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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Vorträge über

Mechanik

als Grundlage für das

Ban- und Maschinenwesen.

Von

Wilh. Keck,

Geh. Kegierungsrath,

Professor an der Technischen Hochschule zu Hannover.

Dritter Theil:

Allgemeine Mechanik.

Mit 206 Holzschnitten.

Hannover.

Helwing’sche Verlagsbuchhandlung. 1898.

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Vorwort.

Der vorliegende dritte und letzte Band meiner „Vorträge über Mechanik“ mit der Bezeichnung „Allgemeine Mechanik“ kehrt noch einmal zu den Anfangsgrönden dieser Wissenschaft zurück, um die Grundbegriffe allgemeiner zu fassen, als es bei der ersten Einführung im ersten Theile räthlich erschien.

Das Buch behandelt zunächst das wichtigste aus der geometrischen Bewegungslehre der Punkte und Körper. Dann folgt die Mechanik des Massenpunktes, wobei zur Ergänzung des im ersten Bande Gegebenen namentlich die Wirkung veränderlicher Kräfte berücksichtigt wird mit Anwendung auf elastische und ähnliche Schwingungen, Planeten-Bewegung, Einwirkung des Luftwiderstandes u. dgl. Hieran schliesst sich die Mechanik beliebiger Massengruppen und starrer Körper.

Bei allen diesen Untersuchungen habe ich besonderes Gewicht auf die Durchrechnung von Zahlenbeispielen gelegt; auch wurde angestrebt, durch Vergleiche zwischen den verschiedenen Pallen zum Nachdenken über den inneren Zusammenhang der Formel-Ergebnisse anzuregen. Von Anwendungen auf praktische Fälle mögen genannt werden: die Einwirkung der schwingenden Glocke auf den Glockenstuhl (S. 204), die Schwingungen der Unruhe einer Taschenuhr (S. 232), die Schwingungen eines Eisenbahnwagens (S. 246), die Bewegung eines Eisenbahnzuges unter Einwirkung des Luftwiderstandes und der Bremsen (S. 240), die Bewegung des Geschosses in einem Kanonenrohr und ausserhalb desselben (S. 263).

Den Schluss des Buches bilden kurze Mittheilungen über die wesentlichsten Förderer der Mechanik; begreiflicherweise sind hierbei

die noch in vollem Schäften stehenden Männer nicht mit aufgeführt worden.

Bei der Bearbeitung dieses Theiles wurden besonders folgende Werke benutzt: Lehrbuch der Analytischen Mechanik, von A. Ritter; Theorie der Bewegung und der Kräfte, von Wilh. Schell; Mechanik, von Woldemar Voigt; die Mechanik in ihrer Entwickelung, von Ernst Mach; Allgemeine Mechanik, von E. Budde; Lehrbücher der Statik und Dynamik fester Körper, von Jul. Petersen; Geschichte der Mechanik, von M. Rühlmann.

Alphabetische Verzeichnisse des Inhaltes und der in den Formeln benutzten Buchstaben sind auch diesem Bande beigefügt.

Hannover, im März 1898.

Keck.

Es wird gebeten, die am Schlüsse des Buches angegebenen Berichtigungen zu beachten.

Inhalt.

Erste Abtheilung.

Geometrische Bewegungslehre.

A. Bewegung eines geometrischen Punktes.

1.    Geradlinige Bewegung eines Punktes..........

2.    Krummlinige Bewegung eines Punktes..........

Seite

B. Bewegung eines geometrischen Körpers.....

1.    Verschiebung eines geometrischen Körpers............

2.    Ebene Bewegung eines Körpers; Bewegung einer ebenen Figur in

ihrer Ebene........................

3.    Endliche Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene. Rollbewegung

der Polbahnen........................

4.    Drehung eines Körpers um einen festen Punkt. Bewegung einer

sphärischen Figur auf ihrer Kugelfläche.............

5.    Allgemeine Bewegung eines Körpers; Schraubenbewegung.....

10

11

12

17

21

24

C. Zusammensetzung und Zerlegung der Bewegungen eines geometrischen Körpers.

1.    Drehung und Verschiebung..................

2.    Drehungen um parallele Achsen................

3.    Drehungen um sich schneidende Achsen.............

4.    Drehungen um Achsen, die nicht in derselben Ebene liegen ....

5.    Bewegung eines Punktes in einer Bahnlinie mit beliebiger Bewegung

28

30

34

35

36

D. Scheinbare (relative) Bewegung.......

1.    Scheinbare Bewegung eines Punktes in Bezug auf einen anderen . .

2.    Scheinbare Bewegung in Bezug auf einen beliebig bewegten Raum .

43

45

48

Zweite Abtheilung.

Mechanik des Massenpunktes.

A. Geradlinige Bewegung des Massenpunktes ....

1.    Geradlinige Schwingung eines Massenpunktes...........

a)    Schwingungen in Folge elastischer Aufhängung......

b)    Lothrechte Schwingung schwimmender Körper.......

c)    Eintauchen eines ins Wasser fallenden lothreehten Stabes . .

2.    Fall eines Massenpunktes aus sehr grosser Höhe ohne Rücksicht auf

den Luftwiderstand..................... .

51

53

59

61

63

Seite

3.    Bewegung unter alleiniger Einwirkung eines Flüssigkeits-Widerstandes

4.    Lothrechte Wurf- und Fallbewegung in einem widerstehenden Mittel

a)    Steigen........................

b)    Fallen........................

c)    Bestimmung der Gleichgewichtsgeschwindigkeit k......

d)    Übergang zur widerstandslosen Bewegung.........

71

74

74

76

79

82

B. Freie krummlinige Bewegung eines Massenpunktes . .

83

1.    Der Satz der Flächen.....................

2.    Der Satz des Arbeitsvermögens. Kräftefunktion; Niveauflächen . .

3.    Bewegung eines Massenpunktes unter Wirkung einer von einem Centrum

ausgehenden, mit der Entfernung von diesem verhältnisgleichen Anziehungskraft .........................

4.    Bewegung der Himmelskörper unter Einwirkung der Massenanziehung

nach dem Newton’schen Gesetze................

Umlaufszeit.....................

Der Mittelpunkt der Erde als Centrum..........

Der Mittelpunkt der Sonne als Centrum.........

Verhältnis der Masse der Sonne zu der eines Planeten . . . Potential.......................

5.    Wurfbewegung mit Luftwiderstand...............

Besonderer Fall einer flachen Wurfbahn.........

84

86

92

97

103

104

105

106

107

108

110

C. Bewegung eines Massenpunktes auf vorgeschriebener Bahnlinie

1.    Bewegung eines Massenpunktes längs einer in lothrechter Ebene be-

. findlichen Kreislinie unter Berücksichtigung der Reibung......

2.    Reibungslose Bewegung eines Massenpunktes unter Einwirkung der Schwere auf einer in lothrechter Ebene befindlichen Bahnlinie . . .

3.    Das Kreispendel.......................

4.    Das Cykloidenpendel.....................

5.    Bewegung eines schweren Punktes in einer Parabel mit lothrechter Achse

112

113

117

117

122

127

D. Bewegung eines schweren Punktes auf einer Kugelfläche;

räumliches Pendel.........

129

E. Scheinbare (relative) Bewegung eines Massenpunktes . .

1.    Bewegung eines Massenpunktes in einem geraden, sich gleichförmig

drehenden Rohr ohne Reibung.................

2.    Bewegung eines Massenpunktes in einem gekrümmten, sich gleichförmig drehenden Rohre ....................

3.    Vorgeschriebene Bewegung längs eines Meridians der sich drehenden Erde

Unmittelbare Berechnung der seitlichen Abweichung ....

4.    Vorgeschriebene Bewegung längs einer lothrechten Bahn auf der sich

drehenden Erde .......................

5.    Einfluss der Drehung der Erde auf die Pendelschwingung; Foucaultscher Pendelversuch.....................

6.    Scheinbare Bewegung der Planeten in Bezug auf die Sonne ....

134

136

138

139

143

144

146

Dritte Abtheilung.

Mechanik einer Gruppe von Massenpunkten.

A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

1.    Satz der willkürlichen Verrückuugen; Satz der virtuellen Verrückungen 150

2.    Anwendungen der Sätze der willkürlichen bezw. der virtuellen Verrückungen ..........

a)    Hebel..........

b)    Schiefe Ebene......

c)    Aufzugsmaschinen ....

d)    Gelenkstangen-Verbindungen

e)    Klappbrücken......

Seite

157

157

158

161

163

167

B. Bewegung einer Massengruppe.

1.    Satz von der Bewegung des Schwerpunktes; Satz vom Antriebe. .

2.    Anwendungen des Satzes von der Bewegung des Schwerpunktes und

des Satzes vom Antriebe...................

a)    Gerader, centraler Stofs.................

b)    Verhalten eines auf dem Wasser schwimmenden Kahnes. . .

c)    Der Schwerpunkt als Mittelpunkt einer Massengruppe . . .

3.    Der Satz des Arbeitsvermögens ...".............

Bewegung einer Kette.................

Schwingung des Wassers in einer gekrümmten Röhre .... Querschwingungen eines elastischen, eingespannten Stabes . .

4.    Zerlegung des Arbeitsvermögens einer beliebigen Massengruppe . .

5.    Potential einer Massengruppe.................

a)    Potential einer dünnen Hohlkugel............

b)    Potential einer Hohlkugel von endlicher Wandstärke ....

c)    Potential einer Vollkugel...............,

d)    Selbstpotential einer Vollkugel..............

6.    Satz von der Momentensumme der Bewegungsgrössen einer Massengruppe

170

173

173

174

175

176

177

179

181

183

186

187

188

189

190

191

C. Bewegung starrer Körper.

1.    Abhängigkeit des Trägheitsmomentes von der Richtung der Achse .

2.    Träglieits-Ellipsoid und Central-Ellipsoid............

3.    Berechnung der Trägheitsmomente einiger Körper........

a)    Haupt-Trägheitsmomente des Parallelepipeds........

b)    Haupt-Trägheitsmomente eines Cylinders.........

c)    Haupt-Trägheitsmomente eines Kegels..........

d)    Haupt-Trägheitsmomente eines Ellipsoides.........

4.    Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse.......

5.    Widerstände der Achse einer schwingenden Glocke........

6.    Aus lothrechter Stellung umfallender Stab..........

7.    Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt......

8.    Bewegung des Kreisels....................

9.    Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt ohne Einwirkung bewegender Kräfte..................

10. Bewegung eines freien Körpers............. . . .

194

196

198

199

200

201

202

204

204

209

211

216

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11.    Schwingungen eines Schiffes..........!.......

Seite

227

130

12.    Drehungspendel; Unruhe...................

233

13.    Umfallende, auf dem Boden reibungslos ausgleitende Stange . . .

236

14.    Rollbewegung auf schiefer Ebene...............

240

15.    Anhalten eines Eisenbahnzuges durch Bremsung.........

246

16.    Elastische Schwingungen eines Eisenbahnwagens.........

250

17.    Wälzendes oder wiegendes Pendel..............

250

a)    Auf ebener Fläche...................

255

b)    Wiegendes Pendel in einer Hohlfläche; Hypocykloiden-Wiege.

c)    Wiegendes Pendel auf einer gewölbten Fläche; Epicykloiden-Wiege    258

259

d)    Die Wippe......................

260

e)    Hängende Wiege....................

263

18.    Wirkung des Pulvers in einer Kanone.............

Vierte Abtheilung.

Kurze Mittheilungen über die wesentlichsten Förderer der Mechanik.

269

1.    Archimedes.........................

269

2.    Heron...........................

269

3.    Pappus...........................

269

4.    Leonardo da Vinci......................

270

5.    Stevin...........................

270

6., Galilei...........................

270

7.    Huyghens..........................

270

8.    Newton...........................

271

9.    Johann Bernoulli......................

271

10.    Daniel Bernoulli.......................

271

11.    Leonhard Euler.......................

272

12.    d’Alembert.........................

272

13.    Lagrange..........................

272

14.    Coulomb..........................

272

15.    Poinsot..........................

272

16.    Navier...........................

272

17.    Coriolis..........................

272

18.    Poncelet.........................

273

19.    de Saint-Venant.......................

273

20.    Weisbach.........................

273

21.    Eankine.........................

273

22.    Clapeyron..........................

273

23.    Culmann . .........................

273

24.    Winkler..........................

274

25.    Grashof............•..............

274

26.    Bauschinger.........................

274

27.    Castigliano.........................

275

Alphabetisches Verzeichnis und Bedeutung der in den Formeln vorkommenden Buchstaben unter Hinweis auf die erklärenden Seiten des Buches

277

Alphabetisches Verzeichnis der behandelten Gegenstände.......

Berichtigungen.........................

Erste Abtheilung.

Geometrische Bewegungslehre.

Die geometrische Bewegungslehre verfolgt nicht das Ziel, die Bewegung eines Körpers aus der Wirkung gegebener Kräfte herzuleiten; vielmehr setzt sie die Bewegung als gegeben voraus und untersucht nur ihre Eigenschaften und kennzeichnenden Merkmale. Da nun in dieser Bewegungslehre die Kräfte nicht Vorkommen, so braucht auch die Masse der Körper nicht berücksichtigt zu werden, vielmehr erscheinen letztere nur als geometrische Körper.

1. Bewegung eines geometrischen Punktes.

I. Geradlinige Bewegung eines Punktes.

Fig. l.

£-§■

■B

Bewegt sich ein Punkt auf einer geraden Linie A B (Fig. 1), so ist die Bewegung völlig gegeben, wenn für jeden Zeitwerth (Zeitpunkt) t der Abstand s des beweglichen Punktes P von einem auf der Bahnlinie AB befindlichen Festpunkt A bekannt ist, etwa durch die Gleichung

1)

*=/($)•

Ändert sich während des Zeittheilchens dt der Abstand s um PQ = ds, so ist ds die während der Zeit dt zurückgelegte Wegeslänge, und das Verhältnis

ds

2)

at

heisst die Geschwindigkeit des beweglichen Punktes in dein Zeitpunkte t. Misst man die Wegeslänge nach Metern, die Zeit nach Sekunden, so bedeutet die Geschwindigkeit Meter in der Sekunde ("Vs., s. 1. Theil, S. 7). Richtung und Sinn (Pfeilrichtung) der Geschwindigkeit stimmen mit derjenigen der Bewegung überein.

Die nach Gl. 2 berechnete Geschwindigkeit v ist im Allgemeinen mit der Zeit t veränderlich; erfährt sie während der Zeit dt einen Zuwachs um dv, so nennt man das Verhältnis

= /"(«)

dv

P '~ dt

die Beschleunigung des Punktes im Zeitpunkte t, und zwar mit der Bedeutung Meter in der Quadratsekunde (ra/₈.s, s. 1. Theil, S. 13). Die Richtung der Beschleunigung p stimmt bei geradliniger Bewegung mit deren Richtung überein ; bei positivem — hat p mit v

gleichen Sinn, bei negativem Werth entgegengesetzten Sinn.

Bekommt ein Punkt, der sich zu Anfang, d. h. für den Zeitpunkt t — 0, im Festpunkt A befindet und die anfängliche Geschwindigkeit c hat, eine Bewegung mit gleichbleibender Beschleunigung p, so wird nach Gl. 3

dv — p • dt, also v = p t -p C,

worin, weil für t = 0 v — c sein soll, C = c; aus Gl. 2 folgt dann ds — v • dt — (c + pt) dt, also durch Integration

pt²

s = ct + ~~2~ “1“ G

oder, weil für t = 0 auch s = 0 sein soll, = 0, daher

4)

. , Pt2 s = ct +

Ist die Anfangsgeschwindigkeit c = 0, so wird die Wegeslänge

5)

pt²

2. Krummlinige Bewegung.

Bewegt sich ein Punkt in einer räumlichen Kurve, so kann man den augenblicklichen Ort P desselben mittels der Koordinaten x, y und z auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz beziehen. Sowohl

die Bahnlinie, wie auch die Bewegung in derselben sind völlig bestimmt durch die 3 Gleichungen

6)

æ = /(O ; y — F{t) ; z = 9? (<) ;

denn auf Grund dieser Gleichungen kann man für jeden Zeitpunkt t den Ort P des beweglichen Punktes berechnen. Entfernt man t aus den Gleichungen, so ergeben sich zwei Gleichungen zwischen x, y und z als die Gleichungen der Bahnlinie. Bewegt sich der Punkt während der Zeit dt von P nach P, (Fig. 2), also um die Wegeslänge ds — PP,, so versteht man auch bei der krummlinigen Bewegung unter

Fig. 2.

-ß—x

\/V

ds

x-------

dt

die Geschwindigkeit des Punktes im Zeitpunkte t und bezeichnet auch Richtung und Sinn derselben als mit denen der Bewegung übereinstimmend. Die Richtung der Geschwindigkeit ist also tangential zur Bahnlinie, in so fern die unendlich kleine Sehne PP, mit der Tangente an P zusammenfällt. Nennt man a, ß und y die Neigungswinkel der im Punkte P gezogenen Bahnlinien-Tangente gegen die drei Achsen, so sind

ds • cos a, ds • cos ß, und ds • cos y

die Projektionen von ds auf die Achsen. In Fig. 2 ist aber die projicirende Gerade PQ, rechtwinklig zur AX, der Punkt Q also die Projektion des Punktes P auf die AX und somit die Gleichung ■X — f (t) das Gesetz, nach welchen sich die Projektion des Punktes P längs der AX bewegt. Die Geschwindigkeit dieser Projektions-Bewegung ist nach Gl. 6 und Gl. 2

dx

v*    = Tf

Weil aber dx auch die Projektion von ds auf die AX ist, so wird dx = ds • cos a und

S)

ds

vx = — cos a = v • cos a

dt

(nach Gl. 7), d. h. die Geschwindigkeit der Projektion des Punktes P ist gleich der Projektion der Geschwindigkeit v der wahren Bewegung des Punktes P. Das gleiche gilt für die Projektionen auf A Y und A Z.

Da nun cos²a + cos²/? -j- cos²/ = 1, so wird

= 1, oder

9)

V² = Vx² + Vy² + V~².

Es ist daher die Geschwindigkeit v des Punktes P nach Grösse und Richtung die Diagonale eines Parallelepipeds aus den Geschwindigkeiten der Projektions-Bewegungen längs dreier, winkelrecht zu einander stehenden Achsen, oder die geometrische Summe derselben (vergl. 1. Theil, S. 20).

Fig. 3.

=#X

Man kann dem Punkte P seine Bewegung längs der räumlichen Bahnlinie BP auch dadurch ertheilen, dass man ihn von dem Punkte B aus (dessen Koordinaten yi, zx) nach dem Gesetz x — f (t) parallel der x-Achse um BC — x — xl bewegt (Fig. 3), gleichzeitig der Geraden BC eine Parallelverschiebung um CD, parallel der y-Richtung, ertheilt, so dass jeder Punkt der BC der Gleichung Y' y = F(t) folgt und auch noch zu derselben Zeit der Ebene BCD eine Parallelverschiebung um DP im Sinne der .s-Achse nach dem Gesetze z — (p{t) giebt.    Vermöge dieser drei

gleichzeitigen Bewegungen um BC, CD, DP gelangt der Punkt von B nach P, und weil die einzelnen Bewegungen den Gleichungen 6 folgen, so gelangt der bewegliche Punkt auch in jedem Zwischenzeitpunkt an die richtige Stelle seiner Bahnlinie BP. Die drei Einzelbewegungen heissen die Seiten-Bewegungen der wahren oder Mittel-Bewegung BP. Die Projektionen der wahren

Geschwindigkeit v auf die drei Achsen sind zugleich die Geschwindigkeiten der drei Seitenbewegungen oder die Seitengeschwindigkeiten.

Die vorstehenden Entwickelungen gelten in ihren Hauptzügen auch für ein schiefwinkliges Achsenkreuz, nur bekommen dann die Gl. 8 und 9 eine etwas andere Form. Das Ergebnis dreier gleichzeitigen Geschwindigkeiten ist also stets eine wahre oder Mittelgeschwindigkeit v, welche sich nach Grösse, Richtung und Sinn als die Diagonale eines Parallelepipeds aus den Seitengeschwindigkeiten oder als die geometrische Summe der Seitengeschwindigkeiten ergiebt.

Bei der krummlinigen Bewegung ändert sich während eines Zeittheilcliens dt im Allgemeinen sowohl die Grösse, wie auch die Richtung der Geschwindigkeit; diejenige Geschwindigkeit du nun, welche mit der im Zeitpunkte t vorhandenen Geschwindigkeit v zusammengesetzt werden muss, um mit ihr die im Zeitpunkte t + dt geltende Geschwindigkeit v + dv nach Grösse, Richtung und Sinn zu ergeben, heisst die Elementarbeschleunigung und liefert, durch dt getheilt, die Beschleunigung p der krummlinigen Bewegung im Zeitpunkte t nach Grösse Richtung und Sinn.

Ist (Fig. 4) PQ ein Bewegungs-Theilchen ds und bilden die an den Stellen P und Q der Bahnlinie vorhandenen Geschwindigkeiten v und v + dv den

Winkel da mit einander, so trage man v — FG und v + dv = FH von einem Punkt F aus nach Grösse, Richtung und Sinn auf; dann ist GH = du = p-dt die Elementarbeschleu-

r    p

nigung, und die Beschleunigung •-

p — du: dt stimmt nach Richtung und Sinn mit GI1 überein. Bei krummliniger Bewegung weicht hiernach die Richtung der Beschleunigung p von der Richtung der Geschwindigkeit v ab. Da v Ą- dv die geometrische Summe von v und du ist, so kann die Elementarbeschleunigung als geometrische Differenz von v + dv und v, oder, weil sie unendlich klein ist, als das geometrische Differential von v, die Beschleunigung als die geometrische Abgeleitete von v bezeichnet werden.

Fig. 4.

V⁶

dn

Qj

der

\da

/.

Projicirt man das beliebig im Raume liegende Geschwindigkeits-Dreieck F GH (Fig. 5) auf die Achse AX, so ist FXGX die Projektion von v, also nach S. 5 die Seitengeschwindigkeit vx in der .»-Richtung im Zeitpunkte t, FXHX die Projektion von v + dv, d. h. die Seitengeschwindigkeit vx -f dvx im Zeitpunkte t + dt. Somit ist Gx Ilx = dvx die Elementarbeschleu- yc nigung der Seitenbewegung in der .»-Richtung. Zugleich ist aber Gx Hx auch die Projektion der Elementarbeschleunigung GH der krummlinigen Bewegung, d. h. wenn du = GII mit der »-Achse den Winkel ö bildet,

<£#

Sonach wird, wenn man mit px = ~ die

di

Beschleunigung der Seitenbewegung oder die Seitenbeschleunigung in der .»-Richtung bezeichnet,

dvx = du • cos à.

Fig 5.

f I'.

du\\

Fi

a\

-----6'

----X

h'

10)

px = p • cos ö ; ebenso py — P’ cos s ; pz = p • cos £,

wenn e und £ die Neigungswinkel der Beschleunigung p gegen die AY und die AZ; d. h. die Beschleunigung der Projektions- oder Seitenbewegung ist gleich der Projektion der Beschleunigung der wahren Bewegung auf dieselbe Achse, Es wird

11)

P = Vpx- + Py² 4- P-} •

Also ist die Beschleunigung p des Punktes P nach. Grösee und Richtung die Diagonale eines Parallelepipeds aus den Seitenbeschleunigungen längs dreier, rechtwinklig zu einander stehenden Achsen, oder die geometrische Summe derselben. Auch wenn die drei Achsen schief zu einander stehen, bleibt p die Diagonale des Parallelepipeds aus px, pv und pz; nur ändern sich dann die Gleichungen 10 und 11.

Richtung der in der Krümmungsebene liegenden Normalen zur Bahnlinie, der sog. Hauptnormalen fällt. Entsprechendes gilt von der wahren Beschleunigung p, insofern man dieselbe in die Tangential-Beschleunigung pt — GJ: dt und die Normal-Beschleunigung pn — J11 \ dt zerlegen kann. Nach der Figur 6 ist

G J — (v + d v) cos d, m. — v — d v

(wegen cos^a = 1). also

12)

dt *

Pt =

JH — (v -f- dv) sin dm — v • dm

(weil sin dm = dm und dv • dm unendlicli klein zweiter Ordnung). Weil ferner dm = ds:g (g — OP der erste Krümmungshalbmesser) und ds = v - dt, so wird

dt, also

V

JH — v • — dt —

13)

Das Geschwindigkeits-Dreieck FGH (Fig. 6) liegt in der durch zwei auf einander folgende Tangenten bestimmten Ebene, der sog. Krümmungsebene des Bahntheil-chens PQ. In dieser Ebene liegt also auch du und die Beschleunigung p — du : dt. Die Elementar- L>

Beschleunigung du lässt sich legen in GJ und JH, von denen GJ in die Richtung der Tangente an die Bahnlinie, JH in die P

Fig. G

IT

zer-

Ja''

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—>•    &

v ' p

P — — •

”

Die Tangential-Beschleiiiiigung bringt die Grossen-Änderung der Geschwindigkeit zum Ausdruck, während die Normal-Beschleunigung die Richtungs-Änderung der Geschwindigkeit darstellt. Die Normal-Beschleunigung wird noch bestimmter Centripetal-Beschleuiiiguug genannt, weil ihr Sinn nach dem ersten Krümmungs-Mittelpunkte der Bahnlinie gerichtet ist.

Die vorstehenden Lehren finden sich dem Wesen nach schon im 1. Theil, S. 3—30 eingehend behandelt und sind hier nur des Zusammenhanges wegen noch einmal kurz wiederholt.

Ablenkung (Deviation). Hätte der Punkt, der in Wirklichkeit eine ungleichförmige, krummlinige Bewegung mit der Gesammt-Beschleunigung p ausführt, vom Zeitpunkte t an keine Beschleunigung erfahren, so würde er mit der damaligen Geschwindigkeit v sich geradlinig und gleichförmig fortbewegt haben; er wäre in dem nächsten Zeit-theilchen dt, statt von P nach Q, von P nach II gelangt (Fig. 7), worin PR — v • dt ist. Der Ortsunterschied R Q ist das Ergebnis der Beschleunigung p. ^

Fig. 7.

X7

~7dt

Er heisst die Ablenkung oder Deviation (nämlich von der geradlinig-gleichförmigen Bewegung).

Zerlegt man die wahre Bewegung PQ in zwei Seitenbewegungen, von denen die eine in die Richtung PX der im Punkte P an die Bahnlinie gelegten Tangente, die andere in die Richtung PY der im Punkte P vorhandenen Beschleunigung fällt, so ist im Zeitpunkte t die Seitengescliwindigkeit in der Richtung vx — v, in der y -Richtung vy = 0, weil die wahre Geschwindigkeit v in der x-Richtung liegt; es ist die Seitenbeschleunigung in der ^-Richtung Null, in der y-Richtung py — p, weil die wahre Beschleunigung in der y-Richtung liegt. Daher ist die Seitenbewegung in der x- Richtung eine gleichförmige mit der Geschwindigkeit v, die Seitenbewegung in der y-Richtung eine gleichförmig-beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung p, der Anfangsgeschwindigkeit

t²

Null und der Wegeslänge p • =- (nach Gl. 5, S. 2). Hieraus folgt,

u

dass die

14)

dt²

Ablenkung II Q — p

ist und nach Richtung und Sinn mit der Beschleunigung p übereinstimmt.

Beispiel : Ein Punkt bewege sich nach den auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz bezogenen Gleichungen:

15)

—1\ y — r cos—t\ z — ut

r    r

x = r sin —

worin r, c und u unveränderlich sein sollen. Zeitgrösse aus den Gleichungen, so entsteht x = r sin —

16)

ru

Entfernt man mit t — — die

— z\ y = r cos

ru

*² + y² = r²,

als die beideu Gleichungen der räumlichen Bahnlinie. Es bezeichnet dies eine cylindrische Schraubenlinie. Quadrirung und Addition der Gl. 16 liefern nämlich

d. b. die Projektion der Bahnlinie auf die a:i/-Ebene ist ein Kreis vom Halbmesser r. Die Seitengeschwindigkeiten sind

dx

vx = — = c cos

* ! *-

t) vy =

— c sin —1\

V, — u.

Betrachtet man nur die Seitenbewegungen in der xy-Ebene, so wird deren Geschwindigkeit

w = ] /' v² -f V² —

17)

Fig. 8.

d. h. der Kreis vom Halbmesser r wird von der Projektion des Punktes auf die xy-Ebene gleichförmig durchlaufen, und da der Punkt iu der z-Richtung eine ebenfalls gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit u hat, so beschreibt er gleich-massig eine cylindrische Schraubenlinie (Fig. 8) von dem Halbmesser r und dem Ansteigungs-Verhältnisse

18)

h — 2 V7Z

S v>

der Ganghöhe mit der Geschwindigkeit 19) v =    -j- u²

Die Seitenbeschleunigungen ąind: dvx

I l + tg²

öl — e sec a .

_ c•    . e __

e² x

r r

-•

Py

cos — t = —

und p. — 0 .

yà

Die Projektionsbewegung in der xy-Ebene erfolgt mit einer Beschleunigung

20)

p = I rVx    7-;

sie ist, weil diese Bewegung eine gleichförmige Kreisbewegung, eine reine Centripetalbeschleunigung (vorgl. Gl. 13, S. 7), d. h. stets nach dem Mittelpunkt A des Kreises gerichtet. Weil aber p. = 0, so ist auch die Gesammt-Beschleunigung der Schraubenlinien-Bewegung

c²

P = V’

Y

deren Richtung und Sinn an jeder Stelle der Schraubenlinie nach der Achse derselben gekehrt und zu dieser rechtwinklig ist.

Bezeichnet aber p (len ersten Krümmungshalbmesser der Schraubenlinie, so muss nach Gl. 13, S. 7 und Gl. 20 auch

Pn=P =

c²

sein, also wird

oder nach Gl. 19

21)

p — r sec ² a .

Die entsprechenden Krümmungs-Mittelpunkte liegen auf den Dichtungen von/>, jedoch um p — r — r tg²a jenseits der Achse. Ihr geometrischer Ort ist also eine Schraubenlinie vom Halbmesser rtg²a und der Ganghöhe h.

B. Bewegung eines geometrischen Körpers.

Drei nicht in einer Geraden befindliche Punkte B, C und D eines Körpers unveränderlicher Form bestimmen die Lage desselben. Es seien    z₁ ; x₂, y₂, z₂; x₃, y₃, z₃ die rechtwinkligen Koordi

naten der drei Punkte; sind nun zunächst xx, yx, z₁ gegeben, so ist

Fig. 9.

Mn,

h/

\ ! y Air

E% !/

f."

/Vz

C\/

rpz-

dadurch der Punkt B bestimmt (Fig. 9). Zur Festlegung von C sind dann aber nicht mehr drei, sondern nur zwei Koordinaten, etwa x2 und y₂ erforderlich, da der an dem unveränderlichen Körper gegebene

Abstand von B und C die dritte Koordinate ersetzt. Auf der zur z-Achse parallelen, durch die Koordinaten .r₂ und y₂ bestimmten Geraden EF liegen freilich im Allgemeinen zwei Punkte C und Cx, die von B den gegebenen Abstand BC haben; aus den besonderen Umständen des Falles muss dann hervorgehen, welcher von beiden in Frage kommt. Zur Festlegung des Punktes 1) ist nur noch eine der Koordinaten erforderlich, etwa <z₃, weil die Abstände dieses Punktes von B und C die anderen beiden ersetzen. Nach der gegenseitigen Lage der Punkte B, <7, T> im Körper bat die von D auf BC gefällte Winkelrechte eine bestimmte Länge h und trifft die BC in einem bestimmten Punkte E, der nun im Raume schon eine bestimmte Lage hat. Beschreibt man um E als Mittelpunkt und mit h als Halbmesser einen Kreis, dessen Ebene recht- m winklig zu BC steht, so schneidet dieser Kreis die zu Y AZ parallele, durch die Abscisse æ₃ gegebene Ebene IIJK in zwei Punkten, welche mögliche Lagen des Punktes D im Raume sind; wiederum muss aus den besonderen Umständen des Falles entschieden werden, welcher von beiden der richtige ist. Abgesehen von diesen Zweideutigkeiten, ist hiernach die Lage eines Körpers im Raume durch sechs Koordinaten bestimmt.

I. Verschiebung eines geometrischen Körpers.

I. Drehung und Verschiebung.

3)

= d (arc cos — Hiernach liefert die Integration de

Kehrt er aber bei seiner Bewegung zur Fläche Z70 z

5. Wurfbewegung mit Luftwiderstand.

5. Bewegung eines schweren Punktes in einer Parabel mit iothrechter Achse.

5. Einfluss der Drehung der Erde auf die Pendelschwingung; Foucault scher Pendelversuch.

(. Satz von der Bewegung des Schwerpunktes; Satz vom Antriebe.

5. Potential einer Massengruppe.

4. Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse.

9. Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt ohne Einwirkung bewegender Kräfte.

16. Elastische Schwingungen eines Eisenbahnwagens.

18. Wirkung des Pulvers in der Kanone.

I. Verschiebung eines geometrischen Körpers.

Fig. 10.

Die Bewegung eines Körpers heisst eine Verschiebung (oder fortschreitende Bewegung), wenn alle Punkte desselben kongruente und parallel zu einander liegende Bahnen beschreiben, so dass alle Theile des Körpers ihrer Anfangslage parallel bleiben, ln Figur 10 sind die Bahnlinien dreier Punkte B, C, D des sich verschiebenden Körpers dargestellt. In diesem Falle genügt offenbar schon die Kenntnis der Bewegung eines einzigen Punktes zur Bestimmung der Bewegung des ganzen Körpers, sodass die vorstehenden Lehren über die Bewegung eines Punktes auch auf die Verschiebung eines Körpers unmittelbare Anwendung finden.

2. Ebene Bewegung eines Körpers; Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene.

Sind die Bahnlinien dreier Punkte eines Körpers, welche nicht in derselben Geraden liegen, einer gegebenen Ebene parallel, so bewegen sich sämmtliche Punkte des Körpers parallel der gegebenen Ebene, und jeder zu dieser letzteren parallel geführte Schnitt des Körpers bewegt sich in seiner Ebene. Eine derartige Bewegung des Körpers heisst eine ebene Bewegung, und zu ihrer Kenntnis genügt die Kenntnis der Bewegung einer solchen ebenen Schnittfigur in ihrer Ebene.

Fig. ll.

cJ

xx

!y*

æ2

Die Lage einer Figur in einer Ebene ist schon durch die Lage zweier Punkte B und O bestimmt, sobald ein Umklappen der Figur in eine symmetrische Lage ausgeschlossen ist. Um z. B. das Dreieck BCD (Fig. 11) gegen ein ebenes Achsenkreuz XA Y festzulegen, mögen für den Punkt B die beiden Koordinaten und V\ gegeben sein. Für einen zweiten Punkt C sind dann nicht mehr zwei Koordinaten erforderlich, sondern nur eine derselben, etwa x₂, weil der gegebene Abstand BC der beiden Punkte die Ordinate y.₂ ersetzt. Auf der zur ;*/-Achse parallelen, durch die Abscisse x.₂ bestimmten Geraden EF liegen freilich im Allgemeinen zwei Punkte C und O,, die von B den gegebenen Abstand HC haben; aus den besonderen Umständen des Falles muss dann hervorgehen, welcher von beiden in Frage kommt. Hiervon abgesehen, ist also die Lage einer ebenen Figur in ihrer Ebene durch drei Koordinaten bestimmt.

Ist nun BC (Fig. 12) die Verbindungsgerade zweier Punkte, deren Lage die Lage einer ebenen Figur bestimmt, und ist HVCV eine zweite Lage derselben Geraden in der Ebene der Figur, so lässt sich die Überführung der Geraden aus der Anfangslage BO in die andere Lage BVCV durch Drehung um einen in der Ebene befindlichen Punkt O bewirken. Zieht man die Verbindungsgerade

BBX und zu ihr in ihrem Mittelpunkt E eine Winkelrechte EF, so haben alle Punkte der EF gleichen Abstand von B und /i, ; durch Drehung um irgend einen Punkt der EF würde daher B in die neue Lage Bx gelangen.

Fig. 12.

MA

Dasselbe gilt bezüglich der Punkte C und Cx von jedem Punkte der Geraden GH, welche in der Mitte von CCX rechtwinklig zu CC\ gezogen ist. Wird nun die Drehung um den Schnittpunkt O von EF und G11 ausgeführt, so gelangt dadurch B nach Bx und, weil OBC^OBxCx, gleichzeitig C nach C\, d. h. die bewegliche Gerade BC in ihre zweite Lage BXCX.

Fig. 13.

Bei dieser Drehung um O beschreiben B und C Kreisbögen um O als Mittelpunkt (Fig. 13). Die Drehungshalbmesser BO und CO der Anfangslage sind rechtwinklig zu den kreisförmigen Bahnlinien BBX und CCX.

Ao

Sind ausser der beweglichen Geraden BC noch bestimmte Bahnlinien der Punkte B und C gegeben (Fig. 14) und wählt man auf der Bahnlinie des /

Fig. 14.

Punktes B einen sehr nahe bei B gelegenen Punkt Bx, so findet man den zugehörigen Punkt C\ leicht durch Abtragen der Länge BC, so dass BXCX = BC ist. Dann ist BXCX eine der Anfangslage BC der beweglichen Geraden benachbarte Lage. Konstruirt man nun in B eine Normale zu der Kurve BBX, in C eine solche zu CCX, so mögen sich beide in dem Punkt O schneiden.

Bei einer Drehung der beweglichen Geraden um O werden die von B und C beschriebenen Kreise um so mehr mit den wahren Bahnlinien BBX und CCX zusammenfallen, je kleiner BBX gewählt

wurde. Denkt man sich BBX unendlich klein, BC und BxCl als zwei unendlich wenig von einander abweichende Lagen der beweglichen Geraden, so kann man die unendlich kleine Bewegung der Geraden BC als mit der Drehung um O übereinstimmend ansehen. Dieser Punkt O heisst deshalb der augenblickliche Drehpunkt oder der Pol für die bewegliche Gerade in der Lage JiC. Also: Die Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene kann man in jedem Augenblick auf fassen als Drehung um einen Punkt O in ihrer Ebene, den augenblicklichen Drehpunkt oder Pol. Dieser ist bestimmt durch die augenblicklichen Bewegungsrichtungen zweier Punkte der Figur.

Fig. 15.

!//

cÖ

Die Aufsuchung des Pôles O für die Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene bietet den Vortheil, dass aus den Bewegungsoder Geschwindigkeits-Lichtungen zweier Punkte und der Geschwindigkeitsgrösse eines Punktes die Grösse und Richtung der Geschwindigkeit jedes anderen Punktes ermittelt werden kann. Geben z. B. in Fig. 15 die in den Punkten B und C angebrachten Pfeile die Bewegungsrichtungen dieser Punkte an, so sind die ^ zugehörigen Drehungshalbmesser oder Polstrahlen BO und CO rechtwinklig zu den Bewegungsrichtungen. Zieht man von dem Pol O einen Polstrahl nach einem beliebigen Punkte D der Figur, so ist die Richtung der Geschwindigkeit dieses Punktes rechtwinklig zu OB. Da nun bei einer Drehung die Umfangsgeschwindigkeiten den Drehungshalbmessern, hier also den Polstrahlen verhältnisgleich sind, so gilt für die Geschwindigkeitsgrössen v und c der Punkte B und B die Gleichung

OB

V ~ C OB ’

bei gegebenem c ist also v bestimmt. Ebenso wie die Lage einer ebenen Figur in ihrer Ebene nach S. 12 durch drei Koordinaten gegeben war, so ist ihr augenblicklicher Geschwindigkeits-Zustand durch ebenfalls drei Stücke, nämlich zwei Richtungen und eine Grösse c, bestimmt.

Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte einander parallel (Fig. Iß) so liegt der Pol O in unendlicher Ferne; in Folge dessen haben alle Punkte der Figur Geschwindigkeiten, die nach Richtung,

Grösse und Sinn übereinstimmen, d. h. die Bewegung ist in dem betreffenden Augenblick eine Verschiebung (oder eine rein fortschreitende Bewegung).

Fig. 16.

-------c“"^c

■>

Beispiel 1: Bewegung einer Kur-Der Punkt C der Kurbel-

belstange. stange BC (Fig. 17) wird durch die Kurbel

AC in einem Kreise mit dem Mittelpunkt A geführt, während der Punkt B

vermöge der Geradführung gezwungen ist, sich längs einer Geraden AB zu bewegen. Die Winkelrechte zu der Bewegungsrichtung des Punktes C ist die Verlängerung der Kurbel AC, während der zu dem Punkte B gehörige Polstrahl BO rechtwinklig zu AB steht. Hierdurch ist der Pol 0 der Kurbelstange in der Lage BC bestimmt. Ist nun e die Geschwindigkeit des Kurbelzapfens C, so ergiebt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes Q der Stange zu

Fig. 17.

ftj

C.

\\

Diese Beziehung wird benutzt, wenn man behufs Ermittelung des erforderlichen Schwungrad-Gewichtes einer Dampfmaschine das Arbeitsvermögen der Kurbelstange berechnen will.

Beispiel 2: Pol einer Gelenkstange.

Widerlager-Gelenken A und E aufgehängte Gelenkstangen- Verbindung, so kann der Punkt B sich nur rechtwinklig zu AB, der Punkt C sich nur rechtwinklig zu EC bewegen. Für die mittlere Stange BC sind daher ABO und ECO zwei Polstrahlen, die den Pol 0 bestimmen. Mit Hülfe des Pôles lässt sich leicht derjenige Punkt der Stange BC angeben, der bei einer unendlich kleinen Verrückung der Stangenverbindung sich wagerecht

ö°

Ist AB CE eine an den

Fig. 18.

»4

VN

o-

\©

JH

/C

bewegen wird; es ist dies derjenige Punkt Q, dessen Polstrahl OQ lothrecht steht. Wie weiter unten gezeigt werden wird, hängt diese Eigenschaft des Punktes Q damit zusammen, dass die Figur ABCE die Gleichgewichtsform ist für eine bei Q an der sonst unbelastet gedachten Stangenverbindung aufgehängte lothrechtc Last (vgl. 1. Theil, S. 178 und Fig. 219).

Beispiel 3: Ellipsen-Zeichner. Ein Stab BC (Fig. 19) werde so geführt, dass ein Punkt B derselben sich nur auf einer Geraden iJ, ein Punkt C derselben sich nur auf einer Geraden A Y bewegen kann, wobei A X und A Y einen Winkel n mit einander bilden. Wird nun an einer Stelle Q des beweglichen Stabes ein Zeichenstift eingesetzt, der von B und C um b bezw. a absteht, so beschreibt der Stift eine Ellipse mit dem Mittelpunkt A. Bezeichnet man nämlich die auf AX und A Y bezogenen schiefwinkligen Koordinaten des Punktes Q mit x und y, setzt AC — y = u und AB — x — v, so ist in dem Dreiecke CQ R :

a¹ = u¹ -f- x~ — 2 cos a • w

Ferner ist nach der Figur — = -7-, mithin

.V &

y¹ 4" xr — 2 cos a • -- y x oder

x-    y¹    2 cos a

o¹ ^    ab

Diese Gleichung bezeichnet eine Ellipse, weil

l l

Fig. 19.

fl.

a* =

• x.

y; mv

Fig. 20.

f-*

1)

xy.

Ci

cos ¹ a

a~

«* 6²

> 0 ist.

sS--------7°

Ä

Wird im Besonderen a = geht Gl. 1 über in

90⁰ (Fig. 20), so

<■---X—

■X

3. Endliche Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene. Rollbewegung der Polbahnen.

Fig. 21.

//

4"'/

//

•v

°₃F

Sind BC, B] Cx, B₂C₂, BdCa, B₄C₄ verschiedene Lagen der beweglichen Geraden BC (Fig. 21) in einer Ebene, u. zw. einstweilen in endlichen Abständen von einander, so lässt sich nach S. 13 die Überführung aus der Lage BC in die Lage i?, C₂ bewirken durch Drehung um einen PunktO; der Winkel weg dieser Drehung BOBx — COCl sei ; alle Punkte der beweglichen Figur beschreiben bei ihr Kreisbögen um O. Zu dem Übergange von Bx C4 nach B₂C₂ gehöre der Dreh-punkt O, mit dem Drehungswinkel $₂, u. s. f. Die Verbindung der Drehpunkte durch Gerade liefert dann den Linienzug 00l0₂0z0₄ . . .

0*6------

Nun stelle man sich vor, die bewegliche Figur BC sei auf einer grösseren Scheibe Ś aufgezeichnet, welche auf einer festen Tafel T liege. Die Punkte O gehören zur festen

Tafel T\ auf ihr sei der Linienzug 00l0₂0₃0₄ gezeichnet. Während die Drehung um O erfolgt, möge ein Punkt P der beweglichen Scheibe S mit O zusammenfallen; diese beiden Punkte verschieben sich während der Drehung nicht gegen einander; man kann sich deshalb während der ersten Drehung durch P und O eine Nadel gesteckt denken; es wird hierdurch die Drehung nicht gehindert werden. Sobald aber BC in der zweiten Lage BlCl angelangt ist, hört der Punkt O auf, Drehpunkt zu sein; es tritt dafür 04 an die Stelle, und es wird während der zweiten Drehung ein Punkt Pj (Fig. 22) der Scheibe S mit 0₂ zusammenfallen. Da in

Keck, Mechanik. III.

dem Augenblicke, wo BC in der Lage BlCi sich befindet, P noch mit O zusammenlallt, so muss Py, welches gleichzeitig mit Ox sich deckt, um die Länge PPy = OOx von P entfernt sein.

Ebenso wird während der Drehung um 0₂ ein Punkt P> der beweglichen Scheibe mit 0-2 in Berührung sein, so dass wiederum eine durch P₂ und 0₂ gesteckte Nadel die Bewegung nicht hindern kann.

Offenbar »muss nun PyP2 — Oy 0₂ sein. Die Lage von Py und P₂ findet man fol-gendermassen : Damit nach einer Drehung um den Winkel ■dy der Punkt Py auf Ox falle, muss der Winkel OyOPx — dx sein.; hiermit ist P{ gefunden.

Verlängert man OOy nacli Ty,

OyO-2 nach T₂, u. s. fi; ebenso PPy nach Uy, so fällt nach der ersten Drehung PL\ auf OTy. Damit nun nach der Zurücklegung eines weiteren Drehungswinkels d₂ der Punkt P₂ auf 0₂, d. h. die Gerade PyP₂U₂ auf Ol 0-2 T₂ falle, muss

Fig. -22.

4\\

-8»

C3

P*

Ts

Uy Py U₂ + Ty Oy T₂ = #₂ , alSO UyPyU₂ = d.₂—TyOyT₂

gemacht werden. Hiernach steht mit Py P₂ — Oy 0₂ der Punkt P2 fest. In derselben Weise findet man P:i, P₄, P₅ . . . Wenn nun die Punkte P der beweglichen Scheibe der Reihe nach mit den Punkten ö der festen Tafel T in der beschriebenen Weise zusammenfallen, so führt das Vieleck PPyP₂ . . . offenbar eine Rollbewegung (ohne Gleiten) auf dem Vieleck 00y0₂ . . . aus. Die Folge dieser Rollbewegung ist dann, dass die bewegliche Figur BC der Reihe nach die vorgeschriebenen Lagen By Cy, B₂C₂ u. s. f. einnimmt. Solange die bewegliche Figur BC ihre Anfangslage innehat, liegt

der Punkt, der demnächst mit 0₄ zusammenfällt, in P₄; wenn aber BC die Lage P₄Ü₄ hat, so fällt P₄ mit 0₄ zusammen; daher muss P₄ gegen BC ebenso liegen, wie Ö₄ gegen B₄0₄, d. h.

P₄B<72£ 0₄P₄ 0₄, ebenso ist

PlBC^OlBlCl u. s. f.

Fig. 23.

Im Vorstehenden waren nur einzelne bestimmte Lagen der beweglichen Figur als gegeben angenommen und die Vielecke OOy0₂ . . ., sowie PP₁P₂ ... so gezeichnet, dass die bewegliche Figur B C der Reihe nach die verschiedenen Lagen BiCi,

B₂C₂ ... durchschritt, wobei die Punkte B und C jedesmal Kreisbögen von den Mittelpunktswinkeln $₄, $₂ . . . beschrieben.    Sind aber ausser    d

(C)

°(0)

der Anfangslage BC noch die Bahnlinien B(B) bezw. C(C) der Punkte B und C (Fig. 23) gegeben, wodurch die Bewegung der Figur BC völlig bestimmt ist, so entspricht jeder unendlich kleinen Verrückung der Figur ein augenblicklicher Drehpunkt O auf der festen Tafel, sowie im Sinne der vorstehenden Entwickelung ein Punkt P der beweglichen Scheibe S, auf welcher sich die Figur B C gezeichnet befindet. Statt des Vielecks 00₄0₂ . . . erhält man dann eine Kurve 0(0) als geometrischen Ort der augenblicklichen • Drehpunkte O der festen Tafel T, sowie statt des Vielecks PPyP₂... eine Kurve P(P) als geometrischen Ort derjenigen Punkte P der beweglichen Scheibe, welche nach und nach mit den Punkten O zusammenfallen. Die Kurven 0(0) und P(P) heissen die feste bezw. die bewegliche Polbahn, und bei der gegebenen Bewegung erfolgt eine Rollbewegung der beweglichen Polbahn auf der festen Polbahn.

Hiernach ist jede Bewegung einer ebenen Figur in ihrer Ebene gleichwerthig mit dem Rollen einer mit

der Figur verbundenen Polbahn auf einer festen Polbahn. Dementsprechend ist die ebene Bewegung eines Körpers gleichwerthig mit dem Rollen einer mit dem Körper verbundenen Cylinder fläche P auf einer festen Cylinderfläche O; die Leitlinien dieser Cylinderflächen sind die vorstehend behandelten Polbahnen; die Erzeugenden stehen rechtwinklig zu den Ebenen, in denen die Körper punkte sich bewegen.

Fig. 24.

"7?

Beispiel 1 : Bei der Erzeugung der gemeinen Cykloide ist die Gerade A O (Fig. 24) die feste, der erzeugende Kreis OBC die bewegliche Polbahn. Der Berührungspunkt 0 beider ist der augenblickliche Drehpunkt, daher O B der Drehungshalbmesser, also auch die Normale für den Punkt B der Cykloide,

BC also die Tangente; diese mittels der Analytischen Geometrie nachzuweisenden Eigenschaften folgen hier ohne jede Bechnung.

Beispiel 2: Für die in Beispiel 3,

S. 16 behandelte Bewegung mit o. — 90° sollen die Polbahnen bestimmt werden.

Schon auf S. 16 wurde gezeigt, dass der Pol 0 der beweglichen Geraden BC sich in einem Abstand AO — BC—a + b von dem Schnittpunkt A der Leitlinien AX und A Y befindet. Da dieser Abstand keine veränderliche Grösse enthält, so ist der Ort des Punktes 0, d. h. die feste Polbahn, ein mit dem Halbmesser R = AO = BC aus dem Mittelpunkt A beschriebener Kreis (Fig. 25). Für eine andere Lage B₁C1 der beweglichen Figur ist Ox der Pol, wobei Bl0₁C₁ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse Bx Cx. Um nun den zu dem Punkte Ox der festen Polbahn gehörigen Punkt Px der beweglichen Polbahn zu finden, haben wir über BC als Hypothenuse ein zu Bx Ox Cj kongruentes Dreieck B Px C zu zeichnen, dann ist Px der gesuchte Punkt.

punkte aller über der Hypothenuse BC gezeichneten rechtwinkligen Dreiecke ist aber bekanntlich ein Kreis mit dem Durchmesser BC = R — 2r; dieser muss mithin die bewegliche Polbahn P sein. Die gegebene Bewegung also, bei

Der Ort der Bechtwinkel-

Fig. 25.

C,

/.

Pi !

welcher der Stab BC mit den Punkten B und C den Achsen AX bezvv. A Y folgt, kann auch bewirkt werden durch eine Rollbewegung des kleineren Kreises mit dem Durchmesser BC = R — 2 r auf dem inneren Umfange des grösseren Kreises vom Halbmesser R — BC. Wenn ein Kreis auf dem inneren Umfange eines grösseren Kreises rollt, so beschreibt jeder Punkt des Umfanges des ersteren eine Hypocykloide. Ist das Verhältnis der Halbmesser r und R der beiden Kreise aber 1:2, so geht die Hypocykloide bekanntlich in eine Gerade, einen Durchmesser des grossen Kreises über, zu denen beispielsweise die Achsen AX und AY als Bahnen der Kreispunkte B und C gehöret. — Jeder Punkt im Inneren des kleinen Kreises beschreibt allgemein eine verkürzte Hypocykloide, die aber für das Verhältnis 1 : 2 der Halbmesser beider Kreise mit einer Ellipse übereinstimmt, wie es nach S. 16 der Fall sein muss. Der Mittelpunkt des beweglichen Kreises beschreibt im Besonderen einen Kreis; die übrigen Punkte bewegen sich in Ellipsen der verschiedensten Excentricitäten, die Punkte des Umfanges in geraden Linien, nämlich Durchmessern des festen Kreises. . Aus diesem Grunde kann mittels der beiden Kreise eine Geradführung hergestellt werden, wie man sie wohl bei älteren Druckmaschinen noch findet. Zu dem Zwecke sind die beiden Kreise mit äusserer und innerer Verzahnung versehen; der Mittelpunkt M des kleineren Kreises wird mittels einer um die Achse A (rechtwinklig zur Bildebene) drehbaren Kurbel von der Länge r~ AM im Kreise berumgeführt und hierbei durch die Verzahnung zu einer Rollbewegung auf dem inneren Umfange des grossen Kreises gezwungen. Ein an der Stelle B des kleineren Rades angebrachter Zapfen beschreibt dann die Gerade ABX.

4. Drehung eines Körpers um einen festen Punkt; Bewegung einer sphärischen Figur auf ihrer Kugelfläche.

Während die Drehung eines Körpers um eine feste Achse durch Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung völlig bestimmt ist, also nur wenig Mannigfaltigkeit besitzt, ist die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt noch in demselben Grade mannigfaltig wie die allgemeine ebene Bewegung.

Schneidet man einen um einen festen Punkt M drehbaren , Körper durch eine Kugelfläche vom Halbmesser r, so entstellt eine sphärische Schnittfigur, deren Punkte bei der Bewegung des Körpers stets in dem Abstand r von dem Punkt M, d. h. in ihrer Kugelfläche verbleiben werden. Durch die Bewegung der Schnittfigur ist die Drehung des Körpers völlig bestimmt, und umgekehrt. Für die Bewegung der Figur auf der Kugel und demgemäss für die Drehung des Körpers um den festen Punkt lassen sich nun ähnliche

Beziehungen finden, wie vorstehend für die ebene Bewegung entwickelt wurden.

Die Lage einer sphärischen Figur auf ihrer Kugel ist schon durch die Lage zweier Punkte bestimmt, u. zw. sind dazu nur drei Koordinaten erforderlich.

Es genügt daher die Beobachtung der Bewegung einer Seite BC einer sphärischen Figur (Fig. 26).

Die Überführung der Seite aus der Anfangslage BC in eine andere Lage BXCX lässt sich durch Drehung um einen Punkt O der Kugelfläche bewirken.

nach demselben Gedanken-

Man findet O

Oj/

4~

’F

Fig. 26.

,~iG

s'⁴

~o----

gange wie bei der ebenen Bewegung auf S. 13; wo

aber dort von geraden

Linien die Rede war, treten jetzt Grösstkreise der Kugel an ihre Stelle.

Zieht man durch B und Bx einen Grösstkreis und zu ihm durch die Mitte E des Bogens BBX einen dazu rechtwinkligen Grösstkreis EF, so haben alle Punkte des letzteren gleichen Abstand von B und Bx ; durch Drehung um irgend einen Punkt des Grösstkreises EF würde daher B in die neue Lage Bx gelangen. Dasselbe gilt bezüglich der Punkte C und Cx von jedem Punkte des Grösstkreises GII, welcher in der Mitte G von CCX rechtwinklig zu CCX gezogen ist. Wird nun der Schnittpunkt O von EF und GH zum Drehpunkte gewählt, so gelangt dadurch B nach Bx und, weil OBC S2 OBxCx, gleichzeitig C nach Cx, d. h. die Seite BC in ihre zweite Lage BXCX. Eine Drehung der BC um den Punkt O ist auch gleichbedeutend mit der Drehung um den Kugelhalbmesser OM als Achse.

Sind BC und BXCX zwei Lagen von unendlich kleinem Abstand, und legt man durch B und C Grösstkreise rechtwinklig zu den Bahnlinien BBX und CCX, so schneiden sich diese in dem Pol

oder augenblicklichen Drehpunkt O, dem ein Halbmesser OM der Kugel als augenblickliche Drehachse entspricht. Also:

Die Bewegung einer Figur auf der Kugel fläche kann man in jedem Augenblick auffassen als Drehung um einen Pol O auf der Kugelfläche oder um einen Halbmesser OM der Kugel als augenblickliche Drehachse. Der Pol O und die entsprechende Drehachse OJ/ sind bestimmt durch die augenblicklichen Bewegungsrichtungen zweier Punkte der Figur. Dementsprechend kann man die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt M in jedem Augenblick auffassen als Drehung um eine durch M gehende Achse; die Richtung der Drehachse ist bestimmt durch die augenblicklichen Bewegungsrichtungen zweier Punkte.

Bei einer gegebenen Bewegung entspricht jeder Lage der beweglichen Figur ein besonderer Pol O und eine besondere augenblickliche Drehachse OM.

Fig. 27.

ft

Pi.

0>

Der Ort der Pole ist die sphärische Polbahn (O), der Ort der augenblicklichen Drehachsen die Kegelfläche {OM) mit der Spitze im Mittelpunkt M der Kugel. Denkt man sich nnn die feste Kugel mit einem ihr genau aufgepassten Überzüge versehen und auf letzteren die Figur BO gezeichnet, so wird bei der Bewegung der Figur der ganze Überzug auf der festen Kugel gleiten. Dort wo der augenblickliche Pol O liegt, wird man Kugel und Überzug durch eine Nadel gegen einander feststellen können, ohne dass dadurch die vorgeschriebene Bewegung des Überzuges mit der aufgezeichneten Figur gehindert wird. Nennt man P den Punkt des Überzuges, der mit dem Pol O der festen Kugel zusammenfällt, so wird ebenso wie bei der ebenen Bewegung (S. 19)

jedem Punkt O ein bestimmter Punkt P entsprechen. Der Ort der Punkte P ist eine sphärische Kurve des Überzuges, d. h. mit der beweglichen Figur verbunden, und heisst die bewegliche Polbahn. Sie ist die Leitlinie einer Kegelfläche {PM) mit der Spitze im Mittelpunkt M der Kugel. Die bewegliche Polbahn ( P) hat mit der festen Polbahn (O) stets einen Punkt gemeinsam, der auf beiden Bahnen stets um gleiche Bogenlängen sich verschiebt; die bewegliche Polbahn rollt auf der festen Polbahn, oder auch: die bewegliche, mit der Figur verbundene Kegelfläche {PM) rollt auf der festen Kegelfläche. Also:

Jede Bewegung einer sphärischen Figur auf ihrer Kugelfläche kann man auffassen als das Rollen einer mit der Figur verbundenen sphärischen Polbahn auf einer festen sphärischen Polbahn. Dementsprechend ist die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt M gleichwerthig mit dem Rollen einer mit dem Körper verbundenen Kegelfläche auf einer festen Kegelfläche; die Kegel haben den festen Drehpunkt M gemeinsam zur Spitze.

5. Allgemeine Bewegung eines Körpers; Schraubenbewegung.

Fig. 28.

--------------

Mr>\

\X

K und Kx seien zwei unendlich benachbarte Lagen eines Körpers; irgend ein Punkt M beschreibe beim Übergang aus der einen in die andere die Bahnlinie MMX ; dann kann man den Übergang dadurch bewerkstelligen, dass man dem Körper zunächst eine Verschiebung um MMX ertheilt, wodurch der Körper in die punktirte Zwischenlage gelangt, und ihn sodann noch um den Punkt Mx dreht. Diese unendlich kleine Drehung um den Punkt Mx ist nach S. 23 zurückzuführen auf eine Drehung um eine durch Mx gehende Achse AX.

Also: Jede Bewegung eines Körpers kann für einen Augenblick aufgefasst werden als zusammengesetzt aus einer Verschiebung und einer Drehung um eine augenblickliche Drehachse.

Befinden sich die beiden Lagen K und A"] aber in endlichem Abstande, so muss man, wenn der eine Punkt des Körpers in der gegebenen Bahnlinie MMX geführt wird, dem Körper, damit er eine gegebene Bewegung ausführe, gleichzeitig eine Drehung um den richtig geführten Punkt M ertheilen, welche nach S. 24 gleichwertig ist dem Bollen einer mit dem Körper verbundenen Kegel-flache auf einer anderen Kegelfläche, die mit dem richtig geführten Punkt M parallel verschoben wird. Die Kegel haben den Punkt M gemeinsam zur Spitze. Also:

Die beliebige Bewegung eines Körpers ist gleich-werthig dem Rollen eines mit dem Körper verbundenen Kegels auf einem zweiten Kegel, der eine Verschiebung erleidet. Die Verschiebung stimmt überein mit der Bahnlinie desjenigen Körperpunktes, der die gemeinsame Spitze der Kegel bildet.

Je nachdem der führende Punkt M am Körper anders gewählt wird, ergeben sich andere Verschiebungen und Rollbewegungen: es lässt sich daher eine Bewegung in unendlich vielen verschiedenen Weisen auf Verschiebung und Rollen zurückführen. Einfacher und zugleich bestimmter lässt sich aber die Bewegung eines Körpers auf Schraubenbewegungen zurückführen.

Fig. 29.

M.

A At

Betrachtet man wiederum eine unendlich kleine Bewegung eines Körpers, wobei der Punkt M nach ■Ml gelangt und ausserdem noch eine Drehung um die Augenblicksachse A Mx X ausführt, und legt durch den Körperpunkt M eine zur Achse AX rechtwinklige Schnittebene, so möge eine Schnittfigur MN (Fig. 29) entstehen. Bei der Verschiebung gelangt diese in die Lage Mx Nx, dann ist aber noch eine Drehung um A X erforderlich, durch welche die

Figur in die Endlage Mx N₂ gelangen möge. Enthält die Sehnitt-figur mindestens drei nicht in dieselbe Gerade fallende Punkte, so bestimmt sie (nach S. 10) die Bewegung des Körpers vollständig. Man verschiebe nun die Schnittfigur MN zunächst rechtwinklig zu ihrer Ebene in ihre neue, durch Mx gehende Parallelebene, in der sie die Zwischenlage M:XN₃ einnehmen möge; dann ist nur noch eine Überführung in die derselben Ebene angehörende Lage Mx N2 erforderlich. Diese Bewegung kann man aber nach S. 14 durch Drehung um einen in der Ebene liegenden Pol O oder um eine zur Ebene rechtwinklige Achse AxOXx ausführen. Diese letztere Achse fällt im Allgemeinen nicht mit AX zusammen, ist aber dazu parallel. Hiermit ist die Bewegung der Schnittfigur MN und damit diejenige des Körpers zurückgeführt auf eine Verschiebung und eine Drehung um eine zur Verschiebungsrichtung parallele Achse; eine solche Bewegung aber (Drehung um eine Achse und Verschiebung parallel oder längs derselben) nennt man nach dem 1. Theile, S. 309 eine Schraubenbewegung.

Fig. 30.

\f

Ist c die Verschiebungsgeschwindigkeit längs der Achse und (o die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um die Schraubenachse, so sind die Geschwindigkeiten vx, v₂ und v₃ dreier Punkte in den Abständen rx, r₂ und r₃ von der Achse der Grösse nach dargestellt als Hypothe-nusen über den Katheten c und rxco, c und r₂co und c und r₃o (Fig. 30). Sind für H einen Augenblick die Lage der Schraubenachse, die Geschwindigkeiten c und oj gegeben, so ist für jeden Punkt des Körpers die Geschwindigkeit^ mittels eines Geschwindigkeitsdreiecks nach Grösse und Richtung zu bestimmen. Dabei ist bemerkenswert!], dass die Kathete c bei allen diesen Dreiecken nach Grösse und Richtung dieselbe ist. Denkt man sich die Gescbwindigkeitsdreiecke nicht wie in Fig. 30 in die Zeichenebene niedergeschlagen, sondern mit den wahren Richtungen im Raume konstruirt und mit den Katheten c aneinander gelegt, so

bilden die Umfangsgeschwindigkeiten der Drehung rx(x>, r₂oj und r₃(o Strahlen, die zu c rechtwinklig stehen, d. h. in einer zu c rechtwinkligen Ebene liegen, ln dieser Ebene befinden sich also auch die Endpunkte F, G, II der wahren Geschwindigkeiten vx, v2 und v₃.

Hierauf gründet sich die zeichnerische Festlegung der Schraubenachse Xx Xx, wenn von drei Punkten B, C und I) des Körpers die wahren Geschwindigkeiten vx, v₂ und v3 nach Grösse und Dichtung gegeben sind.

Man trägt nämlich diese drei Geschwindigkeiten von einem Punkt A aus nach Grösse und Richtung auf (Fig. 31), legt durch deren Endpunkte F, G und II eine Ebene IJ und zieht von A aus eine Rechtwinklige AJ zur Ebene, so ist AJ = c die Verschiebungsgeschwindigkeit der Schraubenbewegung.

Zugleich ist nach Grösse und Richtung JF = rx ca; JG = r₂co; JH — r₃co.

Â

Projicirt man nun die Punkte B, C und JJ des Körpers auf eine zu c rechtwinklige Ebene mit den Projektionen B\ C und FF (Fig. 32) und trägt an diesen Projektionen die Umfangsgeschwindigkeiten rxco, r₂to und r₃oj auf, so müssen Gerade, die man durch B\ C und IF in dieser Ebene rechtwinklig zu jenen Umfangsgeschwindigkeiten zieht, sich in der Projektion O der Schraubenachse schneiden. Hiermit stehen dann auch die Drehungshalbmesser rx, r₂ und r₃ fest und somit auch die Winkelgeschwindigkeit co. Da die Lage des Punktes O schon durch zwei Gerade B'O und C'O bestimmt ist, so ist die Gerade IFO zur Bestimmung überflüssig. Auch ist a> schon aus rxto und OB' — rx gefunden, mithin sind hierzu die Grössen r₂ und r₃ nicht mehr nöthig. In den Geschwindigkeiten vx, v₂ und v₃ von drei bestimmten Punkten B, C und D des Körpers liegen also drei Grössen mehr vor, als für die Ermittelung der augenblicklichen Schraubenbewegung erforderlich sind. Es hängt dies damit zusammen, dass nach S. 11

Fig. 31.

Fig. 32. JG qoT

rf\

X.;-

’6r

r₂(j

zur Bestimmung der Lage eines Körpers nicht neun, sondern nur sechs Stücke erforderlich sind.

Sämmtliche Punkte der Schraubenachse haben Geschwindigkeiten von der übereinstimmenden Grösse c, deren Richtungen sämratlich in diese Achse fallen, weil die Drehungshalbmesser r Null sind. Legt man durch den Körper irgend eine Gerade, welche der Schraubenachse parallel ist, so haben deren Punkte wohl auch Geschwindigkeiten gleicher Grösse und Richtung, doch bildet letztere mit der Schraubenachse einen Winkel v, für den

r co

tg a =

—, der also von Null verschieden ist. Legt man aber

durch den Körper eine Gerade, die mit der Schraubenachse nicht parallel ist, deren Punkte also verschiedene Abstände von der Schraubenachse haben, so sind die Geschwindigkeiten dieser Punkte nach Grösse und Richtung verschieden. Hiernach kommt die kennzeichnende Eigenschaft der Schraubenachse, dass die Geschwindigkeiten aller ihrer Punkte in der Richtung der Achse liegen, nur der einen Geraden zu. Während also der augenblickliche Bewegungszustand eines Körpers (nach S. 25) in unendlich vielen verschiedenen Weisen auf eine Verschiebung und eine Drehung zurückgeführt werden kann, ist die Zurückführung auf eine Schraubenbewegung nur in einer Weise möglich. Daher hat man den Satz:

Jede Bewegung eines Körpers kann für einen Augenblick, und zwar nur in einer Weise, auf eine Schraub enbewegung zurückgeführt werden.

