WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KBAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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HYDROMECHANIK

ODER

DIE TECHNISCHE MECHANIK FLÜSSIGER KÜRPEH

VON

DR. MORITŻ KÜHLMANN,

KÖNIGLICH PREUSSISCHER GEHEIMER REGIERUNGSRATH UND PROFESSOR AN DER K. POLYTECHNISCHEN SCHULE IN HANNOVER.

ERSTES HEFT.

HYDROSTATIK UND HYDRODYNAMIK BIS ZUM AUSFLÜSSE DES WASSERS DURCH SOGENANNTE PONCELET - MÜNDUNGEN.

il öffentlichen Arbeiten

ZWEITE VERBESSERTE UND VERMEHRTE AUSGABE.

HANNOVER.

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HAHN’SCHE BUCHHANDLUNG.

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BIBLIOTEKA POLIIEGHNICZIj

KRAKÓW

Hannover. Schrift und Druck von Fr. Culemann.

Äkc. Nr.

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V orbemerkungen.

Bei der Herausgabe des ersten Heftes der zweiten Auflage meiner technischen Mechanik flüssiger Körper, halte ich es für angemessen, folgende Bemerkungen zu machen.

Zunächst war ich bemüht, alle möglichen Verbesserungen und Erweiterungen anzubringen, welche der gegenwärtige Standpunkt dieser Erfahrungswissenschaft zu fordern berechtigt ist.

Sodann wurden „die geschichtlichen Notizen“ in hervorragender, umfänglicher Weise abgefaßt, nachdem ich in meiner Lehrthätigkeit mich von dem großen Nutzen und von der äußerst wirksamen Anregung überzeugt hatte, welche das Einflechten des geschichtlichen Elementes auch hier (wie in meiner Allgemeinen Maschinenlehre), namentlich für die Studirenden Polytechnischer Hochschulen, mit sich führt.

Wenn irgend möglich, soll die zweite Hälfte (der Schluß) des Buches etwa Mitte August dieses Jahres erscheinen.

Endlich habe ich der neuen Verlagsbuchhandlung noch meinen besonderen Dank für die Ausstattung des Werkes auszusprechen und zwar sowohl hinsichtlich des schönen Druckes und Papieres, als auch für die Erneuerung sämmtlicher Holzschnitte.

Hannover, im Monat Februar 1879.

Rühlmann.

I

H y d r o rn e c li a n i k.

Allgemeine Einleitung.

§• i.

Flüssig heißt jeder Körper, dessen Theile derartig äußerst leicht verschiebbar sind, daß er jede selbstständige Gestalt entbehrt, diese vielmehr von dem Gefäße bestimmt wird, in welchem er eingeschlossen ist und von den Kräften, welche auf ihn einwirken.

Da es bis jetzt, streng genommen, nicht möglich gewesen ist, die Grenze anzugeben, wo die feste Körperform aufhört und die flüssige anfängt, so nimmt man in der Mechanik die flüssigen Körper als absolut flüssig, d. h. als solche an, welche die Eigenschaft der leichten Verschiebbarkeit im höchsten Grade besitzen. Letzterer Annahme folgen wir stets, wenn das Gegentheil nicht besonders bemerkt wird.

§. 2.

Hinsichtlich bestimmt hervortretender physikalischer Eigenschaften hat man zwei Arten von Flüssigkeiten zu unterscheiden. Bei der einen Art hängen die Theilchen mit einer äußerst geringen, meist Null zu setzenden Attractionskraft (Cohäsion) zusammen, während bei der anderen Art diese Kraft nicht nur gänzlich fehlt, sondern den Theilchen eine Repulsivkraft (Expansivkraft) innewohnt, die ihnen ein stetes Ausdehnungsbestreben ertheilt.

Vermöge dieser Eigenschaft kann ein bestimmtes Volumen auch nur erhalten werden, wenn dasselbe von allen Seiten durch Gefäßwände begrenzt oder überall von äußeren Kräften gedrückt wird.

Eine minder physikalisch scharfe, jedoch technisch völlig zulässige Eintheilung der flüssigen Körper ist die in unelastische und in elastische Flüssigkeiten. Unter ersteren versteht man solche, deren Volumen durch Einwirkung äußerer Kräfte oder der Wärme verhältnißmäßig höchst wenig verändert werden kann¹), während letztere die flüssigen Körper begreift, welche diese Veränderung unter denselben Verhältnissen im höchsten Grade zeigen.

G Unter dem Drucke von 1,0333 Kilogramm auf ein Quadrat - Centimeter Rühlmann’s Hydromechanik.

Zu den Flüssigkeiten der ersteren Art gehören Wasser, Quecksilber, Alkohol etc. und man nennt diese auch tropfbare Flüssigkeiten, weil sie unter gewissen Umständen als Tropfen erscheinen können. Flüssigkeiten der zweiten Gattung sind die atmosphärische Luft und alle luftförmigen Körper oder Gase, wie Sauerstoff-, Stickstoff-, Wasserstoff-Gas etc.¹).

Eine besondere Art elastischer Flüssigkeiten sind die, welche man Dämpfe nennt, deren Unterschied von den Gasen jedoch nur durch gewisse Grenzen der Temperatur und des äußeren Drucks bedingt wird.

In der Folge wählen wir als Repräsentant der tropfbaren Flüssigkeiten das Wasser und ebenso für die luftförmigen Flüssigkeiten die atmosphärische Luft.

oder von 14,7 Pfund auf ein Quadratzoll engl, (einer Atmosphäre) wird um Millionentheile des ursprünglichen Volumens zusammengedrückt:

Nach Aimé bei 12,60 C.

bei 00 C. bei 53« C.

Nach Oerstedt bei 3,75° C.

Nach Colladou und Sturm bei IO« c.

Nach Régnault und Grassi

Quecksilber

2,65

5,03

4,0

3,0

Wasser

46,77

50,50

50,2

50,0    44,0

Man sehe hierüber: Oerstedt in Poggend. Annalen Bd. 9, S. 603; Bd. 12, S. 158; Bd. 31, S. 362. Colladon und Sturm a. a. O. Bd. 12, S. 39. Aimé: Ebendaselbst. Zweiter Ergänzungsband S. 228. Régnault: Mémoires de l’Academie des Sciences. Tome XXI, Pg. 429. Paris, 1847. Grassi: Annal de chim. es et de pliys. III. Sér. T. XXXI.

¹) Die gasförmigen Körper lassen sich auch als solche bezeichnen, die weder eine selbstständige Gestalt, noch ein selbstständiges Volumen besitzen und sich durch jeden ihnen dargebotenen Raum verbreiten, bis sich ihnen ein äußeres Hinderniß entgegenstellt. In Folge ihres Expansionsvermögens können die Gase auch keine freie Oberfläche haben wie die tropfbar flüssigen Körper.

Nachdem man von Anfang dieses Jahrhunderts an gefunden hatte, verschiedene Gase tropfbar zu machen, z. B. kohlensaures Gas unter einem Drucke von 36 Atmosphären, salzsaures Gas unter dem Drucke von 50 Atmosphären u. s. w., gelang es doch erst am Schlüsse des Jahres 1877, sowohl Cailletet in Paris als Pietet in Genf, auch die bis dahin noch als permanent betrachteten Gase, wie Sauerstoff und Wasserstoff, durch die combinirte Anwendung von Druck und Kälte tropfbar zu machen und zwar beispielsweise durch Pietet das Sauerstoffgas unter dem Drucke von 320 Atmosphären und bei 140° C. Kälte.

Man sehe hierüber u. A. die Beiblätter (Poggendorfs) Annalen der Physik und Chemie Band II (1878) S. 15 und S. 135.

Atmosphärische Luft (21 Maaßtheile Sauerstoff und 79 Maaßtheile Stickstoff) will schon 1826 Perkins (Phil. Trans. 1826. III. 541) unter dem Drucke von 1200 Atmosphären tropfbar flüssig gemacht haben; allein seine Angaben waren nicht über allen Zweifel erhaben: Neuerdings soll Cailletet tropfbare atmosphärische Luft schon bei einer Pressung von 200 Atmosphären erhalten haben. Man Sehe hierüber u. A. die englische „Zeitschrift Engineering“ vom 26. April 1878, Pg. 325 unter der Ueberschrift: „Liquéfaction of Gases“.

Die Wissenschaft, welche untersucht, inwiefern Kräfte, die auf flüssige Körper einwirken, denselben Gleichgewicht oder Bewegung zu ertheilen vermögen, wird Mechanik flüssiger Körper (Hydromechanik) genannt. Hiernach und mit Berücksichtigung der vorher bemerkten zwei Flüssigkeitsformen, ergiebt sich die Eintheilung der Hydromechanik von selbst, nämlich in Hydrostatik, Aerostatik, Hydrodynamik und Aerodynamik. Letztere beiden faßt man auch unter dem gemeinschaftlichen Namen Hydraulik zusammen.

§• 3.

§• 4.

Geschichtliche Notizen.

Die allerältesten Untersuchungen im Gebiete der Mechanik flüssiger Körper betrafen einzig und allein deren Gleichgewicht (die Hydrostatik) und zwar ist es Archimedes¹), dem wir die ersten Principien hierüber verdanken. Dieser ausgezeichnete Mathematiker, der als Begründer der antiken, streng wissenschaftlichen Statik überhaupt betrachtet werden muß, behandelte insbesondere das Gleichgewicht fester auf dem Wasser schwimmender Körper²) und zwar in einer Weise, daß spätere Mathematiker verhältnißmäßig nur wenig beizufügen im Stande waren³).

Der für Cultur, Kunst und Wissenschaft gleich traurige Zustand, in welchen bald nach Archimedes die damalige civilisirte Welt versetzt wurde, und die fast 2000jährige Dauer desselben war auch für die Hydrostatik die Ursache, daß man sich bis zum Ende des 16. Jahrhunderts mit den Sätzen des Archimedes begnügte.

Vornämlich unbekannt, obwohl naheliegend, waren die Gesetze geblieben, nach welchen Flüssigkeiten auf Böden und Wände drücken, in denen sie enthalten sind.

Der niederländische Mathematiker Stevin⁴), überhaupt einer der würdigsten Vertreter der neuen wissenschaftlichen Mechanik, war der

J) Archimedes wurde um das Jahr 287 vor Chr. Geb. zu Syrakus geboren und 212 vor Chr. Geb. bei der Einnahme seiner Vaterstadt durch den römischen

Feldherrn Marcellus, von einem Soldaten, getödtet.

von

den schwimmenden Körpern Titel aufgeführt: „De insidentibus humido“.

³)    Lagrange in der Mécanique analytique, 2. Ausgabe, 1811, Bd. 1, Lect. VI, Art. I.

⁴)    Stevin wurde 1548 zu Brügge geboren und starb 1620 zu Haag. Dem Verfasser liegt über sein Leben und Wirken speciell ein Buch des Professors Steichen in Brüssel vor, welches betitelt ist „Memoire sur la Vie et les Trade Simon Stevin“ und 1846 in Brüssel bei Van Dale erschien.

²) Die hydrostatische Arbeit des Archimedes hat das Schicksal gehabt, nicht in der griechischen Ursprache, sondern durch arabische Vermittlung und zwar in einer höchst defecten Gestalt auf uns zu gelangen. Dühring (Kritische Geschichte der allgemeinen Principien der Mechanik. Zweite Auflage, S. 87) citirt eine lateinische Uebersetzung, aus zwei Büchern bestehend, von Comman-dinus, welche betitelt ist: „De iis quae vehuntur in aqua“ und 1565 erschienen sein soll. An anderer Stelle (Gehler’s Physikalisches Wörterbuch, Ausgabe 1789, Theil II, S. 660) werden diese zwei Bücher des Archimedes von und zwar 1615 in Paris erschienen, unter dem

vaux

Erste, welcher sich um diesen Theil der Hydrostatik wesentliche Verdienste erwarb. In seiner Schrift „Principien der Statik und Hydrostatik« (Leyden 1586) *) entwickelte er aus den Sätzen des Archimedes nicht nur das sogenannte hydrostatische Paradoxon (mit welchem Namen man den Satz belegte, daß Flüssigkeiten einen viel größeren Druck als ihr eignes Gewicht auf die Böden der Gefäße ausüben könnten), sondern bestimmte namentlich auch den Druck der Flüssigkeiten auf verticale und geneigte Seitenwände²).

Der scharfsinnige, um Physik, Mathematik und Astronomie hoch -verdiente Italiener Galilei³), der Verbesserer der Statik und Schöpfer der Dynamik, wandte zur wissenschaftlichen Herleitung der hydrostatischen Gesetze zuerst eine dem heutigen Principe der virtuellen Geschwindigkeit ähnliche Methode an, wobei man (später) jedoch noch Mancherlei auszusetzen hatte⁴). In letzterer Beziehung noch glücklicher war der geistreiche französische Geometer Pascal⁵), welcher das genannte Princip namentlich zum Beweise des Satzes anwandte, daß ein an einem Punkte der Oberfläche einer flüssigen Masse ausgeübter Druck sich gleichmässig nach allen anderen Punkten der Flüssigkeit verbreitet, wofern diese nicht auszuweichen im Stande ist.

Hiernach müßte also eine Flüssigkeit im Gleichgewicht bleiben, welche ein Gefäß ganz ausfüllt, in dem man geeignete Oeffnungen anbrachte, diese Oeffnungen durch Kolben verschloß und gegen letztere Kräfte wirken ließ, die sich gerade wie die Querschnitte dieser Kolben verhielten. (Man sehe hierzu die bildliche Darstellung in der nachher folgenden Figur l)⁶). Nachdem Pascal die Principien des Gleichgewichts flüssiger Körper vollständig festgestellt hatte, bemühte man sich, von da ab, die Grenzen dieser Wissenschaft immer mehr und mehr zu erweitern und die betreffenden Untersuchungen namentlich auch auf ungleichartige Flüssigkeiten auszudehnen, wenn auf diese beliebige

Q Eine Sammlung der Stevinschen literarischen Arbeiten erschien von 1605 bis 1608 in Leiden, in 2 Foliobänden, unter dem Titel: „Wiskonstighe Gedächtnissen.“ Witlebord Snellius hat den größten Theil derselben in die lateinische Sprache übersetzt, während Alb. Girard eine französische Ueber-setzung besorgte.

²)    Dühring, Kritische Geschichte der allgemeinen Principien der Mechanik. Zweite Auflage, Seite 89.

³)    Galilei oder eigentlich Galileo ward geboren am 15. Februar 1564 zu Pisa und starb 1642 (Geburtsjahr Newton’s) den 8. Januar im 78. Jahre seines Alters zu Florenz.

⁴)    Dühring a. a. O. S. 91.

⁵)    Pascal, geb. am 19. Juni 1623 zu Clermont-Ferrand in der Auvergne, gestorben am 29. August 1662 in Paris.

⁶)    In der Traite' de l’équilibre des liqueurs etc. betitelten Abhandlung, welche 1663, d. h. ein Jahr nach Pascal’s Tode herausgegeben wurde, wird jede Flüssigkeit, die sich in einem Gefäß befindet, als eine Maschine betrachtet, welche in ähnlicher Weise, wie der Hebel und die anderen sogenannten einfachen Maschinen, die gegenseitige Wirksamkeit der angreifenden Kräfte reget und für deren Gleichgewicht bestimmte Verhältnisse vorschreibt. Auf der Grundlage dieser Anschauung wird das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten sogar zur Erläuterung des gleichen Drucks gebraucht, der auf jeden Theil der die Wandungsausschnitte ersetzenden Stempel gerichtet ist.

Kräfte wirken. Hierzu gaben insbesondere die wichtigen Capitel der Gestalt der Erde und die Erklärung der Ebbe und Fluth als Probleme der Hydrostatik directe Veranlassung. Indem sich die ausgezeichnetsten Mathematiker des 17. und 18. Jahrhunderts mit der Auflösung dieser speciellen Fragen beschäftigten, brachten sie dadurch die wissenschaftliche Hydrostatik in die vollendete Form, in welcher wir sie heute vor uns erblicken.

von

Insbesondere waren es zuerst Huy gh e n s *), Newton²), Bouguer³) und Daniel Bernoulli*), welche sich hierbei zugleich um die Mechanik flüssiger Körper überhaupt verdient machten. Die vollständigsten Arbeiten lieferten jedoch erst Mac lau rin⁵) (Treatise on Fluxions, Tome II, Cap. XIV) und Clairault⁶) (Theorie de la figure de la terre tirée des principes de l'hydrostatique, 1743). Während Maclaurin’s betreffendes Werk als ein Meisterstück der Synthesis betrachtet wird, zeigte Clairault die außerordentliche Macht der Analysis und entwickelte zuerst die partiellen Differentialgleichungen, durch welche man die Gesetze des Gleichgewichts einer flüssigen Masse ausdrücken kann, wenn auf ihre Theile beliebige Kräfte wirken.

Dem größten und fruchtbarsten Mathematiker seiner Zeit, Leonhard Euler⁷), gelang es später, die Clairaultschen partiellen Differentialgleichungen auf eine bei Weitem einfachere Art abzuleiten und sie in die höchst elegante Form zu bringen, in der wir sie heute zur Beantwortung der wissenschaftlichen Gleichgewichtsfragen flüssiger Körper anwenden⁸).

Nach Euler haben Lagrange⁹) (Mécanique analytique. Erste Ausgabe 1788. Zweite Ausgabe 1811) und LaplaceJ0) (Mécanique céleste, 1799) die Hydrostatik allein auf die vollkommene Beweglichkeit der kleinsten Flüssigkeitstheilchen gegründet und sodann die betreffenden Entwickelungen mit alleiniger Zuziehung des Princips der virtuellen Geschwindigkeit ausgeführt. Die citirten Werke beider großen Meister sind auch für die Mechanik flüssiger Körper als die vollendetsten

J) Huyghens, geboren den 14. April 1629 in Haag; gestorben den 8. Juni 1695 ebendaselbst.

²)    Newton, geboren den 5. Januar 1643 in Whoolsthorpe (Lincolnshire); gestorben den 31. März 1727 in London.

³)    Bouguer, geboren den 16. Februar 1698 in Croisie (Nieder-Bretagne); gestorben in Paris den 15. August 1758.

⁴)    Daniel Bernoulli, geboren den 9. Februar 1700 in Groningen; gestorben den 17. März 1783 in Basel.

⁵)    Maclaurin, geboren im Februar 1698 in Kilmoddan bei Inverary; gestorben den 14. Juni 1746 in York.

⁶)    Clairault, geboren den 13. Mai 1713 in Paris; gestorben den 17. Mai 1765 ebendaselbst.

⁷)    Euler, geboren den 15. April 1707 in Basel; gestorben den 18. Sept. 1783 in St. Petersburg.

⁸)    Man sehe hierüber den folgenden Paragraph 7.

⁹)    Lagrange, geboren den 25. Januar 1736 in Turin (aus einer seit 1672 daselbst ansässigen französischen Familie); gestorben den 10. April 1813 in Paris.

,0) Laplace, geboren den 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge (Dép. Calvados); gestorben den 5. März 1827 in Paris.

Muster analytischer Schärfe und Allgemeinheit zu betrachten, so daß sie wohl für alle Zeiten (wahrscheinlich) die Schlußsteine der gesammten wissenschaftlichen Mechanik bilden.

Daß man sich nach einer derartigen Gestaltung der Mechanik flüssiger Körper auch an die Auflösung der schwersten Probleme der Hydrostatik (mit Einführung anderer entsprechender Hypothesen) wagte, zeigt insbesondere die Capillaritätsfrage¹), von welcher noch Daniel Bernoulli bemerkte, daß er sie auf kein allgemeines Gesetz zurückführen könne. Dieser wichtige Gegenstand fand nachher, insbesondre durch die Arbeiten von Laplace, Young¹), Gauß²), Poisson³), Hagen⁴) u. A. seine Erledigung⁵).

J) Unter Capillarität versteht man das Heben oder Senken des Wasseroder Quecksilberspiegels in engen Röhren oder zwischen sehr nahestehenden Wänden.

Erstes Gapi tel.

§. 5.

Pascal ’s Gesetz.

Wäre uns Gestalt, Größe und Verbindungsart der Theile flüssiger Körper bekannt, so ist es wenigstens wahrscheinlich, daß sich die Gesetze des Gleichgewichts derselben aus jenen ableiten lassen würden, welche für feste Körper gefunden worden sind. Da dies jedoch (bis jetzt) nicht der Fall ist, so sind wir genothigt, eine charakteristische Eigenschaft der flüssigen Körper aufzusuchen und solche als Grundgesetz zur Ableitung der Lehren des Gleichgewichts zu benutzen. Eine solche folgt aber unmittelbar aus der leichten Verschiebbarkeit der Theile eines flüssigen Körpers, und man kann sie auf folgende Weise ausdrücken:

„Wird auf einen flüssigen Körper ein Druck ausgeübt, und bleibt er ster er dabei im Gleichgewicht, so pflanzt sich dieser Druck nach allen Ri chtungen durch die flüssige Masse gleichförmig fort und jedes Theil-chen derselben erfährt einen gleichen Druck.u

Zur Erläuterung dieses Satzes diene Nachstehendes.

Fig. 1.

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Erste Abtheilung. Hydrostat

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k.

Damit vorerst der gemachten Vor-aussetzung entsprochen werde, daß nämlich der flüssige Körper während des auf ihn einwirkenden Drucks im Gleichgewicht verbleibt, denken wir uns die Flüssigkeit in einem (beliebigen) Gefäße befindlich, welches sie ganz ausfüllt und wovon AB CD Fig. 1 den Horizontal - Durchschnitt darstellen mag. Die röhrenförmige Mündung EF dieses Gefäßes sei durch einen verschiebbaren Kolben K gehörig dicht verschlossen, und die Flüssigkeit reiche genau bis unter die Fläche dieses Kolbens. Ferner denken wir uns dabei die Flüssigkeit als gewichtslos, sehen also von der

Wirkung der Schwerkraft, überdieß auch von allen sonst noch möglichen Kräften (und Widerständen) ab und nehmen nur an, daß von Außen gegen den Kolben K ein Normaldruck = p ausgeübt wird.

Die in dem Grundsätze ausgesprochene Behauptung läßt sich nun auf den Druck anwenden, welchen jedes Stück der Gefäßwände, ferner jeder in der Flüssigkeit befindliche Körper, sowie jeder Theil der Flüssigkeit selbst erfährt.

Jedes Stück der Gefäßwand, wie C, D etc., wo solches auch liegen mag, dessen Größe dem Querschnitte des Kolbens K gleichkommt, erfährt nämlich nach Außen einen dem pp gleichen Normaldruck, dem fürs Gleichgewicht die Festigkeit des Gefäßes gehörigen Widerstand leisten muß»); oder wenn eine Stelle der Wandfläche, wie z. B. JL durch einen ebenfalls verschiebbaren Kolben M verschlossen wäre, so müßte, wenn ebenfalls Gleichgewicht stattfinden soll, gegen M ein von Außen nach Innen gerichteter Normaldruck angebracht werden, welcher dem auf den Kolben K wirkenden Drucke p völlig gleichkommt. — Der gegen K ausgeübte Normaldruck wirkt nämlich hier nicht blos auf die in seiner geradlinigen Richtung liegenden Theile, wie solches bei festen Körpern der Fall sein würde, sondern er wird wegen der leichten Verschiebbarkeit der Flüssigkeitselemente auch unverändert denjenigen derselben mitgetheilt, welche seitwärts des Kolbens K liegen. — Wieviel aber auch dem Kolben K an Querschnitt gleiche verschiebbare Kolben M vorhanden sein mögen, jeder derselben müßte für den Zustand des Gleichgewichts durch einen Gegendruck gehalten werden, welcher dem gegen K ausgeübten Drucke gleich ist. Demnach ist aber jeder von diesen Drücken so anzusehen, als hielte er allen übrigen das Gleichgewicht; auch erkennt man, daß der Abstand zwischen den einzelnen beweglichen Wandstücken oder Kolben nicht in Betracht gezogen zu werden braucht, vielmehr gleich Null gesetzt werden kann, weßhalb überhaupt folgt, daß der gegen einen Kolben K vom Querschnitte = a ausgeübte Druck = pp dem auf einen Kolben vom Querschnitte R (in einem Rohre NQ) = na wirkenden Drucke = np das Gleichgewicht hält. Setzt man na = A, np = P, so ergiebt sich die Proportion:

pp : P= a: A und hieraus

i. p=-P.

a

Den Normaldruck P kann man den fortgepflanzten Druck nennen, im Gegensätze des unmittelbaren p.

Dasselbe Verhalten wie die Gefäßwände zeigt auch jeder in der Flüssigkeit befindliche Körper, wie ST UV., wobei für s Gleichgewicht nur wieder vorauszusetzen sein wird, daß derselbe gehörige

J) Es kann hier lediglich von einem Normaldrucke (rechtwinkeligem Drucke) gegen die Wandstücke die Rede sein, da nur ein solcher durch den Widerstand der Gefäßwände völlig aufgehoben wird; ein blos theilweises Aufheben müßte Kräfte übrig lassen, die eine neue Wirkung auf die Flüssigkeit und somit Bewegung, nicht aber Gleichgewicht hervorbringen würden.

Festigkeit besitzt, um nicht von dem auf ihn fortgepflanzten Drucke in einen kleineren Raum zusammengedrängt zu werden. Endlich gilt dasselbe auch für jedes Theilchen der Flüssigkeit selbst, indem man beispielsweise blos die Ausdehnungen ST und UV des vorgedachten Körpers klein genug zu denken braucht, um eine Ebene entstehen zu lassen, die man auch als Berührungsfläche von Flüssig-keitstheilchen selbst ansehen, und auf welche man das Vorhergehende unmittelbar an wenden kann.

Anmerkung. Bei Flüssigkeiten, die mehr Cohäsion besitzen als Wasser, und andere, die im Vorstehenden vorausgesetzt wurden, besonders aber bei denen, welche man gewöhnlich mit dem Namen „halbflüssige Körper“ bezeichnet, findet der Satz der gleichförmigen Druckfortpflanzung mehr oder weniger unvollständig statt, wie wir später beim Boden- oder Seitendruck auf Wände besonders kennen lernen werden.

Höchst merkwürdig ist die bei den Vorarbeiten zum Baue der Menai - Röhrenbrücke in England gemachte Beobachtung, nach welcher Gußeisen, als auch andere Metalle, bei sehr hohen Drücken, ähnlich wie Flüssigkeiten, einen gleichen Druck nach jeder Richtung ausüben sollen, in welcher die Bewegung durch Widerstände verhindert wird.

Man sehe deshalb: Clark, The Tubulär Bridges. Vol. I. p. 311.

§• 6.

Nach Gleichung I kann man eine Kraft beliebig verstärken, d. h. mit einem sehr geringen Drucke einen außerordentlich großen erzeugen, wenn man die gegebene Kraft = p gegen einen Kolben vom Querschnitte = a wirken und den erzeugten Druck durch eine Flüssigkeit auf einen zweiten, entsprechend größeren Kolben vom Querschnitte = A fortpflanzen läßt. Daß indeß hierdurch an mechanischer Wirkung Nichts gewonnen wird, werden wir nachher besonders zeigen.

Auf diesem Satze beruht namentlich das Princip einer Maschine, die nach ihrem Erfinder Bramah'sehe Presse >), auch hydrostatische oder hydraulische Presse genannt wird. Das Wesentlichste einer solchen Maschine zeigt Fig. 2 im Verticaldurchschnitte.

Im Allgemeinen besteht dieselbe aus zwei cylindrischen, gewöhnlich mit Wasser oder Oel gefüllten Gefäßen A und B von ungleichen Durchmessern, deren innere Räume durch ein Rohr C so mit einander verbunden sind, daß sie Gefäße bilden, wobei die Flüssigkeit ungehindert aus einem in das andere treten kann, und welche man communicirende Gefäße oder Röhren nennt. In jedem der Cylinder befindet sich ein verschiebbarer (vermöge einer sogenannten Liederung) gehörig dichtender Kolben. Durch eine Oeflf-

²) Joseph Bramah, geb. 1748 (oder 1749) zu Stainsborough in Yorkshire, ursprünglich Kunsttischler, nachher berühmter Mechaniker und Ingenieur in London. Gest, daselbst 1827.

Das Geschichtliche der hydrostatischen oder hydraulichen Presse, begleitet von Abbildungen der ältesten Constructionsformen derselben, hat der Verfasser im 2. Bande seiner Allgem. Maschinenlehre (2. Auflage), S. 359 behandelt.

nung E gelangt das Wasser von unten in den kleinen Cylinder, und der Rücktritt wird durch ein in gedachter Oeffnung angebrachtes Ventil u verhindert. (Ueberhaupt gehört der kleine Kolben einer Druckpumpe an.) Durch das Niederdrücken des kleinen Kolbens wird das Wasser in den großen Cylinder getrieben und veranlaßt den darin befindlichen Kolben zum Aufsteigen. Damit ferner das einmal in den großen Cylinder gelangte Wasser nicht zurückfließen kann, ist bei v ein zweites Ventil (Sperrventil) angebracht. Gewöhnlich läßt man die gegen den kleinen Kolben wirkende Kraft an einem einarmigen Hebel G HI angreifen, dessen Drehpunkt hier bei G liegt.

Um sowohl zu großen Drücken vorzubeugen, welchen die Stärkenverhältnisse der Presse nicht widerstehen, vielmehr ein Zerstören derselben veranlassen könnten, also auch um die Größe des Druckes zu messen, welcher vom kleinen Kolben auf den großen übertragen wird, ist ein Sicherheitsventil x angebracht etc.

Zur Berechnung des auf den großen oder Preßkolben fortgepflanzten Druckes = P, sei p die unmittelbar gegen den kleinen Kolben wirkende Druckkraft, ferner mögen D und d die respec-tiven Durchmesser der Kolben bezeichen. Sodann erhält man

d²it

T ist’ W F==Plÿ

7)2 jr

nach I. §. 5, da hier A = -j- ? «

Ist ferner die am Hebel bei J angreifende Kraft = Je, ferner GH = a, GJ — b gegeben, so folgt p — Je — und nach (1)

(²)p=*4-f-

Hierbei ist jedoch von den stattfindenden Reibungen abgesehen. Läßt man den Widerstand unbeachtet, welcher durch das Anhängen etc. des Wassers an den Gefäßwänden, Durchgehen desselben durch Verengungen und Erweiterungen entsteht, so ist es namentlich die an den Liederungen M und N der beiden Kolben entstehende Reibung, welche in Betracht gezogen werden muß. Die Größe derselben läßt sich folgendermaßen ermitteln. Es mögen H und Ji die Höhen jeder der Liederungen bezeichnen, so daß die Flächen, an welchen die Reibung stattfindet, respective DitH und dtth sind; ferner werde angenommen, daß das Wasser selbst die Liederungen gegen die Kolben preßt. Sodann stelle x den Theil von p dar, welcher wirklich auf die Flüssigkeit übertragen wurde,

so daß der Druck auf die Fläscheneinheit :    , mithin der Druck

auf die Liederung des kleinen Kolbens :    . ditJi = 4cc.—, und auf

/)

die des großen Kolbens:    .Hit/i = 4x — H Bezeichnet nun/"

und

d²Jt

0+‘4)

den Reibungscoefficienten für beide Kolben, so ist der Druck pro Flächeneinheit, welcher fortgepflanzt wird: (3)

A

MIM"

|H|

iSiülir

v

I

,

C'""A

Fig. 2.

r¹

A

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j

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B

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I

n

■

B

'

mithin die Reibung, welche der große Kolben erfährt, indem man letzteren Werth mit fnDH multiplicirt :

4fpitDH

(4)

d² Jt

0+‘/ł)

= 4fk-

J a

DH

(i⁺⁴4)'

Hiernach ist aber der resultirende Druck = P, welcher von der Preßplatte ausgeübt wird:

P=^!?

¥p

DH

<*+⁴-4j

folglich nach gehöriger Zusammenziehung und wenn für p wiederum p = k ~ substituirt :

man

zugleich

i. p=k-^-~

Demnach wird der von einer hydraulischen Presse ausgeübte (Nutz-) Druck um so größer je niedriger die Liederungen der betreffenden Kolben sind¹). Den Reibungscoefficienten / wird man, bei der Unbestimmtheit der Morin sehen Angaben, all er -höchstens zu j- annehmen können.

Unter Annahme des letzteren Werthes wird:

§=0,1 ist,

iL_₀2

D — ’’

zugleich folgt, daß hier die Reibungsverluste immerhin geringer wie bei Schraubenpressen sind²).

Ist w die Weglänge, welche der Angriffspunkt der Kraft k im Sinne ihrer Richtung bei jedem Hube durchläuft, so wird die in derselben Zeit aus dem kleinen Cylinder weggedrückte Wassermenge betragen : ~    Bezeichnet man ferner den entsprechen

den Weg des großen Kolbens (per Hub) mit W, so ist offenbar d²it 1jtD²tc , h • 4 ~w~ >aIso

woraus

wa

II. W =

d²

W ~b ‘ D*'

Verbindet man diese Gleichung mit (2), so folgt endlich

III. PW = kw,

woraus, wie überhaupt bei Maschinen³) hervorgeht, daß ein Gewinn

*) Hieraus erklärt sich der Vortheil der bekannten (Reichenbach - Henschel-schen) Liederung-, welche aus einfachen Lederringen besteht, die in entsprechenden Nuthen des Kolbens Platz finden. Man sehe hierüber u. A. die Allgemeine Maschinenlehre des Verfassers, Band I (Zweite Auflage), Seite 443, Note 1.

²) Man sehe deshalb u. A. des Verfassers „Grundzüge der Mechanik“,

S. 275 ff.

³) „Grundzüge der Mechanik“, S. 174.

an mechanischer Arbeit durch die hydraulische Presse nicht zu bewirken ist.

Wichtig dürfte noch sein aufmerksam zu machen, daß der durch das Sicherheitsventil angegebene Druck nicht der Nutzdruck P, sondern ein größerer ist, welcher nach (3) pr. Flächen-

beträgt, ein Umstand, der bei meh-

0+⁴'-r)

einheit (5) £

reren mir bekannten Versuchen mit der hydraulischen Presse übersehen worden ist. Endlich werde noch erwähnt, daß man nicht gern höhere Drücke als 3 Tonnen engl, (à 2240 ®) pr. Quadratzoll engl, eintreten läßt (Clark’s Britannia-Köhren-Brücke. S. 621).

Beispiel. Wie groß ist der resultirende Druck auf der Preß-platte einer hydraulischen Presse und innerhalb welcher Zeit steigt der Preßkolben auf 1 Centimeter (= 1 cm) Höhe, wenn D — 30 cm, d = 3 cm,

= i; h /= I ist> ferner k =

gramm (zwei Arbeiter), die Hubhöhe wie Geschwindigkeit der Arbeiter = 75 cm pr. Sec. beträgt.

Au fl ö sun g. Zuerst ist nach I : P= 0,786.30000 = 23580 Kilogr. Sodann ist

2.15 = 30 Kilo-

W= ⁷⁵ -A-ïfc“ 0,075cm.

Der Nutzeffekt folglich reichlich 76 Es ist aber ferner die Zeit 21

²i

eines Hubes = -f = 1 Secunde, die Zeit eines Auf- und Abganges

(Doppelhubes) also 2 Secunden und mithin die Zeit = t um die Preß-platte (den grossen Kolben) um 1cm zu heben:

t = _²— = 26,66 Secunden.

0,0 7 5    ⁷

Der Druck auf die Flächeneinheit des Sicherheitsventiles x beträgt nach

= 36,37 Kilogr. pr. Quadrat-Centi-

(5): x =

10    301

meter.

* ‘ 1 ’ 9 /l+4.|.p

Zusatz. Eine eigenthümliche, höchst nützliche Art hydraulischer Pressen bilden die 1846 zuerst von Armstrong construirten und in Anwendung gebrachten sogenannten Accumulatoren (Kraftsammler, Kraftaufspeicher), womit ein künstliches Wassergefälle, eine künstliche Druckwassersäule erzeugt und dadurch sehr bedeutende Gewichte gehoben werden können. Man speichert damit Betriebskräfte für Heb-und andere Arbeits-Maschinen auf, die für intermittirende Bewegungen entsprechend zu verwenden sind*).

Fig. 3 ist die Copie eines Accumulators, welcher bei der steuerfreien Niederlage in Harburg mit großem Erfolge zum Betriebe von hydraulischen Winden und Krahnen²) benutzt wird.

0 Des Verfassers „Allgemeine Maschinenlehre“. Bd. 1, S. 448 (2. Auflage), Bd. 2, S. 338 und Bd. 4, S. 335.

²) Bei den Harburger Accumulatoren haben die Kolben a einen Durchmesser von 10 Zoll englisch (254mm) und 12 Fuß (3,66m) Hub, während die Belastungsgewichte etwa 16000 Kilogr. betragen. Armstrong hielt es für ange-

Hierbei ist a der Cylinder des Accu-mulators und b dessen Kolben, welcher mit einem durch schwere Materialien füllten Behälter C C belastet ist, der sich in gehörigen Führungen seitlich verschiebt, um Schwankungen zu vermeiden. Das erforderliche Speisewasser wird, von einer geeigneten Dampf-Pumpe, im Rohre/ zugeführt und im Rohre g erforderlichen Falles zu den Betriebsmaschinen geleitet. Ein Knaggen m am Accumulator und ein Apparat ni dienen dazu, die Dampfpumpe selbstthätig in Ruhe zu setzen, wenn genug Wasservorrath vorhanden ist, oder auch die gedachte Pumpe wieder selbst-thäti’g in G-ang zu bringen, wenn der Accumulator seinen Niedergang beginnt.

Fi g. 3.

-!

ge-

Specielles über Accumulatoren und deren Verwendung findet sich in nachbemerkten Schriften: Welkner in der Zeitschrift des Hannov. Archit. und Ingen.-Vereins, Jahrg. 1860 (Bd. IV), S. 448; hier werden besonders die Accumulatoren der steuerfreien Niederlage zu Harburg besprochen. W elkner, Ebendaselbst, Jahrg. 1877 (Bd. XII), S. 319 ff. (Seehafen etc. zu Geestemünde). Armstrong f/f/M «Water Pressure Machinery“ in der In-stitution of echanical Engineers. Procee-WÈm dings. 186 Pg. 21 etc. Werner „Die

Cß

imS Armstrong System zur Kraftübertragung Éjp auf unterirdische Wassersäulenmaschinen“. IJP Zeitschrift für Berg-, Hütten- und Salinen-jji wesen im preußischen Staate. Bd. XIV, Éll S. 77. Hieraus in der Zeitschrift des Pli Vereins deutscher Ingenieure, Bd. XI. Endlich Armstrong „The History of the modern Developement of Water Pressure Machinery“ in den „Minutes of Proceedings of the Institution of Civil Engineers“. Vol. L (1877), Pg. 64 ff.

[§• 7.

Mit Hülfe der Differenzialrechnung läßt sich (nach Euler)¹) für das

messen, keine höhere Pressung im Accumulator, als die anzuwenden, welche einer Wassersäule von 1500 Fuß englisch oder von 457,5 Meter, also einem Drucke von circa 45 Atmosphären entspricht.

J) Mémoiren der Berliner Academie der Wissenschaften vom Jahre 1755.

Brandes „Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung flüssiger Körper“. Nach Leonhard Euler’s Abhandlungen in den Neuen Commentarien der Petersburger Academie übersetzt. Leipzig 1806, Seite 32 ff.

Gleichgewicht flüssiger Körper eine allgemeine Gleichung aufstellen, indem man sich mit der analytischen Auflösung folgender Aufgabe beschäftigt:

die

„Wenn irgend eine flüssige Masse der Einwirkung beliebiger a c c eie r i r e n d e r Kräfte unterworfen ist Bedingung anzugeben, unter welcher Gleichgewicht statt findet.“

Hierzu denken wir uns zunächst ein unendlich kleines Element der flüssigen Masse von parallelepipedischer Gestalt, Fig. 4, dessen Lage

durch drei recht-X winkelige Coordina-ten bestimmt ist, während die drei unendlich kleinen Kanten desselben sein mögen: ma = dx, mb = dy, mc = dz.

Fig. 4.

-'■y

\ /n a

Der körperliche Inhalt dieses Elementes wird sodann dargestellt durch dx dy dz, so wie seine Masse dm, wenn y die gleichförmige Dichtigkeit der Flüssigkeit und g die Erdacceleration bezeichnet, durch

y

(1) dm = — dx dy dz.

Wie nun auch immer die accelerirenden Kräfte beschaffen sein mögen, welche in m auf das Flüssigkeitselement wirken, in jedem* Falle wird man sie sämmtlich nach drei auf einander rechtwinkeligen Richtungen parallel den drei Coordinatenachsen TJX, TJY, UZ zerlegen können. Bezeichnen daher X, Y und Z die den drei Achsen parallelen Compo-santensummen der Accelerationen, welche den gegebenen Kräften entsprechen, so hat man

Y

dm X = — dx dy dz . X ;

f dm Z = — dx dy dz . Z.

Jede der vier Größen y, X, Y und Z wird dabei als Funktion der drei Variabeln x, y und 2 betrachtet.

Unter Voraussetzung fortdauernden Gleichgewichts muß aber die Wirkung dieser bewegenden Kräfte durch den Druck aufgehoben werden, welchen das Parallelepiped mf von allen Seiten erleidet. Dieser Druck im Punkte m werde nur durch die Größe p dargestellt, welche gleichfalls Funktion von x, y und z ist und deren totales Differenzial bekanntermaßen ist:

<*>*-(£>+(■f>+G&)

dz.

Dieser unbestimmte Ausdruck kann nun auf nachstehende Weise in einen bestimmten verwandelt werden. Der Druck auf die Flache um a b läßt sich darstellen durch p . dxdy. In Bezug auf die gegenüberliegende Fläche cdef bemerke man, daß der Druck auf die Einheit dieser Fläche um so viel größer (oder kleiner) geworden sein muß, als sich p in Bezug auf z geändert hat, weil beim Uebergange von m nach c die Coordinaten x und y unverändert geblieben sind. Hiernach wird aber der Druck auf cdef darzustellen sein durch dx dy

'+(£)

dz , der resultirende Druck parallel der Achse UZ also

durch :

dx dy dz

\dz J

Soll nun im Sinne der Achse Z keine Bewegung erfolgen, so erhält man mit Bezug auf (2) als Bedingungsgjeichung :

dx dy dz    — dx dy dz . Z, d. i.

(4) m=x-^

dz} g

Wegen des Satzes von der gleichförmigen Druckfortpflanzung etc. wird man die Drücke auf die Einheiten der Flächen mceb und mcda ebenfalls = p annehmen können und überhaupt wie vorher als Gfleich-gewichtsbedingung im Sinne der Achsenrichtungen Y und X erhalten:

Jetzt (4) bis mit (6) in (3) substituirt giebt endlich die gesuchte Bedingungsgleichung zu:

I. dp = — (X dx 4- Y dy -J- Z dz).

9

Die Existenz des Gleichgewichts einer Flüssigkeit hängt also von dem Bestehen dieser Gleichung ab, d. h. es findet Gleichgewicht statt, wenn der rechte Theil integrirbar ist, was immer der Fall sein wird, wenn derselbe ein vollständiges Differenzial einer Funktion dreier unabhängiger Variabein ist*). In der Hydrostatik setzen wir y immer als unabhängig vom Drucke p voraus, also für dieselbe Flüssigkeit constant.

Zusatz 1. An den Stellen, woselbst sich die Flüssigkeit an entsprechend feste Wände lehnt, wird der Druck p offenbar vernichtet. Ueberall da, wo die Flüssigkeit mit Wänden nicht in Berührung ist, an der freien Oberfläche, muß jedoch p für den Gleichgewichtszustand an sich gleich Null sein, weil sonst nichts vorhanden ist, was diesen Druck aufzuheben vermöchte. Dasselbe gilt endlich auch, wenn p

Ł) Die analytische Bedingung der Integrirbarkeit ist bekanntlich :

dy Y dyx    dyZ dyY dyZ

Ä. —

Oder wenn y constant ist:

dyX

dy

dX dY dX

dy dx ’ dz

einen für die ganze Ausdehnung der Oberfläche constanten Druck repräsentirt, Die Gleichung

II. 0 = Xdx -f- Ydy -f- Zdz

ist sonach das Differenzial der Coordinatengleichung der freien Oberfläche der ganzen Flüssigkeit.

Die Gleichung II entspricht überhaupt allen Flächen von gleichem Drucke, folglich auch noch allen Schichten im Innern der Flüssigkeit, in welchen der Druck überall derselbe ist und welche man auch Ni veau schichten nennt. Die betreffenden Flächen unterscheiden sich dabei nur durch die Integralconstante von II, weil zwar der Druck für alle Punkte derselben constant, aber von Schicht zu Schicht veränderlich ist.

Zusatz 2. Aus der Gleichung II läßt sich auch noch der wichtige Satz ableiten, daß die Richtung der Resultirenden der auf eine Flüssigkeit mit freier Oberfläche wirkenden Kräfte auf der Tangente der krummen Linie, die man willkürlich auf der Oberfläche gezogen hat, rechtwinklig steht.

Zusatz 3. Um zugleich eine auch technisch nützliche Anwendung der Gleichung II nachzuweisen, wollen wir die Gestalt der freien Oberfläche des Wassers untersuchen, welches in einem cylindrischen Gefäße

mit kreisförmiger Basis vom Halbmesser = r, Fig. 5, befindlich ist und mit einer constanten Winkelgeschwindigkeit co um eine senkrechte Achse in Umdrehung versetzt wird. Die dabei auf die Flüssigkeit wirkenden Kräfte mögen allein Flieh- und Schwerkraft sein.

Nehmen wir die Achse Z als mit der Schwerkraftsrichtung zusammenfallend und zugleich als Drehachse an und ist q die Entfernung für ein beliebiges Element dm der Flüssigkeit von dieser Achse, so ist die Fliehkraft desselben = dmQCO² und die Composanten jr parallel den Achsen Y und X sind respective dmyto² und dmxco².

Ueberhaupt ist daher in II zu setzen: X = xio², Y = ?/co² und Z = — g, wo g die Erdaccele-

Fig. 5.

'"p~.

a-Y /

>œo)²

Ir*

()C0²

ration bezeichnet, so daß man erhält:

0 = co² (xdx -f- ydy) — gdz, und

hieraus durch Integration:

² = -f^®²+y²) + c = ^ ^ + c>

welches die Coordinatengleichung der Oberfläche eines Rotationspara-boloids ist. Für den Scheitel A ist q = 0 und 2 = AU = H, folglich

Rühlmann’s Hydromechanik.

•2

H — (7una s = — (x² “(“ y²) -f- H, Für die Punkte der größten Erhebung 2#

wird q = r und z — UB = H -f- h, also H -f- h =

r² co²

j- FL und die 2 9 r

V²id²

Tiefe AB des paraboloidischen Trichters h = etc. Von letzterem

Werthe macht man bei der Theorie gewisser horizontaler Wasserräder nützlichen Gebrauch *).

Fig. 6.

Dreht sich das Gefäß (für unseren Zweck die mit Wasser gefüllte Zelle eines Wasserrades) Fig. 6 gleichförmig um eine horizontale, rechtwinklig auf der Bildfläche in A stehende Achse, so läßt sich die Gestalt der betreffenden Niveaufläche wie folgt ermitteln und damit zugleich der Ort bestimmen,

■ wo das Wasser aus den Zellen auszufließen anfängt.

Hierzu sei R der äußere Radhalbmesser und m ein Element der Masse des Zellenwassers, in der Entfernung = q von der Drehachse A. Ferner sei cp der Winkel, welchen der Halbmesser mA mit der als Abszissenachse -j— angenommenen Horizontalen A X bildet. Die Ordinatenachse AZ sei rechtwinklig auf AX,

Unter Beibehaltung der außerdem im vorigen Zusatze angenommenen Bezeichnungen, erhält man dann sofort.* X — qco² cos cp und Z = QCO² sin cp — g, daher aus II für die betreffende Niveaufläche:

0 = qco² dx cos cp -j- QCO² dz sin cp — g dz, d. i., weil q cos cp == AB — x und q sin cp = Bm = z ist, auch 0 = co² xdx -f- c ù²zdz — g dz.

Aus letzterer Gleichung ergiebt sich aber durch Integration IV. x² -f- z² — ~ 2 = Const.

mpœ² sin^

mpo)²\

mpa>²cos cp

bj

b)

mg

ät

\in

-B-

Hiernach bilden, in gegenwärtigem Falle, die Niveauflächen und demgemäß auch die Oberfläche des Wasser in den Zellen (ab,

*) Für ein gründlicheres und ausführlicheres Studium dieses ganzen Gegenstandes verdienen insbesondere empfohlen zu werden : die bereits vorher citirten Eulerschen Abhandlungen in den Neuen Commentarien der Petersburger Academie, wovon Prof. Brandes in Leipzig Uebersetzungen unter dem Seite 14 angegebenen Titel lieferte. Nächstdem ist zum (theoretischen) Studium zu rathen: Decher (Prof, in Augsburg), „Handbuch der rationellen Mechanik“. Vierter Band (Mechanik flüssiger Systeme) S. 10 ff.

aibl, a₂b₂, a₃ &₃ etc.) des Rades Fig. 6, Theile von concentrischen Kreis-cylindern.

Addirt man zu beiden Seiten der Gleichung IV den Werth so ergiebt sich

a² + Q —    y² = -fr + Const-> oder

9*

wenn -|- Const. = a² gesetzt wird:

o²

Dies ist aber nichts anderes als die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunktscoordinaten = Null und zx =    - sind und dessen

Halbmesser a = j/ -)- Const. ist.

y.

= a².

Die Achse der concentrischen Kreiscylinder, welche die Niveauflächen bilden, liegt also parallel der Drehachse des Gefäßes (parallel

der Wasserradwelle) und zwar in der Höhe vertikal darüber.

Letzterer Werth läßt sich auch noch auf nachstehendem, einfachem Wege nachweisen.

Ein beliebiges Element m der Wassermasse unterliegt offenbar der Einwirkung zweier Kräfte, der Schwerkraft m g und der Fliehkraft wîQ(0². Stellt man diese Kräfte beziehungsweise durch die Linien mn und ml dar, so liefert das Parallelogramm Imnp die betreffende Resultirende pm, welche gehörig verlängert, die Vertikale durch A in einem Punkte 0 schneidet. Der Ort von 0 wird aber durch die Proportion bestimmt:

ÄÖ : Am — mü : ml, d. i. durch AÖ : q = mg : wQü)², woraus richtig folgt:

Ä0 = if-

Zur Berechnung der wasserhaltenden Bögen vertikaler Wasserräder wurde letzterer Werth zuerst von Poncelet in Anwendung gebracht und zwar bereits 1832 in dessen (Lithographirtem) Werke: „Cours de mécanique appliquée aux machines“, Sect. Vil Pg. 30. Noch vollständiger behandelte letztgedachte Frage dei* Bergrath und Professor Jenny im Berg- und Hüttenmännischen Jahrbuche der k. k. österr. Montananstalten etc. von 1862 (Bd. XI oder Bd. XIV der ganzen Reihe).

den Zellen beginnt, wenn der Mantel des be-

In Bezug auf die Constante vorstehender Gleichungen IV und V ist hier noch zu erwähnen, daß deren Werth vom Füllungsgrade und der Stellung der Schaufelzellen Fig. 6 abhängt und offenbar der Ausguß des Wassers aus treffenden Kreiscylinders die äußere Kante der correspondirenden Schaufel trifft.

Zum weiteren Studium des theoretischen Theiles der Sache ist

namentlich noch folgendes Werk Vierter Band, §. 25, S. 113—117.

zu empfehlen : D e c h e r a. a. 0.

Zweites Gapitel.

Gleichgewicht und Druck des Wassers in Gefäßen, ivenn auf solches blos die Schwerkraft als wirksam gedacht wird.

. 8.

entferntesten liegende Faser gheitsmoment des Rechtecks in Bezug auf eine Achse bezeichne^ welche in der Ebene der Figur liegt und durch den

Auflösung. Nach §.20 ist das Moment des Wasserdruc

§. 35.

§• 39.

Wir betrachten hier nur zwei der bemerkenswerteste

Das ausgedehnte, nach der Expansion vorhandene Vol

§• 63.

0,2200

(1) dp=— -J- . gdz, d. i.

„ 10,

mi

f (Af+ .m) F2.

Eliminirt man in letzterer Gleichung v mittelst v

¹

)    Thomas Young, geboren zu Milverton (Somersetshire) den 13. Juni 1773; gestorben den 10. Mai 1829 in London.

²

)    Carl Friedrich Gauß, geboren den 30. April 1777 in Braunschweig; gestorben den 23. Februar 1855 in Göttingen.

³

)    Poisson, geboren den 21. Juni 1781 in Pithiviers (Dep. Loiret); gestorben den 25. April 1840 in Paris.

⁴

)    Hagen, geboren den 3. März 1797 in Königsberg (Preussen).

⁵

)    Ausführlichere Literatur über das Kapitel „Capillarität“ liefert namentlich Wülbern in seinem „Lehrbuche der Experimentalphysik“ (Dritte Ausgabe) von §. 74 an unter der Ueberschrift : „Molekularwirkungen zwischen flüssigen und festen Körpern“. Als Ergänzung* hierzu möchte der Verfasser, insbesondere zum Studium für Anfänger, noch auf Jamin’s „Cours de Physique de l’école polytechnique“, Paris 1858, aufmerksam machen, woselbst der Abschnitt „De la Capillarité“ die Treizième Leçon bildet.

. 8.

Wirkt allein die Schwerkraft auf das in einem offenen Gefäße AB CD, Fig. 7, enthaltene Wasser, so entsteht ein vertikal abwärts gerichteter Druck, welcher sich zwar nach allen Seiten hin fortpflanzt, dessen Größe sich jedoch nach besonderen Gesetzen richtet, deren Aufsuchung im Nachstehenden geschehen soll.

Fig. 7.

E\

Ms

Um zunächst ein Maaß für einen solchen Druck zu erhalten, betrachten wir ein in der flüssigen Masse befindliches Theilchen oder Element m und denken uns über dem-D selben eine bis zur Oberfläche oder dem Wässerig Spiegel ÜJF reichende Flüssigkeitssäule (Wasser-1 faden) KJ gleichsam als abgegrenzt. Das an H der Oberfläche befindliche Element a wird nun B durch sein Gewicht auf das zunächst unter ihm m liegende Element b, so wie mittelbar auf alle §§ folgende drücken; für den Druck auf das unter b C liegende Element c vereinigt sich mit dem fortgepflanzten Drucke von a das Gewdcht des Elementes b, u. s. f. für alle abwärts nach m hin liegende Elemente, so daß der Druck, welchen m erfährt, durch das Gewicht der Flüssigkeitssäule KJ gemessen wird.

Der Druck, welchen irgend ein Flüssigkeitsele-ment erfährt, ist sonach um so größer, je tiefer das-selbe unter dem Wasserspiegel FJFliegt, und in einer von letzterem überall gleichweit abstehenden Fläche der flüssigen Masse müssen gleiche Drücke stattfinden.

Hiernach läßt sich nun zeigen, daß für den Zustand des Gleichgewichtes der Wasserspiegel EF eine horizontale Ebene bilden muß. Angenommen, es wäre letzteres nicht der Fall, vielmehr habe die Oberfläche eine aus der Durchschnittsfigur 8 sich ergebende Gestalt, wobei einzelne Theile der Flüssigkeit höher als andere Fig. 8.    liegen. Durch den tiefsten Punkt C denke

T) N man sich eine horizontale Ebene MN geführt, und die darüber bei B und D befindlichen Flüssigkeitsmassen in Wassersäulen ab u. s. w. zerlegt. Jede solcher Wassersäulen übt nun einen nach allen Seiten hin gerichteten Druck aus, der nothwendig eine Bewegung veranlassen muß, wenn die übrigen Flüssigkeits-_____________ elemente nicht einen gleichen Gegendruck

leisten. So lange aber über MN nicht Flüssigkeitssäulen von gleicher Höhe stehen, oder die Oberfläche nicht zu MN parallel, d. i. horizontal ist, kann jener gleiche Gegendruck nicht stattfinden, folglich auch kein Gleichgewicht vorhanden sein.

Hieraus folgt zugleich, daß, für den Zustand des

Gleichgewichtes, die in einer und derselben beliebigen Horizontalschicht der Flüssigkeit stattfindenden Drücke sich gegen einander aufheben müssen.

Alle diese Gesetze sind von der Gefäßform ganz unabhängig und gelten daher auch für sogenannte communicirende Gefäße AB CD, Fig. 9, woselbst man den Satz vom horizontalen Wasserspiegel gewöhnlich so auszudrücken pflegt, daß man sagt: „in Fig. 9.    communicirenden Gefäßen ist

eine und dieselbe Flüssigkeit D nur dann im Gleichgewichte, wenn die Oberflächenspiegel in ^ einerlei Horizontalebene liegen.“ Letzteren Satz beweist man wohl auch so, daß man sich die Wände EEG der Gefäße hinweg und das Gefäß selbst so weit mit Wasser gefüllt vorstellt, daß C MN den Wasserspiegel bildet, der nach dem Vorstehenden horizontal sein muß; hierauf den Theil EFGK der Flüssigkeit wieder fest werden und in der gezeichneten Lage der Figur erhalten läßt, wonach kein Grund vorhanden ist, anzunehmen, es lägen die beiden nunmehro getrennten Spiegel MB und GN nicht mehr in derselben horizontalen Ebene.

Anmerkung. Einigermaßen abgeändert wird letzterer Satz allein in dem Falle, wenn die betreffenden communicirenden Gefäße sehr enge Köhren (Haarröhren, Capillarröhren) bilden, was vom technischen Standpunkte betrachtet oft zu berücksichtigen ist, wenn die Durchmesser der Köhren entsprechend klein sind.

massen wenn

Man sehe hierzu den 5. und 6. Abschnitt im Ersten Theile der Euler-sehen Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung flüssiger Körper, worin zugleich höchst interessante Untersuchungen über die Gestalt der Erde geführt werden.

Eben so ist noch zu bemerken, daß die Oberflächen von Wasserbedeutender Ausdehnung Theile einer Kugelfläche bilden müssen, allein die Schwerkraft auf das Wasser als wirksam gedacht wird.

§. 9.

Bodendruck.

von

Aus dem Vorhergehenden folgt unmittelbar, daß Wasser, welches sich in einem prismatischen Gefäße mit verticaler Achse und horizontalem Boden befindet, gegen letzteren im Zustande des Gleichgewichtes einen Druck ausübt, welcher dem Gewichte des Wassers gleich ist. Denn wenn auch, der gleichförmigen Druckfortpflanzung wegen, gleichzeitig ein Druck auf die Seitenwände des Gefäßes ausgeübt werden muß, so ist dieser doch gleichsam als eine Art Spannung anzusehen, wodurch keine Verminderung des Druckes in verticaler Richtung veranlaßt wird. Der Druck auf den horizontalen Boden eines geraden prismatischen Gefäßes ist folglich dem Gewichte einer Wassersäule gleich, welche diesen Boden zur Grundfläche und dessen Verticalabstand vom Wasserspiegel zur Höhe

hat. Bezeichnet daher A den Flächeninhalt des Bodens, H die Wasserhöhe und y das Gewicht der Cubikeinheit Wasser, so erhält man für den Bodendruck = P

P=y.A.H.

Hierbei ist natürlich vorausgesetzt, daß sich H und A auf dasselbe Längen- und Flächenmaaß beziehen, wie das Cubikmaaß für y. Drückt man daher erstere beiden Größen respective in Metern und Quadratmetern aus, so bezeichnet y das Gewicht eines Cubikmeters Wasser, welches gleich 1000 Kilogramm anzunehmen ist¹). Daher wird

P = 1000 . A . H. Kilogramm.

Der so eben gefundene Satz für den Bodendruck gilt aber auch für jedes beliebige, wie immer gestaltete Gefäß AB CD, Fig. 10 oder Fig. 11, was sich auf folgende Weise darthun läßt. Es sei

EF = H die senkrechte Wasserhöhe, der p Inhalt des Horizontalbodens BC = A. Man denke sich EF in sehr kleine Theile — ft Eb, be, eh etc. getheilt, und durch jeden Ff.¹ der Theilp unkte eine horizontale Ebene, wie ac, df, gi etc. gelegt, so daß man die dadurch gebildeten Körperelemente ohne besonderen Fehler als Prismen an-sehen darf. Die Inhalte der respectiven Grundflächen mögen mit ai₇ a₂y a₃ . . . bezeichnet werden.

Fig. 10.

AG......-JE

&=t=

...H.

9-

(N

Fig. 11.

I)

fff \-------4*—---jXf

Nach dem Vorstehenden wird sodann der Druck = p₁₇ welchen die Fläche aL erfährt, ausgedrückt durch

(1) pv = y .aYEb.

Der Druck = p₂, welchen die Fläche N a₂ erleidet, besteht aber aus dem Gewichte

__der unmittelbar über ihr stehenden Flüs-

K F L C sigkeitssäule acdf und aus dem fortge-flanzten Drucke von pv so daß, wenn letzterer vorerst mit x ezeichnet wird, folgt

M,

cr"T3

(2) p₂ = y . a.₂ be -f- x.

Nach I. §.5 verhält sich aber pY : x = ay : <x₂, woraus sich

x =    und somit ergiebt

ai

p₂ = y . a₂ . be -j- px —: oder, wenn man für pY den Werth aus

av

(1) substituirt,

p2 — V • ^2 • be —j— y . ci₂ . Eb =■ y . ct₂ (be -}— Eb) 5 d. i.

(3) p₂ — y . a₂ < Eê.

¹) Der Temperatureinfluß auf das Gewicht der Cubikeinheit Wasser kann bei gegenwärtigen Betrachtungen außer Acht bleiben.

Gewicht eines

So rechnet man das

englischen

österreichischen

Cubikfußes Wasser = 62,50 & engl.

— 56,38 & Wiener.

Ebenso erhält man für den Druck = p₃ auf die Fläche a₃, wenn der von p₂ fortgepflanzte Druck mit y bezeichnet wird,

(4) p:i = y . a₃ . eh -f- y.

Es ist aber y = p₂ —, oder mit Bezug auf (3) y — y. a₃. Ee, somit aus (4)

= y a₃ (eh -f- Ee) = y Eh.

Auf solche Weise fortgefahren, läßt sich allgemein zeigen, daß der Druck, welchen eine beliebige Horizontalebene MN erfährt, ganz unabhängig von der Gefäßform, dem Gewichte einer Wassersäule gleich ist, welche die gedrückte Fläche zur Basis und den Verticalabstand des Schwerpunktes derselben vom Wasserspiegel zur Hohe hat, so daß man für den Druck = pn = P auf den Boden BC wie vorher erhält

P=y.A. H.

Fig. 12.

\~\E Ebenso kann man darthun, daß vorstehendes r I Gesetz auch auf jeden horizontalen Theil der 8B Seitenwände eines Gefäßes anwendbar ist. So h l ist z. B. der vertical aufwärts gerichtete Druck, L ! welchen die Decke B C des bis zum Punkte jjj E mit Wasser gefüllten Gefäßes ABCED} M Fig. 12, erfährt, dem Gewichte einer Wasser-Jjj säule gleich, welche die Fläche B C zur Basis C ß E unc^ den Verticalabstand EE zur Höhe hat.

| Ja Auf dem Satze vom Drucke gegen horizon-j tale Boden, oder eben solche Wandstücken D und Decken, beruht das Princip des anatomischen Hebers, der Real’sehen Presse, der Wassersäulenmaschinen, Kolbenpumpen etc.

Zusatz. Eine interessante (wenn auch nicht sehr praktische) Anwendung des Satzes vom Bodendrücke des Wassers machte seiner Zeit der französische Ingenieur Girard, indem er bemüht war, diesen Druck zur Vermeidung (?) der Zapfenreibung von (namentlich stehenden) Wellen zu benutzen. Fig. 13 zeigt Girard’s betreffende Anordnung für vertical stehende Turbinenwellen.

Dabei ist a eine unbewegliche Säule, welche oberwärts der hohlen Turbinenwelle b zur Stütze dient, indem in gehöriger Höhe über dem Spiegel des Aufschlagwassers ein sogenannter Kammzapfen angebracht ist¹), c und d sind zwei mit Nuthen (sogenannter Labyrinth - Dichtung) versehene Scheiben, wovon sich die obere c mit der Turbinenwelle b dreht, während die untere d mit dem Fußlagerbocke e ein Ganzes bildet, mit diesem also auch unbeweglich ist.

Durch Zuführung von Druckwasser (bei natürlichem Gefälle, oder besser durch eine besondere Pumpe), welches sich zwischen den beiden Scheiben c und d gehörig verbreiten kann, wollte Girard die metallische Berührung der Oberflächen beider Scheiben c und d völlig vermeiden und folgerecht auch die Reibung beinahe auf Null herabziehen. So sehr diese Anordnung auch in einer der unten ange-I« gebenen französischen Quelle I (Comptes rendus) belobt und eine I große Arbeitsersparniß (durch |L Rechnung, für einen besonderen ! Fall) nachgewiesen wird, so stellen sich dem ganzen Prinzipe und dessen Ausführung doch erhebliche Nachtheile entgegen. Welchen Werth Girard selbst auf die ganze Anordnung legte, dürfte daraus erhellen, daß bei allen Turbinen, wo er den hydraulischen Druck in gedachter Weise verwendete, er dennoch die Oberwasserzapfen (Kammzapfen) nicht für überflüssig hielt.

Fig. 13.

"Ł

__g_Jfg

Tt=,

..

ff

Fl

TI

j?

Näheres über die ganze Sache enthalten folgende Quellen : Comptes rendus (Decbr. 1862) und daraus in der Zeitschrift des Vereins deut-

scher Ingenieure, Jahrg. 1864, in Dr. Grothe’s „Jahresbericht über die Fortschritte der mech. Technik und Technologie“. Dritter Jahrg. (1863 —1864), S. 310. Ferner (mit Abbildungen begleitet) in Lacroix’s „Etudes sur l’exposition de 1867 etc.“ 3. Serie, Fasciculus 11 —15, pg. 149.

sofort dadurch, daß man sich durch die schiefen zum Boden reichende Röhrchen gesteckt denkt, worauf das Wasser nach dem Satze von den communieirenden Röhren (§. 8) in diesen sich eben so hoch stellen wird als im Gefäße AB CD. Der Druck der Flüssigkeitssäulen von der Gefäßwandstelle bis zum Spiegel des Wassers im eingesteckten Rohre, ist bei geschlossener Wand als Re action

Anmerkung 1, Nach diesen allgemeinen Sätzen könnte es auffallend erscheinen, daß der Bodendruck bald kleiner wie in Fig. 10, bald größer wie in Fig. 11 als das Gewicht der im Gefäße überhaupt enthaltenen Flüssigkeit ist; eine einfache Betrachtung giebt indeß hierüber Aufschluß. Bei Fig. 10 wird nämlich das in den Räumen AB G und HCD enthaltene Wasser von den Seitenwänden getragen und hat auf den Bodendruck keinen Einfluß. Bei Fig. 11 dagegen erklärt sich der scheinbare Widerspruch (das hydrostatische Paradoxon), daß der Boden einen größeien Druck auszuhalten hat als das Gewicht des darüber stehenden Wassers

Wände AB und DC bis

von oben nach unten thätig, vergrößert den Bodendruck entspiechend etc. Die letzten möglichen Zweifel fallen später bei der Betrachtung der Drücke auf Seitenwände weg.

Anmerkung 2. In wie weit die sogenannten halbflüssigen Körper vorstehendem Satze vom Bodendrücke völlig flüssiger Körper entsprechen, ist der Natur der Sache nach bis jetzt für manche dieser Körper noch

unentschieden. Der wichtigen Anwendung im Baufache wegen hat man desfallsige Untersuchungen hauptsächlich auf Sand ausgedehnt, wovon wir hier mittheilen, was Hagen¹) angiebt, während wir insbesondere noch auf Navier’s²) Bemerkungen aufmerksam machen.

Hagen’s Hauptsätze sind Folgende: „Der Druck auf dem Boden einer vertical gestellten cylindrischen Röhre ist bei geringen Höhen dem Gewichte der ganzen darüber stehenden Sandmasse gleich. Bei zunehmender Höhe der Sandmasse wächst dieser Druck jedoch in einem geringeren Maaße, wie das bemerkte Gewicht, und zwar wird die relative Vergrößerung desselben immer geringer, bis sie zuletzt ganz auf hört. Sobald man diese Grenze erreicht hat, wird gar keine Zunahme des Druckes noch ferner stattfinden, wie hoch man auch die Aufschüttung fortsetzen und welche andere Belastung man auf dem Sande auch noch anbringen mag.w

[§• 10.]

Mit Hülfe von Gleichung I. §. 7 lassen sich die Ergebnisse der vorigen §§. fast unmittelbar herleiten. Unter den vorher gemachten Voraussetzungen ist nämlich, wenn die Achse der Z als mit der Schwerkraftrichtung zusammenfallend vorausgesetzt wird, ohne Weiteres X = Y = Null, Z — — g und dp — — ydz, folglich p = — yz -f- C.

Zur Bestimmung der Constanten C werde angenommen, daß Q die Pressung auf die Einheit der Oberfläche der Flüssigkeit bezeichne, wofür z = h ist und weshalb folgt :

p — q + r (h —*)•

Es stellt aber h — s den Abstand derjenigen Gleichgewichtsschicht Oberwasserspiegel dar, welche überall pro Flächeneinheit den con-

vom

stanten Druck p erfährt, während Q dem äußeren Drucke auf die flüssige Oberfläche entspricht und welcher bei technischen Fragen meistens der Druck der atmosphärischen Luft ist. Ueberhaupt lehrt der für p gefundene Ausdruck, daß die Pressung in jedem Punkte einer beliebigen Gleichgewichtsschicht von der Tiefe dieses Punktes unter dem Oberwasserspiegel, keineswegs aber von der Gefäßform abhängt.

§• ii.

Zur besseren Hervorhebung der Wichtigkeit vorstehender Sätze für technische Fragen mag hier folgende Aufgabe Platz finden²).

Man soll die Dicke = e des Betonbettes³) einer Baugrube, Fig. 14, unter nachstehenden Voraussetzungen und Umständen berechnen.

>) Hagen, Handbuch der Wasserbaukunst. Erster Theil, 2. Auflage, S. 507. ²) Navier, Mechanik der Baukunst, deutsch von Westphal, §. 268 u. f., bespricht recht ausführlich die Versuche von Belanges, Huber - Burnaud und Moreau.

■■■

An beiden langen Seiten der Baugrube sind Fangdämme aus Béton aufgeführt, welche das Aufschwimmen des ganzen Bodens durch ihr Gewicht verhindern, jedoch einem Bruche in der Mitte des Bettes nicht entgegenwirken.

Auflösung. Es sei h die Druckhöhe des Auflenwassers WW über der Oberfläche ES des Betonbettes, b die Breite des Betonbettes zwischen den Fangdämmen, m die absolute Festigkeit des Betons in Kilogrammen pro Quadratmeter, y das Gewicht eines Cubikmeters Wasser und g = 1,5 . y das Gewicht eines Cubik-meters Béton.

Der Wasserdruck = P auf eine halbe Bodenfläche MN des Betonbettes von 1 m Breite ist: P = y \ b (h -f- e) und das statische Moment desselben, in Bezug auf N₇ wo MO = \ NM= \ b ist,

~ & (h + e) JL = Ą-V{h + e).

Das Gewicht des halben Betonbettes: -y^-, so wie dessen Momente, in Bezug auf N:

» PS

in

Fig. 14.

.....I........

......>-

''S

Endlich ist das Moment der Bruchfestigkeit, wenn man die horizontale Gleichgewichtsachse durch den höchsten Punkt des Querschnittes bei N legt: — . 1 . e².

s

Daher folgt als Gleichgewichtsbedingung :

-y e² = y- (li -j- e) — y- . e₇ und hieraus

— 3 b² (q ‘— Y) -f- ^ V~9 G — >')⁹ “k 96 . yhm 16 m

Nach Hagen ist m — 68256 Kil. pro Quadratmeter zu nehmen. Beispiel. Wie groß muß die Dicke des Betonbettes sein, wenn b = 9m, 1, h = 4“, 7, y = 1000 Kil., q = 1500 Kil. ist?

e = lm,4.

§. 12.

Bei Flüssigkeiten, deren Theile verschiedene Dichten haben und sich nicht mischen, lagern sich diese für den Gleichgewichtszustand im Verhältnis ihrer Dichten über einander, weil eben das Gleichgewicht erfordert; daß die Dichtigkeit gleichzeitig mit dem Drucke in der ganzen Ausdehnung einer Horizontalschicht constant sei. Der Druck gegen Bodenflächen ist in solchem Falle gleich dem Flächeninhalte des Bodens, multiplicirt mit der Summe der Producte aus den verschiedenen Flüssigkeitshöhen und ihren zugehörigen Dichten. Sind daher die Höhen der einzelnen Schichten hu h₂, h₃ ... . hn) ihre Dichten respective y1; y₂, y₃ . . . . Vni un(l der Flächeninhalt des Gefäßbodens = A, so erhält man für den gedachten Druck = P:

F — A (yj hi -f- y₂ h₂ + y# A₃ . . . yn

§• 13.

Befinden sich zwei Flüssigkeiten, welche sich nicht vermischen, in communicirenden Gefäßen, so verhalten sich die Höhen ihrer Oberflächen über der Horizontalebene, in welcher sie sich berühren, wie umgekehrt ihre Dichten.

I

Fi g. 15. D

| In den communicirenden Gefäßen, Fig. 15, sei der Theil A B von der Flüssigkeit mit geringerer Dichte = p und der Theil A C von der j mit größerer Dichte = q eingenommen. Die Horizontalebenen der beiden Oberflächen in B und C mögen eine Verticallinie in D und F und die Horizontale Af wo sich die Flüssigkeiten berühren, eben diese Verticale in E schneiden.

Xe

Sodann erhält man sofort für den Druck der Flüssigkeit AB in A :

p . DE,

und für den Druck der Flüssigkeit A C in A : q . FE.

Für den Gleichgewichtszustand müssen diese beiden Drücke gleich groß, d. i. p . DE= q . FE sein, oder es findet, wie behauptet wurde, die Proportion statt:

DE : FE ==s q : p.

§. 14.

Druck auf die Seitenwände der Gefäße.

Vorerst werde bemerkt, daß es in der Hydrostatik gebräuchlich ist, jeden nicht horizontalen Boden oder jedes solches Stück desselben als Theil der Seitenwand des betreffenden Gefäßes zu betrachten.

In jedem mit Wasser gefüllten, beliebig gestalteten Gefäße erleidet aber ein nach allen Richtungen hin unendlich kleines Stück (Elementarfläche) einer solchen Seitenwand einen Normaldruck, welcher dem Gewichte einer Wassersäule gleich ist, die das gedachte Wandstück zur Basis und dessen Verticalabstand vom Wasserspiegel zur Hohe hat. Denn da der Druck, den irgend ein Wasser-theilchen im Gefäße erfährt, sich eben so gut nach den Seiten, als nach unten fortpflanzt, so ist klar, daß ein Stück der Seitenwand, wie das vorbezeichnete, denselben Druck wie ein eben so großes Stück des Bodens erleiden würde, wenn man für beide einerlei Abstand vom Wasserspiegel voraussetzte.

Bildet das gedachte Wandstück eine krumme Fläche, so ist die Richtung dieses Druckes als rechtwinkelig auf der Tangentialebene desselben anzunehmen..

§. 15.

Für den Normaldruck, den eine ebene, senkrechte oder beliebig geneigte Seitenwand von willkürlicher Ausdehnung erfährt, läßt sich jetzt sehr leicht eine allgemeine Regel finden.

Man theile die ganze Wand in Elementarflächen, setze deren Inhalt alf a₂, a₃, .... an und ihre respectiven Abstände vom Wasserspiegel hly h₂, 7is, . . . . hn. Die Drücke auf diese Elemente sind daher nach vorigem §. : yaji^ ya₂h₂, ya₃A₃, .... yanhn. Die Richtung jedes dieser Drücke steht aber auf der betreffenden ebenen Wand normal, so daß der Gesammtdruck gegen dieselbe aus einem Systeme paralleler Kräfte besteht, deren Mittelkraft = R ihrer algebraischen Summe gleich ist, also

R = y    -f- a₂h₂ + a₃7*₃ . . . anhn).

Die in der Parenthese befindlichen Producte sind aber nichts anderes als die Summe der statischen Momente der Theile alf a₂, as ... . an, wenn man den Wasserspiegel zur Momentenebene annimmt. Bezeichnet man daher die Entfernung des Schwerpunktes der ebenen Wand vom Wasserspiegel mit 2 und den Inhalt der ganzen gedrückten Fläche mit A, so folgt

y Az = y (a,Ä,    -f a₃h₃ . . . anhn)-,

mithin aus (1)

R = y Az.

Der Normaldruck gegen eine beliebige ebene Seitenwand eines Gefäßes ist daher dem Gewichte einer Wassersäule gleich, welche die gedrückte Ebene zur Basis und den Abstand des Schwerpunktes derselben vom Wasserspiegel zur Höhe hat.

Die Schwerpunktsentfernung einer solchen Ebene vom Wasserspiegel nennt man gewöhnlich die Druckhöhe dieser Ebene.

Aus dem Vorstehenden läßt sich zugleich abnehmen, daß der Normaldruck auf eine in die Flüssigkeit untergetauchte Ebene derselbe bleibt, wenn man auch letztere beliebig um ihren Schwerpunkt dreht.

Zusatz 1. Bei technischen Arbeiten und dahin gehörigen mathematischen Entwickelungen ersetzt man sehr oft Gewichte, welche die Intensitäten von Kräften ausdrücken, durch Flüssigkeitssäulen von gleicher Größe des Gewichtes. Ist z. B. in einem besondern Falle die Größe der gegen die Einheit einer Fläche drückenden Kraft = p, so erhält man, wenn x die Druckhöhe der Wassersäule bezeichnet, deren Gewicht das Maaß für jenes p ist,    /

p — y . 1 . x, oder x = —

So wird ein Druck (einer Atmosphäre) von 14,7 Î6 engl, pro □ Zoll

144 . 14,7

engl, durch eine Wassersäule von x =

62,5

= 33,8 Fuß engl.,

ebenso der von 10333 Kilogr. pro Quadratmeter durch eine Wasser-

10333

säule von der Höhe x =

= 10,333 Meter gemessen.

1000

Zusatz 2. Der Normaldruck = R gegen ein vertical gestelltes Rechteck von der Breite b und der Höhe h, dessen obere Seite mit dem horizontalen Wasserspiegel zusammenfällt, ist sonach:

B = ybh.Ą

ybh²    ...    .

——, d. h. bei gleichbleibender Breite ist der Normaldruck dem Quadrate der Höhe proportional.

Zusatz 3. Was die bereits §.9 angeführten halbflüssigen Körper in gegenwärtigem Falle anlangt, so dürfte auch hier nur das wichtig sein, was man bis jetzt beim Sande wahrgenommen hat¹). Insbesondere bemerkt Hagen, daß der horizontale Druck, den eine Sandschüttung gegen eine verticale Wand ausübt, dem Quadrate der Schüttungshöhe proportional ist, vorausgesetzt, daß die Oberfläche ganz wagrecht abgeglichen ist und daß die Wand, welche den fraglichen Druck erfährt, bis zu dieser Oberfläche heraufreicht. Unter Beibehaltung der Bezeichnungen des vorigen Zusatzes setzt daher Hagen diesen Druck

R — A ■— bh%

y das Gewicht der Cubikeinheit des Sandes und A eine von der Natur des letztem abhängige Constante bezeichnet.

Hagen ermittelt insbesondere die Reibung einer Sandschüttung gegen einen Cylinder, der überall von ihr umgeben wird. Bezeichnet dabei / den Reibungscoefficienten zwischen Sand und Cylinder, ferner r den Radius der kreisförmigen Basis des letztem, so ist zuerst b = 2nt und die Reibung

wenn

f.R=fA. yr%ti\

Für eisenhaltigen Streusand, und wenn der bemerkte Cylinder ein gläserner war, fand Hagen y = 2,82 Loth, fA = 0,12, wenn der rhein-

x) Hagen, Wasserbaukunde, Bd. 1, S. 506 und Navier, Mechanik der Baukunst §. 269.

ländische Zoll als Maaßeinheit angenommen wurde. Für feines Schrot, wo y = 8,245 eben so fA = 0,135 etc.

§. 16.

Der Satz des vorigen §. kann auch benutzt werden, um den Druck auf die gesammte Seitenfläche eines Gefäßes, d. h. auf alle Dreiecke, Parallelogramme u. s. w,, woraus dieselbe besteht, zu berechnen. Sieht man die Größe der Wandstücken wieder als Gewichte an, die in parallelen, gegen den Wasserspiegel rechtwinkeligen Richtungen wirken müssen, so läßt sich, ähnlich wie vorher, zeigen, daß der Druck, den sämmtliche Seiten wände erfahren, dem Gewichte eines Wasserkörpers gleich ist, welcher aus der Summe der Inhalte dieser Flächen multiplicirt mit dem Abstande des Schwerpunktes des ganzen Systèmes vom Wasserspiegel besteht. Zu beachten ist jedoch hierbei, daß hier der Gesammtdruck nicht, wie im vorigen §., als Mittelkraft, sondern als der Inbegriff der Normaldrücke zu betrachten ist, welche jede der Flächen für sich allein erfährt. In diesem Sinne läßt sich bemerkte Regel auch auf den Gesammtdruck anwenden, den irgend eine krumme Seitenfläche erleidet, d. h. man muß diesen Druck als den Inbegriff der Normaldrücke ansehen, wovon jeder senkrecht auf der Ebene steht, welche als Berührende für jede der Elementarflächen gedacht werden kann.

Anmerkung. Die Frage, in wiefern sich zu diesen einzelnen Normaldrücken eine Mittelkraft angeben läßt, ob eine einzige solche in allen Fällen ausreicht, und wo der Angriffspunkt liegt, bleibt später folgenden Betrachtungen überlassen.

§. 17.

Zur Erläuterung und Anwendung der Sätze vorstehender Paragraphen mögen hier einige Aufgaben folgen.

Fi g. 16.

Aufgabe 1. Es ist der Normaldruck des Wassers gegen ein Trapez AB CD, Fig. 16, zu bestimmen, welches sich in einer gegen den W asserspiegel WWoàev dem Horizonte unter einem Win-'■®kel = a geneigten Ebene befindet, und dessen parallele Seiten AD und BC horizontal sind. Die oberste Seite BC liege unter dem Wasserspiegel in einer verti-calen Tiefe EG = h, ferner sei AD — a, BC —b, und der rechtwinkelige Abstand letzterer beiden Seiten EF = c.

Auflösung. Wir finden zuerst die Druckhöhe des Trapezes und nehmen deßhalb, an daß sich der Schwerpunkt derselben in S befinde. Nach §. 73 der Geostatik des Verfassers (Dritte Auflage) ist sodann

Bfb

E\

c\

W_

ES-t •-£££.

und daher der Verticalabstand ST des Punktes S, von einer durch die oberste Seite BC parallel zum Wasserspiegel gelegten Ebene,

ST = 4-. J.a_±±

3    a —}— b

Für die Druckhöhe — EG + ST = z erhält man sonach

‘-» + T--T#

Es ist aber der Flächeninhalt des Trapezes = -Î- (a -f- 6), folglich der gesuchte Normaldruck = P nach §. 15

2a + b a-\-b

. sin a.

sin a,

P=Y-^-(a+b) (h + -L.

I. P — j 3 (a -f- b) h -f- c (2a -|- b) sin a j.

Liegt die größere Seite AD des Trapezes dem Wasserspiegel gekehrt, so erhält man auf gleichem Wege:

sin a

oder

zu

ll. P = J 3 (a -f- b) h -\- c (a -j- 26) sin a j.

Zusatz 1. Für ein Rechteck ist unter sonst gleichen Umständen, wegen a = 6,

P = yac (6 -f- y c . sin a).

und wenn dessen obere Seite mit dem Wasserspiegel zusammenfällt, also h = 0 ist:

P = y yac* . sin a.

Im Falle die gedrückte Fläche ein Dreieck ist, hat man b oder a gleich Null zu setzen, je nachdem die Spitze nach oben oder unten gekehrt ist.

§• 18.

Aufgabe 2. Es ist die Kraft zu bestimmen, womit die Riegelhölzer bei Schleusen - Stemmthoren zusammengedrückt werden, so wie anzugeben, wie betreffende Dimensionen berechnet werden können.

Auflösung. Es sei Fig. 17 Grundriß und Fig. 18 Aufriß eines Theiles vom soge-\ nannten Oberhaupte einer Schleuse, wobei

_i man das geschlossene Stemmthor, Drempel

I ! (Schlagschwelle), die Umläufe (Kanäle) etc. für gegenwärtigen Zweck hinlänglich erkennen wird. Die lichte Weite AB der Thoröffnung sei = w, die Pfeilhöhe DC= e, so daß das Ver-

hältniß-^j (im Mittel }), ferner / D A C— cp

(gegen 20°) und endlich die Thorflügellängen AC = B C =1 als ebenfalls bekannt anzunehmen sind. Die Entfernung zweier Riegel eines jeden Thores sei, von Mitte zu Mitte derselben gemessen = b und die entsprechende Wasserdruckhöhe = Ji.

Die Normalpressung •= P des Wassers

Fig. 17.

ISS

II

n

Hl

s\

■K

gegen den Theil eines Thores, welcher zwischen zwei Riegelmitten liegt, ist folglich

Fig. 18. 0 B

d) P-îK.A-yM.^.

Wir ersetzen ferner den zweiten Thorflügel durch einen Gegendruck = 8 und bestimmen dessen Größe durch die Momentengleichung : S.AK^P.AM, d. i.

