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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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DIE

GKAPHISCHE STATIK

DER

BAUKONSTRUKTIONEN

VON

HEINRICH F. B. MÜLLER-BRESLAU

$r.=3ng., GEH. REGIERUNGSRAT UND PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN BERLIN.

Band II.

Zweite Abteilung.

Mit 410 Abbildungen im Text und 2 Tafeln.

LEIPZIG

Alfred Kröner Verlag

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i.

Druck von Grimme & Trömel in Leipzig.

IIBUIÏEKA ronTronHtciiM

KRAKÓW

Akc. Nr.

Vorwort.

Die ersten sechs Bogen der zweiten Abteilung des zweiten Bandes der Graphischen Statik der Baukonstruktionen sind als besondere Lieferung bereits 1896 erschienen. Die Vollendung dieser Abteilung wurde verzögert durch die notwendig gewordenen neuen Auflagen von Band I und II, 1 und andere dringende Arbeiten des Verfassers, auch durch die Erweiterung des ursprünglich geplanten Umfanges. Vor allem schien es mir geboten, die zeichnerischen Verfahren überall dort durch analytische Untersuchungen zu ergänzen, wo der rechnerische Weg gleichwertig ist oder gar den Vorzug verdient. Dies letztere wird mit zunehmender Benutzung der Rechenmaschine auf immer weiteren Gebieten der Fall werden. Auch die Kürzung der Rechenarbeit durch Herstellung von Tafeln häufig vorkommender Zahlenwerte wird oft zugunsten des rech-, nerischen Verfahrens sprechen.

Der erste Abschnitt behandelt die Formveränderung des geraden, auf Biegung beanspruchten Stabes, sowie den an beiden Enden eingespannten Balken. Hieran schließt sich im Abschnitt II die Untersuchung des auf mehreren starren oder elastischen Stützen ruhenden Balkens, unter Beifügung zahlreicher, die allgemeinen Gesetze erläuternden Aufgaben.

- Von den Anwendungen der Theorie des elastisch gestützten Balkens sind hervorzuheben: die Berechnung der Zwischenträger von Brücken mit Berücksichtigung der in den bekannten Arbeiten über diese Frage vernachlässigten Durchbiegungen der Hauptträger, verschiedene Anordnungen von Balken auf starr mit ihnen verbundenen Säulen, die Streckbalken von Schiffbrücken, die auf einer großen Anzahl gleichartiger, in gleichen Abständen ruhenden Balken.

Die auf den Seiten 226 bis 229 für Balken auf elastischen Stützen

aufgestellten Tabellen dürften insofern eine Ergänzung der bekannten Tabellen von A. Ritter bilden, als sie auch die zur vollständigen Darstellung der Einflußlinien innerhalb der einzelnen Öffnungen erforderlichen Zahlen ß enthalten. Diese Darstellung ist besonders wichtig bei verhältnismäßig kleinen Stützensenkungen. An einem Beispiele wird gezeigt, wie man die Zahlen der Tabelle auch zur Ermittlung des Einflusses von zur Balkenachse parallelen Lasten benutzen kann.

§ 15 behandelt den Balken auf ununterbrochener, gleichförmiger, elastischer Unterlage. Die Ergebnisse dieser Untersuchung lassen sich auf den Fall in kurzen Abständen angeordneter elastischer Einzelstützen übertragen und führen dann zu sehr einfachen und doch zuverlässigen Formeln, was wohl am deutlichsten durch die in Nr. 7 5 mitgeteilte Berechnung einer Schiffbrücke gezeigt wird.

Den Schluß des Abschnittes II bildet die Untersuchung der Formveränderung und Beanspruchung eines zylindrischen Wasserbehälters, die auf eine ähnliche Differentialgleichung führt, wie die Theorie des stetig unterstützten Balkens und aus diesem Grunde mit aufgenommen worden ist.

Abschnitt III beschäftigt sich mit den im Fachwerk infolge steifer Knoten entstehenden Biegungsspannungen. Abschnitt IV untersucht die Beanspruchung und die Formveränderung der durch steife Halbrahmen gestützten Gurtung einer offenen Balkenbrücke.

Abschnitt V ist der Versteifung des gelenkigen Stabzuges durch einen Balken gewidmet. Der Untersuchung verschiedener Hängewerke und Sprengewerke mittels Einflußlinien folgt die Theorie der durch einen vollwandigen Balken versteiften Kette, wobei auch der Einfluß der Änderungen A y der Kettenordinaten y auf den Horizontalzug der Kette und die Biegungsmomente des Balkens berücksichtigt wird.

Abschnitt VI enthält die von mir im Zentralblatt der Bauverwaltung 1904 veröffentlichte Theorie der parahelförmigen Einflußlinien und zeigt u. a. auch die Berechnung von Balken auf mehreren starren Stützen mit Hilfe der im vorliegenden Buche erheblich erweiterten Tabelle der Werte I\. Nun folgt im Abschnitt VII die zeichnerische Ermittlung der Verschiebungen der Knotenpunkte biegungsfester Stabzüge und deren Anwendung bei der Berechnung statisch unbestimmter Stabzüge, z. B. voll-wandiger Bogenträger. Hier genügte eine kürzere Darstellung, weil sich ähnliche Untersuchungen in der ersten Abteilung des zweiten Bandes finden und der Unterschied zwischen der Behandlung fachwerkartiger und vollwan-diger Tragwerke derselben Art nur in der Ermittlung der Formänderungen besteht. Für die beiden wichtigsten Arten der Bogenträger, den Zweigelenkbogen und den an beiden Enden eingespannten Bogen sind im Abschnitt VIII noch ausführlichere analytische Untersuchungen angestellt worden.

Weitere Übungsaufgaben enthält mein Buch: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen, Leipzig, erste Auflage 1886, dritte Auflage 1904.

Ein Anhang bringt eine für Träger mit gleichlangen Feldern bestimmte Tabelle der an verschiedenen Stellen des Buches benutzten Zahlen «p, op, oüp, durch welche die Berechnung vieler statisch unbestimmter Tragwerke erheblich vereinfacht wird.

Besonderen Dank schulde ich meinem Assistenten, Herrn Stumpf, Konstruktionsingenieur des Lehrstuhles für eiserne Brücken, für die bei der Ausarbeitung der Zahlenbeispiele, der Herstellung der Figuren, dem Rechnen der Tabellen geleistete wertvolle Unterstützung und für das Lesen der Korrektur.

Binz auf Bügen, Pfingsten 1908.

H. Müller-Breslau.

Berichtigungen.

Seite 27, Zeile 14 v. o. lies Fig. 27 statt Fig. 17. Die Gleichungen auf Seite 46 sollen lauten:

,/r r#\

r]L~k\j T³ /—

Z³

z-²

Mł=Ti

[•

s(*+r>

ÜHri)

] WÎÔX

z.

e'r-

Seite 70, Gleichung (18) lies

„    71 in Figur 76 lies ß*(r-i)Z³ statt ß,₍,—jjZ,-; ß,>Z* statt. ß,>Zr.

„    76, Seitenüberschrift lies § 6 statt § 2.

„    76, Zeile 20 v. o. lies -)- statt —

„ 105, letzte Spalte, Zeile 10 und 12 v. u. lies 0,3088 statt 0,3089. „ 105, letzte Spalte. Die Formel für w/ lautet:

- ₄--2 -|y -j-    = 2wx> — Wp =    ( 1 + (Oj<).

(Up" —

xi

Zr

statt

zl³

In der letzten Zeile muß stehen

„ 106, Zeile 3 v. u. lies —statt

„ 118, Gleichung (38) lies 6,53 statt 2,08.

„    119, Zeile 4 v. o. sind hinter Parabel die Worte einzuschalten: von der

der Pfeilhöhe ^-v.

30 '

„ 129, Gleichung (25) lies ur' statt dr'.

„ 129, Gleichung (26) lies ur +1 statt clr + \.

,, 129, Zeile 6 v. u. lies lr+\ statt lr.

,,    152,    Zeile    13 v. o. lies unendlich statt    unendlichen.

,,    168,    Zeile    20 und 2 v. u. lies (88) bis    (91) statt    (88)    und (91).

„    192,    Zeile    5 v. u. lies Mi statt Mir.

„    199,    Zeile    5 v. u. lies tm und tcm statt t/m und    t/cm.

224

statt

2t»i)

„ 203, Zeile 2 v. o. lies —

5b

„ 209, Zeile 9 v. o. lies E statt EJ.

„ 213, Zeile 10 v. o. lies 0,5 statt 0,2.

„ 244, Zeile 1 v. u. lies Stützweite statt Stützwerte.

„    248,    Zeile    3    und    4 v.    o. muß p gestrichen werden.

„    251,    Zeile    7    v.    u.    lies    cm⁴ statt cm³.

„    267,    Zeile    2    v.    u.    lies    8² statt d².

„ 288, Gleichung (42) lies —gW- statt +ZZ^²-„ 290, Gleichung (53) lies — gk? statt -\-gk².

„    321,    Zeile    9    v.    u.    lies    7,19 statt 7,09.

„    400,    Zeile    5    v.    o.    lies    Ha statt IE.

„ 423 und 424, Spalte 6 lies P* statt Pf.

„    516, Gleichung (8) lies Q„ = sin cp statt Qasin<p.

Inhalt.

I. Abschnitt.

GOO GOO GCO

Formveränderung des geraden Stabes. Anwendung auf Blechbalken.

Grundgesetze...................

Die Biegungslinie..................

Der an beiden Enden eingespannte gerade Stab.......

Seite

14

25

II. Abschnitt.

Der Balken auf mehreren Stützen.

§ 4.

•V7: cöo gOo c-oo

iO CD t> GO

§ 9.

Balken mit beliebig vielen Stützpunkten, deren Verschiebungen gegeben sind................ .    .    .

Fortsetzung. Einfluß einer gleichförmigen Belastung.....

Balken auf elastischen Stützen.............

Gelenklose Zwischenträger von Brücken..........

Anwendung der allgemeinen Elastizitätsgleichungen auf statisch unbestimmte Balken ....

Anwendung des Satzes §m =

dL

32

45

61

77

90

§ io.

cöo GOo Q0O goo

§ 15.

§ 16.

(l A i

d Prn d Pm

Sonderfälle des Balkens auf starren Stützen. Nachtrag zur Behandlung

des allgemeinen Falles...............

Formänderung und Beanspruchung eines zylindrischen Wasserbehälters mit lotrechter Achse

107

112

. 252

III. Abschnitt.

Nebenspannungen im Fachwerk mit steifen Knotenverbindungen.

§ 17. Biegungsspannungen in Fachwerken, deren Gurtstäbe miteinander vernietet und deren Füllungsstäbe gelenkartig befestigt sind .    .

Seite

§ 18. Fachwerke, deren sämtliche Stäbe in den Knoten durch Niete befestigt sind...................

§ 19. Einfluß der Momente fflc auf die Spannkräfte in den Stäben .    .    . 305

291

IV. Abschnitt.

Sicherung der oberen Gurtung einer Trogbrücke durch biegungsfeste Halbrahmen.

§ 20. Voraussetzung von Kugelgelenken an den Enden eines jeden Fachwerkstabes ...................

§ 21. Gelenklose, durch Halbrahmen gestützte Gurtung.......

309

326

V. Abschnitt.

Versteifung des gelenkigen Stabzuges durch einen Balken.

§ 22. Hängewerke und Sprengewerke...........

§ 23. Kette, versteift durch einen Balken.........

341

393

VI, Abschnitt.

Parabelförmige Einflußlinien.

<xn zen zen

Formeln und Tabellen................

Stabbogen-mit darüberliegendem Versteifungsbalken......

Benutzung der Tabellen für parabelförmige Einflußlinien bei der Berechnung mehrfach gestützter Balken..........

415

429

450

VII. Abschnitt.

Der biegungsfeste Stabzug.

§ 27. § 28.

478

Darstellung der Verschiebungen der Knotenpunkte Berechnung statisch unbestimmter, biegungsfester Stabzüge .    .    .    484

VIII. Abschnitt.

Der vollwandige Bogen.

zen zen zen

Allgemeine Gesetze........

Der Zweigelenkbogen.......

Der an beiden Enden eingespannte Bogen

503

513

556

Anhang.

Tabelle der Zahlen ws, w/>, w

Literatur.

ZWEITE ABTHEILUNG.

Form ver ander un g vollwandiger Träger. — Untersuchung statisch unbestimmter vollwandiger Träger. — Nebenspannungen in Fachwerken in Folge von starren Knotenpunktsverbindungen.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

I. Abschnitt.

Formveränderung des geraden Stabes. Anwendung auf Blechbalken.

i-ï

ZOO

8b

1. Die Normalspannungen. Auf einen geraden Stab mögen beliebig gerichtete, in ein und derselben Ebene gelegene Kräfte wirken. Die Kräfteebene enthalte die Mittellinie des Stabes und schneide jeden Stabquerschnitt in einer Hauptachse w; Fig. 1 u. 2. Die Spannungs-Nulllinie nn ist dann für jeden Querschnitt eine zur vv rechtwinklige Gerade und die Biegungslinie des Stabes — auch elastische Linie genannt — fällt mit der Kräfteebene zusammen.

-v

<r.

*o

TZ-

Jo

_u_

<//

__^___

Fig. 1.

Fig. 2.

In allen von der nn gleich weit entfernten Querschnittstheilchen entstehen gleich grosse Normalspannungen c, deren Grösse durch die Gleichung

(1)

N . Mv a = ~=r +

*) Y ergi. Band I, Abschnitt III, S. 48.

gegeben ist, wobei bedeutet:

F den Inhalt des Querschnitts,

J das Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug auf die zur v-Achse rechtwinklige Schwerachse uu des Querschnitts, v den Abstand des Querschnittstheilchens von der u-Achse,

M das Angriffsmoment, bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts,

N die Längskraft für den fraglichen Querschnitt.

Ausser den Normalspannungen ö werden noch Schubspannungen x hervorgerufen, welche aber vorläufig aus der Acht gelassen werden sollen.

Ist B die Mittelkraft der auf der einen Seite des fraglichen Querschnitts angreifenden äusseren Kräfte und r die Länge des vom Querschnitts-Schwerpunkte auf B gefällten Lothes, so ist

M — Br.

Die Zerlegung von B nach den Richtungen von Stabachse und v- Achse liefert die Längskraft N und die Querkraft Q.

Hinsichtlich der Vorzeichen werde für den besonders häufigen Fall eines wagerechten Balkens folgendes festgesetzt:

Wird B als Mittelkraft der links vom fraglichen Querschnitte angreifenden äusseren Kräfte aufgefasst, so sei

M positiv, wenn es rechtsdrehend (d. h. im Sinne des Uhrzeigers drehend) ist,

,,    ,, unten ,, oben

N positiv, wenn es von rechts nach links gerichtet ist Q positiv

+N

Bedeutet B die Mittelkraft der rechts vom Querschnitte angreifenden äusseren Kräfte, so werden M, Bf, Q im entgegengesetzten Sinne positiv gezählt; Fig. 3.

Fig. 3.

Positive Längskräfte N rufen demnach Zugspannungen hervor; positive Momente erzeugen oberhalb der u- Achse Druckspannungen, unterhalb derselben Zugspannungen. Positive Querkräfte verursachen im rechten Endquerschnitte des linken Stabtheiles abwärts gerichtete Schubspannungen.

Die Normalspannungen in den äussersten Querschnittstheilchen sind:

fei

tel

fei

(2)

J F W₀ ’

wo

(B)

W =

rr u

und W₀ =

e„

die sogenannten Widerstandsmomente des Querschnitts sind.

Durch Einführung der Momente, bezogen auf die in der v-Achse gelegenen Kernpunkte o und u, nämlich

M° = Rr₀ und Mu = Rru,

lassen sich die Gleichungen (2) auch auf die Form bringen:

(4)

Mu *)

w₀ •

Die Kernpunkte haben von der u- Achse die Abstände

M°

Go = —

(5)

Wu

w₀

2. Formänderungen infolge der Normalspannungen und Temperaturänderungen. Im Abstande v von der u-Achse ändert sich die ursprüngliche Entfernung cIx des betrachteten Querschnitts CC von dem unendlich nahe gelegenen Querschnitte C'C' um die Strecke

,1

(6)

A dxv = dx

wo E die Elasticitätsziffer (Elasticitäts-modul)

t ,, Temperaturänderung an der Stelle v (Fig. 2)

s das Yerlängerungsverhältniss für

do)

bedeuten. E und s seien in allen Punkten

des Querschnitts gleich gross angenommen, und t möge sich, ebenso wie a, nur mit v ändern. Für » = 0, v = eu, v = — e0 sei beziehw.

~«xt

Va.

t — ts, t tU) t    t₀.

Dann ist die Längenänderung des

rig. 4.

Theilchens dx der Stabachse

/    N    \

^wegen a — —— für v = 0 J :

(7)

Ä dx = dx

*) Vergl. Band I, S. 147 u. 71. Die früher gebrauchten Bezeichnungen cx, ot wollen wir jetzt durch aU) o₀ ersetzen.

während sich an den Stellen v = -f- eu und v — — e₀ der ursprüngliche Abstand der beiden Querschnitte um

hdxu — dx

(8)

(—4

V EF '

Meu

EJ

f £**)

beziehw.

kdx₀ = dx

C'

Me₀

EF EJ

ändert. Ist also die Höhe des Querschnitts —h, so beträgt der Winkel dû, um welchen sich die beiden Querschnitte CC und C' C' gegen einander drehen

t±dxu — A dx„

d. i.

(9)

d o> =

t’U to A

Ä /

dx.

EJ

Offenbar ist rfw auch der Contingenzwinkel der elastischen Linie des Stabes, d. h. der Winkel, welchen zwei unmittelbar auf einander folgende Tangenten der elastischen Linie mit einander bilden.

Sei beispielsweise AB ein ursprünglich wagerechter, am Ende B eingespannter, im übrigen freier Stab, der infolge irgend einer Belastung die Gestalt A'CB annimmt. Gegeben sei die Mo-mentenfläche (in Fig. 5 schraffirt), gesucht die Durchbiegung 6 am freien Ende. Zwei an den Stellen x und x Ą- dx an die elastische Linie gelegte Tangenten schneiden auf AA' die Strecke

A'

{\A__

<-----X---->i

k-----

Fig. 5.

ab, weshalb sich

(10)

H'

xd(j —

Ai

xd(ù =

¹ Mx dx

J EJ

x ( EJ

tu t₀\

I /

dx

’s«. — Q

x dx

ergiebt und im Falle überall gleicher Wei'the E, J, e, h, tu, t₀\

(11)

Mx dx + s(tu — t₀)

, d. i.

©If

EJ

-f- s(£» — 0

2h ’

wo (Sjvf das statische Moment der Momentenfläche in Bezug auf die Senkrechte durch A bedeutet.

Ist J veränderlich bei überall gleichem h¹), so schreiben wir

EJC

x d x -f- s (£„ — t„)

2h ’

unter Jc ein beliebig grosses aber konstantes Trägheitsmoment verstanden; sodann multipliciren wir die Ordinaten M der Momentenlinie mit den entsprechenden Werthen Jc : J und bestimmen das auf die Senkrechte durch A bezogene statische Moment @4 der so erhaltenen verzerrten Momentenfläche. Es ist dann:

(12)

EJC

l²

V/.

V/

Fig. 6.

Ist der Stab bei B nicht wagerecht sondern unter einem verschwindend kleinen Winkel eingespannt Fig. 6, so darf man die Gleich. 11. u. 12 auch auf den senkrecht gemessenen Abstand AA' = h anwenden, weil sich derselbe von der rechtwinklig zur Stabachse gemessenen Durchbiegung nur um eine verschwindend kleine Grösse höherer Ordnung unterscheidet.

3. Formänderungsarbeit infolge der Uormalspannungen.

Behufs gelegentlicher Verwerthung der in der Einleitung entwickelten Castigliano’sehen Sätze berechnen wir noch die Formänderungsarbeit A und den Ausdruck

Ai= A

+/

as t dV= A

+D

a st dx dF.

Der Einfluss der a auf A ist:

ff a²dxdF

¹ a²dV

Wir integriren zuerst über den Querschnitt, sodann längs der Stabachse und erhalten mit

Mv

und mit Beachtung der Gleichgewichtsbedingungen

adF = N,

ovdF = M,

für die Formänderungsarbeit den Werth

r dx r

J 2 F J

o²dF =

avdF+^\ adĄ

+)

’ N²dx

‘ M²dx 2 EJ

2EF ’

v,

ferner, wegen t —    —---

h

JJ

6 st dx dF =

J dx s J a (ts -{

tu — t₀

v)

dF

J st, Ndx -f- j S (tu — to)

weshalb schliesslich entsteht:

M²dx ^ J N²dx

(13) ' At = J

2 EJ

2 FF

j-J s(f« — O

dx

Die Integrale erstrecken sich über die ganze Stablänge.

Ausser den Formänderungen A dx und d w werden durch die a und t noch Aenderungen der Querschnittsabmessungen hervorgerufen, die aber als unwesentlich in den folgenden Untersuchungen vernachlässigt werden dürfen. Ein Beitrag zur Behandlung dieser Frage findet sich in des Verfassers Buch: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, Leipzig, Baumgärtners Buchhandlung 1886, § 22.

4. Die Schubspannungen. Für die im vorliegenden Buche zu behandelnden Aufgaben genügt hinsichtlich der Schubspannungen z die Beschränkung auf den Fall eines bezüglich der v- Achse symmetrischen Querschnitts. Ist die Querschnittsbreite 2 z eine stetige Funktion von v (Fig. 7), so wird durch die Querkraft Q in irgend einem Punkte D des Querschnitts eine Schubspannung x hervorgerufen, welche die v-Achse in einem Punkte H schneidet, dessen Lage man erhält, indem man durch D die der u-Achse parallele Sehne AB und in B eine Tangente BH an den Querschnittsumfang zieht.²) Zerlegt man r in die Seitenspannungen zv senkrecht zur v- Achse und xu senkrecht zur u-Achse, so ist:

(14)

QS

; t. = t. tg <p —

Z

wobei S das auf die u- Achse bezogene statische Moment des einen der beiden durch die Sehne AB begrenzten Quer-schnittstheile (z. B. des Theiles ABC)

.....- z—

i\

~Ö-\

J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts bezogen auf die u - Achse und 9 den Winkel bedeutet, welchen die in B an den Querschnitt gelegte Tangente mit der v- Achse einschliesst.

5. Formänderung infolge der Schubspannungen.

Fig. 7.

Den Einfluss der Spannungen r auf die Formänderung des Stabes werden wir mit Hilfe des Castiglianoschen Satzes von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit A ermitteln und bestimmen daher zunächst den von den Schubspannungen abhängigen Theil von A. Derselbe beträgt für den hier stets vorausgesetzten Fall eines konstanten Gleitmoduls G nach Seite 47, Gleich. 50, der Einleitung³):

(zl + T l)dV

dx

(xl -f- t;l) du dv

dx

t:(i +tg²9 -~)

du dv

du d. i.

Jdx j~ldvJ(l + tg²9

(15)

Beispielsweise ist für einen Bechteckquerschnitt von der Breite b und der Höhe h = 2 e :

Man erhält

dx

9 Q² b

T 'W 2

₂    9 = 0-

dv,

und da

dv =

16

15

15 b

ist

(16)

Q²dx

Für den Kreisquerschnitt vom Badius e ist

A--L

cos² cp, z = e cos 9, v = e sin 9

+ 4-

dx

rf-l-

tg² 9^ cos² cp dtp,

~T

und wegen

+ ir

I cos⁴ cp (

**    71

71

1 + — tg² 9 ) cos² 9^9 =

O    /

CM CO

^(2 cos⁶ 9 -|-cos49) ^9

F CO

T"

(17)

16

27G

Q²dx

F

Allgemein darf gesetzt werden

(18)

Q²dx

2£

wobei x eine von der Gestalt des Querschnitts abhängige Zahl bedeutet. Für das Bechteck ist x =

Wir haben bereits im ersten Bande (Seite 81) unseres Werkes darauf hingewiesen, dass die Gleichungen (14) unbrauchbar werden, sobald die von v abhängigen Grössen 0 und 9 stellenweise unstetig sind, ein Fall, der gerade bei einem der wichtigsten Querschnitte, nämlich dem Querschnitte des Blechbalkens vorliegt. Hier empfehlen wir allen überflüssigen Feinheiten der Bechnung durch die Annahme aus dem

und für den Kreis x

32

27

Wege zu gehen, es vertheile sich die Querkraft Q nur über den Querschnitt Fs des Stehhlechs, über diesen aber gleichmässig. Es ergiebt

sich dann ru =

Fs ’

xv = 0 und

(19)

fQ²d

J *

x.Q²dx

2 gJ F

die Ziffer x ist hiernach für den BlechbalJcenquerschnitt x = F : Fs ; dieselbe ist im allgemeinen für verschiedene Querschnitte desselben Balkens verschieden gross.

Bedeuten Sg und Jg bezieh, das statische Moment und das Trägheitsmoment der aus Winkeleisen und Kopfplatten bestehenden Gurtung, bezogen auf die u-Achse, ferner hx die Höhe und 8 die Stärke des Stehblechs, so hat man in die Formel

QS 2z J

einzusetzen :

Sc —

-4- St>² und 2z

2

S = Sg + ± 8V-{8^² =

und erhält dann, bei Vernachlässigung der Schubspannungen in den Gurtungen:

)*

. dv

r xQ²dx

Z6

-woraus sich ergiebt:

Fhx

J²8

Sl-

Fhx

J²S

1 V

— 8v² 1 dv

; k

0.5

—-r

12

320

[(*+£)

720

- h -60

8 ²/j 4

Das Glied —darf stets gegen

//. 1Î. 1,o-

Fig. 8.

vernachlässigt werden ; setzt

man dann noch Jix : 8 — lix : Fs, wo Fs den Stehblechquerschnitt bedeutet, so findet man schliesslich:

[M

S.+ ' SV

>1

Für die m Fig. 8 angegebenen Querschnittsabmessungen ist z. B.:

24.66² — 2 .0,5.60² — 2 . 10.58² — 2 . 1,0.48² — 1,0.60² = 3182

J— — 24.66» — 2.0,5.60³ — 2 .10.58³ — 2 . 1,0.48³ = 213373

12

8 — 1,0 h₁ = 60 mithin F T60 (3182 + 300)'

Fs

213373

— 0,96

Fa

Lässt man die Kopfplatten weg, so erhält man

24

(66² — 60²) — 914

Sg = 3182 —

= 213373 —

24

(66³ — 60³) = 70002

12

F r60(914 + 300)1²_

[    70002    ~    —

In Anbetracht der immerhin unsicheren Grundlage der heutigen Theorie

F

als genügend genau an-

Fs

1,07

der Schubspannungen muss der Werth x = 1,0 gesehen werden.

Fs

Es liege nun ein wagerechter Stab AB von konstantem Querschnitt vor, Fig. 9, der bei B eingespannt ist und am Ende A durch eine zur Stabachse rechtwinklige Einzelkraft P beansprucht wird. Ge-sucht sei die ausschliesslich von den Schub-Ip Spannungen abhängige Verschiebung hm des im Æ Abstande xm von B gelegenen Punktes m der ^ Stabachse.

Bringen wir in m und in der Richtung von 5m die nachträglich =0 zu setzende Last Pm an, so erhalten wir

k-

L_j27&r

Fig. 9.

dA

cP

gfJq

dQ

dP

J- m

dx.

Nun ist für x xm :

Q — P Pm,

dQ

dPm

,, x xm .

dQ

’ dPm

0 also

Xm

hm

— f

gfJ

Pdx d. i.

(20)

y.Pxm

um

Die Stabachse bleibt hiernach geradlinig und erfährt eine Neigung

(21)

xP

xm

GF ’

Dass m nur eine Verschiebung rechtwinklig zur Stabachse erleidet, nicht etwa noch eine solche in der Richtung der Stabachse, geht daraus hervor, dass eine mit der Stabaehse zusammenfallende Pm keinen

Einfluss auf Q ausübt, woraus dann

dQ

dP

0 und bm — 0 folgt.

Zieht man also bei dem in

Figur 10 dargestellten Belastungsfalle (Freiträger AB mit Einzellasten P„ P₂, . . . Pn) nur den Einfluss der Schubspannungen x in Betracht, so ergiebt sich als elastische Linie des Stabes ein geradliniges Polygon. Entsprechen den Stababschnitten xx, x₂, . . . ad die Nei-

ài

r--

Xl5 X₂, . . . die Wert' und F,, F₂, ... so gungswinkel <x,, a₂ , a₃ . . . der Polygonseiten:

M_i__U3t

II

ai =

*1 Qi GF,

a₂

^2 @2

gf₂ ’

a3

GF₃ ’

U. S. W.

Fig. 10.

WO Q,- P,, Q₂- Pi ^2 f Q3    F₂~\- P₃

Der Winkel a₂', den die beiden Polygonseiten links und rechts von P₂ mit einander bilden, ist

u. s. w.

)•

i-(

^2 (?2

Qi

u₂' =

Bei überall gleichem Querschnitte (F, — F₂ = F₃ = . . . = F und x, — x₂ = x₃ = . . . = x) geht Gleich. (22) über in

~gfF2

und es ergiebt sich hiernach ein der Last P₂ proportionaler Werth o₂\ Die Verschiebung § des Endpunktes A des Stabes wird

Qx\

GF ’

(22)

(23)

(24)

(0g    -

S = ol, Xj —f— cc₂ X₂ —J— . .. — 2 otX — h

und bei überall gleichem Querschnitte:

GF

T Y"1 + 1T+T(*■ — *•) JJ,sEJ Tr' + 1T + T —i*

§ 5.

^0 G0 0 H- ai Q'i + k') ^01 a2 k C0

§ 7.

— r—-

-- ê,—

Mr

^PmKb

i=xEF ^ r

!» !» Mb ( 1,

2 (Mr., + Mr)

(4 + 6a) M! + (1 — 4a) M2 + aM2 = Z* (1 — 4 a) Mx -f (4 + 6 a) M2 + (1 — 4 a) M2 -j- = Z2;

Lr

12

2,82

< Ä. >

j P&18 A As P29 A As p

§ 21.

l* — 4~-t 4

(33)

Sodann tritt die Aufgabe der Ermittlung der Stütze

Aßrnm

(1)

1 2 (Ji + h) .

(? —y+ 0,098y)-

   g

43 = ~3 bzw- '1>4 = V>

(I)

(11)

3/

L„= <?B — 9 A

jl-Xjinie

16° o o

¹

Bei Anwendung der obigen Formeln auf Blechbalken empfiehlt es sich, unter h die in der Regel konstante Stehblechhöhe zu verstehen. Die Veränderlichkeit von J ist dann eine Folge verschieden grosser Gurtquerschnitte.

²

Vergl. auch Band I, Seite 80.

³

Siehe Abtheilung 1 dieses Bandes.

GF

(25)

GF

wo den Inhalt der in Fig. 10 durch Schraffirung kenntlich gemachten Querkraftsfläche bedeutet.

Das eigenthümliche Ergebniss einer aus geraden Linien bestehenden elastischen Linie hat natürlich seinen Grund in der ungenauen Ermittlung der Schubspannungen in der Nähe der Lasten P; denn die Annahmej einer sprungweisen Aenderung der Schubspannungen ist nur ein Nothbehelf, geboten durch die Unmöglichkeit, den Spannungszustand an den Angriffsstellen der Lasten P schärfer zu bestimmen.

Ist die Belastung eine stetige, so wird auch die Krümmung der elastischen Linie eine stetige. An die Stelle der P treten Lasttheil-chen pdx, wo p die Belastungsordinate bezeichnet. Bei überall gleichem Querschnitt geht dann Gleich. 23 über in

dt)' =

(26)

y.'pdx GF'

während sich bei veränderlichem Querschnitte aus Gleich. (22)

SS.

(27) da' —

dx

dx —

p+Q

ergiebt. Für den letzteren Fall empfiehlt es sich jedoch, die stetige Belastung durch nahe an einander liegende Einzellasten zu ersetzen und die Gleichung 22 anzuwenden. Den einzelnen Stabtheilchen sind konstante mittlere Werthe x und F zuzuschreiben.

Schliesslich sei noch an die zwischen den Elasticitätsziffern G und E bestehende Beziehung

(28)

mE

2 (1 -J- m) erinnert, wo m die Werthziffer der Querdehnung bedeutet. Für Schweiss-eisen und Flusseisen ist m — 3 bis 4 also

(29)

3    2

— E bis — E.

§ 2.

Die Biegungslinie.

6. — Da die Biegungslinie eines steifen Stabes eine sehr flache Curve ist, so darf die Strecke, welche zwei aufeinanderfolgende Tan-

und die Biegungslinie ist dann die Seillinie einer stetigen Belastung, welche an der Stelle x die Höhe

J/“-⁷ \ß

(m—rj I m    I(m+i) A

genten auf einer im Abstande 1 von der Berührungsstelle gezogenen Senkrechten abschneiden, gleich 1 . d(ù gesetzt werden, wo do den Con-tingenzwinkel bedeutet, Fig. 11. Daraus folgt aber, dass die Biegungslinie als Seillinie senkrechter Lasten d o auf gefasst werden darf; die Polweite ist — 1 zu nehmen, oder besser = 1 : v, damit die Durchbiegungen in v-fâcher Vergrösserung gewonnen werden.

Wird zunächst von dem Einflüsse der Schubspannungen abgesehen, so ist nach Gleich. 9, Seite 6:

/ M V KJ

did =

lu io ^

h )

dx

(1) «

EJ

tu t'O

fl

hat.

]B

A'

B’

Ist der Balkenquerschnitt konstant, so empfiehlt es sich, die Belastungshöhe

(2) 0 = M- f- s EJ

tu ta

y doj\

Fig. 11.

einzuführen und die Seillinie mit der Polweite EJ (bezvv. EJ\J) zu zeichnen.

Ist dann tu — t₀ = 0, so wird sehr einfach z — M, d. h. die Momenten-fläche wird zur Belastungsfläche der zu zeichnenden Seillinie.

Bei veränderlichem Querschnitte werden wir in der Regel die elastische Linie als Seillinie der Belastung

(3)

Je

tu t₀

deuten, wo deutet, werden.

-j- sEJc

Jc ein beliebig grosses konstantes Trägheitsmoment be-Die Polweite muss dann = EJC (bezieh. EJC : v) genommen

Ist die Seillinie gezeichnet, so müssen behufs Bestimmung der Durchbiegungen rj noch zwei Bedingungen zur Festlegung der Schlusslinie A'B' gegeben sein. In Fig. 11 ist HB als ein Feld eines über mehrere Stützen gestreckten Balkens gedacht; die Stützpunkte sind in senk-und zwar ist hierbei vorausgesetzt, dass eine auf den Balken etwa wirkende stetige Belastung durch eine Gruppe von Einzellasten ersetzt worden ist. Dabei sind xOT, Fm Mittelwerthe für die Strecke (m — 1) — m.

Besitzt x : F für alle Querschnitte des Balkens denselben Werth — ein Fall der nicht nur bei konstantem Querschnitte, sondern auch bei Blechträgern mit überall gleichem Stehblechquerschnitte Fs vorliegt, weil bei diesen ja x : F — 1 : Fs ist, Seite 11, so ist

(5)

wm

y.EJc

GF und es ergiebt sich hiernach das Zusatzgewicht w proportional den Lasten P.

Denken wir uns nun' den Einfluss der Schubspannungen auf die Durchbiegungen gesondert mit Hilfe eines Seilpolygons dargestellt, wel-

xP

ches mit der Polweite 1 zu den Gewichten w

rechter Richtung unverschieblich angenommen und die Schlusslinie ist mit Hilfe der Bedingungen 7]^ = 0, rjB = 0 bestimmt worden.

7. — Soll auch der Einfluss der Schubspannungen berücksichtigt werden, so treten zu der 0-Belastung (welche nach Gleich. 3 bestimmt sein möge) in den Angriffspunkten m der Lasten Pm nach Gleich. 22, Seite 13 noch die Einzelgewichte

EJC h 1 Qm+1

G\

(4)

wm —

*)

F„

*+i

F,

gezeichnet ist

und welches, auf die Schlusslinie A'B' bezogen, die Ordinate 7)' besitzt, so muss sich, da die Momentenlinie A"CB" (Fig. 11) ein mit derselben Polweite 1 gezeichnetes Seilpolygon der Lasten P ist, offenbar verhalten:

xP

GF

und daraus folgt das überaus einfache Gesetz:

Der Einfluss der Schubspannungen auf die Durchbiegung ist

(6)

f

■¹)

y.M₀

In der Regel wird es genügen, sich an der Hand des vorstehenden Ausdrucks, über den Einfluss der Schubspannungen auf irgend eine Ordinate der Biegungslinie (in der Nähe von t]max) zu unterrichten.

Sind die Durchbiegungen eines Blechbalkens von veränderlichem Querschnitte für eine Reihe verschiedener Belastungsfälle darzustellen , so ist die folgende Abänderung des bisher eingeschlagenen Weges von Vortheil. Dieselbe stützt r-, sich auf den Satz, dass man jedes ein-zelne Gewicht w eines Seilpolygons durch ein kleineres w' oder ein grös-seres w" ersetzen darf,

•>!

wenn man nur die Polweite H in demselben Verhältnisse verkleinert oder vergrössert. Vgl.

Pig. 12, in welcher I und II zwei aufeinander folgende Seiten eines Seilpolygons sind.

Es liege nun der Träger in Fig. 13 vor; sein Querschnitt sei sprungweise veränderlich und besitze innerhalb der Strecken ACx, CXC₂, C₂C₃, . . . die Trägheitsmomente Jx, J₂, J₃, . . . Gesucht sei nur der Einfluss der Momente M auf die Durchbiegungen. Die Momentenfläche sei zur Belastungsfläche gewählt und so in Streifen zerlegt, dass die

!<-

W—ff'-* H“--------->

Fig. 12.

Y TV

JÄ g

Fig. 13.

Senkrechten durch die Punkte C\, C₂, . . . auch Grenzen von Streifen sind. Betrachtet man nun die Inhalte der Streifen als Gewichte und zeichnet man zu denselben in einander übergehende Seilpolygone, deren Polweiten bezieh. = EJX, EJ₂, EJ₃ . . . sind und welche bezieh, die den Theilen ACX, CXC₂, C₂C₃, . . . entsprechenden Streifengewichte verbinden, so erhält man ein der elastischen Linie umschriebenes Polygon; dasselbe wird häufig ein Seilpolygon mit veränderlicher Polweite genannt.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

Aendert sich die Belastung des Balkens, so braucht man nur die Momentenlinien neu zu zeichnen, während bei dem Verfahren nach

(M )

No. 7 noch die Neuberechnung der verzerrten Momentenlinie

erforderlich ist. Den Einfluss der Schubspannungen beurtheile man für sich mittels Gleich. 6 ; im vorliegenden Falle ist M₀ = M.

Zahlenbeispiele,

a. Durchbiegung einer Blechbalkenbrücke. Fig. 14 stellt den Hauptträger einer eingleisigen Blechbalkenbrücke dar; derselbe besteht aus einem Stehbleche von 130 . 1,0 cm. aus Winkeleisen von

6,Sł 6,0t 6,5*

*.S*

jj*

l:/SO

*4*,

/-O^

o⁵«

/_ ---Q8>

3,00rn-

ffte

*-•

JU

—I-

-16,0

49,7

•*r

"X

f--------■.

K-----8,9-

J2,*h

-X

-X

4:1

5,0

2 mtn=1 qtn.

±_

o,

Fig. 14.

10 . 10 . 1,2 cm und aus Kopfplatten von 24,5 . 1,0 cm, Fig. 15. Das Trägheitsmoment des Querschnitts beträgt ohne Abzug für Schwächung durch Niete

bei 0 Platten «7₀ = 531500 cm4 „ 1 Platte Jt= 741700 „

,, 2 Platten J₂ = 95 8400 „

„ 3 Platten J₃= 1181700 „

Auf den Träger wirken fünf Raddrücke von 6,5 bez. 4,5 t. Gesucht sei deren Einfluss auf die Durchbiegungen.

max

Zuerst wurde die Momentenlinie gezeichnet. Die Polweite beträgt jy—20 t, die grösste Ordinate ist = 3,00 m, mithin ergiebt sich M — 20.3,00 = 60 tm = 6000 tcm

Nun wurde die Hälfte der Momentenfläche in 6 Streifen zerlegt und deren Inhalte zu

0,23    0,61    1,06    1,64    4,19    4,03 qm

EJ

ermittelt. Die Polweiten dieser Streifengewichte mussten nach der Formel

berechnet werden, weil die Ordinaten der Momentenlinie gleich den durch H dividirten Momenten sind. Das Verzerrungsverhältniss v:l ist 150.4:1 = 600:1, denn der Träger ist im Massstab 1:150 gezeichnet, die Biegungslinie hingegen im Massstabe 4:1. Hiernach ergab sich, mit E = 2000 000 k = 2000 t für das qcm:

10. 10-12

; 'ido 1

2000 J

-J qcm

also für die Streifengewichte 1-und 2:

20.600

JL

----->

Fig. 15.

für den Streifen 3:

£> = — • 53 1500 = 88 583 qcm = 8,9 qm _ 1

§ = —• 74,17 = 12,4qm 6

für den Streifen 4:

1

£) = —-— 95,84 = 16,0 qm

1

für die Streifen 5 u. 6: $ = — • 118,17 = 19,7 qm.

6

nur

Wegen der symmetrischen Belastung wurde die Biegungslinie für die eine Hälfte des Balkens gezeichnet. Die grösste Durchbiegung ergab sich = 5,00 mm.

In Folge der Schubspannungen wächst dieser Werth um Y.M

gIf ~ 2 EFS‘

Der Stehblechquerschnitt ist Fs = 130 qcm, mithin folgt 5    6000

= 0,06 cm = 0,6 mm.

7j =

2~ 2000 . 130

Der Einfluss der Schubspannungen beträgt also 12 °/₀ des zuerst gefundenen Werthes.

Zu einer einfachen und genügend genauen Näherungsformel für die grösste Durchbiegung führt folgende Betrachtung.

T) 1    'fl IC*

Für einen gleichmässig belasteten Balken ist M= —x--— und, bei

konstantem J, ohne Rücksicht auf den Einfluss der Schubspannungen:

il

(I)

¹ i'(Pl x PX*\ EJ J { 2    2 )

⁵ Pl

384 EJ

5 Mmax

4SEJ ’

Wird der Querschnitt, bei überall gleicher Höhe, in solcher Weise veränderlich angenommen, dass die Beanspruchung a konstant ist, so besitzt M:J einen festen Werth, und es ergiebt sich dann

(II)

EJ

xdx

6 Mmax TÀ

48 EJ ’

jl-

-- fl------;

wo J das Trägheitsmoment des stärkst beanspruchten Querschnitts bedeutet.

Beim Blechbalken mit sprungweise veränderlichem Querschnitte liegt 8 zwischen den Werthen I und II und

zwar etwas näher an I. Setzen wir 5,4 _ 9

Fig. 16.

Mmax

rund 4- statt

9    48

fügen wir noch den Einfluss der Scheer-kräfte hinzu, so erhalten wir ,    5 Mmax

48    80

und

9 EJ

2 EFS ’

im vorliegenden Falle also

6000.1340²

5    6000

2 2000.130

— 0,56 cm,

9.2000.1181700

d. i. ein mit dem oben gewonnenen übereinstimmendes Ergebniss. Für die Anwendung der Näherungsformel spricht noch der Umstand, dass auch die sogenannte genauere Berechnung an Voraussetzungen gebunden ist, die nicht streng erfüllt sind.

b. Durchbiegung einer geöffneten Sehwedlerschen Drehbrücke. (Tafel 1). Ist die Brücke geschlossen, so ruht jeder Hauptträger auf den Stützen A, B, C. Bei B und C werden feste Unterlagsplatten angeordnet, bei A hingegen ein bewegliches Auflager, welches gesenkt oder beseitigt werden kann, beispielsweise ein umlegbares

Pendel. Soll die Brücke geöffnet werden, so wird sie bei A so weit gesenkt, dass sich die Träger bei B und C von den Lagern abheben und nur noch auf dem Drehzapfen D und einem Stützrade L ruhen. Ein Gegengewicht G am Ende A bewirkt, dass sich der Schwerpunkt der Brücke, welcher senkrecht über D angenommen werden darf, etwas

"T

vT"

i JüuH

i—*

--

bs-

<3

Fig. 17.

ff

k----a

r ■

-kB'-

_.v

k----x - -

i Hgt*

Aff*²

Fig. 18.

nach A hin verschiebt; dasselbe wird in der Regel so bemessen, dass das Stützrad eine Belastung von 5 t erfährt, woraus sich

G = 5 Tonnen 0

ergiebt. Die ständige Belastung darf als gleichförmig vertheilt angesehen werden. Die Momentenfläche besteht dann bei geöffneter Brücke zwei Parabelflächen ADD' und CDD (Fig. 18) von der Höhe

J ab² und einem Dreieck von der Höhe Ga. Die Scheitel der Pa-2 y

rabeln liegen bei A und C.

Die Brücke diene zur Ueberführung einer zweigleisigen Eisenbahn

aus

und besitze zwei Hauptträger. Es sei <²=13,8m, r = 3,5m,    17,3m,

^ = 18,1 m, l₂ = 16,5 m, c=0,8 m. Die Querschnittsabmessungen sind auf Taf. 1 angegeben. Hiernach sind die Stehblechabmessungen 140.1cm bis 164 . 1,2 cm, die Abmessungen der Winkel 10 . 10 . 1,3 und 11.11. 1,4 cm, der Kopfplatten 40 . 1,3 cm. Die ständige Belastung beträgt 1,3 t für das Meter Gleis. Von dem Gegendrücke 5 t des Stützrades L entfällt auf jeden Hauptträger der Betrag 2,5 t, und es ergiebt sich daher für jeden Hauptträger ein Gegengewicht

Ferner ist

G= 2,5 •

Md

3,5

17,3

= 0,5 t.

195 tm und

Ga = 0,5 . 13,8 = 7 tm,

wodurch die auf Tafel I blau geränderte Momentenfläche bestimmt ist. Dieselbe ist im Massstabe 1 mm = 4,5 tm gezeichnet; ihre Ordinaten sind mit dem veränderlichen Verhältniss Jc : J zu multipliciren, wo J das Trägheitsmoment des Querschnitts an der fraglichen Stelle und Jc ein beliebig grosses konstantes Trägheitsmoment bedeutet. Ueber die Werthe

J giebt der schwarz geränderte Linienzug Aufschluss; es schwankt J zwischen 666 386 cm⁴ und 3 356 824 cm⁴.

Für Jc wurde der Werth

2 500000 cm⁴ = 0,025 m⁴ gewählt.

Je

Nach Gleich. 3, Seite 15, bildet z = M —— die von den Normal-

Spannungen abhängige Belastungsordinate der Seillinie; zu derselben tritt als Einfluss der Sonnenbestrahlung der oberen Gurtung:

to

Zt =

wobei mindestens t₀ — tu= 10° Cels. zu setzen ist, weshalb, wenn für h die Stehblechhöhe (1,40 bis 1,64 m) eingeführt und s = 0,000012, E— 20000000 t f. d. qm, also si?= 240 angenommen wird,

10

1,40

• 240.0,025 = 43 tm

• 240.0,025 = 37 tm.

bis zt —

10

1,64

Behufs Berücksichtigung der Schubspannungen nehmen wir, entsprechend den Einzelkräften

G = 0,5 t, L — 2,5 t

D = 2gb G — L = rund 43 t,

5 PJC 2 Fs

0,0164. 1,2 qm) berechneten und auf Tafel 1 mit den Ziffern 1, 11, 15 bezeichneten Gewichte an:

die nach der Formel wm —

xP

EJC = —

(wo Fs = 0,0140 bis

wx

w\i =

wu> g

--0,5

2

ł •²’⁶

-•43

0,025

0,014

0,025

0,014

0,025

= 2 t.m²*)

= 11 t.m²

= 138 t.m²

0,0164.1,2

während wir als Einfluss der ständigen Belastung g = 1,3 t die Lasthöhe

5 gJc

2 Fs

d. i.

• 1,3

0,025

6tm bis zs = — • 1,3

u

0,025

0,0164 . 1,2

= 4 tm

0,014

in Abzug bringen. Damit ist die (roth geränderte) Belastungsfläche der als Seilpolygon darzustellenden Biegungslinie bestimmt; die Inhalte der einzelnen Streifen sind, in t.m² ausgedrückt:

No.

Inhalt

No.

Inhalt

No.

Inhalt

57

48

84

102

wH

149

194

209

223

0<MCO^COC~GOCS

258

510

82

86

153

98

347

359

fcOtOtOtOtOtOtsOtNO -4 Ci Ü»    05 to

255

189

171

128

60

73

52

62

Der Längenmassstab der Trägerzeichnung ist 1 : 240, während die Durchbiegungen im Massstabe 2 : 3 dargestellt sind. Daher ist

v = 240 •

— 160

und die Polweite

EJe

20000000.0,025

160

3125 t.m².

*) Dieses Gewicht konnte seiner Kleinheit wegen nicht aufgetragen werden.

an den Hauptträgern angreifen, sondern zunächst auf elastische Zwischenträger wirken. Der Zapfenträger EF (vergl. die den Grundriss des mittleren Theils der Brücke darstellende

Zu beachten ist noch, dass die Gegendrücke von Drehzapfen und Stützrad nicht unmittelbar

Fig. 23) habe eine Stützweite von 100 cm und sein Querschnitt ein Trägheitsmoment von 200 000 cm⁴; seine Durchbiegung beträgt nach

§1

i.

bl

k-

500-

-Hy

TC

Fig. 24.

Fig. 23.

der für den Belastungsfall in Fig. 24 gültigen Formel

, mit D = 43 t,

1 Da³

3 EJ

8' = —

43 . 50 ³

3 2000.200000

cm,

während sich für die den Zapfenträger aufnehmenden Querträger, deren beide Querschnitte zusammen .7= 1750000 cm⁴ haben mögen

43 . 250³

8" =

3    2000.1750000

cm

ergiebt. Man findet 5r -j— 5= 0,7 mm; und um diese Strecke liegt der Stützpunkt D in Fig. 21 (Tafel 1) oberhalb der dort gezeichneten elastischen Linie des Hauptträgers.

Der Gegendruck des Stützrades wird hauptsächlich von dem dicht neben diesem Rade gelegenen Querträger aufgenommen. Mit 7= 400 000 cm⁴ erhält man

2,5 . 250³

8'" =

3 2000.400000

= 0,016 cm = 0,2 mm.*)

Bedeutet nun bei geschlossener aber unbelasteter Brücke (Fig. 19)

%ja den Abstand von Unterkante Zapfen bis Oberkante Spurlager,

Schiene,

Stützrad ,,

*) Dieser Werth ist meistens vernachlässigbar.

yä die Durchbiegung an der Stelle D in Folge des Eigengewichts, yî desgl. an der Stelle L³) und nimmt man

yaĄ~ yl = 1,3 mm tfi + yî — 18 mm

an, so erhält man die in Fig. 21 eingezeichnete Lage der Stützpunkte A, B, C gegen die Biegungslinie der geöffneten Brücke und erkennt, dass sich beim Senken des Auflagers A der Träger vom Auflager B um 1,0 mm abhebt, vom Auflager C um 19 mm. Dies genügt für das Ausschwenken der Brücke. Bei A findet eine Senkung um 120 mm statt, und es muss daher die Vorrichtung zum Heben und Senken mindestens einen Hub von 120 mm erhalten. Damit aber auch bei A ein Spielraum bleibe, empfiehlt es sich, den Hub bis auf etwa 125 mm zu ver-grössern.

ccr>

co

Der an beiden Enden eingespannte gerade Stab.

9. — Die Untersuchung eines an beiden Enden eingespannten geraden Stabes leiten wir durch die Lösung der folgenden, auch für andere Untersuchungen wichtigen Aufgabe ein. Ein frei auf zwei Stützen ruhender wagerechter Stab AB von überall gleichem Querschnitte sei mit lothrechten Kräften P belastet. Ausserdem mögen an den Stabenden Kräftepaare angreifen, deren Momente gleich MÄ und MB sind. Es sollen die Neigungswinkel <x und a." der Endtangenten der elastischen Linie berechnet werden. Eig. 25.

Ist ACB ein mit der Polweite 1 gezeichnetes Seilpolygon der Lasten P, so ist die schraffirte Fläche ACB die Momentenfläche eines einfachen Balkens A B, der nur von den Lasten P beansprucht wird, an dessen Enden also die Biegungsmomente gleich Null sind. Treten nun die Momente MA und MB hinzu, so ist die Schlusslinie AB durch die Schlusslinie A'B' zu ersetzen, und letztere ist bestimmt durch AA'=Ma, BB' — Mb. Dem Balkenquerschnitt C entspricht dann das Biegungsmoment M=CC'.

Die schraffirte Fläche in Fig. 27 pflegt man die einfache Momentenfläche des Balkens AB zu nennen; ist ihre Ordinate an der Stelle x

mm

gleich d/₀, so erhält man

(1)

M =    +fiT =m₀ + IC, -y- + 3G ~-.

In ähnlicher Weise mögen auch die Auflagerwiderstände M^und I? durch die Endmomente MA, MB und durch die dem Falle MA = 0, Ms=0 entsprechenden Widerstände A₀, B₀ (Fig. 28) ausgedrückt

JL

2i

Fig. 25.

Ci

..y

io_____

Fig. 26.

Fig. 27.

--'TM

M'r'"

jg | je %

I*

. 4: v

->*

Fig. 28.

i.

tp :

Al

r;

Fig. 29.

7-

A,

werden. Dazu beachte man, dass die Endmomente für sich allein zwei entgegengesetzt gleiche Stützenwiderstände A' (Fig. 29) hervorrufen, welche durch die Gleichgewichtsbedingung

(2)

A'l -f- Ma — Mb= 0 gegeben sind. Man gelangt dann zu den Formeln:

(3)

B = B₀ +

Ma — Mb

A = A₀-t

Mb — Ma

und erkennt auch ohne weiteres, dass für die Querkraft an irgend einer Stelle die Gleichung

(4)

Q — Qo +

Mb — Ma

gilt, wobei Q₀ die Querkraft für den Fall MA = 0, MB = 0 bedeutet. Die Q₀-Fläche (auch einfache Querhrafts fläche genannt) ist in der Figur 28 dargestellt worden.

Behufs Ermittlung der gesuchten Winkel a.", <x! bestimmen wir die von den Endtangenten der elastischen Linie auf den Senkrechten durch A und B abgeschnittenen Strecken h" = <x"l und h' == <x'l (Figur 26) mit Hilfe der im § 1 abgeleiteten Formeln 11 und 25 und finden, wenn wir die statischen Momente der Momentenfläche A ACBB' (Fig. -J7) in Bezug die auf linke und rechte Auflagersenk-rechte mit 2 bezw. ïït bezeichnen und eine ungleichmässige Erwärmung des Balkens in Betracht ziehen, die Gleichungen:

(5)

a'l

8 , ,

EJ + Zta to)

l²

GF

l²

EJ

2h

GF

wo i$q den Inhalt der Querkraftsfläche bedeutet. Das Minuszeichen des letzten Gliedes von a 'l ergiebt sich aus der auf Seite 4 gemachten Festsetzung, dass die Querkraft Q als Mittelkraft der rechts vom fraglichen Querschnitt wirkenden äusseren Kräfte in entgegengesetzter Richtung positiv gezählt wird, wie als Mittelkraft der äusseren Kräfte links vom Querschnitte.

Nun besteht die Momentenfläche A'ACBB' aus dem Trapez A'ABB' und aus der einfachen Momentenfläche A CB. Das statische Moment der letzteren, bezogen auf die Senkrechte AA' sei gleich S₀ und bezogen auf die Senkrechte BB' gleich 97₀. Dann findet man nach Zerlegung des Trapezes in zwei Dreiecke:

(6)

p_g i M-1 1 i M 21 ^ —    2    3^2    3

MBl

MJ 21

Die Querkraftsfläche setzt sich zusammen aus der einfachen Querkraftsfläche (Pig. 28), deren Inhalt g = A₀ lx — bt — P₂ b₂ . . . — Pnbn — 0 ist und aus einem Rechteck (Fig. 29) von den Abmessungen A' — -—(Mb — MA) und 1, weshalb sich

' %Q = MB—MA

ergiebt.

Die Einführung dieser Werthe in die Gleichung 5 führt zu den

Formeln

EJa." =

EJ

0)

G Fl

2h

EJa.' =

Mb) -(- (tv —1₀) —— £ E J ;

2h

f&\

K'

A'

kr"

X ;

I k— e---M *— -2-— >}

f-

>1

dieselben lassen sich aber noch wie folgt vereinfachen, durch die Endmomente MA und Mb bestimmte Gerade A B' deren Neigungswinkel ß sein möge, Fig. 30, schneidet auf den Drittelsenkrechten (das sind die Senkrechten, welche die Stützweite l in drei gleiche Theile zerlegen) die Strecken

Die

Fig. 30.

J J' = — (Ms -f~ 2 Ma) bezw.

O

KK'= — (Ma+2Mb)

6

ab, und auf den Senkrechten (y') und (y") im Abstande

(8)

c =--2 x

EJ

G Fl

von A bezw. B die Strecken:

Y' = JJ' — 2x

EJ

EJ

tgß=— (MB-\-2MA)— 2x

O

T    -j

tg ß — ~ {Ma -j- 2 Mb) -j- 2 x

O

Daraus folgt aber, dass die Gleichungen 7 auch geschrieben werden

GFl

G Fl

2 (M*—Ma)

Y"=KK'-f 2x

GFl

EJ

GFl

y(Mb — Ma).

dürfen :

(10)

Tr, + T - + «--*4

EJa.' = — Y'l +

EJ<x" =

zEJ

&EJ.

Diese Fassung erweist sich namentlich dann als sehr nützlich, die im Vorstehenden behandelte Aufgabe umgekehrt wird, wenn also die Winkel a und a gegeben sind und die Momente MA und MB gesucht werden, ein Fall der vorliegt, sobald ein an beiden Enden eingespannter ursprünglich " wagerechter Stab zu untersuchen ist, dessen Enden sich infolge der Nachgiebigkeit der Widerlager um die durch Beobachtung gefundenen Winkel gl', gl" dreht haben (Fig. 31).

Man berechne dann mittels der Gleichungen 10 die Momente Y',

und lege mit deren Hilfe die Schlusslinie A'B' fest. Fig. 31 setzt negative Y', Y" voraus.

Besonders wichtig aber sind die Gleichungen 10 für Balken auf mehreren Stützen, da sich die einzelnen Theile AB (Fig. 32) als beiderseits unter gewissen Winkeln gl' und gl" eingespannte Stäbe auf-

wenn

B iL----

ge-

Y"

flf'T

•3

Fig. 31.

Fig. 32.

Die Beziehungen, welche zwischen diesen Winkeln und

fassen lassen.

den Stützenmomenten bestehen, führen zur Bestimmung der letzteren. Ehe wir auf die Lösung dieser Aufgabe näher eingehen, zeigen wir noch die Ermittlung der statischen Momente £₀ und 3Î₀.

a. Den Einfluss einer gleichmässigen Belastung g f. d. Längeneinheit findet man am schnellsten durch Rechnung. Die einfache Mo-

mentenlinie ist eine Parabel vom Pfeile

->j    — gl², Fig. 33. Der Inhalt der Parabel-

mi 8

fläche ist

(11) S₀ = fR₀ = -gD.

24

Fig. 33

b. Einfluss einer Einzellast. Die einfache Momenten fläche ist ein Dreieck ABC, Fig. 34, dessen Seiten auf den Senkrechten durch A bez. B die Momente AJ = Ph, und BJ' = P% abschneiden. Betrachtet man ABC als den Unterschied der Dreiecke ABJ' und BCJ' so findet man

(12)    9î₀ = P%

-7T — PŹ

pp (V r³

6 V

Fig. 34.

--U-->k--

und ganz ebenso erhält man

PI³ / £    £³

6 V

(13)    8₀

)■

•f

Zeichnet man also eine cubische Parabel, deren Gleichung

(14)

? Z³

ist, so findet man den Einfluss einer Gruppe von Einzellasten auf das statische Moment 9Î₀:

i*

(15)

9Î₀ — g P^P^b-

&■

Diese cubische Parabel, welche wir die - Linie nennen wollen, wird wie folgt erhalten. Man mache,

Fig. 35.

Figur 35, A'E = — l, ziehe E¹2? ^ 3

errichte an der Stelle £ auf ^4'iU ein Loth C'G, ziehe C'D ü B'E, bestimme den Schnittpunkt F der Geraden DB' und C'G, ziehe FHjj B'E und verbinde H mit B'. Diej Gerade HB' schneidet dann die C'G in einem Punkte K der gesuchten cuhischen Parabel. Das Spiegelbild der

Linie, die rlL-Linie, liefert:

(16)

Beispiel. Für einen beiderseits wagerecht eingespannten Balken mit starren Widerlagern würde sich, wegen a! = 0 und a." = 0 ergeben :

¹

Der Faktor EJC musste hinzugefügt werden, weil bei Anwendung der Gleich. 3 die Polweite der Biegungslinie = EJC ist.

²

Vgl. Formel (4) Seite 16. Die Vorzeichenumkehrung ist geboten, weil, entgegen der früheren Festsetzung, diejenigen Momente positiv angenommen wurden, welche in den obersten Querschnittstheilchen Zugspannungen hervorbringen.

³

Die Durchbiegungen y'a, y i müssen natürlich mittels einer besonderen Untersuchung festgestellt werden; sie betragen im vorliegenden Falle 0,2 bezieh. 1,2 mm.

T Y"¹ + 1T+T(*■ — *•) JJ,sEJ Tr' + 1T + T    —i*

und hieraus findet man — gesondert —

den Einfluss der gleichmässigen Belastung: Y' = Y" = „    „    „ Einzellasten:

W²

12

r = —

r" = — sptqx,

„ Temperaturänderung: Y' = Y" — -f

S-EJ

.    0«— o.

h

Die 'ïjx, - Linie ist also die Einflusslinie für Y", die tt)*- Linie die Einflusslinie für Y'.

Noch sei hervorgehoben, dass der Einfluss der Schubspannungen auf die statisch nicht bestimmbaren Grössen Y', Y" stets unbedeutend ist und vernachlässigt werden darf. Es verschwindet dann in Gleich. 8 das von x abhängige Glied, und man findet

tl

An Stelle der Senkrechten y , y" in Fig. 30 treten die Drittelsenkrechten. — Eine wesentliche Erschwerung erfährt allerdings, bei der von uns gewählten Entwicklung, die Lösung der Aufgabe durch die Berücksichtigung der Schubspannungen nicht.

II. Abschnitt.

Der Balken auf mehreren Stützen.

§ 4.

Balken mit beliebig vielen Stützpunkten, deren Verschiebungen gegeben sind.

10. Allgemeines Verfahren. Die allgemeine Untersuchung eines auf mehreren Stützpunkten ruhenden, nirgends durch ein Gelenk unterbrochenen Balkens (Fig. 36) ist bereits in der ersten Abtheilung dieses Bandes (§ 14) durchgeführt worden. Die dort entwickelten Gesetze

gelten sowohl für das Fachwerk als auch für den vollwandigen Trä-trT? ger ; es bleibt nur noch einiges über die den Belastungszuständen . . . M.

Mr=— 1, Mr+1—— lr . . . entprechenden Bie-

■Lr

-Lr-ż

>!/•-/

----

Fig. 36.

gungslinien nachzutragen.

Wir betrachteten zwei aufeinanderfolgende Oeffnungen lr, /r+lr Fig. 37, zeichneten die Momentenfläche für den Zustand Mr =— 1, d. i. ein Dreieck ABC, dessen Höhe absolut genommen gleich 1 ist, und ermittelten die zugehörige Biegungslinie (r — 1) , r , (r -(- 1) . Sodann bestimmten wir die lediglich von Temperaturänderungen (z. B. Sonnenbestrahlung der oberen Gurtung) herrührende Biegungslinie (r—1)" r" (r-\- \") und fanden zwischen den Stützenmomenten Mr, Mr+1 die Beziehung

(1)

Mr~i

dr

(2)

Nr =

+jf,(

—| +

Cr

lr

ur)⁺

Mr+1

dr+1

4+i

Nr, wo

lr ~1~ 4+1

44+i

(8r-f-crt) |.

Die Bedeutung von dr, dr+1, cr, crt, bmr ist aus der Figur 37 ersichtlich; 5r ist die. in Folge Nachgiebigkeit der Widerlager etwa verursachte, und als gegeben (z. B. durch Beobachtung gefunden) vorausgesetzte, nach oben positiv genommene lothrechte Verschiebung des Stützpunktes r gegen die Punkte (r— 1) und (r+1) (Fig. 36).

Auf das Glied    sind

nur die zwischen (r—1) und (r+1) aufgebrachten Lasten von Einfluss. Sind also die beiden Oeffnungen Jr und lr+1

2Pw8wr = 0.

Bei Aufzeichnung der Biegungslinie (r—1)' r (r-j-iy darf der Einfluss der Schubspannungen stets vernachlässigt werden. Es ist diese Linie dann das Seilpolygon einer stetigen Belastung, welche an irgend einer Stelle x die Höhe

d, hat, wenn y die EJ

Höhe des Momentendreiecks

unbelastet, so wird

'7fr-77

ter

\r-i

(r-iA

%<

LtV

Wr

iKr

—Sjfr+i)’

Fr*

'S

\f,

(r-n7

*-----

Big. 37.

A CB an der fraglichen

Stelle bezeichnet. Die Polweite ist gleich 1. Wählt man nun die Polweite = wP, giebt dem Momentendreieck ACB die beliebig grosse, aber für alle Stützpunkte gleiche Höhe yc und setzt man schliess-

statt z = - d

Je

wo Jc ein beliebiges konstantes Quer-

lich z — y j

Schnitts - Trägheitsmoment ist, so muss man die Werthe d, c und bmr noch mit wP : EJcyc multipliciren, oder — was auf dasselbe hinauskommt — das Glied 5r -f- crt durch jenen Ausdruck dividiren. Man erhält dann

EJ ’

(3)

Nr =

”1

2 Fmbmr -f-

EJcQr + h₊₁)Vc

Wply ly

(br + Crt) I •

Drückt man die Inhalte w der Streifen, in welche die Belastungsfläche zerlegt werden muss, in qm aus, so muss man auch wP in qm

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

und EJC in tm² ausdrücken.¹) Man erhält dann

EJC

wP

in Tonnen.

Die Höhe ijc wird mit dem Längenmaassstabe der Träger-Zeichnung gemessen. Haben sämmtliche Streifen dieselbe Breite X, so nehme man die mittleren Höhen der Streifen als Gewichte w an und drücke die Polweite wP in Metern aus. An die Stelle von EJC : wP tritt dann in Gleich. 3 der Ausdruck EJC : wP\.

Behufs Ermittlung von crt betrachte man die Biegungslinie (?—1)'" r" (r -j- l),r als die mit der Polweite 1 gezeichnete Seillinie einer stetigen Belastung

(4)

zt

®(k — Ü

wo h die Höhe des Balkens bedeutet. Es ist stets zulässig, für h einen konstanten Mittelwerth einzuführen. Dann ist die fragliche Biegungslinie eine Parabel, und man erhält

(5)

crt —

2h

Bleiben Verschiebungen der Stützpunkte und Temperaturänderungen unberücksichtigt, so ist Nr —— 2P„,und man hat lediglich darauf zu achten, dass sämmtliche Momentendreiecke dieselbe Höhe ye erhalten und alle Seillinien mit derselben Polweite wP gezeichnet werden.

Die weitere Behandlung der Aufgabe erfolgt nach No. 131 und 132 von Abtheilung 1.

11. Für den besonderen Fall eines überall gleichen Trägerquerschnitts²) möge noch ein anderes, von den im § 3 für den beiderseits eingespannten Balken gefundenen Gesetzen ausgehendes Verfahren zur Ermittlung der Stützenmomente angegeben werden. Der Einfluss der Schubspannungen werde wie vorhin vernachlässigt.

Fig. 38 stellt die durch Schraffirung kenntlich gemachte Mo ment en-

fläche für zwei aufeinander folgende Oeffnungen lr, lr+1 dar; sie ist bestimmt durch die Stützenmomente M\

Mr, i¥,.₊₁, welche hier negativ

vorausgesetzt und oberhalb der Achse (?--1) r (r -j- 1) aufgetragen

wurden, und durch die einfachen Momentenlinien A HB, BKC. Die M₀ sind bei abwärts gerichteten Lasten positiv und wurden ebenfalls

zulässig.

nach oben hin abgesetzt, so dass sich die Momentenfläche des durchgehenden Balkens als der Unterschied der einfachen Momentenflächen und der Trapeze AA'B'B und BBCC ergiebt. Das statische Moment der einfachen Momentenfläche A HB A in Bezug auf die Senkrechte durch (r— 1) sei 20r, dasjenige der Fläche BKCB in Bezug auf die Senkrechte durch (r -f- 1) sei 9?o(r+1).

M'

r-i

K-

¥o !    \

Tr

C'

MC,

Vi-1

~lr-

---Vf —

Fig. 38.

Für die Geraden A B' und B'C' führen wir in der Folge die Bezeichnungen gr und gr+x ein und den von sämmtlichen Geraden g gebildeten Linienzug, dessen den Stützpunkten entsprechende Ordinaten gleich den Stützenmomenten sind, nennen wir der Kürze wegen das M-Polygon.

3'

Cv

A'

<5"

- lr—

Fig. 39.

Ist nun A'C' in Fig. 39 die in r an die elastische Linie gelegte Tangente, so erhält man mit den in die Figur eingetragenen Bezeichnungen:

8%+ 5'%₊₁

K = -

lr K+i ccr | oc,-+i

lr | lr+\

, woraus

lr —J— lr+i

lAr+1

oder

ly [    ly-\-1

lr ly+1

Nun ist aber nach Seite 29, Gleich. 10:

—ejo.:    +

±r , , *

2    ¹ r+\'r^\ H

— EJ GL.

r+1 -

So.

o(r+1)

lrĄ- J

H⁻ {K —1₀)

L-+1

sEJ

wobei Y" und Y' punkte r benachbarten Drittelsenkrechten d”, d'r+i abgeschnittenen Ordinaten des Jf-Polygons bedeuten, Pig. 40. Es ergiebt sich mithin:

lr -f-1r

r+l

die von den Geraden gr, gr+l auf den dem Stütz-

(6) r;%+r;₊₁/r

28or 23t

o(r+1)

+1 —

l)-+l

s EJ (tu t₀)

— 2 EJK

lr -f- K+i

1 r t r-\-1

oder wegen

Y" =

TJf'- + T

(7)

i. Mr+1

3    3

Mr_Jr -J- 2Mr{lr -j- lr+i) -f- Mr+ilr+i = Nr,

Mr, Y

r-f-l

Mr+1

wobei

(8)

Nr= —

{⁶(

S₀, , fft

o(r+1)

lr "1“ 1 r

lr lr

lr I lr+l

Pr

-B“-

W'

K,

%•

wL

’ïtI

G'

Kr,

ŹSE

i*

-Ąl-------4 -~3 tj

ils-

____1

H;,

Fig. 40.

M---

îlrY,    1

Die Gleichung (7) nennen wir die verallgemeinerte Clapeyronsche Gleichung, weil Clapeyron der erste war, welcher die Elasticitätsbedin-gungen durchgehender Balken auf diese Form gebracht hat. Das Glied Nr möge das Belastungsglied der Clapeyronschen Gleichung heissen.

Behufs Herleitung eines zeichnerischen Verfahrens knüpfen wir zunächst an die Gleichung 6 an. Es schneidet nämlich die Verbindungslinie U' W' der Endpunkte der Ordinaten Yr", Y'r+X (Fig. 40) auf

*-+i

einer Lothrechten vr, die von dden Abstand -r~lr+1 und von d'

3

den Abstand —- lr hat und den Namen verschränkte Stützensenkrechte 3

führt, die Strecke

—,    r;%+nt,z,.+,

lr —|— lr+\

ab.

Bezeichnet man diese Strecke mit Tr, so findet man mit Rücksicht auf Gleich. 6:

(9) Tr = —

lr -f- lr+1

( ^or

V lr

9Î

o(r+l)

K+i

2 EJhr    zEJ(tu—1₀)

Nr

3 (J'r    lr+\)

Hiernach ist Tr ein von der Belastung, der Stützenverschiebung hr und dem Temperaturunterschiede tu — ta abhängiger gegebener Werth, welcher in der Regel negativ ist und dann auf der Senkrechten vr oberhalb der Achse (r — 1) r (r -f- 1) abzutragen ist.

Ein ähnliches Gesetz fanden wir in No. 132 (Seite 357) der Abtheilung 1 ; dasselbe führte zu einer einfachen Lösung der Aufgabe :

L'

r+1

Gegeben ein Punkt L'r der Geraden gr, gesucht ein Punkt der Geraden gr+1; Fig. 41.

Man bestimmt den senkrecht unter Lr gelegenen Punkt der Achse ABC, zieht durch Lr die beliebige Gerade g' welche die Senkrechten d” und B'B bezw. in U" und B" schneidet, ^ legt hierauf durch U ~ und Er eine Gerade, welche d'

trifft und verbindet W" mit B ". Der Punkt Lr+l >

r+1

i\

ML,

r’

Fr\

TV'

w*

^r/dJr-n

vsr

in W"

*v

in welchem die Achse ABC von der Geraden W "B" geschnitten wird, liegt dann lothrecht unter L r+1.

Fig.'41

Da nun weiter die drei Punkte L'r, É'r und L' liegen müssen, so ist die Lage des Punktes L' die gestellte Aufgabe gelöst.

Mit Hilfe der vorstehenden Entwicklungen ist man im Stande, das M-Polygon zu zeichnen, sobald zwei Punkte desselben gegeben sind.

Sind z. B. die Punkte Lx und R± in Fig. 42 Punkte des M-Polygons des Balkens 0—4, so folgert’ man aus der Lage des Punktes Lx in der beschriebenen Weise die Lage von L₂, hierauf die von L3 und L₄ und zeichnet den Linienzug LxL₂'L₃Lé', dessen Seiten auf

r+1

in einer Geraden bestimmt und damit

r+l

Fig. 42.

\V,

T;

\ ä’

d’

Ti

d’

ü\

/_1_

sl.

Ti

d"

a‘

Æ.

d'

d’

d’

Fig. 43.

den verschränkten Stützen-Senkrechten vx, v₂, v₃ die gegebenen Strecken Tx, T₂, T₃ abschneiden. Nun legt man durch Z/ und R/ die Gerade und durch die Punkte L₃', L₂ , Lx die übrigen Seiten des gesuchten, in der Figur durch Schraffirung hervorgehobenen M- Polygons.

Um eine scharfe Zeichnungsprobe zu erhalten, wiederhole man das beschriebene Verfahren in der Weise, dass man nicht von Lx, sondern dem in der letzten Oeffnung gegebenen Punkte ausgeht, in den vorhergehenden Oeffnungen Punkte R₃, R₂, Ri bestimmt — und zwar auf dieselbe Weise wie vorhin die Punkte L₂, L₃, Lé — hierauf durch die Endpunkte der Ordinaten T₃, T₂, Tx den Linienzug R^'R₃'R₂'Rx

führt, dessen Ecken , B₃ , i?₂ , Bx lothrecht über den entsprechenden Punkten B liegen und endlich gx durch Lx und Bx legt.

Schliesslich sei noch hervorgehoben, dass die Punkte L und B mit den in No. 131 (Seite 352) der Abtheilung 1 eingeführten Festpunkten übereinstimmen. Ferner sei darauf hingewiesen, dass die Gleich. 7 die Form

ccrMr_i -{- ßr Mr -j- ar+1 Mr+i = Nr besitzt und dass sich daher die Ermittlung der Stützenmomente auch nach dem in No. 132 (Seite 357) der Abtheilung 1 gegebenen Verfahren (mit Hilfe von Lothrechten Ir, IIr an Stelle von d", vr, d'r+l)

durchführen lässt.

Die beiden wichtigsten Sonderfälle sind:

I. Der Balken liegt überall frei auf. Vergl. Fig. 44, in welcher der allgemeinere Fall eines über die Endstützen ragenden Balkens angenommen wurde, und P seien die Mittel-

2'P

A'

kräfte der auf den überragenden Enden ruhenden Lasten, ihre Abstände von —£ij-den Stützen 0 bezw. n seien    ¹

Y

e bezw. c. Dann sind die %’p äussersten Stützenmomente :

Fig. 44.

HP

M₀ = — e^'P-, Mn = — c2"P-,

es liegen also die von vornherein bekannten Punkte Lx und Bn' des M- Polygons über den Stützpunkten 0 und n.

II. Der Balken ist an den Enden unter den gegebenen Winkeln ac und a„ gegen die Wagerechte eingespannt.

...............I Ti

\\

n-i

i;

v-n

Wi

n-1

/r

Fig. 45.

Bezeichnet man mit 5₀ die senkrechte Verschiebung des Stützpunktes 0 gegen den Stützpunkt 1, Fig. 45, so ist

§₀ -\-Ixol₀ = lxa₁ ' und

EJal=Tr’l₁ +

weshalb sich ergiebt:

Yx ' = Tx, wo

9?₀

4“ (L —1₀)

eEJ,

(10)

?i

2 9?

Ol

zEJ

tu — t₀

2EJ(h₀ -j- ?₁a₀)

Hiernach ist in der ersten Oeffnung der Schnittpunkt Lx des M-Polygons mit der linken Drittelsenkrechten von vornherein bekannt, und in gleicher Weise kann man im wten Felde einen Punkt B„' der

g„ bestimmen, indem man im Abstande

BnBn' =T„ =

2ß₀„

zEJ

— ln von n die Ordinate 3

2FAT(5„ + U„)

tu 1₀

ll

Durch die Punkte Lx und Bn' und die Momente T ist aber

errichtet, das M- Polygon gegeben.

wo

Die Gleichungen 10 lassen sich auch auf die Form bringen:

( (2Jtf₀+.¥₁)i₁ = jV,

(H)

*1 =

6 9?

Ol

3EJ

tu    t₀

k-t

6 EJ(5, -f- lx «„)

12. Einflusslinien für den Balken mit überall gleichem Querschnitt. Wir setzen jetzt voraus, es seien die Festpunkte L und B auf die beschriebene Weise gefunden und verfolgen den Einfluss einer über irgend einer Oeffnung lr aufgebrachten Belastung; die übrigen Oeftnungen seien unbelastet. Durch den Punkt L sei lr in die Strecken ar und br zerlegt, durch B in die Strecken a' und b,.', Fig. 46. Setzt man dann zur Abkürzung

(12)

br : ar = y.,. und br : a' = v.,', so lassen sich die beiden Clapeyronschen Gleichungen lr-lMr_2 -J⁻ 2 (J)—1 4~ lr) Mr_\ -j⁻ Mr = J\\ lrMr_\ -f- 2 (l,- -f- /r+i)-Wr + K+iM,

(13)

•+i

= Nr

umformen in

-Av-

*)

(14)

Nr

*) Vergl. Abtheilung 1, Seite 351; die dort auftretenden Werthe ar, ß,-» — 2l‘mdmr sind jetzt bezw. durch lr, 2(lr-\-lr + i), A> zu ersetzen.

Bezeichnet man nnn die Ordinaten der Geraden ÄB' an den Stellen L und R mit YL und Ys, so findet man:

(15)

Yl =    xr-[- Mr) ; Yb = -

Ir

- (Mr_x + MX)

weshalb sich schliesslich zur Festlegung der A B' die einfachen Werth e

Yl

X-i ar '

ar~

■>k

(16)

lr

Yb =

Nr ar

L'

-B' (aj

ergeben.

>Mr

Trägt man also auf den Drittelsenkrechten die Ordi-

r-1 M-

J f %\)

naten

—i

T)l =

1 N.

(H)

3 lr

und

(l)

1 N„

3 lr

auf und verbindet man deren

ß)

Mr= linie

Mr=L in ie,

Endpunkte nach Fig. 46 mit den benachbarten Stützpunkten r — 1 und r durch gerade Linien, so treffen diese die in L bezw. R errichteten Senkrechten in Punkten L', R' der Geraden A B .

Da nur die Oeffnung lr belastet ist, so ist nach Gleich. 8, Seite 36

■jjMr-Mr_Jlïnïë mg 46.

(d)

und Gleich. 15 und 16, Seite 30:

6 9îor

■X-l

Nr

6 Sor

lr

- also

Dl

(18)

lr

D*

28₀,

= —SPTfji,

und hieraus folgt:

J)ie v)B-Linie ist Einflusslinie für das Moment DL

T)

>>    V V    »    >’    ”    » -L & )

*) Wäre lr ein beiderseits wagerecht eingespannter Balken, so würde nach Seite 29, die Gerade A'B' durch die Endpunkte der Ordinaten Dl, Du (anstatt der Ordinaten Yl, Yb) zu führen sein.

Mit Hilfe dieser beiden Linien, deren Darstellung auf Seite 30 gezeigt worden ist, lassen sich die Einflusslinien für Mr_x und Mr zeichnen.

Schneller aber führt der folgende Weg zum Ziele. Die Neigungswinkel (pz und (Sj>R der Geraden (r—1 )L' und rR' sind gegeben durch

3 Dr

3 Dl

K ’

und man erhält daher als Einfluss einer Last P = 1 die Werthe

3

tg 9ü = y Vx 3

tg 9³ = ~r ^ =

l³

(vergl. Seite 30)

l³ ’

dieselben sind nur von den Verhältnissen : l und h, : l abhängig und werden zweckmässig ein für allemal berechnet, wobei es stets genügt, die Stützweite in 10 gleichlange Theile zu zerlegen. Den Theilpunkten 1, 2, ... 9 entsprechen dann die folgenden Werthe:

tg 9-R

tg 9L

CO I-Ł

^ CO ^

o cT o cT o' o" o" o~ CD

0,0990

0,1920

0,2730

0,3360

0,3750

0,3840

0,3570

0,2880

0,1710

0,1710

0,2880

0,3570

0,3840

0,3750

0,3360

0,2730

0,1920

0,0990

Mit Hilfe dieser Zahlen werden die Winkel (pÄ und (pL aufgetragen und zur Ermittelung der Einflusslinien sämmtlicher Stützenmomente benutzt.³) Dabei genügt es, für jedes Stützenmoment diejenigen beiden Zweige der Einflusslinien zu zeichnen, welche den durch den fraglichen Stützpunkt getrennten beiden Oeffnungen angehören. Man braucht also z. B. die Mr-Linie nur von Stützpunkt r—1 bis r -{- 1 zu ermitteln.

Jetzt kann man alle M- Linien und Q- Linien mittels des folgenden, bereits in Abtheil. 1 benutzten Verfahrens herleiten. Dasselbe

erfordert zunächst die Aufzeichnung der Einflusslinie für den Ausdruck

— Mr_f) — d. i. die Curve AHKB in Fig. 46d und Fig. 47.

a. Einflussfläche für die Querkraft Qm des Feldes Xm, Fig. 47. Es ist

(19) Qm— QomĄ

Mr—Mt

lr

wo Qom die Querkraft für den Fall bedeutet, dass A B ein einfacher Balken ist. Die Qom-Linie besteht aus den drei Geraden ALlf L₁L₂, L₂B und ist bestimmt durch

Fläche

7E

AJ' = 1 und B J" = 1; addirt man zu der Qom-Fläche die (Mr — Mr_i) : lr-Fläche, so erhält man die schraffirte Qm-Fläche.

b. Einflussfläche für das Moment Mm. Bei ungleichen Feldweiten benutze man die Gleichung

/<

«A

rir

r-1

rri-i

1. X. ZŁ ZC zc

Fig. 47.

,/•

(20)

Mm — Mom -f- Mr -j-

Mr — Mr. i

Xm

um

aus der Einflussfläche für das Moment Mom des einfachen Balkens der ilA-Fläche und der (Mr—Mr~f) : /v-Fläche die Jfm-Fläche

«.....*v.....A

ft.......k-------r *

AB,

ahzuleiten, oder aber man zeichne für verschiedene Stellungen der Last P = 1 nach Fig. 48 die Momenten-fläche rB'C' A't—1, welche den Einfluss von P auf sämmtliche Querschnitte der Oeffnung lr angiebt. Diese Fläche ist bestimmt durch tg 9l » tg 9a und durch die lothrechte Höhe z der einfachen Momentenfläche A'C'B'. Hierbei wird z als Ordinate einer Parabel erhalten, deren Pfeil = 0,25 lr ist.

aus

Ä\

r-1

Fig. 48.

k.......k-......->j

$L_-jf

(aj

Er

Cb)

(21)

Haben alle Felder dieselbe Länge X, so benutze man die Gleichung

Mm Mm—i

+ Qm

und zeichne — von der Mr : X-Fläche ausgehend — schrittweise mit Hilfe der (^-Flächen die M: X-Flächen.

c. Einfluss von Lasten ausserhalb der fraglichen Oeffnung. Wird der Einfluss der Belastung einer Oeffnung lk auf die Momente und Querkräfte der übrigen OefFnungen gesucht, so bestimme man die Stützenmomente Mk_i und Mk mit Hilfe der Einflusslinien und zeichne nun die Momentenlinien für die unbelasteten OefFnungen mittels der Festpunkte L bezieh. B. Vei'gl. Fig. 49, desgl. die Untersuchung auf Seite 353, Abtheilung 1. Für die Querkräfte einer unbelasteten Oeffnung lr gilt die Formel

(22)

Ç = -r-( Mr — MrX

lr

Hiernach besitzt Q für alle Querschnitte der Oeffnung lr denselben

Werth.

K-,

• h-1!

r\i

'    / k

Afk=L inie    in ie

Fig. 49.

d. Stützemviderstände. Der Widerstand Cr der Stütze r ist (nach Abtheil, i, Seite 346):

(23)

Cr=Cor +

Mr-X — Mr , Mr+i — Mr

lr

lr+1

wo Cor den Werth bedeutet, welchen Cr annehmen würde, wenn die Trägerstücke lr und lr+l einfache Balken wären. Die Uor-Fläche ein

Cr-,

~*Fr

Dreieck von der Höhe 1, und hierdurch sowie durch die bereits früher benutzten Einflusslinien für (Mr — Mr~i) : lr und (4fr+1 A/r) : lr+\

Ca-Fläche

Fig. 50.

ist die Cr- Linie gegeben. Man zeichne dieselbe nur zwischen den Stützen (r — 1) und (r -j- 1). Den Einfluss von Lasten links von (r— 1) und rechts von (r -j- 1) beurtheile man mittels der Gleichung

¹

Zur Kräfteeinheit wählen wir die Tonne. Dann besitzt EJC die Einheit    • mi = tm².

²

Die Annahme eines überall gleichen Querschnitts ist fast ausnahmslos

³

Oder man bestimmt L' nach Fig. 48 mittels Y)i, = k tg cpz, wo k ein runder Werth. Ein drittes Verfahren findet sich in No. 25.

§ 5.

Fortsetzung. Einfluss einer gleichförmigen Belastung.

13. Ungünstigste Belastung hinsichtlich, der Querkräfte. Bei gleichförmig vertheilter ständiger und beweglicher Belastung lässt sich die Bestimmung der Querkräfte, Momente und Stützenwiderstände noch erheblich vereinfachen. Wir nehmen einen überall gleichen Querschnitt an und setzen zunächst unmittelbare Belastung voraus.

Aus der in Fig. 48 gegebenen Darstellung des Einflusses einer Einzellast P geht hervor, dass eine Last, welche innerhalb der Oeff-nung 4 liegt, stets negative Stützenmomente Mr_x und Mr erzeugt, und dass die Momente links von dem Angriffspunkte P mit zunehmender Entfernung von der Stütze r — 1 wachsen, rechts von P hingegen abnehmen. Daraus folgt aber für alle Querschnitte links von P eine positive Querkraft Q, für die Querschnitte rechts von P ein negatives Q.

Je nachdem man also für den Querschnitt C in Fig. 51 und 52 die grösste positive Querkraft, d. i.

min

Q, oder die grösste negative Q erhalten will, muss man die Strecke x' oder die

Querkraft, d. i.

Strecke x belasten. Wie die übrigen Oeffnungen zu belasten sind, darüber geben die Figuren 51 und 52 Aufschluss. Der Beweis folgt aus Fig. 49, welche zeigt, dass die Belastung der Oeffnung 4 in den Oeffnungen 4-i, 4-8, • ■ • • ferner in 4+2, 4+4, • • • • negative Querkräfte hervorruft, in den übrigen positive Q. Beispielsweise ergiebt sich für alle Querschnitte der Oeffnung 4-H

J/*- 1    fl/*-2

-i

und dieser Werth ist negativ, weil fl/*_j negativ und J/*_₂ positiv ist.

den Stäben L und R

14. Ungünstigste Belastung hinsichtlich der Momente. Die der Einzellast P in Figur 48 entsprechende Momentenlinie A C B schneidet die Achse (r — 1) r in zwei Punkten Jx und J₂ über deren Lage wir durch Untersuchung der Momente an Aufschluss erhalten werden. An der Stelle L entsteht (mit f ⁼ 1)-

— L' L =

Cr =

JA-1 — Mr

Mr+1 — Mr

nachdem man M Verfahrens bestimmt hat.

4+1

Mr, Mr+X mit Hilfe des unter c angegebenen

(Xr    f (ly

² 1—¹¹¹ T

Fig. 57.

Fig. 58.    !

m^jio mrgrm

jpuJt

*\JÆR +

|MM| minMc

^ m a xM₍,

Da nun

UI + Ç)

Fig 56.

Fig. 53.

»päl

r-3T\

fui—fn®l ,naXMc

Fig. 54.

jiiiiiiiiuiiiiiij^ _pnMi^. o ç ₀ jmum. jHttam.

i ;"    ; \L ‘ \ i ; i

!    '    :    !    I    !    !

min3fc,

Fig. 55.

jpai|

^^ minMr,maxCr

!    i    ■    :

Fig. 52.    .

und wegen f\L' = k tg ęL, d. i.

*(-

rt\i—$(!+$

kz(l -f-

r-

Ml

zar

Fig. 51.

minQc

—^nnmnmgL maxMr,mincr

max

ist, so folgt, dass das von der Last P hervorgerufene Moment ML stets positiv ist, dass also der Nullpunkt Jx jedenfalls links vom Festpunkte L liegt und ganz ebenso lässt sich nachweisen, dass der Nullpunkt J2 der Strecke Er angehören muss.

Für die Querschnitte zwischen den Festpunkten L und R ergeben sich also infolge der Belastung der fraglichen Oeffnung stets positive Momente, und aus diesem wichtigen Gesetze und aus der Figur 49 folgen ohne weiteres die in den Figuren 58 und 54 dargestellten Belastungsweisen.

Für einen ausserhalb der Strecke LR gelegenen Querschnitt C (z. B. einen Querschnitt links von L) ist zur Erzielung von    und

min

M eine theilweise Belastung der fraglichen Oeffnung erforderlich, Fig. 57 u. 58. Es entspricht hier jedem Querschnitte C eine bestimmte Belastungsscheide E, beispielsweise dem Querschnitte Jx in Figur 48 die Belastungsscheide (7; die Aufsuchung derselben ist aber stets entbehrlich, weil man die maxM-Linien und die minM-Linien für die Querschnitte ausserhalb der Strecke LR auch ohne Ermittlung der Belastungsscheiden zeichnen kann, wie in No. 17 gezeigt werden soll. Man darf sogar die genauere Berechnung der Momente für die Querschnitte zwischen den Festpunkten und den benachbarten Stützpunkten ganz unterlassen und die Annahme machen, es ,verlaufe die Momentenlinie (sowohl die für minM als auch für maxM) zwischen einem Festpunkte und dem benachbarten Stützpunkte geradlinig; vergl. das in No. 18 durchgeführte Zahlenbeispiel. Dieser sehr einfache Bechnungsgang liefert etwas zu grosse Momente. Die ungünstigste Belastungsweise hinsichtlich der Stützenmomente zeigt Fig. 55 und Fig. 56; bei diesen Laststellungen entstehen auch die Grenzwerthe des Stützenwiderstandes Cr.

Behufs Ermittlung der Grenzwerthe von Q, M, C genügt es, wie in No. 12, den Einfluss der Belastung einer Oeffnung zu verfolgen.

15. Gänzliche, gleichmässige Belastung einer Oeffnung. Die

einfache Momentenlinie ist eine Parabel von der Pfeilhöhe

, wenn

p die Belastung für die Längeneinheit bedeutet. Die statischen Momente S₀ und sind nach Seite 30:

pl²

(1)

pF

24 und man erhält daher

pl²

(2)

Dl - Dr -

12 '

2 pF Wh4~

Hierdurch sind die Stützenmomente Mr„i — AA' und Mr — BB' in Fig. 59a (vergl. auch Fig. 46) bestimmt, und es ergiebt sich nach Einzeichnung der Parabel A'CB' in der schraffirten Fläche die gesuchte Momentenfläche der Oeffnung AB. Zur Konstruktion dieser Parabel wurde CD // A'B' gezogen und sowohl CD als auch B'D in eine gleiche Anzahl gleichgrosser Theile zerlegt. Die Schnittpunkte der durch die Theilpunkte 1, 2, gelegten Lothrechten mit den Geraden, welche C mit den Theilpunkten F, 2', verbinden, sind Punkte der Parabel. Ganz ebenso wurde der Parabelzweig Ä C erhalten. Die auf diese Weise gefundenen Momente mögen mit Mp bezeichnet werden.

Die dem Einzelbalken AB entsprechenden Querkräfte Q₀ sind bekanntlich gleich den Ordinaten einer Geraden CF (Fig. 59b), welche

pl

auf den Stützenlothrechten die Strecken + —

Gerade wird behufs Ermittlung der Querkräfte Q um

abschneidet, und diese

Q' =

Mr — Mr_i

in lothrechter Richtung verschoben. In Fig. 59a ist Mr 4fr-i vorausgesetzt, mithin Q' negativ.

!.........ll

(3)

Für die Querkräfte gilt die Gleichung

, Mr — Mr_ i

Qp — Qo +

b.......4? -■

Z'

pÏ

M²<

12

Î2'

m-i-F

y /

-Al

Q=Fläche,

■jin

(b)

+jpl

Fig. 59.

16. Theilweise gleichförmige Belastung einer OefFnung. Die

Belastung bedecke nach Fig. 60 die an das rechtsseitige Auflager grenzende Strecke Es ist dann, da die Linie die Einflusslinie für Dl ist, nach Gleich. 18 auf Seite 41:

(4) -Dl =

<■/«• = ?/( T-W

dx —

pl²

12

•üx, wo

(5)

(-£)

d. i. eine von der Stützweite unabhängige und nur von dem Verhältnis b,' : l abhängige Zahl. Für b,' = l ist w£ = 1, und hieraus folgt, dass ox infolge der Belastung von bf und uL infolge der Belastung der Strecke b, — l — b,' zusammengenommen = 1 ist. Behufs Errnitt-pl²

lung von DB = —

12

beachte man, dass der Werth (ùb für die

in Fig. 60b angenommene Belastung ebenso gross ist, wie (ùL für eine vom linksseitigen Auflager aus die gleiche Strecke b,' bedeckende Last, weshalb nach Aufzeichnung der iùl~Linie der Werth wB auf die in der Fig. 60b angegebene Weise erhalten wird. Man findet:

für b,' : l —

0,0199, (ùb = 0,0361 0,0784 0,1719 0,2944 0,4375 0,5904 0,7399 0,8704 0,9639 1,0000

Mit Hilfe dieser Zahlenwerthe kann man die Grössen BL und DB für eine vom rechten Auflager aus vorrückende gleichförmige Belastung schnell berechnen und die zugehörigen Stützenmomente ermitteln. In der Regel kommt es aber nur darauf an, die infolge dieser einseitigen Belastung entstehenden Querkräfte Q zu bestimmen und hierzu ist (ausser der Ermittlung von Q₀) nur die Angabe von

cT cT cT cT cT cT cT cT

1,0

0,1296

0,2601

0,4096

0,5625

0,7056

0,8281

0,9216

0,9801

1,0000

Q' =

Mr—M,

»■-i

d. i. die Bestimmung des Unterschiedes der Stützenmomente erforderlich. Zu diesem Zwecke empfiehlt es sich, auf den Drittelsenkrechten nicht die Momente DL und DB aufzutragen, sondern die Strecken

pl²

(6)

hL — Dl '•

pl²

12e

bezw. hB — Db :

12e

, nämlich

bezw. hB = eoB,

wo e eine beliebig grosse, selbstverständlich durch eine runde Zahl ausdrückbare Strecke bedeutet. Es sind nämlich hL und hB unabhängig von der Weite l der fraglichen Oeflhung; sie brauchen nur einmal berechnet zu werden und lassen sich dann zur Untersuchung sämmt-licher Oeffnungen verwerthen.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

h-L- 6

Nun bringt man die Geraden, welche die Endpunkte der Strecken hL und hR mit den benachbarten Stützpunkten verbinden, mit den Festpunktsenkrechten in L', R' zum Schnitt, legt durch L', R' die

pl²

Gerade s und erhält, da s auf den Stützensenkrechten die durch

12e

dividirten Stützenmomente abschneidet, für den Neigungswinkel von s:

12 e Mr — Mr_i

tg 9 —

pl²

’*.......I?

»i

GO

(aj

3v

>;

/2 e

~>i

(bj

(ÜX

-x— •->!

pdx

~--r-

il

i'’

minôsi-

a

ElńaxQp

;ir

-V-

Q^Paralel

Fig. 60.

woraus sich (Fig. 60 e)

Q' =

pl²

12e

tg ?*)

ergiebt.

Jetzt findet man für den die belastete Strecke begrenzenden

*) Das Minuszeichen ist nöthig, weil die Stützenmomente negativ sind und weil Mr^> Mr-1 ist sobald cp positiv ist.

Querschnitt C (da zunächst von der Belastung der übrigen Felder abgesehen werden soll):

P%'²

die Querkraft für den Querschnitt C des Einzelbalkens

wo e.=—

AB ist, d. i. die Ordinate einer Parabel BA' (Fig. 60a), deren Scheitel

/    i)/

bei B liegt und die auf der Senkrechten durch A die Strecke AA' — ~~

abschneidet.

Da nun weiter £ hervorgerufen wird und

min

Qp durch ausschliessliche Belastung der Strecke

min

Qp maxQp Qp

d. i. gleich der Querkraft infolge gänzlicher Belastung der Oeffnung AB ist, so findet man

tnax

Qp gleich dem lothrechten Abstande der Qp-Linie von einer Geraden DE, welche man erhält, indem man

min

vom Mittelpunkte F der Oeffnung AB die Gerade FJ mit der End-

Ordinate BJ= pl zieht und DE jj FJ macht. Infolge der Belastung

u

anderer Oeffnungen ändert sich nur der Werth Q' — (Mr — Mr_Y) ;

man braucht also zur vollständigen Darstellung von maxQp und nur noch die Geraden DE und AB, um gewisse Strecken Q' in loth-rechter Richtung zu verschieben. Vergleiche das in No. 18 durchgeführte Zahlenbeispiel.

Schliesslich sei noch hervorgehoben, dass in den Mittelfeldern die Abweichung der maxQp-Linie von der Q₀-Parabel unwesentlich ist und die Werthe Q' nur soweit berücksichtigt zu werden brauchen, als sie von der Belastung anderer Oeffnungen herrühren. Nach diesem, die Rechnung sehr abkürzenden Verfahren erhält man die Querkräfte etwas zu gross.

17. Fortsetzung. Wird für den Fall theilweiser Belastung einer Oeffnung nicht nur nach den Querkräften, sondern auch nach den Momenten gefragt,¹) so ersetze man die auf den Drittelsenkrechten aufzutragenden Momente DL, DR durch die im beliebig zu wählenden Abstande k von den Stützpunkten aufzutragenden Momente (Fig. 61):

pkl

«-ü£ und

4

pkl

Dl' =

Sk

Sk

dl =

Dr — , Dr

<ÙE

min

QP

4¹

und wähle k so gross, dass sich für

pkl

em runder und für alle

Oeffnungen gleicher Werth ergiebt, damit die Berechnung der DL', DB' nicht für jede einzelne Oeffnung wiederholt zu werden braucht.

Die Gerade L R' schneidet auf den Auflagersenkrechten die Stützenmomente Mr, Mr_i ab; man findet, wenn cp den Neigungswinkel der L R' bezeichnet,

Q ' — — i • tg 9,

und ist jetzt im Stande, die Grenzwerthe Weise zu ermitteln wie vorhin.

max

Qpi

Qp in derselben

Infolge der Belastung der Strecke entsteht nun auch das Moment minMp für einen bestimmten links vom Festpunkte L gelegenen Querschnitt J — wobei zunächst wieder von der Belastung anderer Oeffnungen abgesehen werde. Die Momentenlinie ist für den den Querschnitt Jenthaltenden unbelasteten Balkentheil h, eine Gerade A'E, welche durch die Stützenmomente und durch die Bedingung gegeben ist, dass die Geraden AB' und A'E auf einer im beliebigen Abstande h' von Ä gezogenen Lothrechten das Moment Q₀Jc' abschneiden müssen. Q₀ ist bereits zur Ermittlung von Qp gebraucht worden, und für k' wird man ein rundes Maass annehmen, so dass die Festlegung der Geraden A E schnell von statten geht. Schreitet nun die bewegliche Belastung um dh> weiter vor, so bleibt das Moment JJ' an der Stelle J ungeändert, da ja die Stelle C Belastungsscheide für den Querschnitt J ist. Die Momentenlinie A'E dreht sich im ersten Augenblicke der Weiterbewegung der Belastung um den Punkt J' und daraus folgt, dass die den verschiedenen %' entsprechenden Geraden A E die Momentenlinie minMp einhüllen, man diese Linie gezeichnet, so findet man maxMp in Folge der Belastung der Strecke £ mittels der Gleichung

-|- mt-nMp = Mp.

Mp aber wird nach No. 15 bestimmt. Der Einfluss der Belastung der übrigen Oeffnungen wird dann nach Fig. 49 mit Hilfe der Festpunkte L und R ermittelt.

•v-------

Je'-------

k------y

L'/

AU

r-1

• Je

R'

B’

(J'

■Sj

£ Jl

Fig. 61.

max

I.

||

Hat

Obgleich die Darstellung der genaueren Momentenlinien hiernach keine Schwierigkeit bereitet, dürfte dem in No. 14 angegebenen und im nachstehenden Zahlenbeispiele angewandten Näherungsverfahren doch der Vorzug gebühren. Man beachte, dass die Einführung einer gleichförmigen beweglichen Belastung stets auf ziemlich groben Schätzungen beruht und dass eine allzu peinliche Berechnung schlecht hierzu passen dürfte.

18. Zahlenbeispiel. Auf Tafel 2 wurde nach dem im Vorstehenden entwickelten Verfahren ein Balken mit 4 OefFnungen untersucht. Die Stützweiten sind lx— 10 m für die Seitenöffnungen und 1= 12 m für die Mittelöffnungen. Die ständige Belastung beträgt = 0,9 t f. d. Meter, die bewegliche p — 3,6 t.

Zuerst wurden in Fig. 62 die Drittelsenkrechten d und verschränkten Stützensenkrechten v eingetragen und (nach Seite 38) die Festpunkte Llt L₂, L₃, _L₄ bestimmt. Damit sind, der Symmetrie wegen, auch die Punkte R gegeben.

R₃, i?₄ und ist durch die Bedingung bestimmt, dass die vom

Nun wurden in Fig. 62 die Stützenmomente für den Fall ermittelt, dass die erste Oeffnung gänzlich mit p belastet werde, die übrigen Oeff-nungen hingegen unbelastet seien. Der roth schraffirte Linienzug ist das dieser Belastung entsprechende M-Polygon; er geht durch die Festpunkte .Li, R

3,6 . 10²

— 30,00 tm

Stützpunkte 1 durch den Punkt i?/ gezogene Gerade auf der Drittelsenkrechten dt das Moment pli²

12

12

abschneiden muss. Die Ergebnisse sind in die Figur eingetragen worden.

Der blau schraffirte Linienzug liefert die Stützenmomente für den Fall, dass nur die zweite Oeffnung, diese aber gänzlich belastet ist; er geht durch die Festpunkte Lx, R₃, i?₄ und ist durch die Bedingung gegeben, dass die von den Stützpunkten 1 und 2 aus durch L₂ bezw. R₂' gezogenen Geraden auf den Drittelsenkrechten d₂ und d₂" die Momente

3,6 . 12²

pl²

12

12

43,20 tm

abschneiden müssen.

Hiermit ergiebt sich nun die folgende Zusammenstellung:

Einfluss der Belastung p

Stützenmomente

M₂

m₃

der ersten Oeffnung „ zweiten „ dritten „ vierten

9>

—    22,06 tm -j- 5,92 tm

—    27,90 „

+ 7,44 „

—    1,61 „

1,61 tm

-    27,28 „

—    27,28 „ + 5,92 „

7,44

27,90

22,06

zusammen :

— 44,13,,    — 42,72,,    — 44,13 tm

Auf Grund dieser Werthe wurden in Fig. 63 die grössten negativen und positiven Momente (minMp, maxMp) dargestellt. Es geschah dies zunächst für die in Fig. 68 mit I, II, III, IV bezeichneten Belastungsfälle.

Der Belastungsfall I erzeugt für die Balkenstrecke Lx Bx die Momente minMp und für die Strecke I₂ B₂ die Momente maxMp. Die Stützenmomente sind:

Mx = — 27,90 — 1,61 = — 29,5 tm M₂ = — 27,28 + 5,92 == — 21,4 tm;

<-- l=/0—->k

1=1 Z -1=12 -—><-4=10

II

III

IV o\

M,AZ9,5

\W

-\51, 6

i20,â

A 23, y

Ą=-M

ajllllllllilllllllllllllllllllfc

-21,0 %

-\5Ï,6

ï us

29,5

-2i0,ô

-%r,9

423,7

7k

V/

Fig. 68.

dieselben bestimmen in Fig. 63 den Linienzug I I. Die rothe Gerade I ist die

aus

M^-Linie für die Strecke LXBX\ von der blauen Geraden I werden (nach Fig. 59, Seite 48) die Ordinaten einer Parabel (Ï)

8,6 . 12²

min

aufgetragen, deren Pfeilhöhe

pi²

64,8 tm ist.

Mp-Linie für die Strecke L₂B₂.

Mp für die Strecke LXBX und Die .Stützenmomente sind:

Mx = — 14,6 tm, M₂ = — 21,4 tm ;

Diese Parabel ist die

Der Belastungsfall II erzeugt die Mp für die Strecke L₂B₂.

die

max

max

Der Belastungsfall III erzeugt das grösste negative Stützenmoment: Mx = — 22,06 — 27,90 — 1,61 = — 51,6 tm,

min

3,6 . 10²

= 45,0 tm.

sie bestimmen die Geraden II, II. p\²

Der Pfeil der Parabel IÏ ist

und damit ist auch die (angenäherte) minMp-Linie für die Strecke RXL2 gegeben; sie besteht aus den beiden Geraden III.

Dem Belastungsfall IV entspricht das grösste negative Stützen

moment :

M₂ = — 2 . 27,28 = — 54,6 tm;

dasselbe wird zur Festlegung der Geraden IV, welche die die Strecke B₂ 2 liefert, benutzt.

Die Belastungsfälle V und VI erzeugen schliesslich Mx = -f 7,4 tm

M₂ — —|— 2 . 5,92 = —]— 11,8 tm

und diese Werthe liefern die angenäherten die Strecken BXL₂ bezw. B₂2.

Die Momente infolge der ständigen Belastung g = 0,9 = ~~^~P

wurden gesondert dargestellt (Fig. 64); sie sind bestimmt durch die Stützenmomente

bezw.

min

min

Mp für

maa

max

Mp-Linien V und VI für

M₂

— •42,72 = — 10,7 tm, M₃=--— 44,13 = — 11,0 tm

und durch die Parabelpfeile

= 16,20 tm

= 11,25 tm.

Die Querkräfte maxQp und minQp der Seitenöffnung sind nach dem in No. 16 angegebenen Verfahren ermittelt. Die dort mit e bezeich-nete Strecke wurde 10 m gewählt, weshalb sich die den Theilpunkten 0, 1, 2, 4 (in Fig. 66b) entsprechenden Höhen hE = eoE zu

10,00 m, 9,22 m, 7,06 m, 4,10 m, 1,30 m²)

ergeben; dieselben sind auf der Drittelsenkrechten dx aufgetragen worden und dienen, da Lx mit der Stütze 0 zusammenfällt, zur Bestimmung der Strahlen 00', Ol', 02', 03', 04'. Diese Strahlen schneiden auf einer im Abstande

Fig. 69.

= — 2,95t.

Pl i²

3,6 . 10

12e

12 . 10

3,0 t

Stützpunkte 0 gelegenen Senkrechten die von der Q₀-Parabel in Abzug zu bringenden Kräfte Q' ab.

Die auf diese Weise in Fig. 66 gewonnene und durch schwarze Schraffirung hervorgehobene (Q₀—Ç')-Linie wurde in die Figur 67a übertragen und giebt auf die blau schraffirte Gerade VII bezogen die Querkräfte

vom

QP an. Es muss nämlich, behufs Erzeugung von maxQp noch die dritte Oeffnung gänzlich belastet werden, Fig. 69 (Fall VII), und infolge dessen wächst in der ersten Oeffnung die Querkraft 7,44

den Betrag

VII

VIII

maa

um

10

0,75 t.

<—x’—.>.

maxQpst

! minQ„

JP! Jp

Da nun weiter zur Hervorbringung von minQp an der Stelle x nicht nur die Strecke x (Fig. 69) sondern noch die zweite und vierte Oeffnung gänzlich zu belasten sind und diesen gänzlichen Belastungen das Stützenmoment M₁ = — 29,5 tm entspricht, so tritt zu der Querkraft infolge der Belastung der Strecke x noch der Betrag

Es geben deshalb die Abstände der schwarz schraffirten Linie von der roth schraffirten Geraden VIII (deren Bestimmung aus Fig. 67a hervorgeht) die grössten negativen Querkräfte minQp an.

Für die zweite Oeffnung ergeben sich für die nach Fig. 60 auf Seite 50 herzuleitenden Q' so kleine Werthe, dass die Q₀-Parabel beibehalten wurde. Die Festlegung der Geraden IX und X geschah mit Rücksicht auf die in Fig. 70 dargestellten Belastungsfälle IX und X wie folgt.

*-æ—>

ix

x r_

45?

fl

4/

minQpx

Fig. 70.

Die Belastung der ersten und vierten Oeffnung ruft M₁ = — 2S,7tm und M₂ — -f- 11,8 tm hervor, erzeugt also in der zweiten Oeffnung die Mi —Mj

Querkraft

Infolge der Belastung der dritten Oeffnung entsteht Jf₁ = -}-7,4, M₂ — Mt

M₂ = — 27,3 und Q —

— 2,9 t. Das Weitere geht

aus Fig. 67b hervor. Die beiden Geraden VIII und X sind parallel.

Die Querkräfte infolge der ständigen Belastung wurden in Fig. 65 für die dritte und vierte Oeffnung dargestellt. Für die dritte Oeffnung

erweist sich der Einfluss der Stützenmomente, d. i. Q' _ — 11,0 + 10,7

M₃—M₂

12

, als so unwesentlich, dass die Linie benutzt

werden darf.

9l

Es ist dies eine Gerade mit den Endhöhen + —-

a

= + 0,9 . 6 = + 5,4 t.

Die Querkraftslinie der vierten Oeffnung ist eine Gerade mit den

Endhöhen

M₃

= -{- 4,5 -j- 1,1 = -f- 5,6 t und

= — 4,5 + 1,1 = — 3,4 t.

nung.

Höhen -(- 3,4 t bezw. — 5,6 t.

Die Querkräfte Qg der ersten und zweiten Oeffnung haben die entgegengesetzten Vorzeichen wie diejenigen der vierten und dritten Oeff-Beispielsweise besitzt die Qg-Linie an den Stützen 0 und 1 die

Es fehlt jetzt nur noch die Berechnung der Stützenwiderstände C₀, Cx, C₂. Man erhält nach der Gleichung

Cr = C0r 4

Mr_x — Mr , M,

r+1

— Mr

h+1

und nach Einführung der in die Figur 68 eingetragenen Stützenmomente :

= — 2,95 t

Belastungsfall I

a, den Einfluss der beweglichen Belastung 29,5

io

II max

Ph

cop =

X = 18,0

14,6

10

= -j- 16,5 t

Belastungsfall III

mctx

Ph , Pl

M₁

11

IV

^ = "2

= 18,0 + 21,6 10 = + 47,8 t

= 2 (^21,6 +

Ml    . M₂—Mx

51,6

M₂—M,

— 15,4 + 51,6

12

++M)= + 48>9t

11

min

Cx

7,4    —27,3 + 7,4

10

12

— 2,4 t

VI min

11,8

12

= — 5.9 t.

b, den Einfluss der ständigen Belastung (nach Eig. 65)

C₀, = C4g = + 3,4 t; CX9 = Ca, = + 5,6 + 5,4 = + 11,0 t C2g = 2 . 5,4 = + 10,8 t.

C erhält man im Ganzen:

C₀ = — 2,95 + 3,4 = + 0,45 t C! = — 2,4 + 11,0 = + 9,6 t C₂ = — 5,9 + 10,8 — + 4,9 t.

Einfluss einer ungleichförmigen Erwärmung des Balkens. Wir setzen nun voraus, es handle sich im vorliegenden Ealle um einen Brückenträger, dessen untere Gurtung im Schatten der Fahrbahn liegt, während die obere Gurtung über die Fahrbahn hinausragt und infolge Sonnenbestrahlung eine um 15° höhere Temperatur annimmt als die untere Gurtung. Die durch diese ungleichmässige Erwärmung erzeugten Stützenmomente ermitteln wir mit Hilfe des in No. 11 angegebenen Verfahrens. Dabei möge in den Ausdruck

£ EJ(t₀ — tu)

Für die

mm

min

min

Tr =

- (Gleich. 9, Seite 37)

für -r— der dem stärkst beanspruchten Querschnitte entsprechende

fl

Werth eingesetzt werden. Durch diese ungünstige Annahme (an Stelle der Einführung eines mittleren Werthes    tragen wir etwaigen

schädlichen Verschiebungen der Stützpunkte Rechnung.

Das grösste Moment ergab sich bei Stütze 2; dasselbe ist:

M₂ = M₂,p -(- M₂.g = — 54,6 — 10,7 = — 65,3 tm

und erfordert bei einer zulässigen Beanspruchung von a — 750 kg f. d. qcm = 7500 t f. d. qm ein Widerstandsmoment

= 0,0082 m³

65,3

7500

tH I CM

weshalb, wegen J = -f. d. qm Schweisseisen :

Wh (d. h.

— 0,0041) und mit sA = 240 t

T₁— T₂= 240.0,0041.15 = rund 15 tm.

Diese Werthe wurden in Fig. 71 auf den verschränkten Stützensenkrechten vlf v₂ als Ordinaten aufgetragen, und hierauf wurden (nach Seite 38) die Punkte L₂ und L₃' des gesuchten M-Polygons

4-

pp

** ä! ö    ^1

Ï    »i

An

i.....

--"4

---Sr

M-

Fig. 71.

ermittelt. Da der Balken symmetrisch ist, so konnte aus der Lage von L₃ auf die Lage von B₂ geschlossen werden (B₂B₂ — L₃L₃) und damit war das M-Polygon bestimmt. Das Ergebniss lautet:

ilt-yt -- —}- 18,6 tm    M2f = —}— 13,0 tm.

Sonnenbestrahlung der oberen Gurtung erzeugt also überall positive Momente. Addirt man die auf Tafel 2 gesondert dargestellten Momente Mp und Mg so findet man in der ersten Oeffnung

max

(Mp -j- Mg) — 44,0 tm

und in der zweiten Oeffnung

ne c

(Mp -{- Mg) — 44,7 tm.

Fügt man nun die in Fig. 71 gewonnenen Momente Mt hinzu, so erhält man:

ma c

(Mp -J- Mg -]- Mt) = 53 tm bezieh. 60,5 tm.

