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BIBLIOTEKA GtÖWNA

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ARITHMETIK MV ALGE

FÜR DIE

OBEBEN KLASSEN BEB GYMNASIEN

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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In demselben Verlage ist erschienen :

Resultate zur Aufgabensammlung

in MoMks Lehrbuch der Arithmetik und Algebra

für die oberen Klassen der Gymnasien von

ANTON NEUMANN,

k. k. Schulrat, Professor am Akademischen Gymnasium in Wien.

Preis: steif geheftet 1 ST 20 h.

WIEN. VERLAG VON F. TEMPSKY. 1906.

Dieses Heft ist für den Schüler bestimmt. Die Kenntnis des Resultates soll ihm Beruhigung über die Richtigkeit seiner Lösung gewähren, aber nicht die eigene Lenkbarkeit abnehmen. Deshalb wurde bei einer größeren Zahl von Aufgaben kein Resultat mitgeteilt und überhaupt keine Anleitung zur Lösung gegeben. In vielen Fällen wird ohnehin das Resultat, besonders wenn eine allgemeine Lösung vorliegt, dem Schüler einen Fingerzeig in bezug auf die Behandlung der Aufgabe bieten. Auch enthält die Sammlung durchschnittlich nur Aufgaben von mäßiger Schwierigkeit. Die wenigen Aufgaben aber, die hiervon eine Ausnahme machen, bleiben besser der gemeinsamen Behandlung in den Unterrichtsstunden vorbehalten.

Anton Neumann.

Wien, im September 1905.

.

T:

Mocniks Lehrbuch der

Arithmetik »«- Algebra

nebst einer

Aufgaben-Sammlung für die

oberen Klaffen der Gymnasien bearbeitet von

Anton Reumann,

k. k. Schulrat, Professor am Akademischen Gymnasium in Wien.

Dreißigste, durchgesehene Auflage.

Im wesentlichen unveränderter Abdruck der mit k. k. Ministerialerlaß vom 2. August 1905, Z. 29.167, allgemein zulässig erklärten 29. Auflage.

Preis: geheftet 3 K 20 h, gebunden 3 JT 70 h.

Wien.

Verlag von F. Tempsky.

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechtes, von der Verlagsbuchhandlung vorbehalten.

BIBLIÖTEKÄ P8LIIEÜHNIGZU

KRAKÖW

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Akc. Nr.

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Erster Abschnitt.

Addition und Subtraktion.

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I.    Addition mit absoluten ganzen Zahlen...........

II.    Subtraktion mit absoluten ganzen Zahleil ...    ......

III.    Erste Erweiterung des Zahlengebietes...........

1.    Null und negative Zahlen..............

2.    Addition und Subtraktion mit algebraischen ganzen Zahlen

Zweiter Abschnitt.

Multiplikation und Division.

I.    Multiplikation mit ganzen Zahlen....................

II.    Division mit ganzen Zahlen.......................

III.    Zahlensysteme......................... . . . .

IV.    Teilbarkeit der Zahlen.........................

V. Zweite Erweiterung des Zahlengebietes..................

Gebrochene Zahlen.........................

VI.    Unendlich große und unendlich kleine Größen und Grenzwerte der Veränder

lichen ............................

VII.    Verhältnisse und Proportioneil.....................

1.    Verhältnisse...........................

2.    Proportionen..........................

3.    Anwendung der Proportionen...................

VIII.    Dezimalbrüche............................

Dritter Abschnitt.

Gleichungen des ersten Grades.....

I.    Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten......

II.    Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Unbekannten

III.    Anwendung der Gleichungen des ersten Grades........

Vierter Abschnitt.

Potenzieren, Radizieren und Logarithmiere».

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I.    Von den Potenzen.............

II.    Von den Wurzeln.............

Dritte Erweiterung des Zahlengebietes. . . Vierte Erweiterung des Zahlengebietes . . Ausziehen der Quadrat- und der Kubikwurzel

III. Logarithmen.............

1.    Von den Logarithmen überhaupt .

2.    Von den Briggs'schen Logarithmen

Seite . 105

105

109

Fünfter Abschnitt.

Gleichungen des zweiten Grades.

I. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten.............

II.    Algebraische Gleichungen höheren Grades und Exponentialgleichungen mit einer

Unbekannten, welche sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen . . 121

III.    Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten

116

126

Sechster Abschnitt.

Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades

Siebenter Abschnitt.

Progressionen.

130

I. Arithmetische Progressionen . . II. Geometrische Progressionen . . III. Zinseszins- und Rentenrechnung

136

138

141

Achter Abschnitt.

Kombinationslehre.

I. Permutationen, Kombinationen und Variationen .

1.    Permutieren..............

2.    Kombinieren..............

3.    Variieren...............

II. Binomischer Zehrsatz.............

146

. 147

149

151

. 153

Anhang.

I.    Größte und kleinste Werte einer Funktion des zweiten Grades

II.    Geometrische Darstellung der imaginären und der komplexen Zahlen .... 158

1.    Geometrische Darstellung der imaginären Zahlen

2.    Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen

156

158

159

Aufgaben-Sammlung.

§. 1. Anwendung der Klammern.............

Addition und Subtraktion.

§. 2. Addition mit absoluten ganzen Zahlen.........

§. 3. Subtraktion mit absoluten ganzen Zahlen.......

§. 4. Addition und Subtraktion mit algebraischen ganzen Zahlen Multiplikation und Division.

§. 5. Multiplikation mit absoluten ganzen Zahlen......

§. 6. Multiplikation algebraischer Zahlen..........

§. 7. Division mit absoluten ganzen Zahlen.........

. 159

161

162

165

166

171

Seite

§. 8. Division algebraischer Zahlen...................

§. 9. Zahlensysteme..........................

§. 10. Teilbarkeit der Zahlen......................

§. 11. Gemeine Brüche.........................

§. 12. Verhältnisse und Proportionen mit Anwendungen..........

§. 13. Dezimalbrüche .........................

Gleichungen des ersten Grades.

§. 14. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten........

§. 15. Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten.......

§. 16. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten . §. 17. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren.

§. 18. Potenzen ...........................

§. 19. Wurzeln............................

§. 20. Umformung von irrationalen Wurzelausdrücken...........

§. 21. Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten.........

§. 22. Imaginäre und komplexe Zahlen.................

§. 23. Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzel..............

§. 24. Logarithmen..........................

Gleichungen des zweiten Grades.

§. 25. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten...........

§. 26. Anwendung der quadratischen Gleichungen mit einer Unbekannten. . . . §. 27. Höhere Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen . . . .

§♦ 28. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten.........

§. 29. Anwendung der quadratischen Gleichungen mit mehreren Unbekannten . . Unbestimmte Gleichungen.

§. 30. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades.............

Progressionen.

§. 31. Arithmetische Progressionen....................

§. 32. Geometrische Progressionen....................

§. 33. Zinseszins- und Rentenrechnung..................

Kombinationslehre.

§. 34. Permutationen, Kombinationen und Variationen...........

§. 35. Potenzen von Binomen.....................

Anhang.

§. 36. Größte und kleinste Werte einer Funktion des zweiten Grades. . < . .

176

177

177

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303

307

Einleitung.

§. 1. Durch die Wahrnehmung mehrerer Dinge, welche als gleichartig angesehen werden, entsteht der Begriff der Menge. Jedes einzelne Ding einer Menge wird eine Einheit genannt.

Zwei Mengen sind gleich, wenn jeder Einheit der einen Menge eine Einheit der anderen zugeordnet werden kann. Indem man jeder Einheit einer gegebenen Menge einen Finger, ein Stäbchen oder schriftlich einen Punkt, einen Strich zuordnete, entstanden die natürlichen Zahlbilder. Diese wurden später durch viel kürzere Zeichen ersetzt. Jedes Zahlzeichen erhielt einen Namen, das Zahlwort. Name und Zeichen bestimmen die Zahl.

Die Wissenschaft von den Zahlen und ihren Verbindungen heißt Arithmetik.

§. 2. Mengen von der Beschaffenheit, daß die erste aus einem einzelnen Dinge besteht, jede folgende aber eine Einheit (ein Ding) mehr enthält als die vorangehende, entsprechen der Reihe nach die Zahlen: Eins, Zwei, Drei,.... Diese Zahlen bilden die natürliche Zahlenreihe. Dieselbe beginnt mit 1 und kann ohne Ende fortgesetzt werden.

Man kann die natürliche Zahlenreihe bildlich darstellen, indem man auf einer geraden Linie von einem Punkte aus nach einer bestimmten Richtung gleiche Strecken aufträgt; die Endpunkte dieser Strecken entsprechen den aufeinanderfolgenden Zahlen.

Eine solche Linie soll Zahlenlinie heißen.

§. 3. Um eine gegebene Menge zu zählen, ordnet man die Einheiten derselben den aufeinanderfolgenden Zahlen der natürlichen Zahlenreihe zu. Die der letzten Einheit zugeordnete Zahl ist die gesuchte Zahl der Menge.

Die Reihenfolge des Zählens ist für das Ergebnis gleichgültig.

Lcivris. Um z. B. mehrere Münzen zu zählen, ordnen wir sie in gerader Linie und bezeichnen ihre Plätze der Reihe nach mit den Zahlen 1, 2, 3 u. f. w. Die Zahl, welche auf dem letzten Platze steht, gibt die Anzahl der Münzen. Vertauschen wir nun zwei beliebige Münzen miteinander, hierauf wieder zwei und sofort, so ist bei jeder dieser verschiedenen Reihenfolgen stets jeder Platz mit einer Münze besetzt und mithin ist die Anzahl derselben stets durch jene Zahl gegeben, mit welcher der Platz der letzten Münze bezeichnet ist.

Wird beim Zählen die Art der Einheit ganz unberücksichtigt gelassen, so heißen die dadurch gebildeten Zahlen unbenannte Zahlen; wird aber beim Zählen auch die Art der Einheit ausgedrückt, so entstehen benannte Zahlen.

§. 4. Zu gleichen Mengen gehört dieselbe Zahl (§. 1). Zwei Zahlen sind daher gleich, wenn jeder Einheit der einen Zahl eine Einheit der anderen Zahl zugeordnet werden kann.

Die Gleichsetzung zweier gleicher Zahlen oder Zahlenverbindungen heißt eine Gleichung. Man schreibt a = b und nennt die verglichenen Großen Seiten der Gleichung. Aus a = b folgt: b = a.

Die Seiten einer Gleichung darf man vertauschen.

Zwei Zahlen sind ungleich, wenn nicht jeder Einheit der einen Zahl eine Einheit der anderen zugeordnet werden kann; und zwar ist jene Zahl die größere, von welcher nach der Zuordnung noch eine oder mehrere Einheiten übrig bleiben, die andere hingegen die kleinere. Daß a größer als b, somit b kleiner als a ist, drückt man durch die Ungleichung a>b aus (Seiten der Ungleichung). Aus a>b folgt: b<a.

§. 5. Von gegebenen Zahlen durch vorgeschriebene Verbindung derselben zu einer anderen gesuchten Zahl übergehen, heißt rechnen. Die Zahl, zu welcher man gelangt, heißt das Resultat der Rechnung. Jede Nechenvorschrift verlangt eine Operation an der Zahlenreihe.

§. 6. Jedes besondere Zahlzeichen stellt eine bestimmte Zahl der Zahlenreihe dar. Um aber die allgemeine Gültigkeit der Rechengesetze nachweisenzu können, hat man als allgemeine Zahlzeichen die Buchstaben eingeführt. Ein allgemeines Zahlzeichen stellt eine beliebige, aber innerhalb derselben Rechnung immer dieselbe Zahl dar.

Je nachdem die Arithmetik nur besondere oder auch allgemeine Zahlen in Betracht zieht, heißt sie die besondere oder die allgemeine Arithmetik.

Bei Euklid werden allgemeine Zahlen durch Strecken bezeichnet. Diophantus (4. Jahrh. n. Chr.) gebrauchte Buchstaben für die in einer Gleichung vorkommenden unbekannten Zahlen. Deutlichere Anfänge der Buchstabenrechnung zeigen sich bei Regiomontanus (1436—1476) und bei Stifel (f 1567). Bei Vista (1540—1603) tritt dieselbe in größerer Ausdehnung auf.

§. 7. Die Arithmetik stützt ihre Lehren auf Definitionen, Grundsätze und Lehrsätze.

Die Definition gibt an, wie ein neuer Begriff aus anderen vorausgegangenen Begriffen zusammengesetzt wird.

Der Grundsatz ist eine Aussage, die infolge der gemachten Wahrnehmungen als richtig anerkannt wird, aber auch anderseits nicht bewiesen werden kann.

Der Lehrsatz ist eine Aussage, deren Richtigkeit aus anderen bereits als wahr anerkannten Sätzen mittels des Beweises hergeleitet wird. Der Beweis wird direkt geführt, wenn man aus der Voraussetzung durch Schlüsse die Behauptung ableitet; indirekt, wenn man ans der Verneinung der Behauptung durch Schlüsse die Verneinung der Voraussetzung oder eines anderen bereits als wahr erkannten Satzes ableitet.

Arithmetische Grundsätze.

§. 8. 1. Jede Zahl ist sich selbst gleich.

Folgesatz. Das Ganze ist größer als ein Teil.

2. Gleiche Zahlen können füreinander gesetzt werden (ohne daß die Richtigkeit einer Aussage gestört wird).

Folgesatz. Sind zwei Zahlen einer dritten gleich, jo find sie auch untereinander gleich.

a = c, b = c.

a = b.

Erster Abschnitt.

Addition und Subtraktion.

Die tiechnnngsarten der erste» Stufe.

I. Addition mit aösolnten ganzen Iahten.

§• 9. Erklärung. Zu einer Zahl a eine Zahl b addieren heißt, eine Zahl c suchen, welche so viele Einheiten enthält, als a und b zusammen. Man schreibt a -j- b — v (+ gelesen „Plus") und nennt die gegebenen Zahlen a und b die Summanden und die gesuchte Zahl a -s- b die Summe.

Ausführung. Um die Addition a -j- b auszuführen, schreitet man in der Zahlenreihe von a ausgehend um so viele Einheiten vorwärts, als b enthält; die Zahl, zu der man gelangt, ist die gesuchte Summe.

Zusähe. 1. Die Summe ist größer als ein Summand.

2. Die Summanden und die Summe sind unbenannt oder gleichbenannt.

§• 10. Soll mit der durch eine Zahlenverbindung dargestellten Zahl weiter gerechnet werden, so muß dieselbe im allgemeinen in eine Klammer eingeschlossen werden.

Erklärung. Unter der Summe mehrerer Zahlen versteht man die Summe, welche durch fortschreitende Addition erhalten wird, d. i. indem man zu der Summe der beiden ersten Zahlen die dritte, zu der neuen Summe die vierte Zahl u. s. w. addiert. Es ist demnach a —b +* c +■ d = [(a -}- b) —|— c] —|— d.

Lusatz. Jede Zahl a ist eine Summe von a Einheiten.

a = 1 + 1 + 1 .... +1

§. 11. Der Wert einer Summe bleibt unverändert, wenn mau die Summanden untereinander vertauscht. (Das Kommutationsgesetz der Addition.)

a —|— b ⁼⁼⁼ b -j- a.

a ■+ b st- c ===i a st— c st— b — b st— a st— c — b st— c st- a = ... folgt aus §. 3.

Infolge des Kommutationsgesetzes erhielten beide gegebene Zahlen den gemeinschaftlichen Namen Summand.

Kechengesetze.

§. 12. 1. Zu einer Summe kann eine Zahl addiert werden, indem man dieselbe zu einem Summanden addiert.

oder

(a + b) + c — (a + c) + b — a + (b + c) a + b + c — a + c + b — a + (b + c).

2. Zu einer Zahl kann eine Summe addiert werden, indem man die Summanden in beliebiger Reihenfolge fortschreitend addiert.

oder

a st— (b st— c) — (a st— b) st— c (a st— c) + b a st— (b st— c) = a st— b st— c = a st— c st- b.

Die Richtigkeit dieser zwei Sätze, welche die Assoziationsgesetze der Addition bilden, folgt unmittelbar aus dem Kommutationsgesetze in §. 11.

§. 13. Erklärung. Eine Summe, welche entsteht, indem man dieselbe allgemeine Zahl öfters als Summand setzt, wird abgekürzt dadurch bezeichnet, daß man die allgemeine Zahl, Hauptgroße, nur einmal anschreibt und vor dieselbe die Zahl, Koeffizient genannt, setzt, welche anzeigt, wie vielmal die allgemeine Zahl als Summand vorkommt; z. B. a + a + a + a + a — 5 a.

Der Koeffizient 1 wird nicht geschrieben.

Ausdrücke mit derselben Hauptgröße heißen gleichnamig, mit verschiedenen Hanptgrößen ungleichnamig.

Gleichnamige Ausdrücke werden addiert, indem man die Summe ihrer Koeffizienten vor die gemeinsame Hauptgröße setzt.

m a + n a — (m + n) a.

Leweis. m a + n a ---- (a + a + .... + a) + (a + a +

6) C3

m-f 1

= a -{- a -f- ... -(-    -f- a -(- .... -j- a = (m -j- n) a.

Z. B.

a + 3a + 4a = (1 + 3 + 4) a = 8a.

Verbindung von Gleichungen nnd Ungleichungen durch die Addition.

Vor.

Beweis, a + c — a + c (1. Grunds.) folglich: a + e = b + d (2. Grunds.)

§. 14. 1. Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches, a = b c = d

Beh. a + c = b + d.

2.    Gleiches zu Größerem addiert gibt Größeres.

3.    Größeres zu Größerem addiert gibt Größeres.

4.    Größeres zu Kleinerem addiert gibt ein unbestimmtes

Resultat.

2. Vor. a>b c = d

3.

4. a<b

Beh. a + c:> b + d

a +• c — b —|— d

ß trotte zu 2.). Es sei w die Zahl, welche man zu b addieren muss, um a zu erhalten, also a = b + w, so ist nach 1. a + c — b + w + d — (b + d) + w, folglich a + c > b + d (§. 9).

In gleicher Weise wird der Beweis zu 3. geführt.

Leroeis zu 4.). Es sei c = d + w, dann ist nach 2. a + c<, (b + d) + w; somit kann a + c entweder zwischen 0 und (b + d) liegen, oder mit (b + d) zusammenfallen, oder zwischen b + d und (b + d) + w liegen. Es besteht also entweder die Beziehung: a + c < b + d, oder a + c = b + d, oder a + c > b + d.

Wie lauten die obigen Ungleichungen von rechts nach links gelesen, und wie der 2. Satz bei Vertauschung der Summanden?

II. Subtraktion mit absoluten ganze« Iahten.

§. 15. Die durch Addition gewonnene Gleichung b + c = a führt zu den beiden neuen Aufgaben, 1. aus a und b die unbekannte Zahl c,

2. aus a und c die unbekannte Zahl b zu bestimmen. Diese Aufgaben werden durch die zweite Rechnungsart, die Subtraktion, gelöst, welche deshalb die Umkehrung oder inverse Operation der Addition heißt.

Erklärung. Von einer Zahl a eine Zahl b subtrahieren heißt, aus a als der Summe zweier Zahlen und b als dem einen Summanden den andern Summanden suchen. Man nennt die gegebene Summe a den Minuend, den gegebenen Summanden b den Subtrahend und den gesuchten Summanden die Differenz und bezeichnet die letztere mit a — b (— gelesen „minus").

Die Differenz zweier Zahlen ist also diejenige dritte Zahl, welche, zum Subtrahend addiert, den Minuend gibt.

Ausführung. 1. a — b ist als erster Summand diejenige Zahl, welche, um b vermehrt, a gibt. Zu dieser Zahl gelangt man, wenn man in der Zahlenreihe vom Minuend a aus um so viele Einheiten zurückschreitet, wie der Subtrahend b anzeigt.

2. a — b ist als zweiter Summand diejenige Zahl, um welche b vermehrt werden muß, um a zu erhalten. Wenn man daher vom Subtrahend b in der Zahlenreihe um so viele Einheiten vorwärts schreitet, bis man zum Minuend a gelangt, so ist die Zahl der hinzugezählten Einheiten die gesuchte Differenz.

Wegen des Kommutationsgesetzes der Addition kommt man in beiden Fällen zu demselben Resultate. Die Addition hat daher nur eine inverse Rechnungsart, die Subtraktion.

Zusätze. 1. Die Subtraktion ist nur ausführbar, wenn der Minuend als Summe größer ist als der Subtrahend. Dies wird bei den folgenden Sätzen vorläufig vorausgesetzt.

2. Minuend, Subtrahend und Differenz sind unbenannte oder gleichbenannte Zahlen.

§. 16. Aus dem Begriffe der Subtraktion ergeben sich nachstehende Folgesätze. 1. (Definitionsformel.) Addiert man zu der Differenz zweierZahlen den Subtrahend, foerhältman denMinuend.

(a — b) + b = a;

b -j- (a — b) = a.

2. Subtrahiert man von demMinuend die Differenz, so erhält man den Subtrahend.

a — (a — b) == b.

3. Subtrahiert man von der Summe zweier Zahlen den einen Summanden, so erhält man den zweiten Summanden.

(a-s-b) — a = b;

(a -)— b) — b = a.

Zusatz. Aus 1. und 3. folgt: Eine Zahl a bleibt unverändert, wenn man in beliebiger Reihenfolge eine Zahl b zu ihr addiert und von dem Resultate dieselbe Zahl subtrahiert.

a = a b — b;

gesetzt.

a = a — b -j— b.

Die Addition und Subtraktion sind demnach einander entgegen

§. 17. Formveränderung einer Differenz. Der Wert einer Differenz bleibt unverändert, wenn man zu dem Minuend und dem Subtrahend dieselbe Zahl addiert oder von beiden dieselbe Zahl subtrahiert.

1. a — b ----- (a + m) — (b -j- m); 2. d — e = (d — m) — (e — m).

Beweis. 1. a — b = c; folglich a — b + c

somit

und a -j- m — (b + m) + c (§. 12, 1); a — b = (a + m) — (b + m).

2. Der zweite Teil folgt als Umkehrung aus dem ersten.

Kechengesrtze.

Verbindung vonZahlen mit Summen oder Differenzen durch Addition oder Subtraktion.

§. 18. 1. (a -j- b) c ----- (a -f⁻ c) -j- b = a -j- (b + c). (§. 12, 1.)

2.    (a -}- b) — c = (a — c) -J— b = a -j— (b — c).

3.    (a — b) -j- c = (a + c) — b == a — (b — c).

4.    (a — b) — c = (a — c) — b = a — (b + c).

2. Satz. Von einer Summe kann eine Zahl subtrahiert werden, indem man dieselbe von einem Summanden subtrahiert.

Beweis, a) Soll (a — c) + b die richtige Differenz der Zahlen a-f-b und c sein, so muß man, wenn man zu ihr den Subtrahend c addiert, den Minuend a + b erhalten. Nun ist wirklich {(a — c) + b} + c = {(a — c) + c} + b (§. 12, 1) *= a + b (§. 16, 1). b) Ebenso ist

{a + (b — c)} + c — a -f- {(b — c) + c} = a + b.

3.    Satz. Zu einer Differenz kann eine Zahl addiert werden, indem man dieselbe zu dem Minuend addiert oder von dem Subtrahend subtrahiert.

Beweis. Der erste Teil ist die Umkehrung des ersten Teiles des vorausgehenden Satzes. Der zweite Teil folgt aus dem ersten, indem man vom Minuend und Subtrahend c subtrahiert.

4.    Satz. Von einer Differenz kann eine Zahl subtrahiert werden, indem man dieselbe von dem Minuend subtrahiert oder zu dem Subtrahend addiert.

Beweis.

a)    {(a — c) + b} + c = {(a - c) + c} - b (§. 18, 3. Satz.) = a — b.

b)    {a — (b -f c)} -f c = a — {(b + c) — c} (§. 18, 3.) = a — b.

Die vorausgehenden Sätze können auch unmittelbar durch Operationen an der Zahlenreihe gewonnen werden. Z. B- 2. Satz: Wenn man von a zuerst um b Einheiten vor und dann um c Einheiten (c <C b) zurückschreitet, oder wenn man von a zuerst um c Einheiten zurück und dann um b Einheiten (b > c) vorschreitet, so ist man in beiden Fällen von a aus um (b — c) Einheiten vorgeschritten, woraus sich die Gleichheit der drei Ausdrücke ergibt.

tz. 19. 1. a + (b + c) =a + b + c = a + c + b. (§.12, 2.)

c — b.

2.    a — (b-|-c) = a — b — c

3.    a -f- (b — c) = a-(-b — c =

4.    a — (b — c) = a — b + c = a + c — b.

2.    Satz. Von einer Zahl kann eine Summe subtrahiert werden, indem man die Summanden in beliebiger Reihenfolge fortschreitend subtrahiert.

Ergibt sich durch Umkehrung der in §. 18, 4 bewiesenen Gleichungen.

3.    Satz. Zu einer Zahl kann eine Differenz addiert werden, indem man in beliebiger Reihenfolge fortschreitend den Minuend addiert und den Subtrahend subtrahiert.

Folgt durch Umkehrung der Gleichungen in §. 18, 2.

4.    Satz. Von einer Zahl kann eine Differenz subtrahiert werden, indemman in beliebiger Reihenfolge fortschreitend den Minuend subtrahiert und den Subtrahend addiert.

Ergibt sich durch Umkehrung aus §. 18, 3.

na = (m — n) a.

Folgt unmittelbar aus dem Satze des §. 13. Z. B. 5a — 2a = (5 — 2) a = 3a.

§. 20. Gleichnamige Ausdrücke werden subtrahiert, indem man die Differenz ihrer Koeffizienten als Koeffizienten vor die gemeinsame Hauptgröße setzt.

§. 21. Sollen in einer durch die Zeichen + und — vorgeschriebenen Verbindung von Zahlen die dadurch angezeigten Operationen fortschreitend vollzogen werden, so kann man die Klammern weglassen.

[(a — b) + cj — d = a — b -f- c — d.

Ein Zahleuausdruck, welcher mehrere durch Addition und Subtraktion verbundene Bestandteile enthält, heißt ein mehrgliedriger Ausdruck oder ein Polynom. Die einzelnen Bestandteile heißen Glieder, und zwar die mit dem Zeichen + versehenen die additiven, die mit dem Zeichen — versehenen die subtraktiven Glieder des Ausdruckes. Das mit keinem Zeichen versehene erste Glied wird als additiv angesehen.

Ein zweigliedriger Ausdruck wird insbesondere ein Binom, ein dreigliedriger ein Trinom genannt. Ein Ausdruck, welcher nur ein Glied enthält, heißt ein eingliedriger Ausdruck oder ein Monom.

Folgesätze. 1. In einem mehrgliedrigen Ausdrucke ist die Reihenfolge der additiven und subtraktiven Glieder ganz willkürlich.

Folgt aus §. 18.

2. Jeder mehrgliedrige Ausdruck läßt sich in eine Differenz verwandeln, deren Minuend die Summe aller additiven, und deren Subtrahend die Summe aller snb-traktiven Glieder ist.

a fl- b — e fl- d — e = a + b + d — c —

= (a + b + d) — (c + e) (§ 18. 4. S.).

Zusatz. Der 2. Folgesatz dient zur Reduzierung gleichnamiger Ausdrücke. Z. B.

6a — 5a — 3afl- 8a — 2a — (6afl-8a) — (5afl-3afl-2a)

— 14a — 10 a == 4 a.

§. 22. Da man jedes Polynom in ein Binom verwandeln kann, so reichen die entwickelten Lehrsätze auch zur Addition und Subtraktion von Polynomen hin. Die Anwendung derselben führt zu folgenden Rechenregeln:

1. Nach dem Zeichen + kann man eine Klammer ohne weiteres weglassen (auflösen) oder setzen.

— c —|— d) = a — (c — b — d). — (c — d) = a -|- b — c fl" d.

2. Nach dem Zeichen — kann man eine Klammer weglassen (auflösen) oder setzen, wenn man jedem Gliede innerhalb der Klammer das entgegengesetzte Zeichen gibt (zu jenem, welches es vor dem Auflösen oder Setzen der Klammer hatte).

Z. B. a + b — c + <1 = a

a + [b - (c - d)] =

Verbindung der Gleichungen und Ungleichungen durch die Subtraktion.

§.23. 1. Gleiches von Gleichem subtrahiert gibt Gleiches. Ist a = b und o — d, so ist a — c = b — d.

Begründung wie in §. 14, 1.

a = b + w v ----- d

Lew eis.

2. Gleiches von Größerem subtrahiert gibt Größeres. Vor.

a — c — (b — d) + w

folgt a — c b — d.

a — c — (b — d) — w

folgt, a — c < b — d.

4. Kleineres von Größerem subtrahiert gibtGrößeres.

a =r b + c = d —

Beweis.

3. Größeres von Gleichem subtrahiert gibt Kleineres. Vor.

er

Beweis.

Pl er

Vor.

a-c = (b-d) + (x + y)

folgt, a — c > b — d.

5. Größeres von Größerem subtrahiert gibt ein unbestimmtes Resultat.

Vor.

Beweis.

Beh. a — c = b — d

a = b + x c = d -j- y a — c = (b — d) + (x — y) = (b — d) — (y — x).

Je nachdem x = y ist, wird a — c = b — d.

III. Erste Erweiterung des Zaykengevietes.

1. Aull und negative Zahlen.

§. 24. Die Differenz a — b hat gemäß der Definition nur eine Bedeutung, wenn der Minuend a als Summe größer ist als der Subtrahend b. Demnach stellt die Differenz a — b für die beiden Fälle, b = a und b > a eine bedeutungslose Vereinigung von Zahlzeichen vor. Nun wären zwei Wege möglich. Man kann derartige Differenzen überhaupt ausschließen, weil sie mit der Definition nicht vereinbar sind. Dies hätte den großen Nachteil, daß man vor jeder Rechnung mit einer Differenz zuerst untersuchen müßte, ob der Minuend größer ist als der Subtrahend. Deshalb geht man in anderer Weise vor. Man rechnet auch mit Differenzen, deren Subtrahend gleich oder größer ist als der Minuend und trifft zugleich die Festsetzung, daß auch für derartige Differenzen dieDefinitionsformel (a — b) + b = a Gültigkeit behalte. Infolgedessen gelten für dieselben sämtliche Gesetze der Subtraktion.

Diese Differenzen stellen, da sie in der Reihe der natürlichen Zahlen nicht enthalten sind, neue Zahlformen dar, für welche auch neue Benennungen und Zahlzeichen eingeführt wurden.

Erklärung, a — a = b — b — 1 — 1 — 0 (gelesen „null").

Null ist die Differenz zweier gleicher Zahlen.

Folgesätze. 1. (Definitionsformel), a + 0 =

(§• 16, 1).

2. a — 0 — a (§. 16, 2).

Eine Zahl bleibt ungeändert, wenn man zu ihr Null addiert oder von ihr Null subtrahiert.

Erklärung, a — (a -f n) = b — (b + n) = 0 — n = — n (gelesen „minus n").

— n wird eine negative Zahl genannt. Dieselbe hat das Vorzeichen — und den absoluten Wert n.

Eine negative Zahl ist also eine Differenz, deren Minuend Null und deren Subtrahend ihr absoluter Wert t st. Jede Differenz, deren Subtrahend um n größer ist als der Minuend, hat den Wert — n.

§. 25. Erweiterte Zahlenreihe. Durch die Definition der

neuen Zahlen ist auch bereits ihre Stellung in der Zahlenreihe gegeben. 0—1 — 1 muß der Zahl 1 vorausgehen; ebenso muß — 1 = 0 — 1

der Zahl 0, — 2 = 0 — 2 der Zahl — 1 vorausgehen u. s. w. Die so erweiterte Zahlenreihe hat weder einen Anfang noch ein Ende.

...... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ......

In Übereinstimmung mit dieser Bildung der Zahlenreihe erhält man den der Zahl 0 entsprechenden Punkt der Zahlenlinie, wenn man von dem der Zahl 1 entsprechenden Punkte um eine Streckeneinheit zurückschreitet. Ebenso erhält man den der Zahl — n entsprechenden Punkt, wenn man von dem Punkte 0 um n Streckeneinheiten zurückschreitet.

Die Zahlenlinie erstreckt sich nunmehr nach beiden Richtungen in das

Unendliche.

§. 26. Erklärung. Im Gegensatze zu der negativen Zahl — a, welche durch Subtraktion von 0 entsteht (— a = 0 — a), wird die natürliche Zahl a, welche durch Addition zu 0 entsteht (a = 0 + a), eine positive Zahl genannt und in analoger Weise durch Weglassung der Null mit + a (gelesen „plus a") bezeichnet. (Vorzeichen, absoluter Wert.)

Die mit Vorzeichen versehenen Zahlen werden relative oder algebraische Zahlen genannt, im Gegensatze zu den Zahlen ohne Vorzeichen, welche absolute Zahlen heißen.

Das Vorzeichen -j- pflegt man als selbstverständlich dort wegzulassen, wo es ohne Störung des Sinnes und des Zusammenhanges einer Rechnung geschehen kann.

Aus der Definition 0 — n = — n oder auch 0 — (Z- n) = — n folgt: (+ n) -j- (— n) = 0.

Eine positive und eine negative Zahl mit gleichen absoluten Werten geben zur Summe Null. Deshalb heißen zwei derartige Zahlen entgegengesetzt.

Moönik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Stuft.

2. Addition und Subtraktion mit atgebraischen ganzen Iahten.

§. 27. Wenn eine Rechenoperation erweitert werden soll für Zahlen, auf welche die ursprüngliche Definition sich nicht erstreckt, gewinnt man die neue Definition durch das allgemeine Prinzip der Fortdauer der Operationsgesetze. Auf diese Weise gelangt man durch Anwendung der Rechengesetze (§. 19) auf die durch die negative Zahl dargestellte Differenz zu folgenden Definitionen:

1.    Eine negative Zahl wird addiert, indem man ihren absoluten Wert subtrahiert.

a + (— b) = a + (0 — b) = a + 0 — b = a — b.

2.    Eine negative Zahl wird subtrahiert, indem man ihren absoluten Wert addiert.

a — (— b) = a — (0 — b) = a — 0 + b == a + b.

Zusatz. Da nach 1. a — (+ b) — a + (— b) ist, so kann der zweite Satz auch lauten: Eine algebraische Zahl wird subtrahiert, indem man die entgegengesetzte Zahl addiert.

§. 28. Die Anwendung dieser beiden Sätze führt zu folgenden Rechenregeln über die Addition algebraischer Zahlen.

1.    Zwei gleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man der Summe ihrer absoluten Werte das gemeinsame Vorzeichen gibt.

(+ a) + (+ b) = + (a + b) = a + b.

(— a) —(— (— b) 0 — a — b = 0 — (a -j— b) = — (a -j— b).

2.    Zwei ungleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man der Differenz ihrer absoluten Werte das Vorzeichen des größeren absoluten Wertes gibt.

(+ a) + (— b) = a — b = + (a — b) für a > b,

= — (b — a) „ b > a.

b.

(—a) + (+b) = (0 —a) + b = 0 + b —a = +(b —a) für b>a,

= — (a — b) „ a

Insatz. Die negative Zahl — a ist eine Summe von a negativen

Einheiten.

a = (- 1) + (- 1) + ... + (- 1).

§. 29. Eine Summe, deren Summanden algebraische Zahlen sind, heißt eine algebraische Summe; z. B.

(+ a) 4" (— b) -f- (— c) + (+ d) + (— f).

Aus den vorausgegangenen Sätzen folgt unmittelbar:

a_b-c + d = (+a) + (- b) + (- c) + (+ d).

1. Jeder mehrgliedrige Ausdruck kann in eine algebraische Summe verwandelt werden, indem man die Rechnungszeichen als Vorzeichen betrachtet und dann die Zahlen als Summanden annimmt.

2. Umgekehrt: Jede algebraische Summe kann in einen mehrgliedrigen Ausdruck verwandelt werden, indem man die Additionszeichen und die Klammern wegläßt und dann die Vorzeichen als Rechnungszeicheu ansieht.

(+ a) +    (- b) +    (- c) +    (+ d) = a - b - c + d.

Infolgedessen ist man übereingekommen, bei algebraischen Summen die Additionszeichen und die Klammern für die einzelnen Summanden wegzulassen, so daß ein Polynom und eine algebraische Summe sich nur in der Auffassung, nicht aber in der Schreibweise und im Werte unterscheiden.

§. 30. Nunmehr erhalten die beiden Sätze über die Addition und Subtraktion einer Summe mit Rücksicht auf §. 27 folgenden Wortlaut.

1.    Zu einer Zahl wird eine algebraische Summe addiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit unveränderten Vorzeichen fortschreitend addiert (zu der Zahl hinzufügt).

2.    Von einer Zahl wird eine algebraische Summe subtrahiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit entgegengesetzten Vorzeichen fortschreitend addiert (zu der Zahl hinzufügt).

§. 31. Da bei absoluten Zahlen a —(b + n)<a —b<(a + c) — b ist, so muß, wenn wir a = b setzen, die Ungleichung bestehen:

— n <C 0 < -{- c.

1. Jede negative Zahl ist kleiner als Null, und Null ist kleiner als jede positive Zahl.

Da für absolute Zahlen a — (b + m + n) < a — (b + m) ist, so folgt, wenn a — b ist:

— (m + n) < — m.

2. Von zwei negativen Zahlen ist jene die kleinere, welche den größeren absoluten Wert hat.

§. 32. Statt die absoluten Werte entgegengesetzt benannter Zahlen, wie Vermögen — Schulden, Gewinn — Verlust, nach entgegengesetzten Richtungen zurückgelegte Wege, Zeiten vor und nach Christi Geburt, Temperaturen über und unter dem Nullpunkte u. dgl. durch Addition und Subtraktion zu verbinden, kann man die eine derselben als positive, die andere als negative Zahl in Rechnung ziehen und beide durch die gleichartige Rechnung verbinden. Daraus erwächst der weitere Vorteil, daß das Vorzeichen des Resultates die Benennung angibt, oder eine der Aufgabe entsprechende Deutung zuläßt.

Die Benennungen „positiv" und „negativ" rühren von Yieta her. Die Griechen kannten keine negativen Zahlen. Bei Descartes (f 1650) wird zuerst unter einer allgemeinen Zahl a eine positive oder negative Zahl verstanden. Die Zeichen + und — kommen zuerst bei Leonardo da Vinci vor: vor ihm wurden die Anfangsbuchstaben p und m gebraucht. Das Gleichheitszeichen wurde eingeführt von Recorde (1552), die Ungleichheitszeichen von Harriot, die Klammer von Girard (1629).

Zweiter Abschnitt.

Multiplikation und Division.

Die Rechnungsarten der zweiten Stufe.

I. Wnttipkikalion mit ganze« Zahlen.

§. 33. Erklärung. 1. Eine Zahl a mit einer Zahl b multiplizieren heißt, a so oft als Summand setzen, als b Einheiten enthält. Man nennt a den Multiplikand, b den Multiplikator und die gesuchte Zahl das Produkt. Das Produkt ist demnach eine Summe gleicher Summanden; der Multiplikand ist einer dieser gleichen Summanden; der Multiplikator hingegen ist die Anzahl der gleichen Summanden.

Der Multiplikand kann auch eine benannte Zahl sein; der Multiplikator muß immer eine absolute (positive) unbenannte, von 0 und 1 verschiedene Zahl sein. Das Produkt hat eventuell die Benennung des Mnltiplikands. Im folgenden werden nur Produkte unbenannter Zahlen betrachtet.

Das Produkt aus dem Multiplikand a und dem Multiplikator b bezeichnet man durch a X b, oder a. b (d. i. a b mal), oder bei allgemeinen Zahlen auch bloß durch a b.

Das Produkt zweier ganzen Zahlen wird auch ein Vielfaches des Mnltiplikands genannt. Z. B. 12 — 4.3; 12 ist das 3fache von 4.

Folgesätze, a) Ist der Multiplikand 1, so ist das Produkt dem Multiplikator gleich.

b) Ist der Multiplikand 0, so ist auch das Produkt 0. a) 1 * a — 1 -|— 1 -{-

b) O.a = 0 + 0+... +0 --- 0.

Erklärung. 2. Unter dem Produkte mehrerer Zahlen versteht man das Produkt, welches durch fortschreitende Multiplikation erhalten wird, d. i. indem man das Produkt der beiden ersten Zahlen mit der dritten, das neue Produkt mit der vierten Zahl, u. s. w. multipliziert. Hiernach ist

a.b.c — (ab).c, a.b.c.d = [(ab).c].d.

§. 34. Eine Summe kann mit einer Zahl multipliziert werden, indem man jeden Summanden mit dieser Zahl multipliziert und die Teilprodukte addiert.

(a-f-b).m — am-j-bm.

(a -f- b) m — (a -f b) + (a + b) -f • • • • (a b)

m    m

= (a + a + . . . + a) + (b + b + . . + b) (§. 11) = a.m + b.m.

Dieser Satz ist vorläufig Hilfssatz und wird später systematisch ein

gereiht.

§. 35. 1. Der Wert eines Produktes bleibt unverändert, wenn man den Multiplikand und Multiplikator vertauscht. (Das Kommutationsgesetz der Multiplikation.)

a.b — b.a.

Leweis. a.b = (1 + 1+ ... +l).b = l.b+ l.b +... +l.b

(§. 34) = b + b + ... + b (§. 33) = b.a.

Zusähe. 1. Infolge des Kommutationsgesetzes erhalten Multiplikand und Multiplikator den gemeinsamen Namen Faktor.

2.    Aus diesem Gesetze folgt die Berechtigung, den Koeffizienten, welcher gemäß der Definition der Multiplikator der Hauptgröße ist, an erster Stelle zu schreiben.

3.    Um die bedeutungslosen Produkte a.l und a.O beizubehalten, muß denselben der durch das Kommutationsgesetz verlangte Wert gegeben werden.

b) a.O = O.a = 0.

a) a.l — l.a — a;

Diese beiden Sätze sowie die beiden Folgesätze in §. 33 erhalten folgenden gemeinsamen Wortlaut:

a)    Ist ein Faktor 1, so ist das Produkt gleich dem anderen Faktor.

b)    Ist ein Faktor 0, so ist auch das Produkt 0.

2. Der Wert eines Produktes von drei oder mehr Faktoren bleibt ungeändert, wenn man die Reihenfolge der Faktoren beliebig ändert.

Aus dem Kommutationsgesetze für zwei Faktoren folgt nur:

(a. b). c — (b.a).c — c.(a.b) — c.(b.a).

Es bleibt noch zu beweisen:

(a. b). c — (a.c).b

— a.(b.c).

Beweis, a) (a.b).c = (a + a+ . .

• .+£j.c

b

a c a c ™j— . . -j⁻ a c (§. 34) — (a c). b, b) (a.b).c — (b.a).c — (bc).a (nach a) — a.(bc).

Indem man ein Produkt von vier und mehr Faktoren als ein solches von drei Faktoren betrachtet (abcd — (ab).c.d), kann durch Anwendung der beiden Sätze jeder Faktor an eine beliebige Stelle gebracht werden.

Rechengesetze.

(a. b). c — (ac).b — a.(bc).

§. 36. 1. Ein Produkt kann mit einer Za hl multipliziert werden, indem man (nur) einen Faktor mit der Zahl multipliziert.

2. Eine Zahl kann mit einem Produkte multipliziert werden, indem man dieselbe in beliebiger Reihenfolge fortschreitend mit den Faktoren multipliziert.

a.(bc) — abc = acb.

Diese zwei Sätze, welche die Assoziationsgesetze der Multiplikation heißen, folgen unmittelbar aus dem Kommutationsgesetze.

a.a.a.a.a — a⁵.

Ein Produkt gleicher Faktoren heißt eine Potenz. Der wiederholt gesetzte Faktor heißt die Basis oder Grundzahl, die Anzahl der gleichen Faktoren heißt der Potenzexponent, auch bloß Exponent. In der Potenz am, welche gelesen wird: „a zur raten" (Potenz erhoben) oder „a mit m potenziert", oder kurz „a hoch m", ist a die Basis, m der Exponent. Die zweite Potenz aä nennt man insbesondere auch das Quadrat, die dritte a⁸ den Kubus von a.

§. 37. Ein Produkt, dessen Faktoren einander gleich sind, wird abgekürzt dadurch bezeichnet, daß man nur einen Faktor anschreibt und ihm rechts oben die Zahl beisetzt, welche anzeigt, wie vielmal derselbe vorkommt; z. B-

Wenn in einem mehrgliedrigen Ausdrucke mehrere Potenzen derselben Basis vorkommen, so pflegt man wegen der leichteren Übersicht die einzelnen Glieder nach den Potenzexponenten zu ordnen, indem man entweder mit der höchsten Potenz anfängt und dann immer niedrigere Potenzen folgen läßt, oder indem man von der niedrigsten Potenz der gemeinsamen Basis zu immer höheren Potenzen übergeht. Im ersten Falle heißt der Ausdruck nach fallenden, im zweiten nach steigenden Potenzen der gemeinsamen Basis geordnet. So ist z. B. der Ausdruck x⁴ — 4x³y -(- 6x²y² — 4xy³ -f- y⁴

nach fallenden Potenzen von x und zugleich nach steigenden Potenzen von y geordnet.

§. 38. Potenzen derselben Basis kann man multiplizieren, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert.

aman — am + n.

örweis. am.an — (a.a.a.....a).(a.a .... a)

— a.a.......a . a.......a (§. 36) ----- am+n.

Zusatz. Da nach der Definition an.a = an + 1 ist, so muß, damit der vorstehende Lehrsatz auch für das Produkt a°.a Gültigkeit behält, a— a¹ sein. Die erste Potenz einer Zahlist dieserZahl selbst gleich. §. 39.    1. Eine Summe kann mit einer Zahl multi

pliziert werden, indem man jeden Summanden mit dieser Zahl multipliziert und die Teilprodukte addiert.

(a + b). m — am-fbm.

Wiederholung des §. 34.

2. Eine Differenz kann mit einer Zahl multipliziert werden, indem man den Minuend und den Subtrahend mit dieser Zahl multipliziert und das zweite Produkt born ersten subtrahiert.

(a — b).m — am — bm.

Der Beweis wird ähnlich wie zu §. 39, 1 geführt.

§. 40. 1. Eine Zahl kann mit einer Summe multipliziert werden, indem man dieselbemit jedem Summanden multipliziert und die Teilprodukte addiert.

a.(m-f-n) — am -|- an.

Lew eis. a. (m + n) = (m + n).a = ma + na (§. 39, 1) — am + an.

2. Eine Zahl kann mit einer Differenz multipliziert werden, indem man dieselbe mit dem Minuend und dem Subtrahend multipliziert und von dem ersten Produkte das zweite subtrahiert.

a.(m — n) — am — an.

Der Beweis ist dem vorigen analog.

Die in den §§. 39—40 angeführten Sätze heißen die Distributionsgesetze der Multiplikation. Dieselben erstrecken sich auch auf den Fall, daß der eine Faktor eine Zahl, der andere ein Polynom ist.

§. 41. Umkehrungen. 1. Zwei Produkte, welche einen gemeinsamen Faktor haben, können addiert werden, indem man die Summe der nicht gemeinsamen Faktoren mit dem gemeinsamen Faktor multipliziert.

am + bm — (a + b). m.

am — bm — (a — b).m.

Diese beiden Operationen nennt man das Herausheben des gemeinsamen Faktors.

2. Zwei Produkte, welche einen gemeinsamen Faktor haben, können subtrahiert werden, indemman die Differenz der nicht gemeinsamen Faktoren mit dem gemeinsamen Faktor multipliziert.

H. 42. Zwei Polynome können multipliziert werden, indem man jedes Glied des einen Polynoms mit jedem Gliede des anderen multipliziert und die einzelnen Produkte additiv oder subtraktiv zusammenstellt, je nachdem die bezüglichen Faktoren gleiche oder verschiedene Rechnungszeichen haben.

(a + b) (c + d) — (a + b) c + (a -f- b) d — ao + bo + ad + bd. (a + b) (c — d) = (a + b) c — (a + b) d = a c + b c — (ad + bd) —

ac + bc — ad — bd.

(a — b) (c + d) — (a — b) c + (a — b) d — ae — b c + a d — bd. (a — b) (c — d) — (a — b) c — (a — b) d = ac — bc — (ad — bd) =

ac — bc — ad + bd.

4aa — 3a — 4 Multiplikand 3aa— 7 a + 5 Multiplikator 12a⁴— 9 a³ — 12a²

— 28a³ + 21aa + 28a

+ 20 a? — 15a — 20

12 a⁴ — 37 a³ + 29 aa + 13a — 20 Produkt.

§. 43. Bei mehrgliedrigen Ausdrücken, welche nach den Potenzen derselben Basis fortschreiten, erhält man, wenn dieselben gleichartig geordnet sind, durch die Multiplikation des Multiplikands mit den einzelnen Gliedern des Multiplikators Teilprodukte, welche ebenso geordnet sind. Man schreibt diese Teilprodnkte, um sie leichter zu reduzieren, so an, daß ihre gleichnamigen Glieder untereinander zu stehen kommen. Z. B.

Zusatz. Insbesondere erhält man:

1.    (a + b)a — (a + b) (a + b) = a³ + 2ab + ba, und

2.    (a — b)a = (a — b) (a — b) = a² — 2ab + ba; b. h.

Das Quadrat der Summe oder der Differenz zweierZahlen ist gleich der Summe der Quadrate dieser Zahlen bezüglich vermehrt oder vermindert um das doppelte Produkt derselben.

3.    (a + b) (a — b) = aa — b⁸; d. h.

Das Produkt aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz ihrer Quadrate.

4.    (a + b)³ = (aa + 2ab + ba) (a + b) = a³ + 3a⁸b + 3aba + b³.

5.    (a — b)³ = (aa — 2ab + ba) (a — b) = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Multiplikation.

VI. Unendlich große und unendlich Kleine Größen und Grenzwerte

II. Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Ilnvekanulen.

vs+vb = j/i+v^b + j/a-yra.

Beispiele.

II. Geometrische Progressionen.

Aufgaben-Sammlung?)

Division zweier Polynome.

54. Ebenso a) b) (a + b), (a - b), (a2 - b2).

§. 15. Gkeichnngen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Wnöekannten. (§§. 132—135.)

§. 17. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Unbekannten.

— x —Vl+y + Vl —y

71. x3 n x || = o.

+ + (a + b)‘-0.

§. SS. Aiitseszins- und Wenlenrechnung. (§§. 233—238.)

Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Multiplikation.

§. 44. 1. Gleiches mit Gleichem multipliziert gibt

Gleiches.

Ist a — b und c = d, so ist ac — bd. Beweis wie in §. 14, 1.

2. Gleiches mit Größerem multipliziert gibt Größeres.

Seweis.

Vor. a

c >

Pu er-

Beh. ac > bd.

folgt, a c > b d.

3.    Größeres mit Größerem multipliziert gibt Größeres.

Ist a 7> b und c > d, so ist ac > bd.

Der Beweis ist dem vorigen analog.

4.    Größeres mit Kleinerem multipliziert gibt ein unbestimmtes Resultat.

Vor. a>b c<d

Beweis.

a = b -j- w c<d

ac<bd + wd

Beh. ac — bd.

folgt ac —bd (§ 14. Beweis zu 4).

Multiplikation mit algebraischen gan;en Zahlen.

§. 45. Ist der Multiplikator eine positive Zahl + n, also gleich der absoluten Zahl n, so ergibt sich schon aus der allgemeinen Erklärung der Multiplikation in §. 33:

(+ a). (+ n) = + an    _n_

(- a) . (+ n) = (- a) + (- a) + .... + (- a)

— — (a -st a -st

-st a) — — an.

Dagegen hat die Multiplikation mit einem negativen Multiplikator — n nach der obigen Erklärung keinen Sinn. Um die Definition zu gewinnen, hat man nach dem Prinzipe der Erhaltung der Operationsgesetze, da die negative Zahl eine Differenz ist, den Lehrsatz §. 40, 2 anzuwenden. Man erhält:

(+ a). (— n) = (+ a). (o — n) = a . o — an — o

an — — an,

und (— a) . (— n) — (— a). (o — n) — — a . o — (— a . n) — o — (— an) — o -st an — -st an.

Erklärung. Mit einer negativen Zahl multiplizieren heißt demnach, das Entgegengesetzte des Multiplikands mit dem absoluten Werte des Multiplikators multiplizieren.

(— a) • (+ n) = — an, (+ a) • (— n) = — an,

Die voranstehenden Ergebnisse (+ a) • (+ n) — + an,

(— a) • (— n) =+ a”,

kann man in den folgenden Satz zusammenfassen:

Zwei gleich bezeichnete Faktoren geben ein positives, zwei ungleich bezeichnete Faktoren geben ein negatives Produkt.

Folgesätze. 1. Das Produkt zweier algebraischer Zahlen bleibt ungeändert, wenn man dieselben untereinander vertauscht.

2.    Eine gerade Anzahl negativer Factoren gibt ein positives Produkt; eine ungerade Anzahl negativer Faktoren gibt ein negatives Produkt.

3.    Eine gerade Potenz mit negativer Basis ist positiv. Eine ungerade Potenz mit negativer Basis ist negativ.

(—a)2n = a2n; (—a)2n + ¹ = — a2n+l.

II. Division mit ganzen Zahlen.

§. 46. Die durch die Multiplikation gewonnene Gleichung b.c = a führt zu den beiden neuen Aufgaben, 1. aus a und b die unbekannte Zahl c, 2. aus a und c die unbekannte Zahl b zu suchen. Diese Aufgaben werden durch die vierte Rechnungsart, die Division, gelöst, welche infolgedessen die Umkehrung oder inverse Operation der Multiplikation heißt.

Erklärung. EineZahl a durch eine Zahl b dividieren heißt, aus a als dem Produkte zweier Zahlen und b als dem einen Faktor den anderen Faktor suchen. Man nennt das gegebene Produkt a den Dividend, den gegebenen Faktor b den Divisor, den gesuchten Faktor den Quotienten, und bezeichnet den letzteren mit a:b oder -jj gelesen: a (dividiert) durch b.

Der Quotient zwei er Zahlen ist also diejenige dritteZahl, welche, mit dem Divisor multipliziert, den Dividend gibt.

Zu jeder Multiplikation lassen sich zwei Umkehrungen bilden. Bei der ersten Umkehrung, dem Messen, ist das Produkt und der Multiplikand gegeben, während der Multiplikator gesucht wird. Der Quotient gibt demnach an, wie oft der Divisor in dem Dividend enthalten ist. Dividend und Divisor sind unbenannte oder gleichbenannte Zahlen; der Quotient ist unbenannt. Z. B. 15 K : 3 K = 5.

Bei der zweiten Umkehrung, dem Teilen, ist das Produkt und der Multiplikator gegeben, während der Multiplikand gesucht wird. Der Quotient ist jener Teil, welcher, so vielmal genommen, wie der Divisor

anzeigt, den Dividend hervorbringt; der Divisor ist in diesem Falle eine unbenannte Zahl, der Dividend kann auch eine Benennung haben, welche dann auch der Quotient erhält. Z. B. 15 K : 8 = 5 K.

Ausführung. Dem entsprechend läßt sich die Division in doppelter Weise ausführen.

1.    Man subtrahiert den Divisor zuerst vom Dividend, dann von dem jedesmal erhaltenen Reste so oft als möglich; die Zahl, welche anzeigt, wie vielmal die Subtraktion verrichtet werden kann, ist der Quotient.

2.    Man sucht in der Zahlenreihe diejenige Zahl auf, welche, so vielmal gesetzt, wie der Divisor anzeigt, den Dividend gibt.

Wegen des Kommutationsgesetzes der Multiplikation erhält man bei unbenannten Zahlen in beiden Fällen denselben Quotienten. Die Multiplikation hat also nur eine inverse Rechnungsart, die Division.

Zusah. Die Division ist nur dann ausführbar, wenn der Dividend gemäß der Definition ein Vielfaches des Divisors ist. Dies wird bei den folgenden Sätzen vorläufig vorausgesetzt.

§. 47. Folgesätze. 1. (Definitionsformel.) Multipliziert man den Quotienten zweier Zahlen mit dem Divisor, so erhält man den Dividend.

b . (a: b) — a.

a;

(a: b). b =

2. Dividiert man den Dividend durch den Quotienten, so erhält man den Divisor.

Y ⁼ k

ab : b = a.

3. Dividiert man das Produkt zweierZahlen durch den einen Faktor, so erhält man den andern Faktor, ab : a = b;

Zusatz. Aus 1. und 3. folgt:

Eine Zahl a bleibt unverändert, wenn man dieselbe in beliebiger Reihenfolge mit einer Zahl b multipliziert und das Resultat durch dieselbe Zahl dividiert.

a = (a : b). b.

a — (a . b) : b;

Die Multiplikation und die Division sind demnach einander entgegengesetzt.

2. a: 1 ----- a.

Aus a. 1 ----- a folgt:

1. a: a — 1;

tienten.

4. Jede Zahl durch sich selbst dividiert gibt 1 zum Quo

5. Jede Zahl durch 1 dividiert gibt sich selbst zum Quotienten.

Aus a .0 = 0 folgt:

2. 0:0 = a, too a eine beliebige Zahl bedeutet. 6. Ein Quotient, dessen Dividend Null und dessen Divisor von Null verschieden ist, ist gleich Null.

1. 0: a = 0;

7.    Ein Quotient, dessen Dividend und Divisor Null sind, ist unbestimmt.

Ein derartiger Quotient fügt sich nicht den Rechnungsgesetzen, da er jeden beliebigen Wert annehmen kann.

8.    Ein Quotient, dessen Dividend vonNull verschieden und dessen Divisor Null ist, ist unmöglich.

a : 0 oder ist, wenn a nicht Null ist, unmöglich; denn es gibt keine Zahl, welche, mit 0 multipliziert, das Produkt a gibt.

Zusatz. Aus 7. und 8. folgt: Man darf mit keinem Quotienten rechnen, dessen Divisor Null ist.

§. 48. Formveränderung eines Quotienten. Der Wert eines Quotienten bleibt unverändert, wenn man den Dividend und den Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder beide durch dieselbe Zahl dividiert.

2. - =

d: m

l.

a a . m t

b    b.m*

Beweis. 1.    = e, folglich a = b c,

und am = (bm). c (§. 36, 1);

2. Der zweite Teil folgt als Umkehrung aus dem ersten.

mechengesrhe.

§. 49. Ein Produkt kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man einen Faktor durch die Zahl dividiert.

»lg-

— —. b — a. —.

c    c

Skweis. a) Ist b der richtige Quotient der Zahlen ab und c, so muß er, mit dem Divisor c multipliziert, den Dividend a b geben. Nun ist wirklich

a) {|.b}. c = {± c}.b (§. 36, 1) = a.b (§. 47, 1).

b) {a. |}.c = a.{|.c} (§. 36, 1) = a.b (§. 47, 1).

§. 50. Ein Quotient kann mit einer Zahl multipliziert werden, indem man den Dividend mit der Zahl multipliziert oder den Divisor durch die Zahl dividiert.

b "C b b : c ’

Leweis. a) ist die Umkehrung des Satzes §. 49; b) folgt aus a), indem man Dividend und Divisor durch c dividiert.

§. 51. Ein Quotient kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man den Dividend durch die Zahl dividiert oder den Divisor mit der Zahl multipliziert.

bc *

— : c = b

Leweis. a) — .c =    (§. 50) = | (§. 47, 1).

b) folgt aus a) nach §. 48.

§. 52. 1. Eine Zahl kann durch ein Produkt dividiert werden, indem man dieselbe in beliebiger Reihenfolge fortschreitend durch die Faktoren dividiert.

: c -----

- : b.

Ergibt sich durch Umkehrung der im §. 51 bewiesenen Gleichungen. 2. Eine Zahl kann mit einem Quotienten multipliziert werden, indem man dieselbe in beliebiger Reihenfolge fortschreitend mit dem Dividend multipliziert und durch den Divisor dividiert.

ab

.b.

a.— o

Folgt durch Umkehrung der Gleichungen in §. 49.

3. Eine Zahl kann durch einen Quotienten dividiert werden, indem man dieselbe in beliebiger Reihenfolge fortschreitend durch den Dividend dividiert und mit dem Divisor multipliziert.

o er

ac

— y-c =

Ergibt sich durch Umkehrung aus §. 50.

Folgesatz. Wenn mehrere Operationen der zweiten Stufe aufeinanderfolgen, so ist deren Reihenfolge gleichgültig.

§. 53. Potenzen derselben Basis kann man dividieren, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten des Dividends und Divisors potenziert.

am : an = am _n

Beweis. Damit hier die Division nach §. 45 ausführbar fei, muß vorausgesetzt werden, daß m größer als n sei. Man setze m = n + w, oder m — n = w, dann ist

am : a” = an+w : an = an . aw : an (§. 38)

= aw (§. 47, 3) = am~“.

§. 54. 1. Eine Summe kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man jeden Summanden durch die Zahl dividiert und die Teilquotienten addiert.

a-f-b _ a - b

m ' m*

Beweis.

2. Umgekehrt: Zwei Quotienten mit gleichem Divisor können addiert werden, indem man die Summe ihrer Dividenden durch den gemeinsamen Divisor dividiert.

§. 55. 1. Eine Differenz kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man den Minuend und den Subtrahend durch dieselbe dividiert und von dem ersten Quotienten den zweiten subtrahiert.

+    . m =A. m + ^. m (§. 39,1) = a + b (§. 47,1).

Beweis.    ~ •m (§• 39, 2) = a — b (§. 47,1).

2. Umgekehrt: Zwei Quotienten mit gleichem Divisor können subtrahiert werden, indem man die Differenz ihrer Dividenden durch den gemeinsamen Divisor dividiert.

Zusatz. Bei der Division eines Polynoms durch eine Zahl kommen diese Lehrsätze wiederholt zur Anwendung.

§. 56. Division zweier Polynome. Es sei der Quotient

A

-g-, wo A und B mehrgliedrige, und zwar gleichartig geordnete Ausdrücke bedeuten, zu entwickeln. Da der Dividend A die Summe der Produkte ist, welche durch Multiplikation des ganzen Divisors B mit den einzelnen Gliedern des Quotienten entstehen, so ist das erste Glied in A das Produkt aus dem ersten Gliede in B und dem ersten Gliede im Quotienten. Man findet daher das erste Glied q des Quotienten, indem man das erste Glied des Dividends durch das erste Glied des Divisors dividiert. Nachdem man das Produkt aus dem ganzen Divisor und dem ersten Gliede des Quotienten von dem Dividend subtrahiert hat, ist das erste Glied des Nestes entsprechend der Entstehungsweise von A das Produkt aus dem ersten Gliede des Divisors und dem zweiten Gliede des Quotienten. Man findet daher dieses zweite Glied, indem man das erste Glied des Restes durch das erste Glied des Divisors dividiert, u. s. f.

Z. 58.: (3a¹ — 4ab —4b¹) : (3a + 2b) = a — 2b 3 a¹ -f- 2 a b

—    6 ab — 4b¹

—    Gab -4b¹

Zusah 1. Insbesondere erhält man:

(a¹ — b¹) : (a + b) = a — b, und (a¹ —b¹) : (a —b) = a + b; d. h.

Die Differenz der Quadrate zweier Zahlen dividiert durch die Summe oder die Differenz dieser Zahlen gibt bezüglich die Differenz oder die Summe derselben Zahlen.

Zusatz 2. Die Horner'sche Divisionsmethode. Dividiert man das nach fallenden Potenzen von x geordnete Polynom (A₀ xn -f- At xn_1 + A₂xn-¹ + . . . + An_j x + An) durch das gleichartige Binom (x + a), so erhält man folgenden Quotienten:

A₀ x—¹ + (A, - a AJ x—² + (Aa - a BJ x—² + (A,-aBa) x-⁴

B,

B,

Ba

Der Quotient ist also gleichfalls nach fallenden Potenzen von x geordnet. Der Exponent des ersten Gliedes ist um 1 kleiner als der Exponent des ersten Gliedes im Dividend und der Koeffizient dieses Gliedes ist gleich dem ersten Koeffizienten des Dividends. Jeder folgende Koeffizient wird erhalten, indem man den vorhergehenden mit a multipliziert und das erhaltene Produkt von dem gleichstelligen Koeffizienten des Dividends subtrahiert. Somit können die Koeffizienten des Quotienten in folgender Weise gebildet werden:

A₄ ...

Koeff. d. Dividends: A0 subtrahiert:

A,

a₂

A,

aA₀

aBj

a Ba

aB,

Koeff. d. Quotienten: A0 Das letzte Glied dieser Reihe ist der Divisionsrest. Durch Substitution erhält B₄ = A₀ a⁴ — Aj $>² -f- A₂ a¹ — A₃ a A₄.

Somit wird der Rest erhalten, wenn man im gegebenen Dividend statt x das zweite Glied des Divisors mit entgegengesetztem Zeichen setzt.

1. Beispiel. (2 x⁴ + x² — 2 x¹ -f 3 x — 12) : (x + 2)

+ 3 + 8

man:

<m

B.

B,

B₄ .

-12 — 10

₊ yn-l

+ y + ya + y:

Quotient: xn_1 xn~² y -j- xn~³ y² -f* • • • • + yn_1; Rest 0.

§. 57. Erklärung. Wenn der Dividend a kein Vielfaches des Divisors b ist, somit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Vielfachen von b liegt,

b q<a<b (q + 1) dann ist a — bq-s-r, wo r<b ist.

In diesem Falle nennt man die Zahl q, welche angibt, wie oft man b von a subtrahieren kann, den unvollständigen Quotienten und die Zahl r, welche kleiner ist als der Divisor, den Divisionsrest.

2. a = b q -j- r

1. r — a — bq;

1.    Der Divisionsrest wird erhalten, wenn man von dem Dividend das Produkt aus dem unvollständigen Quotienten und dem Divisor subtrahiert.

2.    Der Dividend wird erhalten, wenn man zu dem Produkte aus dem unvollständigen Quotienten und dem Divisor den Divisionsrest addiert.

Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Division.

§. 58. 1. Gleiches durch Gleiches dividiert gibt Gleiches. Ist a — b und c = d, so ist -j- = -j. Beweis wie §. 14, 1.

2. Größeres durch Gleiches dividiert gibt Größeres.

Vor. a y> 1)

Beweis.

2. Beispiel. (xn — y”) : (x —-y)

-y'

0    — y”

— y“⁻¹ — r

a = b w c — d

B-h' T>1

folglich

3.    Gleiches durch Größeres dividiert gibt Kleineres.

Ist a = b und c>d, so ist

Beweis. Wäre-^->-^-, so müßte in beiden Fällen    d

(§. 44, 2 und 3), daher a>b (§. 47, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist.

4.    Größeres durch Kleineres dividiert gibt Größeres.

Ist a>b und c<d, so ist f >|.

Beweis. Wäre —, so müßte in beiden Fällen . c<-^-. d (§. 44, 2 und 4), daher a <b (§. 49, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist.

5. Größeres durch Größeres dividiert gibt ein unbestimmtes Resultat.

Beweis. a = b + w c> d

Vor. a> b c>d

V II A

$=b| er

<b

folglich - —^ (§. 14. Beweis zu 4.)

Division mit algebraischen ganzen Zahlen, ß. 59. Zwei gleich bezeichnete Zahlen geben einen positiven, zwei ungleich bezeichnete Zahlen einen negativen Quotienten.

(-a):(+b) = -q, (— a): (— b) = + q,

(+a):(+b) = + q,

(+a):(-b) = -q,

wo q den absoluten Wert des Quotienten darstellt.

öewris. Ist der Dividend (das Produkt) positiv, so müssen der Divisor und der Quotient (die beiden Faktoren) gleich bezeichnet sein; also ist (+ a): (+ b) = +q und (+ a): (— b) = — q.

Ist der Dividend negativ, so müssen Divisor und Quotient verschiedene Vorzeichen haben; also ist (— a): (+ b) — — q, und (— a): (—b) = + q.

§. 60. Die Sätze über die Multiplikation und Division mehrgliedriger Ausdrücke gelten auch für algebraische Summen; nur müssen die additiven und subtraktiven Glieder hier als positive und negative Summanden betrachtet werden.

III. Zahlensysteme.')

Zahlensysteme überhaupt.

§. 61. In dem Zahlensysteme mit der Basis b ist jede Zahl dargestellt als eine Summe von Gliedern, welche nach fallenden Potenzen der Basis b geordnet sind, und deren Koeffizienten kleiner als die Basis sind. Somit ist die allgemeine Form für irgend eine ganze Zahl in dem Zahlensysteme mit der Basis b:

N an bn -j— an—t bn 1 —(— an—₂ b¹¹™~ -|—.,. —(— a₂ b² a₁ b -j— <Iq.

Darin können die Koeffizienten a₀, a„ ... bis audie Werte 0, 1, 2 ... bis b — 1, an die Werte von 1 bis b — 1 haben. Mithin muß b>l sein.

*) In diesem sowie in bem folgenden Abschnitte ist unter Zahl stets eine natürliche Zahl zu verstehen.

Movnik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Aufl. Z

Die aufeinanderfolgenden Potenzen von b heißen entsprechend dem Exponenten Einheiten der ersten, zweiten, dritten, . . . . Ordnung oder auch des ersten, zweiten, dritten, . . . . Ranges, wahrend die natürliche Einheit auch Einheit der nullten Ordnung (des nullten Ranges) genannt wird.

Um nun in diesem Systeme alle beliebigen ganzen Zahlen zu be-nennen, müssen einerseits die Zahlen von 0 bis b—-1, anderseits die Einheiten der verschiedenen Ordnungen besondere Namen erhalten.

Um diese Zahlen schriftlich darzustellen, wird nach dem indischen Positions-Systeme folgender Grundsatz befolgt. Es werden nur die Koeffizienten der einzelnen Glieder einschließlich 0 geschrieben, während das Zeichen + sowie die Potenzen der Basis nicht geschrieben werden. Somit bedarf es nur besonderer Zeichen (Ziffern) für die Zahlen, welche kleiner als b sind, und des Zeichens 0.

Infolge dieser Vereinbarung kommt jeder Ziffer außer ihrem Zifferwerte noch ein besonderer Stellenwert zu; und zwar hat die Einheit, wenn sie an der nten Stelle von rechts angefangen steht, den Stellenwert bn_1, oder sie ist eine Einheit der (n — 1)ten Ordnung.

So bedeutet 5342, im Systeme der Grundzahl 6 geschrieben, was wir durch 5342 [6] ausdrücken wollen,

5.6³ + 3.6² + 4.6 + 2.

Dekadisches Zahlensystem.

§. 62. Das gegenwärtig allgemein gebräuchliche Zahlensystem ist das dekadische, dessen Basis zehn (deka) ist.

Verbindet man mit jenen Zahlwörtern die Be-

In diesem drückt man die ersten neun Zahlen, Einer, mit den bekannten Zahlwörtern eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, nenn aus und nennt die Einheit des ersten, zweiten, dritten, vierten, ... Ranges bezüglich einen Zehner, einen Hunderter, einen Tausender, einen Zehntausender.

Nennungen der aufeinanderfolgenden dekadischen Einheiten, so kann dadurch jede beliebig große Zahl benannt werden.

Von dieser schwerfälligen indischen Methode weicht die gebräuchliche darin ab, daß jede Zahl in Klassen zu je 6 und Ordnungen zu je 3 Stellen eingeteilt wird. In jeder Klasse spricht man die höhere Ordnung mit ihrem Namen Tausend, dann die niedrigere ohne Namen und zuletzt den Namen der Klasse ans.

Um die dekadischen Zahlen schriftlich darzustellen, genügen die indischarabischen Ziffern für die ersten neun Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9. zu denen noch die 0 kommt.

mit

b, c, . . . p, q, r irgend eine der Zahlen

c Ausdruck

0,1, , • • • 8, , so ist

r.IO + q.IO”"*⁻¹ + p- 10n_s -j-    c. 10a + b. 10 -f- a

die allgemeine Form einer dekadischen ganzen Zahl. Dieselbe wird ent« sprechend den Vorschriften des §. 61 abgekürzt geschrieben. Z. B.

35684 = 3.IO + 5.10³ + 6.10a + 8.10 + 4, oder = 30000 + 5000 + 600 + 80 + 4.

Folgesätze. 1. Der Rangexponent der höchsten Ziffer ist um 1 kleiner als die Anzahl der Ziffern.

2. Bedeutet N eine dekadische ganze Zahl, deren höchste Ziffer den Rangexponenten n hat, also eine (n +1) ziffrige ganze Zahl, so ist

10"~b* > N ■> 10“.

§. 63. Die bekannten Vorschriften für das R e ch n e n mit dekadischen ganzen Zahlen beruhen auf den Sätzen, welche für das Rechnen mit mehrgliedrigen Ausdrücken, die nach den Potenzen derselben Basis geordnet sind, gelten, wobei jedoch wegen der einfacheren Darstellung der dekadischen Zahlen durch nebeneinander geschriebene Ziffern auf den Stellenwert dieser Ziffern stets Rücksicht genommen werden muß.

Auch die Rechnungsoperationen mit nichtdekadischen Zahlen werden nach den gleichen Gesetzen wie die mit dekadischen Zahlen ausgeführt.

Transformation der Zahlen ans einem Zahlensysteme in ein anderes.

§. 64. Aufgaben. 1. Einein einem nichtdekadischen Zahlensysteme geschriebene Zahl in das dekadische Zahlensystem zu übertragen.

Man schreibe die Zahl in nicht abgekürzter Form.

Ist z. B. 32013 [4] in das dekadische Zahlensystem zu übertragen,

so hat man

32013 [4] = 3.4⁴ + 2.4³ + 0.4a + 1.4 + 3

= 3.256 + 2.64 + 1.4 + 3 = 903 (10).

2. Eine Zahl des dekadischen Zahlensystems in ein nichtdekadisches Zahlensystem, dessen Basis gegeben ist, zu übertragen.

Man bilde die aufeinanderfolgenden Einheiten des neuen Systems. Dann dividiere man die gegebene Zahl durch die höchste dieser Einheiten, welche in ihr enthalten ist, den Rest durch die nächstkleinere Einheit, den neuen Rest durch die weiter folgende Einheit, u. s. f. Die gefundenen Quotienten sind die Ziffern der gegebenen Zahl in dem neuen Systeme

Ist z. B die dekadische Zahl 487 in das System der Grundzahl 6 zu übertragen, so hat man,

487 :216 = 2 55 : 36 = 1 19:    6    =    3

1: 1 = 1

6° = 1 6¹ = 6 6² = 36 6» = 216

also 487 [10] = 2131 [6],

IV. Teilbarkeit der Zahlen.

tz. 65. Eine Zahl a heißt durch eine andere Zahl b teilbar, wenn sie, durch dieselbe dividiert, eine ganze Zahl zum Quotienten gibt. Der Dividend a heißt in diesem Falle ein V i e lf a ch e s (§. 33,1) oon b, und b ein Maß von a.

Eine Zahl, welche nur durch die Einheit und durch sich selbst teilbar ist, wirdeine absolute Primzahl, auch bloß Primzahl genannt; jede andere Zahl heißt eine zusammengesetzte Zahl.

Eine Zahl, durch welche zwei oder mehrere andere Zahlen teilbar sind, wird ein gemeinsames Maß dieser Zahlen genannt. Unter dem größten gemeinsamen Maße mehrerer Zahlen versteht man die größte Zahl, durch welche diese Zahlen teilbar sind. Zahlen, welche außer der Einheit kein gemeinsames Maß haben, heißen relative Primzahlen oder teilerfremde Zahlen.

Eine Zahl, welche durch zwei oder mehrere andere Zahlen teilbar ist, heißt ein gemeinsames Vielfaches dieser Zahlen. Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen versteht man die kleinste Zahl, welche durch alle jene Zahlen teilbar ist.

Gemeinsames Maß -er Zahlen.

§. 66. 1. Jedes gemeinsame Maß zweier oder mehrerer Zahlen ist auch ein Maß ihrer Summe.

Sewkis. Es sei m ein Maß der Zahlen a, b. So ist a = ma

b = m/3, wo a, ß ganze Zahlen bedeuten; folglich a-j-b = mcc-f-m/? = m {a-\- ß), somit ist m, da a + ß auch eine ganze Zahl ist, ein Maß von a-fb.

2.    Jedes gemeinsame Maß zweier Zahlen ist auch ein Maß ihrer Differenz.

Der Beweis ist dem vorigen analog.

3.    Jedes Maß einer Zahl ist auch ein Maß jedes Vielfachen der Zahl.

Folgt unmittelbar aus Satz 1.

ec

rH

4. Ist eine Zahl durch eine zusammengesetzte Zahl teilbar, so ist sie auch durch deren Maße teilbar.

Skweis. Es sei m ein Maß von a und m — p.q. Dann ist a ----m« — p.(q.cc) — q (p.«); somit hat a die Maße p und q.

Folgesätze. 1. Jedes gemeinsame Maß des Dividends a und des Divisors b ist auch ein Maß des Divisionsrestes r — a — b q.

2.    Jedes gemeinsame Maß des Divisors b und des Divisionsrestes r ist auch ein Maß des Dividends a — b. q + r.

3.    Aus 1 und 2 folgt: Das größte gemeinsame Maß zwischen oem Divisor und dem Divisionsreste ist auch das größte gemeinsame Maß zwischen dem Divisor und dem Dividend.

§. 67. Aufgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier Zahlen zu finden.

Man dividiere die größere der beiden Zahlen durch die kleinere, sodann den Divisor durch den Divisionsrest, den neuen Divisor durch den neuen Rest, u. s. f., bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht; der letzte Divisor ist das größte gemeinsame Maß der zwei gegebenen Zahlen.

Leweis. Sind a und b, wo a>b, die zwei gegebenen Zahlen und gibt a: b den Quotienten qt mit dem Reste rv b:r, „

ri: rs

q« „

r₂:r₃

so ist r₃ das größte gemeinsame Maß von rä und r₃, somit (nach §. 66, 3. Folgest) auch von r, und ra, daher auch von b und r, und schließlich auch von a und b.

Das hier angegebene Verfahren, zu a und b das größte gemeinsame Maß zu finden, pflegt man die Kettendivision für a und b zu nennen.

jßttfptel.

Um das gr. g. Maß von 1134 und 3654 zu finden, hat man

113436543

oder

3654:1134 = 3 mit dem Reste 252 1134: 252 = 4 „    ..

252: 126 = 2 „    „    „    „

M (1134, 3654) = 126.

§. 68. 1. Ist bei der Kettendivision für a und b der letzte Divisor gleich 1, so sind a und b relative Primzahlen; und umgekehrt.

2. Wenn ein Produkt ac durch ein e Zahl b teilbar ist, welche zu dem einen Faktor a eine relative Primzahl ist, so ist der andere Faktor c durch dieselbe teilbar.

Beweis. Es sei gemäß der Voraussetzung in der Kettendivision für a und b i» §. 67 r₃ = 1. Multipliziert man in jeder Division den

.. 126

126

252

Dividend und Divisor mit c, so wird auch bei ungeändertem Quotienten der DivisionSrest mit c multipliziert. ES gibt also

1-

r₂c

q₃ "

ac:bc den Quotienten mit dem Reste rxc bellte „ rxc:r₂c „

Weil nun gemäß dem zweiten Teile der Voraussetzung ac durch b teilbar ist, so ist nach §. 66, 1. Folges. auch rxc dann r₂c und schließlich c durch b teilbar.

Folgesatz. Sind a und b relative Primzahlen, so ist das größte gemeinsame Maß von av und b auch das größte gemeinsame Maß von c und b.

§. 69. Das Verfahren der Kettendivision läßt sich auch auf Polynome anwenden, welche nach fallenden Potenzen derselben allgemeinen Zahl geordnet sind. Hiebei hat man jenes Polynom als die kleinere Zahl zu betrachten, welches mit einer niedrigeren Potenz der Hauptgröße oder bei gleich hohen Potenzen mit einem kleineren Koeffizienten im ersten Gliede beginnt. Um nun die Division mit Vermeidung von Brüchen ausführen zu können, muß man häufig einen der beiden Ausdrücke mit einer Zahl multiplizieren oder durch eine Zahl dividieren, welche zu dem andern Ausdrucke relativ prim ist.

ißtifptel: Man suche das gr. g. Maß von

10x² + 14x—12 und 7x²-|-22x-j-16.

Damit die Division der beiden Ausdrücke in ganzen Zahlen ausgeführt werden könne, multipliziere man den ersten mit 7, welche Zahl kein Maß des zweiten Ausdruckes ist; man hat dann

(70 x² + 98x - 84): (7 x² + 22x + 16) = 10 70x² + 220x + 160

-122x — 244.

Wird der Rest — 122x — 244 durch die Zahl - 122, welche kein Maß des früheren Divisors ist, dividiert, wodurch man x + 2 erhält, so ergibt sich als weitere Rechnung:

(7x²+22x + 16): (x + 2) = 7x + 8 7 x² + 14 x

+ 8x +16 + 8 +16

Das gr. g. Maß ist also x + 2.

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.

§. 70. Ist eine Zahl n kleiner als das Quadrat einer andern Zahl a und ist n mit Ausschluß der Einheit durch keine Zahl unter a teilbar, so ist n eine Primzahl.

Beweis. Gesetzt, n sei durch irgend eine Zahl p!>a teilbar, also n — px, tob x eine ganze Zahl bezeichnet; dann wäre n auch durch x teilbar. Aus n *< a² und p> a folgt aber n: p<a, oder x<a. Es müßte daher unter der obigen Annahme n durch eine Zahl x < a teilbar sein, was gegen die Voraussetzung ist. n muß also eine Primzahl sein.

§. 71. Untersuchung, ob eine Zahl eine Primzahl ist.

Man dividiere die gegebene Zahl durch die aufeinanderfolgenden Primzahlen eventuell so lang, bis der erhaltene Quotient kleiner ist als der Divisor. Wenn keine dieser Divisionen aufgeht, so ist die Zahl eine Primzahl.

Die Richtigkeit folgt aus §. 70.

Z. B. 131 ist nicht teilbar durch 2, 3, 5, 7, 11, 13, somit eine Primzahl. Letzte Division 131,: 13 — 10; 131 — 13.10 + 1, folglich 131 < 13².

§. 72. 1. Wenn ein Produkt ab durch eine Primzahl p teilbar ist, so muß (mindestens) ein Faktor durch dieselbe teilbar sein.

Beweis. Eine Primzahl ist entweder in einer anderen Zahl ohne Rest enthalten oder zu ihr relativ prim. Wenn daher a durch p nicht teilbar ist, so muß nach §. 68, 2, b durch p teilbar sein oder umgekehrt.

2.    Ist eine Zahl a durch zwei relative Primzahlenbund e teilbar, so ist sie auch durch deren Produkt teilbar.

Beweis. Gemäß Annahme ist a = bß; da aber a = b/S auch durch c teilbar ist und c zu b teilerfremd ist, so ist ß durch c teilbar. Mithin ist ß = c. y und daher a = (b c). y.

3.    Die Potenzen zweier relativer Primzahlen sind selbst relative Primzahlen.

Beweis. Angenommen die Potenzen ar und b“, deren Basen relative Primzahlen sind, hätten ein Maß m, so müßte jeder Primfaktor von m nach Satz 1) sowohl in a als auch in b ohne Rest enthalten sein, was gegen die Voraussetzung ist.

§. 73. Jede zusammengesetzte Zahl läßt sich, und zwar nur aus eine Art, in lauter Primfaktoren zerlegen.

Beweis. Jede zusammengesetzte Zahl

muß wenigstens in zwei Faktoren zerlegt werden können, wobei der Faktor 1 ausgeschlossen bleibt; diese lassen sich, wenn sie zusammengesetzte Zahlen sind, wieder in Faktoren zerlegen, die entweder schon Primzahlen oder selbst wieder zusammengesetzte Zahlen sind; wird im letzteren Falle das Zerlegen fortgesetzt, so muß man da die Faktoren immer kleiner werden, endlich lauter Primzahlen als Faktoren erhalten. Sind nun m, n, p, q, r die gefundenen Primfaktoren, von denen einige auch gleich sein können, so sind dieselben auch die einzi gen

absoluten Primzahlen, deren Produkt die Zahl a ist. Denn ließe sich a auch in die Primfaktoren s, t, u, v, die von m, n, p, q, r verschieden sind, zerlegen, so müßte mnpqr = stuv, und daher mnpqr durch s teilbar sein, was jedoch nach §. 72, 1 nicht möglich ist.

Nunmehr ergibt sich aus §. 72 nachstehender

Folgesatz. Eine Zahl a kann nicht durch eine Zahl b teilbar sein, wenn letztere einen Primfaktor enthält, der in a nicht vorkommt, oder eine höhere Potenz eines Primfaktors, als in a vorkommt.

§. 74. 1. Aufgabe. Eine zusammengesetzte Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen.

Man dividiere die gegebene Zahl durch die kleinste Primzahl, durch die sie teilbar ist, 1 nicht mitgerechnet; den Quotienten dividiere man wieder durch die kleinste Primzahl, durch die er teilbar ist, die frühere Primzahl nicht ausgenommen, und verfahre so mit jedem folgenden Quotienten, bis man endlich auf einen Quotienten kommt, der selbst eine Primzahl ist. Die nach und nach angewandten Divisoren und der letzte Quotient sind die Primfaktoren, ans denen die vorgelegte Zahl besteht.

Ist z. B. 630 in Primfaktoren zu zerlegen, so hat man:

315

105

35

630 : 2 — 315 oder 6302 315:3 = 105 105:3 = 35 35:5 ---    7

also 630 = 2.315 = 2.3.105 --- 2.3.3.35 = 2.3.3.5.7.

2. Aufgabe. Sämtliche Faktoren einer zusammengesetzten Zahl zu finden.

Es sei die gegebene Zahl n in Primfaktoren zerlegt, also n ----- a^Mcy, so muß ein Faktor dieses Produktes die Form haben m — aPb’cr, worin p, q und r alle beliebigen Werte von 1 bis a, bezüglich von 1 bis ß und von 1 bis y annehmen können, und außerdem jede Potenz den Wert 1 haben kann. Da man diese Werte beliebig miteinander verbinden darf, so ist die Anzahl sämtlicher Maße von n, wenn die Einheit mitgezählt wird, (a + !)(/? + 1) (y + 1).

Man findet die Faktoren in geordneter Reihenfolge, entsprechend dem folgenden Beispiele.

2702 1353, 6 453, 9, 18 153, 27. 54

55, 10, 15, 30, 45, 90, 135, 270.

270 = 2.3®.5; Anzahl der Maße ---- 2.4.2 ----16.

§. 75. Aufgabe. Einen allgemeinen Zahlenausdrnck in Faktoren zu zerlegen.

24a²mx² ----- 2³.3.a²mx².

Bei eingliedrigen Ausdrücken stellen die einzelnen Buchstaben selbst die Primfaktoren vor; demnach ist nur eine Zerlegung des Koeffizienten erforderlich. Z. B.

Für die Zerlegung der Polynome in Faktoren lassen sich keine allgemeinen Regeln geben; es sollen daher hier nur häufiger vorkommende spezielle Fälle betrachtet werden.

1.    Ein Polynom, dessen sämtliche Glieder ein gemeinsames Maß haben, wird nach §. 43 in zwei Faktoren zerlegt, indem man das gemeinsame Maß als den einen Faktor heraushebt und als den andern Faktor den Quotienten setzt, welcher aus der Division des gegebenen Ausdruckes durch jenes gemeinsame Maß hervorgeht. Z. B.:

1)    3ax — 6bx— 3x = 3x(a — 2b — 1).

2)    x (x² — 1) — (x — l)⁸ = (x — 1) (x² + x — x² -j- 2 x — 1) = (x —1) (3x — 1).

2.    Insbesondere folgt aus §. 44, Zusatz:

1)    a² + 2ab + b²=(a + b)²,

2)    a² - 2ab + b² = (a — b)a,

3)    aa —ba = (a + b)(a—b);

ferner allgemein:

4)    a2m-H + b2m*t"¹ = (a + b) (a2m — a

5)    a²™*¹ — b²”^¹ = (a — b) (a2m + a2m_1 b -j- a2m—² b² + .. + b2m),

6)    a2m — b2m = (a + b) (a

7)    a2m — b2m — (a — b) (a

4)    Die Summe zweier Potenzen mit gleichen ungeraden Exponenten ist durch die Summe der Basen teilbar.

5)    Die Differenz zweier Potenzen mit gleichen ungeraden Exponenten ist durch dieDifferenz derBasen teilbar.

6)    und 7) Die Differenz zweier Potenzen mit gleichen geraden Exponenten ist sowohl durch die Summe als auch durch die Differenz der Basen teilbar.

Diese Sätze ergeben sich aus den Aufgaben des Übungsstoffes in § 7. Nr. 127, 129, 131 und 133.

2m—1

b + a3m~²b² — .. -j- b2m),

2m—1

2m— 1

— a2m-²b + a2m-⁸b² — .. — b²™-¹),

_j_ a2m-2b _j_ a2m-3b2    bsm-l)

Teilbarkeit dekadischer Zahlen.

§. 76. Die allgemeine Form einer dekadischen Zahl N ist:

N = a + b 10 +c.100 +d.lOOO +6.10000+ . . . .

Darin sind a, b, c, . . . die aufeinanderfolgenden Ziffern von rechts angefangen. Durch Herausheben gemeinsamer Faktoren erhält dieselbe auch folgende Form:

N = a + 10. n, = (a+b.10) +100 na = (a + b,10 + c.lOO)+1000n₃, wo n„ n₃, n₃ ganze Zahlen sind. Da nun 10n, durch 2 und 5, 100 n3 durch 4 und 25, 1000 n, durch 8 und 125 teilbar sind, so ergeben sich nach §. 66, 1 folgende Regeln:

1.    Eine dekadische Zahl ist durch 2 oder durch 5 teil» bar, wenn ihre niedrigste Ziffer bezüglich durch 2 oder 5 teilbar ist.

Zusatz. Zahlen, welche durch 2 teilbar sind, heißen gerade, alle übrigen ungerade Zahlen. Die allgemeine Form für die geraden Zahlen ist 2m, für die ungeraden 2m + l oder 2m — 1, wo m irgend eine ganze Zahl sein kann.

2.    Eine dekadische Zahl ist durch 4 oder durch 25 teilbar, wenn ihr zweistelliges Ende bezüglich durch 4 oder 25 teilbar ist.

3.    Eine dekadische Zahl ist durch 8 oder durch 125 teilbar, wenn ihr dreistelliges Ende bezüglich durch 8 oder 125 teilbar ist.

Ferner: N — a + b.9 + b + c.99 + c + d.999 + d + ...

— (a + b + c + d + ...) + 9 n, wo n eine ganze Zahl ist. Da nun 9 n durch 3 und 9 teilbar ist, so ergibt sich:

4.    Eine dekadische Zahl ist durch 3 oder durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme bezüglich durch 3oderdurch 9 teilbar ist.

N = a + b.ll —b + c.99+c + dl001-d + e.9999 + e +

+ 1.10001 — 1+

= 11 n + [(a + c + e ....)- (b + d + f ...)]

Da 11 n durch 11 teilbar ist, so folgt:

5.    Eine dekadische Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Differenz zwischen den Ziffernsummen der ungeraden und geraden Stellen durch 11 teilbar ist.

6.    Eine dekadische Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. (§ 72, 2.)

Welche Zahlen sind durch 12, 15, 18 teilbar?

Das größte gemeinsame Maß.

§ 77. Aufgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier oder mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfaktoren zu finden.

Nachdem man jede der gegebenen Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt hat, bildet man das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren, erhoben zu den niedrigsten Potenzen, in welchen dieselben auftreten; dieses Produkt ist das gesuchte gr. g Maß.

105

M (4725, 11025, 15015) = 105.

Erläuterung.

Leweis. Das so gebildete Produkt m ist, da alle Faktoren desselben in sämtlichen gegebenen Zahlen enthalten sind, ein gemeinsames Maß derselben; es ist aber auch das größte, weil, sobald man noch einen Faktor p hinzufügen würde, mindestens eine der gegebenen Zahlen nach §. 73, Folgest durch das Produkt m p nicht teilbar sein würde.

Äeispiel. Suche das gr. g. Maß von 300 und 2520.

300 = 2².3.5²,

2520 = 2³.3².5.7.

§. 78. Aufgabe. Das größte gemeinsame Maß mehrerer Zahlen mittelst Kettendivisiou zu finden.

Es ist unmittelbar einleuchtend, daß man bei 3 Zahlen a, b, c das gr. g. Maß nach der ersten Methode (§. 77) auch findet, indem man zuerst das gr. g. Maß m von a und b, und dann das gr. g. Maß von m und c sucht; demnach ist auch bei Anwendung der Methode der Kettendivision in gleicher Weise vorzugehen.

Leispiele. Man suche das gr. g. Maß von 4725, 11025 und 15015.

472511025 0 1575

gr. g. rn. = 2².3.5. = 60.

1575

15015

735

840

= 4725 = 3³.5².7; b = 11025 ---- 3³.5².7a; c = 15015 = 3.5.7.11.13; M = 3.5.7 = 105;

oder: m (a, b) — 3².5².7; M (m, c) — 3.5.7 — 105.

2) Man suche das gr. g. Maß von

3x²—2xy — 5y², 2x² + 9xy + 7y² und 2x²—2y².

Als das gr. g. Maß von 3x² — 2xy — 5y² und 2x² + 9xy+ 7y2 erhält man x + y.

Von x + y und 2x²—2y² ist ferner x + y das gr. g. Maß, welches daher zugleich das gr. g. Maß der gegebenen drei Ausdrücke ist.

Das kleinste gemeinsame Vielfache.

§. 79. Aufgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung inPrimfaktoren zu finden.

Nachdem man jede der gegebenen Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt hat, bildet man das Produkt sämtlicher Primfaktoren, erhoben zu den höchsten Potenzen, in welchen dieselben auftreten; dieses Produkt ist das gesuchte kl. g. Vielfache.

Leweis. Das so gebildete Produkt ist, da es alle Faktoren einer jeden der gegebenen Zahlen enthält, ein gemeinsames Vielfaches derselben; es ist

aber auch das kleinste g. Vielfache, weil, wenn man irgend einen Faktor dieses Produktes wegläßt, die so erhaltene kleinere Zahl nach §. 73, Folges. mindestens durch eine der gegebenen Zahlen nicht teilbar sein kann. Leispiel. Man suche das kl. g. Vielfache von 60, 108 und 1050. 60= 2².3.5,

108 = 2².3³,

1050 = 2.3.5².7;

kl. g. Vielfaches = 2².3³.5².7 = 18900.

§. 80. Aufgabe. Das kleinste gemeinsameVielfachezweier Zahlen mittelst ihres größten gemeinschaftlichen Maßes zu finden.

Man dividiere die eine der beiden gegebenen Zahlen durch das gr. g. Maß und multipliziere mit dem Quotienten die andere; das Produkt ist das gesuchte kleinste gemeinsame Vielfache.

Srweis.    Es    sei m das gr. g. Maß von    a und    b; so ist a = ma

und b = m /?,    wo    a und ß relative Primzahlen    sind.    Jedes Vielfache von

a hat die Form:    u. a = u. m « und jedes Vielfache    von b die Form:

die Gleichung u ina — v mß, woraus folgt n ----- Da nun u eine ganze Zahl ist, anderseits a und ß teilerfremd sind, so muß a in v enthalten sein. Mithin ist a die kleinste Zahl, welche für v, und dementsprechend ß die kleinste Zahl, welche für u gewählt werden kann; folglich ist das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b

v. b = v. m ß.    Für jedes gemeinsame Vielfache    von a    und b besteht daher

ma/3 = ma./? = a(b:m) = mß.a = b (a : m).

Beispiele. 1) Man suche das kl. g. Vielfache von 648 und 972.

6489721

03242

324 ist das gr. g. Maß.

648 : 324 = 2 ; 972.2 = 1944, oder 972:324 = 3 ; 648.3 = 1944; v (648, 972) = 1944.

2) Es soll das kl. g. Vielfache von 9a⁴x²— 4b²y⁴ und 9a⁴x3 — 12a² bxy² 4b²y⁴ gefunden werden.

Das gr. g. Maß dieser Ausdrücke ist 3a²x — 2by². Man hat dann (9a⁴x² — 12a²bxy² -j- 4b² y⁴): (3a²x — 2by²) = 3a²x — 2by²; daher ist (9a⁴x² — 4b²y⁴) (3a²x — 2by²)

= 27 a⁶x³ — 18 a⁴ b x² y² — 12 a² b² x y⁴ + 8 b³ y6 das gesuchte kl. g. Vielfache.

§. 81. Aufgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen mit Anwendung der Kettendivision zu finden.

