F=

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW I

У

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

inw.

><f

À⁴n

Ês;i

О"

ÏVV

74

X}

Шл

Л'\Ч

'■'■л

i.

'Л

■,s

(|,if

■Uyt

/V

)Æ>,

Л/i

t л :

ri

j'

y»

MÏ> i

ШШт

'»if (V

jJu

,V J

?yr

l’y

ï'-i

oy',

/.

ffj

V /,■

/•'/y.

V/.

.'и

• i-

'V7' -,

v!

л;¹

y.

/vit

) é\

'.’Sï

'!}М

••

f/

//

y.;

;K!

>/ *

•//;

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297120

■ж

ьнщет

■л

РШ^^^ШГ

im|№i................... 1

Ж <#я

к»р:

+ •«Ш- t

IÜ

III

КС«

eip

Щ^Шш

8Ш

SyW

ШШжнчвМ!

1Н§РйхЩ1Р

Ш€т\^Ж' ? »НИЖЩИ'

<ЦШ

1и

1Ш0ШИ||КШ

ШРШШ1

^Ш№^Ш|й1йВ1шйНв1Й11

ниШйн¹

1ШШ

..г¥#в#АХК

¥=шш>4 "«te:>

щш-

Л* tfOTci&jr/ «Л,

IÄ-

ШШ

l-K-K.^SP: J'Kie;#';-1

i

ЫМ1»- -V'

(Шм

тт

ёЩй

iBbRiS

вж

шгш;А

1|1ш=

ШШ

ши

ша

ЩШтшг*

$®Шг R^HÉ)

ВЕЗшИИ

щШШ> I

ШШ

ши

/Г*

чтзйГ/ шия

iii

^^шЖЖжГ

шт

|pjp.х^ШШШу я.Ши

Шшшшт

Wr >^Ф\    Ф/Ш

ЪШЁШкш. ШШ

£É|Éfe.'

1ШШШ||

Ш§)]§

шМЫшШЯКШ

ШШ........

Шк

ÉH1

ЙШ

)■ >

Шт

Р)&мшшн^т

ШШтт

•«ШёёРШВр

«а

■К

он

щр£ Ш

жщ

к»

ШМ*

Jfe

'V •

«Su.,—

Vorträge

über

Mechanik

als Grundlage für das

Bau- und laschinenwesen.

Von

Wilh. Keck,

Geh. Regierungsrath,

Professor an der Technischen Hochschule zu Наппотег.

Erster Theil:

Mechanik starrer Körper.

Zweite Auflage.

Mit 394 Holzschnitten.

Hannover.

Helwingsche Verlagsbuchhandlung. 1900.

ко ъа\(ьг1.о

iï_ ^8^0,8

mm

2 ?.!!E GM»

III

ШИ.О«

est

■V

Vkc

?ч

hlf) ЖЬ V

.....'.yr'^CJ f\ »

Druck топ Th. Sch&fer, Hannover.

Vorwort zur zweiten Auflage.

Mit Rücksicht auf die freundliche Aufnahme, welche diesem Buche bei seinem ersten Erscheinen im Jahre 1896 zu Theil geworden ist, habe ich bei der Bearbeitung der zweiten Auflage den Hauptplan der ersten Ausgabe beibehalten.

Die Einfachheit und Anschaulichkeit der Behandlung des Stoffes habe ich zu verbessern gesucht durch Hinzufügung einiger neuen Holzschnitte, durch Verbesserung solcher Figuren, die nicht nach Wunsch ausgefallen waren, sowie durch zahlreiche kleine Änderungen und Ergänzungen im Texte. Auch die Zahl der erläuternden Beispiele wurde vermehrt durch die Vorführung der Steinzange (S. 209) und des Bremsberges (S. 308).

Den in dankenswerter Weise mir erteilten Winken und Ratschlägen zur Verbesserung des Buches habe ich nach Möglichkeit Rechnung getragen.

Hannover, im Januar 1900.

Keck.

Inhalt.

Seite

Erste Abtheilung.

Mechanik des Massenpunktes.

1.    Darstellung des Gesetzes der geradlinigen Bewegung eines Punktes .

a)    Gleichförmige Bewegung eines Punktes ; Geschwindigkeit . . .

b)    Ungleichförmige Bewegung eines Punktes.........

2.    Darstellung des Geschwindigkeits-Gesetzes der geradlinigen Bewegung

eines Punktes........................

a)    Gleichförmig veränderte Bewegung; Beschleunigung.....

b)    Ungleichförmig veränderte Bewegung...........

3.    Zusammensetzung mehrerer gleichzeitigen Bewegungen eines Punktes

a) Zusammensetzung der Geschwindigkeiten..........

h) Zusammensetzung der Beschleunigungen..........

c)    Zusammensetzung krummliniger Seitenbewegungen......

d)    Zerlegung von Bewegungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen .....................

4.    Physikalische Grundgesetze der Mechanik............

Mafseinheiten der Physik...................

5.    Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes unter alleiniger Einwirkung der Schwere.....................

6.    Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte...........

7.    Mechanische Arbeit einer Kraft................

8.    Arbeitsvermögen (kinetische Energie oder lebendige Kraft) eines

Massenpunktes.......................

9.    Parabolische Wurfbewegung..................

10.    Gesetz der allgemeinen Massenanziehung............

11.    Parabolische Bewegung im Allgemeinen.............

12.    Tangential- und Normalbeschleunigung.............

13.    Gleichgewicht eines Massenpunktes...............

14.    Bewegung auf vorgeschriebener Bahn..............

15.    Yorgeschriebene Bewegung in wagerechtem Kreise........

16.    Vorgeschriebene Bewegung in lothrechtem Halbkreise.......

17.    Einfaches (mathematisches) Pendel...............

es № w

O i—< ^ C: CO

r—<    - i—< 04 Ol

Seite

18.    Scheinbare (relative) Bewegung in Bezug auf einen fortschreitenden

Raum............................

19.    Ruhe in Bezug auf einen sich gleichmässig drehenden Raum ....

20.    Einfluss der Drehung der Erde auf das scheinbare Gewicht ....

78

87

91

Zweite Ahtheilung.

Mechanik starrer Körper.

1.    Einleitung..........................

2.    Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften in einer Ebene mit

gemeinsamem Angriffspunkte..................

3.    Satz der Drehmomente..............'......

4.    Zusammensetzung paralleler Kräfte...............

5.    Zusammensetzung von Kräftepaaren.............

6.    Zusammensetzung von Kräften im Raume mit verschiedenen Angriffspunkten ...........................

7.    Centralachse einer Kräftegruppe................

8.    Zeichnerische Zusammensetzung von Kräften in einer Ebene ....

9.    Zusammensetzung von Parallelkräften gleichen Sinnes im Raume . .

10.    Mittelpunkt der Massen (Schwerpunkt) eines starren Körpers . . .

11.    Arbeit der Schwerkräfte an einer beliebigen Massengruppe.....

12.    Der Satz d’Alembert’s....................

13.    Satz von der Bewegung des Schwerpunktes........ . . .

14.    Satz der Arbeit..................... . .

95

90

98

102

106

111

115

118

122

124

140

141

143

144

A. Gleichgewicht starrer Körper.

1.    Gleichgewichts-Bedingungen..................

2.    An einer Stelle befestigter bezw. unterstützter Körper.....

3.    Hebel...........................

4.    Hebelwaagen.........................

5.    Zweifach befestigter bezw. unterstützter Körper.........

6.    Dreifach und mehrfach befestigter bezw. unterstützter Körper . . .

7.    Gleichgewicht einer Verbindung von Gelenkstangen........

8.    Kettenlinien.........................

147

149

153

154

159

166

172

183

9. Brücken- und Tafelwaagen 10. Reibung........

188

191

a)    Reibungsziffer, Reibungswinkel und Reibungskegel......

b)    Schiefe Ebene.....................

c)    Bewegung in Keilnuthen..............‘. . .

d)    Stabförmiger Körper, von zwei Ebenen gestützt......

e)    Gleichförmiges Heben eines Pochstempels.........

f)    Festklemmen eines Stabes zwischen zwei Flächen......

g)    Steinzange zum Heben und Versetzen schwerer Werksteine. .

h)    Keil in dem Spalt eines Baumstammes oder dergl......

i)    Gleichförmige Bewegung zweier sich berührenden Keile . . .

191

194

198

200

205

207

209

211

Seite

k)    Wirkung der Keilpresse . .

l)    Wirkungsgrad einer Maschine m) Drucklinie eines Gewölbes .

11.    Wirkung der Reibung bei gleichmässig sich drehenden Körpern . .    222

a)    Reibungsmoment eines Tragzapfens............

b)    Reibungsmoment eines Stützzapfens............

c)    Reibungswaage von Hirn.................

d)    Bremszaum von Prony..................

e)    Reibungsräder.....................

f)    Seilreibung......................

g)    Bandbremse......................

h)    Riemenscheiben.....................

i)    Seilrollen und Flaschenzüge...............

12.    Rollwiderstand der Walzen und Räder. Gleichmässige Bewegung der

Fuhrwerke..........................

13.    Die Schraube........................

Schlussbemerkung über Reibung................

216

217

220

224

229

232

233

234

236

239

240

242

251

260

269

В. Beschleunigte Bewegung starrer Körper.

1. - Grösse des Arbeitsvermögens eines Körpers bei einer Verschiebung

bezw. einer Drehung um eine feste Achse............

2.    Trägheitsmomente......................

3.    Winkelbeschleunigung.....................

4.    Physisches Pendel......................

5.    Beschleunigte Bewegung einer Seilrolle.............

6.    Widerstände der festen Drehachse eines Körpers.........

Freie Achsen........................

7.    Gleichzeitige Verschiebung und Drehung eines Körpers......

a)    Arbeitsvermögen....................

b)    Bewegung eines freien Körpers..............

c)    Rollbewegung auf schiefer Ebene. Fuhrwerke.......

d)    Das Anhalten der Wagen einer selbstwirkenden Seilbahn,

eines sog. Bremsberges.................

e)    Gleitbewegung sich drehender Körper auf schiefer Ebene . .

f)    Beschleunigte Schraubenbewegung............

270

271

279

281

288

291

293

299

299

300

302

CO

os

(M

CO

СО -Ф о

Alphabetisches Verzeichnis und Bedeutung der in den Formeln benutzten Buchstaben unter Hinweis auf die erklärenden Seiten des Buches . Alphabetisches Verzeichnis der behandelten Gegenstände.......

'Ф t'-

Ol CN

со со

Allgemeines.

Die Mechanik ist die Lehre von der Bewegung der Körper und von den Ursachen der Bewegung, den Kräften.

Während ein Körper sich bewegt, führt jeder Punkt desselben seine besondere Bewegung aus, und es wird die Bewegung des ganzen Körpers erst dann völlig bekannt sein, wenn man sie für jeden einzelnen seiner Punkte angeben kann.

Ein Punkt beschreibt bei seiner Bewegung eine ununterbrochene Bahnlinie, während zugleich eine gewisse Zeit vërfliesst. Zur Kenntnis der Bewegung eines Punktes ist daher erforderlich, dass man die Form der Bahnlinie kennt und ausserdem anzugeben vermag, an welcher Stelle seiner Bahn der bewegliche Punkt sich in jedem Augenblicke befindet.

Soll die Bewegung eines Körpers aus ihren Ursachen hergeleitet werden, so muss man ausser der geometrischen Form und Grösse der Körper, auch noch gewisse physikalische Eigenschaften derselben, zunächst ihre Stoffmenge, ihren Gehalt an träger Materie, berücksichtigen, weil diese von wesentlichem Einfluss auf die Bewegung ist. Die Menge der trägen Materie wird kurz die Masse des Körpers genannt.

Je kleiner die räumliche Ausdehnung eines Körpers ist im Verhältnisse zur Längenerstreckung der Bahnlinien seiner einzelnen Punkte, desto näher werden diese einzelnen Bahnlinien an einander rücken, desto weniger werden sie sich also räumlich von einander unterscheiden. Betrachtet man z. B. die Bewegung einer geworfenen Kugel aus einiger Entfernung, so wird man in vielen Fällen nicht mehr die verschiedenen Bahnlinien der einzelnen Punkte getrennt auffassen, sondern man wird diese sämmtlichen Bahnlinien als zu einer einzigen (etwa der des Mittelpunktes) zusammengeschrumpft ansehen und nur von einer Bahnlinie der geworfenen Kugel sprechen. Dabei wird also die räumliche Ausdehnung der Kugel völlig vernachlässigt, sie wird hinsichtlich der geometrischen Untersuchung als zu einem Punkte verdichtet angesehen; jedoch denkt man sich diesen Punkt als behaftet mit der Masse des entsprechenden Körpers und bezeichnet ihn als einen Massenpunkt (materiellen Punkt).

Keck, Mechanik I.

Wenn man z. B. sagt, die Erde bewege sich in einer Ellipse um die Sonne, so fasst man damit unseren ganzen Planeten als einen einzigen Massenpunkt auf, indem man sich die ganze Masse der Erde in ihrem Mittelpunkte vereinigt denkt. Wir wissen freilich, dass, wegen der gleichzeitigen Drehung der Erde um ihre Achse, die einzelnen Punkte der Erde durchaus nicht sämmtlich Ellipsen, sondern verschiedene cykloidenartige Kurven beschreiben, aber dennoch ist die Auffassung der Erde als einfacher Massenpunkt bei solchen Untersuchungen zulässig, bei denen es auf die Verschiedenartigkeit der Bewegungen der einzelnen Punkte nicht ankommt, während dagegen bei anderen Untersuchungen gerade die verschiedene Lage der einzelnen Punkte der Erde von Wichtigkeit sein kann, so dass dann natürlich die räumliche Ausdehnung der Erde nicht vernachlässigt werden darf.

In Fällen dieser Art, wo die Form und Grösse eines Körpers nicht unberücksichtigt bleiben darf, betrachtet man ihn als aus Massenpunkten zusammengesetzt und bezeichnet ihn als eine Gruppe von Massenpunkten.

Ob man also in einem gegebenen Falle den sich bewegenden Körper als einfachen Massenpunkt, oder aber als eine Massengruppe zu behandeln hat, hängt nicht so sehr von der Grösse des Körpers, sondern vielmehr von der Art der vorliegenden Aufgabe ab. Übrigens wird später gezeigt werden, dass die Ergebnisse der Untersuchungen, bei denen ein sich bewegender Körper als zu einem Punkte verdichtet angesehen wurde, nicht etwa ungenau, oder nur annähernd richtig sind, sondern für einen bestimmten Punkt des Körpers (den Schwerpunkt) vollständige Gültigkeit haben.

Es kann daher eine Untersuchung, bei welcher ein Körper als Massenpunkt angesehen wurde, jeder Zeit weiter ausgeführt und eingehender behandelt werden, indem man dazu übergeht, den betreffenden Körper nunmehr als eine Massen gruppe aufzufassen. Es ist dann nur eine Vervollständigung, nicht aber eine Verbesserung oder Berichtigung der ersten einfacheren Untersuchung nötliig.

Wir werden uns nun zunächst mit der Bewegung eines einfachen Massenpunktes beschäftigen und erst später zu der Behandlung von Massengruppen übergehen.

Erste Abtheilung.

Mechanik des Massenpunktes.

Die Bewegung eines Massenpunktes heisst geradlinig oder krummlinig, je nachdem die Bahnlinie eine Gerade oder eine Kurve ist. Unter der „Richtung der Bewegung“ versteht man die Richtung der Bahnlinie an derjenigen Stelle, wo der Massenpunkt sich augenblicklich befindet. Bei der geradlinigen Bewegung ist also die Bewegungsrichtung dauernd dieselbe; bei der krummlinigen Bewegung ändert sie sich fortwährend.

1. Darstellung des Gesetzes der geradlinigen Bewegung

eines Punktes.

Fig. l.

Bewegt sich ein Massenpunkt auf einer Geraden, so kann der Ort P desselben in irgend einem Augenblicke durch seinen Abstand s von einem festen Punkte A der Bahnlinie AM (Fig. 1) angegeben werden. Die während der Bewegung ver-fliessende Zeit wird von irgend einem Zeitpunkt an nach Zeiteinheiten (etwa Sekunden) gezählt und mit t (von tempus) bezeichnet, während s (von spatium) in Längeneinheiten (etwa Metern) ausgedrückt wird. Ist nun zwischen den beiden veränderlichen Grössen s und t eine Beziehung bekannt, etwa ;

* =/(*)»

so kann man für jeden Werth von t, d. h. für jeden Zeitpunkt, die zugehörige Grösse s und damit die Lage des Massenpunktes auf seiner Bahnlinie berechnen. Es wird daher die Gleichung s = f{t) das Bewegungsgesetz der geradlinigen Bewegung des Massenpunktes

genannt.

Ein solches Bewegungsgesetz wird am besten anschaulich gemacht durch eine bildliche Darstellung, indem man die Zeitgrössen t nach einem beliebig gewählten Mafsstab als Abscissen, die Längen s ebenso als Ordinaten aufträgt. Die Bahnlinie AM kann dann unmittelbar als Ordinatenachse benutzt werden. Die so erhaltene

Linie BQ (Fig. 2) nennen wir die Wegeslängen-Kurve (die man aber ja nicht als Bahnlinie auffassen darf). Aus Fig. 2 erkennt man, dass der Massenpunkt zu Anfang der Betrachtung, d. h. für < = 0, schon in einem Abstand А В = s₀ von dem Festpunkt A sich befand, und dass dieser Abstand s sich mit wachsender Zeit vergrössert, dass der Massenpunkt sich also in der Richtung von A nach M bewegen wird.

Nach t — Ali Zeiteinheiten ist s = Q,B; zieht

A

man nun durch Q eine Parallele zur Zeitachse, so bestimmt diese den augenblicklichen Ort P auf der Bahnlinie A M.

Fig. 2.

S*

11

Beispiel: Das Bewegungsgesetz s= 1 -j- 7⁴*" liefert für angenommene Werthe 0, 1, 2, . . . folgende zugehörige Werthe von s:

t=0    1 2 3 4

s = 1 1V4 2 374 5.

Das Bewegungsgesetz lässt sich auch schreiben t³ — 2-2 (s— 1); dies ist die Gleichung einer Parabel mit lothrechter Achse und dem Scheitel B (Fig. 3).

In manchen Fällen, wo das Gesetz einer Bewegung nicht bekannt ist, verschafft man sich dadurch eine möglichst genaue Kenntnis desselben, dass man den als Massenpunkt zu betrachtenden beweglichen Körper mit einem Schreibstifte versieht, der auf einer durch ein Uhrwerk gleichmässig gedrehten Papierwalze W die bildliche Darstellung des Bewegungsgesetzes selbstthätig aufzeichnet.

So kann z. B. ein veränderlicher Wasserstand durch Schwimmer sich selbstthätig auftragen, indem ein mit dem Schwimmer S verbundener Schreibstift P die entsprechende Kurve (Fluthkurve) beschreibt (Fig. 4). Gewöhnlich ist der Wechsel der Wasserstandshöhe zur unmittelbaren Auftragung zu gross; alsdann ist die lothrechte Bewegung durch geeignetes Räderwerk in verkleinertem Mafsstab (etwa 1 : 25) zur Darstellung zu bringen.

Fig. 3.

It

Fig. 4.

18    3    4

JL

r-

•j

a) Gleichförmige Bewegung eines Punktes. Geschwindigkeit. Der einfachste Fall eines Bewegungsgesetzes ist offenbar die geradlinige (lineare) Form

s = s₀ -F ct

(mit .<?₀ und c als unveränderlichen Grössen), welche /•, durch die Gerade BQ (Fig. 5) dargestellt wird.

Für t — AR ist s = RQ = A P. Giebt man t P> einen anderen, etwa grösseren Werth tx= AR so wird

1)

Jt

— »vq    cti — 22] Q\ — APX.

Durch Abziehen der ersten Gleichung von der A letzten entsteht

Fig. 5.

D*

R Rs

sx— s_ zurückgelegter Weg

tx — t

Die unveränderliche Grösse c der Gl. 1 ist also das Verhältnis der

Sj — s = c (£] — t) oder c —

entsprechende Zeit *

zurückgelegten Wegeslänge zu der Anzahl der dazu verbrauchten Zeiteinheiten. Eine Bewegung, bei der dieses Verhältnis des Weges zur Zeit sich nicht ändert, bei der also in gleichen Zeiträumen stets gleiche Wegeslängen zurückgelegt werden, heisst eine gleichfö rmige.

Wählt man den beliebigen Zeitraum tx—t gleich der Zeiteinheit, so bedeutet c — ^ — s die in jeder Zeiteinheit zurückgelegte Wegeslänge, und dieses Verhältnis: Weg durch Zeit, oder die in jeder Zeiteinheit zurückgelegte Wegeslänge heisst die Geschwindigkeit c (von celeritas) der gleichförmigen Bewegung.

In der Darstellung des Bewegungsgesetzes (Fig. 5) erscheint die

Qi

Geschwindigkeit c =

QN

tv — t

Verhältnis der Wegeslängen-Kurve BQ.

= tg a als das Ansteigungs-

1st das Ansteigungsverhältnis der Geraden BQ negativ (Fig. 6j, so erhalten wir das Gesetz s = s₀ — ct mit negativer Geschwindigkeit c ; es bedeutet dies eine rückläufige Bewegung von В nach dem Festpunkt A hin.

Ist BQ der Zeitachse parallel, d. h. ist tg а und damit die Geschwindigkeit c = 0, so bleibt s unverändert = s₀ ; der Massenpunkt ruht also.

Fig. 6.

Г<у-

b) Ungleichförmige Bewegung eines Punktes.

Fig. 7.

(h

Û/T

л—-—и    в,

К----t—t,--------V

1)

It =

Hat das Bewegungsgesetz s — f(t) nieht die einfach lineare Form, ist die Wegeslängen-Kurve also eine krumme Linie (Fig. 7)r so ist das Verhältnis von sx — s zu tx— t veränderlich; man nennt dann die Bewegung eine ungleichförmige. Während des Zeitraumes RRX — tx — t — At wird eine Wegeslänge PPX — sx — s — As zurückgelegt. Stellt man sich nun vor, dass diese Strecke As, statt nach dem gegebenen Bewegungsgesetze, gleichförmig beschrieben würde, so wäre s, —s tx—t

die Geschwindigkeit dieser gedachten gleichförmigen Bewegung; die Sehne QQX gäbe die Darstellung des Gesetzes derselben, und das An-steigungs-Verhältnis dieser Sehne das Mals der Geschwindigkeit v Die Geschwindigkeit vm (von velocitas) dieser gleichförmigen Bewegung, vermöge deren der sich bewegende Punkt in dem Zeiträume tx— t dieselbe Wegeslänge sx—s zurücklegen würde wie nach dem wirklichen Bewegungsgesetze, nennt man die mittlere Geschwindigkeit für den Zeitraum tx — t.

Die stellvertretende gleichförmige Bewegung, dargestellt durch die Sehne QQ,X, wird sich nun der gegebenen Bewegung, dargestellt durch die Kurve QQX, in der Nähe des Zeitpunktes t um so mehr anschmiegen, also von ihr um so weniger abweichen, je kleiner man den Zeitraum tx— t — At und mithin auch die Sehne <2(2i wählt. Lässt man den Zeitraum At im Sinne der Differentialrechnung zu einem unendlich kleinen Zeittheilchen dt werden, so rückt auch der Kurvenpunkt <2i dem Punkte Q unendlich nahe, und aus der Sehne QQX wird dann eine Berührungsgerade der Kurve im Punkte Q. Die für das unendlich kleine Zeittheilchen dt berechnete mittlere Geschwindigkeit

2)

v = ds:dt

bezeichnet man als die Geschwindigkeit der gegebenen Bewegung im Zeitpunkte t. Sie erscheint als das Ansteig ungs-Verhältnis der entsprechenden Berührungsgeraden der Wegeslängen-Kurve oder (was dasselbe ist) als das Ansteigungs-Verhältnis der Wegeslängen-Kurve selbst. Man bestimmt die Geschwindigkeit im Zeitpunkte t als die erste Abgeleitete oder den ersten Differential-Quotienten

ds

dt

f(t) des gegebenen Bewegungs-Gesetzes s=f(t).

ds

Die Form v — —, in welcher bei ungleichförmiger Bewegung

die Geschwindigkeit ausgedrückt wird, entspricht der Form c =

Sx-S

tx-t

bei der gleichförmigen Bewegung; man betrachtet aber nur ein unendlich kleines Theilchen der Bewegung und denkt sich dieses durch eine gleichförmige mit derselben Wegeslänge ds ersetzt.

Beispiel: Dem Bewegungsgesetz s = l    (S. 4) entspricht hiernach

das Geschwindigkeits-Gesetz

ds 1

t.

Für t = 0 ist v = 0; mit fortlaufender Zeit nimmt die Geschwindigkeit v gleichmässig zu. Man ersieht auch aus Fig. 3, dass das Ansteigungs-Verhältnis der Kurve BQ bei В gleich Null ist und nach rechts fortwährend zunimmt.

Da die Geschwindigkeit die auf eine Zeiteinheit bezogene Wegeslänge bezeichnet, so müssen bei einer Geschwindigkeits-Zahl selbstverständlich auch die Längeneinheit und die Zeiteinheit bekannt sein, auf welche sich die Zahl bezieht. Kechnet man nach Metern und Sekunden, so schreibt man z. B. v — 3 m/sek wenn die sekundliche Geschwindigkeit 3 Meter beträgt, während v — 10km/₈td eine Geschwindigkeit von 10 Kilometern in einer Stunde bedeutet.

Kilometer, Meter, Centimeter und Millimeter werden durch km, m, cm und mm bezeichnet, während Stunde, Minute und Sekunde durch std, min und sek ausgedrückt werden sollen.

Zuweilen kennt man von einer Bewegung nur die in einzelnen grösseren Zeiträumen zurückgelegten Wegeslängen, kann daraus dann die mittlere Geschwindigkeit für jeden dieser Zeiträume berechnen und betrachtet diese annäherungsweise als wahre Geschwindigkeiten, indem man jeden Bewegungstheil als einen gleichförmigen ansieht.

Beispiel 1 : Letzteres findet Anwendung bei der zeichnerischen Darstellung der Fahrpläne der Eisenbahnzüge. Ein Eisenbahnzug ist freilich eine vielfältig zusammengesetzte Körpergruppe, deren einzelne Theile die verschiedenartigsten Bewegungen ausführen. Für den Zweck der Fahrpläne kommen aber diese verwickelten Verhältnisse nicht, in Betracht. Vielmehr denkt inan sich den ganzen Zug zu einem Punkte zusammengedrängt, denkt sich die Mittellinie des Gleises geradlinig gestreckt und längs dieser Mittellinie den Punkt sich verschiebend. Als Wegeslängen trägt man die Strecken von Mitte zu Mitte der Stationen auf. Die Bewegungen von Station zu Station, welche in Wirklichkeit zum Tlieil ungleichförmige sind, betrachtet man annähernd als gleichförmig, indem man die Bewegungsgesetze nach mittleren Geschwindigkeiten durch gerade Linien darstellt. Auf der wagerechten Grundlinie (Fig. 8) sind die Zeiten, von Mitternacht beginnend , aufgetragen, und zwar bedeuten die kleinen Theile je 10 Minuten. Auf der lothrechten Achse sind die Strecken der Bahnlinie, nach Kilometern angegeben, abge-theilt, und z. B. mit H (Hannover), S (Seelze),

Fig. 8.

Tcm

Ti

-5 5,3-

II

1,5

-11,8-

W (Wunstorf), В (Bückeburg) und M (Minden) bezeichnet. Ein Nachtschnellzug, um 2 Uhr 25 Min. von Hannover abfahrend, trifft 2 Uhr 45 Min. in Wunstorf ein, fährt nach

1    Minute Aufenthalt weiter, ist 3 Uhr 16 Minuten in Bückeburg, hat 1 Minute Aufenthalt und langt 3 Uhr 37 Min. in Minden an. Dieser Zug ist durch die gebrochene Linie А C dargestellt. Den Stations-Aufenthalt bezeichnet ein kurzer wagerechter Strich oder Absatz. Der Linienzug DJS bezieht sich auf einen Gegenzug, der um 2 Uhr 11 Min. in Minden ab fährt und 3 Uhr 12 Min. in Hannover eintrifft. Der Schnittpunkt F beider Linien kennzeichnet den Zeitpunkt und die Stelle (zwischen В und TU), wo beide Züge an einander vorbeifahren. Da die Eisenbahn doppelgleisig ist, kann dies auf freier Strecke (zwischen

2    Bahnhöfen) geschehen, wogegen es bei eingleisigen Bahnen nur auf einer Station möglich wäre. Der Linienzug G H bezeichnet einen Güterzug, dessen erheblich geringere Geschwindigkeit aus der schwächeren Ansteigung hervorgeht. Dieser Güterzug hält längere Zeit in Seelze und wird hier von dem ohne Aufenthalt durchfahrenden Schnellzug überholt. Linien, die nach derselben Seite hin ansteigen, bezeichnen Züge in derselben Richtung, die auf demselben Gleise fahren, sich daher nur auf Stationen überholen können. Dieserhalb dürfen Linien, die nach derselben Seite ansteigen, sich- nur auf Stationslinien durclischneiden. Solche Fahrpläne enthalten in Wirklichkeit sämmtliche Züge zu einem Bilde vereinigt und sind ein unentbehrliches Hülfsmittel des Betriebes, wenn es sich um Einlegung von Sonderzügen, um Ausführung von Gleisarbeiten u. dergl. handelt, weil man daraus klar erkennen kann, zu welchen Zeiten die Gleise für neue Züge oder für Arbeiten frei sind. In der wirklichen Ausführung liegt freilich die Zeitachse lothrecht, die Längenachse wagerecht, doch lediglich aus äusseren Zweckmässigkeits-Rücksichten, die mit dem Wesen der Sache nichts zu thun haben.

Die 33,8 km zwischen Wunstorf und Bückeburg werden in 30 Minuten zurückgelegt, d. h. mit einer mittleren Geschwindigkeit von l,m Kilometern in in der Minute

= 1,127 bm/mm = 60 • 1,127 km/бО min = 67,62 km/std oder

1127

112 i m/ß0 sek

60

m/sek — 18,8m/sek.

Eine sekundliche Geschwindigkeit von 20 m würde gleichbedeutend sein mit

m/sek = 72 000 m/std — 72 kra/std 5

20-

3600

3600

d. h. mit einer stündlichen Geschwindigkeit von 72 k»>, während

100000

100 km/std

bedeuten.

3600

m/sek = 27,78 m/sek

Beispiel 2: Hat ein Badfahrer eine sekundliche Geschwindigkeit von 5 m, so legt er in der Stunde 5-3600 m = 18kra zurück, oder es ist 5 • 3600

5 m/sek =

m/sek = 18 000m/std = 18km/std.

Beispiel 3: Die lotlirechte Auf- und Abwärts-Bewegung eines der Ebbe und Flutli unterworfenen Wasserspiegels erfolge nach dem Bewegungsgesetz s = 3-f-2sin ]/б~ t, wobei die Zeiten t in Stunden (abgekürzt std) die Wege s in Metern zu verstehen sind. Die Darstellung dieses Gesetzes (die Fluthkurve) hat dann die Form der Fig. 9. Für t — 3 Stunden erreicht sin 7⁶ tt t seinen grössten Werth sin V2 -= 1, für t = 9 std seineu kleinsten Werth sin ³/² ~

— — 1, so dass s zwischen dem grössten Werthe 5 m und dem kleinsten Werth 1 m schwankt. Das Ge-schwindigkeits - Gesetz ist v = 7з ~ cos 7e -1 = 1,047 • cos V 6 -1. Für t = 0, t — 12 und ganze Vielfache davon hat v seinen grössten Werth, nämlich v t = 18, 30 u. s. w. hat v seinen grössten negativen oder seinen Minimalwerth, nämlich vmin — — 1,047 m/8td. Die Geschwindigkeit v ist positiv, solange die Wegeslängenkurve nach rechts ansteigt, und umgekehrt; sie ist Null, wenn das Steigen in Fallen übergeht, und umgekehrt, d. h. an den höchsten und tiefsten Punkten der Kurve, nämlich für t = 3, 9, 15 u. s. w. — Fig. 9 stellt eine ideelle Fluthkurve dar. Die wahren Flutlikujven weichen davon zunächst grundsätzlich in der Weise ab, dass wegen der Bewegung des Mondes um die Erde die Zeit zwischen zwei höchsten Wasserständen nicht 12 Stunden, sondern mehr, nämlich 12 Stunden 25 Minuten beträgt. Ausserdem enthalten die wirklichen Fluth-kurven Unregelmässigkeiten, die von der örtlichen Gestaltung der Flussbetten, des Meerbodens, der Ufer, den Windverhältnissen u. s. w. abhängen.

3600

Fig. 9/

I»

ts

— 1,047 m/std. Für t — 6,

2. Darstellung des Geschwindigkeits-Gesetzes der geradlinigen Bewegung eines Punktes.

Wie s eine f(t) war, so ist die Abgeleitete davon, nämlich v, ebenfalls eine <p(t) = /'(£), welche das Geschwindigkeits-Gesetz heissen möge und ebenfalls zeichnerisch dargestellt werden kann.

Während man aus der Darstellung des Bewegungsgesetzes die in einem beliebigen Zeiträume zurückgelegte Wegeslänge unmittelbar abgreifen konnte, ist dies aus dem Geschwindigkeits-Gesetze nicht ohne Weiteres möglich. Da aber die Geschwindigkeit v aus dem Bewegungsgesetz s = f(t) durch Differentiation v = ds:dt zu finden war, so muss man durch das umgekehrte Verfahren, d. h. durch Integration, auch von v zu s gelangen können. Es ist nämlich ds — vdt, folglich mittels sog. unbestimmter Integration

s — f v • dt 4- C.

Die im Allgemeinen unbestimmte Integrations-Konstante C ist festzustellen, wenn zu einem bestimmten Werthe von t der zugehörige Werth von bekannt ist, etwa für den Anfang der Beobachtung t = 0 der Werth .<? = ,<?₀.

Fig. 10.

üi

ti

Vl

■]

!

Vi

LtH

Hl-:

R.£

<-•

-t'2--------^

Beispiel : Für die Bewegung eines Massenpunktes sei das Geschwindigkeitsgesetz v — dt² gegeben; der Massenpunkt habe zu Anfang schon eine Entfernung Sq = 3 m von dem gewählten Festpunkte der Bahnlinie. Dann ist

JSt²dt-\- C=t³+ C.

Die Grösse G ist nun an die Bedingung gebunden, dass die Gleichung für t — 0 den Werth s — 3 liefern muss. Setzt man demnach diese beiden Grössen in

die Gleichung ein, also 3 = 0 -f- C, so bestimmt sich 0=3, und das Bewegungsgesetz lautet    i

s = 3 + t\

(Als Probe erhält man hieraus wieder v = ds : dt = 3 t².)

Die Gleichung ds — vdt hat übrigens auch eine geometrische Bedeutung, indem v-dt den Inhalt des unmittelbar rechts neben v — RQ (Fig. 10) liegenden lothrechten Flächenstreifens der Geschwindigkeitskurve darstellt (mit Vernachlässigung einer unendlich kleinen Grösse höherer Ordnung). Daher muss die endliche Wegeslänge s.₂ — .9,. die zwischen den Zeitpunkten t — tx und t — U zurückgelegt wird, durch die Summe aller zwischenliegenden Flächenstreifen, d. h. durch die endliche Fläche QiQßRzRi ausgedrückt sein. Oder: die während einer gewissen Zeit, d. h. zwischen zwei gegebenen Zeitpunkten, zurückgelegte Wegeslänge wird dargestellt durch den Inhalt derjenigen Fläche, welche von der Geschwindigkeitskurve, der Zeitachse und den, jenen beiden Zeitpunkten entsprechen den Ges chwin digkeits-Ordinaten eingeschlossen ist.

Г⁴** ⁼ ^2

Analytisch bedeutet dies s₂— 8x = \v‘ dtt also das bestimmte Integral der Gleichung ds—v-dt, zwischen den Zeitgrenzen tx und

U genommen.

Lässt man den auf der Bahnlinie (Fig. 2) zu wählenden Festpunkt mit der Anfangslage des beweglichen Punktes zusammenfallen, d. h. so = 0 werden, so ergiebt sich für die Wegeslänge von t — 0 bis t = t (indem man s₁ = s₀ = 0, ^ = О setzt und statt t₂ und s₂

,.t=t

einfach t und s schreibt):

(1

V • dt.

и <=0

a) Gleichförmig veränderte Bewegung. Beschleunigung.

Der einfachste Fall einer ungleichförmigen (mit veränderlicher Geschwindigkeit erfolgenden) Bewegung ist offenbar ein solcher, wobei die ganze Geschwindigkeitsänderung während eines bestimmten Zeitraumes t sich gleich massig über letzteren vertheilt. Ist also c die Anfangsgeschwindigkeit, v die Geschwindigkeit nach t Zeiteinheiten, so beträgt die ganze Geschwindigkeitsänderung v — c während des Zeitraumes t. Soll diese Änderung sich gleichmässig über die Zeit t erstrecken, so muss sie für jede Zeiteinheit (v — c):t betragen. Setzt man diese gleichbleibende Geschwindigkeitsänderung für jede Zeiteinheit == p, so wird v — c = pt oder .

(2

v — c +pt.

Eine solche Bewegung, bei welcher die Änderung der Geschwindigkeit verhältnisgleich mit der entsprechenden Zeit erfolgt, heisst eine gleichförmig veränderte Bewegung, und Gl. 2 ist ihr Geschwindigkeitsgesetz.

Ist die in jeder Zeiteinheit erfolgende Geschwindigkeits-Änderung p positiv, d. h. eine Zunahme, so heisst sie Beschleunigung und die Bewegung wird eine gleichförmig beschleunigte 3)

genannt. Im entgegengesetzten Falle hat der Massenpunkt eine gleichförmig verzögerte Bewegung, und die dann negativ werdende Geschwindigkeits-Änderung in der Zeiteinheit heisst Verzögerung; das entsprechende Geschwindigkeitsgesetz ist

V — c — pt.

Olfenbar kann eine Verzögerung einfach wie eine negative Beschleunigung behandelt werden.

Das Geschwindigkeitsgesetz v = c + pt, in welchem v und t veränderlich, c und p unveränderlich sind, wird durch eine ansteigende Grade BQ (Fig. 11) dargestellt.

Die Beschleunigung v—c

Fig. 11.

= tg а

RQ BN

nigten Bewegung während des Zeitraumes t = AR zurückgelegte Wegeslänge s ist (nach dem allgemeinen Satze auf S. 11) gleich der Flächenzahl der Figur ARQB, d. h.

4)

S = y-2 (v + c) t.

Soll s aber durch c, p und t ausgedrückt werden, so zerlege man das Trapez in das Rechteck ABNR — ct und das Dreieck BNQ — V-21 • NQ = ]/21 • pt — {/чpt², so dass

5)

,S* = ct + V2 pt²

entsteht. Das Rechteck zeigt hierbei den Einfluss der Anfangsgeschwindigkeit, das Dreieck V2pt² dagegen den Einfluss der Beschleunigung auf die Wegeslänge. Will man endlich noch s durch c, v und p ausdrücken, so ersetze man in Gl. 4 die Grösse t durch

-, um zu erhalten

6)

.s =

V²— c²

P ~~    2 p '

Für die gleichförmig verzögerte Bewegung, bei der c > v, gelten die Gleichungen 4, 5 und 6 ebenfalls, sobald darin + p mit —p vertauscht wird.

Legt man Meter und Sekunden zu Grunde, so kann eine Geschwindigkeit geschrieben werden: vm/sek- Die Beschleunigung ist

aber eine Geschwindigkeitszunahme, getheilt durch eine Zeit, oder die auf die Zeiteinheit bezogene Geschwindigkeitszunahme, ist daher zu schreiben p m/seka und zu sprechen: p Meter in der Quadratsekunde. (Vorschlag von A. Hasselblatt, Petersburg.)

Beispiel 1 : Ein Eisenbahnzug setze sich vom Bahnhof aus in Bewegung und habe, nachdem 180 Sekunden seit der Abfährt verstrichen sind, seine volle Geschwindigkeit von 25 m/₈ek erreicht; es soll unter der Annahme, dass die Bewegung eine gleichförmig beschleunigte sei, die Grösse der Beschleunigung,, sowie die während der Anfahrt (d. h. der 180 sek) zurückgelegte Wegeslänge berechnet werden.

Die Darstellung des Geschwindigkeitsgesetzes (Fig. 12) ist in diesem Falle, wo die Anfangsgeschwindigkeit = 0, ein Dreieck. Die Beschleunigung ist das Ansteigungsverhältnis der Geraden AQ, mithin

25    1

180

0,14 m/seka ,

A-

Fig. 12.

ISO Я.

25

oder es wächst die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um 0,н m/₈ek.

In km/std³, d. h. in Kilometern für die Quadrats/tun de, ausgedrückt, wird

1 3600 • 3600 m P~    (3600 sek)2

wovon man sich auch leicht überzeugt, wenn man die Aufgabe mit v = 90km/std und £=180sek = 2Q

:4 V.' i

1800000 m/₈tda = 1800km/std⁷,

1 std

durchführt.

Die Wegeslänge während der Anfahrt wird gemessen durch den Inhalt des Dreiecks AQB, d. h. es ist

180 • 25

2250 m.

Wenn der Zug auf freier Strecke die soeben erlangte Geschwindigkeit unverändert beibehält, so ist die Darstellung des Geschwindigkeitsgesetzes dieser nun gleichförmigen Bewegung eine durch den Punkt Q gezogene Wagerechte.

Soll der Zug nun auf der nächsten Haltestelle zum Stillstände kommen, so muss er durch geeignete Mittel (Widerstände, Bremsen, unter Abstellung des Dampfes der Lokomotive) verzögert werden. Es seien diese Mittel so beschaffen, dass sie dem Zug eine gleichbleibende Verzögerung von 0,4 m/sek* ertheilen; wie lange wird diese gleichförmig verzögerte Bewegung bis zum Stillstände währen, und wie gross wird ihre Wegeslänge sein, d. h. in welcher Entfernung vor der Haltestelle muss sie beginnen (müssen die Bremsen angezogen

Fig. 12 a.

Qi

werden) ?

25

Die Darstellung des Geschwindigkeitsgesetzes sei Q^B (Fig. 12 a). Da die Geschwindigkeit von 25 m/8ek während jeder Sekunde um 0,4 ra/sek sich vermindert, so sind 25 : 0,4 = 62,5 sek = Вг В zur

Кг

62,5

’Ab

völligen Aufzehrung der Geschwindigkeit erforderlich. Die Wegeslänge in diesen 62,5 sek beträgt nach-der Figur ¹/a • 25 • 62,5 = 781,25 d. h. etwa 781 m vor der Haltestelle muss die Verzögerung beginnen.

Die Wegeslängen der gleichförmig beschleunigten und verzögerten Bewegungen würden bei gleichbleibender Geschwindigkeit von 25 m/sek je in der Hälfte der Zeit zurückgelegt sein. Durch Anhalten und Wiederanfahren gehen daher, im Vergleiche zum einfachen Durchfahren, 90-f- 31,25 = 121,25 sek oder rund 2 Minuten verloren. Mit Einschluss von einer Minute Aufenthalt kostet also jeder Haltepunkt einem Schnellzuge 3 Minuten Mehraufwand an Zeit.

ver-

Die Annahme, dass die Anfahrt und das Anhalten gleichförmig änderte Bewegungen seien, ist eine vereinfachende Voraussetzung; das wahre Geschwindigkeitsgesetz wird sich nicht durch gerade Linien darstellen, ist vielmehr schwieriger zu ermitteln und hängt von vielen Umständen ab, die hier nicht berücksichtigt werden können.

Beispiel 2 : Ein Gewehrgeschoss verlasse den 0,5 ni langen Gewehrlauf mit einer sekundlichen Geschwindigkeit von 400 m. Wenn man nun die im Augenblicke des Abfeuerns mit der Geschwindigkeit Null beginnende, beschleunigte Bewegung des Geschosses im Rohre wieder annähernd als gleichförmig beschleunigt betrachtet, wie lange dauert sodann die Bewegung im Rohr und wie gross ist die Beschleunigung?

Die Geschwindigkeitsfigur ist wiederum ein Dreieck, dessen Inhalt = 0,5

(Wegeslänge) sein muss. Nennt man die Zeit t, so ist ^^£ = 0,8, d. h.

0,8

4. Physikalische Grundgesetze der Mechanik.

Va mv2 — V2 »ic2 — mg • s, mithin V2 — c2 — 2 gs oder v — \ r c1 -f- 2 gs.

II. Parabolische Bewegung im Allgemeinen.

==JT]/ ^

I. Einleitung.

6. Zusammensetzung von Kräften im Raume mit verschiedenen Angriffspunkten.

Zieht man dann noch CG || FF, so ist A HS F со ACG

2. An einem Punkte befestigter Körper.

1)

9. Brücken- und Tafelwaagen.

3)

II. Wirkung der Reibung bei gleichmässig sich drehenden Körpern.

Bei einem über eine Rolle geführten Seil ist die S

13. Die Schraube.

Geometrische Trägheitsmomente. Setzt man in den Au

3R. = 0

938 P,or,

Alphabetisches Verzeichnis und Bedeutung der in den Formeln benutzten Buchstaben unter Hinweis aut die erklärenden Seiten des Buches.

sek

0,8

200    1000    250

In dieser geringen Zeit wächst die sekundliche Geschwindigkeit von Null auf

400 • 250= 100000 m/sek,

400 m ; die Beschleunigung beträgt also 400 :

Diese überraschend grosse Zahl ist so zu verstehen, dass, wenn die gleichförmig beschleunigte Bewegung unter Einwirkung der Pulvergase 1 Sekunde lang in unveränderter Weise fortdauerte, eine Geschwindigkeit von 100000m/sek entstehen würde. Die beschleunigte Bewegung in dem Rohre währt aber nur 1/250 sek und bringt daher nur 400 m/sek Geschwindigkeit hervor.

b) Ungleichförmig veränderte Bewegung.

Ändert sich die Geschwindigkeit einer Bewegung nicht verhältnismässig mit der Zeit, so heisst die Bewegung eine ungleichförmig veränderte; das Geschwindigkeitsgesetz ist dann nicht mehr einfach geradlinig, sondern von der allgemeinen Form v = q>(t), oder die Geschwindigkeitslinie ist irgend eine Kurve.

In derselben Weise nun, wie auf S. 6 der Begriff der Geschwindigkeit, ausgehend von der gleichförmigen Bewegung, durch

Verallgemeinerung auf beliebige Bewegungen ausgedehnt wurde, findet auch hinsichtlich der Beschleunigung der geradlinigen Bewegung eine allgemeinere Fassung des Begriffes statt.

Fig. 13.

Ist BQQX (Fig. 13) die Geschwindigkeitslinie, so erfolgt in dem Zeiträume RRX—At eine Geschwindigkeitszunahme NQl = A v. Zieht man nun die Sehne QQ{, so ist diese die . Geschwindigkeitslinie einer gleichförmig be-• schleunigten Bewegung, vermöge welcher die ₍

Geschwindigkeit in dem Zeiträume A t von v auf v + Av, also um die gleiche Grösse, wächst wie

A v

bei der gegebenen Bewegung. — ^ ist dann die mittlere

Wenn der

Beschleunigung für diesen bestimmten Zeitraum RR beliebige Zeitraum A t zur Grenze Null herabsinkt, nähert sich diese

mittlere Beschleunigung pm einem bestimmten Grenzwerthe p, und

diesen Grenzwerth p =

A v

lim-г- oder

1)

P.=

dv

dt

nennt man die Beschleunigung zur Zeit t. Die Beschleunigung p ist die Abgeleitete der Geschwindigkeit v nach der Zeit t, oder die zweite Abgeleitete der Wegeslänge « nach der Zeit t.

ds

dv

d²s

dt=V(t) =

Die Beschleunigung erscheint wegen p = dv:dt als das Ansteigungsverhältnis der Geschwindigkeitslinie, ebenso wie die Geschwindigkeit das AnsteigungsVerhältnis der Wegeslängenkurve (S. 6) war.

Beispiel: Zu dem Bewegungsgesetz s = 3-f-2 mi'/ext (S. 9) gehörte das Geschwindigkeitsgesetz v — ¹/s к cos J/e -t — l,o+7 cos ¹/e7zt. ergiebt sich die veränderliche Beschleunigung

dtn-

-/”(*)•

Hieraus

-² sin

тЛ =

— 0,548 Sill — 7Г t.

■ 18

Indem man p = dv:dt oder dv=pdt schreibt, betrachtet man die Geschwindigkeitsänderung dv als verhältnisgleich mit der

~6

Zeit dt, betrachtet also ein Theilchen der beliebigen Bewegung als gleichförmig verändert. Für einen endlichen Zeitraum tx — t ist dann die Geschwindigkeitszunahme

3)

vx — v —

p'dt ;

oder man kann auch die Geschwindigkeit v im Zeitpunkte t in Form eines unbestimmten Integrals

4)

v ~ Spdt 4“ 0

schreiben, worin der Werth C bestimmt werden kann, wenn für irgend einen Zeitpunkt die Geschwindigkeit bekannt ist.

Beispiel 1 : Das gegebene Bewegungsgesetz sei (auf Meter und Sekunden

bezogen)

« = 2 + 6* — 2 <² + '/st³;

dann ergiebt sich die Geschwindigkeit

die Beschleunigung

p — dv: dt — — 4    2 £.

Man erkennt, dass hier eine ungleichförmig veränderte Bewegung vorliegt, da p mit der Zeit t veränderlich. Zu Anfang, d. h. für £ = 0 ist p —— 4m/Sek³, die Bewegung also eine verzögerte; die Geschwindigkeit, welche zu Anfang

Es ist aber p = 0 für £ ^2 8ek- Die

Geschwindigkeits-Ab nähme hört also auf nach 2 Sekunden, und es beginnt dann eine beschleunigte Bewegung, und zwar wächst nun auch die Beschleunigung verhältnisgleich mit der Zeit. Der Zeitpunkt f = 2sek, wo die Geschwindigkeit aufhört abzunehmen und zu wachsen beginnt, giebt für v einen Kleinstwerth vmin = 2m/sek. Die Geschwindigkeitslinie ist eine Parabel mit lothrecht aufwärts gerichteter Achse; der Scheitel entspricht dem Zeitwerthe t = 2 Sekunden. Die während der ersten 4 Sekunden zurückgelegte Wegeslänge s—s₀ ist leicht als die unterhalb der Parabel BCD (Fig. 14) befindliche Fläche zu berechnen. Da man weiss, dass die Parabelfläche B CD — ²/з des umschriebenen Rechtecks ist, so wird

6 m/₈ek betrug, nimmt zunächst ab.

Fig. 14.

li

i>

.5- ■

C.

s —s₀ = 6 • 4 — ²/з (6 — 2) 4 = 13V«”.

für t = 4 für t = 0

Zur Prüfung liefert das Bewegungsgesetz 8 =15ł/3,

s₀ = 2 , mithin s — s₀ = 13 V* m •

Beispiel 2: Eine geradlinige Bewegung erfolge mit der Beschleunigung 2> = 2-j-3i², und es sei für t = 0: v = c= 1, s₀ = 0. Dann wird aus

d V = (2 -}- 3 t²) d t

V — 1 = ^(2 -f- 3 t²) dt =

s= f(l -j- 2 t -f- tz) dt — t -f-1² -f- xji t*.

J 0

3. Zusammensetzung mehrerer gleichzeitigen Bewegungen

eines Punktes.

Fig. 15.

4i

-r

Ein Massenpunkt durchlaufe während der Zeit t die Bahnlinie AB (Fig. 15), und zwar in der ßichtung von A nach B; diese Bahnlinie gehöre aber einem Körper an, welcher sich derartig parallel verschiebt, dass der Punkt A der Linie AB während der Zeit t die Bewegung AC ausführt und die ganze Bahnlinie AB in die parallele Lage CD kommt. Dann wird der Massenpunkt in Folge der beiden gleichzeitigen Bewegungen aus der Anfangslage A in irgend einer Bahn- 4 linie nach D gelangen, und man nennt diese wahre Bewegung AD die Mittelbewegung oder Kesultirende aus den beiden Seitenbewegungen AB und AC.

Anstatt diese wahre Bewegung AD als das Ergebnis der Bewegungen AB und AC zu bezeichnen, sagt man auch wohl kürzer, der Massenpunkt führe zwei gleichzeitige Seitenbewegungen aus, womit aber stets nur der beschriebene Vorgang gemeint sein soll. Da die Figur AB DC ein Parallelogramm ist, so ergiebt sich ohne Weiteres der Satz vom Parallelogramm der Bewegungen:

Führt ein Massenpunkt gleichzeitig zwei Seitenbewegungen aus, so ist der dem Anfangspunkt A gegenüberliegende Eckpunkt des aus den beiden Seitenbewegungen gezeichneten Parallélogrammes der wahre Ort des Punktes.

Man denke sich, auf dem Stabe AB ein Sonnenkäferchen entlang laufend, während man den Stab parallel nach CD verschiebt; dann gelangt das Sonnenkäferchen in Wirklichkeit von A nach D.

Eine Gerade AB von bestimmter liichtung, bestimmter Grösse und einem Pfeile, der einen bestimmten Bewegungssinn, angiebt,

Keck, Mechanik I.

nennt man eine Strecke. AB sei die Strecke ж, АС die Strecke y. Zur Bestimmung des Punktes I) ist offenbar nicht die Zeichnung des ganzen Parallélogrammes erforderlich ; vielmehr genügt es, an den Endpunkt В der Strecke x die parallel verschobene Strecke BD — y anzutragen (Fig. 16).

Beide bilden dann einen sog. „Streckenzug“, cj und man kann sagen: Der wahre Ort D / des Punktes ist der Endpunkt des /

Fig. lß.

г»

aus den beiden Seitenbewegungen а gebildeten Streckenzuges. Die Reihenfolge der Zusammensetzung ist offenbar gleichgültig. Der Streckenzug АС — у und CD —ж führt zu demselben Endpunkte D

Sind die Gesetze der beiden Seitenbewegungen bekannt, sodass man für jeden Zeitpunkt t die Strecken x und у berechnen kann, so ist auch der Ort des beweglichen Punktes für jeden Zeitwerth t bekannt und damit auch die Bahnlinie der

-t

‘в

Mittelbewegung A D völlig bestimmt.

Beispiel : Die eine Seitenbewegung folge dem Gesetz x — t (in Metern und Sekunden), sei also gleichförmig, die andere dem Gesetz у = t -f- ¹/io t²

(also gleichförmig beschleunigt). Dann ist für t = 0 x = 0

Fig. 17.

-5

У = 0    0,6    1,4    2,4

Die Gleichung d»r Bahnlinie findet man, indem man t — x in die Gleichung für у einsetzt, у — 7г x -f- V¹⁰ x³. Dies bedeutet eine Parabel als Bahnlinie des Punktes.

Fig. 18.

Erleidet, während die Seitenbewegungen AB und AC erfolgen, die ganze Ebene derselben eine Parallelverschiebung z in der Richtung von A nach E (Fig. 18), so wird \ der Massenpunkt, der in Folge der beiden Bewegungen x und y nach D gelangen würde, sich nunmehr nach H bewegen, und es folgt der Satz vom Parallelepiped der Bewegungen :

Hat ein Massenpunkt drei gleichzeitige Seitenbewegungen, so ist der dem Anfangspunkt A gegenüber-

E.

)>z

II

Ал t\—>

Vf

■У

liegende Eckpunkt H des aus den drei Seitenbewegungen bestimmten Parallelepipeds oder der Endpunkt des aus den Seitenbewegungen x, у und г gebildeten Streckenzuges ABBH der wahre Ort des Punktes.

Als Beispiel könnten die Bewegungsgesetze: x = t\ у — г/а t -f- l/n> t*; 2 = 3 t benutzt werden.

Im Allgemeinen ist die wahre Bahnlinie eine räumliche Kurve.

a) Zusammensetzung der Geschwindigkeiten.

1) Ein Massenpunkt habe zwei gleichförmige, geradlinige Seitenbewegungen mit den Geschwindigkeiten w bezw. u; dann sind die Wegeslängen nach t Zeiteinheiten •(Fig. 19)

AB — x — wt und AG == у — ut; innerhalb eines anderen, etwa kleineren Zeitraumes tx :

Fig. 19.

iD

Ci

ut

ut

wt

ABl=xl—wtl und ACX = yx = uty.

Der wahre Ort nach t bezw. tx Zeiteinheiten ergiebt sich durch den Streckenzug AB В bezw. ABlDl zu J) bezw. Bx. Es findet aber statt:

wtt

AB _ t В В AB, _ tx ; BXB

—-, also

AB BB AB, ~~ Bx Bx ’

mithin sind die Dreiecke AB В und ABXBX ähnlich, sodass А, Bx und В auf derselben Geraden liegen müssen. Da dies für alle Werthe von t und tx gilt, so muss die wahre oder Mittel-bewegung geradlinig erfolgen. Zugleich ist aber auch wegen

AB

der Ähnlichkeit

= —-, oder die Wegeslängen A B h

AB

AB

AB

und ABX sind den entsprechenden Zeiten t und tx verhältnisgleich. Die Mittelbewegung aus zwei geradlinigen und gleichförmigen Seitenbewegungen ist hiernach ebenfalls geradlinig und gleichförmig. Ihre Geschwindigkeit v erhält man, indem man den willkürlichen Zeitraum tx zur Zeiteinheit werden lässt. Dann wird ABx=w\ B\DX =u und ABX =v, oder die Geschwindigkeit v der wahren oder Mittelbewegung erscheint als die Schlussseite eines aus den

Geschwindigkeiten der Seitenbewegnngen gebildeten Streckenzuges (Fig. 20). Der Pfeil der Schlussseite eines Streckenzuges wird stets von dem Anfänge nach dem Ende des Streckenzuges verstanden, wie es sich hier bezüglich der Geschwindigkeit v als nothwendig ergiebt. Die in dieser Weise verstandene Schlussstrecke eines Streckenzuges heisst auch die geometrische A Summe der Einzelstrecken.

2) Sind die beiden Seitenbewegungen nicht gleichförmig, erfolgen sie vielmehr nach beliebigen Bewegungsgesetzen А В = x =f(t) und AC=y = cp{t) (Fig. 21), so ändern sich AB und AC im Allgemeinen nicht verhältnisgleich ; es wird daher die Mittelbewegung krummlinig ausfallen. Gleichwohl lässt sich für jeden Zeitpunkt t der wahre Ort des Massenpunktes aus den Seitenbewegungen x und у konstruiren. A Ändert sich t um dt, so werden in diesem Zeittheilchen die Seitenbewegungen BBl—dx, CGl=dy zurückgelegt, und der Massenpunkt gelangt von Г> nach D Nun sind aber die Geschwindigkeiten der beiden Seitenbewegungen

im Zeitpunkte t : w = bezw. и =

Fig. 20.

Fig. 21.

It 11,

dy

]Di

dt

dt

Setzt man hiernach

dx = wdt und dy — udt, so betrachtet man für die Dauer eines Zeittheilchens dt die Seitenbewegungen als gleichförmig, sodass für die augenblickliche Geschwindigkeit v der wahren oder Mittelbewegung die für gleichförmige Bewegungen abgeleitete Fig. 20 gültig bleibt. Die Kichtung der Geschwindigkeit v fällt hiernach mit der Sehne DJ)l, also, da diese unendlich klein, mit der Richtung der Bahnlinie, d. h. mit der Bewegungsrichtung zusammen. Auch ist, wie bei der geradlinigen Be-DJD

ds

Die Geschwindigkeiten w und и der

Seitenbewegungen nennt man kürzer die Seitengeschwindigkeiten des Massenpunktes, v die wahre oder Mittelgeschwin-digkoit. Es gilt also für zwei beliebige geradlinige Seitenbewegungen der Satz vom Parallelogramm oder vom Dreieck der Geschwindigkeiten: Die Mittel gesch windigkeit ist die

wegung v = -Yt

dt '

Diagonale eines Parallélogrammes aus den Seitengeschwindigkeiten, oder die geometrische Summe der Seitengeschwindigkeiten.

Hiernach kann die Mittelgeschwindigkeit, die wahre oder resultirende Geschwindigkeit durch Zeichnung gefunden werden; will man aber ihre Grösse und Richtung durch Rechnung bestimmen, so bedenke man, dass in dem Dreieck ABD (Fig. 22)

v² = tt/²-j-г<²— 2 w и cos A B D, oder weil cos ABD = cos (л — ос) = — cos а,

v — У w² + и² + 2 w и cos а ; ebenso gilt sin (p : sin A BD = и ; v, also, weil sin ABD = sin я,

Fig. 22.

lD

vu

if

1)

2)

U

sin œ = sin a — .

v

Gl. 1 liefert die Grösse, Gl. 2 sodann die Richtung von v. Dabei ist zu bemerken, dass die Strecken w und и stets in der Weise an einander zu setzen sind, dass die Pfeile in dem Zuge ABD übereinstimmenden Umfahrungssinn haben, und dass dann der Pfeil von v stets vom Anfang A nach dem Endpunkte D des Streckenzuges gerichtet ist.

Je kleiner der Winkel а wird, desto mehr nähert sich и der

Richtung von AB, desto näher fallt also auch v der Richtung von w.

Fallen schliesslich w und и in dieselbe Richtung, so wird а = 0, cos а = 1, sin а = 0 und man erhält v — w + и ; (p — 0. In diesem Falle wird die Mittelgeschwindigkeit v, welche allgemein die geometrische Summe von w und и, auch arithmetisch gleich der Summe von w und u.

Je mehr sich der Winkel а dem Winkel л nähert, desto niedriger wird wiederum das Geschwindigkeits-Dreieck, desto kleiner wird die Schlussseite v. Ist а = л, so wird cos а = — 1, sin а = 0, mithin, wenn w > и gedacht is^, v = w — u; cp — 0.

In beiden Fällen а = 0 und а = л wird v dią algebraische Summe von w und u, nämlich w -> • и bezw. iv—u.

Von besonderer Wichtigkeit ist noch der Fall, wo die beiden Seitengeschwindigkeiten zu einander rechtwinklig stehen (Fig. 23). Es ist dann

Fig. 23.

и : w.

Ist z. B.,

2ü = 2, u — 1, so wird

bezogen auf Sekunden und Meter, <u

~w

2? = 1^5 = 2,2зв; tg (p = ¹/2, ^> = 23° 34'.

3) Hat man drei, nicht in derselben Ebene liegende, gleichförmige Seitenbewegungen mit den Geschwindigkeiten w, и und c zusammenzusetzen (Fig. 24), so liefern zunächst zwei derselben, AB und AC, als Mittelbewegung wiederum eine geradlinige gleichförmige Bewegung AD mit der Geschwindigkeit vx, welche aus dem G Streckenzuge AB und BD als AD gefunden wird. Fügt man nun zu der Bewegung AD noch die dritte Seitenbewegung AE hinzu, so hat man wiederum zwei geradlinige, gleichförmige Bewegungen zusammenzusetzen; man verlegt daher ct parallel an den Endpunkt D von AD und erhält II als Endpunkt der wahren oder Mittelbewegung, welche geradlinig und gleichförmig von А nach II erfolgen muss.

Fig. 24.

EÄ

к ct

a)<

fui

чч

ct

iF

’B

*ut

Lässt man in Fig. 24 t — 1 werden, so erscheint die wahre oder Mittelgeschwindigkeit v als Diagonale eines Parallelepipeds aus den drei Seitengeschwindigkeiten, oder als die Schlussseite eines räumlichen, aus den drei Seitengeschwindigkeiten gebildeten Streckenzuges, welche man auch wiederum die geometrische Summe der Seitengeschwindigkeiten nennen kann.

Dieser Satz vom Parallelepiped oder (räumlichen) Viereck der Geschwindigkeiten erhält auch Gültigkeit für ungleichförmige Seitenbewegungen, wenn man dieselben Betrachtungen anstellt, wie auf S. 20 bezüglich zweier Seitenbewegungen geschah.

Stehen die 3 Seitengeschwindigkeiten rechtwinklig zu einander (Fig. 25), so wird die wahre (resultirende) oder Mittelgeschwindigkeit

V — w² + и² + с²,

und für die Neigungswinkel a, ß und у der Geschwindigkeit v gegen die Richtungen w, и und c ergiebt sich, weil die G Seitenfläche В В HF rechtwinklig zu w steht, also auch 2t ABU ein Rechter, cos a = w : v ; ebenso cos ß — и : v und

c

cos y — c : v.

Fig. 25.

E.

y'

Eu

b) Zusammensetzung der Beschleunigungen.

1) Ein Massenpunkt habe zwei gleichförmig beschleunigte Seitenbewegungen AB und AC, welche beide mit den Geschwindigkeiten Null beginnen. Die Beschleunigungen seien p und q (Fig. 26); dann ist in t Zeiteinheiten (nach Gl. 5, S. 12):

AB=l/2pt²; BI)—xj‘iqt², in tx Zeiteinheiten:

ab, = Vap^²; A = '/tqh²-

Die wahren Orte des Massenpunktes sind

AB _ t² _ BI)

A B]    t,²    В] I),

Dreiecke ABB und AB,Bx ähnlich, daher die wahre Bewegung

AB AB t2 AB, ~ AB, ~ t,²’ oder sie sind mit den Quadraten der entsprechenden Zeiten verhältnisgleich. Für ein solches Bewegungsgesetz s = at² gilt aber v = 2 at, d. h. die Mittelbewegung ist wiederum eine gleichförmig beschleunigte mit der Anfangsgeschwindigkeit Null. Nennt man sodann die Beschleunigung dieser Bewegung r, so kann AB — l/2rt², AB, — x/2rt,² gesetzt werden. Wählt man endlich den beliebigen Zeitraum t, so, dass l/2t,²=l wird, so werden AB,, B,B, und AB, bezw. zu. p, q und r, und es erscheint die Beschleunigung der wahren oder Mittelbewegung, welche kürzer die Mittelbeschleunigung genannt wird, ebenso wie die Geschwindigkeit, als Schlusslinie eines aus den Seitenheschleunigungen

В bezw. В,. Somit ist

geradlinig. Für die Wegeslängen gilt aber

Fig. 26.

> t "i-

в

; es sind also die

gebildeten Streckenzuges, als geometrische Summe der Seitenbeschleunigungen, oder als Diagonale eines Parallelogramms aus den Seitenbeschleunigungen.

2) Dies gilt einstweilen nur, wenn die beiden Seitenbewegungen gleichförmig beschleunigt sind und mit der Geschwindigkeit Null beginnen, sodass die Mittelbewegung geradlinig wird. Erfolgen die Seitenbewegungen aber nach beliebigen Bewegungsgesetzen, so entsteht eine krummlinige Bewegung, und für diese muss der Begriff der Beschleunigung erst eine Verallgemeinerung erfahren.

Die Kichtung der Geschwindigkeit fällt nach Seite 20 mit der Bewegungsrichtung zusammen. Bei einer geradlinigen Bewegung bleibt also die Richtung der Geschwindigkeit dieselbe, es ändert sich nur deren Grösse, und zwar während des Zeittheilchens dt um

Diese Vergrösserung von v kann man nun auch so

dv — p dt.

auffassen, als ob zu der früheren Geschwindigkeit v eine neue Geschwindigkeit dv—pdt hinzugetreten wäre, und man nennt diese letztere die Elementarbeschleunigung, welche mittels Theilung durch das Zeittheilchen dt die (auf die Zeiteinheit bezogene) Beschleunigung p —dv:dt liefert.

Bei der krummlinigen Bewegung ändert sich während eines Zeittheilchen dt sowohl die Grösse, wie auch die Richtung der Geschwindigkeit (Fig. 27) ; diejenige .Geschwindigkeit nun, welche mit der im Zeitpunkte t vorhandenen Geschwindigkeit v zusammengesetzt werden muss, um mit ihr die für den Zeitpunkt t + dt geltende Geschwindigkeit v -f dv nach Grösse und Richtung zu ergeben, heisst wiederum die Elementarbeschleunigung, welche dann, durch dt getheilt, die Beschleunigung p der krummlinigen Bewegung im Zeitpunkte t nach Grösse und Richtung liefert.

Stellt also in Fig. 27 FG die Geschwindigkeit v im Zeitpunkte t, FH die Geschwindigkeit v + dv im Zeitpunkte t -f- dt dar, so ist GH die Elementarbeschleunigung = du. Letztere kann offenbar als die geometrische Differenz zwischen v dv und v, oder weil sie unendlich klein, als das geometrische Differential von v bezeichnet werden.

Fig. 27.

*/

//

du

«r

>a

Die Beschleunigung p der krummlinigen Bewegung ADDV im Zeitpunkte t bezeichnet man nun als p — du: dt, d. h. als die geometrische Abgeleitete von v nach t und als mit der Richtung von du übereinstimmend. Die Beschleunigung weicht hiernach bei krummliniger Bewegung stets von der Bewegungsrichtung (v) ab.

Fig. 28.

du

du

li В,

Bei der Zusammensetzung zweier beliebigen geradlinigen Seitenbewegungen ist nun die Geschwindigkeit v = AD im Zeitpunkte t (Fig. 28) die Mittelgeschwindigkeit aus w und и, die Geschwindigkeit v + dv — ADX im Zeitpunkte t -f- dt die Mittelgeschwindig- Г~ keit aus w + div und и + du. Legt man \ beide Streckenzüge so aufeinander, dass v Д und v + dv gemeinsamen Anfangspunkt A \ haben, so ist DDX die geometrische Diffe- J renz von v + dv und v, oder die Elementarbeschleunigung = r-dt, wenn r die Beschleunigung. DDX ist aber die Schlussseite eines aus dw — p-dt und du = q-dt gebildeten Streckenzuges DEDl.    Dasselbe Verhältnis muss also auch

zwischen r, p und q bestehen; mithin gilt auch iür zwei beliebige geradlinige Seitenbewegungen das auf S. 23 unter 1 ausgesprochene Gesetz für die Beschleunigung.

Für die Berechnung der Grösse und Richtung der Mittelbeschleunigung r gelten dieselben Formeln wie für die Geschwindigkeit (S. 21); man braucht in denselben nur w, и und v mit p, q und r zu vertauschen.

Ähnliche Betrachtungen, wie solche bezüglich der Geschwindigkeiten (S. 22 und 23) angestellt wurden, führen auch leicht zum Satze vom Parallelepiped oder Viereck der Beschleunigungen.

c) Zusammensetzung krummliniger Seitenbewegungen.

Die im Vorstehenden ausführlich entwickelten Gesetze für die Zusammensetzung von zwei oder drei Bewegungen, von deren Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bleiben auch noch gültig, wenn die Seitenbewegungen nicht geradlinig, sondern krummlinig erfolgen. Unerlässliche Bedingung hierfür ist aber, dass die bewegliche Bahnlinie eine reine P а г а 11 e 1 Verschiebung erfahre.

Bewegt sich der Massenpunkt in der Bahnlinie AB (Fig. 29), während diese eine Verschiebung in die Lage CD erfahrt, so erkennt man leicht, dass D der Ort des Massenpunktes nach der Bewegung sein muss, und dass es gleichgültig ist, ob man den Punkt D mittels der wahren Be-

Fig. 29.

wegungslinien AB, AC und BD festlegt, oder ob man die Sehnen AB, AC und BD benutzt und aus ihnen ein Parallelogramm oder einen Streckenzug ABD bildet. Auch für die Geschwindigkeit v der wahren Bewegung in irgend einem Zeitpunkte t muss der früher (S. 21) bewiesene Satz aus dem Grunde gültig bleiben, weil mit dem Begriffe der Geschwindigkeit grundsätzlich die Vorstellung verbunden ist, dass man jede krummlinige Bewegung für ein unendlich kleines Zeittheilchen als geradlinig und gleichförmig betrachten darf, sodass man es in jedem Zeitpunkte nur mit der Zusammensetzung der Geschwindigkeiten solcher einfachen Bewegungen zu thun hat.

Fig. 30.

JD

Dass auch bezüglich der Beschleunigungen das Entsprechende gilt, ergiebt sich durch folgende Betrachtung: AB und AC (Fig. 30) seien die Seitenbewegungen während eines Zeittheilchens; w und w + dw bezw. и und и + du die Seitengeschwindigkeiten zu Anfang und zu Ende desselben. Man c

trage w und w + dw von einem Punkte О aus auf.

Setze daran die Strecken

.V

9(ft

rT

PR = и bezw QS — и + du. Dann ist OR = v die wahre Geschwindigkeit im Zeitpunkte t, OS—v-r dv diejenige im Zeitpunkte t + dt Darnach wird dann RS — r-dt die Elementarbeschleunigung und r — RS:dt die Beschleunigung der Mittelbewegung; PQ, = p • dt ist die Elementarbeschleunigung der ersten Seitenbewegung. Macht man nun QT — und || PR — u, so wird TS — q - dt die zweite Elementarbeschleunigung, und weil RT#PQ = p-dt,

so erscheint RS—r-dt als Schlusslinie eines Streckenzuges aus

^7/4

//$

ВТ — p • dt und TS = q • dt. Mithin muss auch r die Schlusslinie eines Streckenzuges aus p und q sein. Damit ist der Satz vom Dreieck oder Parallelogramm der Beschleunigungen allgemein bewiesen. Die Erweiterung zum Satze vom Parallelepiped bezw. räumlichen Viereck der Beschleunigungen hat keine Schwierigkeit.

Erfahrt aber die Bahnlinie AB nicht eine einfache Parallelverschiebung, sondern eine allgemeinere Bewegung, so werden die Beziehungen der wahren oder Mittelbewegung verwickelter; dieser schwierigere Fall wird erst später in der Allgemeinen Mechanik behandelt.

d) Zerlegung von Bewegungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

Wie man aus zwei bezw. drei gleichzeitigen Seitenbewegungen mit Hülfe der Gesetze vom Dreieck bezw. Viereck der Bewegungen die Mittelbewegung finden konnte, wie ferner die Seitengeschwindigkeiten und Beschleunigungen zu den Mittel-Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sich zusammensetzen Hessen, so kann auch umgekehrt jede Bewegung eines Massenpunktes in der Ebene oder im Raum in zwei bezw. drei geradlinige Seitenbewegungen zerlegt oder durch diese ersetzt werden, und das Gleiche gilt auch hezüglich der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

Fig. 31.

By

Чи

Pc

Ist z. B. die Bewegung eines Massenpunktes in einer ebenen Kurve AB gegeben (Fig. 31), kennen wir also für jeden Zeitwerth t den Ort P des Punktes in der Kurve, so kann man durch A zwei mit der Kurve in derselben Ebene liegende Gerade AC und AD legen und nach deren Richtungen die gegebene Bewegung zerlegen. Sind PQ und PB parallel zu AC und AD, so kann die gegebene Bewegung AP vollständig A durch diese Seitenbewegungen ersetzt werden, sobald nur deren Bewegungsgesetze so geregelt sind, dass für jeden Zeitpunkt t die Orte P, Q, und В der fraglichen Bewegungen einem solchen Parallelogramm AQPB angehören. Wird aus der Geschwindigkeit V der gegebenen Bewegung und den Seitenrichtungen AC und AD ein Dreieck gezeichnet, so sind die m AC und AD parallelen Seiten zugleich die Geschwindigkeiten w und и der

Seitenbewegungen, oder es ist v in die Seitengeschwindigkeiten w und и zerlegt.

Für die Behandlung krummliniger Bewegungen bietet eine solche Zerlegung ausserordentliche Erleichterung; sie schliesst sich auch unmittelbar dem Verfahren der analytischen Geometrie an, welche ja auch einen Punkt P in einer Ebene durch zwei Koordinaten x und у gegen 2 Achsenrichtungen festlegt. In den meisten Fällen legt man die Achsen rechtwinklig zu einander.

Fig. 32.

vii1 //V

f>M«>

ax

Soll die Bewegung des Punktes P (Fig. 32) in der xy-Ebene völlig bekannt sein, so muss man für jeden Zeitpunkt t sowohl x als auch у kennen, oder es müssen x und у als Funktionen von t gegeben sein. Jede der Funktionen x=f{t) und у — cp (t) kann aber für sich allein als das Gesetz einer geradlinigen Seitenbewegung aulgefasst werden, und zwar würden für den Zeitpunkt t die Seitenbewegungen AQ=x und PQ = y sein, deren Vereinigung den Massenpunkt richtig nach seinem Orte P führt. Diese beiden Bewegungsgleichungen bestimmen die Bewegung des Massenpunktes vollständig und in einfachster Weise. Bezeichnet man die Seitengeschwindigkeiten in den beiden Achsenrichtungen mit vx und Vy, ebenso die Seitenbeschleunigungen mit px und py> so ist nach S. 6

dx

V*~ dt' Vy

dy

dt

Für die wahre Geschwindigkeit gilt dann

\^dx² + dy²

- У iwl + (f)’ -

V =    + Vy²

also, wie bei der geradlinigen Bewegung v — —

ds

dt’

dt

Ferner ist

dy_

tg а = Vy-Vx

dt

dy

dx dx '

dt

d. h. die Richtung der Geschwindigkeit v stimmt mit der Richtung der Bewegung überein.

Nach S. 15 ist

d²x

v^U ⁼ lir-' p^~dt

dvx

d Vy_d ² у *

dt²'

für die wahre Beschleunigung gilt

und

-’v+'.'-yeNS)'

tg cp =

d‘²y

dt²

dt²

dy

Da dieser Werth im Allgemeinen von tga = verschieden ist,

Ct Ou

so fallen, wie bereits S. 25 besprochen, die Dichtungen der Beschleunigung und der Bewegung im Allgemeinen nicht zusammen.

Erfolgt die Bewegung des Massenpunktes nicht in einer Ebene, sondern in einer ränmlichen Kurve, so sind die drei rechtwinkligen Koordinaten des Ortes P als Funktionen der Zeit auszudrücken, und es können dann wieder die Gleichungen x—f{t); y — <p{t)\ z = y>(t) als Gesetze dreier Seitenbewegungen aufgefasst werden, deren Zusammenwirken die räumliche Bewegung des Massenpunktes vollständig wiedergiebt. Es entsteht in ähnlicher Weise

Vz = lït' V = ^v*    Vy2    v*² =

dx

vx =

dt y dtł ferner nach S. 23

dz

dx

__ vu _ d]L.

ds ’

Für die Beschleunigungen ergiebt sich das Entsprechende.

Ух

COS а = —-

ds ’

; cos ß

cos у —

Vz

ds ’

Beispiel: Für eine ebene Bewegung sind gegeben die Gleichungen X = а (1 — cos t) ; у = b sin t.

Um hieraus die Gleichung der Bahnlinie zu finden, entferne man t.

, а cos t = —

₌ y.

mithin durch Quadriren und Zusammenzählen:

(а — X)² , y²

cos ²t -j- sin²£ = 1 =--j

b² *

Fig. 33.

iwĄEf*

yy 7-X

Ч Л/

Es wird

Dies ist die Gleichung einer Ellipse (Fig. 33), aber nicht bezogen auf den Mittelpunkt M, sondern auf den Endpunkt A der Halbachse a. Denn sobald man а — х = хг setzt, wird

aus obiger Gleichung die bekannte Formel 1

æt²

ci²

J)

Pi

Die Seitengeschwindigkeiten sind:

dt

a sin t —

a

-ьу

dy

ь = ж = Ъта*

Für t — 0 ist X — у = 0; vx = 0; vy = b (entsprechend dem Punkt А) ; für t — ¹/a 7Г = l,r»7 Sek. ist sin£=l, cos£ = 0,

x = a-, у=Ъ; vx = a-, ® = 0, entsprechend dem Punkte B-, für t = 7Г = 3,14 Sek. ist sinf = 0, cos# = —1,

x = 2 a-, y — 0; vx = 0-, v„ = —Z>, entsprechend dem Punkte C; für t — ³/2 7Г ist sin £ = — 1, cos t = 0,

x = a\ y — — vx — — a; vy — 0-, entsprechend dem Punkte D.

Für fortlaufende Zeit nehmen æ .und y immer wieder dieselben Werthe an, so oft sich t um 2 r geändert hat. Die Ellipse wird hiernach fortwährend in derselben Richtung durchlaufen, und ein Umlauf erfordert 2 7r Sekunden. Für die Beschleunigungen gilt

Px

dvx

, - — a cos t — а — X = x, dt

dVy

Pu = -Jf = — b sin t = — y.

Die Seitenbeschleunigungen werden also der Grösse nach gemessen durch die Mittelpunkts-Koordinaten des Punktes P; u. zw. ist px — а — x = xl nach rechts, py = — у aber, wegen des negativen Zeichens, nach unten gerichtet. Es wird

p = |4(a — x)"- + y² — r — dem Mittelpunkts - Fahrstrahle PM, u. zw. ist der Sinn von p stets nach dem Mittelpunkte M gerichtet.

4. Physikalische Grundgesetze der Mechanik.

In dem Vorstehenden haben wir die Bewegungen als gegeben angesehen und gewisse kennzeichnende Merkmale und Eigenschaften derselben aufgeführt. Die Betrachtungen waren rein mathematische; wenn auch das Bewegliche als Massenpunkt bezeichnet wurde, so geschah dies nur zur Erleichterung der Vorstellung.

Wollen wir nun aber die Bewegung eines Massenpunktes aus ihren Ursachen, den Kräften, herleiten, so bedürfen wir gewisser physikalischer Grundgesetze, die sich nicht mathematisch beweisen lassen, die auch nicht ohne Weiteres selbstverständlich sind, deren Richtigkeit aber dadurch genügend sichergestellt ist, dass alle Ergebnisse, welche daraus gezogen werden, mit der Beobachtung übereinstimmen (Erfahrungsgesetze).

Der erste Grundsatz ist das von Galilei im Jahre 1638 ausgesprochene Gesetz der Trägheit: Jeder Massenpunkt bleibt im Zustande der Ruhe oder der geradlinigen, gleichförmigen Bewegung, solange er nicht durch äussere Einwirkungen zu einer Änderung dieses Zustandes veranlasst wird.

Hiernach bedarf ein Massenpunkt zur Fortsetzung einer Bewegung mit gleichbleibender Richtung und Geschwindigkeit keiner äusseren Einwirkung. Zu einer Abweichung aber von der geradlinig - gleichförmigen Bewegung ist eine Ursache, eine Kraft erforderlich. Eine solche Kraftwirkung, der ein Massenpunkt ausgesetzt ist, geht aber, so lehrt die Erfahrung, stets wieder von einem anderen Massenpunkt aus; man kann daher sagen: Unter „Kraft“ versteht man die Einwirkung eines Massenpunktes auf die Bewegung eines anderen. — Die Wirkung einer Kraft besteht in einer Grössen- oder Richtungs-Änderung der Geschwindigkeit eines Massenpunktes.

Eine nach Grösse und Richtung gleichbleibende Beschleunigung, wie sie bei der geradlinigen, gleichförmig beschleunigten Bewegung eines Massenpunktes vorkommt, wird als die Wirkung einer ebenfalls nach Grösse und Richtung gleichbleibenden Kraft angesehen. Richtung und Sinn der Kraft werden als übereinstimmend mit denen der entsprechenden Beschleunigung bezeichnet. Derjenige Massenpunkt aber, von dem die Kraftwirkung ausgeht, ist auf der Richtungslinie der Kraft zu suchen.

Wenn auf denselben Massenpunkt zu verschiedenen Zeiten zwei Kräfte К und Kx wirken und die Beschleunigungen p bezw. px hervorbringen, so bezeichnet man die Grössen der Kräfte als ver-

= — oder

К

hältnisgleich mit den Beschleunigungen, setzt also —

A i

Wenn aber die gleiche Kraftwirkung, auf verschiedene

Pi Ki '

Massenpunkte ausgeübt, die verschiedenen Beschleunigungen p und px hervorbringt, so erklärt man diese abweichende Wirkung aus der verschiedenen Massengrösse der beiden Punkte, und zwar bezeichnet man diejenige Masse als die grössere, welche durch die gegebene Kraft die kleinere Beschleunigung erfährt,

und setzt die Massen m und mx in umgekehrtes Verhältnis zu den entstehenden Beschleunigungen p und p₁, also

oder

Щ P

— —Die Masse eines Körpers ist völlig unveränderlich, Pi m    °

wird sogar durch chemische Umwandlung in keiner Weise beeinflusst. Die Beschleunigung aber, die ein Massenpunkt erfährt, ist, wie die Erfahrung lehrt, nur von ihrer Ursache, der Kraftgrösse, und von der Masse des Punktes abhängig. Da nun nach dem Vorstehenden die Beschleunigung einmal in gleichem Verhältnisse zu der Kraft, ein anderes Mal im umgekehrten Verhältnisse zu der Masse steht, so gelangt man zu dem zweiten Grundgesetze, dem Beschleunigungsgesetze: Jede Kraft K, die auf einen Punkt von der Masse m wirkt, ertheilt diesem eine Beschleunigung p, welche verhältnisgleich der Kraft und umgekehrt verhältnisgleich der Masse ist.

К

nt

Man kann hiernach setzen p = a—. Darin bedeutet a eine

Zahl, die sich offenbar nach den für Beschleunigung, Kraft und Masse gewählten Einheiten richtet. Umgekehrt kann man aber auch den Werth a willkürlich annehmen, wenn man zugleich auf die freie Wahl einer der drei Einheiten, z. B. der Masseneinheit, verzichtet. Man hat es nun zweckmässig gefunden, а — 1 zu setzen, so dass einfach

/1

1)

Beschleunigung =

sich ergiebt. Dies Grundgesetz ist 1687

Kraft

Masse

von Newton ausgesprochen.

Die Beschleunigung messen wir in der Regel nach m/sekf; wenn später in einzelnen Fällen es zweckmässig wird, diese Grösse in cm/gek» auszudrücken, so ergiebt sich leicht, welche sonstige Änderung damit verbunden ist.

Wie man die Krafteinheit zweckmässig wählt und wie daraus dann die Masseneinheit sich von selbst ergiebt (in Folge der willkürlichen Setzung а — 1), kann erst mit Hülfe des folgenden Grundgesetzes erklärt werden.

Drittes Grundgesetz, Gesetz der Schwere: Die Erde übt auf jeden Massenpunkt an ihrer Oberfläche eine Kraft aus, welche lothrecht abwärts gerichtet ist und jedem Massen punkte die gleiche Beschleunigung er-theilt. Diese Kraft heisst die Schwerkraft oder das Gewicht des Massenpunktes, und die völlig gleiche Beschleunigung g heisst die Beschleunigung der Schwere oder die Fallbeschleunigung.

Ist also Q das Gewicht einer Masse m, so ergiebt sich hiernach g — Q:m, oder — weil g für alle Massen gleich — es ist das Gewicht eines Massenpunktes seiner Masse verhältnisgleich und umgekehrt.

2)

Q = mg.

Die Fallbeschleunigung g ist für verschiedene Punkte der Erdoberfläche allerdings etwas verschieden, aus Gründen, die später erläutert werden sollen; es ändert das aber an dem vorstehenden Gesetze nichts; denn dieses soll zunächst nur ausdrücken, dass an derselben Stelle der Erdoberfläche verschiedene Massenpunkte übereinstimmende Fallbeschleunigung g erfahren, dass die auf die Massen ausgeiihten Schwerkräfte verhältnisgleich ihren Massen sind.

Unter 45° geographischer Breite und in der Höhe des Meeresspiegels beträgt die Fallbeschleunigung g₄₅ — 9,806 m/S(k2. In Berlin ist g — 9,813, in Hannover ebenfalls = 9,813 (S. 94).

Das Gewicht eines Liters Wasser im Zustande der grössten Dichte (bei etwa 4° C.) heisst das Kilogramm und dient als Gewichtseinheit. Da dieser Wasserkörper eine ganz bestimmte Masse enthält, so ist seine Schwere Q wegen der Veränderlichkeit von g an verschiedenen Stellen der Erdoberfläche etwas verschieden. Das Gewicht eines Liters Wasser (bei 4° C.) an denjenigen Stellen der Erde, wo g = 9,806m/sek» beträgt, wählen wir zur Krafteinheit und bezeichnen es als Kilogramm (ke). — An anderen Stellen der Erde wird das Gewicht eines Liters Wasser dann von 1 k& etwas verschieden ausfallen, sich nämlich verhältnisgleich mit g ändern. Für technische Anwendungen kann diese Veränderlichkeit meist unberücksichtigt bleiben, indem man für die meisten Fälle einfach g — 9,81 setzt. Nur grundsätzlich muss die

Keck, Mechanik I.

Stelle der Erde bezeichnet werden, wo das Gewicht von 1¹ Wasser gleich unserer technischen Krafteinheit, dem Kilogramm, ist.

Um nun die Masseneinheit kennen zu lernen, brauchen wir in der Gleichung Q = mgAb nur m= 1 zu setzen, dann wird das Gewicht dieser Masseneinheit Qx — g4b = 9,806 kg.

Die Masseneinheit ist also die Masse eines Körpers, der unter 45° geographischer Breite 9,806 kg wiegt, oder die in 9,806 Litern Wasser von 4°C. enthaltene Masse.

Mafseinheiten (1er Physik. Da die Masse eines Körpers völlig unveränderlich ist, so liegt es eigentlich näher, einen Wasserkörper von abgerundeten Mafsen als Masseneinheit zu Grunde zu legen, wonach dann in Folge der Gleichung 1 (S. 32) mit K= 1 und m— 1 auch p — 1 werden, d. h. diejenige Kraft zur Krafteinheit werden würde, welche der Masseneinheit eine Beschleunigung 1 ertheilt. So bezeichnet die neuere Physik die Masse eines Kubik-centimeters Wasser als Masseneinheit und nennt diese Masseneinheit das Gramm. Als Längeneinheit dient das Centimeter, als Zeiteinheit die Sekunde, sodass die Beschleunigung nach Cm/Sek³ gemessen wird. Die Krafteinheit der Physik, die Dyne, ist diejenige Kraft, welche einem Kubikcentimeter Wasser eine Beschleunigung = 1 cm/sek'-* ertheilt. Das Gewicht eines Kubikcentimeters Wasser,

unserer Krafteinheit, ertheilt diesem Körper die Beschleunigung

d. h.

1000

g — 981 cm/sek-', ist also gleich 981 Dynen; unsere Krafteinheit, das Kilogramm, daher gleich 981 000 Dynen. Für die technische Anwendung der Mechanik ist die Wahl dieser Krafteinheit, wenngleich sie wissenschaftlich grosse Vorzüge besitzt, nicht recht zweckmässig. Bei den Aufgaben des Technikers kommt es meist darauf an, Schwerkräfte zu benutzen, oder ihnen entgegen zu wirken. Diese Schwerkräfte sind dann unmittelbar in Kilogrammen gegeben, und die Endergebnisse müssen für die Ausführung auch meist Gewichte oder sonstige Kräfte in Kilogrammen ausdrücken. Es würden daher bei den Aufgaben häufig Umwandlungen von Kilogrammen in Dyne und umgekehrt erforderlich werden. Ähnliche Umwandlungen müssen, streng genommen, freilich auch bei der Wahl unserer Krafteinheit ausgeführt werden, wenn die fraglichen Körper sich nicht unter 45° geographischer Breite befinden, sondern an einem Orte, wo g von 9,аоб abweicht. Doch sind diese Abweichungen meist so gering, dass sie für die Anwendung keine Bedeutung haben.

Es wurde schon erwähnt

Viertes Grundgesetz; Gesetz der Wechselwirkung. Die Kräfte, mit denen zwei Massenpunkte auf einander wirken, treten stets paarweise in gleicher Grösse aber entgegengesetztem Sinn auf.

(S. 31), dass eine Kraft К, die auf einen Massenpunkt m wirkt, von irgend einem anderen, in der Richtungslinie der Kraft befindlichen

Massenpunkt mx ausgehen müsse. Die Erfahrung lehrt nun aber, dass dann m auf ml dieselbe Kraft iv, nur in entgegengesetztem Sinne (mit entgegengesetztem Pfeil), ausübt. Dies Gesetz wurde schon von Galilei (geh. 1564 zu Pisa, gest. 1642 zu Arcetri) und Huvghens (geb. 1629 im Haag, gest. 1695 daselbst) angewandt, ist aber erst von Newton (geb. 1643 zu Woolstorpe, gest. 1726 zu Kensington) im Jahre 1687 bestimmt ausgesprochen worden.

Beispiel I: Der auf S. 13 behandelte Eisenbahnzug erfuhr bei der sog. Anfahrt eine Beschleunigung p — 0,i4m/Sek³. Wenn nun das Gewicht des ganzen Eisenbahnzuges 200000 kg beträgt, wie gross ist dann die zur Beschleunigung erforderliche Kraft К? Die Masse des Zuges ist m = 200000 : g Masseneinheiten, mithin ist К — mp = 200 000 p : у. Für solche Stellen der Erde, für welche g — 9,si gesetzt werden kann, ist */g — 0,io2, mithin К — 200 000 • 0,i4 • 0,io2 = 2850 kg.

Setzt man annähernd g = \ 0, ¹ /g = 0,i, was für überschlägliche Bechnungen zulässig, so wird AI7= 2800 kg,

Beispiel 2: Das auf S. 16 behandelte Geschoss erfuhr eine Beschleunigung p⁼⁼ 100 000. Wie gross ist die Ausdehnungskraft der Pulvergase, wenn das Geschoss 20 g = 0,o2 kg wiegt? Es ist m — 0,o2 : 9,*n =■ 2 : 981, mithin К = 2 • 100000 : 981 = 204 kg; für g = 10 wird К = 200.

5. Geradlinige Bewegung unter alleiniger Einwirkung

der Schwere.

Hält man einen Punkt von der Masse m ruhend zwischen den Fingern, so wird die Schwerkraft durch die Muskelkraft der Finger aufgehoben, indem die Kraftwirkungen der Finger auf den Massenpunkt eine Gesammtkraft ausüben, welche dem Gewichte mg genau gleich und entgegengesetzt ist. Öffnet man aber die Finger der Hand nach unten, so kommt die Schwere zur alleinigen Wirkung und ertheilt dem Massen punkte die Beschleunigung g. Der Punkt hatte vorher keine Bewegung, d. h. die Geschwindigkeit c — 0 ; es entsteht nun eine gleichförmig beschleunigte Bewegung in der Kichtung der Schwere, also lothrecht abwärts. Nach t Sekunden ist die Geschwindigkeit im Punkte P (Fig. 34) nach Gl. 2, S. 11:

V = fft,

Fig. 34.

'I

mg

1)

die zurückgelegte Wegeslänge

T mg

schwindigkeit v entsprechende Oeschwindigkeitshöhe. Für g = 9,81 wird

= 4,429, = rund 4,4, mithin v = 4,4 Vs.

7Г— = 0,051 = rund 0,05 und 1л2 q 2g    y

s — 0,05 v ² ;

Beispiel: Durchsinkt ein Massenpunkt in freiem Pall eine Höhe s = 4m, so erreicht er eine Fallgeschwindigkeit v = 4,4 V 4 = 8,8™/sek. Die dazu erforderliche Zeit ist

t = 8,8: 9,8i — 8,8 • 0,i — 0,88 sek .

Bei der geradlinigen Bewegung stimmen die Dichtungen der Geschwindigkeit und der Beschleunigung überein, bei der krummlinigen aber nicht; mithin kann eine geradlinige Bewegung nur entstehen, wenn die Richtung der wirkenden Kraft mit derjenigen der Anfangsgeschwindigkeit übereinstimmt und sich während der Bewegung nicht ändert. Ertheilt man also einem Massenpunkte mit der Hand eine derartige Bewegung, dass er in dem Augenblicke, wo die Hand den Punkt freilässt, eine Geschwindigkeit c hat, so ist diese die Anfangsgeschwindigkeit für die unter alleiniger Wirkung der Schwere erfolgende Wurfbewegung, und letztere kann nur geradlinig werden, wenn die Anfangsgeschwindigkeit c lothrecht gerichtet ist.

Ist c lothrecht nach unten gerichtet, so entsteht wiederum eine beschleunigte Bewegung; es wird (Fig. 34) nach t Sekunden

= ct + */2 gt² =

Fig. 35.