S . I sin (p = P .

und

2 ⁷

2 sin (p ’

WSSm

)bh 4    * sin <p *

P Die Kraft CF — K, womit der I Riegel zusammengedrückt wird, ist | folglich

____

L Z=Scos'P=2^

Wegen der Composante CE von S, welche in C rechtwinklig auf der Thorebene steht und deren

Größe CE — S . sin (p = ~ ist, verhält sich die Thorhälfte MC

in Betracht von Kräften, welche dieselbe zu biegen sich bestreben, gerade so, als wenn der Flügel in der Mitte M eingemauert (fest-

P

gehalten) würde, am Ende C die Normalkraft — wirke und über

die Länge MC ein Gewicht — gleichförmig verbreitet wäre. Das größte statistische Moment dieser beiden Normalkräfte in Bezug

auf M ist aber: - -f . ^ + 4 • W = + 4 •    IT Be'

zeichnet daher p das Tragvermögen des Riegels auf die Flächeneinheit bezogen, und bildet er im Querschnitte ein Rechteck von der Höhe a und Dicke c vom Inhalt A — a c, so folgt :

P . U_ PI¹)

2Atgq> "F T '

man

J) Nach V., §. 116 der Geostatik (Dritte Auflage) des Verfassers, erhält die Zusammendrückung einer Faser pro Längeneinheit durch einen Druck

oder Zug Q in der Achsenrichtung zu:

Eben so auch, nach I., §. 126

P. A *

(derselben Quelle), für die größte durch Biegung veranlaßte Verlängerung einer

Faser: jjj—ÿ. if, wobei E den Elasticitätsmodul und M das Maximalmoment der biegenden Kräfte bezeichnet.

Daher die Ausdehnung (oder Zusammendrückung) zufolge der combinirten Kraftwirkung :

. ilf, oder

¹

) Allgemeine Maschinenlehre, Bd. 1, S. 400 (Zweite Auflage).

²

)    Mary, De l’emploi du Beton, Annales des Ponts et Chaussées, 1832, 2. Serie, pag. 66 und 97 etc. Nach diesem: Hagen, Handbuch der Wasserbaukunst. Theil I, S. 802.

³

)    Béton ist ein Gemenge von hydraulischem Mörtel mit Steinen (von höchstens 50 Millimeter Durchmesser) ungefähr in dem Verhältnisse von 1 : 1 in Maaßtheilen. Man sehe Hagen a. a. O. S. 788.

entferntesten liegende Faser gheitsmoment des Rechtecks in Bezug auf eine Achse bezeichne^ welche in der Ebene der Figur liegt und durch den

wo U die von der neutralen Achse am und T das Trä

Schwerpunkt derselben geht. Hiernach also U — T—^ac3 und somit ist:

II.

*1L.

⁴ ac²

sehen.

2ac,tgq>

Hierbei ist von dem eigenen Gewichte des Thores noch abge

Zusatz 1. Führt man in (II) den Werth von P aus (1) und l

——— ein, so folgt:

2 cos cp

Y bhw

L_L_ + 3 JL _l—l 4 ac ( sin cp 1    4 c cos cp ² >

Letzterer Werth wird aber in Bezug auf (p eine Eminenzie, wenn man (p aus der Gleichung berechnet:

III. sin (p⁴ — 2m . sin cp³ — 2 sin (p²    1 = 0, wo m =    ist

und woraus man den vortheilhaften Winkel q) entnehmen kann.

Beispiel. Setzt man mit Hagen (Wasserbauk. II. Theil. Bd. 3, S. 95 und 106) c = 13 Zoll, w = 30 Fuß, so ergiebt sich aus III die Wurzel: -J- 0,254 oder (p nahe zu 18 Grad.

Zusatz 2. Barlow findet nach sehr unklarem Entwickelungsgange unter allen Umständen (Transactions of the Institution of Civil Engineers. Vol. I. p. 72) zur Bestimmung von cp die Gleichung

tg <f³ + Tö *89

= -i

welche q) = 19° 25' giebt.

Woltmann in seinem Werke: „Beiträge zur Schiffbarmachung der Flüsse“ findet S. 232, nach höchst sonderbarer Herleitungsweise zur Bestimmung von q) die Gleichung

——- = Maxim., sec. cp⁴

cp = 190 28'.

Belidor in seiner hydraulischen Architektur (2. Theil, §. 164) gab bereits viel früher q» = 22L Grad an.

sec. cp² cosec, cp

woraus

§. 19.

Druck des Wassers nach bestimmten Richtungen.

Bei technischen Untersuchungen wird es sehr oft nöthig, den Druck anzugeben, welchen das Wasser gegen Gefäßwände nach

P — A T * ^

worin p das Tragvermögen bezeichnet und die übrigen Größen oben im Texte angegeben sind.

Rühlmann’s Hydromechanik.

einer vorgeschriebenen Richtung, die von der des Normaldruckes verschieden ist, ausübt. Nachstehendes sei zur Herleitung der hierbei stattfindenden Gesetze bestimmt.

Ist AB, Fig. 19, ein nach allen Seiten unendlich kleines Stück einer Gefäßwand,

AG

hin

Fig. 19.

B.

an-

so kann man die Richtungen des Druckes auf dasselbe, gleichgültig, ob solches eben oder krumm, als unter einander parallel E-M. jp nehmen, so daß die ihnen zugehörige Mittelkraft der Summe der Drücke auf die einzelnen Punkte desselben Elementes gleich ist. Es sei nun C der Angriffspunkt, CD Richtung und Große dieser Mittelkraft, und man soll angeben, wie stark AB nach einer von CD verschiedenen Richtung, z. B. der CE, die mit ersterer den Winkel DCE — a einschließt, gedrückt wird. Zu diesem Ende zerlege man CD in zwei Seitenkräfte CH und CK, wovon erstere mit CE zusammenfällt, letztere auf CE rechtwinklig steht. Da nun sodann CK in der bezeichneten Richtung keine Wirkung äußern kann, so muß CH den gesuchten Druck darstellen. Setzt man daher den Inhalt des Elementes AB — a, die zugehörige Druckhöhe = h, so ist der Normaldruck CD — y . all, und der Druck nach der Richtung CE — CH = CD cos a = y a/i . cos a. (1).

Denkt man sich jetzt AB als Durchschnittslinie der Ebene, in welcher der Winkel DCE liegt, mit der Elementarfläche und führt durch die genannte Ebene eine zweite auf CE und somit auch auf der DCE rechtwinklig stehende Ebene, so wird, wenn GM die Durchschnittslinie letzterer beiden Ebenen ist, CGM der Neigungswinkel sein, welchen das Wandelement mit der Ebene G HM bildet. Denkt man sich ferner das Element AB auf die Ebene G HM projicirt, so stellt nach Sätzen der Geometrie a cos £ CGM, oder (da £ C G M ==    DCE = a sein muß)

a cos a die gedachte Projection dar. Demnach erhält man aus (1), wenn a cos a = f gesetzt wird, für den Druck = p nach der Richtung EC:

p — r •/*•

Es ist also der Druck des Wassers nach irgend einer Richtung gegen eine beliebige Elementarfläche gleich dem Normaldrucke gegen die rechtwinklig zur bezeichneten Richtung genommene Projection der Elementarfläche, wenn für beide Falle einerlei Druckhöhe vorausgesetzt wird. Ueberhaupt ergiebt sich aber der wichtige Satz:

Der Druck, welchen ein beliebiges Element einer Gefäßwand nach irgend einer bestimmten Richtung erfährt, wird stets erhalten, wenn man die Projection dieses Elementes auf eine Ebene sucht, welche"rechtwinklig auf der bezeichneten Richtung steht, und die Fläche der Projection mit der Druckhöhe multip licirt, die der gedrückten Fläche zukommt.

Zusatz 1. Unanwendbar könnte dieser Satz auf den Druck erscheinen, den irgend eine krumme Fläche von willkürlicher Größe nach einer bestimmten Richtung erfährt, indem hier die Normaldrücke auf die Elemente der krummen Fläche nicht, wie bei ebenen Flächen, unter einander parallel gerichtet sind.

Um hierüber Aufschluß zu erhalten, bestimmen wir den Normaldruck auf jedes Element der krummen Fläche und zerlegen jeden solchen (nach §.65 Geostatik) in drei Seitenkräfte, die respective dreien rechtwinkligen Coordinatenachsen parallel sind, und worauf sich die zugehörigen Resultirenden, im Allgemeinen zwei, werden finden lassen. Allein für unseren Fall, wo der Druck nur nach einer vorgeschriebenen Richtung angegeben werden soll, braucht der letztere Theil der bemerkten Arbeit nicht vorgenommen zu werden, wenn man nur eine der drei Coordinatenachsen in die bezeichnete Richtung legt. Hat man z. B. die Achse der Z, die auf der Ebene XY rechtwinklig steht, in der vorgeschriebenen Druckrichtung angenommen, so wird nur nöthig sein, den Normaldruck auf jedes Element mit dem Cosinus des Winkels zu multipliciren, den die Richtung jenes Druckes mit der Achse der Z, oder, was dasselbe ist, den die Berührungsebene für ein solches Element mit der Ebene XY macht. Die Producte dieser Elemente in die respectiven Cosinus sind sodann nichts Anderes, als die Projectionen der Elemente auf die Ebene XY, Legt man daher diesen Projectionen, wie es §. 15 geschah, Gewichte bei, so läßt sich auf dem an gedachtem Orte gewählten Wege auch hier überhaupt zeigen,

daß der Druck nach einer bestimmten Richtung gegen eine krumme Fläche gleich dem Gewichte einer Wassersäule ist, welche die rechtwinklig zur bezeichneten Richtung genommene Pr ojection der krummen Fläche zur Basis und die Druckhöhe der krummen Fläche zur Höhe hat.

Zusatz 2. Hiernach läßt sich ohne Weiteres der Druck angeben, welchen in verticaler Richtung die (krummen) Mantelflächen eines Kegels und einer Halbkugel erfahren, wenn solche ganz mit Wasser gefüllt sind, und wenn r den Halbmesser der kreisförmigen Kegelbasis so wie der Kugel und h die Höhe des Kegels bezeichnet.

Die Projection der gedrückten Flächen rechtwinklig gegen die Verticale ist = r²jt, die Druckhöhe für den Kegel = h, wenn dessen Spitze nach oben gekehrt ist und die Druckhöhe für die Halbkugel = i r, wenn vorausgesetzt wird, daß deren größter Kreis mit dem Wasserspiegel zusammenfällt. Sonach der anzugebende Druck

für den Kegel: yr²Jt .-§-ä = |-yjtr²Ä ; für die Halbkugel: yr²jt ,|r = | yrrtr³.

Zugleich lösen sich hierbei die letzten Zweifel (Anmerkung 1, §.9) über Bodendrücke (das sogenannte hydrostatische Paradoxon). So ist z. B. der Bodendruck bei dem so eben betrachteten Kegel: yr²nh. Wegen der festen Verbindung des Mantels mit diesem Boden und weil der Druck auf den Mantel nach verticaler Richtung aufwärts, der Bodendruck aber abwärts gerichtet ist, ergiebt sich sonach ein resultirender Druck nach unten:

3*

[yr²jt^ — I yjtr²Ä] = ■— itr²h,

d. h. wie ganz richtig, eine Kraft, welche gleich dem Gewichte des im Kegel befindlichen Wassers ist.

§. 20.

Aufgabe 1. Man soll die obere oder Kronenbreite eines aus Erde aufgeführten Deichdammes unter der Voraussetzung berechnen, daß derselbe vom Wasserdrücke nicht auf seiner Grund fl äche AD fortgeschoben werden kann.

Auflösung. Es sei AB CD, Fig. 20, das wenigstens der Form nach festgestellte Dammprofil, seine Höhe BE = CF—h,

Fig. 20.

W B æ

====

HH

mh

nh

die äußere Böschung AD habe eine m (wenigstens dreifache, die innere CD eine n (wenigstens zweifache Anlage, so daß AE — mh, FD — nh ist, die Dammlänge sei = l. Das Gewicht der Cubik-einheit Erdmasse werde mit q und der Reibungscoefficient zwischen Dammkörper und dessen Grundfläche mit / bezeichnet.

Für den Zustand des Gleichgewichts wird letztere Reibung dem Horizontaldrucke des Wassers das Gleichgewicht zu halten haben. Beachtet man hierzu, daß der die Reibung erzeugende Druck aus dem Gewichte des Dammkörpers besteht, diesen vermehrt um den Verticaldruck des Wassers und setzt die Kronenbreite BC=x₇ so erhält man ohne Weiteres:

i yhH = fqhl [® + 4 (m + ”)]

In vielen Fällen wird man indeß annehmen müssen, daß der Dammkörper nach und nach ganz vom Wasser durchdrungen wird, so daß statt obigem Dammgewichte ein anderes nämlich

(q—y) hl jjr -f- -y (m -J- n) h in Rechnung zu bringen, der Verticaldruck \ymh²l des Wassers aber ganz wegzulassen sein wird, indem diesen das Grundwasser des Bodens im Gleichgewichte hält. Nimmt man überdies, der Sicherheit wegen, das 1\ fache des Horizontaldruckes in Rechnung, so folgt endlich:

ï Y** =/ {.1 — Y) ß» + \ O -f «)J

h₇ woraus sich ergibt:

3 yh

~ (m -j- n).

⁴/G-y)

Praktische Anforderungen verlangen gewöhnlich x noch größer zu nehmen, als diese Formel giebt.

§. 21.

Aufgabe 2. Man soll die erforderliche Stärke cylindrischer Röhren angeben, damit dieselben einem bestimmten Flüssigkeitsdrucke widerstehen können.

Fig. 21. t A

Auflösung. Als entsprechende Vorbereitung zur Lösung dieser Aufgabe untersuchen wir zuerst, welche Spannung = t in zwei auf einander folgende Seiten AB und AD eines elastischen Polygons, Fig. 20, hervorgerufen wird, wenn man gegen den Winkelpunkt A dieser Seiten ein Normaldruck = p ausübt. Hierzu sei A 0 = q der Krümmungshalbmesser des sehr kleinen Bogens BD, zu dessen Endpunkten AB und AD Tangenten sind, ferner £ BOD = (p.

Zufolge §. 39, Gleichung V. der Geostatik des Verfassers, hat man zunächst:

Ó    p = 2t cos \ (180 — cp) =2tsin|(p.

Wegen Kleinheit von (p ist der Sinus mit dem Bogen zu verwechseln, so daß folgt: p = t.ip. Bezeichnet ferner s die Länge des Bogens BD,

-----

\!/

so ist s Einheit annimmt:

t • s

= Qcp und folglich p = —

oder wenn man s = der

(1) p — —, i) oder

t =jpq.

Da man sich die unendlich kleinen Polygonseiten mit dem unendlich kleinen Bogen des Radius q zusammenfallend vorstellen kann, so folgt aus (1) auch, daß man die Achsenspannung in einem beliebigen Punkte einer eben en C urve findet, den daselbst stattfindenden Normaldruck mit dem Krümmungshalbmesser für diesen Punkt multiplicirt.

Bildet die Curve einen Kreisbogen, so bezeichnet q den Radius, womit derselbe beschrieben ist und daher q eine Constante. Ist ferner die Curve eine geschlossene und bildet sie überdies den Querschnittsumfang einer Röhre, deren Querschnitt ein Kreis vom Radius = r ist, so stellt

wenn man

(2) t = pr

die Spannung in der Peripherie der Röhrenquerschnitte unter der Voraussetzung dar, daß p der überall gleiche Druck auf die Flächeneinheit der Röhre ist.

Um die Spannung der Röhrenwand in der Richtung der Seiten einer cylindrischen Röhre zu erhalten, denken wir uns dieselbe beiden Enden geschlossen, so daß diese Endflächen eine Pres-erfahren. Sodann erleidet aber die Einheit vom

an

sung = pr²tt

²) Ein bereits von d’Alembert aufgefundenes Gesetz. Traité des Fluides

§. 4 p. 4.

Umfang der Röhren eine Achsenspannung = t, welche gleich sein muß

pr² it

pr

2 nt

Aus (2) und (3) folgt nun der bemerkenswerthe Satz, daß bei einer Röhre mit kreisförmigem Quer s chnitte, welche von einer Flüssigkeit einen überall gleichen Druck erfährt, die Spannung in der Seitenrichtung, parallel der Röhrenachse, nur halb so so groß ist wie die Spannung in der Richtung der Querschnitte.

Werden daher die Wandstücke einer Röhre so genommen daß Längenrisse nicht eintreten können, so ist dieselbe noch mehr gegen Zerstörungen in der Richtung der Querschnitte gesichert.

Unter diesen Voraussetzungen berechnen wir die Wandstärke = x einer Röhre von kreisförmigem Querschnitte, wenn r der innere Radius derselben ist und die Flüssigkeit, welche gegen die Röhre drückt, dieselbe füllt, die Druckkraft also von Innen nach Außen gerichtet ist.

Fig. 22.

kxl \A

P = y . AB .l.H, oder weil AB = 2r sin a ist,

(4) P=2yrlH. sina.

Diesem Drucke entgegen wirken die zur Richtung von P parallelen Composanten mF und nG von kxl, während sich die zu P rechtwinkligen mH und nl wechselseitig vernichten. Es

Ein beliebiges Stück der Röhrenwand von der Länge = l und dem zugehörigen Centriwinkel D CE = E j 2a, Fig. 22, lasse zuerst dergleichen r Längenrisse bei D und E erwarten, wobei die Flächen x . I bei AD und B E mit einer Kraft kxl rechter / 7 winklig gegen AD und BE wider-^ stehen, wenn k das sogenannte Tragvermögen, Zugspannung (II, §. 116 Geostatik) des vorhandenen Röhrenmaterials pro Flächeneinheit bezeichnet. Der Druck P nach der bestimmten Richtung CK rechtwinklig auf die Sehne des Bogens AKB ist ferner, wenn H die Druckhöhe der Flüssigkeit über der betreffenden Stelle bezeichnet,

ist aber

mF-f- nG = 2 kxl . sin a, woraus für’s Gleichgewicht mit (4) verglichen folgt: 2 kxl sin a = 2 yrl . H sin a, d. i.

Ą- r . H, oder wenn 2r = D eingeführt wird

i. . =

Hieraus folgt zugleich, daß große und kleine Stücke der Röhre

mit gleicher Wahrscheinlichkeit von der drückenden Flüssigkeit herausgetrieben werden können, da in I. weder a noch l enthalten ist.

Bezeichnet p den inneren Druck pro Flächeneinheit der Röhre undp₀ eben so den äußeren Druck, so läßt sich auch setzen, indem man jetzt annimmt, der Riß der Röhre theilt dieselbe genau in zwei Hälften:

(2rl) (p — p₀) = lc (2lx), d. i.

Je

II.

Um vorstehende Ausdrücke für die Praxis möglichst brauchbar zu machen, sind an denselben entsprechende Correctionen anzubringen. Vorerst ist klar, daß sie nicht eine solche Form behalten können, wo für H = 0 oder für p = p₀ auch x — 0 wird, da wegen der eigenen Stabilität der Röhre, selbst wenn kein Druck stattfindet, ferner bei gegossenen Röhren, wenn der Guß überhaupt noch möglich sein soll, immerhin eine gewisse Wanddicke vorhanden sein muß. Sodann wird es auch sicherer sein, den für gleiches

Material und dieselbe Flüssigkeit eonstanten Factor ■— (in I) durch

directe Versuche zu ermitteln. Bezeichnet daher c die kleinste Dicke, welche man einer Rohre überhaupt noch geben darf, und

wird = jLt gesetzt, so folgt aus I.

III. x = fi. DH -f- c.

Nach D’Aubuisson¹) ist für gußeiserne Röhren und Metermaße ja = 0,00015, c = 0,w01, folglich für dieses Material * = 0,™00015 DH + 0,w01.

Empfehlenswerth sind die für \i und c aus Erfahrung entnommenen Werthe Genieys²). Derselbe führt in III. statt H die Anzahl der Atmosphären = n ein, die dem jedesmaligen Drucke (Ueberdrucke) entsprechen, jede derselben zu 10 Meter Druckhöhe gerechnet, und sodann, alle Maaße in Metern ausgedrückt, für bleierne Röhren x = 0,005 nD -[- 0,0045,

„ gußeiserne „ x = 0,0007 nD -f- 0,01, n Röhren von Eisenblech x = 0,0005 nD -|- 0,003,

„    „    „    natürlichem Gestein x = 0,05 nD,

v) »    »    künstlichem „ (Cernent) x = 0,1 nD,

„ hölzerne Röhren x = 0,833 nD 0,027.

D’Aubuisson wie Genieys rathen übrigens, um recht sicher zu gehen, alle Röhren auf 100 Meter Druckhöhe zu prüfen, wonach in die Formel des ersteren H = 100, in die Formeln des letzteren n = 10 gesetzt werden müßte.

Nach Redtenbacher³) lassen sich die Wanddicken der x) Traité d’hydraulique; 2. éd. Paris 1840, p. 252.

²)    Essai sur les moyens de conduire, d’élever et de distribuer les eaux Paris 1829, p. 177.

³)    Resultate für den Maschinenbau. Sechste erweiterte Auflage von Dr. Grashof herausgegeben. Heidelberg 1875, Seite 76.

Röhren, wenn dieselben mit Sicherheit zu widerstehen im Stande sein sollen, aus nachstehenden Formeln berechnen, wenn 8 die Wanddicke in Centimetern, d den inneren Durchmesser ebenfalls in Centimetern und n den in Atmosphären dargestellten inneren Druck bezeichnet:

8 = 0,00125 (n — 1) d + 0,3 8 = 0,004 (n - 1) d + 0,5 (w - 1) d -f 0,1 n — 1) d -j- 0,1 n — 1) d -f- 0,1

Eisenblech Gußeisen

Künstlicher Stein 8 = 0,054 (n — 1) d-f- 4,0 In Frankreich wurde 1843 vorgeschrieben, die Eisenblechstärken von Dampfkesseln nach der Formel zu berechnen:¹)

IV. 8 = 1,8 . d (n - 1) + 3,

worin d den Durchmesser des cylindrischen Kessels in Metern, n die Dampfspannung im Innern des Kessels in Atmosphären und 8 die Blechdicke in Millimetern bezeichnet.

Diese französische Formel diente lange Zeit in fast allen Ländern zur gesetzlichen Bestimmung der Wanddicken von aus Eisenblech hergestellten Dampfkesseln, unter der Voraussetzung, daß diese nur Drücken von Innen nach Außen (inneren Ueberdruck) "Widerstand zu leisten haben und wird noch gegenwärtig vielfach benutzt²).

Zusatz 1. Der Ausdruck I soll zuerst von Mariotte aufgestellt worden sein und ist man dabei von der (falschen) Voraussetzung ausgegangen, daß der Widerstand gegen Trennung in allen Punkten der Röhrenwand stets gleich groß sei, sie mögen näher oder entfernter der äußeren Oberfläche liegen. Dies ist auch der Grund, weshalb sich diese Formel nur dann für die Praxis brauchbar gezeigt hat, wenn die Wanddicke verhältnißmäßig gering ist, weil nur in diesem Falle die

0 Annales des Ponts et Chaussées, 1843, I, Pg. 372.

²) Im Almanach für die k. k. österreichische Kriegsmarine für 1878 wird S. 45 unter der Ueberschrift „Formeln für die Construction der Schiffsdampfkessel“ bemerkt, daß die Kesselwandstärke für cylindris che, aus Eisenblech herzustellende Kessel zu berechnen sei aus:

8 = - d . ~ç -f- 0,3.

Hierin bezeichnet 8 die Kesselwanddicke in Centimetern, d den inneren Kesseldurchmesser ebenfalls in Centimetern, p die größte beabsichtigte Dampfspannung (Ueberdruck) in Kilogrammen pro Quadrat - Centimeter und h einen Coefficienten, der für gewöhnliche Fälle = 700, für vom Feuer bestrichene Wände = 350 ist. In der Zeitschrift des Verbandes der Dampfkessel - Ueberwachungs-Vereine, Nr. 6 (vom Monat Juni) 1878, S. 66, wird für Walzenkessel mit Ueberdruck von Innen nach Außen, fast ganz der alten französischen Formel entsprechend,, folgender Abdruck (als Vereinsseitige Vorschrift) empfohlen:

8 = 1,8 . d (n — 1) + 4,

vorausgesetzt dieselben Bezeichnungen und Maaße wie Formel III.

Voraussetzung einer gleichmäßigen Vertheilung der Spannung über die ganze Dicke der Röhrenwand, oder die Annahme, daß nicht der geringste Grad von Elasticität vorhanden ist, gestattet werden kann. Für dicke Röhrenwände, beispielsweise für hydraulische Pressen, Geschützrohren etc., ist daher die Mariotte’sche Formel völlig unbrauchbar¹).

Mit Rücksicht auf die Elasticität des Materials hat, nach Wissen des Verfassers, zuerst Barlo w die erforderliche Wandstärke cylindrischer Röhren bestimmt (Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen. Dreizehnter Jahrgang, 1834, S. 121) und zwar unter Zuziehung der Hypothese, „daß für jede Ausdehnung der Röhre ihr Querschnitt immer denselben Flächeninhalt b e hal t eM.

Hierdurch gelangt Barlow zu der Formel:

v _ pr

V, x —    ,

h — p

worin x die gesuchte Wanddicke bezeichnet, p den Druck auf den Quadratzoll der innern Oberfläche, r den innern Radius der Röhre und k die absolute Festigkeit des Materials, d. h. die Kraft bezeichnet, womit jeder Quadratzoll der Trennung Widerstand leistet.

Abgesehen von der Unrichtigkeit der genannten Hypothese ist die Richtigkeit dieser Formel auch deshalb zweifelhaft, weil sie für k = p die Wanddicke unendlich groß giebt²).

Eine andere beachtenswerthe Formel leitete (1834) Brix in den Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen, 13. Jahrgang (1834), S. 124, unter der Hypothese ab, „daß für eine Ausdehnung, welche innerhalb der Grenzen vollkommener Elasticität bleibt, die Dicke der Röhrenwand keine Aenderung erleidet, oder, was dasselbe ist, daß die Differenz des äußern und innern Durchmessers vor und nach der Ausdehnung constant bleibt.

Hiermit gelangt Brix zu der Formel:

VI. x =

worin dieselben Buchstaben gleiche Bedeutung wie bei Barlow haben und e = 2,71828.., d. h. die Basis des natürlichen Logarithmensystems ist.

Diese Formel wurde längere Zeit hindurch im Königreich Preußen zur Berechnung der gesetzlichen Wanddicke bei Dampfkesseln benutzt³).

Frei von allen besonderen Hypothesen (wie Barlow und Brix), lediglich auf die Principien der Lehre vom Widerstande (elastischer)

!) Leider sind dem Verfasser die 1712 (2 Bde.) zu Leyden und 1740 zu Haag erschienenen Gesammtwerke Mariotte’s nicht zur Hand. Eytelwein citirt hierbei in seiner Hydrostatik, S. 39, Mariotte’s Erfahrungen unter dem Titel: „Divers ouvrages mathématiques et de physique par Mrs. de l’académie royale des sciences“, Paris 1693, Pg. 516.

²) Man sehe über die Barlow’sche Formel auch Bd. 9 (1826) S. 43 etc. der Jahrbücher des k. k. polytechn. Instituts in Wien.

50000

³) Dabei wurde p = 15 . (n — 1) Pfund und Je = —jg— in Rechnung gebracht, so daß sich ergab:

Eben so liefert die Formel VII:

)-«+V

x = 30

313 1

—— / = 1,22 Centimeter.¹). 289 \

= 24 Centimeter,

Ist dagegen die erforderliche Wanddicke des Cylinders einer hydraulischen Presse zu ermitteln, wobei r ebenfalls 30 Centimeter, dagegen p = 400 Kil. (400 Atmosph.) ist und, des besseren Materials wegen, k = 500 Kil. angenommen wird, so liefert die Mariotte’sche Formel 30 (400 — 1)

500

0,0045 (n — 1)

Materialien gegründet, entwickelte zuerst Lamé in seinen 1852 erschienenen berühmten „Leçons sur la théorie mathématique de 1 élasticité des corps solides«, Pg. 191 (die vorstehenden Bezeichnungen beibehaltend) :

x 4- r

k+JP

Je _ P -j- 2 p₀

, woraus folgt :

VII.

r)—¹ + V

k+P

k—p-\-2p₀ r

Mit pa wird hier der äußere auf die Rohrwand kommende Druck bezeichnet.

Die Lamé’sche Formel zeigt sich namentlich bei sehr großen Pressungen als nützlich, wo die Mariotte’sche Formel zu kleine Werthe giebt, während bei geringen Pressungen beide Formeln fast übereinstimmende Werthe liefern.

Hat man beispielsweise die Wanddicke eines gußeisernen Rohres von 80 Centimeter Radius zu berechnen, wobei im Innern eine Pressung 18 Atmosphären statt hat, während auf die Außenfläche die atmo-

den Tragmodul des Gußeisens

von

sphärische Luft drückt, und nimmt man zu 300 Kil. pro Quadratcentimeter an, so giebt die Formel II:

30 (13 — 1)

300

= 1,20 Centimeter.

~ ¹ + e

Daß hier n die Anzahl Atmosphären des Innendruckes bezeichnet und x in (preuß.) Zollen erhalten wird, bedarf wohl kaum der Erwähnung.

Was bereits seiner Zeit erfahrene Praktiker von allen diesen Formeln für Berechnung von Dampfkesselwanddicken hielten (d. h. höchst wenig) und deren Ansichten sich später dadurch bestätigten, daß man in dem (neuesten) Dampfkesselgesetze für das Königreich Preußen ganz von der gesetzlichen Vorschrift bestimmter Wanddicken für den gedachten Fall absah, erhellt besonders aus einem Artikel, welcher sich in Dingler’s Polytechn. Journal, Bd. 111, S. 83 etc., abgedruckt vorfindet.

¹) Der besonderen Merkwürdigkeit (!) wegen citirt der Verfasser noch eine Abhandlung, welche die U eberschrift trägt : „Die Bestimmung der Wandstärken gußeiserner Rohre“, welche im 18. Bande (1872) S. 495 der Zeitschrift des Hannoverschen Architekten- und Ingenieur-Vereins abgedruckt ist. Als Commentar hierzu dienen Artikel in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. XVII (1873), S. 219 und Bd. XIX (1875), S. 101. Ferner im Journal für Gasbeleuchtung (von Schilling), Jalirg. 1875, S. 66.

§. 21. Wandstärke cylindrischer Röhren, die Lamé’sche Formel¹) dagegen

I-hY

x = 30

= 60 Centimeter.

900

98 )

Der Unfall²), welcher sich durch das Platzen fast aller hydraulischen Pressen ereignete, als man seiner Zeit bemüht war, das berühmte Riesenschiff „Great Eastern“ vom Stapel zu lassen, findet hiernach seine natürliche Erklärung.

Die Lamé’sche Formel enthält übrigens noch das für die Praxis wichtige Resultat, daß es für jedes Material einen Grenzwerth des inneren Druckes giebt, welcher in keinem Falle überschritten werden darf, wie groß auch die Wanddicke und wie klein die innere Weite der Röhre auch sein mag. Dieser Grenzwerth ist p = k -j~ p₀, oder, wenn kein äußerer Druck vorhanden wäre, p = Je, d. h. gleich der absoluten Festigkeit des Materials.

Eine der Lamö’schen fast gleiche Formel, für die Wanddicken hydraulischer Preßcylinder, entwickelt Grashof in seinem ausgezeichneten Werke „Die Elasticitätslehre“, Berlin 1878, Zweite Auflage, S. 327 (Nr. 571), nämlich:

Sämmtliche Formeln sind praktisch unbrauchbar, sobald, bei cy lind risch en Röhren, die Länge den Durchmesser um mehr als das dreifache übertrifft und der Druck (Ueberdruck) von Außen nach Innen gerichtet ist, ein Fall, der beispielsweise vielfach bei Dampfkesseln eintritt.

Zur Zeit sind alle Versuche zur Herleitung zuverlässiger, praktischer Formeln für letztem Zweck an der Schwierigkeit der Aufgabe an sich gescheitert³), so wie auch daran, welche Form der Abweichungen von der Kreisform man bei den Rechnungen zu Grunde legen soll⁴). Nur soviel steht fest, daß hierbei die Länge der Röhre nicht außer Acht gelassen werden darf.

Deshalb sind hier Versuche von besonderem Werthe, welche die Bildung einer empirischen Formel gestatten.

Dergleichen Versuche hat der bekannte englische Ingenieur W. Fairbairn mit Eisenblechröhren von 10 bis 48 Centimeter Durchmesser und von 48 bis 155 Centimeter Länge angestellt⁵) und daraus eine Formel von der Form

x = (1 |/~pdl

- *) Vereinfachte Ableitungsmethoden der Lamé’schen Formel haben geliefert: Scheffler in seiner Abhandlung „Die Elasticitätsverhältnisse der Röhren“. Wiesbaden 1859. Dann Dwelshauvers-Dery in der „Revue Universelle“, Tome 35 (1874), Pg. 73 und hiernach Prof. Keck im XX. Bande (1874) S. 622 der Zeitschrift des Hannoverschen Architekten- und Ingenieur-Vereins.

²)    Rühlmann, Allgem. Maschinenlehre, Bd. 1, 8. 5 (2. Auflage) und das „Practical mech. Journal“, 1857—58, Pg. 191.

³)    Wiebe, „Lehre von der einfachen Maschinentheilung“, Bd. I. S. 359.

⁴)    Weisbach, „Ingenieur- und Maschinen-Mechanik“. Zweiter Theil. Vierte Auflage (1865), 8. 919, §. 411.

⁵)    Zeuner, „Civilingenieur“, Bd. 4, S. 53.

abgeleitet, wenn man die vorigen Bezeichnungen beibehält, l die Lange der Röhre und ji einen Erfahrungcoefficienten bezeichnet.

Wird l in Metern, d in Centimetern ausgedrückt und bez. p den Dampfdruck in Kilogrammen pro Quadratcentimeter, so ergiebt sich die erforderliche Wandstärke in Millimetern zu

x = 0,27 }/pld.

Grashof¹) hat aus 21 Fairbairn’schen Versuchen, mittelst der Methode der kleinsten Quadrate, die empirische Formel

$2,315

Id¹**¹*

abgeleitet, worin l die Länge der Röhre in Centimetern, d den Durchmesser in Centimetern, 8 die Blechdicke in Millimetern und n den Ueberdruck in Atmosphären bezeichnet, durch welche die Röhre zerdrückt wird.

Da jedoch diese Formel die wichtigeren Versuche mit dickeren Blechen nicht genügend wiedergiebt, so wurde eine zweite Formel her^ gestellt, welche den gedachten Versuchen genau entspricht. Diese ist

n = 325

$2,081

£ 0,564 ^0,889"*

Eine noch andere Formel leitete der französische Ingenieur Love²) aus den erwähnten Fairbairn’schen Versuchen ab, deren Gestalt mit einer noch andern übereinstimmt, welche nachher von der „Commission der Hütte“ in Berlin³) abgeleitet wurde und die mit ihren Coefficienten (Alles in Centimetern ausgedrückt) nachstehende Gestalt hat:

Dabei bezeichnet px den äußeren Druck pro Kilogramm der Fläche, welcher nöthig ist, um die Elasticitätsgrenze schmiedeeiserner Röhren gerade zu überschreiten.

Der Verfasser muß Grashof beistimmen, welcher S. 244 der ersten Auflage seiner Festigkeitslehre hervorhebt, daß diese sämmt-lichen Formeln vorläufig nur als Nothbehelfe zu betrachten sind.

Da es Zweck und Umfang der Hydromechanik überschreiten würde, auf die Berechnung von Wandstärken anderer Gefäße, beispielsweise auf kugelförmige, auf solche mit ebenen Wandflächen u. A. einzugehen, so sieht sich der Verfasser in dieser Hinsicht genöthigt, auf die mehrfach citirten Werke, namentlich auf die vortreffliche Grashof’sche Festigkeitslehre zu verweisen.

§■ 22.

Aufgabe 3. Man soll eine Gleichung zur Berechnung der Querschnittsdimensionen eines gekrümmten Schleusenthores ABC7 Fig. 23 entwickeln.

•\bhw 2 7c sin 2 cp

I. A =

Hierbei ist abermals das Thorgewicht unbeachtet gelassen. Man sehe deshalb Navier, Baumechanik §. 574.

§• 23.

Vom Mittelpunkte des Druckes.

Unter dem Mittelpunkte des Druckes versteht man den Angriffspunkt der Mittelkraft, welche den sämmtlichen, auf die einzelnen Punkte einer Fläche wirkenden Normaldrücken des Wassers entspricht. Zur Bestimmung statischer Momente ist die Kenntniß der Lage dieses Punktes durchaus nothwendig.

Bei (horizontalen) Bodenflächen, wo alle Elemente gleichen Druck erfahren, fällt der Mittelpunkt des Druckes mit dem Schwerpunkte zusammen. Bei allen Seitenwänden liegt er dagegen stets unter dem Schwerpunkte derselben, weil hier die Drücke auf die einzelnen Punkte mit deren Tiefe unter dem Wasserspiegel zunehmen.

Zuerst werde der Mittelpunkt des Druckes für ebene Seiten-

Fig. 23.

Auflösung. Behalten wir g; die Bezeichnungen von Aufgab §. 18 bei, bezeichnen wir überdies Cden Wasserdruck pro Längeneinheit des Bogens AB mit q, d. h. setzen ybh = q, so ist die Achsenspannung = t nach voriger Auf-abe in der Curve ABC im einer teile, wo q der Krümmungshalbmesser ist: t = q . q.

Nehmen wir ABC als einen Kreisbogen und setzen AO = BO = r, so folgt die überall gleiche Achsenspannung C¹) t = qr.

Ersetzen wir jetzt wiederum die eine Hälfte BC durch eine Horizontalkraft = S, so ergiebt sich dieselbe, wegen S . BD — R . AF, wo R den Wasserdruck = q . AB auf die Curve AEB

in der Richtung EO bezeichnet, zu S — q . -j—-. AF = q . -f^¹)

anz

AI

Rh

k________\R.

= q . r wie bereits in (1) gefunden. Aber 2 AF. cos cp = — also AF ===== —^—, daher auch S — qw

4. cos cp

qw

ybhw

4 sin cp cos cp    2 sin cp 2 cp    2 sin 2 cp’

Wird endlich das Tragvermögen des Thormaterials pro Flächeneinheit mit k und der Thorquerschnitt mit A bezeichnet, so ist

AF

*) Im ZX AFO ist L AOF == cp, folglich = sin <p oder

AF

sin cp

AO — r.

wände bestimmt, was nach dem Früheren einfach darin bestehen wird, den Angriffspunkt der Mittelkraft für ein System paralleler Kräfte zu suchen.

Für den Fall, daß die gedrückte Seitenwand durch eine gerade Linie in zwei symmetrische Theile getheilt wird, also zu beiden Seiten derselben gleiche statische Momente liegen, muß sich der zu suchende Angriffspunkt in dieser Geraden befinden, und man wird nur nöthig haben, dessen Abstand von einer geraden Linie anzugeben, welche man in der Ebene der gedrückten Fläche als Momentenachse angenommen hat.

Der Einfachheit wegen wählt man letztere entweder so, daß sie, durch den höchsten Punkt der Fläche gehend, parallel zum Wasserspiegel liegt, oder daß sie mit der Linie zusammenfällt, in welcher die Ebene der gedrückten Fläche den Oberwasserspiegel schneidet.

Die gedrückte Fläche theilt man sodann in Elemente, deren Begrenzungslinie parallel zur Momentenachse sind, bestimmt die statischen Momente der Normaldrücke, welche diese Elemente erfahren, und dividirt deren Summe durch den Normaldruck auf die Gesammtfläche ; der Quotient giebt den gesuchten Abstand des Druckmittelpunktes.

Läßt sich die Scheidewand nicht, wie vorbemerkt, durch eine Gerade theilen, so hat man die Momente der Druckelemente noch in Bezug auf eine zweite Achse zu bestimmen, welche erstere unter einem (rechten) Winkel schneidet und gleichfalls in der Ebene der gedrückten Wand liegt u. s. w.

Um endlich den Mittelpunkt des Druckes für ein krummes Wandstück zu bestimmen, hat man (u. A. nach §. 65 der „Grundzüge der Mechanik“, 3. Auflage des Verfassers) die Normaldrücke auf die Elemente der krummen Fläche in Seitenkräfte zu zerlegen und die entsprechenden Resultirenden aufzusuchen.

Diese ihrer Lage und Große nach so bestimmten Resultirenden lassen sich jedoch nur unter besonderen Umständen zu einer einzigen Resultante vereinigen; ist daher Letzteres nicht der Fall, so kann natürlich von einem Mittelpunkte des Druckes im obigen Sinne nicht die Rede sein. Zu den bemerkten Fällen, wo eine einzige Mittelkraft möglich ist, gehört namentlich der, wenn die gedrückte Wand die Flüssigkeit überall umgiebt, wie später gezeigt werden wird.

§• 24.

Mit Bezug auf den vorigen Paragraphen werde nun der Mittelpunkt* des Druckes für eine ebene Fläche FF, Fig. 24, bestimmt, die ganz unter dem Wasserspiegel liegt und gegen den Horizont unter einem Winkel a geneigt ist. Die Gerade UX sei die Durchschnittslinie der Ebene der Fläche FF' mit dem Wasserspiegel TUPF und zugleich die Abscissenachse eines rechtwinkligen Coordinaten-systems, dessen Ordinatenachse UY in der Ebene von FF' liegt. Die Coordinaten eines beliebigen aber unendlich kleinen Flächenelementes mn, dessen Inhalt = 1 sein mag, bezeichnen wir mit

x (=== TJA — Bm) und mit

Fig. 24.

rx

_y (= UB—Am) und erhalten

aJ

IL

CS

jK

jp'

'Y

sonach, weil die Druckhöhe mC = y sin a ist, den Normaldruck des Wassers auf W ^rnn : y ta/ sin a und die Summe aller dieser Drücke = y sin a 2 (ly) = y . P sin a, \ wenn 2 (ly) — P gesetzt \ wird. Die statischen Mo-mente dieses Druckes in Bezug auf die Achsen UX und ÜY ergeben sich daher ohne Weiteres respective zu y sin a 2 (ta/²) undysina2 (Ixy). Setzt man daher die Coordinaten des Druckmittelpunktes IM = Y, KM = X, so folgt nach dem bekannten Satze, daß das statische Moment des.Ganzen gleich der Summe der statischen Momente der Theile sein muß: Y. y P sin a = y sin a 2 (ly²) und X y P sin a — y sin a 2 (Ixy), d. i.

£ (V)

und IL X =

I. Y =

2 (Ixy)

P '

Der Zähler des ersten Ausdruckes ist aber nichts anders als das Trägheitsmoment der gedrückten Fläche in Bezug auf eine Achse, wrelche in ihrer Ebene und zugleich im Oberwasserspiegel liegt, so wie im zweiten Ausdrucke der Zähler das Centrifugal-moment derselben Fläche auf dieselbe Achse bezogen bezeichnet. Zugleich folgt hieraus, daß der Mittelpunkt des Wasserdruckes für eine ebene Fläche nichts anderes als der Mittelpunkt des Stoßes ist, wenn man die Abscissenachse UX als Drehachse der Fläche FF' betrachtet.

Für eine Fläche, die in einer zur Ordinatenachse UY symmetrische Lage gebracht werden kann, wird hlxy gleich Null, weil dann jedem -)- x auf der einen Seite dieser Achse ein — x auf der andern entspricht. Man erhält daher, wenn überdies das Trägheitsmoment der Fläche in Bezug auf die Achse UX mit T bezeichnet wird:

III.

in diesem Falle findet man also den Mittelpunkt des Druckes, indem man das Trägheitsmoment der gedrückten Fläche durch das statische Moment der Fläche dividirt, beide Momente auf dieselbe Achse bezogen, welche in der Ebene der Fläche und im Wasser Spiegel liegt.

Schwingungspunkte Drehachse bildet.

Der so bestimmte Druckmittelpunkt fällt daher auch mit dem der Fläche zusammen, wenn UX abermals die

Zusatz 1. Für ein vertical stehendes W Rechteck ABCD, Fig. 25, dessen obere Kante BC = b mit dem Wasserspiegel WW zusammenfällt und dessen Höhe = h ist, erhält W    bh²

Fig. 25.

man daher, wegen T = P bh³ und P =

sofort:

—b—-v

P=bh

7-T^-iÄ

y ” {W — ³ h"

Steht dagegen die obere Kante um e vom Oberwasserspiegel ab, d. h. bildet W' W* den Wasserspiegel, so ist

bh³ -f- bh Çe -f- —^

, so wie

0+4)

, daher

Für eine vertical stehende Kreisfläche vom Halbmesser = r, deren höchster Punkt um e unterm Wasserspiegel liegt, ist ähnlich wie vorher: T = A irr⁴ -J- r²Jt (r -f- e)

P= nr* (r -f e), folglich r² -j- 4 (r -f- e)² 4 (r e)

Fällt der höchste Punkt der Kreisfläche mit dem Wasserspiegel zusammen, so wird e = Null und Y = ^ r.

[§. 25.]

Für nicht symmetrische Flächen läßt sich genau g enommen der Mittelpunkt des Druckes nur mit Hülfe der Differential- und Integralrechnung bestimmen, was in diesem Paragraphen gezeigt werden soll.

Die Formeln I und II geben, in die Sprache der genannten Rechnung übersetzt, sofort:

Jxy dx dy f V dxdy

J y²dx dy f y dx dy

Jü_

Y<

V/

Fig. 26.

X—W

jn

Xr^M

Mittelst derselben mögen folgende specielle Fälle behandelt werden:

(1) Mittelpunkt des Druckes eines Halbkreises von Radius = r, Fig. 26, dessen verticaler Durchmesser mit der Verticalachse HF, und der Coordi-natenursprung im Endpunkte des Durchmessers mit dem Wasserspiegel WW zusammenfallen mag. Für einen Punkt m der Kreisperipherie hat man bekanntlich x² = 2ry — y², folglich:

w-

Z7

h-

² dy J dx

'2r

Y 2ry — t/2

__ _ fr⁴«

Y'iry — y²    \ r³ Jt

= ł'5 *)

y dy ! dx

f:

Y 2ry — t/2

xdx

ß Jt

‘ Y 2ry — t/2

-f    4r

Y r³ jt    3it

Fig. 27.

rK--w

(2) Mittelpunkt des Druckes für ein ebenes Dreieck ABC, Fig. 27, dessen eine Cathete AC — h vertical liegt, mit der Ordinatenaehse UY zusammenfällt, während die andere Cathete AB — b um e vom Oberwasserspiegel absteht.

Zuerst erhält man hier für die Breite mn in dem beliebigen Abstande

Um = y : mn —

sodann:

A [h + e — y) und

f'e+h r I y* dy I dx

'S e J o

4- (»+« - y)

h

r-e+h r

f ydy I dx

Je J o

'_L (Ä-f-e — y) h

_ h²Ą- Me-\-6e²

—    2 Ä + 6e

I ydy Ix

Je Jo

T>

— (*+«-*) xdx

/ ydy I dx

Je J o

-- (k - j- e — y)

b Ji 4e T Ä + 3e" *

2²    -i-a²arc sin vers.^—C

*) J"dz jA2 az — z² = — i (« — z) )/~ 2

= — t (a — ²) 1^2 az — z² a² arc sin    -f- C

az —

fzdzY^ «z — z² = — | j/~(2 az — z²)³    a Jdx Y2 az —-z²,

5a 3z

fz²dz Y2 az — z² — -Rüklmann’s Hydromechanik.

5a²

12

j/"(2 az — z²)³ + “J" ./ds 1^*2 az — z².

Für e — Null wird Y — \ h und X = L b. Genau dieselben Werthe lassen sich für den Mittelpunkt des Stoßes einer Dreieckfläche finden.

§• 26.

Zur Anwendung der Lehre vom Mittelpunkte des Druckes folgen hier noch einige praktische Aufgaben.

Aufgabe 1. Zur Abführung des Wassers aus dem Speisebassin des von Telford erbauten Birmingham und Warwick Canales⁴) dient eine 18 Zoll (engl.) weite Röhrenleitung A, Fig. 28, (welche

Fig. 28.

W-

WÊm

■■    ----Ljg=r

i7

.a

I|pgJ|ggjK|| ⁴

Ba

horizontal durch den Bassin-Damm geht), die an der Eintrittsstelle C durch eine kreisförmige Scheibe B geschlossen und geöffnet werden kann. Für den Zweck dieser Bewegung ist die Scheibe mit einem Arme D derartig verbunden, daß überhaupt eine um E als Achse drehbare Hebelanordnung gebildet wird. Ueber feste Rollen F und G geleitete Ketten dienen respective zum Schließen und Oeffnen der Klappe B etc., welche Ketten der drei-füßigen (Höhe zur Anlage = 1:3) Dammböschung parallel bis zur Dammkrone geführt sind, sich dort auf die Trommel einer mit Räderwerk versehenen Aufzugsmaschine (Winde) wickeln etc.

Es soll die v Zugkraft = P in der Kette K für den Anfang der Bewegung der als geschlossen gedachten Klappe, mit Nichtbeachtung aller Reibungen, bestimmt werden, wenn man weiß, daß die Druckhöhe für den Schwerpunkt der kreisförmigen Klappe 43 Fuß englisch, der Radius der Kreisscheibe B — 11\ Zoll, der Neigungswinkel der Klappe gegen den Horizont (parallel der Dammböschung) 18° 26' (i == tg. 18° 26'), der Hebelarm der Zugkraft = 22 Zoll, die Entfernung EB des Hebeldrehpunktes von der Klappenmitte = 19 Zoll beträgt und ein Cubikfuß (engl.) Wasser = 62,5 ff gerechnet wird¹).

WO

Auflösung. Es sei allgemein r der Radius des Klappenkreises, L die Entfernung des Mittelpunktes vom Wasserspiegel, in der Dammböschungsrichtung gemessen, und Y die Entfernung des Druckmittelpunktes in Bezug auf die Gerade der Achse, der Oberwasserspiegel die Dammböschung berührt.

Sodann ist nach §. 25:

-f- r²itL²

r²vcL

wegen tg q> = F und L =

43'

= 135',988 engl., r = 11",5:

Y = 0',0Ö17 + 135',978 = 135',9797.

Ferner ist der Wasserdruck auf die Klappe:

sin cp

c^yn •⁴³ •62,5= 775i>¹⁰⁴

Der Hebelarm dieses Druckes: 19" -{- 0',0017 = 19" -f- 0",0203

= 19,0203 Zoll,

der Zugkraft = 22", sonach endlich:

19,0203 . 7754,104

22

= 6703,9 ff.

Fig. 29.

FLUTH

mm

■H⁵

IÜ

Wmk

ÜbS

ÎM

*1

ira

Aufgabe 2. An einem Fluth und Eb-^ be haltenden Strome ^ wird die Anlegung einer Kaimauer, Fig. HH 29, beabsichtigt, wel-che auf einen Pfahl-rost zu gründen ist und eine obere Breite

R⁶ = ⁴'.³" (=im^4)

und eine gegen die |||§| Wasserseite frei ste-^|hendeHöheÄ=17' 4" ||^J| (=5m,0) erhalten soll. Die Anlage AM der Vorderfläche AB sei nh = 1'6" (= 0ra,44) Bp|s festgesetzt u. von der lllSlg Krone ab nach unten ^ drei Bankets, jedes * vone = 3' (=0m,876)

Höhe und gleicher Breite = -g- angeordnet. Man soll die Dicke

um

ED — x der hinteren Maueranlage unter der Voraussetzung berechnen, daß das Erdreich N, was gegen die Mauer drückt, gleiche Dichte mit dem Wasser habe, das Mauerwerk eine Dichte = q besitze und der Druck der Masse N eine Drehung der Mauer die Kante A zu bewirken strebt. Endlich werde y = 53,2 U (hannov.) gesetzt und q = 2y.¹)

¹

)    „Theorie der Elasticität und Festigkeit“, S. 329 (2. Auflage).

²

)    „Civil-Ingenieur“, Jahrg. 1861, S. 238 und Zeitschrift des Vereins zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen, Jahrg. 1870, S. 117.

³

)    In letzterer Quelle S. 119.

⁴

Life of Telford, p. 80, Plate 29 und Hagen, Wasserbau, II. Tlieil, 3. Bd., S. 576.

⁵

Entsprechend dem Original, woraus der Verfasser vorstehende Aufgabe entnahm, sind auch hier die englischen Maaße und Gewichte beibehalten worden. Für Bau- und Maschinen - Ingenieure haben die englischen Maa^e insofern (neben dem Metermaaße) eine besondere Bedeutung, als weder für England noch Nord-

Auflösung. Nach §.20 ist das Moment des Wasserdruckes in Bezug auf die Kante A, wenn die auf der Bildfläche normale

Mauerdimension

= 1 gesetzt wird: yh .    oder wenn

m einen Sicherheitscoefficienten m 1 bezeichnet: —jr—. Setzt man

diesen Werth der Summe der statischen Momente der sämmtlichen Mauertheile, einschließlich des auf die Bankets kommenden Flüssigkeitsdruckes gleich, so erhält man folgende Bedingungsgleichung für’s Gleichgewicht, aus welcher x zu reduciren ist: + qbh (nh + ±b)

j my/i³

-Ç (* — «) + QlllJrh + Ą^)

f ₍ł-2e) + Ąe*](nk + !> + %) + [f.(Ä-3e) + lp-] +

Für eine Mauer, wo die innere Seite CD vertical also x = Null ist, kann man b als unbekannt voraussetzen, so daß man erhält:

— n² h³ -f- qbli (nh -j-j- b) = yh³ und hieraus

3    “    o

amerika Aussicht vorhanden ist, daß in diesen Ländern das Metermaaß in nächster Zeit allgemein eingeführt wird.

Man merke deshalb, daß man den englischen Fuß = 0,305 Meter und den englischen Zoll = 25,4 Millimeter setzen und das englische Pfund = 0,453 Kilogramm annehmen kann.

0 Diese Aufgabe behandelt eine beim Baue des Geestemünder Hafens gestellte Aufgabe, wo die Ingenieure seiner Zeit (1855) noch verpflichtet waren, nach hannoverschen Maaßen zu rechnen und zu arbeiten. Aus letzterem Grunde schien es dem Verfasser angemessen, in diesem Falle auch in der 2. Auflage der Hydrodynamik die älteren Maaßgrößen beizubehalten und nur überall die Réduction in Meter beizusetzen. Man sehe hierzu „Technische Mittheilungen über die Hafenplätze Geestemünde und Bremerhafen“ im Jahrgang 1855 der Zeitschr. d. Hannov. Archit.- und Ingen.-Vereins, S. 45, Blatt 4, Fig. 4.

Endlich ist zu bemerken, daß durch ein Versehen der Zeichner in Fig. 29 die Spundwand in verticaler Richtung unter M anzugeben vergessen hat.

III. b =

4 -k-

Fiir’s . mathematische Gleichgewicht, d. h. wenn m = 1 ist und überdies q = 2y folgt:

IV. b = 0,408 . A,

woraus sich die praktische Regel erklärt, derartige Mauern halb so dick zu machen, als der hinter ihnen befindliche Wasserstand beträgt. Für obige Zahlenwerthe wird x = 2,799 Fuß (= 0,817 Meter), wenn m = 1 ist und x — 4,287 Fuß (= 1,252 Meter) für m=j. Der ausführende Ingenieur hat (Geestehafenbau) x — 3,33 Fuß (0,972 Meter) genommen.

Die Formel IV erklärt die Angabe Minard’s (Navigation des rivières, Chap. XIV, p. 170), daß er b = 0,4 h bei ungefähr 4C0 Schleusen als Mittelwerth gefunden habe.

§. 27.

Mittelkraft aus den Druckkräften, wenn die gedrückte Fläche die Flüssigkeit von allen Seiten umgiebt.

Fig. 30.

Ci

Endlich, Null ist:

wenn

auch die Vorderfläche ungeböscht, also noch n —

Es sei ABCD, Fig. 30, ein ganz , beliebig gestaltetes Gefäß, welches ^ bis AB mit Wasser gefüllt ist. E sei ein Element der Wandfläche, \ co der Flächeninhalt desselben, und U) die zugehörige Druckhöhe JE — z. J Der Normaldruck gegen dieses Ele-J/ ment werde wie in §. 23 in Seiten-^ kräfte zerlegt, welche den drei Achsen eines rechtwinkeligen Coor-dinatensystemes parallel sind, und wovon die TJX und UY in der Ebene des Wasserspiegels liegen mögen, UZ also mit der Schwerkraftsrichtung zusammenfällt. Bezeichnet man sodann die Projection des Elementes co gegen die Ebenen FZ, XZ und XY mit a, b und c, so erhält man nach §. 19 für die horizontalen Seitenkräfte yaz und ybz, für die verticalen ycz.

Um nun zunächst die Mittelkraft der Horizontalkräfte anzugeben, werde das horizontale Prisma GE betrachtet und das Element E auf die Ebene YZ projicirt. Dies Prisma schneidet auf der Gefäßwand bei F nothwendig ein Element ab, dessen Projection auf die Ebene YZ dieselbe Größe wie die Projection des Elementes E, auch dieselbe Druckhöhe wie letzteres hat, so daß beide Elemente einerlei Druck = yaz in horizontaler Richtung nach Außen erfahren. Die Richtungen dieser beiden Drücke wirken aber in derselben Geraden einander genau entgegen, heben sich daher völlig auf und tragen Nichts zur Bildung der respectiven Mittelkraft bei. Leicht erkennt man aber, daß dasselbe nicht nur von allen übrigen Drücken, die UX parallel gerichtet sind, nachgewiesen werden kann, sondern auch von jenen, welche UY parallel sind. Ueberhaupt folgt daher der Satz:

Alle Drücke, welche das Wasser auf die verschiedenen Theile der Seitenwand eines Gefäßes nach horizontalen Richtungen ausübt, heben sich gegenseitig auf, oder das ganze Gefäß wird vom Wasser nach horizontalen Richtungen gleich stark gedrückt.

Wie daher auch die Form des Gefäßes sein mag, welches die Flüssigkeit überall umgiebt, so wird doch durch letztere dem Gefäße kein Bestreben zu irgend einer horizontalen Bewegung ertheilt. Vorausgesetzt ist natürlich hierbei, daß die Festigkeit der Gefäßwände hinreicht, sämmtliche Horizontaldrücke zu vernichten.

Bringt man dagegen an irgend einer Stelle der Wand eine Oeffnung an, so wird der Druck an der gegenüber liegenden Stelle nicht mehr aufgehoben, und das Gefäß wird sich bestreben, eine horizontal gerichtete Bewegung anzunehmen. Hierauf beruht unter Anderem die Wirkung einer besonderen Art von Wasserrädern, die man deshalb Reactionsräder genannt hat.

das Element H = ycz. Diesem Drucke wirkt aber der gegen Ey d. i. y oz, genau entgegen, so daß wegen z z, als verticale Seitenkraft für die zu bildende Mittelkraft: yc (z — 2'), das Gewicht eines Wasserprismas verbleibt, welches c zur Grundfläche und 2 — z zur Höhe hat. Ueberhaupt wird also hiernach die zu suchende Mittelkraft aus der Summe der Gewichte so vieler ähnlicher Prismen wie EH bestehen, als man solche innerhalb des Gefäßes gebildet denken kann; diejenigen Prismen, deren obere Endfläche in den Wasserspiegel fällt, können an dem vorhergehenden Resultate Nichts ändern.

Zur Bestimmung der fraglichen Mittelkraft bleiben daher die verticalen Seitenkräfte allein übrig. Hierzu werde das verticale Prisma EHJ betrachtet und das Element E auf die Ebene XY projicirt gedacht. Das Prisma schneidet auf der Gefäßwand, oberhalb, ein zweites Element H ab, welches aufXF gleiche Projection wie E, aber nicht dieselbe Druckhöhe hat. Bezeichnet man letztere, d. i. HJ, mit 2', so ist der vertical aufwärts gerichtete Druck gegen

Aus Allem ergiebt sich aber,

daß die Mittelkraft aus allen Druckkräften einer Flüssigkeit, welche vom Gefäße überall umgeben wird, und wobei letzteres gehörigen Widerstand leistet, dem Gewichte der Flüssigkeit gleich ist; oder die Kraft, womit ein Gefäß vom darin befindlich en Wasser vertical abwärts getrieben wird, ist dem Gewichte des darin enthaltenen Wassers gleich.

Da man alle Seitenkräfte, die zur Bildung dieser Mittelkraft beitragen, unmittelbar als Gewichte betrachten kann, so muß die Richtung der Mittelkraft durch den Schwerpunkt des flüssigen Körpers gehen.

Drittes Gapitel.

Gleich g eivicht des Wassers mit ein getauchten festen Körpern.

§. 28.

Druck des Wassers gegen eingetauchte Körper.

Archimedisches Princip.

Aus einer einfachen Betrachtung wird zu entnehmen sein, daß sich der Druck, welchen ein in eine Flüssigkeit getauchter fester (freier) Körper überhaupt erfährt, ganz auf dieselbe Weise auffinden lassen muß, wie in §. 27 der Druck gegen eine die Flüssigkeit überall umgebende Fläche.

Die hier nach entsprechender Zerlegung erhaltenen Seitenkräfte unterscheiden sich von den an gedachtem Orte nur durch die relativen Zeichen, indem jetzt die Horizontalkräfte von Außen nach Innen gerichtet, die Verticalkräfte gegen die oberen (dem Wasserspiegel zugekehrten) Elemente abwärts und die Verticalkräfte gegen die unteren (entgegengesetzten) Elemente aufwärts gerichtet sind.

Verfährt man sodann wie in gedachtem Paragraphen, so ergeben sich für jeden ganz oder zum Theil in eine Flüssigkeit getauchten Körper leicht folgende Sätze:

Die horizontalen Druckkräfte heben sich auf, oder die ruhige Flüssigkeit drückt den festen Körper nach allen Horizontalrichtungen gleich stark.

daß

Die Mittelkraft aus allen Druckkräften wirkt vertical aufwärts, ist gleich dem Gewichte der Flüssigkeit, welche den Körper aus der von ihm eingenommenen Stelle verdrängt, und ihre Dichtung geht durch den Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit.

Letzteren Satz drückt man gewöhnlich auch so aus man sagt:

„Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper verliert so viel an seinem Gewichte, als das Gewicht der von ihm verdrängten Flüssigkeit beträgt.“

Dieses Gesetz ist von Archimedes gefunden worden und trägt seinen Namen.

aus

Den vertical aufwärts gerichteten Druck des Wassers nennt man den hydrostatischen Auftrieb. Vorstehendes gilt übrigens sowohl für gleich dichte Flüssigkeiten, als auch für solche, welche horizontalen Schichten von verschiedener Dichte bestehen.

Von diesen Sätzen macht man unter Anderem auch Anwendung bei der Bestimmung des specifischen (eigentümlichen) Gewichtes eines Körpers, worunter man die (unbenannte) Zahl versteht, welche angiebt, wie viel Mal ein Körper mehr wiegt, als eine Masse Wasser, welche mit ihm gleiches Volumen hat..

Bezeichnet daher P das absolute, s das specifisehe Gewicht eines beliebigen gleichartigen Körpers von Volumen — V, ferner p das absolute Gewicht eines gleich großen Wasserkörpers, so ist

P

s = —, oder da auch p — \V sein muß:

P=ys.V etc.

Wenn im Folgenden das Gegentheil nicht besonders hervorgehoben wird, so nennt der Verfasser das Product ys die Dichte des betreffenden Körpers, versteht also unter letzterer das Gewicht der Volumeneinheit desselben. Wird daher die Dichte mit A bezeichnet, so hat man

I. A = ys,

II.

s — — und

III. P=AV.X)

§. 29.

Gleichgewicht schwimmender Körper.

zwar so

Nach dem Vorstehenden läßt sich angeben, ob ein ganz unter das Wasser getauchter Körper an einer ihm gegebenen Stelle fortdauernd verbleiben, ob er untersinken oder sich ganz oder zum Theil. über den Wasserspiegel erheben wird. Dem hydrostatischen Auftriebe wirkt nämlich das in allen Fällen gleichbleibende Gewicht des Körpers selbst entgegen. Ist daher das Gewicht des Körpers eben so groß, als das der von ihm verdrängten Flüssigkeit, so wird er in der Flüssigkeit untersinken. Beträgt aber das Gewicht des Körpers, weniger, so wird er in die Höhe steigen, und lange, bis nur noch ein solcher Theil desselben in die Flüssigkeit taucht, daß das . Gewicht des ganzen Körpers dem Gewichte der Wassermasse gleich ist, die er sodann noch verdrängt. In letzterem Falle sagt man von dem Körper, daß er schwimme.

Pf a

Damit sich jedoch ein auf einer ruhigen Flüssigkeit schwimmender Körper vollständig im Gleichgewicht befinde, ist, außer der Bedingung, daß das. Gewicht des Körpers dem der verdräng Flüssigkeit gleich sei, noch eine andere zu erfüllen nöthig, nämhu die, daß der Schwerpunkt des schwimmenden Körpers mit dem Schwerpunkte der verdrängten Flüssigkeit in derselben Vertical-lini.e liege. Ist sowohl, der schwimmende Körper als die Flüssigkeit gleichartig, so liegt im vollständigen Gleichgewichtszustände der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit mit dem des eingetauchten Körpertheiles in einem und demselben Punkte.

Eine noch vollständigere Erledigung finden vorstehende Auseinandersetzungen durch folgende mathematische Betrachtung.

. ).Mehi ei e neuere Schriftsteller verstehen unter specifischem Gewichte enjemgen    eith von z/ in der Gleichung III, welchen man erhält, wenn man

P = 1 (= 1 Kilogramm) setzt, also erhält 1 = JV und so daß J = -h ist.

In diesem Falle nennt man V das specifisch-e Volumen. Man sehe hierüber auch den Artikel Dichte ‘ in Karmarsch und Heeren „Technischem Wörterbuche“. Dritte Auflage, Prag 1877.

Fig. 31.

Es sei S, Fig. 31, der Schwerpunkt eines ganz unter IM8 den Wasserspiegel W' W ge-tauchten Körpers vom absoluten Gewichte gleich W und das Volumen der verdrängten Flüssigkeit, also y§B der hydrostatische Auftrieb,dessen Angriffspunkt im Schwerpunkte M der verdrängten

W'

Flüssigkeit liegt.

Es lassen sich aber die beiden hier auftretenden Kräfte, W vertical abwärts und y§B vertical aufwärts wirkend zusammensetzen in eine Einzelkraft W — y 33 oder y 33 — W und in ein Kräftepaar von der Breite MS, welches sich bestrebt, den Körper in der Richtung SMN oder in der NMS mit einer Energie um den Schwerpunkt S zu drehen, deren Größe y3S . MS ist.

Für’s vollständige Gleichgewicht muß daher letzteres Moment gleich Null sein, d. h. die beiden gedachten Schwerpunkte müssen in derselben Verticalen liegen und überdies die Gleichung stattfinden :

I. y33 = W

oder, wenn V das Volumen von W und s sein specifisches Gewicht bezeichnet, also W= ysV ist:

II. SS = 8.V.

Zusatz 1. Die oben erhaltene Einzelkraft -j- (ySS — W) (das Gewicht des Körpers im Wasser, auch das relative Gewicht genannt) giebt noch zu folgenden Schlüssen Veranlassung. Setzen wir gedachten Werth = R und W = ysV, so ergiebt sich R = y (SS — s7). Ist nun anfänglich SS = V, d. h. der eingetauchte Körper überall vom Wasser umgeben, so folgt

III. R = ySS (1 — s) ={j-s--W).

Es wird also der Körper, wenn

1    8 aufwärts steigen, wenn

zu Boden sinken und ^endlich wenn 1 == s in jeder Lage unterm Wasser verharren.

Im ersteren Falle dauert die aufwärts gerichtete Bewegung so lange bis 3S wiederum eine solche Größe erlangt hat, daß R = Null ist und die Gleichungen II. und I. stattfinden.

Zusatz 2. Die Verbindungslinie beider vorgenannten Schwerpunkte nennt man die Schwimmachse, die horizontale Oberfläche der Flüssigkeit, in welcher der Körper sehwimmt, die Schwimmebene. Man sagt, der Körper schwimmt in aufrechter Stellung, wenn es wenigstens eine durch seine Schwimmachse zu legende (verticale) Ebene giebt, die den Körper in zwei symmetrische Theile theilt; im entgegengesetzten Falle sagt man, der Körper schwimmt in s c hi e f e r Stellung. Ferner sagt man, ein Körper schwimme mit Stabilität oder im steten Gleichgewichte, wenn er, aus seiner Gleichgewichtslage gebracht, von selbst ein Bestreben besitzt, in diese Lage wieder zurückzukehren; mit Instabilität im unsteten Gleichgewichte, wenn er sich, statt, wie bemerkt, zurückzukehren, immer mehr von der ersten Lage entfernt; endlich ohne Stabilität, wenn er, aus seiner ursprünglichen Lage gebracht, gar kein Bestreben zu irgend einer Bewegung zeigt.

Beispiel. Welchen Auftrieb erfährt ein ganz ins Wasser getauchtes Stück Tannenholz von 40 Kilogramm Gewicht, mit welcher resultirenden Kraft erfolgt das Aufwärtssteigen und wie viel Cubikmeter Wasser werden von demselben aus der Stelle gedrängt, wenn es zur Ruhe gelangt ist und an der Oberfläche schwimmt.

Auflösung. Nimmt man das specifische Gewicht des Tannenholzes zu 0,6 an, so ergiebt sich das relative Gewicht zu:

40

R = —— — 40 = 26f Kilogramm,

Cubikmeter.

83 =

und das verdrängte Wasservolumen zu 40

ys 600

= 0,0666

§• 30.

Vom hydrostatischen Auftriebe macht man sehr oft Gebrauch, um Lasten aus dem Wasser zu heben, eingerammte Pfähle aus dem Grunde zu ziehen etc., worüber man nachlesen kann in Hagen Wasserbaukunst, 1. Theil, 2. Auflage, S. 683.

Auch wenn specifisch leichtere Körper als das Wasser mit speeifisch schwereren verbunden werden, kann man letztere bis zur Oberfläche des Wassers ohne besondere Kraftanwendung erheben, sobald man nur eine derartige Anordnung trifft, daß der Auftrieb des Wassers dem absoluten Gewichte der festen Körperverbindung das Gleichgewicht hält.

Fig. 32.

Beispielsweise sei in Fig. 32 ein kupferner Cylinder AB mit _ kreisförmiger Basis UH vom Halbmesser = r Bund der Länge = l B mit einem Korkringe CD von der Länge 1 in der Weise zu umgeben, daß die Ver-

_____________ bindung in jeder Lage

unterm Wasserspiegel im (indifferenten) Gleichgewichte verharrt. Wie groß wird man den Durchmesser y des Korkringes zu nehmen haben, wenn das specifische Gewicht dieses Materials = s, das des Kupfers = s gesetzt wird.

Mit Zuziehung bekannter Sätze der Geometrie erhält man sofort, wenn die Bezeichnung der letzteren Paragraphen beibehalten werden :

SSL

W_

Wrnm

d:

und

33 =

W = ysr²nl -J- ys' --r²vc^j 1.

Hieraus für’s Gleichgewicht nach I. §. 29 : r²nl

+e?

)'² JlT) 1 = SV^ul -)- S 1    --

so wie nach gehöriger Réduction:

i i—

2rff

betragen: —-2î

m

= 46,4 cm.

Für r = 10 cm, = 20 cm, I = 60, s = 8,8 und Sj = 0,24, findet man y = 112,8 cm. Die Dicke des Korkringes muß folglich 112,8 — 20,0

§. 31.

Tiefe der Einsenkung schwimmender (symmetrischer) Körper.

Ist der schwimmende Körper in Bezug auf irgend eine durch ihn gelegte Achse symmetrisch, d. h. ist er so gestaltet, daß für jede Ebene, welche durch ihn rechtwinklig zu gedachter Achse geführt wird, der Schwerpunkt der Schnittfläche in dieser Achse liegt, und senkt man ihn so in die Flüssigkeit, daß bemerkte Achse vertical gerichtet ist, so wird der Schwerpunkt des ganzen Körpers und der seines eingetauchten Theiles in dieser Achse liegen, und die Bedingung des Gleichgewichtes in Bezug auf Drehung wird von selbst erfüllt sein, wie tief auch der Körper eintauchen mag. Die Große der Eintauchungstiefe wird aber aus einer Gleichung des §. 29 zu reduciren sein.

Zur weiteren Kenntnißnahme dieses für den Techniker besonders wichtigen Gegenstandes folgt von hier ab eine Reihe entsprechender Aufgaben und Beispiele.

Aufgabe 1. Es ist die Eintauchungstiefe eines Cylinders, Fig. 33, mit kreisförmigem Querschnitt vom Radius = r und der Länge = l zu bestimmen, wenn seine geometrische Achse dem Wasserspiegel parallel gerichtet ist.

Fig-. 33.

JV

",

jgggj

Auflösung. Es sei ADB die Durchschnittslinie der Schwimmebene mit einer Ebene, welche normal und vertical zur Cylinder-achse gerichtet ist, DE = x die zu findende Eintauchungstiefe, so wie (p der zu AEB gehörige Bogen für den Halbmesser =1.

Eine directe Auflösung der Aufgabe ist geradezu unmöglich, vielmehr ist erst (p zu finden und sodann x zu berechnen.

Zu diesem Ende beachte man, daß sein muß:

25 = [Sector ACBE — A A CB] l, d. i.

25 =

r²(p

-g- — r² sin \ cp cos \ (p l, oder

r²

ferner

25 = -y (cp — sin cp) l.

Ist das specifische Gewicht des Cylinders = s gegeben, so folgt

W — ysr²jt . I

und daher aus der Vergleichung mit (p — sin cp =

2W

yr² l

, oder

I. 2sje = cp — sin cp.

Hat man durch diesen Ausdruck cp ermittelt, so erhält man für x ohne Weiteres:

II. x = r (1 — cos \ cp).

so wird aus I. 3 = 9 — sin cp und

Beispiel. Ist s =

demzufolge liegt, wie aus der Tabelle der folgenden Anmerkung erhellt, der Winkel cp zwischen 175 und 180 Graden.

Setzen wir zur näheren Bestimmung cp = 175 + z = a -|- z, so wird aus I:

3 = (a -f- z) — sin (a -j- z).

Reducirt man diese Gleichung auf £ und beachtet, daß weil z sehr klein gedacht werden kann, sin z = z und cos z — 1 zu setzen ist, so folgt (in Bogenmaaß):

3 — cc -f- sin a

1 — cos a

, d. i.

3 — 3,0543 4- 0,0872 ²    1-1-0,996

cp = 175 Grad 56 Minuten 43 Secunden.

Endlich ergiebt sich x = r (1 — cos 87° 58' 21,5") = 0,9646 . r.

— 0,0165 und deshalb in Graden:

Anmerkung. Zur Erleichterung der Auflösung betreffender Aufgaben wird nachstehende hier erweiterte Eytelwein’schel) Tabelle

2 W

dienen, woraus zugleich erhellt, daß —— oder 2 s 7t nie größer als

yr l

6,283185 werden können.

*) Eyt eiwein, Hydrostatik §. 67.

cp Grade. cp — sin cp. cp Grade.

cp — sin cp. cp Grade. cp — sin cp.

lO o

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

© 1-0

120

0,000111

0,000885

0,002980

0,007046

0,013714

0,023599

0,037289

0,055344

0,078291

0,106620

0,140779

0,181173

0,228156

0,282038

0,343071

0,411456

0,487335

0,570796

0,661868

0,760521

0,866670

0,980170

1,100821

1,228370

125

130

135

140

145

150

155

160

165

170

175

180

185

COMM

i-i o © co o © o*

(M (N (N

lO © lO

to to to to t>Ö ^ w Oi to K)

© Ol

oo

1,362510

1,502884

1,649088

1,800673

1,957151

2,117994

2,282642

2,450507

2,620974

2,793412

2,967170

3,141592

3,316015

3,489774

3,662211

3,832679

4,000543

4,165191

4,326034

4,482512

4,634098

4,780302

4,920676

5,054816

245

250

255

260

265

270

275

280

285

290

295

300

305

310

315

320

325

330

335

340

345

350

355

360

5,182365

5,303016

5,416516

5,522664

5,621318

5,712389

5,795850

5,871730

5,940114

6,001147

6,055029

6,102013

6,142406

6,176565

6,204894

6,227841

6,245896

6,259587

6,269471

6,276140

6,280205

6,282300

6,283074

6,283185

Zusatz. Die Eintauchungstiefe = x einer schwimmenden Kugel, wenn Fig, 33 den betreffenden größten Kreis darstellt, ergiebt sich aus der Gleichung

A jxys r³ = y (rx² — ± x³) Jt*), d. i. aus 0 = x³ — 3rx² -{- 4sr³.

Ist die Kugel überdies mit einem Gewichte Q belastet, wie dies bei sogenannten Schwimmern häufig der Fall ist, so ist die Eintauchungstiefe aus der Gleichung zu berechnen:

f ysr³:jT -f- Q = yjt (rx² — -|-x³).

§. 32.

Es fragt sich, welche Last = Z mit Sicherheit auf ein derartiges Floß gesetzt werden kann, wenn das Gewicht der Tonnen und des

Aufgabe 2. Aus einer gehörigen Zahl von Tonnen ist Fig. 34 ein auf dem Wasser schwimmendes Floß gebildet, indem man die Tonnen in der Nähe der Böden gekoppelt und durch Seile mit hölzernen Schwellen, Zangen etc. zu einem Ganzen vereinigt hat.

*) Es ist nämlich 25 =

- I y²ndx, oder wegen y² = 2rx — x²

J o

(2rx — x²) dx — TC (rx² — ± x³).

sonstigen Holzwerkes etc. = Q ist und die Tonnen, wie in der Figur angegeben, ganz unter das Wasser getaucht sind.

Auflösung. Das Tragvermögen einer (hölzernen) Tonne kann für practische Fälle genau genug gleich dem Wassergewichte gesetzt werden, welches ihr hohler Raum aufnimmt. Bezeichnet daher D die Spundtiefe, d die Bodentiefe und l die Länge einer Tonne, von denen n gleiche vorhanden sind, so ist bei Vernachlässigung des sonst mit eingetauchten Holzwerkes, nach den Grundzügen der Mechanik des Verfassers §. 77, S. 197 (Dritte Auflage),

■K-

35 =

2 D    d

und

ynn 2D -f- d \²

« J

l— Q.

Anmerkung. Sind Menschen und Pferde auf ein derartiges Floß zu stellen, so kann man rechnen, daß ein Mann im Gedränge 0,20 bis 0,17 Quadratmeter Raum bedarf, 70 Kilogramm wiegt und auf 1 Quadratmeter folglich 350 bis 412 Kilogramm Belastung kommen. Ein Pferd von 2,7 Meter Länge und 1,0 Meter Breite aber 2,7 Quadratmeter Raum bedarf, 400 bis 500 Kilogr. wiegt und der Quadratmeter mit 150 bis 180 Kilogr. belastet wird.

§. 33.

Aufgabe 3. Es ist eine Gleichung zwischen der Eintauchungstiefe eines auf dem Wasser schwimmenden Pontons neben skizzirter Form, Fig. 35, und der Belastung desselben zu entwickeln.

Fig. 35.

G/tc

Fig. 34.

W_

■........\ Z £

jfjlllw

rJY

WL

•/-

-,8~

T-

f/f’

■/

K/ //

Fi

//

"/

ÂZ

£>

Auflösung. Die gegebenen Dimensionen des Pontons mögen folgende sein: die Seiten des obersten Rechteckes FN, nämlich FL = G N = A und F G = LN — B, die des unteren EK nämlich EI = HK = a und EH = IK = b, die ganze Tiefe fd = h. Die Dimensionen des durch die Schwimmebene gebildeten Rechteckes WW lassen sich aus den vorher gegebenen berechnen und mögen vorläufig a und ß genannt werden, während wir die Eintauchungstiefe fli mit x bezeichnen. Nach der untenstehenden Note ist¹):

Inhalt des Prisma EG HINK— \ bh    -~j~ A ^, ebenso das Prisma

der Inhalt = I beider zu

FEGNIL = -Ç-    + folglich

sammengenommen :

1= A \b (2a + A) + B (2A + «)}.

Das verdrängte Wasservolumen = SS ist ein ähnlicher Körper zu letzterem Volumen, und man findet den betreffenden Inhalt, wenn man in dem Ausdrucke für I statt h den Werth x setzt, A mit a und B mit ß verwechselt, also erhält:

(1) 83 = -Q | b (2a + a) + ß (2« + a) j.

Es erübrigt nur noch, a und ß durch bekannte Dimensionen auszudrücken. Hierzu hat man aber, weil A def CV) A fgh,

hf :fd — hg : de, d. i. x : h =    ----- : -----— und ebenso, weil

A y~- • Aus diesen Propor-

A HQT(X) Zl HPS, x:h=^a

tionen folgt

Ct - Cl —|—

x {A — a)

und ß = b -f-

x(B — b)

so wie, wenn diese Werthe in (I) gesetzt werden, nach gehörigem Zusammenziehen und Ordnen:

(A — a) (B — b)

æ³ +    -a) + a(B-l) x, + ahX'

Ist nun Q das Pontongewicht, einschliesslich der Belastung desselben, so folgt, wegen Q ==

Fig. 36.

*) Der körperliche Inhalt eines schief abgeschnittenen dreiseitigen Prismas, J\T n JA Fig. 36, in welche sich unser Ponton zerlegen läßt, besteht aus dem In-\n halte einer Pyramide, wovon das / Rechteck AB CD Grundfläche und k NO Höhe ist, deren Inhalt also beträgt, wenn AB = Dö = 7j, AD — Bö — m und NO — EM — e

— ; ferner aus 3

TU

yD

gesetzt wird: mh .

einer zweiten Pyramide, wovon das Dreieck DEC Grundfläche und NE = n die

Daher der Inhalt beider

he

Höhe ist, dessen Inhalt demnach sein muß :    •

mke nhe

Pyramiden oder des Prismas : —^— -J- —-— = j- he (2m -j- n)

he

= "2"V~3    }

.§• ?⁴-

Aufgabe 4. Man soll die Tiefe der Einsenkung eines Schiffes bestimmen, dessen isometrische Projection Fig. 37 darstellt.

."V.

(A — a) (B — b)

3 7i²

*³+ [

b(A — a) + a (B—b)

b(A —a) + a (B — b)

1 x² -f- abx, sowie

» ,    3 abh²

X + ü-äiJB-b) X

II. *+2^1^ (A —a) (B—b)

Beispiel. Die eisernen Pontons zum Transporte der Köhren der Menai-Brücken¹) hatten folgende Dimensionen: A — 98 Fuß (englisch), B = 31', a = 93', b = 26', h = 8f' und die Einsenkung = x betrug, wenn die Pontons mit einer der größten Röhren (472 Fuß Länge) belastet waren, 6 Fuß. Wie groß berechnet sich hiernach die Totalbelastung eines dieser Pontons, wenn y = 62,5 U engl, gerechnet wird.

Auflösung. Q = 984719,388    = 439,607 Tons. Die ganze

Tragfähigkeit für x = h ergiebt sich ferner zu 1489596,255 té = 665 Tons.

Zusatz. Die sogenannten Fähren auf den meisten deutschen Flüssen bilden Pontons, wobei die langen Seitenwände auf den Böden normal stehen. In diesem Falle wird B *= b und statt I. wird

b(A- a)

2h

x² -j- abx oder

₉    ,    2 all

x + n-T ³³ —

¹ (A — a)

= 0.

y b (A — a)

Beispiel. Wie tief sinkt eine Flußfähre von 2700 Kilogr. Gewicht ein, wobei A=12m,20, a = 9m,15, B = b = 3m,66 und h = lw,0 ist, wenn 90 Menschen, von je 70 Kilogr. Durchschnittsgewicht für einen Jeden, darin Platz nehmen.

Auflösung. Zuerst ist Q = 2700 -j- 90 . 70 = 9000, ferner

2 ah

= 6,3;

= 0,178 und sonach, da \ = 1000 Kil. ist:

b (A — a)

x² -j- 6,30 x — 1,602, woraus folgt: x = 0,16 Meter.

Fig. 37.

.....4.

•    K-"" 4k

5"

My<

"">k

><-\

tr

¹) Clark, The Tubulär Bridges, p. 503, 558, 587 etc.

Auflösung. Das Mittelstück ACEG bilde ein gerades Parallel-epipedum, wovon die Länge AE = BE = CG = Z, die Breite AD = BC = EH = 6, die Tiefe AB CD = EF — h sein mag. Jeder der beiden gleichen Schnäbel bilde eine vierseitige Pyramide mit rectangulärer Basis, die Länge IL = KM jedes Schnabels sei = c. Die punktirten Linien acgefhdba mögen die Durchschnittsfläche des Schiffes mit der Schwimmebene bezeichnen, die Eintauchungstiefe cA = dD = gE — hH werde = x gesetzt. Der Cubikinhalt des eingetauchten Theiles vom Mittelstücke ist hiernach = xbl. Die eingetauchten Theile der Schnäbel bilden schief abgeschnittene dreiseitige Prismen abcdAD und efghEH, wovon jede

der parallelen Seiten ab und ef=^(h — er), die beiden andern

cd = gh — b₇ die normalen Querschnitte pgr = i ~ x²,¹) mithin der Cubikinhalt beider dreiseitigen Prismen zusammen

(Sh — x) x² ist.

_ JL

3

Bezeichnet daher W das Gewicht des leeren Schiffes und P das der Ladung, so erhält man:

I. P-\-W= yblx + ł Y -jjr (3A — x) x², und hieraus

II. X³ — 3Äa?² — 3 X -f- (P -\-W) = 0.

Beispiel. Die Holzschiffe auf der Moldau und Oberelbe haben eine ganz ähnliche Gestalt, wie Fig. 37, und nachbemerkte Dimensionen :²)

l = 15m,2; b = c= 3m,8; h = lm,3 und ihr Gewicht beträgt unbelastet = 6183 Kilogr., es fragt sich,, zu welcher Tiefe dieselben in letztgedachtem Zustande einsinken?

Aufgabe. Die Gleichung II giebt, wenn P= 0, W= 6183 und y = 1000 gesetzt wird :

æ³ — 3,9 cc² — 20,28 cc -f 2,17 = 0.

Hieraus aber

x = 0m,10.

Anmerkung. Es dürfte hier der geeignetste Ort sein, Einiges über die Ausmessung der Fluß- und Seeschiffe anzuführen.

um

Die Ausmessung der Schiffe (Aichen, Eichen der Schiffe, Jaugeage, Measurement of Ships) geschieht aus einem doppelten Grunde. Einmal durch dieselbe dem Rheder und Schiffer einen Anhaltspunkt für die Belastung zu geben, damit Ueberladungen und dadurch Gefahren für

0 Es verhält sich BC : ab = AB : Bc, d. i. b : ab h : h — x und

so wie 1L: Lr = pq : qr, oder

pq . qr

ab — (h — sc) ; ferner ist A ygr =

esc . sc

c : h = pq : sc, mithin kpqv = —'

²) Gerstner, Handbuch der Mechanik, Bd. I, S. 57.

