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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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WIEN UND LEIPZIG FRANZ DEUTÏCKE

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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DIE BERECHNUNG

DER

TRAGWERKE Alis EISENBETON

ODER

STAMPFBETON

BEI

HOCHBAUTEN UND STRASSENBRÜCKEN

AUF GRUND DER VORSCHRIFTEN DES K. K. MINISTERIUMS FÜR ÖFFENTLICHE ARBEITEN VOM 15. JUNI 1911.

VON

UND

KARL HABERKALT,

K. K. MINISTERIALRAT IM MINISTERIUM FÜR ÖFFENTLICHE ARBEITEN

DR. FRITZ POSTUVANSCHITZ,

K. K. BAURAT IM HANDELSMINISTERIUM, DOZENT DER K. K. HOCHSCHULE FÜR BODENKULTUR.

ZWEITE, VOLLSTÄNDIG UMGEARBEITETE AUFLAGE.

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MIT 190 TEXTABBILDUNGEN UND 12 TAFELN.

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WIEN UND LEIPZIG.

FRANZ DEUTICKE.

ALLE RECHTE VORBEHALTEN. Verlags-Nr. 1882.

BIBLIOTEKA POLITECHNICE

KRAKÓW

K. und K Hofbuchdruckerei Karl Prochaska in Teschen.

Àkc, Nr.

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Vorrede zur I. Auflage.

auch die äußeren Kräfte zu er-

Mit dem Erlasse vom 15. November 1907 hat das k. k. Ministerium des Innern Vorschriften über die Herstellung von Tragwerken aus Stampfbeton oder Beton-Eisen bei Hochbauten und Straßenbrücken herausgegeben, welche eine einheitliche Regelung dieser wichtigen, in neuerer Zeit stetig an Verbreitung zunehmenden Bauweisen bezwecken. In diesen Vorschriften sind nicht nur die Bestimmungen über die den Berechnungen zugrunde zu legenden Belastungen und zulässigen Spannungen, über die Beschaffenheit und Prüfung der zu verwendenden Baustoffe sowie über die Erprobung der Tragwerke enthalten, sondern sind auch die Regeln und Annahmen festgesetzt, nach denen die Spannungen und — sobald ein Eingehen auf statische Querschnitts- oder Festigkeitswerte hiezu erforderlich ist mittein sind.

Der Umstand, daß die genannten Vorschriften mancherlei Neues und Abweichendes gegenüber den bestehenden Normen anderer Länder aufweisen, so hinsichtlich der Festsetzung bestimmter Werte für die Formänderungszahlen des Betons und Eisens, der Forderung nach Einhaltung von Grenzwerten für die Betonzugspannungen, der Art der Berücksichtigung der KnickungsVerhältnisse, der Berechnungsweisen für exzentrisch belastete Druckglieder sowie solcher aus umschnürtem Beton u. a., ließ in den Verfassern den Wunsch entstehen, den Fachgenossen ein Werk zu bieten, in welchem die Berechnung der Tragwerke aus Stampfbeton und Beton-Eisen im Sinne der Vorschriften eingehend dargestellt und an Beispielen erläutert werden soll. Ein solches Werk erschien ungeachtet der reichhaltigen Literatur des Beton-Eisenbaues nicht überflüssig, da die vorhandenen Lehr- und Handbücher häufig nur die elementaren Fälle behandeln oder auf anderen Annahmen aufgebaut und daher zur Benützung für die Berechnung nach den österreichischen Vorschriften nicht direkt verwendbar sind.

Bei der Zusammenstellung des vorliegenden, dem genannten Bestreben entsprungenen Buches glaubten indessen die Verfasser sich aus zwei Gründen nicht auf die bloße Erläuterung der Vorschriften durch Beispiele beschränken zu sollen. Der erste gipfelt in der Erwägung, daß noch so zahlreiche und eingehende Beispiele kaum je eine völlige Vertrautheit mit dem betreffenden Sachgebiete mit sich bringen, besonders wenn dieses, wie die Theorie der Tragwerke aus Beton-Eisen, immerhin gewisse Schwierigkeiten bietet, und daß nur die technisch-wissenschaftliche Durchdringung des Problems den Ingenieur zur befriedigenden Lösung aller betreffenden Aufgaben befähigt. Die Verfasser sind demgemäß stets von allgemeinen Untersuchungen ausgegangen, welche selbstverständlich — fern von Meinungen und Ansichten, wie sie im Entwicklungsgänge der technischen Wissenschaften auftreten — nur auf den durch die Vorschriften festgegebenen Grundlagen ruhen und die hiedurch bedingte baumechanische Theorie dieses Gebietes darstellen. Hienach wird das Werk auch für die Berechnung nach Vorschriften anderer Länder, in denen abweichende Ziffernwerte der elastischen oder Festigkeitsgrößen normiert sind, mit gleichem Erfolge brauchbar sein.

Dort, wo die experimentellen Forschungen noch lückenhaft sind und die Vorschriften selbst bindende Regeln nicht geben, ist dies hervorgehoben und sind Berechnungsverfahren empfohlen, welche, ohne auf Exaktheit Anspruch machen zu können, erfahrungsgemäß hinreichende Sicherheit verbürgen.

Aber noch ein zweiter Grund bewog die Verfasser zu einer erweiterten Anlage des Buches. Eine der wesentlichsten Neuerungen der österreichischen Vorschriften gegenüber anderen bildet die Forderung des rechnerischen Nachweises der unter bestimmten Voraussetzungen zu ermittelnden Zugspannung im Beton bei den auf Biegung beanspruchten Tragwerken. Diese Forderung scheint geeignet die Befürchtung zu erwecken, daß die rechnerischen Untersuchungen der meisten Tragwerke in einer für die Praxis empfindlich fühlbaren und lästigen Weise kompliziert würden — eine Befürchtung, welcher u. a. in der vom Ministerium des Innern behufs Begutachtung der Entwürfe zu den Vorschriften einberufenen Enquête von Seite der Vertreter der Praxis mehrfach Ausdruck gegeben wurde.

Die von den Verfassern angestellten und im Buche wiedergegebenen ausführlichen Untersuchungen über den Zusammenhang der Betonzugspannungen mit den Druckspannungen und Querschnittsgrößen haben nun klargelegt, in welcher Weise schon bei dem Entwürfe dafür vorgesorgt werden kann, daß der genannten Forderung stets entsprochen wird, so daß eine mehrmalige versuchsweise Annahme entfallen würde. Durch den Hinweis auf diese schon in den Dimensionsverhältnissen gelegene und nach den graphischen Darstellungen und Tabellen des Werkes zu beurteilende Einhaltung der Grenzzugspannungen des Betons wird dort, wo diese Zugspannungen überhaupt in Frage kommen, z. B. bei Rippenplatten, in den meisten Fällen ein besonderer rechnerischer Nachweis — in ähnlicher Art, wie man ja auch z. B. die Schubspannungen im Stege gewalzter Träger in der Regel nicht gesondert untersucht — erspart und durch den Hinweis auf die Darlegungen des vorliegenden Buches ersetzt werden können.

Um das Werk in gleicherweise für den überwachenden und überprüfenden, wie für den projektierenden Ingenieur brauchbar zu machen, sind überall sowohl die bei der Überprüfung eines im Projekte vorliegenden oder bereits ausgeführten Trag Werkes zu verwendenden Gleichungen als auch jene Formeln entwickelt, welche zur direkten oder angenäherten Bemessung zu entwerfender Bauwerke dienen sollen. In letzterer Beziehung ist den „idealen“ Armierungen, welche die gleichzeitige Ausnützung des Betons und Eisens hinsichtlich der maßgebenden Spannungen gestatten, ein besonderes Eingehen gewidmet und auch die Frage der wirtschaftlich vorteilhaftesten Dimensionierung von Yerbundkörpern vielfach beleuchtet. Alle wesentlichen Fälle sind durch Beispiele erläutert.

Die Verfasser haben sich bei der Anlage des Werkes bemüht, den Schein eines Rezeptbuches, wie ihn manche Lehrbücher der Beton-Eisenkonstruktionen tragen, soweit als möglich zu vermeiden, um der Gefahr einer unrichtigen oder verständnislosen Anwendung gegebener Formeln zu begegnen. Immerhin ist die Einteilung und die Behandlung des Stoffes so getroffen, daß nicht nur Ingenieure und Studierende technischer Hochschulen das Werk mit Nutzen verwenden können, sondern daß es sich auch für die Vertreter der Baugewerbe und die Angehörigen der technischen Mittelschulen als brauchbar und geeignet zur raschen und mühelosen Lösung der hieher gehörigen Aufgaben erweisen dürfte. Durch die Vorführung von Näherungsmethoden, welche eine für die meisten praktischen Fälle hinreichend genaue Untersuchung oder Dimensionierung gestatten, durch die Beigabe zahlreicher Tabellen für häufig vorkommende Werte sowie von graphischen Darstellungen, aus denen die betreffenden Größen mit genügender Genauigkeit direkt abgegriffen werden können, wurde den praktischen Zwecken des Buches gerecht zu werden gesucht ; in dieser Beziehung wird auch die Aufnahme einer an den Anfang des Buches gesetzten ,,Zusammenstellung der verwendeten Bezeichnungen (Seite XVI), wodurch das oft lästige Nachsuchen nach der Bedeutung der in den Formeln vorkommenden Zeichen erspart werden kann, willkommen sein.

Möge sich das vorliegende. Werk den beteiligten Fachkreisen als nützlicher Ratgeber und verläßliches Nachschlagebuch bei der Anwendung der neuen Vorschriften erweisen.

Wien, im Jänner 1908.

Die Verfasser.

Vorrede zur 2. Auflage.

Die im Jänner 1908 erschienene 1. Auflage dieses Werkes war bereits zu Anfang des Jahres 1910 im Buchhandel vergriffen; mit Rücksicht darauf, daß in dieser Zeit bereits im k. k. Ministerium für öffentliche Arbeiten die Vorarbeiten für eine Umarbeitung der Vorschriften über Beton-Eisen und Stampfbeton vom

15. November 1907 begannen, deren Anwendung auf die statische Berechnung der betreffenden Bauwerke den Gegenstand des Werkes bildet, sahen sich die Verfasser veranlaßt, mit der Herausgabe einer neuen Auflage bis zu dem Zeitpunkte zuzuwarten, in welchem die neuen Normen erlassen sein würden, um das Buch denselben anpassen zu können. Dieser Zeitpunkt ist mit der Herausgabe der Vorschriften vom 15. Juni 1911 über die Herstellung der Tragwerke aus Eisenbeton und Stampfbeton (Erlaß des k. k. Ministeriums für öffentliche Arbeiten Z. 42/30 — IX ä) nunmehr gekommen.

Die allgemeine Anlage des Werkes und die Einteilung des Stoffes sind im großen und ganzen gleich geblieben; sie ergeben sich aus dem Zwecke, dem das Buch dienen soll und wie er schon im Vorworte zur ersten Auflage angegeben ist: Den Fachgenossen eine erschöpfende Erläuterung und Behandlung der auf dem Gebiete des Eisenbeton- und Betonbaues bei Hochbauten und Straßenbrücken vorkommenden rechnerischen Aufgaben im Sinne der neuen Vorschriften zu geben, also gewissermaßen die auf den gegebenen Grundlagen aufgebaute Theorie dieses Gebietes vorzuführen. Änderungen im Gegenstände selbst sind sonach nur insoweit zu verzeichnen, als es der Inhalt der neuen Bestimmungen erforderte; sie gelangen insbesondere in dem Abschnitt über die Haftspannungen, deren Ermittlung nunmehr auf einer wesentlich anderen Grundlage als früher zu erfolgen hat, ferner in jenem über Träger, die mit elastischen Stützen entsprechend steif verbunden sind (,,rahmenartige Tragwerke“), durchlaufende Träger und über platt en förmige Körper, sowie auch in dem Abschnitte über Schubspannungen zum Ausdrucke. Die Änderungen der neuen Vorschriften gegenüber den früheren hinsichtlich der zulässigen Spannungen, der Berücksichtigung der Knickung, von stärkeren Armierungen bei Eisenbeton-Druckgliedern u. s. w. bedingten eine weitgehende Umarbeitung der bezüglichen Tabellenwerte und zeichnerischen Darstellungen.

In den neuen Vorschriften über Hochbauten ist der früher für alle Tragwerke ohne Unterschied geforderte Nachweis der Beton zugspann ungen auf solche eingeschränkt, die der Einwirkung der Witterung, von Nässe, Dämpfen, Rauch oder dem Eisen schädlichen Gasen ausgesetzt sind. Für alle anderen Bauwerke, die wohl die weit überwiegende Zahl aller Hochbauten umfassen, ist der erwähnte Nachweis nicht erforderlich. Für diese entfällt sonach die betreffende, immerhin ziemlich umständliche Berechnung ; letztere muß nur bei Brücken und bei der obengenannten Gattung von Hochbauten, die der Kürze halber mit dem zusammenfassenden Namen ,,besondere Hochbauten“ bezeichnet sind, durchgeführt werden. Zur leichteren Übersicht und Benützung des Werkes durch den Leser sind nun in dem Abschnitte über die bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörper jene Teile, die sich auf alle Hochbauten und Brücken beziehen (Ermittlung der größten Betondruck-und Eisenzugspannungen) durch die Überschrift gekennzeichnet: ,, Anzuwenden für alle Tragwerke im Hoch- und Brückenbau“, während jene Teile, die sich mit der Untersuchung der Betonzugspannungen befassen, mit der Überschrift versehen sind:

,,Anzuwenden für besondere Hochbau- und Brückentragwerke.“

Der Frage der wirtschaftlichsten Anordnung und Bemessung von Verbundkörpern ist in der vorliegenden 2. Auflage gleichfalls besonderes Augenmerk gewidmet. Durch die Angabe von Näherungsmethoden, die anstelle der strengeren, aber häufig umständlichen Rechnungsverfahren angewendet, ebenfalls eine hinreichende Sicherheit der Tragwerke verbürgen, durch zahlreiche Beispiele, die alle wichtigeren Fälle erläutern, sowie durch eine Reihe von Tabellen und z e i c hner i s c h en T a f ein, welche die Übersicht erleichtern, sucht das Werk den praktischen Zwecken gerecht zu werden.

an-

Die Verfasser glauben schließlich — im Hinblicke auf die Stellungnahme einzelner Kritiken zur 1. Auflage — nochmals in Kürze auf die allgemeinen Gesichtspunkte hinweisen zu sollen, von denen sie sich bei der Verfassung des vorliegenden Werkes leiten ließen und die im wesentlichen allerdings schon in der 1. Auflage

gedeutet sind. DasBuchsollnichts anderes alsdieTheorie des Eisenbeton- und des Betonbaues für Hochbauten und Straßenbrücken auf jenen Grundlagen dar stellen, wie sie durch die ministeriellen Vorschriften vom

15. Juni 1911 unzweideutig festgelegt sind; es soll also keineswegs ein Lehrbuch des Eisenbetonbaues sein oder eine Darstellung des gegenwärtigen Standes der Theorie dieses Gebietes bringen, wie sie sich im geschichtlichen Entwicklungsgänge dieses Zweiges des Bauwesens herausgebildet hat. Kritische Vergleiche von Berechnungsweisen, gegenseitiges Abwägen von Meinungen und Anschauungen verschiedener Forscher, ein Eingehen auf ungeklärte oder erst in experimenteller Untersuchung befindliche Fragen konnten somit keinen Platz in demselben finden; deshalb erschien auch eine weitgehende Heranziehung der einschlägigen Fachliteratur nie ht geboten. Auf bestimmte Erscheinungen derselben wird an einzelnen Stellen jedoch dann verwiesen, wenn auf praktische Berechnungsverfahren, Näherungsregeln, graphische Tafeln u. s. w. aufmerksam gemacht werden soll, welche die statische Behandlung der Tragwerke in vorteilhafter Weise zu vereinfachen oder das Entwerfen zu erleichtern geeignet sind.

In der vorliegenden Form des Werkes ist, wie in der 1. Auflage, überall eine theoretisch-wissenschaftliche Durchdringung der bezüglichen Probleme angestrebt, um den Leser zur selbständigen Lösung aller hieher gehörigen Aufgaben zu befähigen. Ist es sonach in erster Linie für Ingenieure und für Studierende der technischen Hochschulen bestimmt, so ist doch anderseits die Einteilung und Behandlung des Stoffes so getroffen, daß es auch von Baumeistern und Angehörigen der technischen Mittelschulen mit großem Nutzen bei der Berechnung und dem Entwürfe derartiger Tragwerke benützt werden kann.

Möge sich das Werk, das mit dem Erlaß des k. k. Ministeriums für öffentliche Arbeiten vom 19. November 1908, Z. 14731, allen unterstehenden Behörden und Organen zur Benützung empfohlen wurde und demnach die maßgebende Interpretation der ministeriellen Vorschriften darstellt, auch in der neuen

2. Auflage zahlreiche Freunde in dem Kreise der Fachgenossen erwerben.

Wien, im September 1911.

Die Verfasser.

In haltsverzeichnis.

Seite

Vorrede zur 1. Auflage..............

Vorrede zur 2. Auflage............•

Inhaltsverzeichnis ................

Verzeichnis der Tafeln.......... . . . .

Verzeichnis der Tabellen.............

Zusammenstellung der verwendeten Bezeichnungen

III

VII

XIII

XIV

XVI

A. Tragwerke aus Eisenbeton.

I. Einleitung.............................

II. Allgemeine Untersuchung eines bloß auf Biegung beanspruchten Verbandkörpers.

1.    Die Normalspannungen.......................

2.    Die Schubspannungen.......................

3.    Die Hauptnormalspannungen....................

4.    Die Haftspannungen........................

III. Berechnung der bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörper hinsichtlich der Normalspannungen.

CO

1.    Allgemeines..........................

2.    Balken und plattenförmige Körper mit einfacher Eisen

einlage .............................

a)    Die Überprüfung :

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Normalzugspannungen im

Beton).............................

ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton.............................

b)    das Entwerfen...........................

c)    Ermittlung der Länge der Eiseneinlagen (Materialverteilung) mit Rücksicht

auf die Momente..........................

3. Balken und plattenförmige Körper mit doppelter Eiseneinlage.

a)    Die Überprüfung.

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Normalzugspannungen im

Beton).............................

ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton).............................

b)    das Entwerfen...........................

c)    Ermittlung der Länge der Eiseneinlagen (Materialverteilung) mit Rücksicht auf die Momente........................

61

64

65

Seite

4. Plattenbalken (Rippenbalken) mit einfacher Eiseneinl age.

a)    Die Überprüfung :

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Normalzugspannungen im

Beton).............................

ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton).............................

b)    das Entwerfen...........................

Beziehungen zwischen den Spannungen abd, Gez und Gbz bei Plattenbalken

mit beliebiger Armierungsziffer p .................

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Normalzugspannungen im

Beton).........................• . . .

ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im

Beton).............................

Die Spannungsverhältnisse bei einfach und ideal armierten Plattenbalken e) Näherungsverfahren zur direkten Bestimmung der Querschnitte von Plattenbalken .............................. .

d) Ermittlung der Länge der Eiseneinlagen (Materialverteilung) mit Rücksicht auf die Momente.......................

5. Plattenbalken (Rippenbalken) mit doppelter Eiseneinlage.

a)    Die Überprüfung :

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Normalzugspannungen im

Beton).............................

ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton).............................

b)    das Entwerfen...........................

c)    Ermittlung der Länge der Eiseneinlagen (Materialverteilung) mit Rücksicht auf die Momente.......................

76

GO ^ CO CO GO 05 05 00 GO CO GO CO 05

116

117

121

123

126

IV. Berechnung der bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörper hinsichtlich der Schub- und Hauptzugspannungen...........

V. Berechnung der bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörper hinsichtlich der Haftspannungen ....

VI. Zentrisch belastete Druckglieder.

1.    Allgemeines........... .

2.    Zentrisch belastete Druckglieder bei

127

145

169

3. Zentrisch belastete Druckglieder bei

<S..|    tr-H

< 60 (keine Knickung) . . .

> 60 (Knickung)

4.    Zentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton bei

(keine Knickung)....................

5.    Zentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton bei

(Knickung)............

6.    Knickfestigkeit der Eiseneinlagen . .

7.    Schub- und Haftspannungen.....

VII. Exzentrisch belastete Druckglieder.

1.    Allgemeines..........• . .

2.    Exzentrisch belastete Druckglieder bei

< 60

174

177

183

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> 60

191

193

196

197

< 60 (keine Knickung) . .

200

3. Exzentrisch belastete Druckglieder bei

;> 60 (Knickung)

210

Seite

60

4.    Exzentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton bei —r <.

(keine Knickung)......................

5.    Exzentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton bei —r > 60

(Knickung)...........................

6.    Schlußbemerkungen .......................

VIII. Berechnung der äußeren Kräfte und Biegungsmomente äußerlich statisch unbestimmter Tragwerke.

1.    Allgemeines ...........................

2.    Äußerlich statisch unbestimmte Tragwerke.............

IX. Eingespannte und rahmenartige Tragwerke............

X. Durchlaufende Träger.......................

XI. Plattenförmige Körper......................

XII.    Gewölbe.

1.    Allgemeines ...........................

2.    Normalspannungen........................

3.    Schub- und mittlere Haftspannungen................

XIII.    Einfluß der Temperatur......................

214

216

218

220

221

228

247

253

263

264

269

271

B. Tragwerke aus Stampfbeton.

I. Allgemeines................

II. Bloß auf Biegung beanspruchte Verbundkörper

III.    Zentrisch belastete Druckglieder......

IV.    Exzentrisch belastete Druckglieder......

V.    Gewölbe...................

VI. Schlußbemerkungen..........• . . .

273

273

.    274

.    275

281

. 282

C. Anhang.

Vorschriften vom 15. Juni 1911, herausgegeben mit Erlaß des k. k. Ministeriums für öffentliche Arbeiten, Z. 42/30 — IX d.

1.    Vorschrift über die Herstellung von Tragwerken aus Eisenbeton oder

Stampfbeton bei Hochbauten..................

2.    Vorschrift über die Herstellung von Tragwerken aus Eisenbeton oder

Stampfbeton bei Straßenbrücken.................

283

Tafel Nr. 1.

2.

3.

1J

4.

5.

6.

if

7.

8.

9.

„    10.

„    11.

Verzeichnis der Tafeln.

Erklärung

Seite

Hilfstafel zur Berechnung einfach und doppelt armierter Balken

und Platten......................

Hilfstafel zur Berechnung einfach armierter Plattenbalken

beiHochb aut en für S =    = 0’3...........

12

Detto für 6 — ^

47, 69

teil»-feil

= 0-2

= o-i

Detto für ô =

Hilfstafel zur Berechnung einfach armierter Plattenbalken bei Straßenbrücken für 5 =

= 0-3

91 ff.

<1

Detto für 8 = — = 0‘2.................

H

Detto für 8 =    = 0*1.................

H.

Graphische Darstellung der Betonzugspannungen abz, Tragmomente *M und Eisenarmierung (*'p, *Fe) bei einfach und ideal armierten Plattenbalken für Hochbauten;

Mischungsverhältnis 470 kg/m³............

Detto ; Mischungsverhältnis 350 kg/m³..........

Detto; Mischungsverhältnis 280 kg/m³..........

Graphische Darstellung der Betonzugspannungen aiz bei einfach und ideal armierten Plattenbalken für Straßenbrücken; Stützweiten 1 = im und l — 20m. Mischungsverhältnis 470, 350, 280 kg/m³............

Hilfstafel zur näherungsweisen direkten Bestimmung der Höhe H' und der Eisenfläche {Fe bei einfach und ideal armierten Plattenbalken für Hochbauten........

Hilfstafel zur Ermittlung der Lage der Nullinie bei einfach und ideal armierten Plattenbalken............

> 106 ff.

114

Verzeichnis der Tabellen.

Seite

Tabelle Nr. 1. Verhältnis der auftretenden Betonzugspannungen (aj*) zu den Betondruckspannungen (sbd) bei ideal armierten Balken

oder Platten......................

für das Entwerfen von einfach und ideal armierten Balken oder Platten......................

3.    Entfernung der Nullinie x = t! H' von der Druckkante bei einfach armierten Balken, Platten und Plattenbalken (bei letzteren für x <.d) mit der „nutzbaren“ Höhe R' * . . .

4.    Werte von Ç, —, — und Momente M für einfach ar-

Gbd Obd

mierte Plattenbalken mit verschiedenen Armierungsziffern p (z — 0‘08)

5.    Zusammenstellung der Formeln für einfach und ideal armierte Plattenbalken

6.    Zulässige Spannungen sbd, sez und Lage der Nullinie bei einfach und ideal armierten Plattenbalken.........

77

77

77

77

77

77

77

77

77

»>

>>

77

45

yj

77

77

77

77

77

79

93—95

nach 104

bëi ideal ar-

7. Untere Grenzen der zulässigen Werte ß =

mierten Plattenbalken mit Rücksicht auf Einhaltung der zulässigen Betonzugspannung sbz zur näherungsweisen direkten Bestimmung der Höhe H' und der Eisenfläche *Fe einfach und ideal armierter Plattenbalken bei Hochbauten..............

105

. 108

113

9. Zulässige Betonspannungen bei Tragwerken aus Eisenbeton

für Hochbauten bei verschiedenen Mischungsverhältnissen 172 „    10. Wirkliche und rechnungsmäßige Armierungsziffern p bezw. p'

bei Druckgliedern..................

„    11. Ideelle Flächen (Fi), Trägheitsmomente (3»ä), Trägheitshalb

messer i und Kernpunktsabstände (Je) verschiedener, armierter Querschnittsformen..................

„    12. Abminderungszahlen z. und deren reziproke Werte —für

Knickung bei Druckgliedern aus Eisenbeton . . .

„    13. Zulässige Spannungen sbk= a csbd mit Rücksicht auf Knickung

bei Druckgliedern aus Eisenbeton bei Hochbauten. . .    180

77

173

178

. . 180

„    14. Abminderungszahlen ze, deren reziproke Werte

lässige Eisenspannungen Sk bei Hochbauten mit Rücksicht auf Knickung.....................

O-e

und zu-

Tabelle Nr. 15. Formeln für die zulässige Belastung P zentrisch oder exzentrisch beanspruchter Druckglieder aus Eisenbeton . . .    219

>>

„    16. Biegungsmomente und Stützendrücke a) für einerseits frei

nach 246

aufliegende, anderseits fest eingespannte, b) für beiderseits fest eingespannte Träger

»>

„    17. Biegungsmomente für, über zwei oder drei Felder durch

laufende Trag werke bei verschiedenen Belastungsweisen nach 248 „    18. Maximale (±) Momente’ und Querkräfte für über zwei, drei

oder vier gleichlange Felder durchlaufende Tragwerke . 250 ff.

n²

Ô²

„    19. Werte der Lastverteilungszahlen a =

ha²    _

ha²-\-b*    h-\-n²

Platten rechteckiger Form

„    20. Abminderungszahlen a

Druckgliedern aus Stampfbeton . .

r

„ 21. Charakteristische Exzentrizitätsverhältnisse p = — (Figur 188)

bei exzentrisch belasteten Druckgliedern aus Stampfbeton bei Hochbauten....................

&a²-j-b²    &-f~w²

h

= (1 — a) für gekreuzt armierte

und

255

>>

und deren reziproke Werte — bei

275

Bezeich

nung

<s-

fco

“Cö

<o

Zusammenstellung der verwendeten Bezeichnungen.

Bedeutung

Erklä

rung

Seite

Siehe Fig. Nr.

Stützweite eines Trägers...............

Länge eines Tragwerkes oder Tragwerkteiles, auch freie

Knicklänge....................

Breite eines rechteckigen Querschnittes........

Breite der Rippen bei Plattenbalken.........

Plattenbreite = Rippenentfernung bei Plattenbalken . . .

Seitenlangen einer rechteckigen Platte.........

Höhe eines rechteckigen Querschnittes.........

Höhe der Rippe bei Plattenbalken..........

„Nutzbare“ Höhe bei Balken oder Platten aus Eisenbeton, das ist der Abstand der Druckkante vom Schwerpunkte

der Eisenzugfläche.................

Gesamthöhe eines Plattenbalkens...........

„Nutzbare“ Höhe eines Plattenbalkens d. i. der Abstand der Druckkante vom Schwerpunkte der Eisenzugfläche Abstand der Zugkante vom Schwerpunkte der Eisenzugfläche .....................

Abstand der Druckkante vom Schwerpunkte der Eisendruckfläche ....................

Plattendicke bei Plattenbalken............

Abstand der Nullinie A von der Druckkante, berechnet nach Verfahren A, das ist ohne Berücksichtigung der

Normalzugspannungen im Beton ..........

Abstand der Nullinie B von der Druckkante, berechnet nach Verfahren B, das ist mit Berücksichtigung der

Normalzugspannungen im Beton...........

Hehelsarm des inneren Momentes...........

Verhältnis bei Balken oder Platten........

n

a'

21

41

41

254 169,170

21

41

21

41

41

21, 41

34, 51

41

21, 41

28. 47

76 c

>>

1J

Jf

Abminderungszahl <x — 1-72 — 0*012    ^

im Falle der

Knickung bei Druckgliedern aus Eisenbeton oder Stampfbeton .

Verhältnis

b

—rr bei Plattenbalken

JJ

IT ”

Bezeich

nung

Bedeutung

Erklä

rung

Seite

Siehe Fig. Nr.

Verhältnis —— bei Plattenbalken

ÖD

.2

6'

))

H’ ”

»»

Sh

ff

—— bei Balken oder Platten

Sh

Xi

Si

ff

ff

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—- bei Plattenbalken

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—r~r bei Balken oder Platten

bß

h¹

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rung

Ci

ff

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<D

el) e2

ku k₂

Fe

Ebd

Ebz

—y bei Plattenbalken H

Exzentrizität einer Last bei gedrückten Tragwerksteilen, das ist der Abstand des Angriffspunktes der Last vom Schwerpunkte des wirklichen (oder ideellen) Querschnittes ......................

Abstände der äußersten Fasern bei exzentrischer Belastung eines Druckgliedes von der Nullinie des wirklichen (oder ideellen) Querschnittes und zwar e! auf der, der Exzentrizität entgegengesetzten Seite, e₂ jener auf der

Seite der Exzentrizität...............

Fb : Fa, d. i. Verhältnis d. Eisenflächen bei rechteckigen Platten b : a, d. i. Verhältnis d. Seitenlangen bei rechteckigen Platten Abstände der Kernpunkte Kx und K₂ von der Nullinie

des wirklichen (oder ideellen) Querschnittes.....

Formänderungszahl (Elastizitätsmodul) des Eisens für Zug

oder Druck, Ee = 2,100.000 kglcm²    .........

Formänderungszahl des Betons

= 140.000 kglcm'¹.......

Formänderungszahl des Betons für Zug, Ebz = 56.000 kgjcm²

ff

’S

-O

197

254

255

202

für Druck, Ebd =

CO

a

t>*    troi    Ci

Ee

Verhältniszahl —— = 15

Fbd

I*

Fb

Fe

>Fe

Ebz . .

= 0’4...............

Ebd

Fläche eines Querschnittes..............

Betonfläche in einem Querschnitte...........

Eisenfläche in einem Querschnitte mit einfacher Armierung „Ideale“ Armierungsfläche (für volle Ausnützung des Betons auf Druck und des Eisens auf Zug).........

37, 40

Bezeich

nung

Bedeutung

Erklä-

Siehe Seite Fi^Nr-

Eisenzugfläche 1 in einem Querschnitt mit Eisendruckfläche j doppelter Armierung Eisenfläche einer Platte für die Plattenbreite 1 cm . .

Ideelle Querschnittsfläche eines nur längsarmierten Druckgliedes: Fb + \$Fe = Fb (l + 0-15j>)........

v Fe

Hilfslänge —— bei einfach armierten Balken oder Platten v Feg

Hilfslänge —— bei doppelt armierten Balken oder Platten v Fed

Hilfslänge ■ bei doppelt armierten Balken oder Platten v Fe

Hilfslänge —— bei einfach armierten Plattenbalken . . ß

V Fe

170

30

62

62

78

' bei doppelt armierten Plattenbalken . .

JJ

v t'ed

Hilfslänge —— bei doppelt armierten Plattenbalken . .

Hilfslänge

118

118

S JS, ^ ^ s* s*    s?    S?    â?    §p

® ». * • a,    «    s.    *    S

Fläche des von den Quereinlagen eingeschlossenen Betonkerns eines Druckgliedes . . . . '..........

Ideelle Querschnittsfläche eines Druckgliedes aus um-

schnürtem Beton : Fb -f-15 Fe -f- 30 Fs........

Bei Druckgliedern aus umsehnürtem Beton : Querschnittsfläche eines gedachten Längseisens, dessen Gewicht gleich jenem der schraubenförmigen Quereinlage ist, beide Gewichte auf die Längeneinheit des Druckgliedes

bezogen ......................

Statisches Moment der Eisendruckfläche, bezogen auf die

betreffende Nullinie................

Statisches Moment der Eisenzugfläche, bezogen auf die

betreffende Nullinie................

Statisches Moment der ganzen Betondruckfläche, bezogen

auf die betreffende Nullinie.............

Statisches Moment der ganzen Betonzugfläche, bezogen

auf die betreffende Nullinie.............

Statisches Moment des Druckteiles der ideellen Querschnittsfläche, bezogen auf die betreffende Nullinie . . Statisches Moment des Zugteiles der ideellen Querschnittsfläche, bezogen auf die betreffende Nullinie.....

Trägheitsmoment der Betondruckfläche bezgl. Nullinie A Trägheitsmoment der Eisenfläche bezgl. Nullinie A . . Trägheitsmoment der Eisenzugfläche „

Trägheitsmoment der Eisendruckfläche „

Trägheitsmoment der Eisenzug- oder -Druckfläche bezgl.

deren Schwerachse parallel zur Nullinie A oder B . . Trägheitsmoment des ideellen Querschnittes, bezogen auf die Nullinie A...................

173

183

183

11

12

14

77

77

30

Bezeich

nung

Bedeutung

Erklärt!

Siehe

4P

<©    > fco ^ *'C

Trägheitsmoment der Eisenfläche bezgl. Nullinie B . . . Trägheitsmoment der Betondruckfiäche bezgl. Nullinie B „ Betonzugfläche Trägheitsmoment des ideellen Querschnittes bezogen auf

die Nullinie B...................

Äquatoriales Trägheitsmoment eines Querschnittes (entsprechend HV. § 5, Abs. 8cf, BV. § 5, Abs. 7 e) . . . . für symmetrische Querschnitte, bei denen die Kraftlinie mit der Symmetrieachse zusammenfällt : Trägheitsmoment des ideellen Gesamtquerschnittes bezogen auf

die zur Kraftlinie senkrechte Schwerachse......

kleinstes äquatoriales Trägheitsmoment des ideellen Gesamtquerschnittes . .

Trägheitshalbmesser

/>'

36

201

174

174

Äußere Kraft.....................

Tragkraft eines Druckgliedes.............

Resultierende aller auf einer Seite eines Querschnittes

angreifenden äußeren Kräfte............

Normalkraft = Komponente von R senkrecht zur Querschnittsebene . ..................

Querkraft = Komponente von R parallel zur Quersehnitts-

ebene .......................

Biegungsmoment der äußeren Kräfte, bezogen auf den

Schwerpunkt des Querschnittes...........

Biegungsmoment wie vor, auf die Plattenbreite 1 cru bezogen „Ideales“ Tragmoment, entsprechend der idealen Armierungsfläche *Fe bei voller Ausnützung des Betons auf Druck und des Eisens auf Zug........

174

41

42

• 184

Se d

Gez

Gbd

Te

Tb

Normalspannung.........

Schubspannung.........

Eisendruckspannung.......

Eisenzugspannung........

Betonspannung an der Druckkante Betonspannung an der Zugkante Schubspannung des Eisens .... Schubspannung des Betons ....

in der Nullinie A

Th

Tz, Td

Se

Sk

Sbd

Sbz

Mittlere Haftspannung................

Hauptzugspannung, Hauptdruckspannung.......

Zulässige Normalspannung..............

Schubspannung...............

Eisenspannung................

Eisenspannung mit Rücksicht auf Knickung Zulässige Betondruckspannung ( ;m palle der Biegung und Betonzugspannung .

bei exzentrischem Druck

(M O (M

Bezeich

nung

Bedeutung

Erklä-

Siehe

£Sf

csbd

Sbk

•w 42 -5 -S

Zulässige Betondruckspannung bei zentrischem Druck .

Betondruckspannung mit Rücksicht auf Knickung

Schubspannung des Eisens .........

Betons.........

11

11

11

11

11

11

11

mittlere Haftspannung Hauptzugspannung . . .

100 Fe

Armierungsziffer

schnittsfläehe F u. zw. :

, bezogen auf die ganze Quer-F

bei rechteckigen Balken :

100 Fe

bh

bei Plattenbalken :

100 Fe

HS'

Bd -)- bh 100 ‘Fe

„Ideale“ Armierungsziffer Querschnittsfläehe F . .

„Ideale“ Armierungsziffer die nutzbare Querschnittsfläche bh'

F — bezogen auf die ganze

100 ‘Fe

bh'

ip

—— bezogen auf

40

40

A. Tragwerke aus Eisenbeton.

I. Einleitung.

i_b|

= ■J'u + V-Jl+ » J) = ji M ■+1* (* - *. )’] + V F, (V - *! )2 ■ • 47)**).

c) 280 kgjm3 ,,

3. Balken und plattenförmige Körper mit doppelter Eiseneinlage.

4. Plattenbalken (Rippenplatten) mit einfacher Eiseneinlage.

M— 0 1134 BR2 abd und mit aiÆ = 32-^Jcg/cm2, M =3-

c) Näherungsverfahren zur direkten Bestimmung der Querschnitte von Plattenbalken.

X>d, (£>§).

V. Berechnung der bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörper hinsichtlich der Haftspannungen.

VI. Zentrisch belastete Druckglieder.

1 /%

2. Exzentrisch belastete Druckglieder bei — < 60 (keine Knickung).

a) Die Kraft P erzeuge nur Druckspannungen (r < ksl oder r < kn ).

IX. Eingespannte und rahmenartige Tragwerke.

X. Durchlaufende Träger.*)

*) Auf je 14 cm Entfernung der Eiseneinlagen.

Tabelle Nr. 21.

C. Prüfung der Tragwerke.

D. Schlußbestimmungen.

Hilfstafel zur Berechnung einfach armierter Plattenbalken bei Straßenbrücken für 8

I. Einleitung.

Die genaue Erkenntnis der Spannungsverhältnisse, welche sich im Innern eines, äußeren Einflüssen, Kraft- und Wärmewirkungen unterworfenen Yerbundkörpers aus Beton und Eisen herausbilden, begegnet mancherlei Schwierigkeiten ; trotz der emsigen Forscherarbeit, durch welche die technische Wissenschaft auf diesem Gebiete unausgesetzt erweitert wird, harren noch viele Fragen der Klärung und es erscheint vorläufig überhaupt noch zweifelhaft, ob es gelingen werde, hinsichtlich der Verbundkörper zu jener wohlbegründeten Einsicht in die baumechanischen Beziehungen zwischen äußeren und inneren Kräften zu gelangen, welche die Technik betreffs der homogenen Körper bereits errungen hat.

Die Ursachen dieser Erscheinung sind, abgesehen von der Kürze des Zeitraumes, welcher der Forschung bis nun zu Gebote stand, vor allem in der Natur des Betons selbst zu suchen. Der Beton ist ein Baustoff, dessen Festigkeitseigenschaften bekanntlich von vielerlei Umständen wie : Güte des Zements, Sandes und Steinmaterials, dem Mischungsverhältnisse, dem Wasserzusatze, der Art der Stampfung, den Witterungsverhältnissen während der Erhärtung, dem Alter u. s. w. abhängen und daher von Fall zu Fall in weiten Grenzen veränderlich sind. Eine andere Ursache jenes Umstandes liegt in der Tatsache, daß die N a vier sehe Annahme (Ebenbleiben der Querschnitte auf Biegung beanspruchter Körper) sowie das H o o k e sehe Gesetz (Proportionalität zwischen Spannung und spezifischer Formänderung), welche beide der Festigkeitslehre homogener Körper zu Grunde liegen, bei Beton nicht zutreffen, bezw. nur bei sehr geringen Spannungen näherungsweise als gütig angenommen werden können, also bis zu Grenzen,

welche bei den tatsächlich eintretenden Spannungen meist überschritten werden. Ein weiterer hieher gehöriger Grund ist durch das verschiedene Verhalten des Betons gegenüber den Zug-und Druckkräften, insbesondere durch den Umstand gegeben, daß schon bei Zugspannungen geringer Größe verhältnismäßig bedeutende bleibende Dehnungen eintreten und der Widerstand gegen Zug weit geringer als jener gegen Druck ist.

Das Wesen der Verbundkörper aus Beton und Eisen besteht nun bekanntlich darin, daß Eiseneinlagen in erster Linie an solchen Stellen angeordnet werden, an denen Zugspannungen auf treten ; das Eisen soll in diesem Falle den Beton in seinem Widerstande gegen Zug unterstützen, ihn dadurch vor dem Eintreten größerer Längenänderungen schützen und schließlich, wenn bei wachsender Einwirkung der äußeren Einflüsse unter Überwindung der Zugfestigkeit des Betons in letzterem Risse entstehen, an diesen Stellen die gesamten Zugkräfte allein aufnehmen. Dieses Zusammenwirken von Beton und Eisen hat zur Voraussetzung eine innige Verbindung der beiden Baustoffe, derart, daß sie als ein Ganzes wirken und Verschiebungen gegeneinander nicht zustande kommen. Ist nun schon das Maß der sogenannten Haftfähigkeit, worin der Verbund von Beton und Eisen zum Ausdrucke gelangt, in eben so hohem Maße wie die anderen Festigkeitseigenschaften des Betons selbst von den oben genannten Umständen, überdies aber noch von der Form und Oberflächenbeschaffenheit der Eiseneinlagen abhängig, so daß auch hieraus wieder ein wechselndes Verhalten sonst gleicher Verbundkörper sich ergeben kann, so folgt aus dieser festen Verbindung der zwei verschiedenen Baustoffe eine Quelle weiterer Schwierigkeiten für die wissenschaftliche Erkenntnis ihrer Wirkungsweise.

Die Verbundkörper sind nämlich auch dann, wenn sie äußeren Kräften nicht ausgesetzt sind, nicht spannungslose Körper im Sinne der Mechanik, sondern sie sind im allgemeinen mit sogenannten „Anfangsspannungen“ behaftet. Der Beton erleidet beim Erhärten Volumsänderungen und zwar zieht er sich beim Abbinden an der Luft zusammen und dehnt sich beim Erhärten unter Wasser aus. Bei den Tragwerken aus Eisenbeton im Hoch- und Brückenbaue kommt die erstere Eigenschaft, das sogenannte ,,Sch winden“ in Betracht. Sind im Beton Eiseneinlagen eingebettet, so wird er nun an der spannungslosen Zusammenziehung durch den Widerstand des Eisens teilweise gehindert, und es entstehen im Beton Zug-, im Eisen Druckkräfte, die sich das Gleichgewicht halten müssen. Die diesen Kräften entsprechenden

Anfangsspannungen beeinflußen wesentlich das Spannungsbild und daher auch das elastische Verhalten der Verbundkörper.

Ferner sind zu beachten die remanenten Spannungen, die in Verbundkörpern bei Wiederholung von Kraftwirkungen auf-treten. Der Beton erfährt nämlich, wie bereits oben erwähnt, schon bei geringen Zugspannungen bleibende Dehnungen, das heißt, von den bei einer bestimmten Kraftwirkung entstehenden gesamten Längenänderungen ist nur ein Teil elastischer Natur, der beim Entlasten wieder verschwindet, während ein anderer Teil eine bleibende Verlängerung darstellt. Die bezüglichen Spannungsgrenzen liegen aber innerhalb der Elastizitätsgrenze des Eisens; das letztere will sich daher nach Aufhören der Kraftwirkung wieder vollständig auf seine ursprüngliche Länge zusammenziehen, woran es indessen durch den bleibend verlängerten Beton gehindert wird. Es bildet sich abermals ein Gleichgewichtszustand heraus, als dessen Ergebnis remanente Spannungen, und zwar Druck- im Beton und Zugspannungen im Eisen Zurückbleiben, so daß eine neuerliche Belastung bereits Spannungen im Verbundkörper vorfindet.

Wärmeschwankungen haben auf das Bild der Spannungen eines Verbundkörpers nur einen geringen Einfluß, insolange es sich um keine Behinderung der durch sie angestrebten Verschiebungen an den Stützen und um die gewöhnlichen Temperaturwechsel der Luft handelt. Die Wärmeausdehnungsziffern für Eisen und Beton sind nämlich im Mittel wenig von einander verschieden ; es werden also in gewöhnlichen Fällen diejenigen Spannungen, welche infolge des Strebens der beiden Verbundstoffe, sich verschieden stark auszudehnen oder zusammenzuziehen, entstehen, nicht berücksichtigt werden müssen. Anders verhält es sich mit jenen Verbundkörpern, die als Ganzes infolge ihrer Lagerung verhindert werden, sich den Wärmeschwankungen entsprechend auszudehnen oder zusammenzuziehen. Bei diesen werden die dadurch verursachten

Spannungen—wie bei ebenso gelagerten Tragwerken aus homogenen Stoffen — auch schon bei den gewöhnlichen Wärmeschwankungen unter Umständen einen beträchtlichen Teil der Gesamtspannungen betragen.

im Gegensätze zu kleiner

Schließlich ist bei den Tragwerken aus Eisenbeton auch den Hauptzugspannungen ein besonderes Augenmerk zuzuwenden. Die Zugfestigkeit des Betons ist nämlich homogenen Baustoffen, z. B. dem Schmiedeisen als die Schubfestigkeit ; daher werden in Querschnitten mit großen Schubspannungen die schiefen Hauptzugspannungen, die in der Nullinie, das ist in der Schichte des reinen Schubes, gleich

groß mit den auftretenden Schubspannungen werden, Trennungen hervorrufen können.

Die im vorstehenden gegebene kurze Darstellung der bei Verbundkörpern in Betracht kommenden Umstände läßterkennen, wie verwickelt die Festigkeitsverhältnisse hier liegen und wie weit man heute, wo erst seit verhältnismäßig kurzer Zeit die streng wissenschaftliche Erforschung solcher Tragwerke seitens der Materialprüfungsanstalten oder durch technische Körperschaften mit entsprechenden Apparaten und Einrichtungen in Angriff genommen wurde, noch von einer endgültigen Klärung des in Rede stehenden Gebietes entfernt ist.

Vielfältig sind die Versuche, den mittels Beobachtung und Erfahrung gewonnenen Tatsachen auf dem Wege theoretischer Betrachtung zu folgen und sichere Grundlagen für die Berechnung und Bemessung von Tragwerken aus Eisenbeton zu schaffen. Allen hieher gehörigen Verfahren liegen gemeinsam gewisse Annahmen zu Grunde: einerseits die eines so innigen Verbundes von Beton und Eisen, daß innerhalb der Grenzen der in Betracht kommenden Lastwirkungen keine Trennung beider, also keine Verschiebung des Eisens im Beton eintritt, anderseits die vereinfachende Voraussetzung, daß ursprünglich ebene Querschnitte auf Biegung beanspruchter Verbundkörper auch nach der Biegung eben sind.

Die bisher vorgeschlagenen Rechnungsverfahren unterscheiden sich — soweit sie überhaupt einer wissenschaftlichen Beurteilung standhalten — untereinander durch die Rolle, die dem Beton hinsichtlich der Aufnahme von Zugspannungen zugewiesen wird, sowie durch die Annahmen über die Verteilung der Spannungen in Querschnitten gebogener Verbundkörper bezw. über die Gestalt der sogenannten Formänderungslinie des Betons, das ist jener Linie, welche den Zusammenhang zwischen den Dehnungen und den Spannungen zur Darstellung bringt.

In Figur 1 sind auf einem rechtwinkligen Achsenkreuze Ox, Oy die spezifischen Längenänderungen (Längenänderungen auf die Längeneinheit bezogen) als Ordinaten und die bezüglichen Spannungen des Betons als Abszissen aufgetragen und zwar Zugspannungen und Dehnungen nach den positiven, Druckspannungen und spezifische Verkürzungen (Stauchungen) nach den negativen

Figur 1.

abd

+x

-x

bz

⁺y

~e

Richtungen der Koordinatenachsen. Der Linienzug A O B stellt die Formänderungslinie des Betons dar, wie sie sich ungefähr nach den vorliegenden Versuchen ergibt; es ist allgemein die Spannung Gbd (bezw. tihz) eine Funktion der spezifischen Längenänderung s, somit (bezw. abg) = cp (e).

Mit Hilfe dieser Linie können die in Querschnitten gebogener Verbundkörper auftretenden Normalspannungen berechnet werden.

Zwei im Abstande d l gelegene, ursprünglich parallele Querschnitte A B und CI) (Figur 2) erfahren infolge der Biegung des Körpers eine relative —

Verdrehung gegeneinander, CD

Figur 2.

CC'

A(dl>x#~

kommt bei festgehaltenem Quer- ---------

schnitt AB in die Lage CD' und der Schnittpunkt 0 der ^

Geraden CD und C'B' bestimmt ""

«!

A" ~

:L.

o'

W-l&

die Lage der sogenannten Null-linie des Querschnittes bezw. der neutralen Schichte des gebogenen Körpers. Werden die Querschnitte auch nach der Biegung als eben angenommen (Na vier sehe Annahme), so sind die Längenänderungen (A d l)x der einzelnen, zur neutralen Schichte parallelen Fasern den Abständen x von ersterer proportional ; es ist allgemein (A d l)x = x tg a und weiter die bezügliche Spannung ax eines und desselben Querschnittes C D

st

f(A dl)x\

=^’-^=n-rr)

—    9 (* tg a) = ^ ■? (x) = C. ç (x).

Die Spannungslinie E O' F, welche man erhält, wenn man die <sx senkrecht zu einer Achse CD aufträgt, und die den Verlauf der in den einzelnen Schichten auftretenden Spannungen zum Ausdrucke bringt, ist sonach bei auf Biegung beanspruchten Tragwerken wegen der Na vier sehen Annahme durch die Formänderungslinie des Betons dargestellt; nur müssen die Abszissen derselben auf einem entsprechend geänderten Maßstabe abgelesen werden.

Würde man die tatsächliche Formänderungslinie des Betons der statischen Untersuchung der Tragwerke zu Grunde legen, so würden die Berechnungen sehr umständlich werden und, da überdies diese Linie für jede einzelne Betongattung stets erst bestimmt werden müßte, für die Praxis geradezu unbrauchbar erscheinen. Demgemäß werden allgemein vereinfachende Voraussetzungen gemacht und wird die Spannungslinie durch Gerade oder einfache Kurven ersetzt. Da die Na vier sehe Annahme, welche bekannt

lich allen Berechnungen der auf Biegung beanspruchten Tragwerke zugrunde gelegt ist, nicht strenge zutrifft, so werden die errechneten Spannungswerte mit den tatsächlichen nicht genau übereinstimmen ; weiterhin wird aber diese Abweichung noch erhöht durch die vereinfachenden Annahmen hinsichtlich der Spannungslinien. Es ist also wohl im Auge zu behalten, daß allen rechnungsmäßigen Spannungen nur ein Vergleichs wert zukommt und daß sich nicht nur der absolute Wert, sondern auch das Verhältnis der rechnungsmäßigen zu der tatsächlichen Spannung mit jeder Änderung auch nur eines einflußnehmenden Argumentes ändert. Diese Überlegung führt jedoch zu nichts Bedenklichem, da die zulässigen Spannungen durchwegs aus Versuchen unter den entsprechend gleichen Annahmen entnommen werden.

Qez

Figur 3.

Figur 4.

Figur 5.

/Qd

Obd

A_Si

Oed

'B

'B

Oez

Q°z

Obz

'bz

öbz

Von den Annahmen der bisher in Vorschlag gebrachten oder in Anwendung gekommenen Verfahren mögen nur folgende erwähnt werden : a) Eine und dieselbe Gerade für Zug und Druck (N e u-mann), Figur 3; b) je eine besondere Gerade für Zug und Druck (Melan), Figur 4; c) zwei Gerade, die sich in der Zugzone schneiden (Ostenfeld), Figur 5; d) zwei Gerade wie unter c), jedoch jene im äußeren Teil der Zugzone parallel zur Ordinatenachse verlaufend (Considère, Barkhausen), Figur 6 ; e) zwei Gerade nach Figur 7 im Bereiche der Druckzone und in einem Teile der Zugzone, während im restlichen Teile der letzteren die Zugspannungen vernachlässigt werden (Dr. v. Thullié); f) eine Parabel im Druckteile und Vernachlässigung der Zugspannungen in der Zugzone (Dr. Ritter), Figur 8;

g) in der Zug- und Druckzone je eine Linie, die dem Bach-

Schüleschen Potenzgesetz: s = -p- entspricht, wobei s die spezi-fische Längenänderung, a die Spannung, Eb die Formänderungszahl

des Betons für Zug bezw. Druck und m einen vom Materiale abhängigen, für Zug und Druck verschiedenen Exponenten bedeutet (Sanders), Figur 9 ; h) in der Druckzone eine Parabel, im Zugteile

Figur 6.

Figur 7.

Figur 8.

Cbd

Oéd

Cbd

A Cbd

Oèc

æd

^bz

Gez

Gez

Gez

ic

Cbe

gleichfalls eine Parabel (mit anderem Parameter) und eine anschließende Tangente (Haberkalt), Figur 10; i) in der Druckzone eine Gerade bei Vernachlässigung der Betonzugspannungen (Christophe, Ko en en, Mörsch), Figur 11.

Gez

Cbz

Figur 9.

Figur 10.

Figur 11.

Cbd

Oed

Oed

Cb

Ced

Gez

°ez

G bz

le

Letzteres Verfahren ist das einfachste und hat bisher die weiteste Anwendung gefunden.

da

= o’ (s) gegeben, welcher die trigonometrische Tan-

Hinsichtlich der Formänderungszahlen (Elastizitätsmoduli) des Betons gilt folgendes: Bei gekrümmter Formänderungslinie ist diese Zahl bekanntlich nicht konstant, sondern durch den Ausdruck E, - -

0

gente des Winkels darstellt, den die in dem betreffenden Punkte an die Formänderungslinie gelegte Tangente mit der Ordinaten-achse einsclüießt -Mn Figur 1).

Die Einführung von Geraden anstatt der gekrümmten Formänderungslinie kommt daher darauf hinaus, die Formänderungszahl Eb des Betons in dem betreffenden Spannungsgebiet als konstant zu betrachten. Hienach ist in Figur 3 die Formänderungszahl des Betons für Druck (Ebd) gleich jener für Zug (Ebg) ; in Figur 4 ist das konstante Ebd von dem konstanten Ebz verschieden ; in Figur 5 ist in der Zone AB und B C je ein konstantes Eb; in Figur 6 ist in der Zone AB ein konstantes Eid, während in der Zone BG\Ehy gleich Null ist. In Figur 7 gibt es gleichfalls zwei verschiedene Formänderungszahlen ; in Figur 8 ist Ebd mit der Spannung abd linear, in Figur 9 mit der (m — l)ten Potenz dieser Spannung veränderlich, während in Figur 10 in der Zone AB im Zug- und Druckteil zwei verschiedene lineare Yeränderichkeiten der Eb bestehen, auf der Strecke B C hingegen Ebz konstant ist. In Figur 11 endlich gibt es nur eine Formänderungszahl Ebd für Druck, während Ebz für Zug gleich Null ist.

Die amtlichen österreichischen Vorschriften vom Jahre 1911 (u. zw. HV. § 5, Abs. 8 und 9, BV. § 5, Abs. 7¹) bestimmen in dieser Hinsicht folgendes : Für die Ermittlung der größten Betondruck- und Eisen Zugspannungen ist die Annahme zu machen, der Beton nehme keine Normalzugspannungen auf; hie für gilt also eine Verteilung der Spannungen nach Figur 11. Ebl ist hiebei konstant und gleich 140.000 kg/cm² 3, das ist als der fünfzehnte Teil der Formänderungszahl Ee von Eisen (Ee — 2,100.000 kg/cm³) anzunehmen. Ferner sind bei den auf Biegung beanspruchten Tragwerken im Brückenbaue allgemein, im Hochbaue nur bei solchen Tragwerken, welche dem Einflüsse der Witterung, von Nässe, Dämpfen, Rauch oder dem Eisen schädlichen Gasen ausgesetzt erscheinen, auch die größten Zugspannungen im Beton zu berechnen und ist hiebei die Formänderungszahl des Betons für Zug mit Eb== 56.000 Jcg/cm³, das ist mit dem 0‘4fachen Betrage desjenigen für Druck, also

37-5

Ee anzunehmen.

Die Verteilung der Spannungen für diesen Fall ist demnach jene nach Figur 4.

Zum Schlüsse dieser einleitenden Bemerkungen möge noch auf den Zusammenhang zwischen der Eisenspannung (o.) (einerlei, ob auf Zug oder Druck) und jener (c₆) eines an gleicher Stelle gedachten Betonelementes hingewiesen werden; das Verhältnis Ee : Eb sei allgemein gleich n. Wegen des vorausgesetzten Eben-

bleibens der Querschnitte bei einer Biegung erfahren das Eisenelement und das an gleicher Stelle gedachte Betonelement die gleichen Dehnungen; jene des ersteren ist

die des Betonelementes

Wegen der Gleichheit von sf und eb wird ae = ab.-^- =n.<sb.

A

Die Eisenspannung ist also stets «mal — u. zw. bei

V

Druck n = v = 15 mal, bei Zug n = —

15

= 37-5 mal

größer als die bezügliche Betonspannung an derselben Stelle, ein Satz, der im weiteren wiederholte Anwendung findet.

<>

0-4

II. Allgemeine Untersuchung eines bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörpers.

1. Die Normalspannungen.

Im folgenden wird ein irgendwie gelagerter und nur durch Kräfte senkrecht zur Stabachse belasteter Verbundkörper beliebiger Form, mit Eiseneinlagen sowohl in der Zug- als in der Druckzone, vorausgesetzt.

Figur 12.

Figur 13.

gbd

Pi

yt"

40

XL

JL///y//

’éO I

xl

h/A

xJ

⁰ 0-bz

Die äußeren Kräfte und daher auch die Angriffsmomente seien bekannt, und es handle sich nur darum, die Spannungen im Sinne der amtlichen Vorschriften zu bestimmen.

y______i

Bei dieser allgemeinen Untersuchung wird angenommen, daß der Beton Druck- und Zugspannungen aufzunehmen vermag, der Querschnitt symmetrisch ist und die Kraftlinie mit der Symmetrieachse zusammenfällt.

In dem betrachteten Querschnitte (Figur 12) sei das äußere Moment: M und die Querkraft: Q ; das Verhältnis der Formänderungszahl des Betons für Druck zu jenem des Eisens sei

Ebd 1

Ee

Ehi

und das Verhältnis der Formänderungszahlen des Betons für Zug und Druck

Eb,i

Ehz

sodann ist

Et

Nach den amtlichen Vorschriften ist, wie oben bemerkt,

v = 15, a = 0-4,

v

37-5‘

Das Moment M möge den Verbundkörper so biegen, daß im Querschnitte oben Druckspannungen, unten Zugspannungen auftreten. In einem Horizontalschnitte MN in der Entfernung u von der Nullinie werden die Breite des Betonelementes mit yb, jene des Eisenelementes mit ye, die bezüglichen Spannungen mit Giu und Geu bezeichnet. Die im Querschnitte wirkenden Spannungen sind durch die Abszissen der Linienzüge AG C C" 0 . . und E D D' D'' 0 in Figur 13 dargestellt.

Zur Bestimmung der Normalspannungen stehen die zwei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung:

a) die Summe D der inneren Druckkräfte ist gleich jener Z der inneren Zugkräfte (dient zur Bestimmung der Nullinie) ;

h) das Moment des inneren Kräftepaares [I) Z] ist gleich dem Angriffsmomente M der äußeren Kräfte (dient zur Bestimmung der Spannungen).

i Die Spannung dDh in einem Betonelement im Abstande u von der Nullinie ist

dI\ = \uyidu’

jene in einem Eisenelement derselben Schichte

dD = g y du.

e eu Je

Die Summe aller inneren Druckkräfte wird

u.

D = Db + D =

\l SbutJbduJrj aeJJedu-

o    ut

Hierin können wegen der Proportionalität zwischen den Spannungen und den Abständen von der Nullinie, welche bei eben bleibenden Querschnitten (nach Na vier) und konstantem E (nach Hooke) besteht, und wegen der auf S. 9 entwickelten Beziehung zwischen der Spannung aeu eines Eisenelementes und jener abu eines in gleicher Schichte liegenden Betonelementes alle Spannungen durch die Spannung abd in der äußersten, im Abstande x von der Nullinie gelegenen Druckschichte ausgedrückt werden.

Es ist hienach

°btt x Gbd ’

VW

Hiemit wird

uL

j"ybudu ist das statische Moment (ßbd) der ganzen Betondruck-

fläche, jyeudu jenes (Set]) der Eisendruckfläche, beide bezogen auf

die Nullinie ; der Klammerausdruck stellt das statische Moment Sid einer ideellen Fläche dar, die man erhält, wenn man sich im Druckteil des vorliegenden Querschnittes die Eisendruckfläche v mal parallel zur Nullinie verbreitert, gewissermaßen in eine Betondruckfläche verwandelt denkt. Man kann daher diese Fläche auch als ideelle (oder verzerrte) Betonfläche auf der Druckseite bezeichnen.

Es ist also

1)

Sid ~SbdJT v Sed

und

D=^.S.

id

2)

Auf der Zugseite läßt sich zunächst in ähnlicher Weise wie oben die Summe der Zugkräfte darstellen durch

h — x    r₂

z=

j ^b,ybdvJr\ °e«yedv-

Hierin können wieder abv und aev in folgender Weise durch die Betonspannung an der Druckkante <sbd ausgedrückt werden.

Wäre Ebz = Ehd (Figur 3), so würden die Betonspannungen in beliebigen Schichten wie bei homogenen Körpern proportional

Ebz

den Abständen von der Nullinie sein. Ist jedoch ~ — [i (Fi-

bd

gur 4), dann werden die Betonzugspannungen noch überdies fxmal so groß, sobald die N a vier-H o o k e sehe Annahme zu Recht besteht.

Es wird somit aft() = u    und nach S. 9

Nunmehr berechnet sich Z mit

h — x    -,

f ** f ybvdvJr* [yevdv •

Ô    t!.

Die Integrale lassen sich in ähnlicher Weise wie oben deuten ;

h — x

es ist j"ybvdv das statische Moment (Sh^ der ganzen Betonzug-Ô

%

fläche, f yevdv jenes    der Eisenzugfläche, beide bezogen auf die

Nullinie, und endlich der ganze Klammerausdruck das statische Moment S.z einer ideellen Betonfläche auf der Zugseite, welche man erhält, wenn man sich die Breiten der Betonzugfläche fxmal und jene der Eisenzugfläche vmal verzerrt denkt; es ist also

und

s. ₌u ä 4-v^

iz i oz I ez

3)

Sbd

4)

Z — — . s.

x l*

Unter yb ist streng genommen nicht die Gesamtbreite MN des Querschnittes in der Entfernung u von der Nullinie (Figur 12), sondern nur die Breite der Beton schichte zu verstehen, so daß also yb = MN — yg ist. Wenn aber trotzdem, um die Formeln einfacher zu gestalten — wie in der Praxis allgemein üblich — hier und überall im folgenden für yb die Strecke MN eingeführt, das heißt, bei Bildung der ideellen Betonflächen die Eisenelemente parallel zur Nullinie auf der Druckseite v = 15 statt (v — 1) = 14 mal, auf der Zugseite v = 15 statt (v — 04) — 14‘6mal vergrößert wurden,

so kommt dies einer stillschweigenden Annahme von v' = 16 im Druckgurte und v” = 15‘4 im Zuggurte statt v = 15 gleich, welche Annahme die Ergebnisse nur unwesentlich beeinflußt.

Aus der ersten der oben genannten Gleichgewichtsbedingungen

a) folgt unter Heranziehung der Gl. 2) und 4)

5)

S.,==S.

oder

ia    iz

6)

8M + v^=A + vÄ„

Die Nullinie ist hienach die Schwerachse der ideellen Gesamtbeton fläche, welch letztere entsteht, wenn die Eisenflächen mit den v fachen und die Betonzugflächen mit den ja fachen Breiten aufgetragen gedacht werden. (Figur 14 und 14 a.)

Figur 14.

Figur 14 a.

*1

x/

linij

Bei gegebenen Umrißlinien und Eiseneinlagen unterliegt sonach die Ermittlung der Nullinie keiner Schwierigkeit.

Die zweite der oben genannten Gleichgewichtsbedingungen b) liefert ein Mittel an die Hand, die größte, in der Druckkante im Abstande x entstehende Betondruckspannung aba und damit auch jede andere Spannung im Beton oder Eisen zu bestimmen.

Bezieht man das Moment der inneren Kräfte (gleich dem Moment des inneren Kräftepaares [D Z]) auf die Nullinie 0 0' (Figur 12), so ist für den Druckteil :

md

Es bedeutet nun das erste Integral das Trägheitsmoment Jhd der Betondruckfläche, das zweite jenes Jed der Eisendruckfläche

und somit der ganze Klammerausdruck das Trägheitsmoment Ju der bereits früher erläuterten ideellen Betonfläche auf der Druckseite, bezogen auf die Nullinie.

Es ist

ed

7)

und somit

8)

d x ^id

Auf ähnlichem Wege ergibt sich für das Moment der inneren Kräfte des Zugteils - r x

tifyydv + vfyydv ,

oder

- o    i\

m.

Gbd

— J.

X

. 9)

für

J. - fJL J, —I⁻ V J

iz * oz » ez

10),

worin Jbg, Jcz und J.g das auf die Nullinie bezogene Trägheitsmoment der Betonzugfläche, bezw. der Eisenzugfläche und der ideellen Betonfläche auf der Zugseite darstellen.

Die Bedingung des Gleichgewichtes zwischen dem inneren und äußeren Momente lautet :

oder

md -f- mz — M

Gbd

Statt    kann, wenn Je das Trägheitsmoment des

ganzen Eisenquerschnittes bezeichnet, gesetzt werden

VtT ₇-f- v/ =Ve7

ed i ez    e

und es ist sodann

°bd

~ {Jbd + f1 ,Jhz + v Je) —

Der Klammerausdruck bedeutet das Trägheitsmoment J. der ideellen Gesamtbetonfläche (Figur 14 a), auf die Nullinie bezogen. Es ist also

11)

und

12).

l

Wie hieraus ersichtlich, ist die statische Untersuchung des betrachteten Verbundkörpers auf jene eines homogenen Körpers

zurückgeführt; man hat nur die ideelle Betonfläche zu bilden, indem man sich die Betonzugflächen u fach und die Eisenflächen v fach verbreitert denkt, und kann dann genau so wie bei einem homogenen Körper vorgehen.

Nach der Ermittlung von abd bestimmen sich die Spannungen in der äußersten Betonzugkante (<j6?), ferner in einer beliebigen Betondruck- oder Betonzugschichte (abu, \ und schließlich in einer beliebigen Eisen druck- oder Eisenzugschichte (aeu, aevj mit Hilfe der oben erläuterten Beziehungen in einfacher Weise wie folgt:

13),

(h — x)

14), 15)

Geu

16):

. 17).

Hiernach sind auch die Spannungen in den Eiseneinlagen ebenso wie jene im Beton mit dem Abstande u bezw. v von der Nullinie veränderlich. Jedoch können bei Eiseneinlagen mit verhältnismäßig kleinen Profilen, z. B. Rundeisen, Quadrateisen u. s. w. die Spannungen ae im ganzen Eisenquerschnitte näherungsweise als gleich groß angenommen werden und ist dann statt u und v der betreffende Schwerpunktsabstand zu setzen.

2. Die Schubspannungen.

Es wird auch hier angenommen, daß der Beton Normal-Druck- und -Zugspannungen aufnimmt. Die in einer beliebigen Schichte von der Länge ,,1“ wirkende Längsschubkraft T bestimmt sich bekanntlich als Unterschied der Normalkräfte, die in den zwei Querschnitten AB und AB' (Figur 15a) ober- oder unterhalb der angenommenen Schichte (beispielsweise nn’, mm', pp', q q') wirken (Figur 15).

Aus Unterabschnitt II, 1 ist bekannt, daß die inneren Normalkräfte in einem Yerbundkbörper ebenso ermittelt werden wie in einem Träger aus homogenem Baustoffe, der die elastischen Eigenschaften des auf Druck beanspruchten Betons besitzt und dessen Querschnittsfläche gleich der ideellen ist. Es ist daher klar, daß auch die Schubkräfte, da sie Unterschiede von inneren Normalkräften darstellen, sich aus diesem homogenen Ersatzträger bestimmenlassen, und ist dabei nur darauf zu achten, daß alle statischen Funktionen, die sich aus Flächenelementen ableiten, auf die ideelle Betonfläche oder deren Teile bezogen werden müssen.

Figur 15.

Figur 15a.

Für homogene Träger besteht die bekannte Beziehung :

ji___

m_ A

n‘ ‘

A‘

QS

J ’

wobei T die Schubkraft in einer beliebigen, zur neutralen parallelen Schichte pro Trägerlängeneinheit, Q die in der betreffenden Strecke ,,1“ als konstant angenommene Querkraft, S das statische Moment des durch die betrachtete Schichte abgetrennten Querschnittsteiles und J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes — S und J bezogen auf die Nullinie — bedeuten. Dementsprechend erhält man bei Verbundkörpern

5__.

m'

x!

0'

"O

JVv+aNv

B*

Q,

18),

QS<

J.

wobei alle Größen die erwähnte Bedeutung behalten, jedoch S( und J. auf die ideelle Betonfläche zu beziehen sind. Insofern

l

es sich um die Schubkraft in einer um u von der Nullinie entfernten Schichte der Druckzone handelt, wird daher S. allgemein gleich sein S₍ = Sbu -}- vSeu ; hierin ist Sbu das statische Moment des abgetrennten Betondruckquerschnittes und S das statische Moment des hierin eingeschlossenen Eisendruckquerschnittes, beide bezogen auf die Nullinie. Somit wird für Schichten der Druckzone, welche zwischen sich und der Druckkante nur Beton haben (wie n n' mit u >» u₂ in Figur 15), Sgu — o und daher S. = Sbu sein.

Ähnlich liegen die Verhältnisse auf der Zugseite. Für diese wird, wenn es sich um eine von der neutralen um v entfernte Schichte handelt, allgemein S. = [x S, -{- v S sein:; hierin ist Sbv das statische Moment des abgetrennten Betonzugquerschnittes und S das statische Moment des darin eingeschlossenen Eisen-

zugquerschnittes, beide bezogen auf die Nullinie (Figur 15, Schichte pp'). Liegt hingegen die untersuchte Betonschichte zwischen der Eisenzugfläche und der Zugkante (r>>v₂), dann wird S —o und daher S. = ji Sbv,

Unter Bezugnahme auf die Bezeichnungen der Figuren 12 und 15 bedeuten also :

für alle Werte von u, S bu — j y b

U

}}    %    % 2

S =0

ih

f%

u du

. . . 19),

r)

ll < ux

ferner :

h — x

für alle Werte von v, Sbv= jybvdv

V

,, v>v₂

S =0

ev

20).

>> v₂>v>vt . . . .s =

«ï

„ vCv₁

— / y v d v

ev J Je

Handelt es sich nun darum, aus der so erhaltenen Schubkraft T pro Trägerlängeneinheit die Schubspannungen zu ermitteln, so kommen zwei Fälle in Betracht :

1.    Die betrachtete Schichte trifft nicht auf eine Eisenfläche (u u₂ und u^>ux bezw. v^>v₂ und v <^vx), das heißt, der Beton hat allein der Schubkraft zu widerstehen;

2.    Die in Frage kommende Schichte schneidet die Armierung

(«f₂>w>w₁ bezw. v₂ >    das heißt, der Beton wird in der

Aufnahme der Schubkraft durch das Eisen unterstützt.

Für den Fall 1) ist unter der Annahme, daß die Schubkraft sich gleichmäßig über die Betonschichte verteilt :

T=~byb-l>

also mit Benützung von Gl. 18) die Betonschubspannung

QA

yb

J.

Für den Fall 2) ist

T— (Tbyb^rxeye) • 1 —

QS<

wobei ~e die Schubspannung im Eisen bedeutet.

Zur Ermittlung von zb und xg steht hier nur eine Gleichung zur Verfügung und es ist nötig noch eine zweite Beziehung zwischen diesen beiden Größen aufzustellen bezw. anzunehmen.

Unter der Voraussetzung des festen Verbundes zwischen Beton und Eisen derart, daß keine Verschiebung zwischen den beiden Stoffen eintreten kann, verhalten sich die Schubspannungen xb und xe wie die betreffenden Formänderungszahlen für Schub (Schubmoduli) Grb und Gre, also xb : xg = Gb : G

Obschon sich die Formänderungszahl des Betons für Schub mit der Größe der Schubspannung nach einem etwas anderen Gesetze ändern dürfte als die Formänderungszahl des Betons für Druck im Vergleiche zur Druckspannung — genauere Versuche hierüber liegen derzeit noch nicht vor —, so kann in dem vorliegenden Falle doch mit hinreichender Genauigkeit als Mittelwert für Gb der v te Teil von Gc angenommen werden, so daß mit

ff.

Gf=~

b    V

22)

23)

wird. Man erhält demnach

T=-b{ybJr^ye)z=

QSt

und daraus

24).

Q S.

(yb +v y) Ji

Die rechnungsmäßige Betonschubspannung ist hiernach für beide Fälle 1) und 2) so groß, als ob sich die Schubkraft T gleichmäßig auf eine Fläche von der Länge ,,1“ und der betreffenden Schichtenbreite {yb -j- v ye) der ideellen Betonfläche verteilen würde. Die größte Schubspannung an einer bestimmten Trägerstelle entsteht dort, wo

S.

S.

yb +v ye

— bezw.

yb

ein Größtwert wird.

Dies trifft zumeist in der neutralen Schichte selbst oder in deren Nähe zu, falls daselbst nicht die Breite der ideellen Beton-

fläche außergewöhnlich groß ist. Für die Nullinie mit der Breite 2/o ( = fx in Figur 14a) der ideellen Betonfläche und dem statischen Moment S.d der ideellen Betonfläche auf der Druckseite, bezogen auf die Nullinie, wird dann die Betonschubspannung :

id

25).

QS,

y J.

J 0 l

Wird gemäß den Vorschriften HV. und BV. § 6, Abs. 1, je nach dem Mischungsverhältnis eine Betonschubspannung tb von 3 bis 4’5 kgjcm² zugelassen, so erhellt aus Gl. 23), daß die rechnungsmäßige Eisenschubspannung xe (wegen v = 15) nur die Werte : 45 bis Ql'hhglcm² erreichen kann, so daß mit Rücksicht auf die gestattete Schubspannung des Eisens von 600 Jcg/cm² der rechnerische Nachweis der Schubspannung niemals erforderlich wird. Auch ist in den Fällen, wo die größte Betonschubspannung in Schichten auftritt, die auf Längsarmierungen treffen, die Unterstützung des Betons gegen Schub durch die der ganzen Länge nach durchlaufende Schichte des Eisens eine ausgiebige und es werden in praktischen Fällen dann wohl kaum die zulässigen Betonschubspannungen überschritten werden. Anders verhält es sich — und das ist gewöhnlich der Fall —, wenn in der Schichte der größten Schubkraft kein Längseisen eingelegt ist und somit der Beton allein den Widerstand gegen Verschieben aufnehmen sollte. Da stellt sich häufig die Notwendigkeit heraus, durch besondere konstruktive Maßnahmen (wie Einlegen von eisernen Bügeln normal oder schief zur neutralen Schichte, schräge Überführung der Zug- oder Druckeisen in die Druck- oder Zugzone oder gleichzeitige Verwendung dieser Mittel) den Beton hinsichtlich der Schubwirkungen zu entlasten. Die Berechnung dieser Konstruktionsteile soll, da sie sich den besonderen Tragwerkgattungen anzupassen haben, nicht in diesem, der allgemeinen Untersuchung gewidmeten Teile durchgeführt werden, sondern dem Abschnitt IV Vorbehalten bleiben.

3. Die Hauptnormalspannungen.

Betrachtet man einen beliebig geformten Querschnitt q q eines Trägers (Figur 16 und 16«) und nimmt man vorerst an, daß der Beton sowohl Normaldruck- als auch Normalzugspannungen

aufzunehmen vermag, so kann man unter Zugrundelegung je eines konstanten Wertes für E

Ebz und Ee nach Gl. 6) die Nullinie bestimmen und ferner bei Bekanntsein des dem Querschnitte ent-

bd>

sprechenden Angriffsmomentes für eine etwa im Abstande u von der Nullinie zu derselben parallel laufende Querschichte nach Gl. 14) die Betonnormalspannung <sbu und nach Gl. 19 bis 21) die Beton-scliubspannung ~hu berechnen. Fragt man nun nicht nur nach der senkrecht zum Querschnitte wirkenden Spannung a bezw. nach der in a im Querschnitt und in a im horizontalen Längenschnitt auftretenden gleich großen Betonschubspannung xhu, sondern auch nach der Spannung kly die in einem durch a unter dem Winkel 04 schief gelegten Element 1, f auftritt, so erhält man

Figur 16.

Figur 16 b.

Figur 16 c.

Figur 16 a.

li

il

fl

i/¹

ai

__aL

a[

\__

¹

HV. = Vorschrift für Hochbauten, BV. = Vorschrift für Straßenbrücken.

²

= 0'4 E —

³

ÄJbz u ^ ubà —

i_b|

!q

aus der Bedingung des Gleichgewichtes der soeben aufgezählten, an einem unendlich kleinen, dreiseitigen Prisma angreifenden Spannungen eine im allgemeinen zum Flächenelement 1, 1 schräg gerichtete Spannung, die durch eine Normal- und eine Schubspannung des Elementes ersetzt werden kann. Aus der Theorie der Spannungen der auf reine Biegung beanspruchten Träger aus homogenem Baustoffe ist bekannt, daß es beim Drehen dieses Elementes 1, 1 zwei zueinander senkrechte Lagen gibt, denen senkrecht zum Elemente gerichtete Spannungen zugehören, von denen die eine die größte Zugspannung, die andere die größte Druckspannung unter allen Spannungen in a vorstellt.

In diesen zwei Lagen treten somit keine Schubspannungen auf. Diese beiden Hauptnormalspannungen :

Hauptzugspannung

t für die Druckseite,

,,    ,, Zugseite,

Hauptdruckspannung

,, Druckseite,

„    „ Zugseite,

haben bekanntlich den Wert :

V' V¹ aT¹

H-

-H

; Q :

►H®.“,

I-»

to

Cr-

s

rU

c-

Die Lage der entsprechenden Hauptzugspannungs-e 1 e m e n t e ist gegeben :

Für die Druckseite durch

tg(²=',.) =

bezw. für die Zugseite durch

²ts»

27).

tg (2 a ) = -f

Hiebei sind durchwegs die Normal- und Schubspannungen ai>u> abv bezw. t6m, Tho mit ihrem absoluten Werte einzusetzen. Für die Winkel (2 a₍ und 2 ocj sind die zwischen 180 und 360 Grad liegenden Werte anzunehmen und sind die Winkel aM und av im Trägerlängenschnitt von der nach rechts von dem betrachteten Punkt a bezw. b parallel zur neutralen Schicht auslaufenden L ängs schichte im Sinne des Uhrzeigers aus aufzutragen. (Figur 16 b, 16 c.)

Hinsichtlich der Lage und Größe der Hauptnormalspannung in den durch veränderliche u und v bestimmten, verschiedenen Schichten gilt unter der durch die amtlichen Vorschriften (HV. § 5, Abs. 8, BV. § 5, Abs. 7) festgesetzten Annahme, daß der Beton keine Normalspannungen aufnimmt, folgendes :

Die Hauptdruckspannung wird bei sämtlichen in der Praxis vorkommenden Trägertypen den Größtwert in der äußersten Druckkante als daselbst auf tretende Normaldruckspannung erreichen. Wird also der amtlichen Vorschrift gemäß die gestattete Betonnormaldruckspannung shd nicht überschritten, so kann der Beton an allen anderen Stellen den Hauptdruckspannungen mit noch größerer Sicherheit allein widerstehen, so daß letztere weiter nicht in Betracht zu ziehen sind. Anders steht es mit den Hauptzugspannungen. Diesen kann der Eisenbetonträger im allgemeinen nicht in allen Schichten allein Widerstand leisten.

Von der Nullinie bis zur Zugarmierung ist — weil abv konstant und gleich Null ist — die Hauptzugspannung vzv nach Gl. 26) durchwegs gleich der jeweiligen Betonschubspannung xbv. Nach Gl. 27) sind die xzv in dieser Zone überdies durchwegs parallel.

Aus der Gl. 26) für x,;t ersehen wir weiters, daß die Hauptzugspannungen in der Druckzone von der Nullinie aus sehr rasch abnehmen. Daraus folgt, daß die maximalen Hauptzugspannungen gleichzeitig mit den maximalen Betonschubspannungen der Zugzone auf treten.

Die Lage der entsprechenden Hauptzugspannungselemente ist nach Gl. 27) durch tg 2 a — oo, das heißt durch a = 135° gegeben, so daß die maximalen Hauptzugspannungen unter (135 — 90) = 45° gegen die neutrale Schicht geneigt wirken.

Für alle jene Partien von der Zugarmierung gegen die Druckseite zu, in welchen die Betonschubspannungen rechnungsmäßig große Werte besitzen, wird also eine besondere Untersuchung notwendig sein, ob der Beton im Hinblick auf seine geringe Zugfestigkeit allein genügende Sicherheit gegen Überwindung der Hauptzugspannungen bietet.

Überschreitet der rechnungsmäßige Wert dieser Hauptzugspannung die nach den amtlichen Vorschriften (HV. § 6, Abs. 1, BV. § 6, Abs. 1) festgesetzten gestatteten Grenzwerte (gleichzeitig mit den Betonschubspannungen), dann werden je nach Art des vorliegenden Tragwerkes von der Zugarmierung aus am besten unter 45° geneigte, bis in die Druckzone reichende, schräge Eisenarmierungen (aufgebogene Zugarmierungseisen, besondere schiefe Bügel) zur Entlastung des Betons hinsichtlich der Hauptzugspannungen angeordnet werden müssen.

Die rechnerische Festlegung dieser schiefen Armierungen soll erst im Abschnitt IV für die besonderen Tragwerksgattungen vorgeführt werden.

4. Die Haftspannungen.

Hinsichtlich der Haftspannungen ist laut der Vorschriften (HV. § 5, Abs. 23, BV. § 5, Abs. 21) nachzuweisen, daß die in irgend einem Querschnitte einer Eiseneinlage wirkende Zug- oder

Figur 17.

4m

Figur 17 a.

—"A"

0'

_______i

In

...J_______

y_____

UXJ

-H

Druckkraft bereits vor diesem Querschnitte durch ,,mittlere Haftspannungen“ von zulässiger Größe vom Beton in das Eisen übertragen werden kann, wobei sie gleichmäßig verteilt auf die betreffende Haftfläche (Umfang der Eiseneinlage mal Haftlänge) anzunehmen sind.

Handelt es sich demnach um die Untersuchung der ,,mittleren Haftspannung“ für den Querschnitt mn eines auf Biegung beanspruchten Verbundkörpers (Figur 17 und 17 a), so ist zunächst die in diesem Querschnitte wirkende normale Zug- oder Druckkraft zu bestimmen. Nach Gl. 17) ist die Normalkraft eines zur neutralen Schichte parallelen Eisenelementes von der Breite y und der Höhe dv im Abstande v von der Nullinie gegeben durch

dZ =

v M y - ,

—j—vdv,

1

wenn M das betreffende Biegungsmoment im Querschnitte m n bedeutet.

Diese Normalkraft muß nun durch ,,mittlere Haftspannungen“ von zulässiger Größe längs der vorhandenen Einbettungslänge natürlich gemessen vom Querschnitt bis zum näherge-vom Beton in das Eisen übertragen

legenen Ende des Eisens werden können. Da die Normalspannung in jeder zur Nullinie parallelen Eisenschichte eine andere, mit v veränderliche ist und die Normalkraft des Eisenelementes nur durch Haftspannungen xhv in den beiden zugehörigen Elementen dw (z c) der Eisenmantelfläche vom Beton übertragen werden kann, so muß sein :

v dv,

-hv.2dw(z + c) =

hieraus folgt die mittlere Haftspannung

M dv

28).

Lho

i yyy_____

^ ' z 4- c ' J. ' dw

I    l

Längs des Umfanges der Eiseneinlage ist sonach in einem und demselben Querschnitte xJu, mit v, y und — von der Form der

dv

Eiseneinlage abhängend — mit veränderlich. Ein Maximum wird

für ein gewisses v = v in einem Querschnitte, dessen Abstand z = z' von der Stütze beträgt, eintreten; v' und z' sind mit Hilfe der Differentialrechnung als Maxima zu bestimmen.

Da die einzelnen Eisen- und Haftflächen nicht, wie in der vorstehenden Ableitung angenommen, schichtenweise von einander getrennt, sondern zusammenhängend sind, wird ein gewisser, mit der N avier-Hookesehen Annahme in Widerspruch stehender Ausgleich zwischen den Haftspannungen eintreten, und man wird insbesondere bei relativ kleinem Querschnitt der Eiseneinlage mit einer verglichenen Haftspannung für ein und dasselbe Trägerelement rechnen können.

Die gesamte, für den betrachteten Querschnitt in Frage kommende Haft kraft ist, wenn man die Haftspannung xhz auf der ganzen Haftfläche u (z - c) der Eiseneinlage als konstant annimmt,

«•

Die Normalkraft in der ganzen Eiseneinlage des betrachteten Querschnittes, die wir von nun an beispielsweise als Zugkraft Zg annehmen wollen, ist sodann :

z _ ’hJMy

v dv

vMS

e z

J. ’

l

J J

¹ «i

wobei (s. S. 12) Sez das statische Moment der Eisenfläche in bezug auf die Nullinie darstellt.

Bezeichnet man die Fläche der ganzen Eiseneinlage mit Fezf den Umfang derselben mit u, den Abstand des Schwerpunktes der Eisenfläche von der Nullinie mit ve, ferner die Eisenspannung in der zur Nullinie parallelen Schwerpunktsschichte mit agz, so wird wegen Sez = Fezvg und nach Gl. 17)

v MF v

es e

= C5 F

es es

29).

TJt u (.3 -j- c) ~h

Aus der Gleichsetzung von Th und Ze ergibt sich die „mittlere Haftspannung“ mit

~hz

u (z -j- c)

v MF ’ v

es e

a F

es es

u (z -j- c)

. . 30).

U (z —(— c) J.

Ein ähnlicher Ausdruck läßt sich für jeden Querschnitt der

Eiseneinlage aufstellen ; als maßgebend zu betrachten und in Vergleich mit dem durch die amtlichen Vorschriften bestimmten zulässigen Werte der Haftspannung (th) zu stellen ist offenbar nur der größte Wert von xhz, der sich in dem vorliegenden Verbundkörper bei Veränderlichkeit der zusammengehörigen Größen aez, Fez, u (z —}— c) ergibt. ~hz wird ein Maximum für jenen Wert von z — z\ für welchen

^ez^ez \

u (z -f- c) ) ₌

31)

J MFezVe

dz

wird. Bei konstantem Eisen- und Betonquerschnitt des Verbundkörpers wird Fg', ve, u, J. konstant und es ist dann z — z' für den größten Wert der „mittleren Haftspannung“ aus der Gleichung

31a)

zu bestimmen. Der maßgebende Wert der „mittleren Haftspannung“ ergibt sich durch Einsetzen des aus Gl. 31) oder 31a) ermittelten Wertes z’ in die Gl. 30).

Ist eine Eiseneinlage im Druckgurte vorhanden, so ist der maßgebende Wert der daselbst gütigen „mittleren Haftspannung“ xhd in ähnlicher Weise wie xhz zu bestimmen. Die betreffenden Gleichungen werden erhalten, indem man ve durch ue (Abstand des Schwerpunktes der Druckeinlage von der Nullinie), F y durch Fed und o durch a d ersetzt; demnach ist

vMFedUe

32).

Thd

®ed Fed

U (z -j- c)Ji u (z -j- c)

In ähnlicherWeise wie bei xhg ist auch für xhd der maßgebende größte Wert zu ermitteln.

Sind bei einem Verbundkörper die parallel zur Nullinie verlaufenden Eiseneinlagen verschieden weit von der ersteren entfernt (wie es bei Anordnung von 2 oder mehreren Scharen von Eiseneinlagen der Fall ist) oder haben die Eiseneinlagen verschiedenen Querschnitt, so sind — streng genommen — die „mittleren Haftspannungen“ für diese Fälle und zwar jeweilig mit den entsprechenden Werten ve bezw. ué, u und Fe getrennt zu untersuchen.

Bei der rechnerischen Einführung der Länge c, um welche die Eiseneinlage über den theoretischen Stützpunkt des Verbundkörpers hinausreicht oder um welche Eiseneinlagen über den aus den Tragmomenten und der Momentenlinie zu bestimmenden Punkt, in dem das Eisen voll benötigt wird, hinaus angeschlossen werden müssen, ist eine etwa vorhandene hakenförmige Ausbildung des Endes gemäß den Vorschriften (HV. § 5, Abs. 23, BV. § 5, Abs. 21) entsprechend zu berücksichtigen. Es ist als Äquivalenz der Wirkung dieser Haken für einen rechtwinkligen Haken das Vierfache, hingegen für einen halbkreisförmigen das Zwölffache der in die Biegungsebene fallenden Querschnittsabmessung (bei Rundeisen somit des Durchmessers) mit in Rechnung zu ziehen. ¹)

Ein näheres Eingehen auf die Haftspannungen folgt bei der späteren Untersuchung im Abschnitte V.

III. Berechnung der bloß auf Biegung beanspruchten Yerbundkörper hinsichtlich der Normalspannungen.

1. Allgemeines.

Gemäß HY. § 5, Abs. 8, BV. § 5, Abs. 7 sind bei allen auf Biegung beanspruchten Trag werk en im Hoch- und Brückenbaue die Betondruck- und Eisenzugspannungen unter der Annahme zu berechnen, daß der Beton an der Aufnahme von Normalzugspannungen nicht mitwirke und daß somit ein, meist mit Phase II bezeichneter Spannungszustand vorausgesetzt wird, bei dem im Maximalmomentenquerschnitt ein bis zur Nulllinie reichender Zugriß vorhanden ist. Ferner sind aber (HY. § 5, Abs. 9, BV. § 5, Abs. 7) für gewisse Tragwerke von Hochbauten, nämlich für solche, welche dem Einflüsse der Witterung, von Nässe, Dämpfen, Rauch oder dem Eisen schädlichen Gasen ausgesetzt erscheinen, sowie für alle Brückentrag werke die größten Betonzugspannungen nachzuweisen, wobei der ganze Trägerquerschnitt als wirkend anzunehmen ist (Spannungszustand ohne Zugrisse: Phase I).

Bei dem ersten Berechnungsverfahren — es soll im nachfolgenden der Kürze halber Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton) genannt werden — ist die Formänderungszahl Ebd des Betons auf Druck und Stoßnieten bei Einhaltung der üblichen Grenzwerte für die zulässigen Schubspannungen durchwegs eine hinreichende Sicherheit geboten.

Bei der Einführung des Begriffes der „mittleren Haftspannung“ ist es nun nur notwendig, von der Annahme eines Betonzugrisses, wie sie bei der Querschnittsberechnung der Längseisen sicherheitshalber gemacht wird, auszugehen, so daß dann die von der Rißstelle an reichende Haftfläche den Anschluß des Eisens bewirkt. Durch die weitere Festlegung eines zulässigen Grenzwertes für die „mittlere Haftspannung“, wie er mustergiltigen Ausführungen und Versuchsergebnissen entspricht, ist dann für die nötige Sicherheit gegen Herausreißen der Eiseneinlagen aus dem Beton für die Annahme einer Zugrißbildung in ausreichendem Maße vorgesorgt. Maßgebend für die Bestimmung der „mittleren Haftspannung“ bezw. der notwendigen Haftlänge ist somit unter allen möglichen Bißquerschnitten (im Abschnitt V : „maßgebender Punkt“ genannt) immer jener, dem der größte Wert der „mittleren Haftspannung“ entspricht. Hiebei kommt nun, übereinstimmend mit den tatsächlichen Verhältnissen auch jene Haftstrecke rechnungsmäßig in Betracht, die über das theoretische, unbelastete Trägerende hinausreicht und die bei der sonst vielfach üblichen Bestimmung der Haftspannungen aus den Quer- bezw, Schubkräften — wegen Q — 0 — nicht zur Berücksichtigung gelangt. Durch die weitere, nun auch zwanglos mögliche Annahme einer der Wirkung der Endhaken entsprechenden äquivalenten Haftlänge des Eisens wird dem tatsächlichen Kräftespiel noch in erhöhtem Maße Rechnung getragen.

mit 140.000 kgjcm², das ist mit ¹/₁₅ derjenigen des Eisens Ee auf Zug und Druck (Ee = 2,100.000 kgjcm²) anzunehmen; es ist also

Ee

15.

Eu

Das zweite Verfahren — im nachfolgenden kurz als Verfahren E (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton) bezeichnet — ist unter der Annahme durchzuführen, daß die konstante Formänderungszahl des Betons für Zug Ebz = 56.000 kg/cm², das ist das 0‘4fache derjenigen des Betons für Druck sei. Hier ist also ja = 0‘4, daher

Ą. = 0'4 Et

Ee

bd

37-5

zu setzen.

Die Schub-, Hauptzug- und mittleren Haftspannungen sind unter Zugrundelegung des Verfahrens A zu berechnen.

Im folgenden soll zur besseren Übersichtlichkeit bei der Erörterung der genannten Rechnungsweisen in den besonderen Fällen jedesmal auch denselben beigefügt werden, bei welchen Gattungen von Tragwerken sie anzuwenden sind. Der Einfachheit halber werden als „besondere“ Hochbautrag werke jene bezeichnet, welche den oben angeführten Einwirkungen der Witterung, von Nässe, Dämpfen, Rauch oder dem Eisen schädlichen Gasen ausgesetzt erscheinen, auf welche demnach HV. § 5, Abs. 9 Geltung hat und für welche die Betonzugspannungen nachzu-

Figur 18.

Figur 19.

Figur 20.

öl

gęd ~T

sz

h-x

------1

0'

Wd;

0'

V////////////7/Z/////////Z////A

OeZ

weisen sind, im Gegensätze zu den „gewöhnlichen“ Hochbautragwerken, bei welchen letzteres nicht erforderlich ist.

Die im Abschnitte II entwickelten allgemeinen Formeln erhalten für den Fall des Verfahrens A gewisse Vereinfachungen, die im nachstehenden angegeben werden.

Das Spannungsbild des Körpers (Figur 18) nimmt in diesem Falle die Form nach Figur 19 an; die ideelle Querschnittsfläche ist in Figur 20 dargestellt. Die Nullinie O O' im Abstande x von der Druckkante ergibt sich als Schwerachse der ideellen Querschnittsfläche (ideellen Gesamtbetonfläche) ; bezeichnet wie früher Sbd das statische Moment der Beton druck-, S d jenes der Eisendruck- und Sg .jenes der Eisenzugfläche, so ist nach Gl. 6) wegen Sbz = 0

33)

Sh14-vS , = vS

od l ed    ez

iz

oder, wenn S.d das statische Moment der Druckfläche F.d und S jenes der Zugfläche F.z = v Fgz des ideellen Querschnittes nach Figur 20 bezeichnet, nach Gl. 5)

S..z=S.,

id    iz⁷

34).

ed’

8.

i z    ez

Die allgemeinen Ausdrücke sollen nun auf die wichtigsten in der Baupraxis vorkommenden Formen von Eisenbetonträgern angewendet werden.

Hiebei wird auf den Umstand Rücksicht genommen werden, daß es zwei von einander wesentlich verschiedene Aufgaben sind, die hier in Betracht kommen; es kann sich nämlich entweder darum handeln, einen vorliegenden Träger dahin zu untersuchen, ob die rechnerisch zulässigen Spannungen unter der Einwirkung gegebener Kräfte eingehalten werden, oder aber darum, einen Träger erst zu finden, welcher unter den gegebenen einwirkenden Kräften rechnerische Spannungen innerhalb der Grenzen der Vorschriften erfährt. Im ersten Falle, der hauptsächlich bei der Überprüfung von Entwürfen in Betracht kommt, sind alle Abmessungen des Verbundkörpers bekannt und die Untersuchung hat das Gepräge einer Kon trollrech nung; im zweiten Falle sollen die Abmessungen erst bestimmt werden und sind hiefür gewöhnlich nur einzelne, von den Bauverhältnissen abhängige Bedingungen gegeben. Diese Aufgabe ist meistens insoferne unbestimmt, als im allgemeinen eine ganze Reihe von Lösungen möglich sein wird ; die Auswahl unter diesen wird dann nach wirtschaftlichen Gesichtspunkten oder mit Rücksicht auf die allfälligen sonstigen technischen Bedingungen, z. B. beschränkte Konstruktionshöhe, Forderungen ästhetischer Natur u. s. w. zu treffen sein.

Für beide Aufgaben sind andere Formelgruppen notwendig; bei der ersten werden die Spannungen obd, Gbz und aez, sowie jene auf Schub ~b, ferner die Hauptzugspannung und die mittlere Haftspannung rh durch die Abmessungen des Querschnitts und die von den äußeren Kräften abhängigen statischen Werte (Q, M) auszudrücken sein; bei der zweiten sind die oberen Grenzen der Spannungen als bekannt anzusehen und sind die Querschnittsgrößen (Breite, Höhe, Stärke und Lage der Armierung u. s. w.) aus ihnen zu berechnen.

2. Balken und plattenförmige Körper mit einfacher Eiseneinlage.

Der Balken habe die Breite b und die Höhe Ji; der Schwerpunkt der Eiseneinlagen, die natürlich auf der Zugseite anzuordnen sind, liege in den Abständen h' und a von Druck- und Zugkante (Figur 21 bezw. 25).

Figur 21.

Figur 22.

T"

■■*■

Dff

.0

0'

0/

_n

xh’

.1

„1___

.ü

Die Stärke der Armierung wird häufig durch die sogenannte „Armierungsziffer“ p dargestellt, welche anzeigt, wieviel Prozent des ganzen Querschnitts die Fläche der Eiseneinlagen ausmacht. Ist Fe die Eisenfläche, so ist daher die Armierungsziffer

35).

100 Fe

bh

a) Die Überprüfung.

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Nonnalzugspannungen im Beton), anzuwenden für alle Tragwerke im Hoch- und Brückenbau.

Vom Beton wirkt nur der in Figur 21 (25) schraffierte Teil auf Druck ; das Spannungsbild ist in Figur 22 (26) dargestellt. Zur Bestimmung des Nullinienabstandes x dient die Gl. 33), welche wegen des Wegfalls einer Eiseneinlage im Druckteil lautet :

Sh„ = vS,

bd    ez

oder im vorliegenden Falle

. -i- ])x² = v Fe (li' — x).

Hieraus wird

£(-+K'+£)

36).

Es empfiehlt sich zur Vereinfachung die Hilfslänge

e =■ 0‘15ph ....

37)

einzuführen, wornach sich ergibt

X + Và² -f 2 h’ X =

== — 0-15i?+|/(0-15i?)² + 0-30^|- .h'—lh . . .38).

Die ziffermäßige Ermittlung von x kann in einem gegebenen Falle durch die Benützung der Tabelle Nr. 3, S. 79 erspart werden, in welcher für beliebige Armierungsziffern

X

der Wert Ç    angegeben ist, wornach x — C h' wird.

Zur Bestimmung der größten Betondruckspannung abd und Eisenzugspannung c „ dienen die Gl. 12) und 17), welche mit Rücksicht auf die Bezeichnungen der Figur 21 lauten

100 F

P =-

bh'

abd

Ji

x,

vM

39).

Sez = -T-(h'—X)

Ji

Das Trägheitsmoment </, der ideellen Querschnittsfläche wird nach Gl. 11) wegen Jh = 0 (Vernachlässigung des Betonzugteiles)

Ji-Jbd~\-vJe — -g- bx³ -(- V [tP -J- Fe Ql' -x)²\    . . .40),

wobei J°e das Trägheitsmoment der Eisenfläche, bezogen auf ihre eigene Schwerachse, bedeutet.

Hiernach wird

&bd ——

Mx

&ez-

^bx> + v[j;+Ft(h'-xy]

v M (h! — x)

41).

b x³ -f- v [ J°e -j- Fe (h' — x)²]

Die Gl. 38) bis 41) sind zur Überprüfung von vorliegenden Balken oder plattenförmigen Körpern zu verwenden. Hiebei ist noch eine beliebige Form der Eiseneinlage vorausgesetzt, so daß das a eine mittlere Eisenzugspannung bedeutet.

Eine wesentliche Vereinfachung erfahren die Gl. 41) für die Spannungen von Beton und Eisen, wenn die Eiseneinlagen verhältnismäßig klein und so geformt sind, daß man ihr Trägheitsmoment «7°, bezogen auf ihre eigene Schwerachse, gegen jenes, bezogen auf die Nullinie, vernachlässigen kann (Figur 21).

Dies trifft bei der Verwendung von Rund-, Quadrat-, Knoten-, sowie sonstigen Form eisen verhältnismäßig kleinen Querschnittes (sogenannten ,,schlaffen“Eisen-einlagen) in fast allen praktisch vorkommenden Fällen¹) zu, und es können sonach hiefür die in folgender Weise vereinfachten Gleichungen Verwendung finden.

Es wird

Ji — ~ b xs    v Fe (h' — x)²

3

und mit Rücksicht auf die oben zur Bestimmung von x benützte Beziehung

hx²

— = vFe(h'

entweder

Ji

oder

42).

Ji = -J¹ v Fe (h' — x) (3 h' — x)

Ó

Nach Einsetzen dieser Werte in Gl. 39) wird für einreihige „schlaffe“ Eise nein lagen

abd

2 M j

43).

F [F —

Die Gl. 43) können rascher auf folgendem direkten Wege abgeleitet werden. Wie eine kurze Überlegung lehrt, kommt die Vernachlässigung des Trägheitsmomentes J° gegenüber dem Werte

9 Mit Rücksicht hierauf soll in allen folgendenEntwicklungen von dem Trägheitsmomente «7° der Eiseneinlagen in bezug auf ihre eigene, zur Nullinie parallele Schwerachse abgesehen werden ; es wird jedoch stets zu beachten sein, daß in solchen Fällen, in denen die genannte Vernachlässigung ohne erheblichen Fehler nicht statthaft ist, z. B. bei Verwendung verhältnismäßig großer L, T oder I-Pro-file u. dgl. dieses «7° in Rechnung zu nehmen ist.

F (h' — x)² in Gl. 40) bei verhältnismäßig kleinen Formeisen der Annahme gleich, daß sich die Zugkräfte a ,. d Fe im Eisen gleichmäßig über dessen Fläche verteilen; die gesamte Eisenzugkraft a., Fe kann demnach im Schwerpunkte dieser Fläche angreifend gedacht werden. Aus der Spannungsverteilung in Figur 22

folgt, daß die Resultierende D aller Betondruckkräfte i^JD — ~abd b x j cc

im Abstande — von der Druckkante, jene Z der Eisenzugkräfte o

(Z=aezFe) im Abstande a von der Zugkante angreift.

Wählt man als Momentenpunkt einmal G, dann H, so lautet die Beziehung für die Gleichheit des inneren Momentes mit dem äußeren Angriffsmomente einmal

= 31

»«(*’-1)

und das anderemal woraus unmittelbar die Gl. 43) folgern.

Es sei hier bemerkt, daß sich auch die Größe x (Gl. 36 und 38) leicht direkt und zwar aus der Gleichsetzung von Z und D ableiten läßt, also aus

o F

ez ey

\°iahx =

wenn darin a „ durch den aus den Gl. 39) folgernden Ausdruck b' — x

v-ab/J ersetzt wird.

