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Biblioteka Polite

chniki Krakowskiej

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EINIGE UNTERSUCHUNGEN

IN DER SUBSTITUTIONSTHEORIE

UND DER ALGEBRA

VON

um mar.;

J. T. SÖDERBERG.

(MlTGETHEILT DER KÔNIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN Zü ÜPSALA AM 14 MÄRZ 1891).

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UPSALA 1892,

DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI, EDV. BERLING.

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In meiner Inauguraldissertation ¹) habe ich eine Methode gegeben, aus einer beliebig gegebenen Gruppe von Substitutionen andere Gruppen herzuleiten. Ich werde diese Gruppen näher untersuchen. Dann werde ich eine Methode geben, die Theorie des Isomorphismus rein substitutionentheoretisch herzustellen. Schliesslich werde ich zeigen, dass eine algebraische Gleichung gewisse Eigenschaften haben muss, wenn gewisse Resolventengleichungen gleiche rationale Wurzeln haben sollen.

1.

Die Arbeit zerfällt in einen substitutionentheoretischen und einen algebraischen Theil.

I.

SUBSTITUTIONENTHEORETISCHER THEIL.

2. Ich bezeichne mit

1 i Si , Sa , . . . s

г Substitutionen der Elemente x₀ , eine Gruppe G bilden sollen, und mit

n—1 1

welche Substitutionen

.    .    T

•    •    J- r

r Substitutionen derselben Elemente, so gewählt, dass die гг' Substitutionen in

. . GTr_x

G , GTX , Gl

alle verschieden sind. Dann gilt folgender Satz :

1) Deduktion af nödvändiga och tillräckliga vilkoret for algebraiska eqvatio-ners solution med radikaler. Upsala Universitets arsskrift 1886. Siehe auch Acta mathematica, 11: 3 pag. 299.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

Die Substitutionen, welche in jeder Kolumne des Schemas

Г1    rp—¹ n    rp—1 Г1

u ^    JL i Cr i    • • • -L r_i (/

/1 rjl    ГТ1 1 ГЧ rn    rn—¹ /ПГ rn

(1)

(j i j ^ ii u i j ^    • • • JL r_i Cr JL j

/4 rp    rn—1 /~r rp

Cr JL r_i i i Cr JL j

rn—¹ /~i rn

•    •    1 r— 1 Gr i,

7’—1

enthalten sind, bilden eine Gruppe.

Diesen Satz habe ich a. a. 0. mit anderen Worten ausgesprochen und in meiner Inauguraldissertation auch bewiesen. Weder der Ausspruch noch der Beweis des Satzes waren aber rein substitutionentheoretisch, sondern auf die Anwendungen der Substitutionentheorie auf die Lehre von Funktionen mehrerer Variabein gegründet. Ich werde hier den Beweis des Satzes, wie den Ausspruch desselben, rein substitutionentheoretisch hersteilen.

Wir bemerken zuerst, dass jede Substitution, welche in eine Kolumne in (1) eingeht, nur einem der r Komplexe von Substitutionen in dieser Kolumne zugehört. Wenn also eine Substitution 2 allen Kolumnen in (1) zugehört, so muss sie in r und nur in r der r² Komplexe von Substitutionen in (1) eingehen. Die Komplexe, in welche JS eingeht, mögen

(2)

G Ta₀, TT'GT,

.. t;ixgz

®r-l

Es ist leicht zu zeigen, dass

sein, wo für T₀ die Ziffer 1 zu setzen ist. c₀, «j, . . . ar_x alle verschieden sind.

Wir haben nämlich, was auch i und j seien, für passende Werte

h und к

2 = T7lShTai und 2= T-lSkTa. , V T~lShTai = T-'StZ Wäre nun ce* = ce, wenn i<j, so hätten wir

rn — 1 nt    rn — 1 nt

¹ i *Ьл = -Lj ^

also, wenn für beide Substitutionen die reciproken Substitutionen gesetzt werden,

rt—1 rp    о—¹ rp

tOfr J. i = iOk -L .

was unmöglich ist. Also kan nicht at = aj sein, wenn i%j, und ce₀ , ar_x sind alle verschieden.

Die Indices a₀    . ar_y geben die Horizontalreihen in (1)

an, in welchen die respektiven Komplexe (2) enthalten sind. Es folgt, dass nie zwei von den Komplexen (2) in derselben Horizontalreihe in (1) Vorkommen. Aus dem für die Ungleichheit der Indices a₀ , a, , . . . «r._! gegebenen Beweise kann auch gefolgert werden, dass die Substitutionen in einer beliebigen Horizontalreihe in (1) sämmtlich verschieden sind.

Es sei nun auch 0 eine Substitution, welche in alle Kolumnen in (1) eingeht, und es mögen

(3)

GTßo, TTlGTßt , . . . ГЛ GTßr_x

. . Об,..,

die Komplexe in (1) sein, welchen 0 zugehört. Weil a₀ , at alle verschieden sind, kann man die Komplexe (3) in einer neuen Ordnung folgendermassen schreiben:

(3')

TalGTy,,, T-'GT.

rp—l ry rn • J- CX>r—1 ^ У Г—1 •

Y\ i ¹ *

Wenn wir die Substitutionen in einem der Komplexe (2) mit denen in einem der Komplexe (3') multipliciren, so erhalten wir einen Komplex von Substitutionen, in welchem J£0 vorkommt. Dies gilt insbesondere, wenn die Substitutionen in einem der Komplexe (2) mit denen in dem entsprechenden Komplexe (3⁷) multiplicirt werden. 20 muss daher in sämmtliche Komplexe

GTn, T:xGT,

eingehen. 20 geht also wie 2 und 0 in jede Kolumne in (1) ein. Die in jede Kolumne in (I) eingehenden Substitutionen bilden also eine Gruppe, w. z. b. w.

Diese Gruppe bezeichnen wir durch

0)

Y\ ’ •

. . T~\GT,

yr—1

((G, Tt , Г,, . . . 2U))

und verstehen unter

• • Tr.x)

(G,

die niedrigste Gruppe, welche die in Klammern aufgenommenen Substitutionen enthält.

3. Es existirt eine Gruppe Г von Substitutionen von r Elementen, welche zu der Gruppe ((G , Tx , . . . Tr_l)) isomorph ist. Da

•i •

«2 7 ’ ¹    •    •    «r—1

eine Substitution der Ziffern 0, 1 , . . . r — 1. Wir verstehen wie bevor unter T₀ die identische Substitutionen 1 und denken uns die Komplexe in der ersten Kolumne in (1) links mit Ti⁻¹ multiplicirt und diejenigen in der ersten Horizontalreihe rechts mit T₀ multiplicirt. Dem entsprechend denken wir uns den ersten der Komplexe (2) links mit T;¹ multiplicirt. Wir können dann die Substitution

1 , ... г — 1

«1 1    ¹    •    •    «г-1

— 1 , welche den Index des ersten T in jedem der r Kom-

dadurch kennzeichnen, dass sie den Index des ersten T in jedem der Komplexe (2) mit dem Index des zweiten T ersetzt. Entsprechend den r Komplexen aus (1), welche sämmtlich dieselbe Substitution: in ((6r , T, , . . . . Гг_0) enthalten, existirt also eine Substitution von 0 , 1, •

plexe durch den Index des zweiten T ersetzt. Diese Substitutionen von 0 , 1 , . . . r — 1 ordnen wir denen der Substitutionen in ((6r, Tx, . . . Tr_D) zu, welche in jedem der r Komplexe enthalten sind. Es mögen

(5)

1 , §1 , S₂ , • • • SR—1

1 sein, welche somit

nämlich die Indices so bezeichnet

«0    1 ai 1    '

in (2) alle verschieden sind,

die sämmtlichen Substitutionen von 0 , 1 den Substitutionen in (((? , Tx , . . . Tr_j)) zugeordnet werden. Die Substitutionen

.. Г — 1

J5

r—1

тН

t—h

О

г—1

welche den ^ und О entsprechen, bezeichnen wir mit 9, und s₂. Nach (3⁷) hat man für s₂ auch

-2

or

Co

tO

• • Гг-1

entspricht also ZEO nach (4). Hieraus folgt, dass die Substitutionen (5)    eine Gruppe bilden    und dass diese Gruppe    zu der Gruppe    ((G ,

. . Tr_0)) isomorph    ist. Wir bezeichnen    die    Gruppe (5) mit    Г.

Der Substitution 1    in Г entsprechen in    ((G    , T, , . . . Tr_die

Substitutionen, welche den Gruppen G , Txx    GTX    , . . . T^xGTr_x ge

((G , T, . . . Tr_0)

meinsam sind. Ist die Anzahl dieser Substitutionen m, und bezeichnet R die Ordnung von 7", so ist die Ordnung von gleich mR.

• . тг_о)

{(.G,

Wenn Г transitiv ist, muss ((G , Tx , . . . T^)) Substitutionen aus allen r² Komplexen in (1) enthalten. Wenn ((G , T} Substitutionen aus allen r Komplexen einer Kolumne in (1) enthält, so ist Г transitiv. Ist Г intransitiv, so existiren in jeder Kolumne in (1) unter den r Komplexen solche, in welche keine Substitution aus Tx , . . . Tr_0) eingeht.

4. Es mögen in G eine oder mehrere Gruppen J enthalten sein, so beschaffen, dass die Substitutionen in

(6)

/, JJEV T.

r— 1

eine Gruppe bilden, wenn J£⁽¹⁾ , . . . ^r_1) passende Substitutionen aus G sind, welche vielleicht auf verschiedene Weise für verschiedene J zu wählen sind. Dann muss die Gruppe (6) in ((6r , Тл , . . . Tr_i)) Vorkommen.