Wenn man aus Gl. 1 t = v:g entnimmt und in Gl. 2 einsetzt, so entsteht auch

g V-

Die lothrechte Wegeslänge, welche ein Massenpunkt durchfallen muss, um ganz allein durch die Wirkung der Schwere die Geschwindigkeit v zu er-

3)

V-

oder v — Ÿ2 g $.

v~

reichen, d. h. den Werth 8 = -=— nennt man die der Ge-

v²— c²

v = l^c² + 2gs.

Bei aufwärts gerichtetem Wurf aber (Fig. 35)

also auch

: öi

entsteht eine gleichförmig verzögerte Bewegung. Nach

c ² — v ²

t Sekunden ist v = c — gt; s — ct—l/igt2 v = Vc² — 2 gs.

s<

Nach tx — dg Sekunden ist die Geschwindigkeit c durch die Verzögerung aufgezehrt; es ist v = 0 und damit die grösste

c²

erreicht. Die

2.?

mögliche Höhe, die Steighöhe AB — h =

Steighöhe ist hiernach gleich der Geschwindigkeitshöhe, welche der Anfangsgeschwindigkeit c entspricht. Ist der Massenpunkt an der höchsten Stelle B (Fig. 35) mit der Geschwindigkeit Null angelangt, so geht er nun sofort in eine Fallbewegung über; die Geschwindigkeit г/j, mit der der Massenpunkt die Anfangsstelle A wieder erreicht,

ist vj — V~ 2 gh und weil h = war, vx = c, mithin gleich der aufwärts gerichteten Anfangsgeschwindigkeit, nur jetzt abwärts gerichtet. Auch die Zeit des Niederfallens t₂ = c/g ist gleich der Dauer = c/g des Steigens; überhaupt erfolgen Abwärts- und Aufwärtsbewegung ganz symmetrisch zu der Höchstlage, insofern jeder Punkt P die Bahnlinie beim Fallen mit derselben Geschwindigkeit v durchlaufen wird wie beim Steigen.

Beispiel : Ein Massenpunkt werde mit der Geschwindigkeit c = 9 >»/sek aufwärts geworfen. Dann ist die Steighöhe . h — e² : 2 g = 81 • 0,os = 4,os m ; die Steigdauer tx = e/g = 9 • 0,i = 0,9 sek. Ebenso lange währt das Herabfallen; mit der Geschwindigkeit c = 9™/gek trifft der Punkt unten wieder ein. — Wurfgeschwindigkeiten, die man einem Massenpunkt ertheilt, lassen sich schwer unmittelbar abmessen oder beurtheilen. Dazu kann aber ein aufwärts gerichteter Wurf dienen, indem man die Dauer der Steig- und Fallbewegung zusammen beobachtet. Nennt man diese so ist t₃ = 2 °/g , mithin c = lhgt₃.

Ein Massenpunkt werde lothrecht aufwärts geworfen und lange nach t₃ — 6 Sek. unten wieder an. Dann war seine Anfangsgeschwindigkeit c = x/t g ■ 6 = rund 30, die erreichte Höhe

c²

= 45 m.

1 o²*.,²

2    4    2 g

Bei all diesen Betrachtungen war vorausgesetzt, dass auf den Massenpunkt nur die Schwere als Kraft wirke. Bei Fall- und Wurfbewegungen in freier Luft tritt aber ein Luftwiderstand der Bewegung entgegen, der an dieser Stelle noch nicht berücksichtigt werden kann. Es sei nur bemerkt, dass dieser Widerstand unbedeutenden Einfluss hat bei Massenpunkten aus dichtem Stoff und bei kleinen Geschwindigkeiten. Wirft man eine Blei- oder Eisenkugel mit der Hand, so kann der Luftwiderstand meist vernachlässigt werden, während lockere Massen einen grossen Luftwiderstand erfahren. Auch bei den grossen Geschwindigkeiten der Geschosse hat der (mit dem Quadrate der Geschwindigkeit wachsende) Luftwiderstand so bedeutenden Einfluss, dass vorstehende einfache Gleichungen für solche Fälle durchaus nicht mehr verwendbar sind.

6. Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.

Fig. 36.

Auf einen Massenpunkt m (Fig. 36) mögen gleichzeitig 2 Kräfte Kx und Ko wirken; dann bringt nach dem Satz auf S. 32 jede von ihnen eine entsprechende Beschleunigung pi — Kx : m ; p.₂ = K, : m hervor. Denken wir uns diese Beschleunigungen, denen der Punkt in B gleichzeitig unterworfen ist, durch mA und / mB dar gestellt, so lassen sich beide nach dem t Satz auf S. 23 durch eine Mittelbeschleunigung / , r ersetzen, die man erhält, indem man die m

Seitenbesclileunigungen zu einem Streckenzug mAC zusammensetzt; die Schlusslinie mC ist dann die wahre oder Mittelbeschleunigung des Punktes Kräfte Kx und K₂.

m unter der Einwirkung der Dieselbe Beschleunigung r würde aber auch entstehen, wenn in der Richtung mC auf den Punkt m eine Kraft II = mr wirkte. Zeichnet man daher einen Streckenzug aus den Kräften Kx und K₂ (statt aus den Beschleunigungen), so wird die Schlusslinie die Grösse В — mr bekommen und nach Richtung und Sinn mit r übereinstimmen. Die so erhaltene Kraft R ist

dann den gegebenen Kräften Kx und K₂ völlig gleichwertig und heisst ihre Mittelkraft oder Resultirende. Es folgt also der Satz vom Dreieck (oder vom Parallelogramm) der Kräfte: Die Mittelkraft zweier gegebenen Kräfte wird nach Grösse, Richtung und Sinn durch die Schlussseite des aus den gegebenen Kräften gebildeten Streckenzuges, also durch die geometrische Summe der Seitenkräfte, (oder durch die Diagonale des aus ihnen gezeichneten Parallelogramms) dargestellt.

Für die Berechnung ergeben sich (Fig. 37), wie bei der Zusammensetzung der Geschwindigkeiten (S. 21) gezeigt wurde, die Formeln:

K₂

1 ) It = Y'KX ² + Ko- +2 K Ko

Fig. 37.

Kx

cos а

2)

sin (p = sin a .

Kt

Wird а = 0, d. h. haben die beiden Kräfte übereinstimmende Richtung und gleichen Sinn, so wird die Mittelkraft die wirkliche

Summe; haben sie aber (für я — я) entgegengesetzten Sinn, so wird die Mittelkraft gleich dem Unterschiede der gegebenen Kräfte und bekommt den Sinn der grösseren von beiden. In diesen beiden Fällen stimmt die geometrische Summe mit der algebraischen Summe überein. Werden in letzterem Falle noch die beiden entgegengesetzten Kräfte К einander gleich, so ergiebt sich die Mittelkraft zu Null; es bewegt sich dann der Massenpunkt ebenso, als ob gar keine Kraft auf ihn einwirkte, man sagt daher:

Zwei gleiche, aber entgege ngesetzt gerichtete Kräfte heben sich an einem Massenpunkte vollständig auf oder halten einander das Gleichgewicht.

Stehen die beiden Kräfte rechtwinklig zu einander, so wird

в = VK‘i+ Kl; tg cp = Ko : K} .

um

Kommt zu den Kräften Kx und K₂ noch eine dritte KA hinzu, die mit K] und K₂ nicht in derselben Ebene liegt, so hat man diese mit der Mittelkraft der beiden ersteren zusammenzusetzen, die Mittelkraft R aller dreier Kräfte zu erhalten. Wie bei der Zusammensetzung der Geschwindigkeiten (S 22) ausführlich erläutert, ergiebt sich dann die Mittelkraft als Diagonale eines Parallelepipeds aus den drei Seitenkräften, oder als die Schlussseite eines räumlichen Streckenzuges der Seitenkräfte oder wiederum als deren geometrische Summe.

Wie Geschwindigkeiten und Beschleunigungen lassen sich selbstverständlich auch Kräfte in zwei bezw. drei Seitenkräfte zerlegen und durch diese völlig ersetzen.

Fig. 38.

------- j)

ifAL--!-у

A K conte II

Soll eine Kraft К nach zwei rechtwinklig auf einander stehenden, mit ihr in derselben Ebene liegenden Achsenrichtungen zerlegt werden (Fig. 38), so zieht man durch den Endpunkt D der Kraftstrecke A D eine Parallele J)B zu A Y; dann ist AB D der Streckenzug der Seitenkräfte. Schliesst К mit der x-Achse den Winkel a ein, so erhält man К cos а und К sin a als die Seitenkräfte. Soll die Zerlegung aber nach drei rechtwinklig zu einander stehenden Richtungen erfolgen (Fig. 39), welche mit der Kraft К bezw. die Winkel a, ß und у einschliessen, so fällt man von H ein Loth JIJ) auf die ж у - Ebene und hat

2)

damit die in die z- Achse fallende Seitenkraft К cos у mit dem Sinne von D nach H. Eine Parallele durch D zur y- Achse liefert die Seitenkraft BD — К cos ß für die у -Richtung, und endlich ist AB = К cos a die Seitenkraft in der л?-Richtung (vergl. S. 23, Fig. 25).

Greifen nun an einem Massenpunkte beliebig viele Kräfte Kx,

K₂ ... Kn mit beliebigen Richtungen an und will man deren Mittelkraft R nach Grösse und Richtung finden, so legt man durch den Massenpunkt ein dreiachsiges Achsenkreuz, dessen Achsen mit den gegebenen Kräften die als bekannt zu betrachtenden Richtungswinkel ßx, yx ; oc₂, /?₂, /2 ; • • • ßm /n einschliessen. Sodann zerlegt man jede der gegebenen Kräfte in drei Seitenkräfte, welche mit den Achsenrichtungen zusammenfallen, ersetzt also jKj durch Kx cos 04, Kx cos ßx, KL cos yx u. s. f. Dadurch erhält man freilich die dreifache Anzahl der Kräfte, die aber nun in drei ganz bestimmten Richtungen liegen. Dann können die in die x-Richtung fallenden Seitenkräfte Kx cos a,, K, cos a₂ . . . Kn cos a„ durch eine einzige in derselben Richtung wirkende Kraft X gleich der algebraischen Summe der Seitenkräfte

X = Kx cos ctj + Ko cos a₂ + . . . . + Kn cos an,

was man kürzer schreibt X— ZК cos ec, ersetzt werden, während sich in den anderen Richtungen in gleicher Weise ergiebt:

Y—ZK cos ß; Z= ZK cosy.

Die drei rechtwinklig zu einander stehenden Seitenkräfte X, Y, Z lassen sich nun durch ihre geometrische Summe

R = \rX² + Y² + Z²

ersetzen, welche mit den drei Achsenrichtungen die Winkel a, ß und y einschliesst. Da nun X die Seitenkraft von R in der я? - Richtung, also X=R cos oc, so wird

Fig. 39.

3)

4)

z,\

[Л

. \sf\u

к cost?

Z?

cos a — —; ebenso cos ß =-— ; cos^ = —.