Beispiel. Ein frei aufliegender Balken mit den Abmessungen nach Figur 23 aus Eisenbeton habe auf 4⁻3 m Stützweite außer seinem Eigengewichte eine gleichförmig verteilte Last von 2200 hg zu tragen : wie groß sind die Spannungen ?

Das Eigengewicht beträgt auf 4‘3 m Länge : 4-3 (0-2.0-38.2400) = rund 800 kg; die Gesamtlast ist demnach G = 2200 -f- 800 = 3000 kg und das größte Biegungsmoment M —

Figur 23.

j—T

ca

NO

NulliAie

-C

CM

JL—.

Al cm

b j20

J-*------------

NO

----y

Gl — 161250 legem.

Zur Ermittlung der Lage der Nullinie dient die Gl. 38), worin zu setzen ist: v = 15, Fe = 2 X 314 = 6’28 cm², b — 20 cm, h = 38 cm, a = 3 cm, h' — li — a == 35 cm,

X = v-= 4‘71 cm, so daß

b

4,71-(-T'4-71²-|-70.4,71 = 14,0cJMwird. Hiernach ist (^' — 3")~

30’3 cm

und gemäß den Gl. 43)

abd —

2 .161250

tx

20 . 14.30-3

38 kg/cm²,

161250

6-28 . 30-3

847 kg/cm².

Einer besonderen Bemerkung bedarf noch der ziemlich häufig bei hohen Armierungsziffern vorkommende Fall, daß die Eiseneinlagen in zweiodermehrer en Sc hich-ten übereinander, wie ersteres in Figur 24 dargestellt ist, angeordnet sind. Hier kann man zwar mit dem Abstande a des Schwerpunktes aller Einlagen von der Zugkante C D die Berechnung für x und xx (Nullinienabstände für Verfahren A und Verfahren B) durch- j führen, wenn man es nicht vorzieht, bei |

i

der Aufstellung der Gleichungen für x -i und xx die Abstände ax und a₂ der zwei Eisenscharen zu benützen ; hinsichtlich der Trägheitsmomente Je für Gl. 40) und für die später folgende Gl. 47) erscheint es jedoch richtiger, dieselben für jede Schar der Einlagen getrennt zu ermitteln. Sind F'e und F'' die bezüglichen Flächen der äußeren und inneren Einlagen, so ist

in Gl. 40) : J = [F'e (h — ax — x)²-{- F"e (h — a₂ — x)²]

Figur 24.

T-

V"

mu

'JZ

Z/A-

und

zu setzen.

Als größte Eisenspannungen aeg sind in solchen Fällen gemäß den amtlichen Vorschriften jene in der untersten Einlagenschar zu berechnen und es ist nach Gl. 39)

ae*

v M (h — ax — x)

J.

I

39 a).

Mit einer für die meisten Zwecke hinreichenden Genauigkeit kann jedoch auch hier mit dem Ausdrucke Je = Fe(h’ — x)² und F=Fg(h' — ÆjJ² gerechnet werden, wobei Fe die gesamte Eisenfläche, x und xx die betreffenden Nullinienabstände sind; das Trägheitsmoment wird sich dann meist nur unwesentlich kleiner ergeben. Die Eisenzugspannung muß jedoch stets für die äußerste Schar bestimmt werden.

*) Für verhältnismäßig große Profile ist nach S. 31 auch J°e zu berücksichtigen.

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

Bei der Verwendung anderer Formeisen als der auf S. 31 genannten, also von sogenannten „steifen“ Eiseneinlagen wie in Figur 25 und 26, erscheint im allgemeinen die Vernachlässigung des Trägheitsmomentes J° derselben, bezogen auf die eigene Schwerachse, gegenüber jenen, bezogen auf die Nullinie des ganzen Querschnittes — J°-\- Fe (h' — #)² —in den Gl. 40) und 41) nicht mehr zulässig. Es sind daher alsdann diese letzteren Formeln anzuwenden, wobei der Ausdruck fürs,, nunmehr als ,,mittlere“, bezw. als Eisenspannung in der Schwerachse der Eisenfläche (welche mittlere Spannung aber nicht maßgebend ist) zu betrachten ist.

Gemäß den amtlichen Vorschriften sind vielmehr bei Verwendung solcher anderer Formeisen stets die Eisenzugspannung’en in deräußersten Faser zu berechnen (also in E der Figur 25 und 26).

x:

0..

Figur 25.

—r~r~

x:

?!

x!

Figur 26.

A Gbri

xjco

z_i

-t-

CO

.s.

Oez

Jb

Es wird dann für steife Eisenein la g en

abd

43 a).

(h — au — x) I

Beispiel. Gegeben: Platte nach Figur 27 von der Stützweite 3 m mit einer Nutzlast von 900 Icglm²; wie groß sind die Spannungen?

Auf einen Plattenstreifen von 60 cm Breite entfällt an

29 ,,

. . 3.0-6.900 = 1620 „ zus. G = 2441 kg.

Beton . . 3.0-6.0-2.2200 = 792 kg Walzträger . . . . 3.96 =

Nutzlast

Im vorliegenden Falle ist A = 20 cm, a — 1 cm, h' = 13 cm, b = 60 cm, au = 2 cm,

<,

J₀= 205-8 cm⁴, Fg = 12-27 cm², M=¹/aG 1= 91540 legem, X =_f

b

= 3'07 cm.

Es wird x = — 3‘07 + V3-07² + 26.3-07 = 6‘38 cm, Ti — au — x — 11*62 cm. Der Walzträger fällt ganz in die Zugzone; aber auch in dem Falle, als ein Teil desselben in die Druckzone reichen würde, käme die Gl. 40) für «7^ in Anwendung. Nach letzterer wird = »/„ 60.6’38³ + 15 (205-8 + 12-27 . 6-62²) = 16350 cm\ ferner nach Gl. 43a)

Figur 27.

⁵

.....f

co:

I-

i.o-------J*.

60cm

______4*______60

Gbd

91540

. 6-38 == 35-7 kgjcm²,

15.91540

16350

. 11-62 = 976 kgjcm².

16350

(Die Spannung im Schwerpunkte der Eisenfläche ist 15.91540 16350

Bei Vernachlässigung des Trägheitsmomentes J₀ der Eiseneinlage hätte man erhalten Ji = 13260 cm⁴, abd= 44-0 kg/cm², oez — 1203 Tcglcm², welche Werte von den obigen wesentlich abweichen.

.6-62 = 556 kg/cm².)

ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der JVorinalzugspannungen im Beton), anzuwenden für „besondere“ Hochbau-und für Brückentragwerke.

Das Spannungsbild des Querschnittes in Figur 28, von welchem nunmehr die ganze schraffierte Betonfläche mitwirkt, ist in Figur 29 dargestellt.

Figur 28.

„A

----TT

Figur 29.

-C

M4

„i____t

—i....

-Ve*

Um den Nullinienabstand ^ zu bestimmen, wird die Gl. 6) verwendet, welche wegen des Wegfalls einer Druckarmierung lautet :

su=v-st. + 's..-m)

Hier ist Sbd = -1 bx\, Sbg = ^b (h — ^)², S„ = Fe(F — xJ; die Bedingungsgleichung für xx lautet demnach

j bx^ = jnb(h — x₁)²-j-vFe(k,—x₁).

Die Auflösung ergibt

44).

x₁= — A -f- Va² -j- b, f*bh + „Fe H i-ti) ’

}j.&7i² -f- 2 v-Fe h'

& (1 — H-)

Mit den in den Vorschriften gegebenen Werten von jj. = 0*4,

v = 15 wird nach Einführung 'der Hilfslänge X : j V10 A⁸    5 X (5 X -|- 4 A + 6 A') — 2 h — 5 X

x, =

vF

(Gl. 37)

45).

Die Betonzugspannung, welche ihren Größtwert in der äußersten Schichte C F> erreicht und welche gemäß den Vorschriften rechnerisch nachzuweisen ist, ermittelt sich nach Gl. 13) mit

. 46)

fx M (h — xx)

wobei

¹

Für die hier vorgeführte Berechnung von „mittleren Haftspann ungen“ ist eine Analogie im Eisenbau zu finden. Dort wird hei der Ermittlung der Anschlußniete eines Stabes, der Stoßverhindung derselben oder etwa der Niete, die für den Anschluß eines Kopfbleches über die theoretische Länge hinaus notwendig sind, angenommen, daß die ganze, in dem in Frage kommenden Konstruktionsteil wirkende achsiale Zug- oder Druckkraft in sämtlichen Nieten Schubspannungen von gleicher Größe erzeugt. Die Spannungsverteilung nach dieser Annahme weicht sehr wesentlich von der tatsächlichen ab ; jedoch hat die bisherige Berechnungsart diese Anschluß-

= ■J'u + V-Jl+ » J) = ji M ■+1* (* - *. )’] + V F, (V - *! )² ■ • 47)**).

Die soeben entwickelten Ausdrücke gestatten wieder die Überprüfung eines gegebenen Balkens oder einer Platte hinsichtlich der Einhaltung der vorgeschriebenen größten rechnungsmäßigen Betonzugspannungen. ¹)

Beispiel. Der auf S. 32 behandelte Balken (Figur 23) soll hinsichtlich der Betonzugspannungen untersucht werden.

*) Gemäß den früheren Ausführungen sollte diese Gleichung, strenge genom

men, lauten Sbd = [iSbs!-f- (v—p.) S ; aus den ebendort erwähnten Gründen wird indessen die obige einfachere Form beibehalten.

**) Für verhältnismäßig große Profile ist nach S. 31 auch J® zu berück

sichtigen.

+ 15.6-28.171² =rr 87440 cm⁴.

14'8 hgjcm².

v Fe

—-— = 4‘71 cm wird nach GL 45) ł>

xx = y VlO . 38² -f- 5 .4-71 [5.471 -j- 4.38 + 6.35] —

Nullinie B liegt also — wie selbstverständlich — fahren A (ohne Berücksichtigung des gezogenen Betonteiles) ermittelte. Das Trägheitsmoment bestimmt sich nach GL 47) mit    20 [17-9³ -j- 0'4 X 20-1³] -j-

Wegen X =

2.38 — 5.4-71 = 17-9 cm. Die

tiefer als die nach dem Ver-

Die rechnungsmäßige Betonzugspannung wird nun (Gl. 46) 0-4.161250.20-1

87440

b) Das Entwerfen.

Beim Entwerfen handelt es sich darum, für einen gegebenen Belastungsfall die Abmessungen und Eiseneinlagen eines Balkens oder plattenförmigen Körpers derart zu bestimmen, daß bei Erfüllung der jeweiligen Bedingungen bautechnischer und ästhetischer Natur vorgeschriebene oder zulässige Spannungen nicht überschritten werden, und zwar sind bei allen Hoch- und Brückenbauten vorgeschriebene Werte sbd und sez, bei ,,besonderen“ Hochbau- und bei Brückentragwerken auch gewisse Werte shz einzuhalten.

Die gleichzeitige Einhaltung der obersten zulässigen Grenzen der Spannungen des Betons auf Druck und des Eisens auf Zug (seJ ist bei gegebenen Abmessungen des Balkens oder der Platte und bei gegebener Lage der Armierung nur durch einen bestimmten Armierungsgehalt erreichbar, den wir den ,,i dealen“ nennen wollen und der immer mit Verfahrend) allein zu bestimmen ist. Eine einfache Überlegung lehrt, daß ein kleinerer als der ,,ideale“ Armierungsgehalt die Ausnützung des Betons auf Druck und ein größerer die Ausnützung des Eisens auf Zug nicht zuläßt.

Für österreichische Preisverhältnisse sind nun die ,,ideal armierten“ Balken und Platten nicht nur die baumechanisch günstigsten, sondern auch die wirtschaftlichsten,²) so daß man es beim Entwerfen — falls nicht andere bereits erwähnte Forderungen dem entgegenstehen — wohl vorzugsweise mit solchen ideal armierten Balken und Platten zu tun hat ; es sollen deshalb die nachstehenden Entwicklungen von diesem Gesichtspunkte aus erfolgen. Doch sind alle Beziehungen ohneweiters auch für nicht ideal armierte Balken und Platten verwendbar, insofern man statt der höchstzulässigen Spannungen sbd und sg_ niedrigere Werte a und aeg einsetzt.

Die in Rede stehende Aufgabe lautet : Es sind die Größen &, h und Fe durch die gegebenen Werte shd, sez und M auszudrücken. Aus der den Gl. 39) zu entnehmenden Beziehung

bei Unterschreitung des ersten Verhältnisses (fcx) der Beton „ Überschreitung „ zweiten das Eisen 1 jedoch nicht auszunützen ist, wenn der wirtschaftlichste Balken gesucht der Beton J    wird.

Für alle Kosten Verhältnisse k, die zwischen Jc₁ und k₂ liegen, ist hingegen bei gleichzeitiger Ausnützung von Eisen und Beton, also bei idealer Armierung, der Balken am wirtschaftlichsten bemessen.

Nach den BV. § 6, Abs. 1 hat man es bei Straßenbrücken mit von der Stützweite abhängigen Werten 7 zu tun. Die äußersten Grenzen für 7 entsprechen :

1.    dem Mischungsverhältnis 470 kg/m³ und einer größten Stützweite für

800 + 3 .20 33 + 0-2.20

2.    dem Mischungsverhältnis 280 kg/m³ und einer kleinsten Stützweite von 32-0.

freiaufliegende Balken von etwa 20-0 m : 7min

rund 0-0 m:

7max

800

25

(k₂) das Eisen

voll zu beanspruchen,

23-25 und

Die äußersten Werte von 7 für Hochbauten, welche Werte hier von der Stützweite unabhängig sind, ergeben sich nach HV. § 6, Abs. 1 1. für das Mischungsverhältnis 470 kg/m³

23-81 und

1000

7min

42

2. für das Mischungsverhältnis 280 kglm³

Tmax = ^^- = 31-25.

Diese Werte liegen also innerhalb der für Brückenbauten bestimmten Grenzen von 7. Zur Berechnung der Kostenverhältnisse kt und k₂ dienen nach Ellwitz die

Gleichungen :

[1 + 21 &,] [2 7 — 33] = © kt [1 + 21 k₂] [3 7 + v - 33] = © k₂,

wobei

21

2 7 (7 + v)’

ist. Hiernach ergibt sich mit v == 15

3 7 (7 + v) g ₌ v(27 + v)

3 7 + 2 v »

7 (7 v)

für 7mjn =23-25

(ki =

u=

22-7

für 7____= 32⁻0

max

105-8, I h = 43-7 U2 = 181-7.

folgt :

48).

49)

Sez + V Sbd

Es empfiehlt sich, die Konstante

+ vsbd

in die Rechnung einzuführen; dann wird

1-É'

$ez

bd,

50).

x — £' li'

Die Werte von £' sind aus der Tabelle Nr. 2, S. 45 zu entnehmen.

Nimmt man nun an, daß in absehbarer Zeit die Schwankungen des Preises der Armierungseisen (einschließlich Zurichten) höchstens zwischen 220 K/11 und 380 K/l t stattfinden, so lassen sich für die obigen Werte von kx und k₂ aus

= kx (bezw.&₂)

7-85 X 220 (bezw. 380)

diejenigen Grenzen der Einheitspreise K in Kronen für 1 m³ Beton (ohne Schalung) berechnen, zwischen welche der tatsächliche Betonpreis fallen muß, wenn die ideal armierten Balken zugleich die wirtschaftlichsten sein sollen.

Sez

Sbd

Eisen

preis

Betonpreis K

Brückenbau: Mischungsverhältnis: 470 kg Portlandzement auf 1 m³ *) Stützweite l = 20 m......

220

fei = 22-7

k₂ = 105-8

76-2

16-3

860

37

23-25

380

kj, = 22-7

131-3

k₂ = 105-8

28-1

Brückenbau: Mischungsverhältnis: 280 kg Portlandzement auf 1 m³ *) Stützweite l ~ 0-0 m.....

220

ki = 43-7

k₂ = 181-7

39-6

9-5

800

25

32

380

kj, = 43-7

68-2

k₂ = 181-7

16-4

*) Gemenge von Sand und Steinmaterial

kgjcmz kg/cm²

K/l t

K/lm

Aus vorstehender Zusammenstellung ersieht man, daß für österreichische Verhältnisse die tatsächlichen Einheitspreise K in Kronen für 1 m³ Beton (ohne Schalung) in allen Fällen innerhalb jener Grenzen liegen, durch welche die ideal armierten Balken als die wirtschaftlichsten gekennzeichnet sind.

Nach Einsetzen dieses Wertes in Gl. 43) berechnet sich leicht

JÏ = Cx

wobei

Vf

. . .51).

°.-?V

6 v (1 —$')

(3 — $') sez

(3 — £') Sbd.

Die zur idealen Armierung erforderliche Eisenfläche, welche im folgenden stets iFe genannt werden soll, ermittelt sich aus Gl. 43) unter Berücksichtigung von Gl. 50) mit

£Fe =

£ Sbd

(3—£')$*/ Y~ 2 ' seg

.bh' =

V²

2v (1 — £')

bh' = C₃ . bh’,

52).

wobei

£'²

2 v (1 — £')

Es ergibt sich auch leicht

*f₉ = (\ c₂ y Mb

Zu V ergi eichszwecken erscheint auch die Angabe der „idealen“ Armierungsziffer nützlich; dieselbe wird häufig der Einfachheit halber nur auf die sogenannte „nutzbare“ Balkenfläche bh’ bezogen und berechnet sich sodann mit

50 £'²

v(i-e') * '

Die ideale Armierungsziffer *p' ist also nur von dem Verhältnis der gegebenen Spannungen Sbd und sez, nicht aber von den Balkenabmessungen abhängig.

Mit der Einführung von oc ⁼ ~JTwird die auf die ganze Pe-

100 iFe

bh’

- = 100 £4 = 50?.

Sbd

Sez

tonfläche bezogene ideale Armierungsziffer 100 *Fe

ip =

bh

= y (1 — a) == 100 C₂ (1 — a) =

— 50 S' (1 —a)

Sbd

50 Ê'² (1 — a)

53).

. . 54).

. . . 55).

Sez

v(l-S')

abhängig.

Diese ist somit auch von der Lage der Armierung im Balken.

Die Gl. 50), 51) und 52) liefern die für die Dimensionierung eines Balkens bei gegebenem Außenmomente und bei Ausnützung der zulässigen Spannungen sbd und sez maßgebenden Größen. Da indessen in den Ausdrücken für h’ und *Fe noch die Balkenbreite b vorkommt, so muß diese vorerst angenommen werden. Ergibt sich

hiernach h' mit einem aus anderen Gründen unpassenden Werte, so muß mit abgeändertem b ein neues h' berechnet werden u. s. w.

Ist umgekehrt, wie es häufig der Fall ist, die ganze Balkenhöhe h im vorhinein gegeben, so nimmt man zunächst a (schätzungsweise etwa mit 0‘06 h bis 0'12 h) an und erhält dann b aus Gl. 51) mit

M ₂ M

Gx . -p-    . . 56).

6' (3 - £') h'² * sbd

Sez

6v (1 — £') M S'²(3 — V)h’* ‘

Bei platten förmigen V erbundkörpern kann man das äußere Moment auf die Plattenbreite b — 1 (cm) beziehen und es wird dann, wenn man dieses Moment mit ¹M bezeichnet,

57)

h' = Cx yw

und

58).

xFe — C₂ W = Cx C₂ V¹!

Cb

Hier kann man bei Annahme eines bestimmten v. — — (für

Platten : a bis zu 0'25 h) direkt aus dem Momente allein die Platten-

h'

stärke h =

- nach Gl. 57), die Eisenzugfläche ¹Fe nach Gl. 58)

und die Armierungsziffern {p' und nach den Gl. 54) und 55) bestimmen.

Die vorstehenden Entwicklungen gestatten die direkte Bestimmung ideal armierter Balken und Platten für „gewöhnliche“ Hochbautrag werke (siehe S. 27). Bei Tragwerken für ,,besondere“ Hochbauten und für Brücken ist jedoch noch folgendes zu beachten.

Beim Entwerfen von Tragwerken letzterer Gattung sollen die Abmessungen so gewählt werden, daß nicht nur die zulässigen Betondruck- und Eisenzugspannungen (nach Verfahren A berechnet), sondern auch die Betonzugspannungen (nach Verfahren B ermittelt) die zulässigen Werte sbd und sez bezw. sbz nicht überschreiten. Zur Erkenntnis des Zusammenhanges dieser beiden Forderungen soll nun das Verhältnis Qbz : Gbd berechnet werden, in welchem die Betonrandspannungen eines Verbundbalkens oder einer solchen Platte zueinander stehen, wenn der Körper ideal armiert ist.

Dieses Verhältnis bleibt bei veränderlicher Belastung konstant und soll hier für das größte zulässige Biegungsmoment ermittelt werden, so daß hiefür abd in sba übergeht.

Es ist hiebei zu bemerken, daß abz unter einer anderen Annahme (nach Verfahren B) als aba (sba) und aez (sez) (nach Verfahren A) berechnet wird und daß daher das Verhältnis abs:sbd nur ein rechnungsmäßiges ist.

Der einzuschlagende Weg ist nun folgender: Die zur idealen

Armierung erforderliche Eisenfläche ‘Fe ist durch Gl. 52) gegeben, wenn vorher £' nach Gl. 49) bestimmt wird. Das „ideale“ Tragmoment *M, das ist das größte zulässige Biegungsmoment, bei welchem also die zulässigen Grenzwerte der Spannungen sbd und sez gleichzeitig erreicht werden, berechnet sich nach Gl. 56) zu

V (3 — Ê')

Sbd

. . 59).

CÎ

iM= C₃ bh’*, wobei C₃ = —

É'² (3 — $')

6 v (1 — $')

Für die Berechnung nach Verfahren B läßt sich nun mittels des gefundenen ‘Fe — C₂ b h' nach Gl. 44) oder 45) x₁ und weiters nach Gl. 47) J) durch die bekannten Größen ausdrücken. Aus den Gl. 46) und 59) unter Benützung von Gl. 45) und 47) erhält man sodann die gesuchte Beziehung abe : sbd.

Da bei diesem Vergleich von Werten, die nach den verschiedenen Verfahren A und B ermittelt wurden, die Größen h und h' Vorkommen, so ist es nötig, eine bestimmte Annahme für

zu machen. Mittleren Verhältnissen entspricht bei Balken

a=0’08, so daß h'= 092 h und 7^=1*089 li' wird.

Mit v = 15, |x = 04 und £' aus Gl. 49) wird

.h= 13-8 C₂h, (C₂ :

69 C₂ wird ferner

X = 046

5X

(1

s. Gl. 52) und mit

—    — "g" ^16 -f- C\ (9‘52 -f- C\) — (2 -f- C±) .

Daraus berechnet sich

«„=0-1693

r(l-0 (3 — 0 (1-6,)

• sb<i-

(1 — 6') [£³ -f 0-4 (1 — ej³] + 1-38 $'² (0-92 — 6,)* Hiernach sind für ideal armierte Balken in nachstehender

sbd

Tabelle Nr. 1*) die vorhandenen Werte ab, und —²¹ den zulässigen

*) In dieser Tabelle sind hinsichtlich der Spannungen des Eisens die laut der Vorschriften für Flußeisen gültigen Werte eingesetzt, dies mit Rücksicht auf den Umstand, daß derzeit fast durchgehends Flußeisen verwendet wird und Schweißeisen wohl nur mehr ausnahmsweise benützt werden dürfte. Das gleiche gilt für alle später folgenden Tabellen.

Werten sbz und — gegenübergestellt. Da sich für beide Grenzen

sbd

eines Anwendungsbereiches im Brückenbau von 2 bis 22 m Stützweite und für besondere Hochbauten das vorhandene abe — rund 0’4sft^ wesentlich kleiner als das zulässige sb„ herausstellt, so ist damit ganz allgemein gezeigt, daß der rechnungsmäßige Nachweis der Beton Zugspannung nach Verfahren JB bei ideal armierten Balken immer entfallen darf.

Tabelle Nr. 1.

Verhältnis der auftretenden Betonzugspannungen (o^) zu den Betondruckspannungen (shd) bei ideal armierten Balken oder Platten.

sverhält-1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial Portlandzement in kg

Mischung nis : Auf

Tragwerke bei •£

(V t3 = r«)

£YT

Spannungen in fc^/cm²

Verhältnis

zulässig

sez ) sbd

sb z

vor

han

den

zu

lässig

vor

han

den

°bz

sbz

°bz

sbd

sbd

besonderen

Hochbauten

0-4651

1000    42-0

25-0

16-6    0-595

0-395

470

0-4637

806    33-4

19-2

13-2    0-576

0-396

Straßenbrücken

350

besonderen

Hochbauten

22

0-4680

0-4527

0-4514

866    37-4

1000    37-0

806    29-4

21-2

24-0

18-2

14-7    0-567

14-8    0-649

11-6    0-619

0-394

0-401

0-395

Straßenbrücken

22

0-4566

866    33-4

20-2

13-4

0-606

0-400

besonderen

Hochbauten

0-4403

1000    32-0

22-0

12-8

0-687

0-401

280

0-4392

806    25-4

16-7

10-2

0-658

0-401

Straßenbrücken

22

0-4452

866

29-4    18-7

11-8

0-636

0-402

*) Hiebei ist Flußeisen vorausgesetzt.

Demnach ist für das Entwerfen solcher Tragwerke nur nach dem Verfahren A) vorzugehen.

In einer weiteren Tabelle Nr. 2) S. 45 sind die unter Heranziehung der Gl. 49) bis 54), 56) und 59) ermittelten und den

amtlichen Vorschriften entsprechenden Größen für ideal armierte Balken und Platten zusammengestellt.

a

Die Tabelle ist für jeden beliebigen Wert von a = y,

also auch für Platten mit größerem o. als angenommen (a = 0'08 h),

- und ‘p

OL

verwendbar, wobei das jeweilige h

100

bh = ,:p' ( 1 — ot) wird.

Mit Hilfe dieser Tabelle können verschiedene, nachstehend angeführte Aufgaben gelöst werden³) und zwar für Hochbauten bei sämtlichen Stützweiten, für Straßenbrücken direkt bei Stützweiten von 2, 6, 10, 14, 18 und 22 m, während bei zwischenliegenden Stützweiten die geradlinig interpolierten Werte hinreichend genau sind.

a)    Balken:

1«) Gegeben: M, b; gesucht: F, Ji, lFe, ’p' ;

2    a) gegeben : M, F (bezw. h) ; gesucht : h (bezw. F), b, lFe, lp' ;

3    a) gegeben : b, li ; gesucht F, lM, lFe, ³ p’.

b)    Platten:

Es ist durchwegs b = 1 und statt M das betreffende, für die Breite b — 1 giltige Moment ¹Jf zu setzen ; der bezügliche Wert der Eisenfläche für Platten, gleichfalls auf die Breite 1 bezogen, sei ¹Fe.

1 b) Gegeben : ¹M ; gesucht : h', h, ¹Fg, lp' ;

Sb) gegeben: h; gesucht: h', ¹Jf, ¹Fe, lp'.

Bei den Aufgaben la), 2a) und 1 b) sind für gegebene äußere Momente die Balkenabmessungen und die ideale Armierungsziffer zu ermitteln, während bei jenen 3a) und Sb) für gegebene Balkendimensionen der ideale Armierungsgehalt und das ideale Tragmoment bestimmt wird.

Beispiele für ideal armierte Balken und Platten:

1. Trägerbei einer Straßenbrücke von 12⁻0 m Stützweite, Mischungsverhältnis 470 kgpn⁸.

Gegeben: M— 8000000 kgcm, ⁴) b = 40 cm, a. = --=0'06. Gesucht: h, h'^F^p. Nach Tabelle Nr. 2 ergibt sich :

Tabelle Nr. 2

für das Entwerfen von einfach und ideal armierten Balken und Platten.*)

Tragwerke

§ Stützweite

o **\

ez '

Mischungsverhältnis : 470 kg Portlandzement auf 1 m³ **)

sbd x=Vh'

h’

kgjcm²    kglcm²

cm

cm

cm

kgcm

Prozente

Straßenbrücken!! Hochbauten ||Straßenbrücken II Hochbauten I!Straßenbrücken II bauten

hei

bei

bei

bei

bei

1000    42-0    0-3865 0-3761 0-1414 0-008117 0-003052

7-071 0-8117

0 800 2 806 6 818 10    830

14    842

18    854

22 866

1000

0 800 2 806 6 818 10    830

14    842

18    854

22 866

1000

8oO

806

(M0009 ^

0-3822 0-4263 0-1817 0-007882 0*003360 0-3833 0-4232 0-1791 0-007941 0'003361 0-3854 0 4173 0-1741 0*008056 0'003361 0 3874 0-4116 0-1694 0-008166 0'003361 0-3894 0-4060 0 1649 0*008278 0-003361 0-3913 0-4007 0'1606 0'008385 0’003360 0-3931 0-3957 0'1565 0'008487 0'003358

5-503 0-7882 5-583 0-7941 5-744 0-8056

5- 904 0-8166

6- 065 0-8278

6-227    0-8385

6-388 0-8487

Mischungsverhältnis : 350 kg Portlandzement auf Im³***)

37-0

O tH d O GO O

à ^ ^    *

(M CM CO CO CO CO CO

0*3569 0-4146 0-1719

0-3522 0 4710 0'2219 0-3536 0-4670 0*2181 0 3564 0-4592 0-2109 0-3591 0-4518 0-2041 0-3617 0 4447 0H977 0-3641 0-4379 0 1918 0-3665 0-4314 0 1861

0 006603

0-006382

0-006448

0-006579

0-006707

0-006832

0-006949

0-007068

10

14

18

22

818

830

842

0-002738 5-817 0-6603

0-003006 4507 0-6383 0-003011    4-585    0-6448

0-003021 4-742 0'6579 0 003030 4-900 0'6707 0-003038 5-058 0-6832 0-003044 5-215 0‘6949 0-003049    5-373    0-7068

Mischungsverhältnis : 280 kg Portlandzement auf 1 m³***)

32 0

bÖ tÖ bS tö bS bS t£) O GC <1 ^ 05 ü» Ü’ rfi» © 00 © fcö ©

0-3243

0-4648

0-2161

0-005189 0-002412

4628

0-5189

0-3191    0 5297    0-2805    0'004985    0-002640    3’564    0-4985

0-3209    0-5242    0-2748    0'005055    0'002650    3-639    0'5055

0-3245    0-5136    0'2638    0-005196    0‘002669    3-701    05196

0-3280    0-5036    0 2536    0-005336    0-002687    3-944    0-5336

0-3312    0-4941    0-2442    0‘005467    0-002704    4'096    0'5467

0-3344    0-4851    0-2354    0'005600    0'002717    4’249    0 5600

0-3374    0-4766    0'2272    0-005727    0-002730    4-402    0-5727

■ hś²

. bh*

.y Mb •bh'²

100 lFe

bh'

Maßeinheiten : Sämtliche Längen sind in cm, Spannungen in kglcm², Momente in kgcm einzuführen.

*) Für Platten ist statt b... 1 cm, statt M.. . ¹M (Moment auf 1 cm Breite) und statt *Fe. . .¹Fe zu setzen,

**) Hier sind die Werte für Flußeisen angenommen.

***) Gemenge von Sand und Steinmaterial.

h'

0-4116 + 0-4060_

182-8 cm,

h'

182-8

0-94

194-5 cm,

1 — a

*Fe = 0-003361 1/Mè = 60-1 cm⁵, 0-8166 + 0-8278 __ ₀.₈₂

ip'

(oder ip' =

100 *Fe

6010

bh'

40 . 182-8

0-82)

ip = ip' (1 — a) = 0-82 . 0-94 = 0’77.

2. Hochbauträger; Mischungsverhältnis 280 kgfm⁶.

*•1 a

= 0‘08. Gesucht : b, *F und ip.

Gegeben : M = 180000 kgcm, h = 42 cm, a =

Zunächst ist h' — h (1 — a) = 42 . 0'92 = 38'6 cm. Nach Tabelle Nr. 2 berechnet sich:

b = 0-2161^ = 26-1 cm,

%Fe = 0-005189 b h’ — 5-23 cm, ip' = 0-519; in = ip' (!—«) = 0'92/ = 0'48.

3. Hochbauträger; Mischungsverhältnis 350 kg/m⁶.

Gegeben : b = 25 cm, h — 50 cm, a — — — 0⁻10. Gesucht :    iFe und ip. Es

ist zunächst h' — h (1 — a) = 0⁻9 h — 45 cm. Mit Hilfe der Tabellenwerte wird iM= 5-817 bh'⁵ = 294500 kgcm,

*Fe = 0-006603 bh' = 7‘43 cm⁵, ip' — 0"660 ; ‘p — ip' (1 — a) = 0‘9 ip' — 0"594.

4. Platte von 1-0 m Stützweite für eine Straßenbrücke ; Mischungsverhältnis 470 kglm⁶.

CL

Gegeben : Biegungsmoment Mfür 70 cm Breite : M — 75000 kgcm, a = — = 0"12. Gesucht : h und ¹Fe.

Man findet

KM

75000

70

1071 kgcm

und damit aus der Tabelle

h'

0-4232 + 0-4263 1/¹M = 2

13-9 cm,

h'

13-9

1 — a = 0-88

—15-8 cm,

An früherer Stelle (S. 43) wurde gezeigt, daß bei allen ideal armierten Balken und Platten der rechnungsmäßige Nachweis der Betonzugspannungen entbehrlich ist, da diese stets kleiner als die zulässigen sind. Es fragt sich nun, ob dies auch für Balken zutrifft, welche nicht ideal armiert sind, wie sie in der Praxis aus verschiedenen Gründen häufig angewendet werden, ob also auch für solche Balken, bei denen p < ist, durchwegs der rechnungsmäßige Nachweis der Betonzugspannung nach Verfahren B entfallen darf. Behufs Untersuchung dieser Frage benützen wir die zeichnerische Darstellung der Verhältnisse, wie sie bei einfach und doppelt armierten Balken für veränderliche p bestehen (s. Tafel Nr. 1). Diese Hilfstafel ist auch zur Überprüfung und zum Entwerfen jedes einfach armierten Balkens, für den das

<x — 0’08 besteht, verwendbar. Hiefür

n

Verhältnis-y h

kommen in Betracht die Kurven O bis VIII, während die Kurven IX bis XI sich nur auf die doppelt- und zugleich ideal-armierten Balken beziehen (hierüber s. Unterabschnitt III, 3).

Sämtliche Kurven sind für Hochbauten, die Kurven allgemeiner Natur O, I, IV und VII hingegen auch für Straßenbrücken verwendbar. Die Abszissenachse ist für die veränderlichen

bestimmt; die Werte ip, die

Armierungsziffern p =

sich nach Gl. 55) für Hochbauten aus der Tabelle Nr. 2, S. 45 ergeben, sind besonders hervorgehoben ; es ist für das Mischungsverhältnis :

a)    470    Jcg/m³    .    .    . *p =*p’ <1 — «) = 0*92 X 0*8117 = 0-747,

b)    350    hgfm³    .    .    . *p = ip' (1 — a) = 0"92 X 0-6603 = 0'608,

c)    280    hg/m³    .    .    . <p =    (1 — a) = 0*92 X 05189 = 0-477.

Die Ordinaten    sämtlicher Kurven bedeuten Verhältniszahlen

und zwar von Spannungen bei den Kurven O bis VI und von Momenten M und bh²abd bei den Kurven VII und VIII.

Die Spannungen sind durchwegs in das Verhältnis zur vorhandenen Betondruckspannung af d gesetzt, die bei den Kurven II, III, V und VI zugleich die zulässige Spannung sbd ist. Die voll ausgezogenen Kurventeile gehören zu, im allgemeinen nicht ideal armierten, aber nach der amtlichen Vorschrift hinsichtlich des Eisens oder Betons voll ausgenützten Balken, bei denen also, wenn sie ein p <C‘P aufweisen, die zulässige Eisenzugspannung sez, und wenn sie ein p^> p haben, die zulässige Betondruckspannung sbd das Tragmoment bestimmt.

100 Fe 100 F,

bh

Kurve I bringt ganz allgemein, d. h. für ausgenützte und nicht ausgenützte Balken das Verhältnis des vorhandenen a zu dem vorhandenen abd zur Darstellung.

Die Kurven II geben das Verhältnis des vorhandenen ahd zum zulässigen sbd bei voller Eisenausnützung an; für die

Gbd

1, d. h. es ist die volle Ausnützung des

Sbd

Werte    wird

Eisens für p >> *p unzulässig, da sonst die Betondruckspannung zu groß würde.

Die Linie 0 — eine Gerade mit der konstanten Ordinate DO — zeigt an, daß beim Mischungsverhältnisse :

a)    470 kg/m³ für alle p von lp— 0*747 nach aufwärts,

*p — 0*608    ,,

*p — 0*477    ,,

und

b)    350 kgfm³ ,,

¹

Später wird gezeigt werden, daß sowohl bei einfach als auch bei doppelt armierten Rechteckbalken, die nach Verfahren A den amtlichen Vorschriften entsprechen, der rechnungsmäßige Nachweis der Betonzugspannungen niemals nötig ist, da diese letzteren sich stets kleiner als die bezüglichen zulässigen Werte ergeben.

²

Dieser Nachweis wird im folgenden auf Grund der von E. Ellwitz in der Zeitschrift „Beton und Eisen“, Jahrgang 1905, Heft I und II veröffentlichten Abhandlung durchgeführt.

Aus letzterer ist zu entnehmen, daß es für jedes angenommene Verhältnis von -= y zwei weit auseinanderliegende Kostenverhältnisse

Preis einer Volumeneinheit Armierungseisen

Preis einer Volumeneinheit Beton

gibt von der Eigenschaft, daß

³

Siehe auch Lösung mittels der graphischen Darstellung auf Tafel Nr. 1.

⁴

In praktischen Fällen muß bei der Berechnung der äußeren Kräfte und der Angriffsmomente M das vorläufig noch unbekannte Eigengewicht des Tragwerkes berücksichtigt und zu diesem Zwecke schätzungsweise oder nach Erfahrungsdaten angenommen werden. Nach Bestimmung des Profiles muß man die getroffene Annahme prüfen und erforderlichenfalls eine Änderung derselben und eine Wiederholung der Rechnung vornehmen.

⁵

' = 0-1099 cm⁵,

daher Fe — 10'99 cm⁵ für 1 m Plattenlänge; hiefür werden gewählt 10 Rundeisen mit je 1-2 m Durchmesser mit zusammen Fe — 11-31 cm⁵.

⁶

Der Abstand a beträgt a= 0-12 h— 1-9 cm-, es bleibt also zwischen den Eiseneinlagen und dem Betonrande noch ein Abstand von 1-9 — ¹/₂ 1"2 = 1-3 cm, was genügt, da nach BV. § 5, Abs. 22 nur 1 cm erforderlich ist.

c)    280 kgjm³ ,,

die vorhandene Betondruckspannung abd für einen vollausgenützten Balken gleich dem zulässigen shd ist.

Durch die Geraden III ist das Verhältnis der zulässigen Werte sez und sbd dargestellt.

Die Kurve IV gibt das Verhältnis der vorhandenen abz zu den vorhandenen abd und gilt wieder ganz allgemein wie Kurve 1 für ausgenützte und nicht ausgenützte Balken ; aus derselben ermittelt sich die vorhandene Betonzugspannung abz.

Die Kurven V zeigen das Verhältnis des vorhandenen abz zum zulässigen sbd bei voller Eisenausnützung. Auch hier können wie bei Kurve II für p^>'p die Werte der abz für nach den amtlichen Vorschriften entworfene Balken wegen Überschreitung der zulässigen Spannung sbd nicht auf treten.

Die Geraden VI mit den konstanten Ordinaten für das Mischungsverhältnis a) 470 kgjm³ von 0*595,

b)    350 kgjm³ ,, 0*649 und

c)    280 kgjm³ ,, 0*687

geben die Verhältniszahlen der zulässigen sb. zu den zulässigen sbd bei Hochbauten an.

Kurve VII gilt wieder ganz allgemein wie Kurve I und IV für ausgenützte und nicht ausgenützte Balken und stellt die Beziehung zwischen dem Tragmoment M, den Balkenabmessungen und dem vorhandenen abd her.

Die Kurven VIII zeigen die Beziehung zwischen M und dem zulässigen sbd für alle p << *p.

Für alle ausgenützten Balken verlaufen sonach die vorhandenen Betondruckspannungen abd von p = 0 bis *p nach dem

Gesetze der Kurven II und von da an nach der Geraden O, dann die vorhandenen Eisenzugspannungen c . bis lp nach den Geraden III und von da an nach der Kurve I, ferner die vorhandenen Betonzugspannungen ahz bis p nach den Kurven V und von da an nach der Kurve IV und schließlich die Tragmomente M bis ⁽p nach den Kurven VIII und von da an nach der Kurve VII. Es treten somit die Werte der Kurven II, III, V und VIII oder der Kurven O, I, IV und VII gleichzeitig auf.

Aus der Lage der Schnittpunkte von IV und V ersieht man somit, daß sich unter allen nach den amtlichen Vorschriften im Hochbau gerade noch zulässigen Balken die größten, rechnungsmäßigen Betonzugspannungen ah.. für die ideal armierten Balken ergeben, und daß daher die Werte ab„ (s. S. 43) im Hochbau bei Rechteckbalken niemals nachgewiesen zu werden brauchen (s. auch Lage dieser Schnittpunkte gegenüber den Geraden VI).

Aus dem Charakter dieser Kurven kann, wenn auch auf die streng mathematische Begründung hier nicht eingegangen werden soll, doch geschlossen werden, daß für die ideal armierten Balken bei Straßenbrücken das gleiche gilt.

Berechnung der Kurvenordinaten.

Kurve I. yx aus Gl. 43) mit Benützung von GL 37) und 38). Gerade III. y.d aus den amtlichen Vorschriften.

Für das Mischungsverhältnis :

a) 470 kg/m³ ist y₃ = —

1000

b) 350 kg/m³ ,, y₃ =

CO co

CM O

= 23-81,

c) 280 kg/m³ ,, y₃ =

Co Co

CN Cr-

ro ©

c— o

= 27-03,

Sbd

32

= 31-25.

Kurven II. y₂ aus

ih

Vi

Vo (=1‘0)

CI

Kurve IV. Für einen durch b, li, Fe bezw. p und a = -^- = 0"08

für

X

gegebenen Balken erhält man mit Einführung von Ç = -^-

für

X

nicht ideal armierte Balken (zum Unterschiede von £ = — ideal armierte Balken) aus Gl. 43) nach Verfahren A:

(2-76 — C) bh*abd,

wobei sich C aus den Gl. 37) und 38) ergibt mit: nach Verfahren B wird aus Gl. 46) und 47) mit Benützung von Gl. 45) und mit Einführung von für nicht ideal armierte Balken (gegenüber für ideal armierte)

Ci

4 [v 10 + o- Ihp (0-löp -f 9-52) - (2 + 0*75^)],

O

M=

. bh²abe.

y {Ci³ + 0-4 (1 — Ci)³} + O’lbp (0-92 - Cx)²

0'4 (1 — Ci)

Die Gleichsetzung der nach Verfahren A und B ermittelten Werte für M gibt die Ordinaten der Kurven IV :

V*.

Gbz

C(l — Ç,)(2-76 — C)

Gbd

5 [Ci³ + 0-4 (1 — Cxy -f 0-45i? (0-92 — CJT

Dieser Wert wird für p == 0*5 zu einem Maximum.

Bei den ideal armierten Balken ergeben sich mit Einführung der *p für das Mischungsverhältnis:

a) 470 kg/m³

= ^ = 0*395,

6/jcl

b) 350 kg/m³

% = ~ = 0-401,

Gbd

c) 280 kg/m³

% = — == 0-401

Gbd

Vs.

y₀ (= 1-0)'

Gerade VI. y₆=— aus den amtlichen Vorschriften für

welche Werte mit jenen der Tabelle Nr. 1, S. 43 übereinstimmen. Kurven V. y₅ aus —

$bd

Hochbauten s. Tabelle Nr. 1, S. 43.

Kurve VII. y₇ aus dem nach Verfahrend ermittelten Trag-

|(2-76 —C). [C: s. Gl. 38).]

moment M, also y₁

bh²abd

Bei den ideal armierten Balken ergeben sich mit Einführung des $ — 0*92 £' (s. Tabelle Nr. 2, S. 45) an Stelle von C für das Mischungsverhältnis :

a) 470 kgjm³

bh²sbd

— 0"1425,

b) 350 kg Im³

bh²sbd

— 0*1330,

c) 280 kgjm³

bh²sbd

= 0-1224.

Sbd

Kurven VIII. y₈ aus:

V‘2

y₀(= l-0)‘

Die Verwendung der Tafel Nr. 1 zum Überprüfen und zum Entwerfen soll im folgenden an einigen Beispielen gezeigt werden.

1. Kontrolle zum Beispiel auf S. 32 und 36. Für einen nicht ideal armierten Rechteckbalken ist gegeben : M — 161250 kgcm, b = 20 cm, h — 38 cm, Fe = 6-28 cm², p — 0'83, a CV3 0⁻08 (daher die Tafel Nr. 1 verwendbar).

Vi

Nach Kurve VII ist für p = 0⁻83 .

bh² Sbd

0-147, daraus

161250

0-147.20.38²

38⁻0 kgjcm²;

ferner ist nach Kurve I... — = 22-2, daher gê* = 22-2.38-9 = 844 kalem²; endlich Sbd    ’

wird nach Kurve IV ... ~ = 0-39 ; daher sbz = 0-39 X 38-0 = 14-8 kgjcm², welche

Werte befriedigend mit den gerechneten übereinstimmen.

2. Kontrolle zum Beispiel Nr. 2 auf S. 46 für einen ideal armierten Rechteckbalken.

Aus Kurve VII bezw. VIII ist zu entnehmen :

= 0-477 und

bh² Gbd

- = 0’122,

und da laut der Vorschriften abd=sbd~32 kgjcm² ist, so wird

b 0-122 h²s~d

180000

iFe

0-122.42².32 0-477 bh

26-1 cm,

5-22 cm,

welche Werte mit den früher gefundenen gut übereinstimmen.

Für alle folgenden Beispiele gilt die Voraussetzung, daß die Balken nach den Vorschriften hinsichtlich der Betondruckspannung oder Eisenzugspannung allein oder hinsichtlich beider gleichzeitig ausgenützt, in letzterem Falle also „ideal“ armiert sind.

3. Hochbaukonstruktion mit dem Mischungsverhältnis 470 kgjrn², daher sbd= 42 kgjcm² und sez == 1000 kglem². Gegeben: M = 50000 kgcm, b — 15 cm und

?- = 0-08.

100

a) jö = 0’6 <ip, daher ausgenützt sez = sez = 1000kgjcm². Gesucht: ahd, Fe, h.

Nach Kurve II ist:

hd

sbd

0-872, daher abd = 0-872.42 = 36‘6 kgjcm²)

nach

Kurve VII ist :

bh2°bd

0-132, daher

-V

0-132 b Sbd 0-6.15.26-3

= 26-3 cm;

100

100

= 2-37 cm².

b) Ideale Armierung p = »)> = 0-747, daher ausgenützt Sbd = sbd = 42 kgjcm und 5^ =    = 1000 kgjcm,². Gesucht: iFe, h.

Nimmt man für einen Kostenvergleich den Preis E des Eisens (einschließlich Zurichten) innerhalb der Grenzen Fmin = 200 K/l t und Fmax = 380 K/l t und den Preis B des Betons (ohne Schalung) innerhalb der Grenzen Bmin= 35 K/lm³ und Bmax = 50 K/l m³ an, so ergeben für obiges Beispiel die vier Preisverbindungen folgende Balkenpreise, die nur Vergleichswerte darstellen:

Preis verb in düng

Nach Kurve VII bezw. VIII ist

bh²sbd

0-1425, daher

0-1425. bshd 0-747.15.23-6

= 23-6 cm ;

2-64 cm².

c) = 0-9    daher ausgenützt abd = sbd — 42 kgjcm². Gesucht: ogÄ, Fe, h.

21-1, daher = 21-1.42 = 884 kglcm² ; nach Kurve

Nach Kurve I ist

aöd

100

100

VII ist

i¥

0-1512, daher

-1/

0-1512

0-9.15.22-9

22-9 cm;

100

100

3'10 cm².

Balkenpreise in Hellern für 1 m Länge

p = 0-60    < >p = 0-747    < p = 0-90

Fm in, .Bmin

178-8

169-5

173-4

-27min, -Bm ax

238-0

222-7

225-6

Fmax, -Bmin

208-5

202-6

212-2

Fmax, -Bmax

267-7

255-8

263-8

Dieses Ergebnis bekräftigt den in der Fußnote zu S. 37 allgemein erbrachten Nachweis der Wirtschaftlichkeit der ideal armierten gegenüber den nicht ideal armierten Rechteckb alken.

4. Straßenbrücke von 9⁻0 m Stützweite mit dem Mischungsverhältnis 350 hglms-, daher ist sbd = 29-0 —j— 9.0*2 Z = 30‘8 kg/cm² und seg= 800 -)- 9.3 l = = 827 kglcm².

Ti

= 0-08.

Gegeben : b = 30 cm, h = 140 cm, n = a

a) p = 0-55 < ip (letzteres ergibt sich mit Hilfe der Tabelle Nr. 2, S. 45 ; durch Interpolieren findet man dort ip' = 0-6675, somit ip = 0*92 ip' = 0-614 ; daher ist ausgenützt aez = sez = 827 kglcm². Gesucht : abd, ¥.

•

Nach Kurve I ist

abd

— 28'8 ; daraus <Jbd

827

28-8

28-7 kgjcm², wie zu er-

warten, kleiner als sbd=~ 30-8 kglcm2 Nach Kurve VII ist

hh² Sä

0T284, daher

i/= 0-1284.30.140².28-7 = 2167000 kgcm. b) Ideale Armierung p = lp = 0-614, daher ausgenützt sôd= 30'8 Æ^/cm2 und zez= sez= 827 kgjcm². Gesucht: *31.

Nach Kurve VII bezw. VIII ist

0-1334, daher

‘31

bh\d

31— 0-1334.30.140².30-8 = 2414000 kgcm. c) p — 0-680> *p, daher ausgenützt abd= sbd—30S kgjcm². Gesucht: aez, 31.

Nach Kurve I ist

°ld

= 25, daher vez= 25.30-8 = 770 kgjcm², wie zu erwar-

ten, kleiner als sez— 827 kgjcm².

Nach Kurve VII ist

0-1382, daher

31

bh\d

31 = 0-1382.30.140².30-8 = 2503000 kgcm.

Da die Unterschiede zwischen den Armierungsziffern für a), b) und c) nahezu einander gleich, nämlich 0-064 bezw. 0⁻066 sind, die Tragmomente hingegen um 247000 kgcm bezw. nur um 89000 kgcm verschieden sind, so zeigt dieses Beispiel, daß bei einfach armierten Rechteckb alken eine Armierungszunahme über die ideale hinaus das Tragmoment wesentlich weniger vergrößert als eine gleiche Armierungszunahme unterhalb der idealen Armierung.

5. Hochbaukonstruktion mit dem Mischungsverhältnis c) : 280 kg/m³ ; daher ist sbd= 32 kgjcm² und sez— 1000 kgjcm². Gegeben: ô = 20 cm, h = 40 cm,

a==T

= 0-08.

a) 31 = 120000 kgcm. Gesucht: p, aez, abd.

Nimmt man vorerst an, daß p<i lp = 0-477 nötig wird, so ist Kurve VIII zu verwenden, und man erhält für das vorliegende

3T

120000

= 01172;

bh\d

dem entspricht ^> = 0-455, so daß tatsächlich die Verwendung der Kurve VIII gerechtfertigt erscheint. Somit ist Ges= sez— 1000 kgjcm².

20.40².32

32-2, somit    1000 : 32⁻2 =

abd

Nach Kurve 1 wird für p = 0-455...

= 31-1 kgjcm², also, wie erklärlich, kleiner als sbd= 32 kgjcm². b) 31 = 190000 kgcm. Gesucht: p, agz, abd.

Wird versuchsweise angenommen, daßp3> xp = 0-477 nötig wird, so ist Kurve VII zu verwenden und man erhält, da für diese Annahme <^=5^=32 kgjcm2 sein muß :

31

190000

20.40².32

0-186;

bh\d

dem entspricht ^> = 1-9, so daß, da p3>lp ist, tatsächlich die Verwendung der Kurve VII gerechtfertigt war.

Nach Kurve I ist

Gbd

13-0, daher aez — 13-0.32 = 416 kgjcm², also, wie

zu erwarten, kleiner als sez= 1000 kgjcm².

c) Ermittlung der Länge der Eiseneinlagen (Materialverteilung) mit Rücksicht auf die Momente.

Wie aus der zweiten der Gl. 43) hervorgeht, hängt die erforderliche Eisenfläche Fe bei Balken oder Platten von dem Momente M ab; es erscheint daher zulässig und ist bei größeren Tragwerken aus Eisenbeton in der Praxis auch üblich, den Querschnitt Fe nicht konstant über die ganze Länge durchzuführen, sondern ihn dadurch zu verändern, daß entsprechend dem Wachsen der äußeren Momente M nach und nach immer mehr Armierungseisen angeordnet werden. Auch die mit Rücksicht auf die Aufnahme von Hauptzugspannungen oder eventueller Einspannungsmomente wegen fast durchwegs getroffene Anordnung, daß Armierungseisen aus der Zugzone schräg nach aufwärts gezogen werden, hat eine Veränderlichkeit des Zugquerschnittes Ff zur Folge, da diese Eisen für die Aufnahme der normalen Zugspannungen des Untergurtes nicht mehr in Betracht kommen.

In solchen Fällen handelt es sich darum, eine Material Verteilung der Eiseneinlagen aufzustellen in ähnlicher Weise, wie dies bei eisernen, vollwandigen Trägern mit veränderlichem Querschnitte geschieht. Als Grundsatz ist hiebei zu beachten, daß an den Stellen der Querschnittsveränderung die Spannungen im Beton und Eisen höchstens die zulässigen Grenzwerte erreichen dürfen.

Man bedarf (s. Figur 30) hiezu der Kurve der Maximalmomente IGHK für den betreffenden Träger.

a) Balken mit konstanter Höhe.

Eine einfache Überlegung lehrt, daß in diesem Falle bei einer Veränderlichkeit der Eisenfläche nur das Eisen und zwar an einzelnen Stellen bis zur zulässigen Grenze ausgenützt werden kann, während der Beton die volle zulässige Druckspannung nur in einem, nämlich jenem Querschnitte erleidet, für welchen die Dimensionierung des Querschnittes nach dem Grundsätze wirtschaftlicher Materialausnützung erfolgte.

In diesem Querschnitte ist die Fläche Fe durch Gl. 52) und die Armierungsziffer durch Gl. 54) und 55) bestimmt, wobei sich der Hilfswert £r nach Gl. 49) aus den gegebenen Grenzwerten sbd und sez ergibt.

Wird nun in einem anderen als dem gefährlichen Querschnitte des geringeren äußeren Momentes wegen die Eisenfläche kleiner gemacht (F'e)} so kann, wie bereits auf S. 37 bemerkt wurde, bei voller Ausnützung des Eisens der Beton nicht mehr bis zur Grenze beansprucht werden. Das Tragmoment M' für eine kleinere Fläche F'e findet man in folgender Weise : Nach Gl. 43) wird

Ico

)s F

I ez

wobei sich x' aus Gl. 36) mit

a;' =

-F;r

i+i/i+²-6Ä

oder nach Gl. 37) und 38) berechnet. Die geringe Veränderlichkeit des Hebelsarmes z für das innere Moment (s. Beispiel S. 57) läßt es übrigens als den praktischen Bedürfnissen entsprechend erscheinen, nur für die kleinste und größte Anzahl gleich starker Armierungseisen ein und derselben Schar die Tragmomente rechnerisch zu bestimmen und für jede beliebige Anzahl den Wert

des Tragmomentes geradlinig zu interpolieren. Sind die Armierungseisen verschieden stark, so ist bei der Interpolation auf die verschiedene Größe der Querschnittsflächen Rücksicht zu nehmen. Trägt man in die Maxi-malmomentenkurve (Figur 30) die Tragmomente j A M\ M" u. s. w. ein, welche A den nach stufenweisem Wegfalle je eines Ar- v“ mierungseisens verbleiben- c'> den Eisenflächen F\ F’’

Figur 30.

Si

C 2. Einlage l

JL

u. s. w. entsprechen, und zieht die Parallelen zur

t¹ Kg

F^i .

h/LP

H'

D"

Abszissenachse, so geben

die Sehnen die erforderlichen theoretischen Längen der Eiseneinlagen.

In Figur 30 sind im ganzen fünf Einlagen erforderlich; die zweite kann theoretisch in den Punkten A! und B’ aufhören, die dritte braucht nur die theoretische Länge CDdie vierte E' F’ und die fünfte CH' zu haben. Es muß also beispielsweise die zweite Einlage ihre Wirkung mindestens in A' beginnen und in C vollkommen angeschlossen sein. Nur in jenen Fällen, in denen etwa die dritte Einlage über C, wo sie theoretisch beginnen muß, nicht hinausreicht, wird die zweite Einlage in dem Punkte G die rechnungsmäßige Grenzspannung seg haben, wie dies bei der Bestimmung des zugehörigen Tragmomentes bezw. des Punktes C vorausgesetzt wurde. Reicht aber die dritte Einlage über C hinaus, so daß sie dort bereits teilweise angeschlossen ist, so wird die Spannung der zweiten Einlage in C kleiner als se. sein. Trotzdem wird es sich der Sicherheit halber empfehlen, die zweite Einlage über den Punkt C bis C" auf eine solche Länge l hinauszuführen, daß die zulässige „mittlere Haftspannung“ auf dieser Strecke eine Kraft einzuleiten vermag, die der vollen Ausnützung der Eisenfläche im Punkte C entspricht.

Diese Überlänge l folgt aus der Bedingung

lut, = f s .

h Je ezl

wobei u den Umfang, fe die Fläche der betreffenden Eiseneinlage und th die zulässige „mittlere Haftspannung“ bedeutet. Aus obigem ergibt sich

fe

Séz

Für Rundeisen vom Durchmesser d wird

d² TT

u — d -, fg

und

Mit den Werten der amtlichen Vorschrift wird l — (45‘5 bis 62⁻5) d. Bei der Bemessung der Überlänge l ist noch folgendes zu

beachten :

1.    Laut der amtlichen Vorschriften sind Haken (rechtwinklige, spitzwinklige oder halbkreisförmig gebogene) an den Enden von Eiseneinlagen in die Haftlänge und zwar auf die S. 25 angegebene Art einzurechnen. Dies gilt natürlich in gleichem Maße für Eiseneinlagen, die bis an das Trägerende hinausreichen, und für solche Einlagen mit Haken, die, weil sie am Trägerende nicht mehr benötigt werden, nicht bis zu diesem hinausgeführt sind.

2.    Die in einem Tragwerksquerschnitte nicht mehr erforderlichen Zugeinlagen werden meist schief zur Achse gegen den Druckgurt zu abgebogen, um an der Aufnahme der Hauptzugspannungen mitzuwirken (s. Seite 22) oder um zur Aufnahme von Zugspannungen an den Enden zu dienen, falls eine Einspannung vorhanden ist. Eine solche Abbiegung darf nach dem obigen erst in einem Punkte erfolgen, in welchem das Armierungseisen zur Aufnahme der Zugkraft nicht mehr erforderlich ist. So dürfte in Figur 30 beispielsweise die zweite Eiseneinlage erst im Punkte A' abgebogen werden. Doch darf in die im Punkte C beginnende

Überlänge l₂ für den Fall, als die Einlage in den Druckgurt über-geführt wird, auch der schräge Teil des Zugeisens (u. zw. mit der Projektion der Länge desselben auf die Trägerachse, s„ S. 160) und der im Druckgurt wieder parallel zur Trägerachse verlaufende Teil der Einlage sowie eine eventuelle der Hakenwirkung äquivalente Haftlänge von 4 d oder 12 d mit einbezogen werden.

3. Es ist darauf zu achten, ob solche Zugeisen, für die zur Aufnahme der Zugkräfte nur die Momente, ferner zur Aufnahme der Hauptzugkräfte die Querkräfte (s. Abschnitt IY) maßgebend sind, nicht infolge der Einhaltung der zulässigen Werte der mittleren Haftspannung weiter gegen das Trägerende hinaus im Zuggurt benötigt werden (s. Abschnitt Y). Es wird sich daher empfehlen, die Untersuchung nach allen drei Gesichtspunkten gleichzeitig durchzuführen (s. Beispiel S. 142 und 165), damit für alle Bedürfnisse sicher vorgesorgt wird.

Beispiel. Ein Hochbauträger, herzustellen im Mischungsverhältnisse 470 kg/ms, hat bei 8-0 m Stützweite eine gleichförmig verteilte Last von q — 2600 kgfm zu tragen und soll in der Trägermitte das in Figur 31 unter I ersichtliche, 35 cm breite Profil erhalten. Die notwendigen Längen der Einlagen (im ganzen acht Rundeisen zu je 21 mm Durchmesser) sind mit Rücksicht auf die Momente allein zu bestimmen u. zw. sollen durch stufenweise Weglassung je zweier Eisen die drei Querschnitte II, III und IV erzielt werden.

Es werden zunächst die statischen Werte der vier Querschnitte ermittelt ; hiebei ist zu beachten, daß sich die Nutzhöhe h' mit dem Weglassen je zweier Eisen deshalb ändert, weil der Schwerpunkt der Eiseneinlagen ein anderer wird. Der Abstand a derselben von der Zugkante ist z. B. bei acht Einlagen a — 7 cm, bei sechs Einlagen 5'7 cm u. s. w. Die Entfernung x der Nullinie von der Druckkante ist sodann mittels Gl. 36), die Tragmomente der Profile I und II sind aus Gl. 39) mit Rücksicht auf die unterste der beiden Scharen der Einlagen, jenes der Profile III und IV aus Gl. 43) berechnet.

Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefaßt, und sind in diese auch die (im allgemeinen nicht erforderlichen) Betondruckspannungen af)d an den Punkten A, B, C und D aufgenommen, um die Abnahme derselben von der Mitte gegen das Ende zu zeigen.

Profil Eisenfläche

II

III

IY

69 cm²,

97'0 cm,

212 cm,

89’9 cm,

6210 kgm,

18’6 kgjcm?.

In Figur 31 sind die Tragmomente M in die Momentenlinie, welche

7/    *

z = h--—

ab(l

27-7

93-0

36-6

80’8

20920

40-4

20-8

94-3

33-0

83-3

16580

344

CO N GO H Ci Ol

87-5

12080

27-7

im gegebenen Falle durch eine Parabel mit der Scheitelordinate M — -g- q l² —

=-g- 2600.8² = 20800 Tcgm dargestellt wird, eingetragen und die betreffenden Horizontalen gezogen. Hienach ist die theoretisch erforderliche Länge der Rundeisen «...S^O m, i...5⁻18 m und c...6⁻70 m. Die Rundeisen d werden über die ganze Trägerlänge geführt ; die anderen werden von den Punkten B', 6" und D‘ an behufs Aufnahme der Hauptzugspannungen unter 45° nach aufwärts geführt.

Figur 31.

j21mm

Ö'

\Ć-3

____QSlüZi___J__°B

~"mr

0ÏS9Ï

IZ09ZO_____I

UJ

CD

=>

20Mkä'm|

-O

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•4*

d * JVI ti

-T,

•    •-----y.

- rvw

lOOOkgm - 2mm»

Längen M00.

Ob die Eiseneinlagen wegen einer nötigen Herabminderung der mittleren Haftspannungen nicht erst weiter gegen das Trägerende zu abgebogen werden müssen, würde eine besondere Untersuchung (s. Abschnitt V) benötigen.

ß) Balken mit veränderlicher Höhe.

Hier sind zwei Fälle möglich; entweder ist die Trägerform gegeben, das heißt, es sind die oberen und unteren Begrenzungslinien bekannt und es handelt sich darum, die Veränderlichkeit der Eiseneinlagen festzustellen, oder es kann die Form des Trägers selbst noch beliebig gewählt werden. Die Trägerhöhe und die Eisenfläche Fg im mittleren Querschnitte seien bereits nach dem früheren bestimmt.

Im ersten Falle kann man in folgender Weise vorgehen. Man ermittle für einige Trägerhöhen h₀, Ji₂...hn die Tragmomente unter der Voraussetzung voller Ausnützung der Eiseneinlagen und zwar in jedem dieser Querschnitte unter der Annahme der beabsichtigten Veränderlichkeit in der Zahl der Eiseneinlagen, also wenn (wie z. B. in Figur 32) vier Rundeisenstäbe im mittleren Querschnitte vorhanden sind, die Tragmomente für 1, 2, 3 und 4 Stäbe (s. Figur 33). Trägt man diese Momente in den, den Höhen h₀...hn entsprechenden Lotrechten auf

Figur 32.

und verbindet die der- nr-?—

selben Armierungsstärke y*¹""    iÎ!l_

si

C°i

: jD"

B'

Figur 33.

entsprechenden Punkte I durch Kurven, so erhält man in den Schnitten mit der Maximalmomentenlinie die gesuchten theoretischen Endpunkte der Eiseneinlagen. Hinsichtlich der Verlängerungen über diese Punkte hinaus gilt das unter a) Gesagte.

Es braucht hinsichtlich einer allfälligen Überprüfung solcher Träger kaum erwähnt zu werden, daß der gefährliche Querschnitt, das ist jener, in welchem die größten Spannungen eintreten, in dem Falle veränderlicher Trägerhöhe nicht an der Stelle des größten äußeren Momentes M liegen muß ; er wird vielmehr gegeben sein durch das kleinste Verhältnis des vorhandenen Tragmomentes zu dem im gleichen Querschnitte vorhandenen größten äußeren Biegungsmomente, welches Verhältnis immer gleich oder größer als ,,1“ sein muß.

Die Überprüfung wird sich also nötigenfalls auf mehrere Punkte ausdehnen müssen und am besten mit Hilfe des angedeuteten zeichnerischen Verfahrens geführt werden.

Kann die Trägerhöhe beliebig gewählt werden, so ist es theoretisch möglich, sie derart zu bestimmen, daß die größten Spannungen o von Beton und Eisen bei konstanter Belastung in den mittleren Querschnitten gleich den zulässigen Werten s sind, so daß also der Träger an diesen Stellen vollständig ausgenützt, ideal armiert, ist. Die erforderliche Trägerhöhe im beliebigen Querschnitte \ (Figur 32) bestimmt sich alsdann bei angenommenem b aus dem betreffenden Momente Mx nach Gl. 51) mittels

ist. Die erforderliche Eisenfläche ist dann nach Gl. 52) zu berechnen.

Dieser Vorgang setzt aber eine stetige Änderung des Eisenquerschnittes voraus ; da man nun in Wirklichkeit nur mit stufenweise veränderlicher Fläche rechnen kann, so wird die volle Ausnützung des Baustoffes wieder, wie in obigem Falle a), nur in einzelnen Punkten zu erreichen sein. Man wird dann in folgender Weise Vorgehen.

Durch Veränderung der Zahl der Einlagen mögen die Flächen F⁷/, Fg" u. s. w. erzeugt werden können ; die entsprechenden Höhen ermitteln sich aus der Gl. 52) mit

f:

2 fe»

V Sbd‘ h

h\ =

S'

wobei nach Gl. 49)

6 v (1 —£') M,

(3-0 ' **..

e' = -

und 7q =

ä'i

j, __2_ f»

¹ ’ ²“    Z»*“’

und die dazu gehörigen Tragmomente aus Gl. 56) mit

£'²(3-É')

6 v (! — $')

bh'lsez) M₂

S'²(3 — 0

6 v (1 — $')

in die Figur 33 ein, so findet man die Punkte, an welchen die Höhen h\, h\. ... und die Eisenflächen F'e, F"e ... . bezw. die ganzen Trägerhöhen

-....vorhanden sein müssen, wodurch einer-a

Trägt man diese Momente Mlf M₂

h\

1 —

seits die Trägerform festgelegt ist und anderseits sich wieder die erforderliche Länge der Eiseneinlagen bestimmen läßt.

Im vorstehenden wurden die Längen der Eiseneinlagen stets unter der Bedachtnahme auf die Bedingung ermittelt, daß die Zugspannungen des Eisens nicht die zulässige Grenze überschreiten.

Der in den amtlichen Vorschriften für ,,besondere“ Hochbauten und für Brücken verlangte rechnerische Nachweis der Betonzugspannungen kann hier unter Berufung auf die Ausführungen auf S. 43 und 49 entfallen.

3. Balken und plattenförmige Körper mit doppelter Eiseneinlage.

Diese Tragwerke mit Eiseneinlagen in der Zug- und Druckzone (Figur 34 und 37) kommen zur Anwendung, wenn a) in einem und demselben Querschnitte äußere Momente verschiedenen

Biegungssinnes infolge von Belastungen auftreten, die der Größe oder der Richtung oder der Größe und Richtung nach wechseln (also beispielsweise bei Gewölben, Fundamentplatten, Schleusenböden, eingespannten und durchlaufenden Balken u. s. w.), oder wenn ß) in einem Querschnitte, der nur von Momenten gleichen Biegungssinnes beansprucht wird, die Balkenhöhe im Verhältnisse zum Moment zu klein und daher eine große Zugarmierung notwendig ist; letztere kann dann nur ausgenützt werden, wenn auf der Druckseite durch Einlegen einer Eisendruckarmierung die daselbst sonst überbeanspruchte Betondruckzone mindestens bis zum zulässigen Wert sbd entlastet wird.

Es ist von vornherein wegen des Verhältnisses v — 15 klar, daß das Eisen im Druckgurte nie ausgenützt sein kann, denn seine rechnungsmäßige Spannung kann nur 15 mal größer als die in einer gleichgelegenen Betonschichte (ahd) sein. Nun beträgt im Maximum bei Hochbauten sbd — 42 hg/cm² ; es wird sonach, da die Druckarmierung vom Druckrande etwas abseits liegt, aed noch etwas kleiner als 15 X 42 = 630 kg/cm², also wesentlich kleiner als die gestattete Größe von se = 1000 kg/cm² sein ; für Straßenbrücken ergibt sich etwas ähnliches. Ungeachtet dieser nicht vollständigen Ausnützung des Eisens im Druckgurte wird der Gesamtaufwand an Eisen gegenüber einem gleich tragfähigen Balken von einfacher Armierung oft wesentlich geringer und sind daher die Verbundkörper mit doppelter Eiseneinlage unter Umständen, z. B. bei beschränkter Konstruktionshöhe, wirtschaftlich günstiger als einfach armierte Balken, wie später noch genauer gezeigt werden wird.

Figur 34.

a) Die Überprüfung, a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Normalzugspan-nungen im Beton), anzuwenden x; für alle Tragwerke im Hoch- und Brückenbau.

Figur 35.

'“T

Ir

4-

Die Spannungsverteilung

X\CD

in einem solchen Balken (Fi-

stellt. Zur Bestimmung desNull-

0 ^ -^+4- gur 34) ist in Figur 35 darge'

HO

linienabstandes x dient Gl. 33). In diese ist einzusetzen

=    Sed = Fed{x—a'), Seg — Fge (h'

0-007882 + 0-007941

oder

Die Bedingungsgleichung für x lautet somit:

x² -f

Hieraus ergibt sich :

X ==

1 [-» (K, + FJ + Vv= (f+ ^)²+2v6(i->'+f„*■)].. .60).

Mit den Bezeichnungen:

vF

ez

»F

ed

61)

wird in einfacherer Schreibweise

x—(X-f-Xf) —1 + |/1 + 2

(X -J- X')

. . . 62).

Für einreihige ,,schlaffe“ Eiseneinlagen ergibt sich aus den Gl. 12) und 17) mit Rücksicht auf den Wert

63),

Figur 36.

abd

V"

’^T'T

v M (h' — x) [

64).

J.

I

Nullinie

$2cm

jL_.

}—■

Jb_-2.0cmJ

Beispiel: Ein frei aufliegender Balken mit den Abmessungen nach Figur 36 habe ein größtes Biegungsmoment M—190000 kgcm aufzunehmen; wie groß sind die Spannungen aß2 und

Zur Ermittlung der Lage der Nullinie A dienen föb die Gl. 61) und 62), worin zu setzen ist: v = 15, Fe2— = 2.314 = 6-28 cm², Fed=3. Ï77 = 5-31 cm², b = 20 cm, h = 40 cm, a — a' — 0‘1 h — 4 cm, h' = 36 cm.

15.5-31

le

•=t-

Daraus folgt X = -— 8’69 cm ; weiter wird

15 . 6 28

20

= 4‘71 cm, V

20

= 3⁻98 cm und X -f- X' =

1 J/l F 2 .

4-71.36 + 3-98.4 8⁻69²

Es ist somit (x — a') — 8'42 cm, (h’ — x) — 23’58 cm und daher nach Gl. 63) J. = -1 20.12-42³ -f 15.5-31.8'42² + 15.6-28.23'58² = 70800 cm*.

x— 8⁻69

= 12'42 cm.

Aus den Gl. 64) ergibt sich schließlich 190000.12-42

33 3 kg/cm² und

hd

70800

948 kg/cm².*)

hz = —

15.190000.23-58 7Ö8ÖÖ

Handelt es sich um eine Hochhaukonstruktion, dann müßte nach HY. § 6, Abs. 1 der verwendete Beton mindestens 300 kg Portlandzement auf 1 m³ Gemenge aus Sand und Steinmaterial enthalten, da hiefür die zulässige Betondruckspannung (s. Tabelle Nr. 9, S. 172) sbd = 33-4 kg/cm² ist.

Bei Anordnung zweier oder mehrerer Scharen von Eiseneinlagen im Zug- oder Druckgurte ist in ähnlicher Weise, wie auf S. 33 gezeigt ist, vorzugehen.

Handelt es sich bei einer oder beiden Lagen der Armierungseisen um sogenannte „steife“ Formeisen, so ist das auf S. 34 Gesagte im sinngemäßer Weise zu beachten ; es darf alsdann im allgemeinen in dem Ausdrucke für Jt das in Gl. 63) stillschweigend ausgelassene Glied J°, das ist die Summe der Trägheitsmomente der betreffenden Eisenflächen, bezogen auf ihre eigenen, zur Nullinie parallelen Schwerachsen, nicht mehr vernachlässigt werden. Es gilt vielmehr für „steife“ Eiseneinlagen:

Jt= i bx³-{- v \Fed(x — a'Y -j- Fee(h’—^)²]-j-vJ®. . .63a) und (s. auch Figur 25)

*) Eine Kontrolle dieser Rechnungsergebnisse kann auch mittels der graphischen Hilfstafel, welche in dem Aufsatze „Hilfstafel und Näherungsformeln zur Berechnung doppelt armierter Balken und Plattenbalken“, von Professor J. Mel an, Sonderdruck aus den „Technischen Blättern“, Prag 1907, enthalten ist, erfolgen, da in dem obigen Beispiele die für diese Hilfstafel gültigen Werte a — a' = 0-1 h zutreffen. Mit den daselbst gewählten Bezeichnungen au und a₀ für die Armierungsziffern erhält man 100 Fe

au =

= 0-785 und a₀

100 Fed

0-665.

Der diesen Ordinaten entsprechende Punkt liegt auf der — —j

-Linie: 0-31

und auf der (m = 0‘178 b d² aè)-Linie. Mit den obigen Bezeichnungen ist also -^- = 0'3l, d. h. x = 0-31.40 = 12-4 cm und M = 0-178 b h² abd, somit

33-3 kg/cm²-,

hd-

190000

0-178.20.40²

dann ist

gg 15 (0 9 — C)

oder mit den hier verwendeten Bezeichnungen

15 Qi’ — x)

hd

28-5

und sodann 5^=28-5.33-3 = 948 kg/cm².

Die Kontrollwerte zeigen vollkommene Überstimmung mit den oben berechneten.

ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton), anzuwenden für „besondere“ Hochbau- und für Brückentragwerke.

Das Spannungsbild des Balkens (Figur 37) ist in Figur 38 ersichtlich.

Figur 38.

Gbd

Mx

Ji *

?ez -

v M (h — au — x)

64 a).

Ji

Figur 37.

“J”'

B j. :"Tx

*r

A a.

'Ced

_L0

*4

x:

ri

.X...

W&.

-l-j.

€-3

ÖQZ

Cbz

Der Nullinienabstand bestimmt sich aus Gl. 6), in welche einzusetzen ist:

^bd-

— a') und

Sez= Fez(h' — a;₁). Die Bedingungsgleichung für x± lautet demnach :

y & V — y fi6 (ät— ^)¹ 2 = v Fez(F —

vFed(x i — «')•

Die Auflösung gibt:

x₁=-c+yc*+i),

\ ^ + V (FeÆFe<j) b(l — n)

p.hh' + 2v(Fiah'+Féaa’)

. . . 65).

I) =

Mi

M-)

Mit den in den Vorschriften gegebenen Werten tx = 04, v = 15

und nach Einführung der Hilfswerte Gl. 61): X wird weiter

vf .

ez . , .    ed

7— und K = —?— b    b

66).

Die nachzuweisende größte Betonzugspannung (in der Schichte CB) ist sodann nach Gl. 13) für einreihige ,,schl affe“ E isen-einlagen

P M (h —    )

JL

67).

wobei

•>; = y »[V + lU*-*.)*]+    !

+ v IF„ (V + Fti (X, - ay] ]

Für den Fall, als die Eiseneinlagen in der Zug- oder Druckzone in zwei oder mehreren Scharen übereinander angeordnet sind, ist in ähnlicher Weise wie auf S. 33 erörtert ist, vorzugehen.

Für ,,steife“ Formeisen gilt das auf S. 34 diesbezüglich Gesagte ; alsdann kommt im Ausdrucke für «7¹ noch das Glied vJ® hiezu.

Wie aus den späterfolgenden Ausführungen erhellt, kann der rechnungsmäßige Nachweis der Betonzugspannungen bei sämtlichen, hinsichtlich der Armierungsziffern innerhalb praktischer Grenzen liegenden doppeltarmierten Rechteckbalken, bei welchen die vorgeschriebenen Grenzen der Betondruck- und Eisenzugspannungen eingehalten erscheinen, entfallen, so daß die Vorführung eines Beispieles überflüssig wird.

b) Das Entwerfen.

Beim Entwerfen doppelt armierter Balken sind die auf S. 60 ff. unterschiedenen Fälle a) und ß) zu trennen. Ist die doppelte Armierung durch den Wechsel des Vorzeichens des äußeren Momentes bedingt, so empfiehlt es sich für die erste Annahme, jede Armierung für sich ohne Rücksicht auf die andere hinsichtlich der Zugspannungen zu bemessen; man kann indessen auch nach der auf S. 63 zitierten Abhandlung von Mel an Vorgehen, in welcher ein Verfahren zur direkten wirtschaftlichen Bemessung einer doppelten Armierung für Gewölbe, wo dieser Fall hauptsächlich eintritt, angegeben erscheint.

Bei den folgenden Berechnungen sollen hingegen nur Balken der Art ß) betrachtet werden, also solche, die bei einer stärkeren als der einfachen und idealen Zugarmierung eine volle Ausnützung der letzteren gestatten, ohne daß hiebei die gestattete Betondruckspannung überschritten wird.

Mit Beziehung auf das bei den einfach armierten Balken auf

S. 37 hinsichtlich der Wirtschaftlichkeit Gesagte liegt die Vermutung nahe, daß auch unter den doppelt armierten Balken der

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Trag werke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

hier betrachteten Art jene, bei denen die Eisenzug- und Betondruckspannung gleichzeitig die gestatteten Grenzwerte sez und sbd erreichen und welche im folgenden doppelt und ideal armierte Balken genannt werden sollen, die wirtschaftlichsten sein werden ; stellen sie doch bei größtmöglicher Ausnützung von Eisen auf Zug und Druck und von Beton auf Druck jene Balken dar, die bei verhältnismäßig größter Tragfähigkeit gerade noch den amtlichen Vorschriften genügen.

Eine Bestätigung für die Richtigkeit dieser Schlußfolgerung konnte einer Hilfstafel entnommen werden, welche von den Verfassern mit der Annahme a=a' — 0⁻08 und mit den durch die Vorschriften gegebenen Grenzwerten der Beton- und Eisenspannungen auf Grund des in der Fußnote auf S. 63 angeführten Aufsatzes des Professors M e 1 a n angefertigt wurde, von deren Wiedergabe hier indessen mit Rücksicht auf den zur Verfügung stehenden Raum abgesehen wird. Diese Tafel zeigte, daß die doppelt und ideal armierten Balken mit jenen, welche unter allen doppelt armierten Balken von gleicher Tragfähigkeit den geringsten Gesamteisenaufwand haben, also die wirtschaftlichsten sind, hinsichtlich dieses Aufwandes mit großer Genauigkeit übereinstimmen.

Selbst wenn man a und a’ nach

ed‘

Die vorliegende Aufgabe ist nun folgende. Es sind die Grenzwerte shd und seg sowie M gegeben und es soll ein entsprechender Rechteckbalken gesucht werden; in Betracht kommen die Werte b, h, a, o!, F(y und F( praktischen Regeln als bestimmte Teile von li annimmt, bleiben noch immer vier Unbekannte, während nur die aus den zwei Gleichgewichtsbedingungen folgernden Gl. 60) und 64) zur Verfügung stehen. Man muß demnach noch zwei Größen, etwa b und h, annehmen und die Aufgabe lautet dann wie folgt:

Für einen Balken mit der Höhe/i und der Breite b sind die F1 ä c h en Fgz und Fgd der unteren und oberen Eise nein lagen so zu bestimmen, daß bei gegebenem äußeren Momente M die größten Betondruck- und Eisenzugspannungen die gestatteten Grenzwerte shd und sej erreichen.

Der betreffende Nullinienabstand ist wieder durch Gl. 50) mit x = i'li' gegeben, wobei nach Gl. 49)

t’ =

VSbd

Sez + V Sbd

ist.

Führt man diesen Wert in die Bedingungsgleichung für x (S. 62) sowie in die erste der Gl. 64) ein und setzt weiters

a'

—î- = a'

68),

so erhält man nach einiger Umformung

a!

a'

h'söd

irbVSh'.

O

Aus diesen beiden Gleichungen wird :

3 a'

F =

ez

» (1 - F) (l

a'

£' M — Pi'(3-i')sbdbh’*

. . 69).

ed

a'

a'

rK*'

Diese Gleichungen geben einen klaren Einblick in die erstmalig von Dr. M. Mil ank ovitch*) gezeigten einfachen Beziehungen, wie sie bei dieser Tragwerksart bestehen. Man ersieht vorerst, daß die notwendigen Eisenzug- und Eisendruckflächen sich mit dem Tragmomente geradlinig ändern, sobald die Betonfläche und die Grenzwerte sbd und sez konstant bleiben. Daher gehört unter den gleichen Voraussetzungen zu jedem, jeweilig einem bestimmten Momente entsprechenden Fez, dessen Armierungsziffer

100 F„

Pz =

bh

natürlich größer sein muß als die nach den Gl. 54)

und 55) festgelegte Ziffer der einfachen und idealen Armierung *p, nur ein einziges Fed und zwar mit einer Armierungsziffer 100 F ,

ed

. Dieses Ftd soll im folgenden, die (einer bestimmten

Zugarmierung beigeordnete) ideale Druckarmierung genannt werden, obschon die betreffende Spannung aei (im Gegensatz zu oeJ unter dem zulässigen Wert se bleibt, da sie, wie bereits auf S. 61 bemerkt wurde, auf der Druckseite niemals vollständig ausgenützt werden kann.

Pd =

bh

*) Dr. M. Milankovitch, „Beitrag zur Theorie der Beton-Eisenträger“, Wien 1905.

Aus Gl. 69) ergibt sich

i —er

F =

± ed

.F

ez

$'² b h'

Pd

1 —a

1 — S'

2v(p-

Ê'

a'

■P* —

1 - a

50 É'²(l — a)

a'

1 —a

Während also bei den einfach und ideal armierten Balken die Ziffer der idealen Armierung *p durch die Maßverhältnisse des Betonquerschnittes und die Grenzwerte sgz und sbd allein bestimmt ist, also das Tragmoment auf diese Größe keinen Einfluß nimmt, hat man es bei den doppelt und ideal armierten Balken mit unendlich vielen einander zugehörigen, durch die Gl. 70) festgelegten Paaren von pz und pd zu tun, die jeweilig zu einem bestimmten Momente gehören, wobei jedoch pz^>ip sein muß.

Man erhält diesen Wert als ein pz, dem ein pd = 0 zugeordnet ist, aus den Gl. 70) ; derselbe stimmt mit dem aus den Gl. 54) und 55) für einfach und ideal armierte Balken ermittelten Werte überein und beträgt

ip _

50 e'²(l

a)

V (1 - $')    •

Damit eine doppelte und ideale Armierung überhaupt möglich ist, muß M> — (3—i')bh''²sbd sein, d. h. es muß

oder

7*'<

QM

(3 -i')bsbi

6<

QM

71)

angenommen werden.

Beispiel. Es sei die Aufgabe gestellt, den unter hb) der Beispiele für die einfach armierten Balken (S. 53) gegebenen Träger, für den sich p>ip herausstellte, doppelt und ideal zu armieren.

Das Kriterium für die Anwendbarkeit einer doppelten und idealen Armierung (Gl. 71) ergibt mit M — 190000 lcgcin, b = 20 cm, sbd= 32 kg/cm², daß

b’ <:

gewählt werden muß.

6.190000

5' (3 — 5'). 20.32

Aus Tabelle Nr. 2, S. 45 folgt    = 0‘3243, mit welcher Ziffer sich ergibt

h¹ <4:5‘3 cm oder wegen a = 0⁻08...Ä<

49⁻2 cm. Der vorliegende Balken

45-3

0-92

mit h — 40 cm (h’ = 0⁻92.40 = 36’8 cm) kann daher doppelt und ideal armiert werden.

Nach Gl. 69 erhält man

Fe,=

0-3243

0-3243 190000 +-g—

0-3243

0-24

0-92

32.20.36-8²

15.0-6757 1

0-08

5-74 cm².

0-92

.32.36-8

Nach Gl. 70 ist nun 0-6757

Feä =

0-3243

0-08

5-74

0-3243².20.36-8

0-92

30 0-3243

0-08

? = 5⁻48 cm².

0-92

Dem Eisenaufwand entspricht hier

100.5-74    100.5-48

P=Pz+Pd

20.40

20.40

= 0-72 + 0-68 = 1-40.

Für den gleich tragfähigen, einfach armierten Balken (s. S. 53) ergab sich p = 1*9 ; dies zeigt den bedeutenden wirtschaftlichen Vorteil der doppelt und ideal armierten Balken für jene Fälle, in welchen die ideale Armierung für einen einfach armierten Balken nicht mehr ausreicht.

Beim Entwerfen doppelt armierter Balken oder Platten muß indessen bei „besonderen“ Hochbau- und bei Brückentrag werken auch darauf Bedacht genommen werden, daß die zulässigen Betonzugspannungen eingehalten werden. Um hierüber Anhaltspunkte zu gewinnen, soll zunächst auch hier eine Untersuchung — ähnlich der früher für die einfach und ideal armierten Balken angestellten — vorgenommen und soll für doppelt und ideal armierte Balken oder Platten das Verhältnis der Zugspannung o+ (nach Verfahren B berechnet) zur Betondruckspannung abd (nach Verfahren + ermittelt) bestimmt werden.

Die zur idealen Armierung erforderlichen Eisenflächen Fez und Fgd sind durch die Gl. 69) gegeben. Setzt man diese Werte in die erste der Gl. 64) und in Gl. 67) ein, so erhält man M einmal als Funktion von c+und das anderemal als Funktion von ahz ; durch Gleichstellung dieser Ausdrücke gewinnt man das Verhältnis aby:abd, das nun mit dem laut der amtlichen Vorschriften gestatteten Werte verglichen werden kann.

Zur Klarlegung der bei doppelt und ideal armierten Balken auftretenden Verhältnisse ist die bereits bei den einfach armierten Balken mit Erfolg verwendete Tafel Nr. 1 zu benützen ; sie dient zur Überprüfung und zum Entwerfen nur solcher Balken mit doppelter Eiseneinlage, die gleichzeitig ideal armiert sind.

Es soll hier ausdrücklich hervorgehoben werden, daß absolute Werte dieser Tafel nur für jene Fälle, bei denen

a'

-y = 0‘08 ist, entnommen werden dürfen, und daß h

a = a' = e

in allen anderen Fällen die Gl. 61) bis 64) bezw. Gl. 69) und 70) zu verwenden sind.

Die im halben Maßstab der pz aufgetragenen Ordinaten der Geraden IX geben die Ziffer der idealen Druckarmierung pd an, welche einem jeweiligen pz > rp zugeordnet ist. Das Anwachsen der pd gegenüber den px ist gegeben durch Gl. 70) mit

dpd

a'

72)

und beträgt für Hochbauten

2-048,

2-382,

2-848.

im Mischungsverhältnis 470 kg/m³

350 Icg/m3 280 Icgjm³

Jede Druckarmierungsziffer, die — einem bestimmten^ zugeordnet — größer als das betreffende pd ist, läßt bei Ausnützung Eisens auf Zug Betons auf Druck

j die Ausnützug des j

des

Betons auf Druck Eisens auf Zug

nicht zu, oder anders gesagt, die den pz >> *p zugeördneten pd vermögen die bei einfacher Armierung nach den Kurven II auftretenden Betondruckspannungen, welche einer vollen, aber in diesem Falle nicht zulässigen Ausnützung des Eisens auf Zug nach den Geraden III entsprechen, auf die zulässige Grenze sbd herabzudrücken. Gleichzeitig werden die nach den Kurven V bei demselben Tragwerke auftretenden Betonzugspannungen ermäßigt.

In der Tafel Nr. 1 ist für das Mischungsverhältnis 1 : 5 die

Kurve X der —-- eingetragen. Diese Kurve X dient nur zum Nach-

Sbd

weis, daß bei doppelt und ideal armierten Balken und damit auch für alle doppelt armierten Balken, die den Vorschriften entsprechen und deren Armierungsziffern innerhalb praktischer Grenzen bleiben, die rechnungs-mäßigenBetonzugspannungena/)sdenzulässigen Grenzwert sbz niemals erreichen. Es wird daher auch nicht nötig sein, rechnerisch nachzuweisen. Aus der Lage der Kurve X ersieht man nämlich, daß selbst bei ^ = 1*7 und gleichzeitigem pd — 3"49, also bei einem Gesamteisenaufwande von 5-2% das nach S. 65 bestimmte, rechnungsmäßig vorhandene a₀₂, = 0"656 shd noch nicht den gestatteten Grenzwert s^ = 0"6875 sbd (Gerade VI) erreicht hat. Auch ist aus der Lage der Kurven V gegenüber den Geraden VI ohneweiters ersichtlich, daß für die

Mischungsverhältnisse b) 350 kg/m³ und c) 280 kg/m³ die Erreichung des zulässigen Grenzwertes erst bei noch bedeutend höheren Armierungsziffern eintritt.

Daß ab> auch für doppeltarmierte Balken, deren Druckarmierungsziffer kleiner als pd ist, gilt, ist auch ohne rechnerischen Nachweis einzusehen; eine Ermäßigung der Druckarmierungsziffer unter pd hat nämlich bei gleichbleibendem pz und bei Einhaltung der zulässigen Betondruckspannung sbd ein Kleinerwerden des rechnungsmäßigen abg zur Folge, da hiedurch das in erster Linie einflußnehmende Tragmoment kleiner wird. (Vergl. weiter unten die Lage der Geraden XI gegenüber Kurve VII).

Doppeltarmierte Balken aber, deren Druckarmierungsziffer größer als pd ist, gelangen wohl nicht zur Anwendung, da dies nicht dem Zwecke derselben entsprechen würde und einer Verschwendung an Druckeinlagen gleichkäme. Auf solche Balken wird daher nicht weiter eingegangen.

Die Geraden XI stellen die Beziehung zwischen dem Tragmoment für doppelt und ideal armierte Balken und dem zulässigen sbd sowie den Balkenabmessungen dar.

Es treten somit die Werte der Kurven IX, X und XI gleichzeitig bei der vollen Ausnützung der doppelt und ideal armierten Balken auf.

Die bereits erwähnte geradlinige Änderung des Tragmomentes mit der Armierungsziffer pz bezw. pd ist nach Gl. 69) ausgedrückt durch

dM

a'

dpz

100 v

—) <1 -i')hhh'sb

Dies ergibt für v = 15, a = a' = 008 und h = 0‘92 h

dM

= 0-126

f'

— b h² sb

dPz

Mit $' = -p- aus Tabelle Nr. 2, S. 45 wird die einem Ap = 1*0

entsprechende Änderung A M des Momentes und zwar für Hoc lifo auten :

(V

für das Mischungsverhältnis:

a)    470    kg/m³    .    .    .    A M = 0-1998 b h² sb

b)    350    kg/m³    .    .    .    A M — 0-2268 b h² sb

c)    280    kg/m³    .    .    .    A M = 0-2623 5 h² sb

Aus der hieraus bestimmten Lage der Geraden XI gegenüber der Kurve VII ist die bedeutende Erhöhung des Tragmomentes

infolge der idealen Druckarmierung gegenüber einem einfach armierten Balken, dessen p, >• \p ist, deutlich zu ersehen.

Die Kurven VIII und XI geben die mit den Armierungsziffern p_ = 0'3 bis 2‘0 überhaupt erreichbaren Tragmomente von Balken mit gegebenen Abmessungen b, h an, wobei aber von p=‘p aufwärts die Zugabe einer „idealen“ Druckarmierung im Ausmaße pd erforderlich ist.

Beispiel für die Verwendung der Tafel Nr. 1. Kontrolle des auf S. 68 rechnerisch durchgeführten Beispiels.

Es beträgt :

0*186;

190000 bhisbd ~ 20.40².32

dem entspricht nach Kurve XI für eine Hochbaukonstruktion im Mischungsverhältnisse 280 kgjcm³.

• • pz

= 0*72 und pd — 0*68, so daß

Fez= 0*0072.20.40 = 5‘76 cm²

und

Fed= 0-0068.20.40= 5'44 cm²

nötig wird. Diese Werte stimmen befriedigend mit den gerechneten überein.

Aus dem Vergleich der umständlichen rechnerischen Ermittlung nach Gl. 69) und derjenigen mittels der Tafel Nr. 1 is't der große Vorteil der letzteren zu ersehen.

c) Ermittlung der Länge der Eis en ein lagen (Materialverteilung) mitBücksichtauf die Momente.

Die Eiseneinlagen doppelt armierter Träger können entsprechend den äußeren Momenten veränderlich gestaltet werden

Figur 93. 30

’K

& iX

„ysÆfu

in der Weise, daß nicht alle Armierungseisen über die ganze Länge durchlaufen, sondern einzelne an den Stellen geringerer Momente auf hören. In ähnlicher Weise, wie dies oben bei den Balken mit einfacher Einlage gezeigt wurde, kann die Austeilung der Eisen (bei Trägern von überall gleicher Höhe h) einfach und übersichtlich mittels einer sogenannten Materialverteilung durchgeführt werden. Der einzuschlagende Vorgang werde an einem frei auf-

liegenden Träger gezeigt, von welchem die Linie der Maximalmomente A CB (Figur 39) als bekannt betrachtet wird. Die Beziehungen zwischen Fe, und M sowie zwischen Fed und M (Gl. 69) haben für ideal armierte Balken im allgemeinen die Form

Fez = C,M+C₂,

M+Cif

sind also, wie schon früher erwähnt, linearer Natur und können daher durch Gerade dargestellt werden. Faßt man Ox als Ordi-natenachse (Achse der Momente) und Oy als Abszissenachse (Achse der Fez und Fed) auf, so mögen KL die Gerade der Fez und BL jene der Fed darstellen.

Diese Geraden werden am einfachsten gefunden, wenn man M einmal den Wert Null, ein anderesmal einen beliebigen Wert

etwa jenen, für welchen Fgz = Fgd, also M₁

-7v— wird, bei-

legt und die zugehörigeu Fgz und Fed aus den Gl. 69) berechnet.

Macht man O Q — cp₀ = C₂, DL = cpe — 6\ M₁ -f- C₂, 0 V — cpr₀ = und OD = M1} so erhält man die Geraden QL und VL als Darstellung der Fc, und Fgd.

Man sieht, daß erst bei einem Moment O P eine doppelte Armierung notwendig wird. Einem beliebigen Momente, etwa M = EF, entsprechen also bei doppelter und idealer Armierung, die durch die gegebenen Grenzwerte sbd und sgz festgelegt ist und in der Lage der F₍ - Geraden ihren Ausdruck findet, die Flächen F = G H und F . — G J.

ez    ea

W,

wobei das Moment der Strecke

Umgekehrt findet man für eine angenommene Zugarmierung, deren Fläche etwa dargestellt ist durch Fgz = BS, die zugehörige Fläche der Druckarmierung F'rr] dargestellt durch BT und die Stelle der vollen Ausnützung der Zugeisen und des Betons auf Druck in U bezw.

UW entspricht.

Hinsichtlich der zum Anschlüsse erforderlichen Verlängerung der Eiseneinlagen über den Punkt U hinaus und der Rücksicht

auf die mittlere Haftspannung gelten die gleichen Bemerkungen wie bei den einfach armierten Balken.

(S. 56 und Abschnitt V.)

Hiezu ist noch folgendes zu bemerken : Die Veränderlichkeit der Eisenflächen Feg und Fgd ist praktisch genommen dadurch gegeben, daß der größte bezügliche Querschnitt von Fez aus etwa n gleichen Stäben (Rundeisen, Knoteneisen u. s. w.), jener von Fgd etwa aus m gleichen Stäben hergestellt wird, von denen mit der Veränderlichkeit des Momentes M einzelne wegzulassen sind. An ein-und derselben Stelle, also bei einem gewissen Momente 1M entspricht nach dem obigen einer verringerten Fläche F'ez eine vollkommen

Figur 40.

Untere Eiseneinlagen

Obere Eiseneinlagen

$27mm

JL

J.

42'42/X

T~

3-80

T55

6'69

1=8'

Om

OO

28Z&iiçç______?

Vim._____

X 1Î46 hh / !

..5%\ ______ÂJi

g 9X22/321

471

JW

ff

3438

/h

5656

aa

ee

2L7P.____

_X45'84

L,

.U

6470

-*MI

—T

’r

10000

Momente

10000

10000

50000 kgm

l ! 11 {Il 11

IMI

CD

10

10

50

Flächen

50

■s

70cm²

i:    ab

!oof-- <*>-

w

LJ5J

bestimmte Fläche der Druckarmierung F'ed. Es wird nun wegen — Fe möglichen Veränderung von Fed möglich sein, den im Punkte M erforderlichen Querschnitt F'ed

der nur nach

Längen 1:100.

meist nicht

genau in dieser Größe anzuordnen, sondern man wird genötigt sein, die nächst größere erzielbare Fläche herzustellen.

Beispiel. Der in dem Beispiele S. 57 dargestellte Betonbalken soll derart armiert werden, daß er eine gleichförmige Last von q — 5100 kg/m zu tragen vermag. (Figur 40.)

Das äußere Moment in der Balkenmitte ist

M = -^-.8².5100 = 40800 kgm.

Die erforderliche Höhe h' für einfache und ideale Armierung wäre nach Tabelle Nr. 2, S. 45 (Hochbauträger, Mischungsverhältnis 470 kg/m³):

140 cm ; da für h nur 100 cm zur Yer-

h' = 0-3761

128⁻4 cm, also h etwa

h'

0-92

0-4064 wird. Mit b — 35 cm und h' — 92 cm nehmen die Gl. 69)

fügung stehen, so muß eine doppelte Armierung angeordnet werden. Für diese werde angenommen a = a' — 8 cm, also a = a' = 0-08 ; für ideale Armierung wäre nach den Vorschriften sbd = 42, sez= 1000 kg lern². Eine annähernde Vorberechnung hat indessen ergeben, daß die Zugeisen in 2 Scharen übereinander angeordnet werden müssen ; um zu vermeiden, daß die Eisenspannung in der äußersten Eisenschichte größer als zulässig wird, muß die Spannung sez, welche sich auf den Schwerpunkt des ganzen Eisenquerschnittes bezieht, entsprechend kleiner angenommen werden.³) Hiefür wird demnach schätzungsweise see~ 920 kg fern² gesetzt, wonach gemäß Gl. 49) 15.42

920 + 15.42 die Form an:

Fez = 0-00001294 M + 1'59, Fed= 0-00002404 M— 52-55.

Für M = 4080000 kgem ergibt sieh

Fez — 54-38 cm², Fed — 45-54 cm².

Angeordnet werden für Fez. 8 Rundeisen von 30 mm Durchmesser, zusammen 8 X 7"07 = 56⁻56 cm², für Fßd: 8 Rundeisen von 27 mm Durchmesser, zusammen 8 X 5-73 = 45-84 cm².

Behufs Veränderung des Querschnittes sollen stufenweise je zwei Eisen in der aus Figur 40 ersichtlichen Weise weggelassen werden; hiedurch entstehen im Zuggurte Eisenflächen von 56-56, 42-42, 28-28 und 14-14 cm², im Druckgurte solche von 45-84, 34-38, 22-92 und 11-46 cm². Es handelt sich nun um die Bestimmung der theoretischen Längen der Eiseneinlagen.

Zum Zeichnen der beiden Geraden, welche den Zusammenhang zwischen den erforderlichen Eisenflächen und M darstellen, dienen folgende Werte, welche nach den, in Figur 40 ersichtlichen Maßstäben eingetragen wurden.

Für M = 0... Fez — 1-59 cm² — O Q,

= 0.. .Fgd= — 52-55 cm² = ÖF,

Für Fed = 0... M == 21860 kgm = O P.

Für M — 48770 kgm : Fez = Fed = 64'7 cm² =“zTL.

Hiernach sind die beiden Geraden QL und VL gezeichnet. Trägt man die Abszissen gleich den oben berechneten verschiedenen Flächen in diese Geraden ein, so erhält man Horizontale, welche auf der Ordinatenachse die betreffenden Tragmomente abschneiden und in ihren Schnittpunkten B, C, D, N, K, J mit der Mo-mentenlinie die theoretischen Längen der Eiseneinlagen bestimmen.

In Figur 40 ist der Deutlichkeit halber die Materialverteilung der Eisen im Zuggurte links, jene der Einlagen im Druckgurte rechts aufgetragen.

Zu bemerken ist noch, daß die Länge der oberen Einlagen h h durch die Gerade PH gegeben ist, wobei OP jenes Moment bezeichnet, bei welchem noch keine obere Armierung erforderlich ist; ferner kann die Länge der unteren Einlagen dd und cc, da bei alleinigem Vorhandensein derselben nur ein einfach armierter Träger vorliegt, nicht mittels der Geraden Q L bestimmt werden, sondern ist hiefür wie für einfach armierte Träger (s. Beispiel S. 57) vorzugehen. Die theoretischen Längen der Einlagen sind in Figur 40 eingeschrieben.

¹

— -g- [2 h + 5 (X -f- X')],    |

²

-|[A²-f 5(XÄ' + X' a’)] j

³

An dieser Stelle möge darauf aufmerksam gemacht werden, daß die Resultierende der Zugkräfte der beiden Eisenscharen nicht durch den Schwerpunkt des ganzen Eisenquerschnittes hindurch geht und daß sie vielmehr wegen der Verschiedenheit der Spannungen in den beiden Scharen etwas tiefer liegt. Für die Bestimmung des Hebelsarmes des inneren Momentes bezw. der gesamten Eisenzugkraft wäre somit streng genommen nicht der Schwerpunkt des ganzen Eisenquerschnittes sondern der Zugmittelpunkt maßgebend. Die Abweichungen sind indessen unwesentlich.

4. Plattenbalken (Rippenplatten) mit einfacher Eiseneinlage.

Das große Anwendungsgebiet, das sich die Plattenbalken unter den Tragwerken aus Eisenbeton gesichert haben, verdanken sie der wirtschaftlichen Anordnung der verwendeten Betonmassen. Um an denselben bei größeren Tragmomenten zu sparen, hat man nämlich den Beton der Zugseite, auf dessen Wirkung nicht unbedingt gerechnet werden darf und den man daher nach dem Verfahren A rechnungsmäßig bei der Aufnahme von Normalzugspannungen nicht berücksichtigt, nur in einzelnen Rippen von solcher Breite angeordnet, als es die Einbettung der Zugeisen erfordert. Auch die Heranziehung der ohnedies als Decke notwendigen Platte zur Aufnahme der Druckspannungen muß schon ohne rechnungsmäßigen Nachweis einen von Haus aus erkennbaren wirtschaftlichen Vorteil bringen. Dem Beton der Rippe verbleibt somit, ähnlich wie dem Stehblech vollwandiger Eisenträger, mehr oder minder die Rolle der Aufnahme der Querkräfte.

