gebogenen Trägers ergeben sich aus den Momenten für die jeweiligen Ritterschen Momentpunkte des betreffenden Stabes, dividiert durch die Trägerhöhe t = 2,5 m.

Die Diagonalkräfte ergeben sich, wenn man die Scherkräfte

s

des betreffenden Feldes mit ^ multipliziert, wobei 5 die wirkliche Stablänge einer Diagonale und t die Trägerhöhe 2,5 m bedeutet. Im behandelten Beispiel ist — — 1,41 = konstant.

Die Pfostenkräfte sind gleich den negativen Scherkräften der in der Richtung nach dem Auflager angrenzenden Felder.

Die wagerechten Sichelträger werden ebenfalls auf Grund der ausgerechneten Momente und Scherkräfte nach den Lehren vom ebenen Fachwerk ausgerechnet. Man beachte, daß beim oberen Sichelträger die positive Richtung nach innen beim unteren dagegen nach außen gekehrt ist.

167

Die so erhaltene algebraische dann gleich der Stabkraft, wenn die entsprechen-Sonst muß das Resultat

Die Stabkräfte der Gurtstäbe, die dem Balkenträger und den Sichelträgern gemeinsam sind, setzen sich zusammen aus den Stabkräften der einzelnen Träger. Im vorliegenden Beispiel sind diese Einzelstabkräfte entgegengesetzt bezeichnet und müssen die Werte voneinander subtrahiert werden.

Summe ist aber nur den Laststellungen die gleichen waren, noch berichtigt werden. Ebenso muß darauf gesehen werden, daß die Differenz der Stabkräfte tatsächlich ein Maximum ist. Mit Hilfe der Einflußlinien lassen sich diese Korrekturen, die nur für die gemeinsamen Stäbe nötig sind, leicht durchführen.

IV. Radreibungskraft bei beweglichen Brücken und ähnliche Beanspruchungen.

Zur ersten Abteilung I, 5 § 29 b.¹)

§ 61. Brücken, die zwei wagerechte Auflager in der ^-Richtung und nur eins in der J-Richtung haben, kommen für gewöhnlich nicht oder nur ganz ausnahmsweise vor. Somit hätten scheinbar die Ausführungen unter Punkt 5 a) b) und c) nur höchstens ein theoretisches Interesse. Trotzdem ist dieser Fall von großer Bedeutung bei fahrbaren Brücken, die ja immer häufiger Vorkommen.

Bei diesen Brücken werden die Laufräder der einen Brückenseite eng in der Konstruktion verlagert, während auf der anderen Seite die Laufräder einen Spielraum auf den Achsen oder zwischen

war.

*) Das Auftreten dieser Kraft, sowie die Notwendigkeit, die fahrbaren Brücken daraufhin zu untersuchen, hat wohl als erster Herr Oberingenieur R. P. Schröder erkannt und die ihm unterstellten Konstrukteure darauf hingewiesen. Dies war im Jahre 1905 in der Kranbauabteilung der Firma Steffens & Nölle A.-G., Berlin-Tempelhof, wo seinerzeit auch der Verfasser dieser Zeilen tätig Mit diesem Hinweis möchte ich gleichzeitig Herrn Oberingenieur Schröder meinen Dank für die Anregung aussprechen, welcher Anregung dieser Paragraph seine Entstehung verdankt.

Die Untersuchung der maschinellen Getriebe, sowie Arbeitsverluste infolge dieser Radreibungskraft (die im Bureau-Sprachgebrauch ^<-Kraft hieß) ist von Herrn Dipl.-Ing. Martin Pape durchgeführt und in „Dinglers Polytechnischem Journal“, Jahrgang 1910, veröffentlicht worden. Auch Herr Pape weist auf die von Herrn Schröder empfangene Anregung hin.