Es ist unmittelbar einleuchtend, daß man bei drei und mehr Zahlen das kl. g. Vielfache nach der ersten Methode (§. 79) auch findet, indem man zuerst das kl. g. Vielfache zweier Zahlen, dann das kl. g. Vielfache des eben gefundenen Vielfachen und der dritten Zahl sucht und auf diese Art bis zur letzten gegebenen Zahl fortfährt. Das zuletzt gefundene kl. g. Vielfache ist zugleich das kl. g. Vielfache aller gegebenen Zahlen.

In gleicher Weife ist daher auch bei Anwendung der zweiten Methode

vorzugehen.

§. 82. Haben von einer Reihe gegebener Zahlen zwei oder mehrere ein gemeinsames Maß, so kann man, ohne das kl. g. Vielfache zu ändern, anstatt dieser Zahlen ihr gemeinsames Maß nur einmal und zugleich die Quotienten setzen, welche aus der Division jener Zahlen durch das gemeinsame Maß hervorgehen. Ist ferner eine der gegebenen Zahlen ein Maß von einer anderen größeren, so kann die kleinere Zahl ohne Änderung des kl. g. Vielfachen ganz unberücksichtigt gelassen werden.

Hierauf beruht folgendes praktische Verfahren, das kl. g. Vielfache mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfaktoren zu finden:

Beispiel. Man suche das kl. g. Vielfache von 30, 60, 108, 1050. 30, 60, 108, 1050 30, 54, 525 2 IS, 27, 5252 9, 1753

kl. g. Vielfaches = 9.175.2.2.3 = 18900.

Man lasse in der Reihe der gegebenen Zahlen diejenigen weg, welche in andern größeren ohne Rest enthalten sind, dividiere von den übrigen so viele als möglich durch eine absolute Primzahl und schreibe die Quotienten sowie die nicht teilbaren Zahlen unter die früheren Zahlen. Ebenso verfahre man mit der neuen und jeder etwa folgenden Reihe, bis man zuletzt nur relative Primzahlen erhält. Das Produkt dieser letzteren und der absoluten Primzahlen, durch welche dividiert wurde, ist das gesuchte kl. g. Vielfache.

V. Zweite Erweiterung des Zahkengevietes.

Gebrochene Zahlen.

§. 83. Der Quotient ^ hat gemäß der Definition nur eine Bedeutung, wenn der Dividend a ein Vielfaches des Divisors b ist. Demnach stellt der Quotient -g- für den Fall, wo a kein Vielfaches von b ist, eine bedeutungslose Vereinigung von Zahlzeichen vor. Man geht nun wiederum in derselben Weise vor wie bei der ersten Erweiterung des Zahlengebietes. Statt derartige Quotienten überhaupt auszuschließen, weil sie mit der Definition nicht vereinbar find, rechnet man auch mit Quotienten, deren Dividend kein Vielfaches des Divisors ist, und trifft zugleich die Festsetzung, daß auchfür derartige Quotienten die Definitionsformel -^-.d — a Gültigkeit behalte. Infolgedessen gelten für dieselben sämtliche Gesetze der Division.

Diese Quotienten stellen, da sie in der Reihe der bisher bekannten Zahlen nicht enthalten sind, neue Zahlformen dar, für welche auch eine neue Benennung eingeführt wurde.

Erklärung. Ein Quotient, dessen Dividend kein Vielfaches des Divisors ist, wird eine gebrochene Zahl oder ein Bruch genannt; der Dividend erhält den Namen Zähler, der Divisor den Namen Nenner. Im Gegensatze zu den Brüchen heißen die bisher betrachteten Zahlen ganze Zahlen.

§. 84. Der specielle Bruch welcher durch die Gleichung    1

definiert ist, wird Stammbruch oder gebrochene Einheit genannt.

Durch Anwendung von §. 54, 1 folgt:

a.

a 1 + 14-...+!

Jeder Bruch ist ein Vielfaches seiner gebrochenen Einheit. Der Zähler zeigt an, wie vielmal der Bruch die durch den Nenner bestimmte gebrochene Einheit enthält.

§. 85. Bei einer gegebenen Division a: b sind nunmehr zwei Fälle

möglich:

1. Der Dividend ist ein Vielfaches des Divisors; dann ist der Quotient Y eine ganze Zahl.

Bruch.

Eine ganze Zahl in Form eines Bruches heißt ein un eigentlich er

Zusatz. Jede ganze Zahl kann in der Form eines Bruches mit gegebenem Nenner dargestellt werden, indem man das Produkt aus der ganzen Zahl und dem gegebenen Nenner als den Zähler des Bruches annimmt.

Es ist a — ^ (§. 47, 3).

2. Der Dividend ist kein Vielfaches des Divisors; dann ist der Quotient ~ eilt eigentlicher Bruch. In diesem Falle kann entweder a< b ober ft > b sein.

Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, dessen Wert also kleiner als 1 ist, heißt ein echter Bruch. Ein Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist, dessen Wert also größer als 1 ist, heißt ein unechter Bruck.

§. 86. Jeder unechte Bruch kann in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruche verwandelt werden.

Ist a>b, so ist nach §. 57 a — bq r, wo r < b ist ; daher

i = q + T-

Ein Ausdruck von der Form q + ~ heißt eine gemischte Zahl.

Zusatz. Die beiden Sätze in §. 57 finden nun folgende Ergänzung.

Der vollständige Quotient ist gleich der Summe aus dem unvollständigen Quotienten und einem Bruche, dessen Zähler der Divisionsrest und dessen Nenner der Divisor ist.

§. 87. Erweiterte Zahlenreihe. Der Bruch = q + -g-muß zwischen den ganzen Zahlen q und q + 1 und anderseits zwischen den Brüchen und —liegen. Man erweitert daher die Zahlenreihe in der Weise, daß man von 0 angefangen fortschreitend einerseits die gebrochene Einheit addiert, anderseits subtrahiert.

Man erhält dadurch die Zahlenreihe

— Y'_ V“

1 _1 __1 n 4-1 4-1 4-1 4-1 4-1

b' b' b' ' i b' ' b' ’ b' ‘ b' ' b' welche die Zahlenreihe der btel oder die Bruchzahlenreihe für den Nenner b genannt wird. In ihr sind zwischen je zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen b — 1 Brüche eingeschaltet.

Um diese Zahlenreihe an der Zahlenlinie darzustellen, teilt man die als Einheit gewählte Strecke in b gleiche Teile und trägt auf der Zahlenlinie von dem der Null entsprechenden Punkte aus nach beiden Richtungen diese gleichen Teile auf. Die Endpunkte dieser Strecken entsprechen der Reihe nach den Zahlen der obigen Reihe. So hat man für die Reihe der Drittel:

— 2

ceM

“3    “8

+ 1 +3    ,4

~ 3 T 3 TJ

§.88. Anwendung der Bruchlehre auf reale Größen. Jede reale, als Einheit betrachtete Größe, z. B. eine Strecke, eine Kreislinie, eine Kreisfläche kann in beliebig viele (b) gleiche und gleichartige Teile geteilt werden. Jeder Teil hat daher die Eigenschaft, dnial genommen wieder die Einheit zu geben. Wird daher die gegebene Größe mit 1 bezeichnet, so ist ein solcher Teil mit 1 M bezeichnen. Ebenso ist die durch a solcher Teile entstandene Größe durch den Bruch 1 darzustellen, weil diese Größe b mal genommen a ursprüngliche Einheiten gibt. Aus dieser Anwendung der Bruchlehre ist die Bezeichnung „gebrochene Einheit" hervorgegangen.

Allgemeine Lätze.

§. 89. Aus dem Begriffe eines Bruches folgt:

1.    (Definitionsformel.) Jeder Bruch gibt mit seinem Nenner multipliziert den Zähler zum Produkte.

^ • b = 1, -jj-. b = a.

2.    Von zwei Brüchen, die gleiche Nenner haben, ist jener der größere, welcher den größeren Zähler hat.

3.    Von zweiBrüchen, die gleiche Zähler haben, ist jener der größere, welcher den kleineren Nenner hat.

§. 90. Formveränderung eines Bruches. DerWert eines Bruches bleibt unverändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder beide durch dieselbe Zahl dividiert.

§. 91. Von diesem Satze werden folgende Anwendungeu gemacht.

Aufgaben. 1. Einen gegebenen Bruch auf einen gegebenen neuen Nenner zu bringen, welcher ein Vielfaches des früheren Nenners ist. (Erweitern des Bruches.)

Man dividiere den neuen Nenner durch den friiheren Nenner und multipliziere mit dem Quotienten (Erweiterungsfaktor) den früheren Zähler; das Produkt ist der gesuchte neue Zähler.

Z. B. Der Bruch ist auf den Nenner a² — 1 zu bringen.

Der Erweiterungsfaktor ist: (a² — 1): (a — 1) ------ a -j- 1; also

a -f- 2 (a -f- 2) (a —j— 1) a² -f~ 3 a -j- 2

a² —1

a² —1

a — 1

2. Zwei oder mehrere Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen.

Man suche das kl. g. Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche, welches zugleich der neue kl. g. Nenner ist, und bringe (nach Aufg. 1) die gegebenen Brüche auf diesen neuen Nenner.

Beispiel. Es sollen die Brüche    auf den kl. g. Nenner

gebracht werden.

Das kl. g. Vielfache aller Nenner, somit der kl. g. Nenner, ist 4bc²d.

Man erhält dann

a 2ac²d 3m Sc dm 4 n 16b n

2b    4bc²d' 4bc    4bc²d' c²! ~~4bc²d'

3. Einen Bruch, dessen Zähler und Nenner ein gemeinsames Maß haben, abzukürzen, d. i. ohne Änderung des Wertes durch kleinere Zahlen auszudrücken.

a 4- —_ a    n    I    m _ an-j-m

' n    n    ‘    n

an-f-bm

a__- b _ an,

m ' n m n '

Inlatze. 1. Dieser Satz bildet die Erklärung für die Addition gleichnamiger Brüche.

2. Das Kommutationsgesetz der Addition gilt auch für gebrochene Zahlen.

§. 93. Zwei Brüche mit gleichen Nennern werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und der Differenz den gemeinsamen Nenner gibt.

- ^ (§• 55).

a — b

b m an — b m

mn

§. 94. 1. Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert oder den Nenner durch die Zahl dividiert.

a m

bTS «■ 50)-

2. Ein Bruch wird durch eine Zahl dividiert, indem man den Zähler durch die Zahl dividiert oder den Nenner mit der Zahl multipliziert.

bm 51).

Man dividiere Zähler und Nenner durch ihr gemeinsames Maß.

2 am.    12a²bx²

3bn> 15a cx⁸

Q B ~ =

'O-    6 b n

4    a b

5    c x*

Ein Bruch, dessen Zähler und Nenner relative Primzahlen sind, heißt ans die einfachste Form gebracht oder reduziert.

Zusah. Durch das Abkürzen allgemeiner Brüche kann häufig die für besondere Substitutionen in denselben auftretende Unbestimmtheit behoben

werden. So gibt der Bruch ^-~2a für x — a den unbestimmten Wert Durch das Abkürzen aber erhält man

(x-j-a) (x—a)_x -f~ a

2 (x —a)

welcher Bruch für x — a bett bestimmten Wert ^ = a annimmt.

Rechnungsoperationkn mit gemeinen Srüchrn.

§. 92. Brüche mit gleichen Nennern werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und der Summe den gemeinsamen Nenner gibt.

x² —a²

2x — 2a

(8. 54).

a : m

_ ; m = „

§. 95. 1. Eine Zahl wird mit einem Bruche multipliziert, indem man dieselbe durch den Nenner dividiert und den Quotienten mit dem Zähler multipliziert.

= ~ (§• 52, 2).

— .m

in

a.—

n

Dieser Satz bildet die Erklärung für die Multiplikation mit einem Bruche, welche nach der ursprünglichen Definition keinen Sinn hatte.

2. Ein Bruch wird mit einem Bruche multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner dividiert.

¥’

m Za \

-⁼(b:a)-m

^. m (§. 94, 2) = {2 (§. 94, 1).

Folgesatz. Das Kommutationsgesetz der Multiplikation gilt auch für Brüche.

am

(nach 2;

b ' n b n

§. 96. Erklärung. Wenn zwei Zahlen zum Produkte 1 geben, so heißt jede der umgekehrte oder reziproke Wert der andern.

So ist a .    = 1, ^ . -2- = 1, daher der reziproke Wert von a,

^ der umgekehrte Wert von

§. 97. Für bte Division durch einen Bruch ergibt sich:

Eine (ganze oder gebrochene) Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man dieselbe mit dem reziproken Werte des Divisors multipliziert.

a:EL ₌ ±.n (§. 52, 3) = daher auch:    : m

a.

£ (§■ 95, 1) = ^ (§• 48).

b ' m

Wie lautet der letzte Teil in Worten?

Zusatz. Bei der Anwendung der vorausgegangenen Lehrsätze zeige man alle Multiplikationen nur an und kürze eventuell einen Faktor des Zählers gegen einen Faktor des Nenners. Z. B.

12 4 _ 12.5 _ 3 9a² q T 25 : "5 — SO⁻ 5"' §¥ 1 d a Ö —

9 a²

8.3.ab⁴    8 b⁴"

§. 98. Ein Bruch, dessen Zähler oder Nenner, oder beide zugleich wieder Brüche sind, heißt ein Doppelbruch. Er ist nichts anderes als eine angezeigte Division von Brüchen; daher kann derselbe in einen gewöhnlichen Bruch verwandelt werden, indem man diese Division wirklich ausführt, oder indem man Zähler und Nenner des Doppelbruches mit

dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der einzelnen Nenner multipliziert. Z. B.

bm ¹ m

an

Ms|

n bm’ ,

a² + b²

a (a— b) — b (a    b)

a² — 2 a b — b²

aa — ba

aa — ba + a² + ba

2 a²

; ErweiterungS-

faktor: aä — b³.

¹

3

²

Quotient: 2xs — 3x¹ + 4x — 5; Rest: —2.

VI. Unendlich große und unendlich Kleine Größen und Grenzwerte

der Ueränderkichen.

§. 99. Allgemeine Zahlen, denen man während einer Rechnung oder Entwicklung einen bestimmten unveränderlichen Wert beilegt, heißen konstant, im Gegensatze zu den veränderlichen oder variablen Zahlen, welche nach und nach unbegrenzt viele spezielle Werte durchlaufen sollen.

Von einer veränderlichen Zahl x, deren absoluter Wert so im Wachsen begriffen ist, daß er größer wird als jede beliebige absolute Konstante, sagt man, sie wird unendlich groß, oder ihr Grenzwert (limes) ist unendlich. Bezeichnung: lim x = oo

Von einer veränderlichen Zahl y, deren absoluter Wert so im Abnehmen begriffen ist, daß er kleiner wird als jede beliebige absolute Konstante, sagt man, sie wird unendlich klein, oder ihr Grenzwert ist Null. Bezeichnung: lim y — 0.

Wenn eine veränderliche Zahl x bei fortwährendem Zu- oder Abnehmen sich einer konstanten Zahl a, ohne dieselbe zu erreichen, so nähert, daß die Differenz zwischen ihnen unendlich klein wird, so heißt a der Grenzwert von x. Bezeichnung: lim x — a.

§. 100. Lehrsätze. 1. Die Summe einer endlichen Anzahl von unendlich kleinen Summanden ist unendlich klein.

Sind £, v, £... unendlich kleine Zahlen, und ist ihre Anzahl m eine endliche Zahl, so ist auch £ + v + C + • • unendlich klein, d. i. kleiner als jede    beliebige    Konstante c.    Denn    teilt man c in m    beliebige

konstante Teile    a, ß, y,    ..., so wird

£ <. ö,    V < ß,    C < y, ...,    also £    + y +    £+..<:    c.

2. Ein    Produkt, dessen Multiplikand    unendlich klein

und dessen Multiplikator eine konstante, von Null verschiedene Zahl ist, ist unendlich klein.

Folgt aus 1.

3.    Ein Produkt, dessen Multiplikand konstant und von Null verschieden und dessen Multiplikator unendlich klein ist, ist unendlich klein.

lim an — 0 für lim n — 0.

Um zu beweisen, daß für ein unendlich kleines n das Produkt an kleiner als eine beliebige Konstante c wird, braucht man nur n < --zu wählen; dann wird an < c.

4.    Ein Quotient, dessen Dividend konstant und von Null verschieden und dessen Divisor unendlich groß ist, ist unendlich klein.

lim = 0 für lim n = oo.

Um zu beweisen, daß ~ für ein unendlich großes n kleiner als irgend eine Konstante c wird, wähle man n > dann wird -— < c.

5.    Ein Quotient, dessen Dividend konstant und von Null verschieden und dessen Divisor unendlich klein ist, istunend-lich groß.

lim = oo für lim n = 0.

Der Beweis ist analog dem Beweise zu 4.

§. 101. Wenn zwei konstante Zahlen zwischen denselben veränderlichen Grenzen liegen, deren Differenz unendlich klein gemacht werden kann, so sind dieselben gleich.

Seweis.

y > a,

X <. b;

folgt, y — x > a — b.

Vor. x < a < x < 1) < lim (y — x) = 0 Beh. a — b

Wäre nun a — d — a, wo a eine beliebige Konstante ist, so wäre y — x > a, was gegen die Voraussetzung ist; folglich ist a — b — lim x ----- lim y.

Folgesatz. Eine konstante Zahl ist als Grenzwert einer veränderlichen Zahl vollständig bestimmt.

In diesem Abschnitte können unter Zahlen auch insbesondere die Maßzahlen von realen Größen verstanden werden. In diesem Sinne kann in allen Sätzen „Zahl" durch „Größe" ersetzt werden.

§. 102. Jeder Ausdruck z. B. 4 x? — 1, welcher eine oder mehrere Veränderliche enthält, wird (nach Leibnitz) eine Funktion dieser Veränderlichen genannt. Wird der Zahlenwert des Ausdruckes mit y bezeichnet, dann hat die Aussage „y ist eine Funktion von x, geschrieben y = f (x)"

die Bedeutung, daß für jeden speziellen Wert, welcher dem x beigelegt wird, auch y einen ober eine beschränkte Anzahl durch die Gleichung y -----f (x) bestimmter Werte annimmt. Ist z. B. y ----- 4x² — 1, und wählt man für x willkürlich die Werte 0, |, 1, f, 2 . . so erhält man für y der Reihe nach die zugehörigen Werte — 1, 0, 3, 8, 15 ..

Ein Polynom in der Form a x n + b x "-¹ ••• + k x -f- 1, worin a, b, .., k, 1 Konstante, hingegen x eine Veränderliche ist, heißt eine ganze Funktion des nten Grades. Somit ist a i + b eine ganze Funktion des ersten Grades oder eine lineare Funktion, a x² -}- b x -}- c eine ganze Funktion des zweiten Grades oder eine quadratische Funktion.

Eine Funktion heißt gebrochen, wenn dieselbe der Quotient zweier ganzer Funktionen ist.

Die ganzen und gebrochenen Funktionen heißen algebraische Funktionen, alle andern transzendente.

Durch die willkürliche Wahl eines Wertes für x ist der Wert von y ein- oder mehrdeutig bestimmt; demnach ist x die unabhängige, y hingegen die abhängige Veränderliche. Indem man aber die Gleichung nach x auflöst, d. h. durch Anwendung der Sätze über die Verbindung gleicher Größen so umformt, daß x auf einer Seite allein erscheint, kann man umgekehrt auch x als eine Funktion von y darstellen.

Beispiele. Das Produkt ist eine Funktion eines jeden Faktors; die Zinsen sind eine Funktion des Kapitales, der Prozente und der Zeit; der Preis einer Ware ist eine Funktion ihres Gewichtes; die Arbeitszeit ist eine Funktion der Zahl der Arbeiter; die Spannkraft eines Gases ist eine Funktion seiner Dichte und seiner Temperatur u. s. w.

VII. Verhältnisse und Aroportioue«.

1. Verhältnisse.

§. 103. Erklärung. Unter dem Verhältnisse zweier Zahlen a und b versteht man den Quotienten derselben im Sinne der messenden Division (§. 46), d. i. die Angabe, wie vielmal b in a enthalten ist. Der Quotient a: b oder ^ wird als Verhältnis gelesen: a verhält sich zu b ober kürzer: a zu b. Ten Dividend a nennt man das Vorderglied, den Divisor b das Hinterglied des Verhältnisses. Ist a : b = q (12:4 — 3), so heißt der Zahlenwert des Verhältnisses — q (3) — der Quotient desselben.

Vorderglied und Hinterglied müssen unbenannte oder gleichbenannte Zahlen sein. Sind dieselben zwar gleichartige aber ungleich oder mehrfach benannte Zahlen, so müssen dieselben gleichnamig gemacht werden.

Zwei Verhältnisse, welche denselben Quotienten haben, sind einander gleich. Deshalb ist das Verhältnis zweier gleichbenannter Zahlen gleich dem Verhältnisse der entsprechenden unbenannten Zahlen.

Das durch Vertauschung der Glieder eines Verhältnisses a: b entstehende Verhältnis b: a heißt das umgekehrte oder reziproke Verhältnis der Zahlen a und b; im Gegensatze zu demselben wird dann a: b das gerade Verhältnis dieser Zahlen genannt.

Ans dem Begriffe eines Verhältnisses folgt:

1.    Das Vorderglied eines Verhältnisses ist gleich dem Hintergliede multipliziert mit dem Quotienten (§. 47, 1).

2.    Das Hinterglied eines Verhältnisses ist gleich dem Vordergliede dividiert durch den Quotienten (§. 47, 2).

3.    Der Wert eines Verhältnisses bleibt unverändert, wenn man Vorder- und Hinterglied mit derselben Zahl multipliziert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert (§. 48).

Durch Anwendung des 3. Satzes kann man a) jedes Verhältnis, dessen Glieder Brüche enthalten, in ganzen Zahlen darstellen; b) jedes Verhältnis, dessen Glieder ein gemeinsames Maß haben, durch dieses abkürzen.

§. 104. Multipliziert man in zwei oder mehreren Verhältnissen alle Vorderglieder und ebenso alle Hintergliede miteinander, so bilden die Produkte ein neues Verhältnis, welches im Gegensatze zu den gegebenen einfach e n Verhältnissen ein zusammengesetztes Verhältnis genannt wird.

Sind z. B. a: b, c : d, e : f einfach" Verhältnisse, so ist a c e: b d f ein zusammengesetztes Verhältnis.

*) §. 105. Größenverhiiltniß'e. Man kann gletchartige Größen, z. B. Strecken, Winkel addieren, subtrahieren, daher auch jede Größe mit einer unbenannten Zahl multiplizieren und durch eine unbenannte Zahl teilen, sowie eine Größe durch eine andere gleichartige messen. Man kann daher auch zwischen zwei gleichartigen Größen ein Verhältnis aufstellen. In Bezug auf den unbenannten Quotienten eines derartigen Verhältnisses sind zwei Fälle in Betracht zu ziehen:

1. Die beiden Größen A und B sind kommensurabel, d. h. sie haben ein gemeinsames Maß M. Es sei M in A m mal, in B u mal enthalten.

A — M.m, B — M.n; somit M —

A ; B =-.

nnd A —

.in

= B.-

daraus folgt:

a) Der Quotient des Verhältnisses zweier kommensurabler Größen ist eine rationale, d. h. eine ganze oder gebrochene Zahl.

iV

*) Dieser Paragraph kann auch nach der Behandlung der Dezimalbrüche nachgetragen werden.

b) Umkehrung. Wenn der Quotient des Verhältnisses zweier Größen eine rationale Zahl ist, so sind die beiden Größen kommensurabel.

Lrweis. Aus g — ^ folgt: A = B.^ — 5.m; somit ist ® ein gemeinsames Maß von B und A.

2. Die beiden Größen A und B sind inkommensurabel, d. h. sie haben kein gemeinsames Maß, wie z. B. die Diagonale und die Seite eines Quadrates. Es sei nun B in A a₀ mal enthalten mit dem Reste R1; ^ in Bi ax mal mit dem Reste R₂, in K₂ a₂ mal mit dem Reste R₃, u- s- f.; so ist

A = a₀ B -f- Bj — a₀ B -f- ax + Rä = a₀ B -|- ax .y~ -f- a₂ -gj

B+l-

E,-----(n+5+5,+ ...+₁S)b + e

D- Rh-, so folgt:

(». + 5+5,+ ... + ^)B<A<(,, + 5 + ^+... + h±>) B, somit «,    + ^i+---+ni<|<e<. + 3+'S!+-- - +T5T'

worin alf a₂, . . . die Werte 0, 1, 2, ... 9 annehmen können.

Setzen wir nun n der Reihe nach 1, 2, 3,.. .n und bezeichnen die erhaltenen Dezimalbrüche einerseits mit sx, s₂, s₃ ... s„, anderseits mit sx', s/, s₈', ... sn' und den Quotienten des Verhältnisses g mit «, so ist:

Sx S₂ S₃ <C[ . . . Sn u S n "■'C * • . s₃ S₂ sx J

denn ao+j5<a₀+^ + ^ä oder sx < s₂ u. s. f. Hingegen a₀ +    >

a₀ + ~ + oder s/ > s₂', weil -g > -gp. Nur wenn eine Dezimal-

ziffer z. B. a₅ gleich 0 oder 9 ist, so ist im ersten Falle s₄ — s₅, im zweiten s'₄ — s₅'. Si, s₂, 8z .... bilden eine unbegrenzte Reihe wachsender rationaler Zahlen, sx', s₂', s₃', ... eine unbegrenzte Reihe abnehmender rationaler Zahlen von der Beschaffenheit, daß der Unterschied zwischen zwei entsprechenden Gliedern mit wachsendem n unendlich klein wird; denn s'n —• s„ = ^ und lim ~ == 0 für lim n = oo.

Deshalb nennt man beide Reihen gegeneinander konvergierend. Da nun a stets zwischen zwei entsprechenden Gliedern beider Zahlenreihen liegt, so ist a der gemeinsame Grenzwert beider gegeneinander konvergierenden Zahlenreihen, welchem sich die Zahlen der ersten Reihe wachsend, die der zweiten Reihe abnehmend immer mehr und mehr nähern.

So z. B. liegt der Quotient des Verhältnisses der Diagonale eines Quadrates zur Seite zwischen den beiden folgenden konvergierenden Reihen: 1-4 < l 41 < 1-414 < 1-4142 < 141421 < . . .

15 > 1-42 > 1-415 > 1-4143 > 1 "41422 > . . .

Erklärung. Eine Zahl, welche selbst nicht rational ist, aber der gemeinsame Grenzwert zweier gegeneinander konvergierenden Reihen rationaler Zahlen ist, wird eine irrationale Zahl genannt.

Der Quotient des Verhältnisses zweier inkommensurabler Größen ist also eine irrationale Zahl.

Zugleich erhellt aus dem Vorhergehenden, daß die irrationaleZahl der Grenzwert eines unendlichen unperiodischen Dezimalbruches ist, denn der Grenzwert eines unendlichen, periodischen Dezimalbruches ist eine rationale Zahl.

L. Proportionen.

§. 106. Erklärung. Eine Gleichung zwischen zwei gleichen Verhältnissen wird eine Proportion genannt.

Ist a: b = q und c: d = q, so ist auch a: b — c: d; dieser Ausdruck ist eine Proportion und wird gelesen: a verhält sich zu b, wie sich v zu d verhält, oder kürzer: a zu b, wie c zu d. Das erste Glied a und das vierte d nennt man die äußeren, das zweite b und das dritte c die inneren Glieder; auch heißen a und o die Vorderglieder, b und d die Hinterglieder der Proportion. Das vierte Glied insbesondere wird die vierte Proportionale zu den ersten drei Gliedern genannt.

Sind in einer Proportion die inneren Glieder gleich, so heißt dieselbe eine stetige Proportion, z. B. a: b = b: c. Das innere Glied b wird die mittlere (geometrische) Proportionale oder das geometrische Mittel zu a und c und c die dritte stetige Proportionale zu a und b genannt.

Sind die Glieder einer Proportion lauter unbenannte Zahlen, so heißt dieselbe eine Zahlenproportion, sind dagegen die Glieder eines jeden Verhältnisses gleichartige Größen, so heißt sie eine Größenproportion. Jede Größenproportion kann in eine Zahlenproportion verwandelt werden, weil jedes Größenverhältnis durch ein gleiches Verhältnis unbenannter Zahlen ersetzt werden kann. Im folgenden werden nur Zahlenproportionen in Betracht gezogen.

Seziehnngen unter den Gliedern einer Proportion.

§. 107.    1. In jeder Proportion ist das Produkt der

äußeren Glieder gleich dem Produkte der inneren Glieder.

Es sei a: b = c: d. Multipliziert man die Quotientengleichung ^ mit bd, so erhält man    und folglich ad = bc.

Folgesatz. In einer stetigen Proportion ist das Quadrat der mittleren Proportionale gleich dem Produkte ber beibeit anderen Glieder.

Ist a: b ----- b: o, so ist b⁸ ----- ac.

Umkehrung. 2. Aus zwei gleichen Produkten läßt sich eine Proportion bilden, indem man dieFaktoren des einen Produktes zu äußeren, die Faktoren des andern Produktes zu inneren Gliedern macht.

Es sei ad = bc, daher auch bo = ad. Dividiert man diese gleichen

Ausdrücke folgeweise durch Proportionen:

a: c = d:b = (1:6 —

er o er o ^

_P _P Ci* P*

er

XX

er o er q ^ ♦♦ P

§. 108. Aus §. 107, 1 folgt ferner:

Jedes äußere Glied einer Proportion ist gleich dem Produkte der beiden inneren Glieder dividiert durch das andere äußere Glied; und jedes innere Glied ist gleich dem Produkte der beiden äußeren Glieder dividiert durch das andere innere Glied.

Ist a : b = c: d, daher ad — b c, so ist

ad

b o i bc Li ad

a = d = iwb b = T, c

Dieser Satz ermöglicht eine Proportion aufzulösen, das heißt, aus drei gegebenen Gliedern das noch unbekannte Glied finden.

Umformung von Proportionen.

§. 109. 1. Jede Proportion bleibt richtig, wenn man a) die inneren Glieder unter sich, b) die äußeren Glieder unter sich, c) die inneren Glieder mit den äußeren vertauscht.

Folgt unmittelbar aus §. 107, 2.

2. Eine Proportion bleibt richtig, wenn man ein äußeres und ein inneres Glied mit derselben Zahl multipliziert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert.

Folgt aus §. 103, 3 und §. 109, 1.

Durch Anwendung dieses Satzes kann man a) jede Proportion, in welcher Brüche vorkommen, in ganzen Zahlen darstellen; b) jede Proportion, in welcher ein äußeres und ein inneres Glied ein gemeinsames Maß haben, durch dieses abkürzen.

§. 110. 1. In jeder Proportion verhält sich die Summe oder Differenz der ersten zwei Glieder zum ersten oder zweiten, wie die Summe oder Differenz der letzten zwei Glieder zum dritten oder vierten.

Ist a: b = c: d, a    = bq, <r —    dq,    so hat man

(a dh b): a -----    (b q ± b): b q    —    (q dz 1): q,

(c ± d): c -----    (d q dz d): d q    —    (q ± 1): q;    daher

(a dz b): a ---- (c ± d): c.

Auf ähnliche Weise erhält man

(a ± b): b — (c dz d): d.

2. In jeder Proportion verhält sich die Summe der ersten zwei Glieder zu deren Differenz, wie dieSumme der letzten zwei ©lieber zu deren Differenz.

Es ist

(a + b): (a — b) = (bq + b): (bq - b) ---- (q + l):(q-l),

(o + d):(c-d) = (dq + d):(dq-d) = (q + 1): (q — 1);

daher

(a + b): (a — b) = (c + d): (c — d).

3. In jeder Proportion verhält sich die Summe oder Differenz der Vorderglieder zur Summe oder Differenz der Hinterglieder wie jedes Vorderglied zu seinem Hinter-gliede.

Vertauscht man in der Proportion a: b — c : d die inneren Glieder, so erhält man a: c ----- b: d. Nach 1. ist dann (a dz c) : a ----- (b dz d); b, und nach Vertauschung der inneren Glieder

(a ziz c): (b dz d) = a: b; folglich auch

(a dz c): (b zh d) ----- e: d,

und allgemein: (mazlznc): (mb ±nd) ----- a: b ----- v : d.

Verbindung mehrerer Proportionen.

§. 111. Werden mehr als zwei Verhältnisse einander gleichgesetzt, so entsteht eine fortlaufende Proportion; z. B.

a i a, ----- b » bt —— c »    ---- ....

Diese fortlaufende Proportion schreibt man auch so an: a:b:c....= a₁:b₁ :<$!.. wobei alle Vorderglieder auf einer, alle Hinterglieder auf der andern Seite des Gleichheitszeichens stehen.

In jeder fortlaufenden Proportion verhält sich die algebraische Summe von Vielfachen der Vorderglieder zur korrespondierenden Summe der Hinterglieder wie irgend ein Vorderglied zu seinem Hintergliede.

Hat man die fortlaufende Proportion

= b : bt ----- o:o,

so folgt aus §. 110, 3

(ma ±nb dh pc) : (maj ± nb, ± pCj) ----- a: ax

----- b: bi

= c : Cj.

§. 112. 1. Wenn man in zwei oder mehreren Propor-tionen die gleich st elligen Glieder miteinander multipliziert, fv bilden die Produkte wieder eine Proportion.

Sind die Proportionen

^ er* so

gegeben, so erhält man durch Multiplikation beider Gleichungen

_ c h oder

'    — d-k

af: bg — ch: dk.

Man sagt, die letzte Proportion ist aus den gegebenen zusammen

w i so

gesetzt.

2. Wenn man die gleichstelligen Glieder zweier Proportionen durcheinander dividiert, so bilden die Quotienten wieder eine Proportion.

Ist

I ⁼ I und

gegeben, so erhält man durch Division beider Gleichungen

b'7⁼T:I °^et

T * g⁷ ¥ ’ ¥’

Harmonische Proportionen.

§. 113. Vier Zahlen a, b, c, d bilden eine harmonische Proportion, wenn die Beziehung besteht (a — b): (c — d) = a: d. In Übereinstimmung hiemit bilden drei Zahlen a, b, c eine stetige harmonische Proportion, wenn (a — b): (b — c) = a:c ist; b heißt dann das harmonische Mittel zwischen a und c.

Aufgabe. Zu zwei gegebenen Zahlen das harmonische Mittel zu finden.

Aus (a — b): (b — c) = a: c

ac — bo ----- ab — ac, daher

ro

a -f- c

1)

Zusatz. 1. Früher nannte man eine Gleichung zwischen zwei gleichen Differenzen eine arithmetische Proportion, während die im Voraus-gehenden behandelten Proportionen geometrische Proportionen genannt wurden. In Übereinstimmung mit §. 106 heißt das mittlere Glied einer stetigen arithmetischen Proportion das arithmetische Mittel der beiden anderen Glieder.

Aus

— x — b folgt

Nimmt man in der Gleichung 1) beide Seiten reziprok, so erhält man

1+1 a ' o

TT

a -f- c 2 a c

Der reziproke Wert des harmonischen Mittels zweier Zahlen ist das arithmetische Mittel der reziproken Werte beider Zahlen.

Insatz. 2. Für ungleiche positive Zahlen ist das geometrische Mittel größer als das harmonische, aber kleiner als das arithmetische Mittel.

Llweis. Addiert man zu (a — c)² > 0 beiderseits 4aoso erhält man: (a + e)² > 4 a c,

a c > 2 sao, somit Aus dieser Ungleichung folgt unmittelbar:

-p= oder y a c

<    Vac; folglich

<    yiTc < -+h-c.

2 a c a-f-c 2 a c a + c

Proportionen wurden bei den Griechen in der Geometrie vielfach verwendet. Die Unterscheidung der drei Mittel findet sich bei Nikomachus (100 n. Chr.).

Anwendung der Proportionen.

Angewandte Aufgaben mit einfachen Verhältnissen.

§. 114. Erklärung, a) Eine Funktion y heißt direkt (gerade)

proportional der Veränderlichen x, wenn zum n>fachen Werte der

Veränderlichen auch der w fache Wert der Funktion gehört; somit ist der

Quotient beider eine konstante Zahl.

— = k oder y = k . x.

y    v

Der konstante Faktor k wird der Proportionalitätsfaktor

genannt.

b) EineFnnktion y heißt indirekt (nmgekehrt) proportional der Veränderlichen x, wenn znm m fachen Werte der Veränderlichen der mte Teil der Funktion gehört; somit ist das Produkt beider konstant.

Ans diesen Erklärungen folgt:

a)    Sind zwei Arten von Zahlen gerade proportional, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art.

b)    Sind zwei Arten von Zahlen umgekehrt proportional, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem umgekehrten Verhältnisse zwischen den zwei zu-gehörigen Zahlen der andern Art.

b) jt = k.l X 1

y- = k. i-

Lkwkis. a) y, = kx,

ya = kx,

somit

X,

yi: 7a =    : *3

—    ^2' xi.

X2

yx:y₂ = -

Auf diesen Sähen beruht die Lösung von Aufgaben der einfachen Regeldetri mittels Proportionen.

Zusah. Eine Funktion y heißt gerade oder umgekehrt proportional der n ten Potenz der Veränderlichen x, wenn y — kxn, beziehungsweise

Angewandte Aufgaben mit zusammengesetzten Verhältnissen.

§. 115. Die Lösung von Aufgaben, deren Größen in zusammengesetzten Verhältnissen stehen — die sogenannte zusammengesetzte Regeldetri — beruht auf folgendem Satze:

Hängt eine Art von Zahlen von mehreren anderen Arten so ab, daß sie mit denselben einzeln genommen teils gerade, teils verkehrt proportional ist, so ist das Verhältnis zwischen je zweiZahlen der erstenArt gleich dem zusammengesetzten Verhältnisse aus den einfachen bezüglich gerade oder umgekehrt genommenen Verhältnissen zwischen den zugehörigen Zahlen jeder andern Art.

Beweis. Die Funktion z sei den Veränderlichen x und y gerade, der Veränderlichen u verkehrt proportional, dann ist nach §. 114

z = k.x.y.—,

J XI '

toorttt k der Proportionalitätsfaktor ist; denn dann gehört bei konstantem y und u zum m fachen Werte von x auch der w fache Wert von z u. s. w., folglich, wenn zusammengehörige Werte durch gleiche Indices bezeichnet werden,

\ = k.Xj .yt

U1

= k.x₂.y₃.-l;

U2

₇ . ₇ _ 5lh . x₂ y₂

Zl •z* — u, -^7'

Zj :z₂ = X, yt u₂: x₂ y₂ u,.

Z. B. Wenn 20 Arbeiter, welche täglich 12 Stunden arbeiten, tn 5 Wochen einen Damm von 375 Meter Länge zu stände bringen, in wieviel Wochen werden 12 Arbeiter, welche täglich 10 Stunden arbeiten, einen eben solchen Damm von 600 Meter vollenden?

20 Arbeiter 12 Stunden täglich 5 Wochen 375 Meter Länge

somit

oder

12

10

Z2

600

X : 5 = 20; 12 12: 10 600:375

16:1; daher x — 16 Wochen.

§. 116. a) Bezeichnet Z die einfachen Zinsen, welche ein Kapital C in J Jahren zu P Prozent gibt, so hat man zur gegenseitigen Bestimmung dieser Größen folgende zusammengesetzte Regeldetri:

100 K Kapital in 1 Jahre P K Zins

Z:P =

: 100

also Z: P = CJ : 100 und 100 2 ----- CPJ,

aus welcher Formel sich die bekannten Sätze für die Lösung der Aufgaben über die einfache Zinsrechnung herleiten lassen.

b) Welches Kapital wächst in J Jahren zu P Prozent angelegt auf den Endwert E an?

Bei (100 + PJ) Endwert P J Zinsen

EP J

100 + PJ" Anfangskapital = E — x.

Man erhält somit den Barwert, welcher für eine nach J Jahren fällige Summe E gegenwärtig zu entrichten ist, indem man von dieser Summe den EPJ

Betrag

subtrahiert. Dieser Abzug heißt DiskontaufHundert.

100+ PJ

Der Wechseldiskont wird in bequemer aber unrichtiger Weise als Zinsen von dem Nennwerte des Wechsels von dem Verkaufstage bis zum Verfallstage berechnet und als Diskont von Hundert bezeichnet. Hiebei wird

das Jahr zu 360 Tage, die Zahl der Tage aber genau nach dem Kalender berechnet, wobei ein Grenztag nicht mitgerechnet wird.

Die Teilregel.

§. 117. Soll eine gegebene Zahl in mehrere Teile, welche sich wie andere gegebene Zahlen verhalten, geteilt werden, so geschieht dieses durch die Teilregel oderGeselischaftsrechnung. Die Zahlen, durch welche das Verhältnis der Teile ausgedrückt wird, heißen Verhältniszahlen.

Ist nur eine Reihe von Verhältniszahlen gegeben, so wird die einfache, sind mehrere Reihen von Verhältniszahlen gegeben, so wird die zusammengesetzte Teilregel angewendet.

daher nach §. 111

Es seien bei der einfachen Teilregel s die zu teilende Zahl, a, b, c und d die Verhältniszahlen. Werden die gesuchten Teile durch u, x, y und z bezeichnet, so hat man die fortlaufende Proportion: u: x : y : z — a:b:c:d, oder u:a = x:b = y:c = z:d,

= y :c == z: d

Da nun u + x + y + z — s sein muß, so erhält man

¹¹ a + b + c + d' <l ’

x —__5__n.

— a + b + c + d' U'

.d.

y a + b + c + d'⁰'

Z a+b+c+d

§. 118. Die zusammengesetzte Teilregel läßt sich auf die einfache zurückführen.

Soll eine Zahl s mit Bezugnahme auf mehrere Umstände in drei Teile x, y, z geteilt werden, die sich in einer Beziehung wie a: b: c, in einer zweiten Beziehung wie d: e: f und in einer dritten Beziehung wie g:h:k verhalten, so besteht nach §. 115 die Bedingung x: y: z — adg : beb : cfk.

Diese Aufgabe löst die einfache Teilregel.

46.5 = 230 K 46.3 = 138 .. 46.2 = 92 „

Z. B. Zu einer Unternehmung vereinigen sich drei Personen: A gibt 8000 K auf 5 Monate, B4000K auf 6 Monate, C 2000 K auf 8 Monate her. Die Unternehmung wirft einen reinen Gewinn von 460 K ab; wieviel davon wird jede der drei Personen erhalten?

24000

A 8000 K durch 5 Monate 40000 5 B 4000 „    „    6

C 2000 .,    8    „    16000 2

Till. Aezimalvritche.

§. 119. Erklärung. Ein Bruch, dessen Zähler eine dekadische ganze Zahl, und dessen Nenner eine Potenz von 10 ist, wird ein Dezimal-bruch genannt; jeder andere Bruch heißt ein gemeiner Bruch.

Die allgemeine Form eines Dezimalbruches ist also too A und m beliebige dekadische ganze Zahlen bezeichnen.

Wird jedes Glied der Zahl A durch den Nenner 10™ dividiert, so nimmt der Dezimalbruch die folgende entwickelte Form an

.....c.10³ + b.10³ + a.lO + £+ a.^~}-/? • j^r +    .....’

worin die Koeffizienten die Werte von 0, 1... bis 9 annehmen können.

8- B. -~,-r

45732    4.10' , 6.10³

— 10= '

= 4.10+5 + 7± + 3.-^ + 2.-^.

10⁸

+ 1^01 + L10 ₊ _2_

I 10³    '    10⁸    '    10*

Auch in dieser Summe wird das Bildungsgesetz der dekadischen Zahlen eingehalten, insofern als der Wert einer Einheit an der nächstfolgenden Stelle rechts der zehnte Teil des Wertes ist, welchen die Einheit an der vorausgehenden Stelle links hat. Die Dezimalbrüche bilden daher die naturgemäße Erweiterung des dekadischen Zahlensystem es, und der obige Ausdruck stellt die allgemeinste Form einer dekadischen Zahl dar.

Dem entsprechend kann das Positionssystem auch auf Dezimalbrüche angewendet werden, nur muß die Stelle der Einer kenntlich gemacht werden, was durch einen hochgestellten Punkt rechts von den Einern, den Dezimalpunkt, geschieht. Ist der Dezimalbruch kleiner als 1, so setzt man vor den Dezimalpunkt die Null.

Die Ziffern rechts nach dem Dezimalpunkte werden Dezimalen genannt.

Es bedeutet also die Zahl, welche links vor dem Dezimalpunkte steht, eine ganze Zahl; die erste Dezimale bedeutet Zehntel, die zweite Hundertstel, die dritte Tausendstel, die vierte Zehntausendstel u. s. w.

Folgesätze. 1. Die Zahl der Dezimalstellen des Dezimalbruches ist gleich dem Potenzexponenten des Nenners.

2.    Der Wert eines Dezimalbruches wird nicht geändert, wenn man den Dezimalen rechts beliebig viele Nullen anhängt.

3.    Der Wert jeder Dezimalzahl ist kleiner als eine Einheit der ihrer höchsten geltenden Ziffer unmittelbar vorausgehenden höheren Stelle; z. B. 0-00783 <

Die Dezimalbrüche wurden eingeführt von Joh. Regiomontanus; die jetzige Schreibweise geht auf Bürgi (1552—1632) zurück. Bürgt schrieb 23₀4, Kepler bereits 23,4.

Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Dezimalbruch.

§• 120. Um einen gemeinen Bruch in einen Dezimalbruch zu verwandeln, dividiere man den Zählern durch den Nenner b und bringe im Quotienten nach den Ganzen, an deren Stelle bei einem echten Bruche eine Null gesetzt wird, den Dezimalpunkt an. Dem sich ergebenden sowie jedem etwa weiter folgenden Reste hänge man eine Null an und setze die Division fort, bis diese endlich ohne Rest aufgeht oder, wenn dieses nicht eintritt, bis man die gewünschte Anzahl Dezimalen erhalten hat.

Beweis. Es ist

a. 10m : b

a_a.lO“ _

b b,10m

Wenn man nun bei dem oben vorgezeichneten Divisionsverfahren an die betreffenden Reste nach und nach m Nullen anhängt, was dasselbe ist, als wenn man zu dem Zähler a auf einmal m Nullen hinzugefügt hätte, so wird dadurch a mit 10m multipliziert; und indem man dann die im Quotienten a.lOm : b erhaltenen letzten m Ziffern als Dezimalen annimmt, wird dieser Quotient durch 10m dividiert.

Z. 8. | = 3'0: 4 = 0-75

10™

20

|g = 329 : 125 = 2 632

790

400

250

§. 131. 1. Damit sich ein gemeiner Bruch — in einen Dezimalbruch genau verwandeln lasse, muß a.lOm bei hinreichend großem m durch b teilbar sein. Dieses ist aber, wenn a und b relative Primzahlen sind, nach §. 68, 2 nur dann möglich, wenn 10m durch b teilbar ist, d. h. wenn b keinen von 2 und 5 verschiedenen Faktor enthält.

2. In allen Fällen, wo der Nenner b entweder die Faktoren 2 und 6 gar nicht, oder außer denselben noch andere davon verschiedene Primfaktoren enthält, kann bei Anwendung des erwähnten Verfahrens die Division nicht aufgehen; man erhält daher einen unendlichen Dezimalbruch. Wird derselbe bei der raten Dezimalstelle abgebrochen, so ist der Unterschied zwischen dem gemeinen Bruche und dem angenäherten endlichen Dezimal-

&ru$e ioS' deiner als eine Einheit der letzten Dezimalstelle.

10m 10m

Beweis. Ist a.lO“ durch b nicht teilbar, so kann der Quotient als eine gemischte Zahl angesehen werden. Setzt man also

a. 10“    , r

~b~ = P +

Moönik-Neumann, Lchrb. d. Arithrnetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Aufl.

too r<b ist, so ist

± ₌ _P_ J__!_

b 10“ ' b.10“'

b.lO“"

= -1 —sein

b 10“    10“ ,ml-

10“

also -f -

Da nun r<b, also -^-<1, so muß

Es läßt sich daher, da m beliebig groß, daher —beliebig klein gemacht werden kann, der Unterschied zwischen dem gemeinen Bruche und dem auf m Stellen entwickelten Dezimalbruche mit wachsender Stellenzahl kleiner machen, als jede noch so kleine gegebene Zahl. Daraus folgt: lim = -£-für lirnm —oo, d. h. der gemeine Bruch ist der Grenzwert des entwickelten unendlichen Dezimalbruches. Diese Bedeutung ist auch dem Satze zu geben: Der gemeine Bruch ist gleich dem entwickelten unendlichen Dezimalbruche.

Wird ein Bruch, der sich nicht genau durch einen Dezimalbruch darstellen läßt, näherungsweise in einen solchen verwandelt, so muß man bei fortgesetzter Division, da der Rest immer kleiner als der Divisor ist, wieder einen von den früheren Resten erhalten, von welchem an sich dann weiter die nämlichen Ziffern im Quotienten und dieselben Reste wie vorher ergeben. Z. B.

= 18:37 = 0-486486...    = 56:75 = 0-74666...

37    75

Dezimalbrüche, in denen sich eine bestimmte Anzahl von Ziffern in derselben Ordnung wiederholt, nennt man periodische, und die immer wiederkehrende Ziffernfolge die Periode.

Da für den Nenner b nur b — 1 verschiedene Reste möglich sind, so kann die Periode höchstens b — 1 Stellen haben.

Bei den periodischen Dezimalbrüchen sind zwei Fälle zu unterscheiden: entweder beginnt die Periode unmittelbar nach dem Dezimalpunkte, oder es gehen der Periode noch andere Dezimalen voraus. Im ersten Falle heißt der Dezimalbruch rein periodisch, im zweiten gemischt periodisch. Die der Periode vorangehende Ziffernfolge pflegt man auch die Vorperiode zu nennen.

Man pflegt die Periode nur einmal anzuschreiben, jedoch die erste und letzte Ziffer derselben mit darüber gesetzten Punkten zu bezeichnen.

Verwandlung eines Desimalbruches in einen gemeinen Bruch.

§. 122.    1. Ein endlicher Dezimalbruch wird in einen

gemeinen Bruch verwandelt, indem man denselben in der Form eines gemeinen Bruches anschreibt und diesen, wenn es angeht, abkürzt. Z. B.

v-N -ä-T.

31-825 - 31Ä - 31 g.

2. a) Ein rein periodischer Dezimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man als Zähler die Periode und als Nenner eine Zahl setzt, welche mit so vielen 9 geschrieben wird, als die Periode Ziffern hat.

Lrweis. Drückt man die Periode durch b und ihre Stellenzahl durch n aus, so ist der gesuchte periodische Decimalbruch

_b__L b I b I b |

10“ ~ 10²“    ' 103“ — 104“ ~    ■

Multipliziert man diesen Ausdruck mit 10°, so erhält man x.10° =b + i£₅ + Ipr + üjk + ---

Subtrahiert man nun den früheren Ausdruck von dem letzten, so folgt x.lO —x — b, oder (IO — 1) x — d, x —

und daraus

io* — i *

15 351 = 15 ^1 = 15Ü

Z- B. 0-6 = — = j)

b) Jeder gemeine Bruch, dessen Nenner zu 10 teilerfremd ist, gibt einen reinperiodischen Dezimalbruch.

Seweis. Dividiert man die aufeinanderfolgenden Potenzen 10, 10a, 10³,... durch b, so muß von einer bestimmten Potenz ab ein bereits früher aufgetretener Rest sich wiederholen, weil nur (b — 1) verschiedene Reste möglich sind. Es seien nun 10“ und 10m+° die niedrigsten Potenzen, welche denselben Rest geben. Dann ist die Differenz 10m+° — 10m — 10™ (10° — 1) durch b teilbar, und weil b zu 10 somit auch zu 10m teilerfremd ist, so muß 10° — 1 durch b teilbar sein. Somit läßt sich der

gegebene Bruch auf die Form j- bringen. Dieser letztere Bruch aber

gibt gemäß dem vorausgehenden Satze einen rein periodischen Dezimalbruch mit der n stelligen Periode c.

3. a) Ein gemischt periodischer Dezi malbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man die Vorperiode samt der Periode als ganze Zahl zusammenstellt, davon die Vorperiode subtrahiert und diese Differenz als Zähler, als Nenner aber eine Zahl annimmt, die mit so vielen 9, als die Periode Ziffern enthält, und so vielen rechts folgenden Nullen, als Dezimalen der Periode vorangehen, geschrieben ist.

999

8T

Geweis. Es seien b die Periode, n die Stellenzahl derselben, ferner a die Vorperiode und m ihre Stellenzahl, dann ist der gesuchte Dezimalbruch _ _a__|_ b _ _

10m    '    10m+n    10m+2n ~T~~ 10m+3n "T" * •

Multipliziert man diesen Ausdruck mit 10m, [o erhält man x,10m = a 4—-———I—-—u

'    10*    ' 102* “ 103n I

5*

somit nach 2. und daraus

x.lO™ — »4

Z. B.

10“ — 1

_ (a.lOn +b) — a

x (10“ —1).10”> • 215 — 2

0-215 =

a.lQn — a-f-b

10“ — 1

213

71

990    330"

b) Aus §. 121, 1 und §. 122, 2 b) folgt unmittelbar:

Ein gemeiner Bruch, dessen Nenner weder zu 10 teilerfremd noch in einer Potenz von 10 enthalten ist, gibt einen gemischt periodischen Dezimalbruch.

990

Abgekürztes Rechnen mit unvollständigen Zahlen.

(Wiederholung aus der Unterstufe.)

§. 123. Soll mit einem unendlichen Dezimalbruche gerechnet werden, so muß derselbe bei einer bestimmten Stelle abgebrochen werden. Der so erhaltene endliche Dezimalbruch heißt ein unvollständiger Dezimalbruch; derselbe ist ein Näherungswert des unendlichen Dezimalbruches. Die Differenz zwischen beiden wird der Fehler des unvollständigen Dezimalbruches genannt. Derselbe ist nach §. 121, 2 kleiner als eine Einheit der letzten beibehaltenen Stelle. Man erreicht, daß dieser Fehler kleiner ist als eine halbe Einheit der letzten beibehaltenen Stelle, indem man die letzte beibehaltene Ziffer unverändert läßt, wenn die erste weggelassene Ziffer kleiner als 5 ist, hingegen um eine Einheit vergrößert, wenn die erste weggelassene Ziffer größer als 4 ist. Man nennt dieses Verfahren die Korrektur.

In gleicher Weise können auch endliche Dezimalbrüche und ganze Zahlen auf eine höhere Stelle mit Korrektur abgekürzt werden.

Alle durch Messung erhaltenen Zahlen sind ihrer Natur nach unvollständige Zahlen. Auch bei ihnen setzt man voraus, daß ihr Fehler kleiner ist als eine halbe Einheit der letzten Stelle. Hiezu berechtigt das bei der Messung angewendete Verfahren. Soll z. B. die Länge einer Schulbank in cm gemessen werden, so wird am Meßband die Zahl der ganzen Zentimeter abgelesen und diese unverändert gelassen, wenn nach dem Augenmaße der Rest kleiner ist als \ cm, hingegen um 1 erhöht, wenn der Rest größer ist als \cm.

Daß eine Zahl unvollständig ist, kann bei einem Dezimalbruche durch angehängte Punkte, bei einer ganzen Zahl dadurch angedeutet werden, daß die auf die unsichere Stelle folgenden Nullen klein geschrieben werden

Z. B.

3141...

; 735ooo.

Man pflegt auch die unsichere Stelle zu unterstreichen und das Zeichen co „für angenähert gleich" zu benützen. Z. B. 3-16 co 3-162.

Abgekürzte Addition und Subtraktion.

§. 124. a) Addition. Man addiert zunächst die vorhandenen Einheiten rechts von der höchsten unsicheren Stelle und benützt diese Summe zur Korrektur der nächst höheren Stelle, von welcher ab die Addition beginnt.

b) Subtraktion. Man kürze nötigenfalls die eine Zahl auf die höchste unsichere Stelle der anderen Zahl ab und subtrahiere sodann.

Ist die gesuchte Summe oder Differenz das Endresultat einer Rechnung, so kürzt man dieselbe mit Korrektur um eine Stelle ab.

b) 7-49..—3-5732.. 7-49..

3-57..

Beispiele. 3-872 15-7...

9 5555.. (period.)

•92..

CO CO

Die Genauigkeit einer unvollständigen Zahl ist bestimmt durch den Quotienten aus der Zahl dividiert durch eine Einheit der niedrigsten Stelle; somit ist von zwei unvollständigen Zahlen jene die genauere, welche eine größere Anzahl von Einheiten der niedrigsten Stelle enthält.

= 3141;

3’ 141... ist genauer als 735ooo.

Bei jeder Rechnung mit unvollständigen Zahlen ist das Resultat an jeder Stelle unsicher, an deren Bildung eine unsichere Ziffer beteiligt ist. Infolgedessen wird man die Rechnung abgekürzt so anlegen, daß überhaupt nur die höchste jener unsicheren Stellen noch erhalten wird, weil die Berechnung der folgenden Stellen ganz zwecklos wäre.

8-141

0-001

735000

1000

= 735

8-32...

6-7234

44-2

Resultat 44-

16, 2 zur Korr.

Abgeküyte Multiplikation.

§. 125. Multipliziert man die niedrigste Ziffer (Ziffer des niedrigsten Stellenwertes) des einen Faktors mit der höchsten Ziffer des anderen Faktors, so erhält man zwei Stellen, welche nebst den niedrigeren Stellen im Produkte unsicher sind; demnach hat man das Produkt abgekürzt auf die höhere jener beiden Stellen zu entwickeln. Zu diesem Zwecke schlägt man folgendes Verfahren ein.

1. Man wählt die genauere Zahl als Multiplikator und schreibt die höchste Ziffer des Multiplikators unter die niedrigste Ziffer des Multipli-kands und daneben die übrigen Ziffern des Multiplikators in umgekehrter Reihenfolge.

2.    Man multipliziert mit jeder Ziffer des umgekehrt geschriebenen Multiplikators die gerade darüber stehende sowie die weiter folgenden höheren Ziffern des Multiplikands und schreibt die dadurch erhaltenen abgekürzten Teilprodukte, weil sie sämtlich mit dem früher erwähnten Stellenwerte endigen, so an, daß ihre niedrigsten Ziffern untereinander zu stehen kommen.

Jedes dieser Teilprodukte wird korrigiert durch das Produkt aus der betreffenden Ziffer des Multiplikators mit der rechts vorhergehenden Ziffer des Multiplikands.

3.    Die abgekürzten Teilprodukte werden addiert.

Ist das erhaltene Produkt das Endresultat einer Rechnung, so wird dasselbe nnttelst Korrektur um eine Stelle abgekürzt.

Zusatz. Soll das Produkt auf eine höhere vorgeschriebene Stelle abgekürzt entwickelt werden, so schreibt man die Einer des Multiplikators unter jene Stelle des Multiplikands, welche im Produkte als niedrigste angestrebt wird, und verfährt im übrigen in gleicher Weise wie früher.

Beispiele. 1. 2-916. .X4-378 8 734

2. 386X25-74.. = 25-74.. X386

11 664

6 83

875

204

77 22 20 59

23

1 54

12-766.. Resultat: 12-77..

99 35.. Res. 994o

Abgekürzte Division.

§. 126. Die abgekürzte Division basiert auf der Erwägung, daß man an eine unvollständige Zahl (Dividend, Divisor, Rest) keine Null anhängen darf. Dieselbe besteht in folgendem Verfahren:

1.    Man kürze a) den Dividend, wenn derselbe genauer ist als der Divisor, mit Anwendung der Korrektur, oder b) den Divisor, wenn derselbe genauer ist als der Dividend, durch Abschneiden rechts stehender Stellen so weit ab, daß in beiden Fällen nach dem Kürzen der Dividend zugleich auch der erste Teildividend ist, welcher zu dem Divisor gehört. Hierauf bestimme man den Stellenwert der ersten Ziffer des Quotienten und führe die erste Division aus.

2.    Bei jeder folgenden Division läßt man, anstatt zu dem Rest eine neue Ziffer oder eine Null dazu zu setzen, im Divisor rechts eine Ziffer weg, multipliziert jedoch mit jeder neuen Ziffer des Quotienten zunächst die erste im Divisor weggelassene Ziffer und nimmt aus dem Ergebnisse die Korrektur für das Produkt aus dem abgekürzten Divisor und der entsprechenden Ziffer des Quotienten.

3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis mit der Division durch die erste Ziffer des Divisors die Rechnung abschließt.

Ist der letzte Rest größer als die Hälfte des letzten Divisors, so erhöht man die letzte Ziffer des Quotienten um eine Einheit.

Zusatz. Soll der Quotient auf eine höhere vorgeschriebene Stelle abgekürzt entwickelt werden, so bestimmt man die Anzahl der bedeutsamen Ziffern des Quotienten und kürzt den Devisor auf ebenso viele Stellen ab Und dem entsprechend auch den Dividend.

Beispiele.

2.    0-287536..:5-342.

0 28754...: 5 342...

u. s. w.

3.    27-85.. :3-14|159.. = 8-86

2 72 (korrig.) 8-87.

1. 0-287 : 5-342...

0-28700 : 5-342.. = 0-05372 1990    “ "

387

13

21

Dritter Abschnitt.

Gleichungen des ersten Grades.

§. 127. Die Gleichstellung zweier Zahlenausdrücke, welche gleichen Wert haben, wird eine Gleichung genannt. Z. B.

a = a, (x + 2)a = x² + 4x + 4, 5x — 8 = 3x.

Die Größen, welche einander gleichgestellt werden, heißen Seiten der Gleichung und können einzeln wieder aus mehreren Gliedern bestehen. In der Gleichung 5x — 8 = 3x ist 5x — 8 die linke, 3x die rechte Seite; die linke Seite besteht aus zwei Gliedern 5x und — 8.

Man unterscheidet identische und Bestimmungsgleichungen.

Eine Gleichung, in welcher ein Zahlenausdruck sich selbst oder einer bloßen Umformung dieses Ausdruckes gleichgesetzt wird, heißt eine identische Gleichung; z. B. a = a, (x + 2)² = x² + 4x + 4. Eine identische Gleichung bleibt für jeden beliebigen Wert der darin vorkommenden allgemeinen Zahlen richtig. Jede Formel für eine arithmetische Operation bildet eine identische Gleichung.

Eine Gleichung, welche nur für bestimmte Werte einer oder mehrerer allgemeiner Zahlen, die in ihr auftreten, richtig ist, heißt eine Be st im-

In einer Bestimmungsgleichung bedeutet demnach das Gleichheitszeichen nicht „ist gleich", sondern „soll gleich sein".

mungsgleichung, auch bloß Gleichung im engeren Sinne. Z. B. die Gleichung 5 x — 8 — 3 x ist nur richtig, wenn man für x den Wert 4 setzt.

Diese allgemeinen Zahlen, für welche die eben erwähnten Werte bestimmt werden sollen, heißen Unbekannte und werden gewöhnlich durch die letzten Buchstaben x, y, z . . . des Alphabets bezeichnet. Enthält eine Gleichung mehrere allgemeine Zahlen, so kann man jede derselben als unbekannt und die übrigen als bekannt betrachten.

Die Werte der Unbekannten, welche, in die Gleichung substituiert, dieselbe zu einer identischen machen oder ihr genügen, heißen die Wurzeln der Gleichung; diese Werte bestimmen, heißt die Geichung auflösen.

§ 128. Nach der Anzahl der Unbekannten, welche in einer Gleichung vorkommen, unterscheidet man Gleichungen mit einer, mit zwei und mit mehreren Unbekannten. Z. B. 5 x — 8 — 3 x ist eine Gleichung mit einer, 5 x — 3 y — 8 eine Gleichung mit zwei, 7 x — 3 y — 5 z + 5 eine Gleichung mit 3 Unbekannten.

Tritt die Unbekannte nur als Basis einer Potenz auf, so heißt die Gleichung algebraisch; alle anderen Gleichungen heißen transzendent. Die Lehre von den algebraischen Gleichungen heißt Algebra im engeren Sinne. Im weiteren Sinne wird das Wort Algebra für allgemeine Arithmetik gebraucht.

Das Wort Algebra stammt von dem arabischen Worte aljebra (Herstellung), womit die Zurückführung einer Gleichung auf eine bestimmte Grundform bezeichnet wurde.

x³ + 2x² + 2x+l = 0.

Der Potenzexponent der Unbekannten oder, wenn mehrere Unbekannte in einem Gliede vorkommen, die Summe ihrer Exponenten ist derOrdnungs-exponent des betreffenden Gliedes. Ist der höchste Ordnungsexponent einer geordneten Gleichung 1, 2, 3, 4 oder allgemein n, so heißt die Gleichung bezüglich vom ersten Grade oder linear, vom zweiten Grade oder quadratisch, vom dritten Grade oder kubisch, vom vierten Grade oder biquadratisch, allgemein vom nten Grade.

Eine Gleichung, welche außer den Unbekannten nur besondere Zahlen enthält, heißt eine numerische oder Ziffergleichung; z. B. 4x — 3 — 5. Eine Gleichung, welche außer den Unbekannten auch allgemeine Zahlen enthält, heißt eine Buchstabengleichung; z. B. ax — b = c x + d.

Eine algebraische Gleichung heißt geordnet, wenn die linke Seite ein nach Potenzen der Unbekannten geordnetes Polynom ist, wobei das erste Glied den Koeffizienten + 1 hat, die rechte Seite hingegen gleich 0 ist z. B.

I. Gleichungen des ersten Grades mit einer Wnvekannte».

§• 129. Das Auflösen der Gleichungen des ersten Grades beruht auf den vier Sätzen über die Verbindung gleicher Zahlen durch dieselbe Rechenoperation. Dieselben erhalten zweckmäßig folgenden Wortlaut:

1. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man zu beiden Seiten derselben eine und dieselbe Zahl addiert oder von beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahiert.

Nach diesem Satze kann man jedes Glied von der einen Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen auf die andere Seite bringen (transponieren), wie auch gleiche Glieder auf beiden Seiten weglassen.

Z. B. aus x -f- a — b

„ 3x + m = a + m

folgt x = b — a,

„ 3x — a.

2.    Eine Gleichung bleibt richtig, wenn manbeide Seiten derselben mit derselben Zahl multipliziert.

Mit Hilfe dieses Satzes kann man jede Gleichung, in der Brüche vorkommen, von den Nennern befreien, insbesondere auch den Koeffizienten der Unbekannten, wenn er negativ ist, durch die Multiplikationen beider Seiten mit — 1, d. i. durch Veränderung aller Vorzeichen positiv darstellen.

Z. B. aus — — b = c folgt x — ab = ac, x — — 5

3.    Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man beide Seiten derselben durch dieselbe Zahl dividiert.

Hiernach kann man eine Gleichung, deren beide Seiten einen gemeinsamen Faktor haben, durch diesen abkürzen, insbesondere auch den Koeffizienten der Unbekannten, wenn er von 1 verschieden ist, wegschaffen.

3 x — 2,

folgt

Z. B. aus 6x — 4 „ 3x — 2

Zusatz. Wenn die linke Seite einer auf Null reduzierten Gleichung in mehrere Faktoren zerlegt werden kann, welche die Unbekannte enthalten, so wird der Gleichung nach §. 35, Zusatz 3 genügt, wenn man jeden einzelnen Faktor gleich Null setzt. Dadurch zerfällt die vorgelegte Gleichung in mehrere Gleichungen von einem niedrigeren Grade, deren Wurzeln auch der gegebenen Gleichung genügen. Z. B.

x ² — 4 = 0 oder (x + 2) (x — 2) = 0 zerfällt in x -j- 2 = 0 und x — 2 — 0.

Wenn daher beide Seiten einer Gleichung einen gemeinsamen Faktor enthalten, in welchem die Unbekannte vorkommt, so darf man durch d enselben nur dividieren, wenn man gleichzeitig diesen Faktor gleich Null setzt. Dadurch

erhält man zwei Gleichungen, deren Wurzeln der gegebenen Gleichung genügen. Z. B.

(x — 1) (x — 2) = 3 (x — 1) zerfällt in x — 1 = 0 und x — 2 --- 3 mit den Wurzeln x = 1 und x = 5.

§. 130. Aus den in §. 129 angeführten Sätzen ergibt sich für die Auflösung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten folgendes Verfahren:

1.    Enthält die Gleichung Brüche, so werden die Nenner weggeschafft, indem man beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner multipliziert. (Wegschaffung der Brüche.)

2.    Kommen in der Gleichung durch Klammern verbundene Ausdrücke vor, so werden die Klammern durch wirkliche Ausführung der angezeigten Operationen aufgelöst. (Auflösung der Klammern.)

3.    Alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, werden auf die eine Seite der Gleichung gebracht und zusammengezogen; die übrigen Glieder werden auf die andere Seite übertragen und ebenfalls reduziert. (Transponieren und reduzieren.)

4.    Man befreit die Unbekannte von ihrem Koeffizienten, indem man beide Seiten der Gleichung durch denselben dividiert. (Division durch den Koeffizienten der Unbekannten.)

Durch diese Transformation erhält man schließlich als Auflösung X = a, wo X die Unbekannte und a ein nur aus bekannten Zahlen bestehender Ausdruck ist.

§. 131. EineGleichung des ersten Grades miteiner Unbekannten hat nur eine Wurzel.

Die allgemeine Form einer linearen Gleichung ist a x b = 0.

Dieselbe hat die Wurzel: x = —

Zusatz. Ist a = 0, b endlich und von 0 verschieden, so genügt nach §. 47, 8 der Gleichung keine endliche Zahl.

Ist a = 0 und b = 0, so ist x = - | (unbestimmt).

D. h. die gegebene Gleichung ist keine Bestimmungsgleichung, sondern eine identische Gleichung.

Probe. Um sich von der Richtigkeit der Auflösung zu überzeugen, substituiert man den gefundenen Wert für die Unbekannte in die gegebene Gleichung und bringt die Ausdrücke auf beiden Seiten auf die einfachste Gestalt. Erhält man beiderseits dasselbe Resultat, d. i. wird die Gleichung zu einer identischen gemacht, so ist die Auflösung richtig.

15

Y“ Y*

?>T —+ 7“S

2a — 2ax + b x = b bx — 2ax — b — 2a (b — 2a) x == b — 2a x = 1.

oder — — 7^-= a

2a — b

Beispiele.

14 - 11 = 5x + 5 5x — — 2

Probe:

11

“ 6"

-| + ²

35    55

x 2x 2a — b

i = i

X = 1.

Das zweite Beispiel zeigt, daß man zuweilen mit Vorteil von dem in §. 130 vorgeschriebenen Verfahren abweichen kann.

II. Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Ilnvekanulen.

§. 132. Eine Gleichung heißt bestimmt, wenn dieselbe für jede Unbekannte nur eine oder eine beschränkte Anzahl von Wurzeln gibt, hingegen unbestimmt, wenn dieselbe für jede Unbekannte unendlich viele Wurzeln gibt.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten ist unbestimmt; man kann für die eine Unbekannte jeden beliebigen Wert annehmen und nach Einsetzung desselben durch Auflösung der entstehenden Gleichung einen zugehörigen Wert für die andere Unbekannte finden; die eine Unbekannte ist also eine Funktion der anderen.

Diese Unbestimmtheit hört auf, wenn noch eine zweite Gleichung mit denselben Unbekannten gegeben ist mit der Forderung, für die beiden Unbekannten jene Werte zu finden, welche beiden Gleichungen gleichzeitig genügen. Die beiden zusammengehörigen Gleichungen bilden ein Gleichungssystem und jene beiden Werte eine Auflösung desselben oder ein Wurzelsystem. Die Auflösung geschieht, indem man die eine Unbekannte eliminiert, das heißt, aus den beiden gegebenen Gleichungen eine dritte Gleichung, die Eliminationsgleichung, herleitet, welche diese Unbekannte nicht mehr enthält. Durch Auflösen der Eliminationsgleichung erhält man den Wert für die andere Unbekannte, und durch Substitution dieses Wertes in eine der beiden gegebenen Gleichungen oder nochmalige Anwendung des Eliminationsverfahrens kann man die erste Unbekannte bestimmen.

Sind beide Gleichungen linear, so ist, wie die folgenden Methoden lehren, auch die Eliminationsgleichung linear; deshalb gibt es nur ein Wurzelsystem, welches die gegebenen Gleichungen befriedigt.

§. 133. Llimmations-Methoden.

1. Die Komparations-Methode. Man bestimmt den Wert derselben Unbekannten aus beiden Gleichungen, setzt diese Werte einander gleich und löst die dadurch erhaltene Gleichung, welche nur die andere Unbekannte enthält, auf.

Skispiel. 3x -f- 5y = 94 daraus y —

94 —3x

somit:

2x — y — 15

94 — 3x

y = 2x — 15;

= 2x - 15

94 - 3x = 10x — 75 13 x = 169 x = 13

y = 2.13 - 15 = 26 — 15 = 11.

2. Die Substitutions-Methode. Man sucht den Wert einer Unbekannten aus einer Gleichung und substituiert denselben in die andere Gleichung; dadurch erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, welche dann aufgelöst wird.

Beispiel.

6x - 13 y = 48, 2x -j- 3y = 16.

48 + 13 y

Aus der ersten Gleichung folgt X — in die zweite Gleichung substituiert, so hat man

2. ^    13y + 3y = 16, woraus y — 0 folgt.

Substituiert man diesen Wert von y in den Ausdruck

48 4-13.0

; wird dieser Wert

x = ⁴⁸-~b¹³2, so findet man x —

3. Die Methode der gleichen Koeffizienten. Man bringt beide Gleichungen auf die Form ax + by = c und verschafft in beiden Gleichungen der zu eliminierenden Unbekannten durch Multiplikation aller Glieder mit einem geeigneten, möglichst kleinen Faktor gleiche Koeffizienten und addiert oder subtrahiert die neuen Gleichungen, je nachdem diese Koeffizienten ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben; die dadurch erhaltene Gleichung mit einer Unbekannten wird dann ausgelöst.

Beispiele.

1. 4x -j- 19y — 11 6x — 5y — — 17

8.

CO

57 y + 10y = 33 + 34 67 y = 67 y = 1;

2. ax -f by = c

a'x + b'y — c' — b a a b'x — a'b x — b'c — bc'

b' - a'

b'c — bc'.

ab' — a'b¹

— a'b y + a b'y = — a'c + ac, ac' — a'c ab' — a'b*

4x+ 19.1 ---- 11 4x = —

4. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten (B6-zout'sche Methode). Nachdem man beide Gleichungen auf die Form ax + by = c gebracht hat, multipliziert man die eine Gleichung mit einer unbestimmten Zahl m und addiert sie in dieser Gestalt zu der anderen Gleichung. Wählt man nun m so, daß der Koeffizient der zu eliminierenden Unbekannten — 0 wird, so kann dann aus der neuen Gleichung die andere Unbekannte gefunden werden.

Leispiel.

3x + 4y = 24,

5x — 3y — 11.

Multipliziert man die erste Gleichung mit m und addiert sie dann zu der zweiten, so ergibt sich

(3 m + 5) x + (4 m — 3) y = 24 m + 11.

Um y zu eliminieren, setzt man 4m — 3 — 0, also m — -|-;bann

hat man

(3.-j- + 5) x = 24.+ 11, woraus x — 4 folgt. Wird x eliminiert, indem man 3 m +5 = 0, also m —--- setzt, so erhält man y = 3.

Zusätze, a) Welche von den vier Eliminations-Methoden in jedem besonderen Falle am vorteilhaftesten anzuwenden sei, muß aus der Beschaffenheit der Koeffizienten der Unbekannten beurteilt werden.

b) Kommen in den gegebenen Gleichungen überall dieselben Verbindungen der Unbekannten, z. B. ihre reziproken Werte vor, so ist es am einfachsten, diese Verbindungen selbst als die eigentlichen Unbekannten anzusehen und aus ihnen nachträglich die ursprünglichen Unbekannten zu berechnen. Z. B.

T + fzri = 13 mtb-f- -    = 4.

Setzt man = x' und y--_j_ - = y', so hat man 2x' + 3y' = 13 und 5x' — 2y' = 4, und findet x' = 2, y' = 3, woraus dann x = -|-, y—1 = -|- und

y = 1T folgt.

c) Die Wurzeln der Gleichungen a x + b y = c, a'x + b'y = c' sind Brüche mit gleichem Nenner. Derselbe wird aus den Koeffizienten der Unbekannten nach dem folgenden Schema 1 gebildet. Die Zähler von x und y werden aus dem Nenner erhalten, indem man die Koeffizienten von x beziehungsweise y durch die freien Glieder ersetzt. Dieselben werden also nach dem Schema 2 und 3 gebildet.

§. 134. Die in §. 133, 3 aus den allgemeinen Gleichungen

erhaltenen Werte

ts

-(-crer

to

-(-er er

CO

C8 "öS |

+ »o

ax + by = c, a'x + b'y — o'

_ b'c — bc' e _ ac' — a'o

X — ab' — a'b' y — ab' — a'b

lassen ersehen, daß es Fälle gibt, in denen die gegebenen zwei Gleichungen zur Bestimmung der in denselben vorkommenden zwei Unbekannten nicht geeignet sind.

1. Die Werte von x und y sind unbestimmt, wenn ab' = a'b und b'c = b c' und daher auch ac' = a'c ist, weil dann x — -jj- und y = ~ wird. Dieser Fall tritt immer ein, wenn die eine Gleichung von der andern abhängig ist. Denn setzt man a = a'm, wo dann auch b = b'm und c — c'm wird so nehmen die gegebenen Gleichungen folgende Form an:

a'm x -f~ b'm y — c'm, a'x + b'y = c',

woraus hervorgeht, daß die erste Gleichung durch bloße Umformung, nämlich durch Multiplikation mit m, aus der zweiten hervorgegangen, folglich von dieser abhängig ist.

2. Die zwei Gleichungen lassen ferner keine endliche Auflösung zu, wenn in den obigen Ausdrücken für x und y der Nenner — 0, die Zähler aber von 0 verschieden sind, wenn also ab' = a'b, dagegen etwa bc' $ b'c ist, weil man dann für x einen Wert von der Form -y erhält, die keinen Sinn hat (§. 47, 8). Dieser Fall tritt immer ein, wenn die zwei gegebenen Gleichungen einander wider st reiten. Denn setzt man a = a'm, also auch b — b'm, so nehmen die gegebenen Gleichungen folgende Form an:

a'm x -s- b'm y — c, a'x + b'y — c',

woraus c'm ----- c folgen würde, was jedoch einen Widerspruch enthält, da nach der Voraussetzung bc' $ b'c, also c, oder c'm ^ c sein muß.

Aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten können demnach die Werte dieser Unbekannten nur dann bestimmt werden, wenn die beiden Gleichungen voneinander unabhängig sind und einander nicht widerstreiten.

§. 135. Zur Bestimmung von drei oder mehreren Unbekannten müssen ebenso viele voneinander unabhängige und sich nicht widerstreitende Gleichungen gegeben sein.

Um ein System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten aufzulösen, eliminiert man aus je zwei der gegebenen Gleichungen dieselbe Unbekannte; dadurch erhält man n — 1 lineare Gleichungen mit n — 1 Unbekannten. Dieses Verfahren setzt man fort, bis man zuletzt nur eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten erhält, aus welcher sich der Wert dieser Unbekannten ergibt. Der gefundene Wert wird in eine der zunächst vorhergehenden zwei Gleichungen substituiert und dadurch eine zweite Unbekannte bestimmt. Die beiden gefundenen Werte substituiert man dann in eine der vorhergehenden Gleichungen, u. s. w., und bestimmt auf diese Art nach und nach die Werte aller Unbekannten.

Man kann aber auch die Methode der unbestimmten Koeffizienten anwenden, indem man die Gleichungen, mit Ausnahme einer einzigen, folgeweise mit den unbestimmten Zahlen m, n,.. multipliziert und sie in dieser Gestalt zu der unverändert gebliebenen Gleichung addiert. Man erhält dadurch eine neue Gleichung, aus welcher eine jede der Unbekannten bestimmt werden kann, wenn man die Koeffizienten der übrigen Unbekannten — 0 setzt, wodurch man zu ihrer Bestimmung so viele Gleichungen erhält, als unbestimmte Koeffizienten vorhanden sind.

Aus beiden Methoden erhellt unmittelbar, daß ein System von n unabhängigen linearen Gleichungen mit n Unbekannten nur durch ein einziges Wurzelsystem befriedigt wird.

Sind weniger Gleichungen als Unbekannte gegeben, so ist das Gleichungssystem unbestimmt; sind mehr Gleichungen als Unbekannte gegeben, so ist dasselbe überbestimmt, d. h. es ist im allgemeinen eine Lösung überhaupt nicht möglich. Sind z. B. drei Gleichungen mit zwei Unbekannten gegeben, so werden die Wurzeln der beiden ersten Gleichungen im allgemeinen der dritten Gleichung nicht genügen.

Srispikl.

8x + 5y + 2z = 24,

6x — 3y + z = 3,

4x + 9y — 6z = 4.

Sollen diese Gleichungen nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten aufgelöst werden, so multipliziere man die erste mit m, die zweite mit n und addiere zu denselben die dritte. Man erhält dadurch (8 m + 6n+4)x + (5m — 3n + 9)y + (2m + n — 6)z=24m-(-3ü-f-4.

Um aus dieser Gleichung x zu bestimmen, setze man 5m — 3n 9 ----- 0 und 2m -{- n — 6 ----- 0,

woraus sich m = g und n = g ergibt. Durch Substitution dieser Werte in der obigen Gleichung folgt dann

₍8.£ ₊ 6.g-M) x = 24.g + 3.g + 4,

und daher x — 1.

Auf analoge Weise erhält man j — 2 und 2 — 3.

III. Anwendung der Gleichungen des erste» Grades.

§. 136. Die Bestimmungsgleichungen dienen zur Lösung von Aufgaben der reinen und angewandten Arithmetik. Das Geschäft der Algebra hiebei ist ein dreifaches.

1.    Der Ansatz einer oder mehrerer zusammengehöriger Gleichungen, d. i. die Übertragung der Bedingungen der Aufgabe aus der gewöhnlichen Wortsprache in die algebraische Zeichensprache:

2.    die Auflösung der gebildeten Gleichungen;

3.    die Diskussion oder Deutung des erhaltenen Resultates, welche die verschiedenen möglicherweise eintretenden Fälle und die Bedingungen der Lösbarkeit der Aufgabe zu erörtern hat.

Für das Ansetzen der Gleichungen können keine allgemeinen Regeln gegeben werden; nur durch Lösung vieler Aufgaben verschiedener Art kann Geläufigkeit erworben werden. Anfängern kann folgende Regel als einigermaßen leitende Vorschrift dienen: Man betrachte die gegebene Aufgabe vorläufig als aufgelöst und behandle die Unbekannte so, wie es die Bedingungen der Aufgabe erfordern; dadurch erhält man für eine und dieselbe Größe zwei verschieden geformte Ausdrücke, welche einander gleichgestellt die verlangte Gleichung geben. Die Diskussion ist besonders dann von Wichtigkeit, wenn das Resultat ein allgemeines ist oder eine negative Auflösung enthält.

§. 137. Leispiele.

1. A ist a Jahre, B b Jahre alt; nach wie vielen Jahren wird A doppelt so alt sein als B?

Nach x Jahren wird A a + x, B b + x Jahre alt; man hat daher a-f-x = 2 (b + x), und x — a — 2 b.

Diskussion. Ist hier a<2b, so ist x = —(2b — a), also negativ. Da eine negative Zahl Jahre keinen Sinn hat, so ist in diesem Falle die Auflösung der vorgelegten Aufgabe unmöglich. Würde man aber in der obigen Gleichung — x statt x setzen, so erhielte man a — x — 2 (b — x), und x ----- 2 b — a.

Wenn man daher fragte: Vor wie viel Jahren war A doppelt so alt als L? so gibt die letztere Gleichung dafür die Lösung x — 2d — a, d. h. vor 2b — a Jahren.

Der absolute Wert einer negativen Wurzel einer Gleichung des ersten Grades genügt einer andern Gleichung, welche aus der ersten durch Änderung des Vorzeichens der Unbekannten gebildet wird, und kann die Auflösung einer Aufgabe enthalten, in welcher die Fragezahl der vorgelegten Aufgabe im entgegengesetzten Sinne genommen wird.

2. Zwei Körper K' und K" sind auf einer geraden Linie in derselben Richtung mit den Geschwindigkeiten c' und c" in gleichförmiger Bewegung und gehen gleichzeitig bezüglich durch die Punkte A' und A", von betten A' um d Längeneinheiten rückwärts von A" liegt. Nach wie viel (x) Zeiteinheiten werden beide Körper zusammentreffen?

K' legt in x Zeiteinheiten c'x Längeneinheiten zurück,

K" ..

c"x

In dem Momente, da beide Körper in einem Punkte M zusammentreffen, haben beide von A' (oder von A") die gleiche Entfernung; somit,

c"x = c'x — d

A'M = A"M + A'A" oder A"M = A'M — A'A" c'x == c"x + d

daher x -----

woraus folgt, daß in diesem Falle die Auf-

c" — c"

Diskussion, a) So lange c' > c", ist x positiv, und es gibt eine b e-stimmte Zeit, nach welcher die Körper zusammentreffen. Wenn c' — c", also c' — c" — 0, so wird x — die Auflösung ist unmöglich. Die beiden Körper behalten unverändert die Entfernung d bei. Ist c' < e", so wird x — — d lösung der Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, unmöglich ist, was auch schon an sich einleuchtet, indem sich der Hintere Körper K' langsamer als der vordere K" bewegt, beide also nicht nur nie zusammentreffen, sondern sich voneinander immer mehr entfernen. Um übrigens auch dem negativen Werte von x eine Deutung zu geben, braucht man nur in der gegebenen Aufgabe die Frage im entgegengesetzten Sinne zu stellen, nämlich: V o r wie viel Zeiteinheiten waren beide Körper zusammengetroffen? Dann gibt der absolute Wert von x die Auflösung der so geänderten Aufgabe und drückt aus, daß die zwei Körper vor —jj-—, Zeiteinheiten zusammengetroffen waren.

3. Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig von 2 Punkten, welche die Entfernung d haben, gleichförmig mit den Geschwindigkeiten c' und c" gegeneinander. Wann treffen sie zusammen?

Moönik-Neumann, Lehcb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Aufl.

Die Zeit vom Beginn der Bewegung bis zum Zusammentreffen werde mit x bezeichnet. In dieser Zeit legt der erste Körper den Weg c'x, der zweite Körper den Weg c"x zurück. Beide Körper treffen in einem Punkte zusammen, wenn die Summe ihrer Wege gleich der Entfernung der Ausgangsorte ist; somit c'x + c"x — d, daher

X ~ c'+c"*

Dieses Resultat wird unmittelbar aus dem früheren (Beispiel 2) erhalten, wenn man die Geschwindigkeit des zweiten Körpers, da er die entgegengesetzte Bewegungsrichtung hat als der erste, negativ nimmt.

Die unter 2. und 3. aufgestellten Gleichungen können auch zur Bestimmung einer anderen Größe dienen. Die algebraische Auflösung einer allgemeinen Aufgabe beantwortet daher nicht bloß die unmittelbar gestellte Aufgabe, sie liefert zugleich die Auflösung für eine ganze Gruppe von verwandten Aufgaben und zeigt den inneren Zusammenhang, in welchem dieselben untereinander stehen; insbesondere dienen die negativen Werte dazu, um die Beschränkungen aufzuheben, welche in eine Aufgabe gelegt wurden, und um dadurch diese in ihrer Allgemeinheit vollständig zu lösen.

4. Man hat zwei gleichartige Stoffe; von dem ersten ist der Wert einer Einheit — a, von dem zweiten — b. Man soll aus beiden eine Mischung machen, die m Einheiten enthält und von welcher jede Einheit den Wert c hat. Wie viele Einheiten muß man von jedem Stoffe zu dieser Mischung nehmen?

Es wird vorausgesetzt, daß der Wert der Mischung gleich ist den Werten der dazu verwendeten Stoffe.

Bezeichnet x die Anzahl der Einheiten, welche man von dem ersten Stoffe nehmen muß, und y die Anzahl der Einheiten, welche man von dem zweiten Stoffe nehmen muß, so ist

x + y = m und ax + by — cm, daher

a— c

y —-r.m.

J a — b

c-b

X — -r.m,

a — b '

Die Aufsuchung des Mischungsverhältnisses der beiden Quantitäten x :y — (c — b): (a—c) bildet die sogenannte Alligationsrechnung.

Vierter Abschnitt.

Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren.

Die Rechnungsarten -er dritten Stufe.

I. Won de« Wotenzen.

§. 138. Erklärung. Eine Zahl azur nten Potenz erheben oder mit n potenzieren heißt, anmal als Faktor setzen (§.37). Man nennt a die Grundzahl oder Basis, n den Exponenten und die gesuchte Zahl die nie Potenz von a. Man schreibt an — p. Eine Potenz ist demnach ein Produkt gleicher Faktoren. Der wiederkehrende Faktor heißt Basis, die Anzahl der Faktoren heißt Exponent.

b) O = 0.

a) 1“ — 1.

Zusatz. Die vorstehende Erklärung hat zunächst nur dann einen Sinn, wenn der Exponent eine ganze positive Zahl und >1 ist.

Folgesätze.

Rechengesetzk.

§. 139. 1. Potenzen derselben Basis kann man multiplizieren, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert.

am.an — am+“. Beweis in §. 38.

Aus der Fortdauer dieses Lehrsatzes und der Definition folgt: a¹ = a. (§. 38.)

2. Umkehrung. Eine Zahl kann mit einer Summe potenziert werden, indem man dieselbe mit jedem Summanden potenziert und die erhaltenen Potenzen multipliziert.

§. 140.    1. Potenzen derselben Basis kann man divi

dieren, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten des Dividends und Divisors potenziert.

am : an — ato~n.

Die Richtigkeit dieser Gleichung für m>n wurde in §. 53 bewiesen.

2. Umkehrung. Eine Zahl kann mit einer Differenz potenziert werden, indemman dieselbe mit demMinuend und mit dem Subtrahend potenziert und die erste Potenz durch die zweite dividiert.

Dieser Satz ist also nur gültig, wenn die Differenz eine von Null verschiedene positive ganze Zahl ist.

§. 141. 1. Ein Produkt kann mit einer Zahl potenziert werden, indem man jeden Faktor mit der Zahl potenziert und die erhaltenen Potenzen multipliziert.

(ab)™ = a“. b™.

(ab)

Lew eis. (ab)™ == (ab), (ab)

= (a.a.....(b.b...b) (§.36.)

= a™. b™.

2. Umkehrung: Potenzen mit demselben Exponenten kann man multiplizieren, indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

(4L

\b / bm'

am

§. 142. 1. Ein Quotient (Bruch) kann mit einer Zahl potenziert werden, indem man Dividend und Divisor mit der Zahl potenziert und die erste Potenz durch die zweite dividiert.

Der Beweis ist demjenigen zu ß. 141, 1 analog.

2. Umkehrung: Potenzen mit demselben Exponenten kann man dividieren, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

Folgesatz. Die Potenz eines auf die einfachste Form gebrachten echten oder unechten Bruches kann nie eine ganze Zahl sein.

Folgt aus 1. unter Beiziehung von §. 72, 3.

(a™)n — a

§. 143. 1. Eine Potenz kann mit einer Zahl potenziert werden, indem man die Basis mit dem Produkte beider Exponenten potenziert.

a™

LkweiS. (a™)n — a™.a™ .

_ am + m +

mn

2. Umkehrung: Eine Zahl kann mit einem Produkte potenziert werden, indem man dieselbe mit dem einen Faktor und die erhaltene Potenz mit dem andern Faktor potenziert.

Folgesatz. Die Reihenfolge wiederholter Potenzierungen ist willkürlich.

amn — (a™)n = (an)™.

Das kommutative Prinzip findet bei den Potenzen nicht statt, da a™ von ma im allgemeinen verschieden ist.

Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Potenzierung.

§. 144. 1. Gleiches mit Gleichem potenziert gibtGleiches. Ist a = b, so ist am = bm (§. 44, 1).

Folgesatz. Wenn man alle Glieder einer Proportion mit derselben Zahl potenziert, so erhält man wieder eine Proportion.

Ist a : b = c : d, so muß auch (a : b)m — (c : d)m, folglich am .    ₌ em : dm (§. 142, 1) sein.

2.    Größeres mit Gleichem potenziert gibt Größeres.

Ist a > b, so ist am > bm (§. 44, 3).

1, so ist bezüglich am ^ 1.

3.    Gleiches mit Größerem potenziert gibt Größeres oder Kleineres, je nachdem die Basis größer oder kleiner als 1 ist.

Beh. am > a“ a“ < an. an — a“

am n < 1

Folgesatz. Wenn

Vor. m > n und a > 1 ;

„ a < 1 ;

Leweis a)

an — an

am-n > 1

b)

a“ > a» (§. 44, 2);

am < a“.

Potenzen mit algebraischer Sajis.

§. 145. 1. Eine Potenz mit positiver Basis ist positiv. (+ a)m = + a“.

2. Eine gerade Potenz mit negativer Basis ist positiv. Eine ungerade Potenz mit negativer Basis ist negativ.

(— a)2n = + a2n (— a)2n+! — — a2n+¹.

chuadrat und Kubus eines Wokynoms.

§.146. Aufgabe. Eine algebraische Summe zum Quadrat zu erheben.

Man entwickle eine Summe nach folgendem Bildungsgesetze:

1.    Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt sein eigenes Quadrat.

2.    Jedes folgende Glied gibt zwei Bestandteile: das doppelte Produkt aus der Summe aller vorangehenden Glieder mit diesem Gliede und das eigene Quadrat.

Lkweiö. (azfcb)² — (a±b) (a rb b) = a² ± 2ab + ba.

Indem man ein Polynom in ein Binom verwandelt und nun wiederholt das vorangehende Bildungsgesetz anwendet, ergibt sich die allgemeine Gültigkeit der Regel.

(a + b + c)² = [(a + b) + c]² = (a + b)²+ 2 (a +b) c + c2 = a² + 2 a b + b² + 2 (a + b) c + c²;

(a — b — c)² — a² — 2ab -f- b² — 2 (a — b) c + c².

Zusatz. Die zwei Bestandteile, welche ein Glied der gegebenen Zahl im Quadrat gibt, können auch in einen einzigen zusammengefaßt werden, wenn man dieses Glied zu der doppelten Summe der vorhergehenden Glieder addiert und die erhaltene Summe mit diesem Gliede multipliziert; denn 2a.b + b² = (2a + b).b;

2(a + b).c + c² = [2(a + b) + c].c; u. s. W.

§. 147. Aufgabe. Eine dekadische Zahl zum Quadrat zu

erheben.

Da sich jede dekadische Zahl als ein nach den Potenzen von 10 geordnetes Polynom darstellen läßt, so folgt das Verfahren aus §. 146.

Um z. B. 3417 zum Quadrat zu erheben, hat man 3417² ----- (3000+ 400+ 10+ 7)² ----- 3000² +2.3000.400+ 400²

oder abgekürzt nach §. 146, Zusatz

+ 2.3400.10 +10² + 2.3410.7 + 7²; oder, wenn man die Bestandteile untereinander setzt und entwickelt, sowie mit Berücksichtigung des Stellenwertes die Nullen wegläßt,

3417²

3²

3417¹

2. 3.4 .....24

4» .

16

3² ...

2. 34.1 .

68

64.4

56

l² .

2.341.7 .

4774

681.1 ... 6827.7 ...

81

77

89

7² .

49

11675889

11|67|5889

Zusatze. 1. Das Quadrat einer dekadischen ganzen Zahl hat entweder doppelt so viele Ziffern als diese Zahl oder um eine Ziffer weniger.

Beweis. N sei uziffrig also IO“-¹ < N < 10”

somit IO²—² <;N²< 10+

(io™)

a²

ist, so erhellt, daß bei einem Dezimalbruche

das Quadrat auf gleiche Weise wie bei einer dekadischen ganzen Zahl gebildet wird; nur muß man im Quadrate des Zählers doppelt so viele Dezimalen abschneiden, als deren der gegebene Dezimalbruch enthält.

10*11

N² hat also mindestens 2n — 1 Ziffern und höchstens 2n Ziffern. 2. Da

§. 148. Aufgabe. Eine algebraische Summe zum Kubus zu erheben.

Man entwickele eine Summe nach folgendem Gesetze:

1.    Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt seinen eigenen Kubus.

2.    Jedes folgende Glied liefert drei Bestandteile: das dreifache Quadrat der Summe aller vorangehenden Glieder multipliziert mit diesem Gliede, die dreifache Summe aller vorangehenden Glieder multipliziert mit seinem Quadrate und seinen eigenen Kubus.

Leweis. (a±b)³ = (a±b)a (a ± b) = (a²±2ab + d²) (a±b) = a³±3a²b + 3ab²±b³.

