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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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der eonstruetiven Anordnung und statischen Berechnung der

Drücken- und Hochbau-Constructionen.

Zweiter Theil.

pte statische Berechnung der Arückenconstructionen.

Zweites Heft.

Die statische Berechnung der gestützten und ausgehängten Brücken.

Mit zahlreichen, durchgerechneten Beispielen und 11 lithographirten Tafeln.

Zum Gebrauche bei

Vorträgen und Privatstudien über Brückenbau, sowie bei statischen Berechnungen von Brücken bearbeitet von

Dr. Friedrich Heinzerling,

Kgl. Baurath und Professor an der Kal. rheinisch - westphLlischen polytechnischen Schule zu Aachen,

vormals ordentlicher Professor der Bau - und Jngenieurwissenschaften an der Universität Gießen und Seclionsingenieur der hessischen Ludwigseisenbahngesellschast.

Leipzig.

Verlag von Arthur Felix. 1874.

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Wrwort.

Das vorliegende zweite Heft des zweiten Theiles der „Grundzüge" ist zunächst dazu bestimmt, bei den Vorlesungen über Brückenbau an der diesseitigen polytechnischen Schule die Anwendung der theoretischen Mechanik auf die Berechnung und Construction der gestützten und aufgehängten Brücken zu zeigen und so den Uebergang von jener theoretischen zu dieser practischen Disciplin, welche sowohl in der Literatur als in den Borträgen technischer Hochschulen im Ganzen noch etwas unvermittelt nebeneinander stehen, zu erleichtern. Um die zwischen der wissenschaftlichen Ableitung und correcten Anwendung einer Gleichung und dem durch Einführung zuverlässiger Erfahrungswerthe zu erlangenden practisch brauchbaren Resultate liegende, von dem angehenden Ingenieur bekanntlich nicht ohne Schwierigkeit auszufüllende Kluft zu überbrücken, hat sich die vollständig durchgeführte, statisch-constructive Behandlung der wichtigeren Brücken-Programme, welche einen besonderen Theil jener Vorlesungen bildet, mittels der zuvor für die Praxis zugeschnittenen Gleichungen zweckmäßig erwiesen. Das vorliegende Heft soll jenen theoretisch-practischen Vortrag derart unterstützen, daß die Entwickelung dieser Gleichungen, welche nicht in extenso vorgetragen werden kann, wo nöthig, privatim studirt und deshalb mehr Zeit auf den constructiven Theil des Brückenbaues verwendet werden kann.

Was den Inhalt dieses zweiten Hefts betrifft, so ist darin zunächst die Schwedler'sche Theorie der Stützlinie in exacter Weise auf die Construction der Brückengewölbe, insbesondere auf die Bestimmung ihrer Stärke, Belastung und zulässige Materialpressung angewandt und hierbei die letztere, welche mit der Zunahme der Lagerflächen, also mit der Spannweite der Brückengewölbe wächst, unter Benutzung zahlreicher, ausgeführter und bewährter Brückengewölbe für die in praxi vorkommenden Fälle bestimmt und tabellarisch zusammengestellt worden.

Bei Ermittelung der günstigsten Gewölbe formen wurde die von Sivering für 5 bis 9 Mittelpunkte aufgestellte Theorie der Korblinien mit constanter Minimaldifferenz der aufeinanderfolgenden Halbmesser nunmehr allgemein, also für eine beliebige Anzahl von Mittelpunkten entwickelt.

Die Vertical- und Horizontalprojection, sowie die Abwickelung der schief gewölbten Brücken mit variablem Fugenwinkel wurde sowohl auf graphischem als auch, um den Grad der Annäherung zu zeigen, auf analytischem Wege hergeleitet und bei den in der Praxis relativ häufigsten, schief und mit constantem Fugenwinkel gewölbten Brücken der, einem gegebenen Pfeilverhältniß entsprechende, größte zulässige Schrägungswinkel, sowie das, einem gegebenen Schrägungswinkel entsprechende, kleinste zulässige Pfeilverhältniß ermittelt und diese Untersuchung mit einer für die Disposition schiefgewölbter Brücken praktisch anwendbaren Tabelle begleitet.

Unter den Pseilerstärken gewölbter Brücken ist diejenige der Strompfeiler, welche bisher meist nach analogen Ausführungen oder mittelst einer empirischen Formel bestimmt wurde, durch Einführung des bei der größten einseitigen Belastung auf sie ausgeübten Seitendrucks wissenschaftlich bestimmt und hierbei gezeigt worden, daß die Ergebnisse jener empirischen Formel, welche zudem eine wenigstens annähernde Kenntniß der zu suchenden Pfeilerstärke voraussetzt, in gewissen Fällen als unzureichend anzusehen ist.

Von den hölzernen Sprengwerken ist'nur deren rationellstes, aus graden Streben zusammengesetztes System einer statischen Berechnung, jedoch mit Berücksichtigung hinreichenden Widerstandes gegen Ausbiegung (Zerknicken), unterzogen worden. Bei Ermittelung der Form und Stärke ihrer Pfeiler ist das Verfahren, von einer einfachen auf die hier erforderliche zusammengesetzte Querschnittsform überzugehen, sowie die Prüfung dieser letzteren auf ihre Stabilität gezeigt worden.

Unter den gestützten und aufgehängten Brücken in Eisen sind diejenigen mit je drei Charnieren ausführlich behandelt und hierzu die gleichnamigen, früher im Civilingenieur, Bd. XIII und XVII erschienenen Abhandlungen mit den erforderlichen Zusätzen und Kürzungen benutzt worden. Die Behandlung der gestützten Brücken mit nur zwei Charnieren an den Stützpunkten bleibt, um den in Aussicht genommenen Umfang dieses Hefts nicht allzusehr zu überschreiten, einer anderen Stelle vorbehalten, dagegen ist die statische Berechnung ihrer Land- und Strompfeiler mit Berücksichtigung ihrer größten einseitigen Belastung vervollständigt und auch diese mit einem durchgeführten, speciellen Beispiele begleitet worden.

Der in dem hiermit abgeschlossenen zweiten Theile dieses Werkes behandelten statischen Berechnung der Brücken wird nach dessen früher bekannt gegebenen Programme in dem darauf folgenden dritten Theile die constructive Anordnung der Brücken und in einem letzten Theile, dessen Erscheinen mit Rücksicht auf die diesseitigen Vorlesungen über Constructionen des höheren Bauwesens besonders zu beschleunigen ist, die statische Berechnung und constructive Anordnung der Hochbauten folgen.

Schließlich gereicht es uns zur angenehmen Pflicht, der Verlagsbuchhandlung für die ebenso gediegene, als gefällige Ausstattung, welche sie, wie dem vorhergehenden, so dem Texte und den Tafeln auch dieses Heftes hat zu Theil werden lassen, unseren besonderen Dank auszusprechen.

Möchte auch das vorliegende Heft unseren Studirenden des Brückenbaues sich nützlich erweisen und von den Fachgenossen, deren Bedürfniß es gleichfalls entsprechen sollte, freundlich ausgenommen und wohlwollend beurtheilt werden.

Aachen, Ende August 1874.

Druckfehler.

Spalte 5,

Gleichung (7) lies J statt J o

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31,

39,

44,

44,

44,

44,

46,

54,

„    (85) lies x² statt x₂.

Zeile 20 v. u. lies y₀ statt y.

„    8 v. o. lies fm statt xm.

„    10 v. o. lies 1,27 statt 1,25.

„    20 v. o. schalte hinter „Werth" u

(w)‘

2 B. u. lies (124a).

12 D. ii. lies b) Construction u. s.

„    24 B. 0.

— ein.

w.

102,    Zeile    9    v.    u.    lies    (292a) statt (292).

102,    „    7    v.    U.    lies    (292b) statt (293).

150,    „    19    v.    U.    lies    393a statt 393.

151,    „    7    v.    o.    lies    hin statt für.

Taf. 4, Fig. 3 ist über der Linie OX 2,56 statt 256 zu lesen.

„ 5, „ 9 ist B und C um je einen Winkelschenkel weiter recht! zu rücken.

„ 5, „ 7 Bben ist x, statt x zu lesen-

Erste Abtheilnng.

Die gestützten Brücken

Erster Abschnitt.

Die gewölbten Brücken

Inhalt.

Spalte

A) Die geraden gewölbten Drücken.....

I.    Die Brücken, welche den Kreis oder Theile des Kreises zur Gewölbforrn haben .......

1)    Die Brücken rn.it Halbkreisgewölben......

2)    Die Brücken mit Segment- oder Stichbogengewölben

3)    Die Brücken mit Korbbogengewölben......

II.    Die Brücken mit elliptischen Gewölben . . . .

III.    Die Brücken mit Klinoidengewölben.....

1)    Die Brücken mit Anaklinoidengewölben.....

2)    Die Brücken mit Aklinoidengewölben......

ß) Die schiefen gewölbten Drücken .....

I.    Die schiefen Brückengewölbe mit veränderlichem Fugenwinkel.

1)    Theorie und Construction..........

a)    Die Vertical- und Horizontalprojection . . .

b)    Construction der Gewölbsteine ......

c)    Die Abwickelung...........

a) Die Abwickelung der Gewölbflächen . . ß) Analytische Bestimmung der abgewickelten

Lagerfuge .........

y) Construction der abgewickelten Lagerfuge

d)    Bestimmung der kleinsten parallelepipedischen Umschließungskörper undBearbeitung derWölbsteine

2)    Berechnung und Construction eines aus Quadern be

stehenden schiefen Brückengewölbes mit halbkreisförmigem Stirnbogen und variablem Fugenwinkel . .

a)    Die Vertical- und Horizontalprojection . . .

b)    Die Abwickelung..........

II.    Die schiefen Brückengewölbe mit mittlerem constantem Fugenwinkel.

1) Theorie und Construction...........

a)    Ermittelung des mittleren constanten Fugen

winkels .............

b)    Ermittelung des kleinsten zulässigen Lagerfugen

winkels und des demselben entsprechenden, größten zulässigen Pfeilverhältnisses bei gegebenem Schrägungswinkel des Gewölbes . .

c)    Ermittelung des größten zulässigen Schrägungs

winkels des Gewölbes und des davon abhängigen kleinsten zulässigen Schnittwinkels der Bahn- und Gewölbaxe, wenn das Pfeilverhältniß und der kleinste Lagerflächenwinkel des Gewölbes gegeben ist........

10

17

19

24

33

40

42

45

50

51

2) Berechnung und Construction eines aus Quadern oder aus Quadern und Ziegeln bestehenden schiefen Brückengewölbes mit kreisseginentbogenförmigern Stirnbogen und constantem Augenwinkel........

a)    Berechnung und Construction......

b)    Steinschnitt............

c)    Austragen der End- und Zwischenkämpfer.

«) End- oder Stirnkämpfer.....

ß) Zwischen- oder Laibungskämpfer . . .

C) Die Pfeiler der gewölbten Drücken.

I.    Die Stärke der Landpfeiler.........

1)    Die vom Erd- und Wasserdruck abhängige Stärke der

Landpfeiler..............

2)    Die vom Druck der Gewölbe abhängige Stärke der

Landpfeiler..............

a)    Die Landpseiler mit paralleltrapezförmigem

Querschnitt............

b)    Die Landpfeiler mit rechteckigem Querschnitt .

II.    Die Stärke der Strompfeiler.

Spalte

73

73

75

76

76

77

77

78

79

79

51

54

54

55

56

60

61

62

62

62

66

67

68

70

Zweiter Abschnitt.

Die eisernen Stützbrücken.

A) Die Träger der eisernen Htühlr rücken.

I.    Allgemeine Anordnung..........

II.    Statische Berechnung der gestützten Charnier

brückenträger mit wagrechtem Obergurt und parabolisch-polygonalem Untergurt......

1)    Bestimmung der Spannungen in den Polygonstücken

a)    Bei voller Belastung.........

b)    Bei der größten einseitigen Belastung . . .

2)    Bestimmung der Spannungen in den einzelnen Stücken

der horizontalen Gurtung.

a)    Bei voller Belastung.........

b)    Bei den größten einseitigen Belastungen . .

3)    Bestimmung der Spannungen in den Diagonalstäben.

a)    Bei voller Belastung.........

b)    Bei den größten einseitigen Belastungen . .

4)    Bestimmung der Spannungen in den Verticalstäben.

a)    Bei voller Belastung.........

b)    Bei den größten einseitigen Belastungen . .

III.    Numerische Berechnung der Spannungen in den

einzelnen Gliedern des gestützten parabolischen Charnierbrückenträgers..........

1) Berechnung der Grenzspannungen in den Polygonstücken.

a)    Berechnung der Lage der Belastungsscheiden . 109

b)    Berechnung der Maximalspannungen ... 109

c)    Berechnung der Minimalspannungen . . . m

85

87

87

89

94

94

97

98

103

105

109

Spalte

117

121

122

125

139

139

140

140

141

144

145

146

151

Spalte

156

158

163

168

167

173

177

189

.    .    191

2)    Berechnung der Grenzspannungen in den geraden

Gurtungsstücken.

a)    Berechnung der Lage der Belastungsscheiden und

Werthe xm ............ 1

b)    Berechnung der Grenzspannungen ....    3

3)    Berechnung der Grenzspannungen in den Diagonal

stäben.

a)    Berechnung der Lage der Belastungsscheiden . 115

b)    Berechnung der Werthe dm, wm, ym und um 115

c)    Bestimmung der drei Fälle

d)    Berechnung der Grenzspannungen Y. . . . 117

4)    Berechnung der Grenzspannungen in den Verticalstäben 119

a)    Ohne Berücksichtigung des Eigengewichts . .

b)    Mit Berücksichtigung des Eigengewichts . . .

B) Die Pfeiler der eisernen Htiihliriicken.

I.    Stärke der Landpfeiler.

1)    Die vom Erd- und Wasserdruck abhängige Stärke der

Landpfeiler..............

2)    Die vom Druck der Träger abhängige Stärke der Land

pfeiler ................

II.    Stärke der Strompfeiler..........

Dritter Abschnrtt.

Die hölzernen Stützbrücken.

A)    Die Träger der hölzernen Sliitzbrücken . . . 133

B)    fite Pfeiler der hölzernen Sliitzbrücken.

I.    Die Land- oder Endpseiler.........

1)    Die von dem größten Erd- und Wasserdruck abhängigen

Stärken der Landpfeiler..........

2)    Die von den größten Strebendrucken abhängigen

Stärken der Landpfeiler..........

II.    Die Strom- oder Zwischenpfeiler......

1)    Die von dem Eisstoße abhängige Stärke der Strompfeiler 141

2)    Die von dem größten einseitigen Drucke abhängige

Stärke der Strompfeiler

Zweite Abtheilung.

Die aufgehängten Brücken (Hängbrücken). Erster Abschnitt.

Die schlaffen Hängbrücken . . .

1)    Mit isolirten Lastpunkten . .

2)    Mit nahe liegenden Lastpunkten

Zweiter Abschnitt.

Die steifen Hängbrücken.

I.    Allgemeine Anordnung der steifen Hängbrücken

II.    Statische Berechnung eines Seitenträgers der Charnierhäng brücken.

1)    Bestimmung der Spannungen in den einzelnen Theilen

des polygonalen Zugbandes.

a)    Bei voller Belastung.........

b)    Bei der größten einseitigen Belastung . . .

2)    Bestimmung der Spannungen in den einzelnen Theilen

der horizontalen Gurtung.

a)    Bei voller Belastung

b)    Bei der größten einseitigen Belastung . . . 157

3)    Bestimmung der Spannungen in den Diagonalstäben.

a)    Bei voller Belastung

b)    Bei den größten einseitigen Belastungen . . 159

4)    Bestimmung der Spannungen in den Verticalstäben.

a)    Bei voller Belastung

b)    Bei den größten einseitigen Belastungen . . 164

III.    Statische Berechnung eines Mittelträgers der CH arnierhängb rücken.

1)    Bestimmung der Grenzspannungen in den Polygon

stücken ................

2)    Bestimmung der Grenzspannungen in den horizontalen

Gurtungsstücken............

3)    Bestimmung der Grenzspannungen in den Diagonalen 169

4)    Bestimmung der Grenzspannungen in den Verticalen 169

IV.    Berechnung der Spannungen in den einzelnen Gliedern eines Seitenträgers der aufgehängten parabolischen Charnierbrücke.

1)    Berechnung der Grenzspannungen in den Polygon

stücken.

a)    Berechnung der Maximalspannungen. . . . 171

b)    Berechnung der Minimalspannungen . . . 173

2)    Berechnung der Grenzspannungen in den geraden

Gurtungsstücken............

3)    Berechnung der Grenzspannungen in den Diagonal

stäben.

a)    Berechnung der Werthe dm, wm und ym . . 175

b)    Bestimmung der drei Fälle

c)    Berechnung der Grenzspannungen .... 177

4)    Berechnung der Grenzspannungen in den Vertical-

stäben.

a)    Ohne Berücksichtigung des Eigengewichts . . 179

b)    Mit Berücksichtigung des Eigengewichts ... 181

V.    Berechnung der Spannungen in den einzelnen Gliedern des Hauptträgers einer aufgehängten parabolischen Charnierbrücke.

1)    Berechnung der Grenzspannungen in den Polygon

stücken.

a)    Berechnung der Lage der Belastungsscheiden . 181

3)    Berechnung der Grenzspannungen in den Diagonal

stäben.

a)    Berechnung der Lage der Belastungsscheiden . 187

b)    Berechnung der Werthe von dm, wm, ym

UNd Um........

c)    Bestimmung der drei Fälle . .

d)    Berechnung der Grenzspannungen .... 191

4)    Berechnung der Grenzspannungen in den Verticalstäben.

a)    Ohne Berücksichtigung des Eigengewichts . . 193

b)    Mit Berücksichtigung des Eigengewichts . . . 195

Erste Abtheilung.

Die gestützten Drücken.

Die Träger der gestützten Brücken unterstützen die Brückenbahn von unten, bedürfen hierzu einer bedeutenderen Constructionshöhe, als die Balkenträger mit untenliegender Fahrbahn und werden, dem angewandten Baumaterial und Constructionsshstem entsprechend, theils in Bogenform, theils in Polygonalform hergestellt. Wir unterscheiden hiernach die gestützten Brücken in Stein oder die gewölbten Brücken, die gestützten Brücken in Eisen oder die eisernen Bogenbrücken und die gestützten Brücken in Holz oder die hölzernen Sprengwerkbrücken.

normalen Lage höchstens um jenen Reibungswinkel abweichen dürfen.

Erster Abschnitt.

Die gewölbten Drücken.

Alle Brückengewölbe, für welche sich das Belastungsgesetz vom Scheitel bis zum Widerlager erfüllen läßt, wie die meisten Segmentbogen- und die Klinoidengewölbe, s. Taf. 2, Fig. 4—7 und Taf. 4, Fig. 1, 2, 4 und 5, erfordern daher nur eine Hilfsconstruction, s. Taf. 2, Fig. 4 und 6 und Taf. 4, i Fig. 1 und 4, worin die Stützlinie, die innere Wölblinie und die auf das Gewölbmaterial, als Einheitsgewicht, bezogene oberste Belastungslinie sowie eine der Berkehrsbekastung, dem Gewicht der Verkehrsbahn, der Zwischenconstruction und dem Gewölbegewicht entsprechende Zwischenbelastungslinie einzutragen ist. Die eigentliche Gewölbeconstruction wird hieraus abgeleitet, indem man die obere und untere Begrenzungslinie des Gewölbes selbst beibehält, die Verkehrsbelastung selbstver-Die Stabilität auszuführender Brückengewölbe erfordert stündlich wegläßt und der Verkehrsbahn, sowie dem Zwischen-deren Gleichgewicht gegen Drehung durch Kippen, gewölbe die ihnen zukommende Lage und Höhe giebt, während sowie deren Gleichgewicht gegen fortschreitende Be- der Rest entweder der Hintcrmauerung und Zwischenschüttung wegung durch Gleiten. Erhält das Gewölbe die Form oder den Pfeilern dieser Zwischenconstruction entspricht, siehe einer der untersuchten Stützlinien*) mit der ihr entspre- Taf. 2, Fig. 5 u. 7, sowie Taf. 4, Fig. 2 u. 5. chenden Belastung, so ist eine Drehung seiner Gewölbsteine    Alle Brückengewölbe, für welche sich das Belastungsgesetz

im Ganzen und Einzelnen verhindert, da die Form der Stütz- nur vom Scheitel bis zu einem gewissen, durch die nothwen-linie aus der allgemeinen Bedingung: Hdy — Vxdx ent- pige Lage der Brückenbahn bedingten Punkte erfüllen läßt, wickelt ist, welche das Gleichgewicht gegen Drehung ausdrückt, wie beim Halbkreis-, Korbbogen- und elliptischen Gewölbe, s.

Das Gleichgewicht gegen Gleiten wird dadurch erreicht, Taf. 2, Fig. 1, 2 und Taf. 3, Fig. 1, 2, 4, 5 lassen sich daß die Lagerfugen senkrecht zur Stützlinie liegen vom Scheitel ab bis zu jenem Punkte ganz in der obener-oder höchstens um den Reibungswinkel von dieser Lage wähnten Weise, von da ab aber in der Weise construiren, abweichen. Läuft die Wölblinie parallel zur Stütz- ygß man die der Lage der Fahrbahn entsprechende, veränderte linie, so wird auch jene von der Lagerfuge senkrecht geschnitten, Belastungslinie sammt allen obengenannten Zwischenbelastungs-wie es der Steinschnitt in der Regel erfordert. Geht die ttnten in die Hilfsconstruction einträgt und die ihr entspre-Stützlinie durch die Mitten der Gewölbsteine, so lassen chende Stützlinie mit Benutzung der aus der analytischen sich beide Bedingungen nicht mehr gleichzeitig erfüllen. Man Behandlung bekannten, constanten Größe H — gz₀q₀ des stellt alsdann die Lagerfugen senkrecht zur inneren Wölblinie Horizontalschubes aus graphischem Wege aufsucht. Entfernt und beachtet, daß sie in dieser Lage von der zur Stützlinie sich bie hierdurch erhaltene Stützlinie zu sehr von der zweck

*) S. Heinzerling, Grundzüge der constructioen Anordnung .    .    „    ,

und statischen Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen. kion in gewünschter Welse abandern.

Um die Grenze der Abweichung dieser verlegten von der

mäßigen Richtung, so läßt sich deren Lage durch Erhöhung der Hintermauerung und Erniedrigung der Zwischenconstruc-

Erster Theil. Leipzig 1870. Spalte 511 ff.

normalen Stützlinie zu finden, bezeichne T die Tangential- theilen, ob in Folge einer Verlegung der Stützlinie ein Gleiten Pressung der verlegten Stützlinie in einem beliebigen Punkte : der Gewölbsteine zu besorgen ist oder nicht, mit der Abscisse x derselben, s. Taf. 1, Fig. 1. Zerlegt I Um die beabsichtigte Lage der Stützlinie in dem man T in eine zur Lagerfuge parallele und in eine zu der- j wölbe zu erreichen und nicht dem Zufalle zu überlassen, han-selben senkrechte Componente N, welche an dem Hebelsarm j delt es sich hauptsächlich um eine Fixirung ihrer Endpunkte n des Abstandes der    Stützlinie von der Mittellinie des Ge-    am Scheitel und am Kämpfer durch Anwendung zweckmäßig

wölbes wirkt, so ergiebt sich, wenn die an der äußersten    angeordneter Druckschläge oder schwach convexer Lager-

Kante des Gewölbes    herrschende Pressung mit p, und die    fugen, welche sowohl bei der durch die Aufrüstung bewirkten

Länge der Lagerfuge    mit dx bezeichnet wird, für die Breite    Senkung des Gewölbes als bei den geringen, in Folge von

1 eines Gewölbstreifens die bekannte Momentengleichung Temperaturveränderungen und einseitigen Belastungen eintretenden Hebungen und Senkungen desselben, als Charniere wirken. Hierdurch tvird der Widerstandslinie nicht nur die beabsichtigte Lage im Gewölbe gegeben, sondern auch der Hauptdruck desselben von der Kante abgelenkt und auf den inneren, widerstandsfähigeren Theil jener Fugen vertheilt. Um vi^ Widerstandsfähigkeit derselben zu vermehren, lassen sich sowohl zu den Kämpfern und Anlaussteinen, als zu dem Schlußstein und den beiden Auslaufsteinen des Gewölbes, welche alle an ihren Berührungsstellen jene convexen Lagerfugen erhalten, während die ihnen gegenüberstehenden Lager-Soll ein Oeffnen der Fugen oder ein Zug in der be-    fugen eben sind, festere Steinarten als zu den übrigen Theilen

trachteten Lagerfuge des Gewölbes nicht stattfinden, so muß,    der Gewölbschenkel verwenden, s. Fig. 3 u. 4, Taf. 1.

wie in Fig. 2 angedeutet, p, — p„ — 0, oder    Die Axen der gewölbten Brücken schneiden die zu über

brückende Weg- oder Wasserlinie entweder unter einem rechten Winkel, in welchem Falle sie gerade, oder unter einem spitzen Winkel, in welchem Falle sie schiefe Brücken bilden.

woraus man

dx²

Nn = p,.

⁶-ijN

erhalt. Wird die in der Lagerfuge herrschende mittlere, gleichförmig vertheilte Pressung mit p„ bezeichnet, so ergießt sich

N — p„ dx, woraus p„ — -j—.

Pr =

6.

dx

, daher n — —

² ~ dx

sein. Weicht die verlegte Stützlinie von der Mittellinie des Gewölbes nach der entgegengesetzten Seite ab, so darf auch hier die zur Lagerfuge normale Componente N, höchstens in dem Abstande

dx

n, = -r

von jener Mittellinie des Gewölbes angreifen, mithin ergießt sich als die Grenze jener Abweichungen der verlegten von der normalen Stützlinie für jede Lagersuge die Breite

dx

n + % = - g-

eines in dem Inneren des Gewölbes enthaltenen Streifens, des Kernstreifens, welchen die verlangte Stützlinie nicht über schreiten darf, ohne auf ein Oeffnen der Lagerfugen an der inneren oder äußeren Wölblinie hinzuwirken.

Aus dem Winkel ß, welchen die Tangentialpressung T mit deren zur Lagerfuge normalen Componente N bildet und welchen der Reibungswinkel des angewandten Gewölbmate-rials nicht überschreiten darf, der nach den hierüber ange stellten Versuchen*) im Mittel zu 20 bis 25° anzunehmen ist, läßt sich alsdann für jede Stelle des Gewölbes beur-

A) Die geraden gewölbten Drücken.

Versteht man unter H den Horizontalschub, unter Vx das Gewicht des Gewölbes, einschließlich seiner größten bewegten Belastung von seinem Scheitel bis zu einer beliebigen Abscisse x, so gilt für die Stützlinien aller Gewölbe die Gleichung:

dy

(1)

11. ;J = Vx dx

Bezeichnet man mit z die Belastungshöhe des Gewölbes für die Abscisse x, und mit g das Gewicht der kubischen Ein-heit des Gewölb- und des mit ihm homogen gedachten Belastungsmaterials, so ist das Gewicht des betrachteten Gewölb--stückes

Vx

= g j zdx, .

0

• • (2)

' mithin, wenn dieser Werth in Gleichung (1) eingeführt und dann die letztere differentiirt wird,

d x²

*) Brgl. u. A. die Versuche von Bukowsky, Ztschr. d. ö. Ing. u. Arch.-Ber. Wien 1870. S. 224.

Setzt man in der allgemeinen Gleichung des Krümmungshalbmessers jeder Gewölbecurve

Co —

(4)

(5)

(6)

dy _

dx

(7)

(8)

(9)

d*y

• • (10)

z = z₀g₀

d'g' + v

. - (12)

heitsgewicht reducirten Höhen jener Belastungen d'g' und v darstellen.

rot. -g- q.

kann:

. 0 + (■*)’)

d¹ 2 y

di*

^ — 0, so ist der Krümmungshalbmesser im Scheitel

jy. mithin

daher, wenn dieser Werth in Gleichung (3) eingeführt wird,

H = gzo Co — gh Der Horizontalschub jedes Gewölbes ist daher constant und gleich dem Gewichte eines, aus dem zu dem Gewölbe angewandten Materiale bestehenden, Paral-lelepipedums von der Dickel, der Länge des Krümmungshalbmessers und der Breite der Belastungshöhe im Scheitel oder von dem Volumen h. Aus Gleichung (5) folgt ferner die Belastungshöhe im Gewölb-scheitel

Wird der Werth von Vx aus Gleichung (2) und von H aus Gleichung (5) in Gleichung (1) eingeführt, so ergiebt sich

TT szdx h J

und wenn man den Werth von H aus Gleichung (5) in Gleichung (3) einsetzt, oder Gleichung (7) differentiirt,

d²y _ z

'dx-' ~~ T

Hieraus erhält man die Belastungshöhe für die Abscisse x , d²y

z = h. —~J......

dx²

und mit Berücksichtigung des Werthes aus Gleichung (6)

und deren Belastungshöhe

‘• = T = d +

d'    y

worin —-    und — die auf daF Gewölbmaterial als Ein-

Die Verkehrsbelastung kann angenommen werden:

1)    bei Straßenbrücken zu v — 400 Mogr.

pro Met.,

2)    bei Eisenbahnbrücken zu 0,25 bis 0,4 der

Belastung q für die laufende Einheit eines Geleises, je nachdem man die letztere auf die-ganze Breite der Brücke oder nur auf die Breite der Querschwellen vertheilt annimmt, also im Mittel für die Quadrateinheit zu

V = *2~ (0,25 + 0,4) q =

Die größte gleichförmig vertheilte Verkehrslast q von Eisenbahnbrücken nimmt ab mit deren Spannweite und ergiebt sich aus umstehender Tabelle.

Die ruhende Belastung der Brückengewölbe besteht aus derjenigen der Brückenbahn und der zwischen beiden befindlichen Zwischenschüttung oder Zwischenconstruc-tion.

Das Gewicht der Fahrbahn steinerner Straßenbrücken

1)    bei Anwendung von Chaussirung zu 500 bis 700, also im Mittel zu

-₂~ (500 + 700) = 600 Kilogr. pro □ Met.

2)    bei Anwendung von Pflasterung zu 800 bis 1200, also im Mittel zu

fsp = y (800 + 1200) ----- 1000 Kilogr. pro □ Met, angenommen werden.

Das Gewicht der Fahrbahn steinerner Eisenbahnbrücken kann, je nachdem man dasselbe auf die Breite der Querschwellen oder auf die Breite der Brücke vertheilt annimmt, zu 1040 bis 1160, also im Mittel zu

f'e ----    (1040 + 1160) = 1100 Kilogr. pro Met.

Brückenbahn angenommen werden.

Besteht die Zwischenconstruction einer 8 Met. breiten Straßen- oder Eisenbahnbrücke aus 5 Zwischeqgewölben von je 0,6 Met. Spannweite und 0,25 Met. Stärke, vier Zwischenpfeilern von je 0,5 Met. und zwei Widerlagpfeilern von je 0,75 Met. Stärke und 5 Sohlgewölben von je 0,9 Met. Spannweite und 0,25 Met. Stärke, so kann deren Gewicht mir Ausschluß der Zwischen- und Endpfeiler, je nachdem der hierzu meist verwandte Backstein 2000 bis 2200 Kilogr. pro Centim. wiegt; zu 500 bis 600, also im Mittel zu

I. Tabelle der größten gleichförmig vertheilten Verkehrsbelastung für verschiedene Spannweiten

und ein Geleise.*)

Spannweite in

Met. Fuß

Verkehrsbelastung pro laufenden

Met. in Klg. | Fuß in ZC.

Spannweite in

Met. Fuß

Verkehrsbelastung pro laufenden

Met. in Klg. Fuß in ZC. Met. Fuß

Spannweite in

Verkehrsbelastung pro laufenden

Met. in Klg. Fuß in ZC.

Ins H h*

MGOOi^CGOQOi^OJtOM

rH

07 cn ^ Oi bO K)

H-dOOQOCCO'CDOiOiOOiOJ

’-H tH rH

23520

11760

10000

9700

9030

8540

7450

6770

6010

5470

5460

5300

. 148,07 74,67

62,77

60,89

56,69

53,59

46,72

42,53

37,76

34,38

34,29

33,28

24

76

5170

27    86

30 I 95 33 |    105

5110

5060

4990

36

115

4880

40    127

4680

45

143

4580

50 159 55 175

4430

4250

60

70

191

223

80 I 255

z = -y- (500 + 600) — 550 Kilogr. pro □ Met.

Brückenbahn gerechnet werden.

Die gleichförmig verbreitete ruhende Belastung der Brückengewölbe ergiebt sich aus der Summe der zuvor berechneten Belastungen durch die Fahrbahn und die Zwischen-construction und beträgt im Mittel

bei chaussirten Straßenbrücken d'g' = fs= + z = 600 + 550 — 1150 Kilogr., bei gepflasterten Straßenbrücken d'g' --- f,p + z = 1000 + 550 = 1550 Kilogr., bei Eisenbahnbrücken

d'g' = fe + z = 1100 + 550 = 1650 Kilogr. pro HI Met. Brückenbahn.

Das Gewicht einer aus Sand oder Kies bestehenden, durchnäßten Zwischenschüttung beträgt 2000 bis 2200 Kilogr. pro Kbkmtr., während das Gewicht g der Gewölbe

aus Granitquadern zu......

aus hartem Sandsteiuquader oder frischem

Bruchsteinmauerwerk zu 2500 bis 2200 Kilogr., aus hartgebrannten Ziegeln zu 2200 bis 2000 Kilogr. angenommen werden kann.

2800 Kilogr.,

*) lieber die Zusammensetzung der Maschinen und Wagen des in vorstehender Tabelle zu Grunde gelegten Normalzuges, vrgl.H. Schmidt, über die Bestimmung der gußeren, ans ein Brücken system wirkenden Kräfte. Allg. Bauztg. Wien 1866, S. 27 ff. und Heinzerling, die angreifenden und widerstehenden Kräfte der Brücken- und Hoch-bauconstructionen. Berlin 1867, Seite 6 ff.

4100

3830

3610

32,47

32,09

31,78

31,31

30.62 29,37 28,74 27,80 26,67 25,73 24,01

22.63

90    287

3430

100

318

3250

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

350

382

414

446

478

510

542

574

605

637

3100

2970

2859

2740

2659

2570

2490

2420

2360

2310

21,50

20,37

19,43

18,69

17,93

17.24 16,68 16,18 15,67

15.24 14,86 14,54

Eine österreichische Ministerialverordnung, betr. die bei Erbauung eiserner Brücken zu beobachtenden Sicherheitsrücksichten, d. d. 30. Aug. 1870, bestimmt als kleinste zufällige Belastung

5T

(s)

-g

CM

O Qi

„ 30 und mehr „

20 Tons (20000 Kilogr.) pro lauf. Met. Geleise, 15    „    (15000    Kilogr.)    pro

lauf. Met. Geleise, 10    „    (10000    Kilogr.)    pro

lauf. Met. Geleise,

5    „    (5000    Kilogr.)    pro

lauf. Met. Geleise,

4    „    (4000    Kilogr.)    pro

lauf. Met. Geleise.

Bezeichnet man mit p die Pressung, welcher man die Quadrateinheit der Lagerfuge des Schlußsteins mit Sicherheit und mit Bezug auf die Größe ihres Flächeninhaltes aussetzen darf, so muß allgemein

- - (13)

H = dp . . und, wenn für H aus Gleichung (5) sein Werth gesetzt wird,

gz0?0 = dp . •

. . (14)

sein. Wird aus Gleichung (12) der Werth von z₀ eingeführt, so erhält man

g (d +

d'g; + v

) Qo — dp, . . (15)

mithin, wenn nach d aufgelöst wird, die allgemeine Gleichung der Stärke des Schlußsteins

d'g' + v

. - (16)

constant fit, also

- — g

worin po für jede Gewölbeform zu ermitteln und p als Er-sahrungswerth zu bestimmen ist.

Geht die Stützlinie durch die halbe Höhe 4j- des Schlußsteins, so ist, wenn p₀‘ den Krümmungshalbmesser am Scheitel der inneren Wölblinie bezeichnet,

cos« —

. . (22)

gesetzt werden kann,

dx =

rd

- - (23)

Qo

• - (17)

r — y

Da die Lagerfuge in jedem Punkte der Stützlinie normal zu ihrer Tangente sein, der Winkel « also mit dem Neigungswinkel, den die Lagerfuge mit einer Lothrechten bildet, übereinstimmen soll, so ist dx als die Hypotenuse eines Dreiecks, dessen senkrechte Kathete der aus Gleichung (17) bekannten Schlußsteinstärke d entspricht, bekannt und leicht zu

Aus Gleichung (15) und (17) ergiebt sich alsdann

+ g).    - - (18)

woraus folgt, daß die Pressung der Quadrateinheit des Gewölbmaterials dem Krümmungshalbmesser der Stützliuie des Gewölbes im Scheitel direct proportional ist, mit der Höhe und dem Einheitsgewichte des Füllmateriales, mit dem Einheitsgewichte des Gewölbmateriales sowie mit der Größe der Verkehrsbelastung wächst und mit der Dicke des Schlußsteins abnimmt.

Aus vorstehender Formel läßt sich also die Pressung p im Schlußstein bestimmen, sobald die Größen p₀, d, d', g', g und v bekannt sind. Werden dieselben einer hinreichend großen Zahl ausgeführter Eisenbahn - und Straßenbrücken entnommen, *) so erhält man mit Berücksichtigung der Verschiedenheit des angewandten Gewölbmaterials umstehende Tabelle.    * •

d'g' + v

construiren. Für den Bogenaifiang, für welchen x — und a — cp, ergießt sich die Länge der Kämpferfuge

und, da für den Kreis

gesetzt werden kann,

di

COS<jP

. . (24)

r — f

COS cp - —-■

. . (25)

rd

• • (26)

welche leicht zu berechnen oder auf die analoge Weise zu con-struiren ist.

In Gleichung (1) ist entweder:

•' , d. h. die. Form der Wölblinie, oder

Bezeichnet « den Winkel, welchen die Tangente für einen beliebigen Punkt (x, y) der Stützlinie mit dem Horizonte oder der Krümmungshalbmesser dieses Punktes der Stützlinie mit einer Lothrechten einschließt, siehe Fig. 5, Taf. 1, so ist die Tangentialpressung in diesem Punkte

cos«

(19)

und, wenn mit dx die Länge der Lagerfuge in diesem Punkte bezeichnet und dieselbe Pressung p auf die Quadrateinheit zugelassen wird,

T = dx.p,. .

. . (20)

mithin, wenn man diesen, sowie den Werth von H aus Gleichung (13) einführt

Vx — f(x), d. h. die Belastungsweise des Gewölbes gegeben und hieraus beziehungsweise die Belastung des Gewölbes oder die Form der Wölblinie zu finden. Unter die gebräuchlichsten Formen der Gewölbe gehört der Kreis und die Ellipse. Die Kreisgewölbe haben entweder die Form des Halbkreises oder „vollen Bogens", des Kreissegmentes oder Stichbogens oder eines aus mehreren Kreissegmenten zusammen-gesetzten Bogens, des Korbbogens. Als die natürlichste Belastungsweise ergiebt sich die der zweckmäßigsten. Lage der Fahrbahn entsprechende, gerad abgeglichene und hier entweder das Gewölbe mit wagrecht abgeglichener Belastung oder das Aklinoidengewölbe und das Gewölbe mit gerad abgeglichener, von beiden Seiten nach der Mitte hin steigender Belastung oder das Anaklinoidengewölbe.

dx =

(21)

cos«

und wenn, wie beim Kreise, der Krümmungshalbmesser p = r

I. Die Brucken, welche den Kreis oder Theile des Kreises zur Gewölbcform haben.

Die «cheitelgleichung der kreisförmigen Stützlinie mit *) Siehe: Heinzerling, Theorie, Construction und statische dem Radius r, s. Fig. 6, Taf. 1, ist

r — y = y r'² — x-

Berechnung der Brückengewölbe nebst Ermittelung der hierzu ersorder-ichen Erfahrungswerthe. Allgem. Bauzeitung. Wien 1872. Tab. IV.

. . (27)

rH

II. Tabelle über die in den Schlußsteinen der Gewölbe von Eisenbahn- und Straßen

Krümmungshalbmesser q₀* im Scheitel.

Stärke d des Schlußsteins.

Haustein

Met.

Backstein

Met.

Bruchstein

Met.

Haustein

Met.

Backstein Bruchstein Haustein

Krümmungshalbmesser q₀‘ + ™ der Stützlinie im Scheitel

Backstein Bruchstein

Belastung d'g' + v

Met.

Met.

Met.

Met.

Eisenbahnbrücke Met. Kg. p. Dm.

Straßen

brücke

Kg. p. Dm.

CM

ist

5,26

2800

1800

bv

ot

00

5,29

CO

ist

_©

CI

5,32

JO

«©

10,32

ist

10,35

05

10.39

<1

15,38

CO

ist

JO

ist

00

15.42

05

ist

05

15.47

3!

00

20,44

bL

05

05

20,49

(M    CO    tJh    ist    co

xH    tH    rH    tH

bS

tH

20.55

b3

Ox

bV

Oi

ist

C5

>-*

05

25.51

25,52

25,55

H.

30.57

to

05

30.63

00    05

tH

08

30.70

35,63

bD    bD    bO    tO    b£>    b£    bö

05    cn    rf*    05    b©    H-•    O

ist

CO

ist

Cst

00    -C|    05    O*    05

t£>    rf*    b0    CO

1,41

40,69

45,76

50,82

55,88

60,94

35,70

35,78

13

Hrinzerling, Berechnung ver Brücken- und Hochbauconstructionen.

brücken in Haustein, Backstein und Bruchstein stattfindenden Pressungen.

14

Gewicht g des Gewölbmauerwerks

Pressung p des Schlußsteins von Eisenbahnbrücken

Pressung p des Schlußsteins von Straßenbrücken.

Haustein Klg. p. Kmet.

Backstein

Klg. p. Kmet.

Bruchstein Klg. p. Kmet.

Haustein    Backstein

Klg. p. Dm. Klg. p. Dm.

Bruchstein Klg. p. Dm.

Haustein

Klg. p. Dm-

Backstein

Klg. p. Dm.

Bruchstein Klg. p. Om.

2800

2500

43000

41500

32900

31400

2200

2000

37200

36100

28000

27000

2500

2200

36600

35000

28200

27000

2800

2500

74000

71000

57900

54800

2200

2000

63600

61500

49000

47000

2500

2200

66943

59700

49600

46500

2800

2500

99000

94400

79000

74400

2200

2000

84700

81600

66500

63500

2500

2200

84300

79600

68000

63300

2800

2500

119000

115400

98500

92400

2200

2000

103000

98900

82300

78200

2500

2200

103700

97800

85000

78900

2800

2500

141000

133800

116400

108800

2200

2000

119400

114300

96800

91700

2500

2200

120600

113000

100400

92700

2800

2500

161000

151000

133900

124300

2200

2000

135400

129300

118900

105000

2500

2200

137700

128500

115900

106700

2800

2500

178000

167600

153800

139600

2200

2000

149400

142300

124100

117000

2500

2200

153200

142500

130500

119700

2800

2500

2800

2500

2800

2500

2800

2500

2800

2500

196000

183700

212000

198700

229000

213800

245000

228100

261000

242600

166600

154400

182300

168600

187800

182800

213300

196500

228600

210400

woraus eine zweimalige Differentiation

dy _

dx

Yv--X²

. . (28)

und beziehungsweise

hängigen Punkte mit der Abscisse x, erfüllen. Zwischen diesem Punkte und dem Gewölbescheitel ist alsdann jedes halbkreisförmige Gewölbe als ein Stichbogengewölbe von der Spannweite

i-²

• - (29)

und der Pfeilhöhe

I- = 2x„    .    .

. . (38)

liefert. Setzt man in Gleichung (17) g₀ = r, so erhält man

. - (39)

zu behandeln. Zwischen jenem Punkte und dem Gewölban-(30) fange dagegen, also für den unteren Rest des Gewölbes, ist die Belastungslinie dem Längenprofil der Brückenbahn entsprechend anzunehmen, die derselben entsprechende Stützlinie zu eonstruiren und hieraus zu entnehmen, ob dieselbe weder der äußeren, noch der inneren Wölblinie zu nahe kommt, beziehungsweise aus dem mittleren Drittel der Lagerfugen heraustritt, noch auch um mehr als den erlaubten Reibungswinkel, welcher nach den darüber angestellten Versuchen *) 20 bis 25° beträgt, pon den Normalen zu jenen Fugen abweicht.

Bezeichnet M„ s. Fig. 7 und 8, Taf. 1, den Punkt der Stützlinie des Gewölbes, bis zu welchem vom Scheitel ab sich das Belastungsgesetz erfüllen läßt und von welchem ab nach dem Kämpfer hin die Belastung des Gewölbes nach der erforderlichen Neigung der Brückenbahn abzugleichen ist, so verändert sich von hier ab zugleich die Stützlinie. Um diese veränderte Stützlinie, welche sich nur bei einem mathematisch definirbaren Belastungsgesetz' analytisch bestimmen läßt, auf graphischem Wege zu erhalten, eonstruirt man mittelst der nach Größe und Neigung bekannten, in jenem Punkte M, die Stützlinie berührenden Pressung R, sowie mit Hilfe der aus der . (34) Zeichnung zu ermittelnden Gewichte 1, 2, 3 ... alle folgende Belastungselemente der veränderten Stützlinie in der Weise, daß man jene Tangentialkraft R, wie in Fig. 8, mit . . (35) diesen, in demselben Kräftemaßstab aufgetragenen Benical-kräften 1, 2, 3.. zusammensetzt und die so erhaltenen^neuen Resultanten R, R,...., wie in Fig. 7, von M, ab der Reibe nach in den Schwerlinien jener Belastungselemente zu einem Polygon verbindet. Dieses letztere, welches die veränderte Stützlinie darstellt, erhebt sich, da die Vertiealkräfte in Folge der Abgleichung A'M' geringer werden, vom Punkte M, ab über die kreisförmige Stützlinie und tritt daher mehr in das Innere der Gewölbmassen, wonach sich wieder die äußere Wölblinie zu richten hat. Da die Gewölbe nach dem Korbbogen und nach der Ellipse eine Erfüllung des Belastungsgesetzes bis zu deren . . (37) Bogenanfang gleichfalls nicht gestalten, so ist auch für diese, später zu behandelnde Gewölbe eine ähnliche Modification welche in der später angegebenen Weise zu berechnen und ihrer Belastung nach Maßgabe der erforderlichen Neigung aufzutragen sind.    , der Brückenbahn nöthig und die Construction der hierdurch

Da die Belastungshöhe z um so rascher wächst, je mehr veränderten Stützlinie auf analogem Wege zu bewirken, x sich dem Werthe von r nähert, und für x — r sogar <x wird, so läßt sich das theoretische Belastungsgesetz hier praktisch nicht bis zu dem Bogenanfang, sondern nur bis zu

,, ₌ d'g' + v

~r g

und wenn mit r, der bekannte Radius der inneren Wölblinie bezeichnet wird, da die Stützlinie durch die Mitte des Schlußsteins gehen soll,

• . (31)

r — r‘ + ~2’ ■ 1 also nach Einführung dieses Werthes in Gleichung (30)

d'g' + v

i~8

. . (32)

1-1 + y

und hieraus, wenn man nach Potenzen von d ordnet,

d² —

d/2p —d'g' + v V g

2r, (d'g' + v) = 0.....(33)

Wird diese quadratische Gleichung nach d aufgelöst und " der Kürze halber

2 p — sd'g' 4- v)

2g

ferner

2r,

- (d'g' + v) — B

gesetzt, so ergiebt sich die Schlußsteinstärke aller Kreis-, Stich-und Korbbogengewölbe:

d == A — / A- — B.....(36)

Wird dieser Werth in die Gleichungen (12) und (31) eingeführt, so ist z„ und r bekannt und man erhält unter Benutzung des Werthes in Gleichung (29), worin — r zu setzen ist, aus Gleichung (10) die Belastungshöhen aller genannten Wölblinien

r®

.. N

*) Vrgl. u. a. die Versuche von Hukowsky, Zeitschr. 6. öfters, einem gewissen, von der Neigung der Brückenbahnebene ab- Ing - und Arch.-Ber. Wien mo. S. .224.

daher die Belastungshöhe für beliebige Abscissen

l) Die Brücken mit Halbkreisgewölben.

Ist die Spannweite 1 eines Halbkreisgewölbes gegeben, so ist der Radius seiner inneren Wölblinie

und für:

r³

)/(r²— x²)

— 1,89 .

15,38'

/ (15,38'" — x²)*

i’i ₂    ■

und der Radius seiner Widerstandslinie: r = r1 + A =

(40)

2,5

7,5

10    12,5

15

• - (41)

1,89

1,97

2,23

2,84

4,31

9,56

175,31

hältnisses

Da die Halbkreisgewölbe wegen ihres großen Pfeilver

seltner zu Strombrücken, dagegen meistens zu hohen Biaducten angewandt werden, so soll die vorstehende statische Berechnung an einem der letzteren erläutert werden.

Beispiel. Eisenbahnviaduct mit aus Ziegeln bestehendem Halbkreisgewölbe und horizontaler Fahrbahn (s. Taf. 2, Fig. 1-3).

Beträgt dessen

Spannweite 1 — 30 Met.,

Gewicht des Oberbaues und der Zwischenconstruction d'g' = 1100 Kilogr. per □ Met.,

Verkehrsbelastung v — :>l ”’⁽¹ — rot. 1700 Kilogr. per □ (Öiet., also die

Gesammtbelastung d' g' + v — 2800 Kilogr., ferner das

Gewölbegewicht g — 2500 Kilogr. per Kmet., so erhält man nach Relation (40)

30

= 15 Met.,

' 1-1 =

ferner mit Berücksichtigung der jeweiligen Umstände aus der in Spalte 11 bis 14 enthaltenen Tabelle

p — 94400 Kilogr. per □ Met. und aus den Relationen (34) und (35) die Werthe 2.94400 — 2800 2.2500

Werden diese Höhen aufgetragen, so ergiebt sich die in Fig. 1, Taf. 2, dargestellte Belastungslinie, welche in dem Abstande x — 12,i von der horizontalen Fahrbahnlinie geschnitten wird und folglich, da sich die Belastungshöhe selbstverständlich nicht über die Fahrbahnebene erheben darf, eine Abänderung erleiden muß. Bewirkt man diese von dem Punkte ab, worin die Belastungshöhe zu steigen beginnt und dessen Abscisse x — 8,75 Meter beträgt, indem man zur gleichzeitigen Herstellung einer guten Abwässerung, anstatt jener steigenden und gekrümmten, eine fallende und gerade Abgleichungslinie der Hintermauerung annimmt, so ändert sich von jenem Punkte ab das Belastungsgesetz und die ihm entsprechende Widerstandslinie, während beide in dem mittleren, empfindlicheren Theile des Gewölbes dieselben bleiben. Der Einfluß, welchen eine Aenderung in dem Belastungsgesetze auf die Form der Widerstandlinie ausübt, wird nämlich relativ um so geringer, je näher an dem Widerlager diese Aenderung erfolgt. Combinirt man nun jene, durch die abgeänderte Belastungslinie theilweise verkürzten Belastungselemente mit dem constan-ten Horizontalschube, so erhält man die verlegte, weniger fallende Stützlinie. Die mittleren, vom Scheitel ab auf einander folgenden Höhen

1,9;    1,95; 2,oo; 2,09; 2,19; 2,35; 3,15; 3,67; 4,45;

5,60; 7,20 und 9,90 Met.