XV    II    XV

~~~Ą

-X

Damit ist die Mittelkraft R nach Grösse und Richtung bestimmt. Da in den algebraischen Summen auf die Reihenfolge der Summanden nichts ankommt, so ist die Reihenfolge in der Zusammensetzung der Kräfte gleichgültig.

Fig. 40.

Fig. 40 a.

K₂

A'i

‘3

R3rr

K₂

Ei

Auch durch Zeichnung kann man beliebig viele, beispielsweise vier Kräfte Kx bis K₄ zuzammensetzen. • Von einem beliebigen Punkt A aus setze man in einer Hülfs-figur 40 a zuerst Kx und K₂ zu einem Streckenzuge zusam- ^ men; dann ist die Schlusslinie AC=R2 die Mittelkraft beider.

Mit dieser fügt man in gleicher Weise K. zusammen, indem man den Streckenzug R2f K₃ mit der Mittelkraft R₃ = AD bildet. Daran schliesst sich in gleicher Weise K₄. Die Strecke A JE, welche dann den gesammten Streckenzug der Kräfte Kx bis KA schliesst, ist offenbar die Mittelkraft R der gegebenen Seitenkräfte und ergiebt sich wiederum als die geometrische Summe der Kräfte. Verlegt man diese nach Grösse, Richtung und Sinn bestimmte Mittelkraft an den Massenpunkt bei P (Fig. 40), so ist die Aufgabe gelöst. Die Hülfsfigur 40a heisst (nach G. Lang), das Krafteck. Beim Zeichnen des Kraftecks hat man die zusammenzusetzenden Kräfte in solcher Weise aneinander zu reihen, dass in dem Streckenzug ABC DE die Pfeile übereinstimmenden Umfahrungssinn zeigen. — Diese Figur ist leicht zu zeichnen, wenn die gegebenen Kräfte in derselben Ebene, der Zeichenebene, liegen. Man erkennt aber leicht, dass, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, das Krafteck grundsätzlich seine Bedeutung beibehält; nur bildet der Streckenzug der Kräfte dann ein räumliches Krafteck; aber immerhin stellt die Schlusslinie, d. h. die geometrische Summe der Kräfte, auch in solchen Fällen ihre Mittelkraft dar, deren zeichnerische Bestimmung dann freilich die Auftragung in Grundriss und Aufriss nach den Lehren der darstellenden Geometrie erfordert. Ist die Schlusslinie = Null, so halten sich die Kräfte im Gleichgewichte. Weiteres s. S. 65.

7. Mechanische Arbeit einer Kraft.

Fig. 41.

Ein Massenpunkt m führe unter Einwirkung beliebiger Kräfte eine Bewegung von A nach В aus (Fig. 41). Eine der wirkenden Kräfte К sei gleichbleibend nach Grösse und Richtung, so dass sie während der Bewegung stets ihrer Anfangsrichtung parallel bleibt. 1st dann AG die rechtwinklige Projektion der Bahnlinie А В auf die Richtung der Kraft K, so nennt man AG die in der Kraftrichtung zurückgelegte Wegeslänge. Das Produkt aus der Kraft К und der in ihrer Richtung CA zurückgelegten Wegeslänge AG heisst x dann die während der Bewegung AB von der Kraft К verrichtete mechanische Arbeit 91.

Fig. 42.

Die in der Kraftrichtung zurückgelegte Wegeslänge AG gilt als positiv, wenn ihr Sinn mit dem der Kraft übereinstimmt (Fig. 41) und umgekehrt. Bei dem Vorgänge nach Fig. 42 ist AG negativ einzuführen und auch die Arbeit von К negativ, nämlich 9t = — K- A G.

Fig. 43.

К,

^—>

г/лN. !

Кг

Ist die Kraft К nach Grösse und Rieh- A tung nicht gleichbleibend, so ist die Bildung / des Produktes К • A Gnicht möglich. Wenn VK die Kraft bei A die Grösse Kx, bei В die Grösse K₂ hat, an einem beliebigen Zwischenpunkte P aber = К war, so stellt man sich vor, die Kraft behielte für ein Bewegungstheilchen PQ — d.s Grösse und Richtung bei und nähme erst bei Q plötzlich neue Grösse und Richtung an. Diese Vorstellung der sprungweisen Änderung wird mit der wirklichen stetigen Änderung um so mehr übereinstimmen, je mehr das Bahntheilchen ds sich der Null nähert. Für das Bewegungstheilchen ist dann die Arbeit der Kraft К: d% =±= K- ds • cos d. Als die Arbeit der veränderlichen Kraft К längs der endlichen Bewegung bezeichnet man nun 91 = ,\К -ds- cos Die Integration ist nur ausführbar, wenn man die Änderungsgesetze von К und cos$ kennt.

Steht die Kraft während eines beliebigen Theiles der Bewegung rechtwinklig zur Bahnlinie, so jst cos$ = 0, also auch «Ш und während dieses Bewegungsstückes Null; oder: eine Kraft verrichtet keine mechanische Arbeit, solange sie rechtwinklig zur Bewegungsrichtung steht.

Fig. 44.

Ein Massenpunkt möge sich nun unter Einwirkung beliebig vieler Kräfte Kx, K₂ . . . Kn bewegen, von denen in Eig. 44 nur 2 gezeichnet sind; während der Bewegung von A nach В seien die Kräfte gleichbleibend nach Grösse und Richtung (welche Annahme auch für veränderliche Kräfte zulässig ist, sobald man für solchen Fall AB als unendlich klein betrachtet). Es sei R die Mittelkraft von Kx, K₂ . . . Kn . Dann ist für diese (nach S. 40, Gl. 5)

1) R cos ос = X— 2¹ К cos a.

2)

Fällt man aber von В Rechtwinklige auf die Kraftrichtungen, so ist cos а = А С : А B-, cos nx — A Cx : A В ; ... cos ап = ACn: AB; mithin wird aus Gl. 1 (nach Multiplikation mit AB) R AC=KX ACX + K₂‘AC₂ + . . . Kn-ACn.

Da aber AC, ACX ... ACn die rechtwinkligen Projektionen der Bahnlinie AB auf die Kraftrichtungen sind, so ist die Bedeutung der Gl. 2:

Die mechanische Arbeit, welche sich bei der Bewegung eines Massenpunktes für die Mittelkraft mehrerer auf ihn wirkenden Kräfte ergiebt, ist gleich der algebraischen Summe der Arbeiten dieser Einzelkräfte bei derselben Bewegung.

(Bei veränderlichen Kräften gilt dieser Satz zunächst für ein unendlich kleines Bewegungstheilchen; weil aber als Arbeit einer veränderlichen Kraft die Summe ihrer Arbeitstheilchen bezeichnet ist, so gilt der obige Satz der mechanischen Arbeit ganz allgemein für Kräfte, die an demselben Massenpunkt angreifen.)

Der Ausdruck für das Arbeitstheilchen d 21 = К• ds • cos 0 (S. 42) lässt sich jetzt auch noch anders deuten, als oben geschehen. Man kann nämlich (Fig. 43) К zerlegen in die Seitenkräfte К cos d (in der Bewegungsrichtung) und К sin d (rechtwinklig dazu).

Erstere liefert die Arbeit K-cos d • ds, während die andere nach S. 43 die Arbeit Null verrichtet. Die Arbeit von К ergiebt sich daher wiederum zu d% = К• cos ds.

Wird die Kraft iv = lks, die Wegeslänge in ihrer Richtung = lm, so wird die Arbeit St = K- s = 1 • 1 = 1, also gleich der Arbeitseinheit. Diese Arbeit, welche von 1 k& längs eines Weges = 1 m verrichtet wird, heisst Meterkilogramm (mkg); n ks längs eines

Weges = l/w Meter verrichten aber ebenfalls die Arbeit n- — = 1 mks.

n

8. Arbeitsvermögen (kinetische Energie oder lebendige Kraft) eines Massenpunktes.

1) Wirkt auf einen Punkt von der Masse m eine mit der Be

wegungsrichtung übereinstimmende, nach Richtung und Grösse gleichbleibende Kraft К, so entsteht eine geradlinige, gleichförmig beschleunigte Bewegung von der Beschleunigung p — K\m. Ist c die Anfangsgeschwindigkeit, v die Geschwindigkeit nach der Zeit t (Fig. 45), so ist die Wegeslänge (nach Gl. 5, S. 12)

Fig. 45.

t>.

~^B

V¹— c¹

V¹ — c¹

30. Oktober 1893 zu Karlsruhe) das Arbeitsvermögen der Masse nennen. Es war x/‘i mc¹ das anfängliche, es ist J/2 mv² das nach-herige grössere Arbeitsvermögen. Die linke Seite der Gl. 1 ist also die „Zunahme an Arbeitsvermögen“, welche der Massenpunkt durch die Kraft К erfahren hat. Die rechte Seite ist aber die mechanische Arbeit der Kraft K. Gl. 1 bedeutet hiernach:

Die Zunahme des Arbeitsvermögens eines Massen

punktes ist gleich der während der Bewegung an dem Massenpunkte verrichteten mechanischen Arbeit.

1st der Sinn der Kraft К der Be-

Fig. 46.

wegungsrichtung entgegengesetzt (Fig. 46), so entsteht eine verzögerte Bewegung ; es ist dann (nach S. 12)

'■() 2 - V²

V2 1— c²

2)

2 (K: m) l/2 mv² — V² mc² — — Ks.

, oder

ln diesem Falle bewirkt die Kraft К eine Abnahme des Arbeitsvermögens, und zwar wird diese wiederum gemessen durch die von der Kraft geleistete Arbeit (im absoluten Sinne). Da aber die geleistete Arbeit jetzt als negativ aufzufassen ist, so empfiehlt es sich, für die allgemeine Anwendung dieses Satzes auch eine etwaige Ab nahm« des Arbeitsvermögens l/2mc²—l/2 mv² stets in der Form einer algebraischen Zunahme (deren Werth hier negativ ist) zu schreiben, d. h. (Gl. 1 und 2) stets von dem Endwerthe des Arbeitsvermögens den Anfangswerth abzuziehen und den Unterschied gleich der verrichteten Arbeit zu setzen ; dann entspricht eine positive Arbeit einer positiven Zunahme des Arbeitsvermögens, und umgekehrt.

Hatte ein Massenpunkt die Anfangsgeschwindigkeit Null, die Endgeschwindigkeit v, so ist (Gl. 1) ,/2 mv² = Ks, oder es drückt das Arbeitsvermögen einer Masse m diejenige Arbeit aus, welche verrichtet werden musste, um den Punkt aus der Ruhe in die Geschwindigkeit v zu versetzen. Soll aber die Geschwindigkeit c ' in Null verwandelt werden, so muss stattfinden (Gl. 2)

О — V² mc² = — Ks.

x/2 mc² ist also zugleich die absolute Grösse der Verzögerungsarbeit, welche nöthig ist, um eine Masse m von der Geschwindigkeit c zur Ruhe zu bringen. Will man einen Massenpunkt mit der

Geschwindigkeit c fortwerfen, so muss man durch Muskelkraft eine Arbeit von der Grösse V-2 mc¹ auf ihn übertragen. Und dieses Arbeitsvermögen, welches der Massenpunkt in sich trägt, kann, wie wir später sehen werden, wieder zur Arbeitsverrichtung benutzt werden. Das Arbeitsvermögen ‘/2 mc² ist daher wirklich nur eine besondere Form von mechanischer Arbeit. Dass l/2mc² auch nach Meterkilogrammen zu messen ist, erkennt man, wenn man mit der Fallbeschleunigung multiplicirt und dividirt; dann wird

c²

72 mc'² — mq • =—.

2 9

Hierin ist mg eine Kraft, сг/2д aber eine Geschwindigkeitshöhe, d. h. eine Länge, sodass das Produkt in mk& zu verstehen ist.

Der Satz vom Arbeitsvermögen ist besoonders für solche Aufgaben geeignet, wo es wesentlich auf die Grösse der Endgeschwindigkeit, nicht aber auf Beschleunigung und Zeit der Bewegung ankommt.

Beispiel: Der Fall der abwärts gerichteten Wurfbewegung {Fig. 34, S. 35) ist für die Anwendung des vorstehenden Satzes sehr geeignet. Ist die Strecke s durchfallen, so hat die Schwere die Arbeit -f- mg ■ s verrichtet. Die Zunahme an Arbeitsvermögen ist daher

¹

(K: m)

oder

/2 nie¹ = Ks.

Hat ein Punkt von der Masse m in irgend einem Zeitpunkt eine Geschwindigkeit v, so nennt man das Produkt aus seiner Masse mal dem halben Quadrate der Geschwindigkeit, also die Grösse V2 mr das (in dem Massenpunkt aufgehäufte) Arbeitsvermögen. Alter und noch vielfach gebräuchlich ist dafür die Bezeichnung „lebendige Kraft“ (als vis viva von Leibniz [geb. 1646 zu Leipzig, gest. 1716 zu Hannover] in die Mechanik eingeführt); da aber der Werth У2 mv¹ mit dem, was wir sonst Kraft nennen, nichts gemein hat, da auch bei dem Fehlen jeder Kraftwirkung, also bei gleichbleibender Geschwindigkeit, der Werth У2 mv¹ bestehen bleibt, so erscheint die Benennung lebendige Kraft wenig zweckmässig. Die Bezeichnung „kinetische Energie“ ist als angemessen zu bezeichnen; auch der Name „Wucht“ ist dafür empfohlen; wir wollen diese Grösse mit Franz Grashof (geb. am 11. Juli 1826 zu Düsseldorf, gest. am

Va mv² — V² »ic² — mg • s, mithin V² — c² — 2 gs oder v — \ r c¹ -f- 2 gs.

Für die Aufwärts bewegung(Fig. 35)ist die Arbeit negativ, nämlich —mg-s, mithin Va mv² — V² mc² = — mg-s oder v² — c² = — '2 gs, mithin v = }/Гc² — 2 gs .

Fasst man die Bewegung vom Punkte P aus zur höchsten Stelle В und wieder zurück nach P zusammen, so ist die ganze Arbeit der Schwere Null, weil aufwärts — mg-s, abwärts -f- mg-s verrichtet wurde. Daher kann auch bei der Bewegung von P über В und nach P zurück keine Zunahme an Arbeitsvermögen entstehen, oder die Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkte P muss für Abwärts- und Aufwärtsbewegung die gleiche sein.

Ein Eisenbahuzug von 200000 Gewicht und 25m/sek Geschw. hat das 200 000 • 25²    62 500 000 mkg

Arbeitsvermögen

2 c/

.9

. — Das Geschoss einer grossen

Kanone hat bei 450 ko Gewicht und 527 m/sek Geschw. ungefähr dasselbe 450 -527²    62 489 025 mkg

Arbeitsvermögen, nämlich

Lokomotive hat in 180 Sek. längs eines Weges von 2250 m (nach S. 13) dieselbe Arbeit geleistet, die von der Ausdehnungskraft der Pulverladung in einem

. — Die Zugkraft der

kleinen Bruclitheil einer Sekunde längs des Kanonenrohres verrichtet worden ist (wenn man in beiden Fällen nur diejenigen Theile der Kräfte beachtet, welche zur Beschleunigung dienen, d. h. wenn man die Reibungs- und Luftwiderstände nicht berücksichtigt.)

2) Es soll nun der Satz vom Arbeitsvermögen auch für krummlinige Bewegung bewiesen werden. Ein Massenpunkt bewege sich unter Einwirkung einer gleichbleibenden Kraft K, die aber nicht mit der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit c zusammenfallen möge (Fig. 47) ; dann ertheilt die Kraft dem Punkt eine Elementar

Fig. 47.

beschleunigung p- dt in der Richtung der Kraft. Anfangsgeschwindigkeit und Elementarbeschleuni-

gung liegen in der durch die    л

Richtungen von ц und К be-    WĄ

'K

stimmten Ebene, daher müssen auch die ferneren Geschwindigkeiten in dieser Ebene verbleiben.

»jI

Die unter Einwirkung einer gleichbleibenden Kraft entstehende Bahnlinie ist demnach eine ebene Kurve.

Daher kann man die Bewegung

AB in zwei Seitenbewegungen A.C (in der Richtung der Kraft K) und AD (rechtwinklig zur Kraft) zerlegen. Zerlegt man Ge

schwindigkeiten und Kraft nach denselben Richtungen, so erhält man die Seitengeschwindigkeiten und Seitenkräfte. In der Richtung AD wirkt keine Kraft; in dieser ist daher die Geschwindigkeit dauernd gleich и ; in der Richtung AG aber vergrössert sich die Geschwindigkeit von u\ auf iv₂- Für die Seitenbewegung AG = s ist das Gesetz vom Arbeitsvermögen bereits bewiesen, daher

3)

Weil aber

У? mw\ — J/2 mw\ — Ks. v² = и² + w\ und c² — n² -f- w\,

4)

so wird у² — c² = w% — w², so dass man aus Gl. 1 erhält У2    — (/2 mc² = Ks.

Ks ist auch für die krummlinige Bewegung AB die Arbeit von АГ, so dass hiermit das Gesetz vom Arbeitsvermögen auch für krummlinige Bewegungen unter Einwirkung einer gleichbleibenden Kraft nachgewiesen ist.

3) Wird nun der soeben betrachtete Fall noch verallgemeinert, indem man К als veränderlich annimmt, so kann man auf Grund der auf S. 42 gepflogenen Erörterungen behaupten, dass während eines Bewegungstheilchens die Zunahme an Arbeitsvermögen gleich dem Arbeitstheilchen, also d (]/2 mv²) = d% sein muss. Eine Summirung auf beiden Seiten ergiebt dann auch für die endliche Bewegung ‘/2 mv² — У2 mc² — 51.

Steht der Massenpunkt unter Einwirkung beliebig vieler Kräfte, so kann man diese für jeden Augenblick durch ihre Mittelkraft ersetzen, deren Arbeit dann gleich der Zunahme an Arbeitsvermögen sein muss. Da aber nach S. 43 die Arbeit der Mittelkraft gleich der Arbeitssumme der Einzelkräfte ist, so hat man nun den Satz vom Arbeitsvermögen in der allgemeinen Form:

Die Zunahme an Arbeitsvermögen, welche ein Massenpunkt während einer Bewegung erfährt, ist gleich der algebraischen Summe der mechanischen Arbeiten, welche von allen auf den Punkt wirkenden Kräften während dieser Bewegung verrichtet werden.

9. Parabolische Wurfbewegung.

Wird ein Massenpunkt mit der Geschwindigkeit c schräg aufwärts geworfen unter dem Neigungswinkel a gegen die Wagerechte und der alleinigen Einwirkung der Schwere überlassen, so entsteht, wie bei Fig. 47 erläutert, eine krummlinige Bewegung in einer durch c und die lothrechte Richtung der Schwere bestimmten Ebene.

Fig. 48.

Zerlegt    man (Fig.    48)    die

krummlinige    Bewegung    in    zwei

Seitenbewegungen nach der Richtung der Lothrechten A Y    und    o*inai    .

rechtwinklig    dazu nach    AB, so    AtC£L^.\L

muss die letztere offenbar gleichförmig sein, weil in ihr keine Kraft auftritt. Sie erfolgt demnach mit der Geschwindigkeit c cos a, welche sich durch Zerlegung von c ergiebt. Es ist mithin

-'S

mir

, улл

x

-b

fl

—%.-----------

-s-k---А

vx = c cos a und vy — c sin a — gt, da die lothrechte Seitenbewegung wegen der Fallbeschleunigung

1)

*/2 m v¹

gleichförmig verzögert wird. Die Neigung von v gegen die Wagerechte ist

ux

= tga —

fft

c cos a

Die Wegeslängen in beiden Seitenhewegungen sind

ж = c cosai und y = c sin oU— x/-2gt².

Entfernt man t aus diesen beiden Gleichungen, indem man aus der ersten in die zweite einführt, so entsteht als

c cos a

Gleichung der Bahnlinie

2)

y — X tg a —

9_

2 c² cos² a ’

welche nach den bekannten Regeln der analytischen Geometrie als Parabel erkannt wird.

Da die lothrechte Seitenbewegung aufwärs und abwärts ganz symmetrisch, die wagerechte aber gleichförmig erfolgt, so schliesst man leicht, dass der ansteigende Theil der Bahnlinie dem abfallenden Theile symmetrisch sein muss, dass also eine Lothrechte durch den höchsten Punkt Ax der Bahnlinie die Hauptachse der Parabel sein muss. Bestimmter überzeugt man sich davon noch, indem man die Kurve auf ein durch Ax gelegtes Achsenkreuz (wagerecht und lothrecht) bezieht. Die Höhe des höchsten Punktes Ax ist offenbar

3)

c² sin² a

c sin a

da in der lothrechten Seitenbewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit c sin a nur diese Höhe erstiegen werden kann. Die dazu gehörige Zeit, nach welcher vÿ = csina—gt = 0 wird, ist tx

und während dieser erfolgt eine wagerechte Seitenbewegung

c² sin a cos a

b = vxt\ — c cos a •

c sin a

Hierdurch liegt der höchste Punkt A₁ fest.

c¹ sin a cos a

Setzt man nun

X — b — xx =

— xx

und

y — h yx —

c²sin² a

— yx in Gl. 2 ein,

demnach diese Grösse, welche die Form der Bahnlinie allein bedingt, nur von der w age rechten Seitengeschwindigkeit c cos a, nicht aber von der lothrechten anfänglichen Seitengeschwindigkeit c sin oc abhängig. Letztere bestimmt aber, weil sie in den Gleichungen 3 und 4 vorkommt, die Lage des Scheitelpunktes Ax der Wurflinie gegen den Anfangspunkt A.

Fig. 49.

Besondere Fälle: 1) Ist a = 0, wird der Punkt also wagerecht fortgeworfen (Fig. 49), so ist <?cosa = c, osin a = 0, daher werden h und b beide zu Null, und der Anfangspunkt A ist gleichzeitig der höchste Punkt Ax. Der Parameter der Parabel wird c²:g.

2) Erfolgt aber der Wurf schräg abwärts (Fig. 50), so wird csina, den früheren Betrachtungen gegenüber, negativ; es ist dann

c² sin « cos а

c²sin² а

Fig. öO.

so ergiebt sich nach einfacher Zusammenziehung

_ ₀ (c cos a)2 - £ -

5)

y 2

iAy i

i'/i •

Diese Gleichung stellt eine Parabel mit lothrechter Achse und

c² cos² a

dem Scheitel Ax dar, und zwar ist der Parameter

; es ist

mithin liegt dann der Scheitel Ax in der nach rückwärts verlängerten Bahnlinie, wird also von dem Massenpunkte, der seine Bewegung in A beginnt, nicht mehr durchlaufen.

Der zuerst betrachtete Fall (Fig. 48) ist olfenbar der vollständigere, da in ihm die abwärts gerichtete Bewegung mit vorkommt.

Die Geschwindigkeit v in einem beliebigen Punkte P der Bahnlinie ergiebt sich am einfachsten nach dem Satze vom Arbeitsvermögen. Während der Bewegung von A nach P verrichtet nämlich die Schwerkraft die Arbeit — mgy, daher wird nach Gl. 4, S. 47

v — V c² — 2 g y.

Solange der Punkt steigt, solange also y wächst, vermindert sich die Geschwindigkeit, und im Scheitel ist sie am kleinsten, indem

sie dort lediglich aus der wagerechten Seitenbewegung ceosa besteht. Ist der Scheitel überschritten, sinkt der Massenpunkt, so nimmt V fortgesetzt wieder zu, ist im Punkte В für у = 0 wieder gleich der Anfangsgeschwindigkeit c und wird dann immer grösser. Die Entfernung AB — l, in welcher der Massenpunkt wieder dieselbe wagerechte Ebene erreicht, von der er ausging, heisst die

Wurfweite und ist offenbar = 2 b —

c² sin 2 n.

oder

c² 2 sin a cos а

6)

Die Dauer t₂ dieses Wurfes beträgt, da l — c cos а t.₂ ist,

2 c sin oc

7)

t₂ — 2tx

2) Bei einer Wurf-, Schiess- oder Schleudervorrichtung ist die Geschwindigkeit c, welche dem Massenpunkt ertheilt wird, meist gegeben, der Winkel а aber beliebig wählbar. Will man eine bestimmte Wurfweite f erreichen, so zeigt Gleichung 6, dass diese mit sin 2 а verhältnisgleich ist. Es haben aber zwei Winkel, die sich zu 180° ergänzen, die man etwa 90 + 9? und 90 — (p nennen kann, gleichen Sinus ; jeder von beiden liefert daher, gleich 2 а gesetzt, den gleichen Werth von sin 2 a. Sonach geben 2 Steigungswinkel a, welche sich zu 90° ergänzen und welche man 45° + */2 9? und 45°— l/-2q> nennen kann, dieselbe Wurfweite. Bei gleichen Anfangsgeschwindigkeiten c lässt sich also ein gegebenes Ziel sowohl durch einen hohen, wie durch einen flachen Wurf erreichen. Beide fallen aber zu einem einzigen zusammen für а = 45°, und dieser Steigungswinkel liefert den Grösstwerth der Wurfweite, nämlich

Imax

Die grösste erreichbare Höhe entsteht bei oc = 90° und wird

c²

hmax = 2^; die mit einer Geschwindigkeit c erreichbare grösste

Wurfweite ist mithin doppelt so gross wie die grösste erreichbare Wurf höhe.

, d. h. die Pfeilhöhe

Bei а = 45 ⁰ wird (nach Gl. 3) h dieser Wurf linie beträgt V⁴ der Wurfweite (der Sehne).

Beispiel 1 : Eine gespannte Armbrust (eine geladene Windbüchse, ein Blasrohr oder dergl.j ertheile dem Geschoss eine Geschwindigkeit c = '2Ô ra/gek. Mit welchem Steigungswinkel ist eine Wurfweite von l — 40 m zu

Fig. 51.

erreichen? (Fig. 51.) Nach Gl. 6 25² sin 2 «

9,8*

ist 40

mithin

sin 2 « — 0,628 ; diesem entspricht ein Winkel 2

39°, zugleich aber auch 2a = 141°. Also sind

4/ I___A-._. 's

Л4 1\

*4

die beiden Steigungswinkel a — 19,50 und 70,5 ⁰ verwendbar. Dann ist sina — 0,334 bezw. 0,9*з, sonach

beträgt c sin а = 8,+ bezw. 23,6 und die Wurf höhe nach Gl. 3: h — 3,5 bezw. 28,з m, die Wurfdauer aber (Gl. 7): G — 1,7 bezw. 4,si Sekunden. Die grösste erreichbare Höhe bei а = 90° beträgt c² : (2 y) — 31,9 m, die grösste mögliche Wurfweite bei а = 45°: doppelt soviel, nämlich 63,8

Soll ein Ziel getroffen werden, welches nicht in gleicher Höhe mit А liegt, sondern die Koordinaten x und у hat, so findet man den erforderlichen Steigungswinkel, indem man Gl. 2 nach а auflöst. Führt man zur Abkürzung

c 2

-— ein, so wird Gl. 2: y=£ctga

.1.

_._N

AB,.

X-

die Geschwindigkeitshöhe fr — bedenkt man, dass 1 : cos² а = sec² а — I tg² a, so ergiebt sich leicht

2 <7

4 h cos²«

10)

tga

2 fr

/4 fr (fr -y)

Bei gegebenem fr, d. h. gegebener Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses giebt es bezüglich der Punkte, die für das Geschoss erreichbar sind, eine bestimmte Grenze. Für gewisse Werthpaare von x und у wird nämlich die Wurzel in Gl. 10 reell, für andere aber imaginär. Letztere Werthpaare entsprechen den unerreichbaren Punkten. Die Grenzlinie zwischen den erreichbaren und unerreichbaren Punkten erhält man, wenn die Grösse unter dem Wurzelzeichen gleich Null gesetzt wird, d. h. 4 fr² — 4 lry = x² oder

11)

y=Tc —

X-

c²

X².

2 у 2 c²

Dies ist die Gleichung einer Parabel, deren Scheitel in der Höhe fr = c² : (2 g) lothrecht über dem Anfangspunkt A liegt, und deren halbe Sehne gleich der Wurfweite 1 = 2 fr = c²: g ist. Sie ist in Fig. 51 durch die Strichpunktirte Go B₂ dargestellt. Giebt man а alle möglichen Werthe, so bezeichnet Gl. 2 (S. 49) eine Schar von unendlich vielen verschiedenen Wurfparabeln, die sämmtlich von A ausgehen. Umschliesst man diese unendlich vielen für eine gespannte oder geladene Wurf- oder Schiessvorrichtung möglichen Parabeln durch eine sie sämmtlich berührende Kurve, so nennt man diese die Umhüllungslinie, und die Parabel C?jB₂ der Gl. 11 ist eben diese Umhüllungslinie.

4 fr

Ihre Gleichung kann auch noch auf andere Weise, als eben geschehen, gefunden werden, indem man nach der Lehre von den Umhüllungslinien die Abgeleitete der Gleichung 2 (S. 49) der Kurvenschar nach dem für die Kurvenschar veränderlichen tg oc gleich Null setzt, diese Gleichung mit Gleichung 2 verbindet und aus beiden tg n. entfernt. Es wird Gleichung 2, wenn man darin 1 : cos² oc = 1 4- tg² oc setzt :

12)

y = X tg a —

gx² g X1 2 c² 2 c¹

tg² ot.

Mithin

19)

dy

i (tg«)

gx²

C²

Hieraus tg a = giebt, in Gleichung 12 eingesetzt:

-J-x²-2 e*

— -^-^x², wie in Gleichung 11.

gx

c²

c²

oder

c²

~2~g

Beispiel 2: Hat ein Eisenbahnwagen eine Geschwindigkeit и in gerader Bahnlinie, so nehmen alle Körper, die in demselben in scheinbarer Ruhe sich befinden, an der Geschwindigkeit и Theil. Lässt man also in einem solchen Wagen einen Massenpunkt aus der ruhenden Hand fallen, so ist seine scheinbare Bewegung freilich eine lothrechte Fallbewegung, die wahre Bewegung aber eine parabolische Wurf bewegung, die mit der wagerechten Geschwindigkeit и beginnt.

. Dasselbe gilt natürlich auch, wenn man einen Massenpunkt aus dem Fenster eines Eisenbahnwagens fallen lässt. Ein ausserhalb des Zuges auf dem Erdboden befindlicher Beobachter erblickt in solchem Falle eine parabolische Bahnlinie nach Fig. 49, wenn darin c mit и vertauscht wird. Für м = 20m/set wird der Parameter der Parabel 20 ²: 9,si — 400 • 0,102 = 40,8 m.

Ertheilt man aber dem Massenpunkte, statt ihn aus der ruhenden Hand vom Eisenbahnwagen aus fallen zu lassen, mittels Wurfes eine wagerechte Geschwindigkeit w — 10 m/Spk rechtwinklig zur Fahrrichtung (Fig. 52, Grundriss), so ist diese nur eine Seitengeschwindigkeit; die wahre Geschwindigkeit v aber in Bezug auf den festen Erdboden ist die Mittelgeschwindigkeit aus w— 10 und и = 20, mithin

v = ÿw² + и² = 10 У~5 = 22,зв1.

Für den aussen stehenden Beobachter entsteht eine Wurfbewegung, die mit der wagerechten Geschwindigkeit г> = 10 beginnt und in der lothrechten Ebene durch v erfolgt. Würde der Beobachter von diesem Wurf etwa getroffen, so würde, wenn man nur die wagerechte Seitenbewegung berücksichtigt und die Vergrösserung der wahren Geschwindigkeit in schräger Richtung durch die Wirkung der Schwere ausser Acht lässt, die Wirkung des Wurfes nach dem Arbeitsvermögen l/a mv² = m ■ 10² • 5 zu

Fig. 52.,

20

10

-’■/'//'У//У//'

11 20

beurtheilen sein. Der Werfende hat nur die Arbeit V2 m Ю² auf den Massenpunkt übertragen; die durch die Kraft der Lokomotive erzeugte Zuggeschwindigkeit hat aber zur Folge, dass das Arbeitsvermögen (oder die Gewalt, die Wucht) des Wurfes auf das 5 fache gewachsen ist. Die aufgewendete Wurfgeschwindigkeit w entsprach nur einer Fallhöhe w² \2g — 5, i i», während die Wirkung dieselbe ist, als fiele der Punkt aus der Höhe 5-5,i=25,6m. Hiernach kann man beurtheilen, wie gefährlich das Hinaus werfen fester Körper aus fahrenden Eisenbahnzügen werden kann.

Bei den bisherigen Untersuchungen über Fall- und Wurfbewegungen wurde vorausgesetzt, dass auf den Massenpunkt allein die Schwere einwirke. Auf S. 37 wurde aber schon bemerkt, dass bei Körpern von verhältnismässig grossem Rauminhalt und bei grossen Geschwindigkeiten der Luftwiderstand eine bedeutende Rolle spielt. Es sei hier nur bemerkt, dass ein Gewehrgeschoss schon bei etwa 50 m/Sfi< Geschwindigkeit einen Luitwiderstand erfährt, der gleich dem Gewichte des Geschosses ist, so dass ein mit dieser Geschwindigkeit abwärts geworfenes Geschoss sich gleichförmig bewegen würde, da der Luftwiderstand die Schwere aufhebt. Weil der Luftwiderstand aber etwa verhältnisgleich dem Quadrate der Geschwindigkeit wächst, so wird er bei einer Schussgeschwindigkeit von 400 m/sek das 64 fache des Gewichtes betragen. Hieraus ergiebt sich klar, dass die Bewegung eines solchen Geschosses mit den hier entwickelten Formeln wenig Ähnlichkeit haben wird. Aus diesem Grunde haben wir auch in dem Beispiel auf S. 52 nicht ein Gewehrgeschoss, sondern ein Geschoss mit geringerer Geschwindigkeit der Rechnung unterzogen.

Ferner wurde bisher die Fallbeschleunigung als gleichbleibend nach Grösse und Richtung vorausgesetzt. Im Folgenden soll untersucht werden, wie sich die Fallbeschleunigung mit der Veränderung des Ortes ändert, woraus sich dann freilich zeigen wird, dass dieser Einfluss bei den verkommenden Fällen der Wurfbewegung verschwindend klein ist.

10. Gesetz der allgemeinen Massenanziehung.

Das Gesetz der Schwere (S. 33) ist nur ein besonderer Fall des Gesetzes der allgemeinen Massenanziehung, welches von Newton 1685 aufgestellt wurde. Dasselbe lautet:

Fig. 53.

mL

Je 2 Massenpunkte m und mx. die sich in der Entfernung l von einander befinden, üben auf einander eine gegenseitige An- m ziehungskraft aus, die proportional ? dem Produkte der Massen und umgekehrt proportional dem Quadrat ihrer Entfernung ist.

1)

Es ist hiernach (Fig. 53)

K=k

fj ’

worin к offenbar die Anziehungskraft zwischen 2 Masseneinheiten in dem Abstand 1=1 bedeutet. Für Kilogramme als Kräfte,

64

für Meter und Sekunden ist к = (3,00000000064 =

IO¹¹*

Diese Formel 1 gilt einstweilen nur für Massenpunkte ohne räumliche Ausdehnung; wir wollen darnach fesstellen, wie eine dünne gleichartige Kugelschale auf einen Massenpunkt einwirkt.

Die Kugelschale (Fig. 54) habe den Halbmesser r, die Wandstärke dr\ der Massenpunkt m sei vom Mittelpunkte der Kugel um l entfernt. Man ziehe einen Halbmesser CP, der mit Cm den Winkel »? einschliesst und ziehe in dem Abstande d »? einen zweiten Halbmesser. Beide lasse man sich um Cm als Achse drehen, dann schneiden sie aus der Hohlkugel eine kleine Zone heraus.

Von der Umfangslänge der Zone denkt man sich bei P ein Bogentheilchen ds rechtwinklig zur Bildebene herausgenommen, dann hat man hei P ein Massentheilchen, welches nach allen drei Richtungen unendlich klein ist. Der Stoff der Hohlkugel habe für 1 cl)ni das Gewicht у (unter 45° geographischer Breite gewogen). Das Gewicht eines Kubikmeters in Kilogrammen (unter 45⁰ geogr. Br.) nennen wir die Dichte

des Körpers. Das Körpertheilchen hat dann die Masse — ■dr•r dd•da und

у    ш

übt auf m die Anziehungskraft aus Те • — • dr • r • d »9 • ds —ъ .

9    P

kann zerlegt werden in eine mit der Richtung m C und eine, welche im Punkte m rechtwinklig zu m C nach oben gerichtet ist. Die erstere beträgt

к — • dr • г • d »? • ds

Fig. 54.

ir

\4

=4Ы

dr

\\$

Diese Kraft

•-2 cos V,

Г

während die zweite durch die Einwirkung eines gleichen bei Q befindlichen Massentheilchens aufgehoben wird. Sämmtliche Massentheilchen der Zone wirken in übereinstimmender Weise auf m ein, da für sie alle dd, p und (p dieselben sind. Wir können daher die Gesammtanziehung der ganzen Kugelzone erhalten, wenn wir statt ds den Umfang 2 -r sin »? einsetzen. Dann entsteht die Anziehung

dK= к • — • dr • r • d »? • 2 itr • sin »? •

—» • COS£>.

p

Nun ist aber die Masse der ganzen Hohlkugel М = ~4г'²т: • dr ; wird dies [in

к Mm sin »? • d »? • cos <s

dK eingeführt, so entsteht dK

Pl

Die Veränderlichen d und y sollen auf p zurückgefiihrt werden. Es ist nämlich

l% — r%+p'

in dem Dreiecke CPm : r² — l ² -Ą- p² — 2 Z p cos <p mithin cos <p =

ebenso cos d = Hiernach wird

l² —j— V² — p²

21 p

2 Ir

und durch Differentiation — sind&

Ir

к Mm l² — r² -f- p2 2 l² r p²

Um nun die Anziehungskraft К der ganzen Hohlkugel zu erhalten, muss man vorstehenden Ausdruck integriren. Liegt der Punkt m ausserhalb der Hohlkugel, so sind ihre nächsten Theile im Abstand l — r, die fernsten im Abstand l -{- r vom Massenpunkte, so dass diese Werthe als Grenzen für p einzusetzen sind. Daher wird

2)

dK

kMm Z²— r² —(- p²

4 rl²

P¹

V.

(I² — r²)

dp

’ l — r

Das unbestimmte Integral aber ist

p²

Y dp J .

3)

^ \ (l ² — r²)

f dp]

l² — r²

f P-

Dies wird mit Rücksicht auf obige Grenzen l² — r²

1 -j-r mithin wird

-f-14- r +    ---^ — r) = — (1 — r) -f-1 + r 4-1 + r — (I — r) = 4 r,

4)

Г² •

Diese Anziehungskraft ist (nach Gl. 1) dieselbe, als ob die Masse M der Kugelschale in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre. Hieraus folgt weiter, dass eine Hohlkugcl von endlicher Wandstärke oder auch eine Vollkugel, die aus lauter gleichartigen Kugelschalen besteht, bezüglich der Anziehungskraft gegen einen ausserhalb befindlichen Massenpunkt ebenso wirkt, als ob die ganze Masse der Hohlkugel oder Kugel in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre. Dabei ist nicht erforderlich, dass die verschiedenen Kugelschalen dieselbe Dichte haben, wenn nur jede Schale für sich gleichartig an Dichte ist* Auch für die gegenseitige Anziehungskraft zweier Kugeln ergiebt sich leicht, dass man die Masse einer jeden in ihrem Mittelpunkte vereinigt ansehen kann.

Liegt der Massenpunkt im Inneren der Kugelschale (Fig. 55), so ergiebt sich für die Anziehung einer Zone bei P dieselbe Gleichung 1, daher auch dieselbe Gleichung 2; nur sind jetzt die Grenzen rl und r — l als grösste und kleinste Entfernung des Massenpunktes von der Schale. Die Einsetzung dieser Grenzen l² — r²

Fig. 55.

r/ Q

in Gl. 3 giebt:

I²

—— - -f- r 4- Z -)— r-f Z    r

-(r-Z)

— r — Z —j— ■?* —j— Z — r — Z —-r-f-Z = 0, so dass auch

К = 0 wird. Die Anziehungskraft einer dünnen, gleichartigen

Kugelschale gegen einen in ihrem Inneren befindlichen Punkt ist also Null.

Die Anziehung einer aus gleichartigen dünnen Kugelschalen bestehenden Hohlkugel von endlicher Wandstärke auf einen in ihrem Hohlraume gelegenen Punkt ist demnach ebenfalls Null.

Betrachten wir nun die Erde als Kugel, aus unendlich vielen Schalen bestehend, von denen jede für sich gleichartig ist, so ist ihre Anziehungskraft für einen ausserhalb gelegenen Massenpunkt m ebenso zu berechnen, als ob ihre ganze Masse im Mittelpunkte vereinigt wäre. Für einen Massenpunkt an der Erdoberfläche, d. h. in dem Abstand r (Erdhalbmesser) vom Mittelpunkt M ist nun die Anziehungskraft gleich mg, mithin

к Mm

rl

mg oder

Fig. 58.

4)

kM = gr-.

Nennen wir aber die Anziehungsbeschleunigung (Fallbeschleunigung eines in grösserem . Abstand x vom Erdmittelpunkte befindlichen Punktes gr fFig. 56), so wird auch

/'

/'

!(r

X' ------—— ^1

kM -- gx X-, mithin

5)

f/x : 9 = r‘ :    •

Die Darstellung dieser Gleichung ist eine Kurve BQ, welche, nach beiden Seiten verlängert gedacht, sich ähnlich wie eine gleichseitige Hyperbel beiden Achsen asymptotisch nähert, jedoch keine Symmetrieachse hat. (Kämen auf der rechten Seite der Gl. 5 die ersten Potenzen statt der Quadrate vor, so würde eine Hyperbel die Darstellung sein.) Für x — 2 r und 3 r ist gx nur noch ll*g bezw. ¹ /9 g,

Für die Veränderlichkeit der Fallbeschleunigung im Inneren der Erde wäre das Gesetz einfach, wenn man annehmen dürfte, dass die Dichte der Erde überall gleich sei. Unter dieser Voraussetzung würde man für ein Massentheilchen im Abstand x von dem Mittelpunkte die Erde zerlegen in eine Vollkugel vom Halbmesser x und eine äussere Hohlkugel von der Wandstärke r — x. Letztere würde keine Einwirkung ausüben, erstere aber ebenso wirken, als oh ihre Masse in der Mitte vereinigt wäre. Darnach wird nach Gl. 4:

к Mx — gxx-,

wenn Mx die Masse der Kugel vom Halbmesser x. Da nun für x — r wiederum

oder, weil

в)

kM = дгг, so wird r² Mx

Mx : M — ж³ : rz :

7)

<Jx = 9—,

dargestellt durch eine in Fig. 56 gezogene Gerade MB. Die Erde ist aber durchaus nicht von überall gleicher Dichte, vielmehr sind die tieferen Schichten bedeutend dichter als die uns bekannten, in der Nähe der Oberfläche gelegenen. Daher ist Mx : M > Xя : r* und es wird gx > gx/r. Statt der Geraden MB ist daher eine oberhalb derselben liegende Kurve MB der wahre Ausdruck des Gesetzes, welches wir aber nicht entwickeln können, da das Gesetz der Veränderlichkeit der Dichte nicht bekannt ist.

Nehmen wir nun an, dass die dem Menschen zugänglichen oder auch durch Wurf zu erreichenden Höhen sich um höchstens 10000m über die mittlere Erdoberfläche erheben, so würde, weil der mittlere Erdhalbmesser etwa 6370000 m beträgt, für diese Grenze X = 6 380000 m betragen, daher nach Gl. 5:

gx: g = 637²: 638² sein ;

dies ist etwa = 1000 : 1003, d. h. sehr wenig von der Einheit abweichend. Nennt man h die Höhe eines Punktes über der Meeresfläche, so ist nach Gl. 5 mit x — r + h:

/Л²

9*

r2

1--

1 — 2-

9 {г

+ч К' МЭТ ■-» 04

-, !

Wenn man dann

ry

gegen 1 vernachlässigt, so ent

steht annähernd

8)

ffx

Für die weitaus meisten technischen Anwendungen kann diese Veränderlichkeit von gx mit der Höhe vernachlässigt werden.

Die Erde übt nun aber auch auf den Mond eine Anziehungskraft aus, und die dieser Kraft entsprechende Beschleunigung gx ergiebt sich, da die Entfernung des Mondes von dem Erdmittelpunkt etwa 60 Erdhalbmesser ausmacht, zu

= 1/3600 ^ = 9,81 : 3600 = 0,0027.

Hörte die Umlaufbewegung des Mondes um die Erde für einen Augenblick auf, so würde der Mond eine beschleunigte Fallbewegung

nach der Erde hin ausführen; die Beschleunigung würde anfänglich nur 0,0027 m/sek* betragen, würde aber mit der Annäherung an die Erde wachsen und sich allmählich dem Werthe 9,81 nähern. Dass diese Fallbewegung nicht zu Stande kommt, rührt von der Geschwindigkeit des Mondes rechtwinklig zur Richtung der Anziehungskraft her, wie weiter unten noch besprochen werden wird.

Es ist M = gr² : к also M — 9,ei • 6370000² • 10u : 64 Die Erde hat etwa 1083-IO¹⁸ Kubikmeter

Die Gl. 4 (S. 57) kami auch dazu dienen, die Massenzahl M der Erde zu bestimmen.

= 622 - IO²¹ Masseneinheiten.

Inhalt; bestände sie aus Wasser (von 4° C.), so würde ihr Massengehalt 1083 • 10¹⁸ • 1000 : 9,8i == 110 • 10²¹ Masseneinheiten.

Mithin ist die Erde durchschnittlich 622 : 110 = 5,65 mal dichter als

Wasser.

Fallbeschleunigung an der Oberfläche anderer Himmelskörper.

Gleichung 4, S. 57, für die Fallbeschleunigung g an der Erdoberfläche

g = Mk : r²

gilt, ihrer Entwickelung nach, allgemein für die Fallbeschleunigung an der Oberfläche eines beliebigen Himmelskörpers von der Masse Ж und dem Halb-Gehen M und r in Mx und rx über, so wird g^=Mxk\r²,

messer r.

mithin ist das Verhältnis

Die

Ж, r²

M rx² '

Ist die Masse der Sonne 327 000 mal so gross wie die der Erde, während die Halbmesser in dem Verhältnis 108:1 stehen, so wird das Verhältnis der Fallbeschleunigungen

gx : g = 327 OüO : 108² = rund 28 .

An der Oberfläche der Sonne beträgt also die Fallbeschleunigung ungefähr 275m/sek²; an der Oberfläche des Mondes etwa nur V⁶ • 9,ei = 1,64m/sek²-

¹

(K: m)

oder

/2 nie¹ = Ks.

Hat ein Punkt von der Masse m in irgend einem Zeitpunkt eine Geschwindigkeit v, so nennt man das Produkt aus seiner Masse mal dem halben Quadrate der Geschwindigkeit, also die Grösse V2 mr das (in dem Massenpunkt aufgehäufte) Arbeitsvermögen. Alter und noch vielfach gebräuchlich ist dafür die Bezeichnung „lebendige Kraft“ (als vis viva von Leibniz [geb. 1646 zu Leipzig, gest. 1716 zu Hannover] in die Mechanik eingeführt); da aber der Werth У2 mv¹ mit dem, was wir sonst Kraft nennen, nichts gemein hat, da auch bei dem Fehlen jeder Kraftwirkung, also bei gleichbleibender Geschwindigkeit, der Werth У2 mv¹ bestehen bleibt, so erscheint die Benennung lebendige Kraft wenig zweckmässig. Die Bezeichnung „kinetische Energie“ ist als angemessen zu bezeichnen; auch der Name „Wucht“ ist dafür empfohlen; wir wollen diese Grösse mit Franz Grashof (geb. am 11. Juli 1826 zu Düsseldorf, gest. am

II. Parabolische Bewegung im Allgemeinen.

Die alleinige Einwirkung der als gleichbleibend betrachteten Schwere bewirkte eine Bewegung des Massenpunktes in einer Parabel, deren Achse lothrecht abwärts, d. h. übereinstimmend mit der Kraft gerichtet, deren Parameter c² cos² a : g betrug.

Fig. 57.

/n

X.

¹ Wirken nun auf den Massenpunkt beliebig viele nach Grösse und Kichtung gleichbleibende Kräfte, so können diese zu einer ebenfalls gleichbleibenden Mittelkraft К zusammengesetzt werden. Wählt man die Kraftrichtung dann zur negativen у-Richtung, die X-Achse rechtwinklig dazu in der durch К und die Anfangsgeschwindigkeit c bestimmten Ebene, so ist wiederum (Fig. 57) c cos oc

die gleichbleibende Geschwindigkeit vx, während in der y-Richtung die ge-saramte У erzögerung К : m auftritt. Es entstehen daraus die Soitenbewegungen

X = c cos a t ;

К t²

у — c sin a t — —

, und aus beiden

X²

К

у = X tg а----—;-;— .

m 2 с¹ cos" а

Die Verhältnisse sind also gerade so wie bei der Wurfbewegung; statt

der lothrechten Richtung kommt aber liier die Richtung der Mittelkraft, statt der Fallbeschleunigung у der Werth К : m in Frage. Es folgt hieraus: Ein Massenpunkt bewegt sich unter Einwirkung gleichbleibender Kräfte in einer Parabel, deren Achse mit der Mittelkraft К aller wirkenden Kräfte

wc² cos² а

gleichgerichtet, deren Parameter =

ist.

12. Tangential- und Normalbeschleunigung.

Nach S. 31 ist zu jeder Änderung der Geschwindigkeit, sowohl der Grösse, wie der Richtung nach, eine Kraft erforderlich. Es soll nun für eine gegebene, ungleichförmige und krummlinige Bewegung die zur Grössen- bezw. zur Richtungsänderung aufzuwendende Kraft bestimmt werden.

Fig. 58.

v В ptdt

da

In der gegebenen Bahnlinie (Fig. 58) bewege sich der Massenpunkt in einem Augenblicke mit der Geschwindigkeit v, beschreibe während des nächsten Zeit-theilchens dt das Bahn-theilchen PQ = ds; dann hat die Geschwindigkeit eine Richtungsänderung um den Winkel da erfahren, während ihre Grösse v + dv geworden sein möge. Trägt man dann von einem Punkt A aus v und v Ą- dv als Strecken auf, so ist deren geometrische Differenz B G die Elementarbeschleuniguug p- dt (vgl. S. 24). Zeichnet man noch das bei I) rechtwinklige Dreieck BDC, so ist p-dt die geometrische Summe von BD und DG. Die wahre Beschleunigung p der krummlinigen Bewegung hat die Richtung B G und lässt sich zerlegen in eine Seitenbeschleunigung in der Richtung der Bewegung, oder der Tangente an die Bahnlinie, die sogenannte

Tangentialbeschleunigung pt und eine dazu rechtwinklige, in die Eichtling der Normalen PO fallende, die sog. Norm al beschle u ni g u n g Danach sind dann BD — ptdt und DC — pndt die entsprechenden Elementarbeschleunigungen. Nach der Figur ist aber ptdt = (i/ + dv) cos da — V oder, weil cos da = 1 zu setzen, ptdt — V + dv — V — dv, mithin

iV

1)

pt — dv : dt.

Ferner ist pndt = {v -h dv) sinc/oc oder, da sin of a = da und dv da als unendlich klein höherer Ordnung gegen v da zu vernachlässigen, pndt = v da. Weil aber PQ — ds = v • dt = q • da oder da — v dt: Q, so wird v.da = v-dt\Q oder

2)

V²

P = —•

Q

Ist die Bahnlinie eine ebene Kurve, so liegen beide Beschleunigungen pt und pn in der Ebene der Kurve, und q ist der Krümmungshalbmesser. 1st die Bahnlinie aber doppelt gekrümmt, so bestimmen die an die beiden unendlich nahen Punkte gezogenen Tangenten v und v + dv die sog. Krümmungsebene; in dieser liegt dann die Figur ABjDC, somit auch die Beschleunigungen p, pt und pn. О ist dann der Schnittpunkt der in der Krümmungsebene liegenden beiden Normalen PO und 00 an die Kurve, der sog. Hauptnormalen, deren als gleich zu betrachtende Länge @ der erste Krümmungshalbmesser genannt wird.

Die Tangentialbeschleunigung pf = dv:dt stellt allein die Grössenänderung der Geschwindigkeit dar, die Normalbeschleunigung dagegen, welche mit 1:£>, d. h. mit der Krümmung der Bahnlinie verhältnisgleich wächst, vertritt die Kichtungsänderung. Die Normalbeschleunigung heisst auch Centripetalbeschleu-nigung, weil ihr Sinn stets nach dem ersten Krümmungsmittelpunkte gerichtet ist. Die wahre Beschleunigung ist die geometrische Summe der beiden berechneten Beschleunigungen, steht somit nach Grösse, Kichtung und Sinn fest. Die Gesammtbeschleunigung p kann nur dann mit pt zusammenfallen, also in der Kichtung der Bewegung’liegen, wenn p — 0, d. h. wenn q = oo, die Bahnlinie an der betreffenden Stelle in der Krümmungsebene ohne Krümmung ist. Es fällt p mit pn zusammen, wenn pf = dv:dt = 0 ist, d. h. wenn die krummlinige Bewegung gleichfömig erfolgt.

Werden die Beschleunigungen mit der Masse m des Punktes multiplicirt, so erhält man die entsprechenden Kräfte. Zur Grössenänderung der Geschwindigkeit ist hiernach eine tangential gerichtete Kraft Kt — m • dv: dt, zur Richtungsänderung eine nach dem (ersten) Krümmungsmittelpunkte gerichtete Centripetalkraft Kn—mv²:g erforderlich.

Wirkt auf einen Massenpunkt eine Kraft, die stets normal zur Bahnlinie gerichtet ist, so entsteht nur eine Normalbeschleunigung, also eine gleichförmige krummlinige Bewegung, was übrigens auch schon daraus folgt, dass eine Kraft von solcher Richtung nach S. 43 keine Arbeit verrichtet, mithin auch keine Änderung des Arbeitsvermögens hervorbringen kann. Die Wirkung einer solchen Kraft besteht lediglich in einer Richtungsänderung der Geschwindigkeit.

Beispiel: Astronomischen Beobachtungen zufolge ist die Bewegung des Mondes um die Erde nahezu eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit v= 1020 m/sek in einem Kreise, dessen Halbmesser etwa 60 Erdhalbmessern gleich ist (vgl. S. 58). Die Beschleunigung des Mondes, wenn man denselben als Massenpunkt auffasst, besteht daher in einer stets nach dem Mittelpunkte

1020²

0,oo27m/sek3. Der

60 • 6370000

der Erde gerichteten Beschleunigung — =

Umstand, dass diese Beschleunigung und die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche sich wie 1 zu 3600 = 1 : 60², mithin umgekehrt wie die Quadrate der Abstände von dem Erdmittelpunkte, verhalten (s. S. 58), hat Newton zuerst veranlasst, die Anziehungskraft zwischen zwei Massenpunkten als umgekehrt verhältnisgleich dem Quadrat ihrer Entfernung anzunehmen, welche Annahme dann, nachdem sie sich auch für die Planeten als zutreffend erwiesen hatte, zu dem allgemeinen Gesetze der Massenanziehung (S. 54) führte.

13. Gleichgewicht eines Massenpunktes.

Liefern die auf einen Massenpunkt wirkenden Kräfte eine Mittelkraft li = 0, so bewegt sich der Punkt gerade so, als ob gar keine Kraft auf ihn wirkte; seine Geschwindigkeit erfährt dann weder der Grösse noch der Richtung nach eine Änderung, er bewegt sich geradlinig und gleichförmig, und man sagt, die Kräfte halten sich an dem Massenpunkt im Gleichgewichte (vergl. S. 39). Ein besonderer Fall einer solchen Bewegung ist der Ruhezustand, in welchem nicht allein die Beschleunigung Null ist, sondern auch die Geschwindigkeit.

Halten beliebig viele Kräfte an einem Massenpunkt einander das Gleichgewicht, so ist jede derselben der Mittelkraft aller übrigen gleich und entgegengesetzt; denn sie hebt in diesem Falle jene Mittelkraft auf, somit auch die Wirkung aller derjenigen Kräfte, die durch diese Mittelkraft ersetzt wurden.

Sollen 3 Kräfte Kx, K₂ und K₃ an einem Punkt im Gleichgewichte sein, so muss die Mittelkraft von irgend zweien dieser Kräfte durch die dritte aufgehoben werden. Da aber (nach S. 38) die Mittelkraft zweier Kräfte mit beiden in derselben Ebene liegt, so müssen für den Gleichgewichtszustand die Richtungen der 3 Kräfte in derselben Ebene liegen. Bezeichnet man noch die den Kräften gegenüber liegenden Richtungswinkel mit aL, a₂ und аг (Fig. 59) und bedenkt, dass nach S. 41 der Streckenzug der drei Kräfte ein geschlossenes Dreieck bilden muss, so lässt sich aus diesem das Verhältnis der drei Kräfte berechnen. Man erkennt leicht, dass die Dreieckswinkel ß die Nebenwinkel der den Kräften gegenüber liegenden Richtungswinkel a sind. Die Sinus der Winkel ß sind daher gleich den Sinus der entsprechenden Winkel a. Man erhält sonach aus

K\ : K₂ : K, = sin ßx : sin ß₂ : sin ß₃

Fig. 59.

•./*

ссЛ @

vK₃

I KÄ

к,

die Gleichung

: K₂ : Кг : = sin : sin a₂ : sin a₃.

Die Grössen von drei an einem Massenpunkte sich im Gleichgewichte haltenden Kräften verhalten sich wie die Sinus der gegenüber liegenden Richtungswinkel. Aus der Figur folgt sofort: Fallen von den drei Kräften zwei in dieselbe Richtungslinie, so muss die dritte Null sein, wenn sie nicht ebenfalls in derselben Geraden liegt.

Beispiel: Ein Massenpunkt sei an zwei Fäden AB und AG aufgehangen (Fig. 60) und befinde sich in Ruhe; es sollen die in den Fäden herrschenden Spannkräfte Sx und S.₂ ermittelt werden.

Die Spannkraft der Fäden, die wir einstweilen als gewichtlos, aber vollkommen biegsam und undehnbar voraussetzen, fällt mit den Richtungen der Fäden zusammen. Dies Zusammenfallen ist eben der Begriff der Biegsamkeit.

Fig. 60.

77

Durch die Lage der ßefestigungspunkte В und C, sowie durch die Fadenlängen ist das Dreieck ВАС bestimmt. Auf den Massenpunkt wirkt die Schwere m g ; dann müssen die Strecken mg, und S₂ ein geschlossen»«

vu/

mg

ß₁Z>2

Dreieck bilden, mithin, weil mg lothrecht ist, in einer lothrechten Ebene liegen. Es ist also Gleichgewicht nur möglich, wenn der Massenpunkt sich in der durch В und C gelegten lothrechten Ebene befindet. (Andernfalls wird der Punkt an den Fäden als ein Pendel so lange schwingen, bis in Folge von Luft- und anderen Widerständen endlich in lothrechter Ebene Ruhe eintritt.) Scliliessen B A und CA mit der Lothrechten die spitzen Winkel ß₂ und Д, ein, so wird aus dem Krafteck »S', : S₂ : mg = sin /?, : sin ß₂ : sin (Д, -j- ß.>).

Ist z. B. m,g— 10 kff, ßv = ß₂ — 45⁰, so wird aus der Figur Sx = S₂ = 10 - 1Л/2 = 7,07 4.

Zu beliebig vielen Kräften Kx, K.₂, . . . Kn, welche nicht in derselben Ebene liegen, wurde (auf S. 40) die Mittelkraft in der Form

R = Vx² + Y² + Z² gefunden, worin X — 2К cos a ; Y = 2’К cos ß; Z= 1'К cosy bedeuten. Soll nun Gleichgewicht herrschen, so muss R = 0, also auch X² + Y² + Z² = 0 werden; da nun die Kräfte, somit auch X, Y und X stets reelle Grössen (wodurch negative Werthe der Quadrate ausgeschlossen sind), so muss jeder der Summanden Kuli sein, oder es muss stattfinden:

2 К cos а = 0; 2’ К cos /5=0; 2' К cos у = 0.

Also: An einem Massenpunkte halten sich beliebig viele Kräfte im Gleichgewichte, wenn in Bezug auf ein beliebiges rechtwinkliges Achsenkreuz die algebraische Summe der bei rechtwinkliger Zerlegung in jede Achsenrichtung fallenden Seitenkräfte gleich Null ist.

Da die Mittelkraft gegebener Kräfte (nach S. 41) auch durch die Schlusslinie eines ebenen oder räumlichen Kraftecks gefunden wird, so ist klar, dass die Schlussseite Null werden muss,, wenn die

14. Bewegung auf vorgeschriebener Bahn.

65

Kräfte im Gleichgewichte sein sollen. Im Gleichgewichtszustände müssen also die Kräfte ein geschlossenes Krafteck mit übereinstimmendem Umfahrungssinne der Pfeile bilden.

Liegen die Kräfte in einer gemeinsamen Ebene, so legt man zweckmässig auch die ж- und y-Achse in diese Ebene. Dann werden die Neigungswinkel у gegen die z- Achse sämmtlich zu 90° und ATcos/ durchweg Null. Ausserdem wird dann cos/? = sina, und die Gleichgewichts-Bedingungen beschränken sich auf 2’ A" cos а — () und 2'ATsina = 0.

Liegen die x- und y-Achse bezw. wagerecht und lothrecht, so sagt man auch: Die Summe aller wagerechten Seitenkräfte muss Null sein und die Summe aller lothrechten Seitenkräfte ebenfalls.

14. Bewegung auf vorgeschriebener Bahn.

Wirkt auf einen Massenpunkt eine gegebene Kraft К ein, so wird er bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit c eine bestimmte Bewegung ausführen müssen, die z. B. parabolisch ist, wenn К gleichbleibend nach Grösse und Richtung.

Fig. 61.

■K

Ist aber der Punkt nicht völlig frei, sondern in Berührung mit der Oberfläche eines unbeweg- \ liehen festen Körpers (Fig. 61), welcher derartig VN. geformt ist, dass er den Massenpunkt verhindert, "'™*-sich so (in der punktirten Bahn) zu bewegen, wie es unter alleiniger Wirkung von К geschehen müsste, so übt die feste Oberfläche einen Einfluss auf die Bewegung des Massenpunktes aus, und einen solchen Einfluss haben wir (nach S. 31) als eine Kraft aufzufassen, welche als zweite Kraft zu К hinzutritt und ihrer Grösse nach von К in gewisser Weise abhängig ist.

Wir benutzen den Erfahrungssatz: Vollkommen glatte Körper, die sich ohne ein Bindemittel berühren, können an jeder Berührungsstelle nur einen gegenseitigen Druck, dessen Richtung rechtwinklig zur Berührungsebene stebt, also einen gegenseitigen Normaldruck, auf einander ausüben. Völlig glatte Körper giebt es freilich

nicht; obiger Satz trifft aber um so mehr zu, je grösser der Grad der Glätte ist, und umgekehrt. Die bezeichnete Kraft heisst der Normalwiderstand der vorgeschriebenen Fläche und wird mit IV bezeichnet.

Noch enger beschränkt ist die Bewegung des Massenpunktes, wenn ihm eine bestimmte Linie als Bahn vergeschrieben wird, z. B. durch eine К Öhre, welche den als Massenpunkt gedachten Körper derartig umschliesst, dass er sich nur längs der Mittellinie der Röhre bewegen kann, oder durch einen steifen glatten Draht, auf dem der Massenpunkt mittels einer Bohrung geführt wird. Beide Vorrichtungen sind geeignet, nach allen Richtungen innerhalb einer Normalebene zur vorgeschriebenen Bahnlinie den Widerstand N zu leisten. Diese Kraft N tritt stets in derjenigen Richtung und Grösse auf, die erforderlich sind, um den Massenpunkt an dem Verlassen der vorgeschriebenen Bahnlinie zu hindern. N ist hiernach eine bedingte oder eine Bedingungskraft.

Der Normalwiderstand N kann bestimmt werden mit Hülfe der Formel für die Centripetalbeschleunigung (S. 61).

Ein Punkt bewege sich auf der vorgeschriebenen ebenen Bahnlinie (Fig. 62) von A nach В unter Einwirkung einer gegebenen, in der Ebene der Kurve liegenden Kraft К, P zu der die unbekannte Kraft N hinzutritt.

Ob man N anfänglich nach innen oder nach aussen gerichtet annimmt, ist grundsätzlich gleichgültig. Ist das Endergebnis positiv, so war der angenommene Sinn richtig, andernfalls ist er umzukehren. Schliesst К mit der Normalen den

Fig. 62.

К sina

Л’

к \ К соя се

Winkel a ein, so zerlegt man К in JVsina (in der Bewegungsrichtung) und К cos a rechtwinklig dazu. Dann wird iVsina als einzige Tangentialkraft die Tangentialbeschleunigung erzeugen; so dass dv : dt — Ksm а : m wird. In der Richtung nach dem

Krümmungsmittelpunkt ergiebt sich als Gesammtkraft N—Kcosa. Diese muss die Centripetalbeschleunigung hervorbringen, daher ist

N — К cos а

1)

oder

2)

mv-

+ К cos а .

14. Bewegung auf vorgeschriebener Bahn.

67

Ist К so gerichtet, dass die Pfeilspitze von К cos ос nach dem Krümmungsmittelpunkte hinweist, so wird

mv~

— К COS а.

Dem Anfänger ist dringend zu empfehlen, in jedem vorliegenden Palle dieser Art die Gleichung 1 für die Centripetalbeschleunigung anzusetzen und daraus erst N zu berechnen, nicht aber zu versuchen, die Formeln 2 oder 3 für N unmittelbar anzuschreiben, weil dabei erfahrungsmässig leicht Irrthümer begangen werden.

Ist in Gleichung 3 die Seitenkraft KTcos а allein schon im Stande, die Centripetalbeschleunigung zu erzeugen, ist nämlich

mv²

Ä COS а = -,

9

so wird N= 0. An einer Stelle der Bahnlinie, für welche dies gilt, ist die Röhrenwandung bezw. der Führungsdraht überflüssig.

Für die Fälle der vorgeschriebenen Bewegung ist der Satz vom Arbeitsvermögen besonders vortheilhaft, weil der unbekannte Widerstand N keine Arbeit verrichtet, daher auch keinen Einfluss auf die Geschwindigkeitsgrösse hat.

Von besonderer Wichtigkeit sind solche Fälle der vorgeschriebenen Bewegung, bei denen als bewegende Kraft nur die Schwere auf-tritt. Denkt man sich zwei wagerechte Ebenen im Abstande h von einander (Figur 63), die durch beliebig, aber stetig , gekrümmte Röhren als vorgeschriebene Bahnlinie mit einander

verbunden sind, so wird ein Massenpunkt, der oben mit einer Geschwindigkeit c in eine Röhre geworfen wird, sie unten mit der Geschwindigkeit v verlassen, und es gilt, weil nur die Schwere Arbeit verrichtet,

\c-

\r

Fig. 63.

°U

Vf »r if

У2 mv² — 72 mc² = mgh oder v² = c² + 2 g h,

ganz wie bei der freien Fallbewegung. Ob der Punkt in freier (gerader oder parabolischer) Bahnlinie oder in beliebig gekrümmter vorgeschriebener Bahnlinie sich bewegt, ist für die Geschwindigkeitsgrösse gleichgültig. Jedes Mal, wenn er um h sich gesenkt hat, wird das Quadrat der Geschwindigkeit um 2gh gewachsen sein. Bei aufwärts gerichteter Bewegung gilt v² = c² — 2gh.

15. Vorgeschriebene Bewegung in wagerechtem Kreise.

Die vorgeschriebene Bahn, etwa aus einem kreisförmig gebogenen Drahte gebildet (Fig. 64), liege in wagerechter Ebene; r sei der Halbmesser. Als bewegende Kraft wirke die Schwere mg. Die Bewegung kann nur eine gleichförmige sein, weil die Schwere hier keine Arbeit verrichtet. Für diese Bewegung ist eine Centripetalkraft mv²:r, von P nach M gerichtet, erforderlich; folglich muss zu mg ein derartiger Normalwiderstand N hinzutreten, dass die Mittelkraft beider PR = mv² : r wird. 1st PT — mg, so wird die Strecke TR das gesuchte N darstellen. Selbstverständlich ist dann N an den Punkt P parallel zu verschieben. N weicht von der Lothrechten um einen Winkel a ab, für welchen gilt

mv2 rmg

N kann auch aufgefasst werden als Mittelkraft aus einem von P nach M gerichteten Drucke = mv²:r und einem lothrecht aufwärts gerichteten von der Grösse mg. Nach dem Gesetze der Wechselwirkung übt der Massenpunkt auf die Bahn dieselben Kräfte in entgegengesetztem Sinn aus, drückt also mit der Kraft mv²:r nach aussen, mit der Kraft mg lothrecht nach unten. Die Kräftefigur PTR liegt stets in einer lothrechten Ebene, läuft aber mit dem Massenpunkt um und dreht sich dabei um eine Lothrechte durch M als Achse. Die Richtungslinie von N geht dann durch

Щ! Y Л\

.g/

Fig. 64.

1)

tg a =

V²

gr

den festen Punkt Q dieser Achse, dessen Höhe h dadurch bestimmt ist, dass bei Q der Winkel a sich wiederfindet. Es muss dann sein (mit Rücksicht auf Gleichung 1):

2)

V²

gr

, mithin

3)

" '

Die Kraft N können wir nun, nachdem wir ihre Bedingungen erkannt haben, auch noch in anderer Weise ausüben als durch den Draht. Wir können in Q einen völlig biegsamen und undehnbaren Faden befestigen, diesen in solcher Weise gerade ausspannen, dass h und r seine Projektionen sind, und bei P ihn mit dem Massenpunkte verbinden. Ertheilen wir dann dem Massenpunkt eine Geschwindigkeit

4)

= V^rtga (nach Gl. 2 und 3)

in wagerechter Richtung und zugleich rechtwinklig zum ausgespannten Faden, so sind die Bedingungen, welche ursprünglich durch den Draht erzwungen wurden, auch mittels dieser Fadenaufhängung erfüllt; es wird also der wagerechte Kreis vom Halbmesser r gleichmässig mit der Geschwindigkeit v durchlaufen werden.

Der Draht erzwingt auch bei anderer, etwa grösserer, Geschwindigkeit v{ eine gleichförmige Kreisbewegung, doch wird dann tga (nach Gl. 1) grösser. Bei der weniger bestimmten Fadenaufhängung ist aber genau diejenige Geschwindigkeit v erforderlich, die Gl. 4 entspricht. Was erfolgt, wenn die abweichende Geschwindigkeit dem Punkt ertheilt wird, soll weiter unten (S. 90) noch erörtert werden.

Da der Faden eine Kegelfläche beschreibt, so heisst diese Vorrichtung ein Kegelpendel. Bei einem Umlaufe muss der Punkt die Wegeslänge 2 rn zurücklegen, wozu eine Zeit t erforderlich ist, welche sich mit Hülfe von Gl. 4 zu

б)

~-»'У

ergiebt. Hiernach ist die Umlaufszeit t eines Kegelpendels nur von seiner Vertikalprojektion, der Höhe h, abhängig. Mehrere in Q, befestigte Kegelpendel gleicher Höhe h (Fig. 65) werden mithin dieselbe Umlaufszeit haben. Es rührt dies daher, dass bei gleichem h die erforderlichen Geschwindigkeiten v nach Gl. 4 in gleichem Verhältnisse mit r, also auch mit den Wegeslängen eines Umlaufes, wachsen.

Fig. 65.

Beispiel: Ist r = 1 m ; 7t=lm, so muss

9,81

3,18 m/sek,

entsprechend einer Fallhöhe r²:2h — x/im, gemacht werden.

.....- M

Es ist dann die Umlaufszeit t = 2 ж

1'

9,81

2,oi Sekunden.

Fig. 66.

#\

/«

iiülS#

Anstatt durch die Spannkraft eines Fadens kann die Kraft N auch durch den Gegendruck einer festen Fläche ausgeübt werden; letztere muss an der Stelle der Berührung mit dem Massenpunkte rechtwinklig zur Richtung von N stehen, mithin von der Wagerechten um den durch Gleichung 1 bestimmten Winkel abweichen. Dieser Bedingung würde genügt werden durch eine Kugelfläche mit dem Mittelpunkte Q (Fig. 64) und dem Halbmesser QP, welche der unmittelbarste Ersatz des Fadens QP sein würde. Eine Kegelfläche mit der Spitze in Qx (Fig. 66) erfüllt die Bedingung aber ebenfalls, sobald ihre Seifen mit der Wagerechten den Winkel a bilden. Soll der Massenpunkt in solchem Trichter eine wagerechte Kreisbewegung vom Halbmesser r ausführen, so muss ihm eine wagerechte Anfangsgeschwindigkeit rechtwinklig zu MP von der Grösse v—Vgrtga (Gl. 4) ertheilt werden.

Einer solchen Kegelfläche müssen auch die Oberkanten der beiden Schienen eines Eisenbahngleises angehören, wenn die Mittellinie desselben in einem wagerechten Kreisbogen vom Halbmesser r liegt.

Würden die Schienen nämlich in gleicher Höhe liegen (Fig. 67), so könnte die erforderliche Centripetalkraft mv²:r nur von dem

seitlichen Gegendrücke 11 der äusseren Schiene gegen den Spurkranz des Bades geliefert werden. Einer solchen Aufgabe ist aber die    Schiene bei    grösserer    Geschwindigkeit,

Fig. 67.

wobei 11 gross wird, nicht gewachsen.

Hebt    man    nun die    äussere Schiene

um h gegen die innere (Fig. 68), so dass die Oberfläche des Schienengleises um a gegen die Wagerechte geneigt ist, so leistet das    Gleis    einen    Normalwiderstand N, der

um a von der Lothrechten abweicht und mit dem Gewicht mg die nöthige Centri-petalkraft    mv²:r liefert    Ein Seitendruck

der Schienen gegen die Spurkränze tritt nun nicht ein, wenn die Geschwindigkeit v dem Winkel a entspricht, d. h. wenn v = V g r tg a ist.

Ist b die Entfernung der beiden Schienen eines Gleises (Fig. 68), so beträgt die erforderliche Überhöhung der äusseren Kurvenschiene

h — b sin a, wobei tg oc =

i"²

Fig. 68.

gr

In den vorkommenden Fällen der Anwendung ist a stets so klein, dass sin n. — tg a gesetzt werden kann, so dass

ъ£

6)

gr

wird.

'f - <Srt •>. *

Beispiel: Für eine Eisenbahnkurve von 600 m Halbmesser, b=l,sm Schienenentfernung ergiebt sich für 20 m sekundl. Geschwindigkeit

tg а =

20²

9,8i • 600

= 0,ов8 ; а = 3 ⁰ 54 ' ; sin o. = 0,068 ; h = 1,5 • 0,068 — 0,io2m.

Diese Formel ist beim Eisenbahnbau lange benutzt worden; in neuerer Zeit hat man statt ihrer eine einfache Erfahrungsformel gewählt, was darin seine Begründung findet, dass die

Schienenüberhöhung nicht allein dem hier besprochenen Zwecke dienen, sondern zugleich noch andere Verhältnisse berücksichtigen muss.

Beispiel: Auf demselben Grunde beruht die Noth-wendigkeit der Schrägstellung eines Kunstreiters (Fig. 09), welcher, auf dem Pferde stehend oder sitzend, im Kreise vom Halbmesser r mit einer Geschwindigkeit v sich bewegt.

Für r — 5 m, v = 3 ,n/sek wird tg а =

Fig. 69.

З²

= 0,i8 ; g

9,81 • 5

Wächst aber die Geschwindigkeit auf v = 5, so wird tg n. — 0,5i ; n. = 27 °.

а etwa = 10°.

16. Vorgeschriebene Bewegung in lothrechtem Halbkreise.

BPC (Fig. 70) sei eine nach einem Halbkreise vom Halbmesser r gebogene Röhre in lothrechter Ebene. Bei В schliesse sich tangential eine Röhre AB von beliebiger Form an; A liege um h über dem Punkte C. Lässt man л nun bei A einen Massenpunkt mit der Geschwindigkeit Null in die Röhre gelangen und gleitet er darin ohne Reibung und ohne Klemmen, so tritt er bei В mit einer Geschwindigkeit vmax = V 2 g (h 4- 2 r) in den Halbkreis, weil er von A bis В die Höhe h + 2 r durchsunken hat. Von

Fig. 70.

\\ü

•Г' W-

r\

В aus aufwärts steigend, verliert er an Geschwindigkeit, und zwar ist diese an einer beliebigen Stelle P (bestimmt durch den Winkel a) noch V — \ 2 g (h 4- y) = 1^2 g (h 4~ r — r cos a). Der Normalwiderstand der Röhre sei N (nach innen gerichtet); dann zerlegt sich mg in mg sina (tangential und verzögernd) und m^cosa

N + rn g cos a

(centripetal). Es wird

V¹

, mithin

1)

Лт =

mv-

--- m g COS a — m g

-(-2 — 3 cos ctj .

Für ol — О (Punkt C) wird cos a möglichst gross, nämlich = 1, daher Л⁷ möglichst klein, nämlich

2)

N.

= m9\—

lür а = ж (Punkt В) wird cos а möglichst klein, nämlich = — 1, und N möglichst gross, nämlich

min

3)

= mg--ho.

\ V    1

Im Allgemeinen kann N positiv oder negativ werden. Ein positives N bedeutet einen nach innen gerichteten Widerstand, der von der äusseren Wand der Röhre zu leisten ist, und umgekehrt. Überall wo N > 0, muss die äussere Wandung wirken; gegen diese legt sich der Massenpunkt, während die innere Wand überflüssig ist. Soll an allen Stellen N ^ 0 sein, so muss nach Gl. 2 J> > l/2 r sein. In diesem Fall ist, statt einer völligen Röhre, eine einfache Rinne oder ein äusserer Cylindermantel hinreichend, welcher den Massenpunkt hindert, sich von der Kreisbahn tangential nach aussen hin zu entfernen.

Beispiel : Ein stetes positives N, welches den Punkt nur hindert, nach aussen aus der vorgeschriebenen Bahn hinauszutreten, kann durch einen einfachen Faden geleistet werden. Damit N auch an der höchsten Stelle noch > 0 bleibe, muss h > ¹/s r sein Es möge etwa h = r gemacht werden. Dazu benutze man einen Faden von der Länge 3 r (Fig. 71) und befestige diesen m l).    •

Der Faden wird in der Lage DA wage- ! recht ausgestreckt; lässt man nun den \

Massenpunkt los, so beschreibt er den Viertelkreis AB. In M muss nun ein vorstehender dünner Stift sich befinden, damit die oberen zwei Drittel der Fadenlänge in der Lage DM zur Ruhe kommen, das untere Drittel r des Fadens aber sieli um M drehe und den Pnnkt zur Bewegung BC zwinge. Ist der Massenpunkt unmittelbar rechts von B. so wird die Fadenspannkraft Nmax = mg (2 -p 5) = 7 mg, d. h. 7 mal so gross, als wenn der Punkt ruhend an dem Faden hinge. Bei der Bewegung nach C hin vermindert sich die Spannkraft auf = vig('2 — 1) = mg. Der Massenpunkt wird sich, nachdem er C erreicht hat, in dem kleineren Kreise weiter bewegen (symmetrisch zu CB), und es würde sich der Faden allmählich auf den Stift bei M aufwickeln. Wenn man

•Amin

iW

«tu«

Fig. 71.

C[-

M'

aber in dem Augenblicke, wo der Massenpunkt zum ersten Male wieder in В angelangt ist, den Stift Ж entfernt oder den Faden vom Stift abschiebt, so wird der Massenpunkt symmetrisch zu B A einen Viertelkreis vom Halbmesser 3 r beschreiben und auf der rechten Seite sich bis zu der Höhe des Punktes А wieder erheben.

Liegt (Fig. 72) der Anfangspunkte der Bewegung in gleicher Höhe mit C, ist die Überhöhung h = 0, so wird nach Gl. 1, 2 und 3 (S. 72 u. 73)

N = mg (2 — 3 cos a) ;

= mg • 5; Nmin — — mg.

Mithin wird im oberen Theile des Kreises N negativ, nach aussen

gerichtet, d. h. der Massenpunkt drückt gegen die innere Wandung der Röhre. Der Übergang aus dem Positiven ins Negative erfolgt • bei cos a = ²/з; et = 48°; hier ist N — 0.

Diese Stelle P ist am einfachsten durch

. Fig. 72.

ç T-N

Zeichnung zu finden; man theile MC in drei gleiche Theile und ziehe durch den oberen Theilpunkt eineWagerechte, so bestimmt diese den Punkt P.

Unterhalb derselben ist ein äusserer, oberhalb ein innerer Mantel erforderlich.

Diese Betrachtungen finden auch auf einen solchen Fall theil-weise Anwendung, wo nur ein innerer Mantel vorhanden ist (Fig. 73), auf welchem der Massenpunkt gleitet. Man denke sich einen ruhig liegenden cylindrischen Körper (Dampfkessel, Strassenwalze, dicker Baumstamm oder dgl.), auf dessen höchster Stelle wir einen Massenpunkt ruhen lassen. Bringt man ihn durch einen genügend schwachen Anstoss in Bewegung, so wird er beschleunigt abwärts gleiten. Der Anstoss soll so gering sein, dass die Anfangsgeschwindigkeit bei C annähernd = Null gesetzt werden kann. An einer Stelle P ist dann die

Geschwindigkeit v = V 2 gy — V~2 g(t--rcosa). Der Normal-

widerstand N kann unter den vorliegenden Umständen nur nach

м';'

+/

MÏ N.

Fig. 73.

\y

!<-----

-X

■lie-

ujsaAI

Y Я

aussen gerichtet auftreten. Daher muss jetzt — =

mg COS a — N

r

Für

mithin N — mg cos 7--— — mg (3 cos a — 2) sein.

cos a = 2/3 ₀₍jer a = 48° wird wiederum .V = 0; an dieser Stelle drückt der Punkt nicht mehr gegen den cylindrischen Körper. Für 7. > 48n oder cos а <c ²/з müsste zur Fortsetzung der kreią-förmigen Bewegung ein nach innen gerichteter Druck N auftreten; da dieser aber nicht geleistet werden kann, so wird der Punkt von dieser Stelle an (a = 48°) der kreisförmigen Bahnlinie nicht mehr folgen, es wird der Normalwiderstand zu wirken auf hören und der Punkt sich unter alleiniger Einwirkung der Schwere parabolisch weiter bewegen, sich also von dem walzenförmigen Körper trennen. Es soll die weitere Bewegung untersucht und namentlich festgestellt werden, wann und wo der Punkt bei E den Boden erreicht.

Die Geschwindigkeit, mit der diese Bewegung im Punkte D beginnt, ist c = V~2gv/zr mit den Seitengeschwindigkeiten

C COS 7 = 2/з V 2/з g Г = I ⁸/27 g Г = 1,7 VГ с sin 7 = 1^1 — ⁴/э V~²/'i gr = V¹⁰/м д г = 1,9 Vг.

gr

Nach t Sekunden ist (von 1> als Anfangspunkt gerechnet) æ — t c cos 7 = t V^/21

y = £csin7 + ^/‘igt- = tV^¹⁰/27 gr + l/‘² gt~ •

Für den Endpunkt E gilt yx = ⁵/зг oder

У\ — ъ/з r = txV ¹⁰/27 gr + V² 9h~ •

Daraus erhält man

‘•-li

(10 —У10) = 0,42 I r

und hiermit

gr = 0,716 r.

Der Abstand des Endpunktes E von der Lothrechten CM wird dann r V79 + xx = 1,46 r.

Der vorgeschriebenen kreisförmigen Bewegung und der freien parabolischen Bewegung entsprechen im Punkte D dieselben Kräfte.

Darans folgt, dass Parabel und Kreis an der Stelle D nicht allein den Punkt D und die Berührungsgerade gemein haben, sondern dass bei D auch der Krümmungshalbmesser q der Parabel gleich demjenigen der Kreislinie, nämlich q = r sein muss. Berechnet man nach den Formeln der Differentialrechnung und der analytischen Geometrie den Krümmungshalbmesser der parabolischen Bahnlinie DE und setzt in der betreffenden Formel æ = Q (Punkt D), so ergiebt sich auch thatsächlich q = r.

In ähnlicher Weise würde, wenn in Fig. 72 zwischen P und C die innere Röhrenwandung fehlte, der Massenpunkt bei P in eine parabolische Bewegung übergehen, die sich nicht bis zur Höhe des Punktes C erheben würde.

17. Einfaches (mathematisches) Pendel.

Wiederum möge ein Massenpunkt auf einem kreisförmig gebogenen Draht in lothrechter Ebene unter Einwirkung der Schwere sich bewegen, jedoch möge der höchste Punkt, wo die Geschwindigkeit Null ist, im unteren Halbkreise liegen (Fig. 74). Der Halbmesser des Kreisbogens sei l. Die Anfangslage A sei durch den Winkel a, eine beliebige Zwischenlage P durch den Winkel bezeichnet.

A4-......—.

Fig. 74.

fr

'3

Der

Massenpunkt wird an der Stelle B, die mit A in gleicher Höhe liegt, wieder die Geschwindigkeit Null haben, wird nach A zurückgehen und den Bogen AB und В A fortgesetzt durchlaufen, symmetrisch zur tiefsten Lage G. Solche Bewegung heisst Schwingung. Tn der beliebigen Lage P ist die Geschwindigkeit

mg

V = l 2 gy = 12 gl (cos — cos a). Es muss also nach Gl. 1, S. 66 sein:

1)

iY— m g cos $

= 2 g (cos d — cos a) =

N = m g (3 cos û — 2 cos rt).

Da und a beide kleiner als ‘/2 n sind, so wird für # = a Nmin — mg cos a, für # = 0 aber Nmax — mg {3 — 2 cos a).

oder

2)

Für a = 48° und cos я = ²/з wird z. B. Nmin = ²/з иг#; = ⁵/³ »г g.

N.

ШЧА-

Da N stets positiv ist, kann es durch die Spannkraft eines in О befestigten Fadens, an dem der Massenpunkt hängt, geleistet werden, ln dieser Form heisst die Vorrichtung ein Pendel, u. zw. ein einfaches oder mathematisches, wenn man die Masse des Fadens vernachlässigt und einen einfachen Massenpunkt annimmt. Ein wirkliches (physisches) Pendel mit Rücksicht auf die körperliche Ausdehnung wird später untersucht werden. Betrachten wir die Bewegung von A aus, so ist die Wegeslänge in t Zeiteinheiten s=AP=l(*— û), daher

ds = — Idü = v dt — dt I 2gl (cosû — cos я) ;

hieraus folgt

3) dt

Idü

Idü

dû

V 2 gl (cos d—cos я)

V2 (cos    cos a

Dies ist die Zeit für die Zunahme des Winkels ü um dû. Wird nun in der Zeit t der Bogen AP zurückgelegt, so muss

—У-

r 9

4)

dû

sein.

I V 2 (cos û — cos a)

a

Für t = 0 ist nämlich ^ = a, für t — t aber û — û. Die Integration lässt sich in geschlossener Form nur ausführen, wenn man sich mit einer Annäherung begnügt, indem man nur kleine Winkel a berücksichtigt. Es ist cos $ = 1 — 2 sin²(V2^), und wenn man den Sinus von l/2 û mit dem Bogen l/2 û vertauscht, cos $ = 1 — 2 (l/4 û²) = 1 — ¹/oü²; ebenso cos a = 1 — ¹/2 a², mithin 2 (cos û — cos a) = a² — û². Also, wenn man noch in Gl. 4 die Grenzen vertauscht und daher gleichzeitig das Zeichen — durch + ersetzt,

•a.

■m.

dû

V~o.² — û ²

. Dies giebt aber

-Ш

. û-л0 arc sin —

я J,5i

und weil arc sin 1 — l/2 л ist,

72 ж— arc sin —

-Vti

Dies ist die Zeit zum Durchlaufen des Bogens AP.

Um zu ermessen, wie gross der Fehler der Annäherung ist, nehme man tf — 5° an, dann ist cos »9 = cos 5⁰ = 0,996 195. Es ist aber »9 = arc 5° 5 • 7Г

180

= 0,087 266, daher 1 — x/i >9² = 0,996192 ; es kommt also erst in der 6 ten Décimale eine Abweichung vor.

Die Dauer der Schwingung von A nach В ist offenbar doppelt so gross wie die von A nach C (für d = 0), mithin wird die Dauer 7 einer einfachen Schwingung von A nach В

5)

==JT]/ ^

Es ist für Meter und Sekunden und für

was man auch erhält, wenn man zwischen den Grenzen — a und + « integrirt.

Jt

r~ = 1,003, mithin

9 = 9,81 :

7 = 1,003/" l oder annähernd tx = V l.

Für l = 1 m wird tx — 1,003 Sekunden, oder ein Pendel von 1 m Länge macht in der Stunde 3589 einfache Schwingungen.

0,994 m als Länge des Sekundenpendels.

7 = 1 giebt l — -Ą}

Da die Länge des Sekundenpendels mit g verhältnisgleich ist, so muss diese Länge an der Oberfläche der Sonne bezw. des Mondes (nach S. 59) 28 bezw. ¹/e Mal so lang sein.

kann also

Man kann die Gleichung 5 auch schreiben g = l —;

^1

mit Hülfe von Pendelschwingungen aus der gemessenen Pendellänge l und der beobachteten Dauer 7 einer Schwingung die Fallbeschleunigung an der betreffenden Stelle der Erde berechnen.

18. Scheinbare (relative) Bewegung eines Massenpunktes in Bezug auf einen fortschreitenden Raum.

Die Bewegung eines körperlichen Gebildes, eines Raumes, heisst fortschreitend, wenn alle Theile desselben stets parallel ihrer

Anfangslage bleiben (Fig. 75); hiermit ist nothwendig verknüpft, dass dann alle Punkte des Körpers völlig übereinstimmende, nur parallel gegen einander verschobene Bahnlinien A^ Ao dj und Bx В‘2 Bq beschreiben, daher in einem bestimmten Augenblicke völlig übereinstimmende Geschwindigkeiten haben.

Fig. 75.

vT

Die Bahnlinien brauchen dabei nicht geradlinig zu sein. Solche fortschreitenden Bewegungen werden auch Verschiebungen genannt, während man eine beliebige Bewegung, bei welcher der Körper der Anfangslage nicht parallel bleibt, als Verrückung bezeichnet.

Verschiebungen mit geraden Bahnlinien kommen sehr häufig vor; ein Eisenbahnwagen, ein Schiff führt solche auf geraden Strecken aus. Wenn aber der Wagen oder das Schiff einen krummlinigen Weg beschreibt, so erfährt der Eisenbahnwagen stets, das Schiff meistens eine Veränderung seiner Richtung, d. h. nicht mehr eine einfache Verschiebung. Eine parallele Verschiebung des Raumes wird im Folgenden angenommen.

Wenn nun ein Massenpunkt während der Zeit t eine Bahnlinie AB (Fig. 76) beschreibt, diese Bahnlinie aber einem sich verschiebenden Raum angehört und daher der Punkt A gleichzeitig in dem Zeiträume t die Strecke AC zurücklegt, so wird nach S. 17 die wahre Bewegung des Punktes gefunden, indem man aus AB ur.d AC ein Parallelogramm zeichnet, dessen vierter Eckpunkt D dann der wahre Ort des Punktes ist Die Bewegung AB in dem fortschreitenden Raume heisst die scheinbare Bewegung des Punktes, weil ein in dem Raume befindlicher Beobachter, der die Bewegung des Raumes mitmacht, nur diese Bewegung wahrnimmt, oder die relative Bewegung in Bezug auf den Raum. Alle Bewegungen, die die Fahrgäste eines fahrenden Eisenbahnwagens in demselben ausführen, sind solche scheinbaren Bewegungen. Die wahre oder absolute Bewegung AD ist die Resultirende aus beiden Seitenbewegungen.

Häufig liegt die Autgabe vor, aus der wahren Bewegung AD und der Verschiebung des Raumes MO die scheinbare Bewegung AB zu bestimmen. Dies kann nach den früheren Regeln (S 27) geschehen, indem man die wahre Be-wegung^ D zerlegt in die eine Seitenbewegung AC (des Raumes) und die gesuchte scheinbare Bewegung AB, nämlich zu den drei Eckpunkten A, C und D den vierten Eckpunkt des Parallélogrammes sucht. Für die Anwendung ist es aber häufig vortheilhafter, das Verfahren so einzurichten, dass die gesuchte Bewegung AB nicht als geometrische Differenz, c* sondern als geometrische Summe erscheint, d. h. das Parallelogramm so anzuordnen, dass В dem Punkt A diagonal gegenüber liegt. Dies geschieht, indem man die Verschiebung AC des Raumes in entgegengesetztem Sinne, nämlich als ACX, aufträgt und aus AD und ACX ein Parallelogramm zeichnet, in dem dann В der vierte Eckpunkt des Parallelogramms wird. Ob die Bewegungen AB, AC und AD geradlinig sind oder nicht, ist für das Verfahren der Zusammensetzung und Zerlegung (wie S. 26 gezeigt wurde) völlig gleichgültig. Bei den Bewegungen kommt es nur auf die Orte nach t Zeiteinheiten an, welche man für die Konstruktion durch Gerade verbinden kann. Dabei ist wieder nicht das ganze Parallelogramm erforderlich; vielmehr genügt es, der Strecke AD der wahren Bewegung die Strecke D B als Entgegengesetztes der Verschiebung des Raumes anzufügen, um in der Schlussstrecke AB die scheinbare Bewegung zu erhalten Wie früher gezeigt, gelten für die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen dieselben Gesetze wie für die Bewegungen: daher haben wir die Sätze:

Fig. 76.

c,

V--.

Die scheinbare Bewegung in einem fortschreitenden Raum ist die geometrische Summe aus der wahren Bewegung und dem Entgegengesetzten der Bewegung des Raumes. Die Geschwindigkeit bezw. Beschleunigung der scheinbaren Bewegung ist die geometrische Summe aus der wahren Geschwindigkeit bezw. Beschleunigung und dem Entgegengesetzten der Geschwindigkeit bezw. Beschleunigung des Raumes.

Beispiel 1 : Ein Schiff bewege sich gleichförmig, geradlinig fortschreitend mit der Geschwindigkeit и nach rechts (Fig. 77). Vom Ufer aus werde ein Stein in der Richtung O A über das Verdeck hinweg geworfen. Von der Wurfbewegung wollen wir nur die geradlinige gleichförmige Seitenbewegung im Grundrisse berücksichtigen, die mit der wahren Geschwindigkeit v erfolgen möge. Ein auf dem Schiffe mitfahrender Beobachter erblickt nicht die wahre Bewegung, sondern nur die scheinbare, deren Geschwindigkeit w wir erhalten, indem wir in А die Strecke v — AD auftragen und DB = w, aber nicht nach rechts, sondern mit entgegengesetztem Sinn, anfügen, dann ist AB die geometrische Summe von v und —u, d. h. die gesuchte scheinbare Geschwindigkeit«;. In dieser Richtung AB wird der Stein über das Schiff hinwegstreichen, als ob der Wurf etwa von einem Ursprung herrührte. Ist der Stein vielleicht ein Stück Kreide, so wird er die Bahnlinie AB selbstthiitig aufzeichnen können. Als Probe der Richtigkeit dient die Betrachtung, dass die Geschwindigkeit w, verbunden mit der wirklichen Geschwindigkeit BD — -j- и des Schiffes, als geometrische Summe wieder die wahre Geschwindigkeit AD — v des Steines liefert. Ist das Verdeck vielleicht mit Tonnen, Ballen u. dergl. besetzt, so wird die Bewegung des Steines über dasselbe sich ungehindert nur dann entwickeln können, wenn längs AB zufällig eine Gasse frei geblieben ist. Diese Gasse ist dann gewissermafsen ein Kanal, eine Röhre, in welcher das fahrende Schilf den Stein so auffängt, dass er, ohne seitlich gestört zu werden, über das Verdeck hinweggleiten kann.

Fig. 77.

O-v

Fig. 78.

fr

7T

vr^lt

-V

Beispiel 2: Nach dem Vorstehenden sind die Bedingungen zu beurtheilen, unter denen ein Fixstern in der Mitte des Gesichtsfeldes eines Fernrohres erscheinen kann. Es findet dies statt, wenn der von dem Stern ausgehende Lichtstrahl sich in der Richtung der Mittellinie des Rohres fortpflanzt. Stände nun die Erde mit dem Fernrohre fest, so müsste das Rohr genau in die Richtung nach dem Sterne gestellt werden. Da aber die Erde mit dem Fernrohr eine Bewegung um die Sonne ausführt, so kommt die scheinbare Bewegung des Lichtes in Bezug auf die fortschreitende Erde in Frage. Ist (Fig. 78) и die Geschwindigkeit der fortschreitenden Erde und ist die Richtung nach dem zu betrachtenden Sterne rechtwinklig zu m, so hat man an die Geschwindigkeit des Lichtes v — AB das Entgegengesetzte BC der Geschwindigkeit и der Erde anzutragen, um in AG die scheinbare Geschwindigkeit w des Lichtes gegen das Fernrohr zu erhalten. Diese Richtung А C muss das Rohr haben, damit der vom Stern S ausgehende Strahl das Fernrohr ungehindert durchlaufen kann, damit also der Stern S in der Mitte des Gesichtsfeldes erscheine. Da man nun

Keck, Mechanik I.

gewohnt ist, einen im Fernrohr erblickten Gegenstand als in der Richtung des Fernrohres befindlich anzunehmen, so vermuthet man S vielleicht an der Stelle . Der Winkel um den die scheinbare Richtung des Sternes von der wahren ab weicht, heisst die Aberration des Lichtes. Die sekundl. Geschwindigkeit der Erde beträgt 29,7 km, die des Lichtes 308 000 km ₅ daher ist tg tp = 29,7: 308 000 = 0,ооооэн .

Dieser Tangente entspricht ein Winkel von etwa 20".

Beispiel 3: Abschreiten eines vorüber fahrenden Baumstammes.

Sieht man einen Baumstamm langsam und gleichmässig auf einer Strasse fahren, so kann man dessen Länge durch Abschreiten schätzen, indem man den Stamm ein Mal, ihn überholend, in der Fahrtrichtung abschreitet, ein zweites Mal gegen die Fahrtrichtung schreitet und für beide Fälle die Schritte zählt. Es empfiehlt sich hierbei, die Zeit eines Schrittes als Zeiteinheit zu wählen, dann ist die Schrittlänge zugleich die Geschwindigkeit v des Schreitenden. Mit и werde diejenige Strecke bezeichnet, welche der Stamm während eines Schrittes zurücklegt. Beim Überholen ist die scheinbare Geschwindigkeit des Schreitenden

den Stamm offenbar v — u.

Ist nun £ die Anzahl der Schritte

gegen

beim Überholen, so muss die Länge l des Stammes betragen l = (v — u)t.

Beim Entgegenschreiten wird die scheinbare Geschwindigkeit v -j- w, daher Z = (v -J- u) #j, wenn £, die entsprechende Schrittzahl. Aus diesen beiden Gleichungen können и und l ermittelt werden, nämlich zu

£ — £,

v--

t + h

Der Schreitende mache in jeder Sekunde 2 Schritte von je 0,8 m. Zum Ueber-holen des Stammes gebrauche er £=100 Schritte, zum Kreuzen nur tx = 20

Schritte, dann ist -^- = -^r = ~|-; während eines Schrittes von 0,8m legt V I Z\J о

2

mithin der Baumstamm die Strecke и = 0,з •    = 0,ззз m zurück. Die Länge

100-20

“To

Fährt der Stamm schneller, als der Wanderer schreitet, so ist letzterer nicht im Stande, den Stamm schreitend zu überholen, lässt sich vielmehr von dem Stamme während der Dauer von £ Schritten überholen, kehrt dann laufend an das Vorderende des Stammes zurück und lässt ihn in entgegengesetzter Richtung während der Dauer von £L Schritten an sich vorbeifahren. In diesem Falle wird leicht gefunden:

des Stammes beträgt Z = 0,8 •

и t -f- fj

ttx

¹ V* {t + ü) '

= 26,67 41.

£ £x

7> (£-£.)'

Es sei jetzt г’ = 0,75m; £ = 300, tv = 20; dann wird ^    , mithin

300 - 20

£ — £l

U — 0,857 m ; l = 0,75 •

140

32,14 m .

Beispiel 4: Ein Stein werde mit der geringen Geschwindigkeit v = 10m/sek gegen einen mit 20 m/sek fahrenden Eisenbahnzug geworfen ; dann ist die scheinbare Geschwindigkeit des Steines gegen den Zug

w=Ÿ~Го² + 20² = io У5 = 22,361 т/зек.

Diese Geschwindigkeit ist mafsgebend für die Wirkung des Wurfes gegen •einen etwa getroffenen Fahrgast, u. zw. ist das hierfür in Frage kommende Arbeitsvermögen г/% m tv² = l/2 m • 10² • 5, d. h. das 5 fache der von dem Werfenden geleisteten Arbeit ¹/imv² = m ■ 10² (S. 53).

In noch viel höherem Grade aber vervielfacht sich die Wirkung, wenn 2 Züge mit je 20 m/Sek an einander vorbeifahren und der Stein aus dem einen Zuge gegen den anderen geworfen wird. Dann ist die wahre Geschwindigkeit des Steines die geometrische Summe aus der Seitengeschwindigkeit c = 10 т/Бек, welche der Fahrgast dem Stein ertheilt hat, und der Gesellw. 20 m/Sek des ersten Zuges, d. h v = У10² -f- 20² = 10 ]/" 5 = 22,sei m/sek. Diesem v ist nun noch, wenn der zweite Zug nach links fährt (Figur 79), dessen Geschwindigkeit 20 m/Sek nach rechts hinzuzufügen.

Hypotenuse eines Dreiecks, dessen eine Kathete 10, dessen andere aber 20    20 = 40 beträgt, also

w = y io² -F 40² = 10 V~l + 16 = 10/17 = 41,23.

Dann wird w offenbar die

2<!_

Fig. 79.

f20

.g_J

IQ k

-*20

ham — ' '•

Ein in dem zweiten Zuge befindlicher, etwa getroffener Fahrgast verspürt also eine Wurfwirkung von der Grösse Va m w² = l/i m 10² • 17 ; d. h. durch die Bewegung der beiden Eisen

bahnzüge ist die Stosswirkung auf das 17 fache gewachsen, gegenüber dem Falle, wo der Stein aus einem stillstehenden Zug auf einen ebenfalls stillstehenden Zug geworfen würde. Die Geschwindigkeit von 10 ra/Sek entspricht einer Fallhöhe von nur 100 • 0,o5i = 5,i m; ein Wurf mit solcher Geschwindigkeit ist daher als verhältnismassig harmlos zu bezeichnen. 41,23 m/sek entsprechen aber einer Fallhöhe von 17-5,1 = 86,7 also einer Thurmhöhe.

Für einen vorbei-

Beispiel 5: Fällt von einer über eine Eisenbahn führenden Brücke ein Stein lothrecht herab, so ist dessen wahre Bewegung eine lothrechte, gleichförmig beschleunigte mit der Anfangsgeschwindigkeit Null, fahrenden Zug aber wird die scheinbare Bewegung eine parabolische Wurfbewegung, deren wagerechte Seitengeschwindigkeit das Entgegengesetzte der Geschwindigkeit des Eisenbahnzuges ist. Diese parabolische Bahnlinie wird ein im Zuge fahrender Beobachter wahrnehmen. Ähnlich ist es auch mit Regentropfen, die, lothrecht fallend, einen Zug treffen. Die Spuren derselben an den Fenstern und Wänden der Wagen werden von der Lothrechten abweichen. — Kann man, Kopf oder Hand aus einem Eisenbahnzuge hinaus haltend, keinen Luftzug wahrnehmen, so muss die umgebende Luft die gleiche Bewegung wie der Zug haben, es muss also ein in der Fahrrichtung wehender Sturm herrschen.

Fig. 81.

Beschleunigung der scheinbaren Bewegung. Ist q die wahre Beschleunigung eines Punktes (Fig. 81), so ergiebt sich die scheinbare Beschleunigung r als geometrische Summe von q und dem Entgegengesetzten der Beschleunigung p des betreffendes Raumes.

-p

Fig. 82.

Die wahre Beschleunigung q ist die Wirkung einer wahren Kraft K=mq\ die scheinbare Beschleunigung r kann als die Wirkung einer scheinbaren Kraft mr angesehen werden, die man offenbar erhält als geometrische Summe der wahren Kraft К und einer Kraft (— mp), welche dem Entgegengesetzten der Beschleunigung des Raumes entspricht. Diese Kraft, welche man zu der wirklichen hinzufügen muss, um die scheinbare Kraft zu erhalten, nennt man Ergänzungskraft der scheinbaren Bewegung.

и*-к-

Beispiel ti: Stellung der Windfahne auf einem Schiff. Eine leicht bewegliche Windfahne, deren Stange ruht, wird durch die Luftbewegung in die Richtung des Windes gestellt. Ist die Stange aber nicht in Ruhe, so kommt für die Stellung der Fahne die scheinbare oder relative Geschwindigkeit der Luft in Bezug auf die Fahnenstange in Frage. Bewegt sich ein Dampfschiff mit 5 m/sek und weht rechtwinklig dazu ein Wind von gleicher Geschwindigkeit (Fig. 801, so ist die scheinbare Geschwindigkeit w — 5 ]/~2 und um 45 ⁰ geneigt gegen die wahre Windrichtung. In der Richtung von IV wird die Fahne sich einstellen.

fahrenden Schiff aus der Richtung der Windfahne nicht ohne Weiteres auf die Windrichtung schliessen. Bei einem entgegengesetzt fahrenden Schiffe würde die Abweichung nach der anderen Seite erfolgen, und unter den bezüglich der Geschwindigkeiten gemachten Annahmen würden die Fahnen auf den beiden sich begegnenden Schiffen rechtwinklig zu einander stehen.

Man kann daher auf einem

Fig. 80.

rvjr <w

-il

JL*

Bewegt sich der Massenpunkt unter Einwirkung der Schwere in einem Raume (Kasten), der selbst eine Beschleunigung ^ (Fig. 82) lothrecht aufwärts erfährt, so ist g die wahre Beschleunigung des Punktes; zu dieser muss man p abwärts hinzufügen, um als Summe beider die scheinbare Beschleunigung r—g + p zu erhalten.

Die scheinbare Kraft ist R = m (g + p). Soll aber der Punkt verhindert werden, in dem Raume zu fallen, etwa dadurch, dass man ihn an einem Faden aufhängt, so muss die Spannkraft S des Fadens die scheinbare Kraft R aufheben, es muss also S—m (g + p) sein. (Ebenso gross würde der Gegendruck des Bodens sein, wenn der Massenpunkt auf dem Boden des Kastens läge.) Ist die Beschleunigung p des Kastens Null, so ist S einfach gleich dem Gewichte des Punktes. Die Beschleunigung des Kastens hat auf die scheinbare Bewegung denselben Einfluss, als ob die Fallbeschleunigung von g auf r = g + p erhöht wäre. Wird der an dem Faden hängende Punkt durch eine seitliche Bewegung aus der scheinbaren Ruhelage gebracht, so führt er Pendelschwingungen aus, und die Dauer einer kleinen einfachen Schwingung berechnet

’П

(S. 78) g mit g + p

sich, indem man in der Formel t —

vertauscht, zu

= **j/

9 + P'

Die Schwingungen erfolgen also wegen der stärkeren Beschleunigung in kürzerer Zeit.

Ist die Beschleunigung p des Kastens nach unten gerichtet, so wird r — g—p; R — m{g—p) und ein etwaiger Bodendruck oder eine etwaige Fadenkraft ebenfalls m Schwingungsdauer des Pendels wird jetzt

(ff — P\

Die

] g—p

Bewegt sich der Kasten mit der Fallbeschleunigung p=g abwärts, so wird r = 0; R = 0; der Punkt hat keine scheinbare Beschleunigung gegen den Kasten (da beide gleiche Beschleunigung g haben). Bodendruck oder Fadenkraft werden Null; der Punkt drückt nicht mehr auf den Boden. Ein in dem Kasten befindlicher Mensch würde den Boden unter den Füssen verlieren. Da die Fadenkraft Null wird, ist auch ein Pendel nicht möglich; die Schwingungsdauer wird dann auch t = oo, d. h. es kommt eine Schwingung nicht zu Stande.