C. Zusammensetzung und Zerlegung der Bewegungen eines Körpers.

¹

d. h. die Ellipse hat die Halbachsen a und b.

Der Polstrahl des Punktes B ist _L A X, derjenige des Punktes C _LAY; sonach ist der Pol 0 der vierte Eckpunkt eines Rechtecks ABOC und hat, weil die Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind, vom Punkt A den Abstand AO — BC — a + b.

Da zum Punkte Q der Ellipse ein Polstrahl OQ, gehört, der beschreibende Punkt Q sich also für einen Augenblick rechtwinklig zu OQ bewegen muss, so ist auch die Tangente an die Ellipse im Punkte Q rechtwinklig zu OQ, d. h. es ist der Polstrahl OQ eine Normale an die Ellipse im Punkte Q.

I. Drehung und Verschiebung.

Ein Körper habe eine Drehung um eine Achse A mit einer Winkelgeschwindigkeit co und erleide gleichzeitig eine Verschiebung in einer Richtung, rechtwinklig zu der Achse, mit der Geschwindigkeit c (Fig. 33). Dieser Fall kommt z. B. vor, wenn sich ein

Rad um eine Achse dreht, die Achse aber nicht festliegt, sondern verschoben wird. (Ein besonderer Fall hiervon ist jedes rollende Rad.) Schneidet man den Körper durch eine zur Achse A rechtwinklige Ebene E, so bewegt sich die Schnittfigur nur in ihrer Ebene; es ist daher diese zusammengesetzte Bewegung eine ebene Bewegung, die nach S. 14 für jeden Augenblick als Drehung um einen Pol O oder um eine rechtwinklig zur Ebene stehende Achse O aufgefasst werden kann. Legt man durch A in der Ebene E eine Gerade AO = l, rechtwinklig zu c, so bekommt der Endpunkt O in Folge der Winkelgeschwindigkeit co eine Geschwindigkeit Ico nach unten, in Folge der Verschiebungsgeschwindigkeit c, an der alle " Punkte übereinstimmend theilnehmen, eine Geschwindigkeit c nach oben. Ist nun

Fig. 33.

<'A

tu

rr*

JL<*=

tv

l(i)

1)

l CO = c,

so wird die Geschwindigkeit in O zu Null; hierdurch kennzeichnet sich der Pol O und die in O rechtwinklig zur Bildebene errichtete augenblickliche Drehachse. Nennt man y) die zu suchende Winkelgeschwindigkeit um O, so muss ip derartig bestimmt werden, dass daraus der gegebene Geschwindigkeitszustand wieder hervorgeht. Die mit der Achse A zusammenfallenden Punkte des Körpers hatten aber nur die Geschwindigkeit c, rechtwinklig zu OA\ durch ip bekommen sie eine Geschwindigkeit ly> in derselben Richtung mit c, daher muss

Up — c

Ico = c (Gl. 1), so wird

ç

l — — und w = co. Das heisst:

IV

Eine Drehung um eine Achse A mit der Winkelgeschwindigkeit co und einer gleichzeitigen Verschiebung rechtwinklig zu O mit der Geschwindigkeit c lassen sich zu einer einzigen Drehung um eine Achse O || A mit der Winkelgeschwindigkeit co zusammensetzen. A und O liegen in einer zu c rechtwinkligen Ebene; ihr Abstand istZ=c:w/. Umgekehrt

sein, und weil auch

2)

lässt sich natürlich eine Drehung um O mit der Winkelgeschwindigkeit co zerlegen in eine Drehung um eine zu O parallele Achse A im Abstande l von 0 mit derselben Winkelgeschwindigkeit (o und eine gleichzeitige Verschiebung rechtwinklig zu der durch O und A gelegten Ebene mit der Geschwindigkeit c — Ico.

2. Drehungen um parallele Achsen.

Dreht sich (Fig. 34) ein Körper, vielleicht ein Bad, um eine Achse At mit einer Winkelgeschwindigkeit col, befindet sich aber die Achse A₁ an einem Kurbelarme von der Länge l, der sich zugleich mit der Geschwindigkeit to.₂ um eine Achse A₂ dreht, so hat der Körper eine von beiden Drehungen beeinflusste Bewegung, die aber, weil sie eine ebene Bewegung ist, in jedem Augenblick auf eine einzige Drehung um eine Achse O zurückgeführt werden kann.

Fig. 34.

■COj

COr,

Az

öS

(2)

Ax

Haben coL und co₂ übereinstimmenden Drehsinn, so wähle man in der durch Al und A2 gehenden Ebene (Fig. 35) eine zu beiden parallele Achse O, welche von Ax und A₂ die Abstände lx und l₂ hat; diese Achse empfängt von co₁ eine Geschwindigkeit col auf-

OgD

'W

wärts, von co₂ eine Geschwindigkeit l₂co2 abwärts.

Die Gesammtgeschwindigkeit der Achse O ist also Null, wenn

Fig. 35.

Afiwi

0)₂

C*J 2    i

3) l{ = l₂ co₂ oder

Hierdurch ist die augenblickliche Drehachse gefunden. Für ihre Winkelgeschwindigkeit y ist Bedingung, dass die zur Zeit in den gegebenen Achsen befindlich gedachten Körperpunkte ihre wahren Geschwindigkeiten wiedererhalten. Al bekommt durch co₂ eine Geschwindigkeit

col

l<——i—>i

k------U—

(/, +    durch y> eine Geschwindigkeit lx -ip. Ein Körperpunkt

A? würde durch 04 eine Geschwindigkeit (/L + U) Cüi » durch xp eine Geschwindigheit l₂ xp erhalten. Daher muss stattfinden:

l\ V' — (h + h) w2 uud hw — (h + h) wi » d. h.

4)

(lx + Z₂) xp = (/j + l₂) (<yt + w₂) oder

Also:

yj = cOj + «x>₂.

Zwei gleichzeitige Drehungen von übereinstimmendem Sinn um Parallelachsen A₁ und A₂ können in jedem Augenblicke zu einer einzigen Drehung um eine in der Ebene der A, und A

2»

zwischen beiden

liegende und zu ihnen parallele Achse O ersetzt werden. Die Abstände lx und J.₂ der augenblicklichen Drehachse O von den beiden gegebenen verhalten sich umgekehrt wie die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten. Die Winkelgeschwindigkeit um O ist gleich der Summe der beiden gegebenen.

Für die vorstehende Entwickelung ist es gleichgültig, ob sich der Körper in erster Linie mit Wj um Ax und in zweiter Linie mit w.> um A.₂ dreht, oder umgekehrt.

Eine Drehung um eine Achse mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit und einem bestimmten Drehsinne lässt sich durch eine Preliungsstrecke darstellen, indem man auf der Achse eine Länge abträgt, die nach einem bestimmten Mafsstabe die Winkelgeschwindigkeit ausdrückt, und indem man ferner auf der Achse eine Pfeilspitze so anbringt, dass man, gegen die Spitze sehend, den Drehsinn positiv, rechts herum f ^ , im Sinne der Zeigerbewegung einer Uhr, erblickt. Geschieht dies, so kann man behufs der Zusammensetzung der Winkelgeschwindigkeiten die Drehungsstrecken wie Einzelkräfte behandeln und nach den dafür im 1. Theil, S. 111

Fig. 36.

entwickelten Regeln zusammensetzen und zerlegen.

tox

'*/,4w₁+to₂

•4

Die in Figur 35 durch Drehungspfeile gezeichneten Winkelgeschwindigkeiten co₁ und i *-a co₂ bilden nach vorstehender Erklärung zwei parallele Drehungsstrecken col und co₂ gleichen Sinnes im Abstande l (Fig. 36). Die Mittelstrecke ist nach 1. Theil, S. 103, gleich der Summe der gegebenen, liegt mit coL und co₂ in derselben Ebene zwischen beiden und ist mit ihnen parallel. Ihre Abstände von

den gegebenen Drehungsstrecken verhalten sich umgekehrt wie diese Strecken, d. h.

I Ti) — COc) i CO

Die so erhaltene Mittelstrecke ip — cox + co₂ entspricht genau dem Ergebnisse der Zusammensetzung der Winkelgeschwindigkeiten auf Seite 31.

Fig. 37.

f

K------------V~

=t=a

Ist der Drehsinn von co{ dem von co.₂ entgegengesetzt (Fig. 37), so liegt die augenblickliche Drehachse O auch in der Ebene der Ax und A₂ und zu ihnen parallel, aber nicht zwischen ihnen, sondern ausserhalb derselben, u. zw. auf der Seite der Achse mit der grösseren Winkelgeschwindigkeit. Wählt man nämlich für cox >• co₂ rechts von Ax eine Achse 0 mit den Abständen lx und l₂ von Ax und A₂, so empfängt O vermöge cox eine Geschwindigkeit abwärts, vermöge co₂ eine Geschwindigkeit l₂co₂ aufwärts, so dass

die Gesammtgeschwindigkeit von O wiederum Null wird für

5)

Z, co

Für die Winkelgeschwindigkeit ip der augenblicklichen Drehachse O gilt wieder

— Ci) j Z — (O | (J<2 Z j )

= co₂l = co₂ (Z₂ — Zj) also (Za — h) V = (wi — ^2) (h — h)> d- k

'S

6)

W = Wi — w₂.

Die Zusammensetzung der Drehungsstrecken cox und co₂ zu einer Mittelstrecke ip nach der Lehre von der Zusammensetzung paralleler Kräfte (1. Theil, S. 104) liefert nach Fig. 37 dasselbe Ergebnis.

Gl. 5 kann man auch schreiben:

oder

co₂

oox — co₂

Z.

7)

oo₂

CÜ1-⁰⁾2

Stellt man sich nun vor, dass co₂ unverändert bleibt, dass aber das ursprünglich grössere cox sich allmählich co₂ nähert, so dass y) = col —oj₂ mehr und mehr gegen Null geht, so wird ZL grösser und grösser, und im Grenzfalle a»₁ == co₂ wird ip = 0 und — d. h. für zwei gleiche und entgegengesetzte Winkelgeschwindigkeiten um Parallelachsen giebt es keine in der Endlichkeit liegende augenblickliche Drehachse (ebenso wenig, wie zwei gleiche Parallelkräfte entgegengesetzten Sinnes eine in der Endlichkeit liegende Mittelkraft haben). Zwei solche gleiche parallele Drehungsstrecken entgegengesetzten Sinnes nennt man ein Drehnngspaar (entsprechend der Bezeichnung Kräftepaar, 1. Theil, S. 105). Da es gleichwerthig ist einer Drehung um eine unendlich ferne Gerade in der Ebene des Drehungspaares, und da in Bezug auf eine unendlich ferne Achse alle Drehungshalbmesser in dem Verhältnis Eins zu einander stehen, so haben alle Punkte des Körpers Geschwindigkeiten von gleicher Grösse c, rechtwinklig zur Ebene des Drehungspaares. Die Geschwin- Jr digkeit c ergiebt sich einfach durch Beobachtung der Geschwindigkeit der Punkte der Achse A₁ (Fig. 38), nämlich c = Ico nach unten, ebenso für A₂ zu c — Ico nach unten.

QO,

Fig. 38.

CJ

0\

—0/4 J

—l

lotf

yitu

Ein Drehungspaar ist gleichwerthig einer Verschiebung, rechtwinklig zur Ebene des Paares. Das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit co und dem Abstand l der beiden Achsen heisst das Moment des Paares und bezeichnet die Grösse c — lco der Verschiebungs-Geschwindigkeit. Da die Verschiebungs-Geschwindigkeit c allen Punkten des Körpers gemeinsam ist, c also keine bestimmte Lage hat, so haben auch die Achsen eines Drehungspaares keine bestimmte Lage, können vielmehr, ebenso wie Kräftepaare, nicht nur in ihrer Ebene, sondern auch in Parallelebenen beliebig verschoben und verwandelt werden; es kommt bei ihnen nur auf die Grösse ihres Momentes, d. h. der gleichwerthigen Verschiebungs-Geschwindigkeit c = Ico, auf die Richtung dieser zu ihren Ebenen rechtwinkligen Geschwindigkeit c und den Sinn von c an. Eine einzelne Drehungsstrecke dagegen hat wie eine Einzelkraft (s. 1. Theil, S. 109) eine bestimmte Lage. Jede Verschiebungs-Geschwindigkeit kann durch ein Drehungspaar ausgedrückt werden.

Keck, Mechanik. III.

3. Drehungen um sich schneidende Achsen.

Fig. 39.

Fig. 40.

OCX

Dreht sich der Körper K um die Achse O A₂ (Fig. 39) und diese wieder um die Achse 0Alf so sagt man, der Körper habe gleichzeitig zwei Drehungen um OAv und OA2 mit den Winkelgeschwindigkeiten (ol und oj₂, welche in Fig. 40 als Drehungsstrecken aufgetragen sind. Würde sich ein Körperpunkt bei O befinden, so hätte dieser die Geschwindigkeit Null; daher kann die Bewegung des Körpers als Drehung um einen festen Punkt 0 und nach S. 23 für jeden Augenblick als Drehung um eine durch O gehende augenblickliche Drehachse OP aufgefasst werden. Es ist die Richtung von OP und ihre Winkelgeschwindigkeit y zu bestimmen, u. zw. im Hinblick darauf, dass ein beliebiger Punkt P der Achse die Geschwindigkeit Null hat. Wählt man OP in der Ebene OAxA₂ und hat der Punkt P von 0AX uud O A₂ die rechtwinkligen Abstände xl und œs, so bekommt P durch cox eine Geschwindigkeit œlcox nach unten, durch co₂ eine A* œ:

daher muss

oj₂

8)

sein.

Geschwindigkeit cc₂oj₂ nach oben; ist also ccx = x₂co₂, so hat P die Gesammt-geschwindigkeit Null. Nennt man die Winkel der OP mit OAx und 0A₂ bezw. ß{ und ß₂, ihre Summe ßx + ß₂ = a, so ist ocy — OP sin ß{; x₂ = OP sin ß₂, ü)x sin ßv = o)₂ sin ß₂, d. h. sin ß{

sin ß₂ (o

Um die Winkelgeschwindigkeit y’ der Achse OP zu erhalten, fällt man von A₂ aus die Winkelrechten A₂Q und A₂R (Fig. 41), dann muss

Fig. 41.

rp • Q A₂ — col • RA₂ oder

tp • O A₂ • sin ß₂ = ojx • O A₂ • sin a, d. h.

sin a C°l sin ß₂

ßj

sin a sin ßx

Es lässt sich aber zeigen, dass nicht nur parallele, sondern auch sich schneidende Drehungsstrecken wie Einzelkräfte # zusammengesetzt und zerlegt werden können, dass also für Drehungsstrecken der Satz vom Parallelogramm (1. Theil, S. 38) gültig ist. Konstruirt man nämlich (Fig. 42) aus OAx = w1 und OA₂ = co₂ ein Parallelogramm, so ist dessen Diagonale die gesuchte Drehungsstrecke y’ nach Grösse, Richtung und Sinn. Denn es ist in dem Dreieck OAy'P'

10) sin ßx : sin ß₂ : sin a = oj.₂ : o)i : xp,

was den Gl. 8 und 9 entspricht.

Wie aus dem Satze vom Parallelogramm der Kräfte der Satz vom Parallelepiped, vom Vieleck und der geometrischen Summe der Kräfte hergeleitet wurde (1. Theil, S. 39—41), so kann dies auch hier bezüglich der Drehungsstrecken in gleicher Weise geschehen.

9) ip =

= oj₂

sein.

(19~

Fig. 42.

t-v

4. Drehungen um Achsen, die nicht in derselben Ebene liegen.

Sind (Fig. 43) AXBX — und A₂B₂ — co₂ zwei zu einander windschiefe Drehungsstrecken, so lege man durch A₂ zwei Drehungsstrecken A₂C₂ und A₂D₂, beide = und || AxBx, aber unter sich von entgegengesetztem Sinne. Diese beiden heben sich gegenseitig auf, denn zwei gleiche entgegengesetzte Drehungen um dieselbe Achse tilgen sich gegenseitig. A₂B₂ und A₂C₂ lassen sich nach dem Parallelogrammgesetze zu einer Drehungsachse A₂E₂ — y vereinigen. AlBl und A₂D₂ aber bilden ein Drehungspaar von dem Momente l • ćOj , wenn l der Abstand des Punktes A.₂ von der Kichtung A, Bl ; dies Drehungspaar ist gleichbedeutend mit einer zur Ebene B₁A₁A2 rechtwinkligen Verschiebungsgeschwindigkeit c — l • cüj . Hiermit sind die gegebenen Drehungsstrecken col und co2 zurückgeführt auf eine Drehungsstrecke ip und eine Verschiebungsgeschwindigkeit c.

Fig. 43.

\EZ

.A'

wz

Pz

Auf Grund dieses Verfahrens kann man beliebig viele im Kaume zerstreute Drehungsstrecken zusammensetzen, indem man sie wie Einzelkräfte behandelt und mit ihnen genau so verfährt, wie im 1. Theil, S. 111 ausführlich beschrieben wurde. Auch gleichzeitig noch gegebene Verschiebungsgeschwindigkeiten erschweren die Aufgabe nicht, da man sie als Drehungspaare darstellen kann. Wie man bei der Zusammensetzung von Kräften zu einer Einzelkraft und einem Kräftepaare gelangt, so erhält man hier als Endergebnis eine Drehungsstrecke und ein Drehungspaar, d. h. eine Drehungsstrecke und eine Verschiebungsgeschwindigkeit; und wie man dort durch geeignete Parallelverschiebung der Einzelkraft erreichen konnte, dass die Kräftepaarsachse so klein wie möglich und parallel der Einzelkraft wurde, so kann man in entsprechender Weise auch hier dazu gelangen, dass die Verschiebungsgeschwindigkeit so klein wie möglich und parallel der Drebungsstrecke werde, d. h. dass schliesslich eine Schraubenbewegung entsteht. Die Achse der Schraubenbewegung entspricht also der Centralachse (1. Theil, S. 115) einer Kräftegruppe.

5. Bewegung eines Punktes in einer Bahnlinie mit beliebiger Bewegung.

Wenn ein Punkt sich in einer beliebigen Bahnlinie bewegt, die selbst eine Verschiebung erleidet, so gilt nach 1. Theil S. 26

für die wahre Bewegung des Punktes, sowie auch für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung derselben einfach das Parallelogramm-gesetz. Das Ergebnis wird aber zum Theil ein anderes, wenn die Bahnlinie eine beliebige Bewegung ausführt, d. h. neben der Verschiebung auch eine Drehung erleidet.

Während eines Zeittheilchens dt durchlaufe der Punkt das Bahntheilchen AB (Fig. 44), dieses aber gehe während derselben Zeit in die Lage CD über, indem ausser einer Verschiebung um das Stück AC noch eine Drehung um eine durch C gehende Achse erfolge. Ist nun w die Geschwindigkeit des Punktes längs der Bahnlinie oder seine scheinbare (relative) a^-;

Geschwindigkeit in Bezug auf dieselbe, u die Geschwindigkeit, mit welcher sich der Anfangspunkt A des relativen Bahntheilchens bewegt, v endlich die Geschwindigkeit der wahren (resultirenden) Bewegung von A nach D, so ist, wenn man die Sehnen AB, AC und AD zieht, nach dem Begriffe der Geschwindigkeit einer krummlinigen Bewegung (S. 3) AB — w - dt ; AC — u • dt \ AD = v • dt. In Folge der Drehung der Bahnlinie verändert sich nun der Winkel a zwischen den Sehnen AB und AC auf ACD — a + da. Daher wird, wenn man den gemeinschaftlichen Faktor dt in wdt, ndt und vdt fortlässt,

v = Vu² -f w² — 2 u w COS (a -j- d a) ;

da aber cos (a + da) — cos a — sin a • d a, sich also von cos a nur um ein unendlich kleines unterscheidet, so wird

v =    + w'² — 2 uw cos a und

sin d : sin (a -f d a) = w : v,

Fig. 44.

___

E

T;

_______

1)

2)

sin ^ == — sin a .

s'

d. h.

Richtung und Grösse der wahren Geschwindigkeit v ändern sich hiernach in Folge der Drehung der Bahnlinie nicht um eine endliche Grösse. Die wahre Geschwindigkeit v ist die

geometrische Summe aus der scheinbaren Geschwindigkeit w und der Geschwindigkeit u, mit welcher sich der Anfangspunkt des Theilchens der scheinbaren Bahnlinie bewegt.

Fig. 45.

E\ /

Anders ist es aber mit der Beschleunigung. Erfährt die Bahnlinie nur eine Verschiebung, aber keine Verdrehung, so ist, wie im 1. Theil, S. 26 bewiesen wurde, die wahre Beschleunigung die Resultirende aus der Beschleunigung des Punktes in seiner beweglichen Bahnlinie und der Beschleunigung, mit der die Verschiebung der Bahnlinie erfolgt. Dieses Ergebnis soll hier, um das Verständnis des Folgenden zu erleichtern, noch einmal mittels des Begriffes Ablenkung (Deviation) (s. S. 8) gezeigt werden. Erfolgte die Bewegung in der sich verschiebenden Bahnlinie ohne Beschleunigung, d. h. geradlinig und gleichförmig, so würde der Punkt etwa von A nach Bx (Fig. 45) gelangen, und die Strecke BXB ist die Ablenkung in Folge der Beschleunigung px der scheinbaren Bewegung, d. h. nach Gl. 14, S. 8

A¹

B, B

• pxdt²

“ 2 *

Würde die Bahnlinie sich gleichförmig und geradlinig verschieben, so gelangte ihr Anfangspunkt nach Gx anstatt nach C. Ist nun p₂ die Beschleunigung, mit welcher sich der Anfangspunkt des relativen Bahntheilchens bewegt, so ist deren Wirkung die Ablenkung Gx G, d. h.

dt²

C\C = p₂

Würden beide Seitenbewegungen ohne Beschleunigung erfolgen, so müsste der Punkt die Diagonale AEX des aus den geraden Linien ABX und AGX gezeichneten Parallelogramms beschreiben; da er aber in Wirklichkeit nach E gelangt, so muss, wenn seine wahre Beschleunigung<p genannt wird, seine wahre Ablenkung

df

Ey E — p -g-

sein.

Man erkennt nun leicht Ex E als geometrische Summe von Bx B und GXG. Würde man nämlich AB um die Strecke AGX parallel verschieben, so würde sich A B tangential an Gx Ex legen und B nach F fallen, wenn EXF\\ BXB und EXF = l/2pxdt², und durch nochmalige Verschiebung um GXG # FE gelangt AB aus der (nicht gezeichneten) Zwischenlage GXF in die Endlage GE, so dass FE = Gx G = */2 p₂ d f-.    Ebenso

nun, wie die wahre Ablenkung EXE — ]/2pdt² die geometrische Summe der Seitenablenkungen BcT V2pxdt- und J/2p₂dt- ist, muss ' auch die wahre Beschleunigung p die geometrische Summe der Seitenbeschleunigungen px und po sein.

Fig, 40.

F.

y%

o%«

Die Folge der Drehung der    —

Bahnlinie ist nun eine Verrückung A des Endpunktes der Bewegung von E nach F> (Fig. 46), und diese kann als eine Ablenkung von der reinen Verschiebung, d. h. als Folge einer dritten Beschleunigung p₃ aufgefasst werden, so dass

c\

ED =

dt²

wird.

Ist nun GX die augenblickliche Drehachse für die Bahnlinie, um welche sie noch gedreht werden muss, nachdem man sie (gemäss S. 24) entsprechend der Bahnlinie AG des Punktes A , verschoben hat, und fällt man von E eine Winkelrechte EG auf die Drehachse, so wird, wenn man 2L EG D — dû setzt, E D — EG • dû. Nennt man co die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um die Achse GX, a den Winkel, den letztere mit dem relativen Balin-theilchen GE bildet, so ist, weil GE — iv • dt, EG — GE - sin a = w • dt • sin a und dû = a>dt,

ED =

dt²

w • u • sin a • dt².

Ps~2~ — iv dt sin a • (o dt —

Da nun diese Ablenkung in Folge der Drehung der Bahnlinie zu den vorstehend berechneten Ablenkungen Bx B und Gx G (Fig. 44) hinzukommt, so muss die gesammte Ablenkung die geometrische Summe von BXB, GXG und ED sein; mithin wird die wahre

Beschleunigung p des Punktes die geometrische Summe der drei Beschleunigungen py, p₂ und p₃ oder

3)

V 2 t P .i ♦

p = py

von denen die dritte den Werth hat

4)

p? — 2w • 6) • sin ol.

Daher der Satz: Die Beschleunigung eines Punktes, der sich in Bezug auf eine Bahnlinie scheinbar (relativ) bewegt, ist die geometrische Summe von drei Beschleunigungen: 1. der Beschleunigung/?! der scheinbaren Bewegung; 2. der Beschleunigung/?₂, mit welcher sich der Anfangspunkt A des Theilchens AB der beweglichen Bahnlinie bewegt; 3. einer Beschleunigung p₃ — 2 • w • oj • sin öl, worin iv die Geschwindigkeit der scheinbaren Bewegung, (o die Winkelgeschwindigkeit der Bahnlinie um die augenblickliche Drehachse, ol der Winkel, den das Theilchen der scheinbaren Bahnlinie mit ihrer augenblicklichen Drehachse bildet; Eichtung und Sinn dieser Beschleunigung p₃ stimmen überein mit Richtung und Sinn der Drehung des Endpunktes B des Bahn theilchens AB um seine augenblickliche Drehachse.

Fig. 47.

io

t/

ti

Beispiel 1: Die Rollbewegung des Kreises, bei welcher ein Punkt A desselben eine Cykloide G A (Fig. 47) beschreibt, kann zerlegt werden in eine Drehung um M mit der Umfangsgeschwindigkeit w und eine gleichzeitige Verschiebung, parallel der Geraden G Q mit derselben Geschwindigkeit w. Man kann sich also vorstellen, dass der beschreibende Punkt sich in dem Kreise von A nach B bewegt, während diese Bahnlinie sich wagerecht verschiebt. Es ist hiernach die wahre Geschwindigkeit v die geometrische Summe

aus der scheinbaren Geschwindigkeit w in der Richtung A B und der wagerechten Verschiebungsgeschwindigkeit w nach rechts. Bildet die scheinbare Geschwindigkeit w mit der Wagerechten den Winkel 2$, so schliesst v mit der Wagerechten den Winkel ß ein und liât die Grösse

v = 2 w cos ß.

Es ist in diesem Falle px die Centripetalbeschleunigung w¹ : r; p-> — 0, weil die Verschiebung der scheinbaren Kreisbahn gleichförmig und geradlinig erfolgt; pA ebenfalls = 0, weil die scheinbare Bahnlinie nur eine Verschiebung, aber keine Verdrehung erleidet, also to = 0 ist. Hiernach ist die wahre Beschleunigung p gleichbedeutend mit der Centripetalbeschleunigung px — w² : r und rechtwinklig zu AB, d. h. von A nach M gerichtet. Zerlegt man diese Beschleunigung p der Cykloidenbewegung in Tangential- und Normalbeschleunigung, so wird letztere, weil nach S. 20 die Normale zur Cykloide die

Kichtung A Q hat und mît A M den Winkel ß bildet, pn = — cos ß. Ist

T

aber p der Krümmungshalbmesser der Cykloide, so muss auch pn — —

P

Hiernach kann man den Krümmungshalbmesser p berechnen:

rv-

w² cos ß ’

p = r • 4 cos ß — 2 • 2 r cos ß,

AQ = 2r cos ß : p = 2 Norm.,

d. h. der Krümmungshalbmesser OA gleich der doppelten Normalen A Q .

Beispiel 2: Auf dem Halbmesser MN einer mit Winkelgeschwindigkeit io sich gleichförmig rechts herum drehenden Scheibe (Fig. 48) bewege sich ein Punkt mit der Geschwindigkeit w gleichmässig nach aussen. Es sollen für den Augenblick, wo der Punkt sich bei A im Abstand x von der Mitte befindet, die Geschwindigkeit v und Beschleunigung p der wahren Bewegung bestimmt werden.

5)

sein.

also nach Gl. 5 also, weil die Normale

6)

der

Fig. 48.

-iV

Bv~

'iVD

yc

a*

_Y_.

tu.dt

A B sei das Theilchen dx der scheinbaren Bahnlinie. Der Anfangspunkt A desselben hat eine Geschwindigkeit xoj nach rechts; setzt man diese (Fig. 49) mit w (aufwärts)

zusammen, so ergiebt sich v Winkel y ein, für den

XU)

tg r — — •

IV

u. zw. schliesst v mit dem Halbmesser einen

Fig. 49.

x. to

PR

Man hat sich im Sinne der Herleitung auf S. 39 den Übergang des Theilchens AB in die Nachbarlage CD (Fig. 48) in der Weise vorzustellen, dass man demselben eine Verschiebung um den Bogen A C in die Zwischenlage CE ertheilt denkt und nun um eine durch C gehende augenblickliche Drehachse, rechtwinklig zur Bildebene Drehung von CE nach CD um den Winkel to • dt ausführt. In diesem Fall ist px — 0, weil die scheinbare Bewegung ohne Beschleunigung erfolgt. Der Punkt A erfährt, bei seiner

eine

uA

//

yV

V/

,u.

X. to

21D.W

Fig. 50.

Bewegung längs A C eine Centripetalbeschlennigung p.T, — x • to'²; es ist, weil die Drehachse zur scheinbaren Bahnlinie rechtwinklig steht, in Gl. 4 a = 90°, daher p₃ = 2 w • to mit dem Sinne rechtwinklig zu CE nach rechts, weil der Punkt E sich in diesem Sinne von E nach D bewegt, p (Fig. 49) schliesst mit dem Halbmesser einen Winkel ß ein, für den 2 w • w

Pi

■Â

En

x ■ tu2 Verlängert man das Geschwindigkeitsdreieck (Fig. 49) um EJ= w nach unten, so ist

x • to

Fig. 51.

CO

tg GHJ

= tgy?,

X • to

mithin ist p rechtwinklig zu HJ.

wegung des Punktes erfolgt bekanntlich in einer archimedischen Spirale (Fig. 50); die Beschleunigung p lässt sich zerlegen in eine Centri-petalbeschleunigung p„ nach dem Krü mm ungsm ittel punkte der Spirale und eine Tangentialbeschleunigung pt, die offenbar nach aussen gerichtet sein muss, weil die Geschwindigkeit v mit wachsendem x zunimmt.

Die wahre Be-

-H

K-

BO—

-Opó JE

Jlf

Beispiel 3: Die scheinbare Bahnlinie sei ebenfalls ein Halbmesser einer sich gleichmässig drehenden Scheibe; die scheinbare Bewegung erfolge aber nicht nach aussen, sondern nach der Mitte hin (Fig. 51) mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit w. Man findet v mittels Fig. 52. Es ist wiederum Pi — 0; p₂ = x w² centripetal; p:i — 2 w ■ w aber nach links gerichtet, weil

Fig. 53.

Fig. 52.

Pn

'V

G⁶*

X\

^

æ.io    ¹¹

cy'

sich bei der Drehung um C der Endpunkt E von E nach D bewegt. Die Richtung von p wird wiederum rechtwinklig zu HJ in dem Gescliwindigkeits-dreieck Fig. 52, an welches man JF— w anreiht. Die Zerlegung von p liefert diesmal in tangentialer Richtung eine Verzögerung (Fig. 53), weil die Geschwindigkeit v mit kleiner werdendem x abnimmt. Die wahre Bahnlinie ist wiederum eine archimedische Spirale.

D. Scheinbare (relative) Bewegung.

In dem vorstehenden Abschnitte war schon von der scheinbaren Bewegung die Rede; dieselbe wurde als gegeben behandelt und mit der Bewegung der Bahnlinie zu der wahren Bewegung zusammengesetzt. In diesem Abschnitte handelt es sich aber um die Aufsuchung der scheinbaren Bewegung, während die wahre Bewegung gegeben sein soll. Wir gelangen dazu durch folgende Betrachtung.

Führt ein Körper in einem Raume, den wir als ein Achsenkreuz auffassen und bezeichen wollen, eine Bewegung aus, so lässt sich diese für jeden Augenblick als eine Schraubenbewegung

darstellen. Bewegt sich nun auch das Achsenkreuz gleichzeitig, so kann man auch dessen Bewegung für jeden Augenblick auf eine Schraubenbewegung zurückführen. Die erstgenannte Bewegung heisst die scheinbare oder relative Bewegung des Körpers in Bezug auf das Achsenkreuz, weil ein an der Bewegung des Achsenkreuzes theilnehmender Beobachter nur diese Bewegung mit seinen Sinnen wahrnehmen (sehen und fühlen) kann, wie z. B. die Bewegungen in einem fahrenden Eisenbahnwagen oder Schiffe, oder auch in einem Zimmer, welches doch an den verschiedenen Bewegungen der Erde theilnimmt. Durch die Zusammensetzung der beiden Schraubenbewegungen nach der S. 35 angedeuteten Weise erhält man die wahre Bewegung. Bezeichnen wir die scheinbare Bewegung mit Bsch, die Bewegung des Achsenkreuzes mit Bachs, die wahre Bewegung mit BW1 so gilt die Gleichwertigkeit (=)

1)

Bsch 1

Bacht = B

auf der einen Seite des Zeichens ^ zu demselben End-

achs

welche nur andeuten soll, dass die geometrische Summe von und B

ergebnisse führt wie die Bewegungen auf der anderen Seite. Ertheilen wir nun sowohl dem Körper wie auch dem Achsenkreuze noch eine fernere, beliebige Bewegung B, so wird dadurch an dem gegenseitigen Verhalten des Körpers und des Achsenkreuzes, also auch an der scheinbaren Bewegung nichts geändert, man kann daher auch schreiben:

2)

BgCh , Baehs, B - Buj » B.

Wählt man nun diese neue Bewegung so, dass sie das Entgegengesetzte der Bewegung des Achsenkreuzes ist, d. h. für jeden Augenblick eine Schraubenbewegung um dieselbe Achse mit gleichen aber entgegengesetzten Geschwindigkeiten der Drehung und Verschiebung, was wir durch

achx

3)

ausdrücken wollen, so heben sich Bmiu und B vollständig auf, und es wird aus Gl. 2:

4)

Bg -h — Bw, ( Bachs) ?

d. h. die scheinbare Bewegung eines Körpers in Ber zug auf ein bewegliches Achsenkreuz ist in jedem

Augenblicke die geometrische Summe aus der wahren Bewegung des Körpers und dem Entgegengesetzten der Bewegung des Achsenkreuzes.

(. Scheinbare Bewegung eines Punktes in Bezug auf einen anderen.

Wir denken uns durch den zweiten Punkt Pl ein Achsenkreuz gelegt, welches, da ein Punkt eine Drehbewegung nicht hat, nur eine P a r a 11 e 1 Verschiebung mit dem Punkte Pt ausführt. Die Bewegung des ersten Punktes P gegen dieses Achsenkreuz ist dann die gesuchte scheinbare Bewegung, während seine wahre Bewegung auf ein zu obigem paralleles festes Achsenkreuz mit dem Anfangspunkt A bezogen wird. Die scheinbare Bewegung von P gegen Pl ist die geometrische Summe der wahren Bewegung von P und dem Entgegengesetzten der Verschiebung von Pl; die scheinbare Geschwindigkeit w ist die geometrische Summe aus der wahren Geschwindigkeit v und dem Entgegengesetzten der Geschwindigkeit u des Punktes P,, d. h.

iv = v, (— u);

Fig. 54.

ebenso ist die scheinbare Beschleunigung px die geometrische Summe aus der wahren Beschleunigung p und dem Entgegengesetzten der Beschleunigung p₂ des Punktes P, d. h.

Pl=P> (— P2) •

(p₃ kommt hier noch nicht in Frage, weil das bewegliche Achsenkreuz keine Drehung ausführt, also in Gl. 4, S. 40 (o = 0 ist.)

Ai.

Hat der Punkt P in Bezug auf ein festes Achsenkreuz die Koordinaten æ, ?/, a°-z, der Punkt Pl in Bezug auf dasselbe Achsenkreuz die Koordinaten ocx, yx, zt, so gilt für die (scheinbaren) Koordinaten §, y, £ des Punktes P in Bezug auf das mit Pl bewegliche Achsenkreuz

§ — x —    ; *1 = y — y i ; £ — z — zx.

Fig. 54 zeigt den Fall, wo die Bewegungen nur in einer Ebene vor sich gehen. Dann kann man auch schreiben:

u-'x = vx — nx

Wy — Vy - Uy

oder

oder

und ebenso für die Beschleunigungen

~dt*    ~    ~dt² ~~ dt² *

Beispiel 1 : In derselben lothrechten Ebene werden (Fig. 55) gleichzeitig zwei Punkte P und Px mit den Geschwindigkeiten e und el unter den Neigungswinkeln a und a, fortgeworfen ; welches ist die scheinbare Bewegung von P in Bezug auf Px (wenn man sich vorstellt, dass ein Beobachter [wie Münchhausen auf der Kanonenkugel] die Bewegung -d von Px mitmacht). Auf die Punkte soll nur die Schwere, kein Luftwiderstand wirken. Dann ist nach dem 1. Theile, S. 4!)

P\ * = P*—P-2x

P2y=Py-lhy

oder

oder

Fig. 55.

ci

p,

X^ ——    COS Otj t j

gt²

Vi = el am alt--j- •

$ = (c cos a — cx cos at) t, rt = (e sin a — cx sin ax) t, wx = c cos a — cx cos a₁, wy = c sin a — cx sin a₁,

W = c, (— Cj) ; J>! = 0 ,

d. h. die scheinbare Bewegung erfolgt gleichförmig und geradlinig mit der Geschwindigkeit w.

Es ergiebt sich dies noch einfacher, wenn man die Wurfbewegungen zerlegt in die gleichförmig geradlinigen ct bezw. cxt nach den Richtungen der Anfangsgeschwindigkeiten, und die lothrecht abwärts gerichteten ¹/tgt² bezw. l/igt². Da die beschleunigten Fallbewegungen beiden Punkten gemeinsam sind, so kann die scheinbare Bewegung nur von den beschleunigungslosen Bewegungen ct und cxt abhängig sein.

x = c cos n t ;

9t2

y = c sin rtt--— ;

Daher

also offenbar

Beispiel 2: Zwei Punkte P und P, durchlaufen mit gleichen Winkelgeschwindigkeiten zwei Kreise mit gemeinsamem Mittelpunkt A (Fig. 56). Die scheinbare Bewegung von P in Bezug auf Px soll untersucht werden.

Es seien r und rx die Halbmesser AP und APX der Kreise, a der Winkel, den die gleichzeitigen Fahrstrahlen r und rv mit einander bilden, »? der veränderliche Neigungswinkel von AP gegen die AX\ dann ist

y — r sin »? ; y y — rx sin (a -f- »?) ;

x = r cos »? ; xx ~ ri cos (a "f⁻ #) » ç = x — a-, = r cos »? — rx cos ( ot -f- »?) ;

rj = y — yx — r sin »? — rx sin (2 -j- »?).

Bildet man hiernach -j- ’j², so erhält man dafür r² -j- rx² — 2 rrx cos a = l'¹ — PP²,

was übrigens auch schon daraus folgt, dass wegen gleicher Winkelgeschwindigkeit beider Punkte das Dreieck APPx seine Form unverändert behält, während es sich um A dreht.

Die scheinbare Bewegung von P in Bezug auf Px ist also eine Bewegung in einem Kreise vom Halbmesser

l = PPy.

Die wahre Beschleunigung von P ist p = r ■ oj² in der Kichtung von P nach A; die Beschleunigung

P i = ri w ‘2 hat die Richtung von Px nach A, daher ist — p.₂ von A nach Px gerichtet.

(S. das Beschleunigungsdreieck in Fig. 55, rechts.) Da nun p und p.₂ mit r und r, verhältnisgleich sind, auch den Winkel a mit einander bilden, so wird das aus ihnen gezeichnete Dreieck ähnlich mit PAPX, daher die geometrische Summe py — l • tu² und mit PPy parallel. Die scheinbare Bewegung in einem Kreise vom Halbmesser l erfolgt also mit überall gleicher Beschleunigung. Daher ist die scheinbare Bewegung eine gleichförmige Kreisbewegung mit der Umfangsgeschwindigkeit w — l • oj, der Winkelgeschwindigkeit tu.

Fig. 56.

j^Xp

A'

Px Am²

r.a

2. Scheinbare Bewegung in Bezug auf einen beliebig bewegten Raum.

In diesem Falle sind « und p₂ selbstverständlich Geschwindigkeit und Beschleunigung derjenigen Stelle des bewegten Raumes, an dem der Punkt oder Körper sich gerade befindet. I)a ferner nach Gl. 3, S. 40 p=px, p₂, p:i, so wird hieraus

1)

Pi =P, (—Pi)* (— Ps)-

Beispiel 1: Eine wagerechte Scheibe (Fig. 57) drehe sich gleichförmig rechts herum mit der Winkelgeschwindigkeit w um ihre lothrechte Achse; oberhalb derselben führe ein Punkt eine gleichmässige Bewegung längs einer wagerechten Geraden aus, die durch den Mittelpunkt der Scheibe geht. Diese wirkliche Bewegung erfolge mit der Geschwindigkeit v. Es soll die scheinbare Bewegung in Bezug auf die Scheibe bestimmt werden. Man stelle sich etwa vor, dass die Kante eines gegen die Scheibe erhöht liegenden Lineals die wirkliche Bahnlinie des Punktes, und dass der Punkt die Spitze eines Bleistiftes sei, den man gleichmässig an dem Lineale entlang bewegt, während die darunter

Fig. 57.

a>

Bq

\

'kJ

X. 0)

jxo*

2VK0J

V.

AT

X.CO

’sr-*>L

befindliche Scheibe sich gleichmässig dreht; dann zeichnet der Bleistift die scheinbare Bahnlinie auf. Ist C der Anfangspunkt der Bewegung, so erhält man leicht eine Anzahl von Punkten der scheinbaren Bahnlinie, indem man, von C beginnend, links herum den Winkel <o — CM E = EM F u. s. f. hintereinander aufträgt und ebenso die Längen v = CG = G H u. s. f. auf der

Geraden CMD abmisst. Schneidet ein durch E gelegter Kreisbogen mit dem Mittelpunkt M den Halbmesser MF in A, so ist A ein Punkt der scheinbaren Bahnlinie. Denn es muss der Geraden CMD, auf der sich der Punkt bewegt, eine Drehung um M ertheilt werden, welche der wahren Drehung der Scheibe gleich und entgegengesetzt ist.

Setzt man Z CM A = H, MA — x, CM = r, so ist

x = vt\

# = tu t ;

-ä

daraus entsteht

diese Gleichung bedeutet, weil die Beziehung zwischen x und # linear ist, eine archimedische Spirale. Die scheinbare Geschwindigkeit iv im Punkt A ist die Diagonale eines Rechtecks ans v in der Richtung AM und dem dazu rechtwinkligen xio. — Zur Bestimmung der scheinbaren Beschleunigung ist zu bedenken, dass p = 0, weil die wahre Bewegung gleichförmig erfolgt; daher muss = (— p₂), (—p₃) sein. Es bedeutet darin —p., die Centrifugal-beschleunigung x ■ tu², in der Richtung MA, d. h. rechtwinklig zu KL — x ■ tu (Fig. 57, rechts unten) aufgetragen. Es ist p% = '2w tu, weil ol — 90° ist. Richtung und Sinn von p;j stimmt überein mit der Bewegung des Endpunkts von iv ■ dt, also auch von w bei einer Drehung um A mit der Winkelgeschwindigkeit tu der Scheibe, d. h. rechts herum. Daher ist -f- p₃ rechtwinklig zu w nach unten, —p₃ also nach oben gerichtet. Hiermit ist pv bestimmt. Verlängert man in dem Geschwindigkeitsdreieck (Fig. 57, rechts unten) LJ nach links um JJ, = w und zieht /,V, so ist A, JXKL co Ą RNQ, denn es ist Q .V L KL-, RQ _L LJX, mithin .2Ç NQR = 2L KLJX und ausserdem NQ = tu ■ KL, QR = (o • LĄ-, daher wird pt J_ JXK und px = tu ■ JXK. Es weicht px von seiner normalen Seitenbeschleunigung pn (_Lte) nach links ab, d. h. die scheinbare Bewegung geschieht mit tangentialer Verzögerung, wie es sein muss, da xu> bei Annäherung an die Mitte kleiner wird, mithin w abnehmen muss.

Beispiel 2: Zwei Körper Kx und K₂ drehen sich um Parallelachsen Ax und A₂ (Fig. 58) mit den Winkelgeschwindigkeiten w, und u>., entgegengesetzten Sinnes. Es soll die scheinbare Bewegung von K, in Bezug auf Kx gesucht werden, diesem Zwecke hat man K₂ ausser seiner Drehung u>.₂ noch eine Drehung wx, entgegengesetzt der Bewegung von Kx, d. h. mit <u2 gleichen Sinnes, zu ertheilen, wie bei Ax ^„ punktirt angegeben. Diese beiden Drehungen um Ax und A₂ lassen sich nach S. 31 für ' r<-jeden Augenblick vertauschen mit einer Drehung um eine Achse 0 || Ax mit der Winkelgeschwindigkeit tp — tux-\-w₂, u. zw. ist

0 Ax    tu₂

ÖZ _ ~~ '

Zu

Aï

Fig. 58.

[A’t

®1

0,

JUjt

Keck, Mechanik. III.

Nach der Zeit t hat die Achse A., sich in ihrer scheinbaren Bewegung nach A./ bewegt, wenn A.,A₁A.! = o>x t ist. Dann liegt, wenn wx und <»> sich nicht ändern, die augenblickliche Drehachse bei Ox. Der Cylinder 00x mit der Achse Ax und dem Halbmesser AxO ist der Ort der augenblicklichen Drehachsen, und da 0 auch von A.j einen unveränderlichen Abstand hat, so ist ein mit dem Körper K.x verbundener Cylinder PPX (Fig. 59) der Ort derjenigen Geraden des Körpers K,, welche der Reihe nach mit den augenblicklichen Drehachsen 0,

Fig. 59.

A’:

0,

JAt

OP

Öj . . . zusammenfallen. Die scheinbare Bewegung von K.₂ in Bezug auf Kx ist nach S. 19 ein Rollen des Cvlinders PPX auf dein Cylinder 00x. Sind diese Cylinderfläclien an den Körpern thatsäclilich vorhanden, so haben sie an der Berührungsstelle stets die Gleitgeschwindigkeit Null. Es beruht auf diesem Verhalten die Lehre von der Verzahnung der Zahnräder.

Zweite Abtheilung.

Mechanik des Massenpunktes.

A. Geradlinige Bewegung des Massenpunktes.

Nach 1. Theil, S. 32 ertheilt eine Kraft K einem Massenpunkt m die Beschleunigung in der Richtung und im Sinne der Kraft K. Da bei geradliniger Bewegung nach S. 2 die Richtung der Beschleunigung mit der Richtung der Geschwindigkeit zusammenfällt, so muss auch die Richtung der wirkenden Kraft stets mit der Richtung der Geschwindigkeit übereinstimmen, damit eine geradlinige Bewegung entstehe.

Wir betrachten hier im Wesentlichen Bewegungen unter Wirkung veränderlicher Kräfte. Um aus der gegebenen Kraft und der daraus unmittelbar bestimmten Beschleunigung p die Geschwindigkeit v und den Abstand x des Massenpunktes von einem Festpunkt A seiner Bahnlinie zu finden, müssen Integrationen ausgeführt -werden. Der einzuschlagende Weg der Rechnung ist abhängig von der Art der Veränderlichkeit der gegebenen Kraft.

1. Ist K eine Funktion der Zeit, also K:m — p — F(t), so wird nach S. 2

dv — p • dt = F{t) • dt und v = S F(t) - dt 4- C, wofür

(pit)

geschrieben werden möge.

Daraus folgt weiter nach S. 1

dx = v • dt — cp (ć) • dt und x = j‘(p(t) dt + Ci, oder

oc = /(<)

als gesuchtes Bewegungsgesetz.

2. Ist K eine Funktion des Ortes des Massenpunktes, also K : m = p = F (x), so wird dv = p • dt — F(x) ■ dt.

Multiplicirt man diese Gleichung mit

dx

V dt ’

so entsteht

vdv = Fix) • dx und v² = 2 S F (x) • dx + C oder v — cp (x). Daraus folgt weiter dx — v ■ dt — (p (x) • dt.

ln dieser Gleichung muss man behufs der Integration die Veränderlichen trennen, d. h. alles mit x behaftete auf einer Seite yereinigen. Dann wird

dt =

dx

(p (x)

und

+ G = y(x),

i dx

J q> Gr)

hiermit hat man t als Funktion von x. woraus in vielen Fällen

x =f(t)

als Bewegungsgesetz entwickelt werden kann.

3. Ist die Kraft K eine Funktion der Geschwindigkeit, also

K: m — p — F(v), so wird dv = p • dt = F(v) • dt und nach Trennung der Veränderlichen

dt =

dv

F(v)-

Daraus

J F yV)

+ o = (p (v).

Die Entwickelung dieser Gleichung nach v liefert v = y (t). Dann wird

woraus sich

dx — v • dt = ip (t) • dt, æ = fy)(t) • dt -f- C{ = f{t) ergiebt.

Die folgenden Untersuchungen liefern Beispiele zu diesen allgemeinen Andeutungen. Der Fall, dass die Kraft als Funktion der Zeit gegeben sei, ist ausserordentlich einfach, kommt aber in der Anwendung kaum vor. Daher gehen wir sogleich zu einem Falle der zweiten Art über.

I. Geradlinige Schwingung eines Massenpunktes.

Fig. 60.

K

K-—x—

Ein Massenpunkt m stehe unter Einwirkung einer von einem festen Punkt A ausgehenden Anziehungskraft, welche stets das Bestreben hat, ihn nach A hinzuziehen (Fig. 60). Diese Anziehungskraft K sei verhältnisgleich mit dem Abstand x des Massenpunktes m von dem Festpunkt A.

Befindet sich der Massenpunkt in A, so hat die Kraft den Werth Null, es ist daher A die Gleichgewichtslage des Massenpunktes. In ihr befinde sich der Massenpunkt zu Anfang, erfahre nun aber, etwa durch einen Stoss, eine Anfangsgeschwindigkeit c, die ihn aus der Gleichgewichtslage A entfernt. Dann wirkt auf ihn in derselben Richtung, aber in entgegengesetztem Sinne, die Kraft K, so dass die Bewegung eine geradlinige werden muss. Da K mit x verhältnisgleich ist, so kann man die Beschleunigung setzen

1)

= — U-x.

Dann bedeutet k² die absolute Grösse der Beschleunigung im Abstande = 1 von der Gleichgewichtslage, und man erhält

to

a. i ft.

— kr • x ;

mùltiphcirt man mit vdt — dx, so wird

vdv = — k²xdx, also v- = — k²x² -j- G und weil v — c war. für æ — 0: '

W* — k²x².

3)

v —

Setzt man nun v —

dx

dt

, so wird

dt =

dx

1 dx

&*)

V c² — k²x²    k

dies giebt

Vp

c²

- X²

fc

uin:

X²

4)

t — — arc sin

kx

T + c‘

(mit Ci = 0, weil x = 0 für t = 0). Hiernach ist

5)

x = -- sin & t

A-

die Bewegungsgleichung, aus der noch die Geschwindigkeitsgleichung

6)

dx

v — —r- — c • cos kt entsteht.

dt

Für t = 0

7C

71

2 71

2k

wird x = 0

und v = c (Punkt

ABA

G A Fig. 61).

und

Fig. 61.

sind grösste und kleinste Werthe von x; nach einer Zunahme der Zeit um je —, d. h.

rC

•—>K---------«---------Vi

K-

nach einer Zunahme der c Grösse kt um je 2tc kehren in den periodischen Funktionen der Gl. 5 und 6 stets die gleichen Werthe wieder.

Während der Zeit — wird die Bahnlinie BC von dem Massen-k

2 71

punkte hin und her durchlaufen. Eine solche Bewegung nennt man eine Schwingungsbewegung. Der Massenpunkt schwingt

2 71

um die Gleichgewichtslage als Mitte; es ist — die Zeit einer

k

Doppelschwingung, die Dauer einer einfachen Schwingung.

Fig. 62.

Die Schwingungsdauer ist nach Gl. 7 nur von der Beschleunigungsgrösse k² (im Abstande gleich Eins) abhängig; die Geschwindigkeit c, mit welcher der Massenpunkt durch die Gleichgewichtslage geht, beeinflusst nur die halbe Schwingungsweite a;

JZ

diese wird für t — nach Gl. 5

8)

Solche Schwingungsbewegung \    J

kann man sehr einfach zur Dar- \    /

Stellung bringen, wenn man einen Punkt mit gleichbleibender Geschwindigkeit c in einem Kreisumfange vom Halbmesser a — c : k führt und diese Bewegung auf einen Durchmesser projicirt. Beginnt die Bewegung in JD, so ist T)Q — ct, daher

2C DA Q = 2Ç AQP = et: a — kt,

AP — .v = a sin fct,

d. h. mit Gl. 5 übereinstimmend.

Eine solche Projektionsbewegung einer Kreisbewegung kommt vor bei der Knrbelschleife (Fig. 63). Dreht sich die Kurbel K gleichmässig um die Achse A, so gleitet der auf den Kurbelzapfen Z gesteckte würfelförmige „Stein“ in dem Schlitze der wagerecht geführten Kurbelschleife S und überträgt auf sie nur die wagerechte

Fig. 63.

.1.

fr*

Seitenbewegung des Kurbelzapfens. Die Bewegung der Schleife erfolgt daher nach der Gleichung

9)

x = a • sin k t = a • sin -—,

wenn a der Kurbelhalbmesser, c die Geschwindigkeit des Kurbeh-zapfens ist

Beispiel 1 : Stellt inan sich vor, durch die Erde, deren Dichte überall gleich angenommen werden soll, sei längs eines Durchmessers eine Röhre geführt (Fig. 64), so erfährt ein in der Röhre befindlicher Massenpunkt bei einem Abstand x vom Erdmittelpunkt A nach 1. Theil, S. 58,

Gl. 7, eine Fallbeschleunigung

Fig. 64.

wenn r der Erdhalbmesser und g die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche ist. Da die nach dem Punkt A gerichtete Anziehungskraft mit x verhältnisgleich, so ist die Bedingung der Schwingung nach Gl. 5 erfüllt. Für x = 1 wird

P,TT

daher ist

Ci

k.

Hatte nun der Massenpunkt an der Stelle B die Geschwindigkeit Null, so ist nach Gl. 8

-V

die halbe Schwingungsweite, woraus

11)

e — \r ą r

folgt als Geschwindigkeit, mit welcher der Massenpunkt die Gleichgewichtslage A durchläuft. Der Massenpunkt langt bei C mit der Geschwindigkeit Null an, kehrt nach B zurück und wiederholt diese Bewegungen fortgesetzt. Das einmalige Durchlaufen des Durchmessers erfordert die Zeit

l~

■ r

= ~ / — ;

f 9

12)

es ist dies die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels von der Schwingungslänge r (Erdhalbmesser) hei kleiner Schwingungsweite (s. 1. Theil, S. 78). Mit r — 6 370 000 m und g = 9,si m/g i wird

/ 6 370 000

9,81

= 2532 s. = 42,2 min.;

c = y 9,81 • 0370000 = 7905 m/g.

Würde man einen zweiten Punkt mit dieser Geschwindigkeit um die Erde fuhren, so würde er stets in derselben Zeit in B und C eintreffen wie der erste, den Durchmesser BC durchschwingende Punkt. Übrigens braucht dieser zweite Punkt nicht einmal geführt zu werden, vielmehr wird er, bei B mit der wagerechten Geschwindigkeit c = Vg r versehen, wenn kein Luftwiderstand auftritt, die Erde frei umkreisen, ohne einen Druck auf die Erde auszuüben, weil die Schwere mg allein zur Centripetalbeschleunigung

_ gr _

Pn = —

r

9-

verbraucht wird.

Hinzutreten einer unveränderlichen Kraft. In den meisten Fällen, wo Schwingungsbewegungen auftreten, wirkt ausser der veränderlichen Kraft K noch eine unveränderliche Kraft Q, gewöhnlich das Gewicht des Massenpunktes. Es lässt sich zeigen, dass deren Hinzukommen die Grundeigenschaften der Bewegung nicht erheblich ändert.

Ist (Fig. 65) A der Ausgangspunkt A (Nullpunkt) der veränderlichen Kraft K = m • k- • x, von welchem aus x gemessen wird, und tritt nun vielleicht in entgegengesetztem

Fig. 65.

<•

-a?-

>)

Sinne die Kraft Q, hinzu, so wird die Mittelkraft = m • k²x — Q. Diese wird Null für

13)

rnk²

d. h. die Stelle Aj ist jetzt die Gleichgewichtslage. Nennt man z — x — e den Abstand des Massenpunktes von Al, so wird unter Einsetzung von x — z + e die Mittelkraft nunmehr

m • k-(z -f- e) — Q = m • k-(z + e) — m • k²e — m • k² z,

weil nach Gl. 13 Q — mk-e ist. Diese Mittelkraft ist nach der Gleichgewichtslage gerichtet und ertheilt dem Massenpunkt eine Beschleunigung

p = — k²z

im Sinne des wachsenden z. Hierin bedeutet k- die absolute Beschleunigungsgrösse im Abstande — 1 von der Gleichgewichtslage. Die Vergleichung mit Gl. 1 (S. 53) zeigt nur eine Vertauschung des Buchstaben x mit z; beide bedeuten aber den Abstand des Massenpunktes von der Gleichgewichtslage. Bezeichnet daher wieder

c die Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage, a die halbe Schwingungsweite, tl die Dauer einer einfachen Schwingung, so gilt nach Gl. 7 u. 8:

14)

15)

c — ka.

Ist die unveränderliche Kraft Q die Schwerkraft mg, so wird nach Gl. 13

16)

e = ~, also k- = —, mithin

17)

h=,y

-v,'

d. h. die Dauer einer Schwingung ist nun gleich derjenigen eines mathematischen Pendels von der Länge e = dem Abstande der Gleichgewichtslage von dem Nullpunkte der veränderlichen Kraft = der Verschiebung der Gleichgewichtslage in Folge des Hinzutretens der Kraft Q = mg.

Vorstehende Entwickelungen finden auf die meisten elastischen (Feder-) Schwingungen Anwendung, wenn man die eigene Masse des elastischen Körpers gegenüber der angehängten Masse vernach-lässsigen darf.

a) Schwingungen in Folge elastischer Aufhängnng.

Fig. 66.

7/Ÿ///A

Hängt an einer lothrechten elastischen Stange (Fig. 66) vom Querschnitt F, der Länge l in (spannungslosem Zustande) und dem Elasticitätsmafs F eine Masse m, so bewirkt deren Gewicht mg eine Gleichgewichtsverlängerung

Al =

l m g ~Fj F

(2. Theil, S. 5), während eine Verlängerung um x, verbunden mit einer gleichen Verschiebung des Punktes m aus der Lage A nach unten eine Spannkraft

FF

hervorbringt. Die Kraft K entspricht also der Gl. 1 (S. 53); es ist A der Nullpunkt der veränderlichen Kraft. Für x — Al heben sich K und mg auf, daher ist e = A l

™Sf>

k-

c(br—

] r~ a

\aI

AS-\

m \j

18)

die Verschiebung der Gleichgewichtslage Ay des Punktes von dem Nullpunkt A der Spannkraft. Wird also der elastisch aufgehängte Punkt m etwa durch einen Stoss oder Schlag derartig in Bewegung gesetzt, dass er mit einer lothrechten Geschwindigkeit c durch die Gleichgewichtslage A] geht, so führt er Schwingungen um die Gleichgewichtslage aus, deren Dauer gleich der eines Pendels von einer Schwingungslänge == der Gleichgewichtsverlängerung Al\ d. h.

19)

,T~j/ — ; ferner «

.-*y

Al '

Ob die Schwingungslänge 2 a gross oder klein, hat auf ty keinen Einfluss, sofern nur die Gleichung für die Spannkraft

EF

x gültig bleibt; es darf also der Stab nicht über die

Proportionalitätsgrenze verlängert werden; auch darf der Stab bei der Aufwärtsbewegung sich nicht ausbiegen. Solange die halbe Schwingungsweite a ^ Al ist, wird der Stab nur Zugkräfte auszuhalten haben. Ist aber gerade a: = Al, so fällt die höchste Lage des Punktes m mit A zusammen, wobei der Stab eben spannungslos wird.

Dieser Fall tritt ein, wenn die Masse m mit der spannungslosen Stange verbunden und plötzlich losgelassen wird. Dann hat m zu Anfang die Geschwindigkeit Null, die Beschleunigung g nach unten. Es fällt die obere Grenzlage des Punktes mit A zusammen, während die andere Grenzlage C um 2a — 2 • Al tiefer liegt. Der Massenpunkt geht mit der Geschwindigkeit

V Al

20)

‘ff

durch die Gleichgewichtslage J,. Die stärkste Verlängerung des Stabes beträgt 2 • A l, d. h. das Doppelte der Gleichgewichtsverlängerung, die stärkste Spannung also auch das Doppelte derjenigen Spannung, welche entstehen würde, wenn die Masse in ruhend an der Stange hinge. (Vgl. 2. Theil, S. 106.)

Die Messung der Schwingungsdauer tv kann zur Bestimmung des Elasticitätsmafses E benutzt werden. Denn es ist (Gl. 19)

/ mg E F ~ jt~ m g • l

W '

Beispiel 2: Für einen Stahlstab sei E — 2 500 000 *t ;    ] qcm;

l — f) m — 500 cm ; mg — 1000 ltg. Dann ist die Gleichgewichtsspannung <rL, = 1000 at, die entsprechende Verlängerung

1000 -500    •

--.... '- = 0 •> cm

2500000    '

Die Schwingungsdauer entspricht einer Pendellänge = 0,2 cm und beträgt mit

g = 081 «®/S3

Al =

tjT

¹JZ¹

, also

21)

Al ==

‘ 0,-

” j 981    22

Sekunden.

Beginnt die Bewegung bei *4, dem s])annungslosen Zustande der Stange entsprechend, so geht die Masse m mit der Geschwindigkeit

)/"0,2 • 981 = 14 cm/s.

durch die Gleichgewichtslage Al.

Qnerschwingungen. Annähernd gelten die Gl. 15—17 auch,

Fig. 67.

wenn ein leichter elastischer Stab durch die daran befestigte Masse m nach Fig. 67 in Biegungsspannungen versetzt wird, weil innerhalb der Elasticitätsgrenze die Durchbiegung verhältnisgleich mit der biegenden Kraft wächst. Die Lage A entspricht dem spannungslosen Zustande des Stabes. Die Gleich-

■i.

22) / =

gewichtslage Al befindet sich um das Mafs der einer Last mg zugehörigen Durchbiegung mq • P

___ _ p

3 EJ

(2. Theil, S. 43, Gl. 7) tiefer als A, wenn l die Länge des Stabes, J das Trägheitsmoment seines Querschnitts. Die Schwingungsdauer entspricht einer Pendellänge /.

Kommt die Masse etwa durch einen nach unten gerichteten Schlag aus der Gleichgewichtslage, so ist die halbe Schwingungsweite a nach Gl. 17 von der dem Massenpunkte durch den Schlag ertheilten Geschwindigkeit c abhängig. Wird nun der Schlag nach einer oder nach mehreren Doppelschwingungen, d. h. in Zwischenzeiten 2tx, 4£, oder allgemein 2ntl wiederholt (worin n eine Ganzzahl bedeutet), so entsteht dadurch jedes Mal eine Vergrösserung der Geschwindigkeit c und in Folge dessen auch der stärksten Durchbiegung und Spannung. Solche Wiederholung von Schlägen oder Stössen kann also einen in elastischen Schwingungen befindlichen Stab zum Bruche führen. Aus diesem Grunde können Brückenträger, für welche die Dauer einer einfachen Schwingung tv beträgt, gefährdet werden, wenn Menschen in gebundenem Schritt über die Brücke marschiren und die Dauer eines Schrittes ein ganzes Vielfaches von 2 tx beträgt. Auch die Stösse eines Eisenbahnzuges erfolgen in einem gewissen Takte; daher spricht man von einer „kritischen“ Geschwindigkeit eines Zuges in Bezug auf eine Brücke. Wiederholen sich aber die Stösse in der Zwischenzeit tx, der Dauer einer einfachen Schwingung, so hebt jeder zweite Stoss die Wirkung des ersten wieder auf, so dass gefährliche Schwingungen weniger leicht zu erwarten sind.

b) Lothrechte Schwingung schwimmender Körper.

Ein prismatischer Stab von dem Querschnitt F und der Länge d (Fig. 67) sei am unteren Ende derartig beschwert, dass er, um die

Länge h in Wasser eingetaucht, in lothrechter Schwimralage im Gleichgewicht ist. Dann heben sich an dem Stabe das Gewicht mg und der Auftrieb A — y Fh (vergl. 2. Theil, S. 184) auf, wenn y das Gewicht der Kubikeinheit des Wassers. Beträgt die eingetauchte Länge des Stabes x, so liât der Auftrieb die Grösse K = y • F • iv, ist also eine mit der Tiefe x des unteren Stabendes unter dem Wasserspiegel verhältnisgleiche Kraft. Unter Vernachlässigung der Bewegungswiderstände des Stabes im Wasser kann man die Sätze S. 58 auf die Bewegung des Stabschwerpunktes anwenden.

Fig. 63.

Wenn das untere Ende des Stabes den Wasserspiegel eben berührt, befindet sich der Stabschwerpunkt in der Lage, die dem Werthe Null der Kraft K entspricht. Ruhig schwimmend, liegt der Stab um h tiefer als in der eben genannten Lage für K = 0; es ist daher die S. 58 eingeführte Grösse e hier

23)

e = h.

Fig, 69.

Wird der Stab durch einen leichten Stoss aus der Ruhelage gebracht, so schwingt er um die Gleichgewichtslage als Mitte, und die Dauer einer einfachen Schwingung entspricht einer Pendellänge, gleich der Eintauchungstiefe h im Ruhezustände. Es darf nur die Bewegung nicht so bedeutend sein, dass der Stab ganz unter Wasser oder ganz aus dem Wasser komme, denn in beiden Fällen verschwindet die Veränderlichkeit des Auftriebes K.

Obige Betrachtungen bleiben auch gültig, wenn der eingetauchte Körper nicht prismatisch ist; es muss nur derjenige Theil des schwimmenden Körpers, der bei der Schwingung durch die ■ Wasserspiegelebene hindurch geht,

ein lothrechtes Prisma von dem wagerechten Querschnitt F sein. Nennt man V den eingetauchten Rauminhalt des Körpers im Ruhezustände, so dass

so vergrössert sich in Folge einer Vermehrung der Eintauchung um z der Auftrieb um yFz. Dies ist also die Kraft, welche den Körper in die Gleichgewichtslage zurückzuführen strebt und ihm eine Beschleunigung

ZlA _ _ *.2-

(Gl. 14) ertheilt. Dann ist

k2 ₌ zl_ ₌ r* g ₌ /a?

m g    y V

(nach Gl. 24), mithin

und

25)

v⁼£⁼*y

Die Schwingungslänge wird also nach Gl. 16 hier allgemein

26)

anstatt des besonderen Werthes h bei prismatischen Körpern.

c) Eintauchen eines ins Wasser fallenden lothrechten Stabes.

Lässt man einen prismatischen Stab vom Querschnitt F, der Länge d, dem Gewichte mg, dessen unteres Ende zu Anfang um hy über Wasser liegt, hinab fallen (Fig. 70), so kann die Tiefe y, bis zu welcher er überhaupt einsinkt, am einfachsten mittels des Satzes vom Arbeitsvermögen (1. Theil, S. 266) berechnet werden. Längs des Weges h{ erfolgt eine gleichförmig beschleunigte Fallbewegung, längs des weiteren Weges y eine Bewegung unter Einwirkung eines veränderlichen Auftriebs, d. h. nach den auf S. 53 u. ff. gegebenen Kegeln, und schliesslich ist die Aufwärtsbewegung der Abwärtsbewegung symmetrisch. Bei der Berechnung der Arbeit braucht man aber auf die Einzelheiten der Bewegung nicht einzugehen. Einer Eintauchung y entspricht ein

Fig. 70.