15

— 1,25 Met. breiten Belastungselemente 1 bis

- — 15 = 22,19,

2.15.2800

2500

— 33,6,

mithin aus Gleichung (36) die Stärke des Schlußsteins

d — A — ]AA² — B = 22,19 — /22,i9² — 33,6 = 0,77m. Hieraus ergiebt sich die Belastungshöhe im Scheitel d' g' + v

— 0,77 4

2800

je ₁₂

12 ergeben nämlich, wenn sie successive summirt werden, die Theilhöhen

1,9; 3,85;    5,85; 7,94;    10,13;    12,48;    15,63;    19,30;

23,75; 29,35 ; 36,56 und die Gesammthöhe 46,45 Met.,

welche in Fig. 3 in    der Belastungshöhen aufgetragen

sind. Der Horizontalschub beträgt

H = gz₀r = g. 1,89.15,38 — g.29,07 Kilogr. und entspricht dem Gewichte eines parallelepipedischen Steinprismas von 29,07 Met. Länge, 1 Met. Breite und 1 Met. Dicke, also 29,07 Met. kubischem Inhalt oder, wenn man die Breite vvn 1,25 der Belastungselemente zu Grunde legt, dein

Gewichte eines Steinprismas von 29,07.

Met. Länge, 1,25 Met. Breite, 1 Met. Dicke und demselben

— 1,89 Met.,

z₀ — d -f-

und der Radius der Widerstandslinie im Scheitel

d    0 77

r = rx + — = 15 4--~— — 15,38 Met.,

2500

1,25

23,25

1,25

1=1 —

Beziehung

kannten

. - (43)

(44)

• - (45)

■CT'

2 ⁺ ~2 '

-T

Weise aus

(W-

l² /

r" - w V ⁺

r, — f

ri

Pfeilhöhe

10

Fahrbahngewicht mit Einschluß der Zwischengewölbe

Aus Gleichung (43) findet man den Radius der inneren

kubischen Inhalte. Aus der letzteren, im Verhältniß von 4

— -g- reducirten Länge 23,25 Met. der Horizontal

x — r. log cotg ~—f-r(l — cos w). . (140)

Berechnet man die Stärke des letzteren nach der fü

Dieser Abstand liegt zwischen den Abständen 14 und

Jl QX

¹

x²

Die Belastung der Brückengewölbe besteht theils aus ihrem eigenen, theils aus dem Gewichte der Brückenbahn sammt der sie unterstützenden Zwischenconstruction und theils aus der veränderlichen Verkehrslast.

²

Behält g seine frühere Bedeutung und bezeichnet d die Stärke des Schlußsteins, dz die Höhe der Brückenbahn mit dem mittleren Gewichte g' ihrer kubischen Einheit und v die Verkehrsbelastung für die Quadrateinheit der Brückenbahn, so beträgt die Gesammtbelastung Vx des Gewölbes im Scheitel für die Abscisse x = 1

— -g- reducirten Länge 23,25 Met. der Horizontalkraft und den obigen 12 Berticalkräften sind in Fig. 3, Taf.

2, die vom Scheitel ab aufeinander folgenden Resultanten dieser Kräfte eonstruirt und in den Schwerlinien der zugehörigen Belastungselemente (;. B. die Hypotenuse von 23,25 und 1,9 in der Schwerlinie des Belastungselementes 1, die Hypotenuse von 23,25 und 3,85 in der Schwerlinie des Belastungselementes 2. u. f. f.) zu der combinirten Stütz-linie zusammengesetzt worden, die, wie Mg. 1 zeigt, vom Scheitel bis zu jener, der Abscisse 8,75 entsprechenden Ordinate mit der normalen Stützlinie vollkommen übereinstimmt und nur in dem unteren, der Abscisse 8,75 bis 15 entsprechenden Theile des Gewölbes, von ihr abweicht. Dieselbe Stützlinie läßt sich mit Hilfe der 29,07 Met. langen Horizontaltraft construiren, wenn die 12 Berticalkräfte in dem Maßstabe

von -=-".'1.25 — -j- der zugehörigen Belastungshöhen, was

einem Gesammtvolumen von 46,45.1,25 — 58,06 Kmet. entspricht, aufgetragen werden, wie dies in der erwähnten Figur gleichfalls geschehen ist.

Berechnet oder eonstruirt man hierauf zwischen der Schlußfuge und der der Abscisse 15 entsprechenden Kämpferfuge die Längen einer hinreichenden Zahl verschiedener, nach dem Mittelpunkte des Halbkreises gerichteter Lagerfugen, indem man in deren unteren Endpunkten Lothrechte von der Länge d —

0,77 Met. des Schlußsteins errichtet und die ersteren mit einer durch den oberen Endpunkt der letzteren gelegten Horizontalen schneidet, so erhält man durch die Verbindung dieser Schnittpunkte die äußere Wölblinie, welche über die Zulässigkeit der verlegten Stützlinie entscheidet und in dem vorliegenden Falle zeigt, daß die letztere das mittlere Drittel der Gewölbfugen noch nicht überschreitet, mithin noch zulässig ist.

Hiermit ist der Entwurf des Gewölbes als freitragende Construction beendet und der unterhalb der Kämpferfuge gelegene Theil des Halbkreisbogens ist als Widerlager entweder mit wagrechten oder mit geneigten Lagerfugen auszuführen.

2) Die Brücken mit Segmentbogcn- oder Stichbogen-Gcwölben.

Ist die Spannweite 1 und die Pfeilhöhe f, welche bei dem, einem Centriwinkel von 60° entsprechenden, sogenannten 60 gradigen Stichbogen

J/l²— (y) ⁼¹(¹—    — 0,133951 (42)

beträgt, gegeben, so erhält man mit Bezug auf Fig. 9, Taf. 1 1) den Radius der inneren Wölblinie aus der be-

= 1(2 r/— f)

(t)‘ + f>

r‘ — 2f und für den 60°igen Bogen

r 1 = 1,    ....

2) den Radius der Stützlinie, und zwar «) parallel zur inneren Wölblinie

ri+ T' • ' ß) durch die Mitten der Lagerfugen aus derselben Bezie-

= f (2 r — f)

T/ ⁺ T' ' ⁽⁴⁶)

3) den Radius der äußeren Wölblinie auf dieselbe

- = f(2r„-f)

=ts+r- • ⁽⁴⁷>

Die für alle Kreisgewölbe aufgestellten Formeln gelten also hier für die Abscissen x — 0 bis x — Da die

Kreissegmentbogenbrücken sehr häufig, meistens zu Strombrücken sowohl in Eisenbahn- als Straßenlinien, verwendet werden, so soll nachstehend die statisch-numerische Berechnung sowohl einer Straßenbrücke mit gegebenem Pfeilverhältniß als einer Eisenbahnbrücke mit 60gradigem Segmentbogen gezeigt werden.

Erstes Beispiel. Gepflasterte Straßenbrücke mit aus Quadern bestehendem Stichbogengewölbe und mit zur inneren Wölblinie paralleler Stützlinie (s. Taf. 2, Fig. 4 und 5), deren Spannweite 1 — 30 Met.,

f =    = 3 Met.

d'g' = 1100 + 300 = 1400 Klg. p. □SBiet. Verkehrslast v — 400 Kilogr. per [j Met. Gewölbgewicht g — 2150 Kilogr. per Kmet. beträgt.

Wölblinie

r' =

15» + 3ä

2.6

= 39 Met.

Mit Rücksicht auf diesen Werth, sowie auf das Gewölb-material und die Brückengattung ergießt sich aus der in Spalte 11 bis 14 enthaltenen Tabelle der Pressungen rund

p — 140000 Kilogr. per □ Met.

Die Gleichungen (34) und (35) ergeben alsdann beziehungsweise :

2.140000 — 1800

2.2150

— 39 — 25,69,

dar, welche nun, ebenso wie jeder ihrer Bestandtheile, das Pflaster und dessen Sandlager, in ihrer wahren Höhe aufgetragen wird, wie dies in Fig. 5 gleichfalls geschehen ist. Der zwischen dem Gewölbe und der Straßenfahrbahn übrig bleibenden, dem Gewichte des Gewölbmaterials entsprechend aufgetragenen Belastung hat die auf jenen Gewölben ruhende, durchbrochen gebaute Zwischenconstruction zu entsprechen.

Wäre dasselbe Brückengewölbe in Ziegeln oder Bruchsteinen herzustellen, so würde unter übrigens gleichen Umständen nach praktischen Erfahrungen die Stärke des Schlußsteins bei dem

2.39.1800

2150

— 65,30,

dz — l,ii d

mithin ist nach Gleichung (36)

d — 25,69 — V25,69² — 65,30 — l,3i Met.

und nach Gleichung (26) die Länge der Kämpferfuge

A _ 39. l,3i

dl5 ~ 39-3 Aus Gleichung (12) erhält man

Z₀ — 1,31 -f-

und, weil nach Gleichung (41) r = 39 + ~ beträgt, aus Gleichung (37)

Z — 2,15 .

= 1,42 Met.

1800

2150

— 2,15 Met.

= 39,66 Met.

Ziegelgewölbe Bruchsteingewölbe db = 1,24 d, mithin statt l,3i, beziehungsweise 1,45 und 1,62 zu wählen und diese Stärke in alle davon abhängige Gleichungen einzuführen sein.

Zweites Beispiel. Eisenbahnbrücke mit60gra-digem, aus Quadern bestehendem Stichbogengewölbe und mit die Lagerfugen der Gewölbsteine halbirender Widerstandslinie, s. Taf. 2, Fig. 6 u. 7,

deren

1 = 30 Met.,

Spannweite Oberbaugewicht mit Einschluß der Zwischengewölbe d'g' — 1200 + 300 — 1500 Klg. p. QSJttet.,

5060

Verkehrsbelastung v— —3

daher für:

39,66

/S9,66³ — X²)

mithin d'g' + v — Gewölbmaterial-

gewicht g =

— rot. 1700 „ „    „

3200 Klg. P. H) Met.,

2500 „ p. Kmet.

beträgt.

2,5

7,5

10

12,5 15 Met.

Nach Gleichung (44) beträgt der Radius der inneren Gewölblinie

2,15

2,16

2,20

2,27

2,37

2,51 2,71 Met.

r' = 30 Met.,

und nach Gleichung (42) deren Pfeilhöhe

f = ^1 —    1 — 0,13395.30 = 4,02 Met.

Werden diese Belastungshöhen, wie auf Taf. 2, Fig. 4 und 5, von der inneren Wölblinie aus lothrecht aufgetragen und von denselben mit dem aus Gleichung (47) abgeleiteten Radius der äußeren Wölblinie

30²

Mit Bezug auf obigen Werth r, sowie auf das Gewölbma-terial und die Brückengattung ergießt sich aus der in Spalte 11 bis 14 enthaltenen Tabelle der Pressungen p — 162230 Kilogr. per □ Met., ferner aus den Relationen (34) und (35) beziehungsweise 2.162230 — 3200 2.2500 2.30.3200

1,31

3 )*+-§-    =    41/78 mt

die Gewölbhöhen abgeschnitten, so stellt der oben verbliebene Rest jener Belastungshöhen theils die der Verkehrslast entsprechende Belastungshöhe welche in der Constructions-zeichnung, Fig. 5, weggelassen wird, theils die dem Gewichte der Straßenfahrbahn entsprechende Belastungshöhe

r" .8.3

(*

39 —

d'g'

— 30 — 34,25

— 76,8,

und B — mithin aus Gleichung (36)

d — 34,25 — Y34,25* — 76,8 — 34,25 — 33,109 — l,i4m und aus Gleichung (26)

2500

, i _    30,1,14

T 30 — 4,02 Aus den Gleichungen (12) und (46) ergießt sich beziehungsweise die Belastungshöhe im Scheitel

— 1,14 + 1,28 — 2,42 Met.

— 1,32 Met.

zo — lf¹⁴ +

3200

2500

und der Radius der Widerstandslinie

30²

8.4,02

(‘

0,57

4,02

30 — 4,02

mithin aus Gleichung (37) für beliebige Abfassen

’Y — 31,235 Met.,

Z — 2,42 .

31,235'

/31,235² — X²)⁸'

und für

Oi

12,5 15 Met.,

3) Die Brücken mit Korbbogengewölben.

Sind die Spannweite I und die Pfeilhöhe f eines Korbbogens, s. Taf. 1, Fig. 10, gegeben, so sind zunächst vom Scheitel ab die Radien r, r„... rm der einzelnen Kreisbogen sammt den ihnen zugehörigen Centriwinkeln    «m

z. B. unter der Annahme zu bestimmen, daß jene Radien in arithmetischer Progression fallen, während diese Centriwinkel' in arithmetischer Progression wachsen. Die bei dieser Annahme noch unbestimmt bleibende Differenz der aufeinanderfolgenden Halbmesser wird in statischer und ästhetischer Beziehung am vollkommsten so bestimmt, daß sie ein Minimum roirb.*)

Bezeichnet für einen solchen, aus 2n—1 Kreissegmenten bestehenden Korbbogen mit constanter Minimaldifferenz der aufeinanderfolgenden Halbmesser, für welchen

ist, s. Fig. 11,

CM

Ci

rfa-

3,14 3,5sMet.,

welche Belastungshöhen von der innern Wölblinie aus lothrecht nach oben aufgetragen werden. Nach Gleichung (47) beträgt der Radius der äußeren Wölblinie

rx den größten und rm den kleinsten Halbmesser,

4 die constante Differenz der aufeinanderfolgenden Halbmesser,

r„

30²

2«,, «„.... am die zu den, mit dem größten bis kleinsten Halbmesser beschriebenen, Bogen gehörigen Centriwinkel,

)■

1,14

4,02

(i +

™— — 32,515 Met.,

30 — 4,02

welcher zum Abschneiden der Gewölbhöhen dient, worauf,

x    V

wie bei den vorhergehenden Beispielen/ die Höhe —

8.4,02 V

Abstände aller Kreiscentren von den ihnen unmittelbar vorhergehenden, so hat man, da der halbe Korbbogen m Centren besitzt,

Lrr •

7/ ‘

.. Am_i die verticalen .. Bm_! die horizontalen

rx = rm + (m — 1) J. . . . (48) Aus Figur (11) folgt unmittelbar

— A cos a,......

B, — Asina,......

A„ — z/cos(a, + «„) .    .    .    .

B„ — Jsin («, + «„) ....

A, „ — ^ COS («, + «„ + «,„)

B, „ — Jsin(ar + «„ + «,„)    .

Am-1 — J cos (ct, +«„+.. ccm—i ) . . (55) Bm-1 — 4 sin («, + «„+.. «m-1) . . (56)

der Verkehrsbelastung weggelassen und die Belastungshöhe

<1 ‘er¹

des Oberbaues in ihrer wahren Höhe aufgetragen

wird. Die zwischen dem Oberbau und dem Gewölbe erforderliche Zwischenconstruction hat alsdann wieder der zwischen beiden übrig bleibenden Belastung zu entsprechen. Für eine der inneren Wölblinie parallel laufend eWiderstandslinie würde

r = 30 + —41 = 30,72 Met.

werden und für Ziegel oder Bruchstein, nach Spalte 22, d zu vergrößern und einzusetzen sein.

Durch Addition dieser Gleichungen entsteht beziehungsweise:

A, + A„ + ... Am_x = z/[cos«, + cos(«, + «„) + ... cos(«, + «„ + ... <*m_i)] = r₁ — f .    .    .    (57)

A,

(49)

(50)

(51)

. (52)

•    (53)

•    (54)

. (58)

— -ckssina, + sin(«, + «„) + • • • sin(e, + «„+... am_i)] — -g-

Wird aus Gleichung (48) rm + (m — 1)J statt r, in Gleichung (57) gesetzt und hierauf aus den Gleichungen (57) und (58) rm eliminirt, so ergießt sich

*) Vergl. hierüber Romberg, Ztschr. für practische Baukunst 1863, S. 229 ff.

^ sin «, + sin («, + «„) +... sin (a, -j- «„ +... «m-i) + cos «, + cos («, + «„) +... cos (a, + «„+... am_i) — (m—1)

¹    f

T    *

(59)

wenn der Nenner der vorstehenden Gleichung der Kürze halber K gesetzt wird. Alsdann erhält man durch Differenüation

d («, + “")

dA

da,

--f) (cosa, + cos (g, + «„)

+ • • • cos (g, -f- g„ ... gm)

da,

K²

sin a, + sin (a, + «„)

d (g, + g„)i

d a,

K²

d a,

- - (60)

dJ

und für n' — 0

sin«, -j- sin (a, + «,,)

d (g, + «„)

f ... sin (g, + a„ + ... gm_,)

d «,

d(«, + «„) d «,

Bezeichnet man mit d die Differenz der aufeinander folgenden Winkel, so sind diese letzteren

cos a, -s- cos («, -j- «„)

d«,

d («, + «„ -j- • • • «m-i)

d a,

. . (61)

an aif — 2 a, + d, a,„ = 2 a, + 2 d,

am = 2 a, -j- (m — 1) d,

daher

«,    «m —. (2 m — l)a, +

m(m — 1)

d - 90«,

und hieraus

t) 90 — (2 m — l)a, ~~    * m(m — 1)

(62)

Führt man den Werth von d in die Ausdrücke für «,,    «,„... o„_i ein, so erhält man:

90 — (2 m — l)q,

m(m — 1)

, daher

d(g, + g„)

2 (2 m — 1)

90 —(2m— 1)«,

m (m — 1)

, daher -

da,

d («, + a„ + «„,)

m (in — 1) '

6(2m — 1)

d a,

m (m — 1)

(63)

• - (64)

am—i — (2rn—3)a,-s

daher

d a,

Werden die Werthe von

(m — 2) [90 — (2 m — 1)«,]

= 2m — 3

Hl

(m — 2) (2 m — 1)

(65)

in Gleichung (61) eingeführt, so ergiebt sich sina, + sin ^3 a, + 2 .

(2m- 3

a, a„ . . . am_! und

90 —(2m —

m (m — 1)

2 (2 m — 1)

m (m — I)

(m — 2) (2 m — 1)

COS

((2m — 3)«, + (m — 2)

d a,

90 —(2m —1)«,

PK»

\    i ( q lO90—(2 m—1 )a,\s    2 (2 m — 1) \

) = C0S + C0S (³ «' + ²* m(m-l) X³ “ mi(m — 1) )i

^2m-3-^-2)^m,-1)^

j + ... sin ^(2m — 3)a, + (m — 2)

90 — (2 m — 1) a,

+ ...

(66)

Wird hieraus a, durch einige Versuchsrechnungen bestimmt, woraus sich alsdann die Winkel «„ a,„... am_i ergeben

und diese Werthe in Gleichung (59) eingeführt, so ergiebt sich das Minimum von A und hierdurch aus den Gleichungen (57) und (58)

rt = f + A [cos «, + cos (a, + er,,) + ... cos (er, + ct„ + . .. ßm_i)],

. (67)

(68)

1'm —~2 — ^ [sin er, + cos («, -f- «„) + ... sin (er, + a„ + .. . am-i)], sowie aus den Gleichungen (49) bis (56) die Werthe von

A, A„ ... Am_, und B, B„ .. . B

Sind z. B. 5 Kreiscentren vorhanden, so ist 2 m — 1 = 5, mithin m = -|- = 3, m — 1 = 2 und die Gleichung (66) geht über in

(30 + -y «, j — cos er, + A

sin «,-|—~ sin

woraus au[ 3' Annäherung «, — 23° 18' gefunden wird.

Man erhält alsdann «, 4- «„ = 30 4- -|- «, = 61° 4', mithin

- - (70)

cos

(30 + 4-

(69)

und

sin a, — 0,3955455    .    .

sin(«, + «„) — 0,8751832 . .    . (72)

COS«, — 0,9184464    .    .

COS («, + «„) = 0,4837916    .    .    (73)

. . (71)

sin a, + sin («, + «„) -f- cos a, + cos («, 4* «,,) — 2    0,6729667

— 1,4850576

ferner

( 2 f) '

• (74)

r, =

r"' = T

f 4- A (cos a, 4-

z/(sin«, 4- sin (a, 4~ Hrr))

cos

(a, + «„)) ----- k 4- 2,0836662 (~

f>

(75)

—    --- 1,8882490 (y — fj, .    .

• - (76)

A„ — z/COs(of, + tt„) — 0,7188938

(i

f>

(77)

ß,

— 4 sin Of, — 0,5877638

f>

(78)

(D:

f² +

woraus sich die geometrische Form des Korbbogens mit 5 Kreissegmenten und 5 Mittelpunkten ergiebt.

Werden die so für Korbbogen mit 5 Mittelpunkten, s. Fig. 12, Taf. 1, gewonnenen Resultate tabellarisch zusammengestellt und denselben diejenigen für Korbbogen mit 7 und 9 Mittelpunkten beigefügt, so ergiebt sich, wenn der Kürze halber

--f = c gesetzt wird, umstehende Tabelle.

Auf Korbbogen mit 3 Kreistheilen läßt sich das vorstehende Verfahren nicht anwenden, dafür das folgende:

Bezeichnet wieder die halbe Spannweite, f die Pfeilhöhe

r und r' die Halbmesser dieses Korbbogens, s. Fig. 13, Taf. 1, so ist für JADE

(r - 0- + (4 - 4

woraus

f² 4- (^y = 2fr — 2rr' 4-2-^- r' . (79)

Läßt man das Verhältniß zwischen beiden Halbmessern ein Minimum werden*) und setzt den Werth r'y statt r in Gleichung (79), so ergiebt sich

— y(2fr' — 2r'-) 4- 2.    . (80)

Das Minimum von y — ergiebt sich für

^ = y(2f-4r')4-2-l=0,

*) Vergl.: Sganzin, Grundsätze der Straßen-, Brücken-, Canal-und Hafenbaukunde, deutsch von Lehritter und Strauß. Regensburg 1832. II. S. 7.

III. Tabelle zur Construction der Korbbogen mit 5, 7 und 9 Mittelpunkten bei constanter Minimaldifferenz der aufeinanderfolgenden Halbmesser.

Zahl der Kreis- I.

I Coordinaten der Centren der Kreistheile.

Länge

der

Centriwinkel der Kreistheile

theile.

Abscissen.

Ordinaten.

Erzeugungs

halbmesser.

in Grad und Minuten.

in Bogenlängen für den Rad. 1.

2,0837 C 0,7189 C 0,0000 2,20^9 C 1,1813 C 0,4047C 0,0000 2,2511 C 1,4458 C 0,7531 C 0,2555 C 0,0000

4 r' — 2 f

f + 2,0837 C f + 0,5977 C f — 0,8882 C f + 2,2039 C f + 1,1448 C f + 0,0856 C f — 0,9735 C f + 2,2511 C f + 1,4302 C f -f- 0,6094 C f — 0,2115 C f — 0,0323 6

46° 36' 37° 46' 28° 56' 30° 12' 27° 35' 24° 58' '22° 21' 22° 20' 21° 17' 20° 14' 19° 11' • 18° 8'

0,0000 0,5878 C 1,8882 C 0,0000 0,2759 C 0,9939 C 1,9735 C 0,0000 0,1590 C 0,5994 C 1,2522 C 2,0323 C

woraus

2r'— f ’

Wird dieser Werth in Gleichung (80) eingeführt und in Bezug auf r' aufgelöst, so erhält man

0,81332 0,65915 0,50498 0,52709 0,48142 0,43575 0,39008 0,38979 0,37146 0,35314 0,33481 0,31649

| Die Gleichungen (81) und (82) lösen die Aufgabe. Sie enthalten die gesuchten Halbmesser als Function der Spannweite und Pfeilhöhe.

• Graphische Bestimmung von r und r'.

r' —

Wegen r = r;y erhält man:

t‘~

BE _ BC BM — AB

, daher BE —

2r' — f'    ’    •

BM.BC

AB

Zieht man die Sehne CB, schneidet auf derselben von C aus die Länge CH = AB — CB ab, halbirt HB und errichtet in dem Halbirungspunkt M eine Normale, so schneidet dieselbe auf der Horizontalen AB den Radius r" und auf der Verticalen AC den Radius r ab. Man hat nämlich:    °

HB.BC _ (BC — CH)BC (B£ — AB + AC)BC 2AB —

. . (82)

2AB

2AB

[B C² — (AB — A C) B C] =

2AB

Sind nach dem Vorstehenden die Radien r, r„ ... rm der inneren Wölblinie bestimmt, so sind bei approximativ ermittelter Schlußsteinstärke auch die ihnen entsprechenden

Radien q, = r, -f- -1

bex zu ihr parallelen Widerstandslinie annähernd bestimmt. Da das mittlere Bogenstück des Korbbogengewölbes mit dem Radius r; den statischen Gesetzen eines ihm gleichen Segmentbogengewölbes unterliegt, so ergiebt sich die Pressung seines Schlußsteins aus der Gleichung (18), dessen Stärke aus den

(t) +fa_(4

Gleichungen (34), (35) und (36), ferner aus Gleichung (12)-dessen Belastungshöhe im Scheitel

, Qn

, d

= r" + 2

, d

— rm + -7i

d'g' + v

z,° = d +

mithin im Scheitel des mtol Bogenstückes nach Gleichung (383)*)

. . (83)

*) Vergl. Grundzüge der Brücken- und Hochbau-Constructionen. I. Leipzig 1870. Spalte 63.

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen. zm° = z°. Q'

Qm

Q,

Zm — Z. —— — Zq

. (85)

Qm

31

• - (84)

Die Belastungshöhen für beliebige Abscissen jenes Bogenstückes, welche übrigens stets auf den Scheitel eines jeden derselben zu beziehen sind, ergeben sich alsdann nach Gleichung (384) a. a. O. aus:

Qt ■ (?m"____

Y (<?m"    X₂)³

Beispiel. Gepflasterte Straßenbrücke mit aus Quadern bestehendem Korbbogengewölbe mit fünf Mittelpunkten und constanter Minimaldifferenz der aufeinanderfolgenden Halbmesser.

Aus dem in Spalte 27 und 28 berechneten Beispiels erhält man die Winkel «, — 23° 18' und «, + «„ — 61'-'4', also «„ — 37° 46', ferner nach den Gleichungen (74—78) beziehungsweise die constante Minimaldifferenz der Halbmesser

32

d — 1,4859576 (15—10) — 7,43 Met., den Radius im Scheitel

r, = 10 + 2,0836662 (15—10) == 20,42 Met., woraus sich zugleich der folgende Radius

r„ = r, — J = 20,42 — 7,43 — 12,99 Met. ergiebt, ferner den Radius am Bogenanfang

r,„ — 15 — 1,8882490 (15 — 10) — 5,56 Met.,

den lothrechten Abstand des zweiten Centrums von der Sehne des Korbbogens

A„ — 0,7188938 (15 — 10) — 3,59 Met.,

sowie den wagrechten Abstand desselben von der Mittellinie des Bogens

B, — 0,5877638 (15—10) — 2,94 Met. Beträgt nun:

das Fahrbahngewicht mit Einschluß der Zwischengewölbe d'g' — 1100 + 300 — 1400 Kilogr. pro Kmet.,

400 Kilogr. pro □ Stet, g — 2200 Kilogr. pro Kmet., so erhält man zunächst mit Bezug auf die in Spalte 11 bis 14 enthaltene Tabelle aus Gleichung (18) die Pressung

+ 2200j (20,42 + 0,45) — 87654 Kilogr. pro □ Met.,

mithin für beliebige, von dem zugehörigen Scheitel ab zu zählende Abscissen des ersten, zweiten und dritten Bogenstücks aus Gleichung (85)

die Verkehrslast das Gewölbgewicht

1400 + 400

0,90

mithin nach Gleichung (34) und (35) beziehungsweise 2.87654 — 1800

2.2200

— 20,42 . = 19,01

und B —

2.20,42.1800

2200

— 33,43,

z, = z₀'.

S?

— 1,72 . —

20,87-

woraus nach Gleichung (36) die Schlußsteinstärke d — 19,oi — Y19,oi² — 33,41 — 19,oi — 18,n — 0,9 m

zrr — zo * >

QrQ"²

erhalten wird.

Die Belastungshöhen im Scheitel des ersten, zweiten und dritten Bogenstücks ergeben sich aus den Gleichungen (12) und (84) bezw.

YiQ" — V)³

ZOT - V- s;---

Y(Qm

Q , Qm*

- V):

= 1,72.

— 1,72.

Y (20,87" — X,²/ 20,87.13,44*

/Ml²—x,,²/'

29,87.6,oi²

] (6,oi‘² — x,„²)

s'

Z₀' — 0,90 +

1800

220U

— 1,72 Met.

Zo" =

— 1,72.

20,87

13,44

— 2,67 Met.

wobei sich

x, von 0 bis q' sin ct — 20,87. sin 23° 18' — 8,255 Met., x„ von Qff sin cf, — 13,44. sin 23° 18' — 5,316 bis

£„sin (of, + of„) — 13,44. sin 61° 04' — 11,762 Met.,

Qr

20,87

Qrn

6,01

— 5,97 Met.,

und x,„ von Qrrr sin (cif, + «„) — 6,01 .sin 61° 4' — 5,26 bis Qrrr — 6,01 Met.

erstreckt.

Setzt man successive x, =

2,5

7,5 I 8,255

X„ =

5,316

7,5

10

11,762

X,„ =

5,260

5,5 1 6,01

so ergiebt sich bezw. z, —

1,76    1,88 ! 2,12    2,22

Z„ =

3,45

4,67

8,96

23,59

zm —

52,59

9117    00

Die Lagerfugen der Korbbogengewölbe bilden nach Glei- steins gleich sind und lassen sich mithin leicht construiren, chung (23) und (26) die Hypotenuse rechtwinkeliger Dreiecke, wodurch die Lage der äußeren Wölblinie erhalten wird, wie deren senkrechte Katheten sämmtlich der Höhe d des Schluß- dies auf Taf. 3, Fig. 1 und 2 dargestellt ist.

Da von der Abscisse x = 8,25 Met. ab, wie diese Figuren zeigen, sich das Belastungsgesetz nicht mehr erfüllen läßt, so ist in diesem Punkte, der nothwendigen Abwässerung des Gewölbes entsprechend, die Abgleichungslinie der Hintermauerung tangential an die äußere Wölblinie angeschlossen worden. Ueber der ersteren sind in Figur 1 die dem Verkehr, der Fahrbahn und der Zwischeuconstruction entsprechenden und auf Gewölbmaterial bezogenen Belastungslinien aufgetragen, mithin die Höhen der zwölf, je 1,25 Met. breiten Belastungselemente vom Scheitel ab successive zu 1,70; 1,70; 1,75; 1,80; 1,90; 2,05; 2,20; 2,40; 2,85; 3,50; 4,50 und 5,90 Met. zusammen 32,25 Met. bestimmt, welche in Figur 3 in dem Maßstabe von Vs der Belastungshöhen aufgetragen sind. Der constante Horizontalschub beträgt nach Gleichung (5)

H — gz₀p₀ — g. 1,72.20,87 — g.35,89 Kilogr.

woraus durch zweimalige Differentiation

dy

— x²

■ . (86)

• • (87)

und beziehungsweise

d-y

dx²

= f.

' 59

erhalten wird. Wird

d

chung (87)

X |Vi

— tg a gesetzt, so ergiebt sich aus Glei-

und entspricht mithin dem Gewichte eines Sternprismas von entweder 35,89 Met. Länge, 1 Met. Breite, 1 Met. Dicke

und 35,89 Kmet. Inhalt oder von 35,89.

Länge, 1,25 Niet. Breite, 1 Met. Dicke und demselben Inhalte. Mit den Längen von 28,72 Met. und den obigen Höhen der 12 Belastungselemente sind in Fig. 3 die vom Scheitel ab aufeinanderfolgenden Resultanten dieser Kräfte construirt und in den Schwerpunkten dem zugehörigen Belastungselemente 1—12, z. B. die Hypotenuse von 28,72 und 1,70 im Schwerpunkte des Belastungselementes 1, die Hypotenuse von 28,72 und 1,7 + 1,7 — 3,40 im Schwerpunkte des Belastungselementes 2 u. s. f. zu den in Figur 1 und 2 enthaltenen combinirten Stützlinien zusammengesetzt worden. Wie man hieraus sieht, stimmt dieselbe bis zu der, zur Ab-scisse x — 8,25 gehörigen, Ordinate vollkommen mit der normalen Stützlinie überein und weicht nur in dem unteren Theile des Gewölbes von derselben ab: eine Abweichung, welche, falls sie zu bedeutend erscheinen und eine zu große Gewölbstärke erfordern sollte, durch eine Erhöhung der Hintermauerung beliebig vermindert werden kann. Die in Figur 3 enthaltene Hilfsconstruction läßt sich auch aus der Horizontalkraft von 35,89 Kmet. ableiten, wenn die erwähnten 12 Ber-

ücalkräfte nun in dem Maßstabe von

— 28,72

— X²

2 ,f

und wenn dieser Werth in Gleichung (88) eingeführt wird,

d²y _

dx²

p.

dy

(4-)*

. . (89)

Führt man den Werth von aus Gleichung (89) in die allgemeine Gleichung

(- + (L)7

dx

— tg« und von

d-y

* dx²

d²y

dx²

ein und reducirt, so ergiebt sich der Krümmungshalbmesser der Ellipse

£2

1 + tg² a + tg²«

der im Scheitel, für welchen « — 0, in

³k

. . (90)

l-H lC

• 1,25    - -

4 der

zugehörigen Belastungshöhen, woraus man ein Gesammtvo-lumen von 32,25.1,25 — 40,3i Kmet. erhält, aufgetragen werden, wie dies in der erwähnten Figur gleichfalls geschehen ist.

. . (91)

II. Die Brücken mit elliptischen Gewölben. .

Ist die Spannweite 1 und Pfeilhöhe f der elliptischen Stützlinie des Gewölbes, s. Fig. 14, Taf. 1, gegeben, so ist deren Scheitelgleichung:

e 0 =

übergeht, worauf sich derselbe für beliebige Winkel « berechnen und mit Hilfe beider die Ellipse construiren läßt.

Wird der Werth von aus Gleichung (88) in Gleichung (9) eingeführt, so ergiebt sich die Belastungshöhe

fS

mr

— X²

3' '

. - (92)

mithin über dem Scheitel, für welchen x — 0 ist, die Belastungshöhe

z₀ = h.

(t)‘

(93)

Aus der Spannweite 1, und Pfeilhöhe f, der inneren Wölblinie, welche gegeben sein müssen, erhält man zunächst mit Bezug auf Gleichung (90) und (91) den Krümmungshalbmesser der inneren Wölblinie

und wenn dieser Werth in Gleichung (37) eingeführt wird,

f,

(W (¥)

1 —J— tg²«

. . (94)

und den Krümmungshalbmesser im Scheitel

und -s-

+ *)(»■• + t)-

. (102)

Für x = wird z — woraus folgt, daß auch

für das elliptische Gewölbe das Belastungsgesetz sich nicht bis zum Gewölbanfang erfüllen läßt, mithin wenigstens von dem Punkte, bis zu welchem das Belastungsgesetz erfüllbar ist, eine Modifikation erfahren muß.

Wird mit fi die Pfeilhöhe, mit 1, die Spannweite der inneren Wölblinie bezeichnet und die Stützlinie mit derselben parallel laufend angenommen, so ist

• • (95) (96)

zu setzen ist. Werden diese Werthe in Gleichung (91) eingeführt, so ergiebt sich aus Gleichung (16) die Schlußstärke

Qi° =

Durch Einführung des letzteren in Gleichung (21) ergicbt sich mit Bezug auf die Tabelle II, Sp. 11—14, die zulässige Pressung im Schlußstein

d'g' + v

Mit Hilfe dieses Werthes erhält man durch einige Versuche, wobei empirische Formeln zur Ermittelung von Näherungswerthen dienen können, aus Gleichung (101)

d⁸ — d-’B — dA = — C,

worin A, B und C die durch Gleichung (98), (99) und (100) angegebenen Werthe haben, die Stärke d des Schlußsteins und durch Einführung der so erhaltenen Werthe von d er-giebt sich nach Gleichung (12)

d'g' -s- v

f' + 4

• - (97)

p,m:

zo = d +

mithin aus Gleichung (94)

d'g' + V

m*

woraus man, wenn nach Potenzen von d geordnet und der Kürze halber

21

(d'g' + v), . (98)

2p

21,-

d'g' + v

. . (99)

Beispiel: Eisenbahnbrücke mit aus Quadern bestehenden elliptischen Gewölben.

Spannweite 1 — 30 Met.,

(100)

(d'g' + v)

gesetzt wird, die Gleichung

d⁸ — d².B — d.A + C = 0 . . (101)

erhält. Hieraus ergiebt sich durch einige Versuche die Schlußsteinstärke der elliptischen Gewölbe. Der Gang der Rechnung ist nun folgender:

Pfeilhöhe f =    = 10 Met.,

Oberbaugewicht

mit Einschluß der Zwischengewölbe d'g' — 1100 Kilogr. pro H)Met.,

Verkehrsgewicht v — 1690 Kilogr. pro □ Met., Gewölbgewicht g — 2500 Kilogr. pro Kubmet. beträgt.

Aus obiger Gleichung ergiebt sich für:

Ql

5    10

15

20

25

30

35

40

45 I 50

55

60

65

70

22,5 22,19 21,35

20,01

18,37

16,61 ! 14,93 13,42 1 2,04 10,86    9,79    8,99    8,34

7,79

7,38

und wenn der Krümmungshalbmesser im Scheitel —

22,5 Met. in Gleichung (102) gesetzt wird, die Pressung des Schlußsteins per □ Ufiet.

P = (-X -j- 2500 ) (22,5 + 0,48) = rot. 125180 Kilogr.

Die Schlußsteinstärke ergiebt sich dann aus Gleichung

Aus den Gleichungen (59) und (60) ergiebt sich |obamt beziehungsweise

z0 - 0,94 +

und hieraus

2800

2500

— 2,06 Met.,

(97)

2800

125180

(-o+i)

— nahe 0,94 Met.

Hl)'

— 2500

15,4?

, (( 15,47?-X*f

Giebt man x die nachstehenden Werthe, so erhält man die zugehörigen Werthe von z wie folgt.

Z — 2,06 .

2,5

7,5

10

12,5

15

2,06

2,14

2,43

3,08

4,64

140,74

wonach die Gesammtbelastungshöhen aufgetragen werden.

Da die Lagerfugen auch der elliptischen Gewölbe nach Gleichung (21) die Hypotenusen rechtwinkeliger Dreiecke bilden, deren senkrechte Katheten durchweg der Höhe des Schlußsteins gleich sind, so läßt sich hieraus die äußere Wölblinie leicht construiren, wie dies in Fig. 4 und 5, Taf. 3, geschehen ist.

10,07

Das horizontale Planum der Eisenbahn schneidet die Belastungslinie in einem Abstande x, vom Scheitel, welcher sich aus Gleichung (92a)*j finden läßt. Wird nämlich die jener Abscisse x, entsprechende Belastungshöhe z, eingeführt, so erhält man

.    t+z₀\l-

m⁻

'[*

mithin, wenn die bekannten Zahlenwerthe eingesetzt werden,

10 -j- 2,06

15,47'

/ (15,47' - x?)s;

woraus Xj — nahe 10 Met. gefunden wird. Bis zu diesem Punkte ließe sich das Belastungsgesetz erfüllen, da aber alsdann die in Fig. 4 und 5 punktirt eingetragene Abgleichs-linie der Hintermauerung von der Abscisse x — 5 Met. ab bereits zu steigen beginnt, so erscheint es für die nothwendige Abwässerung des Gewölbes Vortheilhaft, kein daselbst an den Gewölbrücken tangential anschließende, gerade und geneigte Hintermauerung zu wählen, wie dies in Kg.

4 und 5 geschehen ist. Werden über derselben die der Berkehrslast, der Fahrbahn und der Zwischenconstruction entsprechenden und auf das Gewicht des Gewölbmaterials bezogenen Belastungslinien aufgetragen, s. Fig. 4, so betragen die Höhen der zwölf, je 1,25 Met. breiten Belastungselemente vom Scheitel ab der Reihe nach 2,i; 2,i; 2,2; 2,35; 2,so; 2,75; 3,15; 3,eo; 4,20; 5,oo; 6,io und 7,85, mithin zusammen 43,9 Met., welche in Fig. 6, Taf. 3, in dem Maßstabe von

) - w ja - (■*)’

-p.- der Belastungshöhen aufgetragen sind. Der Horizontalschub beträgt nach Gleichung (5)**)

H = g z₀ p₀ = g. 2,06.22,5 — g. 46,35 Kilogr. und entspricht mithin dem Gewichte eines Steinprismas von 46,35 Met. Länge, 1 Met. Breite, 1 Met. Dicke und 46,35

Kmet. Inhalt oder von 46,35.

— 37,08 Met. Länge,

1,25 Met. Breite und 1 Met. Dicke bei demselben Rauminhalte. Mit der Länge von 37,os Met. und den oben angegebenen Höhen der zwölf Belastungselemente sind in Fig. 6 Taf. 3, die vom Scheitel ab aufeinanderfolgenden Resultanten dieser Kräfte construirt und in den Schwerpunkten der zugehörigen 12 Belastungselemente (z. B. der Hypotenuse von 37,08 und 2,i im Schwerpunkte des Belastungselements 1, die Hypotenuse von 37,os und 2,i + 2,i — 4,2 im Schwer

ins

*) S. Ztfchr. f. Santo., Sieln. 1869, Spalte 110.

**) S. vorl. Heft, Spalte 5.

Jo = d +

die Belastungshöhe im Scheitel, worin d mit Hilfe von 1 und f aus einer empirischen Formel zu bestimmen bleibt, und y hinreichend groß zu nehmen ist, bezeichnet, so ist, wenn h die durch Gleichung (5) gegebene Bedeutung behält, die all-lastungshöhe, woraus man ein Gesammtvolumen von 43,95.1,25 gemeine Gleichung der Klinoiden*)

. 1,25 — -

y der zugehörigen Be-

d'g' + v

punkte des Belastungselements 2 u. s. f.) zu der in Figur 4 und 5 enthaltenen combinirten Stützlinie zusammengesetzt worden, die, wie man sofort bemerkt, bis zu der, der Abfasse 10 entsprechenden Ordinate säst genau mit der normalen Stützlinie zusammenfällt und nur in dem unteren Theile des Gewölbes von derselben abweicht. Sollte diese Abweichung eine zu bedeutende Zunahme der Gewölbstärke erfordern, so läßt sich durch eine angemessene, auf Kosten der Zwischen-construction bewirkte Erhöhung der Hintermauerung jene Abweichung herabmindern. Die in Fig. 6 dargestellte Hilfsconstruction läßt sich übrigens auch aus der Horizontalkraft direct ableiten, wenn die erwähnten 12 Verticalkräfte

in dem Maßstabe von — 54,87 Kmet. erhält, aufgetragen werden, wie dies in Fig. 6 gleichfalls geschehen ist.

III. Die Brücken mit Klinoidengcwölben.

Wird im Nachfolgenden mit a die trigonometrische Tangente des Neigungswinkels ß, s. Fig. 15, Taf. 1, einer Brückenbahn , mit

. . (102)

y = + ax +

(e^h

. • (103)

worin die oberen Vorzeichen für die Gewölbe mit gerade abgeglichener, von beiden Seiten nach dem Scheitel steigender Brückenbahn oder für die Anaklinoidengewölbe, s. Fig. 15, und die unteren Vorzeichen für die Gewölbe mit gerade abgeglichener, von beiden Seiten nach dem Scheitel fallender Brückenbahn oder für die Kataklinoidengewölbe, s. Fig. 16, Taf. 1, gelten, während der Werth a — 0 den Gewölben mit gerade abgeglichener und wagrechter Brückenbahn oder den Aklinoidengewölben, s. Fig. 17, entspricht.

Setzt man in der vorstehenden Gleichung x — so wird y = f + y₀ und es ergiebt sich

f + y₀ — + a -1 + J (<

und hieraus, wenn a und y gegeben oder angenommen sind, der Werth von h durch Substitution oder auf einem, bei den Ana- und Aklinoidengewölben erläuterten, graphischen Wege. Wird der so ermittelte Werth von h in die Gleichung (103) eingesetzt, so erhält man für angenommene Werthe von x die zugehörigen Ordinalen y und die Klino'lden lassen sich hiernach mittels Coordinaten auftragen. Um jedoch zugleich die Richtung der Lagerfugen der Klinoidengewölbe zu erhalten, ist es Vortheilhaft, dieselben mittels ihres Krümmungshalbmessers

2/h

2/hj -p a/Ji ^2/h _ e2<h\

(105)

wird, der Horizontalschub der Klinoidengewölbe H = gh = gy ₀Q₀,    .    .

ein Ergebniß, welches mit dem früher allgemein gefundenen übereinstimmt.

Ist h aus Gleichung (104) gefunden, so ist aus der Beziehung (106) auch q,, bekannt und man erhält aus Gleichung (18) die Pressung p.

Andererseits folgt aus den Gleichungen (5) und (13) gh — dp und hieraus die Stärke des Schlußsteins

d =

- - (107)

cos³ <x Yy₀² -ft h (lg² a    2 a tg a)

zu construiren, worin « den Winkel bezeichnet, welchen die Tangente an irgend einen Punkt der Curve mit dem Horizonte oder der Krümmungshalbmesser in demselben Punkte mit der Vertikalen einschließt. Läßt man denselben von dem Scheitel, worin « — 0 ist, allmälig wachsen, so erhält man die demselben entsprechenden Krümmungshalbmesser. Setzt man in Gleichung (104) « — 0, so ergiebt sich der Krümmungshalbmesser im Scheitel

gh

- - (108)

. P '

welcher, in Gleichung (102) eingeführt, einen zweiten Werth y₀' von y₀ liefert, der entweder mit dem zuvor gefundenen genau übereinstimmt oder falls y₀, wie bemerkt, hinreichend groß gewählt war, einen kleinen Belastungsüberschuß y₀ — y₀' liefert, welcher als eine, die Stärke und damit die Sicherheit des Gewölbes nur vermehrende, Zusatzbelastung zu betrachten ist.

Ist u und d gefunden, so erhält man hieraus den Krümmungshalbmesser

. . (106)

Qo y»'

mithin, wenn für h aus Gleichung (5) sein Werth gesetzt

*) Die Entwickelung dieser Formel siehe: Heinzerling, Grund-züge u. f. w. Erster Theil. Spalte 54. ff.

fco', pu

- - (109)

d'g' -f- v

. . (HO)

Qi = Q —

der inneren Wölbliyie und durch die Bestimmung der Länge einer hinreichenden Zahl von, der Neigung nach gegebenen. Lagerfugen entweder aus Gleichung (21) und (23) oder durch die dort gleichzeitig angegebene Construction die äußere Wölblinie, durch welche von der Gcsammtbela-stungshöhe die dem Gewichte der Fahrbahn und des Verkehrs entsprechende Theilbelastungshöhe abgeschnitten wird. Wird hierauf die letztere weggelassen und die erstere nach Maßgabe des specistschen Gewichts der Fahrbahn reducirt, so entspricht der Rest dem Gewichte des auf dem Gewölbe ruhenden, die Fahrbahn unterstützenden Zwischenmittels, welches entweder in einem Füllmaterial von dem entsprechenden specifischem

Gewichte, in einer massiven oder in einer mit Hohlraum versehenen Zwischenconstruction besteht.

1) Die Briickengewölbe mit Auaklinoldeiigewölbcn.

Ist die Spannweite 1 und die Pfeilhöhe f gegeben und die auf das Einheitsgewicht des Gewölbmaterials reducirte Belastungshöhe im Scheitel

y<> = d +

unter der Annahme bestimmt, daß d mit Hilfe der Kennniß von 1 und f vorläufig aus einer empirischen Formel abgeleitet wird, so ist aus Gleichung (104)

/A(e²VT _

2 /h

f + y. = aA + ^(, = Vh

zunächst der Werth von h, am einfachsten in folgender Weise, zu bestimmen. Multiplicirt man dieselbe mit 2 1

•="7=: und löst dieselbe nach — yoV h

2/ h\

. . (ui)

a-TT

auf, so ergiebt sich:

2_ __ 2/h

(e²^h

2/T

2) -2

1 f

2/T' Jo

yo

(112)

und hieraus, wenn der Kürze halber die Funktion von

2y h

und

gesetzt werden,

2/h *

2y h

2yr

. - (113)

e²/h _ e 2y h _ ₂2y h

e²/h __ e 2/2 _ h

— f"

t"

(wir)

(114)

(-L=)A = 0

v 2 / h / Jo

(115)

al

und i“

f—Uy

V 2 / h l Jo

erscheinen als die Ordinate« von Curven mit den gemein-

Legt man den letzteren ver-

schaftlichen Abscissen

2 / h

schiedene Werthe bei, berechnet daraus die ihnen entsprechen-

den Ordinalen fv

(2/t)

al

² Jo

und f"

(-L)-l

' 2 / h / y»

und trägt dieselben auf, s. Taf. 3, Fig. 3, so findet sich diejenige, aus der Construction abzugreifende Abscisse

u = —==    . .

2/h

ihres Schnittpunktes, woraus alsdann der Werth -    h =

(/r)' • •

. . (116)

- - (117)

UM so. genauer erhalten wird, je schärfer die Abscisse u

graphisch bestimmt wurde. Durch Einführung des so erhaltenen Näherungswerthes von h in Gleichung (111) läßt sich übrigens derselbe prüfen und im Falle einer nicht genügenden Erfüllung derselben durch Einführung feinerer Näherungs-werthe beliebig verbessern. Mit Hilfe des Werthes von h und der Belastungshöhe y₀ im Scheitel ergiebt sich der Krümmungshalbmesser daselbst

Verkehrsgewicht v —

5060

2,5

= 2100 Kilogr. p. Hs Met.,

mithin d'g' + v — 3200 Kilogr. per □ Met., Gewölbgewicht g — 2500 Kilogr., und vorläufig angenommene Fahrbahnsteigung a — 0,2 beträgt.

y«

. . (118)

und mit Benützung desselben aus der in Spalte 11 bis 14 enthaltenen Tabelle II die Pressung p. Hierauf ergiebt sich aus Gleichung (108) die Schlußsteinstärke d.