168

lotrechte, eventuell auch wagerechte Kräfte der

nur

denSpurkränzen haben, um Ungenauigkeiten der Fahrbahn, Temperatur ausdehnung usw. Rechnung zu tragen. Diese bewegliche Seite nennt man oft besonders bei hohen Bockbrücken die Pendelstütze. Sie überträgt

y-Richtung. Die wagerechten Kräfte der X-Richtung werden bloß an der geführten Seite, der festen Stütze, übertragen. Im Ruhezustände der Brücke hat das Bauwerk somit vier wagerechte Auflager, zwei in der ^-Richtung an den beiden Endrahmen und zwei in der %-Richtung an den beiden Rädern der festen Stütze. Beim Verfahren der Brücke, also wenn die Bremsen gelüftet sind, ändert sich das Bild. Durch die unvermeidlichen Differenzen in den Laufraddurchmessern eilt die eine Brückenseite etwas vor. Dies geht so lange spannungslos vor sich, bis das Spiel zwischen Schiene und den Spurkränzen bzw. zwischen Rad und Konstruktion erschöpft ist. Das Voreilen der einen Brückenseite verursacht von da ab eine Verbiegung der Brücke, die sich, wie ein an der Feststütze eingespannter Frei-Balken verhält. Jedem Grade des Voreilens der einen Seite entspricht ein Spannungszustand, der so dargestellt werden kann, daß an den Laufrädern der Pendelstütze eine Kraft W in den ^-Richtung wirkend gedacht wird. Der maximale Wert von W ist fi • Rn, wobei den Koeffizienten der gleitenden Reibung und Rn den Raddruck des an der Pendelstütze befindlichen angetriebenen Rades bedeutet. Hat W diesen Wert erreicht, dann tritt, statt eines weiteren Voreilens, ein Schleudern des angetriebenen Rades ein, wodurch die Brücke teilweise wieder entspannt wird.

Die Kraft W wollen wir die Radreibungskraft des Rades nennen.

Ist „S“ das Gesamtspiel zwischen Schiene und Spurkranz, q der

— der Ungenauigkeitsgrad der Laufrad

Radius der Laufräder, J =

durchmesser, so beträgt die Fahrlänge der Brücke, auf der keine Spannungen infolge des Voreilens der einen Brückenseite stattfinden: l s

г A * bedeutet.

wobei l die Spannweite der Brücke und r den Radstand

Beträgt die elastische Durchbiegung der Brücke infolge einer Kraft 1, die an den Laufrädern der Pendelstütze angreift, gemessen an der Pendelstütze selbst: (5', so entspricht der Fahrlänge Lx der Brücke eine Reibungskraft

d'

97)

169

Zwischen den Werten der Fahrlänge

ls

L' = —: bis L"=

Is

r /1

wächst die Reibungskraft von 0 bis W= f.i Rn. Über Lx = L" hinaus, bleibt der Wert W angenähert, mit kleinen Abschwächungen und Wiederanschwellungen, konstant.

Dieselbe Beanspruchung der Brücke entsteht, wenn das Räderpaar an der Pendelstütze überhaupt nicht angetrieben wird. W ist dann gleich dem Fahrwiderstande, den die Pendelstütze beim Verfahren erleidet.

Es gibt noch viele Fälle, in denen sich eine fahrbare Brücke so verhält, als wären zwei wagerechte Auflager der X-Richtung und nur eines der ^-Richtung vorhanden.

Der Belastungsfall durch W ist ein Spezialfall des in Punkt 5 b behandelten.

Es ist dabei:

ha = hb = hi; ta = tb = tt = 4 = tr, 2 ti-\-t=rry 4 = tL = Ui

t -f- 4 ~j- 4 —— , w = ß»

Die Auflagerdrücke, die die Brücke erfährt, wenn eine Kraft W angreift, sind:

Rt= — W, Ra = — Rb = — W

t -\~ t atb

Ri =— W— [hlrll + hU+2awt*] = — R

Irl

■2 >

lrt rr

[hrlrl-\-hit¹-\-2aw f²]

-я*.

6. Radreibungskraft W (zur ersten Abteilung II, 5).

§ 62. Der Einfluß der Kraft W und ähnlicher Kräfte ist genau so zu untersuchen, wie im Absatz 5 des Abschnittes II der ersten Abteilung beschrieben. Er ist ja bloß ein Spezialfall des dort behandelten.