Ist aber die abwärts gerichtete Beschleunigung des Kastens p> g, so wird (Fig. 83) die scheinbare Beschleunigung r — p — g nach aufwärts gerichtet; der Massenpunkt fallt in dem Kasten nach oben. Ein etwaiger Deckendruck bezw. eine Fadenkraft S wird m (p—g), wobei der Faden an dem Boden befestigt sein muss. Bei einem seitlichen Anstoss entstehen Schwingungen um den unteren Befestigungspunkt, u. zw. von der Dauer

Fig. 83.

hP

Г ff

[S

Das in diesen verschiedenen Fällen über die Spannkraft S des Fadens Gesagte gilt auch, wenn ein Kasten gar nicht vorhanden ist, wenn man vielmehr etwa mit der Hand das eine Ende des Fadens erfasst, während an dem anderen Ende ein Massenpunkt angeschlossen ist. Bewegt man die Hand nach irgend einer Richtung gleichförmig und geradlinig, so ist die Spannkraft des stets lothrehten Fadens gleich dem Gewichte des angehängten Massenpunktes. Bewegt man die Hand aber mit aufwärts gerichteter Beschleunigung, so vergrössert sich die Spannkraft, und es kann in Folge dieser Beschleunigung der Faden möglicherweise reissen. Will man in solchen Fällen das Reissen eines etwas schwachen Fadens oder Seiles vermeiden, so muss die Bewegung eine vorsichtige sein, d. h. eine solche ohne wesentliche Beschleunigung.

Fig. 84.

Ist der Kasten ein in wagerechtem Sinne beschleunigter Eisenbahnwagen mit der Beschleunigung p, so wird die scheinbare Beschleunigung r — Vg² + p² schräg gerichtet; ebenso die scheinbare Kraft R — mr (Fig. 84). Soll der Massenpunkt durch einen aufhängenden Faden in scheinbarer Ruhe in dem Wagen erhalten werden, so muss die Fadenspannkraft S = mV~g² + p² in die Richtung von r fällen. Um diese scheinbare Gleichgewichtslage als Mitte würden bei einem Anstosse

-fi

entstehen. Die

Pendelschwingungen von der Dauer t

Richtung von r giebt zugleich die Stellung an, welche ein Fahrgast annehmen muss, um nicht umzufallen, wenn der Wagen eine nach rechts gerichtete beschleunigte Bewegung hat, oder wenn der nach links fahrende Wagen heim Anhalten eine Verzögerung p erfahrt.

19. Ruhe in Bezug auf einen sich gleichmässig drehenden Raum.

Fig. 85.

Dreht sich ein Körper um eine feste Achse О (rechtwinklig zur Bildebene, Fig. 85), so ist die Bewegungsart schon durch die Bewegung eines einzigen Punktes oder auch eines beliebigen Drehungshalbmessers O A bestimmt.

Der beliebige Punkt muss sich in einer Kreislinie bewegen, und wenn AA₁ — s die während der Zeit t zurückgelegte Wegeslänge ist, so wird s—f{t) das Bewegungsgesetz sein, welches die Kreisbewegung des Punktes A im Abstand О А — r von der Drehachse und damit auch die Drehbewegung des Körpers völlig bestimmt. Es ist dann v — ds:dt die Geschwindigkeit des Punktes A. Setzt man nun s — AAl — ra, so wird a = ¹/r-f(t) oder a = cp(t) das Gesetz der Drehbewegung des Halbmessers OA. Ebenso wie man v — ds : dt die Geschwindigkeit des Punktes A. nennt, heisst со = da : dt = cp' (t) die Winkelgeschwindigkeit der Drehung, d. h. der auf die Zeiteinheit (Sekunde) bezogene Drehungswinkel oder die Umfangsgeschwindigkeit im Abstand Eins von der Drehachse Wie s — rcu ist auch v = reo und со — v:r.

Beispiel: Dreht sich ein Körper in jeder Sekunde ein Mal gleichförmig um seine Achse, so beschreibt ein Punkt im Abstand r von der Achse den Weg 2 m in jeder Sekunde, mithin ist v> — 2rr,\ ein Punkt im Abstand r—\ also hat die Geschwindigkeit w — v:r= 2л; oder man kann auch sagen: Der Winkel 2 -n einer ganzen Umdrehung wird in jeder Sekunde zurückgelegt, daher ist <у = 2тг. Die Gr ad zahl eines Winkels ist nicht ein natürliches, sondern ein künstliches, willkürliches Mals für die Grösse desselben. Die natürliche Einheit des Winkels ist derjenige Winkel a, dem bei einem Halbmesser Eins eine Bogenlänge Eins entspricht. Da nun einem Winkel von 180° nach dem meist üblichen Gradmafs eine halbe Umdrehung, d. h. ein Bogen - entspricht, so wird der Bogeneinheit eine Gradzahl 180 :тг — 57,з entsprechen. Dass dieser Winkel etwas unter 60° liegen muss, ergiebt sich daraus, dass beim Winkel von 60° die Sehne gleich dem Halbmesser, der Bogen also etwas grösser als der Halbmesser ist.

Dreht sich ein Raum gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit со um eine feste Achse und befindet sich in dem Raum ein Massenpunkt, und zwar in dem Abstand r von der Achse, in scheinbarer (relativer) Ruhe gegen den Raum, so macht er die Bewegung des Raumes thatsächlich mit, führt mithin eine gleichförmige Kreisbewegung mit der Geschwindigkeit v — reo aus, wobei er (nach S. 61) eine Centripetalbeschleunigung

1)

= Г OJ -

r²eo²

Fig. 86.

Яг/

² Р/тпгм~

mr

t:

erfährt. Dazu ist dann eine Centripetalkraft von der Grösse mrco2 erforderlich. Liegt z. B. auf einer wagerechte.n Scheibe, die sich gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit eo um ihre lothrechte Achse dreht (Fig. 86), ein Massenpunkt, etwa eine kleine Kugel, so wird diese zur scheinbaren Ruhe gegen die Scheibe nur durch Kräfte gezwungen werden können, etwa durch die Spannkräfte Sy und So zweier bei A und В mit der Scheibe verbundenen Fäden. Sy und So werden dann so gross, dass ihre Mittelkraft von der Grösse mrco² und nach dem Mittelpunkt О gerichtet ist. Hierdurch sind Sy und S₂ völlig bestimmt.

Diese Bedingung für die scheinbare Ruhe kann aber auch in ähnlicher Weise ausgedrückt werden wie die Bedingung für scheinbare Ruhe im fortschreitenden Raume. Haben nämlich die auf den Punkt wirkenden Kräfte Sy und S₂ die Mittelkraft mrco², so würde das Entgegengesetzte dieser Kraft, d. h. eine radial nach aussen gerichtete Kraft —mrco², mit Sy und S₂ im Gleichgewichte sein. Diese zu den wirklichen Kräften Sy und S₂ hinzuzufügende Kraft — mrco-, welche mit ihnen im Gleichgewichte sein muss, entspricht dann genau der Ergänzungskraft —mp (S. 84); sie ist, wie diese, keine wirklich vorhandene Kraft, sondern nur eine gedachte Ergänzungskraft der scheinbaren Bewegung bezw. Ruhe und heisst wegen ihrer Richtung Centrifugalkraft. Nach ihrer Hinzufügung ist dann die Bedingung für den scheinbaren Ruhezustand dieselbe wie für wirkliche Ruhe, nämlich Gleichgewicht der Kräfte. Nur muss man sich hüten, die Centrifugalkraft als eine wirkliche Kraft anzusehen. In dem Falle der Figur 86 ist ja auch durchaus kein Körper nachzuweisen, der den Punkt mit der Kraft mrco² nach aussen triebe, vielmehr sind nur

die Fadenkräfte wirksam, die den Punkt hindern, sich von dem Mittelpunkt О weiter zu entfernen. Durchschnitte man die Fäden plötzlich, so würde der Punkt sich auch nicht etwa radial nach aussen bewegen, sondern vielmehr tangential zu seiner bisherigen Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v weiter gehen.

Von einer zum Schleifen dienenden, schnell umlaufenden Schmirgel-s ch ei be fliegen die abgelösten, glühenden Metalltheilchen in tangentialer Richtung fort. Lässt man die Schnur einer Schleuder los, so fliegt der Stein aus derselben in tangentialer Richtung weiter.

Die Centrifugalkraft ist nur eine Hilfsvorstellung zur Vereinfachung mancher Untersuchungen.

Soll ein Massen punkt gegen einen sich mit der Winkelgeschwindigkeit oj gleichförmig drehenden Kaum bei einem Abstand r von der Drehachse in scheinbarer Ruhe verbleiben, so müssen die auf ihn wirkenden Kräfte sich mit der als Ergänzungskraft hinzu-zufügenden Centrifugalkraft mrto² im Gleichgewichte halten.

Beispiel: An einer lothrechten Achse (Fig. 87) befinde sich ein schräger Arm AB aus Draht, auf welchem eine kleine Kugel verschiebbar sei. Wirkt auf die Kugel die Schwere mg, so übt der Draht den Normalwiderstand N aus. Beide können sich aber allein nicht im Gleichgewichte halten, sondern es wird unter ihrer Einwirkung die Kugel auf dem Drahte beschleunigt abwärts gleiten. Ertheilt man jedoch der Achse und damit auch dem Arm eine Winkelgeschwindigkeit ш, so ist es nun möglich, dass die Kugel auf dem Arme sich nicht verschiebe.

Die Bedingung dafür besteht darin, dass nach Hinzufügung der Centrifugalkraft туш- zu den Kräften ni g und N Gleichgewicht herrsche. Diese drei Kräfte bilden dann ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse rechtwinklig zum Arme steht, also mit der Wagerechten den Winkel ß bildet.

Daher muss tg ß — mg : my w² oder

Fig. 87.

-И-

туш%

и/

mg

'N

2)

= i/—g~

I У tg ß

oder у —

w² tg ß

sein.

1st z. В. /5=45°, tg/î=l, ш — 2 л (1 Umdrehung in der Sekunde), so — 0,25 m ; d. h. in 0,25 ra Abstand von der Achse

ergiebt sich у =

9,81

1 • 4 --

— ^—ß ł so wird у ш² tg ß > g und Ny > 0 ; d. h. der

Ist nun ш² >

Stift leistet der Kugel thatsächlich einen Gegendruck; mithin drückt die Kugel nach dem Gesetze der Wechselwirkung auch gegen den Stift, würde also, falls der Stift fehlte, auf dem Arme nach oben gleiten. Der Stiftdruck wird Null, wenn y w² tg /5* = , während ein kleineres ш ein negatives Ny, d. h. den nach oben gerichteten Widerstand eines unterhalb der Kugel angebrachten Stiftes verlangt, entsprechend der Neigung der Kugel, abwärts zu gleiten. Hiermit ist zugleich bewiesen, dass sich beim Kegelpendel (S. 69) der Neigungswinkel gegen die Lothrechte vergrössern wird, wenn man dem Massenpunkt eine zu grosse Geschwindigkeit v giebt, und umgekehrt. Denn die jetzt betrachtete Anordnung ist dem Wesen nach auch ein Kegelpendel.

Fig. 89.

Tritt an Stelle des geraden Armes ein nach einem Kreisbogen vom Halbmesser l geformter (Fig. 89), so behält Gl. 2 ihre Gültigkeit; es ist

Ct

würde die Kugel nunmehr auf dem Arm in scheinbarer Bube verbleiben. Zu jedem anderen Werth y gehört aber auch ein anderes w bei sonst gleich bleibenden Verhältnissen.

Um zu erkennen, wie die Kugel sich bei grösserer Winkelgeschwindigkeit, als Gl. 2 entspricht, bewegen würde, denken wir uns (Fig. 88) dicht oberhalb der Kugel einen Vorsteckstift angebracht, der eine Vergrösserung von у verhindert. Dieser Stift übt dann einen Widerstand Ny in der Dichtung des Armes nach unten aus, und es müssen sich nun die Kräfte N, Ny, ту und туш¹ auf heben.

Zerlegt man sämmtliche Kräfte in solche, welche in die Richtung des Armes fallen bezw. dazu rechtwinklig

stehen, so muss die Kräftesumme in der Armrichtung Null sein, d. h.

-ZV, 4- mg cos ß — mу ш² sin ß = 0,

Ny = my ш² sin ß — mg cos ß

Fig. 88.

Nt

N.

4 vmrJ 4 ß

-5"

my w z

mithin

туш²

tmg

та

tg ß • у w² = g, oder, weil y — Z cos ß und ß = 90 ⁰ — ct, sin ß l ш² = h w² = g und h = g : ш² , worin h die Tiefe der Kugel unter О bedeutet; h ändert sich im umgekehrten Verhältnisse mit ш¹. Diese Vorrichtung wird als Schwungkugel-Regler (Centrifugal - Regulator) zur Regelung des Ganges von Maschinen benutzt. An der lothrechten Achse werden bei О zwei Gelenkstangen von der Länge l befestigt, welche die Kugeln tragen und ihnen

zugleich die Kreisbahn СВСг vorschreiben. Bei einer Winkelgeschwindigkeit u> wird sich dann die Höhe h = g: w² bilden. Bei grösserer Drehgeschwindigkeit werden die Kugeln steigen, und umgekehrt Durch geeignetes Gestänge wirkt das Steigen bezw. Sinken der Kugeln auf die Kraftquelle, vermindert bezw. verstärkt dieselbe.

Fig. 90.

Soll die Kugel bei gleichbleibender Umdrehungsgeschwindigkeit an jeder Stelle des Armes in scheinbarer Ruhe verbleiben können, so muss die Form des Armes eine solche sein, dass die Gl. 2 S 89: tgß-yaj² = g für jeden Werth von у Gültigkeit hat.

Es muss also olfenbar tg ß mit у umgekehrt sich ändern.

Bezieht man (Fig. 90) die gesuchte Kurve AP auf den Punkt A als Anfangspunkt, so ist tgß—dy:dx, mithin уш² • dy : dx — д oder 2 w²ydy =2 д • dx.

r-------

Nf

Sind zwei Differentiale einander gleich, so dürfen sich deren unbestimmte Integrale nur um eine Konstante О unterscheiden, und man erhält

w²y² = 2 д X + 0.

Weil aber der Punkt A mit den Koordinaten x = 0 und y — 0 auch der Kurve angehört, so muss die Konstante in obiger Gleichung so bestimmt werden, dass für x = 0 auch y = 0 wird. Das giebt

0 = 0+0 oder 0=0, und nach y² aufgelöst : y² = 2 x.

Fig. 91.

F

-p-^r—p

L2

Diese Gleichung bedeutet eine Parabel, deren Achse mit der ж-Achse zusammenfällt und deren Parameter д : ш² ist. Für bestimmtes д entspricht jeder Drehgeschwindigkeit w eine bestimmte Parabel als Gleichgewichtsform. Ist die der Form entsprechende Drehgeschwindigkeit vorhanden, so kann die Kugel an jeder Stelle des Drahtes in scheinbarer Ruhe verbleiben, ist die Geschwindigkeit    so strebt die Kugel fortge

setzt nach aussen, und umgekehrt.

Dreht sich die Achse mit dem Arm in jeder Sekunde 1 Mal um, so ist w = 2 tt und der Parameter der Parabel p = 9,8i : (4 7Г²) = 0,25 m (Fig. 91).

20. Einfluss der Drehung der Erde um ihre Achse auf das scheinbare Gewicht bezw. die scheinbare Fallbeschleunigung.

Denken wir uns die Erde vorläufig als Kugel vom Halbmesser r — 6 370 000m und betrachten wir einen Massenpunkt, der am Äquator auf der Erdoberfläche ruht, so ist dieser Zustand nur ein

gung g₀ in der geographischen Breite Null zu bezeichnen ist, also

V CO¹.

scheinbarer Ruhezustand in Bezug¹ auf die sich drehende Erde (Fig. 92). Zu der Anziehungskraft mg der Erde und dem nach aussen gerichteten Normalwiderstand N der Erdoberfläche muss daher noch die Centrifugalkraft mrco’¹ hinzugefügt werden, damit Gleichgewicht entstehe. Daher ist N — mg — mrco¹. Nun wird aber das Gewicht eines Körpers nach dem Drucke beurtheilt, den er im Ruhezustand auf eine wagerechte Unterlage (die Wagschale) ausübt, so dass N als das scheinbare Gewicht und N: m als die scheinbare Fallbeschleuni-

Fig. 92.

PoI

J!

mg//

: /\a

o\

//

myto²

\jnrw2 —-p——►iV

/70 = 9 —

Die Zeit einer Umdrehung der Erde beträgt 238td 56 min 4sek = 86 164sek ;

daher со — 2 л: 86164 — 0,000073, hiernach wird reo- = 6370000 • O,000073² = 0,034.

Nun ist die scheinbare Fallbeschleunigung am Äquator durch Pendelbeobachtungen (s. S. 78) zu c/q = 9,780 ra/sek2 beobachtet, daher wird g == 9,780 + 0,034 = 9,814

die wahre Beschleunigung der Schwere am Äquator, welche bei kugelförmiger Erde für alle Punkte der Erdoberfläche gelten würde.

ln einer geographischen Breite a halten sich nun an dem Massenpunkte die Schwere mg, die Centrifugalkraft myco² mit dem Gegendrücke W der Erdoberfläche im Gleichgewichte, woraus folgt, dass W im Allgemeinen nicht durch den Erdmittelpunkt О geht. Zerlegt man W in einen Normalwiderstand N und einen Tangentialwiderstand T, so wird, weil у — r cos а,

N — mg — mrco- cos²а = m (g — reo-cos² a) und T = mrco- sin а cos а .

Von diesen beiden Seitenkräften ist    m (9,814 — 0,034) oder

N>im • 9,78, dagegen T <L m • 0,031 • x/2 (für а = 45°), daher N: Т>ЫЬ. Da nun N und T die Katheten, W die Hypotenuse

eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen, so ist die Hypotenuse W bei solchem Verhältnisse von N: T mit grosser Annäherung gleich N zu setzen. W bedeutet aber wiederum die scheinbare Schwere und W: m die scheinbare Fallbeschleunigung ga in der geographischen Breite 7; mithin ist

g a — g — reo² cos² a = g — г со² -j- г m² sin² a.

Da nun g— rtû² — g₀ = 9,780, so wird

2)

ga = 9j80 + 0,034 sin²7. = 9,797 — 0,017 COS 2 a, wenn man die Beziehung sin² a = l/2 — ¹/2 cos 2 a benutzt.

Die scheinbare Schwere W würde auch nach Richtung und Grösse die Spannkraft eines Fadens bilden, an welchem ein Massenpunkt etwa als Loth aufgehängt wäre. Da nun W im Allgemeinen nicht mit der Normalen N zusammenfällt, so geht auch die Richtung des Lothes im Allgemeinen nicht durch den Mittelpunkt der Erde, nur am Äquator und an den Polen, wo T— mr(x)²- */2 sin 2 a = 0 ist, findet dies Statt.

Für den Winkel d, um den das Loth von der Geraden nach dem Mittelpunkte der Erde abweicht, gilt

mroj² sin a cos a

tg*“7f

mga

0,017 sin2 a

9,797—0,017 COS 2 a *

Will man wissen, in welcher Breite a dieses ein Maximum wird, so setzt man die Abgeleitete von tg â gleich Null, mithin

0 = (9,797 — 0,on cos 2 a) • 0,034 cos 2 a — 0,on sin 2 a • 0,оз4 sin 2 a, oder 9,707 — 0,oi7 cos 2 a = 0,on sin 2 a tg 2 a 0,017 9,797

Wäre die Erde vollkommen kugelförmig, so könnte ihre Oberfläche einen von der Normalen abweichenden Widerstand W gar nicht leisten; die Seitenkraft T, welche für den scheinbaren Ruhezustand erforderlich wäre, könnte von ihr nicht ausgeübt werden; es würden daher alle leicht beweglichen Körper, namentlich die Wassertheilchen des Meeres nach dem Äquator fortgleiten, bis die Kugelform sich so geändert haben würde, dass W rechtwinklig zur Oberfläche steht. Diese Formänderung findet aber nicht mehr statt, weil die Gestalt der Erde eben keine Kugel ist, sondern ein Ellipsoid, welches jener Bedingung, dass die Richtung des Lothes rechtwinklig

0,034 sin a cos 7

9,797 — 0,017 cos 2 7

und daraus cos 2 a

0,ooi 735. Das giebt 2 a = 89 ⁰ 54 ' und a = 44 ⁰ 52 '.

zur Oberfläche steht, entspricht (Fig. 93). Der Erdhalbmesser a — 6 377 000 m am Äquator ist etwa 21km grösser als der Polradius Ъ = 6 356 000 m. In Folge dieses Umstandes wird ein Massenpunkt, wenn man ihn vom Äquator her nach dem Pole verschiebt, dem Mittelpunkte der Erde    näher    kommen,    woraus allein

Fig. 93.

r'

schon    eine    Zunahme    der Anziehung

folgt,    deren    Einfluss    jene andere Zu

nahme noch verstärkt, die in Folge der Abnahme der Wirkung der Centrifugal-kraft    sich    ergiebt.    Pendelversuche

haben ergeben, dass man in Gl. 2 (S. 93) die Zahlenwerthe ändern muss, um sie mit der Wirklichkeit in Übereinstimmung zu bringen; es ist nämlich thatsächlich

3)

ga = 9,780 -f 0,052 sin² а = 9,806 — 0,026 COS 2 а. а = 0 giebt g₀ = 9,780 а = 45°    „    g₄₅ = 9,806

а = 90°    „    gp = 9,832 (am Pole).

Für Hannover ist а = 52° 23', daher ga = 9,813.

Da wir das Gewicht eines Liters Wasser (bei 4⁰ C.) unter 45° geographischer Breite als Krafteinheit (Kilogramm) bezeichnet haben, so beträgt das Gewicht dieses Körpers am Äquator 9,780: 9,806 = 0,997 ke, am Pole 9,832: 9,806 = 1,003 4 Vorstehende Formeln und Zahlen gelten für die Höhe des Meeresspiegels. Die Fallbeschleunigung in einer Höhe von h Metern über dem Meeresspiegel wird dann genau genug gefunden, indem man nach S. 58 die vorstehenden Werthe noch mit (1 — 2h:r), oder, wenn man r = 6370000™ setzt, mit 1 — O,00000032 h) multiplicirt. Dann wird (genau genug) ga — 9,806 — 0,026 cos 2 а — 0,000 003 Л. Auf dem Brocken unter 51° 50' geographischer Breite und in etwa 1140m Meereshöhe ist ga — 9,809, in Ilsenburg am Fusse des Brockens (260™ Meereshöhe) 9,811. Der Unterschied ist also nur gering.

Zweite Abtheilung.

Mechanik starrer Körper.

I. Einleitung.

Einen Körper denken wir uns als aus sehr vielen Massenpunkten zusammengesetzt, die so mit einander in Verbindung stehen, dass sie gegenseitig auf ihre Bewegung einzuwirken vermögen, dass sie also gegenseitig Kräfte auf einander ausüben können. Diese Kräfte, mit welchen die einzelnen Massenpunkte eines Körpers gegenseitig auf einander einwirken, heissen innere Kräfte des Körpers, im Gegensätze zu den äusseren Kräften, welche von anderen Körpern herrühren.

Die Verbindung zwischen den einzelnen Massenpunkten ist bei verschiedenen Körpern eine verschiedenartige. Wir haben zunächst feste Körper zu unterscheiden von nicht festen Körpern. Bei den festen Körpern setzen die einzelnen Massenpunkte einer jeden Änderung der Form des Körpers einen Widerstand entgegen. Die nicht festen Körper heissen flüssige Körper, zu denen im Besonderen auch die gasförmigen Flüssigkeiten zu rechnen sind. Bei diesen zeigen die Massenpunkte keinen Widerstand gegen Formänderung im Allgemeinen, sondern im Wesentlichen nur einen solchen gegen Zusammendrängung auf einen kleineren Rauminhalt.

Denkt man sich die Massenpunkte eines festen Körpers derartig mit einander verbunden, dass die inneren Kräfte jede, auch noch so geringe Formänderung, um so mehr also gar eine Zerstörung, verhindern, so gelangt man zu dem Begriffe vollkommen fester oder starrer Körper. Solche starren Körper giebt es in Wirklichkeit nicht; vielmehr erleidet jeder wirkliche feste Körper unter Einwirkung äusserer Kräfte eine gewisse Formänderung, deren Art und Grösse von den äusseren Kräften und von der Beschaffenheit des Körpers abhängt. Die inneren Kräfte treten bei äusseren Einwirkungen in Wirklichkeit mit allmählich zunehmender Grösse auf, und erst nach dem Eintreten einer gewissen Formänderung sind sie zu solcher Grösse angewachsen, dass sie nun eine weitere Änderung verhindern können. Überschreitet aber die Grösse der äusseren Kräfte gewisse Grenzen, so tritt eine Zerstörung des Körpers ein. Diese wirklich vorkommenden festen Körper nennt man, im Gegensätze zu den nur gedachten starren Körpern, elastisch feste Körper. Den Unterschied beider kann man sich grobsinnlich vorstellen, indem man (Fig. 94) zwei Kugeln das eine Mal durch eine steife Stange, das О andere Mal durch eine nachgiebige Schraubenfeder Q-VVWA^O verbunden denkt. Sucht man mit den Händen die Entfernung der beiden Kugeln zu verändern, so wird dies in dem ersten Falle durch die inneren Kräfte verhindert, in dem zweiten nur in gewissem Grade erschwert.

Fig. 94.

Bei sehr vielen Anwendungen der Mechanik hat nun die Ermittelung der Formänderung eines Körpers oder die Frage nach seiner Festigkeit keinen Werth, ln solchen Fällen kann man daher zur Vereinfachung der Aufgaben die Körper als starre betrachten. In anderen Fällen aber wird gerade nach der Festigkeit und der Formänderung der Körper gefragt; dann muss man sie als elastisch fest behandeln. Es wird sich aber zeigen, dass man sehr viele Ergebnisse der Mechanik starrer Körper in der Mechanik elastisch fester Körper verwerthen kann.

2. Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte in einer Ebene und mit gemeinsamem Angriffspunkte.

Fig. 95.

""В

Grundsatz: Zwei gleiche entgegengesetzte Kräfte, deren Richtungslinien in dieselbe Gerade fallen, und die in zwei beliebigen Punkten dieser Geraden an einem starren Körper angreifen, haben auf die Bewegung des Körpers keinen Einfluss, heben sich gegenseitig auf. (Fig. 95.)

In der Mechanik des Massenpunktes к war eine Kraft durch Grösse, Richtung und Sinn gegeben; jetzt kommt aber auch noch diejenige Stelle des Körpers in Betracht, an welcher die Kraft angreift. Bei Kräften am starren Körper genügt statt dessen schon die Kenntnis irgend eines Punktes der Richtungs-linie einer Kraft, oder ihre Lage, zur Beurtheilung ihrer Wirkung, da man jeden Punkt der Kichtungslinie einer Kraft als ihren Angriffspunkt behandeln kann. Denn: greift eine Kraft K (Fig. 96) an dem Punkt A eines Körpers an und ist В ein beliebiger, demselben starren Körper angehöriger Punkt der Kichtungslinie von K, so kann man an dem Massenpunkte В zwei in die Gerade AB fallende, entgegengesetzte Kräfte К anbringen, ohne im Bewegungszustande des Körpers etwas zu ändern. Da aber nach dem vorstehenden Satze die in A angreifende Kraft К mit der entgegengesetzten im Punkte В sich aufhebt, so bleibt als gleichwertig mit der ursprünglich gegebenen die in В angreifende Kraft gleicher Grösse, Richtung und gleichen Sinnes übrig.

Fig. 96.

Fig. 97.

Zusammensetzung zweier Kräfte mit sich schneidenden Richtungslinien. Die gegebenen Kräfte und K₂ (Fig. 97) mit den Angriffspunkten A und В lassen sich nach vorstehendem Satz an den Schnittpunkt C der Richtungslinien verlegen und lassen sich hier durch eine Mittelkraft В , nach der Lehre über die Zusammensetzung

der Kräfte am einfachen Punkt ersetzen. '    ' ' R п и

кг

Diese Mittelkraft В darf dann aber wiederum als in irgend einem Punkte D ihrer Linie angreifend gedacht werden.

Dabei ist es gleichgültig, ob der Schnittpunkt C der Kraftlinien dem Körper angehört oder nicht, weil die in D angreifende Kraft В den gegebenen Kx und K₂ in A und В völlig gleichwertig ist.

Ist aber der Schnittpunkt C der Kraftlinien wegen ungünstiger Lage nicht benutzbar, so kann man Grösse, Richtung und Sinn der Mittelkraft В leicht finden, indem man das vorhin bei C gezeichnete Krafteck in A, in В oder an einer beliebigen Stelle zeichnet; zur Auffindung der richtigen Lage von B, die oben durch C bestimmt war, kann man entweder geometrische Beziehungen benutzen, oder mit besonderem Vortheil einen Satz der Mechanik, den wir jetzt entwickeln wollen, nämlich den Satz der statischen Momente von Kräften.

3. Satz der Drehmomente der Kräfte.

Ist К eine in der Bildebene wirkende Kraft, О eine Achse rechtwinklig zur Bildebene (Fig. 98), so dass also Kraftlinie und Achse sich im Baume rechtwinklig kreuzen; dann nennt man das Produkt Kraft mal Hebelarm oder Kl das Drehmoment oder statische Moment der Kraft in Bezug auf die Achse O. rechtwinklige Entfernung der Kraft von der Achse.

Der Hebelarm ist die

Fig. 98.

•c

Momentum ist (wahrscheinlich) eine Abkürzung von Movimentum und bedeutet Bewegungsmittel: Drehmoment bedeutet also „Mittel zur Erzeugung einer Drehbewegung“.

Fig. 99.

Greifen an demselben Massenpunkt A mehrere in der Bildebene liegende Kräfte Kx und Kn an, deren Mittelkraft R ist (Fig. 99), und sind lx, ln, l die bezüglichen Hebelarme, von der Achse oder dem Drehpunkt О aus gemessen, so lässt sich zeigen, dass das Moment der Mittelkraft R gleich der Momentensumme der Einzelkräfte ist.

Betrachtet man nämlich АО als у -Achse,

/K*

G 'Г*! \T!/>

AX nach rechts als positive x-Achse, welche mit den Kräften die Neigungswinkel <5,, ön und ô bildet, so ist nach der Figur ln — O A cos <5„, ebenso lx — O A cos ô I = OA cos ô, so dass man die Momente auch schreiben kann: KX'OA cos <5j, KnOA cos ön und ROA eosö. Da aber nach der Lehre von der Zusammensetzung der Kräfte (S. 40)

R cos ô — K{ cos -j- ... + Kn cos ön,

so folgt, wenn man allen Gliedern dieser Gleichung den Faktor O A hinzufügt, ohne Weiteres, dass das Moment von R gleich ist der Summe der Momente der Kräfte K.

In Figur 99 waren sämmtliche cos ö positiv. In Figur 109 aber haben cos öj und cos ön verschiedene Vorzeichen, so dass in der Gleichung jß cos Ô • А О = 1 ATcos <3 • А О auf der rechten Seite Summanden von verschiedenen Verzeichen sich ergeben. Die Bedeutung dieses Unterschiedes ist aus der ursprünglichen Erklärung des Momentes Kl nicht ohne Weiteres ersichtlich; sie tritt aber кл hervor, wenn man die drehende Wirkung der Kräfte, auf die es beim Momente wesentlich ankommt, ins Auge fasst. Denkt man sich den Punkt A mit der-Achse О in starrer Verbindung und О als eine feste Drehachse, so haben in Fig. 99 die Kräfte Äj und Kn übereinstimmend einen Drehsinn f rechts herum, im Sinne der Drehung des Uhrzeigers, während in Figur 100 der Drehsinn der Kräfte verschieden ist. Den Drehsinn rechts herum    ^ pflegt man als positiv zu

bezeichnen, die entsprechenden Momente ebenfalls positiv zu setzen, und umgekehrt, doch ist diese Festsetzung eine willkürliche; man könnte auch das Entgegengesetzte wählen. Verschiedener Drehsinn kennzeichnet verschiedene Vorzeichen der Momente, aber welche Richtung man positiv einführen will, steht frei. Es ist jedoch nützlich, sich an vorstehende feste Regel zu binden, damit man bei der Aufschreibung einer Momentensumme nicht unnöthig zu überlegen braucht. Mit Berücksichtigung dieses Umstandes ist dann bei beliebig vielen Kräften in einer Ebene mit gemeinsamem Angriffspunkte 111 = ± Kx lx ±K₂l4- Kn ln

Fig. 100.

"n

'Я

ln

N»

oder kürzer geschrieben

1)

Bl = IKl

Liegen die an einem Punkt A angreifenden Kräfte nicht in einer zur Achse OP rechtwinkligen Ebene, so ist die bisherige Deutung des Momentes nicht mehr brauchbar. Mit Rücksicht darauf aber, dass das Drehmoment ein Mafs für die drehende Wirkung der Kräfte sein soll, was allerdings erst später, gelegentlich der Betrachtung der Drehbewegung um eine feste Achse näher erläutert werden kann, bezeichnet man als Moment einer Kraft К in Bezug auf eine beliebige Achse OP das Moment derjenigen Kraft K', welche sich als Projektion von К

auf eine zur Achse OP rechtwinklige Ebene ergiebt. Es lässt sich zeigen, dass auch in dieser allgemeineren Bedeutung das-Moment der Mittelkraft gleich der Momentensumme der Einzelkräfte ist. Betrachtet man nämlich (Fig. 101) die durch A winkelrecht zu OP gelegte Gerade АО als ?/-Achse, legt A Z parallel zu OP, und AX winkelrecht zu beiden, so kann man К mittels eines Parallelepipeds in bekannter Weise zerlegen in К cos а, К cos ß,

101.

-X

/Л* Кеовсс

°о

К cos/, von denen die beiden ersteren unten in der Projektionsebene in voller Grösse erscheinen.

K' bedeutet die Mittelkraft dieser beiden. In der Projektionsebene aber kann das Moment K l von K' auch in der Form K - O' А '• cos ô (Fig. 101) geschrieben werden, oder, weil K' cos ô die Seitenkraft in der Richtung AX, — Kcos a bedeutet, auch in der Form K- cos a-Oi. Greifen nun im Punkt A beliebig viele Kräfte К an, deren Mittelkraft В ist, so kann man in gleicher Weise das Moment von В in Bezug auf OP in die Form В cos а -O A bringen. Weil nun noch В cos а = 2’ К cos «, so wird auch

В cos а • О А = 2’ К cos а-Oi,

und man hat den Satz:

Für Kräfte an einem Punkt ist das Moment der Mittelkraft gleich der algebraischen Summe der Momente der Einzelkräfte.

Da das Moment der Kraft К zu äft = К cos а • O A gefunden wurde, so wird es gleich Null, wenn a= 90° ist, d. h. wenn К rechtwinklig zu AX steht, sich also in der уz-Ebene befindet, der auch die Achse OP angehört. Das Moment einer Kraft wird also Null in Bezug auf eine Achse, die mit ihr in derselben Ebene liegt, d. h. sie schneidet oder ihr parallel ist.

Eine Kraft, deren Projektion auf. die Drehungsebene = 1 kg, giebt mit einem Hebelarme = 1 m das Moment Eins. Diese

Momenten-Einheit nennt man, wie die Arbeitseinheit, Meterkilogramm; in ihrer Bedeutung aber ist sie von der Arbeitseinheit verschieden.

Für Momentengrössen wählen wir den deutschen Buchstaben SDi, weil der lateinische Buchstabe M für die Masse eines Körpers Vorbehalten werden muss.

Znsatz : Der Satz der Drehmomente ist aus dem Satze vom Parallelepiped der Kräfte hergeleitet. Da ein entsprechender Parallelepiped-Satz auch von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen gilt (S. 22 u. 25), so ist der Satz der Drehmomente nicht nur für Kräfte, sondern auch für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen gültig.

Nunmehr kann die Lage der Mittelkraft В von zwei in der Zeichenebene liegenden Kräften auch gefunden werden, wenn der Schnittpunkt C in Fig. 97, S. 97, nicht benutzbar ist.

Fig. 102.

A"\

JA;/

Man ermittelt zunächst (Fig. 102) Grösse, Richtung und Sinn von 72, indem man an beliebiger Stelle, z. B. in einer Hülfsfigur aus Kx und Ko einen Kräftezug bildet, dessen Schlussseite = 72. Sodann wählt man eine beliebige Achse O, rechtwinklig zur Zeichenebene, oder, was gleichbedeutend ist, einen Drehpunkt О in derselben, ermittelt die rechtwinklig gemessenen Hebelarme lx und U der Kräfte und bedenkt, dass

Bl — Ky Zj + Kol₂ sein muss.

72 muss dann an dem

In der Figur haben Kx und K₂ beide den Drehsinn rechts herum, weshalb ihre Momente positiv angesetzt wurden. Hebelarm

_ h + KoU

72

Legt man daher durch О eine

ebenfalls rechts herum drehen.

Rechtwinklige zur Schlussseite 72 des Kräftezuges und trägt auf ihr die Länge l = О P ab, so muss die endgültige Lage von 72 durch P gehen, denn es dreht dann 72 an dem Arm OP, u zw. rechts herum, wie erforderlich war. Da man aber О ganz beliebig wählen kann, so wird man ihm eine solche Lage geben, dass die Bestimmung

der Lage von R möglichst einfach wird. Man wähle (Fig. 103) irgend einen Punkt der Richtungslinie von K₂, z. В. В zum Drehpunkte, dann hat K₂ den Hebelarm l₂ = 0, und es wird

Fig. 103.

Ki h

= BP,

Ki

l\ p

womit die Lage von R bestimmt ist.

Beispiel : Kl — 20 kg ; K, = 30 kg (dargestellt durch 2 bezw. 3 cm ) ; sie schneiden sich unter dem Winkel et = 30°; lx— l,s«n = 0,oi6m.

Dann wird В = l'lOO + 900 -f- 2 • 20 • 30-T,866 = 10 1^23,4 = 48,4 kg. I — 20 • 0,oi5 : 48,4 = 0,oo62

6,2

тшп

4. Zusammensetzung paralleler Kräfte.

Wirken an einem Körper zwei Parallelkräfte Kx und K2 gleichen Sinnes (Fig. 104), so kann man deren Angriffspunkte А und В so wählen, dass AB rechtwinklig zu den Kräften ist. Man würde sehr leicht zur Mittelkraft R gelangen, wenn man das vorstehend benutzte Verfahren, welches für Kräfte mit einem in der Endlichkeit liegenden Schnittpunkte gültig war, ohne Weiteres auf Kräfte mit einen unendlich fernen Schnittpunkt anwenden wollte.

Doch erscheint es gerathen, die Richtigkeit dieser Erweiterung nachzuweisen. Daher führen wir in A und В zwei gleiche entgegengesetzte Kräfte Q hinzu, wodurch an der Wirkung der Kräfte Kx und Щ nichts geändert wird. Die Kräfte im Punkt A lassen sich nun zu P,

Fig. 104.

:_AV <!

ii¹' -------“kr

\ te;t

lk

oO

afa

diejenigen im Punkt В zu P, vereinigen. Px und P₂ aber schneiden sich in G und können hier zu einer Mittelkraft R vereinigt werden* welche dann zugleich die gesuchte Mittelkraft von Kx und K₂ sein muss.

Die Grösse und Richtung von R erkennt man leicht, wenn man mit Px und P₂ auch die in A und В gezeichneten Kräfterechtecke an den Punkt G verschiebt, d. h. mittels derselben P, in K\ und Q, P₂ in K₂ und Q zerlegt, • dann heben sich Q und Q wieder aüf, und es bleiben in G wirksam Kx und K₂, welche durch

R = Ky + К₂ ersetzt werden. Es ist also die Mittelkraft zweier Parallelkräfte gleichen Sinnes gleich der Summe beider, mit ihnen parallel und gleichen Sinnes. Ihre Lage könnte man leicht aus Fig. 104 ermitteln, doch lässt sich zeigen, dass der Satz der Drehmomente auch für Kräfte mit unendlich fernem Schnittpunkte gilt. Wählt man nämlich in Fig. 104 einen beliebigen Drehpunkt O, nennt die Hebelarme von

R bezw.

о?- гС

Kx K₂ }\

I,

Ту Te) Tq

so ist für die im Punkt A sich schneidenden Kräfte

Py T?i = Ky ly — Qlb (Q dreht links), ebenso für die im Punkte В sich schneidenden Kräfte

P₂ Z₄ == K₂ T₂ + Q Tb, also durch Zusammenzählen :

Pyh + P₂h = Kyly + K₂l₂.

Für die in C sich schneidenden Kräfte Px, P₂ und ihre Mittelkraft R gilt aber

R l = P{13 4- P₂T ₄ = Ky Ту + K.₂1₂, d. h. das Moment der Mittelkraft R = der Momentensumme von

Würde in derselben Ebene noch eine Kraft K₃ hinzu-

Ky und K₂.

treten, so könnte man in gleicher Weise diese mit dem gefundenen

R verbinden, und man erkennt leicht, dass bei beliebig vielen Parallelkräften gleichen Sinnes in derselben Ebene

R = und II 2’К und Rl = 2KT

sein muss.

Legt man den Drehpunkt 0 auf die Richtungslinie von R (Fig. 105), so ist deren Hebelarm Null, und es wird

Fig. 105.

\w

О = Ky Ту —= K₂ T₂, mithin Ty’.l₂ — -K"₂ ! Ky,

d. h. die Abstände der Mittelkraft von den beiden Einzelkräften verhalten sich umgekehrt wie die Kräfte selbst, gleichen Kräften liegt die Mittelkraft in deren Mitte, bei ungleichen Kräften aber der grösseren Kraft näher. Man kann auch schreiben:

ly:(ly + h) = K₂:(Ky + K₂).

2)

Bei

—Ц----->;

tF==1

£-------

w о

Beispiel : Kx — 30 kg, К, = 20 kg in der Entfernung lx -(-    = 2,5 cm.

Dann hat man diese 2,5 cm jn dem Verhältnisse 20:30 zu theilen, d. h. man theilt Z, -f" Z., in 5 gleiche Theile, dann ist lx = ²/ъ (lx 4- G) — 1 cnS h = 1,8 cm •

Die Mittelkraft R, welche Кл und K₂ völlig ersetzt, kann durch eine entgegengesetzte Kraft W — В aufgehoben werden; W hebt dann zugleich Kx und K₂ auf, und der Körper verhält sich gerade so, als ob auf ihn gar keine Kräfte wirkten. In Fig. 105 wird die Kraft W durch den Gegendruck einer Schneide ausgeübt, deren Abstände lx und lvon den Kräften Kx und K2 (angehängten Gewichten) genau in dem Verhältnisse K₂ : Kx stehen müssen, damit der Körper auf der Schneide ruhen kann (Der Körper ist selbst als gewichtlos angesehen.)

Fig. 10G.

Kt

Są

___0_

.13 hK*

A>

Fig. 107.

K₂J\20

4ß

=rä'

Sind zwei Parallelkräf'te Kx und K₂ entgegengesetzten Sinnes zusammenzusetzen (Fig. 106), so fügt man wieder 2 sich auf hebende Kräfte Q in den Punkten A und В der Winkelrechten AB hinzu, vereinigt Kx und Q, in A zu Px, ebenso K₂ und Q in В zu P₂, zerlegt Px und P₂ im Schnittpunkte C wieder in Kx und Q bezw. in K₂ und Q, so dass dort die beiden Q sich auf-heben und ersetzt Ä", und K₂ in G durch die Mittelkraft R = Щ - K,, welche || Kx und mit der grösseren von beiden gleichen Sinnes ist, in Fig. 106 also mit Kx. Der Satz der Momente für den Punkt C ergiebt dann 0 = — Kxlx-\- K₂l₂ oder wiederum lx:l₂ = K₂ : Kx. Der Figur zufolge liegt R in diesem Falle nicht zwischen den Kräften, sondern ausserhalb derselben und auch jetzt wieder näher an der grösseren, d. h. auf der Seite der grösseren Kraft. Nennt man jetzt den Abstand der gegebenen Kräfte l (Fig. 107), so wird l₂ = I 4- lu und man erhält: lx : l 4- l\ n =    : K, oder

\-*—

j<r------------ig-----------

Figur 107 zeigt ein Beispiel, wie zwei    |C

Kräfte Kx und K₂ durch eine Kraft R ersetzt werden können. Das Entgegengesetzte von R würde Kx und K₂ aufheben, d. h. hält man den Punkt C fest, so wird der Körper durch Kx und K₂ nicht in Bewegung gesetzt.

Denkt man sich, Kx sei ursprünglich grösser als K₂ gewesen, nähme aber ab und nähere sich mehr und mehr K₂, während K2 unverändert bleibt, so wird die Mittelkraft R kleiner und kleiner, während zugleich lx sich fortgesetzt vergrössert. Im Grenzfalle, für KX = K₂ wird R = 0 und lx = oo. Die Zusammensetzung zweier gleichen Parallelkräfte entgegengesetzten Sinnes führt also auf eine Mittelkraft von der Grösse Null, die aber in unendlicher Ferne liegt. Eine in der Endlichkeit liegende Kraft von der Grösse Null hat keine Einwirkung auf die Bewegung des Körpers. Die jetzt erhaltene Kraft Null in unendlicher Ferne aber hat eine Wirkung, weil ihr in Bezug auf einen Drehpunkt am Körper ein unendlich grosser Hebelarm zugehört, so dass ihr Moment zunächst in der unbestimmten Form O-oo erscheint, wofür wir aber sehr bald einen bestimmten endlichen Werth erhalten werden. Dieses eigenartigen Ergebnisses halber verzichtet man auf die Zusammensetzung zweier solchen Kräfte, nennt sie ein Kräftepaar und führt sie als eine besondere Bewegungs-Ursache in die Mechanik ein.

Fig. 108.

U-.

(o'

nr

Wählt man in der Ebene des Kräftepaares einen beliebigen Drehpunkt О (Fig. 108) im Abstand !л von einer der Kräfte K, so ist die Summe der Momente der beiden Kräfte Ш = — Klx + К(/, 4-1) = Kl,

d. h. äft ist von lx, also von der Lage des Drehpunktes O, unabhängig. Wahrend bei sonstigen Kräften stets die Achse genannt werden muss, wenn die Momente eine bestimmte Bedeutung haben sollen, ist dies bei einem Kräftepaare nicht erforderlich. In Bezug auf jeden Drehpunkt in der Kräfteebene ergiebt sich das gleiche Moment Kl, man nennt daher 1 den Arm und Kl schlechtweg das Moment des Kräftepaares. Den Drehungssinn erkennt man am einfachsten, wenn man einen Punkt A der einen Kraft als Drehpunkt ansieht.

Der wesentliche Unterschied zwischen der Wirkung eines Kräftepaares und der Wirkung anderer Parallelkräfte besteht darin, dass ein Kräftepaar, weil es keine in der Endlichkeit liegende Mittelkraft hat, auch durch keine in der Endlichkeit liegende Kraft W— — R, etwa durch Festhalten eines Punktes C, aufgehoben werden kann, ln Fig. 108 mag man den Drehpunkt 0 wählen, wie man will, immer wird das Kräftepaar den Körper mit dem Momente Kl rechts herum in Drehung setzen, während in den Figuren 10."> und 107 Punkte O bezw. C gefunden werden konnten, deren Befestigung die Drehwirkung der gegebenen Kräfte A, und K> vernichtet.

Zwei in derselben Ebene wirkende Kräftepaare von gleichen Momenten und entgegengesetztem Sinne heben sich auf.

Fig. HO.

5. Zusammensetzung von Kräftepaaren.

Sind in einer Ebene zwei Kräftepaare von den Momenten Kl und —Pa gegeben (Fig. 109), so kann man die im Punkt A sich schneidenden Kräfte К und P durch eine Mittelkraft R ersetzen und ebenso die anderen beiden, welche sich in В schneiden.

Die beiden Kräfte R sind gleich und entgegengesetzt, bilden daher im Allgemeinen ein Kräftepaar vom Moment Rr. Wendet man den Satz der Drehmomente auf die in A sich schneidenden Kräfte an, bezogen auf В als Drehpunkt, sowird_Kr=in— Pa.

Die beiden gegebenen Kräftepaare von entgegengesetztem Sinne lassen sich hiernach durch ein einziges Kräftepaar ersetzen, dessen Moment gleich dem Unterschiede der Momente der gegebenen Kräftepaare ist und dessen Sinn mit dem des stärkeren Kräftepaares übereinstimmt. Für Kl — Pa entsteht Rr — 0, d. h. r — 0. Die Kräfte R fallen dann in dieselbe Gerade und heben sich auf. Daraus folgt der Satz :

Fig. 109.

-1'Г'

fR

K.

I,

Ki

Ist nun ein Kräftepaar Kl gegeben (Fig. 110), so kann man in derselben Ebene an einem beliebigen Punkt A zwei gleiche entgegengesetzte Kräfte P hinzufügen, ebenso im Punkte B. Wählt man die Lage der Punkte A und В so, dass Pa = Kl ist, so hebt das Kräftepaar Pa mit negativem Drehsinne das gegebene Kl auf, und es bleibt ein Kräftepaar Pa = Kl mit positivem Drehsinn übrig, welches mit dem gegebenen Kl gleichwerthig ist, und man hat den Satz:

Zwei in derselben Ebene wirkende Kräftepaare von gleichen Momenten und gleichem Drehsinne haben gleiche Wir к u n g.

Hiernach ist die Wirkung eines Kräftepaares gar nicht von der Grösse der Kräfte K, von ihrer Richtung und Lage, sondern nur von dem Momente, dem Drehsinne und der Wirkungsebene abhängig; ein Kräftepaar in einer bestimmten Ebene ist daher durch einen Drehungspfeil f und die Momentengrösse genügend gekennzeichnet. Sind nun in der Zeichenebene mehrere Kräftepaare gegeben, etwa 3}?! und 3X₂ von positivem, 3JL von negativem Sinne (Fig. 111), so kann man sie zu einem einzigen Paare vereinigen ; hierzu wählt man einen Arm l = AB, macht Kx =    und stellt durch zwei

Fig. 111. Kz

-¹?-

щ

R und R

Kräfte Kx dar, die an den Punkten A und В angreifen. An denselben Punkten und mit denselben Richtungen kann man zwei Kräfte K₂ = äJi'₂ : l anbringen als Darstellung von 3}?₂, ebenso zwei Kräfte Кг = 9J?3 : l mit entgegengesetzten Richtungen. In А kann man die drei Kräfte Kx, K₂ und Kx zu einer Mittelkraft R = Kx + K₂— Kz zusammensetzen, ebenso an B. bilden ein Kräftspaar von dem Moment

= bi = kxi + k₂i—к₃1 = ш₁ + m.₂ — 3)?

woraus sich ergiebt:

Mehrere in derselben Ebene wirkende Kräftepaare können zu einem einzigen Paar in derselben Ebene zusammengesetzt werden, dessen Moment gleich der algebraischen Summe der Einzelmomente ist.

Fig. 112.

A ic

War = 12mkg. = 24 Шц = — *20 und wählt man 1=1 so wird Kx — 12 bg; üCj = 24bg-, Kz= — 20 kg, mithin _R = 12 -j- 24 — 20 = 16 H und das daraus entstehende Kräftepaar ÜJl=16mkg.

fl

/8

10

N.

Sind an einem Holzklotze (Fig. 112) die vorstehenden Griffe A und В in 0,i6 m Entfernung angebracht, ebenso C und D in 0,2 ® Abstand, und übt man an A und В mit den Händen die Kräfte 10 kg aus, also das Moment 10 • 0,i6 = 1,6 mkg, so kann man ganz dieselbe Wirkung erreichen, wenn man an G und 1) ein Kräftepaar, bestehend aus zwei Kräften von 8 kg, angreifen lässt. Das zweite Kräftepaar würde, in entgegengesetzter Richtung angebracht, die Wirkung des ersteren völlig aufheben, so dass der Körper sich so verhalten würde, als ob die Kräftepaare, gar nicht vorhanden wären. In diesen Beziehungen wird nichts

geändert, wenn man dem Klotze etwa eine feste Drehachse, rechtwinklig zur Bildebene, giebt. Wo die Achse auch liegen mag, — gleichwerthige Kräftepaare werden um diese Achse stets dasselbe Drehungsbestreben haben, während gleiche entgegengesetzte Kräftepaare sich stets gegenseitig tilgen werden.

Fig. 113.

Щ h2K

A'A

Auch in eine Parallelebene kann man ein Kräftepaar verschieben, ohne in der Wirkung etwas zu ändern. An einem starren Parallelepiped (Fig. 113) seien die in den Punkten A und В der rechtsseitigen Stirnebene angreifenden Kräfte К gegeben, welche ein Paar bilden.

In den Punkten C und D der links-

1.....*

чс

/ *A'

seitigen Stirnebene, welche mit A und В ein Rechteck bilden, füge man je 2 gleiche, aber entgegengesetzte Kräfte К hinzu, dann haben die jetzt vorhandenen 6 Kräfte die gleiche Wirkung, wie die K beiden gegebenen. Die beiden Diagonalen des Rechtecks AB CD halbiren sich gegenseitig in E. Die in A und C angreifenden aufwärts gerichteten Kräfte К kann man durch ihre Mittelkraft 2 К im Punkt E ersetzen, ebenso die beiden in В und D angreifenden abwärts gerichteten. Da nun die beiden durch E gehenden Kräfte 2 К sich auf heben, so bleiben nur noch die in der linksseitigen Stirnebene, bei D aufwärts, bei C abwärts wirkenden Kräfte übrig, welche dem gegebenen Kräftepaare gleichwerthig sind.

Hat ein Körper 2 Arme AB und CD (Fig. 114), so ist es für

Fig. 114.

die Bewegung von gleicher Wirkung, ob man mit den Händen in A und В oder in C und D angreift.

Diese Betrachtung führt dann mit den früheren Sätzen zu dem Ergebnisse:

\JD

UZ?

Kräftepaare mit parallelen Drehungs-Ebenen können durch ein einziges Paar ersetzt werden, dessen Moment gleich der algebraischen Summe der Momente der gegebenen Paare ist und zu dessen Drehungsebene irgend eine den gegebenen parallele Ebene gewählt wird.

Hiernach gehört eine bestimmte Drehungsebene gar nicht zu den kennzeichnenden Eigenschaften eines Kräftepaares, sondern die

K i ch tun g seiner Drehungsebene. Zwei andere Merkmale sind die Grösse des Momentes und der Drehungssinn. Diese drei lassen sich geometrisch mittels einer einzigen Geraden darstellen. Man errichtet eine Rechtwinklige zu der gegebenen Drehungsebene und bezeichnet sie als Achse des Kräftepaares. Jede zur Achse rechtwinklige Ebene kann dann zur Drehungsebene gewählt werden.

Die Grösse des Momentes lässt sich nach irgend einem Mafsstab als Länge auf der Achse abtragen (Fig. 115). Diese Länge werde von der Ebene aus auf der Achse in solchem

Fig. 115.

-ter

Sinn aufgetragen, dass wenn man von dem Endpunkt auf die Ebene blickt, der Drehsinn als rechtsherum erscheint.

Der Endpunkt aber lässt sich kennzeichnen, indem man auf der Achse eine nach dem Endpunkte weisende Pfeilspitze anbringt. Das bei A wirkende Kräftepaar (Fig. 115) erscheint, von oben betrachtet, rechts drehend, von der Unterseite der Ebene aber erblickt man das Spiegelbild mit der Drehung links herum (ebenso wie das Spiegelbild einer Uhr oder eine Uhr mit durchscheinendem Zifferblatte, von der Rückseite betrachtet, eine Linksdrehung der Zeiger erkennen lässt). Daher muss der Endpunkt В der Achse AB oberhalb A liegen, durch eine aufwärts weisende Pfeilspitze also В als Endpunkt gekennzeichnet werden, während es für das bei C wirkende Paar gerade umgekehrt ist. Diese mit bestimmten Pfeilrichtungen versehenen Linien AB und CD nennt man die Achsenstrecken der betr. Kräftepaare. Es lässt sich nun weiter zeigen, dass die Zusammensetzung von Kräftepaaren auch in sich schneidenden Ebenen mit Hülfe ihrer Achsenstrecken nach denselben Regeln wie die Zusammensetzung von Einzelkräften erfolgen kann. Dabei bietet sich noch die Erleichterung, dass, während eine Einzelkraft eine bestimmte Lage hat, die Achsenstrecke an irgend einem Punkte der Drehungsebene errichtet werden konnte, sich also auch beliebig parallel verschieben lässt.

Es seien nun in zwei sich in der Geraden AB unter dem Winkel а schneidenden Ebenen El und E₂ (Fig. 116) die Kräftepaare und ЗЯ2 mit den durch die Drehungspfeile bezeichneten Drehungssinnen gegeben. Man führe sie beide auf den Arm AB — l zurück, so dass КЛ = äftj ;

=    . Ebenso ist CD =

In A kann man Kx und K₂ zur Mittelkraft R zu-

K₂i = m,.

sammensetzen, welche mit Kx den Winkel cp bildet. In В erscheint

dann die gdeiehe entgegengesetzte Parallelkraft R, und man hat an Stelle der beiden gegebenen Paare ein einziges mit dem Moment RL Wendet man aber auf die Achsenstrecken der Kräftepaare die Lehre von der Zusammensetzung der Kräfte an, so gelangt man zu dem gleichen Ergebnisse.

Eine Grundrissebene

Fig. 116.

möge die Ebenen Ex und E₂ rechtwinklig schneiden, dann schliessen die Spuren sx und s₂ der Ebenen denWinkel а ein. Zeichnet man nun die Achsenstrecke des Paares äli,, so wird diese gemäss dem früheren von G nach E

f\

So

S,

Г

/»V,

el

a!

<pj

<p

Щ\

gerichtet sein müssen; man mache GE die Achse des zweiten Paares. Behandelt man GE — und СЕ>=Ш₂

wie zwei Einzelkräfte, zeichnet aus ihnen ein Parallelogramm mit G F als Mittelkraft, so ist dieses Parallelogramm ähnlich dem aus Kx und K2 gezeichneten; seine Seiten haben die lfache Länge des letzteren und stehen zu ihnen rechtwinklig. Daher ist auch G F *= RI, d. h. gleich dem Momente des resultirenden Kräftepaares und^gteht rechtwinklig auf der Ebene desselben. Von F aus betrachtet erscheint das Paar RI rechts drehend ; mithin hat G F alle Eigenschaften der Achsenstrecke des resultirenden Paares 9JÎ, und eine Ebene mit der Spur s₃, rechtwinklig zu GF, würde als Wirkungsebene von ЭД? gewählt werden können.

Da das Gesetz vom Parallelogramm der Kräfte unmittelbar zum Parallelepiped - Gesetze führte, so muss letzteres auch für Kräftepaar-Achsen gelten. Danach sind auch die zur Zusammensetzung von Kräften an einem Punkt auf S. 40 angegebenen Verfahren unmittelbar auf solche Achsen zu übertragen. Oder:

Kräftepaare in beliebigen Ebenen lassen sich wie Kräfte, die an einem Punkt, angreifen, mit Hülfe ihrer

Achsenstrecken zusammensetzen, indem man letztere parallel an einen gemeinsamen Schnittpunkt verschiebt und wie Einzelkräfte behandelt.

Parallelverscliiebung einer Kraft. Greift in einem Punkt A eine Kraft K an (Fig. 117), so kann man zwei gleiche entgegengesetzte К in В hinzufügen; von den drei Kräften bilden nun die ursprünglich gegebene und die entgegengesetzt hinzugefügte ein Kräftepaar SO? = Kl, und ausserdem bleibt eine mit der gegebenen gleich-gesinnte Kraft К übrig, welche um l gegen die ursprüngliche Lage verschoben ist. Die Parallelverschiebung einer Kraft К um die Entfernung l bedingt also die Hinzufügung eines Paares Kl.

Sind aber in einer Ebene eines starren Körpers eine Einzelkraft К in A mit dem Sinn aufwärts und ein Kräftepaar SD? gegeben (Fig. 118), so bringe man SD? auf die Form SD? = Kl, lege die eine Kraft К des Paares so durch A, dass sie mit der gegebenen entgegengesetzten Sinn hat, sich also damit aufhebt, und die andere in den Abstand А В = l = 9JI : K; / dann bleibt letztere, durch В gehende Kraft К k'j allein übrig.    \

Ein Kräftepaar SD? setzt sich also in derselben Ebene mit einer Einzelkraft К zusammen zu einer Kraft K, welche um I = SD? : К gegen die gegebene Kraft К verschoben ist.

Fig. 117.

|А>"

Fig. 118.

И. *

|/v

ÿK

6. Zusammensetzung von Kräften im Raume mit verschiedenen Angriffspunkten.

Greifen an einem starren Körper beliebige Kräfte Kx ... Kn an (Fig. 119), von denen der Einfachheit wegen nur Kx und Kn gezeichnet werden sollen, so wähle man zum Zwecke möglichster Vereinigung derselben einen beliebigen Punkt A und füge in diesem zwei gleiche entgegengesetzte Kräfte Ky hinzu; dann bilden die gegebene Kx und die entgegengesetzt hinzugefügtç ein Kräftepaar, dessen Drehungsebene durch Kx in Px und den Punkt A gegeben ist, und dessen Hebelarm lx der rechtwinklige Abstand der in P,

wirkenden Kraft Kx vom Punkt A ist. Dieses Paar lässt sich durch seine Achsenstrecke 90^ darstellen, welche wir durch A legen können. Ebenso verfährt man mit allen übrigen gegebenen Kräften, zuletzt mit Kn. Dann erhält man statt der gegebenen, am Körper zerstreut angreifenden n Kräfte: n Kräfte, deren Richtung, Grösse und Sinn mit den gegebenen übereinstimmen, welche aber sämmtlich in dem gemeinsamen Schnittpunkt A angreifen, und ebenso viele Kräftepaar-Achsenstrecken, die man sämmtlich von A ausgehen lassen kann. Die Einzelkräfte К lassen sich wie auf S. 40 zusammensetzen. Sind ctj, a₂ . .. clu die Neigungswinkel der gegebenen Kräfte gegen die positive ж-Richtung, ßx, ß.₂ ... ßn und yx, y₂ ... yn diejenigen gegen die ^/-Richtung, bezw. ^-Richtung, so ergiebt sich in der Linie AX eine Kraft X= 2 Ж cos a,

„ Y=2Kcosß,

„ Z = 2 К cos у,

Fig. 119.

Z fKn

iii

г К,

1)

2)

3)

in А У „ in A Z „

welche sich zu

4)

R—VX² + Y²-f Z²

mit den Richtungs-Kosinussen

cos a = X : R ; cos ß — Y :R ; cos y — Z:R

5)

zusammensetzen.

Sind die Richtungswinkel der Kräftepaar - Achsen bezw. <3j, fj, rji ... ön, en, rjn. so ergiebt sich

in AX eine Achse 9)?* = 2'    cos <3,

„    = 2’    cos s,

„    9J?. = 2 ЭД? cos r\,

« 2P «

»AZ „

welche sich zu einer resultirenden Achsenstrecke

6)

SB! = V SB!,² + SB!,² + SD!*²

mit den Richtungs - Kosinussen

cos ô = $Ш.Г : 3R ; cos £ = 9RV :    ; cos rj =    : 5Ш

zusammensetzen. Somit haben wir die beliebigen Kräfte zurückgeführt

7)

auf eine resultirende, durch A gehende Einzelkraft R und ein resultirendes Kräftepaar vom Momente

Die Kraft R ist aus den gegebenen Einzelkräften К völlig bestimmt; die Achsenstrecke ЭД? ist aber noch nicht auf unmittelbar gegebene Grössen zurückgeführt. Es soll daher der Beitrag einer der gegebenen Kräfte, etwa Kx, zu der Achsenstrecke 9Д* näher bestimmt werden.

Fig. 120.

1£

vj

■    cosKj

ft

? ^ * b?

VN

ein

welches

-----i

xi

Der Angriffspunkt II von Kx (Fig. 120) habe die Koordinaten xx , yx, zx, aus denen wir ein rechtwinkliges Parallelepiped zeichnen. Zerlegen wir Kx in seine drei rechtwinkligen Seitenkräfte und bringen auch in A dieselben Kräfte entgegengesetzten Sinnes an, so bilden die beiden Kräfte Kx cos yx Paar,

/I

/si

Kj cosy

Zur

in einer Diagonalebene ACHE wirkt.

Vereinfachung fügen wir im Punkte В noch zwei solche sich aufhebende Kräfte hinzu; die in A abwärts, und die in В aufwärts wirkende Kraft bilden ein in der xz-Ebene wirkendes Paar, dessen Achse in A Y fällt, mithin zu 9)^ keinen Beitrag liefert. Die in H aufwärts, in В abwärts wirkenden Kx cos/! liegen aber in der Seitenebene B CH F, haben, von rechts aus betrachtet, positiven Drehsinn, so dass ihre Achsenstrecke in der Grösse Kx cos yx yl auf der AX aufzutragen ist.

Auch zu den beiden Kx cos ßx fügen wir in В und C noch zwei sich aufhebende hinzu. Die eine hiervon bildet mit der in А angreifenden ein Kräftepaar in der Ebene AB CI), dessen Achse in die AZ fallt, also zu keinen Beitrag liefert; die in H und В angreifenden aber bilden mit dem Abstande zx ein Kräftepaar, dessen Drehsinn von rechts betrachtet negativ ist, dessen Beitrag zu also ebenfalls negativ sein muss, nämlich —Kxcosßxzx.

Die beiden in A und H angreifenden Kräfte Kx cos a liefern zu 9)?* keinen Beitrag, denn ihre Wirkungsebene ist die Diagonalebene

Keck, Mechanik I.

A GH В, so dass die Achse in der ?/2-Ebene, mithin rechtwinklig zu А X liegt.

Der gesammte Beitrag der Kraft Kv zu ИШ* ist also

Ky COS у у У у — Ку COS ßy Zy .

Die Beiträge der übrigen Kräfte ergeben sich in entsprechender Form, so dass im Ganzen

8)

9)

10)

SJlje = 2 К cos у у — Z-Kcosßz wird, ln gleicher Weise erhält man für die anderen Richtungen Ш,, — 2 К cos öl z — 2 üC cos уж und 9Л* = 2 К cos ß X — 2 К cos ос у.

Hiermit ist die Aufgabe der Zusammensetzung der Kräfte gelöst.

Fig. 121.

SD?*, und bedeuteten die Achsenstrecken von Kräftepaaren; es lässt sich die Bedeutung derselben aber noch einfacher ausdrücken. Zu dem Zwecke wollen wir das Drehmoment der Kraft Ky in Bezug auf die Achse AX ermitteln. Wir können für dasselbe nach dem Satze der Momente (S. 100) die Summe der Momente der in H angreifenden Einzelkräfte Ky cos у у, Ky cos ßx und Ky cos at setzen. Die Seitenkraft Ky cos у у (Fig. 121) kreuzt die AX rechtwinklig in einem Abstand yx, hat daher das Moment Kx cos ухуу, und zwar, von rechts gesehen, positiv drehend;

3E i

Ky cos ßy kreuzt die А X rechtwinklig in einem Abstande zx, und zwar, von rechts gesehen, negativ drehend, hat daher das Moment — Ky cos ßy Zy ; Ky cos ax aber ist mit AX parallel, hat also (nach S. 100) in Bezug auf AX kein Moment. Das Moment der ursprünglich gegebenen Kraft Ky in Bezug auf AX ist demnach Ky cos у у у у—Ky cos ßy zx, stimmt also mit dem Beitrage der Kraft Ky zu der Achsenstrecke 2JL überein. Hiernach können die Kräftepaar-Achsenstrecken ЭД?*, Ш„ und gedeutet werden als die Momenten-summen der ursprünglich gegebenen Kräfte К in Bezug auf die Achsen AX, A Y und AZ.

Führt die Zusammensetzung einer zweiten an einem starren Körper etwa angreifenden Kräftegruppe unter Benutzung desselben Koordinaten-Ursprunges A auf dieselbe Einzelkraft R und dasselbe Kräftepaars-Moment wie die Zusammensetzung der ersten Kräftegruppe, so sind beide Kräftegruppen einander gleichwertig, also mit einander zu vertauschen; sie bringen die gleiche Bewegungswirkung an dem starren Körper hervor.

Aus dem Vorstehenden ergeben sich als Bedingungen für die Gleichwerthigkeit zweier Kräftegruppen, dass in Bezug auf ein beliebiges rechtwinkliges Achsenkreuz

1)    die algebraische Summe der bei rechtwinkliger Zerlegung parallel zu jeder Achsenrichtung fallenden Seitenkräfte für beide Kräftegruppen die gleiche ist, und dass zugleich

2)    die algebraische Summe der Momente der Kräfte in Bezug auf jede der Achsen für beide Kräftegruppen denselben Werth ergiebt.

7. Centralachse einer Kräftegruppe.

Die Zusammensetzung einer beliebigen räumlichen Kräftegruppe hat (S. 112) auf R und 9J? geführt. R ist einfach die Mittelkraft, die sich bei Parallelverschiebung aller Kräfte an einen Punkt ergab, mithin unabhängig von der Wahl des beliebig angenommenen Punktes A. ЭД? dagegen (S. 112 u. 114) ist von den Koordinaten der Angriffspunkte der Kräfte in Bezug auf ein durch A gelegtes Achsenkreuz abhängig, wird daher mit einer Verschiebung des Sammelpunktes A sich ändern. Hat man für einen angenommenen Sammelpunkt A die Mittelkraft R gefunden, so wird eine Verschiebung von A auf der Richtungslinie von R keine Änderung von 5Ш zur Folge haben, weil man ja jeden Punkt dieser Richtungslinie als Angriffspunkt von R behandeln kann. Verschiebt man aber A nach einer ausserhalb R gelegenen Stelle, entsprechend einer Parallelverschiebung von R selbst, so muss das zugehörige Achsenmoment eine Änderung erfahren.

Um diese Veränderung möglichst einfach zu übersehen, wählen wir die Richtungslinie der im Punkt A erhaltenen Kraft R zur z-Achse (Fig. 122) und legen durch В und die zugehörige von А aus gezogene Momentenachse eine ,rz-Ebene. ÜJi bilde mit В den Winkel A. Will man nun die durch А gehende Kraft В mit einer gleichen Kraft В vertauschen, welche die жу-Ebene in einem Punkte P mit dem Abstand А P = r schneidet, so bringe man in P zunächst zwei sich aufhebende Kräfte В und — В an.

Fig. 122.

kB

/,

Dann bilden В in A und —В in P ein Kräftepaar, dessen Achsenstrecke Br in der ,r?/-Ebene liegt und von A Y um den Winkel a nach links abweicht, wenn A P mit A X den Winkel a bildet. Diese Achsenstrecke Br muss nun mit 9H zusammengesetzt werden. Zu dem Zwecke zerlegen wir 9J? und Br nach den drei Achsen und erhalten

in der ж - Achse : SR sin А — В r sin а, in der у - Achse : B r cos а, in d er z- Achse : 9R cos А.

Aus diesen Einzelmomenten entsteht dann das neue Gesammtmoment

= V(9ft sin A — Br sin а)² -I- (Br cos а)² + ($Щ cos А)².

Sftcosx. Es ist aber eine solche Verschiebung

Hiernach ist 9F

von В, d. h. eine solche Wahl des Punktes P möglich, dass а = 90 ^ und zugleich i^rsinа = 9JÎsini wird. Dann fallen in der letzten Gleichung die von r und a abhängigen Summanden fort, und es wird einfach

== cos A.

Weil nun allgemein SDÎj ^ 3)? cos A war, bei der angegebenen Wahl von r und а aber SOÎ^âtëcosi wird, so ist unter diesen Umständen das sich ergebende Achsenmoment so klein wie möglich; und weil gleichbedeutend ist mit dem in die z-Achse fallenden Momente, während die in А X und A Y fallenden Momente aufgehoben werden, so ist 9}?! nunmehr parallel der AZ, fällt also mit der Richtung von В zusammen, а = 90° bedeutet, dass P, der Punkt der neuen Lage von B, auf A Y liegen muss, in einem

Punkte A₀ (Fig. 123), und zwar muss wegen Rr sin a =±* 9)? sin A, die Parallelverschiebung der Kraft R, nämlich der Abstand AAq = г = Ш sin А : R sein. Die durch A₀ gelegte Richtungslinie von R heisst die Centralachse der gegebenen Kräftegruppe. Das Ergebnis dieser Untersuchung fassen wir noch wie folgt zusammen:

Fig. 123. дл /Ш

X/

Eine an einem starren Körper    £

wirkende Kräftegruppe lässt sich auf ! у/ unendlich viele Arten zu einer Mittel- \/ kraft R und einem Kräftepaar oder Л Achsenmoment zusammen fassen. Bei allen diesen Arten ist R nach Grösse, Richtung und Sinn dieselbe; nur ihre Lage ist verschieden; das Moment ist im Allgemeinen nach Grösse, Richtung und Sinn verschieden. Unter den verschiedenen Lagen von R giebt es eine, die Ceatralachse der Kräftegruppe, bei welcher das Achsenmoment so klein wie möglich wird und mit der Richtung von R zusammen fällt.

Fig. 124. Rt. "4 SH

C-!<*

IV

Steht die ursprünglich gefundene Momentenachse 3)2 rechtwinklig zu R, ist also л = 90°, so wird 9J?j = 3)2 cos я = О und r = 2)? : R ; d. h. in diesem Falle verschwindet das Achsenmoment und die gegebene Kräftegruppe hat sich auf eine Einzelkraft R zurückführen lassen. (Vergl. S. Ill, Fig. 118.)

-iP

^-гр-ув

Eine beliebige Kräftegruppe lässt sich auch stets auf zwei nicht in derselben Ebene liegende Kräfte zurückführen. Ist nämlich das Ergebnis der ersten Zusammenfassung etwa R und 3)2 im Punkt A (Fig. 124), so kann man 3)2 in die Faktoren P.r zerlegen, wobei man die eine Kraft P durch A legt, AB — r macht und —P durch В gehen lässt. P und R kann man nun zu Rx zusammensetzen, so dass Rx und — P der gegebenen Kräftegruppe gleichwerthig sind. Dabei war die Grösse P beliebig gewählt. Macht man aber P=Rsin л, so fällt die Kraft Rx in die Richtung von 3)2 und bekommt die Grösse R cos A (Fig; 125), während die durch В gelegte Kraft P — R sin A ist. Hiernach

ist die Zurückführung einer Kräftegruppe auf zwei im Raume sich rechtwinklig kreuzende Kräfte möglich.

Fig. 125.

\R cos A.

R sin\

Ji

Diese Kräfte, auf welche sich eine gegebene Kräftegruppe zurückführen lässt, welche mithin der Kräftegruppe gleich-werthig sind, entsprechen den auf S. 115 . entwickelten allgemeinen Bedingungen für die Gleichwerthigkeit von Kräftegruppen, haben also im Besonderen auch in Bezug auf irgend eine Achse die gleiche Momentensumme wie die gegebene Kräftegruppe.

8. Zeichnerische Zusammensetzung von Kräften in einer Ebene.

Haben die Kräfte einen gemeinsamen Schnittpunkt, so findet man ihre Mittelkraft nach Grösse, Richtung und Sinn mittels des Kraftecks nach S. 41. Sind die Kräfte aber in einer Ebene zerstreut, so kann man jede an einen beliebigen, gemeinsamen Punkt A der Ebene verschieben, wenn man nur gleichzeitig ein Kräftepaar in der Ebene hinzufügt. Man erhält dann durch Zusammensetzung eine Mittelkraft E und ein Moment Beide lassen sich ersetzen durch eine einzige Kraft E, welche aber gegen den Punkt A um die Länge l — Ш\Е parallel verschoben ist. Es wird also Grösse, Richtung und Sinn von E gerade so gefunden, wie bei Kräften mit gemeinsamem Schnittpunkte, d. h. mittels des Kraftecks, nur die Lage der Mittelkraft in der Ebene ist noch besonders zu bestimmen. Dies erfolgt in der Figur der gegebenen Richtungslinien der Kräfte.

In Fig. 126 sind links die Richtungslinien der Kräfte Kx bis Kb dargestellt; auf diesen die Kraftgrössen durch bestimmte Längen anzugeben, hat keinen Zweck, weil die Grössen der Kräfte im Krafteck AB CD JE F (der rechtsseitigen Figur) erscheinen. Die Lage der Mittelkraft ergiebt sich nun in folgender Weise: Ist L der Schnittpunkt der Richtungslinien von Кл und K₂, so muss durch diesen auch die Mittelkraft E₂ von Kt und K₂ hindurchgehen. Ihre Richtung ist durch die Diagonale AC des Kraftecks bestimmt; zieht man also eine Parallele zu dieser durch L, so hat man damit die Lage von E₂. Der Punkt M, in welehern E.₂ die

Richtungslinie von AT₃ schneidet, muss nun auch ein Punkt der Mittelkraft R₃ von R₂ und K₃ (also auch von Aj, K₂ und K₃) sein; zieht man daher MN II AD, so ist MN die wahre Richtungslinie von R₃. In derselben Weise legt man durch N eine Parallele zu AR bis zum

Fig. 126.

Rs

-ĄM

Schnittpunkt S mit der Kraft Kb und durch S endlich SQ || AF, so ist SQ die Richtungs- p linie der Mittelkraft Rb * der gegebenen 5 Kräfte.

Linienzug LMNSQ heisst das Seil eck (Seilpolygon) der gegebenen Kräfte, weil er, wie weiter unten gezeigt werden wird, die Gleichgewichtsform eines bei Q befestigten, biegsamen Seiles darstellt, an welchem die Kräfte Aj bis Kb in den Knotenpunkten L, M, N und S angreifen.

Es ist besonders zu beachten, dass in der Seileckfigur keine Kraftgrössen dargestellt sind, sondern nur Richtungslinien von Kräften. Die Grösse der Kräfte findet man im Krafteck\

Wie man im Krafteck nicht nur die Mittelkraft aller gegebenen Kräfte, sondern mit Hülfe der Diagonalen auch die Mittelkraft von jeder anderen Theilgruppe auf einander folgender Kräfte nach Grösse, Richtung und Sinn findet, so bestimmt das Seileek auch deren Lagen mittels der Schnittpunkte der Seileckseiten.

Ist LMNSQ (Fig. 126) ein zu den Kräften Kx bis Kb gezeichnetes Seileck (welches man sich durch Hinzufügung weiterer Kräfte noch beliebig fortgesetzt denken kann), so bedeutet irgend eine der Seiten die Richtungslinie der Mittelkraft aller vorausgehenden Kräfte. So ist z. B. R₂ (in LM liegend) mit Kx und K2 gleichwerthig, was wir schreiben R₂ = Kx, K₂. Ebenso ist irgend eine andere Mittelkraft, z. B. Rb (in SQ liegend) mit A, bis Aj gleichwerthig, d. h.

/ кй₃

Der

To

xN

\Ba

'-'nS

Rb — Kx, K₂, A₃, A₄, A-.

v*.

Ersetzt man auf der rechten Seite Kx und K₂ durch P₂, so entsteht D₃ = R₂, K₃, KA, Kb.

K₃, KA und K₅ sind drei im Kraft- und Seileck auf einander folgende Kräfte, die zwischen den Seiten LM und SQ liegen; bezeichnet man deren Mittelkraft (die im entsprechenden Krafteck leicht als die Diagonale CF nach Grösse, Richtung und Sinn zu finden ist) mit P, und ersetzt K₃, K₄ und Kb durch diese, so wird Rb = R₂, P. Wenn aber eine Kraft die Mittelkraft zweier anderen P₂ und P ist, so müssen alle 3 einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, und weil der Schnittpunkt T von R.₂ und P₅, d. h. der Schnittpunkt der Seiten LM und SQ gegeben ist, so muss auch die Mittelkraft P durch diesen Punkt T gehen; oder: Die Mittelkraft mehrerer im Seileck auf einander folgenden Kräfte geht durch den Schnittpunkt der diese Kräfte einschliessen-den Seilseiten.

Die erste Kraft Kx im Seileck kann man sich auch schon als Mittelkraft etwaiger vorausgehender Kräfte denken; es kann daher die Richtungslinie der ersten Kraft auch schon als eine Seite des Seilecks im Sinne des obigen Satzes aufgefasst werden. Die Mittelkraft von K₂ und K₃ muss hiernach z. B. durch den Schnittpunkt von Kx mit MN gehen.

Diese Eigenschaft der Schnittpunkte der Seileckseiten ist von besonderer Wichtigkeit für die Zusammensetzung von Kräften, welche so liegen, dass ihre Schnittpunkte für die Zeichnung nicht bequem oder überhaupt nicht benutzbar sind. In solchem Falle würde das auf S. 118/9 beschriebene Verfahren zur Zeichnung eines Seilecks, welches in dem Schnittpunkt L zweier Kräfte beginnt, nicht anwendbar sein. Diese Schwierigkeit kann man nun. aber umgehen, indem man der gegebenen Kräftegruppe Kx bis K₃ irgend eine beliebig gewählte Kraft T, welche Kx in einem passenden Punkte schneidet, vorausgehen lässt.

Sind also Kx, K₂, K₃ gegeben (Fig. 127), welche das Krafteck AB CD mit AD als Mittelkraft P₃ liefern, so wählt man, weil in der rechtsseitigen Lagenfigur der Kräfte ein bequemer Schnittpunkt irgend zweier der gegebenen Kräfte nicht vorliegt, auf Kx einen Punkt L und legt durch diesen eine Kraft T von beliebiger Grösse und Richtung, im Krafteck durch OA dargestellt. Es ist nun О der Anfangspunkt des gesammten Kräftezuges; die Mittelkraft von

T und Kx wird durch die Strecke OB dargestellt und muss durch //■hindurch gehen. Zieht man also LM || OB, so ist LM die auf 1 und 'Kx folgende Seileckseite. Ebenso zieht man MN\\OG, NP\\OD. Die Mittelkraft P₃ von KL, K₂ und K₃ muss nun

Fig. 127.

—---------«

________N/

/?>

iK3

X*,

nach S. 120 durch den Schnittpunkt der diese Kräfte einschliessenden Seiten des Seilecks gehen, wobei die erste Kraft T als die der Kräftegruppe vorausgehende Seite zu betrachten ist, während NP auf die Gruppe folgt. Die Richtung von T schneidet NP in P, so dass P₃ durch P gelegt werden muss, u. zw. parallel mit AD. Der Punkt О heisst der Pol des Kraftecks, die von ihm ausgehenden Geraden nach den Endpunkten der gegebenen Kräfte heissen Polstrahlen.

K₄ = — P₃ bedeutet diejenige Kraft, welche Kx, K₂ und K3 aufheben würde.

Fig. 128.

AK₃

Das vorstehend beschriebene Verfahren lässt sich selbstverständlich auch auf Parallelkräfte anwenden. Der Kräftezug der gegebenen Kräfte im Krafteck wird dann zu einer Geraden.

i    V n

>---Д f

i / M

\К/.... в

PoaC к

Soll die Mittelkraft von nur zwei aufwärts gerichteten Parallelkräften Kx und K₂ gesucht werden (Fig. 128), von denen Kx durch einen Punkt D geht, während K₂ rechts davon bei JE liegt, so zeichne man aus AB — KX und BG = K₂ das Krafteck. Wählt man dann den beliebigen Pol О (etwa der Mitte von AG gegenüber), so bedeutet O A die hinzugefügte Kraft T, deren Lage man durch den Punkt D führen kann. DP ist dann die Richtungslinie der ersten Seileckseite, DM || OB

9. Zusammensetzung von Parallelkräften gleichen Sinnes im Raume.

Ist (Fig. 130)

«l =

/i =

die zweite, MP\\OC die dritte. Durch den Schnittpunkt P der ersten und dritten Seite geht die Mittelkraft R.

Schneidet В die Seite DM ira Punkt N, so wird DNP oo OAB, mithin DN: NP = OB: AB—OB:    ebenso wird MN: NP=OB:K₂,

also DN:MN—K₂:Kv, übereinstimmend mit S. 103.

Soll umgekehrt eine Kraft R, welche nach Grösse, Richtung, Sinn und Lage durch CD (Fig. 129) gegeben ist, in zwei parallele Seitenkräfte Kx und K₂ zerlegt werden, deren Lagen durch A und В gehen sollen, so kann man den Punkt А als Pol und CD als Kräftezug des Kraftecks benutzen. AC und AD sind dann die äussersten Polstrahlen, während der mittlere noch unbekannt ist. AC ist zugleich die erste Seite des Seilecks,

CB II AD die letzte. Dadurch ist als mittlere Seite des Seilecks die Gerade А В gefunden, und weil A der Pol, so ist AB zugleich der verlängerte mittlere Polstrahl, welcher CD in dem Punkte T schneidet. T theilt sodann die Kraft R — CD in CT = Kx, welche bei A liegt, und in TD = K₂, welche durch В geht.

Fig. 129.

K₂

k\Kg

TP

(11

""Àt

. = an — ni,

•    • = ßn = ß,

•    • = Уп = У, so wird nach S. 112

cos а Z К ; Y = cos ß Z K-, Z= cosy ZK, mithin R = Z К

für die bei der Zurückfübrung auf den Punkt A sich ergebende Einzelkraft. Ausserdem entstehen nach S. 114 die Achsenstrecken: = cosy Z Ky — cos ß ZKz,

= cos a ZK: —cosy ZKx,

= cosßZKx— cos a ZKy.

Die Parallelkräfte müssen sich aber auch auf eine Kraft R — Z К ohne Achsenmoment zurückführen lassen; denn wenn

man die Parallelkräfte der Reihe nach vereinigt, gelangt man stets zn einer Einzelkraft; es kommt nur noch darauf an, deren Lage aufzufinden. Ein Punkt £ derselben werde durch die unbekannten Koordinaten x₀, y₀, z₀ bezeichnet. Diese durch den Punkt S gehende Einzelkraft R muss nun gleichwertig sein mit dem Ergebnisse der ersten Zusammensetzung mit Hülfe des Punktes A, oder, weil die Achsenmomente nach S. 114 gleichbedeutend sind mit den statischen Momenten der Kräfte in Bezug auf die Koordinatenachsen, so muss die in S angreifende Kraft R, welche in die Seitenkräfte jßcosa, Rcosß, Rcos/ zerlegt werden kann, die statischen Momente ÜD4, $Шг haben. In Bezug auf AX hat Rcosy das Moment Rcosyy^, Rcosß das Moment — R cos ßz₀, R cos a das Moment Null. Daher muss sein:

Fig. 130.

/7

R cos«

R cosy уQ — RcosßzQ — cos у I Ky — cos ß2 Kz;

R cos a z₀ — R cos ух о = cos а 2’ Kz — cos у 2 Kx ;

R cos ßx₀ — R cos ay₀ — cos ß 2 Kx — cos а 2 Ky.

2 Kz

-o £    ’

Fig. 131.

2Ky 2 К ’

Da diese Werthe ganz unabhängig von den Richtungswinkeln oc, ß, у der gegebenen Kräfte, nur abhängig sind von den Kraftgrössen К und von den auf ihren Richtungslinien gewählten Angriffspunkten P (der Koordinaten X, у, z), so bleibt S unverändert, wenn die Parallelkräfte К sich um die Angriffspunkte P drehen. Während einer solchen Drehung der gegebenen Parallelkräfte (Fig. 131) dreht sich also die Mittelkraft R — 2K

1)

x₀ =

Diesen Gleichungen wird genügt durch RxQ = 2 Кx; Ry₀ — 2Ky; Rz₀ = 2Kz; denn durch Einsetzung dieser Werthe werden beide Seiten der drei Gleichungen einander gleich. Die Koordinaten des Punktes S werden hiernach 2 Kx 2 К ;

ß\

кг

um den Punkt S, welcher aus diesem Grunde der Mittelpunkt der in den Punkten P angreifenden Parallelkräfte heisst.

In Gemässheit mit S. 115 muss in Bezug auf irgend eine Achse das Moment der Mittelkraft gleich der Momenten-summe der Einzelkräfte sein.    :

IO. Mittelpunkt der Massen (Schwerpunkt) eines starren Körpers.

Es möge die Gruppe der Parallelkräfte gleichen Sinnes derartig über die Masse des Körpers vertheilt sein, dass an jedem Massep-theilchen eine der Masse verhältnisgleiche Kraft angreife. Dann können die an den Massentheilchen mv, m₂ . . . mn auftretenden Kräfte geschrieben werden: mxp, m₂p . . . mnp. Es würde dann p die gemeinsame Beschleunigung sein, welche die Massentheilchen durch die Kräfte erfahren würden.

; die Bedeutung der 2-Zeichen erhellt aus der Form:

л-о

Die Abscisse des Mittelpunktes S dieser Parallelkräfte ist dann 2 трое 2mp

mypx i + m.₂px₂ + • • • ninpxn l°    myp -j- m₂p + • • • ninp

hierin hebt sich dann p als gemeinsamer Faktor im Zähler und Nenner fort, und es bleibt:

2’ m X 2’ m

myxx    m₂ ж о + • • . + xn

my + m.₂ -f- ... + ma

2' m z 2'm

Ebenso 3/o =    ; г₀ =

Der so gefundene Mittelpunkt Ä ist ganz unabhängig von der Beschleunigung p, d. h. von der Grösse der Kräfte, er wird lediglich bedingt durch die Massen der einzelnen Theilchen und ihre Koordinaten, d. h. durch die Massenvertheilung des Körpers. Der Mittelpunkt solcher Kräfte, die sich gleichmässig über die Masse eines Körpers vertheilen, heisst deshalb der Massenmittelpunkt des Körpers.

. Einen besonderen Fall solcher Kräfte bilden z. B. die Schwerkräfte. Bei solchen ist p =* g und die Richtung lothrecht abwärts. Der Massenmittelpunkt eines Körpers ist daher auch der Mittelpunkt der Schwerkräfte und heisst deshalb auch der Sch werpunkt. Wird der mit dem Achsenkreuze fest verbundene Körper gegen die Richtung des Lothes verdreht, so bleiben für jeden Massenpunkt die Werthe m, x, y und z unverändert, die Richtungen der Kräfte aber bleiben lothrecht und verdrehen sich dabei gegen das Achsenkreuz. Diese Verdrehung hat aber auf den Schwerpunkt S keinen Einfluss.

Fig. 132.

Ay

so

fo

•*o—\-~

V\

Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Durchschnittspunkt der verschiedenen Richtungslinien des Gesammtgewichtes des Körpers bei verschiedenen Drehlagen desselben.

Nennt man die Gesammtmasse 2’m des Körpers einfach M, so ist das Gesammtgewicht Mg, und dieses geht immer durch den Schwerpunkt S hindurch, wie auch der Körper bewegt werden mag.

Die Gleichungen für die Koordinaten des Schwerpunktes kann man auch schreiben:

Umx — Mx₀; Zmy = My₀; Zmz= MzQ.

Der Ausdruck Imx wird erhalten, indem man jedes Massenteilchen m mit seinem Abstande von der yz-Ebene multiplicirt und diese Produkte zusammenzählt. Ein Produkt dieser Art, mx4 heisst das statische Moment der Masse m in Bezug auf die уг-ЕЬепе; Mxq, bei dem man sich die ganze Masse des Körpers im Schwerpunkte vereinigt denkt, heisst das statische Moment der ganzen Masse. Dieselben Beziehungen, welche für die yz-Ebene gelten, sind auch für die anderen Koordinaten-Ebenen gültig, und weil die' Koordinaten-Ebenen ganz willkürlich angenommen werden können, so gelten sie überhaupt für jede Ebene. Daher folgt der Satz:

Das statische Moment der ganzen Masse eines Körpers ist gleich der Momentensumme der einzelnen Theile in Bezug auf irgend eine Ebene.

Kann man die Masse eines Körpers in zwei Theile Mx und M₂ zerlegen, deren Schwerpunkte Sx und S₂ schon bekannt sind, und sind deren Koordinaten xx, yx, zx bezw. x₂,y 2, z2 (Fig. 133), so ist der Beitrag der Masse Mx zur Momentensumme 2« nach vorstehendem Satze Mxxx, derjenige der Masse M₂ aber M₂x₂; daher wird

Fig. 133.

2)

(Mx -J- M₂)x₀ — JSlxxx -j~ 31₂x₂.

Stellt die Gerade YZ die zur Bildebene rechtwinklige yz~Ebene dar, so ergiebt sich ferner К leicht, dass der Gesammtschwerpunkt S auf der Geraden Sx S₂ liegen muss. Denn denken wir uns die Richtung der Schwere rechtwinklig zur Zeichenebene, so bilden Mxg und M₂g zwei Parallelkräfte, deren Mittelkraft in ihrer Ebene (mit der Spur SXS₂) liegen muss. Dreht sich die Richtung der Schwere, so drehen sich Mxg und M₂g um Sx und S₂, ihre gemeinsame Ebene dreht sich um SXS₂, daher muss S in SXS2 liegen. Ist also der Körper in zwei Massentheile Mx und M₂ zerlegt, so genügt schon die eine Gleichung für xQ zur Bestimmung von S auf SXS₂. Da bei der Zusammensetzung zweier Parąllel-kräfte gleichen Sinnes die Mittelkraft zwischen beiden liegt, und ihre Abstände von den beiden Kräften sich umgekehrt verhalten wie die Kräfte, so ist das Verhältnis dieser Abstände:

SSX : SS₂ = M₂g : Mx g = M₂ : Mx.

Fig. 134.

Hiernach kann man S leicht finden, indem man (Fig. 134) durch Sx und S₂ beliebige Parallelen zieht und auf ihnen die Grössen M₂ bezw. Mx (d. h. die vertauschten Massen) als Längen nach entgegengesetzten Seiten aufträgt. Die Verbindungsgerade der Endpunkte schneidet dann SXS₂ in S.

\S .-ÇS2

\ Mt

, Legt man die yz-Ebene so, dass die Theil-schwerpunkte zu beiden Seiten der Ebene liegen (Fig. 135), so haben xx und x₂ verschiedene Vorzeichen, und es ist Mx₀ = M₂x₂ — Mxxx = Imx.

Ist die yz-Ebene dann noch so gelegt, dass Mxxx — M₂x₂, so wird Mx₀ = 2'mx — 0, mithin x₀ = 0, d. h. der Schwerpunkt liegt in der жу-Ebene. Ebenso wird allgemein nach Gl. 1, wenn Xmx — 0 ist, auch #₀ = 0; somit hat man den vielfach angewendeten Satz:

In Bezug auf eine den Schwerpunkt eines Körpers enthaltende Ebene ist die Momentensumme seiner Massentheile gleich Null, und umgekehrt.

Fig. 135.

Z>°S2

'S

Ein Körper, dessen Masse M sich gleichförmig über seinen Rauminhalt V (Volumen) vertheilt, heisst homogen. Das Gewicht у der Raumeinheit (des Kubikmeters) heisst (S. 55) die Dichte des Körpers; diese ist bei einem homogenen Körper überall gleich. Das Gewicht des ganzen Körpers ist Mg = у V, das eines Raumtheilchens dV ebenso mg = у • dVy mithin sind die Massen M = Vy:g bezw. m = dV-y:g.

In den Gleichungen für den Schwerpunkt heben sich dann die allen Gliedern gemeinsamen Faktoren y\g fort, und es bleibt

3)

V x₀ = S dV' X,

indem statt des Zeichens 2’ hier das gleichbedeutende J-Zeichen gesetzt ist.

Eine Ebene, die einen homogenen Körper in zwei symmetrische Hälften theilt, enthält -den Schwerpunkt, weil in Bezug auf sie JdV- X — 0 ist.

Schwerpunkte von Linien. Hat der homogene Körper die Gestalt eines dünnen Stabes von überall gleichem Querschnitt F, so ist, wenn die Länge des Stabes sy diejenige eines Theilchens ds, V—Fs, dV — F-ds. Es hebt sich dann der gemeinsame Querschnitt F in allen Gliedern fort, und man hat für einen solchen Stab, den man materielle Linie nennt:

i)

— S ds-x;

und für die anderen Richtungen entsprechend.

Der Schwerpunkt einer geraden Linie liegt selbstverständlich in der Mitte.

Bei einer gebrochenen Linie kennt man die Schwerpunkte Slt S₂, ... der einzelnen Theile und deren Koordinaten. Es ist dann ($1 + ⁵2 "b • • •) OCq = $1 Xi + s₂ x₂ + ....

Der Schwerpunkt eines Kreisbogens vom Halbmesser r und dem Centriwinkel 2 a liegt auf der Mittellinie (Fig. 136), zu suchen ist nur AS — ocq. Das Theilchen ds — r-dd, bei P gelegen, hat von der durch A gelegten lothrechten yz-Ebene den Abstand x = AQ — rcos$. Es ist s = 2ra, und es gilt die Gleichung

Fig. 136.

v/₇Vs

2 га.г’о = r² ^ cos d • d d.

V — а

JQ'-

In

CAb-r

Denn zählt man den positiven Winkel d nach oben, so entspricht dem unteren Endpunkte D der Winkel =

Jedoch sind die Bei-

— OL.

träge der beiden Hälften des Bogens zur Momentensumme gleich gross, so dass man zwischen = 0 und $ = а integriren und das Ganze mit 2 multipliciren kann. Weil aber dsin# = cos#-d$, so ist J'cos d'd = sin #, also

5)

2гал?₀ = 2г² sin$ =2r²sina, oder L J 0

sin а 2 r sin о

V--.

2га

xn = r

Weil nun 2 r sin а = der Sehne BD, 2ra = dem Bogen BI), so kann das Ergebnis auch geschrieben werden:

xq : r = Sehne : Bogen.

Für einen sehr kleinen Bogen ist die Sehne gleich dem Bogen, daher x₀ — r; für einen Halbkreisbogen aber о—¹/чж\ sina = l,

mithin x₀ =

2

— r = 0,637 r (annähernd ²/з r)

Schwerpunkte von Flächen. Hat der homogene Körper die Gestalt einer ebenen oder gekrümmten Platte F von überallgleicher Dicke Ô, so wird V=à-F, dV = Ô • dF, mithin

Fx₀ = JdF-x.

Eine solche Platte nennt man eine materielle Fläche.

Der Schwerpunkt der Fläche eines regelmässigen Vielecks liegt natürlich im Mittelpunkte.

6)

Eine Dreieckfiäche (Fig. 137) lässt sieh in sehr viele Streiten,

parallel zur Grundlinie AB, zerlegen. Weil deren Schwerpunkte sämratlich auf der Mittellinie CD

Fig. 187.

~ГЛч

h 1 /'

4g

liegen, so muss diese auch den Schwerpunkt S der ganzen Fläche enthalten. Mit demselben Rechte gilt dieses von der Mittellinie A JE.

Folglich muss der Schnittpunkt der Mittellinien der Schwerpunkt S sein.

Da das Dreieck nur einen Schwerpunkt haben kann, so liegt hierin nebenbei der Beweis des geometrischen Satzes, dass die 3 Mittellinien eines Dreiecks sich in einem Punkte schneiden. Wegen der innigen Beziehungen zwischen Geometrie und Mechanik kommt es nicht selten vor, dass Sätze der Mechanik in einfacher Weise zur Lösung geometrischer Aufgaben benutzt werden können.

Zieht man DE, so findet man leicht, dass DE\\ AC und DE — ¹/чАС, daher in den ähnlichen Dreiecken SAC und SED: SC: SD = AC:DE = 2:1,

oder es liegt S im unteren Drittelpunkte der Mittellinie CD. Nennt man h das Höhenloth von C auf AB, yQ das Loth von S, so wird offenbar

7)

Уо — */з ^ •

Zieht man SF\\ AB, so muss auch BF= 7з ВС sein, und ebenso, wenn SG || AC, auch CG = ]/зВС. Man kann daher S auch bestimmen, indem man BC in 3 gleiche Theile zerlegt, durch den Theilpunkt F eine Parallele zur nächsten Seite AB, durch den Theilpunkt G eine Parallele zur nächsten Seite CA zieht. Beide schneiden sich dann in S.

Fig. 138.

Zwei Mittellinien des Dreiecks, z. B. AE und BH (Fig. 138) kann man auch ohne Hülfe eines Zirkels finden, indem man durch C eine Parallele zu 411 zieht und auf dieser durch BJ\\AC und AK\\ BC die Punkte J und К so bestimmt, dass CJ — CK—AB ist. Zieht man dann AJ, so sind AJ und BC die Diagonalen eines Parallelogramms A BJC und halbiren sich gegenseitig im Punkt E; entsprechendes gilt von

Keck, Mechanik I.

BE und AC. Mithin sind AE und BR zwei Mittellinien des Dreiecks ABC.

Das Trapez lässt sich, wie das Dreieck, in lauter Streifen, parallel den Grundlinien a und b zerlegen, weshalb der Schwerpunkt auf der Mittellinie des Trapezes liegen muss. Um seine Höhenlage zu finden, theile man das Trapez (Fig. 139) durch eine Diagonale in zwei Dreiecke

Fig. 139.

fl

_E

VA

A CD — Fx, ABC=F₂.

Von AB —a aus gemessen, sind dann die Höhenabstände der Theilschwerpunkte >, yx = 2/3 h ; 3/2 = 7з h. Nach der Gleichung

Fyo = F,yx + F.₂7j₂

wird also

72 (a -f b) /u/₀ = V2 6Л • ²/з Л -f- V2 ah • l/z h oder

h a 2 b 3 a + b

Zur geometrischen Konstruktion (Fig. 140) verlängert man die Seite b um a, die Seite a nach der anderen Kichtung um b. Die У erbindungsgerade der Endpunkte der G"r Verlängerungen schneidet dann die Mittellinie in S. Es ist nämlich in den ähnlichen Dreiecken SEG und SFH

SF:SE = FH:EG = (b+i/'2a):(a + l/2b) = (a + 2b):(2a + b), ferner SF:EF = SF:(SE + SF) oder SF: EF — (a + 26): (a + 2b + 2a + Ъ) = (26 + а): 3 (а + b).

Dies stimmt mit dem Verhältnis ?/₀ : h überein, mithin ist die Konstruk-tion richtig. Trägt man aber die Verlängerung a nach rechts, die Verlängerung b nach links auf (Fig. 141), so muss das Ergebnis das gleiche sein.

Man braucht daher die Mittellinie gar nicht, sondern verlängert b nach beiden Seiten um a, a nach beiden

8)

(a + b)y₀ —

CO

(2 b + a) und t/q =

Fig. 140.

fr

■b

Fig. 141.

SL

°^Г

Nix

Seiten um b, verbindet die Endpunkte der Verlängerungen kreuzweise, so schneiden sich’die Verbindungsgeraden in S.

Fig. 142.

V.

• Di

Obige sehr einfache Konstrukion beansprucht viel seitlichen Raum. Sollen die Konstruktionslinien ganz innerhalb des Trapezes bleiben, so kann man folgende Eigenschaft des Schwerpunktes S benutzen: Nach obigem liegt S auf der Halbirungslinie, u. zw. ist SF.FF = (2H a) : 3 (a + b). Man 'ziehe (Fig. 142) die Diagonale AC und dazu durch S eine Parallele SH.

LA»

Zieht man dann noch CG || FF, so ist A HS F со ACG. Mithin HF : A G = SF : CG und wegen CG — EF:

HF SF 2b + a AG ~ EF ~ 3 (а + ьу

Weil aber AG = 7з(a + b), so wird

HF =

2    Ъ -\- a a Ą- Ь 2 b A a

3    (a+ Ь) 2

-ö |cc

co| »

« Ico

Da nun AF —l/'2a, so muss АН— 7з (а — b) sein. Man ziehe also (Fig. 143) DJ\\CB, so dass AJ—a — b, theile dieses in 3 gleiche Theile, dann ist AH= l/z(a — b). Nun zieht man durch H eine Parallele zur Diagonale AG, so schneidet diese Parallele die Mittellinie FF in S. Macht man BK — AH = 7з (а — b), so muss eine durch К gezogene Parallele zur anderen Diagonale BD mit demselben Rechte durch 5

J

gehen. Zieht man also diese Parallele KS durch К, so kann man die Mittellinie entbehren.

Dieses Verfahren rührt von Prof. G. Lang (Rigaische Industrie-Ztg. 1883, S. 126) und Prof. Roh. Land (Centralblatt der Bauverwaltung 1894, S. 458) her. Vergl. auch Zeitschrift des Hannov. Arch.- und Ing.-Vereins 1895, S. 115—117.

Schwerpunkt eines beliebigen Vierecks. Man theilt das Viereck (Fig. 144) durch die Diagonale BD in 2 Dreiecke, halbirt die Diagonale in M, zieht AM und CM, so liegen auf diesen die Theilschwerpunkte Sl und S₂ mit MS± = ‘/3li; MS₂ — 7з MC,

Fig. 143.

T)

i:

V \₄

II J

Aus diesen Verhältnissen folgt, dass SlS₂ || AG sein muss. Theilt man das Viereck ein zweites Mal durch die Diagonale AG, so ergeben sich die Theilschwerpunkte S:i und S₄, u. zw. muss die Verbindungsgerade S₃S₄ || BD sein, gerade so wie SlS₂ || AG war. Der Gesammtschwerpunkt S des Vierecks muss nun im Schnitte von S₄ S₂ mit ą S₄ liegen. Zieht man nun durch D und G Parallelen zu AG bezw. BD, und schneiden sich diese in F, so muss die Verbindungsgerade FF durch S gehen, und es muss FS = ¹/з EF sein, da ES{ — ¹/зЕЕ, ES4 = Vs EG, Ą S II DF, S₄S || CF.

Fig. 144.

-T

/7

//

/7

//

ру/

N.

. Ж*/

Ж-'

Denkt man sich aber A F und

'В

Fig. 145.

.ex

В F gezogen, so würde der Schwerpunkt eines Dreiecks AB F im unteren Drittelspunkte von EI liegen, d. h. mit S zusammenfallen. Hiernach ist der Schwerpunkt des Vierecks ABGD gleichbedeutend mit demjenigen des Dreiecks ABF. Um ihn zu finden, ist es in diesem Falle wohl am einfachsten, die Seite AB in drei gleiche Stücke zu theilen (Fig. 145),

''s..

DF H AG, GF II BD, GS || AF,

//

HS\\ BF zu ziehen.

DF-

Die Theilschwerpunkte Sx bis S₄ in Fig. 144 haben also nur zur Herleitung des Verfahrens gedient, sind aber für die Ausführung un-nöthig.

Dies Verfahren rührt von Prof. Rob. Land (Zeitschrift des Arch.- u. Ing.-Vereins zu Hannover 1895, S. 451) her und kann auch für Trapeze angewendet werden, da es ebenso einfach ist, wie die in Fig. 142 und 143 (S. 131) angegebenen Verfahren.

Die Dreitheilung von AI? in Fig. 145 lässt sich auch entbehren, wenn man den Schwerpunkt S des Dreiecks ABF nach Fig. 138 bestimmt.

Schwerpunkt des Kreisausschnittes. Schliesst der beliebige Halbmesser AP (Fig. l46) mit der Mittellinie AG den Winkel 0

Fig. 146.

ein und ist PQA ein unendlich kleiner Ausschnitt vom Centriwinkel dd, so ist dessen Fläche dF = ¹/2r-rd,&; der Theilschwer-punkt Sx liegt um ²/з r von A entfernt und hat die Abscisse AQ = ²/зг cos ü. Gleichung 6, S. 128 bedeutet dF freilich ein nach zwei Richtungen unendlich kleines Flächentheilchen, doch kann man als Beitrag des Sektors PQA zu dem statischen Momente schreiben PQA-AQ. Dann ist

In

,p

Fx о

2 r³fa    2

—g-\cos dd — -^-r³sina

V П

und, weil F —

r²CL

2—-

2

r² a,

9)

2 sin a

x°~ Tr~^r

Für sehr kleines a ist #₀ = ²/зг, für die Halbkreisfläche mit

а — ¹/2 л:

4 T

ж₀ == -к--= 0,424 r (rund ²/5 r).

à л

Schwerpunkt des Ringausschnittes. Der Ringausschnitt ist als Unterschied zweier Kreisausschnitte der Halbmesser R und r anzusehen. Ist S der Schwerpunkt des grossen Ausschnittes von der Fläche F, so ist J. $ = ж₀ ;

S₂ sei der Schwerpunkt des kleinen Ausschnittes von der Fläche F₂ mit A S₂ — x₂ ; Fx sei der Ringausschnitt mit ASX= xx. Dann wird Fx о = jPj xx -f- F₂ x₂ , u. zw.

F=R² a; F₂ = r² a; Fx = (R² — r²) a ;

2 sin a

^ЯУГ —

10)

Fig. 147.

T//'

б«. .§&j

2 _ sin a

und

H)

2 .ß²jßsina — rVsina (R ² — r²jä

2 R³ — r³ sin a 3" R² — r² V '

Schwerpunkt der Kreisabschnittfläche.