Weil nämlich die Substitutionen in (6) eine Gruppe bilden, so ist eine derselben und man erhält wieder die Substitutionen in (6), wenn man sie links mit    multiplicirt. Die Substitutionen

in (6) sind also dieselben, wie die in

T~'2<b-'j ,    . Tï'    JZ<r-'>Tr_, .

. . Тг_х)) eingehen.

Diese sind aber alle in der (A -f 1)— Kolumne in (1) enthalten. Jede Substitution in (6) kommt also in der (A -f- 1)— Kolumne in (1) vor und also in jeder Kolumne in (1), da A willkürlich ist. Also muss jede Substitution in (6) in ((G, T

. . Tr_i)) die Sub-

Es sei H die Gruppe der Substitutionen, welche G und ((G , . .    gemeinsam sind. Weil (OG , T

• • Tr-O)

aus

stitutionen (6) enthält und also Substitutionen aus allen r Komplexen in der ersten Kolumne in (1), so besteht ((G , T

(7)

H, HS^T

wenn 5⁽¹⁾, • . • S(r~1} passende Substitutionen aus G sind. H genügt also der Definition von J unter der Voraussetzung, dass eine oder mehrere Gruppen J existiren. Wenn nur ein J existirt, ist J demnach identisch mit H und (6) mit (7), also mit (fG , Tx , . . . Tr_fj). Wenn mehrere J existiren, ist eine der J identisch mit H und also eine der Gruppen

. . Tr_!)). Die Gruppen (6) haben daher die Eigenschaft, dass eine derselben die übrigen enthalten muss.

Hiermit ist folgender Satz bewiesen:

Es mögen in G eine oder mehrere Gruppen J enthalten sein, welche die Eigenschaft haben, dass die Substitutionen in (6) eine Gruppe bilden,

(6) mit (7), d. h. mit ((G , 1]

. . ^(r_1) passende Substitutionen aus G sind, welche vielleicht für verschiedene J auf verschiedene Weise zu wählen sind. Wenn nur eine Gruppe J existirt, ist (6) mit ((G , T

wenn

. .    identisch. Wenn meh

rere J existiren (und also auch mehrere Gruppen (6)), so sind die Gruppen (6) so beschaffen, dass eine derselben die übrigen enthält, und diese Gruppe ist mit ((G , T, , . . . Tr-1)) identisch.

Wenn die Substitutionen in der ersten Kolumne von (1) eine Gruppe bilden, ist die allgemeinste Gruppe J die Gruppe G selbst, und ((6r, Tx , . . . Tr„fj) ist mit der aus G, GTX , . . . G Tr_x bestehenden Gruppe identisch. Die Identität dieser Gruppen geht auch aus der Definition von ((G , T]

. . Tr_ffj hervor.

5. Wir bemerken zuerst, dass die Substitutionen, welche durch die Eigenschaft charakterisirt sind, dass jede in die (aQ + 1)—,    1)^₇

• • • (aQ+m-1+ 1)— Kolumne von (1) eingeht und ausschliesslich in solche Komplexe dieser Kolumnen, welche in der (ap -j- 1)—, (ae+1 + 1)— . . . _j_ l)Ë5ü Horizontalreihe enthalten sind, eine Gruppe bilden, nämlich

/71—1 rjl *    7 J- aç J- а

Ç'+m—1

))■

Wir nehmen weiter an, dass Г intransitiv ist. Es mögen die Elemente von T in die Systeme

a₀ , a₁

• aQ\-l J • •

. ; aQi 7 aQi+i 7    • •    * aQi+1-1 5    •    •    •

aQk-1 1 a9k-1+1 7 ■ * * ar-i

zerfallen, welche so beschaffen sind, dass Г ein willkürlich gegebenes Element nur durch Elemente ablöst, welche demselben Systeme zugehören wie das gegebene Element. Wenn nun eine Substitution in ((ćr . . 2Vi)) den Komplexen

Tj G Taj

U = о, i, . . . г - i)

zugehört, so ist die entsprechende Substitution in Г:

also muss as gleich einer der Zahlen aç. , aç.₊₁ , . . . aQt+1_t sein, wenn eine

St*'

'(Ч+¹

dieser Zahlen ist. Es folgt, dass die in die (aQi -f- 1)

_p 1)!*! , . . . (ap _x -f 1)— Kolumne in (1) eingehenden Komplexe,

. . Tr_^>) enthalten, ausschliess--f 1)— Horizontalreihe

welche eine Substitution in ((ćr , Тл lich in der (a9t + l)⁶-^ , (a9l+1 + 1)Ü2 Vorkommen. Also muss jede Substitution in

. . (a

?i+l—¹

((G , Г,

T~¹ T

1 aQi 1 a9i+1 ’ '

eingehen, wo i = 0 , 1 , . . . к — 1 successive zu setzen ist.

Umgekehrt müssen die Substitutionen, welche diesen к Gruppen gemeinsam sind, in alle Kolumnen in (1) eingehen und somit in ((ćr , . . Tr_i)) enthalten sein. Also besteht diese Gruppe aus den Substitutionen, weiche den к Gruppen

• • К Ч₊,-.

)) (i = 0, 1 , . . . к - 1)

gemeinsam sind.

6. Wenn die Substitutionen in der ersten Kolumne in (1) eine Gruppe bilden, so sind, wenn p < r ist und wir unter ax , a₂ , . . . ar_y eine Permutation von 1,2 ^ r — 1 verstehen, die Gruppen

((G, T,

identisch.

Weil nämlich die Substitutionen in der ersten Kolumne in (1) eine Gruppe bilden, so enthält jede Kolumne in (1) diese Substitutionen, somit auch die Gruppe ^(G , Ta\ , . . .    . Nun gilt von den p, eine

• • 2ар_,)) enthaltenden, Komplexen in der 1—, (a, -j- 1)— , . . . (aç_x -f 1)— Kolumne in (1), dass von der 1 — , (a, -f 1)^, . . . (aQ_x -f 1)— Horizontalreihe in (1) jede einen dieser Komplexe enthält. Gemäss n:o 2 können weiter zwei, eine und dieselbe Substitution enthaltende, Komplexe nicht in derselben Horizontalreihe in (1) Vorkommen. Dann folgt, dass die eine Substitution in ((G , Tt

willkürliche Substitution in ((G , T<

«i i •

а, > •

. . Та )) enthaltenden Komplexe in der . . (ar_x -f 1)— Kolumne in (1) ausschliess-

Horizontalreihe

(яе + 1)—, («?+i + l)— lieh in der (ae -j- 1)— , (ae+I -p 1) in (1) Vorkommen. Da nun auch jede Substitution in ((G , Ta, , • • .    ))

in jeder der genannten Kolumnen in (1) vorkommt, so folgert sich daraus nach dem im Anfänge von n:o 5 Gesagten, dass ((G , Tai , . . . TUç_J)

■ • r«“‘ror_,)) eingehen

sten

• * (ßr— 1 + 0

sten

in ((T«;GTae , T~'T,I(,₊₁ , .

Weise kann bewiesen werden, dass diese Gruppe in jene eingeht. Also sind die Gruppen identisch.

muss.

In analoger

7. Wir nehmen nun an, dass die Substitutionen einer Anzahl p der Komplexe in der ersten Kolumne in (1) zusammen eine Gruppe F bilden. Dann lässt sich zeigen, dass die nach n:o 3 gebildete zu . . Tr_j)j isomorphe Gruppe Г imprimitiv oder intransitiv ist. Unter den p Komplexen, deren Substitutionen die Gruppe F bilden, muss G Vorkommen. Die p Komplexe können daher bezeichnet werden durch

((G,

G , GTt

. . GZ

aQ- 1 '

Es sei ferner eine Substitution in ((G , T den Komplexen

. . Tr_,)) , welche

T.GT,

(i = 0 , 1 , . . . r - 1)

zugehört. Wenn 2 der Gruppe F zugehört, muss für jedes unter den . ae_j vorkommende i auch at eine dieser Zahlen sein. Wenn nun für ein gegebenes, unter den Zahlen 0 , ал , . . . aQ_y vor--kommendes, i das entsprechende at auch unter diesen Zahlen vorkommt, muss der Gruppe F zugehören. Wenn also für ein unter den Zahlen 0 , ax , . . . vorkommendes i das entsprechende ccf eine dieser Zahlen ist, so muss für jedes unter den Zahlen 0 , a} , . . . aQ_x vorkommende i auch щ eine dieser Zahlen sein. Die Substitution:

Zahlen 0

а,

ai

«г-1

aç-i

welche in Г der 2 entspricht, muss also die Elemente 0 , a, , . . . . entweder nur unter sich vertauschen oder durch lauter neue Ele-

mente ersetzen. Also muss Г intransitiv oder imprimitiv sein.

Wenn umgekehrt gegeben ist, dass Г intransitiv oder imprimitiv ist, so folgt, dass die Substitutionen in ((G, Tx , . . . Tr_^, welche gewissen Komplexen in der ersten Kolumne in (1) zugehören, eine Gruppe bilden.

Es möge nämlich Г die Elemente 0, ax , . . . aQ_x entweder unter sich vertauschen oder durch lauter neue Elemente ersetzen. Es

. . Tr_0), welche

seien ferner 2 und 0 zwei Substitutionen in ((6r, T, in dem Schema

(8)

G , G T,

«I 1    *

. . GT,

a(f-l

enthalten sind und nicht verschieden sein müssen. Es seien ferner

(* = 0 , 1 , . . . r - 1)

TTXG1\ und Tt~l G Tp.

die Komplexe in (1), welchen und 0 zugehören. Weil T₀= 1 ist, müssen a₀ und ß₀ unter den Zahlen 0    . aQ_x Vorkommen.