CSC²

Hühlmann’s Hydromechanik.

Leben und Eigenthum vermindert werden ; zweitens um die öffentlichen Abgaben zu reguliren, welche der Schiffer unter höchst verschiedenen Namen, sowohl im eigenen Lande wie auswärts, zu leisten hat.

Zur Zeit geschieht dies Ausmessen und Rechnen überall nach, praktischen Regeln, die meistentheils unendlich weit entfernt von den mathematischen Theorien liegen, auf welche sich streng genommen derartige Meßverfahren und Rechnungen gründen müßten.

Für gegenwärtigen Zweck wird es hinreichend sein, die für das Deutsche Reich seit dem 1. Januar 1873 in Kraft getretene Aichungs-methode oder Schiffsvermessungs-Ordnung hier mitzutheilen ]). Nach dem Reichsgesetzblatte Nr. 23 vom 5. Juli 1872 sind die betreffenden Bestimmungen folgende:

I. Allgemeine Bestimmungen¹ 2).

zum

bestimmt sind, mit alleiniger Ausnahme derjenigen ausschließlich zur Fischerei bestimmten Fahrzeuge, welche mit durchlöchertem Fischbehälter versehen sind.

§. 1. Die nachstehenden Vorschriften finden Anwendung auf alle Schiffe, Fahrzeuge und Boote, welche nach ihrer Bauart ausschließlich oder vorzugsweise Verkehr auf See, oder auf den Buchten, Haffen und Watten derselben

§. 2. Zur Ermittelung der Ladungsfähigkeit der Schiffe wird deren Raumgehalt durch Vermessung festgestellt. Die Vermessung erfolgt nach metrischem Maaß und erstreckt sich auf sämmtliche innere Räume des Schiffes und der auf demselben fest angebrachten Aufbauten.

Das Ergebniß der Vermessung aller Räume eines Schiffes, in Körpermaaß ausgedrückt, heißt der Brutto-Raumgehalt des Schiffes und, nach Abzug der Logisräume der Schiffsmannschaft (§. 15), sowie der etwa vorhandenen Maschinen-, Dampfkessel- und Kohlenräume (§. 16), der Netto-Raumgehalt desselben.

§. 3. Die Vermessung erfolgt nach dem in den §§. 4 bis 11 vorgeschriebenen vollständigen Verfahren.

Ausnahmsweise kann jedoch nach Maaßgabe der §§. 12 und 13 ein abgekürztes Verfahren zur Anwendung gebracht werden, wenn das Schiff ganz oder theilweise beladen ist, oder Umstände anderer Art die Vermessung nach dem vollständigen Verfahren verhindern.

II. Das vollständige Vermessungs-Verfahren.

§. 4. Dasjenige Deck, welches in Schiffen mit weniger als drei Decken das oberste und in Schiffen mit drei und mehr Decken das zweite von unten ist, heißt das Vermessungs-Deck.

Die unter dem Vermessungs-Deck befindlichen Schiffsräume werden als ein zusammenhängendes Ganze betrachtet und vermessen.

Die über dem Vermessungs - Deck befindlichen Räume, mögen sie durch ein drittes oder ein weiteres Deck, oder durch Aufbauten auf dem obersten Deck gebildet sein, werden als selbstständige Räume behandelt und ein jeder für sich vermessen.

§. 5. Die Messung des inneren Schiffsraumes unter dem Vermessungs-Deck geschieht durch Aufnahme der Länge und einer je nach der Länge verschieden großen Anzahl von Querschnitten (§. 6).

§. 6. Die Länge wird auf dem Vermessungs-Deck in gerader Linie gemessen und zwar von der inneren Fläche der Binnenbords-Bekleidung (in mittlerer Dicke) neben dem Vordersteven bis zu der inneren Fläche des mittelsten Heckstützens, oder der mittschiffs am Heck befindlichen Bekleidung’ (in mittlerer Dicke).

Von dieser Länge wird ein Abzug gemacht, bestehend in dem Fall des Bugs in der Dicke des Decks, in dem Fall des Heckstützens in der Dicke des Decks und in dem Fall des Heckstützens in einem Drittel der Deckbalkenbucht.

Die auf diese Weise gefundene Länge wird in eine Anzahl gleicher Theile getheilt, und zwar:

1)    eine Länge bis zu 15 Meter in 4 gleiche Theile;

2)    eine    Länge    über    15    Meter    und    bis    zu    37    Meter    in    6    gleiche    Theile;

3)    eine    Länge    über    37    Meter    und    bis    zu    55    Meter    in    8    gleiche    Theile;

4)    eine    Länge    über    55    Meter    und    bis    zu    69    Meter    in    10 gleiche Theile;

5)    eine    Länge    über    69    Meter    in 12 gleiche Theile.

§. 7. Auf jedem dieser Theilungspunkte wird ein Querschnitt des unter dem Vermessungs-Deck befindlichen Schiffsraumes in folgender Weise gemessen:

Die Tiefe jedes Querschnittes wird zwischen zwei Punkten gemessen, von denen der obere Punkt in einem Abstand von einem Drittel der Deckbalkenbucht unter dem Vermessungs-Deck und der untere Punkt in der oberen Fläche der Bodenwrange an der inneren Seite des Füllungsganges liegt. Fällt ein solcher Querschnitt in eine Erhöhung oder Vertiefung des Deckes, so wird der obere Punkt in der verlängert gedachten Fluchtlinie des Deckes ermittelt. Von der so gefundenen Tiefe wird die mittlere Dicke der zwischen der Kimmwegerung und dem Füllungsgange befindlichen Binnenbords - Bekleidung in Abzug gebracht.

Beträgt die nach dem Vorstehenden bestimmte Tiefe des durch den mittelsten Theilungspunkt der Länge gelegten Querschnittes nicht mehr als 5 Meter, so wird die Tiefe eines jeden Querschnittes in vier gleiche Theile getheilt. Durch jeden der drei mittleren Theilungspunkte, sowie durch den oberen und unteren Endpunkt der Tiefe, werden sodann die inneren Breiten jedes Querschnitts rechtwinklig zur verticalen Kielebene gemessen, indem jedes Maaß bis zur mittleren Dicke desjenigen Theiles der Binnenbords-Bekleidung genommen wird, welcher zwischen den Vermessungspunkten liegt.

Zum Zwecke der Berechnung des Flächeninhalts der Querschnitte werden die fünf gemessenen Breiten eines jeden Querschnitts in der Weise numerirt, daß die oberste Breite mit 1, die nächstfolgenden Breiten mit 2, 3, 4, und die unterste Breite mit 5 bezeichnet wird. Die Summe nun, welche sich ergiebt, wenn die zweite und vierte Breite mit 4, die dritte Breite mit 2 multiplicirt wird und hierzu die erste und die fünfte Breite addirt werden, wird mit dem dritten Theile des gemeinsamen Abstandes der Breiten von einander multiplicirt. Das Product ergiebt sodann den Flächeninhalt des Querschnitts.

Beträgt jedoch die nach dem zweiten Absätze dieses Paragraphen bestimmte Tiefe des durch den mittelsten Theilungspunkt der Länge gelegten Querschnitts mehr als 5 Meter, so wird die Tiefe eines jeden Querschnitts anstatt in vier, in sechs gleiche Theile getheilt, so daß anstatt fünf ßreiten sieben Breiten der Querschnitte zu messen sind. Die Messung geschieht übrigens in derselben Weise und auch die Art und Weise der Berechnung bleibt dieselbe. Es werden nämlich die zweite, vierte und sechste Breite mit 4, die dritte und fünfte Breite mit 2 multiplicirt, die Producte addirt und zur Summe derselben die erste und die siebente Breite hinzugezählt. Die Gesammtsumme wird mit dem dritten Theil des gemeinsamen Abstandes der Breiten von einander multiplicirt und das Product ergiebt sodann den Flächeninhalt des Querschnitts.

§. 8. Aus dem nach den Vorschriften des §. 7 ermittelten Flächeninhalt aller einzelnen Querschnitte wird der Inhalt des unter dem Vermessungs-Deck befindlichen Schiffsraumes in folgender Weise berechnet:

Die Querschnitte werden nach einander mit 1, 2, 3 u. s. w. in der Art numerirt, daß mit 1 der durch den Anfangspunkt der Länge am Bug und mit der letzten Nummer der durch den Endpunkt der Länge am Heck gelegte Querschnitt bezeichnet wird. Die Summe, welche sich ergiebt, wenn jeder mit einer geraden Nummer bezeichnete Querschnitt mit 4, jeder mit einer ungeraden, mit Ausnahme der ersten und letzten Nummer, bezeichnete Querschnitt mit 2 multiplicirt wird und hierzu die mit der ersten und der letzten Nummer bezeichneten Querschnitte — sofern diese überhaupt einen Flächeninhalt ergeben haben — addirt werden, wird mit dem dritten Theil des gemeinsamen Abstandes der Querschnitte von einander multiplicirt. Das Product ergiebt sodann den Inhalt des unter dem Vermessungs-Deck befindlichen Schiffsraumes.

§. 9. Hat das Schiff über dem Vermessungs-Deck noch ein drittes Deck, so wird der Inhalt des Paumes zwischen dem dritten Deck und dem Vermessungs-Deck folgendermaßen bestimmt:

Die innere Länge des Raumes wird auf halber Höhe desselben von der Bekleidung neben dem Vordersteven bis zur Bekleidung der Inhölzer am Heck gemessen. Diese Länge wird in dieselbe Anzahl gleicher Theile getheilt, in welche die auf dem Vermessungs-Deck gemessene Länge getheilt worden ist (§. 6). An jedem dieser Theilungspunkte, sowie an den Endpunkten der Länge, am Bug und am Heck, werden die inneren Breiten gemessen und zwar ebenfalls auf halber Höhe.

Die Breiten werden nach einander mit 1, 2, 3 u. s. f. in der Art numerirt, daß die Breite am Bug als Nr. 1 bezeichnet wird. Die zweite und alle anderen, mit geraden Nummern bezeichneten Breiten werden mit 4, die dritte und alle anderen, mit ungeraden Nummern bezeichneten Breiten, mit Ausnahme der ersten und der letzten Breite, werden mit 2 multiplicirt. Die Summe der Producte und der ersten und letzten Breite wird mit dem dritten Theile des gemeinsamen Abstandes der Breiten von einander multiplicirt. Das Product ergiebt den Flächeninhalt der mittleren wagerechten Durchschnittsfläche und dieser, mit der mittleren Höhe des Raumes multiplicirt, den Inhalt des gemessenen Raumes.

§. 10. Hat das Schiff mehr als drei Decke, so werden die über dem Vermessungs-Deck befindlichen Zwischendeck-Räume, ein jeder für sich, in der in §. 9 beschriebenen Weise vermessen.

§. 11. Befinden sich Kajüten, Hütten, Deckhäuser, Backe oder sonstige, fest angebrachte Aufbauten auf dem obersten Deck, welche zur Aufnahme von Gütern oder Vorräthen, oder zur Unterbringung oder sonstigen Bequemlichkeit der Passagiere oder der Schiffsbesatzung, einschließlich des Schiffsführers, dienen, so wird der Raumgehalt derselben in folgender Weise festgestellt:

Es wird die innere mittlere Länge eines jeden solchen Raumes gemessen und in zwei gleiche Theile getheilt. In halber Höhe desselben werden ferner drei innere Breiten gemessen, und zwar je eine Breite durch jeden der beiden Endpunkte, und die dritte durch die Mitte der gemessenen Länge. Zur Summe der beiden Endbreiten wird sodann das Vierfache der mittelsten Breite addirt und die Gesammtsumme mit einem Drittel des gemeinsamen Abstandes der Breiten von einander multiplicirt. Das Product ergiebt den Flächeninhalt der mittleren wagerechten Durchschnittsfläche, und dieser, mit der mittleren Höhe des Raumes multiplicirt, den körperlichen Inhalt desselben.

III. Das abgekürzte Vermessungsverfahren.

§. 12. Die Länge wird auf dem obersten Deck gemessen, von der Außenfläche der Außenhaut neben dem Vordersteven bis zur hinteren Fläche des Hinterstevens. Von dieser Länge wird der Abstand zwischen der hinteren Fläche des Hinterstevens und demjenigen Punkte der Sponung im Hintersteven, in welchem die Gillungsplanke dieselbe schneidet oder die Sponung in die Gillungslinie übergeht, in Abzug gebracht.

Es wird ferner die größte Breite des Schiffes gemessen zwischen den Außenflächen der Außenbords-Bekleidungen oder der Berghölzer. Auf der größten Breite wird sodann die Höhe des obersten Deckes außenbords an beiden Seiten vermerkt und mittelst einer, in senkrechter Richtung zum Kiel straff um das Schiff herum gezogenen Kette diejenige Linie gemessen, welche den einen der vermerkten Punkte unter dem Kiel hindurch mit dem anderen gegenüberliegenden Punkte verbindet. Zur Hälfte des so ermittelten äußeren Umfangs wird die Hälfte der größten Breite addirt. Die sich ergebende Summe wird mit sich selbst multiplicirt, sodann mit der nach Absatz 1 dieses Paragraphen ermittelten Länge des Schiffes multiplicirt und das Product wird nochmals, und zwar, wenn das Schiff zumeist von Eisen erbaut ist, mit 0,18 (achtzehn Hundertstel), wenn es zumeist von Holz erbaut ist, mit 0,17 (siebenzehn Hundertstel) multiplicirt. Die gefundene Zahl ergiebt den Inhalt des unter dem obersten Deck befindlichen Schiffsraumes in Cubikmetern.

§. 13. Befinden sich Cajüten, Hütten, Deckhäuser, Backe oder sonstige, fest angebrachte Aufbauten auf dem obersten Deck, so wird der Inhalt dieser Räume in der Weise ermittelt, daß die mittlere Länge, mittlere Breite und mittlere Höhe derselben mit einander multiplicirt wird.

IV. Die Vermessung offener Fahrzeuge.

§. 14. Bei Bestimmung des Brutto - Raumgehaltes offener Fahrzeuge bezeichnet die Oberkante des obersten Plankenganges die Grenzfläche des zu vermessenden Raumes.

Die Tiefen werden von denjenigen Querlinien ab gemessen, welche von Oberkante zu Oberkante des obersten Plankenganges durch die Theilungspunkte der Länge gezogen sind.

Im Uebrigen kommen die Vorschriften des zweiten bezw. dritten Abschnittes zur Anwendung.

V. Die Abzüge vom Brutto - Raumgehalt.

§. 15. Bei allen Schiffen wird der Raumgehalt der vollständig und ausschließlich zum Gebrauch der Schiffsmannschaft dienenden Räume, nach ihrer durch Messung ermittelten Größe, jedoch höchstens bis zum zwanzigsten Theile des Brutto - Raumgehaltes des Schiffes, von dem letzteren in Abzug gebracht.

Für die Vermessung der erwähnten Räume gelten die im §. 11 gegebenen Vorschriften.

§. 16. Bei Schiffen, welche durch Dampf oder durch eine andere künstlich erzeugte Kraft bewegt werden, wird der Inhalt der Räume, welche von der Maschine und den Dampfkesseln thatsächlich eingenommen werden und für die wirksame Thätigkeit derselben abgeschieden sind, sowie ferner der abgeschlossene Raum solcher Kohlenbehälter, welche dauernd hergerichtet und derartig angebracht sind, daß aus ihnen die Kohlen unmittelbar in den Maschinenraum geschüttet werden können, je nach der durch Messung ermittelten Größe dieser Räume, jedoch höchstens bis zur Hälfte des Brutto - Raumgehaltes des Schiffes, von dem letzteren in Abzug gebracht.

Bei Schlepp-Dampfschiffen, welche ausschließlich zum Schleppen anderer Schiffe dienen, wird der Inhalt sämmtlicher Maschinen-, Dampfkessel- und Kohlenräume ohne Beschränkung auf die Hälfte des Brutto-Raumgehaltes des Schiffes in Abzug gebracht, sobald diese Räume den im ersten Absätze dieses Paragraphen enthaltenen Bestimmungen entsprechen.

Bei Schrauben-Dampfschiffen gehört auch der von dem Wellentunnel eingenommene Raum zu den in dem ersten Absätze dieses Paragraphen bezeichneten Räumen.

§. 17. Für die Vermessung der im §.16 erwähnten Räume gelten folgende Vorschriften:

1)    Es wird die mittlere Länge des Maschinenraumes einschließlich der in der vorgeschriebenen Weise eingerichteten Kohlenbehälter gemessen. Ferner werden in Gemäßheit der Bestimmungen des §. 7 drei Querschnitte gemessen bis zur Höhe des Deckes des Maschinenraumes oder des unmittelbar über dem Maschinenraume befindlichen Deckes, und zwar ein Querschnitt an jedem der beiden Endpunkte und ein Querschnitt in der Mitte der Länge. Zur Summe der beiden Endquerschnitte wird das Vierfache des Mittelquerschnitts addirt und die Gesammtsumme mit einem Drittel des gemeinsamen Abstandes zwischen den Querschnitten multiplicirt. Das Product ergiebt den Inhalt des fraglichen Raumes.

2)    Ist das unter Nr. 1 erwähnte, über dem Maschinenraum befindliche Deck nicht das oberste Deck des Schiffes, so wird der Inhalt des Raumes zwischen dem bereits gemessenen und dem obersten Deck, soweit er für die Maschine oder für den Zutritt von Licht und Luft abgeschieden ist, in der Weise ermittelt, daß die mittlere Länge, mittlere Breite und mittlere Tiefe mit einander multiplicirt werden. Der Inhalt dieses Raumes wird sodann dem Inhalt des übrigen Maschinenraumes zugerechnet.

Das Gleiche gilt von dem Inhalt der in der vorgeschriebenen Weise angebrachten Kohlenbehälter, welche durch zwei Decke gehen.

3)    Befinden sich die Maschine, die Dampfkessel oder die Kohlenbehälter in selbstständigen Abtheilungen, so werden diese in der unter Nr. 1 und 2 angegebenen Weise einzeln vermessen und die Summe des Raumgehaltes derselben gilt als der Inhalt des ganzen Raumes.

4)    Zur Ermittelung des körperlichen Inhalts des von dem Wellentunnel in Schrauben-Dampfschiffen eingenommenen Raumes wird die mittlere Länge, mittlere Breite und mittlere Tiefe des Tunnels mit einander multiplicirt.

§.18. Werden diejenigen Räume eines Schiffes, welche bei der Vermessung desselben vom Brutto - Raumgehalte in Abzug gebracht worden sind, in anderer Weise als in den §§.15 und 16 vorgesehen, später nutzbar gemacht, so müssen sie dem Netto - Raumgehalte des Schiffes sofort zugezählt werden. Ob zu diesem Zwecke die Neuvermessung des Schiffes erforderlich ist oder nicht, bestimmt die Vermessungs - Behörde.

¹

)    Die englischen und französischen Meßmethoden werden u. A. mitgetheilt in dem von dem Vereine „Hütte“ herausgegebenen Taschenbuche des Ingenieurs. Elfte Auflage, Berlin 1877, S. 438 und 439.

²

)    Das gegenwärtige deutsche Schiffsvermessungsverfahren ist unter dem Namen der Moorson’schen Aichungsmethode bekannt und hat in Nordamerika und allen europäischen Staaten, mit Ausnahme von Rußland, Griechenland und der Türkei, gesetzliche Gültigkeit. Bemerkt zu werden verdient noch, daß in den Schlußbestimmungen der deutschen Schiffsvermessungs-Ordnung(§. 33) ausdrücklich hervorgehoben wird, daß eine Tonne von 1000 Kilogramm gleich 2,12 Cubik-meter, eine Last von 4000 Pfund gleich 4,24 Cubikmeter, eine Last von 5200 Pfund gleich 5,52 Cubikmeter, und eine Last von 6000 Pfund gleich 6,37 Cubikmeter gerechnet wird.

§. 35.

Bei allen Schiffen, deren Th eile nicht auf die eine oder andere der einfachen geometrischen Körperformen zurückzuführen sind, wie dies hei allen großem Flußschiffen, insbesondere aber bei allen See-, Segel- und Dampfschiffen der Fall ist, benutzt man zur Inhaltsberechnung des eingetauchten Schiffkörpers mit ganz entschiedenem Vortheile die Simpson’sche Regel¹). Hierzu denkt man sich den betreffenden Körper durch (zur Schwimmebene) horizontale oder verticale Schnittebenen in eine den Umständen entsprechende An-

*) Eine ganz vorzügliche Abhandlung über die „Simpson’sche Regel“ findet sich in Navier - Wittstein’s „Lehrbuche der Differential- und Integral-Rechnung“. Zweiter Band, S. 215 (Vierte Auflage), unter der Ueberschrift „Angenäherte Qua draturen“.

zahl von Theilen zerlegt, wovon man zuerst die Inhalte der ebenen Begrenzungsflächen, sodann aber durch abermalige Anwendung der gedachten Regel, die Körperräume berechnet.

Um hierüber vollständige Einsicht zu erlangen, benutzen wir zu den gedachten Berechnungen nachstehende von Redtenbacher (Resultate für den Maschinenbau, Sechste Auflage, S. 309) aus Tredgold’s Werke über die Dampfmaschinen (Anhang A und B) zusammengestellte Tabelle, welche die Verhältnisse des englischen Dampfschiffes Rainbow angiebt. Zur ferneren Erläuterung dienen die Figuren 38 und 39.

Fig. 38.

W_

1 i_J _J * j rjn i i pi ! ji i J/w

j>. z-_A A Ł-¹-    JAR_l§_r²/

Fig. 39.

TTT"

19

¹⁹

Dabei ist die = L gesetzte Länge des Schiffes zwischen den sogenannten Perpendicularen in 20 gleiche Theile getheilt, die Tauchung = T, für die normale Belastung in 6 gleiche Theile (wovon, um nicht undeutlich zu werden, in der Figur nur vier gezeichnet sind) und die größte Breite (die des Hauptspannten) in der Schwimmebene = B gesetzt.

Die Verticalreihen der Tabelle sind die Ordinatenwerthe der Begrenzungscurve des jedesmaligen Horizontalschnittes,

die größte Breite in der Schwimmebene gleich 2000 setzt, so

daß diese Werthe mit    ‘) multiplicirt werden müssen, um ihre

erhalten. Die Horizontalreihen sind eben so

wenn

man

wahren Größen zu die Ordinaten der einzelnen Querprofile etc.

!) Setzt man die (halbe) wirkliche Ordinate = tj, so verhält sich t| : y = B : 2000, d. i. rj =

yB

u. s. w.

Hinterschiff.

Vorderschiff.

Nr. des Ordinalen der Horizontalschnitte.

Quer*

Schnitts

i.

u. I w-î~u- I v. | VI.

Nr. des Ordinaten der Horizontalschnitte. Querschnitts

i. | II. | in. iv. | v. vi.

20 20 75 110

165

250

280

400

400

530

515

640

610

710

680

770

730

820

760

860

770

860

o o o o o o O O ü' o o

20

20

20

200 260

385

530

665

750

820

880

910

940

455

590

710

790

860

910

945

970

950 980

336

520

640

750

830

890

930

960

990

990

ëëllISlgSg ÜjÜliili slïïiÎ!II!

950

940

910

845

760

660

570

390

230

70

slüiliiü

siiiiiüi!

Zusatz 1. Berechnung des Volumens = 33 der verdrängten Flüssigkeit aus den Horizontalschnitten. Es bezeichnet K den relativen Flächeninhalt eines der Horizontalschnitte, oder das Verhältniß des wahren Inhaltes = F zum Inhalte des der

F

Schwimmfläche umschriebenen Rechteckes, d.i. k — -—, y₀, y₂ . . . yn

BL

die Ordinatenwerthe der Tabelle, so daß die wahren Ordinatenwerthe ypB yxB 2000 ’ 2000

sehen Regel ohne Weiteres

also :

etc. .

* * 2000

so ergiebt sich nach der Simpson-

h    - 2P0PÖ • 3

\ jï/o + y20 “f“ 2 (y₂ 4" 2/4 • • • 2/is) 4“ 4 (y₁ -)- 2/3 ... yl9) J.

Daher für den ersten Schnitt: yp 4“ 2/20 = 20,

y₂ = 165 2/4 — ⁴00 2/e = 810 2/s ⁼⁼ 7 3 0

So-7 70

2/12 — 710 2/u = 545 2/i6 = 320

y iS = 30

2/i

75

4340 X 2 = 8680;

2/3 = 280

y₅ = 515

y, =380

2/₉ =760 2/n = 745 y n = 840 2/15 = 440

2/n = 200 2/i9 = 30

4365 X 4 = 17460; also *! = eołoó (²⁰ + 8680 + 17460) = 0,436.

Auf dieselbe Weise verfahren, erhält man (den Oten Schnitt = Null

gesetzt):

&o=0; 7^ = 0,4360 ; h₂ = 0,526833 ; &₃= 0,582167; kA = 0,620667 ; £₅ = 0,656333; &₆ = 0,687567.

Hieraus endlich:

LjÿF — ï • i j "4“ ^6    2 (&a -J- &₄) -|- 4 (-f- &3 4" kb) |

95

, d. i.

0,53781 und

95

LBT

35 = 0,53781 . LBT.

Zusatz 2. Begreiflicher Weise muß sich 35 auch aus den Verticalschnitten berechnen lassen, was zur Beurtheilung der Uebereinstimmung geschehen mag.

Zuerst erhält man, den relativen Flächeninhalt der Verticalschnitte F

mit r bezeichnet, d. h. r = ——- gesetzt, wenn die betreffenden Ordi-

1B

naten durch z ausgedrückt werden :

|^o 4-^4-² (z2 4" zi) + ⁴ (»i 4“ z3 4~ gs)| •

7ÏÏÔÔ

_i i

TB ³ ¹ ⁶ ’

Daher für den Verticalschnitt, weil hier z₀ zl = 20; 2 (z₂ -|- z₄) = 80 ;

4 (zj 4~ % 4“ ää) = 240 ist,

r₀ = Tjho (²⁰ 4- ⁸⁰ 4- ²⁴°) = 0,018889.

So fortgefahren ergiebt sich überhaupt: r₀ =    0,018889    ]    r₅    = 0,646111    j    r₁₀    =    0,851667    j    rl5    = 0,566389

r₄ =    0,160889    r₆    = 0,717222    rn    ==    0,832222    /    ru    = 0,474722

r₂ =    0,309444    \    r₇    = 0,772778    )    rJ2    =    0,802222    \    r₁₇    = 0,320000

=    0,438889    (    r₈    = 0,81333    (    r₁₃    =    0,742778    (    rl8    = 0,183889

r₄ =    0,556667    }    r₉    = 0,841667    ]    rJ4    =    0,665556    ]    rJ9    = 0,053333

|»o+ ¹•«> +² (rJ+r4”-'ri8)+4 (r,-{-r₃...r₁₉j,

= Wö

95

Ferner ist BLT also wenn man vorstehende Zahlenwerthe substituirt:

= 0,53781 oder 95 = 0,53781 . BLT,

So weit sich die bestimmten Zahlenwerthe von B, L und T aus den Zeichnungen des oben citirten Tredgold’schen Werkes entnehmen lassen, ist L— 182,50 Fuß (engl.), B = 24',75 und T= 6',00, d. i. 33 = 14575,33 Cubikfuß ¹).

Das Totalgewicht Q — y . 35 des Schiffes (Schale, Maschine und Kessel, Ausrüstung inclusive Takelage und Fracht) betrug daher, wenn man y das Gewicht eines Cubikfußes Seewasser 1,024 mal so groß als ein Cubikfuß Süßwasser, also für englische Maaße

y = 62,5 X 1,024 = 64 Pfund englisch²) rechnet:

Q = 14575,33 X 64 = 932821,12 Pfd., oder in englischen Tonnen à 2240 Pfd :

Q = 416,4 Tons.

§. 36.

Stabilität schwimmender Körper.

Für die technische Mechanik noch besonders wichtig ist die Aufsuchung der Bedingungen, unter welchen ein Körper mit Stabilität, Instabilität oder mit völliger Gleichgültigkeit schwimmt.

Hierzu nehmen wir an, daß der im Wasser schwimmende Körper nicht gleichartig ist, vielmehr in seinem Innern eine Substanz (Ladung) enthält, deren Dichte größer als die des Wassers ist, und folglich der Schwerpunkt des eingetauchten Körpertheils nicht mit dem des verdrängten Wassers zusammenfällt.

Fig. 40 bis 42 mögen sodann drei schwimmende Körper vorstellen, welche durch irgend eine Kraft aus der ursprünglich aufrechten Gleichgewichtslage in eine neue schiefe Lage gebracht wurden, ohne daß letztere ein Gleichgewicht an sich zuläßt. Auftriebs- und Schwerkraftsrichtungen also nicht in derselben Verticalen liegen.

Fig. 41.

Fig. 42.

Fig. 40.

sMU

In allen drei Figuren bezeichnet S den Schwerpunkt des ganzen Körpers (einschließlich der Ladung), E den Schwerpunkt des verdrängten Wassers bei aufrechter und F bei geneigter Stellung.

Jeder dieser Körper ist sodann (ähnlich wie bereits §. 28 erörtert wurde) der Wirkung zweier Kräfte unterworfen, die ihn veranlassen, zwei verschiedene Bewegungen anzunehmen, nämlich eine fortschreitende, vertical aufwärts durch den Schwerpunkt S gerichtete, und eine Drehbewegung um eine durch diesen Schwerpunkt gehende horizontale Achse, welche letztere rechtwinklig auf der Verticalebene steht.

Die fortschreitende Bewegung des Schwerpunktes kann für die hier folgenden Untersuchungen außer Acht bleiben, wenn man nur berücksichtigt, daß bei aufrechter und schiefer oder geneigter Stellung des Körpers, unter sonst allerlei Umständen, stets ganz gleiche Wasservolumen verdrängt werden müssen, was nothwendiger Weise, für die meisten Fälle, eine Veränderung der Drehachsenlage voraussetzt und in die betreffenden Rechnungen mit einführt.

Sodann läßt sich aus der nähern Betrachtung der Figuren unmittelbar entnehmen, daß, wenn die Lage der Punkte F und S die von Fig. 40 und 41 ist, der Körper ein Bestreben besitzt, in seine ursprüngliche Stellung zurückzukehren ; dagegen wenn die gedachten Punkte die Lage von Fig. 42 haben, dieses Bestreben darin besteht, den Körper immer mehr von der ersten Stellung zu entfernen, d. h< solchen endlich umzuschlagen.

Verlängert man, zur weiteren Untersuchung, die durch F gehende Auftriebsrichtung, bis solche die vorher verticale Achse AB des Körpers in einem Punkte m schneidet, so ergiebt sich leicht, daß der Körper mit Stabilität schwimmt, sobald dieser Punkt höher als der Schwerpunkt S liegt, dagegen umschlägt, mit Instabilität schwimmt, wenn m unter 8 liegt, so wie endlich, daß der Zustand völliger Gleichgültigkeit eintritt, sobald m mit 8 zusammenfällt. Gedachten Punkt m nennt man das Metacentrum des schwimmenden Körpers²).

§. 37.

Es mag jetzt gezeigt werden, wie man die Stabilität eines schwimmenden Körpers, für jeden besondern Fall, durch Rechnung zu bestimmen im Stande ist, wobei wir jedoch nur Formen voraussetzen, wie sie beim Schiffsbaue Vorkommen, d. h. solche Körper, welche beim aufrechten Stande von einer durch die Schwimmebene und Längenachse gelegten Verticalebene (Mastenebene) in zwei völlig symmetrische Theile getheilt werden. Außerdem werde vorerst angenommen, es bilden alle Querschnitte des betreffenden Schiffes ähnliche gleiche Figuren, so daß Flächen als mit Volumen gleichgeltend aufgeführt werden können.

In Fig. 43 sei TOU das schwimmende Schiff, 8 dessen Schwerpunkt (einschließlich Ballast und Ladung), AOB das verdrängte

7L

Fig. 43.

LT

WSMSÈm

",

gjggg

6!

te

—- ■■ ■    »

mSÜSSSi

aas

'\Q;

Wasservolumen (Deplacement) bei aufrechter Stellung und MN 0 dasselbe nach der Drehung des Schiffes, um den beliebigen Winkel OSQ, SQ vertical vorausgesetzt. Bei der ersten Stellung sei E der Schwerpunkt des Deplacements, bei der zweiten liege derselbe in der noch unbestimmten Verticalen HL.

Zieht man nun vom unveränderlichen Schwerpunkte 8 die Linie SG rechtwinklig gegen die Auftriebsrichtung HL, so erkennt man leicht, daß Alles auf die Bestimmung von SG, als Hebelarm des Auftriebes, ankommen wird, um das Drehungs- oder Stabilitätsmoment angeben zu können.

Hierzu werde vorerst in Erinnerung gebracht, daß, um welchen Winkel das Schiff (bei gleichbleibender Ladung) auch gedreht werden mag, das Deplacement stets dasselbe bleiben, folglich ALM für alle Fälle gleich BLN sein wird, wobei L den Durchschnittspunkt der ersten Schwimmebene AB mit der neuen MN bezeichnet, ein Punkt, dessen Lage, wie aus dem später Folgenden zu entnehmen, besonders durch die Gestalt der oberen Seitenwände des Schiffes bestimmt wird.

Sodann mögen die Schwerpunkte von AML und BLN respective in k und o liegen und von diesen auf MN die Senkrechten kn und lo gefällt sein. Zieht man ferner von E auf die neue Auftriebsrichtung die Normale EH, so wird letztere durch die Proportion bestimmt MON:BLN=nl : EH. .

Denn bezeichnet in Fig. 44 R den Schwerpunkt des Volumen-Fig. 44.

Mi

m-

Kr

mm

mm

theiles MOBLM, so erhält man für das Gleichgewicht, in Bezug auf eine durch E gelegte Verticalebene EY, die Momentengleichung:

(1) MON X EH = MOBLM X rR + LBN X ZF; ferner aber auch MOI?xNull =MOBLMXrR -j- ALMX (— Yn\ d. i. MOBLMX rR = ALM X Yn, daher aus (1)

MONX EH =a ALMX »7+ XMx FZ und wegen MAL = LBN,

MON X EH =    (n7+ FZ) = Z5W X nZ.

Demnach ist überhaupt .ELT =

. wZ, oder wenn das Volumen BLN — D, das MON = SS und ni — b gesetzt wird

(2) m=±.b.

Wird nun angenommen, daß der Abstand der Punkte S und E, Fig. 43, bekannt und gleich e ist und bezeichnet (r den Neigungswinkel OSQ = BLN, so folgt EI = ES sin . cp = e sin cp. Wird sodann letzterer Werth von (2) abgezogen, so erhält man, weil IH — SG,

BLN MON

t>b

(3) SG = —--e sin (p.

Bezeichnet daher Q das Gewicht des Deplacements oder das

Gewicht des ganzen Baues, so ergiebt sich das Stabilitätsmoment M= QSG (Fig. 43)

zu

e sin cpj.

Im Falle sehr kleiner Schwingungen kann man mit dem Bogen cp statt mit sin (p rechnen, da ferner auch statt dem Gewichte Q des ganzen Baues y$£ zu setzen ist, so wird aus I:

b    ~~

M = yS3 —--e . cp , oder auch

Bezeichnet man jetzt mit 2 y (Fig. 45) die Schiffsbreite CD in der Schwimmebene gemessen und zwar in der Entfernung = z vom Hintertheile B des Schiffes, so ergiebt sich leicht :

Fig. 45.

ył

Ddz

--zr

D .6 =

ifdz + c.

Letzteres Integral ist aber nichts anderes als das Trägheitsmoment der ganzen Schwimmfläche in Bezug auf deren Längenachse, so daß, wenn dies Trägheitsmoment mit fi bezeichnet wird, aus II. überhaupt folgt:

III. M — y [fi — eS3] cp.

M = Qex sin cp = ySSßj sin cp, oder in dem vorbemerkten besonderen Falle:

Bezeichnet man ferner in Fig. 43 die Entfernung des Schwer-pimktes 8 vom Metacentrum mit el, so ergiebt sich auch, wegen SG = el sin cp :

IV. M = yüBe! . cp.

Aus III. und IV. erhält man noch besonders:

V.

6<" JL

^ SB

als Bedingung der Stabilität des Schiffes und VI. e + et = Mi=*-g-,

als Höhe des Metacentrums über den Schwerpunkt des Deplacements oder des ganzen Baues.

Zusatz 1. Der für den rationellen Schiffsbau wichtige Ausdruck III. dürfte es verdienen, hier noch eine kurze (praktische) Ableitung desselben zu notiren:

Verschafft man sich nämlich den nachstehenden mit (3) bezeichneten Hülfssatz, so ergiebt sich III. fast unmittelbar.

Hierzu repräsentire das Rechteck ABCD, Fig. 46, das Gewicht des ganzen Baues, also den Werth Q = y$.

Ferner stelle die Fläche ABSHDKFA ein Gewicht dar und endlich sei eben so q das Gewicht der Dreieckfläche CHS.

Cf

Fig. 46.

Wird hierauf A zum Momentenpunkte gewählt, so hat man :

(1)    Q.ÄF=QlÄJ-\-q.ÄK.

Denkt man sich ferner die ganze

Figur ABCD um S gedreht und zwar so, daß ABUS = ACHS wird (dabei ÜC als Schwimmebene gedacht), so läßt sich ferner setzen, das Gewicht Q jetzt in der Verticalen LN wirkend angenommen:

(2)    Q . ÄL= QjÜ-f qlG.

so folgt:

Zieht man endlich (2) von (1) ab,

(3) Q . LF = q . GK.

Bei einiger Aufmerksamkeit erkennt man aber leicht, daß, mit Bezug auf Fig. 43, geschrieben werden kann:

Q . LF = Q . KH y$ (e -f- ex) sin cp und q . GH = yüb = ycp|ix, so daß aus (3) wird: y$ (e + Cji) sin cp = ycp|U, oder

y$e . sin cp = ycpjii — y^ßeL sin cp, d. i.

M = y (jucp — üBe sin cp) oder cp statt sin cp eingeführt:

M — y (fi — dB) cp, w. z. b. w.

Zusatz 2. Mit Hülfe des Werthes III. läßt sich leicht die Oscillation des Schiffes um eine durch den Schwerpunkt S (Fig. 43) des ganzes Baues gehende mit der Kiellinie parallele Achse, d. h. das sogenannte Schlingern berechnen.

Man erhält nämlich, da nach bekannten Sätzen die Bogenaccele-ration = Statisches Moment dividirt durch das Trägheitsmoment ist und wenn dabei die Schwingungszeit mit t und mit X das Trägheitsmoment des ganzen Baues (bei Dampfschiffen incl. Maschine, Kessel etc.) bezeichnet wird :

d²ip y (fx — e$)

dt²

X <p’

woraus sich die Zeit = X einer ganzen Oscillation ergiebt zu³):

Jt j/~

VII. X =

Zusatz 3. Streng genommen würde hier der Ort sein, wo auch die sogenannte „Dynamische Stabilität“ der Schiffe, im Gegensätze der vorher behandelten „Statischen Stabilität“, erörtert werden müßte.

Umfang und Zweck unserer Hydrodynamik gebieten jedoch, daß sich der Verfasser auf folgende Notizen, so wie auf die Angabe betreffender literarischer Quellen beschränkt.

Redtenbacher*) erörtert diesen Gegenstand Folgendermaßen : Die Wirkungsgröße, welche erforderlich ist, um ein Schiff um einen Winkel a aus seiner aufrechten Lage abzulenken, ist nach Gleichung III, wenn die Bewegung ganz langsam erfolgt:

Hierzu bemerkt der genannte Autor Folgendes: Ebenso groß würde auch die zu einer rascher vor sich gehenden Ablenkung eines Schiffes erforderliche Wirkungsgröße sein, wenn das Schiff die Form eines halben Cylinders hätte, dessen Achse durch den Schwerpunkt des Schiffes ginge, weil die Drehung eines solchen Schiffes um die durch seinen Schwerpunkt gehende Längenachse keine Bewegung in dem das Schiff umgebenden Wasser verursachen würde. Allein die Schiffe und insbesondere die Dampfschiffe haben Formen, die von jenen eines halben Cylinders sehr bedeutend abweichen ; insbesondere gilt dies von den Endtheilen, weniger von dem mittleren Theile. Eine rasche Drehung des Schiffes um eine durch den Schwerpunkt gehende Längenachse setzt daher das das Schiff umgebende Wasser in Bewegung, wozu eine gewisse Wirkungsgröße = W erforderlich ist.

Die totale Wirkung, welche erforderlich wird, um ein Schiff um einen Winkel a abzulenken und ihm gleichzeitig eine gewisse Winkelgeschwindigkeit zu ertheilen, ist demnach :

i y (jLt — Se) a² + W.

Nach dem Betrage dieses Werthes ist die d yn am is c h e Stabilität eines Schiffes zu beurtlieilen.

Nach diesen Erörterungen entwickelt Redtenbacher (in der angegebenen Quelle) einen Werth für W unter der Voraussetzung, daß der Schwerpunkt des ganzen Baues nur wenig über der Wasserfläche liegt.

Anmerkung 1. Die Ausdrücke V. und VI. hat zuerst Bouguer in seinem (1746 in Paris erschienenen) Werke „Traite du Navire“, Pg. 272, angegeben. Den Mangel derselben erkennt man leicht, da die Voraussetzung eines unendlich kleinen Neigungswinkels höchstens für Flußschiffe zulässig wäre.

Dennoch benutzt man diesen Ausdruck für gewöhnliche praktische Fälle seiner Einfachheit wegen und letzteres werde auch hier als Grund genommen, denselben zur betreffenden Berechnung des englischen Dampfschiffes Rainbow (§. 35) zu verwenden.

ersetzt

Zuerst erhält man, weil y vorstehender Formel durch

werden muß, ferner statt dz der Differenzwerth Az =    ein geführt

werden kann, nach VI:

. LI, (y*)

Em =

240 000 000 000 . SB *

*) „Der Maschinenbau“. Dritter Band (1865), S. 145.

Zufolge der Tabelle, §. 35, ist aber

Ą/³ = [20³ + 336³ . . . -f 290³ + 90³] = 9683585556, ferner war $ = 0,53781 . BLT, daher die Metacentrumhöhe:

Em =

0,9683585556 B2 24.0,53781    • T⁹

Em

= 0,075023    .

Endlich speciell für das Dampfschiff Rainbow, wo B — 24',75, T= 6',00 ist:

= 7,65938 Fuß englisch.

Anmerkung 2. Zur völligen Beantwortung betreffender Stabilitätsfragen ist noch die Lage des Schwerpunktes E der verdrängten Flüssigkeit zu bestimmen nöthig.

I. Höhe = Z des Schwerpunktes der verdrängten Flüssigkeit über dem Kiel des Schiffes.

Unter Beibehaltung der Bezeichnung §. 34 und mit Zuziehung von §.75 (S. 192) der Mechanik des Verfassers ergiebt sich ohne Weiteres:

Für die Zahlenwerthe in §. 35 :

33,054733

0 . k₀ + 1 . U -f 2.2k₂ + 3.4^3 -f 4 . n₄ -f 5 Ak₅ + 6k₆\ k₀ -[- 4kY 2k₂ -j~ 4&₃ -f- 2^4 -|- 4Æ₅ -j- k§

'~T

== 0,56909 . T.

9,68034

Endlich für das Schiff Rainbow, wo T = 6,00:

Z= 3,41454 Fuß.

II.

Horizontalabstand = X des Schwerpunktes der verdrängten Flüssigkeit vom hintern Ende des Kieles.

Auf ganz gleichem Wege wie vorher, mit den Bezeichnungen von §. 34, ergiebt sich sofort:

X = — i 0rO + ¹'⁴ • Ti + ² » ⁵ • r2 * * ' • ¹⁹ • ⁴ ' rl9 + 20r2Q ( 20 j r₀ + r₂₀ -f 2 (r₂ + r₄ . . . rIS) + 4 (r, r₃ . .. r₁₉) I *

Nach §. 35 läßt sich aber der Nenner durch    ersetzen, so wie

BB1

ferner ist, wenn man die Tabellenwerthe §. 35 substituirt:

___ L 309,873552

0,480147 . L.

1200    0,53781

Speciell für das Schiff Rainbow also, wo L = 182',5, X = 87,626 Fuß.

Anmerkung 3. Eine andere Formel zur Schwerpunktsbestimmung für Flächen vorher betrachteter (symmetrischer) Gestalt läßt sich wie folgt ableiten: Mit Bezug auf nebenstehende Figur 47 erhält man, den Inhalt der Fläche = F gesetzt,

aa

FZ =

\    2    4

_6a    8a    ba

!    '    2    4    '    2    4

da lia , da 13a    ,    .

[ + — • -T+-Ï--— etc-’ d‘ '■

FX =

Fig. 47.

4(y + 4& + 8c+12d----)

Eine noch andere von Bouguer in dessen Werke „de la mâture des vaissaux“, p. 126, Paris 1727) angegebene Regel erhält man folgendermaßen :

Jede der von zwei parallelen Geraden AA, BB etc. eingeschlossenen Flächen wird in ein Rechteck und in zwei congruente Dreiecke zerlegt, z. B. Fläche ABBA in das Rechteck vom Inhalte = ad und in

die beiden Dreiecke vom Inhalte    ~

etc., alsdann ergiebt sich leicht:

-T- ( a “f“

^(46+ 5c),

6

F. X =    8d),

j^-(10d+lle),

I-Ç- (13e -j- 14/) etc., d. i.

(^JL —(— ö —(— 2c —j—    -J— 4e -f- -V⁻/)•

Beide Formeln stehen an Genauigkeit denen nach, welche aus der Simpson’schen Regel abgeleitet wurden.

■X"

4-a-

: ,

: lad

V?²-

F. Z = a²

a²

§. 38.

Für die Anwendung der vorstehenden allgemeinen mögen hier einige specielle Aufgaben folgen.

Aufgabe 1. Das Schiff, Fig. 48, habe lauter rectanguläre Querschnitte, und gegeben sei das Gesammtgewicht Q, das Deplacement AOB = MON =V, die Breite AB = t, der Abstand der beiden Schwerpunkte S und E = d und der Winkel, um welchen das Schiff geneigt werden soll, d. i. A.OSQ = (p. Die Länge des Schiffes sei der Einheit gleich.

Auflösung. Der Gestalt der Seiten nach ist hier anzunehmen, daß der Querschnittspunkt L der beiden Schwimmebenen

Ausdrücke

Rühlmann’s Hydromechanik.

Fig. 48.

P/

WL

ag

WÈÊËÊÉË.

jiy

;

- -

Mü und MN im Halbirungspunkte derselben liegt¹). Deßhalb ergiebt sich v = jBZiV =    b = nl = (sec cp -f cos tp)

und somit das Stabilitä^moment, nach I. des vorigen Paragraphen :

(1) M= Q j-^pr (sec . (f -f- cos . (p) — d . sin . cpj, ferner die Höhe des Metacentrums

(2) Em = — Csec » <p + G0S • <p)

24    V. cos . cp

Ist für einen besonderen Fall t — AB = 100, d — 13 V=3600 Q = 1000 Tonnen²), so erhält man aus (1) M = 2841,7 Tonnen.’ In der Entfernung — 50, in der Mastebene von der Drehungsachse' kann daher eine Kraft, (z. B. der Wind) von    = 56,8 Tonnen

wirken, und gegen die aufrechte Stellung eine Neigung’von 15° veranlassen, ohne daß das Schiff umschlägt, vielmehr wircl dasselbe wenn gedachte Kraft zu wirken aufhört, nach einigen Schwingungen in die erste, aufrechte Stellung von selbst zurückkehren. °

Das Metacentrum liegt dabei nach (2) überein der Höhe Am—23,9.

>) Zieht

man

ni

über E, nach III.

durch die Schwerpunkte h und o der Dreiecke AML und

Ź . tg , (D

2    5 folglich qB

LBN die Grade pq, so erhält man NB

t.tg.cp

mit-

hin Lq

U^ + tg.q,»

daher sin . NLq

. Ferner verhält sich Lq : Nq sin . cp

+ tg ■ <p²

und cos ² . {NLq)

oder, weil 2 sec . cp cos . <p = 2 ist, cos ² . (NLq

cos . NLq —

sec . (p -f- cos . (p

sin . LNq : sin. NLqy _    2 -)- sec . cp² -f- cos . (p2

⁴ + tg. (p2 (sec . cp -j- cos . cp)²

4 -f- t g . cp 2    3*

V^ + tg. (p²

da nun LI

LjO . cos . NLq

| Lq . cos . NLqy

so folgt LI angegeben.

²) Eine englische Tonne = französische Tonne = 1000 Kilogramm.

(5 (sec . cp -{- cos . cp) und hieraus endlich b

1051,649 Ki 1 ogram m

nl*2 LI, wie oben

2240 $ en gl. j eine

Aufgabe 2. Die Querschnitte des Schiffes bilden lauter Trapeze ABCD, Fig. 49. Gegeben sei die Breite in der Schwimmebene beim aufrechten Stande AB = a, ferner CD = c, die Eintauchungstiefe KO = h, so wie der Neigungswinkel OSQ — (p.

Fig*. 49.

gjgjgjj

Auflösung. Vorerst ist die Lage des Punktes L anzugeben, durch welchen die Durchschnittslinie der ersten Schwimmebene AB mit der neuen MN geht, welcher Punkt hier (wegen der Gestalt der Seiten AM und BN) nicht im Halbirungspunkte von AB mit MV liegen kann. Wie unten in der Note gezeigt ist¹), kann aber gedachte Bestimmung auf höchst einfachem geometrischen Wege geschehen, worauf also die Größe v der allgemeinen Formeln, ferner die Schwerpunkte k und o so wie ln = b zu finden sind. Eben so leicht kann mit Hülfe bekannter Sätze der Geostatik die Entfernung = d der beiden Schwerpunkte E und S berechnet werden²), worauf, weil auch V = Q bestimmt werden können, die Aufgabe als gelöst zu betrachten ist.

¹

Die Höhe = H der Schiffschale des Eainbow beträgt, nach den bereits erwähnten Tredgold’schen Zeichnungen, H — 12 Fuß engl.

²) In englischen Tonnen ausgedrückt beträgt für Seewasser:

64    1

y = 2240 ⁼ ‘35’’

²

) Von Msta jenseits und Kg'VTQor Mittelpunkt.

³

) Specielles in Bezug auf Ableitung der Gleichung VII, so wie ferner ein Zahlenbeispiel, findet sich in dem vom Verfasser (1859) geschriebenen Artikel „Dampfschiff⁴⁴ in den von Karmarsch herausgegebenen Supplementen der Prechtl’schen „Technologischen Encyklopädie⁴⁴, Bd. II, S. 449.

§• 39.

Es bleibt nunmehr noch übrig, zu zeigen, wie das Stabilitätsmoment für den Fall bestimmt werden kann, wenn alle Querschnitte des Schiffes (merklich) verschieden von einander sind.

v) Da A ALM — /\BLN sein muß, so folgt BL X LN — AL X ML, und wenn vorerst LB = x gesetzt wird (1) x . LN — (a — x) ML. Zur Bestimmung von LN und LM, werde von D auf AB die Normale De gefällt,

X DBe mit und /_BNL mit / bezeichnet. Sodann ist Be = und z = ij) — cp, folglich wegen BL : LN = sin . / : sin . i|>, LN —

Durch Substitution letzterer beiden Werthe in (1) wird

aber x und somit die Lage des Punktes L gefunden.

²) Ueber eine praktische Bestimmung von ES = d sehe man den Anhang zu diesem Buche unter Nr. 1.

ML =

(a — aj) sin . i|)

sin . ((p -j- *|>)

a — c

x sin. i|)

sin./

, sowie

Hierzu nehmen wir vorerst an, daß die Längenachse des Schiffes ntsprechende Theile getheilt ist, durch letztere rechtwinklig zur genannten Achse Verticalebenen gelegt sind und Form und Inhalt der betreffenden Querschnittsflächen bekannt ist; ferner das Deplacement in gleicher Weise vorher berechnet wurde.

in e

Fig. 50.

!lllp33sS

SM

mm

5ÜEÉ

~    _7; * -

Fig. 50 stelle irgend einen der gedachten Querschnitte (z. B. den größten) dar, wobei AB die Schwimmebene bei aufrechter, MN die bei geneigter Lage des Schiffes bezeichnen mag. Vorerst ist hier zu bemerken, daß der Punkt L, in welchem sich letztgenannte Ebenen schneiden, nicht auf die Weise bestimmt werden kann, wie solches in der zweiten Aufgabe des vorigen Paragraphen geschah, dadurch nämlich, daß in irgend einem einzelnen Querschnitte Fläche MLA der Fläche BLN gleich angenommen oder gemacht wurde, indem nach gegenwärtiger Voraussetzung das in das Wasser und aus dem Wasser getretene Volumen nicht den respectiven Flächen selbst proportional ist, wie solches bei durchaus ähnlich gleichen Figuren der Fall war. Wie verschieden aber auch die gleichliegenden Flächen AML und BLN in den verschiedenen Querschnitten sein mögen, so wird doch immer noch das zwischen ihnen enthaltene Volumen in der ganzen Längenausdehnung des Schiffes, d. h. das respective aus und in das Wasser getretene Total-Volumen, gleich groß sein.

man

Auf eine für die Praxis hinreichend genaue Weise kann die Auflösung der fraglichen Aufgabe wie folgt geschehen. Man theile AB in zwei gleiche Theile und lege durch den Theilpunkt D eine Parallelebene RT zu MN. Der Abstand DL muß dann, wie leicht zu ermessen, in allen Querschnitten derselbe sein. Mit Zuziehung von Simpson’s Regel berechne man ferner in jedem Querschnitte den Inhalt der Fläche B DTe und hieraus das zwischen den Ebenen BD und DT enthaltene Volumen; auf gleiche Weise ermittele das zwischen den Ebenen AZ) und RD enthaltene Volumen ADRc. Ersteres Volumen werde mit p, letzteres mit q bezeichnet, außerdem mag p > q gefunden, auch der Inhalt = a der durch RT gelegten horizontalen Schnittfläche bekannt sein. Sodann ergiebt sich

a sin . 9

~7?*) wobei (p den Neigungswinkel des Schiffes be-

DL =

zeichnet. Ist aber L bekannt, so kann man für jeden Querschnitt die Fläche LBN, mithin das ganze eingetauchte Volumen (was hierbei, annähernd dem aus dem Wasser getretenen Volumen gleich sein wird) also überhaupt die Größe v der allgemeinen Formeln berechnen.

Um die zweite Größe nl — b zu erhalten, bestimme man in allen Querschnitten die statischen Momente der Flächen BvNe und BLN, bezogen auf eine durch L gelegte Verticalebene, addire solche sämmtlich und dividire die Summe durch v, so giebt der Quotient die Entfernung ZZ; auf gleiche Weise verfahre man, um Ln aufzufinden, wonach sodann ln = Ln -f- LI bekannt ist.

Die Lage des Schwerpunktes S hängt sowohl von der Construction als Ausrüstung und Ladung des Schiffes ab, welche Umstände fast immer die Bestimmung der Lage desselben, sowie weiter die Größe .ES = e zulassen. Als Annäherungswerth kann man zuweilen ES = \ der größten Breite des Schiffes, in der Schwimmebene gemessen, annehmen.

Specielle Aufgaben, namentlich Zahlenbeispiele für vorstehende Fälle hier aufzuführen, gestattet der Raum nicht, weßhalb wir auf ausführlichere Werke verweisen müssen²).

§. 40.

Bestimmung der specifischen Gewichte fester und nicht zusammen-drückbar flüssiger Körper.

Bezeichnet s das specifische Gewicht eines beliebigen Körpers, P dessen absolutes Gewicht und p das absolute Gewicht eines Wasserkörpers von gleichem Volumen, so erhält man unmittelbar nach §. 28

Bezeichnet ferner y die Dichte oder das Gewicht einer Cubikeinheit Wasser und SS das vorausgesetzte gleiche Volumen, so ist p = ySS? also auch

p

(2) s — —, so wie

0 Es sei fl . BLNe =fl. ALMc = e, fl. NLDT = m,fl. MLDB = w, so wird man setzen können BDTe — e -f- m, ADR — e •— n, folglich die Differenz beider Letzteren, d. i. MNTR = m -f- n = u. Ist Dy der Abstand der Parallelen MN und RTso folgt auch u — MN X Dy — MN X DL sin . <p,

, woraus der obige Ausdruck leicht abgeleitet werden

mithin DL — kann.

MN. sin . (p

²) Atwood, A Disquisition on the Stability of Ships; in den Phil. Transact. vom Jahre 1798, p. 287. Scott Rüssel, The modern system of naval architecture. London 1865. 3 Vol. in gr. Fol. Rankine, Shipbuilding, theoretical and practical. London 1866.

(3) P = oder, wenn A die Dichte des Körpers P ausdrückt. (4( P = A . 33. Haben sodann für irgend einen anderen Körper die Größen P', p ', s, SS' dieselbe Bedeutung, so erhält man folgende Proportionen :

P P'

=    etc., und hieraus

(5)

s:s = P:Pr,

für P=P',

(6) s : s = SS' : S3 etc.

Gleichungen und Proportionen, welche sich leicht in Worten aus drücken lassen.

Zusatz 1. Die Bestimmung specifischer Gewichte fester und nicht zusammendrückbar flüssiger Körper, unter Anwendung der Formeln des vorigen Paragraphen, macht meistentheils, zur Herleitung der dort vorkommenden Größen, verschiedene Hülfsmittel nothwendig, wovon die hauptsächlichsten die hydrostatische Waage, Glasgefäße (Flaschen) mit eingeschliffenem Stöpsel und die sogenannten Senkwaagen (Aräometer) sind.

Die hydrostatische Waage ist nichts anderes als eine doppelarmige gleicharmige Waage von großer Genauigkeit und Empfindlichkeit, die so eingerichtet ist, daß man damit Körper unter Wasser abwägen kann. Zu diesem Zwecke ist unter einer der Schalen ein Häkchen angebracht, woran ein feiner Faden (Draht, Haar) befestigt ist, an welchem der betreffende Körper aufgehangen werden kann.

A. Ist sodann der Körper, dessen specifisches Gewicht bestimmt werden soll, ein fester im Wasser unauflöslicher und zugleich specifisch schwerer als letzteres, so ermittelt man vorerst sein absolutes Gewicht = P in der Luft, sodann am Faden aufgehangen, sein absolutes Gewicht == q im Wasser, wonach zufolge §. 28 das Gewicht des gleichgroßen Wasservolumens p = P — q und nach (1) dieses Paragraphen das specifische Gewicht erhalten wird zu

P-P

B. Ist der feste Körper specifisch leichter als Wasser, so hat man ihn mit einem anderen Körper mechanisch derartig zu verbinden, daß beide vereint vollkommen ins Wasser tauchen. Das Weitere ergiebt sich aus Folgendem.

Das absolute Gewicht des specifisch schwereren Körpers sei = P, das des leichteren = Q; im Wasser wiege ersterer — q, die Verbindung beider = W, Sodann ist für den ersten Körper der Auftrieb = P—q, für die Verbindung P -J- Q — W, folglich für den leichteren Körper allein (P -j- Q — W) — (P — q) = Q -J- q — W, mithin

Q + q-W

C. Vermag der Körper Wasser in seinen Poren aufzunehmen, so wiegt man ihn zuerst in trockenem Zustande in der Luft, läßt ihn sodann ganz mit Wasser ansaugen, wiegt ihn nochmals, erhält hierdurch das

Gewicht des aufgenommenen Wassers, bestimmt endlich seinen Gewichtsverlust im Wasser etc.

D.    Löst sich der Körper im Wasser auf, so wendet man eine Flüssigkeit an, in welcher er unauflöslich und deren spec. Gewicht bekannt ist. Durch Ermittelung seines Gewichtsverlustes in gedachter Flüssigkeit und nachheriger Anwendung der Proportion (5) ergiebt sich das spec. Gewicht.

E.    Ist das spec. Gewicht einer Flüssigkeit zu bestimmen, so taucht man einen geeigneten festen Körper einmal in diese, ein anderes Mal

Fig. 5i ins Wasser, worauf man ebenfalls unter Anwendung der Proportion (5) das gesuchte spec. Gewicht erhält. Obwohl | die hydrostatische Waage streng genommen der genaueste und sicherste Apparat zur Bestimmung der spec. Gewichte, insbesondere fester Körper genannt werden muß, so mm dienen doch einige andere mindestens hier der Erwähnung, g|||was in nachstehenden Zusätzen geschehen soll¹).

Zusatz 2. Aräometer²) (Senkwaagen, Schwimmwaagen) à sind frei schwimmende Körper von entsprechender Gestalt, ijjł durch deren Einsenkung in Flüssigkeiten sowohl das spec. Gewicht dieser, als auch fester Körper bestimmt werden kann. Ihr Constructions-Princip beruht entweder auf Proportion (5) oder (6) §. 40 und hiernach nennt man sie Gewichts-Fig. 52. Aräometer oder Scalen- (Volumen-) Aräometer.

Will man mittelst dieser Aräometer nur das spec. Gewicht flüssiger Körper bestimmen, so kann man ihnen (nach Fahrenheit) im Allgemeinen die Gestalt von Fig. 51 geben. Dabei BHä¹ gfäSSiist ab ein aus Glas oder Blech verfertigter, hohler, cylinder-ggggfoder bimförmiger Körper, der unterhalb eine mit Bleischrot j§j|=oder Quecksilber gefüllte Kugel c trägt, oberhalb auf einem MH    sehr dünnen Halse mit einem Schälchen d versehen ist, um

IUI    Gewichte auflegen zu können. Am gedachten Halse ist ein

Hl    Zeichen (Marke, Strich) m angebracht, bis zu welchem das

|H| Instrument beim Gebrauche stets einsinken muß.

Soll dies Aräometer gleichzeitig auch für feste Körper brauchbar sein, so bringt man (nach Nicholsen) statt der Kugel c ein Eimerchen g, Fig. 52, an, welches zur Auf-l    nähme des zu untersuchenden Körpers dient. Bemerktes

f    Eimerchen läßt sich auch (nach Charles) durch ein Drahtig    körbchen ersetzen, wobei sich weniger Luft, ohne gesehen

| zu werden, anhängen kann.

gl

ct

d_

fl

ver-

*) Ueber die Bestimmung des spec. Gewichtes der Flüssigkeiten mittelst der Waage nach einer neuen Methode sehe man: Mohr’s „Lehrbuch der pliarma-ceutischen Technik“, und hieraus Pouillet - Müller, „Lehrbuch der Physik und Meteorologie“. Achte (1876) von Prof. Pfaundler besorgte Ausgabe, S. 123 ff. unter der Ueberschrift „Anwendung des Archimedischen Princips zur Bestimmung des spec. Gewichts fester und flüssiger Körper“. Höchst beachtenswerth ist endlich noch der Abschnitt „Bestimmung des specifischen Gewichtes der Körper“ in Grashofs „Theoretischer Maschinenlehre“. Erster Band, S. 374, §. 68 u. f.

²) Von ccçcuoç locker, dünn und pitQOV Maaß.

Hierbei kann die Entwerfung der Scala mit Zuziehung folgender Rechnung erfolgen :

Zusatz 3. Denkt man sich bei dem Aräometer, Fig. 51, das Schälchen d hinweg, den Hals am verlängert und an diesem eine Scala angebracht, so erhält man die Form der gewöhnlichen Scalen-Aräometer, Fig. 53, die für die Praxis bei weitem wichtiger als die vorbeschriebenen sind.

Fig. 53.

Es sei P das absolute Gewicht des Aräometers, v das Volumen, um welches dasselbe im Wasser einsinkt, y das Gewicht der Cubikeinheit des letzteren, so ist zuerst (1) P = yv. Senkt man das Instrument in eine Flüssigkeit vom spec. Gewichte s 1 und ist a der Querschnitt des Halses, Fig. 53, b die Einsenkungstiefe in die letztgedachte Flüssigkeit, so erhält man für’s Gleichgewicht: P=ysv -[- ysab und wegen (1) P = Ps -|- ysab, woraus (2)

folgt. Der Querschnitt a kann sodann

dadurch bestimmt werden, daß man das Aräometer wieder in Wasser einsenkt, ein Zulagegewicht p beifügt und hierbei die Einsenkungstiefe = c bemerkt, wonach p = yac₇

folglich b =    Q—^ ')

cp ss_jv

daßs^>l, findet sich auf gleichem Wege:    ^—7~ y

erhalten wird. Für den Fall,

Endlich ergiebt sich noch:

bp ’

wenn s 1

bp

wenn

»>i-

cP

Die Genauigkeit wird um so größer, je bedeutender die Entfernung eines Theilstriches vom andern ist, was zufolge des Werthes b in (1) einen kleinen Querschnitt a, d. h. einen sehr dünnen Hals des Instrumentes voraussetzt¹).

Zusatz 4. Bei der praktischen Bestimmung gegenwärtigen Buches dürfte es nicht unangemessen sein, der Aräometer mit willkürlicher Scala zu gedenken, obwohl dieselben keinen wissenschaftlichen Werth haben, da sie weder das specifische Gewicht, noch den Procentgehalt irgend einer Flüssigkeit angeben.

Die drei gebräuchlichsten dieser Aräometer sind zur Zeit das von Baume, Cartier und Beck²).

*) Weiteres über diese Gegenstände findet sich in folgenden Werken: Meißner „Aräometrie etc.u Wien 1816. — Baumgartner „Aräometrie für Chemisten und Technologen⁴⁴. Wien 1820. — Lie big, Handwörterbuch der reinen und angewandten Chemie. Bd. I, S. 474. — Ko hl rausch, Praktische Regeln zu genaueren Bestimmungen des specifischen Gewichtes. Marburg 1856.

²) Nach dem Handbuche der Gewerbkunde von Karmarsch und Heeren,, 2. Aufl., Bd. 1, S. 57.

Das Baumé’sche hat, je nachdem es für schwerere oder leichtere Flüssigkeiten bestimmt ist, ganz verschiedene Graduirung.

a)    Für s c hw e r e r e Flüssigkeiten bereitet man eine Auflösung von 15 Gewichtstlieilen trockenem Kochsalz in 85 Theilen destillirtem Wasser, läßt das Instrument darin schwimmen und bezeichnet den Punkt, bis zu welchem es einsinkt, mit der Zahl 15; hierauf wird der Punkt, bis zu welchem es in reinem Wasser einsinkt, mit Null bezeichnet, der Abstand zwischen beiden Punkten in 15 gleiche Theile getheilt und dieselbe Theilung, soweit die Länge der Röhre gestattet, etwa bis zu 70 Graden noch weiter fortgesetzt. Die Null, dem specifischen Gewichte des Wassers entsprechend, bildet den oberen Anfang der Scala.

b)    Für leichtere Flüssigkeiten löst man 1 Theil Kochsalz in 9 Theilen Wasser und bezeichnet den Punkt, bis zu welchem das Instrument in diese Lösung einsinkt, welcher Punkt am unteren Ende der Scala liegen muß, mit Null; sodann den Punkt, bis zu welchem es in reines Wasser einsinkt, mit 10; theilt den Zwischenraum in 10 gleiche Theile und trägt noch mehr solcher Theile bis zum oberen Ende der Scala.

Die Cartier’sche Scala ist durch eine willkürliche, noch dazu ganz unzweckmäßige Abänderung der Baumé’schen entstanden. Cartier vergrößerte die Grade ein wenig, so daß 15 seiner Grade — 16 Baumé’schen (für leichtere Flüssigkeit) wurden, ferner verrückte er die Scala in der Art, daß am Wasserpunkt 10| zu stehen kam. Diese Scala würde ihrer unsinnigen Einrichtung wegen verdienen der Vergessenheit anheimzufallen, sie hat sich aber dennoch in Frankreich als Branntweinwaage sehr verbreitet.

Weit vernünftiger und zweckmäßiger ist die Scala von Beck in Bern, nach Bentely’s Angaben construirt. Der Wasserpunkt, welcher ziemlich in der Mitte der Scala liegt, ist mit Null bezeichnet; ein zweiter Punkt, bis zu welchem das Instrument in einer Flüssigkeit von 0,85 specifischem Gewichte einsinkt, mit der Zahl 30. Der Zwischenraum beider Punkte wird in 30 gleiche Theile getheilt und gleich große Grade werden noch oberhalb und unterhalb aufgetragn. Die Scala gilt für die Normaltemperatur von -f-10°R.

Folgende Tabelle giebt eine Zusammenstellung der Baumé’schen, Cartier’schen und Beck’schen Aräometer-Scalen, und der den Graden dieser Scalen entsprechenden specifischen Gewichte für Flüssigkeiten, welche leichter sind als Wasser:

Grade. Baume.

Cartier.

Beck.

Grade.

Baume.

Cartier.

Beck.

0 0 0*0 TH T-t <M c<l

1,0000

0,9666    0,9697

0,9355    0,9343

0,9063    0,9014

1,0000

0,9714

0,9444

0,9189

0,8947

0,8717

30

35

40

45

50

60

0,8788

0,8530

0,8287

0,8057

0,7839

0,7438

0,8707

0,8421

0,8153

0,8500

0,8292

0,8095

0,7907

0,7727

0,7391

§. 41.

Vorstehendem Paragraphen werde hier eine tabellarische Zusammenstellung spec. Gewichte solcher Körper beigefugt, welche direct und indirect für die technische Mechanik von Wichtigkeit sind.

Sobald das Gegentheil nicht angegeben, ist überall eine mittlere Temperatur von 15 bis 20° C., ferner das specifische Gewicht des reinen oder destillirten Wassers = 1 vorausgesetzt.

I. Specifische Gewichte fester Körper¹)

Namen der Körper.

Specifische Gewichte.

Mittelwerth.

Grenzen,

Namen der Körper.

Specifische Gewichte.

Mittel-werth •

Grenzen.

Ahornholz, frisch . . .

— lufttrocken Alabaster (körniger Gyps

Aluminium ......

Anhydrit.......

Antimon........

Apfelbaumholz, frisch .

—    lufttrock

0,843 — 0,944 0,612 — 0,730 2,260— 2,40

2,56

2,67

2,80

5,00

Basalt

Birke, frisch

lufttrocken . . .

Birnbaum, luftrocken . .

Blei...........

Buchenholz (Rothbuche),

frisch.........

Buchenholz (Rothbuche),

lufttrocken......

Buchsbaumholz, lufttr. .

Chloritschiefer.....

Dachschiefer......

Diorit (Grünstein) ....

Dolerit.........

Dolomit (körniger) . . . Ebenholz (schwarz), lufttr. Eichenholz, frisch . . . . — lufttrocken .

6,656 — 6,860 0,960 — 1,137 0,674 — 0,793 2,415— 3,30 0,851 — 0,987 0,591 — 0,738 0,646 — 0,732 11,207 — 11,445

0,852 — 1,109

0,590 — 0,852 0,912— 1,103

2,70

3,0

2,670 — 3,50 2,790 — 3,0 2,720 — 2,930

2,80

3,0

1,187 — 1,33 1 0,885 — 1,062 0,650 — 0,920

0,893 0,681 2,330 2,615 2,900 ' 6,758 1,048 0,733 2,857 0,9 19 0,664 0,689 11,326

0,980

Eis, bei 00 ...... .

Eisen, Stabeisen.....

— Gußeisen, (weiß) .

—    —    (grau) .

—    —    (halbirt)

Erde, Gartenerde .... Erlenholz, frisch ....

—    lufttrocken . . Eschenholz, frisch . . .

— lufttrocken . Feldstein-Porphyr.... Fichtenholz (Rothtanne),

frisch.........

Fichtenholz (Rothtanne),

lufttrocken......

Föhrenholz (Kiefer) frisch

—    —    lufttr.

7,352 — 7,91 2 7,056 — 7,889 6,635 — 7,572 6,631 — 7,430 1,630 — 2,338 0,809 — 0,994 0,423 —    0,680

0,778 — 0,927 0,540 — 0,845 2,430 — 3,389

0,794 — 0,993

0,721

0,971

2,850

3,085

2.895

2,825

2,900

1,259

0,973

0,785

0,926

7,600

7,300

7,100

7,100

1,984

0,901

0,551

0,852

0,692

2,909

0,893

Gold, gehämmert ....

Granit.........

Grauwacke.......

Grauwackensandstein . . Grünstein (Diabas) . . . Grünstein-Porphyr

(Aphanit).......

Hornblendeschiefer . . . Hornblendefels (-Gestein) Jakarandaholz, lufttr. . .

Kalkmörtel.......

Kalkstein........

Kalk, gebrannt.....

Keupersandstein (dichter)

Kieselkalkstein ......

Kieselschiefer ......

Kirschbaumholz, frisch .

—    lufttr. .

Klingstein (Phonolith). .

Kreide (weiße).....

Kork..........

Kupfer.........

Lava ..........

Lärchenholz, frisch . . . — lufttrocken

Leuzitfels........

Lindenholz, frisch, . . .

— lufttrocken . Mahagoni, lufttrocken . . Marmor (körniger Kalk) .

Messing.........

Melaphyr (Augitporphyr) Menschlicher Körper . . Mühlsteinquarz, porös . —    dicht . .

Nagelfluhe......

Neusiiber (Argentan) . Pappelholz, frisch. . . — lufttrocken

19,361 — 19,630 2,50    — 3,063

2,770 —    3,080

19,505

2,781

2,700

2,660

2,925

2,80

3,10

2,909 — 3,153

2,90

3,10

1,638 — 1,859 2,720 2,30    — 3,179

2,580 — 2,60

2,0

2,60

2,50

2,80

2,80

0,577 — 0,7 15 2,512— 2,700

8,580 —    8,950

2,348 — 2,880 0,694 — 0,924 0,473 — 0,565

0,710— 0,878 0,439 — 0,604 0,563 — 1,063 2,516— 2,862 7,820 — 8,730 2,770 — 3,10

1,242 —    1.285

2,485 — 2,613

8,40

8,70

2,950 3,031 3,000 0/9 0 8 1,748 2,360 2,739 2,590

2,70

2,65

0,982

0,646

2,606

2,640

0,240

8,765

2,614

0,809

0,519

2,80

0,799

0,522

0,813

2,689

2,935

1,111

1,263

2,549

2,090

8,50

Gabbro ....

Glas......

Glimmerschiefer Gneiß (Gneus) Gold, gegossen

0,376 — 0,48 1 0,811— 1.005 0,463 — 0,763 2,880 — 3,30 2,370 — 3,70

2,60

2,50

3,0

2,90

19,258 — 19,50

0,428

0,908

0,613

3.090

3,305

2,800

2,700

19,379

Pechstein........

Pflaumenbaumholz, lufttrocken ........

Platin..........

Pockholz, lufttrocken . .

Porphyr ........

Quarzfels (körn. Quarzgestein) .......

Roßkastanienholz . . . .

0,785 — 0,956 0,353 — 0,591 2,049 — 2,669

0,854 — 0,872 21,00    —21,74

1,263 — 1,342

2,70

2,80

2,560 — 2,750 0,551 — 0,610

0,857

0,472

2,359

0,863

21,37

1,302

2,750

2,655

0,580

1) Die meisten dieser Angaben sind entweder Karmarsch mechanischer Technologie entnommen, durch die besondere Güte dieses Herrn für gegenwärtige Zwecke mitgetheilt worden.

odei

Namen der Körper.

Sand, fein und trocken — feucht......

Sandstein . . Serpentinfels Speckstein . Silber . . . Stahl. . . .

—    cementirt.....

—    gefrischt.....

—    raffinirt......

—    gegossen .....

Steinkohlen.......

Syenit.........

Tannenholz (weiß) frisch

Specifische Gewichte.

Grenzen.

Mittel-werth.

Namen der Körper.

Specifische Gewichte.

Mittel-werth.

Grenzen.

0,894

Tannenholz, lufttrocken

Talkschiefer .....

Thonschiefer.....

Töpferthon......

Tombak........

Trachit (Trapporphyr). Ulmenbaumholz, frisch —    lufttr.

Weidenholz, frisch . . Weißbuchenholz, frisch Ziegelstein, Mauerstein — Klinker . .

0,455— 0,746

Zink

Zinn

2,60 — 3,50 1,80 — 2,00 8,515— 9,00 2,40 — 2,60 0,878— 0,941 0,568— 0,671 0,715— 0,855 0,939— 1,137 1,870— 2,0 1,520— 2,290 6,850— 7,30 7,050— 7,580

m W 55 o

CO O O CO 'o «^'Öä^o'cTC ^ o O ^4 C5 ^ o os ooco»-»oo o OC o

CttCKOCCrtOOÜCSOCO

Specifische Gewichte fester Körper mit Rücksicht auf die leeren Zwischenräume derselben.

A. Getreidearten, Sämereien und Hülsenfrüchte.¹)

Mitte 1-werth.

B. Brennmaterialien.²).

Getreidearten etc.

Grenzen.

Brennm ate rialien

Grenzen.

Mittel.

werth.

Weizen.........

Roggen .........

Gerste.........

Dinkel (Spaltgerste) . .

Hafer..........

Hirse ..........

Mohnsamen.......

Leinsamen.......

Hanfsamen.......

Kleesamen.......

Weiße Bohnen.....

Pferde—Bohnen.....

Erbsen .........

Wicken.........

Kartoffeln, eben gefüllt gemessen. . gehäuft. . . Weizenmehl, regelmäßig eingemessen — zusammen— gerüttelt .

0,707 — 0,809 0,685 — 0,788 0,618—0,697 0,406 — 0,468 0,430 — 0,537 0,616 — 0,695 0,568—0,687 0,657 — 0.758 0,507 — 0,565 0,757—0,854 0,841 — 0,880 0,793—0,838 0,827 — 0,879 0,798 — 0,881

0,785

0,736

0,657

0,418

0,483

0,655

0,627

0,707

0,536

0,805

0,860

0,815

0,853

0,839

0,61 l 0,833

0,379

0,640

Steinkohlen, englische .

Cokes .........

Torfziegel ³), lufttrocken weißer oder gelber. . brauner und schwarzer

Erdtorf........

Pechtorf .......

Torfcokes ⁴).......

Buchenholz⁵) (Rothbuche) in großen Scheiten. . Buchenholz (Rothbuche), sehr trocken, in Knüppel geschnitten, sorgfältig aufgesetzt . . . Eichenholz, Angabe der Pariser Holzhändler . Eichenholz, 80 Jahre alt, in Scheiten von im Länge und 0wt,05 — Owj, 15 Dicke, gewöhnlich geklaftert .... Eichenholz, geflößt . . .

Fichtenholz.......

Tannenholz.......

Holzkohle, hartes Holz 6) — weiches Holz

0,704—0,797

0,350—0,500

0,750

0,116 — 0,230 0,240 — 0,600 0,562 — 0,905 0,639 — 1,031 0,250—0,300

0,431 — 0,584

0,300 — 0,340 0,303 — 0,380 0,180 — 0,250 0,130—0,177

0,183

0,420

0,733

0,835

0,275

0,400

0,440

0,501

1) Nach Hofrath Wild durch Noback’s Taschenbuch der Maass- und Gewichts-Verhältnisse. Seite XXXV. Leipzig, 1851.

:izblatt d

i!

Not

îoverschen Architekten- und Ingenieur-Vereins. Bd. II. S. 357.

Mittheilungen des Gewerbe-Vereins für das Königreich Hannover 1840. Liefer. 21.

es hann Nach Karmarsch. !

S. 63.

4)    Richard, Aide-Mémoire. Paris 1848. Première Partie, p. 377.

⁵)    Ebendaselbst p. 365.

®) Ebendaselbst p. 368.

C.

Baumaterialien.¹)

Baumateri alien.

Mittelwerthe.

Bemerkungen.

Grauwa cke.

Steinschlag von 4 Cubikzoll Größe im Durchschnitt . . .

dicht aufgeruthet ........

Keupersandstein.

Steinschlag von 4 Cubikzoll Größe durchschnittlich ....

dicht aufgeruthet........

Sand.

gegraben und feucht......

gelagert, im natürlichen Zustande

1,387

1,466

Ohne Zwischenräume, für die compacte Gesteinmasse, das specifische Gewicht: 2,701.

Ohne Zwischenräume

2,584.

1,287

1,896

1,174- 1,306 1,503 — 1.879

Die Zwischenräume des Sandes werden angegeben :

a.    von Röder zu 0,302 — 0,884 resp. für feinen und groben Sand,

b.    von Wolfram 0,3 8 8 der ganzen Masse.

Das Raumverhältniß zwischen gewachsenen und g e g r a b e n e n Boden, aus Lehmsand, Grand und reinem Sand bestehend, fand Bockeiberg wie 1 zu 1,281.

Specifische Gewichte mit Wasser vollkommen gesättigter Hölzer. ²)

Specifisches Gewicht.

Zunahme in Procenten

Holzarten.

trocken

naß

des

des

des

Volumens

absoluten

Gewichts

specifischen

Gewichts

Laubholz . . . Nadelholz . . . Eichenholz , . Rothbuchenholz Pappel ....

0,659

0,453

0,680

0,700

0,353

1,110

0,839

1,125

1,119

1,021

83

69

102

77

70

214

II. Specifische Gewichte tropfbarfliissiger Körper.³)

Alkohol, absoluter, bei 20° C Bier, Münchener Lagerbier

Honig..........

Milch..........

Oele ; fette Oele, als Baumöl

bei 12ÜR.......

Olivenöl....... .

Leinöl (bei 12ÜR.) . . Mandelöl (bei 15°R.) . Mohnöl (bei 15° R.) . . Rüböl (bei 15ÜR.)    . .

Hanföl.........

0,792

1,915—1,017

1,450

1,031

0,9176 — 0,9190 0,9153

0,9347—0,9400

0,9180

0,9243 — 0,9250 0,9130 0,9276

Quecksilber, bei 0° gegen Wasser, bei 0⁰ (nach

Régnault)........

Salzsoole, 2 6-|§ (nach Karsten) Salpetersäure, bei 12<>R.    .

Salzsäure, bei 15°R.....

Schwefelsäure, engl., bei

13i° R.........

Schwefelsäure, nordhäuser . Schwefelsäure, wasserfreie,

bei 200R.........

Seewasser (Meerwasser) . .

91

66

60

189

1 3,59593 1,2046 1,522 1,192

1,850

1,896

1,970

1,020 -1,029

des Herrn

Geheimen Regierungs- und Baurathes Bockeiberg in Hannover. Bei e im Durchschnitte, betrug der Rauminhalt des Steinmateriales 0,5, ume 0,5, also ebenfalls die Hälfte des ganzen Volumens wie oben

1)    Versuchsresultate Steinschlag von 1,5 Cubikz während der der 1< ausmachte.

2)    Nach Weisbach in den polytechnischen Mittheilungen von Volz und Karmarsch. Ferner empfehlenswerth ist eine betreffende Arbeit des Oberbaurath Laves über das Quell den Mittheilungen des hannoverschen Gewerbe-Vereins. Jahrgang 1837. Lief. 12. S.

3)    Vorzüglich nach Noback a. a. O. Seite XXXVII.

oll Gröss eeren Zwischenrä

Bd. en des

S. 50. — olzes in

Spiritus :

absoluter Alkohol 12|0r von 90 § Tralles . . . . - 70g    -

-80g    -

0,7946

0,8338

0.8900

0,9343

Wein

Bordeauxwein Burgunder . . Champagner ,

0,9940

0,9915

0,9620

Wein :

Hochheimer .......

Rheinwein, überh.....

Madeira.........

Malaga ..........

Mosel...........

Portwein.........

Weißer franz.Wein (Graves) Franzbranntwein.....

0,9890

0,9923 — 1,0020 1,0380 1,0150 0,9160 0,9970 0,9806 0,9345

Zusatz - Gapitel.

Ausdehnung der Körper durch die Wärme.

§. 42.

Der Erfahrung nach dehnen sich alle Körper heim Erwärmen aus und ziehen sich beim Erkalten zusammen¹). Die Größe der Ausdehnung und Zusammenziehung, für eine bestimmte Temperatur, ist dabei hauptsächlich von dem Aggregatzustande der Körper abhängig, nämlich kleiner bei festen als bei wasserförmigen, und bei luftförmigen größer als bei jenen beiden. Dehnen sich aber feste und flüssige Körper durch die Wärme nicht nach einerlei Ver-hältniß aus, so folgt zunächst in Bezug auf die Sätze der letzteren Paragraphen des vorigen Capitels, daß dieselben auch bei verschiedenen Temperaturen verschiedene spec. Gewichte haben und somit die früheren desfallsigen Bestimmungen eine entsprechende Correction erfahren müssen.

Hat man auch bei gewöhnlichen technischen Untersuchungen nicht gerade nöthig, in aller Strenge hierauf Rücksicht zu nehmen, indem daselbst die Annahme einer mittleren Temperatur gewöhnlich ausreicht, so eignet sich das nähere Eingehen auf diesen Gegenstand doch in so fern für uns, als wir dabei eine passende Veranlassung finden, andere für den Techniker wichtige Fragen in Betracht zu ziehen.

Wir handeln daher zuerst von der Ausdehnung der Körper im Allgemeinen und kommen sodann (gelegentlich) auf den Temperatureinfluß bei der Bestimmung spec. Gewichte zurück.

Auf der Ausdehnung der Körper durch die Wärme beruhen auch die gewöhnlichen Instrumente, Thermometer, welche man

Vielmehr

*) Es ist von größter Wichtigkeit für den wissenschaftlich gebildeten Techniker, schon hier recht kräftig hervorzuheben, daß die Ansicht ein völlig überwundener Standpunkt genannt werden kann, daß die Wärme ein besonderer Stoff sei, welcher in den Körpern in größerer oder geringerer Menge vorhanden ist und hierdurch ihre höhere oder tiefere Temperatur bedingt werde, weiß man jetzt ganz sicher, daß Wärme in einer Bewegung der kleinsten Körper- und Aethertheilchen besteht und daß die Quantität der Wärme das Maaß der lebendigen Kraft dieser Bewegung ist. (Clausius „Die mech. Wärmetheorie“. Zweite Aufl., 1876, S. 22).

zum Messen der Temperatur verwendet, deren Einrichtung, Verfertigung u. s. w. jedoch hier als bekannt vorausgesetzt werden muß¹).