Zur Construction der Widerstandslinie dient die in Gleichung (105) enthaltene Länge des Krümmungshalbmessers der Widerstandslinie

Benützt man zur vorläufigen Ermittelung von y„ die

lm /    im \*)

(0,3+O,04 xm) >

und führt die Zahlenwerthe ein, so erhält man die Schlußsteinstärke

Formel

dm — 0,219 +

12

0,2i9 + oO- (o,3 + 0,04 oO j

— rot. 1,25 Met.

(119)

cos⁸ « |/y₀² + h (tg² a — 2 a tg «)'

woraus der Krümmungshalbmesser der zu ihr parallelen inneren Wölblinie

mit Hilfe deren man aus Gleichung (102) die Belastungshöhe im Scheitel

y₀ — 1,27 +

1100 + 2100

2500

== 2,55 Met.

. . (120)

?1 = ?-T, •

sowie die Richtung sämmtlicher, zu ihr senkrechter Lagerfugen erhalten wird.

Beispiel. Eisenbahnbrücke mit aus Quadern bestehenden Anaklinoidengewölben, deren Spannweite 1 — 30 Met.,

Pfeilhöhe x = 10 Met.,

Oberbaugewicht d'g' — 1100 Kilogr. per Met.,

erhält. Hieraus ergeben sich alsdann die zur Bestimmung von h erforderlichen Werthe

__ 0,2.30

2y₀ — 2.2,55

und nach Gleichung (115) für den Durchschnittspunkt beider Curvenzweige

al

= 3,92

— 1,18 — 3,92 f"

(wt) = °-

Für den Werth

2 /h

hinreichender Annäherung

— 2,602 findet man nun mit

f' ( 2 /y)

— 1,18 — 3,92 . f"

2/h

= 3,66387 — 1,18 — 2,48395 — — 0,00008,

woraus die gesuchte Größe

M'-(

30

2.2,602

J = 33,2329

erhalten und durch Einführung in die Gleichung:

16

15

15

15

VT

er

10 + 2,55 — 0,2 . 15 + 1,275

geprüft wird. Diese Prüfung ergiebt für die rechte Seite, dieser Gleichung

^h)-0,ifT[eVb -

3 + 17,2951 — 7,7344 — 12,5607,

83000 Kilogr. Führt man die Werthe von h und p in Gleichung (108) ein, so ergiebt sich die Schlußsteinstärke _ gh _ 2500.33,2329

mithin eine hinreichende Annäherung an die Summe 12,55 der beiden Glieder der linken Seite derselben Gleichung.

Aus Gleichung (106) erhält man nun den Krümmungshalbmesser im Scheitel

83000

— I,i8 Met.

und hieraus die eigentliche Belastungshöhe im Scheitel

3200 2500

y₀' — l,i8 +

— 2,46 Met.,

mithin die Differenz

Po = —

h _ 33,2329

y₀

2,55

— 13,03 Met.

und mit Hilfe dessen aus Tabelle II die Pressung p — rot.

*) Bergt, v. Saßen, d. Wegebau, Hannover 1870, S. 516.

y₀ — Yo — 2,55 — 2,46 — 0,09 Met., welche bei der Construction als Zusatzbelastung zu dem Gewichte der Fahrbahn betrachtet wird. Aus Gleichung (119) findet man den Krümmungshalbmesser der Widerstandslinie

33,23

cos³ a Y 2,55² + 33,23 (tg² u — 2.0,2 tg «)

welcher für « —

10

15

20

25

30

35    40

45

50

55

60

die entsprechenden Werthe q —

13,032

14,213

15,27 15,98

16,26

16,27

16,26

16,46 17,07

18,28

20,34

23,68

29,15

annimmt und zur Construction der inneren Wölblinie dient, indem man von den Enden der einzelnen Krümmungshalbmesser

die halbe Schlußsteinstärke — 0,59 des Schlußsteins nach

abwärts aufträgt und durch Verbindung der so erhaltenen Punkte die innere Wölblinie erhält. Da die unten durch die Widerstandslinie, oben durch die Neigungslinie der Fahrbahn begrenzten Belastungshöhen y für gleiche Abscissen dieselben bleiben, so sind sie nur um die denselben entsprechende Differenz der Widerstands- und inneren Wölblinie senkrecht abwärts gerückt worden. Die äußere Wölblinie ist durch Abtrag der Längen der einzelnen Lagerfugen in der oben angegebenen Weise bewirkt, der Fahrbahn die wagrechte Lage

-lH = -^-gh = -l gy₀<?o — -g-.2500.2,55 .13,03 — -f-.2500.33,23 — 66380 Kilogr.,

d'g' + v

gegeben, deren Höhe, dem ihr zukommenden Eigengewicht entsprechend, modificirt und die zur Unterstützung der Fahrbahn dienende Zwischenconstruction dem übrig bleibenden Belastungsgewicht entsprechend angeordnet worden.

Um das Gewölbe in seinem unteren, hintermauerten Theile, worin ein Theil des Horizontalschubes durch die Hintermauerung aufgehoben werden kann, nicht übermäßig zu verstärken, ist die Gewölbdicke von dem Punkt 8 der Widerstandslinie abwärts allmälig so vermindert worden, daß die durch Puttkt 12 der Widerstandslinie gehende Lagerfuge nur noch

4

den -g- Theil des Horizontalschubes oder

während die Hintermauerung den Rest oder 5. Theil desselben

mit -1.2500.33,23 5

verkürzten, durch 12 gehenden Lagerfuge, sowie dem theil-weisen Horizontalschube von 66380 Kilogr. entspricht die ver-ticale Kathete

— 16595 Kilogr. aufnimmt. Dieser

4

1,18. -g-    —    1,18.0,08    —

. Hiernach ist die äußere, der Aufnahme des gesummten Horizontalschubes entsprechende Wölblinie in den Figuren 1 und 2, Taf. 4, punklirt, die der theilweisen Aufnahme jenes Horizontalschubes entsprechende äußere Wölblinie dagegen ausgezogen, hierdurch aber wegen des gleichen specifischen Gewichtes des Gewölbes und der Hintermauerung, weder an den Belastungsverhältnissen, noch an der ihnen entsprechenden Form der Widerstandslinie des Gewölbes etwas geändert worden.

0,944 Met.

2) Die Brücken mit Aklino'idengewölben.

Ist die Spannweite 1 und die Pfeilhöhe f gegeben, sowie die auf das Einheitsgewicht g' des Gewölbmaterials reducirte Belastungshöhe

y₀ = d +

. . (121)

angenommen, wobei d mit Hilfe der Größe 1 und f aus einer empirischen Formel möglichst annähernd zu bestimmen ist, so ergiebt Gleichung (104), wenn darin die trigonometrische

Tangente a der Straßenneigung Null gesetzt ist, für x — -1

(e²^ ₊ e

2 Yh

) . (122)

woraus man den Werth von h entweder durch einige Substitutionen oder, wie folgt, auf graphischem Wege ermittelt.

Wird diese Gleichung nämlich mit ^ dividirt, so läßt sich dieselbe auch schreiben

f + y₀ = y°

2/Y e r »—

²(^ + 1)_e 2/h=0' (m)

oder wenn die Function von

e²^ =

2/h

. . (12-4)

und

4-

. (124»)

während die innere Wölblinie mittels des Krümmungshalbmessers

gesetzt wird,

. - (130)

f'(2/y)    ²(y₀ + 1)    *"E 2/h)

f'(27T)-²(i + 1)unb f" (wt)

Die Größen

= 0, (125)

erscheinen als die Ordinalen von Curven mit der gemein»

. Legt man dieser letzteren ver-

schaftlichen Abscisse

2 fh

schiedene Werthe bei, berechnet daraus die ihr entsprechenden

und

2 }/ h

trägt dieselben als Ordinalen auf, so findet sich diejenige, aus der Zeichnung abzugreifende Abscisse

2/h

ihres Schnittpunktes, woraus der Werth

h =

. . (126)

• - (127)

um so genauer erhalten wird, je genauer der Werth u graphisch bestimmt wurde. Durch Einführung des Werthes von h in obige Gleichung prüft, bezw. verbessert man denselben. Mit Hilfe dieses hinreichend angenäherten Werthes von h und der Belastungshöhe y₀ im Scheitel ergiebt sich der Krümmungshalbmesser daselbst

sammt der Richtung sämmtlicher, zu ihr senkrechter Lagerfugen erhalten wird. ' Die äußere Wölblinie erhält man wieder durch Bestimmung der Längen einer hinreichenden Zahl von Lagerfugen, welche wieder die Hypotenuse von Dreiecken darstellen, deren senkrechte Kathete der Schlußsteinstärke d gleichkommt. Durch die äußere Wölblinie wird von der Gesammt-belastungshöhe die denl Gewichte der Fahrbahn, der Zwischenschüttung und des Verkehrs entsprechende Belastungshöhe abgeschnitten, wovon in Fig. 5, Taf. 4, die letztere weggelassen und die Belastungshöhe des Oberbaues, seinem geringern specifischen Gewichte entsprechend, reducirt wird. Der zwischen Oberbau und Gewölbe befindliche Theil der Belastung ist theils als Zwischenschüttung, theils als Hintermauerung nach Maßgabe ihrer specifischen Gewichte und des ihnen zukommenden Gesammtgewichts zu behandeln, wodurch deren Grenzlinie, welche zugleich die Abgleichungslinie der Hintermauerung bildet, bestimmt wird.

Beispiel. Eisenbahnbrücke mit aus Quadern bestehenden Aklinoidengewölben, deren

. . (128)

Q° - Jo

und mit Benutzung desselben aus Tabelle II die Pressung p, worauf man durch Einführung dieser Werthe in Gleichung (108) die Schlußsteinstärke d erhält.

Zur Construction der Widerstandslinie dient der durch Gleichung (105), worin vorher a — 0 zu setzen ist, gegebene Krümmungshalbmesser

Spannweite I — 30 Met.,

Pfeilhöhe f = 10 Met.,

Oberbaugewicht d'g' = 2200 Kilogr. per □ Met., Gewicht der Auffüllung von:

0,8 Met. über dem Gewölbscheitel — 1800 Kilogr. p. Kmet.,

5060

Verkehrslast v —

= rot. 2100 ks p. □ Met., Gewölbgewicht g — 2500 Kilogr. p. Kmet.

2,5

beträgt.

cos³er. Yjo + htg²«

- (129)

Läßt man, da Spannweite und Pfeilhöhe derjenigen der zuvor berechneten Brücke gleich sind, auch.den dort ermittelten Werth d — 1,27 Met. gelten, so erhält man aus Gleichung (121)

y₀ — 1,27 +

0,5.2200 + 0,8 • 1800 + 2100

2500

und durch dessen Einführung in Formel (122)

15

15

10 + 3,14 —

VT

)-

woraus durch einige Substitutionen annähernd genug li —50,54 erhalten wird, da sich durch Einführung dieses Werthes in die so eben benutzte Gleichung 13,i409 statt 13,h ergiebt. Mit dessen Hilfe erhält man aus Gleichung (129) den Krüm-

— 1,27 + 1,87 — 3,14 Met.

mungshalbmesser im Scheitel

h _ 50,54

Q° — Jo ~~    3,14

und mit Hilfe dessen aus Tabelle II die Pressung p — rot. 89700 Kilogr.

Führt man die Werthe von li und p in Gleichung (108) ein, so ergiebt sich die Dicke des Schlußsteins

— 16,09 Met.,

welche den zweiten Werth

d == gh =

2500.50,54

89700

— 1,28 Pket.,

0,5.2200 4- 0,8.1800 + 2100

— 1,28 + 1,87 — 3,15 Met.,

Jo‘ = 1,28 +

mithin die verschwindende Differenz y₀ — y₀' — 3,ii — 3,is — — 0,oi Met. ergiebt.

Zur Construction der Widerstandslinie erhält man aus Gleichung (129) den Krümmungshalbmesser j

50,54

cos³«. Y3,14² -f- 50,54tg³«

2500

und für « —

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

16,094 15,969 15,650 15,268 14,969 14,867 15,056 15,622 16,677 18,393 21,060 25,201 31,816

der Fahrbahn und der äußeren Wölblinie gelegene Theil der Belastungshöhe die in den Figuren 4 und 5, Taf. 4, eingezeichnete Grenzlinie der Zwischenschüttung und Hinter-

Längen, aus welchen die entsprechenden Krümmungshalbmesser

der inneren Wölblinie durch Abzug von — 0,64 Met.

gefunden werden. Die äußere, dem Eigengewicht des Ge- mauerung.

Um das Gewölbe in seinem unteren, hintermauerten Theile auch hier nicht übermäßig zu verstärken, ist von Punkt 7 der Widerstandslinie ab die Gewölbstärke so vermindert worden, daß die durch den Punkt 12 gehende Widerstandslinie nur noch den Vs ten Theil des Horizontalschubes

Wölbmaterials entsprechende Wölblinie ergiebt sich mit Hilfe des Werthes von d in der früher mehrfach angedeuteteten Weise. Wird nun die dem Verkehrs- und Fahrbahngewicht entsprechende Belastungshöhe beziehungsweise weggelassen und abgeschnitten, so liefert der zwischen der unteren Begrenzung

4-H =-g-gh = ™ SJoQo - --.2500.3,14.16,09 --- -^.2500.50,54 = 101080 Kilogr.,

B) Die schiefen gewölbten Iküdttit.

Bildet die Achse des schiefen Gewölbes den Winkel ß, s. Taf. 5, Fig. 1, mit seiner Stirnfläche, so schließt dieselbe mit einer zur Stirnfläche Normalen den Complementwinkel a — 90° — ß ein, welchen man den Schrägungswinkel des schiefen Gewölbes nennt. Ist dieser Schrägungswinkel sehr klein, so läßt sich das schiefe Gewölbe wie ein gerades ausführen, dessen Stirnstücke man nach dem Neigungswinkel ß der Stirnfläche mit der Gewölbachse abschrägt, s. Fig. 2, ein Verfahren, welches man am einfachsten erst nach der Schließung und Ausrüstung des Gewölbes vornimmt. Ist der Schrägungswinkel größer, so wird der Winkel ß für den Steinschnitt zu spitz und das Gewölbe muß anders angeordnet werden. Zerlegt man nämlich das ganze Gewölbe in eine hinreichende Anzahl dünner, zu seiner Stirnfläche paralleler Gewölbstreifen, so läßt sich jeder dieser Streifen wie ein gerades Gewölbe behandeln, dessen Lagerflächen senkrecht zu seiner Stirnfläche und Laibungsfläche stehen. Trägt man, wie in Figur 3 und 4 geschehen, diese Gewölbstreifen im Grund- und Aufriß auf, so erhält man an einer beliebigen Stelle M, M, des Gewölbes für einen durch mehrere solcher Streifen reichenden Gewölbstein die gebrochene Lagerfuge

während die Hintermauerung den Rest oder Vs ten Theil desselben mit -I. 2500.50,54 — 25270 Kilogr. aufnimmt.

Die durch Punkt 12 gehende Lagerfuge erfährt daher eine

4

Verkürzung, welche der auf . 1,27 = 1,02 verkürzten lvth-

rechten Kathete 1,27 entspricht.

Auch hier wird wegen des gleichen specifischen Gewichts des Gewölbes und der Hintermauerung weder an den Belastungsverhältnissen noch an der Form der Widerstandslinie etwas geändert, wenn die zwischen der, in Fig. 4 und 5,

Taf. 4, punktirten und ausgezogenen äußeren Wölblinie gelegene Belastung als Hintermauerung und nicht als Gewölbe angeordnet wird. Sollte die Belastung etwa durch eine gerade Abgleichung der Hintermauerung etwas verändert werden, so läßt sich der Einfluß dieser Abänderung auf die Form der Stützlinie, sowie deren Zulässigkeit nach der bereits angegebenen graphischen Methode zur Verzeichnung derselben leicht prüfen.

1 2 3 4 5, deren einzelne Polhgonstücke auf den zugehörigen der Laibung des Gewölbes dargestellten Stoßfugen nicht nur Bogen senkrecht stehen, s. Fig. 3. Dieser gebrochenen Lagerfuge entspricht ein? aus ebenso vielen Theilen bestehende Lagerfläche, deren einzelne Theilflächen die gleiche, jenen Polhgonstücken entsprechende Neigung haben. Wird jeder Absatz, z. B. 1 2, 2 des in einzelne Streifen zerlegten Gewölbes bis zur geraden Linie 1 2 ausgefüllt, so ändert sich hierdurch die Verticalprojection der Lagerfugen nicht, da z. B. der Schenkel 1 2, sich hierbei als Punkt projicirt, mithin der Schenkel 2, 2 in Fig. 4 den Schenkel 2 3 in Fig. 3 deckt.

Wählt man nun diese Absätze unendlich klein, so geht jene gebrochene Lagerfuge in eine stetige und die ihr zugehörige gebrochene Lagerfläche in eine windschiefe über. Da jede dieser stetig gekrümmten Lagerfugen die auf einander folgenden, unendlich dünnen Gewölbelemente unter rechten oder, behufs einfacherer Ausführung, unter gleichen, nur annähernd rechten Winkeln schneidet, so bilden diese Fugen Curven, welche sich wie Schraubenlinien um die Gewölbfläche winden und hierbei dessen Chlinderelemente beziehungsweise unter veränderlichen oder constanten Winkeln schneiden. Hiernach :

sind die schiefen Gewölbe mit veränderlichem Fugen- mit dem Horizonte einschließt, so ist Winkel und die schiefen Gewölbe mit constantem Fugenwinkel zu unterscheiden.

im Raum, sondern auch im Aufriß senkrecht schneidet. Da nämlich jede Stoßfuge zur Stirnebene, mithin zur verticalen Projectionsebene parallel ist, so steht jede zu ihr normale Linie, wie die Lagerfuge, auch in der Verticalprojection zu ihr senkrecht. Verbindet man daher, wie in Fig. 3, Taf. 5, geschehen, die Punkte 1, 2, 3, 4, 5 der halbkreisförmigen Stoßfugen mit den ihnen zugehörigen Mittelpunkten, so erhält man die Verticalprojection 1 2 3 4 5 der Lagerfuge.

Die auf diese Weise construirte Lagerfuge ist gebrochen und nähert sich der wahren, stetig verlaufenden um so mehr, je dünner die Gewölbstreisen sind, in welche man sich das Gewölbe zerlegt denkt. Da aber die letzteren immer noch eine meßbare Breite haben müssen, so ist die construirte Lagerfuge immer nur annähernd richtig und für den Fall, daß die Genauigkeit der letzteren nicht ausreicht, der analytische Weg einzuschlagen.

Bezeichnet man mit x und y, s. Fig. 5, Taf 5, die Coordinaten des kreisförmigen Stirnbogens, mit r dessen Radius, mit w den Winkel, welchen eine Lagerfuge desselben

I Die schiefen Brückengewölbe mit veränderlichem Fugenwinkel.

1) Theorie der schiefen Brückengewölbe mit veränderlichem Augenwinkel.

In der Praxis bilden die Stirnbogen der meisten schiefen Gewölbe Halbkreise, mithin die zu ihren Achsen normalen Schnitte halbe Ellipsen oder Theile von halben Ellipsen. Unter dieser Voraussetzung ist zu bestimmen

x — r(1 — cosw) und y — r.sinw, .    (131)

woraus durch Differentiation

dx = rsinwdw und dy = r.coswdw (132; erhalten wird. Werden beide Werthe dividirt, so ergiebt sich die Differentialgleichung des Stirnbogens

dy cosw

dx    sin w

— cotg w — tg (90 — w)..    (133)

Da nun die Verticalprojection der Lagerfuge senkrecht auf dem Stirnbogen steht, so erhält man aus der Relation (133) die Differentialgleichung der orthogonalen Trajectorie

dy _

d x

— — tg w . (134)

a) die Vertical- und Horizontalprojection der schiefen Brückengewölbe mit veränderlichem Fugenwinkel.

Die Verticalprojection dieser Gewölbe erhält man am einfachsten durch Construction, indem die Lagerfuge die auf

cos² w d w

tg(90 — w)

und hieraus, wenn der Werth von dy aus Gleichung (132) sinw

und tgw =

cosw

dx = —

gesetzt wird,

r cos² wdw

tgw

sinw

.    . (135)

Durch Integration ergiebt sich

sin w

-/

(1 — sin² w) d w

sin w

sinw

r Jsin²wdw. .    .

. (136

mithin, wenn dieselbe ausgeführt wird,

x — — rlogtg-^--rcosw -f- Const. (137)

w    1    w    w

tg ~ -w ' mithin log tg -g- = — log cotg

cotg ~Y

gesetzt werden kann, so erhält man durch dessen Einführung in Gleichung (137)

- (138)

Setzt man, um die konstante zu bestimmen, w =

— 90° und x = r, so folgt aus Gleichung (138) r — Const.,

mithin aus Gleichung (138) die Abscisse der zu dem Winkel w gehörigen Verticalprojection der orthogonalen Trajectorie:

x = rlogcotg

— r cos w + Const.

(139)

r. log cotg 'J .    .

Die Discussion dieser Gleichung ergiebt für die Gestalt der projicirten orthogonalen Trajectorie folgende Anhaltspunkte:

Für w — 0 wird

. - (141)

— 45° und x — 0,

„ W = 7T

-00.

Diese in Fig. 6, Taf. 5, dargestellte Curve besitzt daher zwei, zu einer durch den Mittelpunkt des halbkreisförmigen Stirnbogens gelegten Lothrechten symmetrische Zweige, hat in dessen Scheitel einen Rückkehrpunkt und schneidet auf beiden Seiten jener Lothrechten die Abscissenachse in der Unendlichkeit.

Für Brigg'sehe Logarithmen, wovon der Neper'sche Logarithmus der Basis log 10 — 2,302585 beträgt, erhält man aus Gleichung (141)

T    w

t = r Log cotg i

x — r. log cotg ~—f-r(l — cos w).    .    (140)

Hierin stellt nach Gleichung (131) das letzte Glied die Abscisse xs des Stirnbogens dar, mithin sind die Abscissen der projicirten Lagerfugen, wenn dieselben vom Stirnbogen ab aufgetragen werden,

t —

— 0 und x —

= 90» wird ~ = -

71    W    TV

„ w > wird ^ > -j-/ daher x negativ,

— 180° wird    —90», daher x —

.log 10, .... (142)

aus Gleichung (140)

x = t -(- x₃ = r Log cotg " log 10 + r (1 — cos w). (143) und hieraus, wenn man zu den Logarithmen übergeht,

Log t — Log. Log cotg ~ -f- Log. r log 10,. (144)

worin das letzte Glied eine Constante darstellt.

Die Lagerfugen, sowie deren Berticalprojectionen haben nach dem Vorstehenden zwischen denselben wagrechten Chlin-derelementen den gleichen Verlauf. Hat man daher die durch den Scheitel des Stirnbogens gehende Lagerfuge construirt, oder mittels der Coordinaten aufgetragen, so findet man daraus alle übrigen Lagerfugen, wenn man durch deren höchsten und tiefsten Punkt Horizontale zieht und dieselben so weit verlängert, bis sie jene erstere Lagerfuge schneiden. Der durch die so erhaltenen Schnittpunkte begrenzte Theil derselben bildet die gesuchte Lagerfuge und ist nur wagrecht, soweit als nöthig, zu verschieben. Diese Verschiebung wird, insbesondere bei dem Aufträgen vieler Lagerfugen, wesentlich durch die Anfertigung einer, nach der Form jener durch den Scheitel des Stirnbogens gehenden Lagerfuge ausgeschnittenen, Schablone erleichtert, welche man auf der Basis des Gewölbes wagrecht so lange zu verschieben hat, bis der in dem Stirnbogen gelegene Anfangspunkt jeder Lagerfuge erreicht ist. Da für die linke Hälfte des Gewölbes der rechte und für die rechte Hälfte des Gewölbes der linke Zweig der projicirten Lager-fuge in Anwendung koinmt, beide Zweige aber vollkommen symmetrisch sind, so genügt es, die Schablone nur für den einen derselben anzufertigen und für den anderen wagrecht umzukehren.

Die zu einer Lagerfuge der inneren Wölbfläche gehörige Lagerfuge der äußeren Wölbfläche bildet die Durchschnittslinie der windschiefen Lagerfläche mit der äußeren Fläche des Gewölbes. Man erhält daher einen beliebigen Punkt derselben durch Verlängerung des zugehörigen Radius bis zur äußeren Wölbfläche. Da alle diese Radien zur Stirnfläche parallel sind, so sind alle diese Verlängerungen genau der Gewölb-dicke gleich. Zusammengehörige, in der innern und äußern Wölbfläche liegende Punkte einer Lagerflächehaben mithin gleiche, zur Gewölbachse parallele Abstände von einer und derselben Stirnebene und die ihnen zugehörigen Bogen der Stoßfugen verhalten sich, wie die ihnen zugehörigen Radien. Selbstverständlich schneidet die so erzeugte Lagerfuge der äußeren Gewölbfläche die zur Gewölbstirn parallelen Stoßfugen nicht mehr unter rechten Winkeln.

Sind sämmtliche Lagerfugen der Berticalprojection in der einen oder andern Weise ausgetragen, mithin deren Schnittpunkte mit den halbkreisförmigen Stoßfugen bekannt, so erhält man deren Horizontalprojection, wenn jene Schnittpunkte auf die entsprechenden parallelen und geraden Horizontalpro-jectionen der Stoßfugen übertragen und hierauf die so erhaltenen, zueinandergehörigen Schnittpunkte des Grundrisses miteinander verbunden werden. Ist dieses geschehen, so laufen die Lagerfugen von Stirn zu Stirn und theilen im Grund-und Aufriß die innere Gewölbefläche in durchlaufende Streifen ab, während die Stoßfugen innerhalb dieser letzteren abwechseln und sie in Theile zerlegen, welche die Laibungsflächen der einzelnen Wölbsteine darstellen.

Construction der Gewölbsteine der schiefen Brückengewölbe mit variablem Fugenwinkel.

Da letztere Flächen von den bekannten Lager- und Stoßfugen der einzelnen Wölbsteine begrenzt werden, so enthält der Grund- und Aufriß alle zur Darstellung dieser Flächen erforderlichen Abmessungen. Zieht man im letzteren durch die Endpunkte der beiden Stoßfugen radiale Linien bis zur äußeren Gewölbfläche, s. Fig. 16, Taf. 5, so stellt die so gewonnene Berticalprojection außerdem die beiden Stoßflächen abcd und efgh jedes Steins in ihrer wahren Gestalt und gegenseitigen Lage dar. Die sich an dieselben anschließenden Lagerflächen aecg und bfdh denkt man sich dann durch

toj cj

b = r. cos ct

setzt.

(148)

dy

Gerade erzeugt, welche stets parallel zur Stirnfläche und senkrecht zur inneren Wölbfläche sich längs der Lagerfugen dH und cg fortbewegen. Man erhält dieselben, wenn man die Laibungsfläche cdgh, Fig. 16 und 17, Taf. 5, jedes Wölbsteins zwischen den Stoßfugen durch eine hinreichende Anzahl zur Stirnfläche paralleler Ebnen schneidet, durch die Schnittpunkte dieser Ebenen mit den inneren Lagerfugen die zugehörigen Radien zieht und dieselben so weit verlängert, bis sie die entsprechenden Durchschnittslinien der äußeren Wölbfläche schneiden. Durch Verbindung der so gebildeten äußeren Schnittpunkte erhält man. die Lagerfugen ae und bf in der äußeren Gewölbfläche und hiermit die vollständige Begrenzung eines Wölbsteins.

Die Horizontal- und Verticalprojection der inneren Wölbfläche zeigt, daß die Breiten der zwischen je zwei Lagerfugen befindlichen Gewölbstreifen sich fortwährend ändern und daß, wenn dieselben in der vorderen Stirn einander gleich sind und ohne Unterbrechung bis zur hinteren Stirnfläche durchlaufen, an dieser die Gewölbsteine auf der einen Seite so dünn und auf der anderen Seite so dick werden müßten, daß deren Herstellung practisch unausführbar wäre. Da hiernach die Anordnung gleich starker Wölbsteine in den Stirnen und ununterbrochen von Stirn zu Stirn durchlaufender Lagerfugen unvereinbar ist, so behält man meist die Eintheilung der Stirnen in eine Anzahl gleich starker Wölbsteine bei und setzt die zugehörigen Lagerfugen da ab, wo sie sich einander so sehr nähern, daß die dazwischen befindlichen Wölbsteine eine zu geringe, practisch unausführbare Stärke erhalten müßten.

An diesen Stellen sind also einzelne Wölbsteine erforderlich, die durch mehrere Wölbschichten reichen, und gegen welche sich die von den entgegengesetzten Stirnen ausgehenden Lagerfugen absetzen.

Obwohl sich auf diese Weise der Steinschnitt des schiefen Gewölbes vollkommen bestimmen und jeder Wölbstein desselben heraustragen und bearbeiten läßt, so erleichtert doch die Abwickelung der Wölbflächen nicht nur die Anordnung des ebenerwähnten Steinschnitts, sondern sie führt uns auch auf eine Vereinfachung desselben bei Gewölben, welche keinen vollen Halbkreis zum Stirnbogen, also auch keine so große Verschiedenheit in den veränderlichen Winkeln haben, unter welchen deren Lagerfugen die zur Gewölbachse parallelen Chlinderelemente schneiden.

c) Die Abwickelung der schiefen Brückengewölbe mit variablen Fugenwinkeln.

«) Die Abwickelung der Gewölbflächen.

Die Abwickelung der inneren Wölbfläche bietet keine Schwierigkeit, wenn man mit Hilfe der gleichweitentfernten Theilpunkte des Stirnbogens den zur Gewölbachse senkrechten elliptischen Schnitt construirt und mittels der einzelnen, so erhaltenen ungleichen Bogenlängen die zur Gewölbachse parallelen Chlinderelemente aneinander reiht. Die Summe dieser Bogenlängen ergiebt den Umfang der halben Ellipse, welche durch die Annäherungsformel,

— 1,6467 . a + 1,4949 b ....    (145) worin

(146)

die halbe große Achse und (Ul)

die halbe kleine Achse der Ellipse bezeichnet, controlirt werden kann. Werden die Enden der so erhaltenen, abgewickelten Chlinderelemente durch die zur Gewölbachse senkrechten, durch die Horizontalprojection jener im Stirnbogen enthaltenen Theilungspunkte der Gewölbsteine geführten Linie geschnitten, so ergeben sich die abgewickelten Stirnbogen und mit ihnen sämmtliche, zu ihnen parallele, abgewickelte Stoßfugen. Ist diese Construction richtig ausgeführt, so sind die auf den Stirnbogen durch die Chlinderelemente abgeschnittenen Bogenstücke untereinander und jenen Bogenstücken gleich, in welche der Stirnbogen getheilt ist. Auch das Uebertragen der Lagerfugen in die Abwickelung auf constructivein Wege hat keine Schwierigkeit, sobald man die Länge des zugehörigen Kreis- oder elliptischen Bogens kennt und diese von der Kämpferlinie ab, beziehungsweise auf einem der beiden Stirnbogen oder auf einer abgewickelten Stoßfuge abträgt oder normal zu jener Kämpferlinie aufträgt. Obwohl dies Berfahren bei einer zur Bestimmung jeder abgewickelten Lagerfuge hinreichenden Zahl von Punkten ohne Weiteres und mit aller wünschenswerthen Genauigkeit ausgeführt werden kann, so ist es doch gerade in diesem Falle sehr zeitraubend und wird besser durch das Aufträgen der algebraisch ermittelten, abgewickelten Lagersuge erß) Analytische Bestimmung der abgewickelten Lagerfuge.

Bezeichnet man mit cp den Winkel, welchen die Tangente an einen beliebigen Punkt x, y des abgewickelten Stirnbogens, s. Fig. 7, Taf. 5, mit einer zur Kämpferlinie A X Normalen einschließt, so folgt mit Bezug auf die Bezeichnungen jener Figur dx

= tgy.

Behalten «, w und r ihre frühere Bedeutung, so ergiebt sich aus der Figur

x — r sin a — r cos w sin a — rsin a(l — cos w) (149) und der zu dem Winlel w gehörige Bogen für den Radius r s = r.w.

Durch Differentiation erhält man aus Gleichung (149), worin das erste Glied constant ist,

oder, wenn man deren Glieder trennt,

dx — r sin # sin w d w

. . (151)

dx =-

+ r sin «. sin w. d w. (157)

und aus Gleichung (150)

ds = rdw, .

- - (152)

mithin, wenn man

dy = Y d s² — d x²

setzt und die Werthe von dx und ds aus Gleichung (151) und (152) einführt,

sin a sin w Hieraus ergiebt sich durch Integration

siim "    J — r sin a. cos w -f- Const. (158)

dy — rdwy^l— sin²a.sin²w. .

. (153)

Führt man den Werth von dx aus Gleichung (151) und von dy aus Gleichung (153) in Gleichung (148) ein, so ergiebt sich die Differentialgleichung des abgewickelten Stirnbogens

Setzt man, um die Constante zu bestimmen, w — 90°, in welchem Falle X — r. sin a wird, so ergiebt sich aus Gleichung (158)

r sin ct = —

sin« '    1 — r.sin«.0 + Const,

Mithin

dx

dy

= tgf/> =

sin «. sin w

. (154)

yl — sin² a. sin² w Auf dem abgewickelten Stirnbogen steht die abgewickelte Lagerfuge senkrecht: eine Bedingung, welche sich aus Gleichung (148) ergiebt, wenn man setzt

Const. — r sin«

und wenn dieser Werth in Gleichung (158) eingeführt wird, die dem beliebigen Lagerfugenwinkel w entsprechende Abscisse der abgewickelten Lagerfuge

x — r sina(l — cosw)--— .log.tg

.    (159)

dx

Hierin bezeichnet nach Gleichung (149) das erste Glied die auf die Kämpferlinie AX als Coordinatenachse bezogene Abscisse x₃ des Stirnbogens, man erhält mithin für den beliebigen, durch Gleichung (150) bestimmten Bogen s den Abstand eines Punktes der abgewickelten Lagerfuge von jenem Stirnbogen aus

. - (155)

dy

Wird der Werth von dy aus Gleichung (153) und von tg<p aus Gleichung (154) eingeführt, so ergiebt sich die Differentialgleichung der abgewickelten Lagerfuge

tgrp

dx = — Wird hierin

dy__

tgfjp

r (1 — sin² a. sin² w)dw

sin «. sinw

, (156)

siruK l0^ - -    •

. . (160)

— ¹⁽>g.tg-|(- = log 1 — log.tg ~ = log.

w

tgT

= log. cotg

gesetzt, so ist, wenn dieser Werth in Gleichung (160) eingeführt wird,

sincT l0g-C0tg

£ KM

. . (161)

mithin für Brigg'sche Logarithmen, worin der Neper'sche Logarithmus der Basis log 10 — 2,302585 beträgt, die Abscisse: rlog 10

sin«

und deren Brigg'scher Logarithmus r log 10

+ Log. Log cotg (163)

Discutirt man, um ein Bild von der abgewickelten Lagerfuge zu erhalten, die zusammengehörigen Gleichungen (150) und (160), so erhält man für

Logt — Log.

sin cf

•Log cotg~ .    .

0 die zusammengehörigen Werthe s = 0 unb t = oo

. (162)

(164)

90 „

w = 180 „    „

In der Abwickelung wächst mithin die Abscisse der Lagerfuge vom Scheitel des Stirnbogens ab, wo sie Null ist, auf der positiven und negativen Seite bis ins Unendliche, ist auf beiden Seiten zum Stirnbogen symmetrisch und hat die beiden Kämpferlinien zu Asymptoten, wie die in Fig. 8, Taf. 5, enthaltene Darstellung zeigt.

£ KM

„ t — 0,

. (165)

(166)

„ S = 71    „ t — - CO,

Die Abscisse x der abgewickelten Lagerfuge der äußeren Gewölbfläche setzt sich zusammen aus derjenigen xs ihres abgewickelten Stirnbogens und dem parallel zur Gewölbachse gemessenen, bekannten Abstande t der Lagerfuge der inneren Gewölbfläche von ihrem abgewickelten Stirnbogen. Für den Radius rt der äußeren Gewölbfläche ergiebt sich aus Glei-

chung (149) analog die Abscisse ihres abgewickelten Stirnbogens parallel sind, so sind auch die denselben entsprechenden Theile xs' — r₁sin«(l — cosw), .    .    .    (167)

mithin, da bei dem nämlichen Gewölbe a und bei den nämlichen Lagerflächenwinkeln w desselben der Factor von r, derselbe bleibt wie bei der durch Gleichung (149) gegebnen Abscisse xs des abgewickelten inneren Stirnbogens, durch Division von Gleichung (149) in Gleichung (167)

xj — xs

ri

(168)

Man erhält mithin die Abscisse der abgewickelten, äußeren Lagerfuge

der abgewickelten Lagerfugen parallel. Man erhält mithin aus der in Bezug auf einen Stirnbogen construirten abgewickelten Lagerfuge der inneren oder äußeren Wölbfläche, ähnlich wie bei der, Verticalprojection der Lagerfugen, einfach durch eine zu den Kämpferlinien parallele Verschiebung jener abgewickelten Lagerfuge alle übrigen Lagerfugen und empfiehlt sich auch hier die Anfertigung einer, zum Auftragen sämmtlicher abgewickelter Lagerfugen dienenden, Schablone, wie sie z. B. in Fig. 5 und 6 dargestellt ist.

X = t + x/,

. . (169)

y) Construction der abgewickelten Lagerfuge.

welche successive von den entsprechenden Theilungspunkten des abgewickelten Stirnbozens aus parallel zur Gewölbachse aufzutragen sind. Ist dies geschehen, so lassen sich nunmehr die von dem rechten Winkel abweichenden Winkel erkennen, unter welchen die abgewickelten Lagerfugen der äußeren Gewölbfläche die Stoßfugen schneiden.

Die Abscisse der abgewickelten Lagerfuge einer zweiten Gewölbfläche mit dem Radius ergiebt sich durch analoge Ableitung für den Schrägungswinkel « und Lagerfugenwinkel j AB CM, s. Fig. 9, Taf. 5, welche, in einem ^beliebigen Punkt w aus Gleichung (162)    M des Stirnbogens, die Tangente M B des Lckirnbogens, die

zur Ebene des Stirnbogens parallele Linie A M und die zur Kämpferlinie parallele Linie M C bilden, so schließen, wie die Darstellung in Fig. 9, Taf. 5, zeigt, die Kanten

Sind jene, zu den Kämpferlinien parallelen Cylinderelemente hinreichend schmal gewählt, so läßt sich die abgewickelte Lagerfuge auch aus den einzelnen Schenkeln jener verschiedenen Winkel zusammensetzen, unter welchen diese Cylinder-elemente von der Lagerfnge geschnitten werden. Betrachtet man, um diesen veränderlichen Schnittwinkel y, den sogenannten Fugenwinkel zu bestimmen, die dreikantige Ecke

r, log 10

. Log. cotg.    .

mithin für denselben Schrägungswinkel und für die gleichen Lagerfugenwinkel der abgewickelten inneren und äußeren Wölbfläche durch Division der Gleichung (162) in (170)

t' =

sin «

. (170)

t'

woraus folgt, daß

. : (i7i)

t übertrifft, aber demselben proportional ist. Hat man also für die innere Wölbfläche irgend eines schiefen Gewölbes die den Winkeln « und w entsprechenden Werthe von x berechnet, so ergeben sich die Abscissen x der Lagerfuge jenes zweiten Gewölbes durch Multiplication mit dem Quotienten

des Radius der ersteren in den Radius der zweiten Wölbfläche.

Da die Stoßfugen sowohl der inneren, als der äußeren Wölbfläche dem zugehörigen Stirnbogen derselben innerhalb der gleichen, zu den Kämpferlinien parallelen Cylinderelementen

cos B A C —

A M und B M den Winkel 90 — w,

BM „ MC „

AM „    CM „

ein. Beschreibt man von dem Punkte M, s. Fig. 10, Taf. 5, als Mittelpunkt einer Kugel, aus mit dem Radius 1 die jenen Winkeln entsprechenden Bogen eines sphärischen Dreiecks, so liegt der Kantenwinkel 90 — y dem Flächenwinkel BAC gegenüber, welchen die Ebene BMA des Stirnbogens mit der zur Ebene der beiden Kämpfcrlinien parallelen Ebene AM C einschließt, während die Kantenwinkel 90 — w und 90 — a diesem Winkel anliegen. Da nun die Stirnbogenebene lothrecht und die Ebene der Kämpferlinien wagrecht ist, so ist der Flächenwinkel BAC ein Rechter. Es findet aber nach den Entwickelungen der sphärischen Trigonometrie*) zwischen jenen 3 Kantenwinkeln 90 — w, 90 90 — a und diesem Flächenwinkel BAC, welchen die Seiten B A und AC des sphärischen Dreiecks miteinander einschließen, allgemein die Beziehung statt

90 — y, 90 — «

Yf

cos (90 — y) — cos (90 — w) cos (90 — «) _ sin y — sinw. sin«

cosw.cos«

ergiebt. Hieraus folgt, daß an der Kämpferbasis, für welche w = o, sin y = 0 und mithin auch der Fugenwinkel y = 0

sin (90 — w) sin (90 — «)

. . (172)

woraus sich, da Winkel BAC ein rechter ist, sin y— sin w. sin«

cos w.cos a

mitbin

sin y = sin«.sinw .

.    (173)    2. S. 6. Forniel 4.

*) Vgl. u. A. Francoeur, übersetzt von Külp, Sphär. Trig. II.

und in dem Scheitel, für welchen w — 90, also sin w — I ist, sin y — sin a und y = «, also der Fugenwinkel dem Schrägungswinkel des Gewölbes gleich wird. Aus Gleichung (173) läßt sich der veränderliche Fugenwinkel y entweder durch Rechnung oder durch die in Fig. 11, Taf. 5, dargestellte Construction finden. Beschreibt man nämlich mit dem Radius r den Quadranten AB und trägt in denselben den con-stantcn Schrägungswinkel a und den veränderlichen Lagerfugenwinkel w mit der in der Figur angegebenen Lage ein, so erhält man sofort r.sinw und, indem man mit diesem als Radius einen dem Centriwinkel a entsprechenden Kreisbogen beschreibt, den Werth r. sin w. sin a, welcher dem Sinus des veränderlichen Fugenwinkels r. sin y gleich ist, ;u welchem sich der letztere auf die in der Figur angegebene Weise leicht construiren läßt. Construirt man diesen veränderlichen Fugenwinkel für sämmtliche, jenen einzelnen Lagerfugenwinkeln w entsprechende Cylinderelemente, so läßt sich auf die in Fig.

5 der Taf. 6 durchgeführte Weise von dem Stirnbogen ab eine abgewickelte Lagerfuge zusammensetzen, welche gebrochen ist und jener exacten, durch Berechnung gefundenen, abge-wickelteit Lagerfuge um so näher kommt, je schmäler man die Cylinderelemente wählt.

tu... im Aufriß, Fig. 9, Taf. 6, entsprechen, beziehungsweise von vorn nach hinten und von hinten nach vorn auftragen, wodurch sich die Lagerfugen c g und d h der Laibungsfläche ergeben und damit auch diese letztere sammt ihrer ch-lindrifchen Krümmung bestimmt ist. Schlägt man an diese letztere eine Schmiege, Fig. 11, Taf. 6, deren untrer Schenkel nach der Wölbfläche gekrümmt und deren obrer Schenkel gerade ist und auf dem ersteren senkrecht steht, in verschiedenen Lagen, parallel zu den Stoßflächen an, so zeigt ihr gerader Schenkel die jeder dieser Lagen entsprechende Richtung der windschiefen Lagerfläche bfdh oder acg, Fig. 11, Taf. 6, an. Die Rückenfläche ab es des Gewölbsteins wird entweder der inneren Laibungsfläche ähnlich, oder, wie bei den meisten schiefgcwölbten Brücken, gar nicht bearbeitet^ sondern bleibt rauh. Die in Fig. 11 enthaltene, aus den Figuren 9 und 10 abgeleitete perspektivische Darstellung des Gewölbsteins und seines kleinsten parallelepipedischen Umschließungskörpers dient dazu, die Bearbeitung, sämmtlicher Eegrenzungsflächen des Gewölbsteins in ihrem Zusammenhange darzustellen, zu welchem Zwecke darin die entsprechenden Punkte mit den gleichen Buchstaben bezeichnet sind.

2) Berechnung und Construction eines aus Quadern bestehenden schiefen Briickcugewölbes mit halbkreisförmigem Stirnbogeu und variablem Fugenwinkel.

(Siehe Taf. 5, Fig. 12 bis 17 und Taf. 6, Fig. 1 bis 11.) Beträgt dessen

zur Stirn parallele Spannweite 1 — 15,5 Met., Normalabstand der Stirnen 20 Met.,

Schnittwinkel der Straßen- und Brückenachse 60°, Gewölbstärke 2,5 Met.*),

Zahl der Wölbsteine 19, so wird der

Radius des inneren Stirnbogens

r --- U;' = 7,25 Met.,

Radius des äußeren Stirnbogens

i’j — 7,25 + 2,5 — ,9,75 Met., Schrägungswinkel des Gewölbes « — 90 — 60 — 30°.

d) Bestimmung der kleinsten parallelepipedischen Umschließungskörper und Bearbeitung der Wölbsteine des schiefen Brückengewölbes mit variablem Fugenwinkel.

a) Die Vertieal- und Horizontalprojection.

Die Verticalprojection der Lagerfuge der inneren Wölbfläche ergiebt sich aus den Gleichungen (143) und (142) ihrer Abscisse, wovon die erstere auf die Ordinatenachse, die letztere auf den Stirnbogen bezogen ist. Wird der Werth von r

Stellt abedefgh, s. Taf. 6, Fig. 9, wieder die in Fig. 16, Taf. 5, bereits entwickelte Berticalprojection eines Wölbsteins dar, so erhält man den kleinsten parallelepipedischen Umschließungskörper, wenn man um jene Verticalpro-jeetion das kleinste, umschließende Rechteck legt und den Abstand der vorderen und Hinteren, lothrechten Stoßfläche des Wölbsteins jenem Prisma zur Tiefe giebt. Verbindet man zu diesem Zweck die äußersten Punkte e, b der Rückenfläche a b e f mit dem Mittelpunkte O, halbirt den durch die Schenkel b O und e O gebildeten Winkel und zieht zu dessen Mittellinie OM parallel durch e und b die Seiten i 1 und km und zu denselben normal durch a und g oder h die Seiten ik und lm, so ist jenes kleinste Rechteck und damit der ganze Umschließungskörper bestimmt, welcher sich jetzt auch auf die in Fig. 10 enthaltene Horizontalprojection übertragen läßt.

*) Die Gewölbstärke ist abfichtlich stärker als nöthig gewählt worden, um den Unterschied in dem Verlaufe der Lagerfugen der inneren und äußeren Gewölbfläche deutlicher zu zeigen.

Die Bearbeitung des Gewölbsteins beginnt mit derjenigen der Borderfläche im und Hinterfläche nq, Fig. 10, Taf. 6, auf welche die beiden Stoßflächen ab cd und efgh nach Form und gegenseitiger Lage aufgetragen werden. Von den unteren Bogen cd und gh derselben (Fig. 9 und 10) lassen eingeführt, so ergiebt sich beziehungsweise sich mit Hilfe des Schrägungswinkels a — 30" des Gewölbes die im Grundriß unverkürzten Längen rs... und tu...,

Fig. 10, Taf. 6, welche den verkürzten Längen rs... und

Tabelle zur Berechnung der Abscissen der Verticalprojection der Lagerfugen des schiefen Gewölbes.

Logcotg ₂

x„

Nr. der Lagerfläche.

Werthe von

0COOO<IOiOi|^O5lCMO

GO

00

9° 28'25"

18° 56' 50" 28° 25'14" 37° 53' 41" 47° 22'04" 56° 50'28" 66° 18'52" 75° 47'22" 85° 15'46"

4° 44'12" 9° 28'25" 14° 12'37" 18° 56'50" 23° 41'02" 28° 25'14" 33° 9'26" 37ö53'51" 42° 37'53"

90'

45°

1,0816588 0,7776239 0,5964764 0,4643293 0,3578920 0,2666679 0,1848676 0,1088357 0,0359485 0,0000000

18,057

12,981

9,957

7,751

5,974

4,452

3,086

1,817

0,600

0,ooo

0,000

0,099

0,393

0,874

1,529

2,340

3,285

4,338

5,470

6,651

7,250

CO

18,156

13,374

10,831

9,280

8,314

7,737

7,424

7,287

7,251

7,250

t = rLog.cotg-^ log. 10 — 7,25. Log.cotg -^-.log 10, ferner xs — r(l — cosw) — 7,25 (1 — cosw)

or

X = t 4- Xs = 7,25. Log.cotg . log 10 + 7,25 (1 — cos w).

blonc erhält man hierauf den in Fig. 14, Taf. 5 und Fig. 1, Taf. 6, angegebenen Fugenschnitt, woraus die Horizontalpro-jectionen in der früher angegebenen, aus Fig. 13 und 15, Taf. 5 und Fig. 2, Taf. 6, ersichtlichen Weise abgeleitet sind.

Werden in diese Gleichungen nach und nach die den aufeinanderfolgenden Lagerfugen entsprechenden Winkel w eingeführt, so ergiebt sich vorstehende Tabelle.

Werden die in dieser Tabelle enthaltenen Abscissen aufgetragen, so ergiebt sich die in Fig. 12, Taf. 5 und Fig. 1,

b) Die Abwickelung.

Die vom abgewickelten Stirnbogen aus aufzutragenden Abscissen t der abgewickelten Lagerfuge ergeben sich aus der

Taf. 6, dargestellte Verticalprojektion der Lagerfugencurve, unter welcher die construirte gebrochene Lagerfuge um die, aus der ersteren Figur ersichtliche, Differenz zurückbleibt. Mit Hilfe dieser Lagerfugencurve und einer nach ihr angefertigten Scha-

Tabelle der Abscissen der abgewickelten Lagerfugen der iliileren Wölbfläche des schiefen Brückengewölbes.

Nr. der Gewölbst.

Logcotg-^-

Log.

Log.

Log cotg -q-

r log 10 Logt

Xs

sin a

0°

0°

CO

00

9° 28'25" 18° 56'50" 28° 25' 14" 37°53'41" 47° 22'04" 56° 50'28" 66° 18'52" 75° 47'22" 85° 15'46"

4° 44'12" 9° 28'25" 14° 12' 37" 18° 56'50" 23° 41'02" 28° 25' 14" 33°09'26" 37° 53'41" 42° 37'53"

1,52358

CO

CO

IO

90°

45°

1,0817

0,7783

0,5965

0,4643

0,3579

0,2665

0,1848

0,1088

0,0359

0,0000

0,0341 0,8911—1 0,7755—1 0,6668 — 1 0,5387—1 0,4259—1 0,2668—1 0,0367 — 1 0,5556—2

CO

11

11

11

11

11

11

11

11

1,5577

1,4147

1,2990

1,1903

IN    Tp    ^    O    N

t»    ei    o    o    cd    Q

t-    *<#    Ci    CD    t-    O

O    C5    fr-    IO    O    I

h    cT    cT    cT    cT    I

36,12

25,98

19,92

15,50

11,95

8,90

6,16

3,63

1,20

0,00

0,000

0,049

0,196

0,437

0,765

1,170

1,643

2,169

2,735

3,325

3,625

CO

36,169

26,176

20,357

16,265

13,120

10,543

8,329

6,365

4,525

3,625

Gleichung (163), welche nach Einführung der numerischen geht in Werthe übergeht in:

Log t — Log. Log. cotg + Log .