Die Substitutionen in 1\ welche den 2 und 0 entsprechen, sind

Weil a₀ und ß₀ unter-den Zahlen 0 , ax , . . . aQ_x Vorkommen, müssen zufolge der über Г gemachten Annahme und ßt immer unter den Zahlen 0 , ax , . . . aQ_x enthalten sein, wenn % eine dieser Zahlen ist. Wenn nun gesetzt wird, so folgt, dass eine der Zahlen 0, ax , . . . а^_х ist, wenn i eine dieser Zahlen ist. 20 muss den Komplexen

T7xGT7i

zugehören. Da y₀ eine der Zahlen 0, ax , . . . ae_x ist, muss 2 0 wie 2 und 0 in einen der Komplexe (8) eingehen. Die Substitutionen

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

in ((ćr , Тг , . . . Tr_yj), welche in die Komplexe (8) eingehen, bilden also eine Gruppe.

S. In den Darstellungen der Theorie des Isomorphismus, welche ich gesehen habe, sind einige der gewichtigsten Sätze nicht rein substitutionentheoretisch hergeleitet, sondern auf die Anwendungen der Substitutionentheorie auf die Lehre von Funktionen mehrerer Variabein gegründet. Ich werde hier diese Sätze rein Substitutionen theoretisch herleiten.

. Tr_x aus F aus*

Es sei eine Gruppe F von Substitutionen gegeben und eine Untergruppe G von F. Es möge r das Verhältnis der Ordnungen von F und G sein. Dann können r — 1 Substitutionen T, gewählt werden der Beschaffenheit, dass die in

r—1

G, GTX , . . . GT,

. . T~lxGTr_x

gemem-

enthaltenen Substitutionen die Gruppe F bilden. Dann ist nach n:o 4 ((ćr, Tx , . . . 7^-0) mit F identisch, was auch unmittelbar aus der Definition jener Gruppe folgert. Nach n:o 3 können wir nun eine Gruppe Г der Elemente 0 , 1 , . . . r — 1 bilden, welche zu ((ćr, 1\ , . . . isomorph ist, also auch zu F. Der Substitution 1 in Г entsprechen in F die Substitutionen, welche G, TFlGT] sam sind. Г wird nach n:o 3 transitiv. Wir haben also folgenden Satz rein substitutionentheoretisch hergeleitet:

Für jede Untergruppe G von F kann eine transitive zu F isomorphe Gruppe gebildet werden, deren Grad der Quotient der Ordnungen von F und G ist und deren Ordnung gleich ist dem Quotient der Ordnung von F und der Anzahl der Substitutionen, welche den Gruppen G, Ti_1 G Tx , . . . T~2X G Tr_x gemeinsam sind.

i). Wir haben weiter den Satz zu beweisen, dass alle zu F isomorphen transitiven Gruppen nach der in n:o 8 dargestellten Methode gebildet werden können.

Es sei К eine transitive zu F isomorphe Gruppe von Substitutionen, welche die Elemente £₀, ^ , . . . vertauschen. Die Untergruppe von К, welche £₀ nicht umsetzt, nennen wir Л. Da К transitiv ist, enthält sie x — 1 Substitutionen

T1 , T2 , • • • 1 1

welche £₀ durch , £ enthaltenen Substitutionen bilden die Gruppe K.

ersetzen. Die in Л, /lrx , . . . Ar

*-i

G, GT., . . . GT,

deren Substitutionen also verschieden sind und sämmtliche Substitutionen in F ausmachen.

Die Gruppe ((G , Tx , . . .    wird mit F identisch. Wir bil

den nach n:o 3 die zu

. . Гх_х)) isomorphe Gruppe Г aus den Elementen 0,1,...    — 1. Diese wird zu F isomorph und tran

sitiv. Wir haben zu zeigen, dass Г und К ähnlich sind.

Es sei

■)

0,1,..

(У-0 Ч    i • •    •    <*X—X

eine Substitution in Г. Dieser entsprechen in F Substitutionen, welche den y Komplexen

aX_l

Es sei ferner G die Untergruppe von F, welche der A entspricht,

. . Tx_x

Substitutionen in F, welche den тх , t₂ , . .

Substitutionenkomplexe in F, welche den A, Aтг , . . . Ат chen, sind dann

Tx , T

entsprechen. Die entspre-

X—i

(9)

zugehören. In К muss wenigstens eine Substitution Vorkommen, welche den genannten Substitutionen in F entspricht. Diese muss in die x Komplexe

(10)

Ат

tx ¹ A%

а, , -

• • г,

Ат

«X_l

eingehen, wo unter т₀ die identische Substitution 1 zu verstehen ist. Die Substitutionen in dem Komplexe TjxA%a. müssen aber durch ersetzen. Eine Substitution, welche in die Komplexe (10) eingeht, wird daher nothwendig identisch mit

•    •    ЭХ—l

г,,

Śa,i • • • Ьан_

,)

sein. Den Substitutionen in F, welche den Komplexen (9) zugehören, entspricht also in К nur &. Den übrigen Substitutionen in F ent-

sprechen andere Substitutionen in K. Also sind К und Г derselben Ordnung. Da & und a ähnlich sind, werden К und Г ähnlich, w. z. b. w.

Dieser Beweis kommt dem von Prof. Netto gegebenen²) ziemlich nahe. Netto stützt seinen Beweis auf die Lehre von Funktionen mehrerer Variabein, ich habe aber den Beweis in rein substitutionentheoretischer Form hergestellt.

10. Wenn in n:o 8 die Gruppe G eine ausgezeichnete Untergruppe von F ist, so ist die den Gruppen

r—1

G , T~x G T

. . T'\GT,

gemeinsame Gruppe die Gruppe G selbst. Die Ordnung der Gruppe I wird dann wie ihr Grad gleich r, wie aus n:o 8 erhellt.

Wenn G nur die Substitution 1 enthält, ist Ordnung und Grad von Г gleich der Ordnung von F.

Schliesslich ergeben sich folgende Sätze, die in den mir bekannten substitutionentheoretischen Werken nicht Vorkommen:

Wenn die Gruppe G nicht eine allgemeinste Untergruppe von F ist, d. h. wenn die Substitutionen einer Anzahl p < r und > 1 der Komplexe

G, G Tx , . . . G Tr_i

eine Gruppe bilden, so muss die Gruppe U, welche nach n:o 8 transitiv ist, nach n:o 7 imprimitiv sein, und wenn umgekehrt Г imprimitiv ist, so ist nach n:o 7 G keine allgemeinste Untergruppe von F.

ALGEBRAISCHER THEIL.

u.

Eine Gleichung vom Primzahlgrade n

/0) = о

mit den Wurzeln G die Gruppe der linearen Substitutionen von x₀, x₁ , . . . x

n—1

sei gegeben. Wir bezeichnen mit

П—1 7

tH о

Й SS

tH tH

wo xr = xs ist wenn r = s (mod. гг) ist, und verstehen unter

(2)

ITT ¹-1    U

(гг — 2)! Substitutionen von æ₀ , ж, , . .

• «я-l

so beschaffen, dass in

G,GTX, GZ

. . GZ

{n— 2)!—1

enthalten sind.

alle Substitutionen von

Wir bezeichnen durch

)    * *    *    Xn—\)

eine rationale Funktion (mit rationalen Koefficienten) von x₀, xy , . . .

, welche für die Substitutionen in G und nur für diese formal unverändert bleibt. Die Formen, in welche cp durch die respektiven Substitutionen (2) übergeführt wird, schreiben wir:

(3)

У 7    7 <P2 7 * ‘ ' ^(n-2)!-l *

Wenn eine dieser Formen cpr von den übrigen numerisch verschieden ist und einen rationalen Wert hat, so sind x₀, хг , . . . xn_x alle verschieden, die Gruppe der Gleichung (1) in der Gruppe TZ'GZr enthalten und die Gleichung durch Wurzelgrössen auflösbar.

Wenn aber cpr wohl rational ist, nicht aber von den übrigen Formen (3) numerisch verschieden, so wissen wir nicht, ob x₀, xx , . sämmtlich verschieden sind. Wären x₀ , xx , . . . xn_x auch verschieden, so folgt nicht, dass die Gruppe der Gleichung (1) in T~xGTr enthalten ist. Die Gleichung ist bald durch Wurzelgrössen auflösbar, bald nicht. Wir werden im Folgenden Untersuchungen über die Gruppe, die Lösbarkeit und Reduktibilität der Gleichung (1) vornehmen im Falle, dass mehrere der Funktionen (3) denselben rationalen Wert haben. Den Fall, dass f(œ) vom fünften Grade ist, werden wir eingehender betrachten.

12. Es mögen nun von den Funktionen (3) eine Anzahl ç denselben rationalen Wert haben, von den übrigen aber verschieden sein. Diese p Funktionen mögen

(4)

<Pr₀, <P,

. . if

rQ-¹

sein.

Die Gruppe

(5)

(C<GT,1    • • • KT

?C-1

))

ist identisch mit der in meiner Inauguraldissertation defmirten numerischen Gruppe von yv,,³). A. a. 0. habe ich gezeigt, dass die rationalen Funktionen von

welche für diese Gruppe numerisch unverändert bleiben, einen rationalen Wert haben. Dies gilt, die Wurzeln • xn_x mögen sämmtlich verschieden sein oder nicht, a x₀, xx , . . . xn_x alle verschieden sind, ist die Gruppe der Gleichung (1) in (5) enthalten.

n—1 >

nicht alle verschieden sind, möge f(jxs) in zwei Faktoren fx(x) und f₂(x) zerlegt werden, deren der erste fx(x) die nicht mannigfaltigen Wurzeln von f(x) enthält, die zweite f₂(x) die mannigfaltigen. /, (X) und /₂(ж) haben dann rationale Koefficienten. Wir bezeichnen durch I die Gruppe von

Es sei у eine rationale Funktion der Wurzeln von fx(x), welche für die Substitutionen in (5) numerisch unverändert bleibt, für jede Substitution aber, welche die Wurzeln von /, (x) durch eine Anzahl der Elemente x₀, xx , . . . xn_x auf andere Weise ersetzt, als die Substitutionen in (5), ihren Wert ändert. Diese Funktion hat einen rationalen Wert,

Wenn Xq , xx , .