Diese Anordnung hat aber nicht nur unmittelbar, sondern wegen des bedeutend verminderten Eigengewichtes auch mittelbar eine Materialersparnis an Beton und Eisen zur Folge ; dem Eisen kommt überdies auch gegenüber den Platten seine größere Entfernung von der Druckzone zu gute. Nur für kleine Tragmomente werden Platten oder Rechteckbalken wirtschaftlicher ausfallen, da dann die Materialersparnis die Verteuerung an Schalung nicht aufzuwiegen vermag.

In den amtlichen Vorschriften für Hochbauten (HV. § 5, Abs. 12) sind Bestimmungen enthalten, welche jene Plattenbreite

begrenzen, die bei der statischen Berechnung von Plattenbalken einbezogen werden darf. Hiernach darf diese als mitwirkend in Rechnung zu ziehende Breite nach jeder Seite, von der Rippenachse aus, nicht größer als die vierfache Rippenbreite oder als die achtfache Plattendicke oder endlich als die zugehörige Achsenentfernung der Rippen angenommen werden, wobei das kleinste dieser Maße zu wählen ist. Überdies dürfen Platten von Plattenbalken nicht als mitwirkend in Rechnung gestellt werden, wenn deren kleinste Dicke bei Hochbauten weniger als 6 cm, bei Straßenbrücken (BY. § 5, Abs. 10) weniger als 8 cm beträgt.

Für ,,besondere“ Hochbauten und für Brücken sind in gleichen Belangen gemäß HV. § 5, Abs. 9, BY. § 5, Abs. 7. bestimmte rechnungsmäßige Betonzugspannungen sbz einzuhalten, was, wie später gezeigt werden wird, zur Folge hat, daß die Rippenbreite nicht zu sehr beschränkt bezw. die Yerlagsweite der Rippen nicht zu groß werden darf ; dadurch wird gleichzeitig das übermäßige Anwachsen der Schubspannungen beim Anschluß der Rippe an die Platte hintangehalten.

Figur 42.

Figur 41.

A Ohri

Ë¹

Nullinie

K 'je

ÏÏ

Oe z

JL____L

Die maßgebenden Abmessungen eines Plattenbalkens sind (Figur 41) : Die Gesamthöhe H, Rippenhöhe h, Plattendicke d, Plattenbreite B, Rippenbreite b und Eisenfläche Fe mit ihrem Schwerpunktsabstande a von der Zugkante. Mit den Bezeichnungen

73)

ß, ~ = o

erhält man für die Armierungsziffer p der Eiseneinlagen, bezogen auf die ganze Fläche des Plattenbalkens

100 Fe

P ~ ~B d + b h

100 Fe

BH * ß + 8(1 — ß) ' *

a) Die Überprüfung.

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung* der Normalzugspannungen im Beton), anzuwenden für alle Tragwerke im Hoch- und Brückenbau.

Die Spannungsverteilung ist in Figur 42 ersichtlich. Es handelt sich zunächst wieder um die Lage der Nullinie A bezw. um die Bestimmung des Abstandes x derselben von der Druckkante. Hiebei können zwei Fälle eintreten; entweder fällt 1) die Nullinie in die Platte AB CB oder 2) sie schneidet die Rippe EFG H. Je nach der Länge 1) oder 2) sind andere Formeln zur Berechnung der Größen abd und erforderlich.

Fällt die Nullinie in die Plattenunterkante (x = d), so kann dies als Grenzfall zwischen 1) und 2) aufgefaßt werden. Um zu bestimmen, welcher der zwei Fälle vorliegt, empfiehlt es sich, x vor allem unter der Annahme des Falles 1) zu bestimmen ; es gilt dann Gl. 36) mit entsprechender Änderung der Buchstaben, so daß wird :

1+JA-+

/    vF\

oder (mit Benützung der Hilfslänge X — j

— X -f Vx²-f 2Ek.

2 BE’

vF

75).

x —

Zur rascheren Beurteilung, ob nun tatsächlich Fall 1) oder etwa Fall 2) vorliegt, sowie zur direkten Bestimmung des x für alle einfach armierten Platten, Rechteckbalken sowie der Plattenbalken des Falles 1) {x *< d) kann man sich zweckmäßig der nachstehenden Tabelle Nr. 3 bedienen.

Das unter der Voraussetzung x<C.d bestimmte x ist nach Gl. 75) nur abhängig von B, H' und Fe. Mit der Einführung der oc

Verhältniszahl C = -TJF, sowie einer auf die Fläche B H' bezogenen

Armierungsziffer p' —

100 Fp

e

BE

erhält man

200

100

und mit v = 15 schließlich

C =f(p’) = y(0*15y)²-f 0*3/ — 0-15/ . . . .76).

Die Tabelle gibt für eine Reihe von p'-Werten innerhalb praktischer Grenzen die Ç' an ; Zwischenwerte können mit genügender Genauigkeit geradlinig eingeschaltet werden.

Ergibt sich x — ÇH' kleiner als d (Fall 1), so ist dieser Wert von x bereits der richtige ; ist hingegen das gefundene C' H' > d, so bedeutet dies, daß man es mit dem Falle 2): x^>d zu tun hat und daß die richtige Lage der Nullinie aus der später folgenden Gl. 79) zu bestimmen ist.

Tabelle Nr. 3.

Entfernung der Nullinie x — Ç' H' von der Druckkante bei einfach armierten Balken, Platten und Plattenbalken (bei letzteren für x < d) mit der „nutzbaren“ Höhe H'.

P'

C'

A,

C'

Ax

C'

Ax

o-o

o-o

0-02

0-04

0-06

0-08

0-10

0-15

0-20

0-0745

0-1037

0-1255

0-1434

0-1588

01908

0-2168

0-0745 0-0292 0-0218 0-0179 0-0154 0 0320 0-0260 0-0221

0-25

0-30

0-35

0-40

0-45

0-50

0-55

0-60

0-2389

0-2584

0-2758

0-2916

0-3061

0-3195

0-3320

0-3437

0-0195

0-0174

00158

0-0145

0-0134

0-0125

0-0117

0-0110

0-65

0-70

0-75

0-80

0-85

0-90

0-95

1-00

0-3547

0-3651

0-3750

0-3844

0-3933

0-4018

0-4100

0-4179

0-0104

0-0099

0-0094

0-0089

0-0085

0-0082

0-0079

Fall 1) x<^d (Figur 43).

Mit dem aus den Gl. 75) oder aus der Tabelle Nr. 3 entnommenen Wert x findet man nun — da hinsichtlich des Verfahrens A die Betonzugfläche nicht in Betracht kommt und theoretisch der Fall eines einfach armierten Balkens vorliegt — die maßgebenden Spannungen aus den Gl. 39) und 40) mit

Mx

Figur 43.

■H

-o; 0'

.3.

ar

.3.

© ©■

Gbd =

JA

Gez

vM(H' - x)

Ji

. . .77)

Ji =Ju+yJ=~

oder bei Verwendung von einreihigen ,,schlaffen“ Eiseneinlagen mit genügender Genauigkeit auch nach den einfacheren Gl. 43) mit

J°e+Fe(H'-xy

2M

. 78).

&ez

Fällt die Nullinie gerade in die Plattenunterkante (Figur 44), so ist in den Gl. 77) und 78) x gleich d zu setzen.

Figur 44.

r-

Fall 2) x >> d.

Für diesen Fall müssen nun

------

•—4-

n-

r besondere Gleichungen aufgestellt A    werden, da ein Teil der Betondruck

zone auch in die Rippe fällt. Die allgemeine Gl. 33) zur Bestimmung der Nullinie lautet mit Rücksicht auf das Fehlen einer Druckarmierung :

hierin ist zu setzen (s. Figur 41)

Bx²    / ti    ₇. (x — d)²

2    ⁽-® — s) —ö—'

Sbd

Sez= Fe(H' — x).

Die Gleichung für x lautet demnach :

Bx² — (B — b) (x — d)² — 2 v Fe (H' — x)

woraus folgt:

x^-A+VZ^ + B,,

(B — b) d + v Fe

79).

(B—b) d² -\-2 v Fe H'

Die größten Betondruck- und Eisenzugspannungen berechnen sich nach den Gl. 12) und 17) mit

Mx

Gbd

Ji

vM(H'-x)

Ji

Ji = [Bxs — (B — b) (x—d)s] -f- vFe (H' — x)²

ó

Eine Ver einfach un g der obigen Formeln läßt sich erzielen, wenn die in den Druckteil des Betons fallende Rippenfläche (JEFKJ in Figur 41) vernachlässigt wird. Dies ist für viele, ja für die meisten Fälle der Praxis mit hinreichender Genauigkeit zulässig, im allgemeinen immer dann, wenn die Nullinie nahe an die Plattenunterkante fällt. Beim Zusammentreffen von verhältnismäßig dünnen Platten, breiten Rippen und starker Armierung sind die Abweichungen beträchtlicher ; auch auf die rechnungsmäßige Tragfähigkeit bei Einhaltung der Grenzspannungen sbd und ses hat diese Vernachlässigung unter genannten Umständen einen nicht unwesentlichen Einfluß ; beispielsweise ist bei

b

^ = ß = 0-3

T und B

und idealer Armierung die Tragfähigkeit bei Berücksichtigung des Rippendruckteiles rechnungsmäßig um 16 v. H. größer als jene bei Vernachlässigung des genannten Teiles.

Hinsichtlich der vereinfachenden Annahme lehrt eine kurze Überlegung, daß die Betondruckfläche kleiner, folglich rechnungsmäßig die Betondruckspannung abd etwas größer und wegen des nun größeren Hebelarmes des inneren Momentes die Eisenzugspannung a.„ etwas kleiner wird als bei der genauen Berechnung.

Zu den einfacheren Formeln gelangt man auf folgendem Wege: Wird der Stegteil JEFKJ (Figur 41) vernachlässigt, so ist das statische Moment der Druckfläche

bd

1!

— [x¹ 2 — (x — f/)²] = — (2 x d — d²) A    A

und die Gleichung zur Bestimmung von x lautet:

8, = v 8 oder

oa    ez

B (2 x d — d²) = 2 \> Fe (W — x),

woraus sich berechnet

1 +

2 * Bd + vFe

oder (mit Benützung der Hilfslänge X =

"F,

B~)

Die Werte <sez und abd lassen sich in einfacher Gestalt durch Einführung des Abstandes y des Druckmittelpunktes von der Nulllinie darstellen.

und

oder

Sind abd und a'bd die Spannungen in der äußeren und inneren Schichte der Platte

Figur 45.

A Cfbd ÿ (Figur 45), so ist der Abstand w der Druck-s D kraft D von der Druckkante

T"i

■oi

id

bd

weiter wird (wegen a'bd — abd .

d 3 x — 2 d

W ~ T ' 2x — d

d(3x — 2 d) X 3 (2 x — d)

d*

2 ^6(2x -d)

82).

Die größten Spannungen abd und agz ergeben sich dann aus der Gleichsetzung des äußeren Momentes M und des inneren Momentes a . Fe (H' — x -f- y) zu :

Mx    [

VF(R’-x) (H' — x + y) J

. . . 83).

Figur 46.

~t

Die Gl. 77), 78), 80) und 83) gelten zunächst für einreihige „schlaffe“ Eiseneinlagen.

Bei Plattenbalken kommt nun wegen der relativ geringeren Breite, die für die Unterbringung der Eiseneinlagen zur Verfügung steht, bei verhältnismäßig starker Armierung häufig der Fall vor, daß die Eiseneinlagen in zwei oder drei Lagen übereinander angeordnet werden müssen; in diesem Falle

8$ 28/nnu-«

• • • • •• •

L-M

7L.....J3.....

.1

sowie bei Verwendung „steifer“ Formeisen hat das auf S. 33 und 34 Gesagte sinngemäß Anwendung zu finden.

Beispiel. Bei einem Hochbaue hat der in Figur 46 dargestellte Plattenbalken auf 9 m Stützweite eine gleichförmige Last von 1200 kgjm (einschließlich des Eigengewichtes) und zwei im Abstande von je 1-5 m von der Mitte liegende Einzellasten von je 2700 hg zu tragen. Mischungsverhältnis 350 hgjm?. Wie groß sind die Spannungen ? Das größte Moment ist

M —    1200.9²-|- 2700.3 = 20250 kgm — 2025000 legem.

Im vorliegenden Falle ist B = 150, b — 30, d = 10, H = 60, H' = 53 (alle Maße in cm), Fe — 8.6-16 = 49⁻28 cm². Um zuerst zu entscheiden, ob die Nullinie

100.49-28

in die Platte fällt oder die Rippe schneidet, wird zunächst p'

loo

BE'

150.53

== 0⁻62 bestimmt.    *

Aus der Tabelle $ r. 3) ist zu entnehmen, daß hiefür ungefähr C' = 0-348, also C'H' = 18-4 cm wird; da dies größer als d = 10 cm ist, so fällt die Nullinie in die Rippe.

Es sind sonach die Formelgruppen 79) und 80) anzuwenden; nach Einsetzen der obigen Größen wird Ax — 64⁻64 cm, Bx — 3011-8 cm², x = 20⁻2 cm, J- = 1174000 cm4 endlich

_Mx 2025000.20-2

1174000

34-8 hgjcm²,

15.2025000.32-8

1174000

v M (IE — x)

Ji

= 849 hgjcm².

wenn

ist die Eisenspannung im Schwerpunkte aller Eiseneinlagen zusammengenommen (s. Fußnote S. 75); die maßgebende Spannung in der unteren Schar, deren Mitte 3-5 cm von der Zugkante entfernt liegt, ergibt sich zu

849.36-3

32-8

940 hgjcm².

Mit Rücksicht auf die für das angewendete Mischungsverhältnis gestatteten Spannungen sbd — 37 und sez= 1000 hgjcm² genügt sonach der untersuchte Querschnitt.

Derselbe soll nun auch nach dem angenäherten Verfahren geprüft werden. Nach den Gl. 81) und 82) wird zunächst x — 20⁻8 cm, y = 16‘3 cm, ferner (H' — x) — 32-2 cm, (.H' — x-\-y) — 48-5 cm, endlich nach Gl. 83)

- = 847 hgjcm²,

2025000

49-28.48-5

abd

20-8 847

32-2-W = ³⁶'5Li,/‘!”*-

Die Spannung in der unteren Eisenschar wird hier

°'ez = -

847.35-7

32-2

939 hgjcm².

Die Unterschiede gegenüber der genaueren Methode sind im vorliegenden Falle selbst bei den Betondruckspannungen nicht wesentlich.

ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton), anzuwenden für „besondere“ Hochbau- und für Brückenbau-

Tragwerke.

Die Verteilung der Spannungen im Plattenbalken Figur 47 ist in Figur 48 dargestellt. Der zunächst zu suchende Abstand der Nullinie B von der Druckkante sei hier (zum Unterschiede von dem nach Verfahren A berechneten und dort x genannten) mit x₁ (Figur 47) bezeichnet.

Es sind auch hier die zwei Fälle möglich, daß die Nullinie entweder in die Platte fällt oder den Steg schneidet, je nachdem xx > d ist. In der Praxis kommt beinahe durchwegs der Fall vor, daß die Nullinie den Steg schneidet. Eine Reihe von, durch die Verfasser angestellten Berechnungen, auf deren Wiedergabe hier verzichtet werden soll, ergab nämlich, daß für Plattenstärken d < 0‘20 H, selbst bei Rippen von nur 0'08 B Breite und bei einer Armierungsziffer von nur p = 0‘5, xxZ>d ausfällt.

Erst bei Plattenstärken von d = 0‘3 H fällt diese Nullinie dann in die Platte, sobald bei einer Armierungsziffer von

p = 0'5 die Rippenbreite b <Z —

und von

p — 1*0 die Rippenbreite b < —

wird, während auch hier bei p = l‘5 die Nullinie B immer den Steg schneidet.

Figur 47.

Figur 48.

zu

xi

sz

Jt____I-

&ez

^bz

Es wird daher nur in seltenen Fällen notwendig werden, xy nach dem im folgenden unter 1) behandelten Fall xx<Zd zu berechnen, und dies dann, wenn nach den Gl. 86) für den Fall 2) der Rechnungswert xx sich kleiner als d herausstellt. Dies kann nur gleichzeitig mit x<Zd eintreten.

Fall 1) xx < d. (Figur 49.)

Es wird die allgemeine Gl. 6) benützt, welche, da keine Druckarmierung vorhanden ist, lautet:

Sbd=iiSbg-\-vSec,

worin ist

Ä.

bd

B xx

2~ ’ “i

s„=FAR' — xi)-

— Y [& (-ff — xiY + (B — &) (d — a*)²],

Daraus ergibt sich

—— ^2 ~f" y ^2² “i⁻

f* [6 #+ (J5 - i) d] -f v Fe (l-tfß    %

\l[1)    — b) d²] + 2 v

84).

B₂ =

(1 -v)B

Die größte Betonzugspannung in der Zugkante berechnet sich am einfachsten nach Gl. 13) :

[j. M (H — xx)

S6* = -

J¹

l

y [Bx^ -f- \ib (H — ^)³-l- \i (B — b) (d — ą)³J -f-+ vFe(H, — xiy*)

. 85).

Figur 49.

h-

Fällt die Nullinie gerade in die Plattenunterkante, so ist in Gl. 85) x₁ gleich d zu setzen, wo-

i.....

L-IlJ

sti=^st.+,s„

und mit den folgenden statischen

Momenten (s. Figur 47):

bd

sh =

oz

~[B xx² — (B — b) (xt — d)²] y(H-x,)*, Sez = Fe (R

— *l)

ergibt sich

x₁ — — A₃ -(- y A₃ ² -j- B.ä,

ja 5 77-j- (7? — b) d + V Fe (1 - fi) b    \

fi b m + (B — 7) 7* + 2 V E TT

. . . 86).

a) b

Die maßgebende Betonzugspannung in der Zugkante ermittelt sich wieder aus :

(1

ja il1 (H — xt )

J¹

wobei nun nach Gl. 11) ist :

87).

t-H .CO

[B xx ³ — (B — b) (xt — d)³ -j- |x b (II — xx )³] -|-+ v F (77' — xxy *)

Unter Bezugnahme auf S. 81 muß bemerkt werden, daß eine Vernachlässigung des in die Rippe fallenden Betondruckteiles hier einen größeren Einfluß als beim Verfahren A hat, da die nach Verfahren B ermittelte Nullinie bedeutend weiter als die nach Verfahren A bestimmte von der Plattenunterkante entfernt liegt. Es gilt dies sowohl für die Bestimmung von x₁ als auch von J\.

Die Gl. 85) und 87) gelten zunächst für einreihige „schlaffe“ Eiseneinlagen. Hinsichtlich des Falles mehrerer „schlaffer“ Einlagen oder „steifer“ Formeisen gilt die bezügliche Bemerkung von S. 82 und 83.

J¹ =

2

Beispiel. Der in dem Beispiele auf S. 83 behandelte Plattenbalken soll in bezug auf die auftretende Betonzugspannung aJ)Z überprüft werden.

Mit den im gegebenen Falle gütigen numerischen Werten von b, B, ff, ff' und d wird nach den Formelgruppen 86) und 87) As — 147-7 cm, B₃ = 7419‘7 cm², Xi = 23‘3 cm, ferner ff — xx — 36*7 cm, IV — Xi = 29⁻7 cm, JI — 1397000 cm⁴, sonach

0-4.2025000.36-7 1397000

Da laut HV. § 6, Abs. 1 beim Mischungsverhältnisse 350 kgjmz.. .shz = 24 kg/cm2 zulässig ist, so genügt der untersuchte Querschnitt auch hinsichtlich der Betonzugspannungen.

abz

21⁻3 kgjcm².

b) Das Entwürfen.

Die Aufgabe, einen Plattenbalken zu finden, welcher gegebene Lasten unter Einhaltung — aber nicht notwendiger gleichzeitiger Erreichung — gegebener Grenzwerte der zulässigen Spannungen (für „gewöhnliche“ Hochbauten sbd und s ., für „besondere“ Hoch-

bauten und für Brücken sbd, sbz und seg) zu tragen vermag, läßt natürlich unendlich viele Lösungen zu, unter welchen die wirtschaftlichsten*) auszuwählen sein werden, insofern nicht andere, bereits bei den Balken besprochene Bedingungen vorliegen.

Im allgemeinen erscheint die erwähnte Aufgabe, falls sie so gefaßt wird, daß die vorgeschriebenen Grenzspannungen gerade erreicht werden sollen, verhältnismäßig umständlich dann, wenn es sich um ,,besondere“ Hochbauten oder um Brückentragwerke handelt. Bei diesen muß nämlich der betreffende Plattenbalken zwei verschiedenen Bedingungen entsprechen, indem sowohl die nach Verfahren A nachzuweisende Betondruck- und Eisenzugspannung**) den Wert sbd und segf als auch die nach Verfahren B zu berechnende Betonzugspannung den Wert s/jg annehmen soll. Die Aufgabe läßt sich aber wesentlich vereinfachen, wenn man auf die Beziehungen eingeht, welche allgemein zwischen den Maßverhältnissen der Plattenbalken und den Spannungen sowie den betreffenden Tragmomenten bestehen. Diesem Zwecke dienen die beiden nachstehenden Abschnitte.

*) Siehe Fußnote aut S. 37 ff.

**) Hinsichtlich des Wesens des rechnungsmäßigen <sbg soll hier neuerdings auf die Bemerkungen verwiesen werden, die bereits auf S. 41 und 42 für die Balken und Platten gemacht wurden.

Eine besondere Untersuchung hat gezeigt, daß die ideal armierten Plattenbalken, deren Begriffsbestimmung durch die bei den einfach armierten Balken (s. S. 37) gegebenen Erklärungen festgelegt ist, dann für österreichische Preisverhältnisse die wirtschaftlichsten sind, wenn die Rippenbreite rund ¹/i der Plattenbreite

und darüber ^ß >

beträgt. Hiebei ist eine relativ große Verhältniszahl

angenommen; wird h kleiner, dann rückt auch

₇ Eisenpreis pro Raumeinheit Betonpreis pro Raumeinheit der Grenzwert für ß herunter.

Ist die Rippe jedoch schmäler, dann kann durch eine Vergrößerung der Rippenhöhe bei gleichbleibender Platte ein billigerer Typus für dieselbe Tragfähigkeit dadurch gefunden werden, daß durch Verringerung des Armierungsgehaltes mehr beim Eisen erspart wird, als der Mehraufwand an Beton beträgt; die Vergrößerung der Rippenhöhe findet für die Wirtschaftlichkeit eine von der Rippenbreite und den Preisverhältnissen abhängige obere Begrenzung. Diese höheren Träger gestatten dann natürlich nur die rechnungsmäßige Ausnützung des Eisens allein; wie hier bemerkt werden soll, ist bei solchen höheren Trägern die Betonzugspannung <jbg kleiner als die gestattete (sbz), wenn die Rippenbreite bei idealer Armierung der Einhaltung von sbz gemäß gewählt worden ist. Unter allen Umständen bilden aher vom wirtschaftlichen Standpunkte aus die ideal armierten Plattenbalken in jenen Fällen, in denen sie nicht den allerbilligsten Typus darstellen. beim Entwerfen eine gute Handhabe für die erste Wahl der Dimensionen, dies umsomehr, als der Unterschied der Kosten des ideal armierten Trägers gegenüber dem billigsten, praktisch genommen, immer ein unwesentlicher bleibt.

Beziehungen zwischen den Spannungen abd, agz und abz bei Plattenbalken mit beliebiger Armierungsziffer p.

Einen lehrreichen Einblick in die bei Plattenbalken verschiedener Typen herrschenden Beziehungen zwischen den Betondruck-, Eisenzug- und Betonzugspannungen abd, aez und abz, wie sie sich gemäß den vorgeschriebenen Berechnungsmethoden und zwar in ihrer Abhängigkeit von der Armierungsziffer p ergeben, gewinnt man aus folgender Untersuchung, deren in graphischen Darstellungen niedergelegte Ergebnisse die Überprüfung sowie das Entwerfen von einfach armierten Plattenbalken von beliebiger Armierung sehr wesentlich vereinfachen.

Ein Plattenbalken sei durch seine Abmessungen gegeben und habe eine der Armierungsziffer p entsprechende Eiseneinlage. Mit den Bezeichnungen 73) ist die ganze Fläche

F = B d -f b (H— d) = [3 + ß (1 — o)] B H

und

88).

Fe = 0-01 p [Ô + ß (1 — 6)] B H

Unter der Einwirkung eines Biegungsmomentes M entstehen (nach Verfahren A berechnet) gewisse Betondruck- und Eisenzugspannungen abd und aez und ebenso (nach Verfahren B ermittelt) gewisse Betonzugspannungen ; die Verhältnisse, in welchen diese drei Spannungen zueinander stehen, also die Werte

abd

und

Gbd

sind vom Momente M unabhängig, wie aus einer Betrachtung der Gl. 77), 78), 80), 83), 85) und 87) hervorgeht, laut welcher alle diese Spannungen dem M direkt proportional sind.

Diese Verhältniszahlen sollen nun allgemein bestimmt und durch die Abmessungen und die Armierungsziffer des Plattenbalkens ausgedrückt werden. Hiebei wird durchgehends die Annahme verhältnismäßig kleiner Eisenprofile gemacht und demgemäß J°e (s. Fußnote auf S. 31) vernachlässigt.

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung- der Normalzugspannungen im Beton), anzuwenden für alle Tragwerke im Hoch- und Brückenbau.

1. Fall: x<d(:< Ô).

Die Gl. 77) und 78) sind entsprechend umzugestalten. Mit den früher eingeführten Verhältniszahlen a, ß, 6 und dem Werte von Fe aus Gl. 88) wird

0'02 p [6 —|— ß (1 — o)]

abd

2. Fali: x^>d(Z>o).

In ähnlicher Weise wie früher findet man aus den Gl. 79) und 80) mit Rücksicht auf Gl. 88) : x = C ff,

.ä

. . . 90).

(1 - ß) ô -f- 0-01 V {ô -h ß (1 -ö)}j,

»! = 4 [(1 - ß) ⁰² + °-°² v p (1 - «) {6 + ß (1 - Ô)} y (1 — a — C)

abd ß) Verfahren B (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton), anzuwenden für „besondere“ Hochbau- und für Brückentragwerke.

1. Fall: xx <C d (Cx <C 8).

abd

x — C -ff*),

= 0-01vj> [ö + ß (1 — o)] — 1+J/l-f

200(1 - a)

v*[S + ß(l-8)]

<V

89).

Hier kommen die Gl. 84) und 85) und für das Verhältnis auch Gl. 78) in Betracht. Es wird

°bz

Sbd

xx = :x h,

Ci = —»2 +V3l₃² + «₂,

-[!*{? + (1 - ?) 8} + 0-01 »i> {8 + ß (1 - 8))], 9

$₂ =

- [u {ß + (1 - ß) 8²} + 0-02 vp (1 - a) (8 + ß (1 - 8)}] 9

H<>

— Ci)

² 4[-i+9ß(₁-^₎3 + 9(₁-ß₎₍8-Cl)³H-0-01vi,B+ß(l-ö)](l-a-C₁)²

91).

2. F a 11 : xx >> d (Cx >> 8).

Gbd

Hier sind die Gl. 86) und 87) zu benützen; hinsichtlich des Ver-hältnisses —— ist, je nachdem x<^d oder x^>d war, die erste

wird hier zum Unterschiede von dem Werte

*) Für das Verhältnis

Jd

-^- = $ bei den ideal armierten Plattenbalken die Bezeichnung Ç eingeführt. Jd.

der Gl. 78) oder 80) zu verwenden und selbstverständlich das dazugehörige x bezw. C aus den Gl. 89) oder 90) zu entnehmen.

Man erhält :

xx =^R,    ,

Ci =

[t* ß -f (1 - ß) 8 + 0-01 v p {3 + ß (1 - 8)}],

ß (1 - V.)

®3 =

[fi ß + (1 — ß) 8* + 0-02 v p (1 - a) |8 + ß (1 - 8)}],

ß (i — i0

bei C < ô (C aus Gl. 89):

3[,C    (l-Ci)

92).

abd

2 Ci³ - (1 - ß) (Ci - 5)³ + p. ß (1 - Ci)³ + 0-03 V p {h + ß (1 — 8)} (1 - a - Ci)²

bei C > 8 (C aus Gl. 90):

ßb*

9(1-C4 ‘ obd

C,³ —(1 -ß)(C —8)⁸ + 0-03vp{8 + ß(l—8)}<1 -a-C)2 = Ci³ — (1 — ß) (Ci —ö)³-(-,u.ß(l — C₁)³-f0-03v^[5 + ß(l —6)](1 — a —Ci)²

Auf Grund der oben entwickelten Formeln wurde nun für eine Reihe von Typen, welche die praktisch vorkommenden Fälle

einschließen dürften, und zwar für die Verhältnisse ß = ~ = 0‘08,

0’1, 0'15, 0‘2, 0’25 und 0'3, ferner für 8 = -^ = 0,l, 0'2 und 0'3

H

und für Armierungsziffern von p — 0'5, 1/0, 1*5, 2‘0 und 3'0 die a    a

abd

Gbd

Werte — und —— ermittelt und in der Tabelle Nr. 4, S. 93 bis 95,

zusammengestellt. Für sämtliche Typen ist der Abstand des Schwerpunktes der Eiseneinlagen mit a — 0’08 H, also a = 0⁻08 angenommen.

In dieser Tabelle sind auch die Werte der Momente M eingetragen, welche sich für die betreffende Type ergeben, und zwar in der Form M — ^ . B H² <sbd und M =    . B H² aez, nach dem

Verfahren A berechnet unter Benützung der Gl. 77).

Nach Einführung der obigen Bezeichnungen ergibt sich für Fall a) und b), also für x << d, xx<d:

«i =

[C³ + 0*45^ {ß -h (1 —■ ß)8| (0-92 — C)²] . . .93);

für Fall c) x^> d, x₁ >> d :

«i =

-a:³-( i-ß) (c — 0)³ +

+ 0-45p {ß-f-(l ~ ß) ö} (0-92 — C)a] .....94).

Den Wert des Momentes, ausgedrückt durch acy, findet man aus dem obigen mittels der Beziehung

v(l — « —C)

= ä,

95).

15(092 — 0

Ein Vergleich der laut der amtlichen Vorschriften zulässigen

s.    s

Werte von — und — (s. Tabelle Nr. 1, S. 43) mit den in der

Sbd

Sbd

Tabelle Nr. 4 enthaltenen analogen Werten läßt sofort erkennen, welche Typen in einem gegebenen Falle jeweils (nach Mischungsverhältnis und Armierungsziffer) unzulässig sind. Hat man anderseits einen gegebenen Typus mit einer bestimmten Armierungsziffer p zu überprüfen, so ist der Tabelle sofort zu entnehmen, ob — wenn die Betonzugspannungen in Frage kommen, es sich also um,,besondere“ Hochbau- oder um Brückentragwerke handelt — das Verhältnis

— den zulässigen Wert — überschreitet oder nicht, in welch

Gbd    Sbd

zl

letzterem Falle die rechnerische Prüfung hinsichtlich der Einhaltung der zulässigen Grenzwerte der Betonzugspannungen a/(_ entfallen kann. Endlich kann der Tabelle entnommen werden, welcher der Grenzwerte von abd, <sbz und a,., das ist s/u], sb„ und se jeweilig zuerst erreicht wird und daher für die Tragfähigkeit bezw. das Tragmoment maßgebend ist.

Einen klareren Einblick in die bezüglichen Verhältnisse gewinnt man indessen aus den graphischen Darstellungen der Tabellenwerte, wie sie in den Tafeln Nr. 2 bis 7 gegeben sind. Für jeden der drei angenommenen Werte

S = 4l = 0-3. 0-2 und OH

sind zwei Tafeln, die eine für Hochbauten, die andere für Brückenbauten gezeichnet; jede Tafel enthält vier Quadranten, von

ab~

welchen der Quadrant rechts oben die Darstellung der —, jener a    .

rechts unten die der —, der Quadrant links oben die Momente M,

°bd

jener links unten die C angibt. Alle diese Werte sind als Ordinaten zu den Armierungsziffern als Abszissen aufgetragen.

Dadurch erhält man mit Rücksicht auf die angenommenen sechs

Ij    (H

Werte von ß für jedes Verhältnis = 3 und oje eine Kurve,

x>    ¹    ±i

für jede der Größen —, —, M und C demnach in jedem Qua-

abd abd

dranten sechs Kurven; dieselben sind mit dem betreffenden ß bezeichnet. Die für jeden Quadranten gütigen Maßstäbe sind an den lotrechten Quadrantseiten angeordnet.

Aus den Tafeln können nun für jede beliebige Armierungsziffer die obigen maßgebenden Werte direkt und mit genügender Genauigkeit abgelesen werden, so daß eine Berechnung meist entbehrlich werden dürfte. Bei Verhältnissen, die zwischen den ß = 0'08, 0-1, 015, 2‘0, 2’5, 3‘0 und 8 = 0'3, 02, 01 liegen, sowie für in der Tabelle Nr. 4 nicht direkt angeführte Armierungsziffern p wird man hinreichend genau geradlinig interpolieren dürfen.

So findet man z. B. für einen Hochbauträger mit ej=0-l und ß — 0’2 bei

aez

abd

p — l'O (Tafel Nr. 4) == 33*7 ; liegt das Mischungsverhältnis 280 kgfm² vor, so ist

fff — ¹⁰⁰⁰

sbd ³²

das Eisen voll beansprucht werden soll; denn für c>eÆ, =    = 1000 kglcm² findet

1000 337

Tragmoment dieses Trägers ergibt sich mit 0-0024 B H² (agz — sez) — 24 BH². Die Entfernung x der Nullinie von der Druckkante wird x = ÇH=0'28l[.

Für „besondere“ Hochbauten und für § = 0% ß = 0-15 und jp = l-4 er-

G    Gl

gib sieh (Tafel Nr. 3)    = 30-9, — = 0-733 ; handelt es sich um ein Mischungs-

= 31'2. Hier kann also der Beton auf Druck nicht ausgenützt werden, wenn

sich sbd

29"6 Tcgjcmi² gegenüber einem zulässigen Wert von »bd = 32 lcgjcm². Das

abd

abd

Verhältnis 470 kgfm², so ist — =    = 23-81 und

sbd ⁴-

- = 0-595. Hier kann

sJ>z_ __ 25 sbd ⁴²

sonach der Beton auf Druck und das Eisen auf Zug nicht ausgenützt werden, da sonst die Betonzugspannungen zu groß würden. Sollte nämlich abd—fibd —42 kg/cm2 werden, so wäre af)Z — 42 . 0⁻733 = 30⁻8 und ae, = 30'9 . 42 = 1298 kglcm², beides größer als die zulässigen Werte von 25, bezw. 1000 kglcm². Man kann hier den Beton auf Druck nur mit dem kleineren jener Werte beanspruchen, der sich aus

den gefundenen Verhältniszahlen — — 0 733 und — = 30⁻9 für cbz — 25 und aez —

°bd    abd

— 1000 kglcm² ergibt. Nach ersterer Bedingung wird oft^=34'l, nach letzterer 32‘4 kglcm²-, dieses ist also die zulässige Grenze für abd

Wird dieselbe eingehalten, so ist gleichzeitig ^ez — sez=1000 kglcm² und g6s = 32-4 . 0*733 = 238 kglcm².

Für dasselbe p wird das Moment (hier zugleich Tragmoment) :

0-00373 B H² (rsez = sez) = 3*73 B H².

Zur Kontrolle kann auch die Kurve der BH² obd benützt werden; man findet

Tabelle Nr. 4.

,, —, —- und Momente M für einfach armierte Platten-

¹ hd abd

Werte von C, C

balken mit verschiedenen Armierungsziffern p (a = 0*08).

II

<n.

II ^ |cq

Armierungsziffer p

Nullmien-

abstand

x^H

xx<xH

Verhältnis der Spannungen

Moment

Eisenfläche

BH*abd M^QBIPae2

F-WoBH

Cl

°ez

hd I abd

Äi

0-5 0-1965 0-2376 1-182 55-19

1- 0 0-2645 0-2891 0-944 37-15 0-08 1-5 0-3123 0 3310 0-791 29-20

2- 0 0-3519 0-3674 0-679 24-22 3 0 0-4173 0-4280 0-531 18-07

0-0840

0-1100

0-1273

0-1391

0-1539

01521

0-2961

0-4359

0-5744

0-8517

0-178

0-356

0-534

0-712

1-068

0-5 0 1999 0-2471 1-099 54‘01

1- 0 0-2688 0-2979 0-898 36-32 0-10 1-5 0-3172 0-3398 0-758 28-50

2- 0 0-3576 0-3762 0-654 23-59

3- 0 0-4232 0-4364 0-513 17-61

0-0853

0-1117

0-1289

0-1406

01555

0-1579

0-3073

0-4522

0-5960

0-8831

0-185

0-370

0-555

0-740

1-110

cp

0-5 0-2079 0 2684 0'952 51'34

1- 0 0-2790 0-3183 0-805 34-44 0-15 1-5 0 3292 0 3601 0'689 26'92

2- 0 0-3711 0-3963 0-599 22 19

3- 0 0-4380 0-4557 0'474 16-51

0-0885

0-1154

0-1327

01443

C-1589

01723 0 3351 0'4929 0-6504 0-9626

0-203

0-405

0-608

0-810

1-215

0-20

0-5 0-2156 0-2872 0 847 48*99 1-0 0-2886 0-3366 0'734 32 80 1-5 0-3406 0-3783 0 634 25-52 0 0-3837 0-4141 0 553 20-97 0 0-4515 0-4725 0'442 15'56

0-0914

0-1189

01362

0-1476

01622

0-1865

0-3623

0-5338

0-7040

1-0421

0-220

0-440

0-660

0-880

1-320

0-5 0-2228 0-3039 0-769 46-90

1- 0 0-2977 0-3532 0-678 31-33 0-25 1-5 0-3515 0'3946 0'590 24’26

2- 0 0-3954 0-4299 0'518 19 90 3 0 0-4633 0-4874 0-417 14-79

0-0943

0-1222

0-1393

0-1508

0-1654

0-2009

0*3898

0-5742

0-7574

1-1190

0-238

0-475

0-713

0-950

1-425

0-5 0-2297 0-3192 0-708 45-04

1- 0 0-3064 0-3682 0 634 30-04 0-30 1-5 0-3617 0-4092 0-554 23-15

2- 0 0-4063 0-4441 0'488 18'96

3- 0 0 4751 0-5006 0’394 14 05

0 0969 0-1253 0-1424 0-1537 0-1682

0-2150 0-4171 06150 0-8105 1 1974

0-255 0-510 0 765 1-020 1-530

II |fcq

-CD

tc|

Armierungsziffer p

Nullinien-

abstand

Verhältnis der Spannungen

Moment

Eisen

fläche

x=:h

xx=i XH

Ci

abd

4/—Bll² G/)d

Äg

M— ~ BH² Zez

Hin

F«=Wo-BH

Ä₂

Äs

5 0-1720 0-2183 1-266 65-17 0 0-2353 0-2703 1-039 43-65 0-08 1-5 0-2866 0‘3147 0-857 33-15 0 0-3302 0-3532 0-727 2679 0 0-4005 0-4167 0 559 19'46

9?

0-0742

0-0973

01098

0-1177

0-1273

0-1137

0-2229

0-3312

0-4393

0-6543

0-132

0-264

0-396

0-528

0-792

0-5 0-1766 0-2312 1-160 63-08

1- 0 0-2420 0-2833 0-969 42-02 0-10 1-5 0-2947 0-3277 0-806 31-83

2- 0 0-3391 0-3660 0-687 25-70

3- 0 0-4102 0-4289 0'531 18 64

0-0761

0-0992

0-1117

0-1196

0-1291

0-1205 0-2361 0 3510 0-4654 0-6925

0-140

0-280

0-420

0-560

0-840

0-5 0-1875 0-2600 0-972 58-58

1- 0 0-2577 0-3121 0-839 38-55 0 15 1-5 0-3135 0-3561 0-707 29'02

2- 0 0-3595 0-3937 0-608 23-39

3- 0 0-4316 0-4550 0-484 16 97

0-0804

0-1036

0-1159

0-1238

0-1336

0-1372

0-2687

0-3994

0-5294

0-160

0-320

0-480

0-640

0-7871

0-960

0-20

0-5 0-1975 0-2846 0‘847 54‘85 1-0 0-2723 0-3364 0*747 35-68

1- 5 0-3303 0-3797 0-637 26-78

2- 0 0-3773 0-4165 0-552 21-58

3- 0 0-4497 0-4762 0-437 15-69

0-0844

0-1076

0-1199

0-1278

0-1379

0-1538

0-3016

0-4477

0-5923 '    0-8789

0-180

0-360

0-540

0-720

1-080

0-5 0-2069 0-3057

1- 0 0-2857 0-3569 0-25 1-5 0-3454 0'3995

2- 0 0-3930 0-4356

3- 0 0-4653 0-4938

0-771 51-70 0-680 33-30 0-583 24-95

0 509 20-11

0-409 14-66

0-0880

0-1111

0-1236

0-1317

0-1428

0-1702

0-3336

0-4953

0-6548

0-9742

0-200

0-400

0-600

0-800

1-200

0-5

1-0

0-30 1-5

2-0

3-0

0-2160

0-2980

0-3588

0-4067

0-4786

0-3239 0-706 48-89 0-3745 0-627 31-31 0-4164 0-542 23-46 0-4517 0-475 18-93 0 5085 0-382 13 83

0-0913

0-1145

0*1272

0-1356

0-1464

0-1868

0-3657

0-5422

0-7163

1-0585

0-220

0-440

0-660

0880

1-320

II

"CD

Armierungsziffer p\

Nullinien-

abstand

Verhältnis der Spannungen

Moment

Eisen

fläche

x^H

°bz

abd abcL

0-5 0-1485 0-2280 1‘262 77’93

1- 0 0-2236 0-2832 1-000 46-71 0-08 1-5 0-2830 0-3294 0-813 33-76

2- 0 0-3324 0-3691 0-683 26-52

3- 0 0-4082 0-4335 0-523 18-81

O 0-1571 0-2479 1-125 72'84 1 0-2358 0-3026 0'907 43 53 0-10 1-5 0-2969 0-3484 0-744 31-48

2- 0 0-3465 0-3873 0-632 24-83

3- 0 0-4229 0-4504 0’487 17-63

M=Ê₁BH"abd

0-0588

0-0700

0-0755

0-0789

0-0832

0-0607

0-0719

0-0776

0 0812 0-0856

M,

Äa

Ä₃

0-0755

0-1498

0-2236

0-2975

0-4423

0-0833

0-1652

0-2465

0-3271

0-4855

0-086

0-172

0-258

0-344

0-516

0-095

0-190

0-285

0-380

0570

tH

0-5 0-1766 0-2875 0-916 63 14

1- 0 0-2622 0-3409 0-752 37-63 0-15 1-5 0-3259 0-3852 0-630 27-35

2- 0 0-3762 0-4226 0-542 21-68

3- 0 0-4520 0-4828 0'427 15 53

0-0648

0-0765

0-0827

0-0867

0-0920

0-1026

0-2033

0-3024

0-3999

0-5923

0-118

0-235

0-353

0-470

0-705

0 0-1937 0-3166 0'780 56 24 1 0-2836 0-3687 0-659 33-66 0-20 1-5 0-3484 0*4117 0’561 24-61

2- 0 0-3987 0-4478 0-487 19'62

3- 0 0-4734 0-5056 0-388 14-15

0-0686

0-0809

0-0878

0-0924

0-0985

0-1220

0-2403

0-3568

0-4711

0-6961

0-140

0-280

0-420

0-560

0-840

0-5 0 2087 0-3388 0'695 51-12    0-0721

1- 0 0-3011    0-3897    0-603    30-83    0-0855

0-25 1 5 0-3633    0-4315    0-517    22-67    0-0930

2- 0 0-4162    0-4665    0-449    18-16    0'0982

3- 0 0-4896    0-5224    0'362    13-19    0-1050

0-1410

0-2773

0-4102

0-5408

0-7963

0-163

0-325

0-488

0-650

0-975

0-5 0-2217 0-3564 0'635 47-25    0*0755

1- 0 0-3157    0-4061    0-572    28-71    0-0931

0-30 1-5 0-3808    0-4469    0-493    21-24    0 1011

2- 0 0-4302    0-4797    0-434    17-08    0'1067

3- 0 0-5024    0-5354    0-350    12-35    0-1139

0-1598

0-3243

0-4760

0-6248

0-9223

0-185

0-370

0-555

0-740

1-110

¹

d2Jr2'k H'

²

X~ 2 '    d-\-l.

M— 0 1134 BR² abd und mit aiÆ = 32-^Jcg/cm², M =3-67 B H², was genügend übereinstimmt. Die Entfernung x der Nullinie von der Druckkante wird x = Ç R = 030 R.

S ez    Sbz

In jede der Tafeln Nr. 2 bis 7 sind nun die Werte von— und ~ ,

sbd    bd

welche nach der amtlichen Vorschrift zulässig sind, als Parallele zur Abszissenachse eingetragen.

Für Hochbauten ist je eine solche Linie vorhanden; für Straßenbrücken entspräche, da ahd und aez mit der Stützweite veränderlich sind, eigentlich jeder Stützweite eine Gerade in den beiden betreffenden Quadranten. Der Deutlichkeit halber sind nur die für Stützweiten von 4 m und 20 m (welch letztere als beiläufige Grenze der Anwendbarkeit der Plattenbalken angenommen ist) geltenden Geraden eingetragen.

Sez '    ⁰ez

Die Schnittpunkte der Geraden — mit den — - Kurven be-

Sbd    abd

stimmen in ihren Abszissen die idealen Armierungsziffern *p, welche somit vorhanden sein müssen, wenn die beiden Spannungen aéz und abd gleichzeitig die zulässigen Grenzwerte se_ und sbd erreichen sollen, das heißt, wenn gleichz e itig das Eisen auf Zug und der Beton auf Druck bis zur zulässigen Grenze ausgenützt werden soll. So z. B. schneidet die für Hochbauten beim Mischungsverhältnisse 470 kg/m³ gültige Gerade auf Tafel Nr. 4 für ß == 0'2 aez

die --Kurve in einem Punkte, dem die Armierung *j?=l⁻57 ent-

abd

spricht. Dies besagt: Bei dem vorliegenden Plattenbalken (Plattenbreite gleich der fünffachen Rippenbreite und Plattendicke gleich 7₁₀ der Trägerhöhe) muß die Armierung = P57 sein, damit der Beton auf Druck und das Eisen auf Zug gleichzeitig ausgenützt, das heißt, der Beton auf Druck mit 42 kg]cm², das Eisen auf Zug mit 1000 kg/cm² beansprucht werden kann; bei schwächerer Armierung (siehe Kurventeil unter der Geraden für 470 kg/m³) wird

Gf z

— größer als zulässig, daher muß behufs Einhaltung des Grenz-

Gbd

wertes s^=1000 kg/cm², ahiJ kleiner werden. Es kann also dann der Beton nicht ausgenützt werden. Bei stärkerer Armierung als P57% (Kurventeil zwischen der bezeichneten Geraden für 470 kg/m³

und der Abszissenachse) wird—kleiner als der für gültige Wert;

°bd    Sbd

es wird dann das Eisen nicht ausgenützt werden können.

Bei „besonderen“ Hochbau- und bei Brückentrag-

werken kommen auch die Kurven der

und die Geraden — in

abd

Sbd

Betracht; deren Schnittpunkte bestimmen in ihren Abszissen jene Armierungsziffern p, welche vorhanden sein müssen, wenn die betreffenden Spannungen ^. und abd gleichzeitig die zulässigen Grenzwerte sbz und sb/l erreichen sollen, das heißt, wenn gleichzeitig der Beton auf Zug und Druck bis zur zulässigen Grenze ausgenützt werden soll.

Es möge untersucht werden, wie sich im früher behandelten Falle eines Plattenbalkens die Betonzugspannungen stellen.

Die Lotrechte durch den Punkt ‘p =1-57 gibt in ihrem Schnittpunkte mit der --Kurve Aufschluß, wie sich bei gleichzeitiger

°bd

Ausnützung des Betons auf Druck und des Eisens auf Zug der Beton auf Zug verhält. Der betreffende Schnittpunkt mit der

6fr 2

Gbd

—■Kurve (ß = 0’2) fällt unter die Horizontale, welche das zu-

Sbz

lässige Verhältnis —beiHochbauten(Mischungsverhältnis470£#'/m³)

sbd

angibt, das heißt, bei der idealen Armierung {p = P57 ist das Ver-

ai,~

hältnis — kleiner als den Grenzwerten entspricht; die Betonzug-

abd

Spannung ab erreicht also nicht die zulässige Grenze sbz Schneidet hingegen die Lotrechte durch den Punkt *p die bezügliche (abz : csbd) -Kurve oberhalb der dem betreffenden Mischungsverhältnisse zugehörigen Horizontalen, so wird bei der genannten Armierung der Beton auf Zug zu hoch beansprucht ; in diesem letzteren Falle entspricht somit der Träger den Vorschriften nicht.

bei ,,besonderen“ Hocherforderlichen rechne-

Einen weiteren Wert bieten diese graphischen Darstellungen auch insofern, als sie den bei der Überprüfung eines vorliegenden Plattenbalkens bauten und bei Brücken rischen Nachweis der Betonzugspannungen, der etwas mühsam und zeitraubend ist, entbehrlich machen. Die Schnitten    s bz

punkte der bei den — - Kurven eingetragenen Horizontalen — abd    Sbd

geben nämlich die geringsten Armierungsziffern an, bei welchen chz (unter Ausnützung des Betons auf Druck) den zulässigen Wert sby nicht überschreitet. Somußz.B. (s. Tafel Nr. 6) ein Plattenbalken

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

mit 8 = 02 und ß = 0*2 für eine Straßenbrücke von 4 m Lichtweite, im Mischungsverhältnis 350 hg/m³, mindestens eine Armierungsziffer von p = l,6 (bei voller Ausnützung des Betons auf Druck mit hg/cm²) erhalten, damit ab nicht größer als zulässig (18’4 hg] cm²) werde. Das Eisen wird aber hiebei nicht voll ausgenützt, da für dasselbe allein (ohne Rücksicht auf ah) *jp = 1*46 genügen würde, wie aus dem Schnitte der betreffenden Geraden

Se-

— mit der Kurve ß = 0*2 hervorgeht.

Sbd

Daß umgekehrt auch für das Entwerfen ähnliche Erwägungen zur richtigen Wahl der Querschnitte, Rippenbreite u. s. w. zweckdienlich benützt werden können, bedarf keiner weiteren Erläuterung.

Die Tafeln Nr. 2 bis 7 geben in den links angeordneten Quadranten auch die Werte der C, welche mit x = Ç H die Lage der Nullinie für Verfahren A festlegen, sowie die Tragmomente M und ersparen so jede analytische Überprüfung eines vorliegenden Falles oder die Berechnung der Tragfähigkeit eines gegebenen Plattenbalkens; endlich sind in den Quadranten rechts unten noch Scharen von Geraden eingezeichnet, welche auf dem dazugehörigen Maßstabe direkt die den betreffenden Armierungsziffern entsprechenden Eisenflächen Fe geben. Diese Flächen sind bestimmt durch

Fe = 0-01 p [8 -f (1 — 8) ß] JBH

und sind wieder als Ordinaten zu p als Abszissen aufgetragen. Diese Werte Fe sind auch in die Tabelle Nr. 4 aufgenommen.

Bezüglich der Kurven der Momente ist noch folgendes zu bemerken. Es sind zwei Kurvenscharen gezeichnet, die eine dem Faktor B H² aJ h die andere jenem B H² aez entsprechend; beide können in gleicher Weise zur Berechnung des Momentes verwendet werden, so daß eine zur Kontrolle der anderen dienen kann.

Sollen diese Kurven zur Ablesung der Tragmomente, das heißt jener äußeren Momente M benützt werden, bei welchen die zulässigen Spannungen sbd oder sez gerade erreicht werden, so ist dann <sbd=sbd oder aez = sez zu setzen.

Hinsichtlich dieser Tragmomente darf die (M : B H² abd) - Kurve indessen nur bei Armierungsziffern p >> *p und die (M: BB² aez)-Kurve nur bei Armierungsziffern p < ‘p benützt werden, denn nur bei p^>’p darf abd — sbd und nur bei p <jlp darf ae —sez werden.

Für „besondere“ Hochbauten und für Brückentragwerke ist ferner hiebei noch vorausgesetzt, daß die Betonzugspannung abz die zulässige Grenze sbz einhalte. Ist dies in einem gegebenen Beispiele nicht der Fall, so kann zur Bestimmung des Tragmomentes nur ein dem s entsprechend zu bestimmendes abd oder aeg benützt werden.

Mit Rücksicht auf die Wichtigkeit, welche hiernach den idealen Armierungsziffern bei der Benützung der Kurven der Tragmomente zukommt, sind in diese letzteren, aber nur in den für Hochbauten gütigen Tafeln Nr. 2, 3 und 4 die, den idealen Armierungen entsprechenden MomenteMbesonders ersichtlich gemacht; die demselben Mischungsverhältnisse entsprechenden Punkte einer Kurvenschar M: BH² abd oder M: BH² aez sind durch eine Kurve verbunden.

. BE² sez

100

(s. Tabelle Nr. 4) sind in einer Lotrechten abzulesen und müssen denselben Wert ergeben.

Bei den für Straßenbrücken gütigen Kurven der Momente M sind die idealen Armierungsziffern nicht eingetragen, da dieselben mit der Spannweite veränderlich sind ; sie können aber, wie früher erörtert, jeweils aus dem Quadranten rechts unten als Abszissen der Schnittpunkte der Kurven III und der Geraden IV entnommen und in die Kurven VI und VII eingetragen werden.

Jene Teile der Momentenkurven, welche für die Berechnung der Tragmomente mit sbd oder sez benützt werden dürfen, sind stark ausgezogen ; die der idealen Armierungsziffer entsprechenden Tragmomente M=®₁BH²sbd und

Die Spannungsverhältnisse bei einfach und ideal armierten Plattenbalken.

Im folgenden soll nun eine Untersuchung über die ideal armierten Plattenbalken angestellt werden, worunter im Sinne des auf S. 37 bei den einfach armierten Balken Gesagten solche Plattenbalken zu verstehen sind, bei denen die (nach V erfahren 4 zu ermittelnden) Betondruck- und Eisenzugspannungen gleichzeitig ihre zulässigen Grenzwerte erreichen.

Je ein Typus der Plattenbalken ist gegeben durch die Plattenbreite B, die Gesamthöhe H, ferner durch die mit Gl. 73) ein-J)    (H

geführten Größen — = ß, — = 8, wodurch die Rippenbreite & und

die Plattendicke d festgelegt sind, sowie durch die Lage des Schwerpunktes der Zugarmierung, wobei (s. Figur 41)

96)

lî = a

gesetzt werden soll, und schließlich durch die zulässigen Grenzwerte sbd und s bezw. deren Verhältnis

97).

Sbd

Vorerst sollen nun die ideale Armierungsfläche lFg und das dazugehörige, als ,,ideales“ bezeichnete Tragmoment lM (S. 42) bestimmt werden. Die ideale Armierungsfläche lFe stellt also jene Eisenfläche dar, die, in der Schwerpunktsentfernung a von der Betonzugkante des durch JB, Ff, ß und o gegebenen Typus des Plattenbalkens angebracht, bewirkt, daß unter dem Einfluß eines Momentes lM (des idealen Tragmomentes) die größte Betondruck- und die Eisenzugspannung rechnungsmäßig gleichzeitig die zulässigen Grenzwerte sbd und sgy erreichen. Es sollen wieder ,,schlaffe“ Eiseneinlagen vorausgesetzt werden, so daß mit hinreichender Genauigkeit die Eisenzugkraft im Schwerpunkt des Eisenprofils wirkend gedacht werden kann. Für alle Typen

sbd

von Balken und Plattenbalken muß bei gegebenem y = ——

$ez

die nach Verfahren A (anzuwenden für alle Hoch- und Brückenbauten) bestimmte Nullinie in der Entfernung

98)

v y (,H— a)

i +v y

liegen, was sich ohne weiters aus der Beziehung

T V (H

Sbd

a — x)

ergibt. Hieraus folgt für ideale Armierung

99).

vy (t — q)

1 4-vy

Mit wachsender Plattendicke verändert sich also die Lage

Sbd

se,

der Nullinie nicht, wenn immer ideal armiert wird und y

konstant bleibt.

Nimmt man zunächst den Fall an, daß 8 •< £ ist, daß also die Nullinie A (womit die nach Verfahren A bestimmte bezeichnet werden soll) die Rippe schneidet, so ist für jeden beliebigen mit Fe auf der Zugseite armierten Plattenbalken (s. Figur 41) die Lage der Nullinie A durch Gl. 79) festgelegt; sie gilt also auch für ideale Armierung, wenn Fé durch lFg ersetzt wird.

Durch Wegschaffung von x aus Gl. 79) und Gl. 98) erhält man die Fläche der idealen Armierung

lFg = (B — b) d y —

ä (1 -fv t)

v 7² b H'

2 v H'

2(l-j-vy)

. 100)

oder mit Einführung der Verhältniszahlen y aus Gl. 97), dann £ aus Gl. 99) und ß, 6

iFe=C₁BH,

101).

Cx=y[(l-e>(2-y)s + M

zu

Das ideale Tragmoment M erhält man aus der zweiten der Gl. 80), indem man statt Fe...‘Fg und statt ar_...s₍_ setzt,

. . 102)

iM=see (H'-x) + b (x — d)³ -(- B d (3 x² — 3 x d -f- d²)    * '

oder mit Einführung der Verhältniszahlen ß, y, 8 und £

C₂ B H² se

z>

sc;

ß($ — Ô)³-}- Ô (3 a² — 3 $ S + 5²)

. . 103).

Nimmt nun die Plattenstärke d zu, bis die Plattenunterkante in die Nullinie A fällt, wird also d = x nach Gl. 98) oder 8 = $ nach Gl. 99), so wachsen die Werte lFg und 'lM bis zu ihren Maximalwerten, die man erhält, wenn man in den Gl. 101) bezw. 103) 8 — ç setzt ; hiefür wird

lF,

= CX’ BH,

max

104)

und

lMmax = a/BIFse2,

Ca' = 6

CS

7?

3 + 2vy

105).

Wächst die Plattendicke weiter, so daß die Nullinie A in die Platte fällt, so behalten die Werte Fg und lM die nach Gl. 104) und 105) festgelegten Maximalwerte bei, da sie nach Verfahren A zu bestimmen sind und hiebei jener Plattenteil, der unter die Nullinie A fällt, zur Druckaufnahme rechnungsmäßig nicht herangezogen wird. Diese Maximalwerte gelten also auch für d = H, d. h. für den einfach und ideal armierten Rechteckbalken.

Man erhält lFg und lM daher auch, wenn in Gl. 101) und 103) b = B, demnach ß = 1 gesetzt wird.

Fragt man nun nach den zugehörigen Rechnungswerten der Betonzugrandspannung abz, so hat man es mit dem Verfahren B (anzuwenden für „besondere“ Hochbauten und für Brückentragwerke) zu tun. Hier muß wieder unterschieden werden, ob I) die Nullinie B die Rippe schneidet {pcx 7> d bezw. q >> 8) oder ob sie II) in die Platte fällt (xx << d bezw. <7 8).

Für den Fall I) : xt >> d (£x )> 8)) müssen wieder zwei Unterfälle in Betracht gezogen werden, nämlich ob x )> d (£ >> 8) oder x <1 d (z 8) ist, d. h. ob die dazugehörige Nullinie A a) die Rippe schneidet oder b) in die Platte fällt.

Ia) Fall:

> ä >8),

x >* d (£ >>8).

Hiefür ist xx durch Gl. 86) bestimmt, wobei statt Fe.. JF( nach Gl. 101) zu setzen ist. Mit den vorhin eingeführten Verhältniswerten bekommt man

x₁=-A₃ + yAl + B₃ = Z₁H, A₃ = C₃ H, C₉ =

b₃ = c\ c,=

8(1 —ß) + vfi -fuß

ß (1—P-)

S² (1 — ß) -\-2vCx (! — «) +p,ß

.. 106).

ß (1 — u)

ahy ist nun durch Gl. 87) gegeben, wenn statt Fe...iFg aus Gl. 101) und statt M. . JM aus Gl. 103) gesetzt wird. Nach Einführung der bekannten Verhältniswerte geht abg über in

ab*=CSSez,

ll (1--$t) U₂_

^5 + H- ^6 ~f* V

g,⁸—(1 —ß) (Si -S)³

107).

ß(l-^)³

Ib) Fall

J xx>d(£x > 8),

* | x <d(£ <6).

Hiefür ist in Gl. 86) statt Fg...iFc zu setzen und nach den bei Gl. 104) gemachten Bemerkungen aus letzterer zu entnehmen. Man erhält dann

=■- A'+v A’²+= v -h;

3(l-ß) + ,iß + ^

A₃'=C₃'H, C₉' =

B₃' = C,'H*, C” =

?i=-W + lT%*TW

ß (1 — P-)

8«(1 —ß) + tip-f vT$(l —a)

. • 108).

Hi-ri

Nun ist in GL 87) statt Fe.. JFe nach GL 104) und analog stattïJf...iM nach GL 105) einzusetzen; man erhält dann:

a\*=C8Sez,

G/ =

ł*(l —V) (3 -f- 2 v y) £²_

6 v (^6f ~b l¹ +v ^V)

<V

6tF3 — (1 — ß) (6i> —8)⁸

109).

ßa-6ir

<v =

Für Fall II) : xx <C_d ($x < 8) kommt natürlich nur gleichzeitig x < 8 ($ < 8) in Betracht. Also

»i < d (5X < 8), x << d (£ < o).

Fall II) {

Hiefür ist xx durch GL 84) bestimmt, wobei iFe wieder nach den bei Gl. 104) gemachten Bemerkungen aus letzterer zu entnehmen ist. Man erhält dann mit Einführung der bisher verwendeten Verhältniswerte :

xx"——a₂ -f- y a₂ ² -{- b₂ — " u,

H [6 (1 — ß) + ß] + ^ £

A, = Ca"H, G," =

(1 — H)

jx [8* (1 - ß) + ß] + vTg(l-«)

)■ .110).

(1 — P-)

ist nun durch Gl. 85) gegeben, wenn statt Fe...iFe aus Gl. 104) und analog statt M...*M aus GL 105) gesetzt wird. Nach weiterer Einführung der bisher bekannten Verhältniswerte geht über in

°bz- ^8 sez>

„„    !x(1-$₁”)(3 + 2vT)S²

* ~ 6 v (0₅" -f y <7₆" + v G₇") “

n(i-sr)ćy

^"+^₆"+^₇"

<V'

Sx

"3

J. 111).

C,’< =

g (1 — Si")⁸ + (1 — ß> (8 — ii")⁸

cv=^ (î-v'-«)"

Mit Vereinheitlichung der Bezeichnungen sind nun in Tabelle Nr. 5 für alle verkommenden Fälle der Lagen der beiden Nullinien A und JB zu der Plattenunterkante und als Sonderfall auch für den Rechteckbalken die gesuchten Werte der idealen Armierungsfläche iFg, des idealen Tragmomentes iM} des Abstandes xx der Nullinie B von der Betondruckkante und der rechnungsmäßigen Betonzugrandspannung ahr, zusammengestellt.

Um nun für das Entwerfen Anhaltspunkte zu gewinnen und in den meisten Fällen auch das immerhin umständliche Aus werten der angegebenen Formeln zu ersparen, wurden für eine Reihe von Plattenbalkentypen die soeben genannten Größen berechnet und hierauf durch eine zeichnerische Darstellung derart veranschaulicht, daß die Werte auch für alle anderen dazwischenliegenden und nicht durchgerechneten Typen mit großer Schärfe entnommen werden können.

Es wurden für Hoc hbauten angenommen die Verhältnisse : ß =    — 0'30, 0-25, 0-20, 0-15, 0G0,

4- =0-30, 0-20, 0-10,

xi

und für Straßenbrücken die Verhältnisse:

i ß = 0-30, 0-25, 0-20, 0-16,

I 8 = 0-30, 0-25, 0-20, 0*16, 0-13.

In allen Fällen wurde a = ~ mit 0’08 als Mittelwert der meist

JJL

in den Grenzen zwischen 0‘06 und 0G0 schwankenden a gewählt; auf den Einfluß, den das Ersetzen des Mittelwertes durch die angeführten Grenzen auf die Werte *Fe, iM uitd abg nimmt, soll später kurz zurückgekommen werden.

Eine weitere Mannigfaltigkeit in den Typen erhält man da-shd

durch, daß der Wert 7 = — mit dem Mischungsverhältnisse und

$ ez

90

BIBLISïtii

i ü L li i Hi u

a. u...

iCD

• U-

J.__

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•p<-

3=

LA

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CP

Fe

----çr-

v

-tl

i..........ro

y.

zn

4.

.“•y

1—

IQ~*

Fpmax

□Ci

CD

WFe

P*

CP

P>

3>

4-¹ A

Gattung je nach Lage der Nulllinien A und B

AI

d = H (8 = 1) (Balken)

y v v v

Ä" £ H

d> x

m (S > s)

d = xx

(8 = ?i)

II

Fall

d > x (8 >6) d <ZXx

(8 < 5i)

P3 > 9)

Xx> p

(3 = 9)

x = p

P3>8)

xx > p

(3 >8)

x~> p

Kennzeichen

re

Maximalwert ——

"a* [<■*■ ß) (2 — -|*) 8 + ß Ç

Cx

Maximalwert

vT

3^[ß(6-8)³ + S(38²-3?8 + 8²)]

C₂

(1 - F)

f-t 8 ( 1 — ß) -j- v Cj -f- (a ß

(1 — F)

8(1 ß) ~[~ v Ci ~4~ F ß

ß(l-M

e0

2 v Ci (1 — a) -(- ja

(1 — F-)

P- 8 (1 ß) —j— 2 v Cj (1 — a) -[- [j. ß

(1 - F)

8² (1 ß) -f- 2 v Cj (1 — ot) —f— p. ß ß (1 — F)

il

il~( 1-PH&-8)⁸

(1 - li)³

ßd-li)³

Ci (1 |i ot ²

Ml —li) C₂

C5 4~ fA Cß -f- V Cr;

SD I lD I ⁹0    *0 f0

Gegeben : B, H, a yx. — jy J’ ^ ^ß — ß j> ^^8 — jy j, v —    > F

Gesucht : iFg = Ct B H, <M= C₂ BH²sez, Xl = & H = (— 0, + Vcf + C₄)    «6# = C₈ .

Zusammenstellung der Formeln für einfach und ideal armierte Plattenbalken.

sbd

, y ==- und daraus x = zH —

sez

*qa

Tabelle Nr. 5.

TT U+1

(®-T)U

bei Straßenbrücken überdies mit der Stützweite veränderlich ist. Es wurden für Hochbauten und Straßenbrücken die in den Vorschriften besonders angeführten Mischungsverhältnisse 470, 350 und 280 Tcg/m³ ausgewählt und für Brückenbauten noch überdies eine Veränderlichkeit durch Einführung von zwei Grenzwerten der Stützweiten und zwar von l = 4"0m und l = 20’0m erzielt, so daß im ganzen

für Brückenbauten : 4X5X6 = 120 Typen, ,, Hochbauten:

5X3X3= 45

zusammen 165 Typen zur Berechnung gelangten.

Mit v = 15 und a = 0‘08 wurden die für die Berechnung maßgebenden Größen y nach Gl. 97) und £ (Lage der Nullinie +) nach Gl. 99) ermittelt und in nachstehender Tabelle Nr. 6 eingetragen.

Tab eile Nr 6.

Zulässige Spannungen sbd sez und Lage der Nullinie bei einfach und ideal armierten Plattenbalken.

Tragwerke für

Mischungs

verhältnis¹ ²)

Stützweite

C¹

•e.")

sbd

*ez

Ï--ÎÎ2.1

:m²

Hochbauten

470

350

280

42 0

37-0

32-0

338

1000

1000

1000

812

0-0420

0-0370

0-0320

0-0416

0-356

0-328

0-298

0-354

Straßenbrücken

350

m I Ł ! ta 0^1 o

37-0

29-8

33 0

25-8

860

812

860

812

0-0430

0-0367

0-0384

0-0318

0-361

0-327

0-336

0-297

280

29-0

860

0-0337

0-309

IY einzureihen ist (wodurch dann die für die Bestimmung von lFe, *M, xx und abz zu verwendenden Gleichungen festgelegt sind), wurden in der Tafel Nr. 12 sowohl für Hochbauten als auch für Straßenbrücken die Linien der £ (Gerade) und q (Kurven) dargestellt. Die Abszissen stellen jeweilig die ß und die Ordinaten die 8 dar.

0, I,

ct

II

Was den Einfluß anlangt, den die Wahl des a = — auf die

Hauptwerte ‘Fe, iM und abz nimmt, so mögen folgende Zahlen einen Anhaltspunkt geben.

Für die durch die Vorschrift für Straßenbrücken gegebenen Werte des Mischungsverhältnisses 470 kg/m³ und für starke Rippen (ß = 0'30) wurden sowohl für dicke Platten (8 = 0’30) als auch für dünne (8 = 0‘10) die drei Werte iFe, fM und abz ermittelt und zwar für a = 0’06, 0'08, 0’10. Es ergab sich durchwegs, daß die Abweichungen der Werte für a = 0'06 gegenüber a = 0'08 absolut genommen beinahe gleich jener für a = 0'10 gegenüber a = 0‘08 sind,    so    daß    die    Angabe der    Mittelwerte genügt. Hier beträgt für

))

))

>) Gbz ■

wobei das obere Vorzeichen für die ersteren, das untere für die letztgenannten Abweichungen gilt.

Die Tafeln Nr. 8, 9 und 10 beziehen sich auf Hochbauten. Auf jeder Tafel sind in zwei Quadranten Kurven verzeichnet, welche die Größe der idealen Armierungsfläche 'Fe und des idealen Tragmomentes iM angeben. Wie dieselben zur direkten Dimensionierung verwendet werden können, soll auf S. 109 an einem Beispiele gezeigt werden. In einem dritten Quadranten sind Kurven enthalten, denen das rechnungsmäßig ermittelte abz entnommen werden kann; diese Kurven kommen also nur für die ,besonderen“ Hochbautragwerke in Betracht.

Die Tafel Nr. 11 bezieht sich auf Straßenbrücken und die dar-

))

gestellten Kurven zeigen den Wert des rechnungsmäßigen abz für jede Gattung von ideal armierten Plattenbalken.

Die Qaadranten der arbe sind folgendermaßen zu verstehen: Die Abszissen stellen die ß, die Ordinaten die 8 dar; jeder Punkt des Quadranten kennzeichnet also einen ganz bestimmten Typus. Denkt man sich in irgend einem solchen Punkte in einem beliebigen Maßstab als Æ’-Ordinate das dem betreffenden Typus zugehörige, rechnungsmäßige ahz (kg/cm²) aufgetragen und dies über den ganzen Quadranten durchgeführt, so erhält man eine <3i3-Fläche.

Auf dieser wurden für „besondere“ Hochbautragwerke die durch ganze Jcg/cm², für Straßenbrücken die durch ganze und halbe kg/cm2 ausgedrückten, besonderen abz-Punkte durch Schichtenlinien verbunden und letztere Kurven im Grundriß zur Darstellung gebracht. Besonders kräftig ausgezogen erscheint in jedem abz-Quadranten die Sjj-Knrve, also jene Kurve, welche dem nach den Vorschriften zulässigen Werte sbz der Betonzugspannung entspricht. Typen, die durch Punkte gekennzeichnet sind, welche rechts von der s^-Grenze liegen, genügen also — wenn sie ideal armiert sind — den Anforderungen der Vorschriften hinsichtlich der Einhaltung der festgelegten Grenzwerte sbz, während Typen, die links von der s^-Grenze liegen, bei idealer Eisenarmierung diesen Vorschriften nicht genügen und, um letzteren zu entsprechen, eine mehr oder minder große Verstärkung der Eisenflächen erhalten müssen. Allerdings ist damit auch eine gewisse Erhöhung des Tragmomentes erzielt. Hierüber wurde bereits des Näheren an Hand der Tafeln Nr. 2 bis 7 auf S. 91—99 erschöpfend Aufschluß gegeben.

Für solche Trägertypen, welche nicht direkt in den Tafeln angegeben sind, können die betreffenden a^-Werte mit genügender Genauigkeit durch geradlinige Einschaltung zwischen den gezeichneten abz-Kurven bestimmt werden.

Aus den zeichnerischen Darstellungen ist ohneweiters die Tragweite der Bestimmung der amtlichen Vorschriften hinsichtlich der Betonzugspannungen auf die ideal armierten Plattenbalken zu ersehen.

In nachstehender Tabelle Nr. 7 sind die den verschiedenen, durch o ausgedrückten Plattendicken entsprechenden Kleinstwerte der zulässigen Rippenbreiten (ausgedrückt durch ß), bei denen eine ideale Armierung gerade noch möglich ist, zusammengestellt. Bei Anwendung kleinerer Rippenbreiten, als sie in der Tabelle enthalten sind, muß eine Verstärkung über die ideale Armierung hinaus platzgreifen, um die Betonzugspannungen innerhalb der vorgeschriebenen Grenzen zu halten.

Für Hochbauten sind in den Tafeln Nr. 8, 9und 10 die Kurven der iFe und *M nach den ganz gleichen Grundsätzen gezeichnet. Bei den Gö-Kurven sind die den berechneten Typen entsprechenden

JB H

zu multiplizieren,

100

und in die Tafeln eingetragenen Werte mit

um *F zu erhalten ; bei den Gif-Kurven sind die eingetragenen Werte mit B H² zu multiplizieren, um Gif zu finden.

Tabelle Nr. 7.

Untere Grenzen der zulässigen Werte ß — ~ bei ideal armierten

Plattenbalken mit Rücksicht auf Einhaltung der zulässigen Betonzugspannung sbz.

Hochbauten

Straßenbrücken

Mischungsverhältnisse *)

Mischungsverhältnisse *)

470

350

280

470

350

280

Stützweite l (in m)

20

20

20

0-30

0-223

0-220

0-238

0-280

0-268

0-277

0-270

0-287

0-286

0-25

0-211

0-208

0229

0-265

0-253

0 264

0-257

0-280

0-277

0-20

0-190

0-189

0-213

0 241

0-230

0-243

0-236

0-260

0-257

0-16

0-165

0-168

0-197

0-215

0-205

0-218

0-211

0-236

0-233

0-13

0-144

0-149

0-178

0-190

0-180

0194

0-187

0-212

0-209

0-10

0-122

0-124

0-144

*) in leg Portlandzement auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial.

Will man sich beim Entwerfen nicht mit der durch Abgreifen aus den Tafeln zu erzielenden Genauigkeit begnügen, so kann man, wenn auf Grund der Tafeln eine Wahl für die Verhältnisse ß und ô getroffen worden ist, noch eines der Maße B oder H annehmen

und das andere (H oder B) sowie ‘Fe und *M berechnen, wozu die Gl. 101) und 103) bezw. 104) und 105) zu verwenden sind.

Für die Überprüfung geben die zeichnerischen Darstellungen natürlich direkte Werte nur dann, wenn es sich zufällig um ideal armierte Plattenbalken handelt. Doch kann, wenn es sich nur um die Untersuchung handelt, ob die Betonzugspannungen shz eingehalten sind, jede Rechnung dann erspart werden, wenn bei

Unterarmierung (*<« j der T f Uberarmierung (p > ‘p) I    \

der s^-Grenz-

links

von

rechts

nicht zulässig, zulässig.

linie liegt; es ist dann nämlich der Träger j

In allen anderen Fällen gibt die auf S. 91 bis 99 enthaltene Darstellung mit wenig Einschaltungsrechnungen verläßliche Auskunft.

Beim Entwerfen können die Tafeln Nr. 8 bis 11 aber nach dem in der Fußnote S. 87 Gesagten in allen Fällen, in denen ß > 0*25 wird, unmittelbar zur Bestimmung der wirtschaftlichsten Plattenbalken verwendet werden.

Es kann sogar eine gleichzeitige Erreichung sämtlicher 3 Grenzwerte sbd, sez und sby erzielt werden, wodurch man jene Typen erhält, die unter den ideal armierten Plattenbalken die geringste zulässige Rippenbreite aufweisen. Dies soll an nachstehendem Beispiel gezeigt werden :

Bei einem „besonderen“ Hochbautragwerk habe sich durch örtliche Verhältnisse eine Verlagsweite der Rippen von B — 100 cm als angemessen ergeben. Dieser Verlagsweite und der Belastung entspräche bei einem Mischungsverhältnisse 470 kg/m3 eine Plattenstärke d—12 cm und ferner der Stützweite des Plattenbalkens ein größtes Biegungsmoment M = 1340000 kgcm. Es soll nun jener ideal armierte Plattenbalken ermittelt werden, dessen Rippen mit Rücksicht auf die zulässige Betonzugspannung sbz die geringste Breite besitzen.

d 12

Einer ersten Annahme von H mit H₁ = 60 cm entspricht ein 8X =    — -7777

JoLi bU

— 0-20. Die 8,-Horizontale gibt in dem Quadranten der Tafel Nr. 8 für Hochbauten (Mischungsverhältnis 470 kg/m³) auf der eingetragenen «^-Grenzlinie ein ideales Tragmoment — 5-18 B H.\ an, das dem Biegungsmoment M — 1340000 kgcm gleichzusetzen ist. Man erhält sodann aus 1340000 = 5‘18 . 100 . 0₂² einen zweiten Näherungswert 0₂ = 50⁻8 cm, der zeigt, daß die erste Annahme der Gesamthöhe (_0i)

12

0-236.

0₂    50-8

Analog zum früheren gibt ö₂ bei voller Ausnützung des Betons auf Zug (stz = 25 kg/cm³) ein GV/₂ == 5’53 BH| ; aus Of₂ = M= 1340000 = 5-53 .100 . H\ folgt 0₃ = 49-2 cm. Dieser Gesamthöhe entspricht ein o₃ — 0-244, ferner ein = 5*59 B H\ und ein .ff₄ = 48"9 cm. Man sieht, daß die Annäherung von dem ersten angenommenen Wert für die Gesamthöhe H an einen Grenzwert sehr rasch erfolgt.

keine zutreffende war. Dem Werte 0₂ entspricht nun ein 8₂

0-686 . 100.49-2

33-7 cm², und — aus irgend einem der

Für die den Tafeln zu Grunde gelegte Annahme a₃ — 0⁻08 . Hs — 3'9 cm beträgt somit H₃' = (0g — a₃) = 45‘3 cm. Den Werten S₃ und *M₃ (Schnittpunkt der 5₃-Horizontalen mit der «j^-Grenzlinie) entspricht in dem 0^-Quadranten ein lFe = 0-686 ■ B Hs

100

100

nun

drei Quadranten zu entnehmen — ein ß = 0"21, also eine Rippenbreite b = = 0-21.100 = 21-0 cm. Da 34-7 cm² Eisenfläche bei einer Rippenbreite von rund 20 cm und bei Verwendung von Rundeisen zwei Scharen erfordert, so hat man im Auge zu behalten, daß die Spannung der äußeren Schar größer sein wird, als ein für den Schwerpunkt von *Fe berechneter ideeller Spannungswert. Da letzterer schon 1000 kg/cm² beträgt, muß die tatsächliche Armierungsfläche größer als lFe gewählt werden.

Nach einer überschlägigen Schätzung liegt die Nullinie A rund 20⁻0 cm (x¹) von der Plattenoberkante entfernt, so daß Hs' — x' — 25⁻3 cm beträgt. Bei einer weiteren Annahme, daß das Mittel der äußeren Schar um rund 20 cm tiefer liegt als der Schwerpunkt der tatsächlichen Armierungsfläche, folgt, daß letztere mindestens

27-3

25-3 + 2

25-3 tragen muß.

mal größer als *Fe sein, somit

25-3

. 33'7 — 36-3 cm² oder mehr be-

Es werden gewählt drei Rundeisen zu 30 mm und zwei Rundeisen zu 32 mm Durchmesser, welche zusammen ein Fe — 3730 cm² geben. Wird a nach HY. § 5, Abs. 24 zu 5⁻7 cm (statt 4-2 cm) ermittelt, so ergibt sich mit ff₃' — 45-3 cm ... . 11 = 51 cm ; b wird mit 21 cm ausgeführt.

Die zeichnerischen Darstellungen auf den Tafeln Nr. 2 bis 11 geben ein Mittel an die Hand, um sich rasch und ohne Rechnung über die zweckmäßige Gestaltung eines Plattenbalkens zu vergewissern bezw. sich für den zu wählenden Typus eines solchen Trägers (W a h 1 von b : B, d : H) zu entscheiden, wobei häufig gewisse technische Rücksichten die Einhaltung bestimmter Trägerhöhen oder Rippenabstände fordern, ferner der wirtschaftliche Standpunkt zu beachten ist.

In letzterer Beziehung spielt das Preisverhältnis zwischen Beton und Eisen eine Rolle ; so kann unter Umständen bei verhältnismäßig hohen Eisenpreisen ein weniger als ideal armierter Träger, das heißt ein solcher, bei welchem der Beton nicht ausgenützt ist, wirtschaftlich vorteilhafter erscheinen als ein niedrigerer Träger mit voller Ausnützung der Baustoffe, der aber die größere, ideale Armierung erfordert.

Eine Entscheidung in dieser Hinsicht kann nur auf Grund vergleichender Rechnungen und durch Auswahl unter mehreren, gleich tragfähigen Typen von Plattenbalken getroffen werden.

¹

in hg Portlandzement auf 1 ma Gemenge von Sand und Steinmaterial.

²

Hier sind die Werte für Flußeisen eingesetzt.

c) Näherungsverfahren zur direkten Bestimmung der Querschnitte von Plattenbalken.

Außer dem im Beispiele auf S. 109 gezeigten Vorgang zur direkten Bestimmung des Querschnittes eines einfach und ideal armierten Plattenbalkens, welcher einem gegebenen Biegungsmomente M entspricht, bei welchem Vorgang auch — wenn dies notwendig — gleichzeitig auf die Einhaltung der vorgeschriebenen Grenzen für sbz Rücksicht genommen werden kann, soll im nachfolgenden ein Näherungsverfahren angegeben werden, das ebenfalls rasch und leicht zum Ziele führt. Wie später näher ausgeführt wird, kann mit diesem Verfahren aber

Die Werte ^ (Lage der Nullinie B) sind — da auch von der für sämtliche 165 Typen verschieden.

Rippenbreite abhängig Um in jedem einzelnen, vorliegenden Falle sofort ersehen zu

können, ob derselbe im Hinblicke auf die Tabelle Nr. 5 unter

auch in allen jenen Fällen, wo keine ideale Armierung vorliegt, eine direkte Dimensionierung durchgeführt werden.

Bei der Ableitung soll von dem Zugwiderstande des Betons abgesehen und ferner in dem Falle, daß die Nullinie den Steg schneidet, das Trägheitsmoment des in den Steg fallenden Druckteiles vernachlässigt werden.

Die Lage der Nullinie ist für die ideale Armierung laut Gl. 98) durch den Abstand x derselben von der Druckkante ge. geben, welcher Wert sich nach Einführung von H' — H—a und

y = — auch schreiben läßt :

Sez

x = 1' H'

Sez “j⁻ V Sbd

H'

112),

wobei £' als bekannt zu betrachten ist. Ferner sei auch die Plattendicke d — o’ H' bereits gegeben, etwa aus anderen Bedingungen (z. B. der Querbeanspruchung der Platte) bestimmt oder nach praktischen Rücksichten angenommen.

Bezieht man in Figur 50 die Momente der inneren Kräfte auf den Schwerpunkt der Eiseneinlagen und bezeichnet y den Abstand einer beliebigen Betonschichte mit der Spannung _H ay von ersterem, so besteht die Gleichung

Figur 50.

Pk

-o

M=

H'

I B eyydy.

i......

Fe

L.b

H' — d

Drückt man ay durch die Randspannung abd (im vorliegenden Falle abd = sbd) aus, nämlich

Sb d

y — H' -j- x

so wird

H'

—J (y-E' + x)ydy

H'—d

und weiter

Nach Einführung der Grenzen und entsprechender Reduktion ergibt sich

Bds

oder nach Einführung der Verhältniszahlen 6' und £'

Aus dieser Gleichung wird

E,= GiyM:B,

. . . 114).

o'sbd[S £' (2 — 8') - 8' (3 — 2 8')]

Für die erforderliche Eisenfläche iFe läßt sich eine Gleichung aus der Bedingung: Summe der inneren Druckkräfte gleich jener der inneren Zugkräfte gewinnen, das ist

H’

F / & y d y — ¹F e s ez.

H' —d

H'_

Nach Einführung von ay und sez — v--—

wertung des Integrals ergibt sich

S' (2 e' — 8')

2 v (i — ef)

*F.=

B H'

00

— 5&dund nach Aus-

115)

oder

116).

G₂ =

’Fe=G₂ .BH¹, } 8' (2e'—S')

2 v (i — ef) j

Die Ermittlung von H’ und {Fe für einen bestimmten Fall aus den Gl. 115) und 116) bei gegebenem B, d, M, sbd und sez

d

könnte rechnerisch nur versuchsweise erfolgen, da wegen 8' = -yy

Jti

das gesuchte H’ auch in 8' enthalten ist. Einfacher gelangt man durch die Benützung der nachstehenden für Hochbauten gütigen Tabelle Nr. 8 oder auf graphischem Wege¹) zum Ziele.

Tabelle Nr. 8

zur näherungsweisen direkten Bestimmung der Höhe H' und der Eisenfläche iFe einfach und ideal armierter Plattenbalken bei Ho eh baut en.

Mischungsverhältnis in kg Portlandzement auf 1 m³ Gemenge aus Sand und Steinmaterial

8' = =

H'

0-08

o-io

0-12

0-14

0-16

0-18

0 20

0 22

0-24

0-26

0-28

0-30

0-32

0-3243

0-34

0-3569

0-36

0-38

0-3865

470

350

280

*bd=i'*k9lcm*>*et = = 1000 kg/cm²,*)

§' = 0-3865

sbd=37 k9lom\sez = = 1000 kg/cm²,*)

§' = 0-3569

[10 Gx 8'| 100 g₂

0-5876

0-5358

0-4989

0-4713

0-4499

0-4331

0-4197

0-4090

0-4003

0-3933

0-3878

0-3835

0-3803

0-3781

0-3766

0-3761

0-3761

Gl

10 Gx S'l 100 g₈

54d = 32 *^/cm²,    =

= 1000 kg/cm²,*)

? = 0-3243 G₁ [10 G₁ or| 100 G₂

0-470

0-538

0-599

0-660

0-720

0-780

0-839

0-900

0-961

1-023

1-086

1-151

1-217

0-301

0-366

0-426

0-482

0-533

0-580

0-623

0-661

0-695

0-725

0-750

0-771

0-788

0 6290 0-5743 0-5355 0-5066 0-4844 04672 0-4535 0-4427 0-4341 0-4275 0-4224 0-4188 0-4164

0-503 0-574 0-643 0-709 0-775 0-841 0-907 0-974 1-042 1 111 1-183 1-256 1-332

0-263 0-318 0-369 0-416 0-459 0-498 0-533 0-563 0-589 0-612 0-630 0 643 0-653

0-6806 0-6226 0-5816 0 5514 0-5284 0-5107 0-4966 0-4863 04783 0-4724 0-4683 0 4659 0-4649 0-4649

0-545 0-623 0-698 0-772 0-845 0 919 0-993 1-070 1148 1-228 1-311 1-398 1-488 1-508

0-224 0-271 0-313 0 351 0-386 0-416 0-443 0-465 0-484 0-498 0-509 0-516 0-519 0-519

1-286

0-800

0 4150 0-4146

1-411

1-480

0659

0-660

1-356

1-429

1-454

0-808

0-811

0-812

y M: B

H' =    \ M : B, iFe = G₂ B H', Gx 5'

*) Hier sind die Werte für Flußeisen eingesetzt.

In der Tabelle sind die Werte von Glt 10    §' und 100 G₂ für

verschiedene Werte von 8' und für die den Mischungsverhältnissen 470, 350 und 280 7^/m³ im Hoclibaue entsprechenden sbd und set zusammengestellt.

Nach obigem ist

H' a y M : F>

y M:B

somit 8r = =

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

Die gleiche Abszisse ergibt auf der Kurve der 100 Cr₂ den betreffenden Wert G₂, womit dann ‘Fc=G₂BH' gefunden wird.

Der Plattenbalken ist hiernach insoweit bestimmt, als die Einhaltung der größtenBetondruck- und Eisenzugspannun-g e n sf)d und sez gesichert ist. Die Breite b der Rippe ist bis nun noch willkürlich; bei ihrer Bemessung sind die Bestimmungen der amtlichen Vorschriften über die Mindestabstände der Eiseneinlagen unter einander und von der Oberfläche des Betons (HV. § 5, Abs. 24, BV. § 5, Abs. 22) sowie bei Hochbauten über die als mitwirkend in Rechnung zu ziehende Plattenbreite (im Verhältnisse zur Rippenbreite) maßgebend (HV. § 5, Abs. 12) ; überdies ist bei ,,besonderen“ Hochbauten, ferner bei Brückentragwerken diese Breite aber so anzunehmen, daß auch die vorgeschriebenen Betonzugspannungen sb eingehalten werden (HV. § 5, Abs. 9, BV. § 5, Abs. 7 d). Hiefür liefern die zeichnerischen Darstellungen auf den Tafeln Nr. 2 bis 11 hinreichende Anhaltspunkte.

Beispiel. Bei einem Hochbaue soll ein Plattenbalken, bei welchem die Rippenentfernung B — 1'5 m und die Plattendieke d = 14 cm ist, ein Biegungsmoment von M — 19000 kgm aufnehmen ; Mischungsverhältnis 350 kgjm³. Gesucht : die Höhe und die Eisenarmierung eines entsprechenden, einfach und ideal armierten Plattenbalkens.

Im vorliegenden Falle ist

14

Gx 8'

10 d

In einem gegebenen Falle geht man mit dem berechneten Werte in die Tabellenkolonne 10 Gx o' und findet durch gerad-

V M:B

linige Interpolation genügend genau o\

Für die graphische Bestimmung von V sind in Tafel Nr. 12 (links) auf einer horizontalen Achse die §' als Abszissen und auf einer vertikalen die Größe GX) 10 Gx 8' und 100 G₂ als Ordinaten aufgetragen.

In einem gegebenen Falle berechnet man die Größe

10 d

y M : B

und sucht die zugehörige Abszisse auf der Kurve 10 Gx 8', wo-

d    d

durch man 6' erhält. Hiernach findet sich H' aus 8' = -^mit H' = —.

JEP

Jr

= 0-1244, also 10 Gx 8' = 1-244 ;

\M: B y 1900000 : 150

durch Interpolation in der Tabelle Nr. 8 (woselbst für 8' = 0-28 . . . 10 8r = 1-183 und für 6' = 0*30 . .. 10 Gx 8' = 1-256 oder aus der Tafel Nr. 12 findet man 5' = 0⁻297.

Hiernach ist H’

14

6'

47 cm. Durch Interpolation in der Tabelle oder

0-297

durch Entnahme aus der Tafel Nr. 12 wird weiters 100 G₂ = 0-643 und Fe— G$ B H1 = 0-00643 . 150 . 47 = 45-4 cm².

In manchen Fällen ist beim Entwerfen von Plattenbalken auch die Höhe Pf b e z w. H' schon gegeben und es handelt sich nur mehr darum, die Stärke der Eiseneinlagen, also zu bestimme n, wobei dann auf ideale Armierung verzichtet werden muß.

In einem solchen Falle sehe man zunächst nach, wie sich das gegebene H' (vorläufig zu 088 bis 09 H angenommen) zu dem aus Gl. 114) für den vorliegenden Fall berechneten H', das mit fè' bezeichnet werden möge, verhält. Ist H' >> so kann die Eisenarmierung schwächer werden, als sich nach Gl. 116) ergibt; der Beton wird aber dann auf Druck nicht ausgenützt. Ist FF < so ist eine stärkere Eiseneinlage als nach Gl. 116) erforderlich; es würde aber alsdann der Beton zu stark beansprucht werden, so daß daher auch im Druckgurt eine Eisenarmierung notwendig wird. Dieser letztere Fall wird bei den Plattenbalken mit doppelter Eiseneinlage behandelt. Für den Fall, daß FF >> £)', ist in folgender Weise zur Ermittlung von Fg vorzugehen.

<1

Die früher auf gestellte Gl. 113) gilt allgemein, wenn statt sb die tatsächliche Betondruckspannung abd, die hier kleiner als der Grenzwert shd ist, gesetzt wird; sie läßt sich auch durch Einführung der Grenzspannung sgz mittels der Beziehung

umformen in

[3    (2 — 8') — 8' (3 — 2 3')].

o's

ez

BFF² — vTT-^I⁷)

Hieraus kann £' berechnet werden und zwar ergibt sich mit Einführung von li —

5' =

S'² (3 — 28') see -J- v h 3 8' (2 —8')**+vä

118).

Ist V bestimmt, so berechnet sich das gesuchte F₍ aus Gl. 116). Beispiel. Für die in dem obigen Beispiele gegebenen Verhältnisse sei auch die ganze Balkenhöhe H mit 60 cm gegeben ; es soll die erforderliche Armierung berechnet werden.

Die Höhe H’ kann bei H = 60 cm zu H' = 54 cm angenommen werden.

Auf die oben gezeigte Weise findet man die Trägerhöhe des ideal armierten Plattenbalkens mit §' = 47 cm; da die vorhandene Höhe H' also größer als letztere ist, tritt der oben erwähnte Fall ein.

Es wird zunächst k

6 . 1900000

= 26U kg/cm² und damit,

150.54²

wegen 5'== — == 0-312, £' = 0-316. Hiemit ergibt sich nach Gl. 116) 48

0-312(2.0-316 — 0-312)

Fe

2.15.0-684

150.54 = 39-4 cm².

In diesem Falle, bei welchem die nutzbare Trägerhöhe H' — 54 cm größer als in dem früheren Beispiele (H' = 48 cm) ist, erscheint also, wie vorauszusehen, eine kleinere Eisenfläche als dort erforderlich.

Die Betondruckspannung ist aber hier nicht ausgenützt; eine diesbezügliche Berechnung ergibt (mit Vernachlässigung des Druckteiles des Steges) : obd = 30'8 Jcg/cm².

d) Ermittlung der Länge der Eiseneinlagen (Materialverteilung) mit Rücksicht auf die Momente.

Bestehen bei Plattenbalken die Eiseneinlagen aus mehreren Stäben, so brauchen dieselben im allgemeinen nicht über die ganze Trägerlänge durchzulaufen und es kann eine Abstufung des Eisenquerschnittes in ähnlicher Weise angeordnet werden, wie es S. 55 für die Balken gezeigt wurde.

Man wird die Längen, auf welchen die betreffenden Eiseneinlagen vorhanden sein müssen, wieder unter dem Gesichtspunkte ermitteln, daß die zulässige Eisenspannung möglichst ausgenützt wird. Bei konstanter Trägerhöhe H wird man am besten die Tragmomente Mlt ilf₂, M₃... entsprechend den verschiedenen Eisenflächen lFe, ²E, ³Fe., . wie sie sich durch Weglassung einer oder mehrerer Einlagen ergeben, berechnen und zwar auf folgende Weise :

Aus ¹Fe, ²Fe, ³Fe und den bekannten Abmessungen H, B, a, b, d bestimmt man zunächst x nach Gl. 76) oder 79) und weiter die Tragmomente M aus den zweiten der Gl. 77) oder 80), je

nachdem x sich

d ergab, unter Einsetzung von aez = sez. Diese

Momente M werden in die Kurve der Maximalbiegungsmomente des Trägers eingetragen und wird dann weiter wie oben geschildert verfahren.

Eine ähnliche Betrachtung, wie sie S. 58 ff. für Balken mit veränderlicher Höhe angestellt wurde, gilt auch für Plattenbalken und kann hier darauf verwiesen werden.

Bei der Anlage einer solchen Materialverteilung ist es bei Plattenbalken in „besonderen“ Hochbau- und in Brückentragwerken erforderlich, noch zu prüfen, ob bei der geplanten Verringerung der Eisenfläche, die nach der Bedingung der Ausnützung der Eisenzugspannung erfolgte, nicht etwa die Betonzugspannung die zulässige Grenze überschreitet. Man kann sich hievon auf rechnerischem Wege die Überzeugung verschaffen ; indessen gewähren die Tabelle Nr. 4, S. 93 ff. und die zeichnerischen Darstellungen auf den Tafeln Nr. 8 bis 13 hier wertvolle Aufschlüsse, so daß in den meisten Fällen ein gesonderter Nachweis der Betonzugspannungen entbehrlich werden wird.

Auch bei veränderlicher Trägerhöhe bleibt die Anwendung der genannten Kurven zur raschen Übersicht noch immer möglich ; man wird nur beachten müssen, daß mit der Veränderung von H (bei gleichbleibender Plattendicke d) das Verhältnis d:H=o sich

ändert und daß die betreffende richtige Kurve der — in den

Gbcl

mehrgenannten Fällen auch jene der --aufzusuchen oder zu

Gbd

interpolieren ist.

Im übrigen gelten die bei den einfachen Balken gemachten Bemerkungen auch hier; auf die Vorführung eines Beispieles kann daher verzichtet werden.

5. Plattenbalken (Rippenplatten) mit doppelter Eiseneinlage.

Plattenbalken mit doppelter Armierung werden in der Praxis aus mehrfachen Gründen angewendet und zwar 1. dort, wo in demselben Querschnitt bei wechselnder Belastung ein Vorzeichenwechsel des Biegungsmomentes eintreten kann, also positive und negative Momente aufzunehmen sind; 2. wo die zur Verfügung stehende Höhe für einfach armierte Plattenbalken nicht ausreicht oder doch außergewöhnlich dicke Platten oder zu starke Armierungen erforderlich würden; 3. wenn bei sonst ausreichenden, einfach armierten Plattenbalken örtlich eine Verschwächung der Platte, z. B. durch Einlegen von Oberlichten vorgenommen wird und der Plattenbalken an dieser Stelle verstärkt werden muß.

Vom theoretischen Standpunkte aus erscheint die doppelte Armierung insofern ungünstig, als aus den bereits früher (S. 61) erörterten Gründen das Eisen im Druckgurte nie bis zu der nach den Vorschriften zulässigen Grenzzugspannung sez ausgenützt werden kann. Dessenungeachtet werden doppelt armierte Plattenbalken für den Fall 2 wirtschaftlicher als einfach armierte von gleicher Tragfähigkeit sein. Ihre Berechnungsweise wird im nachfolgenden vorgeführt.

a) Die Überprüfung.

a) Verfahren A (ohne Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton), anzuwenden für alle Tragwerke im Hoch- und Brückenbau.

Die Spannungsverteilung des Plattenbalkens der Figur 51 ist in Figur 52 dargestellt. Es handelt sich zunächst wieder um die Lage der Nullinie, wobei die schon bei den einfach armierten Plattenbalken erwähnten zwei Fälle eintreten können, daß nämlich die Nullinie in die Platte fällt oder die Rippe schneidet. Je nach

der betreffenden Lage sind andere Gleichungen zur Berechnung der Größen aba und aez erforderlich. Um zu bestimmen, welcher der zwei Fälle vorliegt, empfiehlt es sich, x unter der Annahme

Figur 51.

Figur 52.

1B

Ohri

'Oed

F i 0'

.......f-

.1.

Oei

L.....b......J

zu berechnen, daß die Nullinie in die Platte falle ; es gilt dann Gl. 60), welche mit den hier benützten Bezeichnungen lautet :

V (Ke “I⁻ Kd)

eä’ I

B ^

'KKe + Kd)*

. 119).

/u

Nach Einführung der Hilfswerte

. 120)

V Ke . V Kd

= h-S~ = l

wird in einfacherer Schreibweise

# = (X + X') —

X H' -f X' a'

(x+xr

. . . 121).

Ergibt sich hiernach

1. Fall: x<^d} so fällt die Nullinie tatsächlich

wie angenommen wurde, in die Platte und man hat, da nach Verfahren A die Betonzugfläche nicht in Betracht kommt, eigentlich für die Rechnung einen gleicharmierten Balken von der Breite B und der Höhe H' vorliegen.

Die größten Betondruck- und Eisenzugspannungen findet man aus Gl. 12) und 17) mit Berücksichtigung von Jbz = 0 und

K — Kd + v (Kd + Ke) — y B x* + ! V [Ke (H' XY Kd (x a )²J I

Bei verhältnismäßig großen, sogenannten ,,steifen“ Eiseneinlagen sind in dem Ausdrucke für J. in der Klammer noch die Werte J°eg und J°d der Eisenquerschnitte, bezogen auf deren eigene Schwerachse, hinzuzufügen.

2. Fall: x^> d.

Ergibt sich aus der obigen Gl. 121) der rechtsseitige Ausdruck größer als d, so schneidet die Nullinie die Rippe. Der Berechnungsvorgang ist sodann folgender : In der Gl. 33)

Ä.-fvÄ S

bd 1 ed    ez

ist zu setzen (Figur 51) :

\ (B — b) (x — dy,

zu

abd

v M (H' — x)

123).

Sbd = ^Bx2 Sed = Fed {00 —a'),

S =F (R' — x)

und man erhält als Gleichung für x:

Bx²—(B — b) (x — d)² + 2vFed(x — a')=2vFeg(H' — x) woraus sich x berechnet :

Ä₆ =

Aq -j- VA₆ -j- -By , (B-b)d + v(F„ + FJ

.    . 124).

B,=

{B-b)d> + 2*[FeMR' + Ftia’]

Für die größten Materialspannungen gilt ähnlich wie bei Fall 1 das Gleichungssystem :

Mx

Sbd

v M(R' - x)

J.

I

^-[Bx³ — (B — b) (x — d)³] -f-

ö

+ v[Ftz(H'-xy + Fei(x-ay] _

J .=

%

Hinsichtlich der Berücksichtigung der Trägheitsmomente J°, und J°ed steifer Eiseneinlagen gilt das bereits wiederholt Gesagte.

Mit Rücksicht auf den oben bemerkten Umstand, daß das Eisen im Druckgurte nicht voll beansprucht werden kann, erscheint die Berechnung der Spannungen a ₇ nicht erforderlich; sie ist im übrigen im Falle 1 oder 2 nach Gl. 16)

v M (x — a')

J.

I

(mit dem Werte J. aus Gl. 122 oder 125) vorzunehmen.

Vernachlässigung des in die Rippe fallenden Teiles der Druckfläche. In ähnlicher Weise wie bei den einfach armierten Plattenbalken gezeigt wurde (S. 110), kann man auch hier eine Vereinfachung der Formeln erzielen, wenn man die in den Druckteil fallende Rippenfläche (E F J K) (Figur 51) vernachläßigt. Hinsichtlich der Zulässigkeit und des Einflusses dieser Weglassung gelten die ebendort gemachten Bemerkungen, nur ist hier der Einfluß ein etwas geringerer, was leicht einzusehen ist, wenn man bedenkt, daß das Eisen in der Platte durch eine fünfzehnmal so große Betonfläche ersetzt werden kann, die Platte hier also gegen die erwähnte Rippenfläche überwiegender ist, als bei einfach armierten Plattenbalken.

Die bezüglichen Gleichungen ermitteln sich wie folgt :

in welcher zu setzen ist

Aus Gl. 33):    +    =

bd

B [x² — (x — d)]² = B (2 d x — d²)

U    Â ergibt sich

. . 126)

! 2d‘ + 2v(F„X' + Ftia')

X~2- Bd + ,(F„ + FJ

oder mit Benützung der Hilfswerte aus Gl. 120)

.    . 127).