7,25.2,302585 sin 30°

siny — sin 30. sin w.

Werden wieder dieselben aufeinanderfolgenden Winkel w eingeführt, so ergiebt sich folgende

Werden die den aufeinanderfolgenden 9 Lagerfugen entsprechenden Winkel w nach und nach in diese Gleichungen eingeführt und den so erhaltenen Abscissen diejenigen des abgewickelten Stirnbogens

xs — rsin«(l — cos w) — 7,25. sin 30.(1—cosw)

hinzugefügt, so ergiebt sich vorstehende Tabelle.

Werden den hieraus gefundenen Abscissen t diejenigen des abgewickelten Stirnbogens der äußeren Wölbfläche

xa' — r' sin a(l — cos w) — 9,75. sin 30 (1 — cos w),

welche, mit Hilfe der zuvor ermittelten Abscissen xs des Stirnbogens der inneren Wölbfläche, einfacher aus der Gleichung

9,75

— -=—. xs 7,25

erhalten werden, hinzugefügt, so ergiebt sich nachstehende

Tabelle der Fugenwinkel des schiefen Brückengewölbes.

Nr. des Gewölb-steins.

sin w

sin 30. sin w =• siny

xs' =

r'

-- • Xs

Tabelle der Abscissen der abgewickelten Lagerfuge der äußeren Wölbfläche des schiefen Brückengewölbes.

fcS

0°

9° 28'25" 18° 56'50" 28° 25'14" 37°53'41" 47“ 22'04" 56° 50' 28" 66° 18' 52" 75° 47'22" 85° 15'46"

90°

0,ooooo

0,16453

0,32467

0,47597

0,61434

0,73568

0,83717

0,91574

0,96940

0,94657

1,00000

0,ooooo 0,08226 0,16233 0,23798 0,30717 0,36784 0,41858 0,45787 0,48470 0,49828 0,50000

0°

4°43'10" 9° 20' 32" 13°46'02" 17° 53'20" 21° 34'03" 24° 44'42" 27° 14'59" 28° 59' 34" 29° 53'10"

30°

Nr. des Gewölb-steins.

xs'

0°

co

9° 28'25" 18° 56'50" 28° 25'14" 37° 53'41" 47° 22'04" 56“ 50'28" 66° 18'52" 75° 47'22" 85° 15'46"

36,12

25,98

19,92

15,50

11,95

8,90

6,16

3,63

1,20

90°

0,oo

0,ooo

0,067

0,264

0,587

1,028

1,577

2,209

2,916

3,678

4,472

4,875

CO

36,187

26,244

20,507

16,528

13,527

11,109

9,076

7,308

5,672

4,875

Die Ermittelung der hier durch Rechnung gefundenen Fugenwinkel durch Construction ist in Fig. 6 auf Taf. 6 und deren Zusammensetzung zu der angenäherten, gebrochenen Lagerfuge in Fig. 7 und 5, Taf. 6, bewirkt, welche, wie sich aus derselben Figur ergiebt, von der durch Rechnung gefundenen, stetig verlaufenden Lagerfuge um so weniger abweicht, je größer die Zahl der Chlinderelemente ist, in welche die Ge-wölbfläche zerlegt war und je genauer die Construction und Zusammensetzung der Fugenwinkel bewirkt wurde.

Die Figuren 16 und 17 der Tafel 5 stellen den bei M in Fig. 14 durch Schraffirung hervorgehobenen, in der früher angegebenen Weise herausgetragenen Gewölbstein dar, wonach nicht nur die Größe des dazu erforderlichen Steinblocks bestimmt, sondern auch jeder erforderliche Anhaltspunkt zu seiner Bearbeitung gewonnen werden kann.

Werden die in den beiden letzten Tabellen enthaltenen Abscissen in der früher erwähnten Weise aufgetragen, so ergiebt sich die in Fig. 5 und 8, Taf. 6, dargestellte, abgewickelte Lagerfuge der inneren und äußeren Wölbfläche, nach welcher auch alle übrigen Lagerfugen dieser beiden abgewickelten Gewölbflächen eingetragen worden sind.

Um die Fugenwinkel der aufeinanderfolgenden Cylinderelemente durch Rechnung zu finden, benutzt man Gleichung 173), welche nach Einführung des bekannten Werthes über-

II. Die schiefen Brückengewölbe mit mittlerem, konstantem Fugenwinkel.

1) Theorie und Construction der schiefen Brückengewölbe mit mittlerem ronstantcm Fugenwinkel.

Die Ausführung der schiefen Gewölbe mit veränderlichem Fugenwinkel wird durch das Heraustragen und die verschiedene Bearbeitung jedes einzelnen Wölbsteins so sehr erschwert, daß der Ingenieur in den meisten Fällen, wo von einem Rechten abweichende Schnittwinkel der Tracen vorkommen,

vorzieht, durch Verlegung entweder einer Achse oder beider i ist, der mittlere constante Fugenwinkel

(176)

Achsen einen rechten Schnittwinkel und somit ein gerades    ye — a_5°.

Gewölbe zu erhalten oder, wo die örtlichen Verhältnisse dies    ^    ,    *    .    .    ....

nicht gestatten oder zu sehr erschweren, durch Einführung    Dieser durch Rechnung bestimmte, mittlere, constante Fugen-

eines unveränderlichen Fugenwinkels, wodurch die Lager-    »inkel bedarf in den meisten und zwar in allen den Fällen,

fugen an der Laibung des Gewölbes Schraubenlinien und wo er nicht mit der gewählten Eintheilung der Gewölbschichten in deren Abwickelung parallele Gerade werden, den Stein-    übereinstimmt, einer durch die practische Ausführung bedingten

schnitt des schiefen Gewölbes möglichst zu vereinfachen.    Modification. Da die Lagerfugen mit constantem Fugen

a) Ermittelung des mittleren constanten Fugenwinkels.

Zu diesem constanten Fugenwinkel empfiehlt sich der, das arithmetische Mittel zwischen dem größten und kleinsten variablen Fugenwinkel ymax und ymin bildende, mittlere Fugenwinkel, welcher mithin, da der größte veränderliche Fugenwinkel im Scheitel dem Schrägungswinkel « des Gewölbes gleich wird, durch den Ausdruck

_ ¥max    ^min _ 0t —f- J'min

7c — - -

winkel in der Laibungsfläche des Gewölbes Schraubenlinien und in deren Abwickelung Gerade bilden, welche durch Theilungspunkte der beiden Stirnbogen des Gewölbes gehn müssen, s. Taf. 7, Fig. 1, 2 und 3, so ist, wenn der Schenkel bc des berechneten kleinsten, mittleren, constanten Fugenwinkels abc nicht durch je 2 solche gegenüberliegende Theilpunkte geht, der demselben am nächsten kommende, kleinere Fugenwinkel, welcher durch die soeben angegebene Construction hinreichend genau bestimmt werden kann, der Ausführung zu Grunde zu legen.

- (174)

bestimmt ist.

Die Einführung dieses mittleren, constanten Fugenwinkels und die damit verbundene Abweichung von dem theoretisch begründeten Steinschnitt bewirkt, daß

1)    die Richtung des Drucks auf die Lagerflächen des Gewölbes nicht mehr eine normale, sondern eine schiefe ist,

2)    dieser schiefe Druck, indem er sich in eine zur Lagerfläche des Gewölbes normale und eine zu derselben parallele, nach der Gewölbstirn hin gerichtete Seitenkraft zerlegen läßt, eine Verschiebung der Gewölbsteine auf ihren Lagerflächen gegen die Stirnfläche des Gewölbes hin zu bewirken sucht,

3)    diese Verschiebung entweder wirklich eintritt und dann, wenn nicht den Einsturz des Gewölbes, doch mindestens 'dessen Ausbauchung an den Gewölbstirnen zur Folge hat, oder

b) Ermittelung des kleinsten zulässigen Lagerfugenwinkels und des demselben entsprechenden, größten zulässigen Pfeilverhältnisses bei gegebenem Schrä-gungswiykel des Gewölbes.

Ist der Schrägungswinkel und kleinste Lagerfugenwinkel des Gewölbes bestimmt, so ergiebt sich nach Gleichung (173) . der dem letzteren entsprechende, größte Lagerflächenwinkel aus

sin y sin ct'

mithin, wenn y — « — ß gesetzt wird,

sin w —

sinw —

sin(a — ß)

sin«

- - (177)

. . (178)

4) diese Verschiebung, durch Reibungswiderstände verhindert, nicht eintritt und dann unschädlich ist.

Um daher, ohne Gefahr für die Sicherheit des Gewölbes, einen mittleren constanten Fugenwinkel einführen zu können, ist zu ermitteln, um wieviel derselbe von dem wahren Fugenwinkel abweichen darf, ohne ein Gleiten der Wölbsteine aus ihren Lagerfugen zu veranlassen. Bezeichnet man die größte zulässige Abweichung des veränderlichen Fugenwinkels am Scheitel und am Kämpfer des Gewölbes mit ß, so ergiebt sich aus

und, wenn ß — 10° angenommen wird,

sinw —

sin(« — 10)

sin«

. . (179)

woraus der kleinste Lagerflächenwinkel

sin (« — 10)

-) - (180)

gefunden wird. Aus dem Winkel wmin läßt sich das zugehörige, größte Pfeilverhältniß -j- des Stirnbogens des schiefen Gewölbes bestimmen. Bezeichnet r dessen Radius, so ist

Wmin — arc

^sin =

sin«

_ « + (« — ß)

- (175)

Nimmt man, da sich an Gewölben, bei welchen jene Abweichung ß — 16° betrug, schon Ausbauchungen zeigten, mit E. Hei der*) zu 10° an, so ergiebt sich, wenn « gegeben

7c —

sinw — —

-f

’t e

. . (181)

— f³

*) Vgl. Heider, Theorie schiefer Gewölbe. Wien 1846.

und da r = beträgt

-, mithin r

2f

sin w =

1 -f*

mr''

. . (182)

Wird diese Gleichung nach -j-~ aufgelöst, so erhält man,

wenn der durch Gleichung (179) gegebene Werth von sin w eingeführt wird, das größte gesuchte Pfeilverhältniß

li/i. 2 V 1

— sin w

. (183)

größten und kleinsten Schnittwinkel der Achsen von 80° und 20° entsprechende größte zulässige Pfeilverhältniß bezw.

und beträgt. Für zwischenliegende Werthe der Schrä-

gungs- und Schnittwiukel können die ihnen zugehörigen Werthe der größten zulässigen Pfeilverhältnisse durch Interpolation gefunden werden. Zu einem Schrägungswinkel von z. B. 52° 30' würde sich hiernach ein größtes Pfeilverhältniß von

1 -}- sinw "

Legt man dem Schrägungswinkel a nacheinander die Werthe 10, 20.... 90° bei, so ergeben sich nach dem Vorhergehenden die in nachstehender Tabelle berechneten Werthe

von ctu /c, sinw, w und 1.

7,i

ergeben.

«'

sin w

c) Ermittelung des größten zulässigen Schrägungswinkels des Gewölbes und des davon abhängigen kleinsten zulässigen Schnittwinkels der Bahn- und Gewölbachse, wenn das Pfeilverhältniß und der kleinste Lagerflächenwinkel des Gewölbes gegeben ist.

berechnet, rund

10

80

0,ooo

0°00'

0,500

15

75    10

0,336

19° 37'

0,352

Ist der Lagerfugenwinkel y und der Lagerflächenwinkel w bekannt, so läßt sich hieraus der entsprechende größte Schrägungswinkel « und kleinste Schnittwinkel «' der Achsen beider Traxen finden.

Aus der Relation (177) ergiebt sich, wenn für y der kleinste zulässige Fugenwinkel y = a — ß eingeführt wird,

20

70    15

0,509

30° 36'

0,285

sin cf —

sin (« — ß)

sinw

. . (184)

25

65    20

0,612

37044;

0,245

30

60

35

55    30

40

50    35

25    ! 0,684

i 0,737 0,777

43° 09'

47°30'

51° 00'

0,216

0,195

0,177

4,6

5,6

Wird für sin(a — ß) sein Werth gesetzt^ so ergiebt sich sin cf cos ß — cos cf sin ß

sin« —

sin w

. (185)

woraus

oder

sin cc (cos ß — sin w) = cos cc sin ß,

45

45    40    0,8i2

54° 18'

0,158

6,4

50

40    45

0,839

57° 00'

sin/S

cos ß — sin w ‘

Wird hierin wie früher ß — 10° gesetzt, so ergiebt sich sinß — 0,174 und cos/1 — 0,985, mithin die Relation

tanga —

. . (186)

0,147

6,8

55

35    50

0.863

59° 40'

0,135

7,4

60

30    55

0,884

62° 08'

0,121

8,2

65

25    60

0,904

64° 41'

0,112

70

20    65

0,921

67°00‘

0,ioi

1—4 ZD

10

Aus dieser Tabelle folgt, daß mit der Zunahme des Schrägungswinkels oder mit der Abnahme des Schnittwinkels der Achsen das Pfeilverhältniß abnimmt und daß das dem

0,174

. . (187)

in welche der in Gleichung (182) erhaltene Werth von sin w einzuführen ’ ist.

Nimmt man hierin das Verhältniß -j- — -1- als

das absolut kleinste zulässige Pfeilverhältniß an, so ist nach Gleichung (182)

tanga —

sinw —

0,985 — sin w'

Hi)⁸

1 st

(i)’

= 0,923,

und wenn dieser Werth in Gleichung (187) eingeführt wird

Nun ist

tanga —

0,174

0,985 — 0,923

— 2,806. . (188)

Bahn- und Gewölbachse

«' = 90 — « = 19-37', rot. 20»

Log 2,806 — 0,4480877 — Log tanga, mithin der bei einem schiefen Segmentbogengewölbe größte zulässige Schrägungswinkel

entspricht.

f

Setzt man noch successive -y- —

a = 70-23',

welchem der kleinste, überhaupt zulässige Schnittwinkel der

_1_ 1_ J.

10' 8' 7

welches letztere dem vollen Halbkreisgewölbe entspricht, so ergiebt sich nachstehende Tabelle für die demselben entsprechenden Schrägungs- und Schnittwinkel schiefer Segmentbogengewölbe.

sin w

tga

berechnet. abgerundet.

0,923

67-20'

2,806

70-23'

19-37'

20-

0,882

62-05'

1,694

59-27'

30-33'

30»

0,849

58-07'

1,278

51-58'

38-02'

38-

0,800

53-06'

0,941

43-15'

45-45'

46-

0,724

46-25'

0,667

33-42'

56-18'

56-

0,600

36-52'

0,452

24-20'

65-40'

66"

0,385

22-37'

0,289

16-06'

73-54'

74-

0-00'

0,177

10-03'

79-57'

80-

Aus dieser Tabelle folgt wieder, daß der Zunahme des Pfeilverhältnisses auch eine Zunahme des Schnittwinkels der

Achsen entspricht und daß die den Pfeilverhältnissen yjy-

entsprechenden Schnittwinkel von 20- und 80- zugleich

deren Grenzen für Segmentbogengewölbe mit mittlerem con-stantcm Fugenwinkel bilden. Für zwischenliegende Werthe der Pfeilverhältnisse lassen sich die zugehörigen Schnittwinkel auch hier durch Interpolation ermitteln, wonach z. B. dem

r~ der Schnittwinkel von nahe 34- 30'

und

Im ersteren Falle ergiebt sich aus Gleichung (187), wenn für sin w aus Gleichung (182) sein Werth und der Kürze halber das Pfeilverhältniß

gesetzt wird,

lang« —

0,985 -

0,174

(-!

— 4 cp

- (189)

1 -f- 4 (p

Pfeilverhältniß von

7,5

im letzteren Falle erhält man, wenn dieser Ausdruck in Bezug auf cp aufgelöst wird,

entspricht.

In vielen Fällen der Praxis wird weder der Schnittwinkel, noch das Pfeilverhältniß des Gewölbes genau gegeben, vielmehr ein passendes, den örtlichen Umständen entsprechendes Verhältniß zwischen beiden aufzusuchen sein, wobei es, falls Tabellen, wie die oben berechneten, nicht zur Hand sind, wünschenswerth erscheint, aus dem Pfeilverhältniß den entsprechenden Schrägungswinkel oder aus dem Schrägungswinkel das entsprechende Pfeilverhältniß ableiten zu können.

r = iV

0,015 tg a + 0,174

1,985 tg« — 0,174

- (190)

Gleichungen, aus welchen durch einigeVersuchsrechnungen das den örtlichen Bedingungen entsprechendste Verhältniß zwischen cp und « zu ermitteln ist.

Hat man beispielsweise für den Schrägungswinkel des Gewölbes die Wahl zwischen den Grenzwerthen a₁ — 30-und «„ = 40-, so ergiebt sich für beide Fälle beziehungsweise das Pfeilverhältniß

1    1 /0,015.0,839 + 0,174

2    X 1,985.0,839 — 0,174

woraus man das geeignetste mittlere Verhältniß ableitet.

7,45 Met.,

Of + /min 30 +• Yxoin

yc = -g--= ---

180 — 70

— 27°5'20",

0,015.0,577 + 0,174    1    ^-

1,985.0,577 + 0,174    2 ^ ,185    4,6

= °'¹⁷⁷ = 57'

und für w —

sich für

9,

und

2) Berechnung und Coiistriictiou eines aus Quadern oder aus Quadern und Ziegeln bestehenden schiefen Briicken-gewölbes mit kreisseginentsörmigem Slirnbogen und con-stantenl Fugenwinkel.

Siehe Taf. 7, Fig. 4 bis 16.

Beträgt dessen

zur Stirn parallele Spannweite 1 — 8,55 Met., Normalabstand der Stirnen 10 Met., Schnittwinkel der Straßen- und Brückenachse 60°, Centriwinkel des Stichbogens 70°,

Gewölbstärke d = l,is Met.,

Zahl der Gewölbsteine 17, so erhält man den Radius der inneren Wölblinie

8,55

70    2 sin 35°    2.0,574

sin . —=—

Radius der äußeren Wölblinie

R — r + d — 7,45 + 1,15 — 8,6 Met., Schrägungswinkel des Gewölbes

« = 90° — 60° — 30°.

a) Berechnung und Construction des schiefen Brückengewölbes.

Der mittlere konstante Fugenwinkel ergiebt sich aus Gleichung (174) der kleinste variable Fugenwinkel ymin für den kleinsten Lagerfugenwinkel = 55», nach Gleichung (173)

sin y,„i„ — sin er. sin wmin — sin 30°. sin 55°. Hieraus erhält man

/min = 24° 10'40",

mithin den berechneten, mittleren konstanten Fugenwinkel

30 + 24° 10'40"

—-!--

y V 0,i25

ein Werth, welcher von dem größten und kleinsten variablen Fugenwinkel nur um

30° — 27° 5'20" = 27o 5'20" _ 24° 10'40" = 2° 54'40" abweicht, also keine nachtheiligen Verschiebungen der Gewölb-steine nach den Gewölbstirnen veranlassen kann. Wird derselbe in die Abwickelung eingetragen, wie dies in Fig. 6 geschehen ist, so ergiebt sich der corrigirte, mittlere konstante Fugenwinkel.

Die Abscissen des abgewickelten Stirnbogens ergeben sich aus Gleichung (149), worin für r und « ihr Werth zu setzen und w zwischen den Grenzen 55 und 180 — 55 — 125° zu nehmen ist. Hiernach erhält man aus Gleichung (149)

x — r.sina(l — cosw) — 7,45. sin 30° (1 — cos w) — 3,725 (1 COS w)

55°;    X    —    3,725(1    — COS 55°) —    1,5875,

90°;    X    —    3,725(1     COS 90°) —    3,7250,

W —    125°;    X    —    3,725(1    — cos 125°) —    5,8625.

Wird, um diese auf den vollen Halbkreis bezogenen | Abscissen nicht vollständig auftragen zu müssen, die Abscisse 1,5875 des Anfangspunktes von ihnen abgezogen, so ergiebt

55°;    X    —    1,5875    —    1,5875    —    O,0000,

90°;    X    —    3,7250    —    1,5875    —    2,1375,

W —    125°;    X    =    5,8625    —    1,5875    -----    4,2750,

wie dies in Fig. 6    der Taf. 8 eingetragen    ist.

Da die in Fig. 4 und 5, Taf. 7, eingetragenen Stoßfugen des Gewölbes parallel zur Stirnfläche, mithin in der Abwickelung, Fig. 6, parallel zu dem darin dargestellten, abgewickelten Stirnbogen sind, so ist der Steinschnitt in dieser Abwickelung bestimmt und kann mit Hilfe der zur Gewölb-achse parallelen Cylinderelemente, welche in der Horizontal-projection, Fig. 5, und in der Abwickelung, Fig. 6, dieselbe Länge besitzen, sowohl in der Horizontalprojection als auch, söbald die Lagerfugen in diese letztere eingetragen sind, in der Vertikalprojektion dargestellt werden, wie dies beziehungsweise in Fig. 5 und 4 geschehen ist. Ist der Steinschnitt der inneren Gewölbfläche in der Vertikalprojektion bestimmt, so erhält man den in der letzteren Figur gleichfalls dargestellten Steinschnitt der äußeren Gewölbfläche, wenn man den zu irgend einem Fugenpunkte der inneren Gewölbfläche gehörigen Radius um die Dicke des Gewölbes verlängert.

Zacken etwas veränderte Steinschnitt der Kämpfer, welcher für alle Kämpfer, mit Ausnahme jener an den beiden Stirne», die ihre lothrechte Stirnfläche behalten, der nämliche bleibt.

b) Steinschnitt des schiefen Brückengewölbes.

C) Die Pfeiler der gewölbten Drucken.

Bei gewölbten Brücken mit uOeffnungen werden zwei der oberen und inneren Begrenzungslinie jener zu den an-    End- oder Landpfeiler und n — 1 Zwischen - oder Stirngrenzenden Ziegelschichten normalen Stoßflächen. Wird der Ab-    Pfeiler erforderlich, von welchen die ersteren dem einseitigen

stand bX nach es in Fig. 11 übertragen, welche in allen    Drucke der äußersten Gewölbe, die letzteren entweder nur dem

übrigen Theilen aus der Verticalprojection, Fig. 8, Taf. 7,    einseitigen Drucke eines Zwischengewölbes (starke Zwischenentwickelt ist, so ergiebt sich hierdurch der nur an deren    Pfeiler), oder wie gewöhnlich nur den größten Druckdifferenzen

Auf diese Weise ist der Steinschnitt in Auf- und Grundriß vollkommen bestimmt und jeder wünschenswerthe Anhaltspunkt für das Heraustragen und Bearbeiten der Gewölbsteine gegeben. So giebt Fig. 8, Taf. 7, die Verticalprojection eines Stirnstückes und einiger Kämpfer, Fig. 9 und 13 deren Hori-zontalprojection, Fig. 12 die aus Fig. 13 entwickelte Ansicht der Kämpfer von der Gewölbelaibung. Aus den in Fig. 8 und 12 eingetragenen Fugen qrs und tlv geht zugleich die Anordnung der gebrochenen Stoßflächen der Kämpfer deutlich hervor, welche unterhalb einer durch die Linie 0 IIIIII... des GewölbanfangS gelegten Horizontalebene durchweg loth-recht, oberhalb derselben unter dem Winkel tlO (Fig. 12) zur Horizontalen geneigt, mithin aus einer unten befindlichen, lothrechten Fläche von der Tiefe I w (Fig. 13) und der Höhe Iv (Fig. 13) sowie aus einer darüber befindlichen geneigten, paralleltrapezförmigen Fläche mit den in Fig. 13 dargestellten, wagrechten Seiten wl unten, zx oben und der hinteren, zu beiden Seiten normalen dritten Seite tl (Fig. 12) zusammengesetzt sind.

Nur im Scheitel des Gewölbes, wo die Lagerfuge wagrecht und die Stoßfläche lothrecht ist, schließen beide einen rechten Winkel ein, während sie an allen übrigen Stellen des Gewölbes einen um so spitzeren Winkel miteinander bilden, je weiter sie von dem Gewölbscheitel entfernt sind.

Um nun bei Anwendung von Ziegelschichten diese da, wo sie die Stirnstücke unter spitzen Winkeln treffen, nicht verhauen zu müssen, zieht man vor, die aus Quadern bestehenden Stirnstücke so „abzuwinkeln", daß die Stoßfugen derselben normal zur Richtung jener Ziegelschichten sind. Alsdann müssen ihre, in der Laibung sichtbaren Stoßflächen sowohl senkrecht auf den geraden Lagcrfugen der Abwickelung, (siehe die in doppeltem Maaßstabe gegebene Figur 7) als auch senkrecht auf der geneigten Lagerfuge stehen. Um dies Verfahren der Abwinkclung an einem Kämpfer, also da zu zeigen, wo dieselbe am bedeutendsten wird, ist die Projection Xa (Fig. 5, Taf. 7) der Lagerfuge in Fig. 10 derselben Tafel aufgetragen und in dem Punkte a diejenige Lothrechte ac errichtet, welche dem gleichnamigen, lothrechten Abstande des höchsten Punktes der Lagerfuge von deren tiefstgelegenem Puncte entspricht. Wird zu der, auf diese angenäherte Weise erhaltenen, Neigung cX (Fig. 10) der Lagerfuge in X eine zu ihr Normale von der Länge der Gewölbdicke errichtet, so entspricht die Projection b X der Horizontalprojection (Fig. 11)

c) Austragen der End- und Zwischenkämpfer (Stirn- undLaibungskämpfer) des schiefen Brücken-gcwölbes sammt Bestimmung ihres kleinsten parallelepipedischen Umschließungskörpers.

«) End« oder Stirnkämpfer.

Der in Fig. 8 und 9, Taf. 7, enthaltene Auf- und Grundriß des vorderen linken Stirnkämpfers liefert nicht nur alle Vertical- und Horizontal-Abmessungen der in Fig. 14, Taf. 7, enthaltenen perspectivischen Darstellung desselben, sondern auch die kleinste rechteckige Basis ghik (Fig. 9) und die größte lothrechte Höhe 11' (Fig. 8) des gleichfalls in Fig. 14 construirten Umschließungskörpers gg'bb'ii'k k', dessen Vorderfläche mit der lothrechten Stirnfläche dieses Quaders zusammenfällt, während seine lothrechten Seitenflächen ii'gg', kk'hh' und gg'hh' seine durch I und i' (Fig. 9) gehenden lothrechten Kanten enthalten und seine obere wagrechte Begrenzungsfläche g'i'b'k' durch jenen höchsten Punkt 1 (Fig. 8) geht.

ß) Zwischen- oder Laibungskämpfer.

Auch für die in Fig. 15 und 16, Taf. 7, enthaltene perspectivische Darstellung des dritten linken Zwischenkämpfers von dessen Rück- und Stirnseite liefern die Figuren 8 und 9 alle nöthigen Vertical- und Horizontal-Abmessungen. Die kleinste, in Fig. 9 eingetragene, rechteckige Basis mnop des parallelipedischen Umschließungskörpers mm'nn'oo'pp' (Fig. 15 und 16, Taf. 7), sammt der ihm zukommenden Höhe IV— \Y (Fig. 8) bestimmen hierauf dessen sämmtliche Abmessungen. Die lothrechte Fläche mm'oo' desselben fällt hiernach mit der Rückenfläche des Kämpfers zusammen, während dessen lothrechte Begrenzungsflächen mm'nn', oo'pp' und nn'pp' (Fig. 15 und 16), beziehungsweise durch die Kanten mn, op und den Punkt y der Figur 9 festgelegt sind und die obere wagrechte Begrenzungsfläche m'n'o'p' (Fig. 15 und 16) durch den höchsten Punkt l (Fig. 8) des Quaders hindurch geht.

der beiden auf ihnen ruhenden Träger (schwache Zwischenpfeiler) zu widerstehen haben.

hi (2d₀-f- m hi)

I. Stärke der Land-feiler.

Die Dicken der Land- oder Widerlagspfeiler der gewölbten Brücken hängen, außer von ihrem eigenen Gewichte, sowohl von dem größten Horizontalschub der Ueberbauconstruction und dem in gleicher Richtung wirkenden größten Uebcrdruck des Wassers, als auch von dem ihnen der Richtung nach entgegengesetzten größten Horizontaldruck der dahinter liegenden Erdmassen ab und werden am sichersten nach dein relativ größten dieser beiden Horizontaldrucke derart bemessen, daß die Widerlagspfeiler einem jeden derselben für sich allein einen genügenden Widerstand entgegenzusetzen vermögen.

h,?(Er+d-) + d-h'-4

)    + mlii'l, +

und wenn dieser Werth in Gleichung (193) eingesetzt wird:

Gi gi — b||-‘g (d₀ + mh,d₀ -f mgh—j. . (194)

Wird das Moment des Landpfeilers dem Moment des Erddruckes in Gleichung (191) gleichgesetzt, so erhalt man:

bilMg sj    L ,    , m²hi² \

—V° + mh‘do H--3—)

•gi =

m²hi² \

3    /'

he

g-, (195)

1) Die vom Erd- und Wasserdruck abhängige Stärke der Landpfeiler.

und hieraus die obere Stärke des Landpfeilers:

=4l+J/h

und, wenn der Landpfeiler rechteckigen Querschnitt erhalten und die Erdhinterfüllung bis zum Kopfe des Landpfeilers reichen soll, wegen m = 0 und tu — he

du —

2.he

3 g bi hi

m2

-₁fL- (196)

Bezeichnet

he die Höhe der Erdhinterfüllung des Widerlagers über dem inneren Drehpunkt Di desselben, s. Taf. 8, Fig. 1, q den Reibungswinkel der Füllerde und yl das Gewicht ihrer cubischen Einheit, so ist bekanntlich der größte wagrechte Erddruck:

-^-.tg²(45

und wenn die Füllerde gänzlich durchnäßt werden kann, in welchem Falle q — 0,

Umax yi •

<?_)

2 )’

- (191)

d₀ =

V-Ä

.H

. . (197)

Die untere Dicke des hinten geböschten Landpfeilers er-giebt sich alsdann

CT

. . (198)

— Vi-

he²

.    . (192)

di = d₀ +

worin bei senkrechter Rückwand m — 0 zu setzen ist. Bezeichnet hn den niedrigsten Wasserstand, hw den höchsten Wasserstand über dem Drehpunkt Diz ferner

y das Gewicht der kubischen Einheit Wasser, so ist bei einem plötzlichen Steigen des Wassers der größtmögliche einseitige Wasserdruck auf den Landpfeiler

dessen Angriffspunkt in beiden Fällen -™-punkt Di liegt.

Bezeichnet, mit Bezug auf Figur 1, d₀ die obere Dicke des Landpfeilers, d, die untere Dicke desselben, m das Neigungsverhältniß seiner verfüllten Seite, hi seine Höhe über dem Drehpunkt Dif b] seine Tiefe,

Gi sein Gewicht mit Ausschluß des Fundaments, gi den zugehörigen Hebelsarm, bezogen auf D₍, g das Gewicht seiner cubischen Einheit,

über dem Dreh-

\Vm„x —

(hw

. . (199)

dessen Angriffspunkt um

■w hn _ 2hn -j— hw

. (200)

über Di liegt.

2) Die vom Drucke der Gewölbe abhängige Stärke der Landpfeiler.

Der Seitendruck des äußersten Gewölbes auf den Landpfeiler wird nahezu am größten, wenn dasselbe voll belastet ist. Der Landpfeiler erhält entweder, und zwar gewöhnlich . . (193) auf seiner Rückseite, einen Anlauf, also einen paralleltrapezförmigen Querschnitt oder im einfachsten Falle eine senk-Wird der Factor von b,g dieser Gleichung den stati- ^ Südseite, also einen rechteckigen Querschnitt, schen Momenten der Theilflächen des Landpfeilerquerschnitts, bezogen auf denselben Drehpunkt, gleichgesetzt, so ergiebt sich:

so ergiebt sich als Gegenmoment des Erddrucks: (2 d„ + m h|)

Gi gi = g

• bi hi gi. .

gesetzt und reducirt wird,

0,(ä, — g,) —

a) Die Landpfeiler mit paralleltrapezförmigem Querschnitt.

m²h,² \

3 /

Bezeichnet, unter Hinweis auf Kg. 1,

H die Resultante des in der halben Höhe 4 des Schlußsteins angreifenden Horizontaldrucks des vollbelasteten Endgewölbes,

f + 4 + h=> deren, auf den Drehpunkt Da bezogenen Hebelsarm,

V die im Schwerpunkte der Hälfte jenes Gewölbes wirkende Resultante ihres Verticaldrucks, v + dt deren auf den Drehpunkt Da bezogenen Hebelsarm, so ist, wenn Gi, hi, gi, di, d₀ und m ihre frühere Bedeutung behalten, und wenn ha die Höhe des Pfeilers bis zmn Gewölbanfang bedeutet, mit Bezug auf den Drehpunkt Da für die laufende Einheit des Landpfeilers und Gewölbes

G, (d, - g,) + V (v + d,)-H(f + A + ha) = 0. (201)

¥(d‘!

Wird dieser Werth in Gleichung (201) eingeführt und nach Potenzen von ä, geordnet, so ergiebt sich, wenn der Kürze halber

A = H gesetzt wird,

d.

(>+4+h»)+-§--m2V -Vv (202)

ghi

Hierin ist nach Gleichung (5), (12) und (17)

H = gz₀Qo = (dg + d'g' + v) (q₀‘ + 4)'    (²⁰⁴⁾

daher, wenn die Stützlinie mit der inneren Wölblinie parallel läuft und deren Tangente am Gewölbanfang den Winkel <jr> mit dem Horizont einschließt,

V — Htgqt),

(205)

Hierin ist, wenn man sich die Querschnittsfläche des Landpfeilers in ein Dreieck mit der Höhe hi und Basis m hi, sowie in ein Rechteck mit der Höhe h, und Basis d0 zerlegt denkt,

Gi (di — gi) —

Bezeichnet v₁ den Abstand der Resultante V von dem Durchschnittspunkte der Tangente durch den Endpunkt der Stützlinie mit der Horizontalen durch den Bogenanfang, c den Abstand jenes Durchschnittspunktes von diesem Bogenan-

f + ± ^ 2

mhi² 2mhi    ,    , zd₀    . \

3—-g + h,d₀    + mhijg,

und wenn für d₀ sein Näherungswerth

dg — dimhi

sang, so ist der Abstand v — v' — c, worin v' —

und aus c. sin cp — 4 der Werth c — ^ 4 — den wird.

tggp

gefun-

Es ergiebt sich mithin

2f + d

2 tg

2^=ikV (fcoss^ - 4(i -*»&)

(206)

b) Die Landpfeiler mit rechteckigem Querschnitt.

Wird in dem Werthe für A in Gleichung (202) m — 0 gesetzt, so erhält man

B ---

standsfähigkeit des angewandten Materials, so ergiebt sich eine Strompfeilerstärke

d₃ =

2V

. . (209)

P '

z 3 x    welche dem Stoße abgehender Eismassen meist nicht ge-

H (f + 4 + ha) - Vv, . . (207) wachsen ist.

und aus Gleichung (203)

<!, = - V

cghi

Die Stärke von Strompfeilern, welche einem Eisgange zu widerstehen haben, wird daher bisweilen aus der empirischen Formel

worin die Größen H, V und v die in Gleichung (204), (205) und (206) entwickelten Werthe besitzen.

ds — 0,762 + 0,147 hs

hs

Met. (210)

bestimmt, worin alle Abmessungen in Meter einzuführen sind.

Der Seitendruck zweier sich auf einen Strompfciler stützender Gewölbe wird nahezu am größten, wenn das eine derselben unbelastet, das andere vollbelastet ist. Wird mit H der Seitendruck des halben vollbelasteten, mit

Ht der Seitendruck des halben entlasteten Gewölbes be

ll. Die Stärke -er Strom-feiler.

Nimmt man die beiden, auf den Strompfeiler sich stützenden Gewölbhälften vollbelastet und deren Gewicht für die Tiefeneinheit zu je V an, bezeichnet mit p die Wider- I zeichnet, so erfährt der Strompfeiler die horizontale Druck-

differenz H — HJ. Werden die BerticaldruÄe der belasteten und unbelasteten Gewölbhälfe mit V und Vv die nahezu gleichen Abstände ihrer Schwerpunkte von dem Strompfeiler mit v bezeichnet, s. Fig. 2, Taf. 8, so besteht, wenn hs

(H - KJ (f + 4 + h*) -V(v + d.) + V₁v

V = Htgy

und ha die Höhe des Strompfeilers bzw. bis zur Fahrbahn und bis zum Gewölbanfang, ds seine Stärke bedeutet und alle übrigen Beziehungen dieselben bleiben, in Bezug auf D die Momentengleichung

Wird nach Potenzen von ds geordnet und der Kürze

halber

0 — (H — HO (f + 4" + ha)

und

Vi — H^gqp,

während v in beiden Fällen annähernd den durch Gleichung (206) dargestellten Werth behält.

Beispiel. Erhält die von Spalte 20 bis 22 berechnete Straßenbrücke mit 1 — 30 Met. Spannweite, 1—3 Met. Pfeilhöhe, r' — 39 Met. Radius der inneren Gewölblinie, d = l,3i Met. Schlußsteinstärke, g — 2150 Klgr. Gewicht per Gewölbmaterial, d'g' — 1400 Kilogr. Fahrbahngewicht per □ Met., v — 400 Klgr. Verkehrsbelastung pr. □ Sttct, Pfeiler aus demselben Steinmaterial, deren Höhe vom obersten Fundamentabsatz bis zum Bogenanfang h = 6 Met., bis zur Sohle der Zwischengewölbe h, = h₃ = 8 Met., und

deren Anlauf an der Rückseite des Landpfeilers m — —jy

beträgt, so ergiebt sich nach Gleichung (204)

H = (1,31.2150 + 1400 + 400) (39 + —) = 183045, rot. 183000 Kilogr.

— Vv + VjV

(214)

gesetzt!, so ergiebt sich die Stärke des Strompfeilers d₈ = - V Hierin ist nach Gleichung (204)

(gd + g'd' + v) ((.,/ + 4),

(gd + g'd') (qo' + 4)'    •

ferner

mithin

ghs

l/JC ₊/V_V .

V ghs ⁺\gh.J

(211)

H1 =

. (212)

H — H, = ferner nach Gleichung (205)

. . (213)

ferner da tg cp =

15

— 0,4i66 beträgt, nach Gleichung (205) V = 183045.0,4i66 = 75007, rot. 75000 Kilogr.

Nun ist nach Gleichung (212) Ht =

und nach Gleichung (214)

(1,31.2150 + 1400) (39 +    )

= 167184, rot. 167200 Kilogr.,

Vx = Ht.tgm — 167184.0,4166 = 69649, rot. 69650 Kilogr.

^    f

Nach Gleichung (206), worin sin rp = -ß- = -gg- — -yg- und cos <p — —p—

v = ^(fcos9’ -4⁽¹ -cosg>

Hieraus ergiebt sich

15

))

13 i

(3 ¹²

1,31

(-

12

13

39 — 3

39

tH ,tH

<M ICO

beträgt, ist

— 7,06 Met.

ferner

75000 gh, — 2150.8

— 1,018,

A = H(f + 4 + ha) +

1,21

UNd

(f

+ TT H“

hr.)

-J- m². w — V.v = 183000 (3 + -g 75000.7,06 = 1238285

— V.v = 183000 (3 +

1,31

⁶)

j- + 6j — 75000.7,06 = 1236450,

mithin

1) die gesuchte untere Stärke des Landpfeilers,

a) mit trapezförmigem Querschnitt nach Gleichung (203)

di =

ghi

1238285 8600

11,024, rot. 11 Met.,

1,018 +

”h lfOiG² = -

1,018 + j/l44 + l

,018 —

woraus d₀ = dj — mhj == 11 —

1(J = 10,2 Met. b) mit rechteckigem Querschnitt nacks Gleichung (208)

d, =

ghi

— — 1,018 +

V-

1236450

8600

+ 1,018* — 10,982 Met.

Ferner erhält man

- v (V - vo =

153049 — 37771 = 115278

C = (H - HO (f + 4 + ha)

und hieraus nach Gleichung (211)

2) die Stärke des Strompfeilers

15860 (3 + -¹™ + 6) — 7,06(75000 — 69650) =

ds =

ghs

Vlk-

ghs

— — 1,018 +

115278

8600

+ 1,018* — — 1,018 +

j/13,4 + 1,018*

— 3,65 Met.

Die vorstehend gefundenen Stärken eines Land- und Strompfeilers sind unter der Voraussetzung berechnet, daß die Resultante der auf Drehung wirkenden Kräfte durch eine äußerste Kante der Pfeilerbasis geht, sind mithin Minimalstärken, welchen bei einem Landpfeiler ein Zusatz von etwa

g- bis höchstens , bei einem Strompfeiler, welcher einem

Ueberdrucke von zwei entgegengesetzten Seiten zu wiederstehen

hat, ein Zusatz von -j- bis höchstens 4 der zuvor berechneten Pfeilerstärke gegeben wird, um jene Druckresultante so tief in das Innere des Mauerwerks zu verlegen, daß die zulässige Pressung jener Pfeilerkante nicht überschritten wird. Hiernach würde der Landpfeiler eine Stärke von 12,375 bis höchstens 13,75 Met. und der Strompfeiler eine solche von 4,56 bis 5,47 Met. erhalten müssen.

Berechnet man die Stärke des letzteren nach der für den Widerstand gegen Eisstoß aufgestellten, empirischen Formel (210), so ergiebt sich eine Pfeilerstärke

ds — 0,762 + 0,147 h,

welche, wie man sieht, noch etwas hinter der oben berechneten Minimalstärke zurückbleibt. Nimmt man die Widerstandsfähigkeit des Quadermauerwerkes nur zu x — 150000 Kilogr. pro Hj Met. an, so ergiebt sich nach Gleichung (209)

2V _ 2.7500Ö

p ™~    150000

ds —

= 1 Met.,

p⁵

eine Stärke, welche mithin den beiden, zuvor berechneten bedeutend nachsteht. Werden die oben berechneten Stärken von di und ds aufgetragen, so ergiebt sich die in Fig. 1 und 2, Taf. 8 enthaltene Darstellung.

— 0,762 + 0,147.8

—- = 3,57 Met.,

Zweiter Abschnitt.

Die eisernen Stühliriicken.

A) Die Träger der eisernen Ztühbrncken.

I. Allgemeine Anordnung.

Die Träger der eisernen Stützbrücken werden meist mit horizontalem, in der Brückenebene liegenden, oberen und mit polygonalem, unteren Gurte construirt, zwischen welchen sich die, gewöhnlich aus lothrechten Ständern bestehende Ueber-tragungs- und die, aus geneigten Stäben bestehende, Verstei-fungsconstruction befindet.

i so ergeben sich mit Bezug auf Fig. 2 die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichts der angreifenden und wiederstehenden Kräfte

A - Gx - Vx =

II + H₀ - Hu =

Gxgx — Ax + Huyu + H₀y„ = 0,    (223)

-    -    (221)

.    .    (222)

also 3 Gleichungen, (voraus sich die drei unbekannten, widerstehenden Kräfte

Vx = A — Gx Ha = H₀ + H

H„ -

Ax — Hy — ox gx

Jo + yu

(224)

(225)

. . (226)

finden lassen, während der Horizontalwiderstand H auch hier Betrachtet man eine Tragrippe einer eisernen Stütz- vorläufig unbestimmt bleibt. Setzt man, um ihn bei der brücke und bezeichnet mit

A den lothrechten Gegendruck H den Horizontaldruck B den lothrechten Gegendruck Hi den Horizontaldruck G das Gewicht jener Tragrippe, g den Abstand ihres Schwerpunktes vom rechten Stützpunkte,

1 deren Spannweite,

so ergeben sich mit Bezug auf Taf. 9, Fig. 1, die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichts der angreifenden Kräfte gegen lothrccht und wagrecht fortschreitende, sowie gegen drehende Bewegung beziehungsweise

der linken Stütze,

der rechten Stütze,

Stützbrücke zu bestimmen, H₀ — 0,*) so wird

Ha — H —

Ax — Gxgx

7u

. . (228)

Dieser Voraussetzung entspricht eine Unterbrechung des oberen Gurtes**). Die beiden Trägerhälften dürfen sich alsdann nur in ihren Scheiteln berühren und bilden, wenn sie hier, sowie an ihren Stützpunkten, zur Vermeidung nachtheiliger innerer Spannungen durch einseitige Belastung und Temperaturwechsel, mit Charnieren versehen werden, die gestützten Charnierbrücken.

Die Form der polygonalen Gurte hängt hauptsächlich von der Belastnngsweise ab, welcher sie entweder stets oder, bei den gewöhnlich stattfindenden veränderlichen Belastungen, in gewissen Fällen ausgesetzt sind. Da nun die . . (216)    Straßen- und Eisenbahnbrücken, sowohl im unbelasteten, als

. . (217)    im vollbelasteten Zustande (durch Menschengedränge oder Eisen-

also    3    Gleichungen,    woraus    sich    von    den    4    unbekannten . "bahnzüge) nahezu gleichförmig auf ihre Projection be-

angreifenden    Kräften    A,    B,    H und    II,    folgende 3, nämlich    lastet werden, so verdienen gerade diese Belastungszustände

als die beziehungsweise längstandauernden und quantitativ größten bei der Wahl der Trägcrform vorzugsweise Berücksichtigung. Die Abmessungen der Systemgliedcr dagegen bleiben indeß jederzeit nach ihren größten Anstrengungen durch symmetrische oder unsymmetrische Belastungen zu bestimmen.

Bezeichnet p eine solche, gleichförmig auf die Projection vertheilte Belastung für die laufende Einheit, so besteht für das beliebige Trägerstück AM und die Abscisse x, s. Fig. 3, welches durch die Kräfte H und T im Gleichgewicht erhalten wird, in Bezug auf Punkt M (x, y) die Momentengleichung

A + B — G = H — H, =

Al — Gg —

B = G ⁽¹Tg).    .

. . (215)

. . (218)

. . (219)

. . (220)

unmittelbar finden lassen, während die 4te unbekannte Kraft H vorläufig unbestimmt bleibt.

Führt man in dem wagrechten Abstande x vom linken Stützpunkte einen lothrechten Schnitt, s. Fig. 2, ersetzt die in den durchschnittenen Gurtungen stattfindenden Widerstände durch äußere Kräfte und bezeichnet mit Vx die Verticalkraft in jene Schnitte,

H„ die Horizontalkraft der oberen Gurtung,

Ha die Horizontalkraft der unteren Gurtung,    **) ₃„ demselben Schluss- gelaugt Schwedler bei der „statischen

rUv Oewlcht bet Tragnppe 6t$ zu jenem    ; Berechnung der festen Hängebrücke". Zeitschr. für Bauwesen. Berlin

gx den Abstand ihres Schwerpunktes von jenem Schnitte, . 1861. Sp. 74 ff.

H, = H A =

*) Vrgl. die drei überhaupt möglichen Fälle in Heinzerling Grundzüge u. s. w. Erster Theil. Leipzig 1870. Sp. 3 bis 7.

. . (229)

Hy = px.yv •

welche für den Stützpunkt A des Trägers mit der Spannweite 1 und Pfeilhohe f übergeht in

H t — p ₂ • 4 ,. woraus durch Division die Gleichung #

y =

. . (230)

4f

. . (231)

V und H bezugsweise die verticale und horizontale Com-ponente des von der rechten Trägerhälfte in C auf die linke ausgeübten Scheiteldruckes, so ergiebt, mit Berücksichtigung der Bezeichnungen in Fig. 28, die Bedingung des Gleichgewichts gegen Drehung um D die Momentengleichung:

Zm zm — V.mA + Hk-f-

+ (P + q)[l + 2 + ..(m-D+y]* = 0. (251)

p •x" '

einer gemeinen Parabel mit den durch den Punkt O gehenden, lothrechten Axe erhalten wird. Wird die gleich- ergeben sich aus den beiden Momentengleichungen der linken förmig vertheilte Belastung der Brückenbahn durch einzelne und rechten Trägerhälste mit je n Feldern für den ihnen zu-Berticalständer auf den unteren Gurt des Trägers übertragen, gehörigen Stützpunkt A und B als Drehpunkt; nämlich links: s. Fig. 4, wovon jeder die halbe Belastung der beiden angrenzenden Strecken aufzunehmen hat, so behalten unter übrigens gleichen Umständen die Gleichungen (229), (230),

(231) ihre Gültigkeit und der Träger nimmt, mögen sich nun die Berticalständer in gleichen oder ungleichen Abständen befinden, die Form eines der Parabel eingeschriebenen Polygons an. Hiernach nehmen die parabolischen Stützbrücken die in Fig. 28 und 29, Taf. 9, angegebene Form und Anordnung an.

Die beiden Componenten V und H des Scheiteldrucks

H f + (p + q) |^1 + 2    ...(n — l)-J--g~jA

l) + y] ^=0, . . . ,(252)

II. Statische Berechnung der gestützten Charnier-brückenträger mit wagrechtcnt Obergurt und parabolisch -polygonalem Untergurt.

1) Bestimmmlg der Spannungen Z in den Polygonal stücken.

a) Bei voller Belastung.

Führt man einen Schnitt aß, s. Fig. 5, durch das beliebige m te Feld und bezeichnet Zm die Spannungen im inten Polhgonstück, zm deren Hebelsarm für den Durchschnittspunkt D der beiden mitdurchschnittenen Stangen als Drehpunkt, p -j- q bte volle Belastung durch Eigengewicht und Verkehr pro Knotenpunkt des Trägers,

— Vu Anrechts:

-VnA + Hf-(p + q)[l + 2 + .

woraus durch Addition:

— 2 VnA = 0, daher V = 0, .

durch Subtraction:

-2Hf+2A(p + q)^-, b^er

h = (p + q) T'-T’

Werden die Werthe von V aus Gleichung (252) und von H aus Gleichung (253) in Gleichung (251) eingeführt und die Factoren von p + q summirt, so folgt:

m²

(p+q)-^-.*

Zm Zm - (p ~q)

kA

..(n-

(=" A + m»),

woraus, wenn für zm sein Werth = (k + yin) -|)

worin

=o,

. . (253)

bm — y A² + (ym — y““¹)² —

gesetzt wird, sich ergiebt:

Zm = — (p + q)

bm

V;“²⁺(i^ (m3—(™—i)ä) = JA*+(

. . (255)

Zm — — (p + q)

(2 m — 1)

. (254) . (256)

n²

bm

eine Gleichung, welche mit der für den parabolischen Balkenträger sich ergebenden vollkommen übereinstimmt. Gleichung (255) wird nicht geändert, wenn sie mit dem Factor

“ m ' multiplicirt und wie folgt, geschrieben

' f.    — 1)

(2 m — 1)

n²

die verticale

Da in diesem Ausdrucke f.