Hiernach wird

M infolge der Temperaturänderung um 20 °/₀ bezieh. 35 °/₀ des zuerst ermittelten Werthes vergrössert.

Um schliesslich auch hinsichtlich der Momente

max

M eine möglichst

ungünstige Voraussetzung zu machen, nehmen wir an, es erfahre im Winter die obere Gurtung eine stärkere Abkühlung als die geschützt liegende untere Gurtung. Den Temperaturunterschied ermässigen wir aber auf 10°, setzen also:

min

Mlt =--— . 18,6 = 12,4 tm M2t —--— • 13,0 tm = — 8,7 tm.

3    3

Die Grösstwerthe der Stützenmomente sind dann:

Mx = — 51,6 — 11,0 — 12,4 = — 75 tm; M₂ = — 65,3 — 8,3 — — 74 tm;³)

sie haben also um 20°/o bezieh. 13% zugenommen.

Die durch die ungleichmässige Erwärmung des Balkens hervorgerufenen Querkräfte Qt und Stützenwiderstände Ct sind, erstens für t₀ — tu — 15°,

in der SeitenöfFnung : Qt =

18,6

10

1,86 t

„    ,, Mittelölfnung : Qt==

M₂ — Mx

13,0 — 18,6

12

= — 0,47 t,

Got= 1,86t; Clt—— 1,86 — 0,47 =— 2,33t; C2t = + 2.0,47=+ 0,94t, zweitens für tu — t₀ = 10°,

in der SeitenöfFnung: Qt

12,4

10

1,24 t

,,    ,, MittelöiFnung : Qt — —

8,7 + 12,4

12

+ 0,31 t

CQt=— 1,24t; Clt=+ 1,24 + 0,31=+!,55t; C2t = -2.0,31=—0,62t.

Zu beachten ist namentlich der Einfluss der Temperaturänderungen auf die Kleinstwerthe C. Die auf Seite 58 gefundenen minC gehen über in

C₀ = + 0,45 — 1,24 = —- 0,8 t Cx —    9,6 —2,33 =+7,3 t

= +4,9 —0,62 = 4-4,3 t

und es entstehen demnach an den Endstützen negative Stützendrücke, welche eine Verankerung der Balkenenden nothwendig machen.⁴)

min

min

min

In den vorstehenden Rechnungen wurden die Verschiebungen der Stützpunkte vernachlässigt. Es ist dies bei Trägern auf steinernen oder nicht zu hohen eisernen Pfeilern und bei sicherem Baugrunde auch zulässig, falls, wie hier geschehen, hinsichtlich des Einflusses des Temperaturunterschiedes t₀ — tu genügend ungünstige Annahmen gemacht werden.

§ 6.

Balken auf elastischen Stützen.

19. — Bislang setzten wir voraus, dass die Strecke (Fig. 72), welche sich der Stützpunkt r gegen die Verbindungsgerade der

Stützpunkte ?--1 und r-j-1 verschiebt, gegeben sei, dass es sich

also darum handle, den Einfluss beobachteter oder durch Schätzung bestimmter Verschiebungen der Stützpunkte festzustellen, oder die

um

Vortheile zu prüfen, welche sich durch eine Aenderung der dem spannungslosen Zustande entsprechenden gegenseitigen Höhenlage der Stützpunkte erreichen lassen. Der Einfluss der hr wird dann zweck-

2 EJ\

massig mit Hilfe der Momente Tr

auf dem im § 11*)

K lr+1

angegebenen Wege ermittelt und bietet keinerlei Schwierigkeiten.

Wesentlich umständlicher wird hingegen der Rechnungsgang, wenn bei einer grösseren Anzahl von Stützen der Einfluss der von den Stützendrücken abhängigen Bewegungen nachgiebigerer Widerlager berücksichtigt werden soll, also beispielsweise bei Balken, die auf sehr hohen eisernen Pfeilern oder — wie die Hauptträger der Schiffbrücken —

auf schwimmenden Körpern ruhen. In den beiden angeführten Fällen lässt sich die (nach unten positiv gezählte) lothrechte Verschiebung er des Stützpunktes r auf die Form

--V

JE

r-1

Cer-f

r!

(1) er = er -\- orCr

bringen, wo er einen von dem Stützendrucke Cr unabhängigen Werth bedeutet, während or die Senkung des Stützpunktes infolge Cr = 1 ist.

Ruht z. B. der Balken bei r auf einer Säule von der Länge hri

*) Für den Balken mit veränderlichem Querschnitte findet sich das ge-Verfahren in Abtheil. 1, Seite 357.

Fig. 72.

r-h

nanere

dem Querschnitte Fr und der Elasticitätsziffer Er und bezeichnet tr die Temperaturerhöhung der Säule, so ist

Crhr ErFr

Dabei ist die Nachgiebigkeit von Baugrund und Grundmauerwerk vernachlässigt worden; dieselbe könnte schätzungsweise durch Vergrös-serung von or berücksichtigt werden, ist aber in der Kegel unwesentlich.

Wird ferner ein Balken bei r durch ein Schiff gestützt, so besteht zwischen dem durch irgend eine Belastung hervorgerufenen Stützenwiderstande Cr und der Aenderung er der vor Aufbringung dieser Belastung herrschenden Tauchtiefe des Schiffes die Beziehung

T Frer = Cr,

wo Fr den Inhalt des wagerechten Schiffsquerschnitts in der Höhe des Wasserspiegels und y das Gewicht der Raumeinheit des Wassers (y = 1 t f. d. cm) bedeutet. Hierbei ist die stets zulässige Annahme gemacht, dass sich F bei Yergrösserung der Tauchtiefe nicht ändert, dass also der Rauminhalt des durch den Druck Cr verdrängten Wassers gleich Frer ist. Erfährt nun die Tauchtiefe durch eine von Cr unabhängige Ursache — z. B. durch eine nachträgliche Aenderung des Schiffsgewichts — den Zuwachs er, so verschiebt sich der Stützpunkt r im ganzen um

er = er' -J- or Cr wo    .

y ^ r

Zu beachten ist, dass der Stützpunkt r in der Mitte des Schiffes angenommen ist. Mit dem Falle unmittelbar auf den Schiffsborden ruhender Balken werden wir uns später beschäftigen.

Durch die Gleichung (1) sind die möglichen Beziehungen zwischen den Verschiebungen e und den Kräften C keineswegs erschöpft. Es

(2) er — — etrhr -f-

also e' — — strhr und =

hr

ErFr ‘

(8)

Fig. 73.

kann auch Vorkommen, dass er von mehreren Stützendrücken Cr abhängt. Ein Beispiel bietet die Fig. 73. Der Balken O 1 ... 6 wird zum Theil von dem Fachwerk AB getragen, und es ist deshalb jede

der Verschiebungen e₂, e₃, eA von den drei Stützendrücken C₂, C₃, C± abhängig. Von der Behandlung derartiger Fälle wollen wir indess vorläufig absehen.

20. Elasticitätsgleichungen für den Balken von überall gleichem Querschnitte. Wir knüpfen an die auf Seite 36 abgeleiteten Gleichungen 7 und 8 an und drücken zunächst hr durch die Verschiebungen er, er+l aus, Fig. 72. Es ist

er+i — (er -f~ 5,-)

er hr — er-i

mithin

Ir

K+1

(4)

S»- (Jr H⁻ C+l)

&r-1 &r

&r+1

Ir

ly+1

und das Belastungsglied Nr geht über in

So, , »l

(5) Nr = —

⁶(

o(r+1)

K+i

) — 3 s EJ (tu — t₀)

— 6 EJ

er- 1

er (Jr ~f“ ^-+l)

@r+l

ly+1

h ly+1

Setzt man nun er = er' (ùrCr und (nach Gleich. 23, Seite 44)

Mr (Jr -f- lr+1) lr lr+i

wo C0r den Werth bedeutet, welchen Cr annehmen würde, falls die Trägerstücke lr und lr+l einfache Balken wären, so erhält man nach einer leichten Zwischenrechnung die Beziehung:

(6)

Cr = CQr +

Mr_i

Mr+\

lr+l

(7) ilfr_2U,_i + Mr_ibr -j- Mrcr -f- Mr+ibr+i -j- Mr+2dr+i — Kr.

Die Beiwerthe a, b, c sind durch die Formeln bestimmt: 6 E J d)r

ar =

lr lr+l

(8 a) br = lr

6 EJ

w,-x

l*—1 H⁻ lr

lr | lr+l

lr-1

lr+l

cr =

2(l,+l+i) + SEj['^

Wr (Jr “t⁻ lr+l)

il c

+1

und das Belastungsglied lautet:

Kr =

o(r+l)

lr -J- lr+1

lf+i

^    3 s EJ (t„    t₀)    ^

(9 a) •

— 6 EJ

ei

r-l

er (Jr ] ly+l)

e..

r+1

lr

lr+l

— 6 EJ

Wr_i £()(*—

lr

lr ly+l

0_ torCQr(jr~\-lr+l) | °f+l ^OpM-l)!

ly ly+l    ly+l J

Auch kann man die Gleichungen für br und cr umformen in: k-i k

(8 b)

br - lr <%r—1

ar

k -j- k+1

Cr 3 (lr j k+1)    Q*r — 1    byjyl d‘y-\-1

und das letzte Glied des Belastungsgliedes Kr darf auch wie folgt geschrieben werden:

(9 b)    (ly 1 ly 1 (Jq ^y 1 ) j (ly (J y ' j Z,._|_l) Cg y    (XrĄ.\ l y-'y 2 Cg ()'— 1 ) '

Eine etwas abweichende Form nehmen die beiden ersten Elastici-tätsgleichungen an; sie sollen hier nur für den Fall eines überall frei aufliegenden (an den Enden also nicht eingespannten) Balkens, der jedoch über die Endstützen 0 und n hinausragen möge, aufgestellt werden, Fig. 44, Seite 39. Die äussersten Stützenmomente M₀ und Mn sind bekannt. Die Widerstände der Stützen 0 und 1 sind:

(10)

C₀ — C0 0 -f-

Mi

MĄI i + k)

M₉

Ci— c₀₁

wenn C₀₀ und C₀₁ die Stützenwiderstände für den Fall bedeuten, dass der Balken bei 1 und 2 durchgeschnitten wird, Fig. 74. Die fraglichen Elastieitätsgleichungen lauten:

tt

AA

AA

AA

îî

C;

C.M

Mg. 74.

(    M₁ C1 ’~j_ -^2 ^2 + M$ a2 — K\

\    Mx b2 -f- M₂ c₂ -f- M₃ b₃ -f- Ml a₃ = K₂

wobei Kx mittels der Ausnahmeformel

S₀₁ , 3ł

(H)

Kx = -M₀lx-

⁶(

(12)

— 6 EJ

^ ^    3 s EJ(tu Z₀)

gi Oi ~f~ ^2)

»2

:]

¹

D. b. begnügt man sich nicht mit der auf Seite 47 hinsichtlich der Momente empfohlenen Näherungsberechnung.

²

Vergl. die Zahlen auf Seite 49. Im vorliegenden Falle wurden nur die Werthe für %':l — 1,0; 0,8: 0,6; 0,4; 0,2 gebraucht.

³

Legt man dieses Moment der Berechnung von J :h und T zu Grunde, so erhält man J: h — 0,0048 und T— 17,3 tm. Eine Neubestimmung von Mlt und M₂t ist nicht nöthig.

⁴

Diese Verankerung empfiehlt sich zur Vorsicht auch dann, wenn „«„C einen kleinen positiven Werth besitzt.

^0 G₀ 0 H- ai Q'i + k') ^01 a2 k C₀

welche sich von der Gleich. 9a u. b durch das Glied —M₀lx unterscheidet, berechnet werden muss. Für K₂ gilt Gleichung 9 a u. b. Zu beachten ist, dass in

ao —

6EJq₀

1q h

für l₀ eine beliebig lange Strecke eingeführt werden darf.*)

In derselben Weise ist bei Aufstellung der beiden letzten Elasti-citätsgleichungen zu verfahren.

21. Balken mit veränderlichem Querschnitte. Zur Berechnung der Stützenmomente dienen die allgemeinen Gleichungen (1) und (2) auf Seite 32. Dieselben lassen sich mittels der Beziehungen

ly~J~lr+l

ßr—\

6r (Jr [ l r i )

j-1

ir

lr G'-f-1

+i

6r--ßr —J— (ürGr

Mr_ i

a = c„,-1

Mr (lr -f- lr+1) . M.

r+1

lrlrĄ.\

lr+1

in derselben Weise umformen, wie die Elasticitätsgleichungen des Trägers mit überall gleichem Querschnitte. Man erhält nämlich:

(12) Mr_2ar_i + M}— iß,, -f- Mryr -j- J/,.₊₁ßr+1 -{- Mr+2GLr+1 — Zr wobei die a, ß, y und Z durch die Formeln bestimmt sind:

a,.

lr G-j-i

ß,- =

dr

lr

o,._i

lr—i | lr

lr— 1

+ w.-

lr | G+i

lr+\

(13)

U-r-l

l'r—1    [ lr

lr

OL,.

lr~\~ ly +1

lr

Oy

Cr

O,. (ly | lrĄ-1)

lr

lr

ll

r-f-1

dr

Cr

dr+1

ly    ly

ly+l

ly+l

a,._i ßr ß,.+ l &r+l

(14)

Zy = — ^Pmhmr—Crt —

e'r.

er (lr-\-lr+0

ei

r-f-1

lyly+l

*    Cf.,— i ly—i    0’~ U l    Cf y (Jr j l'r f l) G} r 0.rĄ_ \ lrĄ 2 Go (r-[- l)'

lr

ly+1

Die Bedeutung der Buchstaben dr, cr, hmr, crt ist aus Figur 37 Seite 33 ersichtlich.

*) Das gleiche gilt für ln+1 in a„ — -- ----

In In-1-1

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

22. Die Auflösung der Elasticitätsgleichungen erfolgt am zweckmässigsten durch Rechnung; sie gestaltet sich besonders einfach bei symmetrischer Anordnung des Trägers.

Es handle sich beispielsweise um einen auf 8 Stützen ruhenden, irgendwie belasteten symmetrischen Balken von überall gleichem Querschnitte. Die Elasticitätsgleichungen desselben lauten:

TTj Cj —|— M₂ b₂ M₃ a₂ = Ix1 M-y ^2 + M₂ C2 H⁻ M₃ b₃ d/₄ Ö3 ⁼⁼ K2 M₁ a₂ -|- M₂ b₃ -(- M₃ c₃ -{- Ma &₄ -}- M₅ a₃ = K3 M₂ a₃ -)- M₃ bA -f- A/4 c₃ -f- M₅ b₃ -f- M₆ a₂ = K₄

= X₅

ö3 H⁻ -^4 ^3 ~^5 C2 4~ Ms b-2 Jli₄ a₂ -|- d/5 &2 H⁻ d/₆ Cj

denn es ist a± — a₃, a₅ = a₂, ferner b₅ = b₃, b₆ = b₂, schliesslich c₄ = c₃, c₅ = c₂, c₆ = c₄.

Addirt man die erste und die letzte Gleichung, ebenso die zweite und die vorletzte u. s. w. und führt man die neuen Unbekannten ein:

-Z1 = -M1+tf«; xs = M₂+M₅-, X₂=M₃+Ms 11 = My A/g ; U₂ = M₂ M₅ ;    5 ₃ = M₃ A/₄

so erhält man zwei Gruppen von Gleichungen mit je drei Unbekannten, nämlich:

(I)

(II)

wo

Xy c₁ -j⁻ A₂ b2 Xy b₂ -f⁻ M₂ c₂

X₁ a₂ -f- X₂ (63 -f- a₃) -f- X₃ (c₃ -j- b₄) =j= A3 E₁ci+E₂&2 Xy b₂ -j— 1₂ c₂

i 1 a2 -^2 (^3 as) + -^3 (C3    ^4) ⁼ -®3

-f- X₃ a2 + X₃ (b₃ -\-a₃) — Ä₂

= Ai

A± =

a₃ = k₃ + ir4 b₃ = k₃ — k₄.

-B₄ = Ky Ä₆, B₂ = A₂ X

Bezeichnet man nun die aus den Beiwerthen der Grössen X ge-

D₂, D₃ diejenigen Determinanten, welche man erhält wenn man in D die erste bezw. zweite bezw. dritte Spalte durch die Spalte A₁A₂A₃ ersetzt, so brhält man

bildete Determinante mit D, ferner mit D

X₂ =

1)₂

^3 =

Ds

worin also

K)    M.

^ Ci <5~i 05    IO tt>

«2

(b₃ 4" a3 )

(C3 + 4)

Die Rechnung wird dadurch wesentlich vereinfacht, dass die Gleichungen (I) einfach symmetrisch sind, was zur Folge hat, dass auch die Lösungen in derselben einfach symmetrischen Form erscheinen. Schreibt man die Gleichungen (I) übersichtlicher wie folgt:

Xt a + X₂ V H- X₃ c = Ai XA À Ad' Ą-X₃e' = A2 Xt c A X₂e -f- X₃ f — A₃

so lauten die Lösungen

a₂

(b₃ -j- aâ )

A Q>₃Aaz) AA^ù

Ci

Ci Ai a₂

b2 A (^3 “f- az)

«2 A (C3 + M

U. s. w.

X, = a"AiAb"A₂Ac"A₃

X₂ = b" Ai À d" A₂ 4- e"A,

X₃ = c"A₁+e''A!!+f"js

und hierin ist

wo

/

«i

b" =

di

u. s. w.

a b' c b' d' e c e f

und a/, b/, c/, dx . . . die Unterdeterminanten zu den Elementen a, D*) nämlich: d'e

= a di A b'bi A c'ci

von

ai — +

b' c'

bi =

a b' b'd' '

b' c d'e

a c

b' e

Hat man auf dieselbe Weise die Unbekannten Y in der Form

C\ — +

fi=A

Yi = a’"BiAA'B₂Ac'"B₃

Y₂ = b'"Bx A d"'B₂ + e"'B₃

Y₅ = c"'BiA e"'B₂Af'"B₃

*) Die allgemeine Form einer ans n Elementen ab c . . . q gebildeten Determinante nten Grades ist:

«i Ci . . . qi

«₂ b₂ c₂ . . . q₂

5*

dargestellt, so findet man:

i¥j =

J (*x + U) ; ¥₆ = Y (X, - rt) ¥„ = y « + r,)i 3f, = y (X₂ — r,) \(x, + r,)i ¥₄= y (X,- r₃).

Es ist also beispielsweise:

2Mx = a" (Z₄ + Z₆) +    6" (Z, +    Z₅)    +    c" (Z₈ + Z₄)

+ a'"{Kx — Ze) +    b"'(K₂ —    K₅)    +    c"\K₃ — ZJ

— Kx{a -j- a"') +    AT₂ (&" -(-    &"')    K₃ (c -j- c )

+ if₄(c" — Ć”) +    K₅ (b" -    b'")    +    Ke (a" - a").

Die Rechnung wird wieder durch den Umstand vereinfacht, dass die schliesslichen Lösungen in der doppelt symmetrischen Form erscheinen müssen :

wo:

Mx = aKx-\- b_K₂ -\-e_Ks + c K±+b K₅ + a Ke

M₂ = b Kx-\-d_K₂ -j-_e Zs +7 K± + ~d K₅-\-7Kq M₃=c_K₁ + eK₂+fK₃+jKt + ~eK₅ + 7K6 Jf₄ = 7kx -j-7z* + fK₃ +_£ Z₄ + £ K₅ + c_K6 M₅ = bKx + 7 K₂ -f 7k₃ + e_KL + dK₅ + b_K₆

M₆ = 7kx +~b K₂ +7K₃ +£Z₄+ b K, + aK6 b"-\-b'"

ff i    ///

a -f-a

ff i rrr

C —C

b"—b"'

///

n/r ,    -.r/f    rr i nr

_ a -\~d    e -\-e    —

d =-, # =-. g =

- 2 - 2

r+r

fff

f"—r

Ganz ähnlich ist der Rechnungsgang bei einer ungeraden Anzahl von Elasticitätsgleichungen. Ist z. B. die Anzahl der Stützen gleich 7, so hat man:

a₂ -f- ilf₄ 6₂ -j- M₅ cx

= *4

= k₅

und erhält mit

M₁-{- M₅ — X₁, M₂ + M± = X₂, M₃ -j- M₃ = X3 Mj. M₅= Yx, M₂ M±— Y₂

die beiden Gruppen von Gleichungen:

X± cx -|- X₂ b₂

xi \ + X2 (c₂ + a₃) -f- X₃ b₃ = K₂ -j- X₄ = A₂

+ X3j = X3

+ X3 a2 - XX + X5- ^1

(I)

xi a₂ -f- X₂ b₃

A₃

(II)

= KX-K, = BX

Ttc i+ r,j

X1 ^2 “t~ ^ 2 (c2    a3 ) = X2 Xi ⁼⁼ B₂ .

Hieraus findet man nun zunächst die X und Y in der einfach symmetrischen Form:

X! = o"A₁ + b" Ä₂ + c"A3 X₂ = b Ax —f~ ^ A₂ -j~ ß A3 X3 — c Ax -j- e A₂ -j- f A3 Y₁ = a'"B₁ + b'"B2 J₂=b'"Bi+d'"B2 und schliesslich die Stützenmomente:

Mi = aKi+lK₂ + (c) K₃ + b_KA + a X5 M₂ = bKi + dK₂ + (e) K₃ 4- d X₄4- b X5 m₃=^Ki+£x₂ 4- 00 k₃ 4-£X₄ 4- £x5 M± = b Ki + dK₂+ (e) K₃ 4~ ^ X₄ 4~ b_X5 M₃ — (i X₄ 4~ b K₂ 4- (c) X₃ 4- b X₄ 4~ ® X₃

wo:

// i    ///

a 4~a

a =--,

2 ’

2

d"+d'”

b"-b'"

W=4’⁶= 2

Y'¹

rrr

ff

d"—d"'

f"

(f) =

23. Einflusslinien für die Stützenmomente. Die Aufstellung allgemeiner Kegeln für die gefährlichste Belastungsweise begegnet bei nachgiebigen Stützen grossen Schwierigkeiten, und es empfiehlt sich daher, diese Frage von Fall zu Fall mittels Einflusslinien zu entscheiden. Um den einzuschlagenden Weg auf möglichst übersichtliche Weise beschreiben zu können, geben wir dem durch Auflösung der Elasticitäts-gleichungen für irgend ein Stützenmoment (z. B. M{ bei Stütze i) ge-

wonnenen Ausdruck die Form:

(15) M, = ft, JT, + ft. K. + ß„ E, + ... + ft<„-„ K,

ft — 1

>-i

= 2ßirKr

und zerlegen den von der Belastung abhängigen Theil von Kr in

(r+1)

(16)

k;= —

⁶(x

^•+1

und

(17) Kr =-a,—\ h-l C'o (»— 1) ar (Jr K+l) @0 r ®r+l h+2 ^0 (»•+!)•

Der Einfluss des Restes, d. i.

(18) JTr'" =

— 6 EJ

er'(K'\~h+1) . er

wird für sich allein festgestellt, und kommt jetzt nicht weiter in Betracht.

Zunächst nehmen wir an, es seien sämmtliche K" gleich Null, setzen also

M, = ft, Äi'+ ft₂ JT, '+ ß,₈ Ą'+

| ßt (n— i) A-»— 1*

Liegt dann die über den Balken wandernde Last P über der r Oeffnung, und zwar in den Abständen £ bezieh, h,' von (r—1) bezw. r (Fig. 75a), so entsteht nach Seite 30:

—PCS(

— nlC

ten

X-1

69îor

or

r r³

und

H-

-I

Crrv

'S

(aj

r\i

s.

r+r

(r-Hj

(bJ

(r+1)

jb

Sir

Jfc£= 'Fläche    \

Fig. 75.

während alle übrigen K' verschwinden; und es ergiebt sich daher mit den auf Seite 42 eingeführten Bezeichnungen:

(r+U'

tg = —

Ir

₃ und tg<p* = —

Vf    Vf

für den Einfluss der über der rten Oeffnung liegenden Lasteinheit auf das Moment der Ausdruck:

(1 9) Mir ⁼    P (ß* (»—1) lg 9L ~j~ ß»V tg (pjs) lr = P%ir‘

(20)

Für eine Last P = 1 über der ersten Oeffnung findet man ?ii ⁼ ß«i tg yRlx “ und für eine Last über der Oeffnung ln:

(21)

X>in    ßj(rt-l) tg CpPn'

Da tg cpi und tg<p.s nur von den Verhältnissen £,':lr bezw. £ : lr abhängig sind, nicht aber von den Stützweiten, so lässt sich die Berechnung der £f-Linie ohne grossen Zeitaufwand ausführen. Selbst bei

7,. -

irt

«-

—Jr -

'O

rZ-A—4—4—1—4—4    T f 4-1

Fig. 76.

grösseren Oeffnungen genügt es, die Stützweite in 10 gleichlange Strecken zu theilen, so dass die Tabelle auf Seite 42 ausreicht. Zur zeichnerischen Ermittlung der Z> empfiehlt sich die Benutzung zweier Strahlenbüschel in der durch Fig. 7 6 (Bestimmung von Ç,> für den 4ten Theilpunkt der Oeffnung lr) veranschaulichten Weise. Die auf die Strahlen gesetzten Zahlen geben die Ordnungsziffern der zugehörigen Theilpunkte und die der Tabelle entnommenen Tangenten der Neigungs-

Fig. 79.

Fig. 78.

Die Werthe tg <pL für die Theilpunkte 1, 2,

winkel der Strahlen an.

. . . stimmen bew. überein mit den Werthen tg für die Theil-

CO &

nkte 9, 8, 7, . . .

Noch einfacher gestaltet sich die Darstellung des Einflusses der Glieder K". Denn die Einflusslinie für CQr besteht nach Fig. 50, Seite 44, aus zwei Geraden, welche sich auf der Senkrechten durch r treffen und bei (r—1) sowie bei (r-j-1) die Ordinaten 0 besitzen, und es muss deshalb die Einführung der K" in die Gleichung 15 ein Einflusspolygon ergeben, dessen Eckpunkte . . . (r—1)' r (r-|-l) ... . senkrecht unter den Stützpunkten liegen, Fig. 75b; dasselbe ist bestimmt durch die Ordinaten r\i0, 7]fl, . . . ?]ir, . . . yj<h. Liegt die Last P über der Stütze r, so entsteht C0r = P, während alle übrigen C0 verschwinden, und es ergiebt sich daher:

-Ki" = 0, K₂" — 0

K"_ i = — arlr+\P, Kr = —|- ar(lr -\-lr+\)P, Kr+i= a,.lrP

. Kn—i — 0.

lC-2 = 0

Kvą. i — 0

Man erhält also:

Mi = [- ßi(,-l)®rl+l ßirar(?,.-j-C+l) - ßt(r+l)®r^r]-P a^S0

ir    C    ßf (>•—1) ^)-+l 1 ßir (1 1    ßi(»-+l)^r] )

nur für die Endstützen 0 und n gelten die Ausnahmeformeln:

’tyo::::::    ao ß*i )

'Ąin    ^n+1 ßi(«— 1)’

Die Zusammenzählung der Einflüsse von K' und K" erfolgt schliesslich in der Weise, dass nach Fig. 75b die Ordinaten der Ç<-Linie vom •/)<-Polygon aus aufgetragen werden.

Zu einem anderen ebenfalls sehr übersichtlichen zeichnerischen Verfahren führt die Betrachtung eines einfachen Balkens von der Stützweite lr) auf den nach Fig. 77 eine Dreiecksbelastung von der Höhe

(22)

(23)

--K

K-----4------>

K-

■>i

r'<£

If: il

i fl

6ßir

r-1

Ł—-f—I¹

ßirl

Fig. 77.

6 ßir wirkt. Der Gegendruck der Stütze (r—1) ist $irlr und das Mo-§) Hinsichtlich l₀ uod ln+i vergleiche man Seite 65.

ment an der Stelle b, ist:

(M) = ßirlr • £ — 6 ß

ßirlr (

JYV

lr 2    3

und ganz ebenso findet man das Moment infolge der Dreiecksbelastung in Fig. 78:

(M) = ß<₍r-l)lr (

lr

)•

°\

Der Trapezbelastung in Fig. 79 entspricht also

(M) = (ßi(r-l) tg Cp£ -f~ ß*r tg 9-b) lr ⁼    £»>

und hieraus folgt, dass die Ç<r-Linie als die mit der Polweite 1 gezeichnete Seillinie des Belastungstrapezes in Fig. 79 angesehen werden darf. Diese Auffassung der Linie führt zu der durch die Fig. 80 veranschaulichten Darstellung der Einflussfläche für Mt. Die Seillinien

'/

jt

\T

ß.

'u

6’

\5'

\ó

TT

\6

risi

TV

3'

Mg. 80.

I, II, III, . . . gehören zu den gleichbezeichneten Belastungsflächen; die gestrichelten den Einzelbalken entsprechenden Schlusslinien 0 — 1, 1 — 2, 2 — 3, . . . sind behufs Berücksichtigung der Werthe K" durch die Schlusslinien 0'—1 ', V—2', 2' — 3', . . . ersetzt worden. Dabei ist:

o — o'= *1,₀, 1 — 1'= ■*]<!, 2 — 2' = 7)i2, ...

Die Zeichnung setzt voraus, dass die 'if] zum Theil positiv, zum Theil negativ sind. Auch die ß< werden in der Regel zum Theil positiv zum Theil negativ sein; sie wurden in Fig. 80 aber durchweg positiv angenommen.

Bezüglich der Einheiten und Maassstäbe ist folgendes zu beachten.

,T~—die ^ und £ Meter /

Die Beiwerthe ß sind reciproke Linien ^z. B.

sind Linien (Meter). Die Inhalte f der Streifen, in welche die Belastungsflächen I, II, ... in Fig. 80 und 81 behufs Aufzeichnung der

Fig. 82.

und man erhält mit P — 1 (nach Gleich. 12):

—— ferner

Kx =

= a₁l' also

^iB — ßil

74

Zweiter Abschnitt. — § 6.

Seillinien zerlegt werden, sind Zahlen • m^ ; ersetzt man sie durch

die mittleren Streifenhöhen y = —, wo c die Streifenbreite bedeutet,

so muss man die Polweite 1 (Zahl) durch die Polweite 1 : c ersetzen. Der Maassstab, in dem die reciproken Linien f : c und 1 : c aufgetragen

werden, ist gleichgiltig; man erhält die Ç in demselben Längenmaassstabe, in dem die Stützenweiten l gezeichnet sind. Es ist aber zweckmässig, für die £ einen grösseren, etwa einen v-mal so grossen Maassstab zu wählen wie für die Stützweiten. Man erreicht dies, indem man die Polweite gleich 1 : vc macht.

Wird der Balken 0—n über die Stütze 0 hinaus um Ï verlängert, Fig. 82, und zur Unterstützung eines einfachen Balkens AB benutzt, so besteht die Einflusslinie für Inzwischen 0 und A aus zwei Geraden i', i", welche durch die Ordi-naten r\i0 und v\iB bestimmt sind. Liegt P bei B, so entsteht bei Stütze 0 das Moment M₀ — — Pl'; ferner wird

pF

Fig. 81.

^00 — ?

o+f).

Go i —

8-

----->J

[j h + «o lo ~\    -j~) -f- ai (h ~b h)    ß*2 ail •

24. Fortsetzung. In dem häufig vorkommenden Falle gleichgrosser Oeffnungen (lx = l₂ — . . . = Ï) und gleich beschaffener Stützen (<>>i = «₂ = . . . = w) vereinfachen sich die vorstehend abgeleiteten Beziehungen wie folgt.

Die Elasticitätsbedingungen lauten, wenn zur Abkürzung 6 EJo

gesetzt wird:

Mx (4+    6 a)    + M₂    (1 — 4a)    +    if₃    a    =    Zx

MŁ ( 1 — 4 a) —J— _Mg (4 —}-    6 oc)    —J— flf₃    ( 1 — 4 oc)    —p    M^    oc    =    Z%

Mx oc —|—    M% ( 1 — 4 oc) —J— ifj (4 —|—    6 oc)    —(— M^    ( 1 — 4 oc)    —|—    M$    oc    =    Z§

Mr_2oc —(— Mr_\ (1 — 4 oc) —j— flf,.(4 —J— 6 oc) —J— Mr+X(1 — 4 oc) —{— Mv+%cl — Zr

- -Z«—2

— Zn-l

j¥„_₄ a + Mn_ ₃ (1 —4 a) -f- JfK_₂ (4 -j- 6 a) + Mn_x (1 — 4 a) -¥»-₃a + ATn_2( 1 — 4a)4- if«.!(4 -f- 6 a)

wo

Zr

Kr

•o

3Î₀

(»•+!)

6 s E J (tu—Q

6 EJ

[ßr-1 — 2e,. -J- er+i] — &[Co(»--i) — 2 (70r -}- Co(H-i)]^

Die Auflösung der Elasticitätsbedingungen liefert für die Stützenmomente Gleichungen von der Form

-df» = ß»i^i + ßf2Z₂ + . .. + ß,>^. -j- . . . -f- ß<(»-i)-^» worin die Grössen Z Momente und die Beiwerthe ß Zahlen sind. Die Einflusslinie für bestimme man wie vorhin mit Hilfe einer £,•-Linie und eines 7),- Polygons. Die Gleichung der £f-Linie ist im rten Felde

'Cir ⁼⁼    (ß»(r—1) tg 9L “1“ ßtr tg 9s)l

und die ?)< sind nach der Formel zu berechnen:

7}ir = cd (— ßi(r_D + 2 ß,.r — ßi(r+i)).

Für die äussersten Oeffnungen gelten die Ausnahmeformeln:

6)    ⁼ ß»i ^ 9-r^

7)    ^1= —ßa

Will man die Ç,-Linien als Seilpolygone der in Figur 80 dargestellten, durch die Ordinaten 6 ß,> bestimmten Belastungsflächen auffassen, so muss man die Polweite gleich l : c (anstatt, wie früher, 1 : c) wählen. Man erhält dann die Çf in demselben Maassstabe, in dem die

(24)

(25)

l²

-i?

-1).

Im. ST. PRZYBYLSKI

Stützweiten gezeichnet sind. Wird für 'Q der v-fache Maassstab an-gewendet, so ist die Pol weite gleich l : vc zu machen.

Wird der Balken nach Fig. 82 über 0 hinaus verlängert, so ist

(28)

%cB — — ß*i(l -j-al-|- 3al ) -j- ßi₂&l •

25. Nachtrag zur Untersuchung des auf starren Stutzen ruhenden Balkens. Das in No. 23 u. 24 entwickelte Verfahren zur Darstellung der Einflusslinien für die Stützenmomente gilt natürlich auch für den Fall starrer Stützen. Infolge des Nullwerdens der Werthe « verschwinden die K" und damit auch die 7]-Polygone, und es ist daher die £f- Linie die Einflusslinie für M{. Eine weitere Vereinfachung ergiebt sich nach Bestimmung der Festpunkte L und R aus der Möglichkeit, die Momente Mr_x und Mr für zwei aufeinander folgende Stützpunkte mit Hilfe der beiden Gleichungen (14), Seite 40, zu berechnen, ferner aus dem Umstande, dass es genügt, für jedes Stützenmoment diejenigen beiden Zweige der Einflusslinien zu zeichnen, welche den durch den fraglichen Stützpunkt getrennten beiden OefFnungen angehören. Die in den fraglichen Gleichungen enthaltenen Werthe Nr_x und Nr sind gleichbedeutend mit K'._x und K'.. Die Auflösung ergiebt für Mr die Formel:

Mr — ßrrNr -f- ß

r 0—1)

Av-x wo

ßr.r =

X,.

lr (x/ x,.— 1)

und ßr (r_X) — —

ß,,

dJ

lr (x,/ xr —— 1)

Dabei sind xr und x,. gleich den Streckenverhältnissen :

x,.

-i

r"

x,. =

rL

>6ßr'lL

L(r—1)

und

r-/

~G

T -4m

x/

(r — 1)P

Rr

(r-ij

;

°rr

--->

Macht man also (Fig. 83) rr"—ß ßrr und legt man durch r" und den linken Festpunkt die Gerade r"(r—1)" so ist

( i— 1) (r — 1) " = 6 ßr

Die

(r-l)"

Çrr-Linie ist die Seillinie der

Fig. 83.

schraffirten Belastungsfläche; sie besitzt bei L einen Wendepunkt und liefert das von der Einzellast P hervorgerufene Stützenmoment:

Mr — — PC

Die Polweite ist 1. Zur bequemen Ermittlung von ßrr mache man (am besten in kleinerem Maassstabe) rr' — lr, ziehe von r’ aus durch die Festpunkte gerade Linien und bestimme die von diesen auf der Senkrechten durch (r— 1) abgeschnittene Strecke d. Man findet dann

leicht, dass ßrr = —r ist. Ganz ebenso wird die Mr_x-Linie gezeichnet. d

§ 7.

Grelenklose Zwischenträger yoh Brücken.

(Eine Anwendung von § 6.)

26. Das Tragwerk einer Brücke (vgl. den Grundriss in Fig. 84) besteht im allgemeinen aus den Hauptträgern H, den Querträgern Q und den Zwischenträgern Z. Die letzteren werden wohl allgemein als Einzelbalken betrachtet, deren Stützweite gleich der Feldweite ist, obgleich diese Auffassung nur dann zutrifft, wenn die Zwischen-

_v------

..Y____

i.r-t

7T\^

;r

r+i

l_

)ekr

Wr

z\

Vld

\l/A1/*"M/ M/ \i/ \ ...la

Fig. 84.

sparungen

durchlaufender Balken auf elastischen Stützen vor, dessen Biegungs-

träger gelenkartig mit den Querträgern verbunden sind. Fehlen diese Gelenke, ist also jeder Zwischenträger an den Enden mit den Querträgern in der üblichen Weise durch Niete verbunden oder durch Ausin den Querträgerwänden hindurchgesteckt, so liegt ein

momente von den Formänderungen der Querträger und Hauptträger und von den Temperaturschwankungen, namentlich der Hauptträger, abhängig sind.

Xr, . . ., die Stützenmomente des

2i • • • >

Cr, ... Der

Wir betrachten eine eingleisige Eisenbahnbrücke. Der Abstand der beiden Hauptträger sei 2 c (Eig. 84), der beiden Zwischenträger 2 (c — d). Die Feldweiten seien X1? X Zwischenträgers M₁, Jf₂, . . ., Mr, . . ., die Drücke, welche die Zwischenträger auf die Querträger ausüben, C₀, Ct, C₂, . .

Querschnitt des Zwischenträgers sei konstant vorausgesetzt — eine stets zulässige Annahme —, sein Trägheitsmoment sei J. Wird von dem unwesentlichen Einflüsse der ungleichmässigen Erwärmung des Zwischenträgers abgesehen, so gilt für drei aufeinander folgende Stützenmomente die Beziehung:

{ ^or I ^o(r+l)A

V x7 xr+1 /

(1) Afr_i Ar —|— 2 ~Mr (X,. —J— Xj.^j) —J— Mr+1 Xr+i — —

6 EJ

@r — l

er (X,. -f- kr+1)

&r+1

\r

Xr Xr

wo er_i, er, er+l die lothrechten Verschiebungen der Stützpunkte bedeuten. Dieselben setzen sich zusammen aus den Durchbiegungen eh der Hauptträger und dem Einfluss e₃ der Formänderungen der Querträger und der zwischen Querträger und Hauptträger etwa eingeschalteten Ständer. Hinsichtlich der eq darf das Bildungsgesetz

esr = e'Sf. ~j-orCr (vergl. Seite 61)

vorausgesetzt werden, wo e'qr einen von Cr unabhängigen Werth bedeutet, z. B. den Einfluss einer Temperaturänderung, der bei hohen Ständern erheblich werden kann. Jede der Verschiebungen eh ist dagegen im Allgemeinen von sämmtlichen Kräften C abhängig.

Beschreibt man in die Biegungslinie des Hauptträgers ein Polygon, dessen Ecken senkrecht unter den Querträgern liegen, und betrachtet man diesen Linienzug als das Seilpolygon gewisser Gewichte w, so besteht die Beziehung:*)

(2)

(3)

? eh(r-1)

X,.

eh (r-1)

Ar

+i

Xr

+i

^A(r+1)

eh (»•+!)

X,. X,.

+1

X,

+1

und die Gleichung (1) geht über in:

*) Wir machen im vorliegenden § von den in der Abtheilung 1, § 3, entwickelten Gesetzen Gebrauch.

Fig. 85.

Querträger kommt nicht in Betracht, da die durch dasselbe erzeugten Formänderungen bereits vor Aufbringung der Zwischenträger eingetreten sind. Bedeutet nun an der Stelle r:

Mr das Biegungsmoment für den Zwischenträger,

Mr ,,

,,    ,, Hauptträger,

Mr' „

(4)

-f- 2Mr (Xr^-Xr+1) -J- Mr+1X,.

S₀, , %

+i

⁶(

o(r+1)

X,+i

^ —|— 6 E J wr

— 6 EJ

s(r~ i)

— 6 EJ

or _ ] ( *j.

-i

<Cr (X, ~f- Xr+i)

X,+i

0,+t Cr+i

X,+i

Hervorzuheben ist, dass bis jetzt über die Anordnung der Hauptträger nichts Bestimmtes vorausgesetzt wurde; es ist also gleichgiltig, ob die Hauptträger fachwerkartig oder vollwandig sind, ob Balken oder Bögen.

27. Zwischenträger einer Blechbalkenbrücke. Es sei (Fig. 85 a) A'B' der durchgehende Zwischenträger, A"B" der Hauptträger. Auf den ersteren wirken die bekannten Raddrücke P und die Gegendrücke C₀, Cx, C₂, ... Cr, ... der Querträger, Fig. 85b, auf den letzteren nur die Kräfte C, Fig. 85 c. Das Eigengewicht der Hauptträger und

Xr

X, Xr_j_ i

,p p

1 1

ha

ha

B"

(a;

H4-~.....jH --

ha

’hs

'S

<■

für einen einfachen Balken AB (Figur 85d), auf den nur die Lasten P wirken,

so ist

(5)

Mr = Mr — Mr.

Das Gewicht ivr ist, nach Fig. 86, welche ein Stück der Biegungslinie des Hauptträgers darstellt,

wr —    = ol" + a'₊j*)

und man erhält, nach Gleich. 7, Seite 28, wenn Jr und Jr+X die innerhalb der Felder und Xr+1 konstant angenommenen Trägheitsmomente des Querschnitts des Hauptträgers sind:

Jr+1

(Mr+l -j- 2 Mr) Xr+1 -j-

r-i

r+f

leh(r*r)

JC

Iekv

fr* a

Jcc"

Fig. 86.

wo h die mittlere Höhe des Hauptträgers bedeutet.

Wir setzen eine konstante Feldweite X voraus und führen — was stets zulässig ist — an Stelle von J : Jr und J : Jr+X einen Mittelwerth ein, den wir mit x,. bezeichnen. Wir erhalten dann :

QEJwt.

6zEJ (tu—ź₀)

(6)

— '/.y (Mr_i —J— 4 Mr —|— J\fr+1) -f

= X, (Mr + 4M’ + M'₊1) — x, + 41C + d/,+0

. ZzEJ(tu — t₀)

Die in Ho. 26 mit c₂ bezeichneten Verschiebungen sind im vorliegenden Falle gleich den Durchbiegungen der Querträger. Das Trägheitsmoment Jq des Querträger-Querschnitts sei konstant; dann erhält

man nach § 3 die Biegungslinie des Querträgers, indem man die Momentenfläche (d. i. die schraf-firte Fläche in Fig. 87) als Belastungsfläche ansieht, eine neue Momentenfläche bestimmt und deren Ordinaten durch EJq dividirt. Da nun der Inhalt der Belastungsfläche gleich Crd (2 c — d) ist, so kommt auf jede Stütze:

Tcr

Cr

k-'-äT-s

Zc

>i

Fig. 87.

Cr

*) Man findet auch unmittelbar:

ehr — C7»(r-1)

ßh(r+1) ehr

X»-+i

^ Crd(2c— d), und es ergiebt sich an der Angriffsstelle von Cr das Moment

l C,.d² (3c — 2<7).

O

fNJ M-

d

Crd (2c — d) • d — Crd —- •

U

Hieraus folgt aber:

C^² (3 c — 2(Z)

(?) c₂,=

3EJq

also c*r = 0 und =

d²(3c—2d) 3EJq ‘

Setzt man noch

(8)

JC-i

2 if,.

a = c'₀, 4 x

so geht die Gleichung (4), nach Division mit X, über in:

(9) a Jfr_₂ + (1 — 4 a -f- xr)    (4 + 6 a + 4 xr) Mr

4“ (1 - 4 (X -f- Xr) JC+l 4~~    2 ⁼⁼

wo

(10) z, = — e(-|f +

4~ X, (AC_i -f- 4 Jfr 4“ iffr+l) 4~

91

o (>•+!)

X²

[C'ocr-l) - ² Cr + G₀

6s EJ(tu—Q

und

(11)

a_ _J d²(3c—2d)

X³

Die Auflösung der Gleichungen (9) liefert für irgend ein Stützenmoment Mi des Zwischenträgers einen Ausdruck von der Form:

(12) Mi =    4~ ß<2^2 4~ ßt, ^3 4~ • • • 4~ ß»>^ +•••'+ ß<(n-l)^’»-i und hiernach ergiebt sich zunächst als Folge der ungleichmässigen Erwärmung der Hauptträger das Moment:

(13) Mi =

6zEJ (tu—ta)

Der Einfluss der Lasten P auf M{ wird zweckmässig zeichnerisch bestimmt. Wäre

(14) X, = —6 (

So, , 9Ï

0(,+ l)

X²

X²

) -    (<W_„    ² f'O»⁻ 4“ *4) (,+!))>

so wäre das in No. 24 angegebene Verfahren ohne weiteres anwendbar; für die Linie und das ?]<- Polygon gelten dann die Gleichungen 24 bis 27.

Nun tritt aber der Werth

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

Zr — x,. (Afr_i —J— 4 Mr —(— Mr+\)

hinzu und es fragt sich jetzt, welchen Einfluss hat dieser Zuwachs auf das Moment M,]. Drückt man Zx bis Zn_x nach Formel 15 aus, so geht Gleichung (12) über in

Mt = 2ß,rxr (M'_, + 4 Mj-ł- M'₊₁)

oder, wenn dieser Ausdruck nach den Momenten . . . M, geordnet wird, in

r— 1 J

Mr, M]

r+1> • • •

(16)

Mi = 21,' (ßi(r-i)Xr-i + 4ßirxr + ßi(H-l)>Cr+i)

wobei das erste Glied lautet: Mx (4ß₍₁ xx -j- ß<2 x₂) und das letzte: Mn_ i (ßi(„_2) >c„_2 -f- 4 ß

»(»~D

Gesetzt nun, es liege die über den Zwischenträger wandernde Last Dann ist

P im Jcten Felde, Fig. 88a.

für r — 1

M'

Pb

xr

M' =

Pa

/

xr

f«

(CC)

...---.ff,

k--h------

- -^r-----b

Jc-1

n-i

-J Xf—

(b)

!«

V< i

Vir

Fig. 88.

mithin, wenn zur Abkürzung die Bezeichnung

ß*(r-l)^r-l I 4ßirXr | ßt <»—f-1 ) ^r+l 'jh>

(17)

eingeführt wird:

(18)

Mi =

n n~\    \

Z-2$irXr')P

l k    '

= i*V

CO

wo y\{ die unter der Last P gemessene Ordinate eines Seilpolygons bedeutet, welches zu den in den Knotenpunkten 1, 2, ... r, ... (n—1) angreifenden Gewichten    4>,-₂, . . .    mit der Pol

weite 1 gezeichnet ist, Pig. 88b. Zu demselben Ergebniss gelangt man, wenn man die mittleren Höhen y der in Fig. 88c dargestellten Trapeze, welche durch die auf den Stützensenkrechten aufgetragenen Ordinaten 6 ß,vx,v bestimmt sind, als lothrechte, in den Trapezschwerpunkten angreifende Gewichte auffasst, durch ein Seilpolygon mit der Polweite 1 verbindet und in dieses ein zweites Polygon einbeschreibt, dessen Eckpunkte senkrecht unter den Knotenpunkten liegen. Um das einzusehen, betrachte man die schraffirte Fläche in Fig. 87c als Belastungsfläche und vertheile sie auf die Knotenpunkte. Auf r entfällt:

& ßj (r- 1) ^(r- 1)

to >'

05

7°

*

■4

CO

QQ.

to] >'

4X>X,

und dieser Betrag muss durch X dividirt werden, sobald die Inhalte der Trapeze durch die mittleren Höhen ersetzt werden. Das Einbeschreiben eines Polygons in das in Fig. 87 c gezeichnete Seileck darf übrigens unterbleiben, weil es genügt, die den Knotenpunkten entsprechenden Ordinaten Y]fl',    . . ., Y],./, . . ., y];₍„_d zu ermitteln.

Denn die Berücksichtigung des Einflusses der Glieder Zr = x,.

-J- 4Mr -j-    besteht schliesslich darin, dass die in No. 25 ge

fundenen v}i um die entsprechenden Y]/ vergrössert werden. An Stelle des yj,- Polygons der früheren Entwicklung tritt also jetzt das (Y),.    ’fu)~

Polygon.

Sowohl die Werthe vJj.v als auch die mittleren Höhen y der Belastungstrapeze in Fig. 87c sind Zahlen. Macht man die Polweite des zugehörigen Seilpolygons gleich der Zahl 1, so erhält man die Strecken Y]/ in demselben Maassstabe, in dem die Stützweiten X gezeichnet sind. Sollen die (in der Regel sehr kleinen) yj' im v-fachen Maassstabe der X dargestellt werden, so muss die Polweite 1 : v gewählt werden.

28. Zwischenträger einer Fachwerkbalkenbrücke, Fig. 89. Die Feldweite X sei konstant, und die Querträger mögen unmittelbar

r-1

r_

r+i

n-i

Si

Fig. 89.

auf den Hauptträgern ruhen. Es unterscheidet sich dann die Berech-des Zwischenträgers von der in No. 27 durchgeführten Unter-

nung

6*

suchung nur dadurch, dass das Gewicht wr nicht nach Gleichung 6 zu bestimmen ist, sondern mittels des in Abtheil. 1, Seite 105, Gleich. 5, nachgewiesenen Gesetzes

(19)

wo fx,. die Spannkraft in irgend einem Fachwerkstabe infolge des (in Fig. 90 dargestellten) Belastungszustandes Mr — 1 und As die wirkliche Aenderung der Stablänge bedeutet. Für die in Fig. 90 nicht vorkommenden Stäbe ist = 0. Die Spannkräfte S der Fachwerkstäbe lassen sich nun als geradlinige Funktionen der Knotenpunkts-

. . darstellen; sie erscheinen in der

momente ... Mr Form

Mr, M,

r+1 •

(20)

S— • • • \y*r-\Mr_i -j— \irMr —f-    —J— • • •

und zwar ist für den besonderen Fall eines

r-1

r+1

jLa

/.

Mg' 90.

aus aneinander gereihten Dreiecken bestehenden Fachwerks jede Spannkraft S höchstens X" von drei aufeinander folgenden Knotenpunktsmomenten abhängig — in dem hier gezeichneten Falle eines Strebenfachwerks sogar höchstens von zwei Momenten.*) Es darf da-

her in die Gleichung 19 gesetzt werden:

Ss

EF

—f- sts

FF    I [A- Mr -f- [J-r+l d/,._j^i) —}— StS

und man erhält: 6 EJwr

(21)

Xr (r-1) M>— 1 4~ Y.rrMr -j— X,.

(r+l)

Mr+1 4~

6 s EJ

———• 2t [J.,.ts

À

wo

(22)

X,* (r — 1)

^r(r+1)

6J    s

^    2 [Xr_i [Kr

6«/    5

^    2[lr[Lr+1 F .

; x,.,

Beachtet man noch, dass

Mr = Mr — Mr

ist, so findet man schliesslich die rte Elasticitätsbedingung:

(23) <xMr_i -f⁻ (1 — 4 a 4~ xr(r_i)) Mr_\ 4~ (4 4“    4~ xrr) Mr

4- (1 — 4 a 4~ xr(r+1)) Mr+1 4" &Mr+2 = Zr

*) Vergl. Abtheil. 1, § 16.

Hat sich hiernach für irgend ein Stützenmoment M{ der Ausdruck Mi ⁼ ß<i%i + ß*2-^2 + ß.-a-^sH-----b ß<(»-i)^n

-i

wo

(24) Zr = —6 (

o (r+1)

X²

X²

■) —    (<?o

(*-l)

— 2 C0r -j- Co (»•+!))

+ x,.

O—i)

Mr-i -J- y.rrMr -j— x,.

(r+l)

Mr+i -f-

6 s EJ

2 fx,.£s

und

(25)

_ J d^jSc — Zd)

X³

ergeben, so entspricht einer ungleichförmigen Erwärmung der Hauptträger :

(26) Mt

6 s EJ

[ßii^    ß,-₂2 fx₂£s —• • • —{— ß»

(»-!)

Die Einflusslinie für M{ wird auf die in No. 2 angegebene Weise ermittelt; nur sind die Gewichte 4* mit Hilfe der Gleichung

(27)

4hr    ßt (r — 1) (r —1) 1 ßir 2,r r | ßi (r+l) (r+l) .

zu berechnen.

Zahlenbeispiel.

275000 „ 181000 „ .

Eine Blechbalkenbrücke hat 10 m Stützweite, 2 m Feldweite, 3,6 m Breite, Figur 91 und 92. Der Hauptträger ist nach Figur 93 aus einem Stehbleche (82.1 cm), vier Winkeleisen (10.10.1,3 cm) und Gurtplattcn (21 . 1,3 cm) zusammengesetzt; das Trägheitsmoment seines Querschnitts beträgt: bei zwei Platten in jedem Gurte 376000 cm4 „ einer Platte „ ohne Gurtplatten

72fitto

Li

2,0-----*■----2,0----

----+-1=5,0™-.....

Fig. 91.

- >-

- - ->

82,1

WO,15™

i.

JL

*----1,8™--

Fig. 92.

¹21.1,3

Fig. 93.

Die Trägheitsmomente von Zwischenträger und Querträger (Normal-Profile No. 32 bezieh. No. 45) sind

J = 12 600 bezw. J₂ = 46 200 cm⁴.

Die Längen der Gurtplatten gehen aus Fig. 91 hervor. Behufs Berechnung der Zahlen x seien den Knotenpunkten 1 und 2 die Werthe Jx — 250000 und Ja —376000 als Trägheitsmomente des Hauptträger-Querschnitts zugeschrieben; es werde also gesetzt:

12 600

250000 12 600

0,05 — x₄

0,03 = x3¹).

376000

Nach Fig. 92 ist d — 1,05 m, c— 1,8 m also ₀ J    d¹ (3 c — d) __ ₀    12600    1,05²(3.1,8 — 2 . 1,05)

a — 2 Ją X3 —    46 200

= 0,25.

2,0³

Die Elasticitätsbedingungen zur Berechnung der Stützenmomente des Zwischenträgers lauten :

Af₁(4 + 6a + 4x₁) + l/₂ (1 — 4a + x₁) + olM₃ = Z1 Mx (1 - 4a + x₂) + Ma (4 + 6a + 4x₂) + M₃ (1 —4a+x₂) + aM^ = Z₂

&M₁ -f-    (1 — 4 a -f- x₃) -f- M₃ (4 —J— 6 a-j-4x₃) -{- itf₄ (1 -— 4 a-f-x₃)

alf₂ -f- M₃ (1 — 4a -f- x₄) + ltf₄ (4-f-6a-J-4x₄)

= Z3 = Z„

sie liefern beispielsweise für M₃, auf dessen Untersuchung wir uns hier beschränken wollen, den Werth

M₂ = — 0,0009 Zx + 0,1742 Z₂ + 0,0032 Z₃ — 0,0078 Z₄,

so dass also:

ß₂₁=r —0,0009; ßs., = -f 0,1742; ß2 3 = -f 0,0032; ß₂,₄ = — 0,0078. Mittels der Formel

*)¹»¹- aX ( ßt(r —1) “H 2 ßt> ßt(>’+l))

ergiebt sich nun (wegen a . X = 0,25.2,0 = 0,5 m):

Yl2 ¹ o — 0,5 [

-f 0,0009] =

0,000 m

— 2.0,0009 — 0,1742] = — 0,088 m

•02-1 = 0,5 [

r)₂.₂ = 0,5 [+ 0,0009 + 2.0,1742 — 0,0032] = + 0,173 m %. ₃ = 0,5 [— 0,1742 + 2.0,0032 + 0,0078] = — 0,080 m y)₂.₄ = 0,5 [— 0,0032 — 2.0,0078 *12-5 = 0,5 [+ 0,0078

] — — 0,009 m ] — -f- 0,004 m ;

und für die Gewichte 4» erhält man nach der Gleichung

- ßt (r — 1) Xr — j —p¹ 4ß,vXr —j— ß¹(j¹+l) Xr-f-l

die Werthe

co

= — 0,001464.

Sieht man den Zwischenträger (Fig. 94) nur bei 0 und 5 gestützt an, und

— 4.0,0009.0,05 + 0,1742.0,03 = -f 0,005046 = — 0,0009.0,05 + 4.0.1742.0,03 + 0,0032.0,03 — + 0,020955 = + 0,1742.0,03 + 4.0,0032.0,03 — 0,0078.0,05 = + 0,005220 4₂.₄ = -f 0,0032.0,03 — 4.0,0078.0,05

belastet ihn in den Punkten 1, 2, 3, 4 mit den Gewichten ²{;2 so findet man an den Stellen 1, 2, 3, 4 die Momente:

•1 »

4²2 • 2> 4²2 -3) 4>2-4

if)i —-f- 0,037, y)₂ —-)- 0,064, y]₃' = -|- 0,048, y)₄' = + 0,014²) und es sind deshalb die Ordinaten des (y) + Y)')-Polygons (d. i. des Polygons 0' 1'2'3'4'5' in Fig. 94b):

TQx + V = — 0,088 -f 0,037 = — 0,051 m *1² + V = + 0,173 + 0,064 = + 0,237 m % 4- V = — 0,080 + 0,048 = — 0,032 m y)4 -J- y]₄ = — 0,009 -(- 0,023 = -f- 0,014 m % + V = + 0,004

= + 0,004 (unwesentlich).

--A-²“- ’

->

c

''3²

<r%i

SI

/    ’V¹

.t.²\ "

Fi²__

“7

ssi

-H

tf

Fig. 94.

Trägt man, von diesem Linienzuge aus, die Ordinaten der £₂-Kurven nach der negativen Richtung hin auf (vergl. die .allgemeine Figur 75 auf Seite 70), so erhält man die Einflusslinie für das gesuchte Stützenmoment M%. Wir wollen diese Kurve mittels der Formel

Ç.V = (ßi(r-l) tg cpL + ßir tg cps) x

berechnen und erkennen sofort, dass wegen der Kleinheit von ß2<1, ß₂-3 und ß₂,4 (welche gleich Null gesetzt werden dürfen) nur die von ß₂.₂ abhängigen Werthe Ç₂.₂ und Ç₂.₃ von Einfluss sind.³)

Wir setzen also (wegen ß,>X = 0,1742.2 — 0,3484)

£₂.₂ = 0,3484 tgcpx und Ç₂.₃ = 0,3484 tg cpx

und erhalten für die 4 Theilpunkte der in 5 gleich lange Strecken zerlegten Feldweite, mit den Zahlenwerthen auf Seite 42

+ 3 — 0,100 m

= 0,134 „ = 0,117 „ = 0,067 „

für -y- = 0,2

= 0,4 = 0,6 = 0,8

Ç₂.₂ — 0,3484.0,1920 = 0,067 m

= 0,3484.0,3360 = 0,117 „

= 0,3484j. 0,3840 = 0,134 „

= 0,3484.0,2880 = 0,100 „

Die auf diese Weise gewonnene Einflussfläche für M₂ wurde in Fig. 94 durch Schraffirung hervorgehoben.

Fig. 94 c zeigt die Einflussfläche für das in der Mitte des Feldes 2 — 3 auftretende Biegungsmoment M. Für dieses gilt die Gleichung

M=M₀ + -(M₂ + Jf₈).

Die M₀-Fläche ist ein Dreieck AC'B, von der Höhe 0,25 X = 0,5 m. Die Ms-Fläche ist das Spiegelbild der M₂-Fläche, weshalb die Aufzeichnung der

(hier nicht wiedergegebenen) — (M₂ + M₃)- Fläche schnell von statten geht.

Die Figuren 94 a und b setzen eine unmittelbare Belastung des Zwischenträgers voraus. In Wirklichkeit liegt aber, wegen der zwischen Schiene und Träger eingeschalteten Platten (über deren Vertheilung Fig. 94d Aufschluss giebt), mittelbare Belastung vor; es sind also in bekannter Weise in die gezeichneten Linien Polygone einzubeschreiben. In Fig. 94b ist dies geschehen, die dort angegebene Belastung durch eine Lokomotive mit besonders schwerer Mittelachse liefert*)

M₂ = 9.0,11 — 0,3 (2.0,04) = + 0,75 tm.

In Figur 94 c liegen die Lasten genau bezieh, nahezu über den Mittelpunkten der Zwischenplatten; es konnte also die Einflusslinie für mittelbare Belastung benutzt werden. Man findet:

Mc= 9.0,47 + 2.3.0,045 = 4,50 tm,

das ist zufällig derselbe Werth, den die M₀-Linie ergeben würde (nämlich 9.0,5 = 4,5). Der Fehler, den man bei Auffassung des Zwischenträgers als Einzelbalken begangen haben würde, wäre also gleich Null gewesen; derselbe hat sich übrigens in allen vom Verfasser gerechneten Fällen als unerheblieh herausgestellt. Der Einfluss einer ungleichförmigen Erwärmung der Hauptträger auf M« und Mä und ebenso auf das Moment Mc ist:

*) Die Annahmen in Figur 94 sind besonders ungünstig gewählt. Die Kräfte 3 t und 9 t sind .Raddrücke, nicht .dcÄsewbelastungen. Die ständige Last wurde vernachlässigt.

**) Eine gute Annäherung ist : Mt

6 zEJ (tu —1₀)

(4 + 6 a + y.₂) h

0,18-

6 EJ (tu — U)

M2t — M3t — Met-(ßa • 1 +    -2 +    • 3 +    • 4)

— 0,17 •

6.24.12600

84

(tu to)

wobei für h der Mittelwerth 84 cm und sE'=24kg f. d. qcm gesetzt wurde. Mit tu—1₀ = 15° erhält man

M%t = M₃t = Met — 55080 kem — 0,55 tm

weshalb schliesslich

M₂= + 0,75 + 0,55 = 1,3 tm und Mc — + 4,50 + 0,55 = 5,1 tm

entstehen.

Das Widerstandsmoment des Zwischenträgers (Normal-Profil No. 32) ist TF=790, die Beanspruchung beträgt also:

= 630 kg f. d. qcm.

510000

790

Die Berechnung des Momentes M₂ ist wichtig für die Beurtheilung der in Fig. 95 dargestellten Nietverbindung. Die Niete 1 und 2, welche den Zwischenträger mit den Anschlusswinkeln verbinden, sind doppelschnittig; ihre Widerstände seien Wi und N₂, wobei

N₂ : Ni

22

4h,

1:3

— : 22 =

angenommen werden darf.

Dann ergiebt sich TV 22

Nt. 22 + —^L.    — m₂ = 130000 kem,

o o

-q-(

-«K

■.i

ite

(

-n !

Fig. 95.

woraus

JVj - -- 5320 kg.

Die Stegstärke des Zwischenträgers ist 1,15 cm, der Nietdurchmesser 2 cm, mithin der Stauchdruck für die Wandung des Nietloches:

2320 kg f. d. qcm

5320 2 . 1,15

und die mittlere Schubspannung im Nietquerschnitt (3,14 qcm) :

850 kg f. d. qcm.

5320 2.3,14

Die Niete, welche die Winkeleisen mit dem Querträger befestigen, werden unterhalb der n — » in der Längsrichtung auf Zug beansprucht und zwar höchstens mit

2Ni = 2660 kS-

= 850 kg f. d. qcm.

Die Zugspannung beträgt 2660 3,14

Ausserdem werden die Niete noch durch den vom Zwischenträger auf den Querträger ausgeübten lothrechten Druck A auf Abscheerung bean-

§ 8.

Anwendung der allgemeinen E1 asti citii t sgl eich un gen auf statisch unbestimmte Balken.

29. Die erste Abtheilung des vorliegenden Bandes enthält — und zwar in der Einleitung — eine allgemeine Untersuchung der statisch unbestimmten Träger auf Grund des Gesetzes der virtuellen Verrückungen. Zur Berechnung der mit Xa, Xh, Xc, ... . bezeichneten statisch nicht bestimmbaren Grössen wurden die Gleichungen abgeleitet :

(1)

spracht.⁴) Zur Bestimmung dieses Druckes verschieben wir die Lokomotive nach rechts bis die Last 9 t über der Platte E (Fig. 94d) liegt, betrachten

5

den Zwischenträger als Einzelbalken und finden A- — ⁴9 = 7,51 Der wirk-

6

liehe Druck A ist etwas kleiner, da M₂ den vorhin ermittelten positiven Werth behält. Der auf jeden der vier doppelschnittigen Niete entfallende Betrag

~ • 7,5 = 1,9 t wird mit N₁ zur Mittelkraft X = y 1,9² -j- 5,3² = 5,6 t

5600

zusam

mengesetzt. Der Stauchdruck steigt also bis auf

2 .1,15

2440 kg f. d. qcm

und die Schubspannung bis auf

5600

900 kg f. d. qcm. Die Rechnung

2.3,14

lehrt, dass die Beanspruchung derartiger Verbindungen eine ziemlich hohe ist.

La-hat + K = XPmhma — haaXa-\aXb-hcaX—hdaXd-. . . . Lb—K+hb = ^Pmhmh—habXa — hbbXb — hcbXc—hdbXd—.. . . Lc—hct + K=2Pmhmc—hacXa — \cXb—bccXc—hd<;Xd- .. ..

Hierin bedeuten ha, hb, §„,... . die Wege der Belastungen Xa, Xh, Xc ... . des statisch bestimmten Hauptträgers, den Weg der gegebenen Belastung Pm,⁵)

hma den Einfluss der Ursache Xa = — 1 auf den Weg

bmfc 11 11

^ab 11 11

ii

ii

ii

„ u. s. w.

11 1

ii u. s. w.

einer Aenderung der dem spannungslosen Anfangszustande entsprechenden Temperatur des statisch bestimmten Hauptträgers auf den Weg 5„,

>5

La diejenige virtuelle Arbeit, die man erhält, wenn man die von der Ursache Xa = — 1 herrührenden Auflagerwiderstände des statisch bestimmten Hauptträgers mit den Projektionen der wirklichen Verrückungen ihrer Angriffspunkte multiplicirt, u. s. w.

Die Gleichungen (1) wurden in der Einleitung zuerst für das Fachwerk entwickelt und durch ein Beispiel ausführlich erläutert. Auf Seite 35 und 36 sind sie in kürzester Weise mit Hilfe des Maxwell’-schen Satzes (§»,„ = 8„w) bewiesen worden. Sodann wurde auf Seite 47, 48 u. 49 die Gültigkeit des Maxwell’sehen Satzes für den isotropen festen Körper erweitert, und hieraus folgt dann die Gültigkeit der Gleichungen (1) für statisch unbestimmte vollwandige Träger von unveränderlicher Stützungsart*) und unveränderlicher Gliederung.

Die folgenden Anwendungen, die wir zunächst nur in grossen Zügen vorführen**), werden zeigen, dass sich die Ermittlung der Grössen X mit Hilfe der Gleichungen (1) durch grosse Allgemeinheit und ausserordentliche Uebersichtlichkeit auszeichnet.

§„, K, 8„, 8*.

30. Ermittlung der Stützenwiderstände mit Hilfe der Gleichungen (1). Werden die Widerstände Xa, Xb, Xc der Mittelstützen des in Fig. 96 dargestellten, auf 5 Stützen ruhenden, von senkrechten Lasten Pm ergriffenen wagerechten Balkens als statisch nicht bestimmbare Grössen eingeführt, so ist der statisch bestimmte Hauptträger ein einfacher Balken AB, der mit den Kräften Pm und Xa, Xb, Xc belastet wird. Die Senkungen der Stützpunkte A, a, b, c, B seien In den Figuren 97, 98 und 99 sind die Belastungszustände Xa = — 1, Xb = — 1 und Xc = — 1 dargestellt ; im ersten Falle entstehen infolge der in a angreifenden Last 1 bei A

CI    CI

u. s. w.

und B die Auflagerwiderstände 1 — und 1 — , im zweiten Falle ent-steht 1 — und 1 —

Aa B ist die Biegungslinie für den Zustand Xa = — 1 Ab'B „    „

Ac'B „    „

Xb= — 1 Xc = — 1.

Diese Linien werden nach den im § 2 angegebenen Verfahren gezeichnet; sie liefern die Durchbiegungen.

ma

^bei

*) S. Einleitung, Seite 6 und 7.

**) Ausführlicher behandelte Beispiele finden sich im § 9.

Ist genau gezeichnet worden, so muss, nach dem Maxwell’schen Satze sein:

-*1

¹

Yergl. die Einführung von xr auf Seite 80. Hier genügen Schätzungen, denn der Einfluss der Zahlen x ist sehr gering.

²

Bei gleich grossen Feldweiten zieht es der Verfasser stets vor, die Momente yj' infolge der Gewichte 4² zu rechnen. Die V sind Meter.

³

Zeichnerisch findet man nach Seite 75 die Ç-Linie eines Feldes als Momentenlinie eines Belastungsdreiecks von der Höhe 6ß₂.₂ = 1,0452.

⁴

Diese Zusatzbeanspruchung wird ermässigt durch unter die Zwischenträger genietete (in Fig. 95 pnnktirt angegebene) Winkel eisenstücke.

⁵

Die Begriffe „Belastung“ und „Weg einer Belastung“ wurden in der Einleitung auf Seite 31 eingeführt.

— r—-

Fig. 96. -A

_a_

A

k-— a---**—

------_{---

-----a'---1

----•*

-X'-{---------i

-----*!<-— c' —

Fig. 97. A.

!•

⁽L

LCW-

Fig. 98. A\

Fig. 99.

ia,

«W----

[£><• 1

4c

JB

f'

Fig. 100.

r*

X'

Fig. 100 zeigt die Biegungslinie Aa'b'c'B, hervorgerufen durch eine Temperaturänderung; sie liefert hat, bbt, hct und ist unter der Annahme tu t₀ gezeichnet. Meistens darf für die Trägerhöhe h ein fester Mittelwerth eingeführt werden. Dann ist Aa'b'c' B die Seillinie

für eine gleichförmige Belastung von der Höhe s--——— (nach Glei-

chung 1, Seite 15) also eine Parabel, und man erhält:

(2)    §«* = s    5&t = s —    bb'-, bct

Für die virtuellen Arbeiten L findet man die Werthe:

. A

A to

cc'.

La = —

(3)

Lb = — 1

und es erübrigt nur noch, die Verschiebungen    8₀, hb, 8C an

zugeben.

Bei Balken auf gemauerten Pfeilern oder auf kurzen eisernen Säulen werden die Stützenverschiebungen meistens vernachlässigt; man setzt dann hA = hB = ha = hb — hc = 0.

Will man durch Schätzung oder Beobachtung gefundene Stützenverschiebungen in Rechnung stellen, so bezieht man diese Verschiebungen zweckmässig auf die Gerade AB als Nulllinie, setzt also Sjl = S.B=0.

Wird der Balken bei a durch eine längere Säule gestützt, so setzt man nach Gleich. (2) Seite 62 (wo auch die Buchstaben erklärt sind)

Xaha

8„ = — ztaK

Erfolgt die Unterstützung durch ein Ponton, so ist nach Gleich. (3)

EaFa *

Seite 62

S. = 514

X.

T Fa'

wo 81 eine von Xa unabhängige Verschiebung des Punktes a bedeutet,

z. B. der Einfluss einer Senkung des Wasserspiegels, oder die Aenderung der Tauchtiefe des Pontons durch unmittelbare Belastung desselben. Erfahren auch die Punkte A und B Verschiebungen, die von den

Stützendrücken A und B abhängig sind, ist z. B. 8^ = 81 -j--—

T Bj

schwimmender Theil einer Pontonbrücke) so müssen natürlich A und B durch die Kräfte Xa, Xh, Xc ausgedrückt werden. Man erhält:

(frei

(4)

p £

T>

Xa l Xi l Xc l

xa4- — xb~—xc4-

Die Grössen Xa, Xb, Xc lassen sich jetzt aus den Gleichungen (1) berechnen, und damit ist die gestellte Aufgabe gelöst.

31. Einführung eines statisch unbestimmten Hauptträgers. Will man bei der Untersuchung eines r-fach statisch unbestimmten Trägers die Gleichungen (1) nicht über sämmtliche statisch nicht bestimmbare Grössen X ausdehnen, sondern nur über die i-Grössen Xa, Xb. . . . Xi, so ist der von den Belastungen Pm, Xa, Xbt . . . . X{ ergriffene Träger (den wir wieder den Hauptträger nennen wollen) (?--i)fach statisch unbestimmt, und für diesen statisch unbestimm

ten Träger müssen nun die den Belastungszuständen Xa — — 1, Xb = — 1, ... . Xi = — 1 entsprechenden Verschiebungen 8W 8aö, . . . . ermittelt werden. Ist i — r — 1, so bleibt nur eine Gleichung mit einer Unbekannten X übrig.

Es sei beispielsweise die Einflusslinie für den Widerstand Xa des Stützpunktes a des in Fig. 101 dargestellten, auf 7 Stützen ruhenden Balkens zu zeichnen. Sämmtliehe Widerlager seien starr. Der Querschnitt sei konstant.

Man beseitige die Stütze a, belaste den nunmehr nur noch auf 6 Stützen ruhenden Balken im Punkte a mit der Last 1, und zeichne für diesen Belastungsfall mit Hilfe der Festpunkte R die Momenten-

Fig. 101.    £

«"la—-

**-js

j<--}>'

-4-

Fig. 102.

v—

x^

Fig. 103.

if

j^rTÏÏfffîlTTrrxi _ i r......l^rTTÏÏÏÏÏÏTTw

mr    “

aFggj irm

fläche (in Fig. 102) schraffirt), schliesslich die zu dieser Momenten-fläche gehörige Biegungslinie. Dann ist:

0 = 2 Pmhma — Xahaa mithin

S«a

Die gezeichnete Biegungslinie ist also die Xa-Linie; der Multiplikator ist 1 : haa.

Das Stützenmoment FE= Mba¹) in Fig. 102 ist nach der zweiten der Gleichungen 14, Seite 40,²)

XLba —

WO X

1 Nb X l'a 4~ k

4 I 4

und, nach Gleich. (8) Seite 36 und Gleich. (13) Seite 30:

1    44(^4 -\~ 4)

4 H⁻ 4

Zur Bestimmung des Punktes a ist von der Geraden AE aus

aufzutragen.

44

die Strecke CD =

32. Wagebalkenstützung. In Fig. 104 ist ein Balken dargestellt, dessen Stützenwiderstände Xa und Xb nicht unmittelbar am Balken selbst angreifen, sondern durch Zwischenträger CD und EF übertragen werden. Der Träger AB wird also gewissermassen, ausser an den Enden A und B, durch zwei Wagebalken CD und EF unterstützt. Die Momentenfläche für den Zustand Xa — — 1 zeigt

Fig. 104.

ta

Ifcü-----

1|

ł-

Fig. 105.

----CL — -f---*<—

---a,' -I

i*

T/

<K'J

rfJ

b‘

C‘

nJ

F'

n‘

F'

Fig. 105; das der unmittelbaren Belastung entsprechende umschriebene

aa

Momentendreieck ASB hat die Höhe 1

. Fig. 106 zeigt die zur

schraffirten Momentenfläche gehörige Biegungslinie A C D E F B . Wird der Wagebalken CD zunächst starr angenommen, so liegt a in der Geraden C'D' und es ist 5aa = h'aa. Nun biegt sich aber der

durch, wo J

e'V'²

Wagebalken CD an der Stelle a um = 1    j-, -das Trägheitsmoment des Querschnittes des Wagebalkens bedeutet, mithin ist

Punkt b' hingegen liegt, wenn nur die Ursache Xa =— 1 wirkt, in der Geraden E' F', es ist also bba gleich der Ordinate des Punktes b . Ganz ebenso wird der Belastungsfall Xb = — 1 behandelt. Die weitere Untersuchung ist genau wie in No. 30.

Die Wagebalkenstützung liegt u. a. bei Pontonbrücken vor, deren Streckbalken unmittelbar auf den Borden liegen, Fig. 108, und zwar darf man, wegen der Kleinheit des Neigungswinkels des Pontons, stets

ix,

Cj

Fig. 10Ô.

Fig. 107.

mit einem in der Mitte gestützten, starren Wagebalken CD rechnen,

dessen Stützpunkt a die Senkung 8a — 5' -|-

33. Statisch unbestimmte Balken mit Gelenken. Jeder auf n Stützen ruhende Balken kann durch (n — 2) Mittelgelenke statisch bestimmt gemacht werden.³) Ist die Anzahl der Gelenke nur (n—2—r),

Xa

erfährt.

Fig. 109.

JB

xc

X

eu

Fig. 110.

so ist der Balken r-fach statisch unbestimmt, er lässt sich durch Beseitigung von r Stützen, deren Widerstände Xa, Xb, Xc ... . sein mögen, in einen Gerber’schen Balken verwandeln, und auf diesen statisch bestimmten Hauptträger können dann die Gleichungen (1) angewendet werden.

Als Beispiele seien die in den Figuren 109 bis 111 dargestellten Balken von Schiffbrücken angeführt. Werden zweischiffige Brückenglieder nach Fig. 109 durch Gelenke a, b . . . aneinander gekuppelt, so tritt an jeder Verbindungsstelle ein statisch unbestimmter Gelenkdruck auf. Die äussersten Brückenglieder sind mit den Ufern durch einfache Balken verbunden. An dem einen Ufer ist ein festes Lager, an dem anderen ein wagerechtes Gleitlager anzubringen.

Sind die einzelnen Brückenglieder dreischiffig, so ist jedes Glied für sich allein einfach statisch unbestimmt. In dem Beispiele Fig. 110 sind ein Gelenkdruck und zwei Schiffswiderstände zu statisch unbestimmten Grössen gewählt worden. Zweckmässiger ist es aber, zunächst ein drei-schiffiges Glied für sich allein zu untersuchen und hierauf die Gleichungen (1) auf Seite 90 nur zur Berechnung der Gelenkdrücke X±, X₂ • ■ ■ (Big. 111) zu benutzen. Das Hauptsystem ist dann ein statisch unbestimmtes; es

Fig. 111.

besteht aus den lose neben einander stehenden dreischiffigen Gliedern und den beiden, die äussersten Glieder mit den Ufern verbindenden einfachen Balken. Im § 11 werden wir diese wichtigen Aufgaben eingehender behandeln.

34. Analytische Ermittlung der Werte §«„, hba, hca ... hbb, hcb ... und Umformung der allgemeinen Elasticitätsgleicliungen.

In der Einleitung des vorliegenden Bandes wurden die Spannkräfte S eines Fachwerks als lineare Funktionen der Lasten P und der Grössen Xa, Xb, Xc ... dargestellt.

Es ergab sich

(5)

S — S₀ — SaXa — SbXb bcXc . .

wo S₀ eine lineare Funktion der Lasten P ist, während Sa, Sb . . . der Reihe nach die durch die Ursachen Xa = — 1, Xb = — 1, ... hervorgerufenen Werte von S bedeuten. Nach den xAusführungen in No. 31 lassen wir es fortan dahingestellt, ob durch Nullsetzen der Grössen Xa, Xb . . . ein statisch bestimmtes oder ein statisch unbestimmtes Hauptsystem entsteht.

Mit Hilfe der Arbeitsbedingung

(6)

2Ç8 =2SAs = 2S

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

fanden wir

8„„ = 2«^, 5„ = SU^r,

S₀^ iSSazts, $bt    —'Sfr&ts, . . .

Bezeichnen wir mit i und Ä: zwei beliebige der Zeiger o, b, c . . so können wir die Formelgruppe (7) ersetzen durch die Gleichung

^ ,

und die Formelgruppe (8) durch die Gleichung

hit — ^SiZls.

Weiter ergab sich in der Einleitung:

2Pmbma=2S₀Sa^y

2Pmhmb = ZS₀Sbj°F

(7)

(8)

(9)

(10)

(H)

weshalb man die Elasticitätsgleichungen auch wie folgt schreiben kann: La bat j    a    Ó0 a A a    Ôb a Xb ü Ar .    . .

(12)

Lb — \tĄ-\ =    hoh —    h„bXa —    hbbXb —    hcbXc —

mit der Festsetzung, dass alle auf den rechten Seiten stehenden § mittelst der Formel (9) berechnet werden.

Die Einführung der Werte hoi an Stelle der Summen '2tPmhmi kann sich als zweckmässig erweisen, wenn das zu untersuchende Tragwerk nur für einen einzigen oder wenige Belastungsfälle berechnet werden soll.

kommt man dann oft

s

Mit der Ausrechnung der Summen    ——

EF

schneller zum Ziele als mit der Darstellung der Verschiebungen hmi.

Es ist nun die Frage, welche Formeln treten an die Stelle der Gleichungen (9) und (10), wenn kein Fachwerk vorliegt, sondern ein aus geraden Stäben bestehendes System, dessen einzelne Stäbe durch Längskräfte N und Biegungsmomente M beansprucht werden, wobei zu beachten ist, dass N für die verschiedenen Querschnitte eines und desselben Stabes im allgemeinen verschieden gross ist.

Wir knüpfen an die auf den Seiten 5 und 6 angestellte Untersuchung der Formänderung eines von zwei unendlich nahen Querschnitten begrenzten Stabstückes an. Für die Längenänderung des Teilchens dx der Stabachse fanden wir den Wert

(w +s<4) dx'

A dx —

gegen

und für den Winkel, um welchen sich die beiden Querschnitte einander drehen, den Wert

( M

V EJ

Die virtuelle Formänderungsarbeit ist für das Stabtheilchen dx gleich NAdx -j- Mdo,

und es tritt daher an die Stelle der für das Fachwerk gefundenen Gleichung (6) nunmehr die Arbeitsbedingung

(14)

d(ù —

dx.

(15)    2Q5= NAdx-j- Mdo

NN

dx

EF

+ / MM

dx

EJ

Nztsdx~{- / —sAtdx,

wo

A t — tu t₀

ist. Aus dieser Betrachtung folgen nun ohne weiteres die Formeln

(16)

hu = Ni N,.

dx

k EF

+ MtAf,

dx

(17)

h⁴) — / Nztsdx -J-

M,

— s A tdx. n

Die Integrale sind über sämtliche Stäbe des Bauwerks auszudehnen.

Der Gleichung (5) stehen die Gleichungen gegenüber

(18)

N= N₀—NaXa— NbXb — NCXC — . . .

(19)

M = M₀ — MaXa — MbXb — McXc — . . .

Na und Ma sind die Werte von N und M für den Belastungszustand Xa = — 1. JVb und Mb entsprechen dem Zustande Xb — — 1, u. s. w. Verschwinden sämmtliche Grössen X, so entstehen die Werte Na und M„.

In den vorstehenden Entwickelungen ist der Einfluss der Querkräfte Q, welche sich ebenfalls auf die Form

Q — Qo QaXa QbXb QCNC .. .

bringen lassen, vernachlässigt worden. Soll dieser Einfluss berücksichtigt werden, so muss die Formel (16) ersetzt werden durch

(16 a)

NNk

dx

EF

+ MiM}

dx

dx

!c EJ

Angaben über die von der Form des Querschnitts abhängige Zahl x findet man auf den Seiten 10—-12. G bedeutet den Gleitmodul.

35. Einige wichtige Formeln zur schnellen Berechnung der

Integrale j JKj-dx.

In den meisten in der Praxis vorkommenden

Fällen ist es erlaubt, für die einzelnen Stäbe oder Stabstücke einen von x unabhängigen Mittelwert EJ einzuführen. Der Einfluss, den

,\k_

i;

Es folgt dies ohne weiteres aus der Vergleichung der für die Formänderungsarbeit auf den Seiten 8 und 10 abgeleiteten Formeln

(Einfluss von M und N)

und

r M²dx r

J Yej J

N²dx

2EF

f Q²dx X / 2 GE

(Einfluss von Q).

die Momentenflächen eines solchen Stabstückes auf hik ausüben, ist dann durch die Gleichung EJhik — J MiMkdx

- -X

-DC'-

Fig. 112.

und man erhält

M{Mkdx =

gegeben.

Es sei nun die eine der beiden

M-Linien — wir geben ihr den Zeiger i — eine Gerade (Fig. 112), deren Endordinaten Y₁ und Y₂ sind; die andere sei von beliebiger Gestalt. Dann ist

Mt = Yx ~ + Ys

I Mkx'dx'-1——■ j Mkxdx.

Bezeichnet man mit ⁽2₁ und ©₂ die statischen Momente der fl/^-Fläche in Bezug auf die durch die Endpunkte 1 und 2 des Stabstückes l rechtwinklig zu l angenommenen Achsen 1—l' und 2—2\ so findet man

(20)

Mt Mk dx = — ( Y₁ ©₂ + Y₂ ©! ).

Wird schliesslich noch mit ©' das auf die Achse 1—2 bezogene statische Moment der flf^-Fläche bezeichnet, so ergibt sich

(21)

Mkdx — 2@'.

Wir stellen die Ergebnisse der vorstehenden Formeln für einige häufiger vorkommende Fälle zusammen.

a. Beide M-Flächen sind Trapeze, Fig. 113.

(22)

(23)

M,M„dx = — [r, (2 r, + r,) + y, (2 r.₂'+ r/)]

D

j M?dx = y [F,² + Yx Y₂ + F₂²].

k;

k - Jłf-

Fig. 113.

Fig. 114.

b. Die iüjfi-Fläcbe ist ein Trapez, dio JM^-Fläche ein Parabelabschnitt, Fig. 114. Mit

Mk =

4 Y₃x (l — x)

erhält man

l²

(24)

r    i    21

J MiMkdx = — (Y₁ + Y₂) Yj = —

WO

rr„rä,

Y₀ die Ordinate des Mittelpunktes der il^-Linie bedeutet. Weiter ist

Midx=-J- y;i.

(25)

15

c. Die Mi-Fläche ist ein Trapez, die .M^-Fläche ein Dreieck,

Fig. 115. Wir betrachten die il/^-Fläche als den Unterschied zweier

Dreiecke, deren gemeinsame Grundlinie gleich Y₃ -p ist und deren

::

Höhen l und £ sind. Dann ergibt sich

i z²-r

©1 = 3’,

Y₃l

CO

(l -]- £), ebenso

©₂

YJ

f MiMkdx=Y* [2 Y₀l + r^'+ r^].

TL[r*+ 8

Man darf auch schreiben:

(27)

I MiMkdx

7T

SN

-F

■Vtr

Ns|v!

<>

■r

-- l

->l

.3

k-

— r-

■K

Fig. 115.

Fig. 115 a.

(28)

Für den oft vorkommenden Sonderfall in Fig. 115a erhält man

r,rs(i + Ę)'

MiMhdx

d. Die JMi-Fläche ist ein symmetrischer Parabelabschnitt, Fig. 116, die M.u-Fläche von beliebiger Gestalt. Da

(x l — x²),

Mt

4 Fi

'Ł

hsk

Ni

N.

4'

Fig. 116.

Fig. 117.

36. Die a-Gewichte.

Der Einfluss einer Last Pm — 1 auf die Grössen Xa, Xh, Xc . . . ist durch die Gleichungen bestimmt:

Xabaa -}- Xbhba -f- XcSoa    = 8m«

(31)

Xahab -(- Xbhbb -j- Xchcb    = hmb

Die Auflösung liefert für irgend eine Unbekannte X{ einen linearen

Ausdruck :

(32)

ist, so ergibt sich

(29)

I MiMkdx

4-

z²

(*@ i —3i),

wo $1 das Trägheitsmoment und das statische Moment der df^-Fläche in Bezug auf die Achse 1—l' bedeuten.

e. Die ifcfi-Fläche ist ein Parabelabschnitt, die M^-Fläche ein Dreieck, Fig. 117. Es ergibt sich

i2 («* + zç + 5*),

S'

l l³ — %³_ Y₂l

12

und man findet mittelst Gleichung (24):

YiY*

(30)

MiMkdx —

X-i O^ia^tna f~ GCib^mb 1 ^Cic^mc |    • * •

Da nun §m6 die Verschiebung des Knotenpunktes m im Sinne von Pm und infolge der Belastung Xb = — 1 ist, so ist OLibhmb der Wert, den diese Verschiebung infolge der Belastung Xb — — <xib annimmt, und es ergibt sich mithin der Satz:

Der Einfluss von Pm auf Xt ist

X-i Dm )

ivo Sm die Verschiebung bedeutet, ivelclie der Punkt m im Sinne von Pm erfährt, wenn das Hauptsystem von den Belastungen Xa = — V-ia, xb = — a.ib, . . . angegriffen wird.

Handelt es sich um die Einflusslinie für ATf, so darf man den Satz auch so aussprechen:

Die Einflusslinie für X{ ist die Biegungslinie des von den Belastungen Xa = — aik, Xb = — aib, . . . angegriffenen Hauptsystems *).

*) Der allgemeine Begriff Belastung ist in der Einleitung der Abteilung I, Seite 31, erklärt worden. Im allgemeinen besteht eine Belastung ans einer Gruppe von Kräften.

Bei diesem Belastungszustande entstehen die Momente M= aiaMa -j- aibMb -f- aieMc

(33)

37. Die Hilfswerte mp, (0D, uP, o/. Die zu,r Ermittlung der Biegungslinien dienenden Seillinien werden meistens schneller durch Rechnung als durch Zeichnung gefunden. Es gilt dies namentlich für den Fall, dass sich die Belastungsflächen aus Rechtecken, Dreiecken und Parabelflächen zusammensetzen. Es leisten dann die in der Tabelle auf Seite 105 zur Berechnung der Momente eines einfachen Balkens angegebenen Zahlen w gute Dienste. Vor allem erleichtert aber die Einführung der Zeichen op, mp, mp/ öfter das Anschreiben von Formeln, wie dies bereits einige in der ersten Abteilung dieses Bandes (Auflage 1903, Seite 424 u. f. oder 1907, Seite 427 u. f.) durchgeführte Untersuchungen gezeigt haben; dort findet sich die Tabelle auf Seite 425 bezw. 430.

Wichtig ist auch der in Fig. 118 dargestellte Belastungsfall. Die Belastungslinie ist ein Polygon. Die Ordinaten der Eckpunkte sind

Je

z,

17

71-1

Zn

H- — CC—— CO—— CC—

)*-■

— -71.CC Fig. 118.

z₀, 8^, z₂ . . . Die Abschnitte a sind gleichlang. Gesucht sind die Momente für die Balkenquerschnitte 1, 2, 3, ...

Ein durch den Punkt r geführter lotrechter Schnitt zerlegt die Belastungsfläche in zwei Teile. Das statische Moment des linken Teiles, bezogen auf die Lotrechte durch A, sei 8,. und das statische Moment des rechten Teiles, bezogen auf die Lotrechte durch B, sei 9îr. Die Anzahl der Abschnitte a sei n. Dann ergibt sich

n — v    v

Mr = 8r--\-%    -,

und zwar ist

°g b «²1/i ~b ²^2 ~b ~b • • • + (r —¹ ) zr-J 4

8,=

2 V 3/

Ganz ebenso wird berechnet. Man findet die Formel

(34) Mr=

a²

(g zoJrlnzi ~b T>"2 z2 +Yr3^s + -"+y>-(»-i)<sr«-i+    g*)’

▼H : CO

M=

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 0 0*00 CO CO dH dH *0^

dd'oc'd

>o O iO o >o 0*000

>Q ZO r*-    ! 00^05

ddddd j dddd

Mdx

PT

x

: Jlll

+ -oc—>

Tabelle der Werthe Wp, (Op, wP, w/.

‘<-------Z----->

<---OC---->j

tU

J3

'/X X -

I %x -

Ä ~ 6

*=t

%l

12

%P

(0/i —zr-

(Oji =

0,0475

0,0900

0,1275

0,1600

0.1875

0,2100

0,2275

0,2400

0,2475

0,2500

0,2475

0,2400

0,2275

0,2100

0,1875

0,1600

0.1275

0,0900

0,0475

(Op

%P

zP

xP

12

X²

(Op =

x³

/ /³

0,0499

0,0990

0,1466

0,1920

0,2344

0,2730

0,3071

0.3360

0,3589

0.3750

0,3836

0,3840

0,3754

0,3570

0.3281

0,2880

0,2359

0,1710

0,0926

col ^ UH 'S

(Op =

0,0500

0,0999

0,1495

0.1984

0,2461

0,2919

0,3350

0,3744

0,4090

0,4375

0,4585

0,4704

0,4715

0,4599

0,4336

0,3904

0,3280

0,2439

0,1355

„    | x⁴ x³ # x

** wp =fy-V⁺f T

= 2 (Op — top = (Op (1 4" w-r)

0,0498

0,0981

0.1438

0,1856

0.2227

0.2541 0,2793 0,2976 0.308# 8 0,3125

0,308$

0,2976

0,2793

0,2541

0,2227

0,1856

0.1438

0,0981

0.0498

AP

Die Koefficienten yal, y₂₂, ... werden nach der Formel

(35)

yrł. = r (n — r) —

Ol §

berechnet. Für die übrigen y gilt

(36)

y<* = * (» — *)

mit der Bedingung i <^k.

Hiernach ergibt sich z. B. für flf₄ der Wert

(37) Jf₄ = -

n

⁰o + ¹ (» — 4) -f 2 (» — 4) z₂ + 3 (n — 4)

n l b

4 (n — 5)    + 4 (n — 6)

4 (n — 4)

g CO

Schliesslich führen wir noch eine Formel an, die in vielen wichtigen Fällen die Berechnung des Inhaltes der Einflussflächen erleichtern wird.

“ ~Z

I cc

rrv-->

X'

rn-1

7T7s

Vm

tfm-l

Fig. 119.

In zwei Punkten (m— 1) und m seien zm_x und zm die Belastungshöhen, 7]m_! und ï]m die Ordinaten der zugehörigen Momentenlinie. Die Belastungslinie sei eine Parabel von der Pfeilhöhe z (Fig. 119). Dann ist der Inhalt der zur Strecke am = (m — 1) — m gehörigen Momenten-fläche

(38)

2    ®»»    -1    |    ^)»i)    |    24 (Ztn-1    | Zm) |    ~ •

AS

Diese Formel folgt aus den Werten der letzten Zeile der auf Seite 105 stehenden Tabelle.

§ 9.

dA{ dL dPm ~d Pm

Anwendung des Satzes bm =

38. An die Stelle des in der Einleitung für das Facliwerk angegebenen Wertes

2 EF

Ai — 2

tritt in die Formel

(1)

0 At 0£

0F,n    CPm

<*> --IÎ£+/

fX/ 2ÓF⁺fet-NdX+feltJdX-

nach, den Entwicklungen des § 1, No. 3 bis 5, der Ausdruck N²dx 2 EF

L bedeutet die virtuelle Arbeit der Stützenwiderstände, deren Angriffspunkte sich um gegebene, etwa durch Beobachtung gefundene Strecken verschieben mögen. Man vergleiche den Abschnitt über die Castigliano-schen Sätze in der Einleitung der Abteilung I, Seite 49—51.

39. Beispiel. Ein eiserner Balken besitzt bei A ein wagerechtes Gleitlager, bei B ein festes Auflager; er ist bei D mit einer frei drehbar gelagerten Säule vernietet. Fig. 120. Das Tragwerk ist zweifach statisch unbestimmt. Als Größen Xa und Xb sollen der Widerstand des Gleitlagers und die wagerechte Seitenkraft des festen Auflagers B eingeführt werden. Der Angriffspunkt von Xb liege unterhalb der Balkenachse. Es soll der Einfluß der wagerechten Lasten Kr, Ji₂, sowie der Einfluß von Temperaturänderungen und beobachteten Verschiebungen der Stützpunkte auf Xa und Xb festgestellt werden. Es sei, vom spannungslosen Anfangszustande aus gerechnet,

t die Temperaturänderung für alle Punkte der Achse des Balkens, tu desgleichen der Unterkante des Balkens, t₀ = tu—A t desgleichen der Oberkante des Balkens, t' die Temperaturänderung der Säule,

8a die beobachtete lotrechte Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft Xa gegen den ruhend angenommenen Säulenfuß,

8S desgleichen der Kraft B,

hb die beobachtete wagerechte Verschiebung des Angriffspunktes von Xh.

Die Verschiebungen ba, bb, bB seien positiv, wenn sie im Sinne der Kräfte Xa, Xb: B erfolgen.

Beseitigt man das bewegliche Lager am linken Ende des Balkens und ersetzt man das feste Lager am rechten Balkenende durch ein wagerechtes Gleitlager, so erhält man das statisch bestimmte Hauptsystem. An diesem greifen außer den Kräften Xa1 Xb: Kx, K₂ noch die mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen berechneten Stützenwiderstände an:

B = B₀ + Xa — XĄ

wo B₀ = Kx Ü1

a₂

A = — B₀—2Xa + XbĄ c — Xb — Kx — K₂,

U-

k -JC-Ą

K,

AÆL

WM

kt

vr-ir-

(FJ)

*-

lZ? _i

W JT

¹

Mba bedeutet: Moment an der Stelle b infolge Xa = — 1.

²

Die erste Gleichung (14) wird für die erste Oeffnung ungültig.

³

Yergl. Band I, Seite 92 und Abschnitt VI.

⁴

Der Zeiger t weist immer auf den Einfluss von Temperaturänderungen hin.

[3

-- ê,—

*--

Fig. 120.

und es ergibt sieb, da A und C an dem ruhend angenommenen Säulenfuße angreifen, die virtuelle Arbeit

L = BhB = [Bo-\-xa—xh~cT)hB.

Es entstehen folgende Momente M und Längskräfte N ¹) : in der linken Hälfte des Balkens für für

lässigen.

M—Xax M = Xax -f- Kx kx

N— 0 X— — Kx

in der rechten Hälfte des Balkens für x<C%₂

für x^>i2 in der Säule

M=Bx— Xbe

~(B₀-\-Xa)x    Xb Çj x -)-    ,

M= (B₀ -j- Xa) x — Xb    x — K₂ k₂,

N=—Xb

N=K₂—Xb

M=Cx = (Xb — Kl — K₂)x,

X=B₀+ 2Xa-XbC-

Bedeuten J und F das Trägheitsmoment und den Inhalt des Balkenquerschnitts, J' und F' die entsprechenden Werte des Säulenquerschnitts, h die Trägerhöhe, s die Säulenlänge, Fig. 148, so folgt aus

M dM EJdX.

At dM dL h cXa ' dXa

für den Fall unveränderlicher Werte J, F, j'. F' die Gleichung

(B)    5.

dA.

dXa

r

rdx-j-

a    J

N dX

EF dXa

dN

dxa

EJha = j Xax²dx -f- K₁k₁ j xdx

O

l

— X,

b ^y v -j- J xdx — K₂ k₂ j xdx

+ y, (so + 2Xa — Xb CL )2s + eEJt'2s

i

A t r

—|— 2 s EJ    j xdx -Ą- EJhB

O

und in derselben Weise ergibt sich i

— xh

dx

EJhb = —j |~(B₀-\-Xa)x

+ A ₂ k.

!(r+e)dx+rf(x-

— Kt — K₂) x²dx

+ JFW — Ks(l—l,)]—    (b.+ 2X„

, c

— sEJt

/("+•)

dx — jEJhs , •

— s EJtl

.Nach Ausführung der Integrationen erhält man die Gleichungen

(4)

/ TaaXa -J- YabXb — Ta l JbaXa “j⁻ YbbXb = Tb,

wo

Y aa

CM CO

l³ 4s

Y ab = Y*« =

l²

(5)

— 2s

Y*6 =

-y (2/’+4

y ~b + e²/

h (/" + /. + «*) +

f²l

c J

J ~F~

J s³ , J . c²

3“+'y+sw r

c² J l² F‘

«7

(6)

t* = — Y Kxkx {i² — Sï) + -- K₂k₂ (i² — g)

— (A’iô'i -f- 7f₂a₂) (y + ² I ÿ)

(21 s -J- A£ — ^ -f- EJ (§„ — 5jg),

£ 2 /    — źl) -\~e{l — £₂)J

— s EJ

Tb —    K2 k₂

+ (*!+*■,)

-f- &EJ -p * y s + A t g h

= 8. Die

Es sei / = 12m, e = 0,5m, c = 4,5m, s = 4,5m,

letzte Zahl muß zunächst geschätzt werden, wenn es sich um den Entwurf eines Tragwerks handelt. Die von den Längskräften N herrührenden Glieder dürfen als unwesentlich vernachlässigt werden, man darf also F—F'=oc setzen. Dann ergibt sich

Y »a— 1152, y«6—    252, ybb— 354,

Xa = 0,00 108 Ta + 0,00073 Tb Xb = 0,00 073 Ta + 0,00 335 Tb.

Ist weiter k₁ — k₂ = 0,bm₁ also a₁ = a₂=b,bm, so erhält man für den Einfluß der wagerechten Lasten Kx und K₂ die Ausdrücke

X«=K₁

Xb=Kx

p \

+ 36 j^) K₂

1\ = 358,5 Kx + (342 + 3 -|²- + 13,5 |f-)

(— 0,047 + 0,037    + 7L>(o,015 + 0,002    0,027

(+ 0,982 + 0,026 I) + Aa(o,979 + 0,010 ^+ 0,019

Ta — — (300 — 36 |-) Kx — (

228

K₂,

Der Ausdruck für Xb lehrt, daß die wagerechten Lasten K hauptsächlich von der Stütze B aufgenommen werden.

Der Einfluß der Temperaturänderungen soll unter der Annahme berechnet werden, daß Säule und Balkenunterkante dieselbe Temperaturänderung t'— tu erfahren. Für t ist der Wert

einzusetzen. Ist die Höhe des Balkens h — \m und wird, für Flußeisen,

sE = 250 t/m²

gesetzt, so erhält man

Ta — (36 000 M— 2250 tu) J Tb = (6750 M + 3420 tu) J Xa — (42 A£ + 0,2 QJ Xb ⁼⁼ (49 A t —(— 10,8 £„) J.

Das durch diese Wärmeänderungen hervorgerufene größte Biegungsmoment ist für den Balken

M — Aal -— (504 At —|— 6 tu) t/,

und für die Säule

M'= Xbs = (220 \t + 49 tu) J.

Im Balken, dessen Schwerachse in der halben Höhe des Balkens liegen möge, entsteht die Biegungsspannung

Mh

c = ±

und in der Säule entsteht (mit a'= ±

2.7

M'li

2 J'

±(252 A*+ 3 0 h,

= ± (880 M + 196 tu) h'.

Die Aufstellungstemperatur betrage 10° C. Man habe gemessen in der unteren Gurtung des Balkens 25° und in der von der Sonne bestrahlten oberen Gurtung 40°. Dann ist tu = 15°, A t = tu — t₀ = —15°, und man erhält für h — l,0m und ti = 0,5m die verhältnismäßig hohen Beanspruchungen

374 kg/cm²

<3= 3785 t/m ²

g'= 3420 t/m² = 342 kg/cm².

§ 10.

Sonderfalle des Balkens auf starren Stützen. Nachtrag zur Behandlung des allgemeinen Falles.

Wir gehen jetzt dazu über, die im § 8 durchgeführten Untersuchungen durch eine Reihe wichtiger Beispiele zu erläutern.

1. Balken auf drei starren Stützen.

40. Der Querschnitt ist veränderlich. Als statisch unbestimmte Größe wird der Widerstand Xa der Mittelstütze eingeführt. Die Momenten-fläche für Xa — — 1 ist ein Dreieck von der Höhe

(1)

Y,=

hh

Wer

a) ai

__

K.

mcc

■<W

.U.

Cł

Fig. 121.

Hierzu wird nach § 2 die Biegungslinie A C B' gezeichnet und nunmehr

Xa = Pm

gefunden. Die Biegungslinie A'C'B' ist also Einflußlinie für Xa = — 1 ; der Multiplikator ist ;j. =

Im übrigen verweisen wir auf Abteilung I, § 12. Dort ist angegeben worden, wie sich aus der ATa-Linie die Einflußlinien für die Momente, Querkräfte und die Widerstände der Endstützen herleiten lassen.

41. Der Querschnitt ist unveränderlich. Die d/„-Fläche wird als Belastungsfläche des einfachen Balkens AB angesehen. Es ergibt sich nach Gleich. (23), Seite 101

(2)

EJhaa =

Ml d x —

mh+h)

und an der Stelle x nach Seite 105

EJhma

Yxl\

+ “* 6

denn die Fläche zwischen der Kurve A'C' und der Geraden A'C' ist die Momentenfläche eines mit dem Dreieck A CD belasteten einfachen Balkens MC. Man findet für eine über der Öffnung lx stehende Last Pm= 1

(»)

2 l₂

Mit dieser einfachen Formel kommt man schneller zum Ziele als

mittels des zeichnerischen Verfahrens. Die Annahme eines überall gleichen Querschnitts ist in der Regel zulässig.

Der Einfluß einer ungleichmäßigen Erwärmung des Balkens auf Xa ist

s A t

Xat =

wo hat

Madx

Man erhält

(4)

CO CM

'2 >

A t = tu — ta.

s EJ — h

Senkt sich die Mittelstütze um ha gegen die Verbindungslinie der Endstützen, so ändert sich Xa um

(5)

AI„ = —

5««

— 3 EJ S„

i\n

2. Balken auf vier starren Stützen, Fig. 122.

42. Für den Fall, daß die Veränderlichkeit des Querschnitts berücksichtigt werden soll, verweisen Avir auf Abteilung I, § 13. Der einzige Unterschied ist der, daß die Biegungslinien jetzt nach dem für Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

Fig. 122.

Wir führen nur eine Größe X ein und wählen hierzu den Widerstand Xa der linken Endstütze. Das Hauptsystem ist ein Balken auf drei Stützen. Zwischen den Stützenmomenten Mx.a und M₂.a besteht die Gleichung M\-ah 2 M₂.„ (l₂ -f- l₃) — 0;

und es ergibt sich daher

M₂ • a -

also für lx— 18m, l₂= 30m, l₃ — 24m

M\.a =    18,    M₂.a = -j— 5,0.

Die Gleichung der Xa-Linie ist für Pm = 1

§ma

7<

den vollwandigen Balken angegebenen Verfahren gezeichnet werden. Auch das in Nr. 44 der vorliegenden Abteilung beschriebene allgemeine Verfahren ist beim Balken auf vier Stützen vorteilhaft. Meistens ist aber die Annahme eines überall gleichen Querschnitts erlaubt. Dann dürfte der folgende Weg, den wir gleich an einem Zahlenbeispiele erläutern wollen, der kürzeste sein.

K--lt=I8TTV— ~

- - /V-=30 ms---------->,

lü^ii

,'ï-

Mœ= Fläche

4^f|| 11 il 1+ulLlüixui^—^ I

W;

I hw_

|<---cc--->j

V,

Xa = 1

wo nach Gleich. (23), Seite 101 EJhaa — / Mldx =

y 18²-f y (18² — 5- 18 4- 5²)—5²

= 4734.

Dividiert

man die Ordinaten der Ma-Linie durch den Wert EJhaa, so erhält man die Belastungslinie, deren zugehörige Seillinie die gesuchte A^-Linie ist. Diese Belastungslinie ist durch die Ordinaten gegeben

0,00 380 und z₉=-l---—

¹    4734

Die zugehörige Seillinie (Polweite 1) schneidet die Stützensenkrechten in drei, in einer Geraden liegenden Punkten. An der Stelle a ist ihr Abstand von dieser Geraden gleich 1. Denn eine in a angreifende Last E — 1 erzeugt Xa = 1, und Lasten, die in den anderen Stützpunkten angreifen, haben keinen Einfluß auf Xa. für die einzelnen Öffnungen die folgenden, mit 7)1; vj₂, tj₈ bezeichneten Ordinaten der Xa-Linie.

*i = —

18

4734

= 0,00106.

Durch Rechnung findet

man

f

—    • 0,00 380 —

6

= —-- 0,205 uD

- ^₂= üi (0,00 380+ 0,00 106)-uD0,00 106 ~ = 2,19 as - 0,159

4    6

r\₃ = «d 0,00 106

co

= 0,102 uD.

Auf ähnliche Weise wird die Einflußlinie für den Widerstand der rechten Endstütze gefunden. Hinsichtlich der Darstellung der übrigen Einflußlinien wird auf Abteilung I, § 13, Eig. 352, verwiesen.

Der Einfluß einer ungleichmäßigen Erwärmung des Balkens ist

1 zM f

— / Madx,

30 -f 24

Madx = — 18

*-*aa    5aa

18 + 30

wo

H,°    ₂

= 297.

Man erhält

Xat = — 0,063 sEJ

3. Balken auf mehreren starren Stützen*).

43. Einflußlinien für die Stützenmomente bei unveränderlichem Querschnitt. Wird die Annahme eines unveränderlichen Balkenquerschnitts gemacht, so führt selbst bei einer größeren Anzahl von

*) Den allgemeinen Fall haben wir noch einmal mit aufgeführt, um auf einige Vereinfachungen der früher angegebenen Lösungen nachträglich hinzuweisen.

Stützpunkten die Berechnung der Einflußlinien für die Stützenmomente schneller zum Ziele, als das zeichnerische Verfahren. Wir erinnern zunächst daran, daß links vom belasteten Felde zwischen drei aufeinanderfolgenden Stützenmomenten Mk_ ]? Mk, Mk + l die Beziehung besteht

(6)

A4-14 + 2 Mk (4 -)- 4+1) + H4+i4

= 0,

woraus dann folgt

■34-1

Mk

4 + 2 (4 + 4+0

■34+1

Mk

4+1 — o,

und mit Beachtung von

■34

bk

d4-i

= — x* (Fig. 123),

= o.

+ 2 (4 + 4+0 — x*+i4

k-1

++C.-+-

'k,

~bk

M,

Jfc

K-

b'.

Fig. 123.

Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Werten x besteht also die

Gleichung

2 (4 + 4+0

(7)

^fc + i —

mit deren Hilfe man, mit

(8)

x₂ =

2 (4 + 4)

beginnend, schrittweise die Werte x und hierauf die Strecken

(9)

1 + Xfc

berechnen kann. In derselben Weise werden die Strecken y. ermittelt.

Liegt nun die. Last P — 1 über der rten Öffnung, so ist (nach Abteilung I, § 14)

(10)

wo, Fig. 124,

(H)

, br

b'.

fr - O r j b’r (fr

Cr

Cr

Vr =

ara,.

cr

Die Formeln (10) lassen sich noch etwas vereinfachen.

VN—

---Cr —

vr

iLr

Jtr\

Vr-

!.

k-~

K-

__VL.

k--

->t

Fig. 124.

Zwischen den Zahlen

x³

(Ü]j —

besteht die Beziehung

■l

l³

und w D

x'³

l³

(x' =

l — x)

(12)

Ir

r-i

k---C&----%

\T*

%T'r

r-i

--OC --

-r

Mr~LirvLe

Fig. 125.

und man darf deshalb auch schreiben

| Mr = — ur (dp -j⁻ 3 vr (An \ Mr~ i = — uroD -j- 3

(13)

wo (Fig. 124)

(14)

Ir

ur = ar -

und ur = ar —

Cr

Bei der Mr_x-Linie muß hierbei die Abszisse x von der Stütze r aus gerechnet werden, Big. 125. Die Formeln (1B) sind bequemer als die Formeln (10), weil die für die linke und rechte Hälfte einer Öffnung gleich groß sind.*)

Für die Endöffnungen ist v = 0. Man erhält

(15)

= — fx ö2>, Mn_, = — knuD-Zahlenbeispiel. Sei lx = 8 \, l₂ — 9 X, ls — 10 X, lA = 9 X X — 3,2” die Feldweite bedeutet. Man findet (Fig. 126)

2 (8 + 9)

wo

x₂ —

x₃ =

9    = ⁸'⁷⁸

²⁽⁹ + ¹⁰⁾-₈:78

28,8

(>i    4,78

6,02“

10

3,56

a3 —

32

2 (10 + 9) —

10

4,56

= 7,02™

x₄

3,56

3,91

28.8

a4=4^1

5,86m

x₃

2 (9 + 10)

10

= 3,80

32

2 (10 + 9)

10

°³    4,80

6,67

3,80

3,93

«a' =

OS 00

= 5,84

2(9 + 8)

3,93

3,96

ax

25,6

4,96

Für die zweite Öffnung ist nun nach Gleichung (13):

5,16.

u₂ = 5,84

28,8

28,8

= 9,93+ w₂ = 6,02

_ 3-5,84-6,02 16,14

M₂=— 9,93 (j)d + 6,53 Wje ⁼⁼ — 10,24    —J— 6,53 (Ojj .

Diese Formeln führen selbst dann schneller zum Ziele als das zeichnerische Verfahren, wenn keine Tabelle für die Zahlen Wj, und zur Ver-

cc

fügung steht, weil sich die Werte (ùd = —

16,14

3 v₂

— 2,08

16,14

m + 53

10,24”*,

CO

und Oj, = -

x²

l l²

CO

für die stets ausreichende Teilung =0,1, 0,2, 0,3 . . . schnell

*) In der vierten Auflage (1907) der Abteilung 1 dieses Bandes sind die Strecken ur, nr' bereits benutzt worden. In den Formeln (46) (47) auf Seite 402 steht dort versehentlich vr statt 3 vr.

hinschreiben lassen. Für diejenigen Leser, welche zeichnerische Verfahren bevorzugen, bemerken wir noch, daß das erste Glied des Ausdruckes Mr = — ur'(dn -k ,3 V

trtrw    ’Xy

durch eine kubische Parabel, das zweite durch eine gewöhnliche Parabel dargestellt jwerden kann. Hieraus folgt die in Fig. 127 angegebene Konstruktion der ilfr-Fläche. Die drei Linien I sind parallel.

L----l = Z5,6^-^---lz=28,8^4±----l₃= 32,003- *

Ą - -H - -H œ'³t~

-Ó-4---k-^-c-f-4-?

-1^28,8^

_*1 ^3

-i- -

!*- -30- -ł

“>1

ir__

m₇

Fig. 126.

R--

\1

■f —

to

r-i

Fig. 127.

man den Wert

Schließlich möge noch auf ein einfaches Gesetz hingewiesen werden, welches aus der in Nr. 25 durchgeführten Untersuchung folgt. Findet nämlich durch Auflösung der CIapeyronsehen Gleichungen für Mr

Mr = ßrl W + ß.2^2 + ßr3Ns + • •

so besitzt die Belastungslinie der Mr-Linie bei den Stützen 1, 2, 3 . . . die Ordinaten

= 6ßr2,    £3 = 6ßr3, . . .

Die Nullpunkte der Belastungslinie sind Festpunkte.

0i = ⁶ ß

Sind also z. B. die Spannweiten eines Trägers auf vier Stützen 40m, 50m, 40m, so lauten die Clapeyronschen Gleichungen 2 • 90 M₁ -f-    50 M₂ = NX

50 Mx -j— 2*90 A/₂ = N₂.

Man findet

Mx

2 • 90 Nx — 50 N₂

Ni

N,

(2 • 90)² — 50²

= 0,0361    — 0,0100 —

Zj=+0,03i

Z^=-0,0700

K----40m--->&

--SO⁷⁷⁷'----------4-0 m,--->J

Fig. 128.

Die Belastungslinie der Mx-Linie ist bestimmt durch zx — -f- 0,0361 und z₂ —— 0,0100. Für die M₂-Linie gilt das Spiegelbild. Dieses Verfahren besitzt jedenfalls den großen Vorzug, sich dem Gedächtnis leicht einzuprägen.