• • я*_ 1

/, w.

muss also für I numerisch unverändert bleiben. Also muss entsprechend jeder Substitution in I eine oder mehrere Substitutionen in (5) existiren, welche die Wurzeln von f\ (#) auf dieselbe Weise unter sich * vertauschen, wie die Substitution in 1. Wir haben also folgenden Satz:

Wenn wir in (5) nur Substitutionen berücksichtigen, welche die Wurzeln von fj (x) ausschliesslich unter sich vertauschen, und in diesen Substitutionen nur die Cykeln, welche diese Wurzeln enthalten, so erhalten wir eine Gruppe, welche die Gruppe von f,(x) in sich enthält.

(6).

Die Ordnung der Gruppe I ist ein Divisor der Ordnung der Gruppe (5). Es möge vnämlich H die allgemeinste intransitive Untergruppe von (5) sein, welche die Wurzeln von /, (x) ausschliesslich unter sich vertauscht. Dann besteht I aus den Substitutionen, welche wir aus den Substitutionen in H auf die Weise bilden, dass wir nur die Cykeln, welche die Wurzeln von f\ (ж) vertauschen, beibehalten, und es gilt der Satz, dass die Ordnung von / ein Divisor der Ordnung von H ist*). Die Ordnung von H ist aber ein Divisor der Ordnung von (5). Also ist auch die Ordnung von I ein Divisor der Ordnung von

13. Wenn p > 1 ist, ist die Ordnungszahl m der Gruppe, welche

den Gruppen

(6)

ni 1 ГЧ rjl ГП—1 rp

1 r₀ Or 1?'₀ 7 J- r, Or 1 ?

• • T7'GT,

rç-\

Tr T;⁴GTr T

ro r\    r\

ro

gemeinsam ist, in n — 1 als Divisor enthalten. Wir haben nämlich zuerst, dass die Gruppen TrxGTr und T~XGT keine Cirkularsubstitution n— Ordnung gemeinsam haben können. Sonst würden nämlich auch die von diesen Gruppen durch T~⁴ transformirten Gruppen G und eine solche gemeinsam haben. Dann wäre Tr^ T~x mit der Gruppe der Cirkularsubstitutionen n— Ordnung in G permutabel,

was unmöglich ist, weil Tr Tr aber, dass die den Gruppen (6) gemeinsame Gruppe keine Cirkularsubstitution der Primzahlordnung n enthält, folgt, wie Cauchy es gezeigt hat ⁵), dass die Ordnungszahl m der Gruppe den Faktor n nicht

nicht linear ist. Aus der Thatsache

J. T. Söderberg,

I

enthält. Nun muss m ein Divisor der Ordnungszahl n(n — 1) der Gruppe G Tr^ sein. Also ist in Divisor von n — 1 , wenn p > 1 ist.

Es sei ferner P die Ordnungszahl der mit (5) isomorphen Gruppe von p Elementen, welche nach n:o 3 gebildet werden kann. Dann ist nach n:o 3 die Ordnungszahl der Gruppe (5) gleich mP. Nun ist P Divisor von p! . Also ist die Ordnungszahl von (5) Divisor der Zahl (n — 1) . p!, wenn p > 1 ist.

Die Gruppe (5) kann nach n:o (> geschrieben werden:

))

«27er T7 T

rQ    r9+1 ¹ ‘

rQ r{n—2)!—1 ✓

doch unter der Voraussetzung, dass p < (n — 2)! ist. Wenn p < (n — 2)! — 1 ist, so gilt von dieser Bezeichung der Gruppe Analoges mit dem von der Bezeichung (5) unter der Voraussetzung p>l Bewiesenen. Also ist die Ordnung der Gruppe in diesem Falle Divisor von (n — 1){(гг — 2)! — p}!. Die Ordnungszahl der Gruppe (5) ist also Divisor von (n — 1)p !, wenn p > 1 und, wenn p < (n — 2) ! — 1 ist, auch von (n — 1){(?г — 2)! — p}!.

14. Wenn x₀, xx , . . . xn_j alle verschieden sind, hat f(x) = 0 eine Gruppe. Da diese in der Gruppe (5) enthalten ist, muss ihre Ordnungszahl Divisor von (n — 1)p! sein, wenn p<l ist, und, wenn p < (n — 2)! — 1 ist, auch von (n — 1){(гг — 2) — p} Î. Die Ordnung der Gruppe der Gleichung (1) ist daher relative Primzahl zu n wenn l<p<n ist oder wenn zugleich p < (n — 2) Î — 1 und (гг — 2)! — p < n ist. Die Gruppe der Gleichung ist also intransitiv und die Gleichung reduktibel

1)    wenn 1 < p < n ist;

2)    wenn (n — 2)! — n < p < (гг — 2)! — 1

Es möge nun die Gleichung (1) gleiche Wurzeln haben. Dann gilt unsere Beweisführung nicht, weil die Gleichung keine Gruppe hat, die Gleichung ist aber auch in diesem Falle reduktibel. Wir haben ja

/М =/iW/sW •

¹

. «_1 • • Гг-1

also

²

Siehe Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra von Eugen Netto, pagg. 100 ff.

³

Siehe auch Acta mathematica a. a. O.

⁴

   Siehe Netto’s Substitutionentheorie etc., pag. 102.

⁵

   In den Exercises d’analyse et de physique mathématique, pag. 250.

/М =/iW/sW •

Es möge /, (ж) vom Grade n — 2 sein. Nach n:o 12 muss die Ordnung der Gruppe von fx(x) Divisor sein der Ordnung der Gruppe (5), also Divisor von (n —l)p! wenn p>l und von (n wenn p < [n — 2) ! — 1 . Da weiter n — 2 und n — 1 relative Primzahlen sind, so ist die Gruppe von fx{x) intransitiv und fv (x) reduktibel

1)    wenn p! nicht durch n — 2 theilbar ist und p > 1 ;

2)    wenn {(я — 2)! — p) ! nicht durch ft —2 theilbar ist und р<(?г — 2)!— 1.

Wir bezeichnen durch

V) = 0

<lie Resolventengleichung, welche die Funktionen (3) zu Wurzeln hat. Dann haben wir folgenden Satz:

Wenn die Resolventengleichung Ф(у) = 0 p unter sich gleiche rationale Wurzeln hat, welche von den übrigen Wurzeln verschieden sind, so ist die ursprüngliche Gleichung (1) reduktibel

1)    wenn 1 < g < n ist ;

2)    wenn (n — 2) ! — n < g < (n — 2) ! — 1 ;

und wenn die Gleichung f(x) = 0 gleiche Wurzeln hat und ft(x) vom Grade n — 2 ist, so ist f,(x) reduktibel

1)    wenn g ! nicht durch n — 2 theilbar ist und g > 1 ;

2)    wenn {(n — 2)1 — p}! nicht durch n — 2 theilbar ist und p < (n— 2)! — 1.

15. Wenn x₀ , r, , . . . ,r„_i alle verschieden sind, so existirt eine rationale Funktion ip dieser Grössen, welche für die Substitutionen in T lGT. formal unverändert bleibt, bei allen anderen Substitutionen aber ihren Wert ändert. Diese Funktion nimmt für die Substitutionen (5) p Formen an. Da die zur Gruppe (5) gehörende Gattung von Funktionen rational ist, wird also ip durch Lösung einer Gleichung vom Grade p bekannt. WTenn aber \f> bekannt ist, ist die Gleichung (1) durch Wurzelgrössen auflösbar. Dies ist also immer der Fall, wenn p < 5 ist.

Wir denken uns nun die Gruppe (5) in die Form

rC    ?’(n—2)!—1

GT , T7lT

Wir verstehen unter / eine ra-welche bei den Substitutionen in

gesetzt, was p < (ft — 2)! voraussetzt, tionale Funktion von

•    • Xn—\

T~'GTr formal unverändert bleibt, für alle übrigen Substitutionen aber ihren Wert ändert. Dann nimmt / durch die Gruppe (5) (ft — 2)! — p

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

verschiedene Formen an und wird also durch Auflösung einer Gleichung vom Grade (n — 2)! —p bekannt. Wenn aber / bekannt ist, ist die Gleichung (1) durch Wurzelgrössen auflösbar. Dies ist also der Fall,, wenn (n — 2)! — p < 5 ist, d. h. wenn ç > (и — 2) ! — 5 ist, wozu die alte-Bedingung p < (n — 2)! hinzukommt.

Wir haben also folgenden Satz:

ur-

Wenn die Resolventengleichung Ф(у) = 0 p unter sich gleiche rationale Wurzeln hat, welche von den übrigen Wurzeln verschieden sind, und die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung alle verschieden sind, so ist die sprüngliche Gleichung durch Wurzelgrössen auflösbar:

1)    wenn p < 5 Ы;

2)    wenn (n — 2)! — 5 < p < (n — 2)! ist.

16. Wir wollen nun speciell die Beschaffenheit der Gleichungen fünften Grades untersuchen, bei denen die oben definirte Resolventengleichung Ф(д) gleiche rationale Wurzeln hat.

Es sei also

(1)

/(*) = ⁰

eine Gleichung fünften Grades mit den Wurzeln x

schreiben, erhalten wir für die Substitutionen der linearen Gruppe G von x₀, xI , x₂ , x₃ , x₄ den Ausdruck:

Wenn wir

j i, e(i) I anstatt ^ ^ j

i , a i -f- ß

ö "О.