Der Abschnitt Fl bildet mit dem Dreieck AB D — F₂ den Ausschnitt A BCD — F. Die entsprechenden Schwerpunkts - Abscissen seien A $j — x^ , A. S₂ — x₂ ? A S —

Dann ist

,r₀.

Fig. 148.

Fx о = Flx₁ + F₂x₂, u. zw. F=r²a.; F₂ — r²sin а cos а ; F\ = г² (а — sin а COS а) ;

2 sin а

«о = -ö"r-

За

; x₂ = -=-r cos а und

л';7« s.

[mv

-----o-o—И

г² а

r² sin а cos а • — r cos а

*1 =

r² (а — sin а cos а)

2    r³sina(l — cos² а)_ 2

3    r²(a — sin а cos а) 3 r²(a — sin а cos а)*

r³sin³ а

Es ist aber die Sehne BD = l = 2 r sin a, also r sin а = !/2 Г

....    2 Z³

mithin я?1 = -5-

Z³

3 8/,    12F

, wenn i^i die Fläche des Abschnittes.

Man kann auch schreiben

12)

sin³ а

хг = -=-r-.-.

3 а — sin а cos а

Für а == 72 ж wird der Abschnitt wieder zur Halbkreisfläche und 4 r

Xi = -g——, wie vom Ausschnitte aus abgeleitet.

Schwerpunkt der halben Parabelfläche. (Fig. 149) habe die Gleichung y² = 2px. Für die Koordinaten des Endpunktes C wird dann b² — 2pa, und durch Division entsteht

Die Parabel АС Fig. 149.

Ц<Лх

Die unendlich kleinen Theilchen des Streifens PQ — ydx haben gemeinsamen Abstand x

©I

f'T*

von der AT, können daher zu dem Beitrage y-dx-x zusammengefasst werden. Die Fläche ABC — F ist

b v» 2

7ä a 3

\ y'dx — ' о

b f Val о

d. h. ²/3 von der Fläche des umschriebenen Rechtecks ab. nach wird

X dx —

2 . g-ab,

Hier-

ab X

₀=

J₀    V ad ₀

Va 2

=-=- b a2 о

_ 2 b “5 Vä rt

also xQ — z/ba, unabhängig von b.

Zur Auffindung der Ordinate y₀ des Schwerpunktes trenne man einen Streifen ab, dessen Theilchen den gleichen Abstand у von AB haben (Fig. 150). Dann wird

Yaby*

dies wird wegen x:a — y²:b²:

Y аЪУо

-|гМ »•<**-

13)

— x)dyy;

Fig. 150.

= Tï {(b² —y²) y dy *о

Pa

У\

a-x

a_jb* _ b*\ b² \ 2    4 j

ab²

A)

X |Q

■B

-y-, mithin

4

-a-

14)

3 .

3/o = ö-6.

Man hätte auch als Beitrag des Streifens (Fig. 149) zum statischen Moment in Bezug auf AB die Fläche des Streifens mit der Schwerpunktshöhe 7²3/ multiplicirt einführen können, dann wäre

1    b² a²_ab²

2    7Ï“T

\аЬУ» = у    =

entstanden.

Die Koordinaten xx und yx des Schwerpunktes Sx der Ergänzungsfigur, welche die Parabelfläche zum Rechteck A BGH ergänzt (Fig. 151), findet man leicht, weil das Rechteck die Schwerpunkts-Koordinaten x₀ = х/ч а ; з/о = V2 b hat:

хх • */з ab + ³/s а - ²/'з ab — ’/га - ab хх = ³/ю а.

ух • */з « b + ³/8 & • 2/3 ab = l/-2b • ab У\ = ³Л&.

^, /S' und $2 liegen auf einer Geraden, und es ist SSX —2- SS*.

Fig. 151.

15)

16)

.r

.V. ₄, !

wv

îa

JB

Schwerpunkt einer Kugelzonen - Oberfläche. Der unendlich kleine Theil der Oberfläche bei PQ (Fig. 152), entsprechend

einem Bogentheilchen ds des äusseren Kreises, hat die Grösse dF= ds- 2 жх. Nun bildet ds mit dy denselben Winkel d wie AP=r mit AB — x.

Fig. 152.

Daraus folgt ds = dy : cos d — dy • r : x und dF — 2 mdy, gleich einer Cylinderfläche vom Halbmesser r und der Höhe dy. Diese Cylinderfläche bei Px Qx hat dann dasselbe statische Moment wie die Kugelzonenfläche.

Daher muss auch die ganze Zonenfläche BODE gleiche Fläche, gleiches Moment und gleiche Schwerpunktslage haben mit dem entsprechenden Theile der die Kugel umschliessen-den Cylinderfläche. Da der Schwerpunkt der Cylinderfläche in der Mitte der Mittellinie liegt, so liegt auch derjenige der Kugelzone in der Mitte von GH. Die Rechnung führt zu gleichem Ergebnisse:

-4-

tv

Mt/

IN

Lr—

ГГ

LJ

11

- >-

/I)

r* У-t

2 гж(у₂—y/i) 3/0 — 2 r n:\y-dy —

“Vt

у -У1±У±

3/0-    2

Gleiches gilt von der Oberfläche der Kugelhaube.

17)

Schwerpunkt des Körpers der dreiseitigen Pyramide. Durch Schnitte, parallel mit der Grundfläche ABC (Fig. 153) lässt sich die Pyramide in dreieckige Scheiben zerlegen, deren Schwerpunkte durchweg auf der Verbindungsgeraden zwischen der Spitze D und dem Schwerpunkte G der Grundfläche liegen. Die Linie D G enthält daher den Gesammtschwerpunkt S. Der Punkt G wird erhalten, indem man ВC in JE halbirt, AE zieht und EG—xisEA macht. Betrachtet man in gleicher Weise BCD als Grundfläche, zieht DE mit EH— l/s DE, so muss der Schwerpunkt auch auf A If liegen. DG und AH schneiden sich in S. Weil EG

Fig. 153.

= >/з EA, EH— Vs ED, ist GH || AD und = ‘/3 AD. Daher ist SGIIc^SDA, SG = ¹/з SD = V* GD.

Theilt man also die Gerade von der Spitze nach dem Schwerpunkte der Grundfläche in 4 gleiche Theile, so ist der der Grundfläche zunächst liegende Theilpunkt der Schwerpunkt S. In demselben Verhältnis 1:4 wie SG:GD stehen auch die Höhenlothe y0 und h, von dem Schwerpunkte S und der Spitze D auf die Grundfläche gefällt;

18)

Уо = V 4 h.

Fie. 154.

Go

Eine vierseitige Pyramide (Fig. 154) lässt sich in lauter ähnliche und ähnlich liegende Scheiben zerlegen. Daher muss der Gesammtschwerpunkt S wieder liegen auf der Geraden von der Spitze E nach dem Schwerpunkte G der Grundfläche. Zerlegt man die Pyramide in zwei dreiseitige mit der gemeinsamen Spitze E und der Höhe h, so liegt der Schwerpunkt jeder in der Höhe = 1/4 h über der Grundfläche, daher auch der Gesammtschwerpunkt S in dieser Höhe y₀ — V'4 h. Es ist also GS = xj\GE.

Offenbar gilt dies auch für die Körper vielseitiger Pyramiden und Kegel: der Schwerpunkt liegt im unteren Viertelpunkte der Geraden vom Schwerpunkte der Grundfläche nach der Spitze.

²/з г³лх₀ = лг Гy²x-dx.

Ł' о

Um unter dem Integralzeichen eine Differential-Funktion von x zu erhalten, muss man y- — r² — x² setzen. Dann wird

/»Г    /ъг    nr

²/з rz71 Xq = 7t i (/*² — x-)x- dx — r²Tz \ x • dx — 7t \ x³dx

V о    V о    Jq

= l/2r⁴7t— 74 r⁴TZ— ¹/4Г⁴Л, also

19)

^0 = ³/s r .

Fig. 156.

Satz von Pappus und Guldin. Die Lehre vom Schwerpunkte war schon Archimedes (287—212 v. Chr.) bekannt. Der alexandrinische Gelehrte Pappus benutzte gegen Ende des dritten oder vierten Jahrhunderts n. Chr. die Schwerpunkte ebener Kurven und Flächen zur Berechnung von Umdrehungsflächen und -Körpern. Der betreffende Satz wurde vom Jesuitenpater Guldin aus St. Gallen 1635 n. Chr. weiter verwerthet und heisst danach der Satz von Pappus und Guldin.

fix.

о---

Schwerpunkt des Halbkugelkörpers. Schneidet man eine cylindrische Scheibe PQ, (Fig. 155) vom Halbmesser у im Abstand x vom Mittelpunkt А heraus, so haben deren Theilchen durchweg den gleichen Abstand x von der durch A gelegten yz-Ebene. Man kann daher den Inhalt der Scheibe zu dV = у¹ л- dx zusammenfassen mit *• dem Momente dV-x = y^n-dx-x, und hat:

Fig. 155.

——J----

~C

1) Dreht sich eine ebene Kurve AB (Fig. 156) um eine in ihrer Ebene liegende Achse CD, so entsteht eine Umdrehungsfläche.

Ein Bogentheilchen ds mit dem >__

Drehungshalbmesser x erzeugt eine Л Fläche dF — ds- 2лх. Der Inhalt der ganzen erzeugten Umdrehungsfläche ist daher

F — 2 7t f ds- x.

Weil nun nach der Lehre vom Schwerpunkte (S. 127, Gl. 4) J ds • x = sx₀, so wird

20)

F = 2 nx₀s.

Darin bedeutet ж₀ den Drehungshalbmesser des Schwerpunktes S der erzeugenden Kurve von der Länge AB = s.

2) Dreht sich aber eine ebene Fläche um eine in ihrer Ebene liegende Achse (Fig. 157), so erzeugt ein Flächen-theilchen dF—dx-dy mit dem Halbmesser x einen Kreis-

Fig. 157.

___

йуШЖ_.х.

I

Щжжтж

L.T„—>

ring vom Inhalte

dV — {(# + dx)² — х²^л ' dy — d ix²) л • dy — 2 x • dx • л • dy ==■ 2 лх • dx • dy = 2лх' dF.

Der ganze Umdrehungskörper wird sonach V = 2 лJdF^x, oder, weil (S. 128, Gl. 6) JdF-x = Fx₀,

21)

V = F 2 лх

daher der Pappus-Guldin’sche Satz:

Der Inhalt einer Fläche, welche durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in ihrer Ebene liegende Achse entsteht, ist gleich der Länge der Kurve mal dem Drehungswege 2лх₀ ihres Schwerpunktes. — Der Inhalt eines Körpers, welcher durch Drehung einer ebenen Fläche um eine in ihrer Ebene liegende Achse entsteht, ist gleich der Fläche mal dem Drehungswege ihres Schwerpunktes.

Beispiel 1: Dreht sich nach Fig. 158 ein Halhkreisbogen um die Achse CD, so ist nach S. 128

Fig. 158.

Fig. 159.

ft

«eo

x₀ — a -f- 2 — , mithin 1 = r» [a + 2 — j 2w = 'Iran² + 4r²?r.

7Г    \    П I

Der letzte Summand ist die Kugeloberfläche, welche für a — 0 entsteht.

Durch Drehung der Halbkreisfläche entsteht ein Körper (Fig. 159)

4 r

г² 7Г 2 7Г -f-

r³r.

Der letzte Summand bezeichnet den Inhalt des Kugelkörpers, welcher für а — 0 entsteht.

Beispiel 2: Der Inhalt eines Umdrehungs-Paraboloides (Fig 160) ist leicht zu finden zu

Fig. 160.

= \y²

и

Tz dX — ;r — \ xdx —

Tzb²a

1

gleich der Hälfte des umschliessenden Cylinders. Daraus lässt sich nun die Schwerpunkts-Ordinate y₀ der halben Parabelfläche berechnen :

/_____X

i-

|rdj;

³/2 b² а ж — ²/я a b 2 7z y₀ , mithin y₀ — ³/&b, wie auf S. 135 gefunden.

II. Arbeit der Schwerkräfte an einer beliebigen Massengruppe.

Der Schwerpunkt wurde im Vorhergehenden als der Mittelpunkt der Schwerkräfte eines starren Körpers oder sonstiger, über die Masse eines starren Körpers gleichmässig vertheilter Massenkräfte gleichen Sinnes bezeichnet. Aber auch für Körper veränderlicher Form, ja selbst für beliebige Gruppen von Massen (mit oder ohne gegenseitige Verbindung) nennt man den irgend einer gegenseitigen Lage der Massentheilchen entsprechenden Punkt mit der Eigenschaft:

2mz 2'm

2’тж

ж° ~~2тГ’ Уо

den Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt.

Sind mj, m₂, ... mn (Fig. 161) einzelne Massenpunkte oder einzelne starre Körper, die zusammen einen starren, oder einen der Form nach veränderlichen Körper, oder eine beliebige Massen- x~"7 gruppe bilden, und wirkt auf diese die Schwere in der Richtung der s-Achse, so verrichtet die Schwere bei einer unendlich kleinen Verrückung, bei der sich ein Massentheil m so bewegt, dass

Fig. 161.

ft

sq._.£_

m₂

—Occ

sew

■V

mn

z um dz zunimmt, eine Arbeit mg dz. Die Arbeitssumme der Schwerkräfte an allen Massentheilchen ist dann

== g{mxdzx -f- modzo + ... + mdz) = g Im-dz.

Nun ist aber mlzl + m₂^₂ -j- ... + mz = Imz — z₀Im, also, weil bei einer Verrückung die Massen m unveränderlich, die -z-Werthe aber veränderlich, Im-dz = dzQIm; mithin ist

22)

d'Ü — g-dz₀Im = dz₀ Img.

/■

Die Arbeitsumme der Schwerkräfte an einer beliebigen Massengruppe berechnet sich gerade so, als ob die ganze Masse Im der Gruppe in ihrem Schwerpunkte zu einem Massenpunkte vereinigt wäre.

12. Der Satz d'Alembert's.

Greift an einem Punkt m einer Massengruppe (Fig. 162) eine äussere Kraft К an, so würde der Punkt, wenn er frei wäre, im

Fig. 162.

Die übrigen Punkte der veränderlichen oder unveränderlichen

Sinne von К eine Beschleunigung K:m erfahren.

Massengruppe werden aber ebenfalls auf die Bewegung von m einwirken, also Kräfte, die sog. inneren Kräfte, auf m ausüben, deren Mittelkraft £ sein möge.

Durch S ist der Einfluss der übrigen Punkte völlig ausgedrückt; nach Anbringung dieser Kraft verhält sich also der Punkt m wie ein freier. Nennt man daher p die wirkliche Beschleunigung des Punktes m, so muss die dazu erforderliche Kraft mp die Mittelkraft aus К und S darstellen, oder man kann schreiben

mp = K, S.

Ist aber mp die Mittelkraft von К und £, so würde das Entgegengesetzte von mp, die Kräfte К und S auf heben, was man schreiben kann: К, S, —mp = 0. dem Entgegengesetzten der Beschleunigung p des Punktes m entspricht, nennen wir seine Ergänzungskraft, ebenso wie es bei der Betrachtung der scheinbaren Bewegung bezw. Ruhe eines Punktes

Diese Kraft

— mp,

die

(S. 84 u. 88) geschah. (Es ist ja auch ein Massenpunkt in scheinbarer Ruhe in Bezug auf einen Raum, der sich mit der Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes verschiebt.)

Dies Tilgen der Kräfte K, S und —mp findet an jedem Massenpunkte statt; daraus folgt dann auch ein gegenseitiges Aufheben der Gesammtheit der entsprechenden Kräftegruppen an der ganzen Massengruppe, d. h.:

Die Gruppe der sämmtlichen Ergänzungskräfte [— mp\ (mit der eckigen Klammer als Gruppenzeichen) hebt die beiden Gruppen der äusseren Kräfte \K\ und der inneren Kräfte [-Ś] auf.

Die auf S. 96—138 entwickelten Lehren über die Gleich-werthigkeit und Zusammensetzung der Kräfte gelten einstweilen nur für Kräfte an starren Körpern. Wenn aber an einer veränderlichen Massengruppe jeder Massenpunkt der Einwirkung von drei Kräften unterworfen wird, die sich aufheben oder im Gleichgewichte halten, so wird in diesem Gleichgewichtszustände der Kräfte jedes Punktes auch dadurch nichts geändert werden, dass man die Punkte in starre Verbindung bringt. Wenn man also die drei Kräftegruppen [—mp\, [АГ], [$] nach den Lehren über die Zusammensetzung der Kräfte an starren Körpern zu einer Mittelkraft R und einem Achsenmoment vereinigt, so müssen R und gleichzeitig Null werden. Die inneren Spannkräfte S wirken aber zwischen je zwei Punkten nach dem Gesetze der Wechselwirkung gleich und entgegengesetzt und heben sich daher bei der Zusammensetzung aller Kräfte zu je zweien auf, so dass die Gruppe der inneren Kräfte [S] überhaupt verschwindet. Daraus folgt der Satz, welchen d’Alembert (1717—1783) im Jahre 1743 in etwas anderer Fassung aufgestellt hat:

An einem starren Körper oder auch an einer veränderlichen Massengruppe heben die gesammten Ergänzungskräfte [—mp\ die Gruppe der äusseren Kräfte [АГ] auf, wenn die Zusammensetzung der Kräfte wie an einem starren Körper erfolgt.

Mit Hülfe dieses Satzes lässt sich leicht die Frage beantworten, unter welcher Bedingung ein starrer Körper eine rein fortschreitende Bewegung, sog. Verschiebung ausführen kann. Bei einer Verschiebung haben alle Punkte des Körpers in einem Augenblicke gleiche Geschwindigkeit und Beschleunigung; nennt

man die gemeinsame Beschleunigung p, so bilden die Ergänzungskräfte [— mp] eine Kräftegruppe, die sich gleichmässig über die Masse des Körpers vertheilt. Die Kräfte haben eine durch den Schwerpunkt gehende Mittelkraft — Mp, und diese muss von den äusseren Kräften aufgehoben werden. Erkennt man also, dass ein Körper eine reine Verschiebung erfährt, so kann man daraus schliessen, dass die Mittelkraft aller auf ihn wirkenden äusseren Kräfte durch den Schwerpunkt gehen und von der Grösse -f- Mp sein muss. Umgekehrt genügt aber das Wirken dieser Kraft noch nicht zur Erzeugung einer Verschiebung, sondern es ist dazu noch erforderlich, dass der Körper auch zu Anfang keine Drehbewegung hatte.

13. Satz von der Bewegung des Schwerpunktes.

Die Ergänzungskraft — mp hat nach der x-Richtung eine Seitenkraft — mpx, die Seitenkraft einer äusseren Kraft К in der лг-Kichtung sei iVcosa, dann muss nach d’Alembert’s Satze sein:

А К cos а — Impx = О, oder, wenn man 2’ К cos а = X setzt,

Impx — X.

Bezieht man nun die Punkte des Körpers auf ein festes Achsen-

die Beschleunigung

kreuz, so ist dx:dt die Geschwindigkeit, in der x-Richtung (S. 28), also

Im

1)

d?x

dt²

= X.

d²x

dt²

Nach der Lehre vom Schwerpunkt ist Imx = Mx₀ und, weil x und x₀ mit der Zeit t veränderlich sind,

dxç

~dt ’

mithin wird (Gl. 1)

2)

dx

dt

Im

d²x

dt²

dt²

3)

dt²

Darin bedeutet

d²x₀

dt²

die Seitenbeschleunigung des Schwerpunktes

in der Richtung der x-Achse. Dieselbe Beziehung gilt aber auch für einen einfachen Massenpunkt von der Masse M, der sich unter Einwirkung der äusseren Kräfte К bewegt, und zwar gilt dies für jede Achsenrichtung.

Also: Der Schwerpunkt eines Körpers oder einer beliebigen Massengruppe bewegt sich genau so, als ob die ganze Masse des Körpers oder der Gruppe in ihm vereinigt wäre und als ob sämmtliche äussere Kräfte (parallel verschoben) an ihm wirkten. Die inneren Kräfte haben hiernach auf die Bewegung des Schwerpunktes keinen Einfluss.

Durch diesen Satz bekommt die Mechanik des Massenpunktes eigentlich erst ihr grosses Anwendungsgebiet. Da es einen einzelnen Massenpunkt von verschwindend kleinen Abmessungen in aller Strenge nicht giebt, so konnte es bis hierher scheinen, als ob die Lehren von der Bewegung des Massenpunktes für die Anwendung ziemlich werthlos seien. Aus vorstehendem Satz aber erkennt man, dass die Lehre von der Bewegung des Massenpunktes auch für Körper ihre Bedeutung hat, insofern sie die Bewegung des Schwerpunktes richtig darstellt. Eine ausserdem etwa noch vorkommende Drehung um den Schwerpunkt kann dann noch besonders untersucht werden und bildet eine Ergänzung oder Vervollständigung der ganzen Aufgabe, nicht aber eine Berichtigung. In vielen Fällen wird man auch auf diese (häufig schwierige) Ergänzung der Lösung verzichten und sich mit der Kenntnis der Bewegung des Schwerpunktes begnügen.

Ein Kräftepaar wird bei der Verschiebung der Kräfte an den Schwerpunkt zwei Kräfte liefern, die sich aufheben. Kräftepaare haben hiernach keine Einwirkung auf die Bewegung des Schwerpunktes, sondern beeinflussen nur die Drehung des Körpers um den Schwerpunkt.

14. Satz der Arbeit.

Auf einen Massenpunkt eines Körpers wirkt ausser der äusseren Kraft К eine innere Kraft 8. Diese verrichten bei einer Bewegung des Körpers die Arbeiten 51* und 51,. Sind c und v Anfangs- und

Endgeschwindigkeit des Punktes, so gilt für den Massenpunkt 72 mv¹— 72 mc² — З7 + 31,-, denn an dem Massenpunkt m kann (nach S. 43) für die Arbeit der Mittelkraft aus К und S ohne Weiteres die Arbeitsumme der Einzelkräfte gesetzt werden. Stellt man diese Gleichung für sämmtliche Massenpunkte auf, so ergiebt sich durch Zusammenzäh-len :

1)

2¹72 mv¹ — 2’ 72 fflcî= 297 -f L Sf

Oder die Zunahme des ganzen Körpers an Arbeitsvermögen ist gleich der Arbeitsumme der äusseren und der inneren Kräfte. Es lässt sich zeigen, dass die Arbeit der inneren Kräfte für einen starren Körper Null ist.

Die inneren Kräfte treten zwischen je zwei Massenpunkten paarweise gleich und entgegengesetzt auf. Betrachten wir ein Paar solcher Massenpunkte m und mx (Fig. 163) mit den inneren Kräften S, welche beispielsweise gegenseitige Anziehungskräfte sein mögen, und nehmen wir an, dass sich die Punkte um ds bezw. dsx bewegen. Zerlegen wir dann die Kräfte S in X, Y, Z; ds in die Projektionen dx, dy, dz; dsx in dxx, dyx, dzx, so wird an m die Arbeit verrichtet: Xdx + Ydy + Zdz, an — (Xdxx + Ydyx + Zdzx).

Punkten ist also

d% = — IX-d{xx —x) + Y-d (yx — y) + Z-d(zx — z)j.

Bildet aber S mit den Achsenrichtungen die Winkel a, ß, so ist, wenn X, y, z bezw. xx, yx, zx die Koordinaten von m und mx, a ihre Entfernung:

Fig. 163.

Hl.

dsi

-X

aber

Die Arbeitsumme an beiden

rnx

X= 5 cos a = S

xx — X

Y = S cos fi = S

a,

Z — S cos y — S

zx — z

- Daher kann man schreiben: d^i = — y-</{(.r, — æ)- + (у\ — уУ + (zj — г)²}, oder,

weil æx —æ, ух —у und zx —z die drei Projektionen von a:

:— 2 ci'da =

— S-da.

d%i — — —- d (a~) —

La

Ist also der Abstand a der beiden Punkte veränderlich, so verrichten die inneren Kräfte S eine Arbeit; dies wird gelten für elastisch-feste    Körper, die    während der    Betrachtung ihre Form

ändern. Für starre Körper aber ist da — 0, mithin auch d%i — 0. Also :

Bei starren Körpern ist die Zunahme an Arbeitsvermögen gleich der Arbeitsumme der äusseren Kräfte.

2)

m V- — Z Vs шс² = Z 91/,.

Hatte ein starrer Körper zu Anfang keine Bewegung, war die Geschwindigkeit aller Punkte Null und überlässt man ihn der alleinigen Einwirkung der Schwere, so führt er (nach S. 142/3) eine lothrechte Verschiebung aus, bei welcher der Schwerpunkt und somit auch jeder andere    Punkt eine    lothrechte,    gleichförmig

beschleunigte    Fallbewegung    hat. Die    Arbeit der    Schwerkräfte

richtet sich (S. 141) allein nach der Senkung h des Schwerpunktes und beträgt Mgh. Da in einem Augenblicke sämmtliche Punkte dieselbe Geschwindigkeit haben, so ist einfach l/2 Mv²— V-2 Mc² — Mgh, genau wie beim Massenpunkte.

Wird der Körper aber in schräger Richtung so fortgeworfen, dass zu Anfang die Bewegung ebenfalls ohne jede Drehung erfolgt, dass also sämmtliche Punkte die gleiche Geschwindigkeit c haben, so muss (unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes) die weitere Bewegung ebenfalls eine Verschiebung sein, und zwar wird der Schwerpunkt,    und damit    jeder andere    Punkt, die    Wurfparabel

(S. 49) beschreiben, genau wie ein einfacher Massenpunkt.

II A. Gleichgewicht starrer Körper.

I. Gleichgewichts-Bedingungen.

Man bezeichnet einen Körper als im Gleichgewichte befindlich, wenn seine sämmtlichen Massenpunkte im Gleichgewichte sind, d. h. eine geradlinig-gleichförmige Bewegung' ausführen, oder (als Sonderfall) in Ruhe sind; in letzterem Falle haben sie weder Geschwindigkeit noch Beschleunigung. Solcher Gleichgewichtszustand besteht offenbar, wenn der Körper eine gleichförmige und geradlinige Verschiebung erleidet, u. zw. ist eine derartige Verschiebung auch die einzige Möglichkeit des Gleichgewichtes. Man könnte vielleicht meinen, dass die Punkte eines Körpers sich auch geradlinig bewegen könnten, ohne dass diese Bahnlinien nothwendig einander parallel sein müssten, doch lässt sich zeigen, dass dies bei starren Körpern nicht möglich ist.

Denkt man sich den Punkt B (Fig. 164) längs einer Geraden AY, den Punkt C längs einer Geraden AX geführt und haben В und G eine unveränderliche Entfernung, so wird ein beliebiger Punkt P der Verbindungsgeraden, der von В und C um а bezw. b absteht, eine Ellipse beschreiben.

Nennt man nämlich die auf AX und A Y bezogenen schiefwinkligen Koordinaten des Punktes P x undy, setzt AB—y — u,

AG—x = v, so ist in dem Dreiecke BPQ, A a² = u² -j- x²— 2 их cos а.

Ferner ist nach der Figur u:y — a:b; setzt man dies ein, so wird

+ X- — 2— yx cos а,

^! + f!

b¹ ^ а²

Dies ist die Gleichung einer Ellipse. Führt man also 2 Punkte A und В eines starren Körpers in nicht parallelen Geraden, so

Fig. 1(34.

\P

а² —

oder

У!

■x

bewegen sich die sonstigen Punkte der Geraden AB nicht in geraden Linien. Nur wenn die Führungslinien der Punkte A und В parallele Gerade sind (Fig. 165), beschreibt auch jeder andere Punkt der AB eine Gerade. Ein Körper ist also nur im Gleichgewichte bei einer gleichförmig - geradlinigen Verschiebung oder beim Ruhezustände (Verschiebung mit der Geschwindigkeit und Beschleu- 4 nigung Null). Hierbei haben alle Massenpunkte die Beschleunigung Null, es sind mithin alle Er- p gänzungskräfte Null. Nach dem Satze d’Alembert’s (S. 141/2) müssen sich also sämmtliche äussere Kräfte schon unter sich allein aufheben.

Fig. 165.

Umgekehrt folgt aber aus dem gegenseitigen Aufheben der äusseren Kräfte noch nicht, dass der Körper im Gleichgewichte sei; vielmehr muss dazu ausserdem noch die Bedingung erfüllt sein, dass der Körper auch zu Anfang keine Drehbewegung hatte. Ist im Anfänge Ruhe oder gleichförmige geradlinige Verschiebung, also Gleichgewicht, vorhanden, so wird dieses andauern, solange sich die äusseren Kräfte aufheben. Etwaige äussere Kräfte lassen sich am starren Körper auf eine Mittelkraft R und ein Achsenmoment ütt zurückführen; und weil R und äft im Allgemeinen nicht vereinigt werden können, so ist zum Aufheben der gegebenen Kräfte erforderlich, dass gleichzeitig R = 0 und äft = 0 sei, und dies ist nach Gleichung 1, 2, 3, 4, 6 (S. 112) nur möglich, wenn

3) ZK cosy — 0 ;

6) m: = o.

1) ZK cos а = 0 ; 2j Z К cos ß — 0 ;

5) W, = 0;

4) Шх = 0:

Mit Rücksicht auf die Bedeutung von u. s. w. nach S. 114 kann man also aussprechen:

Die an einem starren Körper wirkenden Kräfte heben sich auf, wenn in Bezug auf ein beliebiges Achenkreuz

1.    die algebraische Summe der bei rechtwinkliger Zerlegung parallel zu jeder Achsenrichtung fallenden Seitenkräfte Null ist, und wenn zugleich

2.    die algebraische Summe der Momente der Kräfte in Bezug auf jede der Achsen Null ist.

Für Gleichgewicht haben also die äusseren Kräfte im Allgemeinen sechs Bedingungen zu erfüllen.

Liegen die Kräfte aber durchweg in derselben Ebene, so wähle man diese zur xy-Ebene; es fällt dann die Gl. 3 (S. 148) aus, weil in der 2-Richtung überhaupt keine Seiterikräfte sich ergeben; auch die Momentengleichungen 4 und 5 fallen fort, weil die in der xy- Ebene liegenden Kräfte in Bezug auf die x- und y -Achsen, welche mit ihnen in derselben Ebene liegen, keine Momente haben (S. 100). 9Kf bedeutet dann die Momentensumme für einen beliebigen Punkt der Kräfteebene. Ausserdem wird noch cos ß = sin a, und os verbleiben die drei Bedingungen:

7)

I’Xcosa^O; JJVsina = 0;    9Л, = IKl = 0.

Liegt die x- Achse wagerecht, die y -Achse lothrecht, so heissen die Bedingungen in Worten:

Die algebraische Summe aller wage rechten Seitenkräfte, die algebraische Summe aller lothrechten Seitenkräfte und die Momentensumme für einen beliebigen Punkt der Ebene müssen Null sein.

2. An einem Punkte befestigter Körper.

Ist ein Punkt A eines starren Körpers unwandelbar befestigt und soll der Körper in Ruhe bleiben, so muss der Punkt eine Widerstandskraft W leisten, welche den sonstigen an dem Körper auftretenden Kräften das Gleichgewicht hält. Sind diese Kräfte nur Schwerkräfte, so lassen sie sich zu dem durch den Schwerpunkt S gehenden Gesammtgewichte Q zusammensetzen. Es muss daher W genau das Entgegengesetzte von Q sein.

Fig. 16Я.

Daher muss der Befestigungspunkt A in der Schwerpunkts - Lothrechten des Körpers liegen.

AS

//

T

VQ,

Hierbei verhält sich aber der Körper, wenn er durch eine Verrückung aus der Gleichgewichtslage gebracht wurde, verschieden, je nach der Höhenlage des Befestigungspunktes A.

Lag nämlich beim Ruhezustände der Befestigungspunkt A oberhalb des Schwerpunktes (Fig. 166), so kann der aus der Ruhelage in die punktirte schräge Lage gebrachte Körper, wenn man ihn loslässt.

nicht mehr im Gleichgewichte sein, weil Q nicht durch A hindurchgeht. Vielmehr dreht sich nun der Körper um den Befestigungspunkt und kommt (nach einer gewissen Anzahl Schwingungen) erst wieder zur Ruhe, wenn er die ursprüngliche Lage wieder erreicht hat. Er kehrt also unter Einwirkung der Schwere in den früheren-Gleichgewichtszustand zurück, deshalb nennt man diesen einen sicheren (stabilen) Gleichgewichtszustand.

Im Ruhezustände geht hiernach die Schwerpunkts-Lothrechte durch den Aufhängepunkt. Hängt man daher einen Körper nach einander in verschiedenen Punkten A und В auf, so bestimmt sich dadurch in jeder Ruhelage eine Gerade, die den Schwerpunkt enthalten muss. Mittels zweimaliger Aufhängung kann also der Schwerpunkt eines Körpers durch Versuche gefunden werden.

Fig. 167.

-----N

S Qy~:

/ ;

y>

Lag der Befestigungspunkt A lothrecht unter dem Schwerpunkte (Fig. 167), so kann der Körper nach einer seitlichen Verrückung nicht wieder von selbst in die ursprüngliche Lage zurückkehren, vielmehr entfernt sich der Körper gänzlich aus der früheren Lage und sucht sich eine neue sichere Gleichgewichtslage, wobei der Schwerpunkt unterhalb S zu liegen kommt. Der anfängliche Zustand heisst dabei ein unsicherer (labiler) Gleichgewichstzustand ; derselbe kann nur durch vorsichtiges Balanciren erhalten werden. Unentschieden (indifferent) heisst der Zustand, wenn der Befestigungspunkt A mit dem Schwerpunkte zusammenfällt (Fig. 168). In diesem Falle besteht bei jeder Richtung des Körpers Gleichgewicht.

Fig. 168.

l/w A aIs

QV

Zu beachten ist noch, dass im sicheren Gleichgewichte der Schwerpunkt so tief wie möglich liegt, dass bei einer Verrückung aus derselben der Schwerpunkt gehoben werden muss, wozu ein äusserer Arbeitsaufwand nöthig ist. Beim unsicheren Gleichgewichte liegt der Schwerpunkt so hoch wie möglich.

Bei einer Störung desselben verrichtet die Schwerkraft positive Arbeit und erzeugt Geschwindigkeit; die . Wiederherstellung des Gleichgewichts verlangt Hebung des Schwerpunktes, d. h. Aufwendung äusserer Arbeit. Beim unentschiedenen Gleichgewicht ist zu einer Drehung um den Schwerpunkt Tv.eder positive noch negative Arbeit erforderlich.

Die Befestigung eines Körpers an nur einem Punkte kommt ziemlich selten vor, ist auch gar nicht sehr einfach zu verwirklichen. Viel häufiger und einfacher ist die Befestigung an einer wagerechten geraden Linie, oder die Aufhängung eines Körpers an einer wagerechten Achse, etwa mittels Hindurchtreibens eines glatten, runden Drahtstiftes oder Hindurchsteckens eines glatten Bolzens durch ein cylindrisches Loch. Dafür gelten die vorstehenden Figuren ebenfalls, indem A die Projektion der Achse darstellt; die Bedingungen für die verschiedenen Arten des Gleichgewichts sind die gleichen.

Fig. 169.

Unterstützte Körper. Ähnliche Betrachtungen gelten für den Gleichgewichtszustand eines Körpers, der sich mittels kugelförmiger Fläche auf eine wagerechte Ebene stützt (Fig. 169). Hierbei geht der Normal widerstand N durch den Krümmungsmittelpunkt О der Kugelfläche hindurch, auch wenn man den Körper etwas aus der aufrechten Lage entfernt (Fig. 170), und dieser Punkt О tritt nun für die Beurtheilung der Sicherheit .    .    .

Fig. 170.

,o

so

des Gleichgewichtes an die Stelle des Befesti-gungspunktes A. Stellt man den Körper schief durch Drehung nach rechts, so geht der Normal widerstand N nicht mehr durch И, sondern durch den neuen Berührungspunkt В, stets aber auch durch O. N und Q bilden ein Kräftepaar, welches den Körper, falls S unterhalb О lag, in die Gleich-gewichslage zurückführt; zugleich hat S in der Gleichgewichtsstellung die tiefste mögliche Lage, und zur Störung des Gleichgewichtes ist äusserer Arbeitsaufwand erforderlich. Das Gleichgewicht war daher ein gesichertes. Liegt S oberhalb О, so entspricht dem Gleichgewichte die höchste msśmm. mögliche Lage von S, das Gleichgewicht ist ein unsicheres. Fallen S und О zusammen, so ist das Gleichgewicht unentschieden, bleibt auch nach einer kleinen Drehung noch bestehen.

Die Vertauschung der unteren Kugelfläche mit einer Cylinderfläche entspricht der obigen Ersetzung eines Befestigungspunktes А durch eine Drehachse.

Eine homogene Kugel befindet sich auf wagerechter Ebene im unentschiedenen Gleichgewicht, ebenso ein Cylinder. Halbkugel und Halbcylinder aber sind im sicheren Gleichgewichte.

Besteht der Aufsatz aus einem Cylinder, so ist die Bedingung für unentschiedenes Gleichgewicht

Fig. 174.

o<

Beispiel: Wie hoch muss in Fig. 171 der Kegel sein, damit der aus Halbkugel und Kegel bestehende Körper im unentschiedenen Gleichgewichte sei? Der Gesammtschwerpunkt S muss in О liegen, und dazu ist erforderlich (S. 126/7)

Mx ■ SSX = M₂ ■ ss₂.

Die Dichte des Kegels sei yx, die der Kalbkugel y₂, dann kann man statt des Verhältnisses der Massen das Verhältnis der Gewichte setzen, und weil SSX = "*/4 h, SS₂ = ³/s r (S. 137/8), so wird r² 7Г h h

n — T - П

Fig. 171.

Fig. 172.

Y«,

Ol CO

¹1V

Daraus folgt h²

r².

Sind die Einzelkörper aus demselben Stoffe, so wird h² = 3 r². entsprechende Kegelseite wird dann —2 r, die Projektion des Kegels also ein gleichseitiges Dreieck (wie in Fig. 171 und 172 gezeichnet).

Fig. 173.

Die

Ist aber der Kegel aus Holz, die Halbkugel aus Metall, etwa mit = 9^, so wird

h = 3 r }/~3 = 0,20 r .

Soll das Gleichgewicht sicher sein, so muss man h kleiner machen.

\\

AW

/,/

Qf

h’~fr-

Fig. 173 zeigt den sicheren Gleichgewichtszustand einer Halbkugelschale. Ist bei einer solchen die Wandstärke gering, so liegt der Schwerpunkt nach S. 136 im Abstand l/t r vom Mittelpunkt О .

Fig. 174 (aus Ritter’s Mechanik entnommen) zeigt, wie der obere Körper mit hoch liegendem Schwerpunkt Sx durch starre Verbindung mit einer tiefer liegenden Kugel S2 zu einem zusammengesetzten Körper mit dem Schwerpunkte S und mit sicherem Gleichgewicht umgeändert werden kann.

3. Hebel.

Ein Hebel ist ein fester Körper, der nur um eine feste Achse О drehbar und zum Angriffe verschiedener Kräfte eingerichtet ist. Das eigene Gewicht wird ebenso wie jede andere am Hebel auftretende Kraft behandelt und kann häufig gegen die sonstigen Kräfte vernachlässigt werden.

Die Kräfte mögen sämmt-lich in der Bildebene, rechtwinklig zur Achse О liegen (Fig. 175). Die Achse, völlig glatt angenommen, leistet einen durch die geometrische Drehachse gehenden Widerstand W, der nach Grösse und Richtung unbekannt ist, für welche beiden Unbekannten aber besser die beiden Seitenkräfte Wx und Wy eingeführt werden. In dem Falle der Fig. 175 heisst die Gleichung der wagerechten Kräfte

Wx + Kx cos ocj — K₂ cos oc₂ = 0, die Gleichung der lothrechten Kräfte

Wy + Kx sin otj + K₂ sin ax — K₃ = 0 ;

die Gleichung der Momente wird am besten auf die wirkliche Drechachse bezogen, weil dann Wx und Wy in ihr nicht Vorkommen, sondern nur die bewegenden Kräfte K. Es ist

О = — Kxlx + K₂U — K₃l:i.

Häufig kommt es auf die Kenntnis des Widerstandes W der Drehachse nicht an; dann ist letzte Gleichung die allein mafs-gebende: Bei einem Hebel muss für den Gleichgewichtszustand die Momentensumme aller Kräfte in Bezug auf die Drehachse Null sein. Oder die Kräfte К müssen eine durch О gehende Mittelkraft haben.

Fig. 175.

1)

2)

.3)

Kź

Wx

*4/

z.

Sind sämmtliche Hebelarme gegeben, auch die beiden Kraftgrössen K₂ und АГ₃, so ist durch die Momentengleichung Kx bestimmt. Hiernach kann man dann aus den Gleichungen 1 u. 2 auch Wx und Wy berechnen. Die für die Momente in Frage kommenden Hebelarme sind im Allgemeinen nicht die Abstände

der Angriffspunkte der Kräfte von der Drehachse, sondern die rechtwinkligen Abstände der Kraftrichtungen von der Drehachse.

Fig. 177.

fKt

Fig. 176.

Fig. 176 zeigt die Vereinigung zweier Hebel zu einem Nussknacker, Fig. 177 einen um 0 drehbaren Pumpenschwengel; Kx ist die Triebkraft, K₂ der Widerstand der Pumpenstange.

4. Hebelwaagen.

Fig. 178.

S)B

Пр

Gleicharmige Hebelwaage. Der Waagebalken ist mit einer wagerechten Drehachse О versehen (Fig. 178), welche zur Verminderung der Reibung durch eine auf eine sog. Pfanne sich stützende Stahlschneide gebildet wird. Bei A und В sind in gleichen Abständen l von О ebenfalls Schneiden angeordnet, an denen gleich schwere Waagschalen aufgehängt sind. Die geometrischen Drehachsen А, О und В mögen in einer Flucht liegen. Es ist zunächst erforderlich, dass der Waagebalken unter der Last der beiden gleich schweren Schalen sich wagerecht stelle und diese Stellung durch einen Zeiger Z markire. Diese Bedingung wird, wie sich aus dem Folgenden ergiebt, erfüllt, wenn der Waagebalken für sich allein, d. h. ohne die Waagschalen in sicherem Gleichgewicht ist, wenn also sein Schwerpunkt S um eine Grösse h unterhalb der Drehachse О liegt, im Ruhezustand üben die bei A und В angehängten Waagschalen auch gleiche Kräfte auf den Balken aus und halten ihn im Gleichgewichte. Dasselbe gilt, wenn die Waagschalen mit Körpern von gleichem Gewichte belastet werden. Ist aber der Körper vom Gewichte Q auf der rechten Seite schwerer als das Gewichtsstück P

auf der linken (Fig. 179), sc entstellt eine Drehung des Balkens, bei der die rechtseitige Schale sinkt; weil aber S unterhalb О liegt, so tritt nun das Gewicht G des Balkens auf die linke Seite und kommt mit seinem Momente dem der kleineren Belastung zu Hülfe, so dass bei einem bestimmten Ausschlagwinkel a wieder sicheres Gleichgewicht eintritt. Die Beziehung zwischen dem Gewichtsunterschiede Q — P und dem Winkel a ist sehr einfach, wenn А, О und В in einer Geraden liegen, ist aber o-auch nicht schwierig, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist. Hier soll nur der einfachste Fall betrachtet werden.

Fig. 179.

—l-Cl

г/д

Da es nur auf den Gewichtsunterschied ankommt, so mögen die Gewichte der Schalen und Ketten in P und Q mit enthalten sein. Dann entsteht die Momentengleichung Ql cos а = PI cos а + Gh sin a, oder

1)

Q — P= G^- tg а .

Bei der vorausgesetzten einfachen Anordnung ist der Gewichtsunterschied Q — P mit der Tangente des Ausschlagwinkels verhältnisgleich. so dass aus der Beobachtung von а der Unterschied Q — P ersehen werden kann.

100

Beispiel: Es sei G (Gewicht des Waagebalkens) = 2 kg, h = 1,5 cm, Z== 30 cm, а = 6°, tg а = 0,i, dann ist Q — P= 2    • 0,i

Einem Winkel von 6° muss also an der Zeigertheilung die Bezeichnung 10 g entsprechen.

Fig. 180.

'h

Beim Gebrauche der Waage kann natürlich die Gleichgewichtsstellung nicht sofort eintreten; es muss aber dann ein Moment vorhanden sein, welches die Waage zum Einspielen bringt. Unter Einspielen versteht man das Schwingen um eine sichere Gleichgewichtslage, das Bestreben, dieselbe einzunehmen.

Q,

Einem Gewichtsunterschiede Q — P möge ein Ausschlagwinkel a entsprechen, so dass Gh — (Q — P)/:tga. Beträgt dann der augenblickliche Abweichungswinkel von der Wagerechten ß und hält man die Waage für einen Augenblick fest, so entsteht, wenn ß > а gedacht wird,

ein links herum drehendes, nach der Gleichgewichtslage treibendes Moment

— Gh sin ß — (Q — P) l cos ß.

Setzt man hierin den vorstehenden Werth für Gh ein, so wird

sin ß — (Q — P)l cos ß

= (Q-ni«»ß(

tga

Hiernach ist 9JÎ Щ 0, wenn ß^n. 9J? nennen wir das Einspielungs-Moment.

Da Q— P für Gleichgewicht verhültnisgleich mit tga, wobei tg a zwischen 0 und сю jeden Werth haben kann, so kann man theoretisch jeden beliebig grossen Gewichtsunterschied Q — P mit Hülfe des Ausschlagwinkels a messen, kann also ein Gewichtsstück P ganz entbehren, Q allein durch а ermitteln. Nach diesem Grundgedanken ist eingerichtet die

Zeigerwaage, welche zum Wägen von Briefen, Garnen, Papieren bestimmt ist. Fig. 181 entspricht einer Garnwaage, bei welcher keine Schale benutzt, sondern das Garn unmittelbar an dem rechtsseitigen Haken aufgehängt wird. Die Fig. 181 stellt den unbelasteten Zustand dar, wobei der Zeiger auf Null steht; der Schwerpunkt S des Waagebalkens muss entsprechend um h lothrecht unter der Drehachse О liegen. Wird bei A ein Gewicht Q eingehängt, so bildet sich eine neue Gleichgewichtslage mit einem Ausschlagwinkel а, um den sich der ganze Hebel АО В verdreht und der an der Theilung messbar wird. Für die Momentengleichung ist nur die Lage der Punkte А, О und S    Ą

(Fig. 182) mafsgebend, und es wird Ql cos а = Gh sin a p

oder Q —    entsprechend Gl. 1, S. 155 für P= 0. G

Fig. 181.

'S

X.

'X'

Fig. 182.

Û’

Gh:l ist ein unveränderlicher Festwerth für eine bestimmte Waage. Auf dem Kreisbogen wird man bei den Theilstrichen nicht Zahlen für die Winkel a, sondern sogleich für die entsprechenden

Gewichte Q einritzen. Die Theilung ist dann selbstverständlich nicht gleichmässig, da mit wachsendem Winkel die Tangente immer schneller wächst. Die Gewichtstheilung wird daher mit zunehmendem a enger und enger werden; darin findet dann die Anwendbarkeit der Waage ihre Grenze.

Beispiel: Entspricht z. B. einem Gewichte von 10g ein Ausschlag von

10°, so ist

10 = Ćr -y- tg 10° — 0,176 G .

Will man nun die Ausschlagwinkel für Vielfache von 10 g haben, so hat man zu bedenken, dass tg n mit Q verhältnisgleich wächst

Für 20 g    ist    tg    a —    2 • 0,i76 = 0,352;    a = 19° 24',

tg a = 3,52; « = 74° 9', 79° 17', tga= 7,04; 7. = 81° 55', 83° 31',

„    1000 g    „    tg    a =    17,60 ;    a    =    86 ⁰ 45 '.

Während also die Theilstriche für Null und für 100 g um 60° von einander abstehen, sind die für 500 und 1000 g nur 3° von einander entfernt.

Die Theilung der Waage kann man leicht durch Zeichnung finden, indem man bei der Nullstellung des Zeigers OB eine Tangente an den Theilkreis vom Halbmesser?⁻ legt (Fig. 181). Trägt man von OB aus den Winkel von 10 Graden ab, welcher dem Gewichte von 10 Grammen entsprach, so bekommt man auf der Berührungsgeraden sofort r-tgl0°. Dieses Mafs r tg 10° = 0,ne r hat man dann auf der Berührungsgeraden 100 Mal abzutragen bis zu einer Länge = 17,6 r. Zieht man nun von der Achse 0 aus Strahlen nach diesen Theil-punkten, so bekommt man auf dem Theilkreise die Striche, welche den Gewichten bis 1000 g zugehören.

Bei der Schnellwaage (Fig. 183) wird nicht der Ausschlag

Fig. 183. o

!<r-CI- —^-#T-

k~h^

winkel a benutzt, vielmehr dient zum Abwägen ein der Grösse nach unveränderliches, auf dem wagerecht einzustellenden Hebel aber ver-

dü

schiebbares, sog. Laufgewicht. Es liegt bei dieser Waage der Schwerpunkt S des unbelasteten Waagebalkens nicht lothrecht unter der Drehschneide O, sondern um c nach rechts und um h nach unten. Die Grosse h ist, wie sich zeigen wird, für das Einspielen massgebend.

Ist К das Gewicht der leeren Schale, so gilt für das Gleichgewicht mit angehängter leerer Schale

1)

Kd — Gc ~1- Pb.

Legt man dann noch die L$st Q auf die Schale, so muss das Laufgewicht P um x nach rechts verschoben werden, und wenn dann wieder eine wagerechte Ruhestellung des Hebels erreicht ist, so gilt dafür

2)

(K -f- (£) d = G с P {b x) \

nach Abziehen der früheren Gleichung bleibt

3)

Qa = Poe, mithin Q = Px : а.

P:a ist der Festwerth der Waage, Q mit x verhältnisgleich, die Theilung des Laufhebels also gleichmässig.

Bringt man die für wagerechte Ruhestellung belastete Waage durch Rechtsdrehung um den Winkel a aus dem Gleichgewichte, so ist dazu ein Moment ffl aufzuwenden, welches man leicht findet zu ЭЛ = (K -h Q) a cos a —■ P (b + x) cos а — Gc cos а + Gh sin a. Führt man hierin Gl. 2 ein, so bleibt 5Ш = G h sin а als Ein-spielungsmoment, welches also ein positives h bedingt, aber von c unabhängig ist.

Alle diese Waagen, bei denen zur Ausführung der Wägung Gewichtstücke oder das eigene Gewicht eines Th eiles der Waage (des Balkens) benutzt werden, liefern nicht eigentlich das wirkliche Gewicht des vorliegenden Körpers, d. h. die Grösse der Anziehungskraft, welche der Körper von der Erde erfährt, sondern nur das Verhältnis seines Gewichtes zu dem Gewichte eines anderen Körpers an derselben Stelle der Erdoberfläche. Ein Körper, welcher eine richtige gleicharmige Hebelwaage mit einem Gewichtstücke von der Bezeichnung „1 Kilogramm“ auf der anderen Seite wagerecht (bezw. auf Kuli) stellt, erfährt am Meeresspiegel unter 45° geogr. Breite von der Erde eine Anziehungskraft = lks, am Äquator aber beträgt die Schwerkraft des Körpers sowohl wie des Gewichtstückes nach S. 94 nur 0,997 k*. Eine solche Wägung stellt also eigentlich die Masse eines Körpers fest; so ist die Masse des eben beschriebenen Körpers ebenso wie diejenige des Gewichtstückes auf Grund der in diesem Buche gewählten Einheiten (S. 34) 1 :g — 1:9,806 Masseneinheiten, u. zw. unveränderlich an jeder Stelle der Erde und des Weltenraumes.

Federwaagen dagegen, welche durch bestimmte Kräfte eine bestimmte, ablesbare Formänderung erleiden, zeigen die auf einen Körper ausgeübte Schwerkraft. Eine Federwaage deren Theilung an einem Ort angefertigt war, wo die Fallbeschleunigung 9,806 beträgt, wird an diesem Ort unter einer Belastung mit einem Gewichtstücke der Bezeichnung „1 Kilogramm“ oder mit l¹ Wasser die Schwerkraft zu 1 angeben, wird aber am Äquator unter derselben Last nur 0,997 kg zeigen. Beim Kauf und Verkaufe kommt es im Grunde genommen auf die Masse eines Körpers an. Für den Käufer sind daher solche Federwaagen nachtheilig, die an einem Orte getheilt wurden, wo die Fallbeschleunigung kleiner ist als an dem Gebrauchsorte. Eine Federwaage, deren Theilung am Äquator angefertigt wurde, die also dort unter Belastung mit 1 ¹ Wasser von 4° C. oder einem ebenso schweren Gewichtstücke der Bezeichnung „1 Kilogramm“ die Schwęrkraft mit 1 ablesen liess, wird unter Belastung mit dem gleichen Körper oder einem Körper gleicher Masse unter 45° geogr. Breite die Schwerkraft zu 1,003 ks angeben, also schon durch eine Last von 0,997¹ Wasser zu einer Gewichtsangabe von 1 gebracht werden.

5. Zweifach befestigter bezw. unterstützter Körper.

Fig. 184.

°JB

Ist ein unter Einwirkung seines Gewichtes Q stehender Körper an zwei Punkten A und В befestigt (Fig. 184), so wirken an diesen Widerstände W und TT,, welche mit Q im Gleichgewichte sein müssen. Die Mittelkraft von W und Wx muss also das Entgegengesetzte von Q sein, oder es müssen W, \Y\ und Q in einer Ebene liegen, und zwar in einer lothrechten Ebene, weil Q, lothrecht ist. Da nun Q durch S geht.

rvS/

N.

W und Wx durch A bezw. В, so ist Ruhe des Körpers nur möglich, wenn der Schwerpunkt desselben in einer durch s und В gehenden lothrechten Ebene liegt. Nehmen wir an, diese Bedingung sei in Fig 184 erfüllt, dann stehen für die Ermittelung der unbekannten Widerstände W und W₁ nur die drei Gleichgewichts-

Bedingungen für Kräfte in einer Ebene (S. 149) zur Verfügung. Jeder Widerstand ist aber nach Grösse und Richtung unbekannt, oder hat, nach bestimmten Richtungen zerlegt, zwei unbekannte Seitenkräfte. Sonach liegen für die Ermittelung der Widerstände der Befestigungspunkte vier Unbekannte und nur drei Gleichungen vor. Die Aufgabe ist also mittels der Gleichgewichtsbedingungen allein nicht zu lösen, man nennt sie daher „statisch unbestimmt“, und zwar im Besonderen „einfach statisch unbestimmt“, weil gerade eine Gleichung zu wenig vorhanden ist. Man kann diese Unbestimmtheit auch geometrisch erkennen. W, VF, und Q müssen sich in einem Punkte schneiden, oder, da die Richtung von Q gegeben, VF und VF, müssen sich in einem Punkte der Geraden Q schneiden; in welcher Höhe dieser Punkt aber liegt, ist unbestimmt, richtet sich nach der besonderen Art, wie die Befestigung vorgenommen wurde, und ist im Allgemeinen nur schwierig, in vielen Fällen auch gar nicht festzustellen. Nimmt man einen Schnittpunkt C der Kräfte an, so sind die Richtungen von VF und VF, bestimmt, es ist dann leicht das Kräftedreieck der drei Kräfte für Gleichgewicht (S. 63) zu zeichnen, womit auch die Grössen von W und VF, feststehen. Ein anderer Punkt <7, aber liefert ein anderes Ergebnis für VF und VF,.

Fig. 185.

Ähnlich sind die Verhältnisse, wenn die Befestigung nicht an zwei Punkten A und B, sondern an zwei zur Bildebene rechtwinkligen wagerechten Achsen A und В erfolgt. Dann fällt die erste Frage, ob und wann der Körper im Ruhezustände sein kann, fort. Der Körper ist unwandelbar befestigt, an jeder Bewegung verhindert, — abgesehen vielleicht von einer Verschiebung längs der beiden Achsen, deren Möglichkeit für diese Untersuchungen keine Wichtigkeit hat

Q со*«!

h—

Qt

Über die Art der Unbestimmtheit der Aufgabe bekommt man einige Aufklärung, wenn man die Widerstände VF und VF, zerlegt, u. zw. in den bestimmten Richtungen von A nach В und rechtwinklig dazu (Fig 185). Nennt man die Seitenkräfte in der Richtung AB bezw. X und Xx, rechtwinklig dazu Y und F, und bedenkt, dass, wenn AB mit der Wagerechten

den Winkel et bildet, Q in Q sin a und Q cos a zerlegt werden kann, so lauten die Gleichungen der Kräftesummen in den beiden Achsenrichtungen

1)

2)

X+JTj — £sina = 0 Y + Yx—Q cosa = 0.

Die Momente beziehen wir zweckmässig auf eine der Befestigungsachen, z. B. A, weil dann die unbekannten Kräfte X, Xx und Y aus der Momentengleichung fortbleiben; auch führen wir in diese Gleichung zweckmässig die ursprüngliche Kraft Q, nicht aber ihre Seitenkräfte ein. Dann ist nach den Bezeichnungen der Figur

Q,a

3)

О = — Y₁ l + Qa oder Y, =

In den Gleichungen 2 und 3 kommen nur die Unbekannten Y und Yx vor, die daraus also zu bestimmen sind. Für X und Xx steht aber nur die Gleichung 1 zur Verfügung; von diesen Kräften ist also nur die Summe bestimmbar, nicht aber die einzelnen Antheile. In der Richtung AB kann der Körper bei der Befestigung jede beliebige Anspannung erfahren, die sich im Allgemeinen nicht erkennen lässt. Befestigt man z. B. ein hölzernes Brett mittels zweier Drahtstifte A und В an einer Holzwand, so kommt es bezüglich der Grösse von X und Xx auf die Art der Eintreibung der Drahtstifte an; durch die letzten Schläge kann man erreichen, dass zwischen den Stellen A und В in dem Körper eine innere Zugkraft oder Druckkraft entsteht, deren Grösse die Widerstände X und X, beeinflusst, bei Annahme starrer Körper aber völlig unbestimmbar ist.

Die in zweckmässiger Weise aufgestellte Momentengleichung 3 hat die gute Eigenschaft, dass darin nur eine einzige Unbekannte vorkommt. Setzt man Yx nach Gl. 3 in Gl. 2 ein, so entsteht

Hi-

Y = Q (cos oc

r)-«

4)

а b

Unmittelbar aber kommt man zu diesem Ergebnisse, wenn man die Gleichung der Kräftesumme in der Y-Richtung (Gl. 2) ganz fortlässt und dafür nochmals eine Momentengleichung anschreibt, jedoch in Bezug auf einen von A abweichenden Drehpunkt, den man so wählen muss, dass in der Gleichung womöglich nur diejenige Unbekannte

11

Keck, Mechanik I.

vorkommt, um deren Auffindung sichs gerade handelt, in diesem Fall also Y. Das wird erreicht durch die Wahl von В als Drehpunkt:

Fig. 186.

5)    0 = Yl — Qb oder Y=Q j.

wie in Gl. 4.

Von dieser Bevorzugung der Momentengleichungen in Bezug auf immer neue Drehpunkte wird in der Folge häufig Anwendung gemacht werden. Nur muss man nicht erwarten, dadurch die Zahl der überhaupt verfügbaren Gleichungen vergrössern zu können. Für das Gleichgewicht von Kräften in einer Ebene giebt es drei von einander unabhängige Gleichungen, mag man dieselben für Kräftesummen oder für Momente aufstellen. Vergrössert man die Zahl der Momentengleichungen durch Wahl immer neuer Drehpunkte, so bleiben die Gleichungen nicht mehr von einander unabhängig, so dass dadurch für eine unlösbare Aufgabe nichts gewonnen wird.

Die vorstehend behandelte Aufgabe verliert ihre Unbestimmtheit, wenn an einer der beiden Stellen, z. B. bei A, die Befestigung so geändert wird, dass über die Richtung des Widerstandes W keine Unbestimmheit herrscht, indem man, statt den hindurchgesteckten Bolzen oder Drahtstift von dem Körper rings umschliessen zu lassen, in dem letzteren etwa einen länglichen Schlitz anbringt. Hat der Schlitz, wie in Fig. 186, die Richtung von A nach В, so kann bei A ein Widerstand X gar nicht geleistet werden ; es wird X = О und Y=W; mithin .^ = <2sina, womit die Widerstände sämmtlich bestimmt sind.

Auch die geometrische Lösung ist jetzt leicht möglich: Verlängert man die nun gegebene Richtung von W bis zum Schnitte C mit Q, so sind W und Wy nach Fig. 184, S. 159, leicht bestimmt. Auch erkennt man, dass die zeichnerische Behandlung

--'"oś

-4Л

Kir

\v

Fig. 187.

иХ

Fig. 188.

\ '

VW

\Q+ '/

\i /4

B,

топ gleicher Einfachheit ist, welche Richtung auch der Schlitz haben mag, wenn man nur die Richtung eines der Widerstände W oder TFi bestimmt zu erkennen vermag (Fig. 187).

Fig. 189.

Fig. 190.

Y.

Fig. 191.

Г*-----?-------⁻

AW

<rO.

In Fig. 188 ist die Richtung von W durch den runden Auflagerungsbolzen A gegeben, dadurch der Punkt C und die Richtung von Wx bestimmt, und man erkennt, dass nun auch eine völlige Umschliessung des Bolzens В nicht mehr nöthig wäre, sondern eine Stützung nach Fig. 189 für das Gleichgewicht hinreichen würde. Fig. 188 bietet nur eine grössere Sicherheit gegen Störungen des Gleichgewichts durch Erschütterungen, Stösse und das Hinzutreten neuer Kräfte. Scheinbar unwesentliche Änderungen der Form des Körpers in der Nähe der Unterstützungsstellen haben zuweilen sehr wichtige Folgen. Biegt man z. B. den Stab der Fig. 190 an seinem oberen Ende derartig um, dass er den Bolzen В mit einer wagerechten Ebene berührt (Fig. 191), so wird lothrecht, der Schnittpunkt von Q, und WY rückt in unendliche Ferne, und dadurch wird W ebenfalls lothrecht, so dass nun die in Fig. 190 erforderlich gewesene seitliche Sicherung bei А entbehrlich wird. Die Grössen von W und ergeben sich mittels der Momentengleichungen zu W = Qb: l; Wl = Q - a:l.

~b-*f

Fig. 192.

⁶    В

fQ

Auflagerung der Dachsparren auf Dachpfetten. Die Dachpfette möge die Form eines aufrecht stehenden Rechtecks haben (Fig. 192); der Sparren sei für die Auflagerung entsprechend ausgeschnitten. An den lothrechten Berührungsstellen kann keine Kraft auftreten, denn es müsste H Hl — 0 sein, und weil keine dieser Kräfte negativ werden kann, so müssen beide Null sein. An den wagerechten Berührungsstellen treten die lothrechten Widerstände A und В auf, die sich genau berechnen wie im vorhergehenden Falle.

Das Gewicht der Dachsparren übt daher auf die die Pfetten tragenden Wände nur lothrechte Drücke (das Entgegengesetzte von A und В) aus, wenn man von der Reibung absieht.

Fig. 193.

rU

' fQ j

Anders ist aber die Sache, wenn die Pfetten für die Auflagerung der Sparren schräg abgeschnitten sind (Eig. 193). Ist dann etwa nur bei В eine Nagelung ausgeführt, nicht aber in A, so werden die Widerstände W und W₁ beide schräg.

Die Entgegengesetzten derselben wirken auf die Tragwände der Pfetten.

Fig. 194.

T Jß

-----ry—-----^

>A

■j

Die Richtung der Widerstände wird durch die gegenseitige Höhenlage der Stützflächen nicht beeinflusst; besonders häufig ist die Auflagerung eines wagerechten Balkens auf zwei Stützflächen (Fig. 194). Dann wird wiederum, wenn Q, das Gesammt-gewicht des Balkens (einschl. etwaiger Last) bezeichnet,

VQ

A-Q±-,B-Q±.

Fig. 195.

-s*-

З-Ь—>

Liegt die Last Q in der Mitte, so ist natürlich A = В = l/2Q; rückt dann die Last näher an das linke Auflager, so wird dieses mehr belastet, das andere weniger. Der Abstand l der beiden Auflager drücke ist die rechnungsmässige Spannweite des Balkens. Um die Formel В = Qa(l ohne Weiteres zu erkennen, denke man sich den Balken als Hebel mit dem Dreh-punkte bei A und stellt sich die Kraft В als Hubkraft einer Hand vor, dann erscheint а : l sofort als das Hebelverhältnis.

'iQ

Eine Thür (Fig. 195) stützt sich drehbar auf zwei Zapfen. Das den Zapfen um-schliessende Thürband berührt die Cylinder-fläche und erfährt von dieser einen wagerechten Widerstand Y; es stützt sich aber auch auf die untere Verdickung des Zapfens und erfahrt dort einen lothrechten Widerstand X. Daher treten an jedem Zapfen zwei unbekannte Kräfte auf. Wäre die Thür

nur bei В gehalten, so würde sie durch Q rechtsherum gedreht werden; dem muss bei A ein nach links gerichteter Druck Y widerstehen. Nach der Gleichung der wagerechten Kräfte muss bei В der gleiche Druck Y nach rechts wirken. Die Gleichung der lothrechten Kräfte verlangt X + X₁ — Q, ; weiteres ist über X und X₁ nicht zu finden: wie sich das Gewicht Q auf beide Zapfen vertheilt, hängt von kleinen Zufälligkeiten der Ausführung ab.

Y ist aber durch die Momentengleichung, etwa um B, leicht zu berechnen: 0 =    — Yh, oder Y—Qb:h.

Bei näherer Besichtigung einer Thür wird man zuweilen finden, dass an einem der beiden Zapfen das Thürband mit der unteren Verdickung des Zapfens nicht in Berührung ist, dass daselbst ein Spielraum, eine offene Fuge sich zeigt. An einer solchen Stelle findet dann auch keine Druckübertragung statt, und es wird das Gewicht Q der Thür in solchem Fall allein von dem anderen Zapfen getragen.

Fig. 196.

In wichtigen Fällen, d. h. wenn grosse Kräfte auftreten, ist eine derartige Unbestimmtheit der Kraftwirkung zu vermeiden. Daher trifft man dann die Einrichtung so, dass die Kraft X nur an einer Unterstützungsstelle überhaupt auftreten kann, indem man an der anderen Stelle eine Berührung nur an der cylind rischen Fläche des Zapfens zulässt; z. B. an dem Drehkrahne (Fig. 196). Hier muss (mit Q = 3000, Q,l — 2000 k&)

----->

X— Q -+- Qi = 5000ks, und in Bezug auf den unteren Stützpunkt В

0 = — Y 4 + 2000-1,5 + 3000 -4,

,/i

Qf\

•4 Kr "f—yr

/0}    /

0<"""

Sw

УУ

J)

mithin Y = 3750 kg sein. Man kann die Aufgabe auch rein zeichnerisch lösen: Nach irgend einem Mafsstabe trägt man in einer Nebenfigur Ql und Q, zu einem Krafteck an einander, wählt einen beliebigen Pol O, zeichnet zu den Polstrahlen ein Seileck in der Hauptfigur, deren äusserste Seiten durch ihren Schnittpunkt die Lage des Gesammtgewichtes В = 5000 bestimmen. Mit dieser Kraft В müssen nun der wagerechte

Widerstand Y des oberen Lagers und der schräge Gesammtwider-stand W des unteren Lagers im Gleichgewichte sein, sich also auf ihr schneiden. Der Schnitt C von Y und В bestimmt sonach die Richtung BC von W. Zieht man im Krafteck JE F wagerechtr DF U BC, so ist DF= W und FE= Y.

6. Dreifach und mehrfach befestigter bezw. unterstützter Körper.

Hat ein Körper drei feste Punkte, so lässt sich der Widerstand jedes der Punkte in je ,drei Seitenkräfte zerlegen; man hat alsa 9 Unbekannte. Die Zahl der Gleichgewichts-Bedingungen beträgt im Allgemeinen 6 (S. 149), mithin fehlen 3 Gleichungen zur völligen Bestimmung der Kräfte, oder die Aufgabe ist dreifach statisch unbestimmt.

Fig. 197.

«t

I_________

¹.....^

i)

Ist aber der Körper ein nur lothrecht belasteter dreibeiniger Tisch oder Schemel, der sich an drei nicht in derselben Geraden liegenden Stellen auf eine wagerechte Ebene stützt, so sind von den drei Widerständen die Richtungen bekannt und die Grössen gesucht. Benutzt man die Lothrechte als г-Richtung, so sind von den 6 Gleichgewichts-Bedingungen (S. 148) benutzbar: Gl. 3, 4 und 5, und diese genügen zur Bestimmung der 3 Unbekannten; doch wendet man zur Ermittelung der Unbekannten vortheilhaft nur Momenten-Gleichungen an in Bezug auf Drehachsen durch je 2 Stützpunkte. Die lothrechten Widerstände А, В und C sind zu berechnen. Die Richtungslinie des Gewichtes Q des belasteten Tisches schneide die Unterstützungsebene in D (Fig. 197). Für die Achse AB gilt 0 = — C CF + Q DE, also C=QDF:CF.

In entsprechender Weise findet man A und B.

Ist der Tisch nur einfach auf den Boden gestellt ohne Bindemittel und ohne Verklammerung, so können die Widerstände nicht negativ werden. Es wird aber 0=0, wenn DE = 0, d. h. wenn

Q durch die Seite AB des Unterstütznngsdreiecks geht. Liegt D ausserhalb dieses Dreiecks, so ist Gleichgewicht nicht möglich, vielmehr kippt der Tisch dann um eine der Seiten des Dreiecks ABC.

Fällt I) in den Schwerpunkt des Dreiecks ABC, so wird С=¹/з0,, und ebenso gross werden A und В, so dass in diesem Falle das Gewicht sich gleichmässig auf die 3 Stützpunkte vertheilt.

Fig. 198.

Tritt zu dem Gewichte Q noch eine wagerechte Kraft AT(Fig. 198), so vermögen die lothrechten Widerstände nicht mehr, Gleichgewicht herbeizuführen, sondern es müssen an den Auflagerstellen noch wagerechte Widerstände hinzutreten. Diese werden in Wirklichkeit bis zu einem gewissen Grade durch die Reibung geliefert; wir wollen statt dessen hier annehmen, dass eine vorgelegte Leiste die Verschiebung hindere. Es ist dann ausser dem Ruhezustände nur ein Kippen um die Leistenkante möglich.

là-

шатчк

Ersetzt man Q und К durch ihre Mittelkraft R, welche rechts von A im Abstand r vorbeigeht, so wird

Cc = Rr oder C = Rr:c.

Gleichgewicht ist nur möglich, solange r positiv ist, d. h. solange R innerhalb des Unterstützungsdreiecks durch die Grundebene hindurchgeht. Zugleich ist aber auch Rr — Qa — Kh. Es ist also Gleichgewicht nur möglich, solange Qa>Kh. Qa heisst das Standsicherheitsmoment (Stabilitätsmoment) in Bezug auf die Kante A, Kh das Umsturzmoment. Der Körper ist nur in gesichertem Gleichgewichte, solange das Standsicherheitsmoment grösser als das Umsturzmoment.

Stützt sich ein Körper an mehr als drei Stellen auf eine wagerechte Ebene, so sind die Widerstände der Stützpunkte nicht mehr zu ermitteln. In geometrischer Beziehung ist dann die Ebene, in welcher der Körper die Unterstützungsfläche berührt, durch mehr als drei Punkte bestimmt, also ü b e r bestimmt, während, wenn die Unterstützungsstellen nicht genau eine Ebene bilden, ein Wackeln des Körpers bei Verschiebung der Last eintreten kann. Ein drei-beiniger Tisch kann nicht wackeln, ein mehrbeiniger aber bekanntlich sehr leicht; es hängt damit die Unbestimmtheit der Druckvertheilung zusammen.

Bezüglich der Sicherheit gegen ein Umsturzmoment gilt für einen vierbeinigen Tisch das Gleiche wie für einen dreibeinigen.

Fig. 199.

Kuht ein Körper unter Einwirkung seines Gewichtes Q mittels ebener Fläche auf wagerechter Ebene (Fig. 199), so müssen die lothrecht aufwärts gerichteten Widerstände der Flächentheilchen eine Mittelkraft N liefern, die durch den Schwerpunkt S des Körpers geht.

os

Nach welchem Gesetze sich aber N auf die Berührungsfläche vertheilt, ist statisch unbestimmt.

Fig. 200.

Da nun die Mittelkraft zweier Parallelkräfte gleichen Sinnes nach S. 102 zwischen den Parallelkräften liegt, so kann auch die Mittelkraft N nur innerhalb des Bereiches der Grundfläche liegen, oder es ist für Gleichgewicht erforderlich, dass die Schwerpunktslothrechte innerhalb des Bereiches der Grundfläche bleibe; andernfalls tritt ein Kippen um eine Drehkante ein, z. B. in Fig. 200 um A.

Hat aber der Umfang der Grundfläche einspringende Theile (Fig. 201), so ist nicht erforderlich, dass die Schwerpunktslothrechte durch die wirkliche (eng schraffirte) Berührungsfläche hindurchgehe; vielmehr erhält man den für die Standsicherheit mafsgebenden Bereich der Grundfläche, indem man die wirkliche Berührungsfläche so weit ergänzt, dass einspringende Winkel fortfallen. Denn eine Seite oder Tangente der Grundfläche kann nur dann zu einer Drehkante werden, wenn ihre Verlängerung die Berührungsfläche nicht mehr durchschneidet. Sämmtliche Tangenten, die man an den einspringenden Bogen FED der Figur legt, sind keine möglichen Drehkanten. Es muss daher die leicht schraffirte Halbkreisfläche FED mit zu dem Bereiche der Grundfläche gerechnet werden, aus dem die Schwerpunktslothrechte nicht hinaustreten darf.

Der Bereich der Grundfläche ist diejenige ebene Fläche, welche umschlossen wird von einer beweglichen Geraden, die die Unterstützungsfläche umhüllt, d. h. sich so um dieselbe bewegt, dass sie sie stets berührt, ohne sie aber zu schneiden.

А л

▼Q

Fig. 201.

■ßl

Ш\

vt

Bekanntlich kann ein zusammengebogenes Papier- oder Kartenblatt auf einem Tische sicher stehen, wiewohl die Schwerlinie nicht durch die schmale Auflagerfläche hindurch geht. Ebenso bildet bei dem Tische (Pig. 197, S. 166) die gesammte Dreieckfläche ABC den Bereich der Grundfläche.

Fig. 202.

Geht die Schwerpunkts-Lothrechte gerade durch eine mögliche Drehkante (Fig. 202), so ist der Ruhezustand unsicher. Der Widerstand des Bodens vertheilt sich nicht mehr über die Berührungsfläche, sondern wird nur noch von der Drehkante geleistet.

So

ШШШШ

VQ

Fig. 203.

l\

W\ А

Tritt zu dem Gewichte Q des Körpers noch eine beliebig gerichtete Kraft К hinzu, die mit Q in derselben Ebene liegt (Fig. 203), so kann man die Mittelkraft R beider bestimmen, und letztere muss durch den Widerstand W des Bodens aufgehoben werden, wenn der Körper in Kühe bleiben soll. Die seitliche Verschiebung im Sinne der wagerechten Seitenkraft von К sei durch einen Vorsprung am Boden verhindert; dann kommt nur noch die Möglichkeit der Drehung um die Kante in Frage, deren Verschiebung durch den Vorsprung gehindert ist. Der Boden kann innerhalb des Bereiches der Grundfläche jeden beliebigen Normalwiderstand N leisten, der Vorsprung einen seitlichen Widerstand von beliebiger Grösse; der aus beiden sich zusammensetzende Gesammtwiderstand W kann daher innerhalb des Bereiches der Grundfläche jede beliebige Grösse und Richtung haben, kann aber nicht aus diesem Bereiche heraustreten. Es muss daher die Lage von R die Unterstützungsebene gleichfalls im Bereiche der Grundfläche schneiden, wenn der Körper soll in Ruhe bleiben können. Ist der Hebelarm von Q in Bezug auf die Drehkante A (rechtwinklig zur Bildebene gedacht) wieder a, der der Kraft К aber Z, so ist wieder Standsicherheit vorhanden, wenn Qa> Kl, d. h. wenn das Sicherheitsmoment grösser als das Umsturzmoment. Für Kl — Qa geht die Mittelkraft R aus К und Q durch die Drehkante, und der Körper ist im unsicheren Gleichgewichte. Wird Kl im geringsten grösser als (*>а, so wird der Körper sich um die Kante A drehen.

Erfolgt diese Drehung, so beschreibt der Schwerpunkt S (Fig. 204) einen Kreisbogen um A, die Richtungslinie des Gewichtes Q rückt der Kante immer näher, das Moment von Q wird immer kleiner und endlich zu Null, sobald der Schwerpunkt in Sl lothrecht über A liegt. Setzen wir voraus, die umstürzende Kraft К nehme in der Weise ab, dass ihr Moment stets gleich dem Momente von Q in Bezug auf A sei, so wird das Moment ihrer Mittelkraft R stets Null sein, R also stets durch A gehen. Es wird dann ein langsames, allmähliches Aufkippen des Körpers möglich sein. Die hierzu von der Kraft К zu leistende Arbeit kann man leicht berechnen. Die Bewegung erfolge so langsam, dass bei der höchsten Lage des Schwerpunktes die Geschwindigkeit aller Punkte des Körpers Null sei. Dann ist, von der sicheren Ruhelage aus gerechnet, die Zunahme an Arbeitsvermögen Null. Mithin muss auch die Arbeitsumme Null sein. Nach S. 146 verrichten aber die inneren Kräfte die Arbeit Null, der in der Drehkante A auftretende Widerstand W verrichtet ebenfalls die Arbeit Null, weil sein Angriffspunkt sich nicht bewegt; mithin muss die Arbeit von Q und К zusammen Null sein. Bei einer Hebung des Schwerpunktes um hx ist aber (nach S. 141) die Arbeit der Schwerkraft —Qhx, folglich ist die zum völligen Aufkippen des Körpers erforderliche Arbeit

Fig. 204.

/Л

тт!Х:ст:...:тжштЯж

1)

Diese Arbeit heisst die dynamische Standsicherheit, sie kommt in Frage, wenn es sich darum handelt, ob ein Körper durch einen Stoss oder Wurf umzustürzen ist. In einem geworfenen Körper steckt ein bestimmtes Arbeitsvermögen; trifft er einen aufgestellten Körper, so kann ein gewisser Theil des Arbeitsvermögens zum Umstürzen wirksam werden.

Das Standsicherheits m о m e n t war das zum ersten Anheben erforderliche Moment und unabhängig von der Höhenlage des Schwerpunktes. Die zum völligen Aufkippen erforderliche Arbeit % aber ist auch von der Höhe y des Schwerpunktes abhängig. Es ist nämlich (Fig. 204)

— y.

AS = ASX — Y a² -j- y²; hv — A S{ — y — Y a² + y²

was man aber, wenn man mit Ya² + y² + y multiplicirt und dividirt, auch schreiben kann

lu =

a¹

Y a² + y² + y

, oder

2)

Y a² -h y² -f y

Man erkennt, dass bei gleich bleibendem a die Arbeit Sl um so kleiner wird, je höher der Schwerpunkt liegt. Körper mit hoch liegendem Schwerpunkte lassen sich also durch einen Stoss verhältnismässig leicht Umstürzen.

Fig. 205.

Beispiel: Ein parallelepipedischer Steinkörper (Fig. 205) von 1 X 1 X 2 m wiegt, wenn y — 2000 kg/сЪт, Q = 4000 kg. Liegt er mit einer Langseite auf dem Boden, so ist а = 0,sm, у = 0,5™, daher das Moment zum ersten Auf kippen    = Qa — 4000 • 0,5 = 2000

Oder es muss unter der linksseitigen Steinkante eine Hubkraft К = 2000 kg wirksam sein. Die Arbeit zum völligen Aufkippen, so dass er dann von selbst weiter umkippt, ist

21 == Qa

0,5

2000

Y o,6² + 0,5* + 0,5 yif+i

= 2000 • 0,4i4 = 828 ™kg.

= 2000 (Y2 — l)

Fig. 206.

Steht aber der Körper hochkantig, so ist a = 0,sm, y— lm, mithin 2Л ebenso gross wie vorher, dagegen 21 = Qa (]/~J -j- 4 — 2) = 2000 • 0,236 = 472 mkg, also erheblich kleiner.

Jl

JD.

nh

Eine Mauer von trapezförmigem Querschnitte (Fig. 206) habe eine Höhe h. eine obere Breite b; der Grundriss der geneigten Seite AD betrage nh; dann setzt sich das Standsicherheitsmoment aus den Beiträgen des A rechteckigen und des dreieckigen Theiles zusammen, in welche man den Querschnitt zerlegen kann. Für eine

In Bezug auf die Kante В:

Länge = 1 rechtwinklig zur Zeichenebene ist dann in Bezug auf die Kante A das Standsicherheitsmoment

ffla — yh {b (l/2 b + nh) -f- ¹/2 nh- ~/з 9г/ij — yh (V² Ъ² + b nh + l/'i n²li²}.

—    yh |V² b² + ]/2 nh (b + V³ wä)}

= /h IV² b² + V² b n h + ¹/б n²    ,

mithin SWa > SW₆, weil der Gesammtschwerpunkt näher an В als an A liegt. Würde man das Trapez mit einem flächengleichen Rechtecke von der Höhe h und der Breite b + x/2nh vertauschen, so betrüge das Standsicherheitsmoment nur

SW = yh V² (h + V2 nh)²

—    yh {Y² b² + V² b nh + V⁸ n²h²} ,

also wiederum weniger als SWb.

7. Gleichgewicht einer Verbindung von Gelenkstangen.

Unter einer Gelenkstange verstehen wir einen starren Körper, der an zwei Stellen mit sog. Augen versehen ist, in welchen cylindrische, einander parallele Bolzen angebracht sind. Mittels dieser Bolzen sind die Körper mit einander bezw. mit festen, unbeweglichen Widerlagern derartig verbunden, dass in den Gelenken nur Kräfte auftreten können, welche durch die Achsen der Gelenkbolzen hindurch gehen und zu diesen rechtwinklig stehen. Die Form der Körper ist im Übrigen gleichgültig, dieselben können die Gestalt von geraden oder einfach gekrümmten Stäben haben; der Einfachheit wegen mögen sie geradlinig gezeichnet werden. Die Reibung an den Bolzen wird vernachlässigt.

Fig. 207.

В <-

Verbindung zweier Gelenkstäbe. In A und B (Fig. 207) seien die Stäbe mit Widerlagergelenken verbunden, bei C greifen sie gelenkartig in einander. G und Gl seien die Gesammtlasten der linken bezw. rechten Stange mit den wagerechten Abständen c und cy von A bezw. B.

Es seien b und by die wagerechten, h und hy die senkrechten Projektionen der Stangen. Den Widerstand Ж des Widerlagergelenkes A zerlegen wir in A (senkrecht) und X (wagerecht); den Widerstand WL des Gelenkes В in В bezw. X₁, während die gegenseitige Kraft JD, welche die Gelenkstangen bei G auf einander ausöben, in V (senkrecht) und H (wagerecht) zerfallen möge.

Fig. 208.

/iF

A'

Soll die Verbindung im Gleichgewichte sein, so muss jede Stange für sich den Gleichgewichtsbedingungen genügen. Da nun für Kräfte in einer Ebene 3 Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen sind, so stehen im Ganzen 6 Gleichungen zur Verfügung, mittels deren die Unbekannten A, X,

В, Xx, H und V bestimmt werden können.

Л<УХ^

Zuerst sollen die gegenseitigen Kräfte im Gelenke G berechnet werden. Das an der links-

seitigen Stange die Kraft Ы nach links wirken muss, erkennt man leicht; der Sinn von V ist vorläufig unbestimmt; wir nehmen ihn nach oben an. Bei der Momentengleichung in Bezug auf A (Fig. 208) fallen A und X aus, und man erhält einfach: 0 = —Ilh — Vb -f- Gc. An der rechtsseitigen Stange (Fig. 209) müssen II und V entgegengesetzt angebracht werden, und man erhält :

Aus beiden Gleichungen folgt:

0 = Bh₁ — Vbl — G₁ cL.

Fig. 209.

I vv

ll

-■fc—

1)

Gcbi -f- GiC\ b

bhi + bih Gchi — Gi C] h bhx -F bi h

Wird hierbei V negativ, so ist es in Fig. 208 abwärts, in Fig. 209 aufwärts gerichtet.

Weiter folgt dann leicht an der linken Stange:

2)

3)

A — G — V; X=lh

Fig. 210.

an der rechten:

4)

B = Gv + V ; Xi = H.

Wirken aber an jeder Stange zwei Lasten P und Q bezw. Px und (Fig. 210), so kann man Pund Q, durch ihre Mittelkraft G, ebenso Px und Qx durch ihre Mittelkraft Gx ersetzen, u. zw. ist dann einfach G c = Pd -f- Q e ; Gx cx = Px dx -j- ex.

d>

to

yp

Führt man dies in die Gl. 1 und 2 ein, so entsteht:

5)

H=

Pdbl -j- Q в bx ~j- P\ dxb -f* Qi вуЬ

bhi -f bih

und

6)

Pdhi -f- Qehx —P\di h— Qiel h

b hi + bi h

In diesen Gleichungen ist jede der 4 Lasten durch ein besonderes, von den anderen unabhängiges Glied vertreten ; fallen z. B. die Lasten Q, Qi und Px fort, bleibt also nur P, so wird

Pdb

b hx -j- bi h

Jede der Lasten liefert hiernach zu den Kräften H und V ihren bestimmten, unabhängigen Beitrag; man kann daher beim gleichzeitigen Vorhandensein beliebig vieler Lasten den Einfluss jeder einzelnen Last auf H und V besonders ermitteln und braucht die einzelnen Beträge dann nur mit Rücksicht auf ihre Vorzeichen zu summiren. Das eigene Gewicht der Stangen wird ebenso wie jede Last behandelt; man kann daher die Stangen als an und für sich gewichtlos betrachten.

Eine unbelastete und gewichtlos gedachte Gelenkstange hat aber Eigenschaften, die für die Berechnung der Stangenverbindungen sehr wichtig sind (A. Ritter, Technische Mechanik).

An einer solchen Stange müssen die Gelenkdrücke W und D sich allein im Gleichgewichte halten, also gleich und entgegengesetzt sein und in dieselbe Gerade fallen (Fig. 211), d. h. in die gerade Verbindungslinie beider Gelenke. Oder es gilt der Satz:    ,

Eine gewichtlose unbelastete /w Gelenkstange kann nur Widerstände in der Richtung der Verbindungsgeraden ihrer Gelenke ausüben.

Sind die Pfeilspitzen der an beiden Gelenken auftretenden Kräfte einander zugewandt, wie in Fig. 211, so erfährt die Stange Druck. Denken wir uns die Stange an irgend einer Stelle zwischen den Gelenken durchschnitten, so haben wir an der Schnittstelle eine innere Spannkraft S anzubringen, welche die Wirkung des

Pdh

bhx + bx h

Fig. 211.

<D

abgeschnittenen Stückes ersetzt; diese Spannkraft ist ebenfalls = D and ihr entgegengesetzt, oder:

Die Spannkraft einer unbelasteten Stange fällt in die У erbindungsgerade der beiden Gelenkpunkte.

Fig. 212.

\\

//

\\

//

//

Ist nun (Fig. 212) die linke der beiden Stangen mit G belastet, die rechte einstweilen unbelastet (man betrachte G' einstweilen als nicht vorhanden), so übt letztere oinen Gegendruck D — W₁ in der Richtung B G, welche sich mit G im Punkte К schneidet; durch К muss dann auch der Widerstand W des Gelenkes A hindurchgehen, weil an der Stange AG die drei Kräfte: Z>, G und W sich im Gleichgewichte halten müssen.

/7

//

//w' 'G

(,<c—

V

Nachdem hierdurch die Richtungen von W und Wl gefunden sind, lässt sich leicht ein Krafteck abc dieser drei Kräfte zeichnen, aus welchen dann die Grössen W und D—Wx abgegriffen werden können.

zwar

Für eine Belastung der rechten Stange mit G' findet man in entsprechender Weise die zugehörigen Widerstände W und Wi im Krafteck bde. Sind nun die Lasten G und G' gleichzeitig vorhanden, so treten auch die entsprechenden Widerstände gleichzeitig auf. Der Gesammtwiderstand im Punkt A ist dann die Mittelkraft aus W und W'. Diese ist aber leicht zu finden, wenn man aus bc und eb ein Parallelogramm Ocbe zeichnet; dann finden sich Oc = W und ca = W an einander gereiht, und ihre geometrische Summe O a ist der Gesammtdruck Wa in A. Ebenso ist dO der Gesammtdruck Wb in B. Bringt man diese Gesammtkräfte in A und В an, so schneiden sie G und G' in Punkten L und L\ durch welche auch der Gesammtdruck des Gelenkes C hindurch gehen muss, die deshalb mit G in einer Geraden liegen müssen, und muss diese Gerade LGL' || Ob sein, weil Ob den Gesammtdruck des Gelenkes G nach Richtung und Grösse darstellt.

Rückt die Last G (Fig. 213) dem Widerlagergelenk A näher und näher, so verschiebt sich der Schnittpunkt К der drei Kräfte auf der Verlängerung von B G mehr und mehr nach oben, und die Richtung von W nähert sich mehr und mehr der Lothrechten. Im Grenzfalle, wo G mit A zusammenfällt, wird W lothrecht, fällt also mit G in dieselbe Richtung; aus diesem Grunde wird die dritte Kraft D = Wl (nach S. 63) = Null; die Last G wird unmittelbar von dem festen Gelenkpunkt A auf das Widerlager übertragen; im Gelenke C tritt gar keine Kraft auf, und die Stangen Verbindung bleibt ohne innere Spannkräfte. Also:

Fig. 213.

tr

^tx

4,

'G

Eine Last, die an einem Widerlagergelen к punkt einer Stangenverbindung an greift, bringt in der Stangenverbindung selbst keine Spannkräfte hervor.

Fig. 214.

W1

i:

VG

Rückt aber die Last G der linken Stange nach C hin (Fig. 214), so nähert sich der Punkt К mehr und mehr dem Punkte G und fällt mit ihm zusammen, wenn die Last durch G geht. Denkt man sich nun die Stangen durchschnitten, so müssen ihre Spannkräfte beide in die Richtungen AG und B G fallen. Oder:

Greifen die Lasten nur in dem gemeinsamen Gelenkpunkt einer Stangenverbindung an, so fallen die Spannkräfte der Stangen in die Verbindungsgeraden der Gelenkpunkte (die Stangenrichtungen).

Die beiden vorstehenden Sätze gelten, wie man leicht erkennt, auch für eine Verbindung von beliebig vielen Stangen.

Die Bestimmung der Widerstände der festen Gelenke geschieht in derselben Weise, wie auf S. 175 beschrieben, wenn auch die

einzige vorhandene Last К an der Verlängerung einer Gelenkstange angreift und etwa von der lothrechten Richtung abweicht (Fig. 215).

In Fig. 216 ergeben sich leicht die Spannkräfte S und Sl der beiden Gelenkstangen, und zwar wirkt die

Fig. 215.

Fig. 216.

Spannkraft S auf Zug, Sl auf Druck.

Xs

1st

bei einem

--------к/

Gm >

l Л

Bogenträger mit drei Gelenken (Fig. 217) nur die linke Hälfte durch eine Einzellast G belastet, so kann, ohne Rücksicht auf die Form, die rechte Hälfte wie eine gewichtlose Stange behandelt werden, so dass die Richtungen der Widerlagerdrücke W und Wl in einfacher Weise bestimmt sind und daher die Zeichnung des Kraftecks aus G, W und W₁ ermöglicht ist.

Liegt das gemeinsame Gelenk С Щ oberhalb der Geraden AB, so erfordert eine Last G (Fig. 214, S. 176) schräg aufwärts gerichtete Widerstände W und W₁ ; diese Kräfte haben nach dem Gesetze der Wechselwirkung das Bestreben, die Widerlager schräg nach unten und aus einander zu drängen; die Stangen erfahren Druckkräfte. Liegt aber О unterhalb AB (Fig. 218), so verkehren sich alle Verhältnisse ins Entgegengesetzte: die Stangen werden gezogen und suchen die Widerlager nach innen zu ziehen.

Solche innere Zugkräfte, deren Richtung mit der Verbindungsgeraden zweier Gelenke zusammenfallt, können auch durch ein Seil aufgenommen werden.

An Stelle der Gelenke hat man sich dann Seilknoten zu denken.

Verbindung von mehr als zwei Stangen. Eine Verbindung von zwei Gelenkstangen wie Fig. 218 bildet eine bestimmte Figur,

k~~w 1

\rç Гк

'///.

TG

Fig. 217.

K/W

fl 's I

I G" /

/w

Fig. 218.

$1.

fl

fi.

TG

nämlich ein durch drei Seiten bestimmtes Dreieck А ВС, weil die festen Punkte A und В die Seite AB festlegen. Ein Verbindung von mehr als zwei Stangen bildet aber eine veränderliche Figur, weil ein Vieleck von mehr als drei Seiten nicht mehr durch die Seiten allein bestimmt ist. Sind die Längen der Stangen, deren Lasten und die Widerlagergelenkpunkte A und В gegeben, so giebt es nur eine gesicherte Gleichgewichtslage, welche sich allmählich von selbst einstellt, wenn man die Stangenverbindung der Wirkung der Lasten überlässt. Diese Ruhelage muss zunächst ermittelt werden, bevor man die Widerstände der Befestigungspunkte und die Spannkräfte der Stangen bestimmen kann.

Fig. 219.

/4.

кCi

-jkj

'G1

Betrachten wir eine Verbindung von drei Stangen, so sind deren Neigungswinkel ocL, a₂, a₃ in der Gleichgewichtslage unbekannt. Greifen die Lasten irgendwo zwischen den Gelenkpunkten an, so ist es zur Vereinfachung empfehlenswert!], jede Last G durch zwei parallele Seitenkräfte К zu ersetzen, die je in einem Gelenk

angreifen. Es ist dann (Fig. 219) Kr — G₁ ^1 — yJ ; K[ — Gx

Fig. 220.

La

Verfahrt man mit den Lasten der anderen Stangen ebenso, so werden die auf die Widerlagergelenke entfallenden Seitenkräfte, z. B.

Or

al

Ji

l3.

\ч

V Yb

p

\h \

\ i \ \ /

F ?o * ■ÇpV/

Kx, unmittelbar von diesen aufgenommen und kommen für das Gleichgewicht der Stangenverbindung nicht weiter in Betracht. An jedem Zwischengelenk aber summiren sich die von links und rechts her-    P'

rührenden Seitenkräfte und geben zusammen die Gelenkpunktlast. Wir haben dann nur mit Gelenkpunktlasten    Q,u

P und Q, zu thun (Fig. 220), und die Spannkräfte der Stäbe

können nach dieser Änderung mit Rücksicht auf den Satz S. 176 als in die Stabrichtungen fallend angesehen werden.

An dem Gelenkbolzen G hängt die Last P; die anschliessenden Stäbe üben auf ihn die Kräfte Sy und S₂ aus, und diese 3 Kräfte müssen sich das Gleichgewicht halten, weil der Bolzen in Ruhe sein soll. Es müssen daher diese Kräfte ein geschlossenes Krafteck OE F bilden (Fig. 220, links). Da nun Sl mit der Wagerechten den Winkel at bildet, ist 90° — ax der Winkel FEO zwischen Sy und P; der Winkel bei O im Krafteck beträgt aber für die angenommenen Neigungen ctj -f a₂, derjenige bei F ist 90°—a₂. Mithin wird nach dem Sinus-Satze:

P: So = sin (oc₁ + a₂) : cos ax .

Ebenso müssen die in D angreifenden Kräfte S₂, Q, und S₃ ein geschlossenes Dreieck OyFyG bilden, für welches die Gleichung gilt:

Q : S₂ — sin (oc₃ — a₂) : cos a₃.

Durch Division ergeben diese beiden Gleichungen:

1)

sin (otj + a₂) cos a₃ _ P sin (ot₃ — a₂) cos otj Q ’

Dies ist die einzige Beziehung, welche zwischen den gegebenen Lasten und den Gleichgewichts-Neigungen ar, a₂ und a₃ aufgestellt werden kann. Haben aber die Punkte A und В einen gegebenen wagerechten Abstand a, einen Höhenunterschied b, so müssen diese Werthe gleich sein der algebraischen Summe der wagerechten bezw. senkrechten Projektionen der Stangen, oder

2)

3)

ly cos <Xj + ^2 cos a2 “Ь cos a₃ = а ; sin — l₂ sin a₂ — l₃ sin a₃ = Ъ.

Die Gleichungen 1 bis 3 enthalten die Bedingungen für die 3 Unbekannten alf a₂ und a₃, sind aber nach diesen Grössen nur durch mühsames Probiren auflösbar.

In anderer Gestalt lässt sich die Bedingung für die Gleichgewichtsform der Stangenverbindung aussprechen, wenn man die beiden Kraftecke so zusammenschiebt, dass O^Fy mit OF zusammenfallt. In der so entstehenden Figur (Fig. 220, rechts) bildet EFG den Streckenzug der gegebenen parallelen Lasten, О den Pol, OE, OF, OG die Polstrahlen, und, wenn man nun bedenkt, dass OE || AG, OP II GD und OG II DB gezeichnet waren, so ist nach S. 119 der Linienzug AG DB ein zu den Lasten P und Q gezeichnetes Seileck. Die Polstrahlen des Kraftecks geben Grösse und Richtung der Stab-Spannkräfte.

Nach der Bedeutung der Seileckseiten (S. 119) ist DB die Richtungslinie einer Kraft S₃ mii dem Sinne von В nach Dt welche die Mittelkraft von (aufwärts), P und Q darstellt. Nach den Lehren über die Zusammensetzung und das Gleichgewicht der Kräfte am starren Körper würden daher die an einem starren Körper wirkenden Kräfte P und Q mittels eines Seilecks zu einer Mittelkraft S₃ vereinigt werden können; und eine entgegengesetzt gerichtete Kraft S₃ (mit dem Sinne von D nach B) würde den Kräften Slt P und Q das Gleichgewicht halten. Bei der Stangenverbindung haben wir nun gezeigt, dass sie unter Einwirkung der Stabkräfte und S₃ und den Gelenkpunktlasten P und Q im Gleichgewichte sei. Da sich dieselben Kräfte auch am starren Körper im Gleichgewichte halten, so folgt daraus, dass, wenn eine Gelenkverbindung im Gleichgewicht ist, in dem Gleichgewichtsund Kräftezustande nichts geändert wird, wenn man den Gelenken die Beweglichkeit nimmt, also z. B. sie zu einem starren Körper zusammengeschweisst denkt.

Nach der Eigenschaft des Seilecks (S 120) schneiden sich die Richtungen von Sl und S₃ auf der Mittelkraft R der Lasten P und Q. Die Spannkräfte Sl, S₂ und S₃ haben im Krafteck übereinstimmende wagerechte Projektion, d. h. übereinstimmende wagerechte Seitenkraft II, gemessen durch den rechtwinkligen Abstand des Poles О von der Lastlinie EFG.

Man erkennt leicht, dass das vorstehend für drei Stangen entwickelte im Wesentlichen auch für beliebig viele, nur in den Gelenkpunkten belastete Stangen gilt; wir fassen dies unter Annahme reibungsloser Gelenke zu folgenden Sätzen zusammen:

1.    Die Spannkraft einer jeden Stange fällt mit ihrer Richtung, d. h. mit der Verbindungsgeraden ihrer Gelenke zusammen.

2.    An jedem Gelenkpunkte halten die Spannkräfte der beiden benachbarten Stangen der Last des Gelenkpunktes das Gleichgewicht,

3.    Die Gleichgewichtsform der Stangenverbindung ist ein zu den Lasten gezeichnetes Seil eck.

4.    Die Spannkräfte irgend zweier Stangen halten den an den zwischenliegenden Gelenkpunkten angreifenden Lasten das Gleichgewicht (d. h. genügen den Bedingungen für das Gleichgewicht starrer Körper). Die Mittelkraft dieser Lasten geht durch den Schnittpunkt der beiden Spannkräfte.

Die vorstehenden Sätze gelten auch, wenn die Gelenkpunktslasten nicht lothrecht, sondern beliebig gerichtet sind Werden die Lasten aber ausschliesslich durch loth rechte Kräfte gebildet, so ist noch

5. die wagerechte Seitenkraft aller Spannkräfte von der gleichen Grösse H.

Sind nun n Stangen der Längen lx, l₂ ... ln und n — 1 Gelenklasten gegeben, so kann man damit unendlich viele Gleichgewichtsformen herstellen. Bei drei Stangen Hess sich aus den Gleichgewichtsbedingungen nur eine Gleichung (Gl. 1, S. 179) mit den drei Unbekannten a,, a₂, a₃ entwickeln; die beiden anderen Gleichungen waren geometrische Bedingungen. Ähnlich ist es auch bei n Stangen: Sind die Abstände a und h der Befestigungspunkte in wagerechtem und lothrechtem Sinne gegeben, so lassen sich ausser den geometrischen Bedingungen nach Art der Gl. 2 u. 3, S. 179, in derselben Weise wie bei drei Stangen noch n — 2 Gleichgewichtsbedingungen herleiten. Die Auflösung der Gleichungen nach den unbekannten Winkeln an a₂... ist aber nur durch umständliches Probiren möglich. Viel leichter wird die Aufgabe, wenn statt der gegenseitigen Lage der Befestigungspunkte zwei andere Stücke gegeben sind. Die Neigungswinkel a sind sofort bestimmt, wenn im Krafteck (Fig. 220. rechts, S. 178) die Lage des Poles gegen den Streckenzug der Lasten gegeben ist. Sind also von irgend einer Spannkraft, z. B. von S[, wagere'thte und senkrechte Seitenkraft gegeben, so steht    nach Grösse und Richtung fest und bestimmt damit den

Pol O. Auch die Neigungen zweier Stäbe (d. h. ihrer Spannkräfte) legen den Schnittpunkt der beiden Polstrahlen, d. h. den Pol fest.

In Fig. 220 können die Spannkräfte S₂, S₃ der Gelenkstangen ebenso gut durch Seilstücke aufgenommen werden. Ein Seil kann wegen seiner Biegsamkeit nur eine in seine Längenrichtung fallende Zugkraft aufnehmen (vergl. S. 64). Das zwischen zwei Knoten befindliche Stück eines gewichtlosen Seiles hat daher dieselbe Grundeigenschaft wie eine gewichtlose und unbelastete Gelenkstange, jedoch mit der noch hinzutretenden Beschränkung, dass im Seile nur Zugkräfte möglich sind. Das Viereck ACDB ist also die Gleichgewichtsform einer in den Knoten C und D belasteten Seilverbindung. Hiermit erklärt sich die S. 119 (nach dem Vorschläge von G. Lang) eingeführte Bezeichnung Seileck.

Würde im Krafteck (Fig. 220, rechts) der Pol О nach der linken Seite von EG symmetrisch verlegt, so erhielten Sy, S₂ und S₃ dieselben Grössen wie bisher, Sy würde dann aber im Seil eck von A aus nach rechts ansteigen mit dem Ansteigungswinkel gegen die Wagerechte. Das in solcher Weise zu den Lasten P und Q erhaltene Seileck würde eine Figur sein, in welcher die Knickpunkte C und D oberhalb AB liegen; Sy, S₂, S₃ würden wie in Fig. 214 (S. 176) Druckkräfte werden. Diese Figur ist als Gleichgewichtsform eines Seiles nicht möglich, gleichwohl hat man den Namen Seileck auch für solche Fälle beibehalten, während man eigentlich richtiger Gelenkvieleck sagen würde. Ein solches Gelenkvieleck aus mehr als zwei Gelenkstangen mit hochliegenden Zwischengelenken (nach oben gekehrten Knien), in welchen durch abwärts gerichtete Lasten Druckkräfte entstehen, ist nur in unsicherem Gleichgewichte, kann nur künstlich gehalten werden und geräth bei der geringsten Veränderung in beschleunigte Abwärtsbewegung; in Bezug auf die Ermittelung der Gleichgewichtsform und der entsprechenden Kräfte ist sonst kein Unterschied zwischen der unsicheren und der sicheren Gleichgewichtsform, ebensowenig wie zwischen Fig. 214 und 218.

Beispiel: Sechs Stangen mögen die Längen: ^ = 0,98“; Z₂ = 0,87®; Zs = 0,84in;    Z., = 0,69m; Z₅ = l,oim; Z₆ = 0,86m haben; die Lasten seien

Pl = 62 kg; P₂ — 54 kg; p₃ = 44 kg;

P₄ = 60kg; P₅ = 62kg. Die äusser-sten Seiten des Seilecks mögen je unter 45° gegen die Wagerechte geneigt sein. Trägt man die Lasten zu einem Streckenzuge zusammen (im Mafsstabe 1™ = 10 kg) (Fig. 221), so wird die Gesammtlast 282 kg, und weil die äussersten Strahlen davon je um 45° abweichen, so ist der

Polabstand H=1P = 141 kg die

wagerechte Kraft, die durch die ganze Verbindung hindurchgeht. Die Stäbe sind der Reihe nach parallel den Polstrahlen in den gegebenen Längen (im Mafsstab 1:100) aufgetragen. Die Längen der Polstrahlen geben die Grösse der Spannkräfte der entsprechenden Stäbe.

Fig. 221.

\An

Pt

Pa

P₄

8. Kettenlinien.

Wird die Zahl der Gelenkstangen immer grösser, ihre Länge immer kleiner, so nähert sich die vieleckige Gleichgewichts-Figur mehr und mehr einer stetig gekrümmten Kurve. Immer aber bleiben dieselben Gesetze gültig: namentlich also fällt die Richtung der Spannkraft einer Stange mit der Richtung der Stange zusammen. Werden die einzelnen Stangen unendlich klein, so kommt man zu einer an jeder Stelle völlig biegsamen Kette oder einem biegsamen Faden mit stetiger Belastung. Die Spannkraft an irgend einer Stelle ist dann tangential gerichtet. Die Belastung der einzelnen Bogentheilchen der Kette kann überall gleich oder verschieden sein; danach wird die Gleichgewichtsform der Kette, die Kettenlinie, eine verschiedene.

Wir betrachten zunächst den einfachen Fall, dass die Belastung sich gleichförmig über die wagerechte Projektion der Kette vertheile, dass also jede Längeneinheit (jedes Meter) dieser Projektion ein bestimmtes Gewicht q zu tragen habe. Dies können wir uns vorstellen durch einen prismatischen Belastungskörper mit dem Gewichte q für die Längeneinheit, der durch lothrechte Schnitte in unendlich viele Scheiben geschnitten ist, welche mittels gewichtloser Fäden oder Hängestangen an der selbst gewichtlosen Kette aufgehängt sind (Fig. 222).

Im tiefsten Punkte C ist die Kette und daher auch die Spannkraft H dieser Stelle wagerecht gerichtet. Durchschneiden wir die Kette nochmals in einem wagerechten Abstand X von <7, so ist hier, bei P (Fig. 223) eine Spannkraft S anzubringen. Die Kräfte S und H müssen nun (nach S. 180, 4) den zwischenliegenden Lasten das Gleichgewicht halten. Die Mittelkraft dieser Lasten ist

Fig. 222.

*\b

{c

Fig. 223.

аш

xb.