1 d²-\- 2XÆ', + 2X'a' x— 2'    d-\-\-f P

Die weitere Berechnung der Spannungen abd und a(t erfolgt sodann nach Gl. 12) und 17), welche hier lauten:

Mx abd

1B[**- (X-d)3] + V [i?,(ff - X)> + Fta(x — ay]

= 774 kglcm*.

15 . 5000000 . 52-4

5078000

Das gefundene $ez bezieht sich hier nur auf den Schwerpunkt der ganzen Eiseneinlage; die größte Spannung tritt in der unteren der beiden Schichten der

818 kglcm*.

Längseisen ein und wird a'eg~ Qez

Beispiel. Bei einer Straßenbrücke von 11 m Stützweite kommt für ein größtes Biegungsmoment von 50000 kgm der in Figur 53 dargestellte Plattenbalken (im Mischungsverhältnisse 350 kgfmz geplant) zur Anwendung; derselbe soll überprüft werden.

Für den vorliegenden Fall gelten folgende Ziffernwerte (in cm bezw. cm* und kgcm) : B — 160, b = 40, H = 90, d — 18, a = 9, a' — 5-4,    5000000,

Fez = 7 . 12-57 = 87-99, Fed = 6.4-91 =

= 29-46.

Figur 53.

160cm

OO

Eine Vorberechnung nach Gl. 119) zeigt, daß dieNullinie dieRippe schneidet, es kommen somit Gl. 124) und 125) zur Benützung.

90cm

Ï.™

7f40mm

Man findet

120 . 18 -f-15 . 117-45

98‘04 cm,

_ 120 . 18² -f- 30 (87-99 . 81 -f 29-46 . 5-4)

40

6436-7 cm*

und damit #=28-6 cm. Hiermit wird weiters

= y [160 . 28-6³ — 120 . 10-6³] -f- 15 [37-71 . 48-4² -j- 50-28 . 55'4² -f + 29-46 . 23-2²] = 5078000 cm⁴,

= 28'2 kglcm²,

*bd

5000000 . 28-6

5078000

55-4

52-4

Mit Rücksicht auf die laut BV. § 6 Abs. 1 zulässigen Spannungen $6d=29-[--[-0-2 l — 31-2 kglcm* und sez — 800 -J- 3 l = 833 kglcm* genügt der angenommene Querschnitt.

ß) Verfahren (mit Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton), anzuwenden für „besondere“ Hochbau- und für Brückentragwerke.

Der Abstand der Nullinie für diesen in Figur 54 dargestellten Fall, für welchen die Spannungsfläche in Figur 55 ersichtlich ist, sei wieder mit xt bezeichnet. Auch hier müssen zwei Fälle je nach der Lage der Nullinie unterschieden werden, für welche dann besondere Gleichungen anzuwenden sind ; diese Lage wird man indessen unter Benützung der Tabelle Nr. 4, S. 93 ff. und unter Bedacht-nahme auf das nach Verfahren A bereits ermittelte x schätzen

können, so daß eine zweimalige versuchsweise Berechnung von xx meist wird entfallen können.

Figur 54.

Figur 55.

CTi

3ed

-v>

ÜJÏ

0.

o'

3:

.t.

.......Ł

TOi

°“ öbzG

1. Fall. «< d. In Gl. 6)

ist zu setzen:

std = YBx‘’

s,i = Fu <xi — “')>

i- [6 (.ff— *,)» + (-B — 4) (d - *,)»],

S =F (H' — x.).

ez    ez '    ¹⁷

Aus der so gewonnenen Bedingungsgleichung für erhält man

Ä =

bz

xx — — A v ^ ~h

(1 — /t) i?

J* [* #² + (* - b) ä*] + 2 v {FezH' + F Äa')

7)

... 129).

(1 — jx) B

Da es hier nur auf die größten Betonzugspannungen ankommt, so sind nur diese zu berechnen und zwar nach Gl. 13) fi 31 (H—xx)

---j

°b,=

J) = ±[BĄ + pb(K—xiy + li(B — l)(i-x,)>] +

+ v[F„ (ff--*,)’ +- a'y]

2. F all. xx >» d.

Hier ist unter Benützung der Gl. 6) in ähnlicher Weise wie im 1. Falle vorzugehen. Es wird (Figur 54)

J¹

l

...130).

su = \[Bx\-(B-b) (X, -dn Sed = Fed(Xl —a')>

si,=\b(s~xly,

Nach Einführung dieser Werte in Gl. 6) und Auflösung der letzteren findet man

x\ — — A ~\~VA\-\- B₈,

j _fib H -\- ( Z> — b) d -f- v ( Fez -(- Fed)

. . . 131).

⁸ -    (T=7P    '

(1 — fi) b

B fib m + (F -b) d² 4-2 V (Fe. H’ -f Feda')

$bz -

Die Betonzugspannung ermittelt sich hiernach aus ft M (FL — x±)

J²

. . . 132).

~[B x\ — (JB — b) (xt — dy -\- ft b (FL — ^ ):J] —}—

o

-j- v [Fez (FL' — %i)² -f⁻ Led (xt — cd)²]

Beispiel: Für den Plattenbalken, welcher auf S. 121 hinsichtlich der Cbd und $ez untersucht wurde, soll hier auch die Betonzugspannung obz berechnet werden. Anzuwenden sind Gl. 131) und 132).

Es wird

-^8

0-4.40.90 -f 120.18 +• 15 . 117-45 0-6.40

0-4.40.90² -f 120.18² + 30 [87~99.81    29-46.5'4]

= 223-4 cm,

■= 16128 cm²

und damit xx — 33-6 cm.

j) — ^ [160.33-6³ — 120.15-6³ -f 0’4.40.56'4³] -(- 15 [37-71.43-4² -f- 50'28.50-4² -j--f 29-46.28-2²] = 6161000 cm⁴,

18"3 kg Ion².

Da sbz — 18 -f- 0-1 l — 19-1 kgjcm² gestattet ist, so genügt der obige Querschnitt auch hinsichtlich der Betonzugspannungen.

0-4.5000000.56-4

Gbz= -

6161000

0-6.40

b) Das Entwerfen.

Die Aufgabe, einen doppelt armierten Plattenbalken zu finden, der einem gegebenen Biegungsmomente M unter Einhaltung vorgeschriebener Grenzwerte der Materialspannungen entspricht, ist im allgemeinen unbestimmt und sei, um Wiederholungen zu vermeiden, auf das diesbezüglich auf S. 87 Gesagte verwiesen.

Die Aufgabe möge daher zunächst enger gestellt werden. Es seien bereits die hauptsächlichsten Abmessungen eines Plattenbalkens, also B, H, b, d gewählt oder aus anderen Gründen bestimmt und es werden nur jene oberen und unteren Eiseneinlagen gesucht, welche bewirken, daß die Betondruck- und Eisen zugspann ungen gerade die zulässigen Grenzwerte erreichen.

Es handelt sich demnach wieder um die sogenannte ideale Armierung. Wie sich hiebei die Betonzugspannung abz gestaltet, darüber sollen später einige Bemerkungen angefügt werden.

Bei der nachfolgenden Untersuchung werden die früher ein-

a    j) ‘ d

geführten Verhältniszahlen a = ß =    8 = — benützt und wird

źL    źi    Ji

weiter das Verhältnis

= a'

133)

gesetzt.

Die Bedingung, daß bei einem Plattenbalken die Grenzspannungen sbd und sez gerade erreicht werden, ist durch die Gl. 90) und 91) mit

x = tH =

(1 — a) v sbd

$ez -j- V Sbd bestimmt; £ ist hienach bei dem gegebenen Plattenbalken als bekannt vorauszusetzen.

Für das Weitere sind wieder je nach der Lage der Nullinie zwei Fälle zu unterscheiden.

1. Fall.

x<d, (£ < 8). Die allgemeine Gl. 33) gibt hier

--B x² -f- v Fed (x — a') = v Fez {H' — x).

Setzt man hierin sowie in Gl. 122) und 123) die Verhältniszahlen £, a, a', ß und 8 ein, so erhält man nach einiger Umformung für Fez und Fed die beiden Gleichungen: ²

v (1 — a — £)² Fgz-\-v (£ — cl')² Fed

UI

SbdH

^VBH.

o

Aus diesen Gleichungen ergibt sich

F =

ez

V (1 — a — a') (1 - a — £) SM H

F ₇ =

ed

X (3-3 a-i)suBW

a!)sbdH

v (1 — a — a') (; -

¹

Siehe Dr. Ing. R. Saliger, „Der Eisenbeton in Theorie und Konstruktion“, Stuttgart 1906.

²

(1 _ a - £) Fez- v (£ - a') Fed= ± £² B B

2. Fall.

X>d, (£>§).

Hiefür sind die auf S. 119 entwickelte Bedingungsgleichung für x und die Gl. 125) zu verwenden, welche nach entsprechender Ordnung die Form annehmen :

v(i-a-a)^

v(t-*')Fed=-[V

v(l_a -t)*FaM+V(t-*')»Fed

IM

Sbd-F- 3

Für Fgg und Fgd ergeben sich hieraus die Ausdrücke:

F

ez

£Jf+i[£²($-3a')-(l-ß)(c + 2ö-3a') (ï — L)²]sbdBH²

Ka

v(l —a —a')(l —a ~ï)sbdH eM-i[^(3-3a-|)-(l-ß)(3-3a-2 8-5)(5-§)²]^ßlP

135).

v (1 — a a') (ç a')sbdH

Mit der Anordnung der Eisenquerschnitte Fgz und Fed nach diesem Ausmaß ist gewährleistet, daß die Betondruck- und Eisenzugspannungen die vorgeschriebenen Grenzwerte sbd und sgz gerade erreichen.

Bei ,,besonderen“ Hochbauten und bei Brücken bedarf es noch einer Untersuchung, ob nicht etwa die Betonzugspannungen abz (nach Verfahren B zu berechnen) die zulässige Größe sbz überschreiten. Man muß hiezu die gefundenen Fgz und Fed benützen, um mit Hilfe der Gl. 129) und 130) bezw. 131) und 132) zunächst xx und dann abz zu ermitteln. Sollte eine Überschreitung von sbz eintreten, so wird man durch Abänderung des ursprünglichen Typus der Plattenbalken, etwa durch Verbreiterung der Rippe u. s. w. auf die Verringerung der $hz hinwirken; die in den Tafeln Nr. 2 bis 7 dargestellten Kurven können hiebei, wenn sie auch nur für einfach armierte Plattenbalken gelten, immerhin gewisse Anhaltspunkte für die zu wählenden Mittel geben.

Man denke sich zu diesem Behufe die Eisendruckfläche, indem man sie mit 15 multipliziert, in eine Betonfläche von der Plattendicke (l verwandelt und diese Fläche an die Platte seitlich angefügt, so daß deren Breite B übergeht in

F ,

ed

B' = B+lb

Hiedurch ist gleichsam der doppelt armierte Plattenbalken in einen ungefähr gleichwertigen einfach armierten umgewandelt, auf welchen dann die oben entwickelten Regeln Anwendung finden können.

Auch für die erstmalige Wahl der Rippenbreite und des Armierungsgehaltes, sowie überhaupt für die erste angenäherte Bestimmung des Querschnittes mittels der Tafeln Nr. 2 bis 11 wird dieses Näherungsverfahren gute Dienste leisten, so daß wiederholte Versuchsrechnungen fast stets vermieden werden können.

c) Ermittlung der Länge der Eiseneinlagen (Materialverteilung) mit Rücksicht auf die Momente.

eine kontinuierliche Änderung der

Bei Plattenbalken mit oberen und unteren Eiseneinlagen kann ebenfalls, wenn letztere je aus mehreren Stäben bestehen, eine Veränderlichkeit des Eisenquerschnittes platzgreifen, indem entsprechend der Verringerung des Biegungsmomentes M einzelne Eisen weggelassen werden. Zum Unterschiede von den einfach armierten Balken und Plattenbalken, woselbst mit einer solchen Veränderung der Eisenfläche bezw. der Armierungsziffer eine Nichtausnützung des Betons auf Druck parallel geht, kann hier ebenso wie bei den doppelt armierten Balken die Anordnung so getroffen werden, daß der Träger Eisenquerschnitte als möglich vorausgesetzt — überall ideal armiert ist, das heißt, daß überall der Beton auf Druck und das Eisen auf Zug gleichzeitig ausgenützt sind.

Wegen der aus konstruktiven Gründen nur stufenweise auszuführenden Querschnittsänderung des Eisens kann diese ideale Armierung natürlich nur für die Stellen der genannten Änderung selbst gelten. Zur Bestimmung der Materialverteilung ist in ganz ähnlicher Weise vorzugehen wie dies bereits S. 72 ff. für die doppelt armierten Balken gezeigt wurde.

ob sie nun nach den Gl. 134) oder nach jenen 135) zu berechnen sind, haben nämlich die Form

Die Größen F und f

ez    <

ed>

Fe=C,3I + C„

Fei = C₇M+C,

und können daher durch Gerade dargestellt werden, wenn man die Fez und Fed als Abszissen und die M als Ordinaten auf ein Achsenkreuz bezieht.

Der weitere Vorgang ist ein ganz ähnlicher wie bei den doppelt armierten Balken, und kann deshalb hier, um Wiederholungen zu vermeiden, auf S. 72 bis 76 verwiesen werden.

wenn der Nachweis der Ein-

Hinsichtlich der erforderlichen Untersuchung, ob nicht bei der geplanten Veränderung von Fe. und F d unter der Einwirkung des betreffenden Momentes sich unzulässig große Betonzugspannungen abz ergeben, kann haltung vorgeschriebener Werte für sby überhaupt in Frage kommt — wieder das oben erwähnte überschlägige Verfahren mit Umwandlung der Eisendruckfläche F , in eine ideelle Plattenfläche verwertet werden.

ed’

Bis nun war hinsichtlich der Materialverteilung konstante Rippenhöhe vorausgesetzt ; es kommen auch Fälle vor, bei welchen die Rippen veränderliche Höhe zeigen, z. B. der Träger gegen die Mitte zu höher wird. In solchen Fällen wird man am besten für einzelne Trägerstellen mit den Höhen H', B" . ... mit Hilfe der betreffenden Momente M', M" . . . die erforderlichen F' und F"ez und F"ed . .. berechnen und sodann die Veränderung der Querschnitte der oberen und unteren Eiseneinlagen so durchführen, daß in jedem Punkte die erforderliche Eisenfläche wirklich vorhanden ist.

IV. Berechnung der bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörper hinsichtlich der Schub- und Hauptzugspannungen.

Laut der HV. § 5, Abs. Se, BV. § 5, Abs. 7/sind die Schub-und Hauptzugspannungen unter der Annahme zu berechnen, daß der Beton keine Normalzugspannungen aufnehme; für die Ermittlung dieser erstgenannten Spannungen ist sonach stets der im früheren als Verfahren A bezeichnete Vorgang einzuhalten.

i Gemäß Gl. 18) ist die Schubkraft T pro Längeneinheit in einem Schnitte parallel zur Nullinie

T Q

worin Q die Querkraft an der betreffenden Stelle, S{ das statische Moment des durch den Schnitt abgetrennten Teiles der ideellen

Betonfläche und Ji das Trägheitsmoment dieser letzteren, beide bezogen auf die Nullinie, bedeuten. Diese Gleichung ist sowohl für Balken und Platten mit einfacher und doppelter, als auch für Plattenbalken mit einfacher und doppelter Armierung giltig. Eine getrennte Besprechung ist erst notwendig, wenn man auf die Schubspannungen übergeht, da hier die verschiedene Breite des Querschnittes in Betracht kommt.

Bei einfach armierten Balken (Figur 56) oder Platten ist sowohl die Schubkraft als auch die Schubspannung t₀ inner-

Figur 57.

Figur 56.

ii»

LU

ii

~n

h'

CD'

feix

..1

halb eines Querschnittes in der Nullschichte am größten, da dort das statische Moment Si am größten und zwar Si — Sbd = v Sez ist. Es wird die Betonschubspannung für den nicht durch Bügel oder dgl. bewehrten Rechteckbalken

QSt

k° ~ bJi~ bJi

Q Sbd_V Q Ses

bJi

136).

Bekanntlich bedeutet

Ji

J<

Sbd

die Entfernung der Mittelpunkte der inneren Zug- und Druckkräfte (im Spannungsschema Figur 57 mit z bezeichnet) und ist daher bei ,,schlaffen“ Eiseneinlagen, bei denen also der Mittelpunkt der Eisenzugkräfte mit dem Schwerpunkte zusammenfallend angenommen werden kann :

Ji    Ji

Sbd

3’

also

To

4’-f)

137).

Längs des Trägers oder Balkens ist die Schubspannung t0 mit Q veränderlich und wird sonach unter sonst gleichen Umständen (bei konstantem Querschnitte) an den Stellen der größten Querkraft ihren größten Wert erreichen, bei frei Flgur °⁸-aufliegenden und ganz oder teilweise eingespannten Trägern an den Widerlagern, bei durchlaufenden Tragwerken im allgemeinen an den Mittelstützen u. s. w. f An diesen Stellen werden also die Schubspannungen t₀ V hinsichtlich ihrer Zulässigkeit zu untersuchen, das heißt mit der nach den Vorschriften (TIV. § 6, Abs. 1, BV.

§ 6, Abs. 1) zulässigen Schubspannung tb zu vergleichen sein. Das Bild der Schubspannungen im Querschnitte ist ç in Figur 58 dargestellt.

Bei frei aufliegenden Trägern von der Stützweite l und mit gleichförmiger Belastung q auf die Längeneinheit ist

ql

Beispiel. Bei dem auf S. 32 untersuchten Balken (Figur 23) ist die Querkraft an der Stütze Q = 0⁻5 G — 1500 kg ; die Schubspannung in der Nullinie berechnet sich unter Berücksichtigung der ebendort ersichtlichen Maße 6 = 20 cm,

h’ — ^ = 30’3 cm mit

~o

1500

20. 30-3

•= 2'5 kgjcm².

max

daher die größte Schubspannung

ql

² 4’-!)

138).

Bei Balken oder Platten ergeben sich, besonders wenn es sich um gleichförmige Belastung handelt, für t₀ meist Werte, welche kleiner als die zulässige Schubspannung tb sind, so daß der Beton allein zur Aufnahme der Schubkräfte ausreicht und es nicht notwendig erscheint, Eiseneinlagen in Form von Bügeln zur Unterstützung des Betons gegen Schubwirkungen anzuordnen.

Für gleichförmige Belastung läßt sich auch in der Voraussetzung, daß es sich um ideal armierte Platten handelt, in nachstehender Art jene gleichförmige Last qx auf das Quadratmeter angeben, bei welcher die größten Schubspannungen in der Nullschichte den Wert tb erreichen.

Es handle sich zunächst um eine frei aufliegende, ideal armierte Platte von der nutzbaren Höhe h' und der Stützweite l. Der Abstand der Nullinie von der Druckkante ist alsdann nach

GL 49) und 50) gegeben durch x = £' h' und das Tragmoment auf die Breite 1 cm bezogen nach Gl. 57) durch

iM = ~h'² = ^³    ^

Cf

h'²sbd-

Ist qv die Last in hgjm², so wird

iM— - •

8 10000

und es bestehen die Gleichungen

h'² s*]—— • ai i²

6 bd 8 10000

(in hgcm), >Ö=

<h

max

7i'-3

Aus beiden Gleichungen findet man

X 20000 W (3 — £’)

Ql

10000 tb² (3 — O

5000 tb² 3 —

q ’ h'²

Mit den aus der Tabelle Nr. 2, S. 45 für Hochbauten zu

cc

entnehmenden zusammengehörigen Werten von und

sowie

h’²

unter Berücksichtigung der in den Vorschriften bestimmten Werte von tb findet man als Maximum von qx je nach dem Mischungsverhältnisse rund 10500 bis 10800 Tcg/m².

Da derartige gleichförmige Belastungen im Hochbau äußerst selten Vorkommen dürften, wird — und dies gilt in gleicher Weise für Platten wie für Rechteckbalken — wohl nur bei großen, in Nähe der Auflager liegenden Einzellasten (die somit große Querkräfte, aber verhältnismäßig kleine Momente erzeugen) eine Untersuchung hinsichtlich der Schubspannungen notwendig sein.

Bei Plattenbalken mit einfacher Eise nein läge ist die zur Aufnahme der horizontalen größten Schubspannungen zur Verfügung stehende Betonfläche verhältnismäßig wesentlich kleiner als bei Balken oder Platten, daher hier die Anordnung von Bügeln meist unerläßlich ist. Die größten Schubspannungen treten bei Plattenbalken nur dann in der Nullschichte auf, wenn die Nullinie die Rippe schneidet (z. B. Figur 59). Die größte Betonschub

spannung für den nicht durch Bügel oder dgl. bewehrten Plattenbalken ist:

To

— QSt

Ui

(s. Gl. 136).

Die im Querschnitte auftretenden Schubspannungen sind in der Figur 61 dargestellt.

Figur 59.

Figur 60.

Figur 61.

AD

T\ \

ln: K

01

i.

ro

n.

Anders verhält es sich jedoch, wenn die Nullinie in die Platte fällt (Figur 62, 63) ; dann ist die Schubspannung in der Nullinie

v_ Si

To

in der Anschlußfläche der Rippe an die Platte sowie in der Rippe selbst jedoch ^-mal größer als in der Nullinie:

QSt B_QSi

BJi'b ~bJi

To =

139).

Am einfachsten berechnet man t₀ mittels des statischen Momentes der Eisenzugfläche

St = vSez = vFez(H'

x).

t₀ kann auch in der Form

T° — b{H’ — x+ y) *

140)

ausgedrückt werden, wobei (Hr — x -(- y) die Entfernung der Mittelpunkte der inneren Zug- und Druckkräfte im betreffenden Querschnitte Diese Formel ist vorteil-

wenn die Nullinie in der Platte liegt, in welchem Falle wie bei einem Bai-

X

ken H' — x-j-y — H' — — wird, oder wenn man, sobald die Nullinie

o

die Rippe schneidet, bei der Untersuchung der Schubspannungen mit

bedeutet.

Figur 62.

Figur 63.

genügender Genauigkeit von den auf den gedrückten Rippenstegteil (E F J K in Figur 59) entfallenden Druckspannungen absieht. Hiebei ist y durch Gl. 82) bestimmt.

Nach den amtlichen Vorschriften (HV. § 6, Abs. 6, BV. § 6, Abs. 7) sind in Fällen, in denen die berechneten Schubspannungen (t ) im Beton die festgesetzten Werte (tb) überschreiten, Bügel oder andere entsprechende Eiseneinlagen anzuordnen und so zu bemessen, daß sie jenen Teil der Schubkräfte, welcher vom Beton ohne Überschreitung der festgesetzten zulässigen Spannungen nicht aufgenommen werden kann, mindestens aber 60 von Hundert der gesamten Schubkräfte aufzunehmen vermögen.

Da die Betonschubspannung to für den nicht durch Bügel oder dgl. bewehrten Plattenbalken den gleichen mathematischen Ausdruck hat, ob die Nullinie in die Platte fällt oder die Rippe schneidet, und da dieser Ausdruck (Gl. 139) mit jenem für Rechteckbalken (s. Gl. 136) vollkommen übereinstimmt, so gilt die nun folgende Berechnung der Stärke und Entfernung der Bügel, ihrer Austeilung über die Trägerlänge sowie die Berechnung der zur Aufnahme der Hauptzugkräfte etwa nötigen schrägen Armierungseisen in gleicherweise für Rechteckbalken und fürPlatten-b a 1 k en.

Bei der rechnerischen Auswertung der Gleichungen ändern

S.

sich von Fall zu Fall nur die Werte Q, b und

An irgend einer Stelle betrage die Querkraft Q, demnach die Schubkraft in der Nullinie auf die Längeneinheit laut Gl. 18)

QS<

Bezeichnet th die zulässige Schubspannung des Betons, so kann von diesem die Schubkraft Tb = btb auf die Längeneinheit aufgenommen werden. Ist Tb^>T bezw. tb >* t , so reicht der Beton allein zur Aufnahme der Schubkräfte hin und es bedarf keiner Bügel, die aber in solchen Fällen dennoch aus anderweitigen praktischen Gründen (um den Zusammenhang des Betons zu sichern und das Tragwerk gegen Stöße widerstandsfähiger zu machen) eingelegt zu werden pflegen. Ist hingegen Tb << T bezw. tb <C ~₀, so bleibt

eine Schubkraft T = T

— b tb übrig, welche dem vorgeschriebenen Rechnungsvorgange entsprechend, den Bügeln zufallen soll.

Gemäß der oben zitierten amtlichen Bestimmung ist aber dann, wenn Bügel überhaupt erforderlich sind, also Th << T ist, zu beachten, ob die auf die Bügel entfallende Schubkraft Tg — T—Tb nicht kleiner als 06 T ist; in letzterem Falle ist nicht etwa Te, sondern die Schubkraft 06 T der Bügelbe- j rechnung zu Grunde zu legen.

Figur 64.

In den amtlichen Vorschriften (HV. § 6, Abs. 6, .

BV. § 6, Abs. 7) ist auch eine Bestimmung enthalten, durch -welche die Stegdicke eines Verbundkörpers im Hinblick auf die durch den Beton aufzunehmenden Schubkräfte eine Begrenzung nach unten findet.

Bi

Der Beton muß nämlich für sich allein im stände sein, mindestens 30 von Hundert der Schubkräfte (T) durch Schubspannungen von zulässiger Größe (tb) aufzunehmen. Es muß also sein :

0-3 T<Tb d. h. T< 3.33 T bezw. to<3*33*₀ . . . Ml).

Im Zusammenhalte mit den früheren Darlegungen ergibt sich hiernach weiters, daß Bügel zur Aufnahme von Schubspannungen für min. 60 bis max. 70 von Hundert der veränderlichen Querkräfte zu dimensionieren sind.

Figur 66.

Figur 65.

Die Bedingung 141) ist insbesondere bei Verbundkörpern nach Figur 64 zu beachten, bei denen ein Ober- und Untergurt durch einen verhältnismäßig schwachen Steg miteinander verbunden sind. Im nachstehenden sei angenommen, daß dort, wo die Bedingung 141) von vornherein nicht erfüllt war, die nötige Verbreiterung des Steges bereits vorgenommen worden ist.

mm

il

Die Überprüfung eines Balkens hinsichtlich der Bügelanordnung gestaltet sich somit in folgender Weise;

Es seien an der betreffenden Stelle lotrechte Bügel vom Querschnitte cp im Abstande c angebracht und es mögen für die Abscherung n Querschnitte cp in Betracht kommen. So ist z. B. in Figur 65 der Bügel zweischnittig, also n — 2, in Figur 66 vierschnittig, also n = 4.

Die abzuscherende Fläche der Bügel ist pro Längeneinheit

CP

—. Man hat nun zwei Fälle zu unterscheiden :

a) Tg{=T—Th)^0-QT oder T^2‘hTb bezw.

n cp

= 0-6 2¹,

Hiefür ist ^ . x, = Tg, somit c_ T _ _c_ (Q Si

■ •¹⁴²⁾-

6) 0<Tt(=T—Tb)<0-6ToderTi<T<2-öTl,bezw.ti<xo<2-ötr

n cp

n cp

Hiefür ist zu setzen :

somit

-e= — . 0-6 T = 0-6 —

n cp

QSt

0'6 — . to . . 142 a).

n cp

Hiebei muß

an allen Stellen des Tragwerkes

wenn in einem vorliegenden Tragwerke die angeordneten lotrechten Bügel hinreichend bemessen und richtig ausgeteilt sein sollen

<i sein-

Bei Aufstellung der Gl. 142) und 142 a) wurde vorausgesetzt, daß die Querkraft auf der Strecke c konstant sei, was allerdings schon der ständigen Belastung wegen nicht der Fall sein kann. Mit hinreichender Genauigkeit wird aber ein der verhältnismäßig kurzen Länge c entsprechender Mittelwert der veränderlichen Querkraft Q eingeführt werden können. Nach der vorangeführten Entwicklung wird somit jedes auf Biegung beanspruchte Tragwerk je nach der Größe der Schubkräfte bestehen aus Teilen mit veränderlichem xf nach Gl. 142) (Fall «... xo>2-5 tb), aus Teilen mit veränderlichem nach Gl. 142 a) (Fall b . . . t₆ < ~n < 2’5 tb) und aus Teilen, die keine Bügel oder dgl. benötigen (t₀<C.tb).

Beim Entwerfen handelt es sich um die Bestimmung der Stärke der Bügel und der Entfernungen c, in welcher dieselben anzuordnen sind.

Aus den Gl. 142) bezw. 142 a) folgt bei Ausnützung der zulässigen Eisenschubspannung tg:

Für Fall a):

n cp

t.

• 143);

für Fall b) :

n cp

0-6    QSj _ 0-6_b

K    Ji ~ K

143 a).

Ist hiernach in einem bestimmten Falle der Querschnitt des Verbundkörpers, also S., J und b gegeben, sind ferner die Querkraft Q sowie tb und te als zulässige Spannung des Betons und des Eisens auf Schub bekannt, so kann die Berechnung des Bügelquerschnittes © oder der Entfernung c der Bügel voneinander nach Gl. 143) oder 143 a) erfolgen. Die Zahl n der in einen Schnitt fallenden Bügelquerschnitte ist meist durch praktische Rücksichten, insbesondere jene auf möglichst gleichförmige Verteilung der Bügel über den Querschnitt des Körpers bedingt.

Nach Gl. 143) und 143a) kann man entweder stärkere Bügel in größerer Entfernung oder schwächere Bügel in geringerer Entfernung anordnen. Die Entscheidung hierüber wird nach praktischen Rücksichten zu treffen sein, welche einerseits fordern, daß die Bügel nicht zu nahe stehen, um die Stampfung nicht zu behindern, anderseits aber auch starke Bügel in großen Entfernungen als nicht zweckmäßig erscheinen lassen, da hiebei die Kraftübertragung Beton auf die Bügel, welche Übertragung mit- j-tels der Haftspannung an den Bügelflächen erfolgt, nicht in ausreichendem Maße gewährleistet ist.

Nach Annahme eines ^

Bügels (d. h. der Anzahl der Schnitte n und der Querschnittfläche 9) kann sodann die Berechnung der Entfernung c erfolgen. Da die Querkraft Q längs des Trägers veränderlich ist, so wird sich auch c jeder Stelle des Trägers mit einem anderen Werte ergeben, d. h. es wird zweckmäßig eine der Querkraft Q entsprechende veränderliche Entfernung der Bügel angeordnet werden.

vom

Qo

.....O

I 0|N

Figur 67.

Hax Q

Q,

an

'3

ÎF

Figur 68.

Zur Austeilung der Bügel ist demnach die Kenntnis der Kurve der größten Querkräfte erforderlich. Dieselbe sei in einem bestimmten Falle bereits bekannt, z. B. wie in Figur 67 aus der Linie der Qg von der ständigen Last und jener der max Qp von der Nutzlast abgeleitet. Man kann sodann auf einfache Weise die Entfernung c der Bügel zeichnerisch derart bestimmen, daß obiger Berech-

nungsannahme zufolge überall das Eisen bis zur zulässigen Grenze te

beansprucht ist. Nach Gl. 143) und 143 a) ergibt sich

für jenen Tragwerksteil, in dem nach Fall a) :    t₀>2,5£j,

n cp t

n cp t

QSi

Ji

b tb

b (To tb)

144),

für jenen Tragwerksteil, in dem nach Fall b) :    tb<C.~₀<C 2'5 tb,

c = — HO te

2*.

-6

•s*. I

144 a).

Man berechne in ähnlicher Weise, wie man bei der Bestimmung der Dübelentfernungen bei verdübelten Holzbalken vorzugehen pflegt, c für einige Stellen des Trägers, z. B. für A, D, E, F..., trage diese Werte c₀, clf c₂, c₃... (Figur 68) je zur Hälfte von einer Horizontalen aus nach ab- und aufwärts auf und verbinde die erhaltenen Punkte durch Kurven. Zeichnet man nun einen Linienzug unter 45° in der aus Figur 68 ersichtlichen Weise, so erhält man, wie leicht einzusehen, in den Lotrechten die Stellen, an welchen ^-schnittige Bügel vom angenommenen Querschnitte cp anzubringen sind, sobald nach Gl. 144) bezw. 144a) die Schubspannungen t₀ und te bezw. te eingehalten werden sollen.

Ist die ganze in Betracht kommende Belastung gleichmäßig über die Trägerlänge verteilt, so wird, wenn q die Last auf die Längeneinheit bedeutet, für einen Querschnitt im Abstande x von der Stütze

0 = 7r?(Z — 2x).

Die Anordnung von Bügeln wird nach Gl. 143) nur bis in eine Entfernung lb vom Auflager notwendig, wobei sich lb aus der Gleichung

q(l — 2 h) Si

berechnet mit

2 Ji

btb — 0

ll=2

l btbJi

145).

qSi

Für die Bügelentfernungen c innerhalb lb wird aber, je nachdem Fall a) oder Fall b) vorliegt, Gl. 144) oder Gl. 144a) maßgebend sein.

Die in Figur 68 dargestellte, zur zeichnerischen Ermittlung der Bügelabstände c dienende Kurve wird hier, insolange Fall a) vorliegt, eine Hyperbel sein.

Zur Aufnahme der Hauptzugspannungen sind schräge, am besten unter 45° liegende Eiseneinlagen dann anzuordnen, wenn erstere nicht vom Beton allein aufgenommen werden können. Die Hauptzugspannungen wirken in der Nullschichte unter 45° gegen die Stabachse; sie sind (auf die Flächeneinheit des schiefen, zur Hauptzugspannung senkrecht gerichteten Schnittes bezogen) gleich den horizontalen und vertikalen Schubspannungen an derselben Stelle.

Es ist also von der Zugarmierung bis zur Nullinie xz = t₀. Da nun laut der amtlichen Vorschriften die zulässigen Werte der Schub-und Hauptzugspannungen tb und tz gleich groß sind, so folgt, daß überall dort, wo in einem Tragwerke der Beton allein zur Aufnahme der Schubkräfte nicht ausreicht bezw. bei Nichtvorhandensein einer Bügelarmierung die Betonschubspannungen zu groß würden, dies auch hinsichtlich der Hauptzugkräfte und Hauptzugspannungen der Fall ist.

Immer dort also, wo Bügel zur teilweisen Übertragung der Schubkraft rechnerisch notwendig werden, müssen auch Eiseneinlagen für die Hauptzugspannungen angewendet werden.

Die Berechnung solcher Einlagen hat gemäß der amtlichen Vorschriften auf folgende Weise zu erfolgen:

Auf die Längeneinheit der Stabachse entfällt (Figur 69) eine unter 45° gerichtete Hauptzugkraft

z—^yT=jVW- QS‘

Jener Teil der entsprechenden Hauptzugspannungen, der den für Beton zulässigen Wert tz überschreitet, wird den schiefen Bügeln oder Eiseneinlagen zugewiesen, so daß bei der Balkenbreite b auf die letzteren rechnungsmäßig eine Kraft

Figur 69.

i.

/v

—i

H/ '45- k

„..JL

Ji

pro Längeneinheit des Trägers entfällt.

Die auf S. 132 erläuterten amtlichen Bestimmungen (HV. § 6, Abs. 6, BV. § 6, Abs, 7) gelten nicht nur für Schub-, sondern auch für Hauptzugkräfte. Sind somit überhaupt schiefe Bügel oder Eiseneinlagen notwendig, d. h. ist

QS

J<

bJi

so ist zu beachten, ob die auf die schiefen Eiseneinlagen pro Längeneinheit entfallende Hauptzugkraft Ze nicht kleiner als 06 Z ist; in letzterem Falle ist nicht etwa Ze, sondern die Hauptzugkraft 06 H der Berechnung der schiefen Eiseneinlagen zu Grunde zu legen.

Die Überprüfung eines Balkens hinsichtlich der schiefen Bügel oder Eiseneinlagen gestaltet sich somit in folgender Weise:

Ist die Entfernung der schiefen Bügel oder Eiseneinlagen an der betrachteten Stelle, gemessen in der Richtung der Stabachse, gleich e, so hat das Eisen, dessen Querschnitt cp sein möge, im ganzen aufzunehmen :

im Falle a) ^>0'6Z bezw. t* (== r₀) > 2'5 tz {= 2'b tb)

.....

die Kraft :

146)

hingegen im Falle b)

0 <C Ze «< 06 Z bezw. tz (= th) «< xz (= t₀) <C 2⁻5 tz (= 2'5 tb)

Zee = 0-3ey~2-

die Kraft:

Ji

146 a).

Dieser Hauptzugkraft Zee entspricht eine Hauptzugspannung : im Falle a)

t, =

be 1/2

2 cp

147)

im Falle b)

TÄ==-

03 beV2

• T₀

147 a) ;

x₀ hat hiebei die auf S. 128 angegebene Bedeutung.

Hiebei muß — wenn in einem vorliegenden Tragwerke die angeordneten schiefen Bügel oder Eiseneinlagen hinreichend bemessen und richtig ausgeteilt sein sollen — an allen Stellen des Tragwerkes tz<tz sein.

In ähnlicher Weise wie für die Entfernung c der lotrechten Bügel (s. S. 134) gilt auch hier, daß mit hinreichender Genauigkeit ein der Länge e entsprechender Mittelwert der veränderlichen Querkraft Q eingeführt werden kann.

Bei veränderlicher Nutzlast, wie z. B. bei Brücken, muß für Q der entsprechende Maximalwert der betreffenden ungünstigsten Laststellung berücksichtigt werden.

Am einfachsten geht man sowohl bei der Überprüfung als auch beim Entwerfen in zeichnerischer Weise vor, wie im nachstehenden für gleichförmige Belastung gezeigt wird.

Die veränderliche Querkraft Q ist (Figur 70) durch die Ordinaten der Geraden F' C dargestellt. In Figur 71 sei ACB die Nullinie. Man ziehe durch A und C Gerade unter 45° gegen die Nullinie und trage vom Schnittpunkte E aus die Größe

Qa Si

TÄ

Ti

FF

c n' [

Lrj~-gJiC-4-^g

(T¹Tr---- T

auf. Die Ordinaten der Geraden CF bezogen auf CE stellen sodann die

Figur 70.

B'

Fall I b)

......r■

?2 veränderliche Schubkraft T bezw. die "]/ 2 - fache veränderliche Hauptzugkraft Z pro Längeneinheit des Bal-j kens dar. Die Fläche (FE C) =

= ZiviĄc-z* ¹

stellt die gesamte auf die Trägerhälfte A C entfallende Hauptzugkraft dar. Trägt man Tb = bth = E G, ferner EÄD = 0AT[ oder FD = 0‘6TÄ auf, zieht GF₂\\EC und den Strahl HC, so stellen die Ordinaten der Fläche (FGF₂) die veränderlichen Werte TS=(T—Tb), die Ordinaten der Fläche (FH C) die veränderlichen Werte 06 T dar.

Innerhalb der Balkenstrecke ÄH\ ist nun T >0'6T oder

Ze (= T-~^) > 0-6 Z (= 0-3 T y 2).

Es kommt somit der Fall a) von S. 133 bezw. 138 in Betracht. Innerhalb der Strecke H H ist hingegen 0<T <0’6T oder

Figur 71.

Y/

"V

vv

Fi

/ T y 2 \    —

0 <^Zą— e 2 --j < 0’6 Z (= 03 T\ 2), somit die Berechnungsart nach Fall b) maßgebend.

Die Ordinaten der Fläche (F GDX D₂ F₂) geben somit an, wie sich die rechnungsmäßig den lotrechten Bügeln zugewiesene Schubkraft pro Längeneinheit des Balkens von A gegen die Trägermitte zu verändert. Analog zu der oben erläuterten Bedeutung der Fläche (F EC) stellt die Größe der Fläche (FGDXD₂F₂) jene gesamte Hauptzugkraft dar, die rechnungsmäßig den schiefen Bügeln und Eiseneinlagen zugewiesen wird. Die restliche Fläche (GECF₂ D₂ Dx) stellt die vom Beton aufzunehmende Hauptzugkraft dar. Bei Balken wird meist die Zone AHX und Hx H₂, bei Plattenbalken mit nicht übermäßig großen Schubkräften meist die Zone AHX entfallen. Da FF <7 3’33 Tw so genügt die Stegbreite von vornherein hinsichtlich der dem Beton nach den amtlichen Vorschriften zugewiesenen Schubkräfte.

Handelt es sich um die Überprüfung eines vorliegenden Trägers, so ist die Fläche, die der ganzen, den schrägen Eiseneinlagen rechnungsmäßig zugewiesenen Hauptzugkraft entspricht, so auf die Eisen 1 und 2 aufzuteilen (Figur 71), daß die Schwerpunkte der Teilflächen in die Verlängerung der schrägen Eiseneinlagen fallen. Versuchsweise erhält man rasch die dem Eisen 1 entsprechende Fläche (JKD₂F₂) und die dem Eisen 2 zufallende Fläche (FGJ)XKJ).

Zu beachten ist hiebei noch folgendes : Im allgemeinen sind

J.

auch 8. und J. nicht konstant, das heißt der Wert welcher die

i

Entfernung der Mittelpunkte der Zug- und Druckkräfte vorstellt, ändert sich, wenn z. B. nicht alle Längseiseneinlagen über die ganze Länge durchlaufen und einzelne schief nach aufwärts gezogen werden. In den meisten Fällen wird es indessen, wenigstens

J.

bei prismatischen Trägern, genügen, ~ als konstant zu betrachten

JO .

und etwa jenen Wert, welcher für das Trägerende gilt, einzuführen. Bei veränderlicher Trägerhöhe und stark veränderlichem

für einige Träger-

Eisenquerschnitte empfiehlt es sich, T

stellen zu berechnen und hiernach die Ordinaten der Linie CF aufzutragen. In solchen Fällen wird CF auch für gleichförmige Belastung oder Einzellasten eine Kurve bezw. eine stufenförmige, aus Kurvenstücken zusammengesetzte Linie.

Beim Entwerfen wird man in nachstehender Art vorgehen, wenn, wie üblich, die Hauptzugspannungen durch die im Untergurte nicht mehr erforderlichen, hinaufgezogenen Längseisen aufge-nommen werden sollen. Ist Ft der Querschnitt des ersten, hinsichtlich der Aufnahme der Momente bereits nicht mehr notwendigen Eisens und scz die zulässige Zugspannung desselben, so darf dieses Eisen rechnerisch die Kraft Fx seg aufnehmen. Man schneidet nun (Figur 71) — nach Aufzeichnung jener Fläche, die den sämtlichen schrägen Eiseneinlagen zuzuweisenden Hauptzugkräften entspricht — von der Trägermitte gegen das Auflager fortschreitend durch Parallele zu A F Teilflächen ab, die den Kräften Ft sez, F₂ sez entsprechen. Die schrägen Eiseneinlagen sind dann, durch die Schwerpunkte der einzelnen Teilflächen gehend, unter 45° gegen AB anzuordnen. Die Lage der Grenzlinien zwischen den Teilflächen wird am einfachsten versuchsweise bestimmt ; dies gilt namentlich dann, wenn es sich nicht um eine gleichförmige Belastung handelt.

u. s. w.

Die gezeigte zeichnerische Untersuchung hinsichtlich der Haupt-

J.

Zugspannungen wird, wenn der Quotient wie meist der Fall,

O .

I

als nahezu konstant betrachtet werden darf, direkt an der Linie der Querkräfte (Figur 70) dann mit Vorteil vorgenommen werden, wenn diese Linie allgemeinerer Natur ist; jedoch muß dann für die Ordinaten

mal so

ein anderer Maßstab benützt werden, dessen Einheit

groß ist als jener für Q; für diesen Maßstab erhält man direkt die den Hauptzugkräften entsprechenden Flächen. Mißt man hingegen die Ordinaten dieser Flächen mit einem Maßstab, dessen

mal so groß ist als jener für Q, so stellen sie Schubkräfte

pro Längeneinheit, die Flächen hingegen die Schubkräfte selbst dar. So entspricht beispielsweise die Fläche (F' G' D[ J)\ F'₂) jener Gesamtschubkraft, die durch die lotrechten Bügel aufzunehmen ist, während Fläche (Gr' A! C F'₂ D' Dj) die Schubkraft darstellt, die rechnungsmäßig dem Beton zugewiesen wird. Man kann somit dieselbe zeichnerische Darstellung zur Überprüfung und zur Austeilung ebensowohl der schrägen Eiseneinlagen wie auch der lotrechten Bügel verwenden, wenn in beiden Fällen die entsprechend richtigen Ordinatenmaßstäbe zu Grunde gelegt werden.

Es braucht nicht erst betont zu werden, daß die Längseisen nur dann in der angedeuteten Weise zur Aufnahme der Hauptzugspannungen herangezogen werden können, wenn sie an jenen Stellen, an welchen sie nach dem obigen für den genannten Zweck erforderlich werden, im gezogenen Gurte bereits entbehrlich sind und daher gegen die Druckzone abgebogen werden dürfen. Dort, wo

J..V2

S,

S.

I

Einheit

große Momente und große Querkräfte in gleichen Querschnitten Zusammentreffen, wie beispielsweise in der Nähe der Stützen kontinuierlicher Träger, wird man daher in manchen Fällen zur Anordnung von unter 45° geneigten Bügeln oder von besonderen abgebogenen Eiseneinlagen greifen müssen.

Bei veränderlicher Belastung geht man für die Untersuchung der Schubkräfte und der Hauptzugspannungen mit genügender Genauigkeit von der Linie der größten Querkräfte aus. Man vernachlässigt hiebei nur den geringen Unterschied der Ordinaten dieser Linie und der Querkraftlinien, die der Belastung für die größte Querkraft jener Trägerabschnitte entsprechen, welche den einzelnen schrägen Eiseneinlagen zuzuweisen sind.

Was weiter oben über die direkte Verwendung der Querkraft-linie für eine ruhende Belastung und über die zwei verschiedenen Maßstäbe gesagt ist, die einerseits zur Bestimmung der lotrechten Bügel und andrerseits zu jener der schrägen Eiseneinlagen zu verwenden sind, gilt in ganz gleicher Weise auch hier bei Zugrundelegung der Linie der größten Querkräfte beim Vorhandensein von veränderlicher Belastung.

Bei Balken, Platten oder Plattenbalken mit doppelter Armierung ändert sich die vorgeführte Berechnungsweise der Schub- und Hauptzugspannungen nur insoferne, als statt der Betondruckfläche die ideelle Betondruckfläche einzuführen

S. = vS =vP Œ' — x).

i    ez    ez v    ⁷

ist. Zur Ausmittlung des statischen Momentes S. benützt man am besten auch hier das statische Moment der Eiseneinlagen auf der Zugseite, also

Beispiel. An dem in den Figuren 73 und 74 dargestellten Plattenbalken eines Hochbaues sind die Bügel und schiefen Armierungseisen zur Aufnahme der Hauptzugspannungen zu entwerfen. Stützweite 8⁻4 m, Last gleichmäßig verteilt 18000 kg, Mischungsverhältnis 280 kg/m³.

Von den 8 Armierungseisen (d — 2⁻6 cm) sollen die vier unteren bis zum Ende fortgeführt, die anderen, soweit erforderlich, zur Aufnahme der Hauptzugspannungen verwendet werden. Zunächst muß festgestellt werden, auf welche Länge je 8, 7, 6, 5 und 4 Armierungseisen wegen der Momente notwendig sind.

Das Biegungsmoment in Trägermitte ist

4- 18000 . 8-4 = 18900 kgm.

Unter Benützung des Näherungsverfahrens (Gl. 81, 82 und 83) findet man folgende statische Werte der einzelnen Querschnitte sowie die betreffenden Tragmomente (für se, = 1000 kgjcm²) und erforderlichen theoretischen Längen :

Zahl der Eisen

Fe (cm²) U' (cm) x(cm)

42-48

540

18-0

T-f -rß O Ń Tfł i CO vH

31-86

26-55

21-24

55-0

16-1

55-8

57-0

14-6

13-3

T"

■^n/ę

GL=9000 kg

JhP

Qu

Figur 72.

5530

A’

T6Z

JJb

Z 58

•tsfr 4e\

CXT

d\ .1 -53 .. c\ A >t₂ b

(di)

q») A

l^rr-\

et-; a

ZN

Q:69>^>0 81    0'90\_. .....110.

Jm+

7/

hOrnJ

Figur 73.

4/

y/A

yi

ÿm

>•

</,

\;;fy

vAxf

Träger-Mitte

<-

B“ 160 cm

VF

C\)

10

inm

Figur 74.

-3“

LO

8_^Z6mm

y

‘-°-y -Sri tri

U-Joj.....?

_eï_    :

io!    £

Figur 75.

.....J.JOcnq

Zahl der Eisen y (cm)

z (cm) — H' — x -j- y M (kgm)

erforderliche Länge (m)

13-0

12-0

11-3

10-0

8-9

49-0

49-5

50-2

51-2

52-6

20810    18400

15990

13590

11170

1-37

3-21

4-41

5-37

Die theoretischen Endpunkte der einzelnen Eiseneinlagen sind in Figur 73 eingetragen und mit (a), (b), (c) und (d) bezeichnet.

Schubkräfte. Am Auflager ist die größte Schubspannung in derNullinie nach Gl. 140)

18000

30 . 52-6

— 5-7 kg/cm² ;

da t₀ somit größer als die für das Mischungsverhältnis 280 kgjmz zulässige Spannung 2₆ = 3-5 kglcm² ist, so müssen Bügel angeordnet werden und zwar von jedem Auflager an auf eine Länge lb, die sich aus Gl. 145) mit q —

30 . 3-5 . 52-6

18000

840

— 21-43 kgjcm ergibt zu:

lb~~2 840 —

hiebei wurde für

21-43

162 cm ;

Ji

— = R' — x -f- y

Si

genügend genau der am Auflager gütige Wert (52⁻6 cm) eingesetzt.

Die Schubkräfte in der Nullinie, bezogen auf die Längeneinheit, sind in Figur 73 dargestellt. Hiebei wurde unter Beziehung auf Figur 71 gemacht:

Q±⁸i

EF= TÄ

9000

Ji

52-6

171 kgjcm,

E G — Tb = b = 30 . 3-5 = 105 kglcm, ED — 0‘4 TÄ — 68 kgjcm.

Die Ordinaten der Fläche (FD D₂ F₂) geben die rechnungsmäßig den lotrechten Bügeln zugewiesene Schubkraft an, die hier wegen Te(= T — Tb) < 0*6 T überall

wo überhaupt Bügel erforderlich sind, also auf der Strecke A H₂, 0-6 T beträgt. {Fall b, Seite 134); die Ordinate Z)₂ F% = 0'6.105 = 63 kg/crn.

Es sollen Flacheisenbügel (30 X 5) mm in der in Figur 74 gezeichneten Weise, also vierschnittig angeordnet werden.

Mit n — 4, cp = 3.0-5 = 1-5 cm², te — 600 kglcm² wird nach Gl. 144 a) für x =

0-6

1-2

1-8

<? =

9000

7710

6430    5140

T~

171

147

122

98

35

41

50

61

2-4 m, 3840 kg,

7 3 kg/cm, 82 cm.

c,=

Hiernach ist die in Figur 75 ersichtliche Bügeleinteilung getroffen worden, wobei die Entfernungen stets kleiner als die theoretischen sind und auch gegen die Mitte zu (in der Strecke C), obwohl Bügel dort vom theoretischen Standpunkte aus nicht mehr erforderlich wären, aus praktischen Gründen solche angeordnet sind.

Hauptzugkräfte. Gemäß den Ausführungen auf S. 139 stellt die Fläche, (FDD₂Fi) die gesamte Hauptzugkraft dar, welche rechnungsmäßig von schiefen Eiseneinlagen oder Bügeln aufzunehmen ist. Im vorliegenden Falle ist

D F = 0-6 TÄ = 103 kglcm, D% Fa = 63 kg fern,

103-f 63

somit entspricht der Fläche (FD D₂ F₂) :

1-62

.-=-9510*,,.

Ein Längseisen von 26 mm Durchmesser vermag eine Hauptzugkraft von 2-6 ² t.

. 1000 = 5310 fc#' aufzunehmen ; es müssen also 2 Längseisen zur Übernahme der Hauptzugkräfte verwendet werden.

Z'

Unter der Voraussetzung einer gleichmäßigen Verteilung der Gesamtkraft 9510 kg auf zwei Eisen, wovon auf jedes hiernach die Spannung rz— .

9510.4

2-6²ti

= 897 kgjcm? entfällt, wurden die Fläche (F D D₂ F%) in 2 gleiche Teile geteilt und die schiefen Eisen den Schwerpunkten der Teilflächen entsprechend angeordnet. Hiernach ergibt sich die in Figur 73 dargestellte Lage der schiefen Eisen; diese zeigt in dem vorliegenden Falle, daß die Einlagen c und d der Hauptzugkräfte wegen beträchtlich über die theoretischen Endpunkte (c) und (d), die sich aus den Momenten ergeben, hinausgeführt werden müssen.

Es erscheint noch eine Untersuchung notwendig, ob die getroffene Anordnung in bezug auf Haftspannungen ausreicht ; hierüber siehe Abschnitt V.

V. Berechnung der bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörper hinsichtlich der Haftspannungen.

Im Abschnitte II, 4 wurden bereits die allgemeinen Grundsätze entwickelt und die Formeln aufgestellt, nach welchen bei der rechnerischen Untersuchung der Haftspannungen vorzugehen ist. Im folgenden soll nun hierauf näher eingegangen werden.

Laut der Vorschriften (HV. § 5, Abs. 23, BV. § 5, Abs. 21) sind die mittleren Haftspannungen nach denselben Voraussetzungen und Annahmen wie die Schub- und Hauptzugspannungen zu berechnen ; demnach ist auch hier gemäß dem früher mit A bezeichneten Rechnungsverfahren (ohne Berücksichtigung der Normalzugspannungen im Beton) vorzugehen. Es wird das Berechnungsverfahren somit in Übereinstimmung gebracht mit der Voraussetzung einer Betonzugrißbildung, die für eine praktisch annehmbare Begründung des Begriffes ,,mittlere Haftspannung“ notwendig erscheint (s. S. 25, 26). Für das weitere soll vorausgesetzt werden, daß die Eiseneinlagen sogenannte ,,schlaffe“ Einlagen sind, d. h. verhältnismäßig kleinen Querschnitt haben (Rund-, Quadrat-, Flacheisen u. s. w.) ; hinsichtlich der mittleren Haftspannungen bei größeren steifen Profilen wird auf die allgemeine Untersuchung S. 22 bis 25 verwiesen.

SO

Da nach Gl. 30) die mittlere Haftspannung aus den Achsialkräften der Eiseneinlagen und aus Haftflächen bestimmt wird, gelten alle folgenden Darlegungen in gleichem Maße für einfach-und doppelt-armierte Balken, Platten und Plattenbalken. Ein Unterschied in der Berechnung ergibt sich einzig und allein bei der Ermittlung der Eisenzug- oder Druckkräfte.

Vorerst soll untersucht werden, wie sich bei einer allgemeinen, ruhenden Belastung eines auf zwei Stützen frei aufliegenden Trägers die Werte der mittleren Haftspannungen für die Annahme einer einzigen Eiseneinlage und eines veränder-

10

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

lichen Zugrißquerschnittes ergeben. Doch gilt das folgende auch für den Fall, als diese Einlage in mehrere, einer einzigen Schar angehörige Einlagen aufgelöst ist, welche somit durchwegs gleichweit über die Stützpunkte hinausgeführt sind; das u der Gl. 148) stellt dann natürlich den Gesamtumfang aller dieser Eiseneinlagen dar. Dem allgemeinen Belastungsfall entspräche die in Figur 76«

Figur 76 a.

P₂

.Pi

-......C,

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5..... 1

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L~*z—Ï

Figur 76 6.

Figur 76 c.

^ D

r?

n;

eingezeichnete Momentenlinie. Unter Zugrundelegung der Figuren 76 6 und 76 c ergibt sich somit für die Haftfläche, die durch den im beliebigen Abstand x vom linken Auflager liegenden Querschnitt begrenzt ist, die mittlere Haftspannung

Z U (Cj -f- X)

j*T

148)

wobei Mx das Biegungsmoment für den betreffenden Querschnitt, u den Umfang des Zugeisens und cx die über den Stützpunkt hinausreichende, unter Berücksichtigung von allfällig vorhandenen Haken entsprechend vergrößerte Länge der Eiseneinlage bedeuten.

Für alle Trägerquerschnitte mit nur einem Armierungseisen ist su=C (konstant). Bestimmt man für veränderliche x} entsprechend der Annahme einer veränderlichen Zugrißstelle (s. S. 26) jeweilig die mittleren Haftspannungen und trägt dieselben an der Zugrißstelle als Ordinaten auf, so erhält man die „Kurve der mittleren Haftspannungen“. Die Ordinaten derselben stellen somit die an dieser Trägerstelle, aber auch gleichzeitig die für alle außerhalb der Rißstelle, das ist von dieserStelle bis zumEisenende liegenden Querschnitte gleich groß angenommenen mittleren Haftspannungen*) dar.

Um die Kurve der mittleren Haftspannungen zu erhalten, sind somit die Ordinaten der Momentenlinie verkehrt proportional zur Länge (cx -J- x) nach einem für die Haftspannung entsprechend gewählten Maßstab zu verzerren. Um diesen Maßstab zu finden, sollen vorerst die Ordinaten der Momentenkurve dem oben angeführten Gesetz entsprechend nach einem beliebig gewählten Maßstab verzerrt und für die so gefundene Kurve — dieselbe als Kurve der mittleren Haftspannungen aufgefaßt — der dazu gehörige Ordinatenmaßstab (Maßstab für die mittleren Haftspannungen) bestimmt werden. Projiziert man von dem, dem theoretischen Ende der Haftlänge entsprechenden Punkte C\ aus die Punkte der Momentenlinie zentral auf einen vorerst in der beliebigen Entfernung £ von C\ angenommenen vertikalen Strahl    diese

Punktreihe hierauf parallel zur #-Achse auf die zugehörigen Mo-mentenordinaten, so gibt die Verbindungslinie dieser zweiten Punktreihe die gewünschte Verzerrung. Es ist nämlich die Ordinate Mx dadurch mit einer für alle Querschnitte konstanten Länge £ multipliziert und — wie gewünscht — durch die von Querschnitt zu Querschnitt veränderliche Länge (<q -f- x) dividiert worden.

als der Rißstelle ,,x“ ent-

c.-j-x

Wird diese Ordinate Mx .

*) Die Kurve ist somit ihrem Wesen nach grundverschieden von der in der einschlägigen Literatur und auch gemäß der amtlichen Vorschrift vom Jahre 1907 bisher zur Verwendung gelangten Haftspannungskurve, deren Ordinaten in jedem Querschnitt die der Querkraft direkt proportionalen, veränderlichen, rechnungsmäßigen Haftspannungen bedeuten.

10*

sprechende mittlere Haftspannung Xxh aufgefaßt, so ist der zugehörige Verzerrungsmaßstab (s. Gl. 148)

i™d .N.*) = (—) \zu

cm

d.N.

bezw. die absolute Einheit ,,1“ des Verzerrungsmaßstabes gleich cm

d.N.

\zui

Mit Hilfe dieser Beziehung erhält man zu dem angenommenen Momentenmaßstab 1cm d . Z. == ;ikffcm d . N. durch Multiplikation den gesuchten Spannungsmaßstab der Ordinaten :

cm

„l“. 1 cmd . Z. =

. d .N., d. h.

cm

d.Z.=

ZUi

kgcm -

d.N.

Wählt man nun, umgekehrt, statt der Strecke £ den Spannungsmaßstab etwa derart, daß ncm d. Z.= thkacm~²d. N., d. i. gleich der zulässigen mittleren Haftspannung ist, so kann mittels der vorhin abgeleiteten Beziehung die Entfernung £ jenes Strahles ermittelt werden, auf dem die verzerrten Mo mente n-

tigern ²

strecken sich direkt als mittlere Haftspannungen in dem wie vorhin gewählten Spannungsmaßstab ergeben. Man erhält:

d.N.

lcm d . Z. = [ —

1/

und somit:

th\ hJcm 2

d.N. —

kgcm

.zu i

d.N.,

woraus sich ergibt:

iemd.N. = n •

149).

jjkgcm

g an    kgcm ²

In Figur 76 a ist die punktweis konstruierte ,,Kurve der mittleren ¹t/, und ²th“, bezogen auf den linken und rechten Trägerteil, unter Benützung der Strahlen ,,S₁“ und ,,£₂“ durchgeführt.

Unter jeder Einzellast entsteht ein Knick und die beiden Kurven der hn und ²xh schneiden die Momentenlinie in dem zugehörigen £x- bezw. £₂- Strahl. Sind die theoretischen Überlängen des Eisens — wie in Figur 76 a — links und rechts gleich groß (c± =cÿ — c), so liegen der £.- und £₂-Strahl symmetrisch zur

*) Im folgenden bedeutet: d.N. die Abkürzung von „der Natur“,

d . Z. ,,

„ „der Zeichnung“.

Trägermitte und es schneiden sich — unabhängig von der Belastung — die Hh- und ²t^-Kurven in der Trägermitte.

Sind hingegen die theoretischen Überlängen links und rechts verschieden (ct c₂), so schneiden sich die beiden ~u-Kurven in der Mitte der theoretischen Eisenlänge; links von diesem Querschnitt ist die linke, rechts hievon die rechte Haftlänge maßgebend.

Aus der punktweisen Konstruktion der t/,-Kurven ist ohne weiters zu ersehen, daß die Größe von max x/( auf dem S-Strahl durch jenen Projektionsstrahl aus € abgeschnitten wird, der den größten Winkel mit der #-Achse einschließt. Dieser Strahl kann entweder

1.    die Momentenlinie tangieren oder

2.    durch einen, einer Einzellast entsprechenden Knickpunkt der Momentenlinie gehen. [S. Figur 76a: Lage der maßgebenden Punkte (1) und (2)]. Der entsprechende Berührungspunkt bezw. der maßgebende Knickpunkt liegt dann in jenem Querschnitt, bis zu welchem vom Eisenende an in allen Querschnitten die rechnungsmäßig größte mittlere Haftspannung max auftritt.

Unter Verwendung der bekannten Eigenschaft der Momenten

Mr

linie :

150)

(c+r) = ö7

gilt hier allgemein der Satz :

Der für die Berechnung der mittleren Haftspannung maßgebende Punkt li.egt, wenn vom Auflager gegen die Träger mitte fortgeschritten wird, in jenem Querschnitt, für welchen der Angriffspunkt der Querkraft den theoretischen Endpunkt der Eiseneinlage (Haftlänge) entweder 1. stetig oder 2. sprungweise überschreitet.

Im allgemeinsten Belastungsfalle (teilweise und ungleichförmig verteilte Belastungen und Einzellasten) wird die Momentenlinie überall dort, wo die Belastungslinie ihre Gesetzmäßigkeit ändert, und überdies an jeder Einzellast ihren Charakter, somit auch ihre Gleichung ändern ; die Momentenlinie wird aus einer Reihe von Kurven bestehen, die entweder tangentiell ineinander übergehen oder unter den Einzellasten Knickpunkte aufweisen. Die Lage des für die mittlere Haftspannung maßgebenden Punktes wird daher rechnerisch in folgender Weise bestimmt werden können:

Vom Auflager ausgehend, wird man an dem innenliegenden Ende jeder Momenten-Teilkurve und überdies bei Einzellasten auch unmittelbar innerhalb derselben den Hebelsarm -pr- der Querkraft Q und damit die Lage dieser Querkraft bestimmen. Sobald die Querkräfte Q für zwei solche aufeinanderfolgende Endpunkte von Momenten-Teilkurven (Fall 1) oder bei Einzellasten für die zu beiden Seiten unmittelbar benachbarten Querschnitte (Fall 2) zu verschiedenen Seiten des theoretischen Eisenendes zu liegen kommen, ist die Trägerstrecke (Fall 1) bezw. der Querschnitt (Fall 2) festgelegt, in denen der maßgebende Punkt liegt.

Mri

lautet, den

Für den Fall 1 (Figur 7(5 «, links) ergibt sich r1} indem man für einen einstweilen noch beliebig angenommenen Querschnitt der betreffenden Teilstrecke die allgemeinen Werte und Qn aufstellt und dann aus der Gl. 150), die hier (c -j-^i)

Wert r₁ bestimmt.

sind die Fälle 1 und 2 zu unterscheiden.

Th

Für den Fall 2 ist r₂ der Abstand der betreffenden Einzellast vom Auflager. Auch für die rechnerische Bestimmung der Größe von max

Fall 1 : Der maßgebende Punkt liegt in einem Querschnitte ohne Einzellast (Figur 76a, links): Unter Benützung der Gl. 150) geht Gl. 148) über in:

QTl

. . 148«),

\=

M.

max

(ciJTr i)

d. h. die maximale mittlere Haftspannung erhält man aus der Quer kraft für den maßgebenden Punkt, indem man diese durch das Produkt aus dem Hebelarm des inneren Momentes dieses Querschnittes in den Umfang des Eisens dividiert.¹)

Fall 2: Der maßgebende Punkt liegt in einem Querschnitt mit Einzellast (Figur 76«, rechts). Die ~h - Kurve wird bei Überschreitung dieses Punktes ebensowenig ihren Wert sprungweise

8 W (C2 +^₂)

ändern wie die Momentenlinie, aus deren Verzerrung die xh- Kurve ja hervorgegangen ist.*)

Gl. 148) geht über in :

max ²t. ==

h

I48 6).

Die einfache Beziehung, wie sie zwischen max ¹-/t und Qr im Falle 1 besteht (s. Gl. 148 a), gilt hier nicht mehr, da die Querkraft Qr nicht durch das theoretische Eisenende geht.

Es ist hier nämlich nach Gl. 150) für den unmittelbar außerhalb bezw. innerhalb der Einzellast liegenden Querschnitt (s. Figur 76 a, rechts)

aO

(% + G)

lQ

cr₂

CC2 “f* r2) —

— d=(c + r₂).

Zeichnerisch erhält man max xh [s. Figur 76 a links und rechts] wie jeden anderen xh- Wert mit Hilfe der beiden Strahlen und „S₂“.

Von Interesse ist vor allem der Verlauf der xh- Kurve zwischen dem Auflager und dem für die Berechnung der Haftspannung maßgebenden Punkte. Es soll daher ganz allgemein die Gleichung der Tangente der xh- Kurve im Auflager ermittelt werden.

Bezeichnet man vorübergehend Xxh mit y, so ist (s. S. 147)

X—M

dM

' c₁-\-x

daher

(G + x)

(G +^)²

und

*-QA

ci

, d. h.

die Gleichung der Tangente an die rh - Kurve im Ursprung lautet :

• Q A X ......

Mit £ = (Verzerrungsmaßstab, s. S. 148) wird

& Ws

y__

ci

i **)

ci

151).

151a).

z u

*) Die r^-Kurve (d. i. die Kurve der Haftspannungen gemäß der amtlichen Vorschrift vom Jahre 1907), für welche die Querkraftkurve maßgebend ist, ändert hingegen ihren Wert an einer Einzellast gleichzeitig mit der Querkraft sprungweise. **) Unter Berücksichtigung der Werte xh für die Haftspannungen nach der

früheren amtlichen Vorschrift vom Jahre 1907 ergibt sich auch: —

x

max

Cl

Man erhält somit die gesuchte Tangente an die lxh- Kurve im

Q

Ursprung, indem man zur positiven Abszisse cx die Ordinate — im

Z Xi

Spannungsmaßstab aufträgt und den erhaltenen Punkt mit dem, dem Auflager A entsprechenden Ursprung verbindet.

Aus Gl. 148) folgt, daß für x = — ct. . . \ = oo wird, da für jede beliebige Belastung gleichzeitig M_c^ =j= 0 ist. Es ist somit immer der durch den theoretischen Endpunkt der Eiseneinlage bezw. durch Cx parallel zur Ordinatenachse gelegte Strahl eine Asymptote für sämtliche Teile der hh- Kurve.

Sinngemäß gelten die Gesetze natürlich auch für die ²r/(-Kurve. Einfluß der Überlänge c. Wird die Überlänge c immer kleiner und zum Schlüsse gleich Null, so erhält man nach Gl. 148) immer größer werdende Xxh und als oberen Grenzwert für c = 0 :

Für c = 0 wird dann für veränderliche Querschnitte, d. h. für veränderliche x ... x~h zum Maximum, wenn x — 0 wird ;

für {:=°oist ais°

Qa

zu

Die amtliche Berechnungsweise vom Jahre 1911 ergibt somit nur für den Fall der rechnerischen Vernach-lässigung der über das Auflager hin aus reichen den Haftfläche und der Hakenwirkung den größten Wert²) der mittleren Haftspannung am Auflager.

werte identisch. Die Werte Xxh für

bleiben hingegen durchwegs größer als

Da die Belastungsfälle immer den Fall der totalen gleichförmig verteilten Belastung durch das Eigengewicht in sich schließen und sich der für die Haftspannungen maßgebende Punkt, ferner die TA-Kurve und der Wert max tä nicht aus einer Übereinanderlegung verschiedener Belastungsfälle, sondern nur immer mit Hilfe der vollständig vorliegenden Belastung ermitteln lassen, so soll im nachstehenden nur der am häufigsten vorkommende Sonder fall der totalen gleichförmigen Belastung (Eigengewicht -f-Nutzlast) erläutert werden.

Figur 77.

<tH

■.

2f, \

(XJ

C-:

i.

\Mh

'F

..............1

V

. ....

ft

-~~t>

CO

ccT⁻

XLXBÛL

\ -,

\\

\ \

\ \

\\ \

Hs

Ah

//\

#Ss*

<V

GK

,A

-----------(—

Hinsichtlich der Lage des für die mittlere Haftspannung maßgebenden Punktes (im Abstande r von A) gilt folgendes (Fig. 77):

qr (l — r)

Qr=q\^ — ry Mr =

und somit aus

(c% + r)

Mr

Qr

(s. Gl. 150):

Es entsprechen den Werten : 6—0-0 die Werte: r — 0"0

0-01    0-02 0-03    0-04 0-05 . I

0-0905 0-1228 0-1458 0-1640 0-1791 . I

c= 0-06    0-07    0-08    0-09    0G0

die Werte: r = 0-1922 0-2037 0-2139 0*2232 0*2317

. I.

. I.

r ergibt sich auch als Abszisse des Berührungspunktes einer Tangente, die von Cx aus an eine in einem beliebigen Maßstab gezeichnete Momentenparabel gezogen wird. Diesem Ausdruck von r entspricht die einfache, in Figur 77 eingetragene, zeichnerische Bestimmung der Lage des maßgebenden Punktes (Cx G = Cx E), Für diesen Punkt E ist dann nach Gl. 148«)

max ~h =

Qr

zu

*(ł-r)

153).

Nach Wahl eines Spannungsmaßstabes ist mit Hilfe der Geist, der dem max x/, entsprechende

raden A" J, wobei A' A"

2 zu

Punkt E der x/(- Kurve rasch gefunden.

Durch Aufträgen der Strecke A" I) = c (= cx — c₂) ist die Tangente T an die x/(-Kurve im Ursprung festgelegt. Letztere Kurve hat die Gleichung:

xth

Mx

q x (l — x)

zu(cx-\-x) 2zu(c₁-j-x)

Setzt man vorübergehend xXh — y und die Konstante zu = C, so lautet die Gleichung der xÄ- Kurve:

qx² -J- 2 C xy — ql x-j-2 C cy = 0,

deren Diskriminante (q . 0 — C²) negativ ist ; die Kurve ist somit eine Hyperbel. Sie geht durch die beiden, den Stützen entsprechenden Punkte A' und B', da für x = 0 und x = 1, y — 0 wird.

Nach dem auf S. 152 ganz allgemein bewiesenen Satze ist die durch Cx gezogene Parallele zur y-Achse die eine Asymptote Bringt man die Kurvengleichung in die Form

y z=z a x -j- ß -}- v, wobei v = cp (x) ist,

so lautet sie :

qx² — qlx 2 Cx-\- 2 CcL

— 2 (j\X — ^"ł"

c0 4~g) I #

(x-j-c,) | '

Für x = (l -J- cx) wird y — 0 und für x — -j- cx wird y

ff H-2 C

Man erhält somit die Asymptote §I₂ durch Verbinden der Punkte D und C₂ (Probe: A'H = A'D, A'C₁=B'C₂). Punkte der -Ä-Kurve ergeben sich nun am einfachsten durchZiehen beliebiger Sehnen durch A' und durch Gleichmachen der beiderseitigen Abschnitte dieser Sehnen zwischen der Hyperbel und den beiden Asymptoten.

Nachdem durch die vorstehenden Entwicklungen die Gesetzmäßigkeiten für die rechnerischen Haftspannungswerte klargelegt sind, wie sie sich auf Grund der amtlichen Vorschriften vom Jahre 1911 ergeben, soll nunmehr — zu Dimensionierungszwecken — vorausgesetzt werden, daß die ermittelten, einer einzigen Eiseneinlage entsprechenden -/(-Werte den zulässigen Grenzwert th überschreiten, so daß zur Einhaltung desselben eine größere Anzahl von Armierungseisen erforderlich ist. Figur 78 stellt denselben Träger und denselben Belastungsfall dar wie Figur 76 a.

Es wird vorerst nur notwendig sein, die Trägerstrecke zwischen dem Auflager und dem mehrgenannten maßgebenden Punkte (dessen Lage von der theoretischen Überlänge c und der Belastung allein abhängig ist) ins Auge zu fassen, da dann, wenn hier die nötige Haftfläche vorhanden ist, auf der Strecke von diesem

*) Wegen C —zu ist auch ——• = max ~'h. Hinsichtlich des Einflusses der Über-

^2 (y

länge c gilt folgendes: Mit kleiner werdendem ^ wird nach Gl. 152) r kleiner, der Punkt F rückt auf der i\-Linie immer weiter nach links, die Werte max ~h werden somit immer größer, die Tangente im Ursprung A' wird immer steiler und für Cj= 0 fällt die t;j-Kurve mit der Grenzlage der Asymptote 9I₂> d. i. mit A” B' zusammen. Für diesen Fall ist, wie ganz allgemein gültig, maxrÄ — max h.

( c _0

Für j ¹_₍_Q sind die Werte xih wohl kleiner als max x'ft, jedoch größer als die i'h-Werte. Beispielsweise ist:

max x'Ä, hingegen t'ä = 0.

ff . ci 0 ~f~ ci)

2 G (x -j- cx )

so lautet die Gleichung der zweiten Asymptote SI₂ :

V — atf-f ß

Da nun = —

für lim æ = oo zu Null wird,

bezw. hier:

c, == 0

für

Punkte gegen die Trägermitte zu die Haftfläche um so eher ausreicht, als hier die Werte xh oft auch noch infolge einer zweiten Ursache, nämlich durch die Vergrößerung des Gesamtumfanges, der Eisen, kleiner werden.

Figur 78.

C X Zf

3f

3f

<C

k:.Æ

T--W

:____i.-Q.

CP

9&-

—r-A—

» cvj

vTYT.

^/rrx

CM

.//

0)J

/er.

Ty P“

th für 1$

“ y____Ls!

-t^für Zf

PMjS

Wäre man genötigt, statt eines Armierungseisens an der maßgebenden Steilem Eisen desselben Umfanges anzuordnen, die durchaus dieselbe theoretische Haftlänge (bis Ct) auf weisen sollen, so würden — unter der vorläufigen Annahme, daß der Hebelsarm s des inneren Momentes unveränderlich bleibt — die mittleren Haftspannungen nur den mten Teil von jenen für ein Armierungseisen betragen.

In Figur 78 ist gezeigt, daß eine einzige Eiseneinlage hinsichtlich der mittleren Haftspannung nur bis [a] ausreicht, da weiter gegen die Trägermitte zu die Ordinaten der entsprechenden -Kurve größer als der zulässige Wert th (A¹ A") werden. Wird nun eine zweite Einlage von gleichem Durchmesser derart angeordnet, daß sie im Punkte [«] — aus dem Druckgurt herabgeführt — als vollwertige Zugarmierung hinzutritt, so wird unmittelbar

rechts von [a\ der Zugkraft, wie sie gleich groß unmittelbar links von [«] wirkt, eine doppelt so große Haftfläche zur Verfügung stehen. Dies gilt aber nur dann, wenn — wie später als zutreffend nachgewiesen wird — zur Bestimmung der Haftfläche für den schräg verlaufenden Teil der Einlage die Projektion der Länge desselben in der Richtung der Trägerachse eingeführt wird und wenn überdies — wie schon weiter oben vorausgesetzt — die theoretische Länge dieser Einlage ebenfalls bis (\ reicht. Die mittlere Haftspannung wird somit unmittelbar rechts von [a] sprungweise auf die Hälfte herabgemindert. Von da ab nimmt sie wieder zu, d. h.

lxh

es werden die Werte der —— Kurve maßgebend werden, deren

Ai

Ordinaten halb so groß wie jene der ¹xh -Kurve sind. Im Punkte [fr] wird dann eine dritte Einlage notwendig, um die mittlere Haftspannung unter dem zulässigen Wert th halten zu können. Dadurch ermäßigt sich unmittelbar rechts von [fr] die mittlere Haftspannung auf den Ordinatenwert von fr”, der einem Drittel der Ordinate von fr entspricht. Weiterhin gegen die Trägermitte wrnrden die Punkte

¹T/j

der —-Kurve maßgebend, die — wie zu ersehen — hier be-o

ständig unter der dem zulässigen Grenzwert th entsprechenden Geraden A" B" bleiben.

Ganz allgemein wäre man somit genötigt, immer dann, wenn bei gleicher theoretischer Haftlänge der Gesamtumfang der Eisen durch Zulegen neuer Eisen sich vergrößert, die Ordinaten der, einem einzigen Armierungseisen entsprechenden xh - Kurve im verkehrten Verhältnis zur Zunahme des Umfanges zu verkleinern, wodurch eine stufenförmige xh - Kurve entstünde.

Um diese umständliche Arbeit zu ersparen, ist es einf acher, auch bei Vorhandensein mehrerer Armierungseisen, der Berechnung die xh -Kurve, wie sie einem einzigen Eisen entspricht, zugrunde zu legen. Man hat nur nötig, die Ordinaten der xh - Kurve mit verschiedenen Spannungsmaßstäben zu messen, die sich von Trägerstück zu Trägerstück, sobald ein neues Armierungseisen hinzukommt, stufenweise ändern.

Aus Gl. 149) ist zu ersehen, daß bei Beibehaltung desselben Wertes $    (d. h. desselben $- Strahles) die Maßzahl n des

Spannungsmaßstabes direkt proportional dem Produkte (z. u) zu vergrößern ist.

Es wird somit — bei Annahme eines konstanten z —

für die Trägerstücke mit 1, 2,

m Armierungseisen des-

selben Umfanges der Spannungsmaßstab der entsprechenden Stücke der ~h - Kurve zu wählen sein.

n, 2 n, . . . .(m.n)cm d.Z. — tW™' d.N.

Sind die Armierungseisen Rundeisen desselben Durchmessers, dann ist die Maßzahl des Spannungsmaßstabes also auch direkt proportional der Anzahl der Rundeisen; bei verschieden großen Durchmessern der Rundeisen ist jedoch für die Reduktionsziffer überdies der Umfang bezw. der Durchmesser maßgebend.

Im folgenden sollen gleich starke Rundeisen angenommen werden.

Wurde die Lage des    bezw. S₂ - Strahles in Figur 78 unter

der Annahme :

(A’ A" =) Vbcm d.Z.=tWcm' d.N.

festgelegt (n= P5), wobei auch (s. Gl. 149) p, 0,uxmdth bestimmte, für alle Querschnitte gleich große Werte erhielten, so lassen sich die dem Grenzwerte th entsprechenden Strecken bei Armierung mit 1,2 . . . m Rundeisen als entsprechende Vielfache von 1*5 cm auf dem und $₂-Strahl auftragen. Durch Verbindung der Punkte

. mit Cx

■ „ c₂

auf dem ^ - Strahl

)i    >>

und jener

werden auf der Momentenkurve Punkte (a), (b) festgelegt, die jene Trägerstücke bestimmen, innerhalb deren bei Einhaltung des zulässigen Wertes th .... 1 bezw. 2, .... m Rundeisen genügen.

Gleichzeitig ersieht man aus den Abschnitten, welche die beiderseitig aus Cx und C₂ an die Momentenlinie gezogenen Tangenten auf dem $j- bezw. S₂-Strahl abschneiden, daß an der für die Haftspannung maßgebenden Stelle (1) bezw. (2) theoretisch rund 2⁻3 bezw. 2’2 Rundeisen notwendig sind.

Es ist weiters zu ersehen, daß bei Ermittlung der Stellen [d\, [&], an denen, vom Trägerende ausgehend, nach und nach die Eisen in den anderen Gurt übergeführt werden dürfen, ohne daß die zulässige mittlere Haftspannung th überschritten wird, einzig und allein die Momentenkurve notwendig ist, somit die Konstruktion der t/(-Kurve selbst überflüssig erscheint.

Die der Berechnung der mittleren Haftspannungen eigentlich zugrunde gelegte Annahme von Rissen im Zuggurte läßt nun ganz ungezwungen — wie aus dem Nachstehenden zu ersehen ist — zu, auch die Haftfläche der in den Druckgurt übergeführten Stücke der Eiseneinlagen als gleichwertig mit jener anzusehen, die den im Zuggurte gerade durchlaufenden Eisenenden entspricht.

Nach der durch die amtlichen Vorschriften vom Jahre 1911 festgelegten Berechnungsart ist nachzuweisen, daß zwischen jedem Querschnitt und dem theoretischen Eisenende eine so große Haftfläche vorhanden ist, wie sie die Zugkraft in dem betreffenden Querschnitt für den Anschluß des Eisens erfordert. Dieser Anschluß muß nun durchaus nicht geradlinig, in demselben Gurt, erfolgen.

Es werde (Figur 79«) angenommen, daß die Abbiegungen der ebenso wie Einlage (1) mit einer theoretischen Überlänge c ausgestatteten Einlagen (2) und (3) genau in jenen Querschnitten (E, F) erfolgen, für die sich in den Einlagen (1) bezw. (1) und (2) zusammengenommen, die mittleren Haftspannungen rh gleich dem zulässigen Werte th ergeben. Da die Einlage (2) bezw. (3) infolge der Einbettung im Beton und wegen ihrer natürlichen Steifigkeit an der Abbiegestelle E bezw. F statische Verhältnisse schafft, die

Figur 79 a.

Figur 79 b.

iS

sw

r-----fco

LüJ

t-H

<=>

!o

.JL

r'i

<1

viel eher jenen eines Fachwerkknotenpunktes als jenen eines biegsamen Seiles entsprechen, wird — im Sinne einer erhöhten Sicherheit hinsichtlich der Haftspannungen — die Voraussetzung gemacht, der Einlage mangle der Charakter eines Seiles vollständig, das heißt, sie weise im Verbünde mit dem Beton gar keine Biegsamkeit auf. Man kann sich etwa vorstellen, daß gleichsam der schrägliegende Teil der Eiseneinlage die Rolle einer Zugstrebe, der Beton jene eines gedrückten Pfostens übernimmt.

Da nun der Anschluß der Einlagen (1) und (2) in den Strecken C D und C D' bezw. JE F in ganz gleicher Art — nämlich in horizontaler Richtung — erfolgt, so muß unter der notwendigen Voraussetzung, daß in F beide Einlagen dieselbe Zugkraft Z₁ — Z2 besitzen, auch auf den Strecken I) F und D'F in beiden Eisen eine Entlastung derselben um gleich große Teile von Zx = Z₂, d. i. um A Zx — A Z₂ (horizontal gemessen) erfolgen.

Bezeichnet man mit A ZI die der Strecke JD' E entsprechende

entlastende Kraft der Einlage (2), so muß A Z'₂ =

sein ; da nun

A Zt

cos a

der Kraft A Z' eine Haftlänge ——,

²    cos a

» >>

zur Verfügung steht, so wird rechnungsmäßig der schräge Teil D’ E der Einlage (2) die gleiche mittlere Haftspannung

A Zx

cos a

erfahren, wie der gerade durchlaufende Teil DE der Einlage (1) im vorliegenden Falle ist für Annahme eines Risses in F... . ~h — th-

Infolge des gleichzeitig auftretenden Druckes des Betons gegen die Einlage (2) nach oben (s. Figur 79 b)

A N — A . sin a

wird die Differenz der in Eund D' horizontal wirkenden Eisenzugkräfte der Einlage (2) nicht A Z'% sondern — wie in der Einlage (1) — A Z.₂ = A Zx betragen.

Da somit für die oben angeführte Voraussetzung nachgewiesen ist, daß die mittlere Haftspannung in den schrägen Eisenteilen ebenso groß ist als in den gerade durchlaufenden Eiseneinlagen, so stellen sich die Projektionen der abgebogenen Eisen in Richtung der Trägerachse als zur Überleitung der Zugkräfte in den Beton rechnungsmäßig genau gleichwertig den im Zu g gurt geradlinig durchlaufenden Eisen heraus, sobald ihre theoretischen Enden um die gleiche Strecke c über das Auflager hinausreichen.

der dadurch vereinfachten Aus-

In jenen Fällen, in denen wegen rascher Zunahme der Momente nächst den Auflagern die theoretischen Abbiegestellen nahe auf-einanderfolgen, wird man führung wegen — wohl am besten immer zwei oder mehrere Eisen gleichzeitig abbiegen und dadurch auch die Verbund Wirkung erhöhen.

Aus der bisherigen Darstellung ist zu ersehen, daß es sich bei der Überprüfung eines vorliegenden Tragwerkes darum handeln wird, in den ungünstigsten Querschnitten, d. i. unmittelbar außerhalb jener Abbiegestellen der einzelnen Eisen, welche zwischen dem Auflager und dem für die Haftspannung maßgebenden

Punkte liegen, die Haftspannungen zu untersuchen, bezw. man wird also die Abbiegestellen für die Einhaltung von ~h = th bestimmen und nachsehen, ob das vorliegende Tragwerk hinsichtlich des Verbundes mindestens die hiedurch festgesetzte Sicherheit aufweist.

Was nun die eingangs vorausgesetzte Gleichheit des Hebelsarmes z des inneren Momentes für die in Betracht kommenden Querschnitte anlangt, so sei auf nachstehendes verwiesen :

Je nach dem Mischungsverhältnis, d. h. dem Werte th, ferner je nach der Größe der Überlänge c und des Durchmessers d der Eisen wird der Eisenbedarf und somit z an dem für die Haftspannung maßgebenden Punkte verschieden groß sein. Unter gewissen Voraussetzungen, die aber den praktischen Verhältnissen entsprechen, sollen vorerst diese schwankenden Verhältnisse untersucht werden.

Bei totaler, gleichförmig verteilter Belastung und bei voller Ausnützung der Zug fläche ergibt sich für die Trägermitte die notwendige Eisenfläche :

qP

Tzd²

s**:

wobei m die Anzahl der Rundeisen bedeutet.

Da nun die Haftspannung an dem für sie maßgebenden Punkte, wieder bei voller Ausnützung der Haftfläche, beträgt:

—--r

z'u ’

so ist daselbst der notwendige Gesamtumfang

u — mzä—-

«(y-r)

z'k

d. h. die notwendige Eisenfläche:

Fk = u-± =

*’*K

4’

n bedeutet die Anzahl der Rundeisen an dem genannten maßgebenden Punkte.

Bei vorläufiger — und wie sich später zeigen wird, praktisch nahezu vollkommen zutreffender — Voraussetzung eines für die beiden hier maßgebenden Trägerquerschnitte gleich großen z = zl ergibt sich das Verhältnis von Fh:Fgf das ist zugleich das Ver-

11

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

haltnis der notwendigen Anzahl von Rundeisen gleichen Durchmessers, zu :

Fh

—--r

z' t, . q l²

Ist das Mischungsverhältnis, die Stützweite und die Gesamt-belastung ql gegeben, so ist somit— oder n direkt propor-

ïïh

tional dem Durchmesser der Rundeisen und der Strecke zwischen den beiderseitigen, für die Haftspannung maßgebenden Punkten. Eine Vergleichsrechnung, deren Vorführung hier Platzmangels wegen unterbleiben soll, zeigt für verschiedene, praktischen Verhältnissen entsprechende Werte von c unter Benützung der zugehörigen Werte r (s. S. 154) für die drei Mischungsverhältnisse 470, 350, 280 kg Portlandzement auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial und unter der Annahme einer oberen Grenze für <7 = 0'004£*), daß der Eisenbedarf an dem für die Haftspannung maßgebenden Punkte bei Hoch- und Brückenbauten zwischen 55 und 70 von Hundert des Eisenbedarfes, der bei voller Ausnützung der zulässigen Eisenzugspannung in Trägermitte notwendig ist, schwankt. Bei größeren Werten von c und zwar je nach dem Mischungsverhältnis von 0'05 bis 0⁻081 an wird hiebei an dem für die Haftspannung maßgebenden Punkte das Moment einen größeren Eisenbedarf als die Rücksicht auf den Verbund erfordern. Da nun in einem und demselben Träger der Hebelsarm des inneren Momentes mit der Anzahl der Rundeisen verhältnismäßig wenig veränderlich ist,**) wird es den praktischen Bedürfnissen vollauf genügen, diesen Hebelsarm z für den ganzen Träger konstant und zwar dem ³/₄ fachen Eisenbedarf des Maximalmomentenquerschnittes entsprechend, d. i. mit rund 1 ‘03 zm anzunehmen ; zm bezieht sich hiebei auf Querschnitte mit m Rundeisen.

Die Einführung der jeweilig zutreffenden z-Werte gegenüber dem soeben angegebenen konstanten Näherungswert l⁻03^w ergibt belanglose Abweichungen in der Lage jener Querschnitte, in denen die einzelnen Eiseneinlagen im Hinblick auf die mittleren Haftspannungen abgebogen werden dürfen.

*) Wird d kleiner gewählt, so ist auch — bezw. n proportional kleiner.

m

= 80'8 cm (= ?)

83’3 cm = 1’03 z,

= 49'0 cm (= z)

50‘2 cm — 1‘024 z.

**) Rechteckbalken S. 57 :

Plattenbalken S. 142 :

lZ8 = \ -6 =

Was nun irgend eine Eiseneinlage anbelangt, die der Haftspannungen wegen nicht bis zum entsprechenden Punkte [(1) bezw. (2) in Figur 78] hinausgeführt werden muß, sondern schon früher in den Druckgurt abgebogen wird — sei es, weil sie für die Zugkräfte im Zuggurt nicht mehr erforderlich ist, sei es, weil sie etwa zur Aufnahme von Hauptzugkräften benötigt wird für dieselbe nach den amtlichen Vorschriften nur die Forderung, daß die in jedem Querschnitt ihr zufallende Achsialkraft bereits vor diesem Querschnitt durch mittlere Haftspannungen von zulässiger Größe in das Eisen übertragen werden kann.

so gilt

Eine solche Einlage braucht im allgemeinen nicht mehr bis ans Träg er ende geführt zu werden, sondern erhält über ihre hinsichtlich der Momente theoretisch notwendige Länge hinaus eine Überlänge, die nach S. 56 zu bestimmen ist, die also unter Einhaltung des Grenzwertes 4 der mittleren Haftspannungen sicherstellt, daß nicht etwa die zulässige Eisenzugspannung se infolge unzureichenden Anschlusses der neu hinzutretenden Eisenzugfläche überschritten wird. Zur Ermittlung der Haftfläche für den schräg verlaufenden Teil der Eiseneinlage ist auch hier (wie auf S. 158 ff. erläutert wurde) die Projektion der Länge desselben in Richtung der Trägerachse einzuführen.

Übersteigt der gesamte vorhandene Eisenquerschnitt den der Momentenlinie entsprechenden Bedarf, so kann natürlich für die Bestimmung der Achsialkraft auch die entsprechende, den zulässigen Grenzwert se nicht erreichende Spannung ae verwendet werden.

Ein gleicher Vorgang ist einzuhalten bei einer Eiseneinlage, die am maßgebenden Punkte wohl der Momente wegen, nicht aber im Hinblick auf die Haftspannungen im Zuggurt noch nötig ist.

Werden Einlagen der besprochenen Arten auch dann, wenn es nicht nötig ist, im Druckgurt ebenso weit wie die im Zuggurt verbleibenden Eisen geführt, so kommt dies auch den letzteren hinsichtlich des Verbundes zu gute, d. h. das Tragwerk wird in diesem Belang eine erhöhte Sicherheit gewinnen.

Für bewegliche Nutzlasten läßt sich das bisher Vorge führte sinngemäß anwenden. Hier sind nun für alle Querschnitte deren Maximalmomente maßgebend, so daß für einen beliebigen, im Abstande x vom Auflager liegenden Querschnitt

/,=

max Mx

zu (c-j— X) ist. Um den Wert maxi/, zu erhalten, wird man wieder jenen maßgebenden Querschnitt suchen müssen, für den der obige Wert

Xx h bei veränderlichem x ein Maximum wird. Die Werte maxill³ — als Ordinaten zu den jeweiligen x aufgefaßt — werden nun auf der Maximalmomentenlinie liegen und es wird max zh wieder dem x — r des Berührungspunktes der Tangente entsprechen, die von C aus an die Maximalmomentenlinie gelegt wird.

Für einen oberen, der Praxis entsprechenden Grenzwert von c = 0'HZ reicht es, wie angestellte Berechnungen zeigen, aus, die Maximalmomentenlinie nur für das äußere Trägerviertel zu bestimmen. Am schnellsten wird bei veränderlichen Einzellasten die Verwendung des Seilpolygons der nun als ruhend angenommenen Nutzlast und der Schlußlinie des sich unter den Lasten verschiebenden Trägers zum Ziele führen.³) Die an die Maximalmomentenlinie vom Punkte C aus gezogene Tangente fällt selbstverständlich zusammen mit der Tangente an die Momentenlinie, die jener Laststellung entspricht, welche für den maßgebenden Querschnitt das max Mx erzeugt, da ja diese Momentenlinie vollständig innerhalb der Maximalmomentenlinie liegt und nur im maßgebenden Querschnitte selbst die gleiche Ordinate wie die letztere Linie besitzt. Für die Ermittlung jener Querschnitte, in denen nun die einzelnen Eiseneinlagen zwischen dem Auflager und dem maßgebenden Punkte mit Rücksicht auf die zulässige mittlere Haftspannung in den Druckgurt bereits übergeführt werden dürfen, wäre natürlich die für diese Querschnitte jeweilig maßgebende Momentenlinie zu verwenden; benützt man jedoch, um die Be

rechnung zu vereinfachen, auch hiezu die bereits für das äußere Trägerviertel konstruierte Maximalmomentenlinie, so wird sich nur ein geringer Unterschied für die Lage der zulässigen Abbiege-stelle — und zwar eine Verschiebung derselben gegen das Trägerende zu, d. h. im Sinne einer erhöhten Sicherheit

ergeben.

Bei eingespannten Trägern liegt der hinsichtlich der Berechnung der Haftspannungen maßgebende Punkt unter allen Umständen an der Innenflucht der Stütze, an welcher die größten Zugkräfte der oben liegenden Eiseneinlagen mit deren kleinster Haftlänge Zusammentreffen.

Um hier nicht nur hinsichtlich der Momente, sondern auch der in das Auflager reichenden, des Verbundes wegen nötigen Anschlußlänge der Eisen eine den amtlichen Vorschriften entsprechende Sicherheit zu erreichen, werden je nach dem Grade der

Einspannung bezw. der Größe der Einspannungsmomente besondere Vorkehrungen notwendig sein. Als solche können außer der Anordnung von Rundhaken in Betracht kommen: eine entsprechend große Auflagerlänge bezw. Haftlänge, die Verwendung verhältnismäßig dünner Längseisen (zur Vergrößerung des Gesamtumfanges der Eiseneinlagen), die Anordnung von Vouten und von Zulage- oder Satteleisen, die Vergrößerung der Trägerhöhe innerhalb der Einspannungsstelle, das Überführen der Längseisen in die Widerlager oder Auflagerkörper und deren eventuelle Verbindung mit Quereinlagen, welche als Schließen wirken, ferner die Verwendung von Beton mit reichlicherem Zementzusatz. Fehlt jedoch die Möglichkeit einer hinreichenden Verankerung der oberen Einlagen, dann wird im Sinne der amtlichen Vorschriften (HV., BV., § 5, Abs. 2) für die positiven Momente rechnerisch nur eine teilweise Einspannung von solcher Größe angenommen werden dürfen, daß die zulässige mittlere Haftspannung th nicht überschritten wird.

1. Beispiel. Es möge untersucht werden, ob die im Beispiele Seite 142 ermittelte Anordnung der Längsarmierungseisen (Figur 73) auch bezüglich der Haftspannungen ausreicht.

Die 4 durchlaufenden Längseisen reichen über den theoretischen Stützpunkt 20 cm hinaus und sind an den Enden halbkreisförmig nach einem Durchmesser von 15 cm gekrümmt. Im vorliegenden Falle ist die Lage des für die mittlere Haftspannung maßgebenden Punktes nach Gl. 152) zu berechnen; die über den theoretischen Stützpunkt hinausreichende Haftlänge Cj ist gemäß H V. § 5, Abs. 23 : Ci — (20⁻0 — 7⁻5) -f-12.2⁻6 = 43-7 cm. Hiermit wird nach Gl. 152) mit l = 840 cm : r = Vc, (cj + l) — Ci = V43-7 . (43'7 -j- 840) — 43'7 = 152'8 cm.

In dem entsprechenden Punkte J sind 5 bis ans Ende reichende Längseisen

von 26 mm Durchmesser vorhanden, da gemäß Seite 160 das eine nach aufwärts abgebogene und bis zum Ende geführte Längseisen d einem, im Untergurte gerade durchlaufenden gleich zu halten ist.

Die Haftspannung max tä ist nach Gl. 153) mit q

18000

840

2V43 kg/cm,

1=84:0 cm, zm — 49 cm (Seite 142), z= P03.49 = 50-5 cm, u = 5.2*6 n = 40⁻84cm: 2-9 kg lern².

max

21-43.267-2

~h =

50-5.40-84

Der zulässige Wert der Haftspannung th beim Mischungsverhältnisse 280 kgjm⁵.... 4-5 kglem² wird somit nicht erreicht und die wegen der Momente bezw. Hauptzugspannungen getroffene Anordnung der Eiseneinlagen reicht in dem für die Haftspannungen maßgebenden Punkte hinsichtlich des Verbundes aus.

Nach dem Früheren bedarf es keiner weiteren Untersuchung auf Haftspannung; an jeder anderen Stelle werden nämlich die nach den Vorschriften zu berechnenden „mittleren Haftspannungen“ kleiner als in J. Nur ist bezüglich der nicht bis ans Trägerende reichenden abgebogenen Eisen noch nachzusehen, ob dieselben genügend lang über den jeweiligen, im Hinblick auf die Momente ermittelten theoretischen Endpunkt (a), (b), (c) hinaus angeschlossen sind.

Für ein Armierungseisen von 2-6 cm Durchmesser ist bei der zulässigen Eisenspannung se = 1000 kg/cm³ und der zulässigen Haftspannung th = 4-5 kg/cm² nach

S. 56 eine Haftlänge erforderlich l

144 cm. Die gemäß Fig. 73 zur

2-6 . 1000 4.4-5

Verfügung stehenden Haftlängen (als Projektion auf die Stabachse gemessen und für die Rundhaken das    Zwölffache    des    Durchmessers gerechnet) betragen :

für    die    Einlage    a    bis    zur Trägermitte ....1-8Qm,

„    „    „    b    bis    zum Punkte (a). .. .2-26 m,

„    „    „    c    bis    zum Punkte (b). ..2-26 w.

Die vorliegende Anordnung ist sonach auch hinsichtlich der Haftspannungen in den Überlängen ausreichend.

2. Beispiel. Der in Figur 80 a und 80 b dargestellte Träger habe in einem Hoch -bau eine gleichförmig verteilte Last von 33000 kg einschließlich Eigengewicht zu tragen; Stützweite 5⁻0 m, Mischungsverhältnis AlOkg/m³. Wie sind die Eiseneinlagen mit Rücksicht auf die zulässigen mittleren Haftspannungen anzuordnen?

Hier möge das auf S. 157 und 158 gezeigte Verfahren unter Benützung der Momentenlinie (ohne Aufzeichnung der r^-Kurve) verwendet werden.

Der Hebelsarm 0 des inneren Momentes wird genügend genau für den ganzen Träger mit dem für ³/₄ aller Einlagen, d. i. für 6 Rundeisen gütigen Betrage angenommen (s. S. 162); auf bekannte Weise findet man den Nullinienabstand

= 83-3 cm. Ferner ist die über

x — 33-0 cm und 0 = 100-0

- (3-0 4- i- 8-0)    33-0

den Stützpunkt hinausreichende theoretische Haftlänge c — 22 — 6-5 -4- 12 . 2-1 — = 40-6 cm. In Figur 80 a ist die Momentenlinie mit der Seheitelordinate

33000.5

20620 kgm = 2062000 kgcm im Maßstabe 1 cm d .Z. = 800000 kgcm

d. N. gezeichnet. Als Spannungsmaßstab zum Aufträgen der Haftspannungen th (s. Figur 78) wird gewählt 1cm d'. Z. = 3 kg/cm² d.N. In Gl. 149) ist dann zu

/ 5.5    \

setzen, da tJt = 5"5 kg/cm² =    =J 1-833 cm d . Z. ist, n = 1-833, [j.= 800000 kgcm,

ferner 0 = 83-3 cm, der Umfang eines Rundeisens u = 2-17: = 6 6 cm. Die Länge £ ergibt sich hiernach mit § — n.

—■-— = 485 cm d.N.

_ * « h

In Figur 80 a stellt D₀ = 4'85 m die Länge £ dar. Von 1)₀ aus sind nach abwärts aufgetragen D₀ Di = D₂ — A> ü>₃ = th — 5-5 kg/cm² und die Geraden Ci Di, Ci D₂ u. s. w. gezogen, wobei die Strecke A! C\ — c, das ist gleich der rechnungsmäßigen, über den Stützpunkt hinausreichenden theoretischen Haftlänge ist. Die Schnittpunkte Eu Fi und Gj der von Cx ausgehenden Strahlen mit den Momenten-linien bestimmen in ihren Projektionen E, F und G jene Stellen, bis zu welchen vom Auflager an 1 bezw. 2 und 3 Eiseneinlagen für die Haftspannungen hinreichen würden, an welchen Punkten also die 2. bezw. 3. und 4. Einlage nach oben abgebogen werden können. Die so erhaltene, gestricht eingezeiehnete Eisenverteilung wird aus praktischen Gründen etwa in der Weise, wie auf der rechten Seite der Figur ersichtlich (2 Eisen horizontal durchlaufend), abgeändert werden. Selbstverständlich ist nun noch die Untersuchung betreffend die für die Momente erforderlichen Längen der Rundeisen durchzuführen, die in der im 1. Beispiel erläuterten Art zu erfolgen hat.

Es sei noch bemerkt, daß die Tangente Cx Hi von Ci an die Momentenlinie den Punkt H liefert, von welchem an bis ans Trägerende sich rechnungsmäßig in den dort vorhandenen 4 Längseisen gleichzeitig die größte mittlere Haftspannung

ergibt. Dieselbe errechnet sich für jedes der 4 Rundeisen aus dem Abschnitt D₀ Z>₄ =■ = 17*1 kg/cm² der Tangente auf der Lotrechten durch D₀ mit

17-1

4‘3 kg/cm².

Figur 80«.

1/

-n /-* ' •■e*

r^o

CVJ

r^>

:W

10.76

AB

er

1 = 5,00 m

Ï;A'85:

'"Dn_]B'

cr>

LT)

Gi

t_D

«TV

Pi

LO

LO

Figur 80 6.

LO

LO

100 cm

0'5

Längen 1:50.

Pi

D₄

8421mm

oo: y

v4

10000

Momente .

10000 ZOOOO 30000 kgm

35.J

nTTTTl

Sp annungen.

10 kg/cm²

Zur Kontrolle findet man aus Gl. 152) r = V c (c -j- /) — c — 107' 6 cm, was mit der Zeichnung genügend übereinstimmt.