Die weitere Begründung ist ähnlich wie tut §. 146.

heben.

§. 149. Aufgabe. Eine dekadische Zahl zum Kubus zu er

Das Verfahren folgt aus §. 148.

Um z. B. den Kubus von 4213 — 4000 + 200 + 10 + 3 zu bestimmen, hat man, wenn die Nullen mit Beachtung des Stellenwertes weggelassen werden, folgende Rechnung:

4213³

4³.....64

CO CO

.2²

CO

2³

3. 42M 3. 42 .l²

I³

3.421².3 .....

3.421 .3².....

Cn

H CD    CO

CD    H    H

<M    (M__tlQ    t-h

00 Ci    H    CTb

CT} CD

3³

27

74

CO

CD

T—i

597

Zusätze. 1. Der Kubus einer dekadischen ganzen Zahl hat entweder dreimal so viele Ziffern als diese Zahl oder um zwei Ziffern oder um eine weniger.

Leweis analog wie zu §. 147, Zusatz 1.

2.    Da (j^)d = ist, so folgt, daß man bei Dezimalbrüchen

vom Kubus des Zählers 3 mal so viele Dezimalen abschneiden müsse, als deren der gegebene Dezimalbruch hat.

3.    Den Kubus eines unvollständigen Dezimalbruches bildet man durch abgekürzte Multiplikation.

Potenzen, deren Exponent Mull, negativ oder unendlich ist.

§. 150. Nach der ursprünglichen Definition des Potenzierens muß der Exponent eine positive ganze Zahl sein; demnach sind a° und a~m bedeutungslose Symbole. Will man auch diese Potenzformen beibehalten, so muß man denselben, da 0 und — m Differenzen sind, jene Bedeutung beilegen, welche durch Anwendung des Lehrsatzes über das Potenzieren mit einer Differenz (§. 140, 2) erhalten wird, also wiederum das Prinzip der Fortdauer der Operationsgesetze befolgen.

Erklärungen. 1. a° = am~m = am : am = 1.

Eine Potenz mit dem Exponenten 0 ist für jede endliche von Null verschiedene Basis gleich 1.

0° ist unbestimmt, denn 0° = O : 0m = 0 : 0.

2.

a~m = ap-<p + m> = ap : ap + m = ap : (ap . am) —

oder

a~m — a0-m = a° : am = —.

am

Eine Potenz mit negativem Exponenten ist gleich dem reziproken Werte einer Potenz derselben Basis mit dem entsprechenden positiven Exponenten.

— Q- führt zu einem Ausdrucke, welchem

Die Annahme 0~m — ^ keine Zahl entspricht; daher darf Null nur als Basis einer Potenz mit positivem Exponenten gewählt werden.

Folgesätze, a) Da ^ — (j-Y ist, so ist auch

(})■ e'«‘

a-p =

Potenz mit negativem Exponenten ist gleich dem reziproken Werte der Basis, potenziert mit dem entsprechenden positiven Exponenten.

Die Anwendung dieses letzteren Satzes empfiehlt sich, wenn die Basis ein Bruch ist.

b)    Aus a-p — folgt ap —    Man kann daher jede Potenz,

die im Zähler eines Bruches als Faktor vorkommt, als Faktor in den Nenner, und umgekehrt, übertragen, wenn man das Vorzeichen des Exponenten in das entgegengesetzte verwandelt.

c)    Die Zeichenregeln des §. 145 gelten auch für Potenzen mit negativem Exponenten.

(+ a)“m = + a-m; (— a)~2n = + a~²“; (— a)-(2n+¹) = — a~(²“+¹).

§. 151. Mit Rücksicht auf §. 150 läßt sich die in §. 119 aufgestellte allgemeine Form eines Dezimalbruches

...c.l0³ + b.l0² + a,10 + E + ^ + i^ + i^ + ... auch so darstellen:

.. .c.lO³ + b.l0a + a.lO + E.10o + «.10-¹ + /?.10-² + y.lO-⁸ + ...,

und sind daher 0, — 1, — 2,-3,... bezüglich die Rangexponenten der Einer, sowie der ersten, zweiten, dritten,... Dezimalziffer. Hieraus folgt:

1.    Der Rangsexponent einer an der nten Dezimalstelle stehenden Ziffer ist —n. Z. B. in dem Dezimalbruche 0⁻000783 hat die höchste Ziffer 7 den Rangexponenten — 4.

2.    Bedeutet N einen Dezimalbruch, dessen höchste Ziffer an der nten Dezimalstelle steht, so ist

N 10~n und N < UH”-*)-

Z. B. 0-00935 > ^ und 0-00935 <

§. 152. Alle bisher erwiesenen Lehrsätze von den Potenzen mit positiven Exponenten gelten auch für Potenzen, deren Exponent Null oder negativ ist.

Aus der Fortdauer des Lehrsatzes §. 140, 2 folgt, daß auch die Umkehrung §. 140, 1 und infolgedessen auch alle übrigen Lehrsätze ihre Gültigkeit behalten. Man kann dies auch unmittelbar beweisen, indem man von der Definition Gebrauch macht, dann die Rechnung durchführt und zum Schluffe eventuell wieder zu Potenzen, deren Exponent Null oder negativ ist, zurückkehrt. Z. B.

a-m . an _

am

----- a~m -n»

am. an am + n = (am) n = amn.

§. 153. Entwickelt man durch regelrechtes Multiplizieren die beiden ersten Glieder der aufeinanderfolgenden Potenzen von 1 -st x, so erkennt man unmittelbar, daß der Koeffizent des zweiten Gliedes stets um 1 wächst, weil das zweite Glied der nächst höheren Potenz die Summe ist aus x und dem zweiten Gliede der vorhergehenden Potenz.

(1 + x)³ = 1 + 3x + ....

(1 ~l~ x)⁴ — (1 + 3x    (1 + x) — 1 + 4x -s-.....

(1 + x)n = 1 + n x + ... somit für lim n = oo und x > 0 ist lim (1 + x)n ==

1.    Für a > 1 und lim n — 00 ist lim an — oo.

2.    a = 1 und lim n = oo ist lim a” = 1. (§. 138.)

Wenn a kleiner als 1 ist, so kann es auf die Form y^-y gebracht

werden, too x > 0 ist, z. $. -|= y^.

3. für a <c 1 und lim n = oo ist lim a“ — lim ~-j Folgerungen. Für a > 1 und lim n = OO ist lim a~n —

Somit

OO.

= oo.

Für 0 < a <C 1 und lim n = oo ist lim a~“ — —^—

Mit „potentia“ übersetzte Bombelli (1572) das griech. Svvafue (Vermögen), welches Diophant für das Quadrat der Unbekannten gebrauchte. Erst später wurde dieses Wort in dem jetzigen allgemeinen Sinne gebraucht. „Exponent" wurde von Stifel, die jetzige Schreibweise von Herigogne (1634) und Descartes (1637) eingeführt.

II. Won den Wurzeln.

§. 154. Die durch die direkte Rechnungsart des Potenzierens gewonnene Gleichung b“ = a führt zu den beiden neuen Aufgaben. 1) aus a und n die unbekannte Zahl b, 2) aus a und b die unbekannte Zahl n zu suchen. Die erste Aufgabe wird durch die sechste Rechnungsart, das Radizieren, gelöst, die zweite Aufgabe durch die siebente Rechnungsart, das Logarithmieren. Diese beiden Rechnungsarten sind also die Umkehrungen oder inversen Operationen des Potenzierens.

Erklärung. Aus einer Zahl a die nte Wurzel ausziehen, oder die Zahl a durch n radizieren heißt, aus der Potenz a und dem Exponenten n die Basis suchen. Die gegebene Potenz a heißt der Radikand, oder geradehin die Zahl, der gegebene Exponent u der Wurzelexponent und die gesuchte Basis die nte Wurzel aus a.

Man schreibt V» = b.

Va ist also diejenige Zahl, welche mit dem Wurzelexponenten potenziert den Radikand gibt.

Die zweite und die dritte Wurzel einer Zahl nennt man bezüglich Quadratwurzel und Kubikwurzel.

Folgesätze. 1. (Definitionsformel.) Potenziert maneineWurzel mit dem Wurzelexponenten, so erhält man den Radikand.

(Va)” — a.

2. Radiziert man eine Potenz durch den Potenzexponenten, so erhält man die Basis.

V(an) — a.

Zusah. Aus 1) und 2) folgt:

Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie in beliebiger Reihenfolge mit einer Zahl potenziert und das Resultat durch dieselbe Zahl radiziert.

a = Va“;

= (Va)“.

Hiernach kann jede Zahl in Form einer Wurzel dargestellt werden; z. B. b — Vb⁵.

Das Potenzieren und das Radizieren sind demnach einander entgegengesetzt.

3.    Die erste Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl selbst.

Da a¹ = a, so ist Va — a.

Für die erste Wurzel wird daher weder der Exponent 1, noch das Wurzelzeichen angeschrieben. Bei der zweiten oder Quadratwurzel wird das

Wurzelzeichen, aber nicht der Exponent 2 angeschrieben, so daß Va so viel 2

als Va bedeutet.

5. VO = 0.

4.    VI = 1.

Dritte Erweiterung des Zahlengevietes.

Irrationale Iahten.

§. 155. Bei der Berechnung der n-ten Wurzel aus einer positiven ganzen Zahl kommen zwei Fälle in Betracht.

1.    a ist die n-te Potenz einer positiven ganzen Zahl, z. B. a = pn;

n

dann ist Va = P eine positive ganze Zahl.

2.    a liegt zwischen den n-ten Potenzen zweier aufeinanderfolgenden

positiven ganzen Zahlen; somit liegt Va zwischen zwei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen, ist somit keine ganze Zahl.

Dann läßt sich aber Va auch durch keinen Bruch darstellen; denn wäre Vä"="7, wo q und r relative Primzahlen sind, so müßte (-^-) “ = a — einer ganzen Zahl sein, was nach §. 142, Folges. unmöglich ist.

n

Daraus folgt: Va ist im zweiten Falle keine rationale Zahl.

1° 2°, 3°, 4°, ......

Es sei z. B. a₀n < a < (a₀ + l)n, somit a₀ < Va < a# + 1-

Gemäß der Annahme liegt a zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern der Reihe

(ao +    ' (ao +1)°,

Wir bilden nun die Reihe

a»n' (a» + Jq) ' (ao + A) ' so muß a zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern dieser Reihe liegen. Es sei:

(a* +§)n<a< (a« + ^r)”' somit ao + y5<Va<ao + Nr-

Hierauf wird die Reihe gebildet:

(“• +m)⁻' C³» + ä + mh (*» + Io + w-)"’

so muß a wiederum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern liegen.

(ao + S + w)a-

Es sei:

(a0 + Io + to») <a<(a0 +1) +    ') ' somit a₀    < V a

<ao + S + ⁵i$i;

fahren wir in gleicher Weise fort, so ergibt sich:

am-f“ 1

10m '

ao + ^    + - +I^"n<Va<ao + ^ +    .....H

wo alf a₂, ... am die Werte 0, 1, 2, ... 9 annehmen können.

Der Vergleich mit §. 105 lehrt unmittelbar:

Die n = te Wurzel aus einer positiven ganzen Zahl a ist im zweiten Falle eine irrationale Zahl.

Dieselbe ist positiv, weil sie von positiven Zahlen eingeschlossen ist Gemäß §. 101 sind zwei irrationale Zahlen gleich, wenn sie zwischen denselben beiden gegeneinander konvergierenden Zahlenreihen eingeschlossen werden. Ferner ist die irrationale Zahl a größer als die irrationale Zahl b, wenn jedes Glied der beiden Reihen, welche a einschließen, größer ist als das entsprechende Glied der beiden Reihen, welche b einschließen.

§. 156. Jedes Glied der beiden gegeneinander konvergierenden Reihen, welche die irrationale Zahl einschließen, ist ein Näherungswert derselben. Der Unterschied zwischen der irrationalen Zahl und dem Näherungswerte derselben wird der Fehler des letzteren genannt. Setzen wir

v*-«.+-io+»■+•••+£» “ier

am-f-1 10m '

(§. 105).

Va = ao + |o    ■ ■ 4"

10“*

so ist in beiden Fällen der Fehler kleiner als

Im ersten Falle ist derselbe positiv, im zweiten Falle negativ. Brechen wir also den unendlichen unperiodischen Dezimalbruch, dessen Grenzwert die irrationale Zahl ist, bei einer bestimmten Stelle ab, so ist der Fehler des erhaltenen Näherungswertes peiner als eine Einheit der letzten Dezimalstelle.

Mit irrationalen Zahlen rechnen heißt, mit ihren Näherungswerten rechnen und den Grenzwert suchen, von welchem das Resultat unendlich wenig differiert, wenn die Näherungswerte der irrationalen Zahlen von ihren Grenzwerten selbst unendlich wenig differieren.

Da nach dieser Erklärung die Resultate der Rechnungen mit irrationalen Zahlen durch die bezüglichen Rechnungsresultate ihrer Näherungswerte bestimmt werden, diese aber rationale Zahlen sind, so gelten alle für rationale Zahlen erwiesenen allgemeinenOperationsgesetze auch für die irrationalen Zahlen.

§.157. Erweiterte Zahlenreihe. Die Stellung der positiven irrationalen Zahl in der Zahlenreihe ist durch die beiden gegeneinander konvergierenden Reihen positiver rationaler Zahlen vollständig bestimmt.

Jeder positiven irrationalen Zahl läßt sich eine negative irrationale Zahl mit gleichem absoluten Werte zuordnen, wodurch auch deren Stellung in der Zahlenreihe bestimmt ist. Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen das System der reellen Zahlen.

Darstellung der irrationalen Zahl an der Zahlenlinie. 1. Es entspreche der Null der Punkt 0, der Zahl + 1 der Punkt A; dann entspricht dem willkürlich gewählten Punkte M der Quotient des Strecken-verhältnisses Dieser Quotient ist, wenn OM und 0 A kommensurable Größen sind, eine rationale Zahl, hingegen, wenn OM und O A inkommensurabel sind, eine irrationale Zahl. Demnach entspricht jedem Punkte der Zahlenlinie eine reelle Zahl.

2. Umkehrung. Jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt der Zahlenlinie.

Da die den rationalen Näherungswerten entsprechenden Punkte einander unendlich nahe gebracht werden können, so ist die Lage jenes Punktes, welcher der irrationalen Zahl entspricht, eindeutig bestimmt.

anderseits den Zahlen 2, 15, 1°42,

Für einige irrationale Zahlen, z. B. für jede irrationale Quadratwurzel, läßt sich der zugeordnete Punkt der Zahleulinie durch Anwendung geometrischer Lehrsätze konstruieren. Errichtet mau z. B. über der als Einheit gewählten Strecke ein Quadrat, so hat die Diagonale desselben die Maßzahl V2. Trägt man also die Diagonale von dem der Null entsprechenden Punkte nach der positiven Richtung auf der Zahlenlinie auf, so erhält man den der irrationalen Zahl + V 2 entsprechenden Punkt. Diesem Punkte nähern sich immer mehr und mehr jene Punkte, welche einerseits den Zahlen 1, 14, 1 41, 1414, 1 4142, ....

1415, 1 4143, . . . zugeordnet sind.

Durchläuft ein Punkt die Zahlenlinie, so nennt man seine Bewegung stetig, weil kein Punkt der Linie übersprungen wird. Da jedem durchlaufenen Punkte eine reelle Zahl entspricht, so nennt man auch das System der reellen Zahlen stetig. Das System der rationalen Zahlen ist hingegen nicht stetig.

Irrational Q-öyog, ratio, Verhältnis) ist die Übersetzung des griech. äloyog. Hiemit bezeichnete Euklid eine Strecke, deren Quadrat zu dem Quadrate, welches über der als Längeneinheit gewählten Strecke konstruiert wird, inkommensurabel ist.

Rechengesetze.

§. 158. Die n-te Wurzel aus einer positiven ganzen Zahl hat nach §. 155 einen einzigen positiven Wert. Deshalb kann gemäß den nachfolgenden Lehrsätzen auch die n-te Wurzel aus einem positiven Bruche, sowie aus einer positiven irrationalen Zahl einen einzigen positiven Wert haben. Derselbe soll der absolute Wert derWurzel heißen. Die nachfolgenden Lehrsätze beziehen sich, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil betont wird, auf den absoluten Wert der Wurzel.

§. 159. 1. Ein Produkt kann durch eine Zahl radiziert werden, indem man jeden Faktor durch die Zahl radiziert und die erhaltenen Wurzeln multipliziert.

V (ab) — Va.Vb.

öeweis. Soll die rechte Seite gleich der linksseitigen Wurzel sein, so muß sie mit dem Wurzelexponenten n potenziert den Radikand geben.

(Va.Vb)" = (Va)”.(Vb)n (§. 141, 1) = a.b (154, 1).

Zusähe, a) Mit Hilfe des ersten Satzes kann man, wenn der Radikand einen Faktor enthält, aus dem sich die verlangte Wurzel ausziehen läßt, diesen Faktor vom Wurzelzeichen befreien oder teilweise radizieren. Z. B.

V(an.b) = V(an).\/b — ayb.

b) Nach dem zweiten Satze kann man mit Beiziehung von §. 154, 2 umgekehrt jeden Faktor einer Wurzel unter das Wurzelzeichen bringen, indem man ihn mit dem Wurzelexponenten potenziert und diese Potenz mit dem Radikand multipliziert. Z. B.

2. Umkehrung. Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten kann man multiplizieren, indem man das Produkt der Radikanden durch den gemeinsamen Wurzelexponenten radiziert.

a\/b = V(a”).Vb ----- V(a”b).

§. 160. 1. Ein Quotient (Bruch) kann durch eine Zahl radiziert werden, indem man Dividend und Divisor durch die Zahl radiziert und die erste Wurzel durch die zweite dividiert.

Vb'

'n ln n

Seweis.    (§. 142, 1) — ± (§. 154. 1).

|Vbj (Vb)"    b

2. Umkehrung. Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten kann man dividieren, indem man den Quotienten der Radikanden durch den gemeinsamen Wurzelexponenten radiziert.

§. 161. Fonnveran-erung einer Wurzel. DieWurzel aus einer Potenz verändert ihren Wert nicht, wenn man den Wurzel-und den Potenzexponenten mit derselben Zahl multipliziert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert.

q_ q:p__

b) Var = Var;P.

n_ np_

a) Vam — VamP;

n

somit x" — am und xnp — amp;

Seweis. a) Vä™ — x>,

n    np_

Va™" — Vamp-

daher x —

b) Der zweite Teil folgt als Umkehrung aus dem ersten.

Jusätze. 1. Nach diesem Satze kann man a) jede Wurzel in eine andere umformen, deren Wurzelexponent ein Vielfaches des gegebenen Wurzelexponenten ist, folglich auch zwei oder mehrere Wurzeln mit einem gemeinsamen Wurzelexponenten darstellen; b) jede Wurzel, in welcher der Wurzel-und der Potenzexponent ein gemeinsames Maß haben, dadurch abkürzen.

3    10

Sind z. B. die Wurzeln \/a, Vb², Vc⁷ gegeben, so ist 30 ihr kleinster gemeinsamer Wurzelexponent, und man hat

80    8    SO 10    30

Va ----- \/a¹⁶, \/b² — Vb²⁰, V°⁷ — Vc²¹.

Sind Wurzeln, welche ungleiche Exponenten haben, zu multiplizieren oder zu dividieren, so müssen sie zunächst mit einem gemeinsamen Wurzelexponenten dargestellt werden.

2. Eine Wurzel mit negativem Wurzelexponenten ist gleich dem reziproken Werte derselben Wurzel mit positivem Wurzelexponenten.

Es ist

Va = Va¹—¹ = Va-¹, also

Va =

t-

Negative Wurzelexponenten pflegt man zu vermeiden, indem man daS Negative in den Potenzexponenten verlegt.

§. 162. 1. Eine Potenz kann radiziert werden, indem man die Basis mit dem Quotienten aus dem Potenz- und Wurzelexponenten potenziert.

n    m

Vam = an.

= am.

/ m\n    m

Semeis.

van) — a“

2. Umkehrung. Eine Zahl kann mit einem Quotienten (Bruche) potenziert werden, indem man in beliebiger Reihenfolge die Zahl mit dem Dividend potenziert und das Resultat durch den Divisor radiziert.

2??    n    n

an = V(am) = (Va)m.

Zusatz. Beide Sätze gelten nur für Quotienten, welche ganze Zahlen sind.

§. 163. 1. Eine Potenz kann durch eine Zahl radiziert werden, indem man die Basis durch die Zahl radiziert und die erhaltene Wurzel potenziert.

V(am) = (Va)m.

öeweis. {(Va)in = {(Va)n|m (§. 143) = a“ (§. 154, 1. Folges.).

2. Umkehrung. Eine Wurzel kann mit einer Zahl potenziert werden, indem man den Radikand mit ihr potenziert und die erhaltene Potenz radiziert.

Folgesatz. Soll eine Zahl potenziert und das Resultat radiziert werden, so ist es gleichgültig, in welcher Reihenfolge man diese Rechnungsoperationen vornimmt.

§. 164. 1. Eine Wurzel kann durch eine Zahl radiziert werden, indem man den Radikand durch das Produkt der Wurzelexponenten radiziert.

j/ V a — Va.

mn

n

Leweis. (Va)m — Vam (§. 163, 2) ----- Va.

2. Umkehrung. Eine Zahl kann durch ein Produkt radiziert werden, indem man dieselbedurch den einenFaktor und die erhaltene Wurzel durch den andern Faktor radiziert.

Folgesatz. Soll eine Wurzel radiziert werden, so ist die Reihenfolge dieser Rechnungsoperationen gleichgültig.

Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Uadyierung.

§. 165. 1. Gleiches durch Gleiches radiziert gibt Gleiches.

Ist a = b, so ist Va = \/b (wie §. 14, 1).

Folgesätze, a) Wenn man alle Glieder einer Proportion durch dieselbe Zahl radiziert, so erhält man wieder eine Proportion.    „_ ->_

Ist a: b — e: d, so ist auch Va : b — Vc : d, oder

Va: \/b = Vc: Vd (§. 160, 1).

b) Die mittlere geometrische Proportionale zwischen zwei Zahlen istgleich der Quadratwurzel ausdem Produkte dieser Zahlen.

Ist a:b — b:o, so ist b² = ac, daher

b — Vac!

3. Größeres durch Gleiches radiziert gibt Größeres.

Ist a> b, so ist Va > Vb.

Lcweis. Wäre Va < Vb, so müßte bezüglich nach §. 144,1 oder 2

<!•

(Va)°<(Vb)m, also a<[b sein, was gegen die Voraussetzung ist. Folgesatz. Ist a^l, so ist bezüglich auch \/~ >

m    n

Va<Va; Va > Va.

3. Gleiches durch Größeres radiziert gibt Kleineres oder Größeres, jenachdem der Radikand größer oder kleiner als 1 ist.

Ist m>-n, so ist für a > 1,

für a< 1,

Lkwris. Wäre für a > 1 Va> Va, so wäre bezüglich nach §. 144,1

m    _ n    _

oder 2 (Va)nm> (Va)mn, oder an> am, während wegen m>n nach §. 144, 3 am>an sein muß.

Ebenso wird der Beweis für ad geführt.

Wurzel» mit algebraischem Radikand.

§. 166. Bisher wurde unter Va, wo a eine positive Zahl ist, nur der absolute Zahlenwert der Wurzel verstanden. Bezeichnet man aber mit

Va, wo a eine algebraische Zahl ist, sämtliche Wurzeln der Gleichung

xn — a, so läßt sich allgemein zeigen, daß Va n verschiedene Werte hat. Für einige spezielle Fälle wird dies später nachgewiesen werden. Berücksichtigt man aber nur die reellen Werte, so gelangt man zu folgenden Sätzen:

1.    Jede ungerade Wurzel aus einem positiven Radikand hat nur einen positiven reellen Wert.

2.    Jede ungerade Wurzel aus einem negativen Radikand hat nur einen negativen reellen Wert.

3.    Jede gerade Wurzel aus einem positiven Radikand hat zwei entgegengesetzte reelle Werte.

4.    Jede gerade Wurzel aus einem negativen Radikand hat keinen reellen Wert.

Moünik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Aufl.

Beweis. Nach §. 145 ist

(±p)ta = +a, C+q)²^¹ = +b, (-q)²^¹ = - b, wo a und b die durch Potenzierung sich ergebenden absoluten Zahlenwerte bedeuten. Daraus aber folgt nach §. 154

2n

V +

2n + 1

2n + l

V + b = +q,

a = ±p,

— q-

V — a besitzt keinen reellen Wert, weil weder eme positive, noch eine negative ganze, gebrochene oder irrationale Zahl, noch auch Null, mit einer geraden Zahl potenziert eine negative Zahl hervorbringen kann.

2n

Umformung von irrationalen Wuyelausdrücken.

§. 167. Ausdrücke, in denen irrationale Wurzeln vorkommen, lassen sich manchmal durch entsprechende Umgestaltung auf eine Form bringen, die für die Rechnung mehr Bequemlichkeit bietet.

Aufgabe. Einen Bruch, dessen Nenner ein irrationales Monom oder Binom ist, ohne Änderung seines Wertes mit einem rationalen Nenner darzustellen. (Rationalmachen des Nenners.)

Der vorgelegte Bruch kann eine der folgenden Formen haben:

<3

Va±Vb'

Vap ± \/bq

1. Um einen Bruch von der Form 5—, wobei m > n ist, mit einem

Va“

rationalen Nenner darzustellen, multipliziere man Zähler und Nenner mit Vam-“.

Es ist —

Z Vam~D

Z Va

Z Vam-n

Va“ .Va

2. Um einen Bruch von der Form J ^ oder

rationalen Nenner darzustellen, multipliziere man Zähler und Nenner mit a=F Vb oder Va + Vb. Es ist

<5

Vam

Va Vb

mit einem

Z(a + Vb)

_ Z (a + yb) _

a dz Vb    (a ± Vb) (a =F Vb) a² — b

Z(Va^Vb)

_ ₌ Z(VaqFVb)_

\ a dz Vb    (Va dz Vb) (Va + Vb)

3. Um einen Bruch von der Form

VA dz VB

Vanp dz Vbmq

wo der Kürze halber mn = r, anp = A und bmq — B gesetzt wird, mit

Va» dz Vb ⁹

einem rationalen Nenner darzustellen, multipliziere man Zähler und Nenner des letzten Bruches mit dem Polynom

r    r    r    r    r

VA'—¹ + VI-². B -f VA—³. Bs =F ... (=F 1)—² VÄT. B—² + (=Fl)—¹ Vb—*. Man erhält dadurch A±B als den neuen Nenner. Z. B.

Z ₌ Z (Va⁴ + Va³ b + Va² bä + Va b³ + Vb⁴)

Va —Vb

§ 168. Aufgabe. Die Summe oder die Differenz der Quadratwurzeln aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen, von welchen die eine irrational ist, in eine einzige Quadratwurzel zu verwandeln.

(Va + y'b± Va — yb)² = 2 a d= 2Va² — b, daher, wenn man beiderseits die Quadratwurzel auszieht, Va + Vti dz Va — Vb — ^2 a dz 2 Va² — b.

Ist Va-J-y b ± Va — y b die gegebene Summe oder Differenz zweier Quadratwurzeln, wobei a als positiv und größer als yb vorausgesetzt wird, so hat man

Diese Umformung läßt sich besonders dann mit Vorteil anwenden, wenn a² — b eine vollständige Quadratzahl ist. Z. B.

V4 + v7 + V4^\/7 = ^8 + 2 VlfV^T = V8 + 2 V9 = V14;

V6 + VII - V6 — VII = Vl2~— 2 V3(V=nJ - V12-2V25 = V2.

§• 169. Aufgabe.*) Die Quadratwurzel aus einem irrationalen Binom in die Summe oder die Differenz zweier Quadratwurzeln zu verwandeln.

Ist Va dz Vb die gegebene Quadratwurzel, so hat man, wenn a positiv und a> Vb ist, nach §. 168

Va -|- Vb 4~ Va — Vb — ^2a + 2Va² — b, Va + Vb — Va — Vb — V2a — 2Va² — b; daher durch Addition und Subtraktion dieser Gleichungen

¹

Ein unvollständiger Dezimalbruch wird durch abgekürzte Multiplikation quadriert.

vs+vb = j/i+v^b ₊ j/a-yra.

a — Va² — b

V^STyb = |/a + Vä^b _ y

7*

*) Diese Aufgabe kann auch später mittels einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten gelöst werden.

Die Umformung ist nur dann vorteilhaft, wenn a² — b eine vollständige Quadratzahl ist. Z. B. _ _

Vll±6V2 = Vn±V72 = ]/ü±Vi2 ± ]/.u~V49 = 3rtV2.

Zusatz. Haben die beiden Glieder des Binoms a± Vb einen gemeinsamen irrationalen Faktor, so wird derselbe vor der Transformation herausgehoben. Z. B.    i

V3V2-V10 = V2.V3^vö = V2.(]/f - ]/|) = ^ (V5-1).

§. 170. Aufgabe. Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte im Radikand vorkommt, von derWurzel zu befreien. (Rationalmachen der irrationalen Gleichung.)

Man transformiere die Gleichung so, daß in einem Teile die Wurzel allein steht, und potenziere dann beide Teile mit dem Wurzelexponenten.

Enthält die Gleichung mehrere derartige Wurzelausdrücke, so kann dieselbe in der Regel erst durch wiederholtes Potenzieren rational gemacht werden.

Beispiele.

2) Vx 4-13 — Vx 4- 6 — 1 Vx~4-13 = 14- VF+6

X4-13 = 1-4x4-64-2 Vx 4-6 Vx 4~ 6 = 3 x —6 = 9 x = 3

1) V2l+"3 = 5

(V2T+3)² = 52 2x4-3 = 25 2x = 25-3 2x = 22 x = 11

Zusatz. Sowohl die Gleichung Vx -s-13 — Vx 6 — 1 als auch Vx 4-13 -s- Vx 4- 6 = 1 gibt infolge des Quadrierens dieselbe Wurzel x — 3. Die Probe lehrt dann, welches Vorzeichen dem absoluten Werte der Quadratwurzel gegeben werden muß, damit eine Identität erhalten wird. So muß Vx -413 = VliT in beiden Gleichungen den Wert 4~ 4, hingegen Vx -4 6 = V9 in der ersten Gleichung den Wert + 3, in der zweiten den Wert —3 erhalten.

Potenzen nnd Wurzeln mit gebrochene» Exponenten.

§. 171. Eine Potenz, deren Exponent ein eigentlicher Bruch ist, hat gemäß der Definition keine Bedeutung. Will man auch diese Potenzformen beibehalten, so muß man denselben gemäß dem Prinzipe der Fortdauer der Operationsgesetze jene Bedeutung beilegen, welche der Lehrsatz über das Potenzieren mit einem uneigentlichen Bruche (§. 162, 2) verlangt.

Erklärung. an = Vam = (Va)m.

Eine Zahl mit einem Bruche potenzieren bedeutet, die Basis in beliebiger Reihenfolge mit dem Zähler potenzieren und das Resultat durch den Nenner radizieren

Zusah. Aus \/a — Vam — a“ folgt, daß sich jede Wurzel mit gebrochenem Exponenten als eine Potenz mit gebrochenem Exponenten darstellen läßt. Da man deshalb Wurzeln mit Bruchexponenten in die Rechnung gar nicht einzuführen pflegt, so beschränken wir uns hier auf Potenzen mit gebrochenen Exponenten.

§. 172. Alle bisher erwiesenen allgemeinen Sätze von den Potenzen gelten auch für Potenzen mit gebrochenen Exponenten.

Vermöge der Definition für a "behält der Lehrsatz (am)p — a”» (siehe §. 162, Beweis) und mit ihm auch alle übrigen Sätze der Lehre von den Potenzen ihre Gültigkeit.

Um dieses an den einzelnen Sätzen direkt nachzuweisen, braucht man nur die Potenzen mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln zu verwandeln, dann die angedeuteten Rechnungen auszuführen und in den Resultaten die Wurzeln wieder in Potenzen mit Bruchexponenten umzuformen. Z. B.

m p

an .aq

n q    nq nq    nq    mg 4~np

— Vam.VaP = Vmq-Vanp — Vamq + np — a nq

m p - 5L n ' q

Zusatz. Da sich alle Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten darstellen lassen, so ist die Lehre von den Wurzeln schon in den Sätzen von den Potenzen enthalten.

2n    1

Schließt man die Zahlenform V — a — (—a)²" aus, so kann also

sowohl die Basis als der Exponent eine positive oder negative rationale oder irrationale Zahl sein; denn im letzteren Falle ist die Potenz der Grenzwert, welchem sich jene Potenzen nähern, die man erhält, wenn man statt der irrationalen Zahl den Näherungswert ao+^ + ^5 + i*i+^ setzt und n unendlich wachsen läßt. Z. B.

10_ 100_ 1000_ 10000

= 3.V3⁴.V3.V3i.V3a......

V2

1*4142 . . .

Wirrte Erweiterung des Zahkengevietes.

2n

Imaginäre Zahlen.

§. 173. Da V — a, wo a>o, in der Reihe der bisher bekannten Zahlen nicht enthalten ist, so liegt die Notwendigkeit vor, neuerdings das

Zahlengebiet zu erweitere_Hiebei geht man von der niedrigsten Wurzel

dieser Art, nämlich von V— a aus. Man behält also auch diese Wurzelgröße bei und trifft zugleich die Festsetzung, daß die Definitionsformel (V — a)² = — a Gültigkeit behalte. Infolgedessen gelten für dieselbe sämtliche Lehrsätze von den Wurzeln mit Beachtung der obigen Definition.

Rechnungsoperationen mit rein imaginären Zahlen.

§. 174. Ist eine imaginäre Zahl von der Form V — a der Rechnung zu unterziehen, so muß sie früher auf die Form Va-V — 1 — b V — 1 — bi, wo b — V» ist, gebracht werden.

1. Addition und Subtraktion.

ai-f-bi == (a + b)i; ai — bi — (a — b)i.

Die Summe zweier imaginärer Zahlen ist demnach auch imaginär; ebenso die Differenz zweier ungleicher imaginärer Zahlen.

ai.b = abi, ebenso a.bi = abi; ai.bi — ab.i² — ab.(—1) — — ab.

Das Produkt aus einer imaginären und einer reellen Zahl ist imaginär, das Produkt zweier imaginärer Zahlen reell.

2. Multiplikation.

3. Division.

ai

bl ⁼ ¥•

Da V — a in der stetigen Folge der bisher betrachteten Zahlen nicht zu finden ist, so stellt es eine neue Zahlenform dar. Dieselbe erhält den Namen imaginäre Zahl; im Gegensatze zu ihr bezeichnet man die ganzen, gebrochenen und irrationalen Zahlen mit dem gemeinsamen Namen reelle Zahlen.

Erklärung. Eine imaginäre Zahl ist diejenige, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist.

Definitionsformel.

(V-a)s ----

— a.

V — a = Va. (— 1) — Va. V¥1 1 und

— Vm=I) = (—Vä). V^Tfolgt:

Jede imaginäre Zahl ist gleich dem Produkte aus einer reellen Zahl und der imaginären Zahl V — 1.

V^-l heißt die imaginäre Einheit; sie wird nach Gauß fast allgemein mit dem Buchstaben i bezeichnet. Ihre Definition ist durch die Gleichung i² = (V — l)² = — 1 gegeben.

Jede (rein) imaginäre Zahl hat also die Form bi. Man rechnet mit derselben der Form nach so, als wenn das Zahlzeichen i eine reelle Zahl vorstellen würde; nur tritt noch die Bestimmung hinzu, daß überall i2 durch — 1 zu ersetzen ist.

Aus

-V="

a -----

ai a •    a ai _ a.

¥ ⁼ ¥' bl ~ bl5 — _ ¥'

Eine imaginäre und eine reelle Zahl geben also einen imaginären, zwei imaginäre Zahlen einen reellen Quotienten.

4. Potenzieren. Man hat

1²    = - 1,

1³    = i².i = — i,

1⁴    = i³.i = — i² = +1,

1⁵    = i⁴.i = +i, u. s. w.

allgemein

i4n = +1,

Ferner ist

Die Potenz einer rein imaginären Zahl ist demnach reell oder imaginär, je nachdem die bezügliche Potenz von i reell oder imaginär ist.

iM-i = +i,

(ai)“ = a“.in.

i4n+³ = — 1,

i⁴"+³ = — i.

Komplexe Zahle«.

§. 175. Verbindet man eine reelle und eine imaginäre Zahl, welche beide von Null verschieden sind, durch die Addition, so muß man diese Zahlenverbindung als eine neue Zahlenform betrachten, weil dieselbe weder reell noch rein imaginär ist.

Erklärung. Die Summe aus einer reellen und imaginären Zahl heißt eine komplexe Zahl.

Die allgemeine Form einer komplexen Zahl ist a + bi, worin a und b positive oder negative reelle Zahlen sind; a ist ihr reeller, bi ihr imaginärer Bestandteil. Zwei komplexe Zahlen von der Form a-J-bi und a — bi heißen konjugiert komplex.

Der Ausdruck a -f-bi ist die allgemeine Form für alle möglichen Zahlen; er enthält für a — o und b — o die Null, für b — o alle reellen Zahlen, für a — o alle rein imaginären Zahlen und, wenn a und b von Null verschieden sind, alle komplexen Zahlen.

§. 176. Für den Zweck der Rechnung mit komplexen Zahlen müssen mehrere Definitionen aufgestellt werden, wobei das Permanenzprinzip berücksichtigt werden muß.

Erklärung. Zwei komplexe Zahlen heißen gleich, wenn ihre reellen und imaginären Bestandteile gleich sind.

Aus a + bi — c 4- di folgt: a = c und b = d.

Jede Gleichung zwischen zwei komplexen Zahlen zerfällt also in zwei Gleichungen zwischen reellen Zahlen.

Folgesatz. Aus a = bi oder a + 0. i = 0 + bi folgt a = 0 und

b = 0.

Aus a4-bi = 0 = 0 + 0. i folgt a —0 und b = 0.

Das reelle und das imaginäre Zahlengebiet haben nur die Null gemeinsam.

§• 177. Die Operationen der 1. Stufe. Die Definitionen für die direkten Rechnungsarten müssen so gewählt werden, daß man mit den komplexen Zahlen so rechnet, als ob i ein reeller Faktor wäre, wobei stets i² durch — 1 zu ersetzen ist. Die Definitionen der inversen Rechnungsarten bleiben unverändert.

Eine Rechnung ist beendet, wenn die Lösung eine komplexe Zahl ist.

1.    Erklärung: (a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d)i.

Daraus folgt:

2.    (a + bi) —(c + di) = (a - c) + (b — d)i.

Zusah, (a + bi) + (a — bi) — 2 a.

Die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen ist reell.

§. 178. Die Operationen der 2. Stufe.

1. Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen erfolgt entsprechend dem Distributionsgesetze in §. 42.

Erklärung: (a + bi) (c + di) — ac + bci-4-adi + bdi² — (ac -bd) + (bc + ad)i.

Zusatz, (a + bi) (a — bi) — a² + b².

Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen ist reell-

2. Da die Definition der Division aufrecht erhalten bleibt, so gelten die weiteren Lehrsätze, insbesondere der Satz über die Formveränderung eines Quotienten (§. 48) sowie über die Division einer Summe durch eine Zahl (§. 54) auch für komplexe Zahlen. Mit Hilfe dieser Sätze kann man den Quotienten zweier komplexer Zahlen berechnen, indem man den Dividend und Divisor mit der zu dem Divisor konjugierten Zahl multipliziert, wodurch man auf eine Division durch einen reellen Divisor geführt wird.

a + bi (a + bi) (c — di)    (a c + b d) + (b c — a d) i

c² + d²

ac + bd | bc — ad.

c² + d² h n _ 13. — 29    29L

c + di — (c + di) (c — di) —

“ c² + a²

3 + i _    (3 + i) (2 — 5i) _ 11 — 131

2 +- 5 i (2 + 5 i) (2 — 51) —

Der Quotient zweier komplexer Zahlen ist int allgemeinen auch eine komplexe Zahl.

Ist bo — ad, dann ist

29

a + bi _ a

c + di — c*

(a + bi).

§. 179. Potenzieren und Radizieren.

1.    Erklärung. (a + bi)«" = (a + bi) (a + bi)

Insbesondere: (a + bi)² — (aa — b²) + 2abi;

(a + bi)³ = (a⁸ — 3ab²) + (3a²b — b³)i.

2.    Va + bi hat, wenn hiemit sämtliche Wurzeln der Gleichung xn = a + bi zusammengefaßt werden, n verschiedene Werte, welche komplexe Zahlen sind. Für einige spezielle Fälle wird dies später nachgewiesen werden.

Die in §§. 168 und 169 für die Quadratwurzeln aus irrationalen Binomen abgeleiteten Formeln gelten, wie aus der Ableitung selbst hervorgeht, auch für die Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen, und zwar ist hier ihre Anwendung von der dort aufgestellten Bedingung, daß a positiv und größer als Vb sein muß, ganz unabhängig. Z. B.

VI + i + Vl — i = V2 + 2 Vl — iä = V2 + 2 V2.

^/4 —(— 3 i = ^4+_Vl6+_j)    \^/i— V 16 -j-S _

3V2    V2.

2 2¹'

3V2 V2T 2 2L

Zweiter Wert:

Historisches. Das Wort Wurzel (radix) wurde ursprünglich für den Wert der Unbekannten, welcher der Gleichung genügt (§. 127), gebraucht. Erst später bezeichnete man damit auch

die unbekannte Basis einer Potenz, weil V a die Lösung der Gleichung xn = a ist. Das Wurzelzeichen, ein deformiertes r, wurde zuerst von Rudolff (1525) gebraucht. Die jetzige Stellung des Wurzelexponenten rührt von Girard (1600) her. Gebrochene Exponenten kommen zuerst bei Oresme (14. Jahrh.), Null und negative Zahlen als Exponenten bei Chuquet (1484) vor. Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wurden zuerst von Cardano (1545) beachtet. Die Bezeichnung „reell, imaginär" stammt von Descartes, „konjugiert" von Cauchy (1821), „komplex" sowie das Zeichen i von Gauß (1831; geb. 1777, gest. 1855.), welcher der komplexen Zahl durch seine graphische Darstellung die Gleichberechtigung erwarb.

Ausziehe« der Hund rat- und der Kubikwurzel.

1. Ouadratwnrzel.

§. 180. Aufgabe. Aus einer algebraischen Summe die Quadratwurzel auszuziehen.

Aus dem Gesetze (§. 146), nach welchem die Bestandteile einer mehrgliedrigen Zahl in ihrem Quadrate zusammengestellt erscheinen, läßt sich für das Ausziehen der Quadratwurzel aus einem geordneten Polynom folgendes Verfahren ableiten:

1.    Das erste Glied des geordneten Polynoms ist das Quadrat des ersten Wurzelgliedes. Man findet daher das erste Glied der Wurzel, wenn man aus dem ersten Gliede des Radikands die Quadratwurzel auszieht. Das Quadrat des ersten Wurzelgliedes wird von dem Radikand subtrahiert.

2.    Die ersten zwei Glieder des Restes enthalten die Bestandteile, welche aus dem folgenden Gliede der Wurzel hervorgehen, und zwar ist das erste Glied des Restes das Produkt aus der doppelten bereits gefundenen Wurzel und aus dem folgenden Gliede der Wurzel. Dividiert man daher das erste Glied des Restes durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel, so erhält man das folgende Glied der Wurzel. Man bildet nun die Bestandteile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Quadrate gibt,

indem man zu dem Doppelten der früheren Wurzel das neue Glied addiert und die Summe mit diesem Gliede multipliziert, und subtrahiert das Produkt von dem Reste des Polynoms.

3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest, so ist das gegebene Polynom ein vollständiges Quadrat; bleibt aber ein Rest übrig, so ist der Radikand gleich der Summe aus dem Quadrate der gefundenen Wurzel und dem Reste.

Z. B. Vx⁴ + 6xs — x² — 30x -s- 25 — x² -s- 3x — 5 — x⁴

:(2x³ + 3x).3x

+ 6x³ — xa ± 6x³ ± 9 x²

— 10x² — 30x + 25 : (2x² -j- 6x — 5). — 5

§. 181. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche ein vollständiges Quadrat ist, die Quadratwurzel auszuziehen.

1.    Man teile die Zahl von den Einern angefangen in Abteilungen von je zwei Ziffern, wobei die höchste Abteilung auch nur eine Ziffer enthalten kann, suche die größte Zahl, deren Quadrat in der höchsten Abteilung enthalten ist, und schreibe sie als erste Ziffer der Wurzel an. Das Quadrat der ersten Wurzelziffer wird von der höchsten Abteilung des Radikands subtrahiert.

2.    Zu dem Reste setze man die folgende Abteilung des Radikands herab, dividiere die dadurch gebildete Zahl nach Weglassung ihrer letzten Ziffer durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel und zugleich als Ergänzung zu dem Divisor. Den so ergänzten Divisor multipliziere man mit der neuen Wurzelziffer und subtrahiere das Produkt sogleich während des Multiplizierens von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer.

3.    Dieses Verfahren setze man fort, bis alle Abteilungen des gegebenen Radikands in Rechnung gezogen worden sind.

Die Richtigkeit dieses Verfahrens ergibt sich aus §. 147.

Z- B.

V5|94|38|44 = 2438

194

: 44

<LO 00

: 483 : 4868

Va

Dezimalbruche die Quadratwurzel nach demselben Verfahren auszieht, wie aus einer ganzen Zahl; nur muß man den Dezimalbruch vom Dezimalpunkte aus nach rechts und links in Abteilungen von je zwei Stellen teilen und in der Wurzel den Dezimalpunkt setzen, bevor die erste Abteilung von Decimalen in Rechnung gezogen wird.

Z. B.

52

Vl|52-27]56 = 12-34

22

243

8 27

9856 : 2464

2. Um aus einem gemeinen Bruche die Quadratwurzel zu ziehen, zieht man dieselbe aus Zähler und Nenner.

Z. B.

144 _ Vl44 _ 12

529    \ZS29    23'

§. 182. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein vollständiges Quadrat ist, die Quadratwurzel zu ziehen.

Ist die ganze Zahl a kein vollständiges Quadrat, so ist Va nach §. 155 irrational und läßt sich nur näherungsweise bestimmen. Man ziehe dabei aus a auf die in §. 181 angegebene Weise die Quadratwurzel, bis die letzte Abteilung in Rechnung gezogen ist, setze dann nach der zuletzt erhaltenen Wurzelziffer den Dezimalpunkt und rechne auf dieselbe Art weiter, indem man jedem Reste für die folgende Abteilung zwei Nullen anhängt. Die Rechnung wird so lange fortgesetzt, bis man die gewünschte Anzahl von Dezimalstellen erhalten hat.

Leweis. Multipliziert man die ganze Zahl a mit 102m, d. h. hängt man derselben m mal zwei Nullen an, und ist b die größte ganze Zahl, welche in Va.l02m enthalten ist, also

b < VÖÖ²“ < b + 1, oder b < 10“. Va < b + 1, so ist

b c\/a -b + 1

10™ va lom •

Va liegt demnach zwischen den Brüchen ^ und

b -j— 1

, deren Differenz

j7^ ist; folglich ist der Fehler, den man begeht, wenn Va — gesetzt

wird, kleiner als somit kleiner als eine Einheit der letzten berechneten Dezimalstelle.

10“

Z. B.

V3|50

= 18-708

250

: 28

2600    : 367

310000 : 37408 10736

Zusätze. 1. Auf gleiche Weise wird auch beim Quadratwurzel-Ausziehen aus einem Dezimalbruche, welcher kein vollständiges Quadrat ist, die Rechnung beliebig weit fortgesetzt, indem man zunächst in der letzten Abteilung rechts, wenn sie nur eine Ziffer enthalten sollte, die fehlende durch eine Null ergänzt und dann dem übrig gebliebenen, sowie jedem folgenden Reste zwei Nullen anhängt.

Bei periodischen Dezimalbrüchen treten selbstverständlich die entsprechenden Ziffern der Periode an die Stelle der anzuhängenden Nullen.

2. Um aus einem gemeinen Bruche, dessen Zähler und Nenner nicht Quadratzahlen sind, die Quadratwurzel auszuziehen, verwandelt man ihn entweder in einen solchen Bruch, dessen Nenner eine Quadratzahl ist, und zieht dann die Wurzel aus Zähler und Nenner; oder man verwandelt den gemeinen Bruch in einen Dezimalbruch und zieht dann aus diesem die Quadratwurzel.

§. 183. Abgekürztes Verfahren beim Ausziehen der Quadratwurzel.

Hat man von der Quadratwurzel einer Zahl nach dem gewöhnlichen Verfahren die ersten m Ziffern gefunden, so braucht man, um noch m — 1 weitere Wurzelziffern zu erhalten, nur den letzten Rest durch die doppelte bereits gefundene Wurzel zu dividieren.

In der Ausführung wird dabei die abgekürzte Division angewendet und im Divisor sogleich die letzte Ziffer weggelassen.

Beweis. Bezeichnet a den Radikand und b die bereits gefundenen ersten m Ziffern der Quadratwurzel, so kann man unbeschadet der Allgemeinheit die ersten m Abteilungen in a und daher auch die m ziffrige Zahl b als Ganze annehmen, weil es für die Ziffernfolge der Wurzel gleichgültig ist, nach welcher Abteilung des Radikands man den Dezimalpunkt setzt; dann werden die weiter folgenden Wurzelziffern Dezimalen vorstellen.

Setzt man nun Va = b + x, wo x den noch fehlenden Teil der Wurzel ausdrückt, so muß

(b + x)² — a, oder ba + 2bx + x² — a, daher

a—b²

X²

2 b x — a — b²— x² und x =    ,

: wo-

sein. Wenn nun für x der Quotient 5—— wo a — b² den letzten bei der Wurzelausziehung gebliebenen Rest und 2b die doppelte bereits gefundene Wurzel bedeutet, gesetzt wird, so ist der Fehler, den man begeht, gleich Aber x<l und b> 10™-¹, daher ^ jedenfalls kleiner als    ,

raus folgt, daß der Quotient "2b mindestens m — 1 weitere richtige Wurzelziffern gibt.

Zusätze. 1. Wenn aus einer ganzen Zahl oder einem vollständigen Dezimalbruche die Quadratwurzel mit 2m — 1 geltenden Ziffern zu bestimmen ist, so sucht man bezüglich nur die ersten m Ziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung, die folgenden m — 1 aber nach der obigen Vorschrift durch die abgekürzte Division.

Hat man z. B. V138 auf 5 Dezimalstellen genau, also im ganzen mit 7 geltenden Ziffern zu bestimmen, so sucht man die ersten 4 Ziffern durch das Radizieren, die letzten 3 durch die abgekürzte Division. Die Rechnung steht:

Vl|38    =11-74734..

38    : 21

1700    : 227

11100 : 2344 1724 : 2,3,4,8

80

10

2. Dasselbe abgekürzte Verfahren findet insbesondere auch beim Ausziehen der Quadratwurzel aus einem unvollständigen Dezimalbruche statt. Man findet durch dieses Verfahren, wenn der Radikand m geltende Abteilungen hat, in der Wurzel im ungünstigsten Falle 2m — 1 verläßliche geltende Ziffern.

2. Kubikwurzel.

§. 184. Aufgabe. Aus einer algebraischen Summe die Kubikwurzel zu ziehen.

1.    Man ziehe die Kubikwurzel aus dem ersten Gliede des geordneten Radikands; diese ist das erste Glied der Wurzel. Der Kubus des ersten Wurzelgliedes wird von dem Radikand subtrahiert.

2.    Man dividiere das erste Glied des Restes durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel; der Quotient ist das folgende Glied der Wurzel. Man bilde dann die Bestandteile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Kubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat des bereits gefundenen Wurzelteiles multipliziert mit dem neuen Gliede, das Dreifache des vorhergehenden Wurzelteiles multipliziert mit dem Quadrate des neuen Gliedes und den Kubus dieses Gliedes, und subtrahiere die Summe dieser drei Bestandteile von dem früheren Reste des Radikands.

3.    Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist der Radikand gleich dem Kubus der gefundenen Wurzel; bleibt ein Rest, so ist der Radikand gleich dem Kubus der Wurzel, vermehrt um den Rest.

Die Ableitung dieses Verfahrens aus §. 148 geschieht auf ähnliche Weise, wie im §. 180 das Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung aus Polynomen aus §. 146 hergeleitet wurde.

. Leispiel.

V[y⁶ — 6y⁵ + 21y⁴— 44y⁸ + 63 y²— 54 y + 27] — y²— 2y +3

3y⁴

— 6y⁵ + 21y⁴ —44y

±6y⁶±12y⁴=F 8y

±27y²+54y±27

+ 9y⁴ —36y⁸ + 63y² — 54y + 27 : 3 y⁴ —12 y⁸ -|- 12 y3 ± 9y⁴ + 36y⁸±36y²

§. 185. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche ein vollständiger Kubus ist, die Kubikwurzel auszuziehen.

1.    Man teile die Zahl von den Einern angefangen gegen die Linke in Abteilungen von je drei Ziffern, wobei die höchste Abteilung auch nur zwei oder eine Ziffer haben kann, suche die größte Zahl, bereit Kubus in der höchsten Abteilung vorkommt, und schreibe sie als erste Ziffer in die Kubikwurzel. Den Kubus der ersten Wurzelziffer subtrahiere man von der ersten Abteilung des Radikands.

2.    Zu dem Reste setze man die nachfolgende Abteilung herab, dividiere dann die dadurch entstandene Zahl mit Weglassung der letzten zwei Ziffern durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel. Dann bilde man die Bestandteile, welche diese neue Wurzelziffer im Kubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl multipliziert mit der neuen Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multipliziert mit dem Quadrate dieser neuen Ziffer und ihren Kubus; schreibe den ersten Bestandteil unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter gegen die Rechte und subtrahiere die Summe der so angesetzten Bestandteile von dem Dividend mit Zuziehung der früher weggelassenen zwei Ziffern

3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man alle Abteilungen des Radikands in Rechnung gezogen hat.

Die Richtigkeit des Verfahrens beruht auf §. 149.

Z. B.

V78|953|589 = 429

64

: 48...3. 4»

CO CO

CM

00*

3.42².9 ... 3.42 .9²...

oo tH

9³...

-^OCOCFI

: 5292...3.42²

Zusatz. Wie man beim Ausziehen der Kubikwurzel aus einem Dezimal-oder einem gemeinen Bruche zu verfahren habe, ersieht man leicht aus dem für das Quadratwurzel-Ausziehen in §. 181, Zusatz 1 und 2, angegebenen Verfahren.

§. 186. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein vollständiger Kubus ist, die Kubikwurzel zu ziehen.

Ist der Radikand keine dritte Potenz einer ganzen Zahl, so ist die Kubikwurzel irrational und kann nur näherungsweise berechnet werden. Das dabei anzuwendende Verfahren entspricht demjenigen, das wir in §. 182 für die Quadratwurzel-Ausziehung aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein Quadrat ist, angegeben haben; nur müssen hier den einzelnen Resten für jede Abteilung drei Nullen angehängt werden.

Jufatz. Auch bezüglich der Vorschrift für das Ausziehen der Kubikwurzel aus Dezimal- oder gemeinen Brüchen, welche nicht vollständige Kubikzahleu sind, verweisen wir auf die analogen Bemerkungen in Zus. 1 und 2 zu §. 182.

In analoger Weise kann man, wenn man von der Kubikwurzel einer Zahl nach dem gewöhnlichen Verfahren m Ziffern entwickelt hat, weitere m — 1 Ziffern erhalten, indem man den letzten Rest durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel dividiert.

III. Logarithmen.

1. von ben Logarithmen überhaupt.

§. 187. Es gibt stets einen und nur einen reellen Wert für x, welcher der Gleichung bx = a genügt, wo b und a positive reelle Zahlen sind und b^l ist,

Seweis. Es sei zunächst b und a größer als 1. Man bilde nun die Reihe wachsender Zahlen b°, bl, b²,....

Entweder ist nun a ein Glied dieser Reihe, also a — b°, womit der Satz bewiesen ist, oder a liegt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern. Es sei

Nun bilden wir die Reihe

bc<a< bc+x, also c < i < c -(-1

b«, b°⁺A b⁰⁴^, ... bc+^, b«+i,

so wird wiederum a entweder gleich einem Gliede dieser Reihe sein, oder zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern liegen. Es fei

b'+fo

op±i ~ 10

<a<b Nun bilden wir die Reihe:

_    Cl + 1

, also c + io<x<c+ io .

c.

, Ci    , Ci |    1    , Ci I

b^Tö, b'+TS+TöT bc+T5 4

¹⁰² ... b

¹⁰², b

c+'-l+i T 10

und fahren wie früher fort. Auf diese Weise ergibt sich entweder: x — c +    . . . + ^, welche Reihe abbricht; somit ist x rational; —

oder es besteht, so groß auch n gewählt werden mag, die Beziehung:

Cn -j- 1

10“ •

c + 5+S+ •••+^<x<c + w+To⁵+---^

Kehren die Ziffern periodisch wieder, so ist x eine rationale Zahl; ist hingegen die Ziffernfolge unperiodisch, so ist x irrational. Stets aber gelangen wir durch diesen Vorgang zu einer einzigen reellen Zahl, welche der aufgestellten Forderung entspricht. Ist a<l, so führt uns die Reihe b°, b_1, b~ä,... zu demselben Ziele.

Ist b •< 1, so formen wir die Gleichung bx= a um in (£)* — K Da für diese letztere Gleichung die Existenz eines einzigen reellen Wertes für x nachgewiesen wurde, so gilt dies auch von der ersten Gleichung.

§. 188. Dem Potenzieren entsprechen zwei inverse Operationen, das Radizieren und das Logarithmieren, je nachdem die Basis oder der Exponent gesucht wird, da diese beiden nicht kommutiert werden können.

Erklärung. Unter demLogarithmus einerZahl a in Bezug auf eine Basis b versteht man den Potenzexponenten, mit welchem b als Basis potenziert werden muß, umaalsPotenz zu geben. Die Zahl b ist die Grundzahl oder Basis, die als Potenz gegebene Zahl a heißt der Logarithmand oder geradezu die Zahl (Numerus), und der gesuchte Potenzexponent der Logarithmus. Ist a — b“, so ist n der Logarithmus der Zahl a für die Basis b; man hat dafür die Bezeichnung blog a = n (gelesen „Logarithmus von a zur Basis b", oder „b — Logarithmus von a").

Werden die Logarithmen durchgängig auf eine bestimmte Basis, z. B. 10, bezogen, so schreibt man statt des letzten Ausdruckes kürzer log a = n, wobei die Basis 10 als bekannt vorausgesetzt wird.

Der b — Logarithmus einer Zahl a ist also diejenige Zahl n, mit welcher b potenziert werden muß, um a zu erhalten.

§. 189. Folgesätze. 1. (Definitionsformel.) Potenziert man die Basis mit dem Logarithmus, so erhält man den Numerus.

b biog a = a.

2. Der Logarithmus einer Potenz der Basis ist gleich dem Potenzexponenten.

blog (bn) — n.

speziell: a) Der Logarithmus der Basis ist gleich 1.

blog b = 1; denn b¹ — b.

b) Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis gleich 0. blog 1 — 0; denn b° — 1.

3. Für einepositiv e Basis hat eine negative Zahl keinen reellen Logarithmus.

Denn sowohl b+n als b~n — ^ gibt ein positives Resultat.

§. 190. Da durch das Potenzieren einer reellen negativen Zahl nicht alle möglichen positiven Zahlen erzeugt werden können, jede Potenz von 1 aber wieder 1 ist, und die Potenzen von 0 entweder 0, unbestimmt oder unmöglich sind, so kann nur eine reelle positive und von 1 verschiedene Zahl als Basis eines Logarithmensystems angenommen werden.

In Bezug auf eine derartige Basis gehört nach §. 187 zu jeder positiven reellen Zahl ein einziger reeller Logarithmus.

Daraus folgt unmittelbar: Für eine positive von Null verschiedene Basis gehören

1.    zu gleich enZah len gleiche Logarithmen und umgekehrt;

2.    a) wenn die Basis > 1,

zur    größeren    Zahl    der    größere    Logarithmus und

umgekehrt;

b) wenn die Basis C 1,

zur    größeren    Zahl    der    kleinere    Logarithmus und

u mgekehrt.

Die geordnete Zusammenstellung der Logarithmen der in natürlicher Ordnung aufeinanderfolgenden Zahlen für eine positive von 1 verschiedene Basis bildet ein logarithmisches System.

Im Gebrauche sind nur zwei logarithmische Systeme, nämlich das gemeine, Briggs'sche oder dekadische für die Basis 10, und das natürliche oder Neper'sch e für die irrationale Basis 2• 718281828..., welche man aus der Summierung der unendlichen Reihe

1.2.3

¹ +T+Ä +

erhält und gewöhnlich mit dem Buchstaben e bezeichnet.

Zusah Aus dieser Darstellung folgt unmittelbar, daß dieselbe Zahl für verschiedene Basen auch verschiedene Logarithmen hat.

Mgtmtme Sätze über die Logarithmen.

§. 191. 1. Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe aus den Logarithmen der Faktoren.

Es sei für die Basis b

log M = m, log N = n, log P = p, also M = bm, N = bn, P = bp; dann ist MNP = bm+n+p; d. i. log MNP — m + n-j-p, oder log MNP = log M + log N + log P.

Moönik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Aufl.

Z. B. log 6 = log 2 + log 3.

log 30 = log 2 + log 3 + log 5.

Sind für eine Basis die Logarithmen aller Primzahlen bekannt, so lassen sich aus denselben durch bloße Addition auch die Logarithmen aller zusammengesetzten Zahlen ableiten.

2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich dem Logarithmus des Zählers weniger dem Logarithmus des Nenners.

Es sei für die Basis b

dann ist

M - i,m-n folglich log | = m

log M — m, log N = n; also M = b™, N = bn;

n = log M — log N.

Z. B. log | = log 29 - log 31. log 35*29 =log

3529

100

— log 3529 — log 100.

3. DerLogarithmuseinerPotenz ist gleich demLogarith-mus der Basis multipliziert mit dem Potenzexponenten.

Es sei für die Basis b log N — m, also M — bm; dann ist Mp = bmp, und daher

log M> = mp = p log M.

Z. B. log 8³ = 3 log 8.

log (2 a)⁸ — 3 log 2a — 3 (log 2 -j- log a).

log

x²y

(mn)⁴

— 2 log x -f- log y — 4 (log m -f- log n).

4. Der Logarithmus ein er Wurzel ist gleich dem Logarithmus des Radikands dividiert durch den Wurzelexponenten.

Es sei für die Basis b log M = m, also M = bm; dann ist pp    Jü

yM — ybm = b p , daher

,    P,,, m log M

log yM = -— -⁸—

log 75

Z. B. log V75

¹°Z\/y

iog-f

— l°g a — log b

= log a +1 log x — log y.

*§. 192. Der Quotient der Logarithmen derselben Zahl für zwei verschiedene Käsen ist konstant.

Beweis. Ist “log N = x, also a* — N, so erhält matt, wenn man in der zweiten Gleichung beiderseits die Logarithmen in Bezug auf eine andere Basis b nimmt,

x, bIog a — blog N oder “log N.blog a — blog N folglich

alog N__1_

blog N blog a

oder

»log N = blog N.^—.

Sind die Logarithmen der Zahlen für die Basis b bekannt, so kann man aus denselben auch die Logarithmen für jede andere Basis a bestimmen,

d. i. mit dem

blog a'

wenn man die ersteren mit dem beständigen Faktor reziproken Werte des Logarithmus der neuen Basis in Bezug auf die frühere Basis multipliziert. Die Zahl, mit welcher die Logarithmen eines Systems multipliziert werden müssen, um die Logarithmen eines anderen Systems zu erhalten, heißt der Modulus des neuen Systems in Bezug auf das ursprüngliche. Der Modulus des Briggs'schen Systems in Bezug auf das natürliche ist —= 0 4342945...

2. Von den Brigqs'schen Logarithmen.

§. 193. Der Briggs'fche Logarithmus wird statt mit "log einfach mit log bezeichnet.

1.    Die Briggs'schen Logarithmen aller Zahlen, welche größer als l sind, sind positiv; die Briggs'schen Logarithmen aller positiven Zahlen, welche klein er als 1 sind, sind negativ.

Beweis.

Aus

n < o.

log 1 — o und log a = n. a > 1 folgt nach §. 190 n > o. a < 1 „

2.    Der Briggs'fche Logarithmus einer ganzen oder gebrochenen Zahl, welche eine dekadische Einheit ist, ist eine ganze Zahl.

Folgt aus §. 189, 2.

3.    Der Briggs'fche Logarithmus einer ganzen oder gebrochenen Zahl, welche keine dekadische Einheit ist, ist eine irrationale Zahl.

Beweis. Ist N keine dekadische Einheit, sondern zwischen zwei aufeinanderfolgenden dekadischen Einheiten 10“ und 10“+¹ enthalten, wo n eine positive oder negative ganze Zahl oder auch Null bedeutet, so liegt der Logarithmus von N zwischen n und n + 1, und ist somit keine ganze Zahl

Er kann aber auch kein Bruch sein. Denn wäre log N — —, wo p und

± p

q relative Primzahlen seien, so müßte 10 q —    oder 10—k—Umsein.

Damit jedoch diese Gleichung möglich sei, müßten 10—p und Np aus denselben Primfaktoren bestehen; es dürfte also N keine anderen Faktoren als 2 und 5, bezüglich | und und müßte auch beide in gleicher Anzahl enthalten; dann aber wäre N selbst eine dekadische Einheit, was der Voraussetzung widerspricht. Da log N demnach nicht rational und doch gemäß §. 187 eine reelle Zahl ist, so muß dieselbe irrational sein.

*§. 194. Aufgabe. Von einer gegebenen Zahl denBriggs'-schen Logarithmus zu berechnen.

Durch wiederholtes Ausziehen der Quadratwurzel berechnet man die Zahlen der folgenden Tabelle.

= 3-162278 = 1-778279 = 1-333521

₁₀o.o625    ₌ 1-154 7 82

100.03125 ₌ 1-074608 100-015625 ₌ 1-03 6 6 33 10°-007813 ₌ 1-018152 100-003906 ₌ 1-00 9 0 35 100.001953 ₌ 1-00 4 5 07 100-000976 ₌ 1-00 2 251

100.000488 ₌ 1-001125 100.000244 ₌ 1-00 0 5 62 100.000122 ₌ 1-000281 100.000061 ₌ 1-000141

10°:5 1Q0.25 4Q0.125

1Q0.000031 ₌ 1-00 0 0 70 100.000015 ₌ 1-00 0 0 35 ₁₀0.000008 ₌ 1-00 0018 100.000004 ₌ 1-00 0 0 09

1Q0.000002 ₌ 1-00 0 0 04 100.000001 ₌ 1-000002

Mit Hilfe dieser Tabelle wird der Logarithmus einer zwischen 1 und 10 liegenden Zahl z. B. von 13 in folgender Weise berechnet. Man dividiert 1-3 durch die nächst kleinere Zahl der obigen Tabelle, den Quotienten wiederum durch die nächst kleinere Zahl u. s. w. Daher ist 1*3 gleich dem Produkte der aufeinanderfolgenden Divisoren und des letzten zu vernachlässigenden Quotienten.

1-3 = 1-154782.1-074608.1-036633.1 •009035.1-001125.1-000281 .1-000070.1-000009.1-000004 (1-000001) somit log 1-3 = 0-0625 + 0-03125 + 0-015625 + 0-003906 + 0-000488 + 0-000122 + 0-000031 + 0-000015 + 0-000004 + 0-000002 — 0*11394 ... (auf 5 Dezimalen genau).

Zulatz. Jede Zahl, welche nicht zwischen 1 und 10 liegt, verwandelt man in ein Produkt aus einer derartigen Zahl und einer Potenz von 10. Z. B. 13 = 10.1-3 somit log 13 = 1 + log 1 3 = 1-11394.

§. 195. Da im Brigg s'schen Systeme mit Ausnahme der dekadischen Einheiten alle übrigen positiven Zahlen positive oder negative, irrationale Logarithmen haben, so kann jeder Logarithmus als die algebraische Summe aus einer positiven oder negativen ganzen Zahl und einem positiven Dezimalbruche, welcher kleiner als 1 ist, dargestellt werden. Man nennt die positive oder negative ganze Zahl die Charakteristik oder Kennziffer, den positiven echten Dezimalbruch die Mantisse (mantissa, Zugabe).

*) Kann übergangen werden.

Um einen negativen Logarithmus auf die erwähnte Form zu bringen, subtrahiert man seinen absoluten Wert von der nächst größeren ganzen Zahl und fügt diese als negative Kennziffer hinzu, entsprechend der Gleichung — b — (a — b) — a.

— 2-34467 = 3 — 2-34467 — 3.

-    0-65533 - 3.

Z. B.

§. 196. Die CHarakteristik des Briggs'schen Logarithmus einer dekadischen Zahl ist gleich dem Rangexponenten der höchsten Ziffer dieser Zahl.

Es sei n der Rangexponent der höchsten Ziffer der Zahl a, wobei n eine ganze positive oder negative Zahl oder auch die Null bezeichnen kann; dann ist

10n<a<Cl0n+1 n<; log a<n +1.

Es ist also log a = n + <x, tüo a positiv und < 1 oder auch Null ist; folglich ist n die Charakteristik des Logarithmus von a.

Folgesätze, a) Die Charakteristik des Logarithmus einer Zahl, welche Ganze enthält,    ist positiv und um 1 kleiner    als    die    Anzahl    der Stellen,

welche die Ganzen einnehmen (§. 62, Folgest    1).

b) Die Charakteristik des Logarithmus eines echten Dezimalbruches ist negativ und absolut genommen gleich der Anzahl aller Nullen, welche den geltenden Dezimalziffern vorangehen, die Null vor dem Dezimalpunkte mitgezählt (§. 151, 1).

§. 197. Wenn man irgend eine Zahl mit einer Potenz von 10 multipliziert oder durch eine Potenz von 10 dividiert, so wird dadurch in ihrem Briggs'schen Logarithmus nur die Charakteristik geändert, während die Mantisse dieselbe bleibt.

Es ist    log (a . 10“) = log a + log    10“ =    log a + m,

log ^ = log a — log 10“    —    log    a — m.

Es wird also der Logarithmus von a um die ganze Zahl m im ersten Falle vermehrt, im zweiten vermindert, d. h. er erhält eine andere Charakteristik, während die Mantisse ungeändert bleibt.

So ist z. B. log 7124 = 3-85272; daher log 712400 = log 7124 +log 100 = 3-85272 + 2 = 5-85272; log 71-24 = log 7124 —log 100 = 3-85272 — 2 = 1-85272.

Die Mantisse eines Logarithmus hängt bloß von der Ziffernfolge der Zahl ohne Rücksicht auf deren Rang ab.

Jusatz. a) Aus lim 10n — oo für lim n = oo folgt:

lim log x = oo für lim x = oo.

b) Aus lim 10° — 0 für lim n = —oo folgt: lim log x — — oo für lim x — 0.

Logarithmentafel«.

§. 198. Die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis 10000 oder von 1 bis 100000, und zwar erstere auf 5 oder 6, letztere auf 7 Dezimalen berechnet, hat man in besonderen Tafeln, welche Logarithmentafeln heißen, zusammengestellt. Diese enthalten nur die Mantissen der Logarithmen, da die Charakteristik in jedem Falle nach §. 196 bestimmt werden kann.

Mit Hilfe solcher Tafeln findet man zu jeder Zahl den entsprechenden Logarithmus, und umgekehrt zu jedem gegebenen Logarithmus die zugehörige Zahl.

Mit Benützung einer Tafel, welche die Logarithmen aller vierziffrigen Zahlen enthält, kann man auch den Logarithmus einer fünfziffrigen Zahl ermitteln, sowie umgekehrt zu einem Logarithmus, dessen Mantisse nicht in der Tafel vorkommt, die zugehörige Zahl finden. Dazu dient folgender Satz, für welchen an dieser Stelle ein Beweis nicht gegeben wird, von dessen Richtigkeit man sich aber mittels der Logarithmentafel überzeugen kann.

Für große Zahlen ist der Zuwachs des Logarithmus nahezu proportional dem Zuwachs des Numerus.

Es seien b und c verhältnismäßig klein gegen a; dann ist

log (a -|- c) — log a _ _c

log (a -f- b) — log a b '

somit: log (a + c) — log a + d-JL, wenn d = log (a + b) — log a ist.

Umgekehrt ist: a + c = a 4

log (a c) — log a h d    0

Beispiele. 1. Es ist log 3021-2 zu bestimmen. Man entnimmt der Tafel log 3021 — 3-48015, subtrahiert diesen Logarithmus von dem nächst höheren und erhält d — 14 Einheiten der letzten Stelle.

14

,1 j. -x

ll II

Wächst der Numerus um 1, so wächst der Logarithmus um 14 Einh. d. 5. St. 01

ii    it    tt    tt    x n    u

„ 1-4X2 „

(Y9

tt    ii    ii    it    u ii    it

Der aufgeschlagene Logarithmus ist also um 2-8 — 3 (forr.) zu vermehren, log 3021 2 — 3-48018.

2. log x = 1 16578; es ist x zu suchen. Man sucht den nächst kleineren Logarithmus 1-16554 und findet hiezu die Zahl 14-64 sowie den Unterschied der beiden Logarithmen (die Rechnungsdifferenz) gleich 24 Einh. der letzten Stelle. Die Differenz der beiden aufeinanderfolgenden. Logarithmen der Tafel (die Tafeldifferenz) beträgt 30 Einheiten der letzten Stelle.

10.24

30

Wächst d. Log. um 30 E. d. 5. St., so w. d. Num. um 10 E. d. 5. St. 24

II    II II    II    II II    Ii

^ = 8; somit ist x = 14-648.

§. 199. Rechnungsoperationen mit den Briggs'schen Logarithmen.

In Beziehung auf die Rechnungsoperationen mit Logarithmen sind im allgemeinen dieselben Regeln zu beobachten, wie für dekadische Zahlen überhaupt; nur hat man dabei noch Folgendes zu berücksichtigen:

1. Erhält man beim Addieren der Logarithmen zwei Charakteristiken, eine positive und eine negative, so werden diese in eine einzige zusammengezogen. Z. B.

3-10589 2-56814 0-21340 — 2 0-08105 — 4

5-96848 — 6 == 0-96848 — 1.

2. Ist beim Subtrahieren der Minuend kleiner als der Subtrahend, so addiere man, um im Reste eine negative Mantisse zu vermeiden, zu dem Minuend so viele positive Einheiten, daß er größer wird als der Subtrahend, und setze dann auch als Charakteristik des Restes so viele negative Einheiten. Auch beachte man, daß eine negative Kennziffer des Subtrahends infolge der Subtraktion positiv wird.

Z- B. 1. +4

2. +1

1-45025

3-57892

0-23020— 1 0-83410 =F.g

0-87133 — 3.

0-39610.

3.    Wird ein Logarithmus mit negativer Charakteristik mit einer Zahl multipliziert, so muß im Produkte die neue negative Charakteristik mit der etwa erhaltenen positiven zusammengezogen werden. Z. B.

(0-53115 — 2) X 5 = 2-65575-10 = 0-65575 - 8.

4.    Ist ein Logarithmus mit negativer Charakteristik durch eine Zahl zu dividieren, so muß die negative Charakteristik, wenn sie durch diese Zahl nicht teilbar ist, um so viele Einheiten vergrößert werden, daß sie dadurch teilbar wird; eben so viele Einheiten müssen aber dann auch als Ganze zu der positiven Mantisse gesetzt werden. Z. B.

(0-41509 - 7): 5 = (3-41509 —10): 5 = 0-68302 — 2.

§. 200. Anwendung der Briggs'schen Logarithmen.

Durch die allgemeinen Sätze, die in §. 191 entwickelt wurden, ist man im stände, die Multiplikation in eine Addition, die Division in eine Subtraktion, das Potenzieren in eine Multiplikation und das Radizieren in eine Division zu verwandeln.

Kommen unter den gegebenen Zahlen negative vor, so betrachtet man sie einstweilen als absolute Zahlen, führt damit die Rechnung durch und bestimmt das Vorzeichen nachträglich in dem gefundenen Resultate.

log 1-0954 = 0-03957 log 0-91567 = 0-96174 — 1 log 3-1571 = 0-49928 log 1-00782 = 0-00338

1. Multiplikation der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. Bestimme das Produkt x --- 1 0954.0-91567 . (- 3-1571) . 1-00782 Es ist

Numerus — 3-1913;

-    0-50397

x = -3-1913.

2. Division der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen.

8-4156 X 0-4023 1-2378X5-8709-

Bestimme den Wert des Bruches x — log 3-4156 = 0-53347 log 0-4023 = 0-60455 — 1 = 1-13802 —1 log 1-2378 = 0-09265 log 5*8709 = 0-76870 log x = 0-27667 — 1 x = 0-18909.

3. Potenzierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. m r,.    Z329\ 1-066

Bestimme x = h—)

log 329 = 2-51720 log 67 = 1-82607

0-69113 X 1-065 oder log 0-69113 = 0-83956 — 1

log 1-065    = 0 02735

log (log x) = 0-86691 — 1 log x = 0 • 73 605 x = 5*4456.

5601

69113

4147

346

log x = 0*73606 x = 5 - 4457.

4. Radizierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen.

1)    Es sei die 5te Wurzel aus 10 zu bestimmen.

log 10 = 1-00000

log \/10 = 0-20000 V10= 1-5849

2)    Berechne x = a = 0-21537, b = 7-7856, c = 0-93572.

log a — 0 33319 — 1 log a²= 0'66 638 — 2 log b = 0-89129

1- 55767 — 2 (log c = 0-97115 — 1) log c² = 0-94230 + 1

0-61537 — 1

2- 61537 — 3 (: 3) log x = 0-87179 — 1

x = 0-74437.

5_

Wenn in dem zu berechnenden Ausdrucke, z. 93. V a⁴ + b⁴, algebraische Sunimen auftreten, so müssen zunächst die'einzelnen Summanden und hierauf deren Summe berechnet werden; die logarithmische Rechnung ist also mehrfach unterbrochen.

Historisches. Die Logarithmen sind erfunden und benannt tion Neper (Lord John Napier), welcher 1614 eine Tafel natürlicher Logarithmen mitteilte. Der von ihm gewählte Name Logarithmus (Xöyov äpid/ios) bedeutet „Zähler des Verhältnisses", insofern

als derselbe angibt, wie Vielmai ein gegebenes Verhältnis mit sich selbst multipliziert werden

z I) \n a

muß, um ein anderes Verhältnis zu geben. ) = —. Setzt man b, = 1 und a, — 1,

so geht die ältere Definition in die neuere über.

Angeregt durch Neper veröffentlichte Briggs 1618 die gemeinen Logarithmen der Zahlen von 1 bis 1000. Unabhängig von beiden hatte bereits der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi logarithmische Rechnungen angewandt, doch erfolgte die Veröffentlichung seiner Logarithmentafel (mit der Basis 1 - 0001) erst 1620.

§. 201. Auflösung von Exponential- und logarith-mischen Gleichungen.

a) Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte im Exponenten auftritt, heißt eine Exponentialgleichung. Dieselbe hat die allgemeine Form ax= b

oder Va — b.

Ihre Auflösung beruht auf der Anwendung des Satzes: Sind zwei Zahlen einander gleich, so sind auch ihre in Bezug auf dieselbe Basis genommenen Logarithmen einander gleich. Dadurch erhält man eine algebraische Gleichung.

Manche Gleichungen kann man ohne Benützung von Logarithmen mittels des Satzes auflösen: Sind zwei Potenzen von gleicher Basis einander gleich, so sind ihre Exponenten gleich. Hiebei sind die Basen 1 und 0 ausgeschlossen.

1) V2*-¹ = VO-5⁶-⁴*

Beispiele.

x—1

an

4x — 6

x = 5.

2) V2⁵ +⁸¹

log 2 = log 5

5 log 2 + 3 x log 2 — x log 5 x (3 log 2 — log 5) — — 5 log 2

1-50515

5 log 2

0-90309 — 0-69897

3 log 2 — log 5

x = — (1-50515 : 0-20412) = — 7-3738.

Bemerkung. Ist die Lösung ein Quotient zweier Logarithmen, von denen der eine oder beide eine negative Kennziffer haben, so muß man diese Differenzen durch ihre negativen Werte ersetzen.

1-43136 0-47712

3.

Z- B.

0-56864 — 2 0-47712

b) Treten in einer Gleichung die Logarithmen von Ausdrücken auf, welche die Unbekannte enthalten, so heißt dieselbe eine logarithmische Gleichung. Um eine derartige Gleichung zu lösen, muß man sie durch Umformung auf die Form log u — log v bringen, woraus sich die algebraische Gleichung u = v ergibt.

Beispiele.

2) 3l0® x = 4

log x . log 3 = log 4

log 4 _ 0-60206 log 8    0-47712

log x =

log x —12619 x f= 18-28.

1) 2 + log 6x = log (19x-f 7)+- log 15 log (600 x) = log [15 (19 x + 7)]

600 x = 15 (19 x+7)

Ir

Fünfter Abschnitt.

Gleichungen des zweiten Grades.

I. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten.

§• 202. Die allgemeine Form einer Gleichung des zweiten Grades is! Ax² + Bx -j- C = o, wo A ^ 0, oder, wenn man beide Seiten durch A dividiert,

x2+i:x +T = 0-

Setzt man j- = a und — d, so erhält man die geordnete Form

x¹ + a x + b = 0.

Es sind- nun 3 Fälle möglich.

a)    Wird das von x freie Glied b = 0, so hat man

X² -s- a x = 0, oder x (x -f- a) = 0, somit nach §. 129, Zusatz x = 0 und x + a = 0, d. i. x = — a. Der Gleichung genügen also zwei Werte.

b)    Ist a = 0, so wird

x² + b = 0 oder x² = — b.

Eine solche Gleichung, in welcher die Unbekannte nur in der zweiten Potenz vorkommt, heißt rein quadratisch.

c) Sind a und b von 0 verschieden, so heißt die Gleichung eine gemischt quadratische oder vollständige Gleichung des zweiten Grades.

Urin quadratische Gleichungen.

§. 203. Um eine rein quadratische Gleichung

xs = b

x = ± Vb.

aufzulösen, zieht man aus beiden Teilen die Quadratwurzel; man erhält

Eine rein quadratische Gleichung hat also zwei entgegengesetzte Wurzeln; ist b positiv, so sind diese reell; ist b negativ, so sind sie imaginär.

Zu demselben Resultate gelangt man auch, wenn man die gegebene Gleichung auf die Form

xa — b = 0, oder x² — (Vb)² — 0, oder (x — Vb) (x -j- Vb) — 0

bringt. Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man

entweder x — \/b = 0, d. i. x, — Vb,

oder x + Vb = 0, d. j. x₂ = — Vb setzt.

Anspiele.

x² = 9

x = ± V9 = ± 3.

² = 15, x = dt V15-

= rh V— 7.

Gemischt quadratische Gleichungen.

§. 204. Um eine in der geordneten Form gegebene quadratische Gleichung aufzulösen, transponiert man zuerst das absolute Glied und ergänzt dann die linke Seite zu einem vollständigen Quadrate eines Binoms, indem man zu beiden Seiten das Quadrat des halben Koeffizienten des in Bezug auf x linearen Gliedes addiert.

x² -s- a x = — b

a²

a²

x² + ax-f T = T—b

(x + f) b<

Man erhält also eine rein quadratische Gleichung in Bezug auf die Unbekannte x + y, somit nach §. 203

*+-i=±V

-b,

folglich

f ±V T“b-

Hiernach hat auch jede gemischt quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Über die Beschaffenheit der beiden Wurzeln entscheidet der Ausdruck — b, weshalb derselbe die Dis krimin ante der quadratischen Gleichung heißt. Dieselben sind

a)    reell und ungleich, wenn ^ — b >0 oder b < ist; und zwar

sind beide positiv, wenn a < 0 und b 7> 0,

„    „ negativ, „ a > 0 „ b > 0,

ist die eine positiv, die andere negativ, wenn b < 0 ist.

b)    Dieselben sind reell und gleich, wenn j — b = 0 oder b — (-|-) ,

c)    komplex und konjugiert, wenn ~— b <0 oder b>(|-)² ist.

Beispiele.

x² — 6x = 7 3² = 9

1)

— 6x + 3² =7+9 (x — 3)² = 16 x — 3 = ± VI6

x — 3 =±4

x = 3 ±4 Xi = 7, xa = - 1.

x² + 7x = - 12 (z_y ₌ 49

,- + 7, + (l)¹-ll2 + f (* + !)'=!

x —

2)

^ T

— i'±l

Xi = — 3, x₂ = — 4.

§. 205. Anstatt zur Auflösung einer gemischt quadratischen Gleichung in jedem besonderen Falle die in §. 204 durchgeführte vollständige Entwicklung zu wiederholen, kann man die Wurzeln einer auf die geordnete Form gebrachten Gleichung auch sogleich aus der allgemeinen Formel

ableiten.

-i±Vf-b

Wenn die allgemeine Form

Ax² + Bx + C = 0 vorliegt, dann ergibt die Substitution der Werte a und b

X = — B + Vb⁸ — 4AC

§. 206. Für irrationale Gleichungen gilt die Bemerkung in §. 170, Zusatz. Die Probe entscheidet, welches Vorzeichen dem Werte der Quadratwurzel gegeben werden muß, um eine Identität zu erhalten.

Beispiel.

2x— V3x — 3 V3x — 2x — 3 3x — 4x²— 12x -s-9 gibt

o    3

Xi =3, x₂ = —.

Für x^ = 3 muß V3x = V9 den Wert-s- 3, hingegen für x₂ —

b. erhalten. Dies kann auch in folgender

muß V3x = \J-^~ den Wert

Weise begründet werden. Setzt man V3x — y, so gibt die Gleichung

2.-^ — y = 3 bie beiden Wurzeln: yt = +3 und y₂ = — -1.

Beziehungen zwischen den bekannten Zahlen einer quadratische« Gleichnng und ihren Wurzeln.

§. 207. Die linke Seite einer auf die geordnete Form gebrachten quadratischen Gleichung x² + ax +b wird ihr Gleichungstrinom genannt.

Ist m eine Wurzel der Gleichung x² + ax + b = 0, so heißt x — m ein Wurzelfaktor derselben.

1. Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Gleichung ist durch ihren Wurzelfaktor teilbar.

Beweis. Gemäß der Voraussetzung besteht die identische Gleichung m² -{- am + b — 0,

somit x² + ax + b ----- x² + ax + b — (m² + am + b)

— x² — m² + a (x — m) — (x — m) (x -f- m -|- a).

2. Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Gleichung ist gleich dem Produkte ihrer Wurzelfaktoren.

Beweis. X² -st ax -)- b = (x — m) (x + m + a) — 0 zerfällt in x — m = 0 und x -j- m -f- a ----- 0 mit den Wurzeln x, — m und x₂ — — (m + a) = n.

Somit ist u — — (rn -j- a) die zweite Wurzel und x — n ----- x -f-m + a der zweite Wurzelfaktor, daher x² + ax + b = (x —m)(x —n).

3. Aus derselben Gleichung ergibt sich die Identität x² ax + b — x² — (m -j- n) x + mn, folglich a — —(m 4-n) und b = mn.

a)    Der Koeffizient des linearen Gliedes ist gleich der negativen Summe beider Wurzeln.

b)    Das absolute Glied ist gleich dem Produkte beider

Wurzeln.

Jusatze. 1. Beide Sätze ergeben sich auch unmittelbar aus den allgemeinen Lösungen (§. 204).

2. Mit Beachtung des Satzes 3 läßt sich aus den Vorzeichen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung auch auf die Vorzeichen ihrer Glieder und umgekehrt aus den Vorzeichen der letzteren auf jene der ersteren schließen.

Eigenschaften der quadratischen Funktionen.

§. 208. Aus ax® + bx + c = a (x² + -^x + *^") = a (x — m)

(x — n), wo m und n die Wurzeln der Gleichung x² + — x + — — 0 sind, folgt:

1.    Jede quadratische Funktion einer Veränderlichen läßt sich in das Produkt zweier linearer Funktionen zerlegen. Z. B.

j CO

9x² —3x —2 = 9 (xa—    x — -|) = 9 (x -f (x — -|)

= (3x + l) (3x — 2).

2.    Jede quadratische Funktion verschwindet für zwei Werte der Veränderlichen x — m und x — n.

*3. Sind m und n reell, so ist für jeden Wert von x, welcher zwischen m und n liegt, der Wert der Funktion positiv, wenn a< o, hingegen negativ, wenn a>o. Für jeden Wert von x, welcher kleiner oder größer ist als jede der beiden Wurzeln m und n, wird die Funktion positiv oder negativ, je nachdem a positiv oder negativ ist.

*4. Sind m und n imaginär, z. B. m = p + qi, n == p — qi, so ist für jeden reellen Wert von x der Wert der Funktion positiv oder negativ, je nachdem a positiv oder negativ ist; denn a (x — m) (x — n) — a (x — p —qi) (x — p + qi) = a [fx — p)² + q²].

*5. Läßt man die Veränderliche alle reellen Werte durchlaufen, so erlangt die Funktion für x = — ™ ihren größten oder kleinsten Wert, je nachdem der Koeffizient des quadratischen Gliedes negativ oder positiv ist.

Srweis. ax² + bx -f- c ----- a (x² + -j- x) + e —

- M- £)*-£]+«-    +s) ’•

— “ äS*

Ist a negativ jpositivj, so wird das erste konstante Glied für jeden Wert von x um den Betrag des zweiten Gliedes vermindert fvermehrtj; mithin erlangt der ganze Ausdruck seinen größten Kleinsten) Wert, wenn das zweite Glied gleich 0 wird, d. i. für

(Siehe Anhang §. 260.)

Quadratische Gleichungen wurden in geometrischer Form schon von Euklid, in Zahlen von Heron von Alexandrien und insbesondere Diophant, sowie von den Indern (Brahmagupta geb. 598 n. Chr., Mohamed ben Muaa 9. Jahrh. n. Chr.) gelöst.

*) Kann übergangen werden

II. Akgevraische Gleichungen Höheren Grades und Arponentiatgleichungen mit einer MnöeKannten, welche sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen.

Binomische Gleichungen.

§. 209. Eine Gleichung heißt binomisch, wenn sie nur eine Potenz der Unbekannten und ein absolutes Glied enthält. Die allgemeine binomische Gleichung des mten Grades lautet: xm — a.

Dieselbe hat, wie im folgenden an einigen speziellen Fällen gezeigt

wird, m verschiedene Wurzeln. Demnach hat x — VäTm verschiedene Werte,

oder Va ist m heutig, wenn der Zusammenhang lehrt, daß VT sämtliche Wurzeln der Gleichung xm = a bezeichnet.

Manche binomische Gleichungen, so die vom 3., 4., 5., 6., 8., 9., 10., 12. Grade, lassen sich durch Zurückführung auf quadratische Gleichungen auflösen.

Zu diesem Zwecke stellt man das absolute Glied als eine mte Potenz dar, reduziert die Gleichung auf 0 und zerlegt die linke Seite in Faktoren, wodurch dieselbe auf zwei oder mehrere Gleichungen niedrigeren Grades zurückgeführt wird.

a) x³ = a

somit

x³ — (Va)³ — 0, (\/a absolut)

3_ 3_

(x — Va) (xa    x Va -f- Va²) = 0,

3 _ 3 _

x²-f xVa +Va² — 0

3

Vf(_ l±V-"3).

oder

x — Va — 0

er

x.

3

= Va;

b) x⁴ = a oder x⁴ — a = 0,

somit

(x² — Va) (x² + Va) — 0,

x² + V a — 0

~f- — V a = Vu.1.

x² — Va — 0

und

x, = ± Va;

Xz =

Z. B. Die Gleichung x⁴ +1 = 0 oder x⁴ — (V — l)² — (x2 — V — 1) (x² + V— 1) — 0 hat folgende vier Wurzeln:

x = ± y v^i = ±^(i+v — l)

und x —

± y_v--r= ± ^ (l-v^ij:

c) Die Lösung der binomischen Gleichung fünften Grades folgt unter

§. 211, b.

Trinomische Gleichungen von der Form x2m + axm-|-b = 0.

§. 210. Höhere Gleichungen, welche nur zwei Potenzen der Unbekannten von solcher Beschaffenheit enthalten, daß der eine Potenzexponent das Doppelte des andern ist, lassen sich immer auf quadratische zurückführen; man braucht nur die niedrigere Potenz durch eine neue Unbekannte auszudrücken.

a) Um die Gleichung x2m + axm + b — o aufzulösen, setze man xm — y, folglich x2m — y²; dann hat man

y² + ay + b — 0, und daher

a²

-b.

Wird nun statt y wieder der Wert xm restituiert, so ist

~b,

somit hat man eine binomische Gleichung erhalten.

Z. B. x⁴ —13x² + 36 = 0.

Setzt man x² — y, so hat man y² —13 y -s- 36 ---- O, welche Gleichung

,    13. X /169    ™    13    5

y = 2±VT-³⁶⁼2±2'

also y = 9 oder y = 4 gibt. Man hat daher

x² = 9

xx — db 3 2

b)    In analoger Weise behandelt man die Gleichung

(x2n + pxn + q)2m + a (x2n + px“ + q)m -J- b = 0.

Z. B. (x² — 6x + ll)² — 4 (x² — 6x + 11) + 3 = 0.

Setzt man x² —6x + ll — y, so wird y² —4y + 3 — 0, woraus sich y — 3 oder y = 1 ergibt.

Für y — 3 erhält man dann x² — 6x-f-H = 3, und aus dieser Gleichung x₁ — 4, x₂ = 2.

Für y — 1 hat man x² — 6x 11 = 1, und daher xs = 3 +

= 3—v^r

c)    Hat eine Gleichung die Form \/x + a \/x + b = 0, so setze man Vx — y, daher Vx — y²; dann ergibt sich

ya + ay + b — 0, und daraus

2m

y = Vx = —

daher, wenn man beide Teile zur 2mten Potenz erhebt,

X" = -ä±

oder

X³ = 4 x₃ — ±2.

x₄

2m

x = (~i-

Vt-0²”

Z. B. Vx-Vx = 2.

Setzt man \/x — y, so hat man y² — y — 2, daher yt — 2, ya = — 1, und somit, da x — y³ ist, xt — 64, x₂ — 1.

Neziproke Gleichungen.

§. 211. Eine auf Null reduzierte Gleichung heißt reziprok, wenn die Koeffizienten ihrer vom Anfange und vom Ende gleich weit abstehenden Glieder entweder durchwegs gleich oder durchwegs entgegengesetzt sind. Im letzteren Falle muß, wenn die Gleichung von geradem Grade ist, das mittlere Glied fehlen.

Die allgemeine Form der reziproken Gleichungen ist

xm -j- at xm—1 a₂ X“-² -j-.. dz aa x² dz a, x ± 1 — 0.

Eine reziproke Gleichung hat die Eigenschaft, daß der reziproke Wert jeder ihrer Wurzeln ebenfalls Wurzel der Gleichung ist.

Lkweiö. Hat z. B. die obige Gleichung die Wurzel w, ist also wm + ax wm_1 + a2 wm~² 4-....±aäw⁸±a,w±l = 0, so ist auch ~ eine Wurzel der Gleichung. Denn durch die Substitution x —

erhält die linke Seite der gegebenen Gleichung den Wert

i .    l.    l,    .    i . i.i

^ + ai 4"aa ^5=2 r • • • ±a.₂. zfcaj— zfcl =

±^(±l±a,w±a₂w!l±. • + a₂ wm~a 4-a! w“-¹4- wm), welcher Wert ebenfalls — 0 ist.

Jede reziproke Gleichung, welche nicht den fünften Grad übersteigt, läßt sich auf quadratische Gleichungen zurückführen.

a) Das Polynom einer reziproken Gleichung des dritten Grades x³ + ax²zh£ixzfcl — 0

läßt sich in zwei Faktoren zerlegen, von denen der eine bezüglich xztzl und der andere das Trinom einer quadratischen Gleichung ist.

Vereinigt man z. B. in der Gleichung

x³ + ax² 4* ax 4" 1 — 0

die Glieder, welche dieselben Koeffizienten haben, so erhält man

(x3 ₊ i) + ax(x + i) ₌ o,

oder, tia x³ + 1 = (x + 1) (x² — x 4-1) ist,

(x 4" 1) (x² — x 4-1 4- ax) — 0.

Dieser Gleichung wird Genüge geleistet, wenn man entweder x + 1 = 0 oder x² 4- (a — 1) x -j-1 — 0 setzt, wodurch man drei Wurzelwerte erhält.