qx mit dem Abstand V² x von P. Die Momentengleichung in Bezug auf P liefert dann:

I-------a*—

■”ajS

At а

i)

0 = — Hy + V² <7 also : qx²

у=ш

oder x² — 2 -

II

,,)v-

Die Gleichgewichtsform der Kette ist also eine Parabel mit lothrechter Achse und vom Parameter H: q.

Für х=¹/ч l wird y =/, daher nach Gl. 1:

2)

qV- щ 8 II ’

durch Division beider Gleichungen entsteht dann:

3)

у 4 ж²

/ i² *

Bemerkenswerth ist auch, dass der Schnitt der 3 Kräfte S, II und qx in der Mitte der Strecke x liegt, so dass wenn man die Richtung der Tangente S bis zur Lothrechten durch C verlängert, der hier entstehende Schnittpunkt D in der Tiefe у unter C, d. h. in der Tiefe 2 у unter P liegt. Dies ist eine kennzeichnende Eigenschaft der Parabel.

Die wagerechte Seitenkralt oder Projektion von S ist — H, die lotlirechte V = qx.

Zu einer gegebenen Last q sind unendlich viele parabolische Kettenlinien möglich, je nachdem II grösser oder kleiner gewählt wird. Es lässt sich diese bestimmende Grösse aber auf die Pfeil

höhe / der Parabel zurückführen; denn aus Gl. 2 folgt:

ql²

4)

11 =

8/*

Vergrösserung von H bedingt also Verkleinerung der Pfeilhöhe /,

l²

geschrieben

//

und umgekehrt. Der Parameter — werden.

kann also auch

8/

Liegen die Befestigungspunkte A und В in einem wagerechten Abstand a, befindet sich aber В um Ъ tiefer als А, so liegt der tiefste Punkt C nicht in der Mitte (Fig. 224). Seine wagerechte Entfernung 7²1 von A soll berechnet werden. Die Widerstände A und H bei A und die Spannkraft II bei C müssen den Lasten zwischen A und G das jj Gleichgewicht halten, d. h. A= l/a q l ;

Hf=l/*ql² also Я=|* Ent-O /

sprechendes gilt für das Stück rechts von (7, wo statt 7² I zu setzen ist

а — г/г Z, statt f aber f—b. Mithin

Fig. 224.

А-

а--

II

8------i’ I-----

Tr q (2 a Z)2 H=~s f-b ■

Die beiden Werthe U sind aber, wie bei jeder lothrecht belasteten Stangenverbindung, dieselben, mithin (2 a — Zl²

f-b

Z²

Weil aber

oder

8 H'

(2 a — Z)² __ — 4 a² 4- 4 a l

Z²

Z²

so wird Ą

8- i* JEf 4aZ — 4a²

z²

oder a (Z — a)

2 bH

<1

2 b H

a -f ---

a ą

Wichtig ist auch die Gleichung der parabolischen Kettenlinie, bezogen auf den Anfangspunkt A. Man kann dieselbe entwickeln, indem man von der Gl. 1 (S. 183) ausgeht, kann sie aber ebenso leicht unmittelbar ableiten: Im Punkt A (Fig. 222 und 225) wirken die Widerstände

und in Bezug auf den

und Z =

oder

Fig. 225.

ql²

A=¹/2 ql und II —

Punkt P (Fig. 225) gilt die Momentengleichung : Ù O —i/2qlæ — Ну—]/-2qæ², oder

8/’

.1

,4_____г------.

а    4 f

-x) = ^A-x(l—x).

Dies ist also eine andere Form der Gleichung

einer Parabel vom Parameter

qx

K — IL я — 8/'

Auch künftig werden wir öfter auf eine Gleichung der Form y = Cæ(l — x) kommen ; diese bedeutet stets eine Parabel vom

Parameter deren Achse parallel der ^/-Achse ist und welche

die in der x-Richtung Hegende Sehne l symmetrisch überspannt.

Ist der prismatische Lastkörper nicht an unendlich vielen Stellen, sondern nur an einzelnen Punkten zerschnitten und an diesen Stellen mit der Kette verbunden, so wird die Gleichgewichtsform wieder ein Vieleck, ein Seileck, und zwar ist dies Seileck ein der Parabel (Gl. 5) eingeschriebenes Vieleck. Durchschneidet man (Fig. 226) die Stangenverbindung im Gelenkpunkte P (der Koordinaten x und y), so müssen die hier auftretenden Spannkräfte H und V nebst den in A auftretenden Widerständen A = 72 ql und H

wieder den zwischenliegenden Lasten qx das Gleichgewicht halten. Es entsteht dann ganz dieselbe Momentengleichung wie auf S. 185, und für irgend einen Knotenpunkt P gilt die Gl. 5. Liegen nämlich die Befestigungspunkte A und В in gleicher Höhe und in dem Abstand l, so ergiebt sich leicht, dass A = В = l/2 q l sein muss, wie auch die Schnittstellen liegen mögen. Also:

1st eine Stangenverbindung derartig belastet, dass die Last sich gleichförmig über die wagerechte Projektion vertheilt, aber nur in einzelnen, den Theillinien der Last entsprechenden Gelenk punkten auf die Stangen verbindung übertragen wird, so ist die Gleichgewichtsform ein Sehnenvieleck einer Parabel mit lothrechter

Achse; die wagerechte Spannkraft beträgt II—wenn

l die Spannweite, / die Pfeilhöhe der Parabel.

Sind die einzelnen Theile des prismatischen Lastkörpers nicht an den Schnittstellen, sondern je in der Mitte durch Hängestangen an der Gelenkstangenverbindung befestigt, so bildet die Gleichgewichtsform der letzteren, wie sich aus einer Betrachtung der Fig. 223 ergiebt, ein der Parabel u m schriebenes Seileck.

Fig. 226.

x_

ąoo

Beispiel: Die Kette einer Hängebrücke habe 40™ Spannweite und 5™ Pfeilhöhe (Fig. 227).

Ihre Belastung vertheile sich nahezu über

Fig. 227.

gleichmassig die wagerechte Projektion und betrage

2= 1000 für das Meter Länge. Die Kettenglieder werden demnach einer Pa-

rabel eingeschrieben sein. Die wage-

qP 1000-40-40 _

'    8-5

Spannweite sei durch Hängestangen in acht gleiche Fache von je 5m Länge

rechte Spannkraft wird H

40 000 4.

Die ganze

getheilt. Dann hat jede Stange das Gewicht zweier halben Fache = 5000 kg auf die Kette zu übertragen. Da sieben mittlere Knotenpunkte vorhanden sind, so kann man das entsprechende Krafteck zeichnen, indem man die sieben Lasten von je 5000 kg auf einer Lothrechten aufträgt (5000 kg= 2‘/г mm). Der Mitte der Lasten gegenüber wählt man in einem Abstand H — 40 000 kg = 20mm den Pol О. Die Polstrahlen nach den Theilpunkten der Lastlinie geben dann Richtung und Grösse der Spannkräfte der einzelnen Stäbe. Ein Punkt P der Kette in einem Abstand x = x/il von der Mitte hat eine Höhe у über dem Scheitel C (nach Gl. 3) : у — f • 4x¹ : l² = f •    — ⁵/4 m• Würde man

die Aufhängepunkte A und В an den Pfeilern befestigen, so würden diese einen Druck A = В = */г 2^ nach unten, zugleich aber eine nach innen gerichtete wagerechte Kraft jET=40 000kg erfahren. Letzterer würde ein hoher Pfeiler nicht leicht widerstehen können, daher führt man die Kette jenseits des Pfeilers fort und verankert sie in tiefer liegendem Mauerwerke, so dass der Pfeiler im Wesentlichen nur lothrechten Druck erfährt. Die Breite der Pfeiler macht es unmöglich, die Endpunkte A und В als Aufhängepunkte der Last zu benutzen. Die hierdurch veranlasste Abweichung ist auf der rechten Seite» bei В, berücksichtigt (auch im Krafteck), während auf der linken, bei A, der ideelle Zustand beibehalten wurde

Fig. 228.

JJ

->

Die nach aussen gerichtete Kraft H kann auf die beiden Punkte A und В auch durch eine steife gerade Verbindungsstange ausgeübt werden, welche diese Kraft H als Druckkraft auszuhalten hat (Fig. 228). Alsdann brauchen die Stützen nur noch lothrecht aufwärts gerichtete Widerstände A und В zu leisten. Die Fahrbahn, welche bei Hängebrücken unter der Kette sich befindet, kann nun auch in die Höhe der Stange AB gelegt und durch Druckstangen auf die Gelenke der Kette gestützt werden. Das Sehnen-Vieleck der Parabel bleibt aber nur im Gleichgewichte, solange die Last gleichförmig vertheilt ist.

Fig. 229.

Kommt eine fremde Last hinzu, so wird die Stan gen verbin dung eine Verrückung erfahren; es treten Schwankungen ein, die bei Kettenbrücken bekannt sind, und erst nach längerer Zeit kann sich ein neuer Gleichgewichtszustand bilden, wenn keine fernere Änderung der Last erfolgt. Diese Bewegungen kann man mehr oder weniger verhindern, indem man die einzelnen, in Fig. 229 befindlichen Trapeze durch Einfügung je einer Diagonale oder Strebe zu geometrisch bestimmten Figuren umwandelt. Auf diese Weise entsteht ein parabolischer Fachwerkträger. Dreht man die Figur um eine wagerechte Achse, bis das parabolische Vieleck oberhalb

der Sehne AB liegt, so hat man einen parabolischen Träger anderer Art. Die Stäbe des Vielecks erfahren dann Druck, die Sehne AB aber Zug. (S. A. Kitter, Techn. Mechanik, 2. Aufl., S. 244.)

Kettenlinie fur gleichförmig veränderte Belastung. Besteht der Belastungskörper aus zwei symmetrischen Keilen (Fig. 230), so ist die Belastung q der Längeneinheit veränderlich, nämlich

Fig. 230.

'Г

Bi

î = îlÿw’

wenn qx die Einheitsbelastung an den äusseren Enden ist. Zwischen C und P befindet sich dann eine Gesammtlast [/-iqx mit dem Hebelarm !/з x in Bezug auf P. Daraus folgt die Momentengleichung

„ q x x

qx² _ qxx³

У ~ 1ŸH ~ 3~WV Wird wiederum у — f für x — lh l, so ergiebt sich auch leicht

y :f — Sx³ : l³.

Die Kettenlinie bildet also von C bis В einen Zweig einer kubischen Parabel; CA ist dazu symmetrisch.

ТСггтШТ

6)

9. Brücken- und Tafelwaagen.

Bei den auf S. 154 behandelten Hebelwaagen wurde die Belastung einer Waagschale mittels Hängeketten auf einen bestimmten Punkt des Waagebalkens übertragen. Die dem Auf bringen der Last unter Umständen hinderlichen Ketten lassen sich entbehren, man kann für die Last eine freie Brücke oder Tafel schaffen und durch Anwendung geeigneter Stangenverbindungen erreichen, dass die Last an jede beliebige Stelle der Brücke oder Tafel gelegt werden darf, ohne das Ergebnis der Wägung zu beeinflussen.

Brückenwaage des Strassburger Mechanikers Quintenz (1821).

(Fig. 231). Das Ganze zeigt im Aufriss 2 feste Drehpunkte A und B. Die Stange EG, welche in der Figur den Brückenbalken FH schneidet, geht in Wirklichkeit ungehindert daran vorbei, weil FH ebenso wie G В im Grundriss aus 2 Theilen

Fig. 231.

4-02

besteht. Die Last Q wird mittels des Brückenbalkens FH von zwei Kräften Wx und Wo im Gleichgewichte gehalten, u. zw. ist Wx = Q x : l ;

W₂ = Q — Qx : l, wenn l die Länge des Balkens ist. Wo wird mittels der Zugstange FD auf den oberen Hebel GAE übertragen. YVX drückt auf den untersten Hebel B G nach unten und wird durch die bei G angreifende Spannkraft

Щ)

<•----X

1—

1ГДЮ.

'У/У/У/^У/. Я

■УУ/УУ* "/ '////\У//^/УУ'/У//УУ/У//'/УУУУУ//У/.

W—

WX i

Qx d

— im Gleichgewichte gehalten. Der oberste

e

Hebel trägt bei G die Schale mit dem Gewichtstücke P, welches den Spannkräften W₂ und W₃ das Gleichgewicht halten muss. Also wird

W₃ =

Pa = Wob + W₃ c =    — b + d

— c,

oder

Pa

Damit nun die Lage der Last auf der Brücke gleichgültig sei, muss in der letzten Gleichung das mit x behaftete Glied ver-

— c oder b : c = d : e sein; d. h. die

schwinden, es muss b = —

e

rechte Seite ADE des obersten Hebels muss mit dem untersten Hebel В HG in gleichem Verhältnisse getheilt sein. Dann wird Pa = Qb, d. h. die Anwendung der Stangen uud Hebel bewirkt, dass es für den obersten Hebel so ist, als ob die Last Q unmittelbar bei D hinge. Macht man dann noch а — 10 6, so hat man eine sog. Decimalwaage.

Brückenwaage von George (Paris), 1840. Die Brücke (Fig. 232) wird von einem l_-förmigen Rahmen getragen. Dieser hängt im Punkte D mittels einer Hängestange DC an dem oberen Hebel CAB. Damit die durch Q belastete Brücke wegen ihrer seitlichen Unterstützung nicht umkippe, wird sie durch zwei parallele Stäbe EF und GH so geführt, dass sie stets parallel ihrer ursprünglichen Lage bleibt.

Fig. 232.

! b Г*

,<7,

WD\

An der Brücke halten sich im Gleichgewichte (Fig. 233) das Gewicht Q, die Kraft Z der Hängestange und die Kräfte Y und Y der Führungsstangen. Daher muss Yh — Qx sein und, was die Hauptsache, Z—Q, d. h. die Zugstange CD überträgt auf den obersten Hebel einfach die Last <*>• Eine Verschiebung der Last beeinflusst nur die Kraft in den Führungsstangen ; es wird also wieder Pa =Qb.

Tafelwaage. Auf demselben Grundgedanken beruhen die Tafelwaagen, welche einfach auf jeden Tisch gestellt werden können und bei denen die Schalen oben frei liegen (Fig. 234). Auch hier kann die Last an jede Stelle der Schale gelegt werden. In der Linie CD fügt man zwei gleiche entgegengesetzte Kräfte Q hinzu, dann wirkt die abwärts gerichtete dieser beiden niederdrückend auf die parallelen Hebel CACX und DBDlf während das ausserdem wirkende Moment Qx von den in der Längenrichtung dieser Hebel auftretenden, von den festen Drehpunkten A und В aufzunehmenden-Kräften Y aufgehoben wird. Die Waage wirkt also wie eine gleicharmige Balkenwaage: Wagerechter Stand bedingt Gleichheit zwischen Last Q und Gewichtstück P.

Fig. 233.

J>P

/>

X----->

Fig. 234.

4°

4-QTr*.

E3

-*•

10. Reibung.

a) Reibungsziffer, Reibungswinkel und Reibungskegel.

Fig. 235.

Kw |JV

Bisher haben wir die Körper als vollkommen glatt angenommen, wobei sie in Folge einfacher Berührung nur Normalkräfte auf einander ausühen konnten. Wäre dies wirklich der Fall, so würde ein Körper auf wagerechter Ebene, einmal in Bewegung gesetzt, seine Bewegung stets mit derselben Geschwindigkeit fortsetzen. Die Erfahrung lehrt aber, dass dies nicht zutrifft, dass vielmehr eine gewisse Zugkraft К erforderlich ist, um den Körper in gleichförmiger Bewegung zu erhalten. Daraus folgt das Vorhandensein eines Tangential- oder Reibungs widerstandes T= K (Fig. 235).

Die Reibung ist eine Folge der Rauhheit der Oberflächen der Körper. Ihre Grösse ist in erster Linie von der Grösse des Normaldruckes N abhängig, und man nennt das Verhältnis T:N=f (frictio) die Reibungsziffer oder den Reibungs-Koëfficienten.

Ergiebt sich, dass zum gleichmässigen Fortziehen eii^es 62 kg schweren Schlittens auf einer wagerechten Eisfläche eine wagerechte Zugkraft K— 2 kg

T К 2    1

erforderlich ist, so beträgt die Reibungszifler f — — = -^ = — — —.

Die Reibungsziffer zweier Körper hängt wesentlich von der Beschaffenheit der - Berührungsflächen ab, also von der Natur der Körper, von der Art der Bearbeitung und der etwaigen Schmierung.

Daneben hat auch die Geschwindigkeit der Gleitbewegung einen Einfluss auf die Reibung. Beim Übergang aus der Ruhe in die Bewegung ist die Reibung am grössten und nimmt mit wachsender Geschwindigkeit ab. Auch die Grösse des auf die Flächeneinheit kommenden Druckes beeinflusst die Reibungsziffer. Bei sehr kleinem Einheitsdruck, also verhältnismässig grosser Berührungsfläche ist die Reibungsziffer gross, mit zunehmendem Einheitsdrucke nimmt sie anfänglich ab, dann aber wieder zu, wie durch Versuche erkannt wurde.

Diese Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und der Grösse des Einheitsdruckes ist aber nur erst für einige Sonderfalle näher festgestellt. Im Allgemeinen müssen wir daher / als nur abhängig von der Beschaffenheit der Berührungsflächen, behandeln, und voraussetzen, dass die entsprechende Zahl durch

Versuche, deren Umstände dem zu behandelnden Falle möglichst ähnlich sind, ermittelt wurde.

1)

Gleitet ein Körper auf fester Fläche, so besteht die Einwirkung der letzteren auf den Körper in dem Normalwiderstand N und dem Tangential widerstände T=fN. Die Mittelkraft W beider heisst der Gesammtwiderstand der festen Fläche und schliesst mit der Normalen N einen Winkel 79 ein, für den tgç? = T:N= fN:N=f, d. h. tg cp =/.

Wegen der festen Beziehung zwischen (p und / nennt man cp den ßeibungswinkel.

Fig. 236.

.N

TT

JT c

Der Reibungs widerstand ist stets der Bewegungsrichtung entgegengesetzt. Da nun die Gleitbewegung alle möglichen Richtungen in der Berührungsebene haben kann, so gilt von fN das Gleiche. Setzt man jede dieser Kräfte fN mit N zusammen (Fig. 236), so bekommt man unendlich viele mögliche Richtungen von Wy welche eine Kegelfläche mit der Achse N bilden, den sog. Reibungskege 1.

Der Reibungskegel ist eine Kegel fläche, deren Spitze im Angriffspunkte von N, deren Achse in der Richtungslinie von N liegt und deren Seiten mit der Achse den Reibungswinkel cp einschliessen. Gleitet ein Körper auf einer festen Fläche, so leistet diese einen Gesammtwiderstand W, der in der Mantelfläche des Reibungskegels liegt.

Fig. 237.

Die von der Rauhigkeit der Körper herrührende Reibung ist nun aber eine Widerstandskraft, welche die relative Gleitbewegung an der Fläche wohl hindern oder verzögern, niemals aber eine solche hervorbringen oder beschleunigen kann.

АГА

Liegt z. B. (Fig. 237) ein Körper vom Gewichte Q — 100kg auf wagerechter Ebene und ist /=0,3, so ist zum gleichmässigen Fortziehen des Körpers (etwa mittels eines wagerecht ge-spannten Seiles) eine Kraft К = 30 kg erforderlich. Diese Kräfte werden auch an dem Körper noch im Gleichgewichte sein, wenn die Geschwindigkeit desselben zu Null wird.

Zieht man aber an dem ruhenden Körper mit einer Kraft K-< 30 k£, vielleicht nur mit einer Kraft von 10 kg, so wird nicht etwa der Reibungswiderstand T das Übergewicht über К = 10 ks gewinnen und den Körper beschleunigt nach links bewegen, denn der Reibungswiderstand einer Fläche kann eine Gleitbewegung an derselben nicht erzeugen, vielmehr wird nun die Widerstandskraft T nur = К = 10 ks werden. Und lässt man К zu Null werden, so wird auch T — 0.

Ist also ein Körper auf einer festen Fläche in Ruhe, so hat

der Reibungswiderstand T im Allgemeinen nicht den Werth fN, sondern er ist dann <ifN, er tritt nur in derjenigen Grösse auf, die erforderlich ist, um den Ruhezustand zu erhalten.

Fig. 238.

Dann ist aber auch der Winkel zwischen W und N (Fig. 239) ß<(p, und die Richtungslinie von W liegt nicht in der Mantelfläche, sondern im Allgemeinen im Inneren des Reibungskegels.

Fig. 239.

Soll ein Körper sich auf einer festen Ebene gleichmässig und geradlinig verschieben, wobei der Gesammtwiderstand W in der Mantelfläche des Reibungskegels liegt, so müssen die ausser W noch vorhandenen Kräfte eine Mittelkraft R liefern, welche mit der Kraft W im Gleichgewicht ist, also ebenfalls in der Mantelfläche des Reibungskegels liegt (Fig. 238).

Fig. 240.

Soll der Körper aber auf der festen Fläche in relativer Ruhe verbleiben, wobei W im Allgemeinen im Inneren des Reibungskegels liegt (Fig.239), so muss auch R eine solche Richtung und Lage haben. Liegt beim ruhenden Körper R auf der Mantelfläche des Reibungskegels, so genügen die Kräfte sowohl der Bedingung für die Rfihe als auch derjenigen für die Bewegung. Es befindet sich dann der Körper im Grenz-zustande der Ruhe. Wird er in richtiger Weise (etwa durch einen Stoss) in Bewegung gesetzt, so verbleibt er auch in dieser.

Der Gesammtwiderstand W kann nur innerhalb des Bereiches der Unterstützungsfläche (s. S. 168) angreifen.

Durch diese Unterstützungsfläche muss daher auch R hindurchgehen; andernfalls würde der Körper umkippen (Fig. 240).

b) Schiefe Ebene.

Fig. 241.

Nk

4s

Ist die Unterstützungsebene des Körpers unter dem Winkel a gegen die Wagerechte geneigt und hat man diesen Winkel so geregelt, dass der Körper unter alleiniger Wirkung der Schwere eine gleichmässige, geradlinige Abwärtsverschiebung ausführt, wobei der Gesammt-widerstand W in der Richtung aufwärts von N um den vollen Reibungswinkel cp abweicht, so muss die einzige bewegende Kraft, die Schwere Q des Körpers, das Entgegengesetzte von W sein (Fig. 241).

Da aber die Lothrechte mit der Rechtwinkligen zur schiefen Ebene den Winkel a bildet, so muss a = cp sein. Hierin liegt das einfachste Mittel zur Bestimmung des Reibungswinkels cp durch Versuche: Hebt man die schiefe Ebene allmählich höher an, bis der darauf liegende Körper, durch kleine Stösse in Bewegung gebracht, die Bewegung gleichförmig fortsetzt, so ist der entsprechende Neigungswinkel a gleich dem Reibungswinkel cp für die beiden Stoffe, aus denen Körper und Bahn bestehen.

Fig. 242.

K,

Es möge nun auf den Körper vom Gewichte Q noch eine, parallel zur schiefen Ebene, aufwärts gerichtete Zugkraft К wirken (Fig. 242). К möge sich mit der Richtungslinie von Q im Punkt A schneiden. Soll der Körper gleichförmig aufwärts gezogen werden, so übt die Ebene auf ihn einen Widerstand W aus, der von der (punktirten)

yc

Q'r

в'

Vя

Normalen zur Ebene um den vollen Reibungswinkel cp nach unten abweicht. Diese drei Kräfte Q, К und W müssen sich nun im Gleichgewichte halten, d. h. sie müssen sich in dem Punkt A schneiden und ausserdem ein geschlossenes Krafteck bilden. Man trage also AB als Q auf, verlängere W nach unten und ziehe durch В eine Parallele zu K, d. h. zur Ebene, so ist ABC das Krafteck und BC die Grösse K. Ohne Reibung wäre W — N = DA, mithin zeigt BD denjenigen Betrag, den К auf reibungsloser Ebene haben , müsste (=Qsina), während DC wegen der Reibung hinzukommt. Da nun der Winkel ВАС — a -f cp, 2C BCA aber =90° — cp,

so wird nach dem Sinus-Satze K: Q = sin (a + cp) : sin (90°—cp), oder:

K: Q — sin (a + cp) : cos cp, oder auch, bequemer für die Rechnung:

K: Q — sin a + /cos a, wenn man sin cp : cos cp — tg cp mit / vertauscht.

i)

2)

Soll aber der Körper nicht hinauf gezogen, sondern durch die aufwärts gerichtete Kraft, die nun K{ genannt werden möge, etwa an einem Seile, gleichmässig hinabgelassen werden (Fig. 243), so kehrt sich, wegen der entgegengesetzten Bewegung, die Reibung um, und der Widerstand W rückt in die zum ersten Falle

Fig. 243.

symmetrische Lage, indem er von der Normalen nach oben hin abweicht. Die erforderliche Kraft Kx wird nun durch das erheblich kleinere Stück dargestellt.

2CBACX = a — cp; 2Ç BCiA = 90° + (p,

Ï/a

mithin

Vt

Kl:Q = sin (a — (p) : sin (90⁰ + cp)

= sin (a — cp) : cos (p = sin a —/cos a.

(Für (p > a müsste Kx abwärts gerichtet sein.)

Soll die Kraft К aber den Körper weder hinaufziehen, noch hinunterlassen, soll sie vielmehr den in Ruhe befindlichen Körper in Ruhe erhalten, so hat man zur Bestimmung ihrer Grösse K₂ zu beachten, dass im Ruhezustände der Widerstand W irgend eine Richtung innerhalb des Reibungskegels, also hier innerhalb des doppelten Reibungswinkels einnehmen kann (Fig. 244), dass daher der Endpunkt der Kraft K₂ im Krafteck irgendwo zwischen und C liegen muss, so dass К₂ > Кx und zugleich K2 sein muss, innerhalb dieser Grenzen aber völlig willkürlich gewählt werden kann.

3)

4)

Fig. 244.

вУ

гЩ

К = Q (sin a -f/cos а).

Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen in die einzige Gleichung :

5)

Darin bezieht sich das obere Vorzeichen auf die grössere, zum Hinaufziehen erforderliche Zugkraft, welche neben der Seitenkraft der Schwere (Qsina) noch die Reibung (fQ cos a) überwinden muss; das untere Vorzeichen auf die kleinere, zum Hinablassen erforderliche Kraft. Der Einfluss der entgegengesetzten Bewegung macht sich in der Formel durch Umkehrung der Vorzeichen von cp oder / geltend, wie auch in allen späteren Fällen sich zeigen wird. Diese beiden Werthe К und Kx bilden dann zugleich die Grenzen für die zum Festhalten erforderliche Kraft K₂. Wäre nämlich K₂ <Z so würde der Körper beschleunigt abwärts gleiten, wäre K₂ > K, so würde der Körper eine Beschleunigung nach oben erfahren. Soll weder das Eine, noch das Andere erfolgen, so muss K₂ zwischen Kx und К bleiben, ist im übrigen aber beliebig. Das Ergebnis, dass die für den Ruhezustand erforderliche Kraft zwischen den beiden, für die abwärts, bezw. aufwärts gerichtete Bewegung erforderlichen Kräften bleiben muss, gilt auch für alle anderen im Nachstehenden behandelten Fälle dieser Art.

Beispiel: Eine Holzkiste von 100 kg Gewicht soll auf einer unter 45° geneigten Ebene mittels eines, parallel mit der Ebene gespannten Seiles aufwärts gezogen werden. Die Reibungsziffer betrage unter der Annahme einer hölzernen Bahn f— 0,л, entsprechend einem Reibungswinkel £> = 17°. Für а = 45 ⁰ ist sin а = cos а =У~х/2 = 0,7O7. Mithin (Gl. 5)

К = 100 • 0,707 (1 + 0,з) = 7(1,7 ± 21,2 = 91,9 kg bezw. 49,r. kg.

Darin ist 70,7 der zur Überwindung der schräg abwärts gerichteten Seitenkraft der Schwere erforderliche Theil, 21,2 der Reibungswiderstand. Zum Hinaufziehen muss an dem Seile mit 91,9 kg gezogen werden, zum Hinablassen sind nur 49,5 kg erforderlich. Ist die Kiste in Ruhe und soll sie auch mittels des Seiles in Ruhe gehalten werden, so muss man an dem Seile mit einer Kraft K₂ ziehen, welche zwischen 49,5 und 91,9 kg legt. Übt man nur die kleinste zulässige Kraft von 49,5 kg aus, so muss die Reibung mit ihrem vollen Betrage von 21,2 kg dem Arbeiter zu Hülfe kommen, um die Seitenkraft der Schwere von 70,7 kg aufzuheben. Es erfordert diese Verwendung der kleinsten Kraft aber ein gewisses Mafs von Aufmerksamkeit; denn lässt die ausgeübte Kraft nur im geringsten nach, so erfolgt eine beschleunigte Abwärtsbewegung, die dann nur mit grösserer Anstrengung wieder aufzuheben ist. Übt man an dem Seile, der Sicherheit wegen, eine grössere Kraft aus als 49,5 kg, so ändert sich dadurch in dem sichtbaren Ruhezustände nichts; die Reibung tritt dann nur mit entsprechend geringerem Betrag auf. Hat die Spannkraft den Werth

К verbleibe.

Fig. 246.

Denkt man sich die Richtung der Zugkraft K, etwa des Zugseiles, veränderlich, so ändert sich auch die Grösse von K.

Kmin

70,7kg, so kommt gar keine Reibung zur Wirkung, denn diese tritt im Ruhezustände stets nur in derjenigen Grösse auf, die nöthig ist, um das Gleiten zu verhindern. In diesem Falle würde auch bei völlig glatten Körpern kein Gleiten eintreten. Wächst die Spannkraft über 70,7 kg hinaus, so würde bei glatten Körpern schon ein beschleunigtes Gleiten nach oben eintreten; in Wirklichkeit wird der Überschuss einstweilen noch durch Reibung vernichtet, die nun aber sich nach unten richtet und der Schwere zu Hülfe kommt. Bei $1,9 kg Kraft nimmt diese Reibung den grössten möglichen Werth an. Würde der Körper nun durch einen kleinen Anstoss nach oben in Bewegung gesetzt, so würde er diese Bewegung auch fortsetzen. Erschütterungen können den Eingriff der Unebenheiten der Körper zeitweise aufheben oder vermindern und deshalb auch die Reibung theilweise aufheben.

Ist die Zugkraft К nicht parallel der Ebene, sondern weicht sie von der Normalen zur Ebene um einen Winkel ß ab (Fig. 245), so verfährt man im Übrigen wie oben. К und Q mögen sich in A schneiden. Yon А aus trage man Q = AB auf, zeichne W wie in Fig. 242, ziehe BC || K, so ist BC = К für die Aufwärtsbewegung. Und zwar ist K: Q, = sin (a + (p) : sin (ß — (p).

Für gleichförmige Abwärtsbewegung ist wiederum nur + (p mit — (p und um-

Fig. 245.

//c

в)

ß~<p£>C

чх'

gekehrt zu vertauschen, also

7)

Kl:Q = sin (a — (p): sin (ß + (p).

Für Ruhezustand ist erforderlich, das K₂ zwischen Kx und

In dem Dreieck ABC (Fig. 245) wird K-=BC offenbar am kleinsten, wenn BC rechtwinklig zu A.C ist, wenn also 2ÇACB = ß— (p — 90°, oder ß = 90° + (p; es weicht dann die Kraft К von der Parallelen zur Ebene um den Reibungswinkel nach oben hin ab, und es ist (Fig. 246) Kmin = Q sin (oc 4-(p).

Dagegen wird K=BC (Fig. 245) immer grösser, wenn der Winkel ACB abnimmt; ist endlich ВС II W, d. h. ß = <p, so wird К = с*э. Für diese Richtung einer zunächst endlich gedachten Kraft К fällt nämlich die Mittelkraft jß aus К und Q in das Innere des Reibungskegels, wobei eine gleichförmige Gleitbewegung nicht möglich ist. Nur für

К = oo würde Q, gegen К verschwinden und R mit К und W zusammenfallen.

Ist К wagerecht, so wird ß— 90° — a. Dieser einfache Fall ist aber ebenso leicht unmittelbar zu entwickeln wie aus Gl. 6. Es ist (Fig. 247)

K: Q = tg (a + q>).

Fig. 247.

û”

"ч

чч

Schreibt man

хч

------

8) -К = Q tg (a + (p) so hat man in dem kleineren Werthe wieder Kx zum Hinablassen und in К und Kx die Grenzen für den Ruhezustand.

Halbkugel auf schiefer Ebene. Eine Kugel kann unter alleiniger Einwirkung der Schwere auf schiefer Ebene nicht in Ruhe sein, wohl aber eine Halbkugel (Fig. 248). Der Ge-sammtwiderstand des Berührungspunktes А muss das Gewicht Q aufheben. Der Normalwiderstand N geht stets durch den Mittelpunkt O. Es muss stattfinden N — Qcosa, die Reibung T— Q sin a, und in Bezug auf О:

Fig. 248.

sfr'lX

0= + Tr—QSÖ sind, mithin, weil nach S. 138 SÖ = ³/sr: sin = ⁸/s sin а.

Die Grenzbedingungen für die Ruhe sind sin a^³/8, weil höchstens =90° werden kann, und ausserdem a^(p, weil die Halbkugel sonst ins Gleiten kommt.

ai

c) Bewegung in Keilnuthen.

Liegt ein Körper, statt auf wagerechter Ebene, in einer wagerechten keilförmigen Rinne oder Keilnuth mit dem Keilwinkel 2 Ô (Figur 249), so müssen in der Querschnittsebene die Gegendrücke N der Seitenflächen dem Gewichte Q das Gleichgewicht halten. Es wird

Fig. 249.

if

/VV'

Q = 2 iYsin ô oder 2 N = Q : sin ô.

Der Bewegung setzt sich an jeder Seitenfläche ein Reibungswider-stand fN entgegen, so dass die in der Längsrichtung der Keilnuth erforderliche Zugkraft wird

Qf

9)

X=2fN =

sind ’

-r—7 ist. sin о

Das keilartige Einpressen des Körpers in die Nuth hat im Vergleiche mit der Bewegung auf ebener Fläche denselben Einfluss, als wäre die Rauhigkeit verstärkt, die Reibungsziffer/ auf /:sin<5 vergrössert (A. Ritter, Technische Mechanik). Dasselbe Ergebnis findet man auch in anderen Fällen, wenn man aus dem Falle der Bewegung eines Körpers auf einer ebenen oder krummen Fläche zu demjenigen übergeht, wo in die Fläche keilförmige Rinnen eingearbeitet sind, in die der Körper keilartig eingreift und längs deren der Körper gleitet. Man hat dann stets / zu vertauschen mit /:sin<3, oder auch den Reibungswinkel mit einem grösseren Werthe yi, für den

10)

Fig. 250.

Giebt man z. B. der Rinne eine Neigung a gegen die Wagerechte (Fig. 250), so ergiebt sich Q, cos а als diejenige Seitenkraft von (2, welche den Körper in die Keilnuth eindrückt. In vorstehender Figur 249 ist dann Q mit Q cos а zu vertauschen ; daher wird

2 N = Q cos а : sin ô und der gesammte Reibungswiderstand 2 f N — Q cos а •/ : sin ô.

jjf G cosec

Setzt man diesen Werth = Qsina, so erhält man die Bedingung für gleichförmige Abwärtsbewegung durch die Schwere, näm-

lieh tg а =

= tg ip, oder а = xp.

sin à

Es ist hierzu nicht erforderlich, dass eine wirkliche Keilnuth vorhanden sei; gleiche Wirkungen treten auch auf, wenn der Körper sich etwa zwischen 2 runde Bäume einkeilt, wenn also die von den bewegenden Kräften herrührende Seitenkraft (in der Richtung rechtwinklig zur Bewegung) von 2 Kräften N aufgehoben wird, die mit ihr in einer Ebene liegen, aber nicht parallel sind.

Soll ein runder Körper zwischen den Bäumen einer sog. Streichleiter gleiten (Fig.251) und ist 5 = 45° der Winkel der Tangente bei A mit der Mittelebene, so wird /: sin ô = 1,414/ als Reibungsziffer einzuführen sein, also wenn, wie in dem Beispiele auf S. 196, /=0,3 ist, statt dessen 0,42. Bei a = 45° wird dann KT =100,4, Kx = 41 k&.

Fig. 251.

M'' ! \

V.

ГсГх

d) Stabförmiger Körper, you zwei Ebenen gestützt.

Der Körper mit dem Schwerpunkte S möge die Ebenen in den Punkten A und В berühren (Fig. 252), u. zw. sollen А, В und S in einer lothrechten Ebene liegen, zu welcher die beiden Stützebenen rechtwinklig sind. Wären die Körper völlig glatt, so könnten in A und В nur Normaldrücke N und Nx entstehen, durch deren Schnittpunkt C die Schwerlinie des Stabes gehen müsste, wenn Gleichgewicht bestehen sollte. Bei vorhandener Rauhigkeit aber hat man in A und В die Reibungskegel zu zeichnen; die Mittelschnitte derselben haben ein Viereck DEFG gemeinsam, und dies Reibungsviereck ist der Bereich aller möglichen Schnittpunkte der Widerstände W und Wx der Stützpunkte A und B. Da nun für Gleichgewicht die Kraft Q mit W und W\ einen gemeinsamen Schnittpunkt haben muss, so erfordert der Ruhezustand, dass die Schwerlinie des Stabes durch das Viereck hindurchgehen muss. Schneidet die Schwerlinie das Viereck aber vielleicht in IIJ, so sind längs dieser Strecke HJ unendlich viele Schnittpunkte von W, Wx und Q möglich, daher sind auch W und В/ nach Richtung und Grösse unbestimmt. Nur wenn Q durch einen der Grenzpunkte E und G des Vierecks geht, ist die Richtung (und dann auch die Grösse) von W und W\ bestimmt. In diesen Fällen befindet sich der Stab im Grenzzustande der Ruhe; W und Wx liegen auf den Mantelflächen der Reibungskegel, es treten in A und В die vollen Reibungswerthe auf, und bei dem geringsten Anstosse geräth der Stab ins Gleiten.

Fig. 252.

a<

1)

rS'

YÛ

Ruhezustand einer Leiter. Eine Leiter AB von der Länge l stütze sich bei A gegen den Boden und lehne sich bei В gegen eine lothrechte Wand (Fig. 253). Die Reibungsziffern für beide Ebenen seien die gleichen. Der Schwerpunkt S der (etwa belasteten) Leiter liege um AS — nl von A entfernt. Gesucht wird der Neigungswinkel a, unter dem die Leiter an der Grenze des Ruhezustandes ist.

Fig. 253.

'fj /7 I w/ i

- Afs

Wird die Leiter in gewöhnlicher Weise durch Besteigung belastet, so kann die Schwerlinie nur zwischen A und В hindurchgehen; es interessirt dann von dem Vierecke DE F Gr der Schnittpunkte (Fig. 252) nur der rechtsseitige Endpunkt E, bis zu dem die Schwerlinie nach rechts sich bewegen darf, wenn noch Ruhe möglich sein soll. Dreieck AE В ist bei E rechtwinklig, ferner ist 2£ASE = 90° + a, 2£EBA = <x + cp. Daher ist im /\AES:

AS:AE~= sin cp: sin (90° + a) = sin 99 : cos ot;

im Dreieck ABE:

AB :AE= 1 : sin (a + <p), und aus beiden Gleichungen durch Theilung:

AS: AB = nl:l = n

sin cp • sin (a + <p)

COS a

oder n cos a = sin cp (sin a cos cp + cos a sin <p).

Theilt man auf beiden Seiten durch cos a • cos² cp und vertauscht tgç? mit /, cos² cp aber mit 1 : (1 + tg² 99) = 1 : (1 +/²), so ergiebt sich:

n (1 + /²) = / (tg a + /), oder, nach tga aufgelöst:

1)

tga

-/•

Ist also n gegeben, d. h. bekannt, wie weit das Gesammtgewicht der Leiter sich von dem unteren Endpunkt entfernen kann, so steht damit der Winkel a fest, welcher dem Grenzzustande der Ruhe

entspricht.

Soll bei gegebener Schwerpunktslage Sicherheit gegen Gleiten vorhanden sein, so muss die wirkliche Schwerlinie links von E

bleiben, oder es muss das nach dem Punkt E berechnete n der

Man kann vorstehende Aufgabe, die wir hier geometrisch gelöst haben, auch rechnerisch auf Grund der drei Gleichgewichts-Bedingungen behandeln. Im Grenzzustande treten an den Berührungsstellen zu den Normaldrücken N und iVj die vollen Reibungen fN und fNx hinzu, und zwar entgegengesetzt der Richtung des möglichen Ausgleitens, d. h. nach rechts, bezw. nach oben (Fig. 254). Die Gleichung der wagerechten Kräfte heisst:

Fig. 254.

rs

Gleichung 1 grösser sein als das wirkliche nx : d. h. das wirkliche , mithin

/(t g« + /)

1+/²

2)

(f + /)

-/•

3)

fN= Ni ;

die Gleichung der lothrechten Kräfte:

N + fi\ = Q;

die Momentengleichung in Bezug auf A:

О = Qnl cos а — Nx l sin а — fNx l cos а.

4)

5)

Letztere Gleichung giebt:

tga

₌ Qn-fN,

V/

'Q

Aus den Gleichungen 3 und 4 ergiebt sich aber:

'"s| ^

N, = ——

mithin wird wiederum:

tga =

n(j+/)

-/•

Ist zunächst

Beispiel: Die Beibungsziffer betrage /'= 0,4 = tg22°. die Leiter durch ihr eigenes, in der Mitte angreifendes Gewicht belastet, d. h. n — l/2, so wird

tg * = у (2,5 + 0,4) — 0,4 == 1,05 ; а = 46‘/г⁰.

Bis zu diesem Werthe dürfte ot abnehmen, ohne dass die Leiter ausglitte. Wird sie sodann bestiegen und hat der Besteigende dasselbe Gewicht wie die Leiter, so ist, wenn der Besteigende noch auf der untersten Sprosse steht, annähernd n = l/i, und

Fig. 256.

YQ

Reibnngs-Hülsen und Reibung-Ringe zur Aufhängung von Lasten. Soll an einer Säule ohne Vorsprünge eine Last nur durch Reibung sicher aufgehängt werden, so schiebe man (Fig. 256) über die Säule eine Hülse, welche erstere bei A und В berührt, hei A also einen geschlossenen Ring bildet, während bei В nur ein Ringsegment erforderlich ist.

<■

Diese geringe Neigung darf aber nicht gewählt werden, wenn die Leiter höher hinauf bestiegen werden soll. Ist sie nämlich bis zur Mitte erstiegen, so ist wieder и = V² • Wird sie aber bis oben bestiegen, so ist zuletzt n = ³A und tg а = ³/4 (2,5 -j- 0,4) — 0,4 = 1,78 ; а = 60 °40 '.

Will man also eine Leiter bis zur höchsten Sprosse besteigen, so genügt es nicht, den Sicherheitszustand der unbelasteten Leiter zu prüfen ; vielmehr ist eine steilere Stellung erforderlich. Zur Vermeidung jeder Gefahr befestige man an der obersten Sprosse ein Seil und hänge sich zur Probe an dieses, um denselben Belastungsfall zu haben wie beim Besteigen der Leiter bis zur höchsten Sprosse. — Ist die hierdurch bedingte steile Lage aus irgend welchen Gründen nicht gut ausführbar, so lässt sich auch bei kleinerem Winkel a die Sicherheit erhöhen, wenn ein zweiter Arbeiter seine Füsse entweder vor die Leiter setzt, oder sich auf die unterste' Sprosse stellt. Letzteres hat einen besseren Erfolg als das Davorstellen, wenn f für die Leiter vielleicht grösser ist als für die Sohlen des Arbeiters.

Ist die Leiter sehr leicht, so wird, wenn ein Mensch sie bis oben erstiegen hat, annähernd n = 1, mithin

Pig. 255.

'Ф

QYjftr

tga = y+f—f=y, d. h. а = 90⁰ —

d. h. in diesem Falle darf die Leiter höchstens um den Reibungswinkel von der Lothrechten äbweichen (Fig. 255).

Für ^> = 22° wäre а = 68°. Die Gesammtwiderstände W und W₁ schneiden sich mit Q in B, es wird W=Q cos<p-, TFj = ф sin 9-

0w

WM

Vf

Zuerst stützt man die Hülse gegen Hinabgleiten, etwa bei A, übt dann an dem seitlichen Arme C einen Druck nach unten aus und bewirkt dadurch ein Drehungsbestreben rechts herum, welchem sich bei A und В gleiche und entgegengesetzte Drücke N der Säule entgegenstellen. Mit Einschluss

der Reibung bilden sich nun in A und В Gesammtwiderstände W und Wy innerhalb der Reibungskegel der Punkte A und B. Die Mittelschnitte der Reibungskegel treffen sich zunächst im Punkte E; rechts von jE aber liegt der Bereich der möglichen Schnittpunkte von W und Wy. Geht daher das Gesammtgewicht Q der Hülse einschliesslich des belasteten Armes durch E, so befindet sich die Hülse im Grenzzustande der Ruhe, weil die Drücke N dann noch so gering sind, dass nur die volle Reibung fN an beiden Stellen hinreicht, um das Abwärtsgleiten zu verhindern.

Fig. 257.

-A

c—Q-4

Geht aber das Gesammtgewicht Q rechts von E vorbei, so ist das Gleichgewicht der Hülse gesichert, und zwar um so mehr, je weiter rechts Q liegt. Ist b die Breite der Säule, h der Höhenabstand der Punkte A und В, c die gesuchte Entfernung des Punktes E von der Mitte der Säule (Fig. 257), so findet man leicht

= (c + -|) tgç> + [c — -|)tg(p

h = AG + DB

h — 2ctgqp oder c —

Ist oc der Abstand der Gesammtlast Q von der Säulenmitte, so ist die Bedingung für Ruhe:

x> c d. h. X > jr—.

- -2/

Die Grösse der Last Q ist ganz ohne Einfluss auf die Sicherheit

des Gleichgewichts. Wenn also Säule und Hülse nur stark genug

sind, so dass sie annähernd als starre Körper gelten können, so kann

man an dem Seitenarme jede beliebig grosse Last aufhängen, weil

mit zunehmender Last auch N und

6)

Fig. 258.

die mögliche Reibung fN zunehmen.

Nennen wir die bei A und В zur Wirkung kommenden Reibungswiderstände T und 7j, so ist T + Ту = Q. Wie sich Q auf T und Ту vertheilt, ist unbestimmt.

Machen wir die willkürliche Annahme: T— Tx = 7г(2, so können auch N und Nv berechnet werden.    In Bezug auf O (Fig. 258) ist dann, weil die Momente

TA

06

Ti

■jV

----------►

von T und T, sich aufheben, Nh — Qx. Die Summe der grössten möglichen Reibungswiderstände wäre

2/iV=2/Qy oder, weil h = 2fc war,

2f N— Qx: c;

weil nun von der Reibung nur der Theil Q beansprucht wird, so ist die gesammte mögliche Reibung x:c mal so gross wie die nöthige; x:c kann mithin als der Sicherheitsgrad bezeichnet werden.

Fig. 259.

Die Reibungshülse kann durch den einfachen Reibungsring (Fig. 259)

ГЧ

i<-----X----

'жтжктФЖ

--->

TQ

il

(mit der gleichen Wirkung) ersetzt werden. Der etwa aus Rundeisen geschmiedete Ring hat eine Weite d, welche grösser ist als die Breite der Säule, so dass der Ring erst in schräger Lage die Säule bei A und В berührt. Die Reibungskegel bei A und В haben dann die gleiche Bedeutung wie in Fig. 256.

Fig. 260.

в-**'

Beispiel: Es sei 6 = 0,2* die Breite der Säule, d = 0,2im die Weite des Ringes; dann wird 7t= l/"rf²—6²=0,oe4m. Ist nun für Holz und Schmiedeeisen (ohne Schmierung) /= 0,5, so wird c = 0,o64 : (2 • 0,s) = 0,064 m. Macht man nun a; = 0,2m, so ist die Sicherheit gegen Gleiten eine 0,2 : 0,o64 = 3 fache (rund). Ist also die Gesammtlast Ç=100ks, so ist die gesammte mögliche Reibung 300 kg, von der aber nur 100 kg zur Wirkung kommen. Oder man kann die Sicherheit auch so auffassen, dass die Reibungszilfer 0,5 auf V³ ihres Werthes sich vermindern darf, bevor Gleiten eintritt. Für f = 7fi würde nämlich e — 0,o<u • 3 = 0,i92, d. h. fast = x.

b*

/X'

Mt

[fX

II

e) Gleichförmige Hebung eines Pochstempels. Ein zum Zerkleinern von Erzen oder dgl. dienender Stempel vom Gewichte Q (Fig. 260) wird durch den Daumen einer sich drehenden Daumenwelle erfasst und mittels einer Kraft К gehoben, bis er, nachdem der Daumen an dem Hubarme vorbeigekommen ist, frei herabfällt und die von ihm getroffenen Körper zerstampft. Da К und Q einen wagerechten Abstand Ъ haben, so würde der Stempel Umfallen, wenn er nicht durch Führungen in lothrechter

Lage gehalten würde. Von den Führungshölzern werden beim Heben nur die schraffirten wirksam und liefern gleiche Normaldrücke N, denen beim Aufwärtsgleiten abwärts gerichtete Reibungen f N entsprechen. Es ist nach der Gleichung der lothrechten Kräfte

1)

K= Q + 2 f N.

Die Momentengleichung in Bezug auf einen Punkt О der Mitte des Stempels lautet:

2)

Nh — Kb.

Setzt man den hieraus erhaltenen Werth von N in Gl. 1 ein, so wird

КЪ

K—Q-\- 2/-^-, mithin

3)

Soll К klein werden, so muss fb : h klein ausfallen ; durch Glättung und Schmierung der Reihungsflächen muss hiernach / klein gemacht werden; der Arm b muss so kurz sein, wie die Rücksichten der

Ausführung und des Betriebes gestatten, und der Abstand h der Führungen muss möglichst gross sein.

Beispiel: Ist Q = 150 kg, f — Vs, b :h = 1 : 8, so wird К = 155 kg.

In der vorstehenden Ableitung ist angenommen, dass der Daumen auf den Arm b nur eine lothrechte Kraft ausübe; bei der Drehung der Welle gleitet aber der Daumen unter dem Arme nach rechts fort

und wirkt durch Reibung nach rechts ziehend auf den Arm, so dass zu der Kraft К noch die nach rechts wirkende Reibung fxK hinzukommt. Dies ändert die sonstigen Kräfte, z. B. wird nun der Druck N an beiden Führungen nicht mehr der gleiche sein können (Fig. 261). Es wird

Fig. 261.

“f-4

W\0

b*

1)

2)

f\K = N — N\ K=Q+f[N+N,\

und in Bezug auf В :

3)    0 = -Q^ + Nh-fNd-K[b-Çj +UKc.

y____A(i — ffi) — Q

B-

Aus Gl. 1 und 2 wird

und sodann aus Gl. 3

oder

A 2eV

h ' hl

Q = 150 ; f = fi='l/s-> b:h = ¹/e; d:li = ¹/ ю; с:1г = ¹/г giebt dann Jf=155ig. Der Unterschied gegenüber obiger Vernachlässigung von f\ ist verschwindend klein. •

f) Festklemmen eines Stabes zwischen zwei Flächen.

Fig. 262.

AX

Ar

Sind die beiden Ebenen, zwischen denen eine Stange sich befindet, nicht fest, sondern gehören sie zwei Körpern an, die durch seitliche Kräfte einander genähert werden können (Fig. 262), so ist das Verhalten der Stange gegenüber dem Versuche, die stützenden Körper zusammenzuschieben, ein verschiedenes, je nachdem

IQ

1.    die Stange nicht in die beiden Keibungskegel der Punkte А und В fällt, oder aber

2.    dieser Bedingung genügt.

Im ersten Falle können die Gesammtdrücke W und IFj in А

Fig. 263.

und В niemals in dieselbe Gerade (nämlich AB) fällen, können also auch niemals sich allein gegenseitig aufheben, sondern es können W und W₁ nur einer dritten Kraft, etwa dem Gewichte Q der Stange das Gleichgewicht halten. Ist nun die Stange sehr leicht, so dass man annähernd Q — 0 annehmen darf, so werden auch W und WL zu Null, d. h. die Stange übt auf die seitlichen Körper keine nennenswerthen Drücke aus. Versucht man, die Körper zusammenzuschieben, so kann die Stange dies nicht hindern, sondern sie weicht nach oben aus, indem sie sich entweder an beiden, Stellen A und В oder nur an einer derselben längs der Ebene in die Höhe schiebt. An der Gleitstelle tritt dann der volle Reibungs-widerstand auf, so dass dort W oder Wx die tiefste mögliche Lage einnimmt, falls Q nicht ganz gleich Null angenommen wird.

К*

Ц;

Liegt aber die Gerade AB innerhalb beider Keibungskegel (Fig. 263), so können W und W1 auch beide in die Gerade AB fallen und sich dann allein, ohne Hinzutreten einer dritten Kraft, gegenseitig aufheben. Sie können nun in jeder beliebigen Grösse

auftreten, wenn die Stange zwischen den Ebenen ruht. Versucht man wieder, die Seitenkörper zusammenzuschieben, so wird die Stange dies vollständig verhindern. Je stärker man auf die Seitenkörper drückt, desto grösser werden auch die Widerstände W — Wx. Soll die Stange aber, um Raum zu geben, bei A und В nach oben aus-weichen, so kommen die tiefsten Richtungen von W und Wl zur Geltung, und um unter deren Einwirkung eine Bewegung der Stange nach oben zu ermöglichen, muss eine den Kräften W und Wl das Gleichgewicht haltende, d. h. nach oben gerichtete Kraft К aufgewendet werden, und zwar ist die erforderliche Grösse dieser Kraft К abhängig von der Grösse der Pressung, die man vorher durch Zusammenschieben der Seitenkörper hervorgebracht hatte. Die Befreiung der Stange erfordert daher unter Umständen ein kräftiges Herausreissen nach oben hin. Der Zustand, in dem sich die Stange in solchem Falle befand, nennt man ein Festklemmen zwischen den Seitenkörpern. Es ist ein solches Festklemmen möglich, wenn AB innerhalb der beiden Reibungskegel liegt.

Fig. 264.

i=

Fig. 265.

Bei völlig starren Körpern kann man sich ein solches Festklemmen nur vorstellen, wenn die Stange zuerst zwischen den Körpern gehalten wird und diese dann zusammengedrückt werden. Bei elastisch festen Körpern aber kann man die Stange auch durch einen abwärts gerichteten Druck in einen keil- oder kegelförmigen Hohlraum, dessen Seitenwände einen einzigen Körper bilden, hineintreiben (Fig. 264), kann dabei an den Berührungsstellen mehr oder weniger starke Pressungen erzeugen, die dann einer Lösung der Stange einen entsprechenden Reibungswiderstand entgegensetzen. Unter Umständen kann man dann den etwa gefass-artigen Körper mittels der Stange emporheben.

Halbirt man den Winkel 2 ô zwischen beiden Seitenebenen durch eine Ebene und stellt die Stange zu dieser rechtwinklig (Fig. 265), so bildetsie mit Normalen zu den Ebenen die Winkel ô.

Soll sie nun innerhalb der Reibungskegel liegen, so muss <3<<p sein, d. h. der Winkel zwischen den Seitenebenen muss <;2 (p sein, wenn ein Festklemmen möglich sein soll.

g) Steinzaiige zum Heben und Versetzen schwerer Werksteine.

Soll der Werkstein S (Fig. 266) vom Gewichte Q, der vorläufig auf dem Boden ruhen möge, von der Zange ergriffen werden, so öffnet man diese durch Hinunterschiehen des Kniegelenkes A so weit, dass der Abstand der unten befindlichen Greifer g und g grösser ist als die Breite des Steines S.

Die Greifer werden nun durch die Hände der Arbeiter an dem Stein in die gewünschte Lage gebracht und durch Emporziehen des Kniegelenkes A mittels einer an dem obersten Ringe r angreifenden Winde-Vorrichtung einander genähert, so dass sie den Stein zwischen sich fassen und auf ihn bei weiterem Emporziehen des Ringes r so grosse wagerechte Druckkräfte H ausühen, dass die hierdurch erzeugte Reihung genügt, um das Hinahgleiten des Steines aus den Greifern zu verhindern. Der Stein wird daher bei langsamer, gleichmässiger Bewegung der Winde von den Greifern durch Vermittelung der Reihung getragen werden, also, je nach der Bewegung des an der Winde hängenden Ringes r, sich aufwärts oder abwärts bewegen, oder auch in beliebiger Höhe ruhig hängen bleiben.

Fig. 266.

'P

-x~IE§

fl <v jr

/>

l'

Tf

9'\

Die Bedingungen, unter denen der Stein S von den Greifern g und g mit Sicherheit gehalten wird, ergeben sich in folgender Weise: Jeder Greifer hat auf den Stein vom Gewichte Q ausser der wagerechten Druckkraft H noch eine lothrecht aufwärts gerichtete Kraft '/2 Q auszuüben (wie in der Figur an dem linksseitigen Greifer angegeben). Die Mittelkraft beider überträgt sich von der Angriffsfläche des Greifers auf das untere Ende D des Hebels DO В, so dass nach dem Satze der Wechselwirkung (S. 34) bei D auf den

Hebel die nach aussen gerichtete Kraft II und die abwärts gerichtete Kraft 72 Q wirken. Wenn der Stein zwischen den Greifern hängt, so übt die Winde auf das Kniegelenk A eine aufwärts gerichtete Zugkraft aus, die, wenn man das Gewicht der Steinzange gegenüber dem des Werksteines vernachlässigt, von der Grösse Q sein muss. Diese Kraft Q zerlegt sich an dem Kniegelenk A derartig in die beiden von den Gelenkstangen AB und А C aufzunehmenden Kräfte P, dass nach dem in der Figur (oben rechts) gezeichneten Krafteck

1)

2 sin а

ist. Diese Kräfte P drücken die oberen Enden В und C der um О und N drehbaren Hebel BOD und CNIJ aus einander und pressen hierdurch die Greifer an den Stein. Für das Gleichgewicht des Hebels DOB gilt (nach S. 153) in Bezug auf den Drehpunkt О die Momentengleichung

0 = — PI -f- Ha + 72 Qb oder wegen Gl. 1 :

2 \sin а

b) = Ha, woraus folgt

2)

II = Г

2 W sin ос

Soll nun an den Greifern kein Gleiten eintreten, so muss die zum Festhalten des Steines erforderliche Reibungskraft */2 Q, kleiner als die grösste mögliche Reibung /Н, d. h.

3)

/>

— sein. b

a sina

Beispiel: Ist etwa Z = 1,00m; а = 0,ззга; Z> = 0,11m; sin а = 0,40 ; f == 0,5, so muss für sicheres Festhalten

f>

0,14

0,33

= 0,i6

0,33 • 0,46

sein. Würde also f auf diesen Werth herabsinken, so wäre keine Sicherheit gegen das Herausgleiten des Steines aus den Greifern mehr vorhanden. Kann man aber nach der Beschaffenheit der Berührungsflächen zwischen Stein und Greifer f = 0,5 annehmen, so ist der Grad der Sicherheit gegen das Abgleiten 0,5 : 0,i6 = etwa 3fach.

li) Keil in dem Spalt eines Baumstammes oder dergl.

Fig. 267.

■/N Ik tm

N I 2V

Fig. 267 a.

Ein zur Mittelebene symmetrischer Keil vom Keilwinkel 2 ô (Fig. 267) soll durch eine Kraft К gleichmässig in dem Spalte weitergeschohen werden. Zu den Normaldrücken N kommen die in die Keilflächen fallenden, nach oben gerichteten Reibungswiderstände / • N hinzu. N schliesst den Winkel Ô mit der Querrichtung des Keiles, fN denselben Winkel mit der Kraft К ein. Für Gleichgewicht wird daher (Fig. 267 a)

Kl Ws'\fN

fr /

K—2N sin ö + 2 fN cos ô 1)    = 2iV(sinô+/COSÔ).

Fig- 267 b.

Oder auch К — 2 Wsin (ô -f ф) mit W— N: cos cp.

Für die rückgängige Bewegung des j^j Keiles gilt (ebenfalls mit dem Sinne der Kraft nach unten, Fig. 267b)

2)

Ky = 2 N (sin ö —/ cos à).

Die Kraft K₂ aber, welche für den Ruhezustand des Keiles erforderlich ist, muss zwischen den Werthen Ky und К bleiben.

Ist ô xp, d. h. tg(5>/ oder sin ô >/cos <3, so ist 7ц >0. In diesem Falle muss auch bei der Aufwärtsbewegung noch eine abwärts gerichtete Kraft Ky wirken, damit die Bewegung nicht beschleunigt, sondern gleichförmig erfolge. Die Drücke N würden trotz der Reibung noch im Stande sein, den Keil beschleunigt aus dem Spalt hinauszutreiben; oder der zu stumpfe Keil wird, sobald die treibende Kraft aufhört, zurückspringen. Für <5 <99 aber wird Ky <C 0, d. h. in diesem Fall ist ein Herausziehen des Keiles durch eine aufwärts gerichtete Kraft (— Kx) nöthig. Der Keil wird durch die Reibung im Spalte festgehalten ; je grösser die Seitendrücke N werden, um so fester steckt er; es findet hier also ähnliches statt wie beim Festklemmen einer Stange (S. 208), und zwar erfolgt dies Klemmen ebenfalls, wenn der Keilwinkel 2 t> <c2 cp. Auch hier können in solchem Falle die Gesammtdrücke W und FFj der beiden Seitenflächen in dieselbe Linie fallen und sich allein gegenseitig aufheben.

Bei der gewöhnlichen Anwendung des Keiles zum Spalten ist die Wirkung der Triebkraft eine unterbrochene. Wäre nun öpxp, so würde der Keil in den Pausen zwischen zwei Schlägen zurückspringen. Damit dies nicht geschehe, muss ô < 99 gemacht werden, der Keil muss sich gegen Zurückspringen festklemmen. Ein solcher Keil heisst selbstsperrend.

i) Gleichförmige Bewegung zweier sich berührenden Keile.

Zwei Keile mit den Keilwinkeln ax und a₂ (Fig. 268) berühren einander und ausserdem zwei Seitenebenen. Auf die Keile wirken die Kräfte Kx und K₂, welche mit den festen Ebenen die Winkel ßx und ß₂ bilden. Es soll deren Verhältnis ermittelt werden, unter der Annahme, dass Keil I der vorrückende, II der zurückgetriebene sei.

Die rechtsseitige Ebene übt einen Gesammtdruck Wx aus, der von der Normalen zur Ebene um den Reibungswinkel 99 nach rechts ahweichen muss, wenn Keil I nach links vorrückt. Der Angriffspunkt von Wx ist unbestimmt, werde daher in A willkürlich angenommen.

Unterstützungsebene, an der er abwärts gleitet, den spitzen Winkel 90°—(p (mit dem unteren Theile den stumpfen Winkel 90°+ 9?). Durch den Punkt C, in welchem Wx die Kraft Kx schneidet, muss nun auch der gegenseitige Druck D zwischen beiden Keilen hindurchgehen, weil drei sich im Gleichgewichte haltende Kräfte einen gemeinsamen Schnittpunkt haben müssen. D muss die Berührungsebene beider Keile wieder so schneiden, dass der* spitze Winkel 90° — 99 im Keile I auf der oberen Seite erscheint. (Die Winkel 90° — 99 sind in der Figur durch kleine Kreisbögen hervorgehoben.) Der gegenseitige Druck D schneidet K₂ im Punkt E, durch welchen auch W₂ hindurchgehen muss. Bei В aber, wo W₂ die linksseitige feste Ebene trifft, muss der spitze Winkel 90° — 99 an der unteren Seite erscheinen, da der Keil II nach oben gleitet. Hiermit stehen die Richtungen der Drücke an den Keilflächen fest; die Lagen ebenfalls, nachdem der Punkt A willkürlich angenommen

Fig. 268.

4«;

ßj\

L 90-

Wx bildet mit dem oberen Theile der rechtsseitigen

war. Trägt man nun die Kraft Ky nach einem beliebigen Malsstab als G F im Krafteck (Fig. 268 a) auf, setzt daran die Richtungen von TFi und D, so schneiden sich beide in О und schliessen das Kräftedreieck GFO, wie es der Gleichgewichtszustand fordert. Zieht man OJ || W₂,

Pig. 268 a.

Acfj+2ço &    /

GJ\\ K₂, so stehen nun auch die Kraftgrössen W₂ und K₂ fest. Der Linienzug ACEB, dessen Seiten die Richtungslinien der Drücke an den drei Keilflächen darstellen, heisst die 0 Drucklinie der beiden Keile. Betrachtet man О als den Pol des Kraftecks, so sind die Seiten der Drucklinie den Polstrahlen OF, OG,

790°-ßr<P

OJ der Reihe nach parallel. Die Drucklinie bildet daher ein zu den Kräften Kx und K2 gezeichnetes Seileck. Die Lage des Poles 0 und die Grösse der Kraft K₂ sind aber an die Bedingung gebunden, dass die Seiten des Seilecks, d. h. der Drucklinie, die Keilflächen in ganz bestimmter Weise unter den Winkeln 90° — 99 schneiden müssen. Will man nun die Kräfte aus dem Krafteck auch berechnen, so muss man die Winkel des Kraftecks bestimmen.

Der spitze Winkel zwischen Kx und TFj würde 90° — ßx betragen, wenn IFj ein Normaldruck wäre. Durch die Abweichung um 99 wird jener Winkel noch um dieses Mafs kleiner, d. h. es wird OFG = 90° — ßx — (p = 90° — (ßL + 99). Die Kräfte D und Wx würden, wenn sie beide Normaldrücke wären, denselben Winkel 04 mit einander bilden wie die entsprechenden Keilflächen; durch die Abweichung einer jeden um (p vergrössert sich dieser Winkel um 2 (p; daher ist 2£ FOG = ocx -f 2 <p. Entsprechend findet man OJG = 90° — (ß₂ — 95), 2LJ0G — a₂ — 299. Sonach ergiebt sich

KX .D = sin (a: + 2 99) : cos (ßx + <p) ;

K₂ :D = sin (a₂ — 2 99) : cos (ß₂ — 90).

Durch Theilung beider Gleichungen entsteht dann sin (ocj + 2 99) cos (ß₂ — 99)

K₂ sin (a₂ — 2 99) cos (ßx + 99) ‘

Für a₂ = 2 99 würde 2LJ0G — 0 und K₂ = 0 oder Kx: K₂ — 00, in der Drucklinie würde BF mit CF zusammenfallen, d. h. der

Keil II würde zwischen Keil I und der linksseitigen Ebene sich festklemmen. Die vorausgesetzte Bewegung würde ferner unmöglich werden für ßl — 90° — (p, weil dann 2L0FG — 0 werden würde. In diesem Falle würde Kx schon durch Wl allein aufgehoben und es entstände durch die Kraft Kx gar kein Druck D gegen den zweiten Keil, also auch keine Möglichkeit, die Kraft K₂ an dem Keile 11 zu überwinden.

Fig. 269.

V*-D

К-/

Soll die Bewegung der Keile umgekehrt erfolgen (Fig. 269), soll Keil II vorrücken und Keil I zurückweichen, so findet man, in einem Punkt A am Keile I beginnend, in gleicher Weise die Drucklinie; ihre einzelnen Seiten verdrehen sich aber, gegenüber der Fig. 268, je um 2 (p. Die spitzen Winkel 90° — (p liegen jetzt durchweg an der anderen Seite als in Fig. 268.

Im Krafteck (Fig. 269 a) wird, wenn Kx zu derselben Grösse angenommen wird wie vorher, K₂ nun viel grösser als vorher. Das Verhältnis Kj :K₂ ergiebt sich leicht, wenn man in Gl. 1 durchweg die Vorzeichen von (p umkehrt.

Fig. 269 a.

Sind endlich beide Keile in Ruhe, so liegt die Richtung des Widerstandes W₁ irgendwo innerhalb des doppelten Reibungswinkels, und dasselbe gilt für die Richtungen der Drücke D und W₂.

’ 'Kg

öd

Bei gegebenem Kx hat nun der Pol О des Kraftecks keine bestimmte Lage mehr, weil W₁ und D innerhalb des doppelten Reibungswinkels jede Richtung haben können; ebenso wird die Richtung von W₂ unbestimmt und damit auch die Grösse K₂.

m°-ßL+\-jrKt T

Das Verhältnis Kx : K₂ ist jetzt nur durch die beiden Grenzen bestimmt, welche sich aus den beiden untersuchten Bewegungsfällen ergeben haben und welche man auch leicht rechnerisch findet, indem man Gl. 1 das eine Mal mit den angegebenen Vorzeichen von <p, das andere Mal mit den entgegengesetzten dieser Zeichen ausrechnet.

Man erkennt hieraus, dass es für die beiden ruhenden Keile im Allgemeinen unendlich viele mögliche Drucklinien giebt. Jede derselben ist ein zu den Kräften K₂ und Kx gezeichnetes Seileck,

zu dessen Konstruktion der Pol О und der Anfangspunkt A der Drucklinie innerhalb gewisser Grenzen beliebig gewählt werden können. Da aber die Seiten der Drucklinie die Richtung und Lage der Drücke an Keilflächen darstellen, so müssen sie zwei einschränkenden Bedingungen genügen:

1.    darf eine Seite der Drucklinie höchstens um den Reibungswinkel von der Normalen zu der entsprechenden Keilfläche abweichen;

2.    muss eine Seite der Drucklinie die zugehörige Keilfläche innerhalb des Bereiches der Berührung (vgl. S. 168) schneiden.

Der Ruhezustand der beiden Keile unter Einwirkung gegebener Kräfte Kx und K₂ ist nur möglich, wenn wenigstens eine, diesen Bedingungen entsprechende, Drucklinie nachweisbar ist.

Beispiel: Ein mit K, belasteter Pfosten (Fig. 270) soll mittels des untergeschobenen Keiles, an dem eine wagerechte Kraft Kx wirkt, gleichmässig in die Höhe gekeilt werden. Die Drucklinie АСЕ В ergiebt sich leicht unter Annahme eines willkürlichen Punktes A. (Die spitzen Winkel 00° — sind in Fig. 270 wieder durch kleine Bögen bezeichnet.) Der Druck D würde, wenn er ein Normaldruck wäre, mit der Lothrechten den Winkel ax bilden; wegen der Reibung wird dieser Winkel (s. das Krafteck Fig. 270 a) O G J — olx-\-<p • Das Verhältnis Kx : K2 liesse sich leicht aus Gl. 1 berechnen, indem man dort die Sonderwerthe dieses Falles einsetzte. Wir ziehen aber eine unmittelbare Berechnung vor. Man erkennt leicht, dass TU, und W₂ von den zu einander rechtwinkligen Gleitobenen nach derselben Seite um 90 ⁰ — <p abweichen, also ebenfalls zu einander winkelrecht sein müssen. Das Viereck GFOJ ist darnach bei G und bei О rechtwinklig, ist also ein einem Kreise vom Durchmesser FJ eingeschriebenes. Der Winkel FO G —    -f- 2 <p steht über dem

Fig. 270 a

Fig. 270.

■Ï.

i⁵

Bogen FG; demselben Bogen entspricht aber auch der Umfangswinkel FJG, der somit dieselbe Grösse -f— 2 <p hat. Daher ist

()

Kx : K₂ — tg («J + 2 ą>).

Für ax -f- 2 <p = 90° oder ax = 90° — 2 у mithin a₂ = 2 w wird Kx : K₂ — oo, oder das Hinaufkeilen unmöglich. Es fallen dann nämlich D und W₂ zusammen und klemmen den als zweiten Keil geltenden Pfosten fest.

Für die entgegengesetzte Bewegung, d. h. für gleichmässiges Hinablassen des Pfostens, gilt selbstverständlich Kx' : K₂ = tg («! — 2 ?)•

vH

K₂V

Kl

Für die meisten Fälle ist es wünschenswerth, dass der untere Keil selbstsperrend sei, d. h. dass für den Rückgang Kx < 0 werde. Mithin muss <*! <c 2 <p sein. Für diesen Fall gilt das Krafteck Fig. 270 b, in welchem die den unteren Keil zurückziehende Kraft — Kx = Gr F ist. Der Druck В zwischen beiden Keilen bildet mit der Lothrechten den Winkel OGJ = ах — <p.

Fig. 270 b. —-

D\

L2'

Würde dieser wegen = <p zu Null, so ergäbe sich В lothrecht und OJ— W₂ — 0. Unter diesen Umständen und ebenso für ax<z<p würde sich der Pfosten beim Zurückziehen des unteren Keiles nicht mehr gegen die lothrechte Wand stützen; er würde vielmehr wegen des lothrechten В, welches dann = K₂ ist, durch den unteren Keil von der Wand abgezogen werden, würde auf dem Keile nicht abwärts gleiten, also auch nicht sinken; es würde also der Zweck der Rückwärtsbewegung nicht erreicht werden. Für ax <z <p würde Ж> sogar negativ werden, d. h. es müsste der Pfosten durch eine besondere Kraft gegen die Wand gedrückt werden, um sich nicht von ihr zu entfernen. Daraus folgt, dass der Keilwinkel zwischen den Werthen <p und 2 <p liegen muss, damit die Vorrichtung ihren Zweck erfülle.

Zahlenbeispiel ; Bei f— 0,2 oder ^=11° und a₁ —17° mit tg 04 = 0,3 wird tg (04 -f- 2 <p) — tg 39° = 0,s, mithin Kx = 0,з K, für Hinauf keilen; tg (04 — 2 <p) — — tg (5°) = — 0,o9, d. h. — Kx' = 0,09 K₂ für Hinunterlassen.

k) Wirkung der Keilpresse.

Dieselben Grundgedanken wie bei zwei Keilen gelten auch, wenn die Zahl der Keile grösser ist. Gleiten die Keile, so tritt an jeder Keilfläche ein Druck auf, der von der Normalen zur Keilfläche um den Keibungswinkel abweicht. An jedem Keile halten sich die Flächendrücke mit einer dritten Kraft К im Gleichgewichte, schneiden sich daher in einem Punkte. Bei gleichmässiger Bewegung bilden die drei Kräfte jedes Keiles einen geschlossenen Streckenzug. Das ganze Krafteck aber bildet wiederum ein Krafteck der gegebenen Kräfte К mit seitwärts liegendem Pole. Die Polstrahlen sind die Drücke der Keilflächen; die dazu parallelen Richtungslinien dieser Kräfte bilden daher ein zu den Kräften К gezeichnetes Seileck. Letzteres gilt auch für den Ruhezustand der Keile, nur liegt dann der Pol nicht mehr bestimmt fest, sondern ist innerhalb gewisser Grenzen unbestimmt. Für die Seileckseiten gelten dann dieselben Beschränkungen wie auf S. 215 angegeben.

Bei einer Keilpresse etwa zum Auspressen von Öl aus zerstampftem Ölsamen (Fig. 271) wirkt Kv als Triebkraft auf den mittleren Keil vom Keilwinkel 2 <3. Durch Niederdrücken dieses Keiles werden die Seitenkeile auf den wagerechten Gleitflächen aus einander getrieben und dadurch die Ölgutsäcke S, S gepresst, welche dabei die Gegendrücke K₂ leisten. ACEFB ist die Drucklinie der Keilgruppe.

Stellt man die Triebkraft K{ durch GJ im Krafteck (Fig. 271a) dar, so sind JO und GO die Gegendrücke D der beiden Seitenkeile, welche von der Wagerechten um ö + cp abweichen. Dadurch ist der Pol О bestimmt. Die Widerstände W der wagerechten Gleitflächen bilden mit der Lothrechten die Winkel cp und legen dann mit den Wagerechten durch G und J die Punkte L und Ж fest, wodurch JL — GM—K₂ bestimmt werden. Es ist dann im Dreieck OGJ:

Fig. 271.

ff w

ife-"

Fig. 271 a.

Ja

штттл

kJ

: D — 2 • sin {Ô + cp), im Dreieck O G Ж aber, weil 2£ GOM = 90 °— (d + 2 cp): K₂ :1) = cos (ô 4- 2 cp) : cos cp,

mithin wird

Kx _ g sin (ô -f cp) cos cp cos (ó + 2 cp)

Weil beim Keile gewöhnlich tgö gegeben ist, kann man vorstehende Formel zur bequemeren Berechnung (ohne trigonometrische Tabellen) umformen, indem man die zusammengesetzten Funktionen auflöst und in Zähler und Nenner mit cos<5-cos²<p theilt:

о_tgô+/

1— f² — 2/tgd*

K₂

2)

__

Ко

1) Wirkungsgrad einer Maschine.

Zur Beurtheilung der Güte einer Maschine dient die Vergleichung der Arbeiten, welche von der Maschine übertragen bezw. aufgenommen werden. Der Zweck der Keilpresse z. B. besteht in

dem Zusammenpressen des Gutes bei S. Rückt nun jeder Seitenkeil um V2 V nach aussen, während der Treibkeil sich um c abwärts bewegt, so verrichten die auf das Gut übertragenen Kräfte K2 zusammen eine Arbeit K₂v. Dies ist die Nutzarbeit; Kxc ist aber der Arbeitsaufwand. Das Verhältnis beider, nämlich

Nutzarbeit

_ K₂ V

Arbeitsaufwand c ’ nennt man den Wirkungsgrad oder das Güteverhältnis der Maschine.

3)

Das Verhältnis der Geschwindigkeiten v und c findet man aus dem geometrischen Zusammenhänge der Maschine (Fig. 272). Rückt der Treibkeil um c abwärts, so drängt er jeden Seitenkeil um Vs v zur Seite, wo '/2 v = ctg <3. Daher ist hier

2 Ko

Einen anderen Ausdruck kann man noch für den Wirkungsgrad i] finden, wenn man sich die Maschine einmal ohne schädliche Reibungswiderstände, als eine ideelle, vollkommene Maschine vorstellt. Nennt man die für eine solche nöthige Betriebskraft die ideelle Triebkraft = AT₀, so wird, indem man in Gl. 2 / =0 setzt,

= 2tgö = -.

⁰ c

Führt man dies in Gl. 3 ein, so erhält man

ideelle Triebkraft Кл wirkliche Triebkraft’

Nach Gl. 5 ist KQc — K₂v, d. h. bei einer vollkommenen Maschine würden Arbeitsaufwand und Nutzarbeit einander gleich oder der Wirkungsgrad gleich Eins sein. Eine Maschine ist mechanisch um so vollkommener, je mehr sie sich diesem ideellen Zustande nähert. Die Beziehung K₀c= K₂ v haben wir nur für den besonderen Fall der Keilpresse bewiesen; sie gilt aber allgemein. Bewegen sich nämlich alle Theile einer Maschine gleichförmig, so findet keine Zunahme des Arbeitsvermögens statt, also muss auch die gesammte Arbeit Null sein. Die inneren Spannkräfte einer vollkommenen Maschine verrichten aber nach S. 146 keine Arbeit. Die Widerstände völlig glatter Flächen, mit denen die einzelnen Maschinentheile in einander

Fig. 272.

4)

5)

6)

tg<5.

dl

K₀

Ko

Ko

greifen und an einander gleiten, ebenso wenig. Die Nutzlast wirkt in Bezug auf die Maschine stets der Bewegung ihres Angriffspunktes entgegen, verrichtet daher eine negative Arbeit, die im absoluten Sinne der Arbeit der Triebkraft gleich sein muss. Also

7)

V : c — K₀ : K₂.

Dies ist der schon von Galilei ausgesprochene Satz: „Was an Kraft gewonnen wird, geht an Geschwindigkeit (oder an Weg) verloren.“ Man kann also den Wirkungsgrad nach Willkür auf Grund der Gl. 3 oder der Gl. 6 berechnen.

Beispiel: Die Reibungsflächen der Keilpresse seien gut geglättet und geschmiert, daher / — 0,i. Auch in diesem Fall ist es nützlich, den Treibkeil selbstsperrend anzuordnen ; dies ist erfüllt, wenn wir etwa tg â — V20 annehmen. In Gl. 2 werden dann die Grössen f² und 2ftgd nur je Vioo und können zur Vereinfachung gegen 1 vernachlässigt werden. Es ist nämlich zu bedenken, dass die Reibungsziffern in Wirklichkeit schwanken werden und selten mit grosser Genauigkeit zu schätzen sind. Daher ist in Gl. 2 der Zähler doch kaum auf 2 °/o genau zu berechnen, so dass die Vernachlässigung im Nenner durchaus zulässig erscheint. Ähnliches gilt in allen Fällen, in denen Reibungswiderstände eine wichtige Rolle spielen. Dann wird

Кj = 2 • (0,05 -|- 0,i) K₂ = 0,3 К., ; v — 2 c • 0,os = 0,i • c.

V Kxc 0,3    '

K₀ — 2 K₂ tg â — 0,i Ko,

= V³ 5 wie vorstehend.

Der Wirkungsgrad

Es würde ohne Reibung

also auch

Ko

0 Да

0,3 Ko

Bei dieser Maschine wird also von der aufgewandten Arbeit nur ein Drittel nützlich verwerthet, während zwei Drittel durch Reibnng aufgezehrt werden. Die Keilpresse ist daher eine wenig vollkommene Maschine; Wasserdruckpressen z. B. arbeiten erheblich vortheilhafter. Die soeben besprochene Maschine hat aber Einfachheit und Billigkeit als Vorzüge.

Der Wirkungsgrad dieser Maschine nach Gl. 6 lässt sich, wenn man in Gl. 2 die erwähnte Vereinfachung

= 2 JBT₂ (tg rf-h Л

einführt, auch schreiben, weil K₀ = 2 K₂ tg d ist,

14

tg <?

tg^+Z¹

tgd

Vergrössert man tg d, so verkleinert sich der Nenner, mithin wächst tj . Macht man z. B. tg â = f, so würde schon rj = ljs werden. Die beabsichtigte Selbstsperrung des Triebkeiles hat also den geringen Wirkungsgrad herbeigeführt. Es lässt sich zeigen, dass bei jeder Maschine, die selbstsperrend sein soll, der Wirkungsgrad unter 0,r> liegen muss. Man kann nämlich setzen : Kx = K₀ -J- F, wenn F der durch die Reibungswiderstände aufgezehrte Theil der Betriebskraft ist. Nimmt man nun an, dass beim Beginne der rückgängigen Bewegung der Reibungswiderstand annähernd noch dieselbe Grösse F behält, so gilt für den Rückgang Kx = K₀ — F. Soll also die Maschine selbst sperren, so muss Kx'<0, mithin F>K₀ oder

in) Drucklinie eiues Gewölbes.

Auf S. 214 wurde gezeigt, dass die Drucklinie einer ruhenden Gruppe von zwei Keilen statisch unbestimmt ist, dass sie ein Seileck zu den Lasten К der Keile sein muss und dass ihre Seiten an zwei beschränkende Bedingungen gebunden sind. Auf S. 216 wurde dann weiter erläutert, dass diese Sätze von der Zahl der Keile unabhängig sind, also auch bei beliebig vielen Keilen Gültigkeit behalten.

Die einzelnen Steine eines (ohne Mörtel gedachten) Gewölbbogens sind nun auch keilförmige Körper. Soll ein Gewölbbogen in Ruhe sein können, so muss eine dem Ruhezustand entsprechende Drucklinie nachweisbar sein. Die Drucklinie ist ein zu den Gewichten der Gewölbtheile gezeichnetes Seileck. Die einzelnen Seiten desselben dürfen höchstens um den Reibungswinkel von den Normalen zu den Fugen abweichen und müssen die Fugen auch innerhalb des Bereiches der Berührung, d h. innerhalb des Gewölbbogens schneiden.

Das Gewölbe möge symmetrisch zu einer lothrechten Mittelebene sein (auch bezüglich seiner Belastung). Betrachten wir diese Fibene als eine Schnittebene, so wird in ihr eine wagerechte Druckkraft, der Seitenschub H, wirken. Denn ein schräg gerichteter Scheiteldruck würde an der einen Hälfte nach oben, an der anderen aber zufolge des Gesetzes der Wechselwirkung nach unten gerichtet sein, was jedoch der Symmetrie widerspricht. Theilt man nun den halben Bogen (Fig. 273) durch Fugen in eine beliebige Zahl von Theilen, deren Gewichte Q Q₂, ... durch die Schwerpunkte der Theile hindurchgehen, so ist das Krafteck der Lasten Q leicht gezeichnet, indem man sie nach irgend einem Kräftemafsstab an einander reiht. Wäre nun der Seitenschub H bekannt, so würde man den Pol О in dem Abstande II dem oberen Endpunkte der Lasten gegenüber annehmen und hätte damit säinmt-liche Polstrahlen. Wäre ausserdem noch der Angriffspunkt C des Scheiteldruckes gegeben, so hätte man die Seileckseiten nur den

Polstrahlen der Reihe nach parallel zu ziehen und hätte damit das Seileck, d. h. die Drucklinie des Gewölbes. Den Punkt C wollen wir in der Mitte der Scheitelfuge annehmen. Die letzte Seite des Seilecks könnte nun vielleicht aus der inneren Leibung des Gewölbes treten ; dann erkennt man, dass dieses Seileck eine mögliche Drucklinie nicht ist. Um aber ein flacher verlaufendes Seileck zu erhalten, braucht man nur den Polabstand H zu vergrössern, und zwar kann man leicht H so bestimmen, dass die letzte Seite die Kämpferfuge an einer bestimmten Stelle A, etwa in ihrer Mitte, schneide. In Pig. 273 ist nach willkürlicher Annahme des Poles Ol das Seileck CA gezeichnet. Verlängert man nun die letzte Seite des ersten Seilecks bis zum Schnitte P mit der Richtungslinie von B, so muss nach S. 120 das Gesammtgewicht R der Gewölbhälfte durch P gehen. Die Lage von R ist nur von der Form des Gewölbes abhängig, nicht aber von der willkürlich angenommenen Lage des Poles О. Für ein grösseres H und für ein wiederum durch C gehendes Seileck muss daher die letzte Seite ebenfalls durch P gehen. Zieht man also PA, so ist dies die Richtung der letzten Seite durch den gewünschten Punkt A. Eine Parallele zu AP durch D bestimmt den neuen Pol O, und OB ist nun der Scheitelschub, welcher einem durch C und A gehenden Seileck entspricht. Dass die Seiten des Seilecks von den Normalen zu den Fugen nicht zu viel abweichen, lässt sich ja nöthigenfalls durch Änderung der Fugenrichtung leicht erreichen. Wichtiger ist, dass die Drucklinie überall im Gewölbbogen verbleiben muss.

Fig. 270.

?\

Ÿ'A

oto

Л)

■' A

Fig. 274.

Nur wenn sich eine solche Drucklinie finden lässt, ist der Ruhezustand möglich.

Wie schon gesagt, hat man, wenn das erste Seileck die innere Wölbfläche schneidet,

H zu vergrössern, oder C nach oben zu verschieben, und umgekehrt. In Fig. 274 sind 2 vorläufige Seilecke

eingezeichnet, die den Bedingungen einer Drucklinie noch nicht entsprechen, aber durch Veränderung von II zu möglichen Drucklinien umgewandelt werden können. Schneidet jedoch ein Seileck (Fig. 275) erst die innere Wölblinie, kehrt dann durch dieselbe in das Gewölbe zurück und geht bei weiterem Verlaufe noch einmal durch die äussere Wölb-

Fig. 275.

//

linie, so ist Gleichgewicht unmöglich.

/,

Denn jede Änderung von H und O, die an der einen Stelle

das Hinaustreten beseitigen könnte, müsste das Hinaustreten an der anderen Stelle noch verstärken; in solchem Falle kann nur eine Vergrösserung der Gewölbstärke oder eine Änderung der Gewölbform zum Ziele führen.

Auf diese Andeutungen über die Drucklinie in Gewölben müssen wir uns hier beschränken. Die wirkliche Lage des Scheitelschubes II und des Widerlagerdrucks W folgt aus dem elastischen Verhalten der Gewölbsteine und findet sich besprochen in Keck, Vorträge über Elasticitätslehre, S. 330 u. fif. Hat man aber die richtige Drucklinie gefunden, so geben die Polstrahlen des Kraftecks die Grösse der Druckkräfte in den einzelnen Fugen an.

II. Wirkung der Reibung bei gleichmässig sich drehenden Körpern.

Ein starrer Körper, der sich gleichförmig um eine feste Achse dreht, ist nicht im Gleichgewichte, weil die einzelnen Massentheilchen nicht geradlinige, sondern kreisförmige Bewegungen ausführen. Die Bedingungen für eine gleichförmige Drehbewegung lassen sich aber mit Hülfe des Satzes auf S. 142 aufstellen, wonach die Ergänzungskräfte den an dem Körper wirkenden äusseren Kräften das Gleichgewicht halten müssen.

Dreht sich der Körper mit der Winkelgeschwindigkeit со um die Achse О rechtwinklig zur Bildebene (Fig. 276), so erfährt ein Massentheilchen m im Abstande q von der Achse nach S. 88, Gl. 1 die Centripetal-beschleunigung Qco²; daher müssen sämmtliche Centrifugalkräfte mQco² den äusseren Kräften das Gleichgewicht halten.

Fig. 276.

mçu)

Die äusseren Kräfte bestehen in bewegenden Kräften K, in den Normalwiderständen N der festen Achse О und in Reibungswiderständen der Lager der Drehachse.

Da die Centrifugalkräfte sämmtlich durch О hindurchgehen, so haben sie in Bezug auf die Achse das Moment Null. Gleiches muss also auch für die äusseren Kräfte gelten. Da nun die Normal widerstände N ebenfalls durch О gehen, so ergiebt sich als wesentliche Bedingung der gleichförmigen Drehung, dass die Momentensumme der bewegenden Kräfte К und der Reibungswiderstände /• N in Bezug auf О zusammen Null betrage.

Die Normalwiderstände N der festen Drehachse sind im Allgemeinen von der Massenvertheilung des Körpers abhängig und werden erst weiter unten eingehend bestimmt werden. Jetzt wollen wir nur solche Fälle betrachten, bei denen die Masse derartig symmetrisch um die Achse vertheilt ist, dass jedem Massentheilchen im Abstande q auf der einen Seite der Achse ein gleiches Massentheilchen in demselben Abstand auf der anderen Seite entspricht, so dass die Centrifugalkräfte dieser Massentheilchen sich gegenseitig aufheben, weshalb dann auch die sämmtlichen äusseren Kräfte sich vollständig aufheben, d. h. den Gleichgewichtsbedingungen genügen müssen. Aus diesem Grunde können die Fälle der gleichmässigen Drehung solcher Körper mit symmetrischer Massenvertheilung schon an dieser Stelle, d. h. in der Gleichgewichtslehre, behandelt werden.

In den obigen Bedingungen wird nichts geändert, wenn zu der Drehung um die Achse О noch eine geradlinige und gleichmässige Verschiebung des Körpers mit seiner Achse kommt. Denn eine derartige Verschiebung bedingt keine Beschleunigung, also auch keine Ergänzungskräfte.

a) Reibungsmoment eines Tragzapfens.

Eine Achse sei rechtwinklig zu ihrer Mittellinie belastet und stütze sich mittels cylindrischer Zapfen auf cylindrische Lager, welche die Zapfen mit geringem Spielraum umschliessen. Auf einen Zapfen vom Halbmesser r komme ein durch die Zapfenmitte gehender Zapfendruck JD, der rechtwinklig zur Längenachse des Zapfens steht, so dass die С y linder fläche des Zapfens den Druck bekommt. Ein derartiger Zapfen heisst Tragzapfen.

Fig. 277.

rJ

\I)

VL

A fN

Fig. 278.

Г"

I)

Wir betrachten zuerst einen sog. eingelaufenen Tragzapfen (Fig. 277), der mit merklichem Spielraum im Lager liegt, und bei dem man annäherungsweise annehmen kann, die Berührung mit dem Lager finde nicht in einer grösseren Fläche, sondern in einer Seite des Cylinders (in der Figur durch einen Punkt dargestellt) statt. Im Ruhezustände würde A die Berührungsstelle sein. Dreht sich nun aber der Zapfen rechts herum, so gleitet bei A der Zapfen nach links; dem setzt sich der Widerstand fN nach rechts entgegen. Das Moment fN-r macht ein treibendes, die Reibung überwindendes Kräftepaar W=fNr im Sinne der Drehung nöthig. Aber auch nach Anbringung desselben ist den Gleichgewichtsbedingungen noch nicht genügt, weil die Summe der wagerechten Kräfte nicht Null ist. Es kann daher im Zustande der Bewegung die Berührung nicht in A stattfinden; vielmehr verschiebt sich die Berührungsstelle nach rechts bis zu einem Punkte B (Fig. 278), der so liegt, dass dort die Mittelkraft W aus N und fN lothrecht gerichtet ist. Dies findet statt für 2Ç A OB — cp. Es wird dann W = Z>, und beide bilden ein dem treibenden Moment äft widerstehendes Kräftepaar Dr sin cp = äft.

Nun ist tg(p=f: weil aber bei geschmierten Drehzapfen, wie wir sie hier voraussetzen, fast stets /<0,1 also cp <6° und cos cp ^ 0,995, so ist bei derartig kleinen Winkeln sin cp mit genügender Annäherung gleich tg<p—f zu setzen, so dass das für die gleichförmige Drehung erforderliche Kraftmoment, welches zugleich das Reibungsmoment bezeichnet, gesetzt werden darf

1)

= Dfr.

Fig. 279.

Es entspricht z. B. /=0,1 dem Werthe sin ç? = 0,0995. Unmittelbar ergiebt sich Gl. 1 aus Fig. 277, wenn man daselbst, ohne Rücksicht auf den kleinen Verstoss gegen die Gleichung der wagerechten Kräfte, N = D also fN = fD einführt. Man denke sich also, um die Gl. 1 leicht zu merken, dass der Zapfendruck I) eine Reibung fD und mit dem Hebelarm r ein Moment Dfr bedingt. Bringt man das Moment 907 auf die Form Kl (Fig. 279), legt die eine Kraft durch O, die andere ans Ende eines Halbmessers l und lässt sich die Kräfte К bei der Drehung stets mitdrehen, so verrichtet die in О angreifende Kraft keine Arbeit; die am Endpunkte des Armes l aber während eines Drehungswinkels a die Arbeit Klct = 907a. Es ist also die Arbeit eines Kräftepaares gleich seinem Momente mal dem Drehungswinkel. Die Zapfenreibung erfordert hiernach einen sekundlichen Arbeitsaufwand = 937 со = Df reo.

Als Arbeitseinheit dient das Meterkilogramm. Bei regelmässig umlaufenden Maschinen pflegt man aber die in jeder Sekunde geleistete Arbeit in mkg als Leistung, Arbeitsstärke oder Effekt = E zu bezeichnen. Die Einheit der Leistung ist das Sekunden-Meterkilogramm = lmkg/sek- Als grössere Einheit hat man die Pferdestärke (PS) = 75mkg/sek eingeführt.

Ein lebendes Pferd leistet freilich eine sekundliche Arbeit von 75™kg nur unter günstigen Umständen. Als aber James Watt i. J. 1782 Dampfmaschinen für Londoner Brauereien zu bauen hatte, kam es darauf an, diejenige Arbeit, die bisher von Pferden am Göpel verrichtet wurde, durch die Maschinen leisten zu lassen. Watt mafs daher die von den Pferden geleistete Arbeit, und eine Dampfmaschine, welche die Leistung von 10 Pferden ersetzte, wurde eine löpferdige Maschine genannt. Die dort benutzten Pferde waren sehr kräftig; auch wird Watt der Sicherheit wegen, damit seine Dampfmaschine keinen Misserfolg erleide, die Arbeit der Pferde eher zu hoch als zu niedrig geschätzt haben. Auf diese Weise hat sich als Maschinen-Pferdestärke die Leistung von 75 mks/Sek eingebürgert. Es wird dafür auch nicht selten

15

Keck, Mechanik I.

Pferde к raft gesagt; doch ist diese Bezeichnung wenig passend, da inan mit dem Ausdrucke doch nicht eine Kraft, sondern eine sekundliche Arbeit bezeichnen will.

Für die Anzahl der Pferdestärken wird das Zeichen N benutzt, während n die Zahl der Umdrehungen in einer Minute bedeutet.

Beispiel: Ein Wasserrad wiege einschl. des darin befindlichen Wassers 10000 kg; seine Achse werde durch zwei Zapfen von r = 0,im Halbmesser getragen und mache 10 Umdrehungen in der Minute. Nimmt man f = 0,i an, so ist, da die Summe der Zapfendrücke an beiden Tragzapfen 10 000 kg beträgt, das gesammte Reibungsmoment 2)1 = 10 000 • 0,i • 0,i = lOOmkg. Bei n= 10 ist der Drehungswinkel in der Minute 20 я-, in der Sekunde also 20 г : 60 = ¹/з г = 1,047 , daher die sekundl. Reibungsarbeit E= 104,7 mkg/8ek und der Reibungsverlust in Pferdestärken N= 104,7: 75 = 1,з9в PS.

Fig. 280.

A\ <ïï /j)Ms ç

" -JB

Bei einem neuen Tragzapfen findet die Berührung längs einer grösseren, dem Mittelpunktswinkel 2 a entsprechenden Fläche A CB statt (Fig. 280). Ist l die Länge des Zapfens und p der Druck für die Flächeneinheit an irgend einer Stelle, so kommt auf ein Theilchen l • ds der Cylinderfläche die Druckkraft pl-ds und die Iieibung fpl- ds. Das treibende Moment muss dann betragen

= flrjip • ds.

Macht man die Voraussetzung, dass der Zapfen überall gleich stark anliege, so wird

Nun muss aber sein, oder, weil ds cos # = dx

= fplrjds = 2 fplr² a. D = pl S cosd • ds

D = plSdx.

Darin ist Jdx die Sehne AB = 2rsina, mithin

D = 2plr sin a.

SK

„ = fr * oder В J sin a

SD! = fDr—~~

sin a

Hiernach ist beim neuen Zapfen, weil wegen des theilweise keilförmigen Einpressens die Summe der Normaldrücke grösser ist als В,

Dann wird

2)

AB

= f ör -_____.

y AB

auch die Reibung grösser als beim eingelaufenen Zapfen, u. zw. im Verhältnisse des Bogens zur Sehne.

a = 0 giebt wieder ЭД7 = Dfr;

ol = l/2 n aber = Dfr l/2 тс = 1,57 Dfr.

Die Reibungswiderstände geben, nach senkrechter oder wagerechter Richtung zerlegt, Seitenkräfte, die in senkrechter Richtung die Summe Null liefern, in wagerechter Richtung aber nicht. Daher besteht bei vorstehender Ableitung ein ähnlicher kleiner Verstoss gegen die Gleichung der wagerechten Kräfte wie bei Benutzung der Fig. 277 zur schnellen Entwickelung der Gl. 1.

Eine diesen Umstand berücksichtigende schärfere aber umständlichere Behandlung ergiebt wiederum, dass für / eigentlich sin cp gesetzt werden müsste.

muss.

näherungsweise Nr = N an, so ergiebt sich in lothrechter Richtung

Beim Tragzapfen im Keillager (Fig. 281) werden die beiden Reibungswiderstände fN und fNx wiederum die Zapfen einseitig nach rechts hinüber drücken, in Folge dessen Nv etwas > N sein Nimmt man aber trotzdem an

Fig. 281.

sin <3 ’

2JVsinô = J9, also 2 N =

3)

und Ш = 2 fNr =

Dfr

p'Ny

sinö ‘

Der Ersatz des eingelaufenen cylindrischen Lagers (Gl. 1) durch das Keillager bewirkt daher, dass wegen des keilförmigen Ein-pressens ЭД7 grösser wird als beim cylindrischen Lager, dass man aber, wie bei der Bewegung in Keilnuthen (S. 199), statt / einfach den grösseren Werth /:sinö zu setzen hat. d = 30° giebt /: sin <3 — 2/, entsprechend einer Verdoppelung des Reibungsmoments.

Mit Rücksicht auf den Unterschied zwischen N und Ny muss stattftnden

1.    in wagerechter Richtung

0 = N cos â -f- fN sin â — cos â -j- fNx sin <5;

2.    in senkrechter Richtung

В = N sin â — f N cos d -j— N-^ sin d -j- f Nx cos d\

3.    m=f(N+ Nx)r.

Die ersten beiden Gleichungen lassen sich ordnen:

0 = — (iVj — N) cos â + (N + NJf sin d D — (Nx — N)f cos â + (JV + Nx) sin <J.

Multiplicirt man die erstere dieser Gleichungen mit f, so entsteht durch Zusammenzählen

Darin ist

D — (N-f- Nx) (1 -f- P) sin d und nach Gl. 3

m =

Dfr

sin d (1 -f- f²)

sin 2 <p

tg <p _ sin <p

COS p

cos² p = sin <p cos p

sin 2 p 2 sin à ’

Bei /'=0,i kann aber p gegen 1 vernachlässigt oder sin2p> = 2tgy? gesetzt werden, so dass dann wieder als Annäherung Gleichung 3 entsteht.

Dem Nachtheile der Vergrösserung der Reibung durch Benutzung des Keillagers steht der Yortheil gegenüber, dass der Zapfen im Keillager auch nach erfolgter Abnutzung immer noch eine 'genaue Führung findet, während er im eingelaufenen cylindrischen Lager um das Mafs des Spielraumes hin und her schleudern kann. Das Keillager wird deshalb besonders bei Messinstrumenten angewandt, bei denen es mehr auf sichere Lage als auf Kleinheit der Reibung ankommt.

1 + f² sec V

also Ш — I)r

Fig. 282.

fN

Ti

Die Lagerung auf Reibungsrollen (Fig. 282) von möglichst grossem Halbmesser R, welche sich um Zapfen vom Halbmesser q drehen, hat den Zweck der Verminderung des Reibungsmomentes. Der obere Zapfen vom Halbmesser r erfährt von den Rollen bei A und В die Normaldrücke N und iVj.

An den Berührungsstellen A und В findet aber kein Gleiten statt, vielmehr haben die Rollen dort die-

selbe Umfangsgeschwindigkeit wie die Zapfen ; daher treten an diesen Stellen nicht die Gleitwiderstände fN und f auf, sondern Reibungswiderstände T und 7\, die im Allgemeinen kleiner sind. Es wird

$m = (T+ тх)г.

Die Kräfte T und Tx wirken auf die Rollen in entgegengesetztem Sinne wie auf den Zapfen und bewirken die gleichmässige Drehung der Rollen, haben also deren Zapfenreibung zu überwinden.

Die thatsächliche Ungleichheit von N und Nx würde in derselben Weise sich geltend machen wie im vorigen Falle; sie hat auf das wirkliche Ergebnis keinen nennenswerthen Einfluss, soll daher der Einfachheit wegen vernachlässigt werden.

Die Kräfte N = Nx bilden (ebenfalls umgekehrt) die Zapfendrücke in den Lagern der Rollen, erzeugen dort die Reibungsmomente NfQ und müssen durch die Momente der Umfangskräfte

T~TX überwunden werden. Daher wird TR — Nfg, T=Nf~

und SD? = 2 NfĘrr. Am Zapfen liefert aber die Gleichung der

lothrechten Kräfte wieder D = 2WsinÓ, wenn à der Winkel ist, den die Tangenten in A und В mit der lothrechten Mittellinie bilden; hiernach wird

Dfr ff

sin ó R'

Damit dies kleiner werde als Dfr, muss q : R <C sin ö sein.

Jr- und ■% = -I- geben beispielsweise SD? = Dfr.

Ł    Л и    о

b) Reibungsmoment eines Stützzapfens.

Beim Stütz- oder Spurzapfen (Fig. 283) wirkt der Druck D in der Achsenrichtung desselben. Die Berührung mit der Spurplatte des Lagers erfolge (der Allgemeinheit wegen) in einer Ringfläche von den Halbmessern r und R. Zeichnet man im Grundriss einen schmalen Ring vom Halbmesser q und der Breite dQ, so kommt auf ein Theilchen dF desselben eine Druckkraft p-dF, wenn p der Druck für die Flächeneinheit ist.

Diese Druckkraft liefert eine Reibung fp-dF und ein Reibungsmoment d SD? —fp'dF'Q. Da man annehmen darf, dass im ganzen Umkreise dieses Ringes der Einheitsdruck p denselben

4)

SD? =

sin ö —

Fig. 283.

<1)

-^4-

T-

z—SSL-

eo

fpdF

Werth haben wird, so kann man dF sogleich als die Kingfläche 2 g ж-dg einführen und erhält als gesammtes Reibungsmoment

1)

3JÎ = 2 71 f ^ pg²dg.

«у Г

Ausserdem muss, da der schmale Ring den Druck p2ng-dg aufnimmt,

/»■ß

2)

= 2 тс [pg • dg sein.

J Г

Beim neuen Zapfen nimmt man den Druck p überall gleich an, daher p =

(R²—r²) 71

und

3)

a» =

21)f

R²—r²

Ие = | Df

R³ — r³

R² — r² '

Ist die Berührungsfläche ein voller Kreis (r = 0), so wird

4) also kleiner als heim Tragzapfen. Es kommt dies daher, dass, während beim Tragzapfen die ganze Reibung D f an dem vollen Halbmesser als Hebelarm wirkt, hier die Hebelarme der Reibungswiderstände im Allgemeinen kleiner sind als der äussere Halbmesser.

Beim eingelaufenen Zapfen sind die Verhältnisse noch günstiger. Mit der gleitenden Bewegung des Zapfens ist nämlich eine Abnutzung, ein fortwährendes Abschleifen, verbunden, und, da die Gleitgeschwindigkeit nach dem äusseren Umfange hin zunimmt, so wird auch hier die Abnutzung am grössten ausfallen; in Folge dessen wird das Aufliegen des Zapfens auf der Spurplatte nach einiger Zeit nicht mehr ein gleichmässiges sein; es wird der Einheitsdruck von innen nach aussen hin abnehmen. Über die Veränderlichkeit von p wird die Annahme gemacht, dass p mit g umgekehrt proportional sei, dass man

5)

P\

i> = —

setzen könne, worin p₁ der Einheitsdruck im Abstand Eins von der Drehachse ist. Dann wird aus Gl. 2:

,R

— 2 жpl X = 2 жрх (R, — r),

J r

aus Gl. 1 aber:

rè ft

nfVl {№ — r²).

Ш = 2nfp₁ 1 Q-dQ =

J r

6)

Theilt man diese Gleichung durch die vorhergehende, so wird Ш:В='/2 f(R + r) also 2R= i/2Df(R+r).

Es ist jetzt offenbar l/2 (R + r) der mittlere Hebelarm der Reibung. Für volle Kreisfläche (r — 0) wird

7)

M = » 2 Dfli.

Beim kegelförmigen Stützzapfen (Fig. 284) möge die

Pig. 284.

Berührungsfläche sich von C bis В erstrecken. Ist dF ein Flächen-theilchen derselben mit dem Einheitsdrucke

p, so wird 9JÎ —fSp-dF'Q. Da aber p-dF mit der Wagerechten den Winkel ô bildet, so ist

Lj?

MH s' V Ь

Ls

F> = sin öJp-dF.

Das Flächentheilchen dF bildet mit der wagerechten Grundrissebene den Winkel 90° — <5; nennt man dF' den Grundriss von dF, so wird dF' = dF cos (90 ⁰ — ô) = d F sin ó. Hiernach wird Z> — Jp-dF' und

Da nun dF' mit Zgn-dQ eingeführt werden kann, so wird

IfsVs4e und

D = 2 л l|pQ-dQ.