3. Beispiel. Der in Figur 81a und 816 dargestellte, mit der gleichförmig verteilten Last von 1200 X 5‘0 = 6000 kg und mit den Einzellasten von 7500 kg und 6000 kg unsymmetrisch belastete Plattenbalken eines Brückentragwerkes soll hin-

sichtlich der Haftspannungen in einer den amtlichen Vorschriften entsprechenden Art armiert werden (Mischungsverhältnis 280 kg/ms). Hiezu wird beispielsweise die nach Figur 76 a konstruierte Haftspannungskurve (x^-Kurve) benützt.*)

1200 kg/m

Figur 81a.

7500kg

6000 kg

2 50

190

fO

'03

■S *5

Sa

1=51'00 m

LLj.j.tms

t*

I = 3; 50

§ - 3/50

io

Do

-=*4

B' C

“ZÖÖ7

e.

EV.

cd;

CVJ

C3

cnj

40

nr

W~~'~

-XL

1-2

Figur 81 b.

Ji

fo₂

i-

140cm

Längen 1:5 0.

r-~J;

05

2m

t'J

un

uni

6$30mm

Momente.

10000

20000 kgm

b»

.Y.

cd et

_.35 _

lÖkg/cm¹

Spannungen.

*) Es soll hier aber ausdrücklich bemerkt werden, daß zux alleinigen Bestimmung der theoretischen Abbiegestellen der Eisen die Konstruktion der xlv-Kurve nicht notwendig ist, diese Stellen vielmehr aus der Momentenlinie allein bestimmt werden können (s. Figur 80 a).

Im vorliegenden Falle ist c₁==c₂ = 18— 9 -]- 12.3-0 = 45 cm, der Umfang eines Rundeisens w = 3⁻0 . tz — 9’42 cm. Der Hebelsarms des inneren Momentes, wird genügend genau (s. S 162) unter der Annahme von 4 Längseisen berechnet, wofür man in bekannter Weise findet: z = bl'bcm. Zur Konstruktion der Haftspannungskurven möge hier die Abszisse £ der Strahlen angenommen und der Maßstab für die Ordinaten der ersteren berechnet werden. Es ist gewählt : I = 350 cm d . N. und der Momentenmaßstab 1 cm d . Z. = 400000 kgcm d . N. Dann erhält man nach S. 148 den Maßstab für die Haftspannungen :

also

oder

1 cmd. Z.

zui

400 000

51-5.9-42.350

j kg/cm²

1 cm d . Z. = 2’36 kgjcm²

1 kglcm² = 0'424 cm d . Z.

In Figur 81 a sind die Strahlen „fj“ und „£₂“ in der Entfernung ! von C₂ bezw. C₂ lotrecht gezogen und sind sodann die beiderseitigen TÄ-Kurven nach Figur 76 a punktweise aus der Momentenlinie konstruiert (siehe beispielsweise Cj — e — Ex — E₂).

Die entsprechend der zulässigen Haftspannung th — 4⁻0 kgjcm2 parallel zur Abszissenachse in Abständen 4‘0.0'424 = F7 cm d . Z. gezogenen Strahlen ergeben auf den beiderseitigen Kurv en Schnittpunkte (links : E₂, F₂, rechts : J₂, K₂, L₂), durch welche jene Stellen bestimmt sind, bis zu welchen vom Trägerende aus 1, 2, 3 Eiseneinlagen zur Aufnahme der Haftspannungen ausreichen würden, wo also die 2., 3., 4. Einlage nach oben abgebogen werden könnte.

Die stark gezogenen Linien deuten die hinsichtlich der Haftspannungen tatsächlich gewählte Anordnung der Eisen nächst dem Trägerende an; die schwachgezogenen Linien stellen jene kürzeren Eiseneinlagen dar, die mit Rücksicht auf die Momente angeordnet sind ; die gestrichten Linien zeigen schließlich die zur Einhaltung des zulässigen Wertes der Haftspannungen gerade notwendige Anordnung der Armierungseisen ; derselben entspricht die in Klammern beigesetzte Bezeichnung der Eisen.

Figur 82.

ÜJL

¹

Verglichen mit dem Werte max entsprechend der bisher allgemein üblichen Berechnungsart, wie sie u. a. auch in der Vorschrift des Ministeriums des Innern vom 15. November 1907 vorgeschrieben war, ergibt sich somit, daß gemäß der amtlich en Vorschrift vom Jahre 1911 nicht die maximale Querkraft, das ist jene des Auflagerquerschnittes, sondern die Querkraft des maßgebenden Punktes in die Berechnung einzuführen, im übrigen aber ganz gleich vorzugehen ist wie bisher, wo die Eisenüberlänge nicht in Rechnung gezogen wurde. Die Kurve der ¹'z'h bezw. ²-'h (s. Figur 76 a) schneidet somit die Kurve der lrzh bezw. ²-/( in der Vertikalen durch den maßgebenden Punkt (1) bezw. (2). Für die Querschnitte zwischen diesen Punkten und den jeweilig zunächst liegenden Stützpunkten sind somit die Werte xÄ kleiner als ¹ h.

²

Dieser Wert ist gleich max tä und stimmt mit dem Werte der maximalen Haftspannung (am Auflager), ermittelt nach der Berechnungsart gemäß der amtlichen Vorschrift vom Jahre 1907, überein. Für diesen Sonderfall sind somit die Haftspannungs-

c =0

o

die Werte xr'h. Diese relativen Verhältnisse sind am besten der zeichnerischen Darstellung zu entnehmen (s. Figur 76 a). In derselben sind die xA-‘Werte durch die trigonometrischen Tangenten der Winkel ausgedrückt, welche die x-Achse mit den Strahlen einschließt, die durch den jeweiligen Punkt G zu den Punkten der Momentenkurve gezogen werden, während bekanntlich die tä- Werte durch die trigonometrischen Tangenten der Winkel gemessen werden, welche die jeweiligen geometrischen Tangenten an die Momentenlinie mit der x- Achse einschließen. Die Darstellung zeigt dann den bedeutenden Einfluß, den die Anordnung einer Überlänge und von Haken auf die Herabminderung des maximalen Wertes der mittleren Haftspannung hat.

³

Es empfiehlt sich für die Untersuchungen hinsichtlich der Haftspannungen — der Einfachheit halber — von einer allfällig in Betracht kommenden verteilenden Wirkung der Eisenbetonplatte in Richtung der Trägerlänge abzusehen.

VI. Zentrisch belastete Druckglieder.

1. Allgemeines.

Fb Gbd ~|~ Fe Cf ed- P-

Ein prismatischer Verbundkörper sei durch eine in der Richtung seiner Längsachse (Figur 82) wirkende Kraft P zentrisch belastet. Bedeutet abd die Betondruckspannung, aed die Eisendruckspannung, Fb die Betonfläche und Fe die Eisenquerschnittsfläche, so muß sein

Ferner besteht wegen der Voraussetzung zentrischer Belastung und somit gleicher Zusammendrückung von Beton und Eisen die Gleichung :

und es ergeben sich die Spannungen mit

Gbd = -

Ged-

vP

vP

P₆+vPe “ Fi

wenn die ideelle Querschnittsfläche P, =Fb -(-v Pf eingeführt A\rird.

Figur 84.

Figur 83.

y.

*77~

u.

T3

.1.

□c

JL-.

I T"

Es ist zu bemerken, daß Fb als Betonfläche eigentlich die Gesamtfläche weniger der Fläche der Eiseneinlagen darstellt. In der Praxis pflegt man jedoch, wie bereits auf S. 12 erwähnt Avurde, mit hinreichender Genauigkeit statt Fb die Gesamtfläche F in Rechnung zu stellen.

Figur 85.

ml

Der Bedingung der zentrischen Belastung, bei der somit keine Biegung eintritt, Avird entsprochen, Avenn die Kraft P im Schwerpunkte einer ideellen Betonfläche P, angreift, A\relche entsteht, Avenn im Querschnitte an Stelle der Eisenfläche eine vmal (also nach den Vorschriften 15 mal) größere Betonfläche gesetzt gedacht wird; der Schwerpunkt von P* soll in Hinkunft der Kürze halber ,,ideeller Schwer--0- punkt“ genannt werden.

Besitzt der Querschnitt des Verbundkörpers zAvei Symmetrieachsen (Figur 83), so muß der Angriffspunkt von P mit dem gemeinschaftlichen Sclwerpunkte S der Beton-und Eisenfläche zusammenfallen. Bei Profilen mit nur einer Symmetrieachse (Figur 84) oder bei unsymmetrischen Formen (Figur 85) muß die Lage des ideellen Schwerpunktes mittels einer oder zAveier Flächenmomentengleichungen bestimmt Averden.

Die Bestimmungsgleichung für den Abstand x des ideellen Schwerpunktes von vnn lautet z. B. für Figur 84, wenn Pf die Fläche der in der Figur oben, P/ jene der unten gelegenen

Eiseneinlagen, a und a' ihre Abstände von den Außenflächen sind und wenn m n als Momentenachse gewählt wird : h H²    17²

----j_ (B - b) — + v [Fe (H - a) + FJ a'] =

⁼⁼ \b H -j- (JJ — b) d -f- v (Fe -j- FJ)] x.

Im Falle der Figur 85 werden zwei solche Gleichungen, z. B. auf mn und m' n' bezogen, für die Bestimmung von x und y nötig sein.

Die rechnungsmäßige Eisenspannung ist, wie bekannt, 15mal so groß als jene des Betons. Bei den in den amtlichen Vorschriften gegebenen zulässigen Werten der Eisen- und Betonspannungen kann das Eisen bei solchen zentrisch beanspruchten Druckgliedern nicht vollständig ausgenützt werden, da die zulässige Eisenspannung se stets größer ist als die löfache zulässige Betondruckspannung. Die Berechnung von aed erscheint daher im allgemeinen nicht notwendig; gleichwohl muß aed dort, wo die Knickung der Eisenteile auch für sich allein in Frage kommt, gemäß den Vorschriften (HV. § 6, Abs. 4, BV. § 6, Abs. 5) bestimmt werden.

Im folgenden sollen die bei zentrischem Druck zulässigen Betondruckspannungen (ohne Rücksicht auf Knickung) mit cSbd bezeichnet werden, um sie von den früher benützten zulässigen Betondruckspannungen im Falle der Biegung und bei exzentrischem Druck: sbd zu unterscheiden.

Nach den Vorschriften (HV., BV. § 6, Abs. 1) ist

bei Straßenbrücken

für das Mischungsverhältnis ■ilOJcg/m³: csbli = 2Shg/cm²,    25 kg/ein²,

350 kg/m³: csbd—2b ,, , 22 280 Tcg/m³: csbd = 22 ,, , 19

In der Tabelle Nr. 9, S. 172 sind auch für andere Mischungsverhältnisse als die obigen die zulässigen Betonspannungen für Hochbauten zusammengestellt.

Beim Einsetzen von Fe in Gl. 154) bezw. bei der Bestimmung von F. ist jedoch zu beachten (HV. § 5, Abs. 18, BV. § 5, Abs. 16), daß die Fläche der Längseisen mindestens 0'8 v. H. der ganzen Querschnittsfläche betragen muß und daß, wenn sie mehr als 2 v. H. dieser ganzen Querschnittsfläche ausmacht, der Mehrbetrag über 2 v. H. nur mit dem dritten Teile in Rechnung gebracht werden darf. Es muß also F$ ^ 0’008 F sein; ist Fe > 0’02 F, so darf nur

F' =0-02 F + -Î (Fe — 0-02 F) = 0-0133 F-f0'33 Fe . . . .155)

berücksichtigt werden.

bei Hochbauten

Tabelle Nr. 9.

Zulässige Betonspannungen bei Tragwerken aus Eisenbeton für Hochbauten bei verschiedenen Mischungsverhältnissen.

Auf 1 m3 Gemenge von Sand-und Steinmaterial : Portlandzement in kg

Zulässige Spannung in kgjcm²

Im Falle der Biegung und bei exzentrischem Druck

Bei

zentrischem

Druck

Druck

spannung^

Zugspannung shz

Druckspannung csbd

Schub-Scher- und Hauptzugspannung tb

Mittlere Haftspannung th

470

460

450

440

430

420

410

400

390

380

370

360

350

340

330

320

310

300

290

280

42-00

41-58

41-17

40-75

40-33

39-91

39-50

39-08

38-66

38-25

37-83

37-41

37-00

36-29

35-57

34-86

3414

33-43

32-72

32-00

25 00 24-92 24-83 24-75 24-67 24-58 24-50 24-42 24-33 24-25 24-17 24-08 24-00 23-72 23-43 2315 22-86 22-58 22-29 22 00

28-00

27-75

27-50

27-25

27-00

26-75

26-50

26-25

26-00

25-75

25-50

25-25

25-00

24-57

24-15

23-72

23-29

22-86

22-43

22-00

4-50

4-46

4-42

4-38

4-33

4-29

4-25

4-21

4-17

4-12

4-08

4 04

4-00

3-93

3-86

3-79

3-72

3-65

3-58

3-50

5-50

5 46

5-42

5-38

5-33

5-29

5-25

5-21

5-17

5-12

5-08

5-04

500

4-93

4-86

4-79

4-72

465

4-58

4-50

Führt man die früher mehrfach erwähnte (tatsächlich vor-

100 F

jp ein und bezeichnet mit p' die

handene) Armierungsziffer p

rechnungsmäßig zu berücksichtigende Armierungsziffer, so muß p ^ 0'8 sein und darf bei p >> 2⁻0 nur eine Armierungsziffer

156)

p' = 1-33 + 0-33 p......

in die Rechnung eingeführt werden.

Hiernach ist die Tabelle Nr. 10, S. 173, berechnet.

Ist Ff << 0‘008 F, so ist nicht nur bei Bestimmung der ideellen Querschnittsfläche Ff. die Eisenquerschnittsfläche Fe zu vernachlässigen, sondern es ist das Druckglied bei der Berechnung überhaupt nicht mehr als Eisenbetontragwerk anzusehen, d. h. es sind die Grenzwerte der Betondruckspannung für Tragwerke aus Stampfbeton (HY. § 17, Abs. 1, BV. § 20, Abs. 1) maßgebend.

Tabelle Nr. 10.

Wirkliche und rechnungsmäßige Armierungsziffern p bezw. p bei

Druckgliedern.

p'

P'

P'

P'

0-80

3-4

2'47

5-0

3-00

2-00

36

2-53

5'2

3-07

2-07

38

2-60

3-13

2-13

4-0

2-67

5*6

3-20

220

4-2

2-73

5-8

3-27

CD CD OO OO ^1

i Ó Ó ü*

3-83

4-00

4-17

4-33

4-50

2-27

4*4

2-80

6-0

3-33

10-0

467

2-33

4-6

2-87

6-5

3-50

10-5

4-83

2-40

4-8

293

7-0

3-67

11-0

5-00

Bei Berechnung der Druckglieder ist noch zu beachten, daß nach HY. § 5, Abs. 21, BY. § 5 Abs. 19 für die Kraftaufnahme als Betonquerschnittsfläche Fb (bezw. F) höchstens das l’8fache der Fläche Fk des Betonkerns, der von den Quereinlagen eingeschlossen ist, in Rechnung gezogen werden darf. Ist somit 1*8 Fk < F, so muß bei Bestimmung von F., insolange es sich um die Kr af tauf nähme, d. h. um die Bestimmung der Tragkraft P' = F.shd oder bei gegebener Belastung um die Ermittlung der Betondruckspannung abd handelt, statt F der Wert l⁻8 Ff, eingeführt worden. Bei Ermittlung von Werten jedoch, die bei der Knickung oder bei exzentrischem Druck benötigt werden (Trägheitsmomente, Trägheitshalbmesser, Kernpunktsabstände) ist immer der volle Wert von F zu benützen.

Wird etwa aus architektonischen oder anderen Rücksichten die Querschnittsfläche über 1*8 Fk hinaus vergrößert, so ist es selbstverständlich zulässig, den ganzen Betonquerschnitt F in die Rechnung einzuführen, sobald in letzterer auf die Mitwirkung der Längseisen, die etwa doch angeordnet sind, verzichtet wird ; als Grenzwerte der Betondruckspannungen haben dann nur jene für Stampfbetondruckglieder zu gelten.

Durch diese Bestimmung wird die Entfernung der Längseisen von der Außenfläche des Druckgliedes aus Eisenbeton in gewissen

Grenzen gehalten, die ein gleichartiges Zusammenwirken auch der äußersten Betonschichten mit den Längseisen gewährleisten und die deshalb nicht überschritten werden sollen, damit bei rechnerisch nicht berücksichtigten Exzentrizitäten des Lastangriffes, wie sie bei ungleichen Belastungen angrenzender Felder entstehen, vornehmlich die Längseisen zur Aufnahme des Spannungszuwachses herangezogen werden.

2. Zentrisch belastete Druckglieder bei — < 60 (keine Knickung).

Nach den Vorschriften (HV. § 5, Abs. 14, BV. § 5, Abs. 12) muß auf den erforderlichen Widerstand gegen Knickung erst Bedacht genommen werden, wenn das Verhältnis der freien Knicklänge L zum betreffenden Trägheitshalbmesser i der ideellen Querschnittsfläche F. den Wert = 60 überschreitet.

⁴    i

Hierbei ist

'3#Jt

F.

l

und k das kleinste (äquatoriale) Trägheitsmoment der ideellen Querschnittsfläche, sobald nicht durch konstruktive Vorkehrungen eine andere Knickebene festgelegt ist, in der die Ausknickung am leichtesten erfolgen kann.

Die Überprüfung eines vorliegenden Druckgliedes besteht sodann darin, daß abd nach Gl. 154) berechnet und mit dem zulässigen csbd verglichen wird. Es muß, um den amtlichen Vorschriften zu entsprechen,

sein.

«i*<^doder

P <(F. csbd — Tragkraft F)

157)

Die umgekehrte, beim Entwerfen zu lösende Aufgabe, zu einer bestimmten zentrischen Last P ein Druckglied zu finden, derart, daß eine vorgeschriebene zulässige Spannung csbd eingehalten werde, ist im allgemeinen unbestimmt, da nur eine Gl. 154) zur Verfügung steht, in welcher aber zwei Unbekannte F (annäherungsweise = Ft) und F₍ enthalten sind. Die Wahl unter den unendlich vielen Lösungen wird, insoferne nicht technische Gründe, etwa die Forderung bestimmter Profilformen u. s. w. maßgebend sind, nach wirtschaftlichen Rücksichten zu treffen sein. Man muß daher entweder eine der beiden Größen annehmen und die andere berechnen oder die Armierungsziffer p von vornherein festsetzen. Im letzteren Falle wird dann

158).

{l + 0‘lbp)csj Ft = 0-01 pF

Selbstverständlich ist hiebei, wenn p^>2‘0 ist, in die erste Gleichung nur das p' nach Gl. 156) einzusetzen, die Fläche Fe jedoch mit p zu berechnen.

Häufig ist die Gesamtfläche F schon durch andere Gründe festgelegt und es handelt sich dann beim Entwerfen nur darum, die erforderliche Eisenfläche Fe bezw. die Armierungsziffer p'¹) zu finden.

In diesem Falle gilt

p' — 6-67

-1.

159).

Fcs

Fe = 0‘01p’ F

Hiebei kann es nun Vorkommen, daß sich p’ >>2'0 herausstellt; in diesem Falle ist mit Rücksicht auf Gl. 156) die Ausführung nach einer tatsächlichen Armierungsziffer

160)

p = 3 p' — 4

vorzunehmen, während für p' << 2'0 sofort p' für die Ausführung in Betracht kommt.

Beispiel 1. Bei einer gewölbten Straßenbrücke hat ein auf den Bogen aufgesetzter quadratischer Pfeiler aus Eisenbeton eine Last von 60000 kg zu tragen ; Höhe 5"0 m, Mischungsverhältnis 470 kglmi³. Welcher Querschnitt ist zu wählen, wenn eine Armierungsziffer p — 2⁻5 angenommen wird ?

Zunächst wird nach Gl. 156)

p> = 1-33 -f 0-33.2-5 = 2-17 und sodann nach Gl. 158) mit cs bd = 2b kg/cm²

1810 cm²,

60000

0-15.2-17)25 Fe = 0-025 F= 45-3 cm².

= 45-84 cm²) armiert werden.

Der Pfeiler muß also etwa einen quadratischen Querschnitt von h =1/1810 = = 42¹5 cm Seitenlange erhalten und mit acht Rundeisen von d — 2-7 cm Durcli-2’7² ~

messer (Gesamtfläche 8 . —-r—

4

Da die tatsächliche Fläche F—lSbbcm² beträgt, so muß — um sie voll

'j 1003 cm² sein. Die Quadratseite

anrechnen zu können (s. S. 173) — Fic> des Betonkernes muß somit > 31-7 cm, d. h. die Deckung a der Längseisen muß

1806

1-8

42-5 — 31-7    \    _

— = 1 5-4 cm sein. Da nach BV. § 5, Abs. 22 : a > (1*5. 2⁻7 = ) 4'05 cm

a <

sein muß, so können die Längseisen derart angeordnet werden, daß in die Rechnung der ganze Betonquerschnitt F eingeführt werden darf.

Schließlich ist noch zu untersuchen, ob hier nicht auf Knickung Rücksicht zu nehmen ist. Aus der Tabelle Kr. 11 (Seite 178) findet man für p = 2-5,

i — 0⁻304 . h — 0'304.43 = 13*1 cm, folglich ist nicht in Betracht kommt.

500

13-1

38 < 60, so daß Knickung

Beispiel 2. Welche Armierung hat ein rechteckiger Pfeiler 40 cm . 50 cm von 2*2 m Höhe für 59600 kg Last (Mischungsverhältnis 280 kg/m³, Hochbau) zu erhalten ?

Nach Gl. 159) ergibt sich, da csbd = 22 kgjcm² ist,

p' = 6-67 |

59600

40.50.22

— 1 = 2-36.

Da p' > 2⁻0, so ist auszuführen nach Gl. 160) : p — 3.2‘36 — 4 = 3’08. Die erforderliche Eisenfläche wird

Fe = 0-0308.40.50 = 61‘6 cm²

wofür acht Rundeisen von je 32 cm Durchmesser, zusammen mit 8.8⁻04 = 64⁻3 cm²,

,    F

gewählt werden. Auch hier kann (s. Beispiel 1) der Bedingung Fk> — ent-

1 *ö

Figur 86.

Figur 87.

sprochen werden.

Für Druckglieder von

;    regelmäßig polygonaler oder

-C

J    symmetrischer Querschnitts-

I    form lassen sich einfache

ir /T/væ//^/ Beziehungen zwischen den maßgebenden Abmessungen, der Armierungsziffer, der zulässigen Betonspannung csbd und der zulässigen Last (Tragkraft) P' aufstellen, welche gestatten, entweder ein vorliegendes Druckglied rechnerisch zu untersuchen oder für eine gegebene Last P die erforderlichen Querschnitte F und Fe zu ermitteln. Für die wichtigsten Querschnittsformen werden die bezüglichen Werte nachstehend angegeben.

a) Quadrat. (Figur 86, 87)

P' = (1 -J- 0’15p) h2 csbd,

(1 + o-löjp) eshi ’

Gbd —

p = ß-67

Ji2csbd

(1 -f 015 p) h² ’

, F = h², Fe = O-Olph².

b) Rechteck. (Figur 88) P' = (1 -{- 0-15p) b h csbd,

Figur 88.

Figur 89.

Gbd-

(1 -f- 0’l5p) csbd ’

P_

(1 —f— 0 •lbp)bh

~T

-C

1Ä

..JL.

I? — 6-67

b h csbd F = bh, Fe=0-01pbh.

c) Regelmäßiges Sechseck. (Figur 89) P' = 0-866 (1 -f 0*15p) P²

T"

■A

i*

D = 1-074

(1 + 0‘15j?) csbd ’

1-155 P

(1 0’lbp) D²’ l), F= 0-866 P², P = 0-00866^ D².

Gbd —

1-115 P csbdD2 d) Kreis. (Figur 90, 91) Pr = 3-14 (1 -f 0*15jp) P2 cs₆<z,

p = 6"67

Figur 90.

Figur 91.

P = 0-564

(1 -f- 0‘15p) Ssbd ’

Gbd =

0-318 P

(1 -f- 0-15 p P² ’ 0-318 P

csbdR²

P=3-14P², Fe = 0’0314pP².

p — 6"67

3. Zentrisch belastete Druckglieder bei i >60 (Knickung).

Wie bereits auf S. 174 bemerkt wurde, ist auf den erforderlichen

Widerstand gegen Knickung Bedacht zu nehmen, wenn ^ > 60 ist.

Hiebei gelten (HY. § 6, Abs. 4, BV. § 6, Abs. 5) für zentrisch belastete Druckglieder als zulässige Spannungen die für zentrischen Druck zulässigen Betonspannungen csbd, multipliziert mit der Abminderungszahl

a = 1-72 —0-012

161).

In i =

Sa

Fi

(s. S. 174) ist

Fi = Fb+vF.

*) Bei den Armierungsziffern p>2-0, also Fc> 0-02 F, ist bei der Berechnung von F, g... i und k nach Gl. 156) eine Armierungsziffer ^'= 1-33+ 0-33p berücksichtigt.

**) Liegen die Eiseneinlagen parallel zu h oder längs des ganzen Umfanges, so

nur

sind i und k entprechend zu berechnen. Als Mittelwert der Entfernung des Schwerpunktes der Eiseneinlagen vom nächsten Querschnittsrande ist in den Figuren 86 bis 88 : c = — h, in den Figuren 89 bis 91 : c — D angenommen.

100

0-S

1-6

S-l

8-0

0-0

. A* . h⁴

. h*

. bh³

zd • r

*(i •

zd-\\d'

fd-

1-000    0-0833    0-289    0-167    1-000

1-120    0-1025    0-303    0-183    1-120

1-180    0-1121    0-308    0-190    1-180

1-240    0-1217    0-313    0-196    1-240

1-300    0-1313    0-318    0-202    1-300

2- 5*)    || 1-325    0-1353    0-320    0-204    1-325

3- 0*)

4.O*)

(i

Armierungs

ziffer

Quadrat mit vier Eiseneinlagen (Figur 86)

0-1193 0-1223 1-350 0-1253 1-400 0-1313

0-1049

01121

0 0833 0-0977

0-289 0-167 1-000 0-295 0-174 1-120 0-298 0-178 1-180 0-301 0-181 1-240 0-303 0-183 1-300 0-304 0-185 1-325 0-305 0-186 1-350 0-306 0 187 1-400

0-0833 0-289 0-1025 0-303 0-1121 0-308 0-1217 0-313 0-1313 0-318 0-1353 0-320 0-1393 0-321 0 1473 0 324

0-167 0-866 0-183 0-970 0-190 1-022 0-196 1-074 0-202 1-126 0-204 1-147 0-206 1-169 0-210 1-212

0-0879 0-0902 0-0925 0 0972

00823

0-0768

0-0712

0 0601

k |1 F.

Quadrat mit acht Eiseneinlagen (Figur 87)

Rechteck**) Eiseneinlage parallel zu b

(Figur 88)

0-277

0-279

0-280

0-281

0-283

0-263

0-271

0-274

0 139 0-785 0-147 0-886 0-150 0-927 0-153 0 974 0-156 1-021 0-157 1-040 0-158 1 060 0-160 1-100

0-0491

0-0566

0-0604

00642

0-0679

0-0695

0-0710

0-0742

0-255 0-256 0 258 0-258 0-259 0-260

0-250

0-254

Regelmäßiges Sechseck mit sechs Eiseneinlagen (Figur 89)

0-134

0-135

0-133

0-134

0-131

0-130

0 129

0-125

Kreis mit n gleichen Eiseneinlagen (Figur 90 und 91)

Tabelle Nr. 11.

Ideelle Flachen (F.), Trägheitsmomente (3U.), Trägheitshalbmesser (i) und Kernpunktsabstände (k) verschiedener.

armierter Querschnittsformen.

und für kleine Eisenprofile:

3/*= 3& + v2 Fex'²

zu setzen, wobei und Fb sich auf die Betonfläche, Fe auf die einzelnen Eisenflächen beziehen und x die Abstände der Schwerachsen der Eiseneinlagen von der Trägheitsachse bedeuten.

Bei verhältnismäßig großen Eisenprofilen, bei denen das Trägheitsmoment der Eiseneinlage, bezogen auf deren eigene Schwerachse, nicht mehr vernachlässigt werden kann, ist zu setzen 3** =    + v2    + Fex²).

Statt Fb und kann auch hier bei den im allgemeinen verhältnismäßig kleinen Armierungsziffern meist mit genügender Genauigkeit F und S für den vollen Querschnitt eingesetzt werden.

Bei regelmäßig polygonaler oder symmetrischer Querschnittsform läßt sich der Trägheitshalbmesser i durch die Hauptabmessungen ausdrücken, wenn über die Lage der Eisen und die Armierungsziffer p gewisse Annahmen gemacht werden.

In der Tabelle Nr. 11, Seite 178

x

sind die Ergebnisse für einige Quer- ~~ schnittsformen und verschiedene Armie, rungsziffern unter Bezug auf die Figuren 86 bis 91 zusammengestellt.

Ist der Querschnitt eines Druckgliedes aus Eisenbeton unsymmetrisch (Figur 92) bekannter Weise mittels zweier beliebiger, am besten auf zwei senkrecht zueinander stehende Achsen bezogener Trägheitsmomente zu berechnen oder mittels einer der bekannten zeichnerischen Methoden zu ermitteln.

Die für verschiedene — sich ergebenden Abminderungszahlen a

¹ 1 (Gl. 161) sind samt deren häufig gebrauchten reziproken Werten —

Figur 92.

ÈK

\b

so

ist das kleinste Trägheitsmoment in

in der Tabelle Nr. 12, Seite 180 zusammengestellt; die nächste Tabelle Nr. 18, Seite 180 gibt die zulässigen Spannungen sbk = a %a mit Rücksicht auf Knickung bei Druckgliedern des Hochbaues für die Mischungsverhältnisse 470 Tig/m³, 350 ligjm³ und 280 Icglm³, Die Überprüfung eines vorliegenden Druckgliedes, bei welchem Knickung in Betracht kommt, erfolgt in der Weise, daß <sbd nach Gl. 154) berechnet und das gefundene ahd mit dem,

man

mit Rücksicht auf Knickung zulässigen Werte vergleicht; da letzterer nach dem obigen gleich acsbd ist, muß sein

P < (P' = a Fiesbd)

162).

Tabelle Nr. 12.

Abminderungszahlen ot und deren reziproke Werte — für Knickung bei Druckgliedern aus Eisenbeton, a = 1-72 - 0-012 — für — > 60.

60

62

64

66

68

70

72

74

76

78

80

1-000

0-976

0-952

0-928

0-904

0-880

0-856

0-832

0-808

0-784

0-760

1-000 1-025 1-050 1-078 1-106 1-136 1-168 1-202 1 238 1-276 1-316

82

84

86

88

90

92

94

96

98

100

0-736

0-712

0-688

0-664

0-640

0-616

0-592

0-568

0-544

0-520

1-359

1-404

1-453

1-506

1-562

1-623

1-689

1-761

1-838

1-923

102

104

106

108

110

112

114

116

118

120

0-496

0-472

0-448

0-424

0-400

0-376

0-352

0-328

0-304

0-280

2-016

2-119

2-232

2-358

2-500

2-660

2- 841 3049

3- 289 3-571

Tabelle Nr. 13.

Zulässige Spannungen sbk = zcSbd mit Rücksicht auf Knickung bei Druckgliedern aus Eisenbeton bei Hochbauten.

Zulässige Spannung in kg/cm²

Zulässige Spannung in hgjcnî²

beim Mischungsverhältnisse

beim Mischungsverhältnisse

470 kg/’»³ 350 kg/m³ 280 kg/m

470 kg/m³ 350 kg/m³ 280 kg/m³

28-0

25*0

22-0

92

17-2

15-4

13-6

273

24⁻4

21-5

94

16-6

14-8

13-1

26-6

26*0

25-3

23-8

23-2

22-6

210

20-5

19-9

96

98

100

15-9

15-2

14-6

14-2

13*6

13-0

12-6

12-1

11-4

24-6

22-0

19-4

102

13'9

12-4

10-9

240

21 4

18-9

104

13-2

11-8

10-4

23 3

20-8

18-4

106

12-5

11-2

9'9

22-6

20-2

17-8

108

11-9

10-6

9-3

21-9

19-6

17-3

110

11-2

10-0

8-8

21-3

19 0

16-8

112

10-5

9-4

8-3

20-6

18-4

16-3

114

9-9

8-8

7-8

19 9

17'8

15-7

116

9-2

8-2

7-2

19-3

17-2

15-2

118

8-5

7-6

6-7

18 6

16-6

14-7

120

7-8

7-0

6-2

17-9

160

14-2

Hinsichtlich der Berechnung von F beip ;>2’0 unter Einführung eines rechnungsmäßigen p' gelten die gleichen Bemerkungen wie auf S. 172.

Auch das Entwerfen von Druckgliedern, bei denen Knickung in Frage kommt, kann in ähnlicherWeise wie bei solchen, bei denen

— <C 60 ist, geschehen und sind die gleichen Formeln hier wie dort

1/

anzuwenden, nur ist überall anstatt cshd die entsprechend verminderte zulässige Spannung acsbd in die Formel einzuführen.

Für Druckglieder gelten demnach mit Rücksicht auf Knickung folgende Gleichungen :

(1 -f 015 p) a csbJ

p -A

p’ = 6’67 Fe = 0-01 p F

a\dF

163).

Hier muß beim Entwerfen a zunächst schätzungsweise angenommen werden. Ergibt sich p’ >» 2⁻0, so ist, wie bereits auf S. 175 bemerkt, p = $p’ — 4 und weiter Fe = 0*01 p F zu berechnen.

Beispiel. In einem Gebäude hat eine Säule mit einem Querschnitte nach Figur 90, 6-0 m Höhe und 30 cm Durchmesser ; sie ist armiert mit 6 Längseisen von je 2 cm Durchmesser (c = 3 cm) ; es ist zu untersuchen, ob sie für eine zentrische Last von 18000 kg genügt. Mischungsverhältnis 350 kgjm³.

Es ist

F = — . 30² == 706-9 cm², F. = 18-84 cm².

4    ®

Da Fe> 0-02 F ist, darf Fg nach Gl. 155) nur mit

F’e = 0 0133 . 706-9 + 0-33 . 18*84 = 15-7 cm²

F

in Rechnung gestellt werden. Der Bedingung Fk > — ist sowohl bei kreisrundem als bei sechseckigem Betonkern entsprochen.

Fi = 706-9 + 15 . 15-7 = 942-4 cm²,

² = -^ . 30⁴ + 15 . 15-7 . 12² = 73670 cm⁴,

64

3.-»=Iïd‘+¹⁵Jv(t-³)

demnach

-V

/ 73670

942-4

— 8-8 cm

und

L 600

—— == 68.

8-8

a = 0'904 und

Die Abminderungszahl a wird nach Tabelle Nr. 12 wegen csb d — 25 kg/cm* die zulässige Spannung mit Rücksicht auf Knickung gleich acSbd = 0-904 . 25 = 22-6 kgjcm².

Die mittlere Spannung abd findet sich aus

P 18000 ~F] ~ 942-4

Da d < tx csb d ist, genügt die Säule.

Beispiel für das Entwerfen. Bei einem Gebäude ist das Profil einer Säule zu bestimmen, welche bei 5-8 m Höhe eine Last von 26500 kg zu tragen hat. Die Säule soll rund und möglichst schlank sein, keinesfalls mehr als 32 cm Durchmesser erhalten.

Es werde mit Rücksicht auf die geforderte Schlankheit ein Beton im Mischungsverhältnisse 470 kgjm⁵ gewählt. Die zulässige Druckspannung ist csbd —IS kg/cm-. Schätzungsweise wird zunächst eine Armierung von p = 2-0 angenommen, hiefür

hd

19'1 kg! cm².

wird nach Tabelle Nr. 11 ... i — 0-258 D — 8'3 cm, -r- = 70 und a = 0'88 (Tabelle Nr. 12). Die erforderliche Fläche Fi wird

F =—-

*    « . 28    24-64

26500

1075 cm¹.

Bei 32 cm Durchmesser ist iö= 804 cm², also wegen Fi = F-\-\bFe 1075 — 804

15

= 18-0 cm².

Die Armierung*iffer muß also

p’ =

18-0 . 100

804

224

betragen. Da ^/>2-0 ist, so muß nach Gl. 160) tatsächlich ausgeführt werden p = 3 p' —■ 4 = 3 . 2-24 — 4 = 2'72.

Die erforderliche Eisenfläche wäre sonach

F'e = 0-0272 . 804 = 21-8 cm².

Eisenfläche

Wählt man 8 Rundeisen zu 2-0 cm Durchmesser, so wird die tatsächliche

F"e = 8 . 3-14 = 25-1 cm²,

somit die rechnungsmäßig einzuführende Fläche (s. Gl. 155):

0-0133 . 804 -f 0-33 . 25-1 = 19'1 cm².

Die Kontrollrechnung unter der Annahme c = 3⁻5 cm (Figur 90) ergibt F. = 804 + 15 . 19-1 = 1090 cm²,

= 62, a = 0-98

3,- 7. = ~~r • 32⁴ 4- 15.19-1. 12-5² = 96200 cm⁴, ferner i = 9⁻4 cm,

und als zulässige Spannung csbd — 0⁻98 . 28 = 27*3 kg/cm².

Die mittlere Spannung beträgt

und die Armierungsziffer

100 . 25-12

804

3-1.

Da Fk > —, ist die volle Anrechnung des Betonquerschnittes F zulässig.

4. Zentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton bei

< 60 (keine Knickung).

Für Druckglieder aus Eisenbeton, bei welchen außer Längseinlagen auch schraubenförmig gewundene, durchlaufende Quereinlagen angeordnet sind, also für Druckglieder aus sogenanntem „umschnürten Beton“, ist in den amtlichen Vorschriften (HV. § 5, Abs. 19, BV. § 5, Abs. 17) eine besondere Berechnungsweise vorgeschrieben.

Es ist nämlich zur Bestimmung der Druckspannung infolge zentrischen Druckes eine ideelle Querschnittsfläche

164)

-F,'I*) = -Fł + 15Ft + 30f

einzuführen, worin Fh den vollen Betonquerschnitt, F₍ die Querschnittsfläche der Längseisen und Fg die Querschnittsfläche eines gedachten Längseisens bedeutet, dessen Gewicht gleich jenem der schraubenförmigen Quereinlage ist, beide Gewichte auf die Längeneinheit des Druckgliedes bezogen.

Hinsichtlich der Eisenfläche Fe bezw. der Armierungsziffer p gelten die Beschränkungen, welche bereits oben unter VI, 2 erörtert wurden, wonach p ^ 0'8 sein muß und bei p ^> 2‘0 nur ein

p' = 2 -j- (p — 2) —1*33 -f-0*33p in Rechnung gestellt werden darf, o

In Figur 93, S. 187, erhält man den einem beliebigenj)>>2‘0 entsprechenden Wert p' als Abszisse eines Punktes auf der Geraden B C, der die gleiche Ordinate hat, wie der der Abszisse p entsprechende Punkt der Geraden B C, und umgekehrt. Z. B. sind entsprechende Werte :p — 8’0 (Punkt C) und p' — 2 -j-    (8 — 2) = 4*0

(Punkt C).

In den amtlichen Vorschriften wird nun auch eine Beschränkung hinsichtlich der Größe F.s festgesetzt. Macht nämlich die gemäß der Vorschriften gebildete ideelle Fläche F.s mehr als 1*5 (Fb -j- 15 FJ oder mehr als 2’0 Fb aus, so darf für F.g nur der kleinere dieser beiden Grenzwerte in Rechnung gestellt werden. Es muß also sein

/■'

165).

<1-5 (Flj -f 15 F )

<*01\

*) Für die ideelle Fläche bei umschnürtem Beton, welche in den Vorschriften F- genannt ist, wird hier die Bezeichnung Fis gewählt, um Verwechslungen mit der ideellen Fläche F{~ Fö+ 15 Fe bei Druckgliedern, die nur Längsarmierung (ohne Umschnürung) aufweisen, vorzubeugen.

Mit der früheren Bezeichnung F. — Fb -}- 15 Fg, wo also F. die ideelle Fläche eines gleich dimensionierten Druckgliedes mit Längseisen allein (ohne Umschnürung) darstellt, ist auch

165 a).

<1-5^.

<2-0 Ft

Für die meist vorkommenden verhältnismäßig geringen Armierungsziffern p kann auch hier mit genügender Genauigkeit der ganze Querschnitt F anstatt Fb gesetzt werden.

Es sollen nun wieder die Armierungsziffern p eingeführt werden; da hier zwei solche Ziffern, nämlich jene der tatsächlich vorhandenen Längseisen und jene der gedachten, die Umschnürung ersetzenden Längseisen Vorkommen, so soll zur Unterscheidung die erstere^«, die letztere ps genannt werden, so daß ist

Pe

100 Fe

166).

“*T’

Ps

100 Fg

Mit diesen Bezeichnungen kann nun Gl. 164) auch geschrieben

werden:

. . 164 a).

Fi, = Fb + 15 Fe + 30 F= F, + 30- Fs =

= -Fs(l + 0-15j>, + 0-3Jps)

Es sollen nun für das weitere noch folgende Bezeichnungen eingeführt werden :

Fb

167).

1 + 0-15^

Die Ziffer^ stellt die (bei^e >> 2‘0 entsprechend auf p'e zu reduzierende) Armierungsziffer der tatsächlich vorhandenen Längseisen (das die Schraubeneinlagen ersetzende, gedachte Längseisen nicht inbegriffen) vor. Sowohl cp als d» sind stets kleiner als ,,1“. Die in den amtlichen Vorschriften festgesetzten Beschränkungen

j)und

besagen ferner (s. Gl. 165 a), daß nur Werte cp > (yr^

G-

2-0

⁼ 1 ^    0*5 ^ in Rechnung gestellt werden dürfen.

ps<l-67 + 0-25iV 3⁻33 — 0'öp .

Aus Gl. 164) und 165) gewinnt man folgende zwei Beziehungen zwischen pe und p :

Jedem Werte von pe entspricht hiernach ein bestimmter Grenzwert von ps (er soll mit p's bezeichnet werden), mit welchem ps höchstens in die Rechnung eingestellt werden darf dieser Grenzwert p's liegt zwischen 1*86 (für das kleinste zulässige ^ = 08) und 2’22 (für p'e — 2'22 und p. — 3p'— 4 = 2‘66). Für größere^ als 2⁻66 wird p's wieder kleiner. (Siehe Figur 93, S. 187 und Erläuterung hiezu S. 186*).

Bei der Überprüfung eines vorliegenden Druckgliedes aus umschnürtem Beton ist zunächst zu untersuchen, ob Knickung in Frage kommt. Zu diesem Zwecke ist wieder nachzusehen, ob

L<

60 ist und muß daher vorerst der kleinste Trägheitshalbmesser i des Querschnittes bestimmt werden.

Gemäß den Vorschriften (HV. § 5, Abs. 14, BV. § 5, Abs. 12) ist i aus der zu ermittelnden ideellen Querschnittsfläche, also aus

¹

Letztere muß hier mitp' aisrechnungsmäßig erforderlich bezeichnet werden, da die wirklich auszuführende Armierungsziffer p davon verschieden sein kann.

1 /%

y -jjc (s. S. 174) zu berechnen, wobei nur die tatsächlichen

Längseisen — nicht aber die schraubenförmigen Querverbindungen oder die an deren Stelle gedachte Längseinlage — zu berücksichtigen sind. Hiernach ist i von der Umschnürung unabhängig. Der Trägheitshalbmesser und folglich auch die Abminderungszahl und die zulässige Betonspannung mit Rücksicht auf Knickung sind demnach für umschnürte Druckglieder genau so groß, als ob keine Umschnürung vorhanden wäre.

Bei regelmäßig polygonalen oder symmetrischen Querschnittsformen kann daher auch die Tabelle Nr. 11 (S. 178) benützt werden.

< 60, also auf Knickung

Es sei nun gefunden worden, daß nicht Rücksicht zu nehmen ist.

Die mittlere Betondruckspannung Cbd berechnet sich dann aus

der ideellen Fläche Fis zu aid

Fis

und es muß sein :

abd

oder

F

IS

P

cf⁾ JP Sbd i

P<(p’ = Flt\d-

..... 168);

csbd ist aus den Vorschriften zu entnehmen; die betreffenden Werte sind für Hochbauten auch in Tabelle Nr. 9, S. 172 zusammengestellt.

zu K F.

*) Dem p' = l‘86 entspricht die Abszisse zu AD, dem p's — 2-22

Mit der Einführung der Armierungsziffern pe und ps lautet die Bedingung auch

p<p,= (¹ + 0-15^ + 0-3^)JP/₅J . . . . 168a).

Für das Entwerfen gelten im allgemeinen wegen der Unbestimmtheit der Aufgabe ähnliche Bemerkungen wie auf S. 174; nur ist hier insofern ein größerer Spielraum hinsichtlich der Abmessungen der Eiseneinlagen möglich, als sowohl Fe wie Fs zu wählen sind. Da die Flächen F der schraubenförmigen Einlagen in den Formeln mit dem doppelten Faktor wie jene Fe der Längseisen erscheinen, so wird es im allgemeinen vorteilhaft sein, Fe so klein und Fs so groß als möglich zu wählen, insoweit es die in den Vorschriften gegebenen Beschränkungen gestatten.

Die Bedingung, welcher die Armierungsziffern p und p genügen müssen, lautet nach Gl. 168 a), wenn die gestattete Betonspannung csbd ausgenützt werden soll,

i>, + 2Ą = 6'67(—L

6 Sbd

169).

Hierin sind zwei der drei Größen pe, ps und Fh anzunehmen und ist die dritte Größe zu bestimmen.

Einen klaren Einblick in die bei Druckgliedern aus umschnürtem Beton herrschenden Verhältnisse gibt die zeichnerische Darstellung Figur 93, die den Zusammenhang zwischen den Tragkräften und den Armierungsziffern pe und ps zeigen soll.

Von den nur mit Längseisen armierten Druckgliedern ausgehend, läßt sich die Veränderlichkeit der Tragkraft bei Beibehaltung des Betonquerschnittes Fh und bei veränderlichem Armierungsgehalt durch einen Linienzug darstellen, für den beispielsweise als Abszissen die Armierungsziffer pe und als Ordinaten die Tragkräfte P' aufgetragen werden. Hier sollen nun aber nicht die P', sondern die durch die Konstante Fhcshd dividierten Tragkräfte,

P'

(siehe Gl. 167 und 168)

^    -^6 °Sb d

als Ordinaten gewählt werden. Man erhält dann den Linienzug I : ABC, der durch den Knick in B die rechnungsmäßige Abminderung der über^ = 2'0 hinausreichenden Armierung zum Ausdruck bringt. Sieht man die Ordinaten als Maßzahlen der Tragkräfte an, so stellt die Differenz der Ordinaten zwischen 1*0 und dem Linienzug I die Zunahme der Tragkraft bei Anordnung einer Längsarmierung gegenüber der Tragkraft eines nicht armierten Druckgliedes bei Annahme derselben Betondruckspannung dar.

d. h. die Verhältniszahlen

Figur 93.

Abszissen. Armierunejsziffern pe bzw. pe + ps (s.GI.1B6j.

0 O S 10    15 Z- 0    Z'5    3- 0    3 5    4‘ 0    4l5    5- 0    5 5    6‘ 0    615    7 0

/_°-¹ i,

13

cu

J T“ r-H

U 03

,/f

v:

n*sn

c=

~3

Cu:

cO

er

er

Q_

*>

II

H|-

T8

Gl

0-Z

5J

p7

7m

~A

/oo-izy|

■g'Ö.q'H )    qj

sd2.0 + ³d5l.0+l = (TTT=)^

/ _/

7 5    8-0

c[

V 60

00.8

Wird nun ein bestimmtes — beispielsweise mit pg=l’b — längsarmiertes Druckglied, dessen Tragkraft somit der Punkt J entspricht, überdies mit einer Umschnürung ausgestattet, deren Armierungsziffer ps ist, so steigt die Tragkraft um G'àps Fh cs d. h. die Maßzahl der Tragkraft nimmt mit den Ordinaten des Strahles zu, der durch J mit dem Richtungskoeffizienten a = 0'3 gezogen ist (die Figur 93 zeigt verzerrte Verhältnisse). Dei pe—Vb (Abszisse von J) entspricht einem ps = 1*0 (von J aus als Abszisse aufgetragen) der Punkt L (Abszisse pe -\-ps = 2*5). Ebenso wäre bei jedem anderen Wertpaare pe und ps zu verfahren.

bdt

Das Gebiet der Punkte L ist jedoch durch die Bestimmungen der Vorschriften eingeschränkt, da die Werte ps an die auf S. 184 angegebenen Grenzen gebunden sind. Wird zu jedem Werte pe der zugehörige obere Grenzwert von ps, das ist p'g bestimmt und von dem dem pe entsprechenden Punkt des Linienzuges I aus nach rechts aufgetragen, so erhält man auf den jeweilig unter a — 0‘3 gezogenen Strahlen Punkte, die das Anwendungsgebiet umschnürter Druckglieder nach der Seite geringer Armierungsziffern hin abgrenzen; die Verbindung der Punkte gibt den Linienzug DEFG und auf AI) liegen dann schließlich noch die Punkte, die den zu min ^ = 0,8 gehörenden Werten^, zwischen 0 und APS— 1*86 (s. S. 185) entsprechen.

Da für Druckglieder aus umschnürtem Beton P’ = F.g csbd ist, so stellen die Ordinaten des Linienzuges II: AI) FF G sowie des ganzen Gebietes zwischen den Linienzügen I und II die Verhältnis-

zahlen

dar.

Fis

-c-

F„

Die zwei zu einer und derselben Abszisse gehörenden Ordinaten der zwei Linienzüge I und II geben — von der um die Höhe des Figurenrechteckes tieferliegenden Abszissenachse an gemessen — das Verhältnis der zulässigen Belastungen P' eines mit Längseisen armierten Druckgliedes zu jener eines Druckgliedes aus umschnürtem Beton bei gleichem Gesamteisen auf wände (abgesehen von den nicht in der Rechnung erscheinenden Querverbindungen des nur mit Längseisen armierten Druckgliedes) an. Die Differenz der Ordinaten der Linienzüge I und II zeigt also — mit Fbcsbd multipliziert — an, um wieviel ein Druckglied aus umschnürtem Beton im Maximum rechnungsmäßig tragfähiger gemacht werden kann, als ein Druckglied ohne Umschnürung bei gleichem Gesamteisenaufwand. Diese maximale Tragfähigkeit kann aber nur durch eine ganz bestimmte

Aufteilung dieses Eisenaufwandes auf Längseisen und Umschnürung erzielt werden. In ähnlicher Weise gibt für eine und dieselbe Ordinate die Differenz der Abszissen der Linienzüge I und II an, um wieviel für dieselbe Tragkraft im Maximum durch Verwendung einer Spiralarmierung am Gesamteisenaufwand erspart werden kann.

Beim Entwerfen berechnet man bei gegebener Belastung P, angenommenem Betonquerschnitte Fb und zulässiger Betondruckspannung csbd

170).

°Sld

Diesem Werte entsprechen alle Punkte mit der Ordinate —,

die zwischen I und II liegen; jedem Punkte entspricht aber ein anderes Paar von zusammengehörigen Werten pg und ps. Der geringste Eisenaufwand entspricht dann jedenfalls dem auf dem

der Linien-

Linienzug II liegenden Punkt. Z. B. ergibt für

zug II den Punkt H und dann auf einer Parallelen zu AD der

Linienzug I den zugehörigen Punkt J; die Abszisse von J ist die kleinste Armierungsziffer pe, mit welcher bei der Fläche Fh die verlangte Tragkraft P' (= P) erzielt werden kann, und die Differenz der Abszissen von H und J ist die dazugehörige Armierungsziffer ps der Umschnürung.

= 2'0 — gegeben;

Die größte ideelle Fläche F.g (bezw. die größte Tragkraft P’ = F.scsbd), die mit einer bestimmten Fläche Fb überhaupt durch Längsarmierung und Umschnürung erzielt werden kann, ist durch die zur Abszissenachse parallele Gerade F G — entsprechend

jedem Punkte derselben entsprechen wieder zwei zusammengehörige Werte von pe und ps. Der geringste Eisenaufwand bei größtmöglicher Tragkraft ist durch die dem Punkte F zukommenden Werte jpe = 2‘66 undps = 2'22 bestimmt; alle Punkte rechts von F erfordern eine größere Eisenmenge.

Da im allgemeinen der Einheitspreis der Umschnürungseisen ein höherer als jener der Längseisen ist, so entspricht dem Punkte F nicht das Minimum der Kosten; dieses wird vielmehr bei einem etwas weiter rechts gelegenen Punkte eintreten, dem eine etwas größere Gesamteisenmenge als pe -\-p's = 4⁻88 entspricht. Die genaue Ermittlung der wirtschaftlichsten Armierung hängt von dem Verhältnisse der Einheitspreise für die Längseisen und Quereinlagen ab.

Ähnliches gilt auch hinsichtlich der Punkte A bis F des Linienzuges II, welche dann in Frage kommen, wenn es sich bei dem gewählten Betonquerschnitte Fh nicht um die größte rechnungsmäßige Tragkraft, die durch Längs- und Spiralarmierung eines bestimmten Betonquerschnittes Fb erzielt werden kann, handelt.

Beispiel. Der im Beispiele 1, S. 175 behandelte quadratische, auf eine gewölbte Straßenbrücke aufgesetzte Pfeiler soll in umschnürtem Beton bei gleicher Betonfläche hergestellt werden.

Es ist P = 60000 kg, h = 43 cm, Fb = F= 42-5² = 1806 cm².

= 25 kg/cm² wird nach Gl. 169)

60000

= 2-19.

1806 . 25

Nimmt man nun pe so klein als zulässig, also pc — 0S an, so wird ps — 0*7; der Gesamteisenaufwand ist hier pe-\-ps — P5 gegenüber jenem bei einfacher Längsarmierung von p — 2-5, S. 175.

Die erforderliche Fläche der Längseisen ist

F' = 0-008.1806 cm² --= 14-45 cm² ;

wählt man abermals 8 Rundeisen, so benötigen dieselben nur einen Durchmesser von 1-6 cm ; die tatsächliche Fläche der Längseisen beträgt dann :

Fe = 8 . 2-01 = 16-08 cm².

Eine Probe ergibt als Tragkraft der so armierten Säule nach Formel 168«) P= (1 + 0-15 . 0-8 -f 0-3 . 0-7) 1806 . 25 = 60050 kg.

Mit Benützung der Figur 93 ergibt sich nach Gl. 170) :

60000

17 ~ 1806725 ~ 33 und hiefür bei Annahme von pe — 0⁻8, d. h. bei Verwendung des Strahles AD:

Pe + Ps —1,5>

somit ps = 0-7 ; hingegen ergibt der Linienzug I für den nur längsarmierten Pfeiler Pe — ²'⁵-

Um das Profil der Querarmierung zu bestimmen, muß noch der Durchmesser der Schraubenwindungen gewählt werden ; wird dieser mit 38 cm und die Höhe eines Schraubenganges mit ¹/s 38 = 7⁻6 cm angenommen, so ist die Länge einer Windung

38 -=119’4 cm und auf 1 cm der Säulenhöhe entfallen

119-4

7-6

= 15*7 cm Um-

schnürung.

*.=

Das ideelle, gleich schwere Längseisen hat nach obigem ps — 0*7, also eine Fläche

12-9

12-9 cm²-, die Umschnürung muß daher einen Querschnitt von -p-y =

0-7 . 1849

100

= 0-82 cm² besitzen ; dem entspricht ein Rundeisen von 1-1 cm Durchmesser mit f — 0'95 cm².

Da der Durchmesser des Betonkerns : (38 — 1*1 =) 36⁻9 cm, somit Fk = 1069 cm2 beträgt, so ist 1-8 Fk> F, d. h. die volle Anrechnung des Betonquerschnittes ist

42-5 — 36-9

2-8 cm² und ist somit

zulässig. Die Deckung « der Längseisen beträgt

größer als der für den Durchmesser der Längseisen von 1-6 cm bei Straßenbrücken zulässige Mindestwert von 2-5 cm.

5. Zentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton bei

— > 60 (Knickung).

Ergibt die im Unterabschnitte VI, 4 erläuterte Untersuchung des Verhältnisses— bei einem Druckgliede aus umschnürtem Beton — >>60, so ist gemäß den Vorschriften auf Knickung Rücksicht zu nehmen und zwar sind alsdann die für zentrischen Druck zulässigen Spannungen csbd durch Multiplikation mit 'der Abminde-. rungszahl

a = 1-72 —0-012 -T-zu verringern.

Es gelten demnach folgende Gleichungen für die Betondruckspannung abd und die zulässige Belastung P' eines Druckgliedes aus umschnürtem Beton im Falle der Knickung :

abd

= <P

iS

P< B =

a-FiS%d = ~Fich))

171)

oder mit der Einführung der Armierungsziffern pe und pg

P<[P’ = *(1 +0*15pe + 0-3Ą)P₆csJ . . .    171«).

Hinsichtlich der Berechnung von i aus F. und $}.A. gelten die gleichen Bemerkungen wie auf S. 185 und sei wiederholt darauf hingewiesen, daß im Falle 7^. >> 2’0 bei der Ermittlung von F. und %ik die entsprechend zu reduzierende Fläche der Längseisen zu benützen ist.

Auch hinsichtlich des Entwerfens solcher Druckglieder, bei denen Knickung in Frage kommt, kann auf die Bemerkungen auf S. 186 verwiesen werden; eine direkte Bestimmung der Querschnittsfläche Fh oder der Armierungsziffern pg und ps ist nicht möglich und muß das wirtschaftlichste Profil durch rechnerische Versuche ermittelt werden.

Handelt es sich um die Festsetzung der Armierungsziffern für eine zur Belastung ’P bereits gewählte Betonfläche, so dient hiezu folgende aus Gl. 171«) zu gewinnende Formel:

Pt + 2P=6-v[-^-i)

172).

Für pe und ps sind die auf S. 184 und 185 angegebenen Grenzen zu beachten. Auch das dort an Hand der Figur 93 gezeigte Ver-

fahren kann zur Bestimmung zweier zusammengehöriger Werte von pe und ps benützt werden, wenn man beachtet, daß aus Gl. 171«) unter Rücksicht auf Gl. 164«) folgt:

1 F,

Ordinate — =

173).

a Ffj csb

Beispiel: 1. Für die im Beispiele auf S. 181 behandelte Säule liegt ein Alternativprofil für umschnürten Beton vor und zwar sind im Querschnitte von 30 cm Durchmesser 6 Rundeisen von 11 cm Durchmesser angeordnet, die mit Spiralen einer den HY. § 5, Abs. 19 entsprechenden Ganghöhe von 5 cm und einer Drahtstärke von 0’8 cm umschnürt sind. Die Längseisen liegen mit ihrem Mittel 3 cm vom Rande. Genügt die Säule bei 6⁻0 m Höhe für 18000 kg Last ? (Mischungsverhältnis 350 kg/m³).

Es ist wie früher Fb = 706'9 cm², dann Fe—6. Dl²= 5-7 cm², wobei F₍

der unteren gestatteten Grenze pe — 0-8 entspricht. Die Länge einer Schraubenwindung (Durchmesser 30 — 2 . 3 -j- LI -)- 0-8 = 25-9 cm) ist l — 25-9 7i = 81 cm, die

0‘8² 7t

Fläche des Spiraleisens —-j-1 armierung ersetzenden Längseisens : F

Fb

0⁻5 cmi² und daher jene des ideellen, die Schrauben-0-5 . 81

8‘1 cm².

Die Abminderungszahl <x ergibt sich nach Tabelle Nr. 11, S. 178 für pe = 0⁻8 mit t — 0-254.30 = 7-6 cm und y = 79 zu a = 0'772 (Tabelle Nr. 12, S. 180).

Die zulässige Spannung ist laut Tabelle Nr. 13, S. 180: sbJc= 19'3 kg/cm², die auftretende ist rechnungsmäßig nach Gl. 171)

18000

706-9 + 15 . 5-7 + 30 . 8-1

Die Säule hat somit entsprechende Abmessungen. Der gesamte Eisenaufwand ist hier Fe -f- Fs = 13⁻8 cm², im Beispiele auf S. 181 hingegen wesentlich größer : 18⁻84 cm². *    F

Der Bedingung Fk > — ist entsprochen, so daß F= Fb = 706'9 cm² voll einge-1*0

17⁻4 kg lern².

setzt werden darf.

Beispiel 2. Die auf S. 182 besprochene Säule soll in umschnürtem Beton hergestellt werden, da der dort berechnete Eisenaufwand (Armierungsziffer p — 3-1) zu hoch erscheint.

Gegeben ist die Belastung P— 26500 kg, die Säulenhöhe 5-8 m und der Durchmesser 32 cm\ Mischungsverhältnis 470 kgjm³, also (für Hochbauten) csbd = 28 kg/cm². Nimmt man, wie an der bezeichneten Stelle, zunächst schätzungsweise die Armierungsziffer mit pe = 2-0 an, so ist wie früher ot = 0'88.

32^

Nach Gl. 173) wird also mit Fb=== F == —j-¹ = 804cm²

Fis

Fb

r=l + 0-16Ą + 0-3A =

26500

0-88 . 804 . 28

= 1-34.

Sucht man in Figur 93 den Punkt mit der Ordinate 1-34 auf dem Linienzuge II auf, so findet man, daß er auf der Teilstrecke A D liegt ; es ist also pe = 0-8 und damit

Ps-

1-34 — (1 + 0-15.0-8)

0-3

0-73.

Dieser Wert kann auch in Figur 93 abgelesen werden, da der Ordinate = 134 ein Wert pe -\-ps — 1'53 entspricht.

Hiernach könnten die Querschnitte der Längseisen und Spiralen bestimmt

werden.

Wie man sieht, ist die Armierungsziffer pe zu hoch geschätzt worden und würde infolgedessen auch eine geringere Armierung genügen. Der Wert cc wird aber durch eine Änderung von pg nur sehr wenig beeinflußt, so daß eine nochmalige

Fig

Berechnung von—und damit von ps entfallen kann.

804

pe und ps wird Fe — 0-8 .    = 6'4 cm² und

Mit obigen Werten von

Fs = 0'73 .    — 5⁻87 cm². Der ersteren Fläche entsprechen 6 Rundeisen von 1'2 cm

Stärke mit Fe = 6. 1-13 — 6 78 cm²-, wird für die Spiralen ein Durchmesser von 28 cm und eine Ganghöhe von 5-5 cm angenommen, so ist die Länge einer Windung 88 cm, daher der erforderliche Querschnitt der Spirale

5-87 . 5-5

88

= 0-37 cm².

Es wird ein Durchmesser von 0-8 cm mit /= 0⁻5 cm gewählt. Eine in ähnlicher Weise wie oben durchgeführte Kontrollrechnung ergibt bei den angenommenen Eiseneinlagen (mit c== 3-5 cm, Figur 86) abd = 23'1 kg/cm², a csbd = 25'3 kg/cm², also abd < a

Der gesamte Eisenaufwand ist hier

14-78 cm²

F. + F,-6-78 + ^ gegenüber 25-1 cm² bei der nur längsarmierten Säule.

F

Auch hier ist — wie im vorhergehenden Beispiel — Fk >

6. Knickfestigkeit der Eiseneinlagen.

In den amtlichen Vorschriften ist festgesetzt, in welcher Weise die Knickung bei Eiseneinlagen, welche auch für sich allein hinsichtlich ihres Knickwiderstandes zu untersuchen sind, berücksichtigt werden muß ; es sind alsdann die zulässigen Druckspannungen se des Eisens — einerlei ob es sich um Schweiß- oder Flußeisen handelt — auf den Wert sk nach folgenden Formeln abzumindern (HV. § 6, Abs. 4, BV\ § 6, Abs. 5):

a) Für Längenverhältnisse ~ == 10 bis 105 :

174)

. . 175).

sk = ae se = 0'816 — 0'003 —.

b) für Längenverhältnisse —— >* 105 :

Sk = (JLe se — 5580

sowie die betreffenden zulässigen Eisenspannungen sk für Hochbauten sind in der Tabelle Nr. 14 zusammengestellt.

Die Abminderungszahlen aê = ^-, deren reziproke Werte

se    ie

Tabelle Nr. 14.

Abiuinderungszahlen a,, deren reziproke Werte

Spannungen sk bei Hochbauten mit Rücksicht auf Knickung.

V-e

und zulässige Eisen-

ae

sk

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

0-786 0-771 0-756 0-741 0-726 0-711 0-696 0-681 0-666 0-651 0 636 0-621

1-572 1-610

747

733

704

675

647

633

604

590

70

75

80

85

90

95

0-531

1-692

1-783    !

1- 883

2- 369 2-584 2-801

100

110

115

120

125

0'422

0-387

0-357

ssslssf§fs

GO Oi <X> CO CO CO

Für Rundeisen vom Durchmesser D ist i = 0'2oB.

Ged '<Sk

Es lassen sich nun die Mindestentfernungen der Querverbindungen, also jene Längen L angeben, für welche die Eiseneinlagen die verlangte Sicherheit gegen Ausknicken aufweisen. Die bei voller Ausnützung des Betons im Eisen herrschende Spannung aed darf höchstens gleich der zulässigen Knickspannung sk sein, also

oder

V cSbd < rte Se,

woraus sich nach Einsetzen von aÉ aus Gl. 174) (für << 105 bezw.

i

c-^±)b.

se )

L ^ (68 — 1250

L •< 26‘25 B) ergibt:

Je nach den Mischungsverhältnissen 470, 350 oder 280 Jcg/m3 ergibt sich hiernach bei Hochbauten für Flußeisen L^33B, 37 D, 41 D.

Da diese Werte durch die für die Anwendbarkeit der Gl. 174) notwendige Voraussetzung L 26"25 D gedeckt erscheinen, werden für letztere bei voller Ausnützung des Betons Rundeiseneinlagen rechnungsmäßig Knickspannungen aufweisen, die innerhalb der zulässigen Grenzen liegen.

)> 105 bezw. L >> 26"25 D)

Wird hingegen afi aus Gl. 175) (für ^ in <3ed<v-e ae eingesetzt, so ergibt sich

Je nach den Mischungsverhältnissen 470, 350 oder 280 kg/m3 muß hiernach bei Hochbauten für Flußeisen

L < 28*7 7), 30-41), 32-4 7)

sein, damit bei voller Ausnützung des Betons in Rundeiseneinlagen die zulässigen Knickspannungen rechnungsmäßig nicht überschritten werden.

Bei Straßenbrücken ändern sich diese Werte etwas mit der betreffenden Spannweite l, da se mit l veränderlich ist. Hält man die kleinsten Werte von L fest (für 1 = 0), die sonach für alle Fälle genügen, so findet man bei den drei genannten Mischungsverhältnissen für Flußeisen ähnliche Werte wie oben; es muß nämlich unter der Voraussetzung L <( 16"28 I)

L < 29 7), 34 7), 38 I)

sein. Es gilt somit das für L << 26"25 D oben für Hochbauten Gesagte. Unter der Voraussetzung L >> 26"25 7) ergeben sich die Werte

L < 27-2 7), 29-0 7), 31-2 7),

für welche bei voller Ausnützung des Betons Rundeiseneinlagen rechnungsmäßig nicht überbeansprucht werden.

Die geringste Entfernung der Querverbindungen ist überdies in den Vorschriften (HV. § 5, Abs. 16, BV. § 5, Abs. 14) durch die Bestimmung begrenzt, daß Querverbindungen in Abständen höchstens gleich dem kleinsten, durch den Schwerpunkt des Querschnitts gezogenen Durchmesser des Tragwerksteiles anzuordnen sind. Hiernach wird im allgemeinen die Entfernung der Querverbindungen bei schwachen Profilen der Eiseneinlagen nach der Rücksicht auf Knickung, bei starken Profilen nach der letztgenannten Forderung der Vorschriften bemessen werden müssen.

7. Schub- und Haftspannungen.

Da bei nur parallel zur Längsachse zentrisch belasteten Verbundkörpern die Querkraft in allen Querschnitten gleich Null ist, treten hier zwischen den einzelnen Längsschichten keine Schubkräfte auf.

Hingegen werden auch hier Haftspannungen entstehen. Da nämlich eine direkte Übertragung der Kraft P meist nur auf den Beton und nicht auf das in demselben eingebettete Eisen

was praktisch auch kaum anders durchzuführen möglich

erfolgt

ist —, so kann letzteres seine Spannung nur vom Beton mittels Haftspannung übertragen erhalten. Hieraus folgt von selbst, daß

sich das Eisen nur nach und nach

Figur 95.

Figur 94.

Pbd

an der Aufnahme der Last P beteiligt. Im obersten Querschnitte °bd bei A (Figur 94) hat das Eisen noch keine Spannung und muß der Beton 'Obd den ganzen Druck P aufnehmen; seine Spannung ist daher

a"

bd

____

In einem tiefer liegenden Querschnitte BB' ist durch die Haftspannung bereits ein Teil von P auf das Eisen übertragen worden und der Beton hat nur mehr ^bd<C.^\d aufzunehmen. Erst im Querschnitte CC im Abstand X vom Säulenkopfe wird das Eisen rechnungsmäßig eine Spannung

Ged V abd

und der Beton eine solche von

°bd

F, +vP

b I    e

erleiden, also die gleichzeitige volle statische Wirkung beider Baustoffe erreicht sein. Die Spannungszunahme im Eisen und die Abnahme im Beton von A gegen C ist in Figur 95 unter der Annahme einer mittleren Haftspannung veranschaulicht.

*) Wegen dieser stärkeren Betonspannung empfiehlt sich die Anordnung einer Verbreiterung oder auch einer Umschnürung an den Köpfen von Druckgliedern; der erwähnte Umstand läßt auch die in mehreren Vorschriften über Eisenbeton enthaltene Festsetzung einer relativ geringeren zulässigen Spannung bezw. höheren Sicherheit für Druckglieder aus Eisenbeton als z. B. für die auf Biegung beanspruchten Tragwerke gerechtfertigt erscheinen.

Bei gegebener Form der Armierung läßt sich der Abstand X berechnen, in welchem unter Einhaltung der vorgeschriebenen mittleren Haftspannung th die volle mögliche Ausnützung des Eisens eintritt. Ist csid die zulässige Betondruckspannung, so ist der von der Fläche eines Längseisens /. aufgenommene Druck, welcher gleich der Haftkraft auf der Länge X sein muß: vcsbdfe. Beim Umfange u des Eisenprofiles wird demnach

v cs, , f =Xut,

bdJ e    h

und hieraus die notwendige Länge

/    CS7,^

>    Je bd

X = v-------

u th

Für kreisförmigen Querschnitt vom Durchmesser D wird

c s

—-, demnach mit v = 15. . .X = 3’75 -r^ D.

⁴    K

Die für die Übertragung der Druckkraft P vom Beton auf das Eisen notwendige Länge X wird demnach umso größer, je stärker das eingebettete Eisen ist, und beträgt für Rundeisen bei Ausnützung der Druck- und Haftspannung das 18- bis 19-fache des Durchmessers. Hieraus sowie aus der ferneren Erwägung, daß die gleichzeitige statische Wirkung von Eisen und Beton und damit eine gleichmäßige Kraftverteilung um so eher eintritt, je kleiner die Querschnittsfläche der einzelnen Eiseneinlagen ist, folgt, daß es im allgemeinen zweckmäßiger erscheint, mehrere schwächere als einzelne stärkere Eisenprofile anzuwenden. Das passendste Verhältnis wird aus praktischen Rücksichten folgern.

f, »

Figur 96.

il|p: I

JLi

vy

VII. Exzentrisch belastete Druckglieder.

1. Allgemeines.

Greift eine Druckkraft P parallel zur Längsachse eines Verbundkörpers derart an (Figur 96), daß ihr Angriffspunkt V nicht mit dem Schwerpunkte S der mehrgenannten ideellen Betonfläche zusammenfällt, so spricht man von einem exzentrischen Druck. Die Wirkung einer solchen exzentrischen Kraft P läßt sich bekanntlich auf jene einer zentrisch angreifenden Kraft P und eines Biegungsmomentes Pr — M zurückführen.

Das Spannungsbild in einem beliebigen Querschnitte wird dann aus jenem für den zentrischen Druck und jenem für die Biegung gütigen als algebraische Summe der Spannungen an gleichen Stellen gefunden. Dies gilt indessen uneingeschränkt nur für homogene Körper innerhalb der Proportionalitätsgrenze.

Bei den Verbundkörpern, bei welchen laut der Vorschriften der Zugwiderstand des Betons bei der Berechnung der Betondruckspannungen nicht in Betracht zu ziehen ist, ist das bezeichnete Verfahren der Spannungsermittlung im allgemeinen nicht zulässig.

Figur 97.

VA

CD

£=

r~r-r-

e.i.

0 o I ---------><-

«Pr-.

D

jÄ r ~ p " * AH L < r.

1.1É

B"

E=E=

Figur 98.

Es ist jedoch einleuchtend, daß dann, wenn im Querschnitte ausschließlich Druckspannungen herrschen, wenn also die Nullinie außerhalb des Profiles liegt, das erwähnte Verfahren der Summierung von Achsial- und Biegungsspannungen — unter stillschweigender Annahme der Giltigkeit des Hookeschen Gesetzes — auch für exzentrisch gedrückte Tragwerke aus Eisenbeton Anwendung finden kann. Liegt jedoch die Nullinie innerhalb des Querschnittes und treten demgemäß im Querschnitte Druck- und Zugspannungen auf, so ist das genannte Verfahren nicht anwendbar; der Körper ist nämlich dann nicht mehr als homogen aufzufassen, da die Formänderungszahl Ehd für die Druck-0 zone einen von Ebz für die Zugzone verschiedenen Wert besitzt, und muß in diesem Falle auf die Bedingungen des Gleichgewichts zwischen inneren und äußeren Kräften zurückgegriffen werden, um die Spannungen zu ermitteln.

Die Spannungsverteilung für den ersten Fall (Figur 97) ist in Figur 98 dargestellt, wobei S der ideelle Schwerpunkt, V der Angriffspunkt der Kraft P, VS die Exzentrizität r und 0 0' die Nullinie ist. Im Spannungsbilde werden die Spannungen, herrührend von der in S zentrisch wirkend gedachten Kraft P durch die Fläche (A JB B" A") und die vom Biegungsmomente M=Pr herrührenden Biegungsspannungen durch die Dreiecke A! A" S' (Druck) und B' B" S' (Zug) dargestellt. Bei der Berechnung der

letzteren ist stillschweigend —- und nur für diesen Fall — die Annahme gleicher Formänderungszahlen für Druck und Zug Ebd=Ebz zu machen, was zulässig ist, da es sich hier nur um fiktive Zugkräfte, die tatsächlich nicht auftreten, bezw. nur um eine rechnungsmäßige Verminderung von Druckkräften handelt.

Figur 99.

Im zweiten, oben genannten Falle (Figur 99) ist das Spannungsbild, da von der Zugwirkung des Betons abzusehen ist, das in Figur 100 gezeichnete ; dar- A nach sind hier die größte Betondruckspannung aba und die größte Zugspannung im Eisen cse zu berechnen.

Gemäß den amtlichen Vorschriften sind im allgemeinen die Betonzugspannungen bei den auf Biegung beanspruchten    ,P

„besonderen“ Hochbau- und bei Brückentragwerken rechnerisch nachzuweisen, D Hier aber, wo Betonzugspannungen überhaupt erst bei größeren Exzentrizitäten auftreten, wird dieser Nachweis immer unterbleiben dürfen, da durch die achsiale Druckspannung die vom Biegungsmoment herrührenden Betonzugspannungen wesentlich herabgemindert werden und daher selbst für die hinsichtlich der Betonzugspannungen ungünstigsten (|_, — oder -|- förmigen) Querschnittsformen die Grenzwerte sbz niemals erreicht werden.*)

CD

CD

-o

Nullime

k- —

N*'.

iB

Figur 100.

Figur 102.

*) Anders kann es sich bei zwei anderen Arten von zusammengesetzter Beanspruchung, bei denen auch wie im obigen Falle Biegungsmomente mit Normalkräften Zusammentreffen, verhalten. Es ist dies a) der Fall eines auf Biegung beanspruchten Körpers, auf den gleichzeitig eine Achsialkraft wirkt (Figur 101), und b) der Fall eines Rahmenteils, der durch ein- oder beidseitigen steifen Anschluß Einspannungsmomenten und gleichzeitig einer Längskraft ausgesetzt ist (Figur 102). Beidemale kann bei bedeutendem Überwiegen der Biegungsspannungen über die Normalspan-nicht von

Figur 101.

Pi

P₂

nungen vornherein sicher ab-

geschätzt werden, ob die auftretenden Betonzugspannungen unterhalb der zulässigen Grenze bleiben werden. Über die Berechnung der letzteren in diesen Fällen s. S. 206 ff.

"ZT

7T

Ob bei einer gegebenen Anordnung und Belastung eines Tragwerkes aus Eisenbeton der erste oder der zweite der obgenannten Fälle, welch letzterer eine umständlichere Berechnung erfordert, vorliegt, ist stets im vorhinein in einfacher Weise aus der Betrachtung der Lage von P gegenüber den sogenannten „Kernpunkten“ des Querschnittes (s. weiter unten) zu erkennen.

Bei allen Berechnungen von exzentrisch belasteten Druckgliedern gelten dieselben Bestimmungen, wie sie im Unterabschnitt VI, 2 hinsichtlich der zentrisch belasteten Druckglieder ihre Erläuterung fanden.

2. Exzentrisch belastete Druckglieder bei — < 60 (keine Knickung).

die Ermittlung von i —

Auch hier muß wie bei zentrisch belasteten Druckgliedern

~%k    L

bezw. — vorangehen. Das Trägheitsmoment S,-* (s. S. 174) ist von jenem Trägheitsmoment 3,- wohl zu unterscheiden, das zur Bestimmung des aus dem Biegungsmoment der exzentrisch angreifenden Kraft folgenden Spannungsanteils dient. Oftmals werden die Achsen, auf welche sich diese beiden Trägheitsmomente beziehen, aufeinander senkrecht stehen, wie beispielsweise in dem Falle eines rechteckigen Querschnittes, bei dem die Kraftlinie zur Längsseite parallel liegt.

Der Einfachheit halber wurde für die nachfolgende Untersuchung mit Rücksicht darauf, daß die exzentrisch belasteten Verbundkörper (Säulen, Stützen, Gewölbe) wohl meist mit symmetrischen Profilen ausgeführt werden, ein Querschnitt mit einer Symmetrieachse zu Grunde gelegt, mit der auch die Kraftlinie zusammenfallen soll (Figur 97).

Die Eiseneinlagen seien in beliebiger Weise symmetrisch zu AB angeordnet. Es wird ferner sogenannte „schlaffe“ Armierung (mit verhältnismäßig kleinen Profilen) vorausgesetzt, so daß das Trägheitsmoment der Eiseneinlagen, auf deren eigene Achse bezogen, als unwesentlich gegen das Trägheitsmoment des ganzen Profiles vernachlässigt werden kann.

a) Die Kraft P erzeuge nur Druckspannungen (Angriffspunkt V innerhalb der Kern weite)

(r < \ oder r<y.

Auf den Körper wirkt dann nach dem früheren gleichsam eine zentrische Kraft P und ein Biegungsmoment 31—Pr; die erstere

erzeugt eine gleichförmige Druckspannung P : Ft im ganzen Querschnitte, wenn die ideelle Fläche F{ = Fb -f- v (Fe -{- F'e) ist. Fe und F'e sind hiebei die Flächen der Eiseneinlagen zu beiden Seiten der Achse SS' (Figur 97). Das Moment M=Pr erzeugt hingegen Biegungsspannungen, die unter der Voraussetzung Ebd = Ebz zu ermitteln sind, so daß die Druckspannungen in A

Pr Co

°' = ^r

Pr ex

und die Zugspannungen in B

betragen, wenn ex und e₂ die Abstände der äußersten Betonschichten und & das Trägheitsmoment des ideellen Querschnittes, bezogen auf die zur Kraftlinie senkrechte, durch S gehende Achse SS' bezeichnen. Dieses Trägheitsmoment bezieht sich auf den vollen Betonquerschnitt und die lbfache Eisenfläche, also auf die ideelle Querschnittsfläche der HV. § 5, Absatz 8d und BV. § 5, Absatz 7 e. % ist von dem Jt bei der Berechnung der nur auf Biegung beanspruchten Tragwerke nach dem Verfahren A (siehe Abschnitt III) wohl zu unterscheiden, bei welch letzterem J{ nur die Betondruckfläche und die löfache Eisenfläche in Betracht kommen.

Die Druckspannungen in den äußersten Kanten sind dann

P r e₂ ]

in A

3,

in B

P Prex

. 176).

Die Berechnung der Eisenspannungen erscheint im allgemeinen überflüssig, da sie, wie schon bei den doppelt armierten Tragwerken erörtet wurde, nie bis zur zulässigen Grenze ausgenützt werden können; nur wenn allfällig Knickung der Eiseneinlagen in Betracht kommt, kann die Berechnung der Spannungen ae und o' im Eisen notwendig werden.

Dieselben ermitteln sich wie folgt:

Se —

177).

Der Grenzfall, für welchen das obige Berechnungsverfahren zulässig ist, ergibt sich aus der zweiten Gl. 176), wenn a'bd gleich Null wird. Dies tritt für eine bestimmte Lage von P, das heißt

für eine gewisse Exzentrizität r ein ; nennt man diesen Grenzwert von r. . . so ist

178).

Trägt man \ von S aus auf die Seite der Exzentrizität auf, so erhält man einen Punkt Klf welcher der Kernpunkt in bezug auf die Druckspannung in B genannt werden soll. So lange die Kraft P auf der von der Druckkante B abgewendeten Seite von S innerhalb der Strecke Kx S verbleibt, sind in B stets Druckspannungen; diese werden zu Null, wenn die Last P im Kernpunkte selbst angreift.

Es ist leicht einzusehen, daß es zwischen S und B einen zweiten Kernpunkt K₂ im Abstande

179)

3,

Fie2

gibt ; dieser bestimmt die Grenzlage des Angriffspunktes der Kraft P auf der Kraftlinie, bei welcher noch Druckspannungen in A auftreten.

Die Länge K₁ K₂ heißt die Kern weite und es ist nach dem

im ganzen Querschnitte

obigen klar, daß der besprochene Fall Druckspannungen — dann eintritt und damit das gekennzeichnete einfache Verfahren der Übereinanderlegung zweier Spannungszustände anzuwenden ist, wenn die Last zwischen den Kernpunkten Ä'j und K₂ angreift, wenn also r<kx oder r<C_k₂ ist.

Mit Hilfe der Kernpunktsentfernungen \ und k₂ vom ideellen Schwerpunkte S lassen sich die Betonspannungen abd und a’bd in den äußersten Kanten einfacher durch Einführung der sogenannten ,,Kernpunktsmomente“ ¹Mk und ²Mk ausdrücken. Man kann nämlich die Gl. 176) auch wie folgt schreiben:

³bd

Pe₂

3,

(r -j- li₂ )

Ü’i — r).

Nun ist P (r -f- h₂) = ²Mk das Moment der Last P in bezug auf den Kernpunkt K₂ und —P (h\ — r) — ¹Mk jenes in bezug auf den Kernpunkt Kx.

Man kann daher auch setzen :

3,

Sbd

e₂

a\d

3,

Die Spannungen abd und a'bd können also nach ähnlichen Formeln wie bei den bloß auf Biegung beanspruchten Verbund-körpern berechnet werden, wenn die äußeren Momente auf die Kernpunkte bezogen werden.

Die Kenntnis der Lage der Kernpunkte ist somit für die Beurteilung des Spannungszustandes einer exzentrisch belasteten Stütze wichtig. Die Lage der Kernpunkte wurde demgemäß für die am häufigsten vorkommenden Querschnittsformen und für verschiedene Armierungsziffern ermittelt und in die Tabelle Nr. 11 (S. 178) eingetragen.

Die entwickelten Formeln dienen zur Überprüfung eines vorliegenden Tragwerkes für einen bestimmten Belastungsfall. Soll das Druckglied genügen, so muß sich ald kleiner als die für exzentrischen Druck zulässige Druckspannung sbd (laut der Vorschriften so groß wie jene für Druck bei Biegung) bezw. die Belastung P gleich oder kleiner als die Tragkraft P' ergeben.

Es muß also sein

Pre₂ =

<si„i

181)

oder

P = Ftsbd

i²

**+<•*>■

181 a).

Unter i ist hiebei der zum Trägheitsmomente gehörige Trägheitshalbmesser zu verstehen.

Bei der Untersuchung eines exzentrisch belasteten Druckgliedes ist jedoch auch jene Bestimmung der Vorschriften (HV. § 6, Abs. 5, BV. § 6, Abs. 6) zu beachten, welche besagt, daß die Belastung solcher Druckglieder nicht größer angenommen werden darf, als die bei gedachter zentrischer Kraft Wirkung mit der zulässigen Beton Spannung für zentrischen Druck sich ergebende Tragkraft desselben Druckgliedes. Es muß demnach auch hier die Bedingung 157)

157)

' F<FiCsi>d

stets erfüllt werden.

Für das Entwerfen derart beanspruchter Tragwerksteile lassen sich keine Formeln aufstellen; man wird gegebenenfalls versuchsweise ein Profil annehmen und sodann prüfen müssen, ob die vorgeschriebenen Spannungen sbd eingehalten werden.

b) Die Kraft P erzeuge sowohl Druck- als auch Zugspannungen (Angriffspunkt F außerhalb der Kernweite)

(r^>kl oder r^>k₂).

In diesem Falle ist nach den Ausführungen auf S. 198 das unter a) erörterte Verfahren der Spannungsberechnung mittels der Gl. 176) bis 181) nicht mehr anwendbar.

Der alsdann einzuschlagende Weg soll zunächst an einem beliebig geformten Querschnitte (Figur 103), bezüglich dessen nur

Figur 103.

A Gbd

vorgeführt

rr.-;

CD

Symmetrie und weiter voraus-Figur 104. gesetzt wird, daß die Kraftlinie mit der Symmetrieachse oecj Zusammenfalle, werden.

0 0' sei die Nullinie ; in dem Teile oberhalb derselben entstehen im Beton und in den Eiseneinlagen Druckspannungen, unterhalb derselben Zugspannungen (Figur 104). Im Sinne der Vorschriften müssen nun die größten Betondruck- und Eisenzugspannungen unter der Annahme berechnet werden, daß der Beton keine Normalzugspannungen aufnimmt; das betreffende Verfahren soll in ähnlicher Weise wie bei den nur auf Biegung (ohne Achsialdruck) beanspruchten Tragwerken als Verfahren A bezeichnet werden.

Hingegen kann hier gemäß den Ausführungen auf S. 199 der Nachweis der größten Zugspannungen im Beton entfallen.

Zur Bestimmung von sbd, acz und agd sind zwei Gleichgewichtsbedingungen nötig ; die eine besagt, daß die äußere Kraft P gleich ist der algebraischen Summe der inneren Längskräfte, die andere, daß das Moment der äußeren Kraft (etwa auf O 0' bezogen) gleich ist der algebraischen Summe der Momente der inneren Kräfte.

Bezeichnen y die Breite einer Betonschichte in der Entfernung v von der Nullinie, cr^ deren Spannung, csbd die Spannung in der äußersten Schichte A, aez und aed die Spannungen der Eiseneinlagen auf der Zug- bezw. Druckseite, so lauten die beiden Bedingungsgleichungen :

AZ

TJ

.t.

CD

ęFez

|B

TP

A

ovydv-\-3ed Fed — aea Fez,

P (x — e) =javy v d v + agd Fed (x—a’) + aeM Fez (k — a — x)

Ersetzt man hierin a,, aed und agz durch die Ausdrücke

v (h — a — x)

x abd> ³ed -

die Gleichungen :

v (x — a')

abd

so erhält man

Px

°bd

Px

(x — g)

°bd

--jy v d v + v Fe d {x

o

X

-- j'yv²dv + vFed(x

o

— a’) — V Fez (h — a — x),

— a’)² -j- v Fe, (h — a — x)

Der rechte Teil der ersten Gleichung stellt das statische Moment der ideellen Querschnittsfläche (den Zugteil der Betonfläche nicht berücksichtigt), der rechte Teil der zweiten Gleichung das Trägheitsmoment derselben ideellen Querschnittsfläche, beide bezogen auf die Nullinie, vor. Bezeichnet man das erstere mit XS.} das letztere mit XJ., so nehmen die obigen Bedingungsgleichungen die Form an

Px—

Px

Gbd

XS.,

t⁷

(x — g) __

182)

Sbd

XJ

l

wobei XS. und XJ. Funktionen von x sind.

I    t

Hinsichtlich der Bedeutung und des Vorzeichens von x und g ist zu beachten, daß x die Entfernung der Nullinie bis zur Druckkante, die auf der Seite der Exzentrizität liegt, und g die Entfernung des Angriffspunktes V der Kraft P von derselben Druckkante ist. Die Größe g ist positiv, so lange die Kraft innerhalb des Querschnittes angreift, und negativ, wenn V außerhalb des Querschnittes fällt.

Aus dem obigen ergibt sich weiter

XS.

«

als Gleichung, aus der x berechnet werden kann.

Die Spannungen abd, aez und <sed finden sich sodann aus Px_P x (x — z)

Sbd

*s.

I

XJ.

t

v (h — a — x)

Sbd> }

aeil

v (x — a')

-x--***

Es ist zu bemerken, daß für die Tragkraft P' immer nur die zulässige Betondruckspannung shd maßgebend ist und die gleichzeitig auftretende Eisenzugspannung aeg immer weit unter der zulässigen Grenze sez bleibt, so daß der rechnerische Nachweis von aéz hier immer unterbleiben darf.

Dies hängt mit der Lage der Nullinie zusammen, deren Entfernung von den auf Zug beanspruchten Längseisen selbst bei sehr großer Exzentrizität verhältnismäßig gering ist. Auch das durch p = 0'8 nach unten eingeschränkte Ausmaß der Längsarmierung kommt einem niedrigen Werte von crf_ zugute.*)

Die Bedingung 157) S. 203 ist hier, wo der Lastangriff außerhalb des Kernes erfolgt und infolge des durch die Vorschriften festgelegten Verhältnisses der zulässigen Betonspannungen bei exzentrischem und bei zentrischem Druck von vorneherein immer erfüllt.

*) Es möge hier in Kürze der Vorgang zur Bestimmung der Betonzugspannungen aljZ dargelegt werden, deren Untersuchung in den auf S. 199 besprochenen Fällen des gleichzeitigen Einwirkens von Achsialkräften und Biegungsmomenten notwendig werden kann.

Auf ähnlichem Wege wie oben (S. 204) lassen sich unter Bezug auf Figur 103 zwei Gleichgewichtsbedingungen ableiten; bezeichnet nunmehr xL die Ordinate der Nullinie und a^die Betonzugspannung in einer Schichte von der Breite y im Abstande u von der Nullinie, so ist in der obigen Gleichung für P (S. 205) auf der rechten h — x.

h — xL

Seite noch das Glied —

j auz y du und in jener für P (x — z) das Glied j augyudu hin-

zuzufügen. Mit auz — (a . — . afbd ergeben sich dann schließlich die Bedingungs-

xi

gleichungen :

Pxx

l'bd

PXy (Xi — Z)

a'bd

xv    h — xL

= I yv do — fi j yu du -{- v Fed(x!

O

#1    tl ~~~ X^

— \    do -\- y.jyu² du-\-'j Fed(x₁

— a') — v Fez (/< — « — xx),

Xi)

Der rechte Teil der ersten Gleichung stellt das statische Moment xiSi der ideellen Querschnittsfläche mit Berücksichtigung des Zugteiles der Betonfläche, der

Spezieller Fall.

Der einfachste Sonderfall ist der rechteckige Querschnitt (Figur 105). Mit den Bezeichnungen dieser Figur wird

-^b x² -J- v F’e (x — a') — v Fe (h — a — x),

4 b x³ 4- v F' (x — a')² 4- v F (h — a

O    •    e    e

Figur 106.

*s.=

l

— x)².

Figur 105.

JL

©Fe

co

"T

t.

01

©Fe

1. o’

-C

-JL..

JL.

b.

.„.b

CO Y

T

Nach Einsetzen von XS. und XJ. in Gl. 183) ergibt sich für x die kubische Gleichung

--i- b x³ + y b s x² -f- v [Fe (a -}- z — h) -j- F'e (z — a)] x =

= V [Fe (h — a) (a-z — h) -f- F'e a' (x — a')]

Ist der Querschnitt symmetrisch armiert, also Fg — F'} ferner a = a' (Figur 106), so lautet die Bedingungsgleichung für x

b x³    b z x²

6 v F    2 v F

e    e

rechte Teil der zweiten Gleichung das Trägheitsmoment xtJi derselben Fläche, beide bezogen auf die Nullinie, dar. Obige Gleichungen nehmen hiernach die Form an

Px1 ‘ 'bä

P Xi (x-i — Ź)

Q'bd

Die Formel zur Berechnung von Xi lautet :

XlJi

Xi — Z —-TT ....

X.S£

Die gesuchte Betonzugspannung 3bz ergibt sich aus

IxP(h-Xj)

Für rechteckige, symmetrisch armierte Querschnitte (Figur 106) ergeben sich : x‘Si = \bx\-V.\{h-xiy + , Fe (2 Xi-h),

x'Ji = y^₁³+4(/t- ^)³ + v F₍ [(Xi - «)² + (A - « - XiY].

. . .185).

■j- (h— 2 z) x = 2 a²-\-h²— h(2a-\-z)    . . . .186).

X'F

182a).

183 a).

181a).

Diese Gleichung ist am einfachsten versuchsweise aufzulösen.

Für andere Querschnitte z. B. T förmige, kreisförmige, polygonale u. s. w. empfiehlt sich zur Bestimmung der Nullinie ein Verfahren, das auf der bekannten zeichnerischen Darstellung der statischen Momente und Trägheitsmomente ebener Flächen beruht (Figur 107 und 108).

Man teilt den Querschnitt senkrecht zur Symmetrieachse in Lamellen, denke in den Schwerpunkten derselben die Flächen

Figur 108.

Figur 107.

t.

Ï-) :

Ai

J 4ł

oj.rrtt

m—:rzf:

---

n-----

-e-

fi

Ą, \

o\ \Nullinie'fiir reine Bieguncj_

\ \

_______Kurve

IT1i

"Ï

\i=/

->-7*

D,

lDi

.....l

32

j_,4,5, 6

n:

y...

>1____Ï ¹

dieser Lamellen als Kräfte senkrecht zur Symmetrieachse angreifend und konstruiere hiezu mit einer beliebigen Poldistanz H zwei Seilpolygone, deren erste Seite parallel zur Symmetrieachse liegt, indem man einmal von A, das zweitemal von JB ausgeht. Die Eisenflächen sind hiebei rąit dem v fachen Betrage einzuführen. Auf der Zugseite für eine von vornherein beliebig angenommene Nullinie mn sind die Betonflächen nicht zu berücksichtigen.

Die beiden Seilpolygone mögen sich im Punkte C schneiden; dieser Punkt entspricht dem ideellen Schwerpunkt der Fläche, die durch m n in eine Zug- und Druckzone geteilt ist.*) Die Seilpolygone schließen mit der Geraden A₁ die Fläche (1 G 8) oin. Für den Schnitt mn gilt nun bekanntlich folgendes:

*) Wäre mn die Nullinie für reine Biegung, so müßte C auf mn liegen.

Das statische Moment des über mn liegenden Querschnittteiles bezogen auf die Achse mn ist gegeben durch 1)F . H, jenes des unterhalb mn liegenden Teiles (v-fache Eiseneinlagen ohne Betonflächen) durch DE. E, und folglich das statische Moment Su des ganzen Profiles durch

Su = EF.H.

Ferner ist das Trägheitsmoment des genannten oberen Querschnitteiles, auf die Achse mn bezogen, gleich

area (1 -FD) .2H,

jenes des unteren Teiles gleich

area (8 ED) . 2 H,

und daher das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes Ju = area (1 CFE 8 1 ) . 2H.

Ju

Man bilde nun nach Gl. 18B) den Quotienten 2 area (1 CFE 8 1)

Su

EF

und trage diese Strecke von D aus auf der Schnittlinie mn auf, wodurch man einen Punkt B' erhält. Wiederholt man dies für mehrere andere Achsen mxnx u. s. w., denen immer wieder wegen der Verschiebung der Betonzuggrenze neue Paare von Seilpolygonen entsprechen, so bekommt man Punkte B\ u. s. w., welche die ,,(x — ^)-Kurve“ für verschiedene Lagen des Kraftangriffspunktes V unter der Voraussetzung geben, daß jeweilig der Beton zwischen B und dem betreffenden Schnitte mn, mx nx . . . keine Zugspannung aufnimmt. Zieht man sodann durch Vlf welcher Punkt dem Angriffspunkte V der Last P entspricht, eine Gerade unter 45° gegen Ax Bx und schneidet diese die erwähnte Kurve in G', so bestimmt dieser Punkt die gesuchte Nullinie im Abstande x von A ; denn für denselben ist offenbar

xJi

Cr C =-= X — 2.

Die Spannungen können sodann mit Hilfe der Gl. 184) ermittelt werden.

Da dem Angriffspunkt im Unendlichen die Nullinie durch S für reine Biegung und dem Angriffspunkt S die Nullinie im Unendlichen entspricht, müssen die Nullinie durch S und der in Sx unter 45° gegen A₁B₁ gezogene Strahl Asymptoten zur ,,{x — z)-Kurve“ sein.

Will man die vorliegende Aufgabe rechnerisch lösen, so empfiehlt es sich, unter Zuhilfenahme der Nullinie für reine Biegung und des Kernpunktes K auf Seite des Lastangriffes schätzungsweise eine Nullinie w\ny so zu wählen, daß sie möglichst dem Angriffspunkt V entspricht. Für diese Nullinie ist dann mit Hilfe der Gl. 183) der tatsächlich entsprechende Angriffspunkt W im Abstande (xt—festzulegen, sodann versuchsweise durch Gabelbildung die dem gegebenen Angriffspunkt V entsprechende Nullinie mn zu bestimmen. Eine höchstens 2 bis 3-malige Anwendung der Gl. 183) wird zu dem für die Praxis erforderlichen Ziele führen, da ja eine besonders genaue Bestimmung dieser Nullinie nicht erforderlich ist.

Bei der Überprüfung von exzentrisch belasteten Tragwerken, bei denen im Querschnitte Druck- und Zugspannungen entstehen, ist nun nachzusehen, ob der so berechnete Wert ahd die gestattete Grenze sbd oder ob P die Tragkraft P' nicht überschreitet, wobei für P' aus Gl. 184) (bei abd = sbd) zu setzen ist

P¹

187).

Die auf S. 203 erwähnte Bestimmung der Vorschriften hinsichtlich des Grenzwertes der Tragfähigkeit exzentrisch beanspruchter Druckglieder, das heißt die Bedingung P<^F.esbd gilt auch hier. Doch wird dieselbe nicht in Frage kommen, da jene Grenzexzentrizität, unterhalb welcher das Druckglied für die Berechnung der Tragkraft als zentrisch belastet anzusehen ist, immer in die Kernweite fällt, so daß hiefür der Fall a) vorliegt.

Hinsichtlich des Entwerfens gilt das für Fall a) auf S. 203

Gesagte.

> 60 (Knickung).

3. Exzentrisch belastete Druckglieder bei

Es sollen auch hier wie im Unterabschnitte VII, 2 die beiden Fälle a) und h) unterschieden werden.

a) Die Kraft P erzeuge nur Druckspannungen (r << A\ oder r <ik₂).

Der ganze, auf S. 200 bis 203 für den Fall, daß Knickung nicht in Frage kommt, dargelegte Berechnungsvorgang gilt auch hier und sind die Spannungen nach Gl. 176) oder 180) zu er-

Lediglich die zulässigen Beton Spannung en werden andere und sind hiefür die betreffenden Bestimmungen der Vorschriften (HV. § 6, Abs. 4, BV. § 6, Abs. 5) maßgebend. Hiernach gelten in diesem Falle als zulässige Spannungen die für exzentrischen Druck zulässigen Beton druck-

mittein.

a

Spannungen, vermindert um die - fache, einer ge-

a

dachten zentrischen Belastung entsprechende Druckspannung.

Es tritt sonach an die Stelle von sbd in Gl. 181)

k'⁹bd-⁹bä

1 —a P

a ' ~F.

l

und die Bedingung, daß ein vorliegendes Profil den Vorschriften entspricht, lautet

P . PreA —

1—a P

3,-

<C Sbd

' F.

. . 188).

Sonach ergibt sich die Tragkraft P' eines exzentrisch belasteten Druckgliedes im Falle der Knickung für a d = sbd mit

ai²

F    ae₂ r

f' = ?Ar

189).

Die Spannung sbd bezieht sich auf jenen Punkt des Querschnittes, in welchem die größte Druckspannung aus der exzentrischen Belastung abd mit dem Knickspannungs Zuschlag

P PI — a P    „

zusammentrmt.

Die mehrfach erwähnte Bedingung 157) für die Grenze der Tragfähigkeit gilt auch hier und nimmt nur wegen der Rücksicht auf Knickung die Form an:

P< aF.cshd

a muß unabhängig von der Lage der Kraftebene wieder für das kleinste äquatoriale Trägheitsmoment $ik ermittelt werden.

Beispiel: In einem Gebäude soll die in den Figuren 109 und 110 dargestellte Stütze zentrisch mit 32000 kg, überdies aber bei Belastung des rechten Deckenfeldes durch 10000 leg exzentrisch mit einem Hebelarm von 20 cm belastet werden (Mischungsverhältnis 350 kg/m³). Genügt die Stütze?

F

Die Bedingung Fk >- — ist erfüllt, so daß Finit dem vollen Werte in Rechnung gestellt werden darf.

. 190).

Die beiden Lasten können durch eine einzige Kraft P— 42000 kg ersetzt werden, 10000 . 20

die in der Entfernung r

42000

4’76 cm von der Achse wirkt. Zunächst ist

zu untersuchen, ob P innerhalb der Kernweite liegt. Da hier c = 0-1 h ist, kann Tabelle

8.3-8. 100

Ï6ÔÔ

hierfür gibt die Tabelle Nr. 11: fc = 0⁻183 . 40 = 7⁻3 cm. Da also r < k ist, so liegt Fall a) vor, im Querschnitte treten nur Druckspannungen auf. Daß Knicken in

Betracht kommt, ersieht man aus dem Werte U

Nr. 11 (S. 178) benützt werden. Die Armierungsziffer ist p

1-9,

Aus Tabelle Nr. 11 ergibt sich

nämlich i — 0‘303 . 40 = 12-1 cm, somit — = a = 0-93 (s. Tabelle Nr. 12, S. 180). Mit den Werten ^=40.40-1-15.8.3-8 = 2056 cm², ^. = ^40 ⁴-)- 15 . 6 . 3*8 . 16²= 300880 cm⁴, e = 20 cm ergibt sich nach Gl. 188): 42000.4-76 . 20

800

12-1

66-1 >60; das entsprechende

°bd —

42000

300880

2056

1 — 0 93    42000

(h93    2056

der Säule für die gegebene Belastung aus.

= 20 4 -f- 13'3 = 33'7 lcgjcm², ferner ksbd — 37 —

35⁻5 Jcg/cm². Da somit sbd <.ksbd ist, so reichen die Abmessungen

Figur 109.

Ein anderer Weg wäre die Ermittlung der Tragkraft P'

0-93 . 12T²

nach Gl. 189). Man findet P' == 2056.37.

CT)

CD

CD

10000 kg

12-1²-)-0-93.20.4-76 = 44090^, somit größer als die vorhandene Kraft P=42000 kg. Ferner zeigt die Auswertung der Gl. 190), daß auch

P(= 42000 kg) <Z (0'93.2056.25 =) 47800 kg und somit auch der Bedingung gemäß Gl. 190) entsprochen ist.

te

b) D i e K r a f t P e r z e u g e s o w o li 1 Druck-a 1 s auch Zugspannungen.

(r >> \ oder r >> h₂).