Zusatz. Um sehr hohe Grade von Wärme zu messen, wo Quecksilberthermometer nicht mehr zu brauchen sind, z. B. den Schmelzpunkt der Metalle, die Temperatur eines Porzellanofens, der Hochofen, Schornsteine etc., erhitzter Gase u. d. m., bedient man sich eigener Werkzeuge, welche Pyrometer genannt werden. Zur Zeit existirt noch kein Pyrometer, was zuverlässig und einfach genug ist, um praktischen Zwecken vollkommen zu genügen. Ueber ältere Pyrometer von Wedgewood, Guyton de Morveau, Danieli u. À. belehrt am besten der Artikel „Pyrometer“ in Gehler’s physikalischem Wörterbuche, ferner auch Karmarsch in der „Einleitung zu seiner Geschichte der Technologie“. Ueber neue Pyrometer, insbesondere über das von Gauntlett, von Bock von Oechsle, von Lamy, Siemens und Andern finden sich Abhandlungen in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Jahrg. 1873, S. 544 und Jahrg. 1874, (Siemens’ Pyrometer) S. 39. Endlich wird eine gute Uebersicht über neuere Pyrometer (Codazza, Régnault, Lamy etc.) geliefert in Ferrini’s „Technologie der Wärme“, Deutsch von Schröder, Seite 18 bis mit 28. Jena 1878, bei Costenoble.

Wir beschränken uns hier auf die Angabe folgender Schmelzpunkte technisch wichtiger Metalle, die wir dem Lehrbuche der mechanischmetallurgischen Technologie von Ledebur (Braunschweig 1877, S. 90) entnehmen :

Gußstahl .    .    .

Graues Roheisen Weißes Roheisen Kupfer Silber.

Gold .

Zink .

Zinn .

Wismuth Blei .

Schmelzpunkt.

1375° Celsius. 1275 1075 1200 1000

1200 „

415

îO îô (M

§• 43.

Ausdehnung fester Körper durch die Wärme.

Auch die Ausdehnung der Körper unter sich steht streng genommen in keinem constanten Verhältniß zu den Temperaturveränderungen, so daß sich z. B. Kupfer, Eisen, Platin, Glas von 0° bis 300° C. mehr als dreimal so stark ausdehnen, als solches von 0° bis 100° C. der Fall ist. Innerhalb der letztgedachten Grenzen ist indeß der Unterschied so gering, daß die Ausdehnung geradezu der Wärmezunahme proportional gesetzt werden kann.

Aehnlich verhält es sich mit der Frage, ob sich die festen Körper durch die Wärme nach allen drei Dimensionen des Raumes hin um gleich viel ausdehnen, oder nicht. Nach den bisherigen Erfahrungen hierüber möchte anzunehmen sein, daß ersteres stets dann erfolgt, wenn die Theile (Atome) eines Körpers nach allen Richtungen gleich angeordnet sind, letzteres aber, wenn diese Anordnung nach verschiedenen Richtungen ebenfalls verschieden ist¹).

Bei festen Körpern, wo man die Ausdehnung nach allen Seiten hin gleich groß voraussetzen kann, muß sich aus der Verlängerung nach einer Dimension (der linearen Ausdehnung) die nach zwei oder drei Dimensionen (die cubische Ausdehnung) ohne Weiteres ableiten lassen.

Aus letzterem Grunde ermittelte man bisher, durch Versuche, gewöhnlich nur die lineare Ausdehnung fester Körper, wobei die hierzu angewandten Methoden, im Allgemeinen, in den sorgfältigsten (mikrometrischen) Messungen der Verlängerungen bestanden, welche Stangen, aus den betreffenden Körpern gebildet, bei verschiedenen Temperaturen erfuhren. Ausnahmen hiervon machen allein die Versuche von Dulong und Petit, welche unmittelbar die Ermittelung der cubischen Ausdehnung fester Körper zur Absicht hatten²).

§. 44.

Bezeichnet man, unter vorgenannten Voraussetzungen, die Ausdehnung der Längeneinheit eines Körpers von 0° bis 100° C. mit a und ebenso die Ausdehnung, welche einem einzigen Grad C entspricht (die eigentümliche oder specifische Längenausdehnung)

mit e, so ist e = ^ zu setzen.

Sind daher L₀ und L die Längen eines Körpers respective bei 0° und t° C\ so ist offenbar

(1) L ==■ Li₀ I e . L₀ t = L₀ (1 -|- et) ebenso für einen Körper desselben Stoffes, welcher bei der Temperatur t₁ die Länge besitzt

L\ — L₀ (1 -f- etj), woraus

Lt _    ¹ + et\

1 —f- et

(2) L, = L [1 + e (G — t)] folgt.

Bezeichnen F und F₁ Flächen von Körpern gleichen Stoffes,

so ist nach geometrischen Gründen zu setzen:    =    daher

, oder genau genug

x) Vollständig* erwiesen ist diese Annahme bei den Krystallen, wo man bestimmt weiß, daß sich nur diejenigen nach allen Richtungen gleichmäßig ausdehnen, welche zum regelmäßigen Systeme gehören und keine doppelte Strahlenbrechung zeigen.

²) Ausführlicheres hierüber findet man in dem Wörterbuche der Physik von Gehler und in dem Handwörterbuche der Chemie von Liebig, Poggendorf, Wöhler etc. im Artikel „Ausdehnung“. Ferner ist hier der Abschnitt „Verhalten fester Körper“ (Ausdehnung fester Körper durch die Wärme) im ersten Bande der Grashof sehen „Theoretischen Maschinenlehre“, Bd. 1, §.23 etc. zum Studium zu empfehlen.

-, oder ebenfalls hinlänglich genau (3) Fl = F[l + 2e{tl-t)}.

Fi__(1 -f- eti)²

F    (1 + et)²

Sind endlich V und F, die Volumen gedachter Körper, so erhält man, wegen = -~j-

wenn

(4) Fj = F [1 + 3e (f, — 0] ; oder, man hier die Ausdehnung der Cubikeinheit, d. i. 3e — K setzt,

(5) F₁₌F[1 +K(tt-t)].

§• 45.

Von den Resultaten der in §. 43 gedachten Messungen stellen wir die Ausdehnungen der für die Mechanik wichtigen festen Körper in folgender Tabelle zusammen.

Die Länge der Körper ist bei 0° C = 1 gesetzt.

Beobachter.

IV a in e der Körper.

Ausdehnung von 0° bis 100° C. (a . = 100 . e).

Blei

Bronze . .. , Eisen, Stab

„ Draht ..............

n GH?...............

»    n ...............

Glas, weißes..............

„ Röhren ²)............

V    »    ............

Gold, feines (de départ) .... Granit...................

Hartloth ( 2 Kupfer und 1 Zink) Kupfer...................

n ...................

Marmor, weißer (carrarisch) .

0,002719

0,002848

0,003086

0,001817

0,001167

0,001267

0,001220

0,001140

0,001072

0,001109

0,000861

0,000944

0,000921

0,000776

0,001466

0,000789

0,000868

0,002058

0,001841

0,001919

0,001072

3-b

I

;;

;R

x

TölS ¥ TÔT5

TI8Î

«jä

l’air

TT52

-4 8 6

5|T 9 3T

Morveau.

Lavoisier und Laplace. Berthoud.

Smeaton.

Bessel.

Dulong und Petit. Lavoisier und Laplace. Troughton.

Danieli.

Roy.

Dulong und Petit. Herbert.

Horner.

Roy.

Lavoisier und Laplace. Adie.

Bartlett.

Smeaton.

Dulong und Petit. Troughton.

Dünn und Sang’.

J) Höchst empfehlenswerth,* neben reichhaltigen Literaturangaben, zum speciellen Studium dieses Gegenstandes, ist der Abschnitt „Ausdehnung der Körper durch die Wärme“ im dritten Bande des Lehrbuchs der Elementarphysik von Prof. Wüllner, am K. Polytechn. in Aachen, wobei wir noch ganz besonders auf §. 16 (S. 118) aufmerksam machen möchten, welcher Paragraph die Uebersehrift trägt: „Berücksichtigung der Temperatur bei Wägungen und Dichtigkeitsbestimmungen“.

²) Nach Hallström gilt für die lineare Ausdehnung von Röhren aus Kaliglas folgende Formel (die Temperatur in C. Graden)

L = 1 -j- 0,00000196 t + 0,000000105 t².

Die ungewöhnliche Abweichung mancher dieser Angaben für ein und dasselbe Material, rührt theils von Beobachtungsfehlern, vorzüglich aber (wie bei den Festigkeitscoefficienten und den specifischen Gewichten) von der natürlichen Verschiedenheit der chemischen und physikalischen Zustände der Körper her. Bei sehr sorgfältigen Untersuchungen, z. B. bei größeren geodätischen Vermessungen, Pendelversuchen u. s. w. sieht man sich daher gewöhnlich genöthigt, eigene desfallsige Versuche anzustellen.

war. Es

Marmor, schwarzer.........

Messing, gegossen.........

„    0,25 Zink und 0,75 Kupfer

„ gewalzt (Tafel).........

„ Draht . ...............

Platin....................

Sandstein.................

Silber....................

„ (Kapellen)...........

Stahl, Huntsmann’scher.....

„ Fischer’scher.......

„ Steyer’scher.........

„ gehärteter...........

„    bei 30° angelassen . . .

r    bei 65°    n

„ weicher.............

Stein (zum Bau) von St. Perron „    von St. Leu. .

Weichloth (1 Zinn und 2 Blei) Weißtanne (faserig)........

n    r> ........

Ziegelstein (gewöhnlich).....

Zink, gegossen............

„ gewalzt.............

0,000426

0,001875

0,002144

0,001920

0,001885

0,000984

0,001174

0,001716

0,002083

0,001910

0,001074

0,001112

0,001152

0,001225

0,001369

0,001240

0,001079

0,000430

0,000646

0,002505

0,000602

0,000408

0,000550

0,002968

0,003331

Dünn und Sang. Smeaton.

Danieli.

Stampfer.

Herbert.

Dulong und Petit. Adie.

Bartlett.

Trougliton.

Lavoisier und Laplace. Horner.

'■

Smeaton.

Lavoisier und Laplace.

r>

Destigny.

Smeaton.

Struve.

Kater.

Adie.

Horner.

Bessel.

Beobachter.

Name der Körper.

Ausdehnung von 0° bis 100° C. (a . = 100 . e).

Beispiel 1. Die Länge der Stephenson’schen Blechbrücke über die Menai - Straits betrug nach Clark¹) bei 0° C. (32 F.) 1510 Fuß 1-1 Zoll englisch (460,588 Meter), während diese Länge bei 14L C. (58° F.) um genau 3L Zoll (85,5 Millimeter) größer geworden fragt sich, wie groß hiernach die eigentümliche Längenausdehnung ist?

Auflösung. Man erhält hier mittelst der Formeln §. 44 sofort:

1510,3958 = 1510,125 (1 + 14,44 . e), d. i. e = 0,00001241,

also fast unerwartet mit den Werthen der Tabelle §. 45 stimmend.

Beispiel 2. Bei 12° C. beträgt die Länge einer Eisenbahnschiene 18 Fuß englisch, oder 5,4864 Meter; man soll bestimmen, um wie viel sich dieselbe bei 60° C. ausgedehnt haben wird? Letzter Temperatur wurde dadurch ermittelt, daß man bohrte, diese mit Quecksilber ausfüllte und in letzteres beim stärksten Sonnenschein die Kugeln von Quecksilberthermometern steckte.

in die Schiene Löcher

Auflösung. Nimmt man nach Lavoisier und Laplace e=0,00001235, so ergiebt sich ohne Weiteres:

L = 18 [1 -f 0,00001235 . 48] = 18' + +" oder 5,4896 Meter.

§. 46.

Ausdehnung nichtzusammendrückbar flüssiger Körper durch die Wärme.

Obwohl für alle flüssigen Körper erwiesen ist, daß sie sich durch die Wärme nach allen Seiten hin völlig gleichmäßig ausdehnen, so lag es doch in der Natur der Sache, daß sich alle deßhalb angestellten Versuche nur auf ihre cubische Ausdehnung beziehen konnten. Auf die Angabe der dabei angewandten Methoden können wir ebenfalls nicht eingehen und verweisen deßhalb wieder besonders auf die bereits citirten Wörterbücher von Gehler und Liebig. Bemerkt mag nur noch werden, daß in dem Nachstehenden allein die (absolute) wahre Ausdehnung der Flüssigkeit in Betracht gezogen ist, d. h. diejenige, welche man beobachten würde, wenn sich das Gefäß, der Behälter der Flüssigkeit, durchaus nicht ausdehnte.

Bei den nicht zusammendrückbar flüssigen Körpern tritt die vorher erwähnte Ungleichförmigkeit der Ausdehnung im Verhältnisse zur Temperatur am meisten hervor und zwar um so bedeutender, je mehr sich die Temperatur dem Punkte nähert, wo die Flüssigkeiten ihren Aggregatszustand ändern²).

= 0,00018018.

Am wenigsten ungleichförmig unter allen genannten Flüssigkeiten dehnt sich Quecksilber aus, so daß man die Ausdehnung desselben, zwischen 0° und 100° C als (beinahe) gleichförmig betrachten kann. Nach den sorgfältigen Versuchen von Dulong und Petit beträgt die cubische Ausdehnung des Quecksilbers für die Temperaturerhöhung von 0° bis 100° C: -rsTfr — 0,018018, oder für jeden Grad C:

-55T0

Die späteren sorgfältigen Bestimmungen Regnault’s geben letzteren Werth zu

0,00018153,

also um sehr wenig größer.

Nächst dem Quecksilber zeigen, innerhalb der Grenzen 0° und 100° C, die fetten Oele die wenigste, alle übrigen Flüssigkeiten aber, wie Wasser, Alkohol, Salzlösungen u. s. w., eine um so bedeutendere ungleichförmige Ausdehnung. Für unseren Zweck beschränken wir

uns. indeß darauf, die älteren und neuesten Ergebnisse über die cubische Ausdehnung des reinen Wassers hier noch aufzuführen.

Nach Hallström, gestützt auf eigene Versuche, so wie auf die von Munke und Stampfer, läßt sich das Volumen = 3^ des reinen Wassers, von der Temperatur = t₉ bei 0° C = 1 gesetzt, durch folgende Gleichungen ausdrücken :¹)

Für Temperaturen von 0° bis 30° C7 SBt = 1 — 0,000057577t -f- 0,0000756011³ — 0,000003509 f.

Aus dieser Gleichung ergiebt sich überdies, daß das reine Wasser sein kleinstes Volumen und mithin seine größte Dichte bei + 3,92° C besitzt²).

Für Temperaturen von 30° bis 100° C:

% = 1 — 0,0000094178 £ + 0,00000533661t² — 0,0000000104086 t³.

Kopp³) fand neuerdings, aus mit musterhafter Sorgfalt ange-stellten Versuchen, daß sich die Ausdehnung des Wassers von 0° bis 100° am besten durch 4 Gleichungen darstellen läßt.

Zwischen 0° und 25° durch:

% = 1 — 0,000061045t + 0,0000077183 t² — 0,00000003734 t³. Das Maximum der Dichte, oder das kleinste Volumen, findet sich hieraus zu t = 4°,08.

Zwischen 25° und 50° durch:

33, = 1 — 0,000065415 t + 0,0000077587 t² — 0,000000035408 t³. Zwischen 50° und 75° durch:

33, = 1 -f 0,00005916 t + 0,0000031849 t² + 0,0000000072848 t³. Zwischen 75° und 100° durch:

33, = 1 + 0,00008645 t + 0,0000031892 t² + 0,0000000024487 t³.

§. 47.

Für Anwendung vorstehender Sätze folgen hier noch einige Aufgaben.

Aufgabe 1. Das specifische Gewicht eines metallenen Körpers ist bei der Temperatur t = 20° C. gegen Wasser = 1 von derselben Temperatur bestimmt und = m gefunden ; es fragt sich, wie groß dasselbe bei 0° Temperatur sein wird?

Auflösung. Es mögen S und Sx die spec. Gewichte zweier verschiedener Körper bei Null Grad Wärme und s, sx bei einerlei

Temperatur = t bezeichnen; ferner F, Vl und v, vx die respectiven Volumen, so wie AT, Kx die Ausdehnungen der Volumeneinheiten.

und

S

v. = Vl— S = Ks, Sj = Z+. Durch Division und Réduction

*i

erhält man aber aus letzteren beiden Gleichungen

a    -ÄTj s j r*

Setzen wir nun für unseren Fall S = 1, so ist — == m und

s

G —j“ 3 6t)mfl

Sodann ist v = VK, Vj = KXVi und wegen v =

daher

wo e die eigenthümliche Längenausdehnung des Metallkörpers bezeichnet.

Nach vorigem Paragraphen ist aber, für t — 20°, -^=0,998411,

folglich

Sx = 0,998411 (1 + 3e.t.) m.

Hätte man z. B. das specifische Gewicht des Schmiedeeisens bei 20° C. zu 7,6 gefunden, so würde dasselbe bei 0° C. betragen, wenn e — 0,00001235 angenommen wird :

Sx = 7,618.

Aufgabe 2. Die Höhe einer in einem genau cylindrischen Glasgefäße befindlichen Quecksilbermasse ist mit Hülfe einer geeigneten Messingscale bei der Temperatur t zu h gefunden; es fragt sich, wie groß gedachte Höhe bei 0° Temperatur ist, wenn zugleich auf die Ausdehnung der Scale Rücksicht genommen wird.

Auflösung. Bezeichnet k die cubische Ausdehnung des Quecksilbers für jeden Grad C und A, die Höhe dieser Flüssigkeit bei Null Grad Temperatur ohne Rücksicht auf die Ausdehnung der Scale, so ist zuerst nach §. 44: h —hx (1 + &£).

Geschah die Theilung der Scale bei der Temperatur tx und bezeichnet e die eigenthümliche Ausdehnung des Messings, so ist

in letzterer Gleichung hi durch

7*1

zu

ersetzen und folg-

1 + e (t j — t)

lieh mit Rücksicht auf beide Correctionen, die Höhe der auf Null

hY (1 + kt)

1 + e0|—t)

und

Grad Temperatur reducirten Quecksilbersäule: h =

hi = h [1 + e (tA — t)] (1 — kt) genau genug.

Für h — 0m,72 bei t — — 20° C. und ferner tx — 16° C., so wie k = 0,00018, e == 0,00001875 ergiebt sich bei 0° Temperatur :

hx = 0,720487.

Aufgabe 3. Eine schmiedeeiserne Stange von 5m,5 Länge, 0m,06 Breite und 0W,03 Dicke, wurde bei der Temperatur + 18° C. mit beiden Enden in zwei unverrückbaren Ständern befestigt; man soll die Kraft bestimmen, womit die Stange bei einer Temperatur-

erniedrigung bis zu — 20°, vermöge des Bestrebens der Zusammenziehung, gegen gedachte Ständer wirkt.

Auflösung. Nimmt man aus der Tabelle §. 45 für Schmiedeeisen die Mittelzahl a = 0,0012, also e = 0,000012, so würde sich bei der Temperatur-Differenz von 38° C. die freiliegende Stange für jeden Meter ihrer Länge um 0,000012 X 38 = 0⁷'¹,000456 verkürzen. Da aber letzteres durch die Befestigung der Enden in den Ständern verhindert wird, so müssen diese von einer verhältniß-mäßigen Druckkraft = P angeregt werden, die sich mit Hülfe der Gleichung I, §. 116 der Geostatik des Verfassers (Dritte Auflage) berechnen läßt. Man erhält nämlich

P=\.EF,

wenn

— die Ausdehnung pro Längeneinheit, E den Elasticitäts-modul des Schmiedeeisens und F den Querschnitt der Stange bezeichnet, also = 0,000456, F = 1800 und E (für Quadrat-

JLj

millimeter und Kilogramme) = 2000 ist, so folgt:

P= 0,000456.20000.1800 = 16416 Kilogr.

Hieraus erkennt man zugleich, wie wichtig es ist, bei Metall-constructionen, Böhrenleitungen, den Schienen der Eisenbahnen, Dampf hähnen und Kolben u. s. w. auf die möglichen Verlängerungen und Verkürzungen Biicksicht zu nehmen, welchen diese bei Temperaturveränderungen unterworfen sind.

§. 48.

Compensationspendel.

Von der Ungleichheit, mit welcher sich Körper von verschiedenem Stoffe bei gleicher Temperatur Veränderung ausdehnen, macht man eine höchst vorteilhafte Anwendung auf die Construction der Uhrpendelcompensationen, worunter man Vorrichtungen versteht, welche dem Einflüsse von Wärme und Kälte auf die Längenveränderung der Pendel entgegenwirken. Die Notwendigkeit einer constanten Länge des Pendels, wenn solches seine Schwingungen stets in gleicher Zeit verrichten soll, darf hier als bekannt vorausgesetzt werden. Man sehe deshalb auch des Verfassers Allgemeine Maschinenlehre, Bd. 1, S. 66 (Zweite Auflage).

¹

) The Tubulär Bridges, p. 715.

Rühlmann’s Hydromechanik.

²

) Die Analogie läßt wohl vermuthen, daß sich ein ähnliches Verhältniß auch bei der Ausdehnung fester Körper zeigen würde, wenn man sie bis zum Schmelzpunkte erhitzte.

³

Gehler’s physik. Wörterbuch, Artikel „Wärme“ S. 913.

²)    Nach Desprez (Ann. Ch. Ph. 1840, LXXIII, 296) hat das Wasser seine größte Dichte bei 4° C. Nach Joule und Plaifair (L. Ed. Ph. Mag. 1847, XXX, 41) bei 3°,945 C. Neueres über diesen Gegenstand findet sich u. A., insbesondere für technische Zwecke, in Grashofs „Theoretischer Maschinenlehre“. Erster Band, §. 22, S. 123.

³)    Poggendorfs Annalen, Bd, LXXII und Liebig’s Annalen, Bd. XCIII. Ueber noch andere Resultate, nach Versuchen von Jolly, Pierre, Hagen, Matthiessen, Hirn u. A., berichtet Wüllner im Dritten Bande, S. 71 (Dritte Ausgabe) seines „Lehrbuches der Experimental-Physik“.

die ganze Zusammenstellung um auf der Bildebene der Figur rechtwinklig steht, gleichfalls schmiedeeiserne Stäbe, deren Enden durch Stifte mit den äußersten Bügeln oder Querstäben 66 und cc fest verbunden sind, dd sind zwei Zinkstäbe, welche oberhalb am Querstabe 66,

Wir betrachten hier nur zwei der bemerkenswertesten Kompensationen, nämlich die sogenannte Kost- und die Quecksilber-Compensation. Eine gebräuchliche Anordnung erster Art (ein Bostpendel) zeigt Fig. 53. Dabei ist p die schmiedeeiserne Pendelstange, welche an dem oberen Ende derartig aufgehangen ist, daß

eine Achse schwingen kann, welche aa sind zwei

unterhalb aber an einem dritten Querstabe ff ebenfalls durch Stifte befestigt sind, während durch diesen Querstab f die Stäbe aa ganz ungehindert hindurch gehen können, weshalb in ff entsprechende Oeffnungen gebildet sind.

Fig. 53.

Uebrigens wird das Querstück ff von der Pendelstange p getragen, welche deshalb in der Mitte von f gehörig befestigt ist, während diese Stange p durch das obere Querstück bb frei hindurch tritt.

\\a

Die Linse r ist fest mit dem unteren Bügel cc verbunden, deren höhere und tiefere Stellen (als anderweitiges Regulirungsmittel) durch eine Stellschraube n bewirkt werden kann. Wie durch diese Anordnung die Pendellänge bei constanter Länge zu erhalten ist, wird fast von selbst klar. Dehnt sich nämlich die Pendelstange p nach unten aus, so werden die Zinkstäbe dd eine nach oben gerichtete Ausdehnung veranlassen, weil sie an der unabhängigen Ausdehnung nach unten vom Querstücke ff gehindert werden (das ja von p getragen wird), einer Ausdehnung der Stäbe dd nach oben nichts entgegensteht, als daß sie dabei gezwungen sind, die Stäbe aa und mit ihnen die Linse r nach aufwärts zu ziehen etc.

r\

Die Ausdehnung der Eisenstäbe a nach unten und die größere Ausdehnung der Zinkstäbe nach oben läßt eine genaue Compensation zu, sobald ^ man die Längen der beiden Gattungen von Stäben \r entsprechend anordnet.

un<

Um letzteres durch Rechnung zu ermitteln, sei L die Entfernung des Schwingungspunktes vom Aufhängepunkte des Pendels, bei einer bestimmten Temperatur, ferner l die Länge der Pendelstange p vom Aufhängepunkte oberhalb bis zum Stege ff, l die Entfernung des obersten Bügels bb vom Schwingungspunkte der Linse endlich x die unbekannte Länge der Zinkstäbe d. Sodann ist (1) L = l -f-1 — x.

Bezeichnet ferner e die eigentümliche Längenausdehnung des Eisens, ey die des Zinkes, so ergiebt sich für eine um t Grade höhere oder niedere Temperatur eine neue Länge L{:

Lt = (l -j- Z) (1 t et) — x (1 t ef)*

Der Anforderung gemäß muß jedoch L = Lt sein, so daß man die Bedingungsgleichung erhält:

(2) (l -f- 1) e — xey — 0, oder wegen (1)

(L -j- x) e — xeY — 0, d. i.

(3) x =

e — eA

. Z.

Aus der Bedingungsgleichung (2) folgt noch der allgemeine Satz für die Compensation:

Die Gesammtlänge der verticalen Stäbe des gegebenen Metalles verhält sich zur Gesammtlänge des compensirenden Metalles umgekehrt, wie die zugehörigen linearen Ausdehnungen.

§• 49.

Eine der einfachsten Compensationen läßt sich mit Anwendung von Quecksilber herstellen (Quecksilberpendel), indem man nämlich an der Pendelstange, statt der Linse, ein mit Quecksilber gefülltes Gefäß (gewöhnlich aus Glas) anbringt. Senkt sich hierbei die Pendelstange, so steigt das Quecksilber auf eine größere Hohe, und bei gehöriger Anordnung läßt es sich leicht erreichen, daß hierdurch der Schwingungspunkt eben so viel gehoben wird, als er sich durch die Verlängerung der Pendelstange senkt. Zugleich bietet diese Compensation den Vortheil, daß sich ein damit versehenes Pendel sehr dem einfachen Pendel nähert, da die Masse der Stange im Verhaltniß zu der des Quecksilbers sehr gering ist.

Fig. 54. Fig. 55. Das Specielle der Anordnung eines P Quecksilberpendels zeigt Fig. 54 in der I    Vorder- und Fig. 55 in der Seitenansicht,

I    wobei wohl kaum bemerkt zu werden

J*o braucht, daß die Pendelstange p verkürzt ¹⁷¹ ™ gezeichnet ist.

m»7l

Zur Aufnahme des Quecksilbergefäßes a und respective zur Verbindung des-[ selben mit der Pendelstange p dient ein I steigbügelförmiges Gehäuse bcf. Es bell steht dies aus den Messingtellern b und c,

2X

la

I wovon ersterer als Boden, letzterer als Deckplatte dient. An jedem dieser Teller befinden sich zwei Lappen dd, wovon die bei b zur Befestigung (mittelst Nieten

T...J

di

....... oder Schrauben) der unteren Enden

5 ld    zweier eisernen Tragstangen ee dienen,

während die Lappen des Tellers c gedachte Stangen frei hindurchlassen. Oberhalb werden die Stangen ee von den Enden eines Bügels / umfaßt, wobei die Hülsen oder röhrenförmigen Fortsetzungen g g desselben gleichzeitig zum gehörigen Aufdrücken des Tellers c benutzt werden; die Feststellung der gedachten Verbindung wird durch Muttern und Gegenmuttern bewirkt. Um endlich dem Ganzen möglichst viel Stabilität zu geben,, ist zwischen b und c noch ein zweitheiliger, durch Nieten vereinigter Ring angebracht. Hinsichtlich der Verbindung der Pendelstange p mit dem Bügel/ wird nur zu bemerken sein, daß von den beiden Schraubenmuttern m und n die letztere zugleich als weiteres Regulirungsmittel für den Gang der Uhr dient, und zu diesem Ende auf ihrem Rande eine Theilung befindlich ist, n also überhaupt eine Mikrometerschraube bildet. Um bei einer solchen Regulirung die Drehung der Pendelstange zu verhindern, ist an dieser das metallene Querstück o befestigt, an dem Bügel f aber zwei Drähte, welche frei durch die Enden von o hindurchgehen.

Zur Berechnung der nothwendigen Dimensions- und Gewichtsgröße des Quecksilberkörpers wollen wir der Einfachheit wegen annehmen, daß sich der Schwingungspunkt des Pendels (nahe genug) in der Mitte des Quecksilberkörpers befindet¹). Sodann bezeichne L die Entfernung des Schwingungspunktes vom Aufhängepunkte des Pendels, a den Abstand des oberen Endes m des Bügels/von demselben Punkte, b die verticale Hohe des ganzen Gehäuses von m bis- zur Platte b gemessen, sowie 2x die zu suchende Höhe des Quecksilberkörpers.

Für die bestimmte Temperatur, wobei letztere Größen gemessen sind, erhält man

(1) Z==a + 6 — x.

Für eine um t Grad höhere Temperatur dagegen, wenn e die eigenthtimliche Längenausdehnung des Eisens, und 2xl die verhältniß-mäßig veränderte Höhe des Quecksilberkörpers bezeichnet (2) L¹ = (a-r b) (1 + et) - x\

Wie früher muß aber auch hier L = Ll sein, weßhalb aus (1) und (2) folgt

(3)    o = (a -f- b) et -f- x — x¹.

Um zunächst x¹ zu finden, sei v das Quecksilbervolumen bei der vorherbemerkten Normalteinperatur, k die eigentümliche cubische Ausdehnung dieser Flüssigkeit, r der innere Halbmesser des auf einen Kreiscylinder reducirten Querschnittes vom Glasgefäße, und el die eigentümliche lineare Ausdehnung des Glases. Sodann ist anfänglich

(4)    v = r²jt . 2a?, nachher aber

(5)    (1 + kt) = irr² (1 -f e't)² 2x\

Dividirt man (5) durch (4), so ergiebt sich

(1-1-kt) —    ^

woraus für x¹ der angenäherte, hinlänglich genaue Werth zu redu-ciren ist:

(1 -f- e¹t)² x¹

x¹ = x -|- a? (k — 2e¹)t.

Durch Subst. in (3) erhält man daher

0 = (a -f- b) et — x (k — 2e¹) t und in Bezug auf (1) 0 = (L -f- a?) e — x (k — 2e¹), demnach

. L.

7c — 2e¹ — e

Hier endlich nach Dulong und Petit, zufolge §. 45 und 46 e = 0,00001182, k = 0,00018018 und e¹ =0,000008613 gesetzt, giebt

x = 0,0782 . L

J) Welcher Fehler bei dieser Annahme begangen wird, läßt sich leicht abschätzen.

und die ganze Höhe des Quecksilberkörpers

2cc = 0,1564 . L.

Für den besonderen Fall, daß L = 0m,9935, ist sonach 2x = 0™ 1554.

Nimmt man hierbei den Querschnitt des Gefäßes = 0,002 Quadratmeter und Quecksilber von spec. Gewichte = 13;560 an, so erhält man für das Gewicht = Q des Quecksilbers:

Q = 1000.13,56.0,002.0;1554 = 4,214 Kil.

Eine nach solcher Berechnung angeordnete Quecksilber-compensation macht indeß, für einen sehr genauen Gang der betreffenden Uhr, immer noch das Anbringen anderweitiger Regu-lirungsmittel nothwendig (in Fig. 54 und 55 die Mikrometerschraube n), was allein schon aus unserer Annahme von ganz bestimmten Ausdehnungscoefficienten erklärbar ist.

In Betreff anderer Compensations- und Regulirungsmethoden muß auf ausführlichere Werke über diese Gegenstände verwiesen werden ¹).

*) Gehler’s Wörterbuch, Artikel „Compensation“ und „Pendel“. Rees’ Encyclopädie, Artikel „Horology“, Vol. II, Plate XXXIX and XL. Ferner die neueren Werke über Uhrmacherkunst von Jürgens, Martens, Heidner, Georgi u. A., worüber ausführliche Literatur in des Verfassers Allgem. Maschinenlehre, Bd. 1, Zweite Auflage, S. 34, 45, 54 und 66 zu finden ist.

Zweite Abtheilung.

<1

0*.

Ul

•rH

§. 50.

Die Gleichgewichtsgesetze wasserförmiger Flüssigkeiten und deren Verhalten gegen feste Flächen und Körper, sind auch für luftförmige Flüssigkeiten gültig, insofern dabei auf die §. 2 hervorgehobenen charakteristischen Eigenschaften der letzteren Rücksicht genommen wird.

Unter Beachtung gedachter Eigenschaften besteht daher auch in der Aerostatik der Satz von der gleichförmigen Druckfortpflanzung *), der vom Boden- und Wanddrucke, so wie ferner der Satz (das Princip des Archimedes), daß ein von der luftförmigen Flüssigkeit überall umgebener fester Körper so viel an seinem absoluten Gewichte verliert, als das Gewicht der von ihm verdrängten Flüssigkeit beträgt.

Vollständige Entscheidung über alle hierher gehörige Fragen werden spätere Paragraphen geben, im Voraus diene zur weiteren Verständigung Folgendes.

Sollen tropfbare Flüssigkeiten Drücke ausüben, so müssen sie der Wirkung der Schwerkraft unterworfen sein, oder es müssen äußere Kräfte auf dieselben einwirken. Bei luftförmigen Flüssigkeiten sind für diesen Fall äußere Kräfte nicht erforderlich, vielmehr üben diese schon durch das ihnen innenwohnende stete Ausdehnungsbestreben bestimmte Drücke aus. Vom technischen Standpunkte aus sieht man meistentheils vom absoluten Gewichte luftförmiger Flüssigkeiten ab, so wie man auch den Druck, welchen sie auf die Gefäßwände ausüben, als überall constant betrachtet. Endlich wird gewöhnlich noch angenommen, daß in der ganzen Flüssigkeitsmasse durchaus dieselbe Temperatur stattfindet.

¹) Statt des Wassers oder Oeles zum Betriebe einer hydraulischen Presse könnte daher auch Luft in Anwendung gebracht werden. Die Luft würde nur, bevor sie den auf sie ausgeübten Druck fortpflanzt, so weit zusammenzudrücken sein, bis sie eine der Druckkraft gleiche Spannung angenommen hat. Die Hauptursache, weshalb man bei der gedachten Presse lieber tropfbare Flüssigkeiten als luftförmige zum Druckfortpflanzungsmittel benutzt, liegt hauptsächlich in der Schwierigkeit des nothwendigen Dichthaltens aller betreffenden Theile.

Anders ist dies jedoch bei der Betrachtung luftförmiger Flüssigkeitsmassen von beträchtlicher Ausdehnung, wie insbesondere diejenige ist, welche, überall unsere Erde umgebend, die Atmosphäre derselben bildet.

§• 51.

Barometer, Manometer.

Um die Größe der drückenden Kraft (Expansivkraft) in Gefäßen abgesperrter Luft zu messen, benutzt man Instrumente, welche Manometer¹) genannt werden, während zu gleichen Zwecken, für die freie atmosphärische Luft, das, hier als bekannt vorauszusetzende, Barometer²) dient.

Beide Instrumente gründen sich auf den bereits von Toricelli (1643) aufgefundenen Satz:

„daß der Druck der Luft tropfbare Flüssigkeiten bis zu Höhen erhebt, welche ihrer Dichte umgekehrt proportional sind.“

Hieraus folgt zugleich, daß das Gleichgewichtsgesetz wasserförmiger Flüssigkeiten in communicirenden Gefäßen auch für luftförmige Flüssigkeiten gültig ist.

Beim Barometer ist vom communicirenden Gefäße nur ein Schenkel, die oben geschlossene, unten offene, mit Quecksilber gefüllte (und mit der Oeffnung wieder in solches getauchte) Glasröhre vorhanden, während der zweite, unsichtbare Schenkel durch eine Luftsäule von der Höhe der Erdatmosphäre gebildet wird.

Fig. 56.

Beim Manometer, Fig. 56, besteht das communicirende Gefäß (gewöhnlich) aus einer Glasröhre ABCy in beiden Schenkeln Quecksilber oder Wasser befindlich, wovon der kürzere Schenkel AB mit der gepreßten Luft im Gefäße D, der längere, oben offene Schenkel^C dagegen mit der äußeren atmosphärischen Luft in Verbindung steht. Befindet sich im Gefäße D verdünnte Luft, so ist BF < BE etc.³)

*) Von fiarÖQ dünn etc.

²)    Von ßctQOQ schwer etc.

³)    Manometer, wobei der längere Schenkel BC geschlossen ist, stehen den beschriebenen an Genauigkeit und Zuverlässigkeit sehr nach und sollen hier (zunächst) unbeachtet bleiben.

§• 52.

Bei einer Temperatur von 0° C. am Spiegel des Meeres und unter mittlerer geographischer Breite beträgt im Barometer die Höhe der Quecksilbersäule, welche den Druck der atmosphärischen Luft mißt, (T,76 (= 28 pariser Zoll = 29,92 engl.).

Da nun nach Régnault²) das specifische Gewicht des Quecksilbers bei 0°, verglichen mit Wasser von 4° Temperatur, 13,596 ist, so beträgt dieser Druck = Pwl, nach §. 9 :

I. Pm = 1000.13,596.0,76 = 10333 Kil. pro DMeter, oder pro □Centimeter (= Pc)

— 1,0333 Kilogramm.

ii. p =

10333

10000

Geht man vom Barometerstände 0m,7355 aus, so ergiebt sich Pm zu:

Pm = 1000 • 13,596.0,7355 = 9999,858 Kil. pro DMeter, wofür man offenbar setzen kann:

III.    Pm — 10000 Kil. pro DMeter, oder

IV.    Pc = 1,0 Kil. pro DCentimeter.

Die Größe dieses Druckes nennt man den Druck einer Atmosphäre und zwar insbesondere in der Beziehung, um denselben als Maaßeinheit bei der Bestimmung des Druckes der Luft und Gase (auch der Wasserdämpfe) überhaupt zu gebrauchen. Aus IV. erklärt sich die im preußischen Staate zum Gesetze erhobene Annahme, durch ein und dieselbe Ziffer die Zahl der Atmosphären und die correspondirende Druckgröße pro DCentimeter zu bezeichnen.

Durch den Manometerstand, d. h. die Differenz der beiden Flüssigkeitssäulen FB und EB im Manometer, Fig. 56, wird der Druckunterschied der im Gefäße D eingeschlossenen Luft und der atmosphärischen Luft gemessen.

Bezeichnet daher P die innere Pressung, pro DMeter in Kilogrammen ausgedrückt, und p die äußere Pressung auf dieselbe Weise ausgedrückt, endlich h den Manometerstand, und nimmt man, um mit möglichst einfachen Zahlen zu rechnen, das specifische Gewicht des Quecksilbers zu 13,60 an, so folgt:

P — p = 1000.13,6 . h = 13600 /*, wenn Quecksilber die Manometerflüssigkeit bildet und P — p — 1000 . Ä, wenn die Manometerflüssigkeit Wasser ist. Wenn P und p auf 1 DCentimeter bezogen werden, folgt:

P — p = 1,36 . h beim Quecksilbermanometer,

P — p = 0,1 . h beim Wassermanometer.

Zusatz. Wie beispielsweise §. 6, S. 13 bei der hydraulischen Presse für wasserförmige Flüssigkeiten geschah, bestimmt man sehr oft

D Mém. de l’Acad. de Paris 1847, T. 21, Pg. 162.

14,70 U engl.

²) Es beträgt dieser Druck

pro DZoll englisch:

„ österreichisch: 12,80 & Wiener etc.

<—-â-~~

1 WM

auch die Druckkraft elastischer Flüssigkeiten mit Hülfe eines geeigneten (empfindlichen etc.) Ventiles, Figur 57.

Wird dabei der innere Druck gegen die ganze Ventilfläche ab mit P, der äußere (einschließlich des Ventilgewichtes) mit^> bezeichnet, ferner die geradlinige Entfernung vom Drehpunkte i des Hebels bis zum Aufhängepunkte eines Gewichtes Q, d. i. im = L, ik = l gesetzt und die Schwerpunktsentfernung des Hebels ikn vom Drehpunkte i mit À, das Gewicht des ganzen Hebels mit q bezeichnet, endlich der resultirende Druck in i mit P, der Zapfenreibungscoefficient bei i durch / ausgedrückt, so folgt für den Gleichgewichtszustand, nach bekannten Sätzen vom Hebel :

Q.L = (P — p) l — qk —fBf

woraus Q oder L bestimmt werden können, wenn die übrigen Größen gegeben sind.

Beispiel. Wie groß ist das Gewicht Q zu nehmen, welches am einarmigen Hebel eines Sicherheitsventiles aufgehangen werden muß, wenn der Durchmesser der Ventildruckfläche, d. i. mn = 0m,05, die innere Pressung 4 Atmosphären beträgt, ferner L = lm,0, l = 0W?1, 1 = 0W,4, q = 7,5 Kil. ist, das Ventilgewicht 1 Kilogramm, und die Zapfenreibung bei A = Null angenommen werden kann J).

Auflösung. Hier ist

P= 0,785 . 5² . 1,0333 . 4 = 81,1140 Kil.

Ą- + 1 = 21,2844 Kil., also

= 2,983 Kil.

(FS

Fig. 57.

Oh

CE3

9\

7t

----^------

l(P — p) = 5,983 und 5,983 — 7,5 ■ 0,4

1,0

]) Weiteres über die Berechnung der Belastung, insbesondere bei Dampfkessel-Sicherheitsventilen, findet sich Bd. 1, S. 623 (Zweite Auflage) der Allgem. Maschinenlehre des Verfassers. Wie gering der Fehler ist, welchen man begeht, wenn, wie oben, die Zapfenreibung vernachlässigt wird, findet sich u. A. nachgewiesen in der 5. Auflage des (von Herrmann bearbeiteten) Weisbach’schen Lehrbuches der Ingenieur - Mechanik, S. 349.

Wegen mancherlei unvorhergesehenen, nicht immer zu beseitigenden Umständen (Porosität der Ventil-Sitzflächen, Unbestimmtheit der Reibungscoefficien-ten etc.) darf gesetzlich die zulässige Belastung bei Dampfkesselventilen nicht mehr berechnet, sondern muß durch geeignete Versuche ermittelt werden. Man sehe deshalb die Anweisung des preußischen Handelsministers vom 11. Juni 1871, §.4.

§. 53.

Mariotte - Boyle’s und Gay-Lussac’s Gesetz.

Von besonderer Wichtigkeit ist für alle weiteren Betrachtungen das Gesetz, welches die Beziehung zwischen Elasticität, Dichte und Volumen der Luft ausdrückt und welches fast gleichzeitig von dem Engländer Boyle (1660) und dem Franzosen Mariotte (1670) aufgefunden wurde. Es lautet dies Gesetz folgendermaßen:

„Die Elasticität und Dichtigkeit der Luft ist der sie zusammendrückenden Kraft direct, das Volumen, oder der Raum, den sie einnimmt, dieser Kraft umgekehrt proportional, vorausgesetzt, daß die Temperatur constant bleibt.“

Hat man daher zwei Luftvolumen vx und v₂ von gleicher Temperatur, deren respectiven Pressungen^, und p₂, so wie Dichten A und ZI, sind, so stellt sich das Mariotte-Boyle’sche Gesetz durch folgende Proportionen dar:

\P> :p*=v₁ :

(1)    ‘.P i‘P* = ^i-

ht :v₂ = A₂:

Ein zweites wichtiges Gesetz, betreffend die Ausdehnung der Luft durch Wärme, ist das Gesetz Gay-Lussac’s (Dalton’s), was also lautet:

„Trockne atmosphärische Luft dehnt sich bei gleichem Temperatur Zuwachse um gleich viel und zwar für jeden Grad des hunderttheiligen Thermometers um 0,00375 ihr es V o 1 umens aus, vorausgesetzt, daß der Druck, unter welchem diese Luftmasse steht, sich nicht verändert.“

8 = 0,003666 =

Bezeichnet v₀ ein Luftvolumen von 0° Temperatur, so erhält man für die Voluminas vx und v₂ bei tx und t₂ Temperatur:

Die neueren Bestimmungen von Magnus, Régnault u. A.) weichen hiervon etwas ab¹), insbesondere beträgt die gedachte Volumenausdehnung = 8 für jeden Grad des Intervalls von 0° bis 100° C., nur:

und hieraus :

Vl = vQ (1 -J- di) und v₂ = vQ (1 -j- dtx)

Aus der Verbindung des Mariotte’schen mit dem Gay-Lussac-schen Gesetze ergeben sich noch folgende besonders wichtige Gleichungen :

(3) Jü-

V    V₂

(4)

*) Man sehe hierüber den später folgenden mit „Geschichtlichen Notizen“ überschriebenen Paragraphen.

§. 54.

Zu besonderen Erörterungen des Mariotte’schen und Gay-Lussac’schen Gesetzes diene (zunächst) Folgendes.

Das Gewicht eines Liters (Cubikdecimeters) trockener atmosphärischer Luft bei 0° C Temperatur, unter der Pressung von 0m,76 Quecksilbersäule (einer Atmosphäre) und unter der geographischen Breite von Paris beträgt nach Régnault¹)

1,293187 Gramm, folglich wiegt 1 Cubikmeter = 1,293187 Kilogramm.

Für die geographische Breite = cp und h Meter über dem Meere, beträgt dies Gewicht:

— [1 - 0,002836 . cos 2cp],

1,292673

wobei r den mittleren Erdradius bezeichnet und wofür gesetzt werden kann :

r = 6366198 Meter.

Hiernach erhält man, mit Zuziehung der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen, für das Gewicht eines Cubikmeters atmosphärischer Luft, für die Dichte = A der letzteren, bei der Temperatur = t und unter dem Drucke = p in Kilogrammen pro Quadratmeter

oder

(1) A = 1,293187

(2) A —

7992,655 ' 1 + ö<

Ferner ergiebt sich für das Gewicht = w eines Volumens v atmosphärischer Luft

(3) io = A . v =

pv

7992,655 (1 + St)

Bezeichnet man weiter für w = 1 Kilogramm das correspon-dirende Volumen mit vn und die zugehörige Dichte mit A } so ergiebt sich für den Fall, daß p = 10333 Kil. und t = Null ist :

1 = A₀vq, also

= 0,7733 Cubikmeter.

1,293187

Das (unter den bezeichneten Umständen) einem Kilogramme atmosphärischer Luft entsprechende Volumen pflegt man das speci-fi s c h e Volumen zu nennen.

Unter Benutzung vorstehender Werthe lassen sich die Gleichungen (3) und (4) des vorigen Paragraphen in andere Gestalt bringen.

Bezeichnet man vorerst Druck und Volumen, welche der Temperatur Null entsprechen, beziehungsweise mit p₀ und v₀, so erhält man

(5) pv =p₀v₀ (1 + 8«),

Für ein Volumen atmosphärische Luft von M Kilogramm Gewicht ist statt (6) zu setzen :

(8) pv = MRT:

Interessante (neue) Erörterungen der Gleichungen (6) und (8) hat kürzlich A. Bitter in Aachen geliefert, welche sich abgedruckt finden in der neuen Folge der (Poggendorfsehen, jetzt Wiede-mann’schen) Annalen der Physik und Chemie, Monat Juni 1877, S. 273 ff.

Schließlich noch folgende Bemerkungen:

1) Da unter Voraussetzung constant bleibender Temperatur für die Beziehung zwischen Druck und Volumen eines Gases das Mariotte’sche Gesetz gilt, so läßt sich letzteres auch ausdrücken durch

pv = Const.

Oskar Meyer in seinem schätzbaren Werke „Kinetische Theorie der Gase“. Breslau 1877, entwickelt (S. 25) für die Molekulargeschwindigkeit = G der Gase die Formel G² = G₀² (1 -\- §t). Dieser Werth verschwindet, wenn

— 273° C.

1

1 —{—    =- 0 wird, d. i. für t = --g - =

Ist daher (wie bereits Note 1, S. 93 hervorgehoben wurde) die Wärme nichts anderes als die lebendige Kraft der molekularen Bewegung, so muß der Punkt, wo ein Gas gar keine Wärme mehr enthält, mit dem identisch sein, wo die molekulare Bewegung verschwunden ist und alle Atome und Molekülen in völliger Ruhe verharren. (Weiteres in dem angegebenen Werke.)

Auch die obige Gleichung (5) läßt sich zur Erklärung der absoluten Temperatur benutzen, indem man unter der Voraussetzung von v = v0 denjenigen Werth von t sucht, für welchen der Druck p zu Null wird. Man

— -o = — 273.

und wenn man den echten Bruch 8 == 0,003665 = ~ = ~ setzt.

⁷    273 a ⁷

pv =

Schreibt man ferner zur Abkürzung

^ = R und a + t = T,

a    ¹

(6) pv = RT.

Die von — a (— 273° C) an gezählte Temperatur T pflegt man die absolute Temperatur zu nennen¹). Außerdem erkennt man leicht, daß R eine Constante ist, welche von der Beschaffenheit (Natur) des Gases abhängt. Für atmosphärische Luft und für die Temperatur t — Null, also für die absolute Temperatur T₀ = 273, erhält man folglich:

so ergiebt sich

mit Bezug auf (4)

u i i).

a v ¹    '

= d. i.

(7) R =

10333 . 0,7733

273

= 29,27.

1

erhält ebenfalls 1 —]— 0^ = 0, t =    =

Rühlmann’s Hydromechanik.

Eine Gleichung, welche einer gleichseitigen, in einer Ebene liegenden Hyperbel entspricht, sobald diese die rechtwinkligen Coordinatenachsen zu Asymtoten hat. Unter solchen Umständen nennt man diese krumme Linie die isothermische Curve.

In einem späteren Paragraphen kommen wir unter der Rubrik isothermische Compressions- und Expansions-Arbeit auf diesen Gegenstand zurück.

2) Die geometrische Darstellung der Gleichung pv =» ET,

als die Vereinigung des Mariotte’schen und Gay - Lussac’schen Gesetzes liefert eine hyperbolische Paraboloidfläche.

Auch hierüber hat A. Ritter in Aachen im Dec.-Hefte 1877 der Poggend.-Wiedemann sehen Annalen etc. interessante Erörterungen geliefert.

• §. 55.

Einige technisch wichtige Anwendnngen der Hauptsätze vorstehender

Paragraphen.

Fig. 58.

I. Taucherglocke.

Bei der Taucherglocke, Fig. 58, soll zuerst die Frage beantwortet werden, bis zu welcher Hohe DB=x Wasser in dieselbe dringt, wenn ihre Dimensionen, so wie die Tiefe = a bekannt ist, in welcher sie —3 unter dem Oberwasser-^jjjg Spiegel aufgestellt wird. ____ _ Jjp Gedachter Fall kann eine Beachtung erfordern, wenn "i durch ungünstige ’ Um-stände veranlaßt, dieDruck-pumpe (Compressionspum-

sg_____pe) eine Zeit lang außer

Thätigkeit gesetzt ist, mit-jj telst welcher sonst durch die Oeffnung A in elasti-Sgz sehen Röhren (Schläuche) " frische zum Einathmen der Arbeiter geeignete Luft ; eingeführt wird, die auch 1 zugleich das Wasser aus derTaucherglocke entfernt.

Des ersten Verständnisses wegen werde angenom-I men, daß die Taucher-glocke einen mit der Grund-

aaaag..........

mmmm

H

sLZZ—

gpgss

.. ! =:

—>=■—

»-tź.

ly

W/M

y = E — — -    • æ ist,

fläche parallel abgekürzten Kegel bildet (wie beispielsweise eine bei den Hafenarbeiten in Cherbourg benutzte Taucherglocke¹), dessen Höhe h ist, während R und r die Kadien der kreisförmigen Endflächen sind. Die den Atmosphärendruck messende Wassersäule werde b (= KT,333) und der veränderliche Kadius der Glocke DE = y gesetzt.

Da die Volumina der in der Glocke befindlichen Luft über dem Wasser: y (R² -)- r² -|- Rr),

in der Tiefe a : -h    (<y² -f■ r² -j- ry) sind.

ferner auch

so erhält man nach dem Mariotte’schen Gesetze die Proportion: b:(a-\-b — x) = (A — x) (y² -f- r² -J- ry) : h (R² -[- r² -{- Rr).

Wird hier h (jR² r² -f- Rr) = k, — ~~r = n und a + b — m

gesetzt, so erhält man zur Bestimmung von x folgende Gleichung : I. (R — nx)² (h — x) (m — sc) —4— r (R — nx) (h — x) (m — x) + r² (Ä — x) (m — x) = bk.

(h — x) (m — x) = bli und a + b+ bS²

Bildet die Glocke einen Cylinder, so wird R = r, n = Null, k =3hr², folglich aus I:

VT

— all.

Hinsichtlich der mechanischen Arbeit, welche aufzuwenden ist, um die Luft bei a Wassertiefe der Glocke mit Hülfe einer Druckpumpe (Compressionspumpe) auszutreiben und gleichzeitig diese Luft zum Einathmen für die Arbeiter geeigneter zu machen, muß auf [§. 58] verwiesen werden.

Beispiel. Bei der erwähnten Cherbourger Glocke ist h = lm,594; R = 0W,8805; r = 0™,8075; a = 15m,0, also m = 15 -f 10,333 = 25w,333 ;

0,045797; k — 3,40623;

b = 10m,333. Daher wird aus I:

0,00209734 æ⁴ — 0,1741092 sc³ + 5,39072 cc² — 62,3350 x + 51,1493 = 0, oder

a⁴ — 83,0137 x³ -f 2570,26235 cc² — 29720,9482 x + 24387,6673 = 0, woraus x = 0m, 88661.

Gefäße MM, Fig. 59, enthaltenes Wasser zum

§. 56.

IL Heber,

Es ist die Kraft zu bestimmen, womit in einem beliebigen

Abfließen durch einen

Fig. 59.

mM

TTr

; Heber ABC angetrieben wird. Vorausgesetzt j. wird dabei, daß die Zusammenstellung überall — von der atmosphärischen Luft umgeben ist, das Gefäß eben so viel Zufluß erhält, als E durch den Heber abfließt, der Spiegel WW also constant bleibt, endlich beide Heberschenkel bereits mit Wasser gefüllt. sind, auch C vor dem Beginn des Ausfließens zugehalten wird.

Auflösung. Bezeichnet, wie vorher, b die den Atmosphärendruck messende & Wassersäule (10m,333), so erfährt die Einheit der Fläche (wenn man zuvor die Horizontalen durch A, B, C etc. zieht) einen Druck in B von links nach rechts: y [b EF— BF] = y [b — BE], so wie von rechts nach links: y [6 — DG].

Soll nun ein Fließen von B nach C erfolgen, so muß offenbar ersterer Werth den letzteren übertreffen und zwar muß die Differenz beider, die Resultirende — p, wodurch gedachte Bewegung veranlaßt wird, sein :    _ __ _ _

p = y [b + EF— DF— b + DG] = y . EG.

Die Druckkraft, welche pro Flächeneinheit gegen die Flüssigkeit wirkt und diese zum Fließen bringt, wird also durch das Gewicht einer Fliissigkeitssäule gemessen, welche den Abstand der Ausfluß Öffnung vom Wasserspiegel im Gefäße zur Höhe hat.

Taucht die Mündung C unter Wasser, so wird die wirksame Druckhöhe EG durch den Abstand des Wasserspiegels über C vom Wasserspiegel WW im Gefäße MM bestimmt.

Außerdem ergeben sich noch folgende wichtige Sätze:

1)    Es findet so lange ein Abfluß durch den Heber statt, als der Ausflußpunkt C noch tiefer wie der Wasserspiegel WW m* Gefäße liegt. Hieraus ergiebt sich überdies, daß der Schenkel BC auch kürzer wie der AB sein kann, ohne den Ausfluß zu stören.

2)    Der Abstand des Wasserspiegels WW im Gefäße vom Scheitel B oder höchsten Punkte des Hebers muß kleiner wie b d. i. kleiner wie lOm,333 sein, da der in B von links nach rechts wirksame Druck y (b — DE) nicht negativ sein darf, also b DE erfordert wird.

Zusatz. In dem Gebiete des Maschinenwesens und der Baukunst macht man, um Wasser über Höhen (nicht auf Höhen) zu heben, von dem Heber mannigfachen nützlichen Gebrauch. So benutzt man ihn bei geringen Gefällen zur Zuleitung des Aufschlagwassers der Turbinen, wenn deren Tieferlegung nicht zulässig ist*), ferner als selbstfüllenden

) Rühlmann, Allgemeine Maschinenlehre, Bd. I (Zweite Auflage, S. 413).

Heber (wie er schon den Alten unter dem Namen „diabetes“ bekannt war) zur Hahnsteuerung bei Maschinen etc. *) Auch benutzt man den Heber, um überflüssiges Wasser aus Behältern abzulassen (wie beim Canale von Languedoc)²), oder Wasser über Höhen zu leiten, wo ein Fortleiten in Röhren durch die Höhen nicht möglich, oder, der örtlichen Umstände wegen, nicht räthlich ist. Eine Anordnung letzterer Art zeigt Fig. 60. Das dort bemerkte Fluthwasser gehört der Schelde an, der Graben WW, welcher von diesem Wasser gespeist werden sollr gehört zum Marienfort unterwärts Antwerpen etc.³).

Fig. 60.

FLUTHWASSER,

)m4

Ml

iiirv

Der ganze Heber ABCD wird von einer gußeisernen 0m,2 weiten Röhre gebildet. Um den Heber in Thätigkeit zu setzen, d. h. um die in der Röhre ABCD enthaltene Luft auszutreiben und Wasser eintreten lassen zu können, ist auf der höchsten Stelle bei B eine entsprechende Säugpumpe angebracht. Die wirksame Druckhöhe ist hierbei 2m,9⁴).

Fig. 61.

§• 57.

III. Pumpen (Kolbenpumpen).

Es sei ABCD, Fig. 61, der Kolbencylinder (Stiefel) einer Wasserpumpe mit durchbrochnem Kolben K, sowie CEFD das unterwärts angebrachte (in der Abbildung verkürzte) Saugrohr mit dem Säugventile bei CD. Man soll die Größe der in der Kolbenstange anzubringenden Kraft P bestimmen, welche, wenn von allen sogenannten passiven Widerständen (auch vom Gewichte des Kolbens) abgesehen wird, den Kolben in einer bestimmten Lage im Gleichgewicht zu halten im Stande ist.

Ci

Auflösung. Nehmen wir an, es sei der ganze Raum G CF der Pumpe mit Wasser gefüllt, der Kolben K im Aufsteigen begriffen und für einen Augenblick in der gezeichneten Stelle festgehalten, die Ventile im Kolben geschlossen, dagegen das -, Säugventil CD geöffnet. Wird dann der Kolbendurchmesser mit Dj die den Atmosphärendruck ! F messende Wassersäule mit b (== 10m,333) bezeichnet

*) Rühlmann, Allgemeine Maschinenlehre, Bd. IV, S. 581.

⁸) Gerstner, Mechanik, Bd. 2, S. 269, Tafel 52.

Wassergewältigung in der Grube

³)    Förster, Bauzeitung 1852, S. 260.

zur

⁴)    Anwendung des Saughebers „Himmelsbeck“ bei Mühlheim und in der Grube „B ergwerks Wohlfahrt“ bei Clausthal. Kerls, Berg- und Hüttenmännische Zeitung, Jahrg. 1864, S. 367. Die Siphons des Verdon - Canales. Annales des ponts et chaussées 1877, Pg, 370.

und = 0,785 = n' gesetzt, so beträgt, mit Bezug auf die Figur,

das auf die obere Kolbenfläche drückende Gewicht:

(1)    yDV [b -f GK\

während die untere Kolbenfläche einen Druck erfahrt, der gleich ist :

(2)    yD²jtl [5 — KF].

Wird (2) von (1) abgezogen, so erhält man für die bestimmende Kraft P den Werth:

P=yDV [GK+KF], d. i.

P=yDV . PG.

c-t-

CD

Die Kraft, welche den Kolben beim Aufgange in jeder beliebigen Lage im Gleichgewicht zu erhalten vermag (oder die Kraft zum Aufziehen bei gleichförmiger Bewegung) is gleich dem Gewichte einer Flüssigkeitssäule, welch den Querschnitt des Kolbens zur Basis und den Abstand'des Unterwassers vomAusguß-punkte zur Höhe hat.

Die Kraft, welche beim Niedergange den Kolben im Gleichgewichte zu erhalten im Stande ist, hat nur die oben bemerkten passiven Widerstände, als Kolbenreibung, Durchgang des Wassers durch die Ventile, Anhängen des Wassers an den Röhrenwänden etc. zu überwinden und, da von diesen Widerständen hier (zunächst) abgesehen werden soll, so kann von einer derartigen Kraft weiter nicht die Rede sein.

Zusatz 1. Für die gewöhnlichen praktischen Fälle läßt sich, mit Beachtung der passiven Widerstände setzen :

Aufgang: P = l^D²UyH bis 1 yPîtjff;

Niedergang: Px = ^D²bis \D²XyH.

Die pro Sec. aufzuwendenden mechanischen Arbeiten sind daher, wenn v die mittlere Geschwindigkeit des Kolbens bezeichnet:

L = Pv und Ll = PjK.

Eben so interessante als technisch wichtige Fragen

Zusatz 2.

sind die nach der Steighöhe des Wassers bei jedem Hube, nach der größten Steighöhe und den Anordnungen, welche man zu treffen hat, um den Nachtheil des sogenannten schädlichen Raumes — d. h. des bei jedem Hube zwischen der unteren Kolbenfläche und dem Stiefelboden verbleibenden Raumes — möglichst herabzuziehen.

Für diese Betrachtungen sei l der Kolbenhub, e der schädliche Raum, A der Stiefel- und a der Saugrohrquerschnitt, X die Länge des Steigrohres und die Steighöhe des Wassers am Ende des ersten Kolbenhubes, endlich b wiederum = 10m,333.

Bevor noch Wasser in die Pumpe tritt, der Kolben aber bis zum tiefsten Punkte herabgedrückt ist, besitzt die im Raume unter dem Kolben bis zum Unterwasser befindliche Luft

<« !

ein Volumen = la -f~ eA und eine Pressung = b.

Nachdem der Kolben ganz erhoben und das Wasser im Saugrohre auf xx Höhe gestiegen ist, hat diese Luft

1 ein Volumen: A [l e) Ą- a ()* — ccj) und jeine Spannung: b —

(2)

«J-

Für die Bestimmung von x₁ erhält man daher, nach dem Mariotte’schen Gesetze, ohne Weiteres die Proportion:

(3) Ae —|— cih : A (l —e) —|— a (1, — xj) = b — x± : b.

Wird jetzt der Kolben abermals ganz niederwärts bewegt, so verbleibt endlich nach dem Schlüsse des Saugrohres zwischen diesem und der unteren Kolbenfläche ein Luftvolumen Ae von der Atmosphärenpressung = b. Dagegen verbleibt im Saugrohre ein Luftvolumen = a (K — x₂) von der Pressung = b — xlt

Dies letztere Volumen ist zur Bestimmung der Steighöhe = x2 beim zweiten Kolbenhübe, auf ein Volumen = z von der Atmosphärenpressung = b zu reduciren und sodann mit Ae zu vereinigen. Hierzu ist z : a (1 — 5Cj) = (b — xj) : b, d. i.

_ a (b — ccj) (1 — Xj)

Daher das von dem z weit en Aufzuge des Kolbens in der Pumpe überhaupt eingesclilossene Luftvolumen von Atmosphärenpressung = b :

(4) Ae -f

a (b — x{) (A, — ajj)

Ist sodann der zweite Kolbenaufgang vollendet und ist dabei das Wasser in der Saugröhre auf die Höhe x₂ gestiegen, so besitzt die in der Pumpe ab gesperrte Luft

ein Volumen: A (l -f- e) -J- a (Ä, — x₂) und eine Spannung: b — x₂.

Aus (4) und (5) erhält man daher zur Bestimmung von x₂ : Aeb -|- a(b — x,) (X — xx)

(5) j

(6)

: A (I -j- e) a (X — x₂) b — x₂ : b.

Hieraus wird man leicht erkennen, daß nach dem nten Kolbenaufgange die Steighöhe = xn aus der Proportion zu reduciren ist:

: A (l —f— e) —|— cl Çh — xn) : — b — xn : b.

I.

Aeb -f- a (b — xn_j) (X — a?w_,₁

Die Existenz dieser Proportion ist zunächst an die Bedingung geknüpft, daßxw_j<^ö sei. Stellt man sich daher unter xn_₁ die größte Steighöhe = X des Wassers vor, so wird zur Bestimmung von X auch xn = X zu setzen sein. Führt man letztere Größe in I. ein und reducirt auf dieselbe, so folgt endlich:

bl

1 -j-

e-\-l

Die größte Saughöhe einer Pumpe kann daher niemals die Höhe einer Säule von der Dichte der zu hebenden Flüssigkeit erreichen, welche dem Drucke einer Atmosphäre das Gleichgewicht hält. Es wird also X 10m,333 für Wasser, X<^0m,76 für Quecksilber etc. Ferner tritt, unter sonst gleichen Umständen, der schädliche Raum um so weniger nachtheilig auf, je größer man den Kolbenhub macht.

Für e = 0m,076 und b = 10m,333 ergiebt sich:

X = 8W,26, wenn l = 0W,3,

X = 9W,60, wenn l = lm,0 ist.

Zusatz 3. Luftpumpe. Bezeichnet V den Inhalt des Rece-pienten und v den des Stiefels einer Luftpumpe, so erhält man:

A. Für die Verdünnungspumpe die Dichte — xl nach dem ersten Zuge aus der Proportion :

V : (V+y) = xi : b, d. i.

Eben so für die Dichte = x₂ nach dem zweiten Zuge :

V : ( V -)- v) = x₂ : xt

x₂ = Xj

daher nach dem wten Kolbenzuge die Dichte xn:

xn =

B, F ür die Ver di chtun gs - (C ompr ess i on s-) Pump e ergiebt sich, in ähnlicher Weise verfahren, die Dichte nach n Kolbenzügen zu:

V nv

xn

In beiden Fällen A. und B. ist der schädliche Raum der Pumpen unbeachtet geblieben.

Beispiel. Bei der atmosphärischen Eisenbahn von Kingston nach Dalkey in Irland betrug der cubische Inhalt der 7470 Fuß (engl.) langen und 15 Zoll im Durchmesser haltenden, zwischen den Bahnschienen liegenden Triebröhre (incl. 5^ wegen Nichtdichten derselben) 9630 Cubik-fuß. Der Inhalt des dortigen Luftpumpenstiefels (bei 67 Zoll Durchmesser und 66 Zoll Hub) war gleich 134,66 Cubikfuß. Es fragt sich, wie viel Spiele die Luftpumpe machen mußte, wenn die Luft aus der Triebröhre bis auf 15 Zoll Quecksilbersäule (L Atmosphäre Spannung) ausgepumpt werden sollte?

Auflösung. Aus Zusatz 3, A, folgt unmittelbar:

Lg 30 — Lg 15

Lg b — Lg xn

Lg(V+v) — Lg F

Lg 9765 — Lg 9630

= 49,95.

§. 58.

Isothermische Expansion und Compression.

Fig. 62.

\P

U -w:z

'€

U-

Es sei AB, Fig. 62, die Druckcurve nach dem Mari-otte’schen Gesetze, also nach §. 54 die isothermische Curve und zwar sei ein Volumen, welches in einem (cylindri-schen) geeigneten Gefäße abgesperrt ist und die Pressung Pi besitzt. Sodann werde vt durch die Abscisse UC und pv durch die Ordinate AC der Druckcurve dargestellt*

¹

) Mémoire de l’academie royale de sciences de l’Institut de France, Tome XXI, p. 157. Paris 1847. Ferner Karsten, Fortschritte der Physik, Jahrg. II, S. 88.

²

Bulletin d’encouragement, 19 Année (1820), p. 198, PL 193. Andere Taucherglocken (gußeiserne mit fast rectangulären Querschnitten) finden sich beschrieben und abgebildet in folgenden Werken: Armengaud Publication Indust. 4e Vol., PI. 7. — Papers of Royal Engineering, Vol. I., PI. XV—XX. — Cave. Bateau Plongeur etc. du Nil. Bulletin d’encouragement etc. 48e Année (1849), Pg. 405. — Die Construction der Taucherglocken zur Fundirung der Rheinbrücke bei Hamm. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure. Jahrg. 1869 (Bd. XIII), S. 186.

Das ausgedehnte, nach der Expansion vorhandene Volumen sei v2 und werde durch die Abscisse UI), die correspondirende (geringere) Pressung p₂ durch die Ordinate BD sichtbar gemacht.

Der Querschnitt des gedachten cylindrischen Gefäßes sei a, der nach einer beliebigen Zeit von einem entsprechenden Kolben zurückgelegte Weg sei ,9 und die correspondirende Pressung auf die Flächeneinheit des Kolbens sei = p. Dann erhält man offenbar für die elementare Espansionsarbeit ds&e :

c?5fe = apdsj oder, wenn ads = dv gesetzt wird :

(1) d^[e = pdv.

Mit Bezug auf unsere Figur wird aber p durch eine entsprechende Ordinate EF\ so wie das correspondirende Volumen durch die zugehörige Abscisse AF dargestellt. Hiernach erhält man aus (1)

v2

%=ßdv-

vl

Hiernach wird die Expansionsarbeit durch den Flächeninhalt des Vierecks ABDC repräsentirt.

Zur Ausführung der Integration hat man nur zu beachten, daß, den Voraussetzungen entsprechend, p = und — = — ist, also erhalten wird:

v2

=    Lgnt-^

J V    «1

= piVi Lgnt. — •

Vi

v\

Die unter gleichen Umständen stattfindende Compressionsarbeit, um ein Volumen v₂ von der Pressung p₂ zum Volumen vx mit der i zu comprimiren, wird eine Arbeit §fc erfordert, welche em Vorstehenden ergiebt zu:

I. 9fe == piOt

Pressung p sich aus de

V1 v2 I dv    I dv

J-=P'V'J-

=p₂v₂ Lgnt. — =p₂v2 Lgnt.—V

Vl    p₂

v2

V1

oder da p₂v₂ = PiVi ist, auch 9fc = Plv, Lgnt. -|L,

Vl

woraus schließlich Sfe = §fc folgt.

Von den mannigfach praktisch wichtigen Anwendungen, welche von vorstehenden Gleichungen I. und II. gemacht werden können, mag hier zunächst die Platz finden, welche die Frage nach dem theoretischen Arbeitsaufwand zum Betriebe der Cylindergebläse für Metallschmelzöfen betrifft.

Hierzu sei in Fig. 63 AB der zur Aufnahme und Comprimirung bestimmte Cylinder, dessen Inhalt = vY mit atmosph. Luft von der Pressung pi gefüllt ist. Beim Niedergange des gehörig dichtenden Kolbens C wird zuerst ein bestimmter Weg zurückgelegt, während

dessen keine Luft aus AB in den Sammelbehälter (Regulator) E tritt, sond dieselbe nur ein Zusammendrücken erfährt. Erst wenn das ursprüngliche Volumen v    vv aufv₂ von der Pressungjo*

zusammengedrückt wurde, erfolgt das Oeffnen eines (hier gewichtslos gedachten) Ventiles D und der das Fortschaffen der Luft in dem Sammelbehälter E.

Bei aufmerksamer Betrachtung erkennt man leicht, daß der ge sa mm te Arbeitsaufwand = 5f, bei einem Niedergange' des Kolbens aus nachbemerkten drei Theilen besteht:

Erstens aus der Arbeit = zum Comprimiren des Volumens von px Pressung auf p₂ d. i. sXc=p₁v₁ Lgnt.

Zweitens aus der Arbeit =§f/ zum Fortschaffen der aufp2 zusammen gepreßten Luft vom Volumen v2j d. i. 91/ = p₂v₂, und

Drittens aus der Arbeit == Sfa, welche nutzbringend die äußere atmosphärische Luft auf die äußere (untere) Fläche des Kolbens C ausübt, also

Sonach ist

Fig. 63.

ern

C*

pi

P2

"k

_ XL

...ÿ

Uebertritt

9fa

91 = ?(c + 9f - 9fa, oder 91 =ptv, Lgnt.    — _piWj, d. i.

weil    = j), i :

III. 91 =P\Vi Lgnt. — = p₂ Vt Lgnt. — •

P |    P l

Ganz denselben Ausdruck erhält man für die Arbeit, welche frei wird, wenn man das zusammengedrückte Volumen v₂ von der Pressung p₂ aus dem Reservoire E in einen zweiten Cylinder treten, hier durch Expansion wieder auf einen Kolben wirken und schließlich in die Atmosphäre entweichen läßt. Diese Art der Arbeitsleistung tritt u. A. bei den durch gepreßte atmosph. Luft betriebenen Tunnelbohrmaschinen ein, woselbst der gedachte zweite Cylinder der Bohrmaschine angehört.

Unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen ergiebt sich nämlich: *)

*) Man sehe hierüber eine höchst werthvolle Arbeit des Herrn Professor Dolezalek am Königl. Polytechnikum zu Hannover, welche im Jahrgange 1878, S. 42 und S. 48 der Zeitschrift des Hannoverschen Architekten- und Ingenieur-Yereins, unter der Uebersehrift „Bemerkungen über Bohrmaschinen im Gotthardtunnel“ abgedruckt ist.

Lgnt . I?-,

Vi

2f/= (jP₂ —P\) v₂ (hier Volldruckarbeit genannt) und « = (vi — v2) Pu daher

® = 5fe +    —p₂v₂ Lgnt. -f p₂v₂ —plv₂ —p₂vx    d. i.

Pi

9f = p₂v2 Lgnt — »

In vorstehende Gleichungen führt man sehr oft (für hüttenmännische Zwecke) statt der Pressungen p, und p₂ die correspon-direnden Barometer- und Manometerstände ein. Wird ersterer mit b und letzterer mit h (Fig. 63) bezeichnet, so erhält man, unter Voraussetzung einer Manometerflüssigkeit von der Dichte A : pl — A .b und p₂ = A . (b -J- h), daher

IV. Sf = Abv, Lgnt. 5±*.

-j- setzen,

Ist h recht klein *), so läßt sich annäherungsweise Lgnt.

so daß statt IV. erhalten wird :

V. '%= A .h. V>

Letztere Gleichung entspricht der bei Fachleuten am meisten angewandten Regel, daß man den erforderlichen theoretischen Arbeitsaufwand eines Gebläses findet, wenn man die bedürftigte Windmenge mit dem Manometerstande und mit der Dichte der Manometerflüssigkeit multiplicirt.

Beispiel 1. Mittelst eines Cylindergebläses soll pro Secunde 1 Cubikmeter Wind von 83 Centimeter Pressung (Quecksilbermanometer) in einen Hochofen geschafft werden und zwar an einer Stelle, wo ein (mittlerer) Barometerstand von 71 Centimeter (Quecksilbersäule) vorhanden ist. Welcher theoretische Arbeitsaufwand ist hierzu erforderlich?

Auflösung. Aus Gleichung IV. ergiebt sich (A — 1000 . 13,6 angenommen) :

83

21 = (1000 . 13,60) . 0,71 . 1,0 . Lgnt . —, d. i.

21 = 9686 . Lgnt . 1,17 = 9686 . 0,157 = 1520,7mk, oder in Maschinenpferdekräften (== N) à 75mfe ausgedrückt

= 21,6.

1520,7

75

*) Bei gewöhnlichen Eisenhochöfengebläsen mit Cokesfeuerung übersteigt h

0m 76

--1— = 0™,25. 3

Bei Ge-

fast niemals -§- Atmosph. oder ist allerhöchstens h —

bläsen zum Bessemerprocesse kommen dagegen Pressungen von 1\ bis (wohl gar) 2 Atmosphären vor und ist dann im ersteren Falle h = 1,5 . 0,76 = 1,140 Meter.

²) Bei weitem wissenschaftlichere Effectberechnungen der Gebläse haben Weisbach (Ing.-Mech. Bd. 3, S. 1055 ff.) und besonders Grashof (Zeitschr. des Vereins deutscher Ing. Bd. VIII, S. 47 und 101) geliefert. Man sehe hinsichtlich der von Grashof gefundenen Werthe auch Redtenbacher’s Resultate des Maschinenbaues. 6. Auflage, Seite 381.

Den erforderlichen, reellen Arbeitsaufwand = 31 r, welcher sämmt-liche vorhandene mechanische und hydraulische Widerstände überwindet, nimmt man bei Gebläsen gewöhnlich zu 0,60 an, d. h. setzt

0,6

91 r = -JL-

. Lgnt. oder in Maschinen-Pferdekräften

Pi

.Lgnt.

31r =

und erhält daher im vorberechneten speciellen Falle: PlVl

0,60

Nr

Die Gleichung V. liefert dagegen:

31 = 1000 . 13,6 . 0,12 = 1632

mk

und daher

1632

75    = ²⁰’⁹-

PlVl

75 . 0,60

Beispiel 2. Zum Betriebe einer der im Gotthardtunnel benutzten (Ferroux’sehen) Gesteinbohrmaschinen werden pro Minute 0,58 Cubik-meter atmosphärische Luft von 5 Atmosphären absoluter Spannung benutzt. Es fragt sich, welche (theoretische) mechanische Arbeit = 31 diesem Falle entspricht²).

Auflösung. Man erhält ohne Weiteres, mittelst der Gleichung III. die secundliche Arbeit zu

31 = 5 . 10333 .

0,58

₆₀    •    5, d. i.

31 = 499,43 . 1,609 = 803™*,58 und 803,58

75    =¹⁰’⁷¹-

§. 59.

Das potenzirte Mariotte’sche Gesetz.

(Das Laplace’sche oder Poisson’sche Gesetz).³)

Befindet sich Gas in einer für Wärme undurchdringlichen Hülle, so daß während einer Volumenänderung des Gases weder Wärme mitgetheilt noch entzogen wird, oder geht die Volumenänderung so schnell vor sich, daß in der entsprechend kurzen Zeit keine (merkliche) Wärmemenge zu oder abströmen kann, so ist das Mariotte’sche Gesetz in seiner ursprünglichen Form nicht

G Hierdurch erklärt sich u. A. die in der 6. Auflage, S. 383 von Redten-bacher’s Resultaten für den Maschinenbau befindliche Gleichung für den Nutzeübet, welchen eine betreffende Betriebsmaschine, in Pferdekräften ausgedrückt, bei Gebläsen entwickeln muß, die folgende Gestalt hat:

Nr = 1,70 . 10333

. v₁ Lgnt.

²)    Professor Dolezaleck a. a. O. S. 122.

³)    Daß richtiger hier Laplace statt Poisson genannt wird, erhellt aus einem folgenden mit der Ueberschrift „Geschichtliche Notizen“ überschriebenen Paragraphen.

75

10333 '

mehr gültig; sondern tritt nach Laplace¹) und Poisson²) unter der Gestalt auf:

wo für atmosphärische Luft n = 1,41 ist. Redtenbacher hat hierfür den passenden Namen des potenzirten Mariotte’schen Gesetzes eingeführt.

Verbindet man hiermit (nach §. 54) die Gleichungen plvl = RTi und jp₂v ₂ = RT₂, so erhält man noch folgende Werthe:

ii. rĄ

vi \n~¹

v₂

III.

Ti

=(f0

* und

IV.

Pi

Ti

V.

-C-tO

T₂p₂

Rechnet man mit diesen Gleichungen, so ist es von Nutzen, zu beachten, daß für n — 1,41, auch

= Constante.

-i- = 0,7093 ; n - 1 = 0,41 ;    = 0,2908 und

—- == 3,439 wird.

Stellt man, in gleicher Weise wie §. 54 beim Mariotte’schen Gesetze geschah, auch das Laplace-Poissonsche Gesetz derartig dar, daß die verschiedenen Werthe der Volumen v die Abscissen und die correspondirenden Pressungen p die Ordinaten bilden, so erhält

*) Oeuvres de Laplace, V, Pg. 155 (Chapitre III unter der Ueberschrift : „De la vitesse du son et du mouvement des fluides élastiques“).

²)    Traité de mécanique. Paris 1811. Zweite Ausgabe 1833. Deutsche Bearbeitung von Stern (in Göttingen) von 1836, §. 638, Seite 501.

³)    Clausius leitet dies Gesetz, in höchst sinnreicher, eigenthümlicher Weise, in der 2. Auflage seiner mechanischen Wärmetheorie (S. 65) aus den Fundamentalgleichungen letzterer Wissenschaft ab, so wie er ferner, in derselben Quelle, den Werth des Exponenten n aus der Gleichung berechnet:

u² . A

9-V

worin u die Schallgeschwindigkeit bei Null Grad Temperatur bezeichnet, also u = 332,40 Meter (nach Bravais und Martins), ferner A = 1,2932, g = 9,809 und p = 10333 ist, so daß erhalten wird:

^ __ (332,5)² . 1,2932 _

U ~ 9,8089.10333

1,410.

man eine krumme Linie, welche man (nach Rankine) die adiabatische Curve¹) zu nennen pflegt.

Beispiel 1. Wenn man im Beispiele 2 des vorigen Paragraphen voraussetzen wollte, daß bei atmosphärischer Luft in den Bohrmaschinen des Gotthardtunnels weder Wärme ab noch zugeführt wird, so fragt es sich, wie groß die Temperaturerniedrigung am Ende der dort stattfindenden Expansion von 5 auf 1 Atmosphäre sein müßte, wenn die anfängliche Temperatur 10 Grad ist.

Auflösung. Man erhält hier ohne Weiteres, nach III:

n — 1

(fr) ’ “ T‘ (t)

0,2907

, d. i.

T₂ = T,

wegen T₃ = 273 -f t₃ und T, = 273 -j- 10 = 283

273 + <₂ = 283 ("g“')

0,2907

, d. i.

t₂ = — 273 4

283

= 175,5 — 273,0, also

50,2907

t₂ — — 97,5 Grad Celsius.

Beispiel 2. In einem Cylinder hat man 1 Kilogramm atmosphärische Luft von Null Grad Temperatur und der Pressung = 1 Atmosphäre eingeschlossen, es fragt sich, auf wie viel sich diese Luft erwärmt, wenn dieselbe so zusammengedrückt wird, daß die Spannung das Doppelte, also zwei Atmosphären erreicht?

Auflösung. Hier ist

n — 1

r.=

r₂ n > als0 ²⁷³ + ¹

= 273 (2)°-²⁹⁰⁸, folglich

tx = 334 — 273 = 61, d. h. die Luft erwärmt sich um 61 Grad.

§. 60.

Adiabatische Expansion und Compression.

Um einen Ausdruck für die Expansionsarbeit eines Gases zu entwickeln, wobei die sogenannte Druckcurve die adiabatische AB Fig, 64 ist²), sei, wie in §. 58 das ursprüngliche Volumen Vi durch die Abscisse UC} die correspondirende Pressung durch die correspondirende Ordi-F    ! D    .-y- nate AC dargestellt, während die

Endwerthe von v und p durch v₂ = UD und p₂ == DB reprä-

Fig. 64.

Ä E\

]C

sentirt sind.

Zur Ausführung der Integration des Ausdruckes

*) Vom griechischen Worte öiaßcursiv (diabainein) durchgehen.

²) Die punktirte Linie AHJ stellt die correspondirende isothermische Curve dar.

Oder mit Bezug auf §. 59, indem man beachtet, daß

n .

ist:

■Pl^l

Für die Compressionsarbeit == ?fc erhält man auf gleichem Wege

n — 1    }

■Pi^i Y n-l jU;

II. «f.

(1) dSfe = pdv,

ist vorstehendem Paragraphen gemäß

P =PiVin

so daß (1) übergeht in

* vn ?

v2

fdv

J v"

"i

d. i.

vf-¹

LJC

fl—1 J

oder auch:

~_i(.

Um demnach ein Volumen v₁ atmosphärischer Luft von px Pressung, ohne Mittheilung oder Entziehung von Wärme, erstens bis zur Pressung p₂ zu comprimiren und zweitens aus dem Raume von der Pressung _p1? worin sie das Volumen hatte, mit dem entsprechend verkleinerten Volumen v₂ in einen Raum von der Pressung p₂ zu versetzen, ist, analog des gleichen Falles §. 58, S. 122 (bei Benutzung des Mariotte’schen Gesetzes) eine Arbeit = 9f] aufzuwenden, welche sich aus der Gleichung berechnet:

I    n — 1    \

— 1} -f- PiV₂ —• piVi, oder wegen

-1 ;

72 — 1

— I to

— ß, d. i. endlich

in. sr,

72

72 - 1

(£T

J.

Wird umgekehrt, unter sonst gleichen Umständen, das Volumen v2 von der Pressungp₂ durch plötzliche Expansion auf das Volumen

i

vl — v₂\ verrichtet :

^ zurückgeführt, so wird eine Arbeit

= Sf₂ frei oder

IV. = — ,

n — 1

P*v₂

ft)

Beispiel 1. In einem Windkessel befindet sich ein Luftvolumen Vj bei einem Drucke p₁ = 5 Atmosphären abgesperrt. Es fragt sich, welche Compressionsarbeit = 5ïc erforderlich ist, wenn der Druck bis auf 47,2 Atmosphären gebracht werden soll.

ft)

0,2908

- i|, a. i.

51c = 126012,2. v, j(9,44)0,29°⁸ — lj und 5Ic = 126012,2.0,920 . vx = 115931,2 . Vl.¹)

Beispiel 2. Welche Betriebsarbeit =51 berechnet sich für das bereits Seite 123 betrachtete Gebläse, womit pro Secunde 1 Cubikmeter

Auflösung. Die Gleichung I. liefert hier ohne Weiteres _ 5.10333.«,

0,41

83

Luft atmosphärischer Pressung erstens bis auf -yp Atmosphären zusam

mengedrückt und zweitens einem Windreservoire (Regulator) zugeführt werden sollte, sobald man annimmt, daß die Druckveränderung nach dem Laplace’schen Gesetze vor sich geht?

Auflösung. Mit Hülfe von Gleichung II, erhält man:

0,2908

21 = 3,44

Ift)

— l|l . 10333,

0,2908

-1|,

<H = 35545,52 j(l,17)

2Ï = 35545,52.0,046 = 1635,1

oder

= 21,80 Maschinenpferde,

1635,1

statt N = 21,6 und 20,9 solcher Pferdekräfte, wenn (wie §. 58) die isothermische Linie als Druckcurve angenommen wird.