Vergleicht man diese Werthe mit den Gl. 1 und 2, so erkennt man, dass der Ausdruck für D völlig mit Gl. 2 übereinstimmt, während in dem Werthe für nur / mit / : sin ô vertauscht ist als Folge des kegelförmigen Einpressens, wie in allen ähnlichen Fällen. Daher muss sowohl in den Gl. 3 und 4 für einen neuen Zapfen, sowie auch in den Gl. 6 und 7 für den eingelaufenen Zapfen / vertauscht werden mit /:sin<5.

♦

Der kegelförmige Zapfen verursacht also mehr Reibung als der cylindrische Stützzapfen, gewährt aber auch, wie das Keillager, den Vortheil einer genauen Führung, die der Stützzapfen mit ebener Reibungsfläche nicht bietet, weil an der cylindrischen Seitenwand des Lagers sich Spielraum befindet oder bilden muss.

c) Hirn’sclie Reibungswaage.

Die vom elsässischen Ingenieur Adolf Hirn im Jahre 1854 ersonnene Vorrichtung (Fig. 285 und 286) dient zur Ermittelung

Fig. 285.

WÆmmM

ШЖ

ifti L rfh

•]

rfti

mw

Fig. 286.

f| »

der Reibungsziffer / eines Zapfenlagers durch Abwägen. Auf einer Welle, die von einer Maschine etwa mittels Riemscheiben in gleich-massige Drehung versetzt wird, befindet sich der zu untersuchende Lagerkörper L, der aber nicht etwa zur Stützung der Welle dient, sondern an 'der Welle hängt. Unten an dem Lagerkörper ist ein Waagebalken W befestigt, an dessen gleichen Armen Waagschalen hängen. Die Waagschalen werden mit Gewichten beschwert, so dass der für die Versuche gewünschte Zapfendruck D entsteht, welcher das Reibungsmoment 5Ш = Df r erzeugt. Dieses Moment, welches vom Lager auf den Zapfen als ein der Drehung entgegen gerichtetes Moment ausgeübt wird, hat nach dem Gesetze der

Wechselwirkung das Bestreben, den Lagerkörper bei der Drehung

mitzunehmen, den Waagebalken also schräg zu stellen. Diesem Bestreben wirkt man entgegen, indem man in der linksseitigen Waagschale ein Übergewicht P anbringt (Fig. 286) und dieses so regelt, dass der Balken wagerecht einspielt. Der Zapfendruck beträgt D — 2Q,-\-P+G, wenn G das Eigengewicht des Lagers mit dem Balken bezeichnet. Das Reibungsmoment beträgt also ЗЯ = (2 Q + P + G)fr und wird gemessen durch das Moment des Übergewichtes P, d. h. Ш = PL Dies ergiebt

PI

(2 Q + P+G)r'

Beispiel: Bei ?=1ш, r = 0,o5 m₅ G = 100 kg; Q — 2000 kg sei das

2,o-l

Übergewicht P=2,о kg; dann ist f =

= 0,0093 .

Damit der Balken gut einspiele, muss, wie bei einer Waage, der Schwerpunkt S (Fig 286) unterhalb der Drehachse liegen.

(4000 + 102) 0,05

d) Der Bremszaum von Prony.

Der Grundgedanke der vom franz. Ingenieur Prony 1821 ersonnenen Vorrichtung zum Messen der Leistung von Kraftmaschinen ist dem der Reibungswaage ähnlich.

Man hebt nämlich die Triebkraft der zu untersuchenden Maschine durch einen Reibungswiderstand auf und misst diesen mittels einer Waage. Da es in diesem Falle nur darauf ankommt, den ganzen Betrag der Reibung zu messen, es aber nicht nöthig ist, diese, wie bei der Reibungswaage, nachträglich in die Faktoren f und D zu zerlegen, so ist es auch nicht erforderlich, die Reibung durch eine Belastung zu erzeugen; vielmehr kann man sie einfacher durch Zusammenschrauben zweier Bremsklötze hervorbringen (Fig. 287). Auf der Welle der Kraftmaschine befestigt man eine Bremsscheibe und bringt auf dieser den Bremszaum an, dessen Schrauben vorläufig schwach angezogen werden. Dann setzt man die Kraftmaschine, etwa

Fig. 287.

rfti

JÖL

S?

la

|A

->i

iPLA

eine Dampfmaschine, allmählich in Gang und zieht die Schrauben stärker an; die an dem Umfange der Scheibe entstehende Reibung hat nun das Bestreben, den Zaum mitzunehmen, in Folge dessen sich der Waagebalken unten rechts auf eine als Hindernis dienende Schwelle В legt. Man bringt sodann die Dampfmaschine in den Zustand, in welchem sie beim regelrechten Betrieb arbeiten soll, zieht also die Bremsschrauben stärker an, wenn die Welle zu schnell läuft, und umgekehrt. Hat man auf diese Weise erreicht, dass die Welle die vorgeschriebene Zahl von n Umdrehungen in der Minute ausführt, so wird jetzt offenbar, weil ein regelmässiger Gang stattfindet, die ganze Arbeit der Maschine durch den Bremszaum in Reibung umgewandelt. Belastet man nun die linkseitige Waagschale mit einem Gewichte P (einschliesslich der Waagschale) in dem Mafse, dass der Balken sich rechts von der Schwelle abhebt und wagerecht einspielt, so ist PI das Mafs des an der Scheibe wirkenden Reibungsmomentes

Die sekundliche Arbeit desselben beträgt mithin (nach S. 225)

2 пж

ist und 75 mkg/sek eine Pferde-

60

3DÎоj = Pico, oder, weil со = stärke ausmachen, es ist die Anzahl N der Pferdestärken der Maschine

30-75'

N — PI

= 20,9 PS.

Beispiel: Ist 1 = 2,s m- P=200k£; « = 30, so wird 200 • 2,5 • 30 • 7Г

30-75

Auch bei dieser Vorrichtung ist es wünschenswerth, dem Waagebalken Standsicherheit zu geben, d. h. den Schwerpunkt S unterhalb der Achse anzuordnen, was hier erreicht ist, indem der schwere Balken sich unterhalb der Bremsklötze befindet.

e) Reibungsräder.

Fig. 288.

<c/JA.

Die Reibung zwischen zwei gegen einander gepressten Scheiben kann benutzt werden, um die Drehung der einen auf die andere zu übertragen.

A (Fig. 288) sei die treibende, В die mitzunehmende Welle. Auf beiden bringt man Scheiben an, die sich bei C berühren.

Liesse man die Scheiben mittels zahnartiger Vorsprünge in einander greifen, so würde dadurch eine Mitnahme der Welle В erzwungen. Lässt man aber die Vorsprünge fort, so kann auch die Reibung die Wirkung der Zähne ersetzen.

An der Welle В möge ein Widerstandsmoment üötf der Drehung entgegenwirken ; dieses kann man durch eine Last Q, welche an einer Trommel vom Halbmesser r emporgewunden wird, zur Darstellung bringen, indem man Ш — Qr setzt. Zur Überwindung des Momentes ist eine Umfangskraft T bei G erforderlich, für welche TB = Qr also T=Qr:B wird. Ist nun D der Druck zwischen den Scheiben, so würde demselben beim Gleiten die Reibung fD entsprechen. Hier soll aber kein Gleiten stattfinden, vielmehr sollen die Scheiben stets gleiche Umfangsgeschwindigkeit haben. Unter diesen Umständen ist dann die zur Wirkung kommende Reibung T<fD, mithin

tel 'S

1)

oder    .

Das Zeichen = in Gl. 1 würde auch noch für ein Gleiten der Scheiben auf einander gelten; soll dies ausgeschlossen sein, also ein sicheres Mitnehmen der Welle В erfolgen, so muss für I) das Zeichen > angewendet werden.

Beispiel: Ist das Widerstandsmoment 2J1 = 100 • 0,2 = 20 _R = 0,6m, f = 0,i für Gusseisen auf Gusseisen, so wird I) >

20

0,i • 0,6

333 kg.

Bei

D = 333 kg würde leicht noch ein Gleiten eintreten können, so dass die Last Q

abwärts gehen könnte ; man muss JD um ein gewisses Mafs > 333 kg nehmen, damit man Sicherheit gegen Zufälligkeiten hat.

Der Druck JD kann nur durch die Zapfenlager auf die Räder übertragen werden, erzeugt daher Zapfenreibung, deren Überwindung Arbeit kostet. Man muss suchen, das erforderliche JD klein zu machen; dies wird erreicht, indem man die Reibungsräder nicht einfach cylindrisch gestaltet, sondern keilförmig in einander greifen lässt (Fig. 289), wodurch eine Vergrösserung der Reibung entsteht. Ist wieder der halbe Keilwinkel ö, so wird jf> = 2iVsinó, die mögliche Reibung

sin ô r

Fig. 289.

$/

Qr Л ^ л

-гЛ > oder />Xj sin о В

d. h. kleiner als nach Gl. 1. Dass man bei der jetzigen Anwendung

2)

2 fN=

i/

der sog. Keilnuthenräder mehrere Keilnuthen neben einander anordnet, hat mit der Wirkung nichts zu thun.

Beispiel: Macht man 2<У=30°, so ist sin <?=0,26, und es wird mit den sonstigen Zahlen des vorhergehenden Beispieles der untere Grenzwerth von D: 333 • 0,26 = 87 kg, also nur etwas mehr als V⁴ des vorigen.

f) Seilreibung.

1. Über einen Cylinder vom Halbmesser r, der sich gleichförmig um eine Achse О dreht (Fig. 290), sei ein biegsames Seil, ein biegsamer Faden, Riemen oder dgl. gelegt, bei A befestigt und bei В am freien Ende mit einer Kraft S{ gespannt, dann drückt das Seil gegen den Cylinderumfang; an einem Bogen-theilchen ds = r-dd entsteht eine Normalkraft dN und ein Gleitwiderstand f-dN, der auf den sich rechts drehenden Cylinder nach links, auf das Seil aber nach rechts wirkt, das Seil also mitzunehmen strebt. In dem bei A befestigten Seilstücke möge eine Spannkraft S₂ herrschen, dann befindet sich das Seil unter Einwirkung der an ihm auftretenden Kräfte Slt S.₂, Gruppe [dN] und Gruppe [f-dN] im Gleichgewichte, so dass die Momentengleichung in Bezug auf О liefert (weil die dN - Kräfte durch О gehen):

Sxr-\-rf2dN— S₂r, d. h. diegesammte Seilreibung fl'dN wird gemessen durch den Unterschied der Seilkräfte S.₂—Sl. Um also die gesammte Seilreibung zu finden, müssen wir S₂ — zu ermitteln suchen.

Schneiden wir aus dem Seile das

fdN

В,

sj\

vü".

Bogentheilchen ds = r-dd heraus (Fig. 291), so wirken ausser den Kräften dN und f-dN noch die Spannkräfte S und S + dS. Zerlegt man sämmtliche Kräfte II und J_ zu dN, so verlangt das Gleichgewicht

Fig. 290.

dNà

,cr\ J"N

C U-

(O

Fig. 291.

t'dN

fdN

dN—(S + S + dS) sin l/2 d d und f-dN = dScos Va dû.

dN

oder, weil sin l/2 dO = V2 dO, cos V2 dO — 1 und dS-dO unendlich klein zweiter Ordnung ist:

d X= S-dO und

f-dN—dS. mithin /•dO-—dS:S.

Durch Integration entsteht:

f-0 = lS+C.

-0 — 0 entspreche dem Punkte C (Fig. 290) und der Spannkraft Sl, 0 — a dem Punkte D und der Spannkraft S₂, dann wird fa = l S₂ C; 0 = l Sl + C, mithin aus beiden:

2)

fa =

'(I)

oder

und die ganze Seilreibung

3)

S₂ — JSl = S₁{efrj— 1).

Dabei ist besonders bemerkens werth, dass das ^Verhältnis der Kräfte unabhängig ist von r, nur abhängig von der Reibungsziffer und dem dem umspannten Bogen entsprechenden Mittelpunktswinkel a.

Wenn der Cylinder ruht, so wird die Summe aller zur Wirkung kommenden Reibungswiderstände f d T ebenfalls durch S₂ — Sl gemessen; es ist dann aber

4)

S₂: Si<Zefa und auch S₂ — Sl<Sl(efa— 1).

Für S₂ = Ą würde keine Reibung ausgeübt werden. Bei einem Unterschiede zwischen St und S₂ bezeichnen wir mit S₂ stets die grössere der Kräfte.

Fig. 292.

Ądmrw³

AS+dS

2. Ist das Seil nicht in Ruhe, sondern wird es mit gleichbleibender .Geschwindigkeit v — roj über den ruhenden oder mit anderer Geschwindigkeit sich drehenden Cylinder fortgezogen, so heben sich an einem Bogen-theilchen r-dO die normal gerichteten Kräfte nicht auf, sondern es geschieht dies erst, nachdem die Centrifugalkraft d,m-rco² ■ hinzugefügt ist (Fig. 292). Es wird dann

dN= S-dO — dm-rco².

In den meisten Fällen ist der Einfluss des Gliedes —Fr²со² unbedeutend; nur bei grossen Geschwindigkeiten reo verdient er Berücksichtigung (vergl. S. 242).

Fig. 293.

Beispiel: Ein runder Baum sei auf einer Schwelle festgelegt (Fig. 293) und ausserdem durch Zimmermannshaken gehalten. Ein Seil sei derartig hinübergeschlungen, dass a = 7r. Ander rechten Seite hänge eine Last von 1000 kg. Es soll berechnet werden, mit welcher Kraft links gezogen werden muss, um die Last hinauf zu ziehen. Da ausser der Last noch die Reibung überwunden werden muss, so wird links die grössere Kraft S2 wirken, während rechts Sx = 1000 kg ist. Die Reibungsziffer werde für ein Hanfseil auf Holz zu f = ⁵/з angenommen.

■Si:S₁ = e¹/³*.

5)

s₂-s, = (ą

F г² со²)    —

У

— Fr-d'd, wenn F der Querschnitt, y die Dichte

9

des Fadens, Riemens oder Seiles. Die andere Gleichung f-dN= dS bleibt unverändert; weil nun

Darin ist dm —

d\S — ^-Fr²co²) = dS,

so wird

d S— — Fr² со²

f • d'd —

S—— Fr²co²

also

+ 0,

oder zwischen Grenzen genommen:

So— — Fr² со2 “    9

fa = l

Si — — F г² со2 9

Daraus entsteht:

So — — Fr² co*— (sl

9    V

JFr² со²) e/0L, oder

Nimmt man von beiden Seiten der Gleichung die Briggischen Logarithmen, so wird

log =-^-7rloge = 1,047 - 0,434 = 0,4544. Dazu gehört eine Zahl

2,85 = S₂ : Sx. Mithin wird S₂ = 2850 ks-, die Seilreibung beträgt 1850kg, ist also sehr gross. Diese Vorrichtung eignet sich daher nicht als Aufzugsmaschine, um so besser aber zum Hinablassen einer Last, wobei die Reibung günstig wirkt. Beim Hinablassen wirkt die kleinere Kraft <S\ auf der linken Seite, während die Last jetzt S₂ — 1000kg wird. Wiederum ist <?/a = 2,85, daher Sx — 1000 : 2,85 = 351 k&. Jetzt kommt also die Seilreibung im Betrage von 1000 — 351 = 649 kg' der hinablassenden Kraft zu Hülfe. Die Zugkraft an der linken Seite darf zwischen den weiten Grenzen 351 und 2850 kg sich bewegen, ohne dass ein vorhandener Ruhezustand gestört werden würde. Da die Reibung das Bestreben hat, den Balken zu drehen, so muss er hiergegen sicher befestigt werden.

Zum Festhalten oder bequemen Hinablassen schwerer Lasten findet eine derartige Vorrichtung vielfache Anwendung. Die Reibung wird noch bedeutend vergrössert, wenn man den Winkel a des umspannten Bogens vergrössert. Man kann dadurch jedes beliebige Verhältnis S₂ : Sx erreichen. Wir wollen berechnen, wie gross et werden muss,    wenn S₂ : = 1000 sein    soll, d. h. wenn man durch

Anwendung von St = 1    k£ die Last von 1000 kg    hinablassen will.    Es    muss

elßa₌ 1000, d. h. in Logarithmen V3 a 0,434 = 3, oder et = 9 : 0,434 = 20,7 sein. Da nun eine Umwickelung einem Winkel 2 - entspricht, so muss die Zahl der Umwickelungen w =    20,7 : 2 7г = 3,з betragen.    Wenn man also    das    Seil

3 Mal und dann noch г/з oder vielleicht ’/³ Mal    umlegt, so wird    das    Ziel

Fig. 294.

erreicht sein. Bei öfterem Umschlagen genügt schliesslich das Gewicht des überhängenden Seilendes zum Festhalten der Last.

Es ist für die Wirkung gleichgültig, ob der umspannte Bogen tx sich auf einem Cylinder befindet, oder ob das Seil nach einander um mehrere Cylinder geschlungen ist-, in letzterem Falle ist а die Summe der umspannteu Bögen. Auf diesem Grundgedanken beruhen die Rettungsvorrichtungen bei Feuersgefahr, mittels deren Menschen aus einem brennenden Hause hinabgelassen werden können.

Erheblich vergrössert wird die Seilreibung noch, wenn man das (runde) Seil in eine К eil rin ne (Fig. 294) legt, weil dann f : sin d an Stelle von f zu setzen ist.

g) Bandbremse.

Ein dünnes Bandeisen, welches man um einen Cylinder spannt, um an diesem einen Reibungswiderstand zu erzeugen, heisst Bremsband und findet als Bandbremse bei Winden vielfache Anwendung zum gleichmässigen Hinablassen von Lasten. An einer Windetrommel

Beispiel: Der Winkel des umspannten Bogens sei « = 0,7*27t, die Reibungsziffer für Bandeisen auf gusseiserner Scheibe f = 0,ie, r : В — ’/г, а : b = 10; dann wird e¹*-? — 2,21 und

24,-j ’

K= Q i 1 2,21 —1 2 10

d. h. mit einer Kraft K— 10 kg kann man eine Last Q = 242 kg hinablassen.

Es ist räthlich, von den beiden Kräften des Bandes die kleinere Sl auf den Hebel wirken, die grössere S₂ aber vom festen Gestell aufnehmen zu lassen.

h) Riemenscheiben.

Fig. 296.

TXT

V 1 V*

SJ

vom Halbmesser r (Fig. 295) hänge das Gewicht Q. Mit der Trommel fest verbunden ist die Bremsscheibe vom Halbmesser R. Das umgelegte Bremsband sei mit dem einen Ende am Gestelle befestigt, z. B. an dem Drehpunkte A des Bremshebels, das andere Ende des Bandes sei mit dem Hebel verbunden. Am Ende des Hebels wirke aufwärts die Kraft К, welche in dem Band eine Spannkraft Sx auf der rechten Seite hervorruft. Bei der Drehung links herum entsteht an der Scheibe eine der Drehung entgegen wirkende Bandreibung S₂ —    = Sl ( efCL — 1 ),

welche, mit R multiplicirt, dem Momente Qr der Last gleich sein muss. Ist nun b der Hebelarm von Sl (aber nicht als Länge am Hebel, sondern rechtwinklig zu S} gemessen), so wird Ka = Slb> r h

efа i Ra

mithin К —

Fig. 295.

Ł-bA

- P-©

K>

—a.

Nützliche Anwendung findet die Seilreibung auch bei den Riemenscheiben, welche zur Übertragung der Bewegung von einer Welle auf eine ihr parallele Welle dienen, wenn die Entfernung der Wellen so gross ist, dass eine unmittelbare Übertragung mittels Reibungsräder oder Zahnräder nicht zweckmässig erscheint (Fig. 296). Der biegsame

Körper, der um die Umfange der Scheiben gelegt wird, ist hier meist ein Lederriemen. Die Welle A drehe sich links herum; der Riemen sei genügend angespannt, so dass er auf den Scheiben nicht gleitet, dass vielmehr beide Scheibenumfänge und der Riemen die übereinstimmende Geschwindigkeit v haben müssen. Der Drehung der rechtseitigen Welle setze sich ein Widerstandsmoment entgegen, welches wir wieder auf die Form Ш = Qr bringen wollen (vergl. S. 235). Sind S₂ und Sx die Spannkräfte der Riementheile, so wird die ganze Seilreibung an der rechtseitigen Scheibe stets gemessen durch S₂ — Sl, und für gleichmässige Drehung der rechtseitigen Welle ist erforderlich

S₂-Sl=Qr:R.

Da nun Riemen und Scheibe nicht auf einander gleiten, so ist

2)

So —    < Sl (Va — 1),

oder durch Verbindung von Gl. 1 und 2:

V

Si><2-=

, wofür wir schreiben wollen :

R ef* — \

S^^V^=I + AS;

darin ist Л S der Überschuss an Spannkraft, der wegen der Sicherheit gegen Gleiten nöthig ist, dessen Grösse aber nur durch Erfahrung bestimmt wird. Aus Gl. 3 und 1 wird dann

Qr_ QrI 1

~ R \ ef « __

3)

s₂ = sx+ R

— + 1 j + à S oder

4)

S₂ =

Qr

eJ «

R e/«_ 1

+ AS.

Die Grösse rx des Winkels des umspannten Bogens wirkt in günstigem Sinn auf die Verhinderung des Gleitens. Da nun die gleichen Kräfte Sl und S₂ an beiden Scheiben wirken, die Winkel a und ctj aber bei beiden Scheiben im Allgemeinen ungleich sind, so muss von den beiden Winkeln a und nx stets der kleinere in Rechnung geführt werden.

16

Keck, Mechanik I.

Beispiel: Für Lederriemen auf Gusseisenscheiben setzt man / = 0,-28, sind ferner die beiden Scheiben gleich und daher a = r, so wird

e/*= eo-²⁸* = 2,4i.

Ist nun jfó = 0,B¹ni 311 = 100 • 0,2 = 20 mkS, so wird

20 1

0,6 1,41

+ AS = 23,64 kg + JS;

S₂ = 23,64.2,41 + J Ä = 56,97 kg 4- A s.

Wie bei den Reibungsrädern der Druck Z>, so verursachen hier die Spannkräfte Sl und S₂ Zapfenreibungswiderstände in den Lagern. In ähnlicher Weise wie dort D, können hier und S2 vermindert werden, wenn man den Riemen durch eine runde Schnur ersetzt und die Scheibe mit einer keilförmigen Rinne versieht (Fig. 297), so dass in Folge der Keilwirkung wiederum / mit / : sin Ô zu vertauschen ist. Man wähle ö so gross, dass das Seil sich in der Rinne nicht festklemme, mache also öxp, damit das Seil beim Ablaufen sich ohne erheblichen Widerstand aus der Rinne entfernt, nicht aber gewaltsam herausgezerrt werden muss.

Ist für Hanfseile in gusseisernen Rinnen f — ¹/з, ^ = 18°, so ist â = 30 ⁰ zulässig.

In den vorstehenden Rechnungen ist der Einfluss der Geschwindigkeit des Riemens auf Verminderung der Reibung nicht berücksichtigt. Für schnelllaufende Riemen ist an Stelle der Gl. 4 auf S. 237 zu setzen (nach Gl. 5, S. 238)

/« —

Fig. 297.

"wr

it

(s,-j-Frv) [e

')

»S' > — б) — Q -=

R'

Dadurch kommt dann zu den Werthen Sy und S₂ nach Gl. 3 und 4, S. 241

noch der Summand ~ Fr² шг hinzu.

9

Hat z. B. ein Riemen von 0,5 «XC cm —    = 0,оооз Querschnitt eine

Dichte von 900, so ist yF= 0,2? kg/m. Bei 15 m sekundl. Umfangsgeschwindigkeit

= 6,2 ks. Aus den Zahlen des vorstehenden

wird dann — Fr*w² —

9,81

Beispieles wird dann Sy — 23,64 -f- 6,2 -f- J S und S₂ — 57,37    6,2 4- A S.

fd

i—f—' J 2 r

Zur Vereinfachung multipliciren wir in Zähler und Nenner mit dem Zähler, erhalten

'fd\³

und vernachlässigen nun den kleinen Werth |'{^~J geSen die Ein-

heit, so dass genau genug

1)

wird.

K = 1 + fŚL

V

Man kann auch schreiben К — Q + Z, wo

2)

würde dann К — Q hinreichen zum Hinaufziehen der Last. Nun findet aber ein Zapfendruck D — Q + К statt, also ein Reibungsmoment

Fig. 298.

Ш = Df ^ (wenn d der Zapfendurchmesser),

dessen Überwindung eine am Umfange der Rolle

angreifende Kraft — = D f ~ = r    2 r

nöthig ist. Dies ist die auf den Rollenumfang bezogene Zapfenreibung Z. Diese Kraft kann von dem Seile nur durch die Seilreibung auf die Rolle

übertragen werden, oder es ist К — Q —

к + Я,

zu

fd

KV

fd. Daraus entsteht

Spannkraft übereinstimmt, welches daher zu beiden Seiten der Rolle sich völlig tangential an diese legt. Wird aber ein wirkliches Seil aus der geraden Form in eine Krümmung übergeführt (Fig. 299), so müssen wegen der

Fig. 299.

Längenverschiedenheit am inneren und äusseren    ____

Umfange die einzelnen Fasern, aus denen das

Seil besteht, sich gegen einander verschieben,

und dieser Verschiebung setzt sich ein Widerstand entgegen. Auch

beim Übergang aus dem gekrümmten Zustand in den geraden

ergeben sich die gleichen Widerstände.

Fig. 300.

Soll nun an der linken Seite der Rolle die Last Q aufgewunden werden, so geht das Seil nicht plötzlich aus der geraden Tangente in die Krümmung 1 : r über, sondern es vertheilt sich diese Krümmungsänderung auf eine gewisse Länge, und die Folge davon ist, dass die Mittellinie des unteren Theils des Seiles um eine gewisse Grösse e von der Tangente nach aussen abwei.cht (Fig. 300). Auf der Ablaufseite erfolgt der Übergang aus der Krümmung 1 : r in die Krümmung Null ebenfalls allmählich mittels einer Gegenkrümmung, und es folgt daraus eine Abweichung der Kraft К von der Tangente um die Grösse e₁ nach innen.

i<----r----->

KV

Die Biegungswiderstände haben dann dieselbe Einwirkung auf die Drehung der Rolle, als ob die Last Q an dem grösseren Hebelarm r + e, die treibende Kraft К aber an dem kleineren Hebelarm r — ex angreift, wobei man die Abstände e und el gleich annehmen darf, daher wird

K{r — e) = Q (r + e) oder

-ÄT V в

i + i

i-*

wofür man, weil e:r wieder ein kleiner Werth ist, schreiben kann (vergl. S. 243)

2e

TT = 1 +

Nennt man Q-2e:r — B den auf den ßollenumfang bezogenen Biegungswiderstand, so kann man den Einfluss dieses Umstandes wieder so auffassen, als ob zu K₀ = Q wegen der unvollkommenen Biegsamkeit noch der Betrag В hinzutreten muss.

Die Grösse e in Metern ist von der Dicke und Beschaffenheit des Seiles abhängig. Nach Versuchen ist für Seile von der Dicke à (in Metern)

3)

e — 6,5 б², oder B = Q

13 Ô2

Werden nun durch die Wirkung der Zugkraft К bei gleichförmiger Drehung der Rolle Zapfenreibung und Biegungswiderstand zugleich überwunden, so kann man

K=Q + Z+ B = q( 1 +/- + —)

К = Qw,

4)

5)

wenn w

_1+/£ + ««*

Г    Г

setzen, oder

ist; w heisst dann die Widerstands

Ziffer für Seilrollen.

Fig. 301.

Ist die Seildicke d = 0,o2m, der Rollenhalbmesser r = 0,09 m, der Zapfendurchraesser d — 0,оз m, f= 0,i2, so wird

№=14

0.09

0,12 • 0,03 ,13- O,0004

0,09

1 -j- 0,04 -|- 0,06 = 1,10 .

K=Qw

Die Zapfenreibung vergrössert also die erforderliche Zugkraft um 4 °/o, der Seilbiegungswiderstand um 6 °/o ; der Abstand der Seilmitte von der Tangente beträgt e — 6,5 • 0,ooo4 = 0,oo26m = 2,6 mm.

Um eine Last von 100 mittels einer solchen Bolle und eines solchen Seiles gleichmässig emporzuziehen, ist eine Kraft АГ = 110 kg erforderlich (Fig. 301). Beim Hinablassen der Last vertauschen Q und К ihre Bollen; das Verhältnis beider bleibt aber w, daher wird dann К = Q : w = 100 : l,i = 90,9    .

¹

Seilrollen und Flaschenzüge.

²

Ist über eine Rolle (Fig. 298) ein völlig biegsamer Faden gelegt, der die Last Q trägt, so würde, wenn sich der Drehung der Rolle kein Widerstand entgegensetzte, zur gleichmässigen Drehung kein Moment, also auch keine Seilreibung erforderlich sein, es

³

«/-r

die auf den Rollenumfäng bezogene Zapfenreibung, d. h. man kann (nach A. Ritter, Lehrbuch der technischen Mechanik, 2. Aufl., S. 365) die Sache so ansehen, als ob zu der Kraft K₀ = Q, die bei einer 'ideellen Rolle hinreichen würde, noch der Betrag Z hinzutreten muss.

Ausser der Zapfenreibung muss aber auch noch der Seilbiegungswider stand berücksichtigt werden. Wir haben bisher ein Seil angenommen, dessen Richtung stets mit der Richtung seiner

16*

Bei einem über eine Rolle geführten Seil ist die Spannkraft in dem sich ab wickelnden Seilstücke die grössere; das Verhältnis beider Spannkräfte beträgt stets w.

Streng genommen muss für jede gegebene Rolle mit Seil der Ausdruck w besonders berechnet werden. Da die Verhältnisse zwischen d, r und à aber meist nicht sehr schwanken, wollen wir für fernere Beispiele mit Seilrollen w — 1,1 wählen.

Lose Rolle. Bei der sog. losen Rolle ist die Drehachse nicht fest gelagert; vielmehr ist das eine Ende des Seiles bei A (Fig. 302) befestigt; an dem anderen wird bei В gezogen, und die Last hängt an der Achse der Rolle.

Fig. 302.

У/ШЪ

<°>

0>-

Beim gleichmässigen Aufwärtsziehen erfährt die Rolle eine aufwärts gerichtete Verschiebung mit der Geschwindigkeit c, welche sich mit der Umfangsgeschwindigkeit reo im Punkte C derartig vereinigt, dass dort die Geschwindigkeit c Null entsteht. Denn das Seil AG ruht, und da es auf der Rolle nicht gleitet, so muss auch der Punkt G der Rolle die Geschwindigkeit Null haben. Mithin ist c = rœ. An der rechten Seite der Rolle addiren sich c und reo zu der Geschwindigkeit v — c + reo = 2 c, mit welcher der Punkt В des Seiles sich aufwärts bewegen muss. Die lose Rolle wälzt sich an dem Seile AG empor; die Bewegung ist eine Rollbewegung, bei der die einzelnen Punkte der Rolle Cykloiden beschreiben.

Das Verhältnis der Spannkräfte des Seiles muss wieder w betragen; ist also rechts im ab laufenden Stücke die Spannkraft А, so muss sie links A: w sein. Nach S. 223 müssen auch bei dieser zusammengesetzten Bewegung die Kräfte A und K:w der Last Q das Gleichgewicht halten. Mithin wird

Q = к(\ + A) ₌ x(l + 0,91) =

1,91 K.

Für eine ideelle Rolle ohne Widerstände ist w= 1, mithin Q — 2 A₀. Der Wirkungsgrad (s. S. 218) ist, weil v = 2 c:

Qc

Kv

_Q_ ₌ 2 A₀ Aq_    Ц91 q

2 А 2 А    А 2    ’

Flaschenzug. Ein Achsgestell mit einer oder mehreren Rollen heisst ein Kloben — auch eine Flasche (weil früher die Form der Kloben mit einer Flasche einige Ähnlichkeit hatte). Aus einer durch ein umgeschlungenes Seil oder Kette hergestellten Verbindung von festen und losen Kloben besteht der Flaschenzug. Sind mehrere Rollen in einem Kloben angeordnet, so bringt man diese jetzt meistens auf dieselbe Achse. In der Fig. 303 sind aber der Deutlichkeit wegen die Rollen unter einander gezeichnet.

Die in Wirklichkeit gleichen Rollen zeigen hier etwas verschiedene Grösse. Die Zahl der Rollen in jedem Kloben beträgt in der Zeichnung 2, allgemein sei sie n. Der obere Kloben ist in dem Deckenbalken befestigt, an dem unteren Kloben hängt die Last Q.

Fig. 303.

_Ку tw4

w~

(О

Beim Aufwinden drehen sich (Fig. 303) sämmt-liche Rollen links herum. Die bei В angreifende Kraft sei Al, dann ist die Spannkraft in dem rechtseitigen Seilstücke K:w, sie vermindert sich nach dem Übergange über die Rollen schrittweise auf K:w², K:w3 und K:w⁴. Das Verhältnis v:c ist offenbar gleich der Zahl der Seilstücke, an denen der untere Kloben hängt, also 4 oder allgemein 2 n. Die Seile werden als sämmtlich lothrecht angenommen, da die geringen Abweichungen keine Bedeutung haben. Rückt die Last um c aufwärts, so verkürzen sich die Seilstücke je um c, zusammen also um 4 c bezw. 2 nc. Die gleiche Länge v — 4 c bezw. v = 2 n c muss daher bei В abwärts gezogen sein. Macht man durch einen Schnitt zwischen beiden Kloben den unteren frei, so verlangt dessen Gleichgewicht, dass die Last Q gleich der Summe der Kräfte der durchschnittenen Seile sei. Ohne Widerstände wären die Seilkräfte durchweg AT₀, daher Q = 4 AT₀ bezw. = 2 nKG, mithin ist wieder v : c — Q : K₀.

In Wirklichkeit ist

6)

7)

8)

Q = А (--1--К н--77 +

\ w wL w*

К го⁴— 1

го⁴ го

го⁴

= —7 (го³ + го² + го + 1)

—— und ebenso (allgemein)

К w2n — 1 —-----— : mithin

го-п го — 1

Qc

w'2n — 1

Kv

2 п • го2п (го— 1)

Beispiel : Es sei wieder «0=1,1, dann wird

= 3,i6 К, rj — 0,79,

= 5,04 К, Tj = 0,67 .

Im ersten Falle werden 79°/o der aufgewendeten Arbeit nützlich verwerthet, im zweiten nur 67 °/o, während 21 bezw. 33 % verloren gehen. Mit wachsender

für n —    :

für n— :

«с «о

Rollenzahl nimmt also der Wirkungsgrad ab. Es ist daher besser, eine schwere Last an 2 Flaschenzügen zu je 4 Rollen aufzuwinden, als an 1 Flaschenzuge mit 8 Rollen.

Für das Hinablassen der Last ist durchweg w mit 1 : w zu vertauschen.

Fig. 304.

Differenz - Flaschenzug. Der Differenz - Flaschenzug (Fig. 304) gestattet, mit nur 3 Rollen ein bedeutendes Übersetzungsverhältnis v:c zu erreichen. Die beiden Rollen des oberen Klobens bilden zusammen ein Stück, haben daher gleichen Drehungswinkel. Statt eines Seiles dient eine Kette. Wird bei В eine Kettenlänge v abwärts gezogen, so findet bei C ein Aufwärtswinden um v, bei I) ein Abwärtswinden um vr:R, also zusammen eine Verkürzung der Kette zwischen

Pk

beiden Kloben um v^l— statt; da sich diese

auf 2 Stücke vertheilt, so hebt sich der untere

V I V \

Kloben um c = ^(1 ——j, mithin ist

9)

|c

Der Name des Flaschenzuges erklärt sich daraus,

dass das Heben in Folge der Differenz zwischen Aufwinden und

Abwinden zu Stande kommt.

Ohne Widerstände würde in jedem Kettenstücke des unteren Klobens eine Kraft V² Q herrschen ; dann ergiebt (wenn KQ die ideelle Triebkraft) die Momentengleichung des oberen Klobens 0 = KqR + Ü2 Qr — ¹/zQR oder K₀R= !/2 Q, (R — r), d. h.

10)

0,'Kq — 2 : (1 — r:R) = v:c.

Macht man z. B. r : R = 14 : 15, so wird Q, : K₀ — v : c = 30.

An der linken Seite der kleineren Rolle des oberen Klobens ist die Kette ohne Spannkraft, während auf der Flg- ³⁰⁵* rechten Seite eine Spannkraft = V²^ herrscht; ebenso ist der Unterschied der Spannkräfte der grossen Rolle ein so erheblicher, dass die Seilreibung nicht genügen würde, um ein Gleiten zu verhindern. Aus diesem Grunde hat man statt des Seiles eine Kette gewählt, die zwischen zahnartige seitliche Vorsprünge der oberen Rollenkörper (Fig. 305) eingreift und dadurch ein Gleiten unmöglich macht. Eine solche Kette hat nur geringe Steifigkeit, weshalb man die Widerstandsziffer der Kettenrolle zu w — 1,05 annehmen kann.

Fig. 306.

\KZJJ

Betrachtet man die Verhältnisse annäherungsweise so, als ob der Widerstand ganz allein von der Zapfenreibung gebildet würde, so wäre nach Gleichung 4, S. 245

11)

An der unteren Rolle wirken Kettenkräfte £ und Sw (Fig. 306), und es ist

Q — S (1 4- w ).

An der oberen Rolle tritt ein Zapfendruck auf, der annähernd gleich Q, da К nur ziemlich klein ist. Dadurch entsteht ein Zapfenreibungsmoment ]/2 Qfd. Die Momentengleichung für den oberen Rollenkörper lautet: 0 = KR -f Sr — SwR — Vs Qfd.

= s(w-ÿ} + Q/J-

Daraus wird

12)

Es ist aber iv -f

(w_j:) + <2/jL

weil fi = w-\ (Gl. 11),

Jx

Q ( r I W²—1\ T+wV~B ^    2 j

Q,

oder,

tv- — 1

W² —

w² — 2 w + 1

2_ (u'~ l)²

gegen w² zu vernachlässigen, daher annähernd

Da nun w² = 1,05² = 1,1, (w— l)² aber nur = O,0025, so ist (w-l)²

13)

(*'-ä

zu schreiben.

l-{-w

Für gleichmässiges Hinablassen ist w durch 1 : w zu ersetzen ; es wird dann an Stelle von К die Kraft Kx nöthig mit

14)

Jii =

i+i

,w² R J '

Da nun 1 : w~ ein echter Bruch und r : R ebenfalls, so könnte man r : R beispielsweise = 1 : iv² wählen. Dann wird Kx = 0, d. h. die Last geht gleichmässig abwärts, ohne dass eine hemmende Kraft Kx nöthig ist; oder die Last Q wird durch die Widerstände eben im Gleichgewichte gehalten. Unter diesen Verhältnissen (r : R= 1 : w-) wird für Aufwinden

w~

WÎ

0,2

2,05

Q*

ohne Widerstände aber

w~

0,1

—Г«-Од • 2,05 2 0,2

einstimmung mit S. 220) nahezu gleich У2.

Soll der Flaschenzug sich aber mit Sicherheit bremsen, so muss rechnungsmässig Ä) < 0, d. h. 1 : w² < r :R, oder r : R > 1 : г/;² sein.

mithin ist der Wirkungsgrad r\ =

= 0,51, also (in Über-

15)

Diese Eigenschaft der Selbstsperrung wird bei dem Differenz-Flaschenzuge gewünscht. Weil nun ein negativer Zug an der Kette nicht ausgeübt werden kann, so muss die Drehung linksherum durch einen Zug K₂ an dem bisher nicht benutzten Kettenstücke bewirkt werden (Fig. 307). Da der Zapfendruck am oberen Zapfen wieder annähernd Q, beträgt, das Keibungsmoment daher Qf¹/2cl, so lautet die Momentengleichung der oberen Kolie

Fig. 307.

(2)

К₂ r + SR = Śwr 4- Qf 72 d.

<s>

w- — 1

Wegen des geringen Unterschiedes zwischen r und R kann aber fd = (w—1 )R (Gl. 12) annähernd auch = {w — 1) V gesetzt werden, so dass

wird,

oder, weil wieder Q = S(1 + w) K₂ =

Q (    -ß\ . Q, ^ Ql R ,

ZT-—— Iw--+ -q(w— 1) = — гс---1-

14 w \ r 1    2    1 -j- w \ r

rr— ™

16)

Ä2 =

Es ist aber wieder w + = го², mithin

= w² —

O—i)²

oder annähernd

1 -+- w \

was für w² > li: r (Gl. 15) positiv wird.

Beispiel: Für w=\,05 ist to²=l,i, 1 : w'² = 0,909. Wählt man nun 14

r : R = 14 : 15, so ist    = 0,93 > 0,9оэ, d. h. die Bedingung (15) der

Selbstsperrung erfüllt. Es ist ferner (nach Gl. 10) v:c = 30 — Q:Ko. Für das Aufwinden wird (nach Gl. 13) K =

2,05

t¹’¹ “■

Da nun

= 0,40 .

■Ko = jjÿ > so ist

Zum Hinabwinden ist die Kraft K, = ^

(—{Э-

^ aufzuwenden.

2,05

Also mit Aufwand von Jf=10ks kann man Q— 121 bg heben, während

71

zum Hinabwinden K, = 1," k'g hinreicht.

Der Differenz-Flaschenzug ist offenbar keine vortheilhafte Aufzugsmaschine, da sein Wirkungsgrad nur 0,4 beträgt. Angenehm sind aber seine Einfachheit und die Bequemlichkeit der Handhabung. Beim Einspannen einer schweren Achse in eine Drehbank oder beim Versetzen eines schweren Steines ist die

Selbstsperrung sehr werthvoll. Der ihn handhabende Arbeiter braucht ihn nicht vorsichtig festzuhalten, sondern kann seine volle Aufmerksamkeit auf die genaue Einstellung der Last richten, indem er durch Ziehen an der einen oder anderen Kette die Last bald hebt, bald senkt, wie es erwünscht ist.

12. Rollwiderstand der Walzen und Räder. Gleichmässige Bewegung der Fuhrwerke.

Fig. 30S.

°rc )

iW /

Wird eine starre cylindrische Walze auf eine starre wagerechte Ebene gelegt, so findet die Berührung längs einer Cylinderseite statt (Fig. 308). Das Gewicht Q der Walze wird von dem Widerstand N der Ebene aufgehoben, und, versetzt man die Walze in eine Rollbewegung, wobei die Geschwindigkeit c des Mittelpunktes 0 gleich der Umfangsgeschwindigkeit reo der Drehbewegung ist, so ist an der Berührungsstelle A die Gesammtgeschwindigkeit v — c — reo = Null, d. h. es findet kein Gleiten statt, und, da die sonstigen Kräfte Q und N sich aufheben, so kommt keine Reibung

zur Wirkung. Daher sind die Bedingungen der gleichmässigen Drehbewegung und der gleichmässigen Verschiebung, mithin auch der gleichmässigen Rollbewegung erfüllt, d. h. es ist bei vollkommener Starrheit zur Unterhaltung der Rollbewegung keine weitere Kraft erforderlich.

Fig. 309.

jv

шШяшW '

Bei den wirklichen festen Körpern kann aber der Druck N nicht von einer Linie aufgenommen werden, sondern er vertheilt sich auf eine Fläche, indem sowohl die Walze wie die Unterlage ihre Form ändern, sich gegenseitig zusammendrücken. Diejenigen Theile der Bahn, welche die Walze schon überrollt hat, kehren in den meisten Fällen nicht ganz in den früheren Zustand zurück; sie sind um ein gewisses Mafs dauernd niedergewalzt. In Folge dessen liegt der vor der Walze befindliche Theil der Unterlage höher als der andere; der Druck N vertheilt sich nicht gleichmässig zu beiden Seiten der Walzenmitte, vielmehr überwiegt der Gegendruck auf der Vorderseite. Dadurch verschiebt sich dann der Gesammtdruck N nach vorn, sodass er nicht mehr mit Q zusammenfällt, sondern mit Q ein Kräftepaar Ne bildet (Fig. 309), das Moment des Rollwiderstandes. Zur Unterhaltung der gleichmässigen Rollbewegung ist daher ein treibendes Moment

1)

9л = Ne erforderlich.

Zur Beurtheilung der Vertheilung des Druckes N auf die Unterstützungsfläche darf mau wohl für die meisten Fälle die vereinfachende Annahme machen, dass nur die Unterlage eine Formänderung erfährt, während die Walze ihre runde Form behält. Zuerst werde der Fall betrachtet, dass der von der Walze niedergedrückte Theil der Unterlage sich gar nicht wieder elastisch hinter ihr hebt, sondern niedergedrückt verbleibt (Fig. 310), wie es bei einem thonigen oder sandigen Wege etwa stattfinden wird. Den Gegendruck solcher Stoffe pflegt man mit der Eindrückungstiefe y verhältnisgleich zu nehmen. Ist ф der Gegendruck der Längeneinheit der Horizontalprojektion für eine Tiefe gleich Eins, so hat er bei der Tiefe у den Werth фу, und es ist dann der Gegendruck einer Breite dx: фуАх und der gesanmite Druck N = фJ*уdx = ф ■ ABC.

Selbstverständlich geht dann auch N durch den Schwerpunkt der Fläche ABC.

Fig. 310.

dx Jtj

Wih

к—-ft-—>,

Weil nun AB in den wichtigeren Fällen ein kleiner Bogen ist, so kann er annähernd als ein Parabelstück vom Parameter r (= dem Halbmesser des Rollkreises) betrachtet werden. Dann wird, wenn b und t die beiden Projektionen von AB, b² = 2rt, t—b²:(2r) und

2)

Ô³

N=<p- ²/a b t = Vs <p — , r

3 Nr

daher b³

Der Abstand e der Kraft N von dem Mittelpunkt ist (S. 135)

3)

³/3 Nr

e = ³/₈ b = ³/s |/ —j- .

Ist die Unterlage aber nicht so vollkommen bildsam oder plastisch, dass jeder erzeugte Eindruck in voller Grösse bleibt-, kann vielmehr ein gewisser Grad von Elasticität vorausgesetzt werden, so hebt sich die um die Tiefe ty eingedrückte Unterlage hinter der Walze um t₂ wieder empor (Fig. 311) und leistet'dann entsprechende Gegendrücke.

Dann wird der Druck auf der Vorderseite

Fig. 311.

Ni = Ф ²/³ Ьл = ‘/з ф — ,

der auf der Rückseite

bł

Ferner ist by³

N2 — V8 Ф ~ÿ .

3 NyV

Ш/.

bł

3 N.,r

„IV.

*KT|

s_iu

; LUF

Ф

Setzt man b₂ = n by, so ist n von dem Grade der Elasticität der Unterlage abhängig. Dann kann

4)

man N = — ф n³ — schreiben. Somit wird der Gesammtdruck 3 r

N= N, + N = 4- Ф — (I + n³) und "    3 r

b)

6)

3 Nr

ф ( 1 -f- n³) '

Die Abstände der Kräfte Ny und N₂ von dem Mittelpunkt О betragen e.y = ³/e by ; e₂ — ³/s b₂ = ³/8 n by. Für die Mittelkraft N gilt dann die Momentengleichung in Bezug auf О

— Ne= — Ny ex 4- N, e₂ = — ³/s 5, (Ny — n Щ,

daher wird, wenn man den gemeinschaftlichen Faktor V³ Ф : r ™ allen Gliedern fortlässt,

7)

e == ³/8 by

= 7*

3 Nr

1 — w⁴

Ф (l Ą-n³) 1 *j- n³ ‘

Für n — 0 entsteht wieder der Werth der Gl. 3.

Hiernach ist e in verwickelter Weise von ф und ni <1. h. von der Beschaffenheit der Unterlage, oder, weil die Zusammendrückung in Wirklichkeit eine gegenseitige ist, von den Stoffen der Walze und der Unterlage abhängig, ausserdem aber auch von der Grösse des Druckes N und von dem Halbmesser r des Eollkreises. Hat man aber e für einen Werth von N und r durch unmittelbare Messung oder auf mittelbarem Wege gefunden, so bringt eine Änderung von N oder von r nur geringe Änderung von e hervor, da Nr schon auf das Achtfache wachsen muss, wenn e sich verdoppeln soll. D aller zieht man es vor, für eine Gruppe praktisch wichtiger Fälle bei Mittelwerthen von N und r die Grösse e ein Mal zu bestimmen und diese Länge e daun für andere ähnliche Fälle innerhalb gewisser Grenzen unverändert beizubehalten.

Fig. 312.

\Qcos

will<

Die Ermittelung der Grösse e kann durch Versuche in ähnlicher Weise erfolgen, wie man die Reibungsziffer mittels der schiefen Ebene (S. 194) feststellt. Giebt man der Rollbahn eine veränderliche Neigung, oder hat man eine genügende Anzahl von Strecken mit verschiedenen Neigungen, legt die Walze auf und stellt durch Versuche denjenigen Neigungswinkel d der Bahn fest, bei welchem sich eine gleich-massige Rollbewegung der Walze erhält, so lässt sich mittels dieses Rollwinkels d die Grösse e berechnen (Fig. 312).

Das Gewicht Q der Walze zerlegt sich in Qsin$ und Q,cosd. Der Druck N der Bahn geht um e an О vorbei. Ausserdem tritt nun noch die Reibung T an der Bahn auf. Diese vier Kräfte müssen den Gleichgewichtsbedingungen genügen, daher N = Q cos d ; T = Q sin d.

Die beiden auftretenden Kräftepaare müssen sich aufheben, daher Q cos de = $ sin dr oder e = rtgd, wofür man wegen der Kleinheit des Winkels d auch

8)

e = rd schreiben kann.

e = 0,001m,

e = 0,0005m,

Für Walzen und Bahn aus nicht sehr hartem Holze ist etwa . bei sehr hartem Holze

bei Eisenbahnwagen-Rädern auf Schienen . . e — O,0005m, Danach beträgt der Rollwinkel im letzteren Falle, wenn r = 0,5m, d — O,0005 : 0,5 = O,00l = 1 : 1000, d. h. auf einem Gefälle von 1:1000 kann eine Eisenbahnwagenachse durch ihr Gewicht gleich-massig rollen.

Nach den vorstehenden Betrachtungen würde der Rollwiderstand verschwinden, wenn die zusammendriickbare Fahrbahn sehr elastisch, annähernd n — 1 wäre, indem dann e = Null entsteht. Man könnte glauben, dass eine Kautschukplatte oder auch eine Unterlage von Stahl in solchem Mafse elastisch wäre, dass dafür nahezu n = 1 gesetzt werden müsste. Damit steht nun freilich die Erfahrung im Widerspruche, denn bei dem Rollen einer eisernen Walze auf einer Kautschukplatte zeigt sich ein ziemlich erheblicher Widerstand, oder es ist eine ziemlich erhebliche Neigung # erforderlich, damit ein gleich-massiges Rollen auf schiefer Ebene stattfinden kann.

Diese Erscheinung erklärt sich in folgender Weise. Wenn auch die Bahn von Kautschuk bezw. von Stahl so elastisch ist, dass nach einiger Zeit keine Spur des Hinüberrollens mehr bemerkt wird, so erfolgt die Rückkehr in die ursprüngliche Form niemals sofort, sie erfordert vielmehr immer eine gewisse Zeit. Daher wird die Oberfläche der Fahrbahn dicht hinter der Walze immer etwas tiefer liegen als vor derselben und erst später, wenn die Walze sich von der Stelle entfernt hat, zur ursprünglichen Höhe zurückkehren.

Fig. 313.

А?/,У/4Ж0У/У/. 7////. У/. ////У/////У/////У///#///У////Л.

Auch ist die Rollbewegung nach Versuchen von Prof. Osborne Reynolds im Jahre 1875 (Philosophical transactions, Bd. 166; Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1877, S. 417) stets mit einem Gleiten verbunden. Die Strecke s, welche eine eiserne WTalze vom Halbmesser r auf einer Kautschukplatte bei einer Umdrehung zurücklegt, zeigt sich kleiner als der Umfangsweg 2r-. Mit dem Zusammendrücken der Kautschukplatte ist vor und hinter der Zusammendrückung eine wulstartige Erhebung verbunden (Fig. 313). In der Nähe des Punktes A wird vielleicht kein Gleiten stattfinden, wohl aber zu beiden Seiten; aus dem Gleiten entstehen dann Reibungswiderstände T und Tx, die ein Widerstandsmoment liefern. Hiernach darf auch für elastische Bahnen die Formel 1 (S. 252) für den Rollwiderstand beibehalten werden, so lange eine bessere nicht gefunden ist.

Fig. 314.

■*~k Q.I

Wird eine Last auf Walzen vom Gesammtgewichte Q fortgeschoben (Fig. 314), so tritt unten wie oben an den Walzen ein Rollwiderstand auf; die erforderliche Kraft ist dann

9)

ШШщ

К = [(*5 el + (Q + Qi)Ą : (2 r) ; denn die Kraft К überträgt sich durch Reibung auf die oberen Theile der Walzen und bildet mit den unten an den Walzen auftretenden Reibungswiderständen ein Kräftepaar vom Hebelarme 2r; e und eL sind die Arme der Rollwiderstände unten bezw. oben.

Sind alle in Frage kommenden Theile aus sehr hartem Holz, ist Q₁= 1000kg, Q = 50kg, >• — 0,1«!, so wird

1000 • 0,ooo5 -+■ 1050 • 0,ooo5 . ,,

Ä—    ^    — o,i e.

Hieraus erkennt man die Zweckmässigkeit der Walzen zum Fortschaft'en schwerer Körper (eiserner oder steinerner Bautheile).

Fig. 315.

Bei den Fuhrwerken nun ist die Last des Wagenkastens mittels Achslager auf die Achsen der Räder gestützt, und da der Wagenkasten wohl an der Verschiebung, nicht aber an der Drehung der Walze theilnimmt, so findet an den Zapfen vom Durchmesser d eine Zapfenreibung statt. Wir wollen zunächst eine einzige Wagenachse von dem Gewichte Q betrachten und an ihr eine Last Qi aufgehängt denken (Fig. 315).

Iй

(Das Gehänge stellt sich dann wegen des Zapfenreibungsmomentes 7г/d etwas schief.) Der /

0/

Bodendruck beträgt Q + (*>,, daher das Moment des Rollwiderstandes ($ + Qi)e. Die Zugkraft К \ auf wagerechter Ebene veranlasst, dass der Zapfen- ^ druck etwas grösser wird, doch hat dieser Umstand keine Bedeutung. An der Fahrbahn entsteht eine Reibung T, welche mit К das treibende Kräftepaar liefert: es ist dann mit R als Radhalbmesser:

10)

KR — 72 Q]fd + (<2 +    so dass

72 QJd + (Q + Qx)e

wird.

Diese Formel bleibt auch gültig, wenn die Last des Wagenkastens auf mehrere Achsen vom Gesammtgewichte Q, vertheilt ist. Genauer bedeutet Q, das Gewicht der rollenden, dasjenige der nur fortschreitenden Theile. Bei gewöhnlichen Strassenfuhr-werken bezieht sich Q, nur auf die Räder, während die Achsen zu Ql gehören; bei den gewöhnlichen Eisenbahnfuhrwerken dagegen ist die Achse mit den Rädern fest verbunden, so dass Q das Gewicht der Achsen und Räder bedeutet.

Nach Gl. 10 steht die erforderliche Zugkraft К im umgekehrten Verhältnisse zu dem Radhalbmesser R; zur Verminderung von К muss man daher R so gross machen, wie die sonstigen Umstände und Rücksichten gestatten.

Beispiel: An einem zweiachsigen Eisenbahnwagen wiegen die beiden Achsen mit den Rädern Q — 2000 kg, die übrigen Theile nebst der Last Qï = 8000 kg; der Radhalbmesser sei 22 = 0,5™, der Zapfendurchmesser d = 0,i ™, die Reihungsziffer f = 0,o-2, die Grösse e — 0,ooos ™, dann ist die auf wagerechter gerader Bahn erforderliche Zugkraft

к=⁴⁰⁰⁰ •»■".•fr + 10000 ■    ^ 16 + 10 = 26 4,

0,5    0,5

wovon 16 durch Zapfenreibung, 10kg durch Rollwiderstand erfordert werden.

Soll das Fuhrwerk gleichmässig eine Steigung unter dem Winkel a hinan gezogen werden (Fig. 316), so bleibt der ganze Zapfendruck = Ql, der Normalwiderstand N beträgt aber nur (Qx + Q) cosa; doch ist cos n bei allen Bahnen und "Wegen, die frei (ohne Seil oder Zahnstange) befahren werden, von der Einheit so wenig verschieden, dass Zapfenreibung + Rollwiderstand wiederum = К gesetzt werden können. Es tritt aber nim noch die schräg abwärts gerichtete Seitenkraft der Schwere Q sin ct und Qx sin a auf» die beide von Kx mit überwunden werden müssen. Daher ist die jetzt erforderliche Zugkraft

Fig. 316.

зиши»::

-гг.-

тптшпг

mdli

П)

К! = (Q + Qi) sin а + К, worin aber a statt sin а geschrieben werden kann.

Diese Kräfte К und Kx müssten nach dem bisherigen (Fig. 315) eigentlich an den Mittellinien der Achsen angreifen. Bringt man sie aber in beliebiger Höhe an dem Fuhrwerk an, so wird durch diese Verschiebung nur die Vertheilung der Last Q] auf die beiden Achsen etwas geändert, im Übrigen bleibt die Wirkung die gleiche.

Fig. 317.

Bewegt sich das Fuhrwerk gleichmässig abwärts und wird auf dasselbe (etwa mittels eines Seiles) eine hemmende Kraft K₂ ausgeübt, so ist (Q + Qi) а — K₂ die gesammte treibende Kraft P mit dem Sinn ab- r-wärts (Fig. 317). Die Neigung а hat \ einen gewissen Einfluss auf die Ver- p theilung der Last auf die beiden Achsen; davon abgesehen, kann man sich aber die gesammte Kraft P in der Achsenmitte angreifend denken. An den Berührungsstellen

der Räder mit der Bahn tritt eine gesammte Reibung T = P auf und bildet mit P das Kräftepaar PR zur Überwindung der Widerstandsmomente 72 QJd 4- (Q 4- Q\)e, und da letztere Summe = KR (Gl. 10), so ist

('Q 4“ Qi)a — Ko = К

oder die erforderliche Hemmkraft

12)

Kb = (Q + Qi) а — К.

Für ein gewisses Gefall Verhältnis а = а₀ reicht (Q + QY) a() gerade zur Überwindung der Widerstände hin, so dass die erforderliche Hemmkraft Ko — 0 wird. Dieses Gefälle heisst die G leidige wichts neig nng oc₀, u. zw. ist

13)

а₀ =

Q Л- Qi

Zugleich ist dann aber auch

K = (Q + 0i)«o»

d. h. die auf wagerechter Ebene erforderliche Zugkraft К gleich dem Gesammtgewichte (Q -f Q^ mal der Gleich g ewichtsneigung a₀.

Durch Vorrichtungen zur Messung der Zugkraft oder durch Ermittelung der Gleichgewichtsneigung kann die für einen Wagen erforderliche Zugkraft К ziemlich scharf gemessen werden; von den beiden Widerständen aber, die von К zu überwinden sind, kann man nur die Zapf'enreibung einigermassen befriedigend berechnen, während der Betrag des Rollwiderstandes bisher nur sehr unvollkommen berechnet werden kann, wie aus den Bemerkungen auf S. 255 ersichtlich ist. Man zieht es deshalb vor, nur den Gesammt-widerstand К durch Versuche eingehender zu prüfen und К in ein Verhältnis zu dem Gesammtgewichte Q + Qi des Fuhrwerkes zu bringen, trotzdem nach Gl. 10 der Werth К nicht genau verhältnisgleich mit Q + Qi ist. Diese Verhältniszahl ist nach Gl. 14 aber die Gleichgewichtsneigung oc₀. Mit deren Einführung wird dann auf einer Steigung а nach Gl. 11

15)

— (Q + Q\) (a 4- oto) * auf einem Gefälle а nach Gl 12 die Haltkraft

16)

Щ = (Q 4- öi)(a — Oo).

Auf Grund dieser Vereinfachungen bekommt nun die Gleichgewichtsneigung oc₀ eine ähnliche Bedeutung, wie sie der Reibungs-

winkel cp bei gleitender Bewegung hat. Da bei Fuhrwerken a0 stets ein kleiner Bruch, so ist sin a₀ — a₀ = tg oc₀ zu setzen, ebenso wie bei kleinem Reibungswinkel sin cp = cp = tg cp = / gesetzt werden konnte. Die Gleichgewichtsneigung a₀ ist zugleich die Widerstands Ziffer des Fuhrwerkes, welche man nur mit dessen Gewicht zu multipliciren braucht, um den Gesammtwiderstand auf wagerechter Bahn zu erhalten. Man braucht daher zur zahlen-mässigen Berechnung der erforderlichen Zug- oder Haltkräfte Ky und K₂ auf die rollenden Räder und die damit zusammenhängenden Widerstände keine Rücksicht mehr zu nehmen, sondern kann, weil diese Widerstände in dem Werth a₀ stecken, bei gleichmässiger Bewegung das Fuhrwerk wie einen Schlitten vom Gesammtgewichte Q Ą- Q[ auf sehr glatter Bahn mit einer Reibungsziffer / = a0 betrachten. Die Kraft (Q + Qi) ao ist dann stets entgegengesetzt der Bewegung, (Q -f- Qi) a stets abwärts anzubringen.

Beispiel: Für den Eisenbahnwagen auf S. 257 ist K= 26, Q-\-= 10 000, daher ot₀ = 0,oo26 = 1: 385, wofür man a₀ = 0,oo25 — 1 : 400 zu setzen pflegt. Ein Zug aus 40 derartigen Wagen hat ein Gewicht Q -f- Qi Es ist dafür auf wagerechter Auf

a = 1 : 800 ist dann die Zug-

= 400000 kg. Bahn

К = 400 000 . 0,oo25 = 1000 kg. einer Steigung kraft nöthig (Fig. 318)

Kx = 400 000 : 800 -f 1000 = 1500 kg ; soll der Zug aber auf derselben Rampe ab wärts

Fig. 318.

600

jooo_

Wi7/‘

fahren, so wirkt 500 abwärts, der Widerstand

= 1000kg aufwärts; es ist also noch in der Richtung der Bewegung eine Zugkraft 1000 — 500 = 500 kg nöthig. — Für a = ot₀ ist bei der Abwärtsbewegung keine bewegende oder hemmende Kraft erforderlich, dagegen ist bei der Aufwärtsbewegung Kx = (Q Qx) cc₀ -f- К — 2 K. d. h. doppelt so gross wie auf wagerechter Bahn. — Ist ot > a₀, z. В. a= 1 : 200, so wird für Aufwärtsfahrt eine Zugkraft AT; = 400000 : 200 -(- 1000 = 3000 kg, für Abwärtsfahrt eine Hemm kraft (Gl. 16) K₂ = 400 000 : 200 — 1000 = 1000 kg nöthig. Diese wird erzeugt, indem man Bremsbacken oder Bremsklötze mit solcher Kraft an die Räder presst, dass dadurch eine Gesammtreibung an den Umfängen der Räder im Betrage von K₂ entsteht. Diese wirkt mit dem Widerstandsmomente K₂B an den Achsen wie eine vielfach vergrösserte Zapfenreibung und erfordert in ähnlicher Weise wie diese (Fig. 315) ein im Sinne der Drehung der Achsen wirkendes Kräftepaar K₂B, indem an den Stellen der Berührung der Räder mit den Schienen eine der Bewegung entgegengesetzt wirkende Reibungskraft von der Grösse K.₂ hervorgerufen wird, welche nach dem Satze von der Bewegung des Schwerpunktes (S. 144) auf die Bewegung des Fuhrwerkes im Ganzen gerade so einwirkt, als ob sie im Schwerpunkte des

Fuhrwerkes oder in den Achsmitten oder irgend wo am oberen Theile des Wagenkastens angriffe.

In den bisherigen Betrachtungen und Beispielen sind als Widerstände nur Zapfenreibung und Rollwiderstand berücksichtigt. Dies genügt nur für Bewegung mit geringer Geschwindigkeit. Denn es tritt noch ein Luftwiderstand hinzu, der bei langsamer Bewegung des Zuges gering, bei schneller Bewegung aber sehr bedeutend ist. Auf diesen Widerstand kann hier nicht eingegangen werden; es sei nur erwähnt, dass bei schnell fahrenden Personenzügen die Widerstandszilfer oder Gleichgewichtsneigung a₀ auf 0,oi steigt, dass also der Gesammtwiderstand bei voller Geschwindigkeit etwa vier Mal so gross ist wie bei langsamer Bewegung.

Für Strassenfuhrwerke ist die Ziffer ct₀ erheblich grösser als für Eisenbahnwagen. Einmal sind die Achslager oder Achsbüchsen nicht so vollkommen; namentlich aber ist die Fahrbahn eine viel weniger regelmässige, so dass der Rollwiderstand ganz bedeutenden Einfluss gewinnt. Auch bei diesen Fuhrwerken kann man nur den Gesammtwiderstand durch a₀ aus-drücken. Für bestes Steinpflaster ist etwa a₀ = 1 : SO, für gewöhnliche Landstrassen a₀ = 1 : 30. Soll nun auf Landstrassen im Flachlande, wo die gewöhnlichen Fuhrwerke nicht mit Bremsen versehen sind, beim Abwärtsfahren ein Zurückhalten des Wagens durch die Pferde nicht nöthig sein, so dürfen die vorkommenden Gefälle nicht stärker als die Gleichgewichtsneigung oc₀ sein. Für a = a₀ läuft der Wagen abwärts frei, während die zum Aufwärtsziehen erforderliche Kraft doppelt so gross ist wie auf der Wagerechten.

13. Die Schraube.

Fig. 319.

i?

-"4"-

if.?

Die Schraubenspindel kann man betrachten als bestehend aus einem cylindrischen Kern, um den die Schraubengänge als nach einer Schraubenlinie gestaltete vorspringende Leisten herumgelegt sind. Die Schraubengänge bilden mit dem Kern einen festen Körper. Bei der flachgängigen Schraube hat der Schraubengang rechteckigen Querschnitt, bei der scharfgängigen Schraube ist seine Querschnittsform ein gleichschenkliges (nahezu gleichseitiges) Dreieck. Die Schraubenmutter ist ein fester Körper, der die Schraubenspindel mit geringem Spielraum umschliesst.

Wird die Schraubenmutter festgehalten, so kann die Schraubenspindel nur eine sog. Schraubenbewegung ausführen, indem mit der

Drehung um die Achse der Spindel eine Verschiebung längs derselben verbunden ist. Verfolgt man einen Schraubengang, an einem Punkt A (Fig. 319) beginnend, so weit, bis man bei В eine Stelle trifft, die mit A auf einer und derselben Cylinderseite liegt, so ist der Abstand AB — h die Ganghöhe der Schraube; dies ist derjenige Weg, um welchen sich die Schraubenspindel während einer Umdrehung längs der Achse verschiebt. Befindet sich der Punkt А in einem Abstand r von der Achse, so ist die ebene Abwickelung der Schraubenlinie von A bis В eine geneigte Gerade mit den Projektionen h und 2r;r, mit einem Neigungsverhältnisse

1)

tg a = h : (2 г я).

Fig. 320.

JL

Da nun h der für alle Theile der Spindel gleiche Verschiebungsweg längs der Achse bei einer Umdrehung ist, so werden die Schraubenlinien, auf denen sich die verschiedenen

Punkte der Spindel bewegen, verschiedene Ansteigungswinkel а haben, u. zw. um so kleiner, je grösser der Abstand r des Punktes von der Achse.

Flachgängige Schraube (Fig. 320). Auf die Spindel wirke eine (etwa abwärts gerichtete) Kraft Q in der Richtung der Achse. Es soll dasjenige Kräftepaar Kl berechnet werden, welches die Spindel in gleichmässiger Schraubenbewegung erhält, so dass ihre Verschiebung dem Sinne der Kraft Q entgegengesetzt ist. Die Spindel stützt sich auf die Gänge der Schraubenmutter, erfährt von diesen Normal-und Reibungswiderstände, die sich zu Gesammtwiderständen Die Wider-

dW

сШ;

fdX

fi

ад

-L

-^к

zusammensetzen, stände vertheilen sich auf die

Breite des Schraubenganges, doch machen wir die vereinfachende

Voraussetzung, dass sie an dem Halbmesser r — V2 (ri + r₂) angreifend gedacht werden können.

An einem Tbeilchen des

2)

Schraubenganges bei A wirkt ein Normaldruck clN, der gegen die Achse der Spindel um denselben Winkel a geneigt ist, welchen die mittlere Schraubenlinie mit der Querschnittsebene der Spindel bildet. diY setzt sich mit der Reibung f-dN zu d W zusammen, welches von dN um den Reibungswinkel q abweicht, daher mit der Achsenrichtung der Schraube den Winkel a -)- q bildet, d W liefert in der Richtung der Drehachse eine Seitenkraft dW cos (a +• q), und die Summe aller dieser Seitenkräfte muss der entgegengesetzten Kraft Q gleich sein, weil die Verschiebung gleichförmig erfolgen soll (s. A. Ritter, Technische Mechanik). Da nun a und q für die ganze Erstreckung des Schraubenganges dieselben Werthe haben, so ist Q = cos (a + q) 2'd W.

Die wagerechten Seitenkräfte von dW sind Kräfte d JKsin (a + q), welche im Grundrisse sämmtlich Tangenten an den Kreis vom Halbmesser r bilden. In Bezug auf die Achse der Spindel haben sie eine Momentensumme r sin(a + q)2'dW, welches Widerstandsmoment durch das treibende Kräftepaar Kl überwunden werden muss, also

Kl

— rtg (a + q) oder

Kl = r sin (a + q)2dW. Theilt man Gl. 3 durch Gl. 2, so entsteht

Kl = Qr tg (a + 99), was sich mit tg q — f, für die Rechnung bequemer, schreiben lässt :

tg« Л-f 1 — /tga*

4)

5)

Kl = Qr

Für gleichmässige Abwärtsbewegung im Sinne der Kraft Q kehren sich die Vorzeichen von q und / um:

Kxl = Qrt%{a— q>) = Qr

6)

tga—/

1 + / tg oc ’

Alle Kräftepaare K₂l, unter deren Einwirkung die Schraubenspindel im Ruhezustände verbleibt, liegen zwischen den Grenzen Kl und Kx l.

Für o. = q ist Kxl — 0, also Kx =0, d. h. es verhält sich in diesem Falle die Spindel ähnlich wie ein Körper, der auf schiefer

Ebene unter einem Neigungswinkel a — cp unter Einwirkung der Schwere ohne Kräfte К gleichmässig abwärts gleitet (S 194). Für axp muss der Körper durch eine aufwärts gerichtete Kraft, die Spindel durch das Moment K} l an beschleunigter Abwärtsbewegung verhindert werden. Für a < ç? muss der Körper durch eine abwärts gerichtete Kraft, die Spindel durch ein Moment (— Kx l) abwärts bewegt werden, da die abwärts treibende Kraft der Schwere oder der Last Q geringer ist als die Reibungswiderstände.

Da die Kraft Q und das Moment Kl mit den Widerständen [dW] im Gleichgewichte sind und da die Widerstände [dW] nach dem Gesetze der Wechselwirkung entgegengesetzt auf die Schraubenmutter wirken, so übertragen sich Q und Kl auf die Schraubenmutter; soll nun letztere nicht in Bewegung gerathen, so müssen an ihr Widerstände auftreten, welche dem Entgegengesetzten von Q und Kl gleichwerthig sind.

Der Wirkungsgrad der flachgängigen Schraube ergiebt sich,

Qh

wenn man eine Umdrehung betrachtet, zu rj =

Kl 2 л

wird der Angriffspunkt von Q um h gehoben, die Arbeit des Momentes Kl ist aber nach S. 225 gleich dem Momente mal dem Drehungswinkel. Da nun h = 2mtg v., so wird mit Gl. 4:

, denn dabei

Q, 2 г л tg a    tg а

^ Qrtg(a + cp)2 л tg (а + ç>) ’

Beispiel 1: Es sei f= 0,i5. Wählt man nun tg а ebenso gross, so wird

0,15 • 0,9775

tg(a + <p)

0,15 —f— 0,15 1 —0,15-0,15 ’

daher ту

0,з

0,49.

In diesem Fall а = <p steht die Schraube an der Grenze der Selbstsperrung; im Zusammenhänge damit ist ihr Wirkungsgrad annähernd 0,5

(vergl. S. 220). Bei den meisten Anwendungen der Schraube ist Selbstsperrung

0,07 -j- 0,15

erwünscht; ist z. B. tga = 0,o7, /'—0,i5, so wird tg (а + <p) 0,07 • 0,9895

1 — 0,07 • 0,15

= 0,32. Der Wirkungsgrad der Schraube ist daher nur

und у = ein geringer.

Bei kleinen Werthen von f und tg а kann f tg sc gegen 1 vernachlässigt werden, so dass tg (cc -f <p) = tg et -f- f\ dann ergiebt sich ' einfach

0,22

К l — Q r (tg öl -f- f ) und 7]

tg а

Dies ergiebt z. B.

f + tg а' für f = tg а = 0,i5 : 7j — 0,5 ; für /’=0,i6, tga = 0,07: ту = 0,sie.

Scharfgäiigige Schraube (Fig. 321). Bei dieser ist der Querschnitt des Schraubenganges ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Kantenwinkel 2 ß = 55 °. Der Übergang von der flachgängigen zur scharfgängigen Schraube ist hinsichtlich des Verhältnisses der wirkenden Kräfte ungefähr so zu beurtheilen wie der Übergang von dem Spurzapfen mit ebener Tragfläche zu dem kegelförmigen Spurzapfen; es findet auch hier ein keilartiges Einpressen der Spindel in die (wenn auch nur annähernd) trichterförmigen Gänge der Schraubenmutter und dadurch eine Vergrösserung der Reibungswiderstände statt, die man am einfachsten berücksichtigt, indem man f, wo es in den Gleichungen der flachgängigen Schraube vorkommt, mit / : sin <5 oder mit / : cos ß vertauscht. Denn Ô (der halbe Keiinuthenwinkel) ist die Neigung der Kante des Gewindequerschnittes gegen die Achse, mithin ó = 90⁰ — ß. Behufs kürzester Schreibweise kann man auch den Reibungswinkel (p mit dem Winkel xp vertauschen, wenn

Fig. 321.

//,

(t

VQ

% W — tg : cos ß =/: cos ß =f sec ß (vergl. S. 199). Dann wird für die scharfgängige Schraube

8)

Kl = Qr tg (а + xp) = Qr

tg а 4- / sec ß

1 —/sec ß tg а ’

tg а —/sec/

1 + /sec/tg а '

Selbstsperrung tritt jetzt ein für tg а <tg xp =/: cosß. >1 =    ⁼ 1^7зесД⁽¹

9)

10)

KJ = Qr tg(a — xp) — Qr

Diese Gleichungen sind die allgemeineren ; mit cos ß = sec ß = 1 entstehen daraus wieder Gl. 5, 6 und 7 für flachgängige Schrauben.

О,ооз

Beispiel 2: Für r = 0,015™; h — (>,ооз m ; tg а

— 0,032 ;

2 • 0,015 • —

/'=0,15; cos ß = cos 27x/-2 ⁰ = 0,387 ;    / sec/9 = 0,17 und 1 = 0,im wird

Kl = 0,003on; Q ; К = 0,0075 Q ; Kxl —— 0,0020 Q; K{ = — 0,ооз Q ; 77 = 0,16.

Die vorstehenden Gleichungen für die scharfgängige Schraube sind zur zahlenmässigen Berechnung völlig ausreichend, können aber in wissenschaftlicher Beziehung nur als Annäherungen gelten, denn der Übergang von der flachgängigen Schraube zur scharfgängigen, wie er auf S. 264 behandelt wurde, ist nicht ganz zutreffend, da das Gewinde der scharfgängigen Schraube nicht als ein Kegel angesehen werden darf. Wir fügen daher noch folgende schärfere Behandlung des Falles nach, wobei wir der Notiz von Zierold über die Ableitung des Verhältnisses zwischen Kraft und Last bei der Schraube mit scharfem Gewinde (Civilingenieur 1894, S. 155) folgen.

Fig. 322.

A sei (Fig. 322) ein Punkt der mittleren Schraubenlinie vom Halb-

messer r. Durch ein Bogentheilchen dieser Schraubenlinie legen wir eine Ebene E, welche den Cylinder vom Halbmesser r bei A berührt. Durch dasselbe Bogentheilchen legen wir eine Berührungsebene Ex an die gedrückte Schraubenfläche. Recht-winklig zu ihr steht der Normaldruck dN-, die Reibung f • dN ist tangential zur mittleren Schraubenlinie; der Gesammtwiderstand dW aus dN und f-dN liegt in einer Ebene K₂, welche auf jEx rechtwinklig steht, weil sie durch dN geht und dN winkelrecht zu Ex ist. Eine durch A gelegte Parallele zur Schraubenachse werde mit z bezeichnet, die Richtung der Kraft f-dN als Tangente an die Schraubenlinie mit t. Ferner legen wir durch A eine Gerade x-, welche in der Ebene E liegt, u. zw. rechtwinklig zu z. Die Richtung von d W heisse w.

Dann bilden w, x und t eine körperliche Ecke, und es entsteht, wenn man um A eine Kugelfläche beschreibt, das Kugeldreieck BCD (Fig. 328). Darin ist die Seite BG = 90° — f>, weil d W von f-dN um diesen Winkel abweicht, die Seite BD — ol, dem Neigungswinkel der mittleren Schraubenlinie. Die Seite CD zwischen w und« werde ß, der Winkel bei В an der Kante t aber у genannt; dies ist der Winkel zwischen den Ebenen E und Ex.

Für das Kugeldreieck gilt dann nach dem Cosinus-Satze, weil ß- und у einander

d II

IdN В

fdN

ji

J2

Fig. 323.

V,

90°W

ID

7'\l«

\ч

gegenüber liegen:

cos ß — cos öl cos (90⁰ — (p) 4- sin а sin (90⁰ — <p) cos у

П)

oder cos ß = cos i sin (p sin а cos <p cos у.

Die Geraden z, t und w bilden eine räumliche Ecke, der das Kugeldreieck ВСЕ entspricht. Der Bogen BE fällt mit BD theilweise zusammen,

da t, X und z in der Ebene E liegen. In ВСЕ ist wieder BC — 90° — cp, BE=dQ°-\-ct (denn X und z bilden mit einander einen rechten Winkel^ X und t den Winkel oc). Die Seite CE zwischen w und z werde X genannt. In ВСЕ liegen sich у und X gegenüber, daher ist

cos X — cos (90 ⁰ + oc) cos (90 ⁰ — cp) + sin (90 ⁰ -}- ct) sin (90n — cp) cos у oder cos X = — sin oc sin cp -f- cos oc cos cp cos у.

Da dW mit x und z die Winkel »? bezw. X einschliesst, so wird, entsprechend den Gl. 2 und 3, S. 202 :

<2 = cos/1 IdW-,

Kl — r cos »? Id W und

cos »? cos X

12)

cos oc sin cp sin oc cos cp cos у — sin oc sin cp -j— cos oc cos cp cos у ’

oder, wenn inan Zähler und Nenner durch cos oc cos cp th eilt :

tg oc 4- /’sec у 1 — /‘sec у tg oc

Kl=Qr

13)

Kl = Qr

f + tsr oc cos у

— /‘tga + cos у

— Qr

Es muss nun noch sec у ermittelt, hezw. gezeigt werden, dass sec у sehr annähernd = sec ß ist, wodurch Gl. 13 in Gl. 8 übergehen würde.

Die drei Ebenen E, Ex und E₂ gehen sämmtlich durch t. E₂ ist rechtwinklig zu Ex-, da nun der Winkel zwischen E und E₂ у ist, so schliessen deren Normalen n und n.₂ ebenfalls diesen Winkel ein, und weil Ex und E₂ zu einander winkelrecht, so sind es auch deren Normalen nx und n₂. Da die drei Ebenen durch die Tangente t gehen, so stehen die drei Normalen w, nx und n2 (Fig. 324) sämmtlich rechtwinklig zur Tangente t, und zwischen den Normalen n und nx findet sich der Winkel    Ä

90° —    so dass die Ebenen E und Ex ebenfalls den

Winkel 90⁰ — у mit einander bilden.

Nennt man g die durch A gelegte Erzeugende der Schraubenfläche, welche mit z den Winkel 90° — ß einschliesst, so bilden g, t und z eine Ecke entsprechend dem Kugeldreieck EG H (Fig. 325). EH liegt in der Ebene E durch z und durch die Schraubenachse, welche zu E rechtwinklig, weshalb der Winkel bei H (an der Kante z) ein Rechter, t ist gegen z um FH= 90° — ot,    ^

g gegen z wie oben schon gesagt, um GH=90° — ß geneigt; nennt man noch die Seite FG — rj, so giebt der Sinus-Satz:

Fig. 324.

90° y,

n,

t, GH in einer Ebene

Fig. 325.

10°

и*

%

Ns-

sin (90° — y) _ sin (90 u — ß)

sin 90IJ

oder

Vo-V

⁷

14)

cos y =

cos ß

sin rj

sin y cos ß

der Cosinus-Satz :

cos Tj — cos (90 ⁰ — ß) cos (90⁰ — «) 4~ sin (90 ⁰ — ß) sin (90⁰ — a) cos 90 0 oder cos 7] — sin ß sin «

und sin?? = ]/4—sin²/? sin¹*«, mithin wegen Gl. 14 sec²/'

15)

1 — sin²/? sin²«

cos²/?

sec²/? — tg²/? sin²«

= 1 + tg²/? — tg²/? sin²a = 1 -f- tg²/? cos²«

= cos²a (sec²« -j— tg²/?) = cos²« (1 -f- tg²« 4* tg²/?). Hiermit wird (Gl. 13)

16)

tg « 4- /’cos « Y 1 4- tg²« 4- tg²,? 1 — /'sin a]^ 14" tg²« 4- tg²/?

Bei den meist kleinen Ansteigungswinkeln a ist nun aber der Winkel tj zwischen g und t (Fig. 325) nur wenig von einem Rechten verschieden, daher sin g fast = 1 und deshalb (Gl. 14) sec у nur wenig kleiner als sec /9, oder, mit anderen Worten, es ist wegen der Kleinheit von « annähernd cos а = 1, sin а — tg « und

1 4- tg²« 4- tg²/? = 1 4- tg²/? = sec²/?,

womit Gl. 16 in Gl. 8 übergeht.

Für das Beispiel auf S. 265 wird nach Gl. 16 Kl = 0,оозоз Q (gegen 0,003046 Q nach Gl. 8). Der Unterschied ist daher sehr gering Es ist hiernach durchaus zu empfehlen, bei kleinen Winkeln « stets Gl. 8—10 anzuwenden.

Fig. 326.

Die Reibungswiderstände sind (nach S. 264) bei scharfgängigen Schrauben grösser als bei flachgängigen. Soll daher eine Schraube zur Bewegungsübertragung (als einfache Maschine) dienen, so wählt man gewöhnlich eine flachgängige Schraube, während die scharfgängige Schraube als Befestigungsmittel den Vorzug verdient, weil in diesem Falle die grossen Reibungswiderstände gerade die Sicherheit gegen unerwünschte Lösung der Befestigung bilden.

Soll durch Drehung der Schraubenmutter mittels des Schraubenschlüssels eine Platte mit einer Kraft Q gegen eine Wand gepresst werden, so ist ausser den Reibungswiderständen im Gewinde noch ein Reibungswiderstand zwischen Schraubenmutter und Platte zu überwinden (Fig. 326). Dieser möge an einem Kreise vom Halbmesser rx angreifen, dann ist das ganze erforderliche Kraftmoment

teo+/sec£

У 1— /sec/9tga У u/l'

Beispiel 3: Es sei wiederum, wie S. 265, r = 0,ois m-, h — 0,ооз m-, tg а — 0,032 ; f — 0,15 ; cos ß — 0,887 ; f sec ß — 0,п ; I = 0,tm ; rv — 0,o2 m; fi = 0,15 ; Q — 1000 k£ ; dann wird

Kl = 0,ооз • 1000 + 0,i5 • 0,02 1000 = 3 + 3 = 6 ™к&, mithin К = 15 kï.

Zum Lösen ist erforderlich —Kxl = 0,oo2 • 1000 + 0,ооз ■ 1000 = 5mkff, — Ky = 12,5 k?; ohne Reihung wäre K₀ = 0,oi5 • 1000 • 0,озг : 0,4 = 1,2 ks, mithin ist К = 12,5 K₀ in Folge der bedeutenden Reibung.

Beispiel 4: Schraubenpresse (Fig. 327). An den oberen Griffen wirke das Kräftepaar Kl zur Hervorbringung des Druckes Q der flachgängigen Spindel gegen die Pressplatte. Dann entsteht an dem Zapfen, mittels dessen sich die Spindel auf die Pressplatte setzt, noch ein Reibungs-moment, welches wegen geringer Abrundung der Druckfläche (nach S. 231, Gl. 7) zu V'- Q fr\ angenommen werden möge, wenn rx der Zapfenhalbmesser. Daher wird

Kl = Q (r tg (a + <p) + '/2 frx} .

Für l = 0,4 m ; r — 0,04 ra ; tg a = 0,O7 f — 0,i5 ; Гу = 0,оз m erhält man

Fig. 327.

K;

v=J

/4

IQ

tg (я + <P)

1 —/4g а

0,22 und

Jx

К • 0,4 = Q I 0,04 • 0,22 + V² 0,15 • 0,03 j К • 0,4 = 0,om Q ; K— 0,028 Q.

Ohne Reibung wäre

зЛ>I

Kyy . 0,4 = Q r tg a ; K₀ — 0,oo7 Q .

Der Wirkungsgrad ist darnach K₀:K=l /4.

Hierbei ist noch ein kleiner Widerstand unberücksichtigt geblieben. Das Zapfenreibungsmoment Ш^'/ifQry drückt nämlich die Platte gegen die Führungssäulen mit den Kräften X = 2ïï:b -, daraus entsteht an jeder Säule ein Reibungswiderstand fX, der sich dem Abwärtsgleiten der Pressplatte entgegensetzt. Mithin ist der Druck D der Platte auf den zu pressenden Körper nicht genau = Q, sondern

D = Q-2fX = Q([l-2f-f^) = Q (l -Qi) = Q(1 -0,oon)

für h = 0,4m. Der Unterschied zwischen D und Q ist hiernach ohne Bedeutung.

Die Kraftverhältnisse der Schraube sind unabhängig von der Anzahl der Gewindgänge, längs deren Spindel und Schraubenmutter sich berühren. In der Anwendung freilich ist die Berührung längs mehrerer Schraubengänge nothwendig, weil sonst wegen des vorhandenen Spielraumes die Sicherheit des Eingriffes leidet, u. U. auch der Druck auf die Flächeneinheit zu gross werden würde.

Schlussbemerkung über die Reibung. Ist die Reibung bei Maschinen ein erhebliches Bewegungshindernis, dessen Überwindung viel Kosten verursacht, so ist ihr Nutzen doch im gewöhnlichen Leben und in der Technik ein sehr erheblicher. Welche Erleichterung ein grosser Reibungswiderstand beim Gehen bietet, erkennt man beim Schreiten auf glattem Eise; ein grosser Theil der Befestigungen im Bau- und Maschinenwesen (durch Nägel, Keile, Schrauben) beruht auf der Reibung; die Seilreibung wird beim Hinablassen schwerer Lasten und beim Riemenbetriebe verwerthet, mittels der Reibung der Triebräder auf den Schienen setzt die Lokomotive den Zug in Bewegung; mit Hülfe der Reibung bringen wir den Zug oder ein Strassenfuhrwerk wieder zum Stillstände.

Die mechanische Arbeit, welche zur Überwindung von Reibungswiderständen dient, mithin keine sichtbare Geschwindigkeitszunahme der bewegten Körper, d h. keine Zunahme ihres äusseren Arbeitsvermögens hervorbringt, geht aber keineswegs spurlos verloren; vielmehr setzt sie sich nach den Lehren der Physik in inneres Arbeitsvermögen, in Wärme, um. Gleichwohl ist man berechtigt, von einem ArbeitsVerluste durch Reibung zu sprechen, weil die beim Gleiten entstehende Wärme dem Zweck einer Maschine gewöhnlich nicht förderlich ist, vielmehr häufig besondere Mittel zu ihrer Ableitung und Ver-theilung nöthig macht.

II. B. Beschleunigte Bewegung starrer Körper.

I. Grösse des Arbeitsvermögens eines Körpers bei einer Verschiebung bezw. einer Drehung um eine feste Achse.

Soll ein Körper von der Masse M eine reine Verschiebung erfahren, d. h. sollen seine sämmtlichen Punkte in einem Augenblick übereinstimmende Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen p haben, so muss nach S. 142/3 die Mittelkraft R aller äusseren Kräfte К durch den Schwerpunkt gehen. Die Beschleunigung des Schwerpunktes, also auch sämmtlicher Punkte des Körpers ist dann

1)

P M'

Will man den Satz der Arbeit auf starre Körper anwenden, so ist zu bemerken, dass nach S. 146 die inneren Kräfte eines

mc²

starren Körpers keine Arbeit verrichten, dass 2" ^--2’ ^

и    и

gleich der Arbeit der äusseren Kräfte К ist.

Es kommt nun darauf an, den noch unbestimmten, allgemeinen Ausdruck für das Arbeitsvermögen eines Körpers 2 für die

tu

einfachen Bewegungsarten in eine bestimmtere Form zu bringen.

Bei einer Verschiebung ist in einem Augenblicke die Geschwindigkeit v allen Massenpunkten gemeinsam, daher

Mv²

Vmv² v-    v²    .    . ■„

2- -y = y    -t- у w₂ + . . . + у mn =

und der Satz der Arbeit lautet:

2)

Mv²    Mc²

Г“*-

Dreht sich der Körper (Fig. 328) aber um eine feste Achse О (rechtwinklig zur Bildebene), so ist die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit со allen seinen Punkten gemeinsam, die Geschwindigkeit eines Punktes im Abstande q von der Achse beträgt v — @co.

Daher wird 2^-

Li

druck 2’m£>², der nur von der Massenver-theilung des Körpers in Bezug auf die Achse abhängt, heisst nach L. Euler (1707—1783) das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die Achse О und wird mit J (von inertia) bezeichnet. Daher

J = 2J(mQ*) und

— J, sowie 2

“.4 _

wenn (Oy die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ist. Die Bezeichnung Trägheitsmoment ist ganz treffend, da diese Grösse den Einfluss der trägen Masse eines Körpers bei der Drehung um eine Achse angiebt.

In gleicher Weise wie S. 125 u. ff. die statischen Momente verschiedener Körper und ebener Flächen ermittelt wurden, soll dies nun auch bezüglich der Trägheitsmomente geschehen.

Der Aus-

0'

Fig. 328.

3)

4)

6>*

3t/,,

2. Trägheitsmomente.

Das Trägheitsmoment J wird für solche Körper am einfachsten, deren Massentheilchen sämmtlich in gleicher Entfernung r von der Achse sich befinden. Dies findet statt bei einem Ringe von sehr geringer Wandstärke (Fig. 329). Es ist dann

J =    — r~ Um — Mr-.    I

Für die weitere Anwendung ist es häufig vor-„ theilhaft, das Trägheitsmoment eines Körpers in Bezug auf eine Achse gleich zu setzen dem Trägheitsmoment eines dünnen Ringes von einem Halbmesser r.

Fig. 329.

>0

Nennt man die Masse des gedachten Ringes y, so muss

J = и r-

sein. Ist J berechnet, r angenommen, so ist dann auch ju bestimmt. Man nennt /и die auf den Abstand r bezogene Masse des Körpers. Bei gegebenem œ ist dann das Arbeitsvermögen dieses Ringes von der Masse fi ebenso gross wie dasjenige des gegebenen Körpers. In Gl. 1 kann von den Grössen y und r eine gewählt werden. Setzt man y — M, d. h. gleich der wahren Masse des Körpers, und den zugehörigen Abstand r = i, so wird

2)

J= Mi²,

und man nennt г den Trägheitsarm oder Trägheitshalbmesser des Körpers für die Achse O. Denkt man sich die wahre Masse M des Körpers in dem Abstand i von der Achse zu einem Ring oder einem Punkte vereinigt, so hat dies Gebilde das gleiche Trägheitsmoment mit dem Körper.

Fig. 330. '

Das statische Moment Mx₀ = 2mx bezieht sich auf eine Ebene. Verschiebt sich die Ebene um eine Grösse e, so geht der Schwerpunktsabstand x₀ über in æ₀±c, mithin ändert sich das statische Moment um ± Me. Das Trägheitsmoment bezieht sich auf eine Achse. Vertauscht man die gegebene Achse aber mit einer Parallelachse im Abstand e, so lässt sich zwischen den Trägheitsmomenten in Bezug auf die beiden Parallelachsen auch eine ähnlich

e ~-g-x -J

0\

einfache Beziehung aufstellen, wenn die eine Achse durch den Schwerpunkt des Körpers geht.

Die Schwerpunktsachse S stehe rechtwinklig zur Bildebene (Fig. 330), ebenso eine Achse durch O. Die entsprechenden Trägheitsmomente seien Js bezw. J₀. Dann ist Js — 2'mr², Jq = ImQ². Weil nun q² = (e + x)² + у² und r² = x² -j- y², so wird Q² = e² Ą- 2 ex + r², mithin J,₀ = 2me2 + 22тех + 2mr² oder J₀ — Me² + 2e2mx + Js. Weil aber der Abstand x von einer durch den Schwerpunkt S gehenden Ebene gemessen ist, so wird (nach S. 127) 2mx — 0, also

3)

J₀ = Js -f- Me².

Das Trägheitsmoment in Bezug auf eine beliebige Achse ist gleich dem Trägheitsmoment in Bezug auf die parallele Schwerpunktsachse plus der Masse mal dem Quadrate der Entfernung beider Achsen.

Sämmtliche Parallelachsen O, Ox . . . in demselben Abstand e von S liefern gleiches Trägheitsmoment. Von allen Parallelachsen liefert die durch den Schwerpunkt gehende das kleinste Trägheitsmoment.

Trägheitsmoment der materiellen geraden Linie. Ein gerader Stab von der Länge s und dem Querschnitt F sei an einem Ende A an der als Drehachse dienenden x-Achse befestigt, während das andere Ende В durch eine masselose Stange b mit der Achse verbunden sei (Fig. 331).

Massentheilchen m ist dann nach S. 33

Fig. 331.

Ein

dir

У

— — F-ds und liefert zum Trägheits-

9

У

moment J den Beitrag dJ— — F- ds-y mithin

-H

²; es ist aber ds:s — dy:b,

, У Fs f'%    y Fsb²

J=7T] td^~g —

У

oder, weil die Masse des Stabes M—^—Fs'.

9

4)

J= \'zMb\

Fig. 332.

1ГГ

5)

Setzt man dies =yb², so ist die auf den Endpunkt В oder auf den Abstand b bezogene Masse des Stabes ju = 7з J/,

während der Trägheitshalbmesser

6)

= l/4 = -t=- ⁼ °’577 h

] M /3

wird. Dieses Drittel der Masse des Stabes, im Punkte jВ angebracht, oder die ganze Masse des Stabes zu einem Punkt im Abstande 0,577 b von der Achse verdichtet, liefern dasselbe J wie der Stab.

Eür а = 90° (Fig. 332) gelten dieselben Werthe; nur ist b hier gleich der Länge s des Stabes.

Trägheitsmoment einer materiellen ebenen Fläche (Scheibe). Trägheitsmomente in Bezug auf Achsen OX und OY in der Ebene der Figur (Fig. 333) nennen wir Durchmesser-Trägheitsmomente Jx und J„. Es ist Jx=2my², Jy = 2moc², ihre Summe Jx + Jy — Um (x² + y²)

= ZmQ²-, letzterer Werth ist aber das Trägheitsmoment /₀ in Bezug auf die Achse О rechtwinklig zur Fläche und heisst das polare Trägheitsmoment.

JI) = Jy ~f" Jx •

Es ist in Bezug auf einen Pol О das polare Trägheitsmoment einer ebenen Fläche gleich der Summe der beiden Durchmesser-Trägheitsmomente in Bezug auf zwei rechtwinklig zu einander stehende, durch den Pol О gelegte Durchmesser. Eine gemeinschaftliche Drehung der Durchmesser um О ändert diese Summe nicht, weil J₀ dadurch nicht beeinflusst wird.

Trägheitsmoment einer materiellen Kreisfläche. Um das polare Trägheitsmoment in Bezug auf den Mittelpunkt O (Fig. 334) zu erhalten, nehmen wir einen Bing von dem Halbmesser q und der Dicke dQ heraus. Dieser liefert, wenn Ô die Dicke der Scheibe, den Beitrag

Fig. 334.

Fig. 333.

m X

—Ix:

7)

У

dJ₀ = — ô- 2q л-dg-g², daher ist 9

Уд-пП1

J₀ = — ö-2л 9

(We = -

n 9

8)

Jo =

Mr²

2 ’<

'■

ju = */2 M (bezogen auf r), i = г V V2 = 0,707 r.

Da sämmtliche Durchmesser des Kreises gleichwerthig sind,

so wird hier Jv — Jx, mithin Jx + Jy = 2 Jx — J₀, oder

T _ T _Mr²_ л гАл

J X ⁼⁼ y ⁼⁼    ^    ^ ■ ~ •

Trägheitsmoment einer mat. Rechteckfläche. Das Trägheitsmoment des Rechtecks von der Breite d, der Höhe h (Fig. 335) in Bezug auf eine Kante AB = d lässt sich unmittelbar aus dem eines Stabes ableiten. Theilt man das Rechteck in lauter gleiche Streifen

9)

|Nî

von der Höhe h, so ist, nach Gleichung 5, die auf den Abstand h bezogene Masse jedes Streifens */з der wahren Masse. Das gleiche

Fig. 335.

Verhältnis gilt dann auch für das ganze Rechteck, und es ist in Bezug auf AB:

J = !/3 Mh² = Va-ô-d-h³.

!'

—i*

Eine zu AB parallele Achse durch den Schwerpunkt S hat von AB den Abstand e — х/ч h, mithin ist

-----d----->1

10)

Js = Уз Mh² — У4 Mh² = Via M7i² = ^ —ö -d-h³.

Id g

Für das Trägheitsmoment in Bezug auf eine Schwerpunktsachse, parallel mit h würde ebenso ł/i2 Md² entstehen, mithin für das polare Trägheitsmoment J₀ = x/n M{d² + h²) = У12 MD², wenn jD die Diagonale bedeutet.

Trägheitsmoment einer mat. Dreiecknäche von der Grundlinie dt, der Höhe h (Fig. 336). Zum Trägheitsmomente Jx in Bezug auf eine Achse CX\\ d liefert ein Streifen oc-dy den

yd- d g h

У

— b-x-dy-y² — л: d — y :h), daher ist

Beitrag dJ—

y³dy (wegen

L.

Fig. 336.

darin bezeichnet <5 die Dicke der Platte. In Bezug auf eine Sch werpunktsachse || d ist wegen des Abstandes e — ²/zh:

11) Js = J, —    =    )

Mh²

«Dl

Mh²    .d-h³

—— = o———

18

36 *

Trägheitsmoment eines mat. Trapezes. In

Bezug auf eine Achse in der Mitte der Höhe (Fig. 337) ist das Trägheitsmoment Jx offenbar ebenso gross wie dasjenige des gestrichelten flächengleichen Eechtecks, da die von unten nach    :zlr-—v

oben verdrehten Dreiecke in beiden Lagen die 7| e

M    / :

gleichen Beiträge liefern; es ist also Jx — y^ü².    !<■-------

Der Schwerpunkt liegt, wie man aus Gl. 8, S. 130, leicht findet, um e —

Fig. 337.

w*—-j—->i

---O-

■J

У___ж.

ha — Ъ 6 a -J- Ь

unterhalb der Mitte, daher ist in Bezug auf die wagerechte Schwerpunktsachse' MW MW (a — ъу 36 (а + Ъ)² '

Js~ 12

Dies lässt sich zusammenziehen zu

12)

— (l +

18 l ^

2 ab

(<* + ЬУ1 ’

’in welcher Formel selbstverständlich diejenigen für Rechteck und Dreieck als Sonderfälle enthalten sind.

Trägheitsmoment eines Cylinders überall gleicher Dichte, von der Länge l, bezogen auf seine geometrische Achse. Der Cylinder lässt sich in lauter Scheiben von gleicher Dicke zerlegen, die sämmtlich gleich viel zur Masse sowie zum Trägheitsmomente beitragen. Daher muss gelten, wie für die mat. Kreisfläche (Gl. 8)

J₀ — M^r- = —    1 und fi

2 g 2

Für einen King von den Halbmessern r und Л, der Länge l ist J₀ der Unterschied der Trägheitsmomente der Cylinder der Halbmesser Л und r, d. h.

J = —    (jR⁴ — r⁴)l, und weil

9 ²

^яг(Д² — r²)l,

9

J₀ = Va М(Л² + r²).

13)

14)

= V2 M.

Trägheitsmoment eines Kegels in Bezug auf seine geometrische Achse (Fig. 338). Zerlegt man einen Umdrehungskörper in Scheiben, rechtwinklig zur Drehachse, vom Halbmesser y und der Dicke dx, so liefert eine solche Scheibe zum Trägheitsmomente den Beitrag (Gl. 8)

Fig. 338.

~K

dJ=~^y⁴dx, so dass 9 *

p-o--

—X---

> %dx

15)

J — — J y⁴dx.

Diese Formel gilt für alle Umdrehungskörper. Die Beziehung zwischen y und x richtet sich nach der besonderen Art der Meridianlinie.

und, auf den Abstand b bezogen:

у — 0,3 M.

Für ein Umdrehungsparaboloid wird mit y‘¹ — 2px

17)

Beim Kegel ist y:b = x:a, daher 9

mithin, weil M= — n:

9    ³

~ Mb² ;

«V₀    9    10

16)

10

i = b 1^0,3 = 0,548 b ,

J=i/sMb²; i = 0,577 b ; у = >/з M.

Trägheitsmoment der Halbkugel (Fig. 339). Es ist у² = r² —-я?²,

daher (Gl. 15) J= £ ~ f(r⁴ — 2 Л² + x*) dx =

9 * Jo

2    у

oder, weil M — —rA n :

³    ^

J = 0,4 .MV² ; i — rY0,4 = 0,632 r und, auf den Abstand r bezogen:

jU — 0,4 M.

Für die ganze Kugel ist sowohl J wie M doppelt so gross, daher gelten die gleichen Verhältniszahlen.

A JLr 5*.

30 g r ’

Fig. 339.

18)

19)

dx>i

Geometrische Trägheitsmomente. Setzt man in den Ausdrücken der Trägheitsmomente für ebene Flächen die Masse der Flächen-

У

einheit — ô = 1 und in denen für Körper die Masse der Körper-

9

einheit — = 1, so erhält man für die Trägheitsmomente Ausdrücke,

die nur von der geometrischen Form der Flächen bezw. Körper abhängen. Für die Massen treten dann die Flächen F bezw. Körperinhalte V an die Stelle. Diese Werthe der Trägheitsmomente nennt man geometrische Trägheitsmomente. Die Werthe sind: Für die Kreisfläche Jq = l/² Fr² — ¹/-2г*л;

20)

Jx = 1/4 Fr² = ¹/4Г*Ж.

Für das Rechteck in Bezug auf eine Mittelachse J= Vi2 dh³ = Vi2 Fh\

22)

Für das Dreieck in Bezug auf die Schwerpunktsachse J = 1/36 d-h³= Vis Fh².

23)

Für das Trapez in Bezug auf die Schwerpunktsachse 2 ab

hFhii+

h³

2 ab

(a + b)²,

36

a-\-b) '

Für den Cylinder

24)

J — 72 Vr² = 72 r⁴ nl u. s. w.

Das geometrische Trägheitsmoment einer Fläche ist wegen der Form Fi² vom vierten Grade, das eines Körpers wegen der Form Vi2 vom fünften Grade.

Geometrisches Trägheitsmoment eines ringförmigen Um-drehnngskörpers. Ein Theilchen dF der Meridian-Figur (Fig. 340) liefert zum geometrischen Trägheitsmoment J in Bezug auf die geometrische Achse den Beitrag dJ = dV• X² = 2 хл-dF-x2 — 2 лх³ dF, daher ist J— 2 n$x³dF.

Legt man durch den Schwerpunkt der Meridianfigur eine Achse, parallel der Umdrehungsachse, und hat dF von dieser Achse den Abstand w, so ist

X = x₀ + w ; X³ — Xq³ + 3 Xq² u + 3 x₀ u² + u³,

mithin, weil x₀ für die Integration unveränderlich:

J= 2n{x₍³F+ 3 x^SdF-u + %XbSdF-u² + SdF-u³}. Nach dem Satze von Guldin (S. 139) ist aber der Rauminhalt des Körpers V—2 nx§F\ ferner JdF-u = 0 (nach S. 127); endlich JdF-u² das geometrische Trägheitsmoment der Meridianfigur in Bezug auf die zur Umdrehungsachse parallele Achse durch ihren Schwerpunkt; dieses werde 3 genannt, so dass

J =V X² + 6 лх₀ 3 + 2 л § dF * и³.

Ist die Schwerpunktsachse der Figur eine Symmetrieachse derselben, so wird SdF‘U³ = 0, da dF-и³ in gleich viel positiven und negativen Elementen von derselben Grösse auftritt, daher

J= FV + 6 ЛГ„*₀3 =    + 3 D.

(Für einen sehr dünnen Ring wäre bekanntlich nach Gl. 1 J— VxQ².)

Fig. 340.

Щzxr:i:

25)

26)

27)

Ist die Meridianfigur ein Kreis vom Halbmesser a (Fig. 341), so wird 3 == V⁴ Fa² (Gl. 20), mithin

J = V (x₀² + ³/4 a²).

Für ein Rechteck als erzeugende Figur (Fig. 342) ist 3 = F ■ '/n (.R — r)2 (Gl. 21), х₀ — V2 (В -f- r), somit

J= F{V⁴(i« + r)² -f    — r)²}

= 74 V{R² + 2Br -f r² + R² — 2Rr + r²)

= Va F (ü² -f- r²), übereinstimmend mit Gl. 14, S. 276.

Trägheitsmoment eines aus 2 Tlieilen bestehenden Körpers. Legt man (Fig. 343) durch die Schwerpunkte Sl und S₂ der beiden Theile und durch den Gesammtschwerpunkt S parallele Achsen, sind elf e₂ und e die Abstände der Achsen, Jy und J₂ die Trägheitsmomente der Theile bezüglich der eigenen Schwerpunktsachsen, so ist für den ganzen Körper und seine Schwerpunktsachse (Gl. 3, S. 272)

J — J\ + Ъ1\ Cj ² -j- J₂ -f- 37₂c₂"•

Weil aber M₂e₂ = Mle₁ und el + e₂ = e,

so wird

Fig. 341.

Fig. 342.

U------R------

er-⁰“""

L'    ;

ГО---->

Fig. 343.

M₂

¹ Ж₁ + Л₂' Man kann auch schreiben:

28)

>r

_v_|

J — ./] -j- «/2 -f- 3/] Cj C| -(- 3/₂c₂c2 = Jy + J₂ + 33j Cj (cj ~Ь <?₂) e-M₂

37, -f 3/₂

J=JX+J₂ +

37,372

37L r 3/₂

c².

«il

Mi

e,>

■é—

Mg

c2

Ж'

3. Winkelbeschleunigung.

Soll ein Körper sich gleichförmig um eine feste Achse drehen, so muss die Momentensumme der äusseren Kräfte in Bezug auf die Achse Null sein (S. 223). Ist die Momentensumme von Null verschieden, so erfolgt die Drehung nicht gleichförmig, sondern mit einer Winkelbeschleunigung e. Ebenso wie bei der

geradlinigen Bewegung die Beschleunigung p —    (S. 15), so ist

die sekundliche Zunahme der Winkelgeschwindigkeit die Winkelbeschleunigung    "

1)

dco

£ = ——. dt

Die Beziehung zwischen der Winkelbeschleunigung e und deren Ursachen, den äusseren Kräften, kann man aus dem Satze vom Arbeitsvermögen ableiten, indem man diesen auf ein Zeittheilchen dt anwendet. Die Zunahme an Arbeitsvermögen kann dann nach Gl. 4 (S. 271) geschrieben werden V² Jd(co²) = Jcodco. Die entsprechende Arbeit aber findet man in folgender Weise: Eine der äusseren Kräfte sei P und liege im Allgemeinen windschief zur Achse O. Das gemeinsame Loth zwischen der Kraft P und der Achse sei r; man zerlege die Kraft P im Fusspunkt A von r in eine Seitenkraft Z, parallel mit der Achse O, und eine Seitenkraft К, welche die Achse rechtwinklig kreuzt.

Die Kraft Z hat in Bezug auf О das Moment Kuli und verrichtet auch bei der Drehung keine Arbeit, weil sie rechtwinklig zur Bewegungsrichtung des Punktes A steht. Die Seitenkraft К aber hat das Moment Kr (Fig. 344) und verrichtet bei der unendlich kleinen Drehung um den Winkel со-dt die Arbeit Krco-dt. Für sämmtliche Punkte des Körpers ist in einem Augenblicke die Grösse со-dt die gleiche. Verfährt man mit allen äusseren Kräften ebenso wie mit P, so wird die Arbeitssumme d%k — со • dt 2¹Kr. Darin ist 2'Kr die Momentensumme der äusseren Kräfte in Bezug auf die Drehachse, schreiben wir dafür ЭД7, so wird nunmehr Jco-dco = co-dt-Ш, mithin

doo    m

dt    J *

Fig. 344.

(У

,A

2)

Ebenso wie bei der Verschiebung die Beschleunigung p = R : M = Kraft : träge Masse, so ist bei der Drehung um eine feste Achse die Winkelbeschleunigung = Kraftmoment : Trägheitsmoment.

Wählt man einen bestimmten Drehungshalbmesser oder Hebel-*'arm r, so ist an dessen Endpunkte die Umfangsgeschwindigkeit v = reo, die Umfangsbeschleunigung oder Tangentialbeschleunigung

pt = r-dcoidt = r£;

3)

bringt man nun das Kraftmoment 9)2 auf den Hebelarm r, setzt Ш = Кг und schreibt J —/иг², so wird aus Gl. 2 und 3

Kr2 /иг²

pt = re =

9)2r

oder

4)

Pt = —

d. h. wenn man Alles auf den gleichen Abstand oder Drehungshalbmesser r bezieht, hat man wie bei einer Verschiebung:

Kraft Masse '

Auch Gl. 4 (S. 271) für das Arbeitsvermögen kann man entsprechend umformen. Setzt man am Ende des Armes r die Anfangsgeschwindigkeit r(o₁ = c, die Endgeschwindigkeit rcu = v, J =/иг², so wird aus Vs (to²— a>i²)J — 91 k:

V'2 (v² — с²)/и = SI* oder ßV² /<c²_

2 ,

Umfangsbeschleunigung =

5)

wie (S. 270) für die Verschiebung eines Körpers.

Man kann Gl. 2, 3Л — s J auch mittels des Satzes von d’Alembert (S. 142) ableiten. Ist in einem Augenblick w die Winkelgeschwindigkeit, г die Winkelbeschleunigung, so führt ein Punkt des Körpers im Abstand r von der Achse (Fig. 345) eine ungleichförmige Kreisbewegung mit der Geschwindigkeit v = r w und der Tangentialbeschleunigung pt = rs aus; die Centripetalbeschleu-nigung ist pn = v² : r — r a>- (Gl. 1, Seite 88).

Diesen entsprechen die Ergänzungskräfte virz bezw. mrw². Deren Momentensumme in Bezug auf 0 ist —eImr- = — sJ. Den gleichen, aber entgegengesetzten Werth muss auch die Momentensumme ЭЛ der äusseren Kräfte haben, d. h.

Fig. 345.

mrtö²

mrè

6)

4. Physisches Pendel.

Ein Körper, der um eine nicht durch den Schwerpunkt gehende wagerechte Achse drehbar ist und unter alleiniger Wirkung de^ Schwere steht, bildet, wenn er in der sicheren Gleichgewichtslage nicht die Geschwindigkeit Null hat, ein Pendel, welches, zum Unterschiede von dem aus einem einzelnen Massenpunkt m mit

gewichtlosem Faden bestehenden, S. 76 behandelten, mathematischen Pendel, physisches Pendel genannt wird.