Kathete zur Hypotenuse bm und (p + q) ~m^ ^ die ge-

i sammte Belastung der Trägerhälfte von dem Scheitel bis zum raten Polygongliede bedeutet, so folgt hieraus, daß

n-

bei voller Belastung das Polygon der parabolischen Charnierbrücke diese ganze Last allein auf die festen Stützpunkte überträgt. Das nte Polygonstück hat daher die gesammte Belastung der einen Trägerhälfte zu übertragen, wie sich aus Gleichung (256) ergiebt, wenn darin in — n gesetzt wird.

b) Bei der größten einseitigen Belastung.

als belastet, und die größte Druckspannung Zmmin desselben inten Polygongliedes, wenn man sämmtliche Knotenpunkte rechts von der Lastscheide als belastet annimmt, wie dies in Mg. 6 durch schraffirte Linien mit den ihnen entsprechenden Bezeichnungen max. und min. erläutert ist.

Zur Bestimmung des Abstandes e der Belastungsscheide vom Trägermittel hat man mit Hinweis auf die Bezeichnungen der Fig. 7 die Gleichungen:

Die größte einseitige Belastung ergiebt sich aus der Lage yd, f. Fig. 6, derjenigen Verticalen, welche durch den Schnittpunkt der Druckrichtungen BC der rechten und AD der linken Trägerhälfte gezogen wird, wovon die erstere jederzeit durch den Scheitelpunkt C und den rechten Stützpunkt B, die letztere durch den linken Stützpunkt A und den jedesmaligen Schnittpunkt D der beiden mit dem inten Polygonstück durchschnittenen Stäbe, s. Fig. 6, geht. Ein in der Verticalen y d wirkendes Gewicht bringt dann nämlich keine Spannung, ein links von derselben aufgelegtes Gewicht einen Zug, ein rechts von derselben liegendes Gewicht einen Druck im inten Polygonstück hervor, wie sich sofort aus den auf Drehpunkt D bezogenen Momentengleichungen für diese drei Fälle ergiebt. Im ersten Falle nämlich ist der Hebelsarm des Gewichts, mithin sein Moment Null, im zweiten Falle liefert das Moment des Gewichts in die Momentengleichung für + Zmzm ein negatives Glied, das

= (s+k)

e)

(n — m) A

, woraus

(257)

Hieraus ergeben sich die Abstände m'A und m" A, siehe Fig. 6, derjenigen Knotenpunkte vom Trägermittel, von welchen ab, mit Einschluß ihrer selbst, sämmtliche Belastungen links Zug- und sämmtliche Belastungen rechts Druckspannung erzeugen. Fällt die Belastungsscheide zufällig mit einem Knotenpunkte zusammen, so ist die Belastung dieses Knotenpunktes selbstverständlich ohne Einfluß auf die Spannung vom inten Polygonstück und bedarf keiner weiteren Berücksichtigung.

Um die größte Zugspannung von Zm zu erhalten, einer Zugspannung von Zm entspricht, und im dritten Falle sind sämmtliche Knotenpunkte der mit max bezeichneten bringt das Moment des Gewichts in    jene Momentengleichung    Abtheilung in Fig. 6 als belastet    anzunehmen und man

ein    positives Glied, das einer Druckspannung von Zm    erhält, wenn in Fig. 8 der Schnitt    aß durch das beliebige

entspricht. Man erhält hiernach die größte Zugspannung inte Feld geführt und der Schnittpunkt D als Drehpunkt Zmmax des m teil Polygongliedes, wenn man sämmtliche gewählt wird:

Knotenpunkte links von jener Belastungsscheide yd,

Zmmaxzm - VmA + Hk +    p A (l + 2 + ... (m - 1) + -|-) + qA (l + 2 + ... (m    — m')) = 0.    (258)

Die beiden Componentcn des    Scheiteldruckes ergeben    und rechten Trägerhälfte für den    linken und bezugsweise

sich wieder aus den beiden Momentengleichungen der linken rechten Stützpunkt A und B als Drehpunkt, nämlich

rechts:

— VnA + Hf—pA^l +2 + .

H £ -j- p A £l —f- 2 —f~ woraus, wenn die Factoren von p A und q A zugleich summirt werden, durch Addition:

links: —Vn A —

— 2Vn+ q -durch Subtraction:

+ 2Hf —2pA.-|--qA

n²

..(n

... (n —

= o,

q (n — m') (n — m' + 1)

. . (259)

(n —m')(n — m' + 1)

— 0, daher H = jpn² + q.

(n —m'(n —m' + 1)

]• (260)

Werden diese Werthe von V und H in Gleichung (258) eingeführt und darin die Factoren von p A und q A summirt, so ergiebt sich nach gehöriger Reduction:

— m') (n — m' + 1

2 max _ _q4_ [Ol

, 2Zm L

— (m — m') (m — m' + 1) j

4(n-4 ₊ ™>),

und, wenn durch den in Gleichung (18) entwickelten Werth von zm dividirt wird,

(n — m')(n — m'+ 1)

n²

7. max —_ _________

z,m 2 ‘

r)

— (m — m') (m —

m' +!)) - -f]

. (261>

n² k + m² f

Um die größte Druckspannung von Zm zu «mit* zeigt, und man erhält, wenn hierin der Schnitt aß geführt teilt, sind sämmtliche Knotenpunkte der mit min. bezeichneten und D als Drehpunkt gewählt wird:

Abtheilung in Fig 6 als belastet anzunehmen, wie Fig. 9

■Zmmin zm “H V m Z -j— H k -j— p Z 1 -j— 2 -f-... (m —

» + t] +

(262)

-f q Z £(m — m") + (m — m" + 1) + ... (m — 1) + j — 0.

Die beiden    Componenten V und H des Scheiteldruckes    i    der linken    und    rechten    Trägerhälfte, bezogen    auf    den    linken

findet man wie    früher aus den beiden Momentengleichungen    j    und bezugsweise    rechten    Stützpunkt als    Drehpunkt,    nämlich

— m") + (n —m"+ l)+...(n —

D+i]=°,

links: VnZ-    Hf + pZ (l + 2 +... (n — 1) + -|-)    + qZ[(n

V nZ -f-    H f — (p -J- q) Z ( 1 -}- 2 -j-... (n —• 1)

woraus, wenn zugleich die Factoren von pZ, qZ und (p + q)Z summirt werden, durch

n(2m"+l)-m"(m" + 1)

Addition:

2 Vn -f- p

n²

V = ^K

— q • -g- =0, daher

1)]

n (2 m" + 1) — m" (m" + 1)

— 2m" —

(263)

pZn² — qZ |

H = w[pn2 + q-

Werden die Werthe (263) und (264) von V und H in Gleichung (262) eingeführt und darin die Factoren von pZ und qZ summirt, so «giebt sich nach gehöriger Reduction:

Subtraction: 2Hf —

— 0, mithin:

n(2m" -f 1) — m" (m" + 1)

(264)

- Zmm,n zm

qZ f n² /m , k\ n(2m" + 1) — m" (m" + 1) / m

2 [2 U ⁺ f )    2

und, wenn durch den bereits in Gleichung (18) entwickelten Werth von zm dividirt wird,

n(2m" -|- 1) — m"(m" + 1)

2mmin —- _

n² u s q s n² s m , k \

2 m |n²k + m²f VT X n ⁺ Ty/

+m(2 rn" +1) — m"(m" + l)j

- -P/- («>4 + ■»*)

(265)

+ m(2m" + 1) - m"(m" + 1) + T]

und schließlich der gefundenen Maximal- und Minimalspannung des rn ten Polhgongliedes das erwähnte übereinstimmende, aus Gleichung (255) bereits bekannte, Glied hinzufügt.

In den Gleichungen (255), (261) und (265) kommt das-^2

selbe Glied--g-..p vor, welches zeigt, daß sowohl

bei einseitigen, als bei vollen Belastungen das gleichförmig vertheilte Eigengewicht dieselben Dr-uckspannungen in den Polhgonstücken hervorbringt, daß man mithin die Entwickelung der Gleichungen (261) und (265) vereinfachen kann, wenn man das Eigengewicht auch in den Momentengleichungen für die Componenten des Scheiteldrucks vorläufig ganz unberücksichtigt läßt

Die Gleichungen (255), (261) und (265) unterscheiden sich hiernach nur durch den Factor von q, welcher in

Gleichung (265) den Factor    von q in Gleichung

(255^ übersteigt, sobald er den Quotienten -j.- übertrifft.

nämlich in beiden Gleichungen k mehr und mehr abnehmen, so wachsen die Spannungen in den Bogenstücken beträchtlich. *)

Die Polygonstücke der parabolischen Charnier- unvortheilhaft es ist, die horizontale Gurtung brücke können hiernach durch einseitige Belastungen des Trägers dem Polygon zu sehr zu nähern, oder größere Spannungen erfahren, als bei der vollen gar durch den Parabelscheitel zu legen. Läßt man Verkehrslast.

Da in den Gleichungen (255), (261) und (265) die Größe f nur im Nenner vorkommt, so folgt, daß die Spannungen in den Polygonstücken mit abnehmender Pfeilhöhe wachsen und für f — 0 unendlich werden, so daß es in dieser Beziehung Vortheilhaft erscheint, den parabolischen Charnierbrücken keine zu geringe Pfeilhöhe zu geben.

2) Bestimmung der Spannungen X in den einzelnen Stücken der horizontalen Gurtnng.

Die Gleichung (261) für die Maximalspannung verdient bei Festellung der Abmessungen und Verbindung der Poly-gonstücke nur dann Berücksichtigung, wenn das positive Glied das negative überwiegt, mithin wirkliche Zugspannungen eintreten, wie dies bei einer im Vergleich zum Eigengewicht p großen Verkehrslast q möglich ist, denn so lange das negative das positive Glied übertrifft, erscheint die negative Maximalspannung in der Minimalspannung inbegriffen.

a) Bei voller Belastung.

Führt man den Schnitt aß, s. Fig, 10, durch das beliebige mte Feld, und bezeichnet mit:

Xm die Spannung im mteit Stück der horizontalen Gurtung,

xm deren Hebelsarm für den Durchschnittspunkt D der beiden mitdurchschnittenen Stangen als Drehpunkt, während p, q, (V und H die sub. II. 1) angegebene Bedeutung haben, so erfordert, wenn die Bezeichnungen der Während Gleichunss (255) von dem Werthe k unab- Fig. 28 beibehalten werden, die Bedingung des Gleichgewichts hängig ist, zeigen die Gleichungen (261) und (265), wie gegen Drehung um D, daß:

— Xm(k -f y™-¹) — V(m — 1)Z—H.y

l5LiLi-] -- o-

Setzt man die Werthe von V und H für die volle Belastung aus Gleichung (252) und (253) ein, so ergiebt sich:

Xm(k + y™-¹) = —- (p + q)    + (P + q)A

(m— 1);

= o,

yM-1 ₌

eingeführt wird,

(267)

woraus, wenn der Werth von

. . (266)

Xm = 0.

Aus Gleichung (267) folgt:

1)    daß jede volle, oder auch nur gleichförmig vertheilte Belastung, z. B. des Eigengewichts, auf die Spannung der horizontalen Gurtung ohne Einfluß ist, was sich aus der durch Gleichung (256) erwiesenen Thatsache erklärt, daß in den angegebenen Belastungszuständen das Trägerpolhgon die Uebertragung der Last allein übernimmt. Aus diesem Grunde kann bei Berechnung der durch die größten einseitigen Belastungen erzeugten Grenzspannungen der geraden Gurtungsstücke das Eigengewicht außer Acht bleiben.

2)    daß zwei einseitige Verkehrsbelastungen, welche sich zur vollen Derkehrsbelastung ergänzen (in. der Folge mit dem Namen „Ergänzungsbelastungen" bezeichnet), in den einzelnen Theilen der horizontalen Gurtung successive zwei Spannungen S Hervorrufen, welche numerisch gleich und nur hinsichtlich ihres Zeichens verschieden sind, daß mithin die Gleichungen stattfinden müssen:

Xmmax = + S imb Xmmin — — 8.

Nur in diesem Falle nämlich können die beiden Ergänzungsbelastungen, wenn sie gleichzeitig wirken, mithin volle Belastung eintritt, die Spannung Null in allen Theilen der horizontalen Gurtung erzeugen. Bei Bestimmung ihrer Spannungen durch die größten einseitigen Belastungen ist es daher ausreichend, nur die Maximal- oder Minimalspannung zu bestimmen, weil beide numerisch gleich sind.

b) Bei den größten einseitigen Belastungen.

Die größte einseitige -Belastung ergiebt sich wieder aus der Lage yd, siehe Fig. 11, der Belastungsscheide, welche durch den Schnittpunkt der Druckrichtungen BÖ der rechten und AD der linken Hälfte des Trägers bestimmt wird, wovon die erstere wieder stets durch den Scheitelpunkt C

*) Eine Folgerung, mit welcher Schwedler übereinstimmt. Vrgl-Lessen oben angeführte Abhandlung, Seite 85 und 86.

und den rechten Stützpunkt B, die letztere wieder durch den j hervorgerufen wird. — Trifft die Belastungsscheide zufällig linken Stützpunkt A und den jedesmaligen Schnittpunkt D    mit    einem Knotenpunkte zusammen,    so    bleibt die Belastung

der beiden mit dem raten Gurtungsstück durchschnittenen    dieses Knotenpunktes wieder    ohne Einfluß    auf    die    Spannung

Stäbe, s. Mg. 12, geht. Mittelst einer ähnlichen Schluß-    des    raten Gurtungsstückes,

folgerung, wie sie bei Ermittelung der Grenzspannungen der Polygonstücke sub II. 1. b) eingehalten wurde, gelangt man zu der Einsicht, daß jede Belastung links von der Lastscheide yd Druck und jede Belastung rechts von derselben Zug erzeugen müsse. Im ersten Falle nämlich liefert das Moment des Gewichts in die auf Drehpunkt D bezogene Momentengleichung für —Xmxm ein negatives, im letzteren Falle dagegen ein positives Glied, welches mithin bezugsweise jener Druck- und Zugspannung entspricht. Die größte Druckspannung oder Minimalspannung Xm Gurtungsstücks entsteht daher, wenn sämmtliche Knotenpunkte links von yd, die größte Zugspannung oder Maximalspannung x^°>^ desselben Gurtungsstücks, wenn sämmtliche Knotenpunkte rechts von yd belastet sind, wie dies in Fig. 11 durch die mit den Bezeichnungen min. und max. versehenen schraffirten Linien graphisch dargestellt ist.

Der Abstand e der Belastungsscheide vom Trägermittel ergiebt sich mit Hinblick auf die Benennungen in Fig. 12 aus den beiden Gleichungen:

Um nun die größte Druckspannung XmmiD zu erhalten, sind sämmtliche Knotenpunkte der mit min. bezeichneten Abtheilung in Fig. 11 als belastet anzunehmen, wie Fig. 14 angiebt, und es ergiebt sich, wenn der Schnitt aß durch das beliebige rate Feld geführt und der Schnittpunkt D der mit dem Gurtungsstück durchschnittenen Stangen als Drehpunkt gewählt wird,

des raten

— Xm“-xm— VA(m- 1)-H.y

+ qZ(l + 2...(m —m' — 1)) = 0. (269)

Die beiden auf den bezugsweise linken und rechten Stützpunkt A und B bezogenen Momentengleichungen der linken und rechten Trägerhälfte, woraus sich die Componenten V und H des Scheiteldrucks ergeben, sind: links: —VnA — Hf+qZ(l + 2 +• • • (n — m')) = 0, rechts: —VnZ + Hf=0,

woraus, wenn gleichzeitig der Factor von q 1 summirt wird, durch

m—1

/ n — (m -

Addition: — 2 V n +■ q -U-

— l)iL

— m') (n — m' + 1) _ A 2 '

woraus, wenn aus Gleichung (266) der Werth y™⁻¹ eingeführt wird:

daher V —

q (n — m;) (n — m' 1)

n(m — 1) (n — ra + 1)

. (268)

Hieraus ergiebt sich der Abstand m'it, s. Fig. 13, desjenigen Knotenpunktes vom Trägermittel, von welchem ab alle Knotenpunkte links, einschließlich seiner selbst, belastet sein müssen, um die größte Druckspannung zu erzeugen, während durch die Belastung aller Knotenpunkte rechts von demselben, ihn selbst inbegriffen, die größte Zugspannung

(m-l)(n + m-l)-

Subtraction: 2 H f + q /

(n — m') n — m' + 1)

= 0,

daher H —

q l (n — m') (n — m' + 1)

2f *

Werden diese Werthe von V und H, sowie der aus

in Gleichung

Gleichung (266) bekannte Werth von y (269) eingesetzt und der Factor von qü summirt, so ergiebt sich nach einiger Reduction:

X miu X - -

. Ä.JJJ •—

— (m

woraus, wenn durch

— ra') (m — m' — 1)J,

xm = k + y“-¹ —

(270)

dividirt wird, folgt:

q). [ (n — m') (n — m' -f- 1) (m — 1) (n + m — 1)

2xm

2n²

dann:

Nach dem unter II. 2) a) geführten Beweise ist als

Xmmax = + S,.....(272)

worin 8 den in, Gleichung (271) gegebenen numerischen Werth hat.

Aus den Gleichungen (270), (271) und (272) folgt, daß die Grenzspannungen Xmmin und XmmBX des raten

m' — 1)J = - 8. (271)

geraden Gurtungsstückes der Verkehrsbelastung q und der Entfernung X der Knotenpunkte proportional sind, und daß dieselben mit der Abnahme, sowohl der Entfernung k der horizontalen Gurtung von dem Parabelscheitel, als mit der Pfeilhöhe wachsen.

— (ra — m') (ra —

mit

3) BestiliilMMg der Spannungen Y in den Dingonal-stäben.

a) Bei voller Belastung.

Führt man den Schnitt aß, s. Fig. 14, durch das beliebige mte Feld und bezeichnet mit

Ym die Spannung in dem Diagonalstabe des m teil Feldes,

ym deren Hebelsarm für den Durchschnittspunkt D der beiden mitdurchschnittenen Stangen als Drehpunkt, mit vm den Abstand des Drehpunktes D vorn Trägermittel, während

p, q, V und H die sub II. 1) gegebene Bedeutung haben, so erfordert, wenn die Bezeichnungen der Figur 14 benutzt werden, die Bedingung des Gleichgewichts gegen Drehung um ü, daß:

1)A]

Y • ym + H k — (p + q) J ^ 1 (vm + ^-) + vm 2 X) +

Werden die aus Gleichung (252) und (253) bekannten I eingeführt und der Factor von (p + q) summirt, so ergiebt Werthe von V und H für die volle Belastung des Trägers sich nach einiger Reduction:

Y v — (P~±9i j lmJm -    2 L

•..(vm + (m —

= 0. .

. . (273)

— n-. X. y + (2 m — 1) vm + m (m — 1) X J

: (274)

vm = wm — m X,

Fig. 14 und 28, leicht ergiebt:

In dieser Gleichung ist, wenn wm den Abstand des und hierin, wie sich aus einer einfachen geometrischen Be-jedesmaligen Drehpunktes D von der m ten Berticalstange ziehung und der Natur des parabolischen Polygons, vergl. bezeichnet,

wm

= (k + ym)-----

x 1 v ' ym__yin

näk + maf

~ i(2m — 1) 'Z'    '

. - (275)

daher

Vm

n²k m²f

f(2m — 1)

->

(276)

Wird dieser Werth in Gleichung (274) eingesetzt und letztere durch ym dividirt, so ergiebt sich:

k +(2m-l)f

Ym =

(p_+qU j

2ym L

— n².

i-*a

n² k + f m²

1(2 m —1)

mj + m (in — l)j

und hieraus nach einiger Reduction:

Ym = 0.

(277)

Aus Gleichung (277) folgt:

dert. Es genügt daher, bei Ermittelung der Maximal- und

1)    daß jede volle oder auch nur gleichförmig Minimalspanuung in den Diagonalstäben auch hier nur eine vertheilte Belastung, z. B. durch Eigengewicht, auf derselben zu bestimmen.

b) Bei den größten einseitigen Belastungen.

Bei Bestimmung derjenigen größten einseitigen Belastungen, welche die Grenzspannungen der Diagonalstäbe hervorrufen, sind drei Fälle zu unterscheiden:

Erster Fall. Der, durch die beiden, mit dem zu untersuchenden Diagonalstab gleichzeitig durchschnittenen, Stäbe bedingte Drehpunkt D, s. Fig. 15, fällt rechts von dem Durchschnittspunkt F, der durch den linken Stützpunkt A und den Scheitelpunkt C bestimmten Druckrichtung und

kl

der geraden Gurtung, oder es ist, da der konstante

Abstand C'F der Fig. 15, und wenn mit wm wie früher der Abstand des jedesmaligen Drehpunktes D von der inten Berticalstange bezeichnet wird, der Abstand dieses Drehpunktes D vom linken Widerlager:

die Spannung der Diagonalstäbe ohne Wirkung ist, was sich wieder aus der in Gleichung (256) ausgesprochenen Thatsache erklärt, daß in den angegebenen Belastungszuständen das Trägerpolygon die Uebertragung dieser Belastungen allein übernimmt, weswegen auch bei Berechnung der durch die größten einseitigen Belastungen erzeugten Grenzspannungen der Diagonalstäbe die Belastung durch Eigengewicht unberücksichtigt bleiben kann,

2)    daß zwei Ergänzungsbelastungen in jedem Diagonalstabe successive zwei Spannungen Y hervorrufen, welche quantitativ gleich und nur durch ihre Vorzeichen unterschieden sind, daß mithin die Gleichungen bestehen müssen:

Ymmax = + T imb Ymmin — — T, wenn deren algebraische Summe Null werden soll, wie dies der hierdurch charakterisirte Fall der vollen Belastung erfor-

(n

-m)A+wm> y (l + —)•    - (280)

Führt man nämlich einen Schnitt aß, Fig. 16, so überzeugt man sich leicht, daß jedes links von aß wirkende Gewicht nur einen Scheiteldruck von B nach C, jedes rechts von aß aufgelegte Gewicht dagegen nur einen Scheiteldruck von C nach A auf die linke Trägerhälfte erzeugen kann.

In die auf den Drehpunkt D bezogene Momentengleichung von + Ymym liefert daher das Moment des Gewichts links von aß ein positives Glied, das einer Druckspannung, das Moment des Gewichts rechts von aß, sowohl auf der linken, als auf der rechten Trägerhälfte, dagegen ein negatives Glied, das einer Zugspannung des Diagonalstabes entspricht. Nimmt man nun sämmtliche Knotenpunkte links von aß belastet an, so wird die größte Druckspannung, belastet man dagegen sämmtliche Knotenpunkte rechts von aß, so wird die größte Zugspannung des Diagonalstabes erzeugt, wie dies in Fig. 15 durch schraffirte Linien mit den ihnen entsprechenden Bezeichnungen max. und min. graphisch erläutert ist. Mithin bildet in dem vorliegenden Falle der Schnitt aß zugleich die Belastungsscheide. Nimmt man zur Bestimmung von Ymmin die sämmtlichen Knotenpunkte links von aß belastet an, so ergiebt sich mit Bezug auf Fig. 16 für Drehpunkt D die Momentengleichung:

Ymmi“ym + Vvm + Hk = 0. . . (281)

Die beiden (Komponenten V und H des Scheiteldrucks ergeben sich wie früher aus den beiden Momentengleichungen der linken und rechten Trägerhälfte für den linken und bezugsweise rechten Stützpunkt* A und B als Drehpunkt, nämlich:

links: - VnA — H f-f-qA(1 + 2 + ... (n — m)) = 0, rechts: — V n A + H f = 0,

woraus, wenn gleichzeitig der Factor von q A summirt wird, durch:

(n — m) (n -j- 1 — m)

Addition:    — 2 V n A + q A

— 0, daher V —

Subtraktion: — 2Hf + qA

(n — m) (n -f-1 — m)

— 0, daher H —

q (n — m)(n + 1 — m) 2n'

qZ (n — m) (n + 1 — m)

, . (282)

2f •

.    . (283)

Werden diese Ausdrücke für V und H in Gleichung (281) eingeführt, so ergiebt sich:

Y min -y ^ —-

q (n — m) (n -{- 1—m)    . q A (n — m) (n + 1—- m)

2f

— 2nV;-s---Vm ~ k • n——™-ü--

daher, wenn durch ym dividirt und der gemeinschaftliche Factor ausgeschieden wird,

q(n — m) (n + 1 — m)

4.ym

I Vm L n

¥]

= - T,

(284)

worin zufolge einfacher geometrischer Beziehungen und mit Berücksichtigung des Werthes von wm in Gleichung (275):

ym = wra.

A (n²k + m² f) (m — l)²f + n² k)

und hierin:

(2 m — 1) n². f

. . (285)

Orn -

(286-

zu setzen ist. Zufolge des unter 3a geführten Beweises ist nunmehr:

. . (287)

Falle ist, da der Abstand C'F = C'E =-

. (288)

Ym“a* = + T, . . worin T den durch die Gleichungen (284), (285), (286) gegebenen numerischen Werth besitzt.

Zweiter Fall. Der Drehpunkt D fällt zwischen die Punkte F und E, in welchen die Druckrichtungen AC und B C die horizontale Gurtung durchschneiden. In diesem

(s- NS- 17),

der Abstand des Drehpunktes D vom linken Widerlager:

(n — m) A + wm

Die größte einseitige Belastung ergiebt sich hier aus der Lage yd der Belastungsscheide einerseits und des durch den zu untersuchenden Stab geführten Schnittes aß, siehe Fig. 17, andererseits. Ein links von der Belastungsscheide yd aufgebrachtes Gewicht nämlich erzeugt nur so lange einen Zug in dem betrachteten Diagonalstab, als es zwischen yd und dem Schnitt aß liegt, während es links von « ß

tvie beim ersten Fall, nur einen Scheiteldruck von B nach I C auf die linke Trägerhälfte bewirkt, mithin auf den Stab einen Druck hervorbringt. Ein rechts von der Bclastungs-scheide auf den Träger wirkendes Gewicht dagegen erzeugt mit dem von B nach C wirkenden Scheitelvruck eine Resultante, die von dem Durchschnittspunkt dieses Scheiteldrucks und der Kraftrichtung des Gewichts nach dem linken Stützpunkt A hinstrebt und demnach, wie das links von aß ruhende Gewicht, einen Druck auf den Diagonalstab äußert. Links von aß aufgelegt, liefert nämlich das Moment des Gewichts ein positives Glied in die auf Drehpunkt!) bezogene Momentengleichung für + Ymym, welches einem Druck entspricht, zwischen aß und yd liegend bringt das Moment des Gewichts ein negatives Glied in jene Momentengleichung, welches einem Zug, und rechts von y <5 liefert dasselbe Moment wieder ein positives Glied in jene Gleichung, welches wieder einem Druck auf den zu untersuchenden Diagonalstab entspricht.

Die größte Druckspannung Ymmin dieses Stabes entsteht nun, wenn alle Knotenpunkte der beiden links von aß und rechts von yd gelegenen Trägerstrecken, die größte Zugspannung Ymmin dagegen, wenn sämmtliche Knotenpunkte des Trägers zwischen dem Schnitt aß und der Belastungsscheide yd belastet sind, wie dies in Fig. 17 durch die drei mit min, max und min bezeichnete, schraffirte Linien erläutert ist.

Der Abstand e der Belastungsscheide vom Trägermittel ergiebt sich unter Hinweis auf die Benennungen in Fig. 18 aus den beiden Gleichungen:

s = (k + f)

--e

-f- -j- e

(n — m) 1 + wm

. (289)

woraus, wenn der Werth von wm aus Gleichung (275) eingeführt wird, nach möglichster Reduction:

f (n — m) -j-

k n² + f m-2 m --1

.    290)

Hieraus ergiebt sich der Abstand m'l, siehe Fig. 18, desjenigen Knotenpunktes vom Trägermittel, von welchem ab alle Knotenpunkte links, ihn selbst einbegriffen, bis zum Schnitt aß belastet sein müssen, um die größte Zugspannung zu erzeugen. .

zu bestimmen,

erhält man, wenn unter um der Abstand des jedesmaligen Drehpunktes D von dem in der Entfernung m' 1 vom Trägermittel gelegenen Knotenpunkte verstanden wird, und wenn die früheren Bezeichnungen beibehalten werden, aus Fig. 19 für den Zustand des Gleichgewichts gegen Drehung um D:

Um diese größte Zugspannung Ym

Ymmax ym — V(m 1 — wm) + Hb — q[um + (u„ + 1) + (um + 21) +... (um + (m —- m' — 1) 1)] — 0.    (291)

Die beiden Componenten V und H des Scheiteldruckes der linken und rechten Trägerhälfte für den linken und beergeben sich, wie früher, aus den beiden Momentengleichungen zugsweise rechten Stützpunkt B als Drehpunkt und zwar:

(n — m + (m — m'))] — 0,

links: — V n 1 — H f + q 1 [(n — m + 1) + (n — m + 2) + rechts: — Vnl — Hf — 0,

woraus, wenn der Factor von ql summirt wird, durch Addition:

— 2 V n + q (m — nV) C

2n — (m 4- m') — 1

CM

), daher V

fr

2 n — (m + m') + 1

■),    - (292)

Subtraction:

— 2 H f + q A (m — nV) ^

2 n — (m 4- nV) + 1

j, daher H — (m — m') ^

2 n — (m -j- mQ 4- 1

Werden diese Werthe von V und H in Gleichung (291)^ eingeführt, so erhält man, wenn zugleich einige Reductionen vorgenommen werden:

Y' ) + (m — m') (um

und wenn der gemeinschaftliche Factor m — m' ausgeschieden und durch ym dividirt wird:

(m -|- m') + 1) / ml — w„

4    X n

Ym

Ym

ym —

(m — m') (2 n —

q(m — nV)

(2 n —

-(m + m') + 1) /' ml — wm

4 fei . Vn

(m — m' — 1)

kl

(m

y™

= 4- ü. (293)

In dieser Gleichung besitzt ym den durch vie Gleichungen (285) und (286) bestimmten Werth, während

"f" um +

Um — Wm — (m — nV) 1,    .    .

worin wieder wm durch Gleichung (275) gegeben ist.

103

mehr:

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructione». Der unter 3a enthaltenen Erläuterung zufolge ist nun»

104

Y min -- - Y

X m    - ■*- f •

. . (295)

der Belastungsscheide aufgelegte Gewicht erzeugt hierbei in dem zu untersuchenden Diagonalstab eine Zugspannung, weil das Moment dieses Gewichts, bezogen auf D als Drehpunkt, ein negatives Glied in die Momentengleichung von + Ym ym liefert. Jedes rechts von der Belastungs

worin U den durch die Gleichungen (293), (285), (286), und (275) gegebenen Werth besitzt.

Dritter Fall. Der, durch die mit dem Diagonalstab    scheide wirkende Gewicht erzeugt dagegen in    demselben Stab

gleichzeitig durchschnittenen Stäbe bedingte, Drehpunkt D,    eine Druckspannung, weil    das Moment    dieses Gewichts

s. Fig. 20, fällt links von dem Durchschnittspunkt E der    ein positives Glied in die    Momentengleichung von Ymym

verlängerten Druckrichtung BC mit der geraden Gurtung,    bringt,

oder es ist, wenn wm die Bedeutung in Gleichung (275)

Die größte Zugspannung Ymmax erhält man daher, hat, der Abstand des Drehpunktes vom linken Widerlager: wnn sämmtliche Knotenpunkte links von der Belastungsscheide, die größte Druckspannung Ymmin dagegen, wenn sämmtliche Knotenpunkte rechts von der Belastungsscheide Die größte einseitige Belastung ergiebt sich hier wieder    belastet sind. Bleibt man bei der ersten Annahme stehen,

allein aus der Lage yd der Belastungsscheide, welche, wie    so erhält man, wenn der Schnitt aß, Fig. 21, geführt und

man aus Fig. 20 ersieht, durch die Druckrichtungen A D    unter m, Z, wm und um dieselben Abstände, wie im zweiten

und B C bestimmt wird und deren Lage, >vie beim zweiten    Fall verstanden werden, mit Beibehaltung aller früheren

Fall, durch Gleichung (290) gegeben ist. Jedes links von    Bezeichnungen die Momentengleichung für D als Drehpunkt:

(n — m)Z + wm <

. (296)

Ymmaxym — V(ml — wm) + Hk—q[um + (um + Z) + um + 2 Z +... (um + (m — m' — 1) Z)] — 0. .    (297)

Die beiden Componenten V und H des Scheiteldrucks links: —V.n/. — Hf + qA[1 + 2 + ... (n — m')J = 0,

erhält man aus den beiden, auf den bezugsweise linken und rechts:_V.nz + Hf = 0,

rechten Stützpunkt A und B bezogenen Momentengleichungen der linken und rechten Trägerhälfte, nämlich:

(u — m') (n

woraus, wenn zugleich der Factor von q Z summirt wird, durch

Addition:    —2Vn + q.

m' + l)

— 0, daher V —

q (n — m')(n — m' + 1)

,    . (298)

Subtraction: —2Hf+qZ

(n — m;) (n — m' + 1)

— 0, daher H =

qZ (n — m')(n — m'+ 1)

27 ⁻

.    . (299)

Werden diese Werthe in Gleichung (297) eingeführt und der Faetor von q in derselben summirt, so ergiebt sich nach gehöriger Reduction und wenn durch ym dividirt wird:

(n — in') (n — m' + l

Ym

M

ym L

m A — wm

kA

) + (m

— m')

(»m +

(m —m' + 1)

Zj] = + W. (300)

In dieser Gleichung haben die Größen ym, wm und

vm den Abstand des Drehpunktes vom Trägermittel, um die durch die Gleichungen (285), (286) und (294) gege- während alle übrigen Bezeichnungen bekannt sind, so erfordertWerthe und ist nun nach dem unter 3a gelieferten pert die Nothwendigkeit des Gleichgewichts gegen Drehung

um D, daß:

Beweise:

. . (301)

Ymmin ₌ _ w, .

wo W den durch die Gleichungen (300), (285), (286) und (294) gegebenen numerischen Werth hat.

— V.vm + Hk — (q + q) ^ 2 + (vm + Z) + + (vm + 2 Z) + ... (vm + m Z)J — 0. . (302)

4) Bestimmung der Spannungen W in den Verticalstäben-a) Bei voller Belastung.

Führt man den Schnitt aß durch das beliebige m te Feld und bezeichnet mit

Wm die Spannung in dem Verticalstabe des mten Feldes, mit

wm deren Hebelsarm für den Durchschnittspunkt D der beiden mitdurchschnittenen Stangen als Drehpunkt, mit

Werden die Werthe von V und H aus den Gleichungen (252) und (253) eingeführt und der Factor von p + q sunt» mirt, so ergießt sich nach einiger Reduction:

l^! +

'q)snUk

(2m + l)vm —m(m + l)Zj,

und, wenn überdies der Werth von vm aus Gleichung (38) eingeführt und durch wm dividirt wird, nach gehöriger Lerem fach ung:

w _ A(p + q) [n²k    (2m + 1) /n²k

Wm-~ -~r+m - 2m=rl

hervorrufen, find dieselben drei Fälle zu unterscheiden, welche bei Bestimmung der Grenzspannungen in den Diagonalstäben Setzt man in diese Gleichung den Werth von wto aus betrachtet worden sind. Wie ein Blick auf die Figg. 22, Gleichung (275) ein und rcducirt, so erhält man

wm

*)]

24 und 26 lehrt, welche diese drei Fälle behufs Bestimmung der GreiHspannungen in den Berticalstäbcn darstellen, kommt

„ j * ,    ^    ’ \ \    das Moment dieser Spannungen in diesen drei Fällen als

”7    0,>7¹⁾7⁶,⁶,e,„"°n" ®'L“f    *»** n,®lto - als» mit fcm -»tM,»,«-n Z.ich.n.

Tit 'ft eT 'Ti UaS ^ eYns Ct”s»r *U,t^ aU' 9ta wie das Moment der Grenzspannnngen in den Diagonal-setzt rst, welche der vollen Belastung je ernes    0 ö    ö

Knotenpunktes numerisch gleich ist, daß ferner für q — 0 jeder Verticalpfosten einen Druck erfährt, welcher der Belastung p durch das Eigengewicht eines Knotenpunkts entspricht. Hieraus folgt, daß das Eigengewicht bei Berechnung der Grenzspannnngen vorläufig ganz außer Acht gelassen werden kann, wenn nachträglich jeder berechneten Grenzspannung die entsprechende Druckspannung durch das Eigengewicht hinzugefügt wird.

Wenn man sich die Hälfte desselben, nämlich--§

2<

an

dem oberen, in der Fahrbahn gelegenen Endpunkte, die andere Hälfte an dem unteren, mit dem Polygon zusammenhängenden Endpunkte des Pfostens angreifend denken kann,

wodurch derselbe eine Pressung von--1- erfährt, so ist

alsdann jeder berechneten Grenzspannung der Werth —|-zuzufügen.

2) Wenn bei der vollen Belastung des Trägers jeder Verticalpfosten eine Pressung — q durch den Verkehr erfährt, so muß eine durch diesen Verkehr hervorgebrachte Grenzspanuung die andere zu — q ergänzen. Es genügt daher auch hier die Berechnung nur einer, von der Verkehrsbelastung herrührenden Grenzspannung, um die andere unmittelbar daraus abzuleiten.

b) Bei den größten einseitigen Belastungen.

Bei Ermittelung derjenigen größten einseitigen Belastungen, welche die Grenzspannungen der Verticalpfosten

(n — m) (n — m — 1)

stäben — in die Momentengleichung, während die Vorzeichen aller übrigen Glieder unverändert bleiben. Es folgt hieraus, daß die Anspruchnahmen aus Zug oder Druck der Verticalstäbe in allen drei Fällen die entgegengesetzten derer sein müssen, welche unter 3b gefunden' wurden, wie dies ein Vergleich der Figg. 15, 17, 20, mit den Figg. 22, 24, 25 lehrt, in welchen letzteren diese Verhältnisse durch die Bezeichnungen max. und min. der schraffirten Linien graphisch erläutert sind. Aus denselben Figuren erkennt man, daß die Lage y ö der Belastungsscheide in den sich entsprechenden Fällen ganz dieselbe bleibt, mithin durch die Gleichung (290) -gegeben ist, während nur der Schnitt aß keine verticale, sondern eine schräge Lage erfordert, wodurch sich die Zahl der als belastet anzunehmenden Knotenpunkte in den sich entsprechenden Fällen um 1 vermehrt.

Erster Fall.

(n — m) A + wm < ~ (l -f s. Fig. 22.

Nimmt man zur Bestimmung der größten Zugspannung des Verticalstabes alle Knotenpunkte des Trägers links von a ß belastet an, s. Fig. 23, so ergiebt sich in Bezug auf D die Momentengleichung:

— Wmmax wm + V (wm — ml) + Hk = 0.    (304)

Die Componenten V und H des Scheiteldruckes ergeben sich in der früher angegebenen Weise aus den beiden Momentengleichungen in Bezug auf Ä und B, nämlich links: — VnA — Hf + qA(1 + 2 +...(n— m — 1)) und rechts: —VnA + Hf = 0,

woraus, wenn der Factor von q A gleichzeitig summirt wird, durch

Wm

Addition:    — 2 Vn + q .

— 0, daher V — ^

q (n — m) (n — m — 1)

2n '

(n — m) (n — m — 1)

Subtraction: — 2Hf + q.

Die Einführung dieser Werthe in Gleichung (304) ergiebt:

— 0, daher H —

qA (n — ml(n — m—1)

Wm

(n — m)(n — m — 1) / wm — ml = P—-4^- l--n

kA\ . -rj = qA,

(305)

wenn der Factor von q der Kürze halber — A gesetzt wird.

Nach der unter a) 1) gegebenen Erläuterung besteht die

Wm“ax + Wm-™ = — q. . . . (306)

Wm™ln = — (qA + q), . . . (307) und wenn das Eigengewicht berücksichtigt wird,

und

Wmmin —

. . (308)

-(qA + q) —1-=-[q(A + 1)+ |-]. (309)

Wm

('s⁻ + 0)

W min - -- ___

vv o — v 2

Zweiter Fall.

- T (t + ’)■ <31°)

(n — m) A + wm

<r(¹+ k)

> s- Ng. 24,

Ein Ständer in der Mitte des Trägers erfährt höchstens die Druckspannung durch die auf ihm ruhende volle

p + q ,    ,    alle Knotenpunkte zwischen dem Schnitt aß und der Beta-

J- 2 - u»d wm» das Eigengewicht znr flu„g6#dbl Mafl„ ^ f. gig. ₂Ö, und erhAt

Hälfte oben,.zur Hälfte unten angreifend gedacht wird, so    dann, wenn um und m' die frühere Bedeutung haben, für

den Zustand des Gleichgewichtes gegen Drehung um D:

Um die größte Druckspannung zu bestimmen, hat man

Belastung —

ist für den Punkt in — 0:

— Wmm,n wm — V(mA— wm) + H k— q[um -f- (um -f- A) -(- (um -f- 2 A-)-...(um -f- (m— m')A) = 0.    .    .    (311)

Die Componenten V und H des Scheiteldrucks ergeben sich wie früher aus den beiden Momentengleichungen in Bezug auf die Stützpunkte A und B, nämlich

linksi — Vn A — Hf + q A [(n — m) + (n — m -pl) (n — in rechts: — V n A + Hf,

woraus, wenn zugleich der Factor von q summirt wird, durch Addition:

—    2 V n -j- q (m — m' + 1)    — m -p    ) == 0, daher V

Subtraction:

—    2 H f -|- q A (m — m' + 1)    — m + —~2~~~j ~0, daher H

Werden diese Werthe in Gleichung (311) eingesetzt und wird darin zugleich der Factor von q summirt und durch wm dividirt, so ergiebt sich nach gehöriger Reduction:

q (m — m, + 1) T(2n — (m + m')) /mZ — wm wm L    4    V n

wenn der Factor von q der Kürze halber — B gesetzt wird.

(m — m'))] und

2 n — (m + my)

-),    (312)

2 n — (ra + mv) x

)-    (313)

j + um +

(m — m') X

] = -qB, • (314)

Wegen Gleichung (306) erhält man:

= q-B — q, • •

Dritter Fall.

(n — m)X + wm < " (l--yj, s. Fig. 26.

Nimmt man sämmtliche Knotenpunkte der Trägerstrecke links von der Lastscheide yd belastet an, s. Fig. 26, so ergiebt sich die größte Druckspannung in dem zu untersuchenden Berticalstab. Führt man den Schnitt aß, s. Fig. 27, so ergiebt sich mit Bezug auf D die Momentengleichung:

— Wmmin wra — V (m X — wm) + H k — q [um X (um + X) + (u.„ + 2 X + ... (um + (m — in') A)] — 0. (318)

. . (315)

und, wenn das Eigengewicht in der unter a) 1) angedeuteten Weise berücksichtigt wird,

Wm

Wm™"¹ = — qB - i =

(qB + \\    - (316)

Wm

= qß - q -

(317)

Die beiden Componenten V und H des Scheiteldruckes der Factor von q summirt und durch wm dividirt, so ergiebt erhält man aus den bereits entwickelten Gleichungen (298) ! sich nach gehöriger Reduction: und (299). Werden dieselben in Gleichung (oll) eingeführt,

(n — m')(n — m' + 1) /ml — wm

Wmmin = —

-

wm L

üA \    ,

--rJ+(ra

m'+l)(

(m-Wjj₌_qC (319)

wenn der Factor von q, der Kürze halber, mit C bezeichnet wird.

Aus Gleichung (306) folgt:

Wm™»x = q C — q, .    .    . . (320)

und, wenn des Eigengewicht in der unter a) 1) angenommenen Weise berücksichtigt wird,

Wmmin = — qC —

brücke bei Szegedin übereinstimmende Träger, ist links mit den in dem vorhergehenden Abschnitt gewählten Bezeich

Wm

nungen, rechts mit den Zahlenwerthen von ₉ —20,1—5,

k = 0,5 und A = 2 Met., sowie mit den nach Gleichung fqC + -~-J,    (321)    (254), (266) und (286) berechneten Abmessungen von bm,

V    k + y

punkte des Trägers durch

(322)

m—1

und dm versehen. Die Belastung der Knoten-

Eigengewicht ist zu p — 2,4 tons (ä lOOO Kilogr.) Verkehr

ju q = 4

III. Numerische Berechnung der Spannungen in den einzelnen Gliedern des gestützten parabolischen Charnierbriickenträgers.

Der in Figur 28 und 29 dargestellte, hinsichtlich seiner Abmessungen im Wesentlichen mit dem Ueberbau derTheiß-

1. Berechnung der Grenzspannungen Z in den Polygonstücken, a. Berechnung der Lage der Belastungsscheiden nach Gleichung (257).

ii k —j— in f

2 n — in

angenommen.

e = A.

Pt

Für m = 1 ist e —

in

in

A. -Z- — A. l,o*), daher mJ = 1 und m" — 0

= z. Z

1,7

³':'

=    =    4,«,

=    5,7,

m' =

2    „ m" = 1,

1,8

= 1. 2,2,

myy ==■ 2,

3    „ m" — 2,

m" = 3.

m; = b rr m" — 4,

m' =

m — 10 „ c

— A. 6,9,

Z .    — Z . 8,3,

1,2 '

A.Z1 = z. 10**),

1,3

m" = 6,

„ m' = 10    „

in" = 9,

Zm

n²

bm |

b. Berechnung der Maximalspannungen Zm n —m')(n —+ 1) / m

nach Gleichung (261).

n² k -f- m² f

r) -(m

— m') (in — m' — 1

Für m = 1 und m' — 1 ist Z

— 50.2,ooo

50+5.1 V

— — 48,02 tons.

*) Die Belastungsscheide fällt daher mit dem ersten Berticalstab zusammen. **) Die Belastungsscheide fällt daher mit dem 10. Verticalstab zusammen.

Für m — 2 und in' = 2 ist Z.,

= 50.

2,005 |

50 4-5.4

o) — ~j — — 27,51 tons.

in

m' =

3 „ Z₃

+ 50.2,015

'7.8

50 + 5.9

2 10

°)-U

= — 24,58    „

in' —

3 „ Z₄

— 50.2,029

.8 3

50 + 5.16

' 10

*)-¥]

— — 29,04    „

ft

4 „ Z₅

= 50.2,049

50 + 5.25

6.7 jt 2 10

—1.2

5 „ Z₀

= 50.2,073

5.6    5

50 + 5.36

_ _ —1.2

2-4 10

)-¥]-

—    39,80 ,,

in' =

6 „ Z₇

— 50.2,102

50 + 5.49

rt

m' =

7 „ Z₈

= 50.

2,135 (

50+5.64

4.5    6

2 '10 + 4    7

2 10

— 1.2

- 1.2

Hl

Hl

= — 44,77    „

= — 46,51    „

in' =

9 ,, Z₉

= 50.

2,172 (

1.1 8

50 + 5.81

’ 10 0

H]

= — 51,47    „

m = 10 „ m' = 10 „ Z₁₀

= 50.2,213

(H + )-

Für in = 1 und m" = 0 ist Z, min = 50.2,ooo |

Z, min = 50.2,005 | 3 „ m" = 2 „ Z₃ "»" = 50.2,015

Zm min =—

n²

6 in

<1

50 + 5.100

c) Berechnung der Minimalspannungen Zm

n (2 m"+1) — m" (m" +1)

n- k + m- f

m"=l „

„ m = 4 „ m" = 2 „ Z₄ min = 50.2,029

„ in = 5 „

m" = 3 „ Zg min = 50.2,049

,, m = 6 „ in" = 4 „ Z₆ mi” = 50.2,073

50 + 5.1

(dO.

50.

H]

= — 53,n „

nach Gleichung (265).

(    — y j 4- m (2 m" 4-1) — m"(m" + 1) + j* J.

-°)⁺ ]

I 'Tö⁺ 6_2)+ j

(60 — 6) 2

2 (10 - 0) 0

3    (30

10

50-t-5.4

[»TS.) ■(“>•10 [öO + 6.T6 (

50.

1Ö

InL

777 +

10

= — 128,oo tons.

= — 148,97    „

■lö+ 15- ⁶)+ ]

<50“⁶⁾ Y0+ ²⁰ - ⁶)+5

= — 152,63    „

= —149,81 „

50 + 5.25 [5O + 5.36 (

(öO

6    (70 - 12)    4

' 10

50.

7 „ m" = 5 „ Z₇ min = 50.2,102 ^

50+5.49

(50.

10

+ 35-12) + |i] (^10) .5 + 54_2o) +

(110 — 30) 6

= — 145,99 „

= - 142,70 „

'10

,, m — 8    „

m" = 6 „ Zs min = 50.2,135

50 + 5.64

(50

„ m= 9 „

m" = 8 „ Z₉ min = 50.

2,172 |

50 + 5.81

(50

+ 77 -30) + + 104 — 42)

4- 153- 72) +

= — 140,20 „

„ m = 10 „

m" = 9 „ Z₁₀min =50.2,213

50 + 5.100

(50

9    _ (130 — 42) 7

' 10    2 '10

10    _ (170_— 72) 8_

' 10    2 ' '10

¹¹    (¹⁹⁰=^4 4-190-90

' 10

)+¥]

2. Berechnung der Grcnzspannungen X in den geraden Gurtungsstücken.

= — 139,20 „

= — 139,77 „

= — 141,63    „

a. Berechnung der Lage der Belastungsscheiden nach Gleichung (268) und Werthe xm nach Gleichung (270).

n(m — 1) (n — m + 1)

— (m — l)(n + m — 1)

Xm —

Für m

1 ist e = 1.

10.0.10

200 — 0.10

= 1.0,

daher m' = 1; x₄ = 0,5 + 5.

100

= 0,50.

rr

ra

10.1.9 200 — 1.11

= 1.0,47,

in'

= 1; x, = 0,5 +- 5.

= 0,55.

10.2.8

rr

200 — 2.12

= 1.0,9,

nV

= 1; x₃ = 0,5+5

' 100

= 0,70.

rr

4 „ 6 = 1.

10.3.7

200 — 3.13

= 1.1,3,

tt

in' = 2; x₄ = 0,5 + 5

' 100

= 0,95.

rr

Ox

10.4.6

200 — 4.14

= 1.1,6,

rr

in

= 2; x₅ = 0,5 +- 5.