O t-*

0 ? x\

to

mod. 5

)-

Die Substitutionen von ,v₀, ,r, , . . . .r₄ können sämmtlich in die

Formen

(Y -=0, 1, 2, 3, 4; mod. 5)

I i, ai-ß \ oder | i, а (i -f- ß)³ 4. у gesetzt werden ¹). Sie können dann auch in die Formen I г, ai -f ß I oder | i, («г -f- ß)* -f- y [ gesetzt werden. Wenn wir also die Substitution

_ I * ! *³ + / — 1 I

1) Siehe Jordan, Traité des substitutions etc., pag. 90.

mit Ту bezeichnen, so sind alle Substitutionen von

xq , X, , . . . xi m

(8)

\ G, GT\ , GT₂, СГ,, G7ł₄, U7;

'enthalten.

Da der analytische Ausdruck von T₇ ungeändert bleibt, wenn у um Multipein des Moduls vermehrt oder vermindert wird, müssen wir festhalten, dass

Tr — Ts ist, wenn r=s (mod. 5) .

Speciell wird T₀ — 71, während im Vorhergehenden T₀ = 1 zu setzen war, z. B. in (5).

Eine Funktion von

welche für die Substitutionen

/у*    /у    /у

Ai)1 x I 7 •    •    • Al 7

in G und nur für diese formal unverändert bleibt, nimmt durch Substitutionen von

eine so beschaffene Funktion von

nal ist und rationale Koefficienten hat, mit </?, und mit

G verschiedene Formen an. Wir bezeichnen

. ж₄, welche zugleich ratio-

(9)

die Formen, welche cp durch die respektiven Substitutionenkomplexe (8) .annimmt. Wir führen weiter

Tr = ⁽Ptv

ein, so dass (pr = (ps ist, wenn r = s (mod. 5), und speciell y₀ = y>₅, während im Vorhergehenden cp₀ i=cp zu setzen war, z. B. in (4).

Wir haben nun die Beschaffenheit der Gleichung (7) zu untersuchen im Falle, dass die q Funktionen

(10)

T 7    » <Pr%

oder

TrQ > Tr, 7 Tr₂ 7 • • • TrQ X

. . <p,

e-i

-denselben rationalen Wert haben und von den übrigen Funktionen (9) verschieden sind. Wenn

. xA sämmtlich verschieden sind, muss nach ri:o 12 die Gruppe der Gleichung (7) in der ersten oder zweiten der Gruppen

enthalten sein, je nachdem <p unter den Funktionen (10) vorkomint oder nicht. Die beiden Fälle fielen in n:o 12 zusammen, weil dort cp ~ cp₀ und T₀ = 1 zu setzen war. Wenn den sind, kann man mittelst einer der Gruppen (11) die Gruppe der Gleichung /j(x) = 0 finden, welche die nicht mannigfaltigen Wurzeln von f(x) = 0 enthält.

nicht sämmtlich verschie-

Ehe wir die Gleichung (7) näher untersuchen, schicken wir einige Formeln voraus. Wir haben

(12)

(ii)

((<;

r9-i

. . T~'r

ro

re-i

7, 2 (r — iy²i — r -f 1 [ . 7\r_A)3+s wenn r g 1 г, г -j- .9 — 1 wenn r = 1 .

Wenn also die Substitution j г, ai-ß \ mit S bezeichnet wird, erhalten wir:

TrS =

* <S>

• 2a(r—l)+ß+i 1 J-г Ь — i ,

г — г -j- 1

ß+l »

Tß¹ ST, =

(13)

-ß a

4-5—1

a

i,2{a(r_l)₊^*i-Hr-l)₊/3)[

. г — r -f- 1

I , -

wenn ß ß:0

wenn ß = 0 ist.

z;srf =

wenn a(r — 1) ß >■ 0 ,

</

wenn a(r — 1) -j- ß ЕЕ 0 .

17. Wir schreiten nun zur näheren Untersuchung der Gleichung^ (7) im Falle, dass die Funktionen (10) einen rationalen Wert haben und von den übrigen Funktionen (9) verschieden sind. Wir haben die untergeordneten Fälle p = 2 , 3, 4, 5, 6, jeden einzeln zu betrachten, beginnen mit dem Falle

Wir

Wir haben zuerst die Substitutionen in den Gruppen (11) aufzusuchen. Wir müssen dann die Schemata aufstellen, mittelst derer diese Gruppen zu definiren sind. Die enthaltenen Substitutionenkomplexe setzen wir in die Formen iS oder STk, wo S der Gruppe G zugehört. Dies geschieht mittelst (12) und (13). Wir bezeichnen weiter mit H0 die Gruppe der Substitutionen

(« = 1 , 2, 3 , 4)

Dann erhalten wir:

H₀ . \i , * —r + 1| . T'.

(14) ((6r, T,i)) = Die Substitutionen in H{

Wir bezeichnen ferner mit Hx die Gruppe der Substitutionen:

b — г + r + s — 2

und erhalten:

(15)

((T;xGTr, T~ T)) = Die Substitutionen in Hx . Ii, 2(?’ — s)² (г -f 2r -f- 2s -f- 1) |.21 Я,.|г, (r — s)²(i r — 2 s -j- 1)| . T2s_r,

. |i, (r — л)⁸(г _f_ s — 2r -f 1)| . T2r_, .

il

З/’+Зл i

Die Gruppen ((G, Tr)) und ((T7'GTr, 2Г T,)) enthalten beide 8 Substitutionen. Bei der ersten Gruppe wird xr_x nicht umgesetzt, bei ■ der zweiten x3r+3s

Für die weiteren Untersuchungen des Falles p = 2 sind drei untergeordnete Fälle A, В, 0 zu unterscheiden.

A. Es mögen xa , xl

schieden sein.

x₂ , x₃ ,

x\

sämmtlich unter sich ver-

Wenn die Funktionen (10) aus (p und cpr bestehen, ist die Gruppe der Gleichung (7) in der Gruppe (14) enthalten; wenn sie aus cpr und cp, bestehen, in der Gruppe (15). Die Gleichung (7) zerfällt in beiden Fällen in zwei Gleichungen mit rationalen Koefficienten, was schon aus n:o 14 folgt, weil '1 < p < n ist. Die erste dieser Gleichungen ist vom

ersten Grade und hat im ersten Falle die Wurzel xr_₄ , im zweiten die Wurzel ff3r+3,_i. Die zweite Gleichung ist vom vierten Grade und ist in beiden Fällen ohne Kubikwurzeln auflösbar.

. . x₄ einander gleich

В. Es mögen einige der Wurzeln x0 sein und die Funktionen (10) aus cp und cpr bestehen.

Wir bezeichnen zwei einander gleiche Wurzeln durch xT und und werden zuerst untersuchen, wie r und в von r abhängen. Es wird sich dabei zeigen, dass xx und x₉ von den übrigen Wurzeln verschieden sind.

> x\ i •

*9

was

Durch die Transposition (rr, xQ) kann die Funktion cp ihren numerischen Wert nicht ändern. Da von den Funktionen (9) nur cpr der Funktion cp numerisch gleich ist, muss cp durch die Transposition (xx, x₉) in cpr übergehen oder formal ungeändert bleiben. Das letztere kann nicht eintreten, weil G keine Transposition enthält. Also haben wir, wenn wir xT, x₉) kurz mit (г , в) bezeichnen, cp^ = cp

(16)

( г , 0 ) = —Tr

giebt, wo 2 der Gruppe G zugehört.

Wir werden nun den analytischen Ausdruck für (т, в) aufsuchen.

Wir haben:

Ib г³ I = (2 , 3).

Die Substitution |i, (т — в) i — 2(t + ö) | ersetzt 2 durch в und 3 durch r. Also wird:

(т , в) = I i, (г — в) i — 2 (г в) \ ¹ . ] i, г³1 . | i, (т — в) i — 2 (т -f в) | , d. h.

. г-i- 2(т + о)

’ (т - Ö)²

(16) und (17) geben 3(т -f в) -f 1 = r, d. h.

T-f-ö = 2(r—1).

(17)

(r , в) =

3(r+9)+l •

(18)

sind also von den übrigen Wurzeln von f(x) verschieden.

Wenn r gegeben ist, giebt (18) nur einen Wert für 0. Also kann neben x₉ keine andere Wurzel x} der Gleichung (7) gleich xT sein. xT und

Nach diesen Untersuchungen über xT und x% nehmen wir an, dass die übrigen Wurzeln von f(x) auch unter sich verschieden sind und untersuchen die Gleichung

(19

(ж — хт)(х — хв)

Aus п:о 14 folgert sich, dass (L9) reduktibel ist, weil ç>! nicht durch n — 2 theilbar ist und p > 1 ist. Wir wollen aber die Gruppe I aufsuchen, in welcher gemäss n:o 12 die Gruppe von (19) enthalten ist. Wir haben dann die in der Gruppe (14) enthaltenen Substitutionen aufzusuchen, welche die Wurzeln von (19) ausschliesslich unter sich vertauschen.    Die    Gruppe (14) besteht    aus    den Substitutionen:

1,    (x,    20 — t, 0,    2t— ö) ,    (t,    2t — «, 0, 20 —t),

(t ,    0) (2 t — 0 ,    2 « — т) ,    (t ,    ö) , (2 t — в , 2 0 — т) ,

(т ,    2 т—ö)(ö,    2 <9 — т) ,    (т ,    2ö—t)(ô, 2 т—0).

ausschliesslich unter sich vertau-

•rs

Die Substitutionen, welche die Wurzeln von (19) ausschliesslich unter sich vertauschen, müssen auch .r

sehen und umgekehrt. Diese Substitutionen sind also

(T i ö) , (2 t — 0 , 2 0 — т) , (t , 0) (2 t — 0 , 2 0 — t) .

»

Wenn wir in diesen nur die Cykeln berücksichtigen, welche die Wurzeln von (19) umsetzen, erhalten wir

(20)

1 , (2t — 0 , 20 — t) .

Dies ist die gesuchte Gruppe I.

Da nach (18) т und в von r—1 verschieden sind, ist xr_x eine Wurzel von (19). Diese Wurzel ist rational, weil sie durch (14) nicht umgesetzt wird.