Moönik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 80. Aufl.

Auf gleiche Weise geschieht die Auflösung der Gleichung x⁸ + ax²— ax — 1 — 0.

Nach derselben Methode lassen sich auch die Gleichungen behandeln x⁸ + ax² ± abx ± b³ ----- 0, x³ — ax² -f- abx — b⁸ — 0.

b) Es sei die reziproke Gleichung des vierten Grades

x⁴ -j- ax³ + bx² + ax -|_ 1 — Q,

in welcher dieselben Koeffizienten gleiche Vorzeichen haben.

(xa + P") + a (x + i") + b = °-

Setzt man nun x + -1- = y, so ist x² + 2 +    = y², also

x² -p- — y² — 2, folglich durch Substitution in der obigen Gleichung y² — 2-fay + b --- 0, und

±VT~b+^

Dividiert man durch x², was gestattet ist, weil die linke Seite den Faktor x nicht enthält, und vereinigt dann die Glieder mit denselben Koeffizienten, so erhält man

y = —

Wird jeder dieser Werte in die Gleichung x +    = y eingesetzt, so

erhält man, da diese Gleichung in Beziehung auf x vom zweiten Grade ist, für jeden Wert von y zwei Werte für x, also im ganzen vier Wurzeln für die vorgelegte Gleichung.

Nach derselben Methode läßt sich auch die Gleichung behandeln x⁴ -f- ax³ bx² -\- axnx -J- m² ---- 0.

Zusatz. Die binomische Gleichung des fünften Grades kann in eine lineare und in eine Gleichung vierten Grades der eben erwähnten Form zerlegt werden.

oder x⁵

x⁵ = a

- (Va)⁵

— Va) (x⁴ -f- \/a.x³-|-Va².x² -j- \/a³.x -(- \/a⁴) — 0, somit x — Va == 0 und x⁴-f-Va.x³ + Va²-x²-)-Va³.x + Va⁴ — 0. c) Das Polynom der reziproken Gleichung des vierten Grades x⁴ + ax³ —ax —1 == 0,

in welchem dieselben Koeffizienten entgegengesetzteVorzeichen haben, läßt sich in zwei Faktoren zerlegen, von denen der eine x² — 1, der andere das Trinom einer quadratischen Gleichung ist.

Die obige Gleichung läßt sich zunächst so darstellen:

(x⁴ —l) + ax(x² —1) ---- 0.

x.⁹ + 1 + ax = 0, so ergibt sich xs —

Nun ist x⁴ — 1 = (x® +1) (x⁹ —1); man hat also (x⁹ — 1) (x⁹ —1 -j— a x) — 0.

Setzt man x⁹ — 1 = 0, so erhält man xt = ± 1; setzt man

2 _

— »± Va² — 4

Die Gleichung hat also vier Wurzeln,

d) Jede reziproke Gleichung des fünften Grades xs -}- ax⁴ bx³ ± bx² ± ax ± 1 = 0 kann durch Vereinigung der Glieder mit gleichen oder entgegengesetzten Koeffizienten und Herausheben des gemeinsamen Faktors auf zwei Gleichungen zurückgeführt werden, von denen die eine x±l = 0 und die andere eine reziproke Gleichung des vierten Grades ist, in welcher dieselben Koeffizienten gleiche Vorzeichen haben. Die erste gibt bezüglich x — — 1 oder x — + 1, die zweite wird nach b) aufgelöst und gibt vier Wurzeln.

Exponentialgleichungen.

§. 212. Diese werden mit Hilfe der Logarithmen aufgelöst,

a) Gleichungen von der Form a2x + p ar — q.

Setzt man ax = y, so erhält man y² + py — q, also

y = a* =

l«s(-f±VPT + l)

X    log a

Z. B. 42x + 5.4X — 36 gibt für 4X — y, y⁹-f-5y = 36, woraus y == 4X = 4 und y — 4X — — 9 folgt; somit X — 1.

Der andere Wert von x ist nicht reell.

x    2x

b) Gleichungen von der Form Va + P Va — q.

2x

Für Va — y wird y² + py = q, folglich

y = ya = — d= + q, und daher x ___log a

2 log ( — ± \J\ + q).

Z. B. Aus 5 V64 — 6 V64 — 8 erhält man für V64 — y, 5y⁹ — 6y — 8, daher y — 2 oder — — y, und x —

log 64 6 log 2

2 log 2    2 log 2

oder 2²* = 2, ± = 1, x = 3.

Der zweite Wert von x ist nicht reell.

III. Quadratische Gleichungen mit mehreren Mnvekannte».

§ 213. Enthält eine quadratische Gleichung mehrere Unbekannte, so lassen sich diese, wie bei den Gleichungen des ersten Grades, nur dann bestimmt angeben, wenn so viele voneinander unabhängige und einander nicht widersprechende Gleichungen vorhanden sind, als Unbekannte bestimmt werden sollen. Die Auflösung geschieht auch hier nach den im §. 133 angegebenen Eliminationsmethoden, durch welche man schließlich auf eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten kommt.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten ist

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Ist die zweite Gleichung linear, so gibt die Substitutionsmethode eine quadratische Eliminationsgleichung. Dieselbe liefert für die eine Unbekannte zwei Wurzeln. Setzt man dieselben in die lineare Gleichung ein (nicht in die quadratische), so erhält man die zugehörigen Werte für die andere Wurzel, also zwei Wurzelpaare.

x² + 2y² = 118.

Wird der Ausdruck x = y + 7, welcher aus der ersten Gleichung folgt, in die zweite substituiert, so hat man

(y + 7)² + 2y² = 118, oder geordnet y² + ^ = 23,

Beispiel. x — y

welcher Gleichung die Wurzeln — 3 und y₂ = — y entsprechen.

Werden diese Werte von y in den Ausdruck x — y + 7 substituiert, so erhält man Xj — 10 und xa = — ²

I. Durch Verbindung der beiden gegebenen Gleichungen nach der Methode der gleichen Koeffizienten erhält man eine Gleichung mit einer Unbekannten.

§. 214. Sind beide Gleichungen quadratisch, so ist die Eliminationsgleichung vom vierten Grade, daher im allgemeinen nach den bisher vorgetragenen Lehren nicht lösbar. In einzelnen Fällen gelingt die Lösung dieser sowie einiger Gleichungen höheren Grades durch Anwendung spezieller Methoden.

iO

Lrispirl. 5x² — 2y² = 30    —

2x² + y² = 57 2

5x² + 4x² = 30 + 114; 4y² + 5y² = — 60 + 285

9x² = 144

x = -+- 4

x, = 4, yx = 5; x₂ = 4, ya = — 5; x₃ = — 4, y₃ = 5; x4 = — 4, y, = — 5.

9y² = 225 y = ±5

Die Substitution y = — x gibt x-x²—X = 7

Xz = ± VT.i

Besondere Aufmerksamkeit verlangt die Zusammengehörigkeit der Wurzeln. Sind die Lösungen wie hier aus zwei voneinander unabhängigen Gleichungen gewonnen worden, so sind alle Kombinationen in den Zeichen möglich; es existieren also vier Wurzelpaare.

II. Durch passende Verbindung beider Gleichungen erhält man eine lineare Gleichung, welche mit einer der gegebenen Gleichungen zu verbinden ist.

Beispiel.

x² + y² + x + y = a x² + ya — x — y = b 2y+ 2y ----- a — b a^-b und x² + y² =

Auf diese neuen Gleichungen wendet man die Substitutionsmethode oder das später unter IV) Beisp. 2 erwähnte Verfahren an.

III. Man erhält eine Gleichung mit einer Unbekannten, indem man in einer der beiden gegebenen Gleichungen eine Verbindung beider Unbekannten als neue Unbekannte einführt.

somit

— b _ a -j- b

1. Beispiel. Die eine Gleichung ist homogen, d. h. sie enthält nur die quadratischen Glieder; dann gibt die Division durch y² eine quadratische Gleichung in Bezug auf

I. 3x² + 2xy — y² = 0; x + xy + y =7

n.

x + 3x² -j-3x= 7

3-1 + 2- — 1 = 0

y² ' y

™~T

(F+l-7 _

= —1^1+1⁼

i^Vi+T

= -1

3—3

Xi =

yi =

1; x₂ = — y; y = 3x gibt

3; y₂ = — 7.

— 3x y — — x

(substituiert in II.).

y| = =FV7.i

2. Beispiel. Enthalten beide Gleichungen außer den quadratischen Gliedern noch ein absolutes Glied, so erhält man durch Eliminieren der absoluten Glieder nach der Methode der gleichen Koeffizienten eine homogene Gleichung, welche mit einer der gegebenen Gleichungen zu verbinden ist.

x² -j- 3xy — 7 x² —xy + y² = 3 4x²— 16xy + 7y² = 0 u. j. ro.

8. Leispiel. x + y + Vx + y = 6 x² + y² — 10.

Die 1. Gleichung ist quadratisch in Bezug auf Vx + y.

Vx + y = Vi+^ = 2

x + y = 4 x² + y² = 10

_¥ —

Vt+°

Vx+y = —3 x+y = 9

xa + y² = 10 u. s. w.

IV. Man leitet aus den gegebenen Gleichungen eine neue Gleichung ab, welche nach x + y, x — y, xy oder y aufzulösen ist.

Leispiele.

1) x² + y² ----- a. xy = b.

Multipliziert man die zweite Gleichung mit 2 und verbindet die neue Gleichung mit der ersten durch Addition und Subtraktion, so erhält man

(x + y)² — a + 2b, daher x + y = dh V a + 2 b,

x — y =± Va —2b;

(x —y)² = a —2b;

y ------

folglich x — ±-V(Va + 2b + Va — 2b), ±    (V a + 2 b — V a — 2 b).

Man erhält vier Wurzelpaare.

2) x +y = a

X2    y² — b²

analog x — y = a x² + y² = b²

x + y — ± V2 b² — a²

(x + y)² — (x² + y²) = 2 x y = a² — b²; 2 xy — b² — a2 x² + y² —2xy ----- (x — y)² =

= b² — a² + ba = 2b² —a²; x-y = x — y — ±V2b² —a2 x + y = a

xx = ~ (a dz V 2ba — a²) 2    J

Ji = 1 (a + V2+™+)

8    ¹

3) x + y = a xy == b

x —y = xy -

(x + y)² —4xy ----- (x — y)² ----- a² — 4b (x —y)² + 4xy ---

— y = ± Va² — 4b u. s. w.

— (x + y)² = a² + 4b x + y == ±Va² +4b u. s. w.

In diesen zwei speziellen Fällen kann man die Wurzeln am einfachsten durch Anwendung des Satzes §. 207, 3 berechnen. Man erkennt, daß im ersten Falle x und y die Wurzeln der Gleichung z² — az + b — 0 sind, also xx = Zj = y₂; yt = z₂ == x₂.

Im zweiten Falle sind x und — y die Wurzeln der Gleichung z² — az — b = 0; also

Xi = z₁₍ yi = z₂} x₂ = z₂, y₂ = — zv x³ + y³ — a3 x +y = b durch Division x² — xy + y

4)

a⁸

— T

x² + 2xy + y³ = b²

3xy = b³ —

oder x⁸ + 3xy (x + y) + y⁸ — b³

a³ + 3xy b — b3 b⁸ — a⁸

Xy =-8F-

b⁸ —a⁸

xy = —-x + y = u. s. w. i    somit

o"cr

x² + y² — a² — 2xy

5) x + y = x⁴ + y⁴ == b⁴

x⁴ + 4x³y+6x²y² + 4xy³ + y⁴=x⁴ + 4xy (x²+y²) + 6x²y³ + y⁴=a! b⁴ + 4xy (a² — 2xy) + 6x²y² — a⁴

(xy)² — 2a² (xy) =    u. s. w.

Drei Unbekannte.

Beispiele. 1) xy = a, xz = b, yz = c.

Multipliziert man die ersten zwei Gleichungen miteinander und dividiert das Produkt durch die dritte, so erhält man

x² —

Auf ähnliche Art findet man

ab

daher x^ = dz

Vf

yi = ±

Vf

z, = ±

Vf

2) xy + xz = a, xy + yz ---- b, xz + yz ----- c. Setzt man xy = x', xz = y', yz = z', so hat man x' + y' ----- a, x' + z' ----- b, y' + z' ----- c.

Daraus folgt

(a c — b) (b H~ c — a)

zi = ±

2 (a -f~ b — c)

Die Zeichen sind bei y und z entsprechend den Vorzeichen der Produkte xy und xz zu wählen.

Sechster Abschnitt.

Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades.

§. 215. Führt eine Aufgabe auf weniger Gleichungen, als Unbekannte zu bestimmen sind, so kann man durch wiederholtes Eliminieren der Unbekannten immer zuletzt eine einzige Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekannten erhalten. Eine solche Gleichung ist unbestimmt (§. 132).

Häufig wird bei derlei Aufgaben die Zahl der Auflösungen durch die Forderung beschränkt, daß die Werte der Unbekannten ganze, oder ganze und zugleich positive Zahlen sein sollen. In diesem Falle heißt die Aufgabe eine Diophantische.

Auflösung in ganzen Zahlen.

§. 216. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades läßt keine Auflösung in ganzen Zahlen zu, wenn die Koeffizienten der Unbekannten einen gemeinsamen Faktor haben, durch welchen das bekannte Glied nicht teilbar ist.

Lrweis. Es sei die auf die einfachste Form gebrachte Gleichung ax + by = c,

wo a, b, c beliebige ganze Zahlen darstellen. Haben a und b das gemeinsame Maß m, durch welches c nicht teilbar ist, so hat man

•y= m-

Da nun ^ und ganze Zahlen sind, so können nicht zugleich x und y

ganze Zahlen sein, weil sonst auch ^.x + ^.y, folglich auch ^ eine ganze Zahl wäre, was gegen die Voraussetzung ist.

Haben a, b, c ein gemeinsames Maß, so dividiert man die Gleichung durch dasselbe.

dann erhält man, wie in 1),

±V

2 (b + c — a)

Ji = ±

(a b — c) (b -f- c — a)

2 (a + b — c)

^.x + ^

m ¹ m

§. 217. Eine Gleichung des ersten Grades mit zwei Unbekannten, deren Koeffizienten relative Primzahlen sind, hat unendlich viele Auflösungen in ganzen Zahlen.

Leweis. Die Gleichung ax-|- by = c, wo a und b relativ prim sind und a als positiv vorausgesetzt werden kann, läßt immer eine Auflösung in ganzen Zahlen zu. Dies ergibt sich unmittelbar aus der nachfolgenden Auflösung derselben durch Reduktion.

Es seien x — a, j — ß eine Auflösung in ganzen Zahlen, so hat man aa + bß = c.

Dann ist auch

acc — abu + b/2 + abu ----- c, oder a(« — bu) + b (# + au) — c.

Der gegebenen Gleichung genügen somit allgemein die Werte x — a — bu, y ==    + au,

wo u eine willkürliche positive oder negative ganze Zahl bezeichnet.

§. 218. Aufgabe Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades in ganzen Zahlen aufzulösen.

I. Auflösung durch Substitution.

Man bestimmt aus der Gleichung den Wert derjenigen Unbekannten, deren Koeffizient den kleineren Zahlenwert hat, scheidet aus dem gefundenen Quotienten die darin enthaltenen Ganzen aus und substituiert in dem restierenden Bruche für die andere Unbekannte nach und nach die Zahlen 0, 1, 2, 3..., bis für eine dieser Substitutionen auch der Wert der ersten Unbekannten eine ganze Zahl wird.

Beispiel. Es sei die Gleichung 4x — 7y — 75. Man erhält daraus

* = z^ = i8 + y + tirI = i8 + y + 3.L^.

x - 18 + 3 + 3 = 24.

Man findet für y = 3

x — 24 + 7 u, y — 3 + 4 u, wo u eine willkürliche ganze Zahl bedeutet.

Die vorgelegte Gleichung läßt also die Auflösung x — 24, y = 3 zu, und alle übrigen Auflösungen in ganzen Zahlen sind gegeben durch die Formeln

Man findet daher folgende Auflösungen: für u = ...— 2 ist x — ... 10 y = ...—5

Das hier angegebene Verfahren kann sehr weitläufig werden, wenn die Koeffizienten beider Unbekannten große Zahlen sind.

II. Auflösung durch Reduktion. (Enler'sche Methode, 1737.) Ganz einfach gestaltet sich die Auflösung, wenn die eine Unbekannte den Koeffizienten 1 hat. Z.B. aus der Gleichung x + by = c

17

24

I rH

38

11

folgt x — c —by; man kann hier für y jede beliebige ganze Zahl setzen und erhält dann auch für x eine ganze Zahl.

Auf diesen Fall läßt sich durch folgendes Verfahren auch jede andere

Gleichung

ai± by — c

zurückführen. Man sucht den Wert für diejenige Unbekannte, welche den kleineren Koeffizienten hat, scheidet aus dem gefundenen Quotienten die darin enthaltenen Ganzen aus und fetzt den in Bruchform erscheinenden Rest einer neuen Unbekannten gleich. Die so gebildete Hilfsgleichung löst man in Bezug auf die zweite der ursprünglichen Unbekannten auf, behandelt den erhaltenen Quotienten wie den früheren und setzt dieses Verfahren fort, bis man endlich auf eine Gleichung kommt, in welcher die eine Unbekannte den Koeffizienten 1 hat; denn die Koeffizienten der Unbekannten in den Hilfsgleichungen sind der Reihe nach jene Zahlen, welche bei der Kettendivision zwischen a und b als Dividend und Divisor auftreten. Da aber a und b relative Primzahlen sind, so ist der letzte Divisor, also auch der Koeffizient der einen Unbekannten in der letzten Hilfsgleichung, gleich 1. Wird sodann der Wert für diese Unbekannte nach und nach in die vorhergehenden Gleichungen substituiert, so erhält man zuletzt die Formeln für alle ganzen Werte von x und y.

Beispiele.

1) Es sei die Gleichung 19 x — 8y = 52 gegeben.

Löst man dieselbe nach der Unbekannten y, welche den kleineren Koeffizienten hat, auf, so erhält man

19 x — 52

y =

oder, wenn man aus diesem Quotienten die darin enthaltenen Ganzen absondert,

3x —4

y = 2x —6-f

Da x und y ganze Zahlen sein sollen, so muß auch der in Bruchform - eine ganze Zahl sein. Setzt man

erscheinende Ausdruck so hat man

3x —

3x — 4

= Ui,

Löst man die Hilfsgleichung

y = 2x-6 + ut...l). 3x —

- = ux nach x auf, so erhält man

X —

oder, wenn man aus diesem Quotienten die Ganzen ausscheidet, x — 2 ux -f 1 -|

2ut + l

Da x und nx ganze Zahlen sein sollen, so muß auch solche sein. Bezeichnet man sie durch u₂, so ist

x = 2 Uj +1 + u₂ ... 2).

2u, + l

eine

Die Gleichung    — u₂ gibt nach ux aufgelöst

Ui =

und, wenn —g--- — Ng gesetzt wird,

= u₂ + n₃ ... 3).

Aus ¹¹² ~¹ — Uz folgt endlich die Gleichung = 2u₈ +1 ... 4),

in welcher die Unbekannte u₂ den Koeffizienten 1 hat und für jeden beliebigen ganzzahligen Wert von u₃ eine ganze Zahl wird.

Setzt man nun den Wert von u₂ nach und nach in die früheren Gleichungen 3), 2) und 1) ein, so ergibt sich Ui = 2u₃ +1 + u₃ == 3u₃ +1,

6 u₃ + 2 -|-1 + 2 u₈ +1 = 8 u₃ + 4, y = 16u₃ -j-8 — 6 -j-3u₃ +1 = 19u₃ +3.

Die allgemeine Auflösung in ganzen Zahlen ist also gegeben durch die Formeln

x — 8n -j-4,

y = 19u + 3, wo für u jede beliebige ganze Zahl gesetzt werden kann.

10

Pt u = ... — 10 ist x — ...

y =    -187 —16

2. Es sei die Gleichung llx + 28y — 106 in ganzen Zahlen auf-

76

12

22

84

193

zulösen.

llx -j- 28y = 106 gibt x = ¹⁽-^28y = 9 —2y + ^=i6y

= 9 2y -f- ulf

7 — 6y

—fl = Ui

7 — 11

-- i-n,+i=^

= 1 — Ul + u₂,

1 — 5 ut

= U₂

Ul =    5

1-6», ₌_Uä + L-u₃

= — U₂ + Us

„ u₂ = 1 — 5u₃.

Hieraus ergibt sich durch allmähliche Substitution Ui — — 1 —1— 5 u₃ ~4” Uo ⁼⁼ — 1    6 n₃,

y — 1 + 1 — 6u₃ + l — 5u₃ = 3 — H U3, X = 9 —6 + 22u₃ -1 + 6u₃ = 2 + 28u₃, wo u₈ jede beliebige ganze Zahl sein kann.

§. 219. 1. Um ein System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten x, y, z in ganzen Zahlen aufzulösen, leitet man aus demselben durch Elimination z. B. von z eine Gleichung mit zwei Unbekannten x, y ab und löst dieselbe nach einer der in §. 218 angeführten Methoden auf. Substituiert man dann die für x und y gefundenen allgemeinen Werte, welche eine willkürliche ganze Zahl n enthalten, in eine der Gleichungen, welche auch die dritte Unbekannte z enthalten, so erhält man eine diophan-tische Gleichung zwischen dieser und n. Die Lösungen für die Unbekannten z und n enthalten eine willkürliche ganze Zahl u. Setzt man den für n erhaltenen Wert in die früher für x und y gefundenen Werte ein, so erhält man die allgemeinen Lösungen für letztere. (Siehe §. 221, Beispiel 3.)

Auflösung in ganzen und positiven Zahlen.

§. 220. Die Gleichung ax + by — c hat eine begrenzte, die Gleichung ax — b y = c eine unbegrenzte Anzahl von Auflösungen in ganzen und positiven Zahlen.

Beweis. 1. Zur Auflösung der Gleichung ax + by = c in ganzen Zahlen hat man die Formeln.

x — a — b u, y = /? + a u.

Sollen nun x und y positiv sein, so muß

a — b u > 0 und ß + a u > 0, also

u < y und u > —~ sein.

Man erhält daher nur für solche ganze Werte von u, welche zwischen den Grenzen ^ und — ~ liegen, ganze und positive Werte von x und y.

2. Der Gleichung a x — b y = c genügen die ganzen Werte x — a + bu, y = <?-}- au.

Damit x und y positiv seien, muß

« + bu >0 und ß + au >• 0, also

u > — y und u > — --

sein. Da es unendlich viele ganze Werte von u gibt, welche > — und zugleich > — — sind, so können auch x und y unendlich viele ganze und positive Werte haben.

§. 221. Aufgabe. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades in ganzen positiven Zahlen aufzulösen.

Man stellt zuerst die allgemeine Lösung in ganzen Zahlen auf und beschränkt dann die noch willkürlichen Werte für die Hilfs-Unbekannte so, daß die Ausdrücke für die Unbekannten der gegebenen Gleichung positiv werden.

jßtisptrlr. 1) Der Bruch ^ soll als Summe zweier Brüche dargestellt werden, deren Nenner 7 und 11 sind.

Heißen x und y die Zähler der gesuchten Brüche, so hat man

y + ij = yf/ oder 11 x + 7 y = 230.

Diese Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt x — 5 — 7 u, y = 25 + 11 u.

5, y = 25;

Damit 5 — 7 u >• 0 und 25 + 11 u > 0 werde, muß n < | und u > — ff gesetzt werden. Diesen Bedingungen entsprechen für u nur die drei Werte 0, — 1, — 2. Man hat daher für u — 0    ...x

u    =    — l...x    = 12, y    = 14;

3.

„    u    =    — 2...x    = 19, y    =

Die gesuchten Brüche find demnach

Tr

y und |y, oder y und oder y und

2)    Die Gleichung 7 x —17 y == 50 in ganzen positiven Zahlen aufzulösen. Die ganzen Werte von x und y enthalten die Formeln

x — 17 u + 12 und y — 7 u + 2, aus denen man sogleich erkennt, daß für u keine negativen Werte, dagegen 0 und alle positiven ganzen Zahlen gesetzt werden dürfen. Die Aufgabe hat unendlich viele Auflösungen;

3)    Man löse in ganzen positiven Zahlen auf:

3x + 4y-2z = 15,

4x -s- 3 y — 4z— 4. —

2 x + 5 y == 26; ~ daraus y = 2n und x = 13 — 5n.

Die Substitution in die erste Gleichung gibt 2 z + 7 n = 24; daraus z — 12 — 7 u und n = 2 u.

Die Substitution von n — 2u in die Werte von x und y gibt x — 13 — 10 u, y 4u, z — 12 — 7 u.

Bedingung:

0«<S©i

folglich

u = 1, x = 3, y = 4, z = 5.

Die Diophantischen Gleichungen führen diesen Namen insofern mit Unrecht, als Diophantus, welcher um das Jahr 360 n. Chr. in Alexandrien lebte, nur rationale (nicht ganzzahlige) Lösungen von unbestimmten Gleichungen ersten und zweiten Grades suchte. Er begnügte sich daher bei linearen Gleichungen damit, die eine Unbekannte durch die andere auszudrücken. Sein Übersetzer Bachet (1612) fügte selbstständig die Lösung in ganzen Zahlen hinzu nach einer Methode, die im wesentlichen mit der von Euler (geb. 1701, gest. 1783) übereinstimmt. Viel früher war dieselbe Aufgabe schon von indischen Mathematikern gelöst worden.

Siebenter Abschnitt.

Progressionen.

§. 222. Eine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze fortschreiten, heißt eine Reihe, auch Progression. Jede dieser Zahlen wird ein Glied der Reihe genannt. Die Zahl, welche anzeigt, die wievielte Stelle in der Reihe ein Glied einnimmt, heißt der Zeiger dieses Gliedes.

Eine Reihe heißt steigend oder fallend, je nachdem die aufeinanderfolgenden Glieder immer größer oder immer kleiner werden.

Eine Reihe interpolieren heißt, zwischen je zwei aufeinanderfolgende Glieder eine bestimmte Zahl von Gliedern einschalten, welche mit den Gliedern der gegebenen Reihe wieder eine Reihe derselben Art bilden.

I. Arithmetische Progressionen.

1, 4, 7, 10, 3,16,19, 2,... und 50, 47, 44, 41, 8,35,32, 9,... arithmetische Progressionen; in der ersten ist 3, in der zweiten — 3 die Differenz.

CM CM

i—i co

tz. 223. Eine ari thmetische Progression ist eine Reihe, in welcher die Differenz je zweier aufeinanderfolgenden Glieder (das vorhergehende als Subtrahend genommen) dieselbe Zahl ist. Diese konstante Differenz heißt die Di fferenz der Progression. Mithin wird jedes folgende Glied aus dem vorhergehenden durch Addition der Differenz erhalten. So sind

Die Reihe ist steigend, wenn die Differenz positiv ist, fallend, wenn dieselbe negativ ist.

1. In einer arithmetischen Progression ist jedes Glied gleich der Summe aus dem ersten Gliede und demProdukte derDifferenz mit dem um 1 verminderten Zeiger des Gliedes.

CM CO

c5 df

also allgemein a„ = at + (n — 1)    d.    (Das all gemeine Glied.)

Zusatz. a„ =

Jedes Glied einer arithmetischen Reihe ist das arithmetische Mittel der benachbarten Glieder.

(an — d) -j- (an + d)

2. In einer arithmetischen Progression ist die Summe irgend einer Anzahl von Gliedern gleich demProdukte aus der halbenAnzahl dieser Glieder und derSumme desersten und letzten Gliedes.

Beweis. Ist an das nte Glied der Reihe, so ist an —d das nächst-voranstehende, an — 2 d das diesem vorangehende Glied, u. s. f.

Drückt man nun die Summe der ersten n Glieder durch s„ aus, so ist sn = ax -(- (ax -|- d) -|- (ax -)- 2 d) -s-... (an — 2 d) —(— (an — d) -f- an.

Schreibt man die Glieder in umgekehrter Ordnung, so ist auch

Sn — a n -f- (an — d) (an — 2 d)    -j⁻ (ax -f- 2 d) -j- (ax d) —j—ax.

Durch Addition dieser beiden Ausdrücke erhält man, da je zwei untereinander stehende Glieder a, + an zur Summe geben,

2sn= (ax-s- an)-j-(a₁-|-an)-|-(a₁ -s- an) -I⁻ - • - ~(ax —{— 8n)^(ax -s- an) —(ax —a„).

Hier kommt ax + an so oft als Summand vor, als Glieder angenommen werden, also nmol; daher 2sn = n (ax + an), und

Sn = f (ax + a»).

Diese Formel heißt das Summ eng lieb der arithmetischen Progression.

Beispiel. Man suche das allgemeine und das Summenglied der Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11..

Da ax = 1, d = 2 ist, so hat man

an = 1 4- (n — 1). 2 = 2 n — 1,

Sn

=    (1 + 2 n — 1) = n².

So ist z. B. a₁₅ = 2.15 — 1 = 29, und s₁₆ = 15² = 225.

§. 224. Die beiden voneinander unabhängigen Gleichungen an = ax + (n — 1) d und sn == (ax + an) enthalten fünf Größen alf d, n, an, sn; es müssen also je drei derselben gegeben sein, um die beiden anderen zu bestimmen. Dadurch erhält man 10 verschiedene Aufgaben.

Sind z. B. d, n, an, gegeben, so findet man aus der ersten Gleichung

ax — a„ — (n — 1) d,

und dann aus der zweiten

| (an - (n - 1) d + an} == | {2 a« - (n - 1) d}.

Sn ⁼⁼

§. 225. Eine arithmetischeProgression zu interpolieren.

Sind zwischen die Glieder ak und ak+i einer arithmetischen Progression, deren Differenz d ist, r Glieder einzuschalten, die mit ak und ak+i wieder eine arithmetische Progression bilden, so ist ak das erste und ak+x das (r + 2) te Glied der neuen Progression, daher, wenn die Differenz derselben mit d, bezeichnet wird, ak+i = ak + (r + 1) d,; es ist aber auch ak+i — ak + d, folglich (r + 1) dt = d, und

.    . d

dl — r+V

Die interpolierte Reihe ist also

ak' ak + ftT' ak H

Z. B. Man schalte in der Reihe 1, 2, 3, 4

. -f

rd

r+ 1'

ak+i

zwischen die Glieder 2 und 3 nach dem Gesetze der arithmetischen Progressionen 7 Glieder ein.

Hier ist d = 1, r = 7, daher dt =§; die interpolierte Progression

ist also

2 2— 2— 2— 2— 2— 2— 2— 3 ' 8' 8' 8' 8' 8' 8' 8'

II. Geometrische Progressionen.

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,...

1' i

§.226. Eine geometrische Progression ist eine Reihe, in welcher der Quotient je zweier aufeinanderfolgenden Glieder (das vorhergehende als Divisor genommen) dieselbe Zahl ist. Dieser konstante Quotient heißt der Quotient der Progression. Mithin wird jedes folgende Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit dem Quotienten erhalten. So sind

t“¹ IS

i i i

9'    ' 81' 243' 729' " ' "

geometrische Progressionen; in der ersten ist 3, in der zweiten f der Quotient.

Die Reihe ist steigend, wenn der Quotient größer als 1 ist, fallend, wenn derselbe kleiner als 1 ist.

1. In einer geometrischen Progression ist jedes Glied gleich demPr odukte aus dem ersten Gliede und der sovielten Potenz des Quotienten, als der um 1 verminderte Zeiger des Gliedes anzeigt.

Bezeichnet a, das erste Glied, q den Quotienten und an das nte Glied, so ist    = q,

J⁶ S-

allgemein

(das allgemeine Glied).

Zusah, a» = \/(^).(anq).

Jedes Glied einer geometrischen Reihe ist das geometrische Mittel der beiden benachbarten Glieder.

2. In einer geometrischen Progression ist die Summe der ersten n Glieder gleich dem Produkte aus dem ersten Gliede und der um 1 verminderten nteit Potenz des Quotienten dividiert durch den um 1 verminderten Quotienten.

Beweis. Bezeichnet sn die Summe der ersten n Glieder, so ist Sn = a, + a, q + a, q² + ...-f ax q“~s + a: q—1 und, wenn man beide Teile dieser Gleichung mit q multipliziert, qsn = a₂ q + a, q³ + a, qs.. . + at q—¹ + at q”.

Wird dann die erste Gleichung von der zweiten subtrahiert, so erhält man q s„ — sn — at qn — a, und folglich

s”

_ %(q°—i)_ »id— qn)

1 - q

als das Summenglied für die geometrische Progression.

Dasselbe läßt sich, da a, qn~¹ — an, also a, q” — a„q ist, auch so darstellen:

q-l

Beispiel. Man bestimme das allgemeine und das Summenglied der Progression 1, 3, 9, 27, 81, 243,...

Hier ist a, = 1 und q — 3, daher

an — 1.3“-¹ — 3”-¹, sn — ³°

So ist z. B. a₁₀ = 3⁹ = 19683, und sl0 =    = 29524.

§. 227. Eine unendliche Folge von reellen Zahlen heißt konvergent, wenn dieselbe einen bestimmten endlichen Grenzwert hat. Von dieser Beschaffenheit sind die Reihen rationaler Zahlen, welche eine irrationale Zahl einschließen, und die irrationale Zahl selbst ist eben jener bestimnite endliche Grenzwert. (§. 105, 155, 187.)

Bilden wir von einer Reihe mit unendlicher Anzahl der Glieder die Werte sx — a,, s₂ = al + a₂, s₈,.... so sind zwei Fälle möglich. 1. Die Zahlen Sj, s₂, s₃,.... bilden eine konvergente Zahlenfolge, d. h. sie haben einen bestimmten endlichen Grenzwert, lim sn = s für lim n = <x>, mo s eine endliche Zahl ist. Dann heißt auch die unendliche Reihe a,, a₂, as, .... konvergent und jener endliche Grenzwert s die Summe dieser unendlichen Reihe. 2. Die Zahlenfolge s,, s₂, s₃ .. sn hat für lim n = -f- <x> keinen endlichen Grenzwert, dann heißt die unendliche Reihe alf a₂, a₃, ... divergent.

Für die geometrische Progression at + atq + a,q² + a,q³ +... ist

»iq¹¹

q —i q —i i — q    i —q

l^.lim (qn).

„    _ a,(qn —1)    _ a,qn

8n ” ---

lim sn —

-“i-.lim (qn) — —

a,

h_

li

1 —q

Ist nun q>1, so wird mit dem wachsenden n auch qn und daher auch sn über jeden angebbaren Wert hinaus zunehmen. Eine steigende geometrische Progression ist demnach stets divergent.

Ist q ----- 1, so ist sn — a, .n, somit lim sn = ⁰⁰ für lim n = daher ist auch in diesem Falle die Reihe divergent.

Ist dagegen q< 1, so nähert sich beim unendlichen Wachsen von n q“ ohne Ende der Null und s„ dem endlichen Grenzwerte    welcher

daher die Summe der unendlichen Reihe ist. Eine fallende geometrische Progression ist demnach stets konvergent.

Z. B. Für die Reihe 1, j, -§-,•••, in welcher ax — 1, q = -|-

ist, hat man s =

— 2; d. h. je mehr Glieder der Reihe man addiert,

desto mehr nähert sich die Summe der Zahl 2, ohne jedoch je dieselbe wirklich zu erreichen.

Eine arithmetische Progression ist, wie man aus der Summenformel sn — ^-(a^an) sogleich ersieht, immer divergent.

Jeder periodische Dezimalbruch kann als eine fallende geometrische Progression dargestellt und als solche summiert, d. i. in einen gemeinen Bruch verwandelt werden. Nach §. 122, 2 ist

10“

10“ — V

Jl+₌

¹ 10“

10“ ~ 10 ün I • ‘    •

§. 228. Mittels der beiden voneinander unabhängigen Gleichungen

an — a₁ qn_1 und sn —

— i '

von denen die zweite auch durch s„ — aDqq_^~x ersetzt werden kann, lassen sich aus je dreien der fünf Größen alf q, n, a„ und s„ die beiden anderen bestimmen. Von diesen 10 Aufgaben führen zwei auf Gleichungen des nten Grades.

Sind z. B. q, n, sn gegeben, so erhält man aus der zweiten Gleichung

_ (q — 1) Sn al    q“ — 1    '

und dann aus der ersten Gleichung

a _ q°—¹ (q — i) sn

“    q“ — 1

polieren.

§. 229. Aufgabe. Eine geometrische Progression zu inter

Schaltet man zwischen die Glieder ak und ak + x einer geometrischen Progression, deren Quotient q ist, r Glieder ein, die mit ak und ak +1 wieder eine geometrische Progression bilden, so ist in dieser ak das erste und ak + i das (r -j- 2) te Glied; man hat daher, wenn der Quotient der neuen Progression mit qx bezeichnet wird, ak + i = ak .qV "¹"¹; es ist aber auch ak + i — ak.q, daher q^^^ — q, und

r+ 1

qi = Vq.

Die interpolierte Progression ist also

r+ 1

r -f- 1 r -{- 1

ak, ak Vq, ak\/q²,.. .ak\/qr, ak + 1.

Um j. B. in der Reihe 1, 16, 256, 4096, .. .zwischen je zwei Glieder 3 neue Glieder zu interpolieren, setze man, da q = 16 und r = 3 ist,

4

qx — V16, somit qx = ± 2 oder q, = ± 2i, wodurch man erhält

1. 2 4, 8, 16, 32, 64, 128, 356 512, 1024, 2048, 4096,...

1, — 2, 4, — 8, 16, — 32, 64, — 128, 256,...

00 GO

1, 2i, - 4, -    i, 1 , 32i, - 64, — 128i, 256, ....

1, — 2i, — 4,    i, 1 , — 32i, — 64, 128i, 256, ...

III. Zinseszins- und Wentenrechnrmg.

§. 230. Werden die am Ende einer Zeiteinheit fälligen Zinsen eines Kapitals zu diesem hinzugefügt und mit ihm wieder verzinst, so sagt mau: das Kapital ist auf Zinseszinsen angelegt.

Bei den Zinseszinsrechnnngen kommt, wie bei der einfachen Zinsrechnung (§. 116), das Kapital, die Zeit, das Prozent (Zinsfuß) und der Zins in Betracht. Als Zeiteinheit ist, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerkt wird, ein Jahr zn verstehen, d. h. die Kapitalisierung 4>er Zinsen erfolgt ganzjährig. Ist ein Kapital zn p % angelegt, so wachsen 100 Einheiten des Kapitals (Kronen, Mark) in einem Jahre samt den Zinsen auf 100 -j- p au; somit hat eine Kapitalseinheit nach 1 Jahre mit

100+ p

= 1+JL ' 100"

Den Wert 1 4-

100

Hinzufügung der Zinsen den Wert

zu welchem die Einheit des Kapitals mit Zinsen in 1 Jahre anwächst, nennt man den Verzinsungsfaktor; wir wollen denselben in den nachfolgenden Rechnungen der Kürze halber mit q bezeichnen.

§. 231. Erste Fundamental-Aufgabe. Ein Kapital a ist zu p °/o auf Zinseszinsen angelegt; zn welchemWerte wächst es nach n Jahren an?

Da die Kapitalseinheit mit den Zinsen nach 1 Jahre den Wert q erhält, so hat das Kapital a nach 1 Jahre den Wert

ax = a.q,

d. h. man findet den Wert eines Kapitals nach 1 Jahre, indem man den Anfangswert mit dem Verzinsungsfaktor multipliziert.

Wird das neue Kapital at wieder ein Jahr verzinst, so ist sein Wert am Ende desselben a₂ — ax.q = a.q².

Nach 3, 4.. .Jahren wird das Kapital angewachsen sein auf a₃ == a₂.q = a.q³, a₄ = a₃.q = a.q⁴, u. f. w.

Hiernach ist der Wert des Kapitals am Ende des nten Jahres an = aqn

I)

Löst man diese Gleichung nach a auf, so ergibt sich als der gegenwärtige oder Barwert eines nach n Jahren zahlbaren Kapitals

an

qn'

a = —

Ebenso erhält man aus I) für p und n die Werte

log an —log a log q

Luslitze. 1. Hier wurde n als eine ganze Zahl von Jahren vorausgesetzt. Ist nun n eine gemischte Zahl, etwa m + so sind nur für die vollen m Jahre die Zinseszinsen von a, dagegen für den Bruchteil des noch folgenden Jahres die einfachen Zinsen von am gu berechnen. (Relativer Zinsfuß.) Man erhält also in diesem Falle

e = a<lm +    »der ba ^ = q - 1 ist,

e = aqm (l +

.100, n —

) = aq“ {l + (q — 1) y}

P_-!

Ia)

100.s

Wendet man auch in diesem Falle die Formel lau (konformer Zinsfuß), so erhält man e = aqm + v = aq™.q7 = aqm(l +

Statt 1 + Yoiy IT W man also den etwas kleineren Wert (1 + yjy) t-

Da der Unterschied nicht bedeutend ist, so kann man, wenn nach den Prozenten oder nach der Zeit gefragt wird, um die Rechnung zu vereinfachen, den konformen Zinsfuß anwenden.

2.    Werden die Zinsen nicht jährlich, sondern nach dem mten Teile eines Jahres (halbjährlich, monatlich) kapitalisiert, so ist in der Gleichung I) und in den daraus abgeleiteten Formeln q — 1 + und für n die Zahl nm zu setzen.

3.    Die obigen Gleichungen können auch auf andere Größen, wenn dieselben in einem konstanten Verhältnisse wachsen, z. B. auf die Zunahme der Bevölkerung eines Landes, des Holzstandes eines Waldes u. dgl., angewendet werden.

Seispiele.

a1? = 2518.1-05-2

1) Wie hoch wächst ein Kapital von 2518 K in 12 Jahren ju b% Zinseszinsen an?

log 1-05 = 0-021189

12 log 1-05 = 0-25 427 log 2518 = 3-40 107 log a₁₂ =3"65 533, also a₁₂ = 4522 K.

2) Ein Kapital von 2000 K ist bei 4 % Zinseszinsen auf 4469 K 84 h angewachsen; wie lange war dasselbe angelegt?

Nach dem konformen Zinsfuß: 4469 • 84 — 2000.1'04° also

_ log 4469-84 —log 2000 _ 0'34927

¹¹    log 1-04    0-018033

= 20-505..    20 I. 6 M. 2 Tg.

Nach dem relativen Zinsfuß: Setzt man n — (20 +1) Jahre, so ergibt sich, da 2000 K in 20 Jahren auf 2000.1 04'° = 4382-2 K anwachsen und daher die Differenz 4469-84 — 4382-2 — 87-64 K der einfache Zins des Kapitals 4382-2 K für die Zeit t ist, nach §. 116

100.8V64

4382-2.4

— Jahr, und somit n — 20-^- Jahre.

Die Zeit von der ersten bis zu der letzten Zahlung beträgt n — 1 Jahre; setzt man daher 1 -f ^ — q, so ist zur Zeit der letzten Zahlung

§. 232. Zweite Fundamentai-Ztufgabe. Durch n Jahre wird am Anfange oder am Ende eines jeden Jahres ein Betrag r gezahlt; zu welchem Werte wachsen alle diese Beträge zur Zeit der letzten Zahlung an, wenn man p % Zinseszinsen rechnet?

der Wert der 1. Zahlung — rqn~l,

„ „ 2.

— rqn-a,

daher die Summe aller dieser Werte

sn — r + r q +1- q² + ... + rqn-2 -s- rqn-1, oder

-} . . . II).

Sn —

r(q"

q —1

§. 233. Auf die voranstehenden zwei Hauptaufgaben lassen sich alle mehr oder weniger zusammengesetzten Aufgaben über die Zinseszinsrechnung zurückführen.

Infgnbr.

Ein zu p % auf Zinseszinsen angelegtes Kapital a wird durch n Jahre am Ende eines jedenJahres um denBetrag r vermehrt oder vermindert; welchen Wert hat es am Ende dieser Zeit?

Am Ende des nten Jahres ist der Wert des Kapitals a (nach §. 231) aqn, und der Wert aller n Beträge r, um welche das Kapital am Ende

eines jeden Jahres vermehrt oder vermindert wird (nach §. 232) --‘j-—- •

der Endwert des so vermehrten oder verminderten Kapitals ist also

E =

q

Diese Gleichung löst, da sie 5 Größen enthält, 5 verschiedene Aufgaben. Die Bestimmung von q übersteigt, da man dabei auf eine Gleichung des n ten (nicht (n + 1)ten) Grades kommt, die Grenzen dieser Anleitung.

Ist im Falle der Verminderung a — <C 0 oder r > also r

größer als der jährliche Zins des Kapitals a, so wird der Endwert dieses Kapitals von Jahr zu Jahr kleiner, bis endlich das Kapital erschöpft ist.

Zusah. Sollen zu verschiedenen Zeiten fällige Kapitalsbeträge miteinander verglichen werden, so muß man sie immer auf denselben Zeitpunkt reduzieren. Da aber das Verhältnis ihrer Werte für jeden Zeitpunkt dasselbe ist, solange ihr Zinsfuß ungeändert bleibt, so ist es an sich ganz gleichgültig, welcher gemeinsame Zeitpunkt für die Vergleichung gewählt wird. Gewöhnlich werden entweder die Barwerte oder die Werte nach Ablauf des gegebenen Zeitraumes berechnet und miteinander in Vergleichung gesetzt.

§. 234. Serspiele.

1) Jemand legt durch 10 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres 230 Kronen jw 5 % Zinseszins an; welchen Wert haben diese Anlagen am Anfange des 10 ten Jahres?

s,, - ²⁸⁰⁴¹₀°^-1> - MLE- _ 2892-89 8,»n,n.

2) Jemand legt durch 15 Jahre am Ende eines jeden halben Jahres eine sich gleichbleibende Summe in eine Sparkasse, welche bei dem jährlichen Zinse ä h°/₀ halbjährig kapitalisiert, und erwirbt sich dadurch zur Zeit der letzten Zahlung ein Guthaben von 3292-71 K; wie groß ist die jedesmalige Einlage?

Hier muß man 30 Zeitperioden rechnen und als Verzinsungsfaktor

r (1‘025⁸° — 1).

1 025 annehmen; man hat daher 3292-71 —

__ 3292-71.0-025 v

F 1-025³⁰—1    <0

0-025

mithin

3) Ein Anlehen a soll durch eine am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Rate r in n Jahren getilgt (amortisiert) werden; wie viel muß die Jahresrate r betragen, wenn der Berechnung x L zu Grunde gelegt werden?

Der Endwert des Kapitales a muß gleich sein dem Endwerte der n Raten, beide bezogen auf die Zeit der letzten Zahlung, d. i. am Ende des n ten Jahres.

n = l0g-¹⁴³₁²₀-⁷⁸i^₅j0g - == 20 Jahre.

Nentenrrchnung.

§. 235. Die Berechnung von Zinseszinsen kommt insbesondere bei der Rentenrechnung vor.

Unter einer Rente versteht man einen in festgesetzten gleichen Zeitterminen (meistens am Ende jedes Jahres) zahlbaren Geldbetrag, dessen Bezugsrecht durch eine vorher gezahlte Geldsumme, die Einlage, erworben wird. Die Einlage wird entweder auf einmal oder jährlich entrichtet und heißt dann bezüglich Mife oder Prämie. Die Rente ist gewöhnlich konstant; sie kann aber auch nach einem bestimmten Gesetze veränderlich sein. Eine Rente heißt Zeitrente, wenn die Zahl der Termine, in denen sie gezahlt wird, genau bestimmt ist; Leibrente dagegen, wenn sie bis zum Tode des Empfängers fortdauert. Hier soll nur von Zeitrenten die Rede sein.

Kentengleichurtg. Die Rentenrechnung beruht auf folgendem Grundgedanken. Der Barwerk der Rente muß auf Zinseszinsen angelegt zur Zeit des letzten Rentenbezuges denselben Endwert haben, wie sämtliche Renten, wenn dieselben sofort nach ihrer Fälligkeit auf Zinseszinsen angelegt werden.

Es sei r die Rente, welche durch n Jahre am Ende eines jeden Jahres fällig ist, b der Barwert, welcher ein Jahr vor dem ersten Renten-bezuge fällig ist, und p der Prozentsatz.

Somit bqn — rq“-¹ -f- rq“-a . . + rq + r =

r (q° — 1) qn (q— i)'

,__b qn (q — 1)

qn —1    '

a qn = — q

r (q° — 1)

daher r —

a qp (q — 1) qn — 1    '

4) Nach wie viel Jahren sind von einem auf Zinseszins zu ausgeliehenen Kapital von 1060 K noch 167 22 K übrig, wenn am Ende eines jeden Jahres 80 K zurückgezahlt werden?

100.80

Nach §. 233 ist 167 22 =

1-05". 540 = 1432 78

1-05° (12^80- io60)

der Barwert

die Rente

log r — log [r — b (q — 1)]

Zahl der Termine n =

Zusatz. Der Barwert kann auch unmittelbar als Summe der Barwerte der einzelnen Rentenbeträge erhalten werden.

h —

log q

I r _ r(qn — 1)

q ⁺ q2 _1_ ‘ ‘ ‘ ' q" qn(q — 0"

Beispiel.

Jemand will an eine Versicherungsbank durch m Jahre am Anfang eines jeden Jahres einen bestimmten Betrag a einzahlen, um sich durch die nachfolgenden n Jahre den Bezug einer am Ende eines jeden Jahres zahlbaren Rente r zu sichern; wieviel wird die jährliche Einzahlung betragen, wenn p % gerechnet werden?

(Zwischen der letzten Prämienzahlung und dem ersten Rentenbezuge liegen zwei Jahre.)

m jährliche Prämien, jede — a, haben zur Zeit der letzten Zahlung, d. i. am Anfange des mten Jahres, den Wert    somit ist ihr Wert

1 Jahr später —'- . q. Dies ist der Barwert der nachfolgenden Rente;

_J n — r (qn —])

1    '    qn+i(qm_i)*

r(qn — l)

. qn =

daher besteht die Gleichung atq”~~¹)q

Aus der letzten Gleichung kann auch r, m oder n bestimmt werden, wenn die übrigen Größen gegeben sind.

Arithmetische und geometrische Reihen wurden schon bei den Griechen betrachtet und summiert. Die Römer kannten bereits den Zinseszins: doch erfolgte die richtige Berechnung der Zinseszins- und Rentenaufgaben erst im 16. und 17. Jahrhunderte.

Achter Abschnitt.

Kombinationslehre.

I. Aermtttatiorten, Kombinationen und Wariationerr.

§. 236. Gegebene Dinge nach einem bestimmten Gesetze in Gruppen zusammenstellen, heißt kombinieren im weiteren Sinne des Wortes. Die einzelnen Dinge werden Elemente und die aus denselben gebildeten Gruppen Komplexionen genannt.

Zur schriftlichen Darstellung der Kombinationen ist es am zweckmäßigsten, die Elemente durch die in natürlicher Ordnung aufeinanderfolgenden Zahlen, welche Zeiger oder Indices heißen, oder durch die Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge zu bezeichnen. Bon zwei Elementen ist dann jenes das höhere, welches einen größeren Zeiger hat oder im Alphabete später vorkommt.

Von zwei Komplexionen heißt jene die höhere, in welcher von der Linken aus zuerst ein höheres Element vorkommt; z. B. die Komplexion 1342 ist höher als jene 1324. Die niedrigste Complexion ist diejenige, in welcher kein höheres Element vor einem niedrigeren steht, in welcher also die Elemente in natürlicher Ordnung aufeinanderfolgen; und jene die höchste, in welcher kein niedrigeres Element vor einem höheren steht, somit alle Elemente in umgekehrter Ordnung vorkommen.

Alle Kombinationen scheiden sich ihrer Natur nach in Versetzungen und Verbindungen. Bei den Versetzungen faßt man die verschiedene Anordnung der gegebenen Elemente, bei den Verbindungen ihre Auswahl in bestimmter Anzahl ins Auge. Wird nicht nur auf die Anzahl und Auswahl der Elemente, sondern gleichzeitig auch auf die Anordnung derselben Rücksicht genommen, so kommen Verbindungen und Versetzungen vereint vor.

Hiernach unterscheidet man drei Arten des Kombinierens: das Permutieren, das Kombinieren im engeren Sinne und das Variieren.

Bei jeder dieser drei Kombinationsarten kommt die wirkliche Bildung der Komplexionen und die Z a h l derselben in Betracht.

1. permuticren.

§. 237. Permutieren heißt, gegebene Elemente auf jede mögliche Weise versetzen, so jedoch, daß in jeder Komplexion alle Elemente vorkommen.

Die Anzahl aller möglichen Permutationen von n Elementen bezeichnet man durch P„ (Permutationszahl von n), die Anzahl der Permutationen von genannten Elementen, z. B. von a, b, b, c durch P (abbc).

Bildung der Permutation rn.

§. 238. Um von mehreren gegebenen Elementen alle möglichen Permutationen zu bilden, schreibe man zuerst die niedrigste Komplexion der gegebenen Elemente an, leite aus dieser die nächst höhere, aus dieser wieder die nächst höhere, u. s. w. ab, bis man zur höchsten kommt. Man erhält aber aus jeder schon aufgestellten Komplexion die nächst höhere, indem man, in dieser Komplexion von rechts nach links fortschreitend, das erste Element aufsucht, an dessen Stelle aus den rechts folgenden ein höheres gesetzt werden kann, sodann dieses höhere Element an jene Stelle schreibt und die links vorangehenden Elemente ungeändert stehen, die übrigen aber ihm in natürlicher Ordnung folgen läßt. Z. B.

abbbc    babbc    bbabc    bcabb    cabbb

abbcb    babcb    bbacb    bcbab    cbabb

abcbb    bacbb    bbbac    bcbba    cbbab

cbbba

123

132

213

231

acbbb

312

321

bbbca

bbcab

bbcba

Anzahl der Permutationen.

§. 239. 1. Sind alle möglichen Permutationen von n verschiedenen Elementen gebildet und tritt zu diesen Elementen noch ein neues dazu, so kann dasselbe in jeder der früheren Permutationen den ersten, oder den zweiten,..., oder den (n -s- 1) ten Platz, also n + 1 verschiedene Stellungen einnehmen, so daß aus n 1 Elementen (n + 1) mal so viel Permutationen entstehen, als aus n Elementen. Es ist also

Pn+1=Pn.(n + l).

Da nun ein Element nur eine einzige Stellung zuläßt, so ist

ßuj Ph Ph Ph

—    1, daher

= 1.2,

DO DO

= 1. .3, u. s. w.; allgemein

—    1. .3... .(n — 1) n;

b. h. die Permutationszahl von mehreren verschiedenen Elementen ist gleich dem Produkte der natürlichen Zahlen von 1 bis zu der Zahl, welche die Anzahl der Elemente ausdrückt.

Das Produkt 1.2.3.4.... (n —l).n wird durch das Symbol n!, zu lesen: „u Fakultät" oder „Faktorielle n", bezeichnet. Es ist daher P₂ = 2!, Pg=3!,...Pn = n!

2. Wenn unter den gegebenen n Elementen p gleiche vorkommen, so betrachte man diese einstweilen als verschieden; dann ist die Anzahl aller möglichen Permutationen n!. Denkt man sich diese Permutationen so in Abteilungen gebracht, daß sich die Permutationen einer Abteilung bloß durch die gegenseitige Stellung der als verschieden betrachteten p Elemente voneinander unterscheiden, während die übrigen Elemente dieselbe Stelle einnehmen, so enthält jede dieser Abteilungen so viele Permutationen, als man aus p Elementen bilden kann, also p! Permutationen. Demnach ist

die Anzahl der Abteilungen ^s. Wenn man nun die als verschieden betrachteten Elemente wieder als einander gleich annimmt, so liefert jede Abteilung nur eine Permutation; somit ist ^ die Anzahl der Permutationen von n Elementen, unter welchen p gleiche vorkommen.

Befinden sich unter den gegebenen n Elementen außer den p gleichen Elementen noch q andere gleiche Elemente, so wiederholen sich die Schlüsse in

gleicher Weise, und ist daher die Anzahl aller verschiedenen Permutationen.

3. Sind unter den gegebenen n Elementen n — k einander gleich, und die übrigen k Elemente ebenfalls einander gleich, wie z. B. in dem Produkte a”-kbk, so ist die Permutationszahl derselben

n!

1.2.3.. .(n — k) (n — k 4-1) .. .(n— 2) (n — 1) n

1.2.3...(n — k).1.2.3

(n-k)! k!

Dividiert man Zähler und Nenner dieses Bruches durch 1.2.3... (n — k) und schreibt die dann übrig bleibenden Faktoren des Zählers in umgekehrter Ordnung, so hat man

O-i,

U    -o.

2. Lomvinierru.

§. 240. Kombinieren im engeren Sinne heißt, gegebene Elemente so miteinander verbinden, daß jede Komplexion dieselbe bestimmte Anzahl aus den gegebenen Elementen enthält, wobei jedoch nur solche Komplexionen, in welchen nicht dieselben Elemente vorkominen, als verschieden gelten.

n!

(n —k)! k!

Der letzte Bruch, dessen Zähler ein Produkt von k Faktoren, die von n beginnend um 1 abnehmen, und dessen Nenner das Produkt von k Faktoren ist, die von 1 beginnend um je 1 wachsen, wird durch das Symbol zu lesen: „n über k", ausgedrückt. Es ist also

1. 2.

P (an~kbk) -----

n!

fl r*l

(n —k!) k! X /*

Kürzt man hingegen durch 1.2.3... .k, so erhält man den Bruch

n(n — 1)__

1.    2    ....(n —k —1) (n —k)

(k + 2) (k + 1)

Es ist somit Zusatz. Aus (S)

(n — k)! k!

ö=C-k)-

_ n (n — 1)... (n — k -{- 1) “1. 2 .... k

folgt für k = n, n + 1,

Je nachdem die Verbindungen je zwei, drei, vier,... Elemente enthalten, nennt man sie Kombinationen der zweiten, dritten, vierten,... Klasse, oder auch Amben, Ternen, Quaternen, u. s. w. Die Elemente selbst können als Kombinationen der ersten Klasse angesehen werden und heißen als solche Unionen.

Man unterscheidet ferner Kombinationen ohne und mit Wiederholungen; bei jenen darf in einer Komplexion ein Element nur einmal, bei diesen auch öfter vorkommen.

Die Anzahl aller möglichen Kombinationen der rten Klasse aus n Elementen ohne Wiederholungen wird durch 0', die Anzahl derselben mit Wiederholungen durch C⁻n' bezeichnet.

Bildung der Kombinationen.

§. 241. 1. Um aus gegebenen Elementen die Kombinationen der rten Klasse ohne Wiederholung zu bilden, schreibt man die ersten r Elemente in natürlicher Reihenfolge nieder und ersetzt in dieser sowie in jeder neu gebildeten Komplexion von rechts nach links gehend so bald als möglich ein Element durch das nächst höhere noch nicht verwendete Element und

Zahl der Kombinationen ohne Wiederholungen.

§. 242. Verbindet man jedes von n gegebenen Elementen mit jedem der übrigen n — 1 Elemente, so erhält man alle Amben, und zwar jede 2mal, z. B. die Ambe ab, indem man a mit b, und indem man b mit a verbindet. Da sich sonach n (n — 1) paarweise gleiche Amben ergeben, so ist die Anzahl aller verschiedenen Amben von n Elementen

c: =

n (n —i)

Hat man überhaupt alle Kombinationen der rten Klasse ohne Wiederholungen von n Elementen und verbindet jede dieser C' Kombinationen mit jedem der darin nicht vorkommenden n — r Elemente, so enthalten die sich ergebenden C*. (n — r) Verbindungen alle Kombinationen der (r + 1) ten Klasse, und zwar eine jede derselben (r -f 1) mal, da sie aus jeder der r +1 Kombinationen der vorigen Klasse, in denen eines der jetzt in ihr vorkommenden Elemente fehlte, entstanden ist. Die Zahl aller verschiedenen Kombinationen der (r-j-l)ten Klasse von n Elementen ist daher

C'+! = C;.!=f

» >»-»

;(n~2¹⁾.V>. f-w

r +• 1

Da nun C“ —

läßt darauf in der erforderlichen Anzahl die höheren Elemente in natürlicher Ordnung folgen.

Beispiel. Es sollen die Quaternen ohne Wiederholung aus den Elementen a, b, c, d, e, f gebildet werden, abcd abce abcf abde

2. Um aus gegebenen Elenienten die Kombination der rten Klasse mit Wiederholung zu bilden, schreibt man das niedrigste Element rmal an und ersetzt in dieser sowie in jeder neu erhaltenen Komplexion von rechts nach links gehend so bald als möglich ein Element durch das nächsthöhere und läßt eben dieses Element in der erforderlichen Anzahl folgen.

Beispiel. Es sollen die Ternen mit Wiederholung aus den Elementen a, b, c, d gebildet werden.

abdf

abef

acde

acdf

acef

adef

bcde

bcdf

beet

bdet

cdef

ä9itl

abb

acd

bbd

ccc

aab

abc

add

bcc

ccd

aac

abd

bbb

bcd

cdd

aad

acc

bbc

bdd

ddd

ist, so hat man

0b =

f(4 _ n (n — 1) (n — 2) (n — 3) f

o„ — r ."₂ —₃-.t—' u-1- w.,

Durch diesen Vorgang verschwinden alle Wiederholungen der Elemente und kommen die Kombinationen der rten Klasse ohne Wiederholung von (n + r — 1) Elementen zum Vorschein; auch gehört notwendig zu jeder Komplexion der einen Art eine Komplexion der andern Art. Mithin ist

Cy = C'„+r-u also

.. .(r — 2) (r — l).r

allgemein

pr _ n (n — 1) (v —2)...(u-r-l-2) (n — r + l)^

n ”" ¹    2 . 3 . . . . (r—1) . r >

oder mit Rücksicht auf die im §. 239, 3 eingeführte Bezeichnung

oi =

(?)

CI =

(!) -

<* “ l >

Zusah. Schreibt man neben jede Kombination der rten Klasse ohne Wiederholung die in ihr nicht auftretenden Elemente, so bilden diese eine Kombination der (n — r)teit Klasse. Dabei kann keine Kombination der einen Klasse ohne eine entsprechende Kombination der anderen Klasse auftreten. Somit ist die Anzahl der Kombinationen für beide Klassen gleich.

Zahl der Kombinationen mit Miederholnngen.

§. 248. Es seien sämtliche Kombinationen der rten Klasse mit Wiederholung aus n Elementen gebildet. In jeder dieser Complexionen bleibe das erste Element unverändert, der Rang des an zweiter Stelle stehenden Elementes werde um 1 erhöht, d. h. man setze an dessen Stelle das nächst höhere Element, der Rang des an dritter Stelle stehenden Elementes werde um 2 erhöht u. s. f. Mithin wird der Rang des an rter und letzter Stelle stehenden Elementes um r — 1 erhöht. Man muß sich daher die Reihe der ursprünglichen n Elemente um die nächsthöheren (r — 1) Elemente erweitert denken. So entstehen z. B. aus den Ternen mit Wiederholung der Elemente a, b, c, d in §. 241. 2. folgende Komplexionen :

abc

acd

adf

bcf

cde

abd

ace

aef

bde

cdf

abe

acf

bcd

bdf

cef

abf

ade

bce

bef

des

Qw.r __    r — 1^ _ (n -f~ r— 1) (n-f-r — 2). .(n -f~ 2) (n-|-l>.n

3. variieren.

§. 244. Variieren heißt, gegebene Elemente so miteinander verbinden, daß jede Komplexion dieselbe bestimmte Anzahl ans den ge-gegebenen Elementen enthält, wobei jedoch auch solche Komplexionen, in welchen dieselben Elemente in verschiedener Anordnung vorkommen, als verschieden gelten. Variationen sind demnach permutierte Kombinationen.

Wie die Kombinationen, unterscheidet man auch die Variationen in die der ersten, zweiten, dritten, . . - Klasse, ferner in Variationen ohne und mit Wiederholungen.

Die Anzahl aller möglichen Variationen der rten Klasse aus n Elementen ohne Wiederholungen wird durch V', und die Zahl derselben mit Wiederholungen durch V",r bezeichnet.

Silduug der Variationen.

§. 245. Die Variationen einer bestimmten Klasse erhält man, indem man aus den gegebenen Elementen alle Kombinationen derselben Klasse bildet und dann von jeder Kombination die Permutationen aufstellt. Die Variationen können aber auch unmittelbar gebildet werden.

1.    Um aus gegebenen Elementen die Variationen der rten Klasse ohne Wiederholungen zu bilden, schreibt man die ersten r Elemente in natürlicher Ordnung nieder und ersetzt in dieser und in jeder neu gebildeten Komplexion von rechts nach links gehend so bald als möglich ein Element durch das nächst höhere und läßt darauf in erforderlicher Anzahl die übrigen (in der Komplexion noch nicht vorhandenen) Elemente in natürlicher Ordnung folgen.

So geben die Elemente 1, 2, 3, 4 folgende Variationen der dritten Klaffe ohne Wiederholungen.

123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432.

2.    Um aus gegebenen Elementen die Variationen der rten Klasse mit Wiederholungen zu bilden, schreibt man das niedrigste Element r mal an und ersetzt in dieser und in jeder neu gebildeten Komplexion von rechts nach links gehend so bald als möglich ein Element durch das nächst höhere und läßt darauf das niedrigste Element in der erforderlichen Anzahl folgen.

Hat man bereits die Variationen irgend einer Klaffe mit Wiederholungen dargestellt, so bildet man aus denselben die Variationen der nächst höheren Klasse, indem man jedes Element vor jede frühere Variation setzt.

Ans den beiden Elementen a und b erhält man folgende Variationen mit Wiederholungen

der 3. Klasse: aaa, aab, aba, abb; baa, bab, bba, bbb; u. s. w.

der 2. Klasse: aa, ab | ba, bb;

Zahl der Variationen ohne Wiederholungen.

§. 246. Die Anzahl der Kombinationen der rten Klasse aus n Elementen ohne Wiederholungen ist aus jeder solchen Kombination lassen sich durch Permutation der r Elemente r! Variationen der rten Klasse ohne Wiederholungen bilden; folglich ist

0 • r'• = n (n — 1) (n — 2).. .(n — r + 2) (n — r-j- 1).

V' =

Zahl der Variationen mit Wiederholungen.

§. 247. Sind n Elemente gegeben, so gibt jedes derselben n Variationen der zweiten Klasse mit Wiederholungen, somit ist n² die Anzahl aller solcher Variationen.

Ist überhaupt die Anzahl aller Variationen der rten Klasse mit Wiederholungen von n Elementen bekannt, so ist, da jede solche Variation durch Verbindung mit allen n Elementen n Variationen der (r + 1)ten Klasse gibt,

V++¹ = V+.n.

Da nun V"'² — n² ist, so hat man V"’³ — ns, folglich V;-⁴ — n⁴;

allgemein

V"-r = nr.

II. Binomischer Lehrsatz.

§. 248. Unter den: binomischen Lehrsätze versteht man das Gesetz, nach welchem die Potenz eines Binoms in eine Reihe entwickelt wird.

Um diese Reihe zu entwickeln, multiplizieren wir a + b mit a + b, das Produkt wieder mit a + b, u. s. w., schreiben aber dabei, damit das Bildungsgesetz leichter erkannt werde, in jedem Teilprodukte zuerst den Multiplikator an, und machen in den Resultaten vorläufig auch von der Potenzbezeichnung für die gleichen Faktoren keinen Gebrauch. Es ist

(a+b)¹ = a + b

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a a + a b \

+ b a + b b j

(a + b)³ = (a + b)²(a + b)=aaa + aab + aba + abb\

+ baa+bab + bba + bbb f

u. s. w.

Die Bildungsweise der aufeinanderfolgenden Potenzen stimmt vollständig überein mit der Bildungsweise der Variationen mit Wiederholungen der entsprechenden Klasse aus den beiden Elementen a und b. Demnach ist allgemein (a + b)n die Summe aller Variationen der n ten Klasse mit Wiederholungen aus den Elementen a und b, wenn man jede Variation als Produkt auffaßt.

Diese Variationen ordnet man so in Gruppen, daß die Komplexionen einer jeden Gruppe durch Permutation entstehen. Dann gibt jede Kom-

plexion einer Gruppe dasselbe Produkt; mithin ist der Koeffizient dieses Produktes gleich der Zahl der Permutationen der Faktoren dieses Produktes. Für das Produkt an-k bk ist nach §. 239, 3 die Zahl der Permutationen

( “ j; somit gibt diese Gruppe das Glied j a”-k hfc- Da n gleiche Elemente nur eine Permutation geben, so ist der Koeffizient des ersten und letzten Gliedes 1. Für das zweite Glied ist k = 1, für das dritte k = 2, für das vorletzte k = n — 1, für das letzte Glied k = n und (“) — 1.

Es ergibt sich sonach für den binomischen Lehrsatz die Formel

(a+b)« = a»+(j)

an—1 b +

a”-²b²+...-H

bn.

+ U,H-+Ö

In dieser Formel herrscht folgendes Bildungsgesetz:

1.    Die Potenzen des ersten Gliedes a des Binoms erscheinen fallend, jene des zweiten Gliedes b steigend geordnet. Der Exponent von a ist im ersten Gliede gleich dem Potenzexponenten n des Binoms, in jedem folgenden Gliede um 1 kleiner und wird im letzten Gliede — 0, worans zngleich folgt, daß die ganze Reihe ein Glied mehr hat, als der Potenzexponent n des Binoms Einheiten enthält. Die Exponenten von b nehmen umgekehrt von 0 bis n zn. Die Summe der Exponenten von a und b ist in jedem Gliede gleich n.

2.    Der Binomialkoeffizient des ersten Gliedes ist 1; der Koeffizient des zweiten, dritten, vierten, ... (k + 1) ten Gliedes ist bezüglich die Zahl der Kombinationen der ersten, zweiten, dritten ... k ten Klasse ohne Wiederholungen von n Elementen.

3.    Ist das zweite Glied b des Binoms negativ, so wird das zweite, vierte,.. .überhaupt jedes geradstellige Glied der Reihe negativ; man hat daher

*:)

an—2 b² —

bn.

(a — b)° = a” —

an~k b k.

Hiernach ist in der Binomialreihe (a ± b)n allgemein das (k -f- 1) te Glied gleich (± l)k

Zusah. Genau auf dieselbe Art, wie hier die Binomialformel entwickelt wurde, kann auch der polynomische Lehrsatz, d. i. eine Formel für (a + b + c + d+. ,)n, abgeleitet werden, da diese Potenz der Summe aller Variationen der nten Klasse mit Wiederholungen ans den Elementen a, b, c, d,... gleich ist, wenn man jede Variation als Produkt auffaßt. Um daher die n te Potenz eines gegebenen Polynoms zu erhalten, bildet man ans den Gliedern desselben die Kombinationen der n ten Klasse mit Wiederholungen, multipliziert jede derselben als Produkt betrachtet mit der zugehörigen Permntationszahl und addiert die erhaltenen Produkte.

Seistiiele.

1) (x + a)⁶ =

**+CH+Q

a² x⁴

+ Q a³ x³ + Q a⁴ x² + Q a⁵x + a⁶

= x⁶ -f- 6ax⁵ -f- 15a²x⁴ + 20a³x³ -f- 15a⁴x² + 6a⁵x -s- a⁶.

2)    (3x — 2y)⁴ =

= (3 x)⁴ — Q. (3 x)³.2 y + Q. (3 x)². (2 y)² — Q. 3 x. (2 y)³ + (2y)⁴

—    81 x⁴ — 4.27x³.2y + 6.9x².4y² — 4.3x.8y³ -s- 16y⁴

—    81 x⁴ — 216 x³y + 216 x²y² — 96 xy³ + 16 y⁴.

3)    Das 7te Glied von (2x² - 3y)⁹ ist (—l)⁶ Q.(2x²)²-«.(3y)6 = 84.8x⁶.729y⁶ = 489888x⁶y⁶.

§. 249. Beziehungen zwischen den Binomialkoeffizienten. 1. Je zwei vom Anfange und vom Ende gleich weit abstehende Binomialkoeffizienten sind einander gleich.

Der (k -J-1)te Binomialkoeffizient vom Anfange ist Der (k + 1) te Binomialkoeffizient vom Ende ist der (n — k -f-1) te Anfange, also (n k)-

Nach §. 239, 3 ist aber = (n^.k)

vom

n!

k! (n — k) l*

Ein zweiter Beweis ergibt sich aus §. 242, Zusatz. Zusatz. Ans der letzten Gleichung ergibt sich für k = 0

= 1.

2. Die Summe aus dem kten und (k-f-l)ten 93tnomiaI= ko effizienten einer Potenz ist gl eich dem (k-s-l)ten Binomialkoeffizienten der um 1 höheren Potenz.

_ n (n —1)

Es

1.2

(:)

(k-2) (k-1)

_ n (n — 1).... (n — k -f- 2) (n — k + 1)

1.2

+ (i)

_ n (n — 1)

1.2

(k-i).k

; daher

(n-k + 2)

(k-i)k

{k + (n — k +1)}

(° *)■

_ (n + 1) n (n — 1).. .(n — k 2) _

1.2.3.........k

Mittels dieses Satzes kann man aus den Binomialkoeffizienten irgend einer Potenz jene der nächst höheren Potenz durch bloße Addition ableiten. Man erhält dadurch für die aufeinanderfolgenden Potenzen eines Binoms folgende Koeffizienten (Pascal'sches Dreieck):

Mo önik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Aufl.

1    5    10    10    5    1

1    6    15    20    15    6    1

u. s. w.

Setzt man in der Entwicklung von (a + b)n und (a — b)n a = b = 1, so ergeben sich folgende Sätze:

3.    Die absolute Summe aller Binomialkoeffizienten für die nte Potenz ist gleich 2“.

= 2n.

ö + ti + G)+••••+(:)=»+¹⁾¹

4.    Die algebraische Summe der abwechselnd positiven und negativen Binomialkoeffizienten ist gleich Null.

GMO + G)—••+<-

= 0.

D- (;) - (i - «■

Die Kombinationslehre und die Wahrscheinlichkeitsrechnung wurden von Fermat und Pascal (1654) begründet und insbesondere von Jakob Bernoulli (1713) weiter ausgebildet. Der binomische Lehrsatz ist eine der ersten Entdeckungen Newton's (1676); n! von Kramp (1808); (k) von Euler.

Anhang.

I. Größte «nd kleinste Werte einer rationalen AnnKtio« -es zweiten

Grades.

§. 250. Eine Funktion y = f (x) wird für einen bestimmten Wert x„ ihrer Veränderlichen ein Maximum oder Minimum, wenn bei einer Ab- oder Zunahme der Veränderlichen um beliebige kleine Größen <5, s der Wert der Funktion abnimmt, beziehungsweise zunimmt.

Für das Maximum f (x₀ — <5)<f(x₀)>f(x₀ -f-s),

für das Minimum f (x₀ — <5) > f (x₀) •< f (x„ + «).

Wenn man daher umgekehrt x als eine Funktion von y darstellt, so liefert dieselbe für einen Wert von y, welcher kleiner (bez. größer) ist als y₀ — f (x₀), zwei verschiedene reelle Werte für xt = x„— S und x₂ = x#-)-e, für y = y₀ nur einen reellen Wert x₀ und für einen Wert von y, welcher größer (bez. kleiner) ist als y₀, imaginäre Werte für x.

OP₀ — x₀ ; M₀P₀ — y0 OP, — x, = x₀ — <3 Y 0P₂ = x₂ = x₀+s

M,P, = M₂P₂ = y, = ya.

Mo

M,

Ml

I?    EH

Um nun jenen Wert für x zu bestimmen, für welchen die rationale Funktion des zweiten Grades

ax²-f- bx -f- c

ein Maximum (Minimum)

x² -f- bj x -f- Cj

wird, setzt man dieselbe gleich y und löst die erhaltene, in Bezug auf x quadratische Gleichung nach x auf. Gemäß den obigen Auseinandersetzungen ist für den Maximal-(Minimal-)wert von y die Quadratwurzel gleich Null. Man setzt also den Ausdruck unter der Quadratwurzel gleich Null und erhält so diesen Maximal-(Minimal)-wert von y. Die Substitution desselben gibt den zugehörigen Wert von x-Ein Maximum ist vorhanden, wenn der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ, somit x imaginär wird, falls y über den erhaltenen Wert wächst. Im gegenteiligen Falle ist ein Minimum vorhanden.

Für den einfachsten Fall einer ganzen quadratischen Funktion gelangt man dadurch zu den bereits in §. 208 abgeleiteten Bedingungen.

Beispiele. 1. Welches Rechteck hat bei gegebenem Umfange 2a den größten Flächeninhalt?

1. Seite x; 2. Seite a — x; Flächeninhalt y. x (a — x) = y oder xa — a x y = 0, x = -5- ± y

^ — y = 0; Maximum: y = also beide Seiten:

Lösung: Das Quadrat mit der Seite

somit

für

x— —

2'

T-

a²

7~y?

2. Welches Rechteck hat bei gegebenem Flächeninhalte f den kleinsten

Umfang?

n*

1. Seite x; 2. Seite Umfang y.

2x + 2 —= y oder x² — x + f = 0, x = ^-±\/^ — f;

X    2    4 V lo ⁷

für

somit jg —f==0; Minimum: y = 4Vf (Zeichen — unbrauchbar) x = Vf, also beide Seiten: Vf.

Lösung: Das Quadrat mit der Seite Vf.

II. Geometrische Darstellung der imaginären nnd der Komplexen AaHken.

1. Geometrische Darstellung der imaginären Zahlen.

§. 251. Jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt der unbegrenzten reellen Zahlenlinie, und umgekehrt jedem Punkte derselben entspricht eine reelle Zahl. Jeder reellen Zahl b kann man eine rein imaginäre Zahl bi zuordnen. Demnach läßt sich auch die Reihe der rein imaginären Zahlen durch die Punkte einer geraden Linie (der imaginären Zahlenlinie) graphisch darstellen, wobei den Zahlen b und bi auf den beiden Geraden Punkte entsprechen, welche vom Nullpunkte die gleiche absolute Entfernung haben. Legt man beide Gerade in dieselbe Ebene, so müssen sich dieselben erstens in dem der Null entsprechenden Punkte schneiden, weil nur die Null sowohl der Reihe der reellen als auch der Reihe der rein imaginären Zahlen angehört, nnd zweitens müssen dieselben zueinander normal sein.

Begründung. Es schließe der Strahl, auf dem die positiven reellen Zahlen liegen, mit dem Strahle, auf welchem die positiven imaginären Zahlen liegen, den unbekannten Winkel q> ein; ferner entspreche der Zahl + b der Punkt A. Dann findet man den der Zahl + bi entsprechenden Punkt B, wenn man die Strecke OA um den Winkel <p° dreht. Es entspricht also der Multiplikation mit i graphisch eine Drehung um <p°. Man erhält demnach den der Zahl (-f-bi).i entsprechenden Punkt A', wenn

bi

As' jn~b

hl

B'

man die Strecke OB wieder um <p°, also die Strecke OA um 2<p° dreht. Weil (+ bi) . i = — b ist, so ist der gesuchte Punkt A' identisch mit dem der reellen Zahl — b entsprechenden Punkte, welchen man erhält, wenn man OA um 180° dreht. Somit ist 2<p° = 180° und cp = 90°. In Übereinstimmung hiemit entspricht dem Punkte B', weil OB' entgegengesetzt ist zu OB, die Zahl — bi = bi3 (Drehung von OA um 270“).

2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen.

§. 352. Der Punkt, welcher der komplexen Zahl a + bi entspricht, muß von der imaginären Zahlenlinie den Abstand a und von der reellen Zahlenlinie den Abstand b haben, damit derselbe für b — 0 in den der Zahl a entsprechenden Punkt und für a = 0 in den der Zahl bi entsprechenden Punkt übergeht. Deshalb betrachtet man die reelle Zahlenlinie XX' als die Abscissenachse und die imaginäre Zahlenlinie YY' als die Ordinatenachse eines rechtwinkligen Koordinatensystems und nimmt die reellen Zahlen a und b einer komplexen Zahl a + bi als Koordinaten eines Punktes M, und zwar a als Abscisse und b als Ordinate an; dadurch

.As'

li

ÄLA

li

ist die Lage dieses Punktes in der Ebene eindeutig bestimmt; umgekehrt entspricht einem Punkte M, dessen Koordinaten a -Mz+bi und b gegeben sind, eine einzige komplexe Zahl, welche die Abscisse a des Punktes als +&Ä X reellen Bestandteil und die Ordinate b als reellen Faktor des imaginären Bestand-X,    teils enthält. Man gelangt zu diesem

W    Punkte der Zahlenebene, wenn man vom

Anfangspunkte auf der Abscissenachse die Strecke a und dann senkrecht darauf die - Strecke b aufträgt.

Ebenso ergibt sich, daß die komplexen Zahlen — a + bi, — a — bi, + a — bi bezüglich durch die Punkte M', M", M'" dargestellt werden.

Aufgaben-Sammlung?)

§. 1. Anwendung der Klammern.

a:2b = a:(2b).

Soll mit einem Zahlenausdrucke eine Rechenoperation ausgeführt werden, so ist derselbe in eine Klammer einzuschließen. Diese Klammer wird fortgelassen, 1. wenn gleichstufige Operationen in der durch die Operationszeichen gegebenen Reihenfolge fortschreitend auszuführen sind, 2. wenn zwei Operationen ungleicher Stufe aufeinanderfolgen und die Operation der höheren Stufe zuerst ausgeführt werden soll. Doch ist es entgegen diesen Regeln üblich, Produkte, deren Faktoren ohne Multiplikationszeichen aufeinanderfolgen, nicht mit Klammern zu umgeben z. B. a.2b = a.(2b);

*) Einige Aufgaben, welche von denen der 28. und 29. Auflage sich unterscheiden, sind mit * bezeichnet.

Man setzt auch öfters entbehrliche Klammern, um eine Zahlenverbindung besonders hervorzuheben.

1.    Analysiere die folgenden Ausdrücke und berechne dieselben für a — 50, b — 10, c — 15, d — 20:

1) a —b + (c + d);    2) a —(b + c) + d;

3) a — (b -|- c -j— d);    4) (a — b) + (c + d).

2.    Ebenso für a = 60, b = 30, c = 15, d = 10, e = 2:

1)    a —[b —(c + d)— e];    2)    a — [b — (c + d    — e)];

3)    a — [(b — c) + (d — e)];    4)    a —[b —c + d    — e].

3.    Ebenso für a — 5, b — 8, c — 3:

1) a + b.b— c;    2)    (a + b).b — c;

3)a + b.(b-c);    4)    (a+b).(b —c).

4.    Ebenso für a = 20, b = 15, c = 5, d = 2, e = 1:

1) ab — cd — e;    2)    a(b — cd — e);

3) ab — c(d — e);    4)    (ab — c)d — e.

5.    Ebenso für a — 120, b — 20, c — 2:

1) abc;

3) a: b : c; 5) (a: b)c;

2) a.(bc);

4) a:(b:c);

6) a: (bc).

Schreibe 3), 4), 5) mit einmaliger Anwendung des Bruchstriches.

6.    Berechne für a — 12:

1) [(a — 10) a — 8] a — 6; 2) [(a + 24): a + 9]: a.

7.    Berechne für a — 4:

1) 100 — {90 — [25 — (5 — a) a] a|a; 2) {10 + [6 + (4 + a): a]: aj: a.

8.    Berechne für a — 7, b — 8, c — 6, d — 4:

1)    a -s- b (c — d) — (a - d) c — (a — c) (b — d);

2)    (a + b) c — d — a — de — (a — c)b — d.

9.    Substituiere in den folgenden Ausdrücken x = a + b und y =

1) 3x— xy —y;    2) 3x —y(x — 1);

3) x(3 —y) — y;    4) x(x — y) — y(x + y).

10. Berechne:

1) 5.10 — 2.3 + 1;    2) 5.(10-2.3 + 1);

3) 5.10 —2.(3 +1); 4) 5.10-(2.3 + 1).

11. Berechne:

1) 360 - 3.12 - 5.2 — 1; 3) 360-(3.12 - 5.2-1); 5) (360 - 3.12 — 5).2 — 1;

2) (360 - 3).12 — 5.(2-1);

4) 360 — 3.[12 — 5.(2 — 1)]; 6) 360-3.(12-5.2-1).

12. Berechne:

1) (6+ 54): (6-3); 3) 6 + 54: (6 — 3);

2) 6 + 54:6-3;

4) (6 + 54): 6 — 3.

13. Berechne: 1) (10.4): 2;

2) 10. (4:2);

3) 25:[5.(9-4)]; 4) (25:5).(9-4).

14. 1) [5.(4+ 3)-2.7+ 12: (3 + 1)].[8-18:3];

2) [7 + 3(8 —5) (9 — 7)].8:5.

2)x(10 —x);

4) x (x — 1) — x.

15. Substituiere x — 3a — 2b in: 1) 3x — [8 — x];

3) (8 — x): (12 + x);

16.    Schreibe nieder:

1) a ist um die Summe aus b und c zu vermindern. 2) Die Summe von a und b ist zu vermindern um die Differenz von a und b. 3) Die dreifache Summe von a und b ist durch b zu dividieren. 4) Das Produkt von a und b ist um den Quotienten aus a durch b zu vermehren. 5) a ist durch den Quotienten aus b durch c zu dividieren.

17.    Schreibe nieder und berechne:

1) 94 ist zu vermehren um die Summe von 10 und 8. 2) die Summe von 94 und 10 ist zu vermehren um 8. 3) 94 ist zu vermindern um die Differenz der Zahlen 10 und 8. 4) das Produkt von 94 und 10 ist zu vermindern um 8. 5) die Summe von 94 und 10 ist zu dividieren durch 8. 6) 960 ist zu dividieren durch das Produkt von 10 und 8. 7) der Quotient von 960 durch 10 ist zu dividieren durch 8.

§. 2. Addition mit absoluten ganzen Zahlen.

a + (b + c) = a + b + c.

a +- b = b a;

1.    Addiere auf kürzeste Weise:

2) 98 + 75 + 2 + 25;

1) 998 + 357 + 2;

3. 95 + 96 + 97 + 3 + 4 + 5; 4) 9997 + 7632 + 3.

2.    Wie addiert man beim Kopfrechnen zu 217 die Zahl 57 ? Lehrsatz?

3.    Man soll zu 400 zuerst 80, zum Resultate 15 und dann noch 5 addieren. Wie kann man das Resultat kürzer berechnen? Lehrsatz?

4.    Erläutere das Verfahren beim Addieren mehrnamiger Zahlen, z. B. 3° 15' + 8° 7', an der Aufgabe (a + b) + (c + d).

5.    Erläutere in gleicher Weise:

1) 57 + 32 = (50 + 7)+ (30 + 2); 2) 68 + 79.

7. [(7 p + 5 q) + 3 p] + 5 q.

6.    (2a + 3b + 4c) + 3a.

8. 2p + 3q + 5p + 3q + q. y m + 6m + 3n + 7m + 9n. 10. 7m + [3m + (2m + 8n)j. Probe für m = 1, n = 2.

Die Probe besteht darin, daß man die besonderen Zahlen in dem gegebenen Ausdrucke substituiert und die Klammern durch Vereinigung der in ihnen stehenden Zahlen (nicht durch Auflösung) von innen angefangen verschwinden läßt. Das so erhaltene Resultat muß mit jenem übereinstimmen, welches Man durch Substitution in dem Resultate dtt vorausgegangenen Rechnung in allgemeinen Zahlen erhalten hat. Z. B.

a)    7-f [3+ (2 + 16)] = 7 + (3 +18) = 7 + 21 = 28.

b)    Resultat: 12 m + 8 n. Subst. 12 + 16 = 28.

11.    3a + [7b + (5a + b)]. Probe für a = 10, b = 10.

12.    5 p + [(7 p + 8 q) + 6 q]. Probe für p — 1, q — 1.

13.    [15x + {5x + (7y + x)j] + 2y. Probe für x — 4, y — 5.

14.    ((3a + 4b) + 2c} + {6a + (4b + 5c)}.

15.    ((2x + 3y) + (5x + 2y)} + [{4x + (5x + y)} + 6y],

16.    Verbinde durch Addition:

1) a>b 2) 5>3    3) a>b

a = a; a + b < 10 c = 5;

18. 1) a + b<c + d 2) 2a>3b 3) a + b<7 a<2c;

INS"*

5 >4.

17. 1) a>b + 3 c = 7;

3) b = 17 a c + 3.

c>3.

a>c;

§. 3. Subtraktion mit aösotuten ganze« Zahlen.

(a — b) + b = a; (a + b) — b = a. a + (b — c) = a + b — c; a — (b + c) = a — b — e; a — (b — e) = a — b + c;

a — b = (a + n) — (b + n) = (a — n) — (b — n).

b) x + 3a = 5a. b) 5a — x b) x — 5 a = a.

Berechne aus den folgenden Gleichungen x auf Grund der Erklärung und der Folgesätze in §§. 15 und 16:

1.    a) x + 5 = 12;

a.

2.    a) 36 —x = 10;

3.    a) x — 36 = 10;

Berechne ebenso zuerst den Ausdruck, in welchem x vorkommt, und sodann in gleicher Weise x selbst:

b) 30 —(x-4) - 10. b) (x — 4) — 30 = 10. b) 13a + 8b —13a.

7. a) a + (2 b — 3 c) — (2 b — 3 c); b) a —(b + c) + b + c.

4.    a) 30 — (x + 4) = 10;

5.    a) (x + 4) — 30 = 10;

6.    a) 9a — 5b + 5b;

8. Jemand besitzt a K und gibt a K weniger b h aus; wieviel

bleibt ihm?

9. Wie lauten die beiden Umkehrungen zu ma-f na — (m-f-n)a?

12. (7m — 3a) + 2a.

10.    Welche Gleichungen ergeben sich nach §. 16, 1 und 2 aus (a f 1) — 2 = a —1?

11.    (9 m + 2 n) — 6 m.

13. [(3x + 5) + 2x] — 4x.    14. 3m + 9m m — 5m.

16. [(5z - 7) + 3z]-1-4. 18. (16 y — 8x) — 8y.

20. 5a + 7b-2b — 4a. 22. 9y — (3x + 7y).

15. (8x — 4y) + 7x.

17. (3a —4)-6.

19. [(5x— 2)—2x] — 3.

21. 12-(4 + m).

23. (6x-|-4y) — (3x-s-2y). 24. 5m — [(2m + 3a)-f-2m].

26. x + (8x —4a).

28. 15m-1-[(4m — 3) + 2]. 30. (m -|- n) — [m — (a — n)].

25. 6 + (n — 4).

27. 7a + (3a —2b).

29. 5y — (8z —3y).

31.    (2x — 4) — (x — 1). Probe für x — 3.

32.    7a + (8a —2) + (9a —4). Probe für a = 6.

33.    [x — (m -f- n)] + [x — (m + p)] + [x — (n + p)]. Probe für x — 20, m = 1, n = 2, p = 3.

36. 7b —3c 2b —3c,

34.    a — (b — [c — (a — b)]}. Probe für a — 10, b — 8, c — 9.

35.    5a — 3b 2a— b

37. 17x — 15y 8x — 9y

38. 20 m — 27 n -f-12 p 15 m — n -f- 12 p

39.    (17p-j-15q —13r — 11s) — (5p — 6q — 7r-[-8s).

40.    (5a + 2b — 3c) — (2a — 3b -j- 5c) — (a — 2b — 4c).

41.    (3x — 5y — 7z) -[- (7x + 4y — 3 z) — (6x — 3y -|- 10z).

42.    7a — (3c — 6b) — (6a — 3c) — 3b + (3a — 8c).

43.    (8m — 5y) + [(2y — 7m) — (y — m)j.

44.    (x + y) — [x — [a — (y — m)}j.

45.    2x — [(3a + 4x) — (4x — 1)] — (x — 2a — 2). Probe für x = 20, a = 5.

46.    (8m — 5x) — (2m — 3n — 4x) -f- [(3x — 2n) — (4m -f- 3n)]. Berechne die folgenden Ausdrücke und mache die Probe für a = 4,

b = 3:

47.    (8a + 7b) — (5a — 4b) — (2a — b).

48.    8a-j- (7b — 5a) — {(4b — 2a) — b}.

49.    8a + (7b — 5a) - {4b — (2a — b)}.

50.    (8a + 7b) —{5a —(4b —2a) —b}.

Bestimme für X — 4x —(3y + 2z), Y — 2x (4y — 3z) und Z — x — (2y — 4 z) die Ausdrücke:

51.    X + (Y —Z);    52. X —(Y + Z);    53. X - (Y — Z).

Bestimme folgende Ausdrücke: 54. A —j— {B — (0 -}- D)j ;

5«. A + {B-(C-D)|;

55. A —}B + (C-D)}; 57. A-{B-(C-D)}; wenn A — 6a — (2b -f- 3c), B = 3a + (3b — 4c),

C = 2a —( b+ c), D = a — (4b — 2c) ist.

58.    Welche Zahl muß man zu 7m — (3n — 1) addieren, um 5m + 5n zu erhalten?

59.    Welche Zahl muß man von 8a — 4b subtrahieren, um 2a — 2b — 2 zu erhalten?

60.    Von welcher Zahl muß man 8a — 4b subtrahieren, um 2a — 2b — 2 zu erhalten?

61.    Welche Zahl ist um 2m — 3 kleiner als 5m — 8?

62.    Welche Zahl ist um 5m — n — 1 größer als 3m -|- n + 2?

63.    Verwandle die folgenden Ausdrücke auf doppelte Weise in Binome mit unverändertem ersten Gliede:

a) x —3y-j-2z; c) 7a — 5b + 3c — d;

64.    Verwandle 3a — (b + c) in eine Differenz mit dem Minuend a) 4a, b) 2a, c) 3a + b, d) 3a — 1, e) 3a + 1.

65.    Verwandle 7a — 5b — 3c + 2 in ein Binom mit dem ersten Gliede 1) 7a; 2) 7a —5b; 3) 7a+ 2; 4) 2.

66.    Verwandle 10m 3n — 5p — q in ein Binom mit dem ersten Gliede 1) 8m; 2) 10m -j- 10p; 3) 3n — 3q; 4) 10m -j- 10n.

67.    Wie subtrahiert man beim Kopfrechnen die Zahl 46? Lehrsatz?

68.    Berechne nach a — (b — c) —?

a) 735 -99; b) 7364 - 997; c) 18756 - 9990.

69.    Erläutere die Subtraktion 19 m 87 cm — 5 m 43 cm an der Formel (a -f- b) — (c + d).

70.    Verbinde a) b. Addit. x — 7 — 18 b) b. Subtr. x + a = b

7 = 7

b) 3a —4b —2c + 3; d) a — 2b + 3c + 4d — e.

a.

71. Verbinde durch Subtraktion. 1) a = b 5>4;

2) a t> b

4 = 4;

3) a>b 5<6.

72. Ebenso:

1) « -f ß = 90° 2) a -f ß + y = 180° 3)a + /? = y + d

7 > 90°;

2) 7>4    3)

5> 1;

ß < 45°; 73. Ebenso:    1)

a > y.

lO

§. 4. Addition und Subtraktion mit algebraischen ganzen Zahlen.

a — 0 — a;

a — a = 0; a + 0 = a;

a — (a + m) — 0 — m — —m; a + (— b) — a — b; a — (— b) — a + b.

1.    Stelle die folgenden Differenzen mit dem Minuend 0 dar!

1) 9 — 11;    2) a — (a + 7);    3) (a — n) — a.

2.    (+ 8) - (- 5) + (- 3) - (+ 7) + (+ 1).

3.    (+ 7a) + (+ 3 a).

5. (~J— 5 n) —j— (—5n).

Schreibe 3) bis 6) einfacher (§. 29).

7. (+2x)-(+x).

9. (+ 6 m)— (—3 m).

11.    (_ 4x) + (- 2x) - (- x) + (+ 9x).

a) Addiere beide Zahlen; b) subtrahiere die untere Zahl von der oberen:

12.    1)    13 a    2)

— 7a;

13.    1) a —b    2)

-2b;

14.    8a —7b-6 3a — 4b — 5;

4. (— 6 m) + (+ 3 m). 6. (—8x) + (—2x).

8. (—6a)-(+4a). 10. (-4s) —(-8s).

00+ I

00 CO

3) -26    4) x + 7

- 9;

3) -10    4) 2x —1

— x + 4.

16. 7x — 8y + 9 3x — 3y + 3.

-7.

9 — x;

15. —5a —4b —1 — 2a — 3b — 4;

17.    x — (x — 9) + (x —11) — (x —13). Probe für x — 5.

18.    x — (x — 2) + (x — 4) — (x — 6). Probe für x — 4.