16

100

— 1,30.

rr

6 „ e=l.

10.5.5 200 — 5.15

= 1.2,o *)

rr

in' = 3; x₆ = 0,5 +- 5.

25

100

= 1,75.

rr

7 „ 6 = 1.

10.6.4

200 — 6.16

— 1.2,3,

„ m' = 3; . x₇ = 0,5 + 5.

36

100

= 2,30.

rr

8 „ e = X.

10.7.3 200 — 7.17

= 1.2,5,

rr

m' = 3; x₈ = 0,5 -f- 5.

49

100

— 2,95.

rr

9 „ 6 = 1.

10.8.2

200 — 8.18

= 1.2,8,

rr

in' = 3; x₉ = 0,5 -+ 5

64

100

= 3,70.

rr

= 10 „ 6 = 1.,

10.9.1

200 — 9.19

= 1.3,1,

rr

in' = 4; x₁₀ = 0,5 +- 5

81

' 100

= 4,55.

b. Berechnung der Grenzspannungen X nach Gleichung (271) und (272).

Xm

min

= ±-£H(d

— m'j (n — m' + 1) (m — 1) (n -f- in — 1)

2n²

— (m — m') (m —

m' - 1)1.

Für m

1 und in' = 1 ist X,

10.11.0.10

200

-0.-1= ± 0

tons.

ff

1 „ m' = 2 „ X₂

9.10.1.11

0,55

200

rr

m' = 1 „ X₃

9.10.2.12

0,70

200

—    1 . 0 j = + 36,oo    „

—    2 . 1 ] = ± 50,28    „

rr

4 „ m' = 2 „ X₄

8.9.3.13

0,95

200

— + 50,69    „

!!

5 „ m' = 2 „ X₅

8.9.4.14

1,80

200

rr

6 „ m' = 3 „ X₆

7.8.5.15

1,75

200

rr

7 „ m' = 3 „ X₇

2,30

[■

7.8.6.16

200

-2.1

rr

in

7.8.7.17

2,95

200

= 5.4

— zh 18,06    ,,

tf

nV — 3

„ x₉

7.8.8.18

3,70

200

— 6.5

— ± 11,15    „

rr

= 10    „ in'

■1 „ X₁₀

6.7.9.19

4,55

200

— 6.5

— +    5,19    „

*) Die Belastungsscheide fällt daher hier mit dem 2. Verticalständer zusammen.

Für m —

3. Berechnung der Grenzspannungen Y in den Diagonalstäben nach den Gleichungen (284) und (287),

(293 u. 295) und (300 u. 301).

a. Berechnung der Lage der Belastungsscheiden nach Gleichung (290).

Für m —    1 ist e = Z 10 —

2 „ e = l 10 —

f (n — m) +

k n² + f m

2m — 1

0,5

— I. — 8,oo

5.9 + 5(10 + 1) '/,

5,5

— I. — 0,70

Wenn e negativ, kommt m' nicht vor.

5.8 + 5(10 + 4) ¹/3

10J

in

5,5

5.7 + 5(10 + 9) V;

— 1.0,io, daher m' — 1.

4 „ e = l 10 —

5 „ e = X 10 —

6 „ e = A|l0 —

7 „ e = l 10 -

8 „e = lsl0-

m — 10 „6 — 1110 —

5,5

5.6+5(10 + 16) ¹Ir

+ TH

10-

— X . 0,70,    „ m' — 1.

5,5

5.5 +5(10 + 25) y₉

+ ITj]

— X . l,io, „ m' = 2.

5,5

— I . 1,46,    „ m' — 2.

5.4 + 5(10 + 36) Vn ⁺ lü

5,5

— I . 1,70,    „ m' — 2.

5.3 + 5(10 + 49) 7„ ⁺ 10

5,5

5.2 + 5(10 + 64) '/₁₅

+ TH

10

— I . 2,30,    „ my — 3.

5,5

Y- = ^ • 2,70,    „

mz = 3.

5.1 + 5(10+ 81) Vir _ 1Ö-

5,5

5.0 + 5(10 + 100) Vi

+ lö

— X . 3,io,    „ m' — 4.

b. Berechnung der Werthe dm, wm, ym und u,„ nach den Gleichungen (286), (275), (285) und (294).

+kf(--H)

y i= + (k + 0+

— 1 VV    +k + in² f ,

) ) ' Wm _ f(2m — IT'²’

; ym = wm

dm

; Um = Wm — (m — m;)A.

UM,-/4+(0,,+5.Y)*

==2,06; Wj —

50+5.1

5.1

,, m — 2 tt

y 4+(0,5+5. ™₀)

— 2,07; w₂ =

50+5.4

=22,«r, y, =22,oo(+±^ä)= ö,h; 0,5+5. V

5.3

= 9,32; yg — 9,32(

JOO

2,07

)= 2,47;

Da m' nicht vorkommt, kommt auch um nicht vor.

Für m —

3=4

504-5.9

5.5

0,5+5.4/

= 7,60; y₃ = 7,co( y₄ — 7,4o(

Ion

2,12 -

•j= 2,5i; Uz — 7,60—2.2= 3,60.

50+5.16

']

d₄ —| 4+^0,5+5. jqq) —2,2i ;w₄ —2^ ++(0,5+5. +) de =++(0,5+5.^)

5 „ dä =

m= 6 „

„ m= 8

5.7

= 7,43;

0,5+5.»/

2,21

100

)= 3,19; u₄ = 7,43—3.2—

1,43.

=2,38; Wg =

=2,65; w₆ =

„r 50+5.25 ]

²L 579 J

r 50+5.36 I 1 5.11......J

/0,5+5.lfi/ 2,38

0,5+5.²⁵/₁₀₀

)= 4,25; u₅ = 7,78—3.2=

100

= 7,78; y₅ = 7,78 = 8,36; y₆.= 8,36 j = 9,08 j 'y₇ = 9,os( = 9,87; y₈ =

2,65

1,78.

J= 5,5i; u₆ = 8,36—4.2= 0,36. ^= 6,83; u₇ = 9,08—5.2=—0,92. )= 8,17; u₈ = 9,87—5.2=+),13. j= 9,40; ug =10,71—6.2

10,46; x₁₀=ll,58—6.2=—0,42.

50+5.49

7 „ d₇—4 4+| 0,5+5.

" d» =1 4+(o,5+5. ++(0,5+5. dio=++(o,5+ö. «)

„ m= 9 „ d₉ =

„ m=10 „

=3,05; w₇ =

=3,56 ;w₈

0,5+5.»«/

100

5.13

3,05

50+5.64! L 5.15 J

=4,21; Wg =

₀f 50+5.81 5 17

9,8?(

=10,71; yg =10,71

=4,97; w

‘ _²p0+5.100] ₌₌₁ ^₅₈. y](—n|58(

0,5+5.49/ 3,56 0,5+5.94/, 00 4,21

0,5+5.⁸¹ ,(k,

100

=—1,29.

4,97

\ ( k \

c. Berechnung der Werthe ^ [1 i und (n — m)Z + wm zur Bestimmung der 3 Fälle, constante Werth (^1 +

Für m = 1 ist (n — m) Z + wm = 18 + 22    =40    >22

= 16+ 9,32 = 25,32 >22

= 14+ 7,6 =21,ej<^

= 12+ 7,4 =19,4j<^

Hieraus ergießt sich, daß die Diagonalen des 1. und und 295) des zweiten Falles, die Diagonalen des 5. bis 2. Feldes nach Gleichung (284 und 287) des ersten Falles, 10. Feldes nach Gleichung (300 und 301) des dritten Falles die Diagonalen des 3. und 4. Feldes nach Gleichung (293 zu berechnen sind.

d. Berechnung der Grenzspannungen Y.

Der

= 20

(' ± 4+ -! S1-

Für m = 5 ist (n — m) A + wm = 10+ 7,78 = 17,78 < 18

= 8+ 8,36 = 16,36    18

= 6 + 9,08 = 15,08 < 18 = 4+ 9,87 = 13,87 <18 = 2+ 10,71 = 12,71 <18 = 0 + 11,58 = 11,58 <18

„ m = 6 „ „ m = 7 „ „ m = 8 „ „ m = 9 „ „ m =10 „

Erster Fall, tto (n — m) A + wm > -i- (l + -+ nach den Gleichungen (284) und (287).

swm — ml kA 1

L n ⁺ f J-

+    = + 37,20 tons.

— + 21,38    „

Für m = 1 ist Y₄

Ym

Ym

q (n — m) (n — m + 1)

4ym

4 [9.10 (22- 2 5,32 L 4 X 4

O CM

4 r 8-9 (9,33 — 4    \1

2,47 L 4    V 4    10)\

Zweiter Fall, wo (n — m) A + w

nach den Gleichungen (293) und (295).

q (m — m')

ym

(m 4~t~)(2n —m —m'+ 1)(

+(m — m') (um + —

— m' —

Kür m —

3 ist m' = 1 und Ys

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen. 4.2 [(20 — 3)

- 7,6    2

2,51

( -TO'

rr

4 „ m' = 1

,, Y

4.3 j~'2Q    4) ^

3,19

GO !

-7,4

Tö

lo) + 3,⁶    +    ¹~]

2.2

= +    9,78 tons.

-ä) + *

429 +

= + 10,77    „

Ym

Dritter Fall, wo (n — m)A + w < ^

i sO?_

y™ 1.    4

— m')

(n — m'

+ 1) (

ml — wm

Für m = 5 ist nV — 2 und Yä

4,25

rr

6 „ in'= 2 „ Y₆

5,i

rr

7 „ m' = 2 „ Y₇

6,83

rr

8 „ m' = 3 „ Y₈

8,17

rr

9 „ m' — 3 „ Y₉

9,40

rr

m — 10 „ in' — 4 „

Yvon

j-j, nach den Gleichungen (300) und (301). y ) + (m — mO (um + (l" """    —— .l) .

—    + 11,06 tons.

—    dz 11,90

—    ± 12,08

—    ± 12,30

—    dz 12,59 = ± 12,91

2,22

18.9 73, l 4 XI s 8.9 (8,

L 4 X 10

[ T (-

6,13

[-7.8 / 7, 4 X 1

4 [6.7 / 8,

L 4 X 10

10,46

1,78 +

f)]

10

rr

^) + ö(-0,9 2-+ l) + ö(-0,13-f

y) + ⁶ (— h™ 4

_) + 6 (-0,42 + 1^-)]

#)]

5.2

5.2

4. Berechnung der Grenzspannungen in den Verticalstäben.

)]

)]

rr

rr

rr

rr

a. Ohne Berücksichtigung des Eigengewichtes nach den Gleichungen (305) und (307), (314) und (315), (319) und (320).

(1 + y), nach den Gleichungen (305) und (307). k Ä \    .

t) = ’A

Erster Fall, wo (n — m) X + wm >

Wm max — q

TV

(n — m)(n — m — 1) / wm — ml

4w,„

; Wm min — — Wm max — q.

4.9.8

Für m — 1 ist Wr — £    • 2,2 — 7,2 tons, daher W,”¹“ — — 7,2 — 4 — — 11,2 tons.

n -r-rj    4.8.7

m = 2 „ W,-. =

. 0,73 — 4,39    „

„ W₃min — — 4,39 — 4 — — 8,39    „

Zweiter Fall, wo (n — m)k + wm

Wmmin = —

q (m — m' + 1) [ (2 n — m — m') / m 1 — wm

Wm

Für m = 3 ist m' = 1 und W₃ min

4.3

7,6

tr iii — 4 rf m' — 1 W₄ m*n —

4.4

7,42

Wra min — —

< T i¹ + t)

> T 0 + 4)

2\ 2.21

-j-Q) + 3,6 + -5-1= — 6,57 tons, daher W

(l — y), nach den Gleichungen (319) und (320).

k l \    /

yj + (m-m'+l)(

, nach den Gleichungen (314) und (315). *

um 4

(m — m') k

.1,6

10

0,6

,43 4

.21 _ yj— — ⁸,³⁸ „

J; Wm max — — Wrn min — q.

= 6,57 — 4 — 2,57 tS. „ w₄m« = 8,38 —4 = 4,38 „

Dritter Fall, wo (n — m) 1 + wm <

JL s(n — m')(n —m' + 1) /ml-_wm Wm L    4    X n

“f“

(m — m')4

)]; wm

max — — Wra min — q.

Für m = 5 ist nV=2 und W₅

[M (w - -|M⁴(+^+¥)]=-10,03 ts'’b4erWs

— 10,03 — 4 — 6,03 ts.

„ m = 6 „ m' = 2

~\\s min -

rr >v 6    -

8,36

[¥(

3,64    2

10 ” 10

)+⁵(+0'³⁶ + M.)]

= —11,84 „

„ W„

= 11,84 — 4 = 7,84 „

„ m = 7 „ m'=2

W min -

„ VV ₇

9,08

ol

„ m = 8 „ my = 3

W min _ ________

"    8    _    9,87

4    1^8 ^6,13

10 10

)+⁶(

— 0,13

5.2)) 2 /. 5.2X1

= — 13,io „

= —14,20 „

„ w₇

,, ws

= 13,io—4= 9,io „

— 14,20 — 4=10,20 „

„ m = 9 „ m'=3

w n»in -

n vv 9

10,71

„ m =10 „ m'=4

W min*X-

„ VV 10 ) —

6.7 /8,42

=--15,08 „

„ W₉

= 15,08—4=11,08 „

11,58

10 10

)+,(-0’"+¥)j

= —15,82 „

= 15,82—4=11,82 „

b. Mit Berücksichtigung des Eigengewichts nach den Gleichungen (310), (308 und 309), (319 und 317) und (321 und 321).

T 4) =r — 2,6 tons.

Mt + q)

rH

W₀ min — — min W₂ min

Ws min min

W₄ min — — 10,03 — 1,2 W₆ min — — 11,84 — 1,2

—    — 13,10 — 1,2    * = — 14,30 „

—    — 14,20 — 1,2 W₉ min — — 15,08 — 1,2 Wiomin**) — — 15,82 — 1,2

Die vorstehenden Rechnungsresultate sind in Fig. 30 zusammengestellt.

= - 11,2 - M

—    —    8,39    —    1,2

—    — 6,57 — 1,2

—    — 8,38 — 1,2

W₇ min W₈ min

= — 15,40 „ = — 16,28 „ — - 17,02 „

—    7,2 —    1,2    — 6,0 tons.

w₂

W₃

W₄

W₅

W₆

W₇

W max

W„ max

B) Die Pfeiler der eisernen Itühbrücken.

Bei Stützbrücken mit N Oeffnungen werden 2 End- oder Landpfeiler und N — 1 Zwischen- oder Strompfeiler erforderlich, von welchen die ersteren, außer dem Drucke der Hinterfüllungserde, dem einseitigen Drucke der Träger, die letzteren, außer dem Stoße der Eismassen, der größten Druckdifferenz der beiden auf ihnen ruhenden Träger zu widerstehen haben.

und Wassermassen in einer, derjenigen der gewölbten Brücken ganz ähnlichen Weise zu widerstehen haben, so gelten in dieser Hinsicht die in Gleichung (196), (197) und (198) enthaltenen Werthe d₀ und d, für die obere und untere Stärke des Landpfeilers.

I. Stärke der Landpfeiler.

l) Die vom Erd- und Wasserdruck abhängige Stärke der Landpfeiler.

Da die Landpfeiler der gestützten eisernen Charnierbrücken dem seitlichen Drucke der auf ihnen lastenden Erd-

2) Die vom Drucke der Träger abhängige Stärke der Landpfeiler.

Um das größte Drehungsmoment der Ueberbauconstruc-tion für den Landpfeiler abzuleiten, ergießt sich, mit Bezug auf die Bezeichnungen der Fig. 3, Taf. 8, und wenn unter hc der Abstand des Fußcharniers von dem Drehpunkt U, verstanden wird,

(t-)>

*) Der 10. Verticalpfosten ist hier mit der vollen Verkehrsbelastung q in Rechnung genommen. **) Der 10. Verticalpfosten ist hier mit der vollen Eigengewichtsbelastung p berechnet.

und hieraus der Abstand der Belastungsscheide yd vom Trägermittel:

h=

Ile

Sämmtliche, zwischen der Belastungsscheide und dem Landpfeiler befindlichen Gewichte befördern die Standfähigkeit des Landpfeilers, während sämmtliche, zwischen der Belastungsscheide und dem nächsten Strompfeiler befindlichen, in Fig. 3 angegebenen Belastungen auf Drehung des Landpfeilers um Dj wirken. Man erhält demnach die größte, auf Umkippen des Landpfeilers wirkende Verkehrsbelastung des Trägers, wenn man seine sämmtlichen Knotenpunkte von dem Strompfeiler bis zu dem, der Belastungsscheide zunächst gelegenen, in dem Abstande m' z vom Trägermittel befindlichen Knotenpunkt, mit Einschluß seiner selbst, als belastet annimmt.

Aus Gleichung (323) folgt, daß sich die Lage der Belastungsscheide und der dadurch bestimmte Abstand m' A schon aus dem Verhältnisse:

e' —

d,

h=

. . (323)

(324)

ergiebt, falls man, statt der oben vorgenommenen Ermittelung von d, für die bekannte (gewöhnlich den höchsten Wasserstand hu um wenig übertreffende) Höhe hc, r zu bestimmen in der Lage ist.

Weicht das durch Einführung des berechneten Werthes

von d, gefundene Verhältniß zu sehr von dem angenom-

d\

menen Verhältnisse r ab, so ist das erstere in die Gleichung einzuführen, hieraus die veränderte Lage der Belastungsscheide und dann auf analogem Wege ein exacterer Werth von di zu bestimmen.

Bezeichnet nun, wie früher, V die verticale und H die horizontale Componente des bei der größten Umsturzbelastung eintretenden Druckes tm Scheitelcharnier, b die Entfernung der Bogenrippe von Mitte zu Mitte, aM größte Angriffsmoment des auf den Landpfeiler wirkenden Druckes einer Bogenrippe, bezogen auf den Drehpunkt Dn, p das Eigengewicht und q die Verkehrsbelastung für einen Knotenpunkt jener Bogenrippe, so ist

d,

das

v(d₁4-i-)-H(hc + f) +

+ (di + Z) + (di + 2 Z) + • • • (di •+ (n — 1) Z) +

~h q |(n — mi) ^ + di + (n — mi + 1) Z + di +... (n — 1) Z -}- dt -f-woraus, wenn die Factoren von p und q summirt werden:

= V

aM

di + nA.

]•

(di -|—jj-J — H (hc + f) + -g- [n² A -f- 2 n di] +

[A(n(2m' + 1) — m'(m' + 1)) + d,(2m' + 1)J

Die Componenten V und H des Scheiteldruckes ergeben successive auf den linken und rechten Stützpunkt bezogen wer-sich, wenn wie früher die Momente der angreifenden Kräfte den, woraus man erhält:

Hf+PA[l + 2 + -..(n-l) + -|]

— m') + (n — (nV — 1)) + ... (n — 1) +

1} + t]

aM

q_

(325)

links: VnA —

+ q A ( (n

rechts: VnA + Hf — (p -|- q) A |l + 2 +.

..(n-

= 0,

= 0.

Hieraus findet man durch Addition, wenn zugleich der Factor von qA summirt wird:

2 Vn--1- [n² — n(2m' + lj+ m' (m' + 1)] = 0, und hieraus

V —    [n2 _|_ mv (m‘ + 1) — n(2m' + 1)], .    .    .

. (326)

und durch Subtraction:

qA

— 2Hf -+- p An- + [j [n- + u (2 m' + 1) — m'(m'    1)] = 0, woraus:

H = [pn* + -|(n² + n (2m' + 1) - m' (m‘ + 1)) J. . .

Nach Einführung dieser, durch Gleichung (326) und (327) gegebenen Werthe von V und H in Gleichung (325) erhält man den Werth des Angriffsmomentes aM

Auf Drehung des Landpfeilers um den Punkt Dn wirken nun nach rechts der durch Gleichung (191) oder (192)

gegebene Erddruck mit dem Hebelsarm ™ und das durch

Gleichung (194) gegebene Gewicht G, des Pfeilers mit dem Hebelsarm d, — g,, nach links der durch Gleichung (199) gegebene Wasserüberdruck an dem durch Gleichung (200) gegebenen Hebelsarm, wozu das durch die Gleichungen (325),

(326) und (327) gegebene Moment der Ueberbauconstruction

kommt. Soll Gleichgewicht gegen Umsturz des Landpfeilers durch Wasserüberdruck und Horizontalschub der Bogenträger bestehen, so muß

jj he

g-+ G,(dt —g,) — W

w + SM

= 0, (328)

und, wenn Erd- und Wasserüberdrucke nicht berücksichtigt werden,

G| (di — gi) + aM

= 0 . . . (329)

sein.

Behält man die früheren Bezeichnungen bei, so ergiebt sich für einen Landpfeiler von trapezförmigem Querschnitt mit Bezug auf Drehpunkt D„

Gi (di — gi) —

h . m-~- . ²    • y„ + b. h, d₀ (+ mhij y„

(330)

unD f wenn aus Gleichung (198) für d₀ sein Werth gesetzt und reducirt wird,

in² hi²- \

37

Wird dieser, sowie der Werth für aM

halber

Gi (di - g,) =    (d,*

in Gleichung (329) eingeführt, nach Potenzen von d, geordnet und der Kürze

(331)

(332)

B = V + pn + -l(2m'+ 1)

C = H W+f)-V.-L-gesetzt, so ergiebt sich die untere Pfeilerstärke

V A ⁺ (_2x) •

Für einen Landpfeiler mit rechteckigem Querschnitt ist in Gleichung (335) m — 0 zu setzen.

P • ~2~ • ^ + y.^n(2m'+ 1)

— (my +

l)m') + b,

m² h³

Ot:

d, = -

. (335)

II. Stärke der Strompfeiler.

Me Stärke ds von Strompfeilern, welche dem Eisstoße Widerstand zu leisten haben, ergiebt sich annähernd aus der empirischen Formel (210).

Um das größte Drehungsmoment der Ueberbauconstruction für den Strompfeiler zu bestimmen, ist vorher der Abstand e" der Belastungsscheide von dem Trägermittel zu finden und f chung (323), setzt wird:

sich mit Bezug auf Fig. 4 aus Glei-darin d„ statt d, und hs statt hc ge

l d7~

~ 2 h₃

²4

. . (336)

(333)

• g . (334)

Verkehrsbelastung erhält man daher, wenn man die in Fig. 4 angegebenen, Knotenpunkte des Trägers von dem nächsten Pfeiler (hier Landpfeiler) bis zu dem der Belastungsscheide yd zunächst gelegenen, im Abstand m"i von dem Trägermittel befindlichen Knotenpunkte, mit Einschluß seiner selbst, als belastet annimmt.

Aus Gleichung (336) folgt, daß zur Bestimmung der Entfernung e" der Belastungsscheide oder des Abstandes m" l schon die Kenntniß oder Annahme des Verhältnisses

hs

d.

. . (337)

Vds

Die größte, auf Umkanten des Strompfeilers wirkende

genügt, wenn man von einer Bestimmung der Strompfeilerstärke d, aus Gleichung (210) Abstand nimmt und t anzunehmen in der Lage ist. Für den Fall, daß das durch Einführung des berechneten Werthes von dä erhaltene Verhältniß

*‘s von dem angenommenen Verhältnisse t allzuviel abweicht,

dient die oben angegebene Methode zu einer exacteren Bestimmung von ds.

Ist m" gefunden, so findet man das größte, auf den Strompfeiler ausgeübte Drehungsmoment, wenn man in Gleichung (325) m" statt m', d₈ statt d, und hs statt h„ setzt und alle Zeichen umkehrt, aus:

ll.

| d.s +    + H (hs + f)--Jy [n- A -j- 2 n

[l(n(2m" + 1) — in" (in“ + 1)) + ds (2 m"    1)], . . .

worin, wenn in den Gleichungen (326) und (327) wieder m" mit m' vertauscht wird, bezw. die verticale und horizontale Componente des Scheiteldruckes:

'Mmax = - V

<M

(338)

und

V = ^ [n² + m" (m" + 1) — n (2m" + 1)]

2 -f [p n2 + 2 (nä + n (2 m" + 1) — m" (m" + 1))

• (339)

(340)

zu setzen ist.

Dem durch die Gleichungen (338), (339) und (340) gegebenen größten Drehungsmoment wirkt das Moment des Strompfeilers, sowie im ungünstigsten Falle das kleinste Moment M

des rechts vom Strompfeiler gelegenen, nur

durch sein eigenes Gewicht belasteten Bogenträgers, beide bezogen auf den Drehpunkt D, entgegen. Mit Bezug auf Fig. 4 erhält man für das letztere Angriffsmoment die Gleichung

aM

= V.-i^H(hs + f) + qx(l+2 +

(341)

Die beiden Componenten V und H des Scheiteldruckes j belasteten linken und rechten Trägerhälfte für den ihnen ergeben sich aus den beiden Momentengleichungen der un- ! ungehörigen linken und rechten Stützpunkt als Drehpunkt,

links: — V n X — H f -J— p X £l -j- 2 —|— ... (n — 1) —(— - -j — VnX + Hf—pX|"l+2 + ...(n —1) + JLj

— 2VnX — 0, daher V = 0 . . .

nämlich

rechts:

woraus durch Addition: durch Subtraction:

n²

Ö KM

= o,

= 0,

(342)

n² X

— 2Hf + 2Xp.i — 0, daher H — p.    .

Werden die Werthe von V und H aus den Glei-    ergiebt

chungen (342) und (343) in Gleichung (341) eingeführt, so    wird,

-^-(hs + f)+ pA-y- = — pA

. . (343)

-^1

, wenn zugleich der Factor von pX summirt

aMmin =

n²

-P-2-.

Wird nun das Gewicht des Strompfeilers, dessen He-

-Y ist, mit Gs

bezeichnet, so muß zwischen diesem Momente und den durch die Gleichungen (338) und (344) gegebenen Momenten die Beziehung bestehen:

belsarm, bezogen auf den Drehpunkt D

Ulf

b,g

n² hs

2. f

(344)

(346)

ds

+ aM

= 0,

— Grs . ~ + aM oder, weil Gs — b ds (hs + k + f) g ist,

bs

aM

f-(h. + k + f)

d Tr ,    i 2 m" + 1

B = V -f np H--2-

C = H(hs + f)-V.i---rpX(A + l) -

■SA. (2 m" + 1) — m" (m" + 1))    . (348)

gesetzt wird, die Strompfeilerstärke:

d“ = — 2 A

Beispiel. Legt man die früher gewählte Brücke über die Theiß bei Szeged in wieder zu Grunde, wobei die Spannweite 1 — 40 Met., die Pseilhöhe t' — 5 Met.,

er¹

. . (347)

. (349)

= 0.    (345)

(hs + k + f)gds² —

Werden die Werthe von aM Gleichungen (338) und (344) in Gleichung (345) eingeführt, so ergiebt sich, wenn zunächst nach Potenzen von ds geordnet und, der Kürze halber,

— aM

und aM

aus den

die halbe Felderzahl n — 10,

die ruhende Belastung für jeden Knotenpunkt p — 2,4 tons, die bewegte Belastung für jeden Knotenpunkt q — 4,o „ angenommen war und setzt die ganze Pfeilerhöhe h> = 13 Met., die Höhe des Pfeilers bis zum Charnier hc = h₈ = 7,5 Met.,

die Entfernung der Tragrippen von Mitte zu Mitte b — 2 Met.,

das Gewicht der kubischen Einheit Mauerwerk g — 2,5 tons pr. Kmet.,

so ergiebt sich nach Gleichung (323), wenn darin ~ = 1

di

gesetzt wird,

den Anlauf der Rückseite des Pfeilers m = -    ,

1__2 1

l.

e' = -+

+ 2-1

= 20

- ²-40 ¹ •

— 12, daher aus m'Z — m'.2 — 12, m' — 6.

und

Aus den Gleichungen (326) und (327) erhält man beziehungsweise:

V = ₄qn [nä + m'(m' + 1) — n(2m' + 1)] = - ~    (100 + 6.7 — 10.13) --- 1,2 tons

2 jp n² + -j- (n² + n (2 m' + 1) — m'(m' + 1)) ]

H-5

₂²₅ [2,4.100 + 1 (100 + 10.13-6.7)] 123,2 tons.

Werden diese Werthe eingeführt, so erhält man aus Gleichung (332)

-|.b.h, = 1-- .2.13 = 32,5,

B = V + pn +    (2m- + 1) = 1,2 + 2,4.10 + 1.13 = 51,2

aus Gleichung (333)

und aus Gleichung (334)

C — H(hc + f) — V.l--p.^- A + 1"- (n(2m' + 1) — (m' + l)m') +    bm²^³

100

= 123,2(7,5 + 5) — 1,2.20 — 2,4. +p.2 +

Durch Einsetzung dieser Werthe ergiebt sich nun für den Landpfeiler a) mit trapezförmigem Querschnitt aus Gleichung (335)

11 (10.13 — 7.6) + 1—. 2. ¹³°

J    O

100

— 1792,775 tons.

+ (WJ

17 92,775 32,5

—    — 0,79 + y 55,16 + Ö,79² — — 0,79 + ]A55,16 + 0,6241

—    — 0,79 + /55,7841 — — 0,79 + 7,47 — 6,68 Met.

Bildet man hierauf das Verhältniß 1- —

0,89, so folgt hieraus eine hinreichende Annäherung an den zustande der einzelnen Knotenpunkte ergiebt. nach Gleichung (324) angenommenen Werth von r — 1,

indem beide Verhältnisse in Fig. 3 eingetragen sind, woraus für C, m — 0 gesetzt wird,

+ (gl) = — 0,79 + '][50,092 + 0,624

— — 0,79 + Y50,716 = — 0,79 + 7,12 — 6,33 Met., also eine Differenz von 6,68 — 6,33 — 0,35 Met.

ns

d.

51,2

65

51,2

65

6,68

7,5

1628

32,5

sich für das letztere wohl eine etwas veränderte Lage der Belastungsscheide, aber keine Veränderung in dem Belastungs-

b) mit rechteckigem Querschnitt, wenn in dem Werthe

131

Heinzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructivnen. 2) Für den Strompfeiler ergiebt sich, wenn das Verhältniß

132

he

ds

angenommen wird, aus Gleichung (336)

h,

e" — -T-

ds

+ 2-f

= 20

2 5 40

— 15,55 Met.

Dieser Abstand liegt zwischen den Abständen 14 und 16 Met. benachbarter Knotenpunkte, mithin ist wegen m" l — m". 2 — 14,

14

m" —

- = 7.

Aus den Gleichungen (339) und (340) ergiebt sich nun beziehungsweise

^4n ln~ m"(m" + 1) — n(2in" + 1)] — 1^0 (100 + 7.8 — 10.15) — 0,8 tons

und

H — ~r|W + -|-(n² + n(2m" + l) — (m" + l)m")j =    [2,4.100 +    (100 + 10.15— 7.8)j

— 125,6 tons.

Werden diese Werthe eingeführt, so erhält man aus Gleichung (346)

”2" b (h₃ ~h f + k) —

^.2(7,5 + 5 + 0,5) = 32,5,

aus Gleichung (347)

= V + np H—(2m" -(- 1) = 0,6 + 10.2,4 -j- ~ . 15 — 54,6

und aus Gleichung (348)

pl (-y + l) - (n (2 m" + 1) - (m" + l)m"/

= 125,6 (7,5 + 5) - 0,6.20 — -00 _ 2;4.2    + l) —    (10.15 — 7.8) = 582,

2A +Vt+ (w)

C = H(hs + f)-V. T -

mithin aus Gleichung (349) ds =

h,

°h

65

|/ 58,2 z 54,6 V P W ⁺ V 65 7

= 3,47 Met.

3,47

Bildet man hieraus das Verhältniß

2,16, so folgt hieraus wieder eine hinreichende Annäherung an den nach Gleichung (337) angenommenen Werth t = 2, wie sich aus den beiden in Fig. 4 eingetragenen Verhält-

erkennen läßt, wonach das durch die Berechnung

erhaltene eine Veränderung in dem ungünstigsten Belastungszustande gleichfalls nicht herbeiführt.

Aus der empirischen Formel (210) ergiebt sich

Nissen j-

d;

7,5

ds = 0,762 + 0,147 . h₈

= 0,762 + 0,147 .

v|Z

43,5

7,5

= 2,74 Met.,

d. h. eine Abmessung, welche hinter der oben gefundenen um 3,47 — 2,74 = 0,73 Met. zurückbleibt.

Werden die gegebenen und hieraus ermittelten Größen aufgetragen, so ergiebt sich die in Fig. 3 und 4, Taf. 8 enthaltene Darstellung.

6—10 Met. Spannweite 1 Paar Streben, s. Taf. 10,

Fig. 1 und 2,

1-2 „ 2-3 „

2 „ 3,

3 „ 4,

Knotenpunkte concentrirt und hier nach den Richtungen der Streben und Spannriegel zerlegt denkt.

Bezeichnet Q die Gesammtbelastung einer Brückenöffnung, n die Zahl der gleichweit von einander entfernten Tragrippen,

so ist die Gesammtbelastung einer mittleren Tragrippe P =

. . (350)

und des Auflagers

(352)

. (353)

sm -

. . (356)

K = N.m.

7t²

7ti

Dritter Abschnitt.

Die hölzernen Stiitztirücken.

A) Die Träger der hölzernen Ztühbrncke».

Die hölzernen Stützbrücken sind sogenannte Hängwerkbrücken, wenn die Brückenbahn, bei beschränkter Construc-tionshöhe, unter und sogenannte Sprengwerkbrücken, wenn die Brückenbahn, bei beschränkter Constructionshöhe, über den Brückenträgern angebracht wird. Die Träger beider Brückengattungen sind aus graben oder gebogenen Balken und ans vertical nebeneinander gestellten oder horizontal übereinander gelegten Bohlen gebildet worden. Da der Krümmungspfeil eines Balkens höchstens ¹/₂₆ seiner Länge betragen darf, wenn seine Festigkeit durch die Biegung nicht leiden soll, so können gekrümmte Balken nur verhältnißmäßig geringe Widerstandsmomente entwickeln, während die Bohlenbogen wegen ihrer zahlreichen Stoßfugen leicht sich setzen und durch Feuchtigkeit leiden. Letzterer Mißstand tritt bei den der Nässe vorzugsweise ausgesetzten Hängwerkbrücken ein, weshalb man bei beschränkter Constructionshöhe den Balkenträgern aus einfachen oder verdübelten Balken bei geringerer und den Fachwerkträgern bei größerer Spannweite, bei unbeschränkter Constructionshöhe entweder den, der Nässe weniger ausgesetzten, Sprengwerkbrücken aus geraden Hölzern oder den Fachwerksträgern mit aufgelegter Brückenbahn den Vorzug giebt. Da die Balkenbrücken sowohl mit gewöhnlichen Balken, als mit Fachwerkträgern bereits behandelt¹) und die übrigen Systeme der hölzernen Stützbrücken unvortheilhaft und deshalb mehr oder minder verlassen sind, so werden nachstehend nur die Sprengwerkbrücken mit geraden Hölzern im Zuge von Straßen berechnet. Diese gestatten zugleich die Anwendung einer größeren Zahl von schwächeren, je 2 bis 2,5 Met. von einander entfernten Tragrippen, welche also bei Straßenbrücken von 5 bis 7,5 Met. Breite, je 3 bis 5 beträgt.

Nimmt man die Entfernung der Knotenpunkte dieser Tragrippen zu 3 bis 5 Met. an, so erhalten dieselben bei Brücken von

10—20 „

20—30 „

wobei man zwischen die Köpfe des mittleren Strebenpaares nicht selten Spannriegel einschaltet. Die größte Anspruchnahme sowohl der Streben als der Spannriegel findet bei voller Belastung der Brücke statt, welche letztere man von der Hälfte jedes angrenzenden Feldes auf die einzelnen

n — 1 '    '

während jjede Stirnrippe meist nur die Hälfte dieser Belastung zu tragen hat.

Besitzt die Tragrippe eine Länge 1 und n Knotenpunkte mit den Abständen X,... von einander, s. Fig. 5, so ist die Gesammtbelastung des beliebigen raten Knotenpunktes

Pm =    +^m+^ ,p .    .    (351)

p — V p

r„ — ₂₁ .r

Bezeichnet 1‘ den wagrechten Abstand des Schnittpunktes der Strebenaxen von einer Lothrechten durch den Kopf der ersten Strebe und k den Abstand dieses Schnittpunktes von der Axe des Spannriegels, s. Fig. 6, so ist die Druckspannung der beliebigen raten Strebe

p VH“ K + • • ^m)² + k2 k

und die derselben entsprechende horizontale Componente

=    . . (354)

Da diese Horizontaldrücke sämmtlich von dem Auflager nach der Mitte hin wirken, so erhält man int m ten Knotenpunkte den gesammten Horizontaldruck

H = H₁ + H₂ + ...Hm. . . . (355)

Die Streben, Tramen und Spannriegel werden auf Ausbiegung (Knicken) beansprucht, daher ist, wenn t das Trägheitsmoment ihres Querschnittes, l deren freie Länge und

E den Elasticitätsmodul des angewandten Materiales bezeichnet, deren Anspruchnahme

Et

X² '' ■ ■

worin der Sicherheitscoefficient für Holz N — und die

der Befestigungsweise des Balkenstückes entsprechende Constante bei Festhaltung eines Endes, drehbarer Befestigung beider

Enden und Festhaltung beider Enden, bezw. m = ^

und 4 Tr² zu setzen ist.

Beispiel. Wird eine Brücke mit 2 Oeffnungen von je 17,5 Met. Spannweite und 7,5 Met. Breite, s. Taf. 10,

9¹

Fig. 15 bis 17, durch Menschengedränge mit 560 Kilogr. pr. Hs Met., also mit 17,5.7,5.560 — 73500 Kilogr. im Ganzen belastet und besitzt, bei Anordnung von 5 Tragrippen, ein Eigengewicht von 38370 Kilogr., so beträgt die Gesammt-belastung einer Brückenöffnung

Q = 73500 + 38370 = 111870 Kilogr.,

aus Gleichung (354) deren horizontale Componenten: Hx = 5000.

2,75

3,625

= 3793 Kilogr.

und

daher die Gesammtbelastung einer mittleren Tragrippe nach Gleichung (350)

P =

111870

= rot. 27970 Kilogr.

Enthält jede Tragrippe 2 Strebenpaare mit einem Spannriegel in ihrer Mitte, also aus jeder Seite 3 Knotenpunkte, deren Entfernung Xx ----- 2,5, 1, — 3,75 und X₃ — 5 Met. beträgt, s. Fig. 7, so ergießt sich aus Gleichung (352) die Belastung des Auflagers —    2,5

~~ 2.17,5

Po

. 27970 = 2000 Kilogr.,

die Belastung der beiden Strebeköpfe nach Gleichung (351)

(2,75 -f~ 3,75)

3,625

folglich nach Gleichung (355) deren Summe

H = 3793 + 12552 = 16345 Kilogr.

Wird angenommen, daß das obere Ende der ersten Strebe durch eine Zange festgehalten und jedes Ende der zweiten Strebe drehbar befestigt sei, so ist nach Gleichung (356) deren Druckspannung c, XT    E t

bi = N- - ₄ -

worin das Trägheitsmoment des rechteckigen Querschnittes, von der Breite b und Höhe h, t =

H₂ = 7000.

= 12552 Kilogr.,

und S₂ = N.7T².

hb³

Et

X²

und bzw. X —

bezw.

P, =

(2,5 + 3,75) 2.17,5

—. 27970 = 5000 Kilogr.

und

T, _ (3,75 + 5,00)

3 —    2.17,5

Sind die Streben so angeordnet, daß X‘ ----- 2,75 Met. und k — 3,625 Met. beträgt, so ergeben sich aus Gleichung (353) die Druckspannungen der beiden Streben

. 27970 ----- 7000 Kilogr.

Y* + k" — Y2,75* + 3,625² — 4,55 Met. und X — /(? 4- Xtf +~k² = /(pT+3~75)² + 3^25- = 7,44 Met. zu setzen ist. Werden die Zahlenwerthe eingeführt und hierbei E = 113000 Kilogr. pr. □ Centim. gesetzt, so ist für Kilogr. und Centim.

.276-    1    3'¹⁴’    ¹¹³⁰⁰⁰

62,6 - 10 '4" 455- . 12

.hb³

und

S, ----- 5000.

3,625

= 6276 Kilogr.

14370 ----- -] {j. 3,14.

113000

744².12

.hb³.

und

8, = 7000.

/(2,75 ± 3,75)2 ₊ 3,62?

3,625

= 14370 Kilogr.,

Wird in beiden Gleichungen, worin b die kleinste Quer-

O

schnittsdimension bezeichnet, b = h gesetzt, so ergießt sich für die erste Strebe

b -----

6276-

für die zweite Strebe

0,0157

— rot. 25 Centim. und h =

.25 — 35 Centim.

p' 14370

0,0235

— rot. 28 Centim. und h —

4-.28 = 38 Centim. 5

Wird weiter angenommen, daß das äußere Ende des Tramms von der Breite b und Höhe h mit dem Sattelholz verschraubt, also einerseits und der Spannriegel von der Breite b und Höhe h an beiden Enden festgehalten sei, so ist nach Gleichung (356) deren Druckspannung bezw.

Eh.b3 ' V-12

n²

= N-r

Werden die Zahlenwerthe eingeführt, so ist für Kilogr. und Centim.

. , Eh.b³

und Hg ^-- N .4 Ti.-. n 12~'

und

9703 _    ¹    3,i?    113000

10 ' 4    375'. 12

.hb³

₁₀.M    .    . ö—₂ 113000

12o52 —    -.4.3,14.-^,

10    '    500².12

.hb³.

5

Wird in beiden Gleichungen b — -y h gesetzt, so ergiebt sich für das freie Tramenstüü

-L-. 20 — rot. 30 Centim.

5

— rot. 16 und h = ?-. 16 = rot. 23 Centim.

5

und, wenn die Zahlenwerthe eingeführt werden,

16345 = ^.4.3,1?.

7

Wird hierin wieder h —    . b gesetzt, so erhält man

für den Spannriegel

3793

0,0232

— rot. 20 und h —

12552 0,208

Wird eine Verdübelung des Spannriegels und Tramens, also eine Verbindung beider zu einem Balken an der Breite b und Höhe h und dessen Festhaltung an beiden Enden angenommen, so ist nach Gleichung (356)

E.hb³

V.12

H, + H, = N.4tt².

p/ 16345

— rot. 24 und h =

Die Abmessungen des Tramens und Spannriegels in

0,052

unverdübeltem und verdübeltem Zustande betragen nach dem Vorstehenden bezw.    und Centim., welchen in

der auf Taf. 10, Fig. 15—17 dargestellten Construction, zur Herstellung der erforderlichen Uebereinstimmung in der Breite,

30

die Abmessung y sowohl des Tramens, als des Spannriegels zu Grunde gelegt worden ist.

Erhalten die Bankette und die Fahrbahn bezw. einen doppelten Querbohlenbelag, welcher unmittelbar durch 9 Längsträger und mittelbar durch 8 auf den Tragrippen ruhende Querschwellen unterstützt wird, so sind diese sämmtlichen Theile unter der Voraussetzung einer Belastung durch ein schwerstes Wagenrad, welches zu 6000 Kilogr. angenommen werden soll, wie folgt zu berechnen.

113000

500².12

.hb³.

T'²⁴

Die Querträger liegen mit den Enden frei auf den

7 5

äußersten Längsträgern und nach Fig- 8 auf —|--0,3 —

— rot. 34 Centim.

rot. 1,6 Met. frei, sind also im ungünstigsten Falle als in ihrer Mitte durch 6000 Kilogr. belastete Träger mit einem festgehaltenen und einem freien Ende, sowie mit der Spannweite von 160 Centim. zu berechnen. Nun beträgt für diesen Fall*)

bh²

Q = 5,33 . p . g-j-

worin p die Druckfestigkeit des Holzes in Kilogr. pr. □ Centim. bedeutet. Werden die Zahlenwerthe eingeführt, so ist

6000 = 5,33.72.

und, wenn b —

= rot. 28, woraus b =

4-28

bh²

6.160 5

-y h gesetzt wird, die Höhe des Querträgers

— 20 Centim.

Die Längsträger liegen da, wo sie gestoßen sind, frei    ist, wenn die Zahlenwerthe eingeführt werden,

auf den Querträgern und nach Fig. 9 auf —-■—~~'~

5,33.72. bb²

6000 =

— 2 Met. frei, sind also im ungünstigsten Falle nach der-    ,    5    .    .

selben Formel wie die Querträger zu berechnen. Demnach UI* ^er‘n' menn lj = ~J~ 1 toni)'

— rot. 30 Centim., woraus b — -y.30 — 20 Centim.

so dient zur Berechnung dieselbe Formel. Werden sogleich die Zahlenwerthe eingeführt, so ist

5,33.72.25 6.71

erhalten wird.

| ⁸/ 6000 f 0,228

Die Querbohlen der Fahrbahn, deren Breite zu 25 Centim. angenommen wird, liegen an den Enden frei auf den Längsträgern und nach Fig. 10 zwischen zwei Längs-7,5 — 9.0,2

6000 —

6.200

.h²

trägem auf

— 0,7i Met. frei. Steht nun ein Wagenrad von 6000 Kilogr. Gewicht in deren Mitte,

*) Bergt. Heinzerling, Die angreifenden und widerstehenden Kräfte u. s. w., Berlin 1867. Seite 61, Nr. IV.

und hieraus

6000 WrK

Hiernach wurde der Bohlenbelag aus einer doppelten Lage Bohlen von 12 Centim. Stärke unten und 5 Centim. Stärke oben angenommen.

= rot. 17 Centim.

und der Abstand des Punktes, worin die Resultante des | Mauergewichts und Erddrucks mit dem Momente CM die Basis des Pfeilers schneidet,

1) =

'M

F.g' ■ ■

. . (360)

mithin der Abstand dieses Schnittpunktes von der Innenkante des Pfeilers

=M — eM_

l’.g ' '

. . (361)

B) Die Pfeiler der hölzernen SMbrülKen.

I. Die Land- oder Endpfeiler.

Die Stärken der Land- oder Endpfciler gesprengter, hölzerner Brücken hängen, wie diejenigen der gewölbten Brücken, entweder von dem größten Drucke der hinterfüllten Erde oder von dem größten Drucke der Ueberbauconstruction und dem in der gleichen Richtung wirkenden größten Ueberdrucke des Wassers ab und werden am sichersten nach dem relativ größten dieser beiden Horizontaldrucke derart bemessen, daß die Landpfeiler einem jeden derselben für sich allein einen genügenden Widerstand entgegensetzen können.

2) Die von den größten Strebendruckcn abhängigen Stärken der Landpfeiler.

Bon jeder Tragrippe der Brücke, deren gegenseitiger Abstand c beträgt, wird an beiden Enden mit Bezug auf Gleichung (355) der Horizontaldruck der Streben

— (H, + H, 4~ ... Hm) . . (362)

H¹ =

der Verticaldruck der Streben

-!.(?,+P, + ...Pm)    . . (363)

und der Verticaldruck der Horizontalbalken

\⁷¹ =

1) Die von dem größten Erd- und Wasserdrücke abhängigen Stärken der Landpfeiler

. . (364)

auf die Tiefeneinheit des Landpfeilers ausgeübt. Bezeichnet

nun

werden nach den Formeln (191) bis (200) in ähnlicher Weise wie diejenigen der gewölbten Brücken mit trapezförmigem oder rechteckigem Querschnitt bestimmt und die auf diese Weise gefundenen Formen so modiftcirt, wie dies die Ueberbauconstruction, insbesondere die Unterstützung ihrer Streben und Horizontalbalken erfordert, worauf man das Stabilitäts-moment des Landpfeilers in dieser neuen Anordnung nochmals untersucht und mit dem Momente des größten Erddrucks vergleicht. Bezeichnet man nämlich mit:

4 f₂... fm die Flächen, in welche man den Querschnitt am zweckmäßigsten zerlegt,

s₂... sm die Abstände ihrer Schwerpunkte von der Innenkante des Pfeilers,

so ist, wenn das Gewicht der Kubikeinheit Mauerwerk wieder g genannt wird, jenes Stabilitätsmoment:

⁸M — g (4 St + 4 s2 + • • • • Sn ®m). - (357)

h' den Hebelsarm von H; in Bezug auf die Pfeilerbasis, den Abstand des Berticaldrucks \

Schwerlinie des Mauerkörpers und e den Abstand dieser letzteren von dem Punkte, wo die Resultante sämmtlicher Kräfte die Pfeilerbasis schneidet, s. Fig. 11, so ergiebt sich mit Bezug auf diesen Punkt die Momentengleichung

H'h' — V'(v' + e) — V» (v° + e)-gF.e = 0, wonach jene Resultante die Pfeilerbasis in einem Abstande H'h' — VV — V°v° e — V' + V° + gF ' von der Schwerlinie des Pfeilers oder in dem Abstande

i = du — (a + e) . . .    . (366)

von der Außenkante der Pfeilerbasis du schneidet.

V'

von der

. . (365)

Bezeichnet

F — 4 -t- 4 + • • • fm • • • • (358)

den Inhalt des Mauerquerschnitts, so ist der Abstand der Schwerlinie von der Innenkante des Pfeilers,

II. Die Strom- oder Zwischettpfeiler.

Die Stärken der Strom- oder Zwischenpfeiler gesprengter hölzerner Brücken hängen theils von dem Stoße der Eismassen oder anderer schwimmender Körper, theils von dem größten einseitigen Horizontaldrucke ab, welcher von der Ueberbauconstruction auf dieselben ausgeübt wird.

l) Die von dem Eisstoßc abhängige Stärke der Strompfeiler

kann, wie bei den Strompfeilern steinerner Brücken, annähernd aus Formel (210) bestimmt werden.

2) Die vom größten einseitigen Drucke abhängige Stärke der Stronlpfeiler.

Der größte einseitige Druck auf einen Strompfeiler findet Statt, wenn die Tragrippen einer Oeffnung vollbelastet und in der folgenden entlastet sind. Behalten kg, V' und H/, IV, k und g ihre frühere Bedeutung, so besteht, wenn mit 8" und V" bezw. der Horizontal- und halbe Berticaldruck einer entlasteten Tragrippe, mit a und b beziehungsweise der Abstand des Schnittpunkts der Strebenaxen und Mauerlatten von der Laibung des Pfeilers bezeichnet wird, s. Fig. 12, mit Bezug aus den Drehpunkt D die Momentengleichung (H' — H")tV — VJ(ds — a) — V'a' — V(d₃ — b) -

Vrb-g

woraus, wenn der Kürze halber D = h' (H' — H") + a(V' — V") + b(V» — V,») —

(367)

(h'4+t.Ai) = o,

d 2 uo

Die Pfeilerstärke wird dann nach dem relativ größten der beiden sub 1 und 2 ermittelten Werthe bemessen.