]) Diese Formeln erhielt ich auf Grund einer rein geometrischen Betrachtung, deren Wiedergabe unnötig erscheint.

170

H=W; cp = 90°; ta = tb = tx = t.₂ = th 4 = tL = try

ha = hb = hu a = ß.

Es ist ferner:

V=o,

Spx = о, Spy = W, Mh=W l.

W\2 a

M₀ = —W

Die Auflagerdrücke sind:

Ra = —W

ta + tb'

Нг

R>=-wtb~w

R>=+Wïlk

witß R» = + w

-Włt,(h, + lт⁵)

+ wàr+wà(K+4r)

2 fl

Ri=-W;

= — R-2J

= -Rt.

V. Bemerkung über die Belastungskräfte von Brücken.

§ 63. Von der Herkunft der einzelnen Kräfte (Eigenlast, Verkehrslasten, Wind, Brems-Fahrwiderstände, Fliehkräfte usw.) und von ihrer Größe soll hier weiter nicht die Rede sein, um so mehr, als es nicht in den Rahmen dieses Aufsatzes gehört. Es sei bloß eine Bemerkung gestattet, die sich auf die Richtung von Kräften bezieht, wenn diese Richtung nicht von vorneherein festliegt.

Ein Bauwerk habe die Windfläche Fy für einen Wind der parallel zur y-Achse weht, und die Windfläche Fx, wenn der Wind zur X-Achse parallel ist. Schließt die Windrichtung den Winkel a mit der X-Achse ein, dann wird gewöhnlich angenommen, daß die Wirkung des Windes beträgt:

parallel zur X-Achse : X = W • Fx- cos a,

„    „ y-Achse: Y = w • Fy • sin a,

wenn w die Windstärke in Krafteinheit pro Flächeneinheit bedeutet.

Die Stabkraft eines Stabes ist eine Funktion von X und Y. Es sei S = X • § -j- Y • i] oder S = W (Fx • £ cos a -f- Fy • rj • sin a).

171

Es liegt nun die Frage nahe, welche Windrichtung a₀ für die Stabkraft ein Extrem ergibt, und wie groß dieser extreme Wert von S ist.

d S

Fæ-B

= ° = — Fx'§ sin a₀-\- Fy-rj cos a₀; tg a₀

Fx

/г,

ferner ist cos a₀ = + -,.........;

sin ct₀ = +

Fy • V

Es ist weiter

98) Smax =

F ² £²

¹ X Ь

F ² n²

¹ у Ч

LVFJP+FStf ' VF'p+F,

vw\

= w'/F*² §²+Fy² ïj².

Aus Obigem ergibt sich, daß man im allgemeinen für die Stäbe eine schräge, unter a₀ geneigte Windrichtung nehmen muß.

Für die Diagonalen der Hauptträger ist 4 — °, somit ao = 0, für die Diagonalen der horizontalen Verspannung ist £ = o, somit a₀ — 90°. Das letztere jedoch nur bei symmetrischen Brücken und symmetrischer Belastung, eine normale Brückenbauart angenommen.

Trägt man den Wert S in Richtung des Windes von einem Pol auf, so erhält man eine Einflußlinie der Stabkraft S in Polarkoordinaten. Diese Einflußlinie ist gewöhnlich eine Ellipse. Die große Achse der Ellipse zeigt die Richtung a0y die kleine 90° -f- cr₀.

Ähnliche Ergebnisse erhält man, wenn man die Werte einer Stabkraft oder eines Auflagerdruckes für eine wechselnde Stellung des Auslegers eines Drehkranes sucht, oder wenn man die Stabkraft einer sich um die Längsachse drehenden Trommel eines Kreiselwippers ausrechnen würde. (Vgl. Aufsatz des Schreibers dieser Zeilen in der Zeitschrift des Österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereines, Jahrgang 1911, Heft 28, 29.)

VI. Beispiel zur dritten Abteilung.

(Fi?. 54.)