LUl

—Y-

Auftrieb K — yFy, und die Arbeit dieser veränderlichen Kraft beträgt bis zu einer Eintauchung y:

27)

St = —

\Kdy-

'/•2 y Fy².

Da nun in der höchsten und in der tiefsten Lage die Geschwindigkeit des Stabes Null ist, so muss die Gesammtarbeit der Schwere und des Auftriebs auch Null sein, daher

mg{hx + y) = x/-2y F y².

Bezeichnet man wieder die Eintauchungstiefe im Gleichgewichte mit h, so ist

mg — y ■ F • h und 2 h (/ij + y) — y² ; dies giebt

28)

y = 7,(l±yi + Ą)-

von den doppelten Vorzeichen ist hier nur das Zeichen 4- verwendbar. Diese Gleichung ist aber nur gültig, solange y ^ d bleibt, weil für y > d der Auftrieb nicht mehr veränderlich sein würde. Demnach muss die Höhe des freien Falles

29)

h'Ąi-h-l)d

sein. Dies ist nur möglich für d>2h. Hierbei sind freilich die Bewegungswiderstände und der Arbeitsverlust beim Aufschlagen auf das Wasser vernachlässigt.

dann muss

Beispiel 3: Es sei d=lm, die Gleichgewichtseintauchung ft = 0,4®,

d. h. Aj < 0,25 «

Lässt man nun den Stab aus der Höhe hx = 0,2m fallen, so beträgt die stärkste Eintauchung

sein.

2. Fall eines Massenpunktes aus sehr grosser Höhe ohne Rücksicht auf den Luftwiderstand.

Fällt der Massenpunkt aus so grosser Höhe, dass die Fallbeschleunigung nicht mehr als konstant angesehen werden kann, so hat man für dieselbe

1)

9* =

r2

Fig. 71.

““-P-*

^ (a — x)²

zu setzen (1. Theil, S. 57), wenn g die Fallbeschleunigung = 9,81 an der Erdoberfläche, r der Erdhalbmesser, a—x die augenblickliche Entfernung des Massenpunktes von dem Erdmittelpunkte C (Fig. 71). (Der Kreis im unteren Theile der Figur soll die Erde andeuten.) Die Bewegung beginne bei A in der Höhe h y über der Erdoberfläche, im Abstand a = h + r vom Mittelpunkte der Erde, mit der Geschwindigkeit Null. Nach t Sekunden habe der Punkt x Meter zurückgelegt, habe die Geschwindigkeit v und befinde sich bei P; dann ist nach Gl. 1

dv gr²

dt (a — x)

dies giebt, mit vdt — dx multiplicirt:

ITT

l<

DT

> fK

NL__*4(

r/

2’

vdv = gr²

dx

(a — x)²

= — gr²

d (a — x)

(a — x)²

mithin ist

v²

gr²

und wegen v = 0 für x — 0:

0 = ^

+ öj also

a (a — x)

und

2)

v = r "|/

%9æ

a (a — x) '

Keck, Mechanik. III.

Für cc — h, a — r + h und a — æ — r wird v zur Endgeschwindigkeit i\, mit der der Punkt bei B an der Erdoberfläche anlangt, nämlich

3)

= ri

2ffh (r + h)r

2 gh

Hieraus ist zu ersehen, dass man, sobald die Fallhöhe h gegen den Erdhalbmesser klein ist, vx = V 2gh setzen darf. Bemerkenswerth ist ferner, dass man, ebenso wie beim barometrischen Höhenmessen (2. Theil, S. 214), in der für konstante Fallbeschleunigung

gültigen Formel — X 2gh die Fallhöhe h durch--— ersetzen

1 + -

muss, um den für veränderliche Fallbeschleunigung gültigen Werth zu erhalten.

Für h = r entsteht aus Gl. 3

v₁ — 1rgr.

Die gleiche Geschwindigkeit würde sich auch ergeben, wenn der Massenpunkt die Strecke BC — r (Fig. 72) im Innern der homogen gedachten Erde zurücklegte (siehe S. 57, Gl. 11). Daraus folgt, dass auch die Arbeiten der Schwerkraft längs dieser beiden Wege AB und BC gleich sein müssen. Die auf die Masseneinheit kommende Schwerkraftarbeit ist aber offenbar Sffu'dæ, d. h. gleich der der durchfallenen Höhe entsprechenden Fläche derjenigen Kurve, welche das veränderliche gx darstellt. Für das Innere der Erde ist nach dem 1. Theile, S. 58 die Darstellung von gx eine Gerade CD mit BD = g = 9,81, für die Bewegung ausserhalb der Erde eine hyperbelartige Kurve DE mit AE — l/* g. Mithin muss

4)

•Z

Fig. 72.

9a>

JL

’B

BCD — ABDE, also auch AB DE — ABD = l/2 gr sein. Die Nachrechnung ergiebt auch mit gx =

gr-

(a — x)²

und a = 2r

5)

rtx — r

\gxdx —

x — 0

gr

Schreibt man Gl. 3 in der Form

6)

Vl

₌ 1/2 ghr ₌ /J

''⁺* h + >

2gr

= oc :

so erhält man für Fallhöhen h, gegen die selbst der Erdhalbmesser r vernachlässigt werden darf, d. h. für —

7)

gr.

= Ÿ2

D. h. wenn ein Punkt nach dem allgemeinen Gesetze der Massenanziehung (1. Theil, S. 55) aus unendlicher Ferne von der Erde angezogen wird, so ist seine Geschwindigkeit an der Erdoberfläche dieselbe, als ob er mit konstanter Fallbeschleunigung g eine Höhe, gleich dem Erdhalbmesser r, durchfallen hätte. Die Ge-sammtliäche der bis ins Unendliche über E (Fig. 72) hinaus fortgesetzten Linie DE der Fallbeschleunigung muss daher = gr sein.

Die zur Fallbewegung erforderliche Zeit ergiebt sich, wenn man in Gl. 2 v = dx : dt setzt und schreibt

dt

Bei der Integration von Ausdrücken dieser Art muss man aus dem Zähler ein etwaiges Wurzelzeichen zu beseitigen suchen; daher multiplicire man Zähler und Nenner mit V a — x, um zu erhalten

_ 1 / a a — x - ! Igr* Vax- x*

Weil nun    d (ax — x²) — (a — 2 x) dx — 2 {— — xj dx,

so vertausche man im Zähler a mit 4- ^ und ordne

Là    Là

~tf ö ( lha — r 2gr²

dt

8)

dt —

dx

ax — x²

2 Vax — x²1

Das Integral des ersten Summanden in der Klammer ist Y ax — x²; um den zweiten Summanden auf eine der Grundformeln zurückzuführen, setze man vorübergehend x = b — y mit dx = — dy; dann wird

ax — x² — Y ab — ay — b² + 2 by — y².

Man bestimmt nun die bis jetzt willkürliche Grösse b so, dass unter dem Wurzelzeichen die Glieder mit der ersten Potenz von y verschwinden, also 2 b = a, d. h. b = l/-2a werde; dann wird

dx

dy

dy

Y aæ — x²

Yab — b² — y²

dy

Gy)

Vt

f~( >ï f-( >)'

» i co

— d ^arc cos ^ y^j

— 2æ

= d (arc cos — Hiernach liefert die Integration der Gl. 8:

a — 2x\

a ) ’

Eine Integrationskonstante braucht nicht mehr hinzugefügt zu werden, weil für x = 0 richtig

9)

1wÀv

o i a

-x +2

arc cos

entsteht.

-2- arc cos 1 = 0

Fig. 73.

n⁽

K<

Gl. 9 ist nach x nicht auflösbar, doch lässt sich der Klammerausdruck der rechten Seite leicht mittels einer Cykloide darstellen. Lässt man (Fig. 73) einen Kreis vom Durchmesser a auf der Geraden JC rollen und von einem Punkt des Umfanges die Cykloide JA erzeugen und zieht in einer Tiefe AH — x unter dem Scheitelpunkte der Cykloide eine Parallele zu CJ, so ist HF — Y x (a — x) — Y ax — x¹.

Ferner ist

V2 a — æ

V2 a

cos HK F = cos ti = mithin der Kreisbogen

coj a

AF =

arc cos

Macht man also AIJ = AF und zeichnet den Halbkreis DGF, so ist LG = HF, HL = AL) — AF, mithin

IIG = Vax — x² + V arc cos

Für a — 2r und x — r, d. h. für den Fall aus der Höhe r über der Erdoberfläche bis zu dieser, ist eine Zeit erforderlich

— v² -f r arc cos 0

V gr

während der Fall von der Oberfläche bis zum Mittelpunkte der Erde nach Gl. 12, S. 57 nur die Zeit

n ~t r

2 \g

in Anspruch nehmen würde. Der Unterschied erklärt sich dadurch, dass in dem jetzt vorliegenden Falle die Beschleunigung zu Anfang nur den geringen Werth J/4 g hat, dass daher die Geschwindigkeit nur langsam zunimmt, während in dem auf S. 56/57 behandelten Falle die Bewegung mit der Maximalbeschleunigung g beginnt.

Einen noch klareren Einblick in diese Verhältnisse gewinnt man, wenn man für jede der hier in Vergleich stehenden Bewegungen die Geschwindigkeitskurve (nach 1. Theil, S. 10) aufzeichnet, d. h. zu den Zeiten als Abscissen die Geschwindigkeiten als Ordinaten aufträgt.

Für die ausserhalb der Erde von A nach B (Fig. 72) verlaufende Bewegung fehlt es allerdings an einer unmittelbaren Beziehung zwischen v und <; führt man aber die Wegeslängen x als Hülfsgrössen ein, so kann man mittels Gl. 2 das entsprechende v und nach Gl. 9 das zugehörige t ermitteln, wobei zur Erleichterung der Berechnung noch die Figur 73 benutzt werden kann.

So entspricht beispielsweise « = 0,i r, wenn man dies in Gl. 9 einlührt

und gleichzeitig a = 2 r setzt, t — 0,ss7

Gl. 2 aber liefert mit den

Da nun die Fallbeschleunigung in der Höhe r über der Erdoberfläche l/*g, an der Erdoberfläche g beträgt, so muss tg a = */⁴ tg sein, wenn a und die Neigungswinkel der Kurve bei F und G bedeuten.

Für die Bewegung im Inneren der Erde von B nach C (Fig. 72) gilt, wenn man von der Stelle B aus die Wege und Zeiten misst, ein Bewegungsgesetz von etwas anderer Form als Gl. 5, S. 54. Es würde nämlich jetzt in

r |l — cos — j sein, oder, weil

<M

gleichen Werthen für a und x v — 0,229 ^ gr. Diese Koordinaten t und v bestimmen einen Punkt der Geschwindigkeitskurve, und in gleicher Weise findet man eine beliebige Zahl anderer;

— das Mafs

wählt man für

Fig. 74.

r>

2 cm, für ]rgr ebenfalls das Mafs 2 c®, so ergiebt sich die Geschwindigkeitskurve Fig. 74. Die Beschleunigung erscheint nach ^

1. Theil, S. 15 als das Ansteigungsverhältnis der Geschwindigkeitskurve; es ist

-9 G

iüf

GH = Vg • r

FH = 1 +

Fig. 62, S. 55 BQ — ct und BP —

Vg • r,

x = r 1 — Cos t

JL

; und das Geschwindigkeitsgesetz :

P-

v — | g ■ r sin t

Setzt man hierin beispielsweise < = 0,i

y 7-

so wird v = pg • r sin O.i.

Der Bogengrösse 0,i entspricht die Gradzahl 5,73 oder rund 5° 44' und der Sinus 0,o999, womit genau genug sin 0,i = 0,i und v = 0,i y g ■ r gefunden ist. In dieser Weise ergeben sich die Koordinaten der Geschwindigkeitskurve JK (Fig. 75), welche einen Theil einer Sinuslinie bildet. Es ist KL = pg-r,

Fig. 75.

JL =

TZ r

r .    r

- = ,’s77-

--------

Das Ansteigungsverhältnis der Kurve JK an der Stelle J ist tg ot₁, d. h. von derselben J Grösse wie tg otj in Fig. 74. Da nach 1. Theil,

S. 11 der Inhalt der Geschwindigkeitskurve die Wegeslänge bezeichnet, und diese in beiden Fällen —r ist, so müssen die Flächen FGH und JKL einander gleich

V

sein. Die Figur F G H lässt sich in ein Kechteck von der Breite 2,5 7 1 / —-

I ⁹

und der Höhe 0,39 ]/"</ • r verwandeln, was der Fläche = r entspricht; die Figur JKL ebenso in ein Kechteck von der Breite 1,57 1 — und der Hölie

__    f 9

0,64 V g-r-

3. Bewegung unter alleiniger Einwirkung eines Flüssigkeits - Widerstandes.

Wird ein schwimmender Körper mit einer Geschwindigkeit c in Bewegung gesetzt und sodann der alleinigen Einwirkung des Wasser- und Luftwiderstandes überlassen, so wird er, weil der Auftrieb der Schwerkraft das Gleichgewicht hält, eine verzögerte Bewegung in wagerechter gerader Linie ausführen. Man kann den Flüssigkeitswiderstand W mit dem Quadrate der veränderlichen Geschwindigkeit v verhältnisgleich annehmen, also setzen

1)

W = Av².

Es empfiehlt sich nun, zur Abkürzung der Ergebnisse eine Geschwindigkeit k einzuführen, bei welcher der Körper oder Massenpunkt m einen Widerstand, gleich seinem Gewichte mg, erfährt. Dann wird aus Gl. 1:

m g = Ak²,

woraus durch Verbindung mit GL 1

2)

v²

W = mg />2

entsteht. Hiernach wird die Beschleunigung

CO

SU A-

Ti

?;²

oder

dt = —

k² dv 9 v~

Jc²

= — d — , mithin

1.2 1

t = — — -f C;

weil für t — 0, v = c war, so muss

— + C sein;

also folgt (durch Abziehen)

4)

kr

und hieraus

5)

k²

dx

Setzt man v — —, und verwandelt c • dt in

dt

3a

so wird

dx —

k²

, also

6)

x =    1 (l 4-

c • t).

(Die Integrationskonstante verschwindet hier, weil für t — 0 auch x = 0 wird.) Weil nach Gl. 5

so kann man durch Einsetzung dieses Werthes in Gl. 6 eine unmittelbare Beziehung zwischen Geschwindigkeit v und Länge x erhalten, nämlich

7)

* ⁼ 7l( )

<5 [ ft

oder v — c • e

-S-x

Nach diesen Ergebnissen ist die Bewegung des schwimmenden Körpers weder der Zeit noch dem Orte nach begrenzt. Es wird v erst zu Null für t — co (Gl. 5) und für x — oo (Gl. 7). Ein einmal in Bewegung gesetzter schwimmender Körper wird also, wenn der Widerstand genau proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit (Gl. 2) und die Wasserfläche unbegrenzt ist, niemals und nirgends zur

Kühe kommen. Er würde, wenn keine Störungen eintreten, das ganze Weltmeer durchschwimmen. In Wirklichkeit dürfte dies nicht zutreffen, weil der Widerstand des Wassers der Gl. 2 nicht genau entspricht, weil das Wasser eine gewisse Klebrigkeit hat, die den Widerstand, nachdem die Geschwindigkeit sehr klein geworden ist, erheblich beeinflussen kann, weil endlich Luft und Wasser nie ganz ruhig bleiben.

Beispiel : Ergiebt ein Schiff von m q = 3000 t = 3 000 000 kß Gewicht bei einer Geschwindigkeit von 7 m/s. einen Widerstand von 15 000 kß, so ist nach Gl. 2

ir

3000

]    . 49 = 9800 , d. h.

k rund = 100 m.

Ertheilte man nun dem Schiff eine Anfangsgeschwindigkeit c = 10 m/₈., so würde ohne weitere Triebkraft zur Zurücklegung einer Strecke von 1000m eine Zeit erforderlich sein, die aus Gl. 6 (mit g= 10J

1000 =

10 000

10

10

10 000

10«)

gefunden werden kann. Es müsste

1, oder

¹ (‘ ⁺ i5ö) -

¹ + löö = e = 2,7183 ’ also

t — 172 s- betragen.

Das Schiff hat in diesem Augenblicke noch eine Geschwindigkeit (nach Gl. 5)

10

10

2,72

= 3,68 m/s..

1 -j- 0,oi t

Von der Arbeit, welche nötliig war, um dem Schiffe die Anfangsgeschwindigkeit zu ertheilen, nämlich

c²

3 000 000 •    = 15 000 000 mkg,

2</

sind noch

mg •    — = rund 2 030 000mkg?

2.ü

d. h. 13,f» °/o vorhanden, 86,6 % durch den Wasserwiderstand aufgezehrt.

Nach einer Stunde (< = 3600) würde v — 0,27 m/s., a; = 3611m betragen; nach 2 Stunden: v — 0,i37m/s<, a: = 4290m;

nach 10 Stunden: v

0,0277 m/St, X = 5889 m .

4. Lothrechte Wurf- und Fallbewegung in einem widerstehenden Mittel (Luft oder Wasser).

a) Steigen.

Fig. 76.

i?

TT"

Wird der Massenpunkt m bei A (Fig. 76) mit der Geschwindigkeit c lothrecht aufwärts geworfen und wirken auf ihn die Schwere mg und der Widerstand W eines Mittels (etwa der Luft) verzögernd, so mag er nach t Sekunden einen Weg AP — ,v zurückgelegt und die Geschwindigkeit v erhalten haben. Führt man, wie Gl. 2, S. 71, den Widerstand in der Form

>p !

1)

ein, so wird die Beschleunigung

2)

dv

mg

.V

-H

ep

'a

Hieraus erhält man die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Zeit, indem man die Veränderlichen trennt, nämlich schreibt:

— 9 • dt =

dv

2 Je

jfc²

so dass entsteht

g -t =

V

— h arc tg— 4- G.

rC

Weil v — c war für t = 0, so muss ferner sein

— h arc tg ~ + C,

also nach Entfernung von C mittels Abziehens der letzten Gleichung von der vorhergehenden

3)

⁼ ^(arc tg i ~ arctgl)-

Will man die Zeit t wissen, nach welcher die aufwärts gerichtete Geschwindigkeit v zu Null geworden ist, so setze man v — 0 in Gl. 3 ein und erhält dadurch die

4)

Steigdauer tx =

Zur Ermittelung der Steighöhe ist es am einfachsten, x als f(v) zu entwickeln. Zu dem Zwecke multiplicire man Gl. 2 mit vdt — dx; dann wird

dx,

vdv — —

oder nach Trennung der Veränderlichen

dx = —

1 2 v• dv

k²

k²

1 + TW

k²

2.7

v²

, also

1 + TW

k²

k²

k²

2^7

Weil x = 0 für v — c, so wird

k²

2.-7

und

_ . (V? + c²\

2g \k² + v²) *

Will man die Höhe x — h wissen, bei welcher die Geschwindigkeit zu Null geworden ist, so setze man v = 0 in Gl. 5 ein, und erhält die

5)

k²

6)

L>2 I r2\

Steighöhe h = ^ l (^1 + -p-j.

Eine unmittelbare Beziehung zwischen x und t ist nicht sehr bequem, kann aber in folgender Weise aus Gl. 3 erhalten werden:

arc tg ~

Man setze

= a, also

dx

v = — = k tg

dt

(-?)

und

d, = y tg (« - f) d (-Ł «) = - y tg («. - f ) d (« - Ö) .

Nun ist

J tg x 7x = j

= — l (cos x), daher

sm x ,

-dx

COS x

d (cos x)

cos x

— I (cos a • cos ^ + sin

a 1    k

a • sin

sl\

*/

yfc²

0 = — l (cos a) + C,

also

x = — l {cos + tg a sin 9 X k

k\

und, weil

tg a = — :

b) Fallen.

Nachdem die Höhe h erstiegen wurde, beginnt das Fallen mit der Beschleunigung g, die aber mit wachsender Geschwindigkeit durch den Widerstand des Mittels vermindert wird.

Nach t Sekunden sei die Höhe x durchfallen (Fig. 77), die Geschwindigkeit v geworden, dann ist die Beschleunigung

Fig. 77.

>1

8)

dv    W L v²\

dt ~ ⁹ m ⁹ \    k²) ’

Es möge zunächst die Geschwindigkeit v₁ be- 4* rechnet werden, mit der der Massenpunkt unten bei A f wieder anlangt; dann multiplicire man Gl. 8 mit 1,13 vdt — dx:

■p'-

/ V2\

vdv = g ( 1 — ^2 ) dx

K-

CO

und schreibe

S-|

ft-

CO

ft,

woraus entsteht:

v-

k²

U*.

k²

da (wegen x = 0; v = 0) die Konstante zu Null wird. Hieraus folgt für x — h und v — vy :

9)

ui-?£

k²

kr

_ ² T/-2

10)

i\ = k 11 —■ e

Einfacher führt man vx auf die Geschwindigkeit c des Aufwurfes an derselben Stelle A zurück, indem man aus Gl. 6 und 9 die Höhe h entfernt, und erhält

oder

vx-

k²

c²

, mithin

k²

11)

c² ’

d. h, v₁ C c.

A*²

Um nun die F all d au er zu erhalten, schreibe man Gl. 8:

Łdt =

dv

k²

k²—v²'

so dass

kr dv g )k² — v²

Behufs der Integration bedenke man, dass

+ O wird.

k + v k — v

geschrieben werden kann, worin, damit

(A + B) k — (A - B) v = 1 werde (für jeden beliebigen Werth von v),

A = B und 2 Ak = 1

k² — v²

sein muss. Hiermit wird

r dv 1

k² — v²

Ak — Av + Bk + Bv

k² — v²

dv

2 k ,)k — v

2k Jk + v

= Tic¹ (fc + v)— Ä¹ (fc — v) ’ also

2 g \k — v)'

indem C=0 wird, weil v = 0 richtig t = 0 liefert, man nun v — vlf so wird aus t die Falldauer t₂, d. h.

12)

Setzt

t - JL I

2gl\k-vJ'

Aus Gl. 11 ergiebt sich aber

k + Vj

(c + Y c² + k²f

k — vx

k²

, mithin

die Einsetzung dieses Werthes in Gl. 13 liefert:

14)

_ k fc -f- Vc² -f- k²\

g \ k / ’ hiermit ist die Falldauer unmittelbar auf gegebene Grössen zurückgeführt.

Die unmittelbare Beziehung zwischen x und t wird wieder etwas umständlich. Gl. 12 lässt sich schreiben

woraus sich ergiebt:

k v — (k — v) e Ä ,

ek + 1

Y t -±*

* -F e k

dx = —

k² ek

4-t

ri‘

9    2-

t -,

— — t

ek +e k

da nun der Zähler die Abgeleitete des Nenners darstellt, so ist

-M

( jt

+e

Weil t = 0 auch x = 0 geben muss, so wird

k²

daher durch Abziehen

yl2 + Çi,

15)

a: =

M¹

* +«

-M

Die Beschleunigung der Abwärtsbewegung würde zu Null werden, wenn die Geschwindigkeit v den Werth k erreichte, weil für diesen Fall der Widerstand W — mg werden würde (Fig. 78). Ertheilt man also dem Massenpunkt in dem Sinne abwärts die Geschwindigkeit k, so führt er eine gleichmässige Bewegung aus. Daher wollen wir k die Gleichgewichtsgeschwindigkeit nennen.

Bei der mit der Geschwindigkeit Null beginnenden Fallbewegung kann die Geschwindigkeit v nach Gl. 12 den Werth k aber erst nach unendlich langer Zeit erreichen, denn v = k giebt in dieser Gl. t = oo. Die mit einer Geschwindigkeit, kleiner Fig. 78. als kt beginnende Fallbewegung nähert sich daher asymptotisch der gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit k. Bei sehr grosser Fallhöhe kann annähernd die Endgeschwindigkeit Vy = k gesetzt werden. Ertheilt man dem Punkt im Sinne abwärts eine Geschwindigkeit >- k, so ist seine Bewegung eine verzögerte, nähert sich aber mit abnehmender Geschwindigkeit, und zwar ebenfalls asymptotisch, wie man leicht findet, der gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit k.

nt

,1

k²

Lässt man den Massenpunkt von einer Höhe h — tt— herab-

2 p

fallen, so würde er ohne Wirkung des Luftwiderstandes eine Endgeschwindigkeit k erhalten. Mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes aber wird nach Gl. 10:

16)

Vl

= 0,795 k

oder rund 0,8 k.

c) Bestimmung der Gleichgewichtsgeschwindigkeit k.

Ist y das Gewicht von lcbm des widerstehenden Mittels; F der grösste Querschnitt des Körpers, rechtwinklig zur Bewegungsrichtung genommen; V der Rauminhalt, ylV das Gewicht des Körpers; £ eine von der Form und Oberflächenbeschaffenheit des Körpers abhängige Widerstandsziffer, so wird nach 2 Theil, S. 326, Gl. 3

v²

W = £yF£r-

daher, nach Gl. 1 (S. 74), für v = k:

|(M

Ni    §

<rr\ >-*■

> j.

Cu

<M ^7.

<M

also

»

io

y, r 2 ir

y F £ '

Setzt man für kugelförmige Körper vom Halbmesser r £ = 0,5; V — ⁴/3 r:iJT\ F — r-n, so entsteht

und k² = 52.32 — r.

18)

k² 8 yx

= -Tr--r

d /

Für Gusseisenkugeln Oi — 7200) in Luft (y — 1,29) wird

19)

k²

= 14 884 r und fc² = 292 014 r.

Für Wassertropfen oder Eiskugeln Oi — 1000) in Luft (y = 1,29)

20)

k~

Tr- — 2067 r und k² = 40 561 r.

Für Gusseisenkugeln Oi = 7200) in Wasser (y = 1000) darf der Auftrieb yV des Wassers nicht vernachlässigt werden, oder es kommt bei der Berechnung der Gleichgewichtsgeschwindigkeit k nur das scheinbare Gewicht der Kugel in Bezug auf Wasser Oi — y)V (s. 2. Theil, S. 185) in Frage; d. h.

Ol —y)v — y Ç F

k² , oder

und k² —

k² _ y y — y V y F

Dies giebt:

21)

k²

= 6,2 • T r = 16,5r und k² — 324r.

o

Beispiel 1: Eine Gusseisenkugel von r = 0,o+m Halbmesser werde mit einer Geschwindigkeit e = 500 m/₈. lothrecht aufwärts geschossen. Es sollen A, <u und t.₂ berechnet werden.

Zunächst ist nach Gl. 19 ^-=U 884 • 0,04 = 595 ; k² = 292 014 • 0,04 = 11681 und k = 108 m ;

= 4,63 ;    — = 11.

Dann wird die Steigdauer (Gl. 4)

= 11 • arc tg 4,63 =11 • arc 77° 49' = 11 • 1,3582 = 14,9 s.

500

(gegen

51s- ohne Luftwiderstand).

Die Steighöhe (Gl. 6)

A = 595 l (1 + 4,63²) = 595 • 3,o9o = 1839 «

(gegen

500²

12742m

ohne Luftwiderstand).

Die Aufschlaggeschwindigkeit unten (Gl. 11)

500

— 105,:.,

V1 +21,44

mithin nur wenig kleiner als ä = 108 (gegen c = 500 ohne Luftwiderstand). Die Palldauer (Gl. 13)

11

./108 + 105,5 \

’*"7 =

24,4 ».

t -2 -

also selbstverständlich t, > tx (gegen 51 s. ohne Luftwiderstand).

Bei geringer Geschwindigkeit c ist die Wirkung des Luftwiderstandes unerheblich. Dieselbe Kugel mit k = 108 erreicht mit c = 21,6m Geschwindigkeit eine Höhe h = 23,3 m (gegen 23,8 m ohne Luftwiderstand).

Beispiel 2: Die aus grosser Höhe herabfallenden Kegentropfen, Schlossen, Hagelkörner u. dergl. bewegen sich in der Nähe des Erdbodens nahezu gleichförmig mit der Geschwindigkeit k. Nach Gl. 20 ist k verhältnisgleich mit \ r ; kleine Tropfen haben daher sehr geringe Geschwindigkeit,

während dicke Tropfen mit grösserer Geschwindigkeit auf den Boden schlagen. Für solche kann r = 2,5

mm

= 0,oo*25 m sein, dann wird

;r— = 5,16 m und k = 10,i m.

Derartiger Regen hat also beim Aufschlagen eine Geschwindigkeitshöhe von nur 5,i6m, raag er aus noch so grosser Höhe fallen.

Hagelkörner kommen vor von 0,o.im Halbmesser und 0,i Gewicht. Für diese ist die Geschwindigkeitshöhe

k²

7T- = 62m,

2.9

die Geschwindigkeit k rund 35m.

Die Schlagwirkung eines Hagelkorns ist nach dem Werthe seines Arbeitsvermögens V2 m • k² zu beurtheilen. Da nun m mit r³ verhältnisgleich, k² aber mit r in gleichem Verhältnisse wächst, so ist die Schlagwirkung proportional mit der vierten Potenz von r. Ein Hagelkorn vom doppelten Durchmesser hat also die 16 fache Wirkung eines solchen mit einfachem Durchmesser.

Beispiel 3 : Wie lange gebraucht eine Gusseisenkugel von r — 0,3 m Halbmesser, um eine Meerestiefe von 8000 m zu durchsinken. Wegen der grossen Tiefe wird die Fallgeschwindigkeit bald dem Grenzwerthe k sehr nahe kommen. *Es ist (Gl. 21)

k² = 324 • 0,3 = 97,2, also k — 9,86

und die Zeit, wegen nahezu gleichmässiger Bewegung,

t₂ = 8000 : 9,86 = 811 s. = 131/2 min..

d) Übergang zur widerstandslosen Bewegung.

Der einfache Fall, in welchem nur die Schwere wirkt, lässt sich aus den vorstehenden Untersuchungen ableiten. Soll nämlich der Widerstand W zu Null werden, so muss in Gl. 1 die für W massgebende Grösse k = oo gesetzt werden. Dabei liefern dann die Gleichungen 3, 4, 5, 6, 7, 9 bis 14 Ergebnisse, die zunächst

in unbestimmten Formen oo • 0 und

— auftreten, aber nach den

Lehren der Differentialrechnung oder durch sonstige geeignete Umformung in die einfachen Gleichungen der gleichförmig beschleunigten Bewegung übergeführt werden können. Es möge dies beispielsweise an Gl. 4 durchgeführt werden:

Mit wachsendem k, also abnehmendem — verschwindet mehr

k

mit wird aus Gl. 4: wie es sein muss.

Durch entsprechende Behandlung gehen die übrigen Gleichungen für k = oo über in:

Gl. 5) c~ — l'²

Gl. 6)

c²

Gl. 7)

ct

Gl. 9)

Gl. 10) Gl. 11)

Vi = ct

Gl. 12)

Gl. 13)

to

Gl. 14)

Gl. 15)

<M

** KN

B. Freie krummlinige Bewegung eines lassenpnnktes.

Eine krummlinige Bewegung entsteht, wenn Kraftrichtung und Geschwindigkeitsrichtung nicht übereinstimmen.

Die Bewegung eines Punktes im Raum ist bestimmt durch die Bewegungen seiner Projektionen auf drei Achsen. Diese Projektionsbewegungen nennt man aucli Seitenbewegungen. Ist jR die auf den Massenpunkt wirkende Mittelkraft, p die Beschleunigung, also R = mp, sind X, Y und Z die Projektionen von R auf die drei Achsen oder die Seitenkräfte in der Richtung der Achsen, px, py, pz die entsprechenden Beschleunigungen, d. h. die Projektionen von p auf die Achsen, so sind diese nach S. 6 zugleich die Beschleunigungen der drei Seiten- oder Projektionsbewegungen. D. h., wenn x, y, z die veränderlichen Koordinaten des Punktes, es ist

dvx

dt²    dt

Px —

d²x

d²y

Es liegt dann die Aufgabe vor, hieraus durch Integration die Gleichungen der Projektionsbewegungen x = fit) u. s. w. zu entwickeln.

Py =

Pz =

///

Zur Erleichterung der Ausführung der Rechnungen in bestimmten Fällen dienen einige allgemeine Sätze, bei deren Ableitung diejenigen Schritte ein für alle Mal gemacht werden, die man ohne diese Sätze in jedem besonderen Falle thun müsste.

I. Der Satz der Flächen.

Dieser Satz gilt nur für solche Bewegungen, bei denen die wirkende Kraft stets durch einen festen Punkt, das Centrum O, hindurchgeht.

Zunächst ist leicht zu erkennen, dass eine solche Bewegung in einer ebenen Bahnlinie erfolgen muss, dass sie nicht aus der durch die Anfangsgeschwindigkeit c und das Centrum O bestimmten Ebene E heraustreten kann. Da nämlich (Fig. 79) die Geschwindigkeit c und auch die Kraft AT, mithin auch die Elementarbeschleunigung p • dt in der Ebene E liegen, so wird die Geschwindigkeit nach einem Zeit- ^ theilchen, welche die geometrische Summe von c und sy p • dt ist, auch in der Ebene E liegen, und da dieser Vorgang sich für jedes weitere Zeittheilchen in gleicher Weise abspielt, so bleibt die Geschwindigkeit v stets in der Ebene E. Man kann nun durch O zwei zu einander rechtwinklige, ebenfalls in der Ebene E liegende Achsen OX und OY ziehen, dann bleibt die Bewegung gänzlich in der Ebene XOY, und man bedarf der dritten Achse OZ gar nicht bei der Untersuchung solcher Bewegungen.

Ist nun PQ (Fig. 80) ein unendlich kleines Bewegungstheilchen ds = v -dt und bezeichnet man den rechtwinkligen Abstand des Centrums O von der Richtung der Geschwindigkeit v mit h, so ist leicht o einzusehen, dass v • h konstant sein muss.

Denn haben v und h zu Anfang die Werthe v₀ und h₀, so ist v die Resultirende oder die geometrische Summe aus v₀ und den Elementarbeschleunigungen p • dt, welche während der Bewegung vom Anfänge bis zu der Stelle P durch die Kraft K

Fig. 79.

Fig. 80.

Wr

iP

>Q

geliefert wurden. Da nun nach 1. Theil, S. 101 der Satz der Drehmomente auch für Geschwindigkeiten gilt und die Elementarbeschleunigungen sämmtlich durch O gehen, also in Bezug auf O das Moment Null haben, so muss

— vh = — v₀h₀ oder vh = v₀h₀ sein.

Zieht man nun die Fahrstrahlen OP und OQ, bezeichnet 2Ç POQ mit dd, die Fläche POQ mit dF, so ist

— 72v₀/io, d- h. konstant.

Cl L

dF = l/-2 PQ • h = V2 v • dt • h — ]/2 v₀h₀ • dt, mithin dF

Setzt man v₀ h₀ — v • h

dF

A, so wird

1)

dt

und

dF =

dt

d. h. in jedem Zeittheilchen dt wird von dem Fahrstrahl OP eine mit dt verhältnisgleiche Fläche dF beschrieben, folglich auch in gleichen endlichen Zeiten gleiche Flächen. Daher hat man den Satz: Bei Bewegungen, bei denen die Kraft stets durch ein

festes Centrum geht, liegt die Bahnlinie in der durch das Centrum und die Anfangsgeschwindigkeit bestimmten Ebene, und die von dem Centrum nach dem beweglichen Massenpunkte gezogenen Fahrstrahlen beschreiben in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Die Fläche POQ, kann mit Vernachlässi-

Fig. 81.

gung der unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung

dF — 72 r² • dd geschrieben werden (Fig. 81). Will man diese Grösse durch die rechtwinkligen Koordinaten x und y des Punktes P ausdrücken, 0 so bedenke man, dass

2)

r² — x² -f y² und tg d =

, also d — arc tg

mithin

X' dy — y • dx.

dd = d ^arc tg ^

Si

x- dy — y • dx

y²

3)

1+^—2 X¹

und r²dd — x - dy — y • dx wird.

x² -p y²

x²

Im Anschluss an die Bezeichnung ds : dt = Geschwindigkeit und (o = du : dt = Winkelgeschwindigkeit, nennt man dF:dt, d. h. die in der Zeiteinheit beschriebene Fahrstrahl-Fläche, die Flächen-Geschwindigkeit. Eine Bewegung, bei der die Kraft stets durch ein festes Centrum geht, erfolgt also mit gleichbleiben-* der Flächengeschwindigkeit. Der analytische Ausdruck dafür ist

r² dd _ 1 x • dy — y • dx_ A

2 dt

wenn A eine Konstante bedeutet.

Dieser Satz rührt schon von Newton her. Ein Sonderfall ist das erste Kepler’sche Gesetz (S. 106).

4)

dF

dt

dt

2. Der Satz des Arbeitsvermögens. Kräftefunktion; Niveauflächen.

Der Satz des Arbeitsvermögens wurde freilich im 1. Theil, S. 48 schon allgemein bewiesen; er soll hier aber noch ein Mal in anderer Weise entwickelt und zu weiteren Schlüssen benutzt werden.

Zerlegt man die auf den Massenpunkt m wirkende Kraft K (Fig. 82) nach drei Achsenrichtungen in X,

Y, Z und sind x, y, z die augenblicklichen Koordinaten von m, so ist d?x

d²y

= F;

Fig. 82.

rtS,

Pi

d²z

= Z.

-er

m dt²

Multiplicirt man diese Gleichungen bezw. mit dx, dy und dz und zählt sie zusammen, so entsteht

Sï-Sf+z*.

Nun ist

dx d²x dt dt

1 ₇/dx\

⁼ 2d\lü

und weil

ds²

dt²

_ dx² + dy² + dz2 ~    dt²    ’

so kann man obige Gleichung auch schreiben:

1)

-■‘©-•‘(Ti

= Xdx + Ydy -f- Zdz.

Die linke Seite ist die während der Zeit dt erfolgende Zunahme des Arbeitsvermögens (1. Theil, S. 44) des Punktes m, die rechte Seite aber die Summe der Arbeiten der drei Seitenkräfte X, Y und Z. Denn ist PQ = ds das in der Zeit dt beschriebene Bahntheilchen, sind dx, dy, dz dessen Projektionen auf die Achsen, so ist nach 1. Theil, S. 42 X-dx die von X geleistete Arbeit. Im    1. Theil, S.    43    wurde schon bewiesen,    dass die Arbeitssumme

von    X, Y und    Z    gleich der Arbeit der    Mittelkraft K sei.    Es

ergiebt sich dies auch leicht in folgender Weise: Sind a, ß und y die Richtungswinkel von K gegen die Achsen, also

K cos a = X; K cos ß — Y\ K cos y = Z; sind ferner a₁, ßl und yx die Richtungswinkel von ds oder v, d. h. ds • cos ax    =    dx; ds • cos ßl = dy;    ds • cos yv — dz;

und    nennt man    cp    den Winkel, welchen K mit ds (oder v)    ein-

schliesst, so gilt (vergl. 2. Theil, S. 226)

cos cp = cos a • cos ax 4- cos ß - cos ßl + cos y - cos yx,

oder wenn man alle Glieder dieser Gleichung mit K• ds multiplicirt und die Gl. 2 und 3 benutzt:

K • ds • cos cp — X • dx + Y • dy + Z • dz,

2)

3)

4)

mithin nach Gl. 1:

(m v²\

= K • ds ■ cos cp;

die rechte Seite ist die Arbeit der Kraft K, weil ds • cos cp die in der Richtung von K zurückgelegte Wegeslänge bedeutet.

Hat der Punkt m an dem Orte x₀, y₀, z₀ die Geschwindigkeit v₀, an dem Orte xx, yx, zx die Geschwindigkeit vx, so ergiebt sich für diese endliche Bewegung der Satz des Arbeitsvermögens

m vx ²

9

= JXdx + Ydy + Zdz = SK-ds • cos cp.

Die Grenzen für die Integrationen auf der rechten Seite sind durch Anfangs- und Endlage des Punktes m bedingt. Gl. 5 ist

5)

offenbar der Satz des Arbeitsvermögens (der kinetischen Energie oder der lebendigen Kraft), d. h. es ist die Zunahme des Arbeitsvermögens gleich der verrichteten Arbeit.

Es werde nun die Voraussetzung gemacht, dass 1. die Kraft K und somit auch ihre Seitenkräfte reine Funktionen des Ortes seien, also jedes Mal wieder denselben Werth annehmen, so oft der Punkt m sich wieder an demselben Orte befinde und dass 2. die Seitenkräfte X, Y und Z die theilweisen (partiellen) Abgeleiteten einer Funktion U nach bezw. x, y und z darstellen, d. h.

6)

ÔU

dx ’

cd o

- I

ôü_

dz •

Dann ist U auch eine reine Funktion des Ortes, und es lässt sich das Arbeitstheilchen

Xdx + Ydy 4- Zdz =

öU

dU

dx

dx + -j— dy +

dU

dy

dz

dz

schreiben, d. h. als das vollständige (totale) Differential einer Funktion U darstellen und = dU setzen. Unter dieser Voraussetzung wird aus Gl. 1:

7)

*b-)

— d U, daher

8)

rnvl_mvl = Sdu ₌

wenn U₀ und Ul diejenigen Werthe der Funktion U sind, welche dem Anfangs- bezw. dem Endorte des Punktes m entsprechen. Die Funktion U, welche den Gl. 6 genügt, heisst Kräftefunktion. Entspricht der wirkenden Kraft eine Kräftefunktion, so ist die Zunahme des Arbeitsvermögens eines Punktes m gleich dem Unterschiede der beiden, der Anfangs- und Endlage entsprechenden Werthe dieser Funktion.

Z7₀ ist derjenige besondere Werth, den die Kräftefunktion U = f(x, y, z) annimmt, wenn man in dieselbe die Koordinaten x₀, 3/o» zo der Anfangsstelle des Punktes m einsetzt, d. h. es ist U₀ — f{xo, ?/₀, zQ). Ausser diesem Anfangspunkte der BeAvegung giebt es aber noch unendlich viele andere Punkte im Raume, deren Koordinaten der Kräftefunktion den gleichen Werth U₀ geben.

Der Inbegriff oder Ort aller dieser Punkte ist eine Fläche, die wir auch ' Z7₀ nennen wollen und deren Gleichung /<>, y, z) = U₀ ist.

9)

Hätte z. B. die Kräftefunktion die einfache Form U = x- + y² + z¹ und wäre für den Anfang x₀ = 1 ; yu — 2 ; z₀ — 3, so würde U₀ = 14. Setzt man aber

X² 4- y² + Z² = 14 ,

so ist dies die Gleichung einer Kugelfläche vom Halbmesser 1x 14; die Koordinaten eines jeden Punktes dieser Kugelfäche genügen der Gleichung derselben, geben also der Funktion ü den gleichen Wert 14. Hat der Punkt m zu Ende der Beobachtung die Koordinaten x] = 10; t/j = 12; z, = 13, so wird Ux = 413, und

x¹ 4- y - + 4 = 413

ist die Gleichung einer Kugelfläche Ui vom Halbmesser rl = 1^414, deren Koordinaten der Funktion U den Werth Ux = 413 geben. Die Gleichungen der Flächen U₀ und unterscheiden sich nur durch die Konstante U₀ bezw. L\ ; die Flächen gehören derselben Gattung an, sind nämlich Kugelflächen mit gemeinsamem Mittelpunkte.

Ebenso sind U₀ und L\ bei beliebiger Form der Kräftefunktion Flächen derselben Art und unterscheiden sich nur durch die Konstante U₀ bezw. Z7j.

Fig. 83.

vo

Co

In Fig. 83 mögen die krummen Linien Z7₀ U₀ und Ux die Durchschnittslinien zweier solchen Flächen U₀ und L\ mit irgend einer anderen Fläche bedeuten. Bewegt sich ein Massenpunkt m unter Einwirkung einer Kraft K, der die Kräftefunktion U entspricht, auf verschiedenen Bahnlinien JB₀Bl und CóCn so ändert sich das 0 Arbeitsvermögen stets um den gleichen Werth L\ — U₀, wenn der Punkt von irgend einer Stelle der Fläche U₀ zu irgend einer Stelle der Fläche L\ gelangt.

Hatte er beim Durchschneiden der Fläche

Z7₀ die Geschwindigkeit v₀, so gilt für die Geschwindigkeit vlf mit der er die Fläche L7j erreicht, die Gl.:

mv₀²    rT    ^

o — ui    Lo•

Kehrt er aber bei seiner Bewegung zur Fläche Z7₀ zurück, so hat er auch wieder die Geschwindigkeit v₀.

Verlässt der Massenpunkt bei seiner Bewegung die Fläche Z70 gar nicht, beschreibt er vielmehr irgend eine in dieser Fläche . liegende Bahn, so bleibt seine Geschwindigkeit stets v₀, es wird also die Arbeit der Kraft K für jedes Bewegungstheilchen Null, d. h.

K • ds • cos (p = 0, also cos cp — 0 und cp — ¹/2 Jt.

Dies bedeutet, dass die Kraft K zu jeder in der Fläche U0 befindlichen Bahnlinie, also auch zu der Fläche U₀ selbst rechtwinklig steht. Gleiches gilt von der Fläche Ul. Diese Flächen C/o und C7j heissen Niveauflächen.

Lässt sich das Arbeitstheilchen der Kraft K als das vollständige Differential einer Funktion U darstellen, so giebt es für K eine Kräftefunktion, nämlich U, und auch durch jeden Punkt des Baumes, für welchen K noch einen endlichen Werth hat, eine Niveaufläche. Diejenigen Linien, welche alle Niveauflächen rechtwinklig schneiden, heissen Kraftlinien. Die möglichen Richtungen von K bilden Tangenten an die Kraftlinien.

Fig. 84.

kÖ K

P.

Ist die Kraft

Bei Centralbewegungen giebt es eine Kräfte-Funktion. Unter Centralbewegungen versteht man solche, bei denen die wirkende Kraft stets durch einen festen Punkt, das Centrum O, hindurchgeht, während zugleich die Grösse der Kraft eine Funktion der Entfernung des Punktes vom Centrum O, des sog. Fahrstrahls, ist.

K = F(r) und geht ihre Richtung stets durch O (Fig 84), so ist bei einer unendlich kleinen Bewegung PQ, die in der Kraftrichtung zurückgelegte Wegeslänge, d. h. die Projektion von PQ auf die Richtung von r, einfach dr, daher das Arbeitstheilchen

K- ds • cos cp = K • dr — F(r) • dr.

Da dies eine Differentialfunktion von nur einer Veränderlichen ist, so ist es ein vollständiges Differential, man kann ès daher schreiben

d U = K- dr y also ist

10)

U = SK-dr + C

die Kräftefunktion einer Centralbewegung.

Denn, da U als eine

Mau überzeugt sich auch leicht, dass X =    .

f(r) gefunden, so wird

d U df(r)dr    dr

dr dx

— =    — — = K • — ;

dx

aus

r = ]/~x²    y² -j- z² wird aber

dr

dx 2 Y'x² + y² + z² r

dU    x

dx

—— — K — — K cos a = A .

Die Kraftlinien sind vom Centrum nach allen Richtungen ausgehende geradlinige Strahlen. Da diese Kraftlinien von den Niveauflächen rechtwinklig geschnitten werden müssen, so sind letztere offenbar Kugelflächen mit dem gemeinsamen Mittelpunkt O.

In dem besonderen Falle der nach Grösse und Richtung überall gleichen Schwere ist, wenn man die 2-Achse lothrecht abwärts nimmt, das Arbeitstheilchen von der Grösse

mg • dz,

d. h. ein vollständiges Differential d U, und es wird

U — mg • z + G

die Kräftefunktion. Da die Kraftlinien sämmtlich parallel der z-Achse sind, so müssen die Niveauflächen wagerechte Ebenen sein.

Sobald jedoch Reibungs- und Mittelwiderstände auftreten, die stets entgegengesetzt der Bewegungsrichtung wirken, sich also mit der Umkehrung der Bewegung ebenfalls umkehren, giebt es keine Kräftefunktion, also auch keine Niveaufläcben.

3. Bewegung eines Massenpunktes unter Wirkung einer von einem Centrum ausgehenden, mit der Entfernung von diesem verhältnisgleichen Anziehungskraft.

Da diese Bewegung eine .Centralbewegung ist, so muss sie nach S. 84 in einer ebenen Bahnlinie erfolgen, die daher auf nur zwei Achsen OXund O Y bezogen werden braucht. Der Punkt befinde sich (Fig. 85) zu Anfang an der auf der O Y befindlichen Stelle A im Abstand OA — i/o vom Centrum O und habe eine beliebig gerichtete Anfangsgeschwindigkeit c, welche in cx und cy zerlegt werden kann. Da c nicht mit der Kraftrichtung A O zusammenfällt, so muss nach S. 83 eine krummlinige Bewegung entstehen. Dieser Fall ist eine Verallgemeinerung der S. 53 behandelten geradlinigen Schwingung, in so fern die Anziehungskraft K demselben Gesetz unterworfen ist. Wir drücken deshalb K auch wieder in derselben Weise

1)

K = m • Ä*² • r

aus, so dass k² die Beschleunigung im Abstand Eins von dem Centrum bedeutet.

Da die Seitenkräfte von K in der Richtung der beiden Achsen im Sinne dieser Achsen negativ sind, so wird in der ^-Richtung die Beschleunigung d²x

Fig. 85.

Px -

dp

= — k²r • COS d = — k'²x,

cv

weil r cos = x ist. Entsprechendes gilt für die y- Richtung. Die beiden Beschleunigungsgleichungen

g d²x ~dP

— — k²x und

d²y

dt²

= — ^y

A\^~y i

! y'1 00 A

okfe-3L—i

lassen sich in diesem Falle ganz unabhängig von einander integriren. Wir bedürfen hier der allgemeinen Lösung der Differentialgleichungen 2 und müssen deshalb etwas anders verfahren als auf

S. 54.

= — k²x multipliciren wir auf beiden Seiten mit

d²x

dt²

2 dx und schreiben

2 dx d'²x

dt

dt

— 2 k² • x • dx.

Dies giebt, integrirt:

'dx\-

l j = — k²x² -j- e²,

wo e² die noch unbestimmt gelassene Integrations-Konstante bedeutet. Trennung der Veränderlichen führt auf

kx

dt —

dx

Ve² — k²x²

1    . kx

— arc sin —

k    e

a

worin — wieder eine Intégrations - Konstante bedeutet. Letztere

IC

Gleichung lässt sich umschreiben in k

— x — sin (kt — a) oder

e

sin (ä:^ — a) = ~ sin&£ • cos a--% cosä;^ • sin a

k²x²

e²

mit

mit A bezw. — B vertauscht:

3)

x = A sin kt + B cos kt und ebenso für die andere Achsenrichtung

y — Osin kt + D cos kt.

4)

Die noch unbestimmten Werthe A, B, C und D müssen aus dem Anfangszustand ermittelt werden. Für t = 0 ist x = 0;

y = 3/o ;

Vy = Cy .

Aus Gl. 3 und 4 ergiebt sich aber durch Differentiation:

vx — cx :

5)

dx

vx = —T- = Ak - cos kt — Bk • sin kt,

dt

6)

dt

~ = Ck • cos kt — Dk • sin kt.

Setzt man in die Gl. 3—6 die Anfangswertke mit t — 0 ein, so erhält man

d. k. I) =

3/0 ;

0 = A • sin 0 + B • cos 0, d. h. 0 = B • 1 oder B — 0 ; y₀ = 0-0 + Z>- 1,

d. h.

d. h. C =

cy = C-k-l — D‘k-0,

Hiermit geben Gl. 3 und 4 die bestimmten Bewegungsgleichungen

Cjf- • sin kt, k

8)

3/ =

95-

• sin + 3/0 • cos H.

Um die Gleichung der Bahnlinie zu erhalten, also t zu entfernen, muss man Gl. 7 und 8 nach sin kt und cos kt auf lösen, beide quadriren und die Summe der Quadrate mit 1 vertauschen. Es wird aus Gl. 7:

sin kt = —

CX

und, mit Einführung dieses Werthes in Gl. 8, aus dieser cos kt = —

cy

3/o k ‘ 3/o k²x²

• sin kt = —

3/o cx ’ 3/o

—— œ ; mithin

c*²

+ l¹--

'3/o

Cx * 3/0

Dies giebt, geordnet:

9)

x¹ (k²y₀² + c^²) + 3/²cæ² — 2 œy cx cy = cx²yG².

Diese Gleichung zweiten Grades bedeutet eine Kegelschnittlinie,

u. zw., da

{k²yo² d- cÿ²) c^² — (cx • cj² = k²y₀²cx² + cx² • cÿ² — cx² • c,/2 = k²y₀²cx² > 0,

eine Ellipse; da in Gl. 9 Glieder mit a? und ?/ allein in der ersten Potenz nicht Vorkommen, so fällt der Mittelpunkt der elliptischen Bahnlinie mit dem Centrum O zusammen; nur liegen, wegen des mit x • y behafteten Gliedes, die Hauptachsen 2 a und 2 b der Ellipse schief gegen das Achsenkreuz, was durch die schiefe Richtung der Anfangsgeschwindigkeit c verursacht wird (Fig. 86).

Fig. 86.

vo

In der gekrümmten Bahnlinie kann die Geschwindigkeit an keiner Stelle Null werden, weil an einer solchen Stelle die Bewegung in eine geradlinige, nach 0 gerichtete übergehen müsste, was aber der elliptischen Bahnlinie widersprechen würde.

Hie Ellipse muss also in dem gleichen Umfahrungssinne fortwährend durchlaufen werden. Die Zeit eines Umlaufes ist

10)

2 TT

tl = ~W'

weil x, y, vx und vy nach der Gl. 3—6 stets wieder dieselben Werthe annehmen, wenn sich der Winkel kt um 2 n, also t um 2 Jt : k geändert hat.

Fig. 87.

Die Umlaufszeit nach Gl. 10 entspricht der Dauer einer Doppelschwingung nach S. 55. Für y₀ = 0, d. h. für den Fall, dass der Punkt m in der Gleichgewichtslage, dem Centrum, die Geschwindigkeit c bekommt, geht die Gl. 9 in die Gleichung einer geraden, mit der Richtung von c zusammenfallenden Linie

Cy

y = — • x über.

Für den einfacheren Fall, dass die Anfangsgeschwindigkeit c im Punkt A parallel der OX ist (Fig. 87), also cx — c, cÿ = 0, geht Gl. 9 über in

y₀1

-------

\o

■> c

-----1-------y,B

H)

x²k²y₀² + y²c² = y^c² oder

, y²

T--ö

c\²

yo'²

= 1.

Dies ist die Gleichung einer Ellipse, bezogen auf ihre Hauptachsen mit den Halbachsen

er-1 «

= O B und b — y₀ = OA .

Für diese Centralbewegung giebt es eine Kräftefunktion, welche nach Gl. 10, S. 91

mk-r²

U = — mk²Jr -dr + C = —

sein muss. Das Minuszeichen ist dadurch begründet, dass die Kraft K auf S. 90 nach aussen gerichtet angenommen war, hier aber den Sinn nach dem Centrum hat, so dass bei zunehmendem r eine negative Arbeit geleistet wird. Hiernach ist die Gleichung des Arbeitsvermögens nach Gl. 8, S. 88

.*)

und daher die Geschwindigkeit an beliebiger Stelle

m v²

mc²

12)

v = Vc² — k² (r² — y₀²).

Von den Niveaukugeln (S. 91) kommen nur die Grösstkreise als Niveaukreise in Betracht. An den vier Schnittpunkten der Bahnlinie mit einem solchen (in Fig. 86 und 87 punktirten) Kreise hat der Punkt m die gleiche Geschwindigkeit. Je mehr er sich vom Centrum entfernt, desto kleiner wird seine Geschwindigkeit.

£

Ist in dem Falle der Fig. 87 a = — >y₀, also c>k-y^, so

ist a die grössere Halbachse. Am Endpunkte derselben, bei B, herrscht eine Geschwindigkeit

vx = Yc² — k²a² + k²y₀² = k • y₀, weil c² = a²k²; es ist also, wenn man y₀ mit b vertauscht, c — k • a und vx — k • b,

d. h. die Geschwindigkeit am Ende der einen Halbachse ist verhältnisgleich mit der Länge der anderen Halbachse. Es ist in dem Falle der Fig. 87 c die grösste, die kleinste Geschwindigkeit.

Soll die Bewegung in einem Kreise vom Halbmesser y₀ und daher auch mit gleichbleibender Geschwindigkeit erfolgen, so muss, weil c = k-a ist und a — y₀ werden soll, c = k-y₀ gemacht werden.

Diese Bewegung kommt, wenigstens annäherungsweise, vor, wenn die Kraft K durch den nach allen Kichtungen gleichen Biegungswiderstand eines geraden elastischen Stabes von kreisförmigem Querschnitte geliefert wird.    Der    Stab sei    c

unten lothrecht eingespannt (Figur 88) und trage oben eine Kugel, die so schwer ist, dass dagegen die Masse des Stabes vernachlässigt werden kann. Bringt man die Kugel um yQ — OA aus der Gleichgewichtslage O und ertheilt ihr etwa mit der Hand oder mittels eines Hammers eine Av Geschwindigkeit c in wagerechter Ebene, so wird der Mittelpunkt der Kugel die behandelte Ellipsenbewegung ausführen. Lässt man die Kugel einfach los (c — 0), so schwingt sie in einem schwachen Bogen AOC, und ihre wagerechte Seitenbewegung folgt annähernd den Gesetzen der geradlinigen Schwingung (S. 53).

Fig. 88.

4(

⁰ yc

'////////\,V///////.

4. Bewegung der Himmelskörper unter Einwirkung der Massenanziehung nach dem Newton’schen Gesetze.

Für eine von einem Centralpunkt my angezogene Masse m im Abstand r vom Centrum kann man (nach 1. Theil, S. 55) die Anziehungskraft

Fig. 89.

1)

y'2

^»2

JO

schreiben. Darin bedeutet Je die Anziehungskraft zwischen zwei Masseneinheiten in dem Abstand r — 1, q die Anziehungsbeschleunigung der Masse m im Abstand r — 1 0 vom Centrum. Zerlegt man (Fig. 89) K m K cos # und K sin d, so wird weil r • cos d = x, r • sin d = y:

d²x _ x > d²y _ y

dt²    ^ r³ ’    dt²    ^ r³

d’²y

oder mit r² — x² + y2 d²x

dt²

1 (*2 + yiyi,

dt²

y

-äV + 2/²)’/’'

Diese Gleichungen lassen sich, weil sie beide x und y enthalten, nicht von einander unabhängig integriren, wie dies mit Gl. 2, S. 92 leicht geschehen konnte. Vielmehr gelangt man am bequemsten zur Gleichung der Bahnlinie, wenn man unmittelbar vom Satze der Flächen und vom Satze des Arbeitsvermögens ausgeht und zugleich Polarkoordinaten anwendet. Es ist nach Gl. 4, S. 86

2)

7*2 . (1$ = A ' dt.

Ferner heisst die Kräftefunktion dieses Falles nach Gl. 10. S. 91

U = JKdr -f C = — kmx m

k • m, m

mg

+ O.

Ist zu Anfang r = r₀ und v = v₀, so wird nach Gl. 8, S. 88

mv₀²

in v²

mg

mg , —-, also

oder, wenn man den konstanten Werth

= h    setzt :

3)

v² = — — h.

Gl. 2 und 3 müssen nun so umgewandelt werden, dass man aus ihnen nach Entfernung von t die Differentialgleichung der Bahnlinie erhält.

Es ist (Fig. 90)

Fig. 90.

dr

ds² = dr² 4* r²dd², also dr² + r²dd²

ds

dt²

führt man hierin aus Gl. 2 den Werth

r2

dt — —rdd ein, so wird mit Benutzung von Gl. 3:

JOL

* Ä²,

2 q _dr² + r²dd²

r⁴dd²

oder, nach dd aufgelöst:

dd =

A • dr

1^2 gr'⁴ — hr⁴ — A²r²

Zum Zwecke der Integration, setzt man r = — mit dr — —

u

A ■ du

du

u² ’

dann wird dft = —

A • du

d²

1^2 qu — h — A²u²

id

Um das Glied mit der ersten Potenz der Veränderlichen im Nenner zu entfernen, setze man u = z 4- b ; dann wird

2 q u — h — A² u² = 2 q z + 2 q b — h — A² z² — 2 b A² z — A² b² .

Man wählt nun b derartig, dass 2 qz — 2 b A²t — 0 werde, d. h.

5)

b — und z — u--—

d²'

Hiermit wird

2 qu — h

- Au² =    - h — A²z² - £

d²

T²

und

d* = —

Adz

/(d2_Ä)

— A²z²

Hieraus folgt das unbestimmte Integral

d²

$ = arc cos

Az

= arc cos

r-4

also wegen

d²

d²

A²

—--1

■d — a = arc cos

qr

A² *

?²

worin a die Integrationskonstante bedeutet. Wird diese Gleichung nach r aufgelöst, so erhält man

A²

<1

6)

«)

Dies ist die Polargleichung eines auf seinen Brennpunkt F als Pol bezogenen Kegelschnittes.

8) ÿ»=a»(l-8*)(l-î£).

Ist nun F der Pol, FA die Polarachse, so gilt für einen Punkt P, dessen Polarkoordinaten (p und r sind,

r = Yy² + (OG — as)²

= 1^a² — a²e² — x² + s²x² -f- x² — 2 asx + a²e2 — Va² — 2 asx + s²x² = a — ex;

da ferner

x — a • e 4- r • cos (p,

so wird

a • s² — £ • r cos (p, also

9)

a (1 — e²) __

1 + £ cos 1 + £ cos (p '

y = a (1 — £²).

Bei der Ellipse ist b reell, daher &² > 0, also nach Gl. 7

Geht man nämlich von der Mittelpunktsgleichung der Ellipse

₊

a²

b²

aus, so findet man (Pig. 91) den Brennpunkt F, indem man BF= a macht. Der Abstand des Brennpunktes vom Mittelpunkte wird bekanntlich = a • e gesetzt und e die numerische Excentricität des Kegelschnitts genannt (für den Kreis würde s = 0 sein). Hiermit und mit 7) b² = a²( 1 —£²) wird die Mittelpunktsgleichung

Fig. 91.

11

T.

•P

>A

Der Zähler a( 1 — £²) ist nämlich die dem Brennpunkt F entsprechende Ordinate und werde mit p bezeichnet; denn x — as giebt nach Gl. 8:

(1 — £²) r> 0, d. h. £²<1.

Die Hyperbel unterscheidet sich von der Ellipse dadurch, dass b imaginär, b² negativ, nach Gl. 7 somit

(1 — £²) < 0, d. h. £² >» 1 ist.

Lässt man e² durch stetige Änderung von Werthen <1 zu Werth en ;> 1 übergehen, so hat man in dem Zwischenwerth

£² = 1

Fig. 92.

den Übergangsfall zwischen Ellipse und Hyperbel, der als Grenzfall sowohl der Ellipse wie der Hyperbel zugerechnet werden kann. Damit nun für £² = 1 der Brennstrahl r in Gl. 9 nicht zu Null werde, muss olfenbar a = oo sein. Daher ist die Parabel derjenige Kegelschnitt, dessen Excentricität e — 1 und dessen grosse Halbachse a unendlich gross ist.

Dass hierfür thatsächlich die Ellipsengleichung in die Parabelgleichung übergeht, orgiebt sich leicht; nur muss man, damit der Anfangspunkt der Koordinaten nicht in unendliche Ferne gehe, die S c h e i t e 1 gleichung der Ellipse benutzen. Vertauscht man (Fig. 92) in

x²    y²

a²

b²

x mit a — xl, b² mit a²( 1 — £²), so wird (a — ^)²

y¹

a²

-2_ = 1

a²{ 1 — £²)

y² = 2 a (1 — £²) a>i — (1 — £²)X]².

Soll dies in die Scheitelgleichung der Parabel y² — 2p æ übergehen, so muss

£² = 1 und a (1 — £²) == p , d. h. a = oo werden.

Gl. 9 bezeichnet daher eine

und daraus

Ellipse, wenn 1 — £² >■ 0, 1 _£2 ₌ o, 1 —£²<0.

Parabel, „

Hyperbel, „

Es lässt sich nun zeigen, dass Gl. 6 mit Gl. 9 im Wesentlichen übereinstimmt. Bei Gl. 6 fällt die Polarachse nicht mit der grossen Halbachse a der Ellipse zusammen, sondern liegt um den Winkel a dagegen verdreht. Denn nicht für û = 0, sondern für iï = a

10)

erreicht cos (v — a) seinen grössten Werth, daher r seinen kleinsten Werth FA. Vertauscht man (Fig. 93) d— a mit cp, so ist die Uebereinstimmung zwischen den Gl. 6 und 9 hinsichtlich der Veränderlichen erreicht.

Fig. 93.

Die Bedeutung der Konstanten der Gl. 6 für die Bahnlinie der entsprechenden Bewegung ergiebt sich nun, wenn man

11)

— = a( 1 —£²);    1 —

q

setzt; aus beiden folgt

hA²

<r

= £²

»,

'F

■X

12)

und

13)

1 — £² =

K*

A²

Da —=- stets positiv, so ist 1 T

2q

Nach Gl. 3 war nun aber h = ——

— £² = 0 wenn h ^ 0 ist.

v², so dass das Vorzeichen

von 7i, also auch dasjenige von 1 —£², abhängt von 2 q — rv². Eine elliptische Bahnlinie verlangt 1 — £² >* O, d. h. h > 0, also 2q > v²r. Da nun q —    für einen gegebenen Centralpunkt

eine konstante Grösse ist, so darf der Massenpunkt in einem Abstand r vom Centrum nur eine solche Geschwindigkeit v haben, dass rv² c 2q ist, wenn eine elliptische Bahnlinie entstehen soll. Damit die Bahnlinie aber im Besonderen kreisförmig werden

könne, muss die Anziehungs-Beschleunigung ~ der erforderlichen

r²

v²

Centripetalbeschleunigung — gleich sein, d. b. rv² = q. Für

rv² = 2q wird h — 0, £² = 1, die Bahnlinie eine Parabel; für rv²>2q wird /i<0, £²>1, die Bahnlinie eine Hyperbel; oder, zusammengestellt, die Bahnlinie wird

für v²r =

„ v²r c 2 q,

„ v²r — 2 q,

„ v²r > 2 q.

ein Kreis eine Ellipse „ Parabel „ Hyperbel

⁽Li

d. h. in der

rruixi

(Gl. 3) ist, so wird die Geschwindigkeit am grössten für rmin, d. h. in der Centrumsnähe bei A, am kleinsten für r Centrumsferne bei B.

Umlaufszeit.

Die Zeit, in welcher die elliptische Bahnlinie einmal durchlaufen wird, ergiebt sich einfach aus dem Satze der Flächen, Gl. 4, S. 86:

dF=x/2A‘dt, daher

F = x/2 A-t oder

wenn F die ganze während eines Umlaufes von dem Fahrstrahle beschriebene Fläche der Ellipse ist. Da nun F — a-b-n; b = aV 1 — £² un(j nacij Gp 11 A = Vaq( 1 — e*j, so wird

a5f3

— £ ~ Jt

Bekommt also der Massenpunkt m in einem Abstand r vom Centrum die Geschwindigkeit v etwa durch einen Stoss, eine Explosion oder dergl. so hängt es nur von der Grösse der Geschwindigkeit ab, ob er eine geschlossene Ellipse mit dem Centrum als Brennpunkt beschreibt, oder in einer hyperbolischen Bahnlinie in unendliche Ferne geht. Diese Fälle einer elliptischen Bahnlinie unterscheiden sich von der auf S. 92 behandelten elliptischen Bewegung dadurch, dass das Centrum dort den Mittelpunkt, jetzt aber den einen Brennpunkt der Ellipse bildet, dass also die Niveaukreise eine völlig andere Lage gegen die Bahnlinie haben (vergl. Fig. 94 mit Fig.

87). Da

v2 ₌

lî-A

Fig. 94.

<vmax

v min

-o-

A.

_ 2 a² V l

V aq( 1 — £²)

Zweite Abtheilung. B. Krummlinige Bewegung.

Der Mittelpunkt der Erde als Centrum.