§. 61.

Wärmeeinheit und specifische Wärme.

Vor weiteren Erörterungen und Verwendungen der Gesetze vorstehender Paragraphen sind hier noch einige Eigenschaften der Wärme zu notiren.

Als aus der Allgemeinen Physik bekannt ist zunächst vorauszusetzen, daß man zur Messung der mannigfaltigen Wirkungen, welche die Wärme hervorbringt, übereingekommen ist, diejenige Wärmegröße (Wärmemenge) als Einheit (als Wärmeeinheit, Calorie) anzunehmen, welche erforderlich ist, die Temperatur eines Kilogrammes destillirten Wassers um einen Grad des hunderttheiligen Thermometers zu erhöhen. Dabei entspricht einer Wärmeeinheit (Calorie) ein mechanisches Ae qui valent von 425 Meterkilogrammen und das Wärmeäquivalent der Arbeitseinheit ist gleich

Calorien. Mit der Arbeit von 425 Calorien kann man folglich 1 Kilogramm Wasser um 1 Grad des hunderttheiligen Thermometers erwärmen. Auf die Erörterung und Ermittlung dieser Werthe soll im folgenden Paragraphen besonders eingegangen werden.

Die Erfahrung lehrt ferner, daß jeder Körper eine besondere Empfänglichkeit für die Wärme besitzt, d. h. gleiche Gewichte der Körper nicht um gleich viel Temperaturgrade geändert werden. Diese verschiedene Empfänglichkeit für Wärmeaufnahme pflegt man die Wärmecapacität oder die specifische Wärme der Körper zu nennen¹).

Für feste und tropfbar flüssige Körper nimmt man die specifische Wärme des Wassers, dagegen für Gase die specifische Wärme der atmosphärischen Luft zur Einheit an.

Hiernach gelangt man aber zur Berechnung der Wärmemenge (oder Anzahl Calorien) = Q, welche erforderlich ist, um P Kilogramme Wasser von t° Temperatur auf die Temperatur t/ zu bringen, ohne Weiteres zu folgender Gleichung:

L Q = P (t, - t).

Ferner erhält man für einen Körper, verschieden vom Wasser, dessen Gewicht P₁ ist und dem die specifische Wärme = c entspricht, zur Ermittlung der Anzahl von Calorien = Q,, die Gleichung II. Q, = cP, (tl — t).

Für c aus zahlreichen Versuchen erhaltene Werthe'²) finden sich (so weit es der hier vorliegende technische Zweck erfordert) in nachstehender Zusammenstellung :

Specifische Wärme einiger Körper nach Régnault:³) Aluminium . 0,2143 Antimon .

Blei .

Eisen .

Gold . . . 0,0324 Kohlenstoff . 0,1469 Kupfer .    .    0,0952

. 0,1217

. 0,0508 . . 0,0314 . . 0,1138

Mangan .

Nickel. . . 0,1092 Platin . . . 0,0324 Quecksilber . 0,0319 Schwefel .

Silber .    .    .    0,0570

. 0,0308 . . 0,0956 . 0,0562

Wismuth . Zink . Zinn .    .

. 0,2026

*) Man sehe hierzu noch Note (¹) S. 141.

²)    Bei Jamin a. a. O., T. II. (2. Auflage), Pg. 43* und bei Wlillner a. a. O., im zweiten Bande, erster Abschnitt, drittes Capitel. In diesen Quellen werden auch mit entsprechender Ausführlichkeit die verschiedenen Methoden zur Bestimmung der specifischen Wärme erörtert.

³)    Mémoires de l’Academie des Sciences, T. XXI, und Wüllner, a. a. O., Bd. III, S. 460.

Rühlmann’s Hydromechanik.

Hierbei ist noch zu beachten, daß die specifische Wärme mit steigender Temperatur wächst, wie unter Andern¹) aus nachstehenden vom schwedischen Physiker Byström gewonnenen Resultaten erhellt²).

Temperatur.

Specifische Wärme

Roheisen.

Gußstahl. | Silber. | Platin.

0° c.

0,12768

0,11782

0,05698

0,03286

50

0,12830

0,11850

0,05715

0,03248

100

0,12954

0,11986

0,05749

0,03266

200

0,13388

0,12462

0,05868

0,03332

300

0,13216

0,12672

0,06055

0,14070

Ans letzterer Tabelle erkennt man, daß bei niedrigen Temperaturen die Unterschiede der specifischen Wärmen für feste Körper verhaltnißmäßig gering sind und daher für viele technische Anwendungen hierauf nicht Rücksicht genommen zu werden braucht.

Bei Flüssigkeiten ist der Temperatureinfluß bemerkbarer, indem hier die Erfahrung lehrt, daß schon eine geringe Aenderung der Temperatur eine merkliche Aenderuug der specifischen Wärme zur Folge hat. So fand Régnault u. A.³) bei folgenden Substanzen die specifischen Wärmen:

20—15°

15—10°

0,0283

0,6017

0,5868

10 — 5° 0,0282 0,5987 0,5901

Quecksilber . . 0,0290 Alkohol . . . 0,6148 Holzgeist . .    .    0,6009

Kennt man die Form des mathematischen Ausdruckes, welcher die specifische Wärme = c eines Körpers als Function der Temperatur = t darstellt, so kann man, wenigstens für eine unendlich ldeine Temperatur-Zu- oder Abnahme, c als constant betrachten und dann, wenn P in den vorstehenden Gleichungen überdies noch = 1 Kilogramm gesetzt wird, für die entsprechende Wärmemenge == dq schreiben :

dq — cdt, oder

III.

cdt

Bei Gasen und Dämpfen hat man noch den Unterschied der specifischen Wärme bei constantem Volumen und bei con-stanter Pressung zu beachten. Spricht man von der speci-

x) Wüllner, Experimentalphysik. Bd. III (Dritte Ausgabe), S. 437.

²) Berliner Bericht über die Fortschritte der Physik für 1860, S. 369.

³Ï Wüllner a. a. O., S. 437.

fischen Wärme bei constantem Drucke¹); so denkt man sich, das Gas dehne sich während der Wärmezuführung unter Ueberwindung eines äußeren constanten Druckes aus; während im anderen Falle eine solche Ausdehnung nicht erfolgt, sondern das Volumen unverändert erhalten wird. Nach den Grundsätzen der mechanischen Wärmetheorie ist ohne Weiteres klar, daß die specifische Wärme bei constantem Drucke größer, als die bei constantem Volumen sein muß, da im ersten Falle bei gleicher Temperaturerhöhung dem Gase eine größere Wärmemenge mitzutheilen ist, als im letzteren Falle, weil in Folge der Ausdehnung unter constantem Drucke Arbeit vom Gase verrichtet wird und sonach ein Theil der zugeführten Wärme verschwindet, oder, wie man sagt, in Arbeit verwandelt wird.

Vorstehender Erörterung gemäß werden wir die specifische Wärme der Gase bei constantem Drucke mit cP und die bei constantem Volumen mit cv bezeichnen.

Zur Zeit ist die specifische Wärme von Flüssigkeiten nur bei constanter und zwar atmosphärischer Pressung direct bestimmt worden, so z. B. für Wasser nach Régnault zu

cp = 1 + 0,000 04* + 0,000 000 91\

Die Gleichung III. liefert daher, für diesen speciellen Fall XV. q = t _f- 0,000 02f² + 0,000 000 31\ also q die Wärmemenge ist, welche die Gewichtseinheit Wasser erfordert, um solche von 0° bis t° zu erwärmen.

Die Ermittlung der specifischen Wärme bei constantem Volumen hat man nach den Grundsätzen der mechanischen. Wärmetheorie vorgenommen (berechnet), worüber in den unten notirten Werken²) nachzulesen ist.

Bezeichnet man überdies das Verhältniß — mit w, so läßt sich

cv

folgende Zusammenstellung machen:

wo

Cp

Cv

Cp

cv

0,16847    1,4098

0,17273    1,4114

0,15507    1,4026

2,41226    1,4132

Atmosphärische Luft 0,23751 Stickstoff .... 0,24380 Sauerstoff .... 0,21751 Wasserstoff .    .    .    3,40900

Aus dieser Tabelle geht hervor, daß n fast constant und zugleich der Exponent des Laplace-Poisson’sehen Gesetzes ist, wofür wir S. 125 für atmosph. Luft

= 1.41

annahm en.

Statt der Gleichungen III. erhält man folglich hier

*) Zeuner, Mechanische Wärmetheorie (2. Auflage), S. HO und S. 117. 2) Clausius, Die mechanische Wärmetheorie (2. Auflage), S. 59 unter der Ueberschrift „Numerische Berechnung der specifischen Wärme bei constantem Volumen“. — Zeuner, a. a. O., S. 116. — Richard Rühlmann, Handbuch der mechanischen Wärmetheorie, Bd. 1, S. 181.

V.    dqP = Cp dt,

wenn

die Erwärmung bei constantem Drucke statthat und

VI.    dqv — cvdt,

wenn

die Erwärmung bei constantem Volumen stattfindet.

Beispiel. Ein Dampfkessel aus Eisenblech von 11,4 Millimeter Dicke besteht aus einem Cylinder mit überall kreisförmigen Querschnitten und aus Halbkugeln an beiden Enden. Sein Durchmesser beträgt 1,553 Meter, während der cylindrische Tlieil 7,677 Meter Länge hat.

Es fragt sich, welches Wärmequantum erforderlich wird, um Kessel und Wasser von der Temperatur 10° C auf die von 144° C (4 Atmosphären innere Dampfspannung) zu bringen?

Auflösung. Der Gresammtinhalt dieses Kessels berechnet sich zu 18,50 Cubikmeter und sein Gewicht zu 5186 Kilogramm. Das Gewicht des Wassers, wenn der Kessel bis auf 0,60 seines Inhaltes gefüllt ist, läßt sich rund zu 11.1000 = 11000 Kilogramm annehmen.

Man erhält also nach I. und II. dieses Paragraphen

Q = 11000 . (144 — 10) = 1474000 als erforderliche Wärmemenge für das Wasserquantum und

= 0,12 . 5186 (144 — 10) = 83391 für die Eisenmasse, wenn für Eisenblech c = 0,12 angenommen wird.

Daher die gesammte erforderliche Wärmemenge:

Q 4-    = 1 474 000 + 83391 = 1 557 391 Calorien,

§. 62.

Das mechanische Wärmeäquivalent.

Die hier zu lösende Aufgabe betrifft die Auffindung des bereits Seite 129 notirten Arbeitswerthes der Wärmeeinheit, Wir bewirken die Lösung auf folgendem, zuerst von Weisbach¹) angegebenen Wege.

Nach vorigem Paragraphen erhält man zuerst die Wärmemenge Q1? welche einem Temperaturverluste tx — t₂ entspricht, wenn vY ein Volumen atmosphärischer Luft von der Pressung pl sich so expandirt, daß die Pressung auf p₂ herabgeht und das Volumen vx in einen Kaum vom Inhalte v₂ fortgeschoben wird:

Ql ==: CpPi (^1    ^2)?

(1) Ql = 0,23751 (+ — t₂) AlVi.

Für die beim vorerwähnten Acte frei werdende mechanische Arbeit erhält man nach §. 60, IV:

oder, wenn nach §. 54 die anfängliche Dichte der atmosphärischen Luft mit Ax bezeichnet wird, also P₁ = AYvL ist und ferner, wegen C* = 0,23751 :

oder auch, wegen

(+)" ¹ «ach §. 59,

¹) Der Civilingenieur (von Bornemann), Bd. 5, Jahrg. 1859, S. 48.

Zusatz 1. Clausius²) entwickelt zur Berechnung des mechanischen Wärmeäquivalents die Gleichung:

cP — cv

III. E =

woraus folgt, wenn man die vorher (S. 131) angegebenen Werthe von R, Cp und cv substituirt:

423mi,4.

We = —

e n — 1

weil Tx — 273 -f- <, und T, = 273 -f t₂, auch

(²)

die Arbeit, welche bei Abkühlung des Volumens vx von der Temperatur tx auf die t₂ verrichtet wird.

Entfernt man mittelst der Gleichung 2 des §. 54 aus letzterem Ausdrucke für 5te, die Pressung mit Hülfe von

Pl = 7992,655 . -h- A1} wo a = 273 ist, so folgt aus (2):

«f. =    • 7992,655 -4. (*, - <₂)

= 3,44 ist, auch

71 - 1    7    7

oder weil

j, (Ti — T,i)j d. i.

VlP 1

3,44 . 7992,655

($i — t₂)    d. i.

(3) 9te = 100,713 (tj — t₂) Axvx.

Dividirt man letztere Gleichung durch die unter (1) entwickelte, so erhält man

273

j % _ 100,713 Q 0,23751

Hiernach ist also eine Wärmeeinheit oder Calorie einer mechanischen Arbeit von 424,3 Meterkilogrammen äquivalent.

= 424m*,3.

Wir bezeichnen den Quotienten —-ß—, d. i. das Arbeitsäqui-

valent der Wärmeeinheit, oder der Arbeitswerth, welcher der Wärmemenge = 1 entspricht, in der Folge mit E, setzen aber nach später anzugebenden Gründen¹)

E = 425m*.

Den reciproken Werth von E, d. i. das Wärmeäquivalent der Arbeitseinheit, den Arbeitswerth der Wärmeeinheit (das mechanische Wärmeäquivalent), bezeichnen wir dagegen mit A? setzen also

also auch

425 ?

II. Q = ST. A.

29,27

0,2315 — 0,1684

¹)    In dem nachher (S. 137) folgenden mit „Geschichtliche Notizen“ überschriebenen §. 63.

²)    Die mechanische Wärmetheorie, zweite Auflage, S. 55.

Die Verschiedenheit dieses Werthes von den unter I. gefundenen fallt nicht auf, wenn man beachtet, daß die Werthe von cP (bis jetzt allein durch Versuche ermittelt) und von cv (zur Zeit nur durch Rechnungen, nicht durch Versuche bestimmt) veränderlich sind, so wie der Quotient (das

Verhältniß) n = — ebenfalls, bei directer Ermittlung, je nach dem

hierzu betretenen Wege verschieden ausfällt, nicht zu gedenken, daß ebenfalls verschiedene Zahlenwerthe erhält, sobald man von anderen Gasarten als atmosphärische Luft ausgeht.

Um bestimmte Nachweise in letzteren Beziehungen machen zu können, benutzt der Verfasser eine der jüngsten Arbeiten eines deutschen Physikers, des Herrn Dr. Röntgen²) der aus directen Versuchen für n findet: ³)

Für trockene atmosph. Luft n = 1,4053 ;

„ Kohlensäure .

„ Wasserstoff .

man

n = 1,3052 ; n = 1,3852.

Für atmosphärische Luft cp = 0,2375 (nach Régnault) angenommen, findet Röntgen cv = 0,1690 und E = 427mfe,31.

Für Kohlensäure aber cp = 0,19256 und cv verschieden je nach der Temperatur, nämlich zu 0,1415 (bei 0°), 0,1475 (bei 19 ,5) und zu 0,1702 (bei 100°) und E = 425w*.16 etc.

Rühlmann,

buche der mechanischen Wärmetheorie, Bd. 1, S. 61, welche letztere hier unten in der Note (⁴) verzeichnet sind.

Eine recht angemessene Zusammenstellung von auf verschiedenen Wegen für E gefundenen Werthen giebt Hirn in seiner Theorie Mécanique de la Chaleur, 2e Edit., Pg. 71, so wie mein Neffe, Herr Prof. Richard in seinem (theilweise nach Verdet bearbeiteten) Hand-

³)

Namen des Phänomens, dem die Bestimmung des mechanischenAequi-valentes der Wärme entlehnt ist.

Werth des mechanischen Aequival entes der Wärme.

Namen der Physiker, welche das theoretische Princip der Bestimmung angegeben haben.

Namen der Physiker, welche die experimentellen Daten lieferten.

Allgemeine Eigenschaften der Luft

Mayer

Clausius

Régnault Moll u. v.

Beck j

426

Reibung

Joule

Joule

425

Mech. Arbeit der Dampfmaschinen Wärme entbunden durch Inductions-* ströme

Clausius

Joule

Hirn

Joule

413

452

Wärme entbunden durch eine elektro magnetische Maschine Gesammte im Kreise einer Daniell-schen Kette entbundene Wärme

Favre

Favre

443

Bosscha

W. Weber Joule

420

Die Wärme, welche in einem Metalldrahte, der von einem elektrischen Strome durchflossen ist, entwickelt wird

Es wird dem Verfasser hier die Bemerkung gestattet sein, daß die höchst interessanten Versuche und Rechnungen seines Collegen, des Herrn Professor von Quintus - Icilius, sich im 01. Bde. (1857) der Poggend. Annalen, von S. 69—105, abgedruckt vorfinden.

Clausius

v. Quintus

400

Zusatz 2. Die Seite 127 für die Expansions- und Compressions-arbeit gefundenen Ausdrücke nehmen unter Einführung vorstehender Werthe folgende einfache Gestalt an:

Zuerst erhält man mit Benutzung der Werthe auf S. 125, indem man beachtet, daß

Pi

und nach Seite 113 auf plv₁ = RT₁ ist (vj= — nach S. 112 vorausgesetzt)

n — 1}

Pi

Ferner ist R = (cp — cy) E — cv

R

— 1) E, oder-

n — 1

R = cv (n

RTl

, d. i.

f —--1^ LJ, also da

V    y

= ni

= cv ist, auch folglich statt (4) :

(5) %, = cvE (T, - T₂).

Beispiel. ⁵) Es sei in einem Cylinder die Gewichtseinheit (=lKil.) Gas (atmosphärische Luft) eingeschlossen, dessen Temperatur T₁ = 30°C und dessen Druck 1-J- Atmosphären beträgt (px == 1L . 10333 Kil.). Man soll die frei gewordene Arbeit berechnen, wenn sich das Gas, ohne Mittheilung und ohne Entziehung von Wärme, auf eine Atmosphäre (p₂ = 10333 Kil.) ausdehnt.

Pi

Auflösung. Zuerst berechnet sich aus T₂ = Tl

Pi

T₂ = Tv

0,2908

= 0,888 und wegen T₂ = 273 -j- t₂ und

r, = 273 + 30 = 303, t₂ = — 273 -f- 303.0,888, d. i. tL = — 3,7, d. h. die Temperatur sinkt von -[- 30° auf — 3,7 herab.

Sodann erhält man

= 0,16847 . 425 . (30 + 3,7) = 2422”⁵,5.

Die verschwundene Wärmemenge beträgt aber:

= 5,677 Calorien.

%e _ 2422,5 425

Zusatz 3. Faßt man das gehörig zusammen, was in den vorstehenden Paragraphen enthalten ist, so lassen sich leicht wichtige Betrachtungen anstellen, die man als Einleitung in das Studium der mechanischen Wärmetheorie betrachten kann.

Werden einem Körper, der irgend welchen Kräften unterworfen ist, Q Wärmeeinheiten (Calorien) zugeführt, so wird zunächst, dem Vorstehenden gemäß, die Gesammtarbeit = 51, welche derselbe aufgenommen hat, dargestellt durch:

5t == 425 . Q = EQ,

so wie sich umgekehrt Q ergiebt zu

3t

Dem gegenwärtigen Stande der Physik gemäß kann 5t aus drei Theilen bestehend gedacht werden, die wir mit 77, J und W bezeichnen wollen. Davon stellt H denjenigen Theil von 5t dar, welcher die fühlbare Wärme des Körpers oder was dasselbe ist, welcher die lebendige Kraft der Molecüle vergrößert, und die Sch win gu n gs a rb eit genannt werden kann. Ferner repräsentirt J denjenigen Theil von 5t, welcher zur Verschiebung der Mittellagen der kleinsten Theilchen (der Verrückung, der Positionsänderung der Atome und Molecüle) diente. Endlich stellt W die Arbeit dar, welche Kräfte von Außen auf den Körper ausüben.

Man hat daher schließlich:

HĄ-JĄ- W

Nennen wir mit Zeuner⁶) H -(- J, d. h. die molecularen mechanischen Arbeiten, die inneren Arb eiten, dagegen W die ä u ße r en Arbeiten und setzen H -j- J = U, so folgt:

U+ W

oder, wenn man die Zunahme der Wärmemenge und beziehungsweise die Zunahme an innerer und äußerer Arbeit ausdrücken will, also vorstehende Gleichung differencirt :

dU-\-dW

V. dQ =

dQ = A (dü -f dW),

, oder auch

wenn = A gesetzt wird. E

dU pflegt man die Zunahme an Energie des Körpers zu nennen.

Wird einem Körper die endliche Wärmemenge Q mitgetheilt und geht dabei seine Energie aus U₁ in U₂ über, so ist:

Ej ~ +fdW

VI. Q =

Das Integral kann hier nur dann bestimmt werden, wenn die äußeren Kräfte bekannt sind, welchen der Körper in jedem einzelnen Momente der mit ihm vorgegangenen Aenderung unterworfen gewesen ist. Im Falle, daß U₁ = U₂ ist, pflegt man die betreffende Zustandsänderung einen Kreisproceß zu nennen⁷).

= A (dUĄ-pdv).

Für den Fall, wo als äußere Kraft nur ein gleichmäßiger und normaler Druck =p auf die Einheit der Oberfläche eines Volumens v wirkt, erhält man für dW den bereits S. 121 für solchen Fall gewonnenen Ausdruck dW = pdv, wonach Gleichung V. folgende Gestalt annimmt:

dU -\-pdv

VII. dQ =

JE

Bleibt die innere Arbeit constant, ist also dU = 0, so wird dies die isodynamische Zustandsänderung genannt, gegenüber der bereits §. 60 erörterten adiabatischen Zustands ander un g, bei welcher dQ = 0 ist.

Die Gleichung VII. bildet zugleich den ersten Hauptsatz der mechanischen Wärm ethe ori e ¹),

¹

) Der Verfasser entlehnte dies Beispiel absichtlich der 2. Auflage des vortrefflichen Grashof sehen Werkes „Theorie der Elasticität und Festigkeit“, S. 462, um damit zugleich auf das in dieser Quelle behandelte Capitel „der Deformationsarbeit“ von Wasserleitungsröhren aufmerksam zu machen, wenn das in solchen Röhren fließende Wasser plötzlich in seiner Bewegung gehemmt wird (der sogenannte hydraulische Widder auftritt). Der sonach von Grashof behandelte Gegenstand ist zugleich als Ergänzung der in §.21, S. 38—44 aufgestellten Formeln zur Berechnung von Röhrenwanddicken zu betrachten.

²

   Bestimmung des Verhältnisses der specifischen Wärme bei constantem Drucke zu deijenigen bei constantem Volumen für einige Gase. Poggend. Annalen der Physik, Bd. 148 (1873), S. 580—621.

³

²)    Für atmosphärische Luft fand Masson (1858) n = 1,4196; Weisbach

⁴

(1859) fand n — 1,4025.

⁵

Zeuner, Mechanische Wärmetheorie, Zweite Auflage, S. 134.

⁶

)    Clausius (in seiner mechanischen Wärmetheorie, 2. Auflage, S. 33) sagt in Bezug auf diese Zusammenfassung Folgendes: „Da die im Körper wirklich vorhandene Wärme und die innere Arbeit sich unter einander gleich verhalten, und da wir ferner, wegen unserer Unbekanntschaft mit den inneren Kräften der Körper, gewöhnlich nicht die einzelnen Werthe der beiden Größen H und 7, sondern nur ihre Summe kennen, so habe ich schon in einer 1850 erschienenen, auf die Wärme bezüglichen Abhandlung (Poggend. Annalen, Bd. 79, S. 368) diese beiden Größen unter ein Zeichen zusammengefaßt und U= ZT-f 1 gesetzt.“

⁷

)    Mit vorstehenden Erörterungen beabsichtigte der Verfasser keineswegs eine eigentliche Einleitung in die mechanische Wärmetheorie zu geben,

§• 63.

Geschichtliche Notizen.

Das §. 53 erörterte Gesetz, nach welchem sich, bei constanter Temperatur, das Volumen einer bestimmten Gasmenge umgekehrt proportional mit dem Drucke ändert, oder der Druck eines Gases der Dichtigkeit proportional ist, wurde 1662 vom Engländer Robert Boyle²) entdeckt³) und im Jahre 1662 als Anhang zu dem Werke »Nova expérimenta phisico-mechanica de vi aeris elastica“ veröffentlicht. Mario tte⁴) stellte dasselbe Gesetz an die Spitze seines 1679 erschienenen Essai „De la nature de Fair“ und begründete es durch sorgfältige Versuche, ohne, wie es scheint, von Boyle’s Entdeckung Kenntniß gehabt zu haben. Hat hiernach letzterer Physiker dies Gesetz 17 Jahre früher als Mariotte gekannt, so darf es nicht Wunder nehmen, daß man neuerdings, selbst außerhalb England (wie z. B. Oskar Meyer in seiner „Kinetischen Theorie der Gase“, S. 10), angefangen hat, überhaupt nur von einem Boyle-schen Gesetze zu sprechen.

Das zweite wichtige Gesetz, das der Ausdehnung der Gase, bei verschiedenen Temperaturen (Seite 111 als das Gay- Lussac’sche aufgeführt), wurde von Charles⁵) entdeckt, der seiner Zeit Professor der vielmehr benutzt er nur die Gelegenheit, auf einige Formen dieser neuen, schönen und auch dem Techniker höchst nützlichen Wissenschaft aufmerksam zu machen. Bei seinen Vorträgen über theoretische Maschinenlehre, am KÖnigl. Polytechnikum in Hannover, setzt der Verfasser voraus, daß den Studirenden die mechanische Wärmetheorie nach den Vorträgen des Herrn Professor von Quintus - Ic-ilius bekannt ist.

¹)    Clausius, „Die mechanische Wärmetheorie“, Zweite Auflage, S. 41, und Zeuner, „Mechanische Wärmetheorie“, S. 35, Gleichung 9. Grashof, „Theoretische Maschinenlehre“, Bd. 1, S. 75, Gleichung 3

London 1862.

²)    R. Boyle wurde 1626 zu Lismore in Irland geboren und starb 1691 in London. Oskar Meyer in seinem Werke „Die kinetische Theorie der Gase“, notirt S. 11 dies Werk nach seinem englischen Titel folgendermaßen: „A defence of the doctrine touching the spring and weight of the air“.

³)    Gehler’s Physikalisches Wörterbuch, Bd. 4, S. 1026.

⁴)    Mariotte, geb. zu Bourgogne im Anfang des 17. Jahrh. ; gest. zu Paris 1684.

⁵)    Geb. zu Baugency 12. Novbr. 1746, gest. 7. April 1823. Ueber Charles’ Erfindung berichtet auch (mein Neffe) Herr Professor Richard Rühlmann in seinem „Handbuch der mechanischen Wärmetheorie“, Bd. 1, S. 88.

Physik am Conservatoire des arts et métiers in Paris und als Erfinder des Wasserstoff-Luftballons berühmt war. Daß man dies Gesetz nachher fast ausschließlich das Gay - Lussac’sche *) oder Dalton’sche²) nannte, hat seinen rechtlichen Grund wohl darin, daß die beiden genannten Physiker derartig umfangreiche, genaue und sorgfältige Versuche anstellten, daß deren Resultate bis beinahe in die jüngste Zeit als gültig und vollkommen genügend angesehen wurden³).

Obwohl über die entschiedene Richtigkeit und die Grenzen dieses Gesetzes hin und wieder einige Zweifel ausgesprochen waren (u. A. in Munke’s Physik, Bd. 1, S. 500), so hielt man doch fast 40 Jahre lang die Physiker, welche es aufgestellt hatten, für zu bedeutend, als daß man diesen Zweifeln durch neue Versuche zu begegnen für erforderlich gehalten hätte.

Erst der schwedische Physiker und Hüttenmann Rudberg⁴), in Upsala, aufmerksam gemacht durch bedeutende Anomalien, welche sich ihm bei einer Untersuchung über den Schmelzpunkt leicht flüssiger Metalle (unter Anwendung der Zahl = 0,375 vom Eisschmelzpunkte bis zum Siedepunkte) herausstellten, unternahm höchst sorgfältige neue Versuche, wobei sich denn auch erwies, daß der Dalton- und Gay-Lussacsche Coefficient statt 0,375 nur 0,364 bis 0,365 betrug. Natürlich sprach zuerst der Autoritätsglaube nicht wenig gegen die von Rudberg gefundenen Zahlen, auch hatte er seine Versuche nur auf atmosphärische Luft erstreckt, nicht aber auf (andere) Gase und Dämpfe, die sich ja sämmtlich um 0,375 ausdehnen sollten! Es wurden daher mehrfach neue und wo möglich noch sorgfältigere Versuche unternommen. Nach solchen fand Magnus in Berlin (Poggend. Annalen, Bd. 50) den Aus-dehnungscoefficienten für atmosphärische Luft zwischen 0° und 100° zu 0,3668, bei anderen Gasen erhielt er von diesen etwas abweichende Werthe.

Die umfangreichsten und sorgfältigsten Versuche über die Ausdehnung der Gase hat Régnault⁵) angestellt.

Dieser ausgezeichnete Physiker fand vor Allem die Angaben von Magnus bestätigt, daß sich alle Gase nicht um gleiche Bruchtheile ihres Volumens bei gleicher Temperaturerhöhung ausdehnen, sondern hiervon in dem Maße abweichen, je mehr sie sich von dem Mariotte-schen Gesetze entfernen, daß sich ferner die Ausdehnungsoefficienten derselben Gase mit wachsendem Drucke vergrößern etc. etc.

J) Gay-Lussac, geb. 1778 zu Leonard im Departement Obervienne; gest. 1850 zu Paris. Die betreffenden Abhandlungen finden sich in den Annales de chimie et de physique, Tome 43, und in Gilbert’s Annalen der Physik, Jahrg. 12.

2)    Dalton, geb. 1766 zu Eaglesfield bei Cockermouth (Cumberland); gest. zu Manchester 1844. Ueber Dalton’s Versuche wird in Gilbert’s Annalen berichtet, Jahrgang 12 und 15.

³)    Ferrini in seiner „Technologie der Wärme“, spricht 8. 20 nur von einem Boyle-Volta’schen Gesetze, ohne Mariotte und Gay-Lussac zu erwähnen. Dem Verfasser ist nicht bekannt, wie Ferrini zu dieser Annahme gelangt!

⁴)    Rudberg, geb. 1800 zu Norrköping (Schweden); gest. 1839 zu Upsala. Ueber Rudberg’s Versuche berichten betreffende Artikel in Poggendorfs Annalen der Physik, Bd. 41 und 44.

⁵)    Memoire de l’Académie etc. Tome XXI, Pg. 15.

Beispielsweise ergiebt sich aus den Regnault’schen Versuchswerthen, wenn man annimmt, daß der Ausdehnungscoefficient 8 eines vollkommenen Gases dem Drucke proportional wachse¹), für

T“ a

273,20

273,13

273,81.

Atmosphärische Luft 0,0036603 Wasserstoffgas .    .    0,0036612

Kohlensaures Gas .    0,0036522

Unsere technischen Anwendungen erlauben hiernach allgemein für ein vollkommenes Gas, den bereits Seite 111 markirten Werth zu wählen, d. h. zu setzen:

8 = 0,0036630 und _L = a = 273.

Als geschichtlich wichtig dürfte hier noch hervorzuheben sein, daß die Einführung des reciproken Werthes für 8, also a = 273 (der sogenannten absoluten Temperatur), zuerst und zwar schon 1833 durch den französischen Bergwerks - Ingenieur Clapeyron²) erfolgte, wobei zugleich bemerkt werden mag, daß dieser Mathematiker es ist, dem wir überhaupt die erste (hier unten citirte) mathematische Arbeit über mechanische Wärmetheorie verdanken³),

von

Bevor wir die Mittheilungen dieser auch für Techniker höchst interessanten und geschichtlichen Notizen fortsetzen, müssen wir etwas zurückgreifen und hervorheben, daß die Zweifel an der ganz allgemeinen Richtigkeit des Boyle-Mariotte’schen Gesetzes, schon bald nach Bekanntwerden desselben, von damaligen Mathematikern und Physikern erhoben wurden und daß namentlich die theoretischen Untersuchungen von d’Alembert⁴) und Leonhard Euler⁵) als die wichtigsten genannt zu werden verdienen. Dagegen zeigten die Versuche Oerstedt und Swendsen⁶), daß mindestens die atmosphärische Luft bis zu einem höchst bedeutenden Drucke nicht merklich vom Mariotte’schen Gesetze abweicht. Die Versuche einer 1829 von der Pariser Academie der Wissenschaften ernannte Commission (bestehend aus Arago, Ampère, Dulong, Girard und Prony) bestätigte dasselbe bis zu einem Drucke von 27 Atmosphären⁷). Régnault⁸) zeigte durch seine bis jetzt noch völlig unübertroffenen Versuche, daß das Mariotte-Boyle’sche Gesetz weder für die sogenannten unbeständigen Gase, wie Kohlensäure, Ammoniak, Cyan etc., noch auch für die beständigen

(permanenten) [?], wie atmosphärische Luft, Stickstoffgas und Wasserstoffgas in aller Strenge Gültigkeit besitzt. Dabei prophezeite Régnault zugleich das im Voraus, was bereits Seite 2, Note 1 über die jüngsten Versuche von Pictet und Cailletet mitgetheilt wurde, daß nämlich alle Gase, sobald nur ein gehörig großer Druck und eine entsprechend niedrige Temperatur in Anwendung gebracht wird, flüssig und beziehungsweise fest werden können. Régnault dehnte, beiläufig gesagt, seine Versuche bis zu einem Drucke von 36 Atmosphären aus.

Natterer¹) in Wien unterwarf im Jahre 1854 das Wasserstoff-, Sauerstoff- und Stickstoffgas einer Pressung von 2790 Atmosphären, wobei sich herausstellte, daß das Mariotte’sche Gesetz absolut falsch wird, wenn man die Pressung von 100 Atmosphären überschreitet.

Folgende Tabelle ist ein Auszug der in untenstehender Quelle²) enthaltenen Angaben. Dabei enthalten die mit (1) überschriebenen Columnen die Zahlen, um welche das ursprüngliche Gasvolumen zusammengedrückt wurde. Die durch (2) markirten Columnen zeigen die beobachteten in Atmosphären ausgedrückten Pressungen. Endlich finden sich in der 3. Columne die Differenzen der letztem Pressungen.

Stickstoff

Wasserstoff

Sauerstoff

Volum. Atm.

Differ.

Volum.

Atm.

Differ.

Volum.

(1)

(2)

(3)    (i)

(2)

(3)

(i)

Àtm. J Differ. (2) I (3)

co o

GO

18

18

28

28

68

68

78

78

o    o

T—I    TH

17

27

17

27

128

134

GO 00 QO co co

Ï-I CM CM

146

274

287

GM

157 157 167 167 227 232 237 243 277 287 287 298

I-i    I—

o    o

15

15

t—*•

25

75

85

225

25

75

85

240

235    252

275    306

285

321

10

10

12

15

etc.

etc.

etc.

etc.

etc.

etc.

etc.

etc.

etc.

Zur Ergänzung der bereits S. 2 gemachten Angaben über das Tropfbarflüssigmachen der früher als permanent bezeichneten Gase werde hier bemerkt, daß in der so eben notirten Quelle (a. a. O. S. 99) Pictet nachweist, daß er Wasserstoffgas, unter dem Drucke von 650 Atmosphären und bei gleichzeitiger Anwendung einer Temperatur von — 140 Graden des Celsius - Thermometers, tropfbar flüssig gemacht habe.

Ueber die Bemühungen neuerer Mathematiker (Dupré, Recknagel, Reye u. m. A.), die ursprünglichen Formeln, welche das combinirte Mariotte - Boyle’sche und Gay-Lussac’sche Gesetz darstellen, derartig umzugestalten, daß sie die hervorgehobenen Abweichungen von den Versuchsresultaten mit in sich fassen, berichtet ansführlich mein Neffe,

J) Natterer, geb. zu Laißenburch bei Wien 9. November 1787, gest. am 17. Juni 1843.

²) Archives des sciences physiques et naturelles, Nr. 241, 15. Janvier 1878, Pg. 22, in einem Memoire Raoul Pictet’s „Sur la Liquéfaction de l’Oxygène“.

Herr Professor Rühlmann in Chemnitz, in seinem Handhuche der mechanischen Wärmetheorie, Bd. 1, S. 263 his S. 265 (s. Noten). Leider entspricht noch keine dieser Formeln dem beabsichtigten Zwecke.

Der Aufeinanderfolge des im vorstehenden Paragraphen behandelten Stoffes entsprechend, gelangen wir jetzt zu geschichtlichen Notizen über die War m e cap a c it ä ten oder die speci fischen Wärmen elastischer Flüssigkeiten ¹).

Seit einem Jahrhundert ist eine große Anzahl ausgezeichneter Physiker mit Untersuchung der specifischen Wärme der elastischen Flüssigkeiten beschäftigt gewesen²). Crawfurd, Lavoisier und Laplace, Dalton, Clement-Desormes, de la Roche und Berard, Haycraft, Gay-Lussac, Dulon und Petit, de la Rive, Marcet und in allerjüngster Zeit ganz besonders wieder Régnault.

Wir greifen indeß vorher für unsere Zwecke in den geschichtlichen Notizen zuerst etwas weiter zurück und gedenken vor Allem des Holländers Boerhaave³), welcher die ersten, wenn auch sehr unbestimmten Wahrnehmungen bezüglich der Wärmecapacität machte. Zu einer festeren Begriffsbestimmung dieser Erscheinung gelangte jedoch erst der Schotte Black⁴) und sein Schüler Irvine⁵). Black war es, welcher zuerst erklärte, daß die Wirkung einer gegebenen Wärmemenge auf die Temperatur eines Körpers nicht allein von der Masse des Körpers, sondern auch von dem Stoffe abhänge, aus welchem der Körper besteht. Irvine gab dieser Eigenschaft den Namen „Wärmecapacität“. Die Bezeichnung „specifische Wärme“ ist später (1784) von Gadolin in Abo eingeführt worden⁶,).

Die Bemühungen von Black und Irvine wurden jedoch erst später durch Crawfurd⁷) (in dessen Chemical Essai’s) bekannt, nachdem

*) Wie manche Schriftsteller unterscheidet auch Maxwell in seiner „Theorie der Wärme“ (deutsche Bearbeitung von Auerbach, Breslau 1877, S. 60) Wärmecapacität von specifischer Wärme. Beide Begriffe werden hier wie folgt definirt:

a.    „Die Wärmecapacität eines Körpers ist die Anzahl von Wärmeeinheiten, welche erforderlich sind, um die Temperatur dieses Körpers um einen Grad zu erhöhen.“

b.    „Die specifische Wärme eines Körpers ist das Verliältniß der Wärmemenge, welche erforderlich ist, die Temperatur dieses Körpers um einen Grad zu erhöhen, zu derjenigen Wärmemenge, welche erforderlich ist, um ein gleiches Gewicht Wasser um einen Grad zu erwärmen.“

²)    Régnault, Untersuchungen über die specifische Wärme der elastischen Flüssigkeiten. Comptes rendus T. XXXVI, Pg. 676, und daraus in Poggend. Annalen, Bd. 89 (1859), S. 335 und S. 344.

³)    Boerhaave, geb. 4 668 bei Leyden; gest. 1738 in Leyden, woselbst B. bis zu seinem Tode Professor der Medicin, Botanik und Chemie war. B. war zugleich einer der berühmtesten A e r z t e seinerzeit. Auf seinem Grabdenkmale, welches ihm die Stadt Leyden (in der Peterskirche) errichten ließ, befindet sich B.’s Lieblingsspruch: „Simplex sigillum veri“. Außerdem hat dies Denkmal die bescheidene Inschrift: „Salutifero Boerhavii genio sacrum“.

⁴)    Black, geb. 1728 zu Bordeaux von schottischen Aeltern; gest. 1799. B. war als Mediciner und Chemiker nacheinander Professor an den Universitäten Glasgow und Edinburg.

⁵)    Irvine, geb. (?); gest. 1787 in Glasgow.

⁶)    Maxwell, „Theorie der Wärme“. Breslau 1877, S. 60.

⁷)    Crawfurd, geb. 1749 in Irland; gest. 1795 in England, zu Limington.

Wilke¹) die Aufgabe im Jahre 1772 in weiterem Umfange behandelt hatte und dessen erhaltene Resultate um so größeres Aufsehen machten, je entschiedener sie in dem Streite über das eigentliche Wesen der Wärme waren.

Von den betreffenden Arbeiten später folgender Experimentatoren, zur Ermittlung der specifischen Wärme der Gase, sind zunächst die von Lavoisier²) und Laplace³) von Wichtigkeit. Diese Physiker bestimmten namentlich (1780) die specifische Wärme der atmosphärischen Luft und des Sauerstoffes mittelst des Eiscalorimeters (Eisschmelzmethode) worüber die in der untenstehenden Note (⁴) verzeichneten Quellen Auskunft geben.

Die seiner Zeit vollständigste Arbeit über diesen Gegenstand war jedoch die von de la Roche und Be'rard, welche 1813 von der Pariser Academie der Wissenschaften gekrönt wurde⁵). Aus diesen Versuchen ging vor Allem hervor, daß die specifische Wärme der Gase nicht gleich für alle ist, sie möge nun auf Volumen oder auf Gewichte bezogen werden, so wie daß die specifische Wärme der atmosphärischen Luft 0,2669 betrage.

Régnault fand durch seine Versuche, welche gegenwärtig immer noch alle anderen an Umfang und Genauigkeit übertreffen, einen kleineren Werth für die specifische Wärme der atmosphärischen Luft als de la Roche und Börard, nämlich 0,23751.

Hervorgehoben muß hier werden, daß vorstehende Werthe nur die specifische Wärme der atm. Luft bei constantem Drucke, also nach unserer Bezeichnung oben S. 131, §. 61, cp = 0,23751 ist und daß man die specifische Wärme der Gase bei constantem Volumen (unser cv nach S. 131, §. 61) auf directem Wege durch Versuche bis jetzt nicht zu ermitteln vermochte⁶).

cv

Dafür hat man sich damit beschäftigt, das Verliältniß —~—n zu

ermitteln.

¹)    Wilke, Neue schwedische Abhandlung. Leipzig 1784, T. II, Pg. 84. Gehler’s Physik. Wörterbuch, Bd. 10 (1. Abth.), S. 668.

²)    Lavoisier, geb. 1743 zu Paris; gest. 1794 zu Paris.

³)    Laplace (s. S. 5, Note 10). Ueber die Bestimmung der specifischen Wärmen mittelst des Eiscalorimeters sehe man namentlich Gehler’s Physik. Wörterbuch, Bd. 10 (1. Abth.), S. 673.

⁴)    Man kann hauptsächlich drei Methoden zur Bestimmung der specifischen Wärme der Körper unterscheiden. Die (ältere) Mengungsmethode, die Eisschmelzmethode (das Calorimetrische Verfahren) und die Abkühlungsmethode. Alle drei Methoden werden ausführlich erörtert in folgenden neueren Werken: Jamin-Bouty, Cours de Physique. Troisième Edition (Paris 1878), Tome Deuxième, Seconde Fascicule, Pg. 54 ff. Wü 11 n e r, Lehrbuch der Experimental - Physik, 2. Auflage, Bd. III, S. 392 ff. Mousson, „Die Physik auf Grundlage der Erfahrung“. Zweite Auflage, Zweiter Band, S. 66 ff.

⁵)    Untersuchungen über die spec. Wärmen der elastischen Flüssigkeiten von Herrn V. Régnault in Poggend. Annalen der Physik (nach dem Comptes rendus, T. XXXVI, Pg. 676), Jahrg. 1853, Bd. 83, S. 335. Ausführlich aber in den Mémoires de l’Académie etc. Tome XXVI. — Aus letzterer Quelle mit vortrefflichen Abbildungen begleitet im 3. Bande (Dritte Auflage) von Jamin-Bouty’s „Cours de physique“, Pg. 61.

⁶)    Man sehe deshalb unter Andern den Artikel „Wärme“ in Marbaeh’s „Physikalisches Lexikon“, (Zweite Auflage), Bd. 6, S. 696.

Nach des Verfassers Wissen war es Laplace, der zuerst in seiner Mécanique céleste ¹), bei der Bestimmung der Schallgeschwindigkeit = u in atmosphärischer Luft, zeigte, daß man statt der Newton’schen Formel für uy nämlich u — Vgpv (die früheren Bezeichnungen beibehaltend) setzen müsse u = V~ngpvy d. h. np statt p in die Rechnung einzuführen habe. Statt letzterer Gleichung kann man nach Nr. 6, S. 113, daß pv = ET ist, auch schreiben:

u = V~ ngRT.

Da man nun diese Schallgeschwindigkeit erfahrungsmäßig durch ganz andere Versuche (für t° Temp. in Metern zu 333 V1 -f- 8ć) kennt, so erhellt, daß sich n aus vorstehender Gleichung berechnen läßt. Daß

— (n — 1,410 für atm. Luft) besser

man jetzt das Verhältniß n

und einsichtsvoller mit Hülfe der mechanischen Wärmetheorie ermittelt, und daß in dieser Beziehung namentlich die Verfahrungsweisen von Clausius²) und die von Röntgen³) zu empfehlen sind, wurde bereits S. 133 und 134 hervorgehoben.

Die mechanische Wärmetheorie giebt namentlich auch über den Grund Rechenschaft, weshalb die specifische Wärme cp größer als die cv ist, während man dies früher einfach als Erfahrungssatz hinnahm oder mit dem unklaren Ausdruck von frei oder latent werdender Wärme zu erklären suchte⁴).

Die Nothwendigkeit der Einführung von np statt p in die Newton-sche Formel für die Schallgeschwindigkeit erklärt Clausius im Sinne von Laplace in folgender Weise⁵).

Pi

Das Mariotte’sche Gesetz gilt (bekanntlich) nur, wenn die Dichtigkeitsänderung beiconstanter Temperatur vor sich geht. Dieses ist aber bei den Schallschwingungen nicht der Fall, sondern bei jeder Verdichtung findet gleichzeitig Erwärmung und bei jeder Verdünnung Abkühlung statt. Demgemäß muß bei der Verdichtung der Druck stärker zitnehmen und bei der Verdünnung der Druck stärker abnehmen, als es nach dem Mariotte’schen Gesetze sein sollte. Laplace benutzt daher in der bereits wiederholt citirten Arbeit⁶), zur Lösung der Frage über die Geschwindigkeit des Schalls die Gleichung

') In den „Oeuvres de Laplace“, Tome Cinquième, findet sich diese wichtige Abhandlung im 12. Buche, Capitel III, S. 143, unter der Ueberschrift „De la vitesse du son et du mouvement des fluides élastiques“.

²)    Clausius, Die mechanische Wärmetheorie. Bd. 1, Zweite Auflage, S. 52, unter der Ueberschrift „Verhältniß der beiden specifischen Wärmen“.

³)    Röntgen. Spec. Wärme einiger Gase, bei constantem Drucke und bei constantem Volumen. Poggend. Annalen, Bd. 148 (1873), S. 580 und 624.

⁴)    Dr. Jochmann in seinem „Beitrag zur Theorie der Gase“ in der Schlömilch’schen „Zeitschrift für Mathematik und Physik“, 5. Jahrg. (1860), S.28ff.

Cp

Man sehe auch den Abschnitt: Die Bestimmung des Verhältnisses n =    , im

ersten Bande, S. 273, Nr. 12, der mechanischen Wärmetheorie meines Neffen, des Herrn Professor Richard Rühlmann in Chemnitz, wo n nach verschiedenen anderen Methoden berechnet ist.

⁵)    Clausius a. a. O., S. 53.

⁶)    a. a. O., Vol. V, Pg. 155.

Letztere von Laplace zuerst aufgestellte Gleichung ist bald nachher Poisson in verschiedenen Abhandlungen über Dichtigkeit, Elasticität

von

und Wärmecapacität der Gase¹), sowie in seinem Lehrbuche der Mechanik, die erste Auflage 1811 erschien, benutzt worden, was manche

wovon

Schriftsteller dazu veranlagte, diese Darstellung des Mariotte’schen Gesetzes unter besonderer Voraussetzung (daß die Druckcurve nicht die isothermische §. 58, sondern die adiabatische §. 60 ist) das Poisson’sche Gesetz zu nennen. Letzterer Umstand ist offenbar nicht Poisson’s Schuld, und dürfte hiernach eine Art Abfertigung, welche Jamin in der dritten Auflage (Tome II, Pg. 117*) seines „Cours de Physique“ dem Poisson, noch nach seinem Tode, für nothwendig zu geben hält, mindestens als ungerechtfertigt zu bezeichnen sein²).

Seite 124 wurde es vorgezogen, für das fragliche Gesetz die von Redtenbacher ein geführte Benennung „das potenz irte Mariotte’sche Gesetz“ zu adoptiren.

liefern wollen.

Wir sind hier zu einer Stelle gelangt, an welcher wir zunächst auf die Seite 138 aufgestellten Berechnungsweisen des mechanischen Wärmeäquivalents aus der specifischen" Wärme des Gases nach Weisbach und Clausius hinweisen müssen, zugleich aber als Ergänzung die geschichtlichen Notizen über den Ausspruch des Grundsatzes: „Wärme und Arbeit sind äquivalent“ und über die Bestimmung des Arbeitsäquivalentes (den Arbeitswerth) oder des mechanischen Wärmeäquivalentes,

Rumford³) war 1798 der erste, welcher zu dem Schlüsse gelangte, daß man durch mechanische Arbeit Wärme erzeugen könne und zwar zufolge von Beobachtungen beim Ausbohren von Geschützrohren in der Kanonenbohrwerkstatt zuMünchen⁴). Der Ansicht Rumford’s schloß sich, durch eigne Experimente (Zusammenreiben von Eisstücken) unterstützt, Humphry Davy⁵), einer der berühmtesten Chemiker seiner Zeit, rasch an⁶). Entscheidend begründet wurde die Frage nach der Verhältnißzahl zwischen Wärme -und Arbeit in der Zeit von 1842 bis 1850, nach einander von einem Deutschen, Dr. Mayer in Heilbronn⁷), einem Dänen Co 1 ding⁸) in Kopenhagen und dem Engländer Joule⁹) in Manchester.

Annales de Chimie^ et Physique, Tome XXIII, Pg. 337, und XIV Cahier, Pg. 360 du Journal de l’Ecole Polytechn.

²)    Es dürfte für unsere geschichtlichen Notizen von Interesse sein, Jamin’s Urtheil hier wörtlich wieder zu geben, welches folgendermaßen lautet: „Poisson, auquel certains auteurs attribuent cette formule, n’en a fourni qu’une démonstration inexacte.“

³)    Rumford (Benjamin Thompson, Graf v.), geb. 1752 zu Rumford in Nordamerika, gest. zu Auteuil 1814.

⁴)    An Inquiry concerning the Source of the Heat, which is excited by Friction. Phil. Transact. für das Jahr 1798, Bd. XVIII, Pg. 286. — Wir benutzen die Gelegenheit und machen auf Dr. Berthold’s Schrift aufmerksam: „Rumford und die mechanische Wärmetheorie“. Heidelberg 1875.

⁵)    Humphry Davy, geb. 1779 zu Penzance (Cornwall); gest. 1829 zu Genf.

⁶)    Davy, „Elements of Chemical Philosophy“, Pg. 94. Ferner Zeuner, „Mechan. Wärmetheorie“, 2. Auflage, S. 14.

⁷)    Julius Robert Mayer, geb. 25.Nov. 1814 in Heilbronn ; gest. 20. März 1878.

⁸)    Colding (Wasserbauingenieur der Stadt Kopenhagen), geb. 1815 auf

Seeland.

⁹) Joule, geb. 1818 bei Manchester (Brauer in Salford und Mitglied der Royal Society).

Die Priorität in der Reihenfolge betreffender Untersuchungen und Veröffentlichungen derselben gebührt zweifellos Dr. Mayer. Dieser wurde auf den wichtigen Satz von der erwähnten Aequivalenz durch Beobachtungen geführt, die er in Java als Schiffsarzt 1840 machte, indem sich dort die Farbe des venösen Blutes der Europäer viel heller zeigte als dies in Europa der Fall gewesen Folge der höheren Temperatur in der heißen Zone erkannte. Diese Beobachtung wurde für ihn der Ausgangspunkt zur Entdeckung des Grundprincips von der Aequivalenz von Wärme und Arbeit, (des sogenannten ersten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie)¹). Dabei berechnete Mayer das mechanische Wärmeäquivalent, dem Grund-principe nach, wie Clausius und Weisbach, worüber vorher Seite 133 bereits Auskunft gegeben wurde. Da jedoch Mayer (seiner Zeit, 1842) nur die älteren Angaben über die specifische Wärme der Luft benutzen konnte, so fand er das Aequivalent zu klein, nämlich nur zu 365 Meter-Kilogramm⁹). Die ersten völlig zuverlässigen Bestimmungen des mechanischen Wärmeäquivalentes sind durchaus das Verdienst Joule's. Joule hat die Wärme unter verschiedenen Umständen gemessen, welche durch Reibung erzeugt wurde, wenn er feste Körper (ein messingnes Schaufelrad) im Wasser gehörig umdrehte, eben so Eisen auf Quecksilber und endlich auch Gußeisen auf Gußeisen reiben ließ und den hierzu erforderlichen Arbeitsaufwand gleichzeitig durch das Auf- und Absteigen von an Schnüren aufgehangenen Gewichten bestimmte. Auf diesem Wege gelangte Joule¹⁰ 11) zu nachfolgenden Resultaten für das mechanische Wärmeäquivalent = E:

war, was er bald als eine

Meter - Kilogramm

Beim Reiben von Messing und Wasser: 424,90

r, Eisen auf Quecksilber

n Eisen auf Eisen

m/c 4

Mittelwerth 425,6

Hieraus erklärt sich unsere, Seite 129 gemachte Annahme, E — 425 zu setzen.

Von anderen, insbesondere den Experimentatoren zur Bestimmung des mechanischen Wärmeäquivalentes, welche bereits Seite 134 in einer

).

mit

tabellarischen Uebersicht genannt wurden, verdienen nach einander noch Hirn, v. Quintus und Favre ganz besondere Beachtung. Von den Versuchen Hirn’s ¹²) ist zuerst diejenige Reihe zu nennen, wo dieser Physiker und Ingenieur bemüht war, das mechanische Wärmeäquivalent durch Zusammenpressen von Blei zu ermitteln, indem er einen eisernen Balken von 350 Kilogr. Gewicht gegen ein circa 3 Kilogr. schweres Bleistück stoßen ließ. Indem Hirn die Arbeit (lebendige Kraft) berechnete, welche scheinbar beim Stoße verschwunden, in Wahrheit aber zur Erwärmung und Verdichtung des Bleies verwandt worden war, Zahl 280,42 Meter-Kil., als Größe der auf das Zu

gelangte er zur

sammendrücken des Bleies aufgewandten Arbeit, während die producirte Wärmemenge sich zu 0,65955 Calorien ergab ²). Hieraus folgte demnach 280,42

= 425,2m¹².

0,65955

Bei einer anderen Reihe von Versuchen ermittelte Hirn den Werth E

an der Dampfmaschine einer Baumwollspinnerei in der Umgegend von Colmar³). Hirn maß hierbei die Wärme des in den Cylinder der Maschinen tretenden Dampfes und ermittelte eben so die Wärmemenge des durch eingespritztes Wasser in Condensation verdichteten Dampfes. Letzteres Wärmequantum vom ersteren abgezogen, mußte der mechanischen Arbeit äquivalent sein, welche der Dampf auf den Kolben der Maschine übergetragen hatte.

In der That gaben die durch den Indicator am Cylinder gemessenen Arbeiten insofern überraschende Resultate, als bei Dampfmaschinen von circa 150 Maschinenpferden eine Menge Einflüsse auf die Richtigkeit des Resultates wirkten, die man vergeblich bekämpfte und die in Physicalischen Cabinetten (bei Versuchen im Kleinen) alle mehr oder weniger beseitigt werden können⁴). Der Mittelwerth aus neun Versuchen war E = 398wfc.

Einen fast gleichen Werth erhielt Herr Professor v. Quintus in Hannover⁵), nämlich 399,7WÄ:, wobei jedoch hervorgehoben werden muß, daß dieser sorgfältige Experimentator eigentlich nur nachweisen wollte, daß die durch electrische Ströme erregte Wärme das Aequivalent der dabei verbrauchten Arbeit ist. Die zu solchem Zwecke nöthigen Messungen erforderten außerdem eine Menge von Fundamentalbestimmungen, die allerlei Fehlerquellen bildeten.

¹) Ausführlich über diesen wichtigen Gegenstand berichtet Dr. Mayer selbst in seinem Werke „Die Mechanik der Wärme“. Stuttgart 1874 (2. Auflage), S. 95.

10

Zu den jüngsten bemerkenswerthen Ermittlungen des mechanischen Wärmeäquivalentes gehören die von Favre¹) in Paris, wobei Wärme durch electromagnetische Maschinen entbunden wurde und worüber die unten notirte Quelle²), so wie mein Neffe, Herr Prof. Rühlmann in Chemnitz, in seinem Handbuche der mechanischen Wärmetheorie, Bd. 1, Seite 54 und Seite 109 berichtet. Favre bestimmte auf diesem Wege E = 413,2

mk

statt früher 426WÄ:.

Poggendorf’s Annalen

von

Beim Schlüsse vorstehender geschichtlicher Bemerkungen hält es der Verfasser für Pflicht, noch auf eine vortreffliche Arbeit von Clausius aufmerksam zu machen, welche betitelt ist: „Zur Geschichte der mechanischen Wärmetheorie“ und sich abgedruckt findet im 145. Bande (Jahrgang 1872), Seite 132 der Physik.

Nachdem sich hierin Clausius bemühte, die Rechte des Dr. Mayer in Heilbronn zu vertreten, tritt derselbe dem rücksichtslosen Verfahren Maxwell’s entgegen, womit dieser die Verdienste der deutschen Physiker ignorirt. Dagegen schenkt Clausius den Arbeiten von Joule, Thomson³) und Rankine ⁴) die gebührendste Anerkennung, wobei wir die Gelegenheit benutzen möchten, auch die beiden letztgenannten Physiker als verdienstvolle Männer um die mechanische Wärmetheorie zu bezeichnen. Noch andere Engländer haben übrigens die Anmaßungen Maxwell’s nie getheilt, von denen in erster Linie John Tyndall zu nennen ist. In seinem Werke „Heat considered as a mode of motion“, deutsch herausgegeben von Helmholtz und Wiedemann, unter dem Titel „Die Wärme betrachtet als eine Art der Bewegung“ ⁵), wird (§. 41) bestimmt hervorgehoben, daß Dr. Mayer in Heilbronn im Jahre 1842 zuerst das mechanische Wärmeäquivalent berechnet habe und §. 83 hinzugefügt, daß dem Dr. Mayer das Recht nicht abgesprochen werden kann, als Mann von wahrem Genie in der ersten Reihe unter den Begründern der dynamischen Theorie der Wärme zu stehen. Uebrigens muß anerkannt werden, daß Maxwell in der vierten Auflage seiner „Theorie der Wärme“ sowohl Dr. Mayer’s Priorität in der Bestimmung des mechanischen Wärmeäquivalents (§. 41) anerkennt, als auch Clausius nicht mehr ignorirt, wie das u. A. die Paragraphen 43, 45, 174, 180 u. a. erkennen lassen.

Schließlich verbleibt dem Verfasser die große Freude noch, hier der deutschen Männer Zeuner, Gustav Schmidt und Grashof gedenken zu müssen, welche sich sowohl um das Verständniß der mechanischen Wärmetheorie, ganz besonders aber um deren Anwendung auf technische Fragen hoch verdient gemacht haben und deren betreffende Arbeiten vom Verfasser bei der Bearbeitung der 2. Auflage dieses Buches vielfach benutzt wurden.

*) Favre, geh. 1813 zu Lyon.

²)    „Recherches sur l’e'quivalent mécanique de la chaleur“. Comptes rendus, Tome 45, Juillet-Décembre 1857, Pg. 337.

³)    T h o m s o n. (Weder von Sir William Thomson in Edinburg (?), noch von Professor James Thomson in Belfast, konnte der Verfasser das Geburtsjahr erfahren.)

⁴)    Rankine, geh. 1820 zu Edinburgh; gest. 1871 in Glasgow (?).

⁵)    Tyndall’s oben bezeiehnetes Werk kann, als ein Meisterstück populärer wissenschaftlicher Darstellung, nicht genug empfohlen werden.

§• 64.

Wasserdämpfe.

Dem Nachweise vorstehender Paragraphen entsprechend, daß ganz streng genommen, keinerlei Gase existiren, welche dem Mariotte-, Gay - Lussac’schen Gesetze vollständig entsprechen, daß dies vielmehr nur bei ideellen Gasen der Fall ist; erweitern wir auch den bereits §. 2, Seite 2 erörterten Begriff Dämpfe, speciell Wasserdämpfe, dahin, daß wir darunter die Gasform solcher Körper verstehen, deren Condensationspunkt innerhalb der uns zugänglichen Temperaturen und Drücken (Spannungen) liegen.

Dem heutigen Standpunkte der Physik gemäß haben wir auch in der Technik zweierlei Arten von Wasserdämpfe zu unterscheiden, nämlich gesättigten und ungesättigten oder überhitzten Dampf.

urs

Bei den gesättigten Dämpfen ist Spannung und Dichte nicht von dem Volumen, sondern einzig und allein von der Temperatur abhängig. Wenn bei diesen Dämpfen die Temperatur constant bleibt und hinreichend Flüssigkeit zur Bildung neuer Dämpfe vorhanden ist, wird zwar eine Raum Vergrößerung die sofortige Erzeugung neuer Dämpfe zur Folge haben, allein wenn sich dieser Raum ganz mit Dampf der entsprechenden Temperatur gefüllt (gesättigt) hat, wird Spannung und Dichte genau wieder die prünglich vorhandene sein. Bei Verminderung des Raumes schlägt sich genau eben so viel Dampf nieder, als erforderlich ist, um Spannung und Dichte abermals der unveränderlich gelassenen Temperatur proportional zu machen.

Erhöht man endlich die Temperatur und läßt den Raum unverändert, so erzeugt sich ebenfalls neuer Dampf, aber auch nur so viel, als erforderlich ist, um gedachten Raum damit zu sättigen, d. h. wiederum jenes bestimmte Verhältniß zwischen Temperatur und Spannung herzustellen.

Derartige Dämpfe befinden sich im Maximum ihrer Dichte, es sind gesättigte Dämpfe.

Dämpfe, die sich nicht im Maximum ihrer Dichte befinden, nennt man ungesättigte oder überhitzte Dämpfe. Ueberhitzter Dampf ist zugleich solcher, welcher bei derselben Spannung eine rößere Temperatur und ein größeres specifisches Volumen (§. 54, eite 112) hat, als gesättigter Dampf. Ueberhitzter Dampf muß stets von der tropfbaren Flüssigkeit, woraus er gebildet ist, getrennt sein, und nähert sich derselbe in seinem Verhalten dem eines permanenten (idealen) Gases um so mehr, je mehr seine Temperatur erhöht wird.

§. 65.

Von der Spannkraft (Expansivkraft) gesättigter Wasser dämpfe.

Unter den vielen empirischen Formeln¹), welche man als Ausdrücke für die Spannkraft des Wasserdampfes, die, wie schon

¹) Ueber die (unglaublich) große Zahl derartiger Formeln wird in einem später folgenden Paragraphen berichtet, der wieder (für das Gebiet der Dämpfe) mit „Geschichtliche Notizen“ überschrieben ist.

erwähnt, nur eine Function der Temperatur ist, sind es besonders zwei, welche für unsere technischen Zwecke von Bedeutung und von besonderem Werth sind.

Die erste seinerzeit von Tredgold*) aufgestellte Formel ist:

r 75+*v

V 175 J ’

worin t die Temperatur und i die correspondirende Spannkraft des gesättigten Wasserdampfes in Atmosphären ausdrückt.

Diese Formel zeichnet sich so sehr durch Einfachheit aus, daß sie für technische Zwecke, namentlich wenn es sich um (rasche) angenäherte Angaben der Temperatur handelt, nothwendig hier Platz finden mußte.

Die zweite der erwähnten (empirischen) Formeln hat Régnault nach seinen sorgfältigen, umfangreichen Versuchen aufgestellt und wird diese mit einigen Modificationen als die zur Zeit empfehlens-wertheste bezeichnet. Régnault²) fand:

Lg F = a — bax — cßx.

Hierin ist F die Dampfpressung in Millimetern Quecksilbersäule

F

(§. 52) ausgedrückt, also i =    , während die übrigen Größen

folgenden Werthen entsprechen: x = t -f— 20;

Lg b = 0,1397743;

Lg c = 0,6924351 ;

Die Uebereinstimmung dieser Formel mit den Beobachtungen ist aus der untenstehenden Tabelle in Note (³) zu entnehmen.

Lg « = 1,994049292; Lg ß = 1,998343862.

a == 6,2640348;

¹)    Tredgold, geb. 1788 zu Brandon bei Durham, gest. 1829 zu London. Sein Hauptwerk ist: The steam engine (übersetzt von Mellet unter dem Titel „Traité des machines a vapeur“). London 1827, Pg. 101.

²)    „Relation des expériences etc.“ Tome XXI (1847), Pg. 606. Dieser höchst werthvollen Abhandlung sind namentlich mehrere große Kupfertafeln beigefügt, worauf die Apparate und Instrumente Regnault’s abgebildet sind, welche Régnault bei seinen Versuchen benutzte.

³)

Temperatur = t mit dem Luftthermometer gemessen.

Beobachtete Spannung

in Millimetern Quecksilber- Differenz mit der Formel, säule ausgedrückt.

+++++++ i i

20    .

10    .

+ 0,00

+ 0,11

+ 0,12

+    0,09

0,04

0,02

2,28

9,23

—    29,00

—    ii,3a

In der S. 153 folgenden Tabelle für gesättigten Wasserdampf finden sich nach Berechnungen von Zeuner x) und einigen späteren Ergänzungen von Grashof¹³ 14) die Dampfspannungen in Atmosphären = i verzeichnet, welche bestimmten Temperaturen t entsprechen.

§. 66.

Gesammtwärme, Flüssigkeitswärme. Innere und äußere Verdampfungs-wärme. Dampfwärme.

Nach Régnault¹⁵) ist Gesammt-Wärmemenge = Q, welche man der Gewichtseinheit (= 1 Kilogramm) Wasser von Null Grad Temperatur zuzuführen hat, um dasselbe unter verschiedenem Drucke in gesättigten Dampf von t° Temperatur zu verwandeln:

(1)    Q = 606,50 -r 0,3050 Ł

zur

Nach §.63, S. 136 besteht Q aus drei Theilen, d. h. erstens aus der Wärme, welche zur Vermehrung der Schwingungsarbeit, d. h. Temperaturerhöhung des Wassers dient; zweitens aus der Wärme, welche zur Distanzvergrößerung der Moleculen und zur Ueber-windung der Cohäsion, welche sie zusammenhält, dient, und drittens aus der äußeren Arbeit, welche hier, während der Dampfbildung verrichtet werden muß, und bei diesem Processe verschwindet.

Wir bezeichnen die zwei ersten dieser Wärmetheile beziehungsweise mit q und q und setzen für die gedachte äußere Arbeit nach §. 62 vorerst den Werth Afpdv, so daß sich ergiebt:

(2)    Q = q -J- q -f- Afpdv.

um

Hierbei erkennt man leicht, daß q nichts Anderes als der bereits §. 61, S. 131 gefundene Werth ist, welcher hier erforderlich wird, das Wasser erst von Null Grad bis t Grad zu erwärmen, bevor die Dampfbildung eintritt.

Statt des Werth    q in IV, S. 131, setzen wir hier nach

Clausius¹⁶), als hinlän ich genau, den einfacheren Ausdruck

(3) q — 1,013 ć,

und nennen überdies q die Flüssigkeitswärme.

Den anderen Theil = q der Wärme, welcher zu innerer Arbeit verwandt wird, der Zuwachs an Körperwärme beim Uebergange aus dem flüssigen in den dampfförmigen Zustand, nennen wir nach Zeuner die innere Verdampfung s wärme und berechnen dieselbe aus der von letztgenanntem Autor aufgestellten Gleichung:¹⁷) (4) q — 575,40 — 0,7911.

Für das dritte Glied in (2), der Wärmewerth der Expansionsarbeit, welche bei der Verdampfung verrichtet wird, erhält man leicht

Afpdv = Ap (v — io),

wenn p den constauten Druck des gesättigten Dampfes bezeichnet.

während v das specifische Volumen v = — (nach §. 54, S. 112)

des gesättigten Dampfes und w das specifische Volumen des Wassers, also w = 0,001 Cubikmeter ist.

Denkt man sich nun einen Cylinder und in demselben einen Kolben vom Querschnitte = a, unter diesem Kolben aber, auf dem Boden des Cylinders, ein Kilogramm Wasser von Null Grad Temperatur, so ist io das Volumen dieses Wassers. Erzeugt man nun aus diesem Wasser gesättigten Dampf von p Kilogramm Druck pro Quadratmeter gebildet, so wird sich das Wasservolumen w in das Dampfvolumen v verwandeln und eine Arbeit ausgeübt werden, welche, bei constant bleibendem p, offenbar p (v — w) ist. Dieser Arbeit entspricht aber ein Wärmequantum

= Ap (v — w).

P (v — w)

Wir bezeichnen v — io mit u und erhalten (5) A fpdv = Apu.

Zur Berechnung von Apu gelangt man folgendermaßen: Es ist zunächst nach (2)

(6)    Apu = Q — q — q,

also wenn man Q — q = r setzt, nach (1) und (3) r = 606,50 + 0,30501 — 1,0131, d. i.

(7)    r == 606,5 — 0,7081.

Hiernach aber Apu — r — q, d. i. mittelst der Werthe in (4)

und (7) :

(8) Apu = 31,10 + 0,083 f.

Die in nachfolgender Tabelle für Apu berechneten Werthe weichen von denen der Formel (8) etwas ab, da sie mittelst der Zeuner’schen Gleichung¹) berechnet wurden:

(9) Apu = 31,1 -f“ 1,096* — q.

zu

Zum weiteren Verständniß der erwähnten Tabelle ist noch bemerken, daß die letzte, mit A überschriebene Columne die den Temperaturen und Pressungen correspondirende specifische Dichte, oder das specifische Gewicht des gesättigten Wasser— dampfes verzeichnet und daß die betreffenden Tabellenwerthe mittelst der Gleichung berechnet sind:

(10) A =

+ 0,001 ’

(der reciproke Werth von v = u -j- w = u -j- 0,001, unter v das specifische Volumen versteht).

Zeuner entwickelt in seinen Grundzügen der mechamsehen Wärmetheorie²) eine für practische Zwecke sehr brauchbare Formel für Ay nämlich:

wenn man

(11). A = 0,6061 (i)⁰’⁹³⁹⁸,

!) Mecli. Wärmetheorie, 2. Aufl., S. 284.

²) a. a. O., S. 294.

worin i (unseren obigen Werth) die Anzahl der Atmosphären bezeichnet, welche der jedesmaligen Temperatur des gesättigten Wasserdampfes entsprechen.

Hinsichtlich der Werthe — in der 7. Columne unserer Tabelle ist zu bemerken, daß von diesem Quotienten häufig Gebrauch gemacht werden muß, wie sich schon bei Lösung der technischen Aufgabe des folgenden Paragraphen zeigen wird. Uebrigens giebt dieser Quotient (nahezu) auch an, wie viel Calorien für 1 Cubik-meter Dampf unter verschiedenen Spannungen zur inneren Verdampfungswärme erforderlich sind.

Schließlich ist noch darauf aufmerksam zu machen, daß, weil beim Verdampfungsprocesse die der verrichteten äußeren Arbeit entsprechende Wärmemenge Apu, also die äußere latente Wärme verschwindet, von der ganzen Wärmemenge Q im gesättigten Dampfe nur noch die Wärmemenge Q — Apu zurückgeblieben ist, welchen Rest wir mitZeuner¹) mitj bezeichnen und Dampfwärme nennen.

Der Werth

(12) J = Q — Apu

giebt sonach an, wie viel Calorien Wärme in der Gewichtseinheit von gesättigtem Dampf gewissen Druckes p mehr enthalten sind, als in der Gewichtseinheit Flüssigkeit von 0° Temperatur.

Aus der Verbindung von (5) mit (12) folgt endlich noch (13) J — q + Q.

Zur Uebersicht geben wir folgendes Schema, über den Zusammenhang der sechs Größen Q, q, q, Apu, J und r, woraus also erhellt, wie die Wärme bei der Bildung gesättigten Wasserdampfes verwendet wird.

q + Q + Apu

In Worten ausgedrückt also :

Gesammtwärme

V erdampfungswärme

Flüssigkeitswärme -f- innere Dampfwärme

-N

Verdampfsw. -j- äußere Verdampfsw.

Gesammtwärme.

*) Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie. 2. Auflage, S. 270.

§.

Tafel für gesättigte Wasserdämpfe.

153

für

Tafel

gesättigte Wasser dämpfe.

Dampfspannung in Atmosphären.

<1

Apu

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

17,83

29,35

36,56

41,92

46,21

17,838 561,296 29,375 552,184 36,601 646,481 41,977 542,241 46,282 538,848

0,12

0,15

49,83

54,37

60,45

69,49

76,25

49,917 535,984 54,477 532,393 60,589 527,584 69,687 520,433 76,499 515,086

lO    CO ^ wo    00^05

OOOOO th f—i t—t

81,71

86.32

90.32 93,88 97,08

100,00

102,68

105,17

107,50

109,68

111,74

113,69

115,54

117,30

118,99

82,017 510,767 86,662 507,121 90,704 503,957 94,304 501,141 97,543 498,610

100,500 496,300 103,216 494,180 105,740 492,210 108,104 490,367 110,316 488,643

112,408 487,014 114,389 485,471 116,269 484,008 118,059 482,616 119,779 481,279

OcsScoco    co^ooqo¹^ o-r-icococo ci iß co (M ^

QO »    ©_    (M iO    <50^ CO_ Ci (M 0 CO 05 i-tCO^Ob-

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67,303

34,769

23,641

17,987

14,552

12,241

9,9063

7,5428

5,1393

3,9157

3,1708

2,6703

2,3088

2,0357

1,8218

1,6495

1,5078

1,3892

1,2883

1,2015

1,1259

1,0596

1,0008

0,9484

0,9013

8,3398

15,882

23,116

30,146

37,029

43,786

53,743

69,945

101,27

131,54

161,08

189,91

218,28

246,18

273,69

300,88

327,75

354,31

380,63

406,69

432,56

458,16

483,62

508,87

533,98

0,0149

0,0288

0,0423

0,0556

0,0687

0,0817

0,1009

0,1326

0,1945

0,2553

0,3153

0,3743

0,4329

0,4910

0,5486

0,6059

0,6628

0,7193

0,7756

0,8316

0,8874

0,9429

0,9982

1,0533

1,1083

OS OS OS OS OS JO JO JO JO JO to JO JO JO JO

'V'os IO'h*"o 'co'oo -3'b>'b*    V-'bo to'h-.'o

120,60

122,15

123,64

125,07

126,46

127,80

129,10

130,35

131,57

132,76

133,91

135,03

136,12

137,19

138,23

121,417 480,005 122,995 478,779 124,513 477,601 125,970 476,470 127,386 475,370

128,753 474,310 130'079 473,282 131,354 472,293 132,599 471,328 133,814 470,387

134,989 469,477 136,133 468,591 137,247 467,729 138,341 466,883 139,404 466,060

41,861

41,981

42,096

42,207

42,314

42,416

42,515

42,610

42,702

42,791

42,876

42,960

43,040

43,119

43,196

0,8589

0,8203

0,7852

0,7530

0,7235

0,6962

0,6710

0,6476

0,6258

0,6055

0,5865

0,5686

0,5519

0,5362

0,5213

558,86

583,66

608,25

632,76

657,04

681,28

705,34

729,30

753,16

776,86

800,47

824,11

848,39

870,73

894,03

1,1629

1,2176

1,2719

1,3263

1,3803

1,4343

1,4881

1,5418

1,5954

1,6488

1,7021

1,7556

1,8086

1,8615

1,9147

Dampfspannung in Atmosphären.

Apu

CO^ t-'GO^ co' CO CO CO CO

139,24

140,23

141,21

142,15

143,08

140,438

141,450

142,453

143,416

144,368 465,261

464,478

463,703

462,959

462,224 43,269

43,342

43,413

43,480

43,548 0,5072

0,4940

0,4814

0,4695

0,4581

917,31

940.24

963.24 986,07

1008,9 1,9676

2,0203

2,0729

2,1255

2,1780

_00 JX> JjO    Cł 05 C5 fli J© 05 C5 C5 Q 0*00*0*0*0*    0*0*0*0*0*

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144,00

144,89

145,76

146,61

147,46

148,29

149,10

149,90

150,69

151,46

152,22

152,97

153,70

154,43

155,14

155,85

156,54

157,22

157,90

158,56

159,22

159,87

160,50

161,14

161,76

162,37

162,98

163,58

164,18

164,76

165,34

166,77

168,15

169,50

170,81

172,10

173,35

174,57

145,310

146,222

147,114

147,985

148,857 149,708

150,539

151,360

152,171

152,961

153.741 154,512 155,262 456,012

156.741 157,471

158,181

158,880

159,579

160,259 160,938

161,607

162,255

162,915

163,553 164,181

164,810

165,428

166,047

166,645 167,243

168,718

170,142

171,535 172,888

174,221

175,514

176,775

461,496

460,792

460,104

459,431

458,759 458,103

457,462

456,829

456,204

455,595 454,994

454,401

453,823

453,246

452,684 452,123

451,577

451,039

450,501

449,979 449,457

448,943

448,444

447,938

447,448 446,965

446,483

446,008

445,534

445,075 444,616

443,485

442,393

441,325 440,289

439,269

438,280

437,315 43,614

43,677

43,739

43,799

43,859 43,918

43,975

44,030

44,085

44,139 44,192

44,243

44,293

44,343

44,392 44,441

44,487

44,533

44,579

44,623 44,667

44,710

44,753

44,794

44,836 44,876

44,916

44,956

44,994

45,032 45,070

45,162

45,250

45,337 45,420

45,501

45,578

45,654 0,4474

0,4371

0,4273

0,4179

0,4090 0,4004

0,3922

0,3844

0,3768

0,3696 0,3626

0,3559

0,3495

0,3433

0,3373 0,3315

0,3259

0,3205

0,3153

0,3103 0,3054

0,3007

0,2962

0,2917

0,2874 0,2833

0,2792

0,2753

0,2715

0,2678 0,2642

0,2556

0,2475

0,2400 0,2329

0,2263

¹

   Mousson „Die Physik auf Grundlage der Erfahrung“. Zürich 1860. Bd. II, 8. 59, und Zeuner „Die mech. Wärmetheorie“, 2. Auf., S. 103.

²

²)    Clapeyron, geh. 1799; gest. (?)

³

³)    „Memoire sur la puissance motrice de la chaleur“. Journal de l’école royale polytechnique. 22 Cahier, Tome XIV, Pg. 153—190. Clapeyron schreibt in diesem Memoire Pg. 164: pv = R (267 -f- t)} womit die Setzung S. 113 zu vergleichen ist.

⁴

⁴)    d’Alembert, geh. zu Paris 1717; gest. das. 29. October 1783.

⁵

⁵)    Leonhard Euler; geh. 1707 zu Basel; gest. 1783 zu Petersburg.

⁶

⁶)    Gehler’s physikalisches Wörterbuch. Bd. 4 (2. Abtheilung), S. 1040.

⁷

⁷)    Annales de chimie et physique, Tome XLIII (1830).

⁸

⁸)    Régnault, geh. 1810 in Aachen; gest. 19. Januar 1878 zu Paris.

⁹

)    Annalen der Chemie und Pharmacie von Wöhler und Liebig. 1842, Bd. LXII, Maiheft, Pg. 240.

¹⁰

)    Spengel, „Das mechanische Wärmeäquivalent“. Gesammelte Abhandlungen von James Prescott Joule. Braunschweig 1872. Die Hauptarbeit Joule’s findet sich in den Philosoph. Transact., for 1850, Pg. 1. Ins Deutsche übertragen findet sich diese Arbeit in Poggendorfs Annalen der Physik etc. Ergänzungsband IV, Leipzig 1854, S. 601—630.

¹¹

)    Einen etwas größeren Werth für E, nämlich 460mÄ:, fand (1843) Joule, als er den Arbeitsaufwand zum Umdrehen eines electromagnetischen Rotations-apparates mit der in den Windungen desselben frei werdenden Wärmemenge verglich. (Man sehe hierüber die vorher genannte Schrift von Spengel „Das mechanische Wärmeäquivalent“.)

Riihlmann’s Hydromechanik.

¹²

Hirn, geb. 1815 zu Logelbacli im Elsaß.

²)    Hirn, The'orie mécanique de la chaleur (2. Auflage), T. I, Pg. 85, und hieraus (wie das Original mit Abbildungen begleitet) in (meines Neffen) Prof. Richard Rühlmann „Mech. Wärmetheorie“, Bd. 1, S. 218.

³)    Hirn a. a. O., Pg. 35 und Richard Rühlmann a. a. O., S. 200.

⁴)    Diese Hirn’schen Versuche an einer größeren Dampfmaschine liefern insbesondere den Nachweis, welchen die mechanische Wärmetheorie verlangt, daß in allenFällen, wo durchWärme Arbeit geleistet wird, eine dieser Arbeit proportionale Wärmemenge verschwindet oder verbraucht wird. Clausius hat diesen Satz zuerst in voller Bestimmtheit ausgesprochen und theoretisch begründet.

⁵)    „Ueber den numerischen Werth der Constante in der Formel für die electrodynamische Erwärmung von Metalldrähten“. Poggendorf’s Annalen etc. Bd. 101 (1857), S. 69.

¹³

) Mech. Wärmetheorie, Zweite Auflage, Seite 250 ff.

¹⁴

0 Theoret. Maschinenlehre, Bd. 1, S. 153 ff.

¹⁵

)    Relation des expériences etc. Mémoires de l’Académie, Tome XXI (1847), Pg*. 635 unter der Ueberschrift: „Memoire sur les chaleurs latentes de la vapeur aqueuse a saturation sous divers pressions.“ Die Gleichung (1) findet sich zuerst auf S. 726 der Abhandluug.

¹⁶

)    Die mechanische Wärmetheorie. Zweite Auflage, S. 281.

¹⁷

)    Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie. Zweite Auflage, S. 283.

0,2200

0,2141

1031.6

1054.2 1076,8

1099.3

1121.7 1144,0

1166,3

1188.5

1210.6

1232,7

1254,7

1276,6

1298,5

1320,3

1342,1

1363,8

1385.4 1407,0

1428.5 1450,0

1471.5 1492,0

1514,2

1535.5

1556,7 1577,9

1599,0

1620,1

1641.2

1662.2 1683,0

1735,2

1787,1

1838,7

1890.1

1941.2

1992,1

2042,8

2,2303

2,2826

2,3349

2,3871

2,4391 2,4911

2,5430

2,5949

2,6467

2,6984 2.7500

2,8016

2,8531

2,9046

2,9560 3,0073

3,0586

3,1098

3,1610

3,2122 3,2632

3,3142

3,3652

3,4161

3,4670 3,5178

3,5685

3,6192

3,6699

3,7206 3.7711

3,8974

4,0234

4,1490 4,2745

4,3997

4,5248

4,6495

co

Dampfspannung in Atmosphären,

Apu

9,00

9,25

9,50

9,75

175,77    178,017    436,366

176,94    179,228    435,440

178,08    180,408    434,539

179,21    181,579    433,645

45,727    0,2085

45,798    0,2031

45,868    0,1981

45,935    0,1933

2093.3    4,7741

2143.5    4,8985

2193.5    5,0226

2243.3    5,1466

10,00

10,25

10,50

10,75

180,31    182,719    432,775

181,38    183,828    431,928

182,44    184,927    431,090

183,48    186,005    430,267

46,001    0,1887

46,064    0,1844

46,127    0,1802

46,189    0,1763

2293,0    5,2704

2342,5    5,3941

2391.7    5,5174

2440.7    5,6405

11,00

11,25

11,50

11,75

12,00

12,25

12,50

12.75

13,00

13,25

13,50

13,75

184.50    187,065    429,460

185.51    188,113    428,661

186,49    189,131    427,886

187,46    190,139    427,119

188,41    191,126    426,368

189,35    192,104    425,424

190,27    193,060    424,896

191,18    194,007    424,177

192,08    194,944    423,465

192,96    195,860    422,769

193,83    196,766    422,080

194,69    197,662    421,400

46,247    0,1725

46,306    0,1689

46,362    0,1654

46,417    0,1621

46,471    0,1589

46,524    0,1558

46,576    0,1529

46,626    0,1500

46,676    0,1473

46,724    0,1447

46,772    0,1421

46,818    0,1397

2489,5    5,7636

2538.2    5,8864

2536,8    6,0092

2635.2    6,1318

2683.4    6,2543

2731.4    6,3765

2779,3    6,4986

2827,0    6,6206

14,00

195,53    198,537 420,736    46,864    0,1373

2874.5    6,7424

2922,0    6,8642

2969.3    6,9857

3016.5    7,1072

3063.4    7,2283

§• 67.

Zeuner’s Dampfkesselaufgabe.

Um die nützliche Verwendbarkeit vorstehender Tabellenwerthe für einen practischen Fall zu zeigen, hat Zeuner bereits im Jahre 1863 folgende Aufgabe gelöst *), welche noch gegenwärtig verdient, in allen betreffenden technischen Lehrbüchern aufgenommen zu werden.

Aufgabe. Nach welchem Gesetze wächst in einem Dampfkessel die Dampfspannung bei fortgesetztem Heizen mit der Zeit, wenn man von einem gewissen Zeitpunkte an die Dampfbildung unterbricht und die Ventile in geschlossenem Zustande erhält?

Auflösung. Es sei im Augenblicke, wo die Dampfableitung unterbrochen wird, das Gewicht von Wasser und Dampf im Kessel M und davon m Kilogramm dampfförmig. Die Tempe-peratur sei t und die correspondirende Spannung sei p.