In diesem Falle bleibt der gleiche Rech

8 00m

nungsvorgang wie für den Fall 2 b (S. 204 bis 210), bei dem keine Rücksicht auf Knickung zu nehmen war, aufrecht und ist zur Berech-

Figur 110.

nung der Spannungen nach Gl. 182) bis 187) vorzugehen. ^

L e di glich die zuläs-% sigen BetonSpannungen werden andere, und zwar gelten bezüglich derselben die gleichen Bemerkungen wie im vorhergehenden Unterabschnitte VII, 3 a. Die aus Gl. 184) ermittelte größte Randspannung obd darf nicht größer werden als die zulässige Spannung ksbd, also

ZZ mm

........i

d <C Sb d

i...

r<-

40 cm.

191).

Bei abd = sbd ergibt sich für die Tragkraft aus Gl. 184) und

Gl. 191) der Ausdruck

P' =

191 a).

x -j-

Figur 111.

Hinsichtlich der Grenzbedingung 190), S. 211 gilt das für Fall 2b) auf S. 206 über Bedingung 157) Gesagte.

Die Überprüfung eines liegenden Tragwerkes muß hiernach S mittels der Gl. 184) und 191) geschehen; das Entwerfen derartiger Druckglieder kann hingegen nur auf dem Wege versuchsweiser Annahme der Abmessungen und rechnerischer Nachprüfung erfolgen.

Beispiel: In einem Gebäude wird eine 7⁻0 m hohe Stütze von dem in Figur 111 dargestellten Querschnitte im Punkte V im Abstande 15 cm vom ideellen Schwerpunkte exzentrisch mit P= 28000 kg belastet (Mischungsverhältnis 470 kg/m³). Genügt die Stütze ?

F

Wegen Fk > — ist die volle Anrechnung des Betonquerschnittes F zulässig.

Zunächst ist zu untersuchen, ob Fall a) oder b) vorliegt. Die Größen k und i können hier nicht aus der Tabelle Nr. 11 (S. 178) entnommen werden, da

3,

mit

vor-

X-4Î.3

50 cm

c = 3’5 cm, also nicht gleich 0-1 h — 5 cm ist. Nach G). 178) ist k=—~\

F£ = 30.50 + G .15.4-91 = 1942 cm², % = -pi 30.50³ + 6.15.4-91.2P5² = 516770 cm*

und e — 25 cm wird k — 10-6 cm < r (= 15 cm). Es liegt somit Fall b) vor, im Querschnitte treten sowohl Druck- als Zugspannungen auf. Man hat also zur Berech

nung von x die Gl. 186) anzuwenden ; mit v Fe = 15.3.4-91 == 220-95 cm², z = 10 cm,

30 x³

a = 3‘5 cm, b — 30 cm, h — 50 cm ergibt sich

30.10 . x³

6 . 220-95

f (50 —20)a: =

2.220-95

= 2.3-5² 4-50² — 50 (2.3-5 + 10), oder x³ — 30x² -f- 1326a: — 73-996 = 0. folgt x = 4P3 cm und somit =    30 . 413² + 220-95 (37-8² — 5-2²) = 32790 cm³.

Nun ist nachzusehen, ob überdies Knickung in Betracht kommt. Es ist (auf die Achse m n bezogen) :

Hiei-aus

%-k = ~ 50.30³ + 4.15.4-91.ll-5² = 151500 cm⁴,

daheri=

V^rV

151500

1942

8-83 cm, ^2 = I^L — 79-3 ;> 60 ; es liegt somit i 8*83

nicht Fall 2 b), sondern Fall 3 b) vor. Aus Tabelle 12, S. 180 folgt: oc = 0‘768. Nun wird nach Gl. 191 a)

P' =

32790 . 42

29700 kg.

1 — 0-768    32790

0-768    ‘ 1942

Da P (= 28000 kg) < P' (= 29700 &^) ist, so entsprechen die Abmessungen der Säule der gegebenen Belastung.

4. Exzentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton

bei

< 60 (keine Knickung).

Die Berechnung von exzentrisch belasteten Druckgliedern aus umschnürtem Beton unterscheidet sich nicht wesentlich von jener der exzentrisch belasteten Druckglieder, in welchen nur Längseisen (ohne Umschnürung) angeordnet sind; es sind nur überdies die auf umschnürten Beton bezüglichen Bestimmungen der Vorschriften im Auge zu behalten.

a) Die Kraft P erzeuge nur Druckspannungen (r < ksl oder r < kn ).

Die schraubenförmigen Einlagen sind zur Ermittlung der vom Biegungsmomente herrührenden Spannungen nicht zu berücksichtigen, das heißt, es ist nur zur Bestimmung des Spannungsanteils, der aus dem zentrischen Druck folgt, die ideelle Fläche Fis (S. 183 ff.) einzuführen, wobei alle ebendaselbst gemachten Bemerkungen hinsichtlich der Armierungsziffern pe und p^ sowie deren Grenzwerte, endlich hinsichtlich der Größen cp und <j, vollinhaltlich gelten.

Zur Bestimmung der Spannungen sind die Gl. 176) und 177) anzuwenden, wobei jedoch noch folgendes zu bemerken ist: Die ideelle Fläche F. in Gl. 176) ist nach obigem durch F.s zu ersetzen, da hier die Umschnürung in der vorgeschriebenen Weise zu berücksichtigen ist. Das zweite Glied der Gl. 176), das die vom Momente 31= Pr herrührenden Biegungsspannungen darstellt, bleibt hingegen nach obigem unverändert.

Für umschnürte Druckglieder gilt demnach im vorliegenden

Falle :

ai>d~F. +

192).

IS

P P r el

°b(l

is

In 3« kommen nach dem früheren nur die tatsächlich vorhandenen, allfällig (bei p > 2‘0) entsprechend zu verringernden Längseisen vor.

Man kann auch für umschnürte Druckglieder in ähnlicher Weise, wie es S. 202 gezeigt wurde, die Kernmomente benützen ;

is

worin nach Gl. 167) cp — jr- ist.

Hinsichtlich der Grenzen von cp sowie von <1; = gelten die

is

die Kernpunkte weichen hier in ihrer Bedeutung von der allgemein üblichen etwas ab, da ihre Abstände

3,

«1

193)

e2

aus zweierlei ideellen Querschnitten ermittelt werden. Die Spannungen sind

abd

SMt «2

3, ’

194).

3,

Druckspannungen treten im Querschnitte wieder nur dann auf, wenn der Angriffspunkt V der Kraft P innerhalb der Kernweite liegt, also r <C hsi oder r << JcS2 ist.

Bei der Überprüfung eines vorliegenden umschnürten Druckgliedes kann man entweder abd berechnen und es mit dem für exzentrischen Druck zulässigen Wert sbiJ vergleichen, wobei sein muß

F

IS

Pr e₉ \ _

<s“

195),

oder man vergleicht P mit der Tragkraft P, für welche sich nach Gl. 195) bei abi/ — sbd ergibt

P' = F

is

Sbd

cp i

yi ² -j- e₂r

196),

Bemerkungen von S. 184 und 185.

Die Last Pist auch hier an die in den Vorschriften bestimmten Grenzen (s. S. 203) gebunden, und es muß somit die für zentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton gütige Bedingung

auch bei exzentrischem Druck erfüllt werden.

b) Die Kraft P erzeuge sowohl Druck- als auch Zugspannungen

(r > Jcn oder r > p₂)-

Bei derartig beanspruchten Tragwerken kommt die Umschnürung zur Bestimmung der Spannungen abd überhaupt nicht in Betracht, weil sich der Spannungsanteil, der aus dem zentrischen Druck folgt, nicht von der Gesamtspannung abd abtrennen läßt und daher auch die Zuweisung von zwei verschiedenen ideellen Querschnittsflächen Fund F. für zentrischen Druck und für das Exzentrizitätsmoment, wie dies im Unterabschnitte VII, 4 a durchgeführt wurde, nicht möglich ist. Es sind daher direkt die Gl. 183), 184) und 187) anzuwenden, wobei aVd mit der zulässigen Spannung shd für exzentrischen Druck zu vergleichen ist. Die Nichtberücksichtigung der Umschnürung erscheint hier auch inso-ferne gerechtfertigt, als der Spannungsanteil infolge des Biegungsmomentes im Falle b) immer überwiegt.

Der Grenzwert nach Gl. 168) kommt hier ebenso wie im Falle 2 b) nicht in Betracht (s. S. 210).

5. Exzentrisch belastete Druckglieder aus umschnürtem Beton bei > 60 (Knickung).

i

Die Berechnungsweise unterscheidet sich nicht wesentlich von jener für Druckglieder aus Eisenbeton ohne Umschnürung (Unterabschnitt VII, 3) und kann auf die Bemerkungen S. 211 betreffs der hier gütigen zulässigen Spannungen verwiesen werden.

a) Die Kraft P erzeuge nur Druckspannungen (r < kSi oder r < JcS2).

Es ist der gleiche Vorgang, wie im Unterabschnitte VII, 4 a gezeigt wurde, einzuschlagen ; an die Stelle der zulässigen Spannung sbd in Dl. 195) tritt jedoch

1 - a P a * F. ’

IS

wornach die Bedingung, daß ein vorliegendes Druckglied den Vorschriften entspricht, lautet

k'Sbd = Sbd

³bd

P . PreĄ % )

< Sbd

. . 197);

hieraus ergibt sieh für abd — ks'bd die Tragkraft

P’=FisSbd

a cp i²

cp i² -}- a e₂r

Die mehrerwähnte Grenzbedingung für die Tragkraft eines exzentrisch beanspruchten Druckgliedes ist auch hier zu beachten und lautet, da in Gl. 190) F. durch F.g zu ersetzen ist,

199).

b) Die Kraft F erzeuge sowohl Druck- als auch

Zugspannungen

(r>lsi oder r>ÄS2).

Figur 112.

Für diesen Fall kommt in ähnlicher Weise wie im Unterabschnitte VII, 4 b die Umschnürung zur Bestimmung der Spannungen abd nicht in Betracht; es sind zur Ermittlung der Nullinie und der Betonspannung Gbd die Gl. 183) und 184) zu verwenden. Die zulässige Betonspannung ks’bd ist die oben unter 5 a) angegebene. Die lo Tragkraft P’ ergibt sich somit für a/td = ks'bd aus Gl. 184)—analog zu Gl. 191a) — mit

xS<*>ä

1 —a    . . . 200).

x~r    F

l S

'W,

Die Grenzbedingung 199) kommt — s. hierüber Fall 4 b), S. 216 — nicht in Betracht.

45 cm

Beispiel. In einem Gebäude ist die in Figur 112 dargestellte Säule von 8⁻0 m Höhe aus umschnürtem Beton in V exzentrisch im Abstande r — 5 cm vom Mittelpunkte mit 49000 kg belastet Mischungsverhältnis 470 kg Im³. Genügt die Säule?

Die Untersuchung soll hier in der Art geführt werden, daß die Tragkraft P' nach den betreffenden Formeln der auf S. 219 folgenden Tabelle Nr. 15 berechnet und mit der wirklichen Last P verglichen wird.

Im vorliegenden Falle ist :

L = 800 cm, r — 5 cm, Fb

45². TT

1590G cm³.

wobei die Länge einer Schraubenwindung (Durchmesser 39-1 cm) gleich 39-1 . r =

= 122'8 cm ist. Da hier pg —

4-31 > 2‘0, darf nach Gl. 156) nur p' =

Da Fj. > j-g-, so ist die volle Anrechnung des Betonquerschnittes F zulässig.

Fe = 8.— r' e    4

0-8² -

68-4 cm²,

Fs

122-8

12 35 cm²,

68-4.100

1590-4

2-77 . 1590-4

= 1-33 + 0-33.4-31 = 2-77 und F'e nung gestellt werden.

Nach Gl. 164) ff. beträgt

F'is= 1590-4 + 15.44-05 + 30.12-35 = 2622 cm², F'i = 1590-4 -(- 15.44’05 = 2251 cm².

Die Verhältniszahlen cp und <b sind:

100

= 44-05 cm² (statt Fe) in Rech-

F'i

Fh

F'

iS

F'is

0-608;

die betreffenden Grenzen cp > 0⁻67 und > 0‘5 (S. 184) sind also eingehalten.

Weiter berechnet sich nach der Tabelle Nr. 11 (S. 178) genügend genau

i = 0-26.45 = 11*7 cm, i² = 136"9 cm², ^    = 68*4 und nach Tabelle Nr. 12, S. 180:

a == 0‘90. Da

^ > 60 und nach Tabelle Nr. 11 für pg = 4*3, kÿ = ks = 0‘135.45 = == 6'1 cm ist, so liegt der Fall Nr. VII, 5 a der Tabelle Nr. 15 (S. 219) vor.

Die Tragkraft wird daher (mit sbd = 42 kg/cm²)

F = 2622 . 42 .

0-9 . 0*858.136-9

0-858 . 136-9 + 0-9.22-5.5

=L 53200 kg.

Da nun (mit csbd = 28 kgjcm²)

a Fig % d = 0-9.2622.28 = 66100 kg

wird, so bleibt die wirkliche Last (49000 kg) unter diesen beiden Grenzwerten, weshalb die Säule den Vorschriften genügt.

6. Schlußbemerkungen.

Bei exzentrisch belasteten Druckgliedern genügt selbstverständlich stets die Untersuchung derjenigen Betondruckspannung, welche an dem, auf der Seite der Exzentrizität gelegenen Rande auftritt (abd). Die Knickfestigkeit der Längseisen ist im Sinne des Unterabschnittes VI, 6 auch bei exzentrisch belasteten Druckgliedern zu untersuchen.

Hinsichtlich der Schub- und Haftspannungen gilt das auf

S. 196 und 197 für zentrisch belastete Säulen Gesagte.

Tabelle Nr. 15.

Formeln für die zulässige Belastung JE* zentrisch oder exzentrisch beanspruchter Druckglieder ans Eisenbeton.

Ab

schnitt

Be-

lastungsart

Armierung

Spannungsverteilung-

im

Querschnitt

Zulässige Beiast ung P < Tragkraft P'

Erläuterung s. Seite

VI, 2

VI, 3

VI, 4

VI, 5

zentrischer Druck

Längs- | Längseisen eisen**) mit j mit Querverbinschnürung | düngen

< 60.

> 60.

< 60.

Um-

> 60.

nur Druck

P <F£Csb cl

P<* Fichd

P<(FisCscd

174

177

183

191

VII, 2 a

VII,2b

VII, 3

iP

VII,3b

Längseisen mit Querverbindungen

< 60.

> 60.

nur Druck (r < kx oder r < k₂)

sowohl Druck als Zug (r > oder r > k₂)

nur Druck (r < k! oder r < &₂)

sowohl Druck als Zug (r > ki oder r > k₂)

p<pihd‘

p<FiC(,bd

e-

1² + «2 r

= xÿiabd

P<

P<Fisbd-

a ^²

ï² -)- a e₂ r

P < * Fi cshfl

P<

*⁸i*bi

1 — a xSj ⁵    ’ Fi

200

204

210

212

VII,4a

■s

•Sh

Jh

VII,4b

VII,5a

VII, 5 b

Längseisen mit Umschnürung**)

< 60.

> 60.

nur Druck (/• < fcS[ oder r <    )

sowohl Druck als Zug (r > ks> oder r > k )

nur Druck (r < ä:S[ oder r <

sowohl Druck als Zug (r > ks( oder r > ks )

P<FisCsbd•

cpi²

cp t² 4- e₂ r

==*$

P<Fis sbd

a cp ?.²

y i² a e₂ r

1 — « *St. 'Ws

214

216

216

217

*) Für exzentrischen Druck ist bei Angabe zweier Grenzwerte von P der kleinere maßgebend.

Fi

**) Bei allen Druckgliedern aus umschnürtem Beton darf cp = —-nur> 0’67

^is

Fb

und d> = —- nur > 0*5 in Rechnung gestellt werden.

Fi

Wenn die Eiseneinlagen nicht, wie bei den obigen Untersuchungen über Druckglieder bisher angenommen wurde, aus verhältnismäßig kleinen, sondern aus größeren Profilen (Figur 113) bestehen, so daß die Vernachlässigung der auf ihre eigene Schwerachse bezogenen Trägheitsmomente J0 nicht mehr ohneweiters zulässig ist, so ändert sich das erläuterte Verfahren dem Wesen nach nicht; bei der Bestimmung des Trägheitsmomentes J. oder ist dann J₀ zu berücksichtigen.

Zur leichteren Übersicht sind in der Tabelle Nr. 15, Seite 219 für alle in den Abschnitten VI und VII erörterten Belastungs- und Armierungsfälle von Druckgliedern die Formeln für die zulässige Belastung bezw. deren obere Grenze (Tragkraft P') zusammengestellt.

Figur 113.

.A

Fb

(D:

vs

i£e

VIII. Berechnung der äußeren Kräfte und Biegungsmomente äußerlich statisch unbestimmter Tragwerke.

1. Allgemeines.

Die Berechnung der Spannungen in Verbundkörpern, wie sie in den vorangegangenen Abschnitten erörtert wurde, setzt voraus, daß die äußeren Kräfte und die aus ihnen abgeleiteten Biegungs-momente bereits vorher bestimmt worden sind und daher als bekannt angesehen werden können.

Die Ermittlung der äußeren Kräfte muß sonach auch hier jeder statischen Untersuchung der Spannungen vorangehen.

Die äußeren Kräfte zerfallen bekanntlich in zwei Gruppen, nämlich in die eigentlichen Belastungskräfte (auch ,,aktive“ Kräfte genannt), das sind die vom Eigengewichte, von der Verkehrsoder Nutzlast, vom Winddruck u. s. w. herrührenden Kräfte und in die, die Widerstände darstellenden Auflager kr äfte (,,passive“ Kräfte), welche von den Stützen und Gelenken den durch das Tragwerk auf sie übertragenen Lasten entgegengesetzt werden und mit den Belastungskräften im Gleichgewichte sein müssen.

Die Belastungskräfte lassen sich in jedem einzelnen Falle auf Grund der in den Vorschriften gegebenen Werte über die Eigengewichte verschiedener Baustoffe und die Größe der anzunehmenden Nutzlasten, der Winddrücke u. s. w. leicht bestimmen. Auch sind für die Annahme der Wärmeschwankungen, die je nach der Stützungsart der Tragwerke ebenfalls äußere Ursachen für das

221 . —

Auftreten von Auflagerkräften darstellen können, in den Vorschriften (HV. § 4, Abs. 14, BV. § 4, Abs. 3) Bestimmungen enthalten.

Bezüglich der Nutzlasten ist, insofern sie ver ander lieh sind, zu beachten, daß sie stets in jener Stellung oder Verteilung auf das Tragwerk einwirkend gedacht werden müssen, welche die betreffende ungünstigste Beanspruchung desselben hervorruft.

Die Grundsätze, nach denen hier zu verfahren ist, gehören in das Gebiet der Baumechanik und werden als bekannt vorausgesetzt.

Die Bestimmung der Auflagerkräfte muß unter Bedacht-nahme auf die durch dieselben zu erfüllenden Auflagerbedingungen erfolgen. In dieser Hinsicht unterscheidet man bekanntlich statisch bestimmt und statisch unbestimmt gelagerte Tragwerke. Reichen die Bedingungen des statischen Gleichgewichtes hin, um aus den Belastungskräften die Auflagerkräfte zu bestimmen, so nennt man das Tragwerk auch ein äußerlich statisch bestimmtes ; genügen diese Bedingungen aber nicht und müssen deshalb die Gesetze der Elastizitätslehre mit herangezogen werden, so heißt das Tragwerk ein äußerlich statisch unbestimmtes. Je nach der Zahl der auf statischem Wege nicht bestimmbaren Auflagerkräfte spricht man dann von einfach, zwei- oder mehrfach äußerlich statisch unbestimmten Tragwerken.

Hinsichtlich des Vorganges, welcher einzuhalten ist, um die Auflagerkräfte bei jeder der beiden Gattungen von Systemen zu berechnen, muß gleichfalls, als dem Zwecke dieses Buches ferner liegend, auf die Lehren der Baumechanik verwiesen werden. Erst durch die Kenntnis der Auflagerkräfte wird man in den Stand gesetzt, die bereits früher berührte Frage nach den ungünstigsten statischen Wirkungen (Momente, Querkräfte u. s. w.), welche für eine bestimmte Beanspruchungsweise des Trag werkes (durch Normal-, Schub- oder Haftspannungen) in Betracht kommen, zu lösen.

Im folgenden soll auf die Ermittlung der äußeren Kräfte nur insoweit eingegangen werden, als es die eigenartige Natur der Trag werke aus Eisenbeton mit Rücksicht auf die in den Vorschriften gegebenen Weisungen erfordert.

2. Äußerlich statisch unbestimmte Tragwerke.

Hinsichtlich der statisch unbestimmten Systeme ist in den Vorschriften über die Berechnung der Spannungen folgender Punkt enthalten (HV. § 5, Abs. 8d, BV. § 5, Abs. 7e):

,,Bei der Berechnung der äußeren Kräfte und elastischen Formänderungen äußerlich statisch unbestimmter Tragwerke ist

die aus dem vollen Betonquerschnitte und aus der 15fachen Fläche der Längseisen gebildete ideelle Querschnittsfläche, sowie eine für Druck und Zug im Beton gleich große Formänderungszahl (140000 Icg/cm²) in Rechnung zu stellen“.

Dieser Vorschrift entsprechend sind die Werte E, F und 3 in die Bedingungsgleichungen zur Ermittlung der statisch nicht bestimmbaren Größen eines Tragwerkes einzusetzen.

Die allgemeine Form dieser Bedingungsgleichungen ist bekanntlich für einen homogenen Körper :

./

•JT

3X

EF’ 3 X

₇ .Cm 3 m

dx^~J E% ' 3 X

Cl X —j— 8 t I -j

201 .

Hierin bedeuten :

X die Normalkräfte (in der Achsenrichtung des betreffenden Tragwerkes wirkend),

M die Biegungsmomente,

X eine beliebige der statisch nicht bestimmbaren Größen,

E die Formänderungszahl,

Ö Das Trägheitsmoment der aus dem vollen Betonquerschnitte und aus der löfachen Fläche der Längseisen gebildeten ideellen Querschnittsfläche, deren Größe F ist, e den linearen Wärmeausdehnungskoeffizienten für 1 Grad Celsius, t den für das ganze Tragwerk konstanten Temperaturunterschied in Celsiusgraden gegenüber jener Temperatur, bei der durch dieselbe allein keine Spannung erzeugt wird,

L die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zustand ,,X=1“, das heißt für jenen ßelastungszustand, welcher entsteht, wenn auf das Tragwerk nur die Kraft X=1 wirkt und alle gegebenen äußeren Kräfte und die übrigen statisch nicht bestimmbaren Größen X', X" u. s. w. gleich Null gesetzt werden..

' Ist weder eine Höhenänderung noch ein Ausweichen oder Verdrehen der Widerlager zu berücksichtigen und kann man die elastischen Verdrückungen derselben wie in den meisten Fällen vernachlässigen, so ist L gleich Null zu setzen.

Bei fast allen im Bauwesen vorkommenden statisch unbe

stimmten Tragwerken ist der Einfluß der Achsialkräfte N gegenüber jenem der Momente M sehr klein und kann demnach in

M 9 M E% ’ 3 X

Gl. 201) das erste Glied auf der rechten Seite vernachlässigt werden ; kann man überdies von Temperaturänderungen absehen, so erhält man

202),

worin wieder für starre, unverrückbare Widerlager L gleich Null zu setzen ist.

(Die in den Gl. 201) und 202) vorkommenden Größen F und $ sind identisch mit den Größen F. und welche bei der Berechnung der Druckglieder Anwendung fanden).

E in Gl. 201) ist durch E

b <v

das ist die Formänderungszahl des Betons auf Druck zu ersetzen, weil die Eiseneinlagen bereits mittels des Faktors v = 15 rechnerisch in Beton verwandelt gedacht sind.

Im allgemeinen hat sonach die Berechnung statisch unbestimmbarer Auflagerkräfte von Tragwerken aus Eisenbeton in genau gleicher Weise wie jene für Trag werke aus homogenem Materiale zu erfolgen. Ein weiteres Eingehen auf allgemeine, hierhergehörige Probleme erscheint hiernach überflüssig und kann in dieser Beziehung auf die Werke der Baumechanik verwiesen werden. Es sei nur noch besonders hervorgehoben, daß sich die soeben erläuterte Rechnungsweise mit Verwendung der ideellen Gesamtquerschnittsfläche, die aus dem vollen Betonquerschnitte und der 15fach parallel zur Nullinie verbreiterten Eisenfläche besteht, sowie die Annahme einer gleichen Formänderungszahl des Betons für Zug und Druck im Sinne der Vorschriften ausschließlich auf die Bestimmung der äußeren Kräfte bezieht. Sind aber einmal die äußeren Kräfte für eine gegebene Belastung und aus ihnen die für die gefährlichen Querschnitte maßgebenden Normalkräfte, Querkräfte und Biegungsmomente bestimmt, dann sind hinsichtlich der Spannungen die in den amtlichen Bestimmungen vorgeschriebenen und in den früheren Abschnitten erläuterten Berechnungsarten anzuwenden. Hierbei ist also für die Ermittlung der größten Betondruck- und Eisenzugspannungen vom Zugwiderstande des Betons abzusehen

und Ebd = 140000 Jcg/cm² = Ee zu setzen, für jene der größten

JLD

Betonzugspannungen bei den auf Biegung beanspruchten ,,besonderen“ Hochbau- und bei Brückentragwerken hingegen E — 56000 leg/cm² = 0'4 Ehd anzunehmen.

Hinsichtlich der Untersuchung eines statisch unbestimmten Tragwerkes sei noch folgendes bemerkt : Zur Durchführung einer solchen Untersuchung müssen bereits die Ausmaße und die Armierung der einzelnen Tragwerksteile bekannt sein, sie müssen also vorerst nach Erfahrungssätzen oder Näherungsregeln angenommen werden. Die Rechnung stellt dann eigentlich — wie es übrigens auch bei homogenem Baustoffe der Fall ist — nur die Überprüfung eines angenommenen, bereits dimensionierten Trag-

Werkes in der Richtung dar, ob die Maße hinreichen, damit die vorgeschriebenen Grenzwerte eingehalten werden. Zeigt die Be-

Figur 114.

II

40

i OS

AO

rechnung, daß letzteres nicht der Fall ist, so müssen die angenommenen Maße abgeändert und muß sodann diese Rechnung so oft wiederholt werden, bis die genannten Grenzwerte bei möglichster Ausnützung von Beton und Eisen nicht überschritten werden.

Von den im Bauwesen vorkommenden äußerlich statisch unbestimmten Tragwerken sind als wichtigste zu nennen :

a)    Eingespannte und rahmenartige Tragwerke,

b)    durchlaufende Träger,

c)    plattenförmige Körper und

d)    Gewölbe.

Diese Tragwerksarten werden in den folgenden Abschnitten IX bis XII eingehender erörtert.

Häufig kommen auch Tragwerke aus Eisenbeton mit veränderlichem Querschnitte vor und zwar meist in der Art, daß die Höhe des Querschnittes variiert oder daß die Zahl der Eiseneinlagen entsprechend der Zu- oder Abnahme des Biegungsmomentes wechselt. Die Berücksichtigung dieser Veränderlichkeit

Figur 115.

Xe

■n FJ C

xs

fl.jl

oü.

des Querschnittes bietet bei der Bestimmung der äußeren Kräfte statisch unbestimmter Tragwerke —a keine grundsätzliche Schwierig-% keit und kann in ähnlicher Weise wie bei homogenen Körpern erfolgen ; die Untersuchung selbst Y gestaltet sich jedoch wesentlich umständlicher.

In den meisten Fällen wird man sich begnügen, einen konstanten, mittleren Querschnitt — allfällig unter Berücksichtigung des Umstandes, daß gewisse Teile des Tragwerkes auf die Werte der statisch unbestimmbaren Größen den stärksten Einfluß haben — in die Rechnung einzuführen. Bei starker Veränderlichkeit des Querschnittes und in gewissen wichtigen Fällen (bei größeren Gewölben) wird man jedoch die genauere Methode nicht umgehen können.

Im nachfolgenden soll der einzuschlagende Vorgang an einem Beispiele dargelegt werden.

Beispiel. Ein über drei Felder durchlaufender Träger ist nach Figur 114 durch zwei mit ihm fest verbundene Säulen unterstützt ; da an den beiden Mauern frei e Auflagerung stattfindet, darf dieses Tragwerk somit nicht nach der in den HV. § 5, Abs. 5 angegebenen Näherungsregel berechnet werden. Träger und Säulen

Figur 116.

Figur 116a.

100 cm

V

CM

30çm J

C=>1

Balken

n.

■H

Säule

©-t6$

CD

un

30cm

-J

CO

"X

30cm

'T'

der erstere ist mit q = 3000 kgjm belastet. Die Quer-

sind aus Eisenbeton ; schnitte sind aus Figur 116 und 116 a ersichtlich; die äußeren Kräfte und Momente

sind zu ermitteln.

Der vorliegende Fall ist in Figur 115 schematisch dargestellt. Wegen der Symmetrie der Anordnung und der Belastung ist das Tragwerk nur zweifach statisch unbestimmt; als statisch nicht bestimmbare Größen werden der Stützen -druck X auf die Seitenmauern und der Horizontalschub Y in E und F angenommen. Die Fußpunkte der Säulen werden als Gelenke betrachtet.

Die allgemeinen Bestimmungsgleichungen für die Unbekannten X und Y lauten, wenn von Stützensenkungen in A und D, von seitlichem Ausweichen der Fußpunkte E und F, von Wärmeschwankungen und vorläufig auch vom Einflüsse der Achsialkräfte N abgesehen wird (s. Gl. 202):*)

M dM

Ëâ'Txdx = 0’

dM

JE%' 2YdX °

*) Die Berechnung soll hier zunächst ohne und dann mit Berücksichtigung der Achsialkräfte N durchgeführt werden, um an einem Vergleiche der betreffenden Ergebnisse den verhältnismäßig geringen Einfluß von N zu zeigen.

15

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

Die Momente M sind nun zunächst durch die Unbekannten X und Y auszu-

drücken.

qx²    3 M

= 0.

Stab AB : M^Xx—^-,

Stab B C : M= Xlt + q(li + y) x — q x)~

Stab B E : M= — Y x,

Durch Einsetzen dieser Werte in obige Gleichungen findet man bei Integration bis zur Tragwerkmitte:

2X~X' d Y

Yh,

= h,-

- h.

31

= 0,

— x.

24

_ yLIl ₌

X--

^1182

ur

A'O

X4 -

Figur 117,

\B

BÄ

A '

35 m

2%h²

cL

a>

CT>

:H3

HH-' *)

Im vorliegenden Falle ist zu

setzen :

4 = 400 cm, 4 — 700 m, h —

—    500 cm, ferner für den Balken: F= 100 . 10 -f 30.40 +15.6 .4*52 =

—    2607 cm², ^ (für den Schwerpunktsabstand x — 22-6 cm vom oberen

4 [100 . 22"6³ — 70 .

O

Plattenrande) =

. 12-6³ -f 30.27‘4³] -f 406-8 . 21'4² = ==730100 cm⁴; für die Säule: Fi = = 30 . 30 + 15 . 4 .2-01 = 1021 cm²,

Gl 3i== ^ 30⁴4-15.4.2-01.12²= 84870m⁴; q — 30 kg/cm.

Die Gleichungen für X und Y nehmen hiermit die Form an :

9-67 X — 8-75 Y= 32560 kg, ) i X — 25*48 Y = 11750 kg J’

woraus sich X = 3438 kg und Y = 78*6 kg ergibt. Das Bild der auftretenden Momente ist in Figur 117 dargestellt. Hierbei sind die größten Werte: Unmittelbar links von

— 1025000 kgcm-, am Säulenkopfe M₃ =

Stütze B: B Bx = M₁ = Xlt — ^ =

— Yh = — 39300 kgcm; unmittelbar rechts von Stütze B : BB₂=M₁-\-M₃ = = A4 = — 1054300 kgcm-, im ersten Felde J/₄ = F Fi = 197000 kgcm-, in der Mitte des zweiten Feldes Ms — G Gx = -i- q l\ -f- M₂ = 783200 kgcm. Der Achsial-

O

= ? ( 4 + y) — -X'= ¹⁹°6° hg.

druck auf eine Säule ist D

Bei Berücksichtigung der Formänderungen infolge der Achsialkräfte lauten die Bestimmungsgleichungen nach Gl. 201) :

r f N 3 N .    , f M 3 M

Ll -J EF ' 31 dx + J • dX dX °’

L,-j

N 3N_ ~EF ’ 3Y

dx+flk--rr'*“⁰

Für M sind die gleichen Werte wie oben zu setzen; weiter wird:

Stab AB :N= 0.

Stab B C: N= — F, = 0, g-p = — ¹-

— X.

Stab BE:N=q(l₁+lA

dX ¹’ 3 F °'

Es ergeben sich folgende Gleichungen :

, 4 , 3*

_ ybll

Z³

4

*5

KSrl'+fl

33 x4 ¹ Fh

Die früheren Bestimmungsgleichungen für X und F unterscheiden sich von den zuletzt gefundenen durch den Wegfall aller Glieder mit F und F^. Mit den obigen Ziffernwerten wird hieraus X = 3542 kg, Y — 94⁻8 kg, welche Zahlen sich von den früher gefundenen' nur unwesentlich unterscheiden.

Nach vollzogener Bestimmung der Biegungsmomente und Achsialkräfte kann die Untersuchung der Spannungen in der bereits früher besprochenen Weise erfolgen.

Es mögen hier noch behufs Vergleiches jene Werte der Momente und Stützendrücke angegeben werden, welche sich bei dem vorliegenden durchlaufenden Träger dann ergeben würden, wenn man — wie es häufig in der Praxis geschieht — auf die steife Verbindung des Trägers mit den Säulen keine Rücksicht nähme. Alsdann ist nach der Theorie der durchlaufenden Träger

3?³ + 6^z₂- ą 4    4 (2 4 -|- 3 4)

q Ą + Ą _

4    2 4 -j- 3 4

bei A

bei B

■V t _ ?

A —

3369 kg,

1052600 kgcm.

Das größte positive Moment (X'x--— qx²) im 1. Felde wird zum Maximum

für x — 112-3 cm :

M'4 = 189200 kgcm ;

das größte positive Moment im 2. Felde wird

M'a = -i- q l\ -f- M\ = 784900 kgcm ;

der Achsialdruck in der Säule ist

— X' = 19130 kg.

-4+t)

Ein Vergleich mit den früher gefundenen Werten ergibt, daß im gegebenen Falle der Einfluß der starren Verbindung von Säule und Träger auf den letzteren ein relativ geringer ist und 7 bis 13 v. H. beträgt; für die Säule ist er, da die zutreffendere erste Berechnung die Biegungsmomente berücksichtigt, ein wesentlich größerer; im vorliegenden Falle würde die Vernachlässigung des Einflusses der starren Verbindung die Spannungen in der Säule um zirka 27 v. H. zu klein ergeben.

IX. Eingespannte und rahmenartige Tragwerke.

Träger, welche an ihren Enden derart gelagert sind, daß sich die Tangente an die elastische Linie daselbst bei einer Belastung nicht frei verdrehen kann, nennt man bekanntlich ,,eingespannt“. Man unterscheidet eine „vollkommene“ oder „feste“ Einspannung, bei welcher die Neigung der erwähnten Tangente unverrückbar festgelegt ist, und eine „unvollkommene“ oder „teilweise“ Einspannung, bei welcher eine Verdrehung der Tangente bis zu einem gewissen Grade möglich ist,

wobei dieser Grad durch die Art der Auf-

Figur 118.

lagerung und die elastischen Eigenschaften der in Betracht kommenden Baustoffe bedingt wird.

Strenge genommen ist es praktisch nicht möglich, eine vollkommene Einspannung auszuführen, da sie eine unendlich starre 0 Stütze zur Voraussetzung haben müßte; man wird demnach stets mit einer mehr oder minder unvollkommenen Einspannung zu rechnen haben. Die in solchen Fällen zu lösende Aufgabe hat nun gemäß den Vorschriften (HV. BV. § 5, Abs. 2) darin zu bestehen, den durch die baulichen Anordnungen bedingten Grad der Einspannung rechnerisch zu fassen und nur diesen bei der Dimensionierung oder der Untersuchung der Spannungen zu berücksichtigen.

Werden bei Tragwerken die Eiseneinlagen von Trägern in die Stützen übergeführt, so daß eigentlich ein einziges ununterbrochenes Tragwerk entsteht (wie z. B. in Figur 118), so werden von den ersteren auf die Stützen nicht bloß Auflagerkräfte, sondern auch Biegungsmomente übertragen, das heißt Stützen und Träger beeinflussen gegenseitig ihre Biegungen. Betrachtet man den Träger B C für sich, so sind die Biegungsmomente an den Enden B und C desselben nicht gleich Null wie bei frei aufliegenden Trägern, sondern sie haben einen bestimmten, vom Biegungswiderstande der Stützen und des Trägers B C selbst abhängigen Wert, das heißt der Träger ist „teilweise“ eingespannt. Diese „rahmenartigen Tragwerke“ oder auch bloß „Rahmen“ genannten Tragwerke stellen ein- oder mehrfach statisch unbestimmte Systeme dar; die Lösung solcher Aufgaben kann unter gewissen Voraussetzungen genau oder nur mit einem größeren oder geringeren Grade von Annäherung erfolgen. Wegen des einzuschlagenden

Gemäß den Vorschriften ist in einem vorliegenden Falle, bei dem eine Einspannung in Frage kommt, zunächst das Einspannungsmoment zu bestimmen und dann zu untersuchen, welche Spannungen unter Voraussetzung dieser als vollkommen aiizusehènden oder nur teilweisen Einspannung in den maßgebenden Bauteilen entstehen.

Figur 120.

~J C j—[VI n

_c

H . JD

Vorganges muß hinsichtlich der e i n feldrigen, ein- oder mehrgeschossigen Rahmen auf den Abschnitt VIII hingewiesen werden, woselbst auch ein Beispiel für ein statisch unbestimmtes Tragwerk ähnlicher Art (S. 225 ff.) vorgeführt ist.

Es möge hier nur noch darauf aufmerksam gemacht werden, daß bei solchen Tragwerken nach Ermittlung der äußeren Kräfte und Momente selbstverständlich zu untersuchen ist, ob die an den Einspannungsstellen B und C (Figur 118) befindlichen Querschnitte und Eiseneinlagen hinreichen, um den Anforderungen der Vorschriften betreffs der zulässigen Spannungen zu entsprechen.

Eine Einspannung der Trägerenden kann aber auch in anderer Art bestehen oder herbeizuführen gesucht werden und zwar am häufigsten in der Weise, daß ein Träger nach Figur 119 in eine Mauer eingreift, woselbst das Trägerende durch das darauf lastende Mauerwerk niedergehalten wird. Hier soll nun dieser letztere Fall besprochen werden.

Figur 119.

//

Pi

P₂

VA

Für die Untersuchung der Einspannungsmomente gilt die schematische Darstellung in Figur 120. Die g beiden Stützen AB und CD mögen gleichartig sein, also gleiche Fläche F1 und gleiches Trägheitsmoment $i besitzen ; für den Träger B C sind unter den bezüglichen Werten F und S die >, im Sinne der Erörterungen auf S. 222 auf die ideelle Gesamtfläche bezogenen Werte zu verstehen. Die Formänderungszahl des Materials der Stütze sei E1} für jene des Trägers ist F = Fbd einzuführen. Es werde gleichförmig verteilte Belastung des Trägers angenommen.

Bezeichnet M₀ das gesuchte Einspannungsmoment, so gilt, wenn von Temperaturänderungen, ferner von Veränderungen in der Höhenlage und der gegenseitigen Entfernung der unteren Endpunkte der Stützen abgesehen und vorausgesetzt wird, daß sich

M 3 M

die Stützen um diese Endpunkte drehen können (eine namhafte Einspannung wird wohl nur in seltenen Fällen stattfinden), für X=M₀ nach Gl. 201)

rJL IZL dx+t

JE F * dM₀ '    ⁺ J j

. d x — 0.

Für die einzelnen Tragwerksteile gelten mit den Bezeichnungen der Figur 120 u. zw.

für Stab A B und C D : M= M₀ -f-, N =

für Stab B C: Jf= M₀ -f ^-g x (l — x), N=

A    n

Nach Auswertung der zwischen den maßgebenden Grenzen zu nehmenden Integrale erhält man :

Das letzte Glied im Nenner (herrührend von den Achsialkräften) kann auch geschrieben werden:

F h² V h

wenn i den der Kraftebene entsprechenden Trägheitshalbmesser des Balkenquerschnittes bedeutet.

Das Verhältnis — ist in praktischen Fällen meist so klein,

gegenüber den anderen Größen im Nenner vernachlässigt werden kann, so daß genügend genau wird

m₀=-Fv.

daß

E% h_

’ Ex 3i l

. . . 203 a).

Je biegungssteifer unter sonst gleichen Umständen der Träger

E%

gegenüber der Stütze, je größer also

E

gegenüber ^ ¹ ist, umso

kleiner wird M₀, d. h. destoweniger wird die Einspannung wirksam. E S

Ist hingegen ——- des für die Einspannung in Frage kommenden

Iv

Mauerpfeilers oder Mauerteiles groß gegenüber

und niedrigen Pfeilern oder Mauern eintritt, dann wird das zweite Glied des Nenners gegen 1 klein und kann vernachlässigt werden.

, was bei starken

E%

Alsdann wird M₀ = — — gl². Es tritt somit bei dieser symme-

trischen Belastung ein Eckmoment auf, das gleich jenem der vollen Einspannung ist. Man wird aber dann, sowie für jeden aus Gl. 203 a) berechneten Wert von M₀ im Sinne der Vorschriften

noch zu untersuchen haben, ob diese Einspannung durch bauliche Anordnung tatsächlich und ohne Überschreitung der zulässigen Spannungen der in Betracht kommenden Bauteile erzielt ist. Diese Unter-

suchung bezieht sich einerseits auf das, die Einspannung bewirkende, auflastende oder durch Zuganker ange- g ■jl> hängte Mauergewicht, anderseits auf    ^

die Randspannungen in den Auflagerflächen. Zur Biegungsbeanspruchung der Stützen kommt noch je als zentri-

Figur 121.

Mn

1.

m;

P__-Jyo.

9l

sehe achsiale Druckkraft hinzu.

Zi

DÜ

A iT H H - ID

Bevor jedoch hierauf eingegangen wird, soll noch der wichtige Fall einer in allgemeiner Lage senkrecht auf den Träger wirkenden Einzellast P (Figur 121) behandelt

werden. Durch eine ähnliche Berechnungsweise wie oben erhält man auch bei unsymmetrischer Belastung für die Ecke B und C gleichgroße Einspannungsmomente

M₀>

21

E% h , 3    ' ‘ ²⁰⁴⁾

■ i Fh²

welcher Ausdruck sich nach der fast stets gestalteten Vernachlässigung des Nennerendgliedes auf

Pcx c₂

M₀'

21 *

. . . 204 a)

2    E 3 h

3    E^[ ‘ T

reduziert. Stellen die beiden Stützen starke, niedrige Pfeiler oder Mauern vor, so wird in B und C : M0 bei symmetrischer Belastung gleich jenem bei voller Ein-

21

-, ein Wert, der

PI

Spannung :--— ist.

o

Als zentrische, achsiale Druckkräfte kommen überdies für die

Pc₂

Stützen: A

und D = in Betracht.

Bei der Herleitung der Gl. 203) und 204) wurde vorausgesetzt, daß die beiden Stützen gleichartig sind, also gleiches Elt Fx und aufweisen ; ist dies nicht der Fall, so können die entsprechenden Gleichungen in ähnlicherWeise wie oben hergeleitet werden..

Es kommt im Bauwesen auch vor, daß eine Einspannung nur auf einer Seite eintritt, während auf der anderen Seite unverschiebliche, gelenkige Auflagerung stattfindet. (Figur 122 und 123.) Hierfür gelten nachstehende Gleichungen, die auf dem oben bezeichneten Wege gewonnen werden können : a) bei gleichmäßiger Vollbelastung des Trägers mit g auf die Längeneinheit (Figur 122)

E% ]>L_,__3_*

3 ' E₁ l ' Fh²

M₀=-±gP.

A — 4-

1+4-¹

¹(Ç+4

• • • 205),

C = 4-

Figur 122.

Figur 123.

Ie

.c

o B    ^1—-~1C

—■-4L. IC

Cl-,_ ...1

C2

-<=! 1

A'

Hi

b) bei Wirkung einer Einzellast P im Abstande c₁ bezw. c₂ von den Stützen (Figur 123)

M'

0

E% h 3 ‘ Exl5X ‘ l

i+4-

A—\ (Pc2 ~M0)>

C = ^f(Pc₁JrM’)

In den zuletzt angegebenen Gleichungen für M₀ bezw. M'0 kann wieder mit hinreichender Genauigkeit in allen praktisch vorkommenden Fällen das Endglied im Nenner vernachlässigt werden.

Eh²

. . 206).

gl²

Bei starker, niedriger Stütze AB erhält man M₀ = —

Pc c.    -*■”

~2i ²> d* h- die gleichen Werte wie bei zwei-

bezw. M' stieligen Rahmen.

Ist das drehbare Ende C des Trägers B C verschieblich, stellt das Tragwerk einen auf 2 Stützen A und C frei aufliegenden

so

Figur 124.

Figur 125.

tT)

CD

C\J

CD

..... z oo. P......Z OO

r6000 kg

P= ZOOO kg

ZOO

CD

90cm

Tk

LD

: ,6$î8cm ^

é •    •

CD' •    •    •

Si

¹ LMcmJ

090

6 CO

W'

Figur 126.

«=T

LJ

T~

71

s!

Träger dar, der Horizontalschub H und somit auch M₀ bezw. M'₀ werden zu Null. Die tatsächlichen Auflagerbedingungen werden je nach der konstruktiven Ausgestaltung entweder mehr dem Grenzfall der festen Gelenklagerung oder dem der freien Auflagerung entsprechen. In zweifelhaften Fällen sollten daher beide Grenzfälle durch die Dimensio-

m-

CD !

.6 90........

CD ,

NO

nierung gedeckt erscheinen.

Mit Hilfe der Gl. 203) und 204) bezw. 203 a) und 204 a) oder der Gl. 205) und 206) kann jeder

--irli 1:.

I..IM.....

J beliebige Fall einer lotrechten Belastung untersucht werden. Beispiel. Bei einem Gebäude greift der Unterzug einer Decke aus Eisenbeton in einen Pfeiler aus Stampfbeton, eingespannt und in der aus Figur 124 ersichtlichen Weise belastet, ein. Es sollen zunächst die Spannungen im Balken ermittelt werden. Zur Bestimmung des Einspannungsmomentes sollen die (hier genügend genauen)

ZA5

Gl. 203 a)* und 204 a) angewendet werden. Es ist bei rechteckigem Pfeilerquerschnitt mit den Seitenlangen 70 cm und 90 cm nach Figur 124 und 125 : h = (475 -j- 27-5)

— 70.90³ =

500 cm, 1 = 690 cm und (für den nichtarmierten Pfeiler) gj =

= 4252000 cm⁴. Der Schwerpunkt der ideellen Gesamtfläche (40 . Ô5 —j— 6.15.2-54 =

6.15 . 2-54.21-5

= 2429 cm²) des Balkens liegt im Abstande z

2429

2-0 cm von der

Mitte, also 29⁻5 cm von der oberen bezw. 25-5 cm von der unteren Kante entfernt. Demnach ist, wenn die Eisenfläche hier mit genügender Genauigkeit im gemeinsamen Schwerpunkt der beiden Scharen vereinigt gedacht wird,

3 = 4- 40 . (29‘5³ + 25'5³) + 6.15 .2-54.19’5² = 650300 cm⁴.

o

Der Ausdruck

1+4

m h_

3 ' Et. Si ‘ l

im Nenner der Werte M₀ und M₀' wird für E—E^.

»tT-

650300.500

4252000.690

1-074.

Das Einspannungsmoment beträgt genügend genau: «) bezüglich der gleichförmig verteilten Last

M₀ = -

12.1-074

6000.690 = — 321000 legem,

b) bezüglich der beiden Einzellasten :

M₀' = -

2.2000.245.445

2.690.1-074

— — 294000 legem,

zusammen (M₀) = M₀ + M₀' = — 615000 legem.

Die entstehenden Momente sind in Figur 126 dargestellt, wobei noch — hinreichend genau — gemacht wurde :

(M) = 2000.245 -f

6000

690

345.245

245²

— = 964000 legem.

Figur 127.

Nach der Ermittlung von M0 obliegt die weitere Aufgabe, zu prüfen, ob die Einspannung, die gewissermaßen durch 31₀ rechne-_ risch ausgedrückt wird, auch tatsächlich erzielt ist und ob die zulässigen Spannungen nicht überschritten werden.

Ist in Figur 127 A*B CD der in die Stütze eingreifende Teil des 1 Trägers, so entsteht, wenn mit Rück-I- sicht auf die verhältnismäßig geringe Länge dieses Teiles angenommen wird, daß er bei der Biegung gerade bleibt, die dargestellte Kräfteverteilung; in DF drückt der Träger nach abwärts, in AE nach aufwärts. Die Druckspannungen nehmen geradlinig von F gegen D und von E gegen A zu und erreichen ihre größten Werte c?₁ und o₂ in D und A.

- ’s

_B

Cl

C a-.x

a.

•A

Die Resultierenden der Gegendrücke seien Dl und D.₂ ; die

Qß    Qs _ Qß

erste greift in einem Abstande — von D, letztere im Abstande —^

ö    ö

von A an.

Figur 128.

Der Resultierenden D₂ wirkt das Gewicht des oberhalb befindlichen

V/s

welcher

7 77

Mauerwerkteiles, durch das Trägerende zu heben und von den benachbarten Teilen abzu-

trennen gesucht wird, entgegen. Sieht man, wie üblich, vom Zugwider- D' stände des Mauerwerkes und auch von vorhandenen Scherkräften, so weit sie in Betracht kommen könnten, ab, so muß das Drehmoment des genannten Mauerwerkgewichtes (Figur 128) um die Kante B mindestens gleich jenem des Druckes Z>2 sein, also

- Hinsichtlich der Größe des in Rechnung zu ziehenden Mauerkörpers wird man von Hi? etwa unter 45° ausgehende Verteilungsflächen des Druckes annehmen können (Figur 129).

CO

Wird statt einer Belastung des Trägerendes eine Figur 129. Verankerung nach abwärts angebracht, so ist _D₂ der Zug in dieser Verankerung und muß letztere hiernach (sowohl nach Querschnitt als Länge) dimensioniert werden.

Ist hinreichendes Belastungsgewicht vorhanden, so erübrigt noch die Prüfung der Spannungen in den Druckflächen AE und DF (Figur 127) sowie in der Mauerwerksfuge B B' (Figur 128) und zwar hinsichtlich letzterer, ob nicht etwa Zugspannungen an einer der Kanten entstehen.

Man kann hiezu folgendes Näherungs verfahren einschlagen. Das Einspannungsmoment M₀ des Balkens, das nach dem früheren bestimmt wurde, kann genügend genau

3 Mo

2

— D₂ a und daher D., o

gesetzt werden. Bei der in Figur 127 eingetragenen Richtung des Gegendruckes ist M₀ mit seinem absoluten Werte einzuführen.

Die Stützweite L des Balkens ist hiebei bis zu Dx reichend,

00

also L = 1 -4-— vorausgesetzt, o

Ist JR[ die nur aus der gegebenen Belastung zu bestimmende Querkraft unmittelbar rechts von Dlt so ist für die Kräfte im angegebenen Sinne — die absoluten Wertein Rechnung'gestellt —

dx = d₂ + r

Sind Dx und D₂ gefunden, so lassen sich die Spannungen ax und o₂, die aus der Einspannung allein folgen (als Druckspannungen mit positi vem Vorzeichen eingeführt), in nachstehender Art berechnen.

Es ist nach Figur 127

wenn b ,die Breite der Auflagerfläche des Balkens ist und

n __ b (a — x) _

A —    2    °a>.

ferner

<sx : a₂ = x : (a — x).

Nach Einsetzen dieser Größen in die Gleichung

erhält man

2 a 11

(a — x)

Setzt man

so wird

2 a Ri

3 M₀

= 0,

207).

aC

X    1 —f— <7

Mit dem hiedurch bestimmten Wert von x ergeben sich dann

¹ b x b x\    2a)

a2

2D₂

3 M₀

208).

b(a — x) ab (a — x)

Um die gesamte in D herrschende Druckspannung o zu finden, muß nun zu cx noch die vom Belastungsgewichte (Auflast oder verankertes Mauergewicht) herrührende Biegungs- und Normal-

Spannung a' hinzugefügt werden. An dem ober der Fuge D D' befindlichen Mauerwerk greift ein in D Zug erzeugendes Moment

2 ct —|— cc

oder (mit Beachtung von z =

M' =

M₀

(3 d — 4 a — 2 x)

und überdies eine nach abwärts wirkende, zentrische Kraft

3 Mo

N' = Gr — D₂ = Gr

an.

Die entsprechenden Kantenspannungen werden daher

in D :

N'

GM'

b d b d*

in D' :

a"

N' , GM'

209).

bd ¹ bd²

Die gesamte Kantenspannung in I) ist somit

a —    -)- ar.

Den Bedingungen der Vorschrift entsprechend, müssen o, a₂*) und a" innerhalb der gestatteten Grenzen bleiben. Ist dies bei einer dieser Größen nicht der Fall, so muß durch Anordnung von Unterlagsplatten eine hinreichende Verbreiterung der Auflagerfläche geschaffen werden, um den Druck auf das Mauerwerk auf das gestattete Maß herabzumindern. Hiebei ist aber auch darauf zu achten, daß die Druckspannung des Tragwerkes selbst an den Auflagerflächen nicht etwa größer ist, als für dasselbe zulässig ist.

Auf dem angedeuteten Wege läßt sich in den Fällen, in welchen Tragwerke aus Eisenbeton nicht durch Überführen der Eiseneinlagen in die (Beton-) Widerlager mit diesen ein Ganzes bilden, sondern in Mauerwerk (Ziegel-, Stein- oder Betonmauerwerk) bloß eingreifen und dort übermauert sind, der Grad der Einspannung beurteilen und hiernach das Tragwerk dimensionieren.

*) Streng genommen wäre (ebenso wie ax in D) o₂ noch durch eine Biegungsund Normalspannung zu ergänzen. Da aber die Kante A der Pfeilermitte wesentlich näher liegt als die Kante D, wird diese Korrektur hier vernachlässigt werden können. Das nachfolgende Zahlenbeispiel zeigt, daß selbst a' und a” nur verhältnismäßig kleine Spannungszuschläge sind.

Die Erfahrung lehrt aber, daß die Bedingungen einer vollkommenen Einspannung in solchen Fällen selbst bei verhältnismäßig geringen Spannweiten nie vollständig zutreffen ; es ist nämlich zu beachten, daß einerseits die verschieden starke Zusammenpressung in den Auflagerflächen des Widerlagers eine Verdrehung der Tangente an die elastische Linie und eine Änderung der letzteren selbst bewirkt, die nicht der angenommenen Spannungsverteilung entsprechen, und daß anderseits schon ganz geringe Verdrehungen dieser Tangente das Tragwerk zu einem frei aufliegenden machen.

Nach HV. § 5, Abs. 2 ist dann, wenn ein Träger auf einer Mauer aus gewöhnlichen Ziegeln und Weißkalkmörtel auflagert bezw. in dieselbe eingreift, für die Bestimmung der positiven Feldmomente keinerlei Einspannung in Rechnung zu stellen. Für die negativen Momente ist, demselben Absatz entsprechend — wie schon auf S. 228 ausgeführt —, der Grad der Einspannung maßgebend. Falls derselbe nicht ermittelt wird, ist nach HV. § 5, Abs. 27 durch entsprechende Anordnung von Eiseneinlagen demselben konstruktiv Rechnung zu tragen.

Beispiel. Es soll die Einspannung im Sinne der obigen Bemerkungen an dem auf S. 233 und 234 berechneten Beispiele eines eingespannten Trägers untersucht werden. Die Auflagerlänge a ist 50 cm, demnach

^    31/₀    3 . 615000

f's

2 . 50

18450 kg.

Rl =— 6000 -j- 2000 — 5000 kg, demnach 2), = D₂ -f- Rl — 23450 kg ; ferner wird nach Gl. 207) mit

C-j/l

2 a Ri

3 M₀

1-15 . ... x = 26 8 cm.

Liegt der Träger ohne Unter- oder Überlagsplatten im Betonpfeiler, so

werden die Kantenpressungen nach Gl. 208)

3 M₀

j = 43⁻8 kg/cm²,

3 M₀

39⁻8 kg/cm².

ab (a— x)

423 cm das Drehmoment G — — D₂ z == 210000 kgcm positiv wird, reicht nach S. 235 das Belastungsgewicht G — 22000 kg hier aus, um ein Abheben des oberen Mauerwerksteiles hintanzuhalten.

Die Kantenspannungen in D und D' (Figur 128) werden nach Gl. 209) mit

Da mit £ =

2 a-\-x

= 49810 kgcm :

G — D₂ = 3350 kg und M’ — D₂ — zj

bd b d*

N' 6 M'

= 04 kgjcm²

bezw. a"

N'

6 M'

bd ¹ bd²

— 1'9 kg/cm².

Die größte Kantenspannung (in D) beträgt demnach a = <jx -f- g' = 43'8 -j--j- Ol = 439 kg/cm², in A genügend genau a₂ = 39*8 kgjcm².

Ist der Pfeiler etwa aus Stampfbeton 350 kgjm³ hergestellt, wofür bei Biegung und exzentrischem Druck nur abd = 30 kg/ctn² zulässig ist, so werden im vorliegenden Falle .entsprechend breite Unterlagsplatten anzuordnen sein.

Laut der Hochbau-Vorschriften (§ 4, Abs. 5) ist für durchlaufende, mit ein- oder mehrgeschossigen Stützen aus Eisenbeton entsprechend steif verbundene Träger (rahmen artige Trag werke), sofern nicht der N achweis der auftretenden Kräfte und Biegungsmomente im Sinne von HV. § 5, Abs. 3 und 4 erbracht wird, (siehe hiefür S. 221 bis 227), für lotrechte Trägerbelastungen auch ein Näherungsverfahren zur Bestimmung der Stützen- und Querkräfte sowie der Biegungsmomente zulässig. Dieses besteht in folgendem : Die negativen Feldmomente sind den bei gedachter vollständiger Einspannung des betreffenden Feldes entstehenden gleich zu halten. Die positiven Feldmomente sind gleich jenen bei gedachter freier Auflagerung des betreffenden Feldes, jedoch vermindert mit Rücksicht auf die, der gleichen Laststellung und einer vollständigen Einspannung entsprechenden Stützenmomente anzunehmen, wobei von diesen letzteren nur zwei Drittel in Rechnung zu ziehen sind ; für die positiven Feldmomente in den Endfeldern ist an den Endstützen eine Einspannung nicht zu berücksichtigen. Für die Ermittlung der Biegungsmomente in den Stützen sind die oben bezeichneten vollen Einspannungsmomente der anschließenden Felder unter Annahme der jeweils ungünstigsten Felderbelastungen zugrunde zu legen und das Fußmoment einer Stütze mit der Hälfte des Kopfmomentes derselben Stütze, jedoch mit entgegengesetztem Vorzeichen zu bemessen. Querkräfte und Stützendrücke sind wie für durchlaufende Träger zu berechnen.

r^i> Diese angenäherte Berechnungsweise derartiger Rahmentragwerke (wozu somit die einfeldrigen ein- oder mehrgeschossigen nicht gehören) gestaltet sich demnach wie folgt:

In Figur 130 ist ein solches Tragwerk mit totalen gleich

förmigen Belastungen g₁,g₂,g₃ aller Geschosse schematisch dargestellt. Die durchlaufenden Träger ATDV AnDw AUIDm sind mit den Stützen A A

iw

JB JB

iip

C Cm und DDm steif verbunden.

ro Die negativen Feldmomente ergeben sich aus den Momentenlinien der einzelnen, jeweilig beiderseits fest eingespannt gedachten Trägerfelder. Die negativen Momentenflächen der Träger sind wagrecht schraffiert.

Für die positiven Feldmomente muß zwischen Mittelund Endfeldern unterschieden werden. Bei Mittelfeldern ist

von der Schlußlinie, welche bei Bestimmung der negativen Feldmomente Verwendung findet, auszugehen. Die für die positiven Feldmomente maßgebende Schlußlinie wird nämlich auf den beider-

CO

......■»

..........rM

FT

Figur 130.

: 93/m

JS

2...................>«-.......

f-J,

3»    3

cS

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..............K

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Œ-

CD

ix

_c

Mpyiji

ïït

VBr

(+)

Fa

(+)

/Td

WM

seitigen Stützenachsen Strecken abschneiden, die dem ²/₃fachen Betrag der Einspannungsmomente entsprechen. Bei Endfeldern beträgt der Abschnitt der für die positiven Feldmomente maßgebenden Schlußlinie auf der Innenstütze gleichfalls ²/₃ von jenem für die volle Einspannung des an dieser Stütze allein als eingespannt vorausgesetzten Trägerfeldes. An der Außenstütze ist der Abschnitt hingegen — der hier vorausgesetzten freien Auflagerung entsprechend — gleich Null. Die entsprechenden positiven Momentenflächen der Träger sind lotrecht schraffiert.

c-> Zur Bestimmung der Momente in den Stützen geht man von den Kopfmomenten der Stützen des obersten Geschosses aus. In einer Endstützenreihe, beispielsweise der linken: AAIAJTAm ist zunächst das Kopfmoment im dritten Geschoß :

K¹.¹¹ = M¹/¹

A    A 7

d.i. gleich dem betreffenden Einspannungsmoment des angrenzenden Trägerfeldes. Das Fußmoment derselben Stütze beträgt

An dem Kopfe der Stütze des zweiten Geschosses greift das Fußmoment FA, sowie das Einspannungsmoment des dort einbindenden Trägers an, so daß

Das Fußmoment derselben Stütze beträgt :

F¹ = —

A 2

- Kn.

ferner das Kopf moment

KI^Mi + F,

und endlich das Fußmoment der untersten Stütze :

FÄ =

~KI

2 A

Die Summen sind algebraische und sämtliche Werte sind mit ihrem Vorzeichen — Einspannungsmomente somit negativ — einzuführen.

Für den Fall als der Fuß in A an das Fundament gelenkig angeschlossen ist oder daselbst Flächenlagerung besteht, ist FA — 0 zu setzen.

Für jede Stütze ist die Momentenlinie eine Gerade, da zwischen Kopf und Fuß keine Biegungsmomente sowie keine, eine Querkraft erzeugende Last hinzutreten.

Für die Vorzeichen der Momente in den Stützen und für die Auftragung derselben wird folgende Annahme gemacht, deren

*) Dieser Wert von F¹^ entspricht der Annahme, daß bei ■ der Biegung der Stütze Kopf und Fuß nicht horizontal ausweichen.

16

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

Einhaltung von Bedeutung ist, da nur so Verwechslungen zwischen Zug- und Druckseite in den Stützen hintangehalten werden können :

Momente, welche Krümmungen der elastischen Linie entsprechen, die nach j

zeichnet und — einem ganz allgemein eingeführten Vorgang folgend — von der Stützenachse nach der Seite der Konvexität, d. h. nach der Zugseite hin aufgetragen.

In einer Mittelstützenreihe, z. B. : B BIBnBIU beeinflussen den Stützenkopf die beiderseits angrenzenden Trägerfelder in entgegengesetztem Biegungssinne, so daß in jeden Stützenkopf die algebraische Differenz der Einspannungsmomente M der beiden angrenzenden Felder eingeleitet wird. Der obigen Annahme über die Vorzeichen der Kopfmomente entspricht es nun, von dem Einspannungsmoment des rechts liegenden Trägerfeldes jenes des links liegenden Feldes abzuziehen.

Auf die Kopfmomente des obersten Geschosses sind natürlich nur die beiderseits anschließenden Träger, hingegen auf jene der unteren Geschosse auch die Fußmomente der jeweils dort angeschlossenen Stütze des oberen Geschosses Einfluß nehmend. Man erhält somit :

rechts

links

konvex verlaufen, werden

positiv

negativ

be-

k?=wb¹-mz,

K5 = V¹¥.r-MZl)+¹ S

— Km 2 B

fl=~yKS,

- — K1 2 B’

VII — _

M B

*ï=(¹ ir

bezw. bei gelenkigem Anschluß oder bei Flächenlagerung:

Aus der für die Bestimmung der Vorzeichen und für die Berechnung der Momente gemachten Annahme folgt, daß sich das

| linken }

{rechten |

negativ \ positiv j’

| bezeichnet wie das entsprechende Einspannungsmoment des anschließenden Trägerfeldes ergibt.¹)

oberste Kopfmoment der

Außenstütze.

immęr j

somit

gleich

entgegengesetzt

Aus dem Bildungsgesetz der Kopfmomente ist ohne weiters ersehen, daß die größten Kopfmomente erzielt werden, wenn die Differenz der Einspannungsmomente der angrenzenden Trägerfelder einen absolut größten Wert ergibt und wenn gleichzeitig das Fußmoment der darüber stehenden Stütze gleiches Vorzeichen wie diese Differenz der Einspannungsmomente besitzt. Aus beiden Bedingungen zusammengenommen folgt für das bisher besprochene dreigeschossige Rahmentragwerk, daß für die größten Kopfmomente (bezw. Fußmomente) die gleichförmig verteilten Lasten nach dem Schema der Figur 131 oder nach einem Schema aufzubringen sind, für welche die nach dieser Figur unbelasteten Felder vollständig belastet werden und umgekehrt. Beispielsweise ergibt die Belastung nach Figur 131 das größte negative Kopfmoment für JBm und Bz und gleichzeitig für das größte positive Kopfmoment für Bn. Für das größte positive Kopfmoment in BUI und Bt und gleichzeitig für das größte negative Kopfmoment in Bn müßten hingegen die Felder Am BIW A[ Bp Bn Cn belastet und die Felder An B

Bei gleich großen Feldern, sowie bei totaler gleichförmig verteilter Belastung sämtlicher Felder, wobei diese Belastung je in einem Geschoß in den einzelnen Trägerfeldern gleich groß ist, sind alle Mittelstützen rechnungsmäßig ohne Momente ; erst durch eine Nutzlast, die nicht symmetrisch zu einer Mittelstützenreihe aufgebracht ist, werden diese Mittelstützen rechnungsmäßig auf Biegung beansprucht.

Eventuelle Kragarme der Träger (für Erker u. dgl.) sind für. sich als selbständige Träger, die an den betreffenden Stützen eine vollkommene Einspannung erfahren, anzusehen : dadurch wird an der für die positiven Feldmomente des betreffenden Endfeldes angegebenen Berechnungsart nichts geändert. Das Einspannungsmoment eines Kragarmes ist natürlich bei der Bestimmung des Kopfmomentes der anschließenden Stütze so zu beachten, als hätte man es mit einer Mittelstütze zu tun.

Für die Belastungsfälle der totalen gleichförmig verteilten Feldbelastung glm sowie einer Einzellast P in Feldmitte ergeben sich in einem End- bezw. Mittelfelde die in den nachstehenden

zu

IV

BmC

in-.

B₁ Cj. unbelastet sein.

Querkräften bei freiaufliegenden Trägern mit zwei oder mehreren Stützen. Auch da ist durch die Annahme über den Sinn der Querkräfte jeweilig ein Stützendruck gleich der algebraischen Differenz aus der rechts und links auftretenden Querkraft,

linken rechten

wie die Querkraft an der gleichen Stelle besitzt.

so daß der Stützendruck der

Außenstütze

gleiches

entgegengesetztes

Vorzeichen

Figuren 132 a), b) bezw. 133 a), b) eingetragenen Momentenlinien, wie sie der Berechnung der Träger eines Rahmentragwerkes zu Grunde zu legen sind.

Figur 131.

CO

CD

ta

Ei

PC

031=1

h •L

h_2

-o

i»

f—)

-c"b

xi

(+)

->FB

Für andere Belastungsfälle (partielle, gleichförmig verteilte Belastung, Einzellasten in beliebiger Lage und für Kombinationen solcher Belastungen) sind ebenfalls jeweilig die für die Berechnung maßgebenden Momentenflächen in den Mittel- und Endfeldern zu ermitteln und können hierfür die in Tabelle Nr. 16 (nach S. 246) für charakteristische Belastungsfälle angegebenen Formeln unter Berücksichtigung des durch die amtliche Vorschrift (HV. § 5, Abs. 5) festgesetzten Näherungsverfahrens mit Vorteil Verwendung finden. In dieser Tabelle sind die notwendigen Werte für die einerseits frei aufliegenden, anderseits fest eingespannten sowie

Figur 133«.

Figur 132«.

iz

"T

.X

i.

0 087 gl

( 9>|2 )

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21 £ .

Figur 132 b.

Figur 133 b.

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für die beiderseits fest eingespannten Träger eingetragen. Die Werte der Auflagerdrücke kommen für die Berechnung rahmenartiger Tragwerke nicht in Betracht, sie können nur dann, wenn die in Tabelle Nr. 16 angeführten Träger als selbständige Tragwerke vorliegen, angewendet werden,

Handelt es sich ausnahmsweise um bewegliche verteilte Belastung oderum bewegliche Einzellasten, so wird man aus Einflußlinien für die Momente einzelner Querschnitte der einzelnen Trägerfelder unter Beachtung des vorangeführten

Näherungsverfahrens die betreffenden Größtwerte bestimmen und dieselben auch weiterhin zur Berechnung der Stützen selbst verwenden.

Die auf die erörterte Art gefundenen Momentenflächen der Träger und Stützen bilden die Grundlage für die Austeilung der LängseiSen, d. i. für die Materialverteilung sowie für die Untersuchung auf Haftspannungen; aus der Veränderung der Momente in den Stützen können schließlich auch die Schubspannungen der letzteren bestimmt werden.

Die Querkräfte und Auflagerdrücke der Träger sind gemäß HV. § 5, Abs. 5 wie für durchlaufende Träger zu berechnen. Der hiebei sowohl für ständige als auch für ruhende und bewegliche Nutzlast einzuschlagende Vorgang soll als bekannt vorausgesetzt werden. Von den Querkräften hat dann die Ermittlung der Schub- und Haupt Zugkräfte der Träger auszugehen. Die Auflagerdrücke geben die zentrischen Achsialbelastungen der Stützen. Im allgemeinen werden für jede Stütze zwei Lastgruppierungen zu beachten sein:

a)    jene, welche die größten Achsialkräfte (ermittelt als Auflagerdrücke der durchlaufenden Träger) erzeugt, wobei bestimmte, der gleichen Belastung entsprechende Biegungsmomente (ermittelt nach dem durch die HV. § 5, Abs. 5 festgelegten Näherungsverfahren) hinzutreten, und

b)    jene, welche die größten Biegungsmomente hervorbringt, wobei wieder bestimmte der gleichen Belastung entsprechende Achsialkräfte hinzutreten.

Welcher der beiden Belastungsfälle für die verschiedenen Querschnitte u. zw. für die Zug- und Druckrandspannungen einer in ihren Abmessungen vorerst angenommenen Stütze maßgebend ist, wird am einfachsten aus den Diagrammen der beiderseitigen Randspannungen, dieselben jeweilig im betreffenden Querschnitte der Stütze wagrecht aufgetragen, zu entnehmen sein. Im allgemeinen wird an den Köpfen und Füßen die Lastgruppierung b), an den mittlere Säulenpartien die Lastgruppierung a) die größeren Randspannungen erzeugen.

Natürlich muß hier, wo rechnerisch die Zugteiie des Betons ausgeschaltet werden, in die Belastung die ständige Last gleichzeitig mit einbezogen werden.

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Figur 142.

Figur 141.

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Figur 140.

UI/fi

Figur 139.

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33

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CA.

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X-1

Figur 138.

z!

Figur 137.

Figur 136.

Tjp/m

Figur 135.

w/F

Figur 134.

Si

M.2-—^

À.

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ZZ

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z-f.....o

i-.

Belastungsfall

T(Z

l(L qd— Vj

n'rfc

= K&

îf

— = lÆ

a—j = za

la

+d y

lw—zw

= Ms

(x~ î)d~ — = SJC

zx

-Px

lw

7,1

Px

b(* — 1)

A = ²-4+%H

D₂ =p b — D

= iœ

if

%qd-

— = zw

— =Tw

tÜT —

zlZ\

<2 (q 8 — i f)

12 P

l² + 2cl + 3c²

____ ____ _    (? + »g)(«2 + »g)

<2tf|(₈<2 + 3g<2? + ^?9 + s^)^+(^ + ^8 + ^ 8)~ — (^ + a g)^j — = W

Vdftsq + gqvf + qfVQ+gVf) y + (gq + <20 8+ 8® 8) y—(î+og)-^j

l6 — = Vj = \[ *2^921-0 = «2^ y= MB ^ iitoo = d^ y=jit

zl ⁶ 880-0 — = s2 — = ZW= lW

D₂ — P— D₁

Ja

21*

_(l — x)² (21 -\- x) p

= us

— =w

- Px

2l²

l² —

/y»2

— Px

A =P b — Dx

SP

(3 l -f a) b

If

2 a -f- b

p b²

8 l²

(l-\-a)²

p b²

xa — qd=za

fi2 8__„ d — — Vr

(<2 + 2 8)    8 ^

= ?ffi - =HT

41

zq d

?2 8

p b²

la — ⁽id=z(i

eo — g(3-f-<2)J    ^

2Z²

8Z³

(b 4- c)⁴ — c⁴'

(2 a-\-b)(2 c-f- 6)

— =w

(b -|- c)² — c²

21

r? — e0 + <2)

zl 8

(b -j- c)⁴ — e⁴

l^QZ9-0 = l^~=za 2 ^QAS-0 = 2 ^-§- = t<T

O

zl^ 9Zl-0 = zl^-j

zl^QZl-0 — = zî^~--= W

— MB

Momente und Stützendrücke

Biegungsmomente und Stützendrücke a) für einerseits frei aufliegende, anderseits fest eingespannte, b) für beiderseits fest

eingespannte Träger.

Tabelle Nr. 16.

'

!

✓

\

r

■H

*

¹

Es ist dies eine nur scheinbare Unstimmigkeit, welche bedingt ist durch die im ganzen Tragwerk gleichartige Zuweisung desselben Momentenvorzeichens für die nach derselben Seite gekehrte Konvexität der elastischen Linie. Mit der Einführung der „Außenseite“ und „Innenseite“ kann bei mehrstieligen Rahmen nicht mehr das Auslangen gefunden werden. Eine gleichen Ursachen entspringende Analogie besteht bei der Beziehung zwischen den Stützendrücken und den daselbst auftretenden

X. Durchlaufende Träger.¹)

In den Vorschriften sind mehrere Bestimmungen enthalten, welche sich auf durchlaufende (kontinuierliche) Träger beziehen. Zunächst ist (HV., BV. § 5, Abs. 3) festgesetzt, daß Tragwerke, welche über mehrere Felder durchgehen und auf den Stützen frei aufruhen, nach den Regeln für durchlaufende Träger unter Berücksichtigung der jeweils ungünstigsten Laststellung zu berechnen sind. Hiernach darf also im allgemeinen nicht eine gleichmäßige Vollbelastung eines oder aller Felder mit der veränderlichen (Nut z-)L a s t zur Bestimmung der Querkräfte und Biegungsmomente benützt werden, sondern es sind mit Hilfe der maßgebenden T ei 1 bel a stung die Maximalwerte der genannten Größen für jeden Querschnitt zu ermitteln. Letzteres ist insbesondere überall dort unbedingt erforderlich, wo eine Veränderlichkeit des Querschnittes durch Wechsel der Eiseneinlagen herbeigeführt werden soll, wo es sich also um eine Materialverteilung, somit um Bestimmung der Eisenlängen, ferner um Austeilung von Bügeln u. s. w. handelt. Bei beweglichen Einzellasten werden die ungünstigsten Laststellungen am zweckmäßigsten mittels Einflußlinien ermittelt werden.

Eine weitere Bestimmung (HV., BV. § 5, Abs. 4) besagt, daß durchlaufende Platten von Plattenbalken ohne Bedachtnahm e auf die elastischen Formänderungen der Balken als auf diesen frei auf ruhend berechnet werden können. Bei dieser Tragwerksgattung kann also die Senkung oder Verdrehung der Balken (Rippen) außer Acht gelassen und ein freies Aufruhen, d. h. eine ungehinderte Beweglichkeit der Platte über den Balken, ferner eine unveränderliche Höhenlage der letzteren für die Rechnung vorausgesetzt werden.

Im allgemeinen gilt jedoch nach derselben Bestimmung auch für durchlaufende Träger die Festsetzung, daß bei einer entsprechend steifen Verbindung derselben mit elastischen Stützen die Formänderung der letzteren infolge der Wirkung der äußeren Kräfte zu berücksichtigen ist.

Derartige durchlaufende Tragwerke müssen hinsichtlich der äußeren Kräfte natürlich nach den allgemeinen Regeln für statisch unbestimmt gelagerte Träger untersucht werden und ist daher auf den vorangehenden Abschnitt zu verweisen, wo auch ein

Beispiel vorgeführt wurde. Hier sollen nur die durchlaufenden Tragwerke im engeren Sinne, die auf unnachgiebigen Stützen frei aufruhen, mit Rücksicht auf ihr häufiges Vorkommen im Bauwesen etwas näher besprochen werden.

Einleitend sei bemerkt, daß, wenn es auch theoretisch unnachgiebige, absolut starre Stützen nicht gibt, immerhin mit genügender Genauigkeit fast alle gewöhnlich vorkommenden Fälle, in welchen platten- oder balkenförmige Tragwerke über Mauern oder Träger aus Eisenbeton hinweglaufen, unter der Annahme fester Stützen berechnet werden können ; bei der Ausführung ist dann aber dieser Annahme dadurch Rechnung zu tragen, daß durch sachgemäße Fundierung einer Senkung oder Verdrehung der Widerlager oder Stützen vorzubeugen ist. Auch die Berücksichtigung einer durch Veränderlichkeit der Trägerhöhe oder der Eiseneinlagen bedingten Querschnittsänderung für die Ermittlung der äußeren Kräfte bietet zwar theoretisch keine Schwierigkeiten, ist aber, abgesehen von der für die Praxis sehr ins Gewicht fallenden Umständlichkeit der Rechnungen, praktisch bedeutungslos gegenüber den sonstigen mannigfachen, nur annähernd gütigen rechnerischen Voraussetzungen. Es soll daher im folgenden zur Vereinfachung die Annahme eines konstanten Querschnittes gemacht werden.

Hinsichtlich des im allgemeinen bei der Untersuchung durchlaufender Träger einzuschlagenden Vorganges muß, als den Zwecken des vorliegenden Buches ferner liegend, auf die Theorie dieser Trägergattung verwiesen werden. Für die einfacheren Fälle von zwei oder drei gleichen oder ungleichen sowie von mehr als drei, jedoch gleichen Feldern lassen sich verhältnismäßig einfache Formeln für die maßgebenden statischen Größen aufstellen, welche die Berechnung wesentlich vereinfachen. Demgemäß sind in der folgenden Tabelle Nr. 17 die betreffenden statischen Werte zusammengestellt und zwar für zwei und drei gleiche oder ungleiche Felder, für gleichförmige Belastung und für eine Einzellast in beliebiger Lage.

In die Tabelle sind für den jeweiligen, dort dargestellten Belastungsfall die Stützenmomente, dann bei gleichförmiger Last das Moment in der Feldmitte des entsprechenden einfelderigen, frei aufliegenden Trägers, ferner bei Einwirkung einer Einzellast . das Moment am Angriffspunkte der Last, gleichfalls auf den einfelderigen frei aufliegenden Träger derselben Feldweite bezogen, endlich für die Ermittlung der Querkräfte die Werte einzelner Stützendrücke aufgenommen.

Nr.

Do

Do

U-

:X

Tabelle Nr. 17.

Biegungsmomente (und Stützendrücke) für über zwei oder drei Felder durchlaufende Tragwerke bei verschiedenen Belastungsweisen.

Belastungsfall

Figur 143.

IW

hj

ST-l

~*L

Figur 144.

j/m

145.

Momente (Stützendrücke)

Nr.

Belastungsfall

Momente (Stützendrücke)

e±

Figur 146.

in

p/m

Figur 147.

Figur 148.

[/m

IHi

ff

Dz

Dz

99?, = 99?, =

9 ?²

D₀ = D₂z=— gl, Dx =

10

9l)

c?

-i:

max M = 0'0703gl² bei x = — l

^=“16^ a»,=4- » p

Do

A    -^1— g    — iß

max M = 0'0957 ^)?² bei x = — l

(l² — x²)

4 l²

Px

16

.1

Figur 149.

un

tM !

Figur 150.

3/m

Pl

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■*4<

;.l

Ą,.; Figur 151.

.p/m

⁹    ''j yj|

Do

Pi

Mx=M%=-±gl*

m, = m₂ = m,=\gp

(D₀ = DS =0-4gl, Dl = D₂ = VI gl)

1.    Feld: max M=0'08gl² bei x = 0’4l

2.    „ : max M=Q-Q2bgl² ,, x = Q-bl

M₁=3l,=-±pP

3». = ä«s = -+²

(D₀ = T)s = 0*45p l, JD₁ = I)₂ = 0-55p l)

1.    Feld : max M = 0'1013 pl² bei x = 0°45 l

W₂=±-pP

(D₀ =D₃ = — 0⁻05pl, Dx — I)₂ = 0-55p l)

2.    Feld: max M — O'Olbpl² bei x = 0’bl

2»! =

*Px

Figur 152.

g/m

p/m

M'=-6Öpl*

*=-k*P

99?, = —

99?, =

1 + n3 8 n² (1 -|- w)

₈ gi\, 9)?₂ = y</?f

10

Do

Ja

JHl

lü

rO

Dj

■4

W-

->i

Figur 153.

St

W^M^fpl²

D₀ = 0’38S3pl, Dl = l,2pl, D₂ — 0'^bpl D₃ = —0’0333pl

1.    Feld: max M = 04)735.pl² bei x — 0-3833 l

2.    ,, : max M — 0’0b34:pl² „ x = 0'4167 l

Mx— —

4 y* _ Xi)

15 l²

Px

JMi=-

8(1 + n)

99?, =-^pl²

11

-*K

■H

M₂

99?, =

l^=SpX

15 l²

-Px

Figur 154.

]\L = —

(l — x) (7 l — 5 x)

-X_„

Mx

_ n (l\ — x²)

15 ?²

Px

j!

2(1 + n)l\

l±ZL?L PX

M₂=~

(l — x) (2 l + 5 x)

15 ?²

Px

‘■1

...l

l-

-J

i.

99?₂ =

- Px

In Figur 146 bis 148 . . .lx—nl₂.

BÏ*

;

i

IlfiUuTtKA PÖlifi^iälSIiÄ

KRAKÓW

Nr.

Belastungsfall

Figur 155.

[An

13

il-

...k.

Figur 156.

14

AS,    jë

îïïïïlflffïïïïïïT!

-J-.

Figur 157.

■P/m

15

k-

Figur 158.

p/m

16

II S

K-

k.

Figur 159.

XI

El

h-*-

ki

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CNI ' •!

i-

».

Figur 160.

.T.___

PM

CC

2--J

Tabelle Nr. 17.

Biegungsmomente für über zwei oder drei Felder durchlaufende Tragwerke bei verschiedenen Belastungsweisen.

M omente

Mx = J\l₂ = m₁ = m₃=fgi! m₂ =

fßl

Nr.

Belastungsfall

Figur 161.

l-\-n³

4 (3 + 2 n)

dH

g/m

19

20

1 4- 2 «³

2    (7 + 8 +

³    + ⁴ n-n*

4 (7 + 8 n) J 2

dH

+.

-k

Ml = -M, = -9+ = +î, 3R, = 3K» = -i--gl\

= — Wi=»3 =+?

mx=m2 3», = +*!

Mx =

m,=

4(3 + 2 +

4 (3 + 2 +

Pi f

pH

2 (1 + + ( 1 + «³) — 1

4 (1 + 2 + (3 + 2 + 1 + 2 « — n³

4 (1 + 2 + (3 + 2 n)

»;,=++ ä».=+*i

J*i=-

Jf₂ =

7*i=-

m₂ = —

pH

21

22

23

Figur 162.

)/m

Jf₁₌-

JL = —

■j

t<---------

Figur 163.

p/m

•2

~{

— 1 + 4 «3 4 (7 + 8 +

2 + 2 n — n³ , 4(7 + 8»)" J 1

MÎ. 3». = -+!

^=-

t ......A+________

+^Mir*r

i-......-4------........k--------~L--......k---------J

m₂ = -

4 (7 + 8 + l + 2w

4 (7 + 8 +

pH

Figur 164.

!IOI]XiîPIII[-II]]]Ii-i-I]-î]I]-]I-Dl    —rrrrmyrrTTTTlTTTTnia^rs.

Silin

->r<-

42

-H

Figur 165.

p/m

.4.2.

Figur 166.

SR, =

pH

3 + 4«3 4 (7 + 8 +

1 + 2m-m³    ₇₂

4(7 +

9+ = +2> + »3 =

jf₂ =

M,=-

m₂ = -

2 (7 + 8 + 3 + 4 n

4 (7 + 8 +

vn₂ = m₃ =

W!

+!

vH

pH

2 (1 + + (l\ — x²)

n (1 + 2 + (3 + 2 + ?§

/² — x²

« (1 + 2 n) (3 + 2 n) l\

-Pæ

Px

24

-P.i;

25

(4 — + [(3 + 4+4 ~~~ (3 + 2 + x] p^ (1 + 2 + (3 + 2 n)l\

(4—+[2«4+(3+: + *]

(1+2«) (3 + 2+îf

Px

X..JP

TT

j+t.

-k

HP

->u.

U-

SV

C^J

^^1^+    —I-■—_^

Mx = -

M₂ =

..Î.2.....

-4

9J4 =

4 (Z| — x²)

4 (84+7 /₂)

l\ — x²

4 (84 + 7 4) ++

- Px

Px

Figur 167.

Jf₁₌-

il

2+ =

(L — x) CIL — 5 +

(8 4+7 4)4

(4 — + [2 4 4 + ^ 4 ^ + 8 4 kl

Px

(84 + 7 4) H

Px

Px

L'

Figur 168.

Mx =

Px

4 ,,+ px

26

M₂=-

m,=

4 (84 + 7 4)

2 (4 + 4) (H '^²) ^1 (8 4 + 7 4) Z^CPx

Px

l.i

J-

In Figur 155 bis 168 ... 4 = n l₂.

,r.

biblioteka miiîZ-

KRAKÓW

* Jr

«

Hiernach ist man im stände, für die wichtigsten maßgebenden Belastungsarten die Stützendrücke, Querkräfte und Momente zu bestimmen, allfällig bei veränderlicher Verkehrslast, wie bei Brücken, Einflußlinien zu entwickeln und mit deren Hilfe die ungünstigste Stellung eines Systems von Einzellasten auszu-mitteln bezw. die entsprechenden Maximalwerte der Momente zu finden.²)

Für durchlaufende Träger mit 2, 3...7, 8 gleich langen Feldern sind bekanntlich — und zwar für gleichförmig verteilte Vollbelastung aller Felder (beispielsweise für das E i g enge wie ht g Tcgjm) — die Stützendrücke, Stützenmomente, maximalen positiven Feldmomente und die Querschnitte, in denen dieselben auftreten, ferner die Momenten-Nullpunkte in „Des Ingenieurs Taschenbuch, herausgegeben vom Verein: Hütte“ angegeben. Die Momentenlinien, durchwegs aus Parabeln mit dem

Parameter—- zusammengesetzt, sind dadurch festgelegt, ebenso die

Querkraftlinien, die aus schräg zur Æ-Achse, untereinander parallelen Geraden (Richtungswinkel — arctg g) bestehen. An den Stützen ändern sich die Ordinaten um die den jeweiligen Stützendrücken entsprechenden Werte sprungweise.

Liegt ein durchlaufender Träger mit verschieden langen Feldern vor, so werden für gleichförmig verteilte Vollbelastung aller Felder (E i gen ge wicht) vorerst mit Hilfe der Clapeyron’sehen Gleichungen oder zeichnerisch die Stützenmomente und dann aus diesen die Querkräfte und Stützendrücke ermittelt. Die Momentenlinie und Querkraftlinie werden dann in ganz gleicher Art wie für gleich lange Felder bestimmt.

Die infolge gleichförmig verteilter partieller Verkehr si a st p ~kg\m auftretenden maximalen (±) Momente und die maximalen (±) Querkräfte erhält man bekanntlich für einen beliebigen Querschnitt aus abwechselnder Total- und Nullbelastung benachbarter Felder, in denen der Querschnitt nicht liegt, und aus totaler oder teilweiser Belastung des Querschnittfeldes selbst. Hinsichtlich des Näheren hierüber muß auf die bekannten Werke über Baumechanik verwiesen werden.

In nachstehender Tabelle Nr. 18*) sind die Werte der maximalen (±) Momente und maximalen (±) Querkräfte für 2, 3 und 4 gleich lange Felder und zwar in den Außenstrecken (d. i. zwischen den Stützen und den Fixpunkten) für Intervalle von 0’05 l, in den Innenstrecken (d. i. zwischen den Fixpunkten) für Intervalle von 0"10 l, ferner auch die Momente für die Fixpunkte selbst angegeben.

Tabelle Nr. 18.

Maximale (±) Momente und Querkräfte für über zwei, drei oder vier gleich lange Felder durchlaufende Tragwerke.

2 gleich lange Felder.**)

max (-j- M)

max (— M)

max (-f- Q)

max (— Q)

o-i

0-2

0-3

0-4

0-5

0-6

0-7

0-75

0-8

0-85

0-9

0-95

0-03875

0-06750

0-08625

0-09500

0*09375

0-08250

0-06125

0-04688

0-03000

0-01523

0-00611

0-00138

l'O

0-00625

0-01250

0-01875

0-02500

0-03125

0-03750

0-04375

0-04688

0-05000

0-05773

0-07361

0-09638

0-12500

0-4375

0-3437

0-2624

0-1932

0-1359

0-0898

0-0544

0-0287

0-0625

0-0687

0-0874

0-1182

0-1609

0-2148

0-2794

0-3537

0-0119

0-0027

0-4369

0-5277

0-6250

. (- pl)

• (+pl²)

Liegt ein durchlaufender Träger mit mehr als 4 gleich langen Feldern oder ein solcher mit beliebig vielen, ungleich langen Feldern vor, so ist für die Bestimmung der einer gleichförmig verteilten, partiellen Verkehrslast p kg/m entsprechenden (±) Maximalmomentenlinie, sowie der (±) Maximalquerkraftlinie folgendes zu beachten:

Für Querschnitte der Innenstrecken erhält man — abgesehen von der schon weiter oben angegebenen Regel für die Belastung der übrigen Felder —

*) Nach Dr. E. Winkler: „Theorie der Brücken, 1. Heft: Äußere Kräfte der Balkenbrücken“, Wien 1886.

**) Die Tabellenwerte für 3 und 4 gleich lange Felder finden sich auf Seite 251

und 252.

das maximale (-{-) Moment bei Vollbelastung,

(-)

,, Nullbelastung

des Querschnittsfeldes, so daß in den Innenstrecken die (-[-) Maxi-malmomentenlinien sämtlicher Felder durch Parabeln mit dem

Parameter— und die (—) Maximalmomentenlinien durch Gerade dargestellt werden.

Für Querschnitte der Außenstrecken ist für das maximale (±) Moment eine teilweise Belastung des Querschnittsfeldes maßgebend. Die entsprechenden (±) Maximalmomentenlinien sind Kurven höherer Ordnung, die in den Endfeldern tangentiell in die (±) Maximalmomentlinien der betreffenden Innenstrecken übergehen, während in den Mittelfeldern ein solcher tangentieller Übergang nicht stattfindet.

3 gleich lange Felder.

max (-(- M)

max (— M)

max (4- Q)

max (— Q)

1. Feld.

0-1

0-2

0-3

0-4

0-5

0-6

0-7

0-7895

0-8

0-85

0-9

0-95

1-0

0-040

0-070

0-090

0-100

0-100

0-090

0-070

0-04362

0-04022

0-02773

0-02042

0*01706

0-01667

0-005

o-oio

0-015

0-020

0-025

0-030

0-035

0-03948

0-04022

0-04898

0-06542

0-08831

0-11667

0-4500

0-3560

0-2752

0-2065

0-1496

0-1042

0-0694

0-0443

0-0500

0-0563

0-0752

0-1065

0-1496

0-2042

0-2694

0-3443

0-0280

00193

0-0167

0-4280

0-5191

0-6167

0-5

0-1

0-15

0-2

0-3

0-4

0-5

0-01667

0-01408

0*01748

0*02053

0-030

0*055

0-070

0-075

2. Feld. 0-11667 0-09033 0-06248 0-05678 0-050 0-050 0-050 0-050

0-5833

0-4870

0-3991

0-3210

0-2537

0-1979

0-0833

0-0870

0-0991

0-1210

0-1537

0-1979

• (+pV)

• (-pl²)

. (-pl)

4 gleich lange Felder.

max ( -f- 31)

max (— 31)

max (-f Q)

max (— Q)

1. Feld.

o-i

0"2

0-3

0-4

0-5

0-6

0-7

0-7887

0-8

0-85

0-9

0-95

1-0

0-03964

0-06929

0-08893

0-09857

0-09822

0-08786

0-06750

0-04108

0-03738

0-02484

0-01629

0-01393

0-01340

0-00536

0-01071

0-01607

0-02143

0-02679

0-03214

0-03750

0-04225

0-04309

0-05216

0-06772

0-09197

0-12054

0-4464

0-3528

0-2717

0-2029

0-1461

0-1007

0-0660

0-0410

0-0535

00599

0-0788

0-1101

0-1533

0-2079

0-2731

0-3481

0-0247

0-0160

0-0134

0-4319

0-5231

0-6205

0-05

0-1

0-15

0-2

0-3

0-4

0-5

0-6

0-7

0 7895

0-8

0-85

0-9

0-95

1-0

0-01340

0-01163

0-01455

0-02537

0-03000

0-05678

0-07357

0-08036

0-07715

0-06393

0-04363

0-04170

0-03451

0-03105

0-03173

0³03571

2. Feld.

0-12054

0-09323

0-07212

0-06340

0-05000

0-04821

0-04643

0-04464

0-04286

0-04107

0-03947

0-04027

0-04754

0-06105

0-08120

0-10714

0³6027

0-0670

0-5064

0-4187

0-3410

0-2742

0-2190

0-1755

0-1435

0-1222

0-1106

0-1071

0-0707

0-0830

0-1153

0-1385

0-1833

0-2398

0-3078

0-3865

0-4749

0³5714

• (+pl²)

. (-pl)

Für die praktischen Bedürfnisse des Eisenbetonbaues genügt es nun vollkommen, statt der genauen Werte der maximalen (±) Momente der Außenstrecken jene einzusetzen, die den Sehnen der betreffenden Kurven entsprechen. Da die (±) Maximalmomenten-linie der Außenstrecken in ihren für die Dimensionierung maßgebenden Teilen (d. h. in jenen mit ± Ordinaten) die konvexen

Seiten der #-Achse zukehren, so wird durch die soeben angegebene Näherungsregel die Sicherheit etwas erhöht und viel an Rechnungsarbeit gespart.

Auf diese Art ist es immer nur nötig, für die Stütz- und Fixpunktquerschnitte die maximalen (±) Momente zu ermitteln, so daß man bei der Bestimmung der vollständigen (±) Maximal-momentenlinie des durchlaufenden Trägers immer mit Vollbelastungen der einzelnen Felder auskommt. Es wird sich daher sowohl bei der Berechnung als auch bei der zeichnerischen Ermittlung der Maximalmomentenlinien empfehlen, für die Vollbelastung eines jeden einzelnen Feldes allein sämtliche Stützenmomente zu ermitteln und aus diesen mit Hilfe des Superpositionsgesetzes die Stützenmomente für jene Belastungsfälle zu bestimmen, die für die maximalen (±) Stützenmomente und für die maximalen (±) Momente der Innenstrecken maßgebend sind. Die nur aus Parabeln und Geraden zusammengesetzte (-(-) Maximalmomentenlinie, sowie die nur aus Geraden zusammengesetzte (—) Maximalmomentenlinie selbst sind dann nach dem bereits oben angeführten eindeutig festgelegt.

Hie (±) Maximalquerkraftlinien sind schwach gekrümmte Kurven höherer Ordnung, welche ihre konvexe Seite der x- Achse zukehren. Auch bei diesen ist es zulässig, die Sehnen einzuführen, so daß nur die Werte der maximalen (±) Querkräfte unmittelbar zu beiden Seiten der Stützen aus Belastungsfällen abzuleiten sind, bei denen, wie für die Stützenmomente, Vollbelastungen einzelner Felder maßgebend sind.

Besteht die Verkehrslast entweder vollständig oder zum Teil aus Einzellasten, dann ist die immerhin umständliche Ermittlung der Einflußlinien für die Momente und Querkräfte nötig, worüber die einschlägigen Werke über Baumechanik Aufschluß geben.

Durch die amtlichen Bestimmungen (HV. § 4, Abs. 15) wird übrigens im allgemeinen die Anordnung von Dilatationsfugen in Abständen von höchstens 20 m vorgeschrieben, so daß mehr als sechsfeldrige durchlaufende Träger und deren zeitraubende Berechnung wohl selten in Frage kommen dürften.

XI. Plattenförmige Körper.

In den amtlichen Vorschriften (HV. § 5, Abs. 6, BV. § 5, Abs. 5) ist eine Bestimmung enthalten, welche die Berechnungsweise ringsum frei aufruhender oder eingespannter, rechteckiger Platten mit sich kreuzenden Eiseneinlagen festsetzt.

In den Figuren 169 und 170 sind allseitig derart durch Mauern oder Träger unterstützte Platten dargestellt, daß Rechtecke mit den Seitenlangen a und b entstehen ; als letztere sind die im Sinne der HV., BV. § 5, Abs. 1 zu ermittelnden rechnungsmäßigen Stützweiten aufzufassen.

Durch die oben angeführte Vorschreibung wird eine gewisse Lastverteilung festgesetzt. Von einer auf eine solche Platte einwirkenden Last Q, ob dieselbe nun eine Einzellast oder eine gleich-

Figur 169.

Figur 170.

«S

eu!

ÛÛ

L.

___J L_

HH

J'L____L__

L____I l—i _J L_

~i r~

nr

_l L____I I___

JlL

_j

-, r

"T

C_5

mäßig verteilte Belastung oder schließlich eine Kombination beider Belastungsarten darstellt, entfällt auf eine gedachte Platte A von der Stützweite a :

b²

Q — aQ,

h(l ka² -j- b²

auf die zweite gedachte Platte B von der Stützweite b:

ka²

..210).

ha² -\-b

*Q = îQ

Das Verhältnis k — wobei

F die Eisenfläche auf 1 m, letzteres gemessen in Richtung a,

,, lą

»

ist, darf hierbei nur zwischen den Grenzen 0⁻3 und —— 3‘33

liegen. Ist dies bei einer gekreuzt armierten Platte der vorerwähnten Art nicht der Fall, dann ist im Sinne der amtlichen Vorschriften die

Platte nur als nach der kleineren Stützweite a aufliegend zu berechnen ; dasselbe gilt auch, wenn die größere Stützweite b mehr als das Einundeinhalbfache der Stützweite a beträgt, d. h. wenn

(v=M)> 1-5 ist-

Besonders zu beachten ist, daß nach HV. § 5, Abs. 24, BV. § 5, Abs. 22 durchlaufende schlaffe Eiseneinlagen bei allen Tragwerken — mit Ausnahme von Stützen — in Abständen von höchstens 20 cm angeordnet werden dürfen, falls ihre statische Wirkung berücksichtigt werden soll. Darnach kann eine ringsum aufliegende Platte eventuell auch in dieser Hinsicht als eine nur nach einer Stützweite a oder b oder sogar als nicht armiert aufzufassen sein.

Mit Rücksicht auf die gegebenen Grenzen der Verhältnisse h und n — (b : a) können auch die, die Lastverteilung kennzeichnenden Verhältniszahlen a und ß in Gl. 210) sich nur zwischen gewissen Grenzwerten bewegen. In der Tabelle Nr. 19 sind die Größen a und ß für eine Reihe von Werten der h und n zusammengestellt.

Tabelle Nr. 19.

Werte der Lastverteilungszahlen a

b²

n²

ka²-\-b²    k~\-n²

und ß

1c a²

ka²-\- b²

(1 — a) für gekreuzt armierte Platten rechteckiger Form.

n — (b : a)

Je

1-1

1-2

1-3

1-4

1-5

cc

0-882 0-118 0-849 0-151 0-818 0-181 0-790 0-210 0-763 0-237 0-738 0-262 0-714 0-286 0-692 0-308 0-600 0-400 0-530 0-470 0-474 0-526 0 429 0-571 0-403 0-597

0-867 0-133

l-^OOOOOOO

3-33 0-231

Zwischenwerte können mit genügender Genauigkeit geradlinig interpoliert werden.

Kommt als Belastung eine Einzellast P in Betracht, so ist zunächst jene Fläche der Platte zu bestimmen, auf welche sich

zu

der Druck P verteilt; die Ausmaße dieser Fläche sind durch die Bestimmungen HY. § 5, Abs. 13 und BY. § 5, Abs. 11 festgesetzt. Die größten Ausmaße a' und 1/ dieser Verteilungsfläche, gemessen in Richtung der beiden Seitenlangen a und b (s. Figur 171), geben jene für die Lastaufnahme statisch wirksam gedachten Breiten der

Platten B' und A! an, die für die Aufnahme der Einzellasten P und P rechnerisch

0    a

einzuführen sind.

Hierbei werden auch bei Formen der Verteilungsfläche, die von Rechtecken abweichen, die Einzellasten Pn und Ph als über die Belastungslänge a' und b' gleichförmig verteilt angenommen werden dürfen.

Figur 171.

<J—T

b'

A'

Sl

Der Vorgang, welcher b eim Überprüfen einer solchen in Rede stehenden Platte mit sich kreuzenden Eiseneinlagen einzuschlagen ist, bedarf nach dem obigen kaum einer näheren Er läuterung. Im allgemeinen sind nach den vorhandenen Verhältnissen h und n = (b:a) die auf die beiden, nur nach der Stützweite a oder b aufliegend gedachten Platten A und B entfallenden Lastanteile gemäß Gl. 210) mit Hilfe der Tabelle Nr. 19 ermitteln, hierauf die betreffenden Momente (bei Einzellasten oder bei Kombination derselben mit verteilten Lasten unter Berücksichtigung des oben Gesagten) zu bestimmen und die Platten A und B hinsichtlich ihrer Spannungen im Sinne des Abschnittes III zu untersuchen.

Für das Entwerfen derartiger Platten ist der Berechnungsvorgang insofern nicht so scharf festgelegt, als bereits von vornherein eine Annahme über das Verhältnis b der Querschnittsflächen der beiden Scharen von Eiseneinlagen gemacht werden muß, um die Lastanteile berechnen und die Plattenstärke nebst den Eisenquerschnitten bemessen zu können. Bei totaler gleichförmig verteilter Belastung der Platte wird immer höchstens nur die obere Schar bis zur zulässigen Grenze ausgenützt sein,

während sich die untere bei Festhaltung des angenommenen Je durchwegs als unterbeansprucht herausstellt.*)

Eine rechnerische und zeichnerische Untersuchung, deren Wiedergabe hier zu weit führen würde, ergab bei Zugrundelegung einer totalen, gleichförmig verteilten Belastung für ringsum frei aufliegende Platten folgende Anhaltspunkte für eine wirtschaftliche Bemessung dieser Tragwerke :

1.    Die Eiseneinlagen der gedachten Platte A (mit der kleineren Stützweite a) ist oberhalb der Eiseneinlagen für die Platte B anzuordnen und ist die Platte A ideal zu armieren.