Jeder Punkt ausserhalb der Erde erfährt von dieser eine Anziehungkraft, welche nach Gl. 1

r2

zu setzen ist. Nennen wir nun den Halbmesser der Erde R, so wird für r = R die Kraft K — mg, dem Gewicht eines Massenpunktes an der Erdoberfläche. Daraus folgt mg = ^-f-, d. h.

16)

<1 = g R²

für die Erde als Centralkörper.

Hat ein Massenpunkt m in der Nähe der Erdoberfläche, d. h. für r = R, eine Geschwindigkeit v, so führt er eine Bewegung in einer Kegelschnittlinie aus, deren einer Brennpunkt in dem Erdmittelpunkte liegt. Da für diesen Fall

= gR = 9,81 • 6 370000 = 62 490000, Ji

L ₌

so wird die Bahnlinie nach Gl. 14

ein Kreis

(vergl. S. 57);

für v = V~gR — 7 905 m/₈.

eine Ellipse „ Parabel

17)

„ v <f2gR = 11179 m/₈.;

„ v = V%gR = 11 179 m/s. ;

„ Hyperbel „ v > V%gR = 11179 m/s..

Die gewöhnlichen Wurfbewegungen geschehen hiernach in Ellipsen, und zwar befindet sich der entferntere Brennpunkt im Mittelpunkte M der Erde (Fig. 95), während der andere Brennpunkt F in geringer Tiefe unter dem Anfangspunkt A der Bewegung liegt.

Hiernach ist die Wurfbewegung, die im 1. Theil, S. 48 als parabolisch bezeichnet wurde, richtiger eine elliptische zu nennen. Betrachtet man aber, wie es dort geschah, die Fallbeschleunigung als unveränderlich nach Grösse und Richtung, so wird dadurch der Erdhalbmesser als unendlich gross gegenüber der Länge der Bahnlinie eingeführt; dann ist auch die Halbachse a der Ellipse unendlich, und es wird die Ellipse nach S. 101 gleichbedeutend mit der Wurfparabel.

und HAFL für v ^ 11179 sind in der Figur ebenfalls angedeutet.

Der Mittelpunkt der Sonne als Centrum.

Die Bewegung der Planeten und Kometen des Sonnensystems erfolgt unter Einwirkung einer von der Sonne ausgehenden Anziehungskraft K—mq: r². Weil nun allgemein (s. 1. Th eil, S. 55)

mq

18)

₇ mm,

r2

Wird die wagerecht gedachte Anfangsgeschwindigkeit grösser und grösser, so rückt der Brennpunkt F mehr und mehr nach M hin und fällt bei v — 7905 mit ihm zusammen; in diesem Fall ist die Bahnlinie der Kreis AB,. Bei

¹    H

weiterer Zunahme von v // rückt F über M hinaus, P etwa nach F₂, und der

Fig. 95.

JL

Erdmittelpunkt M ist der dem Ausgangspunkt A nähere Brennpunkt der elliptischen welche sich nun bei B2 weit von der Erde entfernen kann, aber immer noch wieder nach A zurückführt.

Bahnlinie,

wmm

Eine parabolische und hyperbolische Bahnlinie PA P

ist, so muss mit ml als Sonnenmasse,

q — km

d. h. nur von der Sonnenmasse abhängig sein. Mithin ist für alle die Sonne umlaufenden Planeten und Kometen q eine und dieselbe Grösse. Sind daher für zwei dieser Himmelskörper, deren Bahnlinien geschlossene Kurven bilden, a und aL die Halbachsen der Ellipsen, t und t, ihre Umlaufszeiten, so wird nach Gl. 15

I -+r

a³'>

*²

a³

<V/a’    £j² a₁³’

Die vorstehenden Ergebnisse enthalten die von Kepler (geh. 1571 in Weil (Württemberg), gest. 1630 in Regensburg) im Jahre 1618 aufgestellten Gesetze der Planetenbewegung, welche in etwas abgeänderter Form folgendermafsen lauten:

1.    Die Mittelpunkte der Planeten bewegen sich in ebenen Kurven, deren Ebenen durch den Sonnen-Mittelpunkt gehen; der vom Mittelpunkte der Sonne nach dem Mittpunkte eines Planeten gezogen gedachte Fahrstrahl beschreibt in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

2.    Die Planetenbahnen sind Ellipsen, deren einer Brennpunkt der Mittelpunkt der Sonne ist.

3.    Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der grossen Halbachsen ihrer Bahnen.

Das erste Gesetz sagt aus, dass die Planeten Centralbewegungen ausführen mit der Sonne als Centralkörper (s. S. 85).

Das zweite Gesetz folgt aus der Annahme einer mit r2 umgekehrt proportionalen Anziehungskraft. Für die auf S. 92 behandelte Bewegung, bei der K mit r direkt proportional war, ergab sich zwar auch eine elliptische Bahn, doch lag dort das Centrum im Mittelpunkte der Ellipse, während es jetzt in dem einen Brennpunkte sich befindet.

Das dritte Gesetz ist der Inhalt der Gl. 19, welche entstand, indem man q für alle Planeten als von gleicher Grösse annahm.

Kepler folgerte diese Gesetze aus seinen und Tycho de Brahe’s (geb. 1546 in Knudstrup (Dänemark), gest. 1601 in Prag) Beobachtungen und gab damit eine Beschreibung der vorhandenen Bewegungen, die er aus den sehr verwickelten scheinbaren Bewegungen in Bezug auf die Erde abgeleitet hatte. Die mechanische Entwickelung erfolgte erst 67 Jahre später durch Newton, der eben aus den nach den Kepler’schen Gesetzen erfolgenden Bewegungen die Ursache derselben, nämlich die Massenanziehung nach Gl. 18 folgerte.

Verhältnis der Masse der Sonne zu der eines Planeten.

Gl. 15 giebt die Möglichkeit, die Masse der Sonne mit derjenigen eines Planeten zu vergleichen, falls letzterer von einem Mond umkreist wird. Beziehen sich nämlich q, a und t auf den

Umlauf eines Mondes um seinen Planeten, q₁, ax und tx auf den Umlauf des Planeten um die Sonne, so ist nach Gl. 15

—; daher

^2 — 4 ^-2 .

⁼⁼⁼ 4 TT² •

tfl

20)

das gleiche Verhältnis gilt nach Gl. 18 auch für die Massen der Centralkörper, d. h. der Sonne und des Planeten.

Die grosse Halbachse ax der Erdbahn ist 398,87 mal so gross wie die grosse Halbachse a der Mondbahn; die Umlaufszeit der Erde ist tx — 365,26 Tage, die des Mondes t = 27,32 Tage. Hiermit wird

27,32 \2 365,26/

d. h. die Masse der Sonne ist 355 000 mal so gross wie die der Erde.

• 398,87³ = 355000,

Für die Erde als Centralkörper war q — g • R² — 9,81 • 63700002 (Gl. 16); für die Sonne als Centralkörper wird hiernach qx = 355 000 • 9,81 • 6 370000² = 1413 • IO¹⁷.

Sollte die Erde in einem Abstand r— 148 472-IO⁶ Meter von der Sonne (dies ist etwa die grosse Halbachse der Erdbahn) sich kreisförmig bewegen, so müsste sie nach Gl. 14 eine Geschwindigkeit

1413 • IO¹⁷ \V2 148 472 • IO⁶/

haben. Diese Bedingung ist wirklich nahezu erfüllt, und daher ist die Bahn der Erde nur sehr wenig excentrisch; die beiden Achsen der Ellipse verhalten sich wie 7001 : 7000. Wäre die Geschwindigkeit V~2 mal grösser, so würde die Bahnlinie nicht mehr geschlossen sein können.

-TM

= 30 850 m/s.

Potential.

Die Kräftefunktion U solcher Kräfte, die nach dem Newton'schen Gesetze veränderlich sind, wird, unter Fortlassung der Konstanten C und mit negativem Vorzeichen genommen, im Besonderen das Potential V dieser Kräfte genannt. Nach S. 98 ist k • mx m

+ 0, daher

k • in, m

Für r = oo wird F = 0.

Bewegt sich ein Massenpunkt m aus einem Abstand r vom Centrum ml in unendlich grosse Entfernung, so ist die dabei verrichtete Arbeit

= V.

km, m

Das Potential V der von einem Centrum ausgehenden Anziehungskraft ist daher diejenige Arbeit, welche von der Kraft geleistet wird, wenn der Massenpunkt m aus dem Abstand r sich in unendliche Entfernung begiebt. Nach welcher Richtung und auf welchem Wege diese Bewegung erfolgt, ist nach S. 89 gleichgültig.

= U— b\= F„— V, d. h.

ir+F=iT“ + F» oder

m v² ! Tr ~2~ + V eine unveränderliche Grösse.

Ist für die Anfangslage des beweglichen Punktes die Geschwindigkeit c, der Abstand r₀, das Potential F₀, für die Endlage die Geschwindigkeit v, der Abstand r, das Potential F, so ist m v²

m v²

Die Niveauflächen sind Flächen gleichen Potentials

(s. S. 90).

5. Wurfbewegung mit Luftwiderstand.

Legt man durch die Anfangsgeschwindigkeit c der Bewegung eine lothrechte Ebene, nimmt in dieser die A X wagerecht, die A Y lothrecht nach oben, so muss die Bewegung in der Ebene XAY (Fig. 96) erfolgen, weil dieselbe die Anfangsgeschwindigkeit, sowie auch die Kräfte mq und den Widerstand TF = mq • v² : k² enthält (s. S. 74).

= — — COS 'd —--rrr V² • COS $

Es ergiebt sich dann, wenn & der Neigungswinkel der Bahn an beliebiger Stelle ist, d²x

k²

in

dt²

d²y

Setzt man nun

ds

dx

v = ~ ; cos d — ~ ; sin d = —■ dt    ds

ds ’

so wird

1)

g ds dx k² dt dt

und

Fig. 9G.

²⁾ <ZZ2 Schreibt man Gl. 1:

(Px

1 ds dy\

P 1t dt)'

TT

(ZZ

ff-

VZ#

— -jź ds, so folgt

d?Z

dx

II —

dx

dt

~ s + l (c • cos a) (weil ^

c- cos a für s = 0) und

dx

dt

ff

c • cos a

oder

3)

(Zæ?

= vx — c • cos « • e

tZZ

Führt man für die weitere Behandlung die Hülfsgrösse

₌ chL

<P

dx

ein, so wird aus dy — (p • dx, wenn man nach dt dilferentiirt und bedenkt, dass (p und dx beide von t abhängen:

d²y = (p • dPx + dx • d(p, also dPx

4)

d-y

dP

= <P-

dt²

dx d(p

dt dt ’

Aus Gl. 2 wird aber, wenn man auch darin dy — (p • dx setzt:

q ds

~ ⁹ ~ P dt^' ~dt'

d²y■

dP

oder, weil nach Gl. 1 :

d²x

g ds dx_

~~ip dt ~dt ⁼ U²

d²y

dx

_ ₇    , d²x

-dë ⁼ ~g + (p w

Verbindet man dies mit Gl. 4, so erhält man

dcp

dt

dx'

dt

also, wenn man beiderseits mit dx : dt dividirt:

dcp

dx

'dx'

dt

woraus wegen Gl. 3 entsteht:

5)

dcp

C² COS ²0C

Die weitere Behandlung der Aufgabe ist nur mittels zeichnerischer Flächenermittelung oder mittels Hülfstabellen möglich. Ein . näheres Eingehen auf diesen für die Militärwissenschaft sehr wichtigen Gegenstand liegt ausserhalb des Rahmens dieses Buches. Es möge hier auf das Compendium der theoretischen äusseren Ballistik, von Professor Dr. Cranz (Stuttgart), 1896, Verlag von B. G. Teubner (Leipzig) verwiesen werden.

dx

Besonderer Fall einer flachen Wurfbahn.

Eine annähernde Lösung in geschlossener Form ergiebt sich für flache Wurfbahnen, bei denen man die Bogenlängen mit ihren wagerechten Projektionen vertauschen, also ds = dx\ s — x; cos a = 1 ; cos # = 1 ; tg a = a ; tg fî = cp — d setzen darf. Dann ergiebt Gl. 3:

6)

dx

, also

1

dt — — • e - dx und daraus

r‘ = jt = e-e

7)

c-g

oder

k²

Aus Gl. 5 wird

Cf r.2 *

dcp = dd =--c dx und giebt

c²

9)

k²

daher

Ä*²

dy = d - dx = a •    Ve

fc

— 1/ dx

und durch Integration

10)

A*⁴

*²

-1 .

4<7C² *

Setzt man y = 0 und x = der Wurfweite l, so wird aus Gl. 10, wenn man nach dem Steigungswinkel a auflöst:

11)

k²

a ~ 4y c²lV

Für den Scheitelpunkt C der Bahnlinie (Fig. 97) sei x = b, y — h; die Bedingung dafür ist d — 0; hiermit giebt Gl. 9, nach x — b aufgelöst:

2 c² '

12)

Die Pfeilhöhe h der Wurfbahn findet man, indem man den Zahlenwerth von b in die Gl. 10 der Bahnlinie einsetzt; es ist dann h = y.

Die Zeiten tv und « t₂, nach denen der Massenpunkt in C bezw. B angelangt ist, ergeben sich, wenn man in Gl. 7 für x die Werthe b bezw. I einführt.

Beispiel : Eine Kruppsche Kanone Öffnungsquerschnitt, schiesst Granaten Die Granate hat eine annähernd kegelförmige Spitze, deren Kegelseite mit der Achse einen Winkel s bildet, u. zw. ist ungefähr sin £ = 0,5. Dann beträgt der Luftwiderstand nach 2. Theil, S. 356, Gl. 16 bei einer Geschwindigkeit v

W — 0,83 Fv² sin £ ,

9

Fig. 97.

-9

ct

l-b

von 0,305 m lichter Weite, also 0,0730sqm 1 m Länge und 455 Gewicht.

von

oder mit y — 1,2; F = O.07306; sin s = 0,0:

W = 0,00 371 • V² .

Für W — mg = 455 wird v = k (Gleichgewichtsgeschwindigkeit), also

0 371

.    / 455

= 3Ô0»/,..

Für eine Wurfweite l = 8460™ sollen der Höheuwinkel (Steigungswinkel) öl und die Einzelseiten der Bewegung berechnet werden, wenn die Anfangsgeschwindigkeit e — 630 m/₈..

Gl. 11 liefert für den Steigungswinkel a = 0,1740 = rund 10°, was mit dem Schiessversuch übereinstimmt. Für die Gesammtdauer t₂ des Wurfes giebt Gl. 7 mit x = 8460:

t₂ — 19,u s..

Die Geschwindigkeit v — vx bei B (Fig. 97) wird nach Gl. 6:

fe3 = 320 m/g.;

vx = 630 • e

die Neigung ß der Bahn nach Gl. 9:

ß — - 0,270 == - 15,5° .

Der Scheitelpunkt der Bahn liegt nach Gl. 12 um b — 4521 m vom Ausgangspunkt entfernt und nach Gl. 10 in einer Höhe h = 462 ™. Die Zeit, nach welcher dieser Scheitelpunkt erreicht wird, beträgt nach Gl. 7 : tx = 9,12 ⁸* ; der abfallende Theil der Bahnlinie von 3739 m wagerechter Projektion wird in <₂ — h= 10,02 s- zurückgelegt.

C. Bewegung eines lassenpunktes auf vorgeschriebener Bahnlinie.

Bei den vorstehenden Untersuchungen war der Massenpunkt nur gegebenen Kräften unterworfen und führte unter deren Einwirkung mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit eine freie Bewegung aus. Ist der Massenpunkt aber mit festen, unbeweglichen Körpern in Berührung, die ihm für seine Bewegung eine bestimmte Bahnlinie vorschreiben, ihn auf diese beschränken, so kann man diesen Zwang, diese Einwirkung auf die Bewegung des Punktes, durch eine Widerstandskraft ausdrücken. Nachdem diese Widerstandskraft an dem Massenpunkt angebracht ist, kann seine Bewegung wie eine freie Bewegung behandelt werden.

Der Widerstand der vorgeschriebenen Bahnlinie kann zerlegt werden in einen Normalwiderstand N (rechtwinklig zur Bahnlinie) (vergl. 1. Theil, S. 65) und eine tangential gerichtete Kraft, den Reibuugswiderstand f-N, dessen Sinn stets der Bewegung entgegengesetzt ist (vergl. 1. Theil, S. 190); darin bedeutet / die Reibungs-zifFer (den Reibungs-Koëfficienten).

Der Normalwiderstand N ist zunächst unbekannt hinsichtlich seiner Grösse, seiner Richtung innerhalb der zur Bahnlinie winkelrechten Ebene und seines Sinnes; er tritt in solcher Grösse und Richtung, in solchem Sinne auf, wie erforderlich ist, damit der Massenpunkt sich längs der vorgeschriebenen Bahn bewege. N ist daher von der Form der Bahnlinie, von den gegebenen bewegenden Kräften K und der Anfangsgeschwindigkeit abhängig.

Während in den Fällen der freien Bewegung sämmtliche Kräfte gegeben waren, die Form der Bahnlinie und die Bewegung in derselben gesucht wurden, so bleibt in den Fällen der Bewegung auf vor geschriebener Bahn die Aufsuchung dieser letzteren natürlich fort; es sind aufzusuchen der Normalwiderstand N und das Gesetz der Bewegung längs der Bahn. Es ist dazu erforderlich, die Kräfte nach tangentialer und normaler Richtung zu zerlegen und die Werthe der Tangential- und Centripetalbeschleunigung (s. S. 7) zu benutzen.

I. Bewegung eines Massenpunktes längs einer in loth-rechter Ebene befindlichen Kreislinie unter Berücksichtigung der Reibung.

Der Massenpunkt m habe im tiefsten Punkt A des Kreises (Fig. 98) die Geschwindigkeit c. An der durch den Winkel d bestimmten Stelle P sei die Geschwindigkeit v ; es wirken die Kräfte mg, Wund, der Bewegung entgegen, /• N.

Als gesammte Centripetalkraft ergiebt sich N — mg cos d, als Tangentialkraft im Sinne der Bewegung —mg sin i)—f N.

Daher wird nach S. 7

i)

dv

r‘ = JÏ⁼-*sin

m ■ pt = — mg sin # — f N oder

Fig. 98.

in

P» = —

TT

--g cos d, also

Hl

— — + g cos d und hiermit aus Gl. 1 :

Mö's

r,

Vr

— ^(sin d + / cos d) —.

Multiplicirt man mit

2 v • dt = 2 ds = 2 r • d'd, so ergiebt sich die Gleichung

2 v • dv = — 2^rr(sin d + / • cos d)dd — 2/ • v²dd, aus der das Bewegungsgesetz entwickelt werden kann.

Setzt man behufs der Lösung vorübergehend

v² = y ;

2)

3)

so nimmt Gl. 2 die Form an : dy_

dx

.4

Jj\r Yjiig

— 2 gr (sin x -(- /'• cos x) — 2 f ■ y und mit

4)

5)

2 gr (sin x -j- /• cos x) — X:

dy _

6)

Zur Integration dieser Gleichung wird

y = u • v, also dy = u- dv -\- v ■ du

eingeführt, wodurch entsteht:

dv

du

oder

u ■ --h v • — = — X — 2    •

dx    dx

I dv ,    _    \ t du

u\d^ + 2f'v)^vd^⁼⁼

Man wählt nun den einen Faktor v in u • v = y derartig, dass in Gl. 7 das erste Glied verschwinde, d. h.

dv

was

8)

bedingt.

Dann wird aus Gl. 7 :

du — —

X ■ dx

2 f-x

dx

, also

9)

1 » 2/•* « = ci - pp

und aus Gl. f> mit Hülfe von Gl. 8 und 9:

-2 f-x

— 2/ • x

2 /•*

y — u ■ v — C ■ C\ ■ e oder wenn man C •    = A und für W den Werth (Gl. 4) wieder einführt:

• X • dx,

10) y = A ■

— 2f-x

— 2 gr • e

-2/• a

2/- a

dx.

Die beiden, nach Auflösung der Klammer im letzten Gliede entstehenden Integrale ermittelt man durch sog. theilweise Integration. Um

2 f-x

J’sin x • e

zu finden, setzt man vorübergehend

2 /. x

• dx

u₂ = e

dv₂ — sin x • dx ; dann ist

du₂ = 2/ • e 2f-x

2 /•*

11) ₍(sina: • e Nunmehr wird geschrieben

• dx ; vx — — cos Æ, daher 2/• «

• dx—u₂-v₂— \vl-dul=—cosx-e

-J- 2/J“cosæ • e

2/-.r

dx.

u-> = e

2 f-x

; dv₂ — cos x ■ dx-, dann ist

2f-x

2/- x

du.₂ = 2/ • e dx — u.₂ - v.₂ — J‘v₂ - du.₂ = sin x - e

dx ;    v., — sin x, mithin

2/• *

Scos X - e

Die Einführung dieser Gleichung in Gl. 11 ergiebt

— 2/ J’sin x -e

2 f-x

dx.

tfsin « ■ e somit

2 /•*

dx — — cos« • e

-f- 2/• sin« • e

2/•*

— 4/'²Jsin« • e

2 f-x

dx,

12)

f sin x ■ e

d x ——

2/• «

1 + 4/²

(2 /• sin « — cos «).

In derselben Weise findet man

13)

J*cos« • e

dx—r~

2/ • .T

1 -f 4/*

(2 / • cos « -j- sin «).

Mit Hülfe dieser Werthe wird Gl. 10, wenn man zugleich wieder y mit v2 # mit « vertauscht,

-2/.,?/

14)

v² = e

2/-,51

til + 2|rr~r^i

[ (1 — 2/²) cos — 3/ siu »9 ] j .

Setzt man zur Ermittelung von A die Geschwindigkeit v = c für $ = 0, also

c²= 1 1 A + 2 gr

so ergiebt sich

A = c²

1 + 4/2

1 + 4/²

(1—2/2), also Gl. 14):

15)

|(1 — 2f²) cosfl — 3/■ sin $}

*(1-2/*/

So weit lässt sich die Aufgabe in einfacher Weise behandeln.

zu setzen und daraus t als f(fl) zu ent-

?;² =

1 + 4/²*

4- C²-

2g • r

--2/•#

Des Weiteren v =

1 + 4/

7^ . -

dt

wickeln, ist in geschlossener Form nicht möglich.

Gl. 15 giebt die Geschwindigkeit v für jeden Werth von fl, d. h. für jede Stelle des Kreises. Auch kann man berechnen, wie gross die Anfangsgeschwindigkeit c genommen werden muss, damit der Punkt an einer bestimmten Stelle a mit der Geschwindigkeit Null anlange. Mit v — 0, fl = oc ergiebt nämlich Gl. 15;

2 gr /

1 + 4/21

(Für / — 0 wird c² = 2gr{l — cosa).)

Soll der Punkt gerade noch den Punkt Ii (Fig. 98) erreichen, so wird mit a = 90°:

16) c² =

1 — 2/² — ((1 — 2 f²) cos ct — 3/• sin oc

*/•

e ,

2 gr    (

1 + 4/² l

während der Endpunkt C (mit a = n) die Geschwindigkeit c₂ bedingt, wobei

17)

1-2/² + 3/-«

fA

ist.

2/r f 1 + 4/

^(1-2/++//

Der Massenpunkt erlangt bei der Abwärtsbewegung die ursprüngliche Geschwindigkeit nicht wieder, da die Keibung mit der Umkehrung des Bewegungssinnes ebenfalls ihren Sinn wechselt, d. h. keine Funktion des Ortes ist, keiner Kräftefunktion entspricht (s. S. 91).

(Gl. 18)

Beispiel: Für /=0,r wird (Gl. 17)

cd — 1,337 • 2 g r ; c, = 1 ,ir>6 Y~2 9 cd = 2,70 • 2 gr — 1,35 (4 gr) ; c.j = 1,162 y 4 gr .

r -,

2. Reibungslose Bewegung eines Massenpunktes unter Einwirkung der Schwere auf einer in lothrechter Ebene befindlichen Bahnlinie.

Fig. 99.

In diesem Falle verrichtet nur die Schwere eine Arbeit, so dass wagerechte Linien Niveaulinien darstellen (s. S. 91).

P,

> <

y mg

Liegt die Stelle B, an der die Bewegung mit der Geschwindigkeit Null begann, um h über h der x-Achse, so gilt für die Geschwindigkeit v in der Höhe y:

v¹ 2 = 2 g(h — y).

— N — m g cos 'd, also

Hat die Bahnlinie hier die Neigung v gegen die Wagerechte, so muss mv²

N = mg cos i) +

(A — y) oder

3. Das Kreispendel.

Im 1. Theile wurde auf S. 76—78 der Normalwiderstand schon vollständig behandelt, die Schwingungsdauer aber nur für kleine Schwingungen; hier soll die Aufgabe auch für beliebig grosse Schwingungen durchgeführt werden (Fig. 100).

Es ist, weil bei der Bewegung von B nach C die Ordinate y

abnimmt,

• « _

sin V = —

äs = — dy : sin $, V 2 ry —■ y²

Fig. 100.

= —Vy • Y 2

r

r—y,

sein.

II

dt —

ds

Y 2 g Yh

r,

daher (Gl. II):

dt — —

dy

P,

-ce->•

Y2 g Y2 r — y Yhy — y ²

■ôc

dy

- l/3

2 r.

V h y — y²

Ist nun tx die Zeit einer einfachen Schwingung, so wird der Weg BC in der Zeit zurückgelegt, wofür gilt

dy

— Va

2 r,

, oder

i)

dy

-1/2

V hy — y²

Der letzte Faktor wird nach der binomischen Reihe entwickelt:

(»-*)

1 -3

2 • 2 • 2 • 1 • 2 • 3 \2 r

oder

(*-£)

-1/3

LJ jM²

2 2r r 2-4 \2 r /

4-

2-4-6 \2 rl

1-3-5

Hiermit ergieht sich aus Gl. 1 die Reihe von Integralen:

.h

<1 = '

dy

Yhy — y²

y ■ dy

1 Yhy —y²

ièï

1-3-5

1 Y³

Y h y — j/²

y³dy_

2-4-6 \2 n

'n

V h y y²

3)

Das erste dieser Integrale ist sehr leicht zu lösen:

dy

)h

'o

Yh y — y²

d;i

'o

'ih

'•h

dy

dy

'o

rji

JV

o

= [arc siu (l -

= arc sin 1 — arc sin (— 1) = 2 • arc sin 1

= TZ .

Die übrigen Integrale lassen sich auf das erste zurückführen.

zu integriren, theile man im Zähler uud Nenner durch

Um

y" d y

Yhy - y²

Y y, so dass entsteht

yn 'l3dy

Yh—y

. Nun setze man

yn-ih = u-,

dy

Yh — y

dv, dann ist

(n — 7*) • yn

— 3/j

P dy J Yh—y

dy — du\

— — J'(h — y) ~ 1/2d (h — y) — — 2 Yh — y = v, und es wird

Ç yndy

J Y hy — y²

— Jv • du = — 2 yn ^ | h — y + (2 n — 1) J Yh — y • yn~*hdy — — ² yn ~¹ Y hy — y² + (2 n — 1) f-

oder

(*_— y)

J Yhy — y²

2 -¹ Yhf-Y -h (2 » - 1) h

■yn~ldy

J — z/²

— (2 » — 1)

yndy

also, wenn man das letzte Glied auf die linke Seite bringt und durch 2 n theilt: f yndy J Vhy — y²

Nimmt man dies zwischen den Grenzen 0 und h, so wird das erste Glied der rechten Seite Null, und man erhält

— yn x-ŸKy — y²-\

n

2n—\

.ÄK=iL.

J Vhy — y²

>/t

4)

y¹¹ ■ dy

yn

• dy

'o

V~hy - y²

1 Y~hy - y-

e/o

Dies ist die allgemeine Zurückführungsformel für Gl. 2.

n = 1 giebt

dy

\___

V hy — y² 2    ] V~hy — y²

— h • Ti nach Gl. 3.

'o

'o

n — 2 giebt

y²dy

y ■ dy

1-3

Y hy — y²    4

'o

'o

V hy — y²

2-4

h² TT .

'ih

/i

n — 3 giebt

'o

_yAdy _ 5 h

Vhy y² ß

y²dy

1 -3-5

'o

Vhy — y²

h³TT

und so fort.

Hiermit wird Gl. 2:

5) tx

Der Quotient des (n + l)ten Gliedes dieser Heike durch das wte Glied ist

2n — 1 \² h

Da dieser Ausdruck mit wachsendem n sich mehr und mehr dem unter der Einheit liegenden Grenzwerth nähert, so ist die Reihe konvergent.

Durchläuft der Massenpunkt den ganzen unteren Halbkreis, ist also h — r, so wird

225

256

72 • 256

oder in Decimalbrüchen:

tx = Jt

— {l 4- 0,125 + 0,0352 + 0,0122 Ą----)

Dies giebt

6)

tx — 1,180 jt

'S

Für nicht so grosse Schwingungen genügen die beiden ersten Glieder der Reihe in Gl. 5, nämlich

7)

t\ — ⁷¹

für kleine Schwingungen ergiebt sich, wie im ersten Theile,

8)

-1t

Da

1 - COS 7

r%

= sin²-^-,

kann man Gl. 5 auch schreiben

Fig. 101.

3ry|{i+(ł)2sin2i⁺

sin4i

1-3-5

2-4-6

Die Reihe liefert

für 7.=    1° den Werth 1,000 019,

1,000 476,

1,001 907,

1,007 670.

Betrachtet man für kleine Schwingungen die kreisförmige Bahnlinie als übereinstimmend mit ihrer Horizontalprojektion (Fig. 101), so ist, weil die Tangentialbeschleunigung

pt = g sin d == g - -r

beträgt, aber im Sinne einer Abnahme von x gerichtet ist, d²x du

mg

Ó-é——6 r >

B' p' x

dt“ dt

-î

g : r

Da dies mit Gl. 2, S. 53 übereinstimmt, wenn man

k² =

setzt, so ist eine Pendel-Bewegung von geringem Ausschlage nach den Gesetzen einer geradlinigen Schwingungsbewegung zu betrachten ; man erhält für die Dauer einer einfachen Schwingung nach Gl. 7, S. 55 auch auf diese Weise

4. Das Cykloidenpendel.

Fig. 102.

Ist der Massenpunkt gezwungen, sich unter Einwirkung der Schwere auf einer Cykloide zu bewegen (Fig. 102), so nennt man die Vorrichtung ein Cykloidenpendel. Die Cykloide ABC sei dadurch entstanden, dass der Kreis ₄₀_ vom Halbmesser a auf der oberen \

2(1

Wagerechten AR rollt. In B sei die Geschwindigkeit Null gewesen; zu beliebiger Zeit t befinde sich h p' der Punkt in P. Dann ist (vergl.

S. 20), wenn QR den lothrechten Durchmesser des erzeugenden Kreises bezeichnet, PQ, die Tangente, PR die Normale der Cykloide.

Um zunächst den Normalwiderstand N zu finden, bedenke man. dass (S. 41) der Krümmungshalbmesser der Cykloide q — 2 PR ist, also weil

1)

PR — V.RQ R Ś = V 2 a (2 a — y) und

Via (2 a — y)

cos i) —

PR

CR

-1

nach Gl. I, S. 117 stattfindet:

h —y____.

V~2 a (2 a. — y)/'

\\r2a — y

2)

N — mg

h + 2 (a — y)

V2 a (2 a — y)

1V₀ = mg

begänne die Bewegung im Punkt A, so würde dort, mit h — 2a, N₀ — 0 sein.

Beim Kreispendel wird iV am grössten im tiefsten Punkte (s. 1. Theil, S, 67), weil dort i) = 0, v am grössten, q überall gleich ist. Beim Cy kloiden pendel aber ist im tiefsten Punkte q am grössten, daher nicht ohne Weiteres selbstverständlich, dass dort N am grössten werden muss. Aus Gl. 2 wird nach entsprechender Vereinfachung

3)

dy

Für y — h wird

d N mg 72 h — 3 a + y (2 a — y)3/Q

Da der Nenner für den hier vorliegenden Fall (y S 2 a) stets positiv, so ist

^|o,

dy <C

Da nun 7~ h ^ a und auch y

wenn

-|- y — 3 a = 0.

2a, so wird überall

dN

<0,

d. h. es wird mit abnehmendem y die Druckkraft N stetig grösser, und man erhält für y — 0

dy

4)

.V

m<t.c

= m'AV + ła>-

Zur Berechnung der Schwingungsdauer tx wird Gl. II, S. 117 mit

ds = —

dy

sin $

und

sin {) —

Pii

-Ił-

1    Y 2 a___

Y* g Y y Y h — y also für die Bewegung von B bis G

dt — —

dy

dy

e I fei

mithin die ganze Dauer einer Schwingung

tx= 2

dy

Va

I hy — y²

Das Integral hat nach Gl. 3, S. 119, den Werth jt, daher kann man schreiben

5)

= 2 TT

= JC

d. h. die Scliwingungsdauer eines gegebenen Cykloiden-pendels ist völlig unabhängig von der Grösse des Scliwingungsbogens, was beim Kreispendel nur für kleine Schwingungen gilt.

Fig. 103.

4a

Dieses Pendel lässt sich am einfachsten dadurch verwirklichen, dass man (Fig. 103) zwei Cykloidenhälften vom Kollkreishalbmesser a als Schienen oder dergl. AD und DE körperlich ausbildet, in D einen unten mit einem dichten Körperm beschwerten biegsamen Faden von der Länge 4 a befestigt und den Körper m in Bewegung setzt. Da die Evolvente der Cykloidenhälften AD und DE eine gleiche Cykloide AGE ist, so wird der Körper m in der Cykloide AGE schwingen, weil der in T) befestigte Faden sich gegen die Evolute ADE legen wird. Die Fadenlänge 4 a erscheint auch in Gl. 4 als Schwingungslänge.

Professor Stampfer in Wien hat ein solches Cykloidenpendel für eine Thurmuhr der Stadt Lemberg verwendet. Diese Verwirklichung des Cykloidenpendels, überhaupt die Lehre von seinen Eigenschaften rührt schon von Huyghens (vergl. 1. Theil, S. 35) her, der die Lehre von den Evoluten und Evolventen, die Theorie der Kettenlinie begründete, die Theorie des Pendels ausbildete, auch die Optik und ihre Anwendung auf die Astronomie erheblich förderte.

Die Cykloide ist auch die Linie des schnellsten Falles zwischen zwei nicht in derselben Lothrechten befindlichen Punkten,

oto PlQ(™ÿ cos{,<

\ v

der Unterschied beträgt dann PXP QS

v\

die sog. Brachistochrone (von ßoa/iarog = kürzeste und Zoôvog = Zeit), d. h. wenn ein schwerer Punkt in kürzester Zeit von A nach B gelangen soll (Pig. 104), so muss man ihn längs einer Cykloide A PB gleiten lassen, deren Rollgerade eine durch A gelegte Wagerechte ist.

Dies lässt sich (nach Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte) in folgender Art beweisen:

Ist die Kurve AB die Linie des schnellsten Falles zwischen den Punkten A und B, so muss sie es auch zwischen

Fig. 104.

y’

je zwei zwischenliegenden Punkten P und P, sein; man würde sonst den Bogen PPl der Kurve mit einem Stück einer anderen Kurve vertauschen

können, auf welchem der Punkt in kürzerer Zeit von P nach Pl gelangte, und in Folge dessen würde die Zeit der Bewegung von A nach B auf der ursprünglichen Kurve nicht die kürzeste sein.

Fig. 105.

P₂ (Fig. 105) drei Nachbarpunkte der Kurve, ist v die Ge-

Sind P, P

schwindigkeit im Punkte P, vx diejenige

im Punkte P,, so kann man v für PPX und vx für P, P₂ als gleichbleibend ansehen. Die Zeit zum Durchlaufen von PJ\ P2 ist dann

PP

PiP₂

V\

Würde anstatt Px der Punkt Q derselben Wagerechten in unendlich kleinem Altstande dx von J\ gewählt, so würde PQ P₂ in der Zeit

PQ

Vl

durchlaufen. Macht man PP = PQ, P₂S — P₂Pn so kann man die beiden Zeiten auch schreiben

PPi

P₂S

Vl

und

PP qp₂

vl

Vl

wenn ß und ßx die Neigungswinkel der Bahnstrecken PJ\ und J\ P₂

gegen die Wagerechte sind. — Soll nun die Zeit zum Durchlaufen

der Strecke PPl P₂ ein Minimum sein, so muss die unendlich kleine

Verschiebung des Punktes Px nach Q, eine Aenderung der Zeit von

, oder

!    _ y _ _ _    , .    , ,    cos ß cos ß}

vi

der Grösse Null hervorbringen, d. h. es muss —-— =

cos 9

- überall gleich, die Geschwindigkeit v proportional dem Cosinus

des Gefällwinkels ß der Kurve sein. Man setze also cos ß = v • Const.

beginnen.

die durchsunkene Höhe, d. h. die Tiefe des beliebigen Punktes unter dem Anfangspunkt A der Bewegung bedeutet; es muss also

Zu Anfang, wo v noch = Null ist, muss also auch cos ß = 0, d. h. ß — 90° sein, d. h. die Kurve muss mit lothrechter Richtung Es ist nun nach S. 117 v — V2 gy\ wobei y'

6)

cos

d = Const. V2 g ?/' — Cx Vy'

sein. — Nach Gl. 1, S. 122, ist aber eine kennzeichnende Eigenschaft der Cykloide:

cos ß =

oder, wenn man nach dem Obigen die Tiefe des Punktes P in Fig. 104 unter der Stelle A, wo die Kurve lothrecht ist, mit y' bezeichnet, d. h. 2 a — y = y' setzt,

cos ß —

was mit der nothwendigen Bedingung 6 der Brachistochrone übereinstimmt; mithin ist die durch die gegebenen Punkte A und B (Fig. 104) gelegte Cykloide mit der Spitze in A die Linie des schnellsten Falles zwischen

A und B.

Liegen z. B. die beiden Punkte A und B (Fig. 106) so gegen einander, dass man zwischen

Fig. 106.

a.n

za

dieselben gerade eine halbe Cykloide legen kann mit AG — an, BG—2a, so gebraucht ein schwerer Punkt zum Durchlaufen der Cykloidenhälfte nach Gl. 5 die Zeit

Ha

Lässt man den schweren Punkt aber die Sehne A B — a V 4 + tc* durchlaufen, so ist seine Beschleunigung

AB

p = g • sin a = g •

und, weil AB =

P* 2²

~, die Zeit 2 '

— • AB =

2 AB • AB

Das Durchlaufen der Geraden AB erfordert also 1,186 mal so viel Zeit wie das Durchlaufen der Cy kl oi den hälfte AB.

¹

mg ^cos $ + 2 ——

Für die Bewegung findet man

²

d(it ⁼    ^    — 2/) » also

5. Bewegung eines schweren Punktes in einer Parabel mit iothrechter Achse.

Der Punkt sei gezwungen, sich auf der Parabel AP (Fig. 107) vom Parameter a zu bewegen und habe im Punkt A die Geschwindigkeit c, bei P die Geschwindigkeit (nach 1. Theil, S. 67)

v = Ÿ c² 4- 2 g'% y\

Fig. 107.

es soll der Normalwiderstand N in P berechnet werden.

Aus der Parabelgleichung x² = 2 a • y folgt

/dy\² x²

^------X-———

\b

,/v

y vu]

dy

dx

dx

d²y a ' dx²

daher der Krümmungshalbmesser

(i . {dy'Ÿf l1 + \lü I

d²y dx

Daher wild mittels der Formel für die Centripetalbeschleunigung (s. S. 7)

, also, weil

c² + 2 g y N + mg cos 0

COS d —

dx

dx

V dx² + <7?/²

çM-2 g y

’bïY y

i»²

2 y V/,J l «

².? y

•'/(1 + ^f)i

mg

j ₊ ².yV/3 \<7«

Für c² — g - a wird durchweg iV = 0, d. h. der Massenpunkt bedarf in diesem Fall einer Stützung Seitens der Bahn nicht, durchläuft dieselbe vielmehr als freie Bahnlinie.

Bekanntlich ist ja für die freie Bewegung eines mit der Geschwindigkeit c wagerecht geworfenen Punktes (1. Theil, S. 50)

x — et; y — l/2gt², mithin

,2

oder

X² —

9*²

2—y,

c²

was eine parabolische Bahnlinie mit dem Parameter a =

bedeutet und mit obiger Bedingung c² — g • a für N — 0 übereinstimmt.

D. Bewegung eines schweren Punktes anf einer Kugelfläche; räumliches Pendel.

Fig. 108 a.

Der Massenpunkt sei mittels eines Fadens von der Länge r an den Mittelpunkt A der Kugelfläche gefesselt (Fig. 108 a). Bildet der Faden in der Lage A P mit den drei Achsen die Winkel ot, ß, y, so ist

r COS a = x ; r cos ß — y ; r cos y = z .

In der æ - Richtung wirkt nur — N- cos a, in der y-Richtung nur — N- cos/?, in der ^-Richtung mg — N- cos /. Daher erhält man die Gleichungen

d²co

I J

\r

ł\ /

V' »

2) d y = N y

Ac*

a?

dt²

rn r

d²z

_N^z_

m r

Nos

Y *

1p“

Fig. 108 b.

und als Ersatz für die unbekannte Grösse der Kraft N die Gleichung der Kugel

4)

x² *i~ 2/² + z² = r'².

Da der Normalwiderstand N keine Arbeit verrichtet, so gilt, wenn zu Anfang der Massenpunkt sich in einer Tiefe z — h unter dem Mittelpunkt A befand und die Geschwindigkeit c hatte, für die Geschwindigkeit v an der beliebigen Stelle P:

5)

v² — c² + 2 g(z —- h) — c² — 2 gli A- %gz .

CO

Um nun zunächst N zu bestimmen, multiplicire man die Gleichungen 1, 2 und 3 bezw. mit x, y, z und zähle sie zusammen; man erhält dann:

xd²x + yd²y 4~ zd² z

dt²    m    r

Gl. 4 giebt aber, zweimal nach t differentiirt:

xdx 4- ydy + zdz — 0 und xd²x + dx² + yd²y 4- dy² 4* zd²z -\- dz² = 0, d. h. xd²x + yd²y 4~ zd²z

7)

dt²

gz

N x²+y² + z

gz—~r.

in

dx² + dy² 4- dz²

dt²

— — v² — — (c² — 2yli 4- 2 gz)

(nach Gl. 5). Verbindet man letztere Gl. mit Gl. 6, so ergiebt sich N

y z--r = — c² 4" 2gJi — 2 gz, . also

in

8)

Hiermit ist N als Funktion von z gefunden.

d

Eine Gleichung für die lothrechte Seitengeschwindigkeit vz — —

lässt sich ziemlich leicht entwickeln. Die Projektion der Bewegung auf die xy-Ebene (Fig. 108 b) erfolgt nämlich nur unter Einwirkung

der beiden Kräfte und N- — , welche mit A P' = Q — Vx²-\- y²

eine stets nach A. gerichtete Mittelkraft N •— = iVsinr liefern.

r

f>

Daher muss für diese Projektionsbewegung nach S. 85 der Satz der Flächen gelten, so dass nach Gl. 4, S. 80, wenn man darin r mit q vertauscht,

9)

10)

Q²dd = A'dt oder x • dy — y • dx = A • dt wird.

Bildet man aus Gl. 7:

æ dx 4- ydy — — z • dz,

quadrirt diese und addirt sie zu der quadrirten Gl. 10. so ergiebt sich x²dx² 4- 2 xy • dx • dy 4- y²dy² = z²dz2 y²dx² —• 2 xy • dx •

’² = A²dt²

{x² 4- y²)dx² 4* (x² 4~ y²)dy² — z² • dz² 4~ A² • dt'²

?o

Vertauscht man nun, um x und y zu entfernen, x² + y² mit r² — z² (nach Gl. 4), so wird

(r² — z²) {dx² + dy²) — A²dt² + z²dz², und wenn man weiter, um auch dx und dy zu beseitigen, links noch r²dz² — r²dz² hinzufügt,

(r² — z²) {dx² -H dy² + dz²) — r²dz² — A²dt², also, weil dx² + dy² 4- dz² — ds² = v²dt² — (c² — 2gh -j- 2gz)dt² (Gl. 5):

(r² — z²) (c² — 2gli + 2gz)dt² — r²dz² = A²dt². Hieraus ergiebt sich

11)

dz²

(r2 —    (^2 — 2 g h + 2 g z) — A²

dt²

r2

Eine interessante Beziehung für die Höhe der Kugelzone, innerhalb welcher die Bewegung überhaupt erfolgt, erhält man unter der Voraussetzung, dass die Anfangsgeschwindigkeit c wage- A> recht gerichtet war. Dann ist nämlich, wenn der Anfangswerth von q mit

£o = Voco² + ?/₀² = l^r² — h2 bezeichnet wird (Fig. 109),

Fig. 109.

dir

fo

p'

’e.dt

• dv — à • dt,

also nach Gl. 9 für den Anfang der Bewegung

²—— = q₀c — cYr² — h² , d. h. dt

A² — c² (r² — 1i²).

Mit Einführung dieses Werthes wird aus Gl. 11:

dz² (r² — z²)(c² — 2 gh + 2 gz) — c² (r² — h²)

dt²

r2

was sich leicht zu

dz²

2 g (ir² — z²) (z — h) — c² (z² — h²)

dt²

r²

und dann auch zu

12)

dz²

dt²

{2g(r² — z²) - c²(z + h)}

umschreiben lässt.

Will man diejenigen Werthe von z kennen, für welche — = 0

dz

«3

tc

wird, so setze man die rechte Seite gleich Null. Dem entspricht zunächst z = li, was selbstverständlich ist, weil ja angenommen war, dass die Anfangsgeschwindigkeit c wagerecht sei. Setzt man aber den eingeklammerten zweiten Faktor der rechten Seite der Gl. 12 gleich Null, so folgt, dass für

13)

1    c²

2    2^

r2 _

⁷'^

zu Null wird. Von den beiden Wertlien zl und z₂,

welche durch Gl. 13 bestimmt werden, ist, wie Zahlenrechnungen zeigen, der eine, absolut genommen, stets kleiner als r, der andere stets grösser als r. Da aber bei der vorgeschriebenen Bewegung auf der Kugelfläche vom Halbmesser r ein Werth von 2, der grösser als r ist, nicht Vorkommen kann, so liefert Gl. 13 nur einen brauchbaren Werth

z = Z\, welche

ebenfalls

Die beiden Werthe z — h und

zu Null machen, bezeichnen Maximum und

Minimum von z, begrenzen also diejenige Kugelzone, innerhalb

Fig. 110.

deren die Bewegung erfolgt. An den wagerechten Rändern dieser Zone hört der Punkt auf zu steigen bezw. zu fallen, kehrt also seine lothrechte Seitenbewegung um.

Po

Bei bestimmtem Halbmesser r der Halbkugel und bestimmter Tiefe h des Anfangspunktes der Bewegung giebt es auch eine Anfangsgeschwindigkeit c, für welche die beiden äussersten Werthe h und zl von z einander gleich werden, so dass dann die Bewegungszone zu einem wagerechten Kreise mit konstantem z = h zusammenschrumpft.

Man findet diese Geschwindigkeit c indem man in Gl. 13 z — h einführt. Dann folgt

14)

c²

hi ff

== r2 _

, d 1 (c*y

h-20 ⁺ ï\2-J

oder

r² — h,²

Qo²

(Fig. 110) und c

-«•Vf

Die Vorrichtung bildet mit dieser Geschwindigkeit c das im l.Theile, S. 69 behandelte Kegelpendel. Die Bewegung in dem wagerechten Kreis erfolgt gleichförmig, die Umlaufszeit ist

(M

Beispiel: An dem Endpunkt eines bei A (Fig. 108) befestigten Fadens von r= lm Länge befinde sich eine kleine Bleikugel; der Faden sei derartig ausgestreckt, dass die Kugel sich anfänglich in einer Tiefe h = 0,r, m unter A befinde. Es soll die Kugel nun wagerecht und rechtwinklig zum Faden mit einer Geschwindigkeit c fortgeschnellt und der Werth zx ermittelt werden, welcher mit h die Bewegungszone begrenzt. Für c sollen der Reihe nach verschiedene Grössen eingeführt werden.

c²

Für — = ² 9

d. h. c — wird nach Gl. 13

0,75 m

0,5™

0,25 Tn

8,86

7,67

0,26

4,43

3,84

3,13

2,215

Zx — - 0,268 0,18

zt — - 3,732 — 2,83    — 2

-}- 0,651 -f 0,819

-f- 0,366 -j- 0,5

- 1,366    — 1,25    - 1,151    — 1,069.

Negative Werthe von z bedeuten Stellen der Kugelfläche, welche oberhalb des Mittelpunktes liegen. Bei Geschwindigkeitshöhen > 0,75 steigt der Massenpunkt von der um h — 0,5 m unterhalb des Mittelpunktes gelegenen Anfangslage bis zu der durch z₁ angegebenen Höhe empor, um dann wieder zu der ursprünglichen wagerechten Ebene zurückzusinken. Diese Bewegung auf- und abwärts wiederholt sich fortwährend, wobei der Massenpunkt übrigens im Allgemeinen nicht wieder die gleichen Stellen durchläuft. Bei einer Geschwindigkeitshöhe = 0,75 m fallen (in Übereinstimmung mit Gl. 14) zx und h zusammen, d. h. der Punkt bleibt stets in gleicher Höhe. Bei Geschwindigkeitshöhen < 0,75 ™ ist zx > hx, d. h. der Massenpunkt sinkt aus der Anfangshöhe herab. Bei allen vorstehend angenommenen Werthen von c und daraus berechneten Grössen zl bleibt N durchweg positiv, kann also durch einen Faden ausgeübt werden.

Kleine Schwingungen. Befindet sich der Massenpunkt zu Anfang in nur geringer Entfernung vom tiefsten Punkte der Kugelfläche und bekommt er eine so wenig erhebliche Geschwindigkeit, dass er sich nur unbedeutend heben kann, so wird annähernd

nach Gl. 8:

(mit z = h — r und kleinem ■£—)

\    2 gj

N = mg.

Hiermit gelien Gl. 1 und 2 (S. 129) über in

d²x

d²y

dt²

Diese stimmen mit der Gl. 2, S. 92 überein, wenn k² — g : r gesetzt wird, bezeichnen daher eine elliptische Bewegung um den tiefsten Punkt der Kugel als Mittelpunkt und mit der Umlaufszeit (Gl. 10, S. 95)

2^    ~ ~il r

(l = T = 2*]/-.

(Vergl. auch S. 121/2, Fig. 101).

Auch der allgemeinere, S. 129—132 behandelte Fall führt, wie in Dr. Woldemar Yoigt’s Mechanik, S. 68 gezeigt wird, zu einer Bahnlinie, deren Horizontalprojektion Ähnlichkeit mit einer Ellipse hat, deren Hauptachsen sich aber fortgesetzt drehen.

E. Scheinbare (relative) Bewegung eines lassenpunktes.

Auf S. 48, Gl. 1, wurde gezeigt, dass die scheinbare oder relative Beschleunigung pl eines Punktes in Bezug auf einen beliebig bewegten Raum zu finden ist als geometrische Summe der wahren oder absoluten Beschleunigung p und zweier Ergänzungsbeschleunigungen (—p₂) und (—p₃). Davon bedeutet p2 die Beschleunigung, mit welcher sich diejenige Stelle A der scheinbaren Bahnlinie bewegt, an welcher sich der Massenpunkt augenblicklich, d. h. im Zeitpunkte t, befindet; (—p₂) ist das Entgegengesetzte von p₂. Ferner ist nach S. 40 p₃ = 2 • w • co • sin a, wenn w die augenblickliche scheinbare Geschwindigkeit, co die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die scheinbare Bahnlinie um die durch den Punkt A derselben gelegt gedachte augenblickliche Drehachse dreht, a der Winkel, den diese Achse mit der scheinbaren Bahnlinie bildet. Ist AB das während des folgenden Zeittheilchens dt beschriebene

Bahntheilchen der scheinbaren Bewegung, so stimmt p₃ nach Rich-tung und Sinn mit der Bewegung des Punktes B bei der Drehung um die Augenblicksachse überein; —p₃ ist das Entgegengesetzte

von p₃.

Die wnhre Beschleunigung p ist die Folge der Mittelkraft K der wirklich vorhandenen Kräfte, es ist also

p = K : m oder K — mp .

Werden auch die übrigen hier in Frage kommenden Beschleunigungen mit der Masse m multiplicirt, so gilt, entsprechend der obigen Beziehung

=    (—P 2)*    (—Ps) auch

1)

m jh = K, (— mp₂), (— mp₃).

Hierin kann die der scheinbaren oder relativen Beschleunigung py entsprechende Kraft mpx als die scheinbare oder relative Kraft bezeichnet werden; —mp₂ und —mp₃ heissen die Er-gänzungskräfte der scheinbaren Bewegung. Die scheinbare Kraft ergiebt sich also als die geometrische Summe oder Mittelkraft aus der wirklichen oder absoluten Kraft und den beiden Ergänzungskräften der scheinbaren Bewegung.

Die Hinzufügung der beiden Ergänzungskräfte zu den wirklichen Kräften gestattet, von der Bewegung der Bahnlinie oder des Raumes, in denen die Bewegung des Massenpunktes erfolgt, ganz abzusehen und die scheinbare Bewegung wie eine wahre Bewegung zu betrachten. Nach Anbringung der Ergänzungskräfte sind sämmtliche Hülfssätze, die für wahre oder absolute Bewegungen gefunden wurden, auch für die scheinbare Bewegung gültig. Nur darf man sich dadurch nicht verleiten lassen, die Ergänzungskräfte als wirklich vorhandene Kräfte anzusehen; sie sind nur gedachte (fingirte) Kräfte, zu dem Zwecke eingeführt, um die Untersuchung der scheinbaren Bewegung zu erleichtern.

Die zweite Ergänzungskraft — 2 m • w • w • sin a wird zu Null, wenn co = 0 ist, d. h. wenn die Bahnlinie oder der Raum, in Bezug auf welche die scheinbare Bewegung betrachtet wird, sich nur verschiebt, nicht aber dreht, und ferner, wenn w — 0 ist, d. h. wenn der Massenpunkt in dem sich drehenden Raume scheinbar ruht, d. h. dessen Drehung einfach mitmacht. Diese beiden, erheblich einfacheren Fälle wurden schon im 1. Theile, S. 78 und 87 behandelt.

I. Bewegung eines Massenpunktes in einem geraden, sich gleichförmig drehenden Rohre ohne Reibung.

Die Drehung des Rohres OC (Fig. 111) erfolge mit der gleichbleibenden Winkelgeschwindigkeit oj (rechts herum) um eine das Rohr rechtwinklig schneidende Achse O. Der Massenpunkt befinde sich im Zeitpunkte t bei A im Abstand x von O und habe in Bezug auf das Rohr eine Geschwindigkeit w mit dem Sinne nach aussen. Die Schwere werde vernachlässigt oder stehe rechtwinklig zur Bildebene, so dass sie durch einen gleichen Gegendruck des Rohres aufgehoben wird; es sollen nur die in der Bildebene auftretenden Bewegungen und Kräfte betrachtet werden.

Dann ist der in der Bildebene wirkende Normaldruck N des Rohres die einzige an dem Massenpunkte wirklich vorhandene Kraft. Der Sinn derselben ist noch unbestimmt und werde vorläufig als nach links gerichtet angenommen.

Es müssen nun die beiden Ergänzungskräfte bestimmt werden. Der Punkt A des Rohres, wo der Massenpunkt sich im Zeitpunkte t befindet, hat eine gleichförmige Kreisbewegung, mithin eine Centri-petalbeschleunigung p₂ — x • oj²; daher ist die erste Ergänzungskraft einfach die Centrifugalkraft m • x • oj². Denkt man sich auf Grund der S. 39 gepflogenen Erörterungen durch A eine zu der wahren Drehachse parallele Augenblicksachse gelegt, so ist die entsprechende, für die Ergänzungskraft massgebende Winkelgeschwindigkeit gleich oj und der Winkel a = 90°. Der gemäss dem Sinne der scheinbaren Geschwindigkeit w in Frage kommende Nachbarpunkt B bewegt sich bei der Drehung um A nach links; hierzu entgegengesetzt, also nach rechts, hat man die zweite Ergänzungskraft in der Grösse 2 m - w • oj an dem Massenpunkt anzubringen und kann nun behaupten, dass die scheinbare Bewegung des Massenpunktes längs des Rohres unter Einwirkung der drei in Fig. 111 angegebenen Kräfte erfolge. Da diese Bewegung wegen der geraden Form des Rohres ohne Normalbeschleunigung geschieht,

Fig. 111.

Of]

mg

■s-

*4-'

A am.w.ü)

m.x.uj

1. Bewegung in einem sich drehenden Rohre.

so müssen die rechtwinklig zum Iiohre stehenden Kräfte sich auf-heben, d. h. es muss

1)

N — 2 m • w • co

sein, worin freilich w noch unbekannt ist. Es treibt also der bei der Drehung dem Massenpunkte folgende Theil der Rohrwandung den Punkt vor sich her. Man erhält w und somit auch N am einfachsten als Funktion des Ortes, d. h. als Funktion von x, wenn man den Satz vom Arbeitsvermögen (S. 88) verwendet. Yon den drei Kräften verrichtet bei der scheinbaren Bewegung nur die Centri-fugalkraft eine Arbeit, u. zw. längs des Bahntheilchens AB — dx die Arbeit

2)

dty. = m • x • co-dx.

Hatte der Massenpunkt zu Anfang, für t = 0, den Abstand x = a von der Achse O. die Geschwindigkeit c längs des Rohres, so ist

₂ x- — a¹

mw²

mc² o Ç' ,

—r— — m- co- \x • dx = m- co

. Es ist also

3)

w — Yc¹    coî2, (x² — a-),

womit nun auch N nach Gl. 1 für jeden Punkt des Rohres feststeht.

Um das Gesetz der Bewegung längs des Rohres zu erhalten, schreibe man

d?x

dt²

und integrire diese Gleichung zwei Mal. Das Ergebnis der ersten Integration liegt schon in Gl. 3, weil dx — w ■ dt ist, nämlich

dx

c²

dt

—x + x² — a², also coz

dx

= co • dt.

Hieraus folgt l

—2 “F x¹ —

co-

a?

<■

= co • t ;

(0

(Dt

-% + x² — a² = la + — ) e co-    \ co 1

Hieraus tindet man leicht

4)

eut

C \    -W(|

4- a--je i

O)

j’

worin man noch den Drehungswinkel i) = cot des Rohres einführen kann. Die Geschwindigkeit längs des Rohres als Funktion der Zeit wird

5)

dx o) (f c \ ott (

Tt⁼~2\[a+üe “l

C \    — ott1

a--)e t

(0

In Wirklichkeit kann natürlich nicht von der blos gedachten Centrifugalkraft Arbeit verrichtet werden, sondern nur von der einzigen wirklich vorhandenen Kraft N, u. zw. ist deren Arbeit doppelt so gross wie die scheinbare Arbeit der Centrifugalkraft, wie Gl. 6 zeigt. Die wahre Bahnlinie des Punktes ist nach Gl. 4 mit 0 = ott eine Spirale OAQ (Fig. 112). Wegen der Umfangsgeschwindigkeit x • (o des Punktes A verrichtet N bei der unendlich kleinen Bewegung AQ die Arbeit

d%\w — N • x • co • dt = 2 m - w ' co²x • dt, also, weil w - dt — dx ist,

d%„ = 2w • oAx • dx — 2 d$l (nach Gl 2).

Fig. 112.

TT

.V

6)

2. Bewegung eines Massenpunktes in einem gekrümmten, sich gieichmässig drehenden Rohre.

Eine in wagerechter Ebene befindliche Scheibe drehe sich mit gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit co um eine lothrechte Achse O (Fig. 113). Auf dem Ringe der Scheibe, welche von dem inneren Halbmesser rx zu dem äusseren Halbmesser r₂ reicht, befinde sich ein gekrümmtes Rohr.

Der Punkt möge bei G eine Geschwindigkeit u\ gegen das Rohr gehabt haben; bei A in dem Abstande OA — x von der Achse sei w die Geschwindigkeit gegen das Rohr, q der Krümmungs-

Fig. 113.

o 0

w kc\\

/T\.

As N

'A

Halbmesser des Rohres, $ der Winkel zwischen dem Drehungshalbmesser OA — x und der Normalen zum Rohre. Dann ist N wie S. 136 die einzige wirklich vorhandene Kraft in der Drehungsebene. Die erste Ergänzungskraft ist die Centrifugalkraft m-x-w², die zweite ist aus denselben Gründen wie im vorigen Beispiele = 2 m • w • w, normal zu AB gerichtet mit dem Sinne nach rechts. Bei der scheinbaren Bewegung ist wieder die Centrifugalkraft die einzige, welche Arbeit verrichtet; daher

(iX

— m • co² \    • dx =

rx ²), also

m iv² m ²

⁴⁷ n

w;2    =    W]2    W²(>²    _ n2)t

Hierdurch ist w für jede Stelle des Rohres bestimmt. Da die scheinbare Bewegung krummlinig erfolgt, so ist die Centripetal-Beschleunigung

”~2 • 2

1)

w¹

N -f- 2 m ' w • co — m • x • <o² cos i)

also

J:

2)

(iv²

N — m {--b x • co² cos d — 2 w •

l ß

sind q und d für jede Stelle des Rohres bekannt, so ist mit Hülfe von Gl. 1 auch N überall bestimmt.

Bei den Radial-Turbinen bewegen sich die Wasser-theilchen an Schaufeln entlang, die etwa die Form CABD haben, und üben dabei nach dem Gesetze der Wechselwirkung auf die Schaufel eine der Kraft W entgegengesetzte Druckkraft aus, welche eben die Triebkraft für das Rad bildet und daher an jeder Stelle positiv sein soll. Dagegen würde N — 0 die Bedingung sein für die Form derjenigen scheinbaren Bahnlinie, welche der Massenpunkt ohne Einwirkung wahrer Kräfte auf der sich drehenden Scheibe beschreiben würde. Die wahre Bahnlinie ist in diesem Falle eine Gerade.

3. Vorgeschriebene Bewegung längs eines Meridians der sich drehenden Erde.

Ein Massenpunkt m werde auf der nördlichen Halbkugel der Erde mit der Geschwindigkeit w längs eines Meridianes im Sinne von Norden nach dem Äquator bewegt; dann wird ausser der Anziehungskraft der Erde noch der Widerstand der Bahnlinie wirken, welcher sich in eine Seitenkraft N{ in der Meridianebene und in eine Seitenkraft N2 rechtwinklig zur Meridianebene und tangential zum Parallelkreise des augenblicklichen Ortes A (Fig.

Fig. 114.

-o

44-

114) zerlegen lässt.

Um Nx und N₂, besonders die letztere, leicht bestimmen zu können, denktman sich die Drehung der Erde weg und dafür die beiden Ergänzungskräfte angebracht. Die erste Ergänzungskraft ist die dem augenblicklichen Ort A entsprechende Centrifugalkraft; sie kann unberücksichtigt bleiben, wenn man als Schwere sogleich die scheinbare Schwere m • g. nach 1. Theil, S. 93, die wir allein wahrnehmen und messen können, einführt und welche schon die Mittelkraft aus der wahren Schwere und der Centrifugalkraft wegen der Erddrehung darstellt. Die Richtung dieser scheinbaren Schwere fällt mit der Richtung des Lothes zusammen.

Schneidet der Meridian den Äquator in C und ist M der Mittelpunkt der Erde, so bezeichnet der Winkel A MC — d die geographische Breite des Ortes A. Legt man durch A eine Drehachse parallel der Erdachse, so bildet diese mit dem Bahntheilchen AB ebenfalls den Winkel weil die Erdachse zu CM rechtwinklig ist. Dreht man das Bahntheilchen AB um die durch A gelegte Achse im Sinne der Erddrehung, d h von West nach Ost, so bewegt sich dadurch B in seinem Parallelkreise nach Osten; die zweite Ergänzungskraft ist daher eine tangential zum Parallelkreise liegende Kraft von der Grösse 2 • m • w • co • sin # mit dem

Sinne nach Westen. Da nun der Massenpunkt bei seiner scheinbaren Bewegung die Meridianebene nicht verlässt, so müssen sich die rechtwinklig zu dieser Ebene wirkenden Kräfte aufheben, d. h. es muss die zweite Ergänzungskraft durch einen eben so grossen Gegendruck

1)

W₂ = 2 • m • w • o • sin ft

aufgehoben werden. Diesen Seitendruck muss die westliche Seitenwand der vorgeschriebenen Bahn leisten.

In der Meridianebene führt der Punkt eine gleichförmige Kreisbewegung aus, wenn man die Abweichung der Erdform von einer Kugel nicht beachtet. Ist r der Erdhalbmesser, so entspricht dieser Kreisbewegung eine Centripetalbeschleunigung iv² : r, welche von der (Zentripetalkraft mg^—iVj erzeugt werden muss. Sonach ist

2)

m w²

m(J* ~ — *

jY, ist der Widerstand des Erdbodens, also, lothrecht nach unten genommen, der Druck, den der Massenpunkt auf den Erdboden ausübt. Derselbe vermindert sich nach Gl. 2 mit zunehmender Geschwindigkeit w. Er wird zu Null für

2)

w = Vg • r = 7905 m/₈.

(s. S. 57 und 104), wenn man g^ — 9,81 und r = 6370000m einführt (s. 1. Theil, S. 94). Für Geschwindigkeiten, wie sie im menschlichen Verkehr auf fester Bahn Vorkommen, z. B. auf Eisenbahnen, ist genau genug = m g ^ wie im Kuhezustande.

Blickt man im Sinne der Bewegung die Bahn entlang, so ist bei der Bewegung von Norden nach dem Äquator die westliche Seitenwand der Bahn, die den Druck N₂ zu leisten hat, die rechtsseitige. Der Massenpunkt übt also bei der Bewegung einen wagerechten Seitendruck nach rechts aus und äussert dadurch das Bestreben nach rechts von der Bahn abzuweichen. Erfolgt die Bewegung-umgekehrt vom Äquator nach Norden hin, so vertauschen die beiden Nachbarpunkte A und B des Bahntheilchens ihre Bollen, ähnlich wie in dem Beispiele S. 41—43; der Endpunkt des Bahntheilchens bewegt sich dann, wenn man das Theilchen um eine durch den Anfangspunkt gelegte Achse übereinstimmend mit der Erde sich drehen lässt, nach Westen; daher erhält die zweite Ergänzungskraft einen Sinn nach Osten, der Seitendruck N₂ einen solchen nach

Diese muss von der östlichen Seitenwand ausgeübt werden; das ist für den nunmehrigen Sinn der Bewegung des Punktes wiederum die rechtsseitige Wand.

Westen.

In gleicher Weise findet man, dass ein Massenpunkt, der auf der südlichen Halbkugel längs des Meridians bewegt wird, sich stets gegen die linke Seitenwand presst.

Die Druckkraft ist nach Gl. 1 verhältnisgleich mit der Geschwindigkeit w und dem Sinus der geographischen Breite, ist also am Äquator Null, am Pol am grössten.

Nach 1. Theil, S. 92 ist

(0 = 2 7t : 86 1 64 = 0,000073.

Für Hannover ist

iV₂

= 0,000011 78 w.

0 = 52 ⁰ 23 ', sin d = 0,7921, eo ■ sin f) = O,000 057 8, 2 • w • O,000 057 8

9,81

mg

Hiernach übt auf der nördlichen Halbkugel ein mit 20ra/s. Geschwindigkeit längs des Meridians fahrender Eisenbahnzug von 150000kg Gewicht eine wagerechte Druckkraft gegen die rechtsseitige Schiene aus von

N₂ = 150000 • 0,000Oll 78 • 20 = 35,3 ke.