44. Balken mit veränderlichem Querschnitt. Auch für diesen Fall möge das in Abteilung I § 14 zur Ermittlung der Einflußlinien der Stützenmomente angegebene Verfahren noch etwas vereinfacht werden. Sind (r—1) — r'—(r-j-1) und (r — 2) — (r—1)'—r die Biegungslinien für die Zustände Mr — 1 und = 1, Fig. 129, so ist der Einfluß von Lasten, die zwischen r — 1 und r aufgebracht werden, durch die Gleichungen gegeben

Mr_, -f v.'Mr =--— 2Pm8

d,.

m (r — 1 )

Man erhält hieraus für P = 1 mittels der in Abteilung I, § 14 angegebenen Entwicklung

Mr = —

vr

(16)

dr

(r-1)

Mr.x =

kr

vr

Kr-

(r-,) dr

Mit Hilfe dieser Gleichungen lassen sich die Einflußlinien für Mr und Mr~x schnell berechnen. Die Festpunkte können nach Abteilung I,

dr

r-

§14, mittels der Biegungslinien für . . . Mr.x = 1, Mr — 1, . . . ermittelt werden. Ist Lr gegeben, so bestimmt die durch den Punkt r gezogene Gerade L,'. L'

fällt mit dem Stützpunkte 0 zusammen. Verfasser gibt aber auch hei veränderlichem Balkenquerschnitte der rechnerischen Bestimmung der

r+l

den Punkt L

r + 1-

Der Punkt L₁ der ersten Öffnung

r-j

'r

r+i

T+J

\m

T~T “ ~

r*

r+l

T*—1

rrv(r~j)

dr

Fig. 129.

Festpunkte den Yorzug. tritt die Gleichung (17)

An die Stelle der Gleichung (6), Seite 116

OG i -j- ß& Mk <xk + ! Mk ₊1 — 0, und (7) ist zu ersetzen durch

ßfc

(18)

ferner (8) durch

(19)

x₂ =

a₂

Die Biegungslinie für Mr = 1 (Fig. 130) liefert

ar — z(t._ i)

O    ' I    //

p,.    ^rr    '•rr |    ^r

Bezeichnen wir, der Kürze wegen, mit hmr die EJC-fachen Durchbiegungen für den Belastungsfall Mr = 1, wo Jc ein beliebiges Trägheitsmoment ist, so erhalten wir die Belastungsfläche der hmr-Linie,

1,0

r- 7

r_

r+l

)\

mr

fr"

/ rr

OC

r

ßr

r+j

Fig. 130.

wenn wir die Momente mit JcjJ multiplizieren. ar. ßr} ar. + l sind die

Je

Widerstände der Stützen der beiden mit der M einfachen Balken (r — 1) — r und r — (r -j- 1).

Zahlenbeispiel. Balken auf 5 Stützen, Fig. 131. Die Spannweiten

-Fläche des Belastungszustandes

-Fläche belasteten

Je

sind 16”% 20’% 20 m, 16m. Die M

die in gleichen

Mx = 1 ersetzen wir durch Einzellasten wx, w₂, . .

Abständen X = 2,0’" angreifen und rechnen mit X — 1. Dem fünften Teilpunkte der ersten Öffnung entspricht z. B. das Moment ⁵/g; der Mittelwert JcjJ sei für das zugehörige Trägerstück X gleich 1,42, wobei Jc das Trägheitsmoment des Querschnitts über der Mittelstütze bedeutet; es ergibt sich dann w₆ = ⁵/₈ 1,42 = 0,89.

Nach Berechnung der Gewichte w findet man

«i =

-rH GO

(1,09 • 1 + 1,00 • 2 -f 0,89 • 3    -f 0,46 • 7) = 2,420

(1,04 • 1 -j- 1,06 • 2 -j- 1,01 • 3 -f • • ■ + 0,12 • 9) = 2,321.

a2 10 Für die erste Öffnung ist

= 5,54 und 5,54 — 2,42 = 3,12

für die zweite Öffnung

Demnach

2^ =6,15 und 6,15 — 2,321 = 3,829.

i

ßi = 3,120 -4 3,829 + 1,000 = 7,95 ßo= 2 • 3,829 + 1,000

= 8,66.

Die Berechnung der zu den w- Gewichten gehörigen Momentenlinien geschieht nun in bekannter Weise mit Hilfe der Querkräfte (Bd. I, § 50). Wir schreiben den vollständigen Ansatz für die erste Öffnung hin.

sOn

Oo

3,67= tg

2,52

16!

350

§

1,33    1$

~n

| 9Z1

0,16

1,3Z |

lz = lok=20™'~

'1,99

1/18

LO_

r1,50

8-h‘n

tri//.

'1,32

1,1 c

Mitte

0,96 0.63='gz 0,7Z ^_

b.

ho

0,75

0,89

<r

OO'l

1.09

LOß_ ^

^ tiO‘1

1,06

lO'l

0,89 ^

^ sl'o

0,59 ^ 0,93

0,26 ^_ I

o,!Z ^

5.71

ZS'9

81 '9

5,15

en

§ £ «î~ §

8,35

9.07

8,90

7,97

6,US

«p

et

ß=7^95

'GCZ=2£2 '

Srnl-Linże

ft

Ci Z./32

4,52

6,96

7,97

06'8

9,07

8,35

% /K

V /

Ï5

^-8,66

-Linie

Fig. 131.

a, — 2,42

—    0,46 1436

—    0,63

8m i

2,42

1,33

+ 1,96 8m o = 4,38 -)- 1,33

— 0,72

8m 3

5,71

0,61

+ 0,61 8m 4 = 6,32 — 0,14

8m 5 — 6,18

—1,03

8m 6

5,15

—    2,03 8m 7 = 3 12

—    3,12

Das Trägerstück (1) — (2) der zweiten Öffnung ist symmetrisch in Bezug auf seine Mitte. Es ist dann für diese Öffnung die 5,„₂- Linie das Spiegelbild der Sm,-Linie.

Die Festpunkte L und R sind bestimmt durch: (Fig. 132)

7,95 2,32

a₂

= 3,43

a₂ =

20,0

4,43

= 4,51m

ß₂~

(Z₂

x₃ =

x₂

8,66

2,32

3,43

x₃

2,32

= 3,44

«3 =

= 4,50” = a₂

7,95 —

2.32

3,44

2,42

= 3,01

a₄ =

16,0

4,01

= 3,99’" = aj .

-A-

20

fr----72, or

Jê

^-3,99 —Ąr -*7,57    -

(r)

--70,99

\(z)

ri

4--

- - i---75,50

--75,9-9

Fig. 132.

Nun ergibt sich für die erste Öffnung:

16,0

12,01

fi = «l

ci

= 3,99

= 5,32’”,

vx = 0,

für die zweite Öffnung:

02 = 4,50

15,49

10,99

6,34'”, ä₂ = 4,51

15,50

10,99

6,36’”,

v2

4,50-4,51

1,85’”.

10,99

Die Gleichungen (16) gehen mit d,. = a.rlr über in*)

Mr =

fr^mr G

(20)

ar/r

Mr

Je,.

(r-l)

*) In der vierten Auflage (1907) der Abteilung 1 dieses Bandes sind die nachstehenden Formeln bereits zur Untersuchung eines Fachwerkbalkens auf mehreren Stützen benutzt worden (Seite 391—395).

Wegen lx — 8X = 8 und Z₂ = 10X=10 (weil wir ja mit \ = 1 gerechnet haben) ergibt sich für die erste Öffnung:

—    5,32Swl 2,42-8

für die zweite Öffnung:

—    6,368w1 + l,855wa 2,32 • 10

—    6,345^+1,855^

2,32-10

Die Ergebnisse der Rechnung sind in Fig. 133 zusammengestellt worden. Die Darstellung der Einflußlinien für die Momente der übrigen

Mx =

0,27 5 8m

— 0,274ôw1 + 0,080ôw2

M₂

— 0,2735m2 + 0,0805w>1.

(1)

(z)

'0,67

1,20

1,37

h/. 7

1,70

1,02

0,86

/Q, 86

9h‘l

TTi

£1‘!

9h 7

1,10

0.71

>s

C-

0,33.

'0.70

1,10

l,h5

1,72

1.8h

1,76

0,86

Fig. 133.

Balkenquerschnitte geschieht jetzt nach dem in Abteilung I, § 14 angegebenen Verfahren. Für die Querkräfte gilt innerhalb der ersten Öffnung die Formel

Q — Qo —

und innerhalb der zweiten Öffnung die Formel

M₂ — Mx

Q — Qo~\~

Fig. 134 zeigt die Ç-Flâche für das vierte Feld der ersten und das dritte Feld der zweiten Öffnung, und zwar ist nur der zur frag-

y.

1,0

lichen Öffnung gehörige Teil der Ç-Fläche dargestellt worden. Hinsichtlich der Untersuchung des Einflusses von Lasten, die außerhalb der fraglichen Öffnung liegen, verweisen wir auf Seite 44.

y'

l,

ho

1,0

Fig. 134.

45. Formeln für den Wert Æ In den vorstehenden Untersuchungen hatten wir vorwiegend die bei Brücken- und Deckenträgern vorkommenden Belastungsfälle im Auge, daher unser Bestreben, möglichst einfache Verfahren für die Darstellung der Einflußlinien aufzufinden. Trägt nun ein Balken von unveränderlichem Querschnitte eine unregelmäßige ständige Belastung (z. B. .Säulen, Pfeiler, Wände, die durch Öffnungen für Türen und Fenster unterbrochen werden, u. s. w.), so empfiehlt es sich, die Werte W auszurechnen und die Clapeyronsehen Gleichungen

= Nr

Mr_ilr -j- 2 Mr (/,. -(- L + i) -f- Mr+Xlr aufzulösen oder aus den Werten N die Momente T zu berechnen und hierauf die Stützenmomente mittels des in Nr. 11 angegebenen Verfahrens zeichnerisch zu bestimmen. Wir stellen daher die Formeln für

die am häufigsten vorkommenden Fälle übersichtlich zusammen. Die drei aufeinanderfolgenden Stützpunkte haben wir der Kürze wegen mit 1, 2, 3 bezeichnet. Es entspricht den Einzellasten in Fig. 135:

Piti (*? — SÎ)

(21)

N₂ =

Py₂ (H — g)

5l

Fig. 137.

Fig. 138.

und der Trapezbelastung m Fig. 138: tfj=*î

(24)

il⁽**-**⁾}

der vollen gleichförmigen Belastung in Fig. 136:

i-» _i_ 92 ^

4    ‘    4 ’

der teilweisen gleichförmigen Belastung in Fig. 137:

px(e]—d]){îl\—e]—d\) , p₂ (el—dl)(2ll—el—dl)

(22)

9i %

(23)

N₂

4/x

41₂

K--

*2, '-źzr-A

\<

g Fig. 135.

— l,

Fig. 136.

[*-------->

< dj*

Die Formeln (21) und (22) erhält man aus Gleichung (8), Seite 36r indem man für die statischen Momente 8 und 9Î der einfachen Momenten-flächen deren Werte einsetzt; und die Formeln (23) und (24) gewinnt man durch Anwendung von (21) auf das Lastelement pdx bzw. zdx..

46. Einflußlinien für die Stützenwiderstände. Der Widerstand Cr der Stütze r ist gleich dem Unterschiede der Querkräfte für die beiden Querschnitte unmittelbar rechts und unmittelbar links von der Stütze r. Hiernach ist die (7r-Linie durch zwei Ç-Linien bestimmt. Werden die Querkräfte nicht gebraucht, was bei vollwandigen Balken öfter vorkommt, so empfiehlt sich die folgende Darstellung der (7,,-Linie; sie geht von der auf Seite 44 abgeleiteten Formel aus:

Cr — Cor -f-

Mr_x — Mr    Mr + ! — Mr

lr

Lr

< - -CLr —    —

lr~

r+j

T+1

r+j

--V-

--»k--

i¥ahf*'

_0_

V.

—»,

u----oc —

—»j

Fig. 139.

Die Einflußlinie für Cor besteht aus den beiden Geraden AG und CB. Liegt die Last zwischen (r — 1) und r, so ist

v a

Mr —,

o r-{- 1

Cr = T\o + V'

Mr+l =

r+ 1

und man findet dann, Fig. 139,

WO

lr

T|

Mr

b'

Für eine zwischen r und r -[- 1 liegende Last ist Mr+i — Mr

7]' =

lr

7]

Mr

Für den Fall eines unveränderlichen Querschnitts wollen wir noch Cr als Funktion der Zahlen w# und o)7i darstellen und setzen für die Öffnung lr, indem wir a; von (r — 1) aus zählen,

My == fy (l)j) —|-    (3 Wjj CDj))

(3«^ — (ùD) -(- vrwB.

Die Gleichung

¹

Den Einfluß der Querkräfte wollen wir gleich von vornherein vernach

ly

Mr

liefert dann

(25) CV =

(l,. —f- Oy

AA-

Cr

3 +

Or + l⁷

/s

"Ta*

ÎK

7—/ I

Hn

ZL

r+7

i r+i

r+ 7

Fig. 140.

Ganz ebenso ergibt sich für eine über der Öffnung lr+1 ruhende Last, wenn x von (r -\- 1) aus gezählt wird,

ar+\-\-a

Cr + 1

Wird die Öffnung lr+2 belastet, so ermitteln wir mit Hilfe des zu dieser Öffnung gehörenden Zweiges der Mr +1 - Linie das Moment Mr bestimmen sodann mittels der Festpunkte Lr + 1 und Lr die zugehörigen Momente Mr und Mr_x und erhalten mit den Bezeichnungen der Fig. 140

Cy = — (tg a' 4- tg a").

(26) Cy —

£.+(

r+1

#r+i

by

3 (—r+'

Cr + 1

Vr + i

by

01.R-

+ 1)

(27)

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

§ 11.

Yollwandige Träger auf starr mit ihnen verbundenen Säulen.

Wir beginnen mit Sonderfällen, die wir als Beispiele zu den in Nr. 34—37 vorgetragenen Untersuchungen behandeln.

k-

!•

---r~

-H—

k--

(JF)

jL

--

(J,J)

(J.FZ)

sz

a)

"b

CL

k-

Ht

ÀT₀ -Fläche

's

b)

-z-i

f---

*—&

O)

Fig. 141.

Es seien

47. Kragträger auf zwei Säulen mit Fußgelenken. Fig. 141.

F und J der Inhalt und das Trägheitsmoment des Balkenquerschnitts, Fx, Jx die entsprechenden Werte für die linke Säule,

F2 > J2 »

„    „ rechte „ .

Alle übrigen Bezeichnungen sind den Figuren zu entnehmen. Innerhalb der Strecke l sei der Balkenquerschnitt unveränderlich. Auch die Säulen seien zunächst prismatisch angenommen.

Die Stützenwiderstände seien nach lotrechter Richtung und nach der Richtung der Geraden AB zerlegt. Die lotrechten Seitenkräfte seien A und B, die schrägen Stützkräfte C und Xa sec ß.

Solange nur lotrechte Lasten P wirken, ist C=Xa sec ß.

Für die Ermittlung des Einflusses einer lotrechten Last P auf die Unbekannte Xa geben wir zwei Lösungen an.

Erste Lösung. Anwendung der Gleichungen (12) auf Seite 98.

Es ist

X„ —

Ts₇

1-tgß

Fig. 142.

1 zeigt Fig. 142. In A und B

Den Belastungszustand Xa =

greifen die in die Gerade A B fallenden beiden Kräfte 1 sec ß an ; mögen in die Seitenkräfte 1 und ltgß zerlegt werden. Die Ma- Fläche für das Balkenstück l ist ein Trapez, dessen Höhen an den Enden gleich Die Ma-Flächen für die Säulen sind Dreiecke

sie

1 • fx und 1 • f₂ sind, von den Breiten 1 • s₁ und 1 *s₂-

Weiter ist

für das Balkenstück l Na = -j- 1

„ die Säule

Na — ~h tg ß)

S2

JV. = —t gß.

Der Einfluß der Querkräfte soll hier und in allen Beispielen dieses § vernachlässigt werden.

9*

Für

&₀« =

₂ dx

dx

EJ

EF

erhält man mit Hilfe der Formel (23), Seite 101 den Wert

s!

(fl + A A + fl) 4

*i tg²ß    ,    g₂*g²ß .

EF₁    ' EF₂

Die M₀ - Fläche für den Zustand Xa = 0 stimmt mit der Momenten-fläche eines einfachen Balkens AB überein; sie ist für eine zwischen

A und B liegende Last P ein Dreieck von der Höhe

(1)

SEJ

3 EJX ¹ SEJs ¹ EF

pw

Fig. 141h.

Für den Balken ist N₀ = 0, für die linke Säule N₀ — —

Pt'

für die

rechte Säule N₀ =--

also (mit fx — f₂ = a)

• Hach Gleichung (27), Seite 102, erhält man

(2) EJb0a = j M₀Madx + jJ N₀Na F

dx

p ’i'

NO tTrv

S1

Pl

S2

P₂

) Ptgß.

Liegt P auf einem der beiden Ausleger, z. B. auf dem linken, Fig. 141c, so kommt nur der zur Balkenstrecke l gehörige Teil der M₀-Fläche in

Betracht, weil für die Ausleger Ma = 0 ist. Dieser Teil ist ein Dreieck

bzw.

von der Höhe — Pç ; für die Säulen ist N₀ = — P

P₀ = + P

und es ergibt sich mittels Gleichung (22), Seite 101

(3) EJh

Fx

+!f) ptgß

Zahlenrechnungen zeigen nun, daß man in der Regel die von den Längskräften N herrührenden Glieder vernachlässigen, also F — Fx = F2 = oo setzen darf. Man findet dann für eine zwischen den beiden Säulen liegende Last den Wert

(4) Xa

PW

21

3 f+a

fl + fxf2+fl-\-

J SÏ Jx l

und für eine auf dem linken Ausleger ruhende Last:

(5)

² n+fif,+fî+

j si

J «2

J₂ T

Jx l

Wird die Längeneinheit der Balkenstrecke l gleichmäßig mit g be-

gi²

und

lastet, so ist die M₀-Linie eine Parabel von der Pfeilhöhe es liefert dann die Formel (24), Seite 101, den Wert

21, gPf_ _ gi‘f

8 ' 8

Den Einfluß einer auf dem linken Ausleger ruhenden gleichförmigen Belastung gt findet man, indem man in Gleichung (3) den Wert Ph,

ersetzt durch gx bx • Es entsteht

EJh0a =

12

oo

EJh.

(2 A + A)-

Die gleichförmige Belastung (g₂) des Auslegers b₂ liefert

g^H

EJb

₁₂ (²A + fi)-

Im ganzen ergibt sich also infolge der gleichförmigen Lasten

(6)

x*=i

1 gl²f ~\~ 9i bl (2 fx -[- f₂) -f- g₂K (2 f₂ -j- t\)

J s\

Jx l

J2 l

Zweite Lösung. Aus den Gleichungen (1), Seite 90, folgt

Xa = Pm

je- -bt-*j«----1----*■ -bz- ■>

C    JSma-Linie

Fig. 143.

bma ist die Ordinate der zur Ma-Fläche gehörigen Biegungslinie. Da die Ausleger im Belastungsfalle Xa — — 1 spannungslos sind, so sind ihre Biegungslinien gerade Linien, welche den gekrümmten Teil ACB der Biegungslinien in A und B berühren, Fig. 143. Bei diesem Verfahren läßt sich eine Veränderlichkeit des Querschnitts leicht berücksichtigen. Wir verweisen auf § 2.

WO

Es empfiehlt sich, die EJC-fachen Durchbiegungen 5,„„ zu ermitteln, Jc ein beliebiges konstantes Trägheitsmoment ist. Den Wert EJchaa

bestimmt man am zweckmäßigsten durch Rechnung. Es genügt, die' Summenformel

EJXa = ^Ml

SS

LS

anzuwenden. X bedeutet die Länge eines kleinen Stabstückes, dem die Mittelwerte Ma, Na, «/, F entsprechen. Die Summen erstrecken sich über den Balken und die Säulen. Das zweite Glied darf in der Regel vernachlässigt werden.

Es kommt vor, daß man wohl für den Balken ein konstantes J einführen darf, nicht aber für die sich nach unten mehr oder weniger stark verjüngenden Säulen. Der in die vorstehenden, für unveränderlichen Säulenquerschnitt abgeleiteten Formeln einzusetzende Wert J₁ ist dann bestimmt durch

(7)

%

C x²dx

Si

wo J den veränderlichen Säulenquerschnitt bezeichnet. Ebenso verhält es sich mit J₂.

Ist der Balkenquerschnitt innerhalb der Strecke l unveränderlich, so findet man EJhma als Biegungsmoment eines einfachen Balkens, dessen Belastungsfläche die Ma- Fläche ist. Es ergibt sich also

hi²

(8)

al²

Die Tangenten der Neigungswinkel und y₂ der geraden Biegungslinien der Ausleger sind gleich den Stützen widerständen des mit der Ma-Fläche belasteten einfachen Balkens AB. Man findet

tg Ti — (2 f'i + /₂ ) ₆

woraus sich für die Biegungslinie des linken Auslegers die Gleichung ergibt

EJb„.=—WA+-f,)-r-

o

♦

widerstände sind gleich +

Einfluß einer wagerechten Kraft Kf die im Abstande k von der Balkenachse angreift (Fig. 144). Wir nehmen wieder konstante Werte J, J₁₁ J₂ an und bestimmen den Einfluß von K auf den wagerechten Widerstand Xa der linken Stütze. Das statisch bestimmte Hauptsystem besitzt also bei A ein wagerechtes Gleitlager. Die lotrechten Stützende

Liegt der Angriffspunkt m von K zwischen den beiden Säulen, so ist die T/₀ - Fläche des Balkens der Unterschied eines Dreiecks von der Höhe Kc und eines Parallelogramms, dessen lotrecht gemessene Höhe gleich Kk ist. Diese Fläche liefert zu S0a den Beitrag

J U₀M.dx = -- Kc(2 f, + ft) — Kkf?.

m"

K rrb

rn'

i---r —

t-*

Ks^

fr

«----cs

-f

<•

Kc <-----1

— ±__

--->

-Xtr -

KK

~/Pr

---r

IKc

'fig*⁸

il

I ¹    -O

f\\    f

f.

Das erste Glied dieses Ausdruckes folgt aus Formel (22), Seite 101; das zweite Glied ist gleich, dem Produkte aus dem Momente Kk und dem Flächeninhalte des zugehörigen Teiles der j|f₀-Fläche. f' bedeutet

die Ordinate der Ma-Linie an der Stelle — B'•

2

Der M₀-Fläche der rechten Säule entspricht

Ks\

M₀Madx

und man findet daher mit

aç

2l

___'k___i _

«<-

für Xa den Wert

s\ J

l J₂

J_ s\

T

Greift K in einem Punkte m des rechten Auslegers an, so ist das Dreieck ABR die M₀-Fläche des Stabes 1. Das zweite Glied des Zählers des für Xa gewonnenen Ausdrucks ist dann zu streichen. Greift dagegen K im Punkte m" des linken Auslegers an, so muß auf der ganzen Strecke l das Moment Kk in Abzug gebracht werden. In dem zweiten Gliede des Zählers der Formel ist dann h,'=l zu setzen.

Ist der Balkenquerschnitt veränderlich, so bestimme man den Einfluß von K mit Hilfe der allgemeinen Formel

fl + fif2 + f? +

J s\

J₂ l

rrr

/f -

TTZ

&L

'fr

>h

\Y*_

Jo

le-

"T

â'

Fig. 145.

Bedeutet dann, für den Belastungsfall Xa =—1, t den Neigungswinkel der elastischen Linie an der Angriffsstelle der Last K, so ist die wagerechte Verschiebung des Angriffspunktes m infolge der Drehung des Querschnitts gleich kt und hierzu tritt der Einfluß der Drehung und Verbiegung der Säule. Im ganzen entsteht mit den in Pig. 145 angegebenen Bezeichnungen

&»,« — kx-\- f₂y₂ -j- 5" und

^ + /2T2 ~f~ S U 7i + U Ï2 + à' - j • S

Ç

Der Nenner dieses Ausdruckes ist gleichbedeutend mit / Ml-——

J ŁJ

Xa = K

Einfluß von Temperaturänderungen. Infolge von Temperaturände-rungen entsteht

§at

Xat =

WO

I N.it.dx + /-["

s A tdx.

Es sei die mittlere Temperaturänderung für alle Punkte der Balkenachse

„ Unterkante des Balkens tu r Oberkante „

„ linken Säule „ rechten Säule

to

t₂.

Dann ergibt sich, da für den Balken

Madx — fl ist,

fl

=    * s^ + tg ß- StiSj — tg ß • sć₂s₂-f-e (*„ — t₀) —-,

und bei unveränderlichem J₁

(10) Xat = ZzEJ

J

Ą l

Einflußlinien für die Kernpunktmomente des Balkens. Es liege eine Eisenbahnbrücke von der in Fig. 146 dargestellten Anordnung vor; sie besteht aus Tragwerken der soeben untersuchten Art, die miteinander

f? + ff₂+f? +

J_ s[ J₁ l

-o

-o.

■o

³ dül

Fig. 146.

und mit den Endwiderlagern durch einfache Balken verbunden sind. Jeder dieser Koppelbalken besitzt an dem einen Ende ein festes, an dem anderen Ende ein in wagerechter Richtung bewegliches Auflager. Das eine der beiden Gelenke Gx und G₂ muß also einen Spielraum erhalten, der eine wagerechte Verschiebung des Balkenstützpunktes gestattet.

Es genügt, den in Fig. 147 dargestellten Brückenabschnitt zu betrachten.

Die Einflußlinie für Xa sei in der angegebenen Weise ermittelt worden; es treten noch die den beiden Koppelbalken entsprechenden

M° = M₀ — Xay₀,

Geraden I und II hinzu. Der in lotrechter Richtung gemessene Abstand des oberen Kernpunktes o des zu untersuchenden Balkenquerschnittes von der Geraden AB sei y₀. Dann ist das Angriffsmoment für den Kernpunkt o

wo M₀ das Angriffsmoment für den Fall bedeutet, daß das Tragwerk infolge Nullwerdens von Xa in einen Ger her sehen Balken übergeht. Wir führen, wie beim Zweigelenkbogen *), den Multiplikator ₍u = y₀ ein und erhalten die in Fig. 147 dargestellte Einflußfläche für M°.

A\--

dt

-fia

/?—-    I

T NI y !

I    U--4

-77Z-----J-

*— 4—

1-4

}#>

N ! '

i

f H> k-4—>!

¥\

---->1 -

A.

IOC

So

Xn-Linie

M°~Flćiche,

Fig. 147.

(Sïw/ beide Säulen gleich hoch und gleich stark (sj = s₂ = s, fl = f₂— fi J% — J\)i so lautet die Gleichung der Xa-Linie für das Trägerstück AB

(11)

PU'

2 fl

V, wo

(12)

I CO

s³

Ji f*l

Diese Linie ist daher eine Parabel von der Pfeilhöhe

(13)

8 ~---r V.

*) Ygl. Abteilung 1 § 7, Nr. 84 und § 10, Fig. 302.

Die geraden Xa - Linien für die Ausleger sind bestimmt durch die

Strecken

».

i l '    2 f

Für den Einfluß einer zwischen A und B am Balken angreifenden wagerechten Last K liefert Gleichung (9) den Wert

(14)

^2^2 ~

— V.

— 2k

CO

Xa = -

“ 2

'S A,

CO

s³

fl

und dieser läßt sich uniformen in

(15)

Greift K in irgend einem Punkte des rechten Auslegers an, so entsteht

(16)

f0+ ■')

wirkt K am linken Ausleger, so ergibt sich

(17)

' Xa =

f-0

Der Einfluß einer an einem Koppelträger angreifenden Last K auf Xa hängt ab von der Höhenlage des Gelenkes. K wirke am rechten Koppelträger im Abstande e vom Gelenke G₂. Dann übt der Koppelträger auf den Ausleger im Punkte G₂ einen wagerechten Druck K

Ke

und einen lotrechten, nach unten gerichteten Druck von der Größe

aus. Es entsteht also — immer gleich hohe Säulen vorausgesetzt —

~ v) +

(18)

Ke b2 --v.

2 h f

Fallen die Kräfte K und die Gelenke G₁ und G₂ mit der Balkenachse zusammen (Je = 0, e = 0), so entsteht

(19)

2-^

gleichgültig, ob K an einem Koppelträger, oder an einem Ausleger, oder zwischen A und B angreift.

Der Einfluß der Temperaturänderungen beträgt nach Gleichung (10):

(20)

Xat =

£1r v 0 + (*““~*o) h)'

/'

48. Wir wenden uns jetzt zu dem in Fig. 148 dargestellten Tragwerk; es unterscheidet sich von dem in Nr. 47, Fig. 147, untersuchten nur durch das am äußeren Ende des rechts gelegenen Koppelträgers angeordnete feste Auflager und ist zweifach statisch unbestimmt. Als neu hinzutretende statisch unbestimmte Größe führen wir den wagerechten Widerstand Xb des festen Endauflagers ein; er habe von dem Gelenke G2 den Abstand e, und dieses von der Achse des Balkens AB den Abstand e'. Die Säulen seien gleich hoch und gleich stark. Das in Nr. 47 behandelte Tragwerk nehmen wir als statisch unbestimmtes Hauptsystem an. Den Widerstand des linken Säulengelenks bezeichnen wir jetzt mit JI\ er wird auf die Form gebracht

H = H₀—HbXb.

- -X-

A-1

r—A—*■

--*—

far

J*⁻    --Y---

— «o --

r#

Fig. 148.

Der Wert H₀ ist also gleichbedeutend mit dem in Nr. 47 ermittelten Werte Xa. Nun greift infolge von Xb im Gelenkpunkte G₂ am Ausleger BG₂ eine nach rechts gerichtete Kraft Xh und eine lotrechte,

und es entsteht daher (bei

£

an

nach unten gerichtete -Kraft Xb —

h

unveränderlichem J)

’)

H=HÓ-

Xbe b₂

--- v

21₂ f

A = A₀—Xl

—xb

l₂ l

-£₀ + Xsy + Xi^-( 1+A)

H'— Xh + H—

wo d den Abstand des Gelenkes G₂ von der durch die Säulenfüße gelegten Geraden und H' den Widerstand des rechten Säulengelenkes

bedeutet. Der Yerschiebungsplan für den Zustand Xb = — 1 liefert

Xht =

xb = pm

K,-j

'Ml dx

EJ

Sht —

f Nbetdx~\-- j 6 A

h- dx.

Die weitere Untersuchung bietet, selbst für den Fall veränderlichen Querschnitts, keine Schwierigkeit; sie möge hier nur für den Fall e — e = 0 und für unveränderliche Trägheitsmomente J und Jx *) weiter durchgeführt werden. Es wird dann

(21)

H = H₀- —Xb, i = i₀-J₅y,

H== Xb + H— 2 AT,

B = B₀-fXl

und man erhält für Xb = — 1 die in Fig. 149 dargestellten Momenten-fiächen; sie liefern

EJhbb =

fl    J s³

12    J, 6 '

Zwischen A und B besteht also die Belastungslinie der Xh - Linie aus einer Geraden, deren Endordinaten

2f

fl-f

12 ' '

s³

fl -f 2

s³

sind. Die Gleichung der Yfj-Linie ist demnach

(i)²

zl²

24

Setzt man zur Abkürzung

(22)

J s³

fl

so ergibt sich

(23)

r} — (Ojd

*) Bei veränderhchem Säulenquerschnitt ist J₁ mittels Gleichung (7), Seite 134, zu berechnen.

wobei die Abszissen (x ) von der Trägermitte aus zu zählen sind. CB= 0,51 ist, so ist natürlich

Da

//

(Up -

/ x" y

V 0,51)

Q,bl

Die zu den Auslegern und den Koppelträgern gehörenden geraden Xb - Linien sind bestimmt durch

h2 r

--L--

---4 -

asf

C fk7\m yB

0,5 S

o,5f r

o, s s

__x_

0,5

0,5

_x__r

IjjrïïlTîÏÏT^

Vr

T7

i* -3?"- >j Fig. 149.

Der Winkel y läßt sich deuten als der Widerstand der Stütze B eines einfachen Balkens CB, dessen Belastungsfläche das Dreieck I

ist. Man erhält y =

(24)

r

— zl und 6

7]l =

^2 =

ł>2 /

V .

1 zu bestimmen und die Formel

Um den Einfluß wagerechter Lasten K zu bestimmen, brauchen wir nur die wagerechten Verschiebungen ihrer Angriffspunkte m infolge Xh =

bbb

xb = K

anzuwenden. Da nun sämtliche Punkte der Balkenachse (deren Längenänderung wir ja vernachlässigen) sich in wagerechter Richtung um hbb.

verschieben, so erzeugt jede mit der Balkenachse zusammenfallende Last K:

(25)

Xh = K,

an

gleichgültig, ob sie zwischen A und B, oder an einem Ausleger oder einem Koppelträger angreift.

Liegt der Angriffspunkt m von K oberhalb der Balkenachse im Abstande k von dieser Achse, und bedeutet t den Neigungswinkel der elastischen Linie des Zustandes Xb =— 1, so dreht sich der Querschnitt, dem m angehört, um den Winkel t, und es entsteht

\)

(26)

wenn festgesetzt wird, daß die Durchbiegungen nach unten, die Abszissen nach rechts positiv gerechnet werden und die positive Richtung von K mit der Richtung von Xb = — 1 übereinstimmt.

Da wir nun die Xb- Linie aus der Biegungslinie für Xb = — 1 fanden, indem wir deren Ordinaten durch hbb dividierten, so dürfen wir auch schreiben:

(27)

Xb = K(l-k^L).

Liegt also m zwischen A und B im Abstande x" von der Mitte, so ist zu setzen

dr\

W d Oj,

dx

4 f dx

ff 1

und man erhält

(28)

x>=KV+kir (¹²-Ç-0}

dr\

dx

Gehört der Punkt m dem rechten oder linken Ausleger an, so ist = —— und

(29)

Xb = K

Für den linken oder rechten Koppelträger wird , und man erhält daher

h f

(30) Xb = K\ 1 —

bzw. =

bï k

"H

']

bzw. Xb — K

di]

Th

dx

änderungen zu bestimmen.

Es ist noch der Einfluß der auf Seite 137 bezeichneten Temperatur-Der Inhalt der Mb-Fläche des Balkens ist

für die d

Null; ein Temperaturunterschied At = tu — t₀ hat daher keinen Einfluß auf Xb. Die Längskraft Nb ist für die linke Säule = — ^

rechte

— -f- — ; gleichmäßige und gleichgroße Erwärmung beider Säulen

(h — h) ist mithin ebenfalls ohne Einfluß auf Xb. Für das Balkenstück / —f—    —f— ist Xb — — 1 ; es ergibt sich also

und

(31)

jXbstdx — — st (l —j— b₂ -f— ^2)1

EJhbt

12 sEJt (l + b₂ + Z₂)v'

EJàbb

fl

Die Ermittlung der im Balken entstehenden Spannungen a wird etwas vereinfacht, wenn man nicht von den Kernpunktmomenten M° und Mu ausgeht, sondern die Formel

W F

benutzt und, zugunsten der Sicherheit des Bauwerks, jedes der beiden Glieder für sich zu einem Maximum macht. Es ist N = —- H für einen Balkenquerschnitt der Strecke AB und X = -f- Xb für einen Querschnitt rechts von B. Links von A ist X = 0. Den zur Darstellung der M- Linien einzuschlagenden Weg wollen wir durch ein Zahlenbeispiel erläutern.

Es sei

l— 16,n, h= lAm, f= 6,0w, b₁=b₂ = b--=3,0m, s = f----== 5,3

= 8,0,

= 2,1

J s³

ąJh

also nach Gleichung (12) und Gleichung (22)

5,2

2,4

Al ir beginnen mit der A^f-Linie; ihre Gleichung lautet l ,

■*] = Mj>

V = Md

4,0

5,2

= 0,769 Wi>.

Die Abszissen (x ) sind von der Mitte aus zu zählen, in der Tabelle auf Seite 105:

für -

Man findet

0,2

0,4

0,6

0,8

(ùx> -

daher ist 7] =

0,192    0,336    0,384    0,288;

0,148    0,258    0,295    0,221.

Den Gelenkpunkten Gx und G₂ entspricht

= ± 0,577.

I i '    I ^>0

r‘ = ±lV = ± 5,2

Aus der in Fig. 150a dargestellten Xbf-Linie erhält man die in Fig. 150b abgebildete Einflußlinie für Hf mittels der Gleichung

Hf = H₀f--T“ Xbf.

Die H₀f-Linie der Strecke AB ist eine Parabel von der Pfeilhöhe

16

8 • 2,4

= 0,833,

sie ist in Fig. 150 b durch eine gestrichelte Linie angegeben worden. *

— 6 v

1,5

Für die Gelenkpunkte ist H₀f — —

Li

her erhält man für den rechten Gelenkpunkt

Hf— — 0,625 + ¹ 0,57 7 = — 0,337 und für den linken Gelenkpunkt

2,4

0,625. Da-

WO

10

K--5,0 7n -    m U

V/,

G7

Tl

A---Xr

»Ï

Jl

0.577

0,577

Xi

T_~

1,258\

0^05

RS

S’

0,973

£98'O

1/7,‘Os

0, G8l\

Q,829\

hWO

0,833\

O, 726\

0,577

0,385\

GHtÏÏ

“H i

tsH

'--^ J-----o

. ^

1,157

7,000

Ol

0£I8

s    %    §    §

h    «    >0    Pj

<5    <S    «    «

0,284

0,782

c)

A-Linie

A'

TI

K---OG—---

--oo'-------->,

IT-f-Linie

7-ao

Fig. 150.

wurden (in größerem Maßstabe) in Fig. 151 von einer wagerechten Achse aus aufgetragen, und von der so erhaltenen gestrichelten Linie

wurde die Xb

x- Linie in Abzug gebracht. Für die Gelenkpunkte er-

hält man die Werte:

M = — b y-j- 0,337 + 0,577 - =- - 0.890.

i    t

b -- -f- 0,913 — 0,577 -- = — 1,360.

Für den Balkenquerschnitt unmittelbar rechts neben der Säule A A (x = 0) stimmt die M-Linie rechts von A mit der Hf- Linie überein. Im Punkte 6b hat sie die Ordinate —6-j- 0,913 =— 2,087.

bei ćr₂:

bei G, :

M= —

v-

L__L

-~/T

IN

T'~

//

9z

\\

Af-Linie

Fig. 151.

Für die Querschnitte des Auslegers werden die Momente und Querkräfte genau in derselben Weise bestimmt wie beim gewöhnlichen Gerber-Balken. Die Koppelträger verhalten sich wie einfache Balken. Nur ist zu beachten, daß das Balkenstück BC durch Xb auf Zug und Druck beansprucht wird.

49. Werden zwei Tragwerke von der in Nr. 47 untersuchten Art durch ein Gelenk G miteinander verbunden, Fig. 152. so entsteht ein vierfach statisch unbestimmtes System. Als neue statisch unbestimmte Größen treten zu den in Nr. 47 untersuchten Horizontalschüben der beiden einzelnen Tragwerke die Seitenkräfte Xb und Xc des Gelenkdruckes.

hängenden Kragarme auf Zug beansprucht. Xc sei positiv, wenn es auf den links von G liegenden Kragarm von unten nach oben wirkt. Ist

Es sei Xb positiv angenommen, sobald es die in G zusammen-

10*

die Lotrechte durch G eine Symmetrieachse, so ist Si(. = §,.₆ = 0, und man erhält

¹

f = — 0,625 —    0,577 = — 0,913.

Die H f-Linie ist das Spiegelbild der H’f-Linie. Fig. 150 c zeigt die Einflußlinie für

A — A₀ Xb

Die gestrichelte Linie ist die Aa-Linie. Die B-Linie ist das Spiegelbild der A-Linie. Durch diese beiden Linien sind die Einflußlinien für die Querkräfte der Strecke AB gegeben. Solange sich die Lasteinheit rechts vom Querschnitte befindet, ist Q =A) liegt sie links vom Querschnitte, so entsteht Q = — B.

Das Biegungsmoment für einen Querschnitt im Abstande x von A ist

M= M₀ — Hf— Xb

M₀ das Biegungsmoment für den Querschnitt eines G erb er sehen Balkens bedeutet, der nicht starr mit den Säulen verbunden ist. Die Einflußfläche für das Glied M₀ — Hf zeigt Fig. 150d; ihre Ordinaten

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

^PmKb

Xc

bbb

2Pmhmc

r/C¹ «O

bcc

K,

Man vergleiche die ähnlichen Untersuchungen in Abteilung I, Nr. 164 und 166.

Das Gelenk G liege in der Achse des Balkens. Es sei

J das überall gleiche Trägheitsmoment des Querschnittes der Balken AB und B'A'.

J₂ desgleichen der Ausleger BG,

„ Säulen*).

- Ir -

fc

-----

¹ C i

7/

?r

Fig. 152.

Der Belastungszustand Xb — — 1 stimmt mit dem in Nr. 48 behandelten Zustande Xb — — 1 überein. Nur ist zu beachten, daß das Hauptsystem jetzt aus zwei Tragwerken der vorhin betrachteten Art besteht. Es ist also hbb doppelt so groß wie vorhin, und man erhält daher für die in Fig. 153 dargestellte Xb-Linie die Gleichungen:

l ,

ri =    -„ 'V

(32)

'Gi =

wo

J sd

J1 f²l

2~⁸»»

— hbi nach rechts ver-

Ł

Um den Einfluß wagerechter Lasten K zu ermitteln, beachte man, daß sich die links von G gelegenen Punkte der Balkenachse um —

nach links, die rechts gelegenen Punkte um ——

*) Hinsichtlich der Ermittlung des "Wertes Ą für eine nach unten sich verjüngende Säule verweisen wir auf Seite 134, Gleichung (7).

Für die linke Hälfte des Tragwerks gehen also die auf Seite 143 abgeleiteten Gleichungen (26) und (27) über in

schieben.

(33)

2 kz \

b '

(34)

Xb =

AG

2 V

— 2 Je

dr\

dx

Liegt K zwischen A und B, so ist

(35)

K r k')' ( x"² 'N'l

2 L¹⁺ 27

Greift K an einem der Ausleger B G oder Gx A an, so folgt :

(36)

kd ¹ gm

0+-‘f>

}e-4Z-->J

rh +-

r'tjzX'

- *JF " l<—    - LÎTIÎ&

Fig. 153.

Einer am Koppelträger CG₁ wirkenden Last entspricht

(37)

X& =

K(

2 V

légers BG ist ein Dreieck von der Höhe —b. Die Momentendreiecke

v. Für das Tragwerk rechts von G

b s

der Säulen haben die Höhe -f-

gelten dieselben Flächen, nur mit entgegengesetzten Vorzeichen. Man findet für die beiden Balken AB:

EJbcc =

/«"—4Pv+Ÿ(£-*)+(t-*)j

für die beiden Ausleger BG:

b²

EJhcc = 2 •

----L-----*r-b -->

I* - - t, - -    - *

ff, Ą

+] '

^ ;. 1 r

I K ''■y/W////yZ/Z///////Z/////Z////Ą

i-h-E

mW.

’f

<r

o,ste I

' I

y/z/m

-I

I-

T~ I

JC‘< 0,5

ff

s?

°q

A‘

Fig. 154.

für die vier Säulen:

Greift K an der rechten Hälfte

stände

einem Rechteck von der Höhe

EJhcc = 4

s b² s² v² J

im ganzen also:

4 f² Jx

b²s³v² J

W

Die Belastungsfläche der Xc-Linie ist gegeben durch die Werte

(38) EJhcc =

h²1    2

g ..[1+8v(v_3)]_|__&8

*1 =

0,5 èv

EJ hce

EJhcc

Man erhält

(89)

—f- 3 v

big

big

WO

(40) p = 1 -J- 3 v (v — 8) —f- 4

b J

T j₂

und

2 J ss 3~ Jx fH

Für eine in G angreifende Last 1 muß sieb Xc =

ergeben.

Daraus folgt für die Xc- Linie des Auslegers BG die Gleichung

x    . z,b²    x'    b

7] — 0,5    +    .    =0,5---

0 0    0

(41)

Für den Balken AB gilt z

(42) V] =

z₂l²

«n ,--\~ «ä

&p

3/v

26p

Der Neigungswinkel y der Xc-Linie im Punkte A ist (nach oben positiv gerechnet)

6 l 1 3v 1    2 — 3v

big 2 ’ 3 /Dp L ’ 2 _    26p    ’

Im Gelenkpunkte Gx hat also die Xc - Linie die Ordinate

(43)

2 —3v 6

2p

Ist 3v^> 2, so ist Tjj negativ. Die A^-Linie besitzt dann zwischen A und B einen Nullpunkt.

Die wagerechte Verschiebung der Punkte der Balkenachse ist hcb= 0. Der Einfluß wagerechter Lasten K ist also (vgl. Seite 143)

Kk~

(44)

Xc = —

8..

= — Kk

dx

Hiernach ergibt sich für eine zwischen A und B angreifende

Last K:

(45)

Kk

x²

3-1,5,

für eine Last K am Ausleger BG:

(46)

Xc = —

ck r i ,

6 L 2 ⁺

lg

(—+)]

(—£)]■

für eine Last K am Ausleger GXA:

Kk (2 — 3 v)

26p

für eine Last K am Koppelträger CG₁ :

Kk (2 — 3 v) b

26p

Vorzeichenfehler sind ausgeschlossen, wenn man die Gestalt der Biegungslinie für den Zustand Xb — — 1 betrachtet. In dem in Fig. 153 angenommenen Falle 2j>3v erfährt z. B. der Koppelträger CGX eine Rechtsdrehung; die oberhalb der Balkenachse liegenden Punkte m verschieben sich nach rechts; folglich müssen links gerichtete Kräfte K ein negatives Xc hervorbringen.

Einfluß von Temperaturänderungen auf Xb. In der Formel (31), Seite 144, ist 2 (1 -j- b) an Stelle von l -J- b₂ -(- l₂ zu setzen. ist jetzt doppelt so groß als in Nr. 48. Man erhält daher

12 s EJt (l-\-b)v'

(48)

a;=—

(49)

Xu =

fl

Da wir annehmen, daß links und rechts vom Gelenke G dieselben Temperaturänderungen entstehen, so ergibt sich Xct— 0.

Die Berechnung von Xb und Xc ist hiermit erledigt. Für die an den Säulenfüßen angreifenden Stützenwiderstände findet man jetzt

u

A — A₀ —

Xb —

(50)

B = B.+

Xc

H=H0²)

2 Xb

bv

Xc.

Das Angriffsmoment für einen Querschnitt des Balkens AB ist bei

spielsweise

(51)

Mo-H₀f+—Xbf+Xc ,

wo M₀ das Moment für den Fall bedeutet, daß H₀ = 0, Xb =0, Xc = 0 ist. Die Ermittlung der Einflußlinien bietet keine Schwierigkeit.

50. Dreifach statisch unbestimmter Gelenkbalken, Fig. 155. Der Balken ruht auf drei Säulen und besitzt an den Enden wagerechte Gleitlager. Als statisch unbestimmtes Hauptsystem wird wieder das in Nr. 47 untersuchte Tragwerk eingeführt. Es ist also Ha gleichbedeutend mit dem in Nr. 47 berechneten Werte Xa; nur ist zu beachten, daß die Stützweite des Hauptsystems nunmehr 21 statt l ist. Als statisch unbestimmte Größen führen wir die am Fuße der mittelsten Säule angreifenden Stützenwiderstände Xb und Xc ein. Der statisch unbestimmte

Teil des Tragwerks sei symmetrisch in bezug auf die Achse der mittelsten Säule. Dann ist

und es ergibt sich

Xb

2Pmhmb + hbt

Xc

2Pmhmc + hct

Wir nehmen konstante Querschnitte J und J\ an. Fig. 156 zeigt den Belastungszustand Xb = — 1. nach Gleichung (11), Seite 138:

Es entsteht

(52)

Hh =

Zv"*)

, wo

(53)

1 J s3 3 J₁ fl

—\k v C

—--v

< - fj-->!

u2    l

y//.

PT'

//

1<----£----->K----Z — ---->j

I    I

Fig. 155.

Die Mb-Fläche des Balkens besteht aus einem Dreieck von der Höhe 0,51 und einem Rechteck von der Höhe

jeder äußeren Säule ist ein Dreieck von der Höhe---

hält nach Gleichung (23), Seite 101

"|V'2 : 16

•/'l. Die Mb-Fläche — v"l. Man er-

EJhbb — 2 •

CO

b>" (

₄ (°’⁵*

hl)

4 /

J s3 Jl 3

-f- ^0,5 l

*) Man hat %=z%' = l zu setzen und im Nenner statt l die Stützweite 21 einzuführen.

Setzt man zur Abkürzung

(54)

v² + 4

so ergibt sich

J s³

j\ l³

(55)

l³?'

EJhbb —

b

Da nun die Xb-Linie im Punkte C die Ordinate 1 hat, so lautet die Gleichung des Zweiges AC' dieser Linie

0,bl-l²

'JC

ri = 1 »O - —f- Op

0,25Zv"-Z²

(56)

x ,

7] = 1,0 — +

6EJbbb Ud , 3 Ojä 2p' ” Tp"

2 EJhbb

K-----

•fr

<>

r

jJ' !

Ni

I-

-L--

-~l------*!

‘y,

t / Xfi-Linie

[<--OC--Ą

Fig. 156.

Der Neigungswinkel der Tangente ist bestimmt durch

(57)

dri

1.0

dx

⁺w(

Für x = 0 erhält man die Neigung*)

(58)

(M

'V)

2p 4p /

und es entsprechen daher den Gelenkpunkten Gx und G₂ die Ordinaten

(59)

%= — &iY> ^2 = — &2Ï-

*) "Wir fassen die Aj-Linie als eine in sehr großem Maßstahe gezeichnete Biegungslinie auf und schreiben daher kurz y statt tg y.

Im Belastungsfalle Xb = — 1 ist die wagerechte Verschiebung sämtlicher Punkte der Achse des Balkens gleich Aull. Der Einfluß einer im Abstande x von A in der Höhe k oberhalb der Balkenachse angreifenden wagerechten Last K ist deshalb

(60)

d'<]

dx

(61)

Greift K an einem Ausleger an, so erzeugt es Xb = ± Kky,

und zwar gilt das obere Vorzeichen für den Ausleger b₂. das untere für bx.

Die Koppelträger drehen sich um

Ti =

T, 5zw. y₂ =

7-

Eine am linken oder rechten Koppelträger angreifende Last K erzeugt demnach

(62)

= -j- Kk^ bk

bzw. Xh =

— Kkj

Hinsichtlich der Temperaturänderungen machen wir wieder die auf Seite 137 erklärten Annahmen. Der Inhalt der Mh-Fläche des Balkens ist

I Mbdx = y l²( 1—v").

Weiter ist für den Balken AB

Nb = — Ilb

Gleichmäßige Erwärmung der Säulen ist ohne Einfluß auf Xb, weil für die drei Säulen zusammen 2iY₄ = 0 ist.

Man erhält mit t„ — t₀ = A t

hbt — I Mb dx -\-J Nbztdx =

sA tl²

2h

ZV'

Xb =

EJhbt EJhbb ’

"]•

SzEJç'

v") — t'>

“ h -

Wir wenden uns jetzt zur Ermittlung von Xc. Den Belastungszustand Xc = — 1 zeigt Fig. 157. Die Mc-Fläche des Balkens besteht aus zwei Rechtecken von der Höhe ip 0,5 f; für die Säulen erhält man Dreiecke von den Höhen -p 0,5 s* und -|- 1.0 s. Folglich ist

(63)

X₆ =

fl

J s3 fl '

P" =1 + 3

(65)

EJhcc =

(64)

2-(0,5/)²(+(S₃S

fl „

EJbe, =

2 (0,5s)²s

Jx

wo

Die Gleichung der Xc-Linie des Balkens AB ist

7j = -f Wjj

0,5/7²

(66)

2EJbcc

■») = + ÜB

2/p" ‘

0,5?,

ÏÏTT

0,5

i

,    I    7    I

---I-----ÿj-s-----/----->1

. 0,5^ I.

\n

k- - cc—Ą

Xc Linie

Fig. 157.

Das obere Vorzeichen gilt für den Teil A C, das untere für den Teil CB. Die Xe-Linie besteht aus zwei Parabeln von den Pfeilhöhen

Die Neigungswinkel der Parabeltangenten in A und B sind

ohne Vorzeichen genommen

8/p"

y' =

und man findet daher

2/p

>7~,

(67)

fix =-• + b, ? =

2 fp"

rh = —

b.

2/p

// *■

Um den Einfluß wagerechter Lasten K festzustellen, müssen wir zunächst das Verhältnis der wagerechten Verschiebung der Balkenachse für den Belastungsfall Xc — — 1 zur Verschiebung hcc angeben. Indem wir die Xc-Linie als Biegungslinie auffassen, finden wir (Fig. 158)

rrr r r

v = fy

das ist

0,5 ssJ

ZJxEJhce

(68)

2p

2 J s³ \ 3~ jx Jh)

2p"v

(69)

also für eine Last zwischen C und B im Abstande x von C:

(70)

X = K'i

"[l

k'>

)]

für eine Last zwischen A und B im Abstande x von A:

(71)

Xe = K'>

[1+Jr(Ł

)].

für eine Last auf dem linken oder rechten Ausleger:

(7 2)

Xc = K')

für eine Last auf dem linken oder rechten Koppelbalken:

AA, v\

i '

(73)    Xc=K'/"(l

fl

, bzw. Xc — ifv

r\

__1L

\\

Ist die Achse der mittelsten Säule auch für die Temperaturänderungen eine Symmetrieachse, so ist der Einfluß der Temperaturänderungen auf Xc gleich Null.

Damit ist die Berechnung von Xb und Xc erledigt, Nun findet man

(7 4) H=H₀ — Xl

U"

——xe.

2

b 4 f

Wir wiederholen, daß H₀ nach den in Nr. 47 für Xa angegebenen Formeln berechnet wird und daß in diesen Formeln die Stützweite l ersetzt werden muß durch 21. Die Lf₀-Linie ist also zwischen A und B eine Parabel von der Pfeilhöhe

rm

Fig. 158.

Ht

(75)

rio =

in den Gelenkpunkten Gx und G₂ besitzt sie die Ordinaten

Hi

= 2rlo-f- Und ■*]*= 2ylo

b.

Kennt man Xb. Xc und H, so findet man die übrigen Stützenwiderstände A, B, H' mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen. Die

-X--

Fig. 159.

Herleitung der Einflußlinien für die Querkräfte und die Momente bietet keine Schwierigkeit. Für die Momente des Teiles AC kann auch das in Abteilung I, § 13 Nr. 153, beschriebene Verfahren benutzt werden; ilij und Mn bedeuten dann die Momente für die Endquerschnitte des Teiles AC.

51. Fünffach statisch, unbestimmter Gelenkbalken, Fig. 160. Als lehrreiches Übungsbeispiel empfehlen wir dem Leser die ünter-

V/A

P'

ec

--X--

¹---X--

Xc

Fig. 160.

__

suchung eines auf vier Säulen ruhenden Balkens, der in den A$ßen-öflnungen Gelenke und an den Enden wagerechte Gleitlager besitzt, und dessen lotrechte Mittellinie eine Symmetrieachse ist. Die Wahl der statisch unbestimmten Größen Xb, XC1 Xd ist in der Fig. 160 angegeben. Das Hauptsystem besteht aus zwei einfach statisch unbestimmten Tragwerken von der in Nr. 47 -untersuchten Art. Die Strecke r wird so gewählt, daß 5Æc = 5cc?=0 wird. Daß die Verschiebungen hbc = bcb und hbd = hah gleich Null sind, folgt aus der Symmetrie. Wir verweisen auf die ähnlichen Aufgaben in Abteilung I, § 11, Nr. 128 und § 15, Nr. 167. Man kann auch das Tragwerk in Fig. 152 zum Hauptsystem wählen. Es tritt dann nur eine neue statisch unbestimmte Größe, ein Moment Xd auf. Das Tragwerk ist wegen des ungünstigen Einflusses der Temperaturänderungen nicht zu empfehlen.

52. Gelenkloser Balken auf drei Stützen. Die Mittelstütze ist eine Säule mit Fußgelenk. An dem einen Ende sei ein wagerechtes Gleitlager, an dem anderen ein festes Lager vorhanden.

-I -

--1-----*i

IB

Pm

i§#§

J,

Fig. 161.

Als statisch unbestimmte Größen sollen der lotrechte Widerstand Xa des Gleitlagers und der wagerechte Widerstand Xb des festen Lagers eingeführt werden. Außerdem entstehen noch die drei Stützenwiderstände A, B und C. Solange nur lotrechte Lasten wirken, ist C — Xb. Gesucht sind die Einflußlinien für Xa und X:

änderliche Querschnitte mit den Trägheitsmomenten J bzw. Jx. unwesentliche Einfluß der Längskräfte X soll vernachlässigt werden.

Die Momentenflächen (Ma, Mb) für die Belastungszustände Xa = — 1 und Xb =—1 sind in Fig. 162 dargestellt worden. Man findet mit Hilfe der in Nr. 35 entwickelten Formeln

Mld x =    l ³

O

I MaMbdx = — ~ (2 f+e)

Midx = -h (f² + f'e + ß²) +

6

Balken und Säule haben unver-

Der

EJhaa =

ej hab =

EJhbb =

s³

Die Auflösung der beiden Gleichungen

Xahaa -Ą- Xbhab = bma

xahba-\-xbh bb = hmb

liefert

Xa ^LacHma |"~ ^ab^mb

-Aib    (X baHma 1 Gt-bb^bbl

WO

&ab ^ba

aL6

\//

Pf

^aa^bb Sa6

Safc

S«« §6 6 Sa6

Sa«

S«a Sj b Sab

HL-Fläche

Tb-Fläc/ie

{/•&

7-S

,vf

⁷f

Mj-FuidXL

Jt.

JL

t<

/f

kr--

-1--

"->!<■

Fig. 162.

Es sei nun

Z = 12e — 0,5”, f=b,Om, c = 4,5m, s = 4,5w,

= 8,0.

Dann ergibt sich

EJhaa = 1152, EJh„b = — 252, AJJ"56L= 354.

Die Größe Ait/ ist ohne Einfluß auf Xa und X₆ und wird zweckmäßig gleich 1 gesetzt. Das Verhältnis J : Jx ist bei der Berechnung von hbb berücksichtigt worden. Man findet a„a= 1,028 • IO"³, a.ab = 0,732-10

-3

0Lbb = 3,346 • IO"³.

Die Einflußlinie für Xa ist nun die Biegungslinie für den Belastungsfall Xa — — (x.aa) Xh — — <xab. Ygl. Nr. 36, Seite 103. Es entstehen die Momente

M— <%aaMa -(- <xabMb.

Die Momentenfläche setzt sich nach Eig. 163 aus zwei Dreiecken und einem Rechteck zusammen, deren Höhen = — 12,34 • 10 ³,

9,04 • 10~³,

g3 -

= "J” 0,37 • 10

sind. Die zugehörige, mit der Polweite 1 gezeichnete Seillinie ist die Einflußlinie für Xa. Da nun eine in C angreifende Last P= 1 den

zz u

m 4-

j<S--

----

—l

C‘

-A'

Lrlll|%lllirmTTrr».'R'

i

I    I

(<-— - -OO----

/<

C" \

k—

Fig. 163.

Widerstand Xa = 1 erzeugt, so muß sich C"C'— 1 ergeben. Diese Eigenschaft kann zu Das statische Moment des Teiles I der Momentenfläche in bezug auf

zJ²

die Lotrechte durch C ist gleich —-—

O

einer Prüfung der Zahlenrechnung benutzt werden.

und es folgt deshalb

zJ²

C"C' =

---\-ly

3    1    1

den Druck bedeutet, den die Belastungen II und III auf die

wo y

Stütze A des Balkens AB ausüben; man erhält

V²

C"C' =

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

11

in welchen Ausdruck für gi, z₂, z₅ die absoluten Werte einzusetzen sind. Dies gibt

r    i2

[(12,34 + 9,04) —

0,37

f]

10“³ = 0,9996    1.

Da nun der in lotrechter Richtung gemessene Abstand der Biegungslinie C" A' von der Geraden C"Ä gleich dem Momente für den Querschnitt eines einfachen Balkens A C ist, dessen Belastungsfläche das Dreieck I ist, so lautet die Gleichung der X„-Linie des Teiles CA

l_x

to

l-x

• IO⁻³ = 1

Wo 12,34

6

Für den Teil AB erhält man 12²

o 12²\

^    6)j> • 9,04

Die XL-Linie ist Biegungslinie für den Belastungszustand Xa — — a.ba und Xb —— <xbb. Es entstehen die Momente M= abaMa 4- abbMb.

^2 =

10"³ = — 0,217 6)7,+0,027

Zz

k------1 —

C\

c":

lllTTTl

\l!!i

IMF

U:z

Fig. 164.

Die Momentenfläche, Fig. 164, ist bestimmt durch

z₂ = — &bal -(- abbc — -f- 6,27 • IO⁻'³, + a.bbe = + 1,67 • IO“³.

= — 8,78 • 10—³,

Das gibt

_ r    i2

++=[(— 8,78 + 6,27) —

12²1

2 J

10~³ = — 0,0002 0.

|-1,67

Die Gleichung der Einflußlinie für Xb lautet zwischen C und A: 12²

*»li =— 0748,78 -und zwischen A und B:

% = + 6)756,27 ^² 10"*+ 6)ä1,67-‘

10“³

12²

=- 0,2 1 1 6)j5,

10 ³ = —}—0,150 6)77 —|—0,120 6)75.

In der folgenden Tabelle sind die nach den vorstehenden Gleichungen berechneten Ordinaten der Einflußlinien für X„ und Xh zusammengestellt worden.

Balkenteil GA

Balkenteil AB

xa

-Xb

Xa

Xb

1,000

+ 0,026 + 0,048 + 0,066 + 0,079 -f 0,086 + 0,086 + 0,079 + 0,062 + 0,036

Den Einfluß der Kräfte K und der Temperaturänderungen haben wir bereits im § 9 nach dem Castiglianoschen Verfahren bestimmt. Wir empfehlen dem Leser aber, diese Einflüsse auch auf dem in Nr. 47—4 9 eingeschlagenen Wege zu untersuchen.

53. Gelenkloser Balken mit einem festen Endauflager auf beliebig vielen, starr mit ihm verbundenen Säulen. Bedeutet er die lotrechte Verschiebung des Schnittpunktes r der Balkenachse und

0,1

Qo L 05    £>• As so

0,9

r-t

— ^------1

4-----T

v-r- r

r+r

rv/

_4jr_

4-

er+i

r+i

iZr

Fig. 165.

rten Säulenachse, und sind yr, xr', x" die Winkel, welche die in r die elastische Linie des Balkens gelegte Tangente mit der Wagerechten und den Geraden (r—1) — r und r — (r-|-1), Fig. 165, bildet, so ist

Aer+i L+i

(76)

~r = - Tr +

Ir

V'=+Yr-

WO

an

G-t-i G*

■h ('f. €y    Cr—\

Der Winkel '[r stimmt überein mit dem Drehungswinkel der oberen Endtangente der elastischen Linie der Säule.

Wir unterscheiden zwei Fälle.

11*

1. Die Säule ist am unteren Ende lotrecht eingespannt, Fig. 166. Die auf den oberen Endquerschnitt der Säule wirkenden Kräfte ersetzen wir durch ein Kräftepaar, dessen Moment 9)i,. sei, und zwei sich in r schneidende Einzelkräfte Cr und Hr. Punkt r möge sich gegen den Fußpunkt r der Säule in wagerechtem Sinne um e' verschieben; weiter möge sich infolge des Nachgebens des Widerlagers der Säule die untere Endtangente der elastischen Linie der Säule im Sinne von 9)?,. um y/ drehen. Dann ist

dx

Ir — Yr' =

Hrx -f Wr

EJ

x dx,

HrX -f mr

EJ

und hieraus folgt:

(77)

aw,. = -f

EJ, (7>- — Ir ) EJr {e' — fyr')

a,.

(78)

Hr

EJ(yr — y,.')

EJ,. (e,.'—/V)

wo

bl

dl

x²

dx

dx —

ar —

(79)

bl = C

9

X-

dx

dx —

(/'■ jdx)

Jr

x —— dx

X²

dx

dx —

dl = —

(Jx- -dxy

dx

Jv bedeutet ein beliebig gewähltes Trägheitsmoment.

Ist der Säulenquerschnitt unveränderlich und bezeichnet Jr sein Trägheitsmoment, so ergibt sich

(80)

ar

s³

s³

4(f² + fC + Cy

6 (f+c)

dsr =

s³

12

2. Die Säule ist am unteren Ende drehbar befestigt> Fig. 167. Man erhält für unveränderlichen Querschnitt

ßr = flr

Mx dx

EJr

= flr

Hrs³

3EJr

woraus, mit Rücksicht auf die Bedingung

(81)

= Hf

sich ergibt:

(82)

mr

3 fEJr

s³

(fjr — O-

Hinsichtlich der Bedeutung von Jr bei veränderlichem Säulenquerschnitte verweisen wir auf Seite 134, Gleichung (7).

«*■

V¹

TH

k--

'S

'S

--*5 —

--«k --

/,

/k

>JC

h----r

~y-r !

-~"S—

-A

r'

nL.

Fig. 166.

Fig. 167.

Wir führen jetzt links und rechts von r zwei unendlich nahe Schnitte und bezeichnen das Biegungsmoment für den Schnitt links von r mit Mr\ rechts von r mit Mr". Sodann betrachten wir das Balkenstück (r—1) — r. An seinen Enden greifen die Momente M" und Mr' an. Ist der Querschnitt des Balkens unveränderlich, so bestehen nach Seite 28, Gleichung (7), die Beziehungen:

6 EJ ,

M"r.x + 2 M'

6 8or 3zEJkt

3EJ

58 -r-

3zEJM

Ir

Ir

sie liefern für Mr den Wert 2 EJ

(84) M'

Ir

(2    --Ü" (2 %or - 8U

öEJkt

ll

und ganz ebenso ergibt sieh 2 EJ

(85) Mr"

h-+1

o(r+1)

^0 (»•+!))

zEJlt

K₊1

Setzt man die vorstehenden Werte in die Gleichgewichtsbedingung

i¥/

¥•"= a»r

und drückt die Winkel t und Momente 9)1 mit Hilfe der Formeln (76) und (7 7) oder (82) durch die Winkel y aus, so gelangt man zu einer Gleichung, welche die drei aufeinanderfolgenden Winkel ym ym+1 enthält. Für am unteren Ende lotrecht eingespannte Säulen ergibt sich z. B. mit der zur Abkürzung eingeführten Bezeichnung

9,. = EJ y^

(86)

(87)

die Gleichung:

9,-i

(88)

■r-

+<p-(|+iü;

9,+i

— Zr

-i>

Y»> un(l

WO

(89)

2 2or — $lor , 2 9Î

o (r+1)

(,+i)

+i

ä.er . \er

+i

EJre,'.

+i

2 bl

Der Balken sei an den Enden frei drehbar gelagert, Fig. 168. Es ist dann M₀ "= 0 und Mn' = 0, wo n die Anzahl der Öffnungen bedeutet. Mx' ist durch die Gleichung 6 EJ

2 My

6 Ö0l SzEJlt

bestimmt und die Bedingung My—My"— Ml y liefert:

(90)

9i

\ ly ^ l.

Jy 1 2 J a y

92

= Zx

wo

1,5 e₀

2 9îo2 — So2

zEJüt

b\

)+³^(°rr¹+ v)+

EJX e₁ '

26?

In derselben Weise ist auch die letzte der aufzustellenden Gleichungen zu ändern.

Die Werte Z hängen nicht nur von den bekannten Lasten und Temperaturänderungen und den vorgeschriebenen, durch Beobachtung gefundenen Verschiebungen der Widerlager ab; sie sind vielmehr auch Funktionen der vorläufig noch unbekannten, durch die Kräfte C und H verursachten Längenänderungen des Balkens und der Säulen, sowie der wagerechten Verschiebung eines der beiden Stützpunkte o und n der Balkenachse. Bezeichnet man mit

t die Temperaturänderung für alle Punkte der Achse des Balkens,

tu desgleichen der Unterkante des Balkens,

t₀ — ^ — A£ desgleichen der Oberkante des Balkens,

t' die Temperaturänderung für alle Punkte sämtlicher Säulen,

F den Inhalt des konstant angenommenen Balkenquerschnitts,

Fr den Querschnitt der rten Säule,

ur den Abstand der rten Säule vom Stützpunkte o,

so ist

er =

Crsr

F Fr

— U fr erw

i r n J

¹

st k = 0, so wird Xb = —- K.

z

des Tragwerks an, so ändert sich nur das Vorzeichen von Xb.

Den Belastungszustand Xc = — 1 zeigt Fig. 154. An den Säulenfüßen werden nach Gleichung (14), Seite 139, die wagerechten Wider-hervorgerufen. Die Momentenfläche des links von G liegenden Balkens A B besteht aus einem Dreieck von der Höhe — b und

^fcv, wo v die durch Gleichung (12) bestimmte Zahl bedeutet. Die Momentenfläche des zugehörigen Aus

²

H₀ ist gleichbedeutend mit dem in Nr. 47 ermittelten Werte Aa.

i=xEF ^ r

wo e Widerlager sind.

Ow) @ rwl

e,.w beobachtete Verschiebungen infolge des Nachgebens der

r-r

s'Æï/.

•*r

n-/

TL

Fig. 168.

Berechnung der Winkel 9 haben dann dieselbe Form wie die Gleichungen

Wird nun der Einfluß der Kräfte C und H auf die Längenänderungen der Achsen des Balkens und der Säulen vernachlässigt, so bestehen alle Werte Z aus bekannten Größen und die Gleichungen zur

o.r Mr _ 1 -f- [8,. Mr —|— ar+xMr+1 — Nr

Berechnung der Stützenmomente eines Balkens auf starren Stützen.

zur

Handelt

Nach Berechnung der Werte x und Bestimmung der Festpunkte läßt sich der Einfluß jedes einzelnen Wertes Zr schnell angeben, es sich um den Einfluß einer Einzellast, so drücke man die 8₀ und 9l₀

durch die Zahl aus. Vgl. Seite 30.

Soll die Veränderlichkeit des Balkenquerschnitts berücksichtigt werden, so treten an die Stelle der Gleichungen (83) die Gleichungen

M r_!

Mr —(— T r

t"r_1=2Pw5 r-l -f“    l)rMr    'C (r-l)(r-l)-^

deren Koeffizienten mit Hilfe der Biegungslinien für die Zustände Mr'= 1 und M"r_i — 1 ermittelt werden. Der Einfluß wagerechter, außerhalb der Balkenachse angreifender Lasten K kann durch Hinzufügung von Gliedern + 2i^&T, bzw. Az^Kkx" berücksichtigt werden, wo x und x" die Neigungswinkel der beiden Biegungslinien bedeuten. Eig. 169.

Anmerkung. Die Aufgabe der Berechnung eines Balkens auf beliebig vielen, starr mit ihm verbundenen Säulen ist in der Literatur schon

mehrfach behandelt worden, in allen dem Verfasser bekannt gewordenen Arbeiten aber / unter Beschränkung auf den Einfluß lotrechter Lasten und unter der Voraussetzung, r daß die wagerechte Verschiebung eines jeden Säulenkopfes gleich Null ist. Diese Voraussetzung ist nicht allein an die Vernachlässigung des verhältnismäßig geringen Einflusses der Kräfte H auf die Änderung der Länge der Balkenachse gebunden, sondern auch an die ganz unzulässige Streichung der von Temperaturänderungen herrührenden Verschiebungen e . Die Wirkung dieser Verschiebungen stu ,lhßt sich mit Hilfe der Gleichungen (88) und (91) leicht verfolgen*); es entstehen in den Säulen Biegungsspannungen, die mit dem Abstande der Säulen vom festgehaltenen Balkenende stark anwachsen. Wir verweisen auch auf das Zahlenbeispiel in Nr. 39. Dort ist nur eine einzige Säule, die noch dazu unten drehbar gelagert ist, vorhanden, und trotzdem ist der Einfluß der Temperaturänderungen schon recht erheblich.

Steht also an dem einen Ende des Balkens ein fester Punkt zur Aufnahme der wagerechten Lasten, z. B. der Bremskräfte eines Eisenbahnzuges zur Verfügung, so ist es im allgemeinen am zweckmäßigsten, jede Säule am Kopfe und am Fuße gelenkartig zu befestigen und unter Vernachlässigung der von den Drücken C herrührenden Längenänderungen der Saufen den Balken nach § 4 und § 10 zu berechnen. Der Einfluß der Temperaturänderungen der Säulen wird durch die auf Seite 35 in Fig. 39 eingeführte Verschiebung §r, welche sich leicht durch die Strecken e = etf ausdrücken läßt, berücksichtigt.

Die feste Vernietung von Balken und Säule ist aber wichtig für Hochbahnen, deren Tragbalken auf einer langen Reihe von Säulen ruhen.

r-i

ï!r-

ÔL

mr

77 Z,

mr

Fig. 169.

'Kr

*) Die Gleichungen (88) und (91) ermöglichen auch eine nachträgliche Prüfung des Einflusses der von Kräften C und H hemihrenden Längenänderungen.

Hier wird es oft zweckmäßig sein, die Säulen zur Aufnahme der Bremskräfte heranzuziehen. Höhere Grade statischer Unbestimmtheit wird man allerdings auch in diesem Falle wegen des ungünstigen Einflusses der Temperaturänderungen vermeiden. Durch Einschaltung von Gelenken, darunter auch solche mit wagerechten Spielräumen, wird man den Grad der statischen Unbestimmtheit entsprechend herabsetzen. Die in Nr. 47 bis 53 vorgeführten Untersuchungen dürften genügen, um die Berechnung derartiger Konstruktionen zu erläutern. Bei der in Nr. 47 behandelten Anordnung ist der Einfluß der Wärmeschwankungen am geringsten. Allerdings muß die auf einen Brückenabschnitt wirkende Bremskraft von nur zwei Säulen aufgenommen werden.

§ 12.

Balken auf schwimmenden Unterstützungen (Schiffbrücken).

54. Wir gehen jetzt dazu über, die im § 8 kurz angedeuteten Aufgaben über die Berechnung der Streckbalken der Schiffbrücken ausführlicher zu behandeln. Es soll der Einfluß lotrechter Lasten mit Hilfe der Gleichungen

La +    = ^Pmhma — Xahaa — Xbhba — Xebca — . ..

(1)

Pb ] bj -■Pm 6mb    ■ • *

untersucht werden.

Für einen rechtwinklig zur Längsachse belasteten Balken, der sich ganz allgemein aus vollwandigen und fach werkartigen Teilen zusammensetzen möge, gilt die Gleichung

5«= \M:Mk

(2)

-j- Al SiSjcÇ

dx

EF

EJ

wo i und k zwei beliebige der Zeiger a, b. c, . . . bedeuten. Das Integral erstreckt sich über die auf Biegung beanspruchten vollwandigen Teile, die Summe über die Fachwerkstäbe. Die Rechnung gewinnt an Übersichtlichkeit, wenn die Schiffe durch gleichwertige Stäbe (Säulen) ersetzt werden. Bedeutet F den Inhalt des wagerechten Schiffsquerschnittes in der Höhe des Wasserspiegels und y das Gewicht der Raumeinheit des Wassers, und wird vorausgesetzt, daß die Schiffswände innerhalb der hier in Betracht kommenden Grenzen senkrecht sind, so ist das Schiff einer Säule gleichwertig, für die

(3)

ist. Ruhen die Balken unmittelbar auf den Borden der Schiffe, so schalte man zwischen den Balken und den das Schiff ersetzenden Stab nach Fig. 170 einen Wagebalken ein und nehme diesen Balken starr an, weil die elastischen Formänderungen des Schiffes vernachlässigt werden dürfen. Auch rechne man wegen der Kleinheit der Schiffsneigung mit einem in der Mitte gestützten Wagebalken. Ygl. auch Seite 96.

kV

Fig. 170.

Die Lasten mögen in der Längsachse der Brücke angreifen. Eine Drehung der Schiffe um ihre Querachsen sei also ausgeschlossen.

Wir beginnen mit der Untersuchung von Schiffbrücken, die aus einzelnen, durch Gelenke miteinander verbundenen Gliedern bestehen, Fig. 171.

1. Schiffbrücke, gebildet aus zweischiffigen Gliedern.

• • • Xr-i, Xr

55. Allgemeines Verfahren. Als statisch unbestimmte Größen führen wir die senkrechten Gelenkdrücke X Xr+l, ... ein, Fig. 171. Xr sei positiv, wenn es auf das rte Glied

I Zn.

"S/A

A,j

Av/' '

Fig. 171.

— l)r

von unten nach oben und auf das (r -f- l)te Glied von oben nach unten wdrkt. Die Biegungslinie für den Zustand Xr = — 1 zeigt Fig. 172; es werden nur zwei aufeinanderfolgende Glieder beansprucht. Die ursprünglich zusammenfallenden Gelenkpunkte r verschieben sich gegeneinander in senkrechter Richtung um 8,.,., die Punkte (r— 1) um 8(r und die Punkte r -{- 1 um 8(r+1)r, und zwar sind diese Verschiebungen positiv zu nehmen, wenn sie im Sinne der Kräfte X——1 erfolgen, wenn also nach der Verbiegung der Endpunkt des linken Gliedes unter dem Endpunkte des rechten Gliedes liegt. Die Lage der Biegungslinie gegen die Abszissenachse KK ist bestimmt durch die senkrechten Schiffsverschiebungen

e'

G-t-i    1

dr jFr ’ dr yFj. : dr+l yFr+l

Bei genau passenden Gelenken besteht zwischen den Lasten Pm und den von diesen hervorgerufenen Gelenkdrücken X die aus den Gleichungen (1) folgende Beziehung

(4)    8,. = ^Pmhmr A,._! 8(r_!),.    A',.8f.,.    A,.₊₁8(r+1)r = 0,

er

»•+i

dr+1

jF‘

r+1

deren Übereinstimmung mit der zwischen den Stützenmomenten Mr_x, Mr, Mr+1 eines Balkens auf starren Stützen bestehenden Gleichung otrMr_\ —(— $rMr -)- a.r+xMr+x = Nr ohne weiteres zu den folgenden Aussagen führt:

(5)

I. Wird nur ein einziges Glied, beispielsweise das Glied (r — 1) r belastet, und sind die Gelenkdrücke Xr_x und Xr an den Enden dieses Gliedes bekannt, so kann man die übrigen Gelenkdrücke mit Hilfe von festen Punkten L und R bestimmen. Trägt man nämlich die X an den

£zL

Fr

Ir

A¹

r+i

,P7T

_f; /

- - er — -x-    "

4-1

T~~----4----

lCrtL

e'r

Uv7

Srr<

.K

}Sur

+r)r

Fig. 172.

Gelenkstellen als Ordinaten auf, Fig. 173, und verbindet deren Endpunkte durch die Geraden gr_x, <7,._₂, • • • #V+u gr+2i ■ ■ -, so gehen die Geraden gr_x, gr_₂, • • • durch die Festpunkte Lr.x, L,

Geraden gr+x, gr+2, . . . durch die Festpunkte Rr+X, i?r+2, • • • Die Festpunkte Lr und Rr sind durch die Strecken

und

2) •

. . und die

(6)

ar

lr

ar

(7)

bestimmt. Die den einzelnen Gliedern entsprechenden Zahlen x werden schrittweise mittels der Formel

(8)

xr+i —

xr

berechnet, wobei von

S(r+l)r

’i • i

ausgegangen wird. Und ebenso findet man, am rechten Ende beginnend,

^    —i) ł*

wobei man (wenn die Anzahl der Glieder gleich n ist) yon

(«-u

^(m-2) (»- 1)

(10)

(11)

X.'

Kr

^(r-l)r

X ,.+ 1

n-1

Zu der Formel (8) gelangt man bekanntlich

streicht und das Verhältnis

ausgeht.

in Gleichung (4) das Glied 2Pm 5

: Xr— — xr+1 durch das Verhältnis Xr : X,

wenn man

.V

r+l

mr

r-1

— — xr ausdrückt,

und Formel (9) ergiebt sich aus der zwischen X₁ und X₂ herrschenden Beziehung

(12)

nach Streichung des ersten Gliedes. Ganz ähnlich findet man die Formeln für die Werte x'.

-ĄVi

'9r-i

ft«

iKT

Xr

*<x.t

r«,:;

-■Ir--»

Fig. 173.

II. Zwischen den beiden Gelenkdrücken Xr_₁ und Xr an den Enden des belasteten Gliedes (Fig. 173) bestehen die Gleichungen

2Pm§«

(13)

xrXr_i -f- X,. —

Ö(r-l)r

(i-o

Xr _ J -j- Xy Xy -- ç

0

2Pmhmr

(r — 1 ) r

aus denen sich die Werte ergeben

Xy Pm

(14)

r-1

(r-1)

2Pm hmr

(XyXy - 1) 6

(r — 1) r

(15)

Xy2Pmhmy — 2Pmhm (XyXy - l) 5

(r-1)

(r- 1) r

Der Einfluß der Belastung des ersten Gliedes A — 1 und des nach dem Ufer führenden Koppelbalkens AB auf den Gelenkdruck Xx ist, Fig. 174,

xn'bA

Die gestellte Aufgabe ist hiermit gelöst¹). Die Gelenkdrücke lassen sich nunmehr für jeden Belastungsfall angehen. Auf folgendes ist besonders hinzuweisen. Wird der Einfluß der Belastung des rten Gliedes auf ein Moment, eine Querkraft, eine Spannkraft u. s. w. des Ä;ten Gliedes gesucht, wo k<^r ist, so ist die gesuchte Größe — wir .wollen sie ganz allgemein mit Yk bezeichnen — zunächst nur abhängig von den Gelenkdrücken Xk_x und Xk. Nun lassen sich aber diese Drücke mit Hilfe des in Fig. 173 dargestellten Verfahrens durch Xr_x ausdrücken, und daraus folgt dann Yk = C • Xr_ ,, wo C einen festen Wert bedeutet. Auf der Strecke (r — 1) — r unterscheidet sich also die Einflußlinie für Yh von der Xr-Linie nur durch einen Multiplikator.

f - -ct 'r A

&-<^Ł

Pm,

K

.Ai

ni

Fig. 174.

56. Vereinfachung bei der Ermittlung der Biegungslinien und Festpunkte. Für Schiffbrücken kommen als Träger hauptsächlich in Betracht: der vollwandige Balken und der Fachwerkbalken mit parallelen Gurtungen. Im ersten Falle ist es bei der Berechnung der 5 in der Regel zulässig, innerhalb eines Gliedes für EJ einen festen Wert anzunehmen. Diese Annahme führt zu einfachen Formeln, die sich meistens auch mit genügender Genauigkeit auf den Fachwerkbalken mit parallelen Gurtungen übertragen lassen, wenn man das Querschnittsträgheitsmoment J ersetzt durch den Wert \Fgh², wo Fg den Inhalt des Querschnitts einer Gurtung und h die Trägerhöhe bezeichnet. Da nun weiter der Einfluß der Lasten P auf die Größen X nicht von den Durchbiegungen § selbst abhängt, sondern nur von dem gegenseitigen Verhältnis dieser Durchbiegungen, so empfiehlt es sich, mit den EJ-fachen Durchbiegungen zu rechnen und diese der Kürze wegen wieder mit S zu bezeichnen. An die Stelle der Gleichung (2) tritt dann die Gleichung

hik=j MtMkdxJr^8tSk

(17)

EL

y F

Der Einfluß des Belastungszustandes Xr = — 1 erstreckt sich über die beiden Glieder (r—1) — r und r — (r -)- 1). Setzt man also i = k = r und dehnt man die Integration und Summation über diese beiden Glieder aus, so erhält man den Wert 5,.,.. Berücksichtigt man

nur das Glied (?--1) — r. so erhält man nur den Bestandteil 5r„

von hrr = bur -j- 8or. Beachtet man, daß den Schiffen des rten Gliedes

entsprechen, so findet man die

die Werte Sr = -J-

ßy

Formel

dr

bzw. Sr — —

er

dr

(18)

j M;dx +

EJr

el

er

'2

Y dl \Fr ¹ F'

und ebenso

»•+1

j M?dx H

EJr

T dl

±L(

+ 1 X

<-r+l

Fr+1

r'²

i ^ r+1

F'

r+1

Ganz in derselben Weise findet man auch die Gleichung

(19)

(r-l)

(*—l)r--

I Flr _ i J\Ir d x —}-

Jy ^ CrSy

T dl

cr'er

Fr ' Fy

)•

Die Integrale

Mydx und

Mr-\Mrdx berechne man mit Hilfe

der in Nr. 35 abgeleiteten Formeln.

Zahlenbeispiel. Es sei für sämtliche Glieder, Fig. 175, l— 20 m, b = 4 m, d    — 12 m, e = c'= 4 m, e'=c =    16m,    F = F == 100 qm.

Die    Brücke    erhalte zwei Hauptträger; ihre    Achse    gehe    im Grundriß

durch die Schwerpunkte der Schiffsquersclmitte F. Auf jeden Hauptträger kommt ir'=50qm. Ferner sei die Trägerhöhe h— 2 m und der    Inhalt    des Querschnitts einer Gurtung    Fg — 31,4    qcm. Dann

ist    J — \    • 2,0² • 0,00 314 = 0,00 628 m⁴    und    man    erhält mit

EJ

E — 2150000 kg/cm² = 21 500000 t/m² (Flußeisen), y — 1>0, ab-gerundet

= 2700 ms.

Nun wird

(20)

Kr=h₀y = ^hyr =

Mydx -f

EJ

e²-\-e'²

(21)

(*—i)

illr-\ Mydx -j— 2

r- 1

wo

EJ e² -j- e'²

= 5100,    2

EJ

EJ ee'

Y F d² ’

ee

.. = 2400.

Fig. 17 5 zeigt die Momententlächen für die Zustände Xr = — 1 und Xr_i = — 1. Es ergibt sieb nach Formel (23), Seite 101,

20 , 100 \    4 /

9/ ⁺ T \ 9

X co

(⁴

V 9

100

£+‘)

²’-°.4 3

und nach Formel (22), Seite 101

f    4,0

Mr_xMrdx = — 2 ¹    6

= 69,

o i ! co

co

oj : co

03 CO

r(l+-r)]

= — 35,

und es wird daher für alle Glieder

SMr = ö₀, = 'brr = 5100 + 69 = 5169, = 2400 — 35 = 2365.

V-l)r

= 8,.

(r-1)

Mr

e\*r

k-

TTL

JŁ

r-7

/n/x

- 8 T^~

>!

e------

e'= 16 TTts— \---

t-

-->1 W--ZrTl'~ >

2’à

k- - --    ---•>!

r-r

p----

K-

- l=20m-Fig. 175.

•>i

Für den festen Wert ^brr:b

,. führen wir die Bezeichnung ein

(22)

brr

28

und erhalten dann aus Gleichung (8) für den Fall gleicher, symmetrischer Glieder, wegen 8

(r + n*->

xr= 2^ —

Ar- 1

Mit den vorstehenden Zahlen ergibt sich 2V = 4.37, also

V-2 — 4,37 ;

*3 — 4,37

4,37

= 4,14:

x₄ = 4,37 —

= 4,13= x₅ — x₆ = . .

4,14

Die Werte x nähern sich sehr schnell einer festen Grenze, welche durch die Gleichung

(24)

bestimmt ist. Man erhält (25)

x = ^ +V^²— 1 = 4,13-

Meistens ist es zulässig, bereits für x₃ den durch die Gleichung (25) bestimmten Wert x anzunehmen und höchstens für das zweite Glied einen besonderen Wert x einzuführen.

Die Lage der Festpunkte ist nunmehr bestimmt durch die Strecken

a2 ~

1 + y-2

= 3,72 m, n₃ = aL = . .

= 3.90 m.

Durch die Strecken hru und 5

(r-\)r

ist in Fig. 172 die gestrichelte Gerade AB bestimmt, von der aus die von den Momenten Mr herrührenden Durchbiegungen aufgetragen werden. Da wir mit den EJ-fachen Verschiebungen rechnen, so erhalten wir diese Durchbiegungen als Momente eines einfachen Balkens von der Spannweite l, dem die

Momentenfläche des Zustandes Xr = — 1 als Belastungsfläche zugewiesen wird. Den Ansatz für diese einfache Rechnung brauchen wir hier nicht wiederzugeben. Wird l in zehn gleiche Teile zerlegt, so ergeben sich für die neun Teilpunkte in der Reihenfolge von r — 1 nach r die Werte

21,    42,    62,    79,    91,    94,    87,    68,    37,

= 2365, so klein sind,

welche, verglichen mit = 5169 und § daß ihr Einfluß vernachlässigt werden darf. Aber noch weitere Vernachlässigungen sind meistens zulässig. Nimmt man der Einfachheit wegen an, es sei b = 0, es werde also der Balken nur in zwei Punkten gestützt, so sind die Momentenflächen für X,.= — 1 und Xr_l =—1 Dreiecke von der Höhe e und der Grundlinie e und man findet

(26)

(27)

( I e'²\

y F \d² 1 d² ) _ EJ ee'

² Y F ~d^

±Kr =

EJ

-j-|eV= 5185,

= 2368

x₂ =

= 4,38, x₃ = x₄= . . . = 4,14 [nach Gleichung (25)].

Der Einfluß der Wagebalkenstützung auf die Größen X ist im vorliegenden Falle von ganz untergeordneter Bedeutung. Geht man noch einen Schritt weiter und vernachlässigt überhaupt den Einfluß von Mr und Mr_i, so findet man die von J und F unabhängigen einfachen Werte

hrr

17

(r — 1 ) r

ee

4,25, a₂

20

5,25

3,81 m,

x₃ = x₄ . . . = 4,00, a =

20

4,0 m,

5,00

die im vorliegenden Falle zu durchaus zuverlässigen Ergebnissen führen und beim Entwerfen von Schiffbrücken mit steifen Trägern sehr wichtig sind,, weil sie zum mindesten eine von den gesuchten Größen J und F unabhängige Überschlagsrechnung gestatten.

57. Einflußlinie für Xr. Eine am Gliede (r—1) r angreifende Last P=1 erzeugt nach Gleichung (15)

(29)

xrSmr — 8,

(xrxr'— 1) 8,

Für den Einfluß einer am Gliede r (r -\- 1) wirkenden Last P= 1 erhält man mittels Gleichung (14), indem man den Zeiger um 1 erhöht, den Wert

^ r+ 1 ^mr    ^m

(^r+l^r+1    1) 8r (r+v

Wir wollen zunächst die meist schwach gekrümmten Biegungslinien hmr und 8m

für Xr eine aus geraden Linien bestehende Einflußlinie (Fig. 176a), und es genügt, die den Gelenkpunkten entsprechenden Ordinaten zu berechnen. Der Einfluß einer im Punkte r angreifenden Last ist verschieden groß, je nachdem dieser Punkt zum Gliede (r—1) r oder zum Gliede r (r -f- 1) gerechnet wird. Im ersten Falle ist in die Gleichung (29) einzusetzen 8mr = 8Mr und 8m(r_!) = 8r(r_1}; im zweiten Falle gilt Gleichung (30) mit hmr = — 8or und Sm Man erhält (Fig. 17 6a) die Einflußzahlen

(30)

(r-l)

Xr

(r+l)

durch gerade Linien ersetzen. Es ergibt sich dann

(r+l) -

(31)

Vr«

(32)

xrx/— 1

— 1

Xr

»r

(r-1)

0-

f\vo    '

^r+1 ^ r+l

Die irgend einem Gelenkpunkte k entsprechende Ordinate der Zr-Linie bezeichnen wir mit t]rk-, ihre Ermittlung erfolgt mit Hilfe der Festpunkte L und JR. Es genügt zu zeigen, wie der Einfluß einer in r angreifenden Last 1 auf die an den anderen Gelenken wirkenden Drücke X dargestellt wird. Zunächst nehme man an, es gehöre r zum Gliede Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

r-\-\

(r + l)

r (r -j- 1), es sei also das Glied (1--1) r unbelastet. Dann erhält

man Xr — — r\r0 und kann aus dieser Zahl mit Hilfe der Punkte L nach Pig. 176b die Zahlen 7](r_1)r, Y](f._₂)r, . . . folgern, und ganz ebenso findet man mittels der Festpunkte R aus der Zahl v]ru die Zahlen v\(r+i)r, ⁷](r+2)r5 • • • Man beachte hierbei, daß die Strecken Y]rifc und rlkr im allgemeinen verschieden groß sind, daß also die in Fig. 176a mit L' und R' bezeichneten Punkte nicht mit den Festpunkten L und R zusammenfallen. Besteht aber die Brücke aus einer so großen Zahl gleicher symmetrischer Glieder, daß für alle x und x ein und derselbe, durch die Gleichung (25) bestimmte Wert gesetzt werden darf, so ist

r+z

r-z

r+j

—o-

r-i

a)

R’

I r(T(r-Z)

Är~Fläche !

rlra

r<r(r+i)

b)

Uro _|_

ri(r-Z)r

U(r-r)r

Iru

R.

Fig. 176.

zusammen.

und es fallen die Punkte L' und R' mit den Festpunkten Man findet dann

(83)

x²-

und, wenn man ^ mittels Gleichung (24) durch x ausdrückt,

—**lro = 0,5,

das ist ein Ergebnis, das man auch unmittelbar aus der bestehenden Symmetrie hätte folgern können. An den Stellen (?--1) und (r —}— 1) erhält man

(34)

0,5

0,5

- und ^^+1) = + --— /C    /C

^]r (r- 1)

Um nun zu prüfen, ob es notwendig ist, die Krümmung der Biegungslinien zu berücksichtigen, stelle man zunächst folgende einfache Rechnung an, die hier nur für ein symmetrisches Glied durch geführt werden soll. Man ersetze die genaue J/r-Fläche durch das Dreieck ui'CB {Fig. 175) von der Höhe e und der Grundlinie e = l — e und berechne an den Stellen Ä und B' und in der Mitte des Gliedes die Abweichungen h" und h'" der bmr-Linie (Fig. 17 7) von der oben eingeführten Geraden. Betrachtet man zu dem Zwecke das Dreieck A'CB als

Belastungsfläche eines einfachen Balkens AB, so findet man die Stützendrücke

ee

ee

und für die Querschnitte A', B' und die Balkenmitte die Momente

e(3l²—4e²)

e² e

(35)    §'= —

b"

e² (2e—e)

48

r-i

?■

A'

JB'

§r-i)r

3,

<*■

}Sru.

/§

!/

r(r-i)

>1

Fig. 177.

Diese Momente stellen die EJ- fachen Durchbiegungen dar. Ihnen entsprechen nach Gleichung (29) — für ein symmetrisch gebautes Glied — die folgenden Abweichungen der Xr-Linie von der durch die Or-dinaten Y]r„ und    bestimmten Geraden (Fig. 178)

xr5' -f~ 5-/

(xrxrr— l) 8(r_i)r ’

xrS/,+ 8'

(36)

(37)

A"⁷) =

A

(xrx/ — 1) S xr5"' + 8"'

(r-l )r

Für das unter Nr. 56 behandelte Zahlenbeispiel: e — 4 m, 1= 20 m ergeben sich die Werte

§' = 43,    5" =75,    &"' = 95

an Stelle der früher gefundenen Werte 42, 68, 91; sie liefern in

= 2365 die

Verbindung mit den Werten x = x'=4,14 und §

(r-l)r

Zahlen

A'y

4,14 -43 + 75

0,007; A"t) = 0,009; A"'⁷) — 0,013.

38200

Durch diese drei Zahlen ist die schwach gekrümmte Xr-Linie zwischen den Gelenken (r — 1) und r und ebenso zwischen r und (r + 1) mit genügender Genauigkeit festgelegt*). Es würde sogar genügen, A'"⁷! abzutragen. Auch die Beibehaltung der geraden Xr-Linie

r-i

Vr(r-1)    Zi

\T

A'tj

fl//

Vru

Fig. 178.

würde im vorliegenden Talle zulässig sein. Man hüte sich vor einer allzu peinlichen Berechnung und denke daran, daß außer den Lasten P noch andere Ursachen wirken. Wir erinnern nur an die durch Wellenbewegungen hervorgerufenen Schiffsbewegungen, die sich nur schwer schätzen lassen und deren Einfluß die Glieder La, Lb1 . . . der Gleichungen (1) berücksichtigen, ferner an die Einflüsse hat, Ôàt, . . . von Temperaturänderungen.

Es sind noch die Formeln für den Gelenkdruck X₁ anzugeben. Ruht die Last Pm= 1 auf dem Koppelbalken oder dem Gliede A — 1, so entsteht

(39)

1 8m

liegt sie auf dem Gliede 1 — 2, so ergibt sich

^2 8m i    8m2

(x₂x₂'— 1)6

1-2

*) Links von r — 1 und rechts von r + 1 kann man die Aufzeichnung der Z,.-Linie entbehren. Vgl. den Schluß von Nr. 55.

Man erhält also (Fig. 179)

(41)

■*1 IA= —

/ ; Hi »

(42)

(*»' i

S₀

0«

5 Hi-2 — Hio

x₂x₂'— 1

Sind alle Glieder gleich und symmetrisch, so darf man setzen

1-2

x₂'

So

Sl-2

tc H—*-

^x -J—[siehe Gleichung (24)],

ferner

x₂' = x, x₂ x₂' — 1 — X².

Xf-Linie

^rrTîîïïTl^Ar^

rho

\£.

■Ir

rhll

Fig. 179.

Man erhält

Hia = —

^'u~2

Hio

2 x²

^1-2 =-^10-—^)-

/C

2x²

Zur Festlegung der gekrümmten Xx-Linie genügen bei verhältnismäßig steifen Hauptträgern auf der Strecke Al die Werte

A'h

8'

A"h

8"

5"'

1 -2

x5

1-2

x5

und auf der Strecke 1—2 die Werte

A'h

xS'-f- 8"

(x + 1)

A"h

x² 8

x²S

58. Sind die Einflußlinien für die Gelenkdrücke X gegeben, so ist die Herleitung der übrigen Einflußlinien (für Biegungsmomente, Querkräfte, Stützenwiderstände und Stabkräfte) eine so einfache Aufgabe, daß wir es für genügend halten, ein Beispiel vorzuführen.

x²8

1-2

1-2

1-2

*) Folgt aus dem mittels Gleichung (40) berechneten Werte

Gesucht sei die Einfluhlinie für das Biegungsmoment Mc des

und Xr an.

r— 1

zwischen den beiden Schiffen eines Gliedes gelegenen Balkenquerschnitts C. Außer der Last P— 1 greifen an dem Balkenstücke (r — 1) — r die Gelenkdrücke X

Figur 180 zeigt die JA-Linie für den Fall Xr = 0, Xr_x — 0; sie besteht aus den beiden Geraden JC und    CK. Die Gerade CK schneidet

auf der Lotrechten durch den Stützpunkt A die Strecke A    AE—l-x ab. Die absoluten

Werte der Ordinaten an den <-> Stellen (r — 1) und r seien 7] i    und 7]". Dann erzeugen die drei

Kräfte P= 1, Xr_x und Xr i    zusammen das Moment

F-i

r-j

A A

JT

l+-AC- -*\

E\

oc-l

M-y\ — Xr_xy\-\- Xrn". Durch diese Gleichung ist die Jf-Linie bestimmt. Die Dar-

'a

---br -

0,5

'friś&łe

MPin

11

7k

K-

Fig. 180.

i Stellung gestaltet sich besonders einfach, sobald die X-Linien als jnD gerade Linien angesehen werden dürfen. Die Einflußlinie für den K Ausdruck

—x-.V+x-V'

+ 0.5

ist dann eine gerade Linie, welche man am zweckmäßigsten durch Berechnung der Ordinaten für die Stellen L' und R' (Fig. 17 6a) bestimmt. An der Stelle L' ist der Einfluß von Xr gleich Null; an der Stelle R' verschwindet der Einfluß von Xr_x. Besteht die Brücke aus

einer so großen Zahl gleicher symmetrischer Glieder, daß nach 7]ru = — 7],.₀ = 0,5 gesetzt werden darf und die Punkte L' und R' mit den Festpunkten zusammenfallen, so erzeugt eine im Punkte r angreifende Last 1 :

ar

Xr —- -j— 0,5, Xr_x — —(- 0,5

ar

und eine im Punkte r—1 angreifende Last:

X-₁ = —0,5,

Xr = — 0,5

ar

//

Y] =

M— — y] —(— 0,5 7]'— 0,5

Hieraus ergibt sich die in Fig. 181 dargestellte Konstruktion der Einflußfläche für Mc■ Es wurden von J und K aus durch L und R

r-z

?■

r-i

A......TT 9

Ab !

zv/

x-7

'' Fläche

K"

rrrrr^y

Fig. 181.

die Geraden KJ' und JK' gezogen und die Mittelpunkte j" und K" der Strecken

// Clr

und KK' = y\'Ą-r\

a,.

bestimmt. Die schraffierte Fläche ist dann die Einflußfläche für Mc.

2. Mehrschiffige Glieder.

§mr für die mehrschiffigen Glieder.

(<•-!)>

Die allgemeinen Gleichungen (4) bis (15) gelten auch dann, wenn einzelne oder alle Glieder mehrschiffig sind. Es ändert sich nur die Berechnung der 8rr, 8r

59. Das dreischifflge Glied ist für sich allein einfach statisch unbestimmt. Als statisch unbestimmte Größe führen wir den Widerstand des Mittelschiffes ein. Eig. 182a zeigt den Zustand ATr_i = 0,

1 dar; die

Xr = 0. Fig. 182 b stellt den Belastungsfall Xa —

Widerstände der Seitenschiffe seien a und ß, die Inhalte der drei Schiffsquerschnitte Fa, F, Fp. In Fig. 182 c ist die Linie JK die Biegungslinie für Xa = — 1 ; die Lage der Schlußlinie A B ist bestimmt

durch die Schiffssenkungen

T Fa

*ß

tc

T-1

Foc

r-i

7TI

T !    ! 4

Ki    i h

Fß_

■f <*,)

r b)

T"

|N

~ 'FrfiT

iA

CJ

c/

&ra

}V

m'

Die Belastung Xr — — 1 erzeugt

S««

Fig. 182.

Kennt man die Schitfswiderstände infolge Xr = — 1, so kann man die Momente Mr für diesen Belastungszustand berechnen und die zugehörige Biegungslinie ermitteln. Wir erinnern noch daran, daß sich, nach Abteilung I, § 12, aus der Biegungslinie JK in Fig. 182c die

Einflußflächen für den Balken auf drei Stützen mittels Ziehen gerader Linien gewinnen lassen. Beispielsweise ist die Fläche zwischen der

Kurve JK und der Geraden CD Einflußfläche für A₀ ^Multiplikator ¹ ^

und die Fläche zwischen der Kurve JK und den beiden Geraden EmD Einflußfläche für das Biegungsmoment des Querschnitts m

Zu den so ermittelten Einflüssen treten noch

^Multiplikator ~-m- ^.

und Xr.

diejenigen der Gelenkdrücke X,

Zur rechnerischen Ermittlung von Xa dient die Formel

r— 1

dx

M₀Ma ej -j- 2 5₀5„p

(43)

X,=

r- 1

Ul

dx

r-X

Es liege z. B. das in Fig. 183 dargestellte symmetrische Glied vor. EJ sei konstant, ebenso F. Statt nur den Punkt r mit 1 zu belasten, bringen wir auch in (r—1) eine Last 1 auf; wir erhalten dann, da beide Lasten zu Xa den gleichen Beitrag liefern,

I M₀Madx -)

EJ

2S₀Sa

2Xa =

r- 1

jMa dx -j-

EJ

yF

r — 1

Die Summen beziehen sich auf die die Schiffe ersetzenden Stäbe. Die Momentenflächen (Ma und M₀) zeigt Fig. 183. Die einfachen Zwischenrechnungen übergehen wir. Es ergibt sich, in Buchstaben,

-d³ + —

6 16

— d²e

2

I Mldx

b³ —

b²d,

M₀Madx = —

24

b³.

Ferner ist

25₀5a=l--

mithin

EJ 1

(44)

X.

jF

~d²e-]r 2    ¹    24

b³

₀EJ    1 ₇o | l,o

3 — H- cZ³ 4- — -b°

yF    S ¹ 8

b²d

Ist, wie in dem vorigen Zahlenbeispiel (Nr. 56), e = 4 m, S = 4m, so wird

EJ

2700, d = 12 m,

Xa

2700 — 285

8100-f 536

0,280.

d--

--->i

TTV

K--

<r — b —

k-----d-

— ■>

1

H3E

«f

CL

+•

^ SK“”

—e—*

Fig. 183.

Setzt man b = 0, vernachlässigt man also die Wagebalkenunterstützung, so erhält man

X.

0,278,

2700 — 288

8100 + 576

in beiden Fällen also rund Xa=0,28. Die Gegendrücke der beiden anderen Schiffe und die Momentenflächen für die Zustände Xr — — 1

und Xr_i —

1 gibt Big. 184 an. Mit Hilfe der Formeln (20) und (21)

auf Seite 174 findet man die EJ-fachen Durchbiegungen

EJ :

r-1

r— 1

=    (0,62² + 3,10² + 3,10 • 3,70 + 3,70² + 3,94

+ 3,94 • 2,0 + 2,0²)

+ ⁸^°-(0,62² + 0,62-3,10 + 3,10² + 3,70² + 3,70-3,94 + 3,94²) 3

+²₈-'²’o2+

, .    ,    EJ

$brr.= 235 + 1,235

EJ

(0,31² + 0,28² + 1,03²),

235 + 3335 = 3570.

j ELr_\J\Irdx —(—

2 • — 0,62 (2 • 3,94 4- 2,0) — 2 •    [0,62 (2 • 3,94 + 3,70)

6 6

+ 3,10 (2 • 3,70 + 3,94)]

— [3,10 (2 • 3,70 + 3,10) -j- 3,70 (2 • 3,10 + 3,70)]

6

EJ

(0,31 • 1,03 • 2 — 0,28²).

5(r_I)r = — 167 +

EJ

0,560 = — 167 + 1512 = 1345.

Besteht die Brücke aus lauter gleichen Gliedern, so erhält man

2^

5,31;

2•3570

1345

5,31

Xg — 5,31, Xg — 5,31

5,12 = x₄= x₅ = . .

ctg —

32

= 5,08 m,

aa — a₄ .

32

"    1 + 5,12

= 5,23 m.

1 -f 5,31

Die Vernachlässigung der Durchbiegungen bei den vorstehenden Rechnungen würde liefern Xa — j und

22+

= 4,41 m;

sie würde also zu etwas größeren Unterschieden führen wie in dem in Nr. 56 gerechneten Beispiele.

---N

es-

STTV

71

«s

\___

pj

«•

PÎ

Pî

7V

3,9b-rris

7V

g//z.----^

lr-r

co 7

k —ifTrit- ->,

Fig. 184.

S(r-l)r

60. Wir zeigen noch die rechnerische Bestimmung von Srr und für ein symmetrisch gebautes vierschiffiges Glied. Zunächst ist die Berechnung der Schiffswiderstände für den Belastungsfall Xr = — 1 (Fig. 185) zu erledigen. Dieser Belastungsfall ist zweifach statisch unbestimmt. Als statisch unbestimmte Größen führen wir das Biegungsmoment Xa und die Querkraft Xb des mittelsten Balkenquerschnitts ein. Die Figuren 185b, c, d enthalten die Darstellung

xa = — l) xb = — i).

der Momente M₀ (Zustand Xa =0, Xb= 0) » !» ( „

¹

Wir verweisen auch auf die zeichnerische Behandlung der Gleichungen arMr-i X ßr Mr -|- ar+iMr+i = Nr in Abteilung 1 § 14.

!»    !» Mb (    1,

Man findet

M₀ Ma dx —

OS

O CO

cc

05 ! to

to

05 O»

CT-

10

4,0 r i

10

+ ²)]

= 9.

M₀Mbdx

V[i(**⁵+⁴)]⁺ir[t ü^¹)

T(- + *)] + TK-if

■)]

= 53.

-\Mldx =

i».₄+⁴Ui+1. a + ²⁵i+m r²⁵+1. i + ii

¹    3 L ¹    6 ¹ 36J~ 3 L36~6    6 ' 36J

'    3 * 36

9,7.

2 J Mb dx —

OO i

4S

4,0

2C-(4» + 4.5 + 5*)+i2-(5! + 5-l + l!)

iii.i

= 186,7.

2S₀Sa =

1 1 3 ' 12

t-H

I <M

CO

OS

2S₀Sb =

T-I CO

CO ! 03

■rH i 03

(à)'

36 ’

to

' H-*-

5.

Ma Mh dx = 0,

2SaSh = 0.

Xa

C    F T

/ M₀Madx + — 2S₀Sa

jF

J MldxĄ

EJ

jF

2fl£

M₀Mbdx

EJ

Xb

yF

2S₀Sb

I Mbdx -f

EJ

yF

2#

und, mit

EJ

yF

2700 (wie in den vorigen Beispielen),

Xa

9 — 375

19,5 -f 75 53 — 3150

3,87

0,222.

373 -f- 13500

Vernachlässigt man die Wagebalken, nimmt man also an, es greifen die Stützendrücke A, B, C: D unmittelbar am Balken an, so findet man

r-1 ft.⁰'»

e-w

k- h

ai ;

z «O

a)

- - lZ=J2 ™- J- -

ri

8 — 375 20 + 75

3,86.

i#

e= /&m-

i_

■*j<- -1---d^J2rn'-~ -}--*]

Fi

---J2TW_ _

L-P

b)

C)

. M

8,0----■*- d,o *2, Oi

Ma i,o

>\

■

5 Mh

'i

" A'*

e)

2,t1

2,98

§ Mr

l\/

Ą \[r

---•%----

/lO'O

--8,0--

Ÿ - ĄO—lfr---8,0---*- - *t,0- ±Z,0*|

!l

+ §

**$

fi

M.

■r- 1

Fig. 185.

~JTz

S.

d³e

é -j- 3 e EJ

12

jF

--h 5

4    '

EJ

48 — 3150 432 + 13 500

= — 0,223.

Die Wagebalken erweisen sich also wieder als nahezu einflußlos. Für die Schiffs widerstände erhält man jetzt die Werte Xa 1

(47)

A-+n

(48)

Xa

05 IO

Xb

Xb

= — 0,211

0,011,

* -Tx‘-T='+⁰’⁸²²’

2 Xb-\- d — H⁻ 0,900.

Die Figuren 185e, d zeigen die mit Hilfe dieser Zahlen berechneten Momentenflächen für die Zustände Xr = -— 1 und Xr_₁ = -— 1. Man findet abgerundet

(49)

(50)

Xa

Xa

Mldx = 470,

r- 1

2S² = 0,211² -f- 0,0U² + 0,322² + 0,900² = 0,958, ^Sr.iSr = 2 (0,211 • 0,900 -f 0,011 • 0,322) = 0,387,

2 ^470 + 0,958    = 6113,

§(r_1)r = _ 280 -f 0,387

Kr —

EJ

= 765.

x₂

Besteht die Brücke aus gleichen (Biedern, so hat man

6113

765

7,99,    x₃= 7,99 —

7,99

= 7,86 = x₄= x₅= . .

3, Gelenkloser Balken auf einer größeren Zahl von Schiffen.

61. Wird angenommen, daß der Balken von jedem Schiffe nur in einem, in Schiffsmitte liegenden Punkte gestützt wird, oder wird eine etwa vorhandene Wagebalkenstützung vernachlässigt, so kann die Be-

Ws™«

/ Æ »

U J2mX

c— 72 ->k- 72 —12

-r-

72 —

72 -4- 72Tn'-«\

Fig. 186.

rechnung des Balkens auch mit Hilfe der im § 6 entwickelten Formeln erfolgen. Wir erläutern das Verfahren durch ein Beispiel.

Die Streckbalken einer Fußgängerbrücke ruhen auf 8 Schiffen, Fig. 186, und seien mit den Ufern durch gelenkartig angeschlossene

Koppelbalken verbunden. Die Brücke habe eine Breite von 6,0 m. Das Eigengewicht der Streckbalken und der Fahrbahn betrage 300 kg/m², die Verkehrslast (Menschengedränge) 450 kg/m²; es sei also

g — 0,3 • 6,0 = 1,8 t/m, p — 0,45 • 6,0 = 2,7 t/m.

Die Anzahl der als Blechträger ausgebildeten Streckbalken sei vier. Das Trägheitsmoment des Querschnitts eines Balkens ist — ohne Abzug für Nietlöcher — 315 260 cm⁴ (Fig. 187). Für die vier Balken ergibt sich also J— 0,0126 m⁴. Der wagerechte Schiffsquerschnitt sei 7^= 100m² und die Stützweite l — 12 m. Mit E = 215 • 10⁵ t/m² erhält 6•215 • 1260 I/O • 100 • 123 4 -]- 6a = 60,4,    1—4a = — 36,6.

1. Einflußlinien für die Stützenmomente. Die auf Seite 7 5 entwickelten Beziehungen zwischen den Stützenmomenten gehen über in

60,4 il/i — 36,6 M₂ -J- 9,4 M₃ = Zx 36,6 Ms-\- 9,4i¥₄ = Z2 36,6 M₄ -J- 9,4M₃=Zs 36,6 M₅ -f- 9,4 Mq = Z±

JtS CTJV

1,2

-88

,1

Fig. 187.

1,2

man

6 EJ

y Fl³

9,4,

— 36.6 iV/j -)- 60,4 9,4 A/j — 36.6 M₂ -j- 60,4 M3 9,4 i¥₂ — 36.6 i¥₃ + 60,41¥4 9,4i¥₃ — 36,6 i¥₄ -f- 60,4 M₅— 36,6 M6 9,4 i¥₄— 36,6 M₅ -j- 60,4 M₆

Ihre Auflösung liefert*)

i¥i = 0,03004Z₁ + 0,02 575Z₂ 0,01 360Z₃ + 0,00449 Z₄

-f 0,00029Z₅— 0,00053Zg M₂ = 0,02 575 Zx + 0,05 210Z₂-f 0,03 742Z₃ + 0,01 753^₄

+ 0,00 498 Z₅ + 0,00 029 Z6 Ma — 0,01 360Zx-\- 0,03 742Z₂-f 0,05 826^3 + 0,03 941 Z₄

+ 0,01 753Z₅+ 0,00449Z₆.

Damit sind die Stützenmomente auf die Form gebracht

% — ßnZi -j- ßi2Z₂ -)- ßi₃Zs -j- ßuZi -j- ßi5Z₅ -f- ßi6Ze, und es ergibt sich für die Ordinate rjir der J/^-Linie im Stützpunkte r der Ausdruck

“j⁻ 2 ßir - ßi(r+l))>

rlir = a l(— ßi wo al = 9,4 • 12 == rund 113 ist. Man erhält

(r-l)

*) Vgl. die Anmerkung auf Seite 201.

für das Moment Mx:

— 0,03004) = — 3,39 m

Vo=H3(

^i-i — 113 (

%.* = 113 (— 0,03004 + 2 • 0,02575 i]₁.s= 113 (— 0,02575 4- 2 • 0,01360 rjx.₄= 113 (— 0,01360 + 2 • 0,00 449

— 113 (— 0,00 449 + 2 • 0,00 029 + 0,00 053) = — 0,38

)= — 0,15 ) — 0,06,

+ 2 • 0,03004 — 0,02 575) = + 3,88 0,01360) = + 0,89 0,00 449) = — 0,34 0,00029) = — 0,55

rjt.₆= 113 (— 0,00029 — 2 • 0,00053 7]1<7 = 113 (+ 0,00053

für das Moment M₂:

— 0,02575) = — 2,91 + 2-0,02575 —0,05210)= — 0,07 t)₂.₂ = 113 (— 0,02575 +    2-0,05210 —    0,03742) = + 4,64

7)₂.₃ = 113 (— 0,05 210 +    2    •    0,03 742 —    0,01 7 53) = + 0,59

y]₂.₄= 113 (— 0,03742 +    2    •    0,01753 —    0,00498) = — 0,83

•*)₂.ß.= 113 (— 0,01753 +    2    •    0,00498 —    0,00029) = — 0,89

t]₂.g = 113 (— 0,00498 +    2    •    0,00029

ï]₂.₇= 113 (— 0,00029 für das Moment Ms:

Tl2-0--^ ^ ³ (

^2-i = ¹¹³ (

) = — 0,50

0,03,

0,01360) = — 1,54

%•() - ^³ (

%-i= US (

7]₃.₂ = 113 (— 0,01360 + 2 • 0,03742 t]₃.₃= 113 (— 0,03742 + 2-0,05826 — 0,03941) = + 4,48 ï]₃.₄= 113 (— 0,05826 + 2 • 0,03941 — 0,01 753) = + 0,34 7]₃.₅= 113 (— 0,03 941 + 2 • 0,017 53 — 0,00 449) = — 1,00

) = — 0,97

+ 2 • 0,01 360 — 0,03 742) = — 1,15 0,05 826) = + 0,34

7j₃.₆= 113 (— 0,01 753 + 2 • 0,00449 7j₃.₇ = 113 (— 0,00 449

) = —0,51.