19.    (x + y — z) — (x—y + z) + (— x + y + z) — (— « — y + z). Probe für x — 3, y — 1, z — 2.

20.    [(a — b) — b] — (b — a). Probe für a — 7, b — 2.

21.    5m — [3m — (—n + m)]. Probe für m = 1, n = — 1.

22.    x + [(x — y) — (y — x)j.    Probe für x = 1, y    = 10.

23.    x — [(x + z) — (— x + z)j. Probe für x    = —    1, z = — 5.

24.    2a + 3b —{2a —[—2a + 3b — {(2a3b) — (2a — 3b)}]}.

25.    [{(a-b) + (b-c)l - {c-(d-e)}]-[-c + {d + (-c-e)}|. Probe für a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5.

26.    [6x + 7y — {— 6x + 7y — [(6x — 7y) — (6x + 7y) — 6x]|] — [6x — {(6x — 7y) — (6x + 7y)}].

27.    Um wieviel ist — a kleiner    als +a, +5    größer    als —2?

28.    Um wieviel ist —7 kleiner    als — 2, —7    größer    als —10?

29.    Um wieviel ist — a kleiner als +b, — a größer als — (a + 3) ?

30.    Drücke durch eine Ungleichheit aus, daß x a) eine positive, b) eine negative Zahl ist!

31.    Welche ganzen Zahlen (mit x bezeichnet) genügen der folgenden

8 -j- x;

Bedingung?

a) —2<x<c + 1; b) —3 <x<0; c) —8<x<—5.

32. Welche Werte hat man für x zu nehmen, damit jeder der folgenden Ausdrücke a) Null, b) negativ werde?

2) x + 5;

3) x — a;

1) x —3;

5) x + a — b; 6) x — a — b; 7) a — x;

4) x + a;

8) a —b — x;

33.    Wie ändert sich das Ergebnis einer Subtraktion, wenn man den Minuend und Subtrahend vertauscht?

34.    Ein Thermometer zeigt mittags m° über dem Gefrierpunkt, abends n° unter demselben; um wieviel Grad ist das Thermometer gefallen?

35.    Ein Thermometer zeigt morgens m° unter dem Gefrierpunkte und steigt bis mittags um n°; welche Temperatur zeigt es mittags?

36.    Drei Orte haben die geogr. Br. a° nördlich, beziehungsweise b° nördlich und c° südlich. Wie groß ist der Breitenunterschied je zweier Orte?

37.    Ein Körper bewegt sich auf einer Geraden a w vorwärts und dann b m zurück. Welche Entfernung hat derselbe von dem Ausgangsorte?

38.    Verbinde durch Addition:

1) a>-7 4 = 4;

39.    Verbinde durch Subtraktion:

1) —5> —8

2) a> — 7 4 =    4;

3)a + b = a + b — a> —2b.

2) a = a — 5 < 2;

3) a > b

— 2<2.

§. 5. Multiplikation mit absoluten ganzen Zahlen.

a.b = b.a; (ab) c = (ac).b = a.(bc); am.a"= am+n.

1.    Bilde 1) aus 2.3.5, 2) aus a.b.c auf sechs verschiedene Arten ein Produkt von zwei Faktoren.

2.    Berechne auf kürzeste Weise: a) (5.8.7).(125.2); b) 4.9.8.25.125; c) 25.125.32.13.

3.    Wie kann man eine Zahl mit 56 = 7.8 multiplizieren? Lehrsatz?

5. 8xy.7x.

8. 4z³.5b z².

4. a³.4a².

7. 7a²x.axa.

10. a.2a.3a.

13. a³b.5a²b².8ab⁸.

15.    3axn+¹.4a²x2n~².5a³x3n+⁷.

16.    Reduziere: 15a³ — 7a²b -f- 8a³— 9ab² — a³ — 10a²b -|- ab² — b³.

17.    3x² — [x² — (2xy — y²) + (x² — 2y²) — (x² — 3xy)].

Probe für x = 3, y = 2.

18.    10m² — [3m² - (m² - 2m - 3) — (m² — 1)]. Probe für m = 5.

11. xy.xy.xy.

6. 2y³.4y².

9. 6m³n⁴.5m³n². 12. z².2z³.3z.

14. x³.3x²y.3xy².y³.

(a±fo).m — am±bm; a(m±n) — amdhan.

20. [(x 4- 1) x 4- x] x 4-1.

22. (2a³4-a²)3a-(a4-l)a³. 24. [(x —3)x —5x]x —7.

19. (x + 5).4-2x.

21. (6m + 5m²).2m.

23. 8x — (7 — x).3.

25.    [(a² —2a —1)5 —(a — 1)2a],3 +(8a+ 5).3.

26.    (8xy³ + 5x²y² — 3x³y).12x²y².

27.    (3 z⁴ 4- 2z³— 5z² + 4z).6z².

28.    (4m³ — 3m²n + 2mn² — n³).3m²n².

29.    (3 x² + 5 x + 7). 5 x — (4x² — 6x — 8).3x.

34. 5x².(3x²,— 8xy4~2y²).

30.    6.(m4-n) — 5m. 31.12a².(3x² + 2y²). 32. 3ax.(a² + ax + x²). 33. a.(b — 1).

35. 5.(z — 2) + 7.    36. x³.(x³ — x² + x —1).

37.    4a² b⁴.(5a²b³ — 7a³ b² — 5a⁴b — 3a⁵).

38.    7x²y.(2x²y-2xy² —3xz² + 3y²z) + x²y². (14xy —21yz).

39.    {a²(3a — 2b) — b²(2a — 3b) + 2ab(a + b)}.4a²b².

Probe für a = 9, b = 2.

40.    Berechne mit Probe für m = 20, y = 4, x = 3, z = 2:

a)    m — (x y 4- z) j

b)    m — x (y 4- z);

c)    (m —x)y + z;

d)    (m —x.y) 4-z.

41.    a) Um wieviel wird das Produkt xy größer (kleiner), a) wenn x um 1 vermehrt (vermindert) wird, b) wenn y um z vermehrt (vermindert) wird?

b) Die Seiten eines Rechteckes find a m und b m lang. Um wieviel wird der Flächeninhalt des Rechteckes größer (kleiner), 1) wenn die erste Seite um cm wächst (abnimmt), 2) wenn die zweite'Seite um d m wächst (abnimmt) ?

42.    Berechne nach der Formel (a — b).c —? a) 98.7; b) 999.17.

43.    4 (a -j-1) — a + 7 (a — 1). Probe für a — 2.

44.    3(a + b + l) — 2b — 2b(b + 3). Probe für a — 3, b — 2.

45.    a² — (a -4- b — 1) a — (a — b + 1) b. Probe für a — 10, b — 5.

50.    a² (a² — ab 4-b²) + b (a³ — 3a²b) — a (a³ — 3ab²).

51.    8a² —2[a(a —b) —b(b-a)] —(2a —5b)a.

52.    3x{3x³ — x[3x² — x(x — 2)]}. Probe für x — 10.

53.    3x [(x — 1) 3x 2x (2x4- 1) — 1]. Probe für x — 9.

54.    x⁴ — x {x — x[x — x(x — l)j}. Probe für x — 2.

55.    3 —3.(3 —3.[3 — 3.(x —3)]).

56.    99995.724 — 9993.816 = (100000 — 5). 724 — ....

am + bm — (a ± b). m.

58. 7 x — 7.

57. 4a + 4b.

60. 6m + 6n + 6p. 63. 5x² + 9x².

66. a⁸ b⁸ — a⁸ b³.

59. ab — b.

62. ax + ay — a. 65. 15 ay² — 9a²y.

61. 8x —24y —30.

64. a.!0m — b.lO“.

67. a³b + a²b² + ab³.

68. 12a⁴b² — 6a³b³-j-18a² b⁴.    69. 6a³ — 12a⁴ + 24a⁵.

71. m (b² — x²) 4~ n (b² — x²).

70. (a + m) x -f- (a — m) x.

72.    a (3x + 2) — 3b (3x + 2) + 2a(3x + 2).

73.    (3a — 4b) (2x — y) — (a + b) (2x — y) — 2x + y.

74.    2m(x-j-y) — 3mx — 4m (y — 1).

75.    2x (x² -3x + 4)-2x (2x² — x — 1) + 2x (3x² — 5x — 8).

76.    5a²(a² —a + 1) —5a²(2a —2)-5a².

77.    (2x — 3y) (2x + 3y) — (2x — 3y)² + (2x — 3y) (5x + y).

78.    (x — l)² (x + 1) — (x — l)³ — (x — l)².

79.    (x — 2) (x -f 2) — (x -|- 2)² 4" (x 4" 2).

80.    am -j- bm— an — bn.

82. ab 4" b — ac — c.

84. 25ab — 20a -f- 15b — 12.

86. 12 xs — 9x²y — 16xy² + 12y³. 88. x² —7x + 2x —14.

90. x² — 9 x — 3 x + 27.

92. 6 x² — 14 x — 9 x 4- 21.

94. 8x²4"3x4-8x4~3.

Lösung: m (a 4" b) — n (a 4* b) — (a 4* b) (m — n).

81. ac4-3c + ad + 3d.

83. ab 4* b + a + 1.

85. xs — x²y 4- xy² — y³.

87. x²4-7x + 2x4-14.

89. x² —9x + 3x —27.

91. 5x² — 8x + 25x-40.

93. 2x²-6x —5x + 15.

(a±b) (e + d) — ac±bc + ad±bd.

(a±b) (c — d) = ac + be — ad + bd.

(a -(- b) (a — b) = a² — b²; (a± b)² — a²±2ab4-b². (a db b)³ = a³ dz 3 a² b + 3 a b² ± b³.

96. (am + bm) (an — bn).

98. (axm — byn) (bxn -(- aym).

95. (5x4-3a) (5x + 4a).

97. (3x²-|-2y²) (4x² -s- 5y²).

99. (2a² 4- 3b²) (5a² — 4b²) — (10a⁴ — 12b⁴). Probe für a = 3, b = 2.

100.    (5x + a) (2x — a) — (4x — 3a) (7x -j- a) -s- (3x—a) (6x -j- 2a).

101.    4a² 4- 3b² — (a — 2b) (2a + b) — (a + b) a. Pr. f. a = 6, b = 2.

102.    (x² — 2 x y) x — (x² — 2y²) (2x y) — (x² 4- 2y²) y.

103.    (a + 5)(a + 6)—(a4-3) (a4-4) — (a4-5) (a — 6) + (a-3) (a—4).

104.    5x³y³(x⁴ — y⁴) — 10x²y² (x⁶4-y⁶) — (2x⁵—5y⁵)(5x³y²— 2x²y³).

105.    Berechne nach der Formel (adzb) (czfcd) a) 98.999; b) 107.999.

141. (x²-xy+y²) (x + y). 143. (5y² + 6y —7) (4y —5).

108. (3 a —4)².

111. (x-2y)².

114. (5p³ — 3q³)².

116. (y — 4)² + 8y. Pr. f. y = 6. 118. (x + a)² — (x — a)².

120. (a² x — b² y)² + (a² x + b² y)².

106. (p + 2)².

109. (10 m+ n)².

112. (3 m —2 n)².

115. (x -J- 3)² — 6 x. Pr. f. x — 3.

117. (x + a)² + (x — a)².

119. (ax² + by²)²— 2abx²y².

121. (2 a⁴ + 3 b⁴)² — (3 a⁴ — 2b⁴)². 122. (xm+x —y“-¹)².

124. 97² = (100 —3)².

107. (a - l)².

HO. (2x + y)². 113. (3a² —4b²)².

2m—3

_y 3m—2^2

123. (x

125.    a) 103²; b) 995²; c) 1007².

126.    (x + a) (x — a) + a².

128. (15a + 9b) (15a —9b).

130. (3a²-2b²) (3a² + 2b²).

127. y² — (y + 2) (y-2).

129. (am + bn) (am — bn).

131. (5x³ + 3x²y) (5x³ —3x²y).

132.    (mx³ + ny³) (mx³ — ny³) + 2ny³ (mx³ + ny⁸).

133.    (3a² + 5b²) (3a² — 5b²) — (3a² + 7b²) (2a² —4b²).

134.    (3x + 4) (4 —3x).

136.    a) 53.47; b) 65.75; c) 91.89; d) 109.91.

137.    a) 125.115; b) 1007.993; c) 8009.7991.

138.    Berechne: a) 54² — 46²; b) 61²-39²; c) 79²-21².

139.    a) 773² — 227²; b) 596² —404²; c) 734² —434².

135. (2 a²+ 5) (5 —2 a²).

140. (x² + xy + y²) (x — y).

142. (z² — 2 z -)— 1) (6 z + 3).

144.    (2a²b —3ab² —4b³) (a —2b).

145.    (16x⁴ + 8x²y² + y⁴) (4x²-y²).

146.    (4 a⁴ — 12a² b³ + 9b⁶) (2a² — 3b³).

147.    (2x⁴ + 3xs +4x² + 3x + 2) (x — 1).

148.    (a² + 2ab + b²) (a + b) + (a² — 2ab + b²) (a —b).

149.    (5x² + 4x — 3) (4x + 8) — (4x² — 3x — 6) (5x + 4).

150.    (a⁴ — a³ -j- a² — a + 1) (a + 1). Probe für a — 3.

151.    (a⁴ + a³ + a² + a+ 1) (a — 1). Probe für a = 3.

152.    (a⁸ — a² + a — 1) (a + 1). Probe für a = 4.

153.    (a⁵ a⁴ + a⁸ + a² + a -|- 1) (a — 1). Probe für a — 2.

154.    (x⁶ — x⁸y + x⁴y² — x³y³ + x²y⁴ — xy⁸ + y⁶) (x + y).

155.    (x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴) (x — y).

156.    (x⁵ — x⁴y + x³y² — x²y³ + xy⁴ — y⁵) (x + y).

157.    (x³ + x²y + xy² + y³) (x-y).

158.    (x6m — x⁴“ + x3m — x2m + xm — 1). (xm + 1).

159.    (x + 1) (x + 2) (x + 3).    160.    (x + 3) (x — 2) (x + 4).

161. (x + a) (x + b) (x + c).    162.    (x — a) (x — b) (x — c) (x — d).

163.    (3a⁸ — 4a²b + 6ab² — 2b³) (4a² - 3ab + b²).

164.    (4x³ — 3x² + 2x — 1) (7x³ — 5x² + 3x — 1).

165.    (a⁸ + 2a²b + 2ab² + b⁸) (a⁸ —2a²b + 2ab² —b⁸).

166.    (2a²b —3ab² —4b³ + 5) (2a²b - 3ab²+ 4b³ —5).

167.    (x4m — 2x3myn + 2x2my2n — 4xmy3n + 4y4n) (x2m + 2xmyn+ 2y2n).

168.    (a²-2ab + 3b²) (3a² + ab —2b²) (2a³ —3b³).

169.    (4x² — 3x4-2) (3x² + 2x-l) (x²-2x — 3).

170.    (a + b + c)².

175. (5x² —l)³. 178. (8a² 4-7 b²)³.

171. (3x-2y4-z)².

173. (ax² 4~by² 4~ c)².

176. (3x³ — 5)³. 179. (ax"-by-)³.

172. (y² —4y + 4)².

174. (2x + 3y)⁸.

177. (ax² —by²)³.

180.    (a + b + c) (a — b -f- c) — (a + b — c) (a — b — c).

181.    (a + b 4- c) (a + b — c) (a — b + c) (b -f- c — a).

182.    (a + b + c)² (a — b — c) (a -j- b — c).

183.    (a + b + c)² (c — a — b) (a — b — c).

184.    (a² — 4a — 6) (a² — 4a + 6) (a² -j- 4a — 6).

185.    (a²-|-2ab — 2ac-|-b² — 2bc + c²)

(a² + 2ab + 2ac + b² — 2bc + c²).

186.    [x² -f- (a + b) x + (a² + b²)] [x² — (a — b) x + (a² — b²)].

187.    6x{x — x[3x — (x — l)²] — x(x + 1) (x — 1)} — x.

188.    [xs — (x — l)³] [x⁴ — (x — l)⁴]. Probe für x — 3.

189.    (x + 1) (x — 1) (x² + 1) — (x — 1) (x 4" l)s.

190.    25x³ + 8x² — [7 — (3x — 2)x — (2x — 2) (2x + 2)]3x.

191.    10a²b —13ab²-(2a —3b) [(2a —3b) (3a —2b) —(7a²—3b²)].

192.    [2a² + (b² — c²)] [2a² — (b² — c²)] — [(2 a — b)²]²— (2a — b)³ (a+b).

193.    x⁹ — {[4x⁴ - (4x² + 1) (4x² — 1)] x² - (2x⁸ — l)⁸).

194.    a⁸— [a² -j- a (2a — b) — (a — 2b)²] (a — b). Probe f. a = 2, b = 1.

195.    (x² — 2x - l)² — x (2x — l)³ — 8x² (x + 1) (1 — x).

196.    (2xa — 3x - 4)² — x (x — 2)³ — (x — 2)² (x + 2)².

197.    2x (x — 5) (x + 5) — x² (x - 6) — (x² — 6x — 1) (x — 3).

198.    2a [3b (a — 1) — 2] — 3a (2a — b) — a (2a — 3) (3b —1).

199.    x⁴ — x² (2x — 1) (2x -|- 1) — (3x — 2)⁸ (3 — x).

200.    x³ — [(a² + 1) x² — a² (x² — 1)] — (a² — 1) (x² — 1).

201.    Eine Lokomotive legt während (n — 2) Stunden stündlich (3n — 5) hm zurück. Dann wird die Geschwindigkeit um (n + 2) km pro Stunde vermehrt, und mit dieser vergrößerten Geschwindigkeit fährt dieselbe noch (n -j- 3) Stunden. Welchen Weg hat dieselbe im ganzen zurückgelegt?

Substituiere in den folgenden Ausdrücken für A = 5 x — 3 y, B — 2x — 1, C — 1 — 2y und berechne dann dieselben:

203. (A² —2BC) (B-C);

205. (A² - B²) C — (B² 4- C²) A.

202. 2AB — 3AC — BC;

204. AB —C²;

Hebe den gemeinsamen Faktor heraus:

206.    (4aa — 9 b²) (2a + 3b) — (2a —3b)² (2a + 3b).

207.    (a-b)-(a — b)²- (a² — b²).

308. (x-2)³-(x²-4)-(x —2)² —x + 2.

209.    (x² + 1) (x-l)-x(x²-l) + x²(x-l) + x-l.

210.    12 (2x -3y) (2a + b) + 3 (x -y) (a + b) - 3 (2x - 3y) (a + b) — 12 (x — y) (2a + b).

§. 6. Multiplikation algebraischer Zahlen.

1.    8.(—3) — (—5).(— 6) - 9.(- 2) + (- 7).(- 5).

2.    (7-9).(-2) -(8 —10).(— 3)-(-1 - 3).(— 2).(— 3).

3.    3ax.(—4ay).(—2bx).ab.(—5bx).

4.    a²xy.(— mxa).ny².(—bza).(— bmx).(—bny).

5.    2ax.(—6by) — (— 8bx).(—ay) + (—3ab).(— 7xy).

7. 3bx²».(— 4bax²“-²).2bx²

10. (—2x²y)⁴.

6. a2m—4 b8n+². (— am b°~⁴).

9. (—4xy)³.

8. (—2 z)³.

11.    (- 2xa)a.(— 3x)³.(— 4)⁴.(— 5)».(-1)-.

12.    Berechne den Ausdruck x² — 6x —16 für x — -f- 8 und für x — — 2.

13.    8x + (2x —3y).(—4).    14. (7a² — 4b²).(- 2b²) + 14a²b².

15.    (6x² — 5z²) (—2xyaz) + 3xy².[—(3z³ — 4x²z)].

16.    (5 — 7x + 6x²).(— 3x²) + (9x³ + 4x² — x) 2x.

17.    Berechne, ohne die Klammern aufzulösen, den Ausdruck (x — l)3 (y + 1)⁴—(x—2) (y —3) (z —4) für x = —2, y =—3, z = —4.

18.    a — (a — 9).3 — (a — 8).2 — (a — 7) (a — 6). Probe für a — 2.

19.    (x —y) z — y    (x — z) + x (y — z) —    (x —y) (x —z) — (x —y)

(y — z) — (y —    z) (x — z). Probe für    x —    1, y — 2, z — 3.

20.    (a — b). (— c) — (a — e). (— b) — (b — c). (— a). Probe für a = — 95, b = — 72, c = — 49.

21.    1—5.[5²-(—15)²] [2 — (—2)³].

22.    2x(x — 3) (x -j- 3) — x³ (x — 6) — (x² — 2x — 1) (x — 2). Probe für x = — 5.

Mache die Probe

23.    zu §. 5, Nr. 149    für x = — 2.    24. zu    §. 5,    Nr. 150 für a = — 1

25.    zu §. 5, Nr. 151    für a = —1.    26. zu    §. 5,    Nr. 152 für a = - 3.

= — 2, y = — 1.

27.    zu §. 5, Nr. 154 für

28.    zu §. 5, Nr. 159 a) für x = —1; b) für x — —4.

29.    a) zu §. 5, Nr. 180; b) zu §. 5, Nr. 181; c) zu §. 5, Nr. 182;

d) zu §. 5, Nr. 183, für a = — 1, b = —2, c = —2.

30.    zu §. 5, Nr. 186, für x — —2, a = —1, b = —3.

31.    (— 2)*.(— 5)² — (— 2S). (— 5³).

Moonik-Neuinann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Aufl. 12

§. 7. Division mit absoluten ganzen Zahlen.

ab : c = 2;    ,£.c = 2;    -^:c = 2; a:bc = 2

a.— = 2;    a:—= 2; am:an = 2.

c    c

Berechne aus den folgenden Gleichungen x auf Grund der Definition und der Folgesätze in §§. 46 und 47:

1. a) x.4 = 12; b) 3ax = 6a³.

2. a) ^ = 4; 3- a) f = 4;

32.    (—a)².(— b)³ — (-a³) (—b²) + (—a)³ (—b)² — a².(— b³).

33.    Für welche Werte von x werden die folgenden Ausdrücke a) gleich Null, b) negativ?

1) X (x + 5);

4) (x + l)(x — 2); 5) (x — 1) (x + 2); 6) (x — 1) (x — 2).

34.    Setze in (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4abs + b⁴ für b. . . . —b.

35.    Leite aus dem Resultate der Aufgabe §. 5. Nr. 161 unmittelbar die Resultate der folgenden Aufgaben ab:

a) (x + a) (x — b) (x + c), b) (x —a) (x + b) (x — c), c) (x — a) (x — b) (x -|— c), d) (x — a) (x — b) (x — c). Verbinde durch Multiplikation:

36.    1)    7 >5

+ a — + a;

37.    1)    8 >5

—    3 = — 3;

38.    1) — 8 > - 12

—    3> — 7;

2) x (x —5);

3) (x + 5) (x + 2);

2) +a< + b 3) +a> + a —1 5<7;

2)    8>5

— 9 < — 3;

2) — 7 > — 9 3 = 3;

3)

+ m > + n.

—    a ■> — b.

—    7 > — 9 3 <5.

b) Hb = b'

ix 4 a b i

b) - = b.

Berechne ebenso den Ausdruck, in welchem x vorkommt, und dann

x selbst:

4.    a) i.7 - 56;

5.    a) f = 15;

6.    a) A.4 = 20;

8.    a) 8x — 5 = 27;

9.    a) 40 — 3x = 1;

b) -.b = 8ab².

' a ix x a

5) -g- — c. b) -.b² = ab².

J X

ix 12 ab b)--— a.

y C X

b) ax + ab — 5ab. b) 7 a — 2x — a.

10.    a) 3 (x — 2) = 15;

11.    a)

12.    a)

x-f- 4

CO

= 3;

= 2;

b) a(x —b) — c.

b) —

b) — = c.

J x— a

— c.

13. Vereinfache a) 13 (a + b): (a + b); b) -- (x — y).

¹>(f-iLr + !!TU>b-

14. a) (±-|-l).b.

15. a —

\m ¹ m/

16. a —

/2a —b _ a — 2b\ m \ m    m /

17. 3a —2b —

a — 2b

m-t-

- (m + n).

18.

a²

xa.

*19.

a⁸

X³    X²

a’-x2 a±i + l)x3.

21. a⁴: a.

20. x⁵: x³.

23. xm: xs.

26. 15 a: 5.

29. 12 x⁶: 3x⁴.

32. 9aab²x:3abx.

34. 28 a⁵m²y⁴: 7a⁴mya.

36. ^.c.

b

39. —.a. ay

4S. f^.Sab.

45. 45^.9 (a + b). 46. ||(a + 3b). 4x.3ya.2z³.

22. (2a-f-b)¹²:(2a + b)9 25. am+n: am_n_1.

24. a“+n: an.

27. 2a (m — 1): a. 28. 50 ab : 2a.

30. 7aay⁴: ay⁴.    31. 66a⁹b⁷:11 a⁷b⁷c².

33. (x + y) (x —y):(x —y) (y — x).

35. 20 ato bn xp : 5 am -*¹ bn”² xp"³.

37. —Inx.

.bm.

48.

12x⁸yaz"

r A 5ax

50. w:x.

ny

40. c^-.abc.

b c

38. ¥

41. |5.5ax.

5y

43. f^.4za.

4 y⁴

49.

44.

16axm

25 b y2n *

47.

8    (a -f- 2 b)²

9    (2a — b) '

5yn.

X.

nz

:my.

53. ^:3ax².

5by

56. (15xay²:5x) :3y. Pr. für x — y — 2. 58. 2a

54. —: x.

X —y

3 (a +2b).6 (2a — b)a. 52. 4^:5aab.

4mn

55. 4ffi2nS

7 p²

:2 p³.

a-}-b '

60. mn. —

63. 5my³.

66.

: 4 (a — b).

np‘

8abx²

5my *

61. lBx.il.

M- 2a’5.₄-)p.

59. fc^);8(a²-b²).

57. (2msx³: ny²): 3nay.

67. -

1 1 1 • ¥-7-

68.

ab ac bc c² ’ b² * a² *

₆₉ 3x x + y 12 +

3 (a + b) 12 a* a + b * a — b * a — b*

71. x: j. sßr. f. x = 8, y = 2. 72. y:    . fßr. x = 8, y = 4.

73. xy: . Pr. x = 6, y = 3.

75. 6a⁸m²x:^+.    76. 2 m (m +1): -

77. b² + [(b² + c²):^-5],

79. 4a⁸b⁵m: (2ab⁸: m).    80.    —

4 y * 18 x² 'x + y*

70.

a²

74. 5 a⁴:

b²*

2m

Probe für rn — 3. 78. 15m²n³: (6n²: 2nx²).

81. m² n²: — : —.

— i*

8m³x 4mx

84.

5n⁸y " ny '

85. [(a + b) x²: (a — b) y²]: fx : (a — b) y], Pr. a = x = 2, b = y = 1.

25 bn * 5 b*

+):(+£)}+]•

Weitere Aufgaben in §. 11.

a ~+~ b

87. (ax + bx): x.

89. (a²b + ab²): ab.

Ql lll

yl* 3a' 3 a"

94. -+b

⁹³" zr + ¥-

Umkehrung.

88. (8x + 8):8.

90. (12a³x² + 9ax⁴): 3ax².

93. —+ —.

n ¹ n

I u |    9) b

n ' n

96. (am — bm):m.

98. (5a²x — 10ax²): 5ax.

100. ~ — c

4

4*

103.

105.

106.

2x + 3 i 3x + 2

X ■+ 1    ' X + 1 *

97. (mp —np):p.

99. (8x³y³ — 4x²y²z²): 4x²y².

102. ^ —

95.

101. — —

5 Sh

8y — 3 4y — 5 2y + l — 27+1"

Probe für

2x— 3y x + y

104.

3x — 2y , 4x + 3y    3x + 5y

— y "T" x

17 x + 12 y

3x — 7y

x + y

Weitere Aufgaben in §. 11.

107.    (45am — 25bin + 35<• in;: 5in.

108.    (2a³ — 6a²b -f-30ab²): 2a. Probe für a = 5, b = 2.

109.    (5m⁴x — 4m³x² — 3m²x³): m²x. Probe für m == 3, x = 2.

110.    (10x⁴y²z — 25x³y²z² — 15x²y²z³ -+ 5xy²z⁴): 5xy²z.

Hebe den gemeinsamen Faktor heraus:

111.    60x⁵y³ — 48x⁴y⁴ — 36x³y⁵.

113. 35a⁸y² — 70a⁶y⁴ -f- 105a⁴y° — 35 a² y⁸.

112. 45 am+² — 36 am+⁴ + 63 am.

Division zweier Polynome.

114.    (6am — 12bm + 5an — 10bn): (6m + 5n).

116. (x²-2xy + y²):(x-y). 118. (16 a² — b²):(4a — b).

120. (81m⁸ — 16 n⁶): (9m⁴ + 4n³).

115.    (a² + 2ab + b²):(a + b).

117. (4x² —9y²):(2x + 3y).

119. (x2m — y2n): (xm — yn).

121.    (a⁶ + b⁶): (a +    b).    sßr.    a    =    3,    b    =    2. (Horner'sche Methode!)

Welche Gesetze herrschen in den Quotienten 121 bis 126? Wann läßt sich die Summe oder Differenz gleich hoher Potenzen zweier Zahlen durch die Summe oder Differenz dieser Zahlen ohne Rest teilen?

128. (x2m — 1): (x + 1).

130. (x2m — 1): (x — 1).

132. (x²™+¹ + 1): (x +1).

134. (x²"^¹ — 1): (x — 1).

136. (81 x⁸ — 16 y⁸): (3 x² — 2 y²).

127. (x2m — y2m): (x + y).

129. (x2m — y²“): (x — y).

131. (x2m+‘ + y2m+x): (x + y).

133. (x²^¹ — y2m+x) ; (x — y).

135. (a⁷™ + 1): (am +1).

In den Aufgaben 137 bis 144 sind die Quotienten ohne Ausführung der Division niederzuschreiben.

138. (8 —27 a⁶): (2 —3 a²).

140. (81 a⁴ — 16b⁴): (3a + 2b). 142. (32a⁵b⁵ — 1): (2ab — 1).

137. (8a³ + l):(2a + l).

139. (16 a⁴ — l):(2a — 1).

141. (a⁵ + 1): (a + 1).

143.    (a⁶ + b⁶): (a² + b²) = f(a²)⁸ + (b²)⁸]: (a² + b²).

144.    (a¹⁰ + 1): (a² + 1) = [(a²)⁵ +1]: (a² +1).

Stelle die Polynome 145—150 als Quotienten dar:

145. x² + x +1.

147. 4x⁴ + 2x² + l.

149. x⁸ — 3x² + 9x — 27.

151.    (14 x² - 31 x + 15): (2 x — 3).

152.    (1 — 2x + x² — 6x⁴ + 8x⁶): (1 — 2x).

153.    (6x⁴ — llx³ — 9x² + 19x — 5): (3x — 1).

154.    (3a²x² — abxy — 2b²y²):(ax — by).

155.    (20a⁵ —18 a⁴ b + 4 a³ b²): (4 a² — 2 a b).

156.    (4a³ —16a² + 7a+ 20): (2a —5).

157.    (x3m + x2myn — xmy3n — y4n): (x2m — y8n).

158.    (x³ySm — xn+iy2,tt't'² + x2n+²ym+¹ — x3ny³); (x²ym — xny²).

159.    (m⁴ — 2m² n² + n⁴): (m² + 2 m n + n²).

160.    (6a⁴ — 5a³ + 4a² + 11a — 4): (2a² — 3a + 4).

161.    (12x⁴ — x³y — 32x² y² + xy³ + 20y⁴): (4x² + xy — 5y²).

146. x² —2x + 4.

148. 8x³ + 4x² + 2x + l.

150. a⁴ + a³b + a²b² + ab⁸ + b⁴.

162.    (2 — 7x + 16x² — 25x⁸ + 24x⁴—-16x⁵): (2 —3x + 4x²).

163.    (15a⁴ + 8 a³ b — 41 a² b² + 10 a b³ + 8 b⁴): (5a² + 6 ab — 8 b²).

164.    (63 y⁸ + 10a²y⁶ — 155 a⁴y⁴ -j- 10a⁶y² + 63 a⁸)

: (9y⁴ — 5a²y² — 7a⁴).

165.    (49 a⁶ -f 6 a⁴ — 51 a² — 25): (7 a³ — 6 a² + 3 a — 5).

166.    (4x⁶ -j- 15x⁴y² 10x²y⁴ — 9y⁶): (2x³ -f- x²y -f- 4xy² -j- 3y³).

167.    (4 + 5a—16a² — 4a³ + 4a⁴ — 5a⁵ + 4a⁶): (4 — 3a-f-2a²—a³).

168.    (32 + 104x + lOOx² -j- 26x⁸ — 13x⁴ + x⁶)

: (8 -f- 12 x -|- 6 x² — x³).

169.    (27 a« — 33 a⁵ b — 45 a⁴ b² + 71 a³ b³ — 36 a b⁵ +16 b'»)

:(9a³ —2ä²b —5ab² + 4b⁸).

170.    [{x³ -f- (a -j- b — c) x² -j- (ab — ac — bc) x — abc): (x -}- a)j

: (x — c) : (6 — 7x -f- 2x²).

172. (2—7 x + 16x² — 17x³ + 12x⁴): {(2—7x + 12x² — 9 x⁸): (2 — 3x)j.

171. {(120 — 326x + 329x² —146x³ + 24x⁴): (4 — 3x)j

§. 8. Division algebraischer Zahlen. (§. 59.)

₁ 16 . —12 —18 , 20 l’ — 2'— 3    6    "T" —5'

2- (— 5)>=r^ +

O (-2)^.(-3⁸)

*• —12

20

(-4): (-2)

(— 8) • (    9). (— 10)

(—3). (—5)

(-4). (-8). (-9) (-2).(-6) • (-3?

(-D⁴*

Mache die Probe:

4.    zu §. 7, Nr. 98 für a = — 2, x = — 1.

5.    zu §. 7, Nr. 105 für x — 2, y — 3.

6.    zu §. 7, Nr. 106 für x — —3, y = 2.

7.    Berechne a + -

8.    Berechne — x +    ^

9.    Ebenso

10.    Berechne *

11.    Berechne

(X-I)a

(y-i)⁸

3_f-a für a = 19.

5 (x — 2)

3 (6 —

^ für x — für x = — 3, y = — 1.

(x + l)3 (y + 2)3 (x—1) (x —2) (x —3) x (x + l) (x + 2)

(x— l)⁷.(x — 2)⁴

8.

für x — —3.

y (y + i).(y —2)

für x — — 1, y = —10.

12. Für welche Werte von x werden die folgenden Ausdrücke negativ? a) (x + 5) : x; b) (x + 7) : (x + 2); c) (x — 7) : (x + 2); d) (x-7):(x-2).

(X — 3)³

13.    Schreibe die folgenden Quotienten in anderer Form mit negativem und mit positivem Vorzeichen: a) —b)

14.    Forme um: a) — -

15.    ,) |=ij b) i=l} c)    d)

(— a)³ (a — 2b + 3c)

(—a) (2 b — a — 3 c) ‘

16.    (— 288as”+*-²): 9a²“-*+⁴.    17. (— 25a“+»b--):(—5a°b«-*).

18* 32xm-2n+³Py2m~n~P : ( 8    ym—-n--2pj

— a²b + ab2 — ab

21.    (24a³ b³ —15 a⁴ b²): (— 3a⁸b²). Probe für a = 3, b = —2.

22.    (18am²y³ — 27bmy² -|- 36cy): (—3y).

23.    (6x³ — 23x² + 24x —10): (—2x + 5). Probe für x — 4.

24.    (30x⁴ + 2x³ —16x² + 10x — 2): (—• 5x² + 3x — 1).

25.    (27 — 51 x —125 x² — 2 x³ + 30 x⁴): (— 3 + 8 x + 6 x²).

26.    (1 — 15 x -s- 72x² — 54x³ — 405x⁴ — 243x⁵): (— 1 -j- 6x + 9x²).

a² — 2 a — 1

1 — 3 a — 2 a²‘

d)^

— 2b

e)

19. 12x — 16y

20.

§. 9. Zahlensysteme. (§§. 61—64.)

1.    Verwandle in dekadische Zahlen die folgenden Zahlen aus Zahlensystemen mit der neben ihnen angezeigten Grundzahl:

a) 211021220 [3]; c) 852076 [9];

b) 103223013 [4],

d) 58329 [12].

2.    Verwandle die dekadische Zahl 2897 in eine Zahl a) des Systems [2], b) des Systems [5], c) des Systems [6], d) des Systems [8|.

3.    Verwandle

[8];

a)    520613 [7] in eine Zahl des Systems [4];

b)    12112012 [3] „    „

[5].

c)    110100101 [2] „    „

§. 10. FeiköarKeil der Zahlen.

Suche das gr. g. Maß folgender Zahlen mittels Kettendivision (§§• 67, 69, 78):

2. 2091 und 1353;

4. 3552 und 5143;

6 27671 und 21708;

1. 637 und 4277;

3. 1404 und 8658;

5. 7774 und 3718;

7. 14539 und 25728;

8. 55660 und 66055;

10. 24955 und 338625;

12. 120582, 145530, 167706.

9. 39215 und 73997;

11. 1701, 6426, 10521;

13.    12a² + 7a +1 und 6a² + 11a -(- 3;

14.    xs — 49 x —120 und x² -(- 10 x + 25;

15.    x⁴ —10x²y² + 16y⁴ und x⁴ + 2x²y² — 80y⁴;

16.    a³ — a²b -(- 3ab²— 3b³ und a² — 5ab + 4b²;

17.    x⁶ + 6x⁴ + 5x² —12 und x⁶ + 4x⁴ + x² — 6;

18.    6x³ — 19x²    12x — 5 und 3x³ — llx²-|-7x — 3.

19.    8x³ + 22x² + 27x + 18 und 6x³ + 5x² — 8x — 3.

20.    6y⁸ + 16y² —22y + 40 und 9 y³ — 27y² + 35y — 25.

21.    28a⁴ + 10a³ + 39a² + 7a + 15 und 14a³ —37a²-(-15a—25.

22.    3z⁴ — 8 z³ -f- 11 z² — 8z-j— 3 und 2z³ —9z² + 9z —7.

23.    15x⁴ -(- 10x³y + 4x²y² -(- 6xy⁸— 3y⁴ und

12 x³ -(- 38x²y + 16 xy² — lOy³.

24. 6x⁵ — 4x⁴—11 x⁸ — 3x² — 3x — 1 und

4x⁴ + 2x³ —18 x² + 3x — 5.

25.    3x² + llx — 20, 2x² + 5x — 25, x² + 2x—15.

26.    7x³-(-2x²-(-2x — 5, 5x⁸ + 3x²-(-3x— 2, 3x³ — 4x²—4x — 7.

27.    4x⁴ —15x² + 9, 3x⁴ —10x² + 3, 2x⁴ —3x² —9.

28.    a⁸ + 2a=b —4ab² —8b³, a³ — 6a²b + 4ab² + 8b⁸, a³ — 8b⁸.

29.    6x⁴ — 5x² — 1, 5x³ — 4x — 1 und 2x² — 2.

30.    a⁴ — 4a³ -(-8a² — 4a + 7, a⁴ — 2a³ +10a -f- 7 und

a³ — 5a² -(-11a — 7.

Zerlegung in Faktoren. (§§. 70—75.)

31.    Untersuche, ob die folgenden Zahlen Primzahlen sind: a) 1001, b) 1003, c) 1007, d) 1009.

Zerlege folgende Zahlen in ihre Primfaktoren:

32.    a) 420;    b) 504;    c) 1260;    d) 1664;    e) 2025.

33.    a) 2268; b) 3075; c) 3828;    d) 5376;    e) 10528.

34.    a) 9; b) 99; c) 999; d) 9999; e) 99999.

35.    a) 76a⁸; b) 66ab²; c) 26x²y²; d) 72a³b²; e) 60ax²z⁴.

Suche alle Prim- und alle zusammengesetzten Faktoren folgender

Zahlen:

36.    a) 48; b) 210; c) 315; d) 360; e) 810.

37.    a) 18ab; b) 36x²; c) 27mx²; d) 165xyz; e) 114an²x³.

38. 7 x — 14xy. 40. 18 ab —15 ac.

Zerlege nach §. 75, 1 in zwei Faktoren:

39. 27 x³ — 9 x².

41. 9x² — 24xy.

42. 4a²+ 4.

43. 15 a⁴ — 5 a³.

45. xn+² -(- xn.

47. ax⁴y² bx³y⁸ -|- cx²y⁴. 49. 5x³z² — 15x²z⁸—25xz⁴.

44# xm | xm—²»

46. 2a⁴ —4a³ + 6a².

48. a⁸b²x — a²b²x² + ab²xJ.

51. n(x —y) —x + y. 53. ab — bx + a — x.

50. 2x(a — 3 b) — (a — 3 b).

52. ax + ay + bx + by.

55. a³ — a²b -(- ab² — b⁸.

54. x⁸ + x² + x + 1.

56. 9a⁸c² —15bc² + 3a⁸ —5b.    57. 27 a²c + 24abc—36a⁸—18bc².

61. (m — 1) a — a².

63. (a + b) x — (a — b) x.

58. 30ab²+5ac²—24b³—4bc². 59. 22ax² —18a³ +9a²x —llx⁸.

60. 7 x — 7 (2 x — y).

62. (m — 3) a² — a.

67. 3m(x —y) + 2n(y —x>

64. 3(2x — 3y)a — 3(x — 4y)a. 65. 3(a — b+c)x— 5(a — b—c)x.

66. a (b + c) + b + c.

68.    3x(2x — 3y)— 2y(3y — 2x) — 2x + 3y.

69.    3 (2 m — 3 n) (x — y) — 4 (m — n) (x — y) — 5 (4 m — 3 n) (x — y).

70.    7x(x — 2y) (2x — y) — 5y(4x²— y²) — 3(x — 2y) (4x² —

4xy + y²>

72. x² - x + y — y². 74. x — 1 — (x — l)⁸.

71.    x²-y² + x + y.

73. x² —1 —(x + 1)³.

75.    (a —b) (2a + l) —(a—b) (2b+ 3) —a + b.

Zerlege nach §. 75, 2 in Faktoren:

78. x² — 6xy +9y². 81. 16a⁵ + 48a⁴ + 36a⁸. 84. 25 xa —16 y².

87. (b + c)² — a².

76.    9b² — 12b + 4. 77. y² + 10y + 25.

79. 5x³ + 10x² + 5x. 80.2x⁴—4x⁸ + 2x².

82. 4x² — 1.

85. 6x² — 54 a².

88. 75a³b³ — 3ab.

91. 4(2x — l)² — 9x².

93. 16 (3a —2b)² — 25 (a — b)².

95. (a + b)² —(a -b)².

97.    x² + 14x + 49 — 25y².

98.    (x² — y²) (x + y) + 2xy² — 2x²y.

99.    x³ +1.

102. x⁵ + y⁵.

105. 27 x³ + 8.

108. 32x⁵ + l.

111. x⁶ +1.

114. x¹⁰+y¹⁰.

83. 9 a² —16 b².

86. a² — (b — c)².

89. a²—4ab + 4b²—4. 90. 27 a³b — 48ab⁸. 92. 9a² —(2a —3b)².

94. 25x² — 20xy + 4y² — 9z². 96. (a + b —c)² —(a —b + c)².

100. x⁸ — 1.

101. x⁴ — 1.

103. x⁵ —y⁵.

106. 8x³y⁸ — 1.

109. 64a⁷b⁷ — 2a²b². 112. 64a⁶ + 343b⁹c³.

115. x⁸ —1.

104. x⁶ — y⁶.

107. 48a⁴b² —3 b⁶.

110. x⁶ + y⁶.

113. 64a⁶+ 729.

116. x¹² + y¹².

Teilbarkeit dekadischer Zahlen. (§. 76.)

Durch welche von den Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25, 100, 125, 1000, 12 — 3.4, 15 — 3.5, 18 — 2.9 sind folgende Zahlen teilbar:

117.    a) 312;    ö)    6225;    c)    17280;    d)    71016;    e)    948656?

118.    a) 720;    b)    6472;.    c)    76450;    d)    484572;    e)    567000?

119.    a) 534;    b)    8625;    c)    10692;    d)    734520;    e)    350496?

Suche mittels Zerlegung in Faktoren das gr. g. Maß folgender

b) 360 und 680. b) 560, 620 und 760. b) 504, 756, 1260 und 1764. 124.10x²y⁴, 5x³y³ und 20x⁴y².

Zahlen:

120.    a) 84 und 308-

121.    a) 108, 450 und 540.

122.    a) 693, 819 und 945.

123.    12acx, 14a²x und 16axa.

125.    m² + 2mn + n² unbm² — n².

126.    a² + 4ab 4b² und a² + 2ab — 3ab² — 6b³.

127.    8x⁴y² — 32x²y⁴, 12x⁴y — 96xy⁴.

128.    12x³y²— 12x²y³, 18x⁴y²—18x²y⁴, 24x³y - 48x²y² + 24xy³.

129.    a⁴b² — a²b⁴, a⁴ — a²b², a⁴ — a³b.

130.    8a⁵b² — 8a³b⁴, 4a⁴b² —8a³b³ + 4a²b⁴.

131.    (2a + b)²-(a —b)², a⁴ + 8ab³.

133. 240 und 486.

135. 105, 144 und 270.

137. 2, 5, 9, 20, 21 und 24. 139. 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21. 141. 8, 12, 16, 24, 32, 36, 256. 143. 6amn, 10am²n, 5a²n².

Suche mittels Zerlegung in Faktoren das kl. g. Vielfache der Zahlen:

132. 300 und 620.

134. 120, 168 und 182.

136. 3, 4, 6, 10 und 25.

138. 4, 5, 6, 12, 18, 25, 70.

140. 4, 6, 7, 28, 35, 40, 56.

142. a, 2a², 3ab³, 12abm.

144.    m, 5m², 3n, 8mn und 15m (m — n).

145.    3x, x — 2, 5 (x + 2), 20 (x² — 4) und 6 (x + 2)².

147. x³ — xy², x²y—xy², xy². 149. (a + b)², a² — b², (a —b)³.

146.    3a² — 3ab, 6ab — 6b², 9a.

148. a⁴ — a² b², (a — b)², a² — ab.

150.    4a³ — a, 8ab + 4b, 16a²b².

151.    3x³y — 3x²y, 2x²y² -j- 2xy², 4x⁴ — 8x³-(-4x², 2x³ — 4 x² + 2x.

152.    6x² — 3x, 24x⁴ — 6x²,12x⁵ — 12x⁴ + 3x³.

154. (x — l)⁸, x³ — 1.

156. a³ — b³, a³ -(- b³, a² — b².

153.    a —b, a² — b², a³ —b³.

155. x³ — y³, x⁴ — y⁴, x® — y®.

157.    x² + 2x, x² — 4, x² ->-4x-j-4.

158.    a³ + 8b³, a³ + 2a²b —4ab² —8b⁸, a³ —8b³.

Weitere Aufgaben in der vorhergehenden Gruppe Nr. 122, 123, 126, 127, 128, 129 und 130.    _____

160. 561 und 1530; 162. 6987 und 8083;

Suche das kl, g. Vielfache folgender Zahlen mittels des gr. g. M. (§. 80). 159. 874 und 943;

161. 1716 und 2222;

163. 816, 765, 697;

164. 259, 3219, 7548.

165.    x³ — 3x²y + 3xy² — y³ und 2(x² — y²);

166.    a³ - 49 a — 120 und a² + 10a + 25;

167.    6x³ —13x² — 45x — 25 und x³ + 2x² — 20x — 25;

168.    a⁴ + 3a³ + 6a² + 5a + 3 und a³ + 2a² + 2a + l;

169.    2a® — a⁴ — 2a³ — 2a² — 4a — 1 und 2a⁶ — a® — 5a⁸ — 5a² — a;

170.    21x³ + 20x² — 3x — 2, 6x³ — 11 x² — 12 x 5 und 3xs —10x²

— 9x + 4.    ___

§. 11. Gemeine Wrüche.

Formänderung der Stäche. (§§. 90, 91.)

a) auf den Zähler a² — 1, a⁴ — a; b) auf den

1.    Bringe den Bruch Nenner 2a³ — 2a, a®->- 1.

2.    Erweitere den Bruch a) auf den Zähler x⁴ — 4x², x⁴ — 16;

b) auf eben diese Nenner.

Bringe folgende Brüche auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner:

_ ^ 13 ^ 11 8' 16' 20' 16' 12'

4. I

A 1 6a 3bc 4def ”* m' 3m²' 4m" 5m‘' s 1    3    5    7

ö* 2a' 4a²b' 6a³b' 8a'V

in y +¹ y —1 y² +1 y-1' y + 1' y²-V

q _L 2_____

d* 2 ' 3 ' 4 ' 6 ' 8' 12'

r    I 5    1 W    25

4 ' 6' 7 ' 35' 56' w    1 2m 5n 3p

a ' 3ab' 6ax' 10by* a    a 1    a 2 a 3

a -f“ lr a -f- a -f~ 3 11 x ~f~ 1 x² -f- 2x 3x x² — 1 x — 1' x² — 1 ' x + 1' x²-f-l‘

-| ^    1    — a    1 -j⁻ b,    1 4~ ä²    1 — 2 a    4~    3.²    1    -f- 2 a -J~ a²

¹^e    l + af    1 —a'    T^P'    l + 2a+"?'    1    —2a + a²‘

13. Erweitere folgende Brüche auf einen zweigliedrigen Nenner:

a² —ab + b²’

\ a -j⁻ b * a²-(- ab + b²' n    3a — 2 b

E 9a² —6ab + 4b²'

Kürze folgende Brüche ab:

14.    a)

15.    a)

5.12.18

4.10.27'

ifl „n 391

lb- a) §89'

a 4" b

\ x__

c' x² 4“ x 4~ i¹

114

250'

d)

b) EZ.

> 819'

e)

x³ + x² + x + l'

C) 840. ' 1020' 6.12.20.28. 4.8.16.30 '

d) —•

7008'

c)

f)

x³ 4- x² 4- x 4-1

X³ — X² + X — 1*

6.21.24.36.75

8.27.50.56.60"

s 4096 7424'

O) 765.

} 5304'

n (n — 1) (n — 2) (n — 3) (n — 4) 1.2.3.4.5

dann für n = 8, und kürze die erhaltenen Brüche ab.

17. Bestimme den Wert von

d) EZ£.

J 7029'

e)

9082

67735'

für n = 6,

18. a)

Kürze folgende Brüche ab:

12a²xe 28äx*>

3abx

12 bmx*

w. a)|^l

S». »)^ji

25 x² — y² # 5 x² + x y * 16 a² —64

b)

c)

15amx⁸

40b mx ¹

b) 2m2~m.

U) 4m²-1 ’

in ab — b²

b)

b) 3 ä² -f-a .

> 9a² — 1»

X* — y⁴ .

24. a)

25. a)

26. a)

(4 a² -(- 8 a)2, a² -f- ab 4 a⁴ + ab³’

9a -f™ 6b — 3c 12ax + 8bx — 4cx * a²—1

a² 4~ 2 a 4- 1 * m² 4~ 6 m — 16 , m²4~ 5m — 24*

^ x³y+ xy8>

27. a)

x⁴ -f- 4x³ — 5x -|-2

28. a)

29. a)

30.

33.

36.

39.

72 mx²y3 ' 96nx³y²* — x3 x² 4“ x* a³ — a²y ay²-yä* (2x² -j~ x)2 4x³ — x * x⁴ —y4 y² — x²'

C)|

«)

c)

o)

^ 25x³ + 20x²y 4~ 4xy²

625 x⁴- 16 y⁴

; b)

x³ — x² — 3x4-2 *

12 x³ y³ — 6x²y⁴# 8x⁴y² 4" 4x³y3 ix 1 4" m — 2 m2 Ü) l + Zm + 2m²> t.) x² + 3xy + 2y². ' x²4-6xy-j-5y²^

«ßr.f.x=3. b)

a³ — 3 a²b 4~ 2 ab² — 6b³ . 2 a³ — 4 a² b 4" 4 a b² — 8 b³*

ab — ac — b² 4™ bc4 ab — ac — bc 4~ c²*

a³ + 1

a² — 1* x⁴ — y4 x⁶ — y⁶*

Pr. f. a = 2.

a⁵ — 8 a² b³

a⁶ — 4a⁴b²*

37. x8_16

x⁶4-4x

2a — ab — b -f- 2 3 a -f- ab -f- b -)- 3‘ 8a² —6a + l

16a²—lOa+1'

a² — 8ax -f- 15 x2 a² —llax + 30x²’ _2 a³ — a²4-4a + 7_

2a⁴ —15a³ + 29a² —48a+ U'

c)

c)

c)

ix a²4~ab — ac — bc ' a²4™ab4-ac4-bc*

6x⁸ — 8x²y 4~ 15xy² — 20y3 9x³ — I2x²y — 15xy² 4~ 20y³' (i+x)3 14~ x³ *

qk x⁴ 4” 2 x³ 4” 4 x2 6b' x⁶ -™8^

b)

oi 8a³ 4-1

d1- 16a⁴ —

34 x*~y<

x⁸ + y⁶'

₅. Pr. f. x = 2.

r. Pr. f.a=l. 32.

38.

x⁶ — 2 x⁸ 4- x⁴

x⁶ — x⁴

Berechne:

x-~⁴^ für x = 2.

für x — — 8.

x² —

40.

x² — a²

für x — a.

2x² — 3ax + a2 .cf    x⁸ — 4x² — 3x + 18

3x³ —22x² + 51x —36

. x² + 6x —16 x² -j- 5x — 24

, y⁴ + y⁸ —y² —4y —12 y⁴ —2y² —8

Berechne die folgenden Brüche für jenen Wert von x, für welchen dieselben scheinbar unbestimmt sind.

b)

b)

⁰⁾ x⁴ — 16,

rH CO

für x — 3.

⁴⁴' a) X² — a²»

x³ — 1000, x² — lOO '

45. a)

für y = 2 und für y — — 2.

C)

o)

x 4~ a x³4-a³' x⁵ — a⁵

x⁴ — a⁴‘

Addition und Subtraktion -er Sriiche. (§§. 92, 93.)

b) i —Z--Z“

; 8 8

b) 5m + n

y + z.

10 '

47.    a)i±^J_2a-_x

48.

46. a) i

m — 3n

3m

49.

2p + a

m-f-n+P ' m + n + P 'm + n-J-p* 17a—15x _

12ax

r,l (a + b)4 8ab (a² + b²)

53. a + -.

¹ a

56. x

50.

x²- 1

59. 1 +-

a + b'

4xy

— 1.

63. x + y + -65. m +■ n —

67. 14

Öx — 3a _j_ 4a + x 12ax '

12ax

(a — b)⁴

8ab (a² + b²)'

54. 3x —

2x

m+ n

57. m

52.

(a + b)³

(a-b)⁸

2b (3a² + b²) 2b (3a² + b²)e x² —1

55. a 4 58.

60. 1 — ?-Tb

a + b*

n.

62.

(x-y)²

4xy

2y²

—y'

ma + na m + n ' a² — b² — ca

Pr. f.x---3, y =— 5.

64. a —14

2bc

66. a² + b² —

68. 1 —

a⁴ —2b4 a² — b² '

a² + l a -fl*

a² — b² — c²

2bc

x⁴ + y⁴

2x²y²

71.

X — 5

73. x²— y2 75. a³4-3a² + 3a + l

69.

70.

x⁴ + y⁴

2 x² y²

1.

(x4-5).

72.

x² -f- 25

(x — 5).

x⁴ — 2x²y² — y⁴

x² + y²

74. x — 1

4 x³ — 4 x² -f- x

a⁴ + 4a³ + 6a² + 4a

4x² + 4x+ 1 "

a+1

76.

(ia+Tb +i c)+(ia+f b+fc}

77.

(Tx + |y) ⁺ (ih ⁺ -|y) ⁺ (irx+ 4

►M CD

79.

/3x²

V 4

80.

(¥

xy I y2\ I f5x*

3    + 9; +V 6

ab , 3b²\    /4a?

3    2 )    \ 5

3 xy

3ab

7y²

12

2b_²\

3 b

81. 3a+"⁴

83.

7a 4“ 5    8 — 7a , 5 — 3a    3 — 7a

- - | -

5a — 3b — 4c    3a — 2b — c    4a — 7b — 4c 4c — 2a — 3b

12 *

12

13x — 12y    14x — 15 y 2y — x

24    -

84. — -U X_2

y x

86.

m ¹ n ¹ p a — b

a -f" b

ITaFb 12 ab2 1 15 b2 1 18 a³*

ot) J__4x — y_2x+ 3y

8x²    12x²y    9xy²

a — b 5 a³ — 2b³ , 2 a³ 4" 3b³ 5b — 12 a

T 25b““*

di a³ — b³ (a — b) (a + 2b) (a + b) (2 a — b)

88.

90.

5a

10a²b

85. 1— £r— £~.

2b 2 a

87. f+lL-

bc ¹ ac ab

b Probe für a = 10, b = 2. Probe für x = 2, y == — 1.

z²

15 ab²

a²

2a

3b

-(a + 2b).

92.

(x + y)²_(x — y)²    2(x + y) (x —y)

X²

y²

xy

93.

x² + y² 8(x-y) _ 2(x + y)

94.

HL to

4xy

6x²

+ 4?

2x

x4- 1 ¹ x — 1*

96. y—-—

1 —X m 4" n

a -f- x*

y.

97.

y.

98.

n , m n ' m 4~ n*

99.

100. ¹

2(x —y) 2(x 4“ y)*

m 4~ n_m — n

m — n m 4“ p* a4~ 2x    a — 2x ,2a

a4~x a — x ' x *

101.

(x-1)°'

102. Zähler und Nenner des Bruches y sollen 1) um m vermehrt, 2) um m vermindert werden; wie groß ist die Differenz zwischen dem gegebenen und dem jedesmal entstehenden neuen Bruche?

X— 1

(x-1)²

103. 5

6 + 3x²    2 — 3 x²

— 4x²    3 + 4x²⁻

104.

3 a² — 4a + 5

6a —7

4 a² 4~ 5 a — 6

8a — 9

105.

2x — 1 3x — 1 ¹ 2x — 3‘

106. 2x

107.

2x + 3y

___2x— 3y

6x (2x — 3y)    6x (2x -|- 3y)"

108.

3x4-1 _4x — 3

x— 1    ¹ x —2 x —3 *

a² 4- 5 ab — b2 a² 4~ 4ab 4~ 4b² a 4™ 2b*

109.

110.

2x —5y_ 6x-[- 5y

9x + 3y 12x + 4y

—-— 4- —

4 4-2a ¹ 2a

2 a 4- a

‘2 ’

3x + 4y 3x + y '

111. 2m-4n

3m — 3n

to l-i

6 m — 6 n*

112.    —¹

x² —xy

l--

-2y

2xy

113.

x² — y²

(x + y)² (x — y)²⁻

114.

116.

a -f- 1 I a + 2 I a 3 a^—T '    "T“ a — 3'

a-f-b — c , a — b + c , b-f-c — a

115.

ab

a -j- c

bc

b + c'

ac

bc

a + b

. Pr. f. a = 4, b = — 3, c = 2.

117.

5a — 8b i 3a — b a — 4b

a -f- b

a-f-b

i+-^. Pr. f. a = 5, b = 9.

118.

2b

a²—b²

119.

y-i

y² + i

a² -f- 2ab + b²' y²~2y + l

y — 1 ' y +1 ~ yJ — i

120. 1 -

to

Pr. f. a = 7, b — 5. Pr. f. y = ll.

a² -)— a -f- 1_2a— 4

a² —1

a⁴—r

121.

ab

ac

bc

(a — c) (b — c)

(a — b) (b — c) ' (a — b) (a — c)*

122.

123.

a — (b -f- c) ' b — (a -f- c) ' c — (a + b)‘ a² — 2 ab — 4 b²

a⁵ — 16 a b⁴

a⁴ -f- 4 a² b²'

124.

x³

x+y x ' y

x⁴ — y⁴*

125. 4

b²

126.

a² + ab (a-f-b)² a³ — ab²' 1 —x

6 x² — x — 1

12 x² — 12 x + 3'

127.

2 a² —2 3a + 3 ab — b*

128.

2x + l

2 x³ — x² — 3 x — 1

129.

6xM-9x + 14 3x — 5

130.

2 x² + 3 x — 2 3 m -f- n

x + 2 2m -f- 3 n

Pr. f. x = — 2. f^. Pr. f. x = -3.

3 m² — m n — 6 n²

3 m² — m n

12 m n — 4 n²

18 m² n — 6 m n2 -

131.

3x + 4y

6 X² — llxy-}-3y² 2x² — 7xy-f-6y²'3x² — 7 x y+ 2y²*

x —2y

132.

2 x² + 2 x y

4xy

2 x — y ' 2 x y -j- 3 y² 4 x² -f- 4 x y—3 y²'

Hl

188. SS 4

(x² — b²) (b² —y²)

b² (a² — b²)

(a² — x²) (a² — y²)

a² (a² — b²)

[=1]

134.

2 a² — 3 ax 2 a² — 3 ax

10 a² x ² — 7 a x³

2 a — x

135.    5x2

18 x² — 6 y

2 a + x 27 x⁴ -j- x² y i x² -J- 6 y 54x⁴ —6y* * 6y

4 a⁸ — 4 a² x — a x² -f x³'

[-Ä]

x ⁴ — x² y

6x²y + 2y²'

[=il

136.

a -j- b

a³ — b³

2 (a² —b²)

a³ + bs a⁴ + a²b² + b⁴'

137.

3 x — 2 _ 3x + 2 _ x² + 2x + 1    , 4x² + 9

2x — 3 2x + 3    4x² + 12x + 9    4x² — 9"

138.

139.

2a⁴ + 2a²b²' 2a⁴ — 2a²b² ‘ a⁴-fb⁴* x² — x -(- 1 x² -f- 2 x -f- 1

(x — l)³

X³ — 1

140.

x² -f- 4 x + 4

(x — 2)³

x 4-2    x—2'

141.

X®

X⁴ — y⁴

_y

2 (x H- y)² (x —y) 2 (x — y)² (x -f- y)'

142.

a²-t-l

a⁸+l 2 (a² + 1)    2 (a + l)⁻

Multiplikation und Division eines Gruches durch eine ganze Zahl. (§. 94.) 144.    . 2 m.

2m

5y².    147.    2b.

J    2 a b

143.    . 3 c.

146.

149.

151.

153.

155.

157.

159.

161.

162.

164.

165.

4m

145.

24 x²

2 a² x²

15 b² y²

(a H

b’l—)

. a.

x² + 2 x y + y²

4 xy

— 1.

(-^i + -^- + —). m4 \m⁸ m² m /

(l+;

n²-

)• 2xy. i).(n + l). 156. (

• (— y²)-148.    . (a _ b).

m x    J

¹⁵°- (¹ + rfi)'⁽¹ + *)-

/3jn»    2m² nA

\4 n⁸ ' 3 n² ' 2 n/

152.

a² + ab-+ b²

. (a-b).

(+—i)- (—ab)-

a + b (a-b)²

a² — b² ‘

(H

5 y²

. 12 n.

+ T + ⁴)'

• (x + !)•

160. (ia-J-b +j). (-135).

154.

158.

,+)(» + !>>•

(a + b)².

a² b² — 2 a b c² + c⁴

4 a b c²

Pr. f. a = 2, b = 5, c = 3.

/2x³    5x²y , 3xy² 7ys

\⁵

(f+

2 a²

X²

y⁸ + a²

a³ — a²

a²-

7 (a⁴ — 1).

(a² b² — 2abc² + c⁴).

163.

a² + l

X66.

₁₀).(4x²-5xy + y²). Pr.f —Probe für a==8, b — — 3.

• x = 5, y = — 5.

167. —:2a.

3 m

168.

12 a m x

170.

10 m⁸n²

: (    4ax). 169. ^ .

172. + xy.

: 3my.

: 5 m² n².    171. ^: x².

174. |Sf:2ab'.

xy²

24 p² q ,

13xy '

X ¹ m + n/

178. fef + Sf): ab.

180. 30aa⁸ + 45a²b + 60±b²;i5aj

173.

176.

8py.

175.

2 m.

177. a + b

179.

181.

yä

a² + ab ,

a² + b²

a + b 8 a³ b² 12 a² b³

b :a-f):(a + b).

m²n³

msn²

: 4 a² m².

a³ —b³

a²

: (a — b).

182.

b⁸ a⁸ — 2 ab + b⁸ a⁸ — 3ab + 2b²

j: (a — b).

a⁶ — 64

: (as + 8). Probe für a — — 1.

:(3a — 2b). Probe für a —5, b = 10. 185. ¹~2mI+₄mJ-4m8:(1 + 2m4• m²). Probe für

183.

184.

a³

6 a²+ 5 ab —6 b²

2a + 3b

m — —4.

Multiplikation und Division durch einen Lruch. (§§. 95—98.)

¹⁸⁸- 2aä-₂wy

a~dbc}

2b

186. ax.—.

189. (xa — 1) 2x 192. ^

c d

i(M 2 a 4y³ 6b 3 x2 8b * 9x⁸ ‘ öa " 2y''

•l-x

Z_3 ax\

\ cm/

187. 4 x² y². |^.

190. (a — x). ^i"-.

v J ax

ioq 6 9.    2 b

19de 7b * 3d

191. 3 ax

•(

Z 14c\ Z_5d\ *\    16e/ * \    6a/

195.

196.

b²

b⁸

a + b (a + b)⁸ ' a—b (a —b)⁸

)•

5    a⁸ x⁸ 9 b³ y³ 4mz³ 2 a m x

6    m² y⁸ * 10 a⁸ z⁸ ’ 5 b³ x *    3 y⁸ *

a — b

ab *

197.

('S»—+ y) • 7"-    für a = 3, b—2.

198.

(w-¥+t-⁸)(| + ²>

199.

m — n * m + n*

200.

2b *

201.

/2a+_3x\2 \2a —3x/ ’

203.

205.

2 a² — ax a⁸ x⁸ — ax4 ax — x² * 2a — x

H³

\ X —m

m) * x² + m²*

207.

(x+f H)-

208.

Z 3m

209.

y¹

210.

211.

212.

4a² —9 b²V 12 ab / *

x² + 2 x — 35 x³ — 8x x*—5x² —24 '    t-J-7

206, (ib —3b²⁻4b³J • 4a³'

Pr. f. a —3, b = —2.

. Pr. f. m = 7.

2y) Pr. f.

202.

*204.

3 b⁸

m² \ m² — 1 m + 1    m⁸ — 1 /    m

X²

x²+y²

x(x + y) ¹ y (x — y)

)(*

/3a 2b . c\ /2a ,3    4c\    „    .

[t~t+j)    ^ f-

(f+f-2) (^ + ^ + 1). Pr. f.

x = 8, y = 2. a = j> — \< e —

7-

3.

¥)(¥+■> P°'

•X-i-

5-

213.

P*

2px⁸    3 x⁴

2 q² y2 1 Tq³y    4 q⁴

4 p² x² 3px⁸

3 q² y² 2 q³ y

214.

^3x_²_4y_²j²    ^ iZsj,

215.

217.

4 bV

¥'¥ — T-Tj •

2 b 3 a

216.

a²

b²

bzy

a²

1 b⁸

218.

(—

\2a²

5 \ä

3 ab”¹" 4 b²/ *

219.

220.

ab

(i-!)

ab

' (1+1)

231. a:-.

224. (x + y):|~

227. (a²-b²):^.

8 x⁸ y²_z_ . 4 m³ n² p 15 m n² p³ * 5 x y² z³ * 8x³    2 x²\ . 2 x

27?    9 y²/ " 3 y’

— 2 b

230.

232.

234.

235.

a -j- 2 b x —3y x+y

222. 2 a m:

225.

228. (a³ + bs):

223. 6 a² x

226. (x²-y²):(i + ^).

229. 12 a⁸ b⁴:^.

231.

a ~t~b a — b*

21 b x² y³ , 14 a² y² z 25 a² c z3 4 45 b² c² x*

233.

(_L_ ₊ _i_V

\x+y ¹ x —y/ •

xy

X² — y²’

a — 2b

y Probe für

a = — 1, b = 2.

MW

236.

e-

a + 2b

3^: (xä — y²). Probe für x = 4, y — 9. —je Probe für x

x);(2

= —3.

: y™-: 4 b² c²j. Probe für a

238.    (a² — b²):    : (a⁸ — b³). Probe für a = 4, b = — 1.

239.    — aj: (1    a³). Probe für a

/3x⁸_9x/ , x y\ , 3x

\ ty 15 "T io /¹

237. ^

240.

5y'

= -l, b = — 2, c = — 3.

241.

= —2.

(! + f

x^\    2_

y²/ xy

242.

15 a⁶ 25 a⁴ 25 a⁸

16 b⁴    4 b⁸

244.

8x°

27 a⁸

246.

27 y⁸ 8 b6 8 21

y Sa²

2 x²_3 a

3?”‘2b²

28 b²

4 b²'

243.

245.

Zx⁹ 8a⁶\ Zx⁸ 2a²\

\27~"~ 125/ ¹ \Y    ~5~ /

/2a_3x\

\ 9    12    16 / V 3    4 /

(Ix

16

247.

Za² y 263 a__Tb , 4 b² x

\bx²    144x    15y ' 5 ay²

4 a² 5 ab 6 b²y

3 x²

4xy

5 y²

“8- (£-£?+^Mw+-

2 a² y²j

249.

/3x*

V*

a² b²

a²

b⁴

850.

a ⁶    7 a⁴ y -f- 25 a⁸ y² + 48a²y³+36 a y⁴

a³ y — 27 y⁴

:(» + 7y++%). K]

251.

12 a² + a — 6 12 a² — a — 6

6 a² — a

6a²+a —2} : {

3 a -f~ 2

4a —3

12 a -j— 8

12 a² —a—6

La

6as + a — 2

253.

a² — 2 a b 2 a b — b²

4a²b — b⁸    a³—2a²b

Ja² —fab —fb2 2 a² —3 ab —2b²

|ab — § b²

2 a² — ab

253. a

a+-

¹ a

254.

255.

x 4-1

x² — 1

256. 44X

-1

257.

»4

b x — ay

x x²-2x + 3

bx + ay *

258.

l+x

x² — 3 x 2*

259.

260.

14

261.

x--

i+-

¹ a

a + b-f

14

a-j-b

262.

x + 2 X + 2‘ X — 2

263.

a -f- b

x —y y

1 : x*

a-j-b

x—y y

a²+b²

265. b

a a² —b2 1    " a⁸ + b⁸‘

266. -

267. —

b-1

£4-1’

• a + b

a — b"

268.

3 x + 3 y 5x4-6 y

4y

4x+i2!

' X

2L_ X

269.

1 1

ja_b b² a²

a 4" b * a² + 2 a b -}- b²*

270.

b²'

271. Bestimme den Bruch

(i 4- x) (14~ y) (1 + z)

a-j-b

a ---

(1 — x) (1 — y) (1 — z)

für x = 5L=^,

¹    m 4- n'

y=B_=lP Z = L=LE

J n 4" p'    p 4"m*

Mache die Probe:

272. 3u9tr. 234für a=-§, b=| 273. Zu Nr. 235 furx=l|, y=3|. 274. Su92r.238füta=2,b=-|. 275. Zu Nr. 239 füra=—£.

§. 12. Verhältnisse und Proportionen.

a) Verhältnisse. (§§. 103 und 104.)

1.    Kürze folgende Verhältnisse ab:

a) 10 : 24; b) 72 : 56; c) 120 : 48; d) a x (m⁸ — n⁸): a b (m + n).

2.    Drücke folgende Verhältnisse in den kleinsten ganzen Zahlen aus:

d) 15f:6^;

g) 0 45:3 15.

a) 4: 6|; e) 0-75 : 0-625;

b) 12|:8f;

C) f ¹ 11 >

f) 3-208:1-28;

o    :    x a b ix 28 a² 42 a x 1    1

3.    Ebenso: a) b : a ; 3)-^-: b ; c)(x_|_y)2 - x« _ y« J

ck) (1 + y) : (1 + ~); e) (a + y): (a—y).

4.    Ebenso: a) 2 kg 8 dkg: 480 g; b) 2m 45 cm : 7 dm 2

: 82-8 dm\

*d) 79°27'57":7°13'27";*6)238Tg.4Std.52Min.:8Tg.4St.l4Min.

5.    Von zwei Körpern legt A in jeder Minute 80 Meter, A' 96 Meter zurück; wie verhalten sich ihre Geschwindigkeiten?

6.    Der Körper A legt in a Zeiteinheiten dieselbe Strecke zurück, wie A' in a' Zeiteinheiten; in welchem Verhältnisse stehen ihre Geschwindigkeiten?

7.    Ein Meter verhält sich zu einem Wiener Fuß wie 174 : 55; wie verhält sich ein Dezimeter zu einem Wiener Zoll Wiener Fuß)?

8.    Aus 1 kg feinen Goldes werden in Österreich 164 Zwanzig-Kronenstücke, im Deutschen Reiche 279 Zehn-Markstücke geprägt. In welchem Verhältnisse steht das 10 Kronenstück zum 10 Markstücke? Stelle das Verhältnis a) mit dem Vordergliede 1, b) mit dem Hindergliede 1 dar.

9.    Wie verhalten sich die Flächen zweier Rechtecke, von denen das eine 28 Meter lang und 15 Meter breit, das andere 25 Meter lang und 16 Meter breit ist?

10.    Wie verhalten sich die Flächeninhalte zweier Quadrate mit den Seiten a — 231 cm, b — 2% cm?

11.    Wie verhalten sich a) die Umfänge, b) die Flächeninhalte zweier Kreise mit den Radien r — 3 6 dm, rx — 2-4 dm?

12.    Von zwei Dampfmaschinen kann die eine in a Sekunden b Kilogramm c Meter hoch, die andere in a' Sekunden b' Kilogramm c' Meter hoch heben; wie verhalten sich die Leistungskräfte dieser Maschinen?

c) 9

cm

5 mm;

b) Proportionen. (§§. 106 — 113.)

Untersuche, ob sich aus den vier gegebenen Zahlen eine Proportion bilden läßt:

18. a) 8, 5, 24, 15; b) 1 fj, 1 f, ff, 1 f.

14.    a) x⁶ys, x⁴ y⁴, x⁶y⁴, x³y⁵; b) a + b, a — b, a² — ba, (a — b)a.

15.    Bilde aus folgenden gleichen Produkten Proportionen:

a) (a — b) ²(a + b)² = (a² — b²)(a² — b » x (a - b) = (a + b) (a² — b²).

16.    Vereinfache: a) 3-75:4*8 — 0 5 : x; b) 3|:x = lf:f.

17.    a) x: abc = a:    b)

18.    a) (a²+ b²):x = (a⁴ — b⁴):(a — b);b)(a³+ b»):x = (a²-b²):(a-b).

Löse folgende Proportionen auf:

19.    x: 5 —

21-    : 4f = x : 8^.

23. x:0-35 = 2-38:1-25.

25. —: — = x: — •

mp    q

b² ’ ab * x 18 * 30"

: I.

20. 31: x = 151:5.

22. 3f:5i = 7f:x.

24. 14-35:218-275 = 9-18 :x.

26. x;3f = m³:^

a + b, ab + b² a

a — b: a² — b2 — .

27. (2 ab — b²): (ab — 3 a²) = x:    > 28.

29.    (a³ — b³): x = (a⁴—b⁴): (as + b³).

30.    x:(2a² — 3ab)² = (2ab + 3b²)²: (64a⁶ —729b⁶).

31.    x: (m — 2 n) = (6 m + 8 n): (2 m — 4 a).

32.    (6 a — 5 b): x= (12 a² — 4 a b — 5b²): (8 a² — 2 a b — 3 b²).

b:x-

qq m² — n² . m -f- n m² — 2 m n + n²

m² -j- n² * m — n    m + n

:x.

Forme zunächst die folgenden Proportionen so um, daß x nur in einem Gliede vorkommt, und löse dann dieselben auf:

36. (x 4- a): x = b: c.

38. (18 — x): 2 = x : 1.

39. (a — b)² :(a²— b²) = (x— 2b): x. 40. (7 + x): (7 — x) = 2:1.

41. (a-f-b): (a—b)=(x+m): (x—m). 42. (x — 2 • 1): (x -j- 2 • 1) = 5:47.

a + b

35. (x + 3):x = 7:l.

37. (3 x -f- 35): 3 x = 60:24.

43.

(x — h):(i+b)

₌ 5.a

6 - 4-

44.(x + ^):(

X)

= a:b.

46. (a — x): (x — b) = a: b.

45. x : (a — x) =

47.    (1 + x): (1 — x) = (1 + a²): 2 a.

48.    x:y = 2:5; x + y = 70.

50. x:y = 4: 9; y — x = 9.

52.    x:y=(a + b):(a — b); x + y = a (a — 2b).

53.    Bestimme die vierte Proportionale zu: a)2i 3|, 4f; b) 012, 0-8. 0'5.

a-f-b * a —V

49. x:y = l:2; 4x — y = 12.

51. (x—y):x = l:5; x + 5y = 200.

54.    Ebenso a)    b) (a + b), (a - b), (a² - b²).

55.    Bestimme die dritte stetige Proportionale zu:

a) 16, 12; b) a², ab; c) f    d)a²-b², a + b.

56.    Suche die mittlere Proportionale zu:

a)    63, 175; b) |,    c)0-2, 18; d) a², b²; e) Z,

f) a² — b²,    g) (a + b)², (a —b)².

57.    Suche das harmonische Mittel zu: a) 2, 1; b) 2, c) §, 1.

58.    Suche das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel zu: a) 4, |;

b) .,i; 0)9,1.

59.    Löse auf: x;y = 2:3; y:z =4:5; x + y+ z=3^.

60.    Ebenso: x:y = l:2; y : z = 3: 2; 5x — 4 y + 3 z = 36.

61.    Wenn a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 9, c: d = 3 : 5 und d: e = 3 : 8 ist, wie verhält sich a : b : c : d : e ?

63. Gegeben ist a : d = 4 : 3, c : d = 5 : 6, b : e = 20 : 9, b : f = 5:9, e : c = 3 : 5; wie verhält sich a : b : c: d: e: f?

63.    Wenn a : b = ha : bx und b : c = h₃ : ha, wie verhält sich a : b : c ?

64.    Ein Kilogramm verhält sich zu einem Londoner Pfund wie 86 : 39 ein russisches Pfund zu einem Londoner Pfund wie 65 : 72; wie verhält sich das russische Pfund zu einem Kilogramm?

Bestimme x, y, z:

65.    x: y: z = 2 : 3 : 5; x + y + z = 60.

66.    x: y: z = 2 : 3 : 5; 2x— 3y + 4z = 60.

67.    x: y: z = (m — 1) : m: (m + 1); x — 2y + 3z = a.

68.    Die Winkel eines Fünfeckes verhalten sich wie 2 : 3 : 4 : 4 : 5; wie groß sind dieselben?

*69. In einem Dreiecke verhält sich a:b= ^b: c = 20:    Wie

groß sind die Seiten, wenn der Umfang 105 cm beträgt?

c) Anw endung der Proportionen.

Angewandte Aufgaben mit einfachen Verhältnissen. (§. 114.)

70. 9g Wasser enthalten lg Wasserstoff und 8.- Sauerstoff. Wieviel enthält 1 hg 375 g Wasser von jedem Bestandteile? Welches Volumen hat dieser Wasserstoff, wenn 1 dm³ Wasserstoff +0896.. g wiegt?

72.    Wenn die Luft auf eine Fläche von 1 cm³ einen Druck von 1-0333. .kg ausübt, welcher Luftdruck lastet auf einer Fläche von 1| m-?

H. Das Kronenstück wiegt 5 g und ist 0• 835 fein; wieviel Silber enthält es?

73.    Ein Land von m Quadratkilometer zählt r Einwohner; a) wie viele Einwohner kommen bei gleicher relativer Bevölkerung auf n Quadratkilometer; b) auf wie viele Quadratkilometer kommeu s Einwohner?

74.    Das Vorderrad eines Wagens hat a Meter, das Hinterrad b Meter im Umfange; wie oft hat sich ersteres umgedreht, wenn letzteres m Umläufe gemacht hat?

75.    Ein sich gleichförmig bewegender Körper legt in a Sekunden b Meter zurück; a) wieviel Meter legt er in t Sekunden zurück; b) in wieviel Sekunden legt er s Meter zurück?

76.    Die Geschwindigkeiten zweier sich bewegenden Körper verhalten sich wie c: c'; wieviel Zeit braucht der zweite zu einem Wege, zu welchem der erste 1 Sekunden braucht?

'Tfi-JBon einem Gasometer, welches 11'2 Kubikmeter faßt, werden für eine gewisse Zeit 92 Laternen mit Gas versorgt; wieviel Kubikmeter muß ein Gasometer halten, um 148 Lampen auf ebenso lange Zeit mit Gas zu versehen?

78.    Ein Manuskript gibt 162 Seiten, jede zu 50 Zeilen; wie viele Seiten wird es geben, wenn auf jede Seite 45 Zeilen kommen?

79. x@in Vorrat von Lebensmitteln reicht für a Personen auf b Tage; für wie viele Personen reicht der nämliche Vorrat «Tage länger?

a = 72, b = 52, c = 65.

80.    Ein Kaufmann verkauft eine Ware um aK mit p % Gewinn (Verlust); wie groß war der Einkaufspreis?

"'S!. Ein Staatslos im Nominalwerte von 500 fl. wird im Kurse 132-25 (für 100 des Nominalwertes) gekauft; wie viel K kostet es?

82. Jemand kauft eine Eisenbahn-Obligation von 200 fl., welche jährlich 5 % Zinsen trägt, für 428 K; zu wieviel % legt er sein Geld an?

83.    Ein Kapital bringt in t Jahren z Kronen Zinsen; a) wieviel Zinsen bringt es bei gleichem Prozent in t' Jahren; b) in wieviel Jahren bringt es z' Kronen Zinsen?

84.    Zn wieviel % muß ein Kapital angelegt werden, damit es in t' Jahren ebensoviel Zinsen bringe, als es in t Jahren zu pLZinsen bringt?

85.    Beim freien Falle ist der zurückgelegte Weg direkt proportional dem Quadrate der Zeit. Wenn nun ein Körper in 5 Sekunden frei fallend 122-625 m zurücklegt, welchen Weg legt er in 6-1 Sekunden zurück?

86. In welchem Verhältnisse steht die Oberfläche einer Kugel zu ihrem Radius? Die Radien zweier Kugeln verhalten sich wie 2:3. Die Oberfläche der kleineren Kugel beträgt 60 ons; wie groß ist die der anderen Kugel?

87. In welchem Verhältnisse steht der Rauminhalt einer Kugel zu ihrem Radius? Die Radien zweier Kugeln verhalten sich wie 1:10. Das Volumen der größeren Kugel ist 800 cm³; wie groß ist das' der kleineren Kugel?

88. Die Kanten zweier Würfel aus demselben Material verhalten sich wie 2:5. Wenn nun der kleinere Würfel 5 kg 240 g wiegt, welches Gewicht hat der größere Würfel?

89. Die Länge eines Pendels ist dem Quadrate seiner Schwingungszahl umgekehrt proportional. Wenn nun ein Pendel von 1 m Länge in 1000 Sekunden 997 Schwingungen vollzieht, a) wieviel Schwingungen macht in derselben Zeit ein Pendel von 80 cm Länge; b) welche Länge hat ein Pendel, welches in derselben Zeit 1500 Schwingungen vollzieht?

Angewandte Aufgaben mit zusammengesetzten Verhältnissen.

(§§. 115 und 116.)

90. a Kilogramm Garn geben b Meter Leinwand von c Zentimeter Breite; a) wieviel Meter Leinwand von c' Zentimeter Breite geben a' Kilogramm desselben Garns; ß) wie breit wird die Leinwand, wenn aus a' Kilogramm Garn b' Meter gefertigt werden; y) wieviel Kilogramm Garn braucht man, um b' Meter Leinwand von c' Zentimeter Breite zu erhalten?

91.    Eine Mühle mahlt auf a Gängen bei b Umdrehungen pr. Minute in c Stunden d Hektoliter Getreide; auf wieviel Gängen können bei b' Umdrehungen pr. Minute in c' Stunden d' Hektoliter geliefert werden?

92.    Von zwei Rädern, welche ineinander greifen, hat das eine a, das andere b Zähne; wenn nun das erste Rad in s Minuten m Umläufe macht, wie vielmal dreht sich das zweite Rad in t Minuten um?

98. Für 2⁻7 K werden auf einer Eisenbahn 14 Zentner einer Ware 14 Kilometer weit befördert; a) wieviel Fracht wird man zahlen müssen, damit 10| Ztr. 76 Kilometer weit befördert werden; b) wieviel Ztr. wird die Eisenbahn für 4'05 K 63 Kilometer weit befördern; c) wie weit werden 17| Ztr. für 3 6 K geführt?

94. 6 Arbeiter vollendeten in 4 Tagen einen Graben, welcher 300 Meter lang, 11| Dezimeter breit und 3| Dezimeter tief ist. Bei einem zweiten Graben erfordert die Förderung von 5 Kubikmeter ebensoviel Zeit als beim

ersten die Förderung von 6 Kubikmeter. In wieviel Tagen vollenden den zweiten Graben 10 Arbeiter, wenn derselbe 280 Meter lang, 8| Dezimeter breit und 5 Dezimeter tief ist?

95. Wieviel Zinsen geben a) 1287 K, b) 3745 K, c) 8391 K 34 h zu 5| % in «) 2 Jahren, ß) 3| Jahren, /) 2 Jahren 4 Monaten 18 Tagen?

96.    Wieviel Zinsen bringen 3600 K Kapital in 125 Tagen a) zu 6 %, b) zu 4 %, c) zu 4| L, ä) zu 5L?

97.    Eine Staatsschuldverschreibung von 500 fl. wird am 17. August zum Kurse von 102 eingekauft; wieviel K muß man dafür bezahlen, wenn die rückständigen Zinsen (des Nominalwertes) ä 4^ seit 1. Mai zu vergüten sind?

98.    In welcher Zeit geben 5844 K Kapital, ju 4f </₀ angelegt, 744f K Zinsen?

99.    Wie groß muß das Kapital sein, welches zu 5| % in 2^ Jahren 976| K Zinsen bringt?

100.    Zu wieviel % müssen 2424 K angelegt werden, damit sie in 31 Jahren 7271 k Zinsen geben?

101.    Wenn c K Kapital in t Jahren z L Zinsen tragen, a) welchen Zinsen bringen 0' K Kapital in t' Jahren; b) welches Kapital bringt in V Jahren z' L Zinsen; v) in wieviel Jahren bringen o'LKapitalz/LZinsen?

102.    Welches Kapital wächst in 5 Jahren 3 Monaten zu 3| % angelegt auf 4000 K cm?

103.    Eine Wechselsumme von 5626 K 30 h wird zwei Monate vor der Verfallszeit mit 4L diskontiert; a) wieviel beträgt der Diskont; b) wieviel hat der Käufer zu bezahlen?

Trilregel. (§§. 117, 118.)

104. In dem zur Bereitung des Sauerstoffes verwendeten Kalium-chlorat (K CI 0₃) kommen auf 39 Gewichtsteile Kalium 35'5 G. Chlor und 48 G. Sauerstoff. Wieviel Sauerstoff erhält man aus 100 jr Kalium-chlorat? Welches Volumen hat derselbe, wenn 1 dm³ Sauerstoff 1-433.. .g wiegt?

105.    Es soll die Zahl 3710 in 4 Teile geteilt werden, welche sich

zueinander verhalten wie die Brüche

12    3    4

2' 3' 41 5-

106.    Eine Summe von s Kronen ist in drei Teile a, b, c so zu teilen, daß sich a: b = m: n und b: c — p: q verhalte.

107.    In der englischen Schwefelsäure (H₂ 8 0₄) verhält sich das Gewicht des Wasserstoffes zu dem des Schwefels wie 1:16, das Gewicht des Schwefels zu dem des Sauerstoffes wie 1:2; wieviel von jedem der 3 Grundstoffe enthält 1 kg Schwefelsäure?

108.    Drei Personen sollen 9150 K so untereinander teilen, daß A so oft 5 K afö B 3 K und C so oft 3 K ctl§ B 4 K erhalte; wieviel erhält jede Person?

109.    8 Kronen sind in 4 Teile a, b, c, d so zu teilen, daß a: d — m: n, b : d = p : q und <r: b — r: 8 sei.

110.    Das Zwanzig-Kronenstück hat ein Gewicht von 6-775.. g (praktisch 6-77 g, kleinstes Gewicht mit Annahme-Zwang 6-74 g) und ist 0 9 fein. Wieviel Gold und Kupfer enthält es? Wieviel Stücke geben 1 kg feines Gold?

*111. Eine Erbschaft von 18420 K soll unter 4 Personen geteilt werden, daß A B C | und D den Nest erhalte. Vor der Teilung stirbt jedoch A und die übrigen drei teilen nun auch den Anteil des A im Verhältnisse ihrer ursprünglichen Anteile unter sich. Wieviel bekommt jeder?

112.    Drei Gemeinden erhalten für geleistete Erdarbeiten 1500 K. Aus der Gemeinde A arbeiten 11 Mann durch 10 Tage zu 9 Stunden, aus der Gemeinde B 9 Mann durch 9 Tage zu 10 Stunden, aus der Gemeinde C 15 Mann durch 5 Tage zu 6 Stunden täglich. Welchen Anteil an jener Entlohnung wird jede der drei Gemeinden haben?

113.    A beginnt am Anfange des Jahres ein Unternehmen mit einem Fonde von 8000 K; nach zwei Monaten tritt B mit 5000 K und noch zwei Monate später auch C mit 3000 K dazu. Beim Jahresabschlüsse zeigt sich ein Gewinn von 1054 K; wieviel bekommt jeder davon?

§. 13. Dezimatvrüche.

Verwandet« gemeiner Srüche in Dezimalbrüche und umgekehrt.

(§§. 120-122.)

Verwandle folgende gemeine Brüche in Dezimalbrüche a) durch Erweitern:

z- »-S-

b)i;

4. a) if; b) ff;

3. a) ;

d) ff? e) W? 0 W-

d)«;    e)®;    f)®.

17.5« , 17.16626

LI.

2⁸.5⁶

10⁶

0-265625.

d) i; d) M;

z- B-^-^-0-072.

'S 'S-

313

ii ?

111 >

e) R-e)^r;

f\ 1000

V TOT-

b) Durch Division:

5. a) ff; b)    c)    d) {§§; e)

MM

404 •

e. a) fg; b) G; c)    d) M; e)

f) Mää

615 •

825 )

Verwandle folgende Dezimalbrüche in gemeine Brüche:

7.    a)    0-25;    b)    7-75;    c)    0-072;    d)    17 525;    e)    0-9518.

8.    a)    0-6;    b)    0-18;    c)    4 06;    d)    25-752;    e)    6 324.

9.    a)    0-81;    b)    0 041;    c)    8-567;    d)    0'4378;    e)    0-90243.

10. a)    0-73;    b)    15 351;    c)    0*79324;    d)    0-29074;    e)    0-234684.

Rechnen mit unvollständigen Dezimalbrüchen. (§§. 123—126.)

11.    Kürze auf 3 Dezimalstellen ab:

a) 25-7917, b) 3-14159, c) 0-8398, d) 81-57924.

12.    0-91654 + 0-17357 + 0-23408 + 0*16999 + 0• 879. (3 Dezim.)

13.    19 3875...+ 23-473.. + 38-378..+ 8*4531. . + 0-082..

14.    Verwandle die Glieder der Reihe

+ ....+

1.2.3

in Dezimalbrüche und berechne die Summe auf 3 Dezimalstellen. 15. Berechne ebenso auf 4 Dezimalstellen die Reihe

i + h +

2.3.4 ' 3.4.5

10.11.12

16. 88-9397 — 51-4823. (2 Dez.) 18. 8 2315-3-5678..

2.4.6 ¹ 2.4.6.8 ¹ 2.4.6.8.10 ¹    2.4.6.8.10.12'

17. 4-37147 — 1-6392. (3 Dez.) 19. 35-79.. — 10-809.

21. 0-9156.23-851. (2 Dez.)

23. 81-2867.0-1234. (3 Dez.)

20. n. 9-2587. (3 Dez.)

22. 12-0748.1-91345. (4 Dez.)

24.    8 14739.7-10936.2-51446. (4 Dez.)

25.    1-045.1-045.1-045.1-045. (6 Dez.)

26.    Bestimme auf 4 Dezimalstellen p = (a + b + c) (a + b —c) (a —b + c) (b + e —a) für a = 1-30785, b = 2-09122, c = 2-80116.

27.    Berechne die Reihe

1 +

m    2.nr*

für w —3 und x = 0-015 auf 7 Dezimalstellen.

29. 0-37X15-0816..

31. 6-04.. X 0-0085.. 33. 0 1956..X0 8091..

(jn — 1) (2 m — 1)

2.3.rn°

.X

(m — 1) (2m — 1) (3m —1) x4

2.3.4.m⁴

28. 834 X 2 1335..

30. 2 955.. X0 1563.. 32. 28-1354..X7 089..

34. 45-12345:^.(3 Dez.)

36. 13 794:28 376. (4 Dez.)

38. 754-06:0 649. (2 Dez.)

40. 7-24257:19 14. (3 Dez.)

35. 986-256:127 85. (2 Dez.)

37. 0-7123 : 43-566. (4 Dez.)

39. n: 7 • 825. (3 Dez.)

41. 0 436861:18-547. (4 Dez.)

42.    1 Kilogramm — 1'785523. Wiener Pfund; wieviel Kilogramm beträgt 1 Wiener Pfund? (5 Dez.)

44. 912 857 :0-118.. 46. 71-293..: 8-8764. 48. 9-2737..:0-0856.. 50. 30-2582..: 0-71356

43.    3-187:5-3185..

45. 53-4428..: 2».

47. 0 3497..:4-284..

49. 0-00869..:3-846..

5-3145..X 3-4906.. ⁰¹* 7-2084..X 3-7449..*

»O 3-027.-X 8-2579..

0l5‘ 9-461..X6-3047..

53. 1 dm³ Quecksilber hat ein Gewicht von 13-5959. .kg-, welches Volumen hat 1 kg Quecksilber?

64.    Eine mit Quecksilber gefüllte Flasche wiegt 7 kg 395 g 28 cg; die Flasche allein wiegt 384 g 7 cg. Welchen Rauminhalt hat dieselbe?

65.    Eine Flasche wiegt leer 237-70 g, mit Wasser gefüllt 1 - 893 kg 45 cg. Welches Gewicht hat dieselbe Flasche, wenn sie mit Quecksilber gefüllt ist?

66.    1 dm³ Luft (0° 0, 760 mm Druck) wiegt 0*001293 kg; welches Volumen hat 1 kg Luft?

67.    Ein Glasballon wiegt luftleer 1 - 83253 kg, mit Wasser gefüllt 6 - 04785 kg, mit Luft gefüllt 1-83798 kg. Was wiegt 1 dm³ Luft?

68.    1 dm³ Luft wiegt 1-29349^, 1 dm³ Wasserstoff 0*089551 g. Welche Dichte hat Luft bezogen auf Wasserstoff?

69.    Die Erde dreht sich in 24.60.60 <Sef Sternzeit um ihre Achse. 1 Sek.

Sek. mittlerer Sonnenzeit. Wieviel Std., Min.

Sternzeit ist —

und Sek. mittlerer Sonnenzeit braucht die Erde zu einer Umdrehung? 60. Berechne: 1 = I₀ (1 + cc t) für I, —0*678345 m, a — 0*00001455, t = 100.

365242264 366242264

b) 1# = 1 (1 — «t) für 1 = 4-27353 m,

61. Berechne: a) 1₀ -----

1 + Oft'

a = 0-00001698, t = 10.

62.    1° des Äquators hat eine Länge von 111-3066. .km = 15 geographische Meilen. Welche Entfernung haben 2 Orte des Äquators voneinander, deren geographische Längen 8° 17' 35" östl. und 57° 13' 24" östl. sind?

63.    1° eines Erdmeridians hat eine Länge von 111-1111.    —60 See

meilen. Wieviel Seemeilen hat eine geographische Meile?

Gleichungen des ersten Grades.

§. 14. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten.

(§§. 127-131.)

Bringe folgende Gleichungen auf die geordnete Form und bestimme den Grad derselben:

2. (x — a) (x — b)= (x — c) (x — d).

1. x - - == 2.

11. a:

(a+l

12. 15 x — 7x — 33 — 3x — 8.

18. 53 x — 12 + 21x + 3 —14 x -j- 39 ----- 0.

14.    8 + 0⁻7x — l"7x — 5.

15.    12-3x-18-7 + 17-5x --- 34x-21-22.