C. Es mögen einige der Wurzeln x₀, xx, . . . x₄ einander gleich sein und die Funktionen (10) aus (pr und <p, bestehen.

Dann un-

Wir nennen zwei einander gleiche Wurzeln xT und tersuchen wir, wie т und 0 von r und s abhängen. Dabei wird sich ergeben, dass xT und xß von den übrigen Wurzeln verschieden sind.

Wenn wir in (pr die Substitution (t , в) ausführen, wird (pr formal verändert, bleibt aber numerisch unverändert, und geht also in <ps über. Wir erhalten daher (ртг^т>9)~ (ps ; also wird

(21)

Tr(t, ö) = STt

wo 2 der Gruppe G zugehört. Wenn wir für (r, g) aus (17) in (21) ein setzen, erhalten wir:

i 'L d~ ^ (r ~f~ fl) ’    (* - fl)*

• ^3(r+e) + l — 2Tt-.

Hieraus ergiebt sich nach (12) und (13)

(22) i

r — 1 4- 2 (t

r — 1 4- 2 (t + в)

(r - fl)²

20-fl)²

r—l+2(*+ö)

+ 3(T+fr) + l

1 4 2(r 4. ö) < 0 ist. Diese Forderung ist immer erfüllt. Sonst

wenn r

wäre nämlich (18) erfüllt, und wir hätten numerisch cp = (pr, was gegen die Voraussetzungen in C streitet. Die Gleichung (22) giebt, da die Indices der beiden T in Bezug auf den Modul 5 kongruent sein müssen,

t² 4- re 4- в² 4- (r 4. 5 — 2) (t 4- ö) = 2 (r — l)(.s — 1) (mod. 5) .

Wir erhalten hieraus:

(23)

oder

в ЕЕ 2 .5 — Г — 1 .

Dass xT und

X9

von den übrigen Wurzeln von f(x) verschieden sind, erhellt daraus, dass gemäss (23) nur ein в existirt, wenn т gegeben ist.

Wir nehmen nun an, dass die Wurzeln der Gleichung

(24)

= 0,

(X — жт) (r — Xf)

welche gemäss n:o 14 reduktibel ist, sämmtlich verschieden sind. Wir wollen die Gruppe aufsuchen, in welcher die Gruppe der Gleichung nach n:o 12 enthalten ist. Wir haben dann die Gruppe (15) zu betrachten. Diese besteht aus den Substitutionen

1, (t , 2 t — ö)(ö, Зт+З#), (т , 3r-f3(9)(ö, 2 г — ö) ,

(t , ö)(2t — ö, 3 t -j- 3 ö) , (т , в), (2t —ö, 3t 4- 30) ,

(т , 2t—ö, ö, Зт-f 3ö), (t , 3t + 3ö, ö, 2t — в).

Wenn wir die Substitutionen ausnehmen, welche die Wurzeln der, Gleichung (24) ausschliesslich unter sich vertauschen und in diesen Substitutionen nur die Cykeln berücksichtigen, welche die genannten Wurzeln enthalten, so ergiebt sich die Gruppe der Substitutionen

1 , (2 т — в , Зт -j- 3ö) .

In dieser muss gemäss n:o 12 die Gruppe der Gleichung (24) enthalten sein.

Zufolge (23) ist 3r-f-3.9 — 1 von т und в verschieden. Also ist л?3г+з,_1 eine Wurzel der Gleichung (24). Diese Wurzel ist rational, weil sie durch die Gruppe (15) nicht umgesetzt wird.

18. Wir betrachten nun den Fall p = 3.

Wir suchen zuerst die Substitutionen der Gruppen (11) auf. Die Substitutionenkomplexe in den Schemata, durch welche diese Gruppen zu definiren sind, setzen wir zu dem Zwecke in die Formen -2* und -Z7U Der Kürze halber bezeichnen wir wie vorher mit Hl die Gruppe der Substitutionen 1, | z, — i -f r -f- s — 2 j. Wir erhalten:

((G, T,

Hx ,HX. I *, 2(r - sf (i - r + 1)|. Tr, Hx .| i, 2(r - s)\i _s +1)|. T,.

T))) = Die Substitutionen in

(25)

muss

Wenn r, s, t alle verschieden sind bezüglich des Modul 5 eine der Kongruenzen

2 r = s -j- t,    2 s = t -f r ,    21 = r + 8 (mod. 5)

richtig sein. Wenn nämlich r, s, t, гг, u nach dem Modul 5 inkongruente ganze Zahlen sind, so muss die Kongruenz

2x = u -\-v (mod. 5)

durch r, s oder t erfüllt werden. Je nachdem sie durch r , s oder t erfüllt ist, gilt die erste, zweite oder dritte der fraglichen Kongruenzen.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.    4

Wir nehmen an, es sei die mittlere die geltende. In dem wir die Gruppe der Substitutionen 1 , | i, — i -f- r -f- t — 2 | mit H\ bezeichnen, erhalten wir:

T~l 2))) = Die Substitutionen in

H\. I i, 3(r-~0²(H-*-^+1) I •    .

Diese Gruppe können wir aus (25) erhalten mittelst der Identität

(26)

{(ТГ'вТг, ТГ'Т H\, H\.\i,b(r-t)\i+r-2t+1)1 -Т

2t—г 1

(( G, Т

2г—t t

ТГ'Т., ТГ'Т,))

welche aus n:o 6 hervorgeht.

Die Gruppen (25) und (26) enthalten jede 6 Substitutionen. Sie sind beide intransitiv. Jene vertauscht die Wurzeln ausschliesslich unter sich, ebenso die Wurzeln x2r-s-i und vertauscht

Xr—i 5 Xt— i •

Xs—i j X2r— t—1

und

X2 t—r—X

Xr—1 ч Xg—1 j X$r^.3s—X

Diese

ausschliesslich unter sich, wie auch

X₂s—r—1 •

Die Wurzeln der Gleichung (7) sind alle verschieden. Um dies zu beweisen, nehmen wir an, es seien zwei dieser Wurzeln xT und xg einander gleich. Es mögen weiter die Funktionen (10) aus

(f , Vrl <fs

bestehen. Dann muss eine der Gleichungen

(27)

SP(r,) = <fr 1    t,₉) = %

identisch erfüllt sein. Es möge dies die erstere sein. Dann folgt, wenn wir in dieser die Transposition (т, в) ausführen, die Identität

(28)

9 = Угг(М) ’

Es muss aber (ps in <p oder (t , ö), so dass eine der Gleichungen

— 9 und 9Ts.(jj)

Vr

übergehen durch die Transposition

= <fr

identisch gelten muss, ausführen, erhalten wir identisch

Wenn wir in diesen die Transposition (r, e)

Die erste dieser Gleichungen kann nicht identisch gelten, weil die erste der Gleichungen (27) als identisch angenommen ist; die zweite ist wegen der Identität (28) nicht identisch. Wenn wir von der zweiten der Gleichungen (27) als identisch geltend ausgehen, gelangen wir in einen ähnlichen Widerspruch. Also war die Annahme xT = xe unstatthaft, und die Wurzeln der Gleichung (7) sind alle von einander verschieden. Wir haben hier angenommen, dass die Funktionen (10) cp, bestehen. Unsere Behauptung kann aber auf ähnliche wenn die Funktionen (10) aus <pr, y,, be

aus (p , (p Weise bewiesen werden,

stehen.

4>r,

bestehen. Die Gleichung zerfällt in zwei Gleichungen mit ratio-

Die Gruppe der Gleichung (7) ist in der Gruppe (25) oder (26) enhalten, je nachdem die Funktionen (10) aus y , yr, cps oder aus

4>t

nalen Koefficienten, was schon aus n:o 14 hervorgeht wegen 1 < p < n ; die eine ist 2—, die andere 3— Grades.

19- Wir kommen weiter zum Falle p = 4.

Um die Substitutionen der ersten der Gruppen (11) in einfacherer Weise ausdrücken zu können, setzen wir wie vorher 2s = r-J-f (mod. 5). Die Substitutionenkomplexe im Schema, welches zur Definition der Gruppe dient, bringen wir mittelst der Formeln (12) und (13) in die Formen 2 oder 2Tk. Dann ergiebt sich:

(29)

Tt))~ Die Substitutionen in

((G, Tr, Tt

H\,    2(r — 0'(»+2r+2f+l) I. T3r+3<, H\ .\i,-(r-t)\i-r+l)\. T,

Dieses Resultat geht auch aus (15) hervor mittelst der Identität

(( G, T„, T., T,)) = ((T

2 r—t

T£,T_ )),

welche aus n:o 6 folgert.

Wir suchen weiter die Substitutionen der zweiten Gruppe (11) auf. In dem wir n:o 6 anwenden und die Gruppe der Substitutionen

(a = h 2, 3, 4)

? )    a(i —J—    t    —J—    s    —J—    t    —|—    и 4" 1) — (r    ~j— s    —|—    t -p w 4- 1) [

mit H\ bezeichnen, erhalten wir:

(30)

(( T~ G Tr, Tr-'T., Tr-'T,, T~l Tu )) = (( G , T.

= h’„ , h\ .it, i + f + * + * tя +1 ! • r.

— (r+4 + i+!<)

—(r+s+t+u) •

))

erste lässt

Die Gruppen (29) und (30) enthalten beide 8 Substitutionen. Die

unverändert.

die zweite

%—(r-H+<+u)

Bei den weiteren Untersuchungen des Falles p = 4 haben wir drei untergeordnete Fälle A, B, €, jeden für sich zu betrachten.

4.

Die Wurzeln

. Xi

sind sämmtlich unter sich ver-

schieden.