§ 64. Die genaue Berechnung einer Brücke nach Fig. 54 möge zu dem Zwecke durchgeführt werden, um den Gang einer solchen Berechnungsart zu zeigen.

172

Die Brücke habe: die Spannweite / = 48m, die Feldweite b = 4 m, 4 m, die Brückenbreite t — 3,0 m.

Im Punkte 4, 6 und 4' bei den Abszissen X = 16 m, 24 m und

die Brückenhöhe h

6' J' z'

У'

o‘

<n

32    m habe die Brücke drei steife Querrahmen, ebenso natürlich in den Auflagerquerschnitten. Der mittlere Steifrahmen bei 6 (x = 24 m) besitzt einen Ausleger, dessen Spitze um 1,5 m über die rechte Tragwand hinausragt. An der Spitze greift eine lotrechte Last von 12ł befinden sich an

Punkten der Endrahmen. Die Fachwerke sind Strebenfachwerke.

Die Querschnittsflächen betragen: im Obergurt 40 cm²; im Untergurt

33    cm²; in den Diagonalen der Hauptträger 30 cm²; in den Diagonalen der oberen Verspannung 25 cm²; desgleichen unten 20 cm². Die Querrahmenstäbe in den Zwischenrahmen haben 20 cm²; desgleichen in den Endrahmen 40 cm².

Zwecks Berechnung fügen wir in den Obergurtpunkten des belasteten Querrahmens je zwei gleiche, aber entgegengesetzt

si'

'4

,У

)i_

So 4*

ru** 6.

an. Die Lager den vier unteren

'ч

3,o

уяегг.

€, и 0(

Fig. 54.

173

gerichtete Lasten von 6 t und trennen nun die Aufgabe in zwei Teile.

Erster Teil (Fig. 55). Berechnung der Brückenspannkräfte, wenn die Brücken durch je zwei Lasten à 6 t in den Ober-

0

gurtpunkten des belasteten Rahmens beansprucht werden. Als statisch unbestimmte Größen wählen wir die Stabkräfte Xt und der Diagonalen des mittleren bzw. der seitlichen Querrahmen. Die Aufgabe ist nämlich, wegen vollständiger Symmetrie in bezug auf die mittlere Querschnittsebene der Brücke, trotz der drei

steifen Rahmen bloß zweifach statisch unbestimmt.

S'

i_łЛ

(*)

je-о у* о

егмх Д/п es? séet £

Fig. 55.

Die Stabkräfte im statisch bestimmten Grundfall X° = o, Y°= о

seien S₀.

Das Belastungsbild bei X'=—1 und Y'= — 1 zeigt Fig. 56. Die dabei entstehenden Stabkräfte sind:

S' und S".

0,6

i-

Die Stab kraft S

beträgt:

S = S₀ — X, S'

— Y, S".

о, S

Об

xi

O.t

//

Wendet man den Satz der virtuellen Geschwindigkeit auf den Belastungszustand X' — — 1 und Y' = — 1 und auf

Fig. 5j6.

hält man die zwei Gleichungen:

den wirklichen Verschiebungszustand an, so er

iS'Js = О und l'S”Js =

•:,л

174

aus denen sich, nach Einsetzung-des Wertes für 5: S — S₀ — XlS'—YjS", die Werte Xx und Yx sich ergeben:

z s₀ s'4 - is—iS'    - i s₀ s" 4

z S'²— • iS"²—_

(I’S'S"!)

r,

is₀ s"4- 2’S,24—i’S' 5" 4 • £ s₀ *s' 4

2 S'²—• iS"²—__

S₀, S’, S", S₀ S', S₀S", S'2, S’"‘, S’S",-TI, dann lSaS'j, ZS₀S"~, ZS'ij, SS"²- und SS'S"j

In der Tabelle sind die Werte von

für die einzelnen Stäbe, bzw. Stabarten, der Reihenfolge nach geordnet und dann die einzelnen Summen ermittelt.

Es ergibt sich für:

2’SoS' j iSoS" 4

146 (-170) 192 (—240) zS'²^ = -f 4408    (4361)

IS"²j = -j-12930 (12816) I S'S" ?, = -{- 7328 ( 7309)

Die eingeklammerten Zahlen sind die entsprechenden Werte, wenn man die Querrahmen als steif betrachten würde.