Behalten wir dann die Bezeichnungen des vorigen Paragraphen

¹) Neue Tabelle für gesättigte Wasserdämpfe. Von Prof. Dr. G. Zeuner. Schweizerische Polytechnische Zeitschschrift. Bd. VIII, Jalirg. 1863, S. 1 ff.

bei¹), so erhalten wir zunächst

(M — m) w für das Wasservolumen und mv für das Dampfvolumen. Demnach aber das Volumen V der ganzen Masse:

V — (M —m)w -f- mv,

oder da v — w = u war :

V = Mio -J- mu.

Durch das fortgesetzte Heizen des Kessels sei die Dampfmenge nach t Minuten in den größeren Werth mx, die Temperatur in tx und die Spannung in px übergegangen. Dann wird offenbar V — Mio -f- mxux,

wobei ux der Temperatur tx entspricht.

Durch das Gleichsetzen beider Werth e von F ergiebt sich dann: (1) mxuL = mu.

Außer dieser Gleichung läßt sich aber noch eine andere in nachstehender Weise gewinnen.

Es beträgt die anfänglich im Wasser enthaltene Wärmemenge (M — m) q

und die im Dampfe enthaltene

mJ.

Daher die Wärmemenge der ganzen Masse (M— m) q -f- mJ, oder Mq -j- m ( J — q),

d. i. mit Bezug auf Gleichung (13) des vorigen Paragraphen:

Mq -f- mq.

Bei einer anderen Temperatur tx erhält man eben so

Mqx + mxqx,

und daher die Wärmemenge Q, welche von Außen zuzuführen war, damit die Temperatur von t auf tx stieg:

(2) Q = M (qx —q) + mxqx — mq.

Nun war nach (3) §. 66, 2' = 1,013 ć, folglich qx = 1,013 tx.

Ferner ist nach (1) dieses Paragraphen m, =    ,

u\

man diese Werthe in (2) substituirt:

Q = 1,013 M (tt — t) + mu fSl

V ui

Ist endlich noch Q die Wärmemenge, die in jeder Minute in den Kessel tritt, so erhält man die Zeit % (in Minuten), innerhalb welcher die Temperatur von t auf t x und die Spannung vonp aufpj steigt zu:

9 M

daher wenn

0.

<³> '—k-n

jl,013 jlf (tl - t) + muQŁł

u J\

¹) D. h. bezeichnet w das specifische Volumen der Gewichtseinheit (=1 Kilogr)

1

Wasser und v = ~~j~ das specifische Volumen der Gewichtseinheit (= 1 Kilogr.) Dampf etc.

Beispiel. Die Heizfläche eines einfachen cylindrischen Dampfkessels betrage 18 Quadratmeter (d. h. der Kessel würde ungefähr einer Dampfmaschine von 12 bis 15 Pferdekräften genügen), während derselbe einen Inhalt von 11 Cubikmetern hat, wovon 0,4 mit Dampf von 4 Atmosphären Spannung und 0,6 mit Wasser gefüllt ist.

Es fragt sich, in welcher Zeit die Dampfspannung auf 8 Atmosphären steigen wird, wenn überdies noch die Temperatur des Speisewassers 15° Cels. ist?

Auflösung. Rechnet man, daß jeder Quadratmeter der vorhandenen Heizfläche 25 Kilogramm Dampf pro Stunde liefert, so giebt dies pro Minute, für den ganzen Kessel,

~-⁵-₆^-⁸- = 7,5 Kil. Dampf.

Nach unserer Tabelle beträgt die Wärmemenge = Q, welche man jedem Kilogramme Speisewasser von Null Grad Temperatur (bei constantem Drucke) zuführen müßte:

Q = 2 + Q + Ąpu,

d. i., weil der Spannung von 4 Atmosphären die Temperatur von 144 Grad entspricht, und nach der Tabelle Seite 153: q = 145,310, q = 461,496,

Apu> = 43,614 erhalten wird:

Q = 145,31 -|- 461,496 -j- 43,614 = 650,420 Wärmeeinheiten.

Da jedoch das Speisewasser nicht die Temperatur = Null, sondern die 15 Grad hat, so beträgt die zuzuführende Wärmemenge nur Q — 15 = 635,42 Wärmeeinheiten.

Vorstehendem gemäß liefert der Kessel pro Minute 7,50 Kilogr. Dampf, so daß sich die während derselben Zeit in den Kessel tretende Wärmemenge = Q₀ ergiebt zu:

Q₀ = 635,42 X 7,5 = 4765,65 Calorien.

Daher folgt aus (3) :

Qo

4765,65

Wir schreiten nun zur Ermittlung der verschiedenen Glieder dieser Gleichung und erhalten Folgendes:

m ~ 0,4.11 . 2,2303 = 9,8133 Kilogramm.

Eben so ergiebt sich für das Wassergewicht

M — m — 0,6 . 11 . 1000 = 6600 Kilogramm.

Daher erhält man für das Gewicht von Dampf und Wasser zusammen :

Da nach unserer Tabelle 1 Cubikmeter Dampf von 4 Atmosphären Spannung 2,2303 Kilogramm wiegt, so beträgt das Dampfgewicht m

M — 6600 -|- m = 6609,8133 Kilogramm.

Ferner ist nach der Tabelle (4 Atmosph. entsprechend) t — 144 und

letzterer Temperatur correspondirend ^ = 0,4474, sowie =1031,6.

Eben so für 8 Atmosphären

Daher

t, = 170,81;    = 1890,1 und

Ul

t₁ — t= 170,81 — 144 = 26,81.

1,013 Mit, — t) = 1,013.6609,8133.26,81 = 179512,79.

Ferner ergiebt sich

mu = 9,8133.0,4474 = 4,390.

= 1890,1 — 1031,6 = 858,5, folglich

U

Qi

u\

mu

Demnach

(SJl

Wj

_Q_

u

= 4,390.858,5 = 3768,815-

179512,79 + 3768,815 _ 183281,605

4765,65 .

% = 38,45 Minuten, als die Zeit, innerhalb welcher die Dampfspannung, bei unveränderter Heizung im bezeichneten Kessel, von 4 auf 8 Atmosphären wächst.

4765,65

d. i.

§. 68.

Expansionsarbeit gesättigten Wasserdampfes.

Als weitere Anwendung der Werthe vorstehender Tabelle auf Mischungen von gesättigtem Dampfe mit Wasser¹), ermitteln wir die Arbeit, welche solcher Dampf verrichtet, wenn er sich nach der adiabatischen Curve expandirt, d. h. wenn ihm bei der Ausdehnung weder Wärme mitgetheilt, noch solche entzogen wird. Unter dieser Voraussetzung kann äußere Arbeit nur auf Kosten der inneren geleistet werden. Die äußere Arbeit ist aber gleich dem Aequivalente der entzogenen Flüssigkeitswärme (q) und der Veränderung der inneren latenten Wärme (q), so daß sich folgendes Schema aufstellen läßt, sobald man beim Beginnen der Expansion annimmt, daß x₂ Kilogramm gesättigter Dampf und 1 — x₂ Kilogramm Wasser vorhanden ist :

— x₂) q₂. q₂ -j- x₂ q₂.

x₂ Kil. Dampf enthalten an Wärmeeinheiten: x₂ (q₂ -f- q₂) ;

iS iS

(1 — x₂)' y> Wasser „    „    (1

Das Gemisch enthält sonach

Sind ferner am Ende der Expansion vorhanden: xv Kilogr. Dampf und 1 — xx Kilogr. Wasser, so ergiebt sich für dies Gemisch an Wärmeeinheiten: ql -[-

Die bei der Ausdehnung geleistete äußere aber verschwundene Arbeit == ist daher (mit Bezug auf VI, S. 136):

= q₂ + x₂q₂ — qt — t oder I. W = E (q₂ — q₁ -f- x₂q₂ — a?,Q,).

U₂-U\

Für practische Rechnungen ist nun eine Formel erforderlich, mittelst welcher man x₂ (am Ende der Expansion) aus xx (am Anfänge der Expansion) zu berechnen im Stande ist. Eine solche Formel hat aber Clausius¹) entwickelt, nämlich

T\

T,

.^ = -%-L+cLgnÆ

wo r₂ und rx die den Temperaturen des Dampfes entsprechenden Werthe (von r) der Tabelle bezeichnen und c = 1,013 ist.

Zeuner²) hat dafür eine empirische Formel aufgestellt, die ftir’s practische Rechnen bequemer ist, nämlich

II. £ip_ Tl

x₂r₂

Tx

worin % —

Daß hier überall T und q die früher erörterten Bedeutungen haben, bedarf wohl kaum der Erwähnung.

Zeuner hat überdies für den practischen Gebrauch der Formel II folgende Tabelle berechnet:³)

Druck in Atmosphären

0,5

10

1,5488

1,4383 1,3258

1,2591 1,2112 1,1739 1,1432

1,1171

1,0944

1,0742

1,0561

T    0,2627 0,3135 0,3681 0,4020 0,4271 0,4469^4639 0,4784 0,4912 0,5027 0,5129

Beispiel. Welche Arbeit ($1) verrichtet 1 Kilogramm gesättigter Wasserdampf von 4 Atm. Spannung, wenn er adiabatisch bis auf 1 Atm. Spannung expandirt?

Auflösung. Zuerst erhält man aus II:

0+..-0

x 2±

und daher mittelst vorstehender Tabelle, da xx = 1 Kil. ist:

1,3148 1,4383

x₂ —

1,4383

(1,2112 + 0.4271 — 0,3135) =

= 0,921

1 — x₂ = 1 — 0,921 = 0,079.

Hiernach haben sich also fast 8|- Dampf während der Expansion zu Wasser nieder ge s chlage n.

Mit Bezug auf I. ergiebt sich weiter (mittelst der Tabelle S. 153):

x₂q₂ = 0,921 . 496,30 = 457,092, also

q₁ == 145,310; so wie: q₂ = 100,50 q ! = 461,496

q₂ -J- x₂Q₂ = 557,592.

#i #iQi = 606,806.

Daher erhält man für die während der Ausdehnung verschwundene

Wärme :

x) Mechanische Wärmetheorie, 2. Auflage, S. 164.

²)    Grundzüge der Wärmetheorie. Zweite Auflage, S. 322.

³)    Ebendaselbst, S. 316.

%

— = (606,806— 557,592) = 49,213 Wärmeeinheiten (Calorien). Ferner Jh

ergiebt die während dieser Ausdehnung verrichtete äußere mechanische Arbeit zu:

5f = 425 . 49,216 = 20916,80 Meterkilogramm.

Zusatz 1. Das während der Expansion sich niedergeschlagene Dampfquantum x₁ — x₂ ergiebt sich überhaupt allgemein aus II. zu :

.    ~ r[ L"¹ (Tr ~ Ä") +    _ TlJ'

Clausius und nach diesem Régnault leiteten zuerst diesen auch für die Anwendung in der Technik wichtigen Satz mit Hülfe der mechanischen Wärmetheorie ab, während ihn Hirn durch Experimente bestätigte.

In seiner ganzen Ausdehnung lautet das wichtige Ergebniß (nach Clausius) folgendermaßen:¹)

„Gesättigter Wasser dampf muß sich bei der Ausdehnung theil weise nieder schlagen, bei der Zusammendrückung aber erhitzen, sobald er sich in einer für War me undurchdringlichen Hülle befindet.“

Pambour²) (dem wir die erste beachtenswerthe Theorie der Dampfmaschine verdanken) und nach ihm Redtenbacher, (der sich um die Ausbildung dieser Theorie verdient machte); beide nahmen an, daß der Dampf bei seiner Ausdehnung nicht nur im gesättigten Zustande bleibe, sondern daß sich auch das vorhandene Dampfgewicht nicht ändere, daß also die Ausdehnung nach der Curve constanter Dampfmengen oder Dampfgewichte stattfinde.

Nach den vorbemerkten Entdeckungen von Clausius und Rankine bleibt zwar der gesättigte Dampf während der Expansion und Compression gesättigt, allein das vorhandene Dampfgewicht oder die vorhandene Dampfmenge bleibt nicht constant.

Zusatz 2. Bei der Wichtigkeit vorstehenden Satzes hat man sich gar bald die Frage vorgelegt, ob sich für gesättigten Wasserdampf das Gesetz der adiabatischen Linie (entsprechend §. 60) nicht durch eine Gleichung von der Form

pvu =plvf = p₂v/ . . .

darstellen lasse, sobald nur entsprechend bekannt ist.

In der That ist es Zeuner³) (nach dem Vorgänge von Rankine⁴) geglückt, eine empirische Formel aufzufinden, woraus p, für Mischungen aus gesättigtem Dampf und Wasser berechnet werden kann und welche für die Praxis befriedigende Uebereinstimmungen mit der Erfahrung giebt.

Diese Formel ist

III. jn = 1,035 -j- 0,10 y,

worin y den verhältnißmäßigen Dampfgehalt, die specifische Dampfmenge beim Beginn der Expansion darstellt, also y = 1 ist für ganz trockenen Dampf, der in der Praxis entweder gar nicht oder doch nur höchst selten vorkommt und weshalb auch Zeuner aufmerksam macht, daß er seine Formel nur innerhalb der Grenzen y = 1 und y — 0,70 benutzt wissen will.

*) Die mechanische Wärmetheorie. Zweite Auflage, S. 138.

²)    Pambour, geh. 1795 zu Noyen (Dep. Oise).

³)    Mechanische Wärmetheorie. 2. Auflage, 8. 342.

⁴)    Man sehe den später folgenden, mit „Geschichtliche Notizen“ iiberschriebenen §. 70.

Aller Dampf ist mehr oder weniger feucht, zumal wenn er in langer Leitung zugeführt wird und wenn der Kessel nicht zur Ueberhitzung eingerichtet ist. Erfahrene Practiker rathen neuerdings *), für gewöhnlich y = 0,90 als Mittelwerth zu rechnen, d. h. anzunehmen, daß in einem Kilogramm des verwendeten Gemisches sich 0,10 Kilogramm Wasser und 0,90 Kilogramm Dampf befindet, so daß in runder Ziffer mit fx = 1,035 -f- 0,090 = 1,125

zu rechnen ist.

Da die Gleichung der adiabatischen Curve für gesättigten Wasserdampf, -unter Einführung des Werthes [X, dieselbe Gestalt hat, wie dies bei atmosphärischer Luft (§. 59) der Fall ist, so muß auch die Leistung dieses Dampfes bei seiner Ausdehnung nach der adiabatischen Linie, aus der Gleichung I. des §. 60 berechnet werden können, so bald die dort erforderliche Zahl n durch das vorstehende |x ersetzt, also erhält:

man

n-i

IV. 2Ie =

oder auch, wegen =

fX - 1 l

8 setzt:

oder endlich, wenn man —, das Expansionsverhältniß =

V2

Pl*l

V. ä = ^

(X

In wie weit practische Aufgaben, welche man mittelst vorstehender Gleichungen IV und V statt mit der genauen Gleichung I rechnet, abweichende Werthe liefern, erhellt aus folgendem Beispiele. In der That ist die Uebereinstimmung größer, als man erwarten konnte, und darf es daher den Practikern um so weniger verdacht werden, bei der Berechnung von Dampfmaschinenleistungen die letzteren Gleichungen und nicht die (wissenschaftlich richtigere) Gleichung I zu benutzen² 3), weil die sogenannten passiven Widerstände und noch andere Umstände (namentlich daß die Bedingungen, unter welchen das Druckgesetz das adiabatische ist, practiseli nicht ganz zu erfüllen sind), einen viel größeren Einfluß auf die Kichtigkeit des Endresultates haben können, als die Benutzung der Annäherungsformel zur Berechnung der Expansionsarbeit⁴).

11

Beispiel. Wie groß ist die Leistung von 1 Kil. gesättigten Wasserdampfes, wenn derselbe von 4 auf 1 Atmosphäre expandirt, unter der Voraussetzung, daß dem Dampfe ursprünglich kein Wasser beigemischt, d. h. völlig trockener Dampf (der sogenannte Grenzzustand) vorhanden ist, also y — 1 gesetzt werden kann ?

Auflösung. Zunächst liefert die Gleichung III dieses Paragraphen den Werth:

fi = 1,035 + 0,10 = 1,135,

daher aus IV, wegen \x — 1 = 0,135 und —-—

l¹

folgt:

0,135

1,135

= 0,122,

PlV 1

0,135

Ferner ist hierpj= 4.10333 Kil., vx = -i-

2,2303

S. 153), d. i. vx = 0,448 und = -i- = 0,25. Daher

(nach Tabelle

0,122

¹    ,,.35 ’

51.

= 21397,2 Meter Kilogramm.

Letzterer Werth weicht von dem S. 160 ermittelten, (d. h. von 20916,8 Meterkilogramm) verhältnißmäßig wenig ab. Man sehe auch hierüber den folgenden mit «Geschichtliche Notizen“ überschrie-benen §. 70.

Zusatz 3. Völckers liefert in seinem werthvollen Buche «Der Indicator“ (Anleitung zum Gebrauche desselben bei der Prüfung von Dampfmaschinen)¹) folgende Tabelle, welche dazu dienen kann, die Annahme der Practiker zu rechtfertigen «Zur Berechnung der Nutzarbeit einer Expansions-Dampfmaschine, das Mariotte’sche Gesetz beizubehalten“ ²). In der Tabelle bezeichnet lx den Admissionsweg des Dampfkolbens und l dessen ganzen Schub oder Hub, px die mittlere Dampfspannung während der Admission, die Dampfspannung beim Beginn der Expansion, beide in Kilogr. pro Quadratcentimeter ausgedrückt, und ml die Höhe des sogenannten schädlichen Raumes auf jeder Seite des Kolbens, Die Werthe der letzten Columne sind mittelst Indicatordiagrammen berechnet.

auf theoretischem Wege nicht darstellen. Hierin liegt aber der Grund, weswegen die Formeln der mechanischen Wärmetheorie bei Berechnung der Dampfmaschinen noch keine allgemeine Anwendung gefunden haben. “

*) Erste Auflage (Berlin 1863), S. 51. Zweite Auflage (Berlin 1878), S. 49.

²) Zeuner stimmt am Schlüsse (S. 536) seiner „Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie“ (2. Auflage) derselben Annahme bei. Eben so zeigt auch Grove in seiner werthvollen Abhandlung „Die Lokomotive im Allgemeinen“, Bd. III, S. 155 des v. Heusinger’schen Handbuches der Eisenbahntechnik, daß bei Lokomotiv-Dampfmaschinen das Mariotte’sche Gesetz dem that-sächlichen Vorgänge am nächsten kommt.

pm die mittlere absolute Dampfspannung’ hinter dem Kolben in Kil. pro Quadratcentimeter.

Versuchs-nummer

Pi

Nach Laplace I Nach Nach den Poisson Mariotte Diagrammen

0,8

0,06

3,238

3,143

3,133

3,123

3,166

0,75

0,09

2,858

2,595

2,682

2,664

2,720

0,46

0,06

5,380

5,336

4,169

4,318

4,332

0,45

0,06

3,406

3,267

2,587

2,682

2,779

0,45

0,06

3,801

3,669

2,894

3,002

3,029

0,25

0,085

3,201

2,962

1,726

1,874

1,968

0,16

0,013

4,459

4,386

1,683

2,059

2,237

0,132

0,037

4,183

4,110

1,457

1,789

1,747

0,131

0,037

4,119

4,046

1,430

1,756

1,567

10

0,130 0,013

4,459    4,386

1,438

1,786

1,888

1,990

1,770

1,392

0,12 I 0,013    4,550 | 4,477

Die Folgerungen aus dieser Tabelle können wohl Jedem überlassen bleiben, so wie auch das Lesen der betreffenden Stellen unserer Quelle zu empfehlen ist.

11

§. 69.

Ueberhitzter Wasserdampf.

Zu dem, was bereits §. 64 über den Unterschied zwischen gesättigtem und überhitztem Dampfe bemerkt wurde, werde hier noch hinzugefügt, daß sich die überhitzten Dämpfe den Gasen um so mehr nähern, je weiter sie von ihrem Condensationspunkte entfernt sind, so wie daß man die überhitzten Dämpfe als in der Mitte zwischen gesättigten Dämpfen und (permanenten) Gasen liegend, also letztere beiden als Grenzzustände betrachten kann.

Wäre uns daher die Zustandsgleichung (d. h. die Beziehung zwischen Pressung p, Volumen v und Temperatur t) des überhitzten Wasserdampfes genau bekannt, so würde dieselbe die Zustandsgleichung der gesättigten Dämpfe und der Gase in sich schließen.

Da eine solche Bekanntschaft nicht vorhanden ist, so hat man sich, bis auf Weiteres, mit folgenden Formeln als Zustandsgleichungen zu begnügen, deren Zahlenwerthe vorzugsweise aus Versuchen von Hirn¹) und Cazin²) direct oder indirect entlehnt sind.

Nach Hirn³) hat man:

wo

(1) pv = 0,00473268 % —f (v), p die Spannung in Atmosphären, v das specifische Volumen (von 1 Kilogramm Gre wicht), f(v) = 0,09247 ^0,353.48 -\- y_zr-^)

und t = 273 + ^ ist.

Nach Zeuner⁴) hat man:

man :

0,0951

(2) pv = 0,0049287t — 0,18781 Nach Schmidt⁵) hat

(3) pv = 0,0046282t —

ü°>⁴⁵

Was die Verwendung des überhitzten Wasserdampfes zum Maschinenbetriebe anlangt, so wird der hin und wieder gerühmte beträchtliche (?) Vortheil⁶) insofern in Wirklichkeit beeinträchtigt, als dieser Dampf (abgesehen von den leicht zerstörbaren Ueberhitzungsapparaten) das Fett, womit geschmiert wird, in hoher Temperatur auflöst, mit fortführt und dadurch die sich reibenden Flächen angreift, Undichtigkeiten, häufige Reparaturen etc. veranlaßt. Ueberhaupt scheint feuchter Dampf wesentlich zur Erhaltung der betreffenden Maschinentheile, dagegen überhitzter Dampf zu deren Zerstörung beizutragen⁷). Prof. Kick, im Artikel „Dampf“ der dritten Auflage von Karmarsch und Heeren’s „Technischem Wörterbuche“ (Bd. II, S. 510), äußert sich in ähnlicher WTeise, indem er speciell Folgendes bemerkt: „Ueberhitzte Dämpfe finden in der Praxis fast keine Anwendung (insofern die Ueberhitzung nicht in dem Trocknen des Dampfes besteht), weil sie die Packungen verbrennen und die Schmiermittel noch schneller zerstören als hochgespannte gesättigte Dämpfe.“ Das was sich in der Praxis

*) Annales de chim. et de phys. 4. Serie, Tome 10 (1867), Pg. 349—370.

²)    Ebendaselbst Tome 14 (1868), Pg. 374—410. Ferner Comptes rendus, Dec. 1866.

³)    Theorie mécanique de la chaleur. 2e Edit. (1865), Première Partie, Pg. 201 und Combes im Bulletin de la Soc. d’encouragement. Tome XI (1864), 62 année, Pg. 477.

⁴)    „Theorie der überhitzten Wasserdämpfe“ in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure. Bd. XI (1867), S. 1—66.

⁵)    „Die Zustandsgleichung des Wasserdampfes“. Ebendaselbst, S. 653.

⁶)    Mein Neffe, Herr Prof. Richard Riihlmann, führt Bd. 1, S. 733 seiner mech. Wärmetheorie als besondere Vortheile des überhitzten Wasserdampfes zum

Maschinenbetriebe Folgendes an: „Vergleicht man die Wärmemenge, welche ein Kilogramm Dampf in einer Maschine in Arbeit umsetzt, so findet man, daß dies bei derjenigen, welche mit gesättigtem Dampfe arbeitet, 132,0 und bei jener, zu deren Betriebe überlützter Dampf verwandt wird, (unter sonst gleichen Umständen) 156,5 Wärmeeinheiten beträgt, so daß die disponible Arbeit beinahe um £ wächst.“

⁷) Autenheimer (Director des Technicums in Winterthur) in der von ihm umgearbeiteten 6. Auflage der Bernoulli’schen Dampfmaschinenlehre S. 86.

unter dem Namen überhitzter Dampf vorfindet, ist gewöhnlich nur trockener Dampf.

Wer sich dennoch mit dem allerdings höchst interessanten Studium überhitzter Wasserdämpfe, vom Standpunkte der mechanischen Wärmetheorie, zu beschäftigen wünscht, dem kann der Verfasser namentlich folgende neuere Bücher und Abhandlungen empfehlen: Grashof, Theoretische Maschinenlehre. Bd. 1, S. 180 bis 216. Weyrauch, Von den überhitzten Wasserdämpfen. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure. Bd. XX (1876), S. 1 und Ebendaselbst, Bd. XXI, S. 241 unter der Ueberschrift : „Noch einmal die überhitzten Dämpfe“. E. Herrmann (Prof, der Mechanik an der K. Ungarischen Berg- und Forstacademie zu Schemnitz), Compendium der mechanischen Wärmetheorie mit besonderer Berücksichtigung der Maschinentechnik. Berlin 1879, S. 183—191.

§. 70.

Geschichtliche Notizen,

die Wasserdämpfe betreffend.

Die zuerst bekannt gewordene Eigenschaft des Wasserdampfes ist seine ausdehnende Kraft oder seine Elasticität. Diese Eigenschaft kannten schon Hero von Alexandrien¹) (etwa 120 Jahre vor Christi Geburt), dann Anthemius²), Baumeister der Sophienkirche in Con-stantinopel (538 nach Christo), später Leonardo da Vinci³), noch später (1683) Samuel Moreland⁴), Papin⁵) u. m. A. Daß aber die Elasticität des Wasserdampfes mit der Temperatur wachse und nach welchem Gesetze dies geschehe, untersuchten zuerst James Watt⁶) und Ziegler⁷) in größerem Umfange.

aus

Die erste Formel, welche das Elasticitätsgesetz des gesättigten Wasserdampfes ausdrückt, stellte im Jahre 1794 Prony⁵) auf, wozu dieser Geometer Versuche von Betancourt⁶) benutzte. Allein abgesehen von der sehr unbequemen Gestalt dieser Formel (eine vier Gliedern bestehende Exponential-Function), drückte dieselbe auch das Verhältniß zwischen Temperatur und Spannung (Druck), den Beobachtungen entsprechend, nicht hinreichend genau aus.

*) Man sehe des Verfassers „Allgemeine Maschinenlehre“. Bd. I (Zweite Auflage), S. 489.

²)    Ebendaselbst, S. 489, Note 3.

³)    Leonardo da Vinci, geb. in Vinci bei Florenz zwischen 1444 und 1452, gest. 1519 in Paris. Es wird behauptet, daß Leonardo der Erfinder einer Dampfkanone sei. Man sehe deshalb Dr. Grothe in den Berliner Verhandlungen, Jahrg. 1874, S. 152.

⁴)    Des Verfassers „Allgemeine Maschinenlehre. Bd. I (Zweite Auflage), S. 492, Note 2.

⁵)    Papin, geb. 1650 zu Blois in Frankreich, gest. 1710 zu Marburg.

⁶)    James Watt, geb. 19. Jan. zu Greenock in Schottland, gest. 25. Aug. 1819 in seinem Landhause zu Heathfield bei Birmingham.

⁷)    Gehler’s „Physicalisches Wörterbuch“. Zweiter Band, S. 316 (Artikel

Mit neuen Versuchen und daraus abgeleiteten Formeln

von

Schmidt¹), Soldner²), La Place³) u. A. war man nicht viel glücklicher, bis 1807 der Engländer Thomas Young⁴) eine Function von

der Form :

F = {a -f- bt)m,

in Anwendung brachte, worin a, b und m constante Werthe darstellen, die durch Experimente zu ermitteln sind, t aber die Temperatur ist, welche der als Quecksilbersäule ausgedrückten Spannung des gesättigten Dampfes correspondirt.

Tredgold⁵) (verbessert von Mellet)⁶) fand:

wenn

t in Centigraden und F in Millimetern (Queck-

silbersäule) ausgedrückt wird, oder

( 75 + * V v 174 J ’

wenn

P =

Zentimeter bezeichnet, oder endlich

p den Druck in Kilogrammen pro Quadrat

, wenn i

die Spannung des Dampfes in

Atmosphären darstellt.

Von gleicher Form war die Formel der französischen Academiker (Du long und A rago)⁷), nämlich:

= (1 + 0,7153r)⁶, wo T =

p den Dampfdruck in Kilogrammen pro Quadratcentimeter bezeichnet: p = (0,2847 -f- 0,0071531)⁵.

Ohne hier noch alle anderen derartigen bemerkenswerthen Formeln (des Raummangels wegen) mittheilen zu können⁸), gedenken wir noch der von Magnus⁹), welche (aus theoretischen Gründen) lautet:

7,4804 . t

t-100

100

ist, oder wenn, wie vorher

236,22 -f-t

F — 4,525 . 10

so wie die Formel von Biot¹⁰):

Lgnt F = a —|— ba* -f“ cßL

Letztere benutzte Régnault zur Darstellung seiner Versuche und wurden diese bereits S. 149 mit den von Régnault ermittelten Werthen der Constanten a, b und c, ferner a und ß mitgetheilt.

!) Gren N. Journ. IV, S. 264 (Leipzig 1798).

²)    Gilbert Ann. XVII, S. 44; XXV, S. 411.

³)    Mécanique céleste, T. IV (1805), Pg. 273.

⁴)    Young, geb. 13. Juni 1773 in der Grafschaft Somerset, gest. 10.Mai 1829.

⁵)    The steam engine. London 1827. (In der Ausgabe von 1838, S. 57.)

⁶)    Traité des machines à vapeur. Paris 1838, Pg. 108.

⁷)    Mémoires de l’Institut, T. X, Pg. 230 und Annales de Chimie et de Physique, 2e série, T. XLIII, Pg. 74.

⁸)    Eine Zusammenstellung von nicht weniger als 50 solcher Formeln findet sich in Marbach’s „Physicalisches Lexicon“, Bd. II, Artikel „Dampf“, S. 135—140.

⁹)    Poggendorff’s Annalen etc., Bd. LXI, S. 247.

¹⁰)    Connaissance des Temps pour 1844 und Poggendorff’s Annalen, Bd. XXXI, S. 42 und Bd. XLVI, S. 627.

Wir wenden uns nun zu einer zweiten, theoretisch wie practisch wichtigen Eigenschaft des Wasserdampfes, zu derjenigen nämlich, zufolge deren Wasser nur dadurch zu Dampf umgewandelt wird, daß es ein gehöriges Quantum Wärme in sich aufnimmt, verschwinden macht, oder, wie man zu sagen pflegt, diese Wärme verschluckt, gebunden, latent wird. Nach Clausius führt die latente Wärme, in der Nomenclatur der neueren Naturwissenschaften, den Namen „Ver dampf un gs wärme“ und wird (wie auch bereits S. 152 geschah) in der mechanischen Wärmetheorie mit dem Buchstaben r bezeichnet.

Der Entdecker des betreffenden wichtigen Gesetzes war (im Jahre 1762) der bereits S. 141 genannte Engländer Black, der zuerst ganz allgemein nachwies, daß bei der Veränderung des Aggregatszustandes eines Körpers stets eine gewisse Quantität Wärme gebunden oder frei wird, die zugleich bei verschiedenen Körpern verschieden ist.

Die Gesammtwärme des Wasserdampfes in der Siedehitze ermittelte Black zu 530 Grad Celsius¹), d. h. er wies nach, daß so viel Wärmeeinheiten erforderlich sind, um die Gewichtseinheit Wasser von Null Grad Temperatur in gesättigten Wasserdampf von 100 Grad zu verwandeln, wonach sich die latente Wärme dieses Dampfes zu 430 Grad Celsius oder Wärmeeinheiten, d. h. viel zu klein ergab.

Watt²) stellte (von 1765 bis 1783) genauere und vollständigere Versuche an und zeigte zugleich, daß die Gesammtwärme, welche man der Gewichtseinheit des flüssigen Wassers von Null Grad mittheilen muß, um dasselbe gänzlich in Dampf zu verwandeln, constant, d. h. immer dieselbe, also unabhängig von Spannkraft und Temperatur, und zwar gleich 650 Wärmeeinheiten sei. Letzteres Resultat ist unter dem Namen „Watt’sches Gesetz“ bekannt. Es sei gleich hier erwähnt, daß noch später technische Autoritäten, wie u. A. Pambour und Parkes, bei ihren Rechnungen diesem Gesetze folgten.

zwar

Von 1803 ab stellten die Engländer Southern³) und Creighton⁴) neue umfangreiche Versuche an und gelangten zudem Resultate, daß nicht die Gesammtwärme, sondern nur die latente Wärme constant sei und 550 Wärmeeinheiten betrage. Die Gesammtwärme wird hiernach durch

550 -f- t

dargestellt, wenn t die Temperatur ist, welche das Thermometer angiebt. Dies Gesetz wird von den Physikern das Southern’sche genannt⁵).

Experimente, welche 1819 von den französischen Physikern Clement und Deso r mes über denselben Gegenstand angestellt wurden, schienen das Watt’sche Gesetz zu bestätigen⁶).

Diese Sache blieb unentschieden, bis Régnault⁷) auch diese

*) Régnault in den Mémoires de l’Académie, Tome XXI, Pg. 63 6.

²)    Ebendaselbst.

³)    Régnault, a. a. O., Pg. 642.

⁴)    Ebendaselbst, Pg. 644.

⁵)    Desgleichen, Pg. 648.

⁶)    Desgleichen, Pg. 652. Es kann hier nicht unterlassen werden, zu bemerken, daß mehrere deutsche Schriftsteller das Southern’sche Gesetz fälschlich als das Clément’s bezeichnen.

⁷)    Ebendaselbst, Pg. 726.

wichtige Frage genauer untersuchte und aus seinen nach Umfang und Genauigkeit gleich ausgezeichneten Versuchen fand, daß keines dieser Gesetze vollkommen richtig ist, vielmehr bis auf Weiteres der bereits S. 150 uns bekannt gewordene Werth, nämlich

606,5 + 0,3051

angenommen werden muß, welcher dahin lautet: „daß die Summe der latenten und freien Wärme einen mit steigender Temperatur wachsendem Werth hat.

Hinsichtlich der Geschichte eines anderen Gegenstandes, der Dichtigkeit oder des specifischen Gewichtes des gesättigten Wasserdampfes, hat man lange Zeit hindurch die betreffenden Versuche und Resultate von Gay-Lussac¹) als fast zweifellos richtig bezeichnet, deren Hauptergebniß dahin ging, daß das specifische Gewicht des Wasserdampfes 0,6235 oder ziemlich genau desjenigen betragen solle, welches die atmosphärische Luft bei gleichem Drucke und bei gleicher Temperatur besitzt. Zweifel über die vollkommene Richtigkeit dieses Satzes ²) erhob unter Andern in Deutschland entschieden Holzmann³). Dieser scharfsinnige Physiker glaubte die Dichtigkeit = A des gesättigten Wasserdampfes, gegen atmosphärische Luft von gleicher Temperatur und Pressung, durch die Formel ausdrücken zu können :

272,63 +t

236,22 -f t*

wobei die Temperatur t von Null Grad aus zu zählen ist.

Hierbei verdient auch noch bemerkt zu werden, daß Holzmann auch den Ausdehnungscoefficienten des Wasserdampfes (zuerst) als schieden von dem der atmosphärischen Luft (S. 111), nämlich zu 5 = 0,004233 nachwies.

Mit ganz entschiedenem Erfolge bekämpfte den Gay - Lussac’schen Satz, mit Hülfe der mechanischen Wärmetheorie, Clausius (im Jahre 1850), der später die Formel aufstellte⁴):

A = 0,55964

v er-

(*) TT

= M — Na‘,

worin s das Volumen einer Gewichtseinheit gesättigten Wasserdampfes und vl das Volumen einer Gewichtseinheit atmosphärischer Luft unter demselben Drucke und bei derselben Temperatur t bezeichnet, Af, N und a aber constante Größen sind, und zwar

Af = 1,6630; N = 0,05527; a = 1,007164.

Eine vortreffliche experimentelle Bestätigung erfuhr die Clausius’-sche Formel durch die im Jahre 1860 veröffentlichten Versuche der Engländer Fairbairn und Tate⁵), deren Beobachtungsresultate in

ł) Biot, Traité de Physique, T. I, Pg. 291.

²)    Fortschritte der Physik. Dargestellt von der physikalischen Gesellschaft in Berlin. Bd. I, S. 101.

³)    Holzmann, „Ueber die Wärme und Elasticität der Gase und Dämpfe“. Mannheim 1845, S. 21.

⁴)    Die mechanische Wärmetheorie. Zweite Auflage. S. 158.

⁵)    Experimental researches to détermine the density of steam at different températures and to détermine the law of expansion of superheated steam.

der nachstehenden Tabelle einerseits mit den früher angenommenen Zahlen, bei welchen für alle Temperaturen das specifische Gewicht 0,622 vorausgesetzt ist, und anderseits mit den aus vorstehender Gleichung (k) hervorgehenden Zahlen verglichen sind.

Temperatur

in

Volumen eines Kilogramm gesättigten Wasserdampfes in CubikmeternJ).

Nach Gay - Lussac

Centesimalgraden

(= 0

Nach der Clausius’ Gleichung (&)

Nach

Fairbairn-Tate’s

Beobachtungen

58°    21'

8,38

8,23

8,27

77°    18'

3,84

3,74

3,72

92°    66'

2,18

2,11

2,15

118°    46'

0,954

0,911

0,891

137°    46'

0,562

0,530

0,514

144°    74'

0,466

0,437

0,432

Auf die sehr practische empirische Formel Zeuner’s²) zur Berechnung des spec. Gewichtes oder der Dichte A = des gesättigten

Wasserdampfes, nämlich A = 0,6061 (i) °>⁹³⁹³, wurde bereits S. 151 hingewiesen.

Schließlich ist hervorzuheben, daß die allererste solcher empirischer Formeln von Navier³) im Jahre 1835 aufgestellt wurde, von welcher Pambour⁴) und später auch Redtenbacher⁵) in ihren Dampfmaschinen-Theorien Gebrauch machten. Diese Formeln sind folgende:

A — Gewicht,/ A = 0,50 . i + 0,09 (Navier), i Spannkraft in Atmosph. eines Cubik-\ j meters gesät-tigten Was- J

serdampfes [ A = a + ßp (Redtenbacher), p wie vorher etc.

10000

1,421 + 0,000471. p

(Pambour), p Spannkraft in Kilogr.

pro Quadratmeter.

hier

a = 0,0610; ß = 0,0000510;    = 1196DampfniedererSpannung.

a = 0,1427 ; ß = 0,0000473 ;    = 3018Dampf v. hoher Spannung.

Philos. Transact. of the Royal Society of London (1860). Tome 150, Pg. 185 bis 222. Hieraus (mit Abbildungen begleitet) auszugsweise in meines Neffen (Prof. Rühlmann) Mech. Wärmetheorie, Bd. 1, S. 597 ff.

¹)    Ausführlicherbei Clausius (a. a. O.) und bei meinem Neffen (a. a. O.).

²)    Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie. 2. Auflage, S. 294.

³)    Annales des Ponts et Chaussées. 1835, Ie Série, Vol. II, Pg. 148.

⁴)    Théorie des machines à vapeur. Paris 1836. (Deutsche Uebersetzung, S. 60.)

⁵)    Resultate für den Maschinenbau. Mannheim 1848, S. 205.

Als Schluß vorstehender geschichtlicher Notizen muß noch auf die von Clausius und Rank ine im Jahre 1850 wohl gleichzeitig ⁷) gemachte, auch für die practische Technik wichtige Entdeckung hingewiesen werden, nach welcher die specifische Wärme des gesättigten Wasserdampfes negativ und durch die Formel (nach Clausius)²) dargestellt werden kann :

h = 1,013 —

800,3

273 + t

Referent hält für Pflicht, die von Clausius zu dieser Formel (a. a. O., S. 138) gemachten Bemerkungen hier wörtlich wiederzugeben. Sie lauten folgendermaßen:

„Der Umstand, daß die specifische Wärme des gesättigten Wasserdampfes negative und zwar so große negative Werthe hat³), bildet eine wichtige Eigenschaft desselben. Man kann sich von der Ursache dieses eigenthümlichen Verhaltens in folgender Weise Rechenschaft geben. Wenn der Dampf zusammengedrückt wird, so wird durch die dabei verbrauchte Arbeit Wärme erzeugt, und diese Wärme ist mehr als ausreichend, um den Dampf um so viel zu erwärmen, daß er die Temperatur annimmt, zu welcher die neue Dichtigkeit als Maximum gehört. Man muß ihm daher, wenn er sich gerade nur in der Weise erwärmen soll, daß er gesättigt bleibt, einen Theil der erzeugten Wärme entziehen. In entsprechenderWeise wird bei der Ausdehnung des Dampfes mehr Wärme verbraucht, als nöthig ist, um den Dampf um so viel abzukühlen, daß er gerade in dem Zustande als gesättigter Dampf bleibt. Man muß ihm also, wenn dieses letztere stattfinden soll, bei der Ausdehnung Wärme mittheilen (zuführen).

Sollte sich der ursprünglich gesättigte Dampf in einer für Wärme undurchdringlichen Hülle befinden, so würde er bei der Zusammendrückung überhitzt werden, und bei der Ausdehnung sich theilweise nieder schlagen.“

§• 71.

Druck und Dichte einer elastischen Flüssigkeitssäule, in verschiedenen Höhepunkten, welche allein der Schwerkraftswirkung

unterworfen ist.

Setzt man in Bezug auf die allgemeine Gleichung I, §. 7 (S. 16) voraus, daß die Raumcoordinatenachse Z mit der Schwerkraftsrichtung zusammenfällt, so ist X=F=Null, Z = — g und, da ferner A statt y zu schreiben sein wird, endlich nach §. 54 aber

0°

50°

100°

150°

200°

— 1,916

— 1,465

— 1,133

— 0,879

— 0,676

A = Ą- ist, wenn 7992,655 (1 -J- St) = k gesetzt wird, ergiebt sich überhaupt aus gedachter Gleichung:

¹

) Kein Dampfkessel vermag’ völlig¹ trocknen Dampf, d. h. solchen ohne Beimischung von (unverdampftem) Wasser zu liefern. Im III. Bande meiner Allgem. Maschinenlehre (2. Auflage) ist nachgewiesen, daß das mechanisch mit fortgerissene Wasser 3 bis 30 Procent betragen kann.

²

)    Ingenieur Geber unter der Ueberschrift „Die Arbeit des Dampfes in der Dampfmaschine“. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. XXII (Jahrg. 1878), S. 113.

³

)    G. Schmidt (Prof, in Prag) in der Zeitschrift des österr. Ingenieur-Vereins, Jahrg. XV (1863), S. 193. Hrabäk, „Die Dampfmaschinenberechnungen etc.“ Dritte Auflage, Prag 1877, S. 56 ff.

⁴

)    Zeuner selbst sagt S. 324 (in der 2. Auflage) seiner „Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie“ Folgendes: „Die Gleichung der adiabatischen Curve für Dampf- und Flüssigkeitsmischungen läßt sich in der Form p ==/ (v)

Rühlmann’s Hydromechanik.

⁵

)    Prony, geb. 1755 zu Chamlet im Rhonedepartement, gest. 1839 in Paris.

⁶

)    Memoire sur la force expansive de la vapeur etc. Paris 1792.

⁷

Clausius trug die betreffende Abhandlung im Februar 1850 in der Berliner Academie vor. Rankine ebenfalls im Februar 1850 in der Edinburger Royal Society.

²)    Die mechanische Wärmetheorie. Erster Band (2. Auflage), S. 137.

³)    Die Formel giebt für:

(1) dp=— -J- . gdz, d. i.

k.

= — dz.

Liegt der Coordinatenursprung A, Fig. 65, auf einer festen Fläche und findet im Abstande AB = h die Pressung P, in der Entfernung AC = z aber die Pressung = II statt, so folgt:

kn=-f°

P h

Fig\ 65.

dz, d. i.

B-P

k Lgnt-^- = — (z — h), woraus

-V (*-»),

I. II = Pe

oder

II. P = ne

h und weiter sich ergiebt:

III. A =—- Pe

Je

-f («-*)

Annäherungsweise läßt sich für geringe Werthe von z — h setzen:

—h

-f o—h)

weshalb aus II. wird:

■P= n +    (* — &), d. i. wegen -5-

IV. P — ÎI -Ą- A (z — h).

Aus letzterer Gleichung ergiebt sich aber folgender Satz:

„Der Druck auf die Flächeneinheit in einem Punkte B einer elastischen Flüssigkeitssäule AC ist gleich dem Drucke im höchsten Punkte C derselben, vermehrt um das Gewicht des Flüssigkeitsprismas, vom Querschnitt gleich Eins, welches die Differenz der Abstände der Punkte B und G zur Höhe hat.“

Es ist daher IV. ganz derselbe Ausdruck für luftförmige Flüssigkeiten, wie §. 10 für wasserförmige gefunden wurde.

Auf ähnliche Weise findet man aus III :

oder weil -rr ein sehr kleiner Werth ist:

P(z — h)

Je²

Je²

V. A =

T"’ d' h-

bei sehr geringen verticalen Erhebungen wird auch die elastische Flüssigkeit, annäherungsweise, als gleich dicht betrachtet werden können.

Zusatz. Vorstehende Entwickelungen gelten nur für Flüssigkeitssäulen von solchen Höhen, innerhalb welchen die Schwerkraft als eine constante Kraft betrachtet werden kann, ferner unter Voraussetzung überall gleicher Temperatur und für die geographische Breite, wofür A berechnet wurde.

Bei ganz beliebigen Höhen und mit Beachtung der letztbemerkten Umstände, gestalten sich die betreffenden Rechnungen folgendermaßen. Zuerst ist nach Régnault¹) für eine beliebige geographische Breite das Gewicht A eines Cubikmeters atmosphärische Luft bei 0m,76 Barometerstände oder 10333 Kil. Pressung pro Quadratmeter, Null Grad Temperatur und an dem Spiegel des Meeres:

A = 1,292673 (1 — 0,002836 . cos 2cp), wenn (p die geographische Breite bezeichnet.

Für die mittlere Temperatur = T in der ganzen Flüssigkeitssäule und für die Pressung = p auf jeden Quadratmeter :

1,292673 (1 — 0,002836 cos 2 q>)p 10333 (1 +ÔT)

Hiernach sei AMN., Fig. 66, eine Luftsäule von der Höhe AN — zn über der Oberfläche der Erde. Die Pressung in einer beliebigen Schicht Z>, deren Höhe AD = z ist, sei = p, die Accélération der Schwerkraft daselbt = G.

Zufolge eines bekannten Gesetzes erhält man vorerst, wenn der mittlere Erdradius = 6366198 Meter

Fig. 66.

/ M-n N

Zii\

P?i

)Z

mit r bezeichnet wird : G =

gr²

(r Ą- z)²

Ferner

II

wenn man wiederum setzt: A =

also

10333 (1 + 8t)

1,292673 (1 — 0,002836 cos 2 cp)

nach (1) dieses Paragraphen:

gr²

. dz, d. i.

dz

Je (r z)²

Bezeichnet man die Pressung in einer Schicht mn im Abstande =zQ der Erdoberfläche mit p₀, und die Pressung in der Schicht MN mit pn, so liefert letztere Gleichung durch Integration den Ausdruck:

Lgnt Po

von

r2

Pli

’    0 + z₀) (r + zn)

Hier zn — z₀=Z, r -f- z₀ = gesetzt, giebt r -j- zn = R -}- Z, also : Lg„,-L₌ '■

Pn

Je R (B + Z)

J) a. a. O., S. 112, wobei der Coefficient 0,002836 nach Biot genommen ist.

In den meisten Fällen kann man E mit r verwechseln, so daß man erhält:

VI. Lgnt — =

sonach auch:

Pn

VII.

und endlich:

Pn = P oe

Je r-\-z

¹ >

VIII. A =

Je r z

Beispiel. Wie groß ist die Pressung der atmosphärischen Luft und wie groß das Gewicht eines Cubikmeters derselben in der Höhe von 292 Meter über dem Meerespiegel und in der geographischen Breite 52° 22' 15” (Egidienkirche in Hannover)?

Auflösung. Zuerst berechnet sich

k = 8528 ; -r— = 746,5 ;    --j-— 0,03423. Sodann ist

Je    Je r z

Pn

P±

Po

10333

endlich :

g0,03423

1,0348    1,0348

= 9988,4 Kil. pro Quadratmeter ;

10336

1,0348 . 8528

= 1,17115 Kil.

§. 72.

Höhenmessen mit dem Barometer.

Die im vorigen Paragraphen gefundenen Gleichungen lassen sich mit Anbringung einiger Correctionen zur Berechnung von Höhen (oder Tiefen) an der Oberfläche unserer Erde verwenden, sobald es möglich war, die Barometerstände an dem oberen und unteren Endpunkte (Station) und die betreffenden Temperaturen von Quecksilber und Luft für dieselben Zeiten zu beobachten.

Eine betreffende, von Laplace hierzu abgeleitete Formel, die als Ziel nachstehender Rechnungen betrachtet werden soll, ist folgende:

Z = A(1 4- 0,002845 . cos 2 cp) (l -|

T" tn

500

I 14-Ï2-S\

l_ *    5550 J

⁴',[‘ + T655T!]

+ 0,8686-^j,

durch b ersetzt:

oder wenn man bn

Z= A {1 4- 0,002845 . cos 2<p) [ü -|

K¹+v) Lg + °’⁸⁶⁸⁶ v|’

wie Laplace in seiner Mécanique Celeste (Oeuvres de Laplace, Tome Quatrième, Seconde Partie, Livre Dixième), Pg. 328, findet.

1000

Hierbei sind die Bezeichnungen des vorigen Paragraphen beibehalten und von den neuen Größen ist A ein Zahlenwerth (der barometrische Coefficient), die Buchstaben mit den Indexen Null und n beziehen sich respective auf die untere und obere Station, ferner sind die Lufttemperaturen mit t₇ die Quecksilbertemperaturen mit t und die Barometerstände mit b bezeichnet.

Zur Ableitung dieser Gleichung benutzen wir den vorher unter VI gefundenen Ausdruck

in welchem vor Allem die Pressungen pQ und pn^àm<A\ die Quecksilbersäulen B₀ und Bn der Barometerstände in MN undmw, Fig.66, zu ersetzen sind.

Hierbei ist aber, wie im Zusatze des vorigen Paragraphen für die Luftsäule geschah, die Einwirkung der veränderlichen Schwerkraft in großen Abständen vom Erdmittel zu beachten.

Es ist daher zu setzen: pn = ABn

(M)'

und auch

Sodann hieraus

Po = ABo

ln—Io_ (r + ^ _ B₌    +    1

Pn Bn (r + *₀)² *n    Bn \ T V

oder wenn man wieder R durch r ersetzt: Po __

Pn

Sodann wird aus (1) :

Lgnt t"(1 + v)2 = -f7+^

7—7, oder

auf Z im Zähler des rechten Theiles reducirt:

(2) Z=±-(r+Z) jLgnt^ + 2Lgnt((l + 4)!-

Beide Quecksilbersäulen B₀ und Bn sind von Null Grad Temperatur vorausgesetzt, was bei den wirklich am Barometer an beiden Stationen abgelesenen b₀ und bn nicht der Fall sein wird. Es sind daher erstere durch letztere auszudrücken, denen respective die Temperaturen x₀ und %n entsprechen mögen.

Sodann hat man aber ohne Weiteres nach §. 44 und §. 46:

‘• = -B.0+-&r> ⁴- = JÎ-(H

woraus annäherungsweise, aber genau genug,

xn

■>

5550

zu reduciren ist:

Bo

B„

bn

5550

Deshalb wird aus (2):

(3) Z=±(r + Z)

K f¹ +

5550

f 2 Lgnt Q-+-J

Um den natürlichen Logarithmen des ersten Gliedes der Parenthese durch einen Brigg’schen Logarithmen auszudrücken, hat man bekanntlich ersteren mit der Zahl (dem Modul) m = 2,302585 zu multipliciren, oder durch 0,4342944 zu dividiren, so daß man statt

(3) erhält:

h.

i r !    i»—îlH

nL ^ 5550 J

Da in allen Fällen Z gegen r sehr klein sein wird, so läßt sich

annäherungsweise Lgnt ^1 -f- —^ =

— = 0,8686, statt (4) zu schreiben ist :

m    ¹¹    v '

— setzen, daher, so wie wegen

(5) Z — mk / Lg

q +0,8686 4 (1 + 4) 0 J    ]

K 1-}

Führt man hier den Werth von k aus §. 71, Gleichung (2),

Seite 172, ein, beachtet, daß t =    und faßt die bestimmten

Größen von k mit dem Factor m in dem einzigen Coefficienten A zusammen, so wird aus (5):

S Oo~Hn)

5550

% A 1-0,002837 cos2tpj

fl + ÎS-Js\

L '    5550 J

f 0,8686 -f|x

0 + v)

oder auch:

h.

die große Parenthese, vernachlässigt aber gedachten Factor in Bezug auf das letzte Glied, schreibt 1 -f- 0,002845 cos 2cp statt des betreffenden Werthes in (5), so erhält man die bereits oben aufgeführte Formel von Laplace.    *

Was nun den barometrischen Coefficienten A betrifft, so kann man diesen entweder berechnen, indem A = mk ist (also nach unseren Zahlenwerthen = 18411 sein würde), oder, was jedenfalls vorzuziehen, als Mittelwerth aus einer großen Anzahl von Höhen Z) die trigonometrisch gemessen worden sind, berechnen. So nimmt

Laplace¹), nach Ramond’s Messungen, A = 18336 Meter. Gauß²) setzt A = 18382 Meter, Bes sei nimmt A = 18316³) u. s. w.

Zusatz 1. Seit Laplace hat die Formel zum Höhenmessen mit dem Barometer in nachbemerkten drei Richtungen Verbesserungen erfahren ⁴). Man hat

1.    Die Constanten mit den neueren physikalischen Forschungen, namentlich Regnault’s, in Einklang gebracht.

2.    Auf den Feuchtigkeitszustand der Luft angemessen Rücksicht -genommen.

3.    Hierdurch die willkürlichen Aenderungen der Constanten vermieden, welche (außer B e s s e 1) alle früheren Autoren über barometrische Höhenmessungen in der Absicht vorgenommen hatten, eine größere Uebereinstimmung der letzteren mit trigonometrischen Höhenmessungen zu bewirken.

Von neueren, mit diesen Verbesserungen ausgestatteten Formeln verdienen nachfolgende drei .besondere Beachtung:

1. Die Formel von B a u e r n f e i n d⁵) :

I. h= 18404,9 (\ -f 0,0026 . cos 2(fT) ( 1 -f    (ü + f ty) X

T₀-Tn

J-f0,86859-^-j •

5550

[l + 0,003665 m*)] }Lgt|^ + Lgt Q.

Die zu berechnende Höhe ist hier mit h, die Höhe der unteren Station über dem Meere mit z bezeichnet. Ferner sind B₀ und Bn die direct abgelesenen Barometerhöhen, während durch den Factor (1 -{- iß) der Einfluß der mit Psychrometern beobachteten Luftfeuchtigkeit corrigirt wird.

2. Die Formel von Richard Rühlmann⁶):

met.

II. h =

18400,2^1,00157 + 0,00367 *° ^    (^1 +0,378

(ü + 0,00262

cos

o"

Hier bezeichnen o' und ö" die Dampfdrücke in der unteren und oberen Station, bQ und b die correspondirenden auf die Temperatur 0° des Quecksilbers und auf die Normaltemperatur der Scala reducirten Barometerstände.

J) a. a. O., p. 326.

²)    Bode’s astronomisches Jahrbuch für 1818, S. 170.

³)    Astronomische Nachrichten Nr. 279, Bd. XXI, S. 187 und hieraus Poggend. Annalen, Bd. XXXVI (1835), S. 187. Für Toisen ist hier A— 9397,74 und daher für Metermaaß (1 Toise = 1,94903 Meter und 1 Meter = 0,51307 Toisen) : A = 18316™.

⁴)    Grashof im VIII. Bande (1864), S. 224, der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure.

⁵)    Dr. C. M. Bauernfeind, Beobachtungen und Untersuchungen über die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen. München 1862.

⁶)    Richard Rühlmann, Die barometrischen Höhenmessungen und ihre Bedeutung für die Physik der Atmosphäre. Leipzig 1870.

3. Die Formel von Grashof¹):

met.

III. h —

18404 Lgnt j-^- ^1,0025 -(-(h -j- 0,0026 . cos 2 cp)) Çl -f

543

r J\

Auch hier sind bQ und b die reducirten Höhen der beobachteten Quecksilbersäulen, während (1 -f- & o})) der Feuchtigkeitscorrector ist und hi denjenigen Werth von h bezeichnet, welcher ohne Rücksicht auf

gefunden wird.

Da es geradezu gleichgültig ist, mit welcher dieser drei Formeln eine betreffende Höhe berechnet wird, indem ihre Abweichungen (bei den sonst durch keine Formel überhaupt zu corrigirenden Mängeln aller barometrischen Höhenmessungen) fast Null sind, so wählt der Verfasser hier die Formel III zur Berechnung eines Beispieles, weil diese für die Zwecke seines Buches am Wenigsten Hülfstabellen erfordert²).

Aus letzterem Grunde folgen hier noch einige Nachträge in Bezug auf die Grashof’sche Formel.

Zunächst nimmt dieser Autor r = 6370000 Meter, setzt (genau genug)

2z —I“ hi    2# -]— h2

6370000

und schreibt, wenn 2cp = 90-{-#, also cos 2 cp == cos (90 -\-x) = — sin# eingeführt wird:

Lgnt (1 -J- 0,0026 cos 2cp) = Lgnt (1 — 0,0026 sin as), d. i.

= 0,4343 Lgnt Brgg (1 — 0,0026 . sin as), oder³)

= — 0,4343 . 0,0026 . sin x.

Wenn ferner t₀ und % Temperaturen (beziehungsweise in der oberen und unteren Station) sind, welche mittelst eines Psychrometers (Thermometer mit angefeuchteten Kugeln) beobachtet wurden, setzt Grashof:⁴)

b *Q r°

⁰ 2

räth k₀ = k — 0,0008 zu nehmen, wenn T₀ respective T 0, dagegen kQ = k = 0,00069 für T₀ respective T<^0 ist und giebt für (3 (in Millimetern Quecksilbersäulenhöhe) folgende Tabelle:

den Factor

(H

Lgnt

0⁴

= 0,4343

14670000

')

x) Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure. Bd. VIII (1864), S. 226, so wie „Theoretische Maschinenlehre“, Bd. 1 (1875), S. 368.

²)    Die hypsometrischen Tafeln meines Neffen finden sich übrigens auch in der 9. Auflage meiner Logarithm. - trigonometr. und anderer für Rechner nützlichen Tafeln. (Es sei für manche Leser hier bemerkt, daß das Wort hypsos

der griechischen Sprache entlehnt ist, wo es Höhe, Gipfel etc. bezeichnet.)

³)    Bekanntlich ist approximativ Lgnt (1 ±y) = +y, wenn y klein genug angenommen wird. Oder für Brigg’sche Logarithmen:

Lgnt (1 + y) = 0,4343 Lgnt Brgg (1 + y) = + 0,4343 . y.

⁴)    Grashof leitet die Formel für i|) aus der Psychrometerformel

&0 = ßo K (ło *o) ^

ab, wobei er zugleich verweist auf Mousson, Physik auf Grundlage der Erfahrung. Zweite Auflage, S. 159.

Rühlmann’s Hydromechanik.

aus

—    14

—    13

—    12 — 11 — 10

(M \C O H CO N N t-T rT t-T w-T cT gT gT gT

2,89

3,11

3,36

3,62

3,90

4,20

O TH

4,52

4,87

CD <1 <1 OS CS JOS Ü¹ ’ox'çO CD O CS Tö

10

11

12

13

14

15

16

17

O JD> CD

11,13

11,88

12,68

13,52

14,41

Beispiel. Im Jahre 1856 wurde von Bauernfeind¹) eine der bedeutendsten Höhen des bayerischen Hochgebirges, der Miesing²), trigonometrisch und barometrisch gemessen. Letztere Messungen lieferten folgende Werthe:

s = 875 Mtr., cp = 47° 40'.

b₀ = 0,6916 Mtr. tQ = 13°,6 ' T₀ = 12° b = 0,6085 „ t = 6°,1 T = 6°

Ferner fand man ß₀ = 10,42 und ß = 6,94 Millimeter. Fs fragt sich, welche Werthe die Grashof’sche Formel liefert.

Auflösung. Zunächst findet man ohne Weiteres (die einzelnen Glieder beziehungsweise mit B, (7, -D, E₎ F und G bezeichnet):

.    .    4,264912

.    .    0,745028 — 2

Lgnt 18404 (= B)......

Lgnt (Lgnt bQ — Lgnt b) (= C) .    .

(= D) ....    0,016660

....... 0,002166

B -f <7+ D -f- E=    8,028596

Lgnt(l + £i|>) (= E)

Lgnt [l,0025+ -t±i]

Ferner

Lgnt (1 -f- 0,0026 . cos 2cp) = 1 + 0,0026 . cos (90° -f- 5° 20'), d. i., wegen sin 5° 20' — 0,09295 approximativ:

Lgnt (1 — 0,0026 . sin 5° 20') = — 0,4343 . 0,0026 . sin 5° 20'

= — 0,4343 . 0,0026 . 0,09295,

== — 0,000105 (= — F), folglich BC-\-DE — F= 8,028596 — 0,000105, d. i.

= 3,028491 = Lgnt h19 folglich h₁ = 1068,0 Meter.

Endlich berechnet sich noch :

2z -f- 7¹2

14670000

Daher schließlich :

Lgnt h = B=C-\-D + E — FG = 3,028491 -f 0,000180, Lgnt h = 3,028671, d. i. h = 1068,20 Meter,

2.815 -f 1068,0

14670000

= 0,00018 (= G).

während die (höchst genaue) trigonometrische Messung ergab:

h = 1068,80 Meter.

Zusatz 2. Uebereinstimmungen vorstehender Art, zwischen barometrischen und trigonometrischen Höhenmessungen, werden, von Gegnern des erstgenannten Meßverfahrens, mehr als zufällig bezeichnet, während wieder andere Geometer den trigonometrischen Höhenmessungen kein Vertrauen schenken wollen. Zwischen diesen extremen Urtheilen liegt die Wahrheit in der Mitte. Bauernfeind spricht sich hierüber sowohl S. 2, als auch S. 143 (am Ende seines vorgenannten Buches) dahin aus, daß die bedeutenden Differenzen zwischen barometrischen und trigonometrischen Höhenmessungen (abgesehen von groben Beobachtungsfehlern) hauptsächlich von dem großen Horizontalabstande der Stationen, dem Unterschiede in der Beobachtungszeit, der zu geringen Zahl von Beobachtungen und der Nichtberücksichtigung der Wärmestrahlung des Bodens herkommen.

Hinsichtlich des Nivellements von Eisenbahnen und Chausseen ist aber auch Bauernfeind der Ansicht, daß für solche Zwecke die barometrische Meßmethode nur zu ganz vorläufigen Terrainuntersuchungen empfohlen werden kann. Ueberhaupt, bemerkt dieser Autor, daß in allen Fällen, wo die zu bestimmenden Höhenunterschiede weniger als 100 Meter betragen, die trigonometrischen und insbesondere die nivellatorischen Messungen, den barometrischen weit vorzuziehen sind²).

Die günstigsten Zeiten für Barometer-Beobachtungen hat mein Neffe in folgender Tabelle zusammengestellt : ³)

Vorm.

Vorm.

Monat.

Nachm.

Monat.

Nachm.

Januar

Februar

März

April

Mai

Juni

Nur Mittag 1 Uhr 10 Uhr

4 Uhr

Juli

August

September

October

November

December

6-Ł Uhr

9- Uhr

10 »

„

Ganz zu vermeiden.

H »

Zusatz 3. Ueber die Verwendung der sogenannten Aneroidbarometer zum Höhenmessen muß der Verfasser auf folgende zwei Schriften verweisen:

Bauernfeind, Verwerthung des Nau det’schen Aneroidbarometers. München 1874.

Goldschmid-Koppe, Das Aneroidbarometer etc. Zürich 187 7

§. 73.

Geschichtliche Notizen ⁴)

das barometrische Höhenmessen betreffend.

Bald nach Erfindung des Barometers durch Toricelli²), im Jahre 1643, wodurch so viel zum Umstürze der alten scholastischen Physik beigetragen wurde, gelangte man auch zu dem verhältnißmäßig naheliegenden Schlüsse, daß, wenn man mit einem solchen Barometer eine nicht zu geringe Höhe erstiege, die Quecksilbersäule (merklich) kürzer und die sogenannte Toricelli’sche Leere größer werden müßte. Der geistreiche französische Geometer Pascal³) ließ diesen Gedanken zuerst im Jahre 1648 durch seinen Schwager Perrier in Clermont (Auvergne) prüfen, indem er diesen veranlaßte, ein Barometer auf den etwa 500 Toisen⁴) (= 3000 Pariser Fuß = 974,52 Meter) hohen Puy de Dôme zu tragen, wobei derselbe richtig fand, daß die Quecksilbersäule auf dem Gipfel gegen 3 Zoll kürzer war als im Jardin des Minimes in Clermont. Nach diesem Versuche erklärte Pascal das Barometer als das einfachste Mittel, um bedeutende Höhenunterschiede indirect zu messen.

Eine Formel, mittelst welcher man eine betreffende Höhe (= h) aus den gemessenen Barometerständen berechnen kann, stellte zuerst Mariotte auf. Bezeichnet man die Differenz der Barometerstände an der oberen und unteren Station, d. i. (nach den Bezeichnungen in der Grashof’schen Formel) bQ — b mit z und wird bQ und b in Pariser Linien ausgedrückt, so fand Mariotte:

*-«8.+ 1(^1).

Den richtigen theoretischen Weg zur Entwicklung einer Formel, d. h. die Ableitung des Gesetzes der Druckabnahme mit der Höhe (nach dem Boyle’schen Gesetze) unter gleichzeitiger Bestimmung des specifischen Gewichtes der Luft und des Quecksilbers, schlug zuerst Halley⁵) ein, dessen Formel in englischen Maaßen ausgedrückt, also lautet :

h = 62162,795 Lgnt ⁶)

B

worin BQ und B die direct abgelesenen Barometerstände bezeichnen. Die Correction wegen der Abnahme der Schwere bei Entfernung

vom Erdcentrum geschah zuerst 1771 durch Fon tana⁵), obgleich der Gedanke hierzu schon von Newton im Jahre 1686 ausgesprochen worden war.

Von der größten Wichtigkeit waren nachher die Versuche Deluc’s ⁶), welcher zuerst den Einfluß zu berücksichtigen lehrte, den die Temperatur sowohl auf das Gewicht der Luft, als auf die Höhe der Quecksilbersäule ausübte.

Die von De lue aufgestellte Formel diente u. A. mit ihren Con-stanten zur Berechnung der berühmten Messungen, welche Saussure im Jahre 1787 am Montblanc und 1788 am Col de Géant anstellte.

Auf alle zu beachtenden Umstände nahm endlich Laplace bei Aufstellung seiner berühmten Formel für barometrische Höhenmessungen (S. 173) Rücksicht, welche er im ersten Bande seiner Mécanique céleste (Paris 1799) entwickelte, und über welche man der Hauptsache nach eigentlich noch nicht hinaus gekommen ist.

Ungeachtet der mathematischen Strenge, womit Laplace seine Formel entwickelt hatte, stimmten deren Resultate nicht genau genug mit trigonometrischen Messungen oder Nivellements überein. Gestützt auf eine sehr große Anzahl directer Messungen, welche der französische Geometer Ramond⁷) namentlich am Pic du Midi de Bigorre (in den Pyrenäen) anstellte, zeigte sich, daß man den Laplace’schen Coefficienten, nämlich 18336 Meter, für Mittagsbeobachtungen auf 18393 Meter erhöhen müsse.

Mit Rücksicht dessen, was bereits oben über die Formeln von Bessel, Bauernfeind, Richard Rühlmann und Grashof mitge-theilt wurde, sind wir soweit zum Schlüsse der geschichtlichen Notizen über barometrische Höhenmessungen gelangt, daß wir zur Vervollständigung nur noch der Männer gedenken, welche sich um das Entwerfen von Tafeln (hypsometrische Tafeln), zur möglichst bequemen Berechnung von Höhen aus barometrischen Messungen, verdient machten. Es sind dies hauptsächlich, mit Angabe der betreffenden Schriften, folgende:

Linden au⁸), Tables barométriques pour faciliter le calcul des nivellements et des mesures des hauteurs par le baromètre. Gotha 1809.

Oltmanns⁹), Tafeln in: Voyage de Humboldt et Bonpland. Astronomie I, Nivellement barométrique p. 286, 289 (1811).

Gauss¹⁰), die kleinsten der bis jetzt bekannt gewordenen Tafeln in Bode’s astronomischem Jahrbuche für 1818, p. 171 und desgl. 1836, p. 138.

Der neuesten Tafeln von Richard Rühlmann wurde bereits oben S. 177 gedacht.

§. 74.

Scheinbares und wahres Gewicht der Körper¹¹).

ere

Wie bereits §. 50 bemerkt, gilt das Princip des Arclii-medes auch für luftförmige Körper, so daß beim Wägen irgend eines Körpers in der atmosphärischen Luft stets eine geringe Gewichtsangabe erhalten wird, als dies Gewicht in Wirklichkeit beträgt. Man kann deshalb auch das Gewicht eines in der atmosphärischen Luft abgewogenen Körpers sein scheinbares Gewicht, das im luftleeren Raume aber sein wahres Gewicht nennen¹²).

Nachstehende Entwickelungen werden dazu dienen, das Gewicht Q eines Körpers für den luftleeren Raum durch Abwägen in der Luft mittelst einer gewöhnlichen doppelannigen, gleicharmigen Waage zu finden.

Bezeichnet (wie §. 9 etc.) y die Dichte des reinen Wassers bei Null Grad Temperatur und S das speeifische Gewicht des Körpers Q, so ist das Volumen von Q bei 0° C.:

ys ’ '

bei der Temperatur t aber, wenn e die eigentümliche Ausdehnung des Körpers Q bezeichnet:

(1 -f- ety.

Ist nun A wie bisher die Dichte der atmosphärischen Luft bei der Temperatur £, im Augenblicke der Wägung, so verdrängt derselbe Körper ein Luftvolumen vom Gewichte:

à & a+“)•■

Für die Gewichtsstücke, deren man sich bedient, mögen s, s dasselbe bedeuten, was Q, S und e für den abzuwägenden Körper, so findet man, daß die Gewichtsstücke ein Volumen Luft verdrängen, deren Gewicht ist:

^ ~ C¹ + E<)J-

Der Druck auf die eine Waagschale ist daher:

Q-A±-(l+ety,

auf die andere:

î-^a+ «*)*•

Für’s Gleichgewicht ergiebt sich also:

woraus folgt:

(1)    Q-A-^-(l + ety=q-A-^(l+tt)

(2)    Q^q + A±-(l + ety-A-^(l + sty.

Für die meisten Fälle erhält man die Resultate genau genug, wenn man Q, im rechten Theile der Gleichung, mit q verwechselt, also setzt:

r (1 + ety

(1 + eQ⁸ j

ö = s ji+ ?

Nach 8- 54 ist ~ =    ' ywenn B die B““;

meterhohe im Augenblicke der Wägung in Millimetern bei Null Grad Temperatur bezeichnet und weshalb endlich folgt:

r (i + et)³ (t + sQH

L s

L Q=q jl-f

!•')

587693,94 (1 + 80 Beispiel. Ein PlatinakÖrper vom spec. Gewichte = 21,1878, ward mit Messinggewichten gewogen, deren spec. Gewicht 8,0262 betrug, und man fand dabei sein Gewicht in der Luft = 7716,213 Grains (7000 Grains = 1 ® engl, avoir du pois). Die Barometerhöhe im Augenblicke der Wägung betrug 760,35 Millimeter und das am Barometer befestigte Thermometer zeigte + 18°,3 C. Die gemeinschaftliche Temperatur der Luft, des Platinkörpers und der Messinggewichte 19°,1.

war

Auflösung. Hier ist:

5=7716,2135 rq--

760,35

757,90; £ = 21,1878; *=8,0262.

18,30 5550

Nach Schuhmacher ist die eigentümliche Ausdehnung für Platina e= 0,000009, für Messing £ = 0,000018785, endlich t= 19,10. Daher aus I. das wahre Gewicht des Platinakörpers :

i4

¹) Weiteres über diesen höchst interessanten Gegenstand findet sich in den hier zugleich benutzten Schriften: Bessel, „Tafel zur Réduction von Abwägungen“. Astronom. Nachrichten, Bd. 7, Nr. 162, S. 373, und Schuhmacher: „Ueber die Berechnungen der bei Wägungen vorkommenden Re ductionen“.

Q = [7716,213 -|- 0,4381 — 1,1598] Grains, oder Q = 7715,4913 Grains = 1,1022 Î6 engl. = 500,0557 Gramm.

Zusatz 1. Specifische Gewichte. Wir sind nunmehr auch in den Stand gesetzt, die Bestimmung specifischer Gewichte, und zwar zunächst fester Körper, genauer zu machen, wie §. 40 geschah, d. h. mit Rücksicht auf den Einfluß der Temperatur, des Luftdruckes und des Gewichtsverlustes der Körper in der Luft.

Hierzu sei Q das absolute und S das specifische Gewicht irgend eines festen Körpers, der mit dem Gewichte q an einer Waage im Gleichgewichte befindlich ist. Sodann erhält man nach Vorstehendem:

C o

t--r³

'-T*

wenn — c, (1 -f- £ć)³ = r³ und (1 -J- et)'

= R³ gesetzt wird.

Wagt man Q im Wasser, so mögen, weil im Allgemeinen Wasser-und Lufttemperatur als verschieden anzunehmen sind, die Größen q und r in (1) mit qx und rx bezeichnet werden und wenn man überdies beachtet, daß im Wasser die Größe c im Nenner gleich der Einheit wird, so folgt:

R³

(2) Q = qx

¹ s

Aus der Vergleichung von (1) und (2) und nach nachheriger Réduction auf S erhält man endlich:

I. S =

qR³ (s — er³) — qxcR³ (s — C\r\³)

q(s — er») — ff, 0 — CjV)

Für die Temperaturen = Null wird r = R = 1 und wenn man überdies auch A = c = cx = Null setzt, ergiebt sich

q — qx

genau die Formel, welche bereits §. 40, Zusatz 1, gefunden wurde.

Zusatz 2. Mit Hülfe der Hauptsätze des gegenwärtigen Paragraphen ist es jetzt auch möglich, das Gewicht eines bestimmten Volumens Wasser im lufterfüllten Raume zu berechnen, wenn das wahre Gewicht Q desselben bei der Temperatur t bekannt ist, und q das wahre Gewicht der Messingstücke bezeichnet, welches der bemerkten Cubikeinheit Wasser im lufterfüllten Raume das Gleichgewicht hält.

Mit Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen ergiebt sich hierzu ohne Weiteres die Gleichung:

(1) Q — (Gewicht der Cubikeinheit Luft bei t° Temperatur und Ow,76 Barometer) =

wo das Luftgewicht im ersten Gliede derselben Cubikeinheit entspricht, in welcher Q ausgedrückt ist.

Anmerkung. Das absolute Gewicht des Wassers (im luftleeren Raume) ermittelt man gewöhnlich dadurch, daß man einen Körper von bekanntem Volumen (gewöhnlich einen hohlen Metallblechcylinder) in demselben mit aller nur möglichen Vorsicht abwägt. Ganz speciell findet man diesen Gegenstand behandelt von Stampfer im 16. Bande (1830; der Jahrbücher des Wiener polytechnischen Institutes, S. 1 etc. Recht übersichtlich giebt ferner die hierher gehörigen Rechnungen etc. Miller in seinen „Elements of Hydrostatics and Hydrodynamics“, Fourth Edition. Cambridge 1850, p. 115.

Dritte Abtheilung.

tu

CÖ

•rH

§. 75.

Geschichtliche Notizen.

Ausfluß des Wassers aus Gefäßen¹)

Den allerersten Grund zur Hydrodynamik oder der Wissenschaft, welche die Bewegungsgesetze flüssiger Körper behandelt, legten die Schüler Galilei’s, namentlich Castelli²) und T oricelli, indem sie die Ausflußgesetze des Wassers durch Versuche zu bestimmen suchten. Der erstere, ein Benedictiner vom Monte Casino, zeigte ums Jahr 1640³), ¹³ daß die Geschwindigkeit, womit Wasser aus kleinen Gefäßmündungen strömt, von dem Wasserstande (der Druckhöhe) über diesen Mündungen abhängt. Nur irrte er sich in dem Gesetze dieser Abhängigkeit, indem er behauptete, daß die Ausflußgeschwindigkeiten im directen (geraden) Verhältnisse zu den Druckhöhen ständen.

Tori celli war in letzterer Beziehung glücklicher, indem er ganz richtig nachwies, daß sich die Geschwindigkeit des aus Bodenöffnungen der Gefäße fließenden Wassers wie die Quadratwurzeln aus den entsprechenden Druckhöhen verhielten. Toricelli’s betreffende Schrift ist: „Del moto dei gravi“. Firenz 1644. Ihm stimmte zuerst Bali a ni in seiner Abhandlung bei: „De motu naturali gravium“. Genuae 1646. Nachher bestätigten mehrere Andere das Toricelli’sche Gesetz, insbesondere aber M ariotte, nach zahlreichen Experimenten, in seiner Schrift: „Traité du mouvement des eaux et des autres fluides“. Paris 1686. (Deutsch übersetzt von Meining. Leipzig 1723.) Bemerkt

zu werden verdient hierbei noch, daß Mario tte zur Bestimmung der aus einem Gefäße fließenden Wassermenge, als Maaßeinheit den „Wasserzoll“ (pouce d’eau)¹) einführte. Weitere Bestätigungen des Toricelli’schen Satzes gaben besonders noch Versuche des Italieners Domenico Guilielmini (veröffentlicht in der Schrift: Mensura aquarum fluentium. Bononia 1690) ²), so wie ganz besonders die noch ausführlicheren Versuche Pole ni’s³). Letzterer Experimentator bestimmte zugleich das Verhältniß der Ausflußmenge bei verschiedenen Druckhöhen, so wie auch die wahre Quantität der ausgeflossenen Wassermenge, indem er zuerst nachwies, daß diese Wassermenge von der Beschaffenheit und Gestalt der Gefäßöffnung abhängt und unter Umständen der ausfließende Wasserstrahl die Mündung gar nicht ausfüllt, eine Zusammenziehung (Contraction) erfährt. Beispielsweise fand Pol eni durch Messung, beim Ausflusse aus einer Kreismündung von 26 Linien Durchmesser und bei der constanten Druckhöhe von 256 Linien, den Durchmesser des zusammengezogenen Wasserstrahles zu 20-h Linien, so daß sich das Durchmesser verhältniß von Strahl und Mündung zu |A, folglich der Querschnitt der Mündung im Boden des Gefäßes zum Querschnitt des Strahles wie 1 : (|~L)², d. i. wie 1 : 0,622 herausstellte. Bemerkt zu werden verdient noch, daß Pole ni seine Versuche auch auf den Ausfluß durch cylindrische und conische Ansätze erstreckte.

Newton war der erste, welcher die Ausflußgesetze aus Gefäß-miindungen und zwar in seinen berühmten Principien⁴) mathematisch ermittelte, leider gehörte dieser Abschnitt in dem sonst mit Kecht berühmt gewordenen Werke zu den allerschwächsten Leistungen des großen Mannes. Nach der ersten Ausgabe sollte die Ausflußgeschwindigkeit des Wassers aus der Bodenöffnung eines Gefäßes gleich der Endgeschwindigkeit sein, welche ein durch die halbe Druckhöhe frei fallender Körper erlangte. Da jedoch letzterer Satz weder mit den Versuchen Tori-celli’s und Anderen, noch mit seinen eignen, späteren Beobachtungen

*) Mario tte fand aus Versuchen, daß pro Minute aus einer verticalen, kreisförmigen Mündung (in dünner Wand) von einem Pariser Zoll Durchmesser, bei einer constanten Druckhöhe von 7 Linien über der Kreismitte, ein Wasserquantum von 14 Pariser Pinten (1 Cubikfuß = 36 Pinten) ausfloß, welches Quantum von Mariotte und zuweilen noch heute in Frankreich und Italien von den Brunnenmeistern mit dem Namen „Wasserzoll“ bezeichnet und selbst zum Messen kleiner fließender Wassermengen benutzt wird. Rechnet man den Pariser Cubikfuß = 0,03428 Cubikmeter, so fließen aus gedachter Mündung pro Minute:

. 0,03428 = 0,01333 Cubikmeter, d. i. pro Stunde: 0,7998 Cubikmeter, oder pro 24 Stunden = 19,1950 Cubikmeter.

Wie wenig bestimmt und sicher indeß diese sogenannte Maaßeinheit ist, wird sich später, im Capitel „Ausfluß des Wassers aus Seitenmündungen der Gefäße“, bestimmt heraussteilen.

²)    Guilielmini bestätigte den Toricelli’schen Satz zuerst durch Versuche, welche sich auch mitgetheilt finden in Kästner’s „Anfangsgründe der Hydrodynamik“. Zweite Auflage (Göttingen 1797), S. 65, §. 95.

³)    In der Schrift „De Castellis“. Florentia 1718, und italienisch unter dem Titel „Delle Pescaje“ in der Nuova raccolta. Vol. III. Auszugsweise auch bei Kästner a. a. O., §. 116.

⁴)    Philosophiae naturalis principia mathematica, L. II, Prop. 36. (Erste Ausgabe von 1687.) an springenden Strahlen übereinstimmte, so suchte er in der zweiten Ausgabe der Principien¹) den Widerspruch durch die Zusammenziehung des Wasserstrahles in der Ausflußmündung (von ihm vena contracta genannt) zu erklären. In der Gefäßmündung selbst sollte dann die Geschwindigkeit des Wassers der halben, in der kleinsten Zusammenziehung (etwas nach auswärts von der Mündung entfernt) aber der ganzen Druckhöhe entsprechen.

Das Verhältniß des Durchmessers des zusammengezogenen Strahles zu dem der Mündung fand Newton, durch wirkliche Abmessungen, zu Al.,²) wobei er jedoch zu verstehen giebt, daß seine Messungen nicht die größte Schärfe hätten, was andere Versuche auch bestätigten.

Die bis hierher angestellten Versuche, sowie auch diebetreffenden theoretischen Entwickelungen, bezogen sich nur auf die Verhältnisse der Ausflußgeschwindigkeiten zu einander, nicht aber auf die Ermittlung ihrer absoluten Größen³).

Die Lösung dieser Aufgabe sowohl, als auch die erste wahrhaft wissenschaftliche Begründung der Gesetze des Ausflusses des Wassers aus Gefäßen, gelang den beiden großen, um die mathematischen Wissenschaften hochverdienten Männern Johann Bernoulli⁴) und (dessen Sohne) Daniel Bernoulli⁵). Die betreffende Schrift des ersten Autors führt den Titel: Joli. Bernoulli Hydraulica nunc primum detecta ac demonstrata directe ex fundamentis pure mechanicis. Anno 1732. Sie ist in Tom. IV seiner Opera mitgedruckt und er schreibt im VIII. Paragraphen des I. Theiles, daß er bereits im Jahre 1729 zuerst seine Methode erfunden habe. Um eben diese Zeit hatte dessen Sohn, Daniel Bernoulli, sein berühmtes Werk: „Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum Commentarii«. Argentorati 1738, im Drucke erscheinen lassen, was jedoch der Vater schon in der gedachten Hydraulica erwähnte. Während die hauptsächlichsten Endresultate, zu welchen Vater und Sohn gelangten, dieselben waren, basirte Johann Bernoulli seine Entwicklungen auf die Gesetze der allgemeinen Mechanik, Daniel Bernoulli dagegen auf das, zuerst von Huyghens zur Auflösung des Problems vom Mittelpunkte des Schwunges benutzte, Princip von der Erhaltung der lebendigen Kräfte. Hierbei drückte Daniel B ernou 11 i das gedachte Princip in folgenden Worten aus: Zwischen dem actuellen Herabsteigen (descensum actualem) einer Flüssigkeit in einem Gefäße und dem virtuellen Aufsteigen (ascensum potentialem) findet stets Gleichheit statt.

Zur Unterstützung der betreffenden mathematischen Entwicklungen benutzten Beide den Satz vom „Paralle 1 ismus der Schichten«

J) Zweite Ausgabe von 1717, L. II, Sect. 7, Prop. 36.

²)    Das Verhältniß des Mündungsquerschnittes zum Strahlquerschnitte würde hiernach betragen 1 : 0,707.

³)    Die Geschwindigkeiten mit vY und v₂, die correspondirenden Druckhöhen mit h₁ und h₂ bezeichnet, hatte man:

= YhT ■ VK

⁴)    Geb. zu Basel 1667, gest. ebendaselbst 1748.

⁵)    Geb.

v₁ : v₂

zu

Groningen 1700, gest. 1783 zu Basel.

und den Satz von der „C on tinuität d er Flüssi gkeit en“. Ersteren Satz drückte man so aus, daß man sagte: „es strömen in gleichen Zeiten durch verschiedene Querschnitte gleiche Volumina“, wonach sich die Flächeninhalte dieser Querschnitte umgekehrt wie die darin stattfindenden Geschwindigkeiten verhalten.

aus,

Der Satz von der Continuität der Flüssigkeit drückt die Bedingung daß in der fortströmenden Masse nirgends Lücken oder Zwischenräume Vorkommen, sondern überall inniger Zusammenhang stattfindet.

Die Fundamentalgleichung für den Ausfluß des Wassers aus Bodenöffnungen der Gefäße, unter Voraussetzung constanter Druckhöhe und dem Eintritte des Beharrungszustandes, war bei beiden Bernoulli’s folgende :

v²

liA²

2g    A² — a²

Hierin ist v die Geschwindigkeit in der Bodenöffnung, a deren Flächeninhalt und A der überall gleiche Querschnitt des Sammelgefäßes, so wie z die sogenannte Geschwindigkeitshöhe. Auf v reducirt erhält man sonach :

Hieraus aber, wenn a klein genug gegen A ist und sonach gegen die Einheit vernachlässigt werden kann:

v = V~2ffk,

welchen letzteren Werth man (aus begreiflichen Gründen) die Tori-celli’sche Formel zu nennen pflegt.