16.    5-01x —4-02 - 3-03x-2-04 —l-05x —0-06 — 0-04x= 0.

17.    1-01 x-2-02 - 3-03x = 6 06x - 4 04 - 5'05.

18.    ax — b = 0.    19. a — bx-j-o — O. 20. a + x = b — x.

21. 2x-j-3a — 7x — 2a. 22. 5a — 3b—7x — 14a — 12b —10x,

23.    18a²x + 3a²b = 27a²b + 6a²x.

24.    7abx — I6a²b = 3abx —20ab².

25.    ax — a² = bx — b².    26. ax —5a² — 15ab — 3bx.

27. ax = bx + cx.

29. ax — 27 — a³ — 3x.    30. a²x -j- as — abx + b³ + b²x — 0.

31.    a²x 4* a⁸ + ax -|- x — 1 — 0.

32.    a²x — a⁴ = b²x — b⁴. 33. a²x + a⁴ — x + 1.

34. ax —a⁴ = bx — b⁴.    35. ax + a⁴ + bx — b⁴ — 0.

36. 9 — (5 — 2x) = 3x + l.

37o 2x — [11 + 2x - (5x + 7)] = x - 8.

38.    138 - [13 x + (35 —17 x)] = 155 - (3 x — 32).

39.    112 x - [53 x - (18 — 5 x) - 37] = 110 - [(5x -120) - (2lx + 53)].

40.    x — {2x — [3x — (4x — 5x)]} — 1.

41.    a — (2x — [3x — (4x — a)]} — 0.

28. ax-j-b³ — bx a⁸.

43. 18 (x + 35) = 10 (2 x + 45).

42° 12 (x — 1) = 3 (x + 8).

44. 5 (x - 2) — 2x = 2 (x - 1). 45. (x — 2): (x — 5) = 3:2.

46.    (2x² + x + l):(x² —9x —2) = 2:1.

48. 9-3 (2 — y) = 2 (l-2y).

-j-r = 2.

x + 1

7. ——r

x — 1

9. (x-2)³ + (x-l)³ = 4. 10. x² gr = 1*

3.

x — 1

5. (x — a)² — (x — b)² — e².

-ir = 2x. x + 1

4. _-    „____

x — 1    X+1

6. (x — a)² -s- (x — b)² — c².

8. (x - 2)³ — (x- l)³ = 4.

47.    20 —2(x —4) = 2x.

49.    7 (x — 4) + 32 = 20 x — 3 (x -)-1).

50.    3(2x + 9) —9(4 + x) = 3(5 + x)-2(x + 6).

51.    {3(y — 2) — 5).5 — 4(2y — 6) — y — 19.

52.    5(x + 10) —4{160-3(3x —2) + 2x] = 2 + x.

53.    5 {3 + (2x - 7)1 - 7 (x + 5) + 3 = 3 {4 (3 - x) - x} — 70.

65.    a² (a — x) — b² (b + x) — abx.

54.    2x — 2 (x — 2 [x — 2 (x — 2)]} = 0.

55.    2 {2 [2 (2x — 2) — 2] — 2} - 2 = 2.

56.    5{4 [3 (2x — 1) — 2] — 3} — 4 = 1.

57.    (a 1>)    x =    2 a — (a — b) x. 58. a (x — b)    —    b (a — x) -f- 2 b².

59.    m (x —    a) —    n (x — b) ----- (a + b) x.

60.    a (b x — c) — b (a x — c) — x —

61.    a (x -f- a) — b (x — b) — 2ab —    .

63. 5x (ab    -j- x)    = 5 (ab + x²) — 2b² (x — 1).

63.    a² (x —    b) —    b² (x — a) = a² (a — x) — b² (b —    x).

64.    (a-{-b — c) x — (a — b — c) x — (a² + b² -j- c²) — 2 (ab + a c -f

b c) — (a — b + c) x.

66.    (2 - x) (3 — x) = (4 + x) (3 + x).

67.    (8 x — 1): (4 x + 2) — (6 x — 9): (3 x — 4).

68.    (x —5):(x —11) = (x + 1): (x — 7).

69.    (z +1) (z — 1) = z² + z +1.

70.    (2 + x)    (2x + l) + (2- x) (2x -1) = 0.

71.    (x + 2)    (x + 3) —4 --- (x + 4) (5 + x) - 10.

79.    (2x + 5)³ — 4x (x + 3) (2x + 9) + 1 = 0.

80.    (x — 0-1)² —    3x(x — 2-1)    =    8'8 — (2x +    6"8) (x — O'6).

81.    (x + a) (x —    b) == (x + 2a)    (x - 2b).

83. (x — a): (x — b) = (2a - x): (3b - x).

83.    (a² + 2b²) (x — a) — (2a² + b²) (x + b) = 0.

84.    y(a — y) + (b — y)² --- a² —3b².

85.    (x — a)² — (x — b)² + 3 (a — b)² — 0.

86.    4 (x — a — l)² + 5 (x — 3a - 2)² = (3x + l)².

87.    [(a² - 1) x — l]² + (2ax — I)² = [(a² + l)x + l]².

88.    3ax — (2x — 3a)² — (2x + a) (5a — 2x).

89.    4a² — (3x — 2a)² — (5a — x) (5x + 3a) — (2x + 3a)².

90.    (2x —3b)³ = (x + 6b) (x —9b) (8x — 12b) — (3b)³.

9L |x-5 = |-2x.    93. gx-2 = x-A ₊ ^x_2|.

05 | H-*

+ 1. 94. f+j- x + | = 0.

95. f+f+!+f+n-⁹ = *+i-

96-    x = ^-2x-f₀

97. -- b = 4

GO I Oi

-ll

40'

— a.

"• ¥+¥+¥ ⁼ i + ^ + d-

98.    = | + b².

100.    a³—+ + b³ —^ + x = 0.

₁₀1.    l-2 = f-3|.    103. 1+1+1 + ^ = !

103.    V+^ + fx = °-lT + ²⁷-

-j aj 1    2 I 3    4    |    5    7    |    8 _ 9    _ qq

104.    — ~3^ + '4^“5i'+6i'“8i'+'9x — "Toi" — °d'

105.    a - b — f = 0.    106. i -J- ^ - a² + 4 = 0.

108. £-+£ = -+-. bx ¹ dx a ¹ c

110. ⁶-±? + = 72.

107.

b²

a²

bx b²

s + + 3-.4x.

z.z + l.z — 1    2z | 7

llle 2~ '    3    4    5 T*

4x -{- 3

109.

ax

a²'

x — 9    15 — X

112. x =

H3.3-f(l-l)-f(2-l)-34l.

114.    |(2x + 5) + 3(2x — 3) — f(5x — 7) = 1.

115.    f₀ +

15

10

12 '

15

18

116.

3-07x

x —0-08

16

24 -1-O. 8x —0-00925.

117.    3x—^="⁸

4

118.    4 —

— ¥

2(x + 2) = f x-6 — 5x -f 8x²

4x + 2    17

15

24'

3 —4x ,    5

2    3x

119.    3 —|(|x —2) = lfX — |(|x — 9|).

120.    f(3x —7) —22 = f[|(8x — 63) — (2x + 3)].

121.    I[i(ix-l)-lj-l = 0.

122.    §{§[§(ix—!)-§]—!-!=== 0.

123.    1 (|! 1 [| (x + 1) + 3] + 2} - 4) = 1.

4x

4x

= 0..

124. *=i₌)>=i b

126. + 1=4 —

x ¹    b    x

125.

127.

m (a² -f- x²)

ax

mx

— = cm.

a — bx b    bx

a -j— b

bx *

¹³⁸-

129. a —x (a +    = (a — x) (a — ^

63 a⁸b — 30 a b x + 8 x² 20 a² +b²    4 x — 18 ab

— a.

130.

12 abx

2 x , a³ + b⁸ ab—x ab + x ldle ^b + a² b a² — x (a — b)

b²

a² *

6 ab

132.

b² — x (a b)

2x —

a⁸ — b⁸

ab

133.

a²

x-j-a⁸

a³

x-j-a⁴

a⁴

a⁴ —1.

134.

136.

5x² — 6x — 7 _

2x² — 3x — 1 — 2 •

9x -f- 8_3x -j- 2

6x -f- 5 2x -f-1

135.

x — 5

+i

65

2x — 10'

137.

8x— 3_3x-j- 4

2x— 1

x+l

fl.

138.

x—2 x—6 x—4

x— 8*

139.

140.

x+ 2    x — 2 ¹ x² — 4

x -j— 1 _x— 4__2x -j- 3

x—2    x— 3

0.

x²—5x + 6'

141.

10

x—1 ' x — 3    x—2*

142.

x-f~ 7 _x+ 5_x— 6

x—2    x—3    x²—1*

143.

3 (x 2)_

144. £

6 x² + 2 x — 28*37..

18x² —2    42x² — 14x*

150-37..—x

= 3-528..

146.

148.

149.

9x — 8 _ 6

12x —7 — 7'

5 x — 1    x — 2    1

24x + 32    6x -f- 8    5    3x + 4'

19x5    1    _ 1    | 5    (4x — 1)

36x —30    2x    4    "T"    72x — 60"

(x auf 3 Dez.).

6(x—1) __ lOx —19 8x + 24    16 x — 32'

147.

150. ±-

151.

153.

154.

2x+ 1    | 6x + 7

6x + 12 ' 18X + 36

3x +2=0.    152.

_ 3(2x + l)

4x—6 ¹ 8x+12    4x²— 9

lOx —18

12x² —27    2x+3 ¹ 18 x — 27 9x

0.

= 0.

5x + 2    8

9x² —4    6x—4*

A = 0.

155.

3 (x+l)

156.

18x*+30x    12x¹—20x 4" 18x² — 50 6x

2x — 1 x² — 3x — 4 x -j- 16

x — 3    x² + x — 12    x + 4

= 0.

157.    ²

x² — 4

158.    ⁶

159.

5x + 4

x² — 4 x + 4

2 (x -f- 14) _ 4x +11

x² — 4x — 12    x² + 3 x + 2*

9 — 3 x — 2 x2 16 — x²

= 0.

. 13 — 3 x

' x

= 0.

14

x+3    x+1    x+5*

161. ¹³

- = 0.

162.

x— n

o.

163.    ^

b — z

164.

.x — 4 a b

.x.

165.

.x

3» I

a² + b²

166.

x +• a

x — a x-f-a’

167.

ax

mx — a

a + b*

bx _ a | b

m ' n *

nx — b

bx

ac

cx | 2x ₉

= —j—---C².

ab ¹ c

170.

ac — cx

bd — dx

ad — dx bc — cx'

i    1    1 a b

171# 2bi

2b

(a — b) x*

172.

a² — ac

ax

c² + x

c³ + cx*

173.

ax

bx

174.

ab — bx a² — ax

1 —X    1 + X |

1 —a 1 + a ' l + 2a + a²

- — 1=0.

0.

175.

(a² + a) x

a² + a

r—t I cd

a x*

176.

a+ 1

a² — 1

a³—a²+a—1 a³-f- a² + a-j- 1

177.

(a+l)³

a² -f- a

a + l a² + 2a + 1*

178.

a (x — a)

b (x—b)

c (x — c)

= X.

179. - =

180.

x + 2a — 4b ' x — 2a + 4b* 3a — 4x

181.

3a+2x    9a² — 4x²    9a² — 12ax + 4x²

2a — x

2a + x

0.

182.

x+4 ¹ x² — 16 x² — 8x + 16 a + 2b    2ax + 5bx+b² ,

0.

bx + b²

183.

x + a a — 4x

2x² — 2 a²

a — 4x

2 x² — 4 a x + 2 a²

0.

a² — 4"

Moönik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Anst.

a² —5a + 6

a² — a — 6

14

184.

a — 2x

6x— b    3x — b*

185.

186. -

— ab

— ac

x — bc

I--

a+b ¹ a + c ¹ b + c

ax-bc - bx-ac , cx —ab b² + c² a² + c² ' a² + b²

a — d i a — d x— b ' x — c

¹ I 1_ 9

189. i,i^3 o.

T + r

187.

188.

191.

X---

a + b a — 1 a +1 x— 1

3/ -j- b -j~ c.

a—b ₄ a + 1 a — 1 * x + 1*

a³ + b³+c⁸

= o.

190.

192.

m--

x--

X -)--

' m

2x + 1

3x — 1

193.

x + 2

I X

a'a — b_a + b

a —b*

X~T

X"T

194. a + b

"a*

ax

ab

195. 1 +

= 3.

1-1

196. 3

2 ⁼⁼ "2"'

3-1

197.

bx + a²

a² + b²

198. 1

--a

1-b

f 2=0.

199.

x + a a² + 1

(Proportion.)

201.

4x + 2 2x> 6'

203.

4x — 3 2x + 3

3a — 2b — x_ x+ a

a + 2b —x

x— a*

202.

204.

a —x_ _

x—b b •

¥*

205.

3x — 2 a — 2

2x + 3 a — 7 3x + 2a + 4

— 24

206.

— 74

x—7*

207.

x---

6x + 7 6x —4'

208.

(x~~t) _ 3x + 1

X_T

209. (x — 1) (x — 2) = (x — 1) (2x— 1). 211. x — a = a² — x².

210. x² —ax + bx = 0. 212. 2x-4 = 3x² —12.

Löse folgende Ungleichungen nach x auf: 213. x —7<2x + 5.

215. ^ + 4>x-l 217. ^-5>0.

214. 8 — x > 10.

216.

X+ 1

3>⁴-218. 10 —^<0.

2x—

§. 15. Gkeichnngen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Wnöekannten. (§§. 132—135.)

3. 13 x — 7 y = 9, y —2x —1.

5. 19x — 40y = — 6, 6. 3x — 2y = 4b — a,

y = 2x — 3 b.

1. 2x + y = 14,

y = x +1.

4. 8x + 23y = 3,

= —3. y

7. x + y = 13,

2. 3x — 8y = 16, x = 3y — 1.

x: y = 2:1.

8. x + y = s,

x — y = d.

a— b*

12. 16y — 25z = 7,

5 z — 24 y — 9. 15. 3y + 5z = 93, 4y + 7z = 128.

X — y = ll.

10. 8x — 5y — 25,    11. 3 x -j- 4 y — 4,

12 x — 6 y = 5.

14. 6x + 8y = 7,

2x + 6y = 4.

17. 0-8x — 2-5y = 10,

4y — 0 9x — 3.

19. 41x —32-75y = 10-42, 5-2x-36y+ 2-5 = 0.

3 x + 7 y = 36.

13. 7 x + 8 y = 23,

14x — 4y = 6.

16.

y = 2 x + 3, y + l = 4x + 3.

18. 0 2x + 0'04y = 6,

0-7x + 0-09y = 17.

20.    3 (17 — 3x) — 4 (15 - 4y) = 3,

2 (25 — 6x) + 3 (25 - 8y) = 5.

21.    (4x + 5) (3y - 8) - (2x + 9) (6y +10) = 26, 8 x (27 — 2y) — 4y (63 — 4x) = 24.

y + 4    2'

28. ⁸-!=2y +

2x — 3y , 4x —3y

5x — 3 y

2x —9'

29. —= y — 42i

x-231 = Lt^-

22. 3x — 4y = 4,

f+X=6.

25.

y 5'

23. x + 2 y = 30, ®5 + i = ll.

5    '    2

26. — = -jr,

x—-y    x+y'

Bx — 7 y

:X+lf

y + 1.

24- |x-|y = 2,

1 , 2 A -2x+3-y = ⁴.

27. x + ⁹ _ 2₍

2x — 8 y—2

*30. 8{x+2 [y-2(x + 3)]} = 29,

2 {2y — 4 [y — 2 (x + 1)]} = 9. 31. (x + l)(y-l) = (x + 5)(y-5), (x + 2) (y + 3) = (x + 4)(y-l).

2 (x —2) —3y

32.

3x-5y

5 (x —y) — 6 (3x —6y — 1)

10

x + 2y+ 2

9y — 2x

33. x + y = l,

ax — by = a — b.

36. x + m y = a, x — ny = b.

39. ax-f y = a³, x + a y = 1.

42. (a -f- c) x ■+■ (a — c) y = 2 b c, (b — c) x -f- (b 4- c) y = 2 a c.

7 y — 4 x

4    =y-    3—-

34. ax-f-y —m, x — y = n.

37. a (x + y) = m, b (x — y) = n.

40. a x — by = a² + lb², b x -J- a y = a² -f- b².

35. x — y = a, ax —by — a²-f-b².

38. y = ax-f b, y = a'x + b'.

41. ax-f by = a⁵, bx-f ay = b⁵.

44. a²x-j-ay —a-f-b,

(a + b)x + y=++

43. a² x -f- a b y = b⁴, bx-f ay = a²b.

45. a x -f- b y = a² + b²,

a²x-(-b²y = a³ — ab(a — b) -j-b³.

47. ax — (a — b) y — b²,

(a-j-b)x — by — a² — b².

46. x —(a + b)y==^~,

(b — a) x -|- a b y = b².

48.    x — y = 2a + b +

a, - by = (a + b).- ^ + <!^±iV^=Jyü>

49.    a (x + y) — b (x — y)

(a + b) (1 — x) — b (1 — y)

4ab² —2a(a² + b²)

a² —b²

a² + b²

b²

a+b*

50. f + 7 = 9,

— = 2.

51. ± + i. = lf

x ¹ y ' 30, 31 x ~ y

= 6.

52.

-4---

^ y-i

53.

y+b

ab ' a² —b²

54.

2x — 3 y

= 1,

i    ,    +    =    2.

X—1 y —1

-I--?—    2

' 4x -)-y

x— a

y+b ab

55.

2x + 3y — 28 2x + 3y —28

3x —2y —10 3x — 2y — 10

4x + y 2x — 3 y

= 8, 56. ^    ^ - -

f    X

a + b

48*

2b,

a² + b²

ax

by

ab

b*

I--= a,

¹ y '

ati₊ b ₌2.

x ¹ y

58.

x+y

a — 1 x+y

a+J x —y a— 1

= -2,

~ = 2a (a — 1).

59.

n + y

m + x'

n — x*

61. ax + — y = a²,

-|x + ay = a³.

2y — a _ 9 b '£>

2y + b_ a + b

a²    ab

60. ?~a + 2b

b

X I y _X+y ab ' b c ac

y _9

-b — 4

4 ab

a + b a² — b²*

63.

2x — b

2x — a

b²

65. -J-

a — b

7+t-

3 x (a — b)²

a + b a + b 9 as + ab2 ab -Pb²'

x___y_ ₌_

a+b a — b    a + b'

_ y _ i

a + b^a — b a — b*

66. ^ +

a + b '

x —a | y —-6 b+'c

64.

y+b

= 2,

2.

67. —

--7“---£-v- = 2 ab,

a — b a + b    '

68.

a² — a + 1

x —y— 2

a—1

a² + ab + b² ' a² — ab + b²

2a.

a⁸— 1

a²+V

69.

X-+

10

4x — 5 y

x-f

6x — 11 y

' 70. _!__3

X—y

co |co

rH |

= - + - +-■ 2x ¹ 5y ' xy

Oil <1

x+y

71. x: y = 3: 7, x -+ y = 50.

73. (x+2):(y + 4)=4:5, 74. (x + y):(y-x):(2y-x-3) = 9:l:5. (x— 8):(y—6)=2:3.

72. x: y = 1:4,

17x — 3y = 3.

76. (4x + y) : (2x — y) = 16:5, (2x + 7y): (x + 8) = 14:5.

75. 5x:8 = (y + 5):2,

3x:8 —(y — 2): 1.

77. (3x + 2y-4) : (2x + 3y-l) = 3:2,

(x — 2y —3): (2x —3y —6) = 2:3.

79 x + y + 2b

X + y —2b X + y + 1 __ a + 1 x — y + 1    b + 1"

78. -

y _ x+y

x + 2a'

a —b'

x — y — 3a_x + a

x — y + 3a x — a*

80. x² — y² = a², x 4- y = b.

<50

*)82. y 4- 2x = 5,

4x 4- 2y ----- 10.

QO

CO

4- + + +

co rO co CM

X X CM

—i ICO l-l ICO

cT t-

t-H tH

INS

84. x + 3y = 39,

3x + 2z = 48,

4y — 3 z — 18.

86. ax + by — a² + ba,

— by+ az = a², az — 2bx — (a — b)².

88.    (a — b) x -j- (a -j- b) y = 2 a,

(a — b) y + (a + b) z — a — b,

(a — b) z -\- (a -f~ b) x — a + b.

89.    a (x + y) — b (x — y) = 3a (a + b), b (y + z) — a (z — y) = b (2a + 3b), b (x + z) — a (x — z) — 3 b (a -j- b).

90.    ax + by — (a — b) z — 2b²,

85. 3x — 4y — 6,

2 x -f- 3 z = 6, 5y — 6z — 8.

87. ax + by — ab, by + az — 2 ab, az -(- bx — ab.

CM rH

a⁴ — b⁴

ay — bx —

(a + b) z — (a — b) x =

91. 3x+ y + 2z = 13, x + 2y-}-3z — 17,

2x -(- 3y 4~ z — 12.

93. 3x + 2y — 3z — 9,

2x -f- 3y — 4z — —4,

4x — y — 2z — —2.

95. 0'4x-f-0’5y + 0⁻7z — 51,

0'3x + 0⁻4y -j- 0’5z ----- 38,

0’2x + 0⁻3y -f- 0'4z — 29.

97. (a —b)x + ay—bz = a² —ab,

ax + (a—b)y — (a + b)z = ab + b², bx — by — (a — b)z = 3ab—a².

99. (a + b + c) x -1 (y + z) = (b + c)²,

(a + b + c)y + |(x + z) = (a-hc)², (a + b + c)z+y(x+y)=(a + b)².

ab '

92. 6x — 4y + 3z — 28,

4x — y — 3z — 7,

2x — 3y + 4z — 13.

94. 2x — 3y + 5z = 0,

— 3x + 5y — 6z — 2|, 5x —4y + 3z — —2|.

96. O'Sx + Oöy+ 4z — 10,

1 2x — 0'2y — 0'4z = 5, 1 5x —2y — 5z — 1.

98. aj x + bj y4-cx z — d1( a₂x + b₂y + c₂z = da, asx + bs y + c₃ z = d₃.

100. ax + by4-cz = m, a²x + b²y + c²z = m², a³ x -)- b³ y -J- c⁸ z — m³.

*) Ein Ausnahmsfall.

101. 2x + 3y — 4z — 50, x : y : z = 5 : 4 : 3.

103. ax + by + cz — ab -{- b c + ac, x : y : z = b² c² : a² c² : a² b².

₁₀₅. | + Ü ₊ l? ₌ i8,

T + y + T=¹⁹'

i + *1 + ^ _ 23.

107. 3 x — y — z — 10,

+ X + ± = 13₍

l + i+f = io.

x + i y + i y + 2

Z+ 1

z + 3 i

x + 1    2-

111. 2x —3 y —

3x— $y 2y 3z 6x —4

102. x + y+ z = 8, x : y = a : y : z = b :

104. ax + by + cz — s x : y : z — m : n : p.

106. x -f- y + y — 612, y + y + y = 612, f + X + « ₌ 612.

rO Ö

ax — by __ az —cy a 4“ b

by— cz _ bx-f-az

109.

= 2,

= 4,

6 y — 5 z _10 z — 19

110.

x + y __ *~t~b y+ z

y + x

x + y + z = a + b.

38 — x

a + b'

112.

2z — 4

113.

115.

1 + 1-x y

im. -1+1 + 1

x ¹ y ¹ z

2-—1 + 1 x y ¹ z

i+i-i

X ¹ y z

= a,

= b,

c.

116.

xy

= a,

= b,

~ = 20

z

117. xy + xz + yz — 9xyz,

5yz + 4xz— 3xy — lOxyz, 5xy — 3xz — 4yz — 3xy z.

= c.

32

4x — 5y ‘ 3x + 2 z ' 3y — 5x

= i,

12

= 2|

= i|-

119. x + z — 18, z-y = 2, u + y = 12,

u —j— 2 x — 26.

121. 3u — x + y + 2z — 20,

120. u-f-x + y — z ------ a,

u + x — y + z = b, u-x + y + z = c, —u+x+y+z = d.

122. 3u-4x + 2y =

4u — 3x — 2z —

2u + y — 5z = 3,

3x — 4y + z — 2.

124. x —|— y — 2 a, y + z = 3 a, z -(- u = a — b, x — u — 3b.

2u + 3x— y + z — 17, u + 2x + 3y — z — 21,

—    u + x + 2y + 3z — 12.

123. 2u — 3w + 4x — 5y + 6z ----- 6, 3 u + w — 5 x + y — 3z — 3,

—    u + 4w + 2x — 5y + z — 8, u — w + x — y + z = 3,

u + w + x + y + z -    15.

125. ax + by ----- 2ab,

ay + bz — a² + ab + b², az — bu — a² + b², au + bx — a² — ab + b².

§. 16. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Altbekannten. (§§. 136, 137.)

1.    Das m (3) fache und das n (4) fache einer Zahl beträgt zusammen a (196); wie groß ist die Zahl?

2.    Subtrahiere ich das m (1§) fache einer Zahl von a (40), so erhalte ich b (8); tote heißt die Zahl?

3.    Eine Zahl a (637) ist so in zwei Teile zu teilen, daß der eine Teil m (21) mal in dem anderen enthalten ist.

4.    Von welcher Zahl gibt der 5te (m te) und 7 te (n te) Teil zusammen 120 (a)?

5.    Von welcher Zahl ist der siebente (mte) Teil um 8 (a) kleiner als der dritte (n te) Teil?

6.    Die Zahl a (90) soll in zwei Teile so geteilt werden, daß das m (5) fache des ersten Teiles um d (7) größer sei als das n (2) fache des zweiten Teiles.

7.    Die Summe aus dem 5 (m) ten und 9 (n) ten Teile einer Zahl ist um 2 (a) kleiner als die Hälfte (der pte Teil) der Zahl; wie heißt

dieselbe? (Bedingung ^- + -i- < ^-)

8.    Von welcher Zahl ist der 11 (m) te Teil um 3 (a) größer als der 12 (n) te Teil der um 3 (a) verminderten Zahl?

9.    Wenn man eine Zahl mit 15 multipliziert, zu dem Produkte 20 addiert, die Summe durch 4 dividiert und von dem Quotienten 14 subtrahiert, so erhält man das 3 fache der fraglichen Zahl; welche Zahl ist es?

10.    In welche zwei Teile muß man 60 zerlegen, damit der größere Teil durch den kleineren dividiert 2 zum Quotienten und 3 zum Reste gebe?

11.    Eine Zahl a ist so in zwei Teile zu zerlegen, daß deren Quotient der gegebenen Zahl selbst gleich sei.

12.    Vermindere ich 62 um das 3^fache einer gewissen um 6 verminderten Zahl, so erhalte ich den 5ten Teil der um 1 vermehrten Zahl. Wie heißt die Zahl?

13.    Wenn ich die Hälfte einer Zahl von 18 subtrahiere und dann die Zahl durch den Rest dividiere, so erhalte ich dasselbe, als wenn ich die Zahl von 72 subtrahiere und das Doppelte dieses Restes durch die Zahl dividiere. Wie heißt die Zahl?

14.    Wie heißt die stetige geometrische Proportion, deren drei Glieder um gleichviel größer sind als 1, 3 und 6?

15.    Vermindere die Faktoren der beiden Produkte ab und (a +1) (b + 1) um denselben Betrag, so daß die Produkte einander gleich werden.

16.    Vermehre 8, 17, 13, 25 um gleichviel, so daß die erhaltenen vier Zahlen eine Proportion bilden. Wie lautet dieselbe?

17.    Um welche Zahl muß man die Faktoren des Produktes 28.84 vermindern und die des Produktes 36.44 vermehren, damit die beiden Produkte einander gleich werden?

18.    Welche Zahl muß man vom Zähler und vom Nenner des

Bruches    subtrahieren, damit der neue Bruch gleich -j j werde?

addiert und

19.    Welche Zahl muß zum Zähler des Bruches

vom Nenner desselben subtrahiert werden, damit der erhaltene Bruch der reziproke des früheren sei?

20.    Um welche Zahl muß man Zähler und Nenner der beiden Brüche ^ und ^ vergrößern, damit die beiden erhaltenen Brüche einander gleich werden?

21.    Wenn man vor eine gewisse einziffrige Zahl 8 schreibt, so ist die erhaltene Zahl 4¹/₂ntal so groß, als wenn man hinter dieselbe 8 setzt. Wie heißt jene einziffrige Zahl?

22.    Eine zweiziffrige Zahl mit der Ziffernsumme 6 ist 6mal so groß als die letzte Ziffer; wie heißt die Zahl?

23.    Eine zweiziffrige Zahl hat die Ziffernsumme 6; vertauscht man die Ziffern, so ist die neu entstandene Zahl um 6 größer als das Dreifache der ersten Zahl. Wie heißt die Zahl?

24.    Wenn man eine zweiziffrige Zahl mit der Ziffernsumme 9 um 9 vermehrt, so erhält man eine Zahl mit denselben Ziffern in umgekehrter Reihenfolge. Wie heißt die Zahl?

25.    Ich multipliziere eine Zahl mit 2, hänge an das Ergebnis rechts 5 an, dividiere dann durch 11 und vermehre den Quotienten um 1, so erhalte ich das Doppelte der gedachten Zahl; wie heißt dieselbe?

26.    Setzt man an eine gewisse Zahl rechts 6, dividiert dann durch 9, hängt an den erhaltenen ganzzahligen Quotienten rechts 8 an und dividiert dann durch 12, so erhält man 4. Wie heißt jene Zahl?

27.    Welche Ziffer muß man an 2, 4, 7, 13 rechts anhängen, damit die entstandenen Zahlen eine Proportion bilden?

28.    Eine sechsziffrige Zahl hat an der ersten Stelle rechts die Ziffer 7; schneidet man diese rechts ab und setzt sie links wieder an, so erhält man das 5fache der ursprünglichen Zahl. Wie heißt dieselbe?

29.    Eine sechsziffrige Zahl hat an der höchsten Stelle die Ziffer 9. Wenn man diese links wegnimmt und rechts wieder ansetzt, so erhält man den vierten Teil der ursprünglichen Zahl. Wie heißt dieselbe?

30.    Eine fünfziffrige Zahl hat an der niedrigsten Stelle die Ziffer 4. Wenn man dieselbe rechts wegnimmt und links ansetzt, so erhält man eine Zahl, welche um 16 größer ist als das Doppelte der ersten Zahl. Wie heißt die Zahl?

31.    Wenn man in einer dreiziffrigen Zahl 5 links wegnimmt und rechts ansetzt, so erhält man eine Zahl, welche sich zur ursprünglichen wie 19:13 verhält. Wie heißt die Zahl?

32.    Ich denke mir eine einziffrige Zahl, hänge rechts 2 an, zähle 8 hinzu, setze rechts 5 an, zähle 1 hinzu, dividiere durch 2 und schneide rechts die letzte Ziffer ab, welche gleich der gedachten Zahl ist, so erhalte ich 20.

33.    Jemand wird nach 10 Jahren doppelt so alt sein, als er vor 4 Jahren war; wie alt ist er jetzt?

34.    Ein Vater ist jetzt 48, sein Sohn 21 Jahre alt; vor wieviel Jahren war der Vater lOmal so alt als sein Sohn?

35.    Ein Vater ist 36, sein Sohn 10 Jahre alt; wieviel Jahre muß der Vater noch leben, damit er gerade doppelt so alt werde, als es dann sein Sohn sein wird?

36.    A ist jetzt m mal so alt und wird nach a Jahren n mal so alt sein als B; wie alt ist A, wie alt B? Diskussion des Resultates!

37.    Ein Vater ist gegenwärtig 3 mal so alt als sein Sohn; vor 12 Jahren war er 9 mal so alt als der Sohn. Wie alt ist jeder?

' 38. Ein Knabe sagt: meine Mutter ist 25 Jahre älter als ich, mein Vater ist 5 Jahre älter als die Mutter, und wir alle zusammen haben 91 Altersjahre. Wie alt ist der Knabe, die Mutter, der Vater?

39.    Jemand bestimmt in fernem Testamente ⁸/₈ seines Vermögens seiner Frau und jedem seiner 3 Kinder u/₂o von dem Anteile ihrer Mutter; der Rest von 300 K soll den Armen gespendet werden. Wie groß war das Vermögen?

40.    Bei der Teilung einer gewissen Summe erhält A a (1000) K

und ~ (jsj des Restes, B    des neuen Restes und noch b (500) K

darüber, C die noch übrigen c (2500) K. Wieviel erhält A, wieviel B?

41.    2380 K sollen unter vier Personen in folgender Weise verteilt werden. B erhält l^mal so viel als A weniger 60 K, C erhält */₄ dessen, was A und B zusammen erhalten, und noch 20 K, D erhält ²/₆ dessen, was die 3 anderen Personen zusammen erhalten haben. Wieviel erhält jede?

^42. Unter drei Personen wird eine bestimmte Summe so verteilt, daß B" 20 K weniger als A und C 20 K weniger als B bekommt; die ganze Summe ist um 25 K größer als das 4fache dessen, was C bekommt. Wieviel erhält jede?

43.    Drei Personen kaufen zusammen ein Los. Die erste gab 2 K weniger als die zweite, die dritte 5 K mehr als die zweite. Wieviel hat jede gegeben, wenn das Los 1200 K gewann und der Anteil der ersten Person 80 K betrug?

44.    A beginnt ein Geschäft mit 1500 K; nach 3 Monaten tritt B mit 1500 K und nach weiteren 4 Monaten C mit 2400 K in dasselbe ein. Drei Monate später ist das Geschäft beendet und ein Gewinn von 752-1 K erzielt worden; wie muß derselbe verteilt werden?

vJ5. Ein Kaufmann hat zwei Sorten einer Ware; von der einen kostet das Kilogr. 60 (a)h, von der andern 40 (b)h; er will von beiden eine Mischung von 80 (m) Kilogr. bereiten, die er zu 45 (c) h das Kilogr. verkaufen kann. Wieviel Kilogr. muß er dazu von jeder Sorte nehmen?

«»46. Ein Weinhändler hat zweierlei Weine; von dem ersten kostet das Hektoliter 120 K, von dem zweiten 64 K; er will durch Mischung 7 Hektoliter zu 80 K bekommen. Wieviel Hektoliter wird er von jeder Gattung zu der Mischung nehmen müssen?

47.    Ein Kaufmann will m (42|) kg einer Ware, von welcher das kg a (1-4) K kostet, mit einer Ware von besserer Qualität, von der das kg b (2 1) K kostet, so mischen, daß ein kg der Mischung c (1-6) K wert ist. Wieviel kg der besseren Sorte muß er nehmen?

48.    Wieviel Kupfer (Gehalt — 0) muß man mit 26 kg Silber, das 09 fein ist, legieren, um 0-52 feines Silber zu erhalten?

49.    Wieviel reines Silber muß zu 200 g Silber von dem Feingehalte 0-835 zugesetzt werden, damit der Feingehalt 0-900 werde?

50.    Wieviel Gold von dem Feingehalte 0-920 (Gold Nr. 1) muß man zu 400 g Gold von dem Feingehalte 0-750 (Nr. 3) zusetzen, um Gold von dem Feingehalte 0-840 (Nr. 2) zu erhalten?

51.    Zu 24 kg 0-8 feinem Silber werden 12 kg einer andern Silbersorte hinzugesetzt, wodurch die Mischung 0-75 fein wird; welchen Feingehalt hat die zweite Sorte?

52.    Wieviel kg Wasser müssen aus 20 kg 32 prozentiger Schwefelsäure durch Abdampfen entfernt werden, damit sie 80°/, hat?

82prozentige Schwefelsäure enthält in 100 Gewichtsteilen 32 Gewichtsteile konzentrierte Schwefelsäure und 68 Gewichtsteile Wasser.

53.    Wieviel kg Wasser müssen zu 80 kg 24prozentiger Salzsohle zugesetzt werden, damit sie 16°/, hält?

54.    10 kg Kupfer (spez. Gew. — 8'9) werden mit 75 kg Silber (spez. Gew. — 10 5) zusammengeschmolzen; welches spezifische Gewicht hat die Legierung? (2 Dez.)

(Von der geringen Bolumsverminderung wird abgesehen.)

55.    Welches spezifische Gewicht hat a) das Silber des Ein-Kronen-stückes? (Feingehalt 0-835) b) das Gold des Zwanzig-Kronenstückes? (Feing. 0-9, sp. G. d. Goldes = 19-3.)

56.    Ein Vater schenkt seinem Sohne für jede fehlerfreie Aufgabe 10 Heller; für jede fehlerhafte Aufgabe dagegen muß der Sohn dem Vater 5 Heller zurückzahlen. Bei 20 Aufgaben ergab sich nun, daß dem Sohne von den erhaltenen Geschenken 80 Heller übrig blieben; wie viele Aufgaben hat er ohne Fehler, wie viele fehlerhaft gearbeit?

57.    Jemand dingt einen Gärtner auf einen Monat (30 Tage); er verspricht ihm während dieser Zeit die Kost und für jeden Tag, an dem er arbeitet, lf K; für jeden Tag, an dem der Gärtner nicht arbeitet, muß dieser dem Herrn § K für die Kost bezahlen. Nach einem Monat erhielt der Gärtner 36 K; wie viele Tage hat er gearbeitet und wie viele nicht?

58.    Zwei Fässer enthalten 351 Liter Wein; nimmt man aus dem ersten den sechsten und aus dem zweiten den dritten Teil heraus, so bleibt in beiden gleichviel übrig. Wieviel Liter enthält jedes Faß?

59.    In einer Gesellschaft waren 2 mal so viel Männer als Frauen; nachdem 8 Männer mit ihren Frauen weggegangen waren, blieben noch 4 mal so viel Männer als Frauen. Wieviel Männer und Frauen waren anfangs da?

60.    In einer Fabrik arbeiten 62 Arbeiter, teils Meister, teils Gesellen ; jeder Meister erhält täglich 4 K, jeder Geselle nur die Hälfte davon; würde man jedem Meister von seinem Lohne 0-8 K abziehen und dafür jedem Gesellen so viel zulegen, so würde der tägliche Lohn um 25-6 K mehr betragen. Wie viele Meister mtb wie viele Gesellen sind es?

61.    Die Vorderräder eines Wagens haben 35 dm, die Hinterräder 44 dm im Umfange; wenn nun ein Vorderrad von A bis B 387 Umdrehungen mehr gemacht hat als ein Hinterrad, a) wie vielmal hat sich jedes umgedreht, b) wieviel Meter ist A von B entfernt?

62.    Gibt Jemand 10 h in die rechte Tasche, so hat er in dieser halb so viel als in der linken; gibt er aber dieselben in die linke Tasche, so hat er in dieser dreimal so viel als in der rechten. Wieviel enthält jede Tasche?

63.    Ein Spieler verlor den dritten Teil seiner Barschaft und 1 K; beim zweiten Spiele gewann er ein Drittel des Restes weniger 1 K. Beim dritten Spiele gewann er den fünften Teil seiner jetzigen Barschaft und hatte nun im ganzen weder gewonnen noch verloren. Wie groß war seine anfängliche Barschaft?

64.    Ein Knabe und seine Schwester wurden gefragt, wieviel Geschwister sie hätten. Der Knabe antwortete: .Ich habe gerade so viel Brüder als Schwestern"; das Mädchen aber sagte: „Ich habe nur halb so viel Schwestern als Brüder." Wieviel Geschwister waren es?

65.    Ein Diener soll von seinem Herrn jährlich 710 K und einen Anzug erhalten. Nachdem er 5 Monate im Dienste gestanden, erhielt er 237^ K und den Anzug. Wie hoch wurde dieser gerechnet?

66.    Trefflichster Künd'ger der Zeit, welch' Teil ist des Tages

verlaufen?

Nimm des Verlaufs zwei Drittel; es bleibt dann doppelt so viel noch.

67.    Hier dies Grabmal deckt Diophantos — ein Wunder zu schauen: Durch des Entschlafenen Kunst lehrt dich sein Alter der Stein.

Knabe zu bleiben verlieh ein Sechstel des Lebens ein Gott ihm;

Fügend das Zwölftel hinzu, ließ er ihm sprossen die Wang';

Steckte ihm drauf auch an in dem Siebtel die Fackel der Hochzeit,

Und fünf Jahre nachher teilt' er ein Söhnlein ihm zu.

Weh! unglückliches Kind, so geliebt! Halb hatt' es des Vaters Alter erreicht, da nahm's Hades, der schaurige, auf.

Noch vier Jahre den Schmerz durch Kunde der Zahlen besänft'gend Langte am Ziele des Seins endlich er selber auch an.

68.    Eine Frau verkaufte von den Eiern, welche sie mit in die Stadt nahm, zuerst die Hälfte weniger 5, dann die Hälfte des Restes weniger 5 und dann abermals die Hälfte des Restes weniger 5. Jetzt besaß sie gerade noch z- der ursprünglichen Zahl. Wieviel Eier hatte sie anfangs?

69.    Von 300 Äpfeln erhielt A den 4ten Teil und noch eine bestimmte Anzahl, B den 4ten Teil des Restes und noch dieselbe Anzahl wie bei A, C wiederum den 4ten Teil des Restes und außerdem noch dieselbe Anzahl wie bei A. 115 Äpfel blieben übrig. Wieviel Äpfel erhielt jeder?

70.    Eine Frau verkauft Eier und zwar zuerst die Hälfte und noch ein halbes, dann die Hälfte des Restes und wieder ein halbes Ei dazu; ebenso zum dritten, vierten und fünften Male. Wenn nun der fünfte Käufer nur das letzte Ei erhielt, wieviel Eier hatte die Frau anfangs?

71.    Eine Erbschaft soll unter die Kinder so geteilt werden, daß das älteste Kind 100 K und den lOten Teil des Restes, das folgende 200 K und den lOten Teil des Restes und sofort jedes folgende Kind 100 K mehr als das vorhergehende und den lOten Teil des Restes erhalte. Es ergab sich, daß alle Kinder gleich viel erhielten. Wie groß war das Vermögen und die Zahl der Kinder?

72.    Eine Summe wird unter 4 Personen in folgender Weise geteilt: A und B erhielten zusammen 80 K, A doppelt so viel als 6, D 30 K mehr als C, das ist gerade dreimal soviel als B. Wieviel erhielt jede?

73.    Jemand verkaufte eine Ware mit 3 (p)# Verlust für 1784'8 (a) K; wieviel hatte er im Einkäufe dafür gegeben?

74.    Ein Kaufmann verkauft den Zentner einer Ware für 161 K und gewinnt dabei 15#; wie teuer hatte er den Zentner eingekauft?

75.    Welches Kapital wächst in n (3) Jahren, zu p (6)# angelegt, mit den einfachen Zinsen auf a (3020s) K an?

76.    Wie lange muß ein Kapital zu p (4)# angelegt bleiben, damit die Zinsen ^(f) des Kapitals betragen?

77.    Zu wieviel Prozent muß ein Kapital angelegt werden, damit es sich mit den einfachen Zinsen in 20 Jahren verdoppele?

78.    Zwei Kapitalien sind auf Zinsen angelegt, 4400 K ä 5# und 5500 K ä 4| #; in welcher Zeit werden sie zusammen 1870 K Zinsen gebracht haben?

79.    Von zwei Kapitalien, deren Summe 5330 K beträgt, ist das erste zu 5#, das zweite zu 4# angelegt; wie groß ist jedes, wenn das erste doppelt so viel Zins trägt als das zweite?

80.    Jemand hatte 48000 K zum Teil zu 4#, zum Teil zu 41# auf Zinsen angelegt. Als er aber diese ganze Summe in einem Unternehmen anlegte, das 7|# trug, hatte er einen jährlichen Zinsenüberschuß von 1590 K. Wie groß war das zu 4# angelegte Kapital?

81.    Wenn ein Kaufmann das Kilogramm einer Ware zu a (26) K verkauft, gewinnt er p (4)#; wieviel # gewinnt er, wenn er das Kilogramm zu b (26¹1) K verkauft?

82.    Ein Hausbesitzer zahlte von dem Mietzins 9-8# Steuer. Als

dieselbe auf 12# erhöht wurde beschloß er, den Mietzins so zu steigern, daß er ebensoviel wie früher behielt. Um wieviel # wurde der Mietzins erhöht?    -

83.    Von einer Schuld find 800 K nach 3 Monaten, 300 K nach 5 Monaten und 900 K nach 9 Monaten fällig. Wann kann die ganze Schuld auf einmal abgetragen werden?

Bei dieser und den folgenden Aufgaben ist der Diskont von Hundert zu rechnen.

84.    Von einer Kaufsumme von 5000 K sollen 1000 K bar erlegt werden, 1500 K nach 8 Monaten, 700 K nach weiteren 6 Monaten und der Rest nach weiteren 10 Monaten gezahlt werden. Wann könnte statt dessen die ganze Summe auf einmal erlegt werden?

85.    Jemand hat 1080 K nach 2| Monaten, 1800 K 2 Monate später und den Rest nach weiteren 3 Monaten zu zahlen. Wie groß ist dieser, wenn er statt dessen auch den gesamten Betrag nach 5 Monaten zahlen kann?

86.    Jemand ist verpflichtet, 3000 K nach 1 Jahre zu zahlen. Statt dessen will er 1000 K sogleich und den Rest in 4 gleichen Terminen zu gleichen Beträgen abzahlen. Wie groß ist ein solcher Termin?

87.    Jemand ist verpflichtet, ein Kapital nach 1 Jahre zu zahlen. Statt dessen will er in 4 Terminen, welche immer 3 Monate auseinander liegen, jedesmal £ des Kapitals abzahlen. Wann ist die erste Rate fällig?

88. Ein Wasserbehälter faßt 9117

m°.

Derselbe kann durch 3 Röhren gefüllt werden; die erste liefert in 3 Stunden 144 w⁸, die zweite in 4 Stunden 231 m⁸ und die dritte in 5 Stunden ebensoviel, wie die zweite in 4 Stunden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt, wenn alle 3 Röhren geöffnet werden?

89.    Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die erste Röhre allein in a (3), durch die zweite allein in b (4|) Stunden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt sein, wenn man das Wasser durch beide Röhren zugleich fließen läßt?

90.    Ein Wasserbehälter kann durch eine erste Röhre allein in a (4) Stunden, durch eine zweite Röhre allein in b (8) Stunden gefüllt werden, hingegen kann der gefüllte Behälter durch eine dritte Röhre in c (6) Stunden entleert werden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt, wenn alle 3 Röhren geöffnet werden?

91.    Ein Dampfschiff legt in einer Stunde stromaufwärts einen Weg von 10'2 Kilometer, stromabwärts einen Weg tioit 17 • 7 Kilometer zurück; welchen Weg würde das Schiff durch die Kraft der Maschine allein (bei stillstehendem Wasser), welchen Weg durch die Kraft des Stromes allein (bei stillstehender Maschine) in einer Stunde zurücklegen?

92.    Vier Springbrunnen es gibt. Die Cistern' anfüllet der erste Täglich; der andere braucht zwei Tage dazu und der dritte

Drei und der vierte gar vier. Welch' Zeit nun brauchen zugleich sie?

93.    Drei Maurer arbeiten an einer Mauer. Der erste würde die Mauer allein in 12 Tagen, der zweite in 10 Tagen Herstellen. Alle drei zusammen brauchen 4 Tage. Welche Zeit hätte hiezu der dritte Maurer allein gebraucht?

94.    Drei Fässer    fassen zusammen    290    l. Füllt man das zweite    aus

dem vollen ersten, so    bleibt in diesem    noch    ein Drittel zurück; füllt    man

den Inhalt der beiden letzten in das erste Faß, so fehlen noch 10 l. Wieviel Liter faßt jedes Faß?

95.    Jemand hat 4 Fässer. Füllt er das zweite aus dem ersten, so

bleiben in diesem ^    des Inhaltes zurück;    füllt er das dritte aus    dem

zweiten, so bleiben in    diesem § zurück;    füllt    er das vierte aus dem dritten,

so werden nur § desselben gefüllt. Füllt er aus dem ersten das dritte und das vierte, so bleiben 30 l zurück. Wieviel Liter enthält jedes Faß?

96.    Der Außenwinkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes verhält sich zu dem Außenwinkel an der Spitze wie m: n (29:32); wie groß sind die Winkel des Dreieckes?

97.    Der 9 (m) te Teil eines Winkels eines Parallelogrammes ist um 12 (ct)° kleiner als der 7 (n) te Teil eines benachbarten Winkels. Wie groß sind diese beiden Winkel?

98.    Die Außenwinkel an der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes verhalten sich wie m: n (13:17); wie groß sind die Innenwinkel?

99.    Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreickes ist gleich a (2-7346. . Mi); wie groß ist die andere, wenn sie um d (0'8135. . m) kleiner ist als die Hypotenuse?

100.    Ein rechtwinkliges Dreieck mit der einen Kathete a (56) hat den Umfang u (154). Wie groß sind die beiden anderen Seiten?

101.    Eine Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes ist um d (28'512 m) größer als ihre Projektion auf die Hypotenuse. Wie groß ist die Hypotenuse, wenn die Projektion der anderen Kathete gleich q (109-512 m) ist?

102.    Die Höhe eines rechtwinkligen Dreieckes ist um d (4-76) größer als der kleinere Hypotenusenabschnitt und um e (16*32) kleiner als der größere Abschnitt. Wie groß ist dieselbe?

103.    In einem Dreiecke ist eine Schwerlinie um 6 größer als eine zweite. Der größere Abschnitt der kleineren Schwerlinie ist um \ größer als die Hälfte der größeren. Wie groß sind dieselben?

104.    Wenn man die Grundlinie eines Dreieckes um 6 cm vergrößert und die Höhe um ebensoviel verkleinert, nimmt der Flächeninhalt um 42 cm3 ab. Wie groß sind die Grundlinie und die Höhe, wenn ihre Summe gleich 40 cm ist?

105.    Wie groß ist die Seite jenes Quadrates, dessen Flächeninhalt um 475 cm² wächst, wenn die Seite um 5

vergrößert wird?

cm

106.    Die Umfänge zweier Quadrate unterscheiden sich um a (52) cm, ihre Inhalte um b² (2002) cm²; wie groß sind die Seiten?

107.    In einem Rechtecke verhalten sich zwei anstoßende Seiten wie m: n (3:5); verkleinert man die kleinere um a (1) m und vergrößert die größere um ebensoviel, so nimmt der Inhalt um b² (7) in² ab. Wie groß sind die Seiten?

108.    Die Diagonalen eines Rhombus unterscheiden sich um d (9) cm; vergrößert man die kleinere um m (3) cm und verkleinert die größere um n (5) cm, so bleibt der Inhalt ungeändert. Wie groß sind die Diagonalen?

109.    In einem Trapeze übertrifft die größere parallele Seite die kleinere um 10 cm und diese die Höhe um 6 cm. Der Inhalt des Trapezes ist um 48 cm² kleiner als das Quadrat über der kleineren parallelen Seite; wie groß ist diese?

110.    In welchem regelmäßigen Vielecke beträgt der Unterschied zwischen einem Innen- und Außenwinkel 150°?

111.    Bestimme zwei regelmäßige Vielecke von der Eigenschaft, daß die Anzahl der Seiten des einen doppelt so groß ist als die des anderen, und ein Winkel des ersten um 10° größer ist als ein Winkel des zweiten.

112.    In einem Vielecke ist die Anzahl der Seiten um m (3) und die der Diagonalen um n (36) größer als in einem andern; welche Vielecke sind es?

113.    Von einem Punkte ist an einen Kreis eine Tangente gezogen, welche um a (16 cm) kleiner ist als eine von demselben Punkte gezogene Sekante, hingegen um b (8 cm) größer als deren äußerer Abschnitt. Wie groß ist die Tangente?

114.    Eine Kreissehne wird durch eine zweite halbiert. Von den beiden Abschnitten der letzteren ist der eine um 3 cm größer, der andere um 2 cm kleiner als die Hälfte der ersten Sehne. Wie groß sind diese Sehnen?

Wie groß sind die Kanten?

cm'.

115.    Die drei Kanten eines rechtwinkligen Parallepipedes unterscheiden sich um je a (2 cm). Vergrößert man jede um b (2) cm, so wächst die Oberfläche um c² (264)

116.    Der Rauminhalt eines rechtwinkligen Parallelepipedes, dessen Kanten sich um je a (3) cm unterscheiden, ist um bs (63) cm³ kleiner als der mit der mittleren Kante konstruierte Würfel. Wie groß sind die Kanten?

117. Die Mantelfläche eines geraden Zylinders beträgt § der ganzen Oberfläche. Wie groß ist der Radius des Grundkreises, wenn derselbe um 9 cm kleiner ist als die Höhe?

15

MoLnik-Neu mann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Kl. d. Gymnas. 30. Ausl.

118. Die Höhe eines geraden Zylinders ist um 4 (a) der Radius seiner Grundfläche. Vergrößert man die Höhe um 2 (b) cm und verkleinert den Radius um ebensoviel, so verhält sich die Oberfläche des neuen Zylinders zu der des alten wie 5: 9 (m : n). Bestimme Radius und Höhe!

größer als

cm

119. Über demselben Kreise erhebt sich eine Halbkugel und ein Kegel, dessen Höhe um a (4) sein Inhalt sich zu dem der Halbkugel verhält wie m: n (5:9). Wie groß ist der Radius der Halbkugel?

cm

größer ist als der Radius der Kugel, während

120.    Zwei Körper K' und K" bewegen sich auf einer geraden Linie in derselben Richtung von den Punkten A' und A“ gleichförmig mit den Geschwindigkeiten c' und c". Der Körper K' verläßt den Punkt A', welcher um d Längeneinheiten rückwärts von A" liegt, um t Zeiteinheiten später, als der Körper K" den Punkt A" verläßt. Wann und wo werden beide Körper zusammentreffen? (Diskussion des Resultates.)

121.    Vom Orte A' aus geht des Morgens 5 Uhr eine Lokomotive ab, welche in 4'5 Stunden 105 Kilometer zurücklegt. Eine halbe Stunde später wird von A" aus, welcher Ort 52'5 Kilometer hinter A' liegt, der ersten Lokomotive eine zweite nachgesendet, die 105 Kilometer in 3 Stunden fährt. Wann wird die zweite Lokomotive die erste einholen?

122.    Ein Kurier soll von A aus einem Regiments, das vor 6 Tagen von dort abmarschiert ist und täglich 28 Kilometer vorwärts geht, Ordre bringen. In welcher Entfernung von dem gemeinschaftlichen Abgangsorte wird er dasselbe erreichen, wenn er täglich 84 Kilometer zurücklegt?

123.    Zwei Körper bewegen sich von demselben Punkte aus nach derselben Richtung. Der erste hat die Geschwindigkeit c m, der zweite, welcher seine Bewegung um t Sekunden später beginnt, hat die Geschwindigkeit c' m. Nach welcher Zeit, vom Abgänge des zweiten Körpers an gerechnet, werden beide Körper d m voneinander entfernt sein?

124.    Von A' nach A" sind 315 Kilometer. Um Mittag geht von A' ein Eilwagen ab, der 10 Kilometer in der Stunde macht. Um wieviel Stunden früher muß von A' eine Fahrpost, die in der Stunde nur 6 Kilometer zurücklegt, abgehen, damit sie mit dem Eilwagen gleichzeitig in A" eintreffe?

125.    Zwei Körper bewegen sich von zwei Punkten, deren Entfernung d m beträgt, mit den Geschwindigkeiten c und c' gegeneinander. Der erste beginnt seine Bewegung um t Sekunden früher als der zweite. Wann und wo werden beide Körper zusammentreffen?

126.    A' und A" sind durch eine Eisenbahn verbunden, deren Endpunkte 225 Kilometer voneinander abstehen. Von A' geht gegen A" ein

Personenzug ab, der in jeder Stunde 30 Kilometer zurücklegt; zu gleicher Zeit geht von A" gegen A' ein Lastenzug ab, der in jeder Stunde 20 Kilometer zurücklegt. Wann begegnen sich die beiden Züge?

137. Ein Kurier M' geht von A' nach A", ein anderer Kurier M" von A" nach A'; M' tritt die Reise um 5 Tage früher an als M", dagegen legt M" täglich 20 Kilometer mehr zurück als M'. Als sie 3 Tage nach der Abreise des M" zusammentrafen, hatte M' gerade einen doppelt so großen Weg zurückgelegt als M". Wieviel Kilometer hat jeder täglich zurückgelegt und wie groß ist die Entfernung zwischen A' und A"?

128.    A' und A" sind durch eine 152 Kilometer lange Eisenbahn verbunden. Von A' geht um 8 Uhr 30 Min. vormittags ein Zug nach A" ab mit der Geschwindigkeit von 10 Meter per Sekunde; an demselben Vormittage um 9 Uhr 15 Min. geht von A" ein Zug mit der Geschwindigkeit von 9 Meter per Sekunde nach A' ab. Wann und in welcher Entfernung von A" begegnen sich diese Züge?

129.    Von A' geht ein Kurier, welcher täglich 105 km zurücklegt, nach A"; zu gleicher Zeit wird von A" ein Kurier, welcher dem ersten nach 5 Tagen begegnen soll, nach A' abgeschickt. Wieviel Kilometer muß der zweite Kurier täglich zurücklegen, wenn die Entfernung A' A" 1125 km, beträgt?

130.    Um 8 Uhr morgens fährt von A' nach A" ein Eilwagen, der jede Stunde 9 Kilometer zurücklegt; 20 Minuten nach 2 Uhr nachmittags verläßt ein Dampfwagen den Ort A" und langt auf einer neben der Landstraße liegenden Eisenbahn, indem er stündlich 30 Kilometer zurücklegt, zu derselben Zeit in A' an, zu welcher der Eilwagen in A" ankommt. Wie groß ist die Entfernung zwischen A' und A"?

131.    Zwei Körper bewegen sich von den Punkten A' und A", deren Entfernung d Meter beträgt, gegeneinander. Fängt der erste t' Stunden früher au sich zu bewegen, so treffen sie T' Stunden nach dem Abgänge des zweiten zusammen; fängt der zweite t" Stunden früher an sich zu bewegen, so treffen sie T" Stunden nach dem Abgänge des ersten zusammen. Wieviel Meter legt jeder in einer Stunde zurück?

132.    Von zwei Orten gehen gleichzeitig zwei Boten einander entgegen. Der eine würde den ganzen Weg in t (15), der andere in V (10) Stunden zurücklegen. Wann begegnen sie einander?

15*

133.    „Ein Weidmann hetzet einen Fuchs, hat der Fuchs 60 sprüng bevor, und als offt der Fuchs thut 9 sprüng, so offt thut der Hund 6 sprüng. Aber doch thun 3 Hundsprüng so vil als 7 Fuchssprüng. Ist die Frag, wie vil der Hund muß sprüng thun, bis er den Fuchs erhasche?" (Aus der „Coß von Chr. Rudolfs".)

134.    Ein Dampfschiff und ein Segelschiff fahren von A nach B. Das erste legt in 3 Stunden 51 km, das zweite nur 15 km zurück. Das Segelschiff hat bereits 24 km zurückgelegt, bevor das Dampfschiff abfährt, und kommt 4 Stunden nach diesem in B an. Welche Zeit braucht es, um den ganzen Weg zurückzulegen, und wie groß ist die Entfernung beider Orte?

135.    Zwei Körper bewegen sich auf der Peripherie eines Kreises, welche p Längeneinheiten beträgt, zu gleicher Zeit von demselben Punkte aus in derselben Richtung mit den Geschwindigkeiten c' und c". Nach wieviel (T) Zeiteinheiten werden sie wieder zusammentreffen?

136.    Zwei Körper bewegen sich auf der Peripherie eines Kreises gleichzeitig von demselben Punkte aus in entgegengesetzter Richtung. Der eine legt in jeder Sekunde einen Bogen von a° (3° 12'30"), der andere von ß° (1° 17' 30") zurück; nach wieviel Sekunden werden sich dieselben zum ersten-, zweiten-, nteit mal begegnen?

137.    Wieviel Zeit verfließt von einem Zusammentreffen der beiden Zeiger einer Uhr bis zum nächsten Zusammentreffen derselben?

138.    Wieviel Minuten nach vier Uhr wird der Minutenzeiger einer Uhr über den Stundenzeiger zu stehen kommen?

139.    Auf der Peripherie eines Kreises bewegen sich zwei Körper gleichförmig und in derselben Richtung; der erste beschreibt den Umfang in t Sekunden und trifft mit dem zweiten alle T Sekunden zusammen. In welcher Zeit vollendet der zweite einen Umlauf?

140.    Auf zwei konzentrischen Kreisen bewegen sich zwei Körper in derselben Richtung; der eine legt seinen Kreis in 27 322.. Tagen, der andere in 365 24.. Tagen zurück. Welche Zeit verfließt von dem Zeitpunkte, da beide sich auf demselben Radius befinden, bis dies wiederum der Fall ist?

141.    Auf einem Kreise bewegen sich zwei Körper gleichzeitig von demselben Punkte aus nach entgegengesetzter Richtung; der eine legt den Kreis in t, der andere in t' Sekunden zurück. Wann begegnen sich die beiden Körper zum ersten-, zweiten-, nten mal?

142.    Zwei Körper bewegen sich auf der Peripherie eines Kreises nach entgegengesetzter Richtung. Ihre Umlaufszeiten sind m bezüglich n Sekunden, ihre anfängliche Entfernung d m. Wenn dieselben sich nach t Sekunden zum erstenmal begegnen, wie groß ist die Peripherie des Kreises? Welcher Zeitraum liegt zwischen zwei Begegnungen?

§. 17. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Unbekannten.

1. Wenn man zum Zähler und Nenner eines Bruches 7 addiert, so erhält er den Wert f; subtrahiert man vom Zähler und Nenner 2, so erhält er den Wert |. Welches sind Zähler und Nenner des Bruches?

2.    Welcher Bruch erlangt den Wert |, wenn man Zähler und Nenner um 3 vermehrt, hingegen den Wert 2, wenn man den Zähler um 5 vermehrt und den Nenner um 5 vermindert?

3.    Wird der Zähler und Nenner eines Bruches um 1 (a) vermehrt, so nimmt der Wert des Bruches um ^ (m) zu; wird aber Zähler und Nenner um 1 (a) vermindert, so nimmt der Wert des Bruches um ^ (n) ab. Wie heißt der Bruch?

4.    Bestimme zwei Zahlen, deren Summe wmal und deren Produkt nmal so groß ist als ihre Differenz.

5.    Bestimme zwei Zahlen, deren Differenz, Summe und Produkt sich wie m : n : p (1:2:3) verhalten.

6.    Dividiert man eine Zahl durch eine zweite, so erhält man 2 als Quotienten und 7 als Rest; dividiert man die Summe beider Zahlen durch . ihre Differenz, so erhält man 2 zum Quotienten und 5 als Rest. Wie heißen diese Zahlen?

7.    Die Differenz zweier Zahlen ist a; die Differenz ihrer Quadrate b. Welche Zahlen sind es?

8.    Die Differenz der Quadrate zweier Zahlen ist a (17); vergrößert man jede um b (2), so ist die Differenz der Quadrate c (21). Welche Zahlen sind es?

9.    Bestimme zwei Zahlen von folgender Eigenschaft. Wird die erste um 4 größer und die zweite um 4 kleiner, so wächst das Produkt um 20; wenn hingegen die erste um 9 kleiner und die zweite um 15 größer wird, so bleibt das Produkt ungeändert.

10. Zwei Zahlen werden mit denselben zwei Ziffern geschrieben und verhalten sich wie 3:8; welche Zahlen sind es, wenn ihre Ziffernsumme 9 beträgt?

11. Vermehre ich eine zweiziffrige Zahl um das 9 fache ihrer Einer, so erhalte ich 80; vermehre ich sie dagegen um 18, so erscheinen in der Summe ihre Ziffern in umgekehrter Ordnung; wie heißt die zweiziffrige Zahl?

12.    Zwei dreiziffrige Zahlen haben zur Summe 999. Von den beiden sechsziffrigen Zahlen, welche man erhält, wenn man die beiden Zahlen nebeneinander schreibt, ist die eine 6 mal so groß als die andere. Wie heißen diese Zahlen?

13.    Zwei zweiziffrige Zahlen haben folgende Eigenschaft. Setzt man die erste Zahl links vor die zweite und dividiert die so entstandene Zahl durch die zweite, so erhält man zum Quotienten 64 und zum Reste 38; wenn man hingegen die zweite vor die erste stellt und dann durch die erste dividiert, so erhält man 158 zum Quotienten und 21 zum Reste. Wie heißen die beiden Zahlen?

14.    Eine dreiziffrige Zahl hat die Zisfernsumme 17. Die erste Ziffer links ist der vierte Teil der rechts folgenden zweiziffrigen Zahl und die erste Ziffer rechts der neunte Teil der links stehenden zweiziffrigen Zahl. Wie heißt die Zahl?

15.    Die Ziffernsumme einer dreiziffrigen Zahl ist 18. Vertauscht man die Einer mit den Hundertern, so ist die neue Zahl um 396 größer als die ursprüngliche; wenn man hin gegen die Zehner mit den Hundertern vertauscht, so wächst die Zahl nur um 180. Wie heißt die Zahl?

16.    Vertauscht man in einer dreiziffrigen Zahl mit der Zisfernsumme 11 die zweite Ziffer mit der ersten Ziffer links, so bleibt die Zahl un-geändert; vertauscht man aber die zweite mit der ersten Ziffer rechts, so wird die neue Zahl um 18 größer als die ursprüngliche. Wie heißt die Zahl?

17. Verwandle folgenden Bruch in eine Summe von Brüchen, deren Nenner die Faktoren des gegebenen Nenners sind:

39 ff- a

(2 +3a) (5 —4ä)‘

15 + 88 a _|_ 124 a³

(l + 2a) (l + 3a) (l +4a)‘

18. Ebenso:

X —x³ •

19. Ebenso:

1 — 4x + x³

20.    Schwer bepackt ein Eselchen ging und des Eselchens Mutter; Und die Eselin seufzete sehr; da sagte das Söhnlein:

Mutter, was klagest und stöhnest du doch, wie ein jammerndes Mägdlein? Gib ein Pfund mir ab, so trag' ich doppelte Bürde;

Nimmst du es aber von mir, gleichviel dann haben wir beide.

Rechne mir aus, wenn du kannst, mein Bester, wieviel sie getragen.

21.    In jedem von zwei Fässern ist eine gewisse Menge Wein. Gießt man aus dem ersten in das zweite so viel, als jetzt darin ist; dann aus dem zweiten in das erste so viel, als schon darin ist; dann wieder aus dem ersten in das zweite so viel, als darin übrig geblieben war, so enthalten beide Fässer gleich viel Wein, nämlich 72 Liter. Wieviel Liter enthielt jedes Faß?

22.    A und B machen eine Wette von 12 Kronen; gewinnt A, so hat er dreimal so viel Geld als B; verliert er, so hat er nur doppelt so viel als B. Wieviel Geld hat jeder?

23.    Drei spielen miteinander; im ersten Spiele verliert der erste an jeden der anderen so viel, als jeder von diesen bei sich hatte/ im zweiten Spiele verliert der zweite an den ersten und dritten so viel, als jeder derselben hat; im dritten Spiele verliert der dritte an den ersten und zweiten so viel, als jeder hat; nach geendigtem Spiele hat jeder 24 Kronen. Wieviel hatte jeder am Anfange des Spieles?

24.    A sagt zu B: Gib mir 10 h, so habe ich 9 mal so viel als du. Darauf antwortet B: gib du mir so viel, so habe ich ebensoviel als du. Wieviel hat jeder?

25.    Jemand nimmt abwechselnd aus der einen Tasche den dritten Teil des darin befindlichen Geldbetrages und gibt denselben in die andere Tasche. Nachdem er dies viermal getan hat, hat er in jeder Tasche 32 h. Wieviel hatte er anfänglich in jeder Tasche?

26.    Eine Frau bringt Eier zu Markte. Unterwegs werden ihr 10 Eier zerbrochen. Hätte sie jedes Stück um | h teurer verkaufen können, als sie ursprünglich beabsichtigte, so hätte sie keinen Schaden gehabt. Da es ihr aber nur gelingt, die Hälfte der Eier zum ursprünglichen Preise zu verkaufen, und sie die andere Hälfte per Stück um f h billiger verkaufen muß, so nimmt sie um 60 h weniger ein, als sie erwartet hatte. Wieviel Eier hatte sie und was sollte jedes Stück kosten?

27.    Ein Vater spricht zu seinem Sohne: „Vor 4 Jahren war ich 5 mal so alt als du und nach 4 Jahren werde ich dreimal so alt sein als du." Wie alt ist jeder?

28.    Ein Großvater ist doppelt so alt als seine beiden Enkel zusammen. Vor 4 Jahren war er 4 mal so alt als sein älterer und 6 mal so alt als sein jüngerer Enkel. Wie alt ist jeder von ihnen?

29.    In einer Familie ist der Großvater 15 Jahre älter als Vater und Sohn zusammen; vor 5 Jahren waren der Großvater und Vater zusammen 11 mal so alt als der Sohn und nach 5 Jahren würden der Großvater und der Sohn zusammen doppelt so alt sein als der Vater. Wie alt ist jeder?

30. Jemand kauft 5 hg Kaffee und 12 hg Zucker zusammen für 26 K 34 h. Was kostet das hg von jeder Ware, wenn 4 kg Zucker um 2 h weniger kosten als 1 hg Kaffee?

31.    Mischt ein Kaufmann 8 hg Kaffee mit 12 hg einer besseren Sorte, so kann er das hg um 5-16 K verkaufen; mischt er aber umgekehrt 12 hg der ersten Sorte mit 8 kg der zweiten, so kann er das hg zu 0'94 K verkaufen. Wie teuer war ein hg von jeder Sorte?

32.    Ein Weinhändler mischt 2 Sorten Wein, von denen das Liter 1-28 L und 1-6 L kostet, und löst für die ganze Mischung 136 K. Ein andermal mischt er zwei Sorten, von denen das Liter 1"4 K und 2 K kostet, und löst für die Mischung 155 K. Wie teuer war 11 jeder Mischung,

wenn er

gleiche Mengen von den geringeren Sorten und gleiche Mengen der besseren Sorten verwendet hat?

„    10 „

33. Von drei Metallstangen enthält

die erste 4 dkg Gold, 8 dkg Silber, 12 dkg Kupfer, die zweite 8 „ die dritte 10 „

14

„    6 „

Aus diesen will man durch Legierung eine Metallstange erhalten, welche 10 dkg Gold, 10 dkg Silber und 11 dkg Kupfer enthält; wieviel dkg Nluß man von jeder der drei Metallstangen dazu nehmen?

34.    Jemand hat 3 Stücke Silber von dem Feingehalte 0°900, 0*800 und 0*720, welche zusammen 2000 g wiegen. Wenn er die beiden ersten zusammenschmilzt, erhält er den Feingehalt 0*840; tut er dies mit den beiden letzten, so erhält er den Feingehalt 0*750. Welches Gewicht hat jedes Stück?

35.    Zwei Körper vom spezifischen Gewichte s, und s₂ sollen so miteinander verbunden werden, daß der entstehende Körper p kg wiege und das spezifische Gewicht s habe; wieviel kg eines jeden Körpers hat man zu nehmen?

36.    Wie groß sind die spezifischen Gewichte zweier Körper A und B, wenn a kg vom ersten und b kg vom zweiten zusammen das spezifische Gewicht 8, dagegen a, kg vom ersten und b, kg vom zweiten zusammen das spezifische Gewicht sx haben?

37.    Eine aus Gold und Silber gemachte Krone des Königs Hiero von Syracus wog 20 Pfund, unter Wasser getaucht nur 18I Pfund; wenn nun Gold im Wasser scheinbar ^ und Silber ^ von seinem Gewichte verliert, wieviel Gold und wieviel Silber war in der Krone?

38.    Ein Wasserbehälter kann durch 2 Röhren gefüllt werden und zwar entweder dadurch, daß beide Röhren 6 Stunden lang fließen, oder dadurch, daß die erste 7, die zweite 4 Stunden fließt. In welcher Zeit füllt jede Röhre allein den Behälter?

39.    Ein Wasserbehälter kann durch drei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die Röhren Rt und R₂ in a (70), durch R, und Rs in b (84), durch R₂ und Rg in c (140) Minuten; wieviel Zeit braucht jede Röhre allein dazu, um den Behälter zu füllen?

40.    Zn einer Arbeit erbieten sich drei Personen, A, B und C; A und B würden zusammen die verlangte Arbeit in 18 Tagen liefern können, A und C zusammen könnten dies in 12 Tagen, B und C zusammen in 9 Tagen. In welcher Zeit kann die Arbeit durch alle drei Personen zusammen geleistet wurden?

41.    Wird die Besatzung einer Festung um 2000 Mann verstärkt, so reicht der Proviant für 15 Tage weniger lang aus. Wenn hingegen dieselbe um 3000 Mann vermindert wird, so kommt dieselbe 24 Tage länger aus. Wie stark war die Besatzung und für welche Zeit war dieselbe verproviantiert?

42.    Zwei Arbeiter A und B können eine Arbeit in 20 Tagen vollenden. Nach 9 Tagen erkrankt A, und B vollendet die Arbeit in weiteren 24§ Tagen. Wieviel Tage hätte jeder allein zu der Arbeit gebraucht?

43.    Jemand ist verpflichtet, 3500 K nach 1 Jahre zu zahlen. Statt dessen kann er auch 1000 K bar, 1500 K zu einem ersten und den Rest zu einem zweiten Termine zahlen oder 500 K bar, 2500 K zu demselben ersten und 500 K zu demselben zweiten Termine. Welche Termine sind gewählt worden?

(Der Diskont ist von dem Endwerte zu berechnen.)

44.    Zwei Kapitalien, von denen das eine zu 3\%, das andere zu 4 % ausgeliehen ist, tragen zusammen jährlich 414-25 K Zinsen. Wäre das erste Kapital zu 4 % und das zweite zu 32 % angelegt, so würden die Zinsen um 6'95 K größer sein. Wie groß sind die beiden Kapitalien?

45.    Ein Kapital ist um 400 K größer als ein anderes; da es aber \% weniger trägt, so sind die Zinsen beider gleich. Würde hingegen das erste Kapital zum Zinsfüße des zweiten und dieses zum Zinsfüße des ersten angelegt, so wären die jährlichen Zinsen des ersten Kapitals um 30 K größer als die des zweiten. Wie groß sind die beiden Kapitalien?

46.    Jemand hat zwei Kapitalien, das eine zu 3L, das andere zu 3§^ angelegt, welche ihm zusammen jährlich 352 K Zinsen brachten. Hätte er dieselben um \% höher angelegt, so hätte er jährlich 53-5 K Zinsen mehr erhalten. Wie groß sind die Kapitalien?

47.    Drei Kapitalien, welche zusammen 26000 K betragen und der Reihe nach zu 3, 3| und 3\°/₀ ausgeliehen sind, tragen zusammen jährlich 910 K Zinsen. Wären sie bezüglich zu 3f, 3| und 3% ansgeliehen, so würden sie jährlich 52-5 K weniger tragen. Wie groß sind dieselben?

48.    Zwei Eisenbahnzüge fahren von zwei 133 km entfernten Orten gleichzeitig einander entgegen und begegnen einander nach 3| Stunden. Wäre der eine Zug 19 Minuten vor dem andern abgegangen, so hätten sie einander bereits 3 Stunden 21 Minuten nach Abgang des letzteren begegnet. Wieviel Kilometer legt jeder Zug in der Stunde zurück?

49.    Von zwei 60 km entfernten Stationen fahren zwei Eisenbahn--züge einander entgegen, doch geht der erste Zug um 10 Minuten früher ab als der zweite. 50 Minuten nach Abfahrt des zweiten sind die beiden Züge noch 6 km voneinander entfernt; nach weiteren 10 Minuten haben sie sich nach der Begegnung schon wieder um 3-8 km entfernt. Welchen Weg legt jeder Zug in 1 Minute zurück?

50.    Zwei Radfahrer A und B fahren von zwei Orten, welche 2 km voneinander entfernt sind, nach derselben Richtung. Bei gleichzeitiger

Abfahrt holt A den B nach 50 Minuten ein; fährt aber B 5 Minuten früher ab als A, dann holt A den B erst 75 Minuten nach Abfahrt des A ein. Wieviel Meter legt jeder in der Minute zurück?

51.    Ein Radfahrer fährt um 8 Uhr von einem Orte A nach einem 15 km entfernten Orte B und von dort sofort zurück nach A. Ein Fuß-geher geht um 8 Uhr 20 Minuten von B nach A. Der Radfahrer begegnet ihm um 9 Uhr und überholt ihn um 9 Uhr 48 Minuten. Wieviel Meter legt jeder von beiden in der Minute zurück?

52.    Bewegen sich zwei Punkte auf einem Kreise gleichzeitig von demselben Orte aus in derselben Richtung, so treffen sie stets nach 15 Sek. zusammen; wenn sie sich aber in entgegengesetzter Richtung bewegen, so begegnen sie sich stets nach 3 Sek. Wieviel Grad legt jeder in der Sekunde zurück?

53.    Zwei Boten gehen von zwei Städten, welche 74'4 km voneinander entfernt sind, einander entgegen. Wenn A 2 Stunden später aufbricht als B, dann begegnen sie sich 6 Stunden nach Abgang des A; wenn aber B um 2 Stunden später aufbricht als A, dann begegnen sie sich 5| Stunden nach Abgang des B. Wieviel Meter legt jeder in der Minute zurück?

54.    Zwei Körper sind 80 m voneinander entfernt. Bewegen sich dieselben gleichzeitig gegeneinander, so sind sie nach 8 Minuten nur noch 4 m voneinander entfernt; bewegen sie sich gleichzeitig hintereinander, so hat sich der schnellere erst nach 50 Minuten 40 Sekunden dem andern bis auf die gleiche Entfernung von 4 m genähert. Wieviel m legt jeder in der Minute zurück?

55.    Die drei Winkel eines Dreieckes verhalten sich wie m: n: p (5: 9:10); wie groß sind dieselben?

56.    Die Summe der beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes ist 8 (223 m); wenn man die kleinere um d (60 m) vergrößert und die größere um e (90 m) verkleinert, so wächst der Flächeninhalt um m (1950 m²). Wie groß sind die Katheten?

57.    Vergrößert man die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes um 8 cm, die andere um 2 cm, so wächst das Quadrat der Hypotenuse um 144 cm² und der Flächeninhalt um 24 cm². Bestimme die Seiten !

58.    Zwei rechtwinklige Dreiecke haben eine gleiche Hypotenuse. Eine Kathete des ersten Dreieckes ist um 4 m kleiner, die andere um 8 m größer als die entsprechenden Katheten des zweiten Dreieckes; wenn nun der Flächeninhalt des ersten Dreieckes um 34 m² größer ist als der des zweiten, wie groß sind die Katheten?

59.    In einem gleichschenkligen Dreiecke mit dem Umfange u (64) cm ist die Höhe auf die Grundlinie h (24) cm; wie groß ist die Grundlinie und ein Schenkel?

60.    In einem Dreiecke ist die Summe zweier Seiten 42 dm, die Summe der zugehörigen Höhen 40'32 dm und die Summe aus einer Seite und der zugehörigen Höhe 41 dm. Wie groß sind diese Seiten?

61.    Grundlinie und Höhe eines Dreieckes verhalten sich wie m: n (6:5); vergrößert man dieselben um d (9 cm), so ist der Inhalt des entstandenen Dreieckes um p (189 cm¹) größer als der des ursprünglichen. Wie groß ist der letztere?

62.    Vergrößert man die Grundlinie eines Dreieckes um 1 cm und die Höhe um 2 cm, so wächst der Flächeninhalt um 40 cm¹; vergrößert man hingegen die Grundlinie um 2 cm und die Höhe um 1 cm, so wächst der Flächeninhalt um 43 cm¹. Wie groß sind Höhe und Grundlinie des Dreieckes?

cm

63.    Der Flächeninhalt eines Rhombus wächst um 324 cm¹, wenn man jede Diagonale um 6 cm vergrößert, hingegen um 54 cm¹, wenn man die eine Diagonale um 6 cm vergrößert und die andere um 4 verkleinert. Wie groß sind die Diagonalen?

64.    Die Zentriwinkel zweier gleicher Kreissektoren mit den Radien 20 cm und 16 cm unterscheiden sich um 27°; wie groß sind dieselben?

65.    Ein Kreisring hat die Breite d. Jede Sehne des größeren Kreises, welche den kleineren berührt, hat die Länge s. Berechne die Radien beider Kreise!

66.    Wachsen die drei in einer Ecke zusammenstoßenden Kanten eines rechtwinkligen Parallelepipeds um 1, 2, 3 cm, so wächst das Quadrat der Diagonale um 142 cm¹; wachsen dieselben Kanten um 3, 1, 2 cm oder um 2, 3, 1 cm, so wächst in beiden Fällen das Quadrat der Diagonale um 130 cm¹. Wie groß sind die Kanten?

67.    Ein regelmäßiger vierseitiger Pyramidenstumpf hat die Höhe 15 cm. Vergrößert man die größere Grundkante um 3 cm und die kleinere um 5 cm, so bleibt die Differenz der Grundflächen ungeändert, während der Rauminhalt des Körpers um 705 cm² wächst. Wie groß sind die Grundkanten?

§. 18. Wotenzen.

(— a)2n - a2n

1° = 1. 0° = 0.

(— a)2n+i = — a2n+\

1. (— a)³ — (— a)².

(- 4)²

6.    Berechne: (x — l)⁵ — (x + 1)⁴ — ^

b) für x — — 1.

7.    Berechne

X⁶—1

x³ — 1

(x —2)a ' (x+3)⁸ furx —    ²>

a) für x = —2; b) für x = -1.

am.an ----- am+n. 9. a3n. a⁸.

8. a8n.a.

11. ax b¹ a8x b2x.

13. 4a2x+ybx-²y.5ax-⁴y.b³y-2x.2a³b.

10. a3n. a°.

12. am_1 an+¹. am+n b3m~2a. b3m+3n.

15. (—a)2m+⁴.(—a)²“-¹. . (— a)2a+⁴ b6n. 17. (- a)⁴“-² b⁶.a⁷ (— b)

14. (— a)⁴.(— a)s.

16. a4n—9 (— b)

18.    3(a + b)³.4(a + b)².

19.    a³ (a + b)²^¹ (a — b) “+¹. a° (a + b)^¹ (a — b)2a+⁹.

20.    (— a)n b5-n c. (— a)n+³ b'H-²“ cn. (— a“ bn~⁷ c2n).

21.    Berechne 21S (= 256.x).

23. x (x — l)n. xn. (x — 1)³ xn+³. (x — 1). Probe für x — — 2, n ----- 2.

25. (a — x)n (x — a)2n+¹.

. 27. (a - b + c)2a (b — a — c)²—¹.

2n—3

11—2n

22. Berechne 3⁸ mittels 3⁵ — 243.

24. (a —b) (b — a)².

26. (a — b — c)”-¹ (b + c — a)

28.    (x3a-b — x2a + xa+b — x2b + x3b-a) (xa + xb).

29.    (x3m — x2m + xm — 1) (xm -f 1).

30.    (x2m + 2xmyn + 4y2n) (xm — 2y“).

31.    (4 an — 2 an_1 b + aa~² b²) (3 a³ b

32.    (fxm —|) (|x“-i) (&x» + f).

2n—2

n—1

— 4 a² bn — ab“!⁻¹).

Zerlege in Faktoren: 33. 8 m⁸ —16m⁵ + 24m³. 35. x2m — x³”^¹    x4m+³.

37. xn — xn_1 + xn~².

39. an+⁷ b”-¹ — an~² bn+².

41. Vereinige:

an

b»+i

a² — b²

34. x2n — x”.

36. x“+⁴    3xm+² + 4xm~¹.

38. an_1— 2an-2b + an-3b⁹. 40. 32a”+³ b2n—3 + an—2 b2n+².

an-f 2 — bn+²

a⁸ + b⁸

42.    a) x¹⁰:x.

43.    Kürze ab: a)

44.    6 am+a : 2 an.

46. (— a)⁷: — (-a)⁵.

am: an = am~n. b) x“: x.

a⁸

4C am + n — 4 48, am-n + 4-

RI a⁸(x —y)a (—a)⁸(y—x)⁵'

c) am+”: am_n.

am — n am + n*

c)

b) ii+r>

45. 9a2n+l:3a⁸. 47. (— a)⁹: — a⁴.

.ft (a+b)5x+y

(a+b)ti + r

52.

aa b” (a—1)

an—lfon —» (i—a)⁸'

50.

53.

(a—l)⁸.(b-n4 (1 — a)a. (1 —b)⁸'

aaba(a —b)⁶

(aa-J-ba) (b — a)⁴⁻

» . 6 a x⁴ b⁸ x⁸ 3 a² y4 * 6by⁸ ' ay ' 6b⁸x⁸"

9a⁸bs    4an -ixn+1 7x*

16x«ym-2 * I5bn + lyn-m * 12 a⁸ * 6am — 'b“⁻² . 3am — ax⁶

56.

-r 8a⁶xy⁴ e 4a⁸x⁸y 0dl 3WV ' 5b² c7'-

3x” + ¹ y“ + ² * 2b⁸y“ —⁵

58.    (9 a²“+³ b“-¹ —12 a“+n b^¹): 3am+³ bm~n.

59.    (9 x2m+a — 2xm+¹ +1): (3 xm+¹ — A).

60.    (a2n —b2n) : (an + bn).

62. (x3m-f-y3m) : (x™ + y“).

64.    (a3n — 2a2n + 4an — 8) : (an — 2), Probe für a — — 2, n = 2.

65.    (x3m_n — x2m -f- x2n — x

*66. (6a4m — 5a³“ — |a²“ + |a“ + |): (3a²™ — a“ — §).

67. (a⁸- b⁸) : (a⁸ + a⁴b + ab⁴ + b³).

Weitere Aufgaben in §. 7, Nr. 119 bis 144.

Kürze die Brüche 68—72 ab:

a« + b«

a⁴ —a⁸b⁸+b⁴‘

ap +² — 2 an -f~ an —2 an +² -f- an +¹ -f- an + an—¹ *

73e ~b + ss=r*

61. (x3m — y3m) : (xm — ym). 63. (x4m — y4m) : (xm + ym).

) : (xm — xn).

68.

69.

a⁶ —b⁶

70.

an -f 1 — an 1

av +¹ — aP -1 °

a⁴ + a⁸b⁸ + b4,

72    an +² — 2 an -f* an ~²

an +²— an +¹ + an — an—

„j 1 —2x⁴    1 —3x²    4

Xn    xn-²    Xn —⁴*

bn —a

(a — b)n + ¹    (a — b)n —i'

77. Suche das gr. gern. Maß zwischen x3n — 64y³>> und x2n ysP —16 yX

71.

75. a*b

(a +b)m    (a-|-b)m —

76.

an

(a b)m — a“ b“.

78.    a) (2ax)³; b) (7x)³.(3y)⁴.(2az)⁵; c) (ab)“-X(ac)²“-“.(bc)“-n.

79.    a) (—4b)a.(3x)³; b) (5x;³.( —2y)⁴; c)( —8a)².(—3b)⁵.

80.    (—ax)⁵.(— by)⁸.(abxy)n-8.    81.

82.    a) 2⁷.5⁷; ß) 25⁴.4⁴;

83.    (x + a)⁴. (x — a)⁴.

86. x-.f V.

(3ab)⁶.(2ac)⁶

y) 2⁶.4⁶.125G.

⁸⁴-(¹ + t)'-

(6 b c)⁸. (2 a)⁸. (3 b)⁸. (4 c)⁴ '

d) 5⁷.2¹⁰.

a”.

85.

Z2 a\³ / 15xX³.

\w w

87.

( 8a\a / 2bV>

89.

mri

c²-d²

a⁸ + a² b + a b² + b⁸

90.

92.

y. f^y. fc^y. 91. y^y. (^y. (^*y.

] \m — n / \a²—b²/    \x—b/ \x — a/ \c²—x²/

Za — b\³ Zb — c\3 Zc — a\

\a —c/ ' \h — ay \o — by

m-f n

am

,m

93. a) (-11)⁴;

ß) (—3|)⁵;

bm ¹ am

7) (6i)².

94. (f)⁵ — (— 0*1)⁸ -f- (— 0-2/ - (— 0-25)'.

95.

/ab y /2c v /3bcy

\2 c d/ \3aby \ 5 a /

96.

/a + b\²»+i /a— b\n+¹ /    1 /-l

\a — bj    " V + b/ " V + by

97.

2 ax — 3 b y

3b

99.    a) 6⁸ : 3⁸;

ö) (-4|)⁵:(2i)⁸;

100.    (8ab)⁴: (2b)⁴.

102. xn

104.

106.

0-p

107. Berechne

(>

+ y)‘.

« <- Sy-: l- 11)‘;

98.

2bx — 3a^⁵

2bx

y) 4-725-: 1-26-;

•) (9f)⁷: (IM: (6§)⁷.

101. (x² — y²)m : (x — y)m.

103.

105.

/3 ax\⁵ /2x\⁶

\Jbyj '\3b/ •

(-0-5)⁴

(—0-2)8 x⁸ — 2x²-j-4x— 8 x³-|-2xa + 4x4-8

0"25⁸'

für X — — *. (am)p = amp = (ap)m.

ß) K-2)²]³;

<5) [(— 2)³]³. 7) (-a⁸)³

y) (— a2n)s.

7) (—2³)⁸;

108.    a) (- 2²)⁸;

109.    a) [(— y)³]⁵.

110.    a) [(— z²)³]⁴.

111.    a) (—a²™)²”-¹, ß) (—a2n-1)2m. y) (-a²)

ß) (-a²)³. ß) (-a³)²”

2n—1

. (—a2n i)²• (—a2n ⁴)³

112. (m³)⁴.(— n²)⁶.    113.

115.

/a⁴bBc²V \ *⁶y⁷ ) '

116.

118. (3 a².2b³)⁴. (4ab)³. 119.

121.

(a⁸ b‘)2 (a⁴ b⁸)³"

122.

/a² b³\a /3 ab²\5 \cd⁴ /    \2c²d/ *

W' (IT-

(2³)⁴

4⁴ *

114. (am+n bm—n)m+n.

(a²x⁸)8 (ax²)⁶*

123. W-'.

120.

¹²⁴- -M

125.

[7    ab²x⁸\⁸l²

LI c⁸d²zj J ’

126.    (—2a³)⁴ X—2a⁴)³ — (—3 a⁶)² — (—5a⁴)⁸.

127.    [(x 4" 3y)2n+lj3u—2 . [(X 4" 3 y)2n—3]⁸.

128.

130.

132.

/a⁴ b⁸ c²\⁸ . /a³ b⁴ c\⁴

\ x⁶y’ ) ' \xV/ "

/2a²x⁸\ä , /5b² y V . /4 a²/

\3by³/ " \6ax²/ : \3b²/ *

/ 4an—¹b⁸ \⁸ , / 2 an b² \8 \9 X² y2n—1J * yix yll+l J -

129.

131.

(2 x⁸y²)⁸.(3x⁴y⁸)²

6x²y²

f(2cy²)⁶.(3x²z²)⁴.(5y⁸z)⁸V

1    (10x⁸y²)².(6y²z⁸)⁸    / '

133.    Zerlege in Faktoren:

134.    Ebenso:

135.    Ebenso:

b) a¹⁰4-l; c) a¹²4-b¹².

a) a⁶4~b⁶;

a) x2m — y2p; b) x⁶— ¹²; c) x6 a) x⁸ —y⁶:

b) x

: c) x² —

12

Gua-riereit. (§§. 146 und 147).

Aufgaben in §. 5. Nr. 106—125, 170—173.

136. (xm —y“)². 137. (5a²—4x²)² + (5a²+4x²)². 138. (5x³ —6y⁸)².

139. (4 + 2y—y²)². 140. (3x⁴ —2x²y²—y⁴)². 141. (8x⁴ —4x²+ 2)².

142. (6x⁸ —5x²+4x —3)².

144. (3an_1 b⁸ — 2abn+¹)²

/₀ a . 2a*V ..„/2a , 8b 4cV (2-¥+ir)- ¹⁴⁷-\3b + 45-6dj-

149.    (—a + b + c)² + (a —b + c)² + (a + b —c)².

150.    [(a + x)² + (b-y)²]²- s(a + x)²-(b-y)²]².

151.    5019².    152. 70902².    153. 73215².    154. 135709².

155. 5 91².    156. 0-887².

159. Ti² (4 Dez.). 160. 307*

162.    a) 99³ = (10ä — l)²; b) 999²; c) 9999².

163.    a) 96²; b) 998²; c) 9995².

164.    Was kann man angenähert a) für (1 + x)², b) für wenn x eine sehr kleine Zahl ist?

146.

143. (27 x⁶ — 54 x⁴ + 36 x² — 8)². 145. (a2n — 2 a“ + 4)a.

fe’ i 2y \4b* ' 3 b

148.

-l)’

157. 0-738..². 158. 0-1509..². 161. 0-59371...⁴.

(l + x)’

setzen,

Lubirren. (§§. 148 und 149). Aufgaben in §. 5, Nr. 174—179.

166. (m x⁶ — n x³)³.

165. (a²—3 b³)⁸.

168. (ya + 2y — 3)⁸.

170. (x² — abx + a² b²)⁸. 172. (x»—2)⁵.

167. (2a*+3ay)⁸. 169. (x² — 3xy + 2y²)⁸.

171. (3an_1 b⁸ — 2abn+¹)⁸. 173. (a2n —2an + 4)³.

174.

175.

176. (1 -6x + 9x²)$. 178. 1585⁸.

181. 90216⁸.

179. 6045⁸.

177. (a⁴ — 2a²b² + b⁴)⁸-180. 20704⁸.

182. 45-09⁸.

185. 0-858..⁸.    186. 0• 8079..⁸. 187. 15⁹.

189.    a) 99³ = (10² —l)³; b) 999³; c) 9999*.

190.    a) 98³; b) 998*.

191.    Was kann man angenähert a) für (1 + x)⁸, b) für

183. 11-11».

184. 101-01». 188. 0-65«.

wenn x eine sehr kleine Zahl ist?

(l+x)⁸

setzen,

a° = 1; a~n =

U-

Bestimme die Werte folgender Potenzen:

192.    a) 1°; b) a⁴.a°; c) 3a°; d) (3a)®; e) 3(a —b)<\

193.    a) l-¹; b) 2~⁶;

194.    a) 16.4-³; b) 25³.5~⁴; c) 0-4-¹; d) 0-125“³;

-)    0) (})- d) (i|)-;

<- 2)~⁸

d) 4-³;

e) 9.3-2.

(f)

. (- 3)-2.0-l_1.

197.    (—2)⁵.(—5)-2.(—3)°.(—6)-¹.

198.    Berechne (x— l)³ — (x + 2)-² j^^¹-p,+(x+3)³+ xx+³ für x = —3.

199.    3.10² + 2.10¹ + 5.10° + 4.10-¹ -f 7. IO-².

196.

(—0-2)⁸

200.    Befreie von den negativen Exponenten:

a) 2x²y-a,

in ax—m ^ by-m'

201.    Befreie folgende Ausdrücke von ihren Nennern:

ix 2ax“~²    X

b) -p=T-,    c)

b) 3a³b~³,

n 3a²m-³y-> 4b²n~²x—²'

c) ab~Xx~¹y,

13a~² b-¹ c6 2 8x³y—⁶z

-2-

5x

a) y '

m⁸x²

y8z_2,

IN 12a~⁴b

' 25x-³y²'

Berechne und stelle die Resultate mit positiven Exponenten dar: 203. xm+2. x~³.

204. (—3a-⁵). (—2a-¹). 205. (—5a-³b-2)(—4a²b-‘)(—a²b²) 206. (—5|a-⁵b²) (—8a³b-⁵).

209. — 4a: a~⁴.

202. a⁵.a~s.

207. xn~³: x~⁵.

210. 6a³b-²:2a⁴b-³. 212. (x y) ²; (y—x)-1 214. (x—y)n: (y—x)~³.

208. a~⁴: — a⁴.

211. 36 a-¹ b-² c-³: 6 a~² b~³ c~⁴. 213. (x—y)~³: (y—x)2.

215. (x—y)³: (y—x)-2“.

216. (x — y)—². (y — x)-³. 217. (a x—⁴ -f- b x~³ + c x⁻² -j- dx~¹ -j- e). x⁴.

218.    (8x² + 3x-2) (2x²—1 —2x-2).

219.    (12x²-j-3x — 4 — 5x⁻¹) (3x — 7 — 2 x⁻¹).

220.    (x⁻¹y-⁵—2xy-³ + 3x³y-¹) (3x⁻¹y—⁵-|-2xy-³ — x³y⁻¹).