Хл =

— 146-12930-1-7328-192 4408-12930 —7328²

= — 0,1458* (—0,1260*)

= 0,0678'.

— 4408 • 192 +146 • 7328

3296000

Zerlegt man die Werte Xx und Yx in die vertikalen und horizontalen Komponenten, so erhält man

Fi⁷=0,0542' Yi =0,0406'.

хГ=—0,1166

xî = — 0,0873

Der zweite Teil der Aufgabe lautet: Am belasteten Querrahmen wirken: an der Auslegerspitze eine lotrechte Kraft von 12' nach

175

unten, an den zwei Obergurten je zwei Lasten von 6* nach oben. Alle Lasten ergeben zusammen ein Torsionsmoment von 12 • (1,5 -j- -2-3,0) = 36 tm. Als statisch bestimmten Grundfall wollen wir annehmen: X = o, Y=o. Es verteilt sich in diesem Falle das Moment in zwei Teilmomente à 18 tm, von denen das eine mit ~T 6,0* die vertikalen, das andere mit + 4,5* die horizontalen Längswände belastet. Das Belastungsbild zeigt Fig. 57. Die sich bei dem statisch bestimmten Grundfall ergebenden Stabkräfte seien ©₀.

In der Tabelle wurden außer den schon erwähnten Größen ferner noch ausgerechnet: die Kräfte ©₀, hiernach die Werte ©₀S',

/•

©₀S", 2©₀S'4, 2’©₀S"4

6t

6t

6,0*

6,0

6.0*

¥.S*-

~r

W.s*

bi*

sSet 6.

Fig. 57.

Es betragen 2’©₀S'j = —78; 2©₀S'' j = — 92. Nun kann man X₂ und Y₂ aus folgenden (analogen) Formeln ausrechnen.

CO

СГ)

со

СЧ

CO

CO

⁴-bl o.

CO

ZS’²?-2S"² i —

to

ze₀s”j • zs'*j—zs's"j • z(B₀s’j

CO

IO

со

'-bl'«*

(rs's"^)²

176

Es ergeben sich:

X₂ = — 0,101*

>    -°’081i; У₂ = +0,0505 iy{= 0’0404<.

Xh₂ = —0,06V    \ Y2 = 0,0302*

Faßt man nun die Werte Xx -j- X₂ und Yx -)- У₂ zusammen, so,

erhält man:

X = - 0,1458 - 0,1010 = - 0,247< { £ ₌

Y = + 0,068 + 0,050 = + 0,118'{    + о^ОЛ'

ßwj

km\

ЪомМ /f/\

ïsKwm*

Querrahmen bei 6.

t 1 Querrahmen bei 6.    2 Querrahmen bei 4 und 4'.

Fig. 58.

Die Fig. 58 zeigen die wirklichen Belastungsbilder, wobei die eingeringelten Zahlen die Werte bedeuten, die bei der scharfen Berechnungsart hinzukommen, verglichen mit der Berechnungsart nach der Annäherungsmethode.

Die vorletzte Rubrik der Tabelle zeigt die Werte einiger wichtigster Brückenstabkräfte, die sich bei der Annäherungsmethode ergeben 5= ^5₀-j-©₀. Die letzte Rubrik zeigt die Stabkräfte derselben Stäbe nach der genauen Berechnungsart:

S = S₀ + ©₀ — XS* — YS".

Bemerkt sei noch, daß die zwei statisch bestimmten Grundfälle der beiden Teile der Aufgaben die angenähert richtigen Belastungsfälle der Brücke ergeben. Die Ausrechnung der Werte X und Y hatte hier somit die Bedeutung einer Korrekturrechnung zur Ergänzung der Berechnungsart nach der Annäherungsmethode.

177

Die Differenzen der beiden Rechnungsarten betragen bei den

Stabkräften

der Diagonalen im vorderen Hauptträger: „    „    der    Verspannungen:

o,o%

o,o°/₀

l,6°/o

1,9%

2,5 °/o

2,3г.¹)

(Tabelle siehe nächste Seite.)