Die Gruppe der Gleichung (7) ist in der Gruppe (29) oder (30) enthalten, je nachdem die Funktionen (10) aus y , ç>f, <ps, yt bestehen oder aus

Die Gleichung zerfällt in beiden Fällen in zwei Gleichungen mit rationalen Koefficienten, was schon aus n:o 14 hervorgeht wegen 1 < p < n. Die eine ist vom 1— Grade und hat die Wurzel xs-i im ersten Falle, £_(r+,+<+tt+1) im zweiten; die andere ist vom 4— Grade und ohne Kubikwurzeln auflösbar.

B. Es mögen einige der Wurzeln der Gleichung (7) unter sich

bestehen.

gleich sein, und die Funktionen (10) aus </> , y>

Wir bezeichnen mit xT und x zwei einander gleiche Wurzeln der Gleichung (7). Wir nehmen an, die Bezeichungen r, s, t seien so gewählt, dass 2s = r-\-t (mod. 5) ist. Dann untersuchen wir, wie т und ö von r, s, t abhängen, wobei sich auch zeigen wird, dass xT und x von den übrigen Wurzeln verschieden sind.

Die Funktionen (9) bestehen neben den Funktionen (10) aus <p3r_t welche also von den Funktionen (10) numerisch verschieden

4>t

und

sind. Da weiter (p2r-t bei der Substitution (t , 0) numerisch unverändert bleibt, formal aber verändert wird, muss

sein, so dass

(31)

T2r—t (j- > ö) = ZT2t_r

wird. Diese Gleichung ergiebt sich aus (21), wenn 2r—t und 2t—r für r und 8 gesetzt wird. Wie die Formeln (23) aus (21) hervorgehen, kommen also aus (31):

(32)

f r=2r—t — 1, = t- 1 ,

oder

г = 2t — r — 1, в = r — 1 .

Dass

und

von den übrigen Wurzeln verschieden sind, folgert sich daraus, dass die Formeln (32) für в nur einen Wert geben, wenn т gegeben ist.

Wir nehmen nun an, dass die Wurzeln der Gleichung

xt

(33)

f 0*0

xT)(x—xt)

alle verschieden sind. Nach n:o 14 wissen wir, dass (33) reduktibel ist, weil [(и — 2)! — p]! nicht durch n — 2 theilbar ist und q < (и—2)! —1 ist. Wir werden aber auch die Gruppe I aufsuchen, in welcher gemäss n:o 12 die Gruppe der Gleichung (33) enthalten ist. Die Gruppe (29) besteht aus den Substitutionen :

(.'£

1 , (r , 2t — ö)(ö , Зт -f 3ö) , (t , ö)(2t _ в , 3 t -j- 3 ö) ,

(т , 3t -f 30)(0 i 2t_/9), (t , ö) , (2t —ö, Зт-j- 3ö),

(t, 2t_(9, /9, 3 t -)- 3 ö) , (t, 3 t -p 3 ö , ö

Da wir die Substitutionen ausnehmen, welche die W⁷urzeln der Gleichung (33) ausschliesslich unter sich vertauschen, und in diesen Substitutionen nur die Cykeln beibehalten, welche diese Wurzeln vertauschen, so ergiebt sich

2т — ь)

1, (2t — ö , 3r-j-3ö).

Dies ist die gesuchte Gruppe I.

Zufolge (32) ist s — 1 von т und в verschieden, eine der Wurzeln der Gleichung (33). Weil gesetzt wird, ist diese Wurzel rational.

ist also

xs—i

durch (29) nicht um-

C. Es mögen einige der Wurzeln der Gleichung (7) unter sich gleich sein, und die Funktionen (10) aus

Wir bezeichnen wie vorher mit xx und xf zwei einander gleiche Wurzeln der Gleichung (7), und haben zuerst die Relation zwischen t, в und r, s , t, и aufzusuchen.

Die Funktionen (9) bestehen aus den Funktionen (10) und aus у Aus der Thatsache, dass (p bei der Transposition (т, в)

bestehen.

und

formal verändert wird, numerisch unverändert bleibt und dass y> und

y>-(r+s+t+u) •

von den Funktionen (10) numerisch verschieden sind, folgt die Identität = <p_(r+i+<+u); wir erhalten also:

. ff—(r+s+t+u)

(34)

(r , 0) = 2T_(r+s+t+u) .

Diese Gleichung geht in (16) über, wenn r für — (r -f s -f- t -|- u) gesetzt wird. Wie (18) aus (16), kommt also aus (34) die Kongruenz:

(35)

Da diese für jedes т nur ein в giebt. sind xT und хл von den übrigen Wurzeln von (7) verschieden.

Wir nehmen an, dass die Wurzeln de,r Gleichung

(36)

welche nach n:o 14 reduktibel ist, alle verschieden sind. Um die Gruppe der Gleichung zu untersuchen, schreiben wir die Substitutionen (30) auf folgende Weise:

1 , (r , 2o — % , в , 2т _ в), (т , 2т — в , ,0 20 — т) ,

(т , 0)(2t — 0 , 20 — t), (t, 0), (2t —0, 2 0 —t),

(t , 2 0 —t)(0, 2t —0), (т , 2t — 0)(0, 2 0 — t) .

Gemäss n:o 12 ergiebt sich nun, dass die Gruppe von (36) in der Gruppe

1, (2t — 0, 20 — t)

enthalten ist.

Aus (35) folgert sich, dass — (r-j-s-f-t-j-м) — 1 von т und в

verschieden ist. Also ist

(r+s+t+u+1)

eine Wurzel von (36). Diese Wurzel ist rational, weil sie von der Gruppe (30) nicht umgesetzt wird.

20. Wir haben schliesslich die Fälle q = 5 und p = 6 zu disku-

tiren.

Im Falle p = 5 kann die Gleichung (7) nicht gleiche Wurzeln haben, weil eine der Funktionen (9) von den übrigen verschieden ist.

ÿr 1 У« ł У« > SP« > SP®

bestehen, ist die Gruppe der Gleichung in ((T~l G Tr ,T~l Ts, T~x Tt, T~l Tu, T~x Tv)) enthalten, welche gemäss n:o 6 mit G identisch ist,

Die Gleichung (7) ist in dem Falle p = 5 immer durch Wurzelgrössen auflösbar, wie schon aus n:o 15 erhellt. Sie braucht aber nicht reduktibel zu sein.

Im Falle p = 6 kann man mit Hilfe des Vorhergehenden nichts über die Gleichung (7) aussagen, weil ((G, Tr, Ts, Tt, Г„, 7))) alle Substitutionen von a?₀ , ж, , . . . ar₄ enthält. Wie auch die Gleichung beschaffen sein mag, scheint es möglich zu sein, eine Funktion ^ zu finden, deren durch die Substitutionen hervorgegangene 6 verschiedene Formen numerisch gleich sind.

21.

der Elemente

Wir haben im Vorhergehenden Gruppen von Substitutionen . . Xi aufgestellt, weiche in den Fällen p = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 die Gruppe der Gleichung (7) enthalten müssen. Ob aber diese alle Substitutionen jener Gruppen enthalten kann, oder die aufgestellten Gruppen zu allgemein sind, ist nicht entschieden worden. Wir werden nun Gleichungen aufweisen, bei denen für eine gewisse Funktion (p der Fall p = 5 oder die in 19 A und 17 C behandelten Fälle eintreten und deren Gruppen identisch sind mit denen, in welchen sie nach dem Vorhergehenden enthalten sein müssen. In den genannten Fällen wenigstens sind also die aufgestellten Gruppen nicht zu allgemein, d. h. sie können nicht durch speciellere Gruppen ersetzt werden.

г⁵

Es sei ш eine Wurzel der Gleichung —

^ = 0, © die Funktion

( Xq -J- tl)£, -f- tu £'2 -j- tu Xg -j— tü⁴£₄)⁵

Wir setzen

Wenn die Funktionen (10) aus

cp , (fr, (ps , (ft,

bestehen, ist die Gruppe der Gleichung in ((G , T ten. Diese ist nach n:o (> identisch mit T7-1 Wenn die Funktionen (10) aus

Ts, Tt, Г„)) enthal-

—(г+^+г+м)

—(r+i+<+Uj ■

die Substitutionen | г, 2 i

Dies können wir tłum, weil diese Funktion für die Substitutionen in G formal ungeändert bleibt, für jede andere Substitution aber ihre Form ändert. Dann berechnen wir die Werte der Funktionen (9) für einige specielle Formen der Gleichung (7).

Es sei zuerst

(38)

die Gleichung (7) und die Anordnung der Wurzeln durch

OCj'

(r = 0

1, 2,3, 4)

gegeben. Dann ergiebt sich:

— 5¹⁰x4⁴.

,    = (f 3 = <f₄ = Чь =

Wir können hier p = 5 setzen. Nach dem im Vorhergehenden über diesen Fall Gesagten muss die Gruppe der Gleichung (38) in der linearen Gruppe von xQ , xx , . . . x₄ enthalten sein. In der That ist die Gruppe der Gleichung mit dieser identisch ¹).

Es sei zweitens

(39)

xü -f- A X — 0

die gegebene Gleichung und die Anordnung der Wurzeln durch

xr

[r = 0 , 1 , 2 , 3)

gegeben. Wir erhalten

— 5⁵A⁵

(p = (fz = (fb = <fb —

_ 5⁵(2 + V— 1)¹⁰A⁵,

ç₄ = -5⁵(2 -V- I)¹⁰A⁵.

Wir haben hier q = 4 und sind auf den Fall 19 A gekommen. Nach dem in 19 A Gesagten muss die Gruppe der Gleichung (39) in der Gruppe (29) enthalten sein, wenn in (29) r = 2 , s = 5 , t = 3 gesetzt wird. Die Substitutionen in (29) werden dann :

(40)

(Г= о, 1, 2)

(29')

1 , (x₀ , X₃) (Xi , X₂) , (x{> , Xi)(Xi , x₃) , (x₀, Xi) (x₂, x₃) (x₀ ,    , (x₀ , X₃ , X-2 , Xi) , (ff, , Xi) , (#0 , Xi , ^2 Î Ä*s) •

Es ist leicht zu zeigen, dass die Gruppe der Gleichung (39) alle diese Substitutionen enthält. Diese Gruppe ist nämlich dieselbe, wie die der Gleichung

(39')

x¹ 2 3 4 -f- A = 0 .