Zu den Ordinaten der durch diese Strecken tj bestimmten Polygone (Fig. 188, 189, 190), die wir kurz die 7]-Polygone nennen wollen, werden nun die Strecken

Zir = - (ßi(r-l) lg    + ßir % 9_r) l

addiert, wo

JTY

CITY

'3

und tg <ps =

tg 9£ =

Zahlen sind, die mit den Zahlen (ùD übereinstimmen*). Die auf diese Weise gewonnenen, aus je zwei stetig gekrümmten Zweigen bestehenden

*) Man vergleiche Seite 70, 71 und 75.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

13

-339

-2,97

S

-7,58

À

S

<n.

a

S'

889+

[7

ZP,07

-7,75

■b5

,-0,38

-0,55

'-tf, 7.5

N

£0*9

-fr

b,

Si

+ąoff

I I

- *--

C/TT

i—

i*-

in

I

Mz-fjinie

l?

+ 8,68

Ź0,59

i

- 0,80

Ô9W-

-JLQ3

— Oi

N

fc“~

W" ""S.

•fr

-7,00

+0,38

O,

f-SéL

N

Fig. 188-190.

Üf-Linien weichen nun bei Schiffbrücken in der Regel so wenig von den 7]-Polygonen ab, daß es genügt, für jede Öffnung eine Ordinate, und

die der Mitte entsprechende zu berechnen. Für £ = £ ' = ~ l ist tg ?n = tg <p* =

zwar

Das gibt mit l~ 12,0OT

und z. B. für das Moment M, :

Çir -    4,5    -f- ßir),

-f 0,03004) = — 0,14 m Çr2=— 4,5 (+ 0,03004 -f 0,02575) = — 0,25 ?!.„ = — 4,5 (+ 0,02 575 -f 0,01 360) = — 0,18 4,5 (+ 0,01 360 -|- 0,00449) = — 0,08 ^■5 = — 4,5 (+ 0,00449 -f 0,00029)==

— 4,5 (+ 0,00029 — 0,00053) = 4- 0,00

) = 4- 0,00.

Ci-i = — 4,5 (

1*4-

0,02

1-6 -

Ç₁.₇ = — 4,5 (— 0,00053

Ebenso erhält man für M₂ und M?J die Zahlen:

Ç₂ = — 0,12 ; —0,35; —0,40; —0,25; —0,10; —0,03; —0,00, Ç₃ = — 0,06; —0,23; —0,43; —0,43; —0,26; —0,10; —0,02.

Nach Aufzeichnung der Einflußlinien für die Stützenmomente lassen sich auch die Einflußlinien für die übrigen Momente M leicht angeben. Für einen Querschnitt der Öffnung (r •— 1) — r, im Abstande x von

(?--1) und x' von r erhält man

Mr

x 4-

M=M₀ 4-

Mr„

lr X'

Es genügt, die Momente für die in den Mitten der einzelnen Öffnungen liegenden Querschnitte darzustellen. Man erhält dann

Ir

M=M₀ + — (Mr.l + Mr). Die flf₀-Fläche ist ein Dreieck von der Höhe

l = 3,0m.

Die Figuren 191—193 zeigen die Einflußlinien für die den Mitten der Öffnungen 1—2, 2—3 und 3—4 entsprechenden Momente Mn, Mm und MIr. Die Ausrundung der Einflußlinien der Stützenmomente mittels der verhältnismäßig kleinen Strecken Ç ist hierbei unterblieben; es wurden nur die 7]-Polygone benutzt. Dieses, durch große Einfachheit sich auszeichnende Verfahren ist zulässig, sobald, wie im vorliegenden Falle, der Inhalt des positiven Teiles der M-Fläche größer ist als der Inhalt des negativen Teiles, weil dann die Vernachlässigung der Ç die Sicherheit des Bauwerks erhöht. Der mit dieser Rechnungsweise

13*

-3,06

-0,69

-0,63

*1'

*U-0'32

7 v^£>/

+ 2,77

±ĄOZ

/<---0'£ --

-2,23

ïtO,22-

S-0,90

f -JfJ3

bQ,27_

os

i-2,09

K----o£--~

I +2,54-

-1.06

(-0,33

tlP<33_

1-1,06*

Y i.oz

■f

~~ä—7

Fig. 191—193.

verbundene Zuschlag zu den Momenten ist aber auch aus einem anderen Grunde zweckmäßig. Die aufgestellte Theorie setzt ruhendes Wasser voraus, während in Wirklichkeit durch Wellen Schiffsverschiebungen e entstehen können, die zwar in den allgemeinen Gleichungen berücksichtigt sind, die sich aber schwer schätzen lassen.

2. Einflußlinien für die Querkräfte. Für die Querkraft eines Querschnittes der Öffnung (r — 1) — r gilt die Formel

Q = Q.-\

Mr — Mr_x

sie liefert für die Querkraft des unmittelbar rechts neben der Stütze 2 gelegenen Querschnitts die in Fig. 194 dargestellte Einflußlinie ABCDEF. Zur Aufzeichnung dieser Linie wurden nur die 7]-Polygone benutzt; diese liefern die den Stützpunkten O, 1, 2, ... entsprechenden Ordinaten

—    1,54 + 2,91

12,0

—    1,15 + 0,07

12,0

Für den Punkt 2 ist Q₀ = 1,0, für alle übrigen Q₀ = 0. Die so gefundenen Ordinaten wurden durch stetige Kurven B C und D E verbunden. Zu den Koppelträgern A — 0 und B — 7 gehören gerade Einflußlinien.

Für die Querkraft des unmittelbar links von Stütze 3 gelegenen Querschnitts ergibt sich die Einflußlinie ABC'D'EF. Die Linien CC' und DD' haben überall den lotrechten Abstand Eins; sie bestimmen die Einflußlinien für die Querkräfte sämtlicher Querschnitte der Öffnung 2—3. Für die Querkraft Qm des Querschnitts m erhält man die Einflußlinien ABC"D"EF.

3. Einflußlinien für die Stützenwiderstände. Der Widerstand der Stütze 0 ist

M₃ — M₂

12,0

= + 0,11

= — 0,09 u. s. w.

C₀ = CB0 —

Mi

Für den Stützpunkt 0 ist C₀₀ = 1, für alle übrigen C₀₀ = 0. Die mit Hilfe des 7]x-Polygons berechnete U₀-Linie zeigt Fig. 195. In den Figuren 196—193 sind, ebenfalls lediglich mit Hilfe der Tj-Polygone die Einflußlinien für

Cx = C0l 4

C₂=C₀ a-f

C₃=C₀ s

— 2 M₂

fl/₂ + M,— 2M, dargestellt worden.

4. Einfluß des Eigengewichts. Ist die Brücke unbelastet, so mögen die Stützpunkte in ein und derselben Wagerechten liegen. Durch ein-

2 m 3

--

-fl

fr

fl

±Orr__ _

5009___

-0,36

\+OJO__ _

nto-

50,04

-0,04

+ 0,64

^\fO,32 j

+-0.72

.+-0.32

A0O7_ _ _b,

-003_ _ _

0,03

«CT

CS

u---

yue _ _

\tPjQ2_ _ _

\-QQi_

\rOJ?L

0,32

+ 0,35

VOM

CT

Vojpit.

\ß03_

±Q07_

tO,24

00,33

OO, Z5

CT

+0,03

+0,11

■0,25\

0-0.33

3-0,25

CT

h vom

zoWĄ

S-

'S

CT

-0,05

Fig. 194—198.

stellbare Lager oder Regelung der Höhenlage der Schilfe mittels Ballast läßt sich diese Forderung stets erfüllen. Der Einfluß der ständigen Belastung g wird dann wie bei einem Balken auf starren Stützen be-

stimmt. Wir benutzen die Clapeyronschen Gleichungen, sie lauten für gleich große Stützweiten und gleichmäßige Belastung

4 M₁ M₂ =

gi²

M₁+4M₂ + M₃ =

M₂ +4 M₃-\- Tf₄

gi²

wo wegen der Symmetrie Mi = M₃ ist, und liefern:

15 gl²

142

— 15,2 g,

M₂

H.^²

142

11,2 g,

M₃ =

12 gl²

142

12,2 g.

Die Stützenwiderstände infolge des Eigengewichts sind

C₀ = gl-\

Mx

= 10,7 g,

M₂ —2 M₁

= 13,6 g,

11,6 g:

M₁ + M₃—2M₂

C₃ = gl-i

m₂ — m₃

= 12,1 g.

5. Beanspruchung des Balkens. Das größte Moment erhält man für den Querschnitt III in der Mitte der Öffnung 2—3. Der Inhalt des positiven Teiles der Tf^-Elache ist rund 74 m². Die ständige Last erzeugt

gi² , m₂ + m₃

₂    = ⁶,3 g,

im ganzen entsteht also

M= 74p-\- 6,3g = 74 • 2,7 -f 6,3 • 1,8 = 211 t/m = 21100 t/bm.

Das Widerstandsmoment des Querschnitts eines Blechbalkens ist, nach Abzug der Nietlöcher, Ur= 5990. Die Balken werden daher beansprucht mit

21 100

4•5990

= 0,88 t/cm².

6. Einsenkungen der Schiffe infolge der Verkehrslast. Die Inhalte der positiven Teile der Einflußflächen der Stützenwiderstände C₀, Cx, C₂, C₃ sind

13,0

12,5

12,5

13,2.

Der wagerechte Schiffsquerschnitt ist F— 100 m². Die größte Einsenkung beträgt daher

13,2 p _13,2 - 2,7

100

100

0,36m.

7. Wir wollen schließlich noch die 7]-Polygone für den Fall angeben, daß der Balken nur auf 6 Schiffen ruht. Die Bechnung läßt sich hier leicht in Buchstaben durchführen. Setzt man zur Abkürzung 4a — l=a',    4-f-6a = a",

so lauten die aufzulösenden Gleichungen:

= ^3 =^4

a"M₁ — <x'M₂ -f- *M, = Zx — cf Mx -f- ol"M₂ — ol'M₃ -j- a i¥₄ = Z2 olMx — a M₂ + a"M₃ — a'il/4 aM₂ — <x'M₃ -f- a"flf₄

Addiert man die erste Gleichung zur letzten, die zweite zur dritten, so erhält man

a" (M₁ + V₄) — (a — a) <MS +M,) = Zl+Zi

—    (a — a) (M₁ + Mt) + («"— a') (JT, + M,) = Z₂ + Z₃.

Durch Subtraktion der entsprechenden Gleichungen entsteht:

a" (U₁ — Mt) — io'-j- a) (M, — Ma) = Z₃ — Zt

—    (a + a) (Ml— Mt) + (a"+ a') (M„—M,) = Z,— Z,.

Die Nennerdeterminanten dieser beiden Gruppen von Gleichungen sind: A = a" (a"— a') — (a'— a)2 A' = a" (a"-[- a') — (a'-j- a)².

Nach Berechnung der Zahlen

fr    r

a — a

?i= Yi ’

?2

a'— a

93 =

9i'

a"-(- a'

z a —j— a 92 =

2 A'

te

findet man

fl/i = (9x + 9i ) z\ “f⁻ (92 + 9a ) ^2 + (92 — 92 ) ^3 “F (9i — 9i) z±

-^2 = (92 + 92 ) ^1 “h (93 + 9s ) ^2 + (93- 93 0 Z3 + (92- 92 ^    •

Mit a = 9,4 entsteht:

T/i = 0,03 001 Zx + 0,02564Z₂ + 0,01335^3+ 0,00410Z4 M₂ — 0,02564    -j- 0,05 136.Z₂ -j- 0,034722T₃-j- 0,01 S35Z₄.

Aus den Ziffern dieser Gleichungen ergeben sich nun die folgenden Vj-Polygone für die Momente M₁ und M%.

Stützpunkt

•¹)lr= —3,39    +3,88    + 0,89    —0,34    —0,58    —0,46

y]₂r= —2,90    —0,01    4- 4,79    +0,53    —0,91    — 1,51.

Führt man mit Hilfe dieser Werte die weitere Rechnung auf dem vorhin beschriebenen Wege durch, so findet man, daß sich die Beanspruchung des Balkens und die Einsenkungstiefen der Schiffe durch die Yerminderung der Schiffszahl nur unwesentlich ändern.

Einfache Näherungsformeln für Schiffbrücken findet man im § 15,

Nr. 74.

Anmerkung. Die praktische Berechnung eines Balkens auf einer großen Zahl von Stützen wird durch die Tatsache sehr erleichtert, daß der Einfluß der Belastung einer Öffnung nach beiden Seiten hin rasch abnimmt und nur für die nächsten Öffnungen noch wesentlich ins Gewicht fällt, ln der Regel wird es bei gleichen Stützweiten und gleich beschaffenen Stützen genügen, wie im vorhegenden Beispiele, einen Balken auf 8 Stützen zu untersuchen. Es treten dann 6 unbekannte Stützenmomente auf und es führt das in Nr. 22 beschriebene

Verfahren zu der Aufgabe,. zwei Gruppen von je drei Gleichungen mit je drei Unbekannten aufzulösen. Es möge daher ein bequemes und übersichtliches Schema für die Lösung dieser Aufgabe mitgeteilt werden¹). Es liegen die Gleichungen vor:

(1)

! + 8x₁ — lx₂ — %s — A ' + 2x₂ + 3x₂ + ix₃ — B — 6a?! + bx.₂ + 9x₃ — C.

Man schreibe die Zahlen der zweiten Gleichung, mit dem zweiten Gliede beginnend, in der zyklischen Reihenfolge +3, +4, +2, +3 hin und setze darunter, immer mit dem zweiten Gliede beginnend, die Zahlen der dritten, ersten und, zweiten Gleichung. Am Kreuzungspunkte der die Zahlen + 3, +9 und + 5, + 4 verbindenden Linien trage man den Wert der aus diesen vier Zahlen gebildeten Determinante + 3- 9 — 5 • 4 = + 7 ein und fülle in dieser Weise das Schema aus.

+ 3    +4    +2    +3

(+

+ 7    —42    +28

(5)

+ 58

+ 66

(0)

— 25

— 34    +38

+ 4    +2    +3

Bezeichnet man nun die Nennerdeterminante der drei Gleichungen mit Z>, so erhält man

I)Xl = + 7 M +58 5—25(7 Dx, = — 42 A + 66 B — 34 (7 Dx, = + 28 A + 2 5 + 38 C.

Zur Berechnung von I) stehen drei Ansätze zur Verfügung: D = + 7-8 + 58-2 +25-6 = 322 I) = + 42 • 7 + 66 • 3 — 34 • 5 = 322 5 = — 28 • 1 + 2-4 + 38-9 = 322.

Der erste Ansatz entsteht durch Multiplikation der Zahlen + 7, + 58, + 25 der ersten senkrechten Determinantenreihe mit den entsprechenden Zahlen + 8, + 2, — 6 der ersten senkrechten Eoeffizientenreihe der Gleichungen (I). Und in ähnlicher Weise ergeben sich die beiden anderen Ansätze für D aus den zweiten und dritten senkrechten Reihen.

Zur Prüfung der Zahlenrechnung empfiehlt sich die dreimalige Ermittlung

von D.

Sind die n Stützweiten nicht gleich groß, die Stützen nicht gleich beschaffen und fehlt die Symmetrie, so ist die folgende Auflösung der (n — 1) Elastizitätsgleichungen im allgemeinen die zweckmäßigste.

Man nimmt zunächst und M₂ bekannt an, berechnet mit Hilfe der ersten .Elastizitätsgleichung das Moment ilf₃, hierauf mittels der zweiten Gleichung das Moment iłf₄ u. s. 1, bis man aus der (n — 3)ten Gleichung das Moment Mn-i gefunden hat. Auf diese Weise erhält man Ma bis Mn-\ als lineare Funktionen von M₁ und M₂ und kann nunmehr diese beiden Momente mit Hilfe der noch zur Verfügung stehenden (n — 2)ten und (n — l)ten Elastizitätsgleichung berechnen.

§ 13.

Balken auf sehr vielen starren oder elastisch senkbaren

Stützen.

62. Im vorigen Paragraphen zeigte sich bei der Berechnung eines Balkens unveränderlichen Querschnitts, der auf vielen gleichartigen, in gleichen Abständen angeordneten Stützen ruht, daß die Beanspruchung der einzelnen Öffnungen nahezu gleich und unabhängig von der Anzahl der Stützen ist. Es genügt dann, eine Mittelöffnung und die erste Öffnung zu untersuchen. Fälle dieser Art kommen ziemlich häufig vor, nicht nur bei Schiffbrücken. Es möge deshalb die Berechnung derartiger Balken noch etwas weiter ausgeführt werden.

1. Balken auf starren Stützen.

63. Untersuchung einer Mittelöffnung. Für die Zahlen xl7 x₂, x₃, ... eines auf starren Stützen ruhenden Balkens gilt bei gleich großen Stützweiten l nach Gleichung (7), Seite 116, die Formel

(1)

(2)

bestimmten festen Grenze nähern:

(3)

Man erhält der Reihe nach

15

2.09

= 3,7333, x₅ =——= 3,7321 56

x₂—4, x₃—    —3,75, x₄ —

und erkennt, daß sich diese Werte schnell der durch die Gleichung

x = 2 -J- V³ = 3,7321.

Man kann also eine beliebige Öffnung (r — 1) — r herausgreifen, ihre Festpunkte L und R mit Hilfe der Strecken

(4)

6 Ö-Vs)

= 0,2113 l

1 -|- x

bestimmen, den Einfluß der Belastung dieser Öffnung auf die Stützenmomente Mr_x und Mr angeben und schließlich nach Fig. 49 die Mo-mentenlinien für die übrigen Öffnungen ermitteln, wobei man sich auf wenige Öffnungen beschränken darf, weil der Einfluß der belasteten Öffnung nach beiden Seiten hin rasch abnimmt.

Der Einfluß einer zwischen den Stützen (r — 1) und r im Abstande x von r — 1 ruhenden Einzellast P = 1 auf das Moment Mr ist

nach § 10, Gleichung (13),

Mr = — u'(S)D -{- 3vqb,

(5)

wo

(6)

al

al

= 0,3660 l,

(?)

a²

x²— 1

0,0774 l.

Die Zahlen    finden sich in der Tabelle auf Seite 105. Man

erhält für

Mr

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

= — 0,0333    — 0,0675    — 0,0795    — 0,0858

0,0684.

Wie man aus der flfr-Linie die übrigen Einflußlinien herleiten kann, ist in den vorhergehenden Paragraphen mehrfach beschrieben worden.

Ist die Öffnung (r— 1) — r gleichmäßig mit p für die Längeneinheit belastet, so entsteht

Mr =

— uI uDdx -(-3 v j coBdx^ p

pl

— (— u + 2 ff),

Der Einfluß der Belastung der Öffnung lr²) auf die Stützenmomente rechts von r ist

— -j- Mr

x

und dieser Ausdruck läßt sich umformen in

Pl2

(8)

Mr

jvia

4 (x + 1)

Ebenso groß ist auch das Moment M, Feldes.

r- 1

am linken Ende des belasteten

Mr+1 — — Mr—, Mr+2 = —Mr

Mr+S = — Mr

Mr+₄

xa’

und links von der Öffnung lr entstehen

= 4- Mr -

x

u. s. w.

Mr_ ₂

= M,

Mr_ 3 = Mr+2, u. s. w.

Das Moment Mr nimmt nun den größten negativen Wert an, wenn rechts von r die Öffnungen lr + i, lr+8, Zr+5, ... belastet werden und links von r die Öffnungen lrl lr_₂, lr_i) ... Man erhält:

r +1 ?

Mr = —

Mr = —

pla pla

(9)

Mr

2    x²— 1 ’

a (/ -j- v)

; das gibt

(10)

und nach Einsetzen der für a und v gefundenen Werte Mr= — 0,1138

un-

Das größte positive Moment entsteht in der Mitte der Öffnung. Die fragliche Öffnung ist voll zu belasten. Die Nachbaröffnungen bleiben unbelastet. Die folgenden Öffnungen sind abwechselnd belastet und belastet anzunehmen. Es ergibt sich

+ ² i,

AT³ i A

4 Lx²^ x⁴^ x⁶^ J

pl²

ma:

Mr= —

mithin

(11)

i¥ =

pl²

2    x²—1

21?

) = 0,0804 _p/².

Der Druck C auf Stütze r wird am größten bei der das größte negative Moment Mr erzeugenden Belastung. In die Formel

¹

Übernommen aus des Verfassers „Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen“. Dritte Auflage, 1904.

²

Der Zeiger gibt nur die Lage der Öffnung gegen die Stütze r an.

³

la . pla

c=c₀-\

2 (Mr., + Mr)

bat man einzusetzen:

C₀ = pl,

pa (l -j- v)

(nach Gleichung 9),

M... ! = —

pal

— + 2 4    ¹

pal . pal

2x

(¹⁺ x»-l )

pal

pa (l -f- v)

2x

Das erste Glied von Mr.\ berücksichtigt den Einfluß der Belastung der Öffnung lr, das zweite den Einfluß der Belastung der übrigen Öffnungen. Man findet schließlich

)

2 x — 2/

Sehr einfach gestaltet sich die Ermittlung des Einflusses einer gleichförmigen ständigen Belastung g für die Längeneinheit. Das Balkenstück lr verhält sich wie ein an beiden Enden wagerecht eingespannter Stab; es entsteht also nach Seite 31

(12)

max

C = pl(^ 1 -\

= 1,183 pl.

(13)

Mr = —

gi²

12

und in der Mitte von lr:

(14)

gi²

Ferner ist

M — 4 _

¹    24

(15)

C = gl

Da für den mittleren Teil des Balkens die vom Eigengewicht herrührenden Stützenmomente gleich groß angenommen werden dürfen, so folgt der oben für Mr angegebene Wert auch aus der Gleichung

N _ gl²

In derselben Weise findet man den Einfluß des Temperaturunterschiedes tu — t₀, mittels Gleichung (8), Seite 36:

zEJ (tu—1₀)

(16)

Mr =

61

Die Biegungsspannung infolge dieser Wärmeschwankung beträgt

(17)

64. Die erste Öffnung. Der Festpunkt R der ersten Öffnung liegt im Abstande

= 0,2113 l

1 + x

von Stütze 1.

Man erhält für eine in der ersten Öffnung im Abstande x von Stütze 0 angreifende Last 1

(18)    V,=

(19)

w/tOo — — a —— l —

= — (2 —1/T) a„ = — 0,2679 aD.

(h)_d =--w D. Das gibt

Zu

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

gehört

— = — 0,0514 — 0,0900 — 0,1005 — 0,1034 —0,0772.

Im zweiten Felde liegt R im Abstande a von Stütze 2. Dagegen hat L₂ von 1 den Abstand

Man findet

a₂ =

1+4

1 + x₂

c₂ = l — a — a₂= 0,5887 l,

= 0,2 l.

1 = 0,3589 l,

0,0758 l,

a₂ = a

aa₂

C2

0,2113

0,5887 0,2 • 0,2113

0,5887

und für eine Last 1 im Abstande x von Stütze 2

Mi

(20)

= — 0,3589 Mj, + 0,2274 oB.

Zu

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

gehört

= — 0,0325 — 0,0660 — 0,0777 —0,0840 —0,0665.

Diese Mi-Linie unterscheidet sich von der Mt-Linie der Mittelfelder so wenig, daß sie durch letztere ersetzt werden darf, zum mindesten, wenn es sich um den Einfluß einer gleichförmigen Belastung p handelt. Wir rechnen also für gleichförmige Belastung der zweiten Öffnung:

rH

und für gleichförmige Belastung der 4ten, 6ten, 8ten u. s. w. Öffnung:

pav

M₁₌- ^

Gleichförmige Belastung der ersten Öffnung liefert

Pl²

4 + Uff + * ' •

pla

4 (x² — 1)

pl

cdDdx

4x

Durch Zusammensetzung dieser Belastungen erhalten wir pl²    (/ -f- v)

(21)

mm

Mi = -

4x

= — 0,1240 pl².

Um nun für das Endfeld das größte positive Moment zu erhalten, belasten wir die erste, dritte, fünfte u. s. w. Öffnung und finden zunächst

M,=

pl²

TS

4—

'!±(P₊± + P + . )

4 Vx T x³ ^ x⁵ ^    )

plav x = _ 0 05174j,^2

Der Druck A auf die Endstütze ist für diese Belastung

(22)

pl

Mx

A-~2

Im Abstande x von A entsteht

max

0,4483 pl.

M= Ax —

px²

und dieser Wert wird ein Maximum für x =

• Man erhält

(23)

A²

■ aa

0,1005 pl².

Das Stützenmoment Mx infolge einer gleichförmigen ständigen Belastung g ist

Mx = — .

4x

gi²

gal / 4 V

x²

4x

gav x 4 x —j— 1

gi²

■X» ⁺ x4 ga²y.

Es ergibt sich

(24)

Mx = — 0,1097 gl².

Der Druck auf die Endstütze ist

(25)

gl

2~ +

= 0,3903 gl.

2. Balken auf elastischen Stützen.

65. Untersuchung des Stützenmomentes und Stützendruckes im mittleren Teile des Balkens. Die Bezifferung der Stützpunkte zeigt Fig. 199. Ist die Anzahl der Stützen sehr groß, so darf die Lotrechte durch den der Mitte zunächst gelegenen Stützpunkt 1 als Symmetrieachse aufgefaßt werden. Das Moment Mx nimmt dann die Form an:

(26) Mx — . . . -f- ß₃Z₃r -|- ß₂^₂' +ßi^i + ^2^2 + ßs^s + • • • Hinsichtlich der Bezeichnungen verweisen wir auf Seite 75.

Die Gleichungen, denen die Stützenmomente genügen müssen, lauten:

M₅'(x. -f ff/₄'    (1 — 4 a) + M₃' (4 -j-    6 a) +    M₂'    (i — 4 a)    + Mt a

Jf₄'a + M₃'    (1 — 4a) + M₂' (4 -f-    6a) +    Mx    (ł — 4 a)    -f Jf₂a = -Za>

M₃'a. M₂r    (i — Mx (4 —j—    6 a) —j—    M₂    (1 — 4a)    -f M₃a = Z₄

' a -j- Mx    (1 —4a)-j- M₂ (4-f    6a) +    l/₃    (1— 4a)    + l/₄a = Z₂

Mx a -j-ü/₂    (1 — 4a) + i¥₃ (4 +    6a) +    M₄    (1 — 4a)    + M₅a = Z₃ .

5‘

3'

Z'

JT *

Fig. 199.

von

die Faktoren aller übrigen Momente gleich Null und

Wir multiplizieren nun die vorstehenden Gleichungen der Reihe nach mit . . . ß₃, ß₂, ßx, ß₂, ß₃, . . ., addieren sie, ordnen die linke Seite der erhaltenen Gleichung nach den Momenten, setzen den Faktor Mx gleich 1

gewinnen dann außer der Gleichung (26) die zur Berechnung der ß dienenden Gleichungen :

" ßa    a-bß2(l    4a)-f-ßi    (4 —|— 6a) —J— ß₂    (1 — 4a)-)-ß₃    a=l

ß₄    a-j-ß₃(l    4a)-f-ß₂    (4 —J— 6 a) —}— ßx    (1 — ia.)-\-ß₂    a = 0

(27)    < ßß    a + ß4(l    4a)-j-ß₃    (4 —j— 6 oc) —j— ß₂    (1—4a)-f-ßx

ß«+i<x-j-ßM(l 4 a) -f- ßK_x (4 -f - 6 a) -f- ß„_₂( 1 — 4 a) -{- ßM_₃a = 0

Sind mit Hilfe dieser Gleichungen die Werte ß gefunden worden, so lassen sich alle Fragen, die bei der Untersuchung der Momente auf-treten, schnell beantworten.

Multipliziert man die Glieder der zweiten Differenzenreihe der ß mit — al, so erhält man die den Stützpunkten entsprechenden Ordinaten 7] der Einflußlinie für Mx und kann nunmehr mit Hilfe der ß und der

Zahlen (ùD und für eine beliebige Stelle zwischen zwei Stützen die Ordinate der Mx-Linie berechnen¹). Man kann aber auch, ohne erst die Einflußlinien zeichnen zu müssen, jeden beliebigen Belastungsfall untersuchen, indem man die Z mit Hilfe der auf Seite 7 5 angegebenen Formel bestimmt und in die Gleichung (26) einsetzt. Der Einfluß der Temperaturänderung tu — t₀ ist z. B.

Mx —

6 s EJ (t„ —1₀)

CO.

und die durch dieses Moment im Balken erzeugte Biegungsspannung ist

Mxh

Die Berechnung der Werte ß wird nun durch die Tatsache sehr » erleichtert, daß der Einfluß der Lasten auf das Moment Mx mit ihrer Entfernung von der Stütze 1 sehr rasch abnimmt. Yergleichende Rechnungen zeigen, daß man in der Regel schon ß₅ gleich Null setzen darf. Man hat dann nur vier Gleichungen und zwar solche von sehr einfacher Art aufzulösen. Je größer a ist, desto weiter kann sich eine Last von der Stütze 1 entfernen, bevor sie ihren Einfluß auf Mx verliert. Solche größere Werte a kommen bei Schiffbrücken vor. Aber auch hier spielt die Anzahl der Stützen keine große Rolle, wie aus den im § 12, Nr. 61, durchgeführten Zahlenrechnungen hervorgeht. In jenem Beispiele war a = 9,4. Runden wir diese Zahl auf a = 10 ab, berechnen wir sodann mit Hilfe der vorstehenden Gleichungen die Werte ß und mit diesen die Ordinaten rj, so erhalten wir für l = 12m die folgenden Zahlenreihen:

a)    ß₅ = 0, d. h. Balken auf 9 Schiffen,

'²)i=+4,48, vj₂ =-j- 0,34, %=—1,02, ¹]₄=—1,00, fj₅=— 0,56;

b)    ß₆ = 0, d. h. Balken auf 11 Schiffen,

■¹11=+4,49, ²)₂ = + 0,36, ij₃= — 0,98, KJ¹ =—0,98, ri5=— 0,56.

Diese beiden Zahlenreihen und die in Nr. 61 für einen Balken auf 8 oder 6 Schiffen erhaltenen Werte dürfen als praktisch vollkommen gleichwertig bezeichnet werden. Hinsichtlich des Grenzfalles unendlich vieler Stützen verweisen wir auf Nr. 67 und 68. Außerdem werden wir für größere Zahlen a und verhältnismäßig kurze Stützweiten im § 15 ein sehr einfaches Näherungsverfahren angeben, welches u. a. gestattet, das größte Biegungsmoment infolge einer gleichmäßigen Yerkehrslast sofort anzugeben.

Wird nun bereits ß₅ = 0 gesetzt, so entstehen die vier Gleichungen

ß₄ (4 -j-    ü a) + ß₃ ( 1 — 4. a) +    ß₂ a = 0

00

ß₄(l —    4a)    +    ß₃ (4 +    6 a) -j- ß₂ (1 — 4a) -|-    ßxa = 0

aß4 +    ß3 (1 —    4 a)    +    ß₂ (4 +    6 a) + ßj (1 — 4 a) +    ß₂a = 0

aß.3 +    ßa (1 —    4 a)    -j-    ß, (4 +    6 a) + ß₂ (1 — 4 a) -f-    ß₃a = D

Sie gehen mit den Bezeichnungen

ß — *ß> 6    ~

über in:

(29)

(I)

(II)

Nun folgt aus (I)

(30)

hierauf aus (II)

(31)

ß₂'= —9ß₃'—t

ßl — aßz + ^+4 >

cn.

WO

a = 9² — T, schließlich aus (III) und (IV)

(32)

(33)

ce -f- df

ce -j- df

wo

(34)

c = t (r -f- 1 ) — 1 — 9&; d = y (a — t) e — Ta 2 — 2 9²;

Die Ordinate v\r der Mx-Linie im Stützpunkte r ist nach Seite 75:

(35)

rlr = — cd [(ß,. — ßr_,) — (ßr+I — ßr)] r\r = — l [(ß/— ß'r_,) — (ß',+i — ß/)].

$Die Glieder der zweiten Dilferenzenreihe der Zahlen ß' sind also, mit , entgegengesetzten Vorzeichen genommen, gleich den Werten 7]r | l*).

*) Ein anderer Rechnungsgang, für sehr kleine Werte a, ist der: Man findet aus den beiden ersten Gleichungen [in (28)]

o _R +1-12«+10a2 P4 P2 15 + 56 a + 20a2 — 4 + 11 a + 20a²

a (1 — 4 a)

ßl 15 + 56 a + 20 a²

15 + 56 a + 20 a² ^

a (4 -f- 6 a)

15 + 56a + 20a² ’ ‘und berechnet und ß₂ mit Hilfe der beiden letzten Gleichungen.

Zur Bestimmung der Einflußlinie des Momentes M₁ dient zwischen den Stützpunkten r — 1 und r die Gleichung

l — — (ßr-i<>>n -j- ßr^n) k

oder, wegen = 3    — wDl

(36)

3 ßr_! (Oß -J- (ßr-l ßr)

Die Abszissen x zählen von r — 1 aus ; die £ werden von den Seiten des 7]-Polygons aus aufgetragen; vgl. Fig. 200, welche voraussetzt, daß £ negativ ist. Die Gleichung der Einflußlinie für Mx lautet also, auf die Balkenachse als Abszissenachse bezogen,

T\r — T\r-

(37)

x -f- l-

r-i

TJr-i

---»

l<

Fig. 200.

Fig. 201.

Häufig genügt es, die Ordinate 7] für die Mitte der Öffnung zu berechnen. Für x = ist Mp = (ùd= 0,375, folglich

7],._, -f- 7]r

(38)

0,375 (ßr_i -{- ßr) i-

Eine in der Höhe k über der Balkenachse in der Richtung r— (r—1) angreifende wagerechte Last K erzeugt, wenn der feste Stützpunkt mit der Balkenachse zusammenfällt und die unwesentliche Längenänderung der Balkenachse vernachlässigt wird,

Mx = — Kk

d 7]

dx

= Kk

dl

Nun ist

dx

)•

(HD —

folglich

l*

(39)

Mx

■*lr- 1 - ’n r

Kk

ßr-1?    ßr?)

wobei zur Abkürzung die Bezeichnungen eingeführt wurden:

^ x'² _ did'

(40)

I ?'⁼¹

dx

X²

p — ¹    3 z2

Liegt der feste Stützpunkt unterhalb oder oberhalb der Balkenachse, so tritt nach Fig. 201 zu dem Einflüsse von Kk noch der Einfluß von + Ke.

Zahlenbeispiel. Es sei a = 0,10, also

dx

= 10.

9 — ~    4 = 6,

a

a = 9 ² — x = — 10, c = t(t-(-1) — 1 ß — tö —j— 2 — <+ = — 530,

+ 6 = 46,

b = cp (t— 1) = —j— 270. çô = + 541, d = ç(a— t) = — 336, f = T (6 — 2 ç) = 11 868,

TJt

— 336

ßc —j— fd

4274378

f 0,78608 • 10 +

ß₃' =

+ 541

= — 1,26568 • 10 +

ßc —}— fd

ß₂'= — <pß₃'—vß₄'=— 28,56 560*10

aß₃' + &ß₄'= + 224,89840 • IO"⁴.

— 4274378

-4

ßi'=

Die Differenzenreihen der Werte 10⁴*ßr lauten:

10⁴A₁ß/

10⁴ß'

28,56560

10⁴A₂ß'

+ 224,89840

— 253,46400

28,56560

+ 253,46400

— 506,92800

27,29992

+ 280,76392

1,26568

25,24816

2,05176 +    0,78608

0,00 000

y]    1

Nun ist -+= — A₂ß/ und ßr = — ß/= 10ß/, also: l    a

+    0,78608

2,83784

0,00000

+    0,78608

7]1 = -f 0,0507Z, tj₂ = —0,0281Z, 7)3 = 4-0,0025/. y)₄ =-f 0,0003/,

ï]₅ =— 0,0001/,

ß₄ = -}- 0,2249, ß₂ = — 0,0286, ß₃ = — 0,0013, ß₄ = +0,0008.

2ß = ßt-f- 22ß = 0,1667.

2

Die auf diesem Wege erhaltenen Werte ß und tj sind auf den

Seiten 226 bis 229 für eine große Eeihe von Werten

angegeben ; sie

gestatten eine schnelle Erledigung der verschiedenen Belastungsfälle.

Ungleiche Wärmeänderungen t₀ und /„ erzeugen im Balken die

Biegungsspannung

OS

a = + 3 s E (/„ — Q 2 ß = + s E (tu — ta).

Senken sich die Stützen 1, 2, 3, 4, 5, Fig. 199, infolge von Temperaturänderungen oder Nachgeben des Baugrundes um die gegebenen Werte ex, e₂', e₃', e₄, e₅', so entsteht nach Seite 75

6 EJ

/²

Zi

6 EJ

[o

2 e2 ]

Z₂

6EJ

/²

*3 =

6 EJ

/²

^4

6 EJ

z²

['e3 — 2e₄ -f- e₅ ],

und es wird erzeugt:

Mx—ß₂Z₂ -j- ßxZx-j- ß₂Z₂-j- ß₃Z₃-j- ß₄Z₄

6 EJ

/²

{^i (—ß2+2ß₁—ß₂)

o)!-

Hierfür darf man aber mit Rücksicht auf Gleichung (25), Seite 75, schreiben:

Mx

~aj3- ^1^1 ~f~ e2 ^2 + e3 Is +    + ^5

Der Einfluß der Senkungen der Stützen 2', 3", 4', . . . ist natürlich ebenso groß wie derjenige der Stützen 2, 3, 4, ... .

^»£.0,0607 = 1,5**4+

Senkt sich z. B. Stütze 1 um ex , so wird der Balken, dessen Höhe h sei, beansprucht mit Mth

0,1Z²    ’    ’l l

Ermittlung der Einflußlinie des Momentes Mx. Vom Tj-Polygon aus werden die Strecken £ aufgetragen, Fig. 202. Für die Öffnung 1 — 2 ist

ß₂) «x,

= — 0,6747 co# + 0,2535 (dD.

Man erhält

für — =

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

■rx

= — 0,0593    —0,0768    —0,0736    —0,0646    —0,0349.

-jk

n₂

rn

k------1 - -

- - *1

Fig. 202.

Für die Öffnung 2—3 gilt

—    3 ß₂ Wjj -f- (ß₂ ß₃ )

⁼ “j⁻ 0,0858 (Ojj — 0,02 73 (•)£>•

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

Z

|-= + 0,0085    + 0,0114    +0,0112    + 0,0101    + 0,0059.

Für die Mitte der Öffnung 3—4 ergibt sieh

= — 0,375 (ß₃ + ß₄) = + 0,0002.

Der Einfluß der Belastung dieser Öffnung ist bereits unwesentlich.

ist

p = 1 — 3-^-=+1,00    +0,88    +0,52 —0,08 —0,92 —2,00

p' = — 2,00 —0,92 —0,08    +0,52    +0,88 +1,00

Kk

Eine in der Öffnung 1

''h— ^2

2 auftretende wagerechte Last K erzeugt

Kk

ßi?'+ß₂P = + 0,07 88 — 0,2249p'— 0,02 86 p.

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

f- 0,500 +0,261 +0,082 —0,036 —0,093 —0,089.

009 V

009 O

Fig. 203.

~ ß₂? + ß3?

= — 0,0306 — 0,0286p'— 0,0013p.

Greift K in der Öffnung 2—3 an, so entsteht •Mi _ ^2 —%

Kk

Für — =    0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ist -¥-

Kk

0,089 —0,058 —0,034 —0,016 —0,004 +0,001.

Die

Kk

-Linie ist in Fig. 203 dargestellt worden.

Die Einflußlinie des Stützendruckes C, Fig. 204, besitzt in den Stützpunkten 1, 2, 3, ... und den Mittelpunkten l", 2", 3" der Öffnungen 1—2, 2 — 3, 3 — 4 die folgenden mittels der Formel

C=C₀-t

M₂—2M₁JrM₂'

berechneten Ordinaten :

(1)    C== 1,0 — 0,0281 — 2 • 0,0507 — 0,0281 = + 0,8424

(1")    C = 0,5 — 0,0623    + 2 •    0,0623 — 0,0016    =    +    0,5607

(2)    C =    -f- 0,0507    + 2 •    0,0281 -j- 0.0025    =    -f    0,1094

(2")    C—    — 0,0623    -f- 2 •    0,0016 -j- 0,0016    =    —    0,0607

(3)    C—    — 0,0281    — 2 •    0,0025 -j- 0,0003    =    —    0,0328

(4)    <7 =    + 0,0025    — 2 •    0,0003 — 0,0001    =    +    0,0018.

Zu dem vorstehenden Ansätze bemerken wir, daß die Mx -Linie in den Mitten der Öffnungen ö; h die Ordinaten — 0.0623, — 0,0016, -j- 0,0016 bat.

*ł

Z"

7"

7"

Z"

C-Linie

Fig. 204.

66. Untersuchung der ersten Öffnung. Die Bezifferung der Stützpunkte zeigt Fig. 205. Die Gleichungen zur Berechnung der ß' lauten:

Tß4 + ?ß3 + ß2 — 0 9 ß4 ~b T ß3    9 ß2 + ßl — 0

ß4,_h 9ß3 + Tß2 + 9ßi ß3 9ß2 + Tßl

(41)

= 0 = 1.

Die beiden ersten Gleichungen stimmen mit den für die Mittelstütze aufgestellten überein. Man findet auf demselben Wege wie auf Seite 210:

(42)

ß₄' =

d'

ce' —J— d'f'

(43)

CQ_

ce -f- d'f'

ß₂'= — 9ß₃'— Tß₄'

ßl — aß3 + ^4 • a und b haben dieselbe Bedeutung wie auf Seite 210.

Zwischen den Werten c, de, f' und den auf Seite 210 gegebenen Werten c, d, e, f bestehen die Beziehungen

an-

(46)

11:

d — d’ —j- 9

= e + 9²— l    P-

Aus der Einflußlinie für M₁ kann man alle für die erste Öffnung erforderlichen Einflußlinien herleiten.

Hinsichtlich des G-renzfalles unendlich vieler Stützen verweisen wir

auf Nr. 68.

Zahlenbeispiel. Es sei a =0.1, also Seite 212 berechneten Werten T = 46,

541, d = — 336,

= 10. Aus den auf

9 = 6,

c =

6 = + 270,

a = — 10, e — — 530, f — 11868

findet man c =

541 - 46 = -f 495, d'= — 336 4- 6 = e— — 530 -f- 35 = — 495,    f'= 11868 -f 6 -46 = + 12 144,

330,

hierauf:

cV+ d'f = — 4 252 545.

oa.

— 330

— 4252545

+ 0,77601 • 10'⁴

ß/

+ 495

— 4252545

1,16401 • IO'⁴

ß/= + 221,16280 • IO"⁴.

ß₂'= — 28,71240 • 10 +

Die Differenzenreihen der Werte 10⁴ß/ lauten:

10⁴ Axß'

10⁴ß'

+ 221,16280

— 221,16280

10⁴A₂ß'

+ 221,16280

— 471,03800

28,71240

+ 249,87 520

27,54839

+ 277,42359

1,16401

25,60837

1,94002

2,71603 +    0,77601

= — A₂ ß' und ßr =    ß/= 10 ß/, also

a

Y)₀ = — 0,022U, •*]!= + 0,0471 /, ^₂= — 0,0277 Z, y]₃= + 0,0026 l, y]₄= + 0,0003 l, t]₅= — 0,000U.

ß₁₌ +0,2212, ß₂ = — 0,0287,    ß₃= —0,0012, ß₄= + 0,0008.

0,77601

+    0,77601

Hieraus ergibt sich

•*)r

Wir berechnen die -Linie nur für die Öffnungen 0—1, 1—2 und 2—3, Fig. 205 a.

Für die Öffnung 0—1 ist

ß₁wJ) = — 0,2212 Oj,.

Für — =

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

La

wird = — 0,0425 — 0,0743 — 0,0830 — 0,0849 — 0,0637.

-Linie

*lz

ru

a)

1s

à)

0,978

A- Linie

Fläche

br

Fig. 205.

Für die Öffnung 1—2 ergibt sich

— — 3ß₁wJJ-f-(ß₁—ß₂) Wd = — 0,6636 -f 0,2499 u^.

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

= — 0,0582    — 0,0753    — 0,0722    — 0,0633    —0,0342, und für die Öffnung 2—3:

- - 3ß₂«Ä -|- (ß₂- ßx) löj)

= -f 0,0861 Wjj — 0,0275 Wx,.

Hier dürfen ohne weiteres die für das Stützenmoment in der Balkenmitte berechneten Werte beibehalten werden; schon für die Öffnung 1—2 sind die Unterschiede zwischen den vorstehend und auf Seite 214 ermittelten Ç unwesentlich.

Mx

• In Fig. 205b ist die

Fig. 205 a zeigt die Einflußlinie für

Einflußlinie für den Druck A auf die Stütze 0 dargestellt worden; man erhält sie nach der Formel

wenn man die

-Linie von der A₀-Linie aus aufträgt. Die beiden

Figuren sind in verschiedenen Maßstäben gezeichnet worden. Die in der Fig. 205b schraffierte Fläche ist die Einflußfläche des Momentes Mx für den Querschnitt an der Stelle x ³) ; ihr Multiplikator ist x.

Der Einfluß wagerechter Lasten K wird in derselben Weise untersucht wie in Nr. 65.

67. Der Balken erstrecke sich von der Mittelstütze 1 aus nach beiden Seiten ins Unendliche, Fig. 199. Die Werte ß' genügen den Gleichungen:

(47)

die wir durch einen wagerechten Strich in zwei Gruppen zerlegt haben. Nehmen wir zunächst an, es seien ß/ und ß₂' bekannt, so liefert die Auflösung der unteren Gruppe für ß₃' einen Wert von der Form

ß₃'= !J-ß2'+ vßi',

wo p. und v Ziffern sind, die nur von den Zahlen 9 und x abhängen.

Da nun die untere Gruppe aus unendlich vielen gleichartig gebauten Gleichungen besteht, so ist auch

ß₄ — (X ß₃ + v ß₂ ,

und man erkennt, daß für alle ß', mit Ausnahme von ßx' und ß₂r die Gleichung gilt:

(48)

ßr'= nßr-i+ vß'r_a.

Mit Hilfe dieser Beziehung lassen sich die Gleichungen der zweiten Gruppe umformen in

WO

= [x [[x (jx 4- 9) + t] 2 (XV + VÇ -f cp ^ = v [(x ((X -f 9) + t] + v² + 1.

Die Gleichungen der zweiten Gruppe werden also erfüllt, sobald d; = 0 und 'ÜT = 0

ist. Hieraus folgt zunächst

2 (xv -f- vç -f- 9

v²+l

wonach

ia

(51)

(x = 9

(52)

Nun ergibt sich aus j¹ = 0 die Gleichung

[1²+V²+TV + 1= 0.

Lösung:

Die Gleichungen (51) und (52) besitzen nur die eine brauchbare

(53)

(54)

[X =

i + y'+y"

2(ï —1)

1 + y'+y

wo

(55)

y'=

I/-A“

und y"= |

Nach Berechnung von v und (X liefert die zweite Gleichung (47) das Verhältnis

und die erste den Wert

(57)

ßi'=

<30. <30.

Nunmehr können die übrigen ß’ schrittweise mit Hilfe der Gleichung (48) berechnet werden.

Zahlenbeispiel.

10 ist 9 = —--4 = — 3,9, t = 6 -4- 4 •

r 10 ¹ 10

T'=y27=5,196 152, y"=3,424272, v = — 0,2881, jjl = 0,8723

0,8723

Für a =

= 6,4

1,2881

0,6772

0,5803,    ß₂'=-f 0,3930

5,8238 — 6,0554 • 0,6772 ß₈' = -f 0,1756, ß₄'=+ 0,0400, ß₅'=— 0,0157, ß₆'=— 0,0252,

ß₇'= — 0,0175.

Berechnet man nun auf dem in Nr. 65 angegebenen Wege die Ordinaten */], so findet man für l— 12’” (d. i. die Stützweite der früher untersuchten Schiffbrücke) die folgenden Zahlen, denen die für ß₅'= 0 nach dem Verfahren in Nr. 65 sich ergebenden in Klammern beigefügt sind:

% = + 4,50 (4,48) ^₃ = — 0,98 (1,02) ^ = — 0,55 (0,56). k)₂= 4- 0,36 (0,34) Y]₄ = — 0,98 (1,00)

Die Gegenüberstellung der Werte ß = — ß/ liefert folgendes Bild:

a

ß₃= + 0,0176 (0,0176) ß₄=-f 0,0040 (0,0046).

ßj = + 0,0580 (0,0578) ß₂= + 0,0393 (0,0391)

68. Der Balken erstrecke sich von der Stütze O aus nach, der einen Seite ins Unendliche, Fig. 205. Für die Ziffern ß', mit Ausnahme von ß/ und ß₂', gilt wieder die Gleichung (48)

r-2 •

ß/= p.ß7_j -f- vß'

Die beiden ersten Gleichungen (47) sind aber jetzt zu ersetzen durch die Bedingungen

(58)

ß3 + 9ß2 ~\~ Tßl - 1

ß4 "7 ? ßä +Tß2 H“ ?ßl ⁼ deren Auflösung die einfachen Werte liefert:

ß/= — v und ß₂' =— v[X.

ßx= + 0,0288 (0,0288) ßs= + 0,0136 (0,0133)

ZaJlleribeispiele. Für a =10 ergab sich v = — 0,2881, p. = -f- 0,8723. Man erhält also ß/ = -f- 0,2881 und ß₂' = -f- 0,2513

und gelangt zu den folgenden Werten ß= — ß', denen die nach dem

a

in Nr. 66 angegebenen Verfahren berechneten in Klammern beigefügt sind:

ß₂ = + 0,0251 (0,0250) ß₄= + 0,0046 (0,0042).

Den unwesentlichen Abweichungen der Werte ß entsprechen auch geringfügige Unterschiede der zugehörigen yj.

Je größer a ist, um so größer ist der Einfluß der Stützenzahl. Wir geben daher noch eine Gegenüberstellung der Werte für den größten in unsere für ß₅'= ß₆,= . .. = 0 gerechnete Zahlentafel aufgenommenen Wert a, nämlich für a = 20. Man findet:

ß₃=-f 0,0123 (0,0108). ß₄=-j- 0,0064 (0,0041).

■»]₃ = + O,⁰⁰⁶ (0,006) 7]₄= — 0,037 (0,052)

7]₅ = _ 0,082 (0,082).

ßi= -f- 0,0176 (0,0173) ß₂= + 0,0180 (0,0173)

y\o = — 0,351 (0,347)

% = + 0,342 (0,347) y\₂— + 0,123 (0,128)

Von wesentlichem Einfluß ist nur die Belastung der ersten drei Öffnungen; hier besteht selbst bei dem großen Werte a = 20 befriedigende Übereinstimmung.

Wird also die Berechnung eines auf vielen gleichartigen Stützen ruhenden Balkens verlangt, und stehen keine Zahlentafeln zur Verfügung, so braucht man nur ein über wenige Öffnungen reichendes Stück des Balkens herauszuschneiden und eine geringe Zahl von einfachen Gleichungen aufzulösen, oder man führt die Rechnung mittels der einfachen Formeln für unendlich viele Stützen durch. Unsere Zahlenrechnungen beweisen, daß die Annahme ß₅'= ß₆'= .. . = 0 in der Regel erlaubt ist, denn größere Werte a als die in unsere Tabelle aufgenommenen dürften nur selten Vorkommen.

69. Eisenbahnschienen auf Querschwellen. Wird die Annahme gemacht, es sei die Eindrückung der Schwelle in die Bettung proportional dem von der Schiene auf die Schwelle ausgeübten Drucke, so darf die Schiene als ein auf elastisch senkbaren Stützen ruhender Balken angesehen werden. Es genügt, die Untersuchung der in Fig. 206 dargestellten symmetrischen Belastung. Betrachten wir die Schiene zunächst als Balken auf 6 Stützen, so treten vier Stützenmomente auf, die aber paarweise einander gleich sind (M₃ = M₂, M±—Mx). Es bestehen die Gleichungen

¹

Ygl. das Zahlenbeispiel in Nr. 61.

²

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

³

Streng genommen müßte die Gerade FD ersetzt werden durch die Gerade FD\ wobei DD’ = -j~- Bei kleinen Werten y)₀ empfiehlt sich aber deren Y ernachlässigung.

(60)

sie liefern

(4 + 6a) M! + (1 — 4a) M₂ + aM₂ = Z* (1 — 4 a) Mx -f (4 + 6 a) M₂ + (1 — 4 a) M₂ -j-    = Z₂;

Jf₂ =

(4 + 6a) Z₂ — (1 — 3a) ^

9ca² 4- 44a 4- 19

~ÆT~

cnv

P’

P'

«•

fit -4- h l-^

'A~

-l

->k-

i    i    !

L----4----1----* ^----Z----¥----L~

Fig. 206.

Den drei Raddrücken P', P, P' entsprechen die Werte:

Coi = P'~

ferner nach Seite 75

Z₂ =

6 8₀i

l²

6^02

a (^oo 2 (7,) j-j-(7₀ g )/,

a (Ci, 1    2 (7₀₂ 4~ 4)3) ^

wo, nach Seite 30,

weshalb

68₀₁=P'i³ (

6 SRo₂ = «³(|

= P'l³-oI>,

ł)

= PI³ ■

CO CO

—— (ùDP'l—aP'(P—3£)----- aPZ,

CO : GO

^2 = ~

P/+|aP/-an

Der Einfluß von P'= 1 auf den Zähler von M₂ ist (61)    — (6a -f- 4) a£ -(- (3a — 1) (—    — aZ —|— 3a£)

= + a§ (3 a — 7) — (wB + a)(3a — 1) Z;

er nimmt für den engsten Radstand, also für den größten Abstand ç, seinen größten Wert an. Ist £ = Z (was einen Radstand von 1,5 • Z

gibt), so wird o)I)=0, und der Ausdruck (61) geht über in (—6 al). Nun ist aber in der Mitte des Balkens

PI

V + M₂;

wir rechnen also ungünstig, wenn wir den negativen Einfluß von P' auf M₂ vernachlässigen. Dann ergibt sich mit den oben für Zx und Z2 angegebenen Werten das Moment

M₂ =

PI 3a² + 0,5a—3 3 a² -j- 44 a -(- 19’

und man erhält schließlich die Formel

(62)

PI 9a² + 45a-fl3 ~4~ 3 a² -j- 44 a -(- 19 '

Sieht man die Schiene als einen auf 8 Stützen ruhenden Balken an, so erhält man (auf demselben Wege, der in der vorstehenden Entwicklung benutzt wurde) für den Einfluß von P die von Schwedler*) aufgestellte Formel

PI 32a³ + 524a² 4- 568a+ 97

1/f - -*-■---

8    4a³ -f 194a² + 330a -f 71

(63)

Beschränkt man dagegen die Anzahl der Stützen auf 4, so findet man die von Zimmermann**) empfohlene Formel

(64)

PI 8a+ 7

M —

4 4a -f- 10

Zur Vergleichung dieser verschiedenen Formeln mögen die folgenden Zahlenreihen dienen; n bedeutet die Anzahl der Stützen.

Der Unterschied zwischen diesen Werten ist unerheblich; insbesondere weichen die Werte für n — 6 nur sehr wenig von denen für n = 8 ab.

Um a zu bestimmen, bezeichnen wir die Breite der Schwelle mit b, die Länge mit 2a und nehmen zunächst an, daß sich der von beiden . Schienen auf die Schwelle ausgeübte Druck 2 C gleichmäßig über die *) Schwedler, Beiträge zur Theorie des Eisenbahnoberbaues. Zeitschrift

für Bauwesen, 1889, S. 103. Den Wert a bezeichnet Schwedler mit —

Y

**) Zimmermann, Die Berechnung des Eisenbahnoberbaues, Berlin 1888, S. 218, Gleich. 200.

Grundfläche 2b a verteilt. Dann darf die Eindrückung der Schwelle in die Bettung gesetzt werden:

(65)

K2ab

wo K einen Erfahrungswert bedeutet, der nach Zimmermann beträgt für Kies ohne Packlage K — 3 kg/cm3 für Kies auf Packlage K = 8 kg/cm³.

Nun ergibt sich

(66)

6 EJ e P C 6 EJ

a“ Kabl³'

das ist

naue

Ist z. B. /= 1580 cm³ (Schiene der Preußischen Hauptbahnen, 1905, Nr. 15), E~ 2 100 000 kg/cm², Z=80cm, a=135cm, &=26cm, so erhält man für K = 3 und 8 die Werte a = 3,7 und 1,4. Nun verteilt sich aber der Druck der Schienen nicht gleichmäßig über die Grundfläche der Schwelle. Die Druckverteilung hängt von der Durchbiegung und von der Art der Unterstopfung der Schwelle ab; ihre ge-Bestimmung darf wohl als unmöglich angesehen werden¹). Machen wir nun die Annahme, es werde durch diese Ursachen die Ziffer a nahezu verdoppelt, rechnen wir also mit oc = 7,0 und 2,5, so liefert die einfache Formel (64), der wir in Anbetracht der unsicheren Rechnungsgrundlagen den Vorzug geben, für P — 9000 kg und l — 80 cm die Biegungsmomente

M— 298 500 kg/cm, M = 243 000 kg/cm.

Das Widerstandsmoment des Schienenquerschnitts ist TU =217. Die Biegungsheanspruchung beträgt daher

a = 1375 kg/cm², bezw. C — 1120 kg/cm².

an,

Bei Berechnung des Druckes der Schiene auf die Schwelle genügt es, den Einfluß von drei Radlasten zu berücksichtigen. Wir bezeichnen die Stützpunkte nach Fig. 199, nehmen eine Last P über der Stütze 1 zwei gleich große Lasten in den Mitten der Felder 2—3 und 2'—?>' und erhalten:

t,

iL

oc

iO O tO cm o os

(M (M tH tH t—I

iO    ÎD_ OJ^ C0_ tD_

X I> O iO ^ CO CO cd cd (M H H

l -T- /

ï)₄: Z

Balken auf elastisch senkbaren Stützen.

f>

a) Stützenmoment in Balkenmitte.

(Seite 208, Nr. 65.)

6 EJ to

f.1

<x

w = Stützensenkung für den Auflagerdruck 1 (Seite 61).

i)₃: /

ß4

ßs

ß₂

ßi

+ 0,025    —0,015    +0,003    —0,000    +0,000

+ 0,030    - 0,017g    +0,003    —0,000    +0,000

+ 0,037    — 0,022    + 0,003    — 0,000    — 0,000

+ 0,002 | — 0,000 + 0,002

+ 0,002    + 0,000

—    0,008g    + 0,002    + 0,000

—    0,011    +0,002    +0,001

—    0,014₅    + 0,002    + 0,001

—    0,016g    + 0,002    + 0,001

—    0,019    + 0,001    + 0,002

—    0,022 | +0,000 + 0,002

+ 0,001    + 0,000g    + 0,044    —    0,025    + 0,003    + 0,000    — 0,000

—    0,001    +0,001    +0,051    —0,028    + 0,002₆    +0,000    —0,000

—    0,002    + 0,001    + 0,055    —    0,030    + 0,002    + 0,000₅    — 0,000

+ 0,059    —    0,032    + 0,002    + 0,001    — 0,000

+ 0,065    —0,034    +0,001    +0,001    —0,000

+ 0,072    — 0,037    — 0,000    + 0,001    — 0,000

+ 0,000g    ||    +0,080    —0,040    —0,002

+ 0,091    — 0,044    — 0,004

— 0,000    ||    +0,098    —0,045g    —0,006

+ 0,107    — 0,048

+ 0,115    —0,049

+ 0,125    — 0,051

—    0,008    —0,003    + 0,130g    —0,052

—    0,008    —0,003    +0,137    —0,052

—    0,007    —0,003    +0,144    | —0,053

+ 0,256    —0,052    +0,008    —0,001

+ 0,250    — 0,047    + 0,006    —    0,001

+ 0,241    — 0,040    + 0,003    +    0,000

+ 0,232    — 0,034

+ 0,225    — 0,029

+ 0,220    — 0,025

+ 0,215    —0,022    —0,003    +0,001

+ 0,209    — 0,018    — 0,005    +    0,001

+ 0,202    — 0,013    — 0,006    +    0,001

+ 0,193    — 0,007

+ 0,183

+ 0,176    | + 0,004

+ 0,169 + 0,162 + 0,154

+ 0,149g    + 0,019

+ 0,145    + 0,021

+ 0,139g    +0,024

-    0,007

—    0,008 — 0,009

+ 0,008g    — 0,009    —    0,001

+ 0,012g    - 0,009    —    0,002

+ 0,017    — 0,009    —    0,002

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+ 0,005 + 0,005 + 0,006

+ 0,006 + 0,006g + 0,006g

+ 0,006 + 0,006 + 0,005

+ 0,003

+ 0,000g

—    0,004

—    0,007

—    0,010g

—    0,016

— 0,001

— 0,002

—    0,005

—    0,007

—    0,009

—    0,012

-    0,015₈

—    0,018

— 0,020

—    0,023g

—    0,027

—    0,032

—    0,037

—    0,042

—    0,049

—    0,053

—    0,057

—    0,062

— 0,023

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—    0,084 I — 0,046

—    0,089

—    0,095

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-0,111,

—    0,117

—    0,123

—    0,056

—    0,067

—    0,082

— 0,101

—    0,113

—    0,127

— 0,068

—    0,U25₅

—    0,030

—    0,035

—    0,038

—    0,042

—    0,046

—    0,051

—    0,054

—    0,057

—    0,060

—    0,063g

—    0,067

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—    0,075

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—    0,080 — 0,082

—    0,083

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—    0,050

—    0,049

—    0,046

—    0,045

—    0,043

—    0,040

—    0,037

—    0,034

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—    0,023g

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—    0,003

—    0,003

—    0,002 — 0,002

— 0,001 — 0,000 + 0,001

+ 0,001 + 0,002 + 0,002g

+ 0,003 + 0,004

4- 0,005

+ 0,005 + 0,005 + 0,006

+ 0,006 + 0,006 + 0,006

+ 0,134    + 0,026₅    — 0,006

+ 0,127    4“ 0,029    — 0,005

+ 0,120    4- 0,032    - 0,004

+ 0,116    -f 0,034    — 0,003

+ 0,112    +0,035    —0,001g

+ 0,107    + 0,036    — 0,000

+ 0,102    + 0,038    + 0,002

+ 0,099    + 0,038    + 0,003

+ 0,096    + 0,039    + 0,004

+ 0,092g    + 0,040    + 0,005

+ 0,089    4- 0,040    + 0,006

+ 0,085    + 0,041    + 0,008

+ 0,009 4-0,011 + 0,012

+ 0,071    «    +0,041    +0,013

+ 0,069    4- 0,041    4- 0,014

+ 0,067    + 0,041    + 0,015

+ 0,064    + 0,040    + 0,016

+ 0,061    4- 0,040    4- 0,017

+ 0,058    + 0,039    + 0,018

+ 0,056    + 0,039    + 0,018

+ 0,054    I    +0,038 ' 4-0,018

+ 0,052    J    +0,037    +0,019

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+ 0,048    j    +0,036    +0,019

+ 0,047    j    +0,035    +0,019

+ 0,041 + 0,041 4- 0,041

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+ 0,000    —    0,000

+ 0,001    —    0,000

+ 0,001    —    0,000

+ 0,001    —    0,000

+ 0,002    —    0,000

+ 0,002

+ 0,002    +    0,000

+ 0,002    +    0,000

+ 0,002    +    0,001

+ 0,002    +    0,001

+ 0,001    +    0,001

+ 0,001    +0,002

+ 0,000    +    0,002

Balken auf elastisch, senkbaren Stützen.

lO

v.₂:l

—    0,014    + 0,003

—    0,017    + 0,003

—    0,021    + 0,003

—    0,025    + 0,003

—    0,028    + 0,003

—    0,030    + 0.002

—    0,032    + 0,002

—    0,034    + 0,001

—    0,037    + 0,000

—    0,040    —    0,001g

—    0,043g    — 0,004

—    0,045    — 0,006

_ 0,047    —    0,008₅

—    0,048    — 0,011

—    0,049    — 0,015

—    0,049    — 0,017

—    0,049    — 0,019

—    0,049    — 0,022

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CM CM    CO    ^ ^ »O    lO-^DCD    D D    O H CO    CO ^ iO

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o o cT    o o cT    o o cT    ö* cd ©    o    ©    cT    © © o

b) Stützenmoment Mx am Ende der Öffnung 0 — 1.

(Seite 216, Nr. 66.)

6 EJ w

w = Stützensenkung für den Auflagerdruck 1 (Seite 61).

l : °ü

ß*

ßs

ß₂

ßi

+ 0,000g II —0,039 - 0,045g — 0,000 J —0,050

—    0,050    +0,008    —0,001    —0,010

—    0,046    + 0,006    —    0,001    — 0,012

—    0,039g    + 0.003    +    0,000    — 0,016

—    0,034    + 0,001    +    0,000₅    — 0,019

—    0,029    — 0,001    +    0,001    — 0,022

—    0,026    — 0,002    +    0,001    — 0,024

—    0,022    — 0,003    +    0,001    — 0,027

—    0,018    — 0,005    +    0,001    — 0,030

—    0,013    — 0,006    +    0,001    — 0,033₅

—    0,007    — 0,007

— 0,008 + 0,004    — 0,009

+ 0,009    — 0,009    —    0,001    — 0,056

+ 0,013    —0,009    —0,002    —0,062

+ 0,018    —0,008    —0,002    —0,069

+ 0,020    — 0,008    —    0,003    — 0,073

+ 0,022₅    — 0,007    —    0,003    — 0,078

+ 0,025    — 0,007    —    0,003    — 0,084

+ 0,246 + 0,241 + 0,234

+ 0,227 + 0,221 + 0,217

+ 0,213 + 0,208 + 0,201

+ 0,193 + 0,182 + 0,176

+ 0,168 + 0,160 + 0,151

+ 0,146 + 0,141 + 0,134

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+ 0,004 + 0,003 + 0,001

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—    0,004

—    0,008

— 0,011

—    0,015

—    0,019,

—    0,025

—    0,032

—    0,042

—    0,048

—    0,054

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—    0,071

—    0,077

—    0,082

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—    0,003

—    0,006

—    0,007

—    0,009,

—    0,012

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-    0,017,

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+ 0,046    — 0,042

+ 0,055    — 0,038

+ 0,066    — 0,033

+ 0,079    — 0,026

+ 0,086,    — 0,022

+ 0,095    — 0,017

+ 0,104,    - 0,010,

+ 0,115    — 0,003

+ 0,121 +0,001

+ 0,128    + 0,005,

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—    0,149

—    0,156

—    0,163

—    0,172

—    0,182

-0,194 — 0,206 — 0,220

—    0,227₅

—    0,236

—    0,246₅

—    0,258

—    0,271,

—    0,288

—    0,297

—    0,307

—    0,319

—    0,332

—    0,339 -0,346,

—    0,004

—    0,004

—    0,004

—    0,004

—    0,004

—    0,003₅

—    0,003

—    0,003

—    0,002

— 0,002 — 0,001 — 0,000₅

+ 0,000 + 0,001 4- 0,002

+ 0,002

4- 0,003

+ 0,003

+ 0,0035 + 0,004 + 0,004

+ 0,004 + 0,004 + 0,004

+ 0,004 + 0,004 + 0.004

— 0,006

—    0,004

—    0,002

— 0,001 + 0,000 4- 0,002

+ 0,003 4- 0,004 + 0,005

+ 0,006 + 0,008 + 0,009

+ 0,010 + 0,011 + 0,012

+ 0,0125 + 0,013 + 0,013

+ 0,013 + 0,013

4- 0,013

+ 0,013 + 0,013 + 0,012

+ 0,012 + 0,011 4-0,011

ct ?c ço    g g g    m g g g co g    g m m    g g g    g g g    g g g 2 S

d o cT    o~ cT cT    o o cd <d <d cT    o o" cd    cd d o    d <d o    o o' <d ooo

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

4- 0,127 + 0,119 4-0,110

+ 0,105 4- 0,099 4- 0,093

+ 0,086 4- 0,082 + 0,078

+ 0,0735 + 0,069 + 0,064

+ 0,058 + 0,053s + 0,048

+ 0,0455 + 0,043 4- 0,039

+ 0,036 -f 0,033 4- 0,029

+ 0,027 + 0,025 i + 0,022

+ 0,020 + 0,019 + 0,017

^ N

■»H t-H -rH

CD (M CM 03

00 <X    (N

03 H tH    tH tH

0,055

0.05

0,06

<75 GO C-O O O

o~ ö ô' §■ Ó' o~ ô' cT §• §■ o d cT cT o" o o © ©' o" cf

rH

Nun ist

folglich

(67)

entsteht

p-n, + ai⁵    + -f-(ß₂ + ß₃) i

= y-P(,*li + ^2)

H⁻ “g⁻ -P OQ3 “h ^4)--^ P (ßs + ßJ

m₂ — m,

M,=

rii

(7 = P+ 2

Ti2

CO 1 00

® (ß₁-ß₂-ßs + ß₁).

ßH₊ jk

Liegen die beiden äußeren Lasten über den Stützen 3 und 3 , so

(68)

o ft.

M1 — PC^i + 2^3),

i¥₂ = P(27î₂ + ijJ,

**li 2^-+ 2 713    714

²(

Wir wählen die Zahlen des letzten Beispieles und betrachten den Pall K — 8. Hierzu gehört bei gleichmäßiger Belastung der Grundfläche der Schwelle a = 1,4. Um möglichst ungünstig zu rechnen, ermäßigen wir diesen Wert auf a = 1,0, denn, je kleiner a ist, desto größer wird C. Mit den für diese Ziffer a in unserer Tabelle angegebenen Werten ï] und ß liefert Gleichung (67) C — 0,74 P und Gleichung (68) C — 0,57P. Die zugehörigen Badstände sind 1,5 Z = 1,5 * 80 = 120 cm und 2 l = 160 cm. Im ersten Falle erzeugt P= 8 t rund C = 6 t.

Ein anderes Verfahren, den Druck C zu berechnen, findet der Leser im § 15, Nr. 76.

§ 14.

Graphische Untersuchung des gelenklosen Balkens mit veränderlichem Querschnitte auf elastisch senkbaren Stützen.

70. In unseren bisherigen Untersuchungen des Balkens auf elastischen Stützen haben wir den analytischen Weg bevorzugt. Er führt auch stets in übersichtlicher Weise zu der das Hauptziel bildenden Darstellung der Einflußlinien für die Stützenmomente. Denn die Koeffizienten der die Stützenmomente liefernden Elastizitätsgleichungen lassen sich schnell berechnen, ebenso die in den Werten Z (Seite 65) vorkommenden Ordi-naten hmr der Biegungslinien für die Zustände M₁ — 1, M₂= 1,. ... Auch die Auflösung der Elastizitätsgleichungen, bietet selbst bei größerer Zahl dieser Gleichungen und unsymmetrisch gebauten Trägern gar keine Schwierigkeiten.

Immerhin erscheint es zweckmäßig, auch eine rein zeichnerische Behandlung der vorliegenden Aufgabe anzugeben, und es möge daher ein von Vianello herrührendes Verfahren hier aufgenommen werden, welches nur von dem Maxwellschen Satze und den Biegungslinien Gebrauch macht und sich deshalb am besten in den Rahmen dieses Buches einfügt. Es bezieht sich auf den im § 6 analytisch behandelten Fall voneinander unabhängiger Stützen, deren Senkungen er proportional den Stützenwiderständen Cr sind, so daß

Cr

1,0

er — (örCr =

ist, wo wr die Senkung der Stütze r infolge von Cr= 1 bedeutet (Seite 61). Das Verfahren ist sowohl für den Fachwerkbalken als auch für den vollwandigen Balken mit veränderlichem Querschnitt brauchbar.

Wir setzen voraus, daß nur eine einzige Öffnung belastet sei und betrachten den links von dieser belasteten Öffnung gelegenen Balkenteil 0—1—2—3 . . ., Fig. 207. Die Momentenlinie besteht aus Geraden, welche die Balkenachse in den Punkten Lx, L₂, L₃, . . . schneiden. Lx fällt mit der Stütze 0 zusammen.

Beim Balken auf starren Stützen haben diese Punkte L und ebenso die Nullpunkte R der Momentenlinie rechts von der belasteten Öffnung eine feste, von der Belastung unabhängige Lage. Beim Balken auf elastischen Stützen ist diese Lage veränderlich, sie muß für jeden Belastungsfall von neuem bestimmt werden. Wohl aber läßt sich, wie wir sogleich zeigen werden, eine Beziehung zwischen den Lagen zweier auf einander folgenden Punkte Lk und Lk+l herleiten, so daß es nur der Bestimmung eines einzigen Punktes L und ebenso eines einzigen Punktes R bedarf, um die übrigen Nullpunkte der Momentenlinien schnell zu finden.

Den Ausgangspunkt für die Herleitung dieser Beziehung bildet die Eigenschaft, daß die Punkte L die Lagen der den Balkenteilen ö, hi hi • • • entsprechenden Querkräfte

Qi⁼⁼ Öq, Q₂ Cq Clt Qs⁼⁼ Q2 ~1~~ C₂1 • • •

Es geht die Mittelkraft Q₂ von C₀ und C₁ durch den

u. s. w.

bestimmen.

Punkt L₂, die Mittelkraft Q₃ von C₀, Ct, C₂ durch L₃

Wir führen nun durch den Balken unmittelbar links neben dem

Stützpunkte 3 einen Schnitt und setzen die in dem Schnitte wirkenden Spannungen zu einer Mittelkraft zusammen. Diese muß dieselbe Größe und Lage, aber entgegengesetzte Richtung haben, wie die Mittelkraft Q?)

der am Balkenstück 0—3 angreifenden äußeren Kräfte C₀, Cj, C₂‘, sie sei an einem starren Stabe angreifend gedacht, der mit dem Endquerschnitte 3 fest verbunden ist. Fällt die Achse dieses in Fig. 207 b etwas oberhalb der Balkenachse gezeichneten Stabes mit der Balkenachse zu-

Je

vk~

O'

t.

d)

a)

b)

SL

77/

7:

Mz

----e*

77,

- __ _z"

TW¹'

M;s

.g A

i⁵»“

'S'

rz

__Il

i.i₃

«■—

-4 —

JT

tf

/i

JT

Fig. 207.

sammen, so ist sie bei jeder eintretenden Verbiegung des Balkenstückes 0—3 Tangente der elastischen Linie im Punkte 3.

Belasten wir jetzt das auf den drei Stützen 0, 1, 2 ruhende Balkenstück 0—3 im Punkte 3 mit der lotrechten Last 1 (Fig. 207 c) und nehmen wir an. es sei für diesen Zustand die elastische Linie

O l'2'3' und ihre rechte Endtangente t₃ gegeben, so können wir mit Hilfe des Maxwellschen Satzes wie folgt schließen:

Eine in 3 angreifende Last 1 senkt den dem starren Stabe an-gehörigen Angriffspunkt von Q₃ um y, folglich ruft Q₃ eine Senkung des Punktes 3 um Q₃y hervor. Nun soll aber die Senkung des Punktes 3 gleich C₃«₃ sein; es ist daher

Qz y — ö₃ w3 •

Trägt man also nach der entgegengesetzten Richtung von 3 — 3' die Senkung 3 3" = «₃ auf, welche die Stütze 3 infolge von C₃ = 1 erfahren würde, und verbindet 3'' mit dem Punkte L₃\ so schneidet die Gerade 3" L3 die Balkenachse in dem die Lage von Q± bestimmenden Punkte _L₄. Umgekehrt kann man aus der Lage von ü₄ auf die Lage von L₃ schließen.

Es ist nun zu zeigen, wie man die Gerade t₃ findet, die man als Einflußlinie der Senkung des Querschnitts 3 für lotrechte Kräfte bezeichnen darf, welche an dem mit dem Querschnitte befestigten starren Stabe angreifen. Der Belastungsfall, um den es sich hierbei handelt, ist statisch unbestimmt. Yon der Momentenlinie, Fig. 207 d, ist zunächst nur die Ordinate 1 • l₃ an der Stelle 2 bekannt. Kennt man aber die der zweiten Öffnung angehörige Gerade t₂, so kann man den Nullpunkt der Momentenlinie der zweiten Öffnung finden. Denn für den Belastungsfall in Fig. 207 d ist Q₃ gleich der in 3 angreifenden Last 1. Macht man also 2—2" =    und lotet man den Schnittpunkt der

beiden Geraden t₂ und 3—2" auf die Balkenachse herunter, so erhält man den gesuchten Nullpunkt und kann nunmehr die Momentenlinie und die zugehörige Biegungslinie zeichnen. Der Belastungsfall aber, dessen elastische Linie die Tangente t₂ liefert, ist statisch bestimmt; es liegt hier ein auf zwei Stützen 0 und 1 ruhender Balken 0—2 vor, der im Punkte 2 eine lotrechte Last 1 trägt; seine Momentenlinie und Biegungslinie kann ohne weiteres gezeichnet werden. In derselben Weise aber, wie man von der Geraden t₂ zur Geraden t₃ gelangt, kann man aus t₂ und t₃ die t± herleiten, hierauf die t₅ u. s. w. Und ganz ebenso kann man, am rechten Trägerende beginnend und nach links fortschreitend, ein System von Geraden t' für die rechts von der belasteten Öffnung liegenden Öffnungen finden. Die Geraden t und t' spielen also eine ähnliche Rolle wie die Festpunkte des auf starren Stützen ruhenden Balkens; ihre Lage ist unabhängig von der Belastung. Mit ihrer Hilfe kann man links von der belasteten Öffnung aus der Lage eines Punktes Lk schrittweise auf die Lage von Lk_x, Lk_₂, . . . schließen, rechts von der belasteten Öffnung aus der Lage eines Punktes auf die von Ei+l, i?i+2, . . . . Für jeden neuen Belastungsfall aber sind die Punkte L und E von neuem zu bestimmen.

Es möge noch darauf aufmerksam gemacht werden, daß zur Bestimmung der Tangente t₃ das Stück l'2,3/ der Biegungslinie ausreicht; seine Lage gegen die Achse 1—2—3 ist bestimmt durch die Stützensenkungen 8^ und 8₂'. Um h₂' zu finden, beachte man, daß zwei zu den Seiten I und II der Momentenlinie in Fig. 207 d von einem Punkte 0 aus gezogene Parallelen auf einer Lotrechten im Abstande 1 von 0 den zugehörigen Widerstand C₂' der Stütze 2 abschneiden. Aus C₂ findet man

1,0

§₂ —— (i)₂

und erkennt, daß man diese Verschiebung auch mittels der in Fig. 207 d angegebenen Konstruktion bestimmen kann. Ganz ebenso wird 8/ gefunden.

Besitzt der Balken überall denselben Querschnitt, so betrachte man bei der Darstellung der Biegungslinien die Momentenflächen als Belastungsflächen. Man erhält dann die EJ- fachen Durchbiegungen und muß natürlich auch die EJ-fachen Verschiebungen cor auftragen. Da nun die elastischen Linien selbst nicht weiter gebraucht werden, sondern nur die Tangenten t, so genügt es, die Momentenfläche des Trägerstückes 1—2—3 (Fig. 207d) in zwei Teile zu zerlegen, in das zu 1—2 gehörige Trapez und das zu 2—3 gehörige Dreieck. Man erhält dann von der elastischen Linie nur drei Tangenten; die eine davon ist £₃*).

71. Nunmehr wenden wir uns zu der Hauptaufgabe, der Darstellung der Einflußlinie für ein Stützenmoment J£r. Wir setzen vorübergehend Mr = Xa und benutzen die Gleichung

Xa =

K«

p öma

Das statisch unbestimmte Hauptsystem erhalten wir, wenn wir den Balken an der Stelle r mit einem Gelenk versehen (Zustand Xa = 0). Da es nur auf das Verhältnis hma:haa ankommt, dürfen wir an Stelle von Xa = — 1, für Xa ein beliebig großes Moment annehmen, das wir mit Mr bezeichnen wollen, Fig. 208. Es wird also darauf ankommen, aus diesem Momente M' die Momente M'

. . mit Hilfe der festen Geraden t abzuleiten. Ist dies geschehen, so lassen sich die zugehörigen Stützenverschiebungen h' und die elastischen Linien der einzelnen Öffnungen bestimmen. Unter 8a(e

*) Das beschriebene Verfahren besitzt den Nachteil, daß die Punkte L und R zuweüen recht unbequeme Lagen außerhalb des Zeichenblattes annehmen. Man muß dann die bekannten Konstruktionen der neueren Geometrie, gerade Linien durch weit abliegende Punkte zu ziehen, benutzen oder die Rechnung zu Hilfe nehmen.

XL r+l l XI

r+ 2> •

r-1?

M'

9--2 ?

ferner

ist der Winkel zu verstehen, um den sich bei r die Endquerschnitte der durch das Gelenk miteinander verbundenen Balkenquerschnitte gegeneinander drehen; er stimmt mit dem Winkel überein, den die in r an die beiden Zweige der elastischen Linie gelegten Tangenten miteinander bilden.

man also

Mit den aus der Eig. 208 ersichtlichen Bezeichnungen findet

wobei eine der beiden Strecken a und b beliebig groß angenommen werden darf.

Jil

m;

-/

M'r

K+r

r-j

"ZT

#-

r±]_

r+i

"ZT

lrW~>

a<

Fig. 208.

r- 17

Die Aufgabe, die Momente M' zu ermitteln, ist als gelöst anzusehen, sobald es gelingt, den Punkt Lr zu bestimmen. Denn aus der Lage dieses Punktes kann man schrittweise auf die Lage von L

Lr_2) •

von R

r+1 j

. . schließen. Dieselben Konstruktionen sind dann zur Ermittlung Rr+o, ... zu benutzen.

Um Lr zu bestimmen, führen wir unmittelbar links von r einen Schnitt, Fig. 209. Die Einflußlinie für die Senkung des Endquerschnittes r des linken Balkenteiles ist die Gerade tr. Der Endquerschnitt r des rechten Balkenteiles liegt gerade über einer Stütze. Bringt man also, um die Einflußlinie für die Senkung dieses Endquerschnittes zu bestimmen, in r die Last 1 an, so wird ein Stützenwiderstand Y hervorgerufen und es greift jetzt an dem fraglichen End querschnitte die lotrechte Last 1 — F an. Die Ordinaten der Einflußlinie t' müssen also mit 1 — Y multipliziert werden. Behufs Berechnung von Y bezeichnen

Zweiter Abschnitt. — § 14.

236

wir die Ordinate der Geraden tf im Punkte r mit f und erhalten dann für die Senkung von r infolge 1 — Y den Wert (1 — Y) f. Andrerseits muß diese Senkung aber gleich idrY sein. Es ergibt sich also

ior

und an die Stelle von f tritt

f~\~

f' =

f(ùr

f-\- (Or

Durch diese Ordinate ist die Eintlußlinie tr" für die Senkung des Endquerschnitts des rechten Balkenquerschnitts gegeben. Ihr Nullpunkt

a)

t:

OJr

¹

Der Einfluß der Durchbiegung der Schwelle läßt sich mit Hilfe der in § 15 mitgeteilten Theorie des Balkens auf stetiger elastischer Unterlage für den Fall einer gleichförmigen elastischen Bettung verfolgen. Es ist aber nicht die Aufgabe dieses Buches, auf alle diese Einzelheiten einzugehen ; wir verweisen auf die im Literaturverzeichnis angeführten, mit der Theorie des Eisenbahnoberbaues sich befassenden Schriften, insbesondere auf die Arbeiten von Schwedler und Zimmermann.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

Lr

fr

b)

'Y

Fig. 209.

fällt mit dem Nullpunkte der Geraden t'r zusammen. Wir wiederholen, daß die Einflußlinien t für Kräfte gelten, die an den mit den fraglichen Querschnitten starr verbundenen Stäben angreifen.

Da nun die beiden Endquerschnitte dieselbe Senkung erfahren müssen, da ferner die Querkraft für den einen Querschnitt nach oben, für den anderen nach unten gerichtet ist, so findet man den Angriffspunkt Lr der Querkraft, indem man die beiden Einflußgeraden ir und tr" zum Schnitt bringt, nachdem man vorher die eine der beiden Geraden in die entgegengesetzte Lage umgeklappt hat. Fig. 209 a zeigt, wie man die beiden Arbeiten des Multiplizierens der Geraden tj mit wr : (f -J- wQ und Umklappens übersichtlich vereinigen kann. Die Diagonale AB des Rechtecks rAEB ist parallel zu tj. Lotrecht unter dem Schnittpunkte

tr und t” liegt der Punkt Lr. Genau ebenso wird der Punkt Rr+l gefunden; der Schnitt wird jetzt unmittelbar rechts von r geführt. Hat man nun aus den Punkten Lr und Rr+l die Punkte 1?

. . abgeleitet und das M - Polygon gezeichnet,

von

r +2)    •

r-2l • • •t

ermittelt man die zugehörigen Stützenverschiebungen 5' auf die in Fig. 207d angegebene Weise und gewinnt so die den Stützpunkten entsprechenden Ordinaten der gesuchten elastischen Linie. Man verbindet sie durch gerade Linien und faßt dann die von Stützpunkt zu Stützpunkt reichenden Teile der Biegungslinien als Momentenlinien einfacher Balken auf. Bei unveränderlichem Querschnitte werden die EJ-fachen Durch-

so

biegungen bestimmt. Mit Hilfe der Zahlenwerte und auf Seite 105 kann man schnell eine größere Zahl von Ordinaten berechnen. Beispiele für dieses Verfahren haben wir zur Genüge vorgeführt.

Wie man aus den Einflußlinien der Stützenmomente alle übrigen Einflußlinien herleiten kann, ist in unseren früheren Untersuchungen ausführlich beschrieben worden.

Zu erwähnen ist noch der Ausnahmefall des Stützenmomentes eines Endfeldes. Die vorhin beschriebene Konstruktion der Einflußlinie ist hier nicht anwendbar. Man geht am zweckmäßigsten von der Einflußlinie für den Widerstand der Endstütze aus, mit deren Hilfe sich dann auf dem in Abteilung I, § 13 angegebenen Wege sehr leicht alle Einflußlinien für das Endfeld herleiten lassen. Bezeichnet man den Widerstand der rechten Endstütze n mit Xa, so ist X« = hma : §aa. Die Biegungslinie für den Zustand Xa = — 1 läßt sich mit Hilfe der Geraden t ohne weiteres zeichnen, weil das Moment Mn _ i =    1 • l„ bekannt und

auch der Angriffspunkt n der Querkraft des Endfeldes gegeben ist. Es handelt sich also um dieselben Konstruktionen wie bei der Herleitung der Geraden tr aus den vorhergehenden Geraden t, nur mit dem Unterschiede, daß man die Biegungslinie so weit darzustellen hat, als sie einen beachtenswerten Einfluß liefert. Ist fn die Ordinate dieser Biegungslinie im Punkte n, so ist der Multiplikator

§aa    fn -j⁻

Als Übungsbeispiel empfehlen wir dem Leser die Untersuchung der in Nr. 61 behandelten Schiffbrücke.

§ 15.

Balken auf gleichförmiger, ununterbrochener, elastischer

Unterlage.

72. Die Grundgleicliungen von Winkler und Schwedler.

Ein prismatischer, von lotrechten Einzellasten angegriffener Stab ruhe

-GU

(4)

wenn e

auf einer wagerechten, gleichmäßig beschaffenen, elastischen Unterlage. An einer beliebigen Stelle sei die Durchbiegung des Stabes y und der Widerstand der Unterlage für die Längeneinheit der Stabachse g. Es sei

« = EoVi

wo E₀ einen durch die Erfahrung bestimmten Wert bedeutet, der mit derselben Einheit gemessen wird, wie die Elastizitätsziffer E.

Die Differentialgleichung der Momentenlinie ist d²M dx²

und die Differentialgleichung der elastischen Linie lautet d²y

(1)

(2)

z = E₀y

EJ

₂= — m,

EJ

d±y

d²M

dxL

dx²

E₀y,

wofür wir schreiben

(3)

s⁴ d*y 4 dx^

Die Länge s ist durch die Gleichung bestimmt

— y-

Das allgemeine Integral der Differentialgleichung (3) ist die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet und zur Abkürzung

(5)

gesetzt wird,

(6)

y = (A₁eV -f- A₂e V) cos 9 -j-    -f- B₂e~(p) sin 9.

Durch viermaliges Differenzieren findet man

= + {AxdP-

A₂e~(f) cos 9 —|— (—|— J5₂e    cos 9

s² d²y 2 dx2 s³ d³y 2 dx³

—    (A₁e⁽r-\-A₂e~lt>) sin 9-j-(B₁e⁽f—B₂e~'r’) sin 9

—    (A₁elf—A₂e~v) sin 9-(-(ß₁e^—B₂e~v) cos 9

(?)

s⁴ d^y 4 dxL

= — (A₁ef’-{-A₂e~v) sin 9 —{— (jBje *P) cos 9 — (A₁e⁽P—A₂e~<f>) cos 9 — (B\eV—B₂e~<P) sin 9 = — (A₁e⁽t,Jr A₂e~‘f>) cos 9 — (B₁eV-{- B₂e~V) sin 9 =—y. Die letzte Gleichung beweist die Richtigkeit der Integration.

Wir untersuchen zunächst einen gewichtslosen Stab von der Länge 21, in dessen Mitte eine Einzellast P angreift, Eig. 210, und nehmen an, daß der Stab mit der Unterlage so befestigt sei, daß g auch negativ werden kann. Die Abszissen x zählen wir von der Angriffsstelle der

Last aus nach rechts. Für x = 0 muß

0 sein ; ferner muß

dy

dx

an dieser Stelle die Querkraft den Wert

Ks⁴ d³y ₌

4 dx³

annehmen. Das gibt die Gleichungen

Ax — A% —)— Bx —j— B-2⁼⁼ 0

E₀S ’

(8)

(9)

Aus dem zweiten und dritten Differentialquotienten findet man

d²y E₀s⁴ d²y

dx2 d³y

M — —EJ

4 dx

Q = — EJ

E₀sA d³y

dx³

4 dx³

— A A A A A + A

aus ihnen folgt:

(10)

A — AA

2 E₀ s

A = ~A A

2 E₀s

Al.

muß also

Fig. 210.

An den Stabenden ist sowohl M= 0 als auch 0 = 0. Für x = l d²y dx²

= 0 und

d³y

dx³

= 0 sein. Mit der Bezeichnung

(11)

und mit Beachtung der Gleichungen (10) erhält man zur Berechnung von Ax und B₁ die Bedingungen

Ax A — <?—,*)sink-—A A A e~ Ô cos A

A\ [A — e~ Q cos \ A A A e~^) sln

— bx [A—e~l)cos ^— A Ae-;) sin — A p

—>l(cosX — sink)

--e

2 E₀s

E₀s ⁶

~ * cos X.

Ist der Stab so lang, daß -— oc

gesetzt werden darf, so wird

Sie liefern

(12)

P 2 -j- e

—2/

-j- cos 2 X — sin 2 X

4 E₀s

(13)

@in 2 X -f- sin 2 a cos 2X -|- sin 2X — e~2/~

4Æ₀s

s

² — 0 und ©in 2\ = oc. Man erhält dann

Ax = 0, Bx = 0,

mithin

A₂ — B₂ —

2 E₀s

e~⁽f> (cos 9 -f- sin 9),

M= —

E°S - ---{- — - - ~ e~‘f (cos o — sin fflj, 4    T4 V    Y Y'’

Ps

AAAl' Ae-,sinç.

4 dx³    2    Y

Nun darf man aber beim unendlich langen Stabe jede Stelle als Stabmitte ansehen, und daraus folgt, daß die vorstehenden Gleichungen auch gestatten, den Einfluß einer beliebigen Gruppe von Einzellasten anzugeben. Man erhält für irgend eine Stelle A des Stabes die Werte

(14)

(15)

(16)

4

2 2P1)"

wo

7] =

ff

7]    :

e~(p (cos 9 -f- sin 9), e~ V (cos 9 — sin 9), — e~ V sin 9,

J.

x bedeutet den Abstand der Last vom Querschnitte.

p<P — e—<p

*) Tafeln der Hyperbelfunktionen @in 9 —--

e⁽P -f- e—<P

und (fo| 9

finden sich u. a. in dem bekannten Taschenbuche der Hütte, ferner in dem Taschenbuche der Mathematik von Dr. W. Ligowski.

Die folgende Tabelle enthält eine Zusammenstellung der Werte 7], v\, r\" für verschiedene cp*).

<-------1 t 56S-------->

■H

7,95S

8,5t

i'8,5t

8,5 t

OOOO'L

CO

CM

yH

to

co

ot

<r--0,632S -->

Z.528S

■(-

Fig. 211.

-    7,95 s —

8,5*

8,5*

<-

~-0,63Zs-

r+i

Fig. 212.

*) Die Tabelle ist dem bekannten Werke: Zimmermann, Die Berechnung des Eisenbahnoberbaues, Berlin 1888, mit Erlaubnis des Herrn Verfassers entlehnt worden.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

-6

®    ^    ^    « l> K CO OS. »

®0000 ® ©0-20© ,-1

r-I CV! COUS. R «Ot>OOOS.

T—I i—Ił—I H T—l -“rHHHH

M MMMM    li JO S⁵ MMM    li

^ CO -<I 05    Ç71    S CO [O H    ^

y w „

4^ OO Ci I-*.    ©

Tabelle der Werte y), Y)', yj" (Seite 240).

Y)"

1,000 o 0,990 7 0,965 1 0,926 7 0,878 4

0,823 1

0,762 8 0,699 7

0,644 8

0,635 4 0,571 2

0,508 3

0,447 6 0,389 9 0,335 5 0,284 9

0,238 4

0,207 9

0,195 9 0,157 6 0,123 4 0,093 2

0,066 7

0,043 9 0,024 4 0,008 0 0,000 0

—    0,005 6

—    0,016 6

—    0,025 4

—    0,032 0

—    0,036 9

—    0,040 3

—    0,042 26

—    0,043 14

—    0,043 21

—    0,043 07

—    0,042 24

—    0.040 79

1,000 0 0,810 0 0,639 8 0,488 8 0,356 4

0,241 5

0,143 1 0,059 9 0,000 o

—    0,009 3

—    0,065 7

—    0,110 8

—    0.145 7

—    0,1716

—    0,189 7

—    0,201 1

' — 0,206 8

—    0,207 9

—    0,207 7

—    0,204 7

—    0,198 5

—    0,189 9

—    0,179 4

—    0,167 5

—    0,154 8

—    0,1416

—    0,134 0

—    0,128 2

—    0,114 9

—    0,101 9

—    0,089 5

—    0,077 7

—    0,066 6

—    0,056 32

—    0,046 88

—    0,043 21

—    0,038 31

—    0,030 60

—    0,023 74

0,000 0

—    0,090 3

—    0,162 7

—    0,218 9

—    0,261 0

—    0,290 8

—    0,309 9

—    0,319 9

—    0,32 24

—    0,322 3

—    0,318 5

—    0,309 6

—    0,296 7

—    0,280 7

—    0,262 6

—    0,243 0

—    0,222 6

—    0,207 9

—    0,201 8 — 0,181 2 — 0,1610

—    0,1415

—    0,123 1

—    0,105 7

—    0,089 6

—    0,074 8

—    0,067 0

—    0,061 3

—    0,049 1

—    0,038 3

—    0.028 7

—    0,020 4

—    0,013 2

—    0.007 03

—    0,001 87 0,000 oo 0,002 38 0,005 82 0,008 53

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,785

0.8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,571

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,356

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,142

3,2

3,3

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

5/₄ 7T

4,0

4,1

4,2

4.3

4,4

4,5

4,6

4,7

6/471

4,8

4,9

5,0

5,1

5,2

5.3

5.4

7/4 7t

5,5

5,6

5,7

5,8

5,9

6,0

6,1

6.2

8/4 7T

6,3

6,4

6,5

6,6

6,7

6,8

6,9

7,0

⁹/ 4 71

Tabelle der Werte 7), v\, '({' (Seite 240).

■»)

Ti

f]"

—    0,038 87

—    0,036 59

—    0,034 07

—    0.031 38

—    0,028 62

—    0,027 86

—    0,025 83

—    0,023 09

—    0.020 42

—    0,017 87

—    0,015 46

—    0,013 20

—    0.011 12

—    0,009 21

—    0,008 98

—    0,007 48

—    0,005 93

—    0,004 55

—    0,003 34

—    0.002 29

—    0,001 39

—    0,000 63 0,000 00

0,000 01

0.000 53 0,000 95 0,001 27 0,001 52

0,001 69

0,001 80 0,001 85

0,001 87

0,001 87 0,001 84

0,001 79

0,001 72 0,001 62 0,001 52 0,001 41

0.001 29 0,001 20

—    0,017 69

—    0,012 41

—    0,007 87

—    0,004 01

—    0,000 77 0,000 00

0,001 89

0,004 03 0,005 72 0,006 99 0,007 91

0,008 52

0,008 86 0,008 98

0,008 98

0,008 92 0,008 70

0,008 37

0.007 95 0,007 46 0,006 92 0,006 36

0,005 79

0,005 78

0,005 20 0,004 64 0,004 09 0,003 56

0,003 07

0,002 61 0,002 19

0,001 87 0.001 81 0,001 46

0,001 15

0,000 87 0,000 63 0,000 42 0,000 24

0.000 09 0,000 oo

0,010 59

0,012 09 0.013 10 0,013 69 0,013 92

0,013 93

0,013 86

0,013 56 0,013 07 0,012 43 0,011 68

0,010 86

0,009 99 0,009 09

0,008 98 0,008 20 0,007 32

0,006 46

0,005 64 0,004 87 0,004 15 0,003 49

0,002 90

0,002 88

0,002 33 0,001 84 0,001 41 0,001 02

0,000 69

0,000 41 0,000 17 0,000 oo

—    0,000 03

—    0,000 19

—    0,000 32

—    0,000 42

—    0.000 50

—    0,000 55

—    0,000 58

—    0,000 60 — 0,000 60

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

3,927

4,0

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4,712

4,8

4,9

5,0

5,1

5,2

5,3

5,4

5,498

5,5

5.6

5,7

5,8

5,9

6,0

6,1

6,2

6,283

6,3

6,4

6,5

6,6

6,7

6,8

6,9

7,0

7,069

Zwei Lasten, die zu beiden Seiten des Querschnittes in gleichen Entfernungen liegen, erzeugen Querkräfte von gleicher Größe, aber von verschiedenen Vorzeichen. Der links vom Querschnitte gelegenen Last entspricht bei positivem t\" eine negative Querkraft. Die von beiden Lasten hervorgerufenen 0 und M haben gleiche Größe und gleiches Vorzeichen.

Die Figuren 211 und 212 a zeigen die Einflußlinien für 0 und M. Die Abszissen sind Vielfache der Länge s; die Ordinaten sind 7] und yf.

derjenige der M- Linie

2s

Der Multiplikator der 0-Linie ist also p, =

ß

ist p. = —j-~- Wir haben die Linien nur bis x = 2,6 s gezeichnet.

73. Eng nebeneinander gelegte Querschwellen auf Eisenbahnbrücken, Fig. 213, 214, sind als stetige elastische Unterstützung der Schienen anzusehen. Ihre Stützweite sei c, der Abstand der Schienen von den Stützpunkten der Schwellen d, der Druck der Schiene auf die Schwelle I\.

\P₇

PA

k-l-J

Fig. 213.

1 d;

-----C- -

Fig. 214.

ÖL 1

---X

Bedeutet weiter El den Elastizitätsmodul der Querschwelle, J₁ das Trägheitsmoment des Schwellenquerschnitts, l den Abstand von Mitte zu Mitte der Schwelle, so ist die Durchbiegung der Schwelle an der An-griffsstelle von ]\ nach Seite 81*)

(20)

P₁d²(Sc — Ad)

V~~    6 E₁J₁ ’

und es erscheint der Gegendruck 0, den die Schwellen auf die Längeneinheit der Schiene ausüben, in der Form

Pi

6 El ,/j y

ld²(3c — 4d)

EoV-

Es ergiebt sich also

(21)

6 Jt

ld²(3c— 4td) ’

*) Man achte darauf, daß wir die Stützweite, abweichend von Seite- 80, jetzt mit e bezeichnet haben.

= 0,79 t/cm².

Das Zoreseisen wird also beansprucht mit M _ Pxd _ 1,45 • 25 Wx Wx    45,8

Würde man mit P= 8 t und 1,2 m Badstand rechnen, so würde

1,2

man erhalten: ç = ^    = 1,56, 7] = 0,21, Px = 0,20 P — 1,6 t und

ff = 0,87 t/cm2¹).

und es nimmt daher die Länge s =

V⁴

J den Wert an

-V-

2E J 3 Ex ' J\

wo E den Elastizitätsmodul und J das Querschnitts-Trägheitsmoment der Schiene bedeuten.

1. Beispiel. Es sei c = 200 cm, d = 25 cm, J = 1580 cm⁴, W — 217 cm³ (Widerstandsmoment des Schienenquerschnitts). Als Querschwellen seien Zoreseisen Nr. 9 mit J₁ = 206 cm⁴ und W₁ = 45,8 cm3 in Zwischenräumen von 2 cm verlegt. Die Breite dieser Schwellen beträgt 20 cm; es ist also 1= 22 cm, und man erhält mit E = Ex:

(22)

ld²(3c — 4(7),

1580

22 • 25² (B • 200 — 4 • 25) = 77,0 cm.

206

Es soll nun die Beanspruchung der Schwelle für eine aus drei Loko-motivachsen bestehende Belastung berechnet werden. Der Baddruck

sei P=8,5t, der Badstand 1,5 m. Für cp

x = 1,95 s liefert die Einflußlinie für z (Fig- 211) die Ordinate 7] = 0,08. Aus

1.5

0,77

= 1,95, d. h. für

Pi

folgt

P2t]

22 P

2 • 77

(1,0 -f- 2 • 0,08) = 0,17P= 1,45 t,

Für die Beanspruchung der Schiene ist der größere Badstand der ungünstigere. An Stelle der Mittelachse der Lokomotive muß eine Seitenachse über dem fraglichen Schienenquerschnitt stehen. Zu 9 = 1,95 gehört nach Fig. 212a rf = — 0,18; der zu <p = 2 * 1,95 = 3,9 gehörige Wert ?]'= — 0,001 ist unerheblich. Man erhält

8,5 • 77

Ps

— St = 4    ¹

(1,0 — 0,18) = 134 tcm,

M __ 134 W ~~ 217

— 0,62 t/cm².

Der einzelne Baddruck würde erzeugen 8,5 • 77

A/

= 164 und a = 0,76 t/cm².

Für die Praxis empfiehlt es sich, schon wegen der Abnutzung der Schienen, mit dem ungünstigen Falle zu rechnen, daß nur ein einziger Baddruck apgreift.

2. Beispiel. An Stelle der im ersten Beispiele vorausgesetzten eisernen Querschwellen sollen hölzerne Querschwellen von 24 cm Breite und 16 cm Höhe treten. Dann ist ^ = 8200, W₁ = 1025,

2100000 2

04 ! CO

2 E J 14-1580

Et

3 E₁ Jx

und man erhält mit ^=24-j-2 = 26cm:

100000

8200

2,7

s =V2,7 • 26 • 25²(3 -200 — 4 -25) = 68,4 cm. Wir rechnen mit 1,2 m Badstand und P = 8 t. Zu cp = 1,75 gehört 7] = 0,14. Daher

pi =

26 P

2 • 68,4 Pxd _ 1,9 • 25

(1,0 + 2 • 0,14) = 0,24P = 1,92 t,

1,2

0,684

Wx

1025

= 0,05 t/cm².

Für die Schiene ergibt sich für P= 8,5 t 8,5 • 68,4

Ps

4 • 217

= 0,67 t/cm².

74. Einfluß einer gleichförmigen Verkehrslast. Wir kehren zur Behandlung des allgemeinen Falles zurück. Der Druck 0 wird 0,

sobald tg 9 = — 1 ist, und das geschieht für 9 =

11

4 TC’ 4 TC’ ‘ • •

Die Strecken, deren Belastung an der Stelle A ein positives z erzeugen,

g

reichen von 9 = 0 bis 9 = —

— tu, von 9 = 4

tu bis 9 =

11

TC, U.S.W.

Die Belastung der dazwischen gelegenen Strecken ruft ein negatives z positiven negativen

Beitragstrecke rechts von A. Infolge einer gleichmäßigen

hervor. Jeder positive negative

Verkehrslast p entsteht also, wegen dx — sd9,

lange

max z =

Beitragstrecke links von A entspricht eine gleich-

CO

n    —u

[2^/71^94-2^7)^94- ...]

jt

Nun ist

Jcos (pe~<pd<y = -j—— e <p (sin 9 — cos 9)

I sin cpe~ ^d 9 = — ^ e~~<p (sin 9 -f- cos 9) J    "

I r\ d 9 = (cos 9 -j- sin 9) d 9

— e~,p cos 9

Tt

/ 7^9 = 14-^

3 Tt

== 1,067*)

ln

£(•

11 TZ

4"

7 Tt

4 ^ = 0,003.

Der Einfluß der übrigen positiven Beitragstrecken ist unwesentlich. Man findet daher, auf eine Dezimalstelle abgerundet,

max z = 1,1 Pi

also einen Wert, der nur wenig größer als p ist.

Das Biegungsmoment M wird 0 für tg 9 = 4~ 1) das ist für 9 —

TC, . . . . Infolge einer gleichmäßigen Verkehrslast entsteht mithin

(23)

5 TC

-h

Tt

max M =

4    4

[2 / yd 9 + 2 J rfdy 4- ]

O    5 Tt

*) Es ist loge 4 =0,658906 — 1.

wo

I ïj'dç = J e~v (cos 9 — sin 9) d9 = e~v sin 9

= 0,161^

‘HS

2    /^9

5 TT

V£ / -V”

4 V

5 7Tv

_T)

— 0,007 ^

Die übrigen positiven Beitragstrecken dürfen vernachlässigt werden. Es entsteht

(24)

max M — 0,17 ps².

75. Anwendung auf Schiffbrücken. Buht ein sehr langer gelenkloser prismatischer Balken auf gleich großen, in gleichen, verhältnismäßig kurzen Abständen aufeinander folgenden Schiffen und ist, wie bei dem in Nr. 61 gerechneten Beispiele der Einfluß der Werte Ç verhältnismäßig klein, so dürfen die Widerstände C der Schiffe bei der Berechnung der Momente und der Einsenkungen der Schiffe mit genügender Annäherung durch einen stetigen Gegendruck

Fy

ersetzt werden, wo l den Abstand der Mitten zweier benachbarten Schiffe, ft¹ den Inhalt des wagerechten Schiffsquerschnitts und y das Gewicht des Wassers für die Baumeinheit bedeutet. Es ist dann

(25)

jF

und s =

/ 4EJI

und man erhält für das größte Stützenmoment infolge einer gleichmäßigen Yerkehrslast den Wert

(26)

max Mp = 0,34 p

EJl

M₀ =

Für das Moment in der Mitte einer Öffnung rechnen wir den Betrag — pl² hinzu.

Hinsichtlich der ständigen Belastung g verhalten sich die einzelnen Stücke l des unendlich langen Balkens wie an beiden Enden wagerecht eingespannte Stäbe. Es entsteht über einer Stütze

gi²

und in der Mitte einer Öffnung

gl² gi² _ gi²

12

24

(27)

Das größte Biegungsmoment beträgt daher im ganzen /EJl

0)34 p j/

Irpl² + ^4 g]2'

Die größte Belastung eines Schiffes infolge der Verkehrslast ist (^max f ) 1 fil*

Wenden wir diese Formeln auf die in Nr. 61 untersuchte Schiffbrücke an, so erhalten wir

/ EJl

(28)

215 • 1260 • 12

1,0 • 100

Mmax= (o,34- 180 -f

180 m²

122 24 ⁹

= 79_p + 6g = 79 • 2,7 -f 6 • 1,8 = 214 tm.

Cmax = 1,1 P 12 = 13,2^?, welche Werte mit den früher erhaltenen:

Mmax — 74j? + ⁶,3 g = 211 tm, Cmax —13,2 p trotz der Stützenentfernung von l — 12 m und der nicht einmal sehr großen Zahl von Schiffen sehr gut übereinstimmen.

Wir bemerken noch, daß für das vorstehende Beispiel

• 12

²^)p +

-V

A EJl

1 9,0 m

ist, daß also die zweite positive Beitragstrecke hinsichtlich des Momentes 7ts = 75m von der Balkenmitte beginnt und im

erst im Abstande 9

Abstande -4

7ts=134 endigt. Es hätte also genügt, 21^ = 0,16^5

zu setzen. Ähnlich verhält es sich mit Cmax. Bei der Anwendung von Näherungsformeln empfiehlt es sich aber, etwas Reichlich zu rechnen.

Die Wirkung von Einzellasten läßt sich mit Hilfe der in den Figuren 211 und 212 dargestellten Einflußlinien leicht verfolgen. Der Widerstand C eines Schiffes infolge einer Last P= 1 ist

C = zl =

12

2s

ri== 38 71== 0,32 Tl'

Drückt man nun l als Vielfaches von s = 19 m aus, so erhält man 1 = 0,632 s, und kennt jetzt den Maßstab, in welchem der Balken unter die 7]-Linie gesetzt werden muß, wenn diese Linie die Einflußlinie für C sein soll. Der Multiplikator ist 0,32. Um eine Vergleichung mit den Ergebnissen der in Nr. 61 durchgeführten Untersuchung zu ermöglichen, geben wir noch die den Stützpunkten 1, 2, 3, 4, 5 entsprechenden Werte 0,32 tq an. Wir finden die Zahlen

0,32    0,24    0,11    0,03    — 0,01,

welche von den früher gewonnenen nur wenig abweichen. Die Einflußlinie für den Widerstand C₀ des zunächst dem Ufer gelegenen Schiffes hat natürlich eine von den übrigen U-Linien völlig abweichende Form. Man findet sie mit genügender Genauigkeit mittels der am Schluß von Nr. 61 unter 7 durchgeführten Untersuchung aus der Einflußlinie für M₁.

Um die Wirkung von Einzellasten auf die Momente des mittleren Teiles der Brücke zu untersuchen, betrachte man die +Linie, Fig. 212a, als

s behaftete Einflußlinie, sowohl des Stützen-

die mit dem Multiplikator

und leite die Einfluß-

j-+i

momentes Mr als auch des Stützenmomentes M, linie des Momentes M für den in der Mitte der Öffnung l gelegenen Querschnitt mit Hilfe der Formel

•+i

M = M₀ 4

Mr —j— M,

ab.

Die M₀ -Fläche ist ein Dreieck von der Höhe

I, wofür natürlich

wegen des Multiplikators -—s die Zahl l:s aufgetragen werden muß. Im vorliegenden Fall ist (für P — 1)

srf — 4,7 5 +

Mr =

und die Höhe des M₀-Dreiecks gleich l:s — 0,632. Das beschriebene Verfahren ist in Fig. 212b durchgeführt worden. Der zur Öffnung l

{Mr -j- Mr+i)'-Linie wurde gestrichelt. Multipliziert

gehörige Teil der

2

+ 2,66    — 0,24.

Ersetzt man innerhalb der Öffnung die (Mr -f- Mr+y)-Linie durch

eine wagerechte Gerade, was stets zu empfehlen ist, so findet man + 5,66    + 2,66    — 0,24.

man die in der Mitte von l und bei den Stützpunkten r und r — 1 gemessenen Ordinaten mit 4,75, so erhält man + 5,32

In Nr. 61 erhielten wir

+ 5,41

~f~ 2,41

Die Übereinstimmung ist eine befriedigende*). Jedenfalls ist das Näherungs verfahren sehr wertvoll für eine Voruntersuchung langer ge-

EJ

'lenkloser Schiffbrücken, da es gestattet, den Einfluß von

— 0,33.

schnell

y F

festzustellen. Eine nachträgliche genauere Berechnung auf dem in Nr. 61 beschriebenen Wege, die sich nach den vom Verfasser an verschiedenen Beispielen gesammelten Erfahrungen auf einen von 6 bis 8 Schiffen getragenen Balken beschränken darf, hat es dann mit einem Werte a zu tun, den man wohl nur in seltenen Fällen wird verbessern müssen. Auch die in Nr. 67 u. 86 vorgetragene Theorie des Balkens auf unendlich vielen elastischen Einzelstützen führt rasch zum Ziele.

76. Eisenbahnschienen auf Querschwellen dürfen bei den

üblichen kurzen Abständen der im Schotterbett liegenden Schwellen ebenfalls mit genügender Genauigkeit als stetig unterstützte Balken behandelt werden. Zur Bestimmung des größten Druckes, den ein Eisenbahnzug auf eine Schwelle ausübt, kann daher ohne weiteres die in Fig. 211 gezeichnete 7]-Linie benutzt werden. Man braucht nur die Größe der Hierbei ist zu beachten, daß der Druck auf die

Strecke s anzugeben.

Schwelle um so größer ausfällt, je geringer die Einsenkung der Schwelle ist. Wir rechnen also ungünstig, wenn wir annehmen, daß sich der von beiden Schienen auf die Schwelle ausgeübte Druck 2P₁ gleichmäßig über die Grundfläche 2ab der Schwelle verteilt. Hierbei bedeutet 2a die

Länge, b die Breite der Schwelle. Die Schwelle senkt sich also um

2Pt

V K2ab ’

K den auf Seite 225 erklärten Erfahrungswert bezeichnet. Es wird daher

Kab

wo

(29)

E₀ =

Pt

ly

-V-

4 EJl Kab'

l den Abstand von Mitte zu Mitte der Schwelle bedeutet. Ist z. B. für die Schiene J— 1580 cm^,⁴ E = 2100 000 kg/cm², ferner l = 80 cm, a = 135 cm, b — 26 cm, so erhält man K = 3 s =100 cm

*) Bei der Bewertung der geringen Unterschiede beachte man auch, daß Stelle der in Nr. 61 angenommenen Stützung in Schiffsmitte in Wirklichkeit wohl immer eine Wagebalkenstützung (siehe Fig. 108) treten wird.

(30)

wo

für

die Längen

8 kg/cm3 7 8 cm.

au

Es soll die Wirkung einer dreiachsigen Lokomotive untersucht werden. Der Radstand sei 1,2 m, der Raddruck 8,0 t. Als Vielfaches von s ausgedrückt, nimmt der Radstand für die zwei betrachteten Fälle die Werte an

1,20 s

1,54 s

und man findet nun mit Hilfe der Figur 211

1,78

2 7) =

Die Schwelle erfährt den Druck

1,44.

p'-2s

2Pt] =

40 • 8,0

2 7]

3202t)

Das gibt:

5,7 t

5,9 t,

also für beide Fälle abgerundet Px — 6 t. Die negativen Stützendrücke, die sich aus der Annahme eines unendlichen langen Balkens ergeben und von den lose auf der Bettung liegenden Schwellen nicht aufgenommen werden können, werden das Ergebnis der vorstehenden Rechnung sicher nicht sehr beeinflussen, denn sie treten erst in größerer Entfernung von der fraglichen Schwelle auf. Auch darf nicht außer acht gelassen werden, daß wir nur mit drei Raddrücken gerechnet haben, um ein ungünstiges Ergebnis zu erzielen. Auf dem im § 13 eingeschlagenen Wege fanden wir ebenfalls C — rund 6 t.