221.    (a-⁵+b-⁵) : (a-'-f-b-¹).

222.    [15 x-(m+³> — 31 x-(m+2)    14 x-(ro+¹)]: (5 x~³ — 7 x-²).

223.    (x-²)⁴.

226. (—a³)-²“.

229. (a-³b⁴)-²

225. [(x~m)n]-p.

228. (—a²“-¹)-².

224. (x-¹)-¹.

227. (—a-²)²“-¹.

230. (3a²b⁻¹x³y-¹)³. 231. (— 2x-sy³z-¹)⁴.

232.

233.

/ 2 a² b² \-i \3mx“²/    '

m mr-r-

235. 5-².

236. (5a-¹)-².(3b)-². 237. (—a²)-⁵—(—a⁵)-².

388.

339.

(a*b—*)—*

v 340. (x + x-¹) (x — x-¹).

341. (3 x² -f- 2x-a) (3 xa t— 2x-a). 343. (x + x-¹)². 343. (3xa—2x-a)a. 344. (3a-⁸xa—4aax-³)³.    345. ßx + Sx-¹)³.    346. (xa + x~a)³.

247. (a»-2a-“)s.    248. [(xa + x“²)²]².    249. [(x—2x-x)³]².

(x²y-a)~

Löse folgende Exponentialgleichungen auf mit Beachtung des Satzes: Aus am= an folgt m = n.

251. a4-x = aa.

250. ax+² — a⁵.

258. a^.a⁸¹⁻⁴ = a*.a7x—11.

252. m²x+³=m8-Sx

254. ax=l.

255. (bx-⁵)³=(bx-⁴)a.

256. (ax-⁴)x-¹ = (a⁵-x)⁴-x.

258. a(a4x)5x~³ = a⁵-⁹¹ (a5x)4x. 360. 2~x = 16.

257. (a2x) 259. 2X = 16.

(aSj£—⁵)* as *

261. (— 2)x = 16. 263. (— 2)~x = 16.    264. 2X = 32.

266. (-2)-x= —32. 267. 10x = 0-01.

270. (§)-3x = H 273. 33x = i

269. (§)2x = f. 272. 9-2x = i

275. (|)3x-“ = (l)³-^. 277. 8ax+¹ = 0-125⁴-3x. 279. 0-510x-« = 2³-13x 281. 6-25x-¹ = 0-4x-⁷.

262. (— 2)x = 64. 265. 2~x = 32.

268. 1002x = 0-0001. 271. 2X = |.

274. (§)* = (f)⁷.

276. 8x.43x = 16x+⁵.

278. 3x.9x-a = 0-3.

280. 16x = 0-25x-o.

282. 8-x = 4x

283.

23x-,0.3^+⁸

~32-

8X~⁴.6⁷—x

= i • 9X~².

284. a²x+³.a3x~⁴ =

a⁶

a⁶⁻*x *

285. 2X+³ + 2X = 144.

287. 53x+» —9.53x-¹ = (|)⁴. 289. 23x-² — 23x-³ — 23x-⁴ = 4. 291. 5ax+⁴ — 2.5ax+s = 15x+ä.

286. 3X = 270 — 3x-a.

288. a2x—1 -j- a 2x+¹ = a³ + a ⁵. 390. 2X~‘ — 2X-³ = 3X~³ + 3X-⁴. 292. 4X+S—13.4x+¹=23x~¹—23x~³. 393. 7.3X+⁴ — 5x+a = 3X+⁴ — 5X+³. 294. 92x-³— 92x-a= 33x-‘— 33x+l.

295.    9.5X+» + 5x+a + 5X+³ = 3X+² -j- 3X+® + 3X+⁴.

296.    2.9xi-⁴ —3.4X = 6.4X+¹ + 6.9X.

297. ax.a7 = a⁵,

ax

298. 4²x-s.2³y~a = 1024,

ay

3x-a.3y-³ = i.

399. a4x~7 :    = a, a*+x : a8x~²y = l.

300. 33x 4y : 3y-x-⁴ = 1, 2²x-³.2⁵-³y = 0-5.

§. 19. Wurzel«.

— a.

(\/a)n --- a ; \/a"

1.    Von welcher Zahl ist a die nte Potenz?

6.    Berechne: V100 — 36 — (V100 — V36).

7.    Ebenso: vOTTÖ- (V9" + V16).

3 _

8.    Setze zwischen Va⁸ + b⁸ und a + b das richtige Zeichen.

9.    V25 + V27 + V16 + V32.    10. 2 \/81 + 3 V128 — 5 V729.

11.    (Va)a(Va)⁸—V(a-²)-⁸ + V^V^

12.    (3Va)² + (4Vb)² - (2\/a^3b)² - (3 V2a + 3b)².

2n    2n    2n    2n

13.    [(Va)” + (Vb)”] [(Va)” - (Vb)”j_

14.    (a + b+ V2äb) (a + b — V2ab).

15.    2V-V° + 3VÜT⁶ + 4\/ä⁵ + Vä>. (Va*® = via²? = a²).

16.    a) (x + Vxa — y²) (x — Vx² — y²). b) (a + V b) (a —V b).

17.    [(x + y) Vx² + y²]² — [(x — y) Vx - y]⁸.

18. a

) (2a² Va²)⁸; b)    ; c) ^V^±b?j*.

19.    5V(x — y)⁸ — (2Vx — y)² — 6(Vx —y)⁴.

20.    Zerlege in zwei binomische Faktoren a) a — b; b) a² — 6b.

-J

Vx +

Vx + Va "

21.    Kürze ab: a) b)

23. aVx“ — bVx”

25. mVa + mVa — 2Va — 2Va.

22.    öVa³ — 2Va⁵ + SVa³.

24. Va "4" 4Va    5 Va.

26.    a\/b — 2bVa — 2a\/b -j- 8bVa — 5bVa + 6a\/b.

27.    8V2-[7V2-(3V2 —V2) —(5V2-V2)].

28.    a) (4 + 3V2) (3 —2V2). b) (8 —3V5) (7 + 21V5X

Stelle mit gleichen Radikanden dar und reduziere:

37. 4V50 + 2V72 + V128.

39. 4V2-2V54 + V128.

36. V2 + V8 + 3V50.

38. 6V125 —3V80 + 2V20.

40.    6V12 —4V27 + 7V48-5V75 + 2V108.

41.    3V98-7V80 + 3V45-17V128-3V18.

42.    2V275-3V99-7V88 + 3V198-V704.

43.    3V48-2V750 + 4V135 —7V 320 + 2V162.

44.    3V24 + 4V81-2V192 + 3V 375 - 2V1029.

45.    ViT+4b - V16 a³ -f 16 a² b + V25 a b⁴ + 25 b⁵.

46.    2Vxy²-f y³—V(x-(-y)³-f V(x² — y²) (x — yX

48. 4V3x—2V24x + Vl92x.

b) m Va⁶b⁵ c⁴.

29. a)V32a⁵b⁸.

30. a) T^b*x⁸.

Vab — Va. Vb. [Van b = a V b], b) V097

b) Vvi6³.81³.

c) V27 a⁸ b⁸.

c)

9_

]/ V&ViT“.

31. a) y(xa + y²)² — (x² — y²)².

b) |/V25aab².

32.    Va²b +2Vab² + V4b + V9a.

33.    a) V1200.

4

34.    a) V80.

b) 7V75.

c) V48.

b) Vxm+n.

c) Vx®.

d) 2V81. d)

35. a) xVy³z³.

c) xy Vx“')'¹ ym+l.

47. 5aV12x³—2xV27a²x.

49. V4x³y — 5yVxy—xV4xy +V25xy³.

50. V54a⁴ b⁴c — Vl6a⁴ bc⁴ + V128 a b⁴ c⁴.

51. bc Va⁵b³c² ab va b³c⁶ -j- ac Vab⁷c².

52.    4 V1 -f- a² — V 9 -f- 9 a² — 2V x² -j- a² x² + V x⁴ (1 + a²).

53.    Va”+² b“+²—V an+¹ bn+².

b)V5. V200; b) Vl6.V6.V9;

\/j . Vxy.

55.    a) V8-V2;

56.    a) V18-V6.V8;

57.    VlOaMb.V20a⁴~b⁵.V50ab⁴.

54. V a2m+n bm+2n — am+2n b2m+“.

c) 6\/6.5\/2.

c) V6a.V8b.V3ab.

58.

16*

59.

\³r \³/2b

V V

CÖ IrO

3 a.

60. V^-V

24 a c⁶

7b #

61. V9x² 4. \/(3x_j_₂)s.

63. Vx y² z³.Vx³ ym_:

65. V3 + V5. V3 — V5.

67. Va² — b*.VlTF.

69. v^bi. V---r!ibb~-    n-fe=i -f

71. (^-2^).^    72. (3^2T+4).^4^"

73.    (2V8 —7V18 —V50 + 4V72).V2.

74.    (5 V8 — 2 V18 + 3 V50 — 3 V72 - 5 V200). 3 V6.

75.    (5 V3 - 3 V2) (3y2 + 2 y3). 76. (4 V24 - 3 V15) (6 \Jb - 2 V18).

77.    (8 V6 — 2V12 — V8) (2V6 —V3-V2).

78.    (§/3 + v/2) (2 ^9 — v/4).    79. (8 §/25 —2§/9) (4 ^135 - ^375).

^x + y + V2xy. I^x + y —V2xy.

81. tVa -f- x -f- Va — . lVa -j- x — Va — x.

62. I

Vax°+¹'Vbxn~¹.

2 2 m—8    na— 3 ^ 5—na

64. Va-f-x.Va— x. 66. Vä+b.Vä²—b².

68. Va² —b².V

a² -f- a b 4~ I)⁸

x³ + x² + x+l

x+1

82. ^ä7+~Va⁶ — x⁶. sä?— Va⁶ — x⁶.

83.    (Vx + Vy + Vz) (Vx + Vy — Vz)-

84.    (Va -j- b — Va V/b) (Va -f~ b -j- Va — V^)*

X — Vx² — 1

1 — Vx , 3 Vx    3 x -I- Vx

1 + Vx 1 — Vx

87. (V(x + i)² + V(x —l)² + Vx^ri)(Vr+i- V^i>

89. (Va — Vb)3 91. (V2 — y3)² (5 + 2V6).

93. (1 - 2V2 + 3V3)².

95. (V2 x + a — V2x — a)².

97. (V5 + V3)a — (V5 - V3)a.

X — Vx² — 1

X + Vx² — 1

86.

88. (a + Vb)².

90. (5-2V5)².

92. (V5 + V10 +15)².

94. (3xVy —2yVx)a.

96. (Vx + Vy)a + (Vx — Vy)a.

98.

{V^+V⁵#}’

99.

{Vü^-v^r-

100.    {VL+.y-b

101.    [»'va + b + Va — b± iV^Fb — VH^bJ*.

102.    [ l^a³ + Va⁶ — b⁶± l^a³ — Va⁶—b⁶]*.

Bringe in den folgenden Wurzeln den Faktor unter das Wurzelzeichen: 108. a) a\/x.    b) 4V5a.    c) 4x y/x.

104.    a) 2V3s    b) 3V27    c) 2    d) öVÖ⁷^ e) 2V(V5l

105.    a) *\/I b)    c) al^/--!—

106.    (a + b)\/|=J.    107.

*inq a²b\n/ p3n 1

( 8 V a2n+lbD+V

Vsi-

108. a^bc-^a-^-’c*.

(a + b)\Z9a»_(_18ab_l_9b>-

113. (V7 —V6)V84 + 13V2L 115. (2\/2 + V6) VT^4W 117. (1+ V3 — V6) K+W 119. (V5 —2) \/17\/5 —23.

111.

— 4b

110. ^-y)V,,+,”+1,‘

112. (5 —3\/2) V3^V2. 114. (5 —V5) VIÖ^2V5. 116. (V3 — V2)Vl2 + 5V6. 118. (1 — V2) fyT+öW. 120. (V3-1) VV3 +1.

121.

122.

123.

Vt=/ • [V - _].

•)VS*    j»V

V²t+3V¹I-²V¹b+2V³I-V¹1-

d> ⁶V5S=

8 a³ b³

27 o⁸ *

->V

8a⁴ b, 27 c⁴ '

124.

a² + b²

a²

, a² + b²

' ba *

125.

C) Vam_2;

X/Ü+b⁵

V a²— b³

dV

b^-i-

a² —b²

126. a) V75: V3;

b) ^108 : </4;

a² + b²'

c) 3 \/8 : 2 \/2.

127.

Vw+W-V^Vf+V¹⁰⁰⁰-

V2

Vs¹

128. Väx : Va-

6_ 5_

131. Va⁴: Va®.

129. V48x:V6x.

130. Va b : Vb x.

132.

Va :\/

¥•

133.

Va² —b²

134.

Va³ — b*

Va-b*

135.

Va² —a²b²

Vi-b² ■

Va3l + ²

187.

138. 1: V0 25.

136. i

V^te+i

139. 1 :\/IH    ₂

V x³ — 3xy² — 2y³'

— 2y

140.

\ n/xl-n y2n—3    v n/a2n-3 bn-4

V a³ b⁴ * Y x2n—1 yn-f 3 *

141.

an—¹ b2n~¹

a² bs

■-W-

142.    a)

143.    a : Va.

VW>

144.    : Väx-

C) V2>

145.

a-fx Va² — x²'

149. 1: \J 2a8_3atb+b8 -151. (VPb+ V5T²): Väb)

x² —ya

146. (x+y):Vf±f.

148. (x+y);^/i±l5z!

150. (3y8 —5y20): V2.

152. (V6+4V18—3+8V12KV3. 153. (3V15—V20 + V10-5):V5.

154.    (Vax — Vcx + Vaz — Vcz) : (Va — Vc)-

155.    (B — b): (VB — Vb).

157. (xVx —y Vy): (Vx — Vy).

*159. (Vx² — Vy²): (^x-j-Vy)- 160. (Va²—Vab — 2Vb²): (Va—2Vb)i

161. (x + 4Vi^ jr 3y):(Vx + Vy). 162. (Va²-5\/a —14):(Va + 2).

147.

xa + xy + y2.

156. (x —y): (Vx — Vy). 158. (aVa + l):(V» + l).

163.

Vm +Vn

Vm — Vn

n    nP     » •* r

Vam = Vamp = Vam

; Va- = am:B; V» —

Vi

n _ *

Va

164.    Stelle folgende Wurzeln mit einem gemeinsamen Wurzelexponenten dar:

s_

a) Vx und Vx²;

um    mp

c) Var und Vbs ;

165.    Kürze folgende Wurzeln ab:

b) Vy¹⁶; b) Va™;

b)V25;

4_ 6_

b) Vx³ und Vy⁵;

3    5__

d) Va, Vb* und Vc³.

a) Vx²;

16_

166.    a) Va⁸;

167.    a) V'36;

168.    a) VB;

169.    a) V°32;

« _    4 _    10_

170.    5Va⁹ — 4 Va⁶ + Va¹⁵.

b) V64;

10_

b) Va-⁸;

18

c) Va¹³;

ax-f-bx

c) Vca+b.

c) V8;

c) V81;

12_

c) VäF¹;

d) Vx-pi.

d) V27; e) V81.

d) V64.

12__

d) Va⁻⁶ b²⁴.

12    12    24_ 24_

171. 2Vä®. Va -f- 3 (Va¹⁷: Va⁵).

25    26_ 30_ 6

172.    3Va⁶. Va⁹ — Va²³: Va.

3

173.    a) Va.Va;

3_ 4__    12_

174.    3Vb².5Vb³.Vb.

b) Vx².Vx³; c) Va⁶.Va⁷.

4    6    6 3    4

176. a) \/a : Va5    b) Va⁴ : Va²; c) mVa : Va.

4 _ 8___

175. aVxy.bVx³y³.cVx⁷y⁷.

177. Va³: Va.

9_ 12_

Va³. Va³

178.

179.

Vx⁻⁸

18

Va⁷

180. -P-. Vx-»

181.

2n

Vxn+1

io

182. Va⁻¹ b: Va~³b³.

183.

vS‘\r

T-

184.

Vl-V⁰'⁰⁰²-

10

12

185.

v^v

a⁶bn

186.

2n 3n

VS:V

an—³

bncn '

187. (3 V7 + 4 V3) (2 v7 - 2 V3). 188. (V25 - V5 + 5) (\/125 + \/5).

189.    (V2 - V4 + V16) (V2 - V2).

190.    (3V3 + V9-i V3) (V9 - 3 V3).

191.    (Vab-j-3^xy) (5Vab +4Vxy).

192.    (Vx — Vy) (Vx + Vy) (V* + Vy).

193.    (2V54-3V2): V2-

3    4    6

195. Vbäa-¹.Vb³a-².Vb⁴a-³.

194. (6 Vx + 8 x) : 2 Vx.

n    3

196. aVan~V Va³.

197.

Vt: V

a~¹ b~~²

V-?]'

6 _

c) Va³⁰;

198.    a) Vamx;    b) Va⁶;

n_ m-f-n

199.    a) VanP+nr; b) Vxam+“; c) Vanx+y.

200.    V a2n+l.b2n +².

202. a) Vn⁵Vn;    b) Va⁷. Va®.

5

205. Va¹⁶b¹⁷e-¹⁸.    206.

p__

d) ]/xmni'.

201. a) Va¹⁵; b) Va¹⁷; c) Val7b».

203.

204.

v

2m

amn fomp cmq

xmryms *

207. Va4mx.

208.

a>V

a³P

a⁶ *

ax+* bx—¹ cx—

a2x + l Vj3x + 2

209. Bestimme die Werte folgender Wurzeln: b) V27,

a) Vx,

—4

d) VO-25,

c) V16,

Stelle folgende Ausdrücke in ihrer einfachsten Form ohne negative Exponenten dar:

e) Va-mn.

—2

210. Va-Va-

3_ —2

213. Va²:Va.

211. a.Va« 214. Va : Va-

212. Va³-Va. —2

215. Va » Va*

—2

-3

—8

216.

W‘

217.

\/—

V 125-

218.

V⁵

—⁸ be c~⁸

x-ey⁸ *

n_ n

Vam = (Va)«.

219.    ViF + V8² +V(5f)³ + V(2D².

220.    vT⁷®³¹ + VO-008-² + VO-0081-³.

X    X

221.    V(ax—2)n. V(a2l+²)“.

223.    V(8a³ —36a²b + 54ab² —27b³)⁴.

6_ 6_

224.    (Va²b)².(Vab²)³.

(VvfTä^b³) •

228. (3V3 —2V2)³.

230. (4aVb —3bf/a)³.

232. (V2 + V2 + V2)³.

234. (V2 — V2)⁴.

226.

222.

V(

a² — 4 a -j- 4\³

r

a² + 4a + 4

225. (2V2)$ + (2V2⁵)³.

227.

ro*

229. (V3—V2)*.

231. (a —3 v'^"+4(/a)³.

4    6

233. (Va + Väb —Vab²)\ 235. (V4 —2V2)⁴.

\ /n    nin \ fm

\'Va = Vä = \/Vä.

a) Vvi;    b) \/vä;    «) Vva⁷²;

237. a) VÖi.    b) ^

3 Vva — 4V Va + 5 V Va.

236.

238.

d) M.

®) Vyp: d) Vv(>y.

Vva*F⁷. VväbTl.

n,-¹

239.

240.    Wenn V262144 = 64 ist, wie groß ist a) V262144, b) V262144, c) V262144?

241.    pp 242.

Vsvr.

(\7v^)⁶.

243.

245.

246.

Vx²VZ

247.

248.

5 _

\/ aa VF

Vafe

249.

V a°Va-> •

250. x\/xVi.

251.

an_1 Va².

252.

ViV

a² x².

253.

254.

VfV "•

255.

VM •

VlVl

256. |/2 V2 V2.

259. aj/a-¹ »a-¹ VF"¹. 260.

262.

J/3äbaTba

l^bVa

257. 21/2^2^2. 258. 4}/o• 25 /o-25 VO'25.

261. a

m

263. r a sä*. (Va \/a³).

X—1

V^T

\7—

V aVäb"

264.    VFFVF.Vx⁷—

265.    a) ]/’a^ + 3^

IT"x“-4V]/x⁷- Probe für x

— 2, n— 1.

5) a ^a Va — 2 ^aä Va*

266.

VvüF

267.

VVa-m\

268.    ; Va.

Wurzeln mit algebraischem Radikand. (§. 162.)

271. V— 27.

s___

274. V(—x)⁵.(— x).

8_

277. V*.V—x.

270. V+27.

5

273. V(=^)⁸⁰.

t

276. V(—aa)⁴.

269. V+25.

272. V=1F.

275. Vpip 278. 7V3 —2V^24 + 4V=8T—V^l92.

§. 20. Umformung von irrationalen Wnrzelansdrücken.

Befreie folgende Brüche von dem irrationalen Nenner: (§. 163.)

3. |i.

1 —

Va-

2.

6 +Vl2

V»

Vs

4. fr

Vä*

6. ~l -

Vx+y’

7 **~y

vz=r

li. -F.

5V2a

15 V2x + 3y

V 2x — 8y

5»    .    — •

VxVx

9    a<~b*

V^-'b⁵'

^    3 x Vs a

2 Via

i7* yf - vi-i9*⁷    +³V^_yi" ~~ ²y&s0,

si.

Vio

8.

4x' —1

10.

VJßxs³

a-f- x

V a* — xa

V2x+l‘

12.

sWx"

vt=t

3_*

18- /f + H ~ h + P-

. 16.

Ve + Vs Ve *

22. (3y2 —V6+4V3—V15):V3.

23. (VIS + 2V10 — V30 + 3y5): 2y5.

24.

25.

2 — V 2*

26.

4 Vs

28.

3 —V?

3 + V7'

31.

X— Vx¹ — 1

*34.

2VS -i-V2

sVs —2V2'

i + sVs"

5 — 3 V 5 3 + 2 V 5*

a + b + Va’.+"b* a + b-Va^+b⁵'

OK V7-3V2

V7 + 2V2

29.

32.

Vs —V

87.ä±V

2 — V 3

2a-j- 3 V b 3a—2Vb‘

30.

33.

36.

aVb + bVa" 4V5 —V30

2 V3 -h sV 2'

q« V14 + 5V3

2 V7 + 5 V 6"

88.

vl+vi

39.

Va b

yt-yf

41.

2 —Vg*

43.

Vx + y-t-Vx

Vx + y—Vx—y

45.

2 + V3 + V5'

42

i+Vf*

Ai aVr^+bVr-b» a Vl —b*+b Vl — a'

Asi V2 + V3 + V5

' V2 + V3—V»"

47.

2 + Vs — 2 Vs"

in 1 — V2 + V3

⁴⁹' i + Vi-Vs-

4V2 + 2V3 3V2 + 2V3-2V6*

48. -⁴^⁶

3 + V2 —Ve’

3V6 — 5V2 + 2V3 5 — 2V2 + 3V3

KO    2VS —4VlO

3 V2 + 4V5 —2 Vl0‘

50.

¹

(~a)⁶-(-a)³.

²

(- 2)² + (- 3)¹ + (-l)⁴-(- 2)²- (-1)* + (^ 2)¹.

³

   (—2)a.(—3)⁸—(—2)³.(—4)¹.(—l)² —

⁴

   Berechne: 2x⁴ — 3x³ + 4x² — 5 x¹ + 6 x — 7 für x — — 2.

—    x —Vl+y + Vl —y

V1 -t~ x — V1 5d' VT+x +VT

—    x + V1 + y + V1 — y"

54.

V10

V2 —Vs

55.

V2 V2 —Vs

56.

2s

₅₇ V a j- Va² — b-V a — Va⁸ — b⁸

a -j- b

60. 3

58.

Vx² — V x.⁴ — y4 x — 1

61. 3

59.

v 10—2 v 5"

V2x + 3 VTy V2x —3 Vxy

Va + Vb

63. T

64.

Vx — 1 3 -f- V 5

62. 4

V7 + V5

Vx —Vy

65. 3

V 5 4- V 3

66.

67.

C⁰⁵

68.

V4 — Vio 4- V25

69.

V5-V2

3    3

3Vs—2V9

2 + V7

V5 + V2

70.

5 Vß —2 Vl2

*71. —-

4Vs—sVs

4 Vl2 + 2V6

Vs —Vß

Verwandle folgende Summen und Differenzen von Quadratwurzeln in eine Quadratwurzel: (§. 168.)

72. V2 + V3 + V2 — V3.

74. V12 + V23 — VT2-V23.    75. V3 + 2 \/2 — V3 — 2 \J2.

76. V5 + 2V6±V5 —2V6.

78. V7 + 2V1Ö±V7 — 2V10 79. Vl4 + 6V5±Vl4 — 6V5.

80.    I^l + 2aVl — a²± ^ 1 — 2aVl — aa.

81.    »/2a + 2Vä²^P± l^2a —2 Vä*=p.

82.    V6 —3V3 + 2V2 + V3.

84. 4VT+V17-V5V17 —13.

73. V3 + V5 + V3 —V5.

77. Vll + 6V2±Vll —6V2.

83. V2 + 2V5 —3V2 + V5.

Verwandle jede der folgenden Quadratwurzeln in die Summe oder die Differenz zweier Quadratwurzeln: (§. 169.)

86. V 3 — V 5.

89. V11 ± 2 V10.

92. V 37 ± 20 V 3.

85. VT+vTT.

88. V8 + 3V7.

91. Vl8±8Vä 94. V7V2±4V6.    95. V2V5±V15.

87. V 7 — 4 V 3.

90. V11 ± 2 V 30. 93. V 99 ± 54 V 2. 96. V 6 V 5 ± 4 vTa

97. )/x + y + 2Vxy.

99. ^ x² — 2 y Vx 101.    /a² + ba + ab + 2 VäF(aa + b²).

—y-

98. i x² -|- y z -f- 2 x V y z.

100. J/2xa + ya + 2x Vx² + y³.

102. flOa⁴ + a² b² + 6a³ Va² + ba.

Löse folgende irrationale Gleichungen auf: (§. 170.)

103. 2Vx^=T = 4.

105.    (b — a V x) : (a — b V x) = a (ba — 1) : b (a² — 1).

106.    (Vx - 5) (Vx — 4) = (Vx — 3) (Vx — 2).

107.    V4x² + 8x — ll = 2x + l.

109. ^16 + 3 V 2¥^T = 5.

4x —2 3x + 2

8-s-bVx_ 9 Vx I <

10 — 4V x 10

115. Vx² -s- 3x— 3 — X —1.

117. ^ + VI=2 = 0.

*119. V27T=T - V3x + 3 =

104. V2x + l + 5 = 4(V2x + l —1).

108. Vx —0-9375 = 0-5. 110. ^51-10 V57^9=6.

112. j/41 — 20\j

3__

111. i20 — 3 VöT+T ₌ 2. 116. x —V(x + 2)(x —7) = 4. 118. VT+T —

18 x — 5 V27x —r

120. VT+1 + VT^l = p. 121. V2x —3 =8 - V2x +13.

122.    VlOx+9 - VlOx— 111 = 6.

123.    Vx + 5a² = 4a — Vx — 3a².

124.    Vx-f a² — Vx — 2ab =

125.    V x -|- a² -)- V x -f- b² = a + b.

126.    V x —b² — V x — a² = a — b.

111.

³V

= 4.

9x + l

4x —

5 = 3.

113.

a.

127.    V 2a + x + V x — 2a = 2Va.

128.    VT+4 + VT^i = V4I+X

129.    VT^I + VT+4 = 2VT^T.

130.    Vl6x + 9 - VT^i ₌ VTT+la

131.    VT(I+l) = 2V2x-5-V2(T-5):

132.    f2 +V"2 + \T=2.

134. 4 —Vx = VT+T

² (x —2) r

vi+r=Vx-L

133. ^x + Vx + Vx + . • • 135. Vx-j- 2a + Vx + a =

— a.

a.

a — x + Vb — x =

2x — 2

V 2 x -)- 3

138. x - 2a - Vx² -T¹ = (x — a) |l —

136.

137. V8x — 7

= V2x + 3.

V x² — b²}

139. x — a = \ aa -f- x V x* — a² -j- b¹.

140.

a+ Vx— 4ab

2a —b

a — V x — 4 ab

141.    VT+“b x + Vb + ax = (Va + Vb) V1 + x.

142.    V a — x + Vb — x — V a + b.

143.    V x — 3 b — V x — 3 a — Va — b.

144.    3\/x — 2Vy = 9, (

2\/x-3vy = l. |

145.    b\/x + a\/y = ab (c •+ d), dVx + cVy = cd (a + b).

Setze \J

= n, V y = t.

147. rr~rr = ⁶'

Vx Vy

_3___4_ _ ₁

Vx    Vy “ *

U9. yIH ₌ 3_|/X

2 x + 3 y = 66.

146. 2Vx + 5 — 3Vy — 2 — 3, 3VT+5-4V7=2=5.

y__, J= = 2,

Vx—2 Vy+2

148.

15

Vx—2 Vy + 2 150. V ax — rr"

= 1.

— a,

Vbi-rf==?

Vy

Vy

151.

Vf+i-i-Vf—i,

2Vx-j-y = V3x+-4y + ÖT

152. VYi — V3y = 3, 3Vx +V6y = 7V2.

§. 21. Wotenzen und Wurzeln mit gekrochenen Exponenten.

(§• 171.)

Schreibe als Potenzen mit gebrochenem Exponenten:

3_ 4    5_

1.    a)    Vaa;    b)    Vä⁵; c)    Va;    d)    Va⁸;    e)    a⁸ V b.

0_ 3_ 6_ 3_ 4_

2.    a)    x Va⁴;    b)    Va⁴b⁵; c)    Va⁸bs;    d)    Vx—y;    e)    V(x-f-y)ä.

x —y)⁴.

Schreibe folgende Bruchpotenzen als Wurzelausdrücke:

d) a~; d) x~*-

c) x*;

4.    a) a*;

5.    a) (x²—y⁸)l; b) (a — b)*; c) a“l;

e) x®. yl.

6. a) a*⁻

-__i    P + m _n    _____

b) am ; c) a ²    ; d) a” m-

Verwandle in Wurzeln und berechne: b) 16*, b) 27*; b) 81°'a°, b) 0-027-1, c)

7.    a) 25*,

8.    a) 64*;

9.    a) 49°°,

10.    a) 9-*,

11.    (61)*. (38)4.

13. a) (—0-125)-!.

d) 32*. d) 64*. d) 16¹'⁷*.

ä) (H)⁻

12. 0-32*. 0-00032*. G)-°⁷. b) (—0-008)-*.

c) 8*, c) 81*; c) 64",

c) (—0-027)-*.

Verwandle in Wurzeln mit ganzen Exponenten und berechne:

14.    a) V3,    b)V8,    c) V54    d) V9,

15.    a)"v49,    b) v'o-04,    c) V*|f,    d) \J2.

Berechne und stelle die Resultate als Wurzeln und Potenzen mit positiven ganzen Exponenten dar:

16.    a*.b*.

19. a*. a*.

17. x !.(32y) 1.

20. 5*. 5*. 5*.

—0 2

18. (i)*.(3i)*.(|)*.

22. a.a*.

a.a ² .

23. x.xm.

_i__i_

26. a” .a ²\

21. x°*l.x°’°a. x° °°°. 24. x“. x⁶.

(*)*• (t)¹-

29.

(ab)* (±)‘.

81. b* b tV.

32. 4-

a* ’

27. (ab)* a*.b'*. 30. a*: a⁰'¹.

33. 2±.

34. as :a*.

37. a!;a-l.

40. 2a* b~* c*.5a—* b** c~*.

42. (x* + yl) (x* — y!).

44.    (a -J- a* — a* — a*) (1 -f- a* -f- a* 4- a*).

45.    (5 a* — 6 a* b) (a* — 7 a —* b).

46.    (a⁻* b~* — 2 a ^ b*) (a* — a⁻* b).

47.    (6x* — 8x* 4- 3x11 _ 4x$*) : (3x* _ 4x*).

35. a n 38. a⁻* : a®.

: a.

41.

/4a\*    4a*

W * 6b * '

36. a 39. a~* : a⁻*.

: am.

43. (2a —3b!) (5a* + 6b*).

48.    (24 a* + Mal +|) ; (6 a* + a* + |).

49.    (a~* + (ab)-* - (ab)~* — b“*) : (a~* + b~*).

50.    (x-5 + (if - (if - y*) : (x~* - y*).

i

51.    (xn)n.

55. (a-i)-l.

3

59. V (**)*•

52.

(*l

m -Hp n

53

56. (a ° ) -°-p. 57.

54. (ah!. 58. Vai.

61. Vai

4

65. [(a$ a-*).Va]i

60. (Va)i.(Va-²)i.(Va-⁸)-jir, 63. (4.25)*.

62. Vx~i

64. (xy-V)f-

66.

i*

67.

68.

/81nV\_2 \16m⁸q⁶/    -

70. (x 8 — yf)8<

71. Mit Benützung von 10°'30103,i= 2 (angenähert gleich) und 10°

— 3 stelle folgende Zahlen als Potenzen von 10 dar: a) 4, 8, 16; b) 9, 27; c) 6, 12, 18; d) 5.

Viele Aufgaben in §. 19 können auch mittels Bruchpotenzen gelöst werden, z. B. Nr. 128-145; 170-218; 221-268.

69. (2 a* -t-"8b~S)a.

•47713..

Löse folgende Exponentialgleichungen: 72. VäW—Vä7H

73. Va

8X—1

6_

= y ass+i

a2x

⁷⁴

__ ax-i Va3x~⁴.

75. a1-x. Vax+*. Vax_3. Va6x — *•

= a.

x-f-5

x-5

80. V2x-⁵ = i V8X+⁵.

82.

V a³-^⁵* — Va²¹.

79. 4096X.0-5 = 4X+*.

81.

83. 0-25²³ = VI^³. 0-1256x.

x+2    4_X-j-3

84. 648x~⁵ = Vra V2M-²⁴.

85. V2x+i= VO-ö¹-⁴¹.

5

86. VäF⁵: (a⁴⁻⁵. Va*-7x) = 1.

87.

(iT- (irrn

x+2

= 6.

88. a1-x. Vä>H. V ax+². V a l~8x

= 1.

23x

x-4 _

23x

— V2¹³

+ 32x-³.

90.    4X — 3x~£ — 3X+ 1 —22x~\

91.    52x~i — 3x-e — 3x+‘ä — 52l-,s.

92.    a2x~² — a2x-⁸ -----(a — l)x~t.

93.    V2.^8---1

4x 2y

V3. V27 = l.

x_ x y _x~t~y x+y_

95.    Va³~n2 . Va — VaH-n, V a⁴ . V a2n = a².

3x 2y_

96.    Va.\/aö =

Va'

8_ 6_

94. Vmx-⁵: V m?-³

4__3__3 _

V (m¹"¹)³, V m ⁵?~~¹ — V m²³.

= 1,

*y

Vb² == Vb⁷. b¹³ Vb³.

§. 22. Imaginäre und Komp lere Iahten. (§§. 173—179.)

1. V—4 + V^9 + V^lk 2. V=T—2V^36 + V^lÖÖ".

3. 2a²V—a² -f- 3a V—a⁴—V—as. 4. V — a²b -j- V — ab².

5. 2aV — x² — b V — 4x².

6. V^T2 + V*^75.

7. 2 V^2 + 3 V^8 — V^18 — V^5Ö + V^TL

*8. i.(-i) + (- i)² - i⁸ - (- i)³ + i⁴ - (- i)⁴. 9. 2i.51 + 31.2i² + 7i.8i³ + 3i³.2is + 2i³.4i³.

10. V=12. V=3 —V=8. V^2 —iVl8. VI2.

11. V — x². V — y².

13.    Vläb.V^ä^b.V —ab³.V —a³b³.

14.    (V^~a + V^b)    — v^-bj:

15.    (2\TT2 - V^3) (3 V—"3 — \r=T2j

16.    (V"^2 + V^3 — V^= 4) (\TZ^ _ \rZ3 _j_ V^J.

17.    V^äb: Vb.

20. V8Ö:2V=5.

23. (V^ib + V^H): V~Y. 24. (V^2Ö — V—IBj: V —75.

25.    (4 V^8 — 8 V^12 + 12V=16j: 4 V^4

26.    i⁷ + i⁹ + i¹² + i¹⁴. 27. (V~3)³.

29. (— 2 \^=~3)⁵ — (2 V^3)°.

80. (V^9)³ + (V —4/ — (V^8)³ — V^27².

12. V — xy. V — xy².V—x²y³.

18. V—a b : VH b. 19. x: V—x.

21. 5 V — 6: V—3. 22. V — xy³: V—x⁸y.

28. (—2 V —3)*.

31.    (1 - V^4) + (3 - V=25) - (2 -V=49).

32.    (3 + 2i) (3 — 2i).

34. (8 + \T-3) (8 —

36.    (VT + V^b) (VT — V —T).

37.    (V2 + 2V^2) (V2 — 2V—~2).

38.    (x+-l + V^3) (x +1 — \T-3).

39.    (x + 1) (x — 1) (x + i) (x — i).

40.    (a-fbi) (a —bi) (c + di) (c —di).

Beweise: (a² +- b²) (c² +- d²) — (ac — bd)² + (ad +- bc)² — (ac + bd)² + (ad —bc)².

33. (5 + 6i) (3 — 4i).

35. (5 — 2 V—3) (5 + 2V^B).

41. (2 — 3 i)². 43. (3 —

+ V~~b

42. (V2 —\^2)².

44. (3-V^I-V^2)².

-V^b + V — b

47.    (—1 + V5 + V-10-2V5)².(—1 +Vö — V —10 —2\/5)a.

48.    (1 + V —~3)⁴ + (1 — V^3)⁴.

45. a

a-V-"b

46.

—1± V —3

*49. (1 + V^3)⁵.

50. (1 —V^3)⁵.

Befreie folgende Brüche von ihren imaginären Nennern:

6i. «)£;

52. a)

V-9

53. a)

VT» .

V-a»’

b)^f;

vs io b) V — 25

b)vELa'a>b’

2x*

C) 3 V~—2x*

Vx⁴— 1

VT^

=y X > 1.

X²

V~—27

d)v^r*

54.

l + i*

55. -

— i'

56.

3+4V

58.

10i

59.

1 —(— 3 i + V^b

— V — b *

V — a —V—b

V^T + V^b*

67.

a — bi ¹ x— yi

62.

65.

69.

3 + 4i 3 —4i"

60.

10

2 — V — 8*

57.

a + bi M

oi ...

V 5 — V2*

63.

1— 20 V^5 7— 2 V—T

66.

68.

6 V — 64-5 V^-—5 6 V—5 — 5 V^-6*

04 V² + V~~3 V 3 — V^~2*

a — bi

x+yi

70.

3+i

x —yi*

a + bi

71. i

— i³

1 — i — i y 3*

Moenik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. b. oberen Kl. d Gymnas. 30. Ausl.

(2-i)’*

(l+i)³*

U + i)⁸

‘a* (1 — i)⁸ ’

17

Verwandle folgende Summen oder Differenzen von Quadratwurzeln in eine Quadratwurzel:

73. V=3 + 4i + V — 3— 4i.    74.    — V — 3 — 4i.

75.    V2 +V=5 ± V2 —V=5.

76.    ^a —b + 2V-^aT± a — b — 2 V=äTbT

77.    \/f+i-V^+^-i V⁻l ⁺ iV^+K

Verwandle folgende Quadratwurzeln in Summen oder Differenzen von Quadratwurzeln:

79. V —3 —4i.

81. VT+fT 83. ^6 + 8 V=1Ö.

85. 1^20 —10~V —5: 87. 1 — a + 2a\T=n£ 88. I/V=4 = »'0+7=1=.. 89. ^ — 3 V=l.

78.    V — 3 -h 4 i.

80. V8 —6L

82. 11+67=1

84. ^ 12 —10 V~H 86. V4 — 60 V—1.

1.

V(

§. 23. Ausziehen der Huadrat- und Kubikwurzel. Ausziehen der Guadratwurzel. (§§. 180—183).

9a²x² _ 2x_² , 25b²x2 25 b² y² 3 y² '

81 a²y²/⁻

2.    V0-04a~4mb-6m — 0‘2am bm + O+öa⁶“b8m.

3.    V{x4 — 6ax⁸ + lla²x² — 6a⁸x + a⁴).

4.    V{16m⁶ + 16m⁵ + 4m⁴ — 16m⁸ — 8m²+ 4}.

5.    V|16a⁶ — 24a⁵ + 25a⁴ — 20a⁸ + 10a² — 4a +1}.

6.    V(9 y⁶ —12y⁵ + 10 y⁴ — 28 y⁸ +17 y² — 8 y + 16).

7.    V{25 — 70 a +139 a² — 236 a⁸ + 235 a⁴ — 198 a⁸ + 121 a⁶}.

8.    V{0'16a⁴ — 2 4a⁸ — 0⁻16a²b + 9a² + l,2ab + 0 04b²j.

26x⁴ I 53 x³ | 2 x²    20x . qrl

16y⁶ 2 y⁶ "9+ ' ‘Öy* 3+ y ^°J"

10.    V(a4m~⁴ — 4 a8m-⁸ b~m + 2 a2m~² b~2m + 4 am~¹ b-8m + b~4m).

11.    V{a³ — 4aVab — 2ab + 12bVab + 9b²}.

5    15_ 3_ 6    3

12.    V{Va⁴—4Va¹¹ + 4Va² + 2Va² —4\/a + l}.

13.    V{a⁸ —4a²bi + 4abl —6af bt + 12aH + 9b$).

14.    VT+x^l + |x-|x²+^x⁸-i|x⁴+ ...

9.

VI

9xa

x⁶

15.

Va² + b = ayi ₊ ^

= .. 16. V a² — b =

V¹

a²

17. V 135424.

21. V395850816. 24. V1406-25. 27. V785-6809.

18. V 556516.    19. V 226576.

22. V422220304.

25. V27-973521.

28. V0-97535376.

30.

\ / 670

VltiST

31.

178929

33. VV 29986576. 36. V0-1907....

797449'

34. V 362673936. 37. V335-779....

20. V 53993104. 23. V54782211136.

26. V 0-00178929.

29. V44105-040144.

82. ^485380^.

35. V1475789056. 38. V0-8423....

Berechne folgende irrationale Wurzeln auf 5 bedeutsame Ziffern: 39. V 28.    40. V 320    41. V 6584.

43. V0-101.

46. V 2.

44. V0-07854.

47. V 2 — V2.

49.

■| / 67    1/2OI

FI ⁼ FT

1/591

K 67'

42. V3-92. 45. V0-123457.

48. ^2 —V2+"vf

51. ]/ 251^.

.. 50.

52.    Berechne mittels der Formel san — j/2r (r — /r² — T—) a) den Umfang des einem Kreise mit dem Radius r — 1 eingeschriebenen regelmäßigen Achteckes aus s₄ — r\/2; b) nia aus s« — r. (5Dez.)

53.    Ebenso u₂₀ aus s₁₀ — y (V 5 — 1).

54.    Berechne mittels der Formel S„ —

r Sn

Vr»

a) den Umfang des

einem Kreise mit dem Radius 1 umgeschriebenen regelmäßigen Achteckes, b) Zwölfeckes, c) Zehneckes (mit Benützung der in Aufgabe 52 und 53 erhaltenen Ausdrücke für s₈. s₁₂).

Bestimme mit Rücksicht auf die Aufg. 14, 15 und 16 mit 4 Dezimalstellen:

55. V50= VT'+T = -.

57. V 26.

58. V146.

56. V79 = V 9² — 2 = .. 59. V35.

60. V220.

Ausziehen der Kubikwurzel. (§§. 184 —186.)

3__

61.    Va³x⁶ — 3a²bx⁴y² -f- 3ab²x²y⁴ — b³y⁶.

62.    V{8x⁶ — 36x⁵ + 78x⁴ — 99xs + 78x² — 36x + 8}.

63.    V{64x⁶- 144ax⁵ + 204a²x⁴—171a³x⁸ + 102a⁴x² -36a⁵x + 8aG|.

64.    V{8a - 60 V"^b> 150 VTb² — 125b}.

/D + f+ tr

65.

lOx⁸ 46x^ . 27x^    27x°

a³    " 4a⁴ "4" 2as    8a⁶

17*

Kl

8

67.    ]/{xa — 3x^ + 6x3 — 7 + 6x — s — 3x    + x —aJ.

68.    Vl + x = 1 + yx —-|xa + ^xs —^x⁴+ ...

8_

69.    V a⁸ + b = a ]/l -j- -js — • •    70.    Va⁸ — b =

71. V 262144.    72.    V3241792.

74. V746142643.    75.    V1767172329.

77. V0-778688.    78.    V474-552.

80. VV 20661046784.

704969 1601613*

Berechne folgende irrationale Wurzeln auf 3 bedeutsame Ziffern: 85. V100.    86. V 5213.    87. V 8135.    88. V 47838.

89. V 0-3.    90. V 25-643.    91. V0-0957.    92. V0-12345.

95. \J8^.

66.

82.

93.

x⁶™ —

Ki-z-.

83. V32-856...

73. V 8615125.

76. V627881709547. 79. V78-402752.

81. V1126162419264.

84. V0-00008427...

\/i- \im V 6    V²¹⁶

94.

VS

Bestimme mit Rücksicht auf die Aufg. 68., 69. und 70. auf 4

Dezimalen:

96. V65 --- V4⁸-j-l = ..

99. \Z130.

98. V218.

97. V24 = V3⁸ —3 = .. 100. V62.

101. V508.

§. 24. Logarithmen. (§§. 187-201.)

1.    Bilde die Umkehrungen von a) 2⁸ = 8; b) 8* = 2; c) 4® = 4096.

2.    Schreibe die folgenden Gleichungen so, daß x Potenzexponent

3

wird, und bestimme x: a) ⁵log 625 = x; b) ²log ^ — x; c) ⁸log \/9 = x.

3.    Bestimme den Logarithmus der Zahlen 2, 4, 8, 16, \ß, \/2, 1,

i 1 JL 4' 8- 16

4.    Wie groß ist der Logarithmus von 64 zur Basis 2, 4,8, 16, 32, 64?

zur Basis 2.

5.    Bestimme: ³log 9, ³Iog 729, ³log 1, ³log §, ³log y—.

6.    Bestimme: ⁸log 2, ⁸log 4, ⁸log 8, ⁸log ⁸log ⁸log |.

1,

’S*

7.    Bestimme den Logarithmus der folgenden Zahlen für die Basis f: i' 8' u' 2' 4, 8, 16.

8.    Wie groß ist log 10, log 100, log 1000, log 1, log i log ^?

9.    Zwischen welchen ganzen Zahlen liegen die Logarithmen der Zahlen 1-3, 2-5, 6, 11, 20, 40 in Bezug auf die Basis 2?

10.    Zwischen welchen ganzen Zahlen liegen die Logarithmen der Zahlen 2, 4, 10, 20, 40, 100 in Bezug auf die Basis 3?

11.    Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt der Briggs'sche Logarithmus einer ein-, zwei-, drei-, vier-, nziffrigen ganzen Zahl?

12.    Schließe die folgenden Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgende Potenzen von 10 und sodann ihre Logarithmen zwischen zwei negative ganze Zahlen ein: 0 7, 0 03, 0 13, 0 0008.

13.    Warum eignet sich 1 nicht als Basis eines Logarithmensystems?

14.    Welche der Zahlen 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 haben in Bezug auf die Basis —2 keine reellen Logarithmen?

15.    Warum eignet sich eine negative Zahl nicht als Basis eines Logarithmensystems?

16.    Warum ist lim blog X — — oo für lim x — 0 und b > 1 ?

17.    Warum hat eine negative Zahl für eine Basis b > 0 keinen reellen Logarithmus?

Bestimme x:

20. ²⁶log X ----- z. 23. log x = — 1.

19. ³log x — — 1. 22. log x = — 2.

18. ⁴Iog x = |.

21. ⁴log x ----- — |.

24. log abv.

25. log 6 x y z.

26. log 3 a (c + d). 29. log a (xa — 1). log 2 = 0-30103, log 3 = 0-47712, log 7 = 0-84510, log 11 = 1-04139.

30. Wie groß ist a) log 6; b) log 14; c) log 42; d) log 20; e) log 300; f) log 70000?

27. log (a + b) (m -{- n). 28. log (a²— b²).

5 mx — m2#

82. log i. 35. log

33. log

xa —y*

36. log

ab — cd mn — p q'

3 (a² — b²) x (2 a + 2 b) y *

34. log -

37.    Berechne a) log §; b) log f; c) log §; d) log 5 = log A

38.    a) log 1; b) log 4; c) logl; d) log 0 1.

39.    Stelle die negativen Logarithmen in Nr. 37 und 38 mit positiver Mantisse und negativer Kennziffer dar!

40.    Berechne: a) log ^ + log £; b) log f — log A. a,) log (7.11) —log (3.7); b) log

41.

42. log ax. 45. log 2 a³.

48. log 51. log

axmyn bzP *

48.    log ab⁸. 46. log 5a²x⁸.

49.    log

2 a³

3 b x⁸*

44. log (ab)⁸.

47. log (a + b)*+y.

50. log

8mn²x³

(2 a²)⁸ (5 b⁸)⁸ •

52.

'"'NW

6pqy* •

53.    Berechne: a) log 8; b) log 32; c) log 9; d) log 81.

54.    a) log 49; b) log 7⁶; c) log 2~⁸; d) log ^j$.

⁵⁵-los (o)⁵-

57. log Vab.

56.

-°»m

60. log y»

68.    log (Vx-Vyi). 66. log (aVaya).

69.    log

58. log Vxy⁸. 2 Vx

61. log

59. log 8a⁸ Vb⁸x. 62. log

x⁸ Va

6by⁸

m _

log \Z(VaP)s.

3

a (a + 1) V a8 b(b + D Vb '

4 _

logVaVbW.

6    10    3

75.    Berechne: a) log V 10; b) log V 10; c) log V 10; d) log \Z 100.

76.    a) log V 2; b) log V 7; c) log V 3.

77.    a) log yi; b) log ^11; c) logSj^f.

78.    a) log [log 10“”]; b) log [log VW],

Bestimme den Ausdruck, dessen Logarithmus gleich ist:

79.    log x + log y — log z.

81. 3 loga — 2 log b -[-4 log c.

83.    log a + log a — -1 (log a + log b).

84.    ^ log a - log b + j log c).

85.    i (2 log a + 3 log b) — 1 [log (a + b) + log (a — b)l.

n_

64. log V X³ b³ c*.

, X 1

67. log (a V a )x. 70. log

b⁸ V a⁸ c

65.

68. log x¹⁰*¹.

71. log

72.

log y5abVa-f-b.

73.

b⁸ o

Vb⁸—c⁸*

74.

80. log a — (log b + log c). 82. i log

— I log b — i log c.

86.    | [log a -f \ log (a — b) — 2 (log b + § log 3)].

87.    lotz (a + b) + 2 log a — \ [log (a — b) -f 3 log b],

88.    2 iog 3-|(2 log 5 + | log 7).

$9. 2 log (x — y) — f log (x + y) — i log (xa — xy + y=). 90. x log (log a).

91. x log x — log (log x).

Suche aus den Logarithmentafeln zu folgenden Zahlen die Briggs'-schen Logarithmen:

a)

38;

b)

c)

d)

218;

92.    7;

93.    1035;

94.    39070;

95.    86127;

96.    0-091457;

97.    0-01235;    0-0027398; 3*0008;

4719;

586100;

78008;

364228;

5755;

59-13;

0 68315; 17-8193;

683;

995.

e)

7899;

9011.

9-015;

85-201;

4-48197;

0-043;

0-4792. 0-0075536. 129 356. 0-68.

98. Berechne: a) log log 2; b) log log 111-11; e) log log 1*07.

Suche zu folgenden Briggs'schen Logarithmen die zugehörigen Zahlen:

a)

b)

99. 0-24055;

100.    3-89009;

101.    2-95742;

102.    0-73048 — 2;

103.    0-55342 - 3;

104.    4-89195;

105.    %

106.    0-6 — 2;

107.    -1-28057;

108.    -f;

1-57287;

0 66058;

1- 01396;

2- 81350; 0-68012 — 1; 0-05168-2;

A— ♦

c)

2- 98547; 0-27161 — 1; 0-46370 — 3;

3- 91001; 1-85603; 0-69960 — 1;

IX.

12 t

18-3; -3-5; —1-4--

■*-25 >

d)

0-61278.

1-02816.

2- 40016.

3- 69831. 4 43065. 1-99828.

3

8*

4-2-6. - 0213.

__L

05-1;

-0-7;

— ²i;

109. Bestimme x aus: a) log log x = 0-61271 — 1; b) log log x =

log log x — 0-54950.

16-

0-92691 — 1; c)

Berechne mit Hilfe der Logarithmen folgende Ausdrücke:

111. 9-6845. 0-29758.

112.    1-025.1-0792 . 1-05625 .(- 1-0751).

113.    0 35679.1 0765.1-92234.0-33258.

114.    2 00415.0-56.0 0741.0-09972.1-25463.

110. 1-2345.1-3456.

115.

17-846

116.

9-157.

2-3456.5-2913 769.0-12345 *

120. 2-1457.0-1248.1385.81-273 277.10-7285.2'2812.125'082"

118.

3-14159"

119.

11IV 2488. (—1926) ¹¹621347

413.4124.21358 425.4998.76148-

121. a) (1-05)". 123. (42-456)-".

121. b) (1-045)».

124. 2-45° ""

122. 2¹-"³⁵.

1-05

125.

/    323\¹⁷

\    313) '

126.

/54-139\" \55"817/ '

2035.(0-00876)7 3164.(0'00592)°'

129.    für r = 1-06234 und n = 3-14159.

130.    (3-905)1

127.

128.

1•14159*.2-0489°. 1-07938* 4-0932*.0-859*.210-895° *

131.

(-W.

132. (17-716)-!.

133. VFÖIS.

134. V7135.

135. V0-82736 . 0-96372*

136. |/.

1-5852.0-028346°

0-Ö004594

137. V314-29 .

138.

f/13

0 - 8414

139.

12

140.

in

141.

= 0-21537, b = 7-7856, c = 0-93572.

142.    lV_b |ör a = 0-27386, b = 30000, c = 0 02183, d = 0-72

cd⁶

143.    i/(a+b-M (a.+ i>-c) für a = 2-145, b = 3-087, c = 3-248.

]    ab

144.    ,!i⁴.v3F9.

67°

145

8_ 4

\JWFW. \JW

5

^7-13945°

146.

87.V8105

93-24*

3 VsV 6

5_

11 V 4 Vl24 149. VlO + yiO.

147.

148. V 340

6

■t

24-105.58-937

1-47939°

6    s

150. 347 V0-35 + V55-33».

4-9265*

4-31957» VS' 19338. V l7 39.

8    '    *~5

15*.V 91"34. V3-4071

152.    für q = 1-01875, n = 12.

151.

153.

V18-7-V9-2-

154.

62 — 3 V 10 .

V8-7

155.

157. X -----

log 13 — log 6

lög 3

5_

156. (1-04-VO-3)³. 158. x -----

log 2 —log (log 2)

log 3

159. x —

log 37656 — log 1183 log 16 — log 9

160. Berechne den Radius des einem Dreiecke ein- und umgeschriebenen Kreises aus den Seiten: a = 804-31, b — 1006-6, c — 864-9.

( \ /(s —a) (s —b) (s —c).    _    abc    \

V V    8    ¹    4 Vs (s —- a) (s — b) (s—c)/’

161.    Ebenso für a = 5, b = 12, c = 13.

162.    Das einem Kreise mit dem Radius 1 eingeschriebene regelmäßige 96-Eck hat den Umfang 6-28206. Berechne den Umfang a) des eingeschriebenen regelmäßigen 192-Eckes; b) des umgeschriebenen regelmäßigen 96-Eckes. (Aufg. §. 23. Nr. 52 und 54.)

Löse folgende Gleichungen ohne Benützung der Logarithmentafeln: 163. log x — — 3.    164. 2 log x = 3 log 4.    165. | log x ----- 2 log a.

166.    | log (x — 1) — 1 — log 5.

167.    log x + log (x + 1) == 2 log (1 — x.)

168.    log (x + 5)— log (x — 5) ----- 2.

169. 2'°e- = 8.

170. 5'°«2x = 625.

Löse folgende Exponential- und logarithmische Gleichungen auf:

173. ax.bmx = c. 176. 47x ----- 255. 179. 25~x = 11.

171. a"-x ----- nbx.

172. m.ax-° == n.bx_ß.

175. max+a ----- nb*+ß.

177. 10x = 2-71828. 178. 3²'⁴⁷⁸⁰⁶ ---- 2-47806x. 180. 23x+⁴.2²+x = 5X.

182. 2X.3X-¹.4X-² ---- 5.

174. (m¹-¹)⁵ ---- nx.

184.    = c.

186.

amx.bnx

cpx.bpx

— 8.

181. 32x.5i,x-⁴ ----- 7X-¹.11²-X. 183. 6⁸-4x ----- 0-006⁷-4x 185. m*. nx-² ----

= Ö'SOl^¹.

187.

fix -2

188.

/123V

\234/

X-fl

x-f-2 _ 345

456'

190. V25+³⁵ ----- 5.

== Vb⁵^

192. V ax-M 194. Vl4-7793x~* ---- VM^²

189. V10 = 2.

10    X

191. V10 = v 2- 57812.

193.    ---- Väb: Vb^F"¹.

. 195. V3ZM. V0-0452x

----- V4-5⁷-2x.

5x    7x

196.    V 13⁸*4-⁴ = V 39-737°*^+

197.    500.0-84*+ 400.0-84

X—1

= 578-592.

198. 3^ — 2⁸*-⁵ ----- 2⁸*-¹ — 3+

199. 3* + 3*4" + 3*+2 gx+3 ₌ 4x_j_ 4*+i _j. 4^-

200. 3*.5-- ------ 405,

2*.7* == 112.

203. V2*. V3* = 12,

V2-*:    = 3 375.

205. V2*.V3* =

1 8 1 VZr: V4y = 6l-

207. V4.5y = 400,

V    3.2r4-i ₌ 72.

209. Va = m\/b,

*    y

V    c — n\/d.

201. 3⁴* = 7.3+

5⁸* = 9.5⁵*.

202. VF+y = 2,

(x+y)3* = 216.

12,

211. *

*204. x* ------ 243.

VTÖ24 = (f). 206. V4 • V 8 = 1,

V2. \/2 = 1-41421.

208. V"x®* ----- 1024,

3 V x = 2 V 729.

210. VüFk =

Vb*4-! ----- n.

212. 2*.5* = 2000,

3*.6- ---- 2916,

4*.7* — 3136.

m,

^ = 1-16409,

V 2

V7+13 --- 16-1082.

213.    log (5 x) + log (2 x + 3) — 1 + 2 log (3 — x).

214.    log x + log (2 x) + log (4 x) — —3.

215.    log (x + 2) — log (x — 2) = 0-43512.

216.    21ogx = 3 log 4.

218.    log (8 x) + log (3 x) — log 48.

219.    log (x + 2) — log (x + 1) — 0-02345.

220.    log (16 x) — log (2 x) + log (3 x) — log 9 + log 4 — log 6.

221.    log (5* — 7) + 0 • 14267 = x log 5.

222.    2'°8* == 3.

217. 7 log x² — 4 log x³ — log 25.

223. lll0s(²*> = 0-094672".

§. 25. Huadratische Gleichungen mit einer Altbekannte«.

Keine quadratische Gleichungen.

1. (3x + 4) (3x — 4) = 0.

3. (x — a + b) (x + a — b) — 4ab.

2. 1—4x² = 7 + 2x².

4. (a — bx)² — (b — ax)².

5.    (9 + x) (7 — x) + (9 - x) (7 + x) = 76.

6.    (5x² — l)a - (2 + 3xa)a == (3 — 4xa)a.

7.    (ax + b)² + (a —bx) (ax —b) — (a + b)ax. 10 x⁴ — 4

8.

2 x⁴ + 3 x2 2x² — 1

2x² — 1

65t² —B

9.

a (x — a)

10, a — x =

b (x + b) ~ (x — a) (x + b) a b*

ii. - + - =

a ' x ax

ab — 1

a+x*

io x _

150“" 2x‘

M- m+r‘

16,    = t

18.

1 — ax

= o.

18. (x -(-1) (x — 1) = ft-

je (12+ x) (x —3)

12 — x

= x + 3.

17.

X— 1

1 — bx — b — x

19.

X—1

x + 1 — 2 *

_ I a _ 91

1 + 2x ' 1 — 2x ” ^0.

20. V3x² +- 9 = 2x.

21. V 33 —j— 2 x — x² — x -f-1.

22.

ax² + b²

\Zbx² + a²

— Vb x² -+ a².

23. Vx -+ a— Vx —

x+a —b

___ V x + a

24. V2x + 8 = 2VT+ 5 — 2. 25. Va + x + W^x = 3V0^4äl

26.    V3 (x - 2) + VT^l VT+2 = V3"(T+T).

27.    V2x² —1 — V2x² — 25 = 2.

28.    Vx² + 25 + Vx²-25 = 13 + \OI

29. V^+a —V5x —3a —4b =

2b

Vx + a

30.

2x

l + Vl—X

gj Vl + x² + Vl--x² _

VT+^ —vr=-T² — "b-

32.

2 a²

2 a²

x + V 4 a² — x²

x — V 4 a² — x2 = 8 (x — 6).

gg xV04x —"528

\/t+i_

34. ]/x² + a² — 2 a V x² — b² 4- x = -r a* y    ^    V x² — b²

35. Kv5 + x + /v5 — x = f6V5.

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a-b)³=?

36. yx + V2-/x-V2 = V2.

8

= VI

37. Va + x + Va-39. (4 x — 3)a = 81. (Neue Unbekannte).

40. a + b

x — a + b

38. Vx -j- a -f- Vx — a — V2x. f (a — b) (a — b — x) — 0.

42. (2x — 5) (3x + 8) = O. 44. x⁹ = 12x —35.

46. x⁹ + x — 56 = 0.

48. x⁹ — 2x — 15.

50. x⁹ —13 x = 140.

52. x² +19 x +10 = 0.

54. x⁹ + 2 x + 4 — O.

56. 12 x⁹ = 20 x — 3.

58. 18 x⁹ + 3 x — 10.

60. x⁹ —12x + 100 = 0.

62. x⁹ — 6-8x +10-92 = 0. 64. x⁹- 0-2392 = 0-81 x. 66. x⁹ = 8-712x-7-23726. 68. x⁹ —^ x — ^ = 0.

70. 4x⁹ — |x = i 72. 10x⁹ + 53x + E ₌ o. 74. x —-

50

x 3"

76. x⁹ — 2abx = a* + a²b⁹ + b⁴.

78. x⁹ — (a — b) x — ab ----- 0. 80. m²x⁹ — in (a — b) x — ab.

Gemischte quadratische Gleichungen.

41. (x —3) (x — 2) = 0.

43. x⁹ — 4 x — 21.

45. x³ + 15x + 56 = 0.

47. x⁹ —4x + 4 = 0.

49. x⁹ — 6 x — 7 — 0.

51. x⁹ + 9x + 5 = 0.

53. x² — 7 x = 7.

55. 5x⁹ + 7x = 24.

57. 5x⁹ + 13x +17 = 0.

59. 16 x⁹ — 24x + ll = 0.

61. x² — 0*9x = 0-1.

63. x⁹ + l-28x = 0 3825.

65. x⁹ — 0-685x = 0-114536.

67. 2 x² +1 x — A — 0.

69. 5x⁹ + §x —

¹

   a)    Va + b;    b)    V(a—b)m; c)    (Vab)⁵;    d)    (Va)⁵;    e)    (V

71. x3_n x || ₌ o.

73. x + i

75. x⁹ + 2ax = 2ab + b⁹.

77. x⁹ — (a + b) x + ab = 0.

79. (a — b) x² — b x — a.

81.    (x + 3)⁹ = (x + 2)⁹ + (x —2)⁹ + 6.

82.    (x + 1): (x + 3) = (x + ll):(3x — 3).

83.    (x + |) (x +— (4x -f-1) (4x — |) + 1 = 0.

84.    (a + b) x⁹ — 2 (a⁹ — b⁹) x + a³ + b⁸ = 0.

85.    x⁹ — (a² + b⁹) x + a³b — ab³ — 0.

86.    (a — x)² + (b — x)⁹ ---- (a —b)⁹.

87.    x⁹ (a⁹ — b⁹)-2a (a⁹ + b²)x+ (a⁹ + b⁹)⁹ -= 0.

88.    2(x² +1) (a⁹ — b⁹)—5x(a⁹ - b⁹) + 3ab(x⁹ — 1) = 0.

89.    x² — 4 V— 1.x + 5 ---- 0.

90.    x²-4V=l.x= 7-4V^l.

91.    x⁹ — 5x — 2ix + 5 + 5i = 0.

92.    x⁹ — 7x-2ix + ll + 7i = 0.

x + 18    6

x + 6 x — 3'

95.

x — 4

93.

10 =

2a

97.---2

X X²

— a² —

94 (2 a — b) x — b² 2 a (a — b)

2a + b — x    2a — x

1.    96. ---J-r =

x x+1    x+2

a² — b²

2 x    x² 4-1 ‘

98.

a² + b²

a — 2 bx x a + b

99. a x — b x = —

101. x + - = a + 1.

¹ x    ¹ a

a-f-x i a — x _ 2ax

— x ' a -f-x a² — x²*

103.

105.

107.

109.

111.

_b_ _    2 (a + b)

b —x    a + b — x*

———n = — -|---1—r\    108.

x-j- a -j-b x ¹ a ¹ b

x+1

x-f-2

2x — a x-j- 6 a

4 x + 5 a

100. ^ + abx = a² + b².

102. ^Ti

1M- Si

106. ™

2b

2(a + l)

x + 1 b * b + x _ b a—x

x — 2b ___

x — b a -f“ b*

j_ _2__B(a-l)

x — 3 '

¥•

2x — 3    _

3x —4    5 *

110.

112.

5x + 4

2x4-1

7-3 = 0.

4

lis.

10

x—-3 ⁼ °‘ Ul

8x² —3 x -f- 9 x-f-2

10xs— 6x —

3x —

, 6x²—4 n n

f—— = 6x-6.

16x

4xs— 1*

115.

x²—1 x²—x 15 x x² 4" x'

11ß    8x-j-5 _ 3x — 2____

x⁸ — 1 x² — 2x4-1    x²4-x4-l#

3x4- 1

117.    ²

x 4- 2

33

x² 4“ 2x-|- 4 x⁸ — 8*

118.

4x4-2

X² —2x4-4

11x4-7

__ 77 —7x²

x² 4-4x 4~4    x⁸4~8‘

2 a — (1 4~ a²) x _ 2 b 4- (I4~b²)x

l-f-a² — 2ax 1 4- b² -j- 2bx'

3 a 4~ 5 b

b —x a 4“b*

121.    x: (x + 1) = (2x + 3): (3x + 4).

122.    6abx² —(9a² + 4b²)x + 9a² —4b² = 0.

123.    abx² — (a² + b²)x + 2a² — 3ab — 2b² = 0.

124.    8ax² — (a² + 64) x + a² — 64 = 0.

125.    lOabx² — (25a² + 4b²)x + 25a² — 4b² = 0.

(ä±^)'+6.

119.

126.

127.

129.

130.

2(a + b)

120.

5x

= 7.

128.

⁹⁽⁴~^x) + 20 = 0.

— y.

(iBeT+Ä + '-o.

a-f-x

a-f-x

¥■

131.

x 4~ a

x — a _ 4 a (a -f- b)

x 4- a b(2a-f-b)e

132. (5 + x)² —11 (5 + x) (4 — x) + 24 (4 — x)² = 0. 138. (ax — b) (b x a) — 0.

135. a³ — x² — (a — b) (x — a).

186. (x -f- 3)² — 4 x² — (x + 1) (4 x — 5).

134. 3(x — 2)a = 5x —10.

137. xa + 2xV5 — 2V6.

139. x + 7\/x ----- 30.

141. 2x —3Vx7TI = 4.

143. V^^2-V4x — 7 = 1. 144. 3V7+5

188. x (x -f- 2 V11) = 6\/2.

140. ax — b Vx — c.

142. x —10 = 2 V x² — 3x + 5.

Vx+Ti

= 1.

145. V10 — x-j-Vx — 5 -- Vx. 146. Vx + 2+V2x + 7 ---- 4.

148. 2V3x + l —3V2x —1 = 1,

147.

5 + Vx 3 \/x + 1

— 3 — Vx.

149.    Vx +V10 + Vx —V10 = V6x —11.

150.    aV7+T³ + b V x + aa ----- 2ab.

151.    3V7+8-V7"-^8 = 2V2x"+2)

152.    V2x + 3 — VT+1 = VT-^2.

153.    V37+6 - V37+I = V27— T.

154.    V3T+1 — V2"^=I = V3l^6 - V2 x — 6.

155.    I^a² -f- x V2x² — a² = a + x.

156.

Vx + Va — x Vx — Va — x    3 Vx

157. V5 +Vx + VT+Vx = V2(6Vx).

158. V(x —1) (x —2) + V (x — 3) (x — 4) = \J2.

12 —Vx

159.

Vx

Vx

= 2.

12—Vx

160.    V a (b + x) — a + b — V b (a — x).

161.    )/2x + 1-2V2F+3= 1. 162. /2 + 12 + V2+77 = x.

163.    j/x+ ^x + Vx + .. = x —1.

164.    Vx + rf- = Va,tVb + ^7—•

Vb

165.    V7x —13-12 = V5x-fl. 166. VfT+2 + VT+2 = x.

VFS+VÜH¹-

167.

169.

Vx

Va

168.

Va² + x² Vc²+(b —x)ä

Vx — a Vx —

Vx— a — Vx —

5 =\!?—±

b Vx-b-

170.    Vx — a-J-Vx — 2a — Vx — 3a.

171.    Va (x — b) — Vb (x — a) — V(a — b) (x — 2b).

172.    Vx a 4" Vx — a — V2x; (a ± b)s — as ± 3ab (a ± b) ± b³.

173.    VT2ÜX—V16 —x = 2.    174. Vx + V2— Vx — V2 = \J2.

175. Va-)-x + Vb — x — V3(a + b).

Für welche Werte von x werden folgende Ausdrücke positiv und für welche Werte negativ?

176. x² —8x + 16.

178. x² + 8x + 15.

180. x² — 6x + 9.

182.    2x* — x — 2 = 2 (x² — —■ — 1).

183.    — 2x² —x + 10 = -2(x² + -|-5).

184.    8x² + 4x-l.

177. x² — 3 x — 4. 179. x² — 14x + 45. 181. x² —4x + 5.

185. 12 —x —6x². Bilde Gleichungen, welche folgende Wurzeln haben: 186. “j- V— 1 und — V— 1.

188. 10 und — 1.

190. | und |.

192. 0*7 und —2-4.

194. ^ und

196. (2 a — b)² und (2 b — a)². 198. V2 + V^3 und V2 —

187. +3V2 und — 3V2. 189. —9 und —13.

191. | und —

193. 1-36 und 0-75.

195. 1 + V2 imb 1 — V2.

197. 2a + 3bV2 mtb 2a —3b\/2

199. 2 + V=l und 2 — V=T. V a + Vb VI— V b VI ' Vb *

200.

201.

Va +Va — b' Va — Va — b*

202.    Eine quadratische Gleichung mit reellen Zahlen hat die eine Wurzel —5 — VII5. Wie heißt die Gleichung?

203.    Die Gleichung xa —11-175 x — 2-8; ergänze die Gleichung!

204.    Dieselbe Gleichung (Nr. 203) hat die eine Wurzel 2-8; wie heißt die andere und wie die Gleichung?

205.    Eine geordnete quadratische Gleichung mit dem absoluten Gliede. -f-15'4 hat die eine Wurzel 8'8; wie heißt die Gleichung?

206.    Dieselbe Aufgabe (wie Nr. 205) für b — —15 4 und x, — 8'8.

207.    Die Gleichung x² — (a² — 2a -s- 2) x..

Wurzel xt = a + 1; ergänze die Gleichung!

= 0 hat die eine Wurzel

— 0 hat die eine

Zerlege folgende Trinome in Faktoren:

208.    Es ist die Gleichung aufzustellen, deren Wurzeln die reziproken

Werte der Wurzeln der Gleichung 12x² — 17x    6 — 0 sind.

209.    Die Wurzeln der gesuchten Gleichung sollen die Quadrate der Wurzeln der Gleichung x² + ax + b — 0 sein.

210.    Die Wurzeln der gesuchten Gleichung sollen die reziproken Werte der zum Quadrat erhobenen Wurzeln der Gleichung 20x² — 33x-)-10 — 0 sein.

212. x² + 3x —88.

214. x² — 9x —10.

216. 3x² + 10x —153.

218. 20x² + 17x —24.

220. x² + 4abx —(a² —b²)².

211. x² —17 x + 70.

213. x² + x +1,

215. 3x² - 14x + 8.

217. 6x² + x —1.

219. x² — ax + c(a — c).

224. a b x² + (a² — ba) x — a b.

221. a ex² — (a² + bc)x + ab. 222. acx² — (3ab — bc)x — 3b². 223. abx²+(a+b)x + l.

§. 26. Anwendung der quadratischen Gleichungen mit einer

Unbekannten.

Utittt quadratische Gleichungen.

1.    Das Produkt aus dem dritten und vierten Teile einer Zahl beträgt 108; welches ist die Zahl?

2.    Welche Zahl muß um d vermehrt und um d vermindert werden, damit das Produkt der beiden neuen Zahlen a sei?

3.    Es ist eine Zahl zu suchen, deren neunter Teil gleich ist dem Produkte aus dem dritten, sechsten und achten Teile derselben.

4.    Wenn man eine gewisse Zahl um 5 vermehrt und um 5 vermindert, so ist die Summe der Quadrate der so erhaltenen Zahlen 178; welches ist die Zahl?

5.    In einem rechtwinkligen Dreiecke, dessen eine Kathete das 4|fad)e der andern ist, beträgt die Hypotenuse 82 m; wie groß ist jede der beiden Katheten?

6.    In einem rechtwinkligen Dreiecke verhalten sich die beiden Katheten wie 3:4; vergrößert man die kleinere um 4 und vermindert die größere um 3, so ist die neue Hypotenuse l^mal so groß als früher. Wie groß sind die die drei Seiten beider Dreiecke?

7.    Wenn man eine Seite eines Quadrates um a (11| cm) verlängert und die anstoßende Seite um ebensoviel verkürzt, so hat die Diagonale des aus diesen Strecken gebildeten Rechteckes die Länge b (41 cm). Wie lang ist die Seite des Quadrates?

8.    Wie groß ist die Seite des Quadrates in Aufg. 7, wenn der Flächeninhalt des erwähnten Rechteckes gleich f (860

!) ist?

cm,

9.    Ein Rechteck hat die Seiten 118 cm, und 59 cm. Wenn man die kleinere Seite um einen bestimmten Betrag verkürzt und die andere um das doppelte vergrößert, so nimmt der Flächeninhalt um 3698 cm² ab. Wie groß sind die Seiten des neuen Rechteckes?

10.    Drei Zahlen verhalten sich wie |: §: §; die Summe ihrer Quadrate ist 4525. Wie heißen dieselben?

11.    Eine Sammlung in einer Gesellschaft, in welcher doppelt so viel Herren als Damen waren, ergab 176 K. Jeder Herr gab doppelt so viel K, als Herren waren, und jede Dame dreimal so viel Kr als Damen waren. Wieviel Herren und wieviel Damen waren da?

12.    Zwei Körper bewegen sich auf den Schenkeln eines rechten Winkels von dem Scheitel aus mit der gleichen Geschwindigkeit; doch hat der erste seine Bewegung m (7) Sekunden früher begonnen. Wenn nun beide n (12) Sekunden nach Abgang des ersten eine gegenseitige Entfernung d (65 m) haben, mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich dieselben?

13.    Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig auf den Schenkeln eines rechten Winkels vom Scheitel aus. Der erste hat die Geschwindigkeit c (4'8 m), der zweite c' (14 m); nach wieviel Sekunden ist ihre gegenseitige Entfernung d (100 m)?

14.    Auf den Schenkeln eines rechten Winkels befinden sich zwei Körper in der Entfernung 40 m bezüglich 20 m von dem Scheitel. Der erste bewegt sich zum Scheitel hin mit der Geschwindigkeit 1 m, der zweite von dem Scheitel weg mit der Geschwindigkeit 2 m. Nach wieviel Sekunden wird ihre gegenseitige Entfernung 50 m betragen?

15.    Ein Punkt außerhalb eines Kreises hat den Zentralabstand e. Von demselben wird an den Kreis eine Tangente von der Länge a gezogen; wie groß ist der Radius des Kreises?

16.    Ein Kreisring hat den Flächeninhalt f. Das Verhältnis des großen Radius zum kleinen ist gleich m. Wie groß sind die beiden Radien?

Gemischte quadratische Gleichungen.

17. Suche jene Zahl, deren 12faches um 45 kleiner ist als ihr

Quadrat.

18.    Wenn man zu einer Zahl 40 addiert und die Summe durch die ungeänderte Zahl dividiert, so ist der Quotient um 2 kleiner als die ursprüngliche Zahl; wie groß ist diese?

19.    Welche Zahl gibt zu ihrem reziproken Werte addiert a zur

Summe?

20.    Die rechts stehende Ziffer einer zweistelligen Zahl ist um 3 kleiner als die links stehende; multipliziert man die Zahl mit der letzteren Ziffer, so erhält man das 42fache ihrer Ziffernsumme. Wie heißt die Zahl?

21.    Ein Bruch hat den Wert §. Wenn man Zähler und Nenner um 12 vergrößert, so ist der entstandene Bruch 5mal so groß, als wenn man Zähler und Nenner um 6 verkleinert. Wie heißt der Bruch?

22.    Ein Bruch hat den Wert f. Wenn man seinen Zähler um 8 vergrößert, den Nenner hingegen um 8 verkleinert, so ist der entstandene Bruch um 1| größer als jener Bruch, welcher entsteht, wenn man umgekehrt den Zähler um 8 verkleinert und den Nenner um 8 vergrößert. Wie heißt der Bruch?

23.    Wenn man in einer zweiziffrigen Zahl mit der Ziffernsumme 5 die Ziffern vertauscht und die beiden Zahlen miteinander multipliziert, so erhält man 574; wie heißt die Zahl?

24.    Welche zweiziffrige Zahl mit der Ziffernsumme 13 gibt durch das Produkt ihrer Ziffern dividiert 2 zum Quotienten und 5 zum Reste?

25.    Die Schüler der obersten Klasse einer Lehranstalt gaben sich gegenseitig ihre Photographien, wozu 1056 Stück erforderlich waren. Wieviel Schüler hatte die Klasse?

26.    Jemand kaufte für a (400) K Tuch; hätte das Meter b (1) K weniger gekostet, so würde er für jenes Geld c (20) Meter mehr erhalten haben. Wieviel Meter hat er gekauft?

27.    Die Kosten einer Reise, welche mehrere Personen unternahmen, betrugen 432 K; da zwei Personen frei gehalten wurden, mußte jede der übrigen Personen um 3 K mehr bezahlen. Wieviel Personen waren es?

28.    Ein Vater hinterließ seinen Kindern ein Vermögen von 14400 K zu gleichen Teilen; bald nach seinem Tode starben zwei Kinder und es erhielt infolgedessen jedes der übrigen Kinder um 1200 K mehr, als es sonst bekommen hätte. Wieviel Kinder hinterließ der Vater? »

29.    A und B gewinnen bei einem Geschäft zusammen 340 K. B hatte 400 K mehr eingelegt als A. Wenn nun A an Kapital und Gewinn zusammen 3360 K zurück erhielt, wie groß war das von ihm eingelegte Kapital?

30.    Ein Gärtner kauft eine Anzahl Rosenstöcke für 50 K. 6 Stück behält er für sich, die übrigen verkauft er um 51 K und gewinnt so an jedem Stück 25 h. Wieviel Stöcke waren es?

31.    Jemand leiht 5600 K zu einem gewissen Zinsfüße aus; von den Zinsen des ersten Jahres verwendet er 152 K für sich, den Rest schlägt er zum Kapital, welches dann im zweiten Jahre 256'5 K Zinsen trägt. Zu wieviel % war das Kapital ausgeliehen?

32.    Jemand erhält jährlich von einem Kapitale 120 K Zinsen und von einem zweiten, welches um 6000 K größer ist und 2 % mehr einbringt als das erste, 540 K Zinsen; wie groß sind die beiden Kapitalien?

33.    Ein Baumgarten bildet ein Rechteck, in welchem 560 Bäume in gleichen Entfernungen voneinander stehen; eine Reihe nach der Länge enthält 8 Bäume mehr als eine Reihe nach der Breite. Wie viele Bäume stehen in jeder Reihe?

34.    Ein Acker von 6936 Quadratmeter Inhalt hat die Gestalt eines Rechteckes, in welchem die Länge um 34 m größer ist als die Breite; wie groß ist die Länge und wie groß ist die Breite?

35.    In einem Rechtecke, dessen Länge um n (23) Meter größer ist als die Breite, beträgt die Diagonale d (65) Meter; wie groß sind die Seiten? '

36. Vergrößert man eine Seite eines Quadrates um 12 cm und verkürzt die andere um 5 cm, so ist der Flächeninhalt des aus diesen Strecken gebildeten Rechteckes 308 cm². Wie groß ist der Flächeninhalt des Quadrates?

37.    Um ein Rechteck mit der Länge a (24) cm und der Breite b (18) cm wird ein zweites gezeichnet, dessen Seiten von denen des ersten gleich weit abstehen, und dessen Flächeninhalt m (1§) mal so groß ist als der des ersten. Welchen Abstand haben die Seiten?

38.    Eine Strecke a in zwei Teile so zu zerlegen, daß der eine Teil die mittlere geometrische Proportionale zwischen a und dem andern Teile wird.

39.    Eine Strecke von der Länge a in zwei solche Abschnitte zu teilen, daß die Differenz ihrer Quadrate dem Rechtecke der Abschnitte gleich sei.

40.    Eine Strecke a 1) von tnttert, 2) von außen in zwei Teile so zu teilen, daß das Rechteck aus diesen Teilen flächengleich ist einem Quadrate mit der Seite b.

41.    Auf einer Geraden liegen 4 harmonische Punkte. Die Abstände je zweier zugeordneter Punkte sind AB==a, CD = b. Wie groß sind die Strecken AC, BC, BD?

42.    In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine Kathete um r (7 m) kleiner als die andere; die Hypotenuse hat die Länge c (73 m). Wie groß sind die Katheten?

43.    In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse o — 25 m und die Höhe aus dieselbe b — 6 72 m. Berechne zuerst die Abschnitte der Hypotenuse und dann die fehlenden Seiten!

44.    In einem rechtwinkligen Dreiecke ist eine Kathete a — 117 und die Projektion der anderen auf die Hypotenuse q — 15• 488. Berechne die Hypotenuse!

45.    In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine Kathete um 17 « größer als die andere. Vergrößert man die kleinere Kathete um 20 m und die größere um 10 m, so wächst die Hypotenuse um 20 m. Wie groß ist die kleinere Kathete?

46.    Von einem rechtwinkligen Dreiecke ist gegeben die Hypotenuse o — 35 m und die Summe aus einer Kathete und ihrer Projektion auf die Hypotenuse m — 33 6 m. Wie groß sind die Katheten?

47.    Von einem rechtwinkligen Dreiecke ist gegeben die Hypotenuse o ----- 50 m und die Summe aus einer Kathete und der Projektion der anderen auf die Hypotenuse m — 60-08 m. Wie groß ist diese Kathete?

48.    Die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreieckes wird durch die Höhe nach stetiger Proportion geteilt; wie groß sind die Katheten?

49.    Von einem rechtwinkligen Dreiecke, dessen Seiten eine stetige Proportion bilden, ist die größere Kathete a gegeben. Wie groß sind die beiden andern Seiten?

50.    Aus dem Flächeninhalte f (360 cm³) und den Seiten a (29 cm) und b (25 cm) eines Dreieckes ist die dritte Seite zu berechnen.

51.    Welches Vieleck hat 170 Diagonalen?

52.    In welchem Vielecke ist die Zahl der Diagonalen um 18 größer als die Zahl der Seiten?

53.    Eine Kreissehne von der Länge a (12) wird durch eine andere von der Länge b (15) halbiert; wie groß sind die beiden Abschnitte der letzteren?

54. Eine Sehne ist um 2 an kürzer als der Durchmesser des Kreises; ihr Zentralabstand beträgt ^ von der Länge des Radius. Wie groß ist dieser?

55. Um welche Strecke muß man den Halbmesser r (7 Qm) eines Kreises verlängern, damit die vom Endpunkte der Verlängerung an den Kreis gezogene Tangente die Länge a (24 cm) habe?

56.    Von einem Kreisausschnitte ist der Umfang u (5 m) und der Flächeninhalt f (1 • 5 m²) gegeben; wie groß ist der Radius und der Bogen?

57.    Von einem geraden Zylinder ist die gesamte Oberfläche o (706-86 cm²) und die Höhe h (8 cm) gegeben. Wie groß ist der Radius des Grundkreises?

58.    Von einem geraden Kegel ist die gesamte Oberfläche o (1385-44 cm²) und die Seitenlinie s (40 cm) gegeben; wie groß ist der Radius des Grundkreises?

59.    Von einem geraden Kegelstumpf ist der Kubikinhalt v (88079 * 19cm⁸), die Höhe h (30 cm) und der Radius der einen Grundfläche r (10 V 3 — 17*32 cm) gegeben; wie groß ist der Radius der zweiten Grundfläche?

60. Von zwei Orten, welche 152 km voneinander entfernt sind, fahren zu gleicher Zeit zwei Wagen einander entgegen; dieselben begegnen sich nach 12 Stunden. Wenn nun der eine zu jedem Kilometer eine Minute mehr braucht als der andere, in wieviel Minuten legt jeder Wagen 1 km zurück?

61. Zwei Radfahrer fahren gleichzeitig von den beiden Orten A und B einander entgegen. Als sie sich nach 7'8 Min. begegnen, hat der erste 1560 m mehr zurückgelegt als der zweite. Der erste kommt 12| Min. früher in B an, als der zweite in A. Wie weit sind A und B voneinander entfernt?

62. Ein Radfahrer fährt um 8 Uhr vormittags von einem Orte A über einen 9 km entfernten Ort B nach C und holt einen Fußgeher, welcher um 8 Uhr von B gegen C aufgebrochen ist, um 11 Uhr 20 Min. vorm, ein. Wenn nun der Fußgeher zu jedem Kilometer 41 Minute mehr braucht als der Radfahrer, wieviel Meter legt jeder von beiden in der Minute zurück?

63.    Auf den Schenkeln eines rechten Winkels bewegen sich zwei Körper gleichförmig mit den Geschwindigkeiten c (5) m und ct (3⁻6) m zum Scheitel hin, von welchem jeder die Entfernung a (60) m hat. Nach wieviel Sekunden beträgt ihre gegenseitige Entfernung b (26) w?

64.    Zwei Punkte bewegen sich gleichförmig mit den Geschwindigkeiten (6 m) und vz (8 m) auf zwei sich rechtwinklig schneidenden geraden Linien

zu dem Schnittpunkte hin. Ihre Entfernungen vom Schnittpunkte sind zu einer gewissen Zeit dx (103 m) und dg (76 m). Nach wieviel (t) Zeiteinheiten werden die beiden Punkte die Entfernnng d (109 m) voneinander haben?

haben, mit den Geschwindigkeiten c (5) cm, bezüglich

cm

65.    Auf den Schenkeln eines rechten Winkels bewegen sich von dem Scheitel aus die Mittelpunkte zweier Kreise, welche die Radien r (15) cm und r₁ (14)

(7) cm- doch beginnt der zweite Punkt seine Bewegung t (1) Sekunden später. Wann werden sich die beiden Kreise von außen berühren?

66.    Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren, welche gleichzeitig geöffnet sind, in 2| Stunden gefüllt werden. In welcher Zeit füllt jede Röhre einzeln den Behälter, wenn bei Verwendung der einen Röhre 2 Stunden weniger erforderlich sind als bei Verwendung der anderen?

67.    Um einen Wasserbehälter zu füllen, braucht eine Röhre 2 Stunden weniger, als eine zweite Röhre braucht, um den gefüllten Behälter zu entleeren. Werden beide Röhren geöffnet, dann ist der Behälter erst in 20 Stunden bis zur Hälfte gefüllt. In welcher Zeit wird die erste Röhre allein den Behälter füllen und die zweite den gefüllten entleeren?

68.    Man läßt einen Stein in einen Brunnen fallen und zählt t (3) Sekunden, bis man das Aufschlagen des Steines im Wasser hört. Wie

tief ist der Brunnen, wenn die Acceleration g (9'81) m und die Geschwindigkeit des Schalles c (333) m ist?

(Ein frei fallender Körper legt in x Sekunden den Weg s = ■— x² zurück.)

69.    Welche Zeit braucht ein mit der Geschwindigkeit c vertikal in die Höhe geworfener Körper, um die Höhe h zu erreichen?

70.    Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit c vertikal emporgeworfen-; nach wieviel Sekunden muß ein zweiter Körper mit der Geschwindigkeit c' von demselben Orte aus vertikal aufwärts geworfen werden, wenn er den ersten in t Sekunden treffen soll?

Diskussion der erhaltenen Gleichung.

§. 27. Algebraische Gleichungen Höheren Grades «nd Grponential-gleichnnge» mit einer Ilnbekannten, welche sich ans quadratische Gleichungen zurückführe« lassen.

a) Einführung neuer Unbekannte.

1. x⁴ —13x² + 36 = 0.

8. x⁴ — 4x² — 45.

5. x⁴— 4abx² = (aa — ba)².

7.    x⁴ — 2(aa + ba)xa + 4aaba = 0.

8.    xV 25 — x² = 12.

2. 6x⁴ —11 xa = 35.

*•1

4x⁴

2x²

3    64'

6. (9x²)² —41.(3 x)² +400 = 0.

10. 6x-⁴ —5x-² + l = 0.

x² + 3

X² + (fV = 260.

11. (x + a)²4    ¹

iS. (x-2r+₍-^^T.

9.

(x+a)a

b.

12. ~

14.    (x — a)⁴ + (x + a)⁴ — b.

15.    (x² -f- ax)² + b (x² + ax) = c. ©efce x² + a x = y.

—x²

x²+3*

16.    (x² —3)² —7 (x² —3) + 6 = 0.

17.    (3 + x)²4

= 100-01. 18.

82

a-f-b b _a + b

(3 + x)²

x + 3 x + 4

21.    (2 x² — 3 x 4~ l)² = 22 x² — 33 x + 1.

22.    V x — 8 V x = 9.

24. ^ x² — n² = n + ^ x.

26. x² — 8x-f-5 — 2Vx² — 8 x -f- 40. @e§e x² —8x + 5 = y.

19.

VfEi-V

x²

x² — b

= iV2. 20. Vx + 5 + Vl2-x = 3.*)

23. V x⁴ — 3 V x² = 54. 25. Vx³ + ax³ = b.

27.    2x² + 3V^^T+I = 2x + 3.

28.    (2 x + V 2x)⁴ — (2 x + V2x)² = 1260.

*) (a_j_b)⁴ = a⁴4-b⁴ + 4ab(a + b)²-2a²b².

29. ^ xa -j- 2 a x    a² — ^ xa -f- 2 a x — aa = 2 aa.

30. 2^2x — $/4xa = 2. 32. V x -f- 2 i V x — 1.

31. 4x + 5x& = 21x⁵.

33. IVF —V^l. V —x=l.

b) Zerlegung in Faktoren (auch verbunden mit a).

34. x⁸ — 3 xa -----10 x.

35.    x³ -j- 3 xa — (x + 3) (2 x + 15) — 0.

36.    x³ — 8 x⁸ + (x — 8)a + 6 x (x — 8) — 0.

37.    x³ — a³ — a² (a — x).

39. x³ = l.

42. x³ — a³ — 0.

44. (7 — x)³ — (7 -j- x)³ = 0.

40. x³ = —1.

46.

a — x³

= V x⁸ — b.

38. (3 — x)⁸ == x — 3.

41. x⁸ -{- a³ = 0.

43. x (xa — 8) — 8 (1 — x).

45. (2 x — 5)³ + (5x — 2)³ — 0.

9 (x³ - 4)

Vx⁸-b

48. x⁶-f 27 = 28 x⁸.

50. 2xs — 5 x V x = 1323.

*52. x³ = (2 + i )*•

54. (2x —3)³ + (x —9)⁸ = 0. 56. x⁴+16 = 0.

*7. xVx_3 49. 3 x⁶ — 7 x³ — 6.

58. x⁴ — 625 = 26 x (25 — xa). 59. 60. x⁸ —17 x⁴ + 16 = 0.

62. ^ — 18 xa = 9 (xa — l)a — 65.

3x² + 4 . 3 xa — 4_26

* 3x²—4"1~3x²+4    5‘

65. ij^ = x³ + b. 66. x⁶ + 1 = 0.

51. (3 — x)³ — 1 = 0.

53. (x — a)³ — (b — x)³ — 0. 55. x⁴ —81 = 0.

57. (xa — 4) (xa + 4) = 240.

X +Vx

X² —X

x—Vx

61. x⁸ — (a⁴ + b⁴) x⁴ + a⁴ b⁴ = 0.

63

64. 3 x⁶ = 2187.

67. x⁶ —1 = 0.

Löse folgende reziproke Gleichungen auf:

69. x³ — xa -)- x — 1 = 0.

71. x³ + ^ + y + l = 0.

73. 2x³ + 3xa —3x-2 = 0.

68. xs xa -f x -j-1 = 0.

70. x* 3 xa — 3 x — 1 = 0.

ja.    +¥-i=a

= 0.

74. 5x³ — 21 xa — 21 x + 5 = 0. 75. x³ + axa + bx -}-76. x³ + axa —bx-(^y = 0.    77. x⁸ + 2xa —4x —8 = 0.

78. x³ + 3xa + 15 x +125 = 0. 79. 27x³ + 12xa — 8x — 8 = 0. 80. 8x³ + 10xa + 15x + 27=0.    81. ^2lT^I+ ^ä=I=^2l=^:

82.

ax-f b

xa.

83.

bx + a

84.    x⁴ — 2 x⁸ + 2 x² — 2 x + 1 = 0.

85.    x⁴ —12 x⁸ + 29 x⁸ — 12 x + 1 = 0.

86.    x⁴ —— 8xa —^- + 1 = 0.

87.    2 x⁴ 5 x⁸ — 5 x — 2 — 0.

88.    24 x⁴ — 50 x⁸ — 173 xs — 50 x -f- 24 = 0.

89.    3 x⁴ —10 x³ 6 x² —10 x -f- 3 = 0.

90.    6 x⁴ — 35 x⁸ + 62 xa — 35 x -s- 6 — 0.

91.

x² — 5 axj-b

2    5x~ 17

5x² —1'

Va — bx + Vb — ax Va— bx — V b — ax

92.

94.

b x + a ax — b

x³.

93.

bx — a

96. x⁸

¹ b x³ — a

+ X⁸ — X⁹ 4

13 x⁴

13 x

95.

1=0.

/ax + b\8 \b x + aj

1 2

20

85

x + 1    x—1 ¹ X—2 X—3

=4.

97.    36 x⁵ —15 x⁴ — 29 x* — 29 x² — 15 x -f- 36 = 0.

98.    x⁸ + x⁴ — x — 1 — 0.

99.    6 x⁸ + 11 x⁴ —11 x⁸ —11 xa + 11 x + 6 = 0. . 100. x⁸ — a⁵ = 0.

101. x⁸ + a⁸ = 0.

102. x‘* = l.

Löse folgende Exponential- und logarithmische Gleichungen: 103. V a = t>x.

106. 3

X—1

104. 2x+* = \/5. 2(1+1)

107. 8

109. 10a-5x+⁶ = 100.

111. 25x_1 — 5x+‘ + 24 = 0.

3 V12

2x

6O + V12

116. logxa + i^ ₌ 3.

118. xlog x = 578.

105. 3.2X = 4 V 9.

= 32i-Vl08. (31-XJ

110. (§)äx-f (§)x = -f.

112. 3x+a + 3a-x = 82.

= 1.

113.

— 6.

x-f-2

114. V 2 = 4X+⁸.

2x4-1

115. 3.4X+² = 4.3“.

117.

5 —logx ¹ 1 +logx

119. V xlog Vx= 10.

120.    log VT+1 -f- log V x —+L — 2 — log 2.

121.    3 xIog x -f-100 x -log x = 40.    122. 3x2-46x+* = 1200.

123. (2x5+x-²)x-⁸ = 1.

125. xlogx = x<

1000"

127. x,ogx — 4x-Iogx = 3.

124. xalogx-⁵=0-01.

126. 32x = 100 (3¹⁻¹ — 1).