²⁶) Zu den Ergebnissen des Rechnungsbeispieles sei bemerkt, daß die Ungenauigkeit der Annäherungsmethode größer ist im ersten Teile der Aufgabe als im zweiten. Dieses Ergebnis ist einigermaßen überraschend, da man nicht erwarten durfte, daß bei einer symmetrisch belasteten Brücke die beiden Hauptträger ungleichmäßig beansprucht werden, und daß dabei die Horizontalverspannungen in Mitleidenschaft gezogen werden.

Es rührt dies daher, daß die Brücke nicht ganz symmetrisch ist.

Die Abweichungen der scharfen Berechnung von der Näherungsmethode sind nicht groß und jedenfalls zulässig. Um hier, sowie bei anderen Brücken, einem Fehler infolge der angenäherten Berechnung vorzubeugen, wird es sich dennoch empfehlen, die Last um ca. 5°/o höher oder die zulässige Beanspruchung des Materials 5°/o niedriger in Rechnung zu setzen.

Stabart

Stab

о? -

S'

S"

End-

rahmen

—    3,00

—    3,00

+ 0,50 -0,40

+0,40-0,40

+ 1,00

- 0,80

Quer-rahmen bei 4

— 1,00

+ 0,80

Querrahmen bei 6

— 1,00

+ 0,80

Dia

gonalen

vorn

0-4

4-6

+ 4,25 + 4,25

-    0,57

-    0,57

+ 1,13

Dia

gonalen

hinten

0-4

4-6

+ 4,25 + 4,25

+ 0,57 + 0,57

— 1,13

Dia

gonale

oben

0-4

4-6

+ 0,50 + 0,50

+ 1,00

Dia

gonale

unten

0—4

4-6

—    0,50

-    0,50

- 1,00

— 3,00

— 3,00

Ober-

gurt

vorn

(rechts)

23

34

— 9,00

— 9,00

(2)

45

— 15,00

56

- 15,00

+ 0,40+0,40 = + 0,80 + 0,40 + 0,40 = +0,80 + 1,20+1,20 = + 2,40 + 1,20+1,20 = + 2,40 + 2,00 + 2,00 = + 4,00 + 2,00+2,00 = + 4,00

+ 0,80 + 0,80 = +1,60 + 0,80 + 0,80 = +1,60 + 2,40+2,40 = + 4,80 + 2,40 + 2,40 = + 4,80 + 3,20 + 3,20 = + 6,40 + 3,20 + 3,20 = + 6,40

0-1

— 3,00

1-2

- 3,00

Ober

gurt

hinten

(links)

2-3

3-4

4-5

5-6

— 9,00

- 9,00

— 15,00

- 15,00

—    0,40 - 0,00 = — 0,40

-0,40 — 0,80

= - 1,20

-    1,20-0,80

= — 2,00

— 1,20-1,60 = -2,80

-2,00-1,60 = - 3,60

— 2,00 — 2,40 = -4,40

- 0,80 - 0 = -0,80

-0,80—1,60 = -2,40

—    2,40 - 1,60 = —4,00

—    2,40 — 3,20 = - 5,60

-3,20-3,20 = -6,40

—    3,20 — 3,20 = -6,40

178

179

Berechnungs-

Tabelle.

S₀.S'

S₀.S"

CQ* +

S"2

S'. S"

s₇.n ES₀S\ 1/cm t/cm

05

Is-

2S₀S". * t/cm

oo [4^

ES'².    ES"².

1/cm 1/cm

ES'S".

1/cm

- о®

®₀S'

@„s"

E<3₀S'

t/cm

E®₀S"

t/cm

£ — XS f — YS"

S₀ + è о

s=s₀+<3 ₀-

— XS' — YS"

+ 1,20

0    0,25    1,00

+ 2,40    0,16 0,64

0 0

0 1,00

0    0,64

-    2,40 — 4,80 0,3

-    2,40    0    0,32

+ 2,40 ; + 4,80 0,32 + 2,40 !    0    0,32

- 2,40

— 4,80

0,50

0,32

0,64

0,64

25

20

20

50

40

21,3

7,5

15

25

20

151

75,5

24

48

9,5

37,8

37,8    18,9

+ 3,75 + 3,00

— 3,00 - 3,00

“ — 6,00

+ 1,87.