öS

/ V.

Der beliebig gestaltete Körper sei zunächst so festgehalten, dass der Schwerpunkt S (Fig. 346) 0{ in gleicher Höhe mit der Achse О liegt, und werde nun losgelassen. Es soll die Winkelgeschwindigkeit со berechnet werden, mit der der //V" Drehungshalbmesser OS = e des Schwerpunktes 1ч ¹ ) durch die Lothreehte hindurchschwingt.

Wendet man auf die Bewegung SSl den Satz der Arbeit an, so ergiebt sich (nach S. 141 u. 271)    —0 = Mge, mithin

1)

m = "J/ 2ge^- = У 2g~ mit J= Mi² (S. 272).

Ist der Körper ein Stab, eine materielle Gerade, von der Länge a (Fig. 347), so ist e = V² a, J — 4s Ma2 (S. 273), mithin

Fig. 347.

Fig. 348.

00

->i

tz---C----

2)

i/«'«³ _ i/з<7

Г7

fi

und die Umfangsgeschwindigkeit bei C:

c i---"""

Ю.....

3)

V — a oj —

Уз

да,

während für einen Massenpunkt am Ende einer gewichtlosen Stange von der Länge a (Fig. 348)

4)

V— V%ga (Gl. 1, S. 76) sein würde.

Fig. 349.

Schwingungdauer des physischen Pendels. In einer beliebigen Zwischenlage (Fig. 349), in der OS mit der Lothrechten den Winkel d bildet, ist das Moment

5Ш = Mg e sin 'd,

daher die Winkelbeschleunigung (Gl. 2, S.280) ^_Mgesmd

Jo

VMg

mg

Für ein mathematisches Pendel aber von einer Pendellänge l ist bei demselben Abweichungswinkel weil J — ml²,

_ mg l sin û _ g sin $

¹    m/²

Beide Beschleunigungen s und sind verhältnisgleich mit sin$ und stimmen völlig überein, wenn

d. h. wenn

Mge g_

Jo

5)

Jo

l =    ist.

Me

Wählt man die Länge des mathematischen Pendels nach Gl. 5 und giebt beiden Pendeln einen gleichen Anfangswerth von $, bei dem die Geschwindigkeit Null war, lässt also beide Pendel von derselben Anfangsneigung aus sich in Bewegung setzen, so wird die Beschleunigung beider Pendel für jeden Winkel d die gleiche sein, daher werden beide Pendel sich übereinstimmend bewegen, mithin auch gleiche Schwingungsdauer haben müssen.

Bei kleinen Schwingungen ist nun für das mathematische Pendel die Dauer einer einfachen Schwingung nach S. 78

-fr

Setzt man hierin den Werth l nach Gl. 5 ein, so entsteht

л-j/

6)

Jo

Mg e

als Dauer einer einfachen kleinen Schwingung des physischen Pendels.

Man nennt die Länget die Schwingungslänge des physischen Pendels. Trägt man diese Länge von О aus auf der Geraden OS ab, so erhält man mit OB = l einen Punkt B, den man den Schwingungspunkt des physischen Pendels nennt (Fig. 349). Die Achse durch B, rechtwinklig zur Bildebene, heisst Schwingungsachse. Der Punkt В und jeder Punkt der Achse В in dem physischen Pendel schwingt gerade so, als wäre er ein einzelner, mittels eines gewichtlosen Fadens mit О verbundener Massenpunkt.

Denkt man sich durch S eine zu der Drehachse О parallele Achse gelegt und nennt das entsprechende Trägheitsmoment des Körper Js, so ist JQ = Js + Me², mithin (Gl. 5)

7)

Js

Me

+ e.

Zeichnet man um S als Mittelpunkt einen Kreis vom Halbmesser SO = e (Fig. 350) und denkt sich den Körper an einer beliebigen, zur ursprünglichen Achse О parallelen, durch irgend einen Punkt des Kreises gelegten Achse Oj aufgehängt, so ergiebt sich für diese neue Aufhängung die Schwingungslänge nach Gl. 7 von derselben Grösse wie bei der Aufhängung in /

O. Alle Seiten eines geraden Cylinders, der den genannten Kreis zum Grundkreise hat, sind hiernach Achsen gleicher Schwingungslänge und Schwingungsdauer für den Körper.

Fig. 350.

°io:

dt

Hängt man den Körper aber an der Schwingungsachse В auf (Fig. 351), so hat man ein physisches Pendel von der Schwingungslänge l{, wofür sich nach Gl. 7 ergiebt, indem man e mit l — e vertauscht:

Fig. 351.

Js

(l — e).

M (l — e)

Weil aber (nach Gl. 7) Js — Me (J — e), so erhält man l

h'iP

8)

Me {I — e)

M{1 — e)

d. h. das an der Achse В aufgehängte Pendel hat die gleiche Schwingungslänge wie das um die Achse О schwingende. Trägt man 1Л — l von В aus auf BS auf, so erhält man О als Schwingungspunkt und die Achse О (rechtwinklig zur Bildebene) als Schwingungsachse für die Drehachse B. Die Parallelachsen О und В liefern gleiche Schwingungslänge und gleiche Schwingungsdauer, oder sind mit einander vertauschbar. Das Pendel ist bezüglich der Achsen О und В umkehrbar. Ein Kreis um S mit dem Halbmesser SB hat dieselbe Bedeutung wie der Kreis mit dem Halbmesser SO (Fig. 350).

Sämmtliche Achsen, rechtwinklig zur Bildebene, welche durch irgend einen Punkt einer der beiden Kreislinien gelegt werden, sind für den Körper Drehachsen mit übereinstimmender Schwingungslänge Z.

oo »

Nach Gl. 7 ist die Schwingungslänge l von e abhängig. Fasst man nämlich bei der Vergleichung nur Achsen ins Auge, die zur Bildebene rechtwinklig, d. h. mit der ursprünglichen Drehachse О parallel sind, so ist Js : M ein konstanter Werth = i² (wo i der der Achse S entsprechende Trägheitshalbmesser ist). Wird nun e grösser und grösser, verschiebt sich also die Drehachse immer weiter vom Schwerpunkte, so nähert sich der erste Summand der rechten Seite von Gl. 7 mehr und mehr der Null, während der zweite fortwährend zunimmt; daher wird für e — oo auch l — und t = oo. Geht aber umgekehrt e gegen Null, so wird ebenfalls l=oo und t = oo, d. h. wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt geht, so ergiebt sich, wie auch schon von S. 150 bekannt, kein Drehmoment, so dass auch keine Schwingung zu Stande kommen kann.

Es muss daher einen Werth von e geben, für den l ein Minimum wird.

Schreibt man zur bequemeren Übersicht l = у, e = x, und untersucht

Г-

9)

i²

dy

auf Minimum, so ist —--5- +1 = 0 zu setzen. Dies ver-

dx    X-

langt X — zh L Eine besondere Untersuchung, ob hierbei ein Maximum oder Minimum vorliege, ist nicht erforderlich; denn den für X = 0 und X = 00 eintretenden Grösstwerth у — oo kennen wir bereits.

10)

X = + г

oder in der früheren Schreibweise e = ±z i, worin es wegen der Bedeutung der beiden Kreise in Fig. 351 nur auf den absoluten Werth e = i ankommt, ergiebt die Schwingungslänge i²

l —--\- i = 2 i, also l — e = 2 i — i = i.

wird also die Schwingungslänge

U)

Imin — 2 i — 2 e,

womit die beiden Kreise in Fig. 351 zusammenfallen.

Fig. 352.

Für eine Drehachse O, welche von S um i

-У,

Ja

entfernt ist,

Die Darstellung der Gl. 9 ist eine Hyperbel, deren eine Asymptote die Ordinatenachse, während die andere, durch den Anfangspunkt gehend, den rechten Winkel der Koordinatenachsen halbirt. oc — i und ymin — 2 г sind in Fig. 352 angegeben.

Bekanntlich werden Pendelversuche benutzt zur Ermittelung der scheinbaren Fallbeschleunigung g an verschiedenen Stellen der Erde; aus

wird д = 1л²:{². Hieraus kann

man g berechnen, wenn man für ein Pendel die Schwingungslänge l und die Dauer t einer einfachen Schwingung kennt. Letztere lässt sich durch Zählung der Anzahl der Schwingungen während einer längeren Zeit feststellen. Die Schwingungslänge könnte man wohl nach Gl. 5, S. 283, berechnen, jedoch nicht mit der erforderlichen Genauigkeit für feine Messungen, wie sie zur Ermittelung von g nöthig sind. Denn kein Körper lässt sich so gleichmässig herstellen, dass man und das statische Moment Me mit grosser Schärfe durch Messung und Rechnung zu bestimmen vermöchte. Wohl aber dient zur scharfen Bestimmung der Schwingungslänge l die Eigenschaft des Pendels, dass Drehachse und Schwingungsachse mit einander vertauschbar sind. Man stellt also ein Pendel her mit fester Schneide (Drehachse) O, berechnet annähernd Z, bringt in diesem Abstand l — OB eine Gegenschneide В an und verstellt an dem Körper verschiebbare Gewichte so lange, bis das Pendel, ob in О oder in В aufgehängt, gleiche Schwingungsdauer zeigt. Dann ist, wenn В und О nicht in derselben Entfernung vom Schwerpunkte liegen, wenn also В nicht den Punkt in Fig. 351 bedeutet, OB = l die Schwingungslänge, die zwischen den Schneiden mit grosser Schärfe gemessen werden kann. Ein solches Pendel heisst ein Umkehrungspendel (Reversionspendel).

Ist der Körper ein dünner prismatischer Stab von der Länge a (Fig. 353) und an seinem oberen Ende aufgehängt, so ist J₀ = Уз Ma², e = l/ï a, mithin die Schwingungslänge (Gl. 5)

2    Mo² 2

3    Ma~ 3 a'

12)

В und Bx liefern gleiche

Die Achsen О, О Schwingungslänge.

Die Beobachtung der Schwingungsdauer eines | als physisches Pendel eingerichteten Körpers kann auch benutzt werden, um dessen Trägheitsmoment j in Bezug auf die Drehachse zu bestimmen.

Gl. 6 liefert nämlich

Fig. 353. o

^_'Ą~r —•

I !“

L-

J j \!

I.

13)

Jq = Mg et²:n².

Hat man (Fig. 354) den Punkt A bestimmt, der in der sicheren Gleichgewichtslage lothrecht unter О liegt, so kann man mittels der Aufhängung des Körpers nach Fig. 354 durch das den Körper im Gleichgewichte haltende Gewicht P das statische Moment Mg e = Pa finden. Beobachtet man sodann q ^ noch t für kleine Schwingungen, so bestimmt sich J₀ nach Gl. 13.

Soll das Trägheitsmoment Js eines Körpers in Bezug auf eine Schwerpunktsachse bestimmt werden, um welche keine Schwingung entsteht, so lässt man den Körper um eine zeitweilige Achse В schwingen (Fig. 355), bestimmt JB — J"₀ nach Gl. 13 und findet daraus Js = JB — Me². Oder, wenn die Befestigung einer besonderen Achse oder Schneide nicht ausführbar ist, so verbindet man mit dem Körper eine Ergänzungsmasse Mj derartig, dass sich beide Massen nicht gegen einander verrücken können.

Mx muss so gewählt sein, dass man dessen Beitrag zu J und Mge leicht bestimmen kann. Bringt man Mx so an, dass es nunmehr mit dem gegebenen

Fig. 354.

4х

к-----e---->

V

Mg

Fig. 355.

ТВ

Г© г

Го\

>A

Körper ein mögliches Pendel bildet, so kann man leicht das Gesammt-Trägheitsmoment und daraus das Trägheitsmoment des gegebenen Körpers berechnen.

Fig. 356.

Ein dünner Ring vom Halbmesser r, nach Fig. 356 um eine Schneide schwingend, hat, wegen Js —Mr², nach Gleichung 7 die Schwingungslänge

l = 2r.

5. Beschleunigte Bewegung einer Seilrolle.

Fig. 357.

J?f2 Mj

Щд

pi

Um eine Seilrolle von der Masse M (Fig. 357) sei ein völlig biegsamer Faden geschlungen, an dessen Enden ungleiche Massen Mx und M₂ hängen. Es soll die Umfangsbeschleunigung p der Rolle berechnet werden ohne Rücksicht auf Zapfenreibung und Seilbiegungswiderstand und unter der Annahme, dass ein Gleiten des Fadens auf der Rolle nicht stattfindet. Die Masse Mx erfährt die Beschleunigung p abwärts, die Masse M2 dieselbe Beschleunigung aufwärts. Die Spannkräfte der Seilstücke sind nicht etwa Mxg und M₂g, denn diese Gleichheit findet nach S. 86 nur statt, wenn die Massen keine Beschleunigung erfahren. An der Masse Mx muss die Mittelkraft Mxg— Sx — Mxp, mithin

*i9

1) Sx — Mxg—Mxp, d. h. <C Mxg

sein, weil Mxg und Sx zusammen die Beschleunigung p erzeugen. Ebenso muss an der Masse M₂ die aufwärts gerichtete Beschleunigung p durch die aufwärts gerichtete Kraftsumme S₂ — M₂g hervorgebracht werden; S₂ — M₂g — M₂p, mithin

2)

S₂ = M₂g + M₂p, d. h. > M₂g.

Kann der Faden als gewichtlos betrachtet werden, so wird die gesammte Seilreibung, welche die Rolle zu beschleunigter Drehbewegung veranlasst, gemessen durch den Unterschied der Spannkräfte 8X und S₂, daher wird nach Gl. 4, S. 281, jup — Sx — S2t wenn fi die auf den Umfang bezogene Masse der Rolle ist.

Also

3)

fAP = Щ g — MlP — M₂g — M₂p, p {Mx -t- M₂ + g) = M^g — M₂g, oder

м\ я — Щд

M± -j- M₂ ~b g

In dieser Gleichung erscheint also der Gewichtsunterschied

.    M\-M₂

M-^ -J- Mo ~Ь g

M₁g — M₂g als treibende Kraft, als träge Masse aber die Summe aller Massen, die an der Beschleunigung p theilnehmen, d. h. J/x, Mo und die auf den Umfang bezogene Masse g.

Eine Vorrichtung nach Fig. 357 ist die Atwood’sehe Fallmaschine; sie dient, da p mit g verhältnisgleich ist, zur Vorführung der Gesetze der Fallbewegung in verkleinertem Mafsstabe, weil die wirkliche Fallbewegung unbequem schnell erfolgt.

Beispiel 1: Ist Mg = l kg und (nach S. 276, Gl. 13) das auf den Umfang bezogene Gewicht der Rolle p.g = l/i4, Ж, <7 = 4, M.₁g = 3,9 kg? so wird, wenn man in Zähler und Nenner statt der Massen die <7 mal grösseren Gewichte einführt,

4 — 3,9    0,i g

P ~ ⁹ ± 4- 3,9 + 0,# ~~ ⁹

die Bewegung der angehängten Massen erfolgt daher nur mit V⁸⁴ der wahren Fallbeschleunigung.

Will man auch die Zapfenreibung mit der Reibungsziffer f und dem Zapfendurchmesser d berücksichtigen, so wird

der Zapfendruck D = Sl -f S„ +■ Mg-, es ist, wie vorher,

51    = Myg — Mxp

5₂    — M.₂g 4- M,p und daher

1) = (M -f M₁ + M.,) g - Щ - Щ P

mit dem Zapfenreibungs-Momente ¹jiDfd. Sonach wird, wenn r der Rollen-ßp = Sl-S,-Dfj-r

= Mxg — Mxp — M.,g — M,p — (M -f Mx -f Щ gf

Ж, - M, - (M + M, + MJf-L Ж, -f- M-2 4- л — (Ж, — Ж.) f ₍ -

halbmesser,

und daraus

4)

Mit d:r= 1:25, /’=0,o8, Mxg = 4, M,g = 3,9, Mg— 1, рд = 0,ь kg wird

0,1 — 0,014

q----

8,4 — 0,000 m

Hiernach wird $, = 4 ( l — 0,oi) = 3,96 kg, S₂ — 3,9 ( l -f- 0,oi) = 3,94 kg. Damit

Sl — /1 «

oder rund —

100 ‘

sein, worin

kein Gleiten des Fadens entstehe, muss nach S. 237 -ö-

fl die Reibungsziffer des Fadens, <х = тг. Dieser Bedingung wird schon für fx >0,oon genügt. Der Seilbiegungswiderstand ist hierbei vernachlässigt, da der Faden als sehr dünn angenommen.

Keck, Mechanik I.

19

Beispiel 2: Gleiche Massen My mögen an zwei mit einander verbundenen Rollen von ungleichen Halbmessern В und r hängen (Fig. 358); es soll die Umfangsbeschleunigung p der grösseren Rolle berechnet werden; die der kleinen ist dann pr: B. — Die Fadenkräfte sind Sy = Mxg— Mxp-, S₂ = Mxg -f- Mxpr: B; die Winkelbeschleunigung der Rolle ohne Rücksicht auf Reibung (nach S. 280)

Fig. 358.

r²

Mx gB — MxpB—Mx gr — Mxp g.B²

fJP = Mig — Mxp — Mxg £ — Mxp ~ ,

_ SXB—S₂r _

£“ gB² ~ mithin, weil Ba=p,

r'-

folglich

Mx

5)

Mx

8&

"J* II

PR

My

My

lhMy

g    —, wobei

b/\Mx [X

zu beachten, dass g auf den Abstand В bezogen ist.

Beispiel 3: Hängen die Massen Mx und M₂ nicht frei herab, sondern gleiten sie mit Reibung auf schiefen Ebenen mit den Neigungswinkeln olx u. <x₂ (Fig. 359), während an dem Rollenkörper keine

auftreten, so entsteht an der Masse My eine treibende Kraft Mx g sin <Xy

und eine hindernde Reibung, daher ist

Für В = 2 r wird dann p

Bewegungs widerstände

s₂

Fig. 359.

Bi

«fl

Mt

Sy = Mx g sin ety — fMx g cos olx — Mxp ;

S₂ — M₂g sin a₂ -f- fM₂g cos x> -f- M₂p wie in Beispiel 2 wird nun g Bp = Sy В — S₂ r und demnach

ebenso ist

6)

My (sin cty — f cos ctj — M₂ (sin a₂ -f- f cos a₂)

bei *»

r²

My -|- M., — -f- g

Für r — В und rxy — ot₂ = 90° entsteht Gl. 3 ; für M., = Myx <xy — ol₂ = 90 0 entsteht Gl. 5.

Für a, = 90°,

(Fig. 360) ergiebt sich

Fig. 360.

a₂ = 0,

7)

My—fM, ⁹My+M₂ + tx’

M,

6. Achswiderstände bei der Drehbewegung.

291

6. Widerstände der festen Drehachse eines Körpers bei beschleunigter Drehbewegung.

An der Achse des Körpers mögen an 2 Lagerstellen A und В die Widerstände A und В auftreten, welche die Aufgabe erfüllen, die Achse unbeweglich zu halten. Es mögen an dem Körper bewegende Kräfte [K] wirken. Sind со und e die augenblickliche Winkel - Geschwindigkeit und Beschleunigung, so hat ein Massenpunkt eine daraus zu ermittelnde Beschleunigung p, welcher eine Ergänzungskraft —mp entspricht. Es muss nun nach dem Satze von d’Alembert die Gruppe dieser Kräfte [— mp\ im Gleichgewichte sein mit den Widerständen A und В und der Gruppe der sonstigen äusseren Kräfte [K\. Hiernach können A und В gefunden werden, wenn man die Kräftegruppe [—mp] kennt.

Zusammensetzung der Ergänzungskräfte —mp bei uugleich-mässiger Drehbewegung. Ein Massenpunkt im Abstande (O von der Achse (Fig. 361) führt eine Kreisbewegung aus. Seine Tangentialbeschleunigung ist pt — Qsy seine Centripetalbeschleunigung pn — @со2 (Seite 88). Die entsprechenden Ergänzungskräfte sind (Fig.

361a) die Kraft mQS (links herum) und die Centrifugalkraft m£>co².

Die Drehachse wählen wir zur x-Achse; A sei der Anfangspunkt des f Achsenkreuzes (Fig.

361). ln der rechts- vl seitigen Figur (361 a) ist der Körper in der Richtung der Drehachse, also auf die 3/2-Ebene projizirt, weil die Beschleunigungen pt und pn und ebenso die entsprechenden Kräfte in dieser Projektion am deutlichsten erscheinen. Bildet der Halbmesser q = AP mit der A Y den Winkel so ist £>cos$ = 2/; £>sin$ = 2.

Die Kraft mow² liefert in der positiven ^-Richtung die Seitenkraft mQ(o² cos $ = myco², in der positiven г-Richtung die Seitenkraft mQco²sind = mzco². Ebenso giebt die Kraft mQ£ die

Fig. 361.

Fig. 361 a.

;y

mzar—mue

4

4Г

<?ч

\

g y>

Лх

entsprechenden Seitenkräfte mge sin — m ze bezw. —mge cos# = — mye.

Diese Seitenkräfte sind in Fig. 361 eingetragen. Denkt man sich solche Kräfte für jeden einzelnen Massenpunkt angebracht und setzt diese Kräftegruppe nach S. 112 zusammen, so erhält man drei durch

den Punkt A gehende Seitenkräfte X, Y, Z und drei Kräftepaar-Achsen ЭД?*,    5Ш,. In der ^-Richtung ergeben sich keine Seiten

kräfte. In der positiven y-Richtung entsteht Y= 2туа>² + 2mze, oder, weil oj und e für alle Punkte dieselben Werthe haben und ausserdem 2'ту = My₀, 2mz = MzQ (mit y₀ und z₀ als Koordinaten des Schwerpunktes),

Y = MyQ (o~ + Mzq e.

In gleicher Weise wird Z= Mz^oj²—My₀£. Zur Ermittelung der Kräftepaar-Achse 9JG gehen wir am einfachsten auf die ursprünglichen Kräfte mgoj² und mge zurück, da mg со² in Bezug auf AX kein Moment hat, mge aber das Moment —mgeg, sodass 5Ш* = —e2mg²— —ejx, was nach Gl. 2, S. 280 selbstverständlich war. Die in der ^-Richtung wirkenden Kräfte gehen an der 1Г in einem Abstand x vorbei, liefern daher mit Rücksicht auf den

Drehungssinn == — a>²2'mxz -f e2mxy\ ebenso ist SDZ. = (o²2mxy + e2mxz. Das Gesammtergebnis der Ergänzungskräfte [—mp\ ist also

X— 0

Y — My₀(o² + Mzq£

Z — MZqCl)²— My₀e 9Д, = — eJx

= — oj²2mxz -f- e2mxy Шг = а>²2тхуe 2mxz.

2)

Hiermit müssen die sämmtlichen äusseren Kräfte [K] und die Widerstände A und В im Gleichgewichte sein. In den vorstehenden Gleichungen erscheinen Summenausdrücke 2mxy und 2mxz\ um sie zu erhalten, muss man jedes Massentheilchen m mit zweien seiner Koordinaten xy bezw. xz multipliciren und die Glieder dann summiren. Diese Ausdrücke sind von demselben Grade, derselben Dimension, wie die Trägheitsmomente J = 2mg² und heissen Centrifugalmomente = C. Wir wollen 2mxy und 2m xz von einander unterscheiden, indem wir neben C als Zeiger diejenige Ordinate setzen, welche in den Summen nicht vorkommt, mithin 2mxy = Cz ; 2mxz — Cy.

Im Allgemeinen sind die Ergänzungskräfte von oj und e abhängig, so dass auch die Widerstände der festen Achse sich mit со und e ändern. Geht aber die Drehachse durch den Schwerpunkt, so dass y₀ = z₀ = 0, und sind ausserdem die Centrifugalmomente Cy und Cz gleich Null, so werden ausser X=0 auch Y=Z =    = 0, und es bilden die Kräfte [—mp] nur ein

Aus den Gl. 1 verschwinden dann, abgesehen von = — eJxy sämmtliche von со und £ abhängigen Glieder, so dass die Widerstände A und В der festen Achse sich ebenso berechnen lassen wie für den ruhenden Körper. Bilden unter dieser Voraussetzung die bewegenden Kräfte [K] ein Kräftepaar 5Ш, dessen Achsenstrecke (S. 109) die Kichtung А X hat, so ist dies mit dem berechneten = — £ Jx im Gleichgewichte. Weil die Normalwiderstände A und В der Achse zu dem treibenden Momente nichts beitragen, die Kräfte [—mp] sich aber in jeder anderen Beziehung aufheben, so müssen in diesem Falle die Widerstände A und В der festen Achse verschwinden. Die Achse bedarf dann gar keiner Befestigung, der Körper führt seine Drehung um die unbefestigte Achse so aus, als wäre sie fest. Eine solche Achse nennt man deshalb eine freie Achse. Da die sämmtlichen äusseren Kräfte [Ä7], A und В mit [—mp] im Gleichgewichte sind, so kann man den Satz aussprechen:

Dreht sich ein Körper um eine freie Achse, so setzen sich sämmtliche äussere Kräfte an demselben lediglich zu einem Kräftepaare zusammen, dessen Achsenstrecke mit der Drehachse zusammenfällt, heben sich aber in jeder anderen Beziehung auf; die Normalwiderstände der Drehachse sind von der Geschwindigkeit und Beschleunigung unabhängig.

Ist die Drehung eine gleichförmige (e = 0), so bestehen die Kräfte [—mp] nur in den Centrifugalkräften, deren Zusammensetzung liefert (Gl. 1)

X= 0 Y — MyQco2 Z = Mzyaw²

3R. = 0

äfty = — со² Cy Wz = ÜJ²CZ.

Hiermit müssen wieder die äusseren Kräfte im Gleichgewichte sein. Weil nun zur Zusammensetzung der Centrifugalkräfte die Summen C nöthig sind, so erhielten diese den Namen „Centrifugalmomente“.

Ist einem Körper eine Drehbewegung um eine feste Achse ertheilt und setzt er diese ohne weitere Einwirkung von Kräften К fort, so müssen die Widerstände A und В mit den Kräften der Gl. 3 im Gleichgewichte sein. Diese Widerstände sind durch die Winkelgeschwindigkeit bedingt und verschwinden mit dieser. Ist aber die Drehachse eine freie Achse, so heben sich die Centrifugalkräfte vollständig auf, und es werden auch keine Achswider-stände nöthig; die Drehung setzt sich um die unbefestigte Achse fort, als wäre dieselbe festgehalten. Man kann daher sagen, eine freie Achse für einen Körper ist eine solche, in Bezug auf welche die Centrifugalkräfte sich aufheben.

Fig. 362.

-X

—x_

Fig. 363.

■©—f-

Einige Bedingungen für eine freie Achse. Die Centrifugalmomente Cy und Cz werden gleich Null, wenn der Körper rechtwinklig zur Drehachse AX eine Symmetrie-Ebene hat; wählt man diese nämlich zur yz-Ebene (Fig. 362), so entspricht jedem Massentheilchen mit positivem x ein gleiches mit negativem x, so dass in 2'mxy und 2Jmxz stets je zwei gleiche, sich aufhebende Glieder + mxy und — mxy bezw. + mxz und —mxz Vorkommen. Geht ausserdem noch die Drehachse durch den Schwerpunkt, so ist AX eine freie Achse. Hiernach ist für einen gleichartigen Körper von der Form eines geraden Prismas oder Cylinders die Verbindungsgerade der Schwerpunkte der Endflächen (Fig. 363) eine freie Achse.

Ferner ist AX eine freie Achse, wenn man durch sie zwei rechtwinklig zu einander stehende Symmetrie-Ebenen legen kann. Wählt man diese nämlich zur л??/-ЕЬепе und zur д?2-ЕЬепе, so liegen je zwei Massentheilchen mit + у und mit —у einander gegenüber, deren eines den Beitrag + mxy, deren anderes den Beitrag —mxy liefert, so dass Cz — О wird; ebenso Cy — 0.

Cg—*/

мУо<°*

M!lo.

Eingehendere Rechnungen zeigen, dass jeder noch so unregelmässige Körper mindestens drei zu einander rechtwinklige freie Achsen hat.

Andere Arten der Zusammensetzung der Ergänzungskräfte.

Fig. 364.

Trennt man in Gl. 1 die durch den Anfangspunkt A gehenden Kräfte Y und Z in diejenigen Theile Y₁ = My₀co² und Y₂ = Mz₀£ bezw. Zl = Mz₀co² und Z₂ = — My₀e, welche allein von со, bezw. von £ abhängen (Fig. 364), so lassen sich nunmehr Y, und Zi wieder zusammensetzen zu einer Mittelkraft

Yl Y₂

4₂

Ą = Jfco² У ?/₀² + z₀² = M<o°-e,

wenn e die Entfernung des Schwerpunktes von der Drehachse bedeutet. Diese Kraft ist parallel mit der Richtung jenes rechtwinkligen Abstandes e.

Y₂ und Z₂ geben in gleicher Weise eine Mittelkraft li₂ =

, die zu recht

Fig. 365.

winklig und, dem nne nach, der Umfangs- 4- ——x beschleunigung des Schwerpunktes entgegen- / gesetzt ist.

Vereinigt man die Kraft Y der Gl. 1 mit der Kräftepaar

achse 5Ш-, so ergiebt sich aus beiden eine Kraft von derselben Grösse Y — My^o)² Ą- Mzq£, welche von A

aus um

Fig. 366.

•'z

5)

Y My₀a)² -j- Mz₀£

im Sinne der positiven x-Richtung parallel verschoben ist (Fig. 365).

<:----®------>

6)

Vereinigt man ebenso Z mit so erhält man eine gleiche Kraft Z=Mz₀со²—My₀£, welche um

— ж

üj‘²Cy — £Cz

Fig. 367.

MzqCO ²— A/3/0 £

im Sinne der positiven x-Richtung parallel verschoben ist (Fig. 366). Auf diese beiden im *

Raume sich rechtwinklig kreuzenden Kräfte ist mithin die Gruppe [—mp] auch zurückzuführen.

Im Falle der gleichförmigen Drehung (£ = 0) vereinfachen sich diese Ergebnisse in der Weise der Fig. 367.

Beispiel 1 : Eine als materielle Gerade aufzufassende Stange von der Länge а schwinge unter Einwirkung der Schwere um eine durch den Endpunkt A gelegte wagerechte Achse (Fig. 368). Die Bewegung möge von der wagerechten Lage ausgegangen sein. Hier liegt ein Fall vor, wo C,, und Cz Null sind, weil A YZ eine Symmetrie-Ebene für die Stange ist. Die Drehachse ist J aber keine freie Achse, weil sie nicht durch den Schwerpunkt geht. In einer beliebigen Zwischenlage ist = e sin ?9 ; z₀ = e cos &, wobei e = J/2 a ’> ferner ist Jx = V³ M à² ; und für die Winkelgeschwindigkeit w und Beschleunigung e in der beliebigen Zwischenlage gelten:

V* JxoA = Mg zn,

2 Mgz₀_3 g cos »9

(nach S. 271)

О)² =

j*

Fig. 368.

FM

j<-

\Х/

Mge sin ?9_ 3 g sin »9

~ "2 « '

Die Kräftegruppe [—mp] liefert hiernach (Gl. 1, S. 292)

JX = 0;

Y =

Hi frx

(nach S. 280)

Ma

3 g sin >9 ¥ ~~a

3 g cos ?9 . Ma

cos »9

+■ ~T

9    9

= — Mg sin ?9 cos # = 4 Mg sin 2 ?9 ;

3 g cos »9

-g- sin »9

Ma

Ma . „ 3 q sin »9

--— sin »9 ^ ^-

2    2 a

Z — —— cos >9

2

=    (3 — 3 sin² ?9 — ^ sin² ?9) =    (3 + 9 cos 2 ?9) ;

OU* = ‘A Mg a sin r9 ;

anv = o; алг = о.

Mit diesen Kräften müssen die Schwerkraft Mg und die Widerstände der Drehachse im Gleichgewichte sein. Letztere brauchen in diesem Falle, weil 9J1(/ und = 0 sind, nur in dem Punkte A der Achse anzugreifen-, mau zerlege sie in V und H. Dann muss

9

Y = — Mg sin 2 »9 sein ebenso Mg — V — — Z = — '/s Mg (3 + 9 cos 2 »9)

d. h. V = V» Mg (114-9 cos 2 »9).

Der wagerechte Achsenwiderstand H ist für # = 90°, d. h. in der Anfangslage gleich Null, ebenso in der tiefsten Lage für t9 = 0 ; am grössten wird er für »9 — 45°, nämlich Hmax = ⁹/⁸ Mg.

Der lothrechte Widerstand ist

für ?9 = 90 ⁰ : V = ¹/ł Mg, für t? = 45 ⁰ : V = n/e Mg 1 für »9 = 0:

Vmax = bhMg.

Diese Grösstwerthe von H und V sind im Verhältnisse zum Gewicht Mg des Stabes erheblich. Die Kraft H wirkt abwechselnd bald nach links, bald nach rechts, je nach der Lage des schwingenden Körpers. — Von besonderer Wichtigkeit sind diese Kräfte, wenn der schwingende Körper eine schwere Glocke ist. Die Achswiderstände H und V müssen dann von dem sog. Glockenstuhle ausgeübt werden. Der fortwährende Wechsel des Sinnes der Kraft H ist für den Thurm besonders gefährlich. Der Rechnungsgang ist im Wesentlichen derselbe wie in dem vorliegenden Falle. — Wurde die Stange in der Anfangslage (i9 = 90°) am linksseitigen Ende etwa unterstützt, so war im Ruhezustände V =7²Mg-, durch plötzliches Loslassen des Endes verändert sich V auf ’/4Mg. — Weitere Beispiele sollen sich auf gleichförmige Drehung beziehen. Beispiel 2 : Eine materielle Gerade A C (Fig. 369) drehe sich gleichförmig eine Achse AB\ der Punkt A sei unmittelbar, der Punkt G mittels einer gewichtlosen Stange c mit der Achse verbunden.

Die Projektionen der Stange seien a und c. Da der Körper ein ebenes Gebilde, so lege man AGB in die æy-Ebene, dann ist y₀ — x/iC-,

Zq = 0; ferner wird Imxz = Cv — 0, weil sämmtliche z-Werthe Null sind. Die Zusammensetzung der sämmtlichen Centrifugalkräfte beschränkt sich daher nach Fig. 367 auf eine Einzel-

um

A<

4-

Fig. 369.

\C

~x

<7

C,

rechts von A liegend. Ein Massentheilchen von der Länge ds hat die Masse m = -~F-ds,

kraft Y = My{to)² — ¹/*2 31 со)², im Abstand и

Що

F der Querschnitt des Stabes, y die Dichte. Man kann aber bei der

wenn

Berechnung von и die selbstverständlichen Faktoren Fy:g fortlassen, wenn = ds und ebenso M=s = der Länge der Stange setzt. Das Theilchen liefert zu Gz den Beitrag ds-xy, was wegen y — xc:a und ds = dx ■ s : а

man m

geschrieben werden kann :

mxy = Tg

ж² d X.

C₂ = -mxy

8cC\,    1

— — yx²dx — -g- sca .

» 0

Daraus folgt

Weil nun nach Obigem My₀ = ¹/ics, so wird и = ²/за.

Derartig einfache Fälle kann meinen Formeln unmittelbar behandeln. Dem Theilchen ds entspricht die Centrifugalkraft ds - уш“• Die Mittelkraft В der Centrifugalkräfte ist die Summe der gleichgerichteten Kräfte [ds-yot²], mithin

B = (U²S ds • у = w²sy₀ — l0²Sl/2C = ¹/2 Mw²c.

man

auch leicht ohne Anwendung der allge-

Nach dem Satze der Momente wird dann in Bezug auf A:

C    c

— w² yls-xy = w²s—j

Ru

i<a

\ X² (l X,

• ii

d. h. V²sca)²u=4ao)²sca, wonach и — ²/за.

Fig. 370. ±M<o ct k

Dass die Kraft ViMw²c durch den Schwerpunkt des Dreiecks ABC (Fig. 370) geht, folgt auch daraus, dass man die Theilkraft ds-yw² schreiben kann

= W² — у • dx,

d. h. proportional dem Flächenstreifen у ■ dx des Dreiecks.

Wirken nun auf die Stange keine he- А wegenden Kräfte [K\, so müssen die etwa in A und В angreifenden Achsenwiderstände mit R ^ im Gleichgewichte sein. Daher wird

А = Va R — ¹/в Mw* с ; В — ²/з R = Va 1Ь² с.

Steht die Drehachse AB lothrecht und wirkt die Schwere auf die sich

drehende Stange (Fig. 371), so müssen die Schwere Mg und die Widerstände A und В zusammen mit R— l/iMw²c im Gleichgewichte sein. X = 0 erfordert, dass etwa in A ein lothrecht aufwärts gerichteter Widerstand Ax — Mg wirke. Es ist ferner in Bezug auf В:

Fig. 371. Aj-rRgk

d. h.

--2~ Mw²c — + Ay a — Mg ,

.    ^_ c . Mau² Mac /1    , ui²\

A’-=M'ra ⁺ — —i\T + bÿ

und ebenso By

Mgc

(~i+T )

Es wird der Widerstand В,, — 0 für <»² =

unter dieser Bedingung bewegt sich die Stange als

Mg

A Ay

'er

_L42

В

ein physisches Kegelpendel; d. h. nicht durch einen Stab BC, sondern nur in Folge der Drehung wird der Winkel a unverändert erhalten. Für das

fltg «_ gc _ g

mathematische Kegelpendel (S. 69) war w²

ac

Fig. 372.

Beispiel 3: Der sich gleichförmig um die Achse AB drehende Körper sei eine materielle Dreieckfläche ABC (Fig. 372).

Alle

Dann ist, wenn man die Masse der Flächeneinheit = 1 setzt, M=lhac, y₀ = Vac, mithin die gesammte Centrifugalkraft R = ¹/зМсш² im Abstand и von A. Um Сг — 2тху zu bestimmen, bedenke man, dass Сг= J dx ■ dy ■ xy.

Theilchen eines lothrechten Flächen Streifens haben übereinstimmendes x und dx Cz den Beitrag xdx\y-dy, — xdx ¹ /2w-, wenn w die Höhe

Fig. 373.

liefern daher zu

des Streifens; darin ist iv = cx:a, also wird

1    t*²

Сг“1 7

Г

\xsdx =

*-'0

~8

c²a² =

— Mac. 4

A,

Mg

Cz

¹/iMac U = My~₀ ⁼ ~/ЖГ Die entsprechenden Achsenwiderstände werden dann A —    = V¹² Mcw- und

В = ³/4 В = V⁴ Mcw².

Stellen wir wiederum die Drehachse lothrecht

Mithin nach Fig. 367

'A/\a.

(Fig. 373) und lassen die Schwere wirken, so sind in A und В die wagerechten Widerstände A,t und By nöthig, für welche gilt:

V4 a B = Ay a — Mg 7ч с,

mithin Ay — V* -R + V³ Af<jr    und ebenso By = ³/4 i? — ,/з Alg .

Wiederum wird die Befestigung bei -B unnöthig, wenn

³/4 .R = V« Mcw- — '/зМд — , d. h. für w² =

Oi l

7. Gleichzeitige Verschiebung und Drehung eines Körpers.

a) Arbeitsvermögen.

Ein Körper drehe sich um eine Schwerpunktsachse, die zur x-Achse gewählt werden möge, mit der Winkelgeschwindigkeit со; zugleich werde die Achse mit einer der xz-Ebene parallelen Geschwindigkeit и parallel verschoben, und zwar möge и mit der x-Richtung den Winkel a bilden (Fig. 374). Dann setzt sich die gesammte Geschwindigkeit v eines Punktes der Koordinaten x, y, z im Abstande q von der Achse aus den Einzel- л geschwindigkeiten и und qco zusammen.

Fig. 374 stellt das Achsenkreuz in zwei Projektionen dar. Bildet q mit der A Y den Winkel $, so ist Qcosd = y, £>sin# = ,s; somit zerlegt sich qco in —zco und yco. Die Seitengeschwindigkeiten eines Punktes nach den Achsenrichtungen werden dann

vz — yco + г* sin oc.

v x = u COS а ;

Vy — — zco;

Fig. 374.

Daher wird

V² = w²cos²a + z²со² -j- y-ù)'¹ + 2 ycju sin a -f- w²sin²a = u² -f- q²co² + 2yùiu sin а.

Das Arbeitsvermögen des Körpers ergiebt sieb dann zu

A(¹/2mv²) — l/2 Mu² + l/2C0² 2'mg² -f- cou sin я.2ту, weil и, и) und а für alle Theile des Körpers dieselben. Da aber die Ebene AXZ den Schwerpunkt enthält, so ist Imy = 0 (S. 127), mithin das Arbeitsvermögen

V2Mu² + l/2JCü²,

wenn J das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die Drehachse. Das Arbeitsvermögen setzt sich hiernach aus zwei Theilen zusammen, deren einer das Arbeitsvermögen wegen der Verschiebung, deren anderer dasjenige wegen der Drehung bedeutet.

b) Bewegung eines freien Körpers.

Wirken an einem freien starren Körper beliebige äussere Kräfte

AT₂,

K₃ . . ., so füge man im Schwerpunkt S des Körpers je zwei gleiche entgegengesetzte Kräfte К hinzu. Dann lassen sich im Schwerpunkte die den gegebenen gleichgesinnten Kräfte К zu einer Mittelkraft В vereinigen, während jede gegebene Kraft К mit der entgegengesetzt hinzugefügten ein Kräftepaar bildet, deren Achsenstrecken ein Gesammtmoment ÜJÎ (S. 112) liefern. Der Schwerpunkt S bewegt sich nach dem Satze von der Bewegung des Schwerpunktes nur unter Einwirkung der Kraft В mit der Beschleunigung p₀ — B:M. (Wäre etwa В unveränderlich nach Grösse und Richtung, so würde der Schwerpunkt eine Parabel beschreiben, S. 59.) Das Achsenmoment 5Ш bewirkt aber noch eine Drehung um den Schwerpunkt. Denkt man sich nun mit dem Schwerpunkt ein Achsenkreuz verbunden, welches dessen Bewegung völlig mitmacht, aber stets der Anfangslage parallel bleibt, so kann man die Drehung des Körpers auffassen als scheinbare Bewegung gegen dieses, mit der Beschleunigung pQ sich verschiebende Achsenkreuz. Diese Bewegung kann dann betrachtet werden wie eine Drehung um den festliegenden Schwerpunkt, wenn man an allen Punkten des Körpers die entsprechenden Ergänzungskrälte [—mp₀\ anbringt. Weil diese sich gleichmässig über die ganze Masse vertheilen, so liefern sie eine Mittelkraft —Mp0t die durch den

Schwerpunkt geht, daher auf die Drehung um ihn keinen Einfluss haben kann. Die Drehung geschieht also gerade so, als ruhte der Schwerpunkt

Ist nun die durch den Schwerpunkt gelegte Achsenstrecke des Gesammt-Kräftepaares 3R eine freie Achse und hat der Körper anfänglich keine Drehung um eine andere Achse, so wird die Drehachse ihre Richtung im Raum und im Körper nicht ändern, und der Körper wird sich um diese Achse des Gesammt-Kräftepaars SR gerade so drehen, als wäre sie eine festgehaltene Achse. Denn, hielte man sie thatsächlich fest, so würden die Widerstände des Festhaltens wegen dieser Eigenschaft der freien Achse (S. 293) zu Null werden. Die Drehung um diese Achse erfolgt dann mit der Winkelbeschleunigung £ == SR : J (S. 280, Gl. 2). — Dies trifft zu für eine gleichartige Kugel unter Einwirkung beliebiger aber gleichbleibender Kräfte, wenn sie zu Anfang keine Drehbewegung um eine andere Achse als die Achse des Gesammtmomentes SR hatte. Der Schwerpunkt beschreibt eine Parabel; die Achse SR verschiebt sich mit dem Schwerpunkte und bildet, weil jeder Durchmesser eine freie Achse ist, fortwährend die Drehachse für den Körper. — Ist aber die Achse SR durch den Schwerpunkt keine freie Achse, oder ist zu Anfang schon eine Drehung um eine andere Achse vorhanden, so ändert die Achse, um welche die Drehung geschieht, fortwährend ihre Richtung im Körper und im Raum; es entsteht neben der Bewegung des Schwerpunktes, die hiervon nicht berührt wird, im Allgemeinen eine unregelmässig wirbelnde Bewegung um den Schwerpunkt, die so verwickelt ist, dass sie an dieser Stelle nicht weiter behandelt werden soll; man kann solche Bewegung beobachten, wenn man einen Stab so fortwirft, dass er eine Drehung um eine schief zu ihm liegende Achse mit auf den Weg bekommt. Wird ein Stab (Speer oder Ger) in der Mitte erfasst und in wagerechter Lage so fortgeworfen, dass er keine Drehung auf den Weg bekommt, so beschreibt sein Schwerpunkt — abgesehen von der Wirkung des Luftwiderstandes — eine Wurfparabel; die Stange erfährt, weil 9R = 0 ist, keine Drehung, sondern bleibt immer ihrer Anfangslage parallel, stellt sich aber nicht etwa tangential zur Wurf linie. Anders ist es mit einem gespitzten und gefiederten Pfeile; dieser wird durch den Luftwiderstand stets so gedreht, dass seine Längenrichtung ziemlich tangential zur Wurflinie sich stellt.

c) Rollbewegung auf schiefer Ebene. Fuhrwerke.

Fig. 375.

(O

Bewegung ohne Berücksichtigung des Rollwiderstandes. Hat ein Umdrehungskörper eine Winkelgechwindigkeit со rechtsherum um seine geometrische Achse und wird er gleichzeitig rechtwinklig zur Achse mit der Geschwindigkeit v — reo nach rechts verschoben, so setzen sich die Geschwindigkeiten der verschiedenen Punkte eines Kreises vom Halbmesser r aus den Einzelgeschwindigkeiten reo rechtwinklig zum Drehungshalbmesser und и = rto zusammen. An dem Punkt A (Fig. 375) ist dann die Gesammt-geschwindigkeit v = Q. Bringt man den Körper an dieser Stelle mit einer Ebene in Berührung, welche mit и und der geometrischen Achse des Körpers parallel ist, so wird der Umdrehungskörpers sich gegen diese Ebene in der Art bewegen, dass die Berührungsstelle fortwährend wechselt, dass an der Berührungsstelle aber stets die relative Gleitgeschwindigkeit Null ist. Eine solche Bewegung nennt man eine Rollbewegung. Andere, ebenfalls aus Drehung und Verschiebung zusammengesetzte Bewegungen, bei denen aber die Bedingung reo = и nicht erfüllt ist, erscheinen äusserlich ebenfalls wie Rollbewegungen, sind es aber nicht, sondern sind, weil an der Berührungsstelle die relative Gleitgeschwindigkeit nicht gleich Null, Gleitbewegungen sich drehender Körper auf einer Ebene. Für die Kräfte und damit auch    für    die Gesetze    der    Bewegung ist    es von    mafsgebender

Bedeutung, ob die Gleitgeschwindigkeit an der Berührungsstelle Null    ist,    oder nicht.    Im    ersteren Falle    kommt    nämlich die

Reibung im Allgemeinen mit einem Betrage T <fN zur Wirkung, während, wenn и nur im Geringsten von reo abweicht, der volle Betrag der Reibung fN wirksam wird.

An dieser Stelle behandeln wir die reine Rollbewegung und werden die Gleitbewegung S. 314 besprechen.

Das Arbeitsvermögen der Rollbewegung ist nach S. 300 7-2Mu- + xhieolJ, oder, wenn /jl die auf den Halbmesser des Rollkreises r bezogene Masse (wegen reo —и):

1)

72 (M+ ju) u\

Wird ein Umdrehungskörper (Cylinder, Reif oder Kugel) mit der Geschwindigkeit Null auf eine schiefe Ebene gesetzt und lediglich der Einwirkung der Schwere Mg und des Normalwiderstandes N der Ebene überlassen, so würde er unter Annahme völliger Glätte nicht in Drehung gerathen können, weil Mg und N beide durch den Schwerpunkt gehen ; es würde der Körper also eine beschleunigte, rein fortschreitende Gleitbewegung ausführen. In Wirklichkeit setzt sich ein Reibungswiderstand T dem Gleiten entgegen, und wenn dieser in der erforderlichen Grösse zur Wirkung gelangen kann, so wird er das Gleiten verhindern und eine Rollbewegung erzeugen. Unter welchen Bedingungen dies geschieht, bleibt noch zu untersuchen. Daher setzen wir zunächst voraus, dass eine vollkommene Rollbewegung stattfinde, welche entweder durch Reibung erzeugt, oder durch einen um den Rollkreis geschlungenen, von A aus auf der Ebene nach oben hin gerade gestreckten und an ihr befestigten Faden, oder endlich durch eine Verzahnung von Rollkreis und Bahn erzwungen werde. Dann wird durch eines dieser Mittel die für das Rollen erforderliche Umfangskraft T geliefert.

Fig. 376.

tr

HP

Beginnt die Rollbewegung mit der Geschwindigkeit Null und ist die Geschwindigkeit des Schwerpunktes, nachdem dieser um h gesunken, v geworden (Fig. 376), so ist die Zunahme an Arbeitsvermögen Vo (M+ju)v². Arbeit wird nur von der Schwere im Betrag Mgli verrichtet, denn N und T greifen an der Berührungsstelle A an, deren Geschwindigkeit Null ist. Hiernach muss '/2 (M + ,u) v- — Mgli sein, oder

2)

2gh

м-4

Will man die Bewegung in ihren Einzelheiten kennen lernen,

Fig. 377.

so muss man die Beschleunigungen beider Einzelbewegungen berechnen. Zerlegt man Mg in MgsinoL und Mg cosa (Fig. 377), so muss

N¹

r'

3)

N = Mg cos а

sein, weil der Schwerpunkt sich geradlinig bewegt, d. h. keine Centripetalbeschleunigung erfährt (S. 67). Die Beschleunigung;? des Schwerpunktes erhält man nach S. 144, indem man T an den Schwerpunkt

s**

T h.

W”

verschoben denkt, mithin ist Mp — Mg sin а—T. Weil T noch unbekannt, ist eine zweite Gleichung erforderlich. Da in jedem Augenblick reo = v, so muss das gleiche Verhältnis auch für die Beschleunigungen gelten, d. h. re—p. Weil nun die Umfangsbeschleunigung r£ = p von T herrührt, so ist nach Gl. 4, S. 281:

4)

fip = T.

Führt man dies in obigen Ausdruck für Mp ein, so ergiebt sich schliesslich

5)

M g sin а _ g sin а

P — MĄ p ~ ~

1+4!

d. h. die treibende Seitenkraft der Schwere Mg sin а ist nicht allein durch die Masse M, sondern durch die Summe MĄp zu theilen, da sie nicht nur die fortschreitende Masse M, sondern zugleich die Schwungmasse p zu beschleunigen hat (vgl. S. 289).

Hiermit ist auch die Umfangskraft T bestimmt (Gl. 4) zu

6)

T— pp =

p Mg sin а    M g sin а

</Mg cos а.

Soll nun die Kollbewegung allein durch die Reibung, ohne sonstigen Zwang, gesichert sein, so muss T<f N—f Mg cos а sein, oder p Mg sin а

MĄ- p

Das giebt, nach а aufgelöst:

7)

Genügt die Neigung der schiefen Ebene dieser Bedingung, so ist Rollbewegung möglich. Bei zu grosser Neigung ist /Jf^cosa zu klein, um die der grossen Schwerpunktsbeschleunigung p entsprechende Umfangsbeschleunigung zu erzeugen; es wird dann eine Gleitbewegung entstehen.

Natürlich ist die betrachtete Rollbewegung nur möglich, wenn die Wirkungsebene der Kräfte N und T durch den Schwerpunkt geht. Es findet dies statt beim Cylinder, beim Reif, bei der Kugel; nicht beim Kegel, wohl aber bei einem Doppelkegel und allgemeiner bei jeder Achse, auf der zwei symmetrische Umdrehungskörper als

Räder befestigt sind. Da beim dünnen Reif ju = M, beim Cylinder fx — J/2 M, bei der Kugel ja = 0,4 M (S. 276 u. 277), so wird

für den Reif:

V = 0,707 V%gh — V^gh; p = х/чд sina; T— V2 Mgsinn; tg a < 2/; für den Cylinder:

V    = 0,817 V 2gh; p = ²/з <7 sin a ; T— О.з Mgsin a; tga<3/; für die Kugel:

V    = 0,8451^2^ Л; jp = ⁵/⁷ ^ sin a ; T— ²/i Jf^sina; tga<3,5/. Dagegen würde für reibungsloses Gleiten gelten

V — V2 glv, p—g sinn.

Reif, Cylinder und Kugel, auf schiefer Ebene neben einander los gelassen, bewegen sich hiernach mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Die Kugel eilt am meisten; u. zw. sind dabei die Durchmesser ohne Einfluss; nur auf die Form der Körper kommt es an. Hierbei wurde kein Rollwiderstand vorausgesetzt, der natürlich die Ergebnisse ändern muss.

Fig. 378.

•в»

Wird der Körper in eine aufwärts gerichtete Rollbewegung versetzt und der Schwere überlassen, so könnte man auf den ersten Blick vielleicht meinen, der Sinn der Reibung T müsste mit der Umkehrung der Bewegung sich ebenfalls umkehren. Dies wäre jedoch ein Trugschluss, denn an der Berührungsstelle findet ja weder in der Richtung aufwärts, noch abwärts ein Gleiten statt, mag der Körper aufwärts oder abwärts rollen. Dass vielmehr T beim Aufwärtsrollen denselben Sinn behalten muss wie beim Abwärtsrollen, erkennt man aus Folgendem: Beim Aufwärtsrollen wird die Arbeit der Schwere negativ, somit muss die Bewegung des Schwerpunktes verzögert sein, und Gleiches folgt hieraus für die Drehbewegung.

Jf'

Щу

$10

Damit aber die einzige Drehkraft T beim Aufwärtsrollen eine Verzögerung der Drehung erzeuge, muss sie (Fig. 378) aufwärts gerichtet sein. Da nun die Kräfte jetzt genau dieselben sind wie beim Abwärtsrollen, so gelten auch für p, T und tg a dieselben Gleichungen wie beim Abwärtsrollen.

•JO

Keck, Mechanik I.

Я,

I-i

wenn die Bewegung bei A mit der Geschwindigkeit Null begann. Bei einem mathematischen Pendel von der Fadenlänge R würde

= У 2 gR (cos »? — cos a) sein.

Die Vertauschung des einfachen Pendels mit einem hin und her rollenden Körper ist also (wegen der Verkleinerung der Beschleunigung des Schwerpunktes, S. 304) gleichbedeutend mit einer Ersetzung der Fallbeschleunigung g

durch den kleineren Werth g : |l    mithin wird die Dauer einer kleinen

einfachen Schwingung sein 8)

Fig. 380.

Geschieht die Rollbewegung nicht auf einer schiefen Ebene, sondern im unteren Theil einer Cylinderfläche vom Halbmesser R -(- r mit wagerechten Erzeugenden (Fig. 379), so ist die Geschwindigkeit des Schwerpunktes in der Zwischenlage P nach der auch hier gültigen Gl. 2 (S. 303)

Fig. 379.

-1^-i

2 g В (cos »? — cos ot)

'+£

PO

ćL

Л6Л

/ tf

fl' !

Bewegung der Fuhrwerke mit Berücksichtigung des Rollwiderstandes. Tragen die auf schiefer Ebene rollenden Räder von der Gesammtmasse M ein Fuhrwerk von der Masse Mx, welches nur an der Verschiebung mit der Beschleunigung p Theil nimmt, so denkt man sich zur Berechnung der letzteren die Masse Mx zunächst an der Achse des rollenden Körpers reibungslos aufgehängt. Die Gelenkstange zur Aufhängung nimmt dann im relativen Ruhezustände gegen die Achse des rollenden Körpers eine Richtung an, welche von der Rechtwinkligen zur schiefen Ebene um einen Winkel ß abweicht (Fig. 380). Nennt man die Spannkraft der Stange, die zugleich den Druck auf die Achse bedeutet, Z>, so müssen D und ß so bestimmt werden, dass Ml die Verschiebungsbeschleunigung p erfahre. Ersetzt man die Stange durch die Kraft D und zerlegt die an Mx wirkenden D und Mxg

parallel zur schiefen Ebene und rechtwinklig dazu (Fig. 381), so wird Z>cosß = Jf^cosa, ferner Myp — Mxg sina — D sin >5 oder D sin ß — My g sin a — My p. Daraus folgt

9) D

tg ß = tga--£-

g cos a

Fig. 381.

-Jfi,y l_2sin«£ + (P)⁸.

An dem rollenden Körper M wirken nun die in Fig. 382 angegebenen Kräfte, wo 5Ш das ^ gesammte, aus Zapfenreibung und Rollwiderstand herrührende Moment bedeutet. Nach S. 256 ist

= V² Dfd -f Ne, wenn d der Zapfendurchmesser, e der Arm des Rollwiderstandes. Dann gilt für die Beschleunigung p des Schwerpunktes

a\

Mi9

Mp = Mg sin a + D sin ß — T oder 10) Mp — Mg sina Л-Mxg sina — Myp — T; und für die Umfangsbeschleunigung der Drehung nach S. 281

Fig. 382.

3»

JLip = T--—-, oder

JL\j

Dfd . Ne

"cos er

D cos ß

T— fxp +

wenn R der Halbmesser des Rollkreises.

Setzt man dies in Gl. 10 ein, so ergiebt sich

(M + My + ju)p — (Mg -f Myg) sin а —

Diese Gleichung ist nach p nicht ohne Weiteres aufzulösen, weil in D nach Gl. 9 die Grösse p ebenfalls noch vorkommt. Für alle wichtigen Fälle aber, in denen ein Fuhrwerk frei läuft, ist а und daher auch p:g nur klein im Verhältnisse zu Eins, so dass man mit genügender Annäherung D = My g setzen kann. Mithin wird der Zapfenreibungswiderstand Mvgfd: (2R), und, weil N= (M My)g cos a, der Rollwiderstand (M4- My)g cos а • e : R, wobei für schwache Neigungen cos а mit Eins vertauscht werden darf.

Führt man aber, wie S. 258, wiederum die Gleichgewichts-Neigung a₀ ein, welche so beschaffen, dass, wenn а = а₀, p = 0 ist, so wird die Summe der beiden Widerstände wieder gleich mit

2 R ⁺ R'

Dfd

Ne

(M J/j)^sin a₀, und wenn man dann noch, wie früher (S. 257), sin a mit а vertauscht, so entsteht

И)

(M + J/j + fi)p — {M + Mx)g{ а — а₀), worin auf der linken Seite die Beschleunigung p mit der Summe der drei Massen multiplicirt erscheint, welche an der Beschleunigung p Theil nehmen (ebenso wie bei der Fallmaschine, S. 289).

Beispiel : Für einen Eisenbahnwagen auf schiefer Ebene sei Mg = 2000, Л/j<7 = 8000,    1000 kg, a= 1:200, a₀= 1:400. Dann wird, wenn

man auf beiden Seiten der Gl. 11 statt der Massen die Gewichte einführt,

11 000 p = 10000 g ■ 7*00 oder

440

= 0,023 m/sek».

Ohne Geschwindigkeit losgelassen, wird der Wagen in 10 Sekunden eine Strecke ¹/2_p£²=1,im zurückgelegt haben, innerhalb einer Minute aber 36 mal so viel, nämlich 39,6 ю. Der Wagen läuft auf dem Gefälle 1:200 unter Einfluss der Widerstände ganz so, als ob er widerstandslos sich auf einem um schwächeren Gefälle 1:400 bewegte.

d) Das Anhalten der Wagen einer selbstwirkenden Seilbahn, eines sog. Bremsberges.

Hat man beim Bau eines Einschnittes, beim Betrieb eines Steinbruches, Bergwerkes oder dergl. Erd- oder Steinmassen nach

Fig. 383.

So

PÖ

V.

wJ

einem tiefer gelegenen Orte zu befördern, so kann zu diesem Zweck eine Seilbahn benutzt werden. Auf dem einen Gleise fahrt ein

beladener Wagen W} hinab und zieht durch das Übergewicht der Ladung einen leeren Wagen W₂ auf dem anderen Gleise empor (Pig. 383). Jeder Wagen ist zu dem Zweck an einem Drahtseil (5, und S₂) befestigt, und beide Seile sind derartig um eine am oberen Ende der Bahn gelegte Seiltrommel T geschlungen, dass die Bewegung in der gewünschten Weise vor sich gehen kann.

Zur Regelung der Geschwindigkeit und zum Anhalten der Wagen dient eine mit der Seiltrommel verbundene Bremse В, deren längerer Hebel H durch ein Gewicht P niedergedrückt wird.

p₂.

Der Neigungswinkel der schiefen Ebene sei a; das beladene Fuhrwerk habe das Gewicht Mlg, die Schwungmasse seiner Räder und Achsen, d. h. ihre auf den Rollkreis bezogene Masse, sei /Uy ; für das leere Fuhrwerk seien die entsprechenden Grössen M₂g und Ein solcher Wagen habe auf einem Gleise, wie es in der Förderbahn liegt, ein Gleichgewichts-Gefälle a₀, d. h. Mig • a₀ stellt die Summe der Zapfenreibungs- und Rollwiderstände des Wagens vom Gewicht Mxg dar auf wagerechter Bahn (s. S. 258); dann wird der Gesammtwiderstand des Wagens auf der geneigten Bahn nur Jf^cosa-aQ betragen, weil der Wagen nur mit der Seitenkraft Ж^соз а auf das Gleis drückt. Soll das bergab laufende Fuhrwerk angehalten werden, so muss man ihm eine Verzögerung ertheilen, die einer aufwärts gerichteten Beschleunigung p{ gleichkommt. Im Sinne dieser Beschleunigung wirken an dem Wagen die Spannkraft Sy seines Seiles, sein Widerstand cosa* a₀, während die Seitenkraft M{gsina seines Gewichtes entgegengesetzt gerichtet ist. Da nun die Masse My des ganzen Fuhrwerks die Verschiebungs-Beschleunigung p{, die Schwungmasse ju{ der Räder die gleiche Umfangs-Beschleunigung erfahrt, so wird, wie in Gl. 10, S. 308

1)

(My + /Uy)py — Sy — My g (sin а — а₀ cos а).

Das aufwärts gehende leere Fuhrwerk M₂g erfahrt die gleiche Beschleunigung abwärts; gleichwohl möge dieselbe einstweilen zum Unterschiede p₂ genannt werden. In ihrem Sinne wirken M₂g sin а und der der Aufwärtsbewegung entgegen gerichtete Widerstand M₂g cos а • а₀; aufwärts wirkt die Spannkraft S₂ des an diesem Wagen befestigten Seiles; daher wird

2)

(M₂ + ß2)p-2 — Щ9 (sin а + а0 C0S а) — S₂.

(s. S. 237 und 240). An der Trommelachse entsteht ein Zapfenreibungsmoment Df-¹ /2d, wenn D der Zapfendruck, d der Zapfendurchmesser ist. Wegen der Seilsteifigkeit (S. 245) vermindert sich der Hebelarm der Spannkraft Sy, welche im Sinne der Drehungsrichtung der Trommel wirkt, von r auf»—e, während derjenige der Seilkraft S₂ sich von r auf r + e vergrössert. Ist Ô der Durchmesser des Seiles, so setze man (nach Gl. 3, S. 245) e — 6,5 <32 (alle Mafse in Metern). Die linksherum sich drehende Trommel muss beim Anhalten eine rechtsherum gerichtete Winkelbeschleunigung £ erfahren. Wird mit ju₃ die auf den Trommelumfang bezogene Masse der Trommel nebst Bremsscheibe, also mit ju₃r² ihr Trägheitsmoment bezeichnet, so ist (nach Gl. 2, S. 280)

6)    tx₃r²'£= (£4 — S₃)R — Sy (r — e) + S₂ (r + e) + Df • У2d.

Bezeichnet man nun die Umfangs-Beschleunigung r-£ der Trommel, welche gleich den Beschleunigungen py — p₂ der Fuhrwerke sein muss, zunächst mit p₃, so wird die hierfür erforderliche Band-Reibung

7)

Aus Gl. 1 und 2 folgen die Seilkräfte

Sy — My g (sin a — a₀ cos a) + (My + jUy) px ;

S₂ = M₂g (sin a-f a,, cos a) — (M₂ + ,u₂)p₂.

Sind S₃ und S₄ (Fig.

384) die Spannkräfte des Bremsbandes der mit der Trommel vom Halbmesser r verbundenen Bremsscheibe vom Halbmesser R, so erzeugt die Bandreibung an der sich linksherum drehenden Scheibe ein Widerstandsmoment

3)

4)

U»

Fig. 384.

Sj

,-r

Sà

:Д------а-

5)

(S₄ — S₃)JR== S₃(efa — 1)R = S₄

/“-1

/*

S₄ — S₃ = — |a₃^₃ + Sy — S₂ — (Sy + S₂)    — Df J .

Mit den Arm-Verhältnissen des Bremshebels (grosser Arm a, kleiner Arm b, rechtwinklig zu S₄ gemessen), ergiebt sich dann die erforderliche Belastung P am längeren Hebel zu

8)

P=S₄-

- = (Ä4-Ä₃)

/“

/“-1

Beispiel: Ein Bremsberg habe anf eine wagerechte Länge von 200m eine Höhe von 100™, dann ist

tga = 0,5; a = 26° 34'; sin a = 0,447 ; cos a = 0,894; seca = l,ii8, daher die schräg gemessene Länge 200 • l,ne = 224 m. Der leere Wagen wiege 2000 bg, der beladene 6000 Gleise und Fuhrwerk seien von solcher Beschaffenheit, dass das Gleichgewichtsgefälle oder die Widerstandsziffer a₀ = 0,oo8 gesetzt werden kann. Das Seil habe den Durchmesser <f = 2«n = 0,o2m und das Einheitsgewicht #=l,25kg/m, dann ist в = 6,5 • d² = 6,5 • 0,0004 = 0,0026 m.

Die Seiltrommel habe den Halbmesser r = 0,-s m ; die Bremsscheibe den Halbmesser J{ = 1,25 m.

Die Wagen sollen sich regelmässig mit einer Geschwindigkeit von 1 m/sek bewegen; der Sicherheit halber werde vorausgesetzt, es sei die Geschwindigkeit durch einen Zufall auf v = 2 m/Sek angewachsen und es müsse nun die Bewegung längs eines Weges von s = 2n zum Auf hören gebracht werden. Dann gilt für die dazu erforderliche Zeit t (s. S. 13):

v .    ,    .2«

— t oder t = — ;

v

somit beträgt die Verzögerung

also t = 2 sek; P — 1 m/sek2.

P~T~Ü’

Fig. 385.

rT

Die Fallbeschleunigung werde durchweg zu #=10 angenommen; die Schwungmasse der Bäder eines Wagens betrage цх = щ = 40 ; es wird a₀ ■ cos et = 0,oo8 • 0,894 = 0,oo7. Das Gewicht eines ganz abgewickelten Seiles beträgt 224 • 1,25 = 280 kg. Versteht man unter S, und S₂ die Spannkräfte der Seile an Stellen dicht neben der Trommel, so müssen diese den abgewickelten Theilen der Seile die gleiche Beschleunigung ertheilen wie den Fuhrwerken; diese Seilgewichte können also den Wagengewichten beigezählt werden, u. zw. gilt dies auch bezüglich der Widerstände.

Das Seil hängt nämlich nicht auf eine grosse Länge frei, weil die dazu erforderliche Höhe nicht vorhanden ist, es wird vielmehr, damit es nicht auf dem Boden schleife, durch Keibungsrollen unterstützt, welche es durch Beibung mitnimmt, ohne auf ihren Umfängen zu gleiten (Fig. 385).

Zum Mitnehmen ist eine Umfangskraft T erforderlich, für welche gilt (s. S. 228/9) Nf ■ V* di — T ■ Bi, wenn d₁ und 2 Bl Zapfen- und Rollendurchmesser bedeuten.

Mit f— 0,08 und 2.2?! = 10«^ wird dann P:JV=0,oo8, eben so gross wie a0 für die Fuhrwerke. Die Wagen sind offenbar am schwersten zu bremsen, wenn der volle unten, der leere oben ist; dann muss man also

M\(J = 6000 + 280 ; M.₂g = 2000 kg, daher if, = 628 ; M₂ = 200 setzen.

Hiermit wird Gl. 3

S, = 6280 (0,447 — 0,007) 4- (628 + 40) 1 = 2763 + 668 = 3431 kg als stärkste Zugkraft im Seile. Gl. 4 giebt:

S₂ = 2000 (0,447 + 0,007) — (200 + 40) • 1 = 908 — 240 = 668 4.

Die Trommel habe mit Einschluss des darauf befindlichen Seiles und der Brerasscheibe ein Gewicht von 1600 kg und eine auf den Abstand »• = 0,75 m bezogene Schwungmasse дя = 150. Der Zapfendruck D der Trommel wird wesentlich durch Sx + S₂ bedingt; die Vergrösserung, welche er noch durch das Gewicht der Trommel einschl. des aufgewickelten Seiles erfährt, kann wohl vernachlässigt werden, da dieser Vergrösserung noch eine Verminderung durch die Bremsbandkräfte $₄ und $₃ gegenüber steht und schliesslich der Einfluss der Zapfenreibung höchst unbedeutend ist. Daher werde D = SX -f- ^ = 4099 gesetzt; dann wird mit f— 0,os und 2r=10c2 aus Gl. 7:

0,™ f

1,25 \

SĄ - S₃

150-1 +3431 - 668 — 4099-

0,0026

0,75

4099 • 0,оз ^

\

= 0,6(150 + 3431 — 668 — 14 — 33).

Hieraus ist ersichtlich, dass die beiden letzten Glieder (Seilbiegungsund Zapfenreibungs-Widerstand an der Trommel) verschwindend klein sind. Es wird    = 0,6 • 2866 = 1720    .

Ist f = 0,]я die Beibungsziffer des Bremsbandes, а = 0,т.2- der umspannte Bogen, so wird J а = 2,21 ; sind noch а — 3,oo m und b — 0,os ra die Arme des Bremshebels, so giebt Gl. 8:

2,21

2,21 — 1    3

Für die gleichmässige Bewegung (mit jpx = p₂ —p₃ = 0), u. zw. in dem Augenblicke, wo der volle Wagen oben ist, also Mxg — 6000; M.₂g— 2000 + 280 beträgt, geben die Gleichungen 3, 4, 7 und 8:

(S’, = 6000 (0,447 — 0,007) = 2640 kg';

&2 — 2280 (0,447 + 0,007) = 1035 kg-,

0,0026 0,75

P= 1720 •

0,05

52,3 kg.

S₄ — S₃ = 0,6 J2640 — 1035 — (2640 + 1035) •

= 0,6 {2640 — 1035 — 13 — 29} = 938 kg; P„ = 938

2.21    0,05

1.21    3

- (2640+ 1035)

28,5 kg.

0,08 ^

10 f

Im Vorstehenden ist für die Bremse der ungünstigste' Fall angenommen, dass die Drehung der Trommel linksherum erfolgt, wobei von den Bremsbandkräften die grössere am Hebel angreift und von P hervorgerufen werden muss, während die kleinere vom Gestell aufgenommen wird. Bei Rechtsdrehung aber greift die grössere am Gestelle, die kleinere am Hebel an (vergl. S. 240). Bei Rechtsdrehnng wird also für das Anhalten

_J720_ Ъ_ _ 1720    0^ _ 52,з

+'a    . a

e — 1

für den Beginn der Bewegung

P' =

1,21

2,21

24 kg,

28,r.

Po'

13 kg.

938 P,or,

■ 1,21 ; 3

2,21

Es empfiehlt sich nun, ein Gewicht, welches das Mittel aus P₀ und P₀' ist, d. h. rund 21 kg, an dem Hebel dauernd zu befestigen. Soll dann die Trommel sich rechtsherum in Bewegung setzen, so hat der Wärter den Hebel mit 21 — 13 = 8 kg Kraftaufwand zu heben, während er bei der Linksdrehung den Hebel dauernd mit 28,5 — 21— 7,5 kg abwärts zu drücken hat. Das Anhalten aus der Rechtsdrehung erfordert ein Niederdrücken mit 24 — 21= 3 kg, dasjenige aus der Linksdrehung ein solches mit 52,з — 21 = 31,з kg, die der Wärter mit seinem Körpergewichte leicht auszuüben vermag.

Die Gleichungen 1 bis 7 lassen auch erkennen, was geschehen wird, wenn der Wärter des Bremsberges in dem Bestreben, die Wagen möglichst schnell anzuhalten, den Hebel einmal ungewöhnlich stark belastet. Dann entsteht eine grössere Verzögerung an der Trommel welle, und es kann in Folge dessen Vorkommen, dass das Seil des leeren Wagens spannungslos wird. Nach Gl. 2 wird S₂ = 0 für

Pi

3,8 m/sek * •

M₂g (sin a -j- а₀ cos «)

2000 (0,447 -r 0,007)

240

Bei der gleichen Verzögerung pv = 3,8 würde nach Gl. 3

S] = 6280 (0,447 — 0,007) 4 628 • 3,3 = 5153 kg-, sie verlangt nach Gl. 6 (mit S₂ — 0 und D = *Sj) eine Baudreibung

^ { 150 • 3,s + 5153 (1 - 0,оозг> — 0,oos)] = 3400 kg

1,25 ^    I

S4-S3

und bei Rechtsdrehung der Trommel eine Hebelbelastung

47 kg.

3400 1,2! • 60

Bei dieser Belastung wird das Seil S₂ gerade spannungslos. Belastet man den Hebel aber noch stärker, so wird die Verzögerung noch grösser, und Gl. 4 würde nun für S₂ einen negativen Werth liefern. Da eine negative Spannkraft in einem Seil aber nicht möglich ist, so wird die Kraft S₂ = 0 bleiben, das Seil aber nun schlaff werden. In Folge dessen verliert die geometrische Bedingung gleicher Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von Mx und M2 ihre Gültigkeit; es erfährt nunmehr jeder Wagen seine besondere Bewegung.

Während das beladene Fuhrwerk in kurzer Zeit tl längs des Weges zur Ruhe kommt, läuft der leere Wagen, von dem Augenblicke des stärkeren Bremsens an gerechnet, mit der Verzögerung p₂ um eine längere Strecke s2 aufwärts, wobei das Seil um den Unterschied s₂ — Sy schlaff wird. Dann kehrt der leere Wagen unter Wirkung seines Gewichtes die Bewegung um, erreicht nach Zurücklegung des Weges s., — mit der Beschleunigung p₂ eine Ge-

vj

schwindigkeit v.₂ und ein Arbeitsvermögen (M₂ + /*•>) -j=-, welches durch die Arbeit der inneren Kräfte des Seiles zu Null gemacht werden muss.

Fügt der Wärter z. B. der festen Hebel-Belastung von 21 kg noch sein ganzes Körpergewicht von 75 kg hinzu, so dass P — 21 + 75 = 96 kg ausmacht, so entsteht bei Rechtsdrehung der Trommel eine Bandreibung

s.-s,

0,05

(e/a — l) = 96 • 60 • l,2i = 6970 kg.

Dann wird nach Gl. 6 mit гг=ру und S., = 0:

\b0 py • r = 6970 li — Sy (r — 0,oo26 — 0,08 • 0,i • r) oder 6970 • 1,25 0,75

Gl. 1 aber liefert für die Verzögerung pl des vollen Wagens:

628^! — Sy — 6280 (0,447 — 0,007).

Aus beiden Gleichungen folgt nach Entfernung von Sy :    = 11,4 m/Sek³ -

Mit dieser Verzögerung wird die Geschwindigkeit von 2m/Sek in der Zeit

ty — 0,i8m aufgezehrt.

150^

Sy 0,9885 .

0,i8sek längs eines Weges =

l'~ 11,4

Die Verzögerung p₂ des leeren Wagens folgt aus Gl. 2 mit S₂ = 0; es ist 240^1., = 2000 (0,447 -f- 0,007),

also jp₂ = 3,78m/sek*. Mit ihr wird die Geschwindigkeit von 2m/sek in der

в’⁵³ — 0,53 m aufgezehrt.

Das Seil des leeren Wagens wird also um s₂ — Sy — 0,53 — 0,is = 0,35m schlaff. Beim Abwärtsrollen hat das leere Fuhrwerk eine Beschleunigung

Zeit t₂

3,78

0,53sek längs eines Weges s₂

Pl =

M₂g (sin cc — а₀ cos а)

2000 • 0,44

240

3,67 m/sek²

und erreicht mit dieser längs des Weges s₂ — Sy = 0,зб ™ bis zum Spannen des Seiles eine Geschwindigkeit v₂ — У'1р₂ (s₂— Sy) — 1,6 m/sek und ein Arbeitsvermögen 240 *    ( S-2 — S]) = 308,з mkg, welches von dem Seil aufgenommen

werden muss.

e) Gleitbewegung sich drehender Körper auf schiefer Ebene. Beim Köllen, wo die Geschwindigkeit des Körpers gegen die Ebene an der Berührungsstelle Null ist, tritt der Reibungswiderstand nur

in derjenigen Grösse auf, die erforderlich, um das Gleiten zu verso ist TcfN;

sind aber die anfänglichen Einzelbewegungen so beschaffen, dass an der Berührungsstelle ein Gleiten stattfindet, so tritt die Reibung in der Grösse f Mg cos a auf; doch wird nach einer gewissen Zeit die Gleitbewegung in eine Rollbewegung übergehen, wenn die Bedingung für eine solche (Gl. 7, S. 304) erfüllt ist, und in diesem Augenblicke vermindert sich dann die Reibung plötzlich. Der Umdrehungskörper habe zu Anfang (Stellung I in Fig. 386) eine Drehung mit der Umfangsge-schwindigkeitrw₀, eine Geschwindigkeit des Schwerpunktes c und werde mit diesen Geschwindigkeiten auf die schiefe Ebene gesetzt, so dass an der ßerührungsstelle die Gesammtgeschwindigkeit c—roj₀ entsteht. Es sei c > rco₀, dann wirkt in Fig. 386 der Reibungswiderstand /Mg cos a abwärts, die Seitenkraft der Schwere Mg sin a ebenfalls abwärts. Der Schwerpunkt erfährt dadurch eine abwärts gerichtete Beschleunigung

p — g (f cos a -f- sin <x).

Die Drehung erfährt nach S. 281 und unter Vernachlässigung des Rollwiderstandes eine Umfangsbeschleunigung

hindern. Ist daher (Gl. 7, S.304) tg a </^l +    ,

Fig. 386.

П.

1)

2)

1.

(O

шо

cos*

-™o

re = f — g cos a.

In t Sekunden entstehen die Geschwindigkeits-Änderungen c — V — pt und r (со— üj₀) — r et

mit dem Verhältnisse

3)

re

reo — г со о

Soll nun V diejenige Geschwindigkeit des Schwerpunktes sein, bei der die Rollbewegung beginnt (Stellung II, Fig. 386), so muss reo — V eingesetzt werden. Hiermit liefert die letzte Gleichung,

nach V aufgelöst: v = Cr£ Pr(°°- • cHe Zeit t, nach welcher

p -J- re

das Rollen beginnt, ist dann / — -—-, oder nach Einsetzen von v

h = °:

— r OJo

p + re

Nach dieser Zeit tx ist die Geschwindigkeit an der Berührungsstelle Null, und die Reibung wechselt ihren Sinn. Ist nun die Bedingung Gl. 7, S. 304 erfüllt, so wird eine Rollbewegung ein-treten. Andernfalls wird die Gleichheit der beiden Geschwindigkeiten v und reo nur einen Augenblick währen, aber sogleich wieder aufhören, weil die Reibung nicht hinreicht, sie zu erhalten. — Für rajQ^c wechselt die Reibung in Fig. 386 ihren Sinn, es wird

p — g (sin a—/cos a), re ——/—^cosa und

g

—, wie man leicht findet.

4)

г "о —

re—p

Beispiel 1 : Eine Kugel von 0,i m Halbmesser werde nacli Fig. 386 mit 8 m sekundlicher Geschwindigkeit des Schwerpunktes und 2 m Umfangsgeschwindigkeit der Drehbewegung auf eine mit a = V¹⁰ ansteigende Bahn geworfen. Die anfängliche Gleitgeschwindigkeit ist daher 6 m/sek- Die Reibungsziffer betrage

f— 0,2.

In diesem Fall ist cos a annähernd = 1 zu setzen, sina = 0,i, M = 2,5 fj. (S. 277), mithin p = g (0,2 Ą- 0,i) = 0,з g ; rs = g- 2,s 0,2 = 0,5^. Die Geschwindigkeit, mit der das Rollen beginnt, ist v = ó,7r, m sek; die entsprechende Zeit

. 8-2 л ti=-^-= 0,76 sek.

0,8 g

In diesem Augenblicke vermindert sich die Reibung nach Gl. G, S. 304 auf T__Mg • 0,i

Узз Mg,

während sie vorher Vs Mg betrug. Die Verzögerung der Rollbewegung wird mm (Gl. 5, S. 304) p = r/t g sin ос = 0,о7н g = 0,7. Die Geschwindigkeit wird Null nach weiterem Verlaufe von 5,75 : 0,7 = 8,2 sek ? während dessen (nach Gl. 4, S. 12) 5,75 • 4,i = 23,6 'n zurückgelegt werden. Von dieser Stelle an rollt die Kugel mit der Beschleunigung p = 0,7 m/sek » rückwärts, soweit die Bahn reicht. — Die Ge- , schwindigkeitsgesetze sind in Figur 387 dargestellt. 0 Die obere Linie bezieht sich auf den Schwerpunkt, die untere auf die Umfangsgeschwindigkeit der Drehung; beide treffen sich beim Beginne des Rollens.

3,5

Fig. 387.

5,75

0,70

la. Hat die Bahn keine nennenswerthe Neigung, ist also ct = 0, so wird während des Gleitens die Verzögerung des Schwerpunktes p = 0,2 g ; die Umfangsbeschleunigung der Drehung ге = 0,ьд. Die Geschwindigkeit, mit der das Rollen beginnt, wird dann г? = 6,зпа/8ек^ die entsprechende Zeit ^ = 0,874 sek. Mit der Geschwindigkeit v setzt die Kugel die Rollbewegung gleichmässig fort, wenn kein Rollwiderstand sie verzögert.

Berücksichtigung des Rollwiderstandes. Während des Gleitens wird nach S. 252 und 315

5)

/,    \ M

re=\t — J — g cos cc

zu setzen sein, während des Rollens

sin a —e/rcos a

Letzteres giebt für a. — 0,

— 28Ö = 0,086 m/sek3 •

e = 0,5

mm

r = 100 eine Verzögerung

1 h. Ein Umdrehungskörper, z. B. eine Kugel, kann auch auf wagerechter Bahn so fortgeworfen, fortgeschnellt, werden, dass sie nach einer gewissen Zeit zurückrollt (Billardkugel). Giebt man ihr eine grosse Drehungsgeschwindigkeit (d₀ links herum und wirft sie mit nicht zu grosser Geschwindigkeit c nach rechts fort (Fig. 388), so erfährt sie unter Vernachlässigung des Rollwiderstandes eine Verzögerung des Schwerpunktes p = fg, eine Umfangsverzögerung rs = fgM:fjL-, also firs — Mp. Ist v die Geschwindigkeit, mit der das Rollen beginnt, so muss diese negativ, d. h. nach links gerichtet sein, denn während des Rollens auf wagerechter Bahn kann eine Änderung des Sinnes der Geschwindigkeit nicht mehr Vorkommen. Ist tx die Zeit, nach der das Zurückrollen beginnt, so wird

c-^-v — p^, rw₀ — v = rstlx

mithin v = ^⁷¹⁰⁽¹--

p 4- rs

Soll nun die Kugel rückläufig, also v>0 sein, so muss prw₀>*crs oder дгш₀>> Mc, also bei einer Kugel mit /* = 0,4 M muss гш₀>>'о/гс sein- Es lässt sich sogar erreichen, dass v > c wird, d. h. dass die Kugel schneller zurückrollt, als sie fortgeworfen wurde. Dazu ist erforderlich

Fig. 388.

СГ £

«>o

und tx

- ^/c+rioo у, П „■

liülillt illii.HIH 11. ' 11 : : ; I f : 111 >, 111 » 11 • i и 11 li    11 ГгТ I : I * I ! iTîïl i i 1 ■

c + rw₀

P + rz

(¹ + ²7S)’

bei einer Kugel rw₀>6c.

1 c. Sollen der ursprünglich ruhenden Kugel durch eine grosse, nur sehr kurze Zeit t₀ wirkende Kraft P solche Geschwindigkeiten rw₀ und c ertheilt werden, dass ein Zurückrollen eintritt, dass also firw₀ > Mc wird, so sind dazu Beschleunigungen rs0 und p₀ erforderlich, die in der Zeit Z₀ die Geschwindigkeiten rion und c hervorbringen; es muss also auch fir Mp₀ sein.

Fig. 389.

птшптппптпппт

Auf die Kugel wirke die Schwere Mg, der um den Reibungswinkel <p von der Normalen abweichende Ge-sammtwiderstand W der Bahn und die gesuchte Kraft P.

->R

Fig. 390.

Die Mittelkraft В dieser drei muss wagerecht gerichtet sein, da die Beschleunigung 2>₀ des Schwerpunktes wagerecht sein soll (Fig. 889), u. zw. muss die Lage von В sich unterhalb des Schwerpunktes befinden (etwa um l), dann wird fj.rs₀ — Bl:r und Mp₀ = В, wobei l>r sein muss, damit gre₀ > Mp0 werde. Gegenüber der grossen Kraft P möge das Gewicht der Kugel vernachlässigt werden.

\\

ч    в

c⁴------►

Der Punkt B (Fig. 390), an welchem der Druck P auf die Kugel ausgeübt werden soll, möge durch den Mittelpunktswinkel a bestimmt sein. Übt man die Kraft P aus, indem man mit einem lederbeschlagenen Stabe bei В in der Richtung BC gegen die Kugel stösst, oder indem man mit der Hand an der Kugel (bei В sie berührend) abwärts schlägt, so wird der Stab bezw. die Hand an der Kugel gleiten und die Richtung des Druckes P von der Normalen DB um den Reibungswinkel çs>,, der für Kugel und stossenden Körper gilt, abweichen.

Soll nun der Schnittpunkt von W und P unterhalb der Kugel liegen, so muss ol — <P\> <p und zugleich <px > J/2 a sein, woraus folgt ol> <p -\- <px und ol c 2 <px.

Fig. 391.

Der Winkel ol muss also zwischen den Grenzen <p -f- <px und 2<px liegen, und es muss <pxz> <p sein, d. h. der Körper, mit dem der Druck P ausgeübt wird, muss rauher sein als die Unterlage der Kugel.

Ist z. B. f — 0,2 (<p —\ \ °), fx = 0,8 (<px = 39 °), so muss öl zwischen 50 und 78n liegen; es würde daher a = 00° der Bedingung entsprechen.

Ksin а

*•

fzK'

■4-

fN

Zerlegt man nun den Druck P in einen Normaldruck К und die Reibung fx K, den Widerstand W in N und fN, zerlegt ferner К und fx К nach wagerechter und lothrechter Richtung, so wird (Fig. 391), da in lothrechtem Sinne keine Verschiebung erfolgt, N = К (cos a -J- fx sin а).

Dann ergiebt sich als Beschleunigung des Schwerpunktes nach rechts

Po

К sin öl — fxK cos öl — fN

oder p₀ = — (sin i — fx cos а — f cos а — //, sin а) und die Umfangsbeschleunigung der Drehung

»•So

f\К fN—    ^    ^ cos а — /Д gin a).

Für das Zurückrollen besteht nun die Bedingung /j.re₀ >pQM\ weil aber p₀ und T£₀ beide mit К verhältnisgleich sind, so kommt es auf die Grösse von К nicht an, sondern nur auf die Winkel oc, <p und . Eine Veränderlichkeit der Grösse von K, wie sie beim Stosse besteht, bringt keine wesentliche Änderung.

Es sei я = 00°, /’=0,2, /\ = 0,8 und beispielsweise К =20 Mg

dann wird

p₀ = 20 g (0,866 — 0,8 • 0,5 — 0,2 ■ 0,r, — 0,2 • 0,8 • 0,8бб) = 44,5 ; r Bq — 50 g (0,8 — 0,2 • 0,5 — 0,2 • 0,8 • 0,8бб) = 27ô.

Wie es sein musste, ist re₀> 2,Bewirkt die Kraft К = 20 Mg nebst der entsprechenden Reibung К nur V20 Sekunde, so braucht man die Verschiebung ihres Angriffspunktes nicht zu berücksichtigen. Es wird dann c = 44,5 • »/20 = 2,гз, гш₀= 13,75. Mit diesen Geschwindigkeiten wird sich die Kugel nach dem Aufhören der Kräfte К und fxK bewegen und wird, da nun p = 0,ig und rs = 0,5 <7, zurückrollen mit der Geschwindigkeit

0,2 • 13,75 - 2,23 • 0,5

0,2 + 0,5    ’ ’

das Gleiten währt im Ganzen

tl»£ + I2L

P + r £

Die Umkehr der Kugel erfolgt übrigens schon während des Gleitens. Nach der Zeit t = c : (fg) — 2,23 : 1,962 = l,u sek im(j₎ nachdem die Kugel sich um s' — 2,23 • l,i4 • 0,5 = 1,27 m nach rechts bewegt hat, ist die Geschwindigkeit des Schwerpunktes nach rechts Null geworden, kehrt dann während des Restes der Gleitzeit, d. h. während der Zeit t" = 2,34 — 1.14 = 1,208ek um s" = 2,зз • 1,20 • 0,5 = 1,4 m gleitend nach links zurück. An dem um 0,i3m links von der Ausgangsstelle gelegenen Punkte beginnt erst das Rollen, welches sich dann mit der Geschwindigkeit 2,ззт/зек fortsetzt. Fig. 392 zeigt die Geschwindigkeitsgesetze der Bewegungen.

2,34 sek.

Fig. 392.

3,28

2,34

1, M

13.8

Beispiel 2: Wirkt auf eine auf wagerechter Ebene anfänglich ruhende Kugel eine wagerechte Kraft АГ, die um l oberhalb des Schwerpunktes liegt,

nach rechts und soll eine Rollbewegung entstehen, so ist am Auflagerpunkt ein Widerstand T erforderlich, den wir nach links gerichtet annehmen wollen (Fig. 393). Die Beschleunigung des Schwerpunktes p (S. 144) und die Winkelbeschleunigung s der Drehung (S. 280) werden dann K—T

Fig. 393.

ИГ' *

Kl + Tr

[1 r¹

Für Rollbewegung muss nun rs—p sein, oder К цг — T //.r = К Ml -f- T Mr .

O-KT-

-ж

Hieraus bestimmt sich

т—к

ц г — Ml (М -f /i) г '

Г-

Für ż = 0 wird T

= К : (l 4-—) = ²/7 К.

Für I = r wird Т negativ,

tr Af // M+p

nämlich T— —

K. Soll aber die Kraft K ohne jede Mitwirkung von T, d. h. auf völlig glatter Ebene eine Rollbewegung erzeugen, soll T—0 sein, so muss l:r~/i: M— 0,4 sein, d. h. 1=²/ы. In dieser Höhe darf eine Kugel beliebig heftig gestossen werden, ohne dass sie unten gleitet; sie wird , sofort eine Rollbewegung beginnen.

f) Beschleunigte Schraubenbewegung.

Die Schraubenbewegung besteht aus einer Drehung um die Achse der Schraube und einer gleichzeitigen Verschiebung längs der Achse. Sind die Geschwindigkeiten dieser Bewegungen œ und w, so ist das Arbeitsvermögen der Schraube J/2Ja)² + V2Mu¹ (S. 300). Weil aber bei der Schraube vom mittleren Halbmesser r und dem Steigungswinkel a der mittleren Schraubenlinie die Ganghöhe /i = 2rJrtga, so ist auch ra>tgci = u, also mit J — jur²

/2 (Joj² + Mir) = 72

1)

Die Schrauben werden durch Arbeiter in die Höhe gedreht und sind nicht selbsthemmend, vielmehr gewinnen sie durch ihr Gewicht (z. Th. unter Nachhülfe der Arbeiter) ein gewisses Arbeitsvermögen, welches dann zum Zerbrechen verbraucht wird. Die treibende Kraft sei allein die Schwere Mg. Ein Theilchen der Schraubenmutter leistet beim Abwärtsgleiten einen Widerstand d Br, der um a — <p von der Achsenrichtung abweicht.

Fig. 394.

"Л

Л'ЙТ“

Der Schwerpunkt der Schraube kann sich nur geradlinig bewegen; die Beschleunigung p des Schwerpunktes folgt aus der Gleichung

2)

Mp = Mg — cos (a — <p)\d W.

Die wagerechten Seitenkräfte sin (a — fp)d \V bilden das treibende Kräftepaar für die Drehung; es wird (S. 281, Gl. 4) jure = sin (a — ç>) J d W.

3)

Weil aber rwtgot = «, so muss auch rrtga=p sein, mithin Up = tg a sin (a — q>) J d W.

Entfernt man aus Gl. 2 und 3 die Grösse    so wird

4)

ff

1+ A_₇____________

M tg rx tg (a — (p)

Ist die Schraube in aufwärts drehende Bewegung versetzt und wird sie dann der Wirkung der Schwere überlassen, so kehrt die

Reibung ihren Sinn um, es ist — (p mit + ф zu vertauschen, und die Verzögerung der aufwärts gerichteten Bewegung wird

5)

M tg a tg (а + <P)

Bei einer Spindel mit Schwungkugeln wird nun das Trägheitsmoment wesentlich von diesen geliefert, und es ist, wenn die Schwungkugeln zusammen die Masse Ж, haben und im Abstand R von der Mitte sich befinden, annähernd J—MXR‘¹\ dann wird jur‘²= MXR² und, weil R:r meist gross, auch /л sehr gross gegen M. Ausserdem sind, wenn auch а >* cp ist, tga, tg(a— <p) und

tg (а + w) immer ziemlich kleine Brüche, so dass —r ,

M tga tg(a +<p)

gegen die Einheit so gross wird, dass diese dagegen verschwindet. Daher kann man mit grosser Annäherung statt der Gl. 4 und 5

die einfachere Doppelformel

R)

p = g — tg а tg( а + <p) schreiben. f*

Beginnt die Bewegung mit der Geschwindigkeit Null, so ist, nachdem die Schraube um h gesunken,

ir = 2 p h.

7)

Das Arbeitsvermögen wird dann    -f MJ 2ph.

Beispiel: Das Gesammtgewicht der Schraube betrage 300 wovon auf die Schwungkugeln 200 kommen mögen. Ausserdem sei tg çs» = /*= 0, i ; tga— 0,2; R — 20 r. Dann ist tg (а — <p) — 0,oo8, tg (a -f- p) — 0,8oe. Ferner ist mit genügender Genauigkeit /jr² = ²/з MR², daher ;i = ²/³ • 400 M— ⁸⁰⁰/з M, so dass dagegen M in Gl. 1 zu vernachlässigen ist. Dann kann auch das Arbeits-

20 000 M u²

3 T *

n rü/‘

vermögen einfacher geschrieben werden ——

Die Be

schleunigung der Abwärtsbewegung wird nach Gl. 6

3

P = g ~-T 0,2 • 0,098 — 0,000 074 (f — O,000 72 m/sek ² • oUU

Nennt man pt) die Beschleunigung einer reibungslosen Schraube von den gleichen Verhältnissen, so ist nach Gl. G (für <p = 0)

daher p—p₀

Po

M ,    ,

= 9 — tgatg«,

r

tg (« — f>)

tg a

Da nun nach (il. 7 и² mit p verhältnisgleich, so ist auch, wenn 21 und 210 das Arbeitsvermögen der wirklichen bezw. der reibungslosen Schraube, tg (a — <p) tgcc

Schraube verwerthen, so ist

2l = W„

Will man daher das Arbeitsvermögen der sinkenden tg (at — <p)

tg«

der Wirkungsgrad der sinkenden

Schraube. Es muss zugleich 21₀ = Mg h sein, da bei der reibungslos sinkenden Schraube nur die Schwerkraft Arbeit verrichtet. Um aber von der Höhe h sinken zu können, musste die Schraube um diese Grösse gehoben werden, und

tga

tg (« + ?>)’

erforderlich. Betrachtet

weil der Wirkungsgrad der Schraube beim Heben nach S. 263 i?, =

so war zum Heben die Arbeit 2(, — Mgh

tg (<x -f (p)

tg «

man nun Auf- und Abwärtsbewegung im Zusammenhänge, so ist der Gosainmt-Wirkungsgrad

__21 _ tg (a — <p)

Ъ 21, tg (a + <p)

Annähernd kann man auch bei der Kleinheit der Winkel a und у tg (а 4 ф) ⁼⁼ tg а + f schreiben, dann wird

0,32 .

0,2 — 0,1

0,2 4- o,i

3=0,«.

Derartige Vernachlässigungen sind zulässig, weil ja у und /' doch in jedem Falle nur unsicher bekannt sind. Um die Schraube von 300 kK Gewicht um

tg (a 4- <p)

h = 0,im zu heben, waren 30-

wenden.

tg а

= annähernd 45 Arbeit aufzu-

30-

tg (« - <p)

Nach dem Hinabsinken um 0,im beträgt das Arbeitsvermögen noch

tg a

— annähernd 15 mkg.

2t*

-,

¹

\~ M ) и². tg²a /

Hiernach würde man für eine ideelle Schraube leicht den Satz der Arbeit anwenden können. Der bei wirklichen Schrauben sehr bedeutende Einfluss der Keibung kann aber (nach A. Bitter, Techn. Mechanik) am leichtesten berücksichtigt werden, wenn man die Beschleunigungen der Einzelbewegungen berechnet.

²

Die Schraube sei flachgängig und oben mit Schwungkugel-Armen versehen (Fig. 394). Solche Schrauben kommen in Prägewerken und in Hüttenwerken (zum Zerbrechen von Eisenstäben) vor.

Alphabetisches Verzeichnis und Bedeutung der in den Formeln benutzten Buchstaben unter Hinweis aut die erklärenden Seiten des Buches.

64.

64.

64.

C Centrifugalmoment. 292.

1) Zapfendruck. 224.

E Effekt, sekundliche Arbeit. 225. F Flächeninhalt. 128 Cr Gewicht eines Waagebalkens. 155. И wagerechte Seitenkraft einer Stangenverbindung. 181.

J Trägheitsmoment. 271.

К Kraft. 32.

К Triebkraft. 218. 245.

К Zugkraft für ein Fuhrwerk auf wagerechter Bahn. 258. üf,    Zugkraft für    ein    Fuhrwerk    auf

einer Steigung. 258.

K,    Haltkraft für    ein    Fuhrwerk    auf

einem Gefälle. 258.

M Masse eines Körpers oder einer Massengruppe. 125.

N Normalwiderstand. 36.

N Normalwiderstand einer Fläche. 191.

N Anzahl der Pferdestärken. 226. P    Gewicht. 178.

PS    Pferdestärke.    225.

Q    Gewicht. 33.    194.

Q    Last. 243.

В Mittelkraft. 38. 97. 112.

В äusserer Halbmesser eines Ringes. 133.

В grösserer Halbmesser eines Spitzzapfens. 231.

В Halbmesser eines Wagenrades. 256. 307.

S Spannkraft einer Stange. 174.

Si und S₂ Spannkräfte in einem Seile. 64. 236. 241.

T Reibungswiderstand. 191.

V Rauminhalt eines Körpers. 127. W Gesammtwiderstand einer Fläche.

192.

X Kräftesumme in der ж-Richtung.

Y Kräftesumme in der y -Richtung.

Z Kräftesumme in der z-Richtung.

a Länge eines schwingenden Körpers. 296.

c Geschwindigkeit, besonders gleichbleibende. 5.

c Geschwindigkeit, Anfangs-. 11. cm Centimeter. 7. d Zapfendurchmesser. 243. e Arm des Seilbiegungswiderstandes. 244.

c Arm des Rollwiderstandes. 252. e Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse. 272.

23.

23.

/’ Reibuugsziffer. 191.

h Ganghöhe der Schraube. 261. i Trägheitshalbmesser. 272. к Ziffer der Massenanziehung. 55. km Kilometer. 7.

I Wurfweite. 51.

I Hebelarm. 98.

I Fadenlänge eines Pendels. 76.

I Schwingungslänge eines Pendels. 283.

m Masse eines Punktes. 32. 34. ui Meter. 7.

Mlkf? Meterkilogramm 44. uii» Minute. 7.

n minutl. Anzahl der Umdrehungen. 226.

p Beschleunigung. 11. 32. p Druck für die Flächeneinheit. 226. 230.

pn    Normal- oder Centripetal - Be

schleunigung. 61. pt Tangential-Beschleunigung. 61. pt Umfangsbeschleunigung. 281. q Seitenbeschleunigung. 23. r Halbmesser eines Kreises. 133. r Erdhalbmesser. 57. r innerer Halbmesser eines Ringes. 133.

r Halbmesser einer Kugel. 136. r Zapfenhalbmesser. 224. r Halbmesser der mittleren Schraubenlinie. 261. r Rollenhalbmesser. 243. r Mittelbeschleunigung. 23. r scheinbare Beschleunigung. 85. s Wegeslänge. 3. s Länge einer Linie. 127.

»ek Sekunde. 7.

Stunde. 7. t Zeit. 3.

t Schwingungsdauer eines Pendels. 78. 283.

и Seitengeschwindigkeit. 19. и Geschwindigkeit eines Raumes. 81.

V    Geschwindigkeit, besonders ver

änderliche. 6.

V    Endgeschwindigkeit. 12.

V    Mittelgeschwindigkeit. 21. tv Seitengeschwindigkeit. 19.

w scheinbare Geschwindigkeit. 81. w Widerstandsziffer für Seilrollen. 245.

X Länge einer Seitenbewegung. 18. x₀, y₀, s₀ Koordinaten des Mittelpunktes von Parallelkräften und Massen. 123.

x₀, y,., z₀ Koordinaten des Schwerpunktes. 125.

у Länge einer Seitenbewegung. 18. z Länge einer Seitenbewegung. 18.

Jt Zeitraum. 6.

a Neigungswinkel gegen die Ab-scissenachse. 5.

а halber Mittelpunktswinkel. 128. а Neigungswinkel der schiefen Ebene.

194

а von einem Seil umspannter Bogen. 236.

а Steigungswinkel der mittleren Schraubenlinie. 261. an Gleichgewichts-Neigung oder

Widerstandsziffer für ein Fuhrwerk. 258.

аи я₃ Keilwinkel. 212. ß Neigungswinkel gegen die y-Achse.

ß halber Kantenwinkel der scharfgängigen Schraube. 264. у Neigungswinkel gegen die z- Achse.

у Dichte, Gewicht der Raumeinheit. 55. 127.

d halber Keilwinkel. 211. ô halber Keilnuthen-Winkel. 198.

â Dicke einer Platte. 128.    274.

£ Winkelbeschleunigung. 279. rj Wirkungsgrad. 218.

/i auf oinen Abstand r bezogeno Masse. 272.

f) Krümmungshalbmesser, ßl.

<p Reibungswinkel. 192.

Ф Roibungswinkol für die Bewegung in Keilnuthen. 199. tu Winkelgeschwindigkeit. 87.

91 Arbeit. 42.

91г Arboit der inneren Kräfte. 145.

91^. Arbeit der äussoren Kräfte. 145.

3 geometrisches Trägheitsmoment einer Fläche, wenn dasselbe von dem eines Körpers (J) untorschieden werden muss. 278.

9Л Drehmoment. 98. 107.

3)1 Reibungsmoment. 225.

AIpliabetisches Inhaltsverzeiclinis.

(Die Ziffern geben die Seitenzahlen an.)

gruppe.

Arbeit 91 einer Kraft. 42.

65.

17.

11.

Achsen, freie. 293.

Achsenstrecke eines Kräftepaares. 109. Achswidorstände hei der Drehbewegung. 291. d’Alembert’s Satz. 141.

Anziehung der Massen. 54.

Arbeit 91; der inneren Kräfte. 145. Arbeit der Schwerkräfte einer Massen-140.

Arbeit, sekundliche E. 225. Arbeitseinheit. 44.

Arbeitsvermögen. 44. 146. 299. Arbeitsvermögen einer Eollbewegung. 302.

Arbeitsvermögen eines starren Körpers. 300.

Auflagerdruck. 164.

Balken auf 2 Stützen. 164. Bandbremse. 239.

Beschleunigung. 11. 15. 32. Beschleunigung der Schwere. 33. 58. Bewegung auf vorgeschriebener Bahn.

Bewegung eines freien Körpers. 300. Bewegungen, Zusammensetzung der —.

Bewegung, fortschreitende. 79. Bewegung, geradlinige. 3.

Bewegung, gleichförmig beschleunigte

Bewegung, gleichförmige. 5. Bewegung in Keilnuthen. 198. Bewegung, krummlinige. 25. 47. Bewegung, scheinbare (relative). 78. Bewegungs-Gesetz. 3.

Bewegung, ungleichförmige. 0. Bewegung, vorgeschriebene — in loth-rechtem Halbkreise. 72.

Bewegung, zusammengesetzte. 17. Bewegung, zusammengesetzte, Verschiebung und Drehung. 299. Bremsberg. 308.

Bremszaum. 233.

Brückenwaage. 189.

Centralachse einer Kräftegruppe. 115. Centrifugalkraft. 88. Centrifugalmoment. 292. Centripetal-Beschleuniguug pn. 61.

Dichte y. 55.    127.

Differenz-Flaschenzug. 248. Drehachse, Widerstände einer —^ 291. Drehmomente 9)1.    98.

Drehung, ungleichförmige. 279. Dreifach unterstützter Körper. 166. Drucklinie einer Keilgruppe. 213. Drucklinie eines Gewölbes. 220. Dynamische Standsicherheit. 170.

Ebene, schiefe. 194.

Effekt E. 225 Energie. 44. 140. 299. Erdmasse. 59.

Ergänzungskräfte. 84. 88. 141.

Fahrpläne. 8.

Fallbeschleunigung g. 33. 58. Fallbeschleunigung, scheinbare — an verschiedenen Stellen der Erde. 94. Fallbewegung. 35.

Fallmaschine. 289.

Festklemmen eines Stabes zwischen 2 Flächen. 207.

Flaschenzug. 240.

Fluthkurve. 9.

Fuhrwerke. 251.

Fuhrwerke, beschleunigte Bewegung der —. 300.

Gelenkstangen-Verbindung. 172. Geschwindigkeit. 5. 0. Geschwindigkeit, mittlere. 0. Geschwindigkeitsgesetz. 10. Geschwindigkeitshöhe. 30.

Gewicht. 33. 94.

Gewicht, Arbeit des Gewichtes einer Massengruppe. 140.

Gewölbe. 220.

Gleichgewicht aufgehängter Körper. 149.

Gleichgewicht eines Punktes. 02. Gleichgewicht-, sicheres, unsicheres und unentschiedenes. 150. 151. Gleichgewichts - Neigung a₀ für ein Fuhrwerk. 258.

Gleichgewicht starrer Körper. 147. Gleichgewicht unterstützter Körper. 151.

Gleitbewegung sich drehender Körper auf schiefer Ebene. 314. Graphische Statik. 118.

Gravitation. 54.

Guldin’sche Regel. 138. Güteverhältnis g. 218.

Halbkugel auf schiefer Ebene. 198 Hängebrücke. 18(î.

Hebel. 153.

Hebelarm. 98.

Hebelwaage. 154.

Kegelpendel. (18. 298.

Keil. 211.

Keile, mehrere. 212.

Keillager. 227.

Keilnuthen, Bewegung in —.    198.

Keilnuthenräder. 235.

Keilpresse. 210.

Kettenbrücke. 180.

Kettenlinie, parabolische. 183. Klemmen eines Stabes zwischen zwei Flächen. 207.

Kraft. 32.

Krafteck. 41. 118.

Kräftegruppo, Centralachse einer —. 115.

Kräftepaar. 105.

Kräftepaar-Achse. 109.

Kräftepaare, Zusammensetzung der —.

100.

Kräfte, Parallel--im Baume. 122.

Kräftezusammensetzung im Raume. 111. Kräfte, Zusammensetzung paralleler —. 102.

Kraft, lebendige. 44. 140. 299.

Kraft,Parallel Verschiebung einer—.111. Krahn, Kräfte an dem Drehzapfen. 105.

Lebendige Kraft. 44. 140. 299. Leistung E einer Kraft. 225.

Masse. 34.

Masse, auf einen Abstand bezogen,/*. 272. Massenanziehung. 54.

Massengruppe. 140. Massen-Mittelpunkt. 124. Massenpunkt m. 1.

Materieller Punkt m. 1.

Mechanik des Massenpunktes. 3. Mechanik starrer Körper. 95. Mechanische Arbeit 91. 42/

einer

Meterkilogramm ml<g. 44, Mittelbewegung. 17.

Mittelkraft. 38.

Mittelpunkt der Massen. 124.    141.

Mittelpunkt von Parallelkräften. 123. Moment, Drehmoment oder statisches ЗЛ. 98.

Moment, statisches — einer Masse. 125.

Normal-Beschleunigung pn. Gl. Normalwiderstand N. 6G.    191.

Pappus-Guldin’scher Satz. 138. Parabolische Bewegung. 59. Parallelepiped-Gesetz. 18. 22. 40. Parallelkräfte im Raume. 122. Parallelogramm-Gesetz. 17. 20. 23. 38. Parallelverschiebung einer Kraft. 111. Pendel, einfaches. 7G.

Pendel, Kegel--. 68. 298.

Pendel, physisches. 281.

Pferdestärke. 225.

Pochstempel. 205.

Prony’s Zaum. 233.

Regler, Schwungkugel- —.    90.

Reibung. 191.    269.

Reibungskegel. 192.

Reibungsring. 205.

Reibungsrollen. 228.

Reibungswaage. 232.

Reibungswinkel. 192.

Reibungsziffer. 191.

Relative Bewegung. 78. Reversions-Pendel. 286. Riemenscheiben. 240.

Rollbewegung auf schiefer Ebene. 302. Rollwiderstand. 251.

Satz der Arbeit. 144.

Satz von d'Alembert. 141.

Satz von der Bewegung des Schwerpunktes. 143.

Scheinbare Bewegung. 78.

Schiefe Ebene. 194.

Schnei i waage. 157.

Schraube. 260.

Schraube, flachgängige. 261. Schraubenbewegung,beschleunigte. 320. Schraube, scharfgängige. 264. Schwerkräfte, Arbeit der — Massengruppe. 140.

Schwerpunkt. 124. 143. Schwerpunkts-Bewegung. 143. Schwingungsdauer eines Pendels. 78. Schwingungslänge eines Pendels. 283. Schwungkugel-Regler. 90. Seilbiegungs-Widerstand. 243.

Seileck. 119.

Seilpolygon. 119.

Seilreibung. 236.

Seilrolle, beschleunigte Bewegung einer —.    288.

Seilrollen. 242.

Spannkraft S einer Stange. 174, Spitzzapfen. 231.

Spurzapfen. 229.

Stabilität. 150. 170. Standsicherheits-Moment. 167. Stangen-Verbindung. 172.

Statisches Moment 9Л.    98.

Statisches Moment einer Masse. 125. Steighöhe eines aufwärts geworfenen Körpers. 37.

Steinzange. 209.

Stützzapfen. 229.

Tafelwaage. 190.

Tangential-Beschleunigung pf. 61. Thür, Aufhängung derselben. 164. Tisch, Gewichtsvertheilung. 166. Trägheit. 31.

Trägheitshalbmesser i. 272. Trägheitsmoment J. 271.

Umkehrungs-Pendel. 286. Unterstützung in einer ebenen Fläche. 168.

Verrückung. 79.

Verschiebung. 79.

Verzögerung. 12.

•T

330

Alphabetisches Inhaltsverzeichnis.

Waage. 154.

Walzen. 255.

Wechselwirkung. 34. Wegeslängen-Kurve. 4. Widerstandsziffer a₀ für ein Fuhrwerk. 258.

Widerstandsziffer w für Seilrollen. 245. Winkelbeschleunigung e. 279. Winkelgeschwindigkeit w. 87. Wirkungsgrad rj. 218. Wurfbewegung. 48.

Zapfenreibung. 224. Zaum, Prony’s. 233.

Zeichnerische Zusammensetzung von Kräften. 118.

Zeigerwaage. 156.

Zusammensetzung der Kräfte. 40. 96. Zusammensetzung paralleler Kräfte. 102.

Zusammensetzung von Bewegungen. 17. Zusammensetzung von Kräften im Raume. 111.

Zusammensetzung von Kräftepaaren. 106.

Zusammensetzung von Parallelkräften im Raume. 122.

Zweifach unterstützter Körper. 159.

ШШШ РШТШШСШ

KRAKOW

-Ай

с

■

-Ç

i

/

'tfOo-—

i»«тш щтшж-

5УЖ- 'M&lS

шю

цшЩш=

Iii

É@i

Ш№ ÉISIÉVjRf

вШш=

iw»i

;ШШ> f •/ée>v. -;Н

10няНЫ£ЯЬяз<

ШЁт--

шш

<■

h.

ни

шж

шт

liii

шшм

шт

ж»

«№

ЙшШЙ ЗнИВИ

Si

see

:шщтЖ

шжШт вш«« I

1ШЖ|ё1Шщ

у :-,**?. - %î

ШщЖшЯбЯш

i®

ш^и

шш

Ж|1

SMï

гш

®«ш

ii^PÄÄ

жж?

iii

'V.

•\

SN

•\

6жЩт

Т<ШШ

шш

ЩёШтШШШШШШ ШШшЁ7Ш$Ш*ШШ

ЁВшй

>■

à¹

ЩШЗЯЮШ

I - •<:Ш1

та

Я    ^

ЩШ I .ЩШ Jt Щ|№' 4

Щ1Я®|11№

M№HLVT

-li# РШШШ^ f ЩЙФ'^гШМ

ШШШ

ЯЙШЭШ

вшей

щЩ

Ж/.

§ш

7Ж&7 "■

вж

=4Шшй

=шшш

>. Ч1МЩ£

BI)

шШЙЙЖЯ

ЯЖж

ж|

>[äv-h№M fe^M

.«V⁴*'

Щ|Ш=

:^V&?3W.¥5

шя

■А

гШЁШЁЁтШЁш

мш

WM

шшш

ш®

шш

Щш>щ- 'ЩШ

Шш

ip;

Ива ¥<щ11>

ШЩШ'

рш№шшшршв

иарШшийЭДШ

еШШШЙШ

I»

^Н§811|я

Ä*™» Щ№ш

И^ш-

igpgglgl

8ЖЯ18г*®“

ш»?

«ШУ

ши

Ш1 ШЙШЙ

ШЩт

гиж

ШШ

>х»

Щ§;

Ÿ'jê

=Д1Я л

Sis

Ш11

./

щЯ§

НИР ,ищИ

Шдашм

Si

ша

HHHBHf-: ;л<

ШШк

fjllgg

<у »••'►•• ШШ

§Щ

Р;

«ш

1» V <111

7а

Ш

ШВ> * I в

ШшжШж

щШ&ШЁш

ЖяЙш

. . ЖЙ1

Ыи1шк*

ШЖ:1

fpœ

®Ш1 щ .

* « з

- Ч ’    :-

ум

»мш|^ ^Ш8рвр 1 i »

""щШ' j^Ä|>ЙШ| ł;

Щ1

^шая^аИжЯю

етшш§1ш1Р

«и

)1»

SÄ

шш

шш

шш

та

ШШп Ж|

ШЁшшЖ

(ЩЖ

ÊM

ша

ум V

'’H

Я,

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-348998

Mv

/4)

'ЛУо

Sa

у*

y,

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297120