129. 3.42x*-2x+⁴ - 5.4x’-x+a =28. 130.

128. 6.72x + 7x = 301.

10 (3X + 100)

8*

15.3X + 2.

131. 5 V 3 -f 3 V 3 = 10.

3 x    6 x

132. 12 V10 — 5 V10 = 25.

134. VS^ + l + VS^ — ö. 136. 3¹+I + 3ä~I = 28.

X x-f-1 x-fa

133. V2V3. V4 = l.

135.

__2    _J

6 — log x ^ log x

137. logV x — 1 + log V1T+1 = 1*5 — log 2.

§. 28. Hnadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

(§§. 213 und 214.)

1. 2 xa — 3 ya = 71,

3x² + 2ya = 165.

3. x: y = 4:1, x: 6 — 6: y.

5. xa + y² = ra, y = a x + b.

7. ba xa + aa ya = aaba, y = Ax + B.

9. xa-(-ya = aa,

2. x² — ya = 12,

x² + y = 14.

4. x²— y = 604, x — y = 4.

6. ya = 2 p x, y = ax + b.

8. baxa — a²y² = a²b², y = A x + B.

10. xa —y² = 32,

— = 3.

11. x + y = 4,

— — = 4.

x y

13. 22 = x + 3 (y — 1),

92 =i= i (x -f 22).

15. x²: y² = a*: b², x — y = a² — b².

17. VT+4 —V7+T=l,

5 X — 3 y = 16.

19. 2xy — y — 21, xy — 2x —4.

21. (x + 2)a — (y — 3)² = 44, (x — l)² — (y — 5)² —17.

23. x + y = a (x² + y²), x — y = b (x² + ya).

13* p—c,

— = 1.

X y

14. (3x—2y)²—(2x—3y)²—80, 4 x — 5 y — 5.

16. VT+I+V7+"4 = 5.

5 x + 3 y = 30.

18. 2 xa — 5xy-j-3y² —48,

3 x — y = 11.

20. (x + 1) (y — 2) —- 30,

(x — 2) (y +1) = 24.

22. x = a V x + y,

y = b V X 4- y.

32. x: 11 = 704: y, V x + V y = 19.

45.

24. x-fy = a, xy — b².

26. (x-4) + (y-3) = 6, (x —4)(y —3) = 8.

28. xy-j-x = 4, xy+ y = 3.

30. x —|— Vxy —J— y = 14, xy = 16.

34. x® — y® = a, x'y=b.

36. x®-f xy + y® = a®, x y = b®.

38. x® + xy + y® = a, xa + y² = b.

40. x®-|-xy + y® = 3 a®-(-b®, x® — x y -|- y ® = a® -f- 3 b®. 42. x® 4- y® = 104,

x — y = 8.

44. (x — 4)® 4" (y 4" 4)® = 100, x -|- y = 14.

46. x® 4- y® 4- x + y = a, x® -j- y® x — y = b.

48. x® 4~ xy 4~y® = 0, mx® 4- ny® = a®.

50. (x — 2)® — (y 4- l)a = 9,

(x — 2) (y 4~ 1) = 20. 52. x(x —y)’=75, y (X 4- y) = 250.

54. x®4-xy + y® = 3,

2 x® — 3 xy + 4 y® = 18.

66. x® — y® = 9,

(2 x 4- y) (x 4- 2 y) = 182.

58. x + xy-}-y = ll, x®y 4-xy® = 30.

60. x® 4- y® 4- x -j- y = 8, xy = 2.

25. x —y = 2, xy —15.

27. x y + x = 40, x + y = 12.

29. xy-j-x —18, xy — y = 10.

31. x — 3Vxy — y = — 6, xy = 16.

33. Vx — Vy = Vb,

xy —3?.

35. x® -f- ya — a². xy—d®.

37. x® + 3xy + y® = 7l xy —1.

39. x® —xy + y® = a, x — y = b.

41. x® + y® = 2a® + 2b®, x + y —2a.

43. (x + 2)® + (y + 3)® = 32,

(x 4~ 2) — (y + 3) — 0. x + y = 74,

Vx + Vy = 12.

47. 3x® — 7xy-j-4y² —0,

5 x® — 3 xy — y® — 35.

49. 2x® —2xy — y® = 39, x® + 2xy + 4y® = 39.

51. x® + xy = 2a®—3ab—2b®, y® — xy = 15 b® + 5 ab.

53. x® + xy + y® = 3,

2 x® + 3 xy -f- 4 y® —12.

55. x + y«=-|,

57. (x + y)(x® + y®) = 272, i⁸-fys = 152.

59. (x + y)² — 3 (x + y) = 270, xy = 80.

61. x® + y® + x — y = 182, xy + x — y — 85.

62. x²4-y² — x — y = 12, xy = 9.

63. x —

xy

xy

2.

64. x —

y+Vi

X + y X+y'

x² 4- y² = 34.

66. V x 4- y 4™ V^y —17, x²y 4"Xy² = 3600.

68- ÄVx4-y=l-y=py

VT+y+Vx-y=6.

70. x4-y4-Vx4-y = a,

V xy

= b.

72. —4 ¹

X ¹

-4- — = —.

x² ' y² aa

74. x⁸ — y³ = 31 (x — y), xa +y² = 26.

76. x*4-y⁴ = % xy = |.

78. x³4-y³ = a,

x 4-y =b.

80. X⁴ 4- y⁴ = a, x 4-y =b.

82. x² 4- y² = 97,

V X — v y = 1.

84. x4-y4-Vx+~y = 2,

X3 y3 _ lg

7+S-+T + -

x — y = 1.

88. x⁸4-y* = 1512, x² y 4- xy² = 1440.

90. x² 4- y² 4- x — y = a,

(x² 4- y²) (x —y) = b.

92. X (x 4- y)² (x 4- 2 y) = p, x²4-(x4-2y)² = s.

y x-l-y'

J_ , J_    _±

x ■ y    6'

xa y xy² — 30.

67. x² — y² = 7 (x — y), xy (x² + y²) — 300.

69. x² y² — 52 xy-|-576 = 0,

(x — y)² 4-100 V xy = 625.

71. x 4-y 4-VT+7 = a, xa4-y²

73. 12 (x — y) = xy, xa 4~ y² = 52.

65.

= b.

175

36 '

75. x*4-y³ = a³ (65), xy = b² (4).

77. x³ y³=ff (x 4~ y)², xy —f

79. x³ — y³ = a, x — y =b.

81. x⁴4-y⁴ = a, x —y = b.

83. x 4-y =72,

^x4-f/y = 6.

85. 3 x — 2 y = 4,

27 x³ — 8 y³ = 104 xy.

N. 4 + $ + f + i—12|,

x 4- y = 4.

89. (x4-y) (x²4-y²) = a,

(x —y) (x² — y²) = b.

91. x² 4-y Vxy = 9, y² 4- x V7y = 18.

93. x (x -f- y) (x    2y) (x 4* 3y) = p

(x 4~ 2 y)² — (x 4- y)² = d.

94. x + xy = b, x⁹ + x² y² = c.

96. x* — y⁸ = 242,

(x — y)⁹ — x + y = 2.

95. x⁵ + y⁸=33, x + y = 3.

97. x + y = l,

(X2_|_y2) (x³ + y») = 35.

103.

XZ

98. x + y + z = 12, xy + yz + zx = 47, x² + y² = z².

100. x -j- y + z = 1, xyz= —16, x⁸ + y⁸ + z³ = l.

102. x⁹ + y⁹ + z⁹ = 94, x (y + z) = 45, x + y + z = 14.

99. x² -)- y² + z² = 49, xy + yz + zx = 36, x + y = 9.

101. x (x + y + z) = a,

y (x + y + z) = b,

z (x + y + z) = c.

= m,

y n'

104. — + — = 22,

xy ¹ xz    '

— + — = 40,

xy ¹ yz    '

= 42.

105.

xyz

+ b² = 0,

xyz ¹    '

xz yz

106. x + y + z = 6, x² + y² — z² = 8, x³ + y³ + z⁸ = 90.

108. x: y = z : u, x + u = 13, y + z=20,

x² + y² + z² + u² = 425. 110. x : y = z : u, x — u = 6,

y z = 2,

x² + y³ + z² + u⁹ = 164.

fa⁹ = 0,

+ + (a + b)‘-0.

107. x: y = y: z,

x + y + z = 26, x² + ya + z² = 364.

109. x u = y z = 6,

x + y + z + u = 2, x² + y² + z² + u² = 50.

111. x: y = z: n, x + u = 9, y + z = 6,

x⁸ + y⁸ + z⁸ + n⁸ = 585.

Lxponential- und logarithmische Gleichungen.

112. 7-. 25=10976, (2-) 5= 32768.

114. x^ = 243

V1024 = (§x)⁹.

113. Vy= 1-0473, y*= 32768.

115. 2-+9 = 24

3^ 25 = 135.

117. 2y+a = VF*

116. xy — 400

Xlogy — Iß

x+1

3y-2 ₌ vrcF=r.

118. y* + 4y-* = f

3Vy+ 5Vyri = 120. 2* + 3? = 17

22* J_ Z2y «_ 145

119. Vx⁵ — 11 Vx — 10 y ----- 1 — log x.

121. 4

= 11

y = 2 — log x.

<< Ih-L

-6

§. 29. Anwendung der quadratische« chkeichnngen mit mehreren

WnöeKannten.

1.    Die Zahl 18 in zwei Faktoren zu zerlegen, deren Quadrate 27 zur Differenz geben.

2.    Von welchen zwei Zahlen ist das Produkt um 84 kleiner als die Summe der Quadrate und um 44 größer als die Differenz der Quadrate?

3.    Der Unterschied der Quadrate zweier Zahlen beträgt 88; vergrößert man die erste Zahl um 2 und die zweite um 3, so beträgt der Unterschied der Quadrate nur 81; welches sind die beiden Zahlen?

4.    Suche zwei Zahlen von der Beschaffenheit, daß ihre Summe, ihr Produkt und die Differenz ihrer Quadrate gleich sind.

5.    Der Zähler und der Nenner eines Bruches betragen zusammen 33. Wäre der Zähler um 39 und der Nenner um 20 größer, so würde der Bruch doppelt so groß sein; welches ist der Bruch?

6.    Wenn man den Zähler eines Bruches um 1 vergrößert und den Nenner um 1 verkleinert, so erhält man den reziproken Bruch. Wenn man hingegen den Zähler um 1 verkleinert und den Nenner um 1 vergrößert, so ist der entstandene Bruch um 1; kleiner als jener reziproke Bruch. Wie heißt der Bruch?

7.    Dividiert man eine zweiziffrige Zahl durch das Produkt ihrer Ziffern, so erhält man 6; vertauscht man die Ziffern, so ist die so erhaltene Zahl um 9 größer als die gesuchte; wie heißt die Zahl?

8.    Multipliziert man eine zweiziffrige Zahl mit der durch Vertauschung ihrer Ziffern erhaltenen Zahl, so erhält man 1729. Dividiert man hingegen die erste Zahl durch ihre Ziffernsumme, so erhält man zum Quotienten 9 und zum Reste 1. Wie heißt die Zahl?

9.    Dividiert man eine zweiziffrige Zahl durch das Produkt ihrer Ziffern, so erhält man den Quotienten 5 und den Rest 2. Subtrahiert man die Zahl von 55, so erhält man als Rest die aus denselben Ziffern in umgekehrter Reihenfolge gebildete Zahl. Wie heißt die Zahl?

10.    Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich f (60 m²); der Umfang desselben verhält sich zur Diagonale wie m : n (34:13). Wie groß ist jede Seite?

11.    Wie groß sind die Seiten eines Rechteckes mit der Diagonale d (17 cm) und dem Umfange u (46 cm)?

12.    Wie groß ist der Umfang eines Rechteckes, dessen Diagonale d (25 cm) und dessen Flächeninhalt f (168 cm²) ist?

13.    Die Diagonale eines Rechteckes ist 13 m; vergrößert man die Länge um 28 m und die Breite um 4 m, so wächst die Diagonale um 28 m. Welche Länge und Breite hat das Rechteck?

14.    In einem rechtwinkligen Dreiecke wird die Hypotenuse durch ihre Höhe in zwei Abschnitte geteilt; die Hypotenuse ist c, die eine Kathete ist gleich dem nicht anliegenden Hypotenusenabschnitte. Wie groß sind die Katheten?

15. Wie groß sind die Seiten eines gleichschenkligen Dreieckes, dessen Höhe um 2 cm kleiner ist als der Schenkel und dessen Umfang 50 cm beträgt?

16. Von einem rechtwinkligen Dreiecke sind die Hypotenuse c (109 cm) und die Summe beider Katheten s (151 cm) gegeben; wie groß ist jede Kathete?

17. Von einem rechtwinkligen Dreiecke sind die Hypotenuse c (65 m) und die Differenz d (23 m) der beiden Katheten gegeben; wie groß ist jede Kathete?

18.    Aus dem Umfange eines rechtwinkligen Dreieckes u (176 cm) und der Differenz der Katheten d (7 cm) sind die Seiten zu berechnen.

19.    In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Summe beider Katheten 7 m und die Höhe 2-4 m. Wie groß ist der Flächeninhalt?

20.    Aus der Summe s (50 m) der Hypotenuse und der einen Kathete und der Summe s' (81 m) der Hypotenuse und der anderen Kathete die Seiten des rechtwinkligen Dreieckes zu berechnen.

21.    Aus der Hypotenuse c (317 cm) und dem Flächeninhalte f (11550 cm²) eines rechtwinkligen Dreieckes sind die Katheten zu berechnen.

22. Aus dem Flächeninhalte f (1386

cm²) eines rechtwinkligen Dreieckes und der Summe beider Katheten s — 113 cm sind die Seiten zu berechnen.

23.    Berechne die Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes aus dem Flächeninhalte f (504 cm²) und der Differenz der beiden Katheten d (47 cm)!

24.    In zwei Quadraten ist die Differenz der Diagonalen d, die Summe der Flächeninhalte s; wie groß sind die Seiten?

25.    Die Diagonale eines Rechteckes ist 85 Meter; verlängert man jede Seite um 2 Meter, so wächst der Flächeninhalt um 230 Quadratmeter ; wie groß sind die Seiten?

26.    Ein Grundstück von der Form eines Rechteckes ist a Meter lang und b Meter breit; um wieviel Meter muß die Länge verkleinert und um wieviel Meter die Breite vergrößert werden, damit das Grundstück an Inhalt gleich bleibe, an Umfang aber um a — 2b Meter kleiner werde?

27.    Aus der Seite eines Rhombus a (65 cm) und dem Flächeninhalte f (3696 cm²) sind die Diagonalen zu berechnen.

28.    Die Zentrale zweier sich von außen berührenden Kugeln ist c (3'51 m) und die Summe ihrer Oberflächen s (82'3862 m²). Wie groß sind die Halbmesser?

29.    Die Zentrale zweier von innen sich berührenden Kugeln ist c (3 cm) und die Differenz ihrer Rauminhalte d (516.71 cm³); wie groß sind ihre Halbmesser?

30.    Bei einem geraden Zylinder mit der Oberfläche o (8042-5.. m²) verhält sich der Durchmesser der Basis zur Höhe wie m : n (4:5). Wie groß ist der Radius und die Höhe?

31.    Die Oberfläche eines geraden Kegels ist o (3141-59.. cm²), die Höhe h (5 cm). Wie groß ist der Radius und die Seite?

cm

32.    Ein gerader Kegelstumpf hat die Oberfläche o (188-495.. und die Seitenlinie a (5 cm). Die Radien der beiden Grundkreise unterscheiden sich um d (1 cm); wie groß sind dieselben?

33.    Die Kanten zweier Würfel unterscheiden sich um 3 m, ihre Rauminhalte um 7317 m⁸. Berechne die Kanten!

34.    Eine eiserne Hohlkugel mit der Dicke d = 5 cm wiegt p == 139-494.. kg. Wie groß sind die beiden Radien? (spezifisches Gewicht des Eisens s — 7-20..).

35.    Ein Kegelstumpf hat den Rauminhalt v — 2199*1.. dms und die Höhe b — 12 dm. Die Summe der Radien der Grundflächen beträgt 8 = 15 dm; wie groß sind dieselben?

36.    Ein gerader Kegelstumpf hat den Rauminhalt v (6695 n cm³), die Seitenlinie s (17 cm) und die Höhe h (15 cm). Wie groß sind die Radien der Grundflächen?

37.    Eine regelmäßige vierseitige abgestumpfte Pyramide hat den Rauminhalt v — 855 m³ und die Höhe h = 15 m. Wie groß sind ihre Grundkanten, wenn sich dieselben wie m:n — 3:2 verhalten?

Wie groß sind ihre Grundflächen, wenn die-

m.

38.    Eine abgestumpfte Pyramide hat den Rauminhalt v — 684 m3 und die Höhe b — 18 selben sich um d = 30 m² unterscheiden?

39.    Eine regelmäßige vierseitige Pyramide hat das Volumen v — 1280 m³ und die Oberstäche o — 800 m². Wie groß ist die Grundkante und die Höhe?

40.    Eine dreiseitige Pyramide hat die Grundkanten 7, 8, 9. Die Seitenkanten sind zueinander normal; wie groß sind dieselben?

41.    Ein rechtwinkliges Parallelepiped hat eine Grundfläche von 48 cm², eine Oberfläche von 768 cm² und eine Diagonale von 26 cm. Wie groß sind seine Kanten und sein Rauminhalt?

42.    Von einem rechtwinkligen Parallelepiped ist gegeben der Rauminhalt v — 720 <Zm³, die Oberfläche o — 484 dm³ und der Umfang der Grundfläche u — 34 dm. Wie groß sind die Kanten?

43.    Die Diagonale eines rechtwinkligen Parallelepipeds ist 7 dm. Die Höhe ist das harmonische Mittel zwischen den beiden Grundkanten. Die Summe aller drei Kanten beträgt 11 dm; wie groß sind dieselben?

44.    Ein Sehnenviereck, in welchem eine Diagonale durch den Mittelpunkt geht, hat den Umfang 20 cm und den Flächeninhalt 18 cm². Das Produkt der Maßzahlen der Diagonalen ist 60; wie groß sind die vier Seiten?

45.    Von einem Deltoid sind die beiden Diagonalen ä — 16 cm und dj (Symmetrale) — 21 cm sowie der Umfang u — 54 cm gegeben. Wie groß sind die Seiten?

46.    Auf einen Punkt wirken 3 Kräfte unter rechten Winkeln, deren Stärken sich wie 6:3:2 verhalten. Welche Stärke haben dieselben, wenn die Stärke der Resultierende 35 kg beträgt?

47.    Drei Zahlen bilden eine stetige geometrische Proportion; ihre Summe ist 14, die Summe ihrer Quadrate 84; welche Zahlen sind es?

48.    Die Summe von drei reellen Zahlen, die eine stetige Proportion bilden, ist 39, ihr Produkt 729; welches sind die Zahlen?

49.    In einer geometrischen Proportion ist die Summe der äußeren Glieder 18, die Summe der inneren Glieder 17 und die Summe der Quadrate aller vier Glieder 325; wie heißt die Proportion?

50.    Die Summe der vier Glieder einer geometrischen Proportion ist 72, das Produkt der inneren Glieder 140, die Summe der Quadrate aller vier Glieder 2050; wie heißt die Proportion?

51.    Von drei Zahlen ist die zweite das harmonische Mittel zwischen der ersten und der dritten; die Summe aller 3 Zahlen ist 13, die Summe ihrer Quadrate 61. Welche Zahlen sind es?

52.    Eine bestimmte Arbeit kann von A und B ausgeführt werden; A allein braucht zu derselben um 2 Tage mehr, B allein um 4| Tage mehr, als sie beide brauchen würden, wenn sie zusammen arbeiten. Wieviel Tage brauchen beide zusammen zur Vollendung der Arbeit?

53.    A und B verkauften zusammen 100 Meter einer Ware, und zwar der eine mehr als der andere, aber beide nahmen dennoch dieselbe Geldsumme ein; hätte A so viel Meter gehabt als B, so würde er 63 K dafür eingenommen haben; hätte B so viel Meter als A gehabt, so würde er nur 28 K dafür erhalten haben. Wieviel Meter hat jeder verkauft?

54.    Zwei Röhren liefern zusammen in 20 Minuten 540 Liter Wasser; die erste Röhre braucht, um allein diese Quantität Wasser zu liefern,, 9 Minuten mehr als die zweite. Wieviel Liter liefert jede in 1 Minute?

55.    Ein Reisender braucht zu einem Wege von 520 Kilometer 3 Tage mehr als ein anderer, weil dieser täglich 12 Kilometer mehr zurücklegt als der erstere. Wieviel Tage braucht jeder zu dieser Reise?

56.    Von zwei Orten, die 270 Kilometer voneinander entfernt sind, fahren gleichzeitig zwei Eisenbahnzüge einander entgegen, von denen der eine zu einem Kilometer 0'5 Minuten mehr braucht als der andere. Wenn sich nun diese Züge 5 Stunden nach ihrer Abfahrt begegnen, wieviel Minuten braucht jeder zu einem Kilometer?

57.    Zwei Reisende gehen von zwei Orten A und B, welche 45 km voneinander entfernt sind, gleichzeitig einander entgegen und begegnen sich nach 5 Stunden. Der erste kommt 2± Stunden früher in B an als der zweite in A. Wo begegneten sie einander?

25 m

58.    Zwei Punkte bewegen sich auf den Schenkeln eines rechten Winkels von dem Scheitel weg, von welchem sie anfänglich die Entfernung 4 m bezüglich 3| m haben. Nach 1 Sekunde sind sie 13 m und nach 2| Sekunden

voneinander entfernt. Wie groß sind ihre Geschwindigkeiten?

59.    Zwei Körper bewegen sich gleichförmig auf zwei zueinander normalen Geraden gegen den Schnittpunkt mit den Geschwindigkeiten von 3 To und 4 To. Anfänglich war ihre gegenseitige Entfernung 20 m, nach 2 Sekunden aber nur noch 10 to. Wie weit war anfangs jeder Körper von dem Schnittpunkte entfernt?

bezüglich 14 cm. Nach 9 Sekunden berühren

CTO

60.    Auf zwei zueinander normalen Geraden bewegen sich gleichzeitig die Mittelpunkte zweier Kreise mit den Radien 9 cm und 4 cm gegen den Schnittpunkt hin. Die anfängliche Entfernung der Mittelpunkte von dem Schnittpunkte betrug 48 sich die Kreise von außen und nach weiteren 2 Sekunden von innen. Welche Geschwindigkeiten hatten die Kreise?

61.    Das Vorderrad eines Wagens macht auf einer Strecke von 1260 m 105 Umdrehungen mehr als das Hinterrad. Wäre der Umfang eines jeden Rades um § m größer, so würde das Vorderrad ans derselben Strecke nur 80 Umdrehungen mehr machen als das Hinterrad. Welchen Umfang hat jedes Rad?

62.    Stelle Vll -s- 6V2 als algebraische Summe zweier Quadratwurzeln

dar. T/ll + 6V2 = Vx + Vy; ll + 6V2=x + y + 2Vxy; x+y = ll, 2 Vxy = 6 V 2.    _ _

63.    (Stienfo: a)V2a + 2Va² — b²; b) ^5a—b—2V6a²—ab—2b². Weitere Aufgaben in §. 20, Nr. 85 —102.

64.    Stelle V4 + 3i als eine komplexe Zahl dar.

V4 + 3i = x + yi; 4-f-3i —X² — y² + 2xyi; X²—y² —4, 2xy —3.

65.    Ebenso: a) V4 + 6\/5i; b) V~1; c) Vi.

Weitere Aufgaben in §. 22, Nr. 78—89.

§. 30. Mnöestimmte Gleichungen des ersten Grades.

Löse in ganzen Zahlen auf:

2. 2x 4- 3y = 17.

4. 7x 4- Hy = 18.

6. 8x — lly = 200.

8. 5 x — 7 y = 1.

10. 7x —4y = 5.

12. 18 x — 25 y — 10.

14. 13x 4- 19y = 73.

16. 23x —13y = 2.

18. 25x — lly = 20.

20. x — 4y 4~ 13z = 16, 7 x 4- y + z = 45.

1. 2x—3y — 1.

3. 6x + 5y = 128.

5. 7x — 13y = 152.

7. 12x + 13y = 319.

9. 9 x — 22 y — 5.

11. 8x 4- 5y = 111.

13. 15x + 14y =225.

15. 37x — 22y = 307.

17. 7x + 17y = 408.

19. x + y + z = 12,

7x4-8y4~4z = 73.

Bestimme bei Nr. 3, 4, 7, 11, 14, 17, 19 und 20 die positiven ganzzahligen Lösungen.

Löse in ganzen positiven Zahlen auf:

22. 5x 4- 7y = 94.

24. 17 x 4- 14 y — 76.

26. 25x = 36y — 7.

28. 17 x — l = 12y — 5 30. 24x — 31y = 196. 32. 18x4- 7y = 600.

34. 3 x 4~ 5 y = 47,

2x4-7z = 30.

36. x 4- y 4- z = 48,

2x -{- 3y — 3z = 11. 38. 2x4-3y4-5z = 123, 30 x — 7y — 3z = 25.

21. 5x — 7y = 13.

23. 7 x — 12 y = 300.

25. 23 x 4- 57y = 412.

27. 29 x 4- 17 y = 250.

29. 28x4-12 = 19y + 17.

31. 6 x 4- 17 y = 500.

83. 19 x — 10y = 7,

19 x,— 8z = 15.

35. 3x — 2y = 3,

2y 4~ 3z = 51.

37. 3x-j-5y 4-7z = 49,

2x — 3y 4- 4z= 11.

40. 5x + 13y + 18z = 997, llx + 20y +37 z = 1866.

42. 3x + 2y — 5z = 16,

39. 3x + 4y + 5z = 97, 4x — 5y + 3z = 3. 41. x -{- 2 y + 3 z = 54, 10 x — 9y + 2z =0.

2x — 3y + 6z = 12.

Anwendungen.

43.    Suche zwei Zahlen von solcher Beschaffenheit, daß das 8 fache der ersten, um das 3fache der zweiten vermehrt, 91 zur Summe gibt.

44.    Die Zahl 200 in zwei Teile zu zerlegen, von denen der eine durch 14, der andere durch 23 teilbar ist.

45.    Suche zwei um 10 verschiedene Zahlen, deren kleinere durch 21, deren größere durch 34 teilbar ist.

46.    Zerlege die Zahl 300 in zwei Teile so, dass der erstere um 1 vermindert durch 9, der zweite um 7 vermehrt durch 11 teilbar sei.

47.    Zerlege die Zahl 150 in zwei Teile, von denen der eine durch 9 dividiert den Rest 5, der andere durch 7 dividiert den Rest 1 gibt.

48.    Suche zwei aufeinanderfolgende Zahlen, von denen die kleinere durch 7, die größere durch 11 teilbar ist.

49.    Suche eine Zahl, welche durch 7 teilbar ist, aber durch 29 dividiert 13 zum Reste gibt.

50.    Welche ist die allgemeine Form der positiven Zahlen, welche durch 19 dividiert 1 und durch 28 dividiert 3 zum Reste geben?

51.    Welche positive Zahlen geben durch 24 dividiert 18, durch 13 dividiert 1 zum Reste?

52.    Welche zwischen 1000 und 2000 liegende Zahlen lassen sich, wenn sie um 5 größer werden, durch 13, und wenn sie um 5 kleiner werden, durch 17 ohne Rest teilen?

53.    Zerlege den Bruch ^ in die Summe zweier Brüche mit den Nennern 5 und 22!

*54. Zerlege^ in die Differenz zweier echter Brüche mit den Nennern 5 und 22!

55.    Zerlege ~ in die Summe von drei Brüchen mit den Nennern 3,4,5!

Anleitung, gerlege 352 zuerst in zwei Brüche mit den Nennern 12 und 5, dann den ersten Bruch wieder in zwei Brüche mit den Nennern 3 und 4!

56.    Zerlege^ in die Summe von drei Brüchen mit den Nennern 5,7, 9!

57.    Durch welche Ziffer muß in 37 . 464 der Punkt ersetzt werden, damit die entstandene Zahl durch 7 teilbar ist?

58.    Durch welche Ziffern muß man in 17 .. 5321 die beiden Punkte ersetzen, damit die entstandene Zahl durch 23 teilbar ist?

59.    Eine vierziffrige Zahl ist durch 7 und 37 teilbar. Multipliziert man die Zahl mit 15 und dividiert das Produkt durch 23, so ist der Rest 2. Wie heißt die Zahl?

60.    Welche dreiziffrige Zahlen mit der Ziffernsumme 18 werden, wenn man ihre Ziffern in umgekehrter Ordnung schreibt, um 198 kleiner?

61.    Welche Zahlen geben der Reihe nach durch 11, 19, 29 dividiert bezüglich die Reste 5,12, 4?

62.    Welche durch 11 teilbare Zahl gibt durch 13 dividiert den Rest 7, und durch 17 dividiert den Rest 9?

63.    Jemand kauft für 180 K zweierlei Sorten Tuch; von der einen kostet das Meter 8 K, von der andern 6 K. Wieviel Meter erhält er von jeder Sorte?

64.    Jemand kaufte Kaffee und Zucker, zusammen für 96 K 30 h; 1 kg Kaffee kostete 3 K 10 h, 1 kg Zucker 80 h. Wieviel ganze kg Kaffee und wieviele ganze kg Zucker hat er gekauft?

Wieviel Zwanzig- und Zehnkronenstücke muß

mm.

65.    Der Durchmesser der Zwanzigkronenstücke beträgt 21, jener der Zehnkronenstücke 19 man in gerader Linie nebeneinander stellen, damit die Summe der Durchmesser 1 Meter betrage?

66.    Von zwei gezahnten Rädern hat das eine 13, das andere 17 Zähne; beim Beginne der Bewegung greift der erste Zahn des ersten Rades in die erste Zahnlücke des zweiten Rades ein. Nach wie vielen Umdrehungen des ersten Rades wird der Zahn 1 dieses Rades wieder in die Lücke 1 des zweiten eingreifen?

67.    Für 30 Personen, Männer, Frauen und Kinder, sind 60 K ausgegeben worden. Wenn nun die Ausgabe für einen Mann 4 K, für eine Frau 2 K und für ein Kind 50 h beträgt, wieviel waren Männer, wieviel Frauen und wieviel Kinder?

68.    Jemand hat Banknoten zu 10 K sowie Münzen zu 5 L und 1 K; er will mit denselben eine Schuld von 328 K bezahlen. Wieviel Stücke von jeder Sorte wird er zur Zahlung verwenden, wenn die Zahl der Noten zu 10 K so groß sein soll als die Zahl der Münzen?

69.    Zwei Klaffen haben gleichviel Schüler. In der einen Klasse sitzen in jeder Bank 5 Schüler, nur in der letzten 4; in der andern Klasse hingegen sitzen in jeder Bank 7 Schüler, nur in der letzten Bank 3. Wie groß ist die Schülerzahl, a) wenn sie kleiner als 40 ist, b) wenn sie großer als 40 aber kleiner als 60 ist?

70.    Ein Goldarbeiter verwendet Gold von dem Feingehalte 0-900 und 0-750 sowie Kupfer zur Herstellung von 24 kg von dem Feingehalte 0-650. Wieviel ganze kg kann er von jeder Sorte nehmen?

71.    In einem Dreiecke beträgt der siebente Teil des ersten Winkels, der neunte Teil des zweiten und der zehnte Teil des dritten zusammen 19°. Wie groß können diese Winkel sein, wenn jeder eine ganze Anzahl von Graden hat?

72.    Die Winkel eines Sehnenviereckes sind der Reihe nach durch 2,3,15,17 teilbar; wie groß sind dieselben?

73.    Wenn man in einem rechtwinkligen Dreiecke die kleinere Kathete um 10 vergrößert und die größere um 4 verkleinert, so wächst das Quadrat der Hypotenuse um 120. Wie groß sind die Katheten in ganzen Zahlen?

74.    Die Länge eines Kreisbogens ändert sich nicht, wenn man den Radius um 1 verkleinert und den Zentriwinkel um 9° vergrößert. Wie groß sind der Radius und der Zentriwinkel in ganzen Zahlen?

75.    Die Oberfläche eines rechtwinkligen Parallelepipeds, bei welchem die in einer Ecke zusammenstoßenden Kanten zusammen die Länge 67 cm haben, wächst um 1920 cm¹ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12, wenn die drei Kanten bezüglich um 5, 6 und 7 cm wachsen. Wie groß sind die drei Kanten, wenn ihre Maßzahlen ganze Zahlen sind?

§. 31. Arithmetische Progressionen. (§§. 223—225.)

Suche das allgemeine und das Summenglied der arithmetischen Reihen:

2. 2, 4, 6, 8, 10, 12,....

4. 100, 97, 94, 91....

Löse folgende Aufgaben allgemein und für die besonderen Zahlen:

a!

Rn

Sn

13.

Cn

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

J³ J³ J³ J³ 00 ^ ^ M g fö

00 O

35

-5

-2

0-27

8-L

°ii

T—I    ‘-¹    iGM    T-H » T—I

3>n

Sn

15

Sn

260

Sn

926-1 —77*

Sn

52-08

630

54

•^23. Das 36 ste Glied einer arithmetischen Reihe mit der Differenz —3 ist —5; wie heißt das 18 te Glied?

24.    Die Summe einer arithmetischen Reihe mit dem Anfangsgliede 5 und der Gliederzahl 150 beträgt 34275. Wie heißt das 100 ste Glied?

25.    Interpoliere in der Reihe 1, 5, 9, 13, 17, 21,... zwischen je zwei Glieder 8 Glieder, so daß wieder eine arithmetische Progression entsteht.

26.    Zwischen p und q sollen r Glieder einer arithmetischen Reihe interpoliert werden; wie groß ist das nte Glied?

27.    Wie viele Zahlen muß man zwischen 16 und 250 einschalten, damit man eine arithmetische Progression mit der Summe 1995 erhalte?

28.    Wie viele Zahlen, welche durch 6 teilbar sind, liegen zwischen 0 und 100? Wie groß ist ihre Summe?

29.    Wieviel dreiziffrige Zahlen gibt es, die auf 3 endigen, und wie groß ist ihre Summe?

30.    Die Zahl 225 soll in mehrere Teile so geteilt werden, daß jeder folgende um 2 größer als der vorhergehende und der letzte 29 ist. Wie groß ist der erste Teil und wie groß die Anzahl der Teile?

31.    Die Zahl 400 soll in 25 Teile geteilt werden, welche eine arithmetische Reihe bilden, so daß der 9te Teil gleich 11 ist.

32.    Eine Summe Geldes wird unter mehrere Personen so verteilt, daß die erste 80 Kronen und jede folgende 4 Kronen weniger bekommt; die letzte erhält 28 Kronen. Wieviel Personen sind beteilt worden und wie groß ist die ganze Geldsumme?

33.    Ein Diener war bei einem Herrn 6 Jahre im Dienste und erhielt in jedem folgenden Jahre 24 K an Lohn mehr als im vorhergehenden, zusammen 1800 K. Wieviel erhielt er das erste, wieviel das letzte Jahr?

^ 34. Es ist ein Brunnen von 12 Meter Tiefe zu graben; für das erste Meter zahlt man 8 K 80 h, für jedes folgende 80 h mehr; wieviel zahlt man für das letzte Meter, wieviel für den ganzen Brunnen?

35.    Ein Körper legt in der ersten Sekunde a Meter, in jeder folgenden d Meter mehr zurück als in der vorhergehenden, a) Wie groß ist der in n Sekunden zurückgelegte Weg; b) in welcher Zeit legt der Körper s Meter zurück?

36.    Ein frei fallender Körper durchläuft in der ersten Sekunde 4-9 m und in jeder folgenden 9-8 m mehr als in der vorhergehenden; wie groß ist der Fallraum der 5ten Sekunde, wie groß der Fallraum in 5 Sekunden? (Der Widerstand der Luft bleibt unbeachtet.)

37.    Eine vertikal in die Höhe geschossene Kugel legt in der ersten Sekunde 200'9 m und in jeder folgenden 9‘8 m weniger zurück; nach welcher Zeit wird dieselbe wieder in den Ausgangspunkt zurückkehren?

38.    Um einen Punkt herum liegen 6 anstoßende Winkel, von denen jeder folgende um 9° 12' größer ist als der vorhergehende; wie groß sind die einzelnen Winkel?

39.    Jemand setzt in der Lotterie auf eine Nummer 40 h und, solange er nicht gewinnt, jedes folgendemal um 40 h mehr als das vor-hergehendemal. Wenn nun der Treffer einer Nummer mit dem 14 fachen Einsätze bezahlt wird, bei welchem Spiele würde der Gewinnende sein ganzes bis dahin eingesetztes Geld zurückerhalten?

40.    Eine unverzinsliche Schuld von 4350 K wird in Jahreszahlungen getilgt. Im ersten Jahre bezahlt man 600 K, in jedem folgenden um 50 K mehr; in wieviel Jahren ist die ganze Schuld getilgt?

41.    Eine unverzinsliche Schuld von 4650 K soll in 12 halbjährigen Terminen so abgetragen werden, daß in jedem folgenden Termine um 50 K weniger als im vorhergehenden gezahlt wird; wie groß ist die erste Zahlung?

42.    Durch n Jahre wird am Anfange eines jeden Jahres ein Kapital c zu p°/o auf einfache Zinsen angelegt; zu welchem Werte s sind sämtliche Anlagen bis zum Schlüsse des nten Jahres angewachsen?

43.    An 12 aufeinanderfolgenden Tagen stieg das Barometer von einem Tag zum andern um § mm. Der mittlere Barometerstand war für diesen Zeitraum 748| mm. Wie groß war der Barometerstand am ersten Tage?

44. Die Summe der ersten 6 Glieder einer arithmetischen Progression ist 17, das vierte Glied ist 3; wie heißt die Progression?

49.    In einer arithmetischen Reihe ist das Produkt aus dem 7 ten und 15 ten Gliede 630, die Summe der dazwischen liegenden Glieder 185±; wie lautet die Reihe?

45.    In einer arithmetischen Reihe ist die Summe aus dem 9 ten und 20ten Gliede 21, die Summe aus dem 10 ten und 16 ten Gliede 22; wie lautet die Reihe?

46.    In einer arithmetischen Reihe ist die Summe der drei ersten Glieder 22±, die Summe der drei letzten Glieder 75 und das 5te Glied 15. Wie groß ist die Summe der ganzen Reihe?

47.    In einer arithmetischen Progression beträgt die Summe der ersten 5 Glieder 75, die Differenz zwischen dem fünften und zweiten Gliede 18; wie groß ist a) das erste Glied, b) die Differenz?

48.    Vier Zahlen bilden eine arithmetische Progression, deren Differenz 4 ist; das Produkt der letzten zwei Zahlen beträgt 165; welche Zahlen sind es?

50.    Zwei arithmetische Progressionen, deren Differenzen ganze Zahlen sind, haben gleich viele Glieder; die erste fängt mit 1 an und endet mit 15, die zweite fängt mit 3 an und endet mit 24; wie groß ist die Summe jeder Reihe? (Die Lösung führt auf eine unbestimmte Gleichung.)

51.    In einer arithmetischen Reihe, deren Glieder die Summe der gleichstelligen Glieder zweier arithmetischen Progressionen mit den Anfangsgliedern 2 und 3 sind, ist das nte Glied 9n — 4. Wie heißen die beiden Progressionen, wenn die Differenz der zweiten doppelt so groß ist als die Differenz der ersten?

52.    Die Summe von drei Zahlen, welche eine arithmetische Progression bilden, ist 36, die Summe ihrer Quadrate 482; welche Zahlen sind es?

53.    Vier Zahlen bilden eine arithmetische Progression; ihre Summe ist 2, ihr Produkt 40; welche Zahlen sind es?

54.    In einer arithmetischen Progression von vier Gliedern ist das Produkt aller Glieder 880, die Differenz der Quadrate der beiden mittleren Glieder 39; welche Progression ist es?

55.    Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig von A aus in derselben Richtung; der eine legt in jeder Sekunde 20 m zurück, der andere in der ersten Sekunde 12 m und in jeder folgenden 2 m mehr als in der vorhergehenden. Nach wieviel Sekunden holt dieser den ersten ein?

56.    Auf einem Kreise bewegen sich zwei Körper nach entgegengesetzter Richtung. Der eine legt in der lten Sekunde 3° und in jeder folgenden Sekunde 1° mehr, der andere in der lten Sekunde 1|° und in jeder folgenden Sekunde 6° mehr zurück als in der vorhergehenden. Wann begegnen sich beide Körper zum erstenmal?

57.    Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig von zwei Orten, deren Entfernung 450 m beträgt, gegeneinander. Der erste legt in der ersten Minute 5 m und in jeder folgenden Minute 15 m mehr als in der vorhergehenden zurück. Der zweite legt in der ersten Minute 100 m und in jeder folgenden 10 m weniger zurück als in der vorhergehenden. Wann begegnen sich dieselben?

58.    In einer arithmetischen Reihe mit der Differenz § beträgt die Summe der n ersten Glieder 236|; wird hiezu die Summe der nächsten 7 Glieder addiert, so erhält man 418|. Wie groß ist n und das Anfangsglied ?

59.    Die Summe des fünften und achten Gliedes einer arithmetischen Reihe ist 21; die Summe der Kuben derselben Glieder ist 2457. Wie groß ist die Summe der ersten 33 Glieder?

60.    In der Reihe 50, 48, 46, . . . soll jenes Glied ermittelt werden, welches gleich ist dem 27. Teile der Summe aller vorhergehenden Glieder.

61.    Welche ungerade Zahl ist um 1 größer als der fünfte Teil der Summe aller vorhergehenden ungeraden Zahlen?

62.    Die Summe aus dem 2. und 16. Gliede einer arithmetischen Reihe ist 6|; das Produkt beider Glieder Wie groß ist die Summe der ersten 16 Glieder?

63.    In der Reihe 2, 5, 8 . . sollen zwischen das 1. und 2. Glied so viele Glieder einer neuen arithmetischen Reihe eingeschaltet werden, daß die Summe der eingeschalteten Glieder nur um 1 kleiner ist als die Summe der ersten 20 Glieder der gegebenen Reihe. Wieviel Glieder müssen eingeschaltet werden und wie groß ist die Differenz der eingeschalteten Reihe?

Bestimme von folgenden Reihen das n te Glied und die Summe der ersten u Glieder.

*64. n-i

, 2 n — 1, ....

..    *65. lz n + l; JL+2,-

67. 1, n* + l; 2n*_±l' ...

66.    „ 3n-l

' 2

68.    Wie heißt jene arithmetische Reihe, für welche die Summe der ersten n Glieder stets 4na ist? (Die erhaltene Gleichung muß eine Identität sein.)

69.    1

3, 4

4,    5, 6,

5,    6, 7,

QO

, 9, 10

Bestimme in dieser Tabelle die Summe der Glieder der n ten horizontalen Reihe.

70. Die ganzzahligen Lösungen einer Diophantischen Gleichung ersten Grades (mit 2 Unbekannten) bilden arithmetische Reihen, a) Wie groß ist die Differenz einer jeden der beiden Reihen? b) Für welche Gleichung sind beide Reihen zugleich steigend oder fallend, für welche Gleichung hingegen die eine Reihe steigend, die andere fallend?

§. 32. Geometrische Arogresfionen. (§§. 226—232.)

Suche das allgemeine und das Summenglied der geometrischen Reihen:

1. 5, 15, 45, 135, ....

3. 10-5, 2-625, 0-65625, ....

5.    Wie groß ist das erste Glied einer Progression, deren Quotient 1§, deren 7tes Glied 68^ ist?

6.    Wie viele Glieder der geometrischen Progression 1, 3, 9, 27, muß man addieren, um 3280 zur Summe zu erhalten?

7.    Wie groß ist der reelle Quotient einer Progression, a) deren erstes Glied 2 und deren 12tes Glied 4096 ist; b) deren 5tes Glied 648 und deren 7tes Glied 1458 ist?

8.    Wie groß ist die Summe der ersten 8 Glieder der geometrischen

k bZ a'

9.    Bestimme die Summe der Reihe

q T q2 T q3 -r • • • T

2. 6, 4|, 3§, 2±|, ....

4. 3, -12, 48, -192.....

Progression

a,

b³

♦-o

-JL +-L,

qn—1    ¹ qn •

Löse folgende Aufgaben allgemein und für die besonderen Zahlen mit Beschränkung auf reelle Werte:

a.

Rn

Sn

10.

Sn

11.

512

Sn

12.

Rn

118096

13.

4096

05

Sn

14.

31

3827--?

81

5454^

81

15.

-0-5

0-75

Sn

16.

an

17.

177147

2047|

265720

Bestimme die Summe folgender Progressionen:

18.    14-x + xä + 4~ • • • + x”~⁸ 4~ x°⁻¹.

19.    x⁴ 4- x³y 4- xay² 4- xys 4-y⁴.

20.    a⁶ — a⁸b 4~ a⁴b² — a³b³ 4~ a²b⁴ — ab⁵ 4~ b⁶.

21.    Suche in der Progression 14-y4--^4-^4-'-- a) die Summe der ersten 2, 3, 4, 5, 6 Glieder, b) die Summe der unendlichen Reihe.

Bestimme die Summe folgender unendlichen Reihen:

b) 1 — T+B — S + •**

b) "p" +-§r +"p"+ •

22. a)

1—I—¹__i_

•05 ~ 1'05² '

1-05⁸

26.    Die Summe einer unendlichen geometrischen Progression, die mit 1 beginnt, ist 3; wie groß ist ihr Quotient?

27.    Wie heißt das fünfte Glied einer unendlichen geometrischen Reihe, deren Quotient § und deren Summe 20 ist?

28.    Verwandle einen gemischt periodischen Dezimalbruch (§. 122, 3) mit Anwendung der geometrischen Reihe in einen gemeinen Bruch.

29.    Bestimme ebenso: a) x = 0,63; b) x — 0 63; c) x — 0358.

30.    Zwischen 5 und 405 sollen 3 Glieder so eingeschaltet werden, daß dann alle fünf Glieder eine geometrische Progression bilden.

31.    Interpoliere zwischen je zwei Glieder der Progression 1, 10, 100 1000, ... 5 neue Glieder mit Beschränkung auf reelle Zahlen.

32.    Zwischen 1 und 2 sind 11 Glieder einer geometrischen Progression zu interpolieren. (Anwendung in der Tonlehre.) (Positive, reelle Zahlen!)

33.    Interpoliere zwischen x⁸ und y⁸ 7 Glieder, so daß eine geometrische Progression entsteht.

34.    Zwischen das erste und zweite Glied der Reihe 16,    ^ ...

sollen mehrere Glieder so eingeschaltet werden, daß sie mit 16 und j eine geometrische Progression bilden und mit diesen 31| zur Summe geben; wie viele Glieder sind einzuschalten und wie heißen sie?

35.    Eine Summe von 248 K soll unter 5 Personen so verteilt werden, daß jede folgende doppelt so viel als die vorhergehende erhalte; wieviel erhält jede?

36.    Jemand fetzt sechsmal in die Lotterie; das erstemal 20 h und jedes folgendemal doppelt so viel als für die frühere Ziehung; das sechstemal gewinnt er und es wird ihm der letzte Einsatz 4800 mal zurückgezahlt. Wieviel beträgt dieser Gewinn und wieviel hat er int ganzen eingesetzt?

37.    Es legt jemand im Monate Jänner einen Heller zurück, in jedem folgenden Monate 3 mal so viel als im vorhergehenden; wieviel hat er im ganzen Jahre zurückgelegt?

38.    Der Erfinder des Schachspieles erbat sich als Belohnung die Summe Weizenkörner, die herauskommt, wenn für das erste Feld des Schachbrettes 1 Korn, für das zweite 2, für das dritte 4, und so fort für jedes folgende der 64 Felder doppelt so viel Körner gerechnet werden als für das vorhergehende. Wieviel Tonnen ä 1000 kg würden diese Körner ausmachen, wenn 20000 Körner 1 kg wiegen?

39.    In einem Fasse sind 100 l Wein. Man nimmt daraus 1 l und gießt dafür 1 l Wasser hinein; aus dieser Mischung nimmt man wieder 11 und gießt ebensoviel Wasser hinein. Wie oft kann man so verfahren, bis in der Mischung nur noch 50 l Wein übrig sind?

40.    Ein Lichtstrahl verliert bei dem Durchgänge durch eine Glasplatte seiner Intensität; wie groß wird diese noch sein, wenn er durch 10 hintereinander aufgestellte ganz gleich beschaffene Platten hindurch gegangen ist?

41.    Der Rezipient einer Luftpumpe samt dem Verbindungsrohre

enthält 5°3 dm,³, der Stiefel 0 6 dm³; nach wieviel Kolbenzügen wird die Dichte der Luft im Rezipienten nur noch den lO ten Teil der ursprünglichen Dichte betragen?    ______

42.    Drei Zahlen, von denen die zweite um 15 größer ist als die erste, die dritte um 60 größer ist als die zweite, bilden eine geometrische Progression; welche Zahlen sind es?

43.    Die Summe der ersten drei Glieder einer geometrischen Reihe ist 156, das erste Glied 16; wie groß ist der Quotient?

44.    Das nte Glied einer geometrischen Reihe ist b, das pte Glied c; wie heißt das rte Glied?

45.    17496 (b) und 1024 (c) sind zwei Glieder einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsgliede 59049 (a), zwischen welchen 6 (p) Glieder liegen. Wie heißt der Quotient der Reihe und das wievielte Glied ist b ?

46.    Wie groß ist die Summe einer fallenden, unendlichen geometrischen Reihe, gebildet aus reellen Zahlen, für welche das Produkt der ersten drei Glieder gleich 1728 und die Summe der dritten Potenzen dieser Glieder 15768 ist?

47.    Eine arithmetische und eine geometrische Reihe mit positiven Gliedern haben dasselbe Anfangsglied; die Differenz der ersten Reihe ist gleich dem Quotienten der zweiten. Wie heißen die beiden Reihen, wenn das Produkt aus dem zweiten Gliede der geometrischen und dem sechsten Gliede der arithmetischen Reihe 102 und das Produkt aus dem ersten und fünften Gliede der geometrischen Reihe 324 ist?

48.    In einer geometrischen Reihe ist das Produkt aus dem ersten und achten Gliede 4374, die Summe aus dem vierten und fünften Gliede 135; wie groß ist die Summe aller acht Glieder?

53.    Die Summe des sechsten und zehnten Gliedes einer geometrischen Reihe ist 27§, die Differenz des zwölften und vierten Gliedes 242||; wie heißt die Reihe?

49.    Addiert man zu den vier Gliedern einer arithmetischen Reihe bezüglich 1, 8, 35,122, so erhält man vier Zahlen, welche eine geometrische Reihe bilden. Wie heißt die arithmetische Reihe?

50.    Die Summe des ersten und dritten Gliedes einer geometrischen Progression ist 9|, die Summe des zweiten und vierten Gliedes 14|; wie heißt die Progression?

51.    Die Differenz des 4. und 6. Gliedes einer geometrischen Reihe ist 756, die Differenz des 4. und 5. Gliedes 432; wie heißt die Reihe?

52.    Das 11. Glied einer geometrischen Reihe ist um 7§| größer als das dritte und das 9. Glied ist um 1§ größer als das fünfte; wie heißt die Reihe?

54.    Acht Zahlen bilden eine geometrische Progression, die Summe der ersten vier ist 15, die Summe der letzten 240; welche Zahlen sind es?

55.    In einer geometrischen Progression ist die Summe des dritten und vierten Gliedes b, die Differenz des dritten und fünften d; bestimme den Quotienten und das erste Glied!

56.    In einer geometrischen Progression von 10 Gliedern ist die Summe der ungeraden Glieder 36905, die Summe der geraden 110715; wie groß ist der Quotient, wie groß das erste Glied?

57.    Die Summe dreier Zahlen, welche eine geometrische Progression bilden, ist 21, die Summe ihrer Quadrate 189; welche Zahlen sind es?

58.    Zerlege jedes Glied der geometrischen Progression 3, 48, 768, 12288,... in 4 Teile so, daß alle diese Teile untereinander wieder eine geometrische Progression bilden!

59.    In einer geometrischen Reihe mit einer ungeraden Anzahl von Gliedern ist das erste Glied 7, das mittlere Glied 56 und die Summe aller Glieder 889. Wie groß ist der Quotient und die Anzahl der Glieder?

60.    Das erste, zweite, fünfte und das letzte Glied einer arithmetischen Reihe sind aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Reihe. Die Summe dieser viergliedrigen geometrischen Reihe ist 80. Wie groß ist die Summe der arithmetischen Reihe?

61.    4 Zahlen bilden eine geometrische Reihe. Subtrahiert man die Summe der beiden mittleren Glieder von der Summe der beiden äußeren, so erhält man 5. Subtrahiert man hingegen die Summe der Quadrate der beiden mittleren Glieder von der Summe der Quadrate der beiden äußeren Glieder, so erhält man 325. Wie lautet die Reihe?

62.    Werden zwei Zahlen als die beiden ersten Glieder einer arithmetischen Reihe gewählt, so ist der Unterschied des 4. und 2. Gliedes 18; werden sie aber als die beiden ersten Glieder einer geometrischen Reihe gewählt, so ist der Unterschied des 4. und 2. Gliedes 28. Wie lauten beide Reihen?

63.    In einer geometrischen Reihe von 8 Gliedern ist die Differenz der Summen der geraden und ungeraden Glieder 150. Die Summe der ganzen Reihe ist 250. Wie heißt die Reihe?

64.    In einer geometrischen Reihe verhält sich die Differenz des 4. und 2. Gliedes zur Differenz des 2. und 1. Gliedes wie 6:1. Die Summe der drei ersten Glieder ist 63. Wie heißt das erste Glied und der Quotient der Reihe?

*65. Eine arithmetische und geometrische Reihe von je vier Gliedern haben dasselbe Anfangsglied; das Verhältnis der zweiten Glieder beider Reihen ist §, das der dritten Glieder f. Die Summe des ersten und letzten Gliedes der geometrischen Reihe ist 81. Wie heißen beide Reihen?

66. Von einem Punkte auf dem einen Schenkel eines Winkels a wird eine Normale von der Länge a zum andern Schenkel gezogen, von ihrem Fußpunkte wieder eine Normale zum ersten Schenkel u. s. f. Wie groß ist die Summe aller Normalen?

67. n (6) Gerade schneiden sich in einem Punkte unter gleichen Winkeln; von einem Punkte auf einer derselben wird eine Normale von der Länge a zur nächsten Geraden gezogen, von dem Fußpunkte derselben wieder eine Normale zur nächsten u. s. f. Wie lang ist die so entstandene gebrochene Spirale?

68.    Auf der Seite b eines Dreieckes liegt eine Strecke m. Man projiziert dieselbe auf die Seite c, die erhaltene Projektion auf a, die neue Projektion wieder auf b u. s. f. Wie groß ist die Summe der Strecke m und sämtlicher Projektionen?

69.    Einem Quadrate mit der Seite a wird ein Kreis, diesem ein Quadrat, diesem Quadrate wiederum ein Kreis eingeschrieben u. s. f. Wie groß ist die Summe der Umfänge und Flächeninhalte a) sämtlicher Kreise, b) sämtlicher Quadrate?

70.    Einem geraden Kegel mit der Höhe h ist eine Kugel eingeschrieben. In dem Raume gegen den Scheitel wird wiederum eine Kugel konstruiert, welche die erste und den Kegel-Mantel berührt, u. s. f. Wenn die erste Kugel den Radius r hat, wie groß ist die Summe der Oberflächen und der Rauminhalte sämtlicher Kugeln?

71.    Eine Strecke a wird um eine kleinere Strecke verlängert, so daß die Summe beider nach dem goldenen Schnitte geteilt ist; in gleicher Weise wird die zweite Strecke um eine kleinere dritte verlängert und so fort. Um wieviel ist die Summe aller Strecken größer als die Summe der ersten und zweiten Strecke?

72.    In ein Quadrat beschreibt man einen Kreis mit dem Radius r, in die vier übrig bleibenden Ecken werden wiederum Kreise beschrieben und so unaufhörlich fort. Wie groß ist die Summe a) der Umfänge, b) der Flächeninhalte sämtlicher Kreise?

73.    In einem Dreieck wird eine Höhe in drei gleiche Teile geteilt und durch den dem Scheitel zunächst liegenden Teilungspunkt eine Parallele zur Grundlinie gezogen; in gleicher Weise verfährt man bei dem abgeschnittenen Dreiecke und sofort. Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte sämtlicher Dreiecke, wenn der des ersten Dreieckes f ist?

Eine harmonische Reihe ist eine Aufeinanderfolge von Zahlen, deren reziproke Werte eine arithmetische Reihe bilden.

74. Bilde das harmonische Mittel zwischen a) 1 und 2; b) a + b

und a —b.

75.    Zwischen 1 und 2 sollen a) zwei Glieder, b) drei Glieder eingeschaltet werden, so daß eine harmonische Reihe entsteht.

76.    Die beiden ersten Glieder einer harmonischen Reihe sind 1 und §; wie heißen die drei folgenden Glieder?

77.    Es ist das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel zu suchen zwischen a) 12 und 3, b) 1 und 3, c) a und b.

78.    Es ist zu zeigen, daß, wenn a⁸, b⁸, c⁸ eine arithmetische Reihe bilden, b + c, c + a, a-j-b eine harmonische Reihe bilden.

79. Multipliziere die Glieder der arithmetischen Reihe a, a -j- d, mit den gleichstelligen Gliedern der geometrischen Reihe b,

a + 2 d,

bq, bq⁸, .... und leite das Summenglied der entstandenen zusammen-gesetzten Reihe nach dem Vorbilde in § 226. 2. ab!

ab (qQ — 1)

Lösung: s„

bdq

(q-l/

{nq“-¹ (q — 1) — (q> - 1)}.

80. Ist q < 1, so ist für lim n = oo lim q° ----- 0 und auch, wie aus dem später folgenden binomischen Lehrsätze sich ergibt, lim (nqn) — 0. Bestimme dementsprechend den Grenzwert von sn der vorhergehenden Aufgabe für lim u — oo!

ab (1 — q) + bdq

(T=qP '

Bestimme ebenso die Summe folgender Reihen:

81.    l + 2x + 3x⁸ + 4x³ + 5x⁴ + ... + nx“⁻¹.

82.    1 + 5x -(- 9x⁸ + 13x* +17x⁴ + ... 4- (4n — 3) x”⁻¹,

83.    1 + |- +f+ -§- + ]!+•••-+

Lösung: S —

2n —1

81. 's + 273 4" 271$* 4~ 2^» 4" ••• 4

2n—1 3n — 2

2.3°--

¹

   1, 2, 3, 4, 5, 6.....

²

3. —28, —25, —22, —19,

³

5.    100, 92z. 85, 771, 70, ... .

⁴

6.    Wie groß ist die Differenz einer Progression, deren erstes Glied 109

⁵

und deren 34stes Glied 10 ist?

⁶

7.    Mit welcher Zahl fängt eine Progression an, deren Differenz 5

⁷

und deren 27stes Glied 139 ist?

⁸

   Eine Progression fängt mit 1 an und steigt nach der Differenz 5; das wievielte Glied ist 116?

⁹

   Das erste Glied einer arithmetischen Progression ist 20, die Zahl der Glieder 10, das letzte Glied —16; wie groß ist die Summe?

¹⁰

   Wie viele Glieder einer Progression muß man addieren, um 2808 zur Summe zu erhalten, wenn das erste Glied 2 und die Differenz 10 ist?

¹¹

   Die Summe einer Progression, deren Differenz 3 und deren letztes Glied 97 ist, beträgt 1612; wie groß ist a) das erste Glied, b) die Anzahl der Glieder?

¹²

Das 11. Glied einer arithmetischen Reihe ist 50, das 16. Glied 25; wie groß ist die Summe der ersten 41 Glieder?

§. SS. Aiitseszins- und Wenlenrechnung. (§§. 233—238.)

1.    Zu welchem Werte wächst ein Kapital von 5800 K in 15 Jahren bei 3\% Zinseszins an?

2.    Jemand legt 5042 K in eine Sparkasse, welche die Einlagen zu 4L und zwar halbjährig verzinset, ein; wieviel erhält er nach 20 Jahren zurück?

8. Wieviel werden 7324-2 K bei 4^L Verzinsung nach 23^ Jahren wert sein, wenn man die Zinsen ganzjährig zum Kapitale schlägt?

4.    3000 K waren in einer Sparkasse zuerst 10 Jahre zu 4L dann 8 Jahre zu 3§# angelegt; auf welche Summe ist jenes Kapital in den 18 Jahren angewachsen?

5.    Der Bestand eines Waldes wird gegenwärtig auf 42350 Kubikmeter geschätzt; wie groß wird derselbe bei einem jährlichen Zuwachs von 3L nach 10 Jahren sein?

6.    Ein Land hat gegenwärtig 548200 Einwohner; wie groß wird die Bevölkerung bei einer jährlichen Zunahme von nach 14 Jahren sein?

7.    Ein Kapital von 9000 K ist nach 10 Jahren fällig; wie groß ist sein Barwert, wenn Zinseszinsen zu 3;L gerechnet werden?

8.    Welches Kapital wächst zu 4L auf Zinseszinsen angelegt in 15 Jahren auf denselben Endwert an, als 4500 K zu 6L in 9 Jahren?

9. Für ein Haus bietet A 30000 K bar, B 33500 K zahlbar nach 3 Jahren und C 40000 K zahlbar nach 7 Jahren. Welches Anbot ist für den Verkäufer am vorteilhaftesten, wenn derselbe 5L Zinseszinsen in Anschlag bringt?

10.    Eine Stadt zählt gegenwärtig 36230 Einwohner; wie groß war bei einer jährlichen Zunahme von 2L die Bevölkerung vor 30 Jahren?

11.    Ein Waldbestand wird gegenwärtig auf 180000 Kubikmeter veranschlagt; wie stark war derselbe vor 15 Jahren, wenn man annimmt, daß er sich während dieser Zeit regelmäßig jährlich um 3L vermehrt hat?

12.    Ein Kapital von 7537*8 K wächst in 20 Jahren mittels Zinseszinsen auf 20000 K an; zu wieviel L war es verzinset?

13.    3200 K sind vor 80 Jahren angelegt worden und während dieser Zeit samt Zinseszins auf 34059*83 K angewachsen; zu wieviel L war das Kapital angelegt?

14.    Eine Stadt hatte zu Ende 1890 72610, zu Ende 1900 84725 Einwohner. Wie viel Einwohner wird dieselbe bei gleichem Wachstum zu Ende 1910 haben und um wieviel L wächst die Bevölkerung jährlich?

15.    In welcher Zeit wird ein Kapital zu 4L Zinseszins a) bei ganzjähriger, b) bei halbjähriger Kapitalisierung auf das Doppelte (mfache) anwachsen?

16.    In wieviel Jahren erhöht sich die Bevölkerung eines Ortes bei \\% jährlicher Zunahme von 5200 Einwohnern auf 9440 Einwohner?

17.    Von einer Schuld von 10000 K werden nach 3 Jahren 2500 K, nach 6 Jahren 1000 K bezahlt; wie groß ist noch die Schuld nach 10 Jahren, wenn Zinseszinsen gerechnet werden?

18.    Ein Kapital a wird zu p% verzinst, die Verwaltungskosten betragen v% des jeweiligen Bestandes und werden am Ende jedes Jahres abgerechnet; zu welcher Summe wächst das Kapital in n Jahren an?

*a — 50000 K, p = 4%, v — 0‘5%, n = 12 Jahre.

19.    Zu wieviel ^ muß ein Kapital ausgeliehen werden, damit es in 30 Jahren bei halbjähriger Kapitalisierung auf das Vierfache anwächst?

20.    Jemand hat zu Beginn 1880 2000 K und zu Beginn 1890 3000 K auf Zinseszinsen ju 4 % angelegt. Wann werden beide Kapitalien zusammen auf 10734 5 K angewachsen sein?

21.    4000 K und 3953"3 K werden zu 4L auf Zinseszinsen angelegt, das erste Kapital mit ganzjähriger, das zweite mit halbjähriger Kapitalisierung der Zinsen. Wann werden beide Kapitalien denselben Wert erlangt haben?

22.    Ein Kapital von 10000 K stand durch 15 Jahre anfangs zu

später zu 4L auf Zinseszinsen und ist in dieser Zeit auf 18803-8 K

angewachsen. Wie lang stand es zu 4| und wie lang zu 4# ?

23.    Durch 20 Jahre werden zu Anfang eines jeden Jahres 200 K angelegt; zu welchem Werte werden diese Kapitalien bei 4L Zinseszins zur Zeit der letzten Anlage angewachsen sein?

24.    Jemand erspart jährlich 280 K und legt diese am Ende eines jeden Jahres in eine Sparkasse, welche die Einlagen mit 4L verzinst und die Zinsen halbjährig kapitalisiert; über welche Summe wird er nach 15 Jahren verfügen?

25.    Durch n Jahre wird jährlich ein Kapital r zu p% Zinseszins angelegt, die Verwaltungskosten betragen jährlich v% des jeweiligen Bestandes und werden am Ende des Jahres abgerechnet; zu welcher Summe sind diese Kapitalsbeträge zur Zeit der letzten Anlage angewachsen?

*r — 500 K, p = 3|%, v — |%, n — 20 Jahre.

26.    Jemand hat durch 12 Jahre am Anfange eines jeden Jahres den gleichen Geldbetrag zu 41L Zinseszins angelegt und bezieht dafür am Ende des 12ten Jahres 1939 K 18 h; wie groß war die jährliche Einlage?

27.    Ein Kapital von 12500 K ist nach 7 Jahren fällig; es soll durch gleiche, am Anfange eines jeden der 7 Jahre zahlbare Summen getilgt werden. Wie groß sind die Teilzahlungen bei 5L Zinseszins?

28.    Wie hoch müssen die am Ende eines jeden Jahres zu leistenden Abschlagszahlungen sein, damit eine nach 10 Jahren unverzinslich fällige Schuld von 8000 K getilgt werde, den Zins zu 4L gerechnet?

20

MoLnik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetiku. Algebra s. d. oberen Kl. d. Gymnas. 28. Aufl.

29.    Ein Gutsbesitzer will seine Feldfrüchte im veranschlagten Werte von 6800 K gegen Hagel versichern; wie hoch wird die Assekuranz-Gesellschaft die jährliche Versicherungsprämie bei 5$ Zinseszins ansetzen, wenn angenommen wird, daß der Hagelschlag die Feldfrüchte jener Gegend durchschnittlich alle 16 Jahre gänzlich vernichtet?

30.    Jemand legt zu Beginn eines jeden Jahres 450 K zu 4A auf Zinseszinsen an; wie vielmal muß dies geschehen, bis sein Ersparnis 10000 K erreicht oder zum erstenmal übertrifft?

31. Ein zu ty°/o Zinseszins ausstehendes Kapital von 5000 K wird am Ende jedes Jahres um 500 K vermehrt; wie hoch wird es in 8 Jahren anwachsen?

32. Aufg. 31 bei halbjähriger Kapitalisiemng der Zinsen.

33. Von einem Walde, dessen jährlicher Zuwachs beträgt, ist der gegenwärtige Bestand 145678 Kubikmeter; wie groß wird der Bestand nach 18 Jahren sein, wenn am Ende eines jeden Jahres 1175 Kubikmeter gefällt werden?

34.    Jemand will eine Schuld von 10000 K, die zu b% zu verzinsen ist, in 10 gleichen Jahresraten abtragen; wie groß wird eine Ratenzahlung sein?

35.    Jemand ist verpflichtet, durch 8 Jahre am Ende eines jeden Jahres 550 K zu zahlen. Statt dessen will er die Schuld in zwei gleichen Raten zu Beginn des ersten und fünften Jahres tilgen. Wie groß ist eine solche Rate, wenn der Rechnung 4^ zu Grunde gelegt werden?

36.    Dem Vormunde eines Kindes von 5 Jahren wird eine Summe von 6000 L mit der Verpflichtung überwiesen, das Kind bis zum 18 ten Jahre zu erziehen; welches ist der Betrag des nachschußweise zahlbar angenommenen jährlichen Erziehungsgeldes, wenn Zinseszinsen berechnet werden?

37.    Eine Stadt will bei einer Bank ein Anlehen mit der Verpflichtung aufnehmen, dasselbe durch einen am Ende jedes Jahres zahlbaren Betrag von 28000 K binnen 25 Jahren zu tilgen; welche Summe wird die Bank der Stadt bei 5% Zinseszins darleihen?

ak 38. Wieviel bleibt von einer Schuld von 26000 K bei 5% Zinseszins nach 10 Jahren übrig, wenn für Zinsen und Tilgung eines Teiles der Schuld jährlich 2000 K gezahlt werden?

39.    Wie groß ist ein auf Zinseszinsen zu 4|$ angelegtes Kapital, wenn von demselben bei einer am Ende eines jeden Jahres eintretenden Verminderung um 250 K nach 15 Jahren noch 1300 K übrig sind?

40.    Ein Vater hinterläßt seinen 5 Kindern ein Vermögen von 40000 K, welches zu 5L Zinseszins angelegt ist; davon beziehen die Kinder am (Silbe eines jeden Jahres 3000 K. Wieviel erhält dann jedes der Kinder nach 6 Jahren, wenn der Rest des Vermögens zu gleichen Teilen unter sie verteilt wird?

41.    Jemand kauft ein Haus und bezahlt den Kaufschilling dadurch, daß er durch 20 Jahre am Schluffe eines jeden derselben eine Abschlagszahlung von 1200 K leistet; wie groß ist der Kaufpreis, wenn jede Abschlagszahlung zugleich 5# Zinsen für die noch unbezahlte Schuld enthält?

42.    Wieviel muß man am Schlüsse eines jeden Jahres zu einem Kapitale von 4500 K hinzufügen, damit es sich bei 4L Zinseszins in 6 Jahren verdopple?

43.    Jemand hat ein Kapital von 13160 K zu 4|% ausstehen und behebt davon sofort sowie am Anfang eines jeden folgenden Jahres 1000 K; nach wieviel Jahren wird das Kapital erschöpft sein?

44.    Ein 3| prozentiges Anlehen soll in 25 Jahren getilgt werden. Wieviel % des "Kapitales müssen jährlich zur Zahlung der Zinsen und Tilgung verwendet werden?

45.    Eine Eisenbahn-Gesellschaft macht eine Anleihe von 4 Millionen Kronen zu 5L und will dieselbe dadurch amortisieren, daß sie jährlich 250000 K zur Zinsenzahlung und teilweisen Tilgung des Anlehens verwendet; nach wieviel Jahren wird die Schuld getilgt sein?

46.    Jemand ordnet in seinem Testamente an, daß seinem treuen Diener bis zu dessen Tode am Anfang eines jeden Jahres 200 K ausgezahlt werden. Die Erben werden mit dem Diener einig, ihm dafür auf einmal einen Betrag von 2400 K zu zahlen. Wieviel Jahre müßte der Diener noch leben, wenn er von dem Übereinkommen weder Schaden noch Vorteil haben sollte, die Zinsen zu 5% gerechnet?

47.    Jemand nimmt bei einer Sparkasse ein Kapital von 8000 K auf, das er durch gleiche Teilzahlungen, die am Ende eines jeden Jahres fällig sind, in 15 Jahren tilgen will; wie groß ist eine Teilzahlung, wenn die Sparkasse verausgabte Gelder mit 5#, empfangene dagegen mit 4L Zinseszins in Rechnung bringt? (Die Lösung erfolgt nach §. 234, 3.)

48.    Jemand hat 100000 K zu 3 L auf Zinseszinsen angelegt. Am Ende eines jeden Jahres behebt er den Betrag von 1921'5 K. Nach wieviel Jahren wird sich das Kapital verdoppelt haben?

49.    Ein Kapital von 1000 K ist zu 3HL auf Zinseszinsen angelegt;

dasselbe wird jedes zweite Jahr d. i. zu Beginn des 3ten, 5ten, .......

Jahres um 200 K vermehrt. Zu welcher Summe ist es zu Beginn des <2ten Jahres angewachsen?

20*

50.    Ein Herr will seinem Diener bei einer Versicherungsanstalt ein nach 11 Jahren zahlbares Kapital von 2000 K versichern; welchen Betrag muß er an die Anstalt zahlen, wenn dieselbe zu 5 L verzinst?

51.    Welchen Barwert hat eine dnrch 14 Jahre am Ende jedes Jahres mit 420 K zu leistende Rente, wenn 4 °/₀ Zinsen gerechnet werden?

52.    Jemand verkauft eine nachschußweise Jahresrente von 620 Mark, die er noch durch 10 Jahre zu genießen hat; wieviel wird er dafür erhalten, wenn 4 °/o Zinseszinsen gerechnet werden?

53.    Jemand ist verpflichtet, von 1900 bis einschließlich 1920 zn Beginn eines jeden zweiten Jahres (1900, 1902, . . . .) 500 K zn zahlen. Mit welcher einmaligen am Beginn des Jahres 1910 zu leistenden Zahlung kann diese Verpflichtung abgelöst werden, wenn 3|% Zinseszinsen gerechnet werden?

54.    Ein Vater will für seinen Sohn, wenn dieser das 24 fte Jahr erreicht hat, eine Summe versichern; er zahlt zu diesem Zwecke von der Geburt des Sohnes angefangen bis zu jener Zeit an eine Versicherungsanstalt am Anfange jedes Jahres 800 K. Welchen Betrag wird die Anstalt bei h°/₀ Zinseszins nach 24 Jahren auszuzahlen haben?

55.    Jemand will für seinen Sohn bei einer Bank eine Summe von 4000 K versichern, welche dieselbe am Ende des löten Jahres auszahlen soll; welchen jährlichen Betrag muß er am Ansauge eines jeden Jahres bis zu jener Zeit zum Zinsfüße 4|# leisten?

56.    Ein Kapital von 20000 K soll bei 4 % Zinseszins durch eine jährliche Rente getilgt werden, die vom Ende des ersten Jahres beginnt und 30 Jahre dauert; wie groß muß die Rente sein?

57.    Jemand erlegt 12000 K ju 4 % und will dafür durch 24Jahre am Ende jedes derselben eine Rente beziehen; wie groß wird dieselbe sein?

58.    Bei einer Anstalt werden 2000 K gegen Entrichtung einer jährlichen Prämie von 53*5 K versichert; nach wieviel Jahren ist bei 4| % das versicherte Kapital durch Prämien gedeckt?

59.    Ein Kapital von 8000 K soll durch die nachschußweise jährliche Rente von 801-12 L bei 4^ Zins getilgt werden; wie lange muß die Rente gezahlt werden?

60.    Jemand verkauft eine Realität im Werte von 100000 K gegen eine am Anfange eines jeden Jahres zahlbare Rente von 6437‘5 K. Wieviel Jahre wird der Verkäufer die Rente beziehen, wenn 5f % Zinseszinsen gerechnet werden und die erste Rente gleich bei Abschluß des Kaufes ausgezahlt wird ?

61.    Jemand läßt sich für 8000 K Einlage eine erst nach 8 Jahren beginnende vorschußweise Jahresrente von 865 K 34 h sichern. Wie lange kann er dieselbe beziehen, wenn 4L Zinseszinsen gerechnet werden?

*62. Wie viele Jahre hat eine nachschußweise Rente zu laufen, die jährlich 600 K beträgt und gegenwärtig einen Wert von 10026 8 K hat, die Zinsen zu 5 A gerechnet?

63. Jemand versichert bei einer Anstalt auf den Todesfall 10000 K und muß am Anfange jedes Jahres eine Prämie von 360 K zahlen;

wenn er nun nach 24 Jahren stirbt, wie groß ist der Gewinn oder Verlust der Anstalt bei 4 % Zinseszins?

64.    Jemand hat eine Jahresrente r (1000 K) durch n (24) Jahre zu beziehen. Wann kann dieselbe mit dem Betrage nr (24000 K) abgelöst werden, wenn der Rechnung p (3|) % zu Grunde gelegt werden?

65.    Jemand hat eine Jahresrente von 1800 Mark auf 30 Jahre zu beziehen; er wünscht aber statt derselben eine größere auf 20 Jahre zu haben; wie groß wird diese bei 4| % Zins sein?

66.    Eine Rente von 500 K (r) ist durch 20 (n) Jahre pränumerando zu beziehen. Wenn nun durch 5 (n,) Jahre auf den Bezug verzichtet wird, welche Rente kann während der folgenden 15 (n—n,) Jahre bezogen werden bei 3 (p) % Zinsen?

67.    Jemand will durch 18 Jahre am Anfange eines jeden Jahres eine bestimmte Summe bezahlen, damit nach Verlauf dieser Zeit er selbst oder eine andere Person 10 Jahre hindurch eine am Ende jedes Jahres fällige Jahresrente von 500 Kronen genieße; wie groß ist die jährlich zu zahlende Summe, wenn 5 % gerechnet werden?

68.    Welche Einlage muß man durch 20 Jahre am Anfange jedes Jahres an eine Versicherungsanstalt machen, um nach Verlauf dieser Zeit bei 4% Verzinsung eine vorschußweise Jahresrente von 600 K durch 12 Jahre zu genießen?

69.    Jemand zahlt durch 30 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres 68 Kronen in eine Rentenbank, welche zu 4% verzinst; welche nachschußweise Rente wird ihm die Bank durch die 7 folgenden Jahre geben?

70.    Jemand hält sich noch 20 Jahre für arbeitsfähig; wieviel muß er am Ende eines jeden Jahres auf Zinsen ä 4-|% legen, um nach Ablauf dieser Zeit noch 15 Jahre eine nachschußweise Jahresrente von 300 Kronen zu genießen?

*71. Jemand, der sich noch 15 Jahre für arbeitsfähig hält, spart in dieser Zeit jährlich 500 K und legt sie zu 4% auf Zinsen an; wie lange kann er dafür nach Ablauf jener Zeit eine am Ende des Jahres fällige Rente von 790-9 K ansprechen?

72. Eine Rente, welche im ersten Jahre 800 K beträgt und in jedem folgenden Jahre um 100 K wächst, wird 10 Jahre hindurch am Ende eines jeden Jahres ausgezahlt; welches ist ihr Barwert, wenn ^ % Zinseszinsen gerechnet werden?

§. 34. ^ermutationen, Kombination««, Variationen.

Permutationen. (§§. 237—239.)

1. Wieviel und welche Permutationen erhält man ans den Buchstaben des Wortes ROMA?

2.    Stelle für die Elemente abcde lexikographisch die Permutationen dar, die 1) mit a, 2) mit c anfangen.

3.    Bilde die Permutationen aus den Elementen aaabbc.

4.    Wie groß ist die Zahl der Permutationen aus a⁵b³?

5.    Wieviel Permutationen der Elemente 1, 2, 3, 4, 5, 6, beginnen a) mit 4; b) mit 4 5; c) mit 4 5 6?

6.    Wieviel Permutationen der Elemente 1,1,1, 2, 2, 3 beginnen

a)    mit 1; b) mit 1 2; c) mit 12 3?

7.    Wieviel vierziffrige Zahlen gibt es, deren jede die Ziffer 3, 0, 7, 4 enthält?

8.    Wieviel fünfziffrige Zahlen enthalten die Ziffer 6 2 mal, die Ziffer 3 2 mal und die Ziffer 5 Imal?

9.    Wieviel neunziffrige Zahlen lassen sich aus den neun arabischen Ziffern bilden, wenn die Ziffern jeder Zahl von einander verschieden sein sollen?

10.    Wie groß ist die Summe der vierziffrigen Zahlen, welche sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden lassen?

Anleitung: Wie oft tritt jede Ziffer an einer bestimmten Stelle auf?

11.    Wie oft können 5 Tischgenoffen ihre Plätze am Tische wechseln, bis sie in allen Ordnungen gesessen sind?

12.    Wieviel verschiedene Stellungen geben 3 weiße, eine blaue und 2 rote Kugeln?

13.    Wie lautet die 68. Permutation von 12345?

14.    Die wievielte Permutation ist cdaeb von abcde?

15.    Wie heißt die 19. Permutation von „reif"?

16.    Die wievielte Permutation der Buchstaben aelmp ist a) Ampel,

b)    Lampe, c) Palme?

17.    Bei wieviel verschiedenen Elementen wird, wenn man die Zahl der Elemente um 2 vermehrt, die Zahl der Permutationen 42 mal so groß als früher?

Kombinationen. (88- 240—243.)

18.    Bilde für die Elemente abcde tue Amben und Sternen a) ohne Wiederholung, b) mit Wiederholung.

19.    Bilde alle Kombinationen ohne Wiederholung von den Elementen

12345.

20.    Wieviel Amben und Stemm enthalten 6 Elemente a) ohne Wiederholung, b) mit Wiederholung?

21.    Aus wieviel Elementen kann man a) 435 Amben, b) 4845 Quaternen ohne Wiederholung bilden?

Zu b): x (x — 1) (x —2) (x —3) = (x² — 3x) (x² —3x + 2);

setze x² — 3 x — y.

22.    Bei wieviel Elementen ist die Anzahl der Amben o. W. um 27 größer als die Zahl der Elemente?

23.    Bei wieviel Elementen ist die Zahl der Lernen o. W. 15 mal so groß als die Zahl der Elemente?

24.    Bei wieviel Elementen ist die Zahl der Quaternen o. W. 6 mal so groß als die Zahl der Amben o. W. ?

25.    Bilde die Lernen mit Wiederholung der Elemente: „Punkt, Gerade, Kreis"!

26.    Wieviel Unionen. Amben, Lernen, Quaternen und Quinternen geben a) die 90 Nummern der gewöhnlichen Zahlenlotterie, b) die in einer Ziehung herausgehobenen 5 Nummern?

27.    Welche und wieviel Würfe durchaus ungleicher Felder können mit 2 Würfeln geworfen werden?

28.    Wieviel Gerade lassen sich im allgemeinen durch n Punkte legen?

29.    In wieviel Punkten schneiden sich im allgemeinen n Gerade?

30.    In wieviel Punkten schneiden sich n (7) Gerade, von bettgi p (3) parallel sind? (Wie groß ist die Zahl der unendlich fernen Schnittpunkte ?)

31.    In wieviel Punkten schneiden sich n Gerade, von denen p durch einen Punkt gehen?

32.    Wieviel und welche Verbindungen zu drei sind aus den Seiten a, b, c und den Winkeln «, ß, y eines Dreiecks möglich?

33.    Auf wieviel Arten lassen sich je drei der 7 Farben: rot, orange, gelb, grün, blau, indigo, violett mischen?

34.    Auf wieviel Arten läßt sich das Produkt abcde in zwei Produkte zerlegen, von denen das eine 2, das andere 3 Faktoren enthält?

35.    Auf wieviel Arten läßt sich a) das Produkt ab cd in Produkte von 2 Faktoren, b) das Produkt ab cd es in Produkte von 3 Faktoren zerlegen ?

36.    Auf wieviel Arten lassen sich 12 Karten so unter zwei Personen verteilen, daß die eine 3, die andere 9 Karten erhält?

37.    Auf wieviel Arten lassen sich 12 Karten so unter drei Personen verteilen, daß die erste 3, die zweite 4 und die dritte Person 5 Karten erhält?

38.    Auf wieviel Arten lassen sich 12 Karten so unter drei Personen verteilen, daß jede 4 Karten erhält?

39.    Auf wievielerlei Art lassen sich 32 Karten unter 4 Spieler so verteilen, daß jeder 8 Karten erhält?

40.    Wieviel Elemente werden verwendet, wenn die Zahl der Lernen mit Wiederholung sich zu der Zahl der Lernen ohne Wiederholung wie 15:7 verhält?

Variationen. (§§. 244—247.)

41.    Bilde die Variationen der 2ten Klasse ohne Wiederholung von den Elementen abcde!

42.    Bilde die Variationen der 2ten und 3ten Klasse mit Wiederholung von den Elementen abc!

43.    Stelle die ersten 20 Variationen der 3ten Klasse mit Wiederholung von den Elementen abcd dar!

44.    Wieviel Variationen der 2ten, 3 ten, 4ten Klasse a) ohne Wiederholung, b) mit Wiederholung geben 10 Elemente?

45.    In einer Klasse sind 32 Schüler. In wievielfacher Weise kann die erste Bank mit 6 Schülern besetzt werden?

46.    Wieviel a) dreiziffrige, b) vierziffrige, c) sünfziffrige Zahlen gibt es, deren Ziffern voneinander verschieden sind?

47.    Wieviel vierziffrige Zahlen sind mittels der Ziffern 3, 4 und 5 darstellbar?

48.    Wieviel sünfziffrige Zahlen, deren jede mit 5 beginnt, lassen sich aus den Ziffern 1, 5, 9 bilden?

49.    Wieviel verschiedene Würfe sind mit 2 Würfeln möglich?

50.    Welche verschiedene Würfe geben bei drei Würfeln 10 zur Summe?

51.    Auf wieviel Arten kann man mit 4 Würfeln die Summe 15 werfen?

52.    Wieviel Würfe sind mit 3 Würfeln möglich, von denen der eine weiß, der zweite gelb, der dritte rot ist, wenn man annimmt, daß Würfe von gleichviel Augen, aber in verschiedenen Farben als verschieden zu betrachten sind?

53.    Ein optischer Telegraph hat 6 Arme, von denen jeder 4 verschiedene Stellungen annehmen kann; wieviel verschiedene Zeichen kann der Telegraph geben?

54.    Es sind 4 Fächer mit 7 verschiedenfarbigen Kugeln zu besetzen, so daß in jedes Fach eine Kugel zu liegen kommt; auf wievielerlei Art kann dies geschehen?

55.    Wieviel a) dreiziffrige, b) vierziffrige Zahlen gibt es?

56.    Wie groß ist die Zahl aller Variationen mit Wiederholung der 1., 2., 3. und 4. Klasse von den beiden Elementen: „ . —"?

57.    Bei wieviel Elementen gibt es 380 Variationen der zweiten Klasse ohne Wiederholung?

58.    Bei wieviel Elementen verhält sich die Zahl der Variationen der dritten Klasse ohne Wiederholung zu der derselben Klasse mit Wiederholung wie 5:9?

59.    Bei wieviel Elementen verhält sich die Zahl der Variationen ohne Wiederholung der zweiten Klasse zu der der dritten Klasse wie 1:20?

§. 85. Aot-nze» von Mnome«. (88. 248—249.) Entwickle folgende Potenzen:

1. (1 + x)⁶.

4. (x + a)⁴.

7. (2 —a)⁸.

10. (5a —3b)⁶.

13. (a + b)"±(a —b)=.

15.    Wie heißt a) das sechste Glied der Potenz (5x² -f- 6 a²)¹⁰;

b) das achte Glied in (3 a — 2)¹²?

16.    Bestimme den Koeffizienten

a)    von x⁵ in der Entwicklung von (5x + 3)⁹;

b)    von a¹⁰ in (3 a² — 2 b²)¹⁰ — (2 a² — 3b²)¹⁰.

2. (X —1)7.

5. (x —y)¹⁰.

8. (a —2 b)⁶. 11. (x² + 2y²)⁴.

3. (1 — x)⁸.

6. (x + 3)⁸.

9. (3x + 4y)⁵. 12. (3 a² —2 b²)⁶. 14..(x² + 3)⁵ —(x² —3)s.

17.

(M‘

18.

(f-²)‘

19.

20.

M)*

21.

/2a , 3b\5 \3b“ 4a/ •

22.

23.

(*’+?)•

24.

/ ax² | 4b^y\4 \4by² a²x /

25.

/3ab^_ 2c^y\⁶

\4 cy² 3 a²b /

26.    Gib an a) das fünfte Glied der Reihe — J-j⁹;

b) das siebente Glied in |

27.    Wie heißt der Koeffizient von x⁹ in ^

28.    Wie heißt der Koeffizient von x in der Entwicklung von (x²— j⁵

29.    Wie groß muß x gewählt werden, damit in der Entwicklung von ^3x — i)⁸ das vierte Glied den Wert —1 hat?

30.    (1'03)ö = (l + db)⁵ = ••    31. (0-997)⁴ = (1-    =

Bestimme ebenso auf 6 Dezimalen:

*33. (1-035)¹²-36. (0996)²⁰;

5 a x²

6by²

3byV» 5 a x/ *

3x²

5a‘²\¹²o

3x / r

32. (1-025)¹⁶;

35. (0-98)¹⁸.

38. Entwickle: (4 + V3)⁶. 40. (2 + V2)⁸ — (2 — V2)⁸.

34. (1-055)¹⁴. 37. (1-999)⁴⁶.

39. (6 —5V2)⁵.

41. (V5 + V3)⁵ —(Vö —V3)⁵. 42. (a V b — b V a)⁸.    43. ^2 x — \JyJ- **

45. (a -4- Va² —1)° + (a — Vä²^!)⁶.

45. (1 + V^l)⁶.

48. (a + bi)⁵.

51. (a + bi)“±(a — bi)n.

• (fVI+lVD-

47. (l + 2i)⁶.

50. (2Va —bi)⁵. 52. (l+iV5)⁶ + (l —iV5)°,

46. (3 — i)⁵.

49. (Vl4-f-V^2s⁸.

53.

m-

54.

(üfv5+(i=m\

55. Welchen Wert erlangt der Ausdruck . (a "t~ x)⁸ — (a ~f~ b)B

* (a — b)e — (a — x)®

a⁷ — (a — x)⁷

b’-(b-x)⁷

für x = 0?

56. Ebenso

für X = b ?

(ViT?+x)n- (Vr+X⁷ —x)“

für x — O

(Entwickle nach dem binomischen Lehrsätze und kürze!)

57. Ebenso

CU

Anhang.

§. 36. Größte und Kleinste Werte einer JunKtion des zweiten Grades.

(§. 250.)

Bestimme für folgende Ausdrücke a) den größten oder kleinsten Wert und b) jenen Wert der Veränderlichen, für welchen derselbe eintritt:

2. x² — x +1.

5. x² -j— (a -f- b) x -f- a² — ab + b².

^ X² -f X + 1

1. x² + x +1.

3. 4 x² — 8 x -f- 6.

4. ax² — bx + c.

6. x² + (a — b) x — a² — ab — b².

8. ax + -p

11. x V 9 — xa.

Anwendungen.

14.    Zerlege die Zahl a in zwei Summanden, so daß das aus denselben gebildete Produkt ein Maximum wird.

15.    Zerlege die Zahl a in zwei Faktoren, so daß die Summe derselben ein Minimum wird.

16.    Eine gegebene Strecke a ist so zu teilen, daß die Summe der Flächeninhalte der aus beiden Teilen gebildeten Quadrate einen kleinsten Wert annimmt.

17.    Von einem Dreiecke ist die Grundlinie a und die Summe der beiden andern Seiten m gegeben. Wie müssen diese gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Dreieckes am größten wird?

18.    Von einem Punkte der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes werden Normale zu den Katheten gezogen. Bestimme jenen Punkt so, daß das entstandene Rechteck den größten Flächeninhalt erlangt.

19.    In ein gegebenes Dreieck ist das größte Rechteck zu zeichnen, so daß zwei Eckpunkte auf einer Seite und je ein Eckpunkt auf den beiden anderen Seiten liegt.

20.    Einem Quadrate mit der Seite a soll das kleinste gleichschenklige Dreieck umgeschrieben werden derart, daß eine Seite des Quadrates auf der Grundlinie des Dreieckes liegt.

9. x — a-j--- .

¹ x — a

12.

x⁴

X²- r

X²

io x*-x+¹

1V‘ x² + l •

*13. x²(a² — x²).

21.    Einem gegebenen Quadrate ist das Rechteck von dem größten Flächeninhalte einzuschreiben.

22.    Einem gegebenen Quadrate soll ein gleichschenkliges Dreieck mit dem kleinsten Umfange so eingeschrieben werden, daß die Spitze des Dreieckes in einem Eckpunkte des Quadrates liegt.

23.    Durch einen Punkt M zwischen den Schenkeln eines gegebenen Winkels ist eine Gerade zu ziehen derart, daß das entstandene Dreieck den kleinsten Flächeninhalt hat.

(Benütze die Formel: f = | ab sin y.)

24.    Einem gegebenen Parallelogramme ist das größte Parallelogramm einzuschreiben, dessen Seiten den Diagonalen des gegebenen Parallelogrammes parallel sind.

25.    Einem Kreise mit dem Radius r soll das Rechteck von dem größten Flächeninhalte eingeschrieben werden.

26.    Einem Kreisabschnitte (Radius r, Zentralabstand c) ist das Rechteck mit dem größten Umfange einzuschreiben.

27.    Welcher Kreissektor hat a) bei gegebenem Inhalte den kleinsten Umfang, b) bei gegebenem Umfange den größten Inhalt?

28.    Welcher gerade Zylinder hat a) bei gegebenem Umfange des Achsenschnittes die größte Mantelfläche; b) bei gegebener Mantelfläche den kleinsten Umfang des Achsenschnittes?

29.    Welcher gerade Zylinder hat a) bei gegebenem Umfange des Achsenschnittes die größte Oberfläche; b) bei gegebener Oberfläche den kleinsten Umfang des Achsenschnittes?

30.    Einer gegebenen Kugel ist der gerade Zylinder mit der größten Mantelfläche einzuschreiben.

31.    a) Bestimme jenen geraden Zylinder mit gegebener Oberfläche 0, welchem die kleinste Kugel umgeschrieben werden kann;

b) Einer gegebenen Kugel ist der gerade Zylinder mit der größten Oberfläche einzuschreiben.

32.    Welcher gerade Kegel hat bei gegebenem Umfange des Achsenschnittes die größte Mantelfläche?

33.    Wie groß ist der Radius jenes geraden Kegels, der bei gegebener Seite a den größten Achsenschnitt hat?

34.    Bestimme jenen geraden Kegel, der bei gegebener Oberfläche den größten Rauminhalt hat.

35.    Einem geraden Kegel (r, h) soll der gerade Zylinder mit der größten Mantelfläche eingeschrieben werden.

36.    Einem geraden Kegel soll der gerade Zylinder mit der größten Oberfläche eingeschrieben werden.

37.    Einer gegebenen Kugel ist jener gerade Kegel umzuschreiben, der a) den kleinsten Rauminhalt, b) die kleinste Oberfläche hat.

38.    Unter allen Kegelstumpfen von. gleicher Höhe, in denen die Summe der Radien der beiden Grundflächen gleich 2a ist, soll jener bestimmt werden, welcher den kleinsten Rauminhalt hat.

39.    Einer gegebenen Kugel ist der gerade Kegelstumpf mit der kleinsten Mantelfläche umzuschreiben.

*40. Einer gegebenen Kugel ist der gerade Kegelstumpf a) mit dem kleinsten Rauminhalte, b) mit der kleinsten Oberfläche umzuschreiben.

41.    Einer gegebenen Kugel ist ein regelmäßiges vierseitiges Prisma einzuschreiben, a) dessen Mantelfläche ein Maximum ist; b) dessen Oberfläche ein Maximum ist.

42.    Einer Kugel mit dem Radius r ist ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma einzuschreiben, dessen Mantelfläche ein Maximum ist.

43.    Einer gegebenen Kugel ist das regelmäßige sechsseitige Prisma mit der größten Oberfläche umzuschreiben.

44.    Einer gegebenen Kugel ist die regelmäßige vierseitige Pyramide mit der kleinsten Mantelfläche einzuschreiben.

45.    Einer gegebenen Kugel ist die regelmäßige vierseitige Pyramide a) mit der kleinsten Oberfläche, b) mit dem kleinsten Rauminhalte umzuschreiben.

46.    a) und b). Bestimme die regelmäßige dreiseitige Pyramide von derselben Eigenschaft wie in Nr. 45.

47.    a) und b). Bestimme die regelmäßige sechsseitige Pyramide von derselben Eigenschaft wie in Nr. 45.

48.    Aufgabe §. 26, Nr. 63. Wann haben die beiden Punkte die kleinste Entfernung voneinander?

49.    Ebenso Aufg. §. 26, Nr. 64.

50.    Auf den Schenkeln eines rechten Winkels befinden sich in den Entfernungen a und 2a zwei Punkte, welche sich gleichzeitig mit der Geschwindigkeit c gegen den Scheitel bewegen. Wann haben sie die kleinste Entfernung voneinander? Wo beftnden sie sich dann?

51.    Nach welcher Zeit erreicht der vertikale Weg beim vertikalen oder schiefen Wurfe seinen größten Wert, und wie groß ist derselbe?

52.    Von welchem Punkte auf dem einen Schenkel eines rechten Winkels erblickt man eine auf dem andern Schenkel liegende Strecke a, deren Endpunkte von dem Scheitel des rechten Winkels die Entfernungen b beziehungsweise a + b haben, unter dem größten Gesichtswinkel? Es sei x der gesuchte Winkel, so muß cotg x ein Minimum werden.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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