Wenn wir zu dieser V— A adjungiren, wird sie reduktibel. Sie kann nämlich geschrieben werden:

Der erste Faktor hat die Wurzeln Gruppe von (39⁵) wird also nach Adjungirung von V— А :

1 ? (?o » xt) , Gei , ar#) , Gr₀ x₂) (Xi x₃) .

der zweite

Die

4 _

Gleichung (39⁵) die Grösse adjungirt wird, so wird sie

Wenn

eine Abel’sche Gleichung und ihre Gruppe enthält die Substitutionenг)

zur

gegeben, wo a eine Wurzel von

z-l

= 0 ist .

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

Dann wird

% = <Pi = " ⁵°а20 » <P — % = —¹ 5*aa²⁰, (р, = (f₅ = — 5ba² a‘°.

Wir haben hier p = 2 und sind auf den Fall 17 C gerathen. Es ist 3,5 = 4. Von den Formeln (23) sind die letzteren zu wählen; sie geben T — 3 , в — 4. Die Gleichung (24) geht in

(40')

æ³ -j- a³ = 0

über. Ihre Gruppe muss nach 17 C in 1,(2t — 0, Зт-f 3ä) enthalten sein, d. h. in 1 , (æ₂ , л*,). In der That enthält die Gruppe der Gleichung (40') beide dieser Substitutionen. Die in 17 C gefundene Gruppe ist also nicht zu allgemein.

22. Aus n:o 14 ergiebt sich folgender Satz:

den übrigen Wurzeln

Wenn die Gleichung (1) irreduktibel ist und Ф(у) — 0 p unter sich gleiche rationale Wurzeln hat, welche von verschieden sind, so ist

n < p < (n — 2) ! — n .

Wir haben in n:o 21 Gelegenheit gehabt, diesen Satz zu verifi-ciren. Als wir nämlich für (1) die Gleichung ж⁵ + 4 = 0 setzten und (p durch (37) definirten, fanden wir p = 5. Wir werden nun zu dem Satze ein neues Beispiel aufsuchen, in dem wir für (1) die Gleichung

(41)

34

J. Т. SÓDERBERG,

X¹ -j- А = 0

setzen und tp auf geeignete Weise bestimmen.

Die Anordnung der Wurzeln von (41) sei durch

xr =

uf ]/— Ä

(r = 0, 1, ... 6)

7

- = 0 ist.

gegeben, wo w eine Wurzel von _

Es sei ferner

0 — (x₀ 4- ü)Xx -f (ü²x₂ -f ü)sx₃ -j- ш⁴ж₄ -f co⁵x. 4- ш⁶хсу

wo für в(i) successive zu setzen ist:

г⁴±3г

г⁵ -j- а г³ -f- а³ г, г⁵ ± 2 i, г⁵ -}- b г³ ± г² -f- 3 5²г.

In diesen Ausdrücken sind für a successive die Zahlen 0,1,... 6 zu setzen, für b die quadratischen Nichtreste von 7 ¹). Die Substitutionen von x₀, x₁ , . . . x₆ können also gebildet werden durch Multiplikation der Substitutionen | г, ai -\- ß\ rechts mit den Substitutionen:

1 > T\,o,y = Iг* ł — г'⁴ -F 3 г -f- ^ I , I\xy = Iг ч *⁴ -j- 3 i -f- у I,    = ! i -,    + у | i

^3,с,у —

und Sx , JSs ,    ^die Substitutionen

г, 5г !, I г, 6 г |, (mod. 7).

Dann definiren wir

to

q>= 0.OXl. Ou . 0Кз. OK . Ou ,

was statthaft ist, weil die für (p eingeführte Funktion bei den Substitutionen in G und nur bei diesen formal unverändert bleibt.

Wir haben nun die Funktionen (3) zu berechnen, wenn für cp aus (42) eingesetzt wird.

Die Substitutionen von

x₀ , xt , .

. . x₆ sind, wenn wir i für x

schreiben :

i j a i -j- ß I -, J i, ci в (г -j- ß) -{- у \ ,

о о 1-1

гЧ _|

ÇO со <х>

mod. 7

= I г* ? с(}° —г*³ + 3i) -F У)

(с quadr. Rest von 7)

TM7 =

(d = 1 , 2, . . . 6; mod. 7 ).

Dies sind die Substitutionen (2) für n — 7.

Wenn wir nun

<Pr,s,t = <Prrtttt

setzen, und .<?, i die Werte durchlaufen lassen, welche als Indices der T Vorkommen, wird (prst successive gleich den 120 verschiedenen Formen von (f. Nachdem wir diese Formen hergestellt haben, können wir sie leicht berechnen. Wir finden:

У 5 о,у = 7¹⁴(3 + «F + w⁵ + са⁶)⁷А% = - 7¹⁴(2 а/ + 4ard + 2 ш⁴'¹)⁷ А⁶.

У — У 1,0,у = Ум,y == 0 , y₂,о,y = — 7¹⁴ A °, Уз.с.у = 7U(3 — 2ш³ — 2ш4о)‘ Уму = *¹⁴(3 +    _ ш⁴‘)⁷ А⁶

Ъхг = ⁷“(³ + <" + <°² + ю‘)м"

Wir erhalten also

Ф(у) =у¹⁵(у + 7ыАв)⁷ П{у — 7|4(3 - 2ш³'_ 2ш“)Мв}

. Я(у _ 7|4(3 + иг‘ + т‘с - о/“ _ ш'О'.-!'¹!

(43)

. /7{у_7¹⁴(3 + <о'’ + ш2р + ю,'’)ЛУ

Я = 1>3

. /7{у + 7¹⁴(2«А + 4шм + 2ш⁴'0⁷ Лс}⁷.

Diese Gleichung hat die mannigfaltigen rationalen Wurzeln 0 und — 7¹⁴ Aß.

Wir erkennen die Richtigkeit des erwähnten aus n:o 14 sich ergebenden Satzes in diesem Falle, in dem wir q = 15 und p = 7 haben.

Die Gleichung (43) hat auch mannigfaltige irrationale Wurzeln. Durch Adjungirung von w zum Rationalitetsbereiche werden diese Wurzeln rational, während die Gleichung (41) irreduktibel bleibt. Eben die mannigfaltigen, irrationalen Wurzeln von (43) müssen also nach dem erwähnten Satze wenigstens 7-fach sein, was sich auch bestätigt. ⁶

Gruppen

(44) ((G, T

1.0,0 7

1,0,6 7

31.«, T.

1,1,1 7    *

■ • ад

•)

(45)

2,0,0 7

ГТ1-У rn

x 2,0,0 -L i

2,0.1 7 •

• • t~M)

enthalten sein. Wir wollen die Substitutionen dieser Gruppen aufsuchen.

Wir gestatten uns die Bemerkung, dass

г⁴4-3г = 2г, wenn i quadr. Nichtrest von 7 ist, und

= 4г, wenn i quadr. Rest von 7 ist.

Wir finden dann leicht¹), indem wir

г, «г -j- /5 I durch 5 bezeichen:

ГП-У

¹ 1,⁷,y —

* > ⁷ — /I    7

А,⁷,7⁷5 =|⁷7 «(⁷    /) I    (“)]•£

wo

das Legendre’sche Symbol bedeutet und für die zweiten Indices

der T ihre kleinsten Reste modulo 2 zu setzen sind.

Wenn /5^0 (mod. 7) ist, ist keiner der Substitutionen T^rSTUJ in den Substitutionenkomplexen G,GTlxy enthalten, welche die erste Kolumne im Schema bilden, welches zur Definition von (44) dient.

Wenn aber /5 = 0 (mod. 7) ist, haben wir dagegen:

rp — i q rp

¹1,k,y à ¹ ]

Wi =

1 — (,)] = I (mod. 2) ,

I b «(⁷' — /) + У. ! • Tu-H.r weun k + |[! - (“)] < Kmod’ 2) ,

i, а (г — /) -f- yl i wenn к -f

wo wieder für den zweiten Index der T sein kleinster Rest modulo 2 zu setzen ist.

Aus diesen Formeln geht hervor, dass die Gruppe (44) mit G

identisch ist.

Weiter haben wir

* — 7    7¹

— -3W

^2,0,7 — I ⁷ î (⁷ — /) I ⁷ ^2,0,0 7 T₂'0jS — i

**’ ^2,0jS2]

2,0,7, —

^ -f- y₁ wenn /5 = 0 ist

Man erhält hieraus, dass auch die Gruppe (45) mit G identisch ist.

Nun ist G die Gruppe der Gleichung (41) *). Die Gruppen (44) und (45), in welchen wir nach n:o 12 die Gruppe der Gleichung (41) zu suchen haben, fallen also mit dieser Gruppe zusammen.

1) Siehe Jordan, Traité des substitutions etc., pag. 300.

KRAKÓW

fl

j mi-Г)_ iß

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000305792

IM-33624

¹

, (x₀ , xi){xs, x₃) , (x₀ , x₉)(xi -, Xi) , (x₀ , x₃) (xi, x₂) .

²

Es geht nun hervor, dass die Gruppe von (39') die Substitutionen (29') enthält. Dies gilt dann auch von der Gruppe der Gleichung (39). Also kann nicht in 19 A die Gruppe (29) durch eine speciellere

³

ersetzt werden.

⁴

Es sei drittens

⁵

xr — а а , x₃ = Xi = 0 ,

⁶

Nach n:o 12 muss die Gruppe der Gleichung (41) in den

⁷

   wenn /55О.