Zweierlei Einwürfe waren es seiner Zeit insbesondere, welche man der Methode Daniel Bernoulli’s machte, wovon sich jedoch später nur der eine als begründet erwies. Erstens nämlich war man mit dem Principe von der Erhaltung der lebendigen Kräfte nicht einverstanden, weil (damals) noch der Beweis seiner allgemeinen Gültigkeit fehlte und weshalb selbst Johann Bernoulli seines Sohnes Methode „methodum indirectam“ nannte. Zweitens schätzte Daniel Bernoulli den Einfluß oder den Verlust bei plötzlichen Geschwindigkeitsänderungen falsch, weil ihm der später nach Carnot¹) dem Vater benannte Satz unbekannt war, nach welchem immer die lebendige Kraft verloren geht, die der verlorenen Geschwindigkeit entspricht.

Der dritte in der Reihe der ausgezeichneten Männer, welche sich um die Theorie der Hydrodynamik verdient gemacht haben, ist d’Alem-bert²). In seinem Werke „Traité de l’équilibre et du mouvement«, welches 1744 in Paris erschien, bediente sich d’Alembert zur Auflösung der hydraulischen Probleme des nach ihm benannten Princips,

*) Carnot (Lazare, Nicolas, Marguerit), geh. 1753 zu Nolay in Burgund, gest. 1823 in Magdeburg.

²) d’Alembert, geb. 1717 zu Paris, gest. 1783 ebendaselbst.

welches er bereits in einem vorausgegangenen Werke „Traité de Dynamique“. Paris 1743, bei Untersuchungen über die Bewegungen fester Körper mit Erfolg in Anwendung gebracht hatte. In dieser Hinsicht hatte d’Alembert entschiedenes Glück, indem er durch Klarheit und Bestimmtheit der Auffassung, so wie durch Richtigkeit des Rechnungsganges die Einwürfe beseitigte, welche sich, in mehreren Beziehungen, gegen die Theorien der beiden Bernoulli’s machen ließen¹) so daß die d’Alembert’sche Methode noch gegenwärtig von vielen Schriftstellern der Hydrodynamik, als der Sache am entsprechendsten, beibehalten wird.

Das Vorzüglichste seiner Zeit, in Bezug auf eine streng wissenschaftliche Darstellung der theoretischen Hydrodynamik, lieferte Leonhard Euler. Dieser, nicht nur als einer der talentvollsten, fruchtbarsten und vielseitigsten Schriftsteller im Gebiete der reinen und angewandten Mathematik, sondern auch wegen einleuchtender, verständlicher Darstellung, als vorzüglicher Lehrer bekannte Mann²), erschöpfte beinahe das Thema der Mechanik flüssiger Körper. Euler kam mehreremale auf die betreffenden Untersuchungen zurück, wovon jedoch ganz besonders folgende zwei Arbeiten zu erwähnen sind:

1.    „Principes généraux du mouvement des fluides“ in den Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin. Année 1755, Pg. 274, und (die in lateinischer Sprache geschriebenen):

2.    Commentarien der Petersburger Academie, Bd. 13—15, wovon bereits im Jahre 1805 der Professor Brandes in Leipzig (früher zu Eckwarden im Herzogthum Oldenburg) eine vortreffliche deutsche Bearbeitung unter dem Titel lieferte: „Die Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung flüssiger Körper“. Dargestellt von Leonhard Euler. Leipzig 1806.

Seit Euler hat man daher auch recht bedeutsame Fortschritte im Gebiete der Hydrodynamik nicht machen können, abgerechnet die höchst eleganten Darstellungen von Lagrange in seiner Mécanique Analytique und von Laplace in der Mécanique Céleste, welcher dabei ganz Besonderes in der Anwendung allgemeiner hydrodynamischer Gleichungen auf die Gestalt der Erde, auf die Oscillationen des Meeres bei der Ebbe und Fluth etc., glücklich war, und endlich Cauchy³) in seinen schätzenswerthen Untersuchungen über Wellenbewegungen etc.

Von allen diesen vortrefflichen Arbeiten können wir hier (und zwar im folgenden Zusatze) nur die auch für Ingenieure wichtigen, sogenannten hydrodynamischen Grundgleichungen Euler’s mittheilen, selbst diese aber auch nicht ohne wichtige Bemerkungen.

Zuvörderst sind diese allgemeinen partiellen Differenzialgleichungen der Bewegung flüssiger Körper nur in wenigen Eällen und selbst dann nur unter Zuziehung neuer Hypothesen integrirbar,

J) Man sehe hierüber besonders Kästners bereits vorher citirte „Hydrodynamik“ (Zweite Auflage), S. 598 unter der Ueberschrift: „Ueber Herrn d’Alembert’s Erinnerungen gegen Johann Berno ul li’s Theorie“, so wie eine Vorlesung K ästn er’s , welche er selbst S. 613 (§.667) der Hydrodynamik citirt.

²)    L. Euler, geb. zu Basel 1707, gest. zu St. Petersburg 1783

³)    Cauchy, geb. 1789 in Paris, gest. ebendas. 1856 (?).

woran die Schuld gewiß nicht in der Mangelhaftigkeit der mathematischen Analysis, sondern gewiß in der Begründung ihrer Herleitung und folgerecht in unserer schon früher erwähnten Unbekanntschaft mit der wahren Natur der Flüssigkeiten, in der Unbekanntschaft mit den Moleculargesetzen liegt.

Glaubt man nun auch in allerjüngster Zeit, in der Dynamik der Gase erhebliche Fortschritte und zwar unter Benutzung der mechanischen Wärmetheorie gemacht zu haben, so gilt von dieser Theorie für die technische Hydrodynamik gegenwärtig immer noch der Ausspruch, welchen bereits vor hundert Jahren Bossut in der Einleitung zu seiner Hydrodynamik machte und der folgendermaßen lautete:

„Malheureusement ces calculs sont si compliqués par la seule nature de la chose, qu’on ne peut les regarder que comme des vérités géométriques, précieuses en elles-mêmes, mais non comme des symboles propre à peindre l’image sensible du mouvement actuel et physique d’un fluide.u

Zusatz. Die Euler’sehen Differenzialgleichungen der Bewegung flüssiger Körper betreffend.

Unter Beibehaltung der Bezeichnungen in §. 7 und unter der dort gemachten Annahme, daß die geometrische Gestalt eines beliebigen Flüssigkeitstheilchens als ein rechtwinkliges Parallelepiped vom Inhalte

Y

dxdydz und von der Masse dm = — dxdydz gedacht werden kann, und

dies einem Drucke p ausgesetzt ist, bezeichnen wir die Achsengeschwindigkeiten dieses Theilchens am Ende einer Zeit t:

nach der Richtung UX mit w,

» r>    n    UY „ V,

¹

Beobachtungen und Untersuchungen über die Genauigkeit barometrischer Höhenmessungen etc. München 1862, S. 34.

²) Südöstlich von Tegernsee, unweit Rotach.

²

)    Dr. Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde. Dritte Auflage (Stuttgart 1869), §. 378, S. 692. In der 1876 erschienenen 5. Auflage dieses Werkes befindet sich die betreffende Stelle im 2. Bande, S. 343.

³

)    Dr. Richard Rühlmann, Die barometrischen Höhenmessungen etc. Leipzig 1870, S. 116.

⁴

Dem Verfasser war hier besonders der Abschnitt: „Die Geschichte der barometrischen Höhenmessungen“, in der Schrift seines Neffen, des Herrn Prof. Rühlmann in Chemnitz, von Nutzen.

²)    Toricelli, geb. 1608 zu Faenza, gest. 1647 zu Florenz.

³)    Pascal, geb. zu Clermont den 19. Juni 1623, gest. den 19. August 1662 zu Paris. Pascal’s Hauptwerk, welches 1658 in Paris erschien, war betitelt: „Traité de l’équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de F air. “

⁴)    1 Toise = 1,94903 Meter und 1 Meter = 0,51307 Toisen.

⁵)    Halley, geb. 1656 in London, gest. 1742 in Greenwich.

⁶)    A discurse of the rule of the decrease of the hight of the mercury of the barometer etc. in: Philos. Transact. 1686 and 1687. T. 16, pag. 104.

⁵

)    Delle altezze barometriche et di alcuni insigni paradossi, Saggio analitico. Pavia 1771.

⁶

)    Recherches sur les modifications de l’atmosphère. Paris 1772.

⁷

)    Mémoires sur la formule barométrique de la Mécanique céleste. Paris 1808—1811.

⁸

)    Lindenau, geb. 1779 in Altenburg, gest. 1854 ebendaselbst.

⁹

)    Oltmanns, geb. 1783 in Wittmund (Ostfriesland), gest. 1833 in Berlin.

¹⁰

)    Gauss, geb. 30. April 1777 in Braunschweig; gest. 23. Febr. 1855 in

Göttingen.

¹¹

)    Ausführlicher wird über diesen Gegenstand in folgenden Werken gehandelt: Jamin-Bonty, „Cours de Physique“. 3e Edit. Tome II, Pg. 131, unter der Ueberschrift „Mesure des Poids“ etc. — Wüllner, Lehrbuch der Elementarphysik. Bd. III (Dritte Ausgabe), S. 118, unter der Ueberschrift „Berücksichtigung der Temperatur bei Wägungen“ etc.

¹²

)    Bemerkt muß hier vor Allem werden, daß sich die in Europa gebräuchlichsten Gewichtseinheiten, das Pfund und das Kilogramm, auf den luftleeren Raum beziehen, also wahres Gewicht sind, daß daher betreffende Gewichtsstücke (aus Eisen, Messing, Platina etc.), welche auf der doppelarmig, gleicharmigen Waage abzuwägenden Körpern das Gleichgewicht halten, ebenfalls wahre Gewichte darsteilen und alle unsere Gewichtsangaben im practischen Leben, in Pfunden oder Kilogrammen, streng genommen, als allein für den luftleeren Raum gültig zu betrachten sind.

Der Grund, die Gewichtseinheiten der Körper für den luftleeren Raum festzustellen, liegt einfach darin, daß man Irrungen vermeiden will, welche offenbar aus der Verschiedenheit des Gewichtes eines Körpers entstehen müssen, wenn derselbe bei verschiedenen Barometer- und Thermometerständen in der Luft gewogen wird.

¹³

Es werde hier ausdrücklich hervorgehoben, daß im Nachstehenden die technische Hydrodynamik überhaupt in den drei Abschnitten besprochen wird :

1.    Ausfluß des Wassers aus Gefäßen.

2.    Bewegung des Wassers in Canälen und Flüssen.

3.    Wirkung und Widerstand des Wassers.

²)    Castelli, geb. 1577 zu Brescia, gest. 1644 zu Rom.

³)    Nuova raccolta d’autori che trattano del moto dell’ acque. Parma 1766. VI. Tom. 4.

UZ

„ 10,

y

Sodann setzen wir in der Folge — = Q, so daß letztere Größe die Masse der Volumeneinheit ist.

Offenbar sind u, v und w Functionen von cc, ?/, z und t und man übersieht, daß, wenn t in Secunden ausgedrückt wird, für u, v und w der Raum gesetzt werden kann, der vermöge dieser Geschwindigkeiten in 1 Secunde durchlaufen würde¹ 2).

Die ganze Theorie der Bewegung flüssiger Körper ist dann darin enthalten, daß man aus der Natur des flüssigen Körpers, sofern nämlich p und q gegenseitig von einander abhängen, und aus den Kräften, welche auf dieselben wirken, die Größen p, q, u, v und w bestimme und dieselben durch x, ?/, 0 und t ausdrücke, um für jede gegebene Zeit und für jeden gegebenen Punkt der Flüssigkeit ihre Werthe angeben zu können.

Um letzteres auszuführen, nehmen wir an, daß am Ende der Zeit t -[- dt die Coordinaten des Theilchens abedefmn, Fig. 4 (S. 15), zu x -|~ udt, y -[- vdt und z -J- wdt geworden sind. Da sich nun zunächst

der allgemeine Werth von du (das vollständige Differenzial, aus der Summe der partiellen Differenziale) ergiebt zu :

du =

so erhält man, wegen dx = udt, dy = vdt und z = wdt: du =

und eben so:

(49 *+(£)*+(40*+(40 *■>

dv =

wdt+

(-£-) + flf) + (ir) + (i0 (=-)- + (t)- + (t)- + (t)

dt

dt;

Bezeichnet man daher die resultirenden Accelerationen oder Beschleunigungen parallel den drei rechtwinkligen Coordinatenachsen beziehungsweise mit Jx, Jy und Jz, so hat man

_ du    dv ,    _ dw

J* = lü'Jy⁼lü und J‘ = -dT’

d. i. nach vorstehenden Gleichungen (1), (2) und (3):

<4 =

Jy =

V dæ J' \_dy J' \^dz J~\dt J

« r^~)+« ( %-)+» (

Vdx J \dy J V d2 J V, dt J

•(£)+•(£)+•(£)+(£)■

J.. =

Bringt man nun die resultirenden Bewegungsgrößen q ç>Jy und qJ^ entgegengesetzten Sinnes zu den eingeprägten Bewegungsgrößen an, d. h. beziehungsweise entgegengesetzt zu qX, qY und qZ an, so erhält man, nach dem d’Alembert’schen Principe und zufolge unserer Gleichungen (4), (5) und (6) in §. 7 :

(Ir) = «    (Ir) =«(F-^ “d (Ir) -«

oder nach Einsetzung vorstehender Werthe für J^., Jy und Jz\

>■ (^) - « i* - (i) - ($■) - ■ (t) -m (£>-« )'-■ (£■) - • (£)-- G) -$•

■■■• m ■- » i* - ■* (t) - ■■ iw) ■-• œ -es-

II.

Letztere drei Gleichungen genügen aber nicht zur Bestimmung

x) Da es sich hier um die Geschichte des Gegenstandes handelt, so hat der Verfasser es für erforderlich gehalten, die Euler’sche Bezeichnung für die

dx . . . beizubehalten, statt daß man

partiellen Differenziale, nämlich

fduT\

ydx J

‘bu

jetzt gewöhnlich setzt:    dx . .

Rühlmann’s Hydromechanik.

13

der fünf Functionen p, q, w, v und t«;; es sind vielmehr noch zwei andere Gleichungen erforderlich, die wir im Nachstehenden zu gewinnen suchen wollen.

Wir gehen hierzu von der Bedingung aus, daß die Flüssigkeit eine zusammenhängende Masse bildet und denken uns auch für diesen Zweck die geometrische Gestalt des flüssigen Elementes als rechtwinkliges P arallelepipedum vom Inhalte dxdydz¹).

Die Masse der Flüssigkeit, welche am Ende der Zeit t in dem gedachten Elemente enthalten ist, beträgt sonach qdxdydz und am

dx dy dz.

Ende der Zeit t -j- dt, offenbar |~q -j-

Die durch die drei ersten Seitenflächen des Parallelepipeds in d-er Zeit dt eintretende Masse des Fluidums ist aber

dy dz . q udt - dx dz . o vdt dxdy . q icdt, dagegen ist die durch die drei entgegengesetzten Seitenflächen austretende Flüssigkeit

[Qy+ (cdf)dy\dt +

dt Ą- dxdz

dy dz

Daher ist der Ueberschuß der ersteren Masse über die zweite: — dxdydz

K^O+OsO+CtF-)]

dt.

O)

Setzt man aber diese Größe der Zunahme so erhält man, mit Weglassung der gemeinsamen Factoren:

. dt . dxdydz gleich,

dq . f d . qu\ . f d .    d . qw

~di V dx J    ' V dz J

IV.

= 0.

Dieser Ausdruck ist der, welchen man (S. 190) die Gleichung der Continuität der Flüssigkeit nennt.

Handelt es sich um eine tropfbare Flüssigkeit, deren Dichte in allen Punkten dieselbe und unabhängig von der Zeit ist, so reducirt sich IV. auf:

IVa

• (£)+(£)+(£)—■

Bei einer zusammendrückbaren Flüssigkeit von constanter Temperatur, erhält man als die fünfte der erforderlichen Gleichungen

V. p = kq,

wo k wie in §.71 und ferner einen constanten Coefficienten bezeichnet..

(Anwendungen dieser allgemeinen Gleichungen auf besondere, auch technisch wichtige Fälle folgen später.)

*) Der Verfasser verläßt liier den Euler’schen Entwicklungsgang, welcher die geometrische Form des unendlich kleinen Flüssigkeittheilchens (Brandes a. a. O., §. 130) als dreiseitige Pyramide voraussetzt, dabei zu interessanten, aber etwas umständlichen Rechnungen kommt. Für gegenwärtiges Lehrbuch war es daher (des ersten Verständnisses wegen) entsprechender, den Annahmen Navier’s (Mechanik §. 403), Delaunay’s (Rationelle Mechanik §. 264) etc. zu folgen, welche das Flüssigkeitselement als rechtwinkliges Parallel-epipedum annehmen.

Zur Orientirung im ganzen (schwierigen) Gebiete noch Folgendes :

1. In einem sehr ausgedehnten Falle kann man die Gleichungen I. II. und III. auf eine partielle Differenzialgleichung erster Ordnung redu-ciren und es so einrichten, daß die drei Unbekannten w, v und w von einer Größe abhängen. Wer sich hierüber belehren will, findet vollständigen Aufschluß bei Euler (a. a. 0., Brandes Uebersetzung etc., §. 151 ff); ferner bei Poisson (Mechanik, Uebersetzung von Stern, §. 653).

2. Vorstehende 5 Gleichungen reichen nicht aus, wenn die Gleichung V. nicht in obiger Form benutzt werden darf, was z. B. der Fall ist, wenn die Bewegung so schnell ist, daß die Flüssigkeit nicht Zeit hat, auf ihre ursprüngliche Temperatur zurückzukommen, wie dies beispielsweise bei den Untersuchungen über Ausbreitung des Schalles stattfindet und worüber man ausführliche Belehrung bei Laplace „Mécanique Céleste⁴⁴, Oeuvres de Laplace V, Livre douzième, Chapitre III, Pg. 143, unter der Ueberschrift findet: „De la vitesse du son et du mouvement des fluides élastiques⁴.

Empfehlenswerth ist es, schon mit dem Studium der Erörterungen zu beginnen, welche Laplace (Oeuvres etc., Tome Premier, Pg. 108) mit der Continuitätsgleichung IV. anhebt.

Daß in den Fällen, wo die Gleichung V. nicht statthat, die mechanische Wärmetheorie eine sehr wichtige Rolle spielt, hat, für Ingenieure brauchbar, in jüngster Zeit Grashof im ersten Bande seiner theoretischen Maschinenlehre gezeigt, woselbst dieser Autor zur Lösung der verschiedenen Aufgaben, in §. 12, unter der Ueberschrift „Allgemeine Gleichungen zur Bestimmung der Zustandsänderung einer Flüssigkeit44 (im weiteren Sinne) unter gegebenen Umständen (S. 69) 7 Fundamentalgleichungen aufstellt.

Die betreffenden 7 Größen sind dann die Geschwindigkeitscompo-nenten w, v, w, das specifische Volumen, die Pressung jp, die Temperatur und das innere Arbeitsvermögen (S. 136 gegenwärtigen Buches).

Von den zu untersuchenden Bewegungen der Flüssigkeiten, die theils strömende, theils o s cillato ri sehe sind, bezeichnet G r a shof (a. a. 0., S. 380) eigentlich nur die ersteren von technischer Wichtigkeit, während die letzteren höchstens alsW eilenbeweg ung des Wassers in den Bereich der technischen Studien zu ziehen sein würden.

Bei der unmittelbar practischen Bestimmung und bei der (wenn auch möglichst gründlichen) elementaren Behandlung des Stoffes der „Technischen Mechanik flüssiger Körper⁴⁴, hielt es der Verfasser gerathener, das Capitel „Wellenbewegung des Wassers44 nicht aufzunehmen, deshalb hauptsächlich auf Grashof’s schöne Behandlung dieses Gegenstandes, von S. 830 bis mit S. 866, zu verweisen und nur noch folgende Werke zu empfehlen, welche sich auf denselben Gegenstand beziehen:

Gerstner, „Theorie der Wellen⁴⁴ etc. Prag 1804. — Weber Gebrüder, „Wellenlehre auf Experimente gegründet⁴⁴. Leipzig 1825. — Emy, „Du Mouvement des ondes et des travaux hydrauliques maritimes⁴⁴. Paris 1831. — Hagen, „Ueber Wellen auf Gewässern von gleichmäßiger Tiefe⁴⁴. Berlin 1862.

§. 76.

Fortsetzung der geschichtlichen Notizen,

den Ausfluß des Wassers aus Gefäßen betreffend.

Nachdem in theoretischer Hinsicht gleichsam Alles geleistet worden war, was der menschlische Geist nur immer vermochte, dessen ungeachtet aber selbst einfache Fragen, wie die der Contraction des Wassers, beim Ausflusse durch Oeffnungen der Gefäßwände, ungelöst blieben, erkannte man namentlich in dem zweiten Drittel des vorigen Jahrhunderts, daß für die Fortschritte unserer Kenntnisse im gedachten Gebiete (Ausfluß des Wassers aus Gefäßen) ein anderer Weg eingeschlagen werden müsse. Dieser Weg besteht darin, daß man die Complication der Elemente, welche in den Erscheinungen Vorkommen, nicht durch die Rechnung darstellt, sondern vielmehr die ganze Theorie auf die Erscheinung selbst gründet und schließlich die Endresultate mit Hülfe geeigneter Versuche corrigirt. Und in der That darf dieser Weg, wo die Rechnung gleichsam mit der Erfahrung Hand in Hand geht, ein sehr glücklicher genannt werden, da er zu mannigfachen schönen Entdeckungen und zu wahrhaft practischen, mit der Erfahrung meist gut stimmenden Formeln geführt hat.

Unter den Männern, die sich in dieser Beziehung namentlich verdient machten, ist zuerst Borda¹) zu nennen, und zwar insbesondere auch deshalb, weil er dem Principe von der Erhaltung der lebendigen Kräfte diejenige Geltung verschaffte, die dasselbe für die Beantwortung hydraulischer Fragen verdient²). Daniel Bernoulli hatte insbesondere die Verluste an lebendiger Kraft nicht richtig bemessen, welche durch plötzliche Verengungen und Erweiterungen der Gefäße entstehen. Hierauf nahm Borda sorgfältig Rücksicht und zeigte, wie durch entsprechende Einführung derjenigen lebendigen Kraft, welche der verlorenen Geschwindigkeit entspricht (bekanntlich der nach Car not dem Vater bekannte Satz), die Auflösung der betreffenden Aufgaben mit einer Richtigkeit erfolgen kann, wie es immer nur die Natur der Sache gestattet³).

Borda bestätigte gleichzeitig seine Rechnungen für gewisse Fälle durch entsprechende und sinnreiche Versuche. Unter Andern suchte Borda die Contractionsfrage, beim Ausflusse durch eine scharfkantige kreisförmige Oeffnung in dünner Wand, durch sorgfältige directe Messung der Strahlform an der Stelle der größten Zusammenziehung zu bestimmen. Dabei fand er das Verhältniß des Querschnittes der Mündung

*) Borda, geb. zu Dax im Dep. des Landes 1733, gest. zu Paris 1799.

²)    Me'moires de l’académie des sciences, 1766, Pg. 579 unter der Ueber-schrift: „Mémoires sur l’écoulement des fluides par les orifices des vasesu.

³)    Zur Kenntnißnahme und Beurtheilung des Borda’schen Rechnungsganges theilen wir hier die Auflösung des Problems IV, a. a. O., Pg. 599, mit, welches folgendes ist:

Es sei ABCD, Fig. 67, ein cylindrisches Gefäß, welches mit einer kurzen Ansatzröhre EF versehen ist und wobei vorausgesetzt wird, daß die Flüssigkeit zu dem kleinsten Querschnitte des Strahles 154|- : 100, so daß dieser Querschnitt des Strahles 0,646 von dem der Mündung betrug.

Fig. 68.

S(f-

⁶r

Die allerstärkste Contraction fand Borda in dem neben skizzirten Falle, Fig. 68 (wobei die angegebenen Maaße altfranzösische sind), wenn der Ausfluß durch eine nach innen gerichtete cylindrische Röhre EFGH (von 6 Zoll Länge und 1 Zoll 2yL Linie Durchmesser) mit oberhalb scharfen Kanten erfolgte. Zur Vergleichung dieses Falles mit jenem, wo der Ausfluß von EF durch eine dünne Wand erfolgt, legte er nach den ersten Versuchen eine 12 Zoll im Durchmesser haltende Platte so auf die Mündung EF der gedachten Röhrer daß die Oeffnung in der Platte (von ebenfalls 1 Zoll 2^ Linie Durchmesser) mit jener Mündung genau concentrisch lag.

Fig. 67.

beim Ausströmen durch diese Röhre die Mündung FG genau ausfüllt und in dieser überall einerlei Geschwindigkeit besitzt. Man soll diese Ausflußgeschwindigkeit = u bestimmen.

Borda bezeichnet nun die Druckhöhe über dem Schwerpunkte der Mündung mit a?, setzt den Querschnitt der cylindrischen Röhre EF = ay den der größten Zusammenziehung des Strahles aa, wo a < 1 ist, nimmt die unter Voraus-— Setzung constanter Druckhöhe, in der Zeit dt •F zu- und abfließende Masse = dx und schreibt dann, nach dem Principe von der Erhaltung der lebendigen Kräfte (1) ±u²dx = gxdx, wo g die Accélération (Beschleunigung) der Schwerkraft bezeichnet.

Sodann bemerkt Borda, daß, unter Annahme des Principes vom Parallelismus der Schichten, au = a ay, wenn y die Geschwindigkeit in der Stelle der

u

größten Zusammenziehung des Strahles bezeichnet, also y — ist, ein Gelt und demnach ein Verlust an

|H

...

— i------------- ...

t

schwindigkeitsverlust y — u — lebendiger Kraft erfolge, der

(4--0

~ dx

u² ist.

Letzterer Werth zur lebendigen Kraft in (1) addirt, giebt:

ł«.**> + 4«Łc^2L -    «² =

gxdx, woraus

2gx

folgt, ein Ausdruck, der noch heute für die Ausflußgeschwindigkeit kurzer cylindrischer Ansätze, deren Länge ly bis 3 mal Durchmesser beträgt, als brauchbar bezeichnet wird und auf welchen wir später zurückkommen werden.

Vergleicht man diesen letzteren Versuch mit der vorherigen directen Messung des zusammengezogenen Wasserstrahles, so kann man schließen, daß bei einer Oeffnung in dünner Wand die Geschwindigkeit in der

= 0,967 von der theore-

kleinsten Querschnittsstelle des Strahles

Da Borda die Zeit beobachtete, in welcher sich in beiden Fällen der Oberwasserspiegel KL von 11 Zoll 11 Linien auf 7 Zoll 11 Linien senkte, so gaben die Versuche offenbar die Verhältnisse der theoretischen wirklichen ausgeflossenen Wassermenge, also die Ausflußcoefficienten, und zwar erhielt er

für die nach innen mündende Röhre wie 194^-: 100;

„    „ dünnne Wand wie .

Hiernach ist der Ausflußco efficient für die nach innen mündende Röhre..........

zur

. . 160 : 100.

500

-= 0,514;

971    ’    ’

ist der für die dünne Wand .

100

w = °’625³

0,625 0,646

tischen Geschwindigkeit beträgt, welches Resultat den späteren und jüngsten Versuchen entspricht.

Bezeichnen wir daher den Ausflußcoefficienten mit fx, den Geschwin-digkeitscoefficienten mit iß und den Contractionscoefficienten mit cc, so würde man setzen können:

fx = iß . a,

eine Annahme, die sich auch später als richtig herausstellte.

Zahlreich und großartig sind die Versuche, welche die beiden Italiener Michel otti (Vater und Sohn) in einem besonderen hydraulischen Observatorium, einer Meierei Par eil a bei Turin¹), von 1763 bis 1785, anstellten. Dies Etablissement wurde 1763 durch Francesco Dominico Michelotti (dem Vater)²) unter der Protection des Königs von Sardinien gegründet und zu ausgedehnten Versuchen benutzt, die 20 Jahre später durch (den Sohn) Therese Michelotti³) wichtige Ergänzungen erfuhren.

Das Hauptwerk des hydraulischen Observatoriums war ein Thurm von über 30 Fuß Höhe, der im Innern einen vertiealen Schacht mit quadratischem Querschnitte von 3 Fuß Seitenlange bildete. In einem besonderen gemauerten Gerinne wurde diesem Thurme das erforderliche Wasser aus einem Seitenarme des Flusses Dora zugeführt. In der vorderen Seitenwand desselben befanden sich drei quadratische Ausflußöffnungen von 8 Zoll Seitenlange in verschiedenen Höhen über einander. Die unterste Oeffnung war unmittelbar über dem durch einen Stein gebildeten Boden placirt, der Mittelpunkt der nächst höheren Oeffnung lag 10 Fuß 4 Zoll und der der obersten Mündung 15 Fuß 4 Zoll über dem Boden und 5 Fuß unter der Sohle des Zuflußcanales.

Diese Oeffnungen wurden von außen durch quadratische, 1 Fuß

lange und eben so hohe und 8 Linien dicke Messingplatten mit 3zölligen quadratischen Mündungen durch Anwendung von in Wachs und Fett getränktem Leder verschlossen. Außerdem waren noch fernere Anordnungen getroffen, um auch kleinere quadratische oder kreisförmige Mündungen anbringen zu können.

Die ausfließende Wassermenge wurde in einem 24 Fuß langen, 12 Fuß breiten und 2T Fuß tiefen ausgemauerten Behälter aufgefangen und darin gemessen (cubicirt).

Die Resultate dieser Versuche wurden in folgenden beiden Werken veröffentlicht: „Sperimenti idraulici di F. D. Michelotti“. Torino 1767, und „Memoire physico -mathématique contenant les résultats d’expériences hydrauliques“. In den Mémoires de l’Académie des sciences de Turin. An. 1784—1785. Letztere Quelle enthält die Versuche des Sohnes J. T. Michelotti. Beide Arbeiten zusammen genommen wurden 1808 von Professor Zimmermann in Berlin in die deutsche Sprache übersetzt und mit Anmerkungen von Eytelwein begleitet.

Die Hauptergebnisse dieser Versuche lehrten, daß sich die Ausfluß-coeffieienten mit den Druckhöhen verändern, abnehmen, wenn die Druckhöhen wachsen. Indessen war die Veränderlichkeit dieser Coefficienten so klein, daß man allgemein für den Ausfluß des Wassers durch dünne Wände setzen konnte:

jx = 0,619.

Eine interessante Bestätigung erhielten die Michelotti’schen Versuche durch die, welche Bossut⁴) von 1775 ab (auf Kosten des Herzogs von Chois eu 1) an den Wasserleitungen von Mézières anstellte.

Bossut bediente sich zu seinen Versuchen eines parallelepipedisch geformten Kastens von 12 Fuß Höhe und von quadratischem Querschnitte mit 2 Fuß Seitenlange, wobei der Ausfluß durch kreisrunde und durch quadratische Mündungen erfolgte. Die größte Bossut’sche Druckköhe war 10 Fuß 9 Zoll mit 2 Zoll hohen Mündungen in dünner Wand (aus \ Linie dickem Kupferblech gebildet). Die ausgeflossene Wassermenge wurde in einem Fasse aufgefangen und hier mittelst eines geaichten, würfelförmigen Kupfergefäßes von -1 Cubikfuß Inhalt genau gemessen. Bossut fand, daß die Ausflußcoefficienten mit der Druckhöhe abnehmen.

Specielles über seine Versuche enthält sein bereits S. 192 erwähntes Werk über Hydraulik⁵), von welchem Langsdorf Uebersetzungen lieferte, die 1792 in Frankfurt a. M. erschienen.

So verdienstlich und beachtenswerth auch die bis hierher ange-stellten Versuche genannt werden mußten, so genügten sie doch lange nicht den practischen Bedürfnissen. In dieser Beziehung werde namentlich auf zweierlei aufmerksam gemacht, nämlich erstens darauf, daß man die Ausflußmündungen verhältnißmäßig immer noch zu klein genommen hatte und zweitens, daß man auch nicht bei Oeffnungen Versuche angestellt hatte, welche bis zur Oberfläche des Wassers (bis zum Wasserspiegel) reichten, d. h. nicht bei sogenannten Ueberfällen, obwohl auch hier eine Contraction eintreten und mit dieser eine Verminderung des Ausflußquantums verbunden sein mußte.

Die ersten beaehtenswerthen Versuche über Ausfluß des Wassers durch Ueberfälle (rectangu läre Seitenöffnungen bis zum Wasserspiegel reichend), stellte der französische Ingenieuroberst Du Buat¹) an und veröffentlichte nachher dieselben in seinem berühmten Werke : „Principes d’hydraulique et d’hydrodynamique“. Paris 1779 ²).

Du Buat benutzte hierzu einen künstlich gebildeten Canal, der quer-rechtwinklig auf seiner Länge, einen Einbau aus Brettern enthielt, in welchem eine oben offene Mündung gebildet war, durch die das Wasser in geeigneter Weise abfloß. Das durchgeflossene Wasserquantum wurde von einem eubicirten Bassin aufgenommen und demgemäß gemessen.

Bei 1,438 Fuß Breite der Ueberfallskante und bei Höhen des Wasserspiegels über der Ueberlaßschwelle von 0,140 Fuß bis 0,549 Fuß ergab sich aus 8 Versuchen für den Ausflußcoefficienten der Mittelwerth jn = 0,652. Hierzu muß jedoch bemerkt werden, daß bei den ersten vier Versuchen der Ausfluß mit vollständiger Contraction, d. i. an der unteren (der horizontalen) Abflußkante und an beiden verticalen Seiten abgelöst, stattfand, bei den übrigen Versuchen aber mit partieller Contraction, weil hierbei die Abflußkante in der Mitte oder am Ende des Canales lag³).

Fast denselben Mittelwerth für den Ausflußcoefficienten bei Ueber-fällen, gaben Versuche, welche die seiner Zeit berühmten englischen Ingenieure Brindley⁴) und Smeaton⁵) anstellten und worüber in den unten bezeichneten Quellen berichtet wird⁶).

daß

Aus, wie behauptet wird, nicht sehr genau ausgeführten Versuchen Chris tian’s ⁷), welche in dem unten angegebenen, seiner Zeit geschätzten Werke⁸) notirt sind, ergaben sich theilweise mit Du Buat stimmende, theils mit Brindley und Smeaton widerstreitende Ergebnisse, so aus mehrfachen Gründen fernere und namentlich Versuche mit Ueber-fällen größerer Dimensionen, wünschenswerth wurden. Die ersten derartigen Versuche wurden aber auf Veranlassung Eytelwein’s⁹) (am Schlüsse des vorigen Jahrhunderts) durch den Bauinspector Kypke, neben dem Bromberger Canale, eine Viertelmeile von der Stadt Bromberg an einem Bache angestellt, den man auf 260 Fuß (preuß.) Länge durch Bretter zu einem Canale umgestaltet hatte. In letzterem wurden Ueberfälle von 0,50 Fuß bis 3,448 Fuß (rhein.) Breite gebildet und

*) Du Buat (oder Dubuat), geb. 1732 in der Normandie, gest. 1787 zu Nançay (Dép. Cher & Inder).

²) Tome II, Nr. 409—415 (Ausgabe von 1816).

s) Ausführlich über diese Versuche Du Buat’s berichtet Egen in seiner Schrift: „Untersuchungen etc. über Wasserwerke“, S. 32. Berlin 1831.

⁴)    Brindley, geb. 1716 zu Dunsted (Derby), gest. 1772 zu Turnhorst (Staffordshire).

⁵)    Smeaton, geb. 1724 zu Austhorpe bei Leeds, gest. 1792 ebendaselbst.

⁶)    Rees Cyclopaedia, Artikel „Water“ und hiernach Weisbach in Hülse’a „Maschinenencyclopädie“, Artikel „Ausfluß“, Bd, 1, S. 476. Ferner auch Egen a. a. O., S. 34.

⁷)    Christian, geb. 1776 zu Verviers (Belgien), gest. 1832 zu Paris.

⁸)    Traite de mécanique industrielle. Vol. I, Pg. 348.

⁹)    Eytelwein, geb. 1764 zu Frankfurt a. M., gest. zu Berlin 1849.

Wasserstände (Druckhöhen) von 0,344 bis 1?250 Fuß angeordnet. Als Mittelwerth erhielt man fx = 0,629 J).

Eytelwein vernachlässigte die Geschwindigkeit des zufließenden Wassers, was (wenigstens im Allgemeinen) als unrichtig bezeichnet werden muß und auf die Größe des Ausflußcoefficienten von Einfluß ist. Später folgende Experimentatoren (d ’ Au b uis s o n ? Castel, Weisbach u. A.) haben angemessen hierauf Rücksicht genommen.

Aus der Periode gegen Ende des vorigen Jahrhunderts sind streng genommen noch einige Experimentatoren, insbesondere die Engländer Young und V i n c e ⁶), so wie der Italiener Y en tu r i ⁷) zu verzeichnen.

*) Ausführlich über diese Versuche berichtet Eytelwein selbst in seinem Handbuche der Mechanik fester Körper und Hydraulik (Zweite Auflage), S. 123 ff.

Zu Ehren des überhaupt um die practisch-wissenschaftliche Mechanik hochverdienten Mannes, lassen wir hier die Ergebnisse der 6 angestellten Versuche folgen und copiren treu die beigegebene Fig. 69 :

Fig. 69.

3s

ans

Nro.

Breite

EB

des

der

Strahldicke

AE

Senkung

Ver

suchs.

Oeffnung

Fuß.

über der Abflußkante Fuß.

des

Wasser

spiegels

Fuß.

_    AK

AB — KLIAbstand des lungesenkten Drucköhe Wasserspiegels

Fuß.

Fuß.

Ver-

hältniß

Ausfluß -

EB

AB

coefficient

= p.

1    ! 0,500

1,219

0,031

1,250

0,330

0,975

0,632

0,833

0,853

0,047

0,900

0,540

0,947

0,621

1,167

0,645

0,075

0,720

0,790

0,895

0,633

1,500

0,523

0,073

0,596

0,810

0,877

0,640

2,146

0,408

0,072

0,480

0,750

0,850

0,619

3,448

0,292

0,052    0,344

0,660

0,848    0,634

Ueber die Versuche (Ausfluß durch Bodenöffnungen) der ersteren finden sich Berichte in den vorher angegebenen Quellen.

Venturi’s (seiner Zeit Professor in Modena) Versuche⁸) hatten mehr practischen Werth, indem sie über einige wichtige Fragen Auskunft gaben, u. A. über die Erscheinungen beim Ausfluß des Wassers durch gewisse Ansatzröhren, da hier außer der Capillarität (S. 6) auch noch eine innere Pressung des Wassers wirksam ist, vermöge welcher letzteres mit einer gewissen Kraft nach allen Seiten, folglich auch gegen die Wände der Ansatzröhren drückt, bekanntlich eine schon von Daniel Bernoulli (Hydrodynamica, Sect. III) in Betracht gezogene Erscheinung und die sich auch, unter Umständen, zu einem Ansaugen (Hydrodynamica, Sect. XII) gestalten kann. Alles Dinge, welche auch hier später ausführlich besprochen werden sollen⁹).

Etwas spätere Versuche des Franzosen Hachette¹⁰) bestätigten die Venturi’s und erweiterten diese auch dahin, daß er Auskunft über die verschiedenen Formen der Wasserstrahlen beim Ausfließen durch kreisförmige, elliptische, trianguläre und quadratische Oeffnungen er-theilte. Ein practisch wuchtiges Ergebniß hierbei war das, daß, im Allgemeinen, der Ausfluß durch verschiedene Mündungen in dünner Wand unabhängig von deren geometrischer Gestalt, jedoch nur so lange ist, als dieselben keinen einspringenden Winkel enthalten¹¹).

Als einen der fruchtbarsten Experimentatoren im Gebiete der Hydraulik dieses Jahrhunderts von 1829 ab, muß man den Italiener Bido ne¹²) bezeichnen. Die meisten seiner Versuche stellte dieser wackere Mann in dem Wasserschlosse der Parella bei Turin an, jener Schöpfung des älteren Michelotti, worüber bereits vorher S. 198 berichtet wurde.

Des großen Umfanges und der Vielseitigkeit der Bidone’schen Versuche wegen, muß auf die speciellen, hier später folgenden Abschnitte verwiesen werden, so daß wir hier nur kurz die hauptsächlichsten Experimente aus dem Gebiete des Ausflusses aus Gefäßen notiren¹³).

Hierher gehören zuerst (Hach e tte’s Versuche ergänzend und weit

de la communication laterale

hat der verstor-

Nr. 111.

übertreffend) die Versuche über den Ausfluß aus Wand Öffnung en unter Verwendung von Mundstücken der verschiedensten Formen, wobei Bidone die Wasserstrahlen auch außerhalb der Mündung studirte, beobachtete, zeichnete und dabei die den Wasserstrahl charak-terisirenden Wendungen (ren versements), Knoten (noeud’s), Blätter (nappes), Bäuche (ventres), welche sich in verschiedenen Entfernungen von den Mündungen bilden, kennen zu lernen bemüht war¹⁴).

Sodann sind besonders zu markiren Bido ne’s Versuche und Ergebnisse über partielle Contraction, so wie über den Ausfluß des Wassers bei breiten Ueberfällen u. m. A., worüber im Verlaufe der später folgenden Darstellungen der verschiedenen hydrodynamischen Erörterungen, Fragen und Aufgaben, ausführlich berichtet werden wird.

Die großartigsten, genauesten und für die practische Anwendung wichtigsten Versuche über den Ausfluß durch rectanguläre Seitenöffnungen sind die, welche auf Veranlassung des französischen Kriegsministeriums, 1827 bis 1829 von Poncelet²) und Lesbros³), und 1829 bis 1834 von Lesbros allein vorgenommen wurden⁴).

Beide Experimentatoren benutzten hierzu als Wassergefäß einen Festungsgraben der Stadt Metz und zwar den der früher vorhandenen Front „S ai n t- V i n c e nt“ ⁵), wobei die Speisung von der Obermosel aus geschehen und das benutzte Wasser in die Untermosel abgelassen werden konnte. Das erste Sammelgefäß hatte eine Oberfläche von 25000 Quadratmeter und würde allein schon entsprechend gewesen sein, hätte man seine Wasserstände gehörig reguliren können. Da letzteres nicht der Fall war, so setzte man dies Gefäß mit einem zweiten in Verbindung, dessen Oberfläche 15000 Quadratmeter betrug und wobei der Abfluß von 11 Cubikmeter Wasser eine Senkung des Oberwasserspiegels von nur 1 Millimeter veranlaßte.

Um ferner die Umstände des beabsichtigten Ausflusses so viel als möglich den in der Praxis vorkommenden Fällen anzupassen, wurde an der Mündungsstelle ein hölzernes Durchlaßwehr eingebaut, gleichsam ein dritter Behälter gebildet und in dessen Wand die Ausflußöffnung angebracht⁶).

Von letzterem Behälter führte ein unterirdischer Canal nach dem unteren Moselflusse und befand sich in diesem eine zweite Schutzvorrichtung, die zum Reguliren des Abflusses und insofern ebenfalls dazu diente, das Niveau des Wassers im zweiten Behälter auf einerlei Höhe zu erhalten.

Die Versuche von 1828 erstreckten sich hauptsächlich auf rectan-guläre Mündungen in dünner Wand von 0,2 Meter constanter Breite, mit Höhen von 0,01 Meter bis 0,20 Meter und auf Druckhöhen (Abständen des Oberwasserspiegels von der oberen Mündungskante) von 3 Millimeter bis 1,7 Meter. Auch auf einige (untergeordnete) Versuche hatte man Bedacht genommen.

Die Versuche, welche von 1829 bis 1834 Lesbros allein anstellte (der Zahl nach über 2000) übertrafen an Umfang und Mannigfaltigkeit die ersteren bedeutend und erstreckten sich namentlich auf viele bisher unerörterte Fälle der Praxis *).

Da ein Resume aus allen diesen Versuchen dem Charakter der hier zu gebenden geschichtlichen Notizen unangemessen sein würde und später ausführliche Berichte folgen, so beschränken wir uns hier auf folgende Ergebnisse :

Die gemeinschaftlichen Versuche von Poncelet und Lesbros lehrten, daß sich die Ausflußcoefficienten mit den Druckhöhen und mit den Mündungshöhen ändern und daß sie (mit unbedeutenden Ausnahmen) größer werden, wenn Druckhöhen und Mündungshöhen abnehmen.

Ferner ergab sich, daß sich die Ausflußcoefficienten bei größeren Druckhöhen und verschiedenen Mündungshöhen der Mittelzahl 0,610 nähern.

Die von Lesbros allein angestellten Versuche bestätigten nicht nur die vorgenannten Ergebnisse, sondern führten auch noch zu folgendem interessanten und wichtigen Endresultate :

Daß die Ausflußcoefficienten, unter sonst gleichen Umständen, dieselben bleiben, welche Seite einer rectangulären Mündung auch zur Höhe der Basis genommen wird, sobald nur die größte Dimension die kleinste nicht um das Zwanzigfache übertrifft.

So ausgezeichnet und werthvoll diese Metzer Versuche auch im Allgemeinen genannt zu werden verdienen, so ließen sie doch eine für die Praxis bedeutsame Lücke, nämlich Versuche über den Ausfluß bei Ueberfällen größerer Dimensionen und unter den in der Praxis vorkommenden Umständen. Diese Lücke auszufüllen bemühte sich der Ingenieur Castel in Toulouse, auf Veranlassung der Academie der Wissenschaften in Toulouse und D’Aubuisson’s de Voisins²), seiner Zeit Chefdirector des französischen Bergwerk-Corps.

Als Wasserwerk - Ingenieur der Stadt Toulouse stand Castel der sogenannte Wasserthurm (château d’eau) zur Verfügung, von welchem aus die Stadt stündlich mit 150000 bis 200000 Liter Wasser versorgt wird.

U 1100 Versuche betrafen den Ausfluß durch dünne Wand in die freie Luft unter verschiedenen Dispositionen und Formen des Ausflußbehälters. 526 Versuche bei außerhalb angesetzten Gerinnen. 49 Versuche bei unter Wasser gesetzten Durchlaßmündungen. 353 Versuche bei Ueberfällen in die freie Luft mündend, oder mit angesetzten Gerinnen, Ueberfällen an den Enden von besonderen Gerinnen und unvollständigen, d. h. solchen Ueberfällen, welche zum Theil vom Unterwasser bedeckt werden.

²) d’Aubuisson, geh. 1769 zu Toulouse, gest. 1841 ebendaselbst.

Unter Berücksichtigung aller möglichen Umstände und mit Aufnahme des ausgeflossenen Wassers in besonderen Aichkasten, wurden nicht weniger als 494 Versuche in drei Reihen angestellt, wobei die Ueberfallsbreiten von 0,01 Meter bis 0,74 Meter variirten und zwar unter Druckhöhen über der Ueberfallschwelle von 0,03 Meter bis 0,24 Meter.

Während wir auf die betreffenden Endresultate bei den später zu erörternden Formeln zurückkommen, welche Castel bei seinen Versuchen zu Grunde legte, werde hier schon ein Hauptergebniß aller Versuche mitgetlieilt, darin bestehend, daß d er Au sfl uß coeff i cient für verschiedene Breiten des Wandeinschnittes sehr verschieden ist und zwar bei weiteren Einschnitten auffallend größer als bei schmäleren, weshalb auch d’Aubuisson (in der unten notirten Hydraulik, §. 77) 4 Fälle beim Ausflusse des Wassers durch Ueberfälle unterscheidet¹).

Mit dem Anfänge der vierziger Jahre veröffentlichte Weisbach in Freiberg²) seine ersten Arbeiten aus dem Gebiete der Experimental-Hydraulik und beginnt damit jene große Reihe werthvoller Arbeiten, wofür ihm Theorie und Praxis für alle Zeiten ein dankbares Andenken widmen muß.

Den Anfang machten seine Versuche über den Ausfluß des Wassers durch Schieber, Hähne, Klappen und Ventile, dem schon ein Jahr später (1843) Versuche über unvollkommene Contraction des Wassers folgten und womit W eis b ach ein Gesetz bestimmt ausdrückte, was namentlich Castel und d’Aubuisson nur ahnten, nicht aber zur Klarheit hierüber gelangten.

Von hier ab bezeichnet nämlich, nach Weisbach’s Vorgänge, die experimentelle, wissenschaftliche Hydraulik jede Contraction bei stillstehendem Oberwasser als vollkommen, dagegen die bei bewegtem Oberwasser als unvollkommen. Zugleich entschied Weisbach bestimmt, daß das Ausflußquantum bei letzterer Contraction stets größer als bei ersterer ist und zwar in dem Maaße, als der Flächenraum der Mündung a größer ist, wie der Querschnitt A des ankommenden Wassers (S. 190), oder der Inhalt der Wand, in welcher sich die Ausflußmündung befindet³).

Allgemeiner bekannt wurden Weisbach’s fruchtbare Versuche in fast allen Gebieten der technischen Mechanik flüssiger Körper, erst durch die Herausgabe seiner „Ingenieur-Mechanik“, wovon 1846 der erste Band erschien.

¹)    Die Hauptquelle der Castel’schen Versuchsresultate sind die Mémoires de l’Académie des sciences de Toulouse. T. IV, 1837. Dann d’Aubuisson’s Hydraulique. Seconde Edition (1840), Pg. 79 fl. Annales des ponts et chaussées. 1837, 2e Sem., Pg. 113. Annales des chim. et de phys. Tom. 62, sowie Weisbach’s Artikel „Ausfluß“ in Hülse’s Maschinenencyklopädie, Bd. 1, S. 484 ff.

²)    Julius Weisbach, geb. 10. Aug. 1806 zu Mittelschmiedeberg bei Annaberg im Königreiche Sachsen, gest. 24. Febr. 1871 zu Freiberg.

³)    Die Begriffe vollkommene und unvollkommene Contraction sind nicht zu verwechseln mit den Begriffen partielle und totale (vollständige) Contraction. Letztere beziehen sich auf die Erscheinungen, daß beziehungsweise der Strahl nur auf einen Theil seines Umfanges, oder überall zusammengezogen wird.

Hiernach bedarf es kaum der Bemerkung, daß wir in den nachfolgenden Theilen der Hydrodynamik auf die von Weisbach gewonnenen Versuchsresultate recht oft zurückkommen werden.

NachWeisbach bemühte sich (von 1845 ab) Boileau¹), französischer Artilleriecapitän und Professor in Metz, sowohl die in sehr kleinem Maaßstabe angestellten Versuche von Poncelet und Lesbros, zu vervollständigen, als auch neue Formeln für den Ausfluß bei Ueber-fallen aufzustellen‘²). welche über die ganze Wand reichen. Hierbei tadelte Boileau namentlich, daß alle bis dahin aufgestellten Formeln das Oberflächengefälle gar nicht enthielten, und vergleicht deshalb den Ausfluß bei einem Ueberfalle mit dem Ausflusse durch eine Mündung unter Wasser. Auch hielt er für erforderlich, in seiner Formel für das Ausflußquantum die Höhe des Ueberfalls einzuführen. Jedenfalls ist das Urtheil³) über diese Arbeiten Boileau’s richtig, daß es viel naturgemäßer ist, das Prineip der unvollkommenen Contraction weiter zu verfolgen, als durch neue Annahmen und Wendungen der eigentlichen Sache aus dem Wege zu gehen. Später kommen wir auch auf die Boileau’schen Versuche zurück. .

Zu fast derselben Zeit hatte auch der nordamerikanische Ingenieur Francis Versuche über den Ausfluß des Wassers durch Ueberfälle bis zu 10 Fuß Breite und für Druckhöhen von 0,60 bis 1,60 Fuß angestellt ¹⁵).

Die aus den Versuchen entnommenen Formeln folgen später und verdienen wohl beachtet zu werden.

Weniger günstig hat man eine Formel über den Ausfluß durch Ueberfälle beurtheilt, welche der französische Artillerie - Hauptmann Clarinvall im Jahre 1857 aufstellte¹⁶) und welche den merkwürdigen Charakter hat, daß sie das wahre, ausgeschlossene Wasserquantum an-giebt, ohne eines Ausflußcoefficienten zu bedürfen.

Größeres Vertrauen hat sich dagegen eine Formel, ebenfalls für die Berechnung der Wassermenge bei Ueberfällen, erworben, welche Prof. Brasch mann in Moskau im Anfänge der sechziger Jahre aufstellte¹⁷) und die, dem Principe nach, der Weisbach'schen unvollkommenen Contraction entspricht. Wir werden auch diese Formel später, bei der vergleichenden Berechnung eines und desselben praktischen Falles benutzen.

Von beachtenswerthen Experimenten, über Ausfluß des Wassers aus Gefäßen, sind, aus jüngster Zeit und der Gegenwart, (leider) nur die des Herrn Kunstmeisters Bornemann in Freiberg, eines Schülers und würdigen Nachfolgers Weisbach’s im Gebiete der practischen Hydrodynamik, riihmlichst zu nennen, dessen Versuche und Ergebnisse von 1866 ab bis zur Gegenwart reichen Von besonderem Nutzen werden uns später in diesem Buche die Bornemann’schen Versuchsresultate namentlich bei Berechnungen des Ausflusses durch Mündungen unter Wasser¹) und bei vollkommenen²) und unvollkommenen Ueberfällen sein³).

Noch bleibt viel zu thun übrig, und steht zu hoffen, daß namentlich die vorhandenen Widersprüche und Lücken durch Versuche beseitigt und beziehungsweise ausgefüllt werden, welche insbesondere bei letztgenannten Ausflüssen bestehen und doch für ganz genaue Wassermessungen nothwendig sind, die man zur Ermittlung des Güteverhältnisses von Wassermotoren dringend bedarf.

Erstes Gapitel.

Ausfluß des Wassers aus Bodenöffnungen bei con-stanter Druckhöhe.

§. 77.

Ausflußgeschwindigkeit.

Fig. 70.

,M'

//

Unter Voraussetzung der Gültigkeit des Satzes vom Parallelismus der Schichten (S. 189), ferner, daß die Bewegung bereits den Beharrungszustand erreicht hat und das Wasser die Gefäßquerschnitte überall ausfüllt, läßt sich mit Hülfe des Principes von der Erhaltung der lebendigen Kräfte, in nachstehender Weise ein mathematischer Ausdruck für die Geschwindigkeit herleiten, mit welcher das Wasser aus der horizontalen Mündung NN' eines beliebig gestalteten Gefäßes (Fig. 70) fließt. Angenommen wird überdies, daß die in-

Z\

_ _ 4 neren Gefäßwände sanft gekrümmt sind, nir-

S8S gendsVorspriinge, Ecken, Kanten, Löcher etc.

J Vorkommen, auch von Reibungen,*! Ad-j häsion des Wassers etc., sowohl seiner Theil-j chen unter sich, als mit den Gefäßwänden, i abgesehen wird.

Hiernach sei A der Querschnitt der Oberfläche MM' des Gefäßes, V die Geschwindigkeit, mit welcher sich in der betreffenden Schicht das Wasser fortwährend ersetzt. Der

0 Civilingenieur, Bd. XVIlf(1871), g. 46.

²) Ebendaselbst, Bd. XVI (1870), S. 291 und 375. ®) Desgleichen, Bd. XXII (1876), S. 87.

Querschnitt der Mündung NN' sei = ar die Ausflußgeschwindigkeit daselbst sei = v und endlich der Verticalabstand des Mündungsquerschnittes vom horizontalen Oberwasserspiegel die sogenannte Druckhöhe = h.

Ueberdies werde vorerst die Flüssigkeit als allein der Schwerkraftswirkung unterworfen gedacht.

Ein Massenelement m, was in der sehr kleinen Zeit % durch das Gefäß strömt, läßt sich ausdrücken, wenn y und g die früheren Bedeutungen beibehalten, durch

yAVx

y a vt

Die lebendige Kraft, welche der Schicht MM' inne wohnt, ist hiernach: \mV², oder weil, nach dem Satze vom Parallelismus der

Schichten, V =

welche diese Schicht erlangt hat, wenn sie nach NN' gekommen ist, beträgt: \mv².

Daher ist auch die beim Niedergange dieser Schicht von MM' nach NN' gewonnene lebendige Kraft:

m v² —

Da nun die Flüssigkeit allein der Schwerkraft unterworfen vorausgesetzt wurde, so wird die mechanische Arbeit, welche jenen Zuwachs an lebendiger Kraft erzeugte, sein: gmh und daher nach dem genannten Principe folgen:

va

~r

ist, auch \m    • Die lebendige Kraft,

«i-

(1)

= mgh,

woraus sich endlich ergiebt:

i. v=yr-

2 gk

a²

A²

ein bereits (nach S. 190) von Johann und Daniel Bernoulli, so wie von d’Alembert gefundener Ausdruck.

Ist a imVerhältniß zu A sehr klein, mindestens —T^, so kann a2

man gegen 1 vernachlässigen und (wie S. 190) setzen:

II. v = YTghT

Zusatz 1. Vorstehende Formeln geben die Ausflußgeschwindigkeiten etwas zu groß an, was seinen Grund in der unbeachtet gelassenen Reibung des Wassers an den Gefäßwänden und in der Klebrigkeit (viscosité) oder nicht völligen Flüssigkeit desselben hat. Daher wird auch die wirk 1 i ch e Geschwindigkeit, womit Wasser aus horizontalen Bodenöffnungen in dünner Wand ausströmt, mittelst obiger Formeln nur erhalten, wenn man dieselben mit jener Zahl xß (S. 198) multiplicirt, welche kleiner als 1 ist und die man den Geschwindigkeitscoeffieienten nennt¹)

Im Allgemeinen scheint dieser Coefficient, unter sonst gleichen Umständen, mit der Druckhöhe zu wachsen (?), indem sich aus Weisbach’s²) Versuchen folgende Zusammenstellung machen läßt:

in Metern

0,02

0,50

3,5

17,0

103,0

1> =

0,959

0,967

0,975

0,994

0,994

Hierbei erfolgte der Ausfluß durch ein gut abgerundetes, nach Innen erweitertes Mundstück von 1 Centimeter Durchmesser.

Vorstehendem gemäß würde beim Ausflusse durch Mündungen in dünner Wand ein Verlust an Geschwindigkeit und somit auch an lebendiger Kraft oder an mechanischer Arbeit stattfinden.

Zusatz 2. Für a — A wird v = OO» was jedoch kein Widerspruch ist, sobald man beachtet, daß dann wegen V = ~ auch V = 00

sein muß.

Beispiel. Mit welcher Geschwindigkeit strömt Wasser aus einer horizontalen Bodenöffnung in dünner Wand von a = OE™,02 Inhalt, bei einer constanten Druckhöhe von h = 4m,0, wenn der horizontale Oberwasserspiegel A = 0m,20 ist und g — 9,8088 angenommen wird? Auflösung. Man erhält ohne Weiteres:

_ y 2^4.9,8088

= 8m,903.

10 0

Vernachlässigt man — im Kenner, so folgt v = 8m,858.

Wird endlich der betreffende Geschwindigkeitscoefficient = 0,97 gesetzt, so ergiebt sich die wirkliche Geschwindigkeit

im ersten Falle: 0,97 . 8m,903 = 8W,G36, im zweiten Falle: 0,97 . 8,858 = 8™,502.

§. 78.

In vorstehendem Paragraphen ist angenommen, daß die Flüssigkeit an der Oberfläche und Ausflußmündung gleichen Druck erfährt. Ist dies nicht der Fall, wird vielmehr die Einheit der Oberfläche mit einer Kraft P und die der Ausflußöffnung eben so mit einer Kraft p gedrückt, wobei erstere im Sinne der Bewegung, letztere entgegengesetzt wirkt, so gestalten sich die betreffenden Rechnungen folgendermaßen.

Die Größe der Arbeiten, welche während der Zeit % von P

0 Die Nothwendigkeit der Einführung eines allgemeinen Geschwindig-keitscoefficienten hat zuerst Bido ne (Turiner Me'moiren, T. XL, §. 19) nachgewiesen. In Deutschland ist dieser Gegenstand jedoch zuerst von Weisbach zur Geltung gebracht worden.

²) Ing.-Mech. Bd. I, Fünfte Auflage (1875), S. 969. Ausführlich in Weisbach’s Mittheilungen etc. Civilingenieur, Bd. V (1859), S. 2 und S. 87.

14

Hühlmann’s Hydromechanik.

— pavx = —

gmp

Daher wird die Gleichung (1) des vorigen Paragraphen zu:

so wie hieraus, wenn man zugleich den Geschwindigkeitscoeffi-cienten t[> einführt:

a²

und p der Flüssigkeit eingeprägt werden, sind nämlich

PA Vx — pavx,

y A Vx    yav t

oder, weil m = —— 9

ist:

PAVx =

gmP

und

V = x])

Beispiel. Die horizontale AusflußöfFnung eines mit Wasser gefüllten Gefäßes mündet in einen luftverdünnten Raum, woselbst eine Pressung von -Aq Atmosphäre statthat, während die Oberfläche durch die umgebende, äußere Luft pro Quadratmeter mit 10333 Kilogramm gepreßt wird. Man soll die Größe der Ausflußgeschwindigkeit für den Fall berechnen, daß die constante Druckhöhe h — lm,0, der Coefficient = 0,97 ist, zugleich aber um den Einfluß des Werthes wo a — 0üw,01 ist, beurtheilen zu können, auf einander folgend

AL ₌ i, J-, -L und Null setzen. Auflösung:

2.9,8088    1 -j

10333 (1- 0,1)

v = 0,97 eben so

1-ïV

1000

== 14“,0734 für ~ = h

v — 13“,8595 für — A

v = 13,8011    „

— JL-

v = 13,790

« _ !

~—*s'

-4- = Null, A

§• 79.

Hydraulischer Druck.

Aus (1) des vorigen Paragraphen folgt noch:

_P__r i P    v* f *

Ï    V    2g \    A*J’

oder auch wegen ⁼

_ ZI

% 2rj

■>

Fig. 70.

Für eine Schicht nri, im Innern der k    Flüssigkeit um Z vom Oberwasserspiegel

f abstehend, deren Flächeninhalt 0 ist, wo-n' \ selbst die Wassertheilchen die Geschwindig-Ą keit U besitzen und in ihr die Pressung II ! stattfindet, wird sonach sein :

i (2) JL = z+ — -CĘ-

y y ‘ y \²0

Z\

_V^‘\

~~*g/

iWir'

** ô

(t..... v"!p:

Hierbei sind — und —, nach §. 15, Zusatz 1, Wassersäulen, welche die betreffenden Drücke messen.

Die Ausdrücke (1) und (2) lehren, daß der Druck der bewegten Flüssigkeit auf die Wände des einschließenden Gefäßes von dem Drucke einer gleichen ruhenden Flüssigkeit verschieden ist, weshalb man er ster en den hydraulischen Druck, im Gegensätze zu dem letzteren, dem hydrostatischen, nennt.

Ueberhaupt ist der hydraulische Druck an einer beliebigen Wandstelle des Gefäßes gleich dem hydrostatischen Drucke an derselben Stelle, letzteren vermindert um die Differenz der Geschwindigkeitshöhen eben daselbst und an der Oberfläche der im Gefäße befindlichen Flüssigkeit.

Je schneller also das Wasser durch einen bestimmten Querschnitt strömt, um so weniger Druck übt dasselbe gegen die Wände des betreffenden Gefäßes aus.

Diese bereits von Daniel Bernoulli¹) aufgefundenen Sätze, stimmen auch ganz gut mit betreffenden Versuchen überein.

Z u sa tz 1.

Aus der Gleichung (2) folgt überdies, da U =

und V

av

T ist’

(3)    —

Y

In den Fällen, wo    ist und P = p in die Geschwindig

keitsformel, §. 78, gesetzt werden kann, was fast immer der Fall ist,

atmosphärischer Luft umgeben wird, läßt

sich als hinreichend genau, wegen —— = n, setzen :

*9

(4) ü

y

Hier bezeichnet nun

wenn das Gefäß überall von

v²

(-

a²

Ä-² J

P

- die den Atmosphärendruck messende

y

Wassersäule b = 10w,333, so daß überhaupt 0 und 0 veränderliche Größen sind. Allgemein für ——

kann man daher schreiben :

0 Hydraulico -statico (Hydrodynamiea, Sectio XII) und Karsten, Lehrbegriff der gesammten Mathematik. (Die Hydraulik.) 5. Theil. §. 220.

14*

n _ ,

-= b + X«

wenn

a2

z — h —- — -f- x gesetzt wird.

O²

Ist, wie bereits oben bemerkt, das fragliche Wassergefäß überall atmosphärischer Luft umgeben, so erfährt eine Wandstelle desselben

von

im Abstande z vom Oberwasserspiegel, von Innen nach Außen, einen Druck, welcher gleich b + X ist, dagegen einen Druck von Außen nach Innen = b, so daß der resultirende oder wirkliche Druck beträgt :

02

-k*

Wie leicht einzusehen, sind nun in Bezug auf diesen Druck folgende drei Fälle zu unterscheiden :

1.    Es ist der Druck x positiv, d. h. von Innen nach Außen ge-

a ²

richtet, wenn zj>h

2.    Der fragliche Druck ist Null, sobald z = h

3.    Negativ ist endlich dieser Druck, d. h. er verwandelt sich in ein Saugen, wenn

oder O² — a² ist. z

oder ö²

a²h

ä > Ä oder O² <"    ist.

()z    z

In letzterem Falle ist zugleich der Querschnitt 0 die Stelle, wo sich das voranlaufende Wasser von dem nachfolgenden trennen wird, oder es wird sich das Wasser daselbst von der Wand losreißen und innerhalb der Röhre einen freien Strahl bilden.

Bildet das Wassergefäß einen größeren Behälter MM von der Höhe = Z, Fig. 71, in Verbindung mit einer prismatischen Röhre, deren überall gleicher Querschnitt = a und Höhe = X ist, so wird aus (1) wegen 0 = a, z = l und h = X -f- l:

Fig. 71.

\M

--

\k

i = b -f t — (A -f- l), d. i.-2- = 1 — 1.

Soll daher das durch die Röhre BF ab

fließende Wasser ein zusammenhängender Körper bleiben, so darf die Röhre X nicht über &=1 Om, 333 hoch sein. Hat aber X eine größere Höhe, so

y

wird bei BD das voranlaufende Wasser von dem nachfolgenden abreißen und überhaupt so weit ein luftleerer Raum gebildet werden, bis im unteren Theile der Röhre eine 10m,333 hohe Wassersäule gleichsam hängen bleibt oder von der Atmosphäre getragen wird¹⁸). Eben so wird das Wasser durch EF nur in sofern abfließen, in wie weit das durch BD nachlaufende Wasser diese untere Säule immer wieder erhöht, so daß man sehr fehlen würde, wollte man die Geschwindigkeit des durch

EF ausfließenden Wassers so berechnen, als entspräche ihr die Druckhöhe l -J- 1.

Zusatz 2. Auf das hervorgehobene, unter bestimmten Umständen und Verhältnissen eintretende Saugen einer verticalen Röhre, durch welche Wasser herabfließt, gründet sich unter Andern das sogenannte Wassertrommelgebläse (Trombe)¹), Fig. 72.

Fig. 72.

¹

)    Bossut, geh. 1730 zu Tartaras im Dép. Rhone, gest. 1814 zu Paris.

²

)    Der Verfasser folgt zunächst hier (so weit als möglich) wörtlich Euler (Brandes, Uebersetzung S. 119 ff.). Nachher verläßt er diesen Weg aus dabei angegebenen Gründen.

³

Der Verfasser besuchte die Parella am 20. August 1860 und fand das hydraulische Etablissement leider nicht mehr in dem früheren Zustande, vielmehr etwas verfallen.

²) F. D. Michelotti, geh. 1710 zu Cincano, gest. 1777 zu Turin.

⁸) J. T. Michelotti, geh. 1764 zu Turin, gest. 1846 ebendaselbst.

⁴

)    Bossut, geh. 1730 zu Tartaras (Dép. Rhone), gest. zu Paris 1814.

⁵

)    Traité élément, d’hydrodynamique. 2 Vol. Paris 1772.

⁶

) Phil. Transact. 1795. P. I, Art. 2, und Gregory’s Darstellung der mech. Wissenschaften (1828, Deutsch von Dietl ein), Bd. 1, §. 464, und Gilbert’s Annalen, Bd. II und III. Ferner Ge hl er’s Physik. Wörterbuch,

⁷

S. 71 und 123.

⁸

)    Recherches experimentales sur le princi])e du mouvement dans les fluides. Par le Citoyen J. P. Venturi. Paris. An. VI (1797), Pg. 75 etc.

⁹

)    Einen schönen Auszug über diese Venturi’schen Versuche bene Bergrath Wei sb a ch in der Hülse’schen Maschinenencycl., Bd. 1, S. 498 ff. geliefert. In neuerer Zeit hat Magnus in Berlin (1850) die Venturi’schen Versuche wiederholt und ist dabei in mehrfacher Hinsicht zu ganz anderen Resultaten gelangt. Man sehe deshalb Poggend. Annalen etc. Bd. 80, S. 1 — 36.

¹⁰

⁸) Hachette, geb. 1796 zu Mézières, gest. 1834 zu Paris.

¹¹

)    Ha che tte’s ausführlichste Arbeit hierüber findet sich in den Memoiren der Pariser Academie vom Jahre 1805 und zwar unter den Volumes des savans étrangères, theilweise auch in den Annales de chim. et phys., T. I, Pg. 200, so wie endlich in seinem „Traité élémentaire des Machines“.

¹²

)    Georg Bidone, geb. 1781 zu Casai Noceto, gest. zu Turin 1839.

¹³

)    Die betreffenden literarischen Arbeiten sind hauptsächlich folgende: „Expériences sur la forme et la direction des veines et courans d’eau lancés par diverses ouvertures“. Turin 1829. „Expériences expérimentales et théoriques sur la contraction partielles des veines d’eau“ etc. Turin 1836. Dann vorzüglich die Mémoiren der Academie zu Turin von 1829, 1830, 1831 etc.

¹⁴

Bidone’s Erklärungen dieser Erscheinungen hat später (1855) Magnus in Berlin kritisirt und anders (besser) zu geben versucht. Man sehe deshalb Poggend. Annalen der Physik etc. Bd. 95, S. 1.

²)    Poncelet, geb. 1. Juli 1788 zu Metz, gest. 22. Dec. 1868 zu Paris.

³)    Lesbros, geb. 1790 zu Vynes (Hautes-Alpes).

⁴)    Die betreffenden Hauptwerke sind folgende: Poncelet et Lesbros, Expériences hydrauliques etc. Paris 1832, und Lesbros, Expériences hydrauliques etc. Paris 1851.

⁵)    Um diese geschichtlich wichtige Versuchsstelle kennen zu lernen, besuchte der Verfasser im August 1878 die Stadt Metz, fand aber die betreffenden Festungswerke und Wassergräben daselbst so verändert, daß nur durch die äußersten Bemühungen gütiger sachverständiger Freunde zu ermitteln war, daß die fragliche Anlage auf dem Glacis der jetzigen Bastion III der Stadtbefestigung, links von dem Ostende der Pontiffroy - Brücke, existirt hat.

⁶)    Später folgt eine (größere) Abbildung dieses dritten Behälters etc.

¹⁵

) Beiläufig gesagt, stellte Boileau seine Versuche in Metz an derselben Stelle wie Poncelet und Lesbros an.

²)    „Memoire sur le jaugeage des cours d’eauu im XIX. Bande des Journals de l’école polytechnique etc. (Paris, 1850), und als besondere Schrift: „Traité de la mesure des eaux courantes“. Paris, 1854.

³)    Bornemann, Vergleich der Formeln von Weisbach und Boileau über den Ausfluß durch Ueberfälle und Mündungen über die ganze Wand. In der Zeitschrift „Der Civilingenieur“. Bd. 2, S. 72.

⁴)    J. B. Francis, Lowell hydraulic experiments etc., on the flow of water over weirs etc. Boston, 1855.

¹⁶

)    Annales des Mines, Tome XII (1857), und Bornemann’s Civilingenieur etc., Bd. 5 (1859), S. 210.

¹⁷

)    Stils si in der Schweizerischen Polytechn. Zeitschrift. Bd. 9 (1864), S. 1—42 (nach einer gekrönten Preisschrift). Ferner Bornemann’s Civilingenieur. Bd. IX (1863), S. 450. Dann Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen, Jahrg. 1867, S. 32, und Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Jahrg. 1868, S. 699.

¹⁸

) Dieser Satz ist unter andern von Wichtigkeit bei den sogenannten Henschel - Jonval’schen Turbinen (Achsial - Turbinen).

mi

il

⁶|R

il

■1

îii

»Pm

gasa^ggj

In beistehender Figur ist WW der Spiegel des zuströmenden Wassers, welches nach Erhebung des Propfen d in der Röhre bc herabstürzt, dabei einen Strahl bildet, welcher die Röhre, namentlich bei a, nicht ausfüllt und folglich durch die in die Röhrwand gebohrten Löcher bb äußere Luft ansaugt. Unter der Mündung schlägt der Wasserstrahl auf eine feste Platte k, wodurch die Luft vom Wasser noch mehr getrennt und übrigens abgesperrt zum Ausflusse nach m in die Düse n genöthigt wird, während das Wasser am Boden der ganzen Anordnung abfließen kann.

²) Ausführlicheres über diese Gebläse (Tromben) giebt Chaptal in Gilb. Annalen, Bd. 3, S. 132. D’Au buis son in den Annales des Mines von 1828, Nr. 3 und 4. Ueber die Wirksamkeit des Wassertrommelgebläses handelt besonders Magnus im 80. Bande (1850), S. 32, von Poggend. Annalen. Auf dieselbe Weise wie das Wassertrommelgebläse wirkt auch die sogenannte Saugstrahlpumpe von Thomson (Weisb. Ing. Mech., Bd. 3, S. 1188), und die von Nagel (Zeitschr. des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. X, 1866, S. 126). Ferner ist von ähnlicher Wirkung die Giffard’sche Dampfstrahlpumpe (Zeuner, Grundzüge der mech. Wärmetheorie, 2. Auflage, S. 391) etc. etc.

Sodann ergiebt sich mittelst Formel (4) die hydraulische Druckhöhe im Innern von DC:

GSÖ'-GS)

5. =0,4-|-10,3B3 —

(4,9911)2 2 . 9,8088

Daher die Druckdifferenz, weil 10,333 dem Drucke der äußeren Luft an derselben Stelle entspricht:

9m,910 — 10,333 = — 0m,423.

Der resultirende Druck in DC ist folglich negativ, so daß 0m,423 zugleich die Höhe HL ist, bis zu welcher sich das Wasser in der Röhre HD erhebt.

Für die hydraulische Druckhöhe in der Schicht EF ergiebt sich

eben so:

Beispiel. Es sind die Pressungen oder hydraulischen Druckhöhen in den Schichten DC', Fig. 73, vom Inhalte 0 = 0,03 Quadratmeter, in der Entfernung AO = Z= 0m,4 vom Oberwasserspiegel und in

EF = 0₁ = 0,15 Quadratmeter urn AO' = Z₁ = 0W,90 Entfernung anzugeben, [k J ] wenn der Querschnitt MM' = A = 0,2 ! | Quadratmeter, die Abflußöffnung (NN') ! | a = 0,025 Quadratmeter und die constante 7* i Druckhöhe MN — h — 1OT,25 ist. Außer-| ^dem ist anzugeben, auf welche Höhe sich die Flüssigkeit in einer Röhre FG erhebt, deren oberes Ende mit der atmosphärischen I Luft, das untere F aber mit der Schicht j EF communicirt, sowie endlich anzugeben ÿ ist, wie hoch das Wasser aus einem beson-_ deren Gefäße J in einer Röhre HD auf-J steigen wird, welche an der Stelle D in das Innere des Gefäßes mündet. Der Geschwindigkeitscoefficient iß werde = 1 gesetzt.

Auflösung. Zuerst erhält man für die Geschwindigkeit = v der Bodenmündung NN':

Fig. 73.

A M'

-N-

L\

liVT'

-v

2.9,8088.1,25

1 - (l)²

= 4TO,991.

nr

(4,9911)²

r/"o,o25y _ /^o,o25\²~i LW50J    \0,200J J

= llm,221.

-~-= 0,9 + 10,333 Dem resultirenden Drucke an der Wandstelle F entspricht folglich die

2.9,8088

Höhe :

11,221 — 10,333 = 0W,888,

welches zugleich diejenige ist, zu welcher das Wasser in der Röhre FG empor steigt.

Bei betreffenden Yersuchen werden sich, der passiven Widerstände, Reibungen, Krümmungen etc. wegen, die hier berechneten Höhen etwas geringer heraussteilen.

Bd. 5, Abth. 1, S. 535. Auch Kästner, Hydrodynamik,

⁸) Venturi, geb. 1746 zu Bibano bei Reggio (Lombardei), gest. 1822 zu Reggio.

§• 80.

Ausfluß aus Gefäßen mit nicht verticaler Achse, wenn der Beharrungszustand noch nicht eingetreten ist.

Hierzu denken wir uns das Gefäß als eine beliebig gekrümmte aber enge Röhre MN, Fig. 74, damit die Hypothese vom Parallelismus der Schichten noch Anwendung finden, d. h. angenommen Fig. 74.    werden kann, daß sich die Wassertheilchen

in Schichten fortbewegen, welche auf der Röhrenachse normal stehen; alle anderen bisherigen Voraussetzungen mögen unverändert Geltung behalten. In gleicher Weise mögen die Bezeichnungen dieselben bleiben, nur werde für den beliebigen Querschnitt nri in der Entfernung z vom Oberwasserspiegel der Flächeninhalt == co, die Geschwindigkeit der Wassertheilchen daselbst = u, die ganze Achsenlänge der Röhre BC mit Ś, und die eines beliebigen Theiles wie mC aber == s gesetzt.

Das Gewicht q einer unendlich dünnen Schicht nri von der Länge ds in der Achsenrichtung gemessen, ist zunächst:

ywds

Lad

Z<

Hw

\h

q = ytods₇ so wie deren Masse : m =

Sodann aber ergiebt sich für die in der Achsenrichtung der Röhre wirkende Kraft, wenn a den Winkel bezeichnet, welchen das Element ds mit der Verticalen einschließt und mit Bezug auf Fig. 75:

= ycoc^s . cos a — ycods = ycodz.

Ferner ist die wirklich zu Stande gekommene Accélération : ^

und die ihr entsprechende Bewegungsgröße:

ycods

Fig. 75.

/■/■ijcos.a

/ V *

/ L

q cos a

du

du

m —7- = dt

Sonach ist die im Sinne des d’Alembert’schen Principes verlorene Bewegungsgröße der betreffenden Schicht:

so wie die verlorene mechanische Arbeit, wenn man den letzteren Werth mit dem in der Zeit dt zurückgelegten Wege udt multiplicirt :

— co Çgdz--ds^udt.

Endlich ergiebt sich hiernach die in der ganzen Ausdehnung S der Röhre verlorene mechanische Arbeit, wenn noch beachtet wird, daß AVdt = mcdt = avdt constante Producte sind:

h    S

(1) -yWudt( jgdz~ fi^dsy

dt

2 co II udt — uudt (P — p), weshalb überhaupt statt (1) entsprechend dem angeführten Principe erhalten wird:

Die gleichzeitigen Arbeiten, welche den Pressungen P und p entsprechen, sind:

0 == coudt (P — p)

wudt

oder

(2) 0 = *>_, + ,*—L /%*.

b

Es bleibt zur vollständigen Auflösung der vorliegenden Aufgabe, nämlich die Ausflußgeschwindigkeit für den Fall des noch nicht eingetretenen Beharrungszustandes anzugeben, nur noch die

nähere Bestimmung von ds übrig, was auf nachstehende Weise geschehen kann.

Man beachte, daß aus u — wo v und co als von einander

unabhängige Variabein zu betrachten sind, durch Differenziation erhalten wird:

du =

weil — = dv

oder

a du    av . .    .

; ~z —    —5- ist, auch

odu    co2 7

do

du = —    —

0)

Es ist aber v eine Function von co eine Function von s und s wieder eine Function von t, folglich auch

-,    a dv ₇ av cüa ds ₇,    ₇

att =--Tr a*----— dt, oder

ca dt    ca² ds dt ⁹

av du ds

co² ds dt

noch, daß = u = — ist, so wird letz-dt    ca ⁷

av —r- ■

ca²

du

dt

a dv ca dt

Beachtet man nun tere Gleichung zu:

du

a²v² dca ca³ ds

a dv ca dt

du ,    dv ds    n n du

— ds = a —--aV —3-.

dt    dt ca    ca³

Ueberhaupt erhält man nunmehr aus (2):

dt

oder

0 = (P — jp) -f yÄ--— a —

9

dv I ds | y

dtju'g

aV

I —

J ca³

A

T7T;

§. 80. Ausfluß aus Gefäßen mit nicht verticaler Achse, wenn die Integration im letzten Gliede ausgeführt und das von der

Gefäßform abhängige

Integral

o

mit N bezeichnet wird:

oder

0 = (P — p) + yh — dv

(3) 0 = 2g\!~^+li~\-2aN^

Zur Abkürzung werde jetzt

2 a ÎV = 5 und 1 — •— — C gesetzt

g dt

— V-

= D,

0-

woraus folgt:

dv

0 = D- B^ — CV

dt

und weiter sich ergiebt

dt =

B. dv

D — Cv²

Durch Integration findet man ferner : *)

ŸD+vVÏÏ

——— Lgnt----

2 Vdc    Vd~- v VC

und hieraus endlich:

2 VDG

-i+«

2^5(7 t

1 ! ^

1 + ⁶

Uebersteigt, wie gewöhnlich in der Praxis, der Oberflächenquerschnitt des Wassers den Mündungsquerschnitt sehr bedeutend, so wächst v rasch mit der Zeit t. Nach verhältnißmäßig kurzer Zeit werden daher die Potenzen von e so groß, daß man die Einheiten im vorstehenden Werthe von v gegen die Potenzen von e vernachlässigen, also schreiben kann

d. i.

„=j/

a²

1 — ^r

A²

— bx² 2 Vab LgUt

Y a 4- x V b

Ya — xYb

Derselbe Werth wäre sofort erhalten worden, hätte man in (3)

dv

— = Null, also den Beharrungszustand als bereits eingetreten vorausgesetzt, was ganz der Ableitung desselben Ausdruckes in §.77 entspricht.

Zusatz. Um eine Anwendung von den Euler’schen hydrodynamischen Gleichungen (S. 193) zu machen, werde letzterer Ausdruck nochmals, jedoch für den einfacheren Fall, Fig. 76, abgeleitet, wo die Achse des Gefäßes als vertical gerichtet vorausgesetzt wurde. Man erhält dann zunächst ohne Wei-teres, wenn die Richtung der Schwerkraft als i mit der Z Achse zusammenfallend angenommen j wird und wegen Z = g:

Fig. 76.

A V P_

Jl.....TV.

*--7f In' U

Z dw\    Z dw

\jü) ~ w

gr/

w--:;

I oder, wenn wir, den Bezeichnungen neben-| stehender Figur 76 entsprechend, II statt p ......y ... und u statt w schreiben :

y jp

(£>-(£>

Dann ist aber auch u — — und demnach:

du

0)

(£>

a dv

--— und u

« dt

a²v² da w³ dz }

a dv . a²v² du d    öU *

Multiplicirt man hier auf beiden Seiten mit dz und integrirt, so folgt:

a²v²

W

Setzt man dann sogleich den Fall voraus, welcher am Ende des Paragraphen erwähnt wurde, wofür also = Null ist, so erhält man :

dt

dU

r    dv rdz

n = «L

aV

(5) n = o

daher aus (4)

•] + ß

Hiernach ergeben sich aber, mit Bezug auf die Berechnungen unserer

Y

Figur und wegen o = —, die beiden Gleichungen: 9

P= —

Demnach

Y a²v2 g 2 A²

+ c und p = Çgh —    -f- C.

p — P=yh--— —

Y a²v²

d. i. schließlich wieder :

g M”

a²

A²

§. 81.

Wassermenge.

Um die aus einer horizontalen Gefäßmündung während einer Zeit t fließende Wassermenge zu berechnen, denkt man sich den Weg vt, welchen ein Wasserelement während dieser Zeit durchlaufen würde, als Höhe eines auf der Gefäßmündung normal stehenden Prismas, dessen cubischer Inhalt sonach die fragliche Wassermenge ausdrücken wird.

Bezeichnet demnach Q die pro Secunde ausfließende Wassermenge in Cubikeinheiten, so ist

Qt = avt Q = ciVj oder

I. Q = aß a

A²

Ist P = p und    Jy, so darf man setzen :

II. Q = ißa]/" %gh.

Zusatz 1. Unter Beibehaltung von iß und a erhält man für eine andere Wassermenge Qwenn ti die entsprechende Druckhöhe ist, die Proportion :

Q : Q' = Vh : Vh' —

Zur Vergleichung dieses Satzes mit der Erfahrung können Versuche Bossut’s¹) dienen, der hei nachbemerkten Druckhöhen aus Kreismündungen von 1 Zoll Durchmesser pro Minute an Wassermengen in pariser Cubikzollen beobachtete :

Wassermengen.

Druckhöhen.

1 Fuß

2722 3846 4710 5436

Nach vorstehender Proportion müßte daher sein :

2722 : 3846 = VT : VT 3846 : 4710 = VT: VT 4710 : 5436 = VT: VT 2722 : 5436 = VT: VT

etc.

was genau genug der Fall ist.

etc.

*) Traité d’hydrodynamique §. 513.

§• 82.

Contraction des ausfließenden Wasserstrahles.