Auf einer zweigleisigen Bahn, wo jedes Gleis stets in derselben Fahrrichtung benutzt wird, also stets dieselbe Schiene den Seitendruck W₂ empfängt, würde man trotz der Kleinheit von iV₂ im Verhältnis zu mg vielleicht auf den Gedanken kommen können, der Gefahr einer seitlichen Verschiebung des Gleises oder gar einer Entgleisung nach* rechts durch eine Überhöhung der rechtsseitigen Schiene vorzubeugen, wie man in Eisenbahnkurven die äussere Schiene überhöht (s. 1. Theil, S. 71). Für den Winkel a, um den die Querlinie des Gleises gegen die Wagerechte gedreht werden müsste, gilt

2)

iV₂

35,3

= 0,000 235 6 ,

mg

was bei 1500mm Schienenentfernung einer Überhöhung der rechtsseitigen Schiene um 0,35ram entspricht. Eine so geringe Überhöhung hat aber praktisch weder Sinn noch Zweck. Da in einer Kurve vom Halbmesser q für den Winkel a gilt (1. Theil, S. 71)

150000

?e²

a = —, 9Q

so würde obiger Werth von a bei w = 20m/s. einem Krümmungshalbmesser q = 173100"¹ entsprechen.

Wird ein Massenpunkt mit der Geschwindigkeit w längs des Meridians in Bewegung gesetzt, ist aber eine vorgeschriebene Bahn, welche die Druckkraft ausüben könnte, nicht vorhanden, so wird er mit einer der zweiten Ergänzungskraft entsprechenden Beschleunigung 2 w • (o • sin d vom Meridiane nach rechts hin abweichen. Bleibt diese Beschleunigung während der Zeit t unverändert, so erfährt der Punkt eine seitliche Abweichung

3)

z — w • co • sin & • £² = l • co • sin & ■ t,

wenn man w • t mit l vertauscht. Diese Abweichung kommt z. B. in Frage, wenn ein Massenpunkt in der Richtung des Meridians geworfen wird. Darin bedeutet w die mittlere wagerechte Seitengeschwindigkeit.

In dem Beispiel auf S. 111 wurde die Wurfweite von 8400ra in 19,14s- zurückgelegt. Die hiernach berechnete rechtsseitige Abweichung ergiebt sich zu

2 = 8460 • 0,000 057 8 • 19,14 = 9,36m,

wenn das Geschütz in der Richtung des Meridians in der geographischen Breite Hannovers abgefeuert wird.

Unmittelbare Berechnung der seitlichen Abweichung.

Fig. 115.

■v td X

Die Beseitigung der Bewegung des Raumes, in welchem die scheinbare Bewegung erfolgt, und die Ersetzung derselben durch die Ergänzungskräfte ist zwar für die Beantwortung mancher Frage sehr vortheilhaft, verdunkelt aber den wirklichen Vorgang; es ist deshalb nützlich, in geeigneten Fällen die scheinbare Bewegung auch durch ^

d»

Betrachtung der wirklichen Be-wegungsverhältnisse zu untersuchen. /

Solches möge hier hinsichtlich der

seitlichen Abweichung nach rechts ‘--

(auf der nördlichen Halbkugel) geschehen.

Bei dem Übergange des Massenpunktes von A nach B (Fig. 115) ändert sich der Drehungshalbmesser von x auf x + dx, d. h. von r cos$ auf r(cos#— sin d-dd). Der Punkt A der Erdoberfläche liât die Umdrehungsgeschwindigkeit x-co, der Punkt B aber die um r • cd • sin d ■ dd kleinere. Der von A nach B kommende Massenpunkt bringt nun ausser der scheinbaren Geschwindigkeit w längs des Meridianes die Drehungsgeschwindigkeit x • cd = r • cd • cos d längs des Parallelkreises mit und ist nun, nachdem er in B angelangt, der hier langsamer sich bewegenden Erdoberfläche mit der Geschwindigkeit r - cd • sind ■ dd nach Osten vorausgeeilt. Dem entspricht in der Zeit dt eine östliche Voreilung um dz — r • (o sin d • dd • dt,

oder, weil r-dd = AB = wdt ist, um dz = w- cd • sind-dt², also für kleine endliche Bewegungen in kurzem Zeiträume t um

z = w • cd • sin d • t²,

oder auch, wenn man die Wegeslänge AB = w-t, — I setzt: z = l • (o • sin d • t,

übereinstimmend mit Gl. 3.

4. Vorgeschriebene Bewegung längs einer lothrechten Bahn auf der sich drehenden Erde.

In einem lothrechten Rohre AB (Fig. 116) von der Höhe h falle ein Massenpunkt; dann ist zunächst die Schwere eine der wirklichen Kräfte. Von den Ergänzungskräften ist die erste schon berücksichtigt, wenn man mit der scheinbaren Schwere rechnet. Legt man nun durch A eine zur Erdachse SN parallele Achse und ertheilt der Bahn AB eine Drehung cd, so bewegt w/ sich der Endpunkt B nicht nach vorn, / sondern nach rückwärts im Sinne nach Westen; die Bahnlinie bildet mit der Dreh- \ achse einen Winkel a = 90° — d, wenn \ d die geographische Breite des Ortes A; daher ist die zweite Ergänzungskraft 2 m • w • cd • cos d, u. zw. mit dem Sinne nach Osten, und da

Fig. 116.

io

IV

f/

Nx

die scheinbare Bahnlinie A B geradlinig ist, so wird diese Ergänzungskraft aufgehoben durch eine entgegengesetzte Kraft

1)

N% = 2 m • w • (o • cos d,

Fig. 117.

welche nach Westen gerichtet ist, also von der östlichen Rohrwandseite ausgeübt wird. Der Massenpunkt drückt daher mit einer Kraft N₂ gegen die östliche Seite der Rohrwand und wird, wenn man das Rohr entfernt, den Punkt also frei fallen lässt, mit der Beschleunigung 2 w • co • cos & von der Lothrechten in östlichem Sinn abweichen.

-H

Ist AB (Fig. 117) die Lothrechte, A PC die Bahn des freien Falles in Bezug auf die sich drehende Erde, z die östliche Abweichung, so ist

d²z dir

Die Geschwindigkeit w längs A PC kann wegen der Geringfügigkeit von z nach den gewöhnlichen Pallgesetzen beurtheilt werden; dann ist ?// = fit, also

d~Z

= 2 • g • t • w • cos t).

dz

Dies giebt

—— — q • (ö * COS V • 7²,

dt J

wobei die Integrationskonstante fortbleibt, weil für t — 0 auch

dz

w — 0, iVo = 0 und — = 0 ¹    dt

sein muss. Weiter wird

Z = g • co • COS • qf2

hieraus kann mit x = also t- — — die Zeit entfernt werden.

LJ

3/₃

Es wird

COS$

und für x = h:

2)

2

z' = —o) • cos $ • 7i o

Die eigentliche Ursache dieser östlichen Abweichung eines frei fallenden Körpers von der Lothrechten, die am Pole Null, am

10

Keck, Mechanik. III.

Äquator (mit cos = 1) am grössten ist, liegt natürlich darin, dass der bei A frei gelassene Körper die seiner Anfangslage entsprechende östliche Umfangsgeschwindigkeit der Erddrehung mitbringt und der hei B mit geringerer Umfangsgeschwindigkeit sich bewegenden Stelle der Lothrechten also vorauseilt. Daher ist auch auf beiden Halbkugeln der Erde die Abweichung übereinstimmend nach Osten gerichtet.

Versuche über diesen Vorgang sind besonders in einem Schachte bei Freiberg in Sachsen angestellt worden. Dort ist die geographische Breite d = 51°; die Fallhöhe betrug 158,5m. Dann ist nach Gl. 2:

2

-5- • 0,000 073 • 158,5 • COS 51 0 o

2 • 158,5

= 0,0276 m,

während die Beobachtung 0,0283m ergab. Der Unterschied beider Zahlen ist leicht dadurch zu erklären, dass wegen des Luftwider-

9,81

=

— werden muss.

Standes die Falldauer >

5. Einfluss der Drehung der Erde auf die Pendelschwingung; Foucault scher Pendelversuch.

Bei kleinem Ausschlagwinkel kann die Pendelbewegung nach S. 121/2 annähernd als geradlinige Schwingungsbewegung aufgefasst werden. Das S. 121 entwickelte Gesetz der Pendelschwingung galt unter der Annahme, dass die Erde in Ruhe sei; unter dieser Voraussetzung erfolgt die Schwingung in einer unveränderlichen lothrechten Ebene. Untersucht man aber die scheinbare Bewegung eines Pendels in Bezug auf die sich drehende Erde, so ergiebt sich eine von dem französischen Physiker Foucault (geboren am 18. September 1819 zu Paris, gestorben daselbst am 11. Februar 1868) im Jahr 1852 gefundene Abweichung. Bei einem am Äquator schwingenden Pendel haben Aufhängepunkt, Erdoberfläche, sowie auch der Massenpunkt des Pendels die sehr grosse Umfangsgeschwindigkeit der Erde nahezu gemeinsam. Daher sind die Verhältnisse mit grosser Annäherung dieselben, als ob das Pendel in einem Raum aufgehängt wäre, der eine geradlinige, gleichförmige Verschiebung erfährt; die scheinbare Schwingung erfolgt daher ganz so, wie es bei ruhender Erde geschehen würde; nur kommt statt der wahren Fallbeschleunigung die scheinbare Fallbeschleunigung am Äquator, d. h. gQ = 9,781 (s. 1. Theil, S. 92) bei der Berechnung der Schwingungsdauer zur Anwendung.

Fig. 118.

P

A.

JV

Ist ein Pendel aber am Pol aufgehängt, so hat der Aufhängepunkt keine Bewegung. Auf den Massenpunkt wirkt die wahre Schwere mit der Fallbeschleunigung g = 9,831 (1. Theil, S. 94) und die Fadenspannkraft. Die wahre Pendelschwingung erfolgt in einer unveränderlichen Ebene. Die Erde bildet einen Raum, der sich gegen diese unveränderliche Ebene in einem Sterntage ein Mal in dem Sinne von Westen nach Osten dreht; umgekehrt wird also die Schwingungsebene des Pendels in einem Sterntage sich ein Mal in dem Sinne von Osten nach Westen scheinbar gegen die Erde drehen.

xr/

Tr---T--

a>

's

R/ < J F

/ ID. COS fr

' f<o. sin

Ist das Pendel aber bei P (Fig. 118) in einer nördlichen geographischen Breite û aufgehängt, so kann man, um die scheinbare Bewegung der • Schwingungsebene des Pendels zu finden, die Winkelgeschwindigkeit ca der Erde als Strecke MR auftragen und nach dem Satze vom Parallelogramm der Winkelgeschwindigkeiten (S. 35) in die Theilstrecken UR — ca- cos$ und MU —ca- sin# zerlegen. Von diesen beiden hat ca - cos$, wie vorstehend für das am Äquator aufgehängte Pendel erläutert, keinen Einfluss auf die Schwingungsebene des Pendels, sondern nur eine verkleinernde Wirkung auf die scheinbare Fallbeschleunigung g^ — 9,806 — 0,025 cos 2# (1. Theil, S. 94). Die Winkelgeschwindigkeit ca • sin #, deren Achse durch den Aufhängepunkt P des Pendels geht, bedingt aber, nach Vergleich mit dem für ein am Pol aufgehängtes Pendel, eine scheinbare Drehung der Schwingungsebene mit der Winkelgeschwindigkeit ca • sin 0 in einem Sinne, welcher der Drehung der Erde entgegengesetzt ist, d. h. in demselben Sinne, in welchem der scheinbare Umlauf der Sonne um die Erde erfolgt, nämlich für die nördliche

Halbkugel von Ost über Süd nach West, für die südliche Halbkugel von Ost über Nord nach West. Da die Winkelgeschwindigkeit m der Erde einer Umlaufszeit gleich einem Sterntag entspricht, so wird bei der kleineren Geschwindigkeit co-sin# ein , Umlauf die Zeit von 1 : sin Ï) Tagen erfordern. Für Hannover mit sin 0 = 0,7921 ergiebt dies 1,26 Tage. In dieser Zeit dreht sich die Schwingungsebene des Pendels scheinbar um die durch den Aufhängepunkt desselben gelegte Lotlirechte.

6. Scheinbare Bewegung der Planeten in Bezug auf die Sonne.

Auf S. 97 bis 100 wurde die Bewegung der Planeten um die Sonne unter der Voraussetzung behandelt, dass der Mittelpunkt der Sonne ein festes Anziehungscentrum sei. Dies ist aber nicht

welche

streng richtig; vielmehr wirkt die Kraft (Gl. 1, S. 97)

F. 119.

die Sonne auf einen Planeten von der Masse m ausübt, in umgekehrtem Sinn auch auf die Sonne von der Masse mx (Fig. 119) und ertheilt dieser eine stets nach dem Planeten gerichtete Beschleunigung

mq

r*~

r² ’

P-2 =

b*

Die Kepler’schen Gesetze betreffen nur die scheinbare Bewegung der Planeten in Bezug auf die Sonne, d. h. in Bezug auf ein durch den Mittelpunkt der Sonne gelegtes, mit diesem sich parallel verschiebendes Achsenkreuz. Um die scheinbare Beschleunigung zu erhalten, muss man zu der wahren Beschleunigung p = q : r² des Planeten im Sinne nach der Sonne noch das Entgegengesetzte der Beschleunigung p₂ hinzufügen. Da nun -f p₂ den Sinn von der Sonne nach dem Planeten hat, so ist der Sinn der Ergänzungsbeschleunigung — p₂ ebenso wie p vom Planeten nach der Sonne gerichtet, und die scheinbare Beschleunigung px wird die Summe beider, nämlich

= 4 i + —)

r- \    m,/

Da die früheren Untersuchungen S. 97 auf einer Beschleunigung q : r² beruhten, so sind deren Ergebnisse noch in der Weise zu berichtigen, dass der von der Sonnenmasse abhängige Fest-

7ÏI

werth q durchweg noch mit 1 -\--multiplicirt wird. Für die

Tfly

rn : m

Bewegung der Planeten ist diese Äenderung unbedeutend, da meist eine kleine Zahl, für die Erde 1 : 355000, für den Jupiter freilich etwa 1 : 1000. Für die Bewegung des Mondes um die Erde ist dieser Umstand schon erheblicher, da deren Massenverhältnis etwa 1:77 beträgt.

Dritte Abtheilung. A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

150

Dritte Abtheilung.

Mechanik einer Gruppe von Massenpunkten.

Jede beliebige Anzahl von Massenpunkten, deren Bewegungen in irgend welchen Beziehungen zu einander stehen, oder deren gleichzeitige Bewegungen wir betrachten, kann in ihrer Gesammtheit als eine Massengruppe angesehen werden. In der Regel werden die einzelnen Massenpunkte einer Gruppe gegenseitige Kräfte auf einander ausiiben, die man als innere Kräfte der Gruppe bezeichnet; in Folge davon wird die Bewegung eines Punktes der Gruppe einen gewissen Einfluss auf die Bewegung der anderen Punkte ausüben. Aber auch, wenn diese Kräfte Null sind, so dass die Massenpunkte gar nicht auf einander einwirken, kann man sie als eine Gruppe von Massenpunkten auffassen.

A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

I. Satz der willkürlichen Verrückungen; Satz der virtuellen Verrückungen.

Man bezeichnet eine Massengruppe als im Gleichgewichte befindlich, wenn jeder ihrer Massenpunkte im Gleichgewicht ist, d. h. ruht, oder sich gleichförmig, geradlinig bewegt. Damit dies der Fall sei, müssen die an jedem Massenpunkte wirkenden Kräfte sich aufheben, d. h. eine Mittelkraft von der Grösse Null liefern.

Diese Mittelkraft Null verrichtet bei jeder Bewegung des Massenpunktes auch eine Arbeit von der Grösse Null. Da nun für einen Massenpunkt die Arbeit der Mittelkraft gleich der Arbeitssumme der Einzelkräfte ist (nach 1. Theil, S. 43), so muss, wenn die an einem Massenpunkte wirkenden Kräfte im Gleichgewichte sein sollen, die Arbeitssumme dieser Kräfte bei jeder Bewegung des Massenpunktes sich zu Null ergeben. Auch wenn der Massenpunkt in Wirklichkeit sich gar nicht bewegt, kann man, um aus der Nullsetzung der Arbeitssumme der an ihm. wirkenden Kräfte die erforderlichen Bedingungen für das Gleichgewicht dieser Kräfte abzuleiten, ihm irgend eine beliebige Bewegung ertheilt denken und kann diese gedachte Bewegung stets so wählen, wie es für die gerade gewünschte Bedingungsgleichung zweckmässig erscheint.

Fig. 120.

V\

“V

y»

Befindet sich z. B. ein Massenpunkt in Ruhe unter Einwirkung eines gegebenen Gewichtes Q, und zweier Kräfte Kx und K₂, deren Grössen unbekannt sind, deren Richtungen aber mit der Lothrechten gegebene Winkel und n₂ bilden (Fig. 120), so kann man die Grössen der Kräfte Kx und K₂ durch Nullsetzung der Arbeitssumme bei zwei beliebigen Bewegungen finden. Denkt man zunächst dem Massenpunkt eine wagerechte Bewegung AB ertheilt, so verrichtet die Schwerkraft Q dabei keine Arbeit (nach 1. Theil, S. 42/43), weil Q, rechtwinklig zu AB ist. Die Wegeslänge AB giebt auf der Richtung von Kx eine Projektion AB • sin , auf der Richtung von K₂ eine Projektion — A B • sin «₂.    Sonach

liefert die Nullsetzung der Arbeitssumme

0 = Ky • AB • sin ax — K₂- AB- sin n₂ oder 0 = K] • sin

1)

K₂ sin a₂.

Denkt man dagegen dem Massenpunkt eine lothrechte Bewegung AG ertheilt (Fig. 121), so verrichtet

Kv • AG - cos otj, K₂ - AG • cos a₂.

Q, die Arbeit — Q - AC,

K, „

K₂ „

sin cq

4)

sin (oq + a₂) *

Fig. 122.

Kl

152

Dritte Abtheilung. A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

Sonach liefert die Nullsetzung der Arbeitssumrne :

0 = — Q, • AC + Kx • AC • cos oq + K₂ • AG • cos «₂ oder 0 = — Q -f Kx cos cq -f- Ko cos ot₂.

Diese Gleichungen 1 und 2 sind offenbar nichts anderes als die im 1. Theil, S. 65 gegebene Regel: Es muss die Summe aller wagerechten Seitenkräfte Null sein und die Summe aller lothrechten ßeitenkräfte ebenfalls. Nach Gl. 1 ist

2)

Fig. 121.

K = K Sln 0(1 -2    1 sin a₂ ’

setzt man dies in Gl. 2 ein, so wird

a2

“l

Q, — K{ cos oq -f Kx

sin oq

sin a₂

COS a₂

(sin a₂ cos oq + cos oc₂ sin ai)

sin a₂

oder

va

3)

sin oc₂

sin (oq + a₂) ’

; ebenso wird

Diese gedachten Bewegungen ULI? und AC waren für die Berechnung von K{ und Ko nicht gerade sehr bequem, weil sie auf zwei Gleichungen mit je zwei Unbekannten führten. Man kann die gedachte Bewegung aber auch so einrichten, dass man für jede der Unbekannten nur je eine ^ 2 Gleichung bekommt. Wählt man die \ gedachte Bewegung AD rechtwinklig zu K₂ (Fig. 122), so verrichtet K₂ bei der Bewegung AD die Arbeit Null; AD liefert auf den Richtungen Ky und Q die Projektionen .4Z> • sin (oq + a₂) bezw.

— AD ■ sin a₂. Die Nullsetzung der Arbeitssumme giebt:

0 = Äj • AD • sin (oq -f* a₂) — Q, • AD - sin oc2 und führt unmittelbar auf Gl. 3. Man kann also durch zweckmässige Wahl der gedachten Bewegung denselben Yortheil erreichen

wie durch Anwendung der Momenten-Gleichung unter Benutzung eines auf der Richtungslinie von K₂ gelegenen Drehpunktes (vergl.

1. Theil, S. 160; 2. Theil, S. 73). Dieses Verfahren wird besonders dann werthvoll sein, wenn es sich gar nicht um die Entwickelung aller unbekannten Kräfte handelt, sondern z B. in dem Falle der Fig. 122 vielleicht nur Kx ermittelt werden soll.

Wendet man dies nun auf eine Massengruppe an, so kann man jedem Punkte derselben beliebige Bewegungen ertheilt denken und die für jeden Punkt berechnete Arbeitssumme gleich Null setzen. Solche ganz willkürliche Lageänderungen nennt man Verrückungen. An jedem Punkte muss die Arbeitssumme von der Grösse Null sein, mithin auch die Arbeitssumme der ganzen Massengruppe. Daher hat man den Satz der willkürlichen Verrückungen: Ist eine Massengruppe im Gleichgewichte, so muss die Summe der von sämmtlichen an der Massengruppe wirkenden Kräften bei jeder willkürlichen oder gedachten Verrückung verichteten Arbeiten sich gleich Null ergeben.

In dieser allgemeinen Form freilich ist vorstehender Satz wenig verwendbar, denn in den meisten Fällen der Anwendung besteht die Massengruppe aus sehr vielen Punkten, die durch Kräfte auf einander wirken, so dass in der Arbeitssumme sehr viel Unbekannte auf-treten würden. Die Kräfte lassen sich aber derartig in 2 Gruppen zerlegen, dass die Arbeitssumme der einen Gruppe unter gewissen Bedingungen ohne besondere Untersuchung gleich Null gesetzt werden kann, so dass man nur noch die Arbeitssumme der zweiten Gruppe aufzustellen braucht. In vielen Fällen nämlich sind die einzelnen Massenpunkte nicht ganz frei beweglich, sondern hinsichtlich ihrer Verrückbarkcit an bestimmte Bedingungen gebunden, die sich durch geometrische Gleichungen ausdrücken lassen. Jede Beschränkung der freien Beweglichkeit kann aber auch aufgefasst werden als Wirkung von Kräften, die genau so beschaffen sind, dass sie eine Abweichung von den beschränkenden Bedingungen verhindern. Diese Kräfte mögen Bedingungs- oder bedingte Kräfte genannt werden, während die übrigen Kräfte als unbedingte Kräfte bezeichnet werden sollen.

Bei einer ganz willkürlichen Verrückung der Massenpunkte, welche auf die beschränkenden Bedingungen keine Rücksicht nimmt, würden sowohl die bedingten, wie auch die unbedingten Kräfte

Dritte Abtheilung. A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

154

Arbeiten ergeben; ertheilt man aber der Massengruppe nur solche Verrückungen, welche mit den die freie Beweglichkeit beschränkenden Bedingungen verträglich sind, so liefern, wie sich zeigen lässst, die bedingten Kräfte für sich allein die Arbeitssumme Null, so dass man dann zur Prüfung des Gleichgewichtszustandes nur die Arbeitssumme der unbedingten Kräfte gleich Null zu setzen braucht. Solche mit gegebenen Bedingungsgleichungen verträgliche Bewegungen einer Massen gruppe nennt man virtuelle Verrückungen (von virtus = Fähigkeit, Möglichkeit) und die dabei sich ergebenden Arbeiten der bedingten Kräfte virtuelle Arbeiten.

Die Beschränkungen der freien Beweglichkeit können verschiedener Art sein:

1. Es können einzelne Punkte unbeweglich, also feste Punkte sein. »Sind a?, y, z die Koordinaten eines solchen Punktes P, so sind die geometrischen Bedingungsgleichungen für die Unbeweglichkeit:

z — c,

y =

worin a, b, c unveränderliche Grössen bedeuten sollen. Die entsprechende Bedingungskraft ist aber ein Widerstand W, der den Punkt P unbeweglich erhält. Virtuelle Verrückungen würden in diesem Falle solche sein, bei denen der Punkt P seine Lage nicht ändert; dann ergiebt aber auch die bedingte Kraft W keine Arbeit.

2.    Es können einzelne Pankte gezwungen sein, auf gegebenen Flächen zu verbleiben. Für einen solchen Punkt wäre dann die Gleichung der Fläche /(«, y, z) = 0 die Bedingungsgleichung, der Normalwiderstand N der Fläche die Bedingungskraft. Virtuelle Verrückungen wären solche, bei denen der betreffende Punkt längs der Fläche, d. h. rechtwinklig zu N bewegt wird, wobei (nach 1. Theil, S. 42/43) von N keine Arbeit verrichtet wird.

3.    Es kann auch ein Theil der Punkte mit einander in starrer Verbindung sein. Die Bedingungsgleichungen sind dann von der Form

(a?₂ — xx)² -F {y₂ — yx)² + (z₂ — zx)² = a²,

wenn xx, yx, zx und x₂, y₂, z₂ die Koordinaten zweier Punkte und a eine unveränderliche Länge ist. Die Bedingungskräfte sind die inneren Kräfte des starren Körpertheiles, virtuelle Verrückungen solche, bei denen die starr verbundenen Punkte ihre gegenseitigen Abstände

nicht ändern. Die virtuellen Arbeiten der bedingten Kräfte sind dann (nach 1. Theil, S. 144) Null. Auch bei einer Verbindung einzelner Massentheile durch Ketten, Fäden oder dergl. von unveränderlicher Länge sind die virtuellen Arbeiten Null, wenn die Ketten oder Fäden bei der Verrückung nicht schlaff werden.

Auch jeder beliebige Theil eines elastisch-festen oder flüssigen Körpers oder überhaupt einer beliebig veränderlichen Massengruppe kann, wenn er im Gleichgewicht ist, hinsichtlich der Bedingungen des Gleichgewichts wie ein starrer Körper, wie eine Gruppe von starr mit einander verbundenen Massenpunkten behandelt werden. Denn es muss die Arbeitssumme aller an dem betreffenden Theile wirkenden Kräfte (nach S. 153) bei jeder willkürlichen Verrückung Null sein. Als Verrückung kann man daher auch eine solche wählen, bei der die einzelnen Massenpunkte genau in ihrer gegenseitigen Lage verbleiben. D. h. man kann sich jeden beliebigen Theil einer im Gleichgewichte befindlichen Massengruppe, z. B. eines elastisch-festen oder flüssigen Körpers, zur Untersuchung der Bedingungen des Gleichgewichts erstarrt denken und auf ihn die Bedingungen des Gleichgewichts starrer Körper anwenden. Die inneren Kräfte der Massengruppe, also die Spannkräfte elastisch fester Körper, sowie die inneren Normalkräfte flüssiger Körper sind dann bedingte Kräfte und liefern (vergl. a. 2. Theil, S. 231) daher keine Arbeit.

Die sechs Bedingungsgleichungen für das Gleichgewicht starrer Körper (s. 1. Theil, S. 146) sind mittels des S. 157 folgenden Satzes der virtuellen Verrückungen sehr leicht zu finden. Die inneren Kräfte kommen dabei nicht in Frage. Sind K{, K₂ . . . . die äusseren Kräfte, c^, A» /n a2> Y-2 • • • • die Winkel derselben gegen drei rechtwinklig zu einander stehende Achsen, so ergiebt sich, wenn man dem Körper eine Parallelverschiebung parallel der x- Achse um dx ertheilt, die Arbeitssumme 2’A"- cos a. dx = dx 2'K cos a. Diese muss Null sein, mithin

1)

2’ K cos a = 0 ; ebenso

2)

2 K cos ß = 0 ;

3)

2'A cos y — 0.

156

Dritte Abtheilung. A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

Ertheilt man nun dem Körper eine Drehung um die «»-Achse mit dem Drehungswinkel co-dt, so ist, wenn man mit die Summe der Momente der Kräfte K in Bezug auf die x-Achse bezeichnet und zugleich bedenkt, dass nach 1. Theil, S. 221 die Arbeit eines Kräftepaars gleich seinem Momente mal dem Drehungswinkel ist, die virtuelle Arbeit

0 =    • co • dt, mithin

äft* = 0 ; ebenso = 0;

= 0.

4. Wenn die Theile eines Triebwerkes, Zahnräder (Fig. 123), Reibungsräder, Kiemenscheiben (Fig. 124) u. dergl. derartig in einander greifen oder mit einander gekuppelt sind, dass sie an den Stellen des Eingriffes oder der Kuppelung Geschwindigkeiten von genau derselben Grösse haben müssen, so liegen in dem geometrischen Zusammenhänge des Triebwerkes die Bedingungsgleichungen. T \v    T

Die bedingten Kräfte sind die durch den <    \ ^

Eingriff oder die Kuppelung ausgeübten.

Da diese auf die mit einander gekuppelten /

Maschinenteile gleich und entgegengesetzt wirken, ihre Angriffspunkte auch genau gleiche Geschwindigkeiten haben, so verrichten diese Kräfte bei jeder virtuellen, d h. mit dem geometrischen Zusammenhänge verträglichen Verrückung Arbeiten, die sich gegenseitig aufheben.

Unter einen dieser vier Hauptfälle ist jede Aufgabe zu bringen, bei welcher eine Massengruppe im Gleichgewicht ist und zugleich durch gewisse Bedingungsgleichungen in

der freien Beweglichkeit der einzelnen Punkte beschränkt ist.

4)

5)

6)

Fig. 123.

Fig. 124.

ds g

ds

Da der Gleichgewichtszustand in manchen Fällen nur bei einer bestimmten Lage der Massengruppe besteht, also bei einer endlichen Verrückung gestört werden könnte, so darf man im Allgemeinen zur Ermittelung der Bedingungen des Gleichgewichts nur unendlich kleine Verrückungen benutzen.

Hiernach lautet der Satz der virtuellen Verrückungen:

Befindet sich eine Massengruppe im Gleichgewichte, so ist für jede unendlich kleine virtuelle Verrückung die Arbeitssumme der unbedingten Kräfte gleich Null; die Arbeiten dieser unbedingten Kräfte bei virtuellen Verrückungen heissen virtuelle Arbeiten. Die Normal widerstände einer vorgeschriebenen Fläche oder Linie, die Kräfte, welche Zahnräder auf einander ausüben, sind zwar bedingte Kräfte, die keine virtuellen Arbeiten liefern; dies gilt aber nicht von etwaigen Reibungswiderständen, die beim Gleiten unter Einwirkung dieser Kräfte entstehen und von ihnen abhängig sind. Die Reibungs widers tan de verrichten auch bei virtuellen Verrückungen Arbeit und sind deshalb den unbedingten Kräften beizuzählen. Aus diesem Grunde eignet sich der Satz der virtuellen Verrückungen besonders für die Behandlung solcher Aufgaben, bei denen Reibungs widerstände nicht zu berücksichtigen sind, so dass dann auch die betreffenden Normaldrücke gar nicht ermittelt zu werden brauchen.

2. Anwendungen der Sätze der willkürlichen bezw. der virtuellen Verrückungen.

a) Hebel.

Es sei O (Fig. 125) die feste Drehachse des Hebels, A der Angriffspunkt der Last Q,, B derjenige der bewegenden Kraft K.

Drehachse und Gelenkbolzen seien A< reibungslos.

kleine virtuelle Verrückung be- e steht in einer unendlich kleinen Drehung des Hebels um die feste Achse O. Der Drehungswinkel sei da. Dann beschreiben A und B Drehungsbogen

A Ai = AO ■ da und BBX = BO • da,

Eine unendlich

Cr—;

+4

Al

da

Fig. 125.

/F

'K

Bx

Dritte Abtheilung. A. Gleichgewicht einer Massengruppe.

158

welche als geradlinig und rechtwinklig zu MO und BO angesehen werden können. Ist ß der Winkel, den AO mit der Rechtwinkligen OE zu der Last Q bildet, so findet sich der gleiche Winkel ß auch zwischen AAl und der Last Q, so dass die Projektion von AAl auf die Richtung von Q ist

AC — AAX cos/? = AO • da • cos/? = OE -da.

Ebenso wird auf der rechten Seite

BI) = BB{ • cos^ = OB ■ cosy ■ da = OF • da.

Der Widerstand der Drehachse O sowie die inneren Spannungen des als starr angenommenen Hebels sind bedingte Kräfte. Unbedingte Kräfte sind nur die Last Q und die treibende Kraft K; daher gilt nach dem Satze der virtuellen Verrückungen 0 = — Q • AC + K BD, oder K-OF-da = Q • OE-da, d. h.

K • OF = Q-OE.

Dies ist nichts anderes als die Momentengleichung für den Hebel in Bezug auf seine Drehachse (s. 1. Theil, S. 151).

b) Schiefe Ebene.

Soll ein Körper vom Gewichte Q auf einer schiefen Ebene vom .Neigungswinkel a durch eine Kraft K, welche mit der Normalen der Ebene den Winkel ß einschliesst, gleichförmig aufwärts gezogen werden (Fig. 126) und soll dabei die Reibung zunächst unberücksichtigt bleiben, so fassen wir eine Gleitbewegung des Körpers längs der Ebene um die Strecke AB als virtuelle Verrückung auf. Dann kann man den Normalwiderstand N als bedingte Kraft ausser Acht lassen. Es ist 2Ç A BC = « ; 2Ç ABD = ß, somit

0 = _ q . AB • sin a + K-AB • sinß, oder

sin a sin ß ‘

I«

1)

2)

K= Q

f*

Diese Gleichung gilt auch für gleichförmige Abwärtsbewegung und auch für die Ruhe des Körpers.

Soll aber die Reibung f-N mit berücksichtigt werden, etwa für die Aufwärtsbewegung, so ergiebt sich zunächst leicht wie Gl. 1 :

3)

0 — — Q, - AB - sin a -j- K - AB - sin ß — fN ■ AB, oder K - sin ß = Q-sina + fN.

Fig. 127.

Nun aber muss man noch N finden, und dies ist mittels einer virtuellen Verrückung, d. h. einer solchen längs der Ebene, nicht möglich; man muss hierzu den allgemeinen Satz der willkürlichen Verrückungen (S. 153) an wenden. Wir ertheilen (Fig. 127) dem Körper eine Parallelverschiebung um die Strecke A JE im Sinne von N und behandeln diese nur insofern als eine virtuelle Verrückung in beschränkter Form, indem wir den Körper als eine starre Massengruppe sich parallel verschieben lassen. N gehört nun zu den unbedingten Kräften. Der Verschiebungsweg AE giebt auf den Richtungen von Q, K und f-N die Projektionen: AE- cos«; AE-nos ß und Null. Daher wird

0 = N - AE — Q • A E • cos a — K - AE - cos ß, also N — Q - cos a + K - cos ß.

Setzt man dies in Gl. 3 ein, so ergiebt sich

K sin ß = Q sin a + /cos a -f f K cos ß oder

K=Q

sin a + / cos a sin ß — / cos ß '

Vertauscht man noch / mit tgç9 {cp = Reibungswinkel) und multi-plicirt in Zähler und Nenner mit cos cp, so lässt sich die letzte Gleichung leicht zusammenziehen in

4)

sin (a + cp)

sin (ß — cp)

(vergl. 1. Theil, S. 195, Gl. 6).

Allerdings kann man diese Gleichung auch unmittelbar erhalten, indem man für den zu betrachtenden Sinn der Gleitbewegung (in diesem Fall also nach aufwärts) die

Fig. 128. CW-, F

«4 Çi

's CC

s^

Richtung des Gesammtwiderstandes W der schiefen Ebene, d. h. der Mittelkraft aus N und /• N, bestimmt, welche von N um den Reibungswinkel cp abweieht, und dem Körper dann eine Verschiebung AF, rechtwinklig zu W ertlieilt (Fig. 128). Sind dann AC und AD die rechtwinkligen Projektionen von A F auf Q und K, so ist 2p A FC — a -j- cp, 2LA FD — ß — cp; die Projektion von A .F auf W wird Null, und es muss

0 = — Q • A F • sin (a -f cp) + K • A F ■ sin (ß — cp) sein, woraus sich Gl. 4 ergiebt.

Fig. 129.

A/

rK

Längs derselben schiefen Ebene bleiben die Gleichgewichtsbedingungen überall dieselben; daher war es in diesem Falle gleichgültig, ob die Verrückung endlich oder unendlich klein gewählt wurde. Sollte aber der Körper auf einer gekrümmten Fläche durch die Kraft K gehalten, oder langsam aufwärts bewegt oder auch langsam hinabgelassen werden (Fig. 129), so würde die Kraft K von dem Winkel a abhängig sein; daher muss man in diesem Fall unendlich kleine Verrückungen benutzen.

Geschichtliches. Aus der Behandlung des Körpers auf schiefer Ebene ist leicht zu erkennen, dass die Benutzung des Satzes der virtuellen Verrückungen eigentlich nur für solche Fälle bequem ist, bei denen die Reibung nicht berücksichtigt werden soll. Dieses Ergebnis prägt sich auch in der Weise aus, wie der Satz in der Mechanik Anwendung gefunden hat. Er wurde nämlich für den Hebel, für Rollen und Flaschenzüge von Stevin (geb. 1548 zu Brügge, gest. 1620 zu Haag) als gültig erkannt, für die schiefe Ebene und den Keil 1655 von Galilei (geb. 18. Februar 1564 zu Pisa, gest.

8. Januar 1642 zu Arcetri). Job. Bernoulli (geb. 1667 zu

Basel, gest. daselbst 1748) zeigte 1717, dass der allgemeine Satz der willkürlichen Verrückungen zur Lösung aller Aufgaben des Gleichgewichts benutzt werden könne, und Lagrange (geb. 1736 zu Turin, gest. 1813 zu Paris) hat ihn 1788 zu einer der Grundlagen seines Werkes über analytische Mechanik gemacht. Bis gegen das Ende des 18. Jahrhunderts berechnete man die Wirkung von Maschinen noch ohne eingehende Berücksichtigung der Reibung und konnte daher mit der Behandlung einer Maschine als Ganzes nach dem Satze der virtuellen Verrückungen sich begnügen. Die Gleichgewichtsbedingungen starrer Körper wurden von Poinsot (geb. 1774 zu Paris, gest. daselbst 1859) in der jetzt gebräuchlichen Form entwickelt.

Mit den Fortschritten des Maschinenbaues ergab sich die Noth-wendigkeit einer genaueren Berechnung unter Berücksichtigung aller Reibungswiderstände; dies führte zu einer eingehenden Betrachtung der einzelnen Maschinentheile und aller an ihnen auftretenden Kräfte, wozu die Gleichgewichtsbedingungen in der im 1. Theile, S. 146 mitgetheilten Form besser geeignet waren als der Satz der willkürlichen Verrückungen. Erleichtert wurden diese Rechnungen noch durch die Benutzung des Reibungswinkels (s. 1. Theil, S. 190), des Kraftecks und des Seilecks (s. 1. Theil, S. 118). Erneute Anwendung hat nun aber der Satz der virtuellen Verrückungen gefunden für die Berechnung der Fachwerke, u. zw. 1864 durch Clerk Maxwell (geb. 1830, gest. 1879) und im Jahre 1874 durch Mohr in Dresden (s. Keck, Elasticifcätslehre, S. 207).

Da die Fachwerke als Verbindungen von Stäben mit reibungslosen Gelenken aufgefasst werden, so sind sie für die Anwendung des Satzes der virtuellen Verrückungen in hervorragender Weise geeignet (s. Keck, Vorträge über Elasticitätslehre, S. 207, 250, 255).

c) Aufzugsmaschineil.

Bei der in Fig. 130 dargestellten Bockwinde sind die einzelnen Theile des Triebiverkes derartig mit einander verkuppelt, dass irgend einer Geschwindigkeit v der Kurbel eine dadurch genau bestimmte Geschwindigkeit c der Last Q, entspricht. Es ist v:c das durch den geometrischen Zusammenhang bedingte Uebersetzungs-verhältnis der Winde. Die Triebkraft AT und die Last Q sind die

11

Keck, Mechanik. III.

einzigen unbedingten Kräfte, während alle anderen Kräfte, nämlich die inneren Spannungen der Kurbel, des Kurbelarmes und der übrigen Theile des Triebwerks und des Gestelles, die Widerstände der Achsen, die Kräfte zwischen den Zähnen zu den bedingten Kräften gehören. Unter Vernachlässigung der Reibungswiderstände wird dann für ein Zeittheilchen dt

Fig. 130.

0 = K • v - dt — Q- c • dt

oder Q: K = v : c. Hierin liegt der schon von Galilei ausgesprochene Satz: „ Was an Kraft gewonnen wird, geht an Geschwindigkeit verloren“

ft

(s. 1. Theil, S. 215). Aus der hier benutzten Weise der Herleitung erkennt man, dass der Satz für alle einfachen Maschinen gelten muss, solange man die Reibungswiderstände vernachlässigt.

Ein Körper, der an einem Punkt oder einer Achse befestigt ist, kann im Gleichgewichtszustände sich nur befinden, indem er ruht; denn die Drehbewegung um den festen Punkt oder die feste Achse, welche die einzig möglichen Bewegungen sind, ertheilen den einzelnen Massenpunkten krummlinige Bewegungen, während das Gleichgewicht eines Massenpunktes durch Ruhe oder geradlinige, gleichförmige Bewegung bedingt ist. Ertheilt man aber der Kurbel der in Fig. 130 dargestellten Bockwinde eine gleichmässige Drehbewegung, so wird, wie die vorstehende Entwickelung zeigt, die Summe der virtuellen Arbeiten gleich Null. Wollte man also den auf S. 157 ausgesprochenen Satz der virtuellen Verrückungen in der umgekehrten Fassung bringen: Eine Massengruppe befindet sich im Gleichgewichte, wenn für jede unendlich kleine virtuelle Verrückung die Arbeitssumme der unbedingten Kräfte gleich Null ist, so müsste noch hinzugefügt werden: unter der Voraussetzung, dass in der Massengruppe nicht etAva schon Winkelgeschwindigkeiten um feste Achsen oder Punkte bestehen. Denn der Umstand, dass die virtuelle Arbeit Null ist, schliesst nur beschleunigte, nicht aber gleichförmige Drehbewegungen aus. Eine gleichförmige Drehung hat auf die Beziehung zwischen den unbedingten Kräften keinen Einfluss, wenn man von der Reibung absieht. Durch eine solche Drehung werden in den umlaufenden Theilen besondere, von der Winkelgeschwindigkeit abhängende Spannungen (s. 2. Theil, S. 93) hervorgerufen; im Allgemeinen werden auch die Widerstände der festen Achsen dadurch beeinflusst; doch fällt der letztere Einfluss fort, wenn die Drehachsen freie Achsen sind (s. 1. Theil, S. 289). Die durch die Umlaufgeschwindigkeit erzeugten inneren Spannungen sind in sehr vielen Fällen, z. B. bei den durch Muskelkraft bewegten Aufzugsmaschinen, im Vergleiche mit den bei der Geschwindigkeit Null auftretenden Spannungen verschwindend klein; daher man auf den Unterschied zwischen gleichförmiger Drehbewegung und Ruhezustand meist gar keine Rücksicht nimmt. Bei Körpern mit grosser Umlaufgeschwindigkeit, z. B. Schwungrädern, Mühlsteinen (s. 2. Theil, S. 96), Schleudermaschinen (s. 2. Theil, S. 201) haben diese Spannungen aber mafsgebende Bedeutung.

d) Gelenkstangeii - Verbindiiiigen.

Fig. 131.

A und B (Fig. 131) seien die Aufhängegelenke einer Gelenkstangen-Verbindung. Die einzelnen Stäbe seien starr und durch reibungslose Gelenke mit einander verbunden. Das Gewicht jedes Stabes sei zu einem Massen-    a

wyry

\ i » %L ! '-4-

:w/

punkt m vereinigt gedacht. Diese Massen m₁, m₂, m₃ . . . mögen um zx, z₂, z₃ . . . unter einer festen wagereckten Ebene liegen; es soll eine Beziehung für die Ruhelage der Stangenverbindung gesucht werden.

Wird der Stangenverbindung eine unendlich kleine virtuelle Verrückung aus der Ruhelage ertheilt, so sind die inneren Spannkräfte der Stäbe, die Widerstände der Widerlagergelenke, die gegenseitigen Kräfte in den Zwischengelenken durchweg bedingte Kräfte; virtuelle Arbeiten werden nur von den Gewichten mxg, m₂g

n*

verrichtet. Erfährt nun eine der Massen m bei der unendlich kleinen Verrückung eine Senkung um dz, so ist die entsprechende virtuelle Arbeit mg-dz, und es muss, von der Ruhelage aus gerechnet,

0 = 2(mg • dz) — g ■ dzl + m₂ • dz₂ + . . . .} sein.

•)

Dafür kann man, weil die Massen unveränderlich sind, auch schreiben O = g • d (mx z₁ + m₂z₂ -f-Hat der Schwerpunkt S der Massen m in der Ruhelage eine Tiefe

z₀ unter der festen wagerechten Ebene, so ist nach der Lehre vom Schwerpunkte

2m-z = M- z₀

(s. 1. Theil, S. 139), wenn M — 2m.i die Gesammtmasse bedeutet. Daher wird

O = d (M• z₀) = M- dz₀ oder dz₀ = 0 die Bedingung für die Ruhelage der Gelenkstangen-Verbindung.

Bei einer unendlich kleinen virtuellen Verrückung darf der Schwerpunkt der gesammten Masse sich weder heben noch senken, d. h. er muss in der Ruhelage entweder möglichst tief oder möglichst hoch liegen.

Fig. 132.

Ox

jL

\ —o-

Befindet sich der Schwerpunkt S in der Ruhelage so tief wie möglich, so wird einer endlichen virtuellen Verrückung eine Bahnlinie des Schwerpunktes entsprechen, wie in Fig. 131 angedeutet. Erfolgt die Verrückung aus der Gleichgewichtslage etwa durch einen leichten seitlichen Stoss, welcher der Massengruppe ein gewisses Arbeitsvermögen ertheilt, so wird dieses bei der nunmehr erfolgenden Hebung des Schwerpunktes aus der tiefsten Lage durch die negative Arbeit der Schwere aufgezehrt; die Massengruppe erhält die Geschwindigkeit Null, wird dann durch die Schwere zu der ursprünglichen Gleichgewichtslage zurückgeführt, führt um diese Schwingungen aus und kommt, nachdem letztere durch Widerstände vernichtet sind, schliesslich in der sicheren (stabilen) Gleichgewichtslage zur Ruhe. Lag der Schwerpunkt aber im Gleichgewichtszustände so hoch wie möglich (Fig. 132), so wird der,

einem kleinen Anstofse folgenden Senkung des Schwerpunktes eine positive Arbeit der Schwere entsprechen, d. h. die Massengruppe wird sich beschleunigt immer weiter aus der ursprünglichen Ruhelage entfernen und erst in einer neuen sicheren Gleichgewichtslage mit tief liegendem Schwerpunkte zur Ruhe gelangen.

Bei unendlich vielen

Die tiefste Lage des Schwerpunktes entspricht also der natürlichen sicheren Gleichgewichtsform, die höchste Lage der künstlichen, unsicheren (labilen) Gleichgewichtsform.

Stangen geht die erstere Form in die Kettenlinie, die zweite Form in die Drucklinie über (s. Keck, Vorträge über Elasticitäts-lehre, S. 315).

Die Gleichgewichtsform einer Kette, die der Bogenlänge nach geichmässig belastet wird, ist die gemeine Kettenlinie

Fig. 133.

K---------Xi----

—^)B

&“--***----•>'

iGQ

!\ \

----—->}<---V-

^-------

-"i

<-

(Fig. 133), deren Gleichung, bezogen auf den Anfangspunkt O, (nach Keck, Vorträge über Elasticitätslehre, S. 317) lautet:

1)

y = y₂ r (é r + e r ) .

Darin bedeutet r den Krümmungshalbmesser im Scheitel 0. Da dem sicheren Gleichgewichtszustände die möglichst tiefe Lage des Schwerpunktes entspricht, so kann man auch aus dieser Bedingung die Gleichung der gemeinen Kettenlinie finden, indem man die

Frage stellt: Nach welcher Kurve muss eine bei A und B befestigte Kette von gegebener Länge geformt sein, damit ihr Schwerpunkt so tief wie möglich liege. Die Lösung dieser Aufgabe mit Hülfe der Variationsrechnung führt thatsächlich auf die Gleichung 1. Diese Behandlung überschreitet den Kähmen unseres Buches; doch möge der Nachweis geführt werden, dass, wenn man die im Gleichgewichte befindliche Kette A GB bei G lothrecht abwärts zieht und dadurch (annähernd) in die geknickte Form AG'B überführt, der Gesammtschwerpunkt sich von S nach S' hebt.

Hat der Auf hängepunkt B die Koordinaten xl und yl, so findet man die Bogenlänge CB = s leicht zu

xg

2)

s = 72 r \e

Für die Höhe des Schwerpunktes S der Kettenlinie ACB = 2 s über 0 gilt dann, wenn man den Faktor 2 beiderseits fortlässt:

>Xl

>Xl

« • 2/0 = \ds ■ y — — W ■ dx,

weil, wie man leicht erkennt,

ds — — • y • dx ist.

Dann wird

2f\

r)

dx oder

* • Vo

0°| To

I ‘■‘*1    _ ² *i\

\er-e r).

Weil aber nach Gl. 1 und 2

2/1 « =

HTo

2 X['

so kann man schreiben

«•2/o

—r xi « yi•». ~2 2~ ’

mithin

+ *•

r ■ Xi

yo = -2T

oder für die Tiefe des Schwerpunktes S unter der Sehne AB:

*o = 2/i — 2/o

_ jh _ r • *i 2    2 s '

Wird die Kette vor der Länge 2s, aber in die Form ACB gebracht, so ist AC — s und die Tiefe des Schwerpunktes unter A B

». = 4-v«s-v-

Es ist zu beweisen, dass z₀ > z₁, oder z₀² > z₁²-, zu dem Ende setzen wir z₀² — z² = U und untersuchen, ob U > 0 ist. Es wird

+ Ciai -

Nach den Gl. 1 und 2 findet man leicht

r°- -f s² = Vi² 5 2/i² — s² — r², so dass

_ J_ jV ’ ffi² _ 2xiVir

+ X,

da dies ein Quadrat ist, nämlich

xiVi

so ist U > 0, also bewiesen, dass z₀ > zx, dass also beim Geradestrecken der Schwerpunkt sich wirklich gehoben hat.

e) Klappbrücken.

Soll ein Getriebe, an welchem als unbedingte Kräfte nur Schwerkräfte wirken, in jeder Lage im Gleichgewichte sein, so dass bei einer langsamen Bewegung nur Reibungswiderstände überwunden zu werden brauchen, so muss für jede Lage dz₀ — 0

sein, d. h. es muss die Ordinate zQ des Schwerpunktes der gesammten Massengruppe stets denselben Werth behalten.

Diese Bedingung wird erfüllt, wenn der Gesammt-schwerpunkt sich bei einer virtuellen Verrückung entweder gar nicht bewegt, oder doch stets in derselben wagerechten Ebene verbleibt.

Derartige Erwägungen finden Anwendung beim Entwerfen grösserer Klappbrücken. Soll etwa (Fig. 134) der Brückenkörper

Fig. 134.

4i

rN

m

I /T

's

js/

rM

.//

//

1XV° 0 /

Vf

AB in die Lage AlBl gebracht werden, so ist dies nach S. 13 am einfachsten durch Drehung um den Punkt O zu erreichen, den man findet, indem man AA₁ zieht und in der Mitte derselben eine Winkelrechte errichtet, ebenso B mit Bx verbindet und in der Mitte von BBl eine Normale zu BBY zeichnet; dann ist O der Schnittpunkt der beiden Normalen. Bei einer Drehung um O würde aber jeder Punkt, also auch der Schwerpunkt S des Brückenkörpers einen Kreisbogen beschreiben, so dass hierdurch die gestellte Bedingung nicht erfüllt wird. Soll die Bewegung nun so geregelt werden, dass der Schwerpunkt eine Wagerechte beschreibt, so könnte man zunächst auf den Gedanken kommen, den Schwerpunkt unmittelbar längs einer Gleitbahn SS₁ zu führen. Diese Lösung ist aber nicht brauchbar, weil der rechts von der aufgerichteten Klappe befindliche Kaum von festen Theilen grösstentheils frei bleiben soll, um Schiffen die Durchfahrt zu gestatten. Man führt daher (Fig. 135) einen dem Schwerpunkte nicht zu nahe liegenden Punkt D / des Brückenkörpers mittels einer um einen festen Punkt C drehbaren Ge-

Fig. 135.

Bp-

f~7

a±±

eS

-M--H

op-

At--

lenkstange in einem Kreisbogen von D nach Di und gleichzeitig einen

i /    / i /

\l i /

k I //>" '^aLc

anderen Punkt des Körpers, etwa B, mittels einer Rolle in einer Bahn B B

deren Form durch den Kreisbogen IJDl und die vorgeschriebene gerade Bahn SS{ des Schwerpunktes völlig bestimmt ist. Nimmt man die Lage des Punktes I) am Brückenkörper nach Gutdünken an, so dass dadurch auch A festliegt, so ziehe man (Fig. 134) Z>Z>, und in der Mitte E von BI)X eine Rechtwinklige EF zu DD Drehpunkt C der Gelenkstange DC jedenfalls auf EF liegen. Da bei einer Drehung des Brückenkörpers um O (Fig. 134) D auch nach Dy gelangen würde, so muss die Gerade EF auch den

Dann muss der feste

Punkte O enthalten. Auf EF kann der Drehpunkt C beliebig gewählt werden. Da aber die Gelenkstange CD in dem geöffneten Zustande der Brücke eine Lage CDi (Fig. 135) haben muss, welche den Kaum für die freie Durchfahrt nicht beengt, da es ferner für die feste Lagerung des Drehpunktes C erwünscht sein wird, denselben etwa in gleicher Tiefe mit B₁ anzuordnen, so wird die Gerade EF (Fig. 134) vielleicht einen zweckmässig liegenden Drehpunkt C nicht enthalten, so dass also die willkürliche Annahme des Punktes D nicht glücklich war. Man kann dann auch umgekehrt den Drehpunkt C an passend erscheinender Stelle annehmen, für den Angriffspunkt D der Gelenkstange aber vielleicht nur eine gewisse Tiefe, d. h. einen gewissen Abstand von der Brückentafel, gegeben durch eine Gerade GH (Fig. 135), festsetzen und nun die Lage des Angriffspunktes I) in der Geraden GH durch Zeichnung in folgender Weise finden. Eine Gerade CO bestimmt diejenige Linie, welche in Fig. 134 EF genannt wurde. Ist nun a der ge-sammte Winkel, um den die Brückentafel gedreht werden soll, so ist a zugleich der gemeinschaftliche Centriwinkel aller Kreisbögen, die bei einer Drehung um 0 von sämmtlichen Theilen der Brückenbahn, also auch von D, beschrieben werden würden. Trägt man im Punkte O an die nach oben verlängerte CO den Winkel ]/2 « an, so schneidet der zweite Winkelschenkel die GH in D. Hat man somit die Gelenkstange CD festgelegt, so bleibt nur noch die Form des Führungsschlitzes für die hei B anzubringende Leitrolle zu bestimmen. Eine analytische Entwickelung der Gleichung der Bahnlinie BB{ ist so umständlich, dass man die zeichnerische Ermittelung vorziehen wird. Die in der Brückentafel gegen einander fest liegenden Punkte D, S und B (Fig. 135) bilden ein Dreieck; lässt man D auf dem Kreisbogen />!>!, S auf der Wagerechten SSl sich bewegen, so beschreibt B die Bahnlinie BBi der Führungsrolle. Man bestimmt daher die Punkte der Kurve BB{ am bequemsten und sichersten, indem man das Dreieck DSB

Fig. 136.

D,

auf Pauspapier zeichnet oder aus starkem Kartenpapier so ausschneidet (Fig. 136), dass man I) und 5 auf I) Dl bezw. SSl verschiedene Lagen geben und hei B jedesmal einen Zirkelstich machen kann.

B. Bewegung einer lassengruppe.

(. Satz von der Bewegung des Schwerpunktes; Satz vom Antriebe.

1)

Schon im 1. Theil, S. 141 wurden die Gleichungen abgeleitet:

d² x

dt²

2m

d²y

dt²

= Y;

d²z

dt²

= Z.

Darin bedeuteten x, y und z die augenblicklichen Koordinaten eines Massenpunktes m,

X = 2K cos <x, Y = 2K cos ß, Z=2K cos y die Summe der in den einzelnen Achsenrichtungen auftretenden Seitenkräfte der äusseren Kräfte K. Daraus folgten nach der Lehre vom Schwerpunkte die Gleichungen

2)

d²xo _ X    d²y₀ _ Y    d²z₀ _ Z

dt² ~ M ⁵    dt² ” M '    dt² ~ M ’

worin xQ, y₀, z₀ die Koordinaten des Schwerpunktes der Massengruppe bezeichnen, deren Gesammtmasse M ist. Diese Gleichungen 2 enthielten den Satz:

Der Schwerpunkt einer Massengruppe bewegt sich so, als ob die ganze Masse der Gruppe in ihm vereinigt wäre und als ob sämmtliche äussere Kräfte (parallel verschoben) an ihm wirkten. Die inneren Kräfte der Massengruppe haben auf die Bewegung des Schwerpunktes keinen Einfluss.

Sind äussere Kräfte nicht vorhanden, so kann der Schwerpunkt der Massengruppe sich nur geradlinig und gleichförmig bewegen.

Die erste der Gleichungen 1 kann man auch schreiben

dx

2’m •

dt

dt

oder wenn v die Geschwindigkeit eines Punktes, vx die Seitengeschwindigkeit desselben in der æ-Richtung bezeichnet,

= X.

ô l'mvx

öt

Ist v = c und vx = cx für t — 0, so ergiebt die Integration vorstehender Gleichung

3)

2mvx — 2 m cx — l Jo

X• dt.

Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit = mv nennt man die Bewegungsgrösse der Masse, mvx die Bewegungsgrösse in der x-Richtung. Das Produkt aus einer Kraft und der Zeit ihrer Einwirkung = Kt heisst der Antrieb der Kraft; für veränderliche

X• dt

Kräfte ist der Antrieb also allgemein / K • dt\ es ist

der Antrieb der in der x-Richtung wirkenden äusseren Kräfte.

Gl. 3 stellt den Satz vom Antrieb und der Bewegungsgrösse, dar; er lautet in Worten:

In einer bestimmten Achsenrichtung ist während irgend eines Zeitraumes die Zunahme der Bewegungsgrösse einer Massengruppe gleich dem Antriebe der in dieser Richtung wirkenden äusseren Kräfte.

Ist in einer Achsenrichtung die Summe der äusseren Kräfte Null, d. h. X= 2'Kcos a = 0, so erfährt in dieser Achsenrichtung die gesammte Bewegungsgrösse der Massengruppe keine Änderung.

Wegen 2mx — Mx₀ ist

4)

lmv, = M~2-;

dt

d. h. in einer bestimmten Achsenrichtung ist die Bewegungsgrösse der ganzen Massengruppe gleich der ganzen Masse mal der Geschwindigkeit des Schwerpunktes; ändert sich also in einer Achsenrichtung die Bewegungsgrösse nicht, so behält der Schwerpunkt die gleiche Geschwindigkeit bei.

Ergänzende Bemerkung zu den Schwerpunktsbestimmungen im 1. Theile, S. 132 und 136.

Der Abstand des Schwerpunktes einer Halbkreisfläche von dem Durchmesser wurde im 1. Theile, S. 132 gefunden zu

031 4-a i 'S

Fig. 137.

oder, wenn der Halbmesser b genannt wird,

~~Y

?!

j<—lo—

c-'

æ° 3 it'

Da nun das

Die Halbellipse von dem Durchmesser 2a und der Höhe b (Fig. 137) kann man sich in der Weise aus dem Halbkreis entstanden denken, dass jeder zu dem begrenzenden Durchmesser parallele Flächenstreifen in dem Verhältnis a : b verlängert ist. In Folge dieser Verlängerung ändert sich das statische Moment des Flächenstreifens in demselben Verhältnis a:b. statische Moment — Fläche mal Schwerpunkts-Ordinate, so bleibt letztere unverändert, wenn das statische Moment und der Flächeninhalt sich in gleichem Verhältnis ändern. Man kann daher ohne Rechnung schliessen, dass der Schwerpunkt der Fläche einer Halb-ellipse von der Höhe b in dem Abstande

-«s | fcî |co

von dem begrenzenden Durchmesser 2 a liegen muss.

Eine ähnliche Beziehung besteht zwischen dem Schwerpunkt eines Halbkugelkörpers und des Körpers eines Halbellipsoides. Yergrössert man, von einem Halbmesser c ausgehend, sämmt-liche Längen in der æ-Richtung in dem Verhältnis a : c, sämmtliche Längen in der y-Richtung in dem Verhältnis b : c, so entsteht ein Halbellipsoid, dessen Grundfläche eine Ellipse der Halbachsen a und b, dessen Höhe = c ist. Jede zur Grundfläche

ab

fache vergrössert, das statische Moment jeder Scheibe in Bezug auf die Grundfläche also in

c²

parallele Scheibe hat sich auf das

2 a. Gerader, centraler Stofs.

173

demselben Verhältnisse. Sonach muss die Höhe des Schwerpunktes des Körpers des Halbellipsoides von der Höhe c betragen

6)

³/sc,

wie es für den Halbkugelkörper vom Halbmesser c im 1. Theile, S. 136 gefunden wurde.

2. Anwendungen des Satzes von der Bewegung des Schwerpunktes und des Satzes vom Antriebe.

a) Gerader, centraler Stofs.

Wenn zwei Körper von den Massen Ml und M₂ mit den Geschwindigkeiten c₁ und c₂ m geradem centralen Stosse Zusammentreffen (mit cx > c₂), so ist, wenn man beide Körper als eine einzige Massengruppe betrachtet, die während der Stossdauer zwischen beiden Massen auftretende Druckkraft N eine innere Kraft. Es wirkt daher auf die Massengruppe, wenn man die Schwere und die Keibung ausser Acht lässt, auf die Massengruppe keine äussere Kraft, daher ist die Geschwindigkeit u des Schwerpunktes S der Gruppe beider Körper gleichbleibend; es gilt nämlich nach Gl. 4, S. 171 Jfj Ci -f* M₂ c₂ = (Mi -j- M^) u, d. h.

Fig. 138.

Ma

<V

5a©

cz

7)

Mv Ci + M₂ c₂

Mi + M₂ ’

Dies ist zugleich die gemeinschaftliche Geschwindigkeit der Schwerpunkte beider Körper im Augenblicke der stärksten Formänderung (s. 2. Theil, S. 128, Gl. 5). Bewegen sich die Massen nach dem Stosse mit verschiedenen Geschwindigkeiten vx und v₂ weiter, so ist, da die gesammte Bewegungsgrösse gleich bleibt,

Mi vx + M₂ v₂ = Mi c₁ + M₂c₂, woraus

M₂

Mi

v₂ — c₂

wird (s. 2. Theil, S. 127, Gl. 4); die Geschwindigkeit des Gesammt-schwerpunktes aber bleibt unverändert u (nach Gl. 7), so lange keine äussere Kraft auftritt.

b) Verhalten eines auf dem Wasser schwimmenden Kahnes.

Befindet sich in einem Kahn ein Mensch und haben beide die Geschwindigkeit Null, so hat auch der Gesammtschwerpunkt von Kahn und Mensch die Geschwindigkeit Null und wird, wenn keine äusseren Kräfte in wagerechter Richtung auftreten, auch keine wagerechte Bewegung erfahren. Bewegt sich der Mensch in dem Kahne nach vorn, so wird der Kahn unter ihm zurückgehen, u. zw. wenn man den Bewegungswiderstand des Kahnes vernachlässigt, um genau so viel, dass der Gesammtschwerpunkt an derselben Stelle verbleibt. Die Ursache dieses Verhaltens besteht darin, dass der Mensch beim Vorwärtsschreiten einer Kraft bedurfte, die zwischen seinen Füssen und dem Boden des Kahnes auftrat, den Schreitenden vorwärts, den Kahn aber, nach dem Gesetze der Wechselwirkung, rückwärts trieb.

Hat der Mann den Kahn ans Ufer gerudert und zieht die Ruder ein, um ans Land zu steigen, so wird er, wenn er von der Ruderbank nach dem Vorderende des Kahnes gelangt ist, bemerken, dass dieser das Ufer nun nicht mehr berührt. Ist der Kahn sehr leicht, so wird der Mann nun vielleicht den Uferrand nicht mehr ergreifen können. Befinden sich in der Mitte des Kahnes zwei Menschen, so lässt sich dieses Zurückweichen vom Ufer dadurch vermeiden, dass, während der Eine nach dem Vorderende ging, der Andere nach dem Hinterende schreitet. Dann heben sich die Wirkungen an dem Kahne gegenseitig auf. Der Erstere kann sich am Lande festhalten, und nun darf auch der Gefährte nach vorn schreiten, ohne den Kahn zurückzutreiben, da die Hand des Ersteren jetzt eine Kraft ausübt, die den Gefährten und somit auch den Gesammtschwerpunkt nach dem Ufer hinzieht.

Befinden sich in dem Kahne Steine oder dergl., so kann man durch Fortwerfen derselben nach rückwärts den Kahn vorwärts treiben; denn zum Fortschleudern eines Steines ist eine wagerechte Kraft erforderlich, die sich nach dem Gesetze der Wechselwirkung durch den Körper des Werfenden auf den Kahn überträgt und diesen in entgegengesetztem Sinne forttreibt. Auch durch Abfeuern von Gewehren nach rückwärts wird man einen Kahn vorwärts bewegen können.

2 c. Der Schwerpunkt als Mittelpunkt einer Massengruppe.

175

c) Der Schwerpunkt als Mittelpunkt einer Massengruppe.

Der den Bedingungen

= 2 moc, My₀ = 2my, Mz₀ = 2m z

entsprechende Punkt S mit den Koordinaten æ₀, y₀, z₀, welcher im 1. Theile, S. 139 als Massenmittelpunkt bezeichnet wurde, lässt sich noch in anderer Weise als Mittelpunkt einer Massengruppe erklären, insofern er derjenige Punkt ist, welcher von der Ge-sammtheit der Massengruppe den kleinsten Abstand hat (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate verstanden). Denn es lässt sich der Satz beweisen:

In einer Massengruppe wird die Summe der Produkte, die durch Multiplikation eines jeden Massenpunktes m mit dem Quadrate des Abstandes von einem bestimmten Punkt entstehen, ein Minimum, wenn dieser bestimmte Punkt der Schwerpunkt der Mass'engruppe ist.

Hat ein beliebig in der Massengruppe gewählter Festpunkt B (Fig. 139) die Koordinaten a?lt yx, zl, der Schwerpunkt S die Koordinaten #o, 2/o> ^o» ein Massenpunkt m die Koordinaten æ, y, z, so gilt finden Abstand s des Punktes m von B :

«² = (^ —^i)² + (y — 3/i)² + (z — z^y.

Bezeichnet man die fragliche Pro-duktensumme in Bezug auf den Punkt B mit W, so ist

W = 2m\ioc — æxf + (y — y^² + (z — ^)²};

dieselbe wird in Bezug auf den Schwerpunkt S:

Br₀ = 2m {(x — æ₀)² + (y — y₀)² + 0 — ^₀)²} •

Der Unterschied beider Summen beträgt:

W— W„ = 2’m {(* — x,)² — (x — x₀)² + (y — )/,)² — (;y — }/„)-•t- (2 — 2,)² — (2 — 2₀)²) •

Fig. 139.

B,

¥'

Sc

-X

Führt man die Quadrate aus, bedenkt, das y₀, z₀ und xl, zx konstant, dass 2 m ob = Mæ₀ u. s. w. geschrieben werden kann, so ergiebt sich nach einfacher Zusammenziehung

W — W₀ = Mfa² — 2x^0 + V)

+    — 2 yxy₀ + yo²)

-f- M(zi² — 2 zlz₀ + z₀²) oder W-W„ = Mfa - x„y + (y, - ytf + (x, - *„)*}. Nennt man aber <? den Abstand der beiden Punkte i? und S, so ist <?² =    _ aj₀)2 + (yi — y₀)2 +    — ^₀)2₁ daher

1F—fF₀ = Me².

0, so ist stets WîLW₀ und

Da dies wegen des Quadrates erreicht seinen kleinsten Werth Null für e — 0, d. h. wenn B mit S zusammenfällt.

3. Der Satz des Arbeitsvermögens.

Ist c die Anfangs-, v die Endgeschwindigkeit eines Massenpunktes m einer Massengruppe, so ist nach 1. Theil, S. 143

1)

2 y₂ mv² — 2’ V2 mc² = 2<äk + 2%,

wenn 2%.k und 2% die Arbeitssumme der äusseren bezw. inneren Kräfte der Gruppe bedeuten, oder:

Die Zunahme des Arbeitsvermögens einer Massengruppe ist gleich der Arbeitssumme der äusseren und der inneren Kräfte.