Beispiel. Beträgt für dieselbe Brücke das Gewicht der hinterfüllten Erde g — 1500 Kilogr. pr. Kniet.,

deren Reibungswinkel q — 36°, deren Höhe h — 9,25 Met., so ist nach Gleichung (191) der größte Erddruck

Q ff>K²

Hmax = 1500.    . tg².27° = 16660 Kilogr.

und dessen Moment in Bezug auf die Pfeilerbasis «M = ~ .H

O

9 95

. 16660 — rot. 51370 Klgrm.

Wird der Querschnitt des Landpfeilers vorläufig rechteckig angenommen, so ist nach Formel (197) die Stärke des Landpfeilers für die Tiefe 1

d = Kw-H

Kd!

. 16660 = 2,15 Met.

3.1500

ein Werth, welcher noch einen Zusatz von etwa ‘j erhal

gesetzt wird, die Pfeilerstärke

ds

V' + V°

ten und zu d — 2,77 Met. angenommen werden soll.

Aus dem in Fig. 13 dargestellten, modificirten Querschnitte des Landpfeilers ergiebt sich mit Bezug auf die Abmessungen der Figur

gh'

⁺ Vih'-D+(

V' 4- V⁰\²

^ J .    (368)

gh'

f,=

8,75. 1,25

gesunden wird, welcher man zur Verminderung der Pressung an der Kante der Pfeilerbasis noch bis zusetzt.

auf jeder Seite

1 OK

— 5,47 «m, 8, — —g-----h 2,65 — 3,07 Met.,

2    -s- 1,55 — 2,10    „

f₂ — 8,75.1,1 — 9,62 „ 8z —

l,i

Hierin ist, wenn das Gewichtsverhältniß der unbelasteten zur belasteten Tragrippe mit a bezeichnet wird,

H" = a.bk, V" = a.Y‘ und P₀' = «.P₀,    (369)

während die Abstände a und b, den erforderlichen Auflage-und Widerlagflächen entsprechend, anzunehmen sind.

f₃ — 7,75.0,65 — 5,04 „ s₃ —    + 0,90 = 1,27 „

f₄ — 0,5.4,87 — 2,43 „ S₄ — 0,25 + 0,40 — 0,65 „

2

0,90 „ 8g 6,4.. b ⁼⁼ 0,27    „

4,5.0,4

mithin nach Gleichung (357) und (358) bezw. SM == 2400(16,79 + 20,20 + 6,20 + 1,58 + 0,24) = 108024 Kilogrmet.

und

F — 5,47 + 9,62    5,04 + 2,43 + 0,90 — 23,46 □ Met.

Werden diese und die Werthe von eM und von g in die Gleichung (359) gesetzt, so erhält man den Abstand 108024 2400.23,46

a — b —

— l,9i Met. und nach Gleichung (361)

woraus folgt, daß die Resultante die Basis des Pfeilers in einem noch hinreichenden Abstande von seiner Innenkante schneidet.

108024 — 51370 2400.23,46

— 0,9i Met.,

Beträgt die Entfernung zweier Tragrippen c ----- 1,875 Met., so ergeben sich aus den Gleichungen (362), (363) und (364) für die Tiefe 1 bezw. die Werthe

H' ------

16345

1,875

------ rot. 8715, V' =

12000

1,875

— — rot. 6400 und V° —

2000

rH

— rot. 1066 Kilogr.

und, wenn die Werthe IV — 4,47, v' — 0,76 und v° — 0,69 aus Figur 13 entnommen »verden, nach Gleichung (365) der Abstand

_ 8715.4,4? — 6400.0,76 — 1066.0,69 6400 + 1066 + 2400.23,46

und nach Gleichung (366) der Abstand von der Außenkante der du = 3,9 Met. breiten Pfeilerbasis

i — 3,9 — (1,910 + 0,523) — 1,47 Acht.,

— 0,523 Met.

woraus folgt, daß die Resultante sämmtlicher Kräfte in hinreichender Entfernung von der Außenkante des Pfeilers dessen Basis schneidet.

Wird die Höhe des Strompfeilers h, — 4,47 Met. und die Entfernung von Mitte zu Mitte der Peiler annähernd 1 + dä = 18,5 Met. angenommen, so ergiebt sich aus Gleichung (210)

d₆ — 0,762 + 0,147.4,47 das Gewicht einer belasteten und entlasteten Tragrippe be- mithin nach Relation (367)

trägt bezw. P = 27970 Kilogr. und P' = --J70 9592 Kilogr., daher ist « — ^

9592

P — 27970

— 0,343 UNd

18,5

4,47

— 1,81 Met.,

nach den Gleichungen (369) H" = ö.H' — 0,343.8715 = rot. 2990 Kilogr., V" = «. V' = 0,343.6400 = rot. 2200 Kilogr., V₁° — a.V° — 0,343.1066 == rot. 370 Kilogr. Ferner ist IV — 4,47 Met., a — 0,75 Met., b — 0,82, k — 3,625 und ch — 1 Met., s. Fig. 14,

dp!

D = H' (1 — e)h' + aV'(l — a) + bV°(l — a) — gk.^- — (1 _ a)(H'h' + aV' + bV») — gk.-%l

£ 2

— 0,657(8715.4,47 + 6400.0,75 + 1066.0,82) — 24 00.3,625.= 24972 Meterkilogr.

f    V, + G₀ 6400 + 1066    „    .    2

Wird dieser, sowie der Werth L-^    = —2400.4,₄₇"    ⁼ °'69 unb -•

chung (368) eingeführt, so ergiebt sich die untere Stärke des Strompfeilers

ds = — 0,69 -|“

giV 2400.4,47 ~ 5364 m ®letä

24972

5364

+ 0,69' — 1,58 Niet.,

ds

1,58

^    — 0,39 gemacht

, von dä übertrifft, mithin maaßgebend ist. Nach vorstehenden statischen Ermittelungen wurde die in Fig. 15 bis 17 dar

mithin, wenn ein Zusatz von ^ — wird, ds — rot. 2 Met., welchen der oben gefundene Werth j gestellte Construction durchgeführt

Zweite Abtheilung.

Die ausgehängten Drücken (Hängbrücken).

Die Träger der Hängbrücken, welche die Brückenbahn sammt der auf ihr befindlichen Belastung mittels Hängstangen aufnehmen und an je zwei höher liegenden Stützpunkten aufgehangen werden, sind entweder, wenn sie zu Fußstegen oder Straßenbrücken angewendet werden, nicht oder wenig versteifte oder, wenn sie zu Eisenbahn- oder Kanalbrücken verwendet werden, mehr oder minder versteifte. Wir unterscheiden daher hinsichtlich ihres Constructionsshstems schlaffe und steife Hängbrücken.

Erster Abschnitt.

Die schlaffe« Hängbrücken.

Die Tragkabel der schlaffen Hängbrücken und deren Berechnungen gestalten sich verschieden, jL nachdem die Lastpunkte ihrer Brückenbahn sich in größer« gegegenseitigen Entfernungen befinden oder sehr nahe zusammen liegen. Daher

sind diejenigen mit isolirten und diejenigen mit nahe lie- mithin nach Gleichung (376) gen beit Belastungspunkten unterschieden.

Tn = / 9000* + 5875* = 10724 Kilogr.

1) Die schlaffen Hängbriicken mit isolirten Lastpmikteii.

Bezeichnet V₁ V₂... Vm bezw. die Belastung in dem I ten, 2ten, beliebigen mten und in dem letzten, ntcn Knotenpunkte, s. Taf. 8, Fig. 5,

xm und ym die zum m ten Knotenpunkte gehörigen Abscissen, H die constante Horizontalspannung, so ergiebt sich die Form des Seil- oder Kettenpolygons aus V, + V₂ +....Vm

(xm — xm_i). (370)

ym    ym—1 —

Bedeutet f die Pfeilhöhe der Kette und 1' den Abstand seines Schwerpunktes vom Kettenscheitel, so beträgt die Horizontalspannung

(Vi + V₂ + .... Vn) --l' j . (371)

und die Spannung im mten Kettenglieder

2) Die schlaffen Hängbriicken mit nahe liegenden Last punkten.

Rücken die Lastpunkte sehr nahe zusammen, s. Fig. 7, und bezeichnet

q die über die laufende Einheit der Brücke gleichförmig vertheilte Last,

so wird in Gleichung (370) ym — ym_i = dy,

Xm — Xm_, — dx, Yj + V₂+... Vm = gx, daher

dy= y xdx

und durch Integration

xdx — yh .X-.

. (377)

Für y = f und x — -g- erhält man

Tm = VH² + (V₁ + v₂ + ... vm)*.

. (372)

Sind die Lasten untereinander gleich und befinden sich, wie gewöhnlich, in gleichen Entfernungen, so ist, wenn

und hieraus

211

(!)■

. . (378)

mit

gl²

p + q jene größte gesammte Belastung, mit X jene durchweg gleiche Entfernung bezeichnet wird, nach Gleichung (370)

m (p + q) X

ym — ym-i - -ferner, nach Gleichung (371) H =

~Y (p + q)

-b! N*

und das Gewicht des halben Systems

(2n - 1)

V = (p + q)

. . (373)

- • (374)

• - (375)

mithin die größte Spannung im höchsten Seil- oder Kettengliede nach Gleichung (372)

Tn = /H* + V².....(376)

Beispiel. Beträgt bei einer solchen, für Fußverkehr bestimmten, polygonalen Hängbrücke 1 — 60 Met. und n — 24,

also X =

— 1,25 Met., 1—10 Met. und p + q

2.24

— 250 Mogr., so ist nach Gleichung (374)

24²

1,25

— = 9000 Kilogr.

H = ™ .250. und nach Gleichung (375)

V = 250.    = 5875 Kilogr.,

H = ”sr •

ferner durch Division von (378) in (377)

Für die Absässe x ist die Gesammtbelastung

v- = s* = h-if • •

(379)

. . (380)

. . (381)

und hierin durch Differentiation von (380)

"d^= ⁸‘•

mithin die Tangentialspannung im Punkte (x, y)

dy

. . (382)

. (383)

im Punkte ^f, j, wenn der Werth von H aus Gleichung (379) eingeführt, die Reihe entwickelt und mit hinreichender Genauigkeit nur das erste und zweite Glied beibehalten wird,

T i = H

und

= gl(w⁺ t)- ⁽³⁸⁴⁾

Beispiel. Erhält die Kettencurve einer für Straßenverkehr bestimmten Hängbrücke, s. Taf. 8, Fig. 6, von 7,5 Met. Breite und 350 Kilogr. pr. □ Met., also 7,5.350 — 2625 Kilogr. pr. lauf. Met. Verkehrsbelastung, die Spann-

>+(tP

10

weite 1 — 60 Met. und Pfeilhöhe f — 10 Met., so beträgt, >venn das Eigengewicht der ganzen Brücke zu 2375 Kilogr. pr. lauf. Met. angenommen wird, die Totalbelastung des lauf. Meter Tragwand

g =

2625 +2375 ₌ ^ ^

Werden diese Zahlenwerthe eingeführt, so erhält man aus Gleichung (379) bei voller Belastung die Horizontalspannung

I ■ - (V'i

= 112500

H = 2500.

60²

= 112500 Kilogr.

8.10

und, wenn x — 2 — 30 Met. gesetzt wird, aus Gleichung (381) den Verticaldruck am Aufhängepunkt

Vi

= g.-g- = 2500.30 = 75000 Kilogr.

ferner aus Gleichung (384) die daselbst stattfindende Tangen-tialspannung genau

j + i f

= 145225 Kilogr.

und annähernd

= 2500.60

60

Bezeichnet

Q den Querschnitt der Kette am Aufhängpunkte,

8 die Zugfestigkeit des Eisens,

L = 1(1 +    ) die Länge der parabolischen Kette,

y das Gewicht der Kubikeinheit Eisen,

F den Quadratinhalt der Fahrbahntafel, x + q die ruhende und bewegte Belastung der laufenden Einheit Brücke,

so ist, da die Gesammtbelastung aus dem Gewichte der Ketten und der belasteten Brückenbahn besteht,

gl = Qyl (l + -§p~) + F<P + q)-Hieraus erhält man den größten Kettenquerschnitt F(P + q)

81fs

8f²

1- + 8f²

y! (x + -3P

(385)

+ j = 137500 Kilogr.

j und, wenn es sich um Prüfung einer ausgeführten oder pro-jectirten Brücke handelt, deren Querschnitt also bekannt ist, die Anspruchnahme des Materials für die Quadrateinheit

s = [y 1 (l + -§£) + -Q-(P + q)] ( gf + J )• (386)

Beispiel. Bei der Sophienbrücke in Wien*) ist in österreichisch Maaß und Gewicht 1 = 37,5°, f — 2,67°,

daher -J- — b — 2,25°, daher F =

— 84,375 ferner p == 11 Ctr. pr. [3°, q — 30 Ctr. pr. Q⁰. Nimmt man das Gewicht eines Kettengliedes von 1° Länge und 1 □" Querschnitt y — 0,25 Ctr. und die Zugfestigkeit des Eisens s — 200 Ctr. pr. □" an, so ergiebt sich aus Gleichung (385)

8.10

bl — 2,25.3,75

84,375(11 + 30)

8.37,5.2,67.200

37/ + 8.2,67

— 0,25.

37,5 ^1 +

8.2,67²

- = 32

3. 37/

ein Querschnitt, welcher mit der Ausführung übereinstimmt, da die 4 Tragketten der genannten Brücke je 4 Glieder von je 2“ Höhe uud 1" Breite, mithin einen Querschnitt

Q = 4.4.2.1 ---- 32 □"

besitzen. Legt man diesen Querschnitt zu Grunde, so ergiebt sich nach Gleichung (386) umgekehrt die Anspruchnahme der Tragketten

[0,25.37,5(1 +

8.2,67' .    84,375

'    32

3.37,5

(11 + 30))] (

37,5

Für die Grenze der Spannweite einer Hängbrücke muß, wie aus Gleichung (385) folgt,

81fs

8.2,67

sein, wenn der Kürze halber

= 200 Ctr. pr.

81f

mithin

<?,i(i + • _81 f s

y(l² + 8f²) (l + - ; )

P + 8f²

. (387) <y.C. (388)

(l² + 8f²) (l + |[t-)

. . (389)

*) Bergt Rebhann, Theorie d. Holz- und Eisenconstructionen.

I Wien 1856.

gesetzt wird. Die äußerste Grenze der Spannweite wird folglich erhalten, wenn

10

~ ⁴' 60 — ~

(390)

Die Pfeilverhältnisse der Hängbrücken bewegen sich in f

den Grenzen -y = ^

7000000 bis 16000000 Kilogr. pr. □30?et. und y = 7790 Kilogr. pr. Kmet. gesetzt werden kann. Hieraus sind für verschiedene Pfeilverhältnisse die folgenden möglichen Spannweiten in Meter berechnet.

f    i

r und -y — -jg-■, während

für y — 7790 Kilogr. pr. Kmet.

= 7000000 Kilgr.s = 16000000 Kilgr.

woraus

COS Cp —

/I -i- tg-f

y,₊

<X>

— 0,832

gefunden wird. Für die Spannkette ist hx__18,7

r; — “23

tg <p' —

= 0,813,

mithin

cos cpJ —

712

Vl3

Vl4

II

16

Vir

Vis

0,617

0,577

0,540

0,508

0,479

0,453

0,430

550

518

485

456

430

407

386

1267

1185

1109

1043

984

930

883

Wird die Horizontalspannung durch eine Spannkette mit dem Neigungswinkel cpt zum Horizont und der Spannung T); s. Fig. 8, aufgehoben, während die Tragkette am Aufhängpunkte den Neigungswinkel cp und die Tangentialspannung T besitzt, so sind entweder

a) die Ketten über dem Pfeiler befestigt und in diesem ungewöhnlichen Falle T\ = T und deren Resultante

R = 2Tsin

• . (391)

welche mit dem Lothe den Winkel

y-y

P 2

. . (392)

— 0,776.

/i + tg² cp¹    y 1 + o,

Da nach der früheren Berechnung die Spannung der Kette am Aufhängpunkte T — 10724 Kilogr. beträgt, so er-giebt sich aus Gleichung (393) der Zug in der Spannkette

0,832 0,776

Dieselbe Beziehung findet auch bei Anordnung einer einhüftigen Tragkette an Stelle der Spannkette Statt, in welchem Falle dann Tx die Tangentialspannung der ersteren am Äufhängpunkte dargestellt. Wird T in ähnlicher Weise wie oben Tj bestimmt, so läßt sich auch für ein bekanntes

T, = 10724.

=2

813

= 11496 Kilogr.

cp der Werth cpx ermitteln.

Durch die größte einseittge Belastung einer unversteiften Hängbrücke entsteht eine Tendenz zur Horizontalverschiebung des Kettenscheitels, welche in maximo

_ (P + q)!² pl² _ ql²

min    „n    8f _ 8f '

Hmai -H

8f

. (393)

beträgt und welcher durch eine entsprechende Bersteifung der Fahrbahn zu begegnen ist. Für eine Tragwand der in Fig. 7, Taf. 8, dargestellten Hängbrücke beträgt dieselbe beispielsweise

Hraax — H

2625    60²

2 ' 8.10

= 59063 Kilogr.

Diese Tendenz zur wagrechten Verschiebung äußert sich bei Annahme eines Rollenstuhls oder umgekehrten Pendels b) die Ketten über dem Pfeiler auf einem Rollen- unter den Aufhängpunkten nicht oder nur vermöge der wäl-stuhl, s. Fig. 10, oder Pendel, s. Fig. 9, beweglich

einschließt, oder es sind wie gewöhnlich

zenden oder gleitenden Reibung jener beweglichen Zwischen-und in diesem Falle, wenn Ht und H bezw. die Horizon- mittel auf die Pfeiler, infolge dessen dieselben durch die Last talspannung der Spannkette und Tragkette bezeichnet, H = H; ber Träger fast ausschließlich in lothrechtem Sinne beansprucht mithin

werden. Versteht man unter T und T) die größten, bei voller

Tt = t . —os V—.....(393) Belastung beider, auf einem Pfeiler ruhenden Trägerhälften

cos ^    eintretenden Kabelspannungen, so ist, wenn cp und <p‘ die

Nimmt man als Beispiel die in Fig. 6, Taf. 8, dar- obige Bedeutung behalten, der von denselben auf jeden Pfeiler gestellte Hängbrücke wieder auf, so ergießt sich aus Gleichung ausgeübte lothrechte Druck

(382), wenn darin x = -y gesetzt wird, die Tangente am Aufhängpunkte

Tsingp -f- T'sincp',

daher die geringste Stärke des Pfeilers, wenn mit b dessen

io*

Länge, mit c dessen Dicke, mit p die zulässige Pressung der Flächeneinheit seines Baumaterials bezeichnet wird ^ _ T sin (p + T' sin (p‘

system verbunden. Der so gestaltete Hängträger gleicht dem ähnlich angeordneten, in verticalem Sinne umgedrehten Stützträger und unterliegt, statisch betrachtet, denselben früher entwickelten Bedingungen wie dieser. Hiernach bedürfen auch die beiden steif construirten Bogenhälften dieses Hängträgers einer Unterbrechung ihres oberen Gurtes und, zur Vermeidung nachtheiliger, durch Temperaturwechsel und einseitige Belastungen entstehender Spannungen, beweglicher Verbindungen an ihren Stützpunkten, sowie an ihrer Berührungsstelle.

pb

Auf das Ankermauerwerk der Brücke, s. Fig. 6, Taf. 8, wirkt aufwärts die Verticalkraft

V — T₁siny₁

und seitwärts nach der Brückenöffnung für die Horizontalkraft H — T₁cosy₁,

Auch für die Form des Obergurtes gelten die früher ge-

welcher ersteren durch eine hinreichende Belastung der Verankerungsplatte mittels Mauerwerk und welcher letzteren durch machten Voraussetzungen einer annähernd gleichförmig vereine hinreichende Reibung auf der Erdsohle durch Verzah- theilten Belastung bei entlastetem und voll belastetem Zu-nungen oder Verpfählungen zu begegnen ist. In dem ange-    stände, welcher wieder beziehungsweise der längstandauernde

und quantitativ größte ist. Nach der bei der Stützbrücke gegebenen statischen Entwickelung empfiehlt sich daher für den polygonalen Gurt auch hier die Form eines der gemeinen ■: Parabel eingeschriebenen Polygons.

zogenen Beispiele beträgt

sin<p =/l — COS- . <Pl = y 1 _ 0,776² = 0,6325.

daher

V = TlSin ₍p₁ = 11496.0,6325 = 72 71 Kilogr.

und

H —    cos y₁ — 11496.0,776 — 8921 Kilogr.

Die Uebertragung der in der Zuggurtung aufgehängter Charnierbrücken entwickelten Spannungen auf die Verankerungsstellen kann entweder durch gerade Spannketten direct, Wird die Spann- oder einhüftige Tragkette mit der oder durch polygonal gestaltete Tragketten indirect bewirkt Maximalspannung bei DE, Fig. 7, Taf. 8, senkrecht in werden. Im letzteren Falle erscheinen die Tragketten als das Berankerungsmauerwerk hinabgeführt, so hat der Land-    Spannketten, welche gleichzeitig die Belastung einer Brückenpfeiler sowohl ein dieser Spannung mindestens gleiches Ge-    bahn aufnehmen und deshalb mit der nöthigen Versteifung

gengewicht, als auch ein ihrem Momente mindestens gleiches    zu versehen sind. Hierdurch werden außer einer oder meh

Stabilitätsmoment zu entwickeln.

Zweiter Abschnitt.

Die steifen Hängbriicken.

reren Mittelöffnungen zwei Seitenöffnungen, daher außer einem oder mehreren Hauptträgern zwei versteifte Seite nträg er bedingt und die parabolische Charnierhängbrücke nimmt die in Fig. 20, Taf. 11, dargestellte Form und Anordnung an. Um die zwischen jenen Mittel- und diesen Seitenöffnungen erforderlichen Tragpfeiler einem Horizontalzuge nicht auszusetzen und zugleich den beiden, hier zusammentreffenden Trägern die erforderliche, durch Belastung und Temperaturoeränderung bedingte, verticale Drehbewegung zu gestatten, können I. Allgemeine Anordnung der steifen Hängbrücken,    die Zuggurtungen jener Träger, wie dies bei der im Herbst

Um der Hängbrücke eine größere Festigkeit zu geben und | ^^0 vollendeten, versteiften Charnierbrücke über den Main sie dadurch vor den nachtheiligen Folgen allzuheftiger Schwan- Frankfurt geschehen ist, durch Lager stähle, oder wie

hingen der Fahrbahn zu bewahren, hat man entweder

a)    nur deren Fahrbahn versteift (System Rendel, System

Clark, System Röbling),

b)    nur deren Tragkabel versteift (System Wendelstadt-

Schnirch.), oder

dies bei der über den Bahnhof zu Gotha erbauten Hängebrücke geschehen ist, durch umgekehrte Pendel unterstützt I werden, von welchen sich die ersteren auf Walzen oder Stelzen wagrecht verschieben können und einen großen wagrechten Drehbolzen aufnehmen, um welchen sich die an ihm aufgehängten Gurte in verticalen Ebenen drehen und von welchen o) die ganze Tragwand der Brücke versteift (System Köpke). sich die letzteren um einen aus dem Pfeiler befestigten Bolzen Nach dieser dritten Anordnung, welche an die Stelle drehen, während der an ihrem oberen Ende befindliche Bolzen jener combinirten Constructionen die rationellere Anordnung den an ihm aufgehängten Gurten eine ähnliche Drehbewe-eines homogenen Systems setzt, wird ein, zugleich zur gung gestattet. Unter dieser Voraussetzung werden durch die Unterstützung der Fahrbahn dienender, grabet Untergurt mit veränderlichen Belastungen der Mittelträger Drücke aus die einem polygonalen Obergurt durch ein aus geneigten oder lediglich durch ihr eigenes Gewicht belasteten Seitenträgcr aus lothrechten und geneigten Stäben bestehendes Dreiecks- ausgeübt, welche sich nur in der Richtung 8, Fig. 1, Taf. 11,

H die horizontale V die verticale

1) + -f) -- 0,'

ferner

. . (396)

| endlich

(n — 1)

— f IIV

n2 gesetzt wird,

. . (398)

iA‘+(

bm -

n²

. . (400)

bm

- - (401)

n² bm

der Verbindungslinien AE und BD ihrer Stützpunkte auf den Landpfeilern mit einem gemeinschaftlichen Drehbolzen äußern können, während die Belastungen der Seitenträger auf die Mittelträger ohne Einfluß bleiben und daher nur auf jene und deren Stützpunkte A und B, siehe Fig. 2, wirken. Die Theorie und statische Berechnung der Seitenträger, welche nicht nur unter dem Einflüsse ihrer eigenen Belastung, sondern auch unter der Einwirkung der Mittel-krägerbelastung stehen, weicht daher von derjenigen der Mittelträger ab, welche nur von ihrer eigenen Belastung angegriffen werden.

ll. Statische Berechnung eines Seitenträgers der Charnierhängebrücken.

1) Bestimmung der Spannungen Z in den einzelnen Theilen des polygonalen Zugbandes.

a) Bei voller Belastung.

Bezeichnet

Zra die Spannung des inten Polygonstückes mit dem Hebelarm Zm,

bm die Länge des raten Polygonstückes,

Componente des vom Mittelträger in der Richtung AE auf den Seitenträger ausgeübten Druckes 8, s. Fig. 1, T den Gegendruck im Stützpunkt E, s. Fig. 2, n die Felderzahl des Seitenträgers, l die Feldlänge „    „

f die Pfeilhöhe    „    „

k die Höhe des Trägers im Scheitel, p + q die volle Belastung durch Eigengewicht und Verkehr pro Knotenpunkt des Seiten- und Hauptträgers so besteht für das beliebige mte Feld die Momentengleichung

Zmzm — Hk — Vml -f- TmZ —

qZ(l + 2....(m — 1)) = 0, . . (394)

worin H, V, T und zm noch unbekannt und wie folgt zu ermitteln sind. Mit Bezug auf den Stützpunkt A als Drehpunkt, siehe Fig 1, erhält man bei voller Belastung

-Hf+(p + qu(l + 2+.

und hieraus, wenn die Reihe summirt wird,

(P + q)fA - - • (395)

— V.nZ + Hf = 0,

und hieraus, wenn man den Werth von Hf einführt,

| (P + q)f • •

T n Z —- (p -j- q) Z (1 + 2 +... (n — 1)) — 0, und hieraus, wenn die Reihe summirt wird, (p + q>. . . . (397)

Aus der Proportion

Zm

k “H ym

folgt, wenn die Parabelordinate ym worin die Länge des raten Polygonftückes nach Gleichung (254)

(2ra — l)fy _ _ (399) gefunden wird.

Werden die Werthe von H, V, T und zm aus den ihnen zugehörigen Gleichungen (395), (396), (397) und (398) in Gleichung (394) eingeführt und reducirt, so ergiebt sich

Zm =    (p+q) ^    .

Hiernach beträgt die Spannung im mten Polygonstück des vollbelasteten Seitenträgers genau ebensoviel, als die Spannung im m teu Polygonstück des gleichfalls vollbelasteten Hauptträgers, woraus nach der früheren Schlußfolgerung hervorgeht, daß bei voller Belastung auch die polygonale Gurtung des Seitenträgers der Charnierbrücke diese ganze Last allein auf die festen Stützpunkte überträgt. Derjenige Theil Zmp jener Spannung Zm, welcher durch das eigene Gewicht allein hervorgebracht wird, in welchem Falle in Gleichung (400) q — 0 zu setzen ist, beträgt mithin

Zm⁹ — P •

während der in diesem Falle durch die Berkehrsbelastung im. raten Polygonglied erzeugte Antheil an der Spannung

. . (402)

beträgt.

b) Bei der größten einseitigen Belastung.

Führt man einen Schnitt aß, s. Fig. 3, durch das rate Feld des Seitenträgers und bezeichnet mit Zrn die von der Verkehrsbelastung q pro Knotenpunkt herrührende Spannung des raten Polygonstückes, zm deren Hebelsarm in Bezug auf den Schnittpunkt D, 8 den von dem Mittelträger in der Richtung AE auf den Seitenträger ausgeübten Druck,

T den, durch eine Belastung des links von dem Schnitt aß gelegenen Seitenträgerstückes bei D erzeugten, vertikalen Gegendruck,

U den, durch eine Belastung des rechts von dem Schnitt aß gelegenen Seitenträgers bei D erzeugten, vertikalen Gegendruck,

8, t und u beziehungsweise die Hebelsarme der Drücke 8, T und U,

so besteht für das linke Seitenträgerstück mit dem Drehpunkt D, s. Fig. 3a, die Momentengleichung Zmzm — Ss -(- Tt — 0, woraus Zmzm — Ss — Tt

und für das rechte Seitenträgerstück mit dem Drehpunkt D, s. Fig. 3b, die Momentengleichung

— Zmzm + Ss — Uu = 0, woraus Zmzm — 8s — Uu.

In diesen beiden Gleichungen hat das Moment von 8 mit dem von Zm das entgegengesetzte Vorzeichen, eine Belastung des Mittelträgers bringt mithin einen Zug in dem mten Polhgonstück hervor. Dagegen haben die Momente von T und U mit demjenigen von Z,n das gleiche Vorzeichen, jede Belastung des Seitenträgers erzeugt mithin einen Druck in demselben Polhgonstück. Die größte Druckspannung des letzteren entsteht also bei voller Belastung des Seitenträgers, die größte Zugspannung bei voller Belastung des Mittelträgers. Beide Belastungszustände sind in Fig. 4 dargestellt.

Nimmt man den Mittelträger belastet an und behalten H und V ihre frühere Bedeutung, so ist mit Bezug auf den Drehpunkt D und die Bezeichnungen der Figur 5

Zmzm — Hk — Vml = 0.    . . (403)

Bei voller Belastung der Mittelbrücke ergiebt sich, wenn nur die Verkehrsbelastung q pro Knotenpunkt in Betracht gezogen wird, aus Gleichung (395)

Werden diese Werthe von H und V in die Gleichung (403) eingeführt, so ergiebt sich

nl.q / nk ⁼ 2zm V f'

Zm

und hieraus, wenn der Werth zm aus Gleichung (398) eingeführt und aus Gleichung (401) die von dem Eigengewicht herrührende Spannung hinzugefügt wird, nach einiger Reduktion:

n².bm

n-k -f- fm n

.q+p). . (406)

Die größte Zugspannung ergänzt die größte Druckspannung Zmmin zu der durch Gleichung (402) dargestellten, durch die volle Verkehrsbelastung des Seitenträgers in dessen ra tem Polhgonstück erzeugten Spannung, daher ist

Zm

2f

2mmin —-

n²k + fm²

n² bm

und, wenn der Werth von Zm geführt und reducirt wird,

n² bm Z

. (407) aus Gleichung (406) ein-

fm (n — m)

n²k-f-fm²

q),    (408)

worin der Werth von bm aus Gleichung (399) zu entnehmen ist.

Zmmin —

2) Bestimmung der Spannungen X in den einzelnen Theilen der horizontalen Gurtung.

a) Bei voller Belastung.

Bezeichnet, wie früher:

Xm die Spannung des mten horizontalen Gurtungsstückes, xm deren Hebelsarm,

ym-i die Ordinate des (m— 1)ten Knotenpunktes der Parabel,

k die Höhe des Trägers im Scheitel, während n, 1, f p und q ihre frühere Bedeutung behalten, so ergiebt sich für das rate Feld und in Bezug auf den Durchschnittspunkt der mitdurchschnittenen Diagonal- und Polygonstange die Momentengleichung

— Xmxa, + Hym_t — V(m — 1)A + T(m — 1)1, — Zq(1 + 2.... (m — 2)) — 0

n²

H — ₂ .q. i •

und aus Gleichung (396)

T-q- -

.    . (404)

. . (405)

und wenn die Werthe H, V, T und yra_t beziehungsweise aus den Gleichungen (395), (396), (397) und (266) eingeführt werden, nach Summirung der letzteren Reihe:

Xmxm = (p-±-^— ((m

— I)² — n (m

und hieraus nach einiger Reduktion Xm = 0.

. (409)

Aus Gleichung (409) folgt, daß die horizontalen Gurtungsstücke des Seitenträgers bei voller Belastung der Brücke ohne Spannung sind, daß mithin

1) das gleichförmig vertheilte Eigengewicht

— 1) + (n — l)(m — 1) — (m — 1) (m — 2))

auf die Spannung der horizontalen Gurtung ohne Einfluß bleibt, und daß

2) die Spannungen XmmM und Xmmin, welche sich bei voller Belastung zu jener Spannung 0 ergänzen, numerisch gleich und nur hinsichtlich ihres Vorzeichens verschieden sind.

Bei Bestimmung der Spannungen in den horizontalen Gurtungsstücken durch die größten einseitigen Belastungen ist es daher ausreichend, nur die Maximal- oder Minimalspannung zu ermitteln.

b) Bei der größten einseitigen Belastung.

Führt man einen Schnitt aß, s. Fig. 6, durch das inte Feld des Seitenträgers und bezeichnet mit Xm die von der Berkehrsbelastung herrührende Spannung des inten Stückes der horizontalen Gurtung mit dem Hebelsarme xm,

8 den von dem Mittelträger herrührenden Druck auf den Seitenträger,

T den durch eine Belastung des links von dem Schnitt a ß gelegenen Seitenträgerstücks erzeugten Gegendruck, U den durch eine Belastung des rechts von dem Schnitt a ß gelegenen Seitenträgerstückes erzeugten Gegendruck, s, t und u beziehungsweise die Hebelsarme der Drucke 8, T und U,

so besteht für das linke Seitenträgerstück und den Drehpunkt D, s. Fig. 6a, die Momentengleichung — Vmxm — S s + T t = 0, woraus Xmxm — — Ss + Tt, ferner für das rechte Seitenträgerstück und den Drehpunkt D, s. Fig. 6b, die Momentengleichung + Xmxm + Ss — Uu = 0, woraus Xmxm = — Ss-fUu. Hierin hat das Moment von 8 mit dem von Xm das gleiche Vorzeichen, eine Belastung des Mittelträgers bringt mithin einen Druck in dem mten horizontalen Gurtungsstück hervor, dagegen haben die Momente von T und U das entgegengesetzte Vorzeichen von Xm, jede Belastung des Seitenträgers erzeugt mithin einen Zug in demselben Gurtungsstücke. Die größte Zugspannung des letzteren entsteht daher bei voller Belastung des Seitenträgers, während

der Mittelträger unbelastet bleibt, die größte Druckspannung desselben bei voller Belastung des Mittelträgers, während der Seitenträger unbelastet bleibt. Beide Bela-' stungszustände sind in Fig. 7 dargestellt.

Für den letzteren Belastungszustand und das links von aß gelegene Seitenträgerstück, siehe Fig. 8, ergiebt sich die Momentengleichung

— Xmxm + Hym_, — V(m — 1)-. — 0,

worin H und V die in Gleichung (6) und (7) enthaltenen Werthe haben. Werden dieselben, sowie die Werthe

xm — k + y eingeführt und reducirt, so ergiebt sich

n² (m — l)(n — m + 1) 2 n² k + f(m — l)²

mithin nach dem Früheren

Xramin =

+ (p + q) | 2 (Vm +    + (vm + 2 A) +

Ym ym — H k + V. vm — T.vm

Hierin ist mit Bezug auf A als Drehpunkt TnA-(p + q) [l + 2 +.... (n - 1) + -|-] A

t = (p + q) ~2    •

r n² A

Ymym = (p + q) I--y. j k+ Vm

woraus

worin

und

Wm = (k + ym)

y™ — ym-i

(410)

,qA = —S, (411)

Xmmax = + S.....(412)

3) Bestimmung der Spannungen Y in den Diagoualstäben.

a) Lei voller Belastung.

Führt man den Schnitt « ß durch das beliebige m te Feld und bezeichnet mit

Ym die Spannung des Diagonalstabes im mten Feld, mit ym deren Hebelsarm für den Durchschnittspunkt D bft beiden mitdurchschnittenen Stangen als Drehpunkt, mit vm den Abstand des Drehpunktes vom Trägermittel, mit T den vollen Gegendruck im Stützpunkte E, während H und V die durch Gleichung (495) und (496) dargestellten Werthe haben, so erfordert das Gleichgewicht gegen Drehung um den Durchschnittspunkt D der mit durchschnittenen Stangen, daß

(Vm + (m — 1) A)j — 0. (413)

= 0,

• - (414)

ein Werth, welcher mit dem von V übereinstimmt. Da beide Drücke auch gleiche Hebelsarme haben, so fallen deren Momente in Gleichung (413) weg und man erhält aus derselben, wenn der Werth von H eingeführt und summirt wird,

₌    , . . (415)

(2m - 1)

vm — wm — ml

m²

n²

f (m - iy

n²

n² k + m² f

— f(2m — 1)    '

. . (416)

mithin

Vm —

. I n-' k + m² f 1772 m —

1)

n²k — m(m — 1) f

7(2 ro - 7s

- - (417)

Wird letzterer Werth in Gleichung (415) eingeführt und durch ym dividirt, so ergiebt sich

n-'k — m (m — 1)1

1)] = o. .

. . (418)

E'F = -7-

2    + ' J- ' (419)

Aus Gleichung (418) folgt,

1)    daß jede volle oder auch nur gleichförmig vertheilte Belastung, wie das Eigengewicht, auf die Spannung der Diagonalstäbe ohne Wirkung bleibt, weshalb auch bei Berechnung der durch die größten einseiügen Belastungen erzeugten Grenzspannnngen der Diagonalstäbe die Belastung durch Eigengewicht unberücksichtigt bleiben kann,

2)    daß zwei Belastungen, welche sich zur vollen Belastung ergänzen, successive zwei Spannungen hervorrufen, welche quantitativ gleich und nur durch ihre Vorzeichen verschieden sind, weshalb nur eine derselben numerisch zu bestimmen bleibt.

b) Bei den größten einseitigen Belastungen.

Bei Bestimmung derjenigen größten einseitigen Belastungen, welche die Grenzspannungen in den Diagonalstäben erzeugen, sind drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem der durch die beiden, mit dem zu untersuchenden Diagonalstab gleichzeitig durchschnittenen, Stäbe bedingte Drehpunkt D, 1) tüte in Fig. 11, links von dem Durchschnittspunkt F der Druckrichtung AE mit der wagrechten Gurtung liegt, in welchem Falle A'D > A'F, oder 2) wie in Fig. 13 zwischen diesem Punkt F und dem Punkt E' unter dem Scheitel, in welchem Falle A'D < A'F und > A'E' ist, oder endlich 3) wie in Figur 15, zwischen diesen Punkt E' und den Punkt A, unter dem Bogenanfang fällt, in welchem Falle A'D -< A'E' ist. Der Abstand A'D des Drehpunktes S ergiebt sich allgemein aus (n — in) l + wm, worin wm den durch

Gleichung (275) gegebenen Werth hat, während der Abstand mithin A'F = V-2 (l + Ä ist.

Erster Fall. Fällt der Drehpunkt D links von dem Durchschnittspunkt F der Druckrichtung AE mit der wagrechten Gurtung, so ist

(n — m)Z + wm >

Führt man den Schnitt aß, s. Fig. 9, durch das beliebige mte Feld, welches vorstehender Bedingung noch entspricht, so ersieht sich aus der Figur, daß jede Belastung der Mittelbrücke im Punkte E einen Druck 8 erzeugt, welcher die gleiche Drehungsrichtung hat, wie die Spannung Ym des Diagonalstabes desselben Feldes, mithin da diese rechts dreht, zur Spannung Ym einen negativen Antheil liefert. Jede Belastung der Mittelbrücke erzeugt daher in dem betrachteten inten Diagonalstab eine Druckspannung. Jede Belastung des Trägerstückes A aß erzeugt in E einen Gegendruck T, welcher links dreht, während Ym rechts dreht, wirkt mithin auf Zug des mtcn Diagonalstabes. Jede Belastung des Trägerstückes Eaß erzeugt in A einen Gegendruck U, welcher links dreht, während Ym ebenfalls links dreht, wirkt mithin wieder auf Druck des inten Diagonalstabes. Hiernach wird der Schnitt «/? zu einer Belastungsscheibe und es ergeben sich die in Fig. 10 dargestellten drei Belastungsabtheilungen, wovon zwei einen Druck erzeugen und eine auf Zug wirkt.

Mit Bezug auf Fig. 11 erhält man alsdann, wenn nur die beiden Druckabtheilungen berücksichtigt werden und wm — m z — vm gesetzt wird,

Y^y.» -Hk + Vvm + q[(vm + 1) + (vm + 21) + .. (vm + (m - 1) Z] - T vm = 0,    . . (420)

worin H und V den in Gleichung (404) und (405), vm den in Gleichung (417) enthaltenen Werth besitzt, während sich aus einer einfachen Proportion

(m — l)²

y™ =

worin

Wi A±i

4-m

(n-k -t- m- f) l

(2 m —1)1    ‘

dm

dm — ~\s 1? + (k -f- ym—i )² — zu setzen ist, und aus der Momentengleichung

n²

irr k + m² f) (n² k + f (m — 1 )²)

f(2m — 1) n². dm    -Z'

(m — l)²

n²

(421)

der Auflagerdruck

Tu A — qA[(n — 1) + (n — 2) + ... (n - (m — 1)] -- 0

T _ n (m — l)(2n — m) q"    2 n

ergiebt. Werden die Werthe von H, V und T eingeführt, summirt, durch ym dividirt und reducirt, so erhält man

n - + m frn — 1)

Ymmin----

.1

y™

Für das ltc Feld, welches der Bedingung (418) entspricht, fallen selbstverständlich die Belastungen links von dem Schnitt aß, sammt deren Auflagerdrücken, mithin in Gleichung (419) die beiden letzten Glieder weg und man erhält

Ymiuyi_Hk + Vv, = 0. . . (424) woraus nach Einführung der Werthe von H und V q Z n    n² Ak

ys

m(m — 1) 2 2 “

Zweiter Fall. Fällt der Drehpunkt D zwischen den Durchschnittspunkt F der Druckrichtung AE mit der wagrechten Gurtung und den Punkt Ex unter dem Scheitel, so ist

— _Tm.

.    . (423)

(n — m) A + wm

m( 1 + 4).

. (43.0)

Y ,mtn = —

-),    . (425)

mithin, wenn in Gleichung (417) m = 1 gesetzt und der so erhaltene Werth

vi =

n².kA

. . (426)

in Gleichung (424) eingesetzt wird, n² Ak

ys ‘ ~2T

folgt. Nach der früher gezogenen Schlußfolgerung erhält man nun

--

(n - 1) = - Tx . (427)

Ym

und

— Tm

. . (428)

(429)

> V-1

In diesem Falle verwandelt sich nun die Drehungsrichtung des von einer Belastung der Mittelbrücke auf den Punkt D ausgeübten Druckes R in die entgegengesetzte, da sie nunmehr um den durch den Durchschnittspunkt des verlängerten mten Polhgonstückes mit der geraden Gurtung gegebenen Drehpunkt D links, während Ym rechts dreht. Jede Belastung der Mittelbrücke übt daher auf den raten Diagonalstab einen Zug aus. Die Belastungen rechts und links von dem Schnitt aß bringen aus den bei Betrachtung des vorhergehenden Falles angeführten Gründen beziehungsweise einen Druck und einen Zug auf den betrachteten Diagonalstab hervor, weshalb sich die in Fig. 12 dargestellten Belastungsabtheilungen bilden. Behält man nun die Druck-abtheilung bei, so ergiebt sich mit Bezug auf Fig. 13

Ym ymmm — T vm + q [(vm -f- A) + (vm + 2 A) + .... (vm -f- (ni — 1) A)j — 0,    . . . . (431)

worin T den durch Gleichung (422) dargestellten Werth hat. Wird dieser Werth eingeführt und summirt, so erhält man

m(m — 1)

Ymmin ym

„ (m — 1) (2n — m) _ ¹⁻    2 ii    m

+ q[(m

— l)Vm +

a] = 0,

mithin, wenn der Werth von vm aus Gleichung (417) eingeführt, durch ym dividirt und reducirt wird,

m (m — 1) A

V min - -

m -

2n

•—-q n +

J in    x

n²k — fm(m — 1) f(2m — i) ~

=r — U, .    . . . (432)

mithin nach dem Früheren auch

= U. . .

Dritter Fall. Fällt der Drehpunkt D zwischen den Punkt E, unter dem Scheitel und den Punkt A, unter dem Bogenanfang, so ist

Ym

(n — m) A + wm < -j.    .

Hier bleibt die Drehungsrichtung des von einer Belastung der Mittelbrücke auf den Punkt D ausgeübten Druckes 8 dieselbe wie im vorigen Falle. Da mithin 8 links und Ym rechts dreht, so übt jede Belastung der Mittelbrücke auf den raten Diagonalstab einen Zug aus. Dagegen- bringt nunmehr jede Belastung des Stückes Aaß einen Druck D hervor, welcher rechts dreht, mithin, da Ym ebenfalls rechts

dreht ein negatives Glied in die Gleichung liefert und in (433) dem raten Diagonalstab eine Druckspannung erzeugt. Da jede Belastung des Stückes Eaß einen Druck U hervorbringt, welcher links dreht, mithin da Ym ebenfalls links dreht, ein negatives Glied in die Gleichung für Ym liefert, mithin in dem betrachteten Diagonalstab ebenfalls eine Druck-.    . (434) spannung erzeugt. Auf diese Weise bilden sich die in Fig. 14

dargestellten Belastungsabtheilungen.

Behält man nun die volle Belastung der Mittelbrücke bei, so ergiebt sich mit Bezug auf Fig. 15

ym-Hk - V(m A - wm) = 0, .    (435)

worin H, V und wm die in den Gleichungen (404), (405) und (416) enthaltenen Werthe haben. Werden dieselben in Gleichung (435) eingesetzt und durch ym dividirt, so ergiebt sich

Ym

Yni

-.q [n .

n²k + fm²)

1)J

f(2m —

Ö (M

nk(m — n — 1) + m(m — l)f

* f * Jm

2m — 1

= S, (436)

11

. - (437)

+ (p + q) ^ .J + (vm + & + (vm + 2 Ä + .

. • (Vm + m

woraus nach dem Früheren folgt:

Ymmin = — S . .

4. Bestimmung der Spannungen W in den Verticalstäbe».

a) Bei voller Belastung.

Führt man den Schnitt aß durch das beliebige mte Feld und bezeichnet mit

— Wm wm — H k + V vm — T vm

Wm die Spannung des m ten Bertiealstabes, mit wm deren Hebelsarm für den Durchschnittspunkt der mitdurchschnittenen Stangen, mit vm den Abstand des Drehpunktes vom Trägermittel, während H, V und T die sub 3a angegebene Bedeutung haben, so erfordert das Gleichgewicht gegen Drehung um D, daß

*)] = 0.    (438)

Hierin ist nach Gleichung (396) und (414) V = T, I der Werth von H eingeführt und der Factor von p + q mithin verschwinden deren Momente und man erhält, wenn ! summirt wird:

'(2 m -f* 1)

*])

m(m+ 1)

n² / ^-k    .

2 ( £ + (p + q)

woraus, wenn der Werth v,„ aus Gleichung (417) eingeführt unv durch wm dividirt wird, folgt:

A(p + q) f näk n²k + m(m — l)f

(2 m — l)f

— Wm Wm

Wm =

2 wm

Vm +

= 0,

(2 m -J- 1) — m (m -f- 1) .

Wm = (p + q), . • • • (439)

hinzuzu-

Wm

Setzt man aus Gleichung (416) den Werth von wm ¹ Es genügt daher auch hier die Berechnung nur einer, von

der Verkehrsbelastung herrührenden Greuzspannung, um die andere unmittelbar daraus abzuleiten.

ein und reducirt, so erhält man

woraus folgt:

1) daß bei voller Belastung der Brücke auch jeder Verticalpfosten des Seitenträgers einer Spannung ausgesetzt ist, welche der vollen Belastung je eines Knotenpunktes numerisch gleich ist, daß ferner für q — 0 jeder Verticalpfosten einen Druck erfährt, welcher der Belastung p durch das Eigengewicht pro Knotenpunkt entspricht. Hieraus folgt, daß das Eigengewicht bei Berechnung der Grenzspannungen vorläufig ganz außer Acht gelassen werden kann, wenn jeder berechneten Grenzspannung nachträglich die durch das Eigengewicht veranlaßte Zugspannung hinzugefügt wird.

Wenn man sich die Hälfte-^ desselben in dem oberen, die

andere Hälfte in deut unteren, in der Fahrbahn gelegenen Endpunkte des Pfostens angreifend denken kann, wodurch derselbe eine Zugspannung erfährt, so ist alsdann

jeder berechneten Grenzspaunung der Werth -jr fügen.

2) daß, wenn bei der vollen Belastung des Trägers jeder Verticalpfosten eine Spannung q durch den Verkehr erfährt, eine durch diesen Verkehr hervorgebrachte Grenzspannung die andere zu q ergänzen muß, oder daß die Beziehung besteht + wmmin = q. . . . (440)

b) Bei den größten einseitigen Belastungen.

Bei Ermittelung derjenigen größten einseitigen Belastungen, welche die Grenzspannungen in den Verticalpfosten erzeugen, sind dieselben drei Fälle zu unterscheiden, welche bei Bestimmung der Grenzspannungen in den Diagonalen unterschieden worden sind.

Wie ein Blick auf die Figur 17 lehrt, kommt das Moment dieser Spannungen als negatives Glied — also mit dem entgegengesetzten Zeichen, wie das Moment der Grenzspannungen in den Diagonalstäben — in die Momentengleichung, während die Vorzeichen aller übrigen Glieder unverändert bleiben. Es folgt hieraus, daß die Wirkungen auf Zug oder Druck der Verticalstäbe in allen drei Fällen die entgegengesetzten derer sein müssen, welche unter 3b gefunden wurden. Aus derselben Figur erkennt man ferner, daß die Lage des Drehpunktes für jeden m ten Berti-calstab dieselbe bleibt, wie für jeden m ten Diagonalstab, und daß sich wegen der geneigten Lage der Schnittlinie, bezieh-hungsweise Belastungsscheide aß nur die Zahl der als belastet anzunehmenden Knotenpunkte in den entsprechenden Fällen um einen ändert und zwar, wenn das links von dem Schnitt aß befindliche Trägerstück in Betracht gezogen wird, um einen vermehrt. Hiernach ergeben sich aus den sub 3b entwickelten und in Fig. 10, 12 und 14 dargestellten Belastungsweisen die im Folgenden anzunehmenden Belastungen durch Führung des schrägen Schnittes aß und Vertauschung der Beziehungen max. mit min. und min. mit max., wie dies

z. B. für die beiden ersten Fälle in den Figuren 16 und 18 Belastung der Mittelbrücke, sowie der Seltenbrücke links dargestellt ist.