Aus dem, was in der geschichtlichen Einleitung Seite 188 und Seite 198 hinsichtlich der hier in der Ueberschrift genannten Erscheinung aus Gefäßmündungen fließender Wassermassen erörtert wurde, erhellt bereits die Thatsache, daß vorstehende Rechnungsresultate viel größere Werthe liefern, als die wirklich beobachteten Ausflußmengen, wenn auch das Verhältniß dieser Wassermassen mit der theoretischen Bestimmung nicht im Widerspruche steht, wie vorher gezeigt wurde. Die Ursache der Contraction der Wasserstrahlen liegt hauptsächlich darin, daß nahe zu der Mündung (noch innerhalb des Gefäßes) der Parallelismus der Schichten gänzlich aufhört, weil besonders die seitwärts der Mündung zuströmenden Wassertheilchen eine Ablenkung des Strahles von der ursprünglichen Richtung erzeugen und hierdurch, so wie durch (wahrscheinlich) noch andere Ursachen (Reibung der Wassertheilchen unter einander und Molecularwirkungen) veranlaßt, eine Zusammenziehung des Strahles (contractio venae) bewirken, wodurch die Mündung nur zum Theil oder gar nicht vom durchfließenden Wasser ausgefüllt wird. Etwas vor der Mündung, außerhalb des Gefäßes, findet die kleinste Zusammenziehung (wenigstens meistentheils) statt und daselbst ist auch der Parallelismus der Schichten wiederhergestellt, weshalb man diesen Querschnitt an die Stelle des Mündungsquerschnittes in die Formeln einführt. Der echte Bruch = a, welcher dabei angiebt, um wie viel der Strahlquerschnitt in der kleinsten Zusammenziehung kleiner als der Mündungsquerschnitt ist, oder, womit die letztere Mündung multiplicirt werden muß, um den Strahlquerschnitt zu erhalten, wird (Seite 198) der Contractions-coefficient genannt.

Man erhält daher für die wirkliche (effective) aus horizontaler Bodenmündung vom Querschnitt a pro Secunde fließende Wassermasse = Q :

Q = ißa av.

Wie bereits in der geschichtlichen Einleitung (Seite 198) erörtert wurde, setzt man:

= tßa,

welche Gleichung dem Bidone’schen Satze entspricht, daß der Ausflußcoefficient das Product aus Geschwindigkeitsund Contractionscoefficient ist.

Zusatz 1.

Im Allgemeinen ist die Contraction ausfließender Wasserstrahlen von sehr vielen Umständen abhängig, die leider lange noch nicht so vollständig bekannt sind, als dies die technische (prac-tische) Hydrodynamik wünschenswerth macht. Das Hauptsächlichste, was sich bis jetzt¹) hierüber (als auch für die Praxis wichtig) sagen läßt, ist folgendes:

*) Die beachtenswerthesten Abhandlungen, Werke etc., welche Bemühungen enthalten, die Contractionsfragen auf mathematischem Wege zu erörtern, beziehungsweise die betreffenden Coefficienten zu berechnen, sind folgende: Bido ne, Memoire sur la Determination théorique de la section contractée

a.    Zunächst hangt die Contraction von der Größe der Druckhöhe und der Mündungsfläche ab (ob auch letztere einspringende Winkel besitzt oder nicht) und wird geringer (die Ausflußmenge größer), je kleiner die Mündungen und je niedriger die Druckhöhen sind.

b.    Ferner ist die Contraction davon abhängig, ob die Mündung unmittelbar in der Gefäßwand angebracht ist¹), oder ob dieselbe durch kurze (cylindrische, conische oder conoidische) innere oder äußere Ansatzröhren gebildet wird. Am kleinsten wird die Contraction, wenn ein derartiges außerhalb der Wandmündung angesetztes Rohr die Gestalt des zusammengezogenen Wasserstrahles hat (siehe nächstfolgenden Zusatz), dagegen wird die Contraction am größten, wenn dies kurze Ansatzrohr cylindrisch, nach Innen, wie Fig. 67 (Seite 197), gerichtet ist und der Ausfluß so bewirkt wird, daß das Wasser die Röhre niemals ausfüllt.

c.    Ist die Contraction von der Fläche abhängig, worin sich die Mündung befindet, und zwar wird sie geringer, wenn die Fläche nach Innen zu concav, größer, wenn sie convex ist.

d.    Ferner hängt die Contraction davon ab, ob die Mündung im Gefäße bis an eine oder mehrere Seitenwände reicht, oder inwendig mit Blech etc. eingefaßt (armirt) ist. Sodann ist die Contraction an den betreffenden Mündungsstellen aufgehoben und man nennt die ganze Erscheinung (Seite 200) die partielle Contraction, im Gegensätze zu der, welche an allen Stellen der Mündung statt hat und deshalb die vollständige Contraction genannt wird. Unter allen Umständen wird die Ausflußmenge vergrößert, sobald eine partielle Contraction auftritt.

e. Endlich ist die Contraction noch davon abhängig, ob das Wasser mit großer oder kleiner Geschwindigkeit vor der Ausflußmündung ankommt, was sich im Allgemeinen wiederum darnach richtet, ob der Mündungsinhalt in Beziehung auf die Gefäßwand oder auf dem Querschnitt des Gefäßes beträchtlich oder gering ist.

Befindet sich das Wasser vor der Ausflußmündung beinahe in Ruhe, so heißt die dann stattfindende Contraction (Seite 205) eine vollkommene, während sie unvollkommen genannt wird, wenn das Wasser mit beträchtlicher Geschwindigkeit vor der Mündung anlangt. Unter sonst gleichen Umständen wird durch das Auftreten der unvollkommenen Contraction die Ausflußmenge vergrößert.

des veines liquides. Memoiren der Turiner Academie, Bd. 34 (1830). — Gerstner, Handbuch der Mechanik, Bd. II (1833), S. 142 (§. 104, Anmerkung). — Na vier, Résumé des leçons sur l’application mécanique. Seconde partie. Nr. 53. — Buff, Poggend. Annalen der Physik und Chemie. Bd. 46 (1839), S. 227. — Feilitsch, Ueber den Ausfluß der Flüssigkeiten aus Oeffnungen in dünner Wand etc. etc. Poggend. Annalen etc., Bd. 63 (1844), S. 1 und S. 215. — Bayer, Theorie der Contraction des Wassers beim Ausflusse durch Oeffnungen in ebener, dünner Wand. Crelle’s Journal f. d. Baukunst. 1847, S. 131. — Scheffler, Die Principien der Hydrostatik und Hydraulik. Erster Band (1847), S. 224, §. 82 ff. — Boussinesq, „Essai sur la théorie des eaux courantes“. Paris 1877, und zwar, von §. 203 ab, unter der Ueberschrift: „Equations differencielles dont doit dépendre la forme de la veine“.

J) Ob diese Wand selbst dünn oder dick ist.

f. Schließlich hängt die Contraction noch davon ab,-ob der Strahl nach Verlassen der Mündung ungehindert in die freie Luft tritt, oder ob sich vor der Mündung, und zwar unterhalb oder seitwärts derselben, Platten oder Flächen finden, an welche sich das Wasser zum Theil hängen und in seiner Bewegung verzögert werden kann, wie solches namentlich bei den Schtitzenöffnnngen der Wasserräder der Fall ist.

Zusatz 2. Um zunächst in Bezug auf die eben bemerkten wichtigen Fragen einige speciellere Antworten beim Ausflusse aus einer kreisförmigen und aus einer quadratischen horizontalen Bodenmündung in dünner Wand¹), bei vollständiger und vollkommener Contraction, zu liefern, theilen wir folgende Versuche Bossut’s²) mit.

Die Mündung war in einer L Linien dicken Platte angebracht und die constante Druckhöhe betrug 11 Fuß 8 Zoll 10 Linien pariser Maß (die Accélération g — 30,1958 pariser Fuß):

d.

Durchmesser des Kreises oder Größe der Quadratseite in Linien

Kleinster Durchmesser Ô des zusammengezogenen Strahles in Linien.

Abstand — e der kleinsten Zusammen-ziehung von der Mündung in Linien.

Kreis

Quadrat

12

24

12

J5D CD CD

"oo "b¹ bo

6—7

12—13

sP P P>

'oo'bo'bo

i^ i—>■ »—■

05 Ul 05

0,542

0,521

0,583

0,6164 0,666 0,6179 0,659 0,6157 0,6658

O t-(M 05 (N 05 Ci Ci

cT cT cT

Aus Versuchen und directen Strahlmessungen, beim Ausflusse durch horizontale, kreisförmige Bodenöffnungen, welche Michelotti der Sohn³) anstellte, läßt sich eine ähnliche Zusammenstellung machen, die wir hier (des Vergleiches wegen) noch folgen lassen:

Druckhöhe Mündungs- Kleinste in    durchmesser    Strahldicke

Pariser

Zollen. in Linien. in Linien.

=T

Abstand der kleinsten Zusammenziehung von der Mündung in Linien.

R.| o?

"5=

77,50

135,25

82,73

140,87

O.©^(5 c4 cT cb' cd"

b- l> 05 CO

56,850

56,756

28,285

28,185

28,45

28,35

14,15

13,85

JO JO jo JO

^ i -«U-U-d

CO GO CO 00 00 CD

»O CO

0,395

0,394

0,393

0,385

jo © jo jo

05 05 05 05

>-¹• >-¹• ►— i—.

*-¹■ to co <o

Als Mittelwerth für Annäherungsrechnungen könnte man hiernach für Oeffnungen in dünner Wand, den Contractionscoefficienten

a = 0,666 . .. = f,

den A u s f 1 u ß c o e ff i c i e n t e n [x = 0,616 und den G e s ch wi n d i gk e i t sc o e f fi c i e n t e n xf) =-^— = 0,925 in Rechnung bringen.

Annäherungsweise und für viele practische Fälle hinreichend genau läßt sich auch nach den Bossut’schen Versuchen die Form des züsam-

Fig. 77.

a IQ 1)

TfT

C 8 di

ß-""

13

mengezogenen Strahles dadurch bestimmen, daß man das Verhältniß der Mündung zur kleinsten Strahldicke, zur Entfernung der letzteren, wie d : 8 : e = 10:8:5 setzt, wonach sich auch der Krümmungshalbmesser oa—oc derBegrenzungscurve ac des Conoides abcd zu 13 ergiebt, wenn man anders die Curve ac als einen Kreisbogen betrachtet.

Die Michelotti’schen Werthe liefern das Verhältniß d : 5 : e = 100 : 79 : 39.

Zusatz 3. Aus dem Vorstehenden ergiebt sich überdies noch der höchst wichtige Satz, daß in allen Fällen, wo man eine Contraction des Wasserstrahles zu erwarten hat, die Fläche der Mündung a, durch welche das Wasser läuft, durch den Querschnitt a a der größten Zusammenziehung in den betreffenden Formeln ersetzt' werden muß.

Aus den Gleichungen für v, S. 210 und 3, §. 79, wird sonach:

v ==■ iß

a²a²

A²

era²

VT

und

a ² a²

J.²

Für die pro Secunde aus der Mündung vom Querschnitte a wirklich ausfließende Wassermenge erhält man endlich:

Q = ißa av = flau = [xa

__aV

A²

Beispiel. Welche Wassermenge fließt durch eine kreisförmige Bodenöffnung in dünner Wand bei vollkommener und vollständiger Contraction, wenn die constante Druekhöhe h — 4W,0, der Mündungsquerschnitt a = 0Em,02, der Querschnitt des horizontalen Oberwasserspiegels A = 0üm,80 beträgt, der Contrâctionscoefficient a = 0,64 und der Ausflußcoefficient fx = 0,62, endlich der Druck P gegen den Oberwasserspiegel gleich dem p gegen die Mündung gesetzt werden kann. Auf 1 ö s ung. Da ]/"2g = 4,4292, 2gh — 2 . 4,4292 = 8m,8584,

ya \ ^

——j = 0,000256, so ergiebt sich

ferner

v = 8m,86 und

Q = 0,62 . 0,02 . 8,86 == 0,1099 Cubikmeter pro Secunde.

§• 83.

Verengungen und Erweiterungen im Innern der Gefäße.

Fig. 78.

Kommen im Innern eines Gefäßes, ~M aus welchem Wasser strömt, dünne j; Scheidewände, wie in Fig. 78 vor, so

______j§ treten plötzliche Geschwindigkeitsände-

Bggg rungen und somit Verluste an lebendiger Kraft ein, welche mehr oder weniger auf die Größe der Ausflußgeschwindigkeit und Wassermenge von Einfluß sind.

Die betreffenden Rechnungen in solchen Fällen haben, bei Anwendung des Principes der lebendigen Kräfte, ganz

---—einfach auf die vorkommenden Geschwin-

ccav    digkeitsverluste (nach dem Vorgänge

Borda’s, S. 197 und nach dem Carnofschen Principe) Rücksicht zu nehmen, sind aber sonst .den vorhergehenden ganz gleich führen.

_A

■■■

ZU

Unter Beibehaltung der früheren Bezeichnungen, sei jetzt ax der Contractionscoefficient für die Mündung RD, der Querschnitt der letzteren und vY die Geschwindigkeit daselbst. Das Gefäß EN habe überall den Querschnitt Aj und die Schicht EF in demselben besitze die Geschwindigkeit = F₂. Die Pressungen in A und a mögen gleich groß sein.

Zuerst werde sodann bemerkt, daß hier

AV — aj a, vx = Aj Vx = aavj oder

aa    n Tr aav . ,

=-v und F = —;— ist.

a₁a₁

Wegen des plötzlichen Ueberganges der Bewegung aus dem Querschnitt ED in den Querschnitt EF entsteht ein Geschwindigkeitsverlust:

t r    CCß

Vi — Kj = -V —

Cj ö!j

Al V

und daher ein Verlust an lebendiger Kraft:

a² a².

Kräfte :

A²

So wie nach dem Principe von der Erhaltung der lebendigen

m (y² — F²) -f- \ mv² Ç-

«i«i

ü²

so wie

IC¹

a²a²

A²

) + «■«’(

«iai

l

-j—J ccV² = gnih, oder

2gh

Fig. 79.

Für den Fall, daß das Gefäß die Form

--wie Fier. 79 besitzt, also ax — Ax ist, wird aus I:

vw    ___.

II.

ST

-V7

2gh

)+£GH0'

1511 1

Nimmt endlich das Gefäß die Gestalt von d. h. wird a — A1} a == 1,

*ir

Fig-. 80.

Fig. 80 so erhält man :

III.

an

2gh

1 --4-

A*

jr

v

arllbs^

oder en(llich, wenn recht klein ist, ergiebt sich :

s®

SË

IV.

-Vi

²(Jh

+(W

ein bereits (nach S. 197) von Borda für die Ausflußgeschwindigkeit bei kurzen cylindrischen Ansatzröhren gefundener Ausdruck.

Für ctj = 0,64 wird aus IV :

v = 0,872 V2gh₁

während der Mittelwerth aus den directen Versuchen giebt:

v = 0,816 ]/"2gli.

Die Ursache der nicht völligen Uebereinstimmung liegt wahrscheinlich an der Nichtbeachtung des Anhängens der flüssigen Massen an den Gefäßwänden, so wie überhaupt an unserer Nichtbekanntschaft mit der wahren Natur der flüssigen Massen.

Spätere Paragraphen werden weitere Erfahrungen und Aufschlüsse über diesen Gegenstand enthalten.

Zusatz 1. Mannigfache technische Anwendungen machen die Fig. 81.

A V

Betrachtung einiger speciellen Fälle besonders wünschens-werth.

mm,

Bei einer Verengung, wie Fig. 81, erhält man, wenn die in der Figur eingeschriebenen Bezeichnungen angenommen werden, einen Verlust an lebendiger Kraft:

iwl^L_AV.

²    y

tung der lebendigen Kräfte :

Bezeichnet man mit z die Widerstandshöhe oder den Druckhöhenverlust, so giebt das Princip von der Erhal

(—

i)V

== gmzy d. i.

1.

V*jßi y 2g

Rühlmann’s Hydromechanik.

15

Wird hier

V2

= T] gesetzt und T] (nach Weisbach)

der Widerstandscoefficient genannt, so erhält man auch

F²

z = n — -

Zusatz 2. Hat das Gefäß die Form von Fig. 82 und machen wir von den eingeschriebenen Bezeichnungen Gebrauch, so erhält man für den Verlust an lebendiger Kraft, wegen der Erweiterung bei ab:

Fig. 82.

_A V

-- -

■0-x)

±m(V— F,)² =\mV

Ferner wegen der Verengung bei cd, einen Verlust:

= W

Und wenn zk den Verlust an Druckhöhe oder die sogenannte Widerstandshöhe bezeichnet, nach bekanntem Principe:

l-F¹

Cx-0‘

Fig. 83.

a v

HSE

Zusatz 3. Besitzt endlich das Gefäß die Gestalt von Fig. 83, so wird bei ab ein Verlust an lebendiger Kraft entstehen, der gleich ist:

= gmzk) d. i.

ai

Mb

ł”Gr-rO

= \mV

J_ A_

«i ’ Ai

Av

= \mVi

ferner bei cd ein Verlust stattfinden, der gleich ist: \m(Vi — F)² — X my

Bezeichnet daher jetzt z₂ die Widerstandshöhe, so folgt, wie vorher:

^a-o'ay+^'C-^-o

woraus sich ergiebt:

-sia-o’æ+G

■a-o-

= gm* 2J

OT

§• 84.

Ausfluß durch Bodenmündungen unter Wasser.

Es sei MN, Fig. 84, ein beliebiges Gefäß ohne innere Kanten und Vorsprünge, überall sanfte Uebergänge von einer Wandstelle zur anderen bildend, dessen Mündung NN auf eine Tiefe hk unter dem constanten Wasserspiegel 00 in dem besonderen Gefäße ER taucht. Unmittelbar bei NN verbreite sich die ausströmende Flüs-

Fig. 84.

sigkeit plötzlich in den Querschnitt SS, während die über NN vorhandene Druckhöhe A während des ganzen Ausflusses dieselbe bleibt, endlich die Pressungen auf dem Spiegel bei MM und 00 einander gleich sind.

Gebraucht man auch hier die in Ęjo den Figuren eingeschriebenen Be-JĘ jäz Zeichnungen, wobei dieselben Buch-jjfeiiifff staben die bereits früher festge-PgÄy stellten Bedeutungen haben, so erhält man, ohne zuvörderst Bücksicht auf plötzliche Geschwindigkeitsänderungen zu nehmen, nach dem Principe von der Erhaltung der lebendigen Kräfte:

(1)    }m(F₂² — V²) = gm (A — Ax).

Wegen der plötzlichen Geschwindigkeitsänderung im Querschnitte SS hat man nach Car not’s Satze einen Verlust an lebendiger Kraft in Rechnung zu bringen, der

\m(v — Fj)²

beträgt. Deshalb nach dem Principe von der Erhaltung der lebendigen Kräfte:

. (2) Im (P₂²    F₂)² = gm (A - hx).

Nun ist aber aav = AV — Ax V, — A₂ F₂, folglich:

T7 aa T7 aa T7 aa

V=^rv,V, = — v,V₁ = — v

°\wr

mm

4-8

iii!

1 ' ' '

und daher aus (2)

a²a²    cc²«²

\mv‘ ^

aa

Q) — gm(h — hi).

d. i.

2g (h — hi)

a²a²

(£-£)+0-£)

Sind A, Ai und A₂ recht groß und a recht klein, so folgt genau genug

II.

u = ]/"2g (A — Ai).

§. 85.

Ausfluß aus bewegten Gefäßen.

Es sei MN, Fig. 85, ein beliebiges Gefäß, welches sich in einer gleichförmigen Drehbewegung um die Verticalachse XX und zwar mit der Winkelgeschwindigkeit to befindet. Im Boden dieses Gefäßes sind sehr kleine Oeffnungen BD und EF angebracht, durch welche Wasser strömt, und zwar in der Art, daß die ausgeflossene Wassermenge stets durch einen genau eben so großen Zufluß ersetzt wird, die Druckhöhen über den Mündungen also constant sind, endlich auch der Beharrungszustand des Ausflusses bereits eingetreten ist.

inyof

Fig. 85.

mm

und woraus folgt:

Aus §. 7, Zusatz 3, ist für diesen Fall bekannt; daß die Oberfläche der flüssigen ~im Masse ein Paraboloid und die Durchschnittslinie AabcÄ der Oberfläche mit einer Ver-ticalebene eine gemeine Parabel bildet,

2 Q

n deren Parameter ist, wenn g wie bisher die Accélération der Schwerkraft bezeichnet¹).

Die Gleichung der betreffenden Durchschnittslinie ist sonach:

2 %

v = —— x

u    co²

G/»)²

= X.

Da nun yw die Umfangsgeschwindigkeit ist, welche ein Punkt a der Oberfläche besitzt; der sich in einer Entfernung = y von der Drehachse befindet, so erhält man auch, wenn diese Geschwindigkeit mit u bezeichnet wird:

Mit Hülfe dieses Ausdrucks wird man aber in den Stand gesetzt, anzugeben, um wie viel die Druckhöhen für Ausflußmündungen sich vergrößern, die nicht unmittelbar an der Drehachse angebracht sind.

Bezeichnet man daher die Druckhöhe eb für die sehr kleine Mündung BD mit h, so erhält man für die Druckhöhe einer ebenfalls kleinen Mündung EF, die um eg von der Drehachse absteht,

¹) Der Beweis hierzu läßt sich u. A. auch folgendermaßen führen. Es sei a ein beliebiger Punkt der gedachten Durchschnittslinie, so wird ein daselbst befindliches Wasserelement = m mit der Kraft gm vertical niederwärts, zufolge der Fliehkraft aber auch gleichzeitig mit der Kraft myco² radial auswärts getrieben, wenn y die Entfernung des fraglichen Elementes von der Drehachse XX bezeichnet. Zerlegt man diese beiden Kräfte in Composanten, welche mit der Tangente des Curvenelementes bei a zusammenfallen, während andere in die Richtung der Normale zu liegen kommen, und beachtet, daß, für den Gleichgewichtszustand, letztere durch die Cohäsionskraft der Wasseroberfläche aufgehoben werden müssen, erstere sich aber das Gleichgewicht halten, so erhält man für letzteren Fall die Bedingungsgleichung :

(1) myco sin cp = gm cos cp,

sobald cp den Winkel bezeichnet, welche die Tangente bei a mit der Verticale einschließt. Beachtet man nun, daß, wenn bd = x und ad — y die recht-

dy

winkligen Coordinaten des Punktes a sind, tg cp = ~g— ist, so folgt aus (1)

dy    g

u*y tg cp = g und co²y    = g, oder ydy = dx.

Integrirt man den letzteren Ausdruck, so ergiebt sich endlich:

2 ^ y = i?⁻*-

mittelst des obigen Ausdrucks

c9 = * + ck = h + —,

wobei natürlich, wegen cd = ëg, die Größe w die Umfangsgeschwindigkeit bezeichnet, welche die Mitte der Mündung EF bei gleichförmiger Umdrehung des Gefäßes um die Achse XX besitzt.

Aus der Mündung EF wird daher das Wasser mit einer Geschwindigkeit = v fließen, welche ist :

I. v =

Aus der Mündung BD strömt dagegen das Wasser mit einer Geschwindigkeit :

II. v = xß V2gh.

Diese Formeln sind übrigens von der Gefaßform ganz unabhängig und sind selbst dann noch anwendbar, wenn sich unterhalb b, in der Richtung mbn eine Wand befindet, welche das Zustandekommen des Paraboloids ganz verhindert, wie dies namentlich bei gewissen horizontalen Wasserrädern der Fall ist.

Beispiel. Welche Wassermenge fließt pro Secunde aus einer Bodenöffnung EF von a = 0m,0l Querschnitt in dünner Wand eines cylindrischen Gefäßes MN angebracht, welches sich gleichförmig um eine Verticalachse dreht, wenn die constante Druckhöhe an der Stelle der Drehachse gemessen h = 4m,0 beträgt, die Mitte der Oeffnung EF um 0m,2 von der Drehachse absteht, der Radius des kreisförmigen Querschnittes bn = eN = 0W,3 ist und endlich pro Minute 80 Umdrehungen erfolgen, der Ausflußcoefficient aber gleich 0,62 gesetzt werden kann.

2jt. 80

Auflösung. Zuerst ist 0) =

60

8,3773, folglich:

u = xw = 0,2 X 8,3773 = 1,67546, daher: v = J/2 . 9,8088 . 4 + (1,67546)*" v = 9m,01 und

Q = 0,62 . 0,01 . 9,01 = 0,05558 Cubikmeter.

§. 86.

Ausfluß aus einem Gefäße mit verticaler Achse, welches mit bestimmter Accélération auf- (oder abwärts) bewegt wird.

Es sei MN, Fig. 86, das bemerkte Gefäß, dessen Masse, einschließlich des darin befindlichen Wassers, am Ende einer Zeit t gleich m (also vorerst veränderlich) gesetzt werden mag, ferner sei M die Masse eines Gewichtes Q, wodurch eine Bewegung des Gefäßes MN vertical aufwärts veranlaßt wird, endlich V die Geschwindigkeit, welche am Ende der Zeit t, Gefäß wie Gewicht Q gemeinschaftlich besitzen. Die Masse der Rollen rr, über welche für den gedachten Zweck die völlig biegsame Schnur S geleitet ist, werde eben so vernachlässigt, wie die Reibung der Rollzapfen in ihren Lagern.

Fig. 86.

IP

Q

Am Ende der Zeit t wohnt daher dem bewegten Systeme eine lebendige Kraft inne, welche gleich ist:    m

¹

Ueber die Contractionserscheinungen beim Ausflusse des Wassers durch cylindrische, prismatische, conische und conoidische Ansätze, wird später ausführlich berichtet und gehandelt.

²)    Traité d’hydronamique. Tome second, §. 462, §. 487 und §. 488.

³)    Hydraulische Versuche. Deutsche Ausgabe, S. 244.

f (Af+ .m) F².

Der Zuwachs an lebendiger Kraft in-# nerhalb eines Zeitelementes dt wird daher I⁶ betragen :

AViC (1)

Die mechanische Arbeit, welche dem Systeme während derselben Zeit dt eingeprägt wird, beträgt ferner

(2) g (M — m) Vdt;

daher nach dem Principe von der Erhaltung der lebendigen Kräfte, aus der Vergleichung von (l) .und (2)

(M+ m) VdV + \V²dm = g [M — m) Vdt, woraus gefunden werden kann:

(3)    =    +

Für die Bewegung des Wassers im Gefäße, bevor der Beharrungszustand eingetreten ist, hat man ferner nach (3), §. 80, für gegenwärtigen Fall:

Aus der Verbindung von (3) mit (4) erhält man leicht v und somit die Lösung der fraglichen Aufgabe, unter der Voraussetzung, daß die Druckhöhe z constant ist.

Ist bereits der Beharrungszustand des Wasserflusses eingetreten, so werden auch v und m constant, folglich dv und dm zu Null und daher aus (3) und (4):

und

v² /L a² \

s = -rK}-^)

v = y/2gz

2M

(#+«)( 1-Ç)'

Wird das Gefäß mit unveränderlicher Geschwindigkeit, also

gleichförmig aufwärts bewegt, so ist ehern Falle aus v wird:

Null zu setzen, in wel-

V = v2gz, d. h. das Wasser strömt mit derselben Geschwindigkeit aus, als befände sich das Gefäß im Zustande der Ruhe. Für den Fall der

Abwärtsbewegung des Gefäßes ist die Accélération negativ in Rechnung zu bringen.

Weiteres über den Ausfluß aus bewegten Gefäßen findet sich in folgenden Werken: Bossut, Traité d’hydrodynamique (auch deutsch von Langsdorf). Tome premier. §. 296. — Scheffler, die Principien der Hydrostatik und Hydraulik, Bd. I, §. 126. — Grashof, theoretische Maschinenlehre, Bd. I (Hydraulik), §. 81.

Zweites Gapitel.

Ausflup aus horizontalen Bodenöffnungen bei veränderlicher Druckhöhe.

Vf

§:⁸⁷•.

prismatisches Gefäß vom Querschnitte ilches von der Bodenmündung, deren m' Querschnitt = a ist, bis zu einer Höhe Nm = = h, mit Wasser gefüllt ist und daher das Volumen des letzteren gleich A . h einschließt.

Man soll die Zeit = t finden, nach welcher die anfängliche Druckhöhe auf nN = njA, — x m i herabgesunken ist. Hierzu erhält man sofort iv' die Gleichung :

— Adx = \iadt    2gx, also

Es sei MN, Fig. 87, ein = A, we

Fig*. 87.

|l!

ft

dt = —

dx

_• ——, woraus folgt:

\iay 2g X*

kr

h

dxx

-i

, d. i.

\iaY%g

Für die Zeit = fj des völligen Leerlaufens, wo x = Null, erhält man sonach:

(Vh —Vx).

2 AY h

fia}/ 2g

Die Zeit t₂, während welcher, unter Voraussetzung einer constanten Druckhöhe = h, das Volumen A. h aus demselben Gefäße geflossen sein würde, läßt sich ohne Weiteres durch die Gleichung finden:

\iat₂]/r2gh — Ah, woraus folgt:

t%= AVV - "

V>aY² 9

bei constanter Druckhöhe herausfließen sollte.

Die Zeit des Leerlaufens eines prismatischen Gefäßes ist hiernach genau doppelt so groß als die Zeit, welche erforderlich sein würde, wenn dasselbe Volumen

Anmerkung. Die Formel II. enthält die Voraussetzung, daß der Ausfluß, vom Anfänge bis zur völligen Entleerung des Gefäßes keine Störungen durch Wirbel und Einsenkung in der Mitte des niedergehenden Wasserspiegels erfährt, was in der Wirklichkeit nicht der Fall ist. Sobald vielmehr der Wasserspiegel bis zu einer gewissen Tiefe herabgesunken ist, bildet sieh über der Mündung ein Trichter, der eine Verminderung der Druckhöhe zur Folge hat und der selbst dann nicht vollständig vermieden werden kann, wenn man auf der Oberfläche der Flüssigkeit, in geeigneter Weise, leichte Körper, z. B. eine Holzscheibe, schwimmen läßt, die sich mit dem Wasserspiegel gleichmäßig senken. Die Uebereinstimmung der Formel II. mit der Beobachtung ist aus diesen Gründen nicht so groß, wie dies bei der Formel I. der Fall ist, sobald die Senkung nicht zu tief herabgegangen ist, wie insbesondere aus nachfolgendem Beispiele und desfalligen Experimenten Bossut’s hervorgeht ¹).

Beispiel 1. In welcher Zeit senkt sich der Wasserspiegel in einem prismatischen Gefäße vom Querschnitte = A = 9 OFuß (Pariser Maaß),

beträgt und die Ausflußöffnung in dünner Wand ein Kreis von 2 Zoll Durchmesser ist?

Auflösung. Nimmt man mit Bossut \i = J- = 0,625 an, so findet sich nach I:

um

4 Fuß,

wenn

die anfängliche Druckhöhe 11 Fuß 8 Zoll

0,625 . 0,785 (|)² f/~2g (P¹¹’⁶⁶    P⁷>⁶⁶)

und wenn (ebenfalls mit Bossut) g = 30,1958 Pariser Fuß gesetzt wird, folgt t = 110,59 Sec. = 1 Minute 50,59 Sec., während die Beobachtung t = 1 Minute 52 Sec. gab.

Diese mit noch anderen Beobachtungen desselben Experimentators stellen wir in folgender Tabelle zusammen, wobei bemerkt werden mag, daß die Uebereinstimmung noch größer gewesen wäre, hätte Bossut [X entsprechender angenommen.

Anfängliche

Druckhöhe.

Durchmesser

der

Senkung

des

Beobachtete

Berechnete

kreisförmigen

Mündung.

Oberwasser

spiegels.

Zeit.

Zeit.

11 Fuß 8 Zoll

1 Zoll

4 Fuß

7 Min. 22,36 S. 1 „    50,59 „

20 „ 16,0 „ 5 „    4,0 „

Beispiel 2. Zur Bestimmung des Ausflußcoefficienten in ebener ’) Bossut, Traité d’hydrodynamique. Tome second. Nr. 560 und 561.

dünner (Blech-) Wand bei vollständiger und vollkommener Contraction, maß und beobachtete Weisbach¹) den Querschnitt des betreffenden prismatischen Gefäßes A = 4388,7 Quadratcentimeter, folglich

y = 1981,7, (VTg = 4,4292);

ferner fand derselbe den Durchmesser der kreisförmigen Mündung = 3,965 Centimeter, daher den Inhalt der Mündung: 12,347 Quadratcentimeter, die anfängliche Druckhöhe h = 0W,7520 und am Ende der Beobachtungszeit von t = 63,5 Secunden, die Druckhöhe hx = 0,3940. Es fragt sich, wie groß sich hiernach jn berechnet?

Auflösung. Unsere Formel I. giebt:

d. i.

*A(Vh-Vh{)

at Y~2g

1981,7

^ ~~ 12,347 . 63,5

( I/O,7520 — KO,3940),

|ii = 0,605.

§. 88.

Um die Aufgabe des Ausflusses bei veränderlicher Druckhöhe allgemein zu lösen, müßte man mit Hülfe des zwischen der veränderlichen Druckhöhe x über

(§. 80) die Beziehung der Gefaßmündung a, Fig. 88, und der entsprechenden Ausflußgeschwindigkeit v für jede beliebige Zeit aufstellen.

Fig. 88.    Wir wählen hierzu den Fall, daß das

Gefäß eine verticale Achse, aber veränderlichen Querschnitt hat, so daß, unter Beibe-| haltung der Bezeichnungen des (§. 80), A den veränderlichen Flächeninhalt des sinkenden Oberwasserspiegels bezeichnet und aus h der Gleichung (3) des gedachten Paragraphen folgt:

y (i)©-a,p=*-h»

Zu dieser Gleichung kommt noch die

M'

VL

_A

Vl_

- izn:l

x\

dv

— 2 aN4—

dt

frilFi

uav

sich von selbst verstehende Bedingung:

(2) avdt = — Adx.

Eliminirt man aus diesen beiden Gleichungen t und setzt überdies v = ]/"2<7T], wo t) eine veränderliche Druckhöhe bezeichnet, so ergiebt sich:

(- x~J dx + Ndr\ — rj ^1 — dx.

Die Integration dieser Gleichung ist ohne besondere Einschränkung für die meisten Fälle mit so besonderen Schwierigkeiten verknüpft, daß für unsere Zwecke auf Navier's »Résumé des

(3) 0 = [—

leçons“ etc., Deuxième Partie, Nr. 42, verwiesen werden muß. Für die meisten unserer practi sch en Anwendungen kann man in der Regel a² so klein gegenüber A voraussetzen, daß alle mit a² mul-tiplicirten Glieder wegzulassen sind und aus (3) erhalten wird /    P — p .

——\-x = %

oder wenn man zu gleicher Zeit P = p voraussetzt:

V² A .

²9

x = T] = ——, d. 1.

(4) v — ]/ 2 gx.

Aus der Verbindung von (2) mit (4) folgt aber sodann, wenn zugleich \ia statt a gesetzt wird:

fladt ]/2gx — — Adx, folglich :

— Adx

(5) dt =

[xa y 2gx

Ist A constant und die anfängliche Druckhöhe = h, so erhält man für die Zeit der Senkung um h — x, so daß die Druckhöhe am Ende der Zeit t zu x geworden ist, ohne Weiteres:

A_ / dx

V²dJ Vx

h

(V h — Vx),

\iay 2ff

d. h. denselben Ausdruck, welcher bereits §. 87 gefunden wurde.

Die Gleichung (5) werde nunmehr dahin erweitert, daß sie für den Fall brauchbar ist, wo pro Secunde ein Wasserquantum q oder qdt pro Zeit dt zufließt, welches kleiner oder größer ist, wie die durch die Mündung abfließende Wassermenge.

Da die Geschwindigkeit, womit sich das Wasser an der Oberfläche ersetzt -j- ist, so erhält man statt (2) :

liadtj/"2gx -f-    -f- qdl₇ sonach

— Adx

— q + ŸZgx-\-Q£) meisten Fällen ist jedoch (^|~^) a^s    genug zu

dt =

In den

vernachlässigen, so daß überhaupt folgt:

(7) dt= Adx -₌-

— 2 + V>ay 2ffx

Hierbei ist einleuchtend, daß der Oberwasserspiegel sinkt oder steigt, je nachdem q ^ \m 2gx ist. Ebenso versteht sich von selbst, daß bei nicht prismatischen Gefäßen von der Integration

der Gleichungen (5) oder (7) der veränderliche Querschnitt A als Function von x ausgedrückt werden muß. Aufgaben der folgenden Paragraphen werden über alle diese Bemerkungen vollständigen Aufschluß geben.

§. 89.

Aufgabe 1. Wasseruhren. Ein cylindrisches Gefäß von kreisförmigem Querschnitte, dessen Durchmesser D = 1 Meter, mit senkrechter Achse, ist bis auf h — 4 Meter Höhe mit Wasser gefüllt.

Es fragt sich, welche Große die AusflußÖfFnung erhalten muß, und nach welcher Regel die Scala anzufertigen ist.

Auflösung. Zuerst liefert die Gleichung II, §. 88, den er-

d²7t

forderlichen Werth von a — ——, wenn d den Durchmesser der

4

kreisförmigen Mündung bezeichnet:

' Im Boden desselben soll eine kreisförmige Mündung und an den Seiten des Gefäßes oder an einem (leichten) Schwimmstabe eine derartige Scala angebracht werden, daß in entsprechender Weise Stunden und Minuten abgelesen werden können, überhaupt eine sogenannte Wasseruhr (klepsydera) entsteht, welche zwölf Stunden geht¹).

2 y h

f** i V²9

Der Aufgabe gemäß ist hier D = 1, 7? = 4 und ty = 12.3600 (Secunden), daher (wegen JA2g = 4,43), wenn \i = 0,62 angenommen wird:

d = ÿ-

0,62.12.3600. 4,43

d = 5,806 Millimeter.

durch die Proportion :

Ist, wie vorausgesetzt, tl die Zeit, in welcher das Gefäß ganz leer läuft und liY die anfängliche Druckhöhe, so m*hält man die einer andern Zeit t₂ entsprechende Druckhöhe = ä₂, nach II, §. 88

: t₂ == '[/‘hi : }/"A₂, also

'■V>

*.=

Nach letzterer Formel erhält man für die Scala einer ZwÖlf-Stunden-Uhr :

Zeiten in Stunden.

10

11

12

Höhen vom Gefäßboden aus gerechnet.

4m

3m,361

2W,777

2m,250

lw,777

lm,36l

1™,00 0W,694

0m,444

0m,250

0m,lll

0W,028

Abbildungen derartiger Uhren findet man in Re^es’ „Cyclopaedia“. Artikel: Horology, Plates Vol. II.

Jedenfalls darf diese Uhr nur so weit ablaufen, daß die bereits §. 87 erwähnte Trichterbildung über der Mündung nicht eintreten kann.

Zusatz. Wäre ein Gefäß anzugeben verlangt worden, dessen Querschnitte Rechtecke von constanter Breite = by aber veränderlicher Länge = y bilden, welches die Eigenschaft besitzt, daß sich beim Ausflusse aus einer kleinen Bodenöffnung a desselben der Wasserspiegel in gleichen Zeiten um gleich viel senkt, so brauchte man in (5), §. 88,

dcc    1

die Ausflußgeschwindigkeit nur constant = — zu setzen, worauf man erhalten hätte

fiafC 2 gx

Da jedoch A = by angenommen wurde, so folgt:

, woraus sich

Je =-

[xa y 2gx

y* ₌ Q*àÏl?y . X

Qaüpiy ist

ergiebt, d. h. die Querschnitte rechtwinklig zur Seite b müßten gemeine Parabeln bilden, deren Parameter

§. 90.

Fig. 89.

'B

Aufgabe 2. Geschwindigkeit der Kolben b ei Wasserpumpen. Es ist die Geschwindigkeit anzugeben, mit welcher der Kolben K einer Wasserpumpe, Fig. 89, aufwärts gezogen werden darf, damit das Wasser noch im Stande ist, dem aufsteigenden Kolben zu folgen.

vom

Auflösung. Hierzu ist zuvörderst die Zeitt zu berechnen, innerhalb welcher das Wasser den Kaum Säugventile CD bis zum höchsten Kolbenstande durchläuft, was, nach einiger Ueberlegung, mit Hülfe von Gleichung I, §. 87, geschehen kann, sobald man von den passiven Widerständen absieht, welche das aufsteigende Wasser zu überwinden hat.

Bezeichnet daher 8 den Durchmesser der Ventil-Öffnung, D den des Kolbens, 1 den Abstand des Säugventils vom Unterwasser, l den Kolbenhub und b die Wassersäule (= KT,333), welche dem Drucke einer Atmosphäre entspricht, so erhält man für die anfängliche Druckhöhe = h :

h — b — h

ferner für die Druckhöhe am Ende des Hubes:

x = b — l — ly

sowie

D²

und somit

2 D²    __ _)

W7=]VTzn_Vb_l_l\.

Sodann ergiebt sich die Geschwindigkeit u, womit das Wasser dem Kolben folgt, zu u = —. Besitzt nun der Kolben selbst eine

Geschwindigkeit = v₉ so muß offenbar u v sein, wenn das aufsteigende Wasser den Raum hinter dem Kolben stets gehörig ausfüllen, also die Pumpe überhaupt gut wirken soll.

Um die vorerwähnten, passiven Widerstände einigermaßen zu corrigiren, kann man mit D’Aubuisson¹) den kleinsten möglichen Werth von p, nämlich 0,5, in Rechnung bringen²).

Beispiel. Bei einer Pumpe, wo l = lm,453 beträgt und pro

2.1,453.4,5

Minute 4P Hübe erfolgen, ist v =

60

— 0m,218.

Ist ferner D ■= 0TO,3248, d = 0m,135, 1 = 8m,0 und wird b = 10w,0 gesetzt, so liefert vorstehende Formel:

t = 3,508 Secunden,

1,453 3,508

folglich ganz entsprechend ist.

sonach u =

= 0m,414, was beinahe noch einmal so groß als v,

§• 91.

Aufgabe 3. Ausfluß aus pontonförmigen Gefäßen. In dem Boden des pontonförmigen Gefäßes, Fig. 35, befinde sich eine Mündung vom Inhalte = a, die Länge des Wasserspiegels sei = Z, seine Breite = B und die anfängliche Druckhöhe = h. Für die Bodenfläche sei l die Länge und b die Breite.

Man soll die Zeit bestimmen, nach welcher so viel Wasser ausgeflossen ist, daß die dann vorhandene Druckhöhe = x beträgt

Auflösung. Die Beantwortung der hier gestellten Frage ergiebt sich unmittelbar mit Hülfe von Formel (5), §. 88, sobald man A als Function von x ausgedrückt hat.

*) Traité d’hydraulique, Nr. 447.

²) Prof. Fink in seinem empfehlenswerthen Buche „Theorie und Construction der Brunnenanlagen“ etc., 2. Auflage (Berlin 1878), S. 121, findet für (Metermaaße) die Maximal - Kolbengeschwindigkeit = u der Wasserpumpen

u = j/~2g (j — *

1/ 2g (b — X — h₂) für doppelt wirkende Pumpen u ~ V    4^8    mit Saugwindkessel.

— A₂) für einfach wirkende Pumpen mit Saugwindkessel,

Mit h₂ bezeichnet Fink die Druckhöhe, wodurch die Reibungswiderstände gemessen werden.

Nach §. 33, S. 63 erhält man aber für die veränderliche Länge a der Wasserfläche im Abstande x vom Boden

a = l -J-

x (L — l)

so wie für die betreffende Breite == ß :

folglich

[lh + x (L — l)] [bh + æ (B — b)]

x(B-b)

daher

l₍z-0(5-a)

Für die Zeit der völligen Entleerung, wenn die Trichterbildung über der Mündung vermieden werden könnte, erhielte man, weil dann x = Null zu setzen wäre :

Vh

\xaV^g

Zusatz 1. Ist das Gefäß ganz unregelmäßig gestaltet, wie dies z. B. bei Teichen oftmals der Fall ist, so hat man sich zur Berechnung der Ausflußzeit einer Annäherungsmethode zu bedienen, wobei am Besten von der Simpson’schen Regel Gebrauch gemacht wird.

Bezeichnet man zu diesem Zwecke die Senkung des Wasserspiegels mit h₀ — hn, theilt letzteren Abstand in n gleiche Theile, bezeichnet die Flächeninhalte der correspondirenden Wasserspiegel respective mit A₀, AIt A

h₂ . . . hn und beachtet endlich die Form der Gleichung 5 (§. 89): Adx

. . An, so wie die entsprechenden Druckhöhen mit hQ, hly

dt

\ia y 2gx findet sich:

behält übrigens die bisherigen Bezeichnungen bei, so

K ^n j -^o i A-n i £ f

Zn\\aYj Yh₀    Vhn

2 C 1 —

kV», “ Vk ' ' ' Vk~*

-    An-1    ,

V*.‘ ’Vk-J

As

)!■

Die Wassermenge — Q, welche in dieser Zeit ausgeflossen ist, erhält man zu:

K~hn I

!^o    i(A, —j— A₃ —(— * . . >4n_₁)-)-2 (^d₂ A₄ . . . An_₃)]‘

Zusatz 2. In dem Falle endlich, wo die Gestalt und Größe des Wasserbehälters, aus welchem der Ausfluß erfolgt (auch der etwaige Zufluß), unbekannt, dagegen die Mündungsgröße gegeben ist, sucht man

ebenfalls mit Hülfe der Simpson’schen Regel der Formel dQ — \xadt]A2gx Genüge zu leisten, was folgendermaßen geschehen kann.

Man theilt die ganze Zeit, während welcher der Ausfluß beobachtet

•    x

wird, in n gleiche Theile und trägt — (—dt) als Abscissen einer Curve,

n

auf deren Ordinaten die während der Zeitintervalle —— beobachteten

n

Druckhöhen hQ, h₂ . . . hn sind. Der Inhalt der betreffenden Fläche entspricht sodann der Summe von dĄ/'xy so daß die während % Zeit ausgeflossene Wassermenge Q überhaupt dargestellt wird durch

Q = \xa

—-Y^g\y^o + Vk + ⁴ (K\ + ï/% . . . VK-\) +

2 (Và₂ -j- JAh₄ . . . ]/"hn_J)I*

- §. 92.

Aufgabe 4. Ausfluß aus einem dreiachsigen Eil ipso i d. Es sei ABCDTJEA, Fig. 90, ein hohles dreiachsiges Ellip-Fig. 90.    soid, wobei die Größe der Halbachsen

a₇ b, c ist. Am Ende U der vertical gestellten Achse TJA = 2c sei eine kleine Oeffnung vom Inhalte co angebracht. Bei Herstellung der letzteren sei das Ellipsoid auf eine Höhe UM — h mit Wasser gefüllt, man soll die Zeit finden, nach welcher der Spiegel so weit gesunken ist, daß diese Druckhöhe nur noch UN = z beträgt. Alle sonstigen Voraussetzungen und Bezeichnungen mögen die vorigen bleiben.

7-

""V

......AU

..........

gelegt, so erhält man :

Auflösung. Denkt man sich durch die Hauptachse 2c entsprechende Ebenen

«²

Für die Ellipse AEU: x² = — (2cz — z²).

Für die Ellipse ABU:    (2cz ~ z*)•

Hiernach ergiebt sich der Flächeninhalt A einer beliebigen Wasserschicht in der Höhe z von der Mündung aus gerechnet zu;

A — nxy = ^- (2cz — z²).

Nach (5), §. 89, ist sonach dt = —-

nab

A2cz — z₂\

vyfv

(xoc² y 2 g

Hieraus folgt aber durch Integration:

dz.

I. t =

it ab

pcoc² y 2 g

Zusatz. Für die Zeit, in welcher ein auf h Höhe gefülltes Kugelsegment leer lauft, folgt aus I, wenn der Radius der ganzen Kugel r, also a = b = c = r gesetzt wird :

(lOrA* — A *).

\iaV 2 g

§* ⁹³‘ .

Aufgabe 5. Ausfluß bei gleichzeitigem Zufluß. Ein prismatisches Gefäß (Fig. 87) vom Querschnitte A erhält pro Sec. q

P t-.

~ ...... n ß * ’ ¹    Ager (oder mehr) als durch

eine Bodenöffnung a desselbe abfließt. Die anfängliche Druckhöhe sei h und es fragt sich, nach welcher Zeit der Wasserspiegel so weit herabgesunken (oder gestiegen) ist, daß die vorhandene Druckhöhe x beträgt.

Auflösung. Die Auflösung besteht hier einfach in der Integration der Gleichung (7) (§. 88). Man erhält zu diesem Ende

C

l*-a V % J _

— dx

oder wenn

^    = B und —=]/k gesetzt wird :

lia y 2g

fiaV 2g

SJ:

h

— dx

-, d. i.¹)

— y k -f- y~x

t = 2 B \Vk. Lgnt Y=- + K/i — K» j, oder

iKr-VT+KFLgn.£i^||

— J \iaV2g (Yh — Vx) + ? Lgnt

2Â

\iaV^

oder endlich

fiaY 2 gh — q

fiajA 2 gx — q

(\wV2g)² i

Beispiel. Ein Teich, auf prismatische Form reducirt, hat 3600 Quadratmeter Oberfläche, 3m,2 Tiefe und wird durch einen Bach gespeist, der pro Secunde 0,95 Cubikmeter Wasser zuführt. Eine Abflußöffnung am Boden des Teiches hat 0,66 Quadratmeter Querschnitt. Man soll die Zeit bestimmen, binnen welcher die anfängliche Druckhöhe so weit herabgesunken ist, daß sie nur noch 0W,4 beträgt. Der entsprechend vortheilhaft gestalteten Mündung wegen kann der Ausflußcoefficient

\x = 0,7 gesetzt werden.

Auflösung. Hiernach ist [xct]/r2g =

q = 0,95 und Lgnt Daher

\xaY Zgh — q \xaV 2 gx — q

= 2,303 LgBrg

2,0462; 2,7105 0,3442

= 2,303.0,8962.

2.3600 (2,0462)²

j2,0462 Y3,2 — V0,4) -f 0,95.2,308.0,8962|, t= 7442 Sec. = 2 Stund. 6 Min. 2 Sec.

§• 94.

Aufgabe 6. Mit welcher Geschwindigkeit tritt unbegrenztes Wasser WW, Fig. 91, in ein leeres oben offenes cylindrisches Gefäß Fig. 91.    MN' vom Querschnitte = A

durch die Bodenöffnung a desselben, wenn constant die Mündung a um h vom Oberwasserspiegel absteht, und 1 welches ist die größte Höhe, ⁼ auf welche das Wasser im Gefäße steigt?

Auflösung. Hat sich am Ende der Zeit t das Wasser im Gefäße auf die Höhe Nm=x - erhoben, so beträgt die Masse NmrriN' der Flüssigkeit:

^ dx ist.

Mr

w_

glUHi

M=^ÄX

mmmmmm

....

-, weshalb die pro Zeit dt eingetretene Masse —

Bezeichnet ferner u die Geschwindigkeit der Schicht mm, am Ende der Zeit t, so wird die entsprechende lebendige Kraft der ganzen Masse dargestellt durch \Mu* und daher der Zuwachs an lebendiger

Kraft in der Zeit dt betragen: d (\Mu²) = d    Axu²^

(1) -y- Axudu -}- \ —- Aiddx.

Die während derselben Zeit dt verrichtete mechanische Arbeit ist aber auszudrücken durch :

, d.i.

(2) y A (h — x) dx,

da man sich vorstellen kann, der hydrostatische Druck y A (h — x) treibe die Schicht mm', während gedachter Zeit durch dx Weg.

Ferner beachte man, daß der Wasserstrahl vom Querschnitte a a in der Mündung a sich nach dem Eintritte in das Gelaß plötzlich zum Querschnitte A erweitern muß, folglich ein Verlust an lebendiger Kraft ein tritt, der gleich ist:

(3) i JL Adx v '    ² 9

Nach dem Principe von der Erhaltung der lebendigen Kräfte erhält man daher:

A- Axudu+\ALAu'dx + \A-Adx — Q w²= y A (A—x) dx,

so wie hieraus, wenn 1 -j-

ku²dx -f- 2xudu -J- 2gxdx — 2glidx.

Diese Differenzialgleichung wird integrirbar, wenn sie mit x multiplicirt wird. Man erhält nämlich

lcxk~² u²dx -j- 2xkudu -f- 2gxkdx — 2ghxk~~² dx, d. i.

Rühlmann’s Hydromechanik.

'x 2

1 j == k gesetzt wird :

k— i

16

d (w² 3«*) -j- 2gxkdx = 2ghxk 1 dx,

woraus durch Integration folgt:

Sonach ist

u‘xk

*+l X

tc+1 _ j£

I.

k

k+1 X'

Um die größte Höhe H zu bestimmen, auf welche das Wasser im Gefäße steigt, hat man in I. u — Null und x — H zu setzen, wonach erhalten wird:

oder

H= h +

Ist ferner A = a, so folgt:

H =

3a³ — 2a -)- 1 2a³ — 2a + 1

Endlich ergiebt sich, wenn a = 1 ist:

H = 2h.

Diese höchst interessanten ßesultate hat zuerst Borda¹) entwickelt und durch Versuche bestätigt.

Bei einem Versuche Bossut’s³) hatte das Gefäß (Rohre) MN* einen Fuß Höhe und 20 Linien Durchmesser. Wurde A — a gemacht und die Röhre 7 Zoll 7 Linien tief eingetaucht, so stieg das Wasser bis zum oberen Rande der Röhre. Umgab man jedoch das untere Ende der Röhre mit einem Blechringe, so stieg das Wasser schon bis zum oberen Röhrenrande bei nur 6 Zoll 11\ Linien Eintauchung.

Drittes Capitel.

Ausfluß des Wassers durch Mündungen in den Seitenwänden der Gefäße bei constanter Druckhöhe.

§. 95.

Um hierbei zunächst die Menge des ausfließenden Wassers zu berechnen, werde vor Allem beachtet, daß die Druckhöhen für die verschiedenen Höhenpunkte einer Seitenmündung nicht gleich sind und folglich auch die entsprechenden Geschwindigkeiten verschieden sein müssen, mit denen das Wasser aus den betreffenden Mündungsstellen heraustritt.

3Z.

Fig. 92.

Mit Beachtung dieses wichtigen Umstandes und unter Beibehaltung der sonstigen Voraussetzungen und Bezeichnungen in den vorhergehenden Capitelnr ergiebt sich, mittelst der Rechnungen im folgenden Paragraphen, die pro Secunde aus einer rectangulären Seitenmündung AB CD, Fig.92, strömende Wassermenge = Q zu:

I. Q = hibV2g j^ — Ä*J.

Dabei bezeichnet b die Länge jeder der horizontalen Mündungskanten AB — BC, H den Abstand der unteren Kante und h den Abstand der oberen Kante von dem horizontalen Wasserspiegel.

Dividirt man diesen Werth durch den kleinsten Querschnitt ab (H—h) des zusammengezogenen Wasserstrahles, so erhält man einen Quotienten, welcher die mittlere Geschwindigkeit des ausfließenden Wassers genannt wird und die wir mit V bezeichnen wollen. Daher

oder

y —_^-

ab (H—h)

=1

Hieraus ergiebt sich ferner (i[> = l d. i. a = fx gesetzt) die F entsprechende, oder die mittlere Druckhöhe = z zu:

(²) s = oder

oder

(1) V

Hw

wenn die Höhe der Mündung mit e bezeichnet, also H— h — e gesetzt wird,

Setzt man hier e so klein gegen H voraus, daß, mit Beibehal-

3

tung dreier Glieder der Reihenentwickelung von (H— e)², ein für die Praxis hinreichender Annäherungsausdruck erhalten wird, so folgt :

~--i. s eJli_

9e² j ²

Wird hier endlich noch der (meistentheils sehr kleine) Werth

vernachlässigt, so erhält man:

II

3e² )

TT i    H h

z=H— \e=——

hei niedrigen Seitenmündungen ist als mittlere Druckhöhe der Abstand des Schwerpunktes der Mündungsfläche vom Oberwasserspiegel in Rechnung zu bringen.

d. h.

16*

Führt man letzteren Werth von z in (2) ein, so ergiebt sich unter bemerkter Voraussetzung:

, oder

H-\-h _ 1

2    ~~ 2g i ab (JT+Ä) 1

II. Q = ab (H —

Um für practische Anwendungen etwas mehr Aufschluß über die Grenzen zu erhalten, innerhalb welcher letzterer Ausdruck noch anwendbar ist, sei r] die Druckhöhe für den Schwerpunkt der Mündung und die Höhe der letzteren

sein muß,

Sodann ist zunächst, weil gleichzeitig r\ = Ä H = l^r], h = folglich, nach (1) :

V=

il

0,999.. V2gr\ = 0,999..

Der Werth II. ist sonach für practische Zwecke so lange als hinreichend genau zu betrachten, als die Schwerpunktsdruckhöhe nicht kleiner wird, wie die

doppelte Mündungshöhe, d. h. so lange r] ^ 2 (H — A) ist.

§. 96.

Der im vorigen Paragraphen behandelte Gegenstand gehört allgemeinen Aufgabe, die Wassermenge zu bestimmen, welche durch beliebig gestaltete Seitenöffnungen der Gefäße unter Voraussetzung constanter Druckhöhe strömt.

Fig. 93.

zur

Für den Zweck der Ableitung eines ent-M' sprechenden mathematischen Ausdruckes für diese Wassermenge stelle Fig. 93 das Profil eines beliebigen Gefäßes mit ebener Seitenmündung dar, aus welcher Wasser fließt, das man sich dabei in gekrümmte Röhrchen mn zertheilt vorstellt. Nach §. 80 ist sodann die Geschwindigkeit in der Mündungsstelle n unabhängig von der Form dieser Röhrchen und entsprechend dem Verticalabstande nW des Punktes n vom Oberwasserspiegel, so daß man für die bemerkte Geschwindigkeit erhält, wenn nW' = x gesetzt wird: 1^2gx.

Wird ferner die Breite des als unendlich kleinen Rechtecks zu denkenden Querschnitts bei n mit dy bezeichnet, so ergiebt sich ohne Weiteres das Differenzial des pro Secunde ausfließenden Wasserquantums dQ zu:

il : I

m

Ü

w'

agis

s----: :,l

dQ == |wdxdy ]/2yx₎

ein Ausdruck, dessen bestimmtes Integral die Auflösung der gestellten Aufgabe liefert.

1. Rectanguläre Mündung

mit respective horizontalen und verticalen Seiten.

Behält man die Bezeichnung des vorigen Paragraphen bei und beachtet überdies die Geschwindigkeit = c, mit welcher das Wasser unmittelbar vor der Mündung ankommt⁴), so erhält man für die rectanguläre Mündung:

c2

4-

p p *9

Q — fi]/2g Idy f dx ]Jx, d. i.

J Je 2

O    h —I— ———

^ 2g

I. Q =

W₂7|(ff+£)i-0+-Qij-

Ist c klein genug, was z. B. der Fall ist wenn der Mündungsquerschnitt gering ist, im Verhältniß zur Wandfläche, in welcher sich die SeitenÖfFnung befindet, so ergiebt sich I. des vorigen Paragraphen.

Fig. 94.

2. Trapez- und Dreieckmündung.

ii

31=

mm _J

sg§ytnE==jiig

Mi

mgm

Die Seitenlinie BC=l und AD='k der Mündung, Fig. 94, mögen parallel zum Oberwasserspiegel liegen, die veränderliche Breitem^ || BC werde mit y, die zugehörige Druckhöhe mit x bezeichnet, die Höhe des Dreiecks BCE, welches durch Verlängerung der Seiten BA und CD entsteht, sei = z, alle _    anderen Bezeichnungen sollen die bis-

Egz    herigen bleiben.

Zunächst ist sodann:

-, folglich — . x ist,

daß z =

i - und auch 2 =

l — y

wofür gesetzt werden mag: y = m — nx.

0 Bezeichnet A den Querschnitt des Behälters parallel zur Mündung, so kann man c — -4L setzen.

3. Ellipsen- und Kreis mündung.

Fig. 95.

=SD

Wir bezeichnen die Halbachsen * der Ellipse AB DE mit a und &, die iS Druckhöhe über dem Mittelpunkte C \M mit h. Ferner sei mN ein zu AB |gj parallel liegendes Flächenelement der jj§§ Ellipse von der unendlich kleinen Breite qt. Für den Flächeninhalt pH dieses Elementes erhält man, wenn “ /ipC'q — cp gesetzt wird, wegen

Si

mn — 2a sin cp, und tq = b sin cp dip*) Fläche mN = 2ab sin ⁴ 5 cpd(p.

Da die Druckhöhe für dies Flächenelement h — b cos cp ist, so folgt endlich:

dQ — 2\lab sin⁵cp<i(p V~%g (h — b cos cp) oder wenn = m gesetzt und eine Reihenentwickelung vorgenommen wird:

dQ = 2\iab V2gh jsin ⁵ cpc?cp ^

246

§. 96. Dritte Abtheilung. Drittes Capitel. Sodann ergiebt sich aber:

II. Q = p V2g j| m [(h + «)* - Ą - \n [{h + «)* — A*]j,

- ist.

(e + h)l — hl wo m = -—-—--

und n =

Für eine Mündung, welche ein mit der Spitze nach unten gekehrtes Dreieck bildet, wird l = Null,

-~—r, n = — und daher n—h    e

- [H* — hH, oder

⁵ H —

2fil

H—h

Sind die Mündungshöhen e = H — h sehr klein in Bezug auf die Druckhöhe A, so läßt sich auch hier, wie §. 95, der Schwerpunktsabstand der Fläche vom Oberwasserspiegel als mittlere Druckhöhe einführen.

III. Q =

15    /

1--y cos cp — ~ cos⁵cp —16 cos⁶cp —

yfs m4 cos ⁴ cp .

Bildet die ganze Ellipsenfläche die fragliche Mündung, so ist das

Integral des letzteren Ausdruckes zwischen den Grenzen cp = 0 und cp = n zu nehmen und man erhält¹):

1 — J.

IV.

Q = piabit V2gh j

sich:

3 2 Ä2

Für eine kreisförmige Mündung, deren Radius = r ist, ergiebt

V. Q = fxr‘²jr V2gh jl Für h — r folgt noch

h²

VI. Q — 0,964 \xr²n V2gh.

r⁴

Anmerkung. Mit Hülfe der letzten Formel würde sich unter besonderen Umständen das Quantum Wasser bestimmen lassen, welches dem von Mariotte eingeführten „Wasserzoll“ (pouce d’eau), S. 188, Kote 1, entspricht.

§. 97.

Was die Frage nach der Form des mittleren Wasserfadens ABy Fig. 96.

.JŁ+______

---------x

b"'⁵*

Fig.96, eines Strahles anlangt, welcher aus einer Seitenöffnung unmittelbar in die freie Luft tritt, wenn man den Widerstand der letzteren als gering genug vernachlässigt, so läßt sich die betreffende Antwort wie folgt geben:

Mit Bezug auf die Figur erhält man ohne Weiteres die beiden Gleichungen :

dt2    u’ dt²    9’

Hieraus aber durch Integration, wenn man zugleich beachtet, daß die betreffenden Constanten Null sind:

= v und = gt dt V

Hieraus ferner, durch nochmalige Integration:

x = vt und y —

dx

dt

Man beachte, daß jdx sin²®

= — ; I dx sin²# cosw#

V

-4=/'

0

dx cosnx,

71

endlich :

/*“■*

0

wenn n eine gerade,

dx cosn x = Null, wenn n eine ungerade Zahl ist.

und durch Elimination der Zeit t:

L y =

Die Curve (des mittleren Wasserfadens) AB ist demnach eine

gemeine Parabel mit dem Parameter:^-⁷

¹

) Zum Zwecke des Integrirens — V* + Vx = y gesetzt

²

)    Mémoire de l’académie des sciences, 1766, pag. 579.

³

)    Traité d’hydrodynamique, T. II, §. 569.

⁴

) Es ist bekanntlich: mą² =    (b² — X⁵); pq⁵ — h⁵ — x⁵ ; ferner

⁵

pq — b sin cp, folglich: mq = a sin cp, 2mq = mn — 2a sin cp. Endlich wegen

⁶

*Cq = b (1 — cos cp) auch tq = b sin cp c?cp.

⁷

Journal de l’école polytechnique. T. XIX, Cahier 33 (1850), p. 206.

²)    Die Experimental-Hydraulik. Freiberg 1855, S. 52 ff.

³)    Man sehe hierüber auch Grashof, Theoretische Maschinenlehre, Bd. I,

S. 442.

I. y = ——, so wie u 4 h ⁷

x = 2 ]/k . y und endlich :

Eliminirt man in letzterer Gleichung v mittelst v = Vr2gh (II, S. 208), so ergiebt sich:

II.

III. t> =

den Horizont

^gegen

Ist der mittlere Wasserfaden bei seinem Austritte aus der Mündung A unter einem Winkel a, abwärts geneigt, so erhält man statt I, die Gleichung

.x\

2v² cos ²a

Die für die Praxis hinreichende Uebereinstimmung dieser

Y. y == xtgu. -}

Gleichungen mit der Erfahrung haben in jüngster Zeit Boileau¹) und We i s b a c h²) nachgewiesen. Andere betreffende Versuche (mit Hinzufügung der Geschwindigkeitscoefficienten) sind in folgender Tabelle zusammengestellt, wobei y und x die beobachteten (respective verticalen und horizontalen) Coordinaten, xx die berechnete Abscisse und vv die nach Formel III. berechnete Geschwindigkeit bezeichnet³).

Die Mündungen sind sämmtlich kreisförmig. Die ersten beiden Versuche beziehen sich auf franz. Zolle und Fuße (g — 30,1958 Fuß), die übrigen auf Metermaaße.

iBeobachter

Durchmesser der Kreismündung

Druck

höhe

Beobachtet

Aus der Beobachtung berechnet

v=*)/bVl

Theoreti

sche

Geschwin

digkeit

V = —

vi

Mündung

Bossut¹) .

| Zoll

9,0 Fuß

4 ,2986

12', 270

12 ,439

22',997

23',313

0,986

dünne

Wand

Venturi²) .

li Zoll

2,708

4,500

6', 791

6,973

12',444

12',798

0,973

desgl.

Micbelotti³)

0W,02710

7™,190

lm,410

6m,250

6m,368

llm,670

llm,880

0,983

desgl.

Castei⁴) .

0m,01550

2m,004 0m,8926 2m,2100

2m,6740

5m,l81

6W,269

0,826

Cylind. Ansatz außerhalb von 0W,040 Länge

Desgl. . . .

0m,01550

2m,006

0m,8926

2m,5590

2m,672

6W,272

6m,003

0,975

Conischer Ansatz von 1304 Con-vergenz-winkel

§. 98.

Versuche über den Ausfluß des Wassers durch Seitenöffnungen.

I. Es ist Druckwasser über der oberen Mündungskante vorhanden. (Durchlaß öff nungen.)

Wie bereits S. 203 erwähnt wurde, hat man bis heute weder großartigere noch umfangreichere Versuche über den Ausfluß des Wassers aus Seitenmündungen angestellt, als die an gedachter Stelle erörterten Metzer Versuche von Poncelet und Lesbros.

Deshalb vervollständigen wir im Nachstehenden die bereits S. 203 gemachten Angaben, welche sich auf die späteren, von Lesbros allein angestellten Versuche beziehen.

Der an gedachter Stelle erwähnte dritte Behälter, in dessen Wand sich die Ausflußöffnung befand, ist, mit den von Lesbros angebrachten Veränderungen, Fig. 97 bis mit Fig. 97b abgebildet und zwar zeigt die erstere Figur den Verticaldurchschnitt nach der Richtung von EFFGGH der Grundrißfigur 97a genommen, während

7

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1

is

H

m

t

Fig. 97h.

i

m

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1

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A

c

Fig*. 97.

i

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nHai

letztere Figur der Schnittrichtung ABBCCD der Fig. 97 und die Querprofilansicht, Fig. 97b, der Schnittrichtung JK des Grundrisses entspricht.

Lesbros schloß das früher ganz freie Ausfluß-Reservoir (Fig. 97a) so ein, wie es die Grundrißfigur erkennen läßt, versah es auch (gegen Sonne und Wetter) mit einem Dache, ließ den Beobachter des Wasserstandes seitwärts vom Stromstriche in einem Schwimmkasten fg Platz finden, stellte den zur Ermittelung des ruhigen Wasserspiegels (weit von der Mündung) erforderlichen Maaßstab (Pegel) ⁵) in X'(statt früher mit Poncelet bei X) auf etc.

Vor der Ausflußmündung brachte man (statt der vorher hölzernen) in hydraulischen Mörtel gemauerte Aichräume k von je 3.3.1 = 9 Cubikmeter == 9000 Liter an, führte diesen das ausgeflossene Wasser durch ein Gerinne t (in der Grundrißfigur weggelassen) zu und stellte unter der Bodenöffnung in diesem Gerinne ein durchbrochenes Gefäß o auf, um das ankommende Wasser zu zertheilen, seine lebendige Kraft größtentheils zu vernichten und nachtheilige Schwankungen zu vermindern/

Das Wasser beider Aichräume k konnte durch Schützen mit einander in Verbindung gesetzt, abgesperrt oder in die Untermosel (nach der Richtung GH der Grundrißfigur) abgelassen werden.

Die Seitenwand des zweiten Gefäßes k wurde bei l (Fig. 97a) durchbrochen und daselbst ein parallelepipedischer Raum (Kasten) von 0m,2 Seite gebildet, der mittelst eines kleinen Schützens von k abgesperrt werden konnte. An dem Boden des Kastens l befestigte man in geeigneter Weise einen Stab (Pegel) m, Fig. 97b, mit Scala, Nonius etc. versehen, um damit die Wasserstände der Aichgefäße k bestimmen zu können. Hinter l wurde ein vertiefter Raum n angebracht, groß genug, um einer Person Platz zu verschaffen, die mittelst eines Spiegels den Augenblick zu beobachten hatte, wo eine Spitze des gedachten Pegels die steigende Wasserfläche berührte.

Zur Abführung etwaigen Filterwassers diente ein Canal q, während ein längerer Canal rr zum Zwecke hatte, das Wasser im Hauptreservoir zu reguliren, oder dasselbe völlig in die Untermosel ablassen zu können.

Um nicht eine mathematisch genaue Form der Aichgefäße voraussetzen zu müssen, wurden diese Räume besonders und zwar dadurch gemessen, daß man Gefäße von genau bekanntem Inhalte (die wieder durch kleinere Gefäße von noch genauer bestimmtem cubischen Raum gefüllt worden waren) in dieselben ausleerte und die jeder Entleerung entsprechende Wasserhöhe mit aller denkbaren Sorgfalt maß.

§. 99.

Strahlenmessungen.

Von den Resultaten der vorher erörterten eben so interessanten als practisch wichtigen Versuche mögen zuerst einige Ergebnisse directer Strahlenmessungen mitgetheilt werden.

Fig. 98.

Fig. 98a.

a.

<3 e

\€

St

7i

Fig. 98 zeigt die hierzu angewandte Vorrichtung in der Vorder-und Fig. 98a in der Seitenansicht, wenn man sich erstere Figur in der Mitte vertical durchschnitten denkt.

Dabei ist AB CD ein in Trägern EF verschiebbar vor der Ausflußöffnung aufgehangener hölzerner Rahmen, auf welchem außerhalb ein reguläres aus Schienen mit Scaleneintheilung gebildetes Achteck cdefghik in der Art befestigt ist, daß es den ausfließenden Strahl überall umgiebt. Auf jeder dieser Polygonseiten läßt sich ein mit Nonius versehenes Lineal ts aufbringen und verschieben, welches zugleich die Mutter einer langen Schraube ab enthält, deren feine Spitze b man nach und nach mit allen Punkten des ausfließenden Strahles in Berührung zu bringen sucht.

Bei einer quadratischen Oeffnung MNOPRSTQ, Fig. 99, von 0W,2 Seite in dünner Wand, mündend in die freie Luft, bei vollständiger Contraction und einer Druckhöhe von lm,68 über der Mitte, erhielten Poncelet und L e s b r o s auf dem beschriebenen Wege:

Fig. 99.

Q'

/T\

771/

-VÆ

<m!

Sl

■j—

t\T

\t’

Ny

0'\

P'

Letzteres Profil war Strahle beobachtet wurde ficient a ergab:

das Profil mntpros bei 15 Centimeter Abstand von der Mündung und von 237,46 Quadrat - Centimeter Inhalt, das Profil mln]tiPiOiSlql bei 30 Centimeter Abstand von der Mündung und von 225,06 Quadrat - Centimeter Inhalt. Lgleich das kleinste, was an diesem id wonach sich der Contractionscoef-

225,06

400,0

= 0,563.

Da ferner der Ausflußcoefficient ja für dieselbe Mündung zu 0,602 gefunden wurde, so müßte hier nach §. 82 ein Geschwindigkeits-coefficient i}> stattfinden:

cc

0,602

= 1,069.

0,563

Letzteres Resultat würde aber im Widerspruch mit dem stehen, was §. 77 (S. 208), Zusatz 1, in Betreff iß gesagt ist, in diesem speciellen Falle nicht andere unbekannte Ursachen für möglich halten wollte¹) und sonstige Versuche nicht den gedachten Satz des §. 77 bestätigten²).

Völlig mit der letztgedachten Ansicht übereinstimmend sind die Resultate einer anderen von Lesbros angestellten Messung³) an einem Strahle, der aus einer rectangulären Mündung in dünner Wand, von 0m,6 Höhe, 0m,02 Breite bei einer Druckhöhe von lm,55 ausfloß.

wenn man

Fig. 100 zeigt den Aufriß, Fig. 100a den Grundriß und die übrigen Figuren bis 100e (im vergrößerten Maaßstabe) entsprechende Querprofile dieses Strahles.

Fig. 100.

!§

--r= —O,    JT-

- +ö

Q Ttl rjQ

ic

l^io

Fig. 100«.

«ni

r*""“

m.

:T

ic

il i

¹)    Lesbros sucht (a. a. 0. p. 44) dies Resultat dadurch zu erklären, daß er einen besonderen Centralstrahl voraussetzt, dessen lebendige Kraft zu der hinzu träte, welche der Druckhöhe der Flüssigkeit über dem Mittelpunkt entspricht.

²)    Weisbach in Hülse’s Maschinenencyclopädie, Artikel „Ausfluß“, S. 503, und die „E xp erim e nt al - Hy dr aulik“ dieses Autors §. 14 — §. 17.

³)    a. a. O. p. 46.

§• 99.

Fig. 100l>. Fig. 1000.

r> t

Strahlenmessungen.

Fig. 100<*.

1(6...

255

Fig. 100«.

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1)

cc

I.

fl

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25

15«

Ą

fi

~10f2

2*85

Die pro Secunde ausfließende Wassermenge Q wurde hierbei mittelst der Formel Q = \ibeVZgH. berechnet und ^ = 0,625 durch anderweitige Versuche bestimmt. Daher ergab sich

Q = 0,625.0;02.0,60 V~îg , 1,55 = 0,041458 Cubikmeter.

gestellt :

Alle sonstigen Resultate sind in folgender Tabelle zusammen

Abstand

der

Strahl-

Querschnitts -flächen

quer-

schnitte

von

der Mündungsebene

Normal

Vertical

zum

Central

faden

Contrac-tions-coeffi-cient = a

des

Druckhöhe über dem Schwerpunkt des Normalschnittes

Theoretische Geschwindigkeiten, den Druckhöhen der vorigen Columne entsprechend

Mittlere Geschwindigkeiten, Ge-wenn die Wasser- schwin-

menge Q durch digkeits-die Werthe von coefficient

Columne (3) dividirt wird

Strahles

(1)

(2)

(3)

O)

(5)

(6)

(7)

(8)

Centi-

meter

I o o o o

I n CO L' H

iH

~o 'o "o "©

Quadrat- Quadrat-Centim. Centim. 120,00 120,00 79,51    78,30

O « CO N o O O CO Cj CM O^CD^CO CO t— t-T cT o cT cT

Meter

Meter

Meter

1,5500

1,5409

1,5757

1,6460

1,7644

5,5143

5,4980

5,5600

5,6825

5,8833

3,4465

5,2820

5,4049

4,9436

4,7863

JD JD © a> JD *00 1» "cd 'cd 'cs

r-i -1 -1 O to lf*- O IO KÜ<

Hiernach hatte der Strahl bei 30 Centimeter Entfernung von der Mündung den kleinsten Querschnitt • und für diesen den Geschwindig-keitscoefficienten i|> = 0,972.

Fig. 101.

■Hf

ii'

Zusatz. Für die Praxis wichtige Strahlenmessungen hat in jüngster Zeit allein Weisbach angestellt⁶).

Jf

Im Allgemeinen bediente sich derselbe eines kreisförmigen Rahmens (Ringes), welcher den Strahl umgebend außerhalb der Mündungen aufgehangen wurde. Durch diesen Ring traten Schrauben, deren äußerste Spitzen in möglichste Berührung mit dem Strahle gebracht wurden.

Für kreisförmige Mündungen von 0,866 bis 3,584 Centimeter Durchmesser (in dünner Wand und bei vollkommener Contraction), bei Druckhöhen von 0,57 bis 0,58 Meter über der Mitte der Ausflußöffnung, erhielt W eisb ach als Geschwindigkeits-coefficienten den Mittelwerth: xß = 0,961.

Vorstehende Fig. 101 zeigt überdies Grundriß und Querprofile eines von Weisbach beobachteten Wasserstrahles, welcher durch eine rectanguläre Mündung von 2,502 Centimeter Höhe und 5,052 Centimeter Breite floß, wenn dabei die mittlere Druckhöhe 0,559 Meter betrug.

§. 100.

Ausflußcoefficienten, nach Poncelet und Lesbros für rectanguläre Seitenöffnungen in (blech-) dünner Wand⁷), bei vollkommener Contraction und mündend in die freie Luft.

Nachstehende Tabelle ist das Hauptresultat der Versuche von 1828, erweitert durch Interpolation von 1™,70 bis 3™,0 Druckhöhe⁸). Die Mündungsbreiten = £>, betrugen überall 0m,20.

Tafeln der Ausflupcoefficienten

für rectanguläre, verticale Mündungen in dünner Wand, bei vollständiger Contraction und Ausfluß in die freie

II. Tafel, Die Wasserstände sind unmittelbar an der Mündung gemessen.

I. Tafel. Die Wasserstände sind an einem Punkte des Reservoirs gemessen, woselbst das Wasser vollkommen ruhig ist.

V^)

Formel Q=l (H—h)

Mündungshöhen von

10 m0 1 SO mO 1 SOSttO

0,795

0,778

0,762

0,745

0,729

0,708

0,695

0,686

0,681

0,677

0,675

0,672

0,669

0,665

0,661

0,659

0,6571

0,783

0,750

0,720

0,707

0,697

0,685

0,678

0,672

0,668

0,665

0,662

0,659

0,657

0,655

0,653

0,651

0,650

0,766

0,725

0,687

0,674

0,668

0,659

0,654

0,651

0,647

0,645

0,643

0,641

0,640

0,637

0,636

0,635

0,635

Coefficienten d.

für

= J»V*g Jh² — A² j,

Coefficienten d. Formel Q

für Mündungshöhen von

Formel Q= l (H—h)

von

Coefficienten d.

für

0ro,05

01 m0 I OS mO

10 rnO ISOmO IsOmO 1 90m0 101 *w0 IQSmO,110 mO 1 SO^O IsOmO | 90* w0

0m,201 0m,10

Wasserstände über dem obern Rande der Mündungen

Hühlmann’s Hydromechanik.

0,713

0,668

0,642

0,639

0,638

0,637

0,636

0,636

0,635

0,635

0,635

0,634

0,634

0,633

0,632

0,631

0,631

C-OGOiOr^sOCNCNCOCOCO^i^TtfT^iOO

©COtHtHi—(i—Ii—ItHtHt—It-Ht—Ii—ItHi—Ii—I i—i

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cT © cT © o" © © © ©~ o*' © © © cT ©*'

0,644

0,644

0,644

0,643

0,642

0,042

0,641

0,640

0,639

0,638

0,638

0,637

0,636

0,635

0,634

(N.CO^COt'COOOOHrtHrtrtO . i (M(M(MlM(M(NOICOCOCOMCOMCO CO j co©©©©©©©©©©©©©© cT ©~ o' o' cT o' ©" o' o' cT cT o' cT ©~ cT

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IH H <N (M CO

0,705

0,701

0,697

0,694

0,688

0,683

0,679

0,676

0,673

0,670

0,668

0,666

0,663

0,660

0,658

0,657

OOOiQCOQOh-iXiCDiO^COHOOi CO CO iO ifl O iO iû O iO iO O »O »O O Tfi

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o"' ©~ cT o' cT cT cT o' o*' o' o' cT cT o' o'

0,593

0,596

0,600

0,603

0,605

0,607

0,609

0,610

0,610

0,611

0,612

0,613

0,614

0,615

0,572

0,578

0,582

0,585

0,587

0,588

0,589

0,591

0,592

0,593

0,595

0,596

0,597

0m,000

0,005

0,010

0,015

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

17

11. Tafel. Die Wasserstände sind unmittelbar an der Mündung¹ gemessen.

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Coefficienten d. Formel Q= b (H—ti)

für Mündungshöhen von

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0,630

0,630

0,629

0,629

0,628

0,627

0,627

0,627

0,626

0,626

0,625

0,624

0,622

0,621

0,620

0,618

0,617

0,615

0,614

0,614

0,606

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Fortsetzung der Tafeln voriger Seite. .

I. Tafel. Die Wasserstände sind an einem Punkte des Reservoirs gemessen, woselbst das Wasser vollkommen ruhig ist.

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0,655

0,653

0,650

0,647

0,644

0,642

0,640

0,637

0,635

0,632

0,629

0,626

0,622

0,618

0,615

0,613

0,612

0,612

0,611

0,611

0,609

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In §    ©

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Formel Q = %b

Coefficienten d.

Coefficienten d. Formel Q^=b (II— h)

für

für Mündungshöben von

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Wasserstände über dem obern Rande der Mündungen

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0,617

0,618

0,618

0,617

0,617

0,617

0,616

0,616

0,615

0,615

0,614

0,613

0,612

0,611

0,611

0,610

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0,608

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0,603

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Zusatz. Die Tabellenwerthe⁹) sind übrigens auch für kreisförmige ²) und für Mündungen gültig, deren Querschnittsform beliebige geradlinige Figuren bilden¹⁰), sobald dabei nur keine einspringenden Winkel Vorkommen¹¹) und die Druckhöhen nicht zu gering sind.

Beispiel. Welche Wassermenge fließt pro Secunde durch eine rectanguläre Oeffnung in dünner Wand bei vollkommener Contraction, welche 0m,30 Breite und 0m,lö Höhe hat und die Druckhöhe über der oberen Kante 0m,05 beträgt.

Auflösung. Der Ausflußcoefficient 11 der Formel

f ix& K2ÿ j/r- — a ²

ist hier nach der Tabelle, weil er zwischen 0,597 und 0,613 fällt, zu 0,605 zu nehmen, so daß erhalten wird

0,605 X 0,30 X 4,43 (0,202 — 0,05^) == o,0417 Cubikmeter. Unter Anwendung der gewöhnlich gebräuchlichen Formel

Q = \ib (H— h)

0,585 -f- 0,605

liefert die Tabelle fi =

Q = 0,595 X 0,30 X 0,15 X 4,43 V 0,125 = 0,0418 Cubikmeter.

= 0,595, daher ist

§. 101.

Ausfluß durch Oeffnungen in Wänden von bestimmter Dicke.

Um den Ausfluß durch Oeffnungen in Wänden von einer Dicke, wie solche in der Praxis Vorkommen, richtig abzuschätzen,

Druckhöhe

Durchmesser

Druckhöhe

Durchmesser

0m,60

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(N (M r-t O <D^ CO__ CO

cT cT o~ cT

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0m,01

0W,02

0W,03

0m,04

t- 05 <M Tfl CO (N TH CO^CD^CO CO

cT cT cT cT

hat Lesbros Versuche über den Ausfluß bei SchützenöfFnungen angestellt, wie sie Fig. 102 in P, Q, P und S abgebildet sind¹).

Die Resultate dieser Versuche sind auszugsweise in folgender Tabelle (S. 261) zusammengestellt.

Fig. 102.

--§3

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0 Letztere Figur ist eigentlich nur der Grundriß von Figur Q, entspricht jedoch zugleich ganz dem Grundrisse von B, so wie dem von P, wenn man sich, in letzterem Falle, die Bohle unterhalb der horizontalen Mündungsbasis entfernt denkt.

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¹

)    Traite d’hydrodynamique, §. 609.

²

)    Gilbert’s Annalen, Bd. III, S. 40.

³

)    D’Aubuisson Hydraulique, §. 37. Micbelotti (deutsche IJeber-setzung), S. 158.

⁴

)    Annales des Mines 1838, T. XIV, p. 187.

⁵

) Auf die treffliche Anordnung⁵ und Herstellung dieser Maaßstäbe, sowie auf das Messen selbst, wurde die äußerste Sorgfalt verwendet und überhaupt alle betreffenden Arbeiten mit einer Genauigkeit und Vorsicht ausgeführt, deren Nachahmung für ähnliche Fälle nicht genug empfohlen werden kann. Wegen des Speciellen hierüber muß auf die S. 203 angeführten Quellen verwiesen werden.

⁶

)    „Untersuchungen aus dem Gebiete der Mechanik und Hydraulik“. Abtheil. 1, S. 90—92 und besonders Abth. 2, S. 73.

⁷

)    Sogenannte Poncelet-Mündungen, d. h. in Blechtafeln ausgeschnittene Seitenwandöffnungen mit Contraction an allen vier Seiten.

⁸

)    Beiläufig bemerkt, wurden die Tabellen nach dem von Kretz, nach Poncelet’s Tode, herausgegebenen Cours de Mécanique etc., Seconde Partie, Pg. 58, berichtigt.

⁹

Bemerkt muß werden, daß diese Tabellen in der angegebenen Folge der Druckhöhengrößen nicht den directen Versuchen entnommen, sondern aus diesen berechnet sind; eben so erstreckten sich die Versuche nur auf Druckhöhen bis zu lm,7 (über der oberen Mündungskante), so daß die Erweiterung bis zu 3m,0 durch Interpolation geschehen mußte.

²) Weisbach’s Versuche (Hydraulische Untersuchungen, 2. Abth., S. 65) bestätigten ebenfalls diese allgemeinen Angaben ; speciell fand derselbe für Mündungen in dünner Wand bei vollkommener Contraction nachstehende Werthe :

¹⁰

)    D’Aubuisson, Traité d’hydraulique, §. 27.

¹¹

)    Hachette, Annales de Chimie, T. I, p. 202.