2.    Jener größte Wert von Je, für den bei idealer Armierung der Platte A die Betondruckspannung hab(l der Platte B noch unter der zulässigen Spannung shd bleibt, liegt für die verschiedenen Mischungsverhältnisse innerhalb enger Grenzen, nämlich zwischen rund P3 und P5, wobei der kleinere Wert dem Mischungsverhältnis 280 Jeg/in³ und der größere dem Mischungsverhältnis 4TiOJeg/m³ entspricht; größere Werte von Je lassen weder eine Ausnützung des Betons der Platte A noch beider Scharen von Eiseneinlagen zu; dem gestatteten Größtwert Je = 3'33 entspricht eine höchstens ²/₃fache Ausnützung der Platte A und eine dementsprechend noch geringere Ausnützung der unteren Eisenschar der Platte B.

3.    Bei veränderlichem n ist Je verschieden groß anzunehmen, so zwar, daß

einem n— PO., als günstigster Wert: ft=P3 — P5 (s. Punkt 2),

11 = 1‘5

,, Z; = 0’3 entspricht.

4.    Die Veränderlichkeit von Je ist von geringem Einfluß auf die Gesamtkosten der Platte; hiebei werden bei

kleiner

größer.

und wachsendem Je die Gesamtkosten

5. Unabhängig von der Größe von n entspricht einem wachsenden Je eine Verkleinerung der Plattenstärke und des Eisenbedarfes der Platte A, hingegen eine wesentlich stärker zum Ausdruck kommende Vergrößerung des Eisenbedarfes der Platte B und somit auch eine Vergrößerung des Gesamtbedarfes an Eisen.

*) Eine gleichzeitige Ausnützung beider Scharen wäre nur dann möglich, wenn dieselben bei gleichem Eisenaufwand die gleiche Höhenlage des Zugmittel-

fn> 1-0

U = '

punktes erhalten könnten, denn für alle Fälle von

förmig verteilter Belastung der Platte: Ma = (zq).

~8

ist bei totaler gleich-

= Mb=(ßq) . bl.

6. Bei Platten mit Eiseneinlagen, welche ausgenützt werden können (Mindeststärke bei Hochbauten : gemäß HV. § 5, Abs. 25 ... 5 mm, bei Brücken gemäß BV. § 5, Abs. 23 ... 7 mm),

Figur 172.

ßq/m

CT

ro

I------

EE

_j_.

____MntecLl£Ji4r___

~"Ä'

03

______ï-

! l!

C_

ll

ro

O)

Cl,'

■CT'

Figur 173.

tu

_*

nimmt die Eisenspannung hsez der - y_ Platte B, u. zw. für alle Werte bei von 0’3 bis 1*5 wach-

_Q_

100 cm

-O

g - a r£> ,____jl

-4

von n,

sendem h nur um 2— 3 v. H. zu

u. zw

und schwankt bae für verschiedene Mischungsverhältnisse zwischen 85 und 92 v. H. des Wertes aaet der Platte A. Für dieselben Grenzen von k nimmt die Betondruckspannung \d der Platte B, . für alle Werte von n, von rund 0*4 sbd bis I/O sbd — gleich

zu.

\d —

Für die Anordnung nach Punkt 1 und für totale, gleichförmig verteilte Belastung einer ringsum frei aufliegenden Platte (Figur 172 und 173) wird sich somit die Berechnung folgendermaßen stellen :

Gegeben: a, b, q kg/m², angenommen: & = p- ; die Verhält-

a

niszahlen a und ß sind somit nach Tabelle Nr. 19, S. 255 bekannt.

Bezeichnet man mit Ma (Mb) das größte Moment der 1 m breiten, nur nach der Stützweite a (b) aufliegend gedachten Platte A (B), so ist in legem :

a²

M — a . -Q- und Mb = ß .    ,

a    o

q

wenn unter ¹q

■ die gleichförmig verteilte Belastung für das

laufende cm und 1 m Breite zu verstehen ist und a (b) in cm eingeführt wird.

Nach Tabelle Nr. 2, S. 45 ist für jedes Mischungsverhältnis der ideale Armierungsgehalt 'p' der Platte A durch die Werte der zulässigen Spannungen für Beton und Eisen gegeben und beträgt beispielsweise für Hochbauten :

100 *F

a

ij?

a

= 0-8117, 0-6603, 0-5189,

je nachdem das Mischungsverhältnis : 470,    350,    280 kg/m⁴

vorliegt.

Mit der Einführung ixg — i£a lHt ist iha = lH ( 1 hiermit und mit

*F = 1 cm . ‘H lp.......

a    a F a

¹P — J-a

100 cm . *H 1 cm. H

211)

wird

H⁵a ipa ( l

M = F % 5=1 cm .

a    a a e z

—jse=lcm.iH\\seK, wobei unter Zugrundelegung der Gl. 76) bezw. der Tabelle Nr. 3, S. 79

\ = % (l--~j = 0-707, 0-582, 0-463

CL ^

beträgt. Da anderseits Jf₍ = a ¹q.— ist, so muß

■v

212)

a xq

8 cm. 's s

a e z

sein. Damit ist auch *Fa und

213)

F, = Je ‘F

b    a

bestimmt. Die Aufteilung von iFa (.Fh) auf ma (mb) Querschnitte

bj (s. S. 255), sein muß — ergibt den notwendigen Durchmesser der Längseinlagen der Platte A (B) mit

(A) - wobei 20

<d =

a

100

Damit wird

>y-r

und db =

■K4

Aus diesen Abmessungen lassen sich nun die Spannungen der Platte B ermitteln.

Es ist das notwendige

ti =

1 cm. Hb

Je. lcmAH

(t Cf

¹ cm(na-i

=k v.l¹—

(s. Tabelle Nr. 3, S. 79).

Diesem Werte von p'b entspricht wieder ein bestimmter Wert Ab und weiterhin

Da nun in Analogie zur Platte A

1 cm. Hl s,

ob ez

ist, so erhält man

b \2

8cm.eb \H

215)

bah . = F ba :

o a    o e z

100 cm. xb

mit xb = C; Hb wird

\ d — 0*02.

216)

Der Eisenbedarf (in Raumeinheiten) ermittelt sich in folgen

der Art :

Eisenbedarf in Richtung a

yj

Ea *>100-

(Fa+F'l)’ WObei Fa

daher Gesamteisenbedarf E — Ea -|- Eb =

ab

100

und F'b die Querschnittsflächen der tatsächlich zur Verwendung gelangten Eiseneinlagen der Platte A bezw. B bedeuten (Figur 172); der Betonbedarf beträgt B = ab H.

Beispiel: Für einen Hochbau soll eine rechteckige, ringsum frei aufliegende Platte mit den Lichtweiten 1-9 m und 2’85 m für eine gleichförmig verteilte Totallast Q — 7200 kg dimensioniert werden; Mischungsverhältnis: 280 kg/m³.

Nach HV. § 5, Abs. 1 muß: a > P05.190 cm bezw. > (190 -f-10) cm und b > P05.285 cm bezAv. > (285 -f- 10) cm gewählt werden, wofür a = 200 c?n, b = 300 cm

(also» = —- = P5) angenommen wird. Die Platte darf somit im Sinne der HY. §5,

Abs. 6 berechnet werden.

bezw. : a}q = (12 d)kg f. d. lfd. cm der Platte A und ß¹ q — (12ß) kg f. d. lfd. cvi der Platte B; aaez = sez = 1000 kg/cm²; aabd*= sb(1 = 32 kg/cm² und somit (s. S. 259)

*pa — 0-5189, *ea = 0-463.

Zusammenstellung.

Fb

Um den Einfluß der Wahl des Verhältnisses k — -=- zu zeigen, möge die

Fa

Berechnung für die 3 Annahmen k^ = kmin = 0⁻3, k₂ = l’O, k₃ = 1"5 durchgeführt

1200 kg/m²

werden. Für die 3 Fälle sind gemeinsame Größen: n = 1"5, q —

7200

0-3

1-0

1-5

0-3

1-0

1-5

hb cm

11-49    10-44    9-86

0-882

0-692

0-600

0-118

0-308

0-400

lHa cm

10-70

(10-90)**)

9 47

8-82

H cm >

12-77    11-93    11-44

(13-00)    (12-00)    —

(9-50)

0 144    0-466    0-686

4-58

0-187    0-310    0-362

F cm²

5-56

(5-61)

4-91

(5-23)

‘fa cm2 *)

0-778

0-687

0 641

0-135    0-418    0 603

da cm

0-99

0-93

0'90

(1 00)

(1-00)

Fh cm²

1-67

4-91

687

\z kg/cm2 'Xd kg/cm²

893

913

921

13-8

27-4    34-8 f)

(1-89)

(5-23)

fb cm² ***)

0250

0-737

1-031

Eisenbedarf E cm³

4497    6276

cm

0-56

0-97

115

(0-60)

(100)

Betonbedarf B m³

0-78

0-72

¹

Das Näherungs verfahren für durchlaufende rahmenartige Tragwerke (HV. § 5, Abs. 5) ist im Abschnitt IX besprochen.

²

Für durchlaufende Träger mit zwei und drei gleichlangen Feldern sind die Gleichungen ferner die Einflußwerte der Stützendrücke und der Stützenmomente sowie der Biegungsmomente für sämtliche Querschnitte in Intervallen von 0'1 l zu entnehmen dem Werke: „Analytische Ermittlung und Anwendung derEinflußlinien“ von Sr.Qjng. Arthur Lederer, Verlag Wilh. Ernst & Sohn, Berlin 1908.

³

(+PD

⁴

o    a

und die gesamte notwendige Plattenstärke

214).

⁵

. = 'H

*) Auf je 14 cm Entfernung der Eiseneinlagen.

**) Die in Klammern gesetzten Werte beziehen sich auf die für die Ausführung gewählten Maße.

***) Auf je 15 cm Abstand der Eiseneinlagen.

f) Bereits größer als die zulässige Betondruckspannung sbd — 32 kg/cm².

Aus dieser Zusammenstellung ist zu ersehen, daß dem Verhältnis k = 1"5 bei idealer Armierung der Platte A bereits eine Überbeanspruchung des Betons der Platte B entspricht.

Für andere als totale, gleichförmig verteilte Belastungen, sowie für eingespannte Platten und für durchlaufende Platten, deren einzelne Felder auf 4 Seiten gelagert sind, ist eine wirtschaftliche Bemessung der Eiseneinlagen und der Plattenstärke nur durch Vergleichsrechnungen zu erzielen; hiezu werden aber die auf S. 257 u. 258 angeführten Ergebnisse der Untersuchungen an vierseitig frei aufliegenden Platten mit totaler, gleichförmig verteilter Belastung immerhin Anhaltspunkte bieten.

Bei einer rechteckigen Platte, die nach einer oder beiden Richtungen durchläuft, sind jene durchlaufenden Platten A und JB einzuführen, die jeweilig nur in einer Richtung aufgelagert gedacht und durch die Lage der Last bestimmt sind. Für die Aufteilung der Lasten ist das Verhältnis der Seitenlangen und der Querschnittsflächen der Eiseneinlagen des betreffenden Feldes maßgebend. Wenn für ein solches Feld wegen n^>l’h die rechnerische Annahme einer vierseitigen Auflagerung nicht zulässig ist, ist wohl die Annahme einer Kontinuität aufrecht zu halten, jedoch die Belastung des betreffenden Feldes vollständig der maßgebenden, nur zweiseitig gestützt angenommenen Platte zuzuweisen.

Was die Platten betrifft, die zugleich als Bestandteile von Plattenbalken aufzufassen sind, so ist zu bemerken, daß dieselben in der Richtung der Längsachse des Plattenbalkens bei freier Auflagerung auf nur 2 Stützen durchwegs auf Druck, bei teilweiser oder vollkommener Einspannung und bei durchlaufenden Plattenbalken zum Teil auf Druck, zum Teil auf Zug beansprucht werden. In der zur Längsachse senkrechten Richtung wird diese Platte jedoch in den mittleren Partien zwischen zwei Rippen oben auf Druck, unten auf Zug, hingegen über den Rippen und in deren Nähe oben auf Zug, unten auf Druck beansprucht. Die Anordnung der Eiseneinlagen muß natürlich diesen verschiedenen Umständen entsprechen.

Wie ersichtlich treten bei allen Platten gleichzeitig Spannungen in zwei aufeinander senkrechten Richtungen — entweder 1) gleichzeitig Druck- oder Zugspannungen oder 2) in der einen Richtung Druck-, in der anderen Zugspannungen — auf ; für das Maß der Anstrengung kämen hiernach die sogenannten „reduzierten Hauptspannungen“ in Betracht. Eine Berechnung dieser ist bei Beton derzeit im Hinblicke auf die Unsicherheit des dazu erforderlichen Verhältnisses der Querdehnung zur Längsausdehnung noch nicht möglich. Es wird nun allenthalben empfohlen, der beim Zusammentreffen von Zug und Druck örtlich eintretenden Überanstrengung des Materials Rechnung zu tragen und bei derlei Platten an den maßgebenden Stellen die zulässige Spannung nicht voll auszunützen. Die Praxis nimmt jedoch auf obigen Umstand meist keine Rücksicht, weil die Berechnung nach Verfahren A ohnedies immer zu große Betondruckspannungen abd ergibt. (Siehe u. a. Mörsch: „Der Eisen-Betonbau“.)

db

XII. Gewölbe.

1. Allgemeines.

Führt man bei einem Gewölbe einen Schnitt m n (Figur 174) senkrecht zur Bogenachse, so lassen sich bekanntlich alle auf einer (beispielsweise der rechten) Seite des Schnittes angreifenden äußeren Kräfte (Belastungen, Auflagerdrücke) zu einer Resultierenden R vereinigen, welche den Schnitt m n in

Figur 174.

!P₂

einem Punkte E der ,, Stützlinie“ des betreffenden Beschneidet.

Jp’

ca/

•R

lastungsfalles

Zerlegt man R in eine Komponente N senkrecht zum Querschnitte und in eine zweite Q, in die Ebene des Querschnittes fallend, so steht das an C D angrenzende Bogenelement des Bogenteils A C D unter dem Einflüsse einer auf den Endschnitt CD im allgemeinen exzentrisch wirkenden Normalkraft N und einer Querkraft Q. Erstere erzeugt Normal- und Biegungsspannungen, welche genau nach den im Abschnitt VII für exzentrisch belastete Verbundkörper entwickelten Regeln berechnet werden können, letztere (Q) hingegen Schubspannungen, deren Ermittlung wie bei auf Biegung beanspruchten Verbundkörpern erfolgen kann.

Die Untersuchung der Materialspannungen in den einzelnen Querschnitten eines Gewölbes setzt voraus, daß die sämtlichen äußeren Kräfte bekannt und sonach die Auflagerkräfte und damit die Vertikalkomponenten derselben, die Horizontalschübe und Auflagermomente bereits aus den gegebenen Lasten bestimmt worden sind. Man ist nämlich hierauf im stände, auf bekannte Weise die Stützlinie zu zeichnen und für jeden Querschnitt N sowie Q zu ermitteln oder auf rechnerischem Wege N und Q sowie die Lage des Angriffspunktes von N zu bestimmen.

Die Benützung der Normal- und Querkräfte zur Berechnung der Materialspannungen bietet eigentlich nichts Neues ; immerhin soll im nachfolgenden darauf näher eingegangen werden, um einige Bemerkungen daran zu knüpfen.

Bei Gewölben kommen im wesentlichen nur zwei Formen in Betracht: der rechteckige und der Plattenbalkenquerschnitt (Figur 175 und 176); bei beiden wird meist doppelte Armierung angewendet,

A,

wenigstens dort, wo es sich um wechselnde Belastungen handelt und die Möglichkeit des Auftretens von positiven und negativen

Figur 175.

Figur 176.

Biegungsmomenten beziehungsweise von Zug-i Spannungen im inneren ] und äußeren Teile der i Querschnitte vorliegt.

Beim System Mela n kommt sogenannte steife Armierung in Anwendung, indem in gewissen Abständen gewalzte oder genietete Yollwand- bezw. Fachwerkträger in das Gewölbe eingebaut sind (Figur 177).

Die Berechnungsweise bleibt für alle Fälle — gleichgiltig, ob die unteren und oberen Eiseneinlagen voneinander verschieden

Figur 177.

oder gleich groß sind — dieselbe und kommen die verschiedenen For-77I men der Querschnitte sowie die y, Größe und Anordnung der Armierung '/j nur in den bezüglichen statischen Werten des Nullinienabstandes, der ideellen Betonfläche und des ideellen Trägheitsmomentes zum Ausdrucke.

2. Normalspannungen.

Hier ist zunächst zu bemerken, daß bei Gewölben mit rechteckigem Querschnitt gemäß den Darlegungen in Abschnitt VII auch bei ,,besonderen“ Hochbauten und bei Brücken die Berechnung der Betonzugspannungen nicht nötig ist ; für solche Bauwerke wird es aber auch bei Plattenbalkenquerschnitten nicht erforderlich sein, den rechnerischen Nachweis der etwa auftretenden Betonzugspannungen zu erbringen, da sich bei einem Vergleich mit den bloß auf Biegung beanspruchten Plattenbalken auch schon ohne Rechnung herausstellt, daß infolge der verhältnismäßig kleinen Biegungsmomente und des gleichzeitigen Auftretens von Normaldruckkräften die Betonzugspannungen immer weit unter der zulässigen Grenze bleiben werden.

Bei der Berechnung der Beton druck Spannungen kann in ganz gleicher Weise, wie bei den exzentrisch gedrückten Tragwerken erörtert wurde, vorgegangen werden.

a) Fällt die Stützlinie innerhalb der Kernweite, also die Nullinie außerhalb der Querschnittsfläche, so sind die Formeln 176),

177) und 180) anzuwenden, welche mit den Bezeichnungen der Figuren 178 und 179 an der Außen- bezw. Innenkante geben:

JSf N r e₂ ²Mk e₂

ST

lMk G

abd~~wJr

a'

N r ex

217).

Da die Einwirkung des rechten Gewölbeteils auf den linken betrachtet wird, sind die Kernmomente positiv (negativ) einzuführen, wenn sie entgegen dem (im) Sinne der Uhrzeigerbewegung wirken ; auch ist dementsprechend die Exzentrizität r positiv (negativ) ! ® einzusetzen, wenn die Druckkraft j JSf den Querschnitt außenseitig (innenseitig) exzentrisch angreift. -}———\—|

Ob die Bedingung, daß die    ¹    **

Stützlinie innerhalb der Kern- ® weite fällt, erfüllt ist, erkennt man — daran, daß beide Kernmomente entgegengesetztes Zeichen haben und daß abd und a'hd sich positiv ergeben müssen.

ß) Haben beide Kernmomente

*Mk = {r + l₂)N,

¹Mk = (r — \) JSf

positives (negatives) Zeichen, so zeigt dies an, daß die Stützlinie außerhalb der Kern weite fällt und Zugspannungen auf der inneren (äußeren) Querschnittsseite auftreten.

In der Praxis sind nun zwei wesentlich voneinander verschiedene Belastungsfälle zu unterscheiden :

а)    konstante Belastung des Gewölbes und

б)    veränderliche Belastung, die sich aus einer ständigen Last (dem Eigengewichte) und einer beweglichen (der Verkehrs- oder Nutzlast) zusammensetzt.

Im Falle a) ist nur eine einzige Stützlinie in Betracht zu ziehen, welche, wenn einmal die äußeren Kräfte und Momente bestimmt sind, leicht zeichnerisch oder rechnerisch festgelegt werden kann.

Für den Fall a, a) ist dann die Größe der Normalkräfte JSf und der Kernpunktsmomente ¹Mk und ²Mf. und mit diesen aus Gl. 217) abd oder a'b(l leicht ermittelbar.

Figur 178.

Obd (außen)

Figur 179.

'v-\

. c.

oT

Kl-.......i

zl

Gbd (innen)

s_.i_

i.

;K₂

Für den Fall a, ß) muß die Berechnung der Betondruckspannungen hingegen nach den Formeln 184) erfolgen, wobei zunächst der Abstand x der Nullinie aus der bekannten Entfernung z des Angriffspunktes der Kraft P vom Rande nach der Formel 183)

XJ

XS.

I

zu berechnen ist.

Anders verhält es sich jedoch (Fall b), wenn bewegliche Lasten zu berücksichtigen sind, wie es wohl bei vielen Gewölben der Fall ist. Dann kommen veränderliche Laststellungen und damit veränderliche JST, r, z und Mk in Betracht und ist jene Lastverteilung der Rechnung zu Grunde zu legen, welche jeweilig die größte Spannung <sbd bezw. aez erzeugt.

Figur 180.

Ó'

Fall b, a). Nach Gl. 217) erhält man die größte Betondruckspannung eines Querschnittes an der Außen-(Innen-)kante, wenn r und somit auch das Kernmoment ²Mk (bezw. ¹Mk) positiv (negativ) am größten wird. Man wird demnach in bekannter Weise die Einflußlinien der Kernmomente ermitteln und aus diesen die erforderlichen Laststellungen und die Größe dieser Kernmomente selbst entnehmen.

In Figur 181 sei die Einflußlinie A C E'B des Kernmomentes ²Mk (maßgebend für die Spannung abd in G) und jene ACEB des

Kernmomentes ¹Mk (maßgebend für die Spannung a'bd im Punkte H (s. Figur 180)

Figur 181.

A-

D*

E‘

ŸI

C'

F'

gezeichnet ;

B die positiven Einflußwerte seien nach abwärts, die negativen nach aufwärts

auf getragen.

Das Eigengewicht (g auf die Längeneinheit) erzeugt beispielsweise um Kx ein Kernmoment hn , das sich aus den negativen und positiven Flächen (ACD) = cp und (DEB) = (cp und à durchwegs absolut genommen) zusammensetzt, und es ist

= 9 (ł — ?)•

Durch die veränderliche Last (p auf die Längeneinheit) wird das größte negative Kernmoment um K₁ bei Belastung der Strecke A D erzeugt und beträgt

hn = — j) 9*

Sonach ist das größtmögliche negative Gesamtkernmoment für K₁, das für die größte Druckspannung a'bd in H (Innenkante) maßgebend ist,

lMk = ¹mg + xmp = — (g + p) 9 + g

Mit diesem soeben ermittelten Größtwerte von xMk darf die größte Druckspannung a'bd in H aber nur dann nach den Formeln 217) berechnet werden, wenn die Bedingung für deren Anwendbarkeit zutrifft, das heißt, wenn die Nullinie außerhalb des Querschnittes fällt. Um dies zu entscheiden, wird man für dieselbe Belastung das andere Kernmoment (²Mk) mittels dessen Einflußlinie, welche ohnehin zur Prüfung der größten Spannung abd in G nötig ist, untersuchen.

Bezeichnet man die Fläche (A C D') mit cp', (D' F ’B) mit <!/, so ergibt sich ähnlich wie oben das der Belastungsstrecke A D entsprechende Kernmoment um K₂ mit

wenn die Fläche (D D' F) mit A 9' bezeichnet wird.

Haben die beiden Momente entgegengesetztes Zeichen [xMk negativ, {²Mk) positiv], so fällt die Nullinie außerhalb des Querschnittes; die Anwendung der Formeln 217) für a'bd ist daher

zulässig.

In ähnlicher Weise ist bei Bestimmung der größten Druck

Das hier maßgebende größte positive Kernmoment

spannung abd in G (Außenkante) vorzugehen. Hiebei muß sich die veränderliche Belastung auf die positive Beitragslänge A D' erstrecken.

um K₂ ist dann ²Mk = (g-\-p) cp'—g <{/, das gleichzeitig auftretende, auf K-l bezogene, hingegen: {xMk) = g (—9 —f- d>) —j— -j-p (— cp —|— A tl»), wenn die Fläche (D D’ F’) mit A à bezeichnet wird. Beide Momente müssen wieder entgegengesetztes Vorzeichen haben [²Jf* positiv, (xMk) negativ], damit für Bestimmung des größten Druckes abd (Außenkante) die Formeln 217) mit Einsetzung von ²Mk Verwendung finden dürfen.

Sind aber bei Bestimmung der größten Werte von arbd (bezw. abd) beide Kernmomente negativ (bezw. positiv), so tritt der Fall ß) ein, bei dem im Querschnitte Zug- und Druckspannungen vorhanden, daher rechnungsmäßig die Zugspannungen vom Eisen allein aufzunehmen, also die Formeln 182) anzuwenden sind (Unterabschnitt VII, 2 b).

Fall b, ß) erfordert jedoch die Kenntnis der Größe und Lage der Normalkraft N. Wie aus Figur 182 hervorgeht, betragen die

Figur 182.

, (außen) G

gleichzeitig auftretenden Momente, sobald die Kräfte und Längen mit ihrem abso-luten Wert eingesetzt werden :

(²Mk) = — N(y — k₂),

r.

Für diese Werte besteht entsprechend der Figur 182 die Voraussetzung, daß die größte Druckspannung a'u (Innenkante) gleichzeitig mit einer Zugspannung an der Außenkante auftritt.

- 'Mt-\-(*Mk)

_ ^2    {²Mk)

y— i Mk-(*Mk)

Aus diesen beiden Gleichungen ergeben sich Größe und Lage von AT :

218).

Bei gleichen Kernpunktsabständen \ — k2} z. B. bei rechteckigem Querschnitte und symmetrischer Armierung, wird

■js+w i

2 le

. .    219).

Tritt die größte Druckspannung abd an der Außenkante gleich

²Mk — -V (y -{- k₂), CMk) =N(y - \)

*Mk — ('Mk)    )

K + h    l

J *Mk — (L¥,) J

zeitig mit einer Zugspannung an der Innenkante auf, so ergeben sich aus

die Gleichungen : 218 a).

Bei gleichen Kernpunktsabständen \ = k.₂ wird :

*Mk - (lMk) )

219 a).

Aus y ermittelt sich der Abstand der Kraft N vom Rande z (Figur 182) mit z = y — e₁ für Bestimmung des größten a'bd und mit z = y -J- e₂ für die des größten abd.

Mit Hilfe der so bestimmten Größen N und z sind sodann afbd und abd (allfällig auch aez) nach den Gl. 183) und 184) auszuwerten.

Wenn als veränderliche Last nicht gleichförmige Belastung, sondern ein System von Einzellasten, entsprechend Wagenzügen, Dampfstraßenwalzen u. s. w. zu berücksichtigen ist, so sind die Einflußlinien der Kernpunktsmomente gleichfalls in bekannter Weise zur Ermittlung der die größten Druckspannungen erzeugenden Momente zu benützen.

3. Schub- und mittlere Haftspannungen.

Aus denselben Gründen wie bei den geraden, bloß auf Biegung beanspruchten Trägern treten auch bei Gewölben zwischen

Figur 183.

Figur 184.

•TL"

•il*

L*J

P₂

I___L

!0-

\n

den zur Bogenachse parallelen Schichten Langsschubkräfte auf. Die Schubkraft Tu pro Bogenlängeneinheit berechnet sich für eine Schichte von der Tiefe b im Abstande u von der dem Exzentrizitätsmoment allein entsprechenden Nullinie A des Querschnittes (Figur 183) analog zu S. 127 nach der Formel

QSU

Hierin bedeutet : Su das statische Moment des ober- oder unterhalb der betrachteten Schichte liegenden Teiles der ideellen Querschnittsfläche, J, das Trägheitsmoment der letzteren (Su und Jt auf die Nullinie A bezogen) und Q die für den betreffenden Schnitt mn (Figur 184) gütige, nach S. 263 zu bestimmende Querkraft. Die Ermittlung der größten Schubspannungen erfolgt nun in ganz gleicher Weise wie bei den bloß auf Biegung beanspruchten Verbundkörpern.

Handelt es sich hiebei um verändei’liche Belastung, so wird man wieder zweckmäßig mit Hilfe der Einflußlinien für die Querkraft des Querschnittes den maßgebenden größten Wert der letzteren bestimmen.

Hat der Gewölbequerschnitt die Form eines Plattenbalkens (Figur 176), so wird man alle Lasten und statischen Werte auf die Entfernung B zweier Rippen beziehen.

Auch die Berechnung der mittleren Haftspannungen bei Gewölben aus Eisenbeton erfolgt im allgemeinen nach denselben Grundsätzen, wie sie bei der Besprechung der Balkenträger entwickelt wurden. Man ermittelt für den zu prüfenden Querschnitt am besten mit Hilfe der Randspannungen des Betons die Eisenspannungen, aus diesen die Druck- oder Zugkraft im Eisen und untersucht nun, ob diese Kraft mittels Haftspannungen von zulässiger Größe innerhalb der betreffenden Haftlänge vom Beton in das Eisen übertragen werden kann.

Bei der verhältnismäßig geringen Ausnützung der Eiseneinlagen in Gewölben ist eine besondere Untersuchung betreffs der Haftspannungen meist entbehrlich ; nur an den Kämpfern eingespannter (gelenkloser) Bogentragwerke erscheint eine solche Untersuchung notwendig, um das Maß des Eingriffes der Eisen in das Widerlager bestimmen zu können. Bei der Anordnung von Gelenken in Gewölben aus Eisenbeton ist übrigens hinsichtlich der Spannung des Eisens und des Betons in der Nähe der Gelenke auch das im Unterabschnitt VI, 7 über die Schub- und Haftspannungen bei Druckgliedern Gesagte zu beachten.

Bei Gewölben rechteckigen Querschnittes brauchen aus denselben Gründen, wie bereits bei den bloß auf Biegung beanspruchten balken- und plattenförmigen Körpern im Abschnitt IY dargelegt wurde, die Schubspannungen nicht untersucht zu werden, da sie, unter Berücksichtigung des Umstandes, daß hier die Querkräfte wegen der meist geringen Abweichung der Bogenachse von der Richtung der Kraft B verhältnismäßig viel kleiner als bei den genannten Tragwerken sind, die zulässigen Werte tb fast niemals erreichen. Daher erscheint auch aus Gründen der Rechnung die Anordnung von Bügeln bei rechteckigen Gewölbequerschnitten zum Zwecke der Aufnahme von Schubkräften meist überflüssig; dessenungeachtet werden sie stets aus praktischen Gründen angewendet, um die beiden Scharen von Eiseneinlagen miteinander zu einem starren Ganzen zu verbinden und sie gegen Deformationen beim Stampfen zu sichern.

Bei Gewölben von außergewöhnlicher Form (Spitzbogen u. dgl.) Avird es bei Amvendung von Querschnitten nach Form von Plattenbalken von vornherein nicht möglich sein, die Schubspannungen als innerhalb der zulässigen Grenzwerte liegend einzuschätzen, und werden sich daher die kurzen Anleitungen dieses Abschnittes vornehmlich auf diese Fälle beziehen.

XIII. Einfluß der Temperatur.

Stehen den durch die Änderung der Temperatur bewirkten Längenänderungen eines Verbundkörpers keine Widerstände entgegen, so sind mit diesen Änderungen keine Spannungen verbunden; im gegenteiligen Falle werden durch die Widerstände innere Kräfte geweckt, die ihrerseits Spannungen im Beton und Eisen zur Folge haben.

Für Verbundkörper wird man den linearen Ausdehnungskoeffizienten des Betons, welcher in den amtlichen Vorschriften mit a — 0'000012 für einen Grad Celsius (somit nahezu übereinstimmend mit jenem für Eisen) angegeben ist, annehmen können, da der Beton stets den weitaus überwiegenden Teil des Gesamtkörpers ausmacht. Da bei jenen äußerlich statisch unbestimmten Tragwerken aus Eisenbeton, bei denen Temperaturänderungen Spannungen verursachen, die Sätze über die Formänderungsarbeit anzuwenden sind, erfolgt gemäß den Vorschriften (HV. § 5, Abs. 8cl, BV. § 5, Abs. 7e) die Bestimmung der äußeren Kräfte und Momente, welche durch den Einfluß der Temperaturänderungen entstehen, in genau gleicher Weise wie bei homogenen Körpern. Die allgemeine Bedingungsgleichung für irgend eine der zu berechnenden statisch unbestimmbaren Größen X wurde bereits früher (S. 222) für alle Belastungskräfte gemeinsam angegeben; sie gilt ohneweiters für den Einfluß der Temperaturänderungen allein, wenn die Größen N und M nur in dem Ausmaße, als sie durch diese entstehen, eingesetzt werden.

Solcher Gleichungen sind soviele anzuschreiben als statisch unbestimmbare Größen Vorkommen, so daß letztere eindeutig bestimmt werden können. In weiterer Folge können nun die äußeren Kräfte selbst gewonnen und mit diesen dann die Spannungen in der früher erläuterten Weise berechnet werden. Doch ist hiebei noch folgendes zu bemerken : Bei den Tragwerken aus Eisenbeton erscheint es bei Berechnung der Spannungen nicht allgemein angängig, nach dem Gesetze der Unabhängigkeit der Wirkungen (Superpositionsgesetz) vorzugehen, das heißt, die von der Temperatur herrührenden Spannungen in Beton und Eisen sowie die durch andere Einwirkungen (lotrechte Belastungen u. s. w.) verursachten Spannungen je für sich zu berechnen und zu addieren; dieser Vorgang ist nur dann richtig, wenn in beiden Fällen die wirkenden Beton-(Druck- bezw. Zug-)flächen die gleichen sind. Bei bloß auf Biegung beanspruchten Tragwerken, bei zentrischem Druck und bei exzentrischem dann, wenn die Normalkraft innerhalb der Kernweite des betreffenden Querschnittes angreift, ist dies der Fall, nicht aber wenn es sich um außerhalb der Kernweite exzentrisch wirkende Normalkräfte handelt, wie sie bei Gewölben und anderen Systemen von Bogenträgern Vorkommen können. In solchen Fällen muß die Wirkung der lotrechten Belastungen und jene der Temperaturänderungen gemeinsam betrachtet und müssen aus den betreffenden resultierenden äußeren Kräften und Momenten die Nullinie bestimmt und die Spannungen abgeleitet werden.

Laut der Vorschriften für Hochbauten (HV. § 4, Abs. 14) sind Wärmeschwankungen, sofern durch sie Spannungen verursacht werden, im allgemeinen nur dann zu berücksichtigen, wenn das Tragwerk dem Temperaturwechsel der Außenluft ausgesetzt ist. Ausnahmefälle betreffen Trockenkammern, Schornsteine, Kühlräume u. s. w. Das Maß der jeweils anzunehmenden Temperaturgrenzen ist in den Vorschriften (HV. § 4, Abs. 14, BV. § 4, Abs. 3) festgesetzt.

Der Einfluß der genannten Temperaturänderungen ist unter Umständen, z. B. bei eingespannten Tragwerken (geraden oder Bogenträgern, Gewölben) ein wesentlicher ; er gelangt dann nicht bloß hinsichtlich des betreffenden Tragwerkes selbst, sondern auch betreffs der Stützen oder Widerlager zum Ausdruck.

Auf die Widerlager werden nämlich hiebei die entsprechenden, aus den ermittelten Formänderungen der Tragwerke zu berechnenden äußeren Kräfte ausgeübt, denen sie widerstehen müssen; vermögen sie dies nicht, so werden je nachdem Überbeanspruchungen, Bewegungen derselben oder Risse veranlaßt.

Die Einspannung von Tragwerken wird also dort, wo es sich um größere Temperaturänderungen handelt, jedenfalls auch hinsichtlich des Einflusses der letzteren zu beurteilen sein; mit Rücksicht auf diese Einwirkungen wird man des öfteren gezwungen sein, von einer Einspannung ganz abzusehen, und wird durch geeignete Anordnungen (Gleit- oder Rollenlager) auf die Ermöglichung einer möglichst ungehinderten Bewegung an den Widerlagern hinzuzielen sein.

Aus gleichen Gründen wird auch der entsprechenden Anordnung von Dilatationsfugen in Tragwerken von größerer Ausdehnung ein Augenmerk zuzuwenden sein. In den Vorschriften (HV. § 4, Abs. 15) ist für solche Tragwerke bestimmt, daß, wenn die Einflüsse der Temperatur in der Rechnung nicht berücksichtigt sind, Dilatationsfugen in Abständen von höchstens 20 m anzuordnen sind.

B. Trag werke aus Stampfbeton.

I. Allgemeines.

Die Berechnung von Tragwerken aus Stampfbeton (also ohne Eiseneinlagen) hat gemäß den Vorschriften (HV. § 16, Abs. 1, BV. § 19, Abs. 7) wie für homogene Körper unter Annahme einer Formänderungszahl für Zug und Druck von 140.000 kg/cm² zu erfolgen. Die zulässigen Spannungen sind hiebei durch § 17 der HV. und § 20 der BV. bestimmt.

Immerhin sollen im folgenden die wichtigsten Beanspruchungsfälle von Tragwerken aus Stampfbeton kurz besprochen werden, um auch hier die vorgeschriebene Berechnungsweise zu erläutern.

II. Bloß auf Biegung beanspruchte Verbundkörper.

Ein Körper mit rechteckigem Querschnitt (Figur 185), wie er bei bloß auf Biegung beanspruchten Betonbalken wohl meist Vorkommen wird, sei nur durch Kräfte in Richtung von h belastet;

die Angriffsmomente seien bereits be-Figur 186. stimmt. Dann ist bekanntlich A a

Figur 185.

Sb z Gbd

6M

bh²

220).

Figur 187.

Die Spannungsverteilung im Querschnitte ist aus Figur 186 ersichtlich.

Da die zulässige Zugspannung laut der Vorschriften (HV. § 17, Abs. 1, BV. § 20, Abs. 1) wesentlich kleiner als die zulässige Druckspannung ist, so kommt es stets darauf an, zu sehen, ob das berechnete abz die gestattete Größe sbz nicht überschreitet.

Bei einer anderen Querschnittsform als der rechteckigen ist zunächst die Schwerachse 0 0' (Figur 187), sodann das Trägheits-

0'1_

u—

D ObzC

0‘

ź mmmm

18

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

moment 3, bezogen auf diese Achse, zu bestimmen und gilt, wenn x der Abstand der äußersten Zugfaser von der Schwerachse ist, für abg die Gleichung

Mx

221).

III. Zentrisch belastete Druckglieder.

Wird eine Stütze (Pfeiler, Säule u. s. w.) zentrisch durch eine Kraft P belastet, so nimmt man die Druckspannung über den ganzen Querschnitt von der Fläche F gleich groß an, so daß

222)

abd v

ist. Die zulässige Größe csbd von abd gilt für eine freie Länge der

Stütze L < 20 i, wenn i —

den Trägheitshalbmesser des

Querschnittes bedeutet; ist hiebei das kleinste, äquatoriale Trägheitsmoment, sobald nicht durch konstruktive Vorkehrungen eine andere Knickebene festgelegt ist, in der die Ausknickung am leichtesten erfolgen kann. Für die in der Praxis am häufigsten vorkommenden Formen entspricht dies folgenden Verhältnissen der Länge L des Druckgliedes zu den maßgebenden Abmessungen des Querschnittes:

a)    Rechteck und Quadrat: * = 0289 a, Z = 5*8a, wobei im ersten Fall a die kleinere Seite bedeutet,

b)    regelmäßiges Sechseck : i = 0*263 d, L = 5*3 d, wobei d der Durchmesser des eingeschriebenen Kreises ist,

c)    Kreis: i = 0'2hd, L — hd.

den Wert 20, dann ist gemäß

den Vorschriften (HV. § 17, Abs. 5, BV. § 20, Abs. 5) die zulässige Spannung für zentrischen Druck csbd auf den Wert sbk nach der Formel

Überschreitet das Verhältnis

sbk = (l-72 — 0*036 \d = a \

abzumindern. Die Werte der Abminderungszahlen a= 1*72 — 0*036 -r-sind in der folgenden Tabelle Nr. 20 zusammengestellt.

Tabelle Nr. 20.

Abminderungszahlen a und deren reziproke Werte — bei Druckgliedern

aus Stampfbeton.

20

22

24

26

28

30

32

34

36

1-000

0-928

0-856

0-784

0-712

0-640

0-568

0-496

0-424

1-000

1-078

1-168

1-276

1-404

1-562

1- 761

2- 016 2-358

38

40

42

44

46

47-7

0-352

0-280

0-208

0-136

0-064

2- 841

3- 571

4- 808 7-353

15-625

oo

Für die Praxis kommen im allgemeinen Druckglieder aus

> 35 ist, kaum mehr in Betracht.

Stampfbeton, deren Verhältnis

Die zulässige Belastung eines zentrisch beanspruchten Druckgliedes aus Stampfbeton ist

«) füri<20

P< F%d

223)

TS) für —— > 20

-P < a Fcsbd

224).

IV. Exzentrisch belastete Druckglieder.

a) bei ~ <C 20.

Es werde wieder angenommen, daß der Querschnitt symmetrisch sei und die Kraftlinie mit der Symmetrieachse Zusammenfalle.

Bei exzentrisch wirkendem Drucke, der in der Symmetrieachse im Punkte V um r vom Schwerpunkte S des Querschnittes

entfernt angreift, sind die größten Randspannungen bekanntlich gegeben durch

— Z i Ä P

Pre₂

a',, =

od

and— F ~h 3 P _

F 3    “ F

Erstere stellt die größte, letztere die (algebraisch) kleinste Kantenspannung dar.

Bezeichnet man bei einem rechteckigen Querschnitte (Figur 188)¹), der als am häufigsten bei Druckgliedern aus Stampfbeton vorkommend für das folgende vorausgesetzt werden soll, das Verhältnis der Exzentrizität r zur betreffenden Rechteckseite a mit p =

T

— —, so nehmen obige Gleichungen die Form an

CL

Figur 188.

P(N)

abd =    + ⁶p)> I

225).

T.

Q)

,.e¹.

eJU

u-

In einem gegebenen Falle sind diese algebraisch größten bezw. kleinsten Kantenspannungen mit den gestatteten Grenzwerten zu vergleichen. Sind beide positiv, so herrscht im ganzen Quer-B _J schnitte nur Druck; die Spannungsverteilung ist dann durch die Figur 189, entsprechend der Belastung nach Figur 188, gegeben und es muß sein

'k

P<

226);

■g

Ä.O

Figur 189.

Figur 190.

a'bd kommt als kleinste Druckspannung nicht weiter in Betracht.

Anders verhält es sich, wenn abd negativ, also eine Zugspannung wird, wobei sich die Spannungsverteilung nach Figur 190 gestaltet, entsprechend einer Lage des Lastpunktes Inzwischen A und Kx. Diese Randspannung a/jz muß dann, absolut genommen, kleiner als die gestattete Zugspannung s. (HV. § 17, Abs. 1, BV. § 20, Abs. 1),

d. h.

P<

= Fsbz

227)

sein.

Die größte zulässige Belastung P' eines exzentrisch gedrückten Tragwerkes ist durch den kleineren der beiden für P aus Gl. 226) und 227) sich ergebenden Werte festgelegt. Überdies darf aber nach den amtlichen Vorschriften (HV. § 17, Abs. 6, BV. § 20, Abs. 6) die Belastung exzentrisch beanspruchter Druckglieder nicht

„Gewölbe“.

größer angenommen werden, als die bei gedachter zentrischer Kraftwirkung mit der zulässigen Betonspannung für zentrischen Druck sich ergebende Tragkraft desselben Druckgliedes. Es muß also jederzeit auch sein

228).

Aus einem Vergleiche der Beziehungen 226) und 228) ergibt sich ein charakteristisches Verhältnis pe und eine entsprechende Exzentrizität r = pe a ; ist die tatsächliche Exzentrizität r < rei so ist die exzentrisch belastete Säule als zentrisch mit cshd, ist hingegen r )> re, so ist sie als exzentrisch belastete Säule mit sbd zu berechnen; es wird mit

Sb d

<Sb d

Pe

11 — 1

229).

Man kann ferner auch nach dem Exzentritätsverhältnis fragen, für welches die beiden P nach Gl. 226) und 227) einander gleich sind, d. h. für welches die beiden zulässigen Spannungen sb und sb , zugleich erreicht werden. Man findet aus

F Sbd

1 —j— 6 p 6p — 1

1 -f- m

6 (1 — m)'

230).

in =-

Sbd

Die Hilfsgrößen n und m sind bei Hochbauten für das Mischungsverhältnis

470

350

280

230 leg Im³:

n = 1-50 m = 0"076

1-50    1-53    1-50,

0-083    0-077    0-095.

Die aus Gl. 229) sich ergebenden pe, sowie die Werte p; nach

der Tabelle

Gl. 230) sind aus der ersten Zeile Nr. 21 (S. 280) zu entnehmen.

(—= 0 bis 20j

b) bei — >> 20.

In diesem Falle gelten gemäß HV. § 17, Abs. 5 5, BV. § 20, Abs. 5 5 als zulässige Druckspannungen die für exzentrischen

2    _ ß

Druck zulässigen Spannungen sbd, vermindert um die—fache,

einer gedachten zentrischen Belastung entsprechende Druckspan-

)•

nung

Es muß demnach — u. zw. wieder für den bisher betrachteten rechteckigen Querschnitt — sein :

—    + ⁶ P) <sbd

somit

6p +

231).

oc muß unabhängig von der Lage der Kraftebene wieder für das kleinste äquatoriale Trägheitsmoment ermittelt werden.

Sind beide nach Gl. 225) zu bestimmenden Spannungen abd und a'bd positiv, also Druckspannungen, so kommt a'bd als die kleinere wieder nicht in Betracht.

Wird hingegen a'bfJ negativ, also eine Zugspannung, so kann man behufs Beurteilung, ob die festgesetzte Grenze sbz eingehalten wird, von der bekannten Anschauung ausgehen, daß das Glied

^^ jp

—-—-jp in Gl. 231) eine Biegungsspannung darstellt, welche zu

den von der exzentrischen Kraft P herrührenden Spannungen in Gl. 225) algebraisch und zwar zu abd als Druck-, zu a'bd als Zugspannung zu addieren ist. Man erhält dadurch die Gesamtspannung für jene Eckpunkte des Querschnittes, wo die algebraisch größten und kleinsten Spannungen aus der exzentrischen Belastung mit dem

1 — cc P

-• Zusammentreffen. (Siehe

a P

bezw.

Zuschlag -j- -— a P a

hierüber auch S. 211.)

Die größte Druckspannung wird hiernach

max oM=p(l + 6p) +

woraus sich der Wert von P nach Gl. 231) ergibt ; die algebraisch kleinste Spannung wird hingegen

P

min °bd=w(¹ — ⁶P)

Ist dieser Wert negativ, also min ab d eine größte Zugspannung, so muß diese, absolut genommen, kleiner als s. sein; es muß dann, wenn der absolute Wert mit | min csbd | bezeichnet wird, sein

Pf    1 \ —

|min abd | = j? [— ² + ⁶ p -j- -j < sbz und somit

Fsbz

P<

232):

— 2 -}- 6 p +

OL

Es läßt sich auch hier (im Falle-r-> 20) ein gewisses Exzentrizitätsverhältnis ptj bestimmen, bei welchem beide Grenzwerte sbd und sbz gleichzeitig erreicht werden. Man findet durch Gleichsetzen der Kräfte P aus Gl. 231) und 232)

P* =

2 a — (1 — m)

6a(l

m)

233).

Für a = 1, also -t-< 20, geht dieser Wert in das pf/ der Gl. 230)

über.

Setzt man den Zähler von p gleich Null, so erhält man jene

Werte a₀ von a und weiter jene Schlankheitsziffer , für welche

im Sinne des obigen Gedankenganges bei der Exzentrizität p;/ = 0, also bei zentrischem Druck die Grenze sbr der Zugspannung erreicht wird.

Es ergeben sich mit den auf S. 277 angegebenen Werten von m bei Hochbauten für die Mischungsverhältnisse von 470 bis 230 Jcgfm³ Werte von a₀, die zwischen 0'452 und 0'462 liegen.

i Jo

= 35, welchem

Denselben entspricht der hohe Wert von

bei rechteckigem Querschnitte ein in der Praxis wohl kaum mehr vorkommendes Verhältnis der Säulenhöhe zur schmäleren Rechteckseite des Querschnittes von rund 10 gleichkommt, so daß ein Überschreiten der gestatteten Zugspannung bei zentrischem Druck in praktischen Fällen nicht eintreten wird.

Für exzentrisch belastete Druckglieder aus Stampfbeton, bei

denen >> 20, ist noch in ähnlicher Weise wie bei Druckgliedern, bei denen —<20 ist, zu beachten (HV. § 17, Abs. 6, BV. § 20,

Abs. 6), daß die Tragfähigkeit nicht größer angenommen werden darf, als die bei gedachter zentrischer Kraftwirkung mit der zuläs-

sigen Betonspannung für zentrischen Druck sich ergebende Tragkraft desselben Druckgliedes. Es muß also jederzeit auch sein:

P<aFcsb

Aus einem Vergleiche dieses Ausdruckes mit jenem in GL 231) findet man wieder ein Exzentrizitätsverhältnis eine exzentrisch belastete Säule als zentrisch (mit csbd) und oberhalb dessen sie als exzentrisch belastet (mit sbd) zu berechnen ist,

und zwar wird mit n

234).

Sbd

CSbd

P,=

6 oc

Pe>

unterhalb dessen

235).

Für a = 1, also — <20, geht dieser Wert in das pe der 1/

Gl. 229) über.

Die Größen pr/ und pe sind für einige Schlankheitsziffern — für Hochbauten in nachstehender Tabelle Nr. 21 angeführt.

Bei den exzentrisch belasteten Druckgliedern aus Stampfbeton können auch die Kernmomente zur Ermittlung der Spannungen in ähnlicher Weise, wie dies früher gezeigt wurde, benützt werden.

¹

Die Bezeichnungen in Klammern beziehen sich auf den Abschnitt V :

Tabelle Nr. 21.

V

Charakteristische Exzentrizitätsverhältnisse p = — (Figur 188) bei ex-

cc

zentrisch belasteten Druckgliedern aus Stampfbeton bei Hochbauten.

CD

CO

py nach Gl. 230) und 233)

pe nach Gl. 229) und 235)

Mischungsverhältnis kg/m

Mischungsverhältnis kg/m

c<

470

350

280

230

470    350

280

230

0—20

1-00

0-194

0-197

0195

0-202

0083

0-083

0-088

0-083

30

0-64

0100

0-103

0-100

0-108

0-130

0-130

0-138

0-130

40

0-28

0-298

0-298

0-315

0-298

V. Gewölbe.

Die statische Untersuchung der Gewölbe aus Stampfbeton erfolgt nach den bekannten Regeln wie für homogene Körper, so daß ein näheres Eingehen auf dieselbe hier überflüssig erscheint.

Lediglich die Formeln für die Berechnung der Spannungen sollen unter Hinweis auf die Ausführungen bei den Gewölben aus Eisenbeton (Abschnitt A, XII) nochmals angeführt werden, um einige Bemerkungen hieran zu knüpfen.

Die Randspannungen (Figur 188) sind :

²Mk e₂

Nre2 %d— F-r g

G.' j =

b d

Nr ex

'Mke,

3 ’

wobei mit den Kernpunktsentfernungen Jcx ==

und Je.₂

Fex

die Kernmomente ²Mk = N (r -f- Jc₂), xMk — N(r — \) betragen.

F und 3 beziehen sich hier auf die volle Betonfläche. Bei

F e₂

dem meist angewendeten rechteckigen Querschnitte wird

N . 6 Nr

Th~T~ TP"

_    a

~ TW’

N 6 Nr Th ~TW

⁶ TW j

die Kernpunkte liegen in je ein Drittel der Gewölbestärke :

Da laut der Vorschriften für exzentrischen Druck, also auch für Gewölbe kleine Zugspannungen sbs zulässig sind, so kann bei Gewölben aus Stampfbeton die Stützlinie aus dem mittleren Drittel des Querschnittes (allgemein gesagt, aus der Kernweite) um ein Geringes heraustreten. Der betreffende Wert rx der Exzentrizität findet sich aus der Bedingung, daß der absolute Wert des für rx negativ gewordenen Ausdruckes von a'bd höchstens gleich der zulässigen Zugspannung sbs wird. Es ist also

und somit

N r. e. N

^-f¹--

ri~Fex

(i + Tt) =*(!+-£)■

Auch auf der anderen Querschnittsseite gibt es einen solchen ,,Zuggrenzpunkt“ im Abstande r₂ vom Schwerpunkte:

Bei rechteckigem Querschnitte wird

b Ji sb g

VI. Schlußbemerkungen.

Hinsichtlich der Schub- und Hauptzugspannungen bei Tragwerken aus Stampfbeton kann auf die Erörterungen in den Abschnitten A, IV und A, XII, 3 verwiesen werden, welche sinngemäß auch hier gelten; eine Ermittlung dieser Spannungen ist übrigens bei dem wohl ausschließlich angewendeten Rechteckprofile der hieher gehörigen Tragwerke fast stets entbehrlich. Ebenso darf betreffs der äußeren Kräfte statisch unbestimmter Systeme und des Einflusses von Temperaturänderungen auf die Abschnitte A, VIII und A, XIII verwiesen werden. Die maßgebenden allgemeinen Gleichungen gelten auch hier und sind nur für F und 3 die auf die volle Betonfläche bezogenen Werte einzusetzen.

C. Anhang.

1. Vorschrift

vom 15. Juni 1911 über die Herstellung von Tragwerken aus Eisenbeton oder Stampfbeton bei Hochbauten.¹)

Herausgegeben mit Erlaß des k. k. Ministeriums für öffentliche Arbeiten,

Z. 42/30-IX d ex 1911.

I. Abschnitt.

Tragwerke aus Eisenbeton.

§ 1. Begriffsbestimmung.

Tragwerke oder Tragwerksteile aus Eisenbeton sind solche, bei denen Eisen mit Stampfbeton in eine derartige Verbindung gebracht ist, daß beide Baustoffe hinsichtlich der Lastaufnahme zu gemeinsamer statischer Wirkung gelangen.

§ 2. Allgemeines.

Die Bestimmungen dieser Vorschrift gelten nur insofern, als die bestehenden örtlichen Bauvorschriften (Bauordnungen) nicht weitergehende Anforderungen enthalten. Für den Bau hoher Schornsteine hat überdies der Erlaß des k. k. Ministeriums des Innern vom 24. Mai 1902, Z. 38290 ex 1901, sinngemäß Anwendung zu finden.

A. Entwurf.

§ 3. Inhalt des Entwurfes.

1. Der Bauentwurf hat folgende Vorlagen zu umfassen: a) Zeichnungen, welche das Tragwerk im ganzen und in allen Einzelheiten — insbesondere hinsichtlich der Verteilung und des Verlaufes aller Eiseneinlagen — klar zur Darstellung bringen, sowie die Angabe des

Mischungsverhältnisses für den Beton und zwar hinsichtlich des Zements nach Gewichtsmengen, hinsichtlich der anderen Baustoffe nach Raummengen enthalten;

b)    eine statische Berechnung, welche sich auf alle Teile des Tragwerks zu erstrecken hat, unter Zugrundelegung der Bestimmungen der §§ 4, 5 und 6 verfaßt ist und übersichtlich und leicht prüfbar sein muß;

c)    eine Beschreibung, mit welcher außergewöhnliche Tragwerksanordnungen besonders erläutert werden.

2. Die Vorlagen sind vom Verfasser des Entwurfes und vom Bauherrn zu fertigen, der genehmigte Entwurf ist auch vom Unternehmer, der die Ausführung bewirkt, zu unterzeichnen.

§ 4. Berechnungsgrundlagen.

1. Für die Berechnung sind zu berücksichtigen :

Die bleibendeLast, das ist das Eigengewicht des Tragwerks samt der sonstigen ständigen Belastung;

die Nutzlast, das ist die durch den Zweck des Bauwerkes bedingte veränderliche Last, ferner allfällig

die Einflüsse des Schneedruckes, Winddruckes und der Wärmeschwankungen sowie des Erddruckes und des Wasserdruckes.

Bleibende Last.

2. Als Grundlage für den Nachweis des Eigengewichtes des Tragwerkes und der sonstigen ständigen Belastung haben die folgenden Einheitsgewichte und zwar in kg für 1 m³ zu gelten:

Schweißeisen...........

Flußeisen............

Roheisenguß...........

Stahl ...............

Blei...............

Kupfer, gewalzt.........

Eichenholz............

Buchenholz.......• ....

Lärchenholz...........

Kiefern-, Tannen- oder Fichtenholz

Holzstöckelpflaster........

Steinholzbelag.........

Glas................

Erde, trocken.........

Erde, feucht............

Lehm, trocken...........

feucht ...........

Schotter, Kies...........

Sand................

Mauerschutt...........

Granulierte Hochofenschlacke . . .

Steinkohlenasche und Kohlenlösche

Gußasphalt ............

Gußasphalt mit Rieselschotter . .

7.800

7.850

7.300

7.900

11.400

9.000

luft-

trocken

800

750

650

600

1.100

1.400

2.600

1.350

1.800

1.600

2.000

1.900

1.600

1.400

850

750

1.200

2.100

Stampfasplialt...................

2.040

2.200

2.300

Terrazzo ..... ................

Feinklinkerplatten.................

2.000 bis 2.500

Steinpflaster aus Kalkstein," Sandstein oder dgl. je nach der Steingattung

Steinpflaster aus Granit, Basalt, Porphyr oder dgl. 2.700

1.000

Gips dielen............

1.250

Gips in Verbindung mit Schlacke

Füllungsbeton aus Zement und Schlacke 1.000 bis 1.300

330

Korkstein...................

1.520

Trockener Weißkalkmörtel............

Trockener Roman- und Portlandzementmörtel . . .    1.700

Ziegelmauerwerk samt Mörtelputz und zwar:

Aus gewöhnlichen Vollziegeln

1.600

a)    mit Weißkalkmörtel..............

1.700

b)    mit Roman- oder Portlandzementmörtel . . .

Aus geschlämmten oder Maschinziegeln

1.700

1.800

1.950

1.400

a)    mit Weißkalkmörtel..............

b)    mit Roman- oder Portlandzementmörtel....

Aus Klinkerziegeln mit Portlandzementmörtel . . .

Aus Hohl(Loch-)ziegeln mit Weißkalkmörtel. . . .

Aus porösen Vollziegeln mit Weißkalkmörtel . . .    1.300

Aus porösen Hohl(Loch-)ziegeln mit Weißkalkmörtel 1.200 Bruchsteinmauerwerk aus Kalkstein, Sandstein oder

dgl. je nach der Steingattung...... 2.000 bis 2.500

Bruchsteinmauerwerk aus Granit, Basalt, Porphyr

2.700

oder dgl......................

Quadermauerwerk aus Kalkstein, Sandstein oder

dgl. je nach der Steingattung......2.100 bis 2.600

2.800

Quadermauerwerk aus Granit, Basalt, Porphyr oder dgl.

3.    Das Einheitsgewicht von Stampfbeton ist mit mindestens 2.200 kg für 1 mz, jenes von Eisenbeton mit 2.400 kg für 1 mz anzunehmen, sofern bei letzterem nicht ein gesonderter Nachweis mit Rücksicht auf die Ausmaße der Eiseneinlagen geliefert wird.

4.    Bei Anwendung außergewöhnlicher, im vorstehenden nicht angeführter Baustoffe ist deren Einheitsgewicht besonders nachzuweisen.

5.    Das Eigengewicht von Dacheindeckungen, einschließlich Schalung oder Lattung und Sparren, jedoch ohne Tragwerk, ist für das m¹ geneigter Dachfläche in kg wie folgt anzunehmen:

100

Einfaches Ziegeldach................

125

Doppeltes Ziegeldach................

64

Falzziegeldach ...................

73

Einfaches Schieferdach...............

82

Doppeltes Schieferdach...............

41

Schieferdach aus Kunstschieferplatten mit Dachpappenunterlage .....................

32

Einfaches Pappendach mit nicht besandeter Dachpappe

35

Doppeltes Teerpappendach.............

Holzzementdach mit 8 cm hoher Schotterlage . . .

S c h n e e d r u c k.

9. Der Schneedruck ist in kg auf 1 m² Grundrißfläche, wie folgt, an

zunehmen :

75

Für andere Dacheindeckungen (zum Beispiel aus Metall, Glas usw.) sind die Eigengewichte jeweils besonders nachzuweisen.

Nutzlast.

6.    Für die Nutzlast sind nachstehende Werte in kg auf m² anzunehmen:

Gewöhnliche Dachräume......„.......

Gewöhnliche Wohnräume.............

Schulräume....................

Gänge und Stiegen in gewöhnlichen Wohnhäusern, Massenunterkünfte, Turn- und Fechtsäle, Futterkammern ....................

In Stockwerken gelegene Werkstätten, Geschäftsund Lagerräume.................

Gänge und Stiegen in öffentlichen Gebäuden, Konzert-und Tanzsäle, Versammlungsräume, ferner im Erdgeschoß gelegene Werkstätten, Geschäfts- und

Lagerräume...................

Eiskeller (bei 1 m Eishöhe).............

7.    Die Größe der Nutzlast für Theater, Büchereien, Speicher, Lagerräume, ferner für Arbeitsräume mit schweren Maschinen ist von Fall zu Fall zu bestimmen.

8.    Tragwerke, welche Erschütterungen erleiden, müssen mit dem l’3fachen, jene, welche starken Stößen (zum Beispiel durch schwere Arbeitsmaschinen) ausgesetzt sind, mit dem 1‘öfachen Betrage der unter Punkt 6 angegebenen oder nach Punkt 7 ermittelten Nutzlast berechnet werden.

150

250

300

400

450

550

750

bei Dachneigungen unter 40 Grad bei Dachneigungen zwischen 40 Grad und 60 Grad . . 40 Bei Dachneigungen über 60 Grad ist der Schneedruck nicht zu berücksichtigen.

Für südlich gelegene, nachweisbar schneearme Gegenden kann fallweise eine Ermäßigung der vorstehenden Schneelasten zugestanden werden. Für Gegenden mit nachweisbar sehr bedeutenden Schneefällen ist der Schneedruck je nach der örtlichen Lage entsprechend höher und zwar bei Dachneigungen unter 40 Grad bis zu 200 kg, bei solchen zwischen 40 und 60 Grad bis zu 110 kg auf 1 m² Grundrißfläche anzunehmen. Die Schneelast ist entweder auf sämtliche oder, wenn dies ungünstigere Belastungsverhältnisse ergibt, nur auf einzelne Dachflächen wirkend in Rechnung zu stellen.

Winddruck.

10.    Der Winddruck ist auf 1 m² einer zur Windrichtung senkrechten Ebene im allgemeinen mit p = 150 kg, in außergewöhnlichen Fällen je nach der örtlichen Lage bis zu 250 kg anzunehmen.

11.    Die Windrichtung ist als wagrecht vorauszusetzen ; für Flächen, welche mit der Windrichtung einen Winkel a einschließen, ist der Winddruck senkrecht zu dieser Fläche mit Pi = p sin²a auf 1 m² zu rechnen.

12.    Bei offenen Hallen, Vordächern usw. ist gegebenenfalls ein von innen nach außen senkrecht zur Dachfläche wirkender Winddruck von 60 kg, in außergewöhnlichen Fällen je nach der örtlichen Lage bis zu 100 7^ auf 1 m? anzunehmen.

13.    Bei Bauwerken, welche sich in dauernd windgeschützter Lage befinden, kann eine Ermäßigung des Winddruckes bis auf p — Tb kg auf 1 m2 zugelassen werden.

Wärmeschwankungen.

14.    Die Wärmeschwankungen sind, sofern durch sie Spannungen verursacht werden — von Ausnahmefällen, wie Trockenkammern, Schornsteinen, Kühlräumen usw. abgesehen — nur dann zu berücksichtigen, wenn das Tragwerk dem Temperaturwechsel der Außenluft ausgesetzt ist; hierbei sind Änderungen der Temperatur desselben von + 15 Grad Celsius gegenüber dem spannungslosen Zustande und ein Wärmeausdehnungskoeffizient des Betons « = 0⁻000012 für 1 Grad Celsius anzunehmen. In den vorerwähnten Ausnahmsfällen sind die betreffenden größten Temperaturunterschiede gegenüber einer mittleren Temperatur von 10 Grad Celsius zu berücksichtigen.

15.    Zur Ermöglichung der durch Wärmeschwankungen verursachten Längenänderungen von Tragwerken sind, wenn erstere bei der Berechnung der Spannungen nicht berücksichtigt werden und wenn größere Längen in Betracht kommen, Dilatationsfugen in Abständen von höchstens 20 m anzuordnen ; die Lage derselben ist in den Plänen ersichtlich zu machen.

§ 5. Statische Berechnung.

1.    Als rechnungsmäßige Stützweite ist, sofern sie nicht durch die Art der Auflagerung unzweifelhaft festgestellt erscheint, bei frei aufliegenden Tragwerken mit nur einem Felde die mindestens um 5 von Hundert, wenigstens jedoch um 10 cm vergrößerte Lichtweite, bei durchlaufenden Tragwerken in den Mittelfeldern die Entfernung von Mitte zu Mitte der Stützen anzunehmen; in den Endfeldern der letzteren Trägergattung ist die Stützweite hiernach sinngemäß zu bemessen.

2.    Bei der Ermittlung der äußeren Kräfte und Angriffsmomente darf an einer Stütze nur jenes Maß von Einspannung angenommen werden, welches durch geeignete bauliche Anordnungen tatsächlich und ohne Überschreitung der festgesetzten zulässigen Spannungen der in Betracht kommenden Bauteile erzielt wird. Bei einer Auflagerung auf Mauerwerk aus gewöhnlichen Ziegeln und Weißkalkmörtel darf an der betreffenden Stütze für die Bestimmung der positiven Feldmomente keinerlei Einspannung in Rechnung gestellt werden. Eine Auflagerung von Platten auf mehr als zwei Seiten darf rechnerisch nur dann angenommen werden, wenn sie durch die Art der Bauausführung tatsächlich gewährleistet ist.

3.    Tragwerke, welche über mehrere Felder durchgehen und auf den Stützen frei aufruhen, sind nach den Regeln für durchlaufende Träger unter Berücksichtigung der jeweils ungünstigsten Laststellung zu berechnen.

4.    Bei der Berechnung von Trägeim, welche mit elastischen Stützen entsprechend steif verbunden sind, müssen im allgemeinen die infolge der Wirkung der äußeren Kräfte auftretenden elastischen Formänderungen des Tragwerks berücksichtigt werden. Durchlaufende Platten von Plattenbalken

können jedoch ohne Bedachtnahme auf die elastischen Formänderungen der Balken als auf diesen frei aufruhend berechnet werden.

5.    Durchlaufende, mit ein- oder mehrgeschossigen Stützen aus Eisenbeton entsprechend steif verbundene Träger (»rahmenartige« Tragwerke) sind — sofern nicht der Nachweis der auftretenden Kräfte und Biegungsmomente im Sinne der Absätze 3 und 4 erbracht wird — für lotrechte Trägerbelastungen in nachstehender Art näherungsweise zu berechnen : Die negativen Feldmomente sind den bei gedachter vollständiger Einspannung des betreffenden Feldes entstehenden gleich zu halten. Die positiven Feldmomente sind gleich jenen bei gedachter freier Auflagerung des betreffenden Feldes, jedoch vermindert mit Rücksicht auf die, der gleichen Laststellung und einer vollständigen Einspannung entsprechenden Stützenmomente anzunehmen, wobei von diesen letzteren nur zwei Drittel in Rechnung zu ziehen sind; für die positiven Feldmomente in den Endfeldern ist an den Endstützen eine Einspannung nicht zu berücksichtigen. Für die Ermittlung der Biegungsmomente in den Stützen sind die oben bezeichneten vollen Einspannungsmomente der anschließenden Felder unter Annahme der jeweils ungünstigsten Felderbelastungen zugrunde zu legen und das Fußmoment einer Stütze mit der Hälfte des Kopfmomentes derselben Stütze, jedoch mit entgegengesetztem Vorzeichen zu bemessen. Querkräfte und Stützendrücke sind wie für durchlaufende Träger zu berechnen.

6.    Rechteckige Platten, ringsum frei aufruhend oder eingespannt, mit den Seitenlangen (Stützweiten) a und b und sich kreuzenden Eiseneinlagen sind in nachstehender Weise zu berechnen: Die auf die Platte einwirkenden Lasten sind auf zwei, je nur zweiseitig aufgelagerte Platten gleicher Art (frei aufruhend oder eingespannt), die eine Platte mit der Stützweite a, die andere mit der Stützweite b, in der Weise verteilt wirkend anzunehmen, daß auf die erstere nur die im Verhältnisse b² : (ka² + b²) und auf die letztere nur die im Verhältnisse ka² : (ka² + b²) verminderten Lasten bei sonst gleichbleibender Lastanordnung entfallen; hierbei bedeutet k das Verhältnis der Querschnittsfläche der zu b parallelen Schar der Eiseneinlagen zur Querschnittsfläche der zu a parallelen Schar der Eiseneinlagen, beide Querschnittsflächen bezogen auf das laufende Meter. Dieser Lastverteilung entsprechend sind die Querkräfte, Stützendrücke und Biegungsmomente zu «rmitteln. Die vorbezeichnete Berechnungsweise ist nicht zulässig, wenn die eine Stützweite b mehr als das Einundeinhalbfache der andern Stützweite a oder die Querschnittsfläche der einen Schar der Eiseneinlagen weniger als 30 von Hundert der Querschnittsfläche der andern Schar der Eiseneinlagen, beide bezogen auf das laufende Meter, beträgt; in diesen Fällen ist die rechteckige Platte nur für die kleinere der beiden Stützweiten zu berechnen. Bei durchlaufenden Platten mit sich kreuzenden Eiseneinlagen ist hinsichtlich der Berechnungsweise sinngemäß vorzugehen. Bei derlei durchlaufenden oder eingespannten Platten dürfen jedoch die positiven Feldmomente nicht kleiner als mit zwei Drittel der betreffenden, für die frei aufruhende, einfelderige Platte nach obigem sich ergebenden positiven Feldmomente angenommen werden.

7.    Die statische Untersuchung hat sich auch auf die Pfeiler, Widerlager und Fundamente unter Berücksichtigung eines allfällig wirkenden hydrostatischen Auftriebes, sowie auf den Nachweis der Bodenpressungen zu erstrecken.

8. Die Berechnung der Spannungen in Tragwerken aus Eisenbeton ist nach folgenden Annahmen durchzuführen :

a) Ursprünglich ebene Querschnitte bleiben bei einer Formänderung des Körpers eben;

V) die Formänderungszahl (Elastizitätsmodul) des Betons für Druck ist mit 140.000 hg auf 1 cm², gleich dem fünfzehnten Teile von jener des Eisens für Zug und Druck (2,100.000 hg auf 1 cm²) anzunehmen;

c)    die Spannungen des Betons auf Druck und des Eisens auf Zug sind unter der Voraussetzung zu ermitteln, daß der Beton keine Normalzugspannungen aufnehme ;

d)    bei der Berechnung der äußeren Kräfte und elastischen Formänderungen äußerlich statisch unbestimmter Tragwerke ist die aus dem vollen Betonquerschnitte und aus der fünfzehnfachen Fläche der Längseisen gebildete ideelle Querschnittsfläche, sowie eine für Druck und Zug im Beton gleich große Formänderungszahl gemäß Absatz 8 & in Rechnung zu stellen;

e) die Schub- und Hauptzugspannungen sind unter der in Absatz 8 c bestimmten Annahme zu ermitteln.

9.    Bei solchen auf Biegung beanspruchten Tragwerken, welche dem Einflüsse der Witterung, von Nässe, Dämpfen, Rauch oder dem Eisen schädlichen Gasen ausgesetzt erscheinen, sind auch die größten Zugspannungen des Betons nachzuweisen, welche sich für eine Formänderungszahl des Betons für Zug von 56.000 hg auf 1 cm² und im übrigen unter den im Absatz 8 et und b festgesetzten Annahmen ergeben.

10.    Sind schlaffe Eiseneinlagen in zwei oder mehreren Reihen angeordnet, so ist die Spannung für die betreffende äußerste Reihe nachzuweisen; bei steifen Eiseneinlagen (Formeisen) ist dieser Nachweis für die betreffende äußerste Schichte durchzuführen.

11.    Bei nur auf Zug beanspruchten Tragwerksteilen ist die Mitwirkung des Betons nicht zu berücksichtigen.

12.    Die bei Plattenbalken als mitwirkend in Rechnung zu ziehende Breite der Platte darf nach jeder Seite, von der Rippenachse aus gemessen, nicht größer als die vierfache Rippenbreite oder als die achtfache Plattendicke oder als die halbe zugehörige Achsenentfernung der Rippen angenommen werden; das kleinste dieser Maße ist zu wählen. Platten mit weniger als 6 cm kleinster Dicke dürfen bei Plattenbalken nicht als mitwirkend in Rechnung gestellt werden.

13.    Einzellasten sind, wenn zwischen ihrer Aufstandsfläche und einer tragenden Eisenbetonplatte eine Deckschichte vorhanden ist, als gleichförmig verteilt auf eine Fläche wirkend anzunehmen, deren Ausmaße gegenüber den betreffenden Maßen der Aufstandsfläche bei rechteckiger Form der letzteren zu vergrößern sind : a) bei sich kreuzenden Eiseneinlagen, bei welchen das Verhältnis der Querschnittsflächen dem Absatz 6 entspricht, um die doppelte Höhe der Deckschichte und die doppelte Plattendicke; b) bei sich kreuzenden Eiseneinlagen, bei denen dies nicht zutrifft, in der Richtung der stärkeren Eiseneinlage, ferner bei nur in einer Richtung angeordneten Eiseneinlagen in der Richtung derselben wie bei a), in der dazu senkrechten Richtung um die doppelte Höhe der Deckschichte und die einfache Plattendicke. Bei Aufstandsflächen anderer als rechteckiger Form ist hinsichtlich ihrer Vergrößerung sinngemäß vorzugehen. Als für die Lastaufnahme statisch wirksame Plattenbreite ist die betreffende, gemäß vorstehendem vergrößerte Breite der Aufstandsfläche in Rechnung zu ziehen. Eine allfällig vorhandene Pflasterung ist für die Druckverteilung nicht zu berücksichtigen.

14. Bei Druckgliedern, das sind auf zentrischen oder exzentrischen Druck beanspruchte Tragwerke oder Tragwerk steile, muß auf den erforderlichen Widerstand gegen Knickung Bedacht genommen werden, wenn das Verhältnis der freien Knicklänge £ zum betreffenden Trägheitshalbmesser i

der gemäß Absatz 8 d zu bestimmenden Querschnittsfläche den Wert j= 60 überschreitet.

,    15. Als freie Knicklänge L ist die Länge des Druckgliedes zwischen

zwei gegen Ausweichen gesicherten Punkten der Längsachse anzunehmen.

16.    In Druckgliedern sind die Eiseneinlagen auch für sich allein hinsichtlich ihres Widerstandes gegen Knickung unter Annahme einer freien Knicklänge gleich dem Abstand der Querverbände zu untersuchen ; letztere sind in Abständen höchstens gleich dem kleinsten, durch den Schwerpunkt des Querschnittes gezogenen Durchmesser des Druckgliedes anzuordnen.

17.    Bei Druckgliedern sind allfällig exzentrische Lastangriffe zu berücksichtigen.

18.    Druckglieder — mit Ausnahme von Gewölben — dürfen nur dann im Sinne der §§ 5 und 6 berechnet werden, wenn die Fläche der Längseisen in jedem Querschnitte mindestens 0-8 von Hundert der ganzen Querschnittsfläche beträgt ; macht die genannte Eisenfläche mehr als 2 von Hundert dieser ganzen Querschnittsfläche aus, so darf der Mehrbetrag an Fläche der Längseisen über 2 von Hundert nur mit dem dritten Teile in Rechnung gebracht werden.Beträgt die Fläche der Längseisen weniger 'als 0-8 von Hundert der ganzen Querschnittsfläche, so entfällt die Berücksichtigung der Eiseneinlagen bei der Bemessung der Tragfähigkeit und ist das Druckglied als solches aus Stampfbeton zu berechnen. Für Gewölbe gilt als bezügliches Mindestausmaß der Fläche der Längseisen 0’4 von Hundert der ganzen Querschnittsfläche.

19.    Bei Druckgliedern, in welchen außer Längseinlagen auch schraubenförmig gewundene, durchlaufende Quereinlagen angeordnet sind („um-schnürten Beton“), ist zur Bestimmung der Druckspannung infolge zentrischen Druckes eine ideelle Querschnittsfläche Fi — Fb -f- 15 Fe -f- 30 Fs einzuführen, wobei Fh den Betonquerschnitt, Fe die Querschnittsfläche der Längseisen unter Berücksichtigung des vorstehenden Absatzes 18 und Fs die Querschnittsfläche eines gedachten Längseisens bedeutet, dessen Gewicht gleich jenem der schraubenförmigen Quereinlage ist, beide Gewichte auf die Längeneinheit des Druckgliedes bezogen. Macht hierbei die so gebildete ideelle Fläche Fi mehr als 1*5 (Fb -f- 15 Fe) oder mehr als 2-0 Fh aus, so darf für F₍ nur der kleinere dieser beiden Grenzwerte in Rechnung gestellt werden. Bei exzentrischem Lastangriffe sind die schraubenförmigen Quereinlagen zur Ermittlung der vom Biegungsmomente herrührenden Spannungen nicht zu berücksichtigen. Die Ganghöhe der Schraubenwindungen darf höchstens ein Fünftel des kleinsten, durch den Schwerpunkt des Querschnittes gezogenen Durchmessers betragen.

20.    Druckglieder mit Längseinlagen und solchen Quereinlagen oder Anordnungen, -welche nach ihrer Wirkungsweise einer schraubenförmig gewundenen, durchlaufenden Quereinlage gleichkommen, sind im Sinne des Absatzes 19 zu berechnen.

21.    Bei allen Druckgliedern darf für die Kraftaufnahme als Betonquerschnittsfläche höchstens das l'Sfache des von den Quereinlagen eingeschlossenen Teiles dieser Querschnittsfläche in Rechnung gezogen werden.

22.    Druckglieder mit selbständig tragfähigem Eisengerippe, bei welchen der Beton nur als ausfüllendes oder umhüllendes Material dient, dürfen nicht als Tragwerke aus Eisenbeton im Sinne des § 5 berechnet werden.

23.    Hinsichtlich des Verbundes von Eisen und Beton ist nachzuweisen, daß die in irgend einem Querschnitte wirkende, gemäß Absatz 8 c berechnete Zug- oder Druckkraft einer Eiseneinlage bereits «vor diesem Querschnitte durch „mittlere Haftspannungen“ von zulässiger Größe in das Eisen übertragen werden kann ; zur Berechnung dieser „mittleren Haftspannungen“ ist die genannte Zug- oder Druckkraft gleichmäßig verteilt über die betreffende Haftfläche (Umfang der Eiseneinlage mal Haftlänge) anzunehmen. Für die Wirkung von recht- oder spitzwinkeligen Haken ist die vierfache, für jene von halbkreisförmigen Haken die zwölffache, in die Biegungsebene fallende Querschnittsabmessung der Eiseneinlage (bei Rundeisen das bezügliche Vielfache des Durchmessers) zur anschließenden geraden Haftstrecke zuzuschlagen.

24.    Die geringsten Abstände der Oberfläche der Längseisen von der Oberfläche des Betons, sowie die Zwischenräume zwischen den einzelnen Eiseneinlagen müssen, sofern nicht mit Rücksicht auf Scher- und Haftspannungen größere Maße erforderlich sind, mindestens betragen: erstere bei Platten 1 cm, bei andern Tragwerken 2 cm-, letztere 2 cm, bei Rundeisen von größerem Durchmesser als 2 cm den Durchmesser. Durchlaufende schlaffe Eiseneinlagen müssen, wenn ihre statische Wirkung berücksichtigt werden soll, bei allen Tragwerken — mit Ausnahme von Stützen — in Abständen von höchstens 20 cm angeordnet sein.

25.    Die kleinste Stärke von Längs- und Verteilungseisen, Bügeln und Querverbindungen muß mindestens 5 mm betragen.

26.    Zur Sicherung des Verbundes von Eisen und Beton sind Bügel und Querverbindungen in ausreichender Zahl anzuordnen und die Enden der Eiseneinlagen hakenförmig oder in anderer entsprechender Weise auszubilden, falls nicht schon deren Oberflächengestaltung einer Verschiebung im Beton entgegenwirkt.

27.    Dem möglichen Auftreten von Einspannungsmomenten über den Stützen ist, auch wenn sie rechnerisch nicht besonders nachgewiesen werden, durch entsprechende Anordnung von Eiseneinlagen Rechnung zu tragen.

§ 6. Zulässige Spannungen.

1.    Unter Zugrundelegung der gemäß § 4 bestimmten Lastwirkungen und Einflüsse dürfen die größten rechnungsmäßigen Spannungen des Betons und Eisens die in der nachstehenden Tabelle (S. 292) angegebenen Grenzwerte nicht überschreiten.

2.    Bei Anwendung anderer als der im Absatz 1 angegebenen Mischungsverhältnisse sind die zulässigen Betonspannungen durch geradlinige Einschaltung nach der betreffenden, auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial entfallenden Gewichtsmenge von Portlandzement zwischen die bezüglichen, im Absatz 1 genannten Werte zu bestimmen.

Zulässige Spannung in kg auf 1 cm²

Materialgattung u. Art der Beanspruchung

Im Falle der Biegung und bei exzentrischem Druck

bei

Druck- I Zugspannung Spannung

zentrischem Druck u. Hauptzugspannung

Schub-

Scher-

Druck

spannung

Mittlere

Haft-

spannung

I. Beton.

Bei einem Mischungsverhältnis auf 1 mz Gemenge von Sand und Steinmaterial :

n) 470 kg Portlandzement

b)    350 „

c)    280 „

yy

yy

CM I> CM cc CO

GO »O CM CM CM ^3

OS ^

d> O d>

II. Eisen.

1.    Beanspruchung auf Zug und Druck . . .

2.    Beanspruchung auf Abscherung, ausgenommen bei Ńieten...........

3.    Beanspruchung der Niete auf Abscherung

4.    Beanspruchung der Lochleibung auf Druck

Schweißeisen | Flußeisen

900

500

600

1.400

1.000

600

700

1.600

Roheisenguß

5. Beanspruchung von Lagerteilen aus Roheisenguß:

a)    auf Druck...................

b)    auf zentrischen Zug..............

c)    auf Zug im Falle der Biegung.........

700

200

250

Flußstahl

1.200

6. Beanspruchung von Lagerteilen aus Flußstahl auf Zug oder Druck.......................

3.    Mischungsverhältnisse entsprechend einer geringeren Menge von Portlandzement als 280 kg auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial dürfen für Tragwerke aus Eisenbeton nicht angewendet werden.

4.    Ist auf Knickung gemäß § 5, Absatz 14 Rücksicht zu nehmen, so gelten als zulässige Spannungen:

a) bei zentrisch belasteten Druckgliedern die laut Absatz 1 für zentrischen Druck zulässigen Betonspannungen, multipliziert mit der Ab-

L

minderungszahl « = (1*72—-0*012 t)';

b) bei exzentrisch belasteten Druckgliedern die laut Absatz 1 für exzentrischen Druck zulässigen Betondruckspannungen, vermindert um die 1-1

fache, einer gedachten, zentrischen Belastung entsprechende Druck-

Spannung.

Kommt bei Eiseneinlagen Knickung in Betracht, so sind die laut Tabelle im Absatz 1 zulässigen Eisendruckspannungen se auf den Wert sk nach folgenden Formeln abzumindern:

n) für Längenverhältnisse — = 10 bis 105 :

i

= (0-816-0-003 -) *e;

%

L

b) für Längenverhältnisse—> 105:

sk = 5580

(i)v

5.    Die Belastung exzentrisch beanspruchter Druckglieder darf nicht größer angenommen werden als die bei gedachter zentrischer Kraftwirkung mit der zulässigen Betonspannung für zentrischen Druck gemäß Absatz 1 und 4 sich ergebende Tragkraft desselben Druckgliedes.

6.    Überschreiten die gemäß § 5, Absatz 8 berechneten Schub- und Hauptzugspannungen im Beton die im § 6, Absatz 1 festgesetzten Werte, so sind Bügel oder andere entsprechende Eiseneinlagen anzuordnen und so zu bemessen, daß sie jenen Teil der Schub- und Hauptzugkräfte, welcher vom. Beton ohne Überschreitung der festgesetzten zulässigen Spannungen nicht aufgenommen werden kann, mindestens aber 60 von Hundert der gesamten Schub- und Hauptzugkräfte aufzunehmen vermögen. Der Beton muß für sich allein imstande sein, mindestens 30 von Hundert der Schubkräfte durch Schubspannungen von zulässiger Größe aufzunehmen.

7.    Die Ausführung von Tragwerken ungewöhnlicher oder noch unerprobter Bauweise sowie die Verwendung von Baustoffen außergewöhnlicher Beschaffenheit bedarf einer besonderen Genehmigung. Die Festsetzung der Berechnungsart für solche Tragwerke sowie der zulässigen Spannungen für Baustoffe außergewöhnlicher Beschaffenheit oder besonderer Güte erfolgt von Fall zu Fall und kann vom Ergebnisse anzustellender Baustoff-, Belastungs- und Bruchproben abhängig gemacht werden.

B. Ausführung der Tragwerke.

§ 7. Beschaffenheit und Prüfung des Zements.

1.    Zu Tragwerken aus Eisenbeton ist nur Portlandzement zu verwenden, das ist ein Zement, der aus natürlichen Kalkmergeln oder künstlichen Mischungen ton- und kalkhaltiger Stoffe durch Brennen bis zur Sinterung und darauffolgende Zerkleinerung bis zur Mehlfeinheit gewonnen wird und auf einen Gewichtsteil hydraulischer Bestandteile mindestens l⁻7 Gewichtsteile Kalkerde (CaO) enthält.

2.    Der Gehalt des Zements an Magnesia (MgO) darf nicht mehr als 5 von Hundert betragen.

3.    Der Zement muß sowohl an der Luft als auch unter Wasser raumbeständig und langsam bindend sein. Als langsam bindend gilt ein Zement, wenn ein aus demselben mit 25 bis 30 von Hundert Wasserzusatz hergestellter Zementbrei nicht vor 30 Minuten nach dem Anmachen zu erhärten beginnt und mindestens 3% Stunden von der Wasserzugabe an zur Abbindung benötigt.

4.    Der Zement muß so fein gemahlen sein, daß die Rückstände beim Sieben durch ein Sieb von 4900 Maschen auf 1 cm² und 0-05 mm Drahtstärke 30 von Hundert und von 900 Maschen auf 1 cm² und 0-1 mm Drahtstärke 5 von Hundert nicht überschreiten.

5.    Die Bindekraft des Zements ist durch Prüfung der Festigkeitsverhältnisse an einer Mischung mit Sand zu ermitteln. Als normale Mischung gilt das Gemenge von einem Gewichtsteil Zement mit drei Gewichtsteilen Normalsand.

6.    Als Normalsand gilt ein in der Natur vorkommender, gewaschener, reiner Quarzsand, dessen Korngröße dadurch bestimmt ist, daß das kleinste Korn nicht mehr durch ein Sieb von 144 Maschen auf 1 cm² und 0-3 mm Drahtstärke und das größte Korn noch durch ein Sieb von 64 Maschen auf 1 cm² und 0⁻4 mm Drahtstärke durchgeht.

7.    In der normalen Mörtelmischung muß der Zement nach einer Erhärtungsdauer von 7 Tagen mindestens 12 hg Zugfestigkeit und nach einer solchen von 28 Tagen mindestens 220 hg Druckfestigkeit und 22 hg Zugfestigkeit auf 1 cm² aufweisen.

cm

8.    Die Proben auf Zugfestigkeit sind an Probekörpern von 5 Querschnitt, jene auf Druckfestigkeit an Würfeln von 50 cm² Querschitt vorzunehmen; sämtliche Probekörper sind während der ersten 24 Stunden nach ihrer Anfertigung an der Luft, geschützt vor rascher Austrocknung, und hierauf unter Wasser von + 15 bis 18 Grad Celsius bis zur Vornahme der Probe aufzubewahren.

9.    Den zuständigen Kontrollorganen bleibt das Recht gewahrt, jederzeit bei der Erzeugung, Verpackung und Absendung des Zements, sowie bei dessen Verarbeitung zu den Proben und der Durchführung der letzteren gegenwärtig zu sein und in beliebiger Weise die erforderlichen Mengen Zement behufs Erprobung zu entnehmen.

10.    Die Prüfung des Zements ist in der Regel am Erzeugungsorte oder am Bauplatze durchzuführen; der behufs Prüfung entnommene Zement kann jedoch auch ganz oder teilweise in einer, zur Ausstellung von Zeugnissen über Materialprüfungen im Sinne des Gesetzes vom 9. September 1910? RGB. Nr. 185, befugten Prüfungsanstalt erprobt werden.

11.    In der Regel ist bis zu 100 q und von je 100 q Zement mindestens eine Erprobung auf Raumbeständigkeit, Mahlfeinheit, Erhärtungsbeginn und Abbindezeit, ferner bis zu 200 q und von je 200 q Zement mindestens eine Erprobung auf Zug- und Druckfestigkeit anzustellen.

12.    Bei Tragwerken geringeren Umfanges oder in Fällen besonderer Dringlichkeit kann der Nachweis der Beschaffenheit des Zements, dessen Erzeugungsstelle vom Bauunternehmer anzugeben ist, ausnahmsweise über jeweils einzuholende besondere Genehmigung auch durch Beibringung von Zeugnissen einer der im Absatz 10 genannten Prüfungsanstalten erbracht werden; solche Zeugnisse dürfen nicht über 6 Monate alt sein. In solchen Fällen ist aber stets mindestens die Prüfung auf Erhärtungsbeginn und Abbindezeit an der Baustelle vorzunehmen.

13.    Der Zement ist in der Ursprungsverpackung, auf der in deutlicher Weise seine Bestimmung für Tragwerke aus Eisenbeton zu kennzeichnen ist, an die Baustelle zu liefern.

§ 8. Beschaffenheit des Sandes und Steinmaterials.

1.    Der zur Betonbereitung dienende Sand muß rein, scharfkörnig, von ungleicher Korngröße und frei von lehmigen, tonigen oder erdigen Bestandteilen oder sonstigen Verunreinigungen, ferner so beschaffen sein, daß er durch ein Sieb von 7 mm lichter Maschenweite durchgeht und auf einem Sieb von 900 Maschen auf 1 cm² und 0-1 mm Drahtstärke wenigstens 95 von Hundert Rückstand ergibt.

2.    Das Steinmaterial (Kies, Rundschotter oder Steinschlag) muß von ungleicher Korngröße, rein, wetterbeständig und von solcher Beschaffenheit sein, daß die Druckfestigkeit desselben mindestens 300 kg auf 1 cm² und die Wasseraufnahme nicht mehr als 10 von Hundert des Gewichtes beträgt; die letztgenannten Eigenschaften sind erforderlichenfalls durch entsprechende Proben festzustellen.

3.    Die Korngröße des Steinmaterials muß im allgemeinen kleiner als der Raum zwischen den Eiseneinlagen unter sich oder zwischen diesen und der nächstliegenden Außenfläche der Tragwerke sein; in jedem Falle müssen die größten Stücke in jeder Lage durch ein Gitter von 30 mm lichter Maschenweite durchgehen und die kleinsten auf einem Siebe von 7 mm lichter Maschenweite liegen bleiben.

4.    Die Korngrößen des Sandes und Steinmaterials sind mittels einzelner Sieb- und Wurfproben zu ermitteln.

5.    Das anzuwendende Mischungsverhältnis zwischen Sand und Steinmaterial ist in Hinsicht auf die Erzielung eines möglichst dichten Gemenges jeweils durch Versuche zu bestimmen.

6.    Die aus Zement und Sand bestehende Kittmasse (der Mörtel) muß mindestens das l-2fache der Hohlräume des Steinmaterials betragen; überdies muß der Mörtel so viel Zement, daß seine Raummenge die Hohlräume des Sandes wenigstens um 5 von Hundert übersteigt, mindestens aber 500 kg Zement auf 1 m³ Sand enthalten.

7.    Ein vorhandenes natürliches Gemenge von Sand und Steinmaterial kann ohne Trennung in seine Bestandteile zur Betonbereitung Verwendung finden, wenn die Beschaffenheit desselben den Bestimmungen der Absätze 1 bis 5 entspricht und die Zusammensetzung des Gemenges durch eine entsprechende Anzahl von Sieb- oder Wurfproben als geeignet nachgewiesen oder durch besondere Zusätze von Sand oder Steinmaterial geeignet gemacht wurde.

§ 9. Beschaffenheit, Erprobung und Bearbeitung des Eisens

und Stahles.

1. Die Bestimmungen der Vorschrift des k. k. Ministeriums des Innern vom 16. März 1906, Z. 49898 ex 1905, über die Herstellung der Straßenbrücken mit eisernen oder hölzernen Tragwerken, bezw. die Bestimmungen der Verordnung des k. k. Eisenbahnministeriums vom

28. August 1904, RGB. Nr. 97, betreffend die Eisenbahnbrücken, Bahnüberbrückungen und Zufahrtsstraßenbrücken mit eisernen oder hölzernen Tragwerken, haben hinsichtlich der Beschaffenheit des Eisens und Stahles vollinhaltlich, hinsichtlich der Bearbeitung, Zusammensetzung und Auf-

Stellung von eisernen Tragwerken sinngemäß auf die Eisenbestandteile von Tragwerken aus Eisenbeton Anwendung zu finden.

am

2.    Der Nachweis der bedungenen Eigenschaften des Eisens und Stahles ist in der Regel durch Vornahme entsprechender Erprobungen Bauplatze oder durch Beibringung eines Zeugnisses einer der im § 7, Absatz 10 genannten Prüfungsanstalten zu liefern, wobei die betreffenden Probestücke in sinngemäßer Anwendung der im § 9, Absatz 1 genannten Bestimmungen auszuwählen sind. Über besonderes Verlangen ist die Erprobung des Eisens und Stahles bereits am Erzeugungsorte und gemäß den genannten Bestimmungen durchzuführen.

3.    Bei der Vornahme von Zerreißproben ist Stabeisen von rundem, quadratischem oder rechteckigem Querschnitt bis höchstens 6 cm² Fläche mit der Walzhaut und in nicht weiter bearbeitetem Zustande der Prüfung zu unterziehen; bei größerer Querschnittsfläche ist zur Entnahme von Probestäben im Sinne der im Absatz 1 genannten Bestimmungen vorzugehen, wobei zu beachten ist, daß der Probestab sowohl Kern- als Rand-

• material enthalte.

4.    Eisenteile, welche gemäß dem Entwürfe aus einem Stück bestehen sollen, dürfen -ohne besondere Genehmigung weder durch Zusammenschweißen noch durch Zusammennieten mehrerer Stücke gebildet werden.

5.    An Stoßstellen müssen die zu stoßenden Teile in geeigneter Weise derart miteinander verbunden werden oder müssen einander derart übergreifen, daß daselbst die Spannungen die im § 6 festgesetzten Werte nicht übersteigen. Schweißungen müssen mit aller Sorgfalt, ohne Überhitzung ausgeführt und dürfen in der Regel nur an solchen Stellen angeordnet werden, an welchen die betreffende Eiseneinlage im Tragwerke nicht voll beansprucht wird.

6.    Bei Rundeisen dürfen Rundhaken nicht mit einem kleineren lichten Halbmesser als dem zweiundeinhalbfachen Durchmesser der Rundeisen und Abbiegungen nicht mit einem kleineren lichten Halbmesser als dem fünffachen Durchmesser der Rundeisen hergestellt werden; recht- und spitzwinkelige Haken müssen eine Mindestlänge gleich dem dreifachen Durchmesser des Rundeisens aufweisen. Für andere Formeisen gilt eine analoge Bestimmung, wobei an Stelle des Durchmessers die in die Biegungsebene fallende Querschnittsabmessung des Formeisens zu treten hat.

7.    Haken dürfen nur bis 15 mm Stärke, Abbiegungen nur bis 25 mm Stärke der Form eisen in kaltem Zustande hergestellt werden.

8.    Eisenteile, welche ganz in Beton eingehüllt werden sollen, sind mit der Walzhaut zu belassen und müssen vor der Einbetonierung mit geeigneten Mitteln sorgfältig von Schmutz, Fett, Anstrich, grobem oder losem Rost, etwa anhaftendem Eis usw. befreit werden.

9.    Genietete oder verschraubte Tragwerksteile aus Eisen oder Stahl sind nach der Fertigstellung in der Werkstätte und nach der im Sinne des Absatzes 8 erfolgten Reinigung an jenen Stellen, an welchen sie im fertigen Tragwerke von Beton umgeben sind, mit dünnflüssigem Zementmörtel anzustreichen.

10. Teile aus Eisen oder Stahl, welche im Bauwerke nicht durch-gehends von Beton eingehüllt werden, sind an den freibleibenden Stellen mit Anstrichen gemäß den einschlägigen Bestimmungen der im Absatz 1 genannten Vorschriften zu versehen.

§ 10. Bereitung, Beschaffenheit und Prüfung des Betons.

1.    Der Zement ist bei der Bereitung des Betons in der Regel nach Gewichtsmengen beizumischen. Die Zumessung kann auch mit Hohlmaßen erfolgen, wobei der Zement lose und ohne Fall einzuschütten ist, die Gefäße vollzufüllen und glatt abzustreichen sind und zur Umrechnung von Gewichtsmengen auf Raummengen das Gewicht von 1 m³ lose eingeschütteten Portlandzements mit 1400 kg anzunehmen ist.

2.    Das zur Betonbereitung zu benützende Wasser muß rein sein und darf keine die Erhärtung des Betons beeinträchtigenden Bestandteile enthalten. Moorwasser darf nicht verwendet werden.

3.    Zu Tragwerken aus Eisenbeton ist sogenannter weicher (plastischer) Beton zu verwenden; der Wasserzusatz ist den betreffenden Witterungsund Temperaturverhältnissen sowie der natürlichen Feuchtigkeit des Sandes und Steinmaterials entsprechend, jedenfalls aber so zu bemessen, daß der Beton noch gestampft werden kann und dabei weich wird; unter der Wirkung der Schwere darf sich aber der Mörtel vom Steinmaterial nicht loslösen.

4.    Die Mischung der Bestandteile soll in der Regel maschinell erfolgen ; für Arbeiten geringeren Umfanges ist Handmischung zulässig.

5.    Die Mischung der Bestandteile ist zunächst in trockenem Zustande vorzunehmen und dann unter allmählicher Wasserbeigabe so lange fortzusetzen, bis alles Steinmaterial gleichmäßig in der Masse verteilt und an allen Stellen von Zementmörtel umhüllt ist.

6.    Der Beton darf nur innerhalb einer Stunde nach Vollendung der Mischung verwendet werden.

7.    Der Beton muß nach sechswöchiger Erhärtung an der Luft mindestens folgende Werte der Druckfestigkeit (Würfelfestigkeit) in kg auf 1 cm² und zwar senkrecht zur Stampfrichtung aufweisen :

Bei einem Mischungsverhältnisse:

Auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial

170

a)    470 kg Portlandzement

150

b)    350 ,,    „

. 130

c)    280 „    „

8.    Bei Anwendung anderer als der im Absatz 7 angegebenenMiscliungs-verhältnisse ist die geforderte Würfelfestigkeit durch geradlinige Einschaltung nach der betreffenden, auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial entfallenden Gewichtsmenge von Portlandzement zwischen die bezüglichen, im Absatz 7 genannten Werte zu bestimmen.

9.    Zur Prüfung des Betons hinsichtlich der geforderten Würfelfestigkeit sind in der Regel Probekörper und zwar in Würfelform von 20 cm Seitenlänge am Bauplatze anzufertigen und einer der im § 7, Absatz 10 genannten Prüfungsanstalten zur Erprobung zu überweisen oder an der Baustelle mittels einer geeigneten Presse zu prüfen.

10.    Die Anfertigung der Probekörper hat mit den gleichen Baustoffen, demselben Mischungsverhältnisse und unter genau gleicher Art der Stampfung wie jene des Betons für das Tragwerk in zerlegbaren, eisernen Formen zu erfolgen.

11.    Die Probekörper sind mit der Benennung des Bauwerkes, der Angabe des Mischungsverhältnisses, der Anfertigungszeit und der Starnpf-richtung, sowie mit einer entsprechenden Bezeichnung zu versehen und bis zur Erprobung in einem vor Frost, Hitze und Wind geschützten Raume unter erdfeuchtem Sande aufzubewahren.

12. Die Zahl der Probekörper ist in der Regel so zu bemessen, daß bis zu 200 m³ und auf je 200 ma Betonmasse eines Mischungsverhältnisses 6 Probekörper entfallen; als Würfelfestigkeit gilt das arithmetische Mittel der bezüglichen Werte; ist dieses Mittel kleiner als die im Absatz 7 geforderte Würfelfestigkeit oder bleibt einer der bezüglichen Werte um mehr als 20 von Hundert unter dieser Würfelfestigkeit, so darf Beton dieser Beschaffenheit nicht verwendet werden.

§ il. Herstellung der Tragwerke.

1.    Die Herstellung von Tragwerken aus Eisenbeton darf nur durch geschulte Arbeiter und unter beständiger Aufsicht von Personen geschehen, die nachweisbar mit dieser Bauweise gründlich vertraut sind.

2.    Die Schalungen und Rüstungen müssen so angeordnet und mindestens so stark sein, daß sie die schichtenweise Einbringung und Stampfung des Betons gestatten, hinreichenden Widerstand gegen Durchbiegungen beim Stampfen leisten und ohne Erschütterungen entfernt werden können; vor dem Einbringen des Betons sind sie entsprechend den betreffenden Witterungs- und Temperatursverhältnissen anzunässen.

3.    Bei der Herstellung der Schalungen und Rüstungen ist auf eine entsprechende Überhöhung derselben zum Ausgleiche der unter der Betonlast eintretenden Einsenkungen Bedacht zu nehmen.

4.    Mit der Herstellung der Tragwerke darf in der Regel erst dann begonnen werden, wenn der Nachweis der bedungenen Beschaffenheit der Baustoffe im Sinne der §§ 7, 8, 9 und 10 erbracht ist. Die Prüfung derselben hat daher zu einer solchen Zeit zu erfolgen, daß die Ergebnisse dieser Prüfung bei Beginn der Verwendung der Baustoffe bereits vorliegen und demnach mit Sicherheit die Eignung derselben zur weiteren Verarbeitung beurteilt werden kann.

5.    Der Beton ist in höchstens 20 cm starken Schichten einzubringen, welche je für sich in einem, dem jeweiligen Wasserzusatze entsprechenden Maße zu stampfen sind. Der Beton darf zum Verwendungsorte nur bis zu einer Tiefe von 3 m geworfen und muß bei größeren Tiefen mittels Gefäßen oder Vorrichtungen, welche eine Entmischung des Betons verhindern, eingebracht werden.

6.    Die Eisenteile sind in der plangemäßen Lage einzubringen und in dieser stets so zu befestigen, daß sie beim Stampfen ihren Ort und ihre Form nicht verändern können; die auf Zug beanspruchten Eisenteile müssen dicht mit entsprechend feinerer Betonmasse (unter Ausschluß von gröberem Steinmaterial) umkleidet werden.

7.    Tragwerke oder selbständige Tragwerksteile sind im allgemeinen in einem Zuge, das heißt ohne Unterbrechung, zu betonieren ; in Ausnahms-fällen darf mit der Betonierung nur an solchen Stellen ausgesetzt werden, an welchen der Beton im fertigen Tragwerke verhältnismäßig kleine Spannungen erfährt.

8.    Beim Aufbringen neuer Betonschichten auf früher eingebrachte, noch nicht erhärtete, sind letztere anzunässen; beim Weiterbetonieren auf bereits abgebundenen Lagen sind diese anzukerben oder aufzurauhen, sodann

abzukehren und mit dünnflüssigem Zementmörtel im Mischungsverhältnisse von gleichen Teilen Zement und Sand oder mit Zementmilch anzunässen.

9.    Bei Temperaturen unter Null Grad Celsius darf nur dann betoniert werden, wenn durch entsprechende Vorkehrungen eine schädliche Ein-wirkung des Frostes ausgeschlossen ist; gefrorener Sand, Schotter oder Beton dürfen keinesfalls verwendet werden. Nach einer Frostperiode dürfen auf fertigen Beton neue Schichten erst dann aufgebracht werden, wenn die Betonoberfläche genügend erwärmt ist.

10.    Die Tragwerke sind nach vollendeter Betonierung bis zur genügenden Erhärtung entsprechend feucht zu erhalten und vor Erschütterungen, Beschädigungen, starker Zugluft sowie vor Sonnenbestrahlung oder vor der Einwirkung des Frostçs zu schützen.