6 r ft er Fall.

in) 7 + wm /■ 1 f l ~f- -£“ )• diach dem vorher Gesagten wirkt hier, nach Fig. 16, jede chung

vom Schnitt aß auf Zug, dagegen jede Belastung der Seitenbrücke rechts vom Schnitt aß auf Druck des inten Vcrticalstabes. Behält man nur die ersteren Belastungen bei, so erzeugen sie die größte Zugspannung jenes Stabes. Unter Hinweis auf Fig. 17 ergiebt sich alsdann die Glei-

— Wm wm — Hk -f \ v„ — T vm + q|(vn, + A) + (vm -(- 2 A) -f- .. (vm mAj] — 0, Hierin ist mit Bezug auf den Punkt A₁ als Drehpunkt

• - (441)

Tn A — qA [(n — 1) + (n — 2)    • • • (n — m)] — 0,

woraus, wenn summirt und reducirt wird, m(2n — m — 1)

.q.    . . (442)

w|, [("■" - '• y (t +

mithin, wenn der Factor von q der Kürze halber A gesetzt wird, nach der obigen Schlußfolgerung und Gleichung (440)

Wmmin — q — q.A = — q(A — 1), . (444) und wenn das Eigengewicht berücksichtigt wird,

= qA +    .    .    .    . (445)

Wm

Wm

Wird vorstehender Ausdruck, sowie der Werth H und V aus Gleichung (404) und (405) in Gleichung (440) eingeführt, wm — m A statt vm gesetzt und durch wm dividirt, so ergiebt sich

nä Ak

m (in + 1)

2n

W₀

. (443)

V-2 (-| + q). ■ (447)

und

Zweiter Fall.

(n — m) A + wm < y ^1 + Aj.

-q(A-l) + -|-.    . . (446)

Der Pfosten in der Mitte des Trägers erfährt höchstens die Zugspannung der auf ihm ruhenden vollen Belastung und wenn das Eigengewicht wieder zur Hälfte oben, zur Hälfte unten angreifend gedacht, d. h. hierin statt p gesetzt wird, die größte Zugspannung

- Wm

dlach Figur 8 wirkt hier jede Belastung der Mittelbrücke, sowie das rechts vom Schnitt aß gelegene Stück der Seitenbrücke auf Druck, dagegen jede Belastung des links vom Schnitt a ß gelegenen Stückes der Seitenbrücke auf Zug des in ten Verticalstabes. Behält mail die aus Zug wirkende Belastung bei, so ergiebt sich die der Gleichung (431) analoge Beziehung

wm — T vm + q [(vm + A) -f~ (vm -f- 2 A) -+-... (vm + m A)] — 0.

Hierin ist mit Bezug auf den Punkt A₁ als Drehpunkt

T n A — q A [(n — 1) + (n — 2)    (n — m)] = 0,

woraus, wenn summirt und reducirt wird,

in (2 n — m — 1)

und

• - (449) i

Wird dieser Werth in Gleichung (448) eingeführt und wm — m A statt vin gesetzt, so ergiebt sich, wenn durch wm dividirt und reducirt wird, q m (m -j- 1)

Wm =

Wm

= qB +

torö

. . (448) .    . (452)

Wm"»“ = - q(B - 1) +    . . (453)

Dritter Fall.

(n — m)A + wm <

(wm + (n — m) A) = q B, (450)

Kehrt mail in Fig. 14 die Bezeichnung max. in min. und min. in max. um, so erhält man die Belastungszustände, tvenn der Factor von q der Kürze halber B gesetzt wird,    }lt pem vorliegenden Falle die größten Anstrengungen

inithin nach Gleichung (440)    ; j,cg m ten Verticalstabes bedingen. Die volle Belastung der

^mmm = q — qB = — q(B — 1), . (451) Mittelbrücke bringt mithin den größten Druck, die volle Belastung der Seitenbrücke den größten Zug in demselben

wm

und wenn das Eigengewicht berücksichtigt wird,

li*

hervor. Nimmt man nun die Mittelbrücke als belastet an, worin H, V und wm die durch Gleichung (404), (405) und so ergiebt sich die der Gleichung (435) analoge Beziehung

(416) gegebenen Werthe haben. Führt man diese in Glei-— Wmminwm — Hk — V(mA — wm) — 0, (454) chung (454) ein, so ergiebt sich nach gehöriger Reduction

Wmmin — —

n s kn(2m — n — 1) + fm(m — 1) 1

Y q L    \ '

. . (455)

wenn der Factor von q der Kürze halber mit C bezeichnet dieselbe bleibt und nur ihr Vorzeichen ändert, mithin wird, woraus nach Gleichung (440) folgt:

Wm™M = q + qC = q(C + 1), und wenn das Eigengewicht berücksichtigt wird,

Wmmin

und

Wm

sich Druck in Zug und Zug in Druck verwandelt.

Es erübrigt daher hier nur, die zur Berechnung der Spannungen im gestützten parabolischen Träger dienenden Formeln mit jener der aufgehängten parabolischen Char-— q C +    . . . (457) nierbrücke entsprechenden Vertauschung der Vorzeichen zusam-

= q(C + 1) + -|- > -    (458)

. (456)

menzustellen.

1) Bestimmung der Grenzspannnngen Z in den Polygonstiicken.

III. Statische Berechnung eines Mittelträgers der Charnierhängbrücke.

Der Mittelträger der parabolischen Charnierhängbrücke, welcher nur durch seine eigene Belastung beansprucht wird, gleicht in statischer Beziehung einem Träger der gestützten Charnierhängbrücke mit vertical aufwärts wirkenden Belastungen p und q. Hierdurch nehmen nicht nur diese Belastungen, sondern auch die von ihrer Richtung abhängigen und durch sie bedingten verticalen und horizontalen Compo-nenten des Scheiteldrucks die entgegengesetzte Richtung, mithin sämmtliche Momente derselben das entgegengesetzte Vorzeichen an, während das Vorzeichen des Momentes der gesuchten Spannung in deren Momentengleichung sich nicht ändert. Hieraus folgt, daß diese Spannung numerisch

Der Abstand der Belastungsscheide vom Trägermittel beträgt nach Gleichung (257)

...........7

k +

n k + m f 2n — m \ n )

. . (459)

woraus sich die Abstände m'A und m" A derjenigen Knotenpunkte vom Trägermittel ergeben, welche bis zu dem ihnen entsprechenden linken und rechten Auflager belastet sein müssen, um jene Grenzspannungen zu erzeugen. Nur wenn die Belastungsschcide zufällig mit einem Knotenpunkte zusammentrifft, ist die Belastung dieses Knotenpunktes ohne Einfluß auf die Spannung des raten Polygonstückes und bedarf keiner weiteren Berücksichtigung.

Die größte Zugspannung ergiebt sich, wenn m" bekannt ist, aus Gleichung (265)

n²

^ih —    c', bm

[n²k + m²f

Sä

j ) +    (2 m" +1) — rn" (m" + 1) j + -|-j, (460)

die größte Druckspannung, wenn m' bekannt ist, aus Gleichung (261)

(n — m') (n — m' 1)

Zm min - -

n² ,    [    2

2 °m [n² k + m² f

— y)— (m — rn') (ra —

2) Bestimmung der Grenzspamiiiiigen X in beit horizontalen Gurtungsstücke».

Der Abstand der Bclastungsscheide vom Trägermittel beträgt nach Gleichung (268)

n(m — 1) (n — m + 1) 2n² — (m — 1) (n + m — 1 /

. (462)

m; + l)j--|-J. (461)

scheu ihm und dem ihm entsprechenden Auflager gelegenen Knotenpunkten belastet sein muß, um eine der in der horizontalen Gurtung für Zug und Druck numerisch gleichen Grenzspannungen zu erzeugen.

Diese Grenzspannungen ergeben sich, wenn nV bekannt und nach Gleichung (266) der Hebelsarm von Xm

₌ k ₊ f(^=J-y    .    . . (463)

zuvor berechnet ist, aus Gleichung (271)

xm

woraus sich wieder der Abstand m'A desjenigen Knotenpunktes vom Trägermittel ergiebt, welcher sammt allen zwi-

q A r (n — rast(n — m' + 1) (m — l)(n + m — 1)

m L

Xm

2x

2n²

— (ra — rast(ln — m' —

1)1    - (464)

3) Bestimmung der Grenzspaunungen Y in den Diagonalen.

Hier sind drei Fälle zu unterscheiden:

Erster Fall. Der in dem Durchschnittspunkt der verlängerten, mit dem m ten Diagonalstab gleichzeitig durchschnittenen Stäbe gelegene Drehpunkt fällt außerhalb und und jenseits der beiden Durchschnittspunkte der durch die Kämpfercharniere und das Scheitelcharnier gehenden zwei Druckrichtungen mit der horizontalen Gurtung, oder es ist

In diesem Falle erhält man, wenn zuvor aus den Gleichungen (275), (286) und (285)

n² k + m² f .

⁼ f(2rn —-^T)⁻ ’

dm —

. . (466)

JA² + (k + f (m-- ¹.)²)²    . (467)

Wm

(n

f(-nVA)ä+k

. . (468)

— mU + w > JL (\ -L. JfL'j    (465) | berechnet ist, aus Gleichung (284) und (287) die Grenzspan-

” ^ 2 ' r f /    '    ' nungen:

= ±-1-    (» -    ( »„-mi ₊ kl\

ym    4    \ n    i /

ym = vvm

dm

V max

L m

(469)

Zweiter Fall. Der in dem Durchschnittspunkt der verlängerten, mit dem mten Diagonalstab gleichzeitig durchschnittenen Stäbe gelegene Drehpunkt fällt zwischen die beiden Durchschnittspunkte der durch die Kämpfercharniere und das Scheitelcharnier gehenden zwei Druckrichtungen mit der horizontalen Gurtung oder es ist:

A . (471)

f(n —mH

k n² -f- f m2 2m—1

(n — m) A -f wm

• (470)

In diesem Falle erhält man nach Gleichung (290) den Abstand der Belastungsscheide vom Trägermittel

q(m — nV) r (2n — m — rn‘ -j- 1) / m A — wm

Ym

7m

und hieraus den Abstand m' A desjenigen Knotenpunktes vom Trägermittel, von welchem ab alle Knotenpunkte links, ihn selbst inbegriffen, bis zu dem Schnitt durch das m te Feld belastet sein müssen, um die größte Druckspannung im m ten Diagonalstab zu erzeugen.

Ist zuvor aus den Gleichungen (468) und (466) Ym und wm und mit Hilfe des letzteren nach Gleichung (294) der Abstand um = wm — (m — m')A .    . .    (472)

berechnet, so erstebt sich aus Gleichung (293) und (295)

jj '    ,473|

k A \    .

-jn J + um +

Dritter Fall. Der in dem Durchschnittspunkt der verlängerten, mit dem mten Diagonalstab gleichzeitig durchschnittenen Stäbe gelegene Drehpunkt fällt außerhalb und diesseits der beiden Durchschnittspunkte der durch die Kämpfercharniere und das Scheitelcharnier gehenden zwei Druckrichtungen mit der horizontalen Gurtung, oder es ist

(n — m)A + wm < y (

_ _|_ _q_ s(n — ui') (n •

~ y m L    4

T>

Ist der Abstand e der Belastungsscheide vom Trägermittel wie int vorhergehenden Fall aus Gleichung (471) und hiernach der ihr entsprechende Abstand /, ferner aus der Gleichung (466), (472) und (468) beziehungsweise der Werth w„, um und ym bestimmt, so ergiebt sich aus Gleichung (300) und (301) die Grenzspannung

Ym

— m' +

4”) + (m- m')

(m — m' — 1)

a)].    . (475)

4) Bestimmung der Grenzspannungen W in den Vertikalen.

Hier sind die unter 3 angeführten, durch die Ungleichungen (465), (470) und (474) dargestellten drei Fälle zu unterscheiden.

Erster Fall.

Wm

"(n — m)(n — m — 1) / wm — m A

= qr--4^;--n---

Wm»*> = — Wm

(n — m)A + w„>y

Ist aus Gleichung (466) zuvor wm bestimmt, so ergiebt sich ohne Berücksichtigung des Eigengewichts aus Gleichung (307)

+ jTL)⁺¹] = q[A + 1] • • • ⁽⁴⁷⁶⁾

und

He nzerling, Berechnung der Brücken- und Hochbauconstructionen. Mit Berücksichtigung des Eigengewichtes erhält man

Wm->« = q[A + 1]    . . . (478)

W₀max =

T+-9

. (480)

_1A + f •

Ein Ständer in der Mitte der Träger erfährt höchstens die Zugspannung der auf ihm ruhenden vollen Belastung

und, wenn das Eigengewicht wieder zur Hälfte

. . (479)

Zweiter Fall.

(n — m) X + wm

< l¹ + t)-

>0

Ist aus Gleichung (471), (466) und (472; beziehungs-oben, zur Hälfte unten angreifend gedacht wird, die größte weise in', wm und um bestimmt, so ergiebt sich ohne Berücksichtigung des Eigengewichtes aus Gleichung (314):

(m — m')Z

Zugspannung

Wm

q(m — nV + 1) s (2n —m —nV)

wm

kZ

wm

■)+

Um "+~

] = qB,

.(481)

und aus Gleichung (315)

Wmmin = — Wmmax + q = — q(B — 1) (482) und mit Berücksichtigung des Eigengewichtes

= qB + i

Dritter Fall.

Wm

. . (483)

und

Wmmin —

Wm

-q

Wm L

(n — m') (n — m' + 1) /mZ — wm

(n — m) X + wm < ~y

j Ist wieder aus Gleichung (471), (466) und (472), beziehungsweise m‘, wm und um bestimmt, so ergiebt sich ohne Berücksichtigung des Eigengewichts aus Gleichung (319)

^y¹) + (m — in' + l)(um +

(m — in') Zv

und aus Gleichung (320)

Wmrain = — Wm

und mit. Berücksichtigung des Eigengewichtes

) =qC (485)

barfeit, sowie den Gang der Rechnung an einem praktischen -j_ q = — q (C — 1)    (486) Beispiele zu zeigen, soll der in Figur 19 dargestellte Träger,

links bei Fig. 19a mit den in dem vorhergehenden Abschnitt gewählten Bezeichnungen, rechts bei Fig. 19b mit den Zahlen-

wm

und

Wmmin —

= qC + -|    . . . (487)

-q(C —1) + -|-. .

werthen von f, k und X, sowie den nach Gleichung (399)

(410) und (415) berechneten Abmessungen von b„, k + ym_!

. (488) und dm versehen, mit einer Belastung

x — 20 tons durch Eigengewicht,

IV. Berechnung der Spannungen in den einzelnen Gliedern eines Seitentrügers der aufgehängten parabolischen Charnierbrücke.

Die vorstehend entwickelten Formeln gelten allgemein und liefern fertige Resultate, lim deren leichte Anwend-

q — 12 „    „ Verkehr

für jeden Knotenpunkt angenommen werden.

1) Berechnung der Grenzspannungen Z in den Polygonstücken nach Gleichung (406) und (408). a) Berechnung der Maximalspannungen Zm

n²bm /' n²k -f- fmn n²k + fm²

nach Gleichung (406).

Zm

2f

q + p).

Für m — 1 ist Z,mai —

100

2.W⁶'⁰⁰⁰

100.1,5 + 15.1.10

100.1,5 + 15.1.1

.12 + 20j

— 836,80 tons.

Für m

2 ist Z„,

100

2.15

6,015 |

100.1,5 + 15.2.10

100.1,5 + 15.2.2

3 „ Z₃

100

2.15 '

6,045 |

rr

4 Z₄

100

2715-⁶'⁰⁸⁷

100.1,5 + 15.3.10 100.1,5 + 15.3.3 100.1,5 + 15.4.10 100.1,5 + 15.4.4    ■

/r

5 „ Z₅

100

6,147 |

100.1,5 + 15.5.10

100.1,5 + 15.5.5

.12 + 20 =

.12 + 20j =

12 + 20] = . 12 20

916,48 tons.

913,20    „

873,28    „

830,25    „ ■

/r

6 „ Z₆

100

~ 27 15 •

6,219 ^

100.1,5 + 15.6.10

100.1,5 + 15.6.6

. 12

20]

793,12    „

rr

in

7 „ Z₇

100

2.15

. 6,306

f 100.1,5+15.7.10 L 100.1,5 + 15.7.7

rt

8 „ Z,

100

~ 2.15 •

6,405 |

100.1,5 + 15.8.10

100.1,5 + 15.8.8

rr

9 „ Z₉

100

“ 2.15 •

6,576 |

100.1,5 + 15.9.10

100.1,5 + 15.9.9

rr

lO „ Z₁₀

100

2.15

. 6,639

100.1,5 + 15.10.10 100.1,5 + 10.10.10 '

.12 + 20] .12 + 20] .12 + 20]

12 + 20j

762,39    „

738,30    „

721,io    „

708,16    „

b) Berechnung der Minimalspannungen Zm

fm (n

f    n² k + fm²

Z min --

IM- ö

bm

nach Gleichung (408).

Für m = 1 ist Z

"J¹

., . 6,000

lo '

15.1.9

ff

ff

Z, min

50

-^c-. 6,015 15    '

20 -

100.1,5 + 15.1.1 15.2.8

.12

rr

in

50

fr

15 '6,045

20 —

ff

Z, min

•i

50

15 -⁶'⁰⁸⁷

20 —

50

ft

ft

15

. 6,147

[20

100.1,5+15.2.2 ⁻15.3.7

100.1,5+ 15.3.3 ' 15.4.6

100.1,5 + 15.4.4 • 15.5.5

“]

.2]

j = 203,80 tons.

—    125,99

—    135,81

ft

rr

*]

it

ft

Z. min

50

[20

100.1,5 + 15.5.5 15.6.4

tt

in

rr

Z₇ min

50

6,306

[20

100.1,5 +• 15.6.6 ■ 15.7.3

ff

Z min

50

15'"6,405

[20

100.1,5 + 15.7.7 15.8.2

rr

Q Z min v ff ^9

50

.. .6,516 lo '

[20

100.1,5 + 15.8.8 ‘ 15.9.1

„ m = 10 „

z min ^10

50

. 6,633

100.1,5 + 15.9.9 15.10.0

—    181,07 .12] = 234,24

—    484,60 . I2J — 330,60 12] = 371,66

= 408,34

“]

.12

ff

ft

ft

ff

ff

11

100.1,5 + 15.10.10

.12 — 442,60

ff

2) Berechnungen der Grenzspannungen X in den geraden Gurtungsstücken nach der Gleichung (411)

und (412).

Xm

, n² (m — l)(n — m + 1) ~~ ±~2~‘

n² k + f(m — l)²

. qA.

175

Heinzerling, Berccknung der Brücken- und Hochbauconstructionen. Für w — 1 ist X

176

— +50.0.12 — +0 Ions.

2 „ X₂

= ± 50.

6.1.9

= +50.

100.1,5 + 15.1.1

6.2.8

. 12 — + 196,20 tons.

4 „ X₄

max

= ±50

100.1,5 + 15.2.2 6.3.7

. 12 = ± 274,20    „

5 „ Xä

= ±50.

6 „ X,

= ± 50.

' 100.1,5 + 15.3.3 6.4.6

100.1,5 + 15.4,4 6.5.5

. 12 = ± 265,20 „

. 12. = ± 221,52    „

7 „ X₇

= ±50.

100.1,5 + 15.5.5 6.6.4

. 12 = ± 171,36    „

8 „ X₈

= ±50.

9 „ X,

= ±50.

100.1,5 + 16.6.6 6.7.3

100.1,5 + 15.7.7 6.8.2

. 12 = ± 125,16    „

. 12 = ± 85,44    „

m = 10 „ X₁₀“« = ±50.

100.1,5 4- 15.8.8 6.9.1

.12 = ± 51,84    „

100.1,5 + 15.9.9

. 12 = ± 23,64    „

3) Berechnung der Grenzspannungen Y in den Diagonalstäbcn nach den Gleichungen (423)

und (427). (432) und (436).

a) Berechnung der Werthe clm, wm und ym nach Gleichung (422), (416) und (421).

k + f

(m — 1)»

dm —

Fürm ^ 1 ist d, =

l'ss +(l,s + 16- +)

— 1)²V

); w

n²k + m³f

MH i):*Z;

—    6,18; Wj —

⁶(

; ym =

150 + 15.1

(n² k + m²f)Z (2 m — 1)7    •

dm

n²

,, m — 2 „ d₂

K36 + (¹'5 + 16'w)‘

— 6,21; w₂

= 6,36; w₃ =

„ m = 4 „ d₄ =

|/36 + (l,5.+ 15.I^r)

— 6,63; w₄ —

dä_J 36 + ( 1,5 + 15. ^ )

= 7,14; w₅ =

j =66,00; y,

= 6 (^±) =27,96; y₂ =27,96

6 ( lf>,'it.5⁵    ) = 22,80; y₃ = 32,so

Z 150 + 15.16 \

" V 15.7    7

15.1

— 66,00

6,18

— 15,97 Met.

— 22,29; y₄ — 22,29

= 23,34; y₅ = 23,34

M + lÖ.-jQÖ

6,21

1,5+i6- itfi

6,36

7,53    „

!,⁵ + 15 • T50

6,63

9,58    „

1,5 -f- 15.

16

100

7,14

= 12,72    „

„ m = 7 „ d₇ =

[/36+(l,S+15.47

|/36+(l,5 = 15.

= 7,30; w₆ = 6 |

150 + 15.36

15.11

) = 25,08; y₆ = 25,08

J,5 -f- 15

25

' "100

7,30

= 16,53

TÖo)= 0,15;^ = 6 i

150 + 15.49 15.13

) = 27,24; y₇ =27,24

1,5 +- 15

36

■ 100

9,15

= 20,50    „

49

|/36 + (1,5 + 15.

n ni = 9 „ d₉ = |/36 + ||l,5 + 15.löö')

j/36 + (l,5 + 15-    = 14,91; w₁₀= 6 (

Für m = 8 ist d₈ =

= 10,68; w₈ = 6 |

150 + 15.64

15.15

) = 29,61; y₆ =29,61

„ m=10 „ d₁₀=

= 12,63; w₉

=⁶(

150 + 15.81

15.17

■j = 32,13 ;y₉ =32,13

1,5 + 15

10,68

1    , 1 r 64

1,5 —(— 15.

= 24,48 tons

150 + 15.100

15.19

) = 34,74;y₁₀= 34,74

100

12,63

1,5 + 15.

81

= 28,26 „

100

14,91

— 31,80    ^

b) Berechnung der Werthe nA, -y- ( l + j und (n — m)A + wm zur Bestimmung der drei Fälle.

= 66 Met.

(‘ + t) = ⁶⁰ (‘ + -iti

Die constanten Werthe sind n), = 60 Met. und

ft

rr

rr

= 42 + 22,80 =

64,80

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

= 10

rr

rr

rr

rr

rr

Erster Fall, wo (n — m)A + wm < y

min    Ji ^    i

Für m — 1 ist Yx

c) Berechnung der Grenzspannungen Y.

^1 + y j nach den Gleichungen (427) und (423).

-1)2 2 Z

-3-k(

ym L V

n² -f- m (in — 1)

m (m

2n

n² Ak 1 fj

_12    50,6.1,5.9

15,97 '    15

¹² W 2«

100 + 2.1

7,41

Zweiter Fall, wo (n — m) A + wm

- = + 202,88 tons,

i - v.«

< tO + t)

+ n A

— 50. kv—

15

= + 93,31 tons.

nach Gleichung (432).

Ym

m(m — l)A.q

2n.ym

(n +

ns k — fm(m — 1)

f(2m — 1)

)•

Für m = 3 ist Yg

3.2.6.12

2.10.7,53

(io +

100.1,5 — 15.3.2

15.5

j = ± 30,98

tons.

Dritter Fall, wo (n — m) A + wm < n A nach Gleichung (436).

Y»»« = ±

2.f.y

nk(2m — n — 1) + m(m — 1) f

2m — 1

]■

12

Ci

Für m =

4 ist Y₄

5.6.12 /

15.3 + 4.3.15

rr

5 Y₅

15.9,58

5.6.12

— 15.1 + 5.4.15

rr

6 „ Y₆

7 „ Y₇

15.12,72 5.6.12 15. 16,53 5.6.12

15.1 + 6.5.15

11

15.3 + 7.6.15

rr

m =a=

rr

9 „ Y₉

15.20,50 5.6.12 15.24,48 5.6.12

13

15.5 + 8.7.15

15

—    ± 48,20 tons.

—    ± 59,52

j — + 61,20

) = ± 60,72

—    dt 59,78

rr

rr

rr

15.7 + 9.8.15

rr

III

= 10 „ Yjo

15.28,26

5.6.12

17

'    15.9 + 10.9.15

15.31,80

19

— + 59,24 j — dz 58,61

rr

rr

4) Berechnung der Grenzspannungen W in den Berticalstäben nach den Gleichungen (443) bis (447),

(450) bis (453) und (455) bis (458).

a) Ohne Berücksichtigung des Eigengewichts nach den Gleichungen (443) und (444), (450) und (451), (455) und (456).

Wm max —

giir m =r 1 ist W₄

it

in — 2 „ W₂max —

Erster Fall, wo (n — m)A + wm <

~ [(wm — m A) + 2n

¹²[⁶⁰(⁵ + -iv) + ⁶-

W [¹⁶ (⁵ + w ) + 6 - ~~₂~ - 50.

m (m + 1)

1.2

2“

2.3

Zweiter Fall, wo (n — m)A + wm

Wm max =

q m(m + 1)

wm

2n

(1 + V; j nach den Gleichungen (443) und (444).

m (m + 1)

und Wmmin = q — Wmmax.

— 50.

6.1,5

6.

j — 51,32 tons, daher W 15    31,16 "

lO t—I

— 12 — 51,32 — — 39,32 tons.

W₂min __ \2_31,16 =-19,16    „

Für m — 3 ist W₃max — 12.

3.4

2.10.22,8

< 2 > nZ

(wm + (n — m) l) und Wm min = q — Wmraax.

(7.6 + 22,8 j — 20,48 tons, daher W₃min — 12 — 20,48 = — 8,48 tons.

nach Gleichung (450) und (451).

y-[

Für m = 4 ist W₄ »*» = - 5.12 (

5    „ W₅ ”>!■*= — 5.12 (

6    „ W₆ min — _5.12

7    W₇ miu — _ 5.12

Wm min = —

Dritter Fall, wo (n — m) A -j- wm <( n A nach Gleichung (455) und (456).

und Wmmax = q — Wmmin.

■j = — 20,76 tons, daher W₄

kn (2 m — n — 1) + fm(m — 1)

n²k + m²f

— 1,5.10.3 + 15.4.3

100.1,5 -h 16.15

— 1,5.10.1 + 15.5.4

100.1,5 + 16.15

1,5.10.1 + 15.6.5

100.1,5 + 36.15

— — 40,44    „

1,5.10.3 + 15.7.6

100.1,5 + 49.15

W

rr vv 5

W

rr vv <

„ w₇

= 12 + 20,76 = 32/76 tons.

= 12    32,58 — 44,58    ,,

= 12-4- 40,44 — 52,44    „

= 12 + 45,72 — 57,72    „

Für m = 8 ist W₈ >°i° — — 5.12 (

1,5.10.5 + 15.8.7

100.1,5 4- 64.15

■)

9 „ W₉ = — 5.12

1,5.10.7 4- 15.9.8

100.1,5 4- 81.15

ff

m = 10 „ W₁₀™ic = — 5.12

1,5.10.9 + 15.10.9

100.1,5 4- 100.15

—    — 49,44 tons, daher W₈

—    — 52,08    „

) — — 54,00    „

= 12 4~ 49,44 — 61,44 tons.

„ w₉

„ w₁₀

= 12 4- 52,08 — 64,08    „

= 12 4- 54,oo — 66,00    „

b) Mit Berücksichtigung des Eigengewichts nach den Gleichungen (447), (445) und (446), (452) und (453), (458) und (457)

(l2 -i- j H tons. nach Gleichung (447).

Wo

-"r(q + i~)- 2

20

— 51,32 “1--— 61,32 tons. Wx min — — 39,32 +

20

W,

= 31,06 H—ä- — 41,16

ft

W₂ min = — 19,16 +

2~ — — 29,32 tons. — 9,16    „

nach den Gleichungen (445) und (446).

W₃

20

= 20,48 + -₂

= 30,48

ff

W₃

20

W₄

20

— 42,76

8,48 4—™ — + 1,52 „ nach den Gleich. (452) u. (453). 20

W₄ min — — 20,76 + -g- — — 10,76    „

W₅

20

— 44,58 4” .y — ö4,58

20

W₆

20

= 52,44 4- —— — 62,44

//

w₅ = - 32,58 + — = — 22,58 „ 90

w₆ = - 40,44 + 4r- =— 30,44 „

nach den Gleichungen (458) und (457).

W₇

20

= 57,72 4- 2 - ⁼ 67,72

W₇ min — — 45,72 4-

20

= — 35,72    „

W₈

20

= 61,44 4-    2

= 71,44

ff

W₈ min — — 49,44 4-

20

2    39,44    ,,

nach den Gleichungen (458) und (457).

W,

20

= 64,08 4- ~2

— 74,08

ff

W₉ mi” — — 52,08 4-

20

Y = — ⁴2,08    „

W₁₀

20

— 66,oo 4-    — 76,oo

&

20

ff

W₁₀mio = - 54,oo 4- ₂

= — 44,oo „

V. Berechnung der Spannungen in den emzelnen Gliedern des Hauptträgers einer aufgehängten

parabolischen Charnierbriicke.

1. Berechnung der Grenzspannungen Z in den Polhgonstücken nach Gleichung (460) und (461).

a. Berechnung der Lage der Belastungsscheiden nach Gleichung (459).

n k 4~ hi f

6 — 1.

)f

Für m = 1 ist e = l.

== i. 1,0, daher m' —

1 und m" — 0,

= l . 1,5,

„ nV —

2    „ m" = 1,

= 1. 2,2,

m" = 2,

12*

n²

Für m = 5 ist e = X.    — l. 3,7, daher IN

1,6

4 und m" = 3,

rr

rt

tt

tt

rr

1,5

= l . 4,6,

rt

nV — 5

rt

m" — 4,

7 e = / . — = X . 5,7,

1,4

tt

m' —    6

rt

m" — 5,

8 „ e = / .    — X . 6,9,

in = 10

rr

1,3

10

1,2

11

e = l. -— = l. 10

Zm max    2 b“ [^k + m²f ! (lT + t) 2

Für m = 1 und m" = 0 ist Z,

rt

rr

in" — 6,

„ in' = 9    „

m" — 8,

„ m' = 10    „ m"

= 9.

b) Berechnung der Maximalspannungen Zmmax nach Gleichung (460).

n(2m"+l)-m"rm" + l)/^_kj + m(2m/l+1)

(10 — 0) 0

— 50.6,ooo

12

150+ 15.1

(öO ²

2 „ m" = 1 „ Z.

= 50.6,015

12

150+ 15.4

„ m= 3 „

in" = 2 „ Z

= 50.6,045

12

150+15.9

„ m= 4 „

m" = 2 „ Z₄

= 50.6,087

12

150 + 15.16

„ Dl — 5 ,,

m" = 3 „ Z₆

= 50.6,147

12

„ m= 6 „

m" = 4 „ Z

= 50.6,219

7 „ m" = 5 „ Z₇

= 50.6,306

„ m = 8 „ in" = 6 „ Z₈

= 50.

6,405 |

9 „ m" = 8 „ Z₉

— 50.6,516

„ m = 10 „

m" = 9 „ Z₁₀max —50.6,639

m"(m"+l)j + PJ.

o)-N

²)+S]

— 640,oo tons.

•Iö ⁺

7^+ 6 —

^ + 15 —

^ + 20-

+ *-¹²)+§]

) + |]=691,„ „

f®4+ "-»)+$]

9    (130 — 42)7 + 104_₄₂j ₊ 20]

(50.“-(“4₊₁₅₃_,2) ₊ gj

₍₆₀.ll_M.²₊₁90 - 90) ₊ |]

• 10

50.

150+15.25 V

12

150 + 15.36

12

150 + 15.49

12

150 + 15.64

12

150 + 15. bl

12

150+15.100

3    (30 — 2)    1

10

10

= 704,75

5;

(60 4 (50 ⁵

(so ⁶

(W4

‘ 10

‘ 10

(50 — 6)    2

10

•)+£]

= 715,14 „

(50 — 6)    3

10

•)+£]

= 710,66 n

(70 — 12) 4

TO

= 702,29    ,,

(90 — 20) 5

•1Ö+ ⁵⁴-²°

(50

(so

8 (110

' 10

• 10

c. Berechnung der Minimalspannungen Zm — m')(n — m' +

nach Gleichung (461).

— 690,41    „

= 691,73    „

— 697,11 „

= 708,05    „

n² k -J- m² f \

(~

¹¹ (4-4)

— (m — m') (m — m'

+1)) - -f ]•

Für m = 1 und m' = 1 ist ZA

min

= — 50.6,ooo

12

9.10

150 + 15. 1

.0 —

m = 2 „ m' = 2 „ Z₂min = — 50.6,015

12

150 + 15.4

m = 3 „ m' = 3 „ Z₃min =- — 50.6,045

12

150 + 15.9

8.9    1

2 10 7.8    2

2 • 10

o)-S]

-°)-A

-•>-£]

= + 400,oo tons.

= 809,05    „

= 328,86 „

Für m

4 und nr

rr

rr

rr

„ m' —

3    ist Z₄ min = — 50.6,087 |

4    „ Z₅ min = — 50.6,147 |-

5    „ Z₆ “-in ₌ _ 50.

/ 7.8    3

150 + 15.16 V 2 ' 10 6^7    4^

2 '10

12

12

150+ 15.25 6,219 [ 150 + 15.36 (

5.6    5

2 • 10

o) — J — 327,17 tons. -1.2)- §] = 350,68    „

= 384,95    „

~ —1.2

)r§]

rr

rr

6 „ Z₇ min = — 50.6,306

12

4.5

Ov

150 + 15.49

rr

m' =

7 „ Z₈mi“ = — 50.6,405

[■

12

150 + 15.64

2 ' 10 <3.4    7

2 '

ol

)-$]

rr

9 „ Z- min = — 50.

6,516 |

12

1.2

QO

150+15.81

ol

r+

10 „ Z₁₀min = — 50.6,639

12

150 + 15.100

— 1.2 - 1.2

- »)-S

— 410,78    „

)-§]

= 410,36    „

= 431,oi    „

= 442,49    „

2. Berechnung der Grenzspannungen X in den horizontalen Gurtungsstücken nach Gleichung (464). a. Berechnung der Lagen der Belastungsscheiden nach Gleichung (462) und der Werthe xm nach Gleichung (463).

m — 1 \²

e = 4.

n(m — 1) (n — m 1)

2n² — (m — l)(n + m — 1)

xm = k + f

Für m =

1 ist e = 4.

10.0.10

200 — 0.10

— k. 0,oo, daher m' = 1; xx = 1,5 + 15.

100 —

1,50 Met.

10.1.9

rr

200 — 1.11

= 4.0,47,

rr

mJ = 1; x₂ — 1,5 + 15

' 100

1,65    „

rr

IN

3 „ e = l.

10.2.8

200 — 2.12

= Z.0,90,

rr

m' = 1; Xz — 1,5 -st 15

' 100

2,io „

10.3.7

200 — 3.13

— A -1 f30,

m'

— 2 5 x₄ = 1,5 -j- 15.

100

2,85    „

rr

rr

10.4.6

200— 4.14 ~ 10.5.5 200 — 5.15

.1,60,

rr

m; = 2; Xg = 1,5 + 15.

16

100 —

3,90    „

= l. 2zoo,

rr

in'

— 3; x₆ = 1,5 + 15.

25

400 -

5,25    „

7 ,, e = k.

10.6.4

200 — 6.16

— 4.2,30,

ii

m' = 3; x₇ = 1,5 + 15.

36

100

6,90    „

rr

8 e - 1    10.7.3

"    200 — 7 fl 7

— 1.2,50,

rr

in' — 3; x₈ = 1,5 + 15.

49

100

8,85    „

ii

9 „ e = k.

10.8.2

200 — 8.18

= Z. 2,30,

ii

nV — 3; x₉ = 1,5 + 15

64

• 100

= 11,10 „

rr

= 10 „ s = 4.

10.9.1

200 — 9.19

— k.3,10

ir

m; — 4; x₁₀ — 1,5 + 15

81

' 100 ~ 13,65 "

Xm

b. Berechnung der Grenzspannungen X nach Gleichung (464). qk s(n

2xra L

— in') (n — m' + 1) (m —- 1) (n + m — 1)

--(m — in') (in — m' —

0}

Für in =

1 und m' = 1 ist Xj

12.6

9.10.0.10

2.1,50

200

---0. — lj = + 0 tons.

CR

rr

2 ist X,

16.6

fl

fl

CO

fl

1 „ x₃

2.1,65

12.6

200

9.10.2.12

2.2,io

12.6

200

8.9.3.13

fl

fl

2.2,85

200

fl

Oi

fl

2 „ X₅

12.6

8.9.4.14

fl

CO

fl

3 ir X₆

2.3,90

12.6

200

.8.5.15

fl

fl

3 „ X₇

2.5,25

12.6

200

7.8.6.16

fl

fl

2.6,90 12₁6_ 2.8,85 16.6

WO

7.8.7.17

200

7.8.8.18

fl

fl

fl

fl

fl

4 „ X₁₀‘

2.11,io 12.6 2.13,65

200

6.7.9.19

200

6.5

3. Berechnung der Grenzspannungen Y in den Diagonalstäben nach den Gleichungen (469), (473)

und (475).

a. Berechnung der Lage der Belastungsscheiden nach Gleichung (471). e = X n

f(n — m) +

kn² -f- fm

2m — 1

Für m = 1 ist e — X. |lO —

16,5

. — 8,oo

15.9 + (150 + 15) Vi

10

16,5

. —0,70

Wenn e negativ, kommt m' nicht vor.

15.8 + (150 + 15) l/z

10

e = ;..|lO —

16,5

15.7+ (150+ 15) %

⁺ iÜ

— X . 0,io, daher m, = 1.

e = X. 110 —

16,5

— 1 • 0,70,    „ VI, — 1.

15.6 + (150 + 15) */r ⁺ 10

e = 1. |~10 —

16,5

— X . l,io, „ m, — 2.

15.5 + (150 + 15) </₉

10

e —|io —

16,5

— I . 1,46,    „ m₁ — 2.

15.4+ (150+ 15;%

e — X. | lO -

16,5

— I . 1,70,    „ m₁ — 2.

15.3    (150    15) l/l3

+ Tri

10

Für m — 8 ist e = X. 110 —

16,5

15.2+ (150 + 15) Vis

,d

— X . 2,30, daher w₄ — 3.

J.slO-

16,5

— X . 2,70,    „ mt — 3.

15.1 + (150 + 15) V,r — 10

m = 10 „ e = A. 10 —

16,5

— k . 3,io,    „ nij — 4.

15.0+ (150 + 15) x/i9 ⁺ 10-

b. Berechnung der Werthe dm, wm, ym und um nach den Gleichungen (467), (466), (468) und (472).

A² + (k + f I

in — 1

2\2

n²k + m² f ; Wm_ f(2m-1)

ym — Wm

dm

; Um = Wm — (m — m')A.

Für m —

Mt d, — J/36 + (l,5 + 15

(4⁵ +

' Töö

)² — 6+;

w, — 6

150+15.1

15.1

— 66,00.

15.

yi — 66,00

100

6,18

— 15,97;

u, kommt in Gleichung (469) nicht vor.

2 n d₂ —|/36 + (1,5 + 15.w)

n„ (¹'5 + 15-1Öö)

= 2,21;

W2

150 + 15.4 15.3 —

) = 27,96.

— 3 „ d₃ —

y₂ = 27,96 —

|/ 36 + ^1,5

(l,6 + 15.-~)

6,21

+ 15. w

7,4i; u₂ kommt in Gleichung (469) nicht vor.

— 6,36; w₃ = 6

150 + 15.9 15.5

— 22,80.

y₃ — 22,80-

6,36

7,53;

u₃ — 22,80 — 2.6 — 10,80.

m = 4 „ d₄ =

J/ 36 + ^1,5

y₄ = 22,29

+ 15-(i,5 + 15. —)

150 + 15.16

' 100

15.7

) = 22,29.

6,63

9,58;

u₄ — 22,29 — 3.6 — 4,29.

m — 5 „ d₅ =

y₅ = 23,34

J/ 36 + ^1,5

+ + J - -f.-jo )

+ 15

16

' 100

150 + 15.25

15.9

— 23,34.

7,14

= ¹²,72;

u₅ — 23,34 — 3.6 — 5,34.

— 6 „ d₆ —

J/36 + (l,5 + 15    ²⁵

(l,⁵ +

' 100

— 7,95; w₆ = 6

150 +15.36

15.11

) — 28,08.

15.

25

100 y

7,95

Für m

7 ist d₇ =

+ 15

36

' 100

) — 9,15 ; w₇ = 6 |

150 4- 15.49 15.13

= 27,24.

1,5 + 15.

36

y₇ = 27,24

100

9,15

— 20,50;

u₇ — 27,24 — 5 6 ——    2,76.

rr

8 „ d₈ =

|/36 + (l,5

+ 15

(U + 15.^-)

) — 10,68; w₈ — 6

150+15.64

15.15

j — 28,61.

rr

y₈ — 29,6i

9 ,, d₉ = j|/36 + |l,5 + 15.—

10,68

= 24,48;

64 +

100

u₈ — 29,61 — 5.6 = —    0,39.

— 12,63; w₉ = 6

150 + 15.81

15.17

■)-

32,13.

1,5 + 15.

64

y₉ — 32,13

100

12,63

— 28,26;

u₉ — 32,1$ — 6.6 — — 3,87.

— 10 „ d₁₀ —

y se+(i,5 +

15.

81

100

— 14,91; w₁₀ = 6

150 + 15.100

15.19

) = 34,74.

GO

y₁₀ — 34,74

(l,5 + 15. 10Ö)

14,91

— 31,80;

u₁₀ — 34,74 — 6.6 — —

1,26.

1 / k \

c. Berechnung der Werthe ₉ (1 ± w und (n — m) Z + wm zur Bestimmung der drei Fälle.

constante Werth ^1 + -y j = 60

Für m =    1    ist    (n — m) Z + wm    — 54

2^    „    (n — m) / + wm    = 48

3    „    (n — m) l + wm    = 42    —f-    22,80 — 64,80

Der

rr

(> ± *) - l'S I-

66,oo — 120,oo 27,96 —    75,96

4    „ (n — m) l + wm = 36 + 22,29 = 58,29

5    „ (n — m)). + wm = 30

rr

rr

rr

+ + +> + +

23,34 —    53,34

28,08 — 52,08 27,24 = 45,24 29,61 — 41,61 32,13 — 38,13 34,74 — 34,74

A A VA VA V V V VW

66.

66.

54.

66.

54.

54.

54.

54.

54.

54.

d. Berechnung der Grenzspannungen Y nach Gleichung (469), (473) und (475).

^1 + nach Gleichung (469).

Erster Fall, wo (n — m) A + wm >

~2

Ym

_ j_ 9 (n — m) (n — m + 1) I" wm — ml

kA

y™

Für m = 1 ist Y

i2

15,97'    4

66 — 6.1

1,5.6

10

12

8.9

j = + 111,60 tons. — + 64,16    „

1,5.6

Zweiter Fall, wo (n — m)A + wm

<2

t)

> TT

2 (>-t)

nach Gleichung (473).

Ymmax — +

q(m — m') s (2n

>’m L

+ Um +

(m — m- — 1)

.X .

Für in — 3 ist nV — 1 und Yg

12.

— 22,80

4 „ m' = 1 „ Y₄

2 > (20 - 3) /18

* L 4 V

12.3 s(20 — 4) /24 — 22,ä9 L 4    \    10

7,53

9,58

Dritter Fall, wo (n — m)1 4- wm < -

Ymmax ₌ + LL s(n ~m0 (n-m'+ 1)

Für m — 5 ist m' — 2 und Y₅

6 „ m- = 2 „ Y

7 „ nV — 2 „ Y₇

8 „ m' = 3 „

ir)⁺¹⁰'⁸⁰ + ^ir]

15 )+ 4,29 + ~T~] yj, nach Gleichung (475).

kf-) + (m — m') (um + ⁽'m    ₂

30 — 23,34    1,5.6

10

— + 29,34 tons.

(‘

1,5.6

— ± 32,31    „

— m' — 1)

J-.l

)]■

, , 2.6

5,34 + -j-

)+³(

¹² m ¹²m ¹² m

j~ 7.8 |'48 — 29,61

12,72

16,53

20,50

Yg max — ±

12

10

36 — 28,08

10

.6

15

)⁺⁴(

42 — 27,24    1,5.6

10

15

1,5.6

) ₊ 5(

9 „ m' = 3 „ Yg

„ m — 10 „ m' — 4 „ Y₁₀:

24,48

31,80

co

= + 33,18 ts.

—    + 35,70 „

—    ± 36,24 „ ₂ )] = ± 36,90 „

—    + 37,77 „

2    )] = ± 38,73 „

3.6

1,08    +    —g

4.6

-2,76 4 z

)]

5.6

15⁻)    ⁵ (— 0,39 4

^ + 6 (-3,8, 4

15 ) + 6L ¹’!‘⁴

1,5.6

5.6

)]

60— 34,74    1,5.6

5.6

4. Berechnung der Grenzspannungen in den Verticalankern. a. Ohne Berücksichtigung des Eigengewichts.

Erster Fall, wo (n — in) l 4- wm >    ^1 4- y), nach den Gleichungen (476) und (477).

+ ^ 4- lj — 33,6 tons, daher Wjmin — — 33,6 4- 12 = — 21,6 tons.

⁺ e)⁺¹]

< T (* ⁺ t)

Wm max —

(n — m)(n — m — 1)

4w,n

Wm min == q — Wmmax.

Für in --- 1 ist W”“ = 12 [

„ m = 2 „ W₂“*x — 12

Wm max =

9.8

4.66

4.27,96

8.7

66 — 6.1

10

27,96 — 6.2

10

— 25,17 „

„ W₂min = — 25,17 4- 12 = — 13,17 „

Zweiter Fall, wo (n — m) X 4- wm

, nach den Gleichungen (481) und (482).

q(m — m' -f- 1) f(2n — m — in') / ml - wm

wra

Für IN — 3 ist m' = 1 und W₃

¹²'³[f(

k).\

- -£-) + Um

18 — 22,8

(m — in') X

10

~ 22,8

daher W₃min — — 19,70 4- 12 = — 7,70 tons.

Wm min = q — Wm max. 4-10,8 4-y] — 19,70 tons,

13

Für m =

Wmmax

wm L

10) + 4,29 + °2⁶] ~ ²⁵'14 tons’

12.4 [45 /24 —22,29 — 22,29    4 X 10

daher W₄min — — 25,u -+- 12 = — 13,14 tons Dritter Fall, wo (n — m) Ä < ^ ( l — k j, nach den Gleichungen (485) und (486).

-    ) + (m — m' + 1) (

daher W₅min — — 30,09 -(— 12 = — 42,09 tons.

12 18.9/36 — 28,08    6 \ , „/

......so.......--iö) + ⁶l

4 ist in' — 1 und W₄

— m')(n — m' + 1) (ml

Für m — 5 ist m' = 2 und W-

6 „ m' = 2

„ w(i

23,34

ura +

(m — m‘)l

)w

5,34-+

m min = q — Wm max.

— 30,09 tons.;

7 „ in' — 3

daher W6 „ W₇

28,08

— — 35,52 + 12 — — 23,52 tons.

1,08 -t-

8 „ m' = 3

9 rr m' — 3

m = 10 „ m' = 4

lö) + ⁶(“²'⁷⁶+¥)]

12 r8.9 /42 — 27,24

[~T\    10

daher W₇min — — 39,so + 12 — — 27,so tons.

12 17.8 /48 - 29,61    6\ .    / A ,5.6)1

l~T ( io - id) + ⁶ (-    "* F/J

~ 27,24

— 39,30    „

„ w₈

daher W

„ w

daher W,,

„ w₁₀

daher W₁₀

29,61

- — 42,60 + 12 = — 30,60 tons.

= 42,60    „

CM

17.8 /54 — 32,is I 4 V 10

32,13

— — 45,24 +- 12 — — 33,24 tons.

+6 (-3,87 + ^)]

= 45,24    „

34,74

12 16.7 /60 — 34,74 L 4 V 10

Ä) + 7(-

— — 47,46 -s- 12 — — 35,46 tons.

= 47,46    „

b. Mit Berücksichtigung des Eigengewichts nach den Gleichungen (480), (478 und 479), (483 und 484), sowie (487 und 488).

i- (10 + 12) =

Wj min    —    — 21,60    +    10    =    —    11,60    tons.

Wü

ll,oo tons. nach Gleichung (480).

Wj max — 33,60    +    10    =    43,60    tons.

Die vorstehend für die Brückenträger gewonnenen Resultate sind in Fig. 20 und zwar für die Seitenträger in Fig. 20» und für den Mittelträger in Figur 20b übersichtlich zusammengestellt.

s KRAXÖw V--

Druck von A. Th. Engelhardt in Leipzig.

W₂

W₃

W, max

W₅

W₆

w₇

W, ma*

Wq maX

nach den Gleichungen (478) und (479).

nach den Gleichungen (483) und (484).

nach den Gleichungen (487) und (488).

E Theil, 2 Heft.

Dr HEINZERLING, GRUND ZÜGE DER BRÜCKEN-UND HOCHBAUC ONSTRU C T10NEN.

Taf. 1.

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Fio,£. Abgeleitete Construdion/.

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Yjtois chencons'trurtion.

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HEINZERLIFG, THEORIE, BERECHNUNG UND C0N8TRUCT10N DER SCHIEFGEWÖLBTEN BRÜCKEN.

Taf! 5.

Fig. 3.

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HEINZEliLING, THEORIE, BERECHNUNG- UND C0NSTRUCTI0N DER SCHIEF GEWÖLBTEN BRÜCKEN.

Taf. 6.

J. Die schief(jeivölbteji Brüchen mit naneiblenr Fucjenrvinkel.

Zu Ti(j. 1.

Absei ssen der Lay erfuy in der VerticaZprojeetion/.

Figl. Verbiculj)rojeeiioet des sclnefen ßriicken/aewölh

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7, 2J0 7,2J/ 7Z 2 57 7, 72-7; 777 8,313 9, 28 o 10,831 13, 373 18,156

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HEINZERLING, THEORIE, BERECHNUNG UND CONSTRUCTION DER SCHIEFGEWÖLBTEN BRÜCKEN.

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Fig. 16.

Steinschnitt der demiiIbelt(impfer.

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Taf. 8.

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Taf. 9.

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Bergt, das 2. Heft dieses Werkes, Sp. 47 ff. und Sp. 52 ff.

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