— 1,20

+ 3,75 — 2,40

22,9

45,8

JO

+ 12,8

4,5

4,5

- 542    - 725

72,5    193,2

96,7

+ 4,25 + 4,25

— 2,40 -2,40

— 4,80

— 542

-725

— 0,008

+8,500

+ 8,492

542    + 725

72,5    193,2

—    4,25

-    4,25

— 2,40

— 4,80

-2,40

— 542

— 725

0,25

0,25

0,25

0,25

0,64

2,56

0,50

0,50

1,28

60

160

+ 3,75 + 3,75

+ 1,87, + 1,87,

+ 3,75

+ 450

+ 600

+ 0,005

+3,750

+ 3,755

200

100

75

200

—    3,75

—    3,75

+ 1,87, + 1,87,

+ 3,75

+ 562

+ 750

20

— 3,0 + 3,0 = 0

— 2,40

— 4,80

0,64

2,56

1,28

20

— 3,0 + 3,0 = 0

-21,60

-43,20

5,76

23,04

11,52

20    - 3360

898

1536

-9,0+9,0 = 0

-21,60

- 60,00

- 60,00

+ 1,20

+ 3,60

+ 18,00

+ 25,20

+ 54,00

+ 66,00

- 43,20

— 96,00

— 96,00

+ 2,40

+ 7,20

+ 36,00

+ 50,40

+ 96,00

+ 93,00

5,76

16,00

16,00

0,16

1,44

4,00

7,84

12,96

19,35

23,04

40,96

40,96

0,64

5,76

16,00

31,36

40,96

40,96

11,52

25,60

25,60

0,32

2,88

8,00

15,68

23,04

28,16

20

20

20

20

20

20

20

20

20

— 5760

2662,4

- 9,0 + 9,0 = 0

— 15,0 + 15,0

— 15,0 + 15,0

+0,235

—15,000    —14,765

3360

5760

915,2

1561,6

2713,6

+ 3,00 - 0 = + 3,00 + 3,00 — 6,00 = — 3,00 + 9,00 -6,CO = + 3,00 + 9,00—12,00 = — 3,00 + 15,00—12,00 = + 3,00 + 15,00-18,00 = — 3,00

- 1,20

+ 3,60

- 6,00

+ 8,40

- 10,80

+13,20

— 2,40

+ 7,20

- 12,00

+16,80

-19,20

+19,20

192

+ 144

-0,330

— 18,000    - 18,330

Stabart

Stab

S"

So-&    S₀.S"

S '²    S"г S'. S"

IS₀S\

t/cm

IS,, S" t/cm

IS"².

IS"².

IS'S"

@0«'

1/cm 1/cm

1/cm

<S₀S" I So sy IB₀S" t/cm t/cm

CO

-XS'-

-YS

« So + ©o

S=S₀+®₀--XS' — YS"

— 0 — 0=0

Unter

gurt

vorn

(rechts)

(3)

0—1 4- 0,00 —0—0=0

1- 2 4- 6,00 - 0,80 — 0,80 -1,60- 1,60 — 9,60 - 19,20

=—3,20

2- 3 4- 6,00 -0,80-0,80 - 1,60-1,60 — 9,60 — 19,20

= -1,60

3- 4 4-12,00 —1,60—1,60 -3,20-3,20 —38,40 — 76,80

= — 3,20

4 -5 4-12,00 -1,60— 1,60 - 3,20 - 3,20 — 38,40 - 76,80 = -6,40

5-6 4-18,00 —2,40 — 2,40 -3,20-3,20 -86,40 - 115,20 = - 6,40

= -1,60

= - 3,20

= - 6,40

= — 3,20

= -4,80

+ 0+0,80

= 40,80

,•

ООО 2,56 10,24 5,12

2,56 10,24 5,12

10,24 40,96 20,48

10,24 40,96 20,48

23,04 40,96 30,72

Th

CM

Th

CM

ro

4^

Th

CM

o_o = o

4-6,00 — 6,00

— 4380

— 7380

1170

1965

4-6,00—6,00

3442

4-12,00—12,00

4-12,00 - 12,00

4-18,00 — 18,00

—0,430 4-18,000    4-17,570

Unter

gurt

hinten

(links)