Zwischen der Strecke s und der im § 13 vorkommenden Zahl a besteht die Beziehung

a.

(31)

§ 16-

Formänderung und Beanspruchung eines zylindrischen Wasserbehälters mit lotrechter Achse.

Die Untersuchung eines zylindrischen Wasserbehälters führt auf eine Differentialgleichung, welche sich von der die Grundlage des vorigen Paragraphen bildenden Gleichung (3) nur dadurch unterscheidet, daß auf der rechten Seite das Glied Cx hinzutritt, wo C eine von x unabhängige Größe bedeutet. Es möge deshalb diese Untersuchung hier eingeschaltet werden.

77. Die Wandstärke ist überall gleich groß. Die Höhe des Behälters sei l, der Radius r, die Wandstärke 8, Fig. 215. Es sei 8 sehr klein im Verhältnis zu l und r. Im Abstande x vom oberen

Rande des Behälters ändere sich r infolge der elastischen Verbiegung der Wand um y.

oc

fff* \ ²¹

ÛÇ'

Aus der Zylinderwand sei ein senkrechter Streifen von der Breite rd'b herausgeschnitten. Im Teilchen hdx der senkrechten Schnittfläche werden Zugspannungen erzeugt, für welche bei dünner Wand ein Mittelwert ar eingeführt werden darf, der sich zum Elastizitätsmodul E verhält wie A 2 irr : 2%r. Da nun Ar = y ist, so folgt

(i)

ar

WÏ.

Auf das Teilchen dx-rd4* der Innenwand wirkt der W asserdruck y xdxrd'ÿ, wo 7 das Gewicht der Raumeinheit des Wassers bedeutet. Es verhält sich also der aus der Zylinderwand herausgeschnittene senkrechte Streifen wie ein Balken, dessen Längeneinheit an der Stelle x mit

ödoc

dP^r

dtp

H,'

--'Adrödoc

dP >

6r8dx

Fig. 215.

7 xr

p — ^xrd\\>

belastet ist. Das Trägheitsmoment seines Querschnittes beträgt

rd^h³

¹

Wenn, wie im vorliegenden Falle, die ungünstigste Laststellung ohne weiteres angegeben werden kann und nur wenige Werte y] zu berechnen sind, so braucht man die Einflußlinie nicht zu zeichnen. Die tq können der Tabelle entnommen werden, nötigenfalls mit Hilfe geradliniger Einschaltung. Sind verschiedene Zugstellungen zu untersuchen, so verdient die Benutzung der Einflußlinie im allgemeinen den Vorzug. Die Badstände werden als Vielfache der Länge s ausgedrückt und eine einmal gezeichnete Einflußlinie kann dann für die verschiedensten Aufgaben benutzt werden.

12

und die Gleichung seiner elastischen Linie lautet

(2)

EJ

dĄV

dx

r —P-

mit der Bezeichnung

Nach einer einfachen Umformung erhält man

(3)

i /r²5²

⁸ = U^r

die Differentialgleichung

s⁴ d^y 4 dx⁴

deren allgemeines Integral lautet:

y =    -f- H₂e— v) cos 9 -(- (B\éf -(- B₂e~‘f>) sin 9 -f- T

(4)

(5)

Eh ’

wo

Durch viermaliges Differenzieren findet man

= + (J[₁^ — A₂e~,p) cos 9 -\-(B₁e(p-\-B₂e~<p) cos 9

(A₁e,/,-j- A₂e~‘p) sin dj)-\-(B₁e,f>—B₂e~<p) sin 9 —(— y

r²s

Eh

s² d²y

2 dx²

(A₁e<p—A₂e~sin 9 ——B₂e~(p) cos 9

(6)

s³ d³?/ 2 e£a:³

s⁴ dAy 4 ii,r⁴

—    f,p) s^n 9-(-(-^ie9,_j_^2e— v) cos9

—    (A₁e(p—A₂e~ (p) cos 9~(B₁e(p—B₂e~<p) sin 9

—    (A₁e(p-j-A₂e~<p) cos 9 — (B₁e<p r²x

B₂e <p) sin 9

— 2/ + Ï

Am oberen Rande des Gefäßes (x = 0) muß sein

d²y

dx²

— 0 und

d³y

dx

₃- — 0,

weil Moment und Querkraft dort gleich Null sind. Hieraus folgt

B₂ — Bx

Ag = Ax 2 B₁,

weshalb

(7)

y — -Ą- A₁ (eV -j- e~V) cos 9

-j- Bx [(e^ -\- e~(p) sin 9 — e~,p 2 cos 9] -j⁻ Y

r²x Eh ’

(8) s

dy

dx

= -j- Ax [(ef — e~v) cos 9 — (ev -f~ e~,p) sin 9]

Bl [(<A -\-e V) (cos 9 -f- sin 9) -f- e ,p 2 cos 9] y

r²s

Eh

Am Boden sei das Gefäß senkrecht eingespannt. Die wagerechte Ausdehnung des Bodens möge vernachlässigt werden. Dann muß sein

l

für x = l, das ist für cp = — ,

s

y = o,

dx

= 0.

Durch diese beiden Bedingungen sind die Festwerte At und Bx bestimmt.

ver-

Bei dünnwandigen Gefäßen darf nun e » stets gegen e nachlässigt werden. Die beiden Bedingungen gehen dann mit der Bezeichnung

über in

0 = A₁ cos X -f- Bt sin X + Y

r²l

Ehe¹

r²l

0 = Ax (cos X — sin X) + B± (cos X -}- sin X) + Y ■    ;

sie liefern

(9)

Y [cos X + sin X

sin X

(10)

Bi = + t

r²l

cos X — sin X —

cos X

Ft,,.'

Führt man Hyperbelfunktionen ein, so darf man e;- = 2©of X

setzen. Man findet dann mit den Bezeichnungen

(11)

(12)

r²l

cy>

— c und

(13)

die folgende Gleichung der elastischen Linie:

■*) — y

(14)

= Pi

cos 9 (£of 9

Gof X

— ?2

sin 9 (£of 9 — cos 9 (Qtof 9

©in 9)

eof x

wo

(15)

= cos X -f- sin X

sin X

(16)

p₂ == cos X — sin X

cos X

stische Linie sein. Der durch die Gleichung (14) bestimmte Wert yj — y gibt also die Abweichung der wirklichen elastischen Linie von der Geraden AB an.

Bevor wir diese Abweichung zahlenmäßig verfolgen, geben wir noch die Gleichung der elastischen Linie für den Fall an, daß die oben eingeführten Vereinfachungen wegen eines zu kleinen Wertes X ungültig werden sollten. Es wird dann

(17)    --...............- = g cos 9 (Sof 9

— p" [sin <p (£of 9 — cos 9 (Gof 9 — ©in 9)],

wo p" und ç" durch die Gleichungen bestimmt sind

(18)    2 (Gof² X -f- cos² X) ç'= (Sof X (2 cos X -f- sin X) — ©in X cos X

[6of X (sin X — cos X) -f- ©in X cos X],

(lof X cos X

Die Werte c und y) und die durch die Gleichung bestimmte Gerade AB (Fig. 216) lassen sich in einfacher Weise deuten.

Man denke sich aus der Zylinderwand im Abstande x vom oberen Ende durch zwei wagerechte Schnitte einen Ring von der Höhe dx herausgeschnitten und nehme die wagerechten Schnittflächen spannungslos an. Dann besteht zwischen der Ringspannung a,. an der Stelle x und dem Wasserdrücke jx offenbar die Gleichgewichtsbedingung

arh dxd'b = y xdxrd'b, und es ergibt sich für diesen Fall: y xr

0,1

0,2

0,3

0,4-

Gr

0.5

Die zugehörige Änderung des Ra-

0,6

dius ist

0,7

0.8

0,85

9

XV*

¥ r = T Eh ’

sie stimmt mit dem oben eingeführten Werte Y] überein. Für x — l wird

Ar =

Gr

0,88385

0,9

Y] = C.

0,95

w.

Fig. 216.

Wäre nun die Zylinderwand mit B dem Boden nicht befestigt, so könnten sich die einzelnen wagerechten Ringe in der oben beschriebenen Weise ausdehnen; es würde dann die Gerade AB die ela-

und

(19) 2 (®of² X + cos 2 a) ç" = ©in X cos X — ßof X sin X —

i / l¹ l¹

(20)

y ³7i--p-=rund 20-

Die Voraussetzung ©in X = (Eof X trifft hier zu¹); es dürfen also die Näherungsformeln benutzt werden. Wegen des sehr großen

cc

=--X nur sehr geringe Unterschiede 7] — y. so daß für den oberen

Teil der Gefäßwand die elastische Linie fast genau mit der Geraden AB zusammenfällt. In die folgende Zusammenstellung haben wir diese äußerst kleinen Werte mit aufgenommen, schon um zu zeigen, daß die elastische Linie eine Wellenlinie ist, welche die Gerade AB mehrfach schneidet. Es ist

x

für--= 0

7] — y = Jr 0,000000003 • c

= 0,1 = 0,2 = 0,3 . =0,4 = 0,5 = 0,6 = 0,7 = 0,8 *    =0,85

= 0.88345

Bei genügend großem X darf man ©in X = Uof X setzen und cos² X gegen (£of² X streichen. Dann geht

p' über in

Pi

Uof X

und p" in —-²- •

* ©of X

Zahlenbeispiel. Es sei l = 0,br und 5 =

376

also

= — 0,000000001 ' c = — 0,000000139 -c = -f 0,000000896 • c = -f- 0,00000205 • c = — 0,000062 -c = + 0,000267 • c = -f 0,001 669 -c = — 0,025 14 • c = — 0,0426 • c

= 0,9 = 0,95 = 1,00

= 4- 0,0603 ■ c = + 0,4929 • c — + c.

Fig. 216 maßstäblich dargestellte

Bis zu a? = 0,71 darf die in elastische Linie als mit der Geraden AB zusammenfallend angesehen

man nur für den unteren

werden. Die Biegungsspannungen braucht

Teil der Zylinderwand zu untersuchen.

Für diesen Teil ist aber

Qß    _

— X > 0,7 *20 — 14. Man darf also (Sof 9 = ©in 9 setzen und erhält dann die einfache Gleichung

7] — y

-= (Pj cos 9 — p₂ sin 9)

©of 9

©of X

e<P

= (pj cos 9 — p₂ sin 9)

p₁ cos 9 — p₂ sin 9

Drückt man px und p₂ mittels der Gleichungen (15) und (16) aus und führt die Bezeichnung ein

l — x

so findet man

(21)

cos 9' -J-

— sin cp'

(Sof 9'

und durch zweimaliges Differenzieren dieser Gleichung, wobei (Sof cp' — ~ e(p' gesetzt wird :

d²y

dx²

Nun wird die Biegungsspannung:

(22)

2c

s² (Sof 9'

cos cp' — sin 9 ^.

Mh

±_2

Eh d²y

dx²

das ist

(23)

Cb = ±

Ec}/3 rx — 1

r (Sof 9 L X

cos cp' — sin 9'J

und die Ringspannung:

(24)

ar = E

li

^

! Ci

, . X

cos 9 -j—

sin cp'

(Sof 9'

Es empfiehlt sich, diese Spannungen mit den der geraden elastischen Linie entsprechenden Ringspannungen

rx

(25)

17

zu vergleichen. Wir schreiben daher

ob = + Oi

(26)

V3 A

©of 9' V

cos 9' — sin 9'^

cos 9' -f-

(27)

0r =

0: 1

1 . ,

- sm 9

(Sof 9'

Die Biegungsspannung ist am größten für x — 0 ; sie besitzt dort

den Wert

(28)

Ob max

= ±or'y3

-X— 1

(29)

Mit wachsendem x nimmt ab schnell ab; es wird gleich Null, sobald

X — 1

tg 9'

ist, und besitzt ein zweites Maximum für

tg 9' = 2 X — 1.

Bei hohen dünnwandigen Gefäßen ist X meistens so groß, daß die

Gleichung (29) nahezu für 9 = — und die Gleichung (30) nahezu für , %

9 — — erfüllt wird.

und ob = + 0,7 g/. Diese Biegungsspannung ist erheblich kleiner als

,

0. Da ferner zu 9 = — 4

gehört, so erkennt man, daß Biegungsspannungen,

welche die Beanspruchung g/ übersteigen, nur ganz in der Nähe des Bodens Vorkommen.

Die Ringspannungen ar sind zum Teil größer, zum Teil kleiner als die entsprechenden Spannungen ax', weil die wirkliche elastische Linie die Gerade AB mehrfach schneidet. Der Fall or^> Cx' tritt ein, sobald

(30)

Dem letzteren Werte entspricht (£of (p' = 2,50

die Biegungsspannung an der Stelle x der Wert x =

X— 1

sin 9r<^ 1

cos 9' -f-

ist. Es genügt das Verhalten des untersten Teiles zu prüfen. Ist z. B. X = 20 und wird zur Vereinfachung der Zahlenrechnung (X— 1) : X == 1 gesetzt, so ergeben sich für

— = 0,13    0,14    0,15    0,16    0,17    0,18    0,19

die (etwas zu großen) Werte

= 1,058    1,086    1,099    1,103    1,099    1,089    1,078.

Gr

Ox

17*

Der größte Unterschied zwischen ar und dem zugehörigen ax beträgt also im vorliegenden Falle nur etwa 10 v. H.

Aus unserer Untersuchung geht hervor, daß die für die Bestimmung der Wandstärke maßgebende Spannung für hohe dünnwandige Gefäße die Biegungsspannung am Boden ist, nämlich

(31)

wo

T U* X —¹

/²

Wir heben schließlich noch hervor, daß man die für den unteren Teil der Wand gewonnenen Formeln auch ohne weiteres aus den Gleichungen (6) erhält, wenn man A₂ und B₂ gleich Null setzt und Bx mittels der für x — l bestehenden Bedingungen y = 0 und

= 0 berechnet. Daraus folgt aber, daß die Spannungen im unteren

Teile der Wand unabhängig von den Bedingungen sind, die zur Berechnung der Konstanten A₂ und B₂ dienten. Wird also das Gefäß

auch am oberen Ende senkrecht eingespannt (y — 0 und

für x — 0), was zur Folge hat, daß

A₂ = — Ax und B₂ = — Bx---

A,

dy

dx

dy

dx

wird

so hat diese Änderung unserer früheren Voraussetzungen bei großen Zahlen \ keinen Einfluß auf die Beanspruchung in der Nähe des Bodens.

78. «Veränderliche Wandstärke. Bei größeren Wasserbehältern ändert sich 5 mit x. Die Wand wird aus ungleich starken platten förmigen Bingen, sogenannten Bahnen, zusammengesetzt. Für jede Bahn gilt die allgemeine Gleichung (5); es nehmen aber § und damit auch s, ferner die vier Integrationskonstanten für die verschiedenen Bahnen verschiedene Werte an.

Die Berechnung der Konstanten kann nun auf dem folgenden Wege geschehen. Mittels der beiden für den oberen Band zur Verfügung stehenden Bedingungen drückt man zunächst zwei der Konstanten A A₂, Bx, B₂ der obersten Bahn durch die beiden übrigen aus, z. B., wie in Nr. 72, A₂ und B₂ durch Ax und Bx. Hierauf schreibt man für die Grenze zwischen der obersten und der nächsten Bahn die vier Gleichungen an, welche aussagen, daß die Werte

fy

dx²

V,

dy

dx

M = EJ

Q=EJ

d³y

dx³

zweier benachbarten Bahnen stetig ineinander übergehen müssen, und stellt mit Hilfe dieser Bedingungen die Konstanten der zweiten Bahn ebenfalls als Punktionen von Ax und Bl dar. Dieselbe Arbeit nimmt man dann an der Grenze der zweiten und dritten, der dritten und vierten Bahn usw. vor, und schließlich berechnet man A₁ und B₁ mittels der beiden für den unteren Band des Gefäßes geltenden Bedingungen

dy

=■ 0.

dx

y = 0 und

Die Durchführung der Zahlenrechnung ist allerdings ziemlich mühsam; für den wichtigen Fall größerer dünnwandiger Bottiche — gekennzeichnet durch Werte X, welche gestatten, ©in X = Gbf X zu setzen — ist diese Arbeit aber entbehrlich. Hier genügt es, die oberen Bahnen für die Spannungen aj' zu berechnen und nur den unteren Teil der Wand auf seine Biegungsfestigkeit zu untersuchen.

Um nun möglichst schnell ein Bild von der Veränderung zu erhalten, welche die einer überall gleichen Stärke 5 entsprechende Biegungsspannung ah am Boden erfährt, wenn der obere Teil der Wand dünner gemacht wird, stellen wir die folgende Untersuchung an.

Die Wand habe vom oberen Bande bis zur Tiefe x = a die Stärke 5₀, von hier ab die Stärke bu. Es seien die Bezeichnungen eingeführt :

I — a — ô,

l / r‘}

*•’ y-»

su

cl — —

IA

Su

V'

r²

c₀ = Y

r²l

r²l

EK

E 8₀’

und es werde angenommen, a sei so groß, daß e werden darf.

Dann gelten für den unteren Teil des Wandabschnittes a die aus den Gleichungen (7) und (8) folgenden Formeln:

— 0 gesetzt

CC

Vo

= (A cos 9 -j- B sin 9)    -(- c₀ —

So

dy₀

dx

— [A (cos 9 — sin 9) -f- B (cos 9 -f~ sin 9)] c₀

So

d²y0 2 dx²

— (— A sin 9 -f- E cos 9) erb

s« à³p

2 dx³

== [— A (sin 9 -f- cos 9) -J- B (cos 9—-sin 9)] eU

Wird zur Abkürzung gesetzt

Ae“ = 21, Be* = 23, so entstehen für 9 = a die Gleichungen

-J- 21 cos a -j- 23 sin a = y₀ — c₀ —,

— 21 sin a 23 cos a =

d\jo

dx²

-j- 21 (cos a — sin a) -f- 23 (cos a -[- sin a) = s₀

dya

*o

dx

C° l ’

— 21 (cos a -|- sin a) 23 (cos a — sin a) =    ^ 'lo,

2 cl oc

Aus den beiden ersten Gleichungen folgt:

si d²y₀

cosa-T^

s^ d²y„ 2 da;²

21 =

58 =

(j/o — c₀~j ) sin a -f

sin a,

cos a,

und aus den beiden zweiten:

'2 21 =

s₀

d«/o

dx

2 23 =

s₀

dya

dx

) (cos a sin a)

S.V 1 •    \ 1 s° dZVo

c.Tj(cosa + sma)+-—r

«*o

(cos a -f- sin a).

(cos a — sin a).

Indem wir die beiden Werte 21 einander gleichsetzen und ebenso die beiden Werte iß, erhalten wir die Bedingungen d y₀ 1 — tg a

(33) */₀ — s₀

dx

s^ d²y0 "2 da;²

tga +

4 d*V° j¹ + tg a

2 dx* f. 2

(.+*!=*?>

(34) y₀ —

dy₀ cot g a -f- 1

da;

d ²y0 2 da:²

cotg a

4 d³y₀ cotg q-f 1 2 dx³s 2

(a -j- s₀

cotg a -j- 1

Für den Teil b der Wand rechnen wir x vom Boden aus. Es gelten dann die Gleichungen

y„= -f- (AxeV -f- A₂e~V) cos 9 -f- (B+ B₂e~(p) sin9~)-c„

-f- (A₁e<p — A₂e~(p) cos 9 -j- (B^v + B₂e~(p) cos 9 — (A₁e<p -j- A₂e~(p) sin 9 -f- (B\év — B₂e~(p) sin 9--

dyu

dx

dy

Für x = 0 muß y — 0 und

J    dx

A₂    Ax cu

ß₂ — — 2 A₁ — B₁ — cu

— 0 sein. Daraus folgt

und es ergibt sich:

yu — -j- Ax[-|-(cy — W?¹) cos 9 — 2e—^ sin 9]#x(ev—e~cp) sin 9

l — a;

— cuc

v ^cos 9 -|

X— 1

sin 9) + cu

dyu

dx

-)- A₁ [-j- (ßv — e~y) (cos 9 — sin 9) -j~ 2 sin 9]

+ -Bi [+    + e-v) sin 9 + (e* — ß~v) cos 9]

2 X —

1 . .1

— sm 9 -j- — cos

9)

cu

sl d²yu

2 da:²

-f- Jx[—(ßfl> — e~V) sin 9 -j- 2 e~ ^ cos 9] ——b«    cos 9

cos 9 —

sin 9^

sl dsyu

2 dx³

Ax [— (eV -J- ß~(p) (cos 9 -(- sin 9) — 2e v cos 9] -(- Bx [-]- (ß,f> — ß~ V) cos 9 — (eV -f- ß~<p) sin 9]

2 X — 1

cos

9 + ysin 9)*

Zur Berechnung der beiden Konstanten Ax und Bx stehen die Gleichungen (33) und (34) zur Verfügung, wobei die folgenden vier Übergangsbedingungen für die Stelle x = a zu beachten sind :

y 0    dyu

dx ¹

y»    y ui

I TS

EJ₀

² I/o

2~— EJU

d²yu

dx² ’

EJ₀

dx³

= — EJU

d³yu

dx³

Nun ist

ju __ k_    «b

Jo    K ’    sl

Co

Cu

C/> 00 o §

und man erhält daher:

dy₀

y₀ = yu, so

sl d²y0 2 dx2 si d³ yo __ 2 dx³

dx

dx

V-

«O ¹ (AO

_ d²y^_ h\ dx2 d³yu

2 dx³ K

C'J «M "cc

Die Gleichungen (33), (34) gehen jetzt über in

d'yu bl

2 dx² K

(35) yu -j- su

dyu 1

o? <zy)

g : o

(1 — tg a)

ftg a

si d;‘yu 1

2 dx³ 2

|/A(l+tga) =

cu

(36) yu -f- su

dyu 1

dx

(cotg a —j— 1) —f—

si d\ju    K

2 dx¹ bl

-ry- cotg a.

si d³yu J.

2    c2;z³ 2

1/

s:

Cu

(cotg a—1) =

/ cotga-j-l\8„

G+s-—2—)y;

cp, mit Benutzung der Hyperbelfunktionen: yu = -j- 2 (©in ß cos ß — e~p sin ß) -j- 2 Bt ©in ß sin ß X — 1

Hierin setze man, für ß

- cuc

-p

^cos ß

sin ß) + cu y

dyu

dx

-j- 2 A₁ [©in ß (cos ß — sin ß) e~[i sin ß]

-j- 2 D₁ (Gof ß sin ß —[— ©in ß cos ß) 2 X — 1

cos ß 4

sin

Cu

(37)

d² yu 2 dx

= — 2 Ax (ßof ß sin ß — e ^ cos ß) —(— 2 Bx (£of ß cos ß — cos ß —

+ c«e p (

30.

si dz y u 2 dx³

2 Ax [(£of ß (cos ß -f- sin ß) -j- e⁻P cos ß]

-j- 2 Bx (©in ß cos ß — (£of ß sin ß) — 2X + 1

COS ß

sin

ß)-

Hat man Ax und Bx berechnet, so findet man für cp = 0

to

d² y u

dx'

— 2^i -j~ 2 Bx -f- cu

und hieraus folgt dann für die größte Biegungsspannung

_ Ebu d²yu h 2 dx²

der Wert

(38)

max

rlV3 / X

T ' X • (•

Ax + #i

Cu

)■

Zahlenbeispiel. Es sei l — 1000 cm, r — 2000 cm, a = 900 cm, b — 100 cm, 5₀ = 1,8 cm, hu = 3,0 cm. Man findet

s₀ =

= 45,6 cm,

tg a = tg 51° = 1,23,

a = —= 19.74, cotg a = 0,81,

— 17,0, ß= —=

l/s

il il 7 'K

cos ß = cos (90° -)- 7| °) = — 0,13, sin ß = 0,99,

(£of ß = 2,83,

Mit diesen Zahlen werten gehen die Gleichungen (37) über in: ₍    yu = — 1,05 Ax + 5,25RX +0,76

5,58 Ax-\- 4,91^ + 0,29 c„

Su

@in ß = 2,65

e~P = 2,83 — 2,65 = 0,18.

s„

dy„

da?

s! d²yu 2 da:2 s« d³yu - 2 da?³

und die Gleichungen (35) und (36) in:

s« d⁸y, 2 da?2 si d²y„

2 da?²

(I)

(II)

= — 5,65 Mi— 0,741?!— 0,03 cu

4,82^ — 6,29ß\-{- 0,06 eu

yu — 0,09 su

y« + 0,7 o su

dyu

dx

dyu

dx

3,42

f 2,25

2,40 -

0,2° ₁

sl d³yu d a?3 su d yu

1,49 cu

da?³

1,57 cu.

Setzt man die Werte (I) in die Gleichungen (II) ein, so erhält man: + 30,34 Ax + 22,44 Bx == 0,80 — 16,70 Ax-\- 8,28 Bx = 0,69 cu

und hieraus:

Ax = — 0,014 cu, Bx =? -|- 0,055 c„,    Bx = 0,04 cî(.

Es ist also — ohne Rücksicht auf die Schwächung der Platte durch

Niete —

Gb max    T

rl\ 3/1

“X” v

1000

-¹- -|_ 2 • 0,04)

2000- 1000 V3(H₊₀₁₆)=mna 1180kg/cm*.

3,0

Im Falle §₀ = hu = 3,0 würde

rlV 3 \ — l

max

= 1090 kg/cm²

sein. Vereinfacht man die vorstehende Formel, indem man (X — 1) : X = 1 setzt, so liefert sie

(39)

max Y

rl

Y3 = 1150 kg/cm².

An der Grenze zwischen den beiden Platten ändert sich r um yu = (-J- 1,05 • 0,014 + 5,25 • 0,055 -j- 0,76) eu = 1,06 cu.

Es herrscht daher an dieser Stelle in beiden Platten eine Ring

spannung

c,=

1,06 y

rl

707 kg/cm²,

welche kleiner ist als die größte Biegungsspannung.

Wir haben in unserem Beispiele den Sprung — 6₀ größer gewählt, als er in Wirklichkeit sein wird, und dürfen in Anbetracht dieser ungünstigen    Annahme die    Steigerung der Spannung    Gb als unwesentlich

bezeichnen.    Der    Einfluß    einer Verminderung der    Wandstärke auf ab

nimmt mit    dem    Abstande    der Bahn, welche diese    Schwächung erfährt,

vom Boden    sehr    schnell ah. Die Abmessungen der    oberen Bahnen sind

hei den üblichen Abstufungen der Stärken 5 ohne merkbaren Einfluß. Der Verfasser pflegt deshalb die Spannung ab nach der Formel (39) auch im Falle verschieden starker Bahnen zu berechnen und führt als weiteren Grund für dieses Vorgehen noch an, daß die Annahme, es sei die Wand am unteren Ende lotrecht eingespannt, in Wirklichkeit nicht erfüllt wird. Der Boden des Behälters und der die Wand mit dem Boden verbindende Winkeleisenring erfahren Formveränderungen, deren einwandfreie Feststellung sehr schwierig ist, welche aber die Biegungsspannungen ab am unteren Rande des Behälters verkleinern. Verfasser ist sogar der Meinung, daß dieser günstigen Wirkung durch Zulassung einer höheren Beanspruchung für die unterste Bahn Rechnung getragen werden darf; er hat deshalb bei von ihm aufgestellten Entwürfen mit der Formel

(40)

Gb max

rl

= 1,7 Yt"

wenn r und l in Metern ausgedrückt werden.

V<i)

17,6.

² 1000²

¹

Bereits zu X = 4,0 gehört Gof X — ©itt X — 27,308    27,290 — 0,018 und

zu X — 5,0: (Sof X — ©in X = 74,210 — 74,203 — 0,007.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

²

erechnet und für Flußeisenbleche eine Zugspannung von etwa 1600 kg/cm gestattet. Wird dann angenommen, daß der auf Biegung beanspruchte Querschnitt durch Nietlöcher um etwa 25 v. H. geschwächt wird, so ergibt sich für die unterste Bahn die Stärke

1,7 yW

2,8²

Anmerkung. In einer in der Zeitschrift f. Math. u. Physik, 1904, S. 254, erschienenen Abhandlung von C. Runge „Über die Formänderung eines zylindrischen Wasserbehälters durcli den Wasserdruck“ wird ein beachtenswertes Verfahren für die Berechnung einer aus verschieden starken Bahnen gebildeten Behälterwand entwickelt, aus dem ebenfalls hervorgeht, daß die oberen Bahnen nach der Formel

Y berechnet werden dürfen. Als Beispiel dient ein Behälter von den

Abmessungen r — 2030 cm und l = 1003,5 cm, aus neun Bahnen mit von oben nach unten hin 10,5, 9,5, 8,5, 10,2, 12,7, 15,3, 17,8, 20,4 und 23 mm Wandstärke. Die Behälterwand ist oben und unten lotrecht eingespannt angenommen. Am Boden wird für einen 1cm’ breiten lotrechten Wandstreifen Af = 1281 kgcm erhalten. Das gibt — ohne Rücksicht auf Schwächung durch Niete —

— 1430 kg/cm².

Für die übrigen, mittels der Formel

o/ =

zu berechnenden Bahnen pflegt Verfasser etwa a = 1000 kg/cm² zu gestatten, Nietlöcher aber hierbei nicht abzuziehen, x bedeutet den Abstand des tiefsten Punktes der fraglichen Bahn vom höchsten Wasserspiegel. Werden x und r in Metern ausgedrückt, so muß sein

rx

T-j

(42)

rx

cm.

100

Soll also der vorhin untersuchte Behälter mit r — 20 m und l=10m

aus 9 Bahnen zusammengesetzt werden, so erhält die unterste Bahn nach

200

der vorstehenden Regel die Stärke ^

2,8 cm. Für die folgenden

Bahnen findet man

5 = 2--=1,8 cm, 2 -

9    9

5

2 — = 1,1 cm

6

= 1,6 cm, 2 — =1,3 cm.

CD

= 0,9 cm.

Für die drei obersten Bahnen wählt man zweckmäßig 5 = 0,8 cm. Auch dürfte es sich empfehlen, den Sprung von 5 = 2,8 auf 5 = 1,8 durch eine Verstärkung der zweituntersten Bahn zu mindern.

Der Stärke hu = 2,8 cm entspricht

6•1281

1 • 2,3²

Unsere einfache Formel liefert mit

oder, abgerundet

0,75 • 1600

(41)

rl

70

cm.

l*

19:

rl -y/3    1 — 1

1    2030 • 1003,5 ■ Y3    18 _

1000

2,3

19

1450 kg/cm².

Für den Unterschied zwischen dem "Wasserdruck und dem der Formänderung y entsprechenden elastischen Druck findet Runge:

yx —

Ey8

_ß²

Ende der ersten Bahn Anfang der zweiten Bahn Ende der zweiten Bahn Anfang der dritten Bahn Ende der dritten Bahn Anfang der vierten Bahn Ende der vierten Bahn Anfang der fünften Bahn Ende der fünften Bahn Anfang der sechsten Bahn Ende der sechsten Bahn Anfang der siebenten Bahn Ende der siebenten Bahn Anfang der achten Bahn Ende der achten Bahn Anfang der neunten Bahn Ende der neunten Bahn

— 0,01

0,00

— 0,02 + 0,01 + 0,02

—    0,04 + 0,04

—    0,05 + 0,06

—    0,05 + 0,05

—    0,05 + 0,04

—    0,07 + 0,07

—    0,04

+ 1,00

In der Mitte der Platten, abgesehen von der untersten ist nahezu yxr²

V ES

und

dy

dx

ES

Die oben mitgeteilte Untersuchung des Verfassers ist älter als die Abhandlung von Runge; sie wurde vor zehn Jahren gelegentlich der Bearbeitung eines größeren Entwurfes angestellt. Bei den ersten Zahlenrechnungen wurde der Verfasser durch seinen damaligen Assistenten, Herrn H. Reißner (jetzt Professor an der Technischen Hochschule in Aachen), unterstützt.

III. Abschnitt.

Nebenspannungen im Fachwerk infolge von steifen Knotenyerbindungen.

§ 17.

Biegungsspamrangen in F ach werken, deren Grurtstäbe miteinander vernietet nnd deren Füllungsstäbe gelenkartig

befestigt sind.

79. Grundgleichungen. Die in Bd. I u. Bd. II, Abt. 1 vorgetragene Theorie des Fachwerks setzt voraus, daß alle Stäbe in den Knotenpunkten durch reibungslose Gelenke miteinander befestigt sind. Lasten, welche in den Knotenpunkten angreifen, rufen dann in den Stäben Spannkräfte hervor, die mit den Stabachsen zusammenfallen und die Stab quer schnitte nur auf Zug oder Druck beanspruchen. Werden nun die Stäbe in den Knoten miteinander vernietet oder verschraubt, so wird die freie Drehung der Stäbe durch Biegungswiderstände verhindert; es entstehen in den Stäben Biegungsspannungen, die man als Nebenspannungen zu bezeichnen pflegt, weil sie im allgemeinen — verglichen mit den von den Spannkräften S herrührenden Zug- und Druckspannungen S \ F — von untergeordneter Bedeutung sind. Es gibt aber Fälle, in denen diese Nebenspannungen eine unzulässige Höhe erreichen können; ihre Untersuchung gehört zu den wichtigsten Aufgaben der Fachwerkstheorie, schon deshalb, weil sie zeigt, von welchen Umständen jene Biegungsspannungen abhängen und wie man zu konstruieren hat, damit die Abweichung des wirklichen Spännungszustandes von dem auf Grund der Gelenktheorie errechneten möglichst klein werde.

Wir wollen zunächst den Fall untersuchen: es seien nur die Gurtstäbe miteinander vernietet, die Füllungsstäbe seien mittels reibungsloser Gelenke befestigt. Die Lasten mögen ausschließlich in den Knotenpunkten angreifend angenommen werden. Es verbiegen sich nur die Gurtungen, die Füllungsstäbe bleiben gerade.

Wir setzen zunächst voraus, daß sich die Schwerlinien der an einem Knoten zusammentreffenden Stäbe in einem Punkte schneiden und bezeichnen mit

sm und sm ₊1 die Längen der dem Knoten m benachbarten Gurtstäbe,

Jm und Jm

die Trägheitsmomente der Querschnitte dieser Stäbe, bezogen auf die Schwerachse senkrecht zur Ebene des Fachwerks,

^Tm den Randwinkel bei m (Fig. 217),

die Biegungsmomente, welche die Gurtquer-1, m, m -j- 1 beanspruchen.

m — \)

schnitte an den Stellen m

TTL-1

— -$ttv ~~ rn ~

Tn+t~~- ->

//A

/ m

Fig. 217.

Wir nehmen die Momente positiv an, wenn die verbogene Gurtung nach außen hohl liegt, so daß sich bei durchweg positiven Momenten die Gurtstäbe in der durch die Figur 218 veranschaulichten Weise verbiegen würden.

rn-1

rn

Fig. 218.

Bei der Formveränderung des Fachwerks, auf welches nur Kräfte wirken mögen, die in der Ebene des Fachwerks liegen, geht der Winkel X. über in    A; die Enden der Gurtstäbe sm und sm + l

drehen sich um r und und es folgt

T + T = AX-

Wird nun vorausgesetzt, daß sämtliche Gurtquerschnitte eine in die Ebene des Fachwerks fallende Hauptachse besitzen und alle äußeren

(1)

Kräfte in den Knotenpunkten angreifen, wird also die Verbiegung der Stäbe durch ihr eigenes Gewicht vorderhand vernachlässigt, wird ferner der Einfluß der Scherkräfte außer acht gelassen und tu —1₀ — 0 gesetzt, so wird nach Gleichung (7), Seite 28,

5D7m _ i —j— 2 507m

T =-ÏËJ.-s"

SK„₊₁ + 2fflî,.

(2)

(3)

6 EJm+x

und es ergibt sich daher die Bedingung

-*- + 2 mm ( y

J.

50?m

+1

Jm

+i

m +1

Multipliziert man diese Gleichung mit dem konstanten, beliebig großen Trägheitsmomente Je und setzt zur Abkürzung

(4)

Jo

Je

J,n

Jm

- Im

+1)

so erhält man die Grundgleichung

L+2 mm (L + /«+,) + 9W

(5)

A) 7

m- 1

m+\

WO

(6)

Nm = 6EJctâm.

Gleichung (5) hat die Form der Clape yronschen Momentengleichungen. Die vorliegende Aufgabe ist also zurückgeführt auf die Berechnung eines Balkens auf starren Stützen, wobei aber vorausgesetzt werden muß, daß die Winkeländerungen    gegebene, von den zu be

rechnenden Momenten 507 unabhängige Werte besitzen.

man

Nun sind freilich die Spannkräfte S und damit auch die die Winkeländerungen A^f bestimmenden Längenändenmgen der Stäbe streng genommen Funktionen der Momente 507. Der Einfluß der 507 auf die A'ä' ist aber in der Regel so gering, daß er vernachlässigt werden darf, und es empfiehlt sich daher, die Winkeländerungen genau so zu berechnen, wie für ein Fachwerk mit gelenkartigen Knoten. Nötigenfalls kann nachträglich durch einen zweiten Rechnungsgang mit verbesserten Spannkräften und Winkeländerungen den Einfluß der Momente auf die Winkel-

änderungen berücksichtigen.

Besteht das Fachwerk aus aneinander gereihten Dreiecken, so setzt

Für die Winkel

sich jeder Winkel ^ aus Dreieckwinkeln zusammen, änderungen eines Dreiecks haben wir mit den in Fig. 219 angegebenen Bezeichnungen, in Abt. I, § 2, die Formeln entwickelt:

E^^ — (al    —    a₂)    cotg a₃    -j-    Oi    — gs)    cotS a2

(7)

E Aa₂ = (c₂    —    ös)    cotg ax    -f-    (a₂    — aj    cotg a₃

EAa₃ — (c₃    —    a,)    cotg a₂    +    Os    — <*2)    cotg ai

Die Punkte L' sind Punkte des gesuchten Momentenpolygons, und dieses Polygon ist nunmehr durch die Bedingung 9)î₅ = 0 vollständig bestimmt.

In derselben Weise könnte man, beim letzten Stützpunkte (5) beginnend, das Momentenpolygon mit Hilfe der Festpunkte R zeichnen. Bei symmetrischer Trägerform und symmetrischer Belastung hätte in ' Fig. 221 bereits die Bestimmung von L./ und L₃' genügt.

L'

L‘

t₃

l'₅

^=rrrTTTn

io

"£

!2

,S

Fig. 221.

n-2

TV

n~i

Fig. 222.

Die beschriebene Konstruktion des 9k-Polygons führt auch im Falle einer zusammenhängenden oberen und unteren Gurtung und bei dem in Fig. 222 dargestellten Fachwerke mit vernietetem Endständer zum Ziele, vorausgesetzt, daß mindestens ein Moment 9k gleich Kuli ist.

81. Es ist kein Knotenpunktmoment 9)1 gleich Kuli. Form und Belastung des Trägers sind symmetrisch. Die beiden Gurtungen mögen einen zusammenhängenden gelenklosen Stabzug bilden. Die Senkrechte durch die Trägermitte sei für Trägerform und Belastung Symmetrieachse. Wir unterscheiden folgende Fälle.

1. Fall. Die Symmetrieachse enthält keinen Knotenpunkt. Die Bezifferung der Knotenpunkte ist aus Fig. 223 zu ersehen. Zwischen den drei aufeinander folgenden Momenten 9Jî₀, 9)^, 9Jt₂, von denen 9k0 und 9)?! gleich groß sind, besteht die Beziehung

59î„4 + 29JÎ, (i, + 4) + 5m₂l₂ = Nt-,

18

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

sie läßt sich umformen in:

2TO,ft' + 4) + S0!₂4 = if₁,

wo Zj = 1,54 ist; und ebenso ergibt sich mit ln' = 1,51„:

994-24_! + 2 994-1 (/„_! + 4') =

Diese Gleichungen lassen sich als die lte bzw. (n— l)te Clapeyron-sche Gleichung eines an den Enden frei auf liegenden, durchgehenden Balkens 012 ... (n — 1 ) n deuten. Die Längen der beiden äußersten Felder sind

Je

4 = 1,5—4 und ln'= 1,5sn

Je

Ji

Jj

Je

für die übrigen l gilt lm = sm —

jSl

n~2

Ti-i Sn n

Fig. 223.

(9)

Die Werte 2\ und T„_x sind mittels der Formeln

2EJ.&X.1 4-i + 4

T,=

2

4 +4

und Tn_i =

zu berechnen. Im übrigen stimmt der einzuschlagende Weg mit den in Nr. 80 angegebenen überein.

2. Fall. In der Symmetrieachse liegen zwei Knotenpunkte. Die Bezifferung zeigt Fig. 224. Zwischen den drei aufeinander folgenden Momenten 934 > 93i₀, 9)4 besteht die Gleichung

934 4 +■ ^ 994 (4 ■+ 4 ) ~t~ 9)44==:: -^01

aus welcher folgt:

2Ä„ +

h ; co

-3»;

+>

3(4 + 4)

= T₀

und ebenso ergibt sich

Nn

+'-f ä».

Die im ersten Felde des stellvertretenden Balkens im Abstande

3 (4 + 4)

= Tn.

— 4 vom Stützpunkte 0 gelegene Ordinate des 997-Polygons ist nun 3

I- I :’    - ¹0 + Y 5BÎ1 = n>

und die im letzten Felde im Abstande — ln vom Stützpunkte n gelegene:

3

R.R:= - S9Î» + Y2».-, = T¹),

\T₀

■p

T

^TV

wz-/

TZ'

~~lTV

Fig. 224.

alle übrigen Festpunkte finden. Der stell-

so daß zwei Punkte des 507-Polygons von vornherein bekannt sind. Es sind deshalb L₁ und Rn Festpunkte der Öffnungen und ln. Von ihnen ausgehend kann man vertretende Balken ist also an den Enden eingespannt. Man vergleiche auch Seite 39, Fig. 45.

3. Fall. Die Symmetrieachse enthält nur einen Knotenpunkt. Ee handelt sich hier um eine Verbindung der Fälle 1 und 2. Bei der in Fig. 225 gewählten Bezeichnung der Knotenpunkte ist der stellvertretende Balken bei 0 frei aufliegend, bei n eingespannt. Sein erstes Feld hat die Länge

//= 1,5^

18¹

wo

$² N/

<M =

Si

°2 —

s₂

S3

f₂

-    77.

F₃

SA

Fig. 219.

die durch die Spannkräfte S erzeugten Spannungen bedeuten²).

Die gleichförmige Änderung der Temperatur eines Stabes um t kann durch Vergrößerung der Spannung a um s Et berücksichtigt werden (siehe Einleitung von Abt. I, Seite 2).

Wir beginnen mit der Behandlung einfacher Sonderfälle.

80. Es ist mindestens ein Knotenpunktmoment S)7 gleich.

Kuli. Nehmen wir zunächst an, es seien die Momente für den ersten und den letzten Knotenpunkt gleich Null, ein Fall, der bei Trägern mit Endvertikalen vorliegt, Fig. 220. Der stellvertretende Balken, Fig. 221, liegt dann an den Enden frei auf. Der Festpunkt Lx fällt mit Stütze 0

F.z

.7

/'

Fig. 220.

Nach Ermittlung der Punkte L₂, L

. .³) werden auf

den verschränkten Stützensenkrechten r1; v₂, ... die mittels der Formel

zusammen.

(8)

Nm

2 EJetâm

8 Qm | A +1 ) A | lm berechneten Momente Tx, T₂, T₃, ... aufgetragen, und nun wird der Linienzug LXL₂'L₃'L± Lh' gezeichnet, dessen Seiten durch die Endpunkte der in Fig. 221 durch die stärker ausgezogenen Strecken Tx, T₂, T₃, 1\ gehen und dessen Ecken in den Senkrechten durch die Festpunkte L₂, Ai» Ai> L₅ liegen.

+i

für die übrigen Feldlängen gilt die Formel (4). Die im letzten Felde

in der Entfernung —ln vom Stützpunkte n gelegene Ordinate des 9)7-3

Polygons ist

BnBn' = Tn.

82. Es ist kein Moment 9)7 gleich. Null und es besteht keine Symmetrie. Wir beschreiben den bei der Ermittlung der Momente 937 einzuschlagenden Weg an dem in Fig. 226 dargestellten Träger. Außer der Beziehung

(10)

®7/s 4“ 2 9)c₀ (/₅ -(- // -f~ 9D7/i — A₀

bestehen noch die Gleichungen:

■ 3%lt + 2504 ft + 4) + 5044 = Jft m.L + 2504(4 + 4) + 50}. 4 = N, 9044 +    (4    +    4)    +    5044    =    A4

50}₃4 + 2994(4 + 4) + 5044 = V₄.

CO

S5

Fig. 226.

Wir betrachten zunächst nur die Gleichungen (11), sehen 997₀ als gegeben an, schaffen die Glieder 937₀lx und 937₀l₅ auf die rechte Seite und erhalten:

(12)

2 3wx (/x +1₂) + 997₂/₂ = n, — m₀ ix 9JU₂ + 2 937₂(L +G) + 9Q7₃L = N2 9J7₂Z₃ + 2 9)7₃ (/, + U + 2K₄J₄ = N3 9J7₃/₄ -j- 2 9D7₄ (/₄ -j- /₅)

Nun bezeichnen wir mit

9)7/, 937/, 9)7/, 937/ diejenigen Werte, welche die Unbekannten 9)?₁ bis 937₄ annehmen würden, wenn 9)7₀ = 0 wäre,

⁼ -^4    997₀/₅-

und mit

9}?! , 9J?₂/,    937₄,/ die Werte jener Unbekannten für den

Fall, daß sämtliche Glieder N der obigen Gleichungen verschwinden und 93t₀ = 1 ist.

Die Momente iDT lassen sich mit Hilfe des in Nr. 80 beschriebenen Verfahrens bestimmen; dieses ist ja brauchbar, sobald ein Moment 9D7 (hier 9)7₀) gleich Null ist. Aber auch die Werte SOU erhält man mit Hilfe dieses Verfahrens, wenn man setzt:

(13) Tx

T₂ = 0, T₃ = 0, J\ =■ 0, T₅

3 (h+i₅y

73Z!

o.

Ai

- ->e-----Z

y₃

Z_fe^s.

iUl

■? ' \

*1 x> . \cA

Wi'

K

^U-

//

/r/

4V

7f? "A

m:

E'7Z2

'4<

Fig. 227.

Die Darstellung des SJT'-Polygons zeigt Fig. 227. Auf den verschränkten Stützensenkrechten vx und v₄ werden die Ordinaten EXEX — 7\ und E^E/— T₄ aufgetragen. Hierauf wird der Linienzug L-^L^'Lz'L₅' gezeichnet, dessen Seiten durch die Punkte Ex, E₂, E₃, E± gehen und dessen Ecken in den Senkrechten durch die Festpunkte L₂, X₃, D₄, L5 liegen. Diese Eckpunkte L' sind Punkte des gesuchten SJT'-Polygons, welches durch die äußersten Stützpunkte (0) des stellvertretenden Balkens geht, und dessen Eckpunkte in den Stützensenkrechten liegen.

Nach Ermittlung der tył' und ffll" findet man die wirklichen Momente 937 mittels der Formel

Wm = 93C + Wm" • 9Jc₀

(14)

m— 1, 2, 3, 4,

und zur Berechnung von 937₀ steht die Gleichung (10) zur Verfügung; sie geht über in

m,' + sm/'SK,) 4 + 29K₀ (4 + 4) + o;/ + as/'sm,) 4 = A4

und liefert:

(15)

9W₀ =

² Oi + ^5) 4“ h 0

83. Exzentrische Knoten. Ein Fachwerksknoten heißt exzentrisch, sobald sich die Achsen der an ihm angreifenden Stäbe nicht in einem Punkte schneiden. Als Knotenpunkt fassen wir in diesem Falle den Schnittpunkt der Füllungsstäbe auf (Fig. 228), und unter sm verstehen wir den Abstand des Knotenpunktes m vom Knotenpunkte (m — 1). Die unter der Annahme gelenkartiger Knoten berechnete Spannkraft Sm fällt in die Verbindungslinie der Punkte m — 1 und m und soll positiv angenommen werden, sobald sie im Gurtstabe (m — 1) m Zugspannungen

jG/zy./

__--''K    ?

/ unv

TTir

Fig. 228.

hervorbringt. Die Lote von m auf die in Fig. 228 gestrichelten Achsen der benachbarten Gurtstäbe nennen wir em und <7m+1, so daß, wenn die durch die Vernietung der Gurtstäbe bei m — 1 und m hervorgerufenen Biegungsmomente mit SD7m_i und dJłm bezeichnet werden, an den Enden des Gurtstabes sm die Momente angreifen:

= 2)7* _i + Smdm und

— ~h

wobei e und d von den Knotenpunkten aus nach außen positiv gezählt werden. Aus diesen Momenten berechnen sich die Biegungsspannungen an den Stabenden:

(16)

r mA

\

6a = ±

mA

6b — i

Wb

(17)

Der Ausschlagwinkel am rechten Ende des Stabes sm ist

+    +Sm(2e,n + dj

6 EJm

₌ 22^ + 3^

QEJm

S>n -

(18) t' =

Sm+1 J

und der Ausschlagwinkel am linken Ende des Stabes sm+1 250lm -f- 9)tm+1 -)- S'm+i (2dm+i -f- em +1)

6 EJm+x

weshalb die Gleichung

x + t'=AX

Jm

nach Multiplikation mit Jc und mit der Bezeichnung sm -^c = lm zu der

Bedingung führt:

9)7»,i lm -f- 2 (lm -f- lm+\) -f- 9Jcw+1/m+i = 6 EJC    Smlm (2 em-j-dm)

^m + l^łM + l (2 dm + l |“ ^m + l)'

Diese Gleichung hat wieder die Form

9)7m-\lm -f- 2 9J7m (lm -f- lm+O -f~ 9)?m+i/m+i = Nm.

Das in Nr. 80—82 angegebene Verfahren zur Darstellung der Momente 507 ist hiernach auch bei exzentrischen Knoten brauchbar. An die Stelle von

Nm=6EJetâm

tritt :

(19) Nm = 6 EJctäm — SJm (2 em -j- dm) — Sm+ilm+i (2^m+i em+\)-Hervorzuheben bleibt allerdings, daß die auf die Winkeländerungen A'X, Einfluß habenden Verlängerungen As der Gurtstäbe streng genommen nach der Formel

(20)

As

~ -j- xd -f- xe

Es ist aber stets zulässig, die von x' und x

berechnet werden müßten, abhängigen Glieder zu streichen.

84. An den Gurtstäben greifen rechtwinklig zu deren Achsen Lasten JP an (Fig. 229). Zunächst werden die einzelnen Gurtstäbe als einfache Balken betrachtet und die ihnen entsprechenden einfachen Momentenflächen, die wir kurz mit g bezeichnen wollen, ermittelt. Bedeuten also

80m und 970m die statischen Momente der Fläche bezogen auf die in (m — 1) bzw. m auf der Achse des Stabes (m — 1) m errichteten Lote,

so ist, wenn ganz allgemein exzentrische Knoten vorausgesetzt werden (s. Seite 28)

EJm x =

So«*

Sm

Sm

EJm+1x'=

f- [2 507m + 2R„_i + 8m (2    + dm)]

-)- [2 9)7», -j- 9)7m+1 -(- Sm+i (2 dm+i -|- em+\)]    ~

Sm -f-l

und man gelangt mittels der Bedingung

x + x = AX

wieder zu der Gleichung

5D7m_i A, -f- 2 5D7m (lm -f- lm+1) + 9J7m+1/m+i =

wo nunmehr

(21) Nm — 6EJctäm Smlm (2em -j- dm) — Sm+\lm+j (2dm+x -(- em+\)

0 »M

+1

sl

Der Einflufi einer am Stabe sm angreifenden Last P auf das Glied Nm ist (s. Seite 30, Gleich. 13)

(22)

Nm = —

lm    4î 1

und der Einfluß einer am Stabe sm+l angreifenden Last P ist

(23)

Nm = —Psm

+i

Sm +1

sl

J 4« +1    -P'Ul+l 4i + l (i>I) ■

~~ri7~~

IC

TTl

Ti

___+__*

Sa

Fig. 229.

förmig mit gm bzw. g

Werden die Stäbe sOT und sm+l rechtwinklig zur Stabaehse gleichbelastet, so liefert dies zu Nm den Beitrag

(24)

Nm =

-M-

^ Qm^ndm    ^ Qm + l^m+l^m

Die vorstehenden Untersuchungen sind wichtig für die genauere Berechnung der Spannungen in den Gurtungen von Dachbindern, welche auch zwischen den Knotenpunkten durch Pfetten belastet werden (Fig. 230). Die von den Pfetten auf die Gurtung ausgeübten Drücke zerlege man nach der Richtung der Gurtung und rechtwinklig hierzu. Es genügt, die rechtwinkligen Komponenten zu berücksichtigen.

Ein anderes sehr wichtiges Beispiel bieten die Hauptträger einer Eisenbahnbrücke, deren Querschwellen zur Ersparung der Querträger unmittelbar auf die Gurtungen gelegt werden (Fig. 231). Bei Berechnung der hierdurch in den Gurtstäben hervorgerufenen Biegungsspannungen braucht man sich auf keine allzugenaue Untersuchung der gefährlichsten Stellung des Eisenbahnzuges einzulassen, denn die Berechnung der Momente 9)1 infolge der Steifigkeit der Knoten gehört ja in das Gebiet der bei den üblichen statischen Berechnungen außer acht gelassenen Nebenspannungen. 'Es empfiehlt sich, wie folgt vorzugehen.

Man berechne die Stabkräfte und die Winkeländerungen    für

eine gleichförmige Yerkehrslast p, die so groß gewählt wird, daß sie

Fig. 230.

in der Mitte der Brücke dasselbe Angriffsmoment M1 der Eisenbahnzug, die also mit Hilfe der Gleichung

pl²

p max

erzeugt, wie

M.

p max

M

ï> max

berechnet wird, wo l die Stützwe.ite des Trägers bedeutet. Das Moment kann den Tabellen im Anhänge zu Band I entnommen werden.

k- - À,

CD CD CD

Fig. 231.

Die durch diese Belastung p und die ständige Belastung g erzeugten

Spannkräfte S erhält man, indem man die Spannkräfte Sg infolge von g

g + p

mit

multipliziert. Aus den zugehörigen Winkeländerungen A

leite man nun die Momente    ab und addiere das größte dieser Mo

mente zu dem Maximalmoment, das man erhält, wenn man den Gurtstab als einfachen Balken betrachtet und möglichst ungünstig belastet.

Es empfiehlt sich die Knotenpunkte exzentrisch anzuordnen. Positiven Hebelarmen d und e entsprechen im Druckgurte negative Momente Sd, Se.

85. Näherungsformeln für die Momente 9W.

die drei aufeinanderfolgenden Gleichungen

lm-i -f- 2âlîm_₁ (4,_i -f- lm ) -f- lm

Wenn man in

(25)

= Nm

-f- 2 9)im {lm -j- lm+,) -{- äRm+iC+i = Nm

4i + l -f“ 2 9J?m + 1 (4i + l -(- lm+ 2) 3D^m + ï4.+2 = N,

m— 2

für idc

»1—2

und 2J?„,+2 angenäherte Werte einsetzt, so lassen sich die und 9)łm+1 eliminieren, und es ergibt sich für ein

Momente 9)c

Näherungswert, welcher nachträglich mit Hilfe der Gleichung

(26)

Wlm

Nm — rnm^im — rnm+lim+x

2 (Jm H⁻ 4» +1)

verbessert werden kann, indem auf der rechten Seite die in gleicher Weise ermittelten genäherten Werte eingeführt werden.

für (Oi

m- 1

m +1

Eine passende Annahme ist

m- 1

und

+1

äh« -f-    +2

aus welcher sich

= 2 ÏÜt

— 9k'm und sDcot+2 = 29Jc ergibt. Führt man diese Werte in die Gleichungen (25) ein, so liefern diese für den Ausdruck:

m- 2

m-f-1

Nm — N,

(27) Wm

2(4,+24.-,)

2 (lm+1 -f- 2 lm+ï)

2 (4i + 4t +1)

lm (4,    4i- l)

4i4*l(4iH-1 4i+2)

2 (4.+ 24.-,)

2 {lm+1 -j- 2/ot+2)

Wenn die aufeinanderfolgenden Z nicht sehr voneinander ab weichen, was häufig der Fall sein wird, so darf man setzen:

Nm —

(28)

5W„ =

+ iV„₊,)

2 (4, + lm+1)

Handelt es sich um eine Gurtung 0 12 ... m ... n, für welche 9+ = 0 und 9)4 = 0 ist, so benutze man die Gleichung (27) bzw. (28) zur Berechnung von 9J(₃ bis 9)4-3 und hierauf setze man

2 (4 + 4)

2 (4 + 4 )

44

und

2 (4 + 4)

(29)

904

+ — m₂i₂

2 (4 -j- 4)

Es entsprechen diese beiden Gleichungen den Bedingungen 2 9)4 (4 -(- l₂) -J- 99?₂1₂ = JVj 99?i4 -f- 2 93?₂ (l₂ -f-1₃) -f- 9)?₃l₃ — iY₂.

In gleicher Weise sind die Momente 93?„_₂ und 93?

Bei geringen Abweichungen der aufeinanderfolgenden l darf auch setzen:

n- 1

zu berechnen.

man

(30)

93?₂ =

N₂---N±—y A4

15

*),

(4 -f 4)

M— 2 •

und ganz entsprechend ist der Bau der Formel 93?

In der Regel erhält man von den in irgendeinem Knoten m auf

tretenden Biegungsspannungen ein ganz zutreffendes Bild, wenn man

oder 9)?

denn

gleich Null setzt und ebenso 99? der Einfluß einer Winkeländerung ist nur für die nächstgelegenen Knotenpunkte von Bedeutung; er nimmt nach beiden Seiten hin rasch ab.

m- 2

oder 93c

m+2

m-f 3 ?

86. Zahlenbeispiel. Es sind die Biegungsmomente für die obere Gurtung des in Fig. 232 dargestellten Parallelträgers zu bestimmen. Jeder Knotenpunkt der unteren Gurtung ist mit 12,5 t belastet. In Fig. 232 geben die nicht eingeklammerten Zahlen die Spannkräfte in Tonnen, die eingeklammerten Zahlen die Querschnittsinhalte F in qdm an.

Fig. 233 zeigt den Obergurtquerschnitt für das erste und zweite Feld, Fig. 234 für das dritte Feld und Fig. 235 für das vierte und fünfte Feld. Die Träg-

*) Schreibt man die Gleichungen an

293?! (4 + 4) + 93 ?₂1, = JS\ 93?x 4 + 2 93?2 (4 + 4) + 93?₃4 = A4 9344 + 2 93?₃ (4 + 4) + 93?+ = +, setzt 93?₄ = 2 93?s — 93?₂ und löst nach 93?₂ auf, so folgt

93?₂

2(4 + 4)

y₃

2 (4 + 2 4)

2 (4 + 4)

4 (4    4)

2 (4 + 4)

Bei wenig voneinander abweichenden l darf

2 (4 + 2 4)

V- und

4

2 (4 + 4)

gesetzt werden, ferner 4 — 4 = 0 und

2 (4    4)

2(4 + 24)    6

4? —

2 (4 + 4)

wobei l — 2 (4 + 4) angenommen werden darf.

?    15

T —T*’

EA'Am — -

(^2 C3

(ff₂ — <Ji).

236.

Ü»

— J-

<---

heitsmomente J und Widerstandsmomente W dieser Querschnitte sind der Reihe nach

J—

1,605

1,070

1,956 dm4 1,304 dm³.

1,733 1,155

Die Längen der Gurtstäbe sind durchweg s — 40 dm. Es ergibt sich also, wenn Jc — 2,0 gewählt wird,

4 = 4 = 40

2,0

1,605

4 — 40

2,0

1,733

49,8 dm

46,2 dm

h — h = 40

2,0

1,956

40,9 dm.

-0-5    1

(i, 79)

-80

-105

(166)

3    -120 O

(l 60)

-725

(7,60)

(7,10)

96-

•a.

(0,90)

■ol

(0,70)

-31

Co«

(09 O)

61-

0,

(oc‘o)

-6

(0,

(0,30)

(0,60)

+ 0-5

+80

+ 105

+ 120

<----0-0

dm,-.

----w---^---1+Q--------_ĄQ---^----J^₀---->

^2,5*

\72,5t Fig. 232.

J2,5*

,/2,5*

Für das Produkt EA ü folgt aus den in Fig. 236 an die Stäbe geschriebenen Spannungen er :

EA %„ = (cja — crx) cotg 9 + (7S — cr.j) cotg cp₁ + (<j₄ — a₅) cotg <p + (c₆ — u₅) cotg 9X

und, wegen cotg ç = — und cotg9x:=—-,

Il    À

—    4" aß) + j~ (ff2 -    °b)-

Für den mittelsten Knotenpunkt erhält man nach Fig. 237

EA% = 2 h-- (a₂ —a₃) + 2A

In Fig. 238 sind die Spannungen a = S | F in t/dm² zusammengestellt worden. Ihnen entsprechen die Werte

EA\ = 2    27 + 2 ~ (27 + 78) =

Die Momente T sind in Tonnen-Dezimetern:

4,4, I₂ ■

4,0 • 202 ¥■ 40,9

Die Ausführung der in Nr. 80, Fig. 221 beschriebenen Konstruktion liefert die Knotenpunktmomente :

9+ —-12,5 tdm,

9+ = 4,7 tdm,

2EJC\\ _ 4,0-109

4,0 • 126

h + 4

4,0 • 166

2 • 49,8

49,8 + 46,2

5,8,

46,2 + 40,9

7,6, T₄ —

= 9,9, Th

SOij. = 9,7 tdm, ÜJÏj =5,4 tdm.

4,0 • 236

2 • 40,9

11,5.

9+ = 7,7 tdm,

lOO

<P:

.//

300

Jl

91

I uo-no Î *— w |

<----K---->

L Ui 3O0ntrm

Fig. 236.

SP?

&L

771

T<p

rri

@z

-W 300^/771,

<?3    /&z

->

9>I

Fig. 233-235.

Fig. 237.

Mit diesen Ergebnissen sollen nun die nach den Näherungsformeln (28) bis (30) berechneten Werte verglichen werden.

Es ist

und es ergibt sich

Nm = 6 Je E A + = 12 EA %n,

236 —

mb = i2

~ (202 + 202)

6

nach Gleich. (28)    <

m₄=i2

2H, = 12

nach Gleich. (30)    < 9+ = 12

2(40,9 + 40,9)

202 — l- (166 + 236) b

2(40,9 + 40,9)

166 — y (126 + 202)

2(46,2 + 40,9)

126 — v 109 — -j- 166 4    b

= 12,4 tdm

= 9,9 tdm

= 7,7 tdm,

= 4,7 tdm,

(49,8 + 46,2)

nach Gleich. (29)    ^ 9+ =

12 • 109 — 4,7 • 49,8

2 (49,8 + 49,8)

5,4 tdm.

Diese Zahlen stimmen mit den oben angegebenen fast genau überein. Man darf sogar den Wert

2EJcA%m

Im ~p +1

als einen durchaus brauchbaren Näherungswert ansehen, der ein für die Erwägungen des Praktikers ausreichendes Bild von der ungefähren Größe der zu erwartenden Nebenspannungen gibt.

Die Biegungsspannung in der Gurtung ist bei Knotenpunkt 5, da hier W —1,304 ist,

12,5

1,304

= rund 10 t/dm².

-38

-67

-73

-75

-78

-78

.'-A

6+ -

Sü

'x

[0/

Z3ß_

•o O

3?

+ 75

+ 73

+ 75

+ 75

+ 75

¹

Fig. 224 setzt ein negatives T„ voraus.

²

Ist das Fachwerk kein Dreiecksystem, so ergibt sich die Berechnung der Ah aus der Lösung der 6. Aufgabe am Schluß von § 3 in Abt. I. Man kann auch Williotsche Verschiebungspläne benutzen und aus diesen mit Hilfe des Stabzugverfahrens die Ah bestimmen.

³

Wir haben alle Hilfslinien fortgelassen und verweisen bezüglich der Bestimmung der Punkte L auf die Figuren 41 und 42, und bezüglich der rechnerischen Bestimmung auf Seite 116.

<---Ä.--->

Fig. 238.

Die Spannkraft S = 125 Tonnen erzeugt o = — 78, so daß die Gesamtspannung

a = 78 -j- 10 = 88 t/dm² - 880 kg/cm beträgt. Die Biegungsspannungen in den übrigen Querschnitten der oberen Gurtung fallen kleiner aus.

Je größer die Trägheitsmomente J sind, desto größer werden die Biegungsspannungen. Man bilde daher den Gurtquerschnitt im allgemeinen so niedrig wie möglich aus, gerade so hoch als erforderlich ist, um die nötige Sicherheit gegen Ausknicken in der Bachwerkebene zu erreichen.

87. Einfluß der biegenden Wirkung der Spannkräfte S.

In den bisherigen Entwicklungen wurden die von den Durchbiegungen y

rf

---ac---

TT

,4

UmLS

-t

Fig. 239.

der Gurtstäbe herrührenden Biegungsmomente Sy (Fig. 239) vernachlässigt. Es bleibt also noch zu zeigen, wie unser Verfahren abzuändern ist, wenn eine genauere Rechnung verlangt wird. Die Lasten mögen in den Knotenpunkten angreifen. Vom Eigengewicht des Stabes möge nur die zur Stabachse rechtwinklige Komponente berücksichtigt werden; sie betrage g für die Längeneinheit. Wir haben zwei Fälle zu unterscheiden.

1. Die Stabkraft S ist ein Druck. Wir betrachten zunächst einen gedrückten Stab der oberen Gurtung, bezeichnen die an seinen Enden wirksamen Biegungsmomente mit 9)^ und 9K_g, die Ausschlagwinkel der Stabenden mit x und x', die zur Stabachse rechtwinklige Durchbiegung an der Stelle x mit y und erhalten bei x das Biegungsmoment

* -\-ff Yx

Die Differentialgleichung der elastischen Linie lautet:

m.

EJ

dx²

Wir führen zur Abkürzung die Bezeichnungen ein

(31)

-b"

D₁=W^ + gk\ und erhalten wir zunächst

<33>    k*^xi+v=~

(32)

Dt =3St, + gh‘,

(nA+ *!=***

\    s

s.r

X + V-2

tf²\

VT)

und hieraus durch Integration

(34) y = Cx cos X + C₂ sin X- -

o v    s

gk²

. sx

x²\

y ₂ y

Die Konstanten Cx und C₂ sind durch die Bedingungen bestimmt, daß y = 0 sein muß für x — 0 und x — s. Es ergibt sich:

Di

(35) Cx

d1 cotgxV

Der Ausschlagwinkel x

am linken Stabende ist

(36)

( dy\

V dx /x = o

Ss

»4

Ss

'+*8

gs

wobei zur Abkürzung gesetzt wurde:

(37)

(39)

1 — cos a

a sin a

tg AT a

(40)

Am anderen Stabende entsteht:

(41)

WlA

Ss

Ss

' , 9S >" v+^v .

Das Biegungsmoment ist:

(42)

ÜK =

cos -

l +C?2sinT") ^ !lk~:

es wird ein Maximum oder Minimum, sobald

A> 1

Dx . s sin -

(43)

x

tgT

PLP

— cotg k

ist. Man findet

(44)

mc = mwax

Di

min

T+**-

COS

Gleichung (44) ist natürlich nur brauchbar, sobald sich aus (43) ein zwischen x = 0 und x = s liegender Wert x ergibt. Sonst ist gleich dem größeren der beiden Momente und    mit denen

yjtc auch im Falle einer brauchbaren Lösung der Gleichung (43) verglichen werden muß.

Um nun die in den Ausdrücken

-|- Smdm

mB = mm -j- Smem (s. Seite 278)

vorkommenden, von der Vernietung der Gurte herrührenden Knotenmomente zu bestimmen, schreiben wir die Ausschlagwinkel t und r der beiden am Knoten m zusammentreffenden Stäbe (Fig. 228) an:

-OL + Smem

Smsm

Sm sm

V,n +

S,„

r/r

m +1

dm

v m + i -f-

-f 1    4-1

rr

und setzen

T + T= AX-

Mit den abkürzenden Bezeichnungen

(45)

v'

8s

<j/' =

//

, d/" =

Ss ’ Y Ss

erhalten wir die Bedingung

(46)    ä»„ (+„'+ f„+,) + 9K»,₊,f '

m + l

m +1

—    -9mS ²m tym" — 9m +18\ + i <]/"

m f⁻“    ^m +1^ m + l |    ^m+1 ^ m+l

^m + 1

m—1

Es ergibt sich also eine Gruppe von Gleichungen von der Form a„, + 9D?mßw + Mm+l<xm+i = Nm, deren rechnerische und zeichnerische Auflösung in Abt. 1, § 14, gezeigt worden ist.

Noch bemerken wir, daß man z auch auf die Form bringen kann:

(47)

WO

(48)

a² (

tg a/’

0-

(49)

6 / « a² V sin a

Ist der Stab sehr steif und infolgedessen

ot =

i~V

Ss²

EJ

so klein, daß man von den B,eilten

a³

tg a = a +    +

sin a =

CO «

2 a5 3^5

a⁵

+ ...

!    3! ¹    5!    ¹

nur die beiden ersten Glieder zu berücksichtigen braucht, so wird

sin a

tg — a ° 2

a²

2    ' 24 ’

und man erhält:

'    "    -t

JJ- = JJL =1

///

a²

///

gs'>

24 EJ

Der Einfluß der Biegungsmomente Sij ist daher vernachlässigbar, und es liegt der in Nr. 80 bis 86 behandelte Fall vor.

Müller-Breslau, Graphische Statik. 2. II.

24

19

EJ

so erhält man tx = 1,4 und p/ = 1,16, g." — 1,29. Man könnte hier dem Einfluß der Momente Sy durch Verkleinerung des Trägheitsmomentes J des Stabes um etwa 20 v. H. Rechnung tragen, im übrigen aber die in Nr. 80 bis 86 beschriebenen Verfahren benutzen. Je größer nun J ist, desto größer fallen im allgemeinen die Nebenspannungen infolge der steifen Knoten aus. Vernachlässigt man also die Sy bei Berechnung der Momente 9Jt, so macht man eine Annahme zugunsten der Sicherheit des Tragwerks.

2. Die Stabkraft S ist ein Zug. Die Bezeichnungen sind aus der Figur 240 zu ersehen, g wird im entgegengesetzten Sinne der y positiv angenommen. Es folgt dann wenn rechts und links wirkt,

/ sa X v ~2

m = -j

Für den vierten Obergurtstab des in Nr. 86 untersuchten Parallelträgers ist z. B. S= 120 t, s — 40 dm, E = 200 000 t/dm², ,7 = 1,956 dm⁴, mithin

Sa2 EJ

Zu dieser Bogenlänge gehört der Winkel 40° 8/. Daher: tg a = 0,848, sin a = 0,645, p/ = 1,033.,    [x"= 1,053.

Genügt J mit fünffacher Sicherheit der Euler sehen Formel: Äs²

= 0,70057.

7C²

ms — ^

und die Differentialgleichung der elastischen Linie lautet:

ä²y

dx²

ihr Integral ist

(50) k²

(51)

y = Cj gof “ + C₂ ©in -Ï---

1-ł Co

ix . x²l

Die Integrationskonstanten sind

—Wla

L    s

(52)    (7,=

Y und c2=y (Dl e°tan9 T

D<

wo k, D± und D₂ durch die Gleichungen (31) und (32) bestimmt sind. Das Biegungsmoment

S ( C₁ ©of + C2 ©i« y) -f" 9k2 wird ein Maximum oder Minimum, sobald Tmit a

(53)

9)c =

Co

(54)

cc

©ang = Uotang a —

rC

Do 1

Dx ©in a

wird. Liefert diese Gleichung einen zwischen 0 und s liegenden Wert x, so ergibt sich

(55)

Di

max

min

-\-gk².

Dieses Moment muß mit dem größeren der beiden Momente und verglichen werden.

h-

<-

mm

fk

’'Vw

k------>

Fig. 240.

(56)

Die Ausschlagwinkel t und z sind

Ss

Ss

"i 9s ///

v + —V

(57)

Ss

v" +

Ss

v' +

gs

wo

(58)

v'=

©ang a

(59)

©in a

(60)

nr

Sof a — 1

Sang y a

a ©in a

Der weitere Verlauf der Untersuchung ist derselbe wie bei gedrückten Stäben.

§ 18.

Fachwerke, deren sämtliche Stäbe in den Knoten durch Niete

befestigt sind.

88. Grundgleichungen für ein Stabdreieck mit steifen Ecken.

Sind die Stäbe eines Dreiecks in den Ecken steif miteinander verbunden, so werden sie sich bei der Formveränderung des Dreiecks verbiegen.

Die Momente, durch welche hierbei die Stabenden beansprucht werden, bezeichnen wir

für den Stab .Sj mit 2)^ und 90£2 »    »    „    s2    n

« SW₆.

„    „    „    S₃    ft    2)?5

Diese Momente sollen positiv sein, wenn sich die Stäbe nach innen biegen. Werden die Stäbe gewichtslos gedacht, alle äußeren Kräfte in den Knotenpunkten angreifend vorausgesetzt, und die von den Durchbiegungen

y abhängigen Momente Sy (vgl. Kr. 87) vernachlässigt, so sind die Ausschlagwinkel der im Knoten. A, Pig. 241, zusammentreffenden Stabenden :

~A

fr"

'W*

x' —

90^ + 290t

6EJX

„ m₄ + 2 ooto

T “ 6EJ₂

Fig. 241.

Bezeichnet man die Dreieckwinkel bei A, B, C mit a, ß, y, setzt die vorstehenden Werte x und x" in die Gleichung x'-j- x"= Aa

ein und stellt ähnliche Gleichungen für die Ecken B und C auf, so gelangt man zu den Beziehungen

Wt + 25TO.)

² J,

+ (2 90?3 + 997₄) y- = 6 EAa. "2

(1)

(3Ks + 2SDi₄)y- + (2S»!₅ + 5K₆)

S3

J~2

Jz

= 6#Aß

(90î₅ -f- 290c₆)

SZ

*^3

+ (2SWX +SW₂)

S1

Ji

= 6AJAy,

mit deren Hilfe man

sobald drei der Momente 9Jt₁ bis iht₆ bekannt

sind, die übrigen drei Momente berechnen kann.

An Stelle der Momente 99Î führen wir nun zweckmäßiger die den

welche wir mit p be-

einzelnen Stabenden entsprechenden Werte 90Î-*

zeichnen wollen, als Unbekannte ein. Wir setzen

Tl₁s₁

für den Stab

*i:

Ji

= Pi

9J?2 Sj

Ji

— P2

für den Stab

s₂-.

m₃s₂

= 9z

SW₄»₂

= p4

für den Stab

5₃ :

^5*3

= P5

m₆s₃

Jz

= P6

Pö + ?4 - 6 Aß + p! -f- P2•

(8)

und formen die Gleichungen (1) um in

Pi +    ² (?2    ~b P3)    + ?4 —    6-^^a,

?3 +    ² (?4    H⁻ P5)    “h ?6 ⁼    ß-E/Aß,

Pö 4"    ² (?6    H⁻ Pi)    + P2 =    ß^Ay.

Außerdem besteht noch, wegen Aa-|-Aß-j-Ay = 0, die Beziehung

Pl + p2 + ?3 + ?4 + Pö + P6 — °-Gesetzt nun, es seien die Werte p1? p₂, p₃ bekannt, dann können mit Hilfe der vorstehenden Gleichungen die Werte p₄, p₅, p₆ berechnet werden. . Man erhält aus Gleichung (2):

p₄ = 6 AAa — ?1 — 2 (p₂ -f p₃), sodann aus Gleichungen (3) und (4):

P5 ⁼ ßA'Aß -j- Pi + p₂ — ?4-Die letzte Gleichung prägt sich dem Gedächtnisse am leichtesten in der Form ein:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Die Werte p auf der linken Seite der Gleichung (8) schließen in Fig. 242 den Winkel ß ein, und die Werte p auf der rechten Seite liegen dem Winkel ß gegenüber.

Ganz ebenso findet man

Pe + Pi — ßAAy -j- p₃ -f- p₄,

und hieraus

(⁹) Pg ⁼ ß^Ay -f- p₃ + p₄

Durch die Werte p sind die Biegungsspannungen an den Stabenden bestimmt. Für den durch das Moment 9)ZX beanspruchten Stabquerschnitt erhält man z. B. die größten Biegungsspannungen

Pi-

AXä17

\J?S

s;

/S3

<5

Ji

si

rr

sx

Fig. 242.

Jx

wo é und e" die Abstände des stärkst gezogenen bzw. stärkst gedrückten Querschnittsteiles von der Schwerachse des Querschnitts bedeuten.

Die Anwendung der Gleichungen (2) bis (9) auf die einzelnen Dreiecke eines einfachen Fachwerkes (Fig. 245) gestattet, die in einem solchen Träger infolge steifer Knoten auftretenden Biegungsspannungen ohne übergroßen Zeitaufwand zu berechnen. Dabei erweist es sich als notwendig, für die einzelnen Dreiecke abwechselnd die in den Figuren 241 und 243 dargestellten Verbiegungen als diejenigen anzuseben, denen positive Momente und positive Werte p entsprechen. Will man nun ein nach Fig. 243 verbogenes Dreieck mit Hilfe der Gleichungen (2) bis (9) behandeln, so muh man die Vorzeichëh der Winkeländerungen umkehren. Während also für das Dreieck Fig. 241 die Formeln gelten:

(10)

EAa = (a₃ — <sx) cotg y + 0₃ — g₂) cotg ß EAß = (ax — a₂) cotg a -j- (ax — a₃) cotg y Aa-j-Aß-j-Ay = 0, hat man für das Dreieck Fig. 243 die Formeln:

(H)

EAa = (ffL — a₃) cotg y + (a₂ — a₃) cotg ß EAß = (c₂ — Cj) cotg a -j- (<y₃ — ax) cotg y A a -(- A ß -j- A y = 0.

l\

AT

's

i\

//

iS/'S

Fig. 243.

Fig. 244.

Die in den Figuren 241 und 243 behufs übersichtlicher Festsetzung der Vorzeichen der Momente angenommenen Formänderungen können in Wirklichkeit nicht eintreten, weil Aa-j-Aß-j-^T⁼⁼0 sein muß. Die Rechnung muß also für die Momente teils positive, teils negative Werte liefern. Bind z. B. für das Dreieck Fig. 241 und 9)î₃ negativ, so verbiegt sich das Dreieck nach Fig. 244.

89. Berechnung der Werte p eines einfachen Fachwerks. Wir beschränken uns auf den Fall zentrischer Knotenpunkte und nehmen an, daß alle Lasten in den Knotenpunkten angreifen. Liegt das in Fig. 245 dargestellte Fachwerk vor, so werden zunächst die Werte px und p₂, welche den die Ziffern 1 und 2 tragenden Stabenden entsprechen, als bekannt angenommen. Hierauf findet man p₃ aus der Bedingung, daß die Summe der am Knotenpunkte A angreifenden Momente 9)î2 und SDtg, von denen das erste rechts drehend, das zweite links drehend angenommen ist, gleich Null sein muß. Es folgt 9J?₂ — ïï)l₃ = 0, und, wenn die 9J? durch die p ausgedrückt werden:

P3 .    ?2

Jx

= 0.

Nach Berechnung von p₃ erhält man mit Hilfe der Grundgleichungen (6), (7), (9) die Werte p₄, p₅, p₆.

Am Knotenpunkte B ergibt sich nun zur Bestimmung von p₇ die Gleichung 9J?₇ — 9Jcfi 9JQ = 0, das ist:

S4

— P6

Sä

+ Pi

Sl

= 0,

und hierauf liefern die nach Gleichung (1) für das Dreieck II zu bildenden Grundgleichungen die Größen p₈, p₉, p₁₀.

TZ \V

'S

s.

1 S3

x /

/ /Ss

111 S7

''/17

\//10

V 11

S9

S6

43V /

JZ \y

'18

Fig. 245.

So fortfahrend findet man:

am Knotenpunkte C den Wert p11? mittels Dreieckbedingungen die Werte p₁₂, p₁₃, p₁₄, am Knotenpunkte D den Wert p₁₅, mittels Dreieckbedingungen die Werte p₁₆, p₁₇, p₁₈, und hat nunmehr alle Werte p₃ bis p₁₈ als Funktionen von pj und p2 dargestellt. Zur Berechnung dieser beiden Werte aber stehen an den Knotenpunkten E und F noch die beiden Gleichungen zur Verfügung:

Pl 8

Pl 3

+ Pi

= 0,

Pl 6

^8

S8

Pl 7

S9

= 0.

Die gestellte Aufgabe ist somit gelöst. Unser Verfahren erfordert nur sehr einfache Rechnungen, weil die überwiegende Mehrzahl der zu benutzenden Gleichungen Dreieckbedingungen sind, bei deren Anwendung nur Additionen auszuführen, sind. Die Werte J und s runde man gut ab. Dann verursachen auch die sehr einfachen Knotenpunktbedingungen nur wenig Rechenarbeit.

90. Zahlenbeispiel. Gesucht seien die Werte p für den in Fig. 246 dargestellten symmetrischen Parallelträger. Jeder Knotenpunkt der unteren Gurtung ’ ist mit 12 t belastet. Die Spannkräfte Querschnittsinhalte ï\ Spannungen a,

Stab

Stablängen s, Trägheitsmomente/ und Abstände e—e'—e sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

a=F

(-W)/

S1

2/j

/.

,BZ_

//fa"'

6\x

S2

(+36)

-L/-Odrru

—    29 + 16 + 29

—    32

0,60

0,44

0,40

14

0,65

—    48 + 36 + 73

—    49

+ 40 + 14 — 48

+ 48

Tonnen

ŚSL

0,44

0,60

0,44

0,65

0,44

0,60

dm²

32

+ 67 + 32 — 74

+ 80 t/dm²

3 B 15

oc^oo?oc^oc^oa?

dm

+L

~ ~ ₇-W-----Ą7Ąa~ ~ ~ - -~-

//9 A' ' ⁷^J

+ 73)    (-32)/

'-'Wrn-

rzt

ö'öd'd'd'dd'ö' © ©

GO CD iQ S CD OO CD <5l CD 00

OÖ'Ö'tHOOOt-ToÖ

dm⁴

dm

16 F16

IV

/Ss

(+67)

'(+32)    (O),

S\ '

v //

'wZ⁸

ß\/a +r? zF7sr

!Zt

-----^

■IO)

30drrt

-J-Si_____

+1 J°0 9WK

II

,\

JZ⁰

Fig. 246.

Wir beginnen mit der Berechnung der Winkeländerungen. Für die einzelnen Dreiecke nehmen wir abwechselnd die Verbiegungen nach big. 243 und 241 an. Für die Dreiecke I, III, V gelten die Gleichungen (11), für die Dreiecke II, IV die Gleichungen (10). Die an den Stäben stehenden eingeklammerten Zahlen

2    5

gehen die Spannungen a an. Es ist cotg a = cotg ß = ~ und cotg y = mithin

für das Dreieck I:

— 450

6EAa == 6 [(+ 36 — 73)    + (— 48 — 73)    =

6 EA ß = 6 [(+ 36 + 48)    + (+ 73 + 48) £-] = + 638

6i7Ay = 6 [(+ 73 — 36)    + (— 48 — 36) | ] = — 188

Probe: 6i?(Aa + Aß + Ay) = 0;

in

IV

für das Dreieck II:

6 EA a = 6 [(— 32 + 49)|- + (-32-73)~]

6i?Aß = 6[(+ 73 + 49)|-+(+73 + 32)A] = + 750

6^Ay = 6 [(- 49 — 73) -| + (- 49 + 32) |]

Probe: 6K'(Aa4-^ß + ^Y)⁼⁼0; ebenso für die Dreiecke:

6^Aß = + 556, eE’Aß = + 504,

6#Aß = + 320,

&EAol = — 20, 6.®Aa = + 216, 6J£Aoc = + 320,

ergibt sieb

= — 194

— — 556

6E A y = — 536; 6i?A y = — 720; 6^Ay = —640.

Nun stellen wir die Bedingungen für die Knotenpunkte zusammen. Es

für Knoten A:

J,

Ji

S2

— p₂-= 0, d. h.

0,04

p3 40

P2

0,09

36

oder

Pa = 2,5 p₂ *,

für Knoten B:

■h

■h

P? “T--P6 — F Pl

0,40    ^ 0,03 ,

P⁷ 4Q    Ps gg    1

■h

«1

= 0,

0,09

Pl 36

-0,

p7==12Pe

4 PV

für Knoten C :

Pu

■h

■h

•4

,s6

— P10 “7 h Ps ~ P4 ~~ — 0^

S3

S2

0,08

0,04

0,04

pu 40

pl° 36

0,03    -_n

36    40 -0,

10

Pu ₁₈

für Knoten D\

[I HT

1 ¹⁰    1    ¹

P10 ~r 24 P⁸ + ~2 P⁴’

•4 ' 1    ’4

P15 "7--P14 ~7--r P9 ~7 Ps

■h

S8

S₇

= 0,

0,40

0,04

0,04

Pis 4Q Pu gg ?9 3g

0,40

p8 40

0,

"O

u»

Q- (pl4 — Pe>) + P8Î

für Knoten E:

cs

CL

■u

S10

Pl8 _ ”f"Pl3 7    P12

«9

•S7

= 0,

CS 61

0,08

0,04

40

p18 36

0,04

fP!3 gg

0,08

pia 40

= 0,

10

'O

CO

= jo (Pis — P13) + P12-

Die Darstellung der Werte p als Funktionen von pj und p₂ geschieht jetzt wie folgt. Man findet: am Knoten A:

mittels der Bedingungen (6), (7), (9) für Dreieck I

am Knoten B:

Bedingungen für Dreieck II

am Knoten C :

Bedingungen für Dreieck III

am Knoten D:

Bedingungen für Dreieck IV

am Knoten E:

?3 — 2,5 p₂,

Pi — — 450 — 2 (p₃ -f- Pi) — Pi

—    — pi — 7 p, — 450

P5 = + 638 + Pi + Pi — p₄

= 2px + 8p₂ + 1088 Pô — — 188 + p₃ + p₄ — Px

= — 2Pl — 4,5p₂ — 638; p₇ = — 0,417 Pl — 0,375 ?₂ — 53,17, p₈ = — 194 — 2 (p₇ + p₈) — p5 = + 2,834 Pl + 1,750 p₂ + 100,34

p9 — + 750 + P5 + P6 - P8

= — 2,834 px + l,750p₂ + 1099,66

PlO —- 556 —j— Ps —j— P7 - ?5

= + 0,417 px — 6,625 p₂ — 1596,83 ;

10,514 p₂ — 1565,46,

—    20    2 (pu -j- p₁₀) — p₉

= 4,202 Pl + 32,528 p₂ + 5204,92

Pl3 — 556 -}— P9 -j— PlO - P12

= — 6,619 Px — 37,403 p, — 5146,09 Pi4 ⁼ — 536 -j- px₂ -j- Pu — p₉

—    5,935 px + 20,264 p₂ + 2003,80;

Pl5 = -f 3,808 Px + 3,807 p₂ + 200,80, Pl6 — + 216 — 2 (Px5 -f- pi4) — Pi₃

= — 12,867 Pl — 10,739 p₂ + 952,89 Pi7 = + 504 -J- pi3 + Px₄ — Piß

= + 12,183 px — 6,400 px — 3591,18 Pl8 ⁼    720 -j- Px6 + Pl5

= — 2,440 px + 30,471p, + 5579,78; Pi₉ = 6,524 pj + 70,236 p₂ + 11163,74.

Pix —    1,101 px

Pl2

Pl3

Kachdem nunmehr sämtliche p durch pj und p₂ ausgedrückt worden sind, werden für das Dreieck V die Gleichungen aufgestellt:

2p₁₇ = 6KAy -j- 2p₁₉,

Pn + Pj 8 H~ Pis — 0-

Die erste Gleichung ist ebenso gebildet wie Gleich. (8); die zweite entspricht der Gleich. (5).

Man findet aus diesen Gleichungen:

Px = 198,487 und p₂ = — 173,700, und hiermit sind alle Werte p bestimmt.

Für den Stab .s₈ erhält man z. B.

PlB — -f 3,808 • 198,487 — 3,807 • 173,700 + 200,80 = 295,

Pie = — 12,867 • 198,487 + 10,739 • 173,700 + 952,89 = 264.

Da nun für diesen Stab e = 1,2 dm und s = 40 dm ist, so ist seine größte Biegungsspannung:

1,2

a' = ± 295

= + 8,85t/dm².

Hierzu tritt a =

48

F    0,65

78,8; es entstellt also im ganzen

a = — 73,8 — 8,85 = 82,7 t/dm² = 827 kg/cm².

Wir geben noch an:

p₁₇ = +    12,183 • 198,487 + 6,400 •    173,700    — 3591,18    = —    61,33

p₁₈ = —    2,440 • 198,487 — 30,471 •    173,700    + 5579,78    = —    197,34

Pl3 = —    6,619 • 198,487 -j- 37,403 •    173,700    — 5146,09    = -f-    37,02

p₁₄ = +    5,935 • 198,487 — 20,264 •    173,700    + 2003,80    = —    338,04,

und benutzen diese Werte, um die Zuverlässigkeit unserer Zahlenberechnungen zu prüfen. Es muß (für Dreieck IY) sein:

Pi7 H~ 2 (Pi₈ + Pis) -f- Pi4 = 6 EA y — — 720.

Die linke Seite dieser Gleichung wird mit den oben angegebenen p-Werten gleich — 720,01.

Will man sämtliche p haben, so berechne man in der vorstehenden Weise nur die aus den Knotenpunktbedingungen folgenden Werte p₈, p₇, pu, p₁₅, p₁₉; die übrigen findet man schneller mit Hilfe der Dreieckbedingungen. Man rechne also z. B.

Pis —    216 — 2 (p₁₅ -)- p₁₄)    p₁₃.

Es besteht dann die Hauptrechnung in der Ausführung von Additionen.

Werden die auf die Form

9 — -^Pi + #p2 + Po

gebrachten Werte p für mehrere Stellungen der Yerkehrslast gesucht, so sind die Koeffizienten A und B von pj und p₂ unabhängig von den Winkeländerungen Aa, Aß, Ay; sie brauchen deshalb nur einmal berechnet

--Ł

---A

zu werden, gelten für sämtliche Belastungszustände und lassen sich als diejenigen Werte p deuten, welche man erhält, wenn man alle Winkeländerungen gleich Null setzt und px bzw. p₂ den Wert 1 zuschreibt (Zustände px = 1 und p₂ = 1). Die Spannungen p₀ stellen die für den Fall pj = 0, p₂ = 0 sich ergebenden Werte p dar; sie müssen für jeden neuen Belastungszustand berechnet werden.

v|mi

am

Kennt man die Werte p eines in bezug auf die Senkrechte durch die Mitte symmetrischen Trägers AB für die in Fig. 247 mit 1 und 2 bezeichnten gleichförmigen Belastungen, so kann man aus ihnen ohne weiteres die Werte p für die Belastungsfälle 3, 4, 5, 6, 7, 8 zusammensetzen.

Fig. 247.

91. Einflußlinien für die Werte p eines einfachen Balkens. Wird eine genauere Berechnung der Grenzwerte der Spannungen p verlangt, so bedient man sich am zweckmäßigsten der Einflußlinien. Als Beispiel wählen wir den in Eig. 248 dargestellten Fachwerkbalken. Die Last 1 soll der Reihe nach in den Knotenpunkten I, II, III, IV der unteren Gurtung angreifen.

Man beginne mit der Berechnung der Werte p₃ bis p₂₇ für den Belastungszustand A — 1 und der Berechnung von p₂₈, p₂₇, p₂₆, . . . p₄ für den Zustand B— 1. Der erste Zustand liefert für irgendeinen Wert pm:

(12)

der zweite liefert

pm — Pam    Am p₇ -|- Am p,,

(13)

30-

pm - Pbm -j- Bm p₂₉ -j- Bm p

Pam ist der Wert von pm für A = 1, p₁=0, p₂ = Pbm ist der Wert von pm für B= 1, p,₉ = 0, p₃₀ =

Sr

7//s%

•k

I i %

//

si

se

/Z 19

\\ M /

a *\\ //

ls₇

IV

\ / 21

\ F //

28

s.

śa.

'EL

■b

Fig. 248.

Greift nun die Last 1 im Knotenpunkte II an, so ist A = 1

Die Spannkräfte der Stäbe der Dreiecke I und II sind für diesen Belastungsfall

-y-mal so groß als für den Belastungsfall A — 1, und das gleiche gilt auch für

die Spannungen er dieser Stäbe und die den c proportionalen Änderungen der Winkel der Dreiecke I und II. Daraus folgt aber für p₃ bis p₁₀ die Formel

Pam -(- Am p₇ -{- Am p₂,

und in derselben Weise folgert man für p₁₃ bis p₂₈ die Formel

J Pbm Ä“ Bm P29 H“ P

Die Koeffizienten Am\ Am", Bm\ Bm' sind von der Belastung unabhängig.

Da nun pn aus der Gleichung

und B— l4

~r

(14)

(15)

pm —

Pm —

30*

Pli I PlO

Je

^T+Ps

Je

J,

P4 *

hervorgeht, so darf es ebenfalls nach der Gleich. (14) berechnet werden und ebenso folgt, daß Gleich. (15) auch für p₁₂ gilt.

S3

(16)

Pio A Pu ⁼⁼ 6 J?A am A P13 A P14 P12 A Pl3 = 6 ß-OT A P9 A PlO P14AP9 — &E\'{m-\r Pu A P12

- A „ A A - %

erhält man vier Gleichungen zur Berechnung der Werte pn p₂, p₂₉, p₃₀, die einer im Knoten II angreifenden Last 1 entsprechen. Die in diese Gleichungen einzusetzenden Winkeländerungen A am, Aßm, A ym müssen für den vorhegenden Belastungsfall besonders berechnet werden.

Indem man nun die Last Eins der Reihe nach in den Knotenpunkten I, II, III. IV annimmt, gelangt man zunächst zu den Einflußlinien für p1; p₂, p₂₉, p80 und ist dann imstande, mittels dieser Linien die Einflußlinie für ein beliebiges pm zu ermitteln.

Handelt es sich z. B. um p₁₈, so benutze man, wenn die Last 1 beim Knoten III oder rechts hiervon liegt, die Gleichung

Pis

— y Pas A -A 8 Pi A -A8 P2•

Liegt die Last bei II oder links von II, so gilt die Gleichung

Pl8 =

30-

Man erhält somit:

—    ~Y P«8 A A Pl A A , P*2

l ?«9 + A' Pl A A” P'2 PlO — ^ P«10 A Ao Pl 4" Ao P-2

—    y p«u A Ai Pi A Ai p-2i

y P&12 A Ą-2 P₂9 A A2 P30

—    y P&13 A A3 P29 A A3 P30 y P* i4 A A4 P29 A A4 P30

y P&15 A A5 P29 A Ab P30-

Durch Einsetzen dieser Werte in die dem Dreieck III und dem Knoten II entsprechenden Bedingungen

und

?8

Pn

P12 —

P13

Pl4 =

Pl5-

j P&18 A As P29 A As p

a und b bedeuten die veränderlichen Abszissen der Einzellast.

92. Graphische Ermittlung der Biegungsmomente. Wir gehen wieder von dem Dreieck Fig. 241 aus, multiplizieren die Gleichungen (1) mit dem beliebig gewählten, konstanten Trägheitsmomente Jc und erhalten nach Division durch 3:

(y    + y 3K*) 4 + (y 974 + y SK*) h    = 2EJcAa

(y    + y a»₄) 4 + (y 974 + y ®₆) 4    = 2 EJC A ß

(y «4 + I 5K₆) 4 + ( 3 974 + y 3H,) 4    = 2 EJC A y,

«4 ’ 4 = s'² ~7%

Nun reihen wir auf der Wagerechten (7(7, Kg. 249, die Strecken 4, 4, 4 an_ einander, tragen in den Grenzpunkten (7, A, 77, (7 die Momente 974, 99c₂, 3)4, 9tf₄, 99î₅, äße als Ordinaten auf, verbinden deren Endpunkte paarweise durch die mit I, II, III bezeichneten Geraden und nennen die zwischen diesen Geraden und der (7(7 gelegene Fläche die Momentenfläche des Dreiecks G ABC.

m₃

(17)

wo

4 = «i

Je

Jo

Jo

J&

i!

JS\

^ !    ! 7^47

A ; w; 1

— ->l

Ni 4~yi4 w K--{4 A -7 k i 4 ^

i ■ J gi i    :

-v

Ki 4_>|

rnu

Tą

Fig. 249.

Die Verbindungsgerade E'F' der Punkte E' und F\ in denen die Geraden I und II von den dem Punkte A benachbarten Drittelsenkrechten der Felder 4 und l₂ getroffen werden, schneidet auf der zu A gehörigen verschränkten Stützensenkrechten*) eine Strecke T ab, für welche man leicht den Ausdruck findet :

T' =

(y 3)4 + y 314) 4 “h (y 974 4 y 974) 4

4 ~h 4

oder, wegen der ersten der Gleichungen (17),

2EJc\cr.

(18)

*) Wir bedienen uns der bei der zeichnerischen Untersuchung von Trägern auf mehreren Stützen geläufigen Benennungen.

Ebenso findet man, daß die in gleicher Weise eingetragene Gerade E”F" auf der zu B gehörigen verschränkten Stützensenkrechten die gegebene Strecke

_ 2iG7?Aß

4 + 4

abschneiden muß. Kennt man also die drei Momente 914- 914, 91 c₃- so kann man mit Hilfe die Geraden E'F' einen zweiten Punkt (F’) der Geraden II bestimmen und das Moment 914 ermitteln und hierauf mittels der Geraden E" F" den Punkt F" der Geraden III finden. Einen zweiten Punkt von III erhält man in ähnlicher Weise, indem man die Wagerechte CG nach rechts um 4 verlängert, die Gerade I noch einmal zeichnet und von F'" aus die durch das Moment

2EJc\y

\ + 4

Man kann aber auch, um III festzulegen, die Bedingung Aa+Aß-f-Ay = 0 benutzen ; sie führt zu der Gleichung

(®4 + 3W,) k + (3H, + SÄ₄) 4 + (9Dc₅ + 91t₆) 4 = 0, welche aussagt, daß der Inhalt der Momentenflâche des Dreiecks CABC gleich Null ist. Bezeichnet man also mit 1₂, Ys die Biegungsmomente für die Stabmitten, so erhält man zur Ermittlung von Y₃ die Bedingung

9 14 + i 2 4 H⁻ 1₃ 4 = 0.

Es leuchtet nun ein, daß man die Biegungsmomente 91t für die Stabenden in ähnlicher Weise bestimmen kann, wie vorhin die Werte p. Liegt z. B. das in Eig. 245 dargestellte Fachwerk vor, so nehme man zuerst 304 und 91t₂ bekannt folgere aus der Gleichgewichtsbedingung für den Knoten A das Moment 99t₃ = 91t₂, ermittle zeichnerisch ä)t₄, 9Ic₅, 91t₀, hierauf 914 — 9)t₆ — 91c zeichnerisch 91t₈, 9Ic₉- 914₀ usw.

Da nun diese Momente auf die Form

T"

T"'

bestimmte Gerade F"'E'" zieht.

an.

sodann wieder

91c = 914 + 914914 + 91c" 914

gebracht werden können, wobei nur die 914 von den Winkeländerungen A a, Aß, A y abhängen, so ergibt sich das folgende Verfahren.

Man setze zuerst 914=0 und 91t₂ = 0, bestimme also diejenigen Momente, welche entstehen würden, wenn an den Enden des Stabes Gelenke angeordnet wären.

Zweitens nehme man 914 = 0 und 914 — 1 an und setze alle Winkeländerungen, mithin auch alle Werte T gleich Null. Man erhält die Momente 914.

Drittens wird angenommen : 914 = 0 und 914 = 1 bei gleichzeitiger Nuli-setzung aller Werte T. Es ergeben sich die Momente 9K".

Schließlich werden die beiden Momente 914 und 914 mittels der Gleichgewichtsbedingungen 9148 — 914₃ — 914 ₂ und 9147 = 914 ₆ für die beiden letzten Knotenpunkte, E und F in Fig. 245, berechnet.

Zur Erzielung genügend genauer Zeichnungen kann für einzelne Dreiecke eine geringfügige Änderung des oben beschriebenen Verfahrens empfehlenswert werden. Für das Dreieck II des in Fig. 246 dargestellten Trägers, dessen Stäben sai sa s5 die Trägheitsmomente 0,03, 0,40, 0,01 entsprechen, wird mit Jc = 0,04 0,04

4 —s3

Je

■4

= 36

0,03

48 dm, 4 = 40

0,04

= 4 dm, Z₅ = 36 dm.

0,40

Die im Verhältnis zu l₃ und l₅ nur kleine Länge lA führt leicht zu Ungenauigkeiten, und es empfiehlt sich, /₄ mit einer runden Zahl, etwa mit 10, zu multiplizieren und lA = 40 anzunehmen. Unsere Konstruktion liefert dann nicht

die an den Enden des Stabes s₄ auftretenden Momente 9k₇ und äk₈, sondern die

Momente ^ W₇ und ~ 9Jf₈.

Um dies einzusehen, beachte man, daß in den Gleichungen (17) die Produkte ersetzt werden dürfen durch die Produkte — • xl. wo % eine beliebige Zahl bedeutet. Der Verfasser gibt dem in Nr. 88 entwickelten rechnerischen Verfahren den Vorzug.

93. H" äherun gs verfahr en. Die einfachste Näherungsregel lautet: Man nehme nur den Knotenpunkt, für den man die Nebenspannungen berechnen will, steif an, alle übrigen hingegen gelenkig. Werden dann die Werte p für die den steifen Knoten bildenden Stabenden mit p„,

pj, pc, Pd, bezeichnet, Fig. 250, die Winkel mit a, ß, y, so bestehen die Gleichungen:

/ /ö

C\ \

2 (pa -j- p*) = 6.27 A a 2 (pi 4 pc) = 6 .B Aß 2 (p₀ 4 p„)= 6_BAy

und, wenn zur Abkürzung

Fig. 250.

gesetzt wird, außerdem noch die Bedingung

pa'G Pi^i | Pc ~ P<Z^<i " ~ 0. Setzt man in die letzte Gleichung die Werte ein: pc = 3-BAy — pd p₆ = 3 J?Aß — 3-BAy + pa p„ = 3 A'Aa — 3 .BAß + 3.BAy — p*

so liefert sie:

(19)    p<* =

3.BAa • va — 3-BAß (va -j- v₆) 4 3 B A y (vg 4 v₆ 4 vc)

V» + Vi + V₀ 4-

und hierauf erhält man

(20) pc = 3-BAy —- pÄ, p* = 3.BAß —pc

p« = 3-BAa — p₆.

Wendet man diese Gleichungen auf den Knotenpunkt D des in Fig. 246 dargestellten Trägers an, so hat man für die vier Stäbe s₄, der Reihe nach zu setzen:

J 0,40

40

= 0,010,

0,04

36

= 0,001, 0,001, 0,010.

Die mit 6 E multiplizierten Winkeländerungen sind

4 216

4 750

und man erhält daher (mit = 0,022)

— 536

Unsere frühere Rechnung lieferte

Pi 5 ⁼ 295, Pi 4 —    338, p₉ — 233, p₈ = 358.

In Anbetracht der außerordentlichen Kürze des Näherungsverfahrens darf das Ergebnis, allerdings nur für die Gurtungen, noch als befriedigend bezeichnet werden. Jedenfalls ist eine derartige Schätzung der Nebenspannungen immer noch besser, als die völlige Nichtbeachtung dieser bisweilen recht erheblichen Zuschläge zu den gewöhnlich errechneten Beanspruchungen.

§ 19.

Einfluß der Momente S0Î auf die Spannkräfte in den Stäken.

94. Spannkraft in einem Gurtstabe. Infolge der starren Knotenverbindungen möge die für gelenkartige Knoten berechnete Spannkraft Sm übergehen in Sm -j- A Sm.

---A

\)rm

/v'

rn

Fig. 251.

20

750

P« — Ps — ~2--h 1³ —

388.

f 255 = — 13

P<*-Pl 5 -

750 • 0,010 + 536 • 0,011 + 216 • 0,012

2 • 0,022

863 = — 255

= 363

216

pc - Pl 4 - “ 2

P& ?9

— 536

Wir führen durch das Fachwerk einen Schnitt, unmittelbar links neben dem Knotenpunkte m und rechtwinklig zu dem fraglichen Gurt-Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

stabe, Fig. 251, und untersuchen das Gleichgewicht des Fachwerk -abschnittes links von m. Den Punkt m wählen wir zum Drehpunkte. In der aufzustellenden Momentengleichung kommen dann außer den äußeren Kräften nur vor: die Spannkraft Sm -|- hSm des durchgeschnittenen Gurtstabes und die von den starren Knoten herrührenden Momente ÜD?, ähj,    Die beiden letzteren entsprechen den mit 1 und 2 bezeich-

neten Stabenden; das Moment 5Dt für die Schnittstelle des fraglichen Gurtstabes entnehmen wir der Momentenlinie. Die zu 9JÊ gehörige Querkraft geht durch den Drehpunkt. Werden für die vorliegende Untersuchung — in Übereinstimmung mit der beim einfachen Balken üblichen Annahme — die an den rechten Enden der Stäbe oder Stababschnitte angreifenden Momente positiv genommen, sobald sie links drehen, und wird beachtet, daß das Moment Smrm und das Moment der äußeren Kräfte sich gegenseitig auf heben, weil ja die S mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht sind, so ergibt sich die Momentengleichung ±Smrm — ätt — Tt, — äk₂ =0;

sie liefert

(i)

a sm

m +    + m₂

rm

\ł

TTC"

Fig. 252.

w und

95. Spannkraft in einem Füllungsstabe. Gesucht sei die Zusatzspannkraft AD für die Diagonale (w— 1) — m in Fig. 252. Es wird durch das Fachwerk rechtwinklig zur Diagonale (m—1) durch die rechten Enden der Gurtstäbe (m—2) — wund (w—1) — (m-}-l)

ein Schnitt geführt und der Punkt m -1- 1 Bedeutet dann AS dieÄnderung der Spannkraft des Gurtstabes (m—2)—m, r ihren Hebelarm und 9)7 ' das Biegungsmoment am rechten Ende des Stabes (m — 1) — (m -J- 1), so ist mit der aus der Figur zu ersehenden Bezeichnung 997":

zum

Drehpunkte gewählt.

Hieraus folgt

(2)

— A Sr — 9)7 — 9)7 ' — 9)7 "

\m~L

r'

AS

rrt

RTÏÏ

Fig. 253.

Die Fig. 252 darf man auch durch die allgemeinere Fig. 253 ersetzen. Der Punkt A darf auf einem der beiden Gurtstäbe (m — 1) {m 1) oder (w — 2) m beliebig angenommen werden.

96. Hat man mit Hilfe der vorstehenden Formeln die zuerst für gelenkartige Knoten berechneten Spannkräfte verbessert, so kann man die genaueren Längenänderungen A s und Winkeländerungen Aa, Aß, A y ermitteln und schließlich auch die Momente 9)7 von neuem berechnen. Wichtiger als die Gewinnung genauerer Momente dürfte die mittels der

20*

vorstehenden Untersuchung durchführbare Berücksichtigung der steifen Knoten bei der Berechnung der Durchbiegungen der Fachwerkträger sowie die Erforschung des Einflusses der starren Knoten auf die statisch unbestimmten Größen X der Fachwerke mit überzähligen Stäben und Stützen sein. Wir müssen uns aber in diesem Buche mit einem Hinweis auf diese Aufgaben begnügen.

IV. Abschnitt.

Sicherung der oberen Gurtung einer Trogbrücke durch biegungsfeste Halbrahmen.

§ 20.

Voraussetzung Ton Kugelgelenken an den Enden eines jeden

Fachwerkstabes.

96. Einleitung. Stellung der Aufgabe. Ist die Höhe der Hauptträger einer Brücke mit unten liegender Fahrbahn so klein, daß die Anbringung einer die oberen Gurtungen verbindenden Windverstrebung

P,

A‘

\Pz

Al'

X<H'r

B'

Fig. 254.

nicht möglich ist, so müssen die Hauptträger durch biegungsfeste Halbrahmen miteinander verbunden werden. Fig. 254 zeigt ein solches Bauwerk, eine sogenannte Trogbrücke, in isometrischer Darstellung; es besteht aus 19 Stäben und zwei vollwandigen steifen Scheiben, die man sich auch nach Fig. 255 durch Fachwerke aus je fünf Stäben ersetzt denken darf, wonach — bei der durch die Pfeile A, B, Ä, B', H, IT, H" beschriebenen Stützung — die Anzahl der Fachwerkstäbe und Stützkräfte zusammen 19 —|— 10 —j— 7 = 36 beträgt. Die Anzahl der Knotenpunkte ist 12; es stehen also 3-12 = 36 Gleichgewichtsbedingungen

zur Verfügung. Die Umwandlung in ein reines Fachwerk erleichtert öfter die Berechnung der Stabkräfte; man findet z. B. für die in Fig. 254 und 255 angenommene Belastung mit Kräften P1? P₂, P₃ sofort die Spannkräfte

Si =

Pi

, ss = o, p₄= o

cos 9

und erkennt, daß der vordere Hauptträger nach Fig. 256 belastet wird, der hintere nach Fig. 257. In jeder der unteren Gurtungen dieser Träger greifen drei wagerechte Kräfte an, deren Summe P₃ ist und die

*/*•

'2

<P

\a

A’

Pz

B'

Fig. 255.

JO

Szsm<p=\P,tff(p Fig. 256.

nur die Beanspruchung der Untergurtstäbe beeinflussen, so daß man u. a. die Spannkräfte S₅, S₆, S₇, S₈, S₉, S₁₀ angeben kann, ohne jene drei wagerechten Kräfte zu kennen. Damit sind sämtliche auf den Windträger, Fig 258, wirkenden Kräfte gegeben, und es lassen sich jetzt die Spannkräfte in den Windstreben und den Gurtungen AB und A B' ermitteln.

Die Ergebnisse dieser Bechnung bleiben auch nach Wiederherstellung der vollwandigen Scheiben für die Stabkräfte des in Fig. 254 abgebildeten Tragwerks gültig; die an jenen Scheiben angreifenden Kräfte sind nunmehr bekannt.

Hervorzuheben ist, daß an einer ebenen Scheibe äußere Kräfte, die nicht in der Scheibenebene liegen, nur in den Punkten angreifen dürfen, von denen Stäbe ausgeben, deren Achsen außerhalb der Scheibenebene liegen. Bei den gebräuchlichen Anordnungen der Balkenbrücken, deren Querträger als lotrechte Scheiben aufgefaßt werden, wird diese Bedingung nicht immer erfüllt. Es gibt aber Fälle, in denen die seitliche Versteifung der Querträger

Prig(p

5,

<x\

cc\

(X

A'

'P₃

Fig. 257.

kB'

durch wagerechte Fachwerke ratsam ist, um größere wagerechte Kräfte zu den Knotenpunkten der Hauptträger hinüberzuleiten. Ein Beispiel zeigt der in Fig. 259 dargestellte Grundriß einer eingleisigen Balkenbrücke.

SßcosCC

S₅COS<X

SjCOSCC

lB'

rB

So cos a

Sg cosec

Swcosa H"=p₃

S₃COS<p= B

.H’

Fig. 258.

Wir wollen nun voraussetzen, daß alle an den Hauptträgern an-greifenden äußeren Kräfte mit den Ebenen zusammenfallen, in denen die Stabachsen der Hauptträger liegen.

.Zf

Fig. 259.

gewisse

um

Die Querträger seien durch lotrechte Lasten auf Biegung beansprucht. Ihre Endquerschnitte A und B (Fig. 263) drehen sich Winkel und um dieselben Winkel drehen sich auch die mit den Querträgern durch steife Ecken verbundenen Vertikalen.

Werden alle Querträger in gleicher Weise belastet, so bleiben die Hauptträger eben, Fig. 260. Dieser Pall liegt z. B. vor, wenn die Fahrbahn oder der Gehweg einer Brücke mit gleichlangen Feldern und gleichstarken Querträgern eine ganz gleichmäßig verteilte Last trägt und dafür gesorgt wird, daß auch die Endquerträger ebenso stark belastet werden, wie die übrigen Querträger.

Fig. 260.

In Wirklichkeit muß man aber, selbst bei der sogenannten Vollbelastung einer Brücke, mit oft recht ungleich beanspruchten Querträgern rechnen. So werden z. B. die Querträger 0, 1, 2, 3, ... einer Eisenbahnbrücke von 45 m Stützweite bei der in Fig. 261 angegebenen Zugstellung — außer durch das Eigengewicht der Fahrbahn — belastet mit: 17,3    17,3 21,7    30,3 21,3 51 17 34 45,3 18,7 26 Tonnen.

Bei einer Straßenbrücke kommen ähnliche Abweichungen vor, wenn in der Mitte schwere Lastwagen stehen und der übrige Teil der Fahrbahn und die Gehwege mit Menschengedränge belastet sind.

17 17 17 17 17

17 17 17 17 17

13    13    13    13    13 13 13

3,Om I 3,0 I 3,0    3,0 \ r,s\l5\    0,5

ZA

/,5 1,5 IS^

6,0

ZA

ZA

ZA

ZA

13 13 13

O,5    \',5\/Jm

\z

\6

W-6,5r»A--6, 3

6,5-

+—6,5—^—6,5—-6,5 —

Fig. 261.

6,5—■+—6,5—*—6,5—*1*—6,5/a^H

Die Vertikalen eines und desselben Hauptträgers drehen sich daher im allgemeinen um verschieden große Winkel r. Die Achsen der im oberen Knotenpunkte m des mten Halbrahmens zusammentreffenden Stäbe liegen nicht mehr in einer Ebene, und es üben daher die Stabkräfte im Punkte m auf den Halbrahmen einen wagerechten Druck Xm aus, der positiv gezählt werden möge, sobald er (wie in Fig. 263) von außen nach innen gerichtet ist. Sind die Halbrahmen zu schwach, so weicht die obere Gurtung seitlich aus. Handelt es sich, wie bei einer einfachen Balkenbrücke, um eine ausschließlich auf Druck beanspruchte Gurtung, so spricht man im Falle des Versagens der Halbrahmen von einer ungenügenden Knickfestigkeit der Gurtung. Es kann aber ein derartiges seitliches Ausweichen auch bei einem Zuggurt Vorkommen, beispielsweise

über einer Mittelstütze eines auf mehreren Stützen ruhenden Balkens; hier können die Unterschiede zwischen den Winkeln t sogar besonders groß ausfallen, weil die Gurtkräfte — und von diesen hängen die Seitendrücke Xm hauptsächlich ab — nicht mehr hei voller Belastung der ganzen Brücke ihren größten Wert annehmen.

Die folgende Untersuchung einer Trogbrücke setzt voraus, es sei Form und Belastung der Brücke symmetrisch in bezug auf eine durch die Querträgermitten parallel zu den Ebenen der Hauptträger gelegte Ebene. An jedem Halbrahmen greifen dann zwei gleichgroße Kräfte Xm an und die Knotenpunkte m verschieben sich im Sinne der Xm um gleichgroße Strecken hm.