11.    Eingerüstete Tragwerke dürfen ausnahmslos vor Ablauf von 4 Tagen nach Beendigung des Einstampfens keinerlei Belastung erfahren. Nach dieser Zeit und innerhalb der im Absatz 12 beziehungsweise 13 bestimmten Fristen dürfen eingerüstete Tragwerke nur dann aus dem Baubetriebe oder dem Baufortschritte allfällig sich ergebende Lasten aufnehmen, sowie bei mehrgeschossigen Gebäuden durch Wände, Pfeiler oder Säulen belastet werden, wenn die unterstützenden Gerüste und Schalungen hinreichend stark und die eingerüsteten Tragwerke derart erhärtet sind, daß sie außer ihrem Eigengewichte auch die vorgenannten Belastungen mit genügender Sicherheit und ohne schädliche Formänderungen der Tragwerke aufnehmen können.

12.    Die unterstützenden Gerüste dürfen erst nach einer, genügende Tragfähigkeit verbürgenden Erhärtung des Betons und zwar in der Regel nicht früher als 4 Wochen nach Beendigung des Einstampfens entfernt werden. Schalungen und Rüstungen von Deckenplatten unter 8 cm Stärke können in der Regel in 10 Tagen, seitliche Schalungen ohne stützende Wirkung dürfen in der Regel nicht vor Ablauf von 4 Tagen nach Beendigung des Einstampfens abgenommen werden. Bei größeren Stützweiten und Querschnittsabmessungen sowie bei Verhältnissen, welche die Erhärtung ungünstig beeinflussen, ist die Frist bis zur Ausrüstung entsprechend zu verlängern.

13.    In die im Absatz 12 genannten Fristen dürfen nur frostfreie, das sind solche Tage eingerechnet werden, an denen die Lufttemperatur, im Schatten gemessen, innerhalb 24 Stunden nicht unter Null Grad Celsius gesunken ist; beim Eintritt einer oder mehrerer Frostperioden sind diese Fristen daher noch mindestens um die Anzahl der Frosttage zu verlängern.

14.    Beim Wegnehmen von Schalungen und Rüstungen sind Erschütterungen der Tragwerke zu vermeiden.

15.    Von der Rüstung befreite Tragwerke dürfen innerhalb der im § 12, Absatz 2 festgesetzten Fristen außer durch die bleibende Last nicht durch irgend eine nennenswerte Belastung beansprucht werden.

16.    Die Tragwerke sind erforderlichenfalls in geeigneter Weise vor dem Eindringen von Niederschlagswasser zu schützen.

17.    Die Verwendung von Tragwerksteilen aus Eisenbeton, wie Balken, Platten, Säulen, Stiegenstufen usw., welche auf gesonderten Werksplätzen erzeugt und in fertigem Zustande auf die Baustelle gebracht werden, bedarf in jedem einzelnen Falle einer besonderen Genehmigung. Dieselben müssen sinngemäß den Bestimmungen der §§ 4 bis 11 entsprechen und bis zur Verwendung eine Erhärtungsdauer von mindestens 6 Wochen aufweisen.

¹

Die Vorschrift ist vom Kommissionsverlage Lehmann & Wentzel G. m. b. H., Wien, I., Kärntnerstrasse 30, zum Preise von 60 Heller für ein Stück zu beziehen.

C. Prüfung der Tragwerke.

§ 12. Belastungs- und Bruchproben.

1.    Außer der Prüfung des Betons (§ 10) sind über Verlangen auch Belastungsproben des ganzen Tragwerkes sowie Belastungs- und stichprobenweise Bruchproben einzelner Tragwerksteile vorzunehmen.

2.    Belastungs- und Bruchproben dürfen nicht vor Ablauf von 6 Wochen nach Beendigung des Einstampfens beziehungsweise einer gemäß § 11, Absatz 12 und 13 zu bemessenden längeren Frist als 6 Wochen vorgenommen werden.

3.    Die bei der Belastungsprobe aufzubringende Last ist bei selbständigen, mit anderen nicht in Verbindung stehenden Tragwerken und Tragwerksteilen so zu bemessen, daß diese der Einwirkung der bleibenden Last, das ist des Eigengewichtes des Tragwerkes und der sonstigen ständigen Belastung (§ 4, Absatz 2 bis 5) und der Nutzlast (§ 4, Absatz 6 bis 8) ausgesetzt werden. Bei solchen Tragwerken oder Tragwerksteilen, welche mit anderen derart in Verbindung stehen, daß eine teilweise Mitwirkung der letzteren bei der Lastaufnahme zu erwarten steht, ist in dem Falle, wenn nur ein Tragwerk oder ein Tragwerksteil der Probebelastung unterzogen wird, die Nutzlast mit dem einundeinhalbfachen Betrage (§ 4, Absatz 6 bis 8) aufzubringen. Kommt für ein Tragwerk oder einen Tragwerksteil auch Schneedruck (§ 4, Absatz 9) in Betracht, so ist dieser in gleicher Weise wie die Nutzlast bei der Belastungsprobe zu berücksichtigen.

4.    Die Probelast ist in der Regel in jener Verteilung und Anordnung aufzubringen, wie sie der statischen Berechnung zu Grunde gelegt wurde, und mindestens so lange auf dem Tragwerke zu belassen, bis Zunahmen der Formänderungen nicht mehr wahrzunehmen sind.

5.    Unter der Einwirkung der Probelast dürfen die Tragfähigkeit beeinträchtigende Rißbildungen, ein Ausweichen gedrückter Teile oder sonstige bedenkliche Erscheinungen nicht eintreten ; ferner dürfen die beobachteten elastischen Durchbiegungen die für die Einwirkung der Probelast berechneten nicht um mehr als 20 von Hundert überschreiten. Bleibende Durchbiegungen dürfen nicht mehr als ein Drittel der berechneten elastischen betragen. Bei Beurteilung der Probeergebnisse ist auf den allfälligen Einfluß von Temperaturunterschieden Rücksicht zu nehmen.

6.    Bei der Ermittlung der elastischen Formänderungen sind der Querschnitt und die Formänderungszahl des Betons gemäß § 5, Absatz 8 d in Rechnung zu stellen.

7.    Bei Bruchproben sind die zu prüfenden Tragwerksteile mit allmählich gesteigerter Last bis zum Bruch zu belasten. Die auf den Tragwerksteil aufgebrachte, den Bruch erzeugende Last muß mindestens der dreifachen Nutzlast mehr dem doppelten Eigengewichte des Tragwerksteiles mehr der dreifachen sonstigen ständigen Belastung (§ 4) entsprechen. Ein allfällig in Betracht kommender Schneedruck ist in gleicher Weise wie die Nutzlast zu berücksichtigen.

8.    Vor der Verwendung der im § 11, Absatz 17 genannten Tragwerksteile sind über Verlangen bis 100 und von je 100 dieser Teile 3 Stück auszuwählen und gemäß den Bestimmungen der Absätze 2 und 7 bis zum Bruche zu erproben. Entspricht von den ausgewählten Stücken eines diesen Bestimmungen nicht, so sind als Ergänzung dieser Proben von derselben Menge weitere 5 Stück auszuwählen und in gleicher Weise zu erproben. Sollte von den Ergänzungsproben auch nur eine nicht genügen, so sind die betreffenden 100 Stück von der Verwendung auszuschließen; dasselbe gilt, wenn von den ursprünglich ausgewählten 3 Stück mehr als eines den Bestimmungen nicht entsprochen hat.

II. Abschnitt.

Tragwerke aus Stampfbeton.

§ 13. Allgemeines.

Hierfür gelten die Bestimmungen des § 2.

A. Entwurf.

§ 14. Inhalt des Entwurfes.

Hierfür gelten sinngemäß die Bestimmungen des § 3.

§ 15. Berechnungsgrundlagen.

Hierfür gelten die Bestimmungen des § 4.

§ 16. Statische Berechnung.

1.    Gleichlautend mit § 5, Absatz 1.

2.    Bei der Ermittlung der äußeren Kräfte und Angriffsmomente darf an einer Stütze nur jenes Maß von Einspannung angenommen werden, welches durch geeignete bauliche Anordnungen tatsächlich xmd ohne Überschreitung der festgesetzten zulässigen Spannungen der in Betracht kommenden Bauteile erzielt wird. Bei einer Auflagerung auf Mauerwerk aus gewöhnlichen Ziegeln und Weißkalkmörtel darf an der betreffenden Stütze für die Bestimmung der positiven Feldmomente keinerlei Einspannung in Rechnung gestellt werden.

3.    Gleichlautend mit § 5, Absatz 3.

4.    Bei der Berechnung von Trägern, welche mit elastischen Stützen entsprechend steif verbunden sind, müssen die infolge der Wirkung der äußeren Kräfte auftretenden elastischen Formänderungen des Tragwerks berücksichtigt werden.

5.    Rechteckige Platten, ringsum frei aufruhend oder eingespannt, sind als nur zweiseitig aufgelagert nach der kleineren der beiden Seitenlangen (Stützweiten) zu berechnen.

6.    Gleichlautend mit § 5, Absatz 7.

7.    Die Berechnung der Spannungen hat wie für homogene Körper unter Annahme einer Formänderungszahl des Betons für Druck und Zug von 140.000 kg auf 1 cm² zu erfolgen.

8.    Einzellasten sind, wenn zwischen ihrer Aufstandsfläche und einer tragenden Betonplatte eine Deckschichte vorhanden ist, als gleichförmig verteilt auf eine Fläche wirkend anzunehmen, deren Ausmaße gegenüber den betreffenden Maßen der Aufstandsfläche bei rechteckiger Form der letzteren um die doppelte Höhe der Deckschichte und die einfache Plattendicke zu vergrößern sind. Bei Aufstandsflächen anderer als rechteckiger Form ist hinsichtlich ihrer Vergrößerung sinngemäß vorzugehen. Als für die Lastaufnahme statisch wirksame Plattenbreite ist die betreffende, gemäß vorstehendem vergrößerte Breite der Aufstandsfläche in Rechnung zu ziehen. Eine allfällig vorhandene Pflasterung ist für die Druckverteilung nicht zu berücksichtigen.

9. Gleichlautend mit § 5, Absatz 17.

§ 17. Zulässige Spannungen.

1. Unter Zugrundelegung der gemäß § 15 bestimmten Lastwirkungen und Einflüsse dürfen die größten rechnungsmäßigen Spannungen des Stampfbetons die in der nachstehenden Tabelle angegebenen Grenzwerte nicht überschreiten.

Zulässige Spannung in hg auf 1 cm³

Materialgattung und Art der Beanspruchung

Im Falle der Biegung und bei

exzentrischem Druck

bei

zentrischem

Druck

Druck

spannung

Zug

spannung

Schub-Scher- und Hauptzug-Druck- Spannung Spannung

Bei einem Mischungsverhältnis auf 1 m Gemenge von Sand und Steinmaterial . .

n) 470 hg Zement . . .

33

30

26

21

13

. . OO    CO GO

ô    Ü' Üi

2.    Für Lagerteile aus Schweiß- oder Flußeisen, Roheisenguß oder Flußstahl gelten die betreffenden im § 6, Abs. 1 festgesetzten zulässigen Spannungen.

3.    Bei Anwendung anderer als der im Absatz 1 angegebenen Mischungsverhältnisse sind die zulässigen Betonspannungen durch geradlinige Einschaltung nach der betreffenden, auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial entfallenden Gewichtsmenge von Zement zwischen die bezüglichen, im Absatz 1 genannten Werte zu bestimmen.

4.    Mischungsverhältnisse entsprechend einer geringeren Menge von Zement als 120 hg auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial dürfen für Tragwerke aus Stampfbeton nicht angewendet werden.

zum

5.    . Überschreitet bei Druckgliedern das Verhältnis der freien Länge L kleinsten Trägheitshalbmesser i der Querschnittsfläche den Wert

— = 20, so gelten als zulässige Spannungen:

a) bei zentrisch belasteten Druckgliedern die laut Absatz 1 für zentrischen Druck zulässigen Betonspannungen, multipliziert mit der Ab-

L

minderungszahl a = (P72—0‘036 —) ;

b) bei exzentrisch belasteten Druckgliedern die laut Absatz 1 für exzentrischen Druck zulässigen Betondruckspannungen, vermindert um die 1 — a

—fache, einer gedachten zentrischen Belastung entsprechende Druck

spannung.

6.    Die Belastung exzentrisch beanspruchter Druckglieder darf nicht größer angenommen werden als die bei gedachter zentrischer Kraftwirkung mit der zulässigen Betonspannung für zentrischen Druck gemäß Absatz 1 und 5 sich ergebende Tragkraft desselben Druckgliedes.

7.    Die Ausführung von Tragwerken ungewöhnlicher oder noch unerprobter Bauweise sowie die Verwendung von Baustoffen außergewöhnlicher Beschaffenheit bedarf einer besonderen Genehmigung. Die Festsetzung der Berechnungsart für solche Tragwerke sowie der zulässigen Spannungen für Baustoffe außergewöhnlicher Beschaffenheit oder besonderer Güte erfolgt von Fall zu Fall und kann vom Ergebnisse anzustellender Baustoff-, Be-lastungs- und Bruchproben abhängig gemacht werden.

B. Ausführung der Tragwerke.

§ 18. Beschaffenheit und Prüfung des Zements.

1.    Zu Tragwerken aus Stampfbeton ist in der Regel Portlandzement zu verwenden, das ist ein Zement, der aus natürlichen Kalkmergeln oder künstlichen Mischungen ton- und kalkhaltiger Stoffe durch Brennen bis zur Sinterung und darauffolgende Zerkleinerung bis zur Mehlfeinheit gewonnen wird und auf einen Gewichtsteil hydraulischer Bestandteile mindestens 1*7 Gewichtsteile Kalkerde (CaO) enthält. Die Verwendung anderer Zemente oder hydraulischer Bindemittel unterliegt einer fallweisen besonderen Genehmigung.

2.    Gleichlautend mit § 7, Absatz 2.

3.    Der Zement muß sowohl an der Luft als auch unter Wasser raumbeständig und in der Regel langsam bindend sein. Als langsam bindend gilt ein Zement, wenn ein aus demselben mit 25 bis 30 von Hundert Wasserzusatz hergestellter Zementbrei nicht vor 30 Minuten nach dem Anmachen zu erhärten beginnt und mindestens 3V₂ Stunden von der Wasserzugabe an zur Abbindung benötigt. Die Verwendung schneller bindender Zemente für besondere Zwecke unterliegt einer fallweisen besonderen Genehmigung.

4. Gleichlautend mit § 7, Absatz 4.

5.

5.

6.

6.

7. In der normalen Mörtelmischung muß der Zement nach einer Erhärtungsdauer von 7 Tagen mindestens 12 kg Zugfestigkeit und nach einer solchen von 28 Tagen mindestens 180 kg Druckfestigkeit und 18 kg Zugfestigkeit auf 1 cm² aufweisen.

8. Gleichlautend mit    §    7, Absatz 8.

9.

9.

10.

11.

12.

13. Der Zement ist in der entsprechend zu kennzeichnenden Ursprungsverpackung an die Baustelle zu liefern.

§ 19. Beschaffenheit des Sandes und Steinmaterials.

1. Gleichlautend mit § 8, Absatz 1.

2.

„ § 8,

2.

3.    Die Korngröße des Steinmaterials ist so zu bemessen, daß die größten Stücke in jeder Lage durch eine quadratische Öffnung von 6 cm Weite durchgehen und die kleinsten auf einem Siebe von 7 mm lichter Maschenweite liegen bleiben.

4.    Gleichlautend mit § 8, Absatz 4.

5.    Das anzuwendende Mischungsverhältnis zwischen Zement, Sand und Steinmaterial ist jeweils durch Versuche zu bestimmen; der Dichtigkeitsgrad des Betons soll soweit als möglich jenem des Mörtels gleich sein.

6.    Bei Bauwerksteilen aus Stampfbeton mit verhältnismäßig großen Querschnittsabmessungen (Widerlager, Fundamente usw.) können dem Beton bis zu 25 von Hundert Steine von größeren als den im Absatz 3 bestimmten Abmessungen und zwar bis 30 cm Kantenlänge oder Durchmesser beigemengt werden. Derlei Steine müssen vorher gereinigt, angenäßt und sodann satt eingebettet werden. Die Verwendung solcher Steineinlagen bedarf jedoch einer fallweisen besonderen Genehmigung.

7.    Ein vorhandenes natürliches Gemenge von Sand und Steinmaterial kann ohne Trennung in seine Bestandteile zur Betonbereitung Verwendung finden, wenn die Beschaffenheit desselben den Bestimmungen der Absätze 1 bis 5 entspricht und die Zusammensetzung des Gemenges durch eine entsprechende Anzahl von Sieb- oder Wurfproben als geeignet nachgewiesen oder durch besondere Zusätze von Sand oder Steinmaterial geeignet gemacht wurde.

§ 20. Beschaffenheit, Erprobung und Bearbeitung des Eisens

und Stahles.

Hierfür gelten sinngemäß die Bestimmungen des § 9, Absatz 1, 2, 3, 8, 9 und 10.

§ 21. Bereitung, Beschaffenheit und Prüfung des Betons.

1.    Der Zement ist bei der Bereitung des Betons in der Regel nach Gewichtsmengen beizumischen. Die Zumessung kann auch mit Hohlmaßen erfolgen, wobei der Zement lose und ohne Fall einzuschütten ist, die Gefäße vollzufüllen und glatt abzustreichen sind und für Portlandzement zur Umrechnung von Gewichtsmengen auf Raummengen das Gewicht von 1 m³ (lose eingeschüttet) mit 1400 kg anzunehmen ist. Für andere Zemente ist das entsprechende Einheitsgewicht durch Ab wage zu ermitteln.

2.    Gleichlautend mit § 10, Absatz 2.

3.    Zu Tragwerken aus Stampfbeton ist sogenannter erdfeuchter oder auch weicher (plastischer) Beton zu verwenden. Der Wasserzusatz ist den betreffenden Witterungs- und Temperaturverhältnissen sowie der natürlichen Feuchtigkeit des Sandes und Steinmaterials entsprechend, jedenfalls aber so zu bemessen, daß sich bei erdfeuchtem Beton die Masse mit der Hand gerade noch ballen läßt und dabei auf der Haut Feuchtigkeit zurückläßt, hingegen bei weichem (plastischen) Beton letzterer noch gestampft werden kann und dabei weich wird; unter der Wirkung der Schwere darf sich aber der Mörtel vom Steinmaterial nicht loslösen.

4. Gleichlautend mit § 10, Absatz 4.

„ § io,

„ § 10,

7.    Der Beton muß nach sechswöchiger Erhärtung an der Luft mindestens folgende Werte der Druckfestigkeit (Würfelfestigkeit) in hg auf 1 cm² und zwar senkrecht zur Stampfrichtung aufweisen:

Bei einem Mischungsverhältnisse:

Auf 1 ma Gemenge von Sand und Steinmaterial

a)    470 hg Zement

8.    Bei Anwendung anderer als der im Absatz 7 angegebenen Mischungsverhältnisse ist die geforderte Würfelfestigkeit durch geradlinige Einschaltung nach der betreffenden, auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial entfallenden Gewichtsmenge von Zement zwischen die bezüglichen im Absatz 7 genannten Werte zu bestimmen.

9.    Zur Prüfung des Betons hinsichtlich der geforderten Würfelfestigkeit sind bei Mischungsverhältnissen entsprechend 230 hg Zement oder mehr auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial in der Regel, bei anderen Mischungsverhältnissen über Verlangen Probekörper und zwar in Würfelform von 20 cm Seitenlange am Bauplatze anzufertigen und einer der im § 7, Absatz 10 genannten Prüfungsanstalten zur Erprobung zu überweisen oder an der Baustelle mittels einer geeigneten Presse zu prüfen.

10.    Gleichlautend mit § 10, Absatz 10.

„ § io,

12. Die Zahl der Probekörper ist in der Regel so zu bemessen, daß bis zu 200 m³ und auf je 200 m³ Betonmasse eines Mischungsverhältnisses 6 Probekörper entfallen; als Würfelfestigkeit gilt das arithmetische Mittel der bezüglichen Werte; ist dieses Mittel kleiner als die im Absatz 7 geforderte Würfelfestigkeit oder bleibt einer der bezüglichen Werte um mehr als 20 von Hundert unter dieser Würfelfestigkeit, so darf Beton dieser Beschaffenheit nicht verwendet werden.

5.

6.

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5.

6.

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150

130

110

75

50.

11.

11.

§ 22. Herstellung der Tragwerke.

1.    Die Herstellung von Tragwerken aus Stampfbeton darf nur durch geschulte Arbeiter und unter beständiger Aufsicht von Personen geschehen, die nachweisbar mit dieser Bauweise gründlich vertraut sind.

2.    Gleichlautend mit § 11, Absatz 2.

„ § 11,

4. Mit der Herstellung der Tragwerke darf in der Regel erst dann begonnen werden, wenn der Nachweis der bedungenen Beschaffenheit der Baustoffe im Sinne der §§ 18, 19, 20 und 21 erbracht ist. Die Prüfung derselben hat daher zu einer solchen Zeit zu erfolgen, daß die Ergebnisse dieser Prüfung bei Beginn der Verwendung der Baustoffe bereits vorliegen und demnach mit Sicherheit die Eignung derselben zur weiteren Verarbeitung beurteilt werden kann.

Haberkalt und Dr. Postnvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

3.

3.

20

5.    Erdfeuchter Beton ist in Schichten von höchstens 15 cm Stärke, weicher Beton in Schichten von höchstens 20 cm Stärke einzubringen, welche je für sich in einem, dem jeweiligen Wasserzusatze entsprechenden Maße zu stampfen sind. Der Beton darf zum Verwendungsorte nur bis zu einer Tiefe von 3 m geworfen und muß bei größeren Tiefen mittels Gefäßen oder Vorrichtungen, welche eine Entmischung des Betons verhindern, eingebracht werden.

6.    Gleichlautend mit §11, Absatz 8.

7.

9.

,, § U,

8.

10.

,, § H,

9.    Eingerüstete Tragwerke dürfen ausnahmslos vor Ablauf von 4 Tagen nach Beendigung des Einstampfens keinerlei Belastung erfahren. Nach dieser Zeit und innerhalb der im Absatz 10 bezw. 11 bestimmten Fristen dürfen eingerüstete Tragwerke nur dann aus dem Baubetriebe oder dem Baufortschritte allfällig sich ergebende Lasten aufnehmen, sowie bei mehrgeschossigen Gebäuden durch Wände, Pfeiler oder Säulen belastet werden, wenn die unterstützenden Gerüste und Schalungen hinreichend stark und die eingerüsteten Tragwerke derart erhärtet sind, daß sie außer ihrem Eigengewichte auch die vorgenannten Belastungen mit genügender Sicherheit und ohne schädliche Formänderungen der Tragwerke aufnehmen können.

10.    Die unterstützenden Gerüste dürfen erst nach einer, genügende Tragfähigkeit verbürgenden Erhärtung des Betons und zwar in der Regel nicht früher als 4 Wochen nach Beendigung ; des Einstampfens entfernt werden. Seitliche Schalungen ohne stützende Wirkung dürfen in der Regel nicht vor Ablauf von 4 Tagen nach Beendigung des Einstampfens abgenommen werden. Bei größeren Stützweiten und Querschnittsabmessungen sowie bei Verhältnissen, welche die Erhärtung ungünstig beeinflussen, ist die Frist bis zur Ausrüstung entsprechend zu verlängern.

11.    In die im Absatz 10 genannten Fristen dürfen nur frostfreie, das sind solche Tage eingerechnet werden, an denen die Lufttemperatur, im Schatten gemessen, innerhalb 24 Stunden nicht unter Null Grad Celsius gesunken ist; beim Eintritt einer oder mehrerer Frostperioden sind diese Fristen daher noch mindestens um die Anzahl der Frosttage zu verlängern.

12.    Gleichlautend mit § 11, Absatz 14.

13.    Von der Rüstung befreite Tragwerke dürfen innerhalb der im § 23, Absatz 2 festgesetzten Fristen außer durch die bleibende Last nicht durch irgend eine nennenswerte Belastung beansprucht werden.

14.    Gleichlautend mit § 11, Absatz 16.

15.    Die Verwendung von Tragwerksteilen aus Stampfbeton, wie Balken, Platten, Säulen, Stiegenstufen usw., welche auf gesonderten Werksplätzen erzeugt und in fertigem Zustande auf die Baustelle gebracht werden, bedarf in jedem einzelnen Falle einer besonderen Genehmigung. Dieselben müssen sinngemäß den Bestimmungen der §§ 15 bis 22 entsprechen und bis zur Verwendung eine Erhärtungsdauer von mindestens 6 Wochen aufweisen.

C. Prüfung der Tragwerke.

§ 23. Belastungs- und Bruchproben.

1. Außer der Prüfung des Betons (§ 21) sind über Verlangen auch Belastungsprobeh des ganzen Tragwerks sowie Belastungs- und stichprobenweise Bruchproben einzelner Tragwerksteile vorzunehmen.

2. Belastungs- und Bruchproben dürfen nicht vor Ablauf von 6 Wochen nach Beendigung des Einstampfens bezw. einer gemäß § 22, Absatz 10 und 11

zu bemessenden längeren Frist als 6 Wochen vorgenommen werden. 3. Gleichlautend mit § 12, Absatz 3.

4.

4.

» § 12,

5.

5.

„ § 12,

6.    Bei der Ermittlung der elastischen Formänderungen ist die Formänderungszahl des Betons gemäß § 16, Absatz 6 in Rechnung zu stellen.

7.    Gleichlautend mit § 12, Absatz 7.

8.    Vor der Verwendung der im § 22, Absatz 15 genannten Tragwerks-teile sind über Verlangen bis 100 und von je 100 dieser Teile 3 Stück auszuwählen und gemäß den Bestimmungen der Absätze 2 und 7 bis zum Bruche zu erproben. Entspricht von den ausgewählten Stücken eines diesen Bestimmungen nicht, so sind als Ergänzung dieser Proben von derselben Menge weitere 5 Stück auszuwählen und in gleicher Weise zu erproben. Sollte von den Ergänzungsproben auch nur eine nicht genügen, so sind die betreffenden 100 Stück von der Verwendung auszuschließen; dasselbe gilt, wenn von den ursprünglich ausgewählten 3 Stück mehr als eines den Bestimmungen nicht entsprochen hat.

Vorschrift

vom 15. Juni 1911 über die Herstellung von Tragwerken aus Eisenbeton oder Stampfbeton bei Straßenbrücken.*)

Herausgegeben mit Erlaß des k. k. Ministeriums für öffentliche Arbeiten, Z. 42/30-IX d ex 1911.

I. Abschnitt.

Tragwerke aus Eisenbeton.

§ 1. Begriffsbestimmung.

Tragwerke oder Tragwerksteile aus Eisenbeton sind solche, bei denen Eisen mit Stampfbeton in eine derartige Verbindung gebracht ist, daß beide Banstoffe hinsichtlich der Lastaufnahme zu gemeinsamer statischer Wirkung gelangen.

§ 2. Allgemeines.

Die Bestimmungen der Vorschrift des k k. Ministeriums des Innern vom 16. März 1906, Z. 49898 ex 1905, über die Herstellung der Straßenbrücken mit eisernen oder hölzernen Tragwerken, bezw. die Bestimmungen der Verordnung des k. k. Eisenbahnministeriums vom 28. August 1904, R. G. B. Nr. 97, betreffend die Eisenbahnbrücken, Bahnüberbrückungen und Zufahrtsstraßenbrücken mit eisernen oder hölzernen Tragwerken, gelten sofern im nachfolgenden nicht abweichende Festsetzungen getroffen werden, sinngemäß auch für die Straßenbrücken mit Tragwerken aus Eisenbeton.

A. Entwurf.

§ 3. Inhalt des Entwurfes.

Der Bauentwurf hat außer den Erfordernissen gemäß § 2 auch die Angabe des Mischungsverhältnisses des Betons und zwar hinsichtlich des Zements nach Gewichtsmengen, hinsichtlich der anderen Baustoffe nach Raummengen zu enthalten.

§ 4. Berechnungsgrundlagen.

1. Für die Berechnungsgrundlagen gelten die im § 2 genannten Bestimmungen.

*) Die Vorschrift ist vom Kommissionsverlage Lehmann & Wentzel, G. m. b. H., Wien, I., Kärntnerstraße 30 zum Preise von 60 Heller für ein Stück zu beziehen.

2.    Das Einheitsgewiclit von Stampfbeton ist mit mindestens 2.200 kg für 1 m³, jenes von Eisenbeton mit 2.400 kg für 1 m³ anzunehmen, sofern nicht ein gesonderter Nachweis mit Rücksicht auf die Ausmaße der Eiseneinlagen geliefert wird.

3.    Die Wärmeschwankungen sind, sofern durch sie Spannungen verursacht werden, für Änderungen der Temperatur des Tragwerkes von ± 15 Grad Celsius gegenüber dem spannungslosen Zustande und für einen Wärmeausdehnungskoeffizienten des Betons a = 0’000012 für 1 Grad Celsius zu berücksichtigen. Bei Tragwerken, deren geringste Betonstärke mehr als 70 cm beträgt oder welche vollständig mit Erde, Schotter oder anderem Material auf eine durchschnittliche Höhe von mindestens 70 cm überschüttet sind, können obige Temperaturgrenzen auf +10 Grad Celsius ermäßigt werden.

§ 5. Statische Berechnung.

1.    Als rechnungsmäßige Stützweite ist, sofern sie nicht durch die Art der Auflagerung unzweifelhaft festgestellt erscheint, bei frei aufliegenden Tragwerken mit nur einem Felde die Entfernung von Mitte zu Mitte der Auflagerlängen bezw. Auflagerplatten, bei durchlaufenden Tragwerken in den Mittelfeldern die Entfernung von Mitte zu Mitte der Stützen anzunehmen; in den Endfeldern der letzteren Trägergattung ist die Stützweite hiernach sinngemäß zu bemessen.

2.    Bei der Ermittlung der äußeren Kräfte und Angriffsmomente darf an einer Stütze nur jenes Maß von Einspannung angenommen werden, welches durch geeignete bauliche Anordnungen tatsächlich und ohne Überschreitung der festgesetzten zulässigen Spannungen der in Betracht kommenden Bauteile erzielt wird.

3.    Tragwerke, welche über mehrere Felder durchgehen und auf den Stützen frei aufruhen, sind nach den Regeln für durchlaufende Träger unter Berücksichtigung der jeweils ungünstigsten Laststellung zu berechnen.

4.    Bei der Berechnung von Trägern, welche mit elastischen Stützen entsprechend steif verbunden sind, müssen im allgemeinen die infolge der Wirkung der äußeren Kräfte auf tretenden elastischen Formänderungen des Tragwerkes berücksichtigt werden. Durchlaufende Platten von Plattenbalken können jedoch ohne Bedachtnahme auf die elastischen Formänderungen der Balken als auf diesen frei aufruhend berechnet werden.

5.    Rechteckige Platten, ringsum frei aufruhend oder eingespannt, mit den Seitenlangen (Stützweiten) a und b und sich kreuzenden Eiseneinlagen sind in nachstehender Weise zu berechnen: Die auf die Platte einwirkenden Lasten sind auf zwei, je nur zweiseitig aufgelagerte Platten gleicher Art (frei aufruhend oder eingespannt), die eine Platte mit der Stützweite a, die andere mit der Stützweite b, in der Weise verteilt wirkend anzunehmen, daß auf die erstere nur die im Verhältnisse b²: (ka²-\- b²) und auf die letztere nur die im Verhältnisse ka²: (ka² -)- b²) verminderten Lasten bei sonst gleichbleibender Lastanordnung entfallen; hierbei bedeutet k das Verhältnis der Querschnittsfläche der zu b parallelen Schar der Eiseneinlagen zur Querschnittsfläche der zu a parallelen Schar der Eiseneinlagen, beide Querschnittsflächen bezogen auf das laufende Meter. Dieser Lastverteilung entsprechend sind die Querkräfte, Stützendrücke und Biegungsmomente zu ermitteln. Die vorbezeichnete Berechnungsweise ist nicht zulässig, wenn die eine Stützweite b mehr als das Einundeinhalbfache der anderen Stützweite «

oder die Querschnittsfläche der einen Schar der Eiseneinlagen weniger als 30 von Hundert der Querschnittsfläche der andern Schar der Eiseneinlagen, beide bezogen auf das laufende Meter, beträgt ; in diesen Fällen ist die rechteckige Platte nur für die kleinere der beiden Stützweiten zu berechnen Bei durchlaufenden Platten mit sich kreuzenden Eiseneinlagen ist hinsichtlich der Berechnungsweise sinngemäß vorzugehen. Bei derlei durchlaufenden oder eingespannten Platten dürfen jedoch die positiven Feldmomente nicht kleiner als mit zwei Drittel der betreffenden, für die frei aufruhende, ein-felderige Platte nach obigem sich ergebenden positiven Feldmomente angenommen werden.

6.    Die statische Untersuchung hat sich auch auf die Pfeiler, Widerlager und Fundamente unter Berücksichtigung eines allfällig wirkenden hydrostatischen Auftriebes, sowie auf den Nachweis der Bodenpressungen zu erstrecken.

7.    Die Berechnung der Spannungen in Tragwerken aus Eisenbeton ist nach folgenden Annahmen durchzuführen:

a)    Ursprünglich ebene Querschnitte bleiben bei einer Formänderung des Körpers eben;

b)    die Formänderungszahl (Elastizitätsmodul) des Betons für Druck ist mit 140.000 kg auf 1 cm², gleich dem fünfzehnten Teile von jener des Eisens für Zug und Druck (2,100.000 kg auf 1 cm²) anzunehmen;

c)    die Spannungen des Betons auf Druck und des Eisens auf Zug sind unter der Voraussetzung zu ermitteln, daß der Beton keine Normalzugspannungen aufnehme ;

d)    bei den auf Biegung beanspruchten Tragwerken sind auch die größten Zugspannungen des Betons nachzuweisen, welche sich für eine Formänderungszahl des Betons für Zug von 56.000 kg auf 1 cm² ergeben;

e)    bei der Berechnung der äußeren Kräfte und elastischen Form-änderungen äußerlich statisch unbestimmter Tragwerke ist die aus dem vollen Betonquerschnitte und aus der fünfzehnfachen Fläche der Längseisen gebildete ideelle Querschnittsfläche, sowie eine für Druck und Zug im Beton gleich große Formänderungszahl gemäß Absatz 7 b in Rechnung zu stellen ;

/) die Schub- und Hauptzugspannungen sind unter der im Absatz 7 c bestimmten Annahme zu ermitteln.

8.    Sind schlaffe Eiseneinlagen in zwei oder mehreren Reihen angeordnet, so ist die Spannung für die betreffende äußerste Reihe nachzuweisen; bei steifen Eiseneinlagen (Formeisen) ist dieser Nachweis für die betreffende äußerste Schichte durchzuführen.

9.    Bei nur auf Zug beanspruchten Tragwerksteilen ist die Mitwirkung des Betons nicht zu berücksichtigen.

10.    Platten mit weniger als 8 cm kleinster Dicke dürfen bei Plattenbalken nicht als mitwirkend in Rechnung gestellt werden.

11.    Einzellasten sind, wenn zwischen ihrer Aufstandsfläche und einer tragenden Eisenbetonplatte eine Deckschichte vorhanden ist, als gleichförmig verteilt auf eine Fläche wirkend anzunehmen, deren Ausmaße gegenüber den betreffenden Maßen der Aufstandsfläche bei rechteckiger Form der letzteren zu vergrößern sind: u) bei sich kreuzenden Eiseneinlagen, bei welchen das Verhältnis der Querschnittsflächen dem Absatz 5 entspricht, um die doppelte Höhe der Deckschichte und die doppelte Plattendicke ; b) bei sich kreuzenden Eiseneinlagen, bei denen dies nicht zutrifft, in der Richtung der stärkeren Eiseneinlage, ferner bei nur in einer Richtung angeordneten Eiseneinlagen in der Richtung derselben wie bei a), in der dazu senkrechten Richtung um die doppelte Höhe der Deckschichte und die einfache Plattendicke. Bei Aufstandsflächen anderer als rechteckiger Form ist hinsichtlich ihrer Vergrößerung sinngemäß vorzugehen. Als für die Lastaufnahme statisch wirksame Plattenbreite ist die betreffende, gemäß vorstehendem vergrößerte Breite der Aufstandsfläche in Rechnung zu ziehen. Eine allfällig vorhandene Pflasterung ist für die Druckverteilung nicht zu berücksichtigen.

12. Bei Druckgliedern, das sind auf zentrischen oder exzentrischen Druck beanspruchte Tragwerke oder Tragwerksteile, muß auf den erforderlichen Widerstand gegen Knickung Bedacht genommen werden, wenn das Verhältnis der freien Knicklänge L zum betreffenden Trägheitshalbmesser i

der gemäß Absatz 7 e zu bestimmenden Querschnittsfläche den Wert ^- = 60

%

überschreitet.

13.    Als freie Knicklänge L ist die Länge des Druckgliedes zwischen zwei gegen Ausweichen gesicherten Punkten der Längsachse anzunehmen.

14.    In Druckgliedern sind die Eiseneinlagen auch für sich allein hinsichtlich ihres Widerstandes gegen Knickung unter Annahme einer freien Knicklänge gleich dem Abstand der Querverbände zu untersuchen; letztere sind in Abständen höchstens gleich dem kleinsten, durch den Schwerpunkt des Querschnittes gezogenen Durchmesser des Druckgliedes anzuordnen.

15. Bei Druckgliedern sind allfällig exzentrische Lastangriffe zu berück

sichtigen.

16.    Druckglieder — mit Ausnahme von Gewölben — dürfen nur dann im Sinne der §§ 5 und 6 berechnet werden, wenn die Fläche der Längseisen in jedem Querschnitte mindestens 0‘8 von Hundert der ganzen Querschnittsfläche beträgt; macht die genannte Eisenfläche mehr als 2 von Hundert dieser ganzen Querschnittsfläche aus, so darf der Mehrbetrag an Fläche der Längseisen über 2 von Hundert nur mit dem dritten Teile in Rechnung gebracht werden. Beträgt die Fläche der Längseisen weniger als 0-8 von Hundert der ganzen Querschnittsfläche, so entfällt die Berücksichtigung der Eiseneinlagen bei der Bemessung der Tragfähigkeit und ist das Druckglied als solches aus Stampfbeton zu berechnen. Für Gewölbe gilt als bezügliches Mindestausmaß der Fläche der Längseisen 0‘4 von Hundert der ganzen Querschnittsfläche.

17.    Bei Druckgliedern, in welchen außer Längseinlagen auch schraubenförmig gewundene, durchlaufende Quereinlagen angeordnet sind („um-schnürter Beton“), ist zur Bestimmung der Druckspannung infolge zentrischen Druckes eine ideelle Querschnittsfläche Fi — Fb-{-15 jFe + 30 einzuführen, wobei Fh den Betonquerschnitt, Fe die Querschnittsfläche der Längseisen unter Berücksichtigung des vorstehenden Absatzes 16 und Fs die Querschnittsfläche eines gedachten Längseisens bedeutet, dessen Gewicht gleich jenem der schraubenförmigen Quereinlage ist, beide Gewichte auf die Längeneinheit des Druckgliedes bezogen. Macht hierbei die so gebildete ideelle Fläche Fi mehr als 1*5 (Fh-\- lb Fe) oder mehr als 2-0 Fb aus, so darf für Fï nur der kleinere dieser beiden Grenzwerte in Rechnung gestellt werden. Bei exzentrischem Lastangriffe sind die schraubenförmigen Quereinlagen zur Ermittlung der vom Biegungsmomente herrührenden Spannungen nicht zu berücksichtigen. Die Ganghöhe der Schraubenwindungen darf höchstens ein Fünftel des kleinsten, durch den Schwerpunkt des Querschnittes gezogenen Durchmessers betragen.

18.    Druckglieder mit Längseinlagen und solchen Quereinlagen oder Anordnungen, welche nach ihrer Wirkungsweise einer schraubenförmig gewundenen durchlaufenden Quereinlage gleichkommen, sind im Sinne des Absatzes 17 zu berechnen.

19.    Bei allen Druckgliedern darf für die Kraftaufnahme als Betonquerschnittsfläche höchstens das l‘8fache des von den Quereinlagen eingeschlossenen Teiles dieser Querschnittsfläche in Rechnung gezogen werden.

20.    Druckglieder mit selbständig tragfähigem Eisengerippe, bei welchen der Beton nur als ausfüllendes oder umhüllendes Material dient, dürfen nicht als Tragwerke aus Eisenbeton im Sinne des § 5 berechnet werden.

21.    Hinsichtlich des Verbundes von Eisen und Beton ist nachzuweisen, daß die in irgend einem Querschnitte wirkende, gemäß Absatz 7c berechnete Zug- oder Druckkraft einer Eiseneinlage bereits vor diesem Querschnitte durch „mittlere Haftspannungen“ von zulässiger Größe in das Eisen übertragen werden kann; zur Berechnung dieser „mittleren Haftspannungen“ ist die genannte Zug- oder Druckkraft gleichmäßig verteilt über die betreffende Haftfläche (Umfang der Eiseneinlage mal Haftlänge) anzunehmen. Für die Wirkung von recht- oder spitzwinkligen Haken ist die vierfache, für jene von halbkreisförmigen Haken die zwölffache, in die Biegungsebene fallende Querschnittsabmessung der Eiseneinlage (bei Rundeisen das bezügliche Vielfache des Durchmessers) zur anschließenden geraden Haftstrecke zuzuschlagen.

22.    Die geringsten Abstände der Oberfläche der Längseisen von der Oberfläche des Betons, sowie die Zwischenräume zwischen den einzelnen Eiseneinlagen müssen, sofern nicht mit Rücksicht auf Scher- und Haftspannungen größere Maße erforderlich sind, mindestens betragen: erstere bei Platten 1 cm, bei anderen Tragwerken 2 cm; letztere 2⁻5 cm, bei Rundeisen von größerem Durchmesser als 1*6 cm den einundeinhalbfachen Durchmesser. Durchlaufende schlaffe Eiseneinlagen müssen, wenn ihre statische Wirkung berücksichtigt werden soll, bei allen Tragwerken — mit Ausnahme von Stützen — in Abständen von höchstens 20 cm angeordnet sein.

23. Die kleinste Stärke von Längs- und Verteilungseisen muß mindestens 7 mm, jene von Bügeln und Querverbindungen mindestens 5 mm betragen.

24. Zur Sicherung des Verbundes von Eisen und Beton sind Bügel oder Querverbindungen in ausreichender Zahl anzuordnen und die Enden der Eiseneinlagen hakenförmig oder in anderer entsprechender Weise auszubilden, falls nicht schon deren Oberflächengestaltung einer Verschiebung im Beton entgegenwirkt.

25.    Bei frei aufliegenden Tragwerken von 4 m Stützweite an sind Auflagerplatten oder -Vorrichtungen anzuordnen und ist für die Ermöglichung der Bewegungen infolge Temperatur- und Spannungsänderungen entsprechend vorzusorgen.

26.    Dem möglichen Auftreten von Einspannungsmomenten über den Stützen ist, auch wenn sie rechnerisch nicht besonders nachgewiesen werden, durch entsprechende Anordnung von Eiseneinlagen Rechnung zu tragen.

§ 6. Zulässige Spannungen.

1. Unter Zugrundelegung der gemäß § 4 bestimmten Lastwirkungen und Einflüsse dürfen die größten rechnungsmäßigen Spannungen des Betons und Eisens die in der nachstehenden Tabelle angegebenen Grenzwerte nicht überschreiten.

Zulässige Spannung in kg auf 1 cm²

Materialgattung u. Art der Beanspruchung

im Falle der Biegung und bei exzentrischem Druck

bei zentrischem Druck

Druck- Zug- Druckspannung Spannung Spannung

Schub-, Scher-und Hauptzugspannung

Mittlere Haftspannung

I. Beton.

Bei einem Mischungsverhältnis auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial :

f 19 + Ol l

a) 470 kg Portlandzement 33 -f- 0*2bis höchstens

25

22

b) 350 „

I 18 -(-0*1Z 29 -j- 0‘2Z ] bis höchstens

22

3*5

4*5

21

c) 280 „

I 16 -h 0-1 Z

25 —J— 0*2 ^. bis höchstens

19

19-5

Schweiß

eisen

Fluß

eisen

II. Eisen.

1. Beanspruchung auf Zug und Druck

bis höchstens .

2.    Beanspruchung auf Abscherung, ausgenom. bei Nieten

3.    Beanspruchung der Niete auf Abscherung......

4.    Beanspruchung der Lochleibung auf Druck.....

750 + 2 / 800 + 3/

S( K>

500 600 600 700 1400 1600

Anmerkung: „Z“ bedeutet die Stützweite des Tragwerkes oder Tragwerksteiles in m.

2. Für Bestandteile aus Schweiß- oder Flußeisen, Roheisenguß oder Flußstahl, welche sich — wie zum Beispiel Lager, eiserne Säulen Geländer — als selbständige Teile des ganzen Tragwerks darstellen, gelten

u. s. w.

hinsichtlich der zulässigen Spannungen die im § 2 genannten Bestimmungen.

3.    Bei Anwendung anderer als der im Absätze 1 angegebenen Mischungsverhältnisse sind die zulässigen Betonspannungen durch geradlinige Einschaltung nach der betreffenden, auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial entfallenden Gewichtsmenge von Portlandzement zwischen die bezüglichen, im Absatz 1 genannten Werte zu bestimmen.

von

4.    Mischungsverhältnisse entsprechend einer geringeren Menge Portlandzement als 280 kg auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial dürfen für Tragwerke aus Eisenbeton nicht angewendet werden.

5. Ist auf Knickung gemäß § 5, Absatz 12 Rücksicht zu nehmen, so gelten als zulässige Spannungen:

a)    bei zentrisch belasteten Druckgliedern die laut Absatz 1 für zentrischen Druck zulässigen Betonspannungen, multipliziert mit der Abminderungszahl a = |l'72 — CH312 yj ;

b)    bei exzentrisch belasteten Druckgliedern die laut Absatz 1 für exzentrischen Druck zulässigen Betondruckspannungen, vermindert um die

¹ -- fache, einer gedachten, zentrischen Belastung entsprechende Druckst

Spannung.

Kommt bei Eiseneinlagen Knickung in Betracht, so sind die laut Tabelle im Absatz 1 zulässigen Eisendruckspannungen se auf den Wert sk nach folgenden Formeln abzumindern:

a)    für Längen Verhältnisse y = 10 bis 105:

= (o-816 — 0-003 se ;

105:

(i)v

b)    für Längenverhältnisse ^ > sk = 5580

6.    Die Belastung exzentrisch beanspruchter Druckglieder darf nicht größer angenommen werden als die bei gedachter zentrischer Kraftwirkung mit der zulässigen Betonspannung für zentrischen Druck gemäß Absatz 1 und 5 sich ergebende Tragkraft desselben Druckgliedes.

7.    Überschreiten die gemäß § 5, Absatz 7 berechneten Schub- und Hauptzugspannungen im Beton die im § 6, Absatz 1 festgesetzten Werte, so sind Bügel oder andere entsprechende Eiseneinlagen anzuordnen und so zu bemessen, daß sie jenen Teil der Schub- und Hauptzugkräfte, welcher vom Beton ohne Überschreitung der festgesetzten zulässigen Spannungen nicht aufgenommen werden kann, mindestens aber 60 von Hundert der gesamten Schub- und Hauptzugkräfte aufzunehmen vermögen. Der Beton muß für sich allein im stände sein, mindestens 30 von Hundert der Schubkräfte durch Schubspannungen von zulässiger Größe aufzunehmen.

8.    Die Ausführung von Tragwerken ungewöhnlicher oder noch unerprobter Bauweise sowie die Verwendung von Baustoffen außergewöhnlicher Beschaffenheit bedarf einer besonderen Genehmigung. Die Festsetzung der Berechnungsart für solche Tragwerke sowie der zulässigen Spannungen für Baustoffe außergewöhnlicher Beschaffenheit oder besonderer Güte erfolgt von Fall zu Fall und kann vom Ergebnisse anzustellender Baustoff-, Be-lastungs- und Bruchproben abhängig gemacht werden.

B. Ausführung der Tragwerke.

§ 7. Beschaffenheit und Prüfung des Zements.

1. Zu Tragwerken aus Eisenbeton ist nur Portlandzement zu verwenden, das ist ein Zement, der aus natürlichen Kalkmergeln oder künstlichen Mischungen ton- oder kalkhaltiger Stoffe durch Brennen bis zur

Sinterung und darauf folgende Zerkleinerung bis zur Mehlfeinheit gewonnen wird und auf einen Gewichtsteil hydraulischer Bestandteile mindestens 1*7 Gewichtsteile Ivalkerde {CaO) enthält.

2.    Der Gehalt des Zements an Magnesia (MgO) darf nicht mehr als 5 von Hundert betragen.

3.    Der Zement muß sowohl an der Luft als auch unter Wasser raum-beständig und langsam bindend sein. Als langsam bindend gilt ein Zement, wenn ein aus demselben mit 25 bis 30 von Hundert Wasserzusatz hergestellter Zementbrei nicht vor 30 Minuten nach dem Anmachen zu erhärten beginnt und mindestens 3V₂ Stunden von der Wasserzugabe an zur Abbindung benötigt.

4.    Der Zement muß so fein gemahlen sein, daß die Rückstände beim Sieben durch ein Sieb von 4900 Maschen auf 1 cm² und 0⁻05 mm Drahtstärke 30 von Hundert und von 900 Maschen auf 1 cm² und 0*1 mm Drahtstärke 5 von Hundert nicht überschreiten.

5.    Die Bindekraft des Zements ist durch Prüfung der Festigkeitsverhältnisse an einer Mischung mit Sand zu ermitteln. Als normale Mischung gilt das Gemenge von einem Gewichtsteil Zement mit drei Gewichtsteilen Normalsand.

6.    Als Normalsand gilt ein in der Natur vorkommender, gewaschener, reiner Quarzsand, dessen Korngröße dadurch bestimmt ist, daß das kleinste Korn nicht mehr durch ein Sieb von 144 Maschen auf 1 cm² und 0-3 mm Drahtstärke und das größte Korn noch durch ein Sieb von 64 Maschen auf 1 cm² und 0‘4 mm Drahtstärke durchgeht.

7.    In der normalen Mörtelmischung muß der Zement nach einer Erhärtungsdauer von 7 Tagen mindestens 12 kg Zugfestigkeit und nach einer solchen von 28 Tagen mindestens 220 kg Druckfestigkeit und 22 kg Zugfestigkeit auf 1 cm² aufweisen.

8.    Die Proben auf Zugfestigkeit sind an Probekörpern von 5 cm2 Querschnitt, jene auf Druckfestigkeit an Würfeln von 50 cm² Querschnitt vorzunehmen; sämtliche Probekörper sind während der ersten 24 Stunden nach ihrer Anfertigung an der Luft, geschützt vor rascher Austrocknung, und hierauf unter Wasser von + 15 bis 18° Celsius bis zur Vornahme der Probe aufzubewahren.

9.    Den zuständigen Kontrollorganen bleibt das Recht gewahrt, jederzeit bei der Erzeugung, Verpackung und Absendung des Zements, sowie bei dessen Verarbeitung zu den Proben und der Durchführung der letzteren gegenwärtig zu sein und in beliebiger Weise die erforderlichen Mengen Zement behufs Erprobung zu entnehmen.

10.    Die Prüfung des Zements ist in der Regel am Erzeugungsorte oder am Bauplatze durchzuführen; der behufs Prüfung entnommene Zement kann jedoch auch ganz oder teilweise in einer, zur Ausstellung von Zeugnissen über Materialprüfungen im Sinne des Gesetzes vom 9. September 1910, R. G. B. Nr. 185, befugten Prüfungsanstalt erprobt werden.

11.    In der Regel ist bis zu 100 g und von je 100 g Zement mindestens eine Erprobung auf Raumbeständigkeit, Mahlfeinheit, Erhärtungsbeginn und Abbindezeit, ferner bis zu 200 g und von je 200 g Zement mindestens eine Erprobung auf Zug- und Druckfestigkeit anzustellen.

12.    Bei Tragwerken geringeren Umfangs oder in Fällen besonderer Dringlichkeit kann der Nachweis der Beschaffenheit des Zements, dessen

Erzeugungsstelle vom Bauunternehmer anzugeben ist, ausnahmsweise über jeweils einzuholende besondere Genehmigung auch durch Beibringung von Zeugnissen einer der im Absatz 10 genannten Prüfungsanstalten erbracht werden; solche Zeugnisse dürfen nicht über 6 Monate alt sein. In solchen Fällen ist aber stets mindestens die Prüfung auf Erhärtungsbeginn und Abbindezeit an der Baustelle vorzunehmen.

13. Der Zement ist in der Ursprungsverpackung, auf der in deutlicher Weise seine Bestimmung für Tragwerke aus Eisenbeton zu kennzeichnen ist, an die Baustelle zu liefern.

§ 8. Beschaffenheit des Sandes und Steinmaterials.

1.    Der zur Betonbereitung dienende Sand muß rein, scharfkörnig, von ungleicher Korngröße und frei von lehmigen, tonigen oder erdigen Bestandteilen oder sonstigen Verunreinigungen, ferner so beschaffen sein, daß er durch ein Sieb von 7 mm lichter Maschenweite durchgeht und auf einem Sieb von 900 Maschen auf 1 cm² und 0’1 mm Drahtstärke wenigstens 95 von Hundert Rückstand ergibt.

2.    Das Steinmaterial (Kies, Rundschotter oder Steinschlag) muß von ungleicher Korngröße, rein, wetterbeständig und von solcher Beschaffenheit sein, daß die Druckfestigkeit deseiben mindestens 300 hg auf 1 cm² und die Wasseraufnahme nicht mehr als 10 von Hundert des Gewichtes beträgt; die letztgenannten Eigenschaften sind erforderlichenfalls durch entsprechende Proben festzustellen.

3.    Die Korngröße des Steinmaterials muß im allgemeinen kleiner als der Raum zwischen den Eiseneinlagen unter sich oder zwischen diesen und der nächstliegenden Außenfläche der Tragwerke sein; in jedem Falle müssen die größten Stücke in jeder Lage durch ein Gitter von 30 mm lichter Maschenweite durchgehen und die kleinsten auf einem Siebe von 7 mm lichter Maschenweite liegen bleiben.

4.    Die Korngrößen des Sandes und Steinmaterials sind mittels einzelner Sieb- und Wurfproben zu ermitteln.

5.    Das anzuwendende Mischungsverhältnis zwischen Sand- und Steinmaterial ist in Hinsicht auf die Erzielung eines möglichst dichten Gemenges jeweils durch Versuche zu bestimmen.

6.    Die aus Zement und Sand bestehende Kittmasse (der Mörtel) muß mindestens das 1*2fache der Hohlräume des Steinmaterials betragen; überdies muß der Mörtel so viel Zement, daß seine Raummenge die Hohlräume des Sandes wenigstens um 5 von Hundert übersteigt, mindestens aber 500 hg Zement auf 1 m³ Sand enthalten.

7.    Ein vorhandenes natürliches Gemenge von Sand und Steinmaterial kann ohne Trennung in seine Bestandteile zur Betonbereitung Verwendung finden, wenn die Beschaffenheit desselben den Bestimmungen der Absätze 1 bis 5 entspricht und die Zusammensetzung des Gemenges durch eine entsprechende Anzahl von Sieb- oder Wurfproben als geeignet nachgewiesen oder durch besondere Zusätze von Sand oder Steinmaterial geeignet gemacht wurde.

§ 9. Beschaffenheit, Erprobung und Bearbeitung des Eisens

und Stahles.

1. Die im § 2 genannten Bestimmungen haben hinsichtlich der Beschaffenheit und Erprobung des Eisens und Stahles vollinhaltlich, hinsichtlich der Bearbeitung, Zusammensetzung und Aufstellung von eisernen Tragwerken sinngemäß auf die Eisenbestandteile von Tragwerken aus Eisenbeton Anwendung zu finden.

2.    Bei Tragwerken geringeren Umfanges kann über besondere Genehmigung der Nachweis der bedungenen Eigenschaften des Eisens oder Stahles durch Vornahme entsprechender Erprobungen am Bauplatze oder durch Beibringung eines Zeugnisses einer der im § 7, Absatz 10 genannten Prüfungsanstalten geliefert werden, wobei die betreffenden Probestücke in sinngemäßer Anwendung der im § 9, Absatz 1 genannten Bestimmungen auszuwählen sind.

3.    Bei der Vornahme von Zerreißproben ist Stabeisen von rundem, quadratischem oder rechteckigem Querschnitt bis höchstens 6 cnr Fläche mit der Walzhaut und in nicht weiter bearbeitetem Zustande der Prüfung zu unterziehen; bei größerer Querschnittsfläche ist zur Entnahme von Probestäben im Sinne der im § 2 genannten Bestimmungen vorzugehen, wobei zu beachten ist, daß der Probestab sowohl Kern- als Randmaterial enthalte.

4.    Eisenteile, welche gemäß dem Entwürfe aus einem Stücke bestehen sollen, dürfen ohne besondere Genehmigung weder durch Zusammenschweißen noch durch Zusammennieten mehrerer Stücke gebildet werden.

5.    An Stoßstellen müssen die zu stoßenden Teile in geeigneter Weise derart miteinander verbunden werden oder müssen einander derart übergreifen, daß daselbst die Spannungen die im § 6 festgesetzten Werte nicht übersteigen. Schweißungen müssen mit aller Sorgfalt, ohne Überhitzung, ausgeführt und dürfen in der Regel nur an solchen Stellen angeordnet werden, an welchen die betreffende Eiseneinlage im Tragwerke nicht voll beansprucht wird.

6.    Bei Rundeisen dürfen Rundhaken nicht mit einem kleineren lichten Halbmesser als dem zweiundeinhalbfachen Durchmesser der Rundeisen und Abbiegungen nicht mit einem kleineren lichten Halbmesser als dem fünffachen Durchmesser der Rundeisen hergestellt werden; recht- und spitzwinkelige Haken müssen eine Mindestlänge gleich dem dreifachen Durchmesser des Rundeisens aufweisen. Für andere Formeisen gilt eine analoge Bestimmung, wobei an Stelle des Durchmessers die in die Biegungsebene fallende Querschnittsabmessung des Formeisens zu treten hat.

7.    Haken dürfen nur bis 15 mm Stärke Abbiegungen nur bis 25 mm Stärke der Formeisen in kaltem Zustande hergestellt werden.

8.    Eisenteile, welche ganz in Beton eingehüllt werden sollen, sind mit der Walzhaut zu belassen und müssen vor der Einbetonierung mit geeigneten Mitteln sorgfältig von Schmutz, Fett, Anstrich, grobem oder losem Rost, etwa anhaftendem Eis u. s. w. befreit werden.

9.    Genietete oder verschraubte Tragwerksteile aus Eisen oder Stahl sind nach der Fertigstellung in der Werkstätte und nach der im Sinne des Absatzes 8 erfolgten Reinigung an jenen Stellen, an welchen sie im fertigen Tragwerke von Beton umgeben sind, mit dünnflüssigem Zementmörtel anzustreichen.

10.    Teile aus Eisen oder Stahl, welche im Bauwerke nicht durchgehends von Beton eingehüllt werden, sind an den freibleibenden Stellen mit Anstrichen gemäß den einschlägigen Bestimmungen der im § 2 genannten Vorschriften zu versehen.

§ 10. Bereitung, Beschaffenheit und Prüfung des Betons.

1.    Der Zement ist bei der Bereitung des Betons in der Regel nach Gewichtsmengen beizumischen. Die Zumessung kann auch mit Holilmaßen erfolgen, wobei der Zement lose und ohne Fall einzuschütten ist, die Gefäße vollzufüllen und glatt abzustreichen sind und zur Umrechnung von Gewichtsmengen auf Raummengen das Gewicht von 1 m³ lose eingeschütteten Portlandzements mit 1400 kg anzunehmen ist.

2.    Das zur Betonbereitung zu benützende Wasser muß rein sein und darf keine die Erhärtung des Betons beeinträchtigenden Bestandteile enthalten. Moorwasser darf nicht verwendet werden.

3.    Zu Tragwerken aus Eisenbeton ist sogenannter weicher (plastischer) Beton zu verwenden; der Wasserzusatz ist den betreffenden Witterungsund Temperaturverhältnissen sowie der natürlichen Feuchtigkeit des Sandes und Steinmaterials entsprechend, jedenfalls aber so zu bemessen, daß der Beton noch gestampft werden kann und dabei weich wird ; unter der Wirkung der Schwere darf sich aber der Mörtel vom Steinmaterial nicht loslösen.

4.    Die Mischung der Bestandteile soll in der Regel maschinell erfolgen ; für Arbeiten geringeren Umfanges ist Handmischung zulässig.

5.    Die Mischung der Bestandteile ist zunächst in trockenem Zustande vorzunehmen und dann unter allmählicher Wasserbeigabe so lange fortzusetzen, bis alles Steinmaterial gleichmäßig in der Masse verteilt und an allen Stellen von Zementmörtel umhüllt ist.

6.    Der Beton darf nur innerhalb einer Stunde nach Vollendung der Mischung verwendet werden.

7.    Der Beton muß nach sechswöchiger Erhärtung an der Luft mindestens folgende Werte der Druckfestigkeit (Würfelfestigkeit) in kg auf 1 cm² und zwar senkrecht zur Stampfrichtung aufweisen :

Bei einem Mischungsverhältnisse:

170

150

Auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial a) 470 kg Portlandzement .

i) 350 „    ,,

130.

c) 280 „

8.    Bei Anwendung anderer als der im Absatz 7 angegebenen Mischungsverhältnisse ist die geforderte Würfelfestigkeit durch geradlinige Einschaltung nach der betreffenden, auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial entfallenden Gewichtsmenge von Portlandzement zwischen die bezüglichen, im Absatz 7 genannten Werte zu bestimmen.

9.    Zur Prüfung des Betons hinsichtlich der geforderten Würfelfestigkeit sind in der Regel Probekörper und zwar in Würfelform von 20 cm Seitenlange am Bauplatze anzufertigen und einer der im § 7, Absatz 10 genannten Prüfungsanstalten zur Erprobung zu überweisen oder an der Baustelle mittels einer geeigneten Presse zu prüfen.

10.    Die Anfertigung der Probekörper hat mit den gleichen Baustoffen, demselben Mischungsverhältnisse und unter genau gleicher Art der Stampfung wie jene des Betons für das Tragwerk in zerlegbaren, eisernen Formen zu

erfolgen.

11. Die Probekörper sind mit der Benennung des Bauwerkes, der Angabe des Mischungsverhältnisses, der Anfertigungszeit und der Stampfrichtung, sowie mit einer entsprechenden Bezeichnung zu versehen und bis zur Erprobung in einem vor Frost, Hitze und Wind geschützten Raume unter erdfeuchtem Sande aufzubewahren.

12. Die Zahl der Probekörper ist in der Regel so zu bemessen, daß bis zu 200 m³ und auf je 200 m³ Betonmasse eines Mischungsverhältnisses 6 Probekörper entfallen; als Würfelfestigkeit gilt das arithmetische Mittel der bezüglichen Werte; ist dieses Mittel kleiner als die im Absatz 7 geforderte Würfelfestigkeit oder bleibt einer der bezüglichen Werte um mehr als 20 von Hundert unter dieser Würfelfestigkeit, so darf Beton dieser Beschaffenheit nicht verwendet werden.

§ 11. Herstellung der Tragwerke.

1.    Die Herstellung von Tragwerken aus Eisenbeton darf nur durch geschulte Arbeiter und unter beständiger Aufsicht von Personen geschehen, die nachweisbar mit dieser Bauweise gründlich vertraut sind.

2.    Die Schalungen und Rüstungen müssen so angeordnet und mindestens so stark sein, daß sie die schichtenweise Einbringung und Stampfung des Betons gestatten, hinreichenden Widerstand gegen Durchbiegungen beim Stampfen leisten und ohne Erschütterungen entfernt werden können; vor dem Einbringen des Betons sind sie entsprechend den betreffenden Witterungs- und Temperatursverhältnissen anzunässen.

3.    Bei der Herstellung der Schalungen und Rüstungen ist auf eine entsprechende Überhöhung derselben zum Ausgleiche der unter der Betonlast eintretenden Einsenkungen Bedacht zu nehmen.

4.    Mit der Herstellung der Tragwerke darf in der Regel erst dann begonnen werden, wenn der Nachweis der bedungenen Beschaffenheit der Baustoffe im Sinne der §§ 7, 8, 9 und 10 erbracht ist. Die Prüfung derselben hat daher zu einer solchen Zeit zu erfolgen, daß die Ergebnisse dieser Prüfung bei Beginn der Verwendung der Baustoffe bereits vorliegen und demnach mit Sicherheit die Eignung derselben zur weiteren Verarbeitung beurteilt werden kann.

5.    Der Beton ist in höchstens 20 cm starken Schichten einzubringen, welche je für sich in einem, dem jeweiligen Wasserzusatze entsprechendem Maße zu stampfen sind. Der Beton darf zum Verwendungsorte nur bis zu einer Tiefe von 3 m geworfen und muß bei größeren Tiefen mittels Gefäßen oder Vorrichtungen, welche eine Entmischung des Betons verhindern, eingebracht werden.

6.    Die Eisenteile sind in der plangemäßen Lage einzubringen und in dieser stets so zu befestigen, daß sie beim Stampfen ihren Ort und ihre Form nicht verändern können ; die auf Zug beanspruchten Eisenteile müssen dicht mit entsprechend feinerer Betonmasse (unter Ausschluß von gröberem Steinmaterial) umkleidet werden.

7.    Tragwerke oder selbständige Tragwerksteile sind im allgemeinen in einem Zuge, das heißt ohne Unterbrechung, zu betonieren ; in Ausnahmsfällen darf mit der Betonierung nur an solchen Stellen ausgesetzt werden, an welchen der Beton im fertigen Tragwerke verhältnismäßig kleine Spannungen erfährt.

8. Beim Aufbringen neuer Betonschichten auf früher eingebrachte, noch nicht erhärtete, sind letztere anzunässen; beim Weiterbetonieren auf bereits abgebundenen Lagen sind diese anzukerben oder aufzurauiien, sodann abzukehren und mit dünnflüssigem Zementmörtel im Mischungsverhältnisse von gleichen Teilen Zement und Sand oder mit Zementmilch anzunässen.

9.    Bei Temperaturen unter Null Grad Celsius darf nur dann betoniert werden, wenn durch entsprechende Vorkehrungen eine schädliche Einwirkung des Frostes ausgeschlossen ist; gefrorener Sand, Schotter oder Beton dürfen keinesfalls verwendet werden. Nach einer Frostperiode dürfen auf fertigen Beton neue Schichten erst dann aufgebracht werden, wenn die Betonoberfläche genügend erwärmt ist.

10.    Die Tragwerke sind nach vollendeter Betonierung bis zur genügenden Erhärtung entsprechend feucht zu halten und vor Erschütterungen, Beschädigungen, starker Zugluft sowie vor Sonnenbestrahlung oder vor der Einwirkung des Frostes zu schützen.

11.    Eingerüstete Tragwerke dürfen ausnahmslos vor Ablauf von 4 Tagen nach Beendigung des Einstampfens keinerlei Belastung erfahren. Nach dieser Zeit und innerhalb der im Absatz 12 bezw. 13 bestimmten Fristen dürfen eingerüstete Tragwerke nur dann aus dem Baubetriebe oder dem Baufortschritte allfällig sich ergebende Lasten aufnehmen, wenn die unterstützenden Gerüste und Schalungen hinreichend stark und die eingerüsteten Tragwerke derart erhärtet sind, daß sie außer ihrem Eigengewichte auch die vorgenannten Belastungen mit genügender Sicherheit und ohne schädliche Formänderungen der Tragwerke aufnehmen können.

12.    Die unterstützenden Gerüste dürfen erst nach einer, genügende Tragfähigkeit verbürgenden Erhärtung des Betons und zwar in der Regel nicht früher als 6 Wochen nach Beendigung des Einstampfens entfernt werden. Seitliche Schalungen ohne stützende Wirkung dürfen in der Regel nicht vor Ablauf von 4 Tagen nach Beendigung des Einstampfens abgenommen werden. Bei größeren Stützweiten und Querschnittsabmessungen sowie bei Verhältnissen, welche die Erhärtung ungünstig beeinflussen, ist die Frist bis zur Ausrüstung entsprechend zu verlängern.

13.    In die im Absatz 12 genannten Fristen dürfen nur frostfreie, das sind solche Tage eingerechnet werden, an denen die Lufttemperatur, im Schatten gemessen, innerhalb 24 Stunden nicht unter Null Grad Celsius gesunken ist; beim Eintritte einer oder mehrerer Frostperioden sind diese Fristen daher noch mindestens um die Anzahl der Frosttage zu verlängern.

14.    Beim Wegnehmen von Schalungen und Rüstungen sind Erschütterungen der Tragwerke zu vermeiden.

15.    Von der Rüstung befreite Tragwerke dürfen innerhalb der im § 12, Absatz 2 festgesetzten Fristen außer durch die bleibende Last nicht durch irgend eine nennenswerte Belastung beansprucht werden.

16.    Die Tragwerke sind erforderlichenfalls in geeigneter Weise vor dem Eindringen der Niederschlagswasser zu schützen.

17.    Die Verwendung von Tragwerksteilen aus Eisenbeton, wie Balken, Platten, Säulen, Stiegenstufen u.s. w., welche auf gesonderten Werksplätzen erzeugt und in fertigem Zustande auf die Baustelle gebracht werden, bedarf in jedem einzelnen Falle einer besonderen Genehmigung. Dieselben müssen sinngemäß den Bestimmungen der §§ 4 bis 11 entsprechen und bis zur Verwendung eine Erhärtungsdauer von mindestens 6 Wochen aufweisen.

C. Prüfung der Trag werke.

§ 12. Prüfung und Erprobung neu hergestellter Tragwerke.

1.    Die fertiggestellten Tragwerke sind behufs endgültiger Beurteilung ihrer Eignung für den Verkehr vor Übergabe an denselben einer kom-missionellen Prüfung zu unterziehen und haben hierauf die im § 2 genannten Bestimmungen mit Ausnahme jener über die Größe der Durchbiegung der Tragwerke sinngemäß Anwendung zu finden.

2.    Belastungsproben dürfen nicht vor Ablauf von 8 Wochen nach Beendigung des Einstampfens bezw. einer gemäß §11, Absatz 12 und 13 zu bemessenden längeren Frist als 8 Wochen vorgenommen werden.

3.    Die beobachteten elastischen Durchbiegungen dürfen die für die Einwirkung der Probelast berechneten nicht um mehr als 20 von Hundert überschreiten. Bleibende Durchbiegungen dürfen nicht mehr als ein Drittel der berechneten elastischen betragen. Bei Beurteilung der Probeergebnisse ist auf den allfälligen Einfluß von Temperaturunterschieden Rücksicht zu nehmen.

4.    Bei der Ermittlung der elastischen Formänderungen sind der Querschnitt und die Formänderungszahl des Betons gemäß § 5, Absatz 7e in Rechnung zu stellen.

5.    Werden bei der Erprobung eines Tragwerkes die Tragfähigkeit beeinträchtigende Rißbildungen, ein Ausweichen gedrückter Teile oder sonstige bedenkliche Erscheinungen wahrgenommen oder die im Absatz 3 festgesetzten Grenzwerte der Durchbiegungen überschritten, so ist nach vorausgegangener Instandsetzung des Tragwerkes neuerlich eine Erprobung durchzuführen. Hierbei darf weder eine bleibende Formänderung des Tragwerkes oder einzelner Teile desselben, ein Fortschreiten von Rißbildungen oder eine Vergrößerung der bleibenden Durchbiegung eintreten ; im Gegenfalle ist das Tragwerk als für den öffentlichen Verkehr nicht geeignet zu erklären.

6. Vor der Verwendung der im § 11, Absatz 17 genannten Tragwerksteile sind über Verlangen bis 100 und von je 100 dieser Teile 3 Stück auszuwählen und mit allmählich gesteigerter Last bis zum Bruche zu erproben. Die auf dem Tragwerksteil aufgebrachte, den Bruch erzeugende Last muß mindestens der vierfachen Nutzlast mehr dem dreifachen Eigengewichte des Tragwerksteiles mehr der vierfachen sonstigen ständigen Belastung (§ 4) gleichkommen. Entspricht von den ausgewählten Stücken eines diesen Bestimmungen nicht, so sind als Ergänzung dieser Proben von derselben Menge weitere 5 Stück auszuwählen und in gleicher Weise zu erproben. Sollte von den Ergänzungsproben auch nur eine nicht genügen, so sind die betreffenden 100 Stück von der Verwendung auszuschließen; dasselbe giltÿ» wenn von den ursprünglich ausgewählten 3 Stück mehr als eines den Bedingungen nicht entsprochen hat.

§ 13. Überprüfung bestehender Tragwerke.

1. Sämtliche vor dem Erlasse der Vorschrift über die Herstellung von Tragwerken aus Stampfbeton oder Eisenbeton (Erlaß des k. k. Ministeriums des Innern vom 15. November 1907, Z. 37295) erbauten Straßenbrücken mit Tragwerken aus Eisenbeton sind unter Zugrundelegung der tatsächlich vor-

21

Haberkalt und Dr. Postuvanschitz, Tragwerke aus Eisenbeton. 2. Aufl.

kommenden ungünstigsten Verkehrsbelastung sowie der sonstigen im § 4 angegebenen Belastungen und Einflüsse (Winddruck, Wärmeschwankungen u. s. w.) rechnungsmäßig zu überprüfen.

2.    Bei diesen Straßenbrücken sollen die größten Spannungen, welche unter Zugrundelegung der im Absatz 1 bezeichneten Belastungen und Einflüsse eintreten, die im § 6 festgesetzten Werte nicht um mehr als 15 von Hundert überschreiten.

3.    Wenn die laut Absatz 1 angeordnete Festigkeitsberechnung Überschreitungen der im § 6 festgesetzten zulässigen Spannungen um mehr als 15 von Hundert ergeben sollte, so ist der zuständigen Zentralstelle unter Bekanntgabe der auf Grund allfälliger Proben erhobenen Materialbeschaffenheit unter Stellung geeigneter Anträge zu berichten.

D. Schlußbestimmungen.

§ 14. Brücken für Straßen- und Eisenbahnverkehr.

1.    Neu zu erbauende Straßenbrücken, welche sowohl dem Straßenverkehr als auch dem Verkehr von öffentlichen Eisenbahnen mit elektrischem, Dampf-, animalischem, Seil- oder sonstigem motorischen Betriebe oder einer in öffentliche Bahnen mit gleicher Spurweite einmündenden Schleppbahn dienen sollen, sind nach den einschlägigen Bestimmungen dieser Vorschrift und den fallweise einzuholenden Weisungen des k. k. Eisen-bahnministeriums zu berechnen, zu entwerfen und auszuführen.

2.    Für eine bestehende Straßenbrücke, welche von einer öffentlichen Eisenbahn mit elektrischem, Dampf-, animalischem, Seil- oder sonstigem motorischem Betriebe oder einer in öffentliche Bahnen mit gleicher Spurweite einmündenden Schleppbahn mitbenützt werden soll, ist dem Eisenbahnministerium und der zuständigen Straßenbehörde der statische Nachweis der Tragfähigkeit für den gedachten Zweck auf Grund der Bestimmungen der §§ 2 bis einschließlich 6 dieser Vorschrift sowie der besonderen Weisungen des Eisenbahnministeriums zu erbringen. Wenn nach dem Ergebnisse dieser Rechnung die Straßenbrücke aus Anlaß der Mitbenützung für Bahnzwecke einer Umgestaltung bedarf, so sind vor Verfassung des betreffenden Umgestaltungsprojektes Weisungen des k. k. Eisenbahnministeriums und für das Projekt selbst auch die Genehmigung seitens dieser Zentralstelle und der zuständigen Straßenbehörde einzuholen. Dem Projekte sind auch die erstmalig genehmigten Baupläne der gegenständlichen Straßenbrücke oder beglaubigte Kopien dieser Pläne beizuschließen. In Ermanglung solcher ist von der Bahnunternehmung ein auf Grund einer Aufnahme aufzustellender, von der zuständigen Straßenbehörde beglaubigter Bestandsplan der Brücke beizubringen.

3.    Rücksichtlich der im Absatz 1 und 2 angeführten Straßenbrücken ist ferner folgendes zu beachten : Vor Durchführung der statischen Berechnung neuer mitzubenützender Straßenbrücken bezw. vor Ausarbeitung der betreffenden Projekte, dann bei bestehenden mitzubenützenden Straßenbrücken vor Erbringung des statischen Nachweises ihrer Tragfähigkeit für Bahnzwecke bezw. vor Verfassung der bezüglichen Umgestaltungsprojekte sind dem k. k. Eisenbahnministerium im Sinne des § 2, Punkt / der Verordnung vom 28. August 1904, R.G.B. Nr. 97, betreffend die Eisenbahnbrücken, Bahnüberbrückungen und Zufahrtsstraßenbrücken mit eisernen

oder hölzernen Tragwerken, schematische Skizzen über die in Aussicht genommenen Fahrbetriebsmittel mit genauen Angaben über das Gesamtgewicht, die Achsdrücke, Achsstände, größte Länge, Breite und Höhe derselben und über das Lademaß vorzulegen.

soweit der Eisenbahn-

Dem Ermessen des k. k. Eisenbahnministeriums bleibt es Vorbehalten, unter Rücksichtnahme auf den jeweiligen Charakter der Bahn und die Bedeutung derselben für den allgemeinen Verkehr, sowie unter angemessener Bedachtnahme auf etwa in späterer Zeit einzuführende schwerere Fahrzeuge der Bahnunternehmung das Belastungsschema verkehr in Betracht kommt —, dann für den kombinierten Straßen- und Eisenbahnverkehr die Belastungsangaben einvernehmlich mit der zuständigen Straßenbehörde als Grundlagen für die Durchführung der statischen Berechnung bezw. für die Verfassung der Projekte vorzuschreiben.

§ 15. Verkehrsbeschränkungen.

Ohne fallweise besondere Genehmigung dürfen die gemäß dieser Vorschrift hergestellten Brücken mit Fahrzeugen nicht befahren werden, welche dieselben nachteiliger beeinflussen als im Sinne der §§ 6 und 14 gestattet ist; ebenso dürfen die vor Erlassung dieser Vorschrift erbauten Brücken ohne eine solche besondere Genehmigung mit Fahrzeugen nicht befahren werden, welche dieselben ungünstiger beeinflussen, als im Sinne der §§13 und 14 zulässig ist.

II. Abschnitt.

Tragwerke aus Stampfbeton.

§ 16. Allgemeines.

Die im § 2 genannten Bestimmungen gelten, sofern im nachfolgenden nicht abweichende Festsetzungen getroffen werden, sinngemäß auch für die Straßenbrücken mit Tragwerken aus Stampfbeton.

A. Entwurf.

§ 17. Inhalt des Entwurfes.

Hierfür gelten sinngemäß die Bestimmungen des § 3.

§ 18. Berechnungsgrundlagen.

Hierfür gelten sinngemäß die Bestimmungen des § 4.

§ 19. Statische Berechnung.

1. Gleichlautend mit § 5, Absatz 1.

2.

2.

» § 5,

3.

3.

„ § 5,

4. Bei der Berechnung von Trägern, welche mit elastischen Stützen entsprechend steif verbunden sind, müssen die infolge der Wirkung der äußeren Kräfte auftretenden elastischen Formänderungen des Tragwerkes berücksichtigt werden.

5.    Rechteckige Platten, ringsum frei aufruhend oder eingespannt, sind als nur zweiseitig aufgelagert nach der kleineren der beiden Seitenlangen (Stützweiten) zu berechnen.

6.    Gleichlautend mit § 5, Absatz 6.

7.    Die Berechnung der Spannungen hat wie für homogene Körper unter Annahme einer Formänderungszahl des Betons für Druck und Zug von 140.000 kg auf 1 cm² zu erfolgen.

8.    Einzellasten sind, wenn zwischen ihrer Aufstandsfläche und einer tragenden Betonplatte eine Deckschichte vorhanden ist, als gleichförmig verteilt auf eine Fläche wirkend anzunehmen, deren Ausmaße gegenüber den betreffenden Maßen der Aufstandsfläche bei rechteckiger Form der letzteren um die doppelte Höhe der Deckschichte und die einfache Plattendicke zu vergrößern sind. Bei Aufstandsflächen anderer als rechteckiger Form ist hinsichtlich ihrer Vergrößerung sinngemäß vorzugehen. Als für die Lastaufnahme statisch wirksame Plattenbreite ist die betreffende, gemäß vorstehendem vergrößerte Breite der Aufstandsfläche in Rechnung zu ziehen. Eine allfällig vorhandene Pflasterung ist für die Druckverteilung nicht zu berücksichtigen.

9.    Gleichlautend mit § 5, Absatz 15.

§ 20. Zulässige Spannungen.

1. Unter Zugrundelegung der gemäß § 18 bestimmten Lastwirkungen und Einflüsse dürfen die größten rechnungsmäßigen Spannungen des Stampfbetons die in der nachstehenden Tabelle angegebenen Grenzwerte nicht überschreiten.

Zulässige Spannung in kg auf 1 cm'

Materialgattung und Art der Beanspruchung

im Falle der Bie-und bei ex-

gung

zentrischem Druck

bei zentrischem Druck

Druck

spannung

Zug

spannung

Druck

spannung

Schub Scher- u. Hauptzugspannung

Bei einem Mischungsverhältnis auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial :

m h K) to œ ifu m g œ cd üi <i o o O O O O

g

r-F

28 -f 0-21 25 -f 0-2 l 22 -f 0-2 l 18 4- 0-2 l

13

ip ip M N H A

05 50 CG C5 00 O

Anmerkung: „1“ bedeutet die Stützweite des Tragwerks oder Tragwerksteiles in m.

3.    Bei Anwendung anderer als der im Absatz 1 angegebenen Mischungsverhältnisse sind die zulässigen Betonspannungen durch geradlinige Einschaltung nach der betreffenden, auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial entfallenden Gewichtsmenge von Zement zwischen die bezüglichen, im Absatz 1 genannten Werte zu bestimmen.

2. Für Bestandteile aus Schweiß- oder Flußeisen, Roheisenguß oder Flußstahl, welche sich — wie zum Beispiel Lager, eiserne Säulen, Geländer u. s. w. — als selbständige Teile des ganzen Tragwerks dar stellen, gelten hinsichtlich der zulässigen Spannungen die im § 16 genannten Bestimmungen.

4.    Mischungsverhältnisse entsprechend einer geringeren Menge von Zement als 120 hg auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial dürfen für Tragwerke aus Stampfbeton nicht angewendet werden.

5.    Überschreitet bei Druckgliedern das Verhältnis der freien Länge L zum kleinsten Trägheitshalbmesser i der Querschnittsfläche den Wert

= 20, so gelten als zulässige Spannungen :

a) bei zentrisch belasteten Druckgliedern die laut Absatz 1 für zentrischen Druck zulässigen Betonspannungen, multipliziert mit der Abmin-

= (p72 — 0-036 jJ;

derungszahl a

b) bei exzentrisch belasteten Druckgliedern die laut Absatz 1 für exzentrischen Druck zulässigen Betondruckspannungen, vermindert um die

J a

--fache, einer gedachten zentrischen Belastung entsprechende Drucket

Spannung.

6.    Die Belastung exzentrisch beanspruchter Druckglieder darf nicht größer angenommen werden als die bei gedachter zentrischer Kraftwirkung mit der zulässigen Betonspannung für zentrischen Druck gemäß Absatz 1 und 5 sich ergebende Tragkraft desselben Druckgliedes.

7.    Die Ausführung von Tragwerken ungewöhnlicher oder noch unerprobter Bauweise sowie die Verwendung von Baustoffen außergewöhnlicher Beschaffenheit bedarf einer besonderen Genehmigung. Die Festsetzung der Berechnungsart für solche Tragwerke sowie der zulässigen Spannungen für Baustoffe außergewöhnlicher Beschaffenheit oder besonderer Güte erfolgt von Fall zu Fall und kann vom Ergebnisse anzustellender Baustoff-, Be-lastungs- und Bruchproben abhängig gemacht werden.

B. Ausführung der Tragwerke.

§ 21. Beschaffenheit und Prüfung des Zements.

zu

wird und auf einen Gewichtsteil hydraulischer Bestandteile mindestens

1. Zu Tragwerken aus Stampfbeton ist in der Regel Portlandzement verwenden, das ist ein Zement, der aus natürlichen Kalkmergeln oder künstlichen Mischungen ton- und kalkhaltiger Stoffe durch Brennen bis zur Sinterung und darauffolgende Zerkleinerung bis zur Mehlfeinheit gewonnen

1-7 Gewichtsteile Kalkerde (CaO) enthält. Die Verwendung anderer Zemente oder hydraulischer Bindemittel unterliegt einer fallweisen besonderen Genehmigung.

2.    Gleichlautend mit § 7, Absatz 2.

3.    Der Zement muß sowohl an der Luft als auch unter Wasser raumbeständig und in der Regel langsam bindend sein. Als langsam bindend gilt ein Zement, wenn ein aus demselben mit 25 bis 30 von Hundert Wasserzusatz hergestellter Zementbrei nicht vor 30 Minuten nach dem Anmachen zu erhärten beginnt und mindestens 3V₂ Stunden von der Wasserzugabe an zur Abbindung benötigt. Die Verwendung schneller bindender Zemente für besondere Zwecke unterliegt einer fallweisen besonderen Genehmigung.

4.    Gleichlautend mit § 7, Absatz 4.

»    § 7,

,,    § 7,

7. In der normalen Mörtelmischung muß der Zement nach einer Erhärtungsdauer von 7 Tagen mindestens 12 kg Zugfestigkeit und nach einer solchen von 28 Tagen mindestens 180 kg Druckfestigkeit und 18 kg Zugfestigkeit auf 1 cm² aufweisen.

8. Gleichlautend mit § 7, Absatz 8.

„    § 7,

„    § 7,

§ 7,

§ 7,

13. Der Zement ist in der entsprechend zu kennzeichnenden Ursprungsverpackung an die Baustelle zu liefern.

5.

6.

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9.

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12.

§ 22. Beschaffenheit des Sandes und Steinmaterials.

1. Gleichlautend mit § 8, Absatz 1.

2.

2.

3.    Die Korngröße des Steinmaterials ist so zu bemessen, daß die größten Stücke in jeder Lage durch eine quadratische Öffnung von 6 cm Weite durchgehen und die kleinsten auf einem Sieb von 7 mm lichter Maschenweite liegen bleiben.

4.    Gleichlautend mit § 8, Absatz 4.

5.    Das anzuwendende Mischungsverhältnis zwischen Zement, Sand und Steinmaterial ist jeweils durch Versuche zu bestimmen; der Dichtigkeitsgrad des Betons soll soweit als möglich jenem des Mörtels gleich sein.

6.    Bei Bauwerksteilen aus Stampfbeton mit verhältnismäßig großen Querschnittsabmessungen (Widerlager, Fundamente u. s. w.) können dem Beton bis zu 25 von Hundert Steine von größeren als den im Absatz 3 bestimmten Abmessungen und zwar bis 30 cm Kantenlänge oder Durchmesser beigemengt werden. Derlei Steine müssen vorher gereinigt, angenäßt und sodann satt eingebettet werden. Die Verwendung solcher Steineinlagen bedarf jedoch einer fallweisen besonderen Genehmigung.

7.    Ein vorhandenes natürliches Gemenge von Sand und Steinmaterial kann ohne Trennung in seine Bestandteile zur Betonbereitung Verwendung finden, wenn die Beschaffenheit derselben den Bestimmungen der Absätze 1 bis 5 entspricht und die Zusammensetzung des Gemenges durch eine entsprechende Anzahl von Sieb- oder Wurfproben als geeignet nachgewiesen oder durch besondere Zusätze von Sand oder Steinmaterial geeignet gemacht wurde.

§ 23. Beschaffenheit, Erprobung und Bearbeitung des Eisens

und Stahles.

Hierfür gelten sinngemäß die Bestimmungen des § 9, Absatz 1, 2, 3,

8, 9 und 10.

§ 24. Bereitung, Beschaffenheit und Prüfung des Betons.

1.    Der Zement ist bei der Bereitung des Betons in der Regel nach Gewichtsmengen beizumischen. Die Zumessung kann auch mit Hohlmaßen erfolgen, wobei der Zement lose und ohne Fall einzuschütten ist, die Gefäße vollzufüllen und glatt abzustreichen sind und für Portlandzement zur Umrechnung von Gewichtsmengen auf Raummengen das Gewicht von 1 m3 (lose eingeschüttet) mit 1400 kg anzunehmen ist. Für andere Zemente ist das entsprechende Einheitsgewicht durch Ab wage zu ermitteln.

2.    Gleichlautend mit § 10, Absatz 2.

3.    Zu Tragwerken aus Stampfbeton ist sogenannter erdfeuchter oder auch weicher (plastischer) Beton zu verwenden. Der Wasserzusatz ist den betreffenden Witterungs- und Temperaturverhältnissen sowie der natürlichen Feuchtigkeit des Sandes und Steinmaterials entsprechend, jedenfalls aber so zu bemessen, daß sich bei erdfeuchtem Beton die Masse mit der Hand gerade noch ballen läßt und dabei auf der Haut Feuchtigkeit zurück-läßt, hingegen bei weichem (plastischem) Beton letzterer noch gestampft werden kann und dabei weich wird; unter der Wirkung der Schwere darf sich aber der Mörtel vom Steinmaterial nicht loslösen.

4.    Gleichlautend mit § 10, Absatz 4.

,, § io,

„ § io,

7.    Der Beton muß nach sechswöchiger Erhärtung an der Luft mindestens folgende Werte der Druckfestigkeit (Würfelfestigkeit) in kg auf 1 cm2 und zwar senkrecht zur Stampfrichtung aufweisen:

Bei einem Mischungsverhältnisse:

Auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial

8.    Bei Anwendung anderer als der im Absatz 7 angegebenen Mischungsverhältnisse ist die geforderte Würfelfestigkeit durch geradlinige Einschaltung nach der betreffenden, auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial entfallenden Gewichtsmenge von Zement zwischen die bezüglichen, im Absatz 7 genannten Werte zu bestimmen.

9.    Zur Prüfung des Betons hinsichtlich der geforderten Würfelfestigkeit sind bei Mischungsverhältnissen entsprechend 230 kg Zement oder mehr auf 1 m³ Gemenge von Sand und Steinmaterial in der Regel, bei anderen Mischungsverhältnissen über Verlangen Probekörper und zwar in Würfelform von 20 cm Seitenlange am Bauplatze anzufertigen und einer der im § 7, Absatz 10 genannten Prüfungsanstalten zur Erprobung zu überweisen oder an der Baustelle mittels einer geeigneten Presse zu prüfen.

5.

5.

6.

6.

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110

75

50

10. Gleichlautend mit § 10, Absatz 10.

11.

11.

„ § io,

12. Die Zahl der Probekörper ist in der Regel so zu bemessen, daß bis zu 200 m³ und auf je 200 m³ Betonmasse eines Mischungsverhältnisses 6 Probekörper entfallen; als Würfelfestigkeit gilt das arithmetische Mittel der bezüglichen Werte; ist dieses Mittel kleiner als die im Absatz 7 geforderte Würfelfestigkeit oder bleibt einer der bezüglichen Werte um mehr als 20 von Hundert unter dieser Würfelfestigkeit, so darf Beton dieser Beschaffenheit nicht verwendet werden.

§ 25. Herstellung der Tragwerke.

1.    Die Herstellung von Tragwerken aus Stampfbeton darf nur durch geschulte Arbeiter und unter beständiger Aufsicht von Personen geschehen, die nachweisbar mit dieser Bauweise gründlich vertraut sind.

2.    Gleichlautend mit §11, Absatz 2.

3.

„ § H, Absatz 3.

4.    Mit der Herstellung der Tragwerke darf in der Regel erst dann begonnen werden, wenn der Nachweis der bedungenen Beschaffenheit der Baustoffe im Sinne der §§ 21, 22, 23 und 24 erbracht ist. Die Prüfung derselben hat daher zu einer solchen Zeit zu erfolgen, daß die Ergebnisse dieser Prüfung bei Beginn der Verwendung der Baustoffe bereits vorliegen und demnach mit Sicherheit die Eignung derselben zur weiteren Verarbeitung beurteilt werden kann.

5.    Erdfeuchter Beton ist in Schichten von höchstens 15 cm Stärke, weicher Beton in Schichten von höchstens 20 cm Stärke einzubringen, welche je für sich in einem, dem jeweiligen Wasserzusatze entsprechenden Maße zu stampfen sind. Der Beton darf zum Verwendungsorte nur bis zu einer Tiefe von 3 m geworfen und muß bei größeren Tiefen mittels Gefäßen oder Vorrichtungen, welche eine Entmischung des Betons verhindern, eingebracht werden.

6. Gleichlautend mit §11, Absatz 8.

9.

7.

„ § 11,

8.

10.

„ § H,

9.    Eingerüstete Tragwerke dürfen ausnahmslos vor Ablauf von 4 Tagen nach Beendigung des Einstampfens keinerlei Belastung erfahren. Nach dieser Zeit und innerhalb der im Absatz 10 bezw. 11 bestimmten Fristen dürfen eingerüstete Tragwerke nur dann aus dem Baubetriebe oder dem Baufortschritte allfällig sich ergebende Lasten aufnehmen, wenn die unterstützenden Gerüste und Schalungen hinreichend stark und die eingerüsteten Tragwerke derart erhärtet sind, daß sie außer ihrem Eigengewichte auch die vorgenannten Belastungen mit genügender Sicherheit und ohne schädliche Formänderungen der Tragwerke aufnehmen können.

10.    Gleichlautend mit § 11, Absatz 12.

11.    In die im Absatz 10 genannten Fristen dürfen nur frostfreie, das sind solche Tage eingerechnet werden, an denen die Lufttemperatur, im Schatten gemessen, innerhalb 24 Stunden nicht unter Null Grad Celsius gesunken ist; beim Eintritte einer oder mehrerer Frostperioden sind diese Fristen daher noch mindestens um die Anzahl der Frosttage zu verlängern.

12.    Gleichlautend mit § 11, Absatz 14.

13.    Von der Rüstung befreite Tragwerke dürfen innerhalb der im § 26, Absatz 2 festgesetzten Fristen außer durch die bleibende Last nicht durch irgend eine nennenswerte Belastung beansprucht werden.

14.    Gleichlautend mit § 11, Absatz 16.

15.    Die Verwendung von Tragwerksteilen aus Stampfbeton, wie Balken, Platten, Säulen, Stiegenstufen u. s. w., welche auf gesonderten Werksplätzen erzeugt und in fertigem Zustande auf die Baustelle gebracht werden, bedarf in jedem einzelnen Falle einer besonderen Genehmigung. Dieselben müssen sinngemäß den Bestimmungen der §§ 18 bis 25 entsprechen und bis zur Verwendung eine Erhärtungsdauer von mindestens 6 Wochen aufweisen

C. Prüfung der Tragwerke.

§ 26. Prüfung und Erprobung neu hergestellter Tragwerke.

1.    Gleichlautend mit § 12, Absatz 1.

2.    Belastungsproben dürfen nicht vor Ablauf von 8 Wochen nach Beendigung des Einstampfens bezw. einer gemäß § 25, Absatz 10 und 11 zu bemessenden längeren Frist als 8 Wochen vorgenommen werden.

3.    Gleichlautend mit § 12, Absatz 3.

4.    Bei der Ermittlung der elastischen Formänderungen ist die Formänderungszahl des Betons gemäß § 19, Absatz 7 in Rechnung zu stellen.

5.    Gleichlautend mit § 12, Absatz 5.

6.    Vor der Verwendung der im § 25, Absatz 15 genannten Tragwerksteile sind über Verlangen bis 100 und von je 100 dieser Teile 3 Stück auszuwählen und im Sinne des § 12, Absatz 6 zu erproben.

§ 27. Überprüfung bestehender Tragwerke.

1.    Sämtliche vor dem Erlasse der im § 13 genannten Vorschrift erbauten Straßenbrücken mit Tragwerken aus Stampfbeton sind unter Zugrundelegung der tatsächlich vorkommenden ungünstigsten Verkehrsbelastung sowie der sonstigen im § 18 angegebenen Belastungen und Einflüsse (Winddruck, Wärmeschwankungen u. s. w.) rechnungmäßig zu überprüfen.

2.    Bei diesen Straßenbrücken sollen die größten Spannungen, welche unter Zugrundelegung der im Absatz 1 bezeichneten Belastungen und Einflüsse eintreten, die im § 20 festgesetzten Werte nicht um mehr als 15 von Hundert überschreiten.

3.    Wenn die laut Absatz 1 angeordnete Festigkeitsberechnung Überschreitungen der im § 20 festgesetzten zulässigen Spannungen um mehr als 15 von Hundert ergeben sollte, so ist der zuständigen Zentralstelle unter Bekanntgabe der auf Grund allfälliger Proben erhobenen Materialbeschaffenheit unter Stellung geeigneter Anträge zu berichten.

D. Schlußbestimmungen.

§ 28. Brücken für Straßen- und Eisenbahnverkehr.

1.    Gleichlautend mit § 14, Absatz 1.

2.    Für eine bestehende Straßenbrücke, welche von einer öffentlichen Eisenbahn mit elektrischem, Dampf-, animalischem, Seil- oder sonstigem motorischen Betriebe oder von einer in öffentliche Bahnen mit gleicher

Spurweite einmündenden Schleppbahn mitbenützt werden soll, ist dem Eisenbahnministerium und der zuständigen Straßenbehörde der statische Nachweis der Tragfähigkeit für den gedachten Zweck auf Grund der Bestimmungen der §§ 16 bis einschließlich 20 dieser Vorschrift sowie der besonderen Weisungen des Eisenbahnministeriums zu erbringen. Im übrigen gelten die Bestimmungen des § 14, Absatz 2,

3. Gleichlautend mit § 14, Absatz 3.

§ 29. Verkehrsbeschränkungen.

Ohne fallweise besondere Genehmigung dürfen die gemäß dieser Vorschrift hergestellten Brücken mit Fahrzeugen nicht befahren werden, welche dieselben nachteiliger beeinflussen als im Sinne der §§20 und 28 gestattet ist; ebenso dürfen die vor Erlassung dieser Vorschrift erbauten Brücken ohne eine solche besondere Genehmigung mit Fahrzeugen nicht befahren werden, welche dieselben ungünstiger beeinflussen, als im Sinne der §§27 und 28 zulässig ist.

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Haberkalt - Dr. Postuvanschitz, Die Berechnung der Tragwerke aus Eisenbeton oder Stampfbeton.

Hilfstafel zur Berechnung einfach und doppelt armierter Balken und Platten.

(Erklärung Seite 47 und 69.)

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Hilfstafel zur Berechnung einfach armierter Plattenbalken bei Hochbauten für b

(Erklärung siehe Seite 91 tf. )

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Hilfstafel zur Berechnung einfach armierter Plattenbalken bei Straßenbrücken für 8

(Erklärung siehe Seite 91 ff.)

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Hilfstafel zur Berechnung einfach armierter Plättenbalken bei Hochbauten für S

(Erklärung siehe Seite 91 ff.)

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Hilfstafel zur Berechnung einfach armierter Plattenbalken bei Straßenbrücken für h

(Erklärung siehe Seite 91 ff.)

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(Erklärung siehe Seite 91 ff.)

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siehe Seite 91 ff.)

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Mischungsverhältnis: 470 kg Portlandzement auf 1 m³ Gemenge von Sand- und Steinmaterial.

(Erklärung¹ siehe Seite 106 ff.)

Armierungsziffer ’p und Eisenfläche *Fe.

Tragmomente iM.

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Erklärung:

Abszissen (nach links und rechts von A) . . ß = —.

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Ordinaten (nach auf- und abwärts von A) . . 5 = —.

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Quadrant I dient zur Ermittlung der idealen Armierungsziffer *P und der entsprechenden Eisenfläche *Fe ; die Zahlen ohne Klammern bedeuten lp, die Zahlen in

Klammern : G\, wobei lFe = C₁.

Quadrant II dient zur Ermittlung der Tragmomente {M bei idealer Armierung u. zw. geben die eingeschriebenen Zahlen den Faktor: Cs. sez (sez — 1000 kgjcm²), womit %M = (C₂.sez) BH². B und II sind in einzusetzen; lFe ergibt sich in cm*M in kgcm.

Quadrant III gibt die Betonzugspannungen co,, (kg/cm²) für „besondere“ Hochbautragwerke.

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Mischungsverhältnis: 350 kg Portlandzement auf 1 m³ Gemenge von Sand- und Steinmaterial.

(Erklärung siehe Seite 106 ff.)

Armierungsziffer 'p und Eisenfläche *Fe.

Tragmomente iM.

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1997

Erklärung :

Abszissen (nach links und rechts von A) .

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0 15

0 15

Ordinaten (nach auf- und abwärts von A) .

Quadrant I dient zur Ermittlung der idealen Armierungszifter 'p und der entsprechenden Eisenfläche *Fe ; die Zahlen ohne Klammern bedeuten *p, die Zahlen in

Klammern : 6\, wobei ‘Fe = C₁.

Quadrant II dient zur Ermittlung der Tragmomente *M bei idealer Armierung u. zw. geben die eingeschriebenen Zahlen den Faktor: C₂.sez (s«z = 1000 kg fern²), womit lM = (C₂.sez) BH². B und H sind in einzusetzen; lFc ergibt sich in cm², *M in kgcm.

Quadrant III gibt die Betonzugspannungen àbz (kg[cm²) für „besondere“ Hochbautragwerke.

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Mischungsverhältnis: 280 kg Portlandzement auf 1 m;! Gemenge von Sand- und Steinmaterial.

(Erklärung siehe Seite 106 ff.)

Armierungsziffer und Eisenfiäche lFe.

Tragmomente lM.

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Erklär ung :

Abszissen (nach links und rechts von A) . . ß = —.

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Ordinaten (nach auf- und abwärts von A) . . o = —.

H

Quadrant I dient zur Ermittlung der idealen Armierungsziffer *P und der entsprechenden Eisenfläche *Fe ; die Zahlen ohne Klammern bedeuten *p, die Zahlen in

Klammern : C\, wobei *Fe = Ct.

Quadrant II dient zur Ermittlung der Tragmomente lM bei idealer Armierung u. zw. geben die eingeschriebenen Zahlen den Faktor: C₂. sez (sez = 1000 kg/cm²), womit %M = (C₂.sez) BH². B und H sind in einzusetzen; xFe ergibt sich in cm², *M in kgcm.

Quadrant III gibt die Betonzugspannungen <Jbz (kgjcm²) für „besondere“ Hochbautrag werke.

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Haberkalt ■ Dr. Postuvanschitz, Die Berechnung der Tragwerke aus Eisenbeton und Stampfbeton.

Graphische Darstellung der Betonzugspannungen obz bei einfach und ideal armierten Plattenbalken

für Straßenbrücken.

(Erklärung siehe Seite 106 ff.)

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im Quadranten rechts unten {C₁} die ganze Eisenfläche <Fe = Cl BR.

im Quadranten links oben die Betonzugspannung, „ unten (C2 z) das Tragmoment <M=(C₂ sez) BIP mit set= (800 + 3/) kgjcm\ im Quadranten rechts oben [ ' p ] die ideale Armierungs-100 *F,

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geschriebenen Zahlen bedeuten jene

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Erklärung :

Mischungsverhältnis a : 470 kg b : 350 kg c : 280 kg

Die eingeschriebenen Zahlen beziehen sich auf die durch stärkere Linien

Portlandzement auf 1 m³ Gemenge von Sand-und Steinmaterial.

hervorgehobenen Maßverhältnisse ß = ~ und 8 — ^ der Plattenbalken.

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Hilfstafel zur näherungsweisen direkten Bestimmung der Höhe H und der Eisenfläche *Fe einfach und ideal armierter Plattenbalken für

Hochbauten.

(Erklärung siche Seite 114.)

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Mischungsverhältnis : b — 350 c — 280

kg Portlandzement auf 1 ms Gemenge von Sand-und Steinmaterial.

Hilfstafel zur Ermittlung der Lage der Nullinie

armierten Plattenbalken.

(Erklärung siehe Seite lOß.) Bei Hochbauten.

Mischungsverhältnis : a

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