(4)

0-1 4- 0,00 4-04-0,40

= 4-0,40

1-2 4- 6,00 4-0,804-0,40 4-1,604-0,80 4- 7,20 4- 14,40 = 4-2,40

2 -3 4- 6,00 4-0,80 4-1,20 4-1,60 4-2,40 4-12,00 4- 24,00 =4-2,00

3-    4 4-12,00 4-1,60-1-1,20 4-3,204-2,40 4-33,60 4- 67,20

= + 2,80

4- 5 +12,00 +1,60+2,00 +3,20+3,20 +43,20 + 76,80

=+3,60

5- 6 +18,00 +2,40 + 2,00 +3,20+3,20 +79,20 +115,20 =+6,40

0,16 0,64 0,32    24

= +1,20

= + 4,40

= + 4,00

= + 5,60

= + 6,40

1,44 5,76 2,88    24

4,00 16,00 8,CO 24

7,84 31,36 15,68    24

12,96 40,96 23,04    24

19,36 40,96 28,16    24

4210

7140

1100

1873

3252

— o 4- 3,00 - 4- 3,00

-6,00 4-3,00    - 3,C0 — 7,20

= — 3,00

-6,00 4-9,00    4- 6,00 4-12,00

= 4- 3,00

—    12,004-9,00

= — 3,00

—    12,00 4- 15,00 4- 10,80 4- 19,20

= 4- 3,00

—    18,00 4- 15,00 — 13,20 — 19,20 = — 3,00

4- 1,20 + 2,40

8,40 - 16,80 —172,8

-230,4

4-0,330 4-15,000

4-15,330

Summe 1

— 146 —192 (- 170) (-240)

4408    12930

(4361)    (12 816)

7328

(7309)

— 78    — 92

(-101)    (-13Ś)

ll

G.m.

Й.И.

Frankfurt a. Main

Pneumatische Transport - Anlagen für Getreide, Gerste, Malz, Grünmalz, Salze, Soda, Sulphate, Abbrände usw.; für Kohle, Asche direkt von Kessel- und Ofenanlagen — kurz

für alle Materialien, auch glühend heiße.

Größte Erfahrung / Langjährig bewährt Erstklassige Referenzen

li

Ingenieure auf Wunsch zur Verfügung

DIE FÖRDERTECHNIK

Zeitschrift für den Bau und Betrieb der Hebezeugs und Transportanlagen, Pumpen und Gebläse.

Herausgegeben von unter Mitwirkung von

MAX WILLE, Geh. Regierungsrat

C. MICHENFELDER, Dipl.-Ing.

A. Ziemsen Verlag, Wittenberg (Bz. Halle).

TECHNIK behandelt das gesamte Gebiet der Be--, flüssiger und gasförmiger Körper mit Ausnahme der Bewegung auf Eisenbahnen und Schiffen. Sie bespricht in Original-artikeln von Fachautoritäten die Hebezeuge und Transportanlagen, insbesondere auch die der Bergwerke, Hütten, Werften usw., die Pumpen und Gebläse. Zusammenhängende Gebiete, wie die der Bagger, Grabmaschinen, Förderwagen, Förderlokomotiven, Gießwagen, Ascheejektoren, Munitionsaufzüge, Silos, Pressen, Wägevorrichtungen usw., werden gleichfalls behandelt.

Erscheint bis 1913 noch monatlich, ab 1914 am 1. und 15. jeden Monats.

Abonnementspreis vierteljährlich nur M.4.—.

Herrosé & Ziemsen, G. m. b. H., Wittenberg.

|s. 61/

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297228