Ist diese Symmetriebedingung nicht erfüllt, so biegen sich die beiden Hauptträger ungleich stark durch. Die hiermit verbundene Drehung der Halbrahmen bildet dann eine neue Ursache, die Achsen der in einem Punkte m angreifenden Stäbe aus der lotrechten Ebene herauszudrängen.

97. Ermittlung der Durchbiegungen hm und Seitendrücke Xm.

Die untere Gurtung sei wagerecht, Fig. 262. Es treten nur lotrechte Lasten auf. Der genau in der Höhe der unteren Gurtung angenommene

/Th

Om-ti

m-r

TU

'rn+/

Vm

^ nr/~ '

rn

Vri

A-

Fig. 262.

Die Verschiebungen der Untergurt-

Windverband ist spannungslos.

Knotenpunkte rechtwinklig zur Ebene des Hauptträgers sind Null.

Infolge der Verschiebungen S der Knotenpunkte der oberen Gurtung te Stab der oberen Gurtung gegen die lotrechte Ebene

neigt sich der rn

der Hauptträger um einen Winkel, dessen Sinus gleich (5m — $m-i) : om ist, wo om die Länge des Stabes bedeutet. Wird also die Spannkraft Om als Druck positiv gerechnet und

zur

Abkürzung die Bezeichnung ein-

geführt :

Om cos ßm

so ist der Beitrag von Om zu Xm gleich zm{om — SOT_i) und der von Om+1 gleich zm+l (hm — 8m+i). Die Spannkräfte DmVmDm+) liefern, wenn der in m angreifende Teil der ständigen Belastung vernachlässigt wird, den Beitrag:

8«.

+^r+J>

um

bm bm

nt H-l

dm+\

-rr- ( Vm -f Dm sin (?m -j- D hm

y- (0>H sin ßM — Om + l sin ß„,+i)

~[zm{K

m +1

sin <pOT+i)

Im ganzen entsteht also:

■^-m    — l)

\zm (Jlm "km— l)

(2)

bm

Ä*-

Kn

+1

m+1*

Nun ist aber

(3)

bm = 8m' -f

Xm

wo hm' die Verschiebung bedeutet, welche der obere Endpunkt m des

den Einfluß von Xm = 1 auf

Rahmens im Falle Xm = 0 erfährt und

vm

hm angibt. Indem wir den Wert

(4)

Xm = vm (5m — bj)

gleich dem oben für Xm gewonnenen Ausdrucke setzen, erhalten wir zur Berechnung der Verschiebungen hm die Gleichung:

-1

-Zm

|    Zm + 1

^ 8//? ( Zm +1 8«, -f-1 Vm bm .

Für den oberen Knotenpunkt 0 eines Endständers (Fig. 262) er

gibt sich

(6)

^o = -

n h

0 i-

8₀

°i

Vo f "0

und wenn

— (X — Äo)

V₀ -(- Dj sin cpj = — Oj sin ß:

gesetzt wird,

— ^Si

X₀ — +    8₀

Die Verschiebungen hm' und 1 jvm können mittels der im § 2 beschriebenen zeichnerischen Verfahren bestimmt werden. Der allgemeine rechnerische Weg ist der folgende:

Das Biegungsmoment für einen Querschnitt des Querträgers ist (Fig. 263)

M — M₀ — Xmlim,

wo

(7)

Es gilt also für den Knotenpunkt 0 die Gleichung:

)S0 + **⁸1 = *0 V

*1

und für den letzten Knotenpunkt (n):

(8)

- Zn

hn

M₀ den Einfluß der Lasten P bezeichnet. Bedeutet J₂ das im allgemeinen veränderlich anzunehmende Trägheitsmoment des Querschnitts des Querträgers,’ so ist der Neigungswinkel der elastischen Linie des Querträgers am Ende A

M₀dx

EJq

Xmhm

J EJa

o

Für die Vertikale, deren Querschnittsträgheitsmoment Jv sei, ist M — Xx. Es ergibt sich daher mit den in Fig. 263 angegebenen Bezeichnungen

hm

hm

Mxdx

%n =

= Xm

x²dx

J EJV,

Nun ist

5», -—'    "j“ hm V«

also

hm

K = xr,

x²dx

EJV

dx

EJq

\ , , [M₀dx

)+h-J EJa

Dieser Ausdruck besitzt die Form

Xm

Vm

M₍₎dx

~EJ,7

(10)

vm =

hm

hl

dx

x²dx

EJS

EJV

772/

771

7Tb

lxm

Die Integrale darf man stets durch Summen ersetzen. Man darf z. B. schreiben

¥c

p

r ^rrr*1

--fl

f v A

, x. if₀Aa?

^    -rji j

O -üJq

Sind Ją und Jv änderlich und bezeichnet den Inhalt der Hälfte der M₀- Fläche, so erhält man

unver-

(il) K'

EJ₂

(12) vm

/ 77

hmc

hl

r/iT'

i\

\\

://

^777

M₀-Fläche

2EJ, ¹ 3 EJV

Wird eine schlanke Vertikale auf Druck beansprucht, so muß der Einfluß des Druckes Vm auf den Winkel x (Fig. 263) berücksichtigt werden. Das Biegungsmoment ist gleich Null für x = 0 und gleich Xmhm für x — hm.

Zeichnung

Mit der Be-

Fig. 263.

am =

V-

VJil

EJV

ist daher nach § 17, Gleich. (36) und (37):

Xm')n'

(13)

x' —

wo

Vm'= 1-V-rn cotg am.

Man findet

§OT = hmxm -J- hmx

%nAn

KnC i jV,»' \ 2 EJq ‘ Vm )

EJq

An die Stelle von Gleichung (12) tritt also zur Berechnung von vm die Gleichung

vm

h¹,„c

2 EJq

Bislang haben wir vorausgesetzt, die Achse des Querträgers falle mit der Ebene des unteren Windverbandes zusammen, auch haben wir die Höhe des Querträgers bei der Bestimmung der freien Länge der

Vm

fTT

-w

¹ Jl"

h'ünKv

Fig. 264.

Vertikale vernachlässigt. Liegt der in Fig. 264 dargestellte Fall vor, so nennen wir

hm' den Abstand der Schwerachse der oberen Gurtung von der Schwerachse des Querträgers,

Jim" die freie Länge der Vertikale, bei Anwendung von Eck-blechen unter Hinzurechnung der halben Höhe dieser Bleche,

und rechnen mit

(14)

Vm

2 EJq 3EJV

beziehungsweise mit

(15)

Vm

hm'¹ c

Den Umstand, daß die wagerechten Verschiebungen der Knotenpunkte‘der unteren Gurtung bei dieser Anordnung nicht mehr Null sind, vernachlässigen wir.

Die vorstehende Entwicklung hat zu einer Gruppe von Gleichungen ersten Grades geführt, deren Anzahl ebensogroß ist, wie die Anzahl der unbekannten Verschiebungen 8. Besitzt die Nennerdeterminante A dieser Gleichungen einen von Null verschiedenen Wert, so lassen sich die 8 eindeutig berechnen (vgl. Band I, § 51, Nr. 204).

Da nun der Nachweis geführt werden muß, daß die von den Kräften X in den Vertikalen und Querträgern hervorgerufenen Biegungsspannungen, die für die vorgeschriebene Belastung in der Regel sehr klein sein werden, bei Überschreitung dieser Belastung nicht sofort schnell anwachsen, was unbedingt geschieht, sobald sich A der Grenze Null zu sehr nähert, so muß, wenn eine p-fache Sicherheit verlangt wird, die Untersuchung für die p-fache Belastung durchgeführt werden. Gelten also die Werte z und K für die einfache Belastung, so multipliziere man sie mit p und teile hierauf die Gleichungen (5), (7), (8) durch p; man findet dann:

C/O

So + (

vl

Oft

rH

-f +

fco

Oft

Oft

v₀ §o

»l Si

-1

Zm

Kn P

-f-1

+(

- Zn

-1

J- — — o

P

Gleichung (4) muß ersetzt werden durch

(18)

X^rn Vm    P ^m )•

Für einen Träger mit 4 Vertikalen (0, 1, 2, 3) lautet z. B. die Nennerdeterminante

+.

"M

«3

tM

4-

to i os

CO

CO

^ I

CO |U>

«?| Q-

sind. Der Wert einer Determinante bleibt aber ungeändert, wenn man irgendeine Zeile durch eine Zeile ersetzt, deren Glieder gleich den entsprechenden Spaltensummen sind. Ersetzen wir also die zweite Zeile der Determinante h₀lixh₂h₃b. durch die Zeile (19) und teilen wir sie dann durch h₀h₂h₃, indem wir die Zeilen 1, 3, 4 der Reihe nach durch h₀, h₂, h₃ teilen, so erhalten wir, da die Glieder der Zeile (19) den gemeinsamen Teiler 1 : p besitzen

» Q-

zi

- —, V

¹ h n0

v₃ h₃

vi h\

Bildet man nun das Produkt h₀ hx h₂h₃ A, indem man die Zeilen der Determinante A der Reihe nach mit h₀ lix h₂ h₃ multipliziert, so erhält man eine Determinante, deren Spaltensummen gleich

v₂ h₂

(19)

»o ho

v₁h₁

v₀h₀

Z2

4-

Z3

h₃

h₂

Z3

Z3

h₂

h₃

Vertauschen wir schließlich noch die Spalten mit den Zeilen, was bekanntlich geschehen darf, ohne daß sich der Wert der Determinante ändert, so entsteht die Gleichung

£1 hK I ⁰

P K ;

Vlh

0    | hK    + y —% fh

A1?A =

»2

ll₃

S3

»3ÄS

Z3

Z3

h |

h₃ p

Die rechte Seite dieser Gleichung geht über in die Zählerdeterminante des Wertes sobald die (hier wagerecht geschriebene) Spalte

vi hi

v₀h₀

ersetzt wird durch die Spalte:

G)V

welche wir umformen in

®i⁸i'

v₂ h₂

v3^3 >

(21)

v0 h ~0 0

V1 Voi

v2 h-2 T0 2

v3 ^3 T0 31

&.

EJq

(m = 0, 1, 2, 3)

Vm

den Neigungswinkel des Endquerschnittes des Querträgers infolge der Lasten P bedeutet.

Nehmen wir jetzt an, daß die Drehungswinkel t der Endquerschnitte sämtlicher Querträger, auch der in der Regel schwächer belasteten Querträger 0 und n gleichgroß sind, so besitzt die Spalte (21) den gemeinsamen Teiler t₀, und wir erhalten S! = pT7o^i und ganz allgemein hm = p t₀ hm. Die Hauptträger bleiben also eben und neigen sich um

d

• Fehlen die Endvertikalen, so ist dieser Zustand auch dann

EJq

möglich, wenn die Endquerträger eine andere Belastung erfahren, als die übrigen Querträger. Es genügt aber die geringste Änderung der Belastung eines einzigen Querträgers, um für hm einen Ausdruck

po

zu erzielen, der einen unzulässig hohen Wert annimmt, wenn A sich der Grenze Null nähert. Den Sicherheitsgrad p der Gurtung gegen seitliches Knicken liefert die Gleichung A — 0. Ist die Determinante A von der Jcten Ordnung, so ist die aufzulösende Gleichung vom {k — l)ten Grade,

weil die eine Wurzel — = 0 bereits bekannt ist. Diese Eigenschaft

P

unab-

kann zur Prüfung der Zahlenrechnung verwertet werden. Stellt man nämlich A als Funktion von — dar, so darf sich kein von —

P    P

hängiges Glied ergeben.

Einen wichtigen Fall, der dem Falle gleichgroßer Winkel r₀ an die Seite gestellt werden kann, zeigt Fig. 265. Die Sicherung der Zwischengurtung A CB gegen seitliches Ausknicken geschieht durch biegungsfeste Vertikalen, die durch einen oberen und einen unteren Wind verband ge- • stützt werden. Der obere Windverband lehnt sich an den Enden gegen biegungsfeste Rahmen. Die Querträger seien gelenkartig mit den Hauptträgern befestigt; sie übertragen also keine Biegungsmomente auf die Vertikalen. Mit der Bezeichnung

Um cos ym

erhält man

A/i (^m    ^ in — 1 )    :~m -f- ] (^m+1    ^ ni)

TT '    _ S

' m

- D,n

5».

d'm

— V„

' hm

Dabei ist vm — —

wo y\m die Durchbiegung der Vertikale an der

Stelle m infolge Xm — 1. Bei unveränderlichem Querschnitt der Vertikale erhält man mit den in Fig. 265 angegebenen Bezeichnungen

3 EJV (hm -f- ym)

hlyl

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen drücke man Vm und Dm durch die Werte Umcosym — zm\m, Um+X cos ym+1 = zm+x\

Belastung des Knotenpunktes m gleiche Spannkraft Vm' aus. Die am Knoten m angreifende Eigenlast darf vernachlässigt werden.

vm =

tn-fl

und die der

\ym,

777/

Uttl

Ynu

tFv v

Ajt

U-nv

TW+1

Fig. 265.

98. Anwendung auf einfache Balkenbrücken. Bei der Anwendung der Gleichungen (17) auf eine vollbelastete Brücke, deren Hauptträger einfache Balken sind, empfiehlt es sich, der Einfachheit wegen die Werte z für eine gleichmäßige Verkehrslast p für die Längeneinheit zu berechnen, und zu setzen qxmxm

(22) Om cos ßm

2Ä*e

Z,n =

2 hm\m

3)ni ^ 3/nt )

Bei Eisenbahnbrücken findet man p aus dem

mittels

wo q = g -f- p ist.

größten, durch den Eisenbahnzug verursachten Momente Mpmax der Formel

pmax

Den Belastungsvorschriften für die preußischen Staatsbahnen entsprechen z. B. die folgenden Werte:

CD I> CO GS O C3 t-H vH H vH 03 03

1^ Gi H o ^ I>

CO CO H rtf o CD ö d 05” od öd cd

H vH

O H (M CO ^ »O vH vH vH tH vH vH

pH pH t> t> CO iQ pH (M O 05 CO O

oó co x G G G

00 00 00 to to to

HP tO © CO 05 HP

in co co o pH t-eopI^pH pH cq oa G G G G G G

00005^0)00 iO lO iQ iO iO

05 O] CO pH CO CO •—i—H O O 05 05

i> i> i> i> tó cd

CO CO O N ^ CD CO CO -pH pH pH pH

GS GS GS GS GS GS

GG ós ’-i cc p -a o> m to ro

“^1 GS GS GS GS GS OQOOî^ WO

I> H iß 05 W h^CO_CO G^tH ZD OD ZD CD CD

t/m

m t/m m t/m m j t/m m t/m m t/m j m

In der Regel sind die Feldweiten gleichgroß. Bedeutet dann n die Felderzahl, und führt man zur Abkürzung die Bezeichnung ein: Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

21

n — m,

(24)

mm

K ’

so gehen die Gleichungen (17), wegen xm = m\ xm—m'\ über in

(25) am8m_

-i

vm

+i

gPx a

_ (y V m ^ m

7" ~

Für den Balken mit parallelen Gurtungen erhält man:

km

K>

)s.

(26)

vmh

mm'hm_i -f- ^— mm -f- 2

~h (m “h 4) (»* -f- 1) 8m+1 = 2 5m

qpl

(m —J— 1) (m —f- 1)    $*»

v,„ h

(27)

Beim Parabelträger (Pfeilhöhe f) ist

ql2

0m cos ßm —---

Es nimmt daher z im Falle gleichlanger Felder den festen Wert

(28)

ql²

Sf\

Da außerdem 5₀ = 0 und h„ — 0 ist, so fällt die erste und die letzte der Gleichungen (17) fort; man erhält die (n—1)-Gleichungen:

an.

(29)

8m-l “f*

-1

wo

(30)

am = —

Vm

hm

hm

hm

Mit Hilfe der Beziehung

hm-\ : hm : lim+\ — (m — 1) (m — 1/ : mm' : (m -f- 1) (m -f- l)' läßt sich der Wert uOT umformen in

zç

Bei symmetrisch gebauten einfachen Balken empfiehlt es sich, mit einer symmetrischen Belastung zu rechnen.

Handelt es sich dann um einen Parabelträger mit 10 Feldern, so hat man nur die folgenden fünf S-Gleichungen aufzustellen:

ai5₁ -j- §₂ = Ax

&1 ~\~ a2 ^2 4“ ^3 ⁼ ^2

5₂ a₃ 8₃ -f- S₄ = A3

83 + «₄§₄ -f- 8₅ = H4 .^4+ a5^5 + S₄= A₅

Die Nennerdeterminante dieser Gleichungen lautet ax    1    0    0    0

1    a₂    1    0    0

1    0    =[«3(0^2—1)—ax](a^a₆—2)

—ß₅ (axa₂ — 1).

(32)

Am =

(33) A =

tH O

«4

«5

99. Zahlenbeispiel. Fußgängerbrücke von 20 m Stützweite, 4 m Breite, 2,0 m Feldweite mit parabelförmigen Hauptträgern von 2,5 m Pfeilhöhe. Fig. 266. Für jeden Hauptträger sei g — 0,4 t/m, p — 1,0 t/m, also q= 1,4 t/m. Es ist demnach

^ — qn = 14 t/m.

ql²

U-/Î J

Fig. 266.

Die Querträger sind J_-Eisen Nr. 30 mit Jq = 9785 cm⁴; jede Vertikale besteht aus 4 Winkeleisen 6 X 6 X 0,8 cm (Fig. 267) und besitzt

Es ist also mit

3900 cm⁴.

Jv = rund E = 2150000 kg/cm² abgerundet

60-60.8

EJV = 840 tm

EJq = 2100 tm²,

vm =

nach Gleich. (14)

4,0 ft»'¹ hm"3 2 - 2100    3 • 840

10000

133/CM-560‘

Es sei hm' = hm— 0,15 und hj' = hm — 0,30. Dann ergibt

Fig. 267.

-A

sich für

21*

K = kń = K"==

_p o o

1,60 2,10

1,45

1,30

GO

2,50 m 2,35 m 2,20 m

V,n

115

25

12

- = 9 zu, vernachlässigen in der Formel (31) 2

---r und setzen in (33):

mm

Der Einfachheit der Rechnung wegen schreiben wir den Rahmen 3, 4, 5 die gleichen Ziffern

das unwesentliche Glied

115

25

— 2, a₃ = «₄ = a₅ =

2.

2, «,= -

Es ergibt sich dann die Gleichung:

4183 — 3196 p + 7 22 p²— 51p³ + p⁴ = 0, deren "kleinste Wurzel p = 2,4 ist*). Die obere Gurtung besitzt also selbst dann 2^--fache Sicherheit gegen seitliches Ausknicken, wenn bei der Berechnung des erforderlichen Trägheitsmomentes des Gurtquerschnitts die Stablänge o als freie Länge eingeführt wird. Da in Wirklichkeit an die Stelle der hier vorausgesetzten Kugelgelenke steife Knoten treten, so ist der Sicherheitsgrad wesentlich höher.

Setzt man, nach Engesser, in die Gleichung

«i =

die Werte

ferner

am =

vm

z9

— 2,

so erhält man für den Sicherheitsgrad p die Näherungsformel

(34)

vm

4z’

sie liefert im vorliegenden Falle p = 2.

*) p = 1, 2, 2,2, 2,4 liefert F(p) = + 1649, + 287, + 127, — 0,5. Man findet zuerst

—    1601370 (y)⁴ + 361827 ( ¹ J

—    25586 (y)² + 501 j

2095875

— 2 = 0,

also eine Gleichung 5ten Grades. Das Glied —2 muß aber gestrichen werden;

Wird genau gerechnet,

2

es ist eine Folge der Vernachlässigung der Glieder —    -

so hat die Gleichung na'ch Seite 318 den Teiler — •

Wird die prismatische Vertikale durch eine nach Fig. 268 sich verjüngende ersetzt, so tritt an die Stelle von

h"³

h"

x²dx

h"

3 EJV

x²dx

der WTert

EJ 4^ + 4 F„Ç

wo Fw den Querschnitt eines Winkeleisens und Jw das Trägheitsmoment dieses Querschnitts in bezug auf seine eigene Schwerachse bezeichnet.

Der Einfachheit wegen nehme man y — b jrr

Berechnung des in die Pormel 14 einzusetzenden Wertes Jv die Gleichung

x²dx

EJX

an. Dann ergibt sich zur

h"

ti'³

3 Jv

b²

h"³

h"³

Fwb²    F Jo

’V

FJ

Y arctg

V-

Fwb²

T ~~T

OC

h"

h"

Fig. 268.

'mXmmmJmzZ,

Fig. 269.

(35)

Man findet den von der Höhe h" unabhängigen Wert

Fwb²

₃(i

arctang a

wo

Für das Winkeleisen 60-60-8 mm ist Jw = 29 cm⁴, Fu, = 9 cm², 7² = 3,22, i = 1,8 und für b — 33 cm,

= 9,17 = tg83°46'.

Zu diesem Winkel gehört die Bogenlänge 1,462, weshalb 9 • 33²

³(

1,462

rund 3900 cm⁴.

9,17

¹

EJq

§ 21.

Grelenklose, durch Halbrahmen gestützte Gurtung.

100. Sind die Stäbe der oberen Gurtung einer Trogbrücke (Fig. 270) in den Knotenpunkten miteinander vernietet, so werden die von den Stab-kräften auf die Halbrahmen ausgeübten Drücke Xm durch den Biegungs-

771+7

TTl

,0rn'

771-P

V

771/

(a)

k-

t*

771+1

«S

m-i

m+i

0)

Fig. 270.

widerstand der Gurtung verkleinert. Der durch Gleich. (2), Seite 314, bestimmte Wert Xm geht über in

+ A2T«,

flm /

(1) WM = —

m- 1

wo AIm den Einfluß der an den Enden der Stäbe om und om+x wirksamen Biegungsmomente bedeutet. Bezeichnen wir mit

św." „

das Biegungsmoment am linken Ende des Stabes om „ rechten „

so ist

(2)

+i

Om

°m+l

Die Momente 2JIj und Włm" wirken in Ebenen, die durch die Stabachse om gehen und rechtwinklig zur lotrechten Tragwand sind, Fig. 271a. Wir zerlegen 50nach wagerechter und lotrechter Richtung in $Jlm" cos ßm und 507m" sin ßm (Fig. 271b), verfahren ebenso mit 507' und nehmen an, es sei die Vertikale nicht imstande, ein wagerechtes Moment 50ftm" cos ßm — 5Dt'm+i cos ßm+1 aufzunehmen. Dann besteht die Gleichgewichtsbedingung 50lm" cos ßm = 5D7'm+1 cos ßm+1 = wo 5D?„, die fortan für die beiden gleichgroßen wagerechten Momente gewählte Bezeichnung sein möge.

(3)

m+i

x -ft.

m-i\

/-&L±

Kv

(C)

M^cosfc

CK

'iïft' cosß' J rn+j • m+1

Fig. 271.

Wird in (2) gesetzt:

sdc

'AV

ÜJL

(4)

cos ßOT

SK".

'AV

cos ß

3R'.+,

cos ßOT

a».

COS ßOT+1

m + 1

und dabei beachtet, daß om cos ßm = \m ist, so geht (1) über in

(5) XOT = —

m—\

zm

-1

hm

m— l

"|~ ^m + 1 7    )    -^m + l^m + l

Jlm /

— mm

Xm

m+1

tg ßm — tg ßm+1 = ym, so ist das Biegungsmoment für den Querschnitt x der Vertikale (Fig. 263) M= Xmx -f mmym

(6)

Die Summe der am Knotenpunkte m angreifenden lotrechten Momente sin ß

möge von dem Halbrahmen aufgenommen werden. Der Torsionswiderstand der biegungsfesten Gurtung werde also vernachlässigt. Die Figuren 270 und 271 beziehen sich auf den hinteren Hauptträger. Fig. 271c gibt an, wie die Momente    cos ßm und    cos ßm+1 an der mten

Vertikale angreifen. Man erkennt, daß das Moment 9Jlm" sin ßm die Vertikale nach innen zu biegen sucht, das Moment ÏÏRm (tg ßm — tg ßm+1) also in demselben Sinne wirkt wie das Moment Xmhm.

Wird zur Abkürzung gesetzt

mm" sin ßm — ar

m +1

m+l

= (tgßm — tgß„+I)

und für einen Querschnitt des Querträgers (Fig. 263 und 264) M=M₀-\-Xmhm'+rnm

Die wagerechte Verschiebung des oberen Endpunktes m der Vertikale beträgt daher

(?)

~~1

C.

wo 1 : Cm die Verschiebung des Punktes m im Sinne von Xm für den Fall bedeutet, daß an dem Halbrahmen nur die beiden Momente 1 angreifen.

Bei unveränderlichem Jq und Jv und bei Vernachlässigung der Verbiegung der Vertikale durch die Längskraft Vm ist nun (vgl. Seite 315 und Fig. 263):

Vm -

M₀dx

EJq

f (Xmhm' + mmym)

, (Xmhm'+mm ym)ć

EJq

hm

Mxdx

EJV

= Xm

En"³

3 EJV

2 EJq

hm

x²dx

EJV

2EJV

dx

EJq

, ferner

hm

xdx

EJr

Bringt man also

auf die Form (7), so findet man

(8)

Cm =

hm'c

h "²

,Lm

2 EJq

2 EJV

Für hm' und vm gelten die im § 20 entwickelten Gleichungen (11)

und (14).

Soll bei einer auf Druck beanspruchten Vertikale der Einfluß von Vm auf hm berücksichtigt werden, so findet man, da die Vertikale am oberen Ende durch das Moment    am unteren Ende durch

^lmym + Xmhm" beansprucht wird, nach § 17, Gleich. (41):

x' =

rnmym + Xmhm"

Vmhm"

v/¹)

wo

v/ = 1 — CCV cotg a„ = a„ cosec av — 1

ccv=

V-

vmhm"

EJV

Setzt man diesen Wert r' in die Gleichung

^m    ^m ^

wo, wie vorhin

(Xmhm'+ Mmym) c 2EJq

EJq

und bringt man auf die Form (7), so erhält man, wie auf Seite 317,

vm

CV ’

2 EJq

ferner findet man

(9)

Cm =

hjc

2EJq

Vm

Aus (7) folgt nun

(10)

Xm Vm    Vm ^ m

vmJmWL

cm

und man erhält daher die Gleichung

-Zm

(U)

hm

\~Vm #m + l ^ ⁺ Sm ~\~Zm

+1

S»)+l

Xm

m- 1

+ (-f

Xm

Xj«

Wm

X|»

7 V-m •

Im Punkte 0 sei die Gurtung gelenkartig mit der Vertikale befestigt (9J£₀ = 0). Dann gelten für den Knotenpunkt 0 die Gleichungen:

X₀ — z₀ 5₀

— ^i§i

X₀ - v₀ 5₀    % 5₀ ,

ü»!

>ü ’

(12)

»o-hT-

und für den Knotenpunkt 1 :

Z1

+ z2 -z2 &

x₂

X₁ = v₁ Sx — vx 8/

Ci

xm

1!

(13)

Zl \ 4“ (-Z1 + V1-z2 ~j~) ^1 ~T Z2 ^2

*’i7i

Xx Cx

fv)SKi

Vw₂

A2

= »iV-

Ganz entsprechende Gleichungen lassen sich für die beiden letzten . Knotenpunkte n und (n— 1) aufstellen.

Zu den n -J-1 unbekannten Verschiebungen 5 sind n—1 unbekannte Momente äJ? getreten. Es müssen also außer den Gleichungen (11), (12), (13), deren Anzahl gleich n -f- 1 ist, noch weitere n—1 Gleichungen aufgestellt werden.

Der Grundriß der elastischen Linie der oberen Gurtung darf als eine Linie stetiger Krümmung angesehen werden, Fig. 270b. Der Ausschlagwinkel xm des rechten Endes des Stabes om ist nach Gleich. (41), Seite 288²):

(14)

Qm

" I

“T

Qm om

und der Ausschlagwinkel xm+l des linken Endes des Stabes oOT+1:

(15)

T«.+i

m +1

m"

Om+l°m+l

Für einen Druckstab ist

m +1

Om+i om+l

+ !•

(16 a)

v„'= 1 — aOT cotg am vm" = <xm cosec <xm — 1

aMi = j/

EJm

und für einen Zugstab:

v* = am ©otg a,„— 1 v„" = 1 — aOT (£ofec <xm.

Zugstäbe kommen beispielsweise in den oberen Gurtungen von Balken auf mehreren Stützen vor.

(16b)

Zwischen den Grundrissen

und T ziebung

m+1

cos ßm

und den Verschiebungen 8m

und

+1

der Winkel xm'

cos ß

hm, Sm+1 besteht aber die Be

rn +i

(17)

V«+I

cos ßM+1

+1

COS ß,M

Setzt man (14) und (15) in diese Gleichung ein und beachtet hierbei die Gleichungen (4), so erhält man die Bedingung:

vm"

v'

»i + l

^//

(18)

H-m

m— 1

Hm -{-i A

+ Y~⁵™

-1

(£ +

)m,+-

)    + YT

'    Am +1

m -f1

\m

in welcher

(19)

= Om+1 cos ß

bedeuten.

Hm = Om cos ßm und Hm

die wagerechten Seitenkräfte von Om und 0

Dem Knotenpunkte 1 entspricht die Gleichung

m +1

m +1

V2

(20)

h₂\₂

u)

a»!

V2

h₂\

+r⁸»-( V ⁺ T, )Si + i

= 0.

Meistens haben alle Felder dieselbe Länge X. Multipliziert man dann die Gleichungen (11) und (18) mit X und setzt z\ — 0 cos ß — H, so geht (11) über in:

11>/1

-1

(11')

+(■

m -}-1

»î-1

a,

und (18) in:

//

v,„

(18') Hm

+ Gt

v'

m +1

)âJf„+j^⁺'

~\~ §m + l — 0-

Vi

m -f1

— 2§m

In derselben Weise sind auch die Gleichungen (12), (13) und (20) umzuformen in Gleichungen (12') (13') (20'), welche hier niederzuschreiben, entbehrlich ist.

Die Spannkräfte und Abmessungen zweier aufeinanderfolgenden Felder werden sich oft so wenig voneinander unterscheiden, daß es zulässig sein wird, die beiden Werte v,„" | Hm und v"m+1 ! Hm+l durch einen Mittelwert zu ersetzen. Man teilt dann die Gleichung (18') durch diesen Mittelwert, addiert sie zu (ll') und gewinnt eine Gleichung, in der nur noch das eine Moment vorkommt, die also gestattet, durch die Verschiebungen    §m+1 auszudrücken. Setzt man

schließlich die auf diese Weise für alle Momente gefundenen Ausdrücke in die Gleichungen (ll'), (12'), (13') ein, so erhält man eine Gruppe von n —j— 1 Gleichungen, in denen nur noch die Verschiebungen § als Unbekannte auftreten.

Diese Gleichungen haben eine ähnliche Form, wie die Gleichungen zur Berechnung der Biegungsmomente eines Balkens auf elastisch senkbaren Stützen. Die erste Gleichung enthält nur §₀, Sl7 5₂, die zweite nur 8₀, §x, §₂, §₃, jede der übrigen enthält fünf aufeinanderfolgende 5, mit Ausnahme der beiden letzten Gleichungen, die ähnlich gebaut sind wie die beiden ersten.

Am einfachsten gestaltet sich die Rechnung für einen vollbelasteten Parabelbalken. Hier weichen — auch bei Eisenbahnbrücken, trotz verschieden großer Belastungen der Querträger — die Werte Hlf H₂, H₃, . .. so. wenig voneinander ab, daß es zulässig ist, mit einem festen Mittelwerte H zu rechnen.

Dividiert man dann die Gleichungen (ll'), (12'), (13') durch H, so erhält man mit den zur Abkürzung eingeführten Bezeichnungen:

§»i

-i

(21)

Am

rnm

(22)

vm\

9,»    jj

hm

+i

K„

-1

Vm\

Kn

hm

2 -| — mm

(23)

6« =

Cm

(24)

wo y,„X =8 f

V.nl X h.ln

X²    8 f

n² ’

die beiden Gruppen von Gleichungen:

9i 4" &

+ 92 S2 4~ &8

(25)

4- £i A— a

— Ai -\-eaA₂—^3

= BX = B₂

Am-1 I Sm Am    Am+\— Bm

und

25

v'

(26)

//

2 5₂

yr

Ai + A₂

-4, h Ax -(-2 —,t A₂ -f- Ä₃

yr

//

//

//

~b Am-i + 2

Am 4~ A,

H+l

in denen v und v ⁷ feste Mittelwerte bedeuten. Durch Addition der einander entsprechenden Gleichungen beider Gruppen findet man

rH (M

3 3

A =    B₁    — S, (0    +5,    ) —    8,

(27)

Aa —    Ba (82    -(-83    ) —    ^2

wo

(28)

s». 4~ 2

v'

yr

(29)

=v ------

^ m

^ 0 + V⁷')

(80)

+».(

f)

W,„ =

und gelangt, indem man die Werte A in die Gleichungen (25) einsetzt, zu den folgenden, hier für einen Träger mit 5 Vertikalen niedergeschriebenen Beziehungen zwischen den Verschiebungen §³):

(31) ^ Vi

^382 +

^4^3 4~ [

wo

(82)

1    +    6)j

£2 J2 ¹ 4~ W2

®8 "*S 1 -f- W₃

- £4^

1 + W₄

S5^5

f +ri*‘⁺{

ri+{

1 + «2 - $4^

1 4~ W3

— s₂^

s₃ w₃

8+{

h+hsir

K+l

£3"^3

1 4~ W5

} ⁸3+^

2 ’

S4 -(-'^'485 = Dg

,5₄ = Z)

=D,

}»*+{+9,q:r}*‘

=dh

r 2>i =

—    4l-®l    +    (1 - £2 42 ) ^2    4“ 4*8-®3

-^3 —    4*2^2    4~    <4 - £34^3) -®3    + 4,4⁵4

-^4 =    4;3jB3    ~h    (! - £44>4) -®4    4~ 4,5'B5

b X>5 =    44 ß4    4"    (1 - £5 4ö) -®5-

+ (1 - si4l) Bl 4“ 42-^2

101. Zahlenbeispiel. Eine eingleisige Eisenbahnbrücke von 18 m Stützweite mit zwei parabelförmigen Hauptträgern von 2,52 m Höhe und 3,0 m Feldweite wird nach Fig. 272 mit einer Lokomotive belastet. Der Abstand von Mitte zu Mitte ist c = 4,8 m. Die ständige Belastung eines Brückenfeldes sei g\ = 7,0 t. Im ganzen kommen auf die Knotenpunkte 1, 2, 3 die Lasten:

7,0 t

P =

Es entstehen die Momente

32,5 t

41,0 t.

180 tm 339 tm 400,5 tm, und es ergibt sich für jeden der beiden Hauptträger

64 t

76 t

80 t*).

Das Trägheitsmoment des Gurtquerschnittes (Fig. 273a) ist ohne Abzug für Hietlöcher J= 3754 cm⁴. Mit E = 2 150 000 kg/qcm erhält man

EJ = 0,215 • 3750 = 810 tm².

*) Der Wert 80 t weicht nur wenig von max -~ ab. Man erhält nämlich

nach Band I, Anhang, Seite 550, für £ = 18 m, maxM= 327,0 tm. Hierzu kommt infolge der ständigen Belastung

36 X

gl²

= 7-

36-3

—g— = 94,o,

weshalb max

M _ 327,0 + 94,5

2 ■ 2,52

83,6 t.

Für p-fache Belastung ist

*=|/

p Omo²m

EJ

1/

9 Hmol

EJ\

also für das erste und das mittelste Feld:

64 • 3,31³

810 • 3

= V0,955p,

Ä3 =

V'

80 • 3,Ol³

810 • 3 -3,oi—n

= V0,887p.

,3t

2)

r*—3^

17*    17

17    17    17

-18 m~ Fig. 272.

p = 1 liefert a₁ = 0,98,

P = ²

p = 3

ax == 1,38, aj = 1,69,

CO CO CO

8 « «

CS

05    05 CO

03 03

fŚ R C

• rH

05 'bs CO 05    05    05

55

78

95

S"

-f

à!

-••N

5,3^,

2*0,2

-22c—

Fig. 273 b.

Fig. 273 a.

Hierzu gehören die folgenden Werte

'/= 1 — a cotg a und = a cosec a — 1

'O

rH

H (M CO

0,3278

0,7109

1,1452

0,1719

0,3904

0,6663

05 05 05

#». 'a> 'bo

CO (N O CD —i O t-7 iff CO~

<N CO © 00 îO lO

ecT GO cf

Den Querschnitt der Vertikalen zeigt Fig. 273 b; ihm entspricht, ohne Abzug für Nietlöcher,

t,2.

Jv = 2960 cm⁴, EJV = 0,215 • 2960 = 636 tm². Für den Querträgerquerschnitt, Fig. 274, ist nach TI    Abzug der Nietlöcher Wq — 3813. Trotzdem wir Jq

60.1,Z

I I //o.io./'Z ohne Rücksicht auf Nietverschwächung bilden dürfen, rechnen wir mit Jq = 3813- 31,2 = 119000 cm⁴ und EJq — 25 600 tm². Die Wirkung der Versteifungsecken vernachlässigen wir. Dafür nehmen wir die Gurtplatten auf der ganzen Länge c an. In die Formeln

10000

chm* i hm"³ 0,94 hm'² -j- 5,24 hm"3 2 EJq '    3 EJV

Fig. 274.

h"²

10000

0,94Am'~+ 7,8 6h,:²

chj_

2 EJq ¹ 2 EJV

setzen wir hri = hm — 0,30 und, etwas zu ungünstig gerechnet, hj'=hm — 0,80. Für die Querrahmen 1, 2, 3 ergibt sich dann:

1,40    2,24    2,52 m

A' =    1,10    1,94    2,22 m

1,72 m 320 t/m

2588    552    395 t,

8 f 8-2,52

h"=

0,60    1,44

4407    521

₃₆    = 0,56, y = 0,187

0,95    0,53    0,45

1,05    1,47    1,55.

Nun ist für die p-fache Belastung »« À P H

wo durchweg H = 80 t gesetzt werden soll. Die Werte <p,„ sowie die nach (28), (29), (30) zu berechnenden Zahlen <j>, ^T, « sind:

9«,

2+ ²

tri — 6 — m,

für p = 1

s4»

00 tH rft l>- o' CD -H i—t

Ls

CD O t-O 00 X)

1,40

1,29

1,28

+ 31,39

+ 1,17

— 0,29

CC Ol H

t— C— tr—

d d cd

für p == 2

oo

CM H O

oo -d

CO CO CO ->-H Oi OT> (M tH tH

'cT cd ö'

0,76

0,70

0,69

für p = 3

+ 16,16

+ 0,57

0,19

OO i-l o

t— t- t—

cd cd cd

CO T-l

cd -d of

0,223 0,204 0,200 ‘

0,56

0,51

+ 11,26 + 0,36

0,50

0,18

E— O 05

t- t- CO

o cT cd

Ihr gegenseitiger

Am Querträger greifen zwei Einzellasten Pm an.

Abstand ist 1,8 m; ihr Abstand vom benachbarten Hauptträger 1,5 m.

Die halbe Momentenfläche hat den Inhalt

= Pm 1,5 (1,5+ 1,8) !

= 2,47 5 Pm.

Daher (unabhängig von dem sich weghebenden p)

am    vm aiymh(/(p vmPmhm 3 • 2,475

p HEJq

Bm —

80 • 25600

Die Lokomotive belastet die Querträger 1,2,3 der Reihe nach mit P— 0 — 12,75 — 17 t. Für die ständige Last sind 2 t hinzuzurechnen. Man erhält für die Knoten 1, 2, 3

14,75 1167,04 0,0620

P =

nt

Vm^ni

Bm =

und mittels Gleichung (32) für p — 1 Dm =

„ p = 2 Dm =

» P = 3 Bm —

Wir setzen für alle Werte p 0,046

und erhalten die folgenden Gleichungen zur bungen 6:

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

6169,8

0,0444

0,04635

0,04678

0,04684

0,06411 0,06413 0,06 434

19t

808,4

0,0552,

0,06318 0,06 294 0,06 338.

0,063

0,064

Berechnung der Verschie-

22

132,28!+ 0,78₂ + l,38s= 0,046

31,8 8!-j- 18,8 8₂ — 1,28₃ = 0,064 2,68!+ 0,48₂ + 14,1 83 = 0,063 8, = 0,289 mm, 8₂ = 3,192 mm, S₃ = 4,324 mm,

64,7 8,+ 0,8 S₂ + OJ83 =0,046 I ¹⁶’lSi+ 9,3 8₂ — 0,28g =0,064 1,48,+ 1,08g + 5,883 =0,063 8, = 0,530 mm, S₂ = 6,172 mm, 8₃ = 9,6 7 0 mm,

42,28,+ 0,8 8₂ + 0,583 =0,046 11,58,+ 5,8 8₂ + 0,183 =0,064 1,08,+ 1,2 S₂ + 3,48g =0,063 8, = 0,7 35 mm, 8₂ = 9,317 mm, 8₃ = 15,025 mm.

Die Nennerdeterminanten dieser Gleichungen sind:

34743,974    3430,086    799,920,

sie nehmen mit wachsendem p ab. Für p = 4 gab eine Überschlagsrechnung rund A = 200. Es besteht also hinreichende Sicherheit gegen das Verschwinden der Nennerdeterminante. Fig. 275 zeigt die Grund-

Z\

3\

Z\

Fig. 275.

risse der verbogenen oberen Gurtung für p = 1, 2, 3 in verzerrtem Breitenmaßstabe.

Um die Biegungsspannung c der oberen Gurtung festzustellen, berechnen wir die Momente

50Î, =    — ^(0 +5₂) — «Ai

a;

P(8,    + 83) — o₂Sg]

a»s =    (*, + »i) —

Wir erhalten:

—    0,036    + 0,162

—    0,621    + 0,239

—    0,884 j +0,339

+ 0,269 tm + 0,656 + 1,053

Die größte Beanspruchung findet in der Mitte statt. Dort darf cos ß = 1 und maJDl = 9Jl₃ gesetzt werden*). Für den Gurtquerschnitt ist nach Abzug der Nietlöcher /= 3754— 720 = 3034 cm⁴, 3034

12

250 cm³, F — 113 qcm. Die Biegungsspannung be-

trägt also

für p = 1 a =

26900

250

= 110 kg/qcm

für p = 2 a =

65600

250

260 kg/qcm

für p = 3 a —

105300

250

= 420 kg/qcm.

Bei der angenommenen Belastung ist in der Mitte 0 = 81 t, also

die Druckspannung a

liegt die gesamte Spannung a = 1440 + 260 = 1700 noch innerhalb der Proportionalitätsgrenze. Dreifache Belastung erzeugt in der Begel schon eine außerhalb der Proportionalitätsgrenze liegende Spannung 6 0 F. Wir berechnen noch für die Vertikale 3 den Druck

81

113

= 720 kg/qcm. Bei doppelter Belastung

-A"m vm    )

vmyWm

cm

wo

k:=

+A„P _2,47 bPmhmg

EJq

Für p = 3 und m = 3 ergibt sich

25600

2,475 • 19 • 2,52 • 3

= 13,887-10 ³,

v=

X₃ = 320 (15,025 — 13,887) — 0,15 • 1,053 = 0,207 t.

25600

= 0,15

*) Im allgemeinen müssen aus den Momenten Wlm erst die Momente 2km" = Wim sec ßm und 9Jc'm+i = 9Jîm sec ßm+i berechnet werden.

22*

Jv — 2960 — 675 = 2285 cm⁴, Wv er wird durch das Biegungsmoment

Der durch Mete geschwächte Querschnitt der Vertikale besitzt

2285

208 cm³, ^=70 qcm;

11

m = X₃h₃" + ym₃ = 0,207 • 1,72 + 0,187 • 1,053 = 0,554 tm beansprucht. Die Biegungsspannung

270 kg/qcm

55400 208

darf in Anbetracht der Voraussetzung dreifacher Belastung als niedrig bezeichnet werden.

Y. Abschnitt.

Versteifung des gelenkigen Stabzuges durch einen

Balken.

§ 22.

Hängewerke und Sprengwerke.

1, Einfach statisch unbestimmte Hängewerke.

102. Allgemeine Untersuchung. Ein Balken A B, Fig. 276, sei durch lotrechte Stäbe mit einem Stabzuge verbunden, dessen Knotenpunkte Gelenke besitzen. Die Hängestangen sind mit dem Balken gelenkartig befestigt. Das Tragwerk ist einfach statisch unbestimmt. Am Balken möge eine lotrechte Last Pm angreifen. Kennt man den Hori-zontalschub Xa, das ist die konstante wagerecbte Seitenkraft der in den Gliedern 1, 2, 3, 4 des Stabzuges auftretenden Drucke S, so kann man diese Drucke und die Spannkräfte V₁, V₂, V₃ in den Hängestangen nach Fig. 276a ermitteln. Das den Balken an der Stelle x beanspruchende Biegungsmoment ist

(1)

M — Mo — Xay,

wo M₀ das Biegungsmoment für den un versteiften, nur mit P belasteten Balken bedeutet.

Der Einfluß von Pm auf Xa ist

(2)

Xa =

wo

(3)

C Ma d X

EJ

+ 252

EF

Die Summe erstreckt sich über den Stabzug, die Hängestangen und den Balken, das Integral über den Balken.

Die Spannkräfte Sa liefert der für Xa = — 1 zu zeichnende Kräfteplan Fig. 276a. Für den Balken ist Sa = — 1. Weiter ist

(4)

Ma = y.

Die hma -Linie ist die zur Ma-Fläche gehörige Biegungslinie.

Wird der Balkenquerschnitt konstant angenommen, was für die Folge geschehen möge, so entsteht

(5)

Xa = pm

EJbma

v,

Madx

wo

(6)

EJTZSl p

EF

Ml cl X

¹

Wir haben die Werte v mit dem Zeiger v versehen, weil wir noch Werte v brauchen werden, die sich auf die Gurtstäbe beziehen.

²

Fallen die Kräfte S nicht mit den Stabachsen zusammen, so entstehen Momente Sd und Se, die sich mit Hilfe der auf Seite 288 aufgestellten Gleichungen leicht berücksichtigen lassen, da es sich um gegebene Größen handelt.

³

Wir wählten eine bestimmte Felderzahl, weil die Zeiger m— 1, m, m -)- 1 zu viel Platz beanspruchen. Die mittelste Gleichung gibt den Bau der bei größerer Knotenzahl noch hinzutretenden Gleichungen an. Die in { {-Klammern stehenden Zahlen sind Summen. Man lese also: + 9i — £iwi + ^2 usw.

l*    — 4~-t-----4

!    i

(a)

1.

fz

A\

r₃ 'K I

³    \!JB

So

V,

TO^.---------

S-

Vz

f'r

—JC- -

'/TT

VP,

rrz

H-Xar-À

Fig. 276.

Bei drei Hängestangen, deren Längen f1? f₂, f₃ seien, erhält man beispielsweise

(7)

Die EJhma-Linie ist die Momentenlinie eines Balkens Aß, dessen Belastungsfläche die Ma -Fläche ist. Zeichnet man also zur Ma -Fläche mit der Polweite § eine Seillinie, und ist deren Ordinate an der Stelle m gleich 7], so ergibt sich

und

EJhma = $ri

Mldx

Y — P

•**-a    -*■ m

Wird die Zahl 1 durch eine Strecke von der Länge a (gemessen mit dem Längenmaßstabe der Trägerzeichnung) dargestellt, so erhält man

Xa = Pmy],

sobald man die Polweite

Mldx

annimmt. Wählt man das Meter zur Einheit, so sind die Inhalte der Streifen, in die man die Ma -Fläche zerlegt, m², und ebenso erhält man die Polweite in m².

Aus der Xa-Linie lassen sich die Einflußlinien der Kernpunktmomente M° und Mu in derselben Weise ableiten, wie die Einflußlinien der Angriflsmomente für die Knotenpunkte des Zweigelenkbogens. Wir verweisen auf Abteilung I, § 7 und § 8. In Figur 277 ist die Einflußfläche für das Moment M° unter der Voraussetzung gezeichnet worden, daß die Lasten unmittelbar am Balken angreifen. Der Multiplikator ist

P = Vo-

Der Einfluß einer Temperaturänderung auf Xa ist

(8)

EJhatv

Mldx

wo

(9)

A t C

2!£₀s£s-j—— Madx. o

Die Summe erstreckt sich wieder über den Stabzug, die Hänge-stangen und den Balken, dessen in der Achse auftretende Temperaturänderung sie berücksichtigt. Das zweite Glied der Gleichung trägt dem Unterschiede A£ = tu — ta der Wärmegrade der unteren und oberen Balkengurtung Rechnung. Es ist

(10)

2 jMadx = f\ (lx + !₂) U (h ^3) H⁻ fd (h H“ h)-

Greifen in den Knotenpunkten der oberen Gurtung beliebig gerichtete Lasten Pm an, ein für Dachstühle wichtiger Belastungsfall, so sind die Horizontalschübe der einzelnen Gurtstäbe verschieden groß. Man weise dann Xa einem bestimmten Stabe, der aber frei gewählt werden darf, zu und ermittle diese Unbekannte wieder mittels der Gleichung (2). Die Verschiebungen hma der Knotenpunkte der oberen Gurtung lassen sich auf dem folgenden Wege leicht bestimmen.

yo

/obere Kernlinie

JC

y₀\

je

-x

J*

M°

(*=y₀

Fig. 277.

• Liegt der feste Stützpunkt im Abstande c unter der Balkenachse, so erfährt der untere Endpunkt A des ersten Obergurtstabes eine wagerechte Verschiebung von der Größe c T₀, wo T₀ den Neigungswinkel der im Punkte 0 an die hma -Linie des Balkens gelegten Tangente bedeutet. Die Knotenpunkte des Balkens, das sind die Punkte, in denen die Hängestangen angreifen, verschieben sich gegen A in wagerechter Richtung um die Verkürzungen, welche die zugehörigen Balkenstücke infolge des Druckes S„ = — 1 erfahren. Da nun ihre lotrechten Verschiebungen bereits durch die Sma-Linie gegeben sind, so lassen sich ihre Gesamtverschiebungen leicht angeben und hierauf lassen sieh auch die Verschiebungen der schrittweise zweistäbig an den Balken angegliederten Knotenpunkte der oberen Gurtung nach dem Williotschen Verfahren bestimmen.

An Stelle der hma-Linie benutzt man zweckmäßiger die Xa-Linie.

EJv

Die Längenänderungen der Stäbe müssen dann mit ziert werden.

multipli-

Mldx

103. Das unsymmetrische zweifache Hängewerk mit schrägem Spannriegel (Fig. 278). Das zweifache Hängewerk möge wegen seiner Wichtigkeit für den Hochbau etwas ausführlicher behandelt werden. Die elastischen Längenänderungen der Stäbe dürfen vernachlässigt werden; es ist also gestattet, v = 1 zu setzen. Sodann empfiehlt es sich, die im Balken entstehenden Spannungen nicht aus den Kernpunktmomenten M° und Mu, sondern mittels der Formel

* I

W ' F

aus dem auf die Schwerachse des Balkenquerschnitts bezogenen Momente M zu folgern, weil sich die Darstellung der M besonders einfach gestaltet.

Die Berechnung der gleichzeitig mit dem maßgebenden Momente M auftretenden Kraft Xa kann dadurch gespart werden, daß für Xa der größte überhaupt entstehende Wert eingesetzt wird. Diese bequeme Rechnungsweise kommt der Sicherheit des Bauwerks zugute; sie ist auch nicht zu ungünstig, weil das Glied XajF ohnehin nur von untergeordneter Bedeutung ist.

Wir beginnen mit dem in Fig. 278 dargestellten Falle und führen die Rechnung zum Teil in Buchstaben, zum Teil in Zahlen durch. Es sei Ij = 2,4 m, l₀ — l₂ = 4,8 m,    9,6 m, l₂ — 7,2 m, Z= 12,0 m,

fx = 3,0 m, f₂ = 3,6 m,

Wir betrachten das Viereck ACDB als Belastungsfläche des Balkens AB und denken diese Last zunächst durch Zwischenträger auf die Knotenpunkte A, 1, 2, B übertragen. Auf 1 und 2 entfallen

,,    _ n ^1+^0

Zl~U 3

ln —J— Iq

(H)

(12)

Ui = 4,5 m, u₂ = 7,5 m.

ł" A

Io

= 10,08

f fl -g- = ‘3.92-

Diese beiden Lasten erzeugen die Stützenwiderstände A— 13,632, B= 10,868 und hei 1 und 2 die Momente

A • 2,4 = 32,7168, R • 4,8 = 49,7664.

Da nun

ulix =    » ₊ fl k±k + flflF = 80,352

ist, so besitzt die Einflußlinie für Xa bei 1 und 2 die Ordinaten

32,7168 7)1 — 80,352 49,7664 80,352

(13)

= 0,407

= 0,619.

Setzen wir zunächst den oft vorkommenden Fall voraus, daß die gesamte Belastung des Hängewerks durch Unterzüge auf die Punkte 1

\a'/

(b)

/9s

Jtjt

*5*

's,

V,

sy vi

Vz

(*2=3,6™

lz

; ct?\ B

k---1=2,*™--*?-----l₀r9>8n*' -

- - *------Z₂=«>s⁷⁷^

A‘

J3‘

ri,--0/ł07

r,1

c?

Â"

IZ,

U)'

Iz. i

Zjf

K----

L_J

■H

U-,=* 6,5 m-

------

I,'- 9,6 nv~

------4

IVZ= 7,5™^

JiA

^ = /^77Z>

ÜJ

Fig. 278.

wncü 5 übertragen wird, so besteht die Xa -Linie aus den drei Geraden A'C', C I)', D'B'. Der Inhalt der Xa-Fläche ist

(14)

& = y    ) = 4’44,

und es erzeugt daher eine gleichmäßige Belastung

g = g (ständig) -j- p (veränderlich)

den Druck

(15)

man

X* = q%' = 4,44 </.

Ehe wir zu den Momenten M übergehen, machen wir noch auf eine wichtige Eigenschaft der Xa -Linie aufmerksam.

Wir denken uns den Spannriegel CD mit einer lotrechten Last 1 belastet, welche durch den Schnittpunkt T der Streben Sx und S₂ geht, verteilen diese Last auf die Knotenpunkte C und D und erhalten auf diese Weise zwei äußere Kräfte, denen die Gurtung ACDB als Seilpolygon zugewiesen werden darf. Da nun die Längenänderungen der Stäbe vernachlässigt worden sind, so sind die Verschiebungen der Knotenpunkte C und D gleich Null, die Hängesäulen bleiben spannungslos. Es entsteht der durch die Eigur 278b nachgewiesene Horizontalschub

tg ocx -f- tg <x2 der auch auf die Form gebracht werden kann

(16)

ui

u2

cotg ax

woraus dann folgt, daß die durch den Punkt T' der Xa-Linie von B' und A' aus gezogenen Geraden auf den Lotrechten durch A' und B' die Strecken

7] =

Ifl

IU

a'a" =

fi

und B'B" =

abschneiden. Die Lage des Punktes T ist also von vornherein gegeben. Durch Lösung der bekannten Aufgabe, ein Seilpolygon durch drei gegebene Punkte A', T\ B' zu legen, kann man nach Berechnung von Zx und Z₂ die X„-Linie auch zeichnerisch bestimmen*).

Wir wenden uns jetzt zu den Biegungsmomenten. Bei Übertragung der Belastung auf die Punkte 1 und 2 können die größten Momente nur an den Stellen 1 und 2 auftreten.

Infolge der ständigen Belastung entsteht

(17)

Mx — Mx.q — Xafx — g

M₂ =

Y---9%'fi = —W9

9tr'ft= + h*0g.

Die Einflußflächen für Mx und M₂ werden mittels der Geraden B'A" und und A'B" bestimmt. In Pig. 279 gilt die dunkler schraffierte Fläche für Mx, die heller schraffierte für M₂. Für Mx ist im vor-

*) Verfasser gibt der Berechnung der Strecken r], und den Vorzug.

liegenden Falle der negative Teil der Einflußfläche größer als der positive; für M₂ gilt das umgekehrte. Es folgt dies bereits aus dem Einflüsse der ständigen Belastung. Wir berechnen daher nur

(18)

hk_) = _s.86/

’fe/>) = + ²>⁴⁴P-

Das maßgebende Moment ist im vorliegenden Falle minM₁.

min

max

M₁ = —p /', =--Yp'Ul V¹¹²

M₂ = Jrp

ï,

-7T

■—4' "

-X. — X

Vi

Vz

-f

nłn

J+

ïïïïiï

> _4.

Æ' y'

Fig. 279.

Nun gehen wir zur Untersuchung des Einflusses einer unmittelbar am Balken angreifenden gleichförmigen Belastung

Die X„-Linie ist die M omentenlinie für eine Belastungsfläche, welche durch die Ordinaten

übei*.

*i =

fi

3,0

(19)

J Mldx

80,4

0,0373

3,6

Mldx

80,4

0,0448

bestimmt ist, Fig. 280. Zu den Ordinaten der Geraden ÄC', B'D' und C D’ treten noch die Ordinaten

Ti ⁼⁼ 0)jr,

(20)

rrt

eX

— + (ÔJO (et — *,) — -

C,

K>

ło

—\k _

bä

'S

___

->F---

Fig. 280.

In dem hier vorliegenden Falle gleichförmiger Belastung wird sich die Aufzeichnung dieser Kurven als entbehrlich erweisen. Es genügt, die Inhalte der zur Fläche $,= 4,44 hinzutretenden drei Flächen zu berechnen. Man findet nach Gleichung (38), Seite 106:

Z₂

zxl\

8?o =

—- = 0,02,    &

Gi -4- z₂) n

= 0,38

0,21

Fig. 281.

Moment

und es ist daher der Inhalt der X„-Fläche für unmittelbare Belastung g = 4,44 + 0,61 = 5,05.

Es entsteht also bei voller Belastung

Xa = q% = b,0bq.

Der Einfluß der ständigen Belastung auf die Momente Mx und M₂ ist

I «i =

9%fi = —3,63,?

(22)

V = y-A'

<M

gdf₂ = — 0,909.

CL

l,

loi

lz

D'

■9

Für die Querschnittsberechnung des Balkens kommt nur das Mx in Frage. Die positiven Momente treten noch mehr zurück als bei mittelbarer Belastung. Fig. 281 zeigt den negativen Teil der Einflußfläche für Mx. Um recht kurz zu rechnen, führen wir für den Inhalt dieser Fläche einen etwas zu großen Wert ein, indem wir die ganze Fläche in Rechnung stellen. Wir setzen

(23)

min

=    (%/i

= —3,36 p— 0,59 p= — 3,95 p.

)-*(&+& o)

Der geringe Einfluß des Gliedes Xa / F rechtfertigt die gleichzeitige Einführung der bei verschiedenen Laststellungen entstehenden Werte M₁ und maxXa.

Für die obere Gurtung und die Hängesäulen liefert der Kräfteplan in Fig. 27 6a die Spannkräfte

Si = — 18,1 t,

T i = -f- 12,8 t,

min

S₂ = ~ 14,l.t,

Die mittelbare und die unmittelbare Belastung erzeugen also

zu

sammen:

Xa — 4,44 q -(- 5,05 q

M₁ = — 1,80 g — 3,63 g — 3,36p — 3,95p.

Ist z. B. für ein hölzernes Hängewerk g — 0,60 t/m, p = 0,80 t/m, g — 0,40 t/m, p = 0,60 t/m, also q — 1,40 t/m und q — 1,0 t/m, so entsteht

M^ = — 7,59 tm.

Ein Doppelbalken von 24 • 30 cm besitzt F— 2 • 24 • 30 = 1440 cm2 und W= 2 • 3600 = 7200 cm³ und wird beansprucht mit

11300

ma i

min

Xa = 11,3t

min

759000

7200

1440

= 105 -f- 8 = 113 kg/cm².

8— — 11,4 t,

y%—H⁻ 9,91.

Es bleibt jetzt noch der Einfluß von Lasten zu untersuchen, die in den Knotenpunkten der oberen Gurtung angreifen, ein bei Dachstühlen vorkommender Belastungsfall.

Gesucht sei beispielsweise der Einfluß einer beliebig gerichteten, in I) angreifenden Last P. Fig. 282. Man zerlege P in eine lotrechte Kraft P' und eine in die Gerade DB fallende Kraft P". Letztere ist, da der Stab DB starr vorausgesetzt wird, ohne Einfluß auf Xa¹). Hingegen erzeugt P' den Horizontalschub der nach Fig. 282 durch Zerlegung von P' nach den Richtungen Xa und I erhalten wird. Damit ist aber auch der Spannriegeldruck S, dessen wagerechte Komponente gleich Xa ist, gegeben, und es lassen sich nun die Kräftepolygone für die Knotenpunkte D und C zeichnen.

Der Einfluß von P auf M₁ ist wobei allerdings vorausgesetzt wird, daß der feste Stützpunkt A in der Balkenachse liegt. In der Regel befindet sich dieser Stützpunkt in einem

Abstande c unterhalb der Balkenachse, und es erzeugt dann der wagerechte Stützenwiderstand Pw das Zusatzmoment

Mx — — P„c.

Wird an die Knotenpunkte C und D ein Firstknoten E zweistäbig angeschlossen, und in E eine Last P angebracht, so findet man deren Einfluß auf Xa wie folgt. Man zerlegt P nach den Richtungen E C und

ft

— -o

fr

fcT'îH

fr

f-

,Oi

/>

<------

.i

_Y__

Fig. 282.

ED in S' und S", hierauf S' nach der Richtung CA und nach lotrechter Richtung, S" nach der Richtung DB und nach lotrechter Richtung. Die lotrechten Seitenkräfte seien Pc und PD; sie sind im vorliegenden Falle beide nach oben gerichtet und erzeugen daher

Xa= — Pc^ —PDr\₂.

Nun kann man S angeben und die Kräftepolygone für die Knotenpunkte C und D zeichnen.

Der Einfluß auf M₁ ist

— fi (— Pc^lu -j⁻ Pd^Io)-

Um den Einfluß einer in irgendeinem Punkte J des Stabes DB angreifenden, beliebig gerichteten Kraft P zu finden, Fig. 283, zerlege man P in zwei in den Punkten D und B angreifende zu P parallel gerichtete Kräfte P₀ und Pu und bestimme den Einfluß von P₀ auf X«, V₂ und S auf die vorhin beschriebene Weise. Projiziert man nun den Kräftezug V₂S auf die Stabachse DB, so erhält man die das Stab-

Q?.

fei

<P"

LP

:---

p4

"---6- -

-----^Lg

Qu

’2a

Fig. 283.

stück DJ auf Zug oder Druck beanspruchende Längskraft S₂.₀■ Die Projektion des Kräftezuges V₂SP liefert S₂.u für das Stabstück JB. Im vorliegenden Falle sind S₂.₀ und S₂.„ Drücke. Fig. 283a gibt noch Aufschluß über die Querkräfte Qa und Qu, welche die Querschnitte der Stabstücke DJ und JB auf Abscherung beanspruchen. Wir haben sie nur der Yollständigkeit wegen eingetragen; bei der Querschnittsberechnung bleiben sie unberücksichtigt. Das den Stab DB beanspruchende Biegungsmoment ist mit den aus der Figur ersichtlichen Bezeichnungen:

Pd'd"

23

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

104. Es möge noch die in Fig. 284 dargestellte Anordnung eines unsymmetrischen doppelten Hängewerks mit schrägem Spannriegel untersucht werden. Xa ist wieder die wagerechte Seitenkraft des im Riegel (8) auftretenden Druckes. Den Kräfteplan für Xa = — 1 zeigt Fig. 284 a. Die Stäbe 6, 7, 8, 9 werden gedrückt, die Gurtstäbe gezogen. Im Mittelstück des Balkens (Stab 11) herrscht ein Druck von der Größe Eins; die Seitenstücke (10 und 12) werden durch die wagerechten Seitenkräfte und di₂ von Sla und S5a auf Druck beansprucht. Durch

La

*<---Eins —

1.

9.

s5

---T

\(J)

—-u------y----zz-j---

\(2)

1,

t-x*

'rß- i

2,

<■

// 8

Ar

A'

B'

D'

Fig. 284.

diese Angaben ist der Wert 2Slç bestimmt. Für das praktische Anwendungsgebiet dieses Tragwerkes ist es aber immer erlaubt, v = 1 zu setzen.

Das Angriffsmoment für einen Querschnitt des Mittelstückes des Balkens ist M — M₀ — Xay. Dagegen erhält man für einen den Stab 1 treffenden Schnitt

M=M₀— X.^y,

weil die wagerechte Seitenkraft von Sla gleich ist. Im Abstande

= <j>i h. Nun ist aber vpj h = /)    -, und es ist des-

von A ist also Ma

halb, genau wie bei dem in Nr. 108 untersuchten Hängewerke, das Viereck A CDB die Ma-Fläche: man erhält also dieselben Werte und t]2 wie in Nr. 103.

Eine im Punkte E angreifende Last P wird nach lotrechter Dichtung und nach der Richtung EB zerlegt, eine in D angreifende Last P nach lotrechter Richtung und nach der Richtung PB. Die lotrechten Seitenkräfte PD' und PE erzeugen

Xa = Po t\₂ + PE'r\,

die anderen Seitenkräfte sind ohne Einfluß. Ist Xa bekannt, so kann man die Kräftepolygone für die einzelnen Knotenpunkte zeichnen.

105. Das unsymmetrische zweifache Hängewerk mit wagerechtem Spannriegel (Fig. 285). Hier ist f₁=f₂—f und die Gleich. (13) läßt sich umformen in

(24)

Mldx

An Stelle der Einflußlinie für Xa zeichnen wir die Einflußlinie für Xaf. Die zugehörige Belastungsfläche ist ein Trapez von der Höhe

(25)

f²

Mldx

sie erzeugt bei 1 und 2 die Momente

ei =

lx (2/Z j —|—    —{— 2 l₀h)

(26)

e2 -

Durch die beiden Strecken e± und e₂ ist die Einflußlinie A'C'D'B' für Xaf für den Fall bestimmt, daß alle Lasten auf die Knotenpunkte 1 und 2 übertragen werden. Die mittels des Punktes T' bestimmten Strecken A'ä" und B'B" sind gleich lx und l₂.

Die lotrecht unter T gemessene Ordinate der ATa-Linie ist

2l{l-\-2Q

(27)

e₀=h -r = h-

Da nun andererseits

e₀ = ex

H“ e2

<h

ist, so besteht zwischen e, und e₂ die Beziehung

(28)

= 1,

h h

die sich auch mittels der Gleichungen (26) beweisen läßt.

AT

AT - A

rr-------H

F»

-r#

Hira

A\

AU

u#'

ez

At

wt <

A"

Z,

//

B"

A!"

^K-

e₂l

Die Lage des Schnittpunktes R" der Geraden A'C' und B'D' ist durch die Gleichung

R'R"

= ei

IVy

— e2

e₂ (l — wx)

bestimmt. Man findet mit Beachtung von Gleichung (28)

IV y =

-Ï,

usz —

Fig. 285.

und hieraus folgt dann, daß die Gerade B'R" auf der Lotrechten durch A die Strecke

= wi

abschneidet. Nun läßt sich aber die Lage des Punktes R und damit auch die Strecke ivl auch auf einem anderen Wege bestimmen. Verteilt man nämlich, wie dies auf Seite 345 geschehen ist, die Belastungsfläche auf die Knotenpunkte, so kommen auf die Punkte 1 und 2 die Lasten

K-

k-

{<—4 —

—k—i—

4'

-i₀ —4-----lz—

Xa.

,Z‘

*-

-I

A‘,

<f

"f

e?

w,{

_>

vT

i*--

-Wr--

-- *

Fig. 286.

ihre Mittelkraft geht durch den Punkt R" und daraus folgt zwischen den Strecken R — 1 und R — 2 der Balkenachse die Beziehung

jl2 + Yl°

sll + Tl°

Man gelangt also schließlich zu der folgenden Darstellung (Fig. 286).

Mache 1 — l' =

J 4 + Y 4> 2 — 2' = y lx + Y1° (in unserer Figur

wühlten wir hierfür einen kleineren Maßstab), bestimme Ii mittels der Geraden l'2', mache A'a'" = zeichne die Xaf-lAm& und bestimme mit Hilfe der Strecke A'A" — die Einflußflächen für M₁ und M₂. Die weitere Untersuchung geschieht genau so wie in dem in Nr. 103 vorgetragenen Zahlenbeispiele; nur achte man darauf, daß für M₁ und M2 der Multiplikator p. = 1 gilt. Man erhält z. B. statt der Gleichungen (18) jetzt für den Einfluß der Verkehrslast p die Gleichungen

« n2eo

P~2~

Die Abmessungen e₀ und eu gibt Eig. 286 an.

Bei unmittelbarer Belastung tritt an eine durch die Gleichungen

7)'= (öß

min

M,=

zl\

max

Hf    I ' U2^u

M2= Tl⁾ ₂    ‘

die Stelle des Polygons A'C'D'B'

zl]

zl\

bestimmte Kurve (Fig. 287). Das Kurvenstück C I)' ist eine Parabel,

y sy ry*

& t As t Äs

deren Gleichung auch geschrieben werden kann: v\" =

fl

~-lt---x    l₀

n¹

e,

ez

n/n\

>nj»    ;

|<—~oc—

j< — OC— >}<----JC ----y

Fig. 287.

Xa.f-Linie

Es ist

zll

So ₁₂

Auf dem in Nr. 103 angegebenen Wege gelangt man schließlich zu den folgenden Formeln für die beiden maßgebenden Werte Xa und minM₁. Berechne:

(29)    $ —(eih H“ )>

8 (l -j- 2Z₀) ’

^2

J³

8(^ + 2/₀) ’

(30)

(31)

(32)

r = &+&>+& x» — (? + ?)S    $ »

(g + g) (V — ■

min

M₁ = —

lï + 2 II -4- l\

8 (f -j- 2 ln)

hh'\

2 /

— 9%" — (p+P) ^²

Wir wiederholen, daß g, p die mittelbar wirkenden und g, p die unmittelbar am Balken angreifenden Lasten sind, und daß g = g -]- p , q = gJrp ist.

-X-

X-

e=i l,

ilium

a.l,

M,

Üf

---Itr-Ł

a.Jj_

no

Fig. 288.

106. Das symmetrische Hängewerk (Fig. 288). Ist^ = /₂, so

und es ergeben sich die fol-

wird ex = e₂ = —und e₀ — eu — genden einfachen Werte:

lxn

¹

Der Einfluß der Drehungen der Endquerschnitte des Balkens, darf ebenfalls vernachlässigt werden.

(33)

Handelt es sich um eine Hängewerkbrücke und wird der Balken durch unmittelbar an ihm angreifende Einzellasten beansprucht, deren Wirkung am zweckmäßigsten mittels Einflußlinien verfolgt wird, so ersetze man die Einflußfläche für Xaf durch einen gleich großen Parabelabschnitt. Der Pfeil der Parabel ist

(38)

(34)

(35)

(86)

mux

(37)

min

8 0+2«

8" = 2gi+g₀,

^. = (î + ?')3' + î8",

P ($o ~b $i)-

107. Der unterspannte Balken (Fig. 289) entsteht durch Umkehrung des Hängewerks. Xa ist jetzt eine Zugkraft. Wegen der für diese Stäbe üblichen geringeren Höhe f sind jedoch die Längenänderungen der Stäbe von größerem Einflüsse wie bei den in der Regel höher gebauten Hängewerken.

PN

•S»

PN

->i

A\

CL

'/T

-o-

777

CCÏ

I 7?/

A'

)/

II

B'

k-

Fig. 289.

Der Träger sei symmetrisch. Es entsprechen den Stäben

AC sec² a

AB

CD

IC

die Werte S„ =

tg²a

lx sec a

/'

EF

EF

E'F'

E'F'

E"F" ’

und es ergibt sich daher nach Gleich. (6), Seite 342

(39)

f²a + 2ia)

[‘

E'

(2^ sec³ a -j- l₀)

e" f"

h tg³ «]

Die Längenänderungen der Stäbe verkleinern den Zug Xa, sie ver-

Bleibt

M₁ das für die Querschnittsberechnung maßgebende Moment, so bedeutet die Annahme v = 1 eine zugunsten der Sicherheit des Bauwerks gemachte Voraussetzung. Ist l₀ wesentlich größer als ly und greift die Belastung unmittelbar am Balken an, so empfiehlt es sich,

Trägermitte zu berechnen und dabei den Wert v zu berücksichtigen. Der für v = 1 berechnete Wert Xaf geht über in (Xa — A Xa) f, wo

AXa=Xa(l

mindern die negativen und vergrößern die positiven Momente, also

min

M für die

(40)

v),

und man erhält

M =M₀ — Xaf-f Xaf( 1 — v).

Die Bechnung gestaltet sich sehr einfach, wenn man die Summen der beiden ersten Glieder für sich zu einem Maximum macht und in das letzte Glied für Xa den größten, der vollen Belastung entsprechenden Wert einsetzt. Big. 289 zeigt die bei der Annahme v = 1 entstehende Einflußfläche für

Punkte C' und D'. Man erhält

ma

M.

Die Geraden ÂR' und B R' gehen durch die

(41)

7²

1)

also

(42)

mux

Hierzu tritt

(43)

xaf( 1 — v) = q (r + S") (1 — v).

Mittelbare Belastung erzeugt M= 0.

Beispiel. Der Balken bestehe aus Holz, Spannstange und Pfosten aus Plußeisen.

I -[- 2l₀ = 19,2 m, f = 1,0 m, g = 0,4 t/m, p = 0,8 t/m, q = 1,2 t/m. Wir nehmen zunächst v = 1 an, berechnen mittels Gleich. (33) bis (37):

Es sei lx — 2,4 m, 1/ — 7,2 m, l₀ = 4,8 m, / = 9,6 m,

$' = y 2,4 • 7,2 = 8,64,

2,4³

8 • 19,2

= 0,09,

4,8 ³

4-19,2

= 1.44.

%" = 2-0,09 + 1,44= 1,62,    % = %' + 3 =10,26,

\c

Xaf = 1,2-10,26 = 12,31 tm, = 12,3 t,

S₁ =Xa seca = 12,3-1,08 = 13,3 t, V= Xa tg a == 5,11,

2,4-4,8

0,8(1,44 + 0,09)=—3,02tm.

M₁ = — 0,4*1,62 — 0,8

Ein Balken von 26/28 cm besitzt abgerundet W = 3400, «7= 41 000, F — 730 und wird beansprucht mit 302000 , 12300 3400

In der Mitte des Balkens entsteht, mit v = 1, nach Gleich. (42)

M = 1,2

Nun sei der Querschnitt der Zugstange F' = 13 cm², des Pfostens F" — 10 cm², also

min

730

= 89 + 17

106 kg/cm².

4,8 ²

— 2 • 0,4 • 0,09 = 1,66 tm.

J 41000

730

56 cm² = 0,0056 m²,

= 0,32 m²,

F"

0,41 m².

E" 20

ergibt sich v = 0,96, und man erhält daher

M = 1,66 + 12,3 (1 — 0,96) = + 2,15 tm.

M; er ist aber kleiner als das für v = l erhaltene m;nM,.

Dieser Wert ist zwar um 30 v. H. größer als das für v = 1 berechnete Moment

2. Zweifach statisch unbestimmte Hängewerke.

108. Unsymmetrisches dreifaches Hängewerk mit wage-rechtem Spannriegel. Pig. 290. Die Spannkraft Xb in der mittelsten Hängesäule soll mit Hilfe der Gleichung

(44)

A t = P- T7"

^>bb

berechnet werden. Es wird also das in Nr. 105 behandelte doppelte Hängewerk als statisch unbestimmtes Hauptsystem eingeführt. Die elastischen Änderungen der Stablängen sollen gleich von vornherein vernachlässigt werden. Der Balken habe konstanten Querschnitt. Wir setzen EJ = 1 und schreiben

M\dx.

[*

h?

k-- -a,=3,0    -s«- -a₂ -3,orm- *i

f=3,6™

.i.

TT?,--

--—

J2

-Zz=3.6m- *

TT

fo= 1.875m

_L

(a-)

Tg

7771

i (3)

l'z = 8,ï™~

-    ---»ic —

T---

i;=9.6^-1------

16,6™- -

-------*—H

«?

N“

es\

rtiF~

^■*1

rö

re

lH₀. f-Linże

i*- vH

bö!

h»_L

Fig. 290.

Den Druck im Spannriegel bezeichnen wir mit H. Die H₀ /'-Linie stimmt also mit der in Nr. 105 ermittelten Xaf-Linie überein; sie besitzt in den Knotenpunkten 1, 3, 2 die Ordinaten eXl e₃, e₂. Die Strecken e1 und e₂ sind durch die Formeln (26) gegeben. e₃ zerlegen wir in

e₂ oq

und die Parabelordinate

(45)

3 oq a₂

2(/ + 2/₀)

*).

Fig. 290b zeigt den Belastungszustand Xb =— 1. Die im Firstknoten E angreifende, nach oben gerichtete Kraft Xb — — 1 wurde nach den Richtungen CE und D E zerlegt, und die so erhaltenen Seitenkräfte wurden in den Punkten C und D durch ihre lotrechten und wagerechten Komponenten ersetzt.

Die wagerechten, gleich großen Komponenten H' erzeugen im Spannriegel einen Druck von der Größe

(46)

II' — — cotg ßx — yL cotg ß₂

«1 «2

lofo ’

und die lotrechten Komponenten, sowie die im Punkte 3 angreifende Last Xb — — 1 bewirken

e₂a i

äf=c+e;—Xi

Im ganzen entsteht infolge Xb = — 1 :

(47)

Hbf=k + c

wo

₇ _ aia2 f

‘_xr

Für die Balkenquerschnitte 1 und 2 erhält man die Momente

Mlb — M2b = (H' — Hb) f— — c.

Die A/₆-Fläche zeigt die Fig. 290d. Im Punkte 3 entsteht Mb = -1- c. Da nun CED die Momentenfläche eines einfachen Balkens CD ist, der eine durch E gehende Last 1 trägt, so ist

,_ oq a₂

(48)

(49)

— c.

(1 + 2 lo)'

*) Diese Formel folgt nach Seite 358 aus r{" x = oq, x = oq.

Es ergibt sich jetzt cHx

i

b — J M\dx o

h)

c%

1-y (C² —CC' + C'²) + —

das ist

(50)

^>bb

cH

c ifi — c) l₀

Die Einflußlinie für Xb ist die Momentenlinie eines einfachen Balkens AB, dessen Belastungslinie die Gleichung

Mb

^bb

hat.

An den Stellen 1, 2, 3 sind die Belastungshöhen

(51)

*I=*2

^66

Es sei l — 12 m, lx = 2,4 m, ax—a₂ = 3,0 m, J₂ = 3,6 m, f= 3,6 mr f₀ = 1,875 m, l -{- 2l₀ = 24 m.

Dann ist:

3 • 3,0²

16

m, c

3,0²

15

^bb -

2 • 24,0

^-(81+ 15-6-2) =

2 -,

— m

6,0 16 16

m,

05 ’ 05

m³,

32    9

63"’76

»    ^3 =

32    15

6 3 ’ 77

10

21

ni ².

Eine durch zx = z₂ und z₃ (alle drei Werte zunächst positiv angenommen) bestimmte Belastungsfläche erzeugt für die Querschnitte 1, 3, 2 die Momente

Tjj = 6,36 zx -j- 3,96 z3 % = 8,91 zx -j- 7,41 z3 ri2 ⁼ 8,46 zx -j- 4,86 z₃, und man erhält daher für die Xb- Linie an den Stellen 1, 2, 3 die Ordinaten

(52)

10 ‘    0,48

— 6,36y + 3,96 ₂₁ -

■*]3—“f--hj——+ 0,983;

Greifen die Lasten nur in den Knotenpunkten 1, 3, 2 an, so besteht die XL-Linie aus drei Geraden, und die angegebenen drei Werte genügen zur Berechnung von maxXb und

In Fig. 291 haben wir noch die Einflußlinie für unmittelbare Belastung des Balkens AB gezeichnet; die Ordinaten wurden für die Teile lx, L, L mittels der Formeln

hi =

+ 0,069

— 0,72

0,103.

min

Xh.

(53)

ll

7]'=0^0!—,    7)"

///    ,    s a“ , zxa

7]    — zx) + O* ₆

— «7) Z\

berechnet. Es genügt die Berechnung weniger Zwischenpunkte.

Noch sei auf eine Bechenprobe aufmerksam gemacht. Greifen in den Knotenpunkten 1 und 2 zwei Lasten an, die sich zueinander verhalten wie /₂ -,lx, so muß bei starr angenommenen Stäben Xb — 0 sein,

k---

-3,0

-+k-

3,0

3,6m----->|

ZI

j^rTTTI

(iW

069

(3)

(2) -0,103

■+0,983,

Xfr-Iinie

Fig. 291.

weil diese Lasten von dem Hängewerk ACDB, dessen Gurtung em diese Lasten verbindendes Seilpolygon bildet, allein aufgenommen werden. Daraus folgt aber, daß sich verhalten muß

^2 • ^)i ⁼⁼    4    ⁼⁼    3,6 • 2,4 =    3 : 2.

In der Tat ist y]₂ = —

CO , <M

Th-

(55)

Einflußlinie für den Spannriegeldruck H. Aus der Gleichung Hf = H,f— HtXt = H,f— (k + o) X„

ergeben sich für die Ordinaten 7]₁, t]₂, t]₃ der Hf-Linie an den Stellen 1, 2, 3 die Werte

(56)

7)1 = 6l — (k -f e) 7]! rl3==e3 — (* + c) T\a

if]₂ = eo    (k -4- c) v\2' und man erhält daher

— 1,052,    7)₃ —    1,344,    t)₂ — -j- 2,020.

Rechenprobe

Die Strecken e findet man, wenn man in die Gleich. (52) für z₁

einsetzt. Es ergibt sich

und z₃ die Belastungshöhe 6,36 + 3,96

l -(— 2 Iq    24    8

1,290, ebenso e₃ — 2,040, e₂ — 1,665.

Weiter ist nach Gleich. (48), wegen ax = a₂ = —7₀,

k-\-c = 3,4425

axf

2 fo

= 2,88, c

16

--f 7^-?= °>439 + 0,561 = 1.

G G

fr

(1)

"'S

I2Ł

0,śp8

\-0,37i

S-Linie

(3)

I (Z)

+0,560\

III!

Fig. 292.

Mit Hilfe der Formel tj = e — (hc) v\ kann man aus den Ordi-naten der H₀f-Linie und der Xb-Linie auch die übrigen Ordinaten der Hf-Linie berechnen. Man kann aber auch in der Weise vorgehen, daß man die Belastungslinie der ///“-Linie bestimmt und dann die Formeln (53) anwendet. Da die Belastungslinie der //₀/“-Linie in den drei Punkten 1,

2, 3 die gleiche Höhe Hf-Linie

1+ 2 Jo

= — besitzt, so findet man für die

(57)

/ -j- 2^o

z₃ —

2

-f 3,4425 y = + 1,109 10

= — 1,514.

(k -f c) zx =

(* + c) z₃ = \~ 3,4425 2i

l 21₀

In Fig. 292 haben wir die H-Linie nebst zugehöriger Belastungslinie dargestellt. Die vorstehend angegebenen Werte sind also durch f = 3,6 dividiert worden.

Einflußlinie für Ml. Aus der Formel

(58)

Mx = M₁.₀ — H₀f -f- cXb ergeben sich für die Stellen 1, 3, 2 die Ordinaten

~r h'— «1 + et)! = 1,920 — 1,251 = + 0,669

(59)

e₃ -f et\s = 1,320 — 1,487 = — 0,167

l₂ — e₂ —j— ct] 2 — 0,720 — 1,723 = — 1,003.

Die ersten Glieder geben die Ordinaten der M Probe: 7)₁':ir]₂, = — f\l₂ = — 2:3.

l-o

Linie an.

-^TTTTmTTÏÏÏÏÏÏnTTTff nmiTTnTTTTTTTr^

(3)

nn

in I

*■>*

I™ %

-1,003

Myj-Linie

(I)

(3)

'üüfäu

(Z)

Fig. 293.

Die Höhen der Belastungslinie sind

f«i = -

(60)

* + 2Z₀

1    9 2

8 16 ’ 7

i „ __ 1 ,9_ ^ C^³ 8 16

O tH

~ ⁺ Y'

l ~h 2/₀

Will man die -Linie als Seillinie darstellen, so hat man zu der Belastungslinie noch im Punkte 1 eine Einzellast von der Größe 1

zu

fügen. Vgl. Fig. 293.

Einflußlinie für M₂. Es ist

(61)

M₂ = M₂.₀ — H₀f+cXb.

Man erhält

rr

ri2

— 1,251 = — 0,531

— 1,487 = + 0,133 — 1,723 = + 0,797.

Probe Tjj' : 7]₂ ' = — lx : /₂ = — 2:3.

Die Belastungshöhen sind dieselben wie für die M₁ -Linie.

(62)

Im Punkte 2 tritt die Einzellast 1 hinzu. Einflußlinie für Mä. Es ist

M₃= M₃.₀— H₀f—c Xb, wo c

15

16

Man findet

— ex — c'y\x — — 0,035

(63)

■*)3

*12

Ux 12

— e₂ — c'-Jrjg = + 0,052, rjfl": r\₂"'= — 2 : 3.

zl

(64)

l 21₀

l ~r 2/₀

M₃

ist von untergeordneter Bedeutung. Das maßgebende Moment

isf min

Mx.

Solange die obere Gurtung des Hängewerkes unbelastet ist, gelten für die Spannkräfte S' und S" der Stäbe EC und ED die Formeln

S' sin ß, = —

■Lq

Setzt man am Knotenpunkte C die Summe der wagerechten Kräfte gleich Null, so erhält man

Sx cos v.x == S' cos ßL — H— — Xi

«i a₂

& 'o fo

Wir bezeichnen die Ordinaten der Einflußlinie für Sx cos a.l mit y und erhalten nach der Formel

(65)

(66)

Sx cos <xx — — X

7]

— 0,8 7]--i

V\ — — 0,347

S"sin ß₂ = — Xb

— cotg ßi — H

— H— — 0,8 Xb — H.

y₃—    0,413, y%—    0,479.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

24

Die zugehörigen Belastungshöhen sind

— 0,8 zx —

LP

, 2

— + °,8 —

1,108

3,6

= — 0,080 bei 1 und 2

— 0,8 z$--~ = — 0,8

10 .    1,514

21

3,6

= + 0,040 bei 3.

Die Spannkraft Sx (Druck) nimmt bei voller Belastung den größten

Wert an.

Setzt man im Punkte C die Summe der lotrechten Kräfte gleich Null, so findet man

S₁ cos ax

Vl = S' sin ß₁ — S₁ sin a.₁ = S' sin ß «i f

h v l fo

Für die Ordinaten %/ der Fj-Linie gilt also

y'= + o,7->)+^

Vi — + 0,487, y₃ =-j- 0,128, y₂ = -]— 0,770. Die Belastungshöhen sind

(67) V₁ = Ü2

)xH

Hf

das ist

f- 0,7 Xh -f-

woraus

Hf

+ 0,7 z₁ +

2 . 0,7 — f⁻

1,109

2,4

= -)- 0,262 bei 1 und 2

1,514

^3

- + 0,721

Die V₁-Linie ist in Fig. 294 dargestellt worden.

Über die praktische Verwertung der vorstehenden Untersuchung für den hier wohl allein in Betracht kommenden Fall eines gleichmäßig mit g' und p bzw. g und p belasteten Streckbalkens AB ist folgendes

+ 0,7 z.d -f-

2,4

— 0,298 bei 3.

zu sagen.

Greifen die Lasten nur in den Knotenpunkten an, so braucht man die Werte z nicht. Es genügt, die Ordinaten 7), y, y' für die Knotenpunkte 1, 3, 2 zu berechnen, die aus je vier Geraden bestehenden Einflußlinien zu zeichnen und die Flächeninhalte $ und $ der positiven und

negativen Einflußflächen zu berechnen; diese Inhalte bestimmen die größten Spannkräfte und Momente. Diese ganze Bechnung ist schnell erledigt.

Kommen unmittelbar am Balken angreifende Lasten vor, so braucht man im allgemeinen auch die Belastungshöhen z. Mit ihrer Hilfe kann man zunächst den Einfluß der ständigen Belastung g feststellen, ohne daß man nötig hat, die Einflußlinien zu zeichnen. Ist $ der Inhalt der Einflußfläche für irgendeine Größe, so ist der Einfluß von g auf diese

Größe gleich gZur Berechnung von $ aber dient die in Nr. 37 auf Seite 106 angegebene Formel (38), in welcher z' = 0 zu setzen ist, da die Belastungslinien gerade Linien sind. Für die Berechnung der Inhalte $ und $ zur Bestimmung des Einflusses der Nutzlast sind bei den hier

ausschließlich in Frage kommenden Dachstühlen Vereinfachungen zulässig, welche darauf hinzielen, das Zeichnen der Einflußlinien möglichst zu sparen. So darf man, um den größten Zug in der mittelsten Hängesäule zu berechnen, y)j = 0, y)₂ = 0 und t]₃ = 1 setzen und erhält dann den etwas zu großen Wert (Fig. 291):

a³

(68)

Xl = î[“ + ~24

3 + zi) ²J

q j^3,0

3,0³ ^10

12

21

y    q.

/T

- O, Z98

+0.262 I _ _v---

- -Z, V ™- ->fs

---3,0™--    ----3,0™--    ----3.6™-

--->1

V,-Linie

y2 = 0,770

Fig. 294.

Moment

Um das für die Berechnung des Balkenquerschnitts maßgebende zu ermitteln, nehme man den Balken links vom Knotenpunkte 3 mit g, rechts davon mit q belastet an. Der Inhalt der Einflußfläche links von 3 ist (Fig. 293)

(69)    ^i=^₁⁷îi,+    gOli    +

= ¹ 2,4-0,669-^-|².4³+2 (0,669 — 0,167)8,0

⁺ s(“1⁺7)³’°3== + 1’²³’

min

ATun runde man ^ nach unten ab, + nach oben und setze Mx = — 4,3 q + 1,2 g.

Die Einflußlinien für Xb, V₁ und M₁ braucht man also nicht zu zeichnen. Die größten Werte von M₃ und M₂ sind kleiner als minMx. Die Berechnung des Balkens ist also, soweit die am Balken selbst angreifenden Lasten in Frage kommen, erledigt.

Zur Berechnung des größten Spannriegeldruckes H muß die ET-Linie durch Berechnung einiger Ordinaten bestimmt werden. Man findet,

absolut genommen, g = 2,81, ^ = 0,77 und erhält:

+ -

max

H = 2,81 q — 0,77 g

min

Der Inhalt der EinfluMäche rechts von 3 ist (70)    &. = — A 3,6.1,003 — i ₇

• ² 3,6³ —

-(1,003 + 0,167)3,0

u

, 1/1 2\

+ 24I7-7)³'⁰ =-⁴'²⁸-

H= 2,81 g — 0,77 q.

Der größte Wert Sx entsteht bei voller Belastung, ergibt sich also ohne weiteres aus den Ordinaten yx, y₃, y₂ und den Belastungshöhen. Ganz entsprechend verfährt man mit V₂ und S₂.

Es bleibt jetzt nur noch anzugeben, wie der Einfluß von Lasten bestimmt wird, die in den Knotenpunkten der oberen Gurtung angreifen.

Eine in D wirksame, beliebig gerichtete Last P wird (wie in Fig. 282) nach lotrechter Richtung und nach der Richtung DB zerlegt. Eine in E angreifende Last zerlege man nach der lotrechten Richtung und nach der Richtung eines der beiden obersten Gurtstäbe, z. B. nach ED. Die mit ED zusammenfallende Komponente zerlege man dann im Punkte D nach den Richtungen D 2 und DB. Einfluß auf Xb, H, Mx, M₂, M3 üben nur die lotrechten Seitenkräfte aus. Ihre Wirkung wird mit Hilfe der den Knotenpunkten entsprechenden Ordinaten der Einflußlinien festgestellt.

109. Besteht die obere Gurtung des Hängewerkes aus den beiden Geraden A C T und BDT, Fig. 295, so wird, starre Stäbe vorausgesetzt, eine im Knotenpunkte 3 angreifende Last P vom Hängewerk A TB allein aufgenommen; sie erzeugt Xb = P, H = 0. Mx— 0, .¥₂ = 0, M₃ = 0, Vx= 0, V₂=0. Man braucht jetzt auch die X-Linie nicht zu zeichnen und kann den Inhalt der X-Fläche mit Hilfe der für die Knotenpunkte ermittelten Werte 7] und z berechnen. Der größte Druck H entsteht bei voller Belastung.

Beachtenswert ist, daß man die Knotenpunktswerte ?] und z für alle

in Betracht kommenden Größen Xb, H, . . . aus den Biegungsmomenten berechnen kann, welche an den Stellen 1, 3, 2 durch die zunächst beliebig groß gedachten Belastungen z₁z₃ erzeugt werden.

V,

f=3,0rrL

---->? 1

_ j£

<o

II

•0'

■O

ê¹

II

S'

FJ

■ -a

1,0

Linie

Fig. 295.

Ist z. B.

ij=2,4 m, nx = 3,6 m, a₂ = 5,4 m, l₂— 3,6 m, 1 = 15,0 m, so entstehen infolge beliebig gewählter z₁ und z₃ die Momente ï], — 1,32 zx -j- 1,008 z₃

7)3 =2,10.^+ 2,16

7]₂= 1,92    1,188 £₃.

Für die Xb-Linie muß nun sein

■*]₃ = ¹ ;    : ^3 = — h '■ k — — 3 : 2, d. i. 3^ -f 2 7]₂ = 0.

Es ergeben sich die Gleichungen

2,10 Zy —j— 2,16 z§ = 1

7,8 0₁+5,4 »8 = 0,

die wir aus einem Grunde, der bald einleuchten wird, durch die allgemeinen Gleichungen

(72)

2,10 z j —|— 2,16 Zg — A

7,8 Zy —J— 5,4 0g ⁼⁼⁼ B ersetzen wollen. Die Auflösung liefert

(73)

ex = — 0,9804 A + 0,3921 B *₃ = -f 1,4161 A — 0,8813 B.

Für A — 1 und B — 0 ergibt sich

zx— — 0,9804,    0₃= + 1,4161

und hierzu gehört, für die Xb-Linie,

Tjj =-j-0,133,    7]₃ = -f- 1,00,    7)₂ =— 0,200.

Für die H-Linie hat man die Bedingungen

= 1»    ,*l3=⁰-

•»Il I ^2

k h

Die erste formen wir um in

% 4 + V i=kk> d- ¹ % * ³ + ^2 • ² = ² ‘ ³>6

und erhalten die Gleichungen

2,10 Zy —|— 2,16 0g — 0

7,8 z₁-\- 5,4 0₃ = 7,2,

welche dieselben Koeffizienten haben, wie die Gleichungen (72). Für A — 0 und B — 7,2 liefert nun (73):

Zy = + 2,8231,    0₃ = — 2,7 4 5 4,

ferner (71):

7]x= + 0,959,    ifj₃=0,    7)a = -J- 2,159.

Um die Werte für die M₁ - Linie zu ermitteln, beachte man, daß eine im Punkte 1 wirksame Last 1 die Querschnitte 1, 3, 2 durch die Biegungsmomente

M₀= 2,016,    1,44,    0,576

beansprucht. Es wird also

7]i — 2,016 —|— 1,32 Zy —|— 1,008 03 7]₃— 1,44 -(- 2,10 0X -f- 2,16 03 Tjg = 0,5 76 —|— 1,92 Zy ~(- 1,188 0₃.

Die Bedingungen 3 Tf)₁ —2 7]₂ = 0 und rj₃ = 0 liefern die Gleichungen

2,10*!+2,16 «s = —1,44

7,8 zx + 5,4 zz — — 7,2.

Es ist also A— — 1,44, B — — 7,2. Man erhält *! = —1,4113,    *3 = + 0,7062,

= + 0,865, ïl₃ = 0,    = — 1,295.

Hinsichtlich der weiteren Behandlung der Aufgabe verweisen wir auf den in Nr. 108 eingeschlagenen Weg.

110. Dreifaches, symmetrisches Hängewerk (Fig. 296). Die Gurtungen ACT und BT)T seien geradlinig.

1. Mittelbare Belastung. Eine im Punkte 3 angreifende Last P wird vom Hängewerk A TB allein aufgenommen. P = 1 erzeugt V — 1, H= 0, Mx = M₂ — Mz = 0.

Zwei gleich große, in den Punkten 1 und 2 angreifende Lasten P= 1 beanspruchen nur das doppelte Hängewerk ACDB und erzeugen F=0, Mx — M₂ — 0, M₃ = 0. Aus den in Fig. 296 gezeichneten Einflußlinien für Hf und M₁ folgt, daß jede der beiden Lasten zu H den

alx

Beitrag

und die in 2 angreifende Mx — —

liefert, während die in 1 angreifende Last M₁ — +

alx

erzeugt. Die Beiträge der beiden

Lasten zu V sind gleich groß, jeder für sich genommen ist daher gleich Null. Dasselbe gilt für M₃. Aus dieser Betrachtung ergeben sich ohne weiteres die in Fig. 296 a, b, c gezeichneten Einflußlinien für V, H, Mx. Das Moment Mz aber ist bei mittelbarer Belastung stets gleich Null. Gleichförmige Belastung (gp', g' + p' — q') erzeugt also

max

r=t a,

H—

, lyl

q \f ’

(76)

, ah

Mi    i

min -^1 *

Eine in T angreifende Last wird von den Streben A T und B T allein aufgenommen. Von einer in D angreifenden Last P bilde man die Seitenkraft P'. Man findet dann

P'h

(77)    F=0, H

Mx = —

P'alx

— m₂.

2. Unmittelbare Belastung des Balkens. An Stelle der aus Geraden bestehenden Einflußlinien treten die in der Figur 296 d, e, f dargestellten Kurven. Auf ihre ungefähre Form kann man ohne weiteres aus der in

376

hj

-H

C'*

\\

bd

cc

-X-

~A

•i-

->!

(a)

⁷-Linże

(b)

(c)

L, a

M-linie

(d)

xfrTriÏÏÏÏTTTfrrr>^|

V-Linie

(e)

H-ljinie

(f)

JVL-Linie

Fig. 296.

Nr. 109 durchgeführten Untersuchung schließen. Kommen aber nur gleichförmige Belastungen g und p vor, so braucht man diese Linien nicht weiter zu untersuchen. Es empfiehlt sich dann der folgende einfache Rechnungsgang.

Da die Änderungen der Stablängen vernachlässigt werden, so verhält sich der Stab AB bei jeder symmetrischen Belastung wie ein auf fünf gleich hohen starren Stützen ruhender Balken. Belastet man die Felder lx mit g und die Felder a mit q, so erhält man Zwischen den Stützenmomenten bestehen die Beziehungen

qa³

max

V und

min

M₃.

2 Mx (Zj —)— (x) —[— il/cj a —

Mxa —j— 2 il/g {a -j- a) -j- J\I₂a

qa³

und man erhält, wegen M₂—Mx,

Mx =

(78)

m₃ =

—    qa³ — 2 gl] 4(2 l — a) ’

—    ÇLa‘ i¹ — a) +

Weiter findet man

4(2 l — a)

min

M₃.

V = qa + 2

MX~M₃

das gibt

(79)

max

qa² (51 — 4a) — 3gl]

2 a {21 — a)

Vertauscht man g mit g, so gelangt man zu — ga² {l — a) qt\

mas

M₃ =

oo

min

4 (2 l — a)

ga² {bl — 4a) — 3gZi

2 a {21 — a)

Der Einfluß des Eigengewichts auf Mx und V ist

a³ -f- 21\

⁹ 4(2 l — a)

a² {bl — 4a) — 31\

2 a {21 — a)

Um nun den bei voller Belastung seinen größten Wert annehmenden Spannriegeldruck H zu berechnen, gehe man von der Gleichung aus

(81)

(82)

(83)

wo M

i-o

Mx = —

r= + g

Mx — Mx. ₀ Hf g ’

(st, und setze für Mx und V die Werte, die sich aus

2

den Formeln (81) und (82) ergeben, wenn g durch q ersetzt wird. Man •erhält dann

(84)

max

Hf =

qclx

wo

(85)

d² =

a³ -f- 2Z³

4(2/ — a)

(86)

a¹ (51 — 4a) — 31\

2 a (21 — a)

Das Moment

wenn die Nutzlast p nur auf der rechten Hälfte des Balkens aufgebracht wird. Die zu diesem Belastungsfalle gehörenden Werte Fund Hf erhält man, wenn man die durch die Gleich. (82) und (84) gegebenen Werte halbiert und hierauf p an die Stelle von g bzw. q setzt. Es entsteht

min

Mx entsteht

— und Hf

2

pW

pd²

Da nun M₁.₀ für den fraglichen Belastungsfall gleich so ergibt sich nach Gleich. (83)

pl

Zj ist,

pllx Phh ' pd²

min

das ist

min

Mx

plxa pd²

Wird der Einfluß des Eigengewichts hinzugerechnet, so entsteht

(87)

min

Mx =

und hieraus folgt dann

Mi = +

(88)

maa

+(*-•)«

weil minM₁ -j- maxMx gleich dem Momente für volle Belastung mit q Ą- g sein muß. Das maßgebende Moment ist minMv

Für die Spannkräfte in den seitlichen Hängestangen und in den Gurtstäben liefern die Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte C und T die Formeln

(89)

VX = H tg a,

• V 2 sin a S, — S' — — H sec a.

3. Sprengewerke.

111. Das doppelte Sprengewerk (Fig. 297). Xa bedeutet wieder den Druck im Spannriegel. Die Achsen der Streben werden mit den

î<-

*-■

Die größten Werte Vx und S' ergeben sich ohne weiteres aus den größten Werten H und Fl Die Formel für S₁ läßt sich umformen in

~ Vfcotg a— Hf= —

und hieraus und aus Gleich. (83) folgt Sx f cos a = — M

Sxf cos a = —

(91)

+ Mt.

(92)

Dieser Wert wird am größten bei voller Belastung. Es entsteht

<lhli

Sxf cos a

qd².

■*ff

re---

--3C---1----

__JK_

A4,

■ v'

az!

<—x—v

PY

f»\

m-

fi

11

Xa-secY

Xt.:see]L iM-

-Y- —

i.

-V---*

LV

'n

|4

I:

Fig. 297.

durch die Balkenstützen gehenden 'Lotrechten in A und B zum Schnitt gebracht. In den Punkten A und B werden die Stützenwiderstände Sx und S₂ in die lotrechten Komponenten Au und Bu und in die mit der

Geraden AB zusammenfallenden Seitenkräfte Xa sec y zerlegt. Widerstände der Balkenstützen seien A„ und B₀, ferner werde

A₀ + Au = A, B₀ + Bu == B

Die

gesetzt. Am Balken oder in den Knotenpunkten C und D greifen lotrechte Lasten an. Die Momentengleichung in bezug auf den Punkt B lautet

Al — 2Pb = 0,

sie liefert

2P&

In derselben Weise entsteht

2P

(l — 6).

Es sind also A₀ -j- Au und B₀ -}- Bu ebenso groß wie die Stützenwiderstände eines einfachen Balkens von der Spannweite /. Führt man

im Abstande x lt einen lotrechten Schnitt und zerlegt man an der Schnittstelle (Fig. 298) die Kräfte St und Xa sec y nach lotrechter und wagerechter Richtung, so erhält man für das Biegungsmoment des Balkenquerschnitts den Wert '

Ä₀

\f

\/S’

(93)

M= M₀ — Xay,

denn das von den Kräften A₀ -\- Au = A und P herrührende Moment ist gleich dem Biegungsmomente M₀ des nur von den Lasten P angegriffenen einfachen Balkens A B. Denselben Ausdruck (93) erhält man auch für x lx. Die in lotrechter Richtung gemessenen Abstände y des Linienzuges ACDB von der Schlußlinie AB stellen also die Momente Ma infolge Xa — — 1 vor. Durch diese Entwicklung ist also die Berechnung des doppelten Sprengewerks auf die in Nr. 103 erledigte Berechnung des doppelten Hängewerks zurückgeführt. Nur wird jetzt der Balken durch lotrechte Lasten P ausschließlich auf Biegung beansprucht. Es ist also

Au,

tk —oc— ->j

Fig. 298.

A*

,_4.

Auch hat der Balken keinen Einfluß auf die Ziffer v.

Sodann tritt die Aufgabe der Ermittlung der Stützenwiderstände A₀ und B₀ hinzu. Aus

folgt . (94)

A = Xa (lg — tg 7) und A₀ — A — Au

A₀ = A — ^Xa =

— xa

wenn zur Abkürzung

tg «i — tg y =

gesetzt wird. Die Einflußfläche für A₀ zeigt Fig. 297; sie ist der Unterschied der Einflußfläche für Aj\\> und für Xa. Ihr Multiplikator ist vh. Ist f1 = f₂ = f und 7 — 0, Fig. 301, so wird

Au = Xa tg otj =

und man erhält

AJX = Alx — Xaf.

An Stelle der ATa-Linie wird die A«/¹-Linie benutzt. Die A₀\-Fläche ist bestimmt durch die Strecke ÂÂ'—\X\ sie stimmt rechts vom Querschnitte 1 mit der Mx-Fläche überein.

Liegt der Spannriegel unter dem Balken, so muß man zwischen Spannriegel und Balken eine Lücke lassen, wenn man haben will, daß

1) <x

Fig. 300.

Fig. 299.

der Spannriegel nicht auf Biegung beansprucht wird. Die Übertragung der für das Hängewerk aufgestellten Berechnung auf das Sprengewerk setzt in diesem Falle streng genommen sogar voraus, daß zwischen Spannriegel und Balken lotrechte Gelenkstäbe (Fig. 299) eingeschaltet werden. Der Verfasser hat bei der von sehr schweren Einzellasten befahrenen Rüstung für den Berliner Dom hölzerne Sprengewerke ohne Spannriegel ausgeführt¹). In diesem Falle sind C und D die Schnittpunkte der Strebenachsen und der Balkenachse. Fig. 300.

Besonders wichtig ist, daß die Stützenwiderstände auch negativ werden können. Tritt dieser Fall ein, was von dem Verhältnis lx : l₀ : lx und dem Verhältnis der ständigen Belastung zur veränderlichen Nutzlast abhängt, so muß das Balkenende verankert werden. Fehlt diese Verankerung, so muß die folgende Untersuchung angestellt werden.

Es sei    Die Möglichkeit, daß das Auflager druckfrei wird,

ist also bei A₀ größer als bei B₀. Man berechne das von der ständigen Belastung herrührende Moment

Mlg ——g%" [siehe Formel (32), Seite 359] und den zugehörigen Auflagerwiderstand

----L,    ->1

a\

9h

lo

to ►T'J

->J

)■

-Bo

-Y.

4-

JB'

ez

ir

/p

A"

Fig. 301.

Die Felderteilung wird man stets so wählen, daß dieser Wert positiv ist. Nun schiebt man die Verkehrslast von B aus bis zum Nullpunkte N der A₀Fläche vor, Fig. 301, und prüft, ob A₀ positiv oder negativ ist. Durch den Inhalt $ des negativen Teiles der Einflußfläche ist

\ =

ulop

bestimmt, und man erhält

A₀ — Aog

Ist dieser Wert positiv, so ist

min

Mlp = —p%.

Wir wollen nun aber annehmen, es habe sich

-A₀g

herausgestellt, und es müsse die Yerkehrslast von B aus bis E vorgeschoben werden, um mindestens den Wert A₀ — 0 zu erzielen, wobei

/>

0,5 {

Ł (*)

---JC- - -!

^----4 -

K-----CL----X---(XA~----X--

j"

JE'

X"

~t~

% (b)

Cn-Linie

Tn '

X'

jr

/ff

T II

<c)

i?

— lo

Fig. 302.

wir aber betonen, daß bei dieser Untersuchung die Ziffer v in der Regel nicht gleich 1 angenommen werden darf. Je kleiner f ist, desto größer ist ihr Einfluß.

Solange das Lastende rechts von E liegt, hebt sich der Balken vom Auflager A₀ ab; er wird nur in den drei Punkten 1, 2, B gestützt, so zwar, daß in 1 und 2 gleichgroße Stützen widerstände V entstehen;

ihie Mittelkraft halbiert die Strecke l₀. Liegt also die Lasteinheit im Mittelpunkte K von l{), so entsteht bei dieser Stützung V = 0,5. Durch diese Angabe ist die V-Linie (Fig. 302a) bestimmt.

Das AngrifFsmoment für den im Abstande x vom Knoten 1 gelegenen Querschnitt m ist Mm — Vx, solange die Last rechts von m liegt. Die Einfluhlinie für diesen Ausdruck ist eine Gerade B'K' (Fig. 302b),

die auf der Lotrechten durch K die Strecke K"K'= —- x abschneidet.

Die Einflufllinie m J' für links von m angreifende Lasten ist bestimmt durch jj'=x, denn eine im Punkte 1 angreifende Last 1 erzeugt

Mm = (— i -f F) x = — x -f- 77 = — 77.

Der Schnittpunkt L der Geraden j'K' und B'j" hat eine feste, von x unabhängige Lage.

»!

K---ly----^ -----l₀    ^---Zg ' ~

4-

J-

j.

e,

e3

ez

e"

Fig. 303.

Das Moment

max

Mmp entsteht nun, wenn die Last von B aus bis

Nullpunkte E' vorrückt, vorausgesetzt, daß E' rechts von der vor-

zum

hin (Fig. 301) ermittelten Grenze E liegt. Sonst darf die Belastung nur bis E vorgeschoben werden. Die zugehörigen Momente infolge der ständigen Belastung sind der in Fig. 302 c dargestellten Momentenfläcbe

zu entnehmen.

Ist l₀ verhältnismäßig groß, so kann bei kleinem Werte g: p in der Mitte der Strecke l₀ ein positives Moment entstehen, das erheblich größer ist, als das für den Fall verankerter Balkenenden in der Regel maßgebende Moment

min

Mx. Umgekehrt kann es aber Vorkommen, daß die Beanspruchung des Balkens durch Weglassung der Verankerung vermindert wird. Das Auf- und Abschwingen der Balkenenden ist allerdings eine störende Zugabe.

Zu den in den vorstehenden Untersuchungen aufgestellten fertigen Formeln bemerken wir noch, daß außer den dort berücksichtigten beiden

Fällen: mittelbare, auf die Knoten A, 1, 2 und B übertragene Belastung des Balkens und unmittelbar am Balken angreifende Belastung noch der Fall Vorkommen kann, daß die mittelbare Belastung auch auf zwischen den Knoten A, 1, 2, B, liegende feste Punkte übertragen wird. Fig. 303 zeigt ein Beispiel. Die Aaf-Linie ist hier bestimmt durch die Ordinaten:

2 ¹¹

*2 =

2 *²’

f3 =

3a²

2(i+2/₀)'

*î

rr_

-rH ;

CO

/ 4- 2/₀

*)•

112. Beispiel fur ein mehrfach statisch unbestimmtes Sprengewerk. Es soll das in Fig. 304 dargestellte symmetrische Sprengewerk untersucht werden**). Die Achsen der Streben schneiden die

ff f/jv

OnI

4—**------4------44 -■

------:— ^----------i—

15 V 4

_v_. y_

’c

fr

I:

fc

s---

yb\

*~<r

y.

Fig. 304.

Balkenachse in den Punkten 1, 2, 3, 4. Die Streben und die beiden Pfosten 0 A und 5 B seien gelenkartig mit dem Balken verbunden angenommen. Das Tragwerk ist dreifach statisch unbestimmt. Als statisch unbestimmte Größen seien eingeführt:

der Horizontalschub Xa der Strebe 1 A,

Xe „

4 B,

und der wagerechte Widerstand Xb der Stütze A. Solange nur lotrechte Lasten P wirken, ist der wagerechte Widerstand der anderen Stütze:

*) X — 4 4 liefert -'4

l\

16 l -j- 21₀ '

**) Ein ähnliches Sprengewerk ohne Spannriegel hatte der Verfasser bei der Rüstung des Berliner Domes angewendet. Die Balkenenden waren mit den Gerüststielen verankert.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

25

Fig. 305.

Schnitt, zerlegen die Strebendrücke Sx und S2 an den Schnittstellen nach wagerechter und lotrechter Richtung (Pig. 305) und finden, da

A und P das Moment M₀ erzeugen, für das wirkliche Biegungsmoment M den Ausdruck

M = M₀ — Xaya — Xbyb und in derselben Weise erhalten wir

für das Feld 1—2 M = M₀ — Xaya — Xbyb (Fig. 306)

— Xhyb (Fig. 307)

H = Xb. Die lotrechten Stützen widerstände A und B sind dieselben wie bei einem einfachen Balken. Es ist also

B = P—-•

Die Spannkräfte S in den Pfosten und Streben und die den Balken beanspruchenden Längskräfte N sollen positiv angenommen werden, sobald sie Bruck erzeugen. Es ist also

Sx — Xa sec ß, — Xc sec ß,

und weiter ergibt sich aus den Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte A und B zunächst

und hierauf

5₂    = (Xb — Xa) sec Y,

5₃    = (Xb — Xc) sec y,

Pb

— X„(tgß —tg y) — X₆tgT,

Pa

SB = —₁--xc (tg ß — tg Y) — x₆ tg Y-

Die den Balken beanspruchenden Längskräfte N sind

für den Teil 0—1 N= 0

JKx

yb

A xb

„    „    „    1—2    N=Xa

vi    «2    3    X = Xb

v    v    v    3—4    N=XC

v    v    v    4 5    N — 0.

Mit ilf₀ bezeichnen wir wie bisher das Biegungsmoment für irgendeinen Querschnitt eines nur in den Punkten 0 und 5 gestützten, mit P belasteten einfachen Balkens. Sodann führen wir durch das Feld 0—1 einen lotrechten

2— 3 M= M₀

3— 4 M = M₀ — Xc yc — X„yb (Fig. 304)

4— 5 M = M₀ — Xcyc — Xbyb (Fig. 304).

Es ist also Ma = ya, Mb = yb, Mc = yc.

In Figur 308 ist die Mb-Fläche durch hellere Schraffierung hervorgehoben worden. Die il/a-Fläche und die M₀-Fläche sind dunkler schraffiert.

Bezeichnet man den Inhalt und das Trägheitsmoment des Balkenquerschnitts mit F und J, ferner die Querschnitte der Stäbe 0 A, 1A,

,E

■A-

ifa\

yb\

yb

Fig. 307.

Fig. 306.

Łj

•T

fh.

v_

yi

Fig. 308.

2A mit F₀, F1: F₂ und die Längen dieser Stäbe mit f, s1? s₂, so findet man

EJhaa =

jlCdx + [ Nl

fll

jp dx + 'SiSl — s

2 fj I S\J

3/₄    ¹ F

+ (tg ß — tg y)

Fa

Ei

sec² ß -f-

s₂J

e₂

sec² y,

EJhbb = jM\dx JNi

f² (2Q-b 3/3)

jp dx + 2    — s

+ 2/'-^*g²T + 2

s₂ J

Eo

e₂

sec² y>

25*

EJbac = 0;

ferner, aus der Symmetrie des Tragwerks folgend,

Die Gleichungen zur Berechnung von Xa, Xb, Xc lauten also

bma?