Befinden sich unter den äusseren oder inneren Kräften sog. Bedingungskräfte (s. S. 153), deren Wirkung sich durch gewisse geometrische Bedingungsgleichungen für die Bewegung der Massengruppe ausdrücken lässt, so verrichten diese bei jeder virtuellen Verrückung, mithin auch bei der wirklichen Bewegung nach S. 154 eine Arbeit gleich Null, können also bei der Aufstellung der Arbeitssumme unberücksichtigt bleiben. Dahin gehören nach S. 155 und 1. Theil, S. 144 die inneren Kräfte starrer Körper, ebenso auch nach 2. Theil, S. 231 die inneren Kräfte tropfbar flüssiger Körper, für welche die Bedingung unveränderlichen Kauminhalts besteht und bei der Bewegung durch ein Gefäss noch die Bedingung, dass

3. Satz des Arbeitsvermögens.

Querschnitt mal Geschwindigkeit für alle Theile des Gefässes in irgend einem Zeitpunkte den gleichen Werth haben. Dahin gehören auch nach S. 156 die inneren Kräfte eines Maschinengetriebes. Dieser Satz, dass die Arbeit der Bedingungskräfte Null sei, gilt aber nur, solange diese Kräfte endliche Grösse haben. In solchen Fällen jedoch, wo zur Aufrechterhaltung der Bedingungen unendlich grosse Kräfte erforderlich werden, erscheint ihre Arbeit in der Form oo • 0 und muss durch besondere Verfahren näher bestimmt werden. Mit derartigen Fällen hat man es stets zu thun, wenn die Bedingungen der in Bewegung befindlichen Massengruppe plötzliche Geschwindigkeits-Änderungen erfordern. Diese sind nur durch unendlich grosse Kräfte zu bewirken, und da es unendlich grosse Kräfte an einer endlichen Massengruppe in Wirklichkeit nicht giebt, so werden die entsprechenden Bedingungen thatsächlich nicht in aller Schärfe, sondern nur annäherungsweise gültig bleiben.

Diese Betrachtung findet auf alle Fälle Anwendung, wo als starr angenommene Körper mit verschiedenen Geschwindigkeiten zusammenstossen. Würden die Körper beim Stosse völlig starr bleiben, so müssten zwischen ihnen und in ihrem Inneren unendlich grosse Kräfte auftreten; in Wirklichkeit aber werden zusammen-stossende feste Körper gewisse Formänderungen erfahren, und die inneren Kräfte werden beim Stosse Arbeiten leisten, die (s. 2. Theil, S. 129 u. ff.) sich nach dem Verhalten der Körper während des Stosses richten und in den meisten Fällen negativ gefunden werden. Ähnlich verhält es sich bei der Bewegung des Wassers durch Gefässe mit plötzlichen Querschnittsänderungen (s. 2. Theil, S. 245). Auch in solchen Fällen werden die bei der Ableitung der der Grundgleichung I (2. Theil, S. 231) angenommenen Bedingungen nicht mehr scharf zutreffen, es wird daher auch die Arbeit der inneren Kräfte nicht mehr Null sein, sondern einen negativen Werth haben. Diese negativen Arbeiten, die sich durch einen Verlust an äusserem Arbeitsvermögen zu erkennen geben, verwandeln sich (nach 2. Theil, S. 334) in Wärme.

Der Satz der Arbeit gilt daher nur unter Berücksichtigung der durch etwaige Stösse veranlassten Arbeits-verluste.

Beispiel 1: Bewegung einer Kette. Ist eine Kette bei A (Fig. 140) derartig aufgewickelt oder niedergelegt, dass beim Abziehen des freien Endes B

12

Keck, Mechanik. III.

Dritte Abtheiiung. B. Bewegung einer Massengruppe.

kein Klemmen und keine Reibung entsteht, und wird dem bereits gerade gestreckten vorderen Theile von der Länge a eine wagerechte Geschwindigkeit c ertheilt, so wird, wenn äussere Kräfte nicht wirken, die Kette sich weiter abwickeln und an der Bewegung theilnehmen. Es soll berechnet werden, welche Geschwindigkeit v der gerade gestreckte Theil der Kette in einem Zeitpunkte hat, wo eine Länge x abgewickelt ist (Fig. 141). Hierbei muss nach dem

Fig. 140.

Fig. 141.

iv—a

» ta

U----a—-H

■X-

■>!

Satze vom Antriebe (S. 171) wegen des Fehlens äusserer Kräfte die Bewegungsgrösse stets den gleichen Werth behalten. Ist die Masse der Kette gleichmässig über deren Länge vertheilt, so kann man die Masse der Längeneinheit = 1 setzen. Zu Anfang war (Fig. 140) die gesammte Bewegungsgrösse a • c-, nachdem x Längeneinheiten die Geschwindigkeit v erhalten haben (Fig. 141), beträgt sie x-v\ daher wird

2)

x • v — a ■ c, oder v — c • —.

x

Setzt man nun v = dx : dt, so erhält man

x • dx — a • c ■ dt

und daraus, weil x = a für t — 0 werden muss,

3)

x² = a² -f- 2 act oder x — a (a -f- 2 et).

Dies ist die Bewegungsgleichung, welche in Verbindung mit Gl. 2 die Geschwindigkeitsgleichung 4) liefert. Nach Gl. 2 und 4 wird erst v = 0 für x — oo und für t = oo. Das Abwickeln der Kette würde also bei Abwesenheit aller Widerstände niemals auf hören, wie gross auch die Länge der bei A (Fig 140) aufgeschichteten Kette sein mag. Diese Betrachtung gilt auch für den Fall, dass die ursprünglich mit der Geschwindigkeit c in Bewegung gesetzte Kette von der Länge a mit einer steifen Stange, etwa einer Harpune vertauscht wird, welche gleiche Masse mit einer Ketten- oder Seillänge a hat und in Folge der ihr ertheilten Bewegungsgrösse a • c Kette oder Seil nach sich zieht. Auch auf einen s. g. Kaketen-Apparat zur Rettung Schiffbrüchiger findet Gl. 4 Anwendung.

Man kann diese Aufgabe auch mittels des Satzes der Arbeit lösen. Würde man, da äussere Kräfte nicht wirken, unter der Annahme, dass die

3. Schwingung des Wassers in einer Röhre.

179

inneren Kräfte der undehnbar gedachten Kette keine Arbeit verrichten, die Änderung des Arbeitsvermögens = Null setzen, so müsste l/2 xv² — ¹/2 a c², mithin

sein, was mit Gl. 2 in Widerspruch steht und unrichtig ist, weil in jedem Zeittheilchen dt ein Kettenstück dx stossweisse aus der Geschwindigkeit Null in die Geschwindigkeit v des Kettenstückes x übergeführt wird. Hierbei erfolgt während der Zeit dt ein Verlust an Arbeitsvermögen, der (nach 2. Theil, S. 130, Gl. 11 bezw. 12) mit M = x\ Mx = dx\ c = v, cx — 0; k — 0 sich zu

5)

= dx •

x • dx v2 * -j- dx 2

bestimmt. Das Arbeitsvermögen der Kette, l/ixv² erfährt während der Zeit dt

v²

eine Zunahme ¹/id(xv²) und diese ist offenbar = — dx--^ (Gl. 5) zu setzen. Da x und v beide mit t veränderlich sind, so wird aus

d (xv²) = — dx • v² : x • 2 v dv -j- v² • dx = — v² dx 2 vdv • x — — 2 v² • dx oder

dx

dv

—, also v

= l(ł) + c-

und, weil für x = a sein muss v — e :

, also

und

was mit Gl. 2 übereinstimmt.

Beispiel 2; Schwingung des Wassers in einer gekrümmten Röhre.

Das in einer nach Fig. 142 geformten Röhre befindliche Wasser bilde im Gleichgewichtszustände den Wasserspiegel AB. Der Querschnitt der Röhre sei F\ sie sei auf eine Länge b mit Wasser gefüllt, so dass die Wassermenge das Gewicht Mg = y-F-b habe. Durch irgend eine Ursache werde der Ruhezustand des Wassers derartig gestört, dass das Wasser in der ruhenden Röhre mit der Geschwindigkeit e durch die Gleichgewichtslage hindurchgeht. Tn dem Augenblicke, wo sich die

C°FS

Fig. 142.

*1.5

linksseitige Oberfläche bei C, die rechtsseitige bei D befindet, d. h. um x über bezw. unter der Gleichgewichtslage, sei die Geschwindigkeit der ganzen Wassermasse v; dann ist die Änderung des Arbeitsvermögens der Wassermasse von der Gleichgewichtslage (x = 0) bis zu der beliebigen Lage (x — x) :

9    ²

Arbeit wird bei dieser Bewegung, wenn man die Reibung vernachlässigt, nur von der Schwerkraft verrichtet, denn die Druckkräfte der Röhre gegen das Gefäss stehen überall rechtwinklig zur Bewegung des Wassers längs der Wandungen, und die inneren Kräfte des Wassers verrichten in diesem Falle keine Arbeit, weil plötzliche Querschnittsänderungen nicht vorhanden sind und die Krümmungen mit genügend grossem Halbmesser angenommen werden (s. 2. Theil, S. 283). Die Arbeit der Schwere kann man am einfachsten berechnen, indem man sich das zwischen B und D ursprünglich vorhandene Wassergewicht y-F-x nach AC verrückt denkt, wobei der Schwerpunkt von nach S, d. h. um x gehoben wird. Dann ist die Arbeit — y-F-x². Aus

F-b

v² — r²

V-—L=-y.F- X²

ergiebt sich dann

„ = j/

c2 _

b

Setzt man zugleich

dx

V dt ’

so wird

dt =

dx

c² - x²

O

Wandelt man die rechte Seite um in

__d

so ergiebt die Integration

b    . X

-— • arc sin —

²</

wobei die Konstante verschwindet, weil für t = 0 auch x = 0 sein muss.

Diese Gleichung für die Bewegung der beiden Wasserspiegel und somit auch für die ganze Wassermasse entspricht der Gl. 4, S. 54 für die geradlinige Schwingungsbewegung

1    . k

— arc sin — k    e

• x,

wenn man k — y setzt. Daher ist die Bewegung eine Schwingung um die Gleichgewichtslage als Mitte ; die halbe Schwingungsweite, d. h. die grösste

Hebung und Senkung der beiden Wasserspiegel von der Gleichgewichtslage aus, beträgt (nach Gl. 8, S. 55) die Dauer einer einfachen Schwingung (nach Gl. 7, S. 55) entsprechend einer Pendellänge V² b •

Beispiel 3: Querschwindungen eines elastischen, eingespannten Stabes.

Der Fall, wo ein eingespannter Stab am freien Ende eine Masse trägt, gegen welche die eigene Masse des Stabes vernachlässigt werden kann, und mit dieser Masse Querschwingungen ausführt, wurde auf S. 61 behandelt.

An dieser Stelle möge nun der Fall betrachtet werden, wo der prismatisch gedachte Stab nur mit seiner eigenen Masse schwingt.

Fig. 143.

-*!

a-

w/m

In einem Zeitpunkte t habe die Mittellinie des Stabes die Form APQ (Fig. 143); der Punkt P weiche um y, der Endpunkt Q um z von der Form im spannungslosen Zustand AB ab; unter Vernachlässigung einer etwaigen Durchbiegung in Folge des eigenen Gewichtes ist A B auch die Gleichgewichtsform des Stabes.

-----X-----

Die Biegungslinie APQ, ist zunächst unbekannt. Der beliebige Punkt P derselben hat eine aufwärts gerichtete Beschleunigung r\ bringt man an jedem Massentheilchen m =

wärts gerichtete Ergänzungskraft — • F■ dx ■ r an, so halten diese Kräfte den

wirklich vorhandenen Kräften das Gleichgewicht; mithin ist APQ die Biegungslinie für eine ruhende stetige Belastung, welche an der beliebigen Stelle P für die Längeneinheit die Grösse

p = — F • r

9

Befindet sich die Schwingung des Stabes im Beharrungszustande, so erfolgt die Bewegung der Punkte P und Q nach ähnlichen Gesetzen, und da nun beide Punkte in der gleichen Zeit die verschiedenen Wegeslängen jj und z durchlaufen, so müssen sowohl die Geschwindigkeiten wie auch die Beschleunigungen der Punkte P und Q den Wegen und z proportional sein. Für die Geschwindigkeiten m und v, die Beschleunigungen r und q beider Punkte gilt daher

v    q

— Tj ; r = — Tj . z    z

— ■ F-dx die ab-

1)

2)

hat.

v² — c² i , J    3 E ■ J • z²

a³

Hiernach ist die Ergänzungsbelastung bei P

p = i_F±r].

9    *

Nach S. 53, Gl. 3 von Keck’s Elasticitätslehre wird, wenn man die für den vorliegenden Fall gültigen Vorzeichen beachtet,

ej^l

p — — F — 7] .

9 z

Die Lösung dieser Diiferentialgleichung giebt die Gleichung der Biegungslinie APQ. Weil dieselbe aber transcendent und ziemlich verwickelter Form ist, so möge eine thunlichst einfache Annäherungslösung versucht werden. Da nämlich die dem wirklichen Verhalten entsprechende Belastung nach Mafsgabe der Fläche A BQ von der Einspannungsstelle nach dem freien Ende hin stark zunimmt, so wird von den einfachsten Belastungsfällen, deren Biegungslinien noch in bequemer Weise zu behandeln sind, wohl derjenige mit einer Einzellast am freien Ende den vorliegenden Bedingungen einigermafsen nahekommen, d. h. eine Biegungslinie ergeben, die von der Biegungslinie des schwingenden Stabes in den allgemeinen Verhältnissen nicht zu sehr abweicht. Unter diesen Annahmen möge der Satz vom Arbeitsvermögen auf den Stab angewendet werden.

Sind die Punkte P und Q mit den Geschwindigkeiten w₀ und c durch die Gleichgewichtslage AB gegangen, so ist die Zunahme des Arbeitsvermögens des Stabes beim Übergange aus der Gleichgewichtslage in die beliebige Lage APQ gleich der Biegungsarbeit desselben, d. h.

3)

dx⁴

4)

dx — 21.

Einer Einzellast K entspricht aber (2. Theil, S. 110 u. 111) eine Durchbiegung

K-a³

und eine innere Arbeit

3 EJ

5)

3 EJz²

2 Z ~ 2 Wegen Gl. 2 und 5 wird aber aus Gl. 4:

a³

, weil K =

3 EJz

a³

Wdx=-Y

tJo

Nach 2. Theil, S. 42 ist die Gleichung der Biegungslinie für eine Last K: K lax² x³\    3 z I „    x³\

⁼ ËJ ("i" - Jl = 2^ \aX - T)

L‘dx = j f|a³x⁴ a • a:⁵ +■ ~jix =

J 0    ‘ '

6)

, somit

0,236 r²« .

4. Zerlegung des Arbeitsvermögens einer Massengruppe.

183

Hieran? folgt

7)

e² - v²

2 z²

■ 0,236 Z“ a — -y

3 E-J-g²

und

v² = e² — 12,7i

E-J-g

Dies entspricht nach S. 54 mit

a⁴y ■ F

.z².

8)

k³ = 12,7i

E-Jg

«V- ^

der Geschwindigkeitsgleichung einer geradlinigen Schwingung des Stabendes Q. Mithin ist die Schwingungslänge nach S. 58

0)

g _ a⁴y ■ F k² ~ 12,71 E- J

— 0,63 /, wenn

y • F ■ a4 8 E J

die Durchbiegung unter dem eigenen Gewichte des Stabes bedeutet. Die Dauer einer einfachen Schwingung ist nach S. 58

= iz

— = 7r • a²

]/ 12,71 E-J-g    a2|/

0,777 y • F

E-J-g ⁵

oder mit J

Fi²:

n² _ /0,777 y E-g

Für einen eingespannten Stahlstab rechteckigen Querschnittes von a = 0,im freier Länge und h — 0,ooi m Dicke sei ^ = 7800, E = 2 • 1010 k?/qm, dann wird wegen i² — ¹ /12 h² und i — 0,289 h

10)

<1 = -r

0,oi

0,777 • 7800

2- 10¹⁰ • 9,8i

= 0,oo6i Sekunden,

0,289 • 0,001

entsprechend 164 einfachen Schwingungen in der Sekunde.

4. Zerlegung des Arbeitsvermögens einer beliebigen Massengruppe.

Hat ein Massenpunkt m (Fig. 144) in Bezug auf ein festes Achsenkreuz 41, AY, AZ, die Koordinaten x, y, z und der Schwerpunkt S der ganzen Massengruppe die Koordinaten x₀, y₀, z₀, so denke man sich durch S ein Achsenkreuz SX',

SY', SZ' gelegt, welches zu dem festen Achsenkreuze stets parallel bleibt, sich also mit    y

dem Schwerpunkt S verschiebt.    A

Der Punkt m habe in Bezug auf das bewegliche Achsenkreuz die

Fig. 144.

Z’

\_x’

! Z*

—!• x*—cf

Z,o

■7-X

—i—x,---------

\/

y₀

Koordinaten x\ y\ z'. Wenn nun m von der Ebene Y'SZ' um x\ die Ebene Y'SZ' von der Ebene Y AZ um x₍₎ entfernt ist, so muss der Punkt m von der Ebene Y AZ um x — x₀ + x' entfernt sein. Daher hat man die Gleichungen:

x = ;r₀ + x' ; y = y₀ + y' 5 z = z₀+z'.

Hieraus folgt

dx

_ dxo    dx' dy_dy₀    dy'    dz _ dz₀    dz'

dt dt    dt    ’ dt    dt    dt ’    dt    dt    dt ’

Für die Geschwindigkeit v des Punktes m gilt aber bekanntlich

dy\ ₊ (dz\ daher w.rd

dx

dt

dt

dt

T+&+ITÎ-

dx'

dy¹

« *TT-łTlU

Führt man die Quadrate der rechten Seite aus, so bekommt man einmal die Glieder

dx₀

dt

dt

y m (/dx₀\a (dyQV ldz<\*\

xT\Ur) ⁺\-dt) ⁺Kdï)

\f. U1

u. zw. ist diese Summe = —-—, wenn u die Geschwindigkeit des

Schwerpunktes S und M die ganze Masse der Gruppe bedeutet. Ferner entstehen die Glieder

"'ï!⁸

Nun ist aber in Bezug auf die Schwerpunkts ebene Y'SZ' der

(JLqC/

Werth Zmx' — 0, mithin auch 2’m-r- = 0. Da ferner in dem

2)

à oc o dx^ dyo dy' dt ' dt ^ dt ' dt ^

dz₀ dz'\

dti’

dt

dt

Gliede 2 die Grösse

dx o

dt

eine Konstante bedeutet, so wird

dx₀ v dx'

mithin = 0,

y m dxo dx'\

2 l dt    dt I    dt

und weil für die anderen Achsenrichtungen das Gleiche gilt, so wird die ganze Summe 2 zu Null. — Schliesslich erhält man in Gl. 1 noch als letzte Glieder:

Nennt man aber w die relative Geschwindigkeit des Punktes in Bezug auf den Schwerpunkt S der Massengruppe, so sind

dx'

dy'

dz'

dt ’ dt ’ dt

die Seitengeschwindigkeiten von w, also

dx¹

dy

dt

+ TT“ +

dt

dz'

dt

— w²,

7ÏI

so dass die letzte Summe einfach 2 — w² geschrieben werden kann. Hiernach wird 3) d. h. es kann das Arbeitsvermögen einer Massengruppe in zwei Theile zerlegt werden: der eine Theil ist das Arbeitsvermögen des Schwerpunktes, wenn man sich in demselben die ganze Masse der Gruppe vereinigt denkt; der andere Theil ist das Arbeitsvermögen, welches der relativen Bewegung der einzelnen Punkte gegen den Schwerpunkt entspricht. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des im

1. Theile, S. 295/6 für starre Körper bewiesenen; bei starren Körpern kann die relative Bewegung gegen den Schwerpunkt nur in einer Drehung um denselben bestehen, und diese kann nach S. 23 für jeden Zeitpunkt als Drehung um eine durch den Schwerpunkt gelegte augenblickliche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit co

7YI XJLp"

aufgefasst werden, so dass 2¹ —— für starre Körper gleichbedeutend

Lt

ist mit y₂ Jco* (s. 1. Theil, S. 267).

Innere Kräfte haben nach S. 170 auf die Bewegung des Schwerpunktes keinen Einfluss, können daher nur das Arbeits-

vermögen 2’—^— der relativen Bewegung gegen den Schwer-

u

punkt ändern. Äussere Kräfte können sowohl die Bewegung des Schwerpunktes wie auch die relative Bewegung gegen den Schwerpunkt beeinflussen.

5. Potential einer Massengruppe.

eines festen

Das Potential der Anziehungskraft K — k™¹™

Fig. 145.

Centralpunktes mx (Fig. 145) in Bezug auf einen Massenpunkt m, welcher von m₁ den Abstand r hat ist nach S. 107,

i)

mx m

«J*

wenn k der Festwerth der Massenanziehung, d. h. die Anziehungskraft zwischen zwei Masseneinheiten im Abstande = 1 von einander (s. 1. Theil, S. 55) bedeutet,

Arbeit, welche von der Anziehungskraft geleistet wird, wenn der Massenpunkt aus dem Abstand r sich in unendliche Entfernung begiebt. Wird nun der Massenpunkt m von einer Gruppe von Massenpunkten, etwa von einem festen Körper mit der Gesammt-masse M, angezogen (Fig. 146), so ist die gesammte Anziehungskraft K₎ welche der Massenpunkt m von der Massengruppe M erfährt, die Mittelkraft der Anziehungskräfte dK, welche die einzelnen Theilchen dM auf m ausüben, wobei ₇ dM - m

dK =

u. zw.

ist das Potential diejenige

Fig. 14G.

Gt

in

dM

=•

Bewegt sich der Massenpunkt auf irgend einem Wege von dem Körper fort bis in unendliche Entfernung, so verrichtet die Anziehungskraft eines Massentheilchens die Arbeit

dV= —

_ dM- m

k --.

Da nun bei der Bewegung eines Massenpunktes die Arbeit der Mittelkraft gleich der Arbeitssumme der Einzelkräfte ist (s. 1. Theil, S. 43), so verrichtet die gesammte Anziehungskraft K bei der Bewegung des Massenpunktes ins Unendliche die Arbeit

2)

dM

m.

und diese Arbeit heisst das Potential der Massengruppe oder des Körpers M in Bezug auf den Punkt

a) Potential einer dünnen, gleichartigen Kugelschale vom Halbmesser R und der Masse M.

Fig. 147.

\ tu

k-

Befindet sich (Fig. 147) der Massenpunkt m im Abstand l vom Mittelpunkt A der Kugelschale, u. zw. ausserhalb derselben (mit l > _ß), so ist (nach 1. Theil, S. 56) die gesammte Anziehungskraft K dieselbe, als ob die Masse M der Kugelschale in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre. Gleiches muss dann auch von der Arbeit der Kraft K, also auch vom Potential derselben gelten. Da aber das Potential der Anziehungskraft eines im Punkt A befindlichen Massenpunktes M in Bezug auf den Punkt m nach S. 186

_ Mm — k—— ,

so muss auch das Potential der Kugelschale in Bezug auf den ausserhalb gelegenen Punkt m sein:

3)

₇ Mm — k—-—.

Bei veränderlichem l ist die Darstellung des davon abhängigen V offenbar eine gleichseitige Hyperbel BG.

Befindet sich der Massenpunkt innerhalb der Kugelschale, ist also l < B, so ist die Anziehungskraft der Kugelschale gegen den Punkt gleich Null (s. 1. Theil, S. 56/57). Bei der Bewegung des Punktes m in unendliche Ferne beginnt somit die Arbeitsverrichtung erst, sobald er die Kugelschale durchdringt. Daher ist das Potential für l < R dasselbe wie für l = R. Setzt man also in Gl. 3 für l den Werth R ein, so wird

4)

kMm R '

Das Potential der Kugelschale in Bezug auf einen irgendwo im Inneren derselben befindlichen Massenpunkt m ist somit konstant, dargestellt durch die Gerade BD (Fig. 147)

b) Potential einer gleichartigen Hohlkugel von endlicher Wandstärke.

Der innere Halbmesser sei Ri% der äussere R₂, die Masse sei M

Fig. 148.

(Fig. 148). Man zerlege dieselbe in lauter koncentrische Schalen von unendlich geringer Wandstärke. Hat eine solche Schale einen Halbmesser r

und eine Wandstärke dr, so ist ihre Masse

5)

y

= — • 4 r² • Ji- dr.

dr

Da nun das Potential eines endlichen L Körpers nach Gl. 2 in Form eines Inte- » grals, d. h. einer Summe der Beiträge \ einzelner Massentheilchen erscheint und da diese Summationen für dünne Kugelschalen durch die Gl. 3 und 4 bereits ermittelt sind, so können nun die Beiträge, welche die einzelnen, die Hohlkugel bildenden Schalen zu den Potentialwerthen der Hohlkugel liefern, wiederum summirt werden, wobei nur stets diejenigen Kugelschalen, welche den Massenpunkt umschliessen, nach Gl. 4 zu behandeln sind, während für diejenigen Schalen, ausserhalb deren der Punkt sich befindet, Gl. 3 anzuwenden ist.

Für einen ausserhalb der Hohlkugel gelegenen Punkt m, gilt für alle dünnen Schalen übereinstimmend

d. h. für l

R^ »

Gl. 3, daher wird

6)

Va = —

km f

dM =

(In Va soll der Index a auf die Lage des Punktes l „ausserhalb“ hinweisen).

Für einen innerhalb des Hohlraumes der Hohlkugel befindlichen Punkt m, d. h. für l^£R{, gilt für alle dünnen Schalen übereinstimmend Gl. 4, doch muss in derselben, da R für die einzelnen Schalen verschieden ist, das dortige

mit

= — 4 rn-dr

y 4cr²Jt‘dr

vertauscht werden.

Man erhält dann für die ganze Hohlkugel

7)

rR,

Vh — — k-m- —-4:71 \rdr — — km — 2ti{R₂²— Rx²).

Rv

(In Vh soll der Index h auf die Lage des Punktes im „Hohlraume“ hinweisen.)

Für einen in der Wandung befindlichen Punkt m, d. h. für R₂ > l >> Rx, ist für die dünnen Schalen, deren Halbmesser r</, die Gl. 3, für die übrigen die Gl. 4 anzuwenden. Erstere liefern

y

zum Potential der Hohlkugel, wenn man M mit 4 — -r²Jt-dr vertauscht, den Beitrag

-^4 *x[r*dr-¹    9 JÄ1

— km —

TT Z² -

R\³

Die anderen liefern den Beitrag

y Clia    y

— km 4 — 71 \rdr — — km 2 • — - tt(R₂²

9 J i    9

-P).

Man erhält dann nach einfacher Zusammenziehung

8)

2Rl\

3 i r

Vw = — km-

(In Vw soll der Index iv auf die Lage des Punktes in der „Wandung“ hinweisen.)

c) Potential einer gleichartigen Vollkugel vom Halbmesser JR.

Man hat in den vorstehenden Gl. 6, 7, 8 nur Rx — 0 und R₂ = R zu setzen. Für einen ausserhalb der Kugel gelegenen Punkt, d. h. für l R wird einfach

Va = —

für einen im Inneren befindlichen Punkt (aus Gl. 8):

9)

. mM k —r—:

10)

Vw — — k-m-

4 y

was mit M —    — R³n auch geschrieben werden kann

o 9

11)

k-m - M

Vw    R

2 r² r

Für einen Punkt m im Mittelpunkte der Kugel giebt 1 = 0

in Gl. 11

Vw

km M 3

R '2

Fig. 149.

= AD in Fig. 149.

Für einen Punkt m an der Oberfläche der Kugel giebt l = R in Gl. 9 u. 11 übereinstimmend

12) Vw = - R

= BC

K~

-a

in Fig. 148.

Trägt man Va und Vw als Ordinaten auf, so erhält man die gleichseitige Hyperbel CE der Gl. 9, welcher sich im Punkte C die Parabel DC der Gl. 11 mit der Achse DA tangential anschliesst.

d) Selbstpotential einer gleichartigen Vollkugel.

Werden die einzelnen Massentheilchen der Oberfläche der Voll-

u

Fig. 150.

dcc

o-----X—>

kugel von der Masse M und dem Halbmesser R in Gestalt dünner Schalen von der Kugel abgelöst und in unendliche Entfernung gebracht, so dass der Halbmesser der Vollkugel sich allmählich verkleinert, bis er zu Null geworden ist, so nennt man die bei dieser Zertheilung oder Zerstäubung der Kugel ins Unendliche von den Anziehungskräften verrichtete Arbeit das Selbstpotential der Kugel. Ist die Kugel bereits bis auf einen Halbmesser x verkleinert (Fig. 150), so beträgt für jedes Massentheilchen ihrer Oberfläche das Potential nach Gl. 12, wenn

y 4

man darin R mit x und M mit —'-^x^n vertauscht:

9 ³

für die ganze augenblickliche Aussenschale von der Dicke dx also,

y

wenn man deren Masse — • ix²n-dx für m einführt:

's jN:

²16

dV = — k

-77- Ji²xĄ dx. o

Integrirt man dies von x = 0 bis x — R, so ergiebt sich das Selbstpotential zu

\²16

<c> In:

V — — Je-

oder kürzer, weil

M²

= (^-)²~R^² ist, \g! 9

13)

3 ₇ M2 -bh~R-

Die gleiche Arbeit in positivem Sinne wird geleistet, wenn eine unendlich vertheilte Masse M unter Einwirkung der gegenseitigen Massenanziehung sich zu einer Kugel vom Halbmesser R verdichtet. Diese bei dem Ballungsvorgange geleistete Arbeit setzt sich in dem Verhältnisse

424 mkg = 1 Wärmeeinheit

(s. 2. Theil, S. 334) in Wärmemenge um und ertheilt der Kugel eine entsprechend hohe Temperatur.

6. Satz von der Momentensumme der Bewegungsgrössen einer Massengruppe.

Der Punkt m einer Massengruppe habe im Zeitpunkte t eine Geschwindigkeit v; es wirke auf ihn eine Gesammtkraft K. Diese ertheilt dem Punkt eine Beschleunigung p — K:m, und wenn man noch p = du : dt setzt, so ist du die sog. Elementarbeschleunigung (s. 1. Theil, S. 24). Als Mittelgeschwindigkeit aus v und du erhält man dann nach Grösse, Richtung und Sinn die Geschwindigkeit v + dv nach Verlauf eines Zeittheilchens dt. Nun gilt nach 1. Theil, S. 101 auch für die Geschwindigkeiten eines Punktes der Satz der statischen Momente, so dass in Bezug auf eine beliebige Achse O das Moment der Mittelgeschwindigkeit gleich der Momentensumme der Seitengeschwindigkeiten ist. Nehmen wir die Achse vorläufig rechtwinklig zur Ebene von v und K, so dass sie sich in dieser Ebene als Punkt O projicirt, so ist nach Fig. 151

(v -f~ dv)rl = v-r + du• l, oder mit

du — p • dt — — - dt:

1)

(v -f dv) rj — v-r =

K-l

-dt und

m (v -f“ dv) r*! — ui -v-r

dt

= Kl.

Fig. 151.

Da nun ui-v nach S. 171 die Bewegungsgrösse des Punktes m im Zeitpunkte t ist, so kann man m-v-r das Moment der Bewegungsgrösse in Bezug auf die Achse O nennen, und ebenso m{v-\-dv)rl das Moment der Bewegungsgrösse nach dem Zeittheilchen dt. Die linke Seite der Gl. 1 ist also die Zunnahme des Momentes

der Bewegungsgrösse, getheilt durch das entsprechende Zeittheilchen dt, kann daher als die Geschwindigkeit der Zunahme des Momentes der Bewegungsgrösse bezeichnet werden, die rechte Seite ist das Moment der Kraft K, bezogen auf dieselbe Achse O.

Ist aber die Achse O nicht rechtwinklig zu der durch die Geschwindigkeit v und die Kraft K bestimmten Ebene, so lege man eine Ebene E rechtwinklig zur Achse O; projicirt man dann die Geschwindigkeit v und die Kraft K auf die Ebene E und bezeichnet die Projektionen mit w bezw. P, so gilt für diese beiden eine der Gl. 1 entsprechende Beziehung, die man kürzer schreiben kann

d(m - w - r)

\

Vi

n \

n\

\\ /

2)

dt

P-l.

Nach der Bedeutung des statischen Momentes (s. l.Theil, S.99/100) ist aber das Moment der wirklichen Geschwindigkeit v gleich dem Momente der Geschwindigkeitsprojektion w und das Moment der wirklichen Kraft K gleich demjenigen der Kraftprojektion P. Stellt man nun in Bezug auf irgend eine Achse O die Gl. 2 für

CO

jeden Punkt m der Massengruppe auf und zählt die Gleichungen zusammen, so kann man schreiben

d 2m wr

3)

dt

=2pi = m.

Die Momente der inneren Kräfte der Massengruppe heben sich, da diese Kräfte paarweise gleich und entgegengesetzt auf-treten, gegenseitig auf, so dass die rechte Seite der Gl. 3 mit der Momentensumme ÜD? der äusseren Kräfte gleichbedeutend ist; daher hat man den Satz:

Für irgend eine Massengruppe ist die Geschwindigkeit der Zunahme der Momentensumme der Bewegungsgrössen in Bezug auf irgend eine Achse gleich der Momentensumme aller äusseren Kräfte der Massengruppe in Bezug auf dieselbe Achse. Ist in Bezug auf eine Achse die Momentensumme der äusseren Kräfte Null, so ist in Bezug auf dieselbe Achse die Momentensumme der Bewegungsgrössen konstant, d. h.

2m wr = Const.

Ist die Massengruppe ein Körper, welcher sich derartig um eine feste Achse dreht, dass in einem Augenblicke sämmtliche Punkte übereinstimmende Winkelgeschwindigkeit co haben, so wird in Bezug auf diese Achse w = r-eo, daher nach Gl. 3:

d (cd 2mr²)

4)

5)

dt

m.

Die Summe der Produkte der Massentheilchen m und der Quadrate ihrer Abstände r von einer festen Achse nennt man nach 1. Theil, S. 267 das Trägheitsmoment

J — 2 m r²

des Körpers in Bezug auf die betreffende Achse. Daher wird Gl. 5:

d(co-J) _

6)

dt

Würde also bei einem ohne

Ist 9JÎ = 0, so wird gd-J konstant, äusseres Kraftmoment sich drehenden Körper das Trägheitsmoment sich ändern, so müsste die Winkelgeschwindigkeit w sich umgekehrt

ändern. Würde z. B. die Erde sich in Folge von Abkühlung zusammenziehen, so dass J sich verkleinerte, so müsste ihre Winkelgeschwindigkeit co grösser werden. Der Umstand, dass zufolge astronomischer Beobachtungen, soweit dieselben zurückreichen, die Zeit der Umdrehung der Erde sich nicht merkbar geändert hat, lässt darauf sehliessen, dass auch eine wesentliche Abkühlung der Erde in dieser Zeit nicht mehr erfolgt ist.

C. Bewegung starrer Körper.

I. Abhängigkeit des Trägheitsmomentes von der Richtung der Achse.

ln einem starren Körper werde ein Punkt A gewählt, durch diesen ein rechtwinkliges Achsenkreuz gelegt und ausserdem eine Achse AP, welche mit den Koordinatenachsen die Winkel cc, ß, y bildet (Fig. 152). Hat ein Massenteilchen m die Koordinaten x, y, z und von der Achse A P den rechtwinkligen Abstand r, so liefert es zu dem Trägheitsmoment J des Körpers in Bezug auf die Achse AP den Beitrag

Fig. 152.

mĄ9

-7T*

/

Y*

-----x—

dJ = w r².

Die Verbindungsgerade AQ von A nach dem Massenpunkt m bilde mit AP den Winkel #; dann ist

1)

r = A Q ■ sin d, mithin dJ = m • AQ? sin²# = m • ÄQ^ (1 — cos²#).

Hat AQ die Richtungswinkel alt ß{, yx, so gilt für den Winkel # zwischen den Geraden AQ und MP nach den Lehren der Analytischen Geometrie des Raumes (vergl. 2. Theil, S. 226) die Beziehung cos # = cos ct • cos a, + cos ß • cos ß, + cos y • cos yx.

A Qr = x² -f- y² 4- z² ; x — AQ • cos oll ; y = AQ ■ cos /?, ;    2 = A Q • cos;t    und somit

Ferner ist

A Q • cos i) = x cos a + y cos ß + z cos y.

Aus Gl. 1 wird hiermit

2) dJ = m{x² + y² + z² — tr²cos²a — y²cos²ß — z²cos²/

— 2 xy cos a • cos/? Da nun bekanntlich

2xz- cos a • cos y — 2 y z cos/?- cos/}.

cos² oi + cos² ß 4- cos²/ = 1, also 1 — cos²7. = cos²ß 4- cos²/,

so kann man x² — æ²cos²7 mit æ²cos²/5 + a?²cos²/ vertauschen, ebenso y² — y² cos² ß mit y² cos² 7 -f-?/²cos²/ und z² — 2²cos²/ mit z² cos² 7 4- z² cos² ß. Führt man dies in Gl. 2 ein und ordnet nach den Winkeln, so wird

3) dJ = m |cos² 7 (y² 4- z²) 4" cos¹ ß{x² 4" £²)    cos²/(a?² + y²)

— 2 xy- cos 7 • cos ß — 2 xz • cos 7 • cos / — 2 yz- cos/G cos/}.

Der rechtwinklige Abstand des Massentheilchens m von der Achse AX ist aber Vy¹ 4- 2², das Trägheitsmoment des Körpers' in Bezug auf die x-Achse also Jx = 2m(y² 4- z²); dasjenige in Bezug auf die /-Achse Jy — 2 m (x² 4- z²), in Bezug auf die z-Achse Jz — 2m(x² 4- /²). Bei einer über den ganzen Körper erstreckten Summirung der Gl. 3, bei welcher die Winkel 7, ß, y gemeinschaftlich sind, entstehen aus den letzten drei Gliedern noch die Ausdrücke

2mxy, 2 m x z und 2myz\

Diese Werthe heissen nach 1. Theil, S. 288 Centrifugalmomente und werden abgekürzt mit Cz, Cy und Cx bezeichnet, wobei man als Index diejenige Koordinate wählt, welche in der betreffenden Summe nicht vorkommt. Hiermit wird das Trägheitsmoment JAV des Körpers in Bezug auf eine Achse AP mit den Richtungswinkeln 7, ß, y :

4) JAr = cos² 7 • Jx 4- cos²ß■ Jy -f cos²/ • Jz — 2 cos 7 • cos ß• Cz — 2 cos 7 • cos / • Cy — 2 cos ß • cos / • Cx.

zc

Sind nun für einen gegebenen Körper und ein festes Achsenkreuz AX, AY, AZ die Trägheits- und die Centrifugalmomente Jx, Jy, Cg, Cy, Cx bekannt, so liefert Gl. 4 für jede beliebige, durch die Kichtungswinkel oc, ß, y bestimmte, durch den festen Punkt A gehende Achse AP das Trägheitsmoment JAP.

2. Trägheits-Ellipsoid und Central-Ellipsoid.

Die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J von den Winkeln a, ß, y lässt sich für sämmtliche durch den festen Punkt A des Körpers gehende Achsen zur Anschauung bringen mittels einer Ellipsoid-fläche. Trägt man auf der Achse AP eine Länge ab, welche mit J in einer bestimmten Beziehung steht, macht man nämlich

5)

AP =

ŸJ

(Fig 153),

so ergiebt sieb auf dem Fahrstrahl AP ein bestimmter EndpunktP; lässt man nun die Winkel a, ß, y alle möglichen Werthe annehmen, so ergiebt sich als geometrischer Ort des Endpunktes P eine krumme Fläche, deren Gestalt durch Gl. 4 bedingt sein Bezeichnet man die Ko-

Fig. 153.

Ai

[VC

muss.

ordinaten des Punktes P mit den grossen Buchstaben X, Y,

Z zum Unterschiede von den Koordinaten æ, y, z des Massentheilchens, so ist nach Fig. 153

zl A

-o

cos a =

AP

= X • ŸJ ; ebenso

cos/? = Y’V J; cos/ = ZA J.

Führt man diese Werthe in Gl. 4 ein, so entsteht in allen Gliedern der rechten Seite, weil in denselben nur die Quadrate der Kosinus oder die Produkte zweier Kosinus Vorkommen, der gemeinschaftliche Faktor J. Theilt man die Gleichung dann durch diesen gemeinschaftlichen Faktor, so verbleibt    t

6) 1 = Jx X* -f Jy Y² + Jz Z² - 2 Cz X • Y - 2 Oy X Z - 2 Gx Y ■ Z.

Diese Gleichung zweiten Grades nach X, Y, Z mit den Koëfficienten Jx, Jy, Jz, Cz, Cy und Cx bedeutet die Oberfläche eines dreiachsigen Ellipsoides, u. zw. mit dem Mittelpunkte, weil in ihr Glieder mit einfachem X, Y und Z nicht Vorkommen. Die Hauptachsen dieses Ellipsoides, des sog. Trägheits-Ellipsoides, fallen im Allgemeinen nicht mit den beliebig gewählten Koordinatenachsen zusammen. Da aber die Hauptachsen des Ellipsoides zu einander rechtwinklig stehen, so ist es stets möglich, den Koordinatenachsen solche Dichtungen zu geben, dass sie mit den Hauptachsen des Ellipsoides zusammenfallen. Und weil die auf die Hauptachsen bezogene Gleichung des Ellipsoides die drei letzten Glieder der Gl. 6 mit den Produkten zweier Koordinaten nicht enthält, so folgt, dass die Koëfficienten Cz, Cy und Cx dieser drei letzten Glieder zu Null werden, wenn man die Hauptachsen des Ellipsoides als Koordinatenachsen benutzt. Es giebt also durch jeden Punkt A eines Körpers ein rechtwinkliges Achsenkreuz, in Bezug auf welches die Centrifugalinomente zu Null werden; diese Achsen heissen die Hauptachsen des Körpers für den Punkt A. Die Trägheitsmomente in Bezug auf diese heissen Haupt-Trägheitsmomente; bezeichnet man sie mit Jj, J₂ und J₃, so wird die Gl. 4, S. 195, bezogen auf das Kreuz der Hauptachsen,

7)

Jap = J\ COS² a + J₂ COS² ß + Jz cos²/,

8)

. wenn die Achse AP mit den Hauptachsen die Winkel a, ß, y bildet. Die Gleichung des Trägheits-Ellipsoides wird in Bezug auf die Hauptachsen nach Gl. 6 (S. 196) einfacher 1 = JlX* + J₂ Y² + J₃Z²,

und es sind

l •/,' trĄ' Vj,

die Halbachsen des Ellipsoides; es entspricht also der kleinsten Halbachse das grösste der drei Haupt-Trägheitsmomente und umgekehrt. Kennt man diese, so ist nach Gl. 7 für jede andere durch den Punkt A gelegte Achse AP das Trägheitsmoment J zu berechnen.

Sind von den drei Haupt-Trägheitsmomenten zwei einander gleich, so wird das Träglieits-Ellipsoid zu einem Umdrehungs-Ellipsoide. Sind alle drei von gleicher Grösse, so wird das Träglieits-Ellipsoid zu einer Kugel. In diesem Falle sind die

Trägheitsmomente in Bezug auf alle durch den Punkt A gehende Achsen von gleicher Grösse, auch hat dann jede dieser Achsen die Eigenschaften einer Hauptachse.

Ist der Punkt A der Schwerpunkt des Körpers, so wird das Trägheits-Ellipsoid im Besonderen Central-Ellipsoid genannt. Kennt man die Schwerpunkts-Hauptachsen und deren Trägheitsmomente, so kann man nach Gl. 7 das Trägheitsmoment für jede Schwerpunktsachse SP berechnen und daraus wiederum das Trägheitsmoment für jede zu SP parallele Achse APV, welche von SP um eine Länge e entfernt ist, weil nach 1. Theil, S. 268 das Trägheitsmoment für eine beliebige Achse gleich ist dem Trägheitsmomente für eine dazu parallele Schwerpunktsachse + M-e².

Im 1. Theile, S. 290 wurden solche Drehachsen eines Körpers, für welche die Centrifugalkräfte sich vollständig aufheben, freie Achsen genannt. Die Bedingungen dafür waren, dass diese Achsen durch den Schwerpunkt gehen mussten, und dass ausserdem, wenn SX eine freie Achse sein sollte, und SY nebst SZ zwei andere zu SX und zu einander rechtwinklige Achsen waren, noch die Centrifugalmomente Ymxy — Gz und 2'mxz = Gy Null sein mussten. Für gewisse einfache Fälle wurden a. a. 0. solche freie Achsen nachgewiesen. Aus den vorstehenden Untersuchungen ergiebt sich nun, dass die Schwerpunkts-Hauptachsen eines Körpers die Bedingungen freier Achsen erfüllen, dass somit jeder Körper mindestens drei zu einander rechtwinklige freie Achsen hat.

Die im Vorstehenden entwickelten Eigenschaften des Trägheitsund Central-Ellipsoides rühren von Poinsot (geb. 1777 zu Paris, gest. 1859 daselbst) her (vom Jahre 1834); sie bilden Verallgemeinerungen der in Keck, Vorträge über Elasticitätslehre, S. 25 behandelten Eigenschaften der Trägheits- und Central-Ellipse für ebene Figuren.

3. Berechnung der Trägheitsmomente einiger Körper.

Ein Körpertheilchen vom Rauminhalte dx • dy • dz hat, wenn

y das Gewicht der Raumeinheit ist, die Masse

m — — • dx • dy • dz 0

und einen rechtwinkligen Abstand von der 2-Achse r = Vx² -f y², liefert daher zu dem Trägheitsmoment in Bezug auf die z-Achse den Beitrag

dJz = — dx • dy • dz (x² + y²) ;

somit ist der allgemeine Ausdruck für das Trägheitsmoment Jz eines Körpers überall gleicher Dichte

1)

Jz =

^SSSi.®² + y²)' dx ■ dy -dz.

Die Grenzen der Integrationen sind durch die Form des Körpers bedingt. Doch hat man in den meisten Fällen die allgemeine Gl. 1 nicht nöthig, wenn man bereits bekannte Ergebnisse zu Hülfe nimmt. Die Werthe der Trägheitsmomente drückt man schliesslich meist als Vielfache der Masse M aus; bei der Berechnung kann

y

man also den selbstverständlichen physikalischen Faktor — (Masse

der Raumeinheit) fortlassen, wenn man nachher' auch statt der Masse den Rauminhalt des Körpers einführt.

a) Trägheitsmoment eines rechtwinkligen Parallelepipeds von den Kanten a, ö, c in Bezug auf eine zu der Kante c parallele Schwerp unktsachse.

Eine zur ^-Achse rechtwinklige Scheibe des Körpers (Fig. 154) ist eine rechteckige Platte von den Seiten a und b und der Dicke dz. Eine Rechteckfläche von den Seiten a und b hat in Bezug auf die Mittellinien die Durchmesser-Trägheitsmomente li 12 a • b³ und ¹/i2b-a³, mithin das polare Trägheitsmoment

(s. 1. Theil, S. 271). Die Scheibe von der Dicke dz liefert daher zu Jz einen Beitrag

dJ~ = Y2 a ’ ^ (P² ~\r ß²) dz, also ist

’/i2 a • b (b² + a²)

Fig. 154.

o-

2)

j, = j2a-by+aî

•C=:Tj|(a² + i-²).

Ebenso ist

J,= A.M(&² + c²); J„ = Ajf.(œ2 + C2).

Sind von den drei Kanten zwei einander gleich, z. B. b = a, so wird Jz = i Jf-a²;

und das Central-Ellipsoid ein Umdrehungs-Ellipsoid. In diesem Fall ist jede in der Æ?/-Ebene liegende Schwerpunktsachse eine freie Achse mit dem Trägheitsmoment V¹² Af (a² + c²). — Für den Würfel ist mit b = c — a J~ = Jy = Jx — Vc Ma'¹, das Central-Ellipsoid eine Kugel und jede Schwerpunktsachse eine freie Achse.

3)

J* = Jy = j2M'(a2 + C²)    .

b) Haupt-Trägheitsmomente eines Cylinders, bezogen auf den

Schwerpunkt.

Da das Durchmesser-Trägheitsmoment einer Kreisfläche vom Halbmesser r die Grösse    hat

(s. 1. Th eil, S. 273), so hat eine kreisförmige Scheibe von dem Halbmesser r und der Dicke dz (Fig. 155) das Durchmesser-Trägheitsmoment V4 rAn-dz und ein auf die rechtwinklig zur Bildebene liegende Schwerpunktsachse SY bezogenes Trägheitsmoment

4) dJy —    dz + r^n- dz ■ z²,

weil z die Entfernung dieser beiden Achsen ist. Hiernach wird

Fig. 155.

dt

k-—r—>]

+ r²Jz 1 z²dz, oder

J-f

r ¹ 4    / , o 2    1 h* r°-Jüh( h“\

J„ = jr^h + 2r>x- g g = — b² + 3 )•

J,=

_LjŁ

Also ist

Ö)

Jy

i-k

*[•* + *)■

ln Bezug auf die s-Achse aber ist (nach 1. Theil, S. 272)

J, = Ę-r*.

2

Das Central-Ellipsoid ist offenbar ein Um-drehungs-EUipsoid. Dasselbe wird zu einer Kugel für

6)

Fig. 15G.

f\

k-

di

sd

OS \

2—h    — v²,

h² = 3 r², oder für /t =    3 = 1,73 -r.

Diese Höhe ist diejenige eines gleichseitigen Dreiecks von der Seite d = 2r (Fig. 156). Für einen Cylinder von diesem Höhenverhältnis ist das Central-Ellipsoid eine Kugel und jede Schwerpunktsachse eine freie Achse.

d. h. für

7)

K----d—¹-------->i

K-

c) Trägheitsmomente eines Kegels.

In Bezug auf eine zur Grundfläche parallele Achse AX durch die Spitze A des Kegels (Fig. 157) ergiebt sich das Trägheitsmoment einer kreisförmigen Scheibe vom Halbmesser x und im Abstande z von der Spitze gelegen, entsprechend der Gl. 4, zu

dJx — -^-x*3t- dz -f- x²3t- dz- z².

Hieraus wird wegen

Fig. 157.

---

TX

-a*-

x — — - z:

.y.

1 ^»4    /y* 2

dJx ⁼ "J⁻    - zt- A - dz -p j^2 • 3t• z^ - dz,

also

r2

Jx ~ hr ⁷¹

— -tH

r2

h²

- y*dz —

r²3t 11 r² \

\J V- ⁺ 7

h²

, oder

also mit

8)

r²3th = 3 fff: Jf(r²+ 4/t²).

20

Schwingt der Kegel als physisches Pendel um die #-Achse, so ist seine Schwingungslänge (nach 1. Theil, S. 279), weil der Schwerpunkt um ³/4 h von der Spitze entfernt ist,

9)

-wwiV⁺*ht>” (4 + S-

O¹ J

M • ³/4 h

Das Trägheitsmoment in Bezug auf eine mit AX parallele Schwerpunktsachse wird

10)

Ą = J₂ = JX — M- (³/4 h)², also /, = /, = m(~t* + |

£*)

ln Bezug auf die geometrische Achse des Kegels ist (nach 1. Theil, S. 273)

%Mr².

11)

Es wird Ą = J₂ = J₃ für r² + - = 2r², d. h. für A = 2r.

ln diesem Fall ist das Central-Ellipsoid eine Kugel und jede Schwerpunktsachse eine freie Achse.

(1) Haupt-Trägheitsmomente fiir den Schwerpunkt eines dreiachsigen Ellipsoides.

Fig. 158.

K------u------>j

Wird eine Kreisfläche vom Halbmesser v in einer Richtung gleichmässig gedehnt (Fig. 158), so entsteht eine Ellipse der Halbachsen v und u. Bei dieser Dehnung ändern sich der Flächeninhalt und das Trägheitsmoment in Bezug auf den Durchmesser 2 u in demselben Verhältnisse. Daher bleibt für dieses Trägheitsmoment die für die Kreisfläche entwickelte Formel J— */4 F-v² auch für die Ellipse gültig. Dies giebt, mit F = wv-x,

• V³.

/=?

Ebenso gilt für den Durchmesser 2 v

jv-u*,

also für das polare Trägheitsmoment

Jo =    U • V ('U² + V²) .

Schneidet man nun aus einem Ellipsoide rechtwinklig zur Achse A Z eine elliptische Scheibe von den Halbachsen u und v und der Dicke dz heraus (Fig. 159), so liefert diese zu dem Trägheitsmomente des Ellipsoides in Bezug auf die z-Achse einen Beitrag

dJz = —U‘V (u² + v²) dz.

Wird dies von z = 0 bis z = c summirt, so crgiebt sich das Trägheitsmoment des halben Ellipsoides, und für dasjenige des ganzen gilt das doppelte:

Fig. 159.

Lvi

(*

■f

— — || u • V (u² + V²) dz. ^ Ł 0

Kr i

und nach einfacher Ausführung

J~ —    • a • b • c (a² -f b²).

Da nun

M — a-b* c • Jt

ist, so folgt schliesslich

12)

j. = T(«² + i²).

u²

z²

— 1 oder ir

“W¹-J

à

ro! to

ebenso v²

C²

(c² — z²)² dz

Hiermit wird

n a -b a² -f- b2 2

Ebenso wird

13)

.!/

Jy = -y («² + c²);    «/* = -£- (ö² + c²).

Für die Kugel wird mit b = c = a

jx = Jy = Ji = jfa2 (s> i. Tb eil, S. 273).

¹

un sind u und z die Koordinaten eines Punktes des einen elliptischen Hauptschnittes von den Halbachsen a und c, daher

4. Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse.

Bei einem starren Körper ist das Trägheitsmoment in Bezug auf die Drehachse unveränderlich, daher wird aus Gl. 6, S. 193

dco dt

dco

Hierin ist — die Winkelbeschleunigung; bezeichnet man

Cv C

dieselbe mit e, so hat man die aus 1. Theil, S. 276 bekannte Gleichung für die ungleichförmige Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse

1)

9)7

£ = T’

wenn 9)7 die Momentensumme der äusseren Kräfte, / das Trägheitsmoment des Körpers, beide bezogen auf die Drehachse, bedeuten.

Auch kann man, wenn für irgend einen Zeitraum coj den Anfangswerth, co den Endwerth der Winkelgeschwindigkeit, 2K die Arbeit der äusseren Kräfte bedeutet, nach dem Satze der Arbeit schreiben (s. 1. Theil, S. 267)

2)

(«2-= 8,.

Die Berechnung der Widerstände, welche an der Drehachse eines Körpers angreifen müssen, um sie unbeweglich zu erhalten, ist auch schon im 1. Theile, S. 287 allgemein gezeigt worden. Hier sollen noch einige Beispiele dieser Art durchgeführt werden.

5. Widerstände der Achse einer schwingenden Glocke.

Die an der Achse einer Thurmglocke auftretenden Kräfte sind von besonderer Wichtigkeit, da sie nicht nur die Abmessungen

des sog. Glockenstuhles, sondern, wegen der hohen Lage des letzteren, häufig auch die Standsicherheit des Thurmes bedingen. Die zur wagerechten Drehachse (æ- Achse) der Glocke rechtwinklige yz-Ebene durch den Schwerpunkt & ist eine Symmetrieebene (Fig. 160); daher muss in ihr auch der Ge-sammtwiderstand Drehachse liegen und sich in zwei Hälften auf die symmetrisch angeordneten beiden Drehzapfen vertheilen. Aus diesem Grunde kommen bei dieser Aufgabe nur die Projektionen der Kräfte auf die yz-Ebene in Frage, wodurch die Untersuchung so vereinfacht wird, dass wir nicht auf die allgemeinen Gleichungen (1. Theil, S. 288) zurückgreifen, sondern die Aufgabe unmittelbar behandeln wollen.

Fig. 160.

IO

der

II

V'

M.g

/A

In einem beliebigen Zeitpunkte t weiche der Drehungshalbmesser A S = e des Schwerpunktes um den Winkel d von der Lothrechten ab, Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung seien co und £, die Koordinaten des Schwerpunktes 2/₀ = e • sin d ;

Einem Massentheilchen m der Glocke im Abstand r von der Drehachse und mit den Koordinaten

Fig. 161.

1)

= e-cosü.

/V

\Z

:-----y------>

y = rs\n(p-, z = r cos (p

(Fig. 161) entsprechen nach 1. Theil, S. 277 die Ergänzungskräfte • co~ und m-r-£, welche in den Richtungen der positiven y-

m • r

und z-Achse zusammen die Seitenkräfte liefern

• co² sin cp + m-v£ cos (p = in- y • co² -j- m- z-£ und m • r • co² cos w — m • r • £ sin cp == m • z • co~ — m • y • £.

in • r

Die wirklichen äusseren Kräfte II, V und Mg (Fig. 160) müssen nun nach dem Satze d’Alembert’s (s. 1. Theil, S. 139) der Gesammtheit der Ergänzungskräfte das Gleichgewicht halten, wenn V und 11 die Seitenkräfte des Gesammtwiderstandes der Drehachse sind. Hiernach wird

II = 2'm -y-co² + -m • z • £ und V = M-g + 2'm • z • oj² — 2'm • y • £, oder, weil in diesen Summen die Grössen oj² und e gemeinschaftliche Faktoren und ausserdem

2'my — MyQ — M e sin 0, 2'rnz — Mz₀ = Me cos d sind,

II == 6j2 . m• e • sin d + £ • M- e • cos d,

V — M g + co² • M> e • cos D — e • M'■ e • sin #.

Ist nun a der grösste Werth von #, entsprechend der höchsten Lage des Schwerpunktes mit der Geschwindigkeit Null, so hat sich der Schwerpunkt bis zu der beliebigen Zwischenlage um e • cos d — e • cos a gesenkt. Wenn man daher die Bewegungswiderstände der Glocke und auch die zu deren Überwindung aufzuwendende Triebkraft vernachlässigt, so ist nach dem Satze der Arbeit (S. 204)

2)

3)

4)

5)

6)

j

ü)² — = M-g-e (cos d — cos o)

und die Winkelbeschleunigung

7)

_ M-g-yo _ M‘ g • e • sin 0

./

./

g (cos d — cos a) = (cos D — cos a),

•^•sin# = sin$,

(o² = 2

Führt man noch mit J — M-i² den Trägheitshalbmesser i der Glocke ein, so ergiebt sich Me

Me

i²

und hiermit wird aus den Gl. 4 und 5

8)

c²

II — Mg -77 (3 sin d cos d — 2 cos a sin d),

i²

9)

= Mg (l + -^2 [3 cos²d — 2 cos a cos d — l\j .

Die Grösse des wagerechten Widerstandes II wird zu Null für '0 = 0, d. h. für die tieftse Stellung der Glocke und für

o. Widerstände der Achse einer schwingenden Glocke.

•vj

cos fi — ²/i cos ot, was nur bei ot >* 90⁰ Sinn hat. II wechselt selbstverständlich sein Vorzeichen übereinstimmend mit fi, ist also bald nach rechts, bald nach links gerichtet. Wichtig ist die Kenntnis des Grösstwerthes von iJ; diesen findet man leicht durch Nullsetzung der ersten Abgeleiteten von Gl. 8 nach fi, d. h.

3 cos² fi — 3 sin² fi — 2 cos fi cos ot = 0, woraus mit sin²# = 1 — cos²# schliesslich sich ergiebt:

-i/ 1 /cos a y

I 2 ⁺ \~G~I •

10)

cos fi, = — cos oc ± o

Die äussersten Werthe von V ergeben sich für

— 6 cos fi sin fi -f 2 cos a sin fi — 0 ; d. h. für sin# = 0, oder # = 0 entsteht Vmax, für cos #=73 cos a entsteht Vmin.

Die Einsetzung dieser Werthe in Gl. 9 liefert

= Mg[\ + 2 ~ [1 — cos a]j ,

11)

12)

1 min

___-U ~<d:

-»k-afr---,t.

À-Js

Für die Berechnung der Grösstwerthe von II und V ist besonders die Kenntnis der Grössen e und i erforderlich. Ist nun Fig. 162 der Querschnitt der Glocke und AX die Drehachse, so kann man sich die Glocke in sehr viele wagerechte Ringe zerlegt denken. Ein solcher Ring habe den inneren und äusseren Halbmesser xx bezw. oc₂, die Höhe dz, den Abstand z von der AX.

Dann liefert dieser Ring zum statischen Momente © den Beitrag

— (œ₂2 9

— a^²) X' dz • z;

das statische Moment der metallenen Glocke ist also

's* n:

• jt±\x₂² — xx²) z • dz

(y das Gewicht von 1 cbm Glockenmetall); dazu kommt noch das statische Moment des (gewöhnlich) hölzernen Helmes der Glocke,

welches sich bei gegebenen Abmessungen leicht berechnen lässt. Bezeichnet man dies mit ©Ä, so ist das ganze statische Moment der Glocke

13)

— Jt2(x₂² — Æ?!²) Z‘ dz + ©7i.

©7l wird übrigens c 0, da der Helm (Fig. 160) grösstentheils oberhalb der Achse AX liegt. Offenbar ist das Gewicht Mg = yn2 (x₂² — x{²)dz -f- Mh-g, wenn Mhg das Gewicht des Helmes bedeutet. Dann findet sich leicht

14)

ß — ~T7•

M

Das polare Trägheitsmoment des Ringes ist

l/2 (#₂⁴ — ^]⁴) n • dz,

das Durchmesser-Trägheitsmoment mithin ¹/4 (x₂⁴ —    ⁴) n- dz

und dasjenige in Bezug auf die AX:

l/4 (x₂⁴ — xx⁴) n• dz + (x₂² — xx²) n• dz • z². Daher wird

— xx ²)z²'dz^ + Jh,

Hiernach

15) Jx — ~ •    (x₂⁴ — x^) • dz -f- 2{x₂²

wenn Jh das Trägheitsmoment des Helmes bedeutet, findet man

Jx

16)

Beispiel: Der Geh. Finanzrath Kopeke zu Dresden hat im Jahre 1871 (s. Protokoll des sächsischen Ingenieur- und Architekten-Vercins vom 18. November 1871, S. i38) nach Zeichnungen und ausgefiihrtcn Glocken ermittelt, dass, wenn R den unteren Halbmesser der Glocke bezeichnet, etwa folgende Beziehungen stattfinden :

17)

e²

e = 1,225 R ; l¹ = 1,895 R²\ also    —r = 0,7919 ,

**

wofür rund 0,8 gesetzt werden möge. An einer vorhandenen Glocke lassen sich diese Wertho prüfen durch Beobachtung der Schwingungsdauer t und Herleitung der Schwingungslänge l aus dieser. Es ist nämlich für die Glocke als Pendel (nach 1. Theil, S. 279)

18)

dies muss

M• e

— ~ oder rund —

-²

1,225

«² sein (weil g nahezu = -² ist).

— 1,547 R ;

Nimmt man noch an, dass die Mittellinie der Glocke beim grössten Ausschläge sich um 20° über die Wagerechte erhebe, dass also a — 110° sei, so wird nach Gl. 10 mit cos = — 0,342 :

COS = —- 0,057 dt V 0,5 -f- 0,057 ¹ = 0,652 Und — 0,766 .

Dem entsprechen = 49° 18' mit sin &x — 0,758 , sowie i!/₁ = 130°, welcher letztere Werth hier aber keine Bedeutung hat, da er wegen oc = 110" nicht vorkommt. Mit \ — 49° 18' wird dann aus Gl. 8:

Hmax — Mg • 0,8 (3 • 0,758 • 0,652 -|- 2 • 0,342 • 0,758) = 1,60 • Mg .

Für # = 0, d. h. in der tiefsten Lage der Glocke entsteht (Gl. 11)

Vmax ⁼ Mg • (l d~ 2 • 0,8 [1 + 0,342]) = 3,U7 Mg ; für cos = V3 cos a — — 0,ii4, d. h. #.₂ = 96° 33' entsteht (Gl. 12)

Knin = Mg (1 — 0,8 [1 + 0,039]) = 0,17 Mg.

Bei heftigerem Läuten, d. h. grösserem Winkel a würde Vmin selbst < 0 werden können; bleiben die Verhältnisse der Glocke im Übrigen ungeändert, so erfolgt dies für cos cc < — 0,866 oder ot > 150°. Bei so grossem Schwingungswinkel würde Vmin <c 0 werden, d. h. die Glocke das Bestreben haben, aus den Lagern zu springen.

Wegen des starken Wechsels der Kraftgrössen empfiehlt es sich, die einzelnen Theile des Glockenstuhles so zu bemessen, dass die bei einer statischen Berechnung auf Grund obiger Kräfte entstehenden Spannungen <r ein Drittel der Spannungen an der Elasticitätsgrenze nicht überschreiten; für Stabeisen wäre etwa a = 500 ^g/qcm zu setzen. Die gedrückten Theile sollen mindestens 7 fache Sicherheit gegen Zerknicken haben.

Bezüglich der Bedingungen für ein gutes Anschlägen des Klöppels möge auf die Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover, 1877, S. 151 verwiesen werden.

6. Aus lothrechter Stellung umfallender Stab.

Der stabförmige Körper, dessen Schwerpunkt 5. in dem Abstand e vom unteren Ende A liegt (Fig. 163), sei um das untere Ende drehbar, ursprünglich nahezu lothrecht gestellt und falle um. In einer beliebigen Zwischenstellung, in welcher AS mit der Lothrechten den Winkel $ einschliesst, ist nach S. 204 die Winkelbeschleunigung Mge sin$ _

Fig. 1G3.

-v

und für die Winkelgeschwindigkeit œ gilt

co¹— = Mge (1 — cos#), also

1)

vf H/s

///»

//

tc-

Die Widerstände II und V, welche der untere Drehpunkt A im Sinne der Fig. 163 leisten muss, bestimmen sich in der bei dem vorigen Beispiele gezeigten Weise leicht zu

II= M■ e • £ • cos ß — M • e • o>² sin $ und V = Mg — Mee sin# — Meto² cos#, oder mittels der Gl. 1 und 2 zu

3)

a²

4)

II = Jf^-Tg-sin fl(3 cos# — 2) und Mg fl — 4^ |1 + 2 cos $ — 3 cos² $ ] j.

Der Werth von i/ ist zu Anfang, d. h. für # = 0, ebenfalls Null; er wird wiederum zu Null für cos 0 — ²/s, d. h. für d = 48° (vergl. 1. Theil, S. 74). Für i) < 48° ist cos# > ²/3 und //>- 0, d. h. (Fig. 163) nach derjenigen Seite gerichtet, nach welcher die Stange umfällt. Es hat also, wenn die Stange nacli rechts umfällt, das untere Ende derselben anfänglich das Bestreben nach links auszugleiten. Zwischen den beiden Nullwerthen von II liegt ein Maximum für einen Werth von cos #, den man leicht durch Nullsetzung der ersten Abgeleiteten von Gl. 3 nach # ermittelt zu

Vł ⁺ (i) ⁼

0,8933 mit # = 26° 40

~Q +

(ein cos # < 0 hat hier keinen Sinn)-; der entsprechende Werth von II selbst ergiebt sich dann zu

cos # —

c²

Umax = Mg -p -0,305.

Für # >> 48° ist cos#<c²/3 und II <c 0; es hat nunmehr das untere Ende der Stange das Bestreben, nach rechts auszugleiten. Für # = 90°, d. h. beim Aufschlagen der Stange auf den wagerecht gedachten Boden ist

II = — 2 M g

c²

i² '

Was die Grösse des lothrechten Widerstandes V anlangt,

so ist zu Anfang, d. h. für # = O, V — Mg. Mit wachsendem # nimmt V zunächst ab. Ein Kleinstwerth von V ergiebt sich leicht für cos # = ’/3 oder # — 70° 30', nämlich

= Mg(\

4 min

4 e²

3 i²)'

to-

Dann nimmt V wieder zu, und für v = 90° wird

c²

gleicli-

Der in vorstehenden Gleichungen auftretende Werth bedeutend mit — (vergl. S. 208, Gl. 18), wenn l die Schwingungs-

i²’

länge des am unteren Ende A aufgehängten Stabes ist, richtet sich nach der Massenvertheilung des Stabes. Ist die Masse gleichmässig über die Länge a vertheilt, so ist

, ;² =

Ö CM

CM ' CO

é²

a, daher

womit man für 11 und V leicht bestimmtere Ausdrücke aus vor

stehenden Gleichungen erhält. Dieselben Werthe gelten offenbar für eine rechteckige, lothrecht aufgestellte, um die Unterkante drehbare Platte von gleichmässiger Gewichtsver-theilung.

Fig. 104.

.i

Ist die Anordnung so getroffen, dass durch einen Vorsprung oder eine loth-reclite Wand wohl ein Ausgleiten des unteren Endes nach links, nicht aber nach rechts verhindert wird (Fig. 164), so gelten die vorstehend entwickelten Gleichungen nur bis zu dem Drehungswinkel 0 — 48⁰ und vermöge des in Wirklichkeit meist auftretenden Reibungswiderstandes noch um ein gewisses Mafs darüber hinaus. Bei weiterer Annäherung des Körpers an den wagerechten Boden kann die erforderliche, jetzt negative, d. h. nach links gerichtete Kraft H durch die Reibung nicht mehr geliefert werden, und es findet nun ein Ausgleiten des unteren Endes der Stange nach rechts hin wirklich statt, so dass der umgefallene Körper sich schliesslich in einer Lage AlBl auf dem Boden findet. Weiteres s. S. 233.

7. Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt.

Ein Körper drehe sich unter Einwirkung äusserer Kräfte um einen festen Punkt A, dann lässt sich nach S. 23 seine Bewegung

2)

CC

CM

in jedem Zeitpunkte zurückführen auf die Drehung um eine durch den Punkt A gehende augenblickliche Drehachse AP. Es wird nun

1.    der Körper seine Lage im Raume ändern;

2.    die augenblickliche Drehachse ihre Lage sowohl im Raume wie auch gegen den Körper ändern;

3.    wird auch die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit oj eine Grössenänderung erfahren.

Die drei Hauptachsen des Körpers für den Punkt A seien bekannt; dieselben liegen gegen den Körper fest, werden daher ihre Richtung im Raum ändern.

Wir denken uns durch den festen Punkt A (Fig. 165) drei feste Achsen gelegt, die so gewählt sind, dass sie im Zeitpunkte t mit den Hauptachsen zusammenfallen.

Die diesem Zeitpunkt entsprechende Winkelgeschwindigkeit oj kann nach S. 35 (genau wie eine Kraft) zerlegt werden in die Seitengeschwindigkeiten

Fig. 165.

\p A

0}

(p = oj • COS a ;

X = w • cos ß ; ip = oj • cos y

Ÿ

um die Hauptachsen; a, ß, y seien die Richtungswinkel der AP; ferner seien J{, J₂, J₃ die drei Haupt-Trägheitsmomente, 9PX, SDÎ* die Momentensummen der äusseren Kräfte in Bezug auf die Hauptachsen.

Um die Beziehung zwischen der Drehbewegung um den festen Punkt A und den äusseren Kräften zu erhalten, wendet man den Satz von der Momentensumme der Bewegungsgrössen an. Daher bestimmen wir diese Momentensummen zunächst für den Zeitpunkt t, sodann für den Zeitpunkt t + dt und setzen die auf die Zeiteinheit bezogenen Zunahmen dieser Grössen gleich den entsprechenden Kraftmomenten.

Um die Momentensumme der Bewegungsgrössen in Bezug auf die x-Achse zu finden, bedenke man, dass ein Massenpunkt m (Fig. 166) mit den Koordinaten x, y, z und einem Abstand rj von der x-Achse wegen der Winkelgeschwindigkeit q> um die x-Achse eine Geschwindigkeit (p • rr mit dem Hebelarme rx, also ein Moment der Bewegungsgrösse m-cp-rß¹ hat. Ist r₂ der rechtwinklige

-x

'X

rp

Abstand des Massenpunktes von der ?/-Achse (Fig. 167), so entspricht der Winkelgeschwindigkeit^ um die?/-Achse eine Geschwindigkeit X'r₂, welche sich leicht in X'z und —X'x im Sinne der «- bezw. z - Achse zerlegen lässt. Ebenso erhält man wegen der Winkelgeschwindigkeit xp um die z-Achse die Seitengeschwindigkeiten

Fig. 166.

Fig. 167.

Fig. 168.

f-

-y->

X.z.

\ft.X

i \s

i n

yIjc

— xp -y und -f y)-x im Sinne der «- bezw. der y-Achse. Zu dem Momente der Bewegungsgrösse in Bezug auf die x-Achse liefern die parallel der «-Achse gerichteten Seitengeschwindigkeiten keinen Beitrag; es • kommen daher, abgesehen von dem schon erledigten Beitrage mep-r₁² der Winkelgeschwindigkeit cp, nur noch die beiden in Fig. 168 angegebenen Geschwindigkeiten mit den Momenten — %• x • y und — xp • « • z in Frage.

Sonach wird die Momentensumme der Bewegungsgrössen in Bezug auf die «-Achse im Zeitpunkte t:

2(mcp • rx²) — 2’(m • %• « • y) — U(m • xp • «• z).

Da nun die Winkelgeschwindigkeiten cp, pp, xp für diese Summen konstante Faktoren sind und da    das Trägheitsmoment Jx

bedeutet, so wird obige Momentensumme

Ą • cp — pplmxy — xp2Jmxz.

Weil aber in Bezug auf die Hauptachsen die Centrifugalmomente gleich Null sind, so vereinfacht sich obige Momentensumme zu

Jrcp.

Ebenso werden für den Zeitpunkt t die Momentensummen der Bewegungsgrössen in Bezug auf die anderen beiden Achsen

ą-x und

Zur Ermittelung der entsprechenden Momentensummen für den Zeitpunkt t + dt darf man nun nicht etwa in dem Ausdruck Jx - cp

einfach cp mit cp -f d cp vertauschen. Wohl ist Ji {cp -f- dcp) die Momentensumme der Bewegungsgrössen in Bezug auf die erste Haupt

achse; jedoch ist zu bedenken, dass der hier in Frage kommende Satz in Bezug auf Achsen unveränderlicher Richtung, z. B. die festen Koordinatenachsen, gilt, dass die Hauptachsen des Körpers sich aber während der Zeit um gewisse, wenn auch unendlich kleine, Winkel gegen ihre ursprüngliche Richtung, d. h. gegen die festen Koordinatenachsen, verdreht haben. Es müssen

daher zunächst die Winkel bestimmt werden, welche die Hauptachsen im Zeitpunkte t + dt • mit der x- Achse ein-schliessen.

Fig. 160.

1K*

K,/!

//

//

Zu dem Ende denken wir uns auf den Hauptachsen, welche im Zeitpunkte t noch mit den Koordinatenachsen f{ zusammenfallen, die Längen AG — AU — AK— 1 abgetragen *rL (Fig. 169).

Vermöge der Winkelgeschwindigkeit x um die H V bewegt sich G nach Cr₁ um GG₁ — X'dt. Vermöge der Winkelgeschwindigkeit ip um die AZ bewegt sich G um GG₂ = xp‘dt. Die Folge beider Geschwindigkeiten ist eine Verrückung des Punktes G nach 6r₃, d. h. eine Verdrehung der ersten Hauptachse um den Winkel

/•

's

G A Gz = dtVy² + ip².

Die zweite Hauptachse schliesst Anfangs mit der x- Achse den

71

Winkel ein. Dieser Winkel wird nicht geändert durch die

Drehung um AX und um A Y, sondern nur durch die Drehung um A Z, so dass im Zeitpunkte t -f dt die zweite Hauptachse mit

7t

der x- Achse den Winkel II₃ A G =    + xp-dt einschliesst.

Ù

Der Winkel der dritten Hauptachse gegen AX wird nur durch die Winkelgeschwindigkeit y verändert und geht in

— /■dt

K, AG =

über. Multiplicirt man die Momentensummen der Bewegungsgrössen in Bezug auf die drei Hauptachsen für den Zeitpunkt t + dt, also

J\ {<P + dtp), Ą (X + d%), J₃{tp + dtp),

mit den Kosinus der soeben bestimmten Winkel, so bekommt man durch Zusammenzählen die Momentensumme in Bezug auf die x-Achse für den Zeitpunkt t dt. Dies ergiebt:

Ji (y + d(p) • cos {dtVx² + tp²)

+ Ą (X + dz) • cos (y + tp • dt)

Weil aber

cos

+    + dtp) • cos —Z'dtj.

cos (dt'Vz² + W²) — 1*

+ tp • dt) = — sin (tp • dt) —

dt) = sin (/• dt) = %-dt

— tp • dt,

/ Jt

cos \£-X-

ist, so entsteht

J{(cp + dcp) — J₂(z + d%) tp • dt + J₃(tp + dtp) X' dt.

Zieht man hiervon ab die anfängliche Momentensumme J{ (p{, vernachlässigt die Unendlichkleinen zweiter Ordnung und theilt schliesslich durch dt, so ergiebt sich

d(p

— h'X'W + Ą-Z-W

' dt

als Zunahme der Momentensumme der Bewegungsgrössen in Bezug auf die x- Achse für die Zeiteinheit, welche nach S. 193 gleich der Momentensumme 9J?» der äusseren Kräfte ist. Somit hat man die Gleichung

1)

Ji-

d(p

dt

- (J, - Ą)x-f = 2»,.

Ebenso folgt für die anderen Achsen

2)

Ay

dt

— (J?l — J{) xp • cp = Wc

3)

dtp

— (/j —J₂)'(p-X= wiz.

J>-dt

Dies sind die von Leonhard Euler im Jahre 1758 entwickelten Gleichungen für die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt.

8. Bewegung des Kreisels.

Fig. 170.

Unter einem Kreisel denken wir uns einen Körper, bestehend aus einer Achse mit einem darauf befestigten Schwungringe. Dem Körper werde eine bedeutende Winkelgeschwindigkeit cpQ um seine zunächst festgehaltene Achse ertheilt; setzt man ihn dann in beliebig schiefer Lage mit dem unteren Ende A der Achse in ein Kugellager,

Fig. 171.

, welches den Punkt A (nahezu) unbeweglich macht, oder befand er sich schon, bevor er in Drehung versetzt wurde, in einem solchen (Fig. 170), so fällt der Kreisel unter Einwirkung der Schwere nicht etwa um, wie es ohne die Drehung geschehen würde, vielmehr beschreibt die geometrische Achse des Kreisels bekanntlich eine Kegelfläche, deren Achse die durch A gelegte Lothrechte ist, wobei aber die Leitlinie nicht ein Kreis, sondern eine von zwei koncentrischen Kreisen eingeschlossene, epicykloidenartige Kurve ist.

Dies ergiebt sich wie folgt:

Die geometrische Achse ist offenbar eine Hauptachse des Kreisels für den Punkt A und werde zur x-Achse ge-nommen. Jede durch A rechtwinklig zur x-Achse gelegte Gerade ist ebenfalls eine Hauptachse. Wählt man die durch AX bestimmte lothrechte Ebene zur xz-Ebene, so liegen hierdurch die Achsen AZ und A Y fest; letztere ist in Fig. 171 rechtwinklig zur Bildebene zu denken. Die Lothrechte durch den Punkt A werde

AV genannt; sie scliliesse mit AX den veränderlichen Winkel 0 ein. Da wegen der regelmässigen Gestalt des Kreisels das Trägheits-Ellipsoid für den Punkt A offenbar ein Umdreliungs-Ellipsoid, so ist *7g J2 .

Die Winkelgeschwindigkeiten sind im Zeitpunkte t — 0:    (p₀, Xo = 0, xp₀ = 0,

TG

xp.

im Zeitpunkte t:

Die Kraftmomente rühren, wenn man die Reibung im Kugellager vernachlässigt, nur vom Gewichte her; dann ist 2W* = 0;    9)?(/ = M-g- esin#; 90?^ = 0.

Hiernach wird aus den Euler’schen Gleichungen 1 bis 3, S. 215/6:

1)

dop

dt

= 0;

2)

dX

J₂ 7

² dt

— (J₂ — Jx)\p'Cp = Mgesin 0 ;

3)

dxp

— (Ą — J₂)<P-X = ⁰ ■

J>dt

Bei der Auflösung dieser Gleichungen folgen wir im Wesentlichen Schells Theorie der Bewegung und der Kräfte, 1. Aufl., S. 831. Nach der ersten Gleichung ist unveränderlich, d. h.

4)

<P = 9V

Aus den Annahmen ergiebt sich unmittelbar

5)

dû

y = —.

A dt

Multiplicirt man Gl. 2 mit %-dt — dû und Gl. 3 mit xp • dt entsteht

so

J₂%-dx — (Jo — Ji)    dt = Mge sin û-dû,

J₂ xp • dxp — (Jj — J₂) (p ■ %• xp • dt = 0. Daraus wird durch zusammenzählen:

Jo (x • d/ -f- xp -dxp) = Mg e sin û -dû.

Integrirt man dies zwischen den Grenzen

xp = 0,

x = o,

3)

û — ü₀ und so wird

Jo (x² + xp²) — 2 Mge (cos ü₀ — cos û).

X,

xp

û,

In Bezug auf die drei Koordinatenachsen, welche im Zeitpunkte t mit den Hauptachsen zusammenfallen (vergl. S. 212), ist die Momentensumme der Bewegungsgrössen bezw.

J\<p = J\<pQ\ Jï'X', 'h ' XP •

Projiciren wir diese Strecken auf die Lothrechte AV, so ist die Summe dieser Projektionen die Momentensumme der Bewegungsgrössen in Bezug auf AV. Dies giebt

Jx (p₀ • cos 0 -j- J₂ ip • sin d.

Dieser Werth muss, weil M-g\\AV, d. h. das Kraftmoment in Bezug auf AV Null ist, nach S. 193 unveränderlich, also gleich seinem Anfangswerthe sein. Sonach wird

7)

Jx 9?₀ cos # -f J₂ xp • sin i) = Jx q>₀ cos i)₀ , oder Jx 9?₀ (cos #₀ — cos fi) — J₂xp- sin .

Aus den Gl. 6 und 7 lässt sich ip entfernen und % berechnen, nämlich

8)

”|/ (cos $₀ — cos 0) ^2 Mg e

J₂

sin² 0

V.j₂

Auf der rechten Seite dieser Gleichung ist d die einzige Veränderliche. Da nun % nicht imaginär werden kann, wird sich 0 nur innerhalb solcher Werthe ändern können, für welche der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen positiv bleibt; diejenigen Werthe von d, welche jenen zu Null machen, sind Grenzwerthe. Einer dieser Grenzwerthe ist nach Gl. 8 offenbar der Anfangswerth 0 — 0₀. Ein anderer Grenzwerth i)x ergiebt sich, wenn man

2 M-g-e —

setzt, wofür man wegen sin²^ = 1 — cos²^ auch schreiben kann:

^ ^ f ⁶ -~2 (1 — COS² = cos &₀ — cos .

<Po

Der Einfachheit wegen sollen im Weiteren nur solche Fälle berücksichtigt werden, in denen die anfängliche Winkelgeschwindigkeit 9?₀ sehr gross oder, bestimmter ausgedrückt, das ursprüngliche

J~ ^    J~

¹ V*- sehr gross im Vergleiche mit Mg-e-y-

J\

ist; dann wird die linke Seite der Gl. 9 sehr klein, mithin auch die rechte; d. h. die Grenzwerthe #₀ und ïïx sind nur wenig von einander verschieden, oder & ändert sich nur wenig.

./,²

Jo

<Po

2 COS $0 — COS l)!

sin²

9)

Arbeitsvermögen

Wir schreiben daher

10)

d = d₀ + ô,

worin für grosse Drehgeschwindigkeit des Kreisels ô ein kleiner Winkel ist. Hiermit wird cos d = cos (d₀ + Ô) = cos d₀ - cos ô — sin d₀ • sin ô

— cos d₀ — ô • sin dQ oder

11)

cos d₀ — cos d — ô - sin d₀.

Vertauscht man noch annäherungsweise sin d mit dem Anfangswerth sin dQ, so wird aus Gl. 8 unter Benutzung von Gl. 11:

12)

• e • <3 • sin d₀ —

J-2

T^O²⁰²-

Nach Gl. 5 und 10 ist

13)

dd

dô

% dt dt

dô

Der grösste Werth öl von ö ergiebt sich für X = 0 nach Gl. 12 zu

= 0, also für

14)

2 Mg • e J₂

9^0² «A

2 sin d₀ =    — d₀ •

also

Um zu erfahren, innerhalb welcher Zeit d von d₀ in d ô von 0 in öj übergeht, muss man aus Gl. 13 und 12

dô

dt = —

dô

2 Mg -e-J₂- sin d₀

entnehmen und integriren. Setzt man zur Abkürzung vorübergehend Mg • e • J-2 ■ sin dQ _

<P 0

— ó²

so wird

dt =

Jo

dô

-<Po V~2 aö — ó²

Nun ist aber

rfarc cos (l ~) —

dl--

f-

dö

dö

fl

r a

•V<Po

V~2 aô — ô*' arccos ^1 —    + O,

<5²

also

oder

15)

^2

arc cos 1 —

«V<?0²

M(j • c • ,/₂ • sin

Rechnet man die Zeit von dem Augenblick an, in welchem 5 = 0 also # = #o war, so wird

d. h. 0=0.

0 — ——— arc cos 1 + O

Löst man Gl. 15, mit 0=0, nach ô auf, so entsteht * Mg • g • ./₂ • sin •%

Diese Gleichung giebt ô als /(£); jedes Mal wenn ~(p₀t sich um

'h

2 JT geändert hat, kehren für ô dieselben Werthe wieder; in der Zeit _ 2 JZ J.2 ~ -<hĄ

wird also der Zwischenraum von #₀ bis ^ ein Mal hin und her durchlaufen.

Die Achse AX des Kreisels beschreibt / also um die Lothrechte A V einen Kegel ' i mit einer nach Fig. 172 geformten Leitlinie. — Fig. 172 sei der Grundriss der Bahnlinie des Kreiselschwerpunktes S.

Die Grösse des Ausschlages CD in radialer Richtung ist durch <5X (Gl. 14) gegeben, die Zeit zum Durchlaufen eines Bogens JIDE durch Gl. 17. Um auch noch die Länge BCE eines Bogens zu finden, müssen wir die Winkelgeschwindigkeit w berechnen, mit der sich die Ebene VA X(Fig. 171)

16)

17)

1 — cos

Jx

Fig. 172.

Ac)

I)

8. Bewegung des Kreisels.

ä2i

um A V dreht. Diese erhält man, indem man die Winkelgeschwindigkeit um die Achse AZ zerlegt nach den Richtungen A V und AX (Fig. 173), dann ist die in erstere Richtung fallende Seitengeschwindigkeit der gesuchte Werth

Fig. 173.

0) =

sin fr ’

Nun ist nach Gl. 7:

IJ) ---

J\

J₂

•9>0

(cos fr₀ — cos fr)

sin fr

also mittels Gl. 11, wenn man zugleich nach' S. 219 wieder sin fr mit sin fr₀ vertauscht,

Jl

<p₀'à, mithin

/ ' ' (0

18)

œ = -^p₀-

<3

sin fr₀ '

Da nun (3 von Null bis <3t schwankt, so ist auch co zwischen Null und einem Grösstwerthe (für <5 = (3L) veränderlich. Einen Mittelwerth von co erhält man, wenn man für (3 den Mittelwerth

\ Mg-e J₂ ,

(Gl. 14) einsetzt, nämlich

19)

_ Mg • e

-h Po '

2 it J₂

In der Zeit

(Gl. 17) dreht sich die Ebene VAX also um den Winkel

rj = co •    = 2 TT

wofür man nach Gl. 14 kürzer

Mg -e Ą

Po² jr

20)

^    ⁷¹ sin fr₀

schreiben kann. Auf eine Umdrehung der Ebene VA X kommen sonach

21)

= 2 sin^o

i)    (\

Schwankungen der Kreiselachse.

Die Zeit einer vollständigen Drehung der Ebene VAX beträgt

Mg • e ’

wächst also verhältnisgleich mit der Winkelgeschwindigkeit cp₀ des Kreisels und ist unabhängig von dem Winkel #₀. Bei sehr grosser Drehgeschwindigkeit cp₀ des Kreisels ist nach Gl. 14 der Winkel nur klein, n (Gl. 21) gross und t₂ (Gl. 22) gross, d. h die Kreiselachse beschreibt sehr langsam einen Kegel mit vielen aber kleinen Rippen, so dass der Kegel fast wie ein Kreiskegel erscheint. Wird die Drehgeschwindigkeit des Kreisels um seine Achse in Folge von Reibung und Luftwiderstand allmählich kleiner, so werden die Schwankungen öj grösser, bis der Kreisel schliesslich die Grundebene berührt und umfällt oder sonst in seiner Bewegung gestört wird, und die Zeit t₂ einer Drehung der Ebene VAX verkleinert sich. Der Sinn der Winkelgeschwindigkeiten co und cp{) (Gl. 19) stimmt in Bezug auf den Drehpunkt überein; ist cp₀, von oben betrachtet, rechts drehend, so gilt dies auch für co, und umgekehrt.

Über die Form der Kurve BDE (Fig. 172) erhält man noch bestimmteren Aufschluss, wenn man mittels der Gl. 12 und 18 bildet X¹ 2 Mg • c • sin³ *% • ./₂

= oo, d. h. die Kurve BDE ist bei B und

22)

2 7T,

CO²

Für d = 0 wird

co²

Z²

E radial; für ö — c\ (Gl. 14) aber wird ^ = 0, d. h. die Kurve

co¹

BDE ist bei D rechtwinklig zu AD. Weil AC = c-sin/V₀, so ist BCE = A C- g — e - ôx- 7T (Gl. 20). Betrachtet man annähernd CD als = e•    , so passt auch das Verhältnis BCE’-CD = jc

auf eine sphärische Epicykloide, welche beim Rollen eines spitzen Kegels auf dem äusseren Mantel eines stumpferen entstehen würde.

Fig. 174.

!H

;---0.04!)-----

l'fï—r

Beispiel: Ein Kreisel (Fig. 173) bestehe aus einem Schwungringe von 0,o4r.m mittlerem Halbmesser, der so schwer ist, dass gegen seine Masse diejenige der Achse und der Radarme vernachlässigt werden kann. Die Spitze liege um 0,o-2m unter der Mitte

Cr

8. Belegung des Éreiseis.

des Schwungringes und sei in einem glatten Grübchen drehbar, so dass man ihre Bewegung als Drehung in einem Kugellager ansehen kann. Dann ist annähernd

Jx = M • 0,04.1² = 0,oo2 • M,

0,ooi4 • M,

e = 0,02.

Für diesen Kreisel ist die Schwankung

_ 2 M ■ 9,81 • 0,02 • 0,ooi4 M ■ sin ??0 9>₀² • 0,oo2² • M'¹

die Zeit einer Hin- und Herschwankung

(Gl. 14)

= 137

sin //₀

(Gl. 17)

0,0014    _ 4,4

0,002 • (pü

die Zeit eines Umlaufes der Kreiselachse um die Lothrechte

0,002

9,81 • 0,02

(Gl. 22)

t.₂ = 2 -

f»0 = 0,064 <pö ;

die Zahl der Schwankungen der Achse während eines Umlaufes, d. h. Zahl der Rippen des Kegels

(Gl. 21)

Um die Achse des Kreisels sei eine Schnur gewickelt; die Mitte derselben sei von der Mittellinie der Achse um 4 mTn entfernt, so dass eine Umwickelung einer Fadenlänge von rund 25 ,nm entspricht. Wird an dem freien Ende des Fadens mit möglichst gleich bleibender Kraft gezogen und zugleich die (hohle) Achse des Kreisels mittels eines hineingesteckten Stiftes festgehalten, so erfährt der Kreisel eine gleichförmig beschleunigte Drehbewegung. Werden bei dieser in einer Zeit von drei Sekunden 800Fadenlänge abgezogen, so ist die Endgeschwindigkeit des Fadens (nach 1. Theil, S. 12, Gl. 4, mit c = 0)

— 533 mm/s>,

2 • 800

entsprechend einer Drehgeschwindigkeit von

533

--r- = 21

25

Umdrehungen in der Sekunde, oder einer Winkelgeschwindigkeit

<p₀ — 21 • 2 Tr = 132 .

Die Winkelbeschleunigung dieser Antriebbewegung ist

Hat der Kreisel ein Gewicht Mg = 0,3 kg, so ist

0,3

9,81

• 0,oo2 ;

somit erfordert e ein Moment

SU1 = £ ■ J, = 0,OO27 mkg }

also an einem Hebelarme von 0,004 m eine Zugkraft K — 0,7 kg. Aus çr₀ = 132 folgt die Zeit einer Hin- und Herschwankung

4,4

<1=Î32 = 0’“'S

die Zeit eines Umlaufes der Kreiselaclise t₂ = 0,oo4 • 132 = 8,4 s- ; die Zahl der Rippen eines Kegels n — 0,015 • 132² = 261,4. Einer Schrägstellung der Kreiselachse um den Winkel #₀ =10° mit sin #₀ = 0,n entspricht dann

= 0,ooi4 = 5 '.

137 • 0,n

Ist die Winkelgeschwindigkeit    nur halb so gross, wie vorstehend ange

nommen, so wird doppelt so gross, d. h. 0,o6e s- ; t, halb so gross, d. h. 4,2s- ; die Zahl n der Rippen vermindert sich auf ein Viertel, d. h. auf 05,4; während Ą auf das Vierfache, nämlich auf 20' zunimmt.

132 ²

¹

¹ = 2g-^z (1 — cos #).

9. Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt ohne Einwirkung bewegender Kräfte.

Der vorstehend behandelte Fall der Kreiselbewegung wurde dadurch verhältnismässig leicht lösbar, dass das Trägheits-Ellipsoid ein Umdrehungs-Ellipsoid war, dass ausserdem die Winkelgeschwindigkeit (p₀ sehr gross, die anderen beiden %₀ und y;₀ aber gleich Null vorausgesetzt wurden und dass die Achse des resultirenden Kräftepaares in eine Hauptachse fiel. Ohne diese vereinfachenden Annahmen wird die Aufgabe, die Drehbewegung eines Körpers um einen festen Punkt zu untersuchen, meist so schwierig, dass wir von deren allgemeiner Behandlung hier absehen.

Wirken auf den Körper ausser dem Widerstande des festen Punktes keine äusseren Kräfte, sind also die Drehmomente in Bezug auf alle durch den festen Punkt zu legende Achsen gleich Null, so nehmen die Euler’schen Drehgleichungen (S. 215/6) allerdings die etwas einfachere Gestalt

drp

—    2    ^3) X ' V1

dt

d% ₌

dip

an.

Jy dt

Die Entwickelung dieser Gleichungen, welche Poinsot im Jahre 1834 gezeigt hat, soll hier nur in ihren Ergebnissen beschrieben werden.

Die Drehbewegung des Körpers um den festen Punkt A ohne Einwirkung von Kraftmomenten geschieht hiernach in der Weise, dass das auf den festen Punkt bezügliche Trägheits-Ellipsoid des Körpers eine Rollbewegung auf einer Ebene ausführt, die eine unveränderliche Lage hat. Die Lage dieser sog. unveränderlichen Ebene hängt von den anfänglichen Winkelgeschwindigkeiten <p₀, %₀ und Vo um die Hauptachsen ab. Der Fahrstrahl, von dem festen Punkt A nach dem Berührungspunkt O zwischen der Ebene und dem Ellipsoide gezogen, ist die augenblickliche Drehachse, und zugleich ist die Winkelgeschwindigkeit ca um diese Achse mit der Länge des Fahrstrahles AO verhältnisgleich. Geschieht die anfängliche Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit o um eine der Hauptachsen des Trägheits-Ellipsoides, so ist der Fahrstrahl AO rechtwinklig zu der unveränderlichen Ebene; der Berührungspunkt O hat in diesem Fall eine feste Lage im Körper und im Raume; die Drehung erfolgt daher mit gleichbleibender Geschwindigkeit dauernd um die Achse AO, als wäre diese eine feste Achse.

Fig. 175.

Die Drehung um den festen Punkt A kann nach S. 24 auch als das Rollen zweier Kegel auf einander betrachtet werden. In dem hier vorliegenden Falle, wo die Momente Null sind, schneidet der mit dem Körper verbunden gedachte Kegel das um den Punkt A gelegte Trägheits-Ellipsoid in einer Kurve, deren Gleichung Ähnlichkeit mit der Ellipsengleichung    i

hat. Der andere, unbewegliche, Kegel    \

ist transcendenter Natur; er hat eine etwa nach Fig. 175 geformte Leitlinie (vergl. Budde, Allgemeine Mechanik,

S. 833).

Ist das Trägheits-Ellipsoid ein Umdrehungs-Ellipsoid, so werden die auf einander rollenden Kegel beide zu Kreiskegeln.

Ist das Trägheits-Ellipsoid eine Kugel, so dass jede durch A gelegte Achse eine Hauptachse ist, so gehen die Kegel in eine einzige Gerade über; die Drehachse ändert dann ihre Richtung und ihre Winkelgeschwindigkeit co gar nicht. Dieses letzte Ergebnis folgt auch schon aus 1. Theil, S. 290.

15

Keck, Mechanik. III.

10. Bewegung eines freien Körpers.

Das vorstehend über die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt Mitgetheilte findet auch sinngemässe Anwendung auf die Bewegung eines freien Körpers. Vereinigt man nämlich die an einem starren Körper von der Masse M wirkenden äusseren Kräfte zu einer durch den Schwerpunkt S des Körpers gehenden Einzelkraft R und einem Achsenmoment SD7, so wird die Bewegung des Schwerpunktes S nach S. 170 nur durch die Kraft R beeinflusst; diese ertheilt dem Körper eine Verschiebungs-Beschleunigung

im Sinne der Kraft R.    Ausser der Verschiebung mit dem

Fig. 176.

Schwerpunkte führt der Körper im Allgemeinen noch eine Drehung um den Schwerpunkt aus, welche nach 1. Theil, S. 297 unabhängig von der Verschiebung so behandelt werden kann, als wäre der Schwerpunkt ein fester Punkt und als drehe sich der Körper um ihn unter Einwirkung des Moments ÜD7. Für diese Drehung gilt daher das S. 211 bis S. 224 Gesagte. Erfolgt die Bewegung unter alleiniger Einwirkung der Schwere, so beschreibt der Schwerpunkt die bekännte (1. Theil, S. 49) Wurfparabel, und die Drehung um den Schwerpunkt erfolgt ohne Einwirkung von Momenten, also nach S. 224 und 225 (vergl. auch 1. Theil, S. 297). Wirft man z. B. einen geraden Stab (eine materielle gerade Linie) mit der Hand derartig fort, dass der Stab ausser der Geschwindigkeit c des Schwerpunktes noch eine Winkelgeschwindigkeit oj in einer durch die Mittellinie des Stabes gehenden Ebene, also um eine rechtwinklig zu dieser Mittellinie stehende Achse, bekommt (Fig. 176), so wird, wenn man vom Luftwiderstand absieht, die Geschwindigkeit c die parabolische Wurfbewegung des Schwerpunktes bedingen, die Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit co daneben aber unverändert erhalten bleiben. Steht die Achse der Winkelgeschwindigkeit (o aber schief gegen den Stab, so wird die Drehung um den Schwerpnnkt eine veränderliche, wirbelnde Bewegung sein.

II. Schwingungen eines Schiffes.

Die lothrecht auf und nieder gehende Bewegung, das sog. Tauchen oder Steigen eines Schilfes wurde bereits S.62/63 behandelt. Die Dauer einer einfachen Schwingung dieser Art ergab sich zu

1)

entsprechend der Schwingungsdauer eines einfachen Pendels von der Länge

VF =    = 0.994*1*,

wenn V den Inhalt des eingetauchten Raumes im Gleichgewichtszustand, F den Inhalt der wagerechten Schwimmfläche bedeuten.

Von besonderer Wichtigkeit ist das Rollen des Schiffes, worunter man eine Drehung um die zum Kiele parallele Schwerpunktsachse (Längsachse) versteht.

Ein aufrecht (gerade) schwimmendes Schilf werde durch vorübergehende Einwirkung eines Kräftepaares derartig in eine schräge Lage gebracht, dass die Querschnitte in ihrer ursprünglichen Ebene verbleiben, und stehe dann wieder unter alleiniger Wirkung des Gewichtes Mg und des ebenso grossen Auftriebes A = y-V = Mg, worin y das Gewicht einer Raumeinheit des Wassers. Das Schilf sei von solcher Gestalt, dass auch die Richtungslinie des Auftriebes sich nur in der durch den Schwerpunkt S des Schilfes gelegten Querschnitts-Ebene verschoben hat. Dann fällt die durch den Schwerpunkt S gelegte Achse des wirkenden Kräftepaares {Mg und A) mit der Längsachse des Schilfes zusammen, welche annähernd als eine freie Achse angesehen werden möge.

Die Entfernung aus der Gleichgewichtslage werde als nur gering, der Neigungswinkel d (Fig. 177) als klein vorausgesetzt, dann schneidet nach 2. Theil, S. 191, der Auftrieb des Schilfes die

2)

Fig. 177.

QM

/

EO

oE<l

M-tjg

15*

Schwimmachse ES desselben in einem festen Punkte, dem Metacentrum M, welches vom Schwerpunkt S um die metacentrische Höhe SM entfernt ist. Liegt der Schwerpunkt E des eingetauchten Baumes oder der Verdrängung V bei aufrechter Lage des Schilfes um

Fig. 178.

ES = e

unterhalb des Schwerpunktes S des Schilfes, so ist (2. Theil, S. 191, Gl. 5 u. 6)

3)

SM=~ — e

.....-J-vÄ

und das aufrichtende Moment 4)

worin 3 das Trägheitsmoment der Schwimmfläche (Fig. 178), in Bezug auf ihre Längsachse OX bedeutet. Bei der Rückkehr in die Gleichungslage verkleinert sich der Winkel d, es ist daher die Winkelgeschwindigkeit dieser Drehung

oj —

dd

dt ’

die Winkelbeschleunigung

d²d

dt²

Bezeichnet man nun mit J das Trägheitsmoment des Schiffes in Bezug auf die Längsachse S, so ist (1. Theil, S. 276)

yv(%

d²d

dt²

— ejd, oder

5)

d²d

dt²

= — k²-d,

wenn man zur Abkürzung

6)

Je² = y

3 — e-V

setzt. Nach S. 92/93 hat Gl. 5 die allgemeine Lösung d — A sinfci + Beos kt.

Eine Zunahme von kt um 2 jt führt das Schiff in den vorher-

gehenden Zustand zurück, daher entspricht die Zeit einer

k

Doppelschwingung; die Dauer einer einfachen Schwingung ist also

tl ~ k ~    1

und dies entspricht einer Schwingungslänge, die sich analog Gl. 2 ergiebt zu

7)

S)

J-9

y (3 — e-V) wenn i der Trägheitshalbmesser.

MSM SM'

Eine Schwingung um die Querachse des Schiffes wird das Stampfen genannt. Für die Dauer desselben gilt

ö)

J₂

wenn J₂ das Trägheitsmoment des Schiffes in Bezug auf die Querachse, $₂ das Trägheitsmoment der Schwimmfläche in Bezug auf die Querachse bezeichnen.

Beispiel: Ein Schiff von a — 120m Länge, b— 12m Breite, « = 8,5"' Höhe wiege 5845*, dann ist im Seewasser (^—1025^8)

5845

1,025

Die Schwimmfläche betrage F— 0,82 er • b = 0,82 • 120 • 12 = 1181 im₅ dann ist die Schwingungslänge des Tauchens (Gl. 2)

5702

1181

und die entsprechende Dauer einer einfachen Schwingung (1. Theil, S. 78)

— = 1,003]^" l = 2,2 s-.

= 5702 cbm.

4,83 m

7T

Das geometrische Trägheitsmoment 3 der Schwimmfläche wird auf das Trägheitsmoment des umschliessenden Rechtecks (a • b) zurückgeführt und möge wegen der Zuschärfung 60% desselben betragen; dann ist a 6³

0,68- 120- 12³

= 11750 m*.

3=0,... I2

Die Höhe des Schilfsschwerpunktes S über dem Schwerpunkt E der Verdrängung betrage e= 1,46 m, dann wird, die metacentrische Höhe

Für das Trägheitsmoment J des beladenen Schiffes giebt es keine Annäherungsformeln; vielmehr muss man zu dessen unmittelbarer Bestimmung die

12

11750

5702

— 1,46 = 0,6 m .

Masse eines jeden Theiles des Schiffes mit dem Quadrate seines Abstandes von der Schwerpunktsachse multipliciren und diese Produkte summiren. Gewöhnlich unterlässt man diese mühsame Rechnung, beobachtet vielmehr die Schwingungsdauer tx, berechnet daraus die Schwingungslänge lx und schliesslich nach Gl. 8 das Trägheitsmoment J.

Das vorliegende Schiff gebrauche zu einer einfachen Roll-Schwingung = 8 s- ; dem entspricht eine Schwingungslänge

^2 = 63,62 m.

1,003“

*1²

Hiermit wird nach Gl. 8

i² = lx • SM = 63,62 • 0,6 = 38,17 und i — 6,ism . Schliesslich 5845■ 1000

J = Mi² =

.38,n = 22 743 000.

12. Drehungspendel.

Ein elastischer, prismatischer Stab oder Draht sei an seinem oberen Ende fest eingespannt, auch gegen Drehung gesichert; an seinem unteren Ende sei ein Körper von solcher Massen vertheil ung befestigt, dass die lothrechte Mittellinie des Stabes eine freie Achse des Körpers bilde (Fig. 179). Zu Anfang befinde sich das Ganze im Gleichgewichte. Wird nun der untere Körper um die lothrechte Achse gedreht, so entstehen in dem mitverdrehten Stabe Schubspannungen, die innerhalb der Elasticitätsgrenze mit dem Drehungswinkel verhältnisgleich sich ändern.

Wird der Körper sodann losgelassen, so er-theilt das Spannungsmoment des Stabes dem Körper eine Winkelbeschleunigung, welche demnach verhältnisgleich ist der Winkelabweichung von der Gleichgewichtslage. Wird die Winkelabweichung für einen beliebigen Zeitpunkt mit # bezeichnet, so ist, weil die Bewegung eine rückläufige, die Winkelgeschwindigkeit (o = — die Winkelbeschleunigung

Fig. 179.

mm

0=0=0

dd

dt ’

d°-d 3R dt² ~ J'

wenn ÜDi das mit verhältnisgleiche Yerdrehungs-, J das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die lothrechte Achse bezeichnen. Die einfache Gl. 1 für e ist hier verwendbar, weil nur Winkelbeschleunigungen und Drehungen um eine freie Achse in Frage kommen, so dass (nach 1. Theil, S. 297) die BeAvegung wie eine Drehung um eine feste lothrechte Achse geschehen muss.

Für Gl. 1 kann man schreiben:

= — k²-i);

dann bedeutet

2)

d²d

dt²

3)

k² =

Jd

die Winkelbeschleunigung für einen Verdrehungswinkel $ = 1 = 57,3°. Da Gl. 2 mit Gl. 5, S. 228 übereinstimmt, so ist sie die Differentialgleichung einer Schwingungsbewegung um die Gleichgewichtslage als Mitte, und die Dauer einer einfachen Schwingung ist nach Gl. 7, S. 229

Hat der Stab oder Draht den Halbmesser r und die freie Länge h, so ist bei einer stärksten Schubspannung r nach 2.Theil, S.65

7t

r • -g- und zugleich r =

Avenn G das Gleitmafs des Stoffes, also

G-r-d

— d und nach Gl. 3

5)

r⁴ 7r

2h-J'

Beispiel: Der Draht habe r = 0,i «m Halbmesser und A = 100cm Länge Am unteren Ende sei ein Schwungring von 2 kg Gewicht und 30 cm mittlerem Halbmesser befestigt. Dann ist, weil bei der Rechnung mit Centimetern

2 • 30 ²

a — 981 gesetzt werden muss, J —

981

und mit G — 800 000 »t,

k² =

800000- 0,i⁴ - - 981 2 • 100 • 2 • 30²

= 0,685 ;

k = 0,828 :    = —- = 3,8 s-.

0,828

Kennt man Stärke und Gleitmafs des Drahtes nicht genau genug, so kann k² auch durch einen Verdrehungsversuch ermittelt werden. Ist R der Halbmesser des Schwungringes und setzt man J — //. R², so ist /± • g annähernd das Gewicht des Ringes. Bringt man nun mit Hülfe zweier Rollen und zweier Gewichtstücke = V²/'-^ an dem Ringe zwei wagerechte Kräfte —x/z/ig so an, dass sie auf die lothrechte Achse ein Kräftepaar vom Momente

V* M • 2 R = !J.g • R

übertragen, so wird nach Gl. 3

6)

k² =

M- R _ J_ fj -RU9 R$ '

Misst man sodann an dem Ringe die durch das Kräftepaar erzeugte Verdrehung R# — s im Abstande R von der Mitte, so ist

ee j'-Q

g

p.

-T-

d. h. gleich der Dauer einer kleinen Schwingung eines Pendels von der Schwingungslänge s.

Die Gleichungen 1—4, 6 und 7 gelten auch für die Schwingungen der sog. Unruhe einer Uhr. Die mit der Achse des Schwungrädchens verbundene Spiralfeder setzt der Verdrehung des Rades aus der Gleichgewichtslage ein Spannungsmoment entgegen, welches sich mit dem Verdrehungswinkel annähernd verhältnisgleich ändert.

Die Spiralfeder (Fig. 180) sei am äusseren Ende bei B eingespannt; in der Mitte, wo sich die Drehachse des Schwungrädchens befindet, werde auf das innere Ende der Feder eine in X und Y zerlegte Einzelkraft und ein Kräftepaar 2J?₀ übertragen. Dann ist an einem Punkte P mit den Koordinaten x und y das Biegungsmoment

Fig. 180.

Bo.

AU

m = Wo — Xy -1- Yx.

Wird das Schwungrädchen aus der dem spannungslosen Zustande der Feder entsprechenden Lage um den Winkel »9 gedreht, wobei es auf die Feder das Moment 9J1₀ und die Kräfte X und Y ausübt, so ist >9 der gesammte Verbiegungswinkel der Feder von der Mitte bis zum Endpunkto B. Für diesen gilt nach Keck, Elasticitätslehre, S. 227, Gl. 4:

8)

9)

r*a    r*a

EJvV =    = %a — X U-rfs + Y l«-*,

Jo    Jo

wenn a die Gesammtlänge der Feder bezeichnet. Da nun der Schwerpunkt der ganzen Spirale von der Länge a bei vielen Windungen derselben nahezu im Anfangspunkte der Koordinaten liegt, so sind

• ds und

r

• ds

annähernd Null, und es ist

10)

wenn J\ das Trägheitsmoment des Querschnittes der Feder bedeutet. Somit wird

EJl

11)

/fc²

aJ

(Gl. 3)

an Stelle von Gl. 5 treten, wobei J das Trägheitsmoment der Unruhe bedeutet, und die entsprechende Pendellänge

12)

/fe

⁹ EĄ a ’

ist mit der Federlänge a verhältnisgleich.

Es sei der Querschnitt der Feder 0,5 • 0,o4 t 0,5 • 0,04 ®    8 1A

[T~ - 3'¹⁰

, das Trägheitsmoment also

mm

die Länge der Feder a = 200 mm ; das Gewicht des Schwungrädchens P g — 0,ooo 2,-. , sein Halbmesser 8 mm ? sein Trägheitsmoment, bezogen auf

Kilogramm und Millimeter, J —

0,oi6 • 200

E — 25 000 kg/qmm , somit

25000-

00 ICO

io~⁶

- 4.3 mm

und die Dauer einer einfachen Schwingung

= l,oo3 ]/"d,048 = 0,22 Sekunden.

13. Umfallende, auf dem Boden reibungslos ausgleitende Stange.

Eine Stange von der Länge a und dem Gewichte M g, die anfänglich lothrecht auf wagerechtem Boden stand (Fig. 181), falle nach rechts um; dann wird, wenn das untere Ende A der Stange nicht festgehalten ist, auch an demselben keine Reibung au ft ritt, der Boden nur einen lothrechten Normalwiderstand N auf die Stange übertragen. Der im Abstand e vom unteren Ende befindliche Schwerpunkt S der Stange wird sich, weil nur lothrechte Kräfte wirken, lothrecht abwärts bewegen, so dass, wenn die Stange auf dem Boden anlangt (Fig. 182), das untere Ende um A₀Al = e nach links geglitten sein wird. Es sollen die Beschleunigungen und Geschwindigkeiten in beliebiger Zwischenlage und beim Aufschlagen berechnet werden.

In der beliebigen Zwischenlage (Fig. 183), wo die Mittellinie der Stange mit der Lothrechten den Winkel bildet, sei p die

Fig. 181.

Fig. 182.

Fig. 183.

So

B₀

/T'T

à S₀

fr

fr

Ai

WW///WÆÏ

Ao

Aq

lothrecht gerichtete Beschleunigung des Schwerpunktes, £ die Winkelbeschleunigung um die rechtwinklig zur Bildebene gedachte Schwerpunktsachse, welche als freie Achse angenommen wird. Dann ist nach dem Satze von der Beschleunigung des Schwerpunktes

Mg — N P ~ M

91? N-e- sin #

1)

und

2)

(s. S. 204, Gl. 1),

wenn J = M • i² das Trägheitsmoment in Bezug auf die bezeichnete Schwerpunktsachse bedeutet.

Das untere Ende der Stange hat die lothrechte Beschleunigung^, die Umfangsbeschleunigung e-s. Da seine Gesammtbeschleunigung aber nur wagerecht sein kann, so muss p durch <?-£-sin# aufgehoben werden, mithin

3)

e • sin 0

sein. Aus Gl. 2 und 3 ergiebt sich

e²sin²?? '

Hiermit bestimmt sich aus Gl. 1:

4)

e²-sin²#

5)

ferner

e • sin # +

i²

und

e • sin #

6)

Mg

ć²sin²#

Aus diesen Gleichungen kann man die Beschleunigung jedes Punktes der Stange berechnen ; diejenige des unteren Endes beträgt nach Fig.183: e • £ • cos#.

Die Geschwindigkeiten lassen sich am einfachsten nach dem Satze der Arbeit berechnen. In der beliebigen Zwischenlage (Fig. 184) sei u die Geschwindigkeit des Schwerpunktes (lothrecht gerichtet), œ die ^ Winkelgeschwindigkeit der Drehung um den Schwerpunkt. Dann ist das Arbeitsvermögen V2 MiP 4- 72 JoP nach 1. Theil, S. 296. Die Arbeit der Schwerkraft ist Mg • SS₀; es wird daher, weil SS₀ = e(l — cos#), wenn man zugleich noch J = M-P setzt,

MiP , M P „

— + ~2~°J =

oder weil, entsprechend Gl. 3, co —

Fig. 184.

800

e.io

e.

Mg-e(\ — cos#),

7)

u-

e • sin # 2 <7. e(l — cos #)

ist,

und

8)

e¹ - sin²#

₌ 2^-g(l — cos#) <?²-sin²# + P

Für die Geschwindigkeit w des unteren Endes gilt w = e-to cos#, also „ 2a-eil — cos#)

w¹ = —-TTî—

tg-d +

9)

é² cos² #

Für die Anfangsstellung, d. h. v — 0, sinw = 0, cos # = 1, geben diese Gleichungen selbstverständlich

p — 0;    £ — 0; N = Mg ; m = 0; tu = 0; w — 0.

Für die Endlage, d. h. # = 90°, sin# = 1, cos# = 0, wird

Mg ,

JP =

i² ’

C² ’

w² =

2/y-g .

C²

1 ++T

i² ’

1+4

«²

co² =

Zg-e .

<?² + i- ’

w² = 0;

und, wenn v die Geschwindigkeit des anderen Endes, v = u + (cl — ć)co, also

v=«y

2 g-e

e~ + P ’

d. h. v = a-a>, wie es wegen w = 0 auch sein muss.

Da in der Endlage w = 0 ist, so stimmt beim Aufschlagen der Stange ihr Geschwindigkeitszustand mit dem einer unten drehbar befestigten (S. 209) überein, nicht aber der Beschleunigungs- und Kräftezustand. Bei der Vergleichung dieser Formeln mit denen auf S. 209—211 ist zu bedenken, dass P, bezogen auf den unteren Endpunkt (S. 209), gleichbedeutend ist mit i² + <?² in den Formeln der S. 234—236.

Für eine materielle Gerade, d. h. einen Stab mit gleichmässig über seine Länge vertheilter Masse, also e — l/2 a ; i² = */i2 a²;

^ wird in der Endlage

; N =

w² = 0; v² = 3g-a.

Hieraus folgt, wie es wegen w = 0 sein muss, v = 2 u.

ec !<m

u² —

Oe

g-a;

CO²

14. Rollbewegung auf schiefer Ebene.

Auf einer schiefen Ebene von der Neigung n rolle ein Umdrehungskörper von der Masse M (Fig. 185), dem Rollkreishalbmesser R und einem auf die Drehachse bezogenen Trägheitsmoment J = juR²; er trage mittels einer Achse vom Durchmesser d = 2r einen Körper von der Masse Mx und dem auf dieselbe

Achse bezogenen Trägheitsmoment Jj = juxR², Die Drehachse sei für beide Massen M und Mx eine freie Achse. An der Tragachse der Masse Mx möge Reibung auftreten.

Zu Anfang seien beide Massen in Ruhe. Auf schiefer Ebene erfährt nun die Masse M eine abwärts gerichtete beschleunigte Rollbewegung. Die Beschleunigung des Schwerpunktes sei p, dann muss die Winkelbeschleunigung der Drehung um die Achse (nach 1. Theil,

S. 300) betragen

Fig. 185.

-------li--------

p

£ = -fr-

Ml

CD

Die Masse Mx muss nun die Verschiebung mit der Beschleunigung p vollständig mitmachen; eine Drehbeschleunigung ex wird ihr nur durch das Moment der Zapfenreibung mitgetheilt, u. zw. tritt dieses Reibungsmoment in verschiedener Grösse auf, je nachdem die Winkelgeschwindigkeit wx der Masse Mx kleiner ist als diejenige der Masse M, oder den gleichen Werth hat. Im ersteren Falle kommt die volle Zapfenreibung zur Wirkung, im anderen Falle nur ein Theil derselben. Da nun beide Massen zu Anfang die Geschwindigkeit Null hatten und gleichförmig beschleunigte Bewegungen ausführen, so ist das Verhältnis von cox zu co gleich mit demjenigen von ex zu e.

Erster Fall, geringe Zapfen-reibung: Die Zapfenreibung sei so gering, dass sie nicht im Stande ist, der Masse Mx dieselbe Winkelbeschleunigung e zu ertheilen, welche die Masse M erleidet. Dann tritt an den Zapfen ein Gleiten auf, und somit ein volles Reibungsmoment JD f-r, worin D der Zapfendruck, / die Reibungsziffer.

>1 2r<

C-

Fig. 186.

^ \ n

-os\ ß

p.**

M^g.sincc

(Źyą.

Der Zapfendruck I) stimmt mit dem Gewicht Mxg nach Grösse und Richtung nicht ganz überein. Seine Richtung weiche von der Rechtwinkligen zur schiefen Ebene um den Winkel ß ab (s. 1. Theil, S. 302). Zerlegt man die auf Mx wirkenden Kräfte Mxg und D nach den Richtungen parallel zur schiefen Ebene und rechtwinklig dazu, so ergiebt sich (Fig. 186) in ersterer Richtung eine schräg abwärts gerichtete Gesammtkraft Mx g sin a — 1) sin ß, und es muss, weil diese der Masse Mx die Beschleunigung p ertheilt,

Mx p = Mxg$mv. — D sin ß, oder D' sin ß — Mx g sin a — Mx p sein, während in der zweiten Richtung

T) • cos ß = Mx g cos a wird.

Das in Fig. 186 links herum drehende Reibungsmoment 9JÎ = D •/• r ertheilt der Masse Mx eine Winkelbeschleunigung D-f-r ₌ B-f-r

Jx gx R-An der rollenden Masse M

1)

2)

Fig. 187.

3) ex —

-N

wirken die Schwere Mg, der Zapfendruck I), das Zapfenreibungsmoment im Sinne rechts herum und die an der Rollbahn auftretende Normal-und Tangentialkraft N und T\ Figur 187 zeigt diese Kräfte nach zweckmässiger Zerlegung, des Schwerpunktes

Ps

D.cosß

M.g.coscc

Dann gilt für die Beschleunigung

Mp = Mg • sin a + I) • sin ß — T,

oder wegen Gl. 1:

Mp = Mg • sin a + Mx g- sin ot — Mxp — T.

Da nun bei der Rollbewegung die Umfangsbeschleunigung der Drehung e-ü gleich der Beschleunigung p des Schwerpunktes sein muss, so wird (vergl. 1. Theil, S. 303)

- T    D'f'r

H V- 1    „    •

4)

Setzt man den hieraus folgenden Werth von T in obige Gleichung ein, so entsteht:

6)

(M + Ml + ju)2? — (M + M\)g- sin a —

worin mit genügender Annäherung D = My g gesetzt werden kann. Diese Gleichung gilt, so lange an der Achse ein Gleiten stattfindet, so lange also s > el5 oder pR> R²e, d. h.

7)

{M + My) g • sin a- R — Mlg- f-r

M 4" My “f"

ist. — Für reibungslose Lagerung (/ = 0) ist Bedingung 7 erfüllt, daher Gleichung 6 gültig, mit /= 0.

Zweiter Fall; grössere Zapfenreibung, die das Gleiten an dem Zapfen verhindert. Ist die Bedingung 7 nicht erfüllt, ist vielmehr die Zapfenreibung genügend gross, um die Masse My vollständig an der Drehung von M theilnehmen zu lassen, so wird £ =    , und es tritt das Reibungsmoment nur in derjenigen

Grösse auf, welche nöthig ist, der Masse My die Winkelbeschleunigung = £ zu ertheilen, d. h., da wieder £ • R = p,

8)

= £ • Jj = £ ■ JUy ■ R² = p- [ly R.

Die Gleichungen 1 und 2 bleiben gültig, ebenso Gl. 4; an Stelle von Gl. 5 aber tritt die folgende:

/X-P = T— — = T — flyp;

dies giebt T = (ju 4- /jlx)p, und hiermit wird aus Gl. 4:

9)

(M+ My + fl + ,Uy)p = (M+ Mx)g-sinoc.

Diese Gleichung gilt auch für solche Fälle, in denen M und My gegen einander unbeweglich sind, so dass man sie wie einen einzigen Körper auffassen kann.

Beispiel: Rollbewegung eines mit Wasser gefüllten Gefässes. Der rollende Körper sei ein dünnwandiges cylindrisches Gefäss von der Masse M und der auf den Umfang bezogenen Masse er sei mit Wasser gefüllt von der Masse Mx und der auf den Umfang bezogenen Masse ßx. Betrachten wir das Wasser als vollkommen flüssig, d. h. ohne Fähigkeit, Reibungswiderstände auszuüben, so wird es beim Abwärtsrollen des Gefässes nur an der Verschiebungsbeschleunigung p, nicht aber an der Drehung theilnehmen. Es gilt daher Gl. 6 mit / = 0, d. h.

Ist das Wasser aber durch radiale Wandungen an der relativen Drehung gegen das Gefäss verhindert, oder etwa zu Eis erstarrt und an dem Gelasse festgefroren, so muss es an der Drehung theilnehmen, und es gilt nun Gl. 9, welche für p einen kleineren Werth ergiebt als Gl. 10.

Werden zwei im Äusseren übereinstimmende Gefässe der ersten und der zweiten Art auf eine schiefe Ebene neben einander gesetzt und losgelassen, so wird das erste Gefäss schneller laufen als das zweite.

Ist das Gefäss so dünnwandig, dass man seine Massen M und p gegen die des Wassers M₁ und //, vernachlässigen kann, so wird im ersten Falle

11)

p = g sin cc ,

im anderen Falle mit p.x = ‘/a Mx :

12)

2 .

p — y 9 sin a.

Man würde daher durch einen Roll versuch feststellen können, ob die Wasserfüllung sich gegen das Gefäss frei drehen kann oder nicht.

15. Anhalten eines Eisenbahnzuges durch Bremsung.

Die beschleunigte oder verzögerte Bewegung der Fuhrwerke wurde schon im 1. Theile, S. 302, jedoch ohne Rücksicht auf den Luftwiderstand, behandelt. Bei schnell fahrenden Eisenbahnzügen ist aber, wie schon im 1. Theile, S. 256, gesagt wurde, der Luftwiderstand so erheblich, dass er die übrigen Widerstände übersteigt. Daher soll an dieser Stelle der besonders wichtige Fall des Anhaltens eines Eisenbahnzuges mit Rücksicht auf den Luftwiderstand als Ergänzung des früher gegebenen behandelt werden.

Die Untersuchung bezieht sich auf einen einzelnen Wagen (Fig. 187); wie dieselbe dann auf einen ganzen Zug angewandt werden kann, soll im Beispiele gezeigt werden.

Wie schon im 1. Theile, S. 302 erläutert, müssen bei einem beschleunigten Fuhrwerke drei Massen von einander unterschieden werden :

1.    die Masse M der rollenden Theile, d. h. der Achsen und Räder;

2.    die auf den Halbmesser R des Rollkreises bezogene Masse /x der rollenden Theile;

3.    die Masse Ml der übrigen Theile des Fuhrwerks, welche nur an der Verschiebung, nicht an der Drehung, theilnehmen.

Ist v die Geschwindigkeit des Zuges, F seine Querschnittsfläche, y das Gewicht von 1cbm Luft, so kann der Luftwiderstand nach 2. Theil, S. 353, Gl. 4

1)

W= — F- v²

Unter Hinzufügung dieser Kraft W wird aus

gesetzt werden.

Gl. 9, 1. Theil, S. 303:

Mp — Mg sin cc + Mvg sin a — Mxp — T — W,

wenn p die abwärts gerichtete Beschleunigung des Wagens bedeutet; oder, wenn man für schwache Gefalle sin a mit a vertauscht (Fig. 188):

2)

(14- Mx)p = (M + Mx)g-a — T — W.

Fig. 188.

Für die Umfangsbeschleunigung p der Drehung der Räder ist die zwischen Rad und Schiene auftretende Reibung T die beschleunigende Kraft mit dem Momente T-R. Als Widerstandsmomente wirken demselben entgegen: 1. das Zapfenreibungsmoment, welches mit genügender Genauigkeit aus einem Zapfendrucke Mxg zu Mxg-f-r abgeleitet werden kann (wenn r der Zapfenhalbmesser); 2. das Moment des Rollwiderstandes, welches, ebenfalls annähernd, mit (M 4- Mx) g • e eingeführt werden darf (wenn e der Arm des Rollwiderstandes, s. 1. Theil, S. 248); 3. das Moment der Bremsreibung P-fx • P, wenn P die Summe der Bremsdrücke, die Reibungsziffer der Bremsklötze bedeuten. Hiernach wird

li-p- R — TR — Mig-f-r — (M+ Mx)g-e — P-fxR und somit

T — TP + Mxg 'f' — 4- (M 4- Mx)g- — 4- P'fi.

Nennt man aber a₀ das Gleichgewichtsgefalle für sehr langsame Bewegung ohne Wirkung von Zugkraft, Bremskraft und

16

Keck, Mechanik. III.

Luftwiderstand, so kann für die Summe vom Zapfenreibungs- und Kollwiderstand nach 1. Theil, S. 304 abgekürzt gesetzt werden:

.?•/— + CM + Ml)g~=(M + Mx) g • a₀ ,

womit

T — fip + (M + Mx)g • <3t₀ + P'fy wird. Führt man dies in Gl. 2 ein, so entsteht

3)

(M+ Mx)g(cL — a₀) — P'f\ ~y F-v²

M -I⁻ Mx "f" f-i

Setzt man nun zur Abkürzung

4)

— A,

[M±    «₀)-P-/r

AL + ALX + P

5)

= B,

so wird

g M + Mx + ju p = — A — B • v² — — (A -f- B • v²), oder

6)

dv

Hieraus folgt

dt — —

dv

dv

A + Bv²

, oder

â’v

dt = —

‘(■n

1 + ^r-v*

Somit ergiebt sich durch Integration

War für t = 0 die Geschwindigkeit v = c und soll sie für t = tx zu Null geworden sein, so ist die zum Anhalten des Zuges erforderliche Zeit tx leicht bestimmt zu

7)

p — 0 und P = 0.

Dann wird

Um die zum Anhalten erforderliche Wegeslänge a zu erhalten, multiplicire man Gl. 6 mit

2 v- dt = 2 dx ;

2 v • dv A + B • v2 2B-v•dv A + Bv²

l (A + B • v²) = — 2 B • æ + Ol.

Mit v = c für (3? = 0 wird Cx = l (A + Bc²), also A -f 13-c2 L A + B v²

die Bremsstrecke æ = a folgt für v — 0 zu

“ = ^l(1 + fc2)

iog(i+f4

Das Gleichgewichtsgefälle mit Rücksicht auf den Luftwiderstand ergiebt sich für eine Geschwindigkeit c, indem man in Gl. 3 einführt:

dann wird

= — 2•dx,

— — 2 B • dx, also

8)

10)

2,3026

, oder

ii)

al = a0 + JT

Fc

Beispiel: Ein Schnellzug, bestehend aus Lokomotive, Tender, Gepäckwagen, Postwagen und fünf Personenwagen, fahre mit einer Geschwindigkeit c = 20ro/s. = 72 km/v, es soll die zum Anhalten erforderliche Bremszeit und Bremsstrecke a berechnet werden, u. zw. auf wagerechter Strecke (a = 0) und auf einem Gefälle a = 1 : 200.

Die Lokomotive wiege 42 t, <Jer Tender 20 t, der übrige Zug 105t, der ganze Zug also (AT-|-Af,) jr = 167 t. Das auf den Rollkreis bezogene Gewicht der Achsen und Räder, d. h. nahezu das Gewicht der sämmtlichen Radreifen betrage pg= 14*. Die Summe aller Bremsdrücke sei etwa gleich dem halben Gewichte des Zuges, nämlich rund P = 84*, die Reibungsziffer der Bremsklötze Ą = l/i. Dann wird nach Gl. 4 :

84 • 7t-167 (et-«J

167 + 14

oder, wenn man (nach 1. Theil, S. 255) a₀ = 0,oo25 annimmt,

12)

A = 0,673 — 9,06 a .

Bei mittlerem Barometerstände und bei 0⁰ C. wiegt 1 cbm Luft 1,29 kg f bei einer mittleren Temperatur von 10 °C. daher (nach 2. Theil, S. 211)

273

y = l,ae • gęg = 1,!. *8.

Der Luftwiderstand ist nun aber bei einem längeren Zuge nicht allein von der Querschnittsfläche abhängig, sondern auch von der Länge des Zuges, weil mit letzterer der Eeibungswiderstand der Luft wächst, der ebenfalls in W nach Gl. 1 enthalten sein muss. Nach Versuchen vom Geh. Reg.-Rath Alb. Frank (Hannover) liefert eine Lokomotive mit Tender zu F den Beitrag 7 qm, der dann folgende Gepäckwagen 1,7 qm, jeder folgende Post- oder Personenwagen 0,5 qm. Also ist hier zu schreiben :

F =1 -f- 1,7 -j- 6 • 0,8 = 11,7 qm.

Hiermit wird nach Gl. 5:

13)

B = 1,24 •

11,7

= O,000 080 2 .

181000

Die zum Anhalten auf wagerechter Bahn erforderliche Zeit wird nach Gl. 7:

0,000080 2 0,673    ’

arc tg 20

y 0,673 • O,000 080 2

14) tx — 136,ii • arc tg 0,2i83 = 136,n • arc (12 ⁰ 19 ') = 136,n • 0,ais = 29,3 sek. Die Bremsstrecke aber wird nach Gl. 9:

15)

<1

2,3026

2 - 0,000 080 2

log(l -f

0,000 080 2

0,673

• 20² = 290,8 m.

Für a = ¹/too — 0,oo5 ist nach Gl. 11

A — 0,673 — 0,045 = 0,628 ,

B wie vorstehend = 0,ooo oso 2, somit

|^0,628 • 0,000 080 2

0,000 080 2

0,628

17)

2,3026

O,000 160 4

log(l +

tx — 31,3 sek.

O,000 080 2 • 400

0,628

)=

310,7 m.

Das Gleichgewichtsgefälle für diesen Zug mit c = 20 ist nach Gl. 11:

_n ,    1,24 11,7 - 400

«1    ,0025 4- ₉^81    167000 ’

18)

167'

OTj = 0,0025 -}- 0,0035 = 0,006

Will man Bremszeit und Bremsstrecke a unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes berechnen, so hat man B mit Null zu vertauschen. Hiermit

nehmen nun die Gleichungen 7 und 9 die scheinbar unbestimmte Form -jj- an.

Man kann diese Unbestimmtheit in bekannter Weise durch Differentiation beseitigen, kann aber auch durch einfache Überlegung das Ergebnis finden

In Gl. 7 wird nämlich bei sehr kleinem B auch der Unterschied zwischen dem Bogen und seiner Tangente sehr klein, so dass man dann (wie S. 82)

arc tg c

/!=</!

setzen kann; hiermit verwandelt sich Gl. 7 in das einfache

19)

In Gl. 7 kann, weil bei kleinem x l (1 -f-#) =;r wird, bei kleinem B

gesetzt werden, womit dann Gl. 9 die einfache Form

20)

c²

annimmt.

Da übrigens für B = 0 die Verzögerung nach Gl. 6 einfach = A wird, so

folgt tx = auch einfach aus dem Begriffe der Verzögerung und

A

c²

ctx

2Ä

aus der Grundeigenschaft der gleichförmig veränderten Bewegung.

Für wagerechte Bahn mit A = 0,673 (Gl. 12) und c = 20m/g. wird

20

Für a = V'-oo mit A = 0,628 wird

31,8⁸- ; a = 318,5 m.

20

0,628

Diese Zahlen weichen von den mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes erhaltenen nur so wenig ab, dass es zulässig ist, bei der Berechnung der Bremswirkung den Luftwiderstand zu vernachlässigen. Beim Bremsen genügt schon eine geringe Vermehrung des Bremsdruckes P oder der Reibungsziffer /lt welche beide niemals ganz scharf zu bestimmen sind, um die Vernachlässigung des Luftwiderstandes auszugleichen.

Für die Ermittelung der erforderlichen Zugkraft hat der Luftwiderstand bei grosser Geschwindigkeit dagegen erheblichen Einfluss, insofern nach Gl. 18 bei dem angenommenen Zuge das Gleichgewichtsgefälle ocn welches gleichbedeutend ist mit dem Verhältnisse der auf wagerechter Bahn erforderlichen Zugkraft zu dem Gewichte des Eisenbahnzuges, durch den Luftwiderstand von 0,ooj5 auf 0,oo6 vergrössert wird.

Auch für den Antrieb des Fahrrades spielt der Luftwiderstand eine nicht unbedeutende Rolle. Ist e die Geschwindigkeit des Radfahrers, so kann das Gleichgewichtsgefälle des besetzten Rades in Übereinstimmung mit Gl. 11, S. 243

Fc²

+ 7 W+^

gesetzt werden. Darin bezieht sich a₀ auf den Einfluss der Reibungswiderstände an den Achsen, Kettengelenken u. dergl., sowie des Rollwiderstandes am Boden, das zweite Glied auf den Luftwiderstand. Zugleich bedeutet das Gefälle, auf dem das Bad mit sehr geringer Geschwindigkeit c ohne Kraftaufwand läuft. Die B e i b u n g s widerstände sind an einem gut gearbeiteten und gut unterhaltenen Bade sehr gering; nicht unerheblich aber ist der Koll-widerstand auch auf guter Fahrstrasse, weil das Eindrücken des Luftreifen bei der Berührung mit dem Boden Quetschungen verursacht, die, wie schon im 1. Theile, S. 251 erläutert wurde, Gleitungen und daher Beibungswiderstände zur Folge haben. Eingehende Versuche darüber fehlen noch. Einstweilen möchten wir nach Angaben des Herrn Landes-Bauinspektors Gloystein in Celle für gute Strasse und gutes Bad a₀ = 0,oo7 schätzen. Die Widerstandsfläche jF, welche der Kadfahrer der Luft darbietet, kann man unter günstigen Umständen zu 0,5 qn> annehmeu. Mit ^=l,24kg/cbm Luftgewicht ergiebt sich dann der Luftwiderstand zu

9,81

— F • c~ = -J— • 0,5 • e² = 0,063 • c²

in Kilogrammen, wenn c in m/g. ausgedrückt ist. Bei einem Gesammtgewichte des besetzten Bades (M -f- Mx) g — 90 kg würde hiernach das Gleichgewichtsgefälle

«j = 0,007 -j-

0,063

90

C²

0,007 (l + Yö),

e = 4,5 m/a. (= 16,2 km/h.) “l = 0,007 (l 4-    = 0,021 =

also bei

— werden.