-f- xbbab

ZaSa6 + X₆5₆₆ + Xc5a6 = 5m6,

Xbbab -f- Xcbaa = 5mc;

sie liefern

EJhab = fM„Mbdx + JNaNb F _ /%(2V+4)

dx

6/4

E₀

2SaSb—s tg Y (tg ß — tg y) —

s₂J

e₂

sec ß sec y,

-A-a ' ^aubma I ^ab^mb 1    c^m c 1

A b    ^ab'bma | ^bb^mb |    )

wo, mit der zur Abkürzung eingeführten Bezeichnung

D = haahbb — 2hlb,

zu setzen ist

&-ab

bab

Of-ac =

Kb

KaD

aÄ6

Die Einflußlinien für Xa und Xb sind nun die zu den Momentenlinien M = aaaMa -[- a.abMb -f- a.acMc,

beziehungsweise

M — aab (Ma -j- Mc) -f- CLbb^h

gehörigen Biegungslinien des Balkens 0—5, wobei zu beachten ist, daß bei den die Momente M' und M" erzeugenden Belastungszuständen in den Pfosten die Spannkräfte

Sa = a„„ (tg ß — tg y) -f <xab tg y Sb — o-ab tg Y + a«c (tg ß — tg y)

Sa= O-ab (tg ß - tg Y) + abb tg Y == Sb"

entstehen. Die Längenänderungen

Sjf

A sA' =

EF₀

und A sś =

SB'f

EF₀

*) Die Xc - Linie ist das Spiegelbild der AL-Linie; ihre Gleichung braucht also nicht angeschrieben zu werden.

bestimmen die Lage der Schlußlinie für die zur M'-Linie gehörige Biegungslinie. Zu den M" gehört in derselben Weise

A sA — As_g —

SA"f EF₀ ‘

Wir wollen die Rechnung noch etwas weiter durchführen unter der oft (wenigstens für den ersten Rechnungsgang) zulässigen Vernachlässigung der von den Längskräften S und N herrührenden Glieder. Die Rechnungsergebnisse werden dann unabhängig von dem Werte EJ, und wir dürfen daher EJ= 1 annehmen. Indem wir

setzen, erhalten wir

8a« =

2 Vf

12

hbb = 28

fu

12

12

und, wenn wir zur Abkürzung die Bezeichnung

19 fu

einführen.

a₀« = 47v, a.ab = — 6v, <xac — 9v, aJ6 = 4 v.

Die EinfluMinie für Xa ist die Momentenfläche eines einfachen Balkens 0—5, dessen Belastungsfläche die M'-Fläche ist. Die Formel

M    a d'y a I ^«6^6 | ^«cÿc

liefert für die Knotenpunkte

1,

2,

3,

M'= + 20,5 v/;    — 6vf, — 6v/,    + 1,5V/¹.

Durch diese Werte ist die in Fig. 309 dargestellte Belastungsfläche bestimmt. Nun ergeben sich nach der auf Seite 104 abgeleiteten Formel (34) für den Sonderfall in Fig. 310 die Ausdrücke

M₂

m₃

a/₄ =

' ” (f-jr Z1 H⁻ 3 z₂ -f- 2 z₃ -f- At) ₅ ( 3 z₁-\-—z₂Jr 4 £₃-|- 2 z^ — (^2 zx-f- 4 z₂-\-~z₃-\- 3 z^

² /    19    \

^ zx -(- 2 z₂ -f- 3 z₃ -f- — z₄ J

o>

und man erhält daher für die Punkte (1), (2), (3), (4) die folgenden Ordinaten der Xa-Linie.

■*1(8)

w“ /I 9

-(—20,5-8.6-

U² (    \

— ( 3 -20.5 —

5 V ’    6

so

u² /

~5~~ V

2 • 20,5 — 4-6 —

u² /

T v

1 -20,5 — 2 • 6 —

2-6+1 • l,ö)'+= + 1,160

•6 — 4 - 6+ 2 -1,5) v/*= + 0,300

31    ,    \

— •6+ 3 -1,5 )'+= —0,300 6 /

3 -64+1,5)7/

u

= -0,150—-

20,3 Vf

t.svf'

f/

S|«k

a<k

\2'

ST

j< -OC—y

/'

K-OÛ-

Fig. 309.

Um die vollständige Xa-Linie zu erhalten, braucht man zu den Ordinaten des Linienzuges O'— l'—2'—3'—Y — b' nur noch die Ordinaten der Momentenlinien einfacher Balken 0 — (1), (1) — (2), . . . . hinzuzufügen oder in Abzug zu bringen, deren Belastungstiächen sich aus Dreiecken und Rechtecken zusammensetzen. Für das erste Feld erhält man an der Stelle x den Zuschlag

u²    u

— (öj) 20,5 v f - ⁼⁼ 539 biß —,

o    /

für die übrigen Felder ist der Reihe nach, mit Hinweis auf Fig. 309

(0,697    — 0,4 7 3

u²

t]₂ = «_d26,5 ')f

D

U²

= o* 6 Vf—

M²

= «* 6 vf— u²

7]ß=Ö2) 1,5 v/y

— 0,473 (1)22

o 2,7,5 v f-^ = (0,4 7 3 o 2J — 0,19 7 to 2, ) = 0,039 «2) —

K-----

* --c

- ~IC---->K-

-M----~k---ic----U--Uy----H

Fig. 310.

Die Einflußlinie für Xb ist die Momentenfläche eines einfachen Balkens, dessen Belastungsfläche die M"- Fläche ist. Die Formel M = ccab (ya -|- yc) -f- abbyb liefert für die Knotenpunkte 1, 2 (Fig. 311)

M" = — vf bzw. -f- 4')f.

Die M"-Fläche ist symmetrisch. Die Gleichungen für die Momente MX1 M₂ gehen über in

M₂ =

und man erhält an den Stellen (1) und (2) die folgenden Ordinaten der Xb - Linie

^lo) =

= 0,5 —

⁷](2) =

Weiter findet man - «

7]! = « iVf-

U“

r)₂ = 0^5 vf—--o*vf

7)₃ = <0*4 v/‘—

-■

to

u²

= 1,0--

= 0,026 «d

= (0,13102, — 0,079 wB)

— 0,316 o_b —•

/'

"hi S

Nach Ermittlung der Einflußlinien für Xa und Xb gestaltet sich die, weitere Untersuchung des vorliegenden Sprengewerks sehr einfach. Man zeichnet zunächst mittels der Formel

Xa (tg ß — tg y) — Xbtgy

SA = Phr

Pb

(X+x,) 2b

die Einflußlinie für SA und findet dann für das Biegungsmoment M des Balkenstückes 0—1 an der Stelle x den Wert

fl/ = SAx — Pc,

K--

fl

I

y—*

Pr\

0,5^-=d

Ovf'

SI

1,0

K-

Fig. 311.

wo P eine links vom Querschnitte und im Abstande c vom Querschnitte ruhende Last bedeutet. Solange die Last P rechts vom Querschnitte liegt, ist M—Sax und die SA-Linie darf als Einflußlinie für fl/, unter Einführung des Multiplikators p. = x, benutzt werden. Es liegt hier dieselbe Aufgabe vor, wie bei der Darstellung der Momente für die Querschnitte der Endöfinung eines Balkens auf mehreren Stützen und es darf deshalb auf die erste Abteilung dieses Bandes, § 13, Nr. 152 verwiesen werden.

Die Querschnitte der Balkenstücke 1—2 und 2—3 werden durch Momente und Längskräfte beansprucht; es sind also die auf die Kernpunkte der Querschnitte bezogenen Momente darzustellen.

zu setzen, wobei man etwa A dx gleich der Feld-

die Summe 2 y

Es handele sich um das Moment M° für einen oberen, im Abstande k₀ von der Balkenachse liegenden Kernpunkt o. Der Querschnitt gehöre dem Balkenstücke 2—3

an. Man findet

M° — M₀ Xb (yb -j- k₀) — (jb -f- k₀)

Mo

— Xb •

- Vb + K

Y on der M₀ : (yb -f- k₀) - Linie wird die Xb - Linie in Abzug gebracht. Der Multiplikator ist p. = yb -J- k₀. M₀ ist das Biegungsmoment für den Querschnitt eines einfachen Balkens von der Spannweite 0—5 = l. Es genügt ein Hinweis auf die ganz ähnliche Darstellung der Angriffsmomente für die Knotenpunkte des Fachwerkbogens mit zwei Gelenken in Abteilung I, § 7, Nr. 84.

Für einen Querschnitt des Balkenstückes 1—2 findet man M°= M₀ — X« (ya + k₀) — Xbyb.

§ 23.

Kette, versteift durcli einen vollwandigen Balken.

113. Wir knüpfen

suchung einer durch einen Fachwerkbalken versteiften Kette an. Biegungsmoment für den Balken ist an der Stelle x (Fig. 312),

M=M₀ — Hy,

wo H den Horizontalzug der Kette bedeutet. Für den Zustand H = — 1 entsteht das Moment M'= y. Ist also 6' die Ordinate der zu den Momenten M' gehörigen Biegungslinie des Balkens, so ist der Einfluß einer Last P — 1 :

an die in Abteilung 1, § 9 durchgeführte Unter-

Das

(1)

(2)

11 =

§'

5'

2S'²~

EF

f M'

₂ dx EJ

ZS'² - T² , EF

dx

EJ

Die Durchbiegungen h' werden nach § 2 der vorliegenden Abteilung ermittelt. Die im Nenner stehende Summe erstreckt sich über die Tragketten, die Rückhaltketten und die Hängestangen. Das Integral bezieht sich auf den Yersteifungsbalken, dessen Querschnitt das Trägheitsmoment J haben möge. Es ist stets zulässig, an die Stelle des Integrales ₂ hdx

weite nehmen darf.

Der Einfluß einer Temperaturänderung ist²)

AM

I)

M'dx

liStS's -j- f S y

ydx

(3)

Et =

2S'²

dx

EJ

2S'²

EF

dx

EJ

h bedeutet die Höhe des Versteifungsbalkens, wärmung des ganzen Tragwerks wird

Bei gleichmäßiger Er-

(4)

B< =

et’SS's

2S'²

dx

EF

EJ

i¹»

ilr

-*4

K"

►//

CC"!

s'

Fig. 312.

s

Wird der Kettenquerschnitt so abgestuft, daß die Spannung c =    -

*    F

in allen Gliedern der Tragkette und der Rückhaltketten gleichgroß ist,

und werden die Längenänderungen der Hängestangen vernachlässigt, so

ist nach Abt. 1, § 9

(5)

2S'²

so

EF ' EFk lx ’

wo Fk den Querschnitt der Kette im Scheitel bedeutet und

¹⁶ _j1__L.iL_i_.il

3 Z? Z? ' Zj

Hinsichtlich der Bezeichnungen wird auf Big. 312 verwiesen.

In der Regel ist es erlaubt, die Kettenlinie als Parabel anzusehen und J unveränderlich anzunehmen. Dann ist

(6) A=l +

rr

sec a.'    w— «ec a.".

Eine in Nr. 104 durchgeführte Untersuchung wird zeigen, daß diese Formel sogar genauere Werte für H liefert als Formel (7).

Da nun die der Last P entsprechende M₀ -Fläche ein Dreieck von

Pab

der Grundlinie l und der Höhe folgt schreiben

und

f y²dx

J EJ

o

8 fl

EJh'— Mp

1 ôEJ „ fl²

8 ’

denn die Werte EJh' sind gleich den zu einer p arab eiförmigen Belastungslinie vom Pfeil f gehörenden Biegungsmomenten. Die Zahlen Op" stehen auf Seite 105*). Gleich. (2) geht über in

„ fl²    1

(Op

11 =

3 EJ

Man erhält

-f — fH-^-lx EFh ' 15 ' EJ

so

(7)

II- (Op

v,

wo

(8)

15 J ~S Fhf² l

Die durch die Gleichung (8) bestimmte Einflußlinie für H darf man nach Abteilung 1, § 9 stets durch eine Parabel von der Pfeilhöhe 31

v ersetzen. Man erhält dann

16 f

(9)

3 Pab

4 fl

v.

ist, so läßt sich (9) auch wie

¹ (10)

CM ! CO

Pab l 2

fl

M₀dx

I ydx o

*) In der letzten Spalte muß es heißen:

„ X*    „ X³ , X    . .    .

o)p =    --2 -ß- -|- -j = 2 cop — iop= wp (1 -f- top)

ferner

zls

, ,, *l³

Statt —•

Der Zähler dieses Ausdruckes ist gleich dem Inhalte der M₀-Fläche, der Nenner gleich dem Inhalte der von der Schlußlinie A 'B" und der Kettenlinie begrenzten Fläche. Hiernach erhält man für eine gleichförmig über eine Strecke c verteilte Belastung pc, mit den in Fig. 313 angegebenen Abmessungen der M₀ - Fläche :

ab l

~T 2

M₀dx = pc

i-H CO

pc2 -c

■'S

V (■*-£)

und

pc

fl

(•»-£)

v.

-5H

■»j

i|

CL-

I¹»

RE²

E3E

z±z

R£1

Fig. 313.

Der Einfluß einer gleichmäßigen Erwärmung ist für eine Ivette gleicher Festigkeit, versteift durch einen Balken mit unveränderlichem Querschnitt

Ht = — zEFkt{ 1—v)*).

Wird der vollwandige Balken durch ein Fachwerk mit parallelen Gurtungen ersetzt und mit Fc der Querschnitt einer Gurtung bezeichnet, so ist zu setzen

(13)

J=2FC

h²

Man erhält, übereinstimmend mit Abt. 1, § 9, Gleich. (8),

(14)

15    F    ²

16    Fk    ² l

so

*) Abt. 1, § 9, Gleich. (12).

Kettenbrücken mit zwei oder drei Öffnungen mit durchgehendem Versteifungsbalken behandeln die §§ 15 u. 16 der Abt. 1. Die Anwendung der dort für fachwerkartige Versteifungsbalken entwickelten Verfahren auf vollwandige Balken bietet keine Schwierigkeit. Die dort verwendeten Biegungslinien werden, statt nach den für das Fach werk aufgestellten Regeln, nunmehr nach § 2 der vorliegenden Abteilung ermittelt. Sodann ist zu beachten, daß die Formel

- ^SiSjc

EF

übergeht in

EF

b / NtN}

h EF

wobei sich die Integrale auf den vollwandigen Balken beziehen. Die für unendlich kleine Feldlängen und Fachwerke mit parallelen Gurtungen abgeleiteten geschlossenen Formeln lassen sich mit Hilfe der Gleich. (13) ohne weiteres für vollwandige Balken verwerten. Wird z. B. bei der in Abt. 1, § 16 untersuchten Kettenbrücke der Versteifungsbalken voll-wandig gebaut, so tritt an die Stelle von Gleichung (4) die Gleichung

*o J

15

(2 fX+fi)--— (24 + 80H

Fk

k³,

und an Stelle von (8):

Xct

s EJts₀

k³

Genauere Untersuchung einer durch einen einfachen Balken versteiften Kette.

114. Elastische Linie, Momente und Querkräfte des Balkens.

Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, den Einfluß der Formänderungen Av/ auf die Beanspruchung des Versteifungsbalkens einer Kette festzustellen und gehen von dem Belastungszustande aus, dem ein spannungsloser Versteifungsbalken AB entspricht. (Abt. 1, § 9, Nr. 98.)

Für diesen Anfangszustand sei der Horizontalzug der Kette Ha und die Spannkraft in irgendeiner Hängestange Za. Denken wir uns den Balken AB mit abwärts gerichteten Kräften Za und dem Gewichte der Kette belastet und die hierdurch hervorgerufenen Biegungsmomente M' bestimmt, so besteht die Beziehung

(1)

M'=Hay.

Nun mögen auf den an der Kette hängenden Balken lotrechte Lasten P gebracht werden. Es wächst Za um Z, Ha um II, y um A y. Der bislang spannungslose Balken wird durch Biegungsmomente

(2)

M— M₀ — M"

beansprucht, wobei M₀ den Einfluß der Lasten P und (— M") den Einfluß der Spannkräfte Z bedeutet. An der Kette greifen außer ihrem Eigengewichte nunmehr Lasten Z-\- Za an und es geht daher Gleichung (1) über in

(8)

äf + M” — (H, + H) (,j + A y).

Aus (1) und (8) folgt

M"= Hy + (.H. + H) ly,

und es geht daher (2) über in

(4)

M= M₀ - Hy— (IIa + II) Ly.

-H

'v ec' \ /

JC-*

<x'f

S’.

CL

(<*>

-*\

¹

Angaben über die Belastung der Domrüstung findet man in Band I (1905),

Seite 513.

²

Vgl. Seite 99.

Aßrnm

rk? (C)

Fig. 314.

Zu dem bisher benutzten Näherungswerte

M= M₀ — Hy

ist der Wert (Ha -(- PL) Ly getreten, der bei weitgespannten, schweren Kettenbrücken infolge des großen Anfangszuges Ha von merkbarem Einflüsse auf die Beanspruchung des Yersteifungsbalkens sein kann.

Wir nehmen die Stützweiten der Kette und des Balkens gleichgroß vernachlässigen die Längenänderungen der Hängestangen, rechnen mit unendlich kleinen Feldlängen und erhalten für die elastische Linie des Balkens die Differentialgleichung d² Ay

an

(5)

EJ

M = — M₀ -f- Hy -f- (Ha    H) A y,

oder, kürzer geschrieben:

Wir berücksichtigen nur Einzellasten und gleichförmig verteilte Lasten, und nehmen an, es weiche die Kettenlinie so wenig von einer Parabel ab, daß es zulässig ist

x (l — x)

(6)

Ti²

d² Ay

dx²

Ay

H + Ha

fix),

wo

(7)

, = J/

EJ

.¥₀

/■(«) = // H

Wird vorausgesetzt, daß /'Qc) eine ganze rationale Funktion ist, so entspricht der Gleichung (6) bei unveränderlichem Querschnitte, also konstantem k, das allgemeine Integral

(8)

(9) A y

H^ÇÏÏ {Cl 6k ~^~C¹e ¹ ~~    — k‘²f"(x) — f'"\x) —

(10) k

Durch zweimaliges Differenzieren von (9) entsteht dAy

dx

H+H. I

Cxek — C₂e ’¹> — k f (x) — k³f"' (x) —

(11) k²

d² Ay

dx²

H+Ha \

[cx e ¹ -j- C₂ e    —- k²f"(x) — kif""(x) — ... j

= Ay-\-

f(x).

H+Ha

Aus (5) und (11) folgt für das Biegungsmoment die Formel:

e h -)- C₂ e ¹ -— k²f" (x)

(13) Q = — ^ j~Ct e¹ — C₂ e ¹ — k³f'"(x) — k⁵f" (x) —.. .J•

(12) M — — H

und für die Querkraft:

setzen¹). Bezeichnet dann ganz allgemein z die gleichförmige Belastung an der Stelle x, so ist

d~y

dx²

zu

f"(x) —

1 d²M0 H dx²

l²

+ 4r-

Die höheren Ableitungen von f{x) werden gleich Null, wir also zur Abkürzung die Bezeichnung

Führen

(14)

-a

V‘

ein, so erhalten wir

(15) A y

M₀

(16)

M=

(17)

^    /    X

- H f C-y 6 Tc —j— Cg ß k -

(+ ék — C₂ e~T^ .

Die Integrationskonstanten Cx, C₂ besitzen auf den Strecken, in welche die Balkenachse durch die Einzellasten und die Stellen, an denen die Größe der gleichförmigen Belastung sich ändert, zerlegt wird, verschiedene Werte. Ist der Balkenquerschnitt sprungweise veränderlich, so sind auch die Längen k und u für die einzelnen Abschnitte verschieden groß. In der Folge beschränken wir uns aber auf den Fall eines unveränderlichen Balkenquerschnitts.

115. Berechnung des Horizontalzuges U. Aus der Gleichung ds² = dx²-\- dy²

folgt für verschwindend kleine Formänderungen

2ds \ds = 2 dx kdx + 2dy kdy.

Es ist also

d(\x) — <2(As)

ds

dx

— <*(Ay)

dy

dx

Die Widerlager nehmen wir starr an.

Dann ist die gegenseitige wagerechte Verschiebung der Endpunkte der Kette gleich Null, und es folgt die Bedingung

(18)

d (As)

ds

dx

d(ky)

dy

dx

Das auf der linken Seite stehende Integral ist über die Tragkette und beide Ankerketten auszudehnen. Es ergibt sich

(19)

j <7(As)

ds

8s

dx

EF

— sec cc-

Wird nun durch entsprechende Abstufung der Querschnitte der Kette dafür gesorgt, daß alle Glieder der Tragkette und der Anker-

ketten die gleiche Beanspruchung a —

F

— erfahren, so ist

(20)

J(As)

= s₀

EFk'

wo Fk den Querschnitt der Kette im Scheitel bedeutet und

16 f2 3 l²

(21)

*o

sec cl

ist. Weiter erhält man durch teilweise Integration:

d(ùnj)

dy

dx

\y

d²i/

dx²

dx.

Das erste Glied ist Null weil A y für x = 0 und x = l verschwindet; das zweite Glied enthält unter dem Integralzeichen den konstanten Wert

d²V dx²

Es geht also (18) über in

EFk t²

(22)

und wegen (15) und (14) in:

s₀l² _ EFh "8 f

(23)

V¹

At/ dx,

dx —

Jr~jIjModx —

k² fz d X

E J

8fk²

Damit haben wir zur Berechnung von H eine transzendente Gleichung erhalten, deren Auflösung nur mittels eines Annährungsverfahrens möglich ist. Wir setzen zur Abkürzung:

(24)

^r/(<V‘+G e >)dx + jïj

0 . 0

zdx

teilen (23) durch

05 : tO

fl und erhalten

(25)

2flH

j M₀ dx — l'-f

3 H+Ha s₀l 3k2 16 EFk f ~^ 2fl

(?

)•

Für den transzendenten Ausdruck 'à' läßt sich ein Näherungswert

angeben.

Bezeichnet zdx die Belastung der Horizontalprojektion des Kettenteilchens ds, so ist die Belastung des Balkenteilchens dx gleich (z — z') dx

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

26

und die Differentialgleichung der elastischen Linie des Balkens kann auch geschrieben werden:

(26)

EJ

d⁴A?/

dxà

z — z.

Nun folgt aber aus (11) 7.4 d dx⁴

wobei zu beachten ist, daß die Dififerentialquotienten von f(x), die höher als von der zweiten Ordnung sind, in dem hier behandelten Falle verschwinden. Setzt man noch EJ = k²(H-\-}-fa), so geht (26) über in

k²

\Cxek-\-C₂e kj — z — /,

folglich ist

k²

zdx = ——

zdx-

Wird nun ein Balken vorausgesetzt, der so steif ist, daß die Kette nur geringe Formänderungen erleidet, so ist z nahezu unveränderlich

• Wir erhalten also für ^ den Näherungswert

^_ s'l _ 8 f

und angenähert H

zl*

Jl

Damit geht (25) in bezug auf die Unbekannte H in eine quadratische Gleichung über, die einen ersten Näherungswert für H liefert. Auf Grund dieses Näherungswertes erfolgt nun die Berechnung der transzendenten Funktion ^ und hierauf kann ein verbesserter Wert für H wiederum mittels der quadratischen Gleichung berechnet werden. Noch kürzer aber verfährt man wie folgt. Man setzt

wo

/--N

(28)

v' =

cd¹

Gvi | CO

3 H-\-Ha    sj    3 k*

V EFlc    ^    2fl

ist. Gleichung (27) unterscheidet sich von der Gleich. (10), Seite 395 nur dadurch, daß an die Stelle von

Oi

(»

(29)

15 J 8~ t\f

so

der Wert v getreten ist. Man wird also zweckmäßig in der Weise Vorgehen, daß man H zuerst in der gewöhnlichen Weise nach Nr. 113 berechnet, den so gefundenen Wert zur Ermittlung von '/ benutzt und nötigenfalls die Berechnung von '/ mit einem verbesserten Werte H

wiederholt. Die folgenden Zahlenrechnungen werden aber zeigen, daß diese Wiederholung nicht nötig ist, weil '/ nur sehr wenig von v abweicht.

EJ

In (28) setzen wir noch H~\-Ha = J s₀

k²

81    1—v

und, aus (29) folgend,

Fhf*

15

Wir erhalten dann

(30)

v-=

1+0,1

1,5

(?

)•

116. Einfluß einer Einzellast. Die Einzellast P zerlegt den Balken in die Abschnitte a und b. Im Abschnitte a zählen wir die x von A, im Abschnitte b von B aus. Wir erhalten dann für den Abschnitt a

(Ci eh ~b C₂

f x    x \

( Cx eh — C₂ e~~ k J,

und für den Abschnitt b

n)

(c^ek — C₂ e k J •

x = 0 muß M = 0 geben. Daher

Ci ~b C₂ — u —    + C₂ .

Nun muß aber sein

und

Folglich:

CO CO

'—'    v^

Mx=a Mx—i)

Qx=za | Qx = b

Cx eT + C₂ e~T — Cx'eT — C₂ ßT = 0,

a    ab    b

C-t 6 k — C₂ ß k ~~I⁻ Cx ß k — C₂ ß fc ⁼⁼ ■

Plc

26*

Wenn man diese beiden Gleichungen einmal zusammenzählt, ein zweites Mal voneinander abzieht und hierauf C₂ — u— Cx und C₂'= u — Cx setzt, so erhält man

Pk

j- ue k

— Cxe k — Cx ek

Pk

2 PL

ue k •

Hieraus ergibt sich, wegen u — —

8 fk²

l² ’

Pk

Cx =

(ei —

8 fk¹ ( l! V

—e~"k

(83)

Pk

(ei —

-A\ e k \

8 fk²

l²

1— e~T

e k — e k

Der zur Berechnung von V erforderliche Wert ^ ist, wegen z = 0, nach Gleich. (24)

i-f(ctei+C₂e-i)

0

IM* -1 )~C₂(e-i-l) + C,'(ef — 1 ) — C,' (e~i — l)J

dx —

k²

^(c/eT-j-G/e-v)

o

dx

Cx-\- C₂ — Cx + C₂ |

(34)

wofür man mit Rücksicht auf Gleich. (32) auch .schreiben darf /    Pk

\    H

Setzt man

(35) C₂ — —

8 fk²

Cx und C₂ —

8 fk²

l²

so erhält man

(36)

2r =

+ 2 (cx + Cx +

8fk²\ 1

) Je

l²

und nach Einführung von Cx und Cx:

ek—e k

) —(ei —e⁻!) — (ei

ek—e * ) J    (e * “H

²)

ek ■—e k

Stehen Tafeln der Hyperbelfunktionen zur Verfügung*), so forme man die vorstehenden Gleichungen mit den abkürzenden Bezeichnungen:

s- a

ft-

Je ’

um in:

(38) Cx

(39) C/ =

Pk ©in ß 211 ~©ïnT Pk ©in a 2H ~©ïnX”

Je²

l*

k²

l²

0-^1)

(40)

©in a -j-- ©in ß

PL

©in X

(41)

= m (1 —(— ©in £ — (£of £) —; 2 (7, ©in £ für Teil a,

XI

= u (1 —(- ©in ç — Uof £) — 2 (7/ ©in £ für Teil &.

ziehungen

Bei der Ausführung dieser Umformungen beachte man die Be

1 (ev — e-% <£of 9 = y (e* + tr*), e~<P = (£of 9 — ©in 9,

=*»T'

Bei der Herleitung von (41) ist (35) zu beachten, u besitzt den Wert

©in 9 =

ev = (£of 9 + ©in 9, Uof 9 — 1

©in 9

k²

l²

Im Angriffspunkte der Last P, d. i. für x — a, geht (41) über in ©in a ©in ß

8 fk²

(l —<£of a + ©ina.£gy).

1    .    f=±»

— **). Querschnitt der Kette im Scheitel: Fk— 0,056 qm. Trägheitsmoment des Querschnitts des Versteifungsbalkens (Parallelträger von 2,5m Höhe mit Fc — 0,030qm Gurtquerschnitt): J— ~ • 2,5 ² • 0,030,

u

(42) M — Pk

©in a

—11

Zahlenbeispiel. Es sei l = 100 m

l — 12,5 m,

s sec ol

*) Die Anmerkung am Fuße der Seite 240 ergänzen wir durch einen Hinweis auf Ligowski, Tafeln der Hyperbelfunktionen und Kreisfunktionen, Berlin 1890, Verlag von Ernst & Sohn.

**) s = Länge, a = Neigungswinkel der Ankerkette, Fig. 314.

weshalb

EJ = 21500000 •

— • 2,5²- 0,030 = 2 015 625 tm².

Es ist also

so

16 f²

ft' sec öl

25

l²

12

= 0,960,

15    Ä®

16    f² l Fk

Die gesamte ständige Belastung sei vor der Versteifung der Kette aufgebracht worden und betrage g = 6 t/m. Daher ist

15    1    25 30

' Ï6'25 ’ 12 ’ 56

24

Ha =

gi²

= gl — 6001.

Gesucht ist der Einfluß einer Last P= 15 t an der Stelle a = 25 m. Die gewöhnliche Berechnung liefert

3 • 15 • 25 • 75

3 Pał)

”4?rv

50•100

v = 16,875 v = 16,2 t.

Wir setzen also 77-j- Ha = 616,2 t, l² _ (77-f Ha)l²

k²

EJ

3,057 116, k² =

EJ

77+ 77«

= 327 1, k = 57,193,

X= — = 1,748 k

! M-

X = 0,437, ß =

0in X = 2,785, 0ina = O,451, 0tnß= 1,720,

= jx = 1,311

0g — = 0,⁷⁰³, Sofa = 1,097 16 fk

l²

= 1,144, p

8fk² _ k²

100

• 32,71

und erhalten nach (40) 15,0

0,451 + 1,720

16,2

2,785

1,144 • 0,703 = 1,0084;

^--v = 0,0084,

und nach (30) v' =-

= 0,956,

1 + 0,1 • 3,057 —-f 1,5 • 8 • 0,327 • 0,0084 77= 16,875'/= 16,1 t (statt 16,2 t).

Im Angriffspunkte von P ergibt sieb nun nach (42)

0,451 • 1,720 2,785

— 16,2 • 32,71 (1 — 1,097 + 0,451 • 0,703) = 122,3tm. Die gewöhnliche Rechnung liefert

M = M₀ — Hy —

M = 15 • 57,193

Pal

Hy

15-25 • 75

16,2 • 9,375 = 129,4 tm.

100

Während also für H die genäherte und die' genauere Rechnung nahezu gleiche Werte gehen, ist der für M nach dem gewöhnlichen Verfahren erhaltene Wert um etwa 5 v. H. zu groß.

rechnung

Liegt P in der Mitte, a = & = -—/, so gibt die gewöhnliche Be-

2

11 =

3 PI

Man erhält:

-------v

16f

= 22,5v = 21,6 t,

H -f- #,= 621,6 t.

©in X = 2,808, ©in = 0,995, ©of-= 1,411

Z    Ł

16 fk

8 fk²

= 3,083907, k² = 3242,6,

= 1,139,

k = 56,944, X = —= 1,756, k

£g™ = 0,705,

32,426,

Sr —

8f

= 0,0053,    v'= 0,968, H= 21,8 t (statt 21,6 t).

An der Angriffsstelle von P ist

M= 15 • 56,944

0,995

2,808

— 21,6 • 32,43 (1 — 1,411 -f 0,995 • 0,705) = 98 tm,

während die gewöhnliche Rechnung das um etwa 7 v. H. größere Moment liefert

Sä

— Hf = 105 tm.

117. Einfluß einer teilweisen gleichmäßigen Belastung. Wird die Strecke a (Fig. 314b) gleichmäßig mit p für die Längeneinheit belastet, die Strecke l mit p\ so ist für die Strecke a:

M= — H

((?! eT -j- C₂ e~T —

H /    *    x\

(43)

( P

u = Vh

l²

■) k²

und für die Strecke b:

(44)

M= — H [Cy'eT + C₂'e~T — u') — (jCye*— C₂ ' e~ A ^

(_£

V H

8f

k\

Beide Gleichungen für M müssen für x = 0, Jlf = 0 liefern, weshalb

—j— C₂ ⁼ u, C* —}— Gg ⁼⁼ u .

(45)

Weiter muß sein

Mx=b

mithin :

Mx=a =

Qx=a    Qx=bi

(46)

a    a

Cy ß * —J— C₂ ß * - U

(47)

C y e tc — C₂e k

b    b

—    Gj ß & -1— C₂ c & ■ ■ ■ w

b    b

—    — ß & -J- C₂ ß * .

Werden diese beiden Gleichungen einmal zusammengezählt, dann voneinander abgezogen, und wird hierbei C₂ = u—C\ und C₂'=u — Cÿ gesetzt, so entsteht:

Aus diesen Gleichungen folgt

<?i =

u— u ( F .__b_\

2--e

—j-⁻ u — u ß *

(48)

“'--(g+«-:)+*

- Aß fc

¹    ßfc - ß fc

Der zur Berechnung von vr erforderliche Wert ’ÜT ist

k²

k²

j (Cy eT + C₂ e~i^ o

b

j (Cy'eT -J- C₂'e~ dx -)

l) — C₂ (e~ k — l) +

l)— C/(e~T— l)} +

i.Cy feT —

+ ą'(«T —

dx —

pa-\~ p b

pa -f- p b

und wegen (47) und (45):

(49)    ^ = y (2C₁+2C₁/—m —m') 4

pa -f- p b

Die Einführung der Hyperbelfunktionen liefert:

(■u — u) ©of ß 4" u'— u (@of X — ©in X)

(50)

Ci =

2 ©in X

(u— u) ©of a 4~ u — u' (©of X — ©in X)

2 ©in X

(1 -j- ©in ç — ©of £) — 2 CY ©in £ für Teil

(51)

= u{ 1 + ©in § — ©of S) — 2 CV©in £ für Teil b.

H

~ 7, p'=0 (Fig. 814 c) ergibt sich

Für den Sonderfall a — b =

aus (49) und (50)

pl

©of X — 1

k ©in X

pl

M + M ■■

wo

7²

)•

(52)

Die Annäherungsrechnung liefert rr_ Pl2'J

16 f '

Mit diesem Werte ergibt sich

4- u = 16 f

k² 1 — v

und

TO

⁴ <T„ W_V T^)—r

Gleichung (30) geht also über in

1+0,1

Beachtet man, daß

&²

12

K>

ft-

CO

Ni

Hu = (p — 8 iT (w — u) — pk² und Hu

l²

ft-

ft-

<M

to

ist, so findet man aus (48) nach Einführung der Hyperbelfunktionen:

i.

+ 2 ©of y — v — (2 — v) (©of X — ©in X)

2 ©in X

— 2 ©of ~~ + (2 — v) + v (©cf X — ©in X)

2 ©in X

(56) M = p( 1 — y) Æ;² (1 —f— ©in £ — ©cf £) — 2 HC₁ ©in£ für Teil a, p ——- A:² (1 + ©in £ — ©of £) — 2 HC\'©in £ für Teil i.

u

(54)    2 HCX = pk²

(55)    2HC₁'=pk²

und hierauf

(57) M =

Zahlenbeispiel. Für die in Nr. 116 untersuchte Brücke sei p = 3 t/m; also nach (52), wegen l = Sf., für Belastung der linken Hälfte der Brücke:

= 150 • 0,960 = 144 t,

H+Ha= 144 -f- 600 = 744 t, EJ = 2015 625,

l²    +

EJ

= 3,6912,    &² =

EJ

= 2709,

k = 52,05,

= 0,961

X = — = 1,921, k

©of X = 3,487, ©in X = 3,341, ©of.+ = 1,498,

u

= 0,745,

v'=

= 0,957.

1+0,1-3,6912

24

+ 12-0,2709 (1 — 2-0,5205-0,745)

24

Es weicht also wieder V nur sehr wenig von v = 0,960 ab.

Wir berechnen noch das Moment in der Mitte der belasteten Strecke.

£ = — = 0,480, ©in £ = 0,499, ©of £ = 1,117,

1 + ©in £ — ©of £ = 0,382.

Gleichung (54) liefert:

2,996 — 0,960 — 1,040 • 0,146

2HC₁ = 3 • 2709 und Gleichung (56):

M= 3 • 0,520 • 2709 • 0,382 — 2291 • 0,499 = 471 tm.

2 • 3,341

= 2291,

Für die Strecke a gilt:

m= — h

(cxeT + C₂e~^ —

(58)

Die angenäherte Rechnung gibt:

pl²

M = ——

16

ff

®v)

16 V 4 /

30000 • 0,280

16

= 525 tm.

Der genauere Wert ist um etwa 10 v. H. kleiner als der Nähe

rungswert.

118. Es möge noch der in Fig. 315 dargestellte Belastungsfall untersucht werden.

-æ-*i

~K

<x't

s‘

kl

■kl

\    nr i

Illlllllllll^lllllillllllllllll!i!ifflllllllllll|............z?/iimiiirniT|j

Cb-+- CL

Fig. 315.

■)

^jr(ciel°—

( P

u = Vh

und für Strecke b :

M — — ff

(59)

<2 = -

ß * —C*2 e * —

f (ct'eT — Ca'<-

u'^

("JL V ff

8f

l²

)&².

Gleichung (58) liefert für æ = 0, Q = 0; daher ist:

cx = c₂ = c.

(61)

Gleichung (59) gibt für x — 0. M= 0, und daraus folgt: C₂'= u — Cx'.

Ferner muß sein:

Ma=a= Mx=b und Qx=a = — Qx=b-,

also:

• (62)

a    a

C₁ eT -f- G₂ é~~h — u

(63)

r Ł    , _ b_ ,

—    e k -j— G₂ e Tc — u

b    b

⁼⁼ — Gj e Jo —J- G₂ ß Jo •

C₁ e Jo — C₂e Jo

Durch Addition und Subtraktion dieser beiden Gleichungen entsteht mit Rücksicht auf (60) und (61):

a    b

Ce k — Gx eT

«    ,    , J> u — u

CeT -)-Cle~~h==--

2

u e Jo.

Daraus folgen:

u e *) + u'

(64)

ß 2 7c —J— ß 2 7c

Ci =

i    i

eiic -f- e~ w

Der Wert ^ ist:

^f(c₁eT + C,e~i)

(fpä,+fs*.)

b    o

|gx (eT — 1 ) — G₂ (e-T — l)| —

Gi (eJo — 1^ — G₂ (e~~T — l^J -f- — (pa p b)

dx —

dx

<N -Sä

und wegen (60) und (61):

(65)

(2 C₁ — u ) -j- — (p a -f- p b).

Nach Einführung der Hyperbelfunktionen erhält" man:

(« — «') ©of ß + u o —--

2 ©of

(66)

Cx =

(u — u) ©in a -j- w'^©of —

— ©in

1:0

2 ©of

tO

— 2 C ©of £

für Teil a

(67)

=■ u (1 —j— ©in h, — ©of £) — 2 C₁' ©in £ für Teil b. Jd

l = 100 m, a — 20 m,

P — o>

Zahlenbeispiel.

b = 30 m,

p = 3 t/m,

V = 0,960,

24

EJ = 2 015 625 trn².

Die Annäherungsrechnung in Nr. 113 gibt für den vorliegenden Fall :

pa

Hfl

(31² — 4a²) v

8 • 20

10000

(3 • 10000 — 4 • 400) • 0,960 = 164 t.

H -j— Ha — 164 —j— 600 — 764 t, 764•10000

l²

k² 2015625

= 3,7904, k² =

2015625

764

= 2638,

Ä = 51,36

k²p

2638 • 3

164

= — 48,256.

k²

= — 26,383,    « = + 21,873,

20

51,36

= 0,389,

30

51,36

= 0,584

1,947

©in

100

51,36 ©ina = 0,399, ©of —=1,513,

-₂ = 0,974, ©of ß = 1,175, = 1,135,

nach (66):

<v=

nach (65):

2 2

=-(— 2 • 9,659 + 26,383) -\--- 3 • 20 = 1,007

51,36 v    ’    ¹    ’    ' ¹    164

— 48,256 • 0,399 — 26,383 (1,513 — 1,135)

2 • 1,513

= — 9,659,

v' =

= 0,963.

1 + 0,1- 3,7904 ₂₄

-f- 1,5 • 8 • 0,2638 (1,007 — 1)

v weicht auch hier nur sehr wenig von v = 0,960 ab.

Das Moment in der Mitte der belasteten Strecke, also in Balkenmitte, ist wegen x = 0 und % = 0:

M = H(u — 2C).

48,256 • 1,175 — 26,383 2 • 1,513

M= 164 (21,873 — 2 • 10,019) = 301 tm.

nach (67)

Nun ist nach (66) C =

= 10,019

folglich

Die Näherungsrechnung gibt:

pa

— (/ — a) H ■ f

³^(₁₀₀ - 20)-

Der genauere Wert ist um 14 v. H. kleiner als der Näherungswert.

164•100

= 350 tm.

VI. Abschnitt.

Parabelförmige Einfhifslinien.

§ 24.

Formeln und Tabellen.

119. Die Einflußlinie A CB, Fig. 316, einer Größe Y sei innerhalb der Strecke AB = u eine Parabel von der Pfeilhöhe z. Auf AB stehe ein Lastzug P₁P₂P₃ ... Pn, dessen Mittelkraft

¹

Will man die genaue Form der Kettenlinie berücksichtigen, so bringe man deren Gleichung auf die Form

y — A -(- Bx -J- Cx² -f- Dx³ -j-was sich stets ohne Schwierigkeit ausführen läßt.

(1)

in den Abständen a und b' von A bzw. B liegen möge. Irgendeine Last P habe

von A den Abstand a

C.

n Pn v

b'

a'

\P,

Pz

«—d—

-fl

c,

■4

JŁ

fl-

IL

Fig. 316.

Dann ist der Einfluß des Lastzuges auf Y:

4:0 ”

(2) Y= 2 Pr{ =

2 Pab

Ą.    M

—g- 2 P (a -j- d) (b'— d). u l

Bezeichnet man das Trägheitsmoment des Lastzuges P₁P₂P₃ ... Pn in bezug auf die Mittelkraft mit

©„ = 2 Pd²

und beachtet man, daß 2Pd = 0 ist, so geht Gleichung (2) über in

(3)

(4)

T(%ab'—Xn).

Dieser Wert wird für den Lastzug P₁P₂P₃ ... Pn am größten, sobald

b'

to §

ist. Man erhält

(5)

WO

(6)

(ł)²

diejenige Einzellast vorstellt, die, in der Mitte der Strecke u angreifend, dieselbe Wirkung Ymax hervorbringt, wie die Lastgruppe P₁P₂P₃ . . . P„.

Die Werte und Xn können ein für allemal berechnet werden.

Bezeichnen

nun

für einen bestimmten Lastzug

bzw. das statische Moment und das Trägheitsmoment der Lastgruppe P₁P₂P₃ . . . Pn, bezogen auf Pn und en den wten Radstand, so findet man aus den bereits bei der Untersuchung der Balkenbrücken benutzten Werten @n die Trägheitsmomente schrittweise mittels der Formel

»i =    0.

(7)

»« »n -1 H“ (©« -1 4“ <$«) en -1

Nach Berechnung von $n erhält man:

(8)

©²

Die nachstehenden Tabellen I bis IV enthalten die Werte und X„ für die in den preußischen Vorschriften für die Berechnung von Eisenbahnbrücken vorgesehenen Lastzüge, ferner die Zuglänge c₁ und den Abstand

(9)

r

Cn =

der Mittelkraft von der Last Pn. Die Achslasten und Radstände zeigt Fig. 317. Die Reihenfolge der Fahrzeuge ist über jeder Tabelle angegeben worden. Bei der Zuganordnung I wurde darauf Rücksicht genommen, daß die Belastung einer Lokomotivachse gesetzt werden soll

= 18t wenn nur 4 Achsen auf der Brücke stehen, = 19 t = 20 t

1 oder 2 Achsen auf der Brücke stehen.

Die Zuganordnung IV kann im Falle einer an das Landwiderlager grenzenden Strecke in Betracht kommen, sobald die erste Lokomotive rückwärts fährt und der Tender die Brücke bereits verlassen hat. Die Gründe, welche dafür sprechen, sich mit der ungünstigen Belastung IV auch dann abzufinden, wenn an die Strecke u eine negative Beitragstrecke stößt, auf der nur der erste Tender steht, sind im I. Bande, § 21, Nr. 99 erörtert worden.

17*    77    17    17    17

13    13    13

13

13*

V-—3,0- -/, 5+ -/, 5-> - /,5+ +-1,5-* <-3,0—Hh-7,5- *-1,5+ -/;5- *1,5+T-l,5+ '-3,0-- *1,5^\I

Lokomotive

Tender

Güterroagen-

Fig. 317.

Mit Hilfe unserer Tafeln läßt sich nun die zu einer gegebenen Strecke u gehörige Last P{ schnell berechnen. Ist z. B. «=32 m, so u

gehört zu — = 16 m bei der Zuganordnung II als nächstgelegener Wert:

z

Cä'— 15,91 m. Diesem entspricht ^3„= 235,    — 20817, n — 15 und

Pt = 235 —

= 153,7 t.

20817 16 2_

Zu cn' = 15,34 m gehört bei derselben Zuganordnung n — 14 und

Pi — 222 —

- 154,3 t.

17332 16-

Die Stellung n — 14 ist also etwas ungünstiger als n— 15. Der Unterschied ist freilich unwesentlich und verschwindet im vorliegenden Falle bei der Abrundung auf ganze Tonnen. Für die Zuganordnung IV erhält man c„,= 15,72 m und

Pi = 222

17495

= 153,7 t.

16²

Die Zuganordnung I liefert ebenfalls ein kleineres P,- als II, weil die der Züge I und II für n = 14 und n— 15 gleichgroß sind, während das zugehörige Trägheitsmoment %„ für I größer ist als für II. Müll’er-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

27

Aus dem gleichen Grunde ist auch die Zugstellung III für n = 14 und n = 15 nicht maßgebend; diese Zugstellung kommt erst von n = 25 an zur Geltung. Zu w = 32m gehört also rund P*—154t.

Die auf diese Weise berechneten Lasten Pt- sind in der Tabelle Y für eine große Reihe von Längen zwischen u — 5 m und u — 300 m zusammengestellt worden. Für die dazwischen liegenden Längen u darf geradlinig eingeschaltet werden. Hierzu dienen die in der dritten Spalte stehenden Werte A P{:u. Die vierte und fünfte Spalte geben Auskunft über die Zugstellungen; sie erleichtern die Nachprüfung der Größen Pi. Von etwa m =40 m an darf Pt mit genügender Genauigkeit durch den linearen Ausdruck

(10)

P,= 2,7 w-f-85

ersetzt werden. Die Werte Pi haben wir in der letzten Spalte angegeben.

I.

Lokomotive, Tender, Lokomotive, Tender, Güterwagen.

Ci

iß Ö)

-SS

tm

tm²

tm²

T—ł CM CO ^ lO

o >o o o i-i co H co

O O l> CM \0 Cd iO l> GO

30

45

85,5

162

255

213,75 567 1147,5

OG CO GO O

GO tO Oi hO O

'üi'Oi'oi'Oi

GM CM

io ooqo

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

oiooioo «3io>nioio I loiooioin

6,51

7,07

7,67

10,70

10,89

11,19

11,56

12,00

15,53

16,09

16,67

18,69

20,66

22,59

24,48

26,34

28,17

29,97

31,76

33,52

CO

Ol

rH t-H HCd’+iO rH rH rH rH

GO

175

192

209

222

235

248

261

274

287

300

313

326

339

352

365

637.5

784.5

951

1509 1 720,5

3    448,5 3 781,5

4134

8    244

9    183 10161 11178 12 234

5 163,75 7 296,75 9 900 20 970 25 814.25

31 331,25 37 597,5 44 689,5 71 493,75 82 338,75

94 212 121 248 152 865 189 297 230 778

277 542 329 823 387 855 451 872 522 108

1017

1    752

2    606 4 820 7 079

9 435 11929 14 594 17 925 21 489

25 301 30 080 35 905 42 853 50 997

60 406 71150 83 295 96 907 112 051

IL

Tender, Lokomotive, Lokomotive, Tender, Güterwagen.

®n

@»

Zn

tm

tm²

tm²

oi ^ co cc i-¹

O i-h'co' l> oT

»O O GO CD t> lQ rH CO

O Ö' 1-TrjT rf

CO CD 07) CD CO H 04 CO }0 t>

vQ iQ

o oToo

r—I i O

-H GO CO H 04 CO

29,25

146,25

1    462,5

2    290,5

CD I>

00 .05 o

iO^O o cT oî co'oTth'

t—I tH tH rH 04

l-i M-

tû O 03 05 O'

90

0(M-^ i—I t—8 H

158

427.5    3 408,75

562.5    4 893,75 6 822

19 962 24 680,25

723

1467 1 678,5

2 606 4 699 6 849

11

12

22,5

13

14

24,0

25,5

30

15

31,5

10,95

11.34 11,80

15.34 15,91

175

192

209

222

235

3    406,5 3 739,5

30 071,25 36 211,5 43 177,5 69 603,75 80 322,75

9105 11505 14 081 17 332 20 817

16

33

17

36

18

19

39

42

20

45

16.50 18,53

20.51 22,44 24,34

21

48

22

23

51

54

24

57

25

60

26,20

28,04

29,85

31,63

33,40

O0i-i^l>0 I CO CD OT> 04 tO rfi CD P- GO O    H 04 CO »O CD

04 04 04 04 CO    CO CO CO CO CO

4 092

8 202 9 141 10119 11136 12 192

92 070 118 854 150 219 186 399 227 628

274 140 326 169 383 949 447 714 517 698

24 552 29 249 34 988 41 847 49 897

59 211 69 856 81 901 95 411 110 452

III.

Tender, Lokomotive, Tender, Lokomotive, Güterwagen.

Cn =

<3»

Sn

tm

tm²

tm²

21

48

22

51

23

54

24

57

25

60

26,07

27,91

29,73

31,52

33,29

313

326

339

352

365

8160 9 099 10 077 11094 12 150

272 250 324 027 381 555 445 068 514 800

59 516 70 064 82 009 95 418 110 355

26

63

•27

66

28

69

29

72

30

75

35,04

36,77

38,50

40.20

41,90

378

391

404

417

430

16    764 18 015

590 985 673 857 763 650 860 598 964 935

126 885 145 070 164 975 186 661 210 190

31

78

32

81

33

84

34

87

35

90

43,78

45,25

46,91

48,57

50,21

24 855

495

1 076 895 1 196 712 1 324 620 1 460 853 1 605 645

235 624 263 024 292 449 323 962 357 623

36

93

37

96

38    ' 99

39

102

40

105

51,85

53,48

55,11

56,73

58,34

508

521

534

547

560

1 759 230

1    921 842

2    093 715 2 275 083 2 466 180

393 491 431 626 472 089 514 939 560 236

41

42

43

44

45

111

CO CD 05 (M »O OC0 05H(M vO »Q iQ CD CD

34 350

36    069

37    827 39 624 41 460

2 667 240

2    878 497

3    100 185 3 332 538 3 575 790

608 038 658 407 711 401 767 078 825 500

46

123

47

126

48

49

129

132

50

135

67,95

69,51

71,09

72,66

74,24

638

651

664

677

690

43 335 45 249 47 202 49 194 51 225

3    830 175

4    095 927 4 373 280 4 662 468 4 963 725

886 723 950 809 1 017 815 1 087 801 1 160 826

51

52

138

141

53

144

54

147

55

150

742

53 295 55 404 57 552 59 739 61 965

5 277 285 5 603 382

5    942 250

6    294 123 6 659 235

1 236 948 1 316 227 1 398 721 1 484 490 1 573 591

56

57

59

60

CO CD OS (M »O »O CD CD

rH H t-H tH t-“<

83,63

85,19

86.75

88,30

89,85

768

781

794

807

820

64 230 66 534 68 877 71252 73 680

7 037 820 7 430 112

7    836 345

8    256 753 8 691 570

1 666 084 1 762 029 1 861 482

1    964 504

2    071 153

61

62

63

64

CO tH ’-H D-

co r- t> i>

H rH rH t—(

65

66

67

183

68

186

69

189

70

192

195

71

72

73

74

75

76

77

78

79

cocototo co co co co f-¹

MPHH ! t—“■ O O O CO

co co ci oo

80

225

81

82

228

83

231

84

234

85

237

240

Cn =

©»

!&n

tm

tm²

tm²

91,40

92,95

94,50

96,05

97,59

99,14

100,68

102,22

103,76

105,30

106,84

108,38

109,91

111,45

112,98

114,51

116,05

117,58

119,11

120,64

122,17

123,70

125,23

126,75

128,28

833

846

859

872

885

898

911

924

937

950

76140 78 639 81177 83 754 86 370

9 141 030    2 181 487

9 605 357    2 295 565

10 084 815    2 413 447

10    579 608    2 535 190

11    089 980    2 660 854

89 025    11 616165    2 790 496

963    102 885    14 492 475    3 500 447

976    105 774    15118 452    3 655 195

989    108 702    15 761 880    3 814 332

1002    111 669    16 422 993    3 977 918

1015    114 675    17 102 025    4146    011

1028

1041

1054

1067

1080

1093

CO 05 (M IO OHCOü t-H t—I t—I tH tH -t-H t—4 tH

CD 00 00 00 GO O CO GO 05

K)K)U)K)tO O* Ol    rf*.

CO CO Oi CO

129,81

131,33

132,86

134,38

135,90

1158

1171

1184

1197

1210

91

92

258

93

261

94

264

95

267

270

137,43 138,95 140 47 142,00 143,52

1223

1236

1249

1262

1275

96

97

98

99

279

100

282

285

145,04

146,56

148.08

149,60

151,12

35 915 400    8 820 698

37    047 852    9 102 753

38    203 605    9 390 661

39    382 893    9 684 481

40    585 950    9 984 271

IV.

Lokomotive, Lokomotive, Tender, Güterwagen.

Cn —

©*

©«

%n

tm

tm²

tni²

O CD GO ^3 02

O lO O >0 o of có~ id cd~ od

H rH rH rH rH

O H CO O O

>ooo >o o

I I x 0Ó 02

(M Ci CO CO O OHCOiOC^ HHHHH

IO >0 IO

COHCiOCO O Ci O CO >o

tH tH rH

GO CO O O

7 267,5 9 792 12 813,75 16 409,25 20 655

1530

H CI CO H »G HHHHH

WHOOOH (M (M (M (M CO

12,54

13,11

13,70

15,72

17,69

183

196

209

222

235

2 295 2 569,5

37 867,5 45 164,25 53 313,75 72 375,75 95 316,75

9 086 11479 14 081 17 495 21800

V.

Pi

A Pi

Last-

Au

zug

Pi

A Pi

Last-

zug

Pi

CD GO -0 02 Cn

CO vO >Q rH rH

cd ctTicTt-Icd'

rtl iO CD CD

O r-l 03 CO HHHHH

02 03 02 03 •’sjT >d i> CD [>• L— O-

lO CO I> GO Ci

tH rH rH rH rH

CD CD CO 00 ~3

I-'-'qo’cd'os'cd

"A. ^q.oco i> i>coc»eo

CO CD io io CO WWHH 03 CO tH CO CO CD

HHHHH

Hi HH HH HH 1—1

HHHHH

OiCüiÜiOi 0< CT' rf** ^ CO

CO GO GO Hl Ci

iOC£H>COO) O 03 ^ CD CO

(MWtMIMOJ co co co co co

h-⁴- H⁴- H^ h-¹LH-*-GO Hl Ci O*    ^OûOûtOCO

CO >jn Ci CO CO CO Ci

4,5

IV

IV

IV

IV

IV

IV

II

C3 o

4,5

4,0

II

II

II

10

11

11

12

13

13

14

15

16

16

to to CO CO CO to ÜT ^ 03 CO l-¹ O

H GO

o o

tH rH

CO GO CM CO H H (M 03 rH rH tH rH

l> tO ‘O H H

K* K- K- t> t>

i—I f—I I—I I—I i—II—I

o o o o o o

rH rI rI H rH tH

O C3 CD CO OOJ^tDCOO iO lO lO »O lO CD

188

195

202

208

214

K)K)K) Co CO to CO Ci O

238

243

248

4,0

3,5

3,5

2,5

2,5

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

II

17

193

17

18

19

19

20

20

21

21

22

198

204

209

215

220

225

231

236

242

22    247

60

62

64

66

68

70

72

74

76

78

CD CD CD CD CD    GO GO GO GO GO

GO Ci ^ to O    GO Ci ^ ce» O

O CM rH CD CO O O O O O

rH rH rH t-H rH

110

112

114

116

118

HHHPH

CO CO CO CO LO CO Ci ^ CO O

O CM rH CD CO CO CO CO CO CO

rH rH t-H rH rH

140

QO CT2 +* rtdOiO (M (M (M

265

270

275

280

285

291

296

H CD H CD (M I>(Ml>-(Mt> O O H rH (M (M CO CO rH rH CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO

352

358

363

368

373

CO rH CD rH Ci CO CO Ci> Ci> CO CO CO CO CO

404

410

vO O » O H (M (M rj< rtf rfl

O îD    H    C    W    P*

CO co    *o    O

rtt rtl    r^H    rtt    rtt    rtt

A Pi

Last

zug

n P*

Pi

A Pi

Am

Last

zug

Pi

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

3,0

2,5

2,5

2,5

2,5

3,0

2,5

2,5

2,5

2,5

3,0

2,5

2,5

2,5

2,5

3,0

2,5

2,5

3,0

2,5

OW^CDCO ! O rH Ht* rH r^ rH I >Q rH rH rH rH rH

H*- H*- H»■ H*- H^

en en en en en

GO Ce hh CO ¹

HH HH hH HH hH

nHHHH

h—< hH HH f—i »-H

H H H H H HHHHH HHHHH

HHHHH HHHHH HH t-H HH H-¹ Hi

HHHHH

HHHHH

HHHHH

III

III

III

ni

III

rH CD CM L'- CO CO CO Ci rH O OOrHrHCM    (M CO CO rH »O

COCOCOCOCO    COCOCOCOCO

CO Ce Ci» O O rH (M (M CO CO (M (M 03 CO CO    COCOCOCOCO

O O C H 1> rH r- CO CO rH

»o d cd i> c- cococeceo

CO CO CO CO CO    CO CO CO CO rH

rH O CD CD O    XCi Ci O

COCOCOCOCO CO CO CO CO rH

41

41

42

42

43

I CM rH CD CO CD CD CD CD CD

rH rH rH rH rH

170

172

174

176

178

180

182

184

186

188

O 03 ^ CO CO O a Oa O a Oa O a tH tH tH rH tH

CC rH O O rH CM rH rH rH

425

431

O (M CD O O O O O

DO LD CO CO H¹ 1—1L H⁴- H⁴-

Ci ^ COO

218

220

457

462

468

473

478

en en en en en    en en en en en    § § ë œ

cd    cx> e^ -<i    io h h Ci o    eno^cD^

564

570

575

581

586

592

r> co go CD O O » O CD CD

614

Ce rH 0 *0 rH H (M CO CO ^ ZO CD CD CD CD

646

652

657

663

668

674

2,5

3,0

2,5

2,5

3,0

2,5

2,5

3,0

2,5

2,5

3,0

2,5

3,0

2,5

2,5

3,0

2,5

3,0

2,5

2,5

3,0

2,5

3,0

2,5

3,0

2,5

3,0

2,5

3,0

2,5

2,5

3,0

2,5

3,0'

2,5

3,0

2,5

3,0

2,5

3,0

III

III

III

III

III

47

47

48

49

49

46:’.

CC ^ Ci CD t> C--+    t*

/

O'

III

III

III

III

III

56

57

58

58

59

en O’ en en H-

en cd ^

560

566

Pi

A Pi

An

Last

zug

P'

Pi

AP,

An

Last

zug

Pi

674

679

2,5

685 !

3,0

O CO

2,5

3,0

2,5

679

684

III

75

690

III 75

695

701

701

707

3,0

713

3,0

718

2,5

724

3,0

706

711

717

722

728

CO DO    CO    LO    DO    LO    CO    DO CO    IO

M M    M    -v3    M    Ci    Ci    Ci Ci    Ci

GD Ci    ^    DO    O    GO    Ci    ►MO    O

785

790

2,5

796

801

807

Ci iO H H CM 04 CO GO GO GO GO CO

3,0

2,5

3,0

3,0

2,5

3,0

2,5

3,0

787

792

798

803

809

729

2,5

3,0

735

3,0

III

740

2,5

III

79

746

3,0

III

80

751

2,5

III

80

III

81

82

2,5

3,0

2,5

3,0

841

846

852

857

863

757

3,0

762

2,5

III

768

3,0

III

82

774

3,0

III

83

o >o

CO CO

O O

779

2,5

III

84

785

3,0

III

III

84

85

-ł—I CO

o- o-

o o-

86

CC GO

l>- l>-

cc to to DO tO LD O CO CO CO CO CO

CD C- OO 00 05 Ol OO GO GO CO OO 00

3,0

2,5

3,0

2,5

3,0

3,0

868

873

879

884

890

895

120. Zwischen zwei Beitragstrecken u', u" (Fig. 318), deren Einflußlinien Parabeln von den Pfeilhöhen z und z" sind, liege eine Beitrag-

uJ

U,”

rv

a,’

s^z'

a"—*

\Z"

b"

b‘

Fig. 318.

strecke von entgegengesetztem Vorzeichen, die so kurz ist, daß die Strecken u, u" durch einen zusammenhängenden Eisenbahnzug belastet werden können, ohne daß die dazwischenliegende Strecke eine Belastung erfährt. Die Mittelkräfte 1)3, und 1)3 " der auf den Strecken u und u" ruhenden Lasten haben voneinander den Abstand v und von den zugehörigen Parabelscheiteln die Abstände s', s". Die Parabelscheitel seien um w voneinander entfernt. Man erhält nach Gleichung (4)

und, wenn man setzt

b"

4z

TW’ab'—r)

4 z"

rvx-sn

a"

(11) Y=z

y's²-fr

(4)²

(4)²

Damit Y ein

wird, muß

sein. Setzt man s" = s w — v, so erhält man

v — iv

(12)

u"²

<ß"

u'²

(13)

Im Palle u — u" — u, z — z"—z gehen (11) und (12) über in y's'²+ y''s"² + Z' + X" ~

Y=z

g CM

(14)

s'— (v — iv)

Es sei z. B. u = u" — 5,65 m und die dazwischen liegende Strecke = 3,70 m, also w = 9,35 m, Fig. 319. Bei der Zuganordnung (a) — Lastzug der preußischen Verordnung — ist v = 9,7 5 m, ferner

<ß" = 68 t

«ß' = 51 *t,

£' + £" = 2 • 17 • 1,5

= 268 tm²

s'= (9,75 — 9,35)

51

119

0,17 m, s" — — 0,23 m

und mit

(i-)’

= 7,98

268 7,98

Die von s und s" abhängigen Glieder dürfen gestrichen werden. Es ist also gleichgültig, ob der Abstand 2k der Vorderachsen der gegeneinander gekehrten Lokomotiven 6 m oder 5,6 m beträgt.

max

Y=z( 119 —

= 85^.

Ermäßigt man die Achslast auf 16 t, den Radstand auf 1,3 m und den Pufferabstand k auf 2,725 m, so entsteht der Belastungsfall (b). Man erhält ó,/=s,,= 0, ‘$,=    = 64 t,

%'= %"= 2 • 16 • 1,3

= 80 • 1,3² = 135,2 tm

und

max

Y= 2z^64

135,2

= 94.0.

7,98

Für den Radstand 1,2 m ergibt sich %' = Z"= 80 • 1,2²= 115,2,

In Fällen der vorliegenden Art hat also der Radstand einen verhältnismäßig großen Einfluß. Kürzere, wenn auch leichtere Lokomotiven können ungünstigere Wirkungen hervorbringen als längere Lokomotiven

max

Y= 99,0.

16L

(b)A

16 I 16

16

16

16 ! 16 16ù

1,3

■3,725 -2,725-* *-1,3 —> t-—j1,3*¹—1,3-

\ 0=5,65^-*■

j_b

-3,7i ?—

10=5, 65K

JV=935m^

1,5 -—1,3 ■*

(&)—*-1,5”^*—1,5 ->>-k.=3,o —Hh—k=3,o

17

17

17

17

17

17*

0=9,75 —

Fig. 319.

von größerem Gewicht. Bleibt man also bei einem Lastenzuge, so rechne man möglichst ungünstig und belaste jede der beiden Strecken für sich so, daß 2Pï] ein Maximum wird, unbekümmert darum, ob die so gefundenen Zugstellungen überhaupt möglich sind. Im vorliegenden Falle wird man, wegen u = u".

max

Y= 2zPi

setzen, wobei allerdings zu beachten ist, daß die in den preußischen Vorschriften für eine nur durch eine, zwei, drei oder vier Achsen belastete Brücke geforderte Erhöhung der Achslast nicht notwendig ist, da ja im ganzen mehr als vier Lasten auf der Brücke stehen. Die für u — 5 m, 6 m

müssen also der Reihe nach mit

7 m angegebenen Werte P{ = 43,3 t, 49,5 t, 55,5 t 17    17    17

19 ’ 18 ’ 18

multipliziert werden.

Man erhält

P{ = 39 t, 47 t, 52 t und

AP,

8 t, 5 t.

Zn u = 5,65 m gehört demnach

P= 39 + 0,65 • 8 = 44 t,

und es ergibt sich

Y= 88 • *.

121. Die in Nr. 119 und 120 gegebenen Formeln und Tabellen sind auch dann noch brauchbar, wenn die Einflußlinie keine genaue Parabel ist. Die Bildung eines Urteils über die zulässige Abweichung von der Parabelform wird oft dadurch erleichtert, daß jede Einfluß-linie als die Momentenlinie eines einfachen Balkens aufgefaßt werden darf. Die Parabel ist die Momentenlinie für gleichförmige volle Belastung. Je weniger also die zu einer Einflußlinie gehörige Belastungsfläche von einem Rechtecke abweicht, ein desto genaueres Ergebnis liefert die Formel Ytnax=Pig, wo g die Pfeilhöhe des Parabelabschnittes bedeutet, der denselben Inhalt besitzt, wie die fragliche Einflußfläche. Wir wählen ein Beispiel, in welchem die Belastungsfläche der Einflußlinie ein Dreieck ist.

Gesucht sei der Widerstand minXa der Endstütze a eines über zwei Öffnungen gestreckten Balkens von unveränderlichem Querschnitte, Fig. 320. Die Ma-Fläche ist ein Dreieck von der Höhe 1 • ^. Man findet

M!dx=2(l₁ + l₂)PP-

Die Gleichung der Xa-Linie ist für die erste Öffnung

EJhaa =

" ^..

und für die zweite Öffnung

'*]2= — »fl • -

Ud ■

max

u\

6'EJbaa h

Ul

(ÙJ)

2 (h -j-1₂)

2 h (h + h)

min

6 EJhaa

Xa entsteht bei ausschließlicher Belastung der Öffnung l₂. Ist lt = 7,0 m,

l₂— 9,0 m, so ergibt sich

ï]₂ = — «d • 0,362

und man findet für die in Fig. 320 a angegebene Zugstellung Xa = YiPr\₂ — — 9,00 t.

Der Inhalt der Einflußfläche ist für die zweite Öffnung, wegen

min

h    h

f Uvdx = J(jj

0    o

dx —

Die Pfeilhöhe der gleichwertigen Parabel beträgt

3 %

2 4

0,136.

16 4 (4 + 4)

Zu 4 = 9 m gehört Pt 66 t. Man erhält demnach

Xa = — Pte = — 66 • 0,136 = 8,98 t,

also fast genau denselben Wert wie oben, trotzdem die Belastungsfläche erheblich yon einem Rechtecke abweicht.

min

l,= 7,Onv-

1^=9,0™-

\B

1.

OC-*

OC'

I _^rrrTTTTI 11 i ! 11 !1 !    1 : '! '• '\rlz ' I ! ! 11111 ! HTT

17*    17

(Cb)

17

17

17*

Wl,26™*~ 1,5 —>i-l,5

-1,5

17*

17

17

17

17

7,3 —* i—1,5 —» <—1,5^-*

(b)

Fig. 320.

Es ist nun die Frage, ob sich auch für rungswert angeben läßt. Die Einflußlinie

maa

X ein einfacher Nähe-

oD • 0,219

"'O.r

liefert für die in Fig. 320b angegebene Zugstellung Xa = 2 P't]i = —J— 44 t.

Setzen wir

— ï]l = Y)',

so erhalten wir

Xa = A₀—^Pr{:

wo A₀ den Widerstand der Endstütze A eines einfachen Balkens AB bedeutet. Die Summe    ersetzen wir durch den einer gleichmäßigen

Belastung p entsprechenden Wert

1 2 (Ji + h) .

oDdx —

o

und wählen p so groß, daß

ist. Dann erhalten wir die Formel

4 (4 + 4) ^

34 + 44

4 (4 + 4)

Im vorliegenden Falle ist 4

An— 85 — = 49 t und

u    7

Yli

X =49

57

64

44 t.

Weitere Beispiele für Balken auf mehreren Stützen findet man

im § 26.

§ 25.

Stabbogen mit darüberliegendem Yersteifungsbalken.

122. Berechnung des größten Horizontalschubes. Der Stabbogen mit darüberliegendem Versteifungsbalken kann als die Umkehrung einer durch einen Balken versteiften Kette angesehen werden. Seine Knotenpunkte mögen in einer Parabel liegen; es sei also

4 fxx

Zur Aufnahme der am Balken angreifenden wagerechten Lasten diene das lotrechte Gleitlager B₀, Big. 321. Vgl. Abteilung 1, § 9, Nr. 104. Die Einflußlinie für den Horizontalschuh H ist eine Parabel von der Pfeilhöhe

(1)

^0 =

16 f

V, wo

(2)

1-f

15 s₀

GO

l Fkf

(3)

*°=1+

f2

Fk bedeutet den Querschnitt des Stabbogens im Scheitel, J das unveränderlich angenommene Trägheitsmoment des Versteifungsbalkens. Ist der Balken ein Fachwerk mit parallelen Gurtungen und h seine

(6)

Eine Erhöhung der Aufstellungstemperatur um t = 45° erzeugt IIt = sEFht (1 — v) = 250 • Fk 45 • 0,02 = 225 Fk.

Im ganzen entsteht:

H= 756 + 225 Fk.

Die Spannung im Scheitelquerschnitte des Bogens beträgt

+ 225.

Höhe, was in dem folgenden Zahlenbeispiele vorausgesetzt werden möge, h²

so darf J=F— gesetzt werden, wo F den Gurtquerschnitt bedeutet.

u

Dann ist

(4)

15 h²

re“ T⁷ i Fk

Es handele sich um eine zweigleisige Eisenbahnbrücke von l — 80 m Spannweite und f =

— 10 m Pfeilhöhe. Balkenhöhe h = 2,0 m. Wir

schätzen F= 0,5 Fk und erhalten

v = 0,98 und z₀ = 1,47.

TT

5'

y\

oc

v\\'V

1 = 80™'-

Fig. 321.

Zu l = 80 m gehört Pi — 301 t; es ist also

Hp= 301 • 1,47 = 442,5 t.

(5)

Das Eigengewicht betrage g = 4 t/m, weshalb

*JLh

Hg

= glv = 313,6 t.

FL 756

Fk Fk

Wird a = 1000 kg/qcm = 10 000 t/qm gestattet, so ist der erforderliche nutzbare Querschnitt Fk — 0,0774 qm und der volle Querschnitt (ohne Abzug der Nietlöcher) etwa Fk — 0,07 74 • 1,09 = 0,0844, weshalb

Ht = 250 • 0,0844 • t • 0,02.

Schwankt t zwischen — 25° und -f- 45°, so liegt Ht zwischen den

Grenzen

Ht = —10,6 und -f- 19 Tonnen.

123. Biegungsmomente    für den Versteifungsbalken,

Fig. 322 und 323. Die Kämpferdrucklinie ist eine wagerechte Gerade in der Höhe

(7)

Vk

40

20

13,605 m.

3 v 3-0,98    1,47

In gleicher Höhe haben wir in den Figuren 322 und 323 die Achse des Versteifungsbalkens, deren Abstand vom Bogen für unsere Untersuchung gleichgültig ist, gezeichnet.

Die Einflußfläche für das Biegungsmoment des Balkenquerschnittes C ist der Unterschied der H-Linie und eines Dreieckes ABC von der Höhe

xx

(8)

'yi

2,0.

Ihr Multiplikator ist y.

Wir rechnen mit einer stetig gekrümmten Achse des Stabbogens. Dann liegen die Nullpunkte E und E' lotrecht unter den Punkten E und E', in denen die Kämpferdrucklinie von den die Kämpfergelenke A und B mit dem Bogenpunkte C verbindenden Geraden geschnitten wird.

In Figur 322 liegen beide Punkte E und E' innerhalb der Spannweite; es sind also zwei negative Beitragstrecken BE = £ und AE' = vorhanden. Der negative Teil der Einflußfläche des Momentes besteht aus zwei Parabelabschnitten von den Pfeilhöhen

(9)

z = z₀

l²

= 1,47

£²

l*

und z = 1,47

r²

Entsprechen den Weiten £ und ç' die Lasten P,-.! und Pi.₂, so ist der Einfluß der Verkehrslast auf

min

M:

min

Mp =

(Pu e + Pu*) y-

Die ständige Belastung erzeugt

(10)

M9 = 9¹y-(l—v),

also für den mten Knotenpunkt des Balkens, wenn X die Feldweite bedeutet :

4 • 25

-—--— • 0,02 • m • m = 1,0 m (16 — m).

X²

M, = g — (1 — v) m ■ m

Der Einfluß der Temperaturerhöhung {t = -|- 45°) ist Mt - — 19«/.

i'

yk=13,605m

W\

!ÿ

-X‘

JB

JE*

rj'

:iz

Ur-tai

^JZsI-Linie    j

E‘Jc

C\

U-OCo—

\e

_*L_-

Fig. 322.

In Figur 323 liegt E' außerhalb der Stützweite. Es ist nur eine negative Beitragstrecke B, vorhanden und man erhält

min

Mp — — Pizy.

JB

E'

!c

Ek

4-

41r

lo

Fig. 323.

Wir berechnen zunächst:

ÄE = xyjL = m\lL ₌

7)1

100

y 1,47

Die folgende Tabelle enthält die Ordinaten ?/, die Strecken AE und l — AE=h,, sowie die in Nr. 124 gebrauchten Strecken

1088,44

(11)

h*

1600

l,47y

Die zu den rechtsseitigen Bogenpunkten 7', 6', ö' gehörigen Strecken £ sind gleich den Strecken ç', die zu den entsprechenden linksseitigen Bogenpunkten 7, 6, 5 gehören. Für die Balkenquerschnitte 6, 7 und 8 sind also je zwei Lastscheiden (E und E') vorhanden.

I.

CD C- CO t> CO >o

oococoococo    oo 03 tf- co

S 'oh’Co’Go'OOo'co 'oh'üh'OCOCO CsS CO-3rfd-Ołfd^J    COOCOdllt-

#-OH^Otf-OH    kfd O ft- ü' ffd

AE

29,02

31,10

33,49

36,28

39,58

43,54

48,37

54,42

62,19

72,56

87,07

50,98

48,90

46,51

43,72

40,42

» O Gt> -t—< CO >C

~Acc cc io to co r- -dH cd

-dH Cd I t—I r-H

36,46    116,10

31,63    110,57

25,58    108,84

17,81

7.44

— 7,07

Tabelle II enthält die den Strecken £ entsprechenden Parabelhöhen z und Lasten Pf, sowie die Momente

min

Mpl M,n Mt und

min

min

Mp -|- Mg + Mt.

II.

Pi

%’

Pi

minMp Mt

Mg

min -17

rd Cd CO -dH lO

t-T oo 'cd' co Ö iO -dH ^ -dH -dH

l> G5 OS

lO iO

P P P P p

“bs

-j co co

OH CD --3

223

217

210

201

189

45

—    312

—    521

—    636 — 116

—    662 — 143

—    609 —163

83

+++++

lOQOOSCOiO tH Cd CO -dH iO

CO CO CO

qn pp

'CTj'Os'üh

COffiH

OfMiO

CO Cd -rd

dod

174

152

128

_ \0 rH cm

ppp o o

• ■ 00 00

58

91

128

—    506 — 178 +60

—    409 - 187 + 63

—    387 — 190 + 64

tm | tm tm tm

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

28

31.. Auf der positiven Beitragstrecke Die an der

124. Biegungsmomente

E'E (Fig. 324) befinde sich eine Lastgruppe P₁P₂ ... Pn.

Stelle C stehende Last sei Pr. Die Mittelkraft der Lastgruppe habe

max

von

A den Abstand a

b'

a"

I«e-

cl'

b'

aA

b"-

*\A

iff

ZK

JT

Fig. 324.

Sind A und B die lotrechten Seitenkräfte der Kämpferwiderstände, so ist das Biegungsmoment M des Balkenquerschnitts C:

Hy — (Sr,

M — Ax

wo

b'

und

(12) H

4 fl

Oß nab'- £„)

ynb'(l-^b') — Xn .

Man erhält

und mit Beachtung der Beziehungen:

und

Ź = l b"=b'—Ź

wo

(14)

un-

um

(13)

kürzer :

— (ç.&T+ay — @r

Um nun zu erkennen, ob die angenommene Laststellung die günstigste ist, rücken wir den Zug um db nach links. Dann wächst (25 — db — {b b ) db. Das Moment der Lasten P₁ . . . Pr in bezug auf den Querschnitt C ändert sich um «ßrdb. Es ergibt sich daher

dM 1

db

muß

Soll die angenommene Zugstellung das größte Moment dM

erzeugen, so

db

negativ sein. Es folgt hieraus die Bedingung

(15)

% . «

- <T -7--TT

^ 6 + b

und ebenso führt die Untersuchung des Einflusses einer Verschiebung des Lastzuges nach rechts zu der Bedingung

(16)

> b'+b"

Gleichung (13) darf auch ersetzt werden durch

(13')

— ($„</*+ £„) — ©,• S

Die Lasten werden dann von rechts nach links fortschreitend mit Px, P₂, . . . Pn bezeichnet. Die Bedingungen (15) und (16) sind zu ersetzen durch

(15')

ft-

(16')

Den Bedingungen (15), (16), (15'), (16') können im allgemeinen verschiedene Laststellungen genügen, deren Wirkungen miteinander zu vergleichen sind.

Für unser Zahlenbeispiel kommen die in den Figuren 325 bis 332 dargestellten Belastungsfälle in Betracht. Die Lage der Mittelkraft iß,, wurde mittels der in den Tabellen I bis IY des § 24 angegebenen Werte c„' bestimmt. Man erhält, mit den vorhin berechneten Werten s, die folgenden Ansätze:

K-

! 123

l₀~29,02™

p-13,70”*—w !

z.o™

kr

5,0™

— b'-ß^zv™

Fig. 325.

max

K-

max

Mpi, Fig. 325.

464,35

b' --1)

209

51

<5,70

464,35

81,42

5,70

209

34

>5,70

(209-66,20- 15,22 + 14 081) — 51 • 1,5 = 407 tm.

1=3110™

-H

£=48,90™-

15,30

^ b"= 10,76

b= 63,66 m-

Fig. 326.

max

Mpi, Fig. 326.

248,79

b'+b”    78,42

= 3,17

222

81

<3,17

222

64

>3,17

248,79

(222-63,66-14,76-f 17 332) — 51-3 —13-9 = 638 tm.

3,0™

Aj

!/ Z3

ii

15,0™-

max

l₀= 33,99

771'

13

9,99 ^

If

3' I

0=16,79™-^

0=63,30™

Fig. 327.

J3

Mp3, Fig. 327.

178,61

b’+

80,09

2,23

209

◄-«K -

?7

107

< 2,23

?..

209

90

>2,23

max

178,61

(209 • 63,30 • 16,79 + 14081) — 562,5 = 760 tm.

K-

-l₀=3628™-

-M

16.50m—H

, 0.5*n

-*)K

ll7 23

\ i.78™

£=03, 72™-

«H— t" 19.28™-

B\

b= 63,00™

20™

16,28™-

Fig. 328.

max

Mp4, Fig. 328.

145,13

b'-f b"    82,28

1,764

■<-C

?..

248

?.

141

= 1,757 < 1,764

?..

248

124

>1,764

(248 • 63,00 • 19,28 + 24552) — 1467 = 778 tm.

•*

l₀=39,58™-

32 1

Il r

-H

\E

!*■

a"=ze,6om' — 25™ -

-f

-J»-7658™-

Fig. 329.

max

Mp5, Fig.-329.

126,65

a -f- a"

46,13

2,75*)

?»

261

107

<2,75

$.7

261

90

> 2,75

max

Mp ₅

126,65

(261 • 19,53 • 26,60 + 29249) — 562,5 = 739 tm.

L₀=36,w —

1,56

H)

!/ 23

1,5* ■

->U-

ir

£,=36,66™-

r-

30, Q7tv

-16,50TTV-l-b"-I8/06m/-^\

£-56,50™-

■*)

Fig. 330.

116,10 b'-\-b" ~    72,54

1,60

$1.

248

$10

158

<1,60

248

$o

141

rr > 1,60

max

<6

116,10

(248 • 54,50 • 18,04 + 24552) — 1678,5 = 633 tm.

*) Hier wurden die Gleichung (13') und die Bedingungen (15'), (16') benutzt.

A\

[max^p 7

ma t

£'=17ß7 HZ--*-

lo=30,56Trï-

lt,37™

—

E‘

LZ

II

£=31,63™

■*(

W-j-13,70™—»J

b""¹⁵'⁰⁷™'—*

~b-w,70m-

17,19™-

■4* 13,37*™-—H

Fig. 331.

Mp7, Fig- 331.

6'+ b

77“ -

110,57

61,77

= 1,79

209

^7

119

< 1,79

Sßl.

209

102

> 1,79

110,57

(209 • 46,70 • 15,07 + 14081) — 918 = 540 tm.

£=25,53™

-»K-

! 1 23

4=28,89™

2,92™

0,9.

s£m\

j"^ jix

!»

llfr

' ’ - - ^ 1

£=25,58™-

13,70 « ~b'Ll6,12™

19,92™—»4

Fig. 332.

rsFÊ

b-tiiEo™

max

Mp8, Fig. 332.

b'+b"

108,84

57,82

= 1,88

$1.

209

119

<1,88

$1.

209

102

>1,88.

Mps

(209 • 41,70 • 16,12 + 14081) — 918 = 502 tm.

108,84

Zu den Momenten sowie die infolge der Temperaturänderung t —    25 entstehenden

max

Mp treten noch die vorhin berechneten Mg

Momente

Mt — -{- 10,6 y.

Die Ergebnisse dieser Rechnung sind in der Tabelle III zusammengestellt worden.

III.

oo-3 oj on ^ ca ta h

Die Momente

^    U’COOCOOÏCOCXM rj

il    OCQCOt^COCO^O I ö

|    I> I> ^ lO iO •+J

‘B

d~    02 02 02 Cu tM02 Kl K

P    lii-OJOOKXCDOOOt    iS

mar

25

46

65

80

91

99

104

106

447 224 712 356 864 432 906 453 885 443 792 396 707 354 672 336

236

375

455

tm tm

qcm

max

Die zugehörigen Gurtkräfte S = —

h

querschnitte F

M sind durchweg größer als die Momente M M

2,0

und die erforderlichen Gurt-

S

—qcm sind in den beiden .letzten Spalten angegeben

U ; U 0

worden. Der Mittelwert von F ist 394 qcm, weshalb F : Fk = 394 : 774 = 0,51, was mit der Schätzung F:Fk = 0,b gut übereinstimmt. Der Wert v = 0,98, braucht also nicht geändert zu werden.

Wir geben noch ein zweites Verfahren zur Berechnung der Momente Mp an. Den Zeiger p lassen wir zunächst fort. Der positive Teil der Einflußfläche für M (Fig. 322) ist gleich dem Unterschiede des Dreiecks ECE' und des Parabelabschnittes EC'E'. Man kann schreiben:

M= y'StP’i] — 2/2 Prf,

wobei sich das erste Glied auf die Dreieckfläche, das zweite auf den Parabelabschnitt beziehen mögen. Das erste Glied stimmt überein mit dem Biegungsmomente Moc des Querschnittes C eines einfachen Balkens von der Stützweite l₀ = E'E. Das zweite Glied möge unter der Annahme berechnet werden, daß die Strecke E'E eine gleichförmige Belastung p trägt, welche der Bedingung

pll

mm

Mo

M₀ das größte Biegungsmoment für einen Balken von der

ma i

genügt, wo

Spannweite l₀ infolge der Verkehrslast bedeutet. Ist dann $ der Inhalt des Parabelabschnittes EC'E', so ergibt sich

Moc—py%

ma i

M₀-

8tj%

Mqc an der Stelle C und dem Momente M₀ besteht nach Band I, Anhang Seite 551, mit genügender Annäherung die Beziehung

Zwischen dem Momente

(17)

mar

M₀ c

x₀ (2 d — x₀)

max

Mo

wo d — 0,44 l₀ ist. Unter x₀ ist der kleinere der beiden Abstände E C und CE zu verstehen. Mit der abkürzenden Bezeichnung

(18)

x₀ (0,88 l₀—x₀)

(0,44 l₀)²

ergibt sich dann

(19)

Mo (t

)•

Der Inhalt der LT-Fläche ist

mithin

und

(20)

* ₌A 1L

3    16f

vd

lb

.. •

mm

M„ (t

l²

lf

)•

Nun verhält sich aber

lo

y* — y.

Es ist also

y,

yl o

und man findet schließlich

(21)

maa

m₀(j—

OS ifk

+H

für den Fall, daß beide Punkte E und E' Liegt E' links von A

Gleichung (21) gilt nur innerhalb der Stützweite AB liegen, Fig. 322. (Fig. 323), so ist

Vh x —

x4 f

und es entsteht die noch einfachere Formel

(22)

,M =

max

Mo (t —

Die Tabelle A enthält die Momente

M₀ für den Lastzug der preußischen Bestimmungen und für verschiedene Stützweiten l₀. Die

Tabelle B gibt die den Zahlen

entsprechenden Werte y an. Sobald

0,44 wird, ist y = 1 zu setzen.

Tabelle A.

h Mo

max

A Mo

max

lo Mo

max

I A Mo

max

A lo

lo

M₀

max

A Mo

max

A lo

Hl

tm

tm

tm

'ao'05'A'co'o

O CM -et* CD 00

c4 c4 ob cA

CD 00 -3 05_Ü*    J5* jfxpo 00 03»

O ~b*'o'b*'co~ö

O H (M CO ^ »O

tH tH tH rH tH t—I

CO CO H H K    H    h-*

^ co cd -3 o*    od    KCD-ao>^    oi co co )-» m-    i—l i—l __l i_l ,_>.

ocr CD CO rc    p*    rf-ci os r;i co    o*coj-»a>C5    o*ucoho    cd    go —3    05 o*

CO' C5 -3 tf» t-*    CO    00*^0^    050*05-300    O k'ooo    ©    © ©    o o

00*0 0*    03 O H* 05 CO    1-» 05 o o o    00088

CD CD O* O* O* Cu 0*010*0*

SÊ g 8888 8 8888

CO CO CO CO CO CO COCOM-I-* I-* I-i H*

** rppf- a* wco cd

CD 03 W W tO K) CO I-* OD CO CO O0~"

243,9

270,0

297.8 327,0

359.8

394,0

469,0

550,5

632,0

728,2

832,3

939,2

1050

1165

1286

1416

1552

1689

1832

1976

2123

2273

2423

2577

2737

2900

26,1

27,8

29,2

32,8

34,2

37,5

40,8

40,8

48,1

52,1

53,5

55,4

57,5

60,5

65,0

68,0

68,5

71,5

72,0

73,5

75,0

75,0

77,0

80,0

81,5

2    900

3    063 3 232 3 402 3 575

3 751

3    927

4    109 4 295 4 484

4 674

4    868

5    063 5 263 5 464

O^CDOiCOO CO t'* CO O (M IO

lOOCDCDCO

050C0 05

81,5

84,5

85,0

86,5

88,0

88,0

91,0

93,0

94,5

95,0

97,0

97,5

100

101

103

104

107

107

109

110

118

126

134

144

155

Tabelle B.

x₀

A Y*)

<1

x₀

<1

o-|o«

0,00 0,0000

0,01    0,0449

0,02 0,0888 0,03    0,1317

0,04    0,1736

0,05    0,2144

0,06    0,2541

0,07    0,2929

0,08    0,3306

0,09    0,3673

0,10    0,4029

0,11    0,4375

0,12    0,4711

0,13    0,5036

0,14    0,5351

0,15    0,5656

4,49

0,15

4,39

4,29

4,18

4,08

3,98

3,87

3,77

3,67

3,56

3,46

3,36

3,25

3,15

3,05

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,5656

0,5950

0,6235

0,6508

0.6772

0,7025

0,7268

0,7500

0,7722

0,7934

0,8135

0,8326

0,8507

0,8678

0,8838

0,8988

2,94

0,30

2,84

2,74

2,63

2,53

2,43

2,32

2,22

2,12

2,01

1,91

1,81

1,70

1,60

1.50

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,8988

0,9127

0,9256

0,9375

0,9483

0,9582

0,9669

0,9747

0,9814

0,9871

0,9917

0,9954

0,9979

0,9995

1.0000

1,39

1,29

1,19

1,08

0,98

0,88

0,77

0,67

0.57

0,46

0,36

0,26

0.16

0,05

Die Tabellen A und B sind zur größeren Bequemlichkeit des Lesers aus Band I hierher übernommen worden. Tabelle B wurde erweitert.

In unserem Zahlenbeispiele gilt für m = 1 bis m — 5 wegen l = 16 \ und f= 10 m die aus (22) folgende Formel:

M - M

maxluO

und für m = 6, 7, 8 die aus (21) folgende Formel

max -1A

(? —y+ 0,098y)-

Werte

Es ergeben sich die in der nachstehenden Tabelle zusammengestellten Mp, deren Abweichungen von den früher gefundenen, praktisch genommen, belanglos sind. Der große Vorzug dieses zweiten Verfahrens besteht wohl darin, daß man von der vergleichenden Untersuchung verschiedener Laststellungen enthoben ist.

*) Die Werte

Ay

A^o

wurden aus den auf 6 Dezimalstellen berechneten y

ermittelt.

T₀

IV.

12.

yr vorhin Unter-

maa

Mp schied

CP 4- CO CO ^

29,02

31,10

33,49

36,28

39,58

781    5,0

891 10,0 1022 15.0 1182 16,28 1389 14,58

AA

03 (>J

m -h ■<# «o

-I-H CO -rt* ^ CO

Ö'dÖG cT

O t-¹ J—¹ o o

oTdLo os -JOOtOK) MOOCOCC

CD H O

CO >0 CD iC iO I> O CD i O

ö'd'd'ö'o'

O CD

CS -<1 CO <100 05

CS 4— CO O GO -G

760

788

772

778

739

iO^a^a^co^co »rf cT r-T

Y-f + 0,098 y

00 -J <35

36,10

30,56

28.84

1171

862

772

13,54

13,37

14,42

0,375

0.438

>0,44

h-¹ (-*• O

o oœ

O O -1 O O 00

COhO CD CO »O O CD CD

odo

cp cp cs O 4^ Cp CO 4- CD

cp cp cs o ^ co

CO O CO

^4'CD

125. Die Querkräfte

Q des Versteifungsbalkens. Bedeutet Q₀ die Querkraft für ein Feld eines nur auf zwei Stützen A und B ruhenden Balkens, so ist die Querkraft für dasselbe Feld des Versteifungsbalkens AB:

max

(23)

Q = Qo — H tg a

wo aOT der Neigungswinkel der zu dem fraglichen Felde gehörigen Seite des Stabbogens ist. Die EinfluMäche für die Querkraft des mten Feldes zeigt Fig. 333. Der Multiplikator ist jjl = tg <xm. Der Nullpunkt E ist bestimmt durch den Schnittpunkt E der Kämpferdrucklinie mit der zum Stabe (m—1) — m parallelen Geraden AE. Die Abszissen des Punktes E sind

■ und £ = l — s. tg am

Q zu erzeugen, schieben wir einen Lastzug von B aus bis in das fragliche Feld hinein und lassen die Strecke EB wenn möglich unbelastet. Wir erhalten, wenn P' den auf den Knotenpunkt (m — 1) entfallenden Druck bezeichnet

(24)

Um

ferner nach Gleich. (12)

Aa

mithin

s' l

(<P .ah'—ZJ — P'

und, wenn wir s—a=b" setzen,

(25)

^r(tt.&'ó"+SŁ0 —P'.

s'l

Da nun P'

<&r

ist, so kann man hierfür auch schreiben

Q\

s'l

b"-

,₂, j

\7V

A\

777 /

777

Ç^m

in

‘A

m-j

.i__j.

■ü ~

H-

.S*'

Lz

QrnFUich(>

S*-

Fig. 333.

und findet durch Vergleichung dieser Formel mit der Formel (13) ohne weiteres, daß die ungünstigste Laststellung den Bedingungen genügen muß

43,

b'+b'

yJL_>

V+r

Für unser Zahlenbeispiel ergibt sich:

s'l

t§

03 CO    <X> t> GO

0,4062

0,3438

0,2812

0,2188

0,1562

0,0938

0,0312

2    679 3166

3    870

4    974 6 968

11603 34 885

2    321    145,04

6 977    436,06

46,51

40,43

31,62

17,82

7,10

—    65,04

—    356,06

Feld 1 haben wir in dieser Zusammenstellung fortgelassen, weil sich Qx aus Ml mittels der Gleichung

Q₁\ = M₁

berechnen läßt.

Wir beschränken uns auf die Untersuchung der Felder 4, 7

und 8.

S'= 48,38™

20,0™

28,38™

è>=37/627⁷¹'

7,38™

—>TK-/'/

> ft' jîft 76,97™

■>1

b=7ł8,53Tn'

Fig. 334.

Für Feld 4 ist nach Fig. 334

774

6' +ft"    65,44

11,83

P'= 17

1,5

5,0

5,1 t

$.4

222

34

< 11,83

$14

222

17

13,1 > 11,83

Qip

3870

(222 • 16,91 • 48,53 -f 17 925) — 5,1 = 46,6 t.

35 m

-ne-

lf.₃TTV

'f

0=20,98™-*k 6S,ofâ

- 0=91,02 ™-->|

Fig. 335.

Für Feld 7 ist nach Fig. 335

19,8

2321

b'-f b"    117,00

Qip —

11 603

94)7rt/

300

17

17,6 < 19,8

(300 • 25,98 • 91,02 -j- 50997) = 65,5 t.

-*K-

Z.5m,\

Sv ¹

k-

Ui

LZ?

l'=23,76™--+j

Fig. 336.

Feld 8, Fig. 336.    b"= b'— | = 23,16 -f 356,06 = 379,22

— =17,3

6977

b' + b" _ 402,38

%s 274

--:- = -

17

= 16,1 < 17,3

man

(274 • 23,16 • 379,22 + 35 905) = 70 t.

Qsp

Die Querkräfte infolge der ständigen Belastung erhält man, indem die Querkräfte Q0g eines einfachen Balkens mit (1 — v) multipliziert.

34885

Bedeutet also x" den nach links positiv gezählten Abstand der Feldmitte von der Trägermitte, so ist

Qg — gx" (1 — v) — 4,0 x" 0,02 = 0,08 x'\

und für die Felder

Qg = 0,21    0,6 t 1,0 t 1,4 t 1,8 t 2,2 t 2,6 t 3,0 t.

Temperaturänderung erzeugt

Qt = —Ht tg arn.

Q tritt mithin

mc :

Zu den von den Lasten herrührenden Querkräften der einer Abkühlung um 25° entsprechende Wert

Qt = Jr 10,6 tg <xm.

126. Die Querkräfte minQ des Versteifungsbalkens. Liegt E innerhalb der Stützweite, so ist rechts vom fraglichen Felde eine negative Beitragstrecke EB vorhanden. Die zugehörige Einflußfläche ist ein Parabelabschnitt von der Pfeilhöhe und man erhält, da die Einflußfläche den Multiplikator tg am besitzt, für den Einfluß der Belastung der Strecke EB den Wert

Qs = tg • PiZ.

So ergibt sich z. B. für das Feld 4:

§ = -f-31,62 m, *=1,47-^= 0,230, P= 152,

min

Qip = — 0,281 • 152 • 0,230 = — 9,8 t.

Um den Einfluß der Lasten links vom fraglichen Felde zu erhalten, schieben wir den Lastzug von A aus bis in das fragliche Feld vor, Fig. 337, bezeichnen die Belastung des Knotens m mit P' und finden

B = %\

h»

GUT— SCO,

S„) + P'-

X\a

s'l

Wird b' = l — a' gesetzt und die Bezeichnung eingeführt a" = s' -f- l — a,

>so entsteht:

s'l

(Xnaa"— ZH) — P'-

TL

A\

rn-r

TTL

m-r

b'

iE

y*

k-

S'

Fig. 337.

Die Strecke à' könnte man auch nach Fig. 338 als den Abstand der Mittelkraft < von einem Punkte E' deuten, in welchem die JKämpfer-drucklinie von einer durch B zum Stabe (m — 1) — m gezogenen Parallelen geschnitten wird. Die Bedingungen, denen die Laststellung zu genügen hat, lauten

r cc'\]

S I V.

-A i

->

-1

S'

CL"

E'

tX-L

\CC-rrv

Fig. 338.

Für Feld 4 ist nach Fig. 339:

a" — 48,38 + 80 — 10,67 = 117,71 m

S\

774

”77

107,04

= 7,23

124

34

<7,23

<-Ws

^8

124

17

= 7,29

7,23

tninQip

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

3870

(124 • 10,67 • 117,71 — 2606) — 5,1 = 34,5 t.

29

JB

Qip = — 34,5 — 9,8 = — 44 t.

Qp treten noch die oben angegebenen Qg und die einer Temperaturerhöhung um 45° entsprechenden Qt — —19’tgam.

Zu den

min

min

Im ganzen entsteht also

K-

- 75,0 -

hu

Fig. 339.

§ 26.

Benutzung der Tabellen für parabelförmige Einflußlinien bei der Berechnung mehrfach gestützter Balken.

127. Einfluß der vollen Belastung einer einzelnen Öffnung.

Die folgenden Untersuchungen beschäftigen sich mit Balken von unveränderlichem Querschnitte auf starren Stützen. In der Öffnung lr sind die Gleichungen der Einflußlinien der Stützenmomente il/,. , und Mr nach Seite 117:

(1) Mr

(2)

ur «d -j- 3 vraE (x von r aus gezählt),

Mr = — u,'-|- 3 vr (x von r — 1 aus gezählt). /    ₇ ar

VI y    I r

-1

ar

c,r

Cr

Vr —

arnr

<r

Wenn sich auch diese Linien schnell berechnen lassen, so ist doch das Ausprobieren der ungünstigsten Zugstellungen namentlich bei größeren Stützweiten eine etwas umständliche Arbeit, w'eshalb weitere Vereinfachungen erwünscht sind. Die Belastungsfläche, deren Seillinie die M₀-Linie ist, weicht zwar erheblich vom Rechteck ah — sie hat die Form der in Fig. 340 schraffierten Fläche —*). Trotzdem wird sich zeigen, daß die Formel Ymax = auch hier brauchbare Ergebnisse liefert.

Zunächst möge gezeigt werden, wie man die Tabellen des § 24 zur Auffindung der gefährlichsten Laststellung benutzen kann, wenn mit

*) Diese Fläche wird Belastungsfläche, sobald man die Höhen mit

dividiert.

6"

ll

den Formeln (1) und (2) gerechnet werden soll. Es handele sich um Mr.

Auf ruhe eine Lastgruppe P₁ P₂ . . . P„, deren Mittelkraft von (j--1)

den Abstand e hat. Es entsteht

(3) Mr

n / /v.

= SPtj=.— Wr'2P (-f

i ^ lr

x“

)•

ar—*

uj /

IL

Vr

Xr\

-I--

s—

■I

br

K-

OC

r-i

>vir-

r~IJc

Zé*te

Prv

r- 7

e'-H

Fig. 340.

Soll (— Jfr) den größten Wert annehmen, so muß

(4) —ur'ÜP (l —

8^) + 8rr2p(l

m x \

_₂_)=°

sein. Dividiert man diese Gleichung mit utyn und beachtet man nach Seite 117, Gleich. (11) u. (14): —-

daß

— ist, setzt man ferner

Vr

Ir

^Px = ^ne

2Px²=Zn + y„e\

29*

so geht Gleichung (4) über in

1 + « (f7⁺ö+⁸+(

-)

= 0,

und es ergibt sich mit lr — a,. = br:

(5)

e — a,. -f-

hi

— a,.br

Zn

Ganz ebenso findet man für die das Moment (— My_x) zu einem Maximum machende Zugstellung die Bedingung

(6)

6--Qr j ~

|/|

Zahlenbeispiel. Ein auf 7 Stützen ruhender Balken habe die Spannweiten 30 m, 42 m, 50 m, 50 m, 42 m, 30 m. Gesucht ist das größte Stützenmoment (— M₂) infolge Belastung der dritten Öffnung. Man findet für diese Öffnung a₃' = 10,62 m, b₃ = 39,38 m, also

/= 10,62 + j

10,62 • 39,38

zn

%\

10,62 +

415,12

Zn

Wählen wir die Zuganordnung II (Tabelle, Seite 419) und so ist Zn — 49 897, ^„ = 300;

von Pn den Abstand 24,34 m; es ergibt sich also die in Pig. 341 gezeichnete Laststellung. Ihr entspricht

Zf2 —

= 20,

man erhält e = 26,40 m. Nun hat

.SPt] = — 983,4 tm¹).

Es wurden noch andere Laststellungen untersucht, die aber ein kleineres (— M₂) ergaben. Aus dem berechneten Mr kann man den Einfluß der Belastung der dritten Öffnung auf die Momente und Querkräfte der beiden ersten Öffnungen verfolgen.

Wir nehmen die allgemeine Untersuchung wieder auf und ersetzen die Mr - Linie durch eine Parabel, deren Pfeilhöhe z wir einmal gleich Tlmax wählen wollen, ein zweites Mal so, 'daß die ff/,.-Fläche und der Parabelabschnitt inhaltsgleich sind.

abgerundet.

Die Ordinate r\max liegt bei

(7)

x = ar

— arbr

was man sofort erkennt, wenn man die Gleichung (5) auf eine Einzellast anwendet. Für diese ist nämlich %n = 0. Es genügt nun, in (7) die runden Werte ar — 0,2 lr, br — 0,8 lr einzusetzen. Dann ergibt sich x=Qfi2l und, absolut genommen,

(8)

z = 0,38 Ur — 0,72 vr-

Der Inhalt der (— Mr) - Fläche ist

(9)

2vr) lr.

50™

17*

17*

13*    13*

13*

7Î1/ i

—— 73*    !    ]

■ć*n

i*-

2*7,3^^

Fig. 341.

Werden also die Mr-Fläche und der Parabelabschnitt inhaltsgleich gemacht, so folgt

(10)

OO 03

(■ur'— 2vr) — 0,375 Ur — 0,750 vr.

Ersetzt man in den Gleichungen (8), (9), (10) nr durch ur) so gelten sie für die Mr-\-Linie der Öffnung lr.

einander ab.

Die Ergebnisse der Formeln (8) und (10) weichen nur wenig von-Immerhin ist zu bedenken, daß die Werte z bei längeren Öffnungen mit großen Zahlen P{ multipliziert werden.

Wird nur eine einzelne Öffnung belastet, so empfiehlt es sich, mit

dem größeren #, also mit Gleich. (8) zu rechnen.

In unserem Zahlenbeispiele ist für die dritte Öffnung u₃ = 20,05 m, Gleich. (8) liefert ss = — 4,552. Zu l = 50m gehört

r₃ = 4,26 m.

Pi = 220 t; folglich ist

— Mt = 220 • 4,552 = 1001 tm.

Die Einflußlinie lieferte 983 tm; die Abweichung beträgt nur

1,8 v. H.

Einen Ausnahmefall bildet die erste Öffnung, Fig. 342. Hier ist

a₁ — 0 und vx — 0. Die Ordinate 7] Stütze 0. Man erhält

liegt im Abstande x =

1/3

von

oc

g — 0,385 ux bzw. z = 0,375 ux ,

■?

Rj\

U-

oc

CLj

Fig. 342.

Bei gleichweiten Öffnungen hängen z und fÇ nur von der Stützweite l und der Anzahl der Öffnungen ab. Für 5 Öffnungen ist z. B. (s. Seite 203):

x₂= 4

15

X4 =

209 *

56

a₃ =

b₂ — - l—b± j

h=

CO cn CO

l — as ,

l — b₃ ,

15

a₄=

71

K=

CO

l = a₂\

«5 =

56

265

l=ax

b₂ -,

209

265

l—bi

Cl =

209

265

C2

209

5-71

11

ux —

56

209

u₂-

71

209

u₂ —

75

76

. 209

u₃ — u₃

209

v2 =

15

209

v₃ =

co

209

*) Aul Seite 203 steht versehentlich x₅

224

56

mithin

Mx - Linie '

K-

M₂ - Linie

erste Öffnung Ą- = 0,10 316 (0,10 048),    = 0,06 699

zweite Öffnung — = 0,07 742 (0,07 356), % = 0,04 904/²

erste Öffnung —

0,08469 (0,08074), g = 0,05383 l2 zweite Öffnung — = 0,08 306 (0,07 895),    $ = 0,05 263 l².

Die eingeklammerten Zahlen gelten für die den M- Flächen inhaltsgleichen Parahelabschnitte.

128. Stützenmoment M.r infolge voller Belastung der beiden Öffnungen lr—i und lr.

Erstes Beispiel. Für den bereits in Nr. 127 behandelten Balken mit den Stützweiten 30 m, 42 m, 50 m, 50 m, 42 m, 30 m sei M₂ infolge Belastung der Öffnungen l₂ und l₃ gesucht. Nach der preußischen Vor-

l₃ - SO™---

-4-

17t

17t

13*

13*

ist ₇₃t

«-9tS™-Ą

ISS\

IW

' 6l‘S

3,14

Z#8\

FF

1.6S\

ąą

■'f

ist

Fig. 343.

Schrift sind Güterwagen nur an der einen Seite der beiden Lokomotiven anzunehmen. Die Güterwagen werden über die Öffnung l₂= à2 m gestellt, die Lokomotiven über die Öffnung    50 m.

rechnen, daß der Schwerpunkt der beiden Lokomotiven nicht mehr

liegt, wie bei der in Fig. 341 an-die Güterwagen rechts von den Lokomotiven

Man erkennt, ohne erst

zu

so nahe bei der Ordinate 7] genommenen Laststellung, wo stehen. In diesem und ähnlichen Fällen genügt es, den kleineren Wert Wir setzen also nach (10) für die dritte Öffnung

//fax

z zu nehmen.

s == 0,375 • 20,05 — 0,75 - 4,26 = 4,324 und Pt = 220 t.

An Stelle der Güterwagen mit 13 t Achslast und 3 m Radstand

13

)—t/m. ein. Da nun u₂ =14,39 m, 3

v₂ = 3,25 ist, so hat die Hf₂-Fläche der Öffnung l₂ den Inhalt

führen wir die gleichförmige Belastung

8 = — -(14,39 — 2 • 3.25) 42 = 82,85,

und es ergibt sich daher

13

M,

— • 82,85 — 220 • 4,324 — — 359 — 951    - 1310 tm.

3

Öffnung l2 Öffnung l₃

Die Benutzung der mit Hilfe der Gleichungen Y] = — 14,39 Wjg -j- 3 • 3,25 (0^,

Y] — — 20,05    “j⁻ 3 * 4,26

aufgetragenen Einflußlinien, Fig. 343, lieferte zufällig genau denselben Wert 359 -f- 951 = 1310 tm. Die erste Tenderachse steht im Abstande 9,5 m von der Stütze 3.

Zweites Beispiel. Fünf Öffnungen von 60m, 80m, 80m, 80m, 60 m Weite. Gesucht M₂ infolge Belastung der Öffnungen l₂ und l₃.

Pi^= 301 t, 13

-- 331,6 — 301 • 6,371 = — 1436 — 1918 = — 3354 tm.

u₂' = 29,86 m, r₂= 6,64 m, = 331,6, u₃ = 29,53 m, v₃ = 6,27 m, e = 0,375 • 29,53 — 0,75 • 6,27 = 6,371

M₂ =

13t

13t

ßl 13t

•*»

■

\z

Fig. 344.

Die Einflußlinie:

y] — — 29,86 (j)d —j— 3 • 6,64 Y] = — 29,53 Od -f 3 - 6,27 aB,

Öffnung l2 Öffnung l3 liefert bei der Zugstellung in Fig. 344

14 = — 1439 — 1893 = — 3332 tm.

Der Unterschied beträgt 0,7 v. H.

Drittes Beispiel. Fünf gleiche Öffnungen von ? = 18 m Weite. Gesucht M₂ infolge Belastung der Öffnungen l₂ und l₃. Bei so geringen Stützweiten liegen ähnliche Verhältnisse vor, wie bei der Belastung einer einzelnen Öffnung. Wir nehmen den größeren Wert 0 und finden nach der am Schluß von Nr. 127 durchgeführten Berechnung

Fig. 345.

Viertes Beispiel. Fünf gleiche Öffnungen von l = 24 m Weite. Gesucht M₂ infolge Belastung von l₂ und /₃. Zu l — 24 m gehört Pi = 122 t, hervorgerufen durch die ersten 10 Achsen der Zuganordnung IV (Seite 422). Wenn wir über jeder der beiden Öffnungen diese un-

77¹

für die zweite Öffnung z = 0,08469 l = 1,524 für die dritte Öffnung 0 = 0,08306 ^=1,495 Pt=. 91,8

Summe

3,019

U₂= — 91,8 • 3,019 = — 277 tm.

Die Einflußlinie*):

Öffnung l2 Öffnung l₃

liefert bei der Zugstellung in Fig. 345 M₂ —

^ — — 6,46 (Oj, —|— 3 • 1,29 Ojj if] = — 6,55 w_d -j- 3 • 1,38

277 tm.

j.₇t

₁₇t

13*    13*

13*    13t

~rn

*rrt\ 1,51

-ft

lz=18"^

13 = 18**-

77*

6,6

rti

13*    13*

13*

13*

lz=ZiïTr*-

•P

Fig. 346.

günstige Zugstellung annehmen, dafür aber den kleineren Wert 0 ein-führen, so gehen wir immer noch sehr sicher. Wir setzen also

3 ,

(u — 2 v)

Öffnung l2 Öffnung ö

u₂ ’ — 8,61 m «₃= 8,73 m

P{= 122

v₂ — 1,72 m, ^ = 1,939 »₃= 1,84 m, 0=1,894 Summe 3,833

M₂ = — 122 • 3,833 = — 468 tm. 75 • 18

*) Nach Seite 454 ist u₂ — 76 • 18

209

6,46 m,

v₂ —

15-18

209

1,29 m,

209

= 6,55

16-18

209

= 1,38 m.

Die Einflußlinie liefert bei der ungünstigsten Zugstellung (Fig. 346) nur M₂ = — 426 tm. Der Näherungswert ist um 9 v. H. größer als der genauere.

Fünftes Beispiel. Fünf Öffnungen von 21m, 33 m, 30 m. 24 m, 21m Weite. Gesucht M₂ infolge Belastung .von l₂ und l₃. Die Länge l₂ genügt nicht zur Unterbringung der beiden Lokomotiven; der eine Tender liegt bei der ungünstigsten Laststellung über der Öffnung /₃.

13

Trotzdem nehmen wir die Öffnung l₃ gleichmäßig mit —— t/m belastet

3

an, berechnen dafür aber g nach Gleichung (8). Wir erhalten: u₂ = 13,27 m, »ä = 3,10m, # = 2,811, Pi— 158,5 t, u₃= 10,89 m, v₃ = 2,48 m, $ = 44,5,

13

— 446 — 193 = — 639 tm.

M₂ = — 158,5 • 2,811 —    --44,5 =

O

Die Einflußlinie liefert bei der Zugstellung in Fig. 347 M₂ = — 424 — 210 = — 634 tm.

17t

₁₇t

13t    13b

>3f

1/

\2

Fig. 347.

Die vorgetragenen Beispiele dürften genügen, zu zeigen, wie von Fall zu Fall darüber zu entscheiden ist, ob es zweckmäßiger ist, Gleich. (8) oder Gleich. (9) anzuwenden. Besteht ein Zweifel, so wähle man den größeren Wert (8). Wir bemerken noch, daß zur Aufstellung beider Lokomotiven über einer Öffnung etwa 1= 40 m erforderlich sind; die kleinere der beiden Öffnungen ist dann nur mit Güterwagen belastet.

129. Momente

JK für die Querschnitte zwischen den beiden Festpunkten L und jß einer Öffnung, Fig. 348. Das Biegungsmoment Mm für einen Querschnitt m der Öffnung lr ist

Mr_,

(12)

wo M,

max

Mm = M,

lr

Xm-\-

Mr

das Moment für den Querschnitt m eines einfachen Balkens lr

bedeutet. Liegt m zwischen den Festpunkten Lr und Br, so erzeugen alle über der Öffnung /,. aufgebrachten Lasten ein positives Moment Mm. Den von den Stützenmomenten M.

und M,. abhängigen Teil von Mm berechnen wir unter der Voraussetzung einer gleichförmigen Belastung^,

r- 1

die wir so groß annehmen, daß sie dasselbe Moment M0m hervorbringt, wie der Eisenbahnzug. Wir wählen also

(13)

2 M0m

und schreiben

(14)

Mm= M,

(i+

V xmxm y

wo den Inhalt des von den Stützenmomenten abhängigen Teiles der il/M1-Fläche bezeichnet. Mit Hilfe der Gleichungen (1) und (2) finden wir

Xm

(— u,'. (s)D -\-§vr ws) dx

und, da o)j[)dx = —^l

&■= —

wßdx = -~l ist,

^ (urxm | Ur xm^ |    ^ v,.l.

lr

■>t

\<- CL j,-

cr

r-7 1

Lr

Rr

>r*

’X'TTl

Fig. 348.

%m ist stets negativ; je größer es ausfällt, desto kleiner ist Mm. Vergleichende Rechnungen haben nun gelehrt, daß es sich empfiehlt, ein um etwa 5 v. H. kleineres $m anzunehmen, d. i. :

(15)

(--- {urxn'-\~ ur'xm) -|- g vrl) °»⁹⁵

Setzen wir dann ferner, nach Seite 441

Mo m    maxM-0 Tm 1

so erhalten wir die Formel

(16)

mai

max

M₀ymym\

WO

(17)

Y.' = 1 - 0,475 (i^ + iG) + v xm xm y

0,95 vrl

i(r

Für die erste Öffnung ist u = 0 und v = 0, also Y= 1 —0,475

M₀ stehen in Tabelle A, Seite 442, die Werte y in M₀ schnell angeben.

Die Werte

Tabelle B, Seite 443. Es läßt sich also

In den folgenden Zahlenbeispielen haben wir die Stützweite lr in 10 Teile geteilt. Die Teilpunkte 1, 2, 8, 9 liegen außerhalb der

r-iz=J8^--h

1,30

ZOO

032

9/0

/7 '    77'    77

73*    73

77'    77^

I

3    73*

17

77'

77    77

0,33

t;

fl.

"13 h

1,76

17 '

1,7V

0,55

O.Z6

\0,3m

13    13    13 I

0.30

13

13

17    17    17    17    17

900

0.27

0,3V

SS

t'

--'/,Zr'L-*)

0Ą1 f

77

9IV

0,30

zeo

1,94

163

u, J i

73* 73

73*

77*'    77'    77'    77'    , \t

Fig. 349.

Strecke LrEr. Für die den Teilpunkten 3, 4, 5, 6, 7 entsprechenden Querschnitte wurden die Momente mittels der Formel (17) berechnet und mit denen verglichen, die sich mit Hilfe der Einflußlinien ergaben. Für die Querschnitte 3

ist y =    0,899    0,992    1,000    0,992    0,899.

Erstes Beispiel. Fünf gleichlange Öffnungen von 18 m Spannweite. Gesucht werden die Momente M₃, i¥₄, M-, M₆, M₇ der zweiten Öffnung. Es ist nach Seite 454

V’2

71

75

15

209

209

xm—m- 1,8, xn'=m- 1,8,

209

(18)

4,75

Imm

l — 10 • 1,8,

[10 (ur — 2 vr) -f- m (uj— ur)\

M₀ = 327 tm.

Mm

mittels

Einflußlinien

maxx

Mm

-Y Y maxMo

CO ^ »O CD l>

160 tm

194

201

191

156

O O O O O '0’'a< 05'O' U» kjcoo © ^

Oi ZD ZD

CO CD

© pp pp

"k-

oooocoœ ZD cc

160 tm

193

199

co n-

191

155

Bei Ermittlung der Werte der ersten Spalte wurde die positive Beitragstrecke l₂ möglichst ungünstig belastet und der Einfluß der hierbei auf den benachbarten negativen Beitragstrecken stehenden Teile der Fahrzeuge vernachlässigt. Die angenommenen Laststellungen zeigt Figur 349.