Daher ist auf wagerechter Bahn zur gleichmässigen Bewegung des Rades eine parallel zur Bahn wirkend gedachte Zugkraft

K — (M -j- My) g • otj = 90 • 0,o2i = 1,89 kg

und eine sekundliche Arbeit

E = K ■ c = 1,89 • 4,5 = 8,51 mkg/s> erforderlich.

Ist die Kettenübersetzung so eingerichtet, dass bei der Geschwindigkeit von 4,5 m/s. die Kurbelachse in der Sekunde eine Umdrehung macht und beträgt der Kurbelhalbmesser 0,nm, der Hub der Füfse also 0,34 so ist die mittlere Druckkraft des Fufses auf die Tretkurbel

p =    = 25 kg.

0,34

¹

rc tg 20

16. Elastische Schwingungen eines Eisenbahnwagens.

Von den Schwingungs- Bewegungen eines Eisenbahnwagens treten besonders hervor: die lothrechte Verschiebung, das Wogen, und die Drehschwingung um die wagerechte Querachse durch den

Schwerpunkt, das Nicken. Ist die der Gleichgewichts-Belastung entsprechende Durchbiegung der Tragfedern /, so ist nach S. 61 diese Länge zugleich die Schwingungslänge l des Wogens und die Dauer ei ner einfachen Schwingung

Fig. 189.

■f

Die Bewegung des Nickens werde an einem von vier Federn getragenen Fuhrwerk entwickelt. Fig. 189 stelle dasselbe im Gleichgewichtszustände dar. Wird der Wagen um einen kleinen Winkel # um die Querachse S gedreht, so wird (Fig. 190) das linksseitige Federpaar um c—yx stärker, das rechtsseitige um y₂ — c weniger stark zusammengedrückt als im Gleichgewichtszustände. Die Federdrücke gehen in Folge dessen aus den Werthen 72 Mg über in Px und P₂, wobei

— lfrM-g ₌ c—y 1 72 Mg

El

]<----Qi--->j<---CI-----x|

Fig. 190.

\i

ls

a®.-—Ar'

Py

also

2)

Px

und ebenso

3)

P₂ =

f(.

y-i — g

ist.

Der Hebelarm von Px in Bezug auf S ist nach Fig. 190: a cos # — e sin a cos 'd + 6 sin 'd.

der von P₂:

Daher entsteht ein der Vergrösserung des Drehungswinkels entgegen wirkendes Moment

SW = Px (a • cos — e • sin #) — P₂ {a • eos d -f e • sin fi)

— (P: — P₂) a • cos d — (Pl + P₂) e • sin Nach Gl. 2 und 3 ist nun

Pi

_ Mg y₂ — yl

Mg 2 c —(y, + y,)

P, + P₂ = Mg +

Fig. 189 und 190 liefern die geometrischen Beziehungen e - c — yx + a • sin d -f- e • cos d und e + c = y₂ — a • sin fi + e • cos d,

woraus man erhält

V2 — Vi = 2 a • sin#, y₂ + yx = 2 c + 2 e(i — cos d).

Da der "Winkel $ meist klein bleibt, so möge sin# = $ und cos û = 1 gesetzt werden. Hiermit wird dann Mg 2 a • d ~ ~2 7“’

Mg (4

P1-P2

SW =

P\ + p2 = Mg und

— « u.

Dieses erzeugt eine Winkelbeschleunigung (analog S. 231)

4)

dH

SW

dt²

wenn

—--e

und J = Jfi²

das Trägheitsmoment des Wagens in Bezug auf die Querachse S bedeutet, womit man auch schreiben kann

5)

Gl. 4 ist wieder (s. S. 231) die Differentialgleichung einer Schwingungsbewegung von der Schwingungslänge

i²

1 = 1. = —

k²    a²

Für einen dreiachsigen Wagen, dessen Endachsen den Abstand a von der Mittelachse haben, bleibt letztere von der Schwingung ziemlich unberührt. Unter der Voraussetzung, dass im Gleichgewichtszustände sämmtliche Federn gleich stark belastet sind, wird dann

Pi + P%~

²    M

3    Mg'

7)

k² =

ooj co

und

8)

Beispiel: Nach überschlägiger Berechnung ist für einen dreiachsigen Personenwagen mit a = 3,i5™ gefunden e=l,isn>; i² = 9,03«m. Es kann bei mittlerer Belastung die Gleichgewichts-Durchbiegung der Federn /= 0,i6 ™ angenommen werden. Hiermit ergiebt sich

9,03

13,55

= 0,22 m .

2 9,92    ,

V -

Da das zweite Glied im Nenner gegen das erste sehr unerheblich ist, so kann man es wohl vernachlässigen und erhält dann ebenfalls 0,22®. Mit Rücksicht auf dieses Ergebnis kann man statt Gl. 8 kürzer schreiben:

62 — l,i5

9)

3 . t²

2 * a²

oder, wenn man die auf den Abstand a bezogene Masse [x mit J = M • i² = /y. • a² also

t²    a

—5 = 4— einführt, or    M

10)

3 ß f T Mf’

Bei dem hier in Frage stehenden Personenwagen ergiebt sich 3 ;j.

ïï " ¹-*’>

daher

11)

l — 1,88 • / = 1,37 • 0,16 = 0,22 m .

Die einfache Schwingungsdauer des Wogens ist (Gl. 1) «j = 0,4s., mit 2^2 einfachen oder l¹/* Doppelschwingungen in der Sekunde; diejenige des Nickens <₂ = 0,47s-, mit 2,13 einfachen oder l,oe Doppelschwingungen in der Sekunde. Bei etwa 9® Schienenlänge und 20 ™ sekundlicher Geschwindigkeit erfolgen

die Stösse an den Schienenlücken, welche die wesentlichste Ursache der Schwingungen darstellen in Zeiträumen von 0,45 *• Dies Verhältnis ist ein günstiges, weil jeder zweite Stoss die Einwirkung des ersten auf das Nicken ziemlich wieder aufhebt.

17. Wälzendes oder wiegendes Pendel.

a) Auf ebener Fläche.

Nach 1. Theil, S. 149 ist ein gleichförmiger Kugel- oder Cylinder-Abschnitt, der mit der gekrümmten Fläche sich auf eine wagerechte stützt, in gesichertem Gleichgewichte. Wird er aus der Gleichgewichtslage gebracht, so führt er unter Einwirkung der Schwere Schwingungen um die Gleichgewichtslage setzt man nun die Berührungsflächen als genügend rauh voraus, dass ein Gleiten an denselben verhütet wird, so entsteht eine Roll- oder Wälzbewegung, und man nennt solche Vorrichtung (Fig. 191) ein wälzendes oder wiegendes Pendel; auch die Kinderwiege gehört zu diesen.

In der Mittellage befindet sich der Schwerpunkt S₀ lothrecht unter dem Mittelpunkte B₀ des Rollkreises und zugleich in seiner tiefsten Lage.

Beim Wiegen beschreibt der Schwerpunkt einen Theil einer verkürzten Cykloide Sl S₀ S₂. Die grösste Abweichung von der Mittellage werde durch den Winkel a gemessen.

Um die Dauer einer einfachen Schwingung Sx zu ermitteln, betrachten wir den Körper in einer Zwischenlage, (Fig. 192), die

Ebene

Fig. 191.

aus;

M.

"V,

(X),

Fig. 192.

S\

Mtf y,

B₂

Ifr

fr

von der Gleichgewichtslage um den beliebigen Winkel # abweicht. Die Wälzbewegung besteht aus einer Verschiebung des Schwerpunktes S mit der Geschwindigkeit u und einer gleichzeitigen Drehung um die rechtwinklig zur Bildebene stehende Schwerpunktsachse S mit der Winkelgeschwindigkeit co. Dann ist das augen-

Mu²    J

blickliche Arbeitsvermögen des Körpers nach S. 185 —-=--b -^-co²,

Li    u

worin J das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die genannte Schwerpunktsachse £ bedeutet. Es wirken auf den Körper die äusseren Kräfte Mg (durch den Schwerpunkt) und die Widerstände N und T der Berührungsstelle. Die letzteren beiden verrichten bei der Wälzung keine Arbeit, weil ihr Angriifspunkt P die Geschwindigkeit Null hat. Zur Arbeitsverrichtung kommt daher nur die Schwerkraft in Frage. Der Schwerpunkt S liegt um SB • cos # = e • cos # unterhalb des Punktes B, also, da B stets in gleicher Höhe verbleibt, um e (cos # — cos a) unter seiner Höchstlage. Weil nun in letzterer die Geschwindigkeiten u und cj Null waren, so ist nach dem Satze der Arbeit

M^P PoP 2 ' 2

Für die in der Bildfläche erfolgende ebene Bewegung bildet der Berührungspunkt P den Augenblicks-Drehpunkt, sonach muss v = (o • PS = (o • q und auch rechtwinklig zu PS sein. Führt man dies in Gl. 1 ein und ausserdem J — M-P, so wird

Moj²

—• e' + ~2

Bezeichnet man aber mit r den Halbmesser PB des Rollkreises, so ist in dem Dreieck PSB

1)

2)

MoP

= Mg • e (cos # — cos a).

• i² = Mg • e (cos # — cos a).

Q² = e² + r² — 2 e - r - cos &■ ;

fügt man rechts noch 4-2e-r und — 2e• r hinzu, so kann auch geschrieben werden

Q² = (r — e)² 4- 2 er (1 — cos#).

Hiermit wird aus Gl. 2:

2 g • e (cos # — cos a)

(î--e)² 4~ 2 e • r (1 — cos #) 4- i² '

Weil nun d der bis zur Mittellage noch zurückzulegende Drehungswinkel ist, der sich bei der jetzt betrachteten Bewegung verkleinert,

so ist

dd

oj =--—

dt

und

4)

dt — — (W

(r — e)¹ 2 + i² + 2 e • r (1 — cos d)

2 g • e (cos d — cos a)

Die Integration dieser Gleichung wird nur unter Annahme kleiner Schwingungswinkel a einfach; alsdann kann man 2<?-r(l — cos d) gegen die übrigen Glieder des Zählers vernachlässigen; führt man nun noch zur Abkürzung

5)

(r — e)² + i²

ein, so ergiebt sich

dd

dt — —

#1^2 (cos d — cos a)

Weil diese Gleichung mit der entsprechenden Gleichung für das mathematische Pendel von der Länge l (1. Theil, S. 77) übereinstimmt, so hat das wälzende Pendel unter Voraussetzung kleiner Schwingungswinkel gleiche Schwingungsdauer mit einem mathematischen Pendel von der Länge l nach Gl. 5, nämlich

6)

Würde der Körper sich als gewöhnliches physisches Pendel um die Achse B drehen, so wäre nach 1. Theil, S. 279, Gl. 5 die Schwingungslänge

7)

Jß    Js -f⁻ A/#² i² "f" c²

Me

Me

Es ist also

8)

Mr²

i² =    = 0,320 r².

Js

daher

r²

= AM — — 0,424² • r²

und

Hiernach wird die Schwingungslänge der halbcylindrischen Wiege (Gl. 5)

(1 — 0,424)² + 0,320

= 1,537 r,

während für den an der Achse B aufgehängten Halbcylinder die Schwingungslänge

9)

0,424

Jb

2

__    _ - = 1,179 r

M • e    0,424 r

wird. Es ist also thatsächlich l > \, weil (r — e)² = 0,332 r², e² aber nur = 0,180 r².

Für die wiegende Halbkugel ist (nach l.Theil, S. 136 u. 273)

e = ³/s r ; JB = 0,4 M r²', Js = M (0,4 — ⁹/64) r² ;

i² = 0,259 r². Daher

(1 — ³/s)² + 0,259 r-^-

10)

11)

³/8

= 1,732 r;

während für die an der Achse B aufgehängte Halbkugel die Schwingungslänge

12)

ly =

JB 0,4

” ³Är

M-

= 1,067 r

wird. Es ist also wieder l >    .

Für eine wiegende dünne Halbkugelschale ergiebt sich das Trägheitsmoment JB leicht aus dem des Halbkugelkörpers. Für letzteren ist

JB — 0,4 Mr² = 0,4 • ²/3 r⁵ Jt = ⁴/is rbn;

ändert sich r um dr, so ist die Zunahme von JB das Trägheitsmoment einer Halbkugelschale von der Wandstärke dr, nämlich ⁴/3 r⁴Jt-dr; lässt man hierin den Faktor dr fort, so ergiebt sich ⁴/3 rAJt als Trägheitsmoment einer Halbkugelfläche, und weil deren Grösse 2r²n beträgt, so wird für dieselbe

%M-r².

o

r _    ⁴ r*n

Jb M'S 2 r²n

Da nun (nach 1. Theil, S. 135 und 150) e = —, so gilt für die Schwerpunktsachse

i² =

13)

2    r²

3r    4

(1 — 0,5)² + ⁵/l2

V-—¹-

= Ä^²,

12

daher

3 r;

für die an der Achse B hängende Kugelschale aber wird nach Gl. 7

²/3 r²

0,5r ~ 3 r;

d. h. 7 =    , weil (r — 0,5 r)² = (0,5 r)² ist.

14)

l\ ⁼⁼

0,5

Wird ein prismatischer Stab von der Länge a nach Fig. 193

zu einem wälzenden Pendel gestaltet, indem man oben an zwei Seiten kleine Halbcylinder vom Halbmesser r befestigt und diese auf je einer wagerechten Schiene wiegen lässt,

Fig. 193.

B v

‘f

Fig. 194.

a¹

so ist é = 0,5 a; i² = ^ ;

-O

0,5

15) l = a

____

während für die Drehung um die Achse B (nach 1. Theil, S. 283)

wird Gl. 15 zu

einfach 7, = ²!z a ist. Für zwei Werthe von —

a

7 = 2/3 a, nämlich

1.    selbstverständlich für r — 0 ;

2.    für r = a = 2 e,

d. h. für eine Wiege, bei welcher der Rollkreis nach Fig. 194 aus einem sehr leichten Kreisbogen vom Halbmesser a gebildet ist.

Für — < 1 ist 7 < ²/3 a.

Weicht die Gerade

■6—

Po

b) Wiegendes Pendel in einer Hohlfläche; Hypocykloiden-Wiege.

Die auf einander rollenden Kreise (Fig. 195) mögen die Halbmesser r und R haben. Der Schwerpunkt S des wiegenden Körpers liege wieder um e unterhalb des Mittelpunktes B seines Rollkreises vom Halbmesser r. Im Gleichge- i wichtszustande möge der Körper die Hohlfläche bei P₀ berühren; ertheilt man ihm eine Rollbewegung rechts herum, bis die Berührung in P erfolgt (Fig. 196), bezeichnet mit Q denjenigen Punkt, der vorher mit P₀ zusammenfiel, so muss PQ — PP0 sein, oder wenn man

2LQBP=y>,

2ÇP₀AB = »l

Fig. 196.

Fig. 195.

-^A

Mo

oS₀

Po

setzt,

I & /    !

\ ry ? D°y Ay.

! /» \

•j

BSQ, welche ursprünglich lothrecht war (als B₀S₀P₀), um û von der Lothrechten ab, so ist d der Winkel, um den sich der Körper gedreht hat, als er aus der Gleichgewichtslage in die jetzige Zwischenlage kam, u. zw. ist nach der Figur

{) = y) —    = dx

'S I &

also

16)

R — r

Legt man durch den Mittelpunkt A des festen Kreises vom Halbmesser R eine Wagerechte, so liegt der Mittelpunkt B des beweglichen Kreises in der Tiefe z = AB- cos^ = (R — r) cosĄ

unter dem festen Punkt A, der Schwerpunkt S aber noch um e-cosd tiefer, d. h. in der Tiefe

17)

y = {R — r) cos dv -f e • cos d

unter A. In der höchsten Lage, die bei einer Schwingung vorkommt, möge d den Werth « erreichen; setzt man dann noch

T

-a = aj, so ist der Werth y in der

./b    7*

(entsprechend Gl. 16) höchsten Lage

18)

yx = (P — r) cos a₁ -j- e • cos a.

Beim Übergang aus der höchsten Lage in die beliebige Zwischenlage hat die Schwere die Arbeit geleistet

19) Mg(y—yl) = Mg{{P — r) (cos — cos ax) -f- e (cos d — cos a) j .

Für die ebene Bollbewegung des kleineren Kreises in dem grösseren ist der Berührungspunkt P der Pol; für die verkürzte Hypocykloide, welche der Schwerpunkt S beschreibt, ist daher PS = Q eine Normale; daher muss, wenn man mit u die Geschwindigkeit des Schwerpunktes, mit co die Winkelgeschwindigkeit um den Schwerpunkt bezeichnet, wie auf S. 251,

oj ■ q = u

sein, woraus sich, entsprechend der Gl. 2, S. 251, ergiebt: co² (e² + i²) = 2 g {y — yi) = 2 g {(jß - r) (cos d{ - cos ax)

+ <?(cos d — cosa)}.

dd

Mit (o —--— wird dann

dt

dt = — d'd

%g(y — y\Y

Auch in diesem Falle möge nur auf sehr kleine Schwingungen weiter eingegangen werden, so dass annähernd

Q = r — e ;

cos d = 1 — — ; cos = 1--L_

r²

a²

cos a = 1 — -g- ; cos czj =

¹    2 (B — rY'

. a² r²

2    (12 —r)²

gesetzt werden kann.

Dann wird nach Gl. 17 und 18

— V\) = 2^r|(Ä — r)(

= — <?²)(

r²

(B - r)

r2

(■« —r)

und

dt — —

(/• - «)² + i²

r2

. Setzt man

(Ä — r)

20)

(r — <?)² + i²

r²

H — r

so nimmt der Ausdruck für dt die einfache Form an:

21)

“—il "

CC² —tf²’

was nach 1. Theil, S. 77 mit der Gleichung für die Bewegung eines einfachen Pendels von der Länge l übereinstimmt; somit ist für sehr kleine Schwingungen die Schwingungslänge l der Hypocykloiden-Wiege durch Gl. 20 ausgedrückt. Für R = oo stimmt Gl. 20 mit der Gl. 5, S. 252 für die gemeine Wiege überein.

Bei dieser Hypocykloiden-Wiege darf e = 0 werden, d. h. S mit B zusammenfallen; dann wird

r² + i²

oder, wenn man J — M• i² = /ur² setzt,

und t

-ih-

was dem Sinne nach mit Gl. 7 im 1. Theile, S. 302 übereinstimmt.

Die Hypocykloiden-Wiege hat unter sonst gleichen Umständen eine kleinere Schwingungslänge, mithin auch eine kleinere Schwingungsdauer als die gemeine Wiege.

Eine wiegende Bewegung ist nur möglich, wenn der Körper in der tiefsten Lage Standsicherheit besitzt, wenn also (Fig. 196) bei einer kleinen Drehung nach rechts die Schwerpunkts-Lothrechte links von der Berührungsstelle P liegt. Bei wagerechter Unterstützungsfläche (Fig. 192) beträgt die linksseitige Entfernung der Schwerpunkts-Lothrechten von dem Stützpunkte P nur esin#;

17

Keck, Mechanik. III.

diese Grösse muss positiv, d. h. e > 0 sein, oder es muss der Schwerpunkt S unter dem Mittelpunkte B liegen. Für e — 0 wird die Standsicherheit Null und zugleich l = oo, d. h. es kommt keine Schwingung mehr zu Stande, und für e < 0 wird auch die Schwingungslänge < 0, was für ein Pendel widersinnig ist.

Bei der Hypocykloiden-Wiege aber darf der Schwerpunkt S auch oberhalb des Mittelpunktes B liegen, wie aus Fig. 196 ersichtlich. Der linksseitige Abstand der Schwerpunkts-Lothrechten von dem Stützpunkte P beträgt nämlich

r sin + csin#,

also für kleine Winkel

rdx + e$ = i) (■

r2

+ ej;

dieser Werth muss > 0 sein. Es wird also eine Hypocykloiden-Wiege auch noch bei negativem e möglich sein, wenn nur der

absolute Werth des negativen e kleiner ist als

. r²

II — r

, oder

22)

r2

> — e.

Für -

r²

R — r für R = 2 r

= — e würde wiederum l = oo.

Es würde z. B.

r > — e

sein müssen, d. h. der Schwerpunkt dürfte nur um weniger als r oberhalb des Punktes B liegen.

c) Wiegendes Pendel auf einer gewölbten Fläche; Epicykloiden-

Wiege (Fig. 197).

In diesem Falle muss für Standsicherheit in der Gleichgewichtslage die Bedingung erfüllt sein

e sin d r sin d

oder für kleine Winkel e •    > r • ^ , und weil

r • \p — R'dj, und zugleich

also

0 = 0, + y = 0,(l + ),

so folgt als Bedingung der Standsicherheit

r2

23)

Fig. 197.

Bei der Epicykloiden-Wiege muss der Schwerpunkt also tiefer liegen als bei der einfachen Cykloiden-Wiege.

HL

Die gleichen Erwägungen, wie sie bei der Hypocykloiden-Wiege angestellt wurden, führen hier zu den Gleichungen

24) l =

(r — e)² + î²

r2

und

T//777/nrW'225

ft

/T'

M.jf/P

R + r

25) dt

_ _yr__^

Ha

worin l wieder die Schwingungslänge der Wiege bedeutet. R = oo führt auch hier wieder zur einfachen Cykloiden-Wiege mit

(r — e)² + i-

d) Die Wippe.

Fig. 198.

°h

Wird in Fig. 197 der Halbmesser r des rollenden Kreises unendlich gross, so haben wir es mit dem Abwälzen einer ebenen Fläche, z. B. der Unterfläche einer Bohle, auf einem cylindrischen Baume,mit einer Wippe (Fig. 198), zu thun. Doch sind für diesen Fall die Formeln 23 und 24 nicht unmittelbar zu verwenden, weil r — oo auch e — oo bedingen würde. Vielmehr muss die Höhe des Schwerpunktes der wippenden Bohle über ihrer Unterfläche etwa mit h eingeführt, und in den

Formeln 23 und 24 r — e mit h und e mit r — h vertauscht werden. Dann wird aus Formel 23:

r2

r2

Rr

und, weil r — co, verlangt die Standsicherheit der Wippe

26)

h<R.

Aus Formel 24 wird

h² + i²

h² + i²

r²

Rr—h (R + r)

(-R + r) =

(1+0

R + r

und mit r = oo als Schwingungslänge der Wippe

h² + i2 R — h'

Die Formeln 26 und 27 lassen sich auch leicht unmittelbar

27)

finden.

Beispiel: Es sei (Fig. 198) « = 2">; b = 5 cm = 0,os h — 0,025 >n = 0,im. Dann wird für das polare Trägheitsmoment des Eechtecks nach 1. Theil, S. 271:

t² =

a² + 6 ²    4 + 0,05²

12

12

= 0,334 , daher

— 4,46 n»

O,0006 -f- 0,334 0,1 — 0,025

und die Dauer einer einfachen Schwingung

t — TZ

— = rund Y l — 2,i ⁸-

Offenbar ist für derartige Bohlenwippen genügend genau

a²

a²

12 (R — h)

4,44 m .

12

e) Hängende Wiege.

Mittels eines Ringes vom Halbmesser R sei ein mit dem Ringe starr verbundener Körper über einen festen Cylinder vom Halbmesser r gehängt, wobei r <c R (Fig. 199). Der Schwerpunkt S der Wiege liege um e unter dem Mittelpunkte des Ringes vom Halbmesser R. Ertheilt man dem Körper eine Rollbewegung links herum, bis der Berührungspunkt sich in P befindet (Fig. 200),

* = «n

R — r

so ist der Werth y in der höchsten Lage

yx = {R — r) cos ax -f- e cos a.

Beim Übergang aus der höchsten Lage in die Zwischenlage hat die Schwere die Arbeit geleistet

Mg (y—,7i) = Mg {(jß — r) (cos — cos aj + e (cos d — cos a)J . Es wird daher nach dem Satze der Arbeit (wie auf S. 256) mit q — PS = annähernd R + e, cj²(q² + i²) — 2g(y — y{)

dt

und bezeichnet mit Q denjenigen Punkt, der vorher mit P0 zusammenfiel, so muss PQ = PP₀ oder R\p — r-di sein. Weicht die Gerade QBS, welche ursprünglich lothrecht war (P₀B₀S₀) um $ von der Lothrechten ab, so ist d der Winkel, um den sich der Körper gedreht hat, und zwar ist nach der Figur

Fig. 199.

!«r

-QJ

■d = -dl — y)

B —

¹ R

o R =

- und

<9.

Ą?

li

\e

SÏ

R — r

Legt man durch den Mittelpunkt A '    ’

des festen Kreises eine Wagerechte, so liegt der Mittelpunkt B des beweglichen Kreises in der Tiefe

z = AB • cos $j = (R — r) cos ’dl, der Schwerpunkt S aber in der Tiefe y — (R — r) cos Ae- cos d.

In der höchsten Lage, die bei einer Schwingung vorkommt, möge den Werth oc erreichen; setzt man dann auch noch

Fig. 200.

io

Xe

___

(M + cf +

— 3/i)

Daraus folgt in ähnlicher Weise wie auf S. 256

(B + e)² + i²

dt = —

dd

o² — d²

Hiermit ist die Schwingungslänge der hängenden Wiege

28)

(B + e)² + i²

4- e

R²

1t — r

Besteht der wiegende Körper nur aus einem dünnen Ringe, so wird mit e = 0 und i² == B²:

l = 2 (B — r),

und schliesslich mit r = 0 für den ein physisches Pendel bildenden Ring l = 2B, wie schon im 1. Theile, S. 284 gefunden wurde. Mit B 4- e = — h und schliesslich B = oo wird aus der hängenden Wiege wiederum die Wippe mit

(n-r) = h^.

h² + i²

Br — {B — r)h

Beispiel: Der in Fig. 201 dargestellte Körper (Taschenuhr) hänge auf einem Stifte von 1 min Halbmesser; es ist fü = 8mm;

22²

r — 1 mm. e — 37 mm- *2 annähernd = -^~; also (Hl. 28)

(8 + 37)² 4- 242 _

64 , y + d7

daher die Schwingungsdauer annähernd t — "j/~Ö,o

Fast die gleiche Schwingungsdauer hat auch die Unruhe der Taschenuhr (S. 233).

Denkt man sich diese Uhr auf einem schwimmenden Brettchen liegend, so wird, weil die schwingende Unruhe nur unter dem Einfluss innerer Kräfte der Uhr steht, die Momentensumme der Bewegungsgrössen der Uhr sich nicht ändern können (S. 193). Behielte nun das Gehäuse der Uhr seine ursprüngliche Lage, so würde vermöge der Schwingung der Unruhe die Momentensumme der Bewegungsgrössen in Bezug auf die Achse der Unruhe und auch in Bezug auf eine dazu parallele Schwerpunktsachse sich fortwährend ändern. Diese Änderung muss dadurch aufgehoben werden, dass die übrige Uhr kleine Drehschwingungen um die lothrechte Schwerpunktsachse ausführt, welche den Schwingungen der Unruhe stets entgegengesetzt gerichtet sind. Diese Anregung zur Schwingung

Fig. 201.

!&i

49,5

Oj4 j-j----4

CO

495 = 0,22 s- .

22 \

.4.

macht sich auch geltend, wenn man die Uhr nach Fig. 201 auf hängt; stimmt die Schwingungsdauer der aufgehängten Uhr mit derjenigen der Unruhe überein, so kann die aufgehängte Uhr unter günstigen Umständen in Folge der Bewegung der Unruhe in deutlich sichtbare Schwingungen gerathen.

¹

=    , wenn (r — e)² = e².

Für den wiegenden Halbcylinder ist (nach 1. Theil, S. 132)

4

x—r — 0,424 r.

D 71

In Bezug auf die Achse B ist das Trägheitsmoment (nach 1. Theil, S. 272)

²

Jb —

18. Wirkung des Pulvers in der Kanone.

In Folge der Ausdehnung der entwickelten Pulvergase wird dem Geschosse, welches zu Anfang, ebenso wie die Kanone, die Geschwindigkeit Null hatte, eine Geschwindigkeit v beim Verlassen des Rohres ertheilt. Da nun der Gasdruck des Pulvers für die aus Geschoss, Kanone und Lafette bestehende Massengruppe eine innere Kraft ist, so muss, wenn äussere Kräfte von bedeutender Grösse in wagerechter Richtung nicht auftreten, der Gesammt-schwerpunkt an der ursprünglichen Stelle verbleiben, oder es muss die Bewegungsgrösse in der Richtung des als nahehezu wagerecht gedachten Rohres Null verbleiben (S. 173). Es werden daher Kanone und Lafette zu einem Rückläufe mit der Geschwindigkeit vl veranlasst. Ist M die Masse, welche das Rohr mit der Geschwindigkeit v verlässt, Mx die Masse der Kanone und Lafette, so muss — Mx vx + Mv — 0, also

1)

V'=M[V

Die relative Geschwindigkeit des Geschosses in Bezug auf die zurücklaufende Kanone ist offenbar

sein.

w = V + vl =

Da das Rohr vom Halbmesser r schraubenlinienförmige Züge vom Ansteigungswinkel a und der Ganghöhe oder dem Drall h besitzt, so entspricht der Verschiebungsgeschwindigkeit

noch eine Winkelgeschwindigkeit (p von der Grösse

2)

(p =

C'+f)

v • 2 Jt

r-tgoL

Ist nun fx die auf die Längsachse und den Abstand r bezogene Masse des Geschosses, so ist das gesammte Arbeitsvermögen in

4)

21

dem Augenblicke, wo das Geschoss aus dem Rohre tritt, gleich der Ausdehnungsarbeit 21 der Pulvergase im Rohre, d. h.

Mv²

2 ⁺ 2

21 =

Mxv²

ß • r²9?²

oder

ß 4r²^r²

mJ )'

Ist l die nutzbare Rohrlänge, so ergiebt sich die mittlere Triebkraft des Pulvers zu

3)

21 =

Mv² I

AI

— U -1--- +

2    \ AI AI h²

und der mittlere Gasdruck zu

5)

21

— —X— .

71

Beispiel: Eine grosse Krupp’sche Kanone von 0,4m lichter Weite und l = 8,5m nutzbarer Rohrlänge (Fig. 202) ertheile mit 200 k8 Pulvorladung dem

r² Til

Fig. 202.

fsmmm-A

■j<L I... .y..,./..Y:.

E>

. ....

X..

Geschosse von 1 ™ Länge und 700 H Gewicht eine Geschwindigkeit v = 500m/g . Das Rohr wiege 70000 kg, die Lafette 40000 k8. Der Drall der Züge betrage h = 18 m.

Die Pulvergase treten zwar nicht durchweg mit der Geschwindigkeit v aus dem Rohre, aber doch der vorderste Theil derselben; daher wird man bei der Berechnung der Bewegungsgrösse die Hälfte der Masse des Pulvers, bei derjenigen des Arbeitsvermögens ein Drittel dieser Masse mit zu M rechnen dürfen. Sonach ist die Geschwindigkeit des Rücklaufes

vx — 500 •

= 3,6 m/₈. .

700 + 100 70000 -f 400ÖÖ

Wollte man den Rücklauf ganz verhindern, so müsste man eine Widerstandskraft = K (Gl. 4) wirken lassen ; diese steht aber gewöhnlich nicht zur Verfügung. Übrigens beträgt auch derjenige Theil des Rücklaufes, während dessen die volle Pulverkraft das Rohr zurücktreibt, nur

I-

8,5 • 800

M+M,    110000 + 800

0,061m .

Das entstandene Arbeitsvermögen der Kanone nebst Lafette

110000 •

72660 mkg

wird dann durch geeignete Bremsvorrichtungen aufgezehrt.

Die auf die Längsachse und den Abstand r bezogene Masse des Geschosses

350

möge zu der Hälfte der Masse des Geschosses, also zu ;j. =- geschätzt

werden. Dann ist die Arbeit der Pulvergase:

21

800 ²

850 4 • 0,2² • t:2 767 • 110000 ¹ 767    18*

21 = 9 768 943 (1 + 0,oo76 + 0,0025) = 9 768 943 • l,oioi,

(1,0072), ,

21 = 9 867 609 mkg , die mittlere Triebkraft des Pulvers

= 1 161 000

9867 609

8,5

der mittlere Druck (mit 20²- = 1257)

= 923 kg/qcm = 923 at.

1 161000 1257

Das Einpressen des Geschossmantels in die Züge und die Keibung erhöhen den mittleren Druck noch um etwa V⁴₅ d. h. um 231 at , auf 1154 at.

Der wirkliche Druck im Bohr ist unmittelbar nach der Entzündung des Pulvers sehr gross und nimmt mit dem Vorrücken des Geschosses wegen der Ausdehnung der Gase ab. Benutzt man die vom Geschosse zurückgelegten Wegeslängen als Abscissen, die entsprechenden Gasdrücke als Ordinaten, so ergiebt sich eine Kurve von der Art der in Fig. 203 ausgezogenen Linie A BR SC. Diese Kurve würde annähernd eine adiabatische Linie (2. Theil, S. 340) sein, wenn die ganze Pulvermenge sich gleichzeitig entzündete. Da aber stets ein gewisses Nachb rennen erfolgt, so wird dadurch die Kurve beeinflusst. Weil neuere Versuchsergebnisse bezüglich dieser Linie uns nicht zur Verfügung standen, haben wir den abfallenden Theil derselben als gleichseitige Hyperbel angenommen und so bemessen, dass die mit dem Flächeninhalte des Rohrquerschnittes multiplicirte Fläche ABRSCD die Gesammtarbeit der Pulvergase darstellt, dass also die Fläche gleiche Grösse hat mit dem Rechteck AE FD, dessen Höhe dem mittleren Druck 1154at entspricht. Der grösste Druck, den der hintere Theil des Rohres auszuhalten hat, beträgt etwa 2700 at. Ein schneller verbrennendes Pulver erzeugt eine Druckkurve von der Form der in Fig. 203 gestrichelten Linie A Bl Cx mit einer grössten Druckordinate von etwa 3750 at, welche dann aber bald stark abfällt, da ihre Fläche unter Annahme derselben Austrittsgeschwindigkeit des Geschosses von 500 ™/s. den gleichen Werth haben muss wie die Fläche der ausgezogenen Druckkurve. Damit das Geschütz diese gewaltigen Drücke aushalten könne, ist der hintere Theil des eigentlichen Rohres durch mehrere Lagen warm aufgezogener Ringe (Fig. 202) verstärkt.

Es besteht eine bestimmte Beziehung zwischen der Druckkurve und der Art der Bewegung des Geschosses im Rohre.

Da wir den rechnungsmässig erforderlichen mittleren Druck mit Rücksicht auf die Widerstände um V⁴ erhöht haben, so folgt umgekehrt, dass von der

Fig. 203.

>1

3750-

2700

«a" V___

R—

Ci

K-

0/5

W=M3fi

's*

v----->

,i.r

Gesammtarbeit der Pulvergase nur 80 °/o auf die Bewegung übertragen werden, so dass stattfinden muss, wenn die ausgezogene Druckkurve benutzt und ihre Fläche ABRSCD — F gesetzt wird, 0,8 r²7r • F— 21.

Schreibt man nun

Mv²

21 ₂ a

(mit a =l,oioi in dem Zahlenbeispiele), so wird

₂_2 r² iż • 0,8

M • a

F.

das Rohr

Da die scheinbare (relative) Geschwindigkeit des Geschosses in Bezug auf

... = » (i + §)

ist,

so wird

w² =

2 r² TZ • 0,8

M ■ <x

Jt =

V² («Ü +

sein. Hiernach kann man die Zeittheile berechnen, die zu den einzelnen Geschwindigkeits-Zunahmen erforderlich sind, und erhält zugleich die Geschwindigkeitskurve AG FC (Fig. 204) und die Gesammtzeit 0,o23 s. für die Zurücklegung des 8,.7>n langen Weges im Rohre. Die mittlere Geschwindigkeit im Rohr ist sonach 8,5 : 0,028 = 303,6 m/g..

Seitliche Ablenkung des Geschosses in Folge seiner Drehung und des Luftwiderstandes.

Fig. 205.

Hätte das Geschoss beim Verlassen des Rohres keine Winkelgeschwindigkeit, so würde es im luftleeren Raume stets seiner Anfangslage parallel bleiben, in der Atmosphäre aber durch den Widerstand D derselben, welcher bei der üblichen Geschossform ober-

o'

halb des Schwerpunktes vorbeigeht, eine derartige Drehung (linksherum in der Fig. 205) erfahren, dass es in eine höchst ungünstige Richtung zur Flug-

bahn des Schwerpunktes gelangen würde.

Entspricht nun einer Wegeslänge x = AP (Fig. 203) die scheinbare Geschwindigkeit «fn dem Werthe xĄ-Ax die Geschwindigkeit w₂, so muss entsprechend vorstehender Gleichung auch gelten

w.² —

2    2 r²r • 0,8 j , M\²

W'    + mJ

AF,

wenn J F= PRSQ ist. Dies giebt für den vorliegenden Fall _ 2 • g • 1257 • 0,8 767 • l,oioi

Mittels dieser Gleichung lässt sich die Geschwindigkeit wx an verschiedenen Stellen des Rohres berechnen und durch die Kurve G JKL (Fig. 203, unten) darstellen.

In der Darstellung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit (Fig. 204) muss die dem Zeiträume entsprechende Fläche DEFG = Ax, daher annähernd

w.² — wx²

A>

1,0072 ² ■ A F = 25,83 A F.

Fig. 204.

W-503,6

Wl

At

0,02 U

IC₂

V“>

-Ô-Ó-

D E

-X

Die bedeutende Winkelgeschwindigkeit nun, welche die schraubenlinien-förmigen Züge des Rohres dem

Geschoss ertheilen, verhindert das Überschlagen des Geschosses in ähnlicher Weise, wie die schnelle Drehung eines Kreisels dem Umfallen desselben entgegenwirkt. Überträgt man die Erscheinungen bei der Drehung des Kreisels um den unteren Endpunkt der Achse sinngemäss auf die Drehung des Geschosses um seinen Schwerpunkt, so ergiebt sich Folgendes: Sobald die Achse des mit grosser Geschwindigkeit (p in Drehung gesetzten Kreisels etwas schief gegen die Richtung der Schwere steht, so dass sein Gewicht nicht durch den Drehpunkt geht, beschreibt die Achse des Kreisels, statt umzufallen, einen fein gerippten Kegel, dessen Achse durch den Drehpunkt geht und parallel der Richtung des Gewichtes ist, mit einer Winkelgeschwindigkeit w (S. 221). Dem entsprechend erfährt die Achse des Geschosses eine langsame Drehung um die zu dem Luftwiderstände D parallele Schwerpunktsachse (Fig. 206). Ist die Schraubenlinie der Züge eine rechtsgängige, so ist der Sinn der Winkelgeschwindigkeit <p nach rückwärts gerichtet, und das Gleiche gilt dann von u>.

Fig. 206.

9°

-------o-

D’

Daraus folgt eine Bewegung der Spitze des Geschosses in einem solchen Sinne, dass sie aus der lothrechten Zielebene eine nach rechts gerichtete Ablenkung erfährt. Hierdurch bekommt nun der Luftwiderstand auch im Grundriss eine schiefe Richtung gegen das Geschoss, so dass auch dessen Schwerpunkt nun nach rechts aus der Zielebene hinausgedrängt wird. Freilich ändert die Richtung des Luftwiderstandes D mit der Drehung des Geschosses fortwährend seine Richtung, und die Kreiselung wird in Folge dessen eine sehr unregelmässige. Daher werden auf die erste Ablenkung nach rechts bald solche nach unten, nach links und nach oben folgen. Weil aber das Geschoss bei der ersten Ablenkung noch die grösste Geschwindigkeit hat, so ist diese von überwiegendem Einfluss. Erfahrungsmässig zeigen dann auch alle Geschosse aus rechtsgängig gezogenen Rohren eine nach rechts gerichtete Abweichung aus der lothrechten Zielebene. (Yergl. die hiervon unabhängige Abweichung wegen der Drehung der Erde, S. 143.)

Vierte Abtheilung.

Kurze Mittheiluugen über die 'wesentlichsten Förderer der Mechanik.

1.    Archimedes, geboren 287 v. Chr. in Syrakus, gestorben daselbst 212 v. Chr., ist als Schöpfer der heutigen Gleichgewichtslehre zu bezeichnen. Die von ihm verfassten und auf uns überlieferten Schriften über Statik haben noch jetzt im Wesentlichen Gültigkeit. Seine Untersuchungen bezogen sich auf das Gleichgewicht am Hebel und am Flaschenzuge. Er übersah klar, dass man durch entsprechende Wahl der Übersetzung mit einer gegebenen Kraft jeden beliebig grossen Widerstand überwinden könne. Archimedes kannte auch die Schwerpunkte ebener Gebilde (s. 1. Theil, S. 136), sowie die Grundlehren vom Gleichgewichte flüssiger Körper, besonders vom Auftriebe des Wassers gegen eingetauchte feste Körper (s. 2. Theil, S. 185).

2.    Heron, der um 120 v. Chr. in Alexandria lebte, erweiterte die von Archimedes am Hehel und am Flaschenzuge gezeigte Möglichkeit beliebig grosser Kraftverstärkung (Übersetzung), indem er die Lehre von der Wirkungsweise des Keiles, der Schraube, der Zahnräder, des Rades an der Welle mit Seiltrommel entwickelte.

3.    Pappus, um 390 n. Chr. ebenfalls in Alexandria lebend, zeigte die Entwickelung der Schwerpunkte von Körpern, sowie den Satz, dass der Inhalt eines Umdrehungskörpers gleich dem Produkt aus der erzeugenden Meridian-Schnittfläche und dem Drehungsweg ihres Schwerpunktes (s. 1. Theil, S. 136). Dann ruhte die Entwickelung der Mechanik bis zur Zeit von

4.    Leonardo da Vinci, geboren 1452 zu Vinci bei Florenz, gestorben 1519 im Schlosse Cloux bei Amboise (Frankreich). Leonardo war von einer fast unbegreiflichen Vielseitigkeit; er zeichnete sich aus als Maler, Architekt, Ingenieur, Mathematiker, Philosoph, Dichter und Musiker. Er besass eine bedeutende Einsicht in die Gesetze der Bewegung auf schiefer Ebene und des freien Palles. Über das Verhältnis der Bewegungslehre zur Mathematik sagt er: „Die Mechanik ist das Paradies der mathematischen Wissenschaften, da man in ihr zur Frucht des mathematischen Wissens gelangt.“ Seine Schriften sind aber nach seinem Tode vergessen und erst am Ende des 18. Jahrhunderts wieder entdeckt worden. Seine Nachfolger in der Entwickelung der Mechanik scheinen nicht daraus geschöpft zu haben.

5.    Simon Stevin, geboren 1548 zu Brügge, gestorben 1620 zu Haag, fand die Gleichgewichts-Verhältnisse an der schiefen Ebene.

6.    Galileo Galilei, geboren am 18. Februar 1564 zu Pisa, gestorben am 8. Januar 1642 zu Arcetri, ist der Begründer der Lehren von der bewegenden Wirkung der Kräfte, der Dynamik. Er sprach (1638) das Gesetz der Trägheit bestimmt aus (s. 1. Theil, S. 31), entdeckte, dass bei der Fallbewegung die Geschwindigkeit mit der Zeit verhältnisgleich wächst. Er stellte das Gesetz vom Parallelogramm der Bewegungen auf und gelangte durch Vereinigung der Fallbewegung mit gleichförmiger Bewegung zu der parabolischen Wurfbewegung (s. 1. Theil, S. 48). Er erkannte, dass die Schwingungsdauer des Pendels proportional mit XI sei, fand auch das Gesetz der parabolischen Kettenlinie (s. 1. Theil, S. 181).

7.    Christian Huyghens, geboren am 14. April 1629 zu Haag, gestorben daselbst am 8. Juni 1695, war als bedeutender Mathematiker besonders befähigt, die neuen Bewegungsgesetze in mathematische Formeln zu kleiden und zu verallgemeinern. Er entwickelte die Lehre vom Schwingungspunkte des physischen Pendels (s. 1. Theil, S. 279), erfand die Pendeluhr, die Unruhe zur Hemmung der Taschenuhren, berechnete die Grösse der Centrifugalkraft (s. 1. Theil, S. 88), fand die Eigenschaften der Cykloide (s. S. 124), die Lehre von den Evoluten, sowie auch die Veränderlichkeit der Fallbeschleunigung mit der geographischen Breite wegen der Drehung der Erde.

8.    Isaac Newton, geboren am 5. Januar 1643 zu Woolstorpe in Lincolnshine, gestorben am 20. März 1726 zu Kensington, hat die Grundlehren der heute geltenden Mechanik zum Abschlüsse

gebracht. Er übertrug mit bewundernswerther Kühnheit die auf der Erde gewonnenen Erfahrungen auf Stellen ausserhalb derselben und gelangte so schrittweise zu dem Satze der allgemeinen Massenanziehung (s. 1. Theil, S. 54). Die Abhängigkeit dieser Anziehungskraft von dem Quadrate der Entfernung muthmafste er aus der Vergleichung der Centripetalbeschleunigung des Mondes und der Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche (s. 1. Theil, S. 62). Der Satz vom Parallelogramm wurde von Newton bestimmt gefasst, auch der Satz von der Wechselwirkung aufgestellt und der Satz von der Bewegung des Schwerpunktes abgeleitet.

9.    Johann Bernoulli, geboren am 27. Juli 1667 zu Basel, gestorben daselbst am 1. Januar 1748, erkannte die allgemeine Bedeutung des Satzes der virtuellen Verrückungen (s. S. 157) für alle Aufgaben des Gleichgewichtes. Den Satz des Arbeitsvermögens (s. 1. Theil, S. 45) hat er ohne Beweis ausgesprochen.

10.    Daniel Bernoulli, der Sohn des Vorgenannten, geboren am 29. Januar 1700 zu Groningen, gestorben am 17. März 1782 zu Basel, verfasste 1738 ein grundlegendes Werk über Hydrodynamik, entwickelte darin besonders die Formel für die Ausflussgeschwindigkeit w= 1 2gh (s. 2. Theil, S, 243) und folgerte daraus die Gleichungen für den hydraulischen Druck, für den Druck eines Flüssigkeitsstrahles gegen einen festen Körper und für die Reaktion ausfliessenden Wassers, die er bereits als Triebkraft für Schiffe in Vorschlag brachte (s. 2. Theil, S. 268).

11.    Leonhard Euler, geboren am 15. April 1707 zu Basel, gestorben am 18. September 1783 zu Petersburg, der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit, schrieb 1736 das erste umfassende Werk über analytische Mechanik. Er führte darin u. A. den Begriff Trägheitsmoment (s. 1. Theil, S. 267) ein, bestimmte die Schwerpunkts-Hauptachsen eines Körpers (S. 198) und entwickelte die Gleichungen für die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt (s. S. 211). Von Euler rühren auch schon die allgemeinen Gleichungen für das Gleichgewicht und die Bewegung vollkommen flüssiger Körper her (s. 2. Teil, S. 225 und 272), sowie die Grundgleichung der Biegungslinie, mit deren Hülfe er die bekannte Formel für die Knickfestigkeit (s. Keck, Elasticitätslehre S. 135) ableitete.

12.    Jean le Rond d’Alembert, geboren am 16. November 1717 zu Paris, gestorben daselbst am 29. Oktober 1783 machte sich durch die Aufstellung und den Beweis des nach ihm benannten Satzes (1. Theil, S. 139) im Jahre 1743 besonders verdient um die systematische Formgebung der Mechanik behufs Erleichterung der Lösung von Bewegungs-Aufgaben.

13.    Joseph Louis Lagrange, geboren am 25. Januar 1736 zu Turin, gestorben am 10. April 1813 zu Paris, war ein bedeutender Nachfolger von Euler und d’Alembert; er verfasste 1788 sein meisterhaftes Werk über analytische Mechanik. S. a. S. 161.

14. ^ Charles Coulomb, geboren am 14. Juni 1736 zu Augoulême, gestorben am 23. August 1806 zu Paris, hat sich besonders verdient gemacht durch die Begründung der Lehre vom Erddruck gegen Stützmauern und durch richtige Behandlung der gewöhnlichsten Aufgaben der Fertigkeitslehre.

15.    Louis Poinsot, geboren 1777 zu Paris, gestorben daselbst 1859, führte die Kräftepaare ein und entwickelte mit deren Hülfe die 6 Gleichgewichts-Gleichungen in der jetzt gebräuchlichen Form, (s. 1. Theil, S. 146). Auch fand er das Trägheits-Ellipsoid (s. S. 197) und dessen Bedeutung für die Drehung eines Körpers um einen festen Punkt (s. S. 224), sowie für die freie Bewegung eines Körpers, aufgefasst als gleichzeitige Verschiebung und Rollbewegung oder auch als augenblickliche Schraubenbewegung.

16.    Louis Navier, geboren am 15. Februar 1785 zu Dijon, gestorben 1836 zu Paris, ist der Begründer der wissenschaftlichen Elasticitätslehre und Baumechanik. Er entwickelte die wichtigsten Fälle gebogener Balken, zeigte die Berechnung der Bogen- und Hängebrücken, sowie der Stäbe, Säulen und Pfeiler mit excentrischer Druckbelastung.

17.    Gustav Coriolis, geboren 1792, gestorben 1843 zu Paris, hat namentlich für die Ausbildung der Lehre von der scheinbaren (relativen) Bewegung gewirkt, indem er die beiden Ergänzungskräfte derselben einführte (s. S. 135).

18.    J. Y. Poncelet, geboren am 1. Juli 1788 zu Metz, gestorben am 22. December 1867 bei Paris, hat die Ausbildung aller Theile der Mechanik für praktische Zwecke gefördert, hat namentlich

wichtige Versuche über Wasserbewegung angestellt (s. 2. Theil, S. 239); auch hat er der Ausbildung der graphischen Statik ■erheblich vorgearbeitet.

19.    Adhémar de Saint-Vénant, geboren am 23. August 1797 zu Portoiseau bei Melun, gestorben am 6. Januar 1886 zu Vendôme, hat sich um die wissenschaftliche Ausbildung der Elasticitätslehre hohe Verdienste erworben; gestützt auf Navier u. A., hat er besonders in den Jahren 1837, 1843, 1847, 1853 und 1858 bahnbrechende Abhandlungen über die verwickelteren Fälle der Biegungslehre mit Berücksichtigung der Schubspannungen verfasst und die allgemeine Theorie der Drehungs-Elasticität begründet.

20.    Julius Weisbach, geboren am 10. August 1806 zu Mittelschmiedeberg im Königreiche Sachsen, gestorben am 24. Februar 1871 zu Freiberg, hat sich durch sorgfältige Versuche über Bewegungswiderstände fester, flüssiger und gasförmiger Körper hervorragende Verdienste, besonders um die technische Hydrodynamik, erworben, hat auch dem Studium und der Anwendung der Mechanik durch ■die Herausgabe eines umfassenden Werkes „Ingenieur- und Maschinen-Mechanik“ sehr genützt.

21.    Macquorn Rankine, geboren am 5. Juli 1820 zu Edinburg, gestorben am 24. December 1872 zu Glasgow, gehört zu den Begründern der Mechanischen Wärmetheorie, hat ferner die Lehre vom Gleichgewichte der Erdkörper, sowie die Lehre von der Knickfestigkeit gefördert und dem Ingenieurwesen durch das Buch „A Manual of applied mechanics“ genützt.

22.    B. P. E. Clapeyron, geboren am 21. Februar 1779 zu Paris, gestorben daselbst am 28. Januar 1864, war ebenfalls ein wesentlicher Förderer der Mechanischen Wärmetheorie und ist den Bauingenieuren namentlich durch seine Weise der Berechnung durchgehender Träger (s. Keck, Elasticitätslehre, S. 78) bekannt.

23.    Carl Culmann, geboren 1821 in Bergzabern (Rheinpfalz), gestorben am 8. December 1881 in Zürich, begründete, gestützt auf Poncelet und Andere, den besonderen Zweig der Gleichgewichtslehre, den er „Graphische Statik“ nannte, und zeigte deren Anwendung auf fast alle Theile des Bauwesens.

24.    Emil Winkler, geboren 1835 in Falkenberg bei Torgau, gestorben am 27. August 1888, war einer der bedeutendsten

18

Keck, Mechanik. III.

Förderer der Elasticitätslehre und ihrer Anwendungen auf das Bauingenieurwesen. Er bildete die von de Saint Venant begründete neue Elasticitätslehre weiter aus und schuf unter anderem die Berechnungsarten der Bogenträger, wie sie noch jetzt meist in Gebrauch sind; auch die Lehre vom Erddrucke hat er nicht unwesentlich erweitert.

25.    Franz Grashof, geboren am 11. Juli 1826 zu Düsseldorf, gestorben am 30. Oktober 1893 zu Karlsruhe, nimmt zu dem Maschinenwesen eine ganz ähnliche Stellung ein wie sein Zeitgenosse Winkler zu dem Bauingenieurwesen, indem er, ebenfalls gestützt auf de Saint Venant, ein gleich vorzügliches Werk über Elasticitätslehre verfasste, dessen Anwendungen sich mehr auf Maschinentheile beziehen. Wie sich Winkler mit Erfolg bemühte, die Mechanik auf alle Theile des Bauingenieurwesens anzuwenden, so bearbeitete Grashof mit dem Werkzeuge der Mechanik alle Gebiete des Maschinenwesens.

26.    Joh. Bauschinger, geboren am 11. Juni 1834 zu Nürnberg, gestorben am 25. November 1893 zu München, hat sich als Begründer und langjähriger Leiter des mechanisch-technischen Laboratoriums der Technischen Hochschule zu München besonders um die technisch-wissenschaftliche Untersuchung der Baumaterialien hervorragende Verdienste erworben.

27.    Alberto Gastigliano, geboren am 9. November 1847 zu Asti, gestorben am 25. Oktober 1884 zu Mailand, zeigte die Berechnung der Formänderung elastischer Körper, Träger, Fachwerke u. dgl. mittels der Formänderungsarbeit (s. Keck, Elasticitätslehre, S. 253) und benutzte diese Lehren für die Berechnung statisch unbestimmter Träger und Fachwerke.

Alphabetisches Verzeichnis und Bedeutung der in den Formeln vorkommenden Buchstaben unter Hinweis aut die erklärenden Seiten des Buches.

einer

C Centrifugalmoment. 195.

E Elasticitätsmafs. 182.

F Fläche des Fahrstrahls. 85.

F Querschnitt eines Stabes. 181.

G Gleitmafs. 231.

J Trägheitsmoment. 182, 193.

Ju J₂, J₃ Haupt-Trägheitsmomente. 197. K Kraft. 51, 151.

M Masse einer Gruppe von Punkten. 164.

N Normalwiderstand. 113.

Q Gewicht eines Körpers. 158.

R Halbmesser einer Kugel. 189.

T Tangentialkraft. 238. ü Kräftefunktion. 88.

V    Verdrängung (Deplacement) eines

Schiffes. 62, 227.

V    Potential. 108, 126.

W Gesammtwiderstand einer Fläche. 160.

W Luftwiderstand. 241.

X Kräftesumme in der x- Richtung. 170.

V    Kräftesumme in der Richtung.

170.

Z Kräftesumme in der z- Richtung. 170.

a halbe Schwingungsweite. 55. a Länge eines Stabes. 182.

a Abstand der Achsen eines Eisenbahnwagens von dessen Mitte.

' 249.

b Länge der Wasserfüllung einer Röhre. 179.

c Geschwindigkeit, besonders Anfangs-. 2, 171.

e Abstand des Schwerpunktes eines Schiffes vom Schwerpunkte seiner Verdrängung. 228. f Reibungsziifer. 113. f Gleichgewichtsbiegung. 61, 247. g Fallbeschleunigung. 56. i Trägheitshalbmesser. 183. k Ziffer der Massenanziehung. 97,186. k Gleichgewichtsgeschwindigkeit im widerstehenden Mittel. 78. k² Einheits - Beschleunigung Schwingung. 53.

I Hebelarm einer Kraft. 192.

I Schwingungslänge. 227.

I Abstand eines Massenpunktes vom Schwerpunkt eines Körpers. 187. m Masse eines Punktes. 51. p Beschleunigung. 2. pn Normal- und Centripetal - Beschleunigung. 7.

pt Tangential-Beschleunigung. 7. q Ziffer der Sonnen-Anziehung. 97. r Erdhalbmesser. 56.

18*

3.

3.

r Krümmungshalbmesser einer Kettenlinie im Scheitel. 165. r Abstand zweier Punkte. 186. r Abstand eines Punktes von einer Achse. 192. s Wegeslänge. 1. s Bogenlänge. 166. t Zeit. 1.

t Umlaufszeit. 95, 103. tA Dauer einer einfachen Schwingung. 55, 118, 181.

u Geschwindigkeit des Schwerpunktes. 184. v Geschwindigkeit. 1. w Geschwindigkeit der scheinbaren (relativen) Bewegung. 37, 185. x₀, Voi *o Koordinaten des Schwerpunktes. 170.

Al Gleichgewichts-Verlängerung. 59. « Neigungswinkel einer Ebene. 158. a Neigungswinkel gegen die x-Achse.

a₀ Gleichgewichtsgefälle eines Eisenbahnzuges. 241.

ß Neigungswinkel gegen die y-Achse.

y Neigungswinkel gegen die z-Achse.

y Gewicht der Körpereinheit. 179. e Winkelbeschleunigung. 205.

Drehungswinkel. 227. ju. auf den Umfang bezogene Masse. 236.

p Krümmungshalbmesser. 7. r Schubspannung. 231.

<p Beibungswinkel. 159.

<p, x, (p Winkelgeschwindigkeiten. 30,

212.

w Winkelgeschwindigkeit. 28.

21 Arbeit. 176.

3 Trägheitsmoment der Schwimmfläche eines Schiffes. 228.

ÜJÎ Drehungsmoment. 193.

Alphabetisches Verzeichnis der behandelten Gegenstände.

Ablenkung (Deviation). 8.

Achsen, freie. 198.

Achswiderstände einer schwingenden Glocke. 204. d'Alembert. 272.

Antrieb einer Kraft. 171.

Arbeit 21. 87, 176.

Arbeitsvermögen. 86, 176, 185. Archimedes. 269.

Aufzugsmaschinen. 161.

Bauschinger. 274.

Bernoulli. 271.

Beschleunigung p. 2, 5, 8. Beschleunigung p der zusammengesetzten Bewegung. 38.

Bewegung, allgemeine, eines Körpers. 24. Bewegung auf einem Kreise mit Reibung. 113.

Bewegung auf einer Bahnlinie in loth-rechter Ebene. 117.

Bewegung auf einer Kugelfläche. 129. Bewegung auf vorgeschriebener Bahn.

112.

Bewegung, ebene, eines Körpers. 12. Bewegung einer Kette. 177. Bewegung einer Massengruppe. 170. Bewegung eines freien Körpers. 226. Bewegung eines geometrischen Körpers.

Bewegungen, Zusammensetzung derselben. 28, 36.

Bewegung, geradlinige. 1, 51. Bewegung im widerstehenden Mittel. 71, 108.

Bewegung in einer Parabel. 127. Bewegung in einer sich drehenden Röhre. 136, 138.

Bewegung, krummlinige. 2, 83. Bewegung längs eines Erdmeridianes. 138.

Bewegung, scheinbare (relative). 43, 134.

Bewegungsgrösse. 171, 191. Bewegungslehre, geometrische. 1. Brachistochrone. 125.

Bremsung eines Eisenbahnzuges. 240.

Castigliano. 274.

Centralbewegung. 90. Central-Ellipsoid. 198. Centrifugalmoment C. 195. Centripetal-Beschleunigung pn. 7. Clapeyron. 273.

Coriolis. 272.

Coulomb. 272.

Culmann. 273.

Cykloiden-Pendel. 122.

Deviation (Ablenkung). 8. Drehbewegungen. 30.

14.

74.

Drehpunkt, augenblicklicher, oder Pol.

Drehung eines Körpers um eine Achse. 204.

Drehung eines Körpers um einen Punkt.

21, 211, 224.

Drehungspaar. 33.

Drehungspendel. 230.

Eisenbahnwagen, Schwingungen desselben. 246.

Eisenbahnzug, Bremsung desselben. 240.

Elastische Schwingung. 59. Ellipsen-Zeichner. 16.

Elliptische Bewegung. 92, 97.

Erde als Anziehungs-Centrum. 104. Ergänzungskräfte der scheinbaren Bewegung. 135.

Euler. 271.

Fahrrad, Widerstand desselben. 245. Fall aus grosser Höhe. 65. Fallbewegung im widerstehenden Mittel.

Fallbewegung in Bezug auf die sich drehende Erde. 144. Foucault’scher Pendel-Versuch. 146. Freie Achsen. 198.

Galilei. 160, 270.

Gelenkstange, Pol einer. 15. Gelenkstangen-V erbindungen. 163. Geometrische Bewegungslehre. 1. Geschoss, Bewegung desselben in der Kanone. 263.

Geschoss, seitliche Ablenkung desselben. 143, 267.

Geschwindigkeit c, v. 1, 2. Gleichgewicht einer Massengruppe. 150. Gleichgewichts-Geschwindigkeit k im widerstehenden Mittel. 71.

Glocke, Widerstände der Achse einer schwingenden. 204.

Grashof. 274.

Gravitation. 97.

Hauptachsen eines Körpers. 197. Haupt-Trägheitsmomente J>, Ą. 197.

Heron. 269.

Himmelskörper, Bewegung derselben. 97, 148.

Huyghens. 270.

Hyperbolische Bewegung. 101.

Innere Kräfte. 170, 185.

Kanone, Wirkung des Pulvers in derselben. 263.

Kegelpendel. 133.

Kepler. 106.

Kette, Bewegung einer. 177. Kettenlinie. 165.

Klappbrücke. 167.

Kräftefunktion U. 88.

Kahn, Verhalten eines schwimmenden Kahnes. 174.

Kreiselbewegung. 216.

Kreispendel. 117.

Kurbelschleife. 55.

Kurbelstange, Bewegung einer. 15.

Lagrange. 161, 272. Leonardo da Vinci. 269. Luftwiderstand. 79.

Massen-Anziehung. 97.

Massengruppe, Bewegung einer. 170. Massengruppe, Mechanik einer. 150. Massenpunkt m. 51.

Maxwell. 161.

Mechanik des Massenpunktes. 51.

122.

108.

24.

Mechanik einer Gruppe von Massenpunkten. 150.

Mohr. 161.

Momentensumme der Bewegungsgrössen. 191.

Navier. 272.

Newton. 270.

NiveauHächen. 90. Normal-Beschleunigung pn. 7. Normalwiderstand N. 113.

Pappus. 269.

Parabolische Bewegung. 127. Pendel, Cykloiden Pendel, Drehungs-. 230.

Pendel, Kegel-. 133.

Pendel, Kreis-. 117.

Pendel, räumliches. 129.

Pendel-Versuch von Foucault. 14b. Pendel, wälzendes. 250. Planeten-Bewegung. 97, 148. Poinsot. 198, 224, 272.

Polbahnen. 19, 24.

Poncelet. 272.

Potential einer Hohlkugel. 188. Potential einer Kugel. 189. Potential einer Kugelschale. 187. Potential einer Massengruppe. 186. Potential V.

Satz des Arbeitsvermögens. 8b, 17b. Satz von der Momentensunnne der Bewegungsgrössen. 191.

Scheinbare (relative) Bewegung. 43, 134.

Schiff, Schwingungen desselben. 227. Schrauben-Bewegung eines Körpers.

Schraubenlinien-Bewegung. 9. Schwerpunkt als Mittelpunkt einer Massengruppe. 175.

Schwerpunkt, Bewegung desselben. 170. Schwerpunkt der Fläche einer Halb-Ellipse. 172.

Schwerpunkt eines Halb - Ellipsoides. 173.

Schwingung des Wassers in einer Röhre. 179.

Schwingungen eines Eisenbahnwagens. 246.

Schwingungen eines Schiffes. 227. Schwingung, geradlinige. 53. Schwingung schwimmender Körper.

61.

Schwingungslänge eines Kegels. 202. Sonne als Anziehungs-Centrum. 105. Spiralfeder der Unruhe einer Uhr. 232. Stab, umfallender. 209.

Stange, reibungslos ausgleitende. 233. Stevin. 160, 270.

Stoss. 173.

Rankine. 273.

Relative (scheinbare) Bewegung. 43, 134.

Röhre, Schwingung des Wassers in einer. 179.

Rollbewegung auf schiefer Ebene. 236. Rollbewegung der Polbahnen. 19, 24. Rollbewegung eines mit Wasser gefüllten Gefässes. 239.

de Saint-Venant. 273.

Satz der Flächen. 84.

Satz der virtuellen Verrückungen. 157.

Tangential-Beschleunigung pf. 7. Torsionspendel. 230. Trägheits-Ellipsoid. 197. Trägheitsmoment eines Cylinders. 200. Trägheitsmoment eines Ellipsoides. 202. Trägheitsmoment eines Kegels. 201. Trägheitsmoment eines Parallelepipeds. 199.

Trägheitsmoment J. 193.

Umlaufszeit t. 95, 103. Unruhe einer Uhr. 232.

Verschiebung eines geometrischen Körpers. 11, 15.

Virtuelle Verrückungen. 154.

Wälzendes Pendel. 250. Weisbach. 273.

Wiege. 250.

Winkelgeschwindigkeit a>, (p. 29. Winkler. 273.

Wippe. 259.

Wurfbewegung mit Luftwiderstand. 74, 108.

Zusammensetzung der Bewegungen eines Körpers. 28, 36.

Berichtigung zum ersten Theile:

S. 64, Z. 21 von oben, soll es heissen: S₁ = S.₂.

Berichtigungen zum zweiten Theile:

S. 42, Z. 18 von oben soll es statt    heissen: EJ~—,

aar    dx

S. 83, Z. 8 von oben sind die Worte „Zugkräfte“ und „Druckkräfte“ mit einander zu vertauschen.

S. 93: In Gl. 6 fehlt ein Mal der Faktor

S. 109, Z. 14 von unten soll es statt „gleicher Stoffmenge“ heissen: „grösserer Stoffmenge“.

S. 128, Z. 2 von unten soll es statt M heissen: Ml.

S. 129, Z. 6 von unten soll es statt Mxv² heissen: Mv².

S. 158 soll es in Fig. 172 statt p-dy-dz heissen: p-dyds.

S.    168,    Z.    16    von    unten soll es statt CD heissen: CE.

S.    183,    Z.    18    von    unten soll es statt „wenn d die Spannung“    heissen:    „wenn

ct die Spannung“.

S.    190,    Z.    12    von    oben soll es statt „des Punktes E“ heissen:    „des    Punktes    E₁ “.

S.    197,    Z.    12    von    oben soll es statt a : eu² heissen: g:<i)².

S. 203, Fig. 231 soll es statt / heissen: F.

S. 223, soll es statt „Fig. 348“ heissen: „Fig. 248“, und darin soll es statt m • x • w₂ heissen : m • x • a>².

S. 282, Z. 1 von oben soll es statt Pt = yx₁ heissen: Pi = -J-Po» ferner ist in Zeile 3 und 7 von oben der Summand — zu streichen.

r

S. 295, Z. 4 von oben statt „verwickelbaren“ heissen: „verwickelteren“; auch soll es in Z. 7 und 8 von unten heissen: » = 0,on bezw. 0,oi3.

S. 302 soll es in dem Beispiele heissen:

<=l,33m;    6 = 0,7i m, r = 0,665 m; a = 0,000303.

S. 355, Z. 14 von oben soll es statt „Formel 11“ heissen: „Formel 13“.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej 1-348999

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