Zweites Beispiel. Fünf Öffnungen von den Weiten 21m, 33 m, 30 m, 24 m, 21 m; gesucht M₃, Jf₄, M₅, M₆, M₁ für die dritte Öffnung. u₃ = 10,89 m, u₃'— 12,07 m, v₃ — 2,48 m, xm = m • 3,0,    xm'=m'-3,0,    Z=10-3,0, m= 10—m,

max

M₀ = 832,3 tm.

Mm

mittels

Einflußhnien

y' nach Gleich. (18)

yy'

ma

xj

— YY

Mo

Unterschied

CO »O CD t>

369 tm

459

475

447

342

CD CO ï> (M rH (M D- GO CD GT> )C iO O O ^ CD Ö* O CD CD

CO co t>

I> I> GO łO

i-O »o ^ O o CD CD o'

394 tm

477

489

GO

464

367

CO GO 05 I> GO CD CO CO CD

Drittes Beispiel. Sechs Öffnungen von den Weiten 30 m, 42 m, 50m, 50m, 42m, 30m; gesucht M₃ bis M₇ für die dritte Öffnung.

u₃ = 20,05 m

max

u₃ — 18,89 m, v₃ = 4,26 m, l = 10 X = 50, M₀= 2123 tm.

mittels

Einflußlinien

y' nach Gleich. (18)

)DU.r

Mm

— Ti'maxM₀

Unterschied

873 tm

1126

1215

1142

905

i-O

C>CDCOI>rH

TfiOiOlO'

d d d d d

0,444

0,558

0,584

0,566

0,463

943 tm

1185

1240

1202

983

Viertes Beispiel. Fünf Öffnungen von den Weiten 60 m, 80 m, 80 m, 80 m, 60 m; gesucht M₃ bis M₇ für die zweite Öffnung. u₂ = 31,40 m, u₂'~ 29,86 m, v₂= 6,64 m, l— 10 X = 80 m,

Mo = 4674 tm.

mittels

Einflußlinien

ma

Y ' nach Gleich. (18)

Ti'

ma

= Tt'maxM₀

Unterschied

2008 tm

2573

2744

2609

2075

0,501

0,567

0,588

0,575

0,518

O (M CO O CD 40 CD CO CD

-^lO^iO^O^

o cT cT cT cT

2103 tm 4,5 v. H.

2627

2748

2664

2178

2,1

2,1

4,7

11 11

11 11

11 11

Ist die Anzahl der Öffnungen ungerade und der Balken symmetrisch, so ist für die mittelste Öffnung u — u und

Y'= 1 — 0,475

ul

(19)

Y'= ¹

+ 0,95 0,475 (u — 2v)l

vl

XX

Diese Formel liefert selbst dann noch brauchbare Werte, wenn zwar u und u verschieden groß sind, aber doch so wenig voneinander abweichen, daß sie durch einen Mittelwert ersetzt werden dürfen. Nimmt man rund a — a = 0,21 Z an, so erhält man c = l—2a = 0,58 l

u = u =

l — 0,362 l, v

aa

0,076 l

und

(20)

y'= 1 — 0,10

xx

Hiernach gehört zu

0,3    0,4    0,5    0,6    0,7

11

14

15

14

11

24

25

24

21

tt'=

0,47    0,58    0,60    0,58    0,47.

Für unsere vier Beispiele liefern diese Ziffern die folgenden Momente:

l — 18m

l = 30*»

1 = 50“

c- co jä no CC T*

154 tm

O cc

391 tm

483

998 tm

499

1231

2197tm

1274

2711

2804

max

Mm.

130. Ein zweites Verfahren zur Berechnung von

Wir gehen wieder von der Gleichung

/

* =    f - + Mr ;

aus und ersetzen den von den Stützenmomenten abhängigen Teil der Einflußfläche durch einen Parabelabschnitt gleichen Inhalts. Der Pfeil dieser Parabel ist

(21)

3 ( xj

1 u--

8 V l

, xm\ 3

u~r) 4

— V.

-H

o,izi

K-

r'

T-l

Fig. 350.

Es ist dann angenähert:

(22)

Mm — maxM₀ — PiZm, wobei sich P₄ auf die Stützweite l bezieht.

Handelt es sich z. B. um die Momente i¥₄ . . . i¥₇ der dritten Öffnung eines Balkens mit fünf Öffnungen von 21 m, 33 m, 30 m, 24 m, 21m Weite, so ist

u = 10,89 m, u = 12,07 m, v — 2,48 m, xm=3,0-m, xm' = 3,0 • m und man erhält, wegen Pi=146t,

PiZm —

co oo

146

(    m ,    m \

(lO,89 —+12,07 -)

cc

max

= 59,623 m'-j- 66,083 m— 271,56 Mm = 832,3 ym — Ptem.

wird nach Bd. I, Anhang, Seite 550, genau genug durch zwei Parabelstücke und eine gerade Linie, deren Länge gleich 0,12 l ist, dargestellt. Zieht man von den Momenten

Die Linie der größten Momente

M0m die Ordinaten einer Geraden ab, Pig. 351, die auf den Stützensenkrechten die Strecken

¹

Dieser wert läßt sich auch schnell rechnen. Man findet mit SP¹ = $„6' und 'S P¹² = %n -(- 9ßne'²

Mr = — 2488,98 + 0,0001604 • SP¹³, wo SP¹³ = 1505,56.

Bei Ermittlung von SP¹³ wurde das .Maß 2,06 m in Fig. 341 auf 2,1 m

___ g

(r — 1) — (r — 1),== Pi — (u — 2 v) und 8

_ 3

r — r = Pi — (u — 2 v)

Mm.

Das gibt für m =

Mm =    404

475

475    462

378 tm¹).

abschneidet, so erhält man die der Gleichung (22) entsprechenden N äherungswerte

Anmerkung. Um den Unterschied zwischen den Ergebnissen einer genaueren und einer angenäherten Formel beurteilen zu können, muß man seinen Einfluß auf die Querschnittsabmessungen prüfen. Zu diesem Zwecke wollen wir annehmen, es sei die in den vorstehenden Beispielen u. a. behandelte Öffnung von 1= 80 m Stützweite mit einem 12 m hohen Parallelträger überspannt. Die zulässige Beanspruchung sei er —- 0,95 t/cm². Die mittels Einflußlinien gefundenen Momente

2008    2573    2744    2609    2075tm

verlangen die Gurtquerschnitte

176

226    241

229

182 cm².

12-0,95

Die am Schluß von Nr. 129 mittels der bequemen Gleich. (20) berechneten, von den genaueren Momenten am meisten abweichenden Momente

2197    2711    2804    2711    2197tm

erfordern

192

238    246    238

192 cm ²

Der Unterschied zwischen diesen beiden Zahlenreihen, deren größte Abweichung 16 cm² beträgt, ist nicht sehr groß; er verliert erheblich an Gewicht, wenn beachtet wird, daß die vorstehenden Zahlen nur den Einfluß von

Mp angeben. Es tritt noch hinzu der Einfluß der ständigen Belastung sowie die von vielen Ingenieuren ganz außer acht gelassene, keineswegs aber vernachlässigbare Wirkung einer ungleichmäßigen Erwärmung und einer, wenn auch noch so geringen Änderung der Stützlage. Bei der Untersuchung der letztgenannten Einflüsse ist man auf

Schätzungen angewiesen. Wer sich dann noch vor Augen hält, daß die wirklichen Achslasten und Radstände von den in Rechnung gestellten oft erheblich abweichen, wer außerdem an die verschiedenen, bei der Ermittlung der Einflußlinien üblichen Annahmen denkt, als da sind:

beim Blechbalken: Annahme eines unveränderlichen Querschnitts. Vernachlässigung der Schubkräfte,

beim Fachwerk: Vernachlässigung der Längenänderungen der Wandglieder, Annahme eines unveränderlichen Gurtquerschnitts, Voraussetzung reibungsloser Gelenke in allen Knotenpunkten, bei beiden: Vernachlässigung des Zusammenhanges der Hauptträger mit der meistens in hohem Grade statisch unbestimmten Fahrbahn,

dem dürfte die Entscheidung nicht schwer fallen, was den Vorzug verdient — die trotz aller erzielten Vereinfachungen immer noch zeitraubende Berechnung, Auftragung und Verwertung der Einflußlinien oder die sehr viel schneller zum Ziele führende Benutzung einfacher Näherungsformeln und Tabellen.

131. Druck Cr auf die Mittelstütze V infolge Belastung der Öffnungen lr und lr+\• Wir ersetzen die Einflußfläche für Cr durch einen Parabelabschnitt gleichen Inhalts. Die Gleichung der Cr-Linie lautet innerhalb der Öffnung lr nach Seite 129*):

ar —f- ar

f+(

Cr

und innerhalb der Öffnung /r+1:

»r+l 1 ff r+1 j

**1 =

Ù ⁺ ('

Cr+1

ur

b'

Ur+1

(i>D

■(

Cr

r+1

Cr+1

b'

Vr \

-, I

r+1 /

Vr+1

(j)b.

In der Öffnung lr zählen hierbei die x von 1--1 aus, in der

Öffnung lr+l von r* —j— 1 aus.

Der Inhalt der Einflußfläche ist (ir —|— ar

lr [“ Ö+1

-- (

4 \

Cr

1/

| ö+l ^ ff r+1    «

r+1

Cf+i

Ur-\ -—Ir-

r+1 /    2    V    cr    b^./

\    lr+1    /    ff r+1

/    2    \    cr+ï

Ur+1

V-+1

)•

Aus der Bedingung

2

— 0 (L -f- lr+0

*) Auf Seite 129 stellt in Gleich. (25) u. (26) versehentlich dr' und A+i statt ur' und ur+j, in Gleich. (26) außerdem noch lr statt lr+1. Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

folgt die Pfeilhöhe der die Cr-Linie ersetzenden Parabel

(23)

3^

8    | ly+1

r+1

wo

J)r' = Hr - Ur -f- {Ur - 2 Vr)

(24)

r-j-1

h"

r+l

— ur+1 — u r+j -f- (ur+, — 2 iv₊₁)

K+\

6,

Im Falle gleicher Spannweiten l sind die Höhen z nur von der Anzahl der Öffnungen abhängig. Bei 5 gleichen Öffnungen ergibt sich z. B. mit den am Schluß von Nr. 127 ermittelten Werten u, v, b für den Stützendruck C^*):

- U1    7    '

h₂"= 2 (u₂ — v₂)— w₂

ul

37

209

33    164 _

* — T TtT ’ 209 ~ und für den Stützendruck C₂:

ft 2    u2 ^2 ""f" (^2    2 r₂) , /

'h

0,897

209

209

127

56

209

45    19

209 ‘Tö

61

209

V' =

(w₃    2 v₃ )

44

b₂

209

-T«

55

209

3    3    116

T ⁺ Të"‘ 209

Wir geben noch zwei Zahlenbeispiele für ungleiche Öffnungen.

Erstes Beispiel. Fünf Öffnungen von 21m, 33 m, 30 m, 24 m, 21m Weite; gesucht C₂.

u₂= 14,13 m, u₂ — 13,27 m, v₂= 3,10 m, &₂= 25,28 m, m₃= 10,89 m, u₃ — 12,07 m, r₃ = 2,48 m, &₃' = 23,16 m.

33

h₂'= 13,27 — 14,13    (13,27 — 2 • 3,10)

0,854.

23,16

9,2138 m,

hs"= 10,89 — 12,07 -f (10,89 — 2 • 2,48)

30

25,28

z= 0,840, Pt — 256,5 t, C₂ = 0,84 • 256,5 = 215 t. Die in Fig. 351 dargestellte Einflußlinie liefert (7= 223 t.

5,8572 m.

*) Man beachte, daß ax = 0, bx — /, ux =0, i\ — 0 und ui =■ w₃ ist.

Zweites Beispiel. Fünf Öffnungen von 60m, 80m, 80m, 80m, 60 m Weite; gesucht C₂.

«2= 31,40 m, u₂ = 29,86 m, f₂= 6,64 m, &₂= 62,22 m, «3= 29,53 m, u₃'= 29,53 m, v₃ = 6,27 m, b₃= 63,01 m,

0 = 0,847, Pi = 510t, C₂ — 0,847 • 510 = 432 t.

Die Einflußlinie liefert C₂ — 433 t.

Die Stützendrücke braucht man hauptsächlich für die Berechnung der Auflager und Pfeiler. Es empfiehlt sich, bei den Mittelstützen mit rund z = 0,90 zu rechnen, mit Ausnahme der Stütze 1, für welche man besser 0=0,95 annimmt.

T7

j 131

0,0341

ojM

03551

lz=33m'

73t

17t

\6Lti‘U

0,604\

ZÊ8ÏÏ

1ÏÏÏT

Tzlïï

0,950

0,975

0,99Z

7,000

1,000

bOti‘0

0,858

l₃=30m

17t-

OJ171

0,758

0,699

■i

13t 131

--ro,5m--a

0.504

0.44Z

0,374

Fig. 351.

132. Druck A. auf die Endstütze infolge Belastung der Endöffnung. Bedeutet A₀ den Druck auf die Endstiitze des einfachen Balkens llt so ist

i_

A — A^-\-

Die Einflußlinie

«i

¹¹ - »,

ersetzen wir durch eine Parabel von der Pfeilhöhe

ci

2'i

v\dx = —

OO OS

und schreiben zunächst

CO 00

A = A o— Pi

Pf erzeugenden ab weicht, so verkleinern wir

Da aber die Laststellung, welche A zu einem Maximum macht, erheblich von der den Wert

das in Abzug zu bringende Glied. Eine große Zahl vergleichender

g

Rechnungen hat gezeigt, daß es genügt, die Ziffer —-

8

setzen, womit dann entsteht

durch — 3

zu er-

(25)

A = Ä₀

ai

3 c₁

Pi-

Um die Prüfung dieses Ausdruckes zu erleichtern, führen wir die genauere Berechnung von A etwas weiter aus.

1\

7?

I*— 00 -—*b-

oc'

Fig. 352.

Auf möge die Lastgruppe P₁P₂ ... Pn stehen. /

2P»„ = Ą

Sie erzeugt

A = A₀

Cl

sp

ci

(t-t)

WO

ip*

= $u—Ao-

Mit den Bezeichnungen

(26)

%)n = 2Px³

und

(27)

A'=%t-A₀

2>„

erhalten wir

A-A.-±

Die auf die erste Last bezogenen Momente dritter Ordnung 2)„ haben wir für den Lastzug der preußischen Verordnung berechnet und in den beiden folgenden Tabellen zusammengestellt. Die erste Tabelle ist für Stützweiten bis zu etwa 35 m maßgebend; sie entspricht der Tabelle IV auf Seite 422.

(28)

ci

A\

1.

Lokomotive, Lokomotive, Tender.

CCOO^ld

17

34

51

68

85

102

119

136

153

170

57,375 516,375 2 065,500 5 737,500

35 113,500 76 939,875 134 314,875 210 681,000 309 825.000

2.

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

CO CO GO CS

rH t-H

209

222

235

248

rH [> O

CD P* CO O CM Ol Ol CO

457 903,125 637 615,125 853 173,000 1 154 111,625

1    560 438,000

2    094 265,125

2    779 812,000

3    643 403,625

4    713 471,000 6 020 551,125

Lokomotive, Tender, Lokomotive, Tender.

®n

17

26

378

34

27

51

68

85

98

111

124

141

O rH CM CO -H    COOCOQO -rH CM CO -tH iO

rH rH rH rH rH rH t-H rH -rH rH CM CM Ol CM Ol Ol

158

> Q CM CS Ol v Q l>OlO(MCO H H 03 Ol 04

248

261

274

287

300

313

326

339

352

365

57.375 516.375 2 065.500 5 737,500

20 786,625 43 250,625 75 235,500    33

174 379,500 300 432,375

457 869,375 651 510,000 886 518,000 1 187 456,625 1 538 456,625    40

1    944 783,000

2    478 610,125

3    164 157,000

4    027 748,625

5    097 816,000    45

6    404 896,125

7    981 632,000 9 862 772,625

12 085 173,000 14 687 794,125

28

29

30

31

32

34

35

36

37

38

39

41

42

43

44

46

47

48

49

50

430

Ol rf-CS 00

^

CO GO CS O* CO CD

573

586

599

612

625

t-h t> ©

»O CD L> Q CD CD CD CD CD

GO

CO

17 711 703,000 21 200 072,625 25 198 182,000 29 753 416,125 34 915 266,000

40 735 328,625 47 267 307,000 54 567 010,125 62 692 353,000 71 703 356,625

81 662 148,000 92 632 960.125 104 682 132,000 117 878 108,625 132 291 441,000

147 994 786,125 165 062 907,000 183 572 672,625 203 603 058,000 225 235 144,125

248 552 118,000 273 639 272,625 300 584 007,000 329 475 826,125 360 406 341,000

Für einen Balken mit 5 gleichlangen Öffnungen ist z. B. 209

ai

56

265

265

I, also A =A₀

56

209

A'.

Ist nun l = 30 m

so findet man mittels der Tabelle IV auf

Seite 422

3490,5 + 222 (30 — 28,5)

A₀ —

und mittels Tabelle 1, Seite 469:

A'= 222 — 127,45 —

30

= 127,45 t,

1 154111,625

30³

51,81 t;

n = 14,

mithin ist

A = 127,45

56

209

• 51,81 = 113,6 t.

Gleichung (25) liefert

A = A₀

56

3-209

Pi ₌ A₀— 0,089 P.

Zu l — 30 m gehört P{ = 146 t und A = 114,4 t. Ist l = 60 m, so liefert Tabelle I, Seite 418

213,025 t,

n = 25

12234 + 1,5-365

60

sodann Tabelle 2, Seite 469:

A'= 365 — 213,025

14687794

60³

83,98 t,

Es wird also

A = 213,025 —

56

209

• 83,98 = 190,5 t.

Gleichung (25) gibt mit P{ = 248 t:

A = 213,025 — 0,089 • 248 = 191,0 t.

In gleicher Weise erhält man — immer für fünf gleichweite Öffnungen —

für

40 m

120 m, 354,01 t, 140,65 t, 316,3 t, 404 t, 318,0 t.

80 m 261,825 t 101,86 t 234,5 t 301 t

l — 10 m

A₀= 59,5 t    158,65 t

A'= 19,76 t 65,91t nach Gleich. (28)    A — 54,2 t    141,0 t

Piz= 69,7 t    188 t

nach Gleich. (25)    A= 53,3 t    141,9 t    235,0 t

Die Übereinstimmung der beiden Reihen für A ist eine sehr gute. Wir lassen noch zwei Beispiele für ungleiche Öffnungen folgen.

Diese Formel liefert für

A = 0,91 A₀.

1. Sechs Öffnungen von 30 m, 42 m, 50 m, 50 m, 42 m, 30 m Weite, «i = 5,50 m, cx'= 24,50 m, A'= 51,81 t (wie vorhin);

• 51,81 = 115,8 t,

nach (28) A = 127,45

5,50

24,50

nach (25)    .4 = 127,45

5,50

• 146 = 116,5 t.

3-24,50

2. Fünf Öffnungen von 60 m, 80 m, 80 m, 80 m, 60 m Weite. ax — 11,30 m, cx — 48,70 m, A'= 83,98 t, Pi= 248 t;

A = 193,5 t, nach (25): .4=194,0 t.

Es ist übrigens sehr nahe

nach (28):

1= 10 m 30 m 40 m 60 m 80 m .4 = 541 116t 144t 194t 238 t

120 m,

322 t.

Die größte Abweichung von den genauen Werten beträgt nur 2 v. H.

Q der Endöffnung, infolge Belastung

max

133. Querkräfte der Endöffnung.

Erstes Verfahren. Bei unmittelbarer Belastung des Balkens ist die in Fig. 353 schraffierte, von der A-Linie A'C'C begrenzte Fläche

k-

oc

cc'-

ÖL

ce'

Ll

Ir

A!\

Fig. 353.

der positive Teil der Einflußfläche der Querkraft Q. Wir ersetzen die A-Linie durch eine Parabel, deren Pfeilhöhe

3 a/

z = —

ist und nehmen, mit den aus Fig. 353 zu ersehenden Bezeichnungen, für Q den Näherungswert an:

Q = Qo ~ — Pi*,

Gleich. (29) liefert auch bei mittelbarer Belastung brauchbare Werte.

Beispiel. Balken mit sechs Öffnungen von 30 m, 42 m, 50 m, 50 m, 42 m, 30 m Weite. Die Endöffnung enthalte 10 gleichlange Felder.

₇₇t

wo

•*] 0 =

«1 ’

*1

4g

XX

= r!o(l —

to 05

<h_ X \

h h )

'2

X

3 aï

'2 X

Î2 ~~ö~~ ~ ri⁻*

Cl

Indem wir noch — aus dem auf Seite 468 angeführten Grunde — durch den etwas kleineren Wert ersetzen,

in der letzten Gleichung erhalten wir

CO GO

(29)

Q= (XQ₀ — ßP;

wo

(30)

CO 05

ax x

ci h

(31)

XJO

' '2 X

₇₇t

so

£3

'HK

N-

So

0,+

°>t

CO +

Fig. 364.

Es ist a x = 5,5 m, cx = 24,5 m, x — mX, x = m\, l — 10 X,

mithin

öl = 1 — 0,03367 m, ß = 0,0007483 m'².

Betrachtet man lx als einfachen Balken, so erhält man für das Q₀ bei der in Fig. 354 angegebenen Last

zweite Feld die Querkraft

Stellung, denn es ist

209

34

< — =10,0,

> J13

209

17

>— = 10,0.

• 2863,5 = 95,45 t

max

Man findet (nach Tabelle IV, Seite 422) A = ^ und, da Knotenpunkt 1 mit 8,5 t belastet wird,

Q₀ = 95,45 — 8,50 = 87 t.

Nun ist für m = 2 und m =8, <x — 0,933, ß = 0,048. Zu x'= 24 m gehört P{ = 122 t, folglich nach Gleich. (29)

Q = 0,933 • 87 — 0,048 • 122 = 75,3 t.

,1

1900

ZZIO

eil

0,075

&

Kl

0,780

.i \ §

« VS

I26V

OOO'l

OOO'l

l!

Oil

LOil

0,878

0,757

0,639    «

?o!\ i)

*Si \ «S

<si \

1!

S!

'•i

ozz'o

0.176

0.135

0.062

0.029

\10

4=30™

Fig. 355.

Mit Hilfe der durch die Gleichung

m

Uj> — — — 0,22 449 Ox.

bestimmten, in Fig. 355 dargestellten Einflußlinie findet man maxQ = < 5 t.

Die auf diese Weise berechneten Werte maxQ sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden. Die achte Spalte enthält die mittels der Einflußlinie erhaltenen Querkräfte.

Qx und Q₂ entstehen bei der Zugfolge IY, die übrigen Q bei Zugfolge I (Seite 418). Für QA bis Q₉ ist die Grundstellung maßgebend. Die ersten drei Querkräfte entstehen, wenn die zweite Achse in m angreift.

Y] =

ai

C1

oc

Go Pt

Gleich. (29)

"".IX

Mittels

Einflußlinie

^ Gleich. (34)

ma

lllllgggl

o" cf cf cf o O ö'ö'ö'

OOOOOOOOO

œ lOcoœH io®

ooœ^Hio

y—i ■rH t—i

g »O Ig M OT 05 (M

CO T—i

co

PPPPPPPpp 00 05 ^ ts O CO 05 (MS

h-Ł ÜT

Zweites Verfahren. Der Inhalt des positiven Teiles der Q-Fläche ist rlox

x'

x'

to

21

jx {U —x) dx . 0

Mit 0 =

OO 05

i⁵

ergibt sich

(82)

x'²

2/i

to

(83)

Die Q₀- Fläche hat den Inhalt

r\₀x

x²

und wir setzen daher

Go

«l

2 Cj

oder noch besser, indem wir den negativen Teil der Klammergröße etwas verkleinern,

(34)

Q = '\>Qo» wo <]> = 1 — 0,4-

~(¹⁺²i~)-

Für x — 0 folgt hieraus A—A₀^ 1 — 0,4——^

«l

ci

und, wenn rund

ax = 0,2 lx, cx= 0,8 lx gesetzt wird, A = 0,9A₀, ein Näherungswert, der sich in Nr. 132 als recht brauchbar erwiesen hat.

*) Der Einfluß von I\ ist schon für m — 7 und 8 unwesentlich.

Beispiel. Für die 10-feldrige Endöfinung des vorhin untersuchten Balkens ist

5,5

24,5

O+’w)

— 0,9102 — 0,0180 m.

Man erhält für und Q die iQ den beiden letzten Spalten der vorstehenden Tabelle angegebenen Werte.

134. Querkräfte „linQ der EndöfFnung infolge Belastung der Endöffnung.

Die Gleichungen (29), (30), (31) auf

Erstes Verfahren. Fig. 356 zeigt den negativen Teil der Q-Fläche für unmittelbare Belastung.

Seite 472 sind zu ersetzen durch

(35)

Q — a Q₀ -f- ß Pi,

(36)

OL = 1 +

CO OJ

(37)

CSQ.

-rH I CO

ax

Ci

vi

■V

DC'

-X

l,

Fig. 356.

Für unser Beispiel ist

a = 1 + 0,03367 tn, ß'= 0,0007 483 m².

Die folgende Tabelle enthält die Ergebnisse der Rechnung.

nach

m ni a '

ß'

min (?0

Mittels

Gleich. (35) Einflußlinie vj/

nach

Gleich. (40)

min Q

minQ

mi n

<>>

2,85

1,067 0,048 1,034 ; 0,061    — 107,85

ST

co

^ jfaco^iCiif^cotNSM-OtDOJOCłKIKH

H ^

co'o^HHiooiCiaiO ! tH GM CO ^ iO ES* Ol | 4—>

tH i

i h-*- h* ^ ^ Y-L h-L h-L b-*-; OÛ G« GO O K) il- Ci ^ H

3,7

11

22

33

46

60

77

101

122

Zweites Verfahren. An die Stelle der Formeln (32) und (33) treten die Formeln

(38)

und

21 !

[¹⁺ 2

«i

ci

(39)

Folglich ist

min

min

WO

(40)

F⁼¹+-5

1 ax

C1

:(s

•t>

Für unser Beispiel ist

1    5,5

2    24,5

-^3 — 2    = 1,3367 — 0,02 245 m.

1,000

Die hiermit berechneten Werte Q gibt die letzte Spalte der vorstehenden Tabelle an.

0,969 VZ

Q,9ZZ

OßTLWz:

0,8Z6

0,719

Zi

0,603

£l598_

0,989

0£Z5___

’,9£‘0

OIS'O

azpz!

0,153

0,107

0,066

0,030

IO

1,000

Z₃= 30™-

Fig. 357.

135. Querkräfte einer MittelöfFnung infolge Belastung dieser Öffnung. Die Einflußflächen für Q und Q₀ unterscheiden sich so wenig

voneinander, daß es für die Praxis erlaubt ist, Q = Q₀ zu setzen. So erhält man z. B. für die dritte, 10-feldrige Öffnung l₃ — 30 m eines Balkens auf 6 Stützen mit den Öffnungen: 21m, 33 m, 30 m, 24 m, 21 m für m =    1

23    456789

GO CD

o o

00 oc

0< —1

Cb Cb CO

O Irin rfl

QO 'cfl CO CO

CO Ol GM CM

h-L

CO

CG CO

io co

03 t—l

VIL Abschnitt.

Der biegungsfeste Stabzug.

§ 27.

Darstellung der Verschiebungen der Knotenpunkte.

136. Die allgemeine Darstellung der Verschiebungen der Knotenpunkte eines biegungsfesten Stabzuges (Fig. 358) unterscheidet sich von der in Abteilung 1, § 2 und § 3 beschriebenen Darstellung der Formveränderung eines Stabzuges mit gelenitartigen Knoten nur durch die Bestimmung der Winkeländerungen A^.

jjn-t

-*1

'rn

ui-A:

+1

&nh

Fig. 358.

Wir setzen prismatische Stäbe voraus und nehmen an, der Stabzug sei durch Einzellasten beansprucht, die in den Knotenpunkten angreifen.

Beide Voraussetzungen lassen sich stets mit genügender Genauigkeit erfüllen. Ein Stab veränderlichen Querschnitts wird in kurze, als Prismen anzusehende Stücke zerlegt; die Trennungspunkte der einzelnen Stücke zählen als Knotenpunkte. Ebenso zählt der Angriffspunkt einer zwischen zwei Eckpunkten angreifenden Einzellast als Knotenpunkt. Stetige Lasten können durch in kurzen Abständen wirkende Einzellasten ersetzt werden.

Bogenträger dürfen in den im Brückenbau und Hochbau vorkommenden Fällen mit hinreichender Annäherung durch Stabzüge ersetzt werden. Bei einer Blechbogenbrücke genügt es in der Regel, die Schnitt-

%TAW    '^rv

Fig. 359.

Bezeichnet Nm die den Stab sm beanspruchende Längskraft, als Zug^ positiv genommen, und tm die Temperaturänderung für die Stabachse, so ist

(4)

A sm

(3)

— xm -f- x

\TK

m+7

2 Am+1

(2)

6 EJm

+i

S»!+l “f

x,n+1 (Mm — Mm+])

G Fm+iSm+l

2 hm'

punkte der Mittellinien der die Fahrbahn stützenden Vertikalen mit der Bogenachse zu Knotenpunkten zu wählen. Bei Dachbindern sind die Angriffspunkte der Pfetten die Knotenpunkte.

Die Folge unserer Voraussetzungen ist, daß die Momentenfläche eines Stabes (m — 1) — m ein Trapez mit den Endordinaten M,

Mm ist, Fig. 359. Die Ausschlagwinkel der in m zusammentreffenden Stabenden sind mit Berücksichtigung der Wirkung der Schubkräfte und einer ungleichmäßigen Temperaturänderung nach Gleich. (7), Seite 28,

-f- 2 Mm

und

(i)

Xm

y-m (Mm —Mm_x)

6 EJ„,

1    ^ (ßu m t₀ m)

und man erhält daher

Nmsm

EFm

Die Werte fam, tum, tom sind für alle Punkte des Stabes sm gleich groß gedacht. hm bedeutet die Höhe des Stabquerschnittes.

Die von den Schubkräften herrührenden zweiten Glieder der Ausdrücke für xm und x'm + , werden meistens als unwesentlich vernachlässigt;: ihre Berücksichtigung bietet zwar keine Schwierigkeit, vermehrt aber die Bechenarbeit. Beim Blechbogen darf man nach Seite 12 den Wert Fm | x,„ ersetzen durch den Stehblechquerschnitt Fsm.

Kennt man die Winkeländerungen A^r, so kann man die Drehungswinkel der einzelnen Stäbe und die Werte p = svjj berechnen und den Verschiebungsplan des Stabzuges durch Aneinanderreihung der Strecken As und p bilden. Zuerst wird der Stabzug an irgendeiner Stelle fest eingespannt angenommen und schließlich w*erden die wirklichen Auflagerbedingungen in derselben Weise erfüllt wie bei den im § 1 der Abteilung 1 untersuchten Fachwerken.

Es liege z. B. ein Stabzug 0 1 2 3 ... 6 vor, der bei 0 ein ruhendes, bei 6 ein auf wagerechter Bahn geführtes Auflagergelenk besitzt und durch eine in 6 angreifende wagerechte Last 1 beansprucht wird, Fig. 360. Bezeichnet cpm den Neigungswinkel des Stabes s,„ gegen die Wagerechte und ym die Ordinate von m, so ist Nm — 1 • cos 9,

6"

Sf

6'

3*\

3\ Su

2"'

1,

sz

\Ą

/'Klo'

⁷?s

o/%

\ 2.'

ÜÜ

& 0'

Fig. 360.

Wird die wirkliche Stützung beseitigt und der Stabzug an der Stelle 3 eingespannt angenommen, so drehen sich die Stäbe ss und s₄ um

¹

Man vergleiche hiermit die in Nr. 129 gefundenen Ergebnisse.

43 = ~3 bzw- '1>4 = V>

die Stäbe s₂ und 6^ um

1)

die Stäbe s₅ und s₆ um

4^6-4*5 —1~

4*5 44 —I⁻ ^^4)

Nach Berechnung der Werte p = svjj werden vom Pole 0' aus nach der einen Seite die Strecken aneinandergereiht:

^s3> p31    ^ ’    ?2 ) ^sli Pl>

nach der anderen Seite die Strecken:

^S4>    ^s5» Po’    pß •

Die Verschiebungen der Knotenpunkte 0, 1, 2 . . . sind dann für die angenommene Stützung durch die Strecken O'O', O'l', 0'2\ . . . der Größe und Bichtung nach bestimmt. Nun wird die wirkliche Stützung

wiederhergestellt und die der Stabzugfigur O 1 2 3 ... 6 ähnliche Figur 0"l"2"3"... 6" (auch kurz Figur F" genannt) gezeichnet¹); sie ist durch die Bedingungen bestimmt, daß die Verschiebung 6" 6' des Punktes 6 wagerecht sein muß, daß 0" mit (/ zusammenfällt, weil der Punkt 0 festliegt und daß drittens O"6" | 06 ist. Die Strecken l"l', 2"2', . . . geben nunmehr Größe und Richtung der Verschiebungen der Knotenpunkte 1, 2, . . . an.

137. Die Biegun g ślinie eines Stabzuges ist nach Abteilung 1, § 3, Nr. 46, Gleich. (3), das Seilpolygon der Gewichte

(5)

= AX-

sm

tg 9». 4

tg 9»+i-

$m +1

Fig. 361 gibt die lotrechten Durchbiegungen r\m eines Stabzuges mit zwei Stützpunkten A und B an. Es bedeutet dann <pm den Neigungswinkel des Stabes sm gegen die Wagerechte.

771+]

i ⁽Pm+i

A~ >JTl<

JB

VW

TV

TV

TOrrt

Wm+J

Fig. 361.

Aus der Biegungslinie läßt sich der vollständige Verschiebungsplan in derselben Weise herleiten wie beim Fachwerk. Wir verweisen auf Abteilung 1, § 3, Nr. 51.

138. Zeichnerische Ermittlung der Strecken p. Außer dem in Abteilung 1, § 2, Nr. 43, beschriebenen Verfahren, die Strecken p zeichnerisch zu bestimmen, kann auch das folgende von der Biegungslinie eines geraden Stabes ausgehende Verfahren benutzt werden.

Es liege der Stabzug 0 1 2 ... 8 (Fig. 362 a) vor. Er sei zunächst bei 4 eingespannt gedacht.

Man ersetze den gebrochenen Stabzug nach Fig. 362b durch einen geraden Stabzug und zeichne für den letzteren die Biegungs-

linie 0"l'2'.. . 8, nach dem im § 2 angegebenen Verfahren, wobei man natürlich den Knotenpunkten des geraden Stabzuges dieselben Angriffsmomente M zuweisen muß, die sich für die Knotenpunkte des gebrochenen Stabzuges ergeben haben. Die Winkel, welche die Geraden O'l', l'2', 2 3', . . . mit der geraden Stabachse 0 12 3... bilden, stimmen mit den in Kr. 136 durch Rechnung gefundenen Winkeln 4h, 42) 4s> • • • überein, und es geben deshalb die Unterschiede der aufeinanderfolgenden, den Knotenpunkten 0, 1, 2, 3, . . . entsprechenden Ordi-naten die Strecken pl7 p₂, p₃, ... an; sie wurden in Fig. 362b kräftig ausgezogen. Für px wurde in Fig. 362b ein negativer Wert erhalten; alle anderen Werte p sind positiv.

5.

(a)

2.

bi

___i____

•fr

lt

'Ob

-N

Fig. 362.

Wird zunächst vorausgesetzt, es sei tu —1₀ = 0, wird ferner der Einfluß der Schubspannungen vorderhand vernachlässigt, so kann mau entweder die Momentenfläche als Belastungsfläche auffassen und die Biegungslinie nach Fig. 13, Seite 17, als Seillinie mit veränderlicher Polweite EJ auffassen, oder man ersetzt die M-Fläche nach Seite 15

Je

durch die M

-Fläche, wo Jc ein beliebig großes konstantes Trägheitsmoment ist und findet dann die Biegungslinie als Seillinie mit der unveränderlichen Polweite EJC. Sollen die Durchbiegungen in v-fâcher Vergrößerung gewonnen werden, so ist die Polweite EJ zu ersetzen

durch —- •

Es soll nun gezeigt werden, daß es nur einer geringen Abänderung der Belastungsfläche bedarf, wenn der Einfluß der Schubspannungen berücksichtigt werden soll. Wir haben offenbar nur nötig, die an den Endquerschnitten des Stabes sm angreifenden Momente Mm_x und Mm durch zwei Momente M'm_x und Mm" zu ersetzen, welche den Gleichungen genügen:

(6)

6 EJm

2 M'

Mm- 1    2 Mm

6 EJm Mm ~~ j⁻ 2 Mm _ i

Sm ["

xM (Mm — Mm_})

6 EJm

6 EJm

Sm -I

GFmsm

xm (Mm. \ — Mm) GFmsm

weil dann die Ausschlagwinkel xm und xj der beiden Stabenden die durch die Formeln (1) und (2) vorgeschriebenen Werte annehmen. Aus (6) folgt aber

(7)

Af m—\ Mm-l | ßm Mrn — Mm ßOT (Mm

— Mm)

wo

(8)

“1

---X-

T ~T

"•N

So

'77t

Fig. 363.

Da nun

M'm_ i -j- Mm' = Mm-1 -f- A/Wi

ist, so wird die Verbindungslinie (gj) der Ordinaten M m der Verbindungslinie (gm) der Ordinaten M,

Mittelpunkte geschnitten, Fig. 363.

Die Ordinate Y' der Geraden (gj) ist im Abstande a: rechts von

der Stabmitte

von

n-\

und M" und Mm in ihrem

-1

Y'= 4- (JC + Jf

-    sm

= }(«. +«-,) + («„ — l/».,)(l+2ß.)

Mit der Bezeichnung

(9)

gibt dies

2(1 —2 ßm)

r'=

IM

iCn-l

Hieraus folgt:

Die Gerade (gj) besitzt bei x = em die Ordinate Mm und bei x — — em die Ordinate Mm _,.

Der Abstand em ist nur von den Abmessungen des Stabes abhängig; er bleibt also für alle zu untersuchenden Belastungsfälle derselbe.

wenn die Polweite gleich EJC ge-

Der Einfluß von tu — tQ wird nach Seite 15 bestimmt. Die Belastungshöhe beträgt 6 EJC ^ macht wird.

§ 28.

Berechnung statisch unbestimmter biegungsfester Stabzüge.

139. In den folgenden Aufgaben gehen wir von den allgemeinen Gleichungen

La + K — Kt = hma — xabaa — xbKa — xcKa

(1)

X.K.—...

Lb —(- Sj ⁼⁼ 2Pmhmb Xahab Xbhbb Xchcb — . .. Lc + 8C —    =    2Pmbmc — XaKo — Xhhic

aus; sie liefern die statisch unbestimmten Größen Xa, Xb, Xc ... nach Aufzeichnung der Yerschiebungspläne für die Zustände Xa — — 1, Xb — — 1, Xc = — 1 ... und des Yerschiebungsplanes, der die von den Temperaturänderungen herrührenden Yerrückungen 8a(, hbt, bct . . . bestimmt.

140. Stabbogen mit zwei Gelenken, Pig. 364. Als statisch unbestimmte Größe führen wir den Horizontalschub Xa des rechten Auflagers ein. Der Einfluß einer Einzellast Pm auf Xa ist

Xa = Pm

Der Verschiebungsplan für Xa = — 1 ist bereits *in Nr. 136, Eig. 360, ganz allgemein für einen unsymmetrischen Träger beschrieben worden. In Fig. 364 haben wir Symmetrie angenommen. Wird dann der Stabzug zunächst im Scheitel C eingespannt gedacht, so schrumpft die Figur F" zu einem Punkte zusammen und man braucht zur Erfüllung der wirklichen Auflagebedingungen nur den Pol von 0' nach dem Punkte 0' zu verlegen. Es empfiehlt sich, mit den EJC-fachen Verschiebungen zu arbeiten, wo Jc ein beliebiges Trägheitsmoment ist.

i/

\i

ii

-i*

Ä,

«S¹

----»

eil

-/W”¹------h? \

/l__i—Î—-1-Ä-

4- -H—1—

»ma

na-

I:

f?

Fig. 364.

Haben mehrere Stäbe gleiche Querschnitte, so wählt man deren J zum Trägheitsmomente Jc. Bei der Berechnung der    und ^ ist der

Scheitel C als Knotenpunkt aufzufassen. Dem Stabstücke C 3 entspricht also

JI/3 = Mc = y 31

^4 =

(M3 -j- 2 Mc)

p4 = 'V^r

ferner ist

v=-

Die Einzellast P₃ erzeugt

(2M₃ + Mc)^-

Xa = l\

^3o

s„„

Dreht man P₃ um 90° nach rechts und weist man ihm den Punkt 3'

des Verschiebungsplanes als Angriflspunkt zu

so ist P₃53a das Moment

der Kraft P₃ um den Pol 0. Beschreibt man um 0 einen Kreis vom Halbmesser §sa, bringt P₃ mit dem Kreise zum Schnitt und zerlegt es dann in die zueinander rechtwinkligen Seitenkräfte P₃ und P₃", deren erstere den Kreis berührt, so erhält man Xa — P₃'. Dieser Wert ist positiv, wenn P./ rechts um 0 dreht. Will man den am linken Kämpfergelenke angreifenden Horizontalschub haben, so muß man den Pol 0 von 0' nach l' verlegen. Die Übertragung der um 90° gedrehten Lasten P in den Verschiebungsplan ist von Vorteil, wenn es sich um die Wirkung einer ganzen Gruppe von Lasten handelt. Man setzt die an den Punkten l', 2', .. . angreifenden Lasten zu einer Mittelkraft R zusammen, berechnet deren Momente M₀’ und Ap um die Punkte 0' und l' und findet dann für die in (Ü und E angreifenden Horizontalschübe die Werte

Mr

bzw.

In Figur 364 b wurde noch die Biegungslinie A 1 2 3 ... B gezeichnet und angegeben, wie man den Verschiebungsplan Fig. 364a aus der Biegungslinie herleiten kann. Man beginnt mit den Punkten 3' und 4', die im gegenseitigen Abstande

A s₄

-V₄5₄

PP₄

EJC = 1 • s₄

Je

in der Wagerechten 3—4 an beliebiger Stelle angenommen werden.

Die Biegungslinie ist die Momentenlinie eines mit den Gewichten . belasteten einfachen Balkens. Mit

wx, uf₂, iv₃, . .

Mm = ym, JSTm = cos und

Asm

cos cpm

EFm

ergibt sich nach den Formeln (1), (2), (3), (4) Seite 479 mit F\ x = Fs:

Vm    ym+1

G P^(m + 1) ^»1 +1

wm

6EJm

s«-f

6 EJm

+i

GFsmsm

sin <pm

sin <p

»i+i

EFm

EF,

m -f-1

wofür man auch schreiben kann

(2) wm

ym-1 | 2 ym

6EJm

-f

6 EJm

A)

GFsm EFm /

sin cpm+i (

b>

Es empfiehlt sich die EJC-fachen Durchbiegungen darzustellen und zu diesem Zwecke die Werte ivm mit EJC zu multiplizieren, wo Jc ein

EF,

beliebiges unveränderliches Trägheitsmoment bedeutet. In der Regel sind

EJC

auch die Feldweiten X gleich groß. Dann multipliziere man wm mit — - .

A

-fachen Durchbiegungen zu erhalten. Mit der Bezeichnung Jm - Jm COS <f)m

um die

EJC

erhält man im letzteren Falle

(3) ivm — (ym_x -f 2tjm)

Je

ßjm'

(Vm +1 +2 t/m) -

Je

6 J'

m+\

E Jc    Jc

G Fam    F

:)

sin cp

m -fl

E Jc

Je_\

Fs

Für die den Stäben sm und sw+1 entsprechenden Werte Jm' und darf man stets einen Mittelwert einführen, dem wir den Zeiger m beilegen wollen, weil es sich um das Gewicht des Knotenpunktes m handelt. Dasselbe geschehe mit den Werten Fa und F. Dann entsteht

J'

m -f 1

(4)

«’m =

— (ym-\ + 4ym-\- ym+0 0

Je

Jj

sin <pm — sin o

m -f 1

E    Jc__Jc

G Fam    F

wofür man auch schreiben darf

sin ç,„

E Je    Je X

G Fam    FmJ

Im Yerschiebungsplane, Fig. 364a, muß man an Stelle der Asm die

EJC N~m sm Je

EFm ~ Fm

Hinsichtlich der Einheiten sei folgendes bemerkt. Rechnet

v..,    EJo

mit Tonnen und Metern, so erhält man -f-— der EJC-fachen Durchbiegungen ist daher tm², und ebenso erhält man EJC

(5)

(6)

auftragen.

man

wm =

Je

EJC

ksm =

— sin <pm+1 /

X    V

in tm. Die Einheit

Je

A.sm = 1 • ■— = tm².

Die Momente M = 1 • ym und die Gewichte wm Einheit tm.

Liegen die Knotenpunkte eines Stabzuges in einem Kreisbogen Halbmesser r, so weicht der gegenseitige wagerechte Abstand der Mittelpunkte der beiden Bogenstücke (m— 1) — von X ab, daß man setzen darf

besitzen dieselbe

vom

und m — (m -f 1) so wenig

Die Gleichung (5) geht dann über in

(8)

Je

-(

r \

Je

Jç\ Fm )

Fsm

In der Regel ist es zulässig, für einen konstanten Mittelwert, den man dann zum Trägheitsmomente Jc wählen wird, einzusetzen und für Fm und Fsm ebenfalls unveränderliche Durchschnittswerte Fs und F anzunehmen. Dann ergibt sich sehr einfach

(9)

Wm =

Je

wo abgerundet

Fs

■).

ö=²-⁶-

Die Ordinaten der Biegungslinie werden am schnellsten durch Rechnung gefunden.

Infolge gleichmäßiger Erwärmung verschiebt sich der Punkt a des statisch bestimmten Hauptsystems gegen den festgehaltenen Endpunkt 0 um

— * tl.

Gleichmäßige Erwärmung des Zweigelenkbogens erzeugt also

Ztl

Xi =

1 hx

^a a    ^aa

Wird haa einem die entnommen, so muß

EJC

-fachen Verschiebungen liefernden Plane

Xat =

eEJj.l

gesetzt werden.

141. Stabbogen mit einem gelenkartigen und einem eingespannten Kämpfer, Pig. 365. Als statisch unbestimmte Größen führen wir 2 Seitenkräfte Xa und Xb des Kämpfergelenkes ein. Xa sei wagerecht angenommen. Die Richtung von Xb soll so gewählt werden, daß hab = 0 wird. Das statisch bestimmte Hauptsystem ist ein am rechten Ende eingespannter Freiträger. Das Kämpfergelenk, dem wir die Bezeichnung a oder^è beilegen, je nachdem wir es als Angriffspunkt von Xa oder Xb besonders hervorheben wollen, verschiebe sich gegen das ruhend angenommene rechte Widerlager im Sinne Xa = — 1 um ha und im Sinne Xb = — 1 um Dann ergibt sich

— 5«

Xb

Für den Zustand Xa = — 1 ist Mm = 1 • ym und Nm = 1 • cos <p,„. Nach Berechnung der x, x', AÏ, d», p wird der Verschiebungsplan Fig. 365a gezeichnet und nun wird Xb rechtwinklig zu der Verschiebung Oa angenommen, die der Punkt a im Belastungsfalle Xa = — 1 erfährt. Dann wird bba gleich Null. Last P₅ erzeugt

Xa = P,

&.«

So«

Dieser Wert ist negativ, weil baa denselben Sinn hat wie die Last Xa = — 1, während 8₅„ den entgegengesetzten Sinn hat wie P₅.

2,

St

1.

io°' ^b

M"

cP

rn

.2'

13'

S,

l OS

Ik

Sf

(b)

ß'

/ oz—

5cv 6 OX

^sb

eut

'S

Fig. 365.

Nun berechnet man für den Zustand Xb —    1 die Momente

Mm = 1 • yj und Längskräfte Nm = 1 • cos <pw', zeichnet den Verschiebungsplan Fig. 365b und findet

Xb = P,t—

von

Dieser Wert ist positiv, weil hbb den entgegengesetzten Sinn Xb = — 1 und hbb den entgegengesetzten Sinn von P₅ hat.

Die beiden Verschiebungspläne lassen sich auch, wie in dem vorigen Beispiele, aus Biegungslinien herleiten.

142. Der an beiden Enden eingespannte biegungsfeste Stabzug. Wir betrachten zunächst den symmetrischen Stabzug 0 1 2 3 ... 8 in Fig. 366. Durch geeignete Wahl der drei statisch unbestimmten

Größen Xa, Xb, Xc soll erreicht werden

z)

■§/

7,

daß hab = hac = hbc = 0 wird. Man vergleiche die entsprechenden Untersuchungen in Abteilung 1,

§ 11.

Wir schneiden den Stabbogen im Scheitel durch, befestigen mit den Endcjuerschnitten 4 der linken und rechten Bogenhälfte die starren Scheiben I und II und bringen an jeder der beiden Scheiben ein Kräftepaar mit dem Momente Xa und zwei Einzelkräfte Xb und Xc an, Fig. 367. Die Belastungszustände Xa — — 1 und Xc = — 1 sind symmetrisch, der Belastungszustand Xb — — 1 ist antisymmetrisch. Es entstehen also

Fig. 366.

Xc

(I)

\8_

bei

xi> \Vcb

Fig. 367.

iXXa.

(X)xc

->■

für Xa~ — 1, für entsprechende Querschnitte links und rechts vom Scheitel gleiche Momente Ma und gleiche Kräfte Na und Qa; und dasselbe gilt für den Zustand Xc — —1. Dagegen ergeben sich beim Belastungsfalle Xb = — 1 für beide Bogenhälften entgegengesetzt gleiche Momente Mb und Kräfte Xb, Qb. Daraus folgt aber, daß

xds

MaMx

ds

+j KN,

ds

■j-J QaQ,

⁶ EJ

ist, und ebenso verschwindet SLc.

Damit nun auch 8ac = 0 wird, muß der Angriffspunkt b, c von Xb und Xc die Verbindungsstrecke der Pole (I) und (II) halbieren, um welche sich die Scheiben I und II im Belastungsfalle X„ = — 1 drehen.

Wir beginnen mit dem Verschiebungsplane für den Belastungszustand Xa = —1, Fig. 368. Das statisch bestimmte Hauptsystem besteht aus zwei bei 0 bzw. 8 eingespannten Freiträgern. Den Stabzug 0 1 2 3 4 verlängern wir um einen starren Stab si: welcher den Knoten-

FF

GF

punkt 4 mit dem vorläufig noch unbekannten Pole (I) der Scheibe I verbindet. Sodann strecken wir den Stabzug aus und leiten aus seiner Momentenfläche — einem Rechtecke von der Höhe (— 1) — auf dem in Nr. 138 beschriebenen Wege die Strecken p her²). Durch Aneinanderreihung der Strecken p1; p₂, p₃, p₄ bestimmen wir die Verschiebungen Ol', 02', 03', 04' der Knotenpunkte 1, 2, 3, 4 und finden der Bedingung, daß die Verschiebung des Punktes (I) gleich Null sein soll, die dem Stabe entsprechende Strecke p². Die Länge des Stabes s,-bestimmen wir mit Hilfe der zwischen 4 und (I) geradlinig verlaufenden Biegungslinie des ausgestreckten Stabzuges und können jetzt die Lage des Punktes (I) mit Hilfe der Bedingung s{ _j_ p² angeben, ferner den Winkel hu

aus

den sich die Scheiben I und II im Belastungsfalle

um

Xa — — 1 gegeneinander drehen. Es ist nämlich

5«« —    — 2 —•

Si

'S

\0

Aa.

?7.

ZT

_o

*/ Si (i)

3'

Çsl

\?i

Fig. 368.

Die andere Hälfte des Verschiebungsplanes ergibt sich aus der Symmetrie³). Eine Last Pm erzeugt

Xa =

p .

M rn c²

Bildet man das Kräftepaar, dessen Moment Xa ist, aus zwei wagerechten, in den Punkten 4 und (b, c) angreifenden Kräften Z, so ergibt sich, wenn c den Abstand des Bogenscheitels von den Geraden (I)—(II) bezeichnet,

Z— Pm

Pm

und dieser Ausdruck läßt sich mit der aus der Figur 368 zu ersehenden Bezeichnung 5; umformen in

Z— Pm

Kr

5.

-X₃-

dl

■ocz

/9%\

iA * cc,

.7

A'

Cf

>6'

7'

•f/

-Â⁰

—,    \¹ Sz |2 S₃

in

3T7T7

|?2_

\?3

<v

Fig. 369.

Nun werden die in den Figuren 369 und 370 dargestellten Verschiebungspläne für die Zustände Xb — — 1 und Xc — — 1 gezeichnet und die Kräfte

X₆ — Pm und

Xe = Pm

gefunden. Im Belastungsfalle Xb = — 1 entstehen links von der Mitte Momente Mm = —- 1 • xm und Längskräfte Nm — — 1 • sin <pm, rechts von der Mitte gleichgroße positive Werte M und N. Dem Belastungsfalle Xc = — 1 entsprechen Momente 1 • ym und Längskräfte -j- 1 • cos <pm. Als Zeichenprobe dient die Bedingung, daß sich 8ca = 0 ergeben

Es dürfen sich also im Belastungsfalle Xc = — 1 die beiden

Da nun beim sym-

muß.

Scheiben I und II nicht gegeneinander drehen.

metrischen Bogen 5„c — 2 p ist, so folgt p=0, es müssen also die beiden äußersten Tangenten der elastischen Linie in Fig. 370 parallel sein. Dies ist nur der Fall, wenn der Inhalt der Belastungsfläche gleich Null ist. Hieraus folgt

Je

y—rds = 0.

J J

Je

Schreibt man also den Stabzugteilchen ds die Gewichte ds

so ist die Wirkungslinie der Kraft Xc die wagerechte Schwerachse des Stabzuges.

zu,

r—

y₃

.6

<$cc

cc

Uo

g₃

3‘

’ö'

ya

mm

g₃

gz

6'

4,\\

/'

7'

gz

0\

TT

Pz

Fig. 370.

Infolge gleichmäßiger Erwärmung entsteht hat = 0, bht = 0,hct — ztl, l die Stützweite bedeutet. Mithin ist

ztl

Xat = 0, Xbt = 0, Xct = l-^--

Das linke Widerlager drehe sich gegen das ruhend angenommene rechte Widerlager um ha, es verschiebe sich in lotrechter Richtung um bb nach unten und in wagerechter Richtung um hc nach links, entsteht

wo

Dann

Xa =

IN

¹ 5» ’

Ist der Bogen unsymmetrisch, so braucht der Schnitt, an dem xa, Xb, Xc angreifen, nicht im Scheitel geführt zu werden. Es müssen die Biegungslinien für beide durch den Schnitt getrennten Bogenteile

gezeichnet werden. Nach Ermittlung der beiden Pole (I) und (II) für den Zustand Xa = — 1 bestimmt man den Pol von I gegen II auf die in Abteilung 1, § 11, Nr. 117, beschriebene Weise und wählt diesen Pol zum Angriffspunkte b,c von Xb und Xc. Hat man willkürlich über die Richtung der einen dieser beiden Kräfte verfügt, z. B. über die Richtung von Xb, so wählt man die Richtung von Xc rechtwinklig zu der Verschiebung, welche der Punkt b,c im Belastungsfalle Xb — — 1 erfährt. Hierdurch erreicht man, daß hbc = 0 wird*).

Das zur Untersuchung des an beiden Enden eingespannten Stabzuges angewandte Verfahren ist auch für den geschlossenen Stabzug, an dem sich gegebene äußere Kräfte das Gleichgewicht halten, brauchbar.

Denkt man sich diesen Stabzug an irgendeiner Stelle C eingespannt und schneidet man ihn an irgendeiner anderen Stelle auf, Fig. 371,

so kann man die an den Querschnitten A wirksamen Xa, Xh, Xc genau wie vorhin bestimmen.

Eine einfache analytische Berechnung des an beiden Enden eingespannten und des geschlossenen Stabzuges, unter der meistens zulässigen Vernachlässigung des Einflusses der Längskräfte N und Querkräfte Q auf die Formänderungen hat Verfasser in seinem Buche „Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen, dritte Auflage 1904, Seite 119 —139“ mitgeteilt.

143. Der Eingelenkbogen, Fig. 372, kann als Sonderfall des in Nr. 142 untersuchten Bogenträgers aufgefaßt werden. Man hat nur

AA

(X)

(I)

b,c

Fig. 371.

rrf>

Fig. 372.

nötig, Xa = 0 zu setzen und den Angriffspunkt von Xb und Xc nach dem Bogenscheitel zu verlegen.

*) Abteilung 1, § 5, Nr. 64.

144. Die Darstellungen in Nr. 141, 142, 143 gelten für beliebig geformte Stabzüge, lassen sich also auch für die Berechnung der in den Figuren 373, 374, 375 abgebildeten Tragwerke verwerten, welche der Reihe nach aufzufassen sind als Zweigelenkbogen, als an beiden Enden eingespannter Bogen, und als Eingelenkbogen, den Belastungsfällen Xa — — 1, Xb = — 1, Xc = — 1 spannungslos.

Die Ausleger bleiben in

M-

Fig. 374.

Fig. 373.

wz    wz

Fig. 375.

Als Beispiel haben wir in Fig. 376 den Yerschiebungsplan für den Belastungszustand Xa — — 1 der linken Hälfte des an beiden Enden eingespannten Stabzuges vorgeführt. Die Strecken p₁ p₂ . . . bis p₇ wurden mit Hilfe der elastischen Linie des ausgestreckten Stabzuges bestimmt und aneinandergereiht. Die A s sind gleich Null. Greift in einem Punkte m des Querschnittes 6, im Abstande k von Punkt 6, eine Last Pm an, so findet man den Punkt m im Yerschiebungsplan mittels der Bedingungen: 6 ni [ 6 m und

6 'm = pOT = ä:t₆,

wo r₆ den als verschwindende Größe aufzufassenden Neigungswinkel der Tangente der elastischen Linie des ausgestreckten Stabzuges im

Ebenso findet man für die Punkte 8, 9 und r

Punkte 6 bedeutet, des Auslegers

+T71

*4t4t

■&

'si

(I)

(Z)

sz

S,

r=7

»7

mną

ft

(V

ST

Si

ft

9’9

Vs

?6

~'T

8'

Çr

Zs

nk

/

>⁴'

ft

5'

ft

■?«

"?7

P'

m

Fig. 376.

145. Ein gelenkloser Rahmen (Fig. 377) besitze ein festes und ein wagerecbt verschiebbares Auflager und sei durch beliebig gerichtete Lasten P, deren Angriffspunkte zum Teil außerhalb der Stabachse liegen mögen, beansprucht; er sei symmetrisch in bezug auf die Senkrechte durch die Mitte⁴). Wir schneiden den Rahmen im Scheitel auf, bringen, genau wie bei dem an beiden Enden eingespannten Bogen, an den beiden Querschnitten 13 die starren Scheiben I und II an und belasten sie nach Fig. 367 mit Xa, Xb, Xc.

Figur 378 zeigt den Yerschiebungsplan für den Zustand Xa — — 1. Die Angriffsmomente sämtlicher Querschnitte sind gleich 1. Es ist durchweg N — 0, also As = 0. Die Punkte der Achse des unteren wagerechten Balkens verschieben sich nur in lotrechtem Sinne. Es genügt also für diesen Balken, die elastische Linie zu zeichnen. Der Stabzug 0 19 18 17 16 15 14 13 wurde ausgestreckt; seine elastische Linie bildet im Punkte 0 mit der Lotrechten denselben Winkel a, den die elastische Linie des Balkens 0—6 imPunkte 0 mit der Wagerechten einschließt. Nach Ermittlung der Werte p wurden die Punkte 19 , 18", 17*, 16', 15', 14', 13" des Yerschiebungsplanes festgelegt. Die linke Hälfte des Yerschiebungsplanes ist das Spiegelbild der rechten Hälfte.

¹

Siehe Abteilung 1, § 1, Nr. 33 u. 34.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

²

Die Eintragung der Geraden (gm) und {[/,»), vergleiche Figur 363, haben wir in Figur 368 bis 370 unterlassen.

³

In Fig. 368 wurde der Verschiebungsplan in größerem Maßstabe gezeichnet wie die Biegungslinie.

⁴

Wir machen diese Annahme, um einfache Figuren zu erzielen. Die geringe Abänderung des Verfahrens beim unsymmetrischen Rahmen, ergibt sich ohne weiteres aus der Untersuchung des imsymmetrischen gelenklosen Bogens.

Prrv

TTt

Fig. 377.

(I)

13

H -T/s g/»

ijt

! g/J 'V

15_

g/g !,

1G_

1313

IL

17

18

-■17

18JZ

'l

lSi

■■9

■A

-19

—I-

=0

---<&)

&\'Au>

l_Z2 ZjJCO, Z f

wm^

■A-

OP"⁸

TTb \

mf iv

g//

V|

9/5'

%1Z

Ç,5

?i

o/</'

g«

«*

Aî'i

>«/

Fig. 378.

Punkt m wurde mittels der Strecke ll/w =kx₁₁ bestimmt, wo t₁₁=t₁₅. Die Ermittlung der Punkte (I) und (II) und die Berechnung von Xa geschieht wie in Nr. 142.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

Fig. 379 stellt den Verschiebungsplan für Xb =— 1 dar. Die Momentenfläche des Balkens 0—6 besteht aus zwei Dreiecken. Für

die Endquerschnitte ist Mb = + ~ l. Für die wagerechten Stäbe ist

As = 0. Der Stabzug 0—16 wird durch die Kraft 1 gedrückt, der

13

i*

fr*

frs !

IL

15

12.

18.

19.

s,

bb

frs

frs

■H

>16

¹13'

/Z'

T7V

16

1? Ifislis 1Z [z/Pt

-■■17

-18

7t

-■9

-19

■-7

■f f f f

'i !

rÔ/7'

15'

TTV

'mb

— 13'

Fig. 379.

Stabzug 6—10 gezogen. Die hierdurch erzeugten As sind in der Figur berücksichtigt worden; sie dürfen aber in der Regel vernachlässigt werden.

Fig. 380 zeigt den Verschiebungsplan für Xc — — 1. Der untere Balken 0—6 erfährt einen Druck von der Größe 1, der obere einen gleichgroßen Zug. Die entsprechenden As sind berücksichtigt worden, dürfen aber in der Regel vernachlässigt werden.

Die vorstehende Aufgabe ist wichtig für die Berechnung der Querrahmen eiserner Brücken. Liegt der Stützpunkt A unterhalb des Punktes 0 im Abstande e von 0, Fig. 381, so ist die Verschiebung des Punktes 0 nicht mehr gleich Null. Die Verkürzung der auf Druck

ft*

13

15

16

16 15 11

1313 1Z

777

ft

= 17

Co

ti

13'

-8

19..

Cu,

-■7

--1'

&mc

<JO'. -il_§L-XĄ

19' [18‘    J7‘ 16!

inT-T”'

JlZ'

13' V---

SCC

I3⁷\

Fig. 380.

beanspruchten Strecke A0 darf man stets außer acht lassen; es bleibt also nur die wagerechte Verschiebung des Punktes 0; sie beträgt e(X, den Neigungswinkel der elastischen Linie des

wo a

Balkens 0 6 im Punkte 0 bedeutet, und kann durch

eine Verlegung des Pôles des Verschiebungsplanes berücksichtigt werden. Je nachdem sich 0 nach rechts oder links bewegt, muß der Pol um ea nach links oder nach rechts wagerecht verschoben werden. Hiernach ist der Pol zu verschieben

im    Falle    Xa — —    1    um    e a    nach    links,

„    Xb = —    1    *    ect!    „    rechts,

*    X„ = —    1    „    ea

Zweifach statisch unbestimmter Stabbogen mit zwei Öffnungen. Es liege das in Fig. 382 dargestellte unsymmetrische Tragwerk vor. Als statisch unbestimmte Größen Xa und Xb führen wir zwei Seitenkräfte der aus den Stützenwiderständen C und H gebildeten

32*

Fig. 381.

links.

146.

Mittelkraft ein und übertragen die Kräfte Xa und Xb auf die in Figur 883 beschriebene Weise durch starre Stäbe auf die Stützpunkte 4 und ICK Wir erzeugen dadurch

und

H = Xa — Xb cos a

C = Xb sin a.

s.

ß )P

___

'///A

Fig. 382.

Den Winkel a wollen wir so wählen, daß Sa& = 0 wird, daß also ^ P,A>mg t - 5g - -5«

Xa =

&««

Xb

^bb

6__-7

1.

X,

aJ

Ji

%--*

(a,b) J ■^cc

JO

Fig. 383.

Den Belastungszustand Xa — —1 zeigt Fig. 384, den Zustand Xb = —1 Fig. 385. Beziehen wir die Verschiebungen auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz, dessen Ursprung im Punkte 0 liegt und dessen eine Achse durch den Punkt 10 geht, so sind die Arbeiten La und Lb der am statisch bestimmten Hauptsysteme angreifenden Stützkräfte gleich Null. Ändern sich nun infolge des Nachgebens der Widerlager die in der Figur mit l und li bezeichneten Abmessungen um A1 und A7z, so

verschieben sich die Angriffspunkte a und b von Xa und Xb im Sinne von Xa — — 1 bzw. Xb — — 1 um

K = AÏ

hb = — A7ï sin a — AZ cos a*) und es beträgt daher der Einfluß der Verschiebungen der Stützpunkte:

-j- A li sin a -f- AZ cos a

Xa

— AZ

•1, xh =

• 1.

5.

6__7

Ma

ce

'1---1"

__0_

90°

S CUL

______X

9‘

----

Z'¹

3'<

8'

IZ’

6'

1P7

Fig. 384.

Der Einfluß einer gleichförmigen Erwärmung ist, wegen Ah — stJi und AZ = sZZ

Xat —

8rta

•1, Ab =

— stli sin a — eZZ cos a

• 1.

/A 7^'

y fJsin.oc

yy,

Fig. 385.

Der Einfluß der Lasten

Xa =

2Pmbma

Ab =

8&&

wird wieder mit Hilfe der Verschiebungspläne für Xa = — 1 und Xb = — 1 gewonnen.

8a«

*) Die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte im Falle Aa — ist 1 • AZ bzw. — Ah sin a — AZ cos a.

— 1 bzw. Xb = — 1

Fig. 384 zeigt den Verschiebungsplan für Xa = —1. Schiebungen der Punkte l'2'S'. . . 10' wurden aus der Biegungslinie

Die Ver-

hergeleitet. Punkt 11 bewegt sich in lotrechter Richtung, seine Verschiebung ist ebenso groß wie die des Punktes 4. Die Verschiebung 12 wurde mittels 10' 12' ] 10 12 und 12,4,J_12 4 erhalten. Der

von

Strahl 012" gibt die Verschiebung des Punktes a, b an. Nimmt man

so erzielt man hab = 0. Nun wird in derselben Weise

an

xb±o 12;

der Verschiebungsplan für Xb = — 1 konstruiert. Als Zeichenprobe dient die Bedingung, daß für diesen Belastungsfall die wagerechte Verschiebung des Punktes 12 und damit auch die des Punktes 10 gleich Null sein muß.

Eine andere Lösung, die auch bei mehreren Öffnungen zu einer einfachen und übersichtlichen Darstellung der Einflußlinien führt, wählt zum Hauptsystem den statisch unbestimmten Balken, in den der durchlaufende Bogen übergeht, sobald das eine der beiden Kämpfergelenke dureh ein wagerechtes Gleitlager ersetzt wird. Der Horizontalschub infolge Pm ist dann durch die Gleichung bestimmt:

S«o

H=Xa =

Wir verweisen auf die verwandten Aufgaben in Abteilung 1, § 16.

VIII. Abschnitt.

Der vollwandige Bogen.

§ 29.

Allgemeine Gfesetze.

147. Im Hochbau und Brückenbau ist es fast immer zulässig, einen vollwandigen Bogen durch aneinandergereihte kurze gerade Stäbe zu ersetzen und nach den im vorigen Abschnitte für gelenklose Stabzüge entwickelten Verfahren zu berechnen. Besonders bei unsymmetrischen, auch von schrägen Lasten beanspruchten Bogen zeichnet sich dieser Weg vor anderen durch Übersichtlichkeit und große Allgemeinheit aus. Aufgabe der folgenden Untersuchungen ist es nun, einerseits die Eigenschaft der stetigen Krümmung der Bogenachse zur Herleitung von Formeln für Bogenträger, deren Querschnitte sich nach einfachen Gesetzen ändern, zu verwerten, andrerseits aber auch zu prüfen, wie die Krümmung der Bogenachse das Gesetz beeinflußt, nach dem sich die auf Grund der Annahme eben bleibender Querschnitte berechneten Normalspannungen über den Querschnitt verteilen. Mit dieser zweiten Frage werden wir uns in Nr. 149 beschäftigen. Vorderhand nehmen wir an, es sei der Krümmungsradius der Bogenachse so groß, daß die Spannungen G nach den für den geraden Stab gültigen Formeln berechnet werden dürfen.

148. Angenäherte Bestimmung der Biegungslinie. Die Stabachse sei auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit nach oben positiver senkrechter y-Achse bezogen. <p bedeute den Neigungswinkel der im Punkte xij an die Stabachse gelegten Tangente gegen die x- Achse,

Fig. 386.

Wir gehen von der für den Stabzug gültigen Formel

(1)

ivm = AX —

+i

tgcp

aus

und führen in dieser die durch die Formeln (1) bis (4) auf Seite 479

bestimmten Werte und As ein. Sodann setzen wir

Fig. 386.

Mm.i — Mm = Mm+l = M und

Jm Jm +1 J

m- 1

Mm+t — Mm

Sm + l

.    *

tu U — A t.    T, —

- Qm+1

und erhalten

Fs

(2) Wm

Mm_i -f- 2 Mm 6 EJm

M„+l + 2Mm

6 EJm+i

^IM + l

Qm

Qm+\

Nm

' QF.m GFa(m+}) EFm + £/H*-“t—h £AL

tg ?* +

Nm

EFm+1

2 hm

(m + l)

+1

ztsmtg 9,„ — e^(M+i)tg 9,„₊₁.

oc

Jetzt nehmen wir die Stablängen unendlich klein an, setzen also sm sm .j. i    d s

finden, zunächst für stetig sich ändernde Längskräfte N und Querkräfte Q,

dw

EJ

ds —

H—^    ds -(- ed (ts tg 9).

Die gesuchte Biegungslinie A 'B" ist nun die mit der Polweite 1 gezeichnete Seillinie für eine Belastungsfläche, die an der Stelle x die Höhe

iVrtg 9

(3)

z

dw

-(£) , -( ,

dx EJ cos 9

Gdx

Edx

d²y

h cos 9

dx²

149.

besitzt, wobei allerdings vorausgesetzt wird, daß JV | F und Q F, stetige Funktionen von x sind. In den Punkten, in denen sich diese Werte sprungweise ändern, tritt

zu

der Belastungsfläche noch eine Einzellast

(4)

5-4

Greifen z. B. in m (Fig. 387) eine senkrechte, abwärts gerichtete Last P und eine im Sinne der negativen x gerichtete wagerechte Last P' an, so ist für diesen Punkt

A N = -f- P sin 9 -J- P' cos 9 A Q = — P cos cp -f- P' sin cp.

Für cp = 0 ergeben sich aus den vorstehenden Entwicklungen die im § 2 für den geraden Stab gefundenen Gesetze.

Meistens wird der Einfluß der N und Q auf z vernachlässigt. Dann

(5)

entsteht

(6)

KJ cos 9

ÏP

Fig. 387.

d²y

dx²

<P

h cos 9

Es muß aber hervorgehoben werden, daß die Streichung der von den N und Q abhängigen Glieder nur dann zulässig ist, wenn die Biegungslinie zur Berechnung statisch unbestimmter Größen benutzt wird. Bei der Untersuchung der Durchbiegungen empfiehlt es sich, die JV und Q zu berücksichtigen.

Genauere Ermittlung der Spannungen und Formänderungen sowie des Wertes öijfc¹). Es werde zunächst nur der Einfluß der senkrecht zum Querschnitte wirkenden Spannungen c berücksichtigt und wie beim geraden Stabe die Annahme eben bleibender Querschnitte gemacht.

Der Querschnitt sei auf zwei durch seinen Schwerpunkt gehende rechtwinklige Koordinatenachsen (u und v) bezogen, deren eine (die u-Achse) senkrecht zur Stabebene ist. Die v-Achse sei Symmetrieachse des Querschnitts. In allen von der »/-Achse gleichweit abgelegenen Querschnitten mögen außer gleichgroßen Spannungen a auch gleichgroße Temperaturänderungen t entstehen.

Sind in Fig. 388    und A₂B₂ zwei unendlich nahe Querschnitte,

C\ G₂ = ds das Element der Stabachse, C₁Di — C₂D₂ = -j-1>, DlD₂ = dsv

jr

und ^E$-AxO A₂ = — d9, so ist vor Eintreten einer Verbiegung des Stabes, wenn r den Krümmungsradius der Stabachse bedeutet,

Cx C₂= ds — — rdaj)

DxD₂ = dst, = — (>--v) dy = ds -|- vd<p

und nach einer kleinen Verbiegung

CxC₂ = ds + A ds AxOA₂ - - — (^9 + Ad(p)

DxD₂ = dsv -f- Adsv = ds -[- A ds -(- (v -f- A t?) (c?9 —{— A <29), woraus nach Streichung der kleinen Größe zweiter Ordnung hvAdcp und mit Beachtung von ds = dsv — ^9:

Adsv = kds -f- Ar^9 —[— A9,

(?)

A,

'O

vz

io

dy

Mo

Fig. 388.

während andrerseits entsteht

(8)

A dsv =

so daß sich ergibt

w+*t =

Ads -j- kvdcp -{- rAc?9

ds -f- vdcp

Dividiert man Zähler und Nenner der rechten Seite dieser Gleichung

durch

ds

d<p. so erhält man

A ds

(9)

ds

r — Ay

Arfo

-v

worein zu setzen

Ai? =

st —

- )

iE '

dv,

wo

— die Wertziffer der Querdehnung ( m    \

▼H !

bis

— für Schweißeisen,

o

Flußeisen und Stahl J bezeichnet.

Den von G abhängigen Teil von At? vernachlässigen wir und setzen Adv = stdv, sodann wollen wir, wie beim geraden Stabe nur solche Temperaturzustände in Betracht ziehen, die keinen unmittelbaren Einfluß auf die Spannungen c haben.

Beim geraden Stabe verschwinden die Spannungen G, sobald t eine Funktion ersten Grades der Querschnittskoordinaten u und v ist. Es können dann durch Temperaturänderungen zwar beachtenswerte Formänderungen, aber nur im Falle statischer Unbestimmtheit Spannungen hervorgerufen werden, sobald nämlich infolge jener Temperaturänderungen äußere Kräfte entstehen. Es fragt sich nun:

welchem Gesetze t — F (i?) muß die Temperaturänderung innerhalb des Querschnittes eines krummen Stabes folgen, damit auch für diesen mit den äußeren Kräften die Spannungen G verschwinden.

Wir gehen von der Gleichung

Adsv — AcZs -j- A y cp -)-i’A^<p

aus, setzen, da auf den Stab keine äußeren Kräfte wirken sollen und G — 0 sein soll,

Adsv = stdsv = — st (g--v) d(p

kds = stsds = — sts rd(p

und erhalten die Bedingung

— st (r — v) — — stsr -j- Ai? -f~ v —

(10)

Wird diese Gleichung differenziert, so entsteht mit A dv = stv

At?9

— s (r

v) dt

dcp

dv,

und hieraus folgt

1 Adę

s d 9

dv

i Ad<p s dtp

ln (r — i?) -J- C.

Weiter ist t — tu bzw. t — t₀ für v = -f- eu bzw. v — — e₀, also

O-t)

Da für v = 0 t = ts ist, so ergibt sich

1 A d<p s d 9

1 Ad© .

- -—ln

C=ts---

ln r und

dy

('-f>

. 1 Ad© ,

— 1„ —I--- — --ln

dcp

(i+- )

und

/ r + «o \ \r — euJ

1 Ad© ,

t„ — tu =---—ln

s d 9

woraus sich mit der Bezeichnung tu — ta = At ergibt:

s A t

Adcp

ln

/ r + *• \

* r — eu)

und hierfür darf, mit e₀ -j- eu — h, stets genügend genau gesetzt werden

Adcp

(11)

d cp

eAt

so daß schließlich folgt

(12)

— ln

Im Falle r — oc entsteht, wegen ln

(■-t)

(18)

das ist die früher beim geraden Stabe vorausgesetzte Funktion.

In der Regel werden die Ergebnisse von (12) und (13) nur wenig voneinander abweichen.

Indem wir in der Folge annehmen, daß sich t nach dem durch die Gleichung (12) dargestellten Gesetze ändert, erhalten wir

A ds = sf₀ds

und, angenähert,

r ,    .    . ds

-i₉_ + e A(—•

Um nun die durch äußere Kräfte erzeugten a, A ds und Adę zu ermitteln, setzen wir, indem wir t= 0 und mithin auch Av — 0 annehmen

A ds — r

Adę

ds

dę

A ds

Adę    A ds

ds

dę

r — v

führen diesen Wert in die Gleichgewichtsbedingungen

ds

N= I odF

M= / a vdF

ein und erhalten die Beziehungen

N    A ds

ds

f"-(

Ad 9    Ads

vdF

ds

àds r

ds

vdF—

Adę A ds

— v v²dF

ds

Aus diesen Gleichungen ergeben sich, wenn

(15)

dF— Z

gesetzt und beachtet wird, daß vdF

vdF = 0,

i--v

■Kt+

v²

dF =

2~

ist, die Ausdrücke

Adę    Ads

Mr

dę

ds

FZ

Ads

äs

EF E Fr

Mit der abkürzenden Bezeichnung

(16)

findet man schließlich

(17)

Ads

ds

EF

(18)

dę

Mr

EF EZ 9?    . Mv • r

Fügt man zu Ads und Ad cp die vorhin gefundenen, unmittelbar von t₈ und At abhängigen Werte, so erhält man für den durch die Gleichung (12) beschriebenen Temperaturzustand Wds

(20)

A ds

EF

{- et₀ds,

(21)

A dcp = —

Mds

ds

EFr

EZ

HA* — .

Im Falle r = oo ist

JvHF

= J, 9Î = N, a =

N . Mv

A ds

Nds

Mds

ds

f st₀ds, Adę =

h ’

es entstehen die früher für den geraden Stab abgeleiteten Gleichungen, welche auch dann noch anwendbar sind, wenn r zwar einen endlichen, aber, verglichen mit dem größten v, sehr großen Wert besitzt.

Es bleibt noch anzugeben, welchen Einfluß der endliche Wert r auf die virtuelle innere Arbeit

EF

Av — J NAds -{- / MAdcp

ausübt. Wir erhalten

EF

d s —j— s t₀ d s^ —(— I M

Mds yids

EZ

EFr

und nach einfacher Umformung

(23) Av =

MMds

—j—J Nst₀ds —|—J —s A tds.

Dieser Ausdruck unterscheidet sich von dem für den geraden Stab auf Seite 99 abgeleiteten Ausdrucke

EF

EZ

NNdx

MMdx

EF

EJ

■f- / Arst₀dx -j-

— s A tdx n

nur dadurch, daß an Stelle von A⁷, J, dx getreten sind: 91, Z, ds. Es folgt also für Sih ohne weiteres die Formel

yiiSRiedS

(24)

EF

M;Mkds

EZ ’

und für die von den Temperaturänderungen abhängige Verschiebung bit der Ausdruck

Soll aucli der Einfluß der Querkräfte berücksichtigt werden, so empfiehlt es sich, die beim geraden Stabe gemachten Annahmen beizubehalten und die Gleich. (24) zu ersetzen durch

(26)

S;*, —

%yikds

xQiQkds

EF

GF

Um uns schnell ein Urteil über den Unterschied der Größen Z und J bilden zu können, setzen wir

t>²

und erhalten

J+vIvSdF+^IvidF+^Iv5dF+ ■ ■ ■

und für den Fall eines bezüglich der «-Achse symmetrischen Querschnitts

v*dF + A-/,v°dF+ ....

mit dF=bdv und J

Für das Rechteck von der Breite b und der Höhe h ergibt sich bh³

12

ih

vAdF = 2b v^dv

bh⁵    3 Jh²

5 • 2⁴    5    2²

Yh

usw.

vGdF= 2 bl v⁶dv

bh⁷ _ 3 JA4 7 • 2 ⁶ ~Y

[¹⁺f (^) +t(^) +t(^) +•••]•

Ist z. B. r = bh, so wird Z = 1,006 J, und es leuchtet wohl ein, daß bei der Berechnung der im Brückenbau und Hochbau vorkommenden Bogenträger stets Z = J gesetzt werden darf. Für die Spannungen a0 und au in dem obersten bzw. untersten Punkte des Querschnittes ergeben sich dann mit v — — e₀ bzw. v = 4- eu die Werte

G₀ =

N M Me₀

!> tag

rF

r-\~e₀

Gu

M . Me»

F rF

r — eu

welche sich auch auf die Form bringen lassen

N M

c₀

(23)

w;

F ' Wu'

wo

w:

W₀

(24)

r -j-

w:=

Wu

r — eu

(25)

Wu = —

1-0 =

Wu

ku

Wo

F ’

Durch die Gleichungen (23) sind die Spannungen a₀ und au auf dieselbe Form gebracht worden, wie beim geraden Stabe. An die Stelle

der Widerstandsmomente W₀ und Wu treten die Werte Wa' und Wu'. Bestimmt man also in der v -Achse des Querschnitts zwei Punkte o und ii in den Abständen

UL

K'=

w:

und ku'

Wo'

Fig. 389.

(26)

<?o =

vom Schwerpunkte, Fig. 389, und bezeichnet mit M° und Mu die auf die Punkte o und u bezogenen Angrilfsmomente, so findet man Mu'

M⁰’

W'

w

rr u

Es liege z. B. ein Blechbogen von 48 m Spannweite, 6 m Pfeilhöhe

und folgenden Querschnittsabmessungen vor: Stehblech 1240 • 12 mm, vier Winkeleisen 140 • 140 • 15 mm, sechs Gurtplatten (drei in jeder Gurtung) 440 • 15 mm. Nietstärke 26 mm. Die Mittellinie sei ein Kreisbogen, also

24² —j— 6 ²

2-6

51 m.

Man findet nach Abzug der Nietlöcher

J= 2111097 cm⁴, W₀ = WU = 31 746 cm³, F— 642 cm²,

W

49,4 cm

e₀ ~ e» = 66,5 cm, k₀ = ku

W₀'= 1,003 W₀, k,'= 1,003 ku,

Wu'= 0,997 Wu k₀' — 0,997 k₀.

An Stelle der Funkte d und u darf man in den im Brückenbau und Hochbau vorkommenden Fällen die Kernpunkte 0 und u benutzen und ebenso W₀ und WH an Stelle von W₀', Wu'.

150. Genauere Bestimmung der Biegungslinie. Die auf

Seite 504 entwickelte Gleichung (3) ist durch die folgende zu ersetzen:

9?

EJ EFr

/ cos 9

-(£)

dx

M,

f e² ³.

d²y

dx²

h cos 9

Zu der hierdurch bestimmten Belastungsfläche treten bei Unstetigkeiten der Werte 9t/F¹ und Q / Fs noch die durch Gleichung (4) auf Seite 505 bestimmten Gewichte w, an deren Angriffsstellen sich Spitzen in der Biegungslinie bilden, die zwar sehr stumpf sind, immerhin aber daran erinnern, daß unsere gegenwärtige Spannungsberechnung in der Nähe von Einzellasten und sprungweisen Querschnittsänderungen nur als ein Notbehelf anzusehen ist²).

Die Differentialgleichung der Biegungslinie ist

(28)

d² 5

— z,

dx'²

wobei die Durchbiegungen 5 nach unten positiv zu nehmen sind.

§ 30.

Der Zweigelenklbogen.

a) Ermittlung der Einfluhlinie des Horizontalschubes II—XE²).

151. Gesucht sei die Einflußlinie für Xa infolge lotrechter Belastung, Fig. 390. Das Biegungsmoment an der Stelle x ist

M = M₀ — Xay,

M₀ das Biegungsmoment für den Querschnitt x eines einfachen Balkens A B bedeutet. Für den Zustand Xa= — 1 ist

Ma = y, Na = cos cp, Qa = sin 9,    9?« = cos 9-----

wo

(1)

-s

Hat man mit Hilfe dieser Werte die Biegungslinie für den Zustand Xa — — 1 bestimmt, so findet man für P = 1

xa

wo

(2)

Sa« =

Mïds

EJ

9tgds . r Qgds

EF 'J GFS

\Fm

\rn

_ ±__

oc'

Xa

■H

/,

mœ

Fig. 390.

Soll die 5ma-Linie für eine beliebige Bogenform und mit Berücksichtigung der Veränderlichkeit des Querschnittes ermittelt werden, so empfiehlt sich der folgende Weg. In Gleich. (27), Seite 513, streiche man auf der rechten Seite zunächst das zweite und dritte Glied, multipliziere das erste Glied mit EJC, wo Jc ein beliebiges Trägheitsmoment ist und fasse die EJchma-Linie als die mit der Polweite EJC gezeichnete Seillinie einer Belastungsfläche auf, die an der Stelle x die Höhe MJC J cos 9

r F cos 9

Je

y —

J cos 9

J.

rF cos 9

besitzt. Will man die Biegungslinie in einem verzerrten größeren Höhenmaßstabe erhalten, so muß man die Polweite entsprechend verkleinern*).

*) Ist z. B. der Längenmaßstab 1: 75 und sollen die im Maßstab 3: 1

JEJ,

3-75

dargestellt werden, so ist die Polweite

zu wählen.

Kun zerlege man den Bogen in kurze Stücke st. s₂, s₃ . . . sm . . rechne für die einzelnen Stücke die Mittelwerte

EJC sin ~ GFsm Je tg    /

Fm    V

be-

(3)

(4)

3lm

EJ,c Qm

GFsm

Jc%„ tg <pm

und

cos 9,„ —

Vm

rm

und zeichne mit derselben Polweite eine Seillinie zu der in den Trennungspunkten der Stücke s angreifenden Einzelgewichten

(5)

wm = — (2L+I — SU + (33

<«+i

Die Zusammenzählung der Ordinaten der beiden Seillinien gibt die Durchbiegungen hma.

Den Wert bestimmt man am zweckmäßigsten durch Rechnung. Es ist hierbei nicht nötig, die Integrale mittels der Simpsonschen Regel auszuwerten, es genügt vielmehr, den Bogen in kurze Stücke .sq, s₂. s₃ . . . zu zerlegen und die Formel anzuwenden:

EJcs sin² 9

² sJe

«/cos 9    \

cos <f — F)

F ^

152. Wir gehen jetzt dazu über, für die im Brückenbau und Hochbau besonders wichtigen, nach der Parabel oder dem Kreisbogen geformten Bogenträger geschlossene Formeln abzuleiten. Als die einfachste Annahme für das Gesetz, welchem die Querschnittswerte «7, F, Fs folgen, empfiehlt sich hierbei entweder die Annahme unveränderlicher Werte «/, F, Fs oder die Voraussetzung, es seien J cos 9, F cos 9, Fs cos 9 unveränderlich. Sodann sei vorausgeschickt, daß der Einfluß von 9Î und Q gegenüber dem Einflüsse der Momente von so untergeordneter Bedeutung ist, daß es sich empfiehlt, die Berechnung der von den % und Q abhängigen Glieder so einfach wie möglich zu gestalten. Bei den hier hauptsächlich in Betracht kommenden Stichbogen ist die Abweichung des Parabelbogens vom Kreisbogen so gering, daß ihr Einfluß auf die von und Q abhängigen Glieder unwesentlich ist. Es soll deshalb bei der Berücksichtigung des Einflusses von 9? und Q hinsichtlich der Bogenform jedesmal die bequemste Annahme gemacht werden.

Die Gleichung der elastischen Linie lautet, wenn die EJC-fachen Durchbiegungen für den Zustand Xa = —1 der Kürze wegen mit bam bezeichnet werden,

(6)    S„„ =

GF.

d²bma MaJc EJC

e r- 09

J cos 9

dx

yiaJc

dx

Fr cos 9

Nun ist für den Kreisbogen mit den aus Fig. 391 ersichtlichen Bezeichnungen:

y — r cos cp — c, x" = r sin 9,

d sin 9

d sin 9    1

dx"

dx

(8)

= cos 9 —

'S

sin 9.

«■

lj -

Ai

)c

/r

\ \i

*r-oç

K-

Fig. 391.

Nimmt man also Fs unveränderlich an und ersetzt man F'cos 9 durch den Mittelwert F\ so erhält man

EJC

d(f) <

G dx

\-

F cos 9

dx

Fr cos 9

F Jc 1

GFS r

r²

und die Gleichung der elastischen Linie geht, wegen Ma — y, über in d²bma

(9)

Je

dx²

y--

cos 9

F Je

G Fs

n Je

2 —-

F'

-)•

r /

Wir zerlegen bma in

Der erste Teil, §' von

zweite, b" eines gleichmäßig mit

hängt von den Momenten Ma — y ab, der den 9? und Q. Die »^„„-Linie ist die Momentenlinie

EJe

GFS

belasteten einfachen Balkens; sie ist also eine Parabel von der Pfeilhöhe

„ Jc

2

l² 1

h(

v \

E Jc G ~FS

Ci

'S

)•

Ihre Gleichung lautet

(10)

xx

EJC

Ci

G F,

wo

¹

Zum Teil übernommen aus des Verfassers: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen, § 21.

²

Vgl. auch Seite 14.

³

Wir benutzen bald die eine bald die andere Bezeichnung. Die Bezeichnung X„ ist zweckmäßig, solange mit 8ma und S„„ gerechnet wird. Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

(11)

Die Formeln (10) und (11) sind auch für flache Parabelbogen

brauchbar.

Ersetzen wir nun die h'ma-Linie durch eine inhaltsgleiche Parabel, ein Vorgehen, das sich namentlich im Hinblick auf die im § 28, Nr. 114—117, durchgeführte Untersuchung empfiehlt, so erhalten wir als Einflußlinie für Xu eine Parabel von der Pfeilhöhe

³, / b'madx -1

l²

<25

Je

F.

2.4 V)

F r /

S««

(12)

Der Einfluß von 9? auf §aa ist

Jo

Kids Jc

F’

0ca² d x

Jo C²l F' r*

Der Einfluß von Q beträgt

EJC / Q²ds __ EJC

GFS

Vo

2 r jsin ² 9 d 9 = a 0

EJC

GFS

wo

(18)

9o — Ycos ?o-Bei flachen Bogen darf man auch schreiben

Jsin² 9ds = I sin 9 tg 9dx — (angenähert) f tg² odx 0    0    ô

und erhält, indem man den Bogen als Parabel bogen betrachtet,

also

(14)

Ist z. B. — =

j tg² ydx o

16 f2 3 l

16 f²

—, so liefern die Gleichungen (13) und (14) die

8

nur wenig voneinander abweichenden Werte a = 0,080 und 0,083. Der Unterschied ist unwesentlich. In der Regel darf man also setzen

(15) haa =

EJC

GFS

16 f2 3 l²

Jo

c²

Bei der weiteren Entwicklung wollen wir zwischen Parabelhogen und Kreisbogen unterscheiden.

153. Parabelbogen. Es empfiehlt sich die Annahme eines unveränderlichen J cos 9. Wird dann das bisher beliebige Trägheitsmoment Jc gleich dem Mittelwerte der J cos 9 gemacht, so entsteht

d²h' dx²

Die h'ma-Linie ist die zur y -Fläche gehörige Momentenlinie eines einfachen Balkens; ihre Gleichung ist

„ fl²

4 fx (l— x)

l²

(16)

5'

- G)p

Man erhält

(17)

3/

fl²

10 ’

ferner

(18)

hx

0

15

fl

Die Pfeilhöhe der X(l-Parabel ist also nach Gleich. (12)

(19)

0O =

-fl²-f — (■ 10 7    1    8r\

Jo

2*--)

F ’

16 E Jc f² Jc J G Fs l r Fc

l—₂

und dieser Wert läßt sich auf die Form bringen

(20)

16 f

v,

wo

(21)

feg

Je

F.

îf.)

Fc /

10 E Je l² G Fs

15

+ +_

8 f² r² Fc

Hierbei muß r nach Gleich. (11) berechnet und c = r — f gesetzt

1-f

werden.

Die Kämpferdrucklinie ist eine wagerechte Gerade in der Höhe

y jc =

(22)

Vgl. Abteilung 1, § 7, Nr. 86.

Vernachlässigt man, wie dies gewöhnlich geschieht, den Einfluß der und Q auf 8wa und nimmt man (mit Na — 1)

i    l

« = [M²dx + y l’Nldx = 0 0

: j y²dx-\ Ö

JJ

Fc

JJ

Fc

an, so erhält man

(23)

J°

8 Fef²

Die Ergebnisse der Formeln (21) und (23) weichen nur wenig voneinander ab. Es ist auch gleichgültig, ob man bei der Berechnung von v die Werte J cos <p und F cos cp durch J und F ersetzt.

Ziffer v in dieser Beziehung wenig empfindlich ist, wird die folgende Zahlenrechnung zeigen.

Es sei l = 48 m, f = — l=±

24² + 6²

+ 6

Mit E⁼⁼ 2,6 G liefert Gleichung (21), wenn Jc und Fc durch J und F ersetzt werden,

Daß die

6 m, also

— — 51 m¹), c = r — f — 45 m.

1 + 0,01062 —-- 0,00 721

Fs

Fs

1 + 0,01128

+ 0,04 055 F

Gleichung (23) gibt

3.1,5

4Z\ t i2tcm

Fig. 392.

Anzahl der Gurtplatten

cm⁴

CO Ol rH

2362897

1792228

1247299

ai)

10 J

'    192 F

Der Bogen besitze an der stärkst beanspruchten Stelle den in Fig. 392 dargestellten Querschnitt. Der Inhalt des Stehblechquerschnitts beträgt ohne Abzug für Nietlöcher Fs = 149 qcm.

Nietabzug gerechneten Werte J und F der Querschnitte mit 3 oder 2 Platten oder einer Platte in jeder Gurtung und die zugehörigen Werte v und

Die ebenfalls ohne

3/

= 1.5 v

16 f V

sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden.

cm*

705

573

441

io co co

CO tH OO

co CO (M o o d

,    CO CO t>

K r« %    CO O CO

~ fc, g    ir^oj Qo

t-Tt-To

nach Gleich. (I) nach Gleich. (II)

0,9835

0,9847

0,9862

-t-

0,9829    1,474

0,9840 , 1,476 0,9855 ! 1,478

Sämtliche gewonnene Zahlen v und z sind praktisch gleichwertig. Man wird im vorliegenden Falle z₀= 1,47 7 wählen. Auch kann es sich empfehlen, zur Sicherheit mit zwei verschiedenen Werten v zu rechnen. So werden z. B. die weiteren Untersuchungen zeigen, daß die Kernpunktmomente M° um so größer ausfallen, je größer v ist, während für die Momente Mu ein kleineres v ungünstiger ist.

Aus den Gleichungen (20) und (23) folgt für X„ auch der Ausdruck

M₀dx

Xa

(24)

I tjdx

was aus der auf Seite 395 für die durch einen Balken versteifte Kette durchgeführten Entwicklung hervorgeht.

154. Der Kreisbogen. Hier empfiehlt sich die Annahme unveränderlicher Werte J und F. Mit den aus Fig. 391 ersichtlichen Bezeichnungen erhält man für die EJC-fachen Durchbiegungen die Gleichung

Man erhält also

bmadx = 2 / hmadx"=

— rl\ — 2crcpal\ -j- 2er j cpx"dx"-\-2cr jydx.

ó    ô

Da nun

<ro

d²hma

dx

cos cp

= — r + —

cos 9

und, da dx" = r cos cpdcp ist, d bm a

dx"

— rx" ~\- er cp.

Die Integrationskonstante ist gleich Null, weil für 9 = 0 auch

dx"

0 sein muß.

Nun ist weiter

■ I er²9 cos cpdcp -j- C

rx"²

■j- cr²(9 sin 9 -|- cos 9) -f- C

rx

"2

2--hcr (cpx' + y) + C.

x" = lx muß liefern 5^« == 0, daher

rl\

C — -|— --er (cp₀Jx c)

und

(25)

er (cp₀lx

cpx") -f- cry.

<Po

2 j cpx"dx" — 2r² I 9 cos 9 sin 9^9 = — j 29 sin2 9c?29 0    0

r ²

₌ __(_ 29₀ cos 29o+ sin 29₀)

ferner

ist, so folgt

2 j ydx

= r²y₀ — lxc

2 jbmadx— 2 o

rh

( g l\ — c²) + y 9o c r (c² —1\).

Weiter ergibt sieb

l    <f₀

cp — 2 cos cp₀ cos 9 -f- cos² 9₀) d9

J y²ds = 2 r³J (cos2 o    o

= r³ (sin 9₀ cos 9₀ ~\~ 9₀ — 4 cos 9o s^n 9o ~f~ 2 cos2 9o9o) und nach Einführung von lx und c:

(26)

jy²ds

0

= 9o^³— 3rclx -f- 2rc²9₀.

Man erhält daher mittels Gleich. (12) für den Pfeil der Xa-Parabel

den Wert:

3 er 2    2

9°8/₁C    ^

3r

---2

OO ! CO

E J_ f_ G F, U

AJ

9₀r (r² -J- 2 c²) — Bcrli -j-

Für lx — 24 m, f=6m, r — 51m, c = 45 m, <p₀ = 0,489 958 (28°4/21") ergibt sich

Fs

1418,21 -f- 14,682 —--9,965 —

954,24 -f 10,400

Fs

-f 37,370 —

Wird wieder der in Fig. 392 dargestellte Querschnitt angenommen, so erhält man

2 Gurtplatten 1,464

Mau wird etwa z₀= 1,465 wählen. Die Abweichung zwischen diesem Werte und dem für den Parabelbogen gewonnenen = 1,477 ist unerheblich.

155. Beliebig geformter Bogen. Wir gehen von der Formel

bei

3 Gurtplatten = 1,463

1 Gurtplatte 1,467.

(28)

Xa

So«

Ka

aus

vernachlässigen den Einfluß der Querkräfte Q, ebenso den Einfluß der 9? auf §0a, rechnen also mit

AT„ =

(31)

(29)

So a -

' MaM„ds _ C Mt,ydx

EJ

J eos 9 .

und setzen

(30)

' Mlds

baa J EJ

o

' Eids

y~dx

Kl

’ cos cp dx

J EJ cos cp 0 T 0

EF

Nun machen wir die Annahme, es seien

und

cos 9

kon-

J cos 9

— , wo Jc und Fe das Trägheitsmoment und den Inhalt des Scheitelquerschnitts bedeuten, und erhalten

stant, nämlich gleich - bzw.

Jo

Fc

M₀dx

jydx -f o

Jel

Fef

Der Inhalt der M₀- Fläche für eine im Abstande x von A angreifende Last 1 ist

XX

M₀dx — ₂

Mit der Bezeichnung

ydx =

erhält man

(32)

Xa =

xx

² (s* + $)

Die X„-Linie ist hiernach eine Parabel von der Pfeilhöhe

l²

21 f

(33)

Für den Parahelbogen ist

(34)

für den Kreisbogen

(35)

%y = r²9o — lx C.

Für den vorhin untersuchten Bogenträger (1= 48 m, f = 6m) erhält man:

Parabelbogen %„ =---48-6 = 192m²,

& = 51² • 0,489 958 — 24 • 45 = 194,3808 m².

3 Gurtplatten 2 Gurtplatten 1 Gurtplatte

=    0,335

Kreisbogen Also bei

Je

Fc

0,313

0,283

Parabelbogen z₀ = Kreisbogen

1,479

1,461

1,481

1,463

1,483

1,465.

=

Diese Werte z₀ weichen von den vorhin berechneten nur wenig ab. Man erkennt, daß das Gesetz, nach dem sich J und F ändern, innerhalb ziemlich weiter Grenzen geändert werden darf, ohne daß eine wesentliche Änderung von z₀ entsteht.

ds

Ist die Bogenachse ein Halbkreis, so ist y messer r und die Formel (31) setzt dann ein konstantes J voraus.

dx

gleich dem Halb-

'fr

u-

Fig. 393.

156. Die Kämpferdrucklinie LR, Fig. 393

ist durch die

Gleichung

xa x

bestimmt; sie ist für den Fall einer parabelförmigen Xa-Linie eine wagerechte Gerade. Zu ^ = y gehört A = 0,5 undX„=0o, weshalb

Vh

(36)

4^o

Berechnet man g₀ mittels Gleichung (31), und streicht man das

Glied

Jcl

Fcf

, so erhält man

(37)

y*

Der Inhalt des Rechtecks A LEB ist dann doppelt so groß wie der Inhalt der Fläche

Dem durch die Formeln (20) und (23) bestimmten Werte z₀ ent

spricht

(38)

y* =

157. Zweigelenkbogen mit aufgehobenem Horizontalsehube.

Wird das eine feste Auflager durch ein wagerechtes Gleitlager ersetzt und der Horizontalschuh Xa durch eine wagerechte Zugstange vom Querschnitte Fz aufgenommen, Fig. 394, so wächst 5aa um den der Zugstange entsprechenden Wert

S²as ^ 11 EF ~ EFZ

LP

WM

Fig. 394.

Es geht dann z. B. Gleich. (33) über in

(39)

/²

Je l | Je l

Fe T ^ "F* 1

Bei Dachbindern erhält die Zugstange zuweilen eine leichte Sprengung (Fig. 395). Der Zuwachs von haa beträgt dann

v S“s — y ^ EF

s sec" a

EF

wofür man auch setzen darf Sis

(40)

16 fl

EF EF,

r\

Verfasser rechnet bei Dachbindern mit dem einfachen Werte

88,

(41)

weil die Bestimmung der Hauptlasten, Schnee und Winddruck, auf gröberen Schätzungen beruht und bei den üblichen Pfeilhöhen der Dachbinder der Einfluß der von den Querschnitten Fc und Fz abhängigen Glieder des Nenners von Xa verhältnismäßig gering ist.

T7a

V//.

oc

Ufr.

Fig. 395.

Das Biegungsmoment für den Querschnitt eines Bogens mit gesprengter Zugstange ist

M= M₀ — Xay,

wo y den lotrechten Abstand der Bogenachse von der Zugstange bedeutet. Es ist also $y der Inhalt der von der Bogenachse und der Zugstange begrenzten Fläche.

158. Einfluß schräger Lasten. Durch die Biegungslinie für den Zustand Xa = — 1 und die Änderungen <Ms der Bogenteilchen ds sind die beliebig gerichteten Lasten Pm entsprechenden Verschiebungen §ma bestimmt. Es ist hierbei zulässig, den Bogen durch einen Stabzug zu ersetzen und das im § 28, Nr. 140 beschriebene Verfahren anzuwenden, mit dem Unterschiede, daß strenggenommen die As nicht nur von den Längskräften X, sondern auch von den Momenten M abhängig sind. Für den Halbkreis ist z. B. im Belastungsfalle X„ = — 1

: fei

= 0,

Na — -(- cos a, Ma = y = r cos a, 9? = N — also As = 0.

Die Untersuchung des Einflusses schräger Lasten ist besonders wichtig für die durch Winddruck beanspruchten Dachbinder. Hier handelt es sich aber um Lasten, deren Feststellung, wie schon oben hervorgehoben wurde, auf ziemlich groben Schätzungen beruht. Eine allzu peinliche Ermittlung der hma besitzt daher nur geringen Wert. Es empfiehlt sich die Vernachlässigung der Längenänderungen As. Beachtet man dann, daß die AT„-Linie, das ist die Linie A₀ 1₀ 2₀ 3₀ ... B₀

der Figur 396, als die im Maßstabe §aa — 1 gezeichnete Biegungslinie für den Zustand X„ — — 1 aufgefaßt werden kann, so gelangt man zu dem folgenden, durch große Einfachheit und Übersichtlichkeit sich auszeichnenden Verfahren.

Wird der wagerechte Widerstand HB des rechten Auflagers B gesucht, so besitzt das statisch bestimmte Hauptsystem bei B ein wage-rechtes Gleitlager. Punkt A liegt fest; der ihm im Verschiebungsplane für

Xa = HB = — 1

3'¹

7!s

to

IN

2o

f*

rCf)

'o

-4

-i

-t

-I

⁶⁰ Xi-Linie

5₀

Fig. 396.

entsprechende, irgendwo in der Geraden A₀B₀ angenommene ist der Pol des Verschiebungsplanes. Von X aus wird der Normalen-X Y 2' 3X' b' . . . B' gezeichnet, dessen Seiten Al, 12, 2 3, ...

Punkt X

zug

Greift nun in m eine

zontal schub HB angesucht, so ersetze man

rechtwinklig zu den Sehnen Al, 12, 2 3, ... sind, und dessen Eckpunkte l', 2', 3', ... in den Wagerechten durch die entsprechenden Punkte 1₀, 2₀, 3₀, . . . der X„-Linie liegen, schräg gerichtete Last Pm an, so gibt die Projektion txm der Strecke A m auf die Richtung von Pm den durch eine Last Pm = 1 erzeugten Hori-Wird der Widerstand HA des linken Auflagers A den Pol X durch den Pol B'. Man erhält :

Hß RHa    Rm ß m •

Eine in B angreifende, nach rechts gerichtete wagerechte Last 1 erzeugt H — 1. Es müßte also Strecke XB' — 1 sein. Das ist nun

wegen der Vernachlässigung der As nicht der Fall; der begangene Fehler ist aber belanglos. Bringt man die um 90° nach rechts gedrehte Last Pm im Punkte m an, so ist HB gleich dem Momente von Pm in bezug auf Â und HA gleich dem Momente von Pm in bezug auf B'. wobei die Rechtsdrehung als die positive anzunehmen ist. Greift am Bogen eine Gruppe von Lasten an, so werden die auf die beschriebene Weise in den Verschiebungsplan übertragenen Lasten zu einer Mittelkraft zusammengesetzt.

Figur 397 stellt einen durch linksseitigen Winddruck beanspruchten Bogenträger mit gesprengter Zugstange dar. Es sei

4 fx (l — x)

A‘

ä\

Vs

X—

■T—T

T\

Tt^i'

—I |- —|—

4-

V//

'¥

Fig. 397.

Als X„-Linie darf eine Parabel von der Pfeilhöhe

31 16 f

angenommen werden. Die Mittelkraft der um 90° gedrehten Windlasten ist W. Das wagerechte Gleitlager liege bei B. Es entsteht in der Zugstange der Horizontalzug

AL = Woc.

Kommt der Wind von der rechten Seite, so erzeugt er

= Wß.

In der Folge führen wir für den Horizontalschub die bequemere Bezeichnung H ein.

159. Einfluß der Formänderungen A y auf die Biegungsmomente und den Horizontalschub. Ein Zweigelenkbogen trage die ständige Belastung und habe unter ihrem Einflüsse eine bestimmte Form angenommen, die als gegeben angesehen werden möge; sein Horizontalschub sei Hg. Nun werden weitere' Lasten P aufgebracht. Die Ordinaten y gehen über in y -f- At/. Sollen die A y bei der Berechnung der von den Lasten P hervorgerufenen Biegungsmomente berücksichtigt werden, so muß der Ausdruck

M= M₀ — Hy

ersetzt werden durch

(42)

M= M₀ — Hy — (H -)- Hg) A y.

Die Gleichung der Biegungslinie lautet, wenn der Einfluß der 9Î und Q außer acht gelassen wird, d²ky

dx²

EJ'

wo

J'= J cos cp.

Bei konstantem EJ' entsteht

EJ'

{- + (H + Hg) A y = M₀ — Hy

d²hy

dx

und, mit der Bezeichnung

(43)

, = 1/

EJ'

H+Hg

(44) ’

k²

d²à.y dx²

H+Hg

f(Y

wo

(45)

f(x) —

M₀

y-

Ist f (x) eine ganze rationale Funktion, so entspricht der Gleichung (44) das allgemeine Integral

(46) A y

HY H

- (sin -f- C₂ cos y- -(- f{x) — k²f" ix) t V k    k

Y^f’"\x)--(-•••)•

Durch zweimaliges Differenzieren von (46) entsteht

7. d^y dx

H+H,

;(+Cl

k²

HY Hg

cos --C₂ sin    -j- kf'(x)

—t>f'(.*) + ** f.....(*) — + ..■)

(— Cl sin --C₂ cos    + k²f'(x)

34

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

530

Achter Abschnitt. — § 30.

Nun ist:

(47)

d²ky

dx²

M = — H (cx sin

M — EJ'

d²\y

= (H+Hg)k

^ + C₂cos^-k²f"(x)

+ kif"(x)--f...).

dx²

Bei sehr flachen Bogenbrücken — und nur für diese ist die Untersuchung des Einflusses der A y wichtig — darf man die Annahme machen, es sei die Bogenachse eine Parabel, es sei also

4 fx(l — x)

i² -

Für Einzellasten ist M₀ vom ersten Grade und

d²y

f"(x) =

Mit der Bezeichnung

dx²

l²

(48)

8 fk²

= k²f"(x)

•>'    :r, I

Q = — H (cos ----C₂ sin ~~~)-

Die Integrationskonstanten nehmen innerhalb der verschiedenen Strecken, in welche der Bogen durch die Einzellasten zerlegt wird, verschiedene Werte an.

Greift am Bogen nur eine Last P an, so erhält man mit den aus Fig. 398 ersichtlichen Bezeichnungen für den Teil a:

ergibt sich (49) A y =

(50)

(51)

M=— H

l²

cos —--

u)

#(«

M=— H (Ci sin-^--f- C₂'cos y—

<? = —

für den Teil b:

In beiden Teilen wird M— 0 für x = 0. Diese Bedingung liefert Co — C₂ = u.

Schreiben wir also kürzer C und C' statt C₁ und Cx , so erhalten wir für den Teil a:

M = — H C sin -

• rH

(fl

C cos

für den Teil b:

M=

— H C‘ sin y--u fl

rC

— cos -

r)

C' cos — u sin

JL

_ï_

\*rJC

Fig. 398.

Nun muß aber sein:

mithin :

Mx=a = Mx=

Qx = a “h Qx = b — P

(52)

C sin --C' sin —

= u{^ 1 — cos    — u{^ 1

— cos

(53)

Aus diesen beiden Gleichungen folgt

Pk

sin

1 -COS —r

(54)

sin

Pk

sin

— cos

(55)

C' =

sin

Zur Berechnung von H ergibt sich aus der Gleichung ds² — dx² -f- dy²

genau wie in Nr. 115 die Bedingung

Sf j\ydx*).

0

(56)

A ds

dx

erhalten

Wir rechnen rund mit N — — H, nehmen F konstant an und

àds

ds

f A ds ds²

dx J ds

dx²

dx — —

EF

/[■+(£)

o

dx

Hl

EF

(*+-££)

wofür auch, genügend genau,

(57)

A ds

ds

Hl

dx

EF

gesetzt werden darf. Da nun nach (49) für die Teile a und b:

H+H,

ist, so folgt

H+H,

H+Hg

( Gsin-f -f ucos^-\ k    k

(c'sinT +

M₀

u ,J-U

x M₀

u cos -—--—

k

w)

bzw.

J Aydx = k C ^cos — 1^ -j-

o

. X

u sin — k

+ “sinTj + ' J

0

fcd

M₀dx —

■J ydx

o

— ul,

wofür mit Rücksicht auf (53) auch geschrieben werden darf

H+K

g_

J A ydx = k    + C -f- G ^ — ul-j- ~ J M₀dx —Jydx.

o    oo

Gleich. (56) geht über in

j\ydx

0

8 EFf

G+G' 8 f

“**(■* + k *) Nach Formel (20) und (22) Seite 401.

) + JrJ

0

M₀dx —

J ydx.

o

Setzt man zur Abkürzung

(58)

i

2 fl

so findet man mit j y dx o

(59)

M₀dx

i

J ydx

o

3Pab

4 fl

wo

v' =

3    (ff+g,)Z»    8ft»/8 f \

16 PPf* ^ 2 fl \ l )

Gleichung (59) unterscheidet sich von der auf Seite 520 abgeleiteten Formel (24) nur dadurch, daß an Stelle von

(60)

15 J'

Ff²

der Wert v getreten ist. Wird

J'

k²Ff²

gesetzt und mittels Gleich. (60) j' / Ff² durch v ausgedrückt, so geht V über in

EFf

(61)

v' =

l² 1 —v . k² /

v- + 1’⁶7t(

*)

¹-°-³ *•-

Setzt man noch für C und C' die durch die Gleichungen (54) und (55) gegebenen Werte, so entsteht

(62)

(‘

sin a + sin

TX

sin a

-) + 16

fk \

F tgT’

wo

TS

a = T’

Die Gleichungen (61) und (62) haben eine ähnliche Form, wie die für die versteifte Kette abgeleiteten Gleichungen (30) (Seite 403) und

v und verbessert diesen Wert mit Hilfe der Gleichung (59).

(40) (Seite 405). Man berechnet H zuerst nach der Näherungsformel ZPab

4 fl

Bei flachen Bogen darf man j' durch J ersetzen. Zahlenbeispiel. Es sei 1 = 48 m, f = 6 m, P= 19 t,

a — b = — — 24 m. Jeder der beiden Hauptträger habe den in Fig. 392 2

dargestellten Querschnitt mit J = 2 363 000 cm⁴. Für beide Hauptträger zusammen ist EJ = 2 • 2 150000 • 2363000 kgcm² = 1 016000 tm². Mit F= 705 cm² ergibt sich

Zu

0,983 und

15 J

= 1,5 Pv == 1,5 • 19 • 0,983 = 28,0 t.

3 PI

-v

16 f

Einer ständigen Belastung g = 3 t/m entspricht gi²

v

Ha =

= gU = 3 • 48 • 0,983 == 141,6 = 142 t.

Es ist also

H+Hg = 170 t, k²

Für a = b =

CO

EJ

H+H,

~—l geht Gleichung (62) über in 2

= 5976,47, Ä: = 77,308.

l² ö 2 H

-,

sec —

24

2 2k 77,308

0,3104465 gehört der Winkel 17°47'14”,

tg —= 0,32 082, sec — = 1,05 020.

Li    Li

L₌±.

1²    l : 24

77,308-0,32082    19-905020

Nun ist 16

, also

28

= 0,999351

28

0,05020 = 60,6 tm.

48

= 9,5 • 77,808 • 0,82082

Die gewöhnliche Rechnung gibt

M = M₀ — Hy = 9,5 • 24 — 28,0 • 6,0 == 60,0 tm.

Der genauere Wert M weicht im vorliegenden Falle nur wenig von dem gewöhnlichen Näherungswerte ab. Je flacher aber der Bogen und je größer die ständige Last ist, desto größer ist der Einfluß des Gliedes (H + Hg) Ay.

Ist die Strecke a gleichförmig mit p, die Strecke b gleichförmig mit p belastet, Fig. 399, so erhält man für

u = k²f” {x) = k²

Das Biegungsmoment für den Querschnitt, in welchem P angreift, ist

— u (1— cos

M= — H C sin

<M

(64)

Der Wert C geht für a = ß = — über in

2

1~u^\

Pk

und liefert mit u

(65) M

2H cos

2

das Moment

Pk J X 8fk2 ~YiS~2~

8 fk²

H(secY_1)

Strecke a:

oo

v' =

1 — 0,1-0,621

₂ 0,017 , 5976,47 0,983

H= 1,5Pv'= 28,5'/= 28,0 t.

= 0,981

192

0,000649

Strecke b :

u = k²

)•

ferner für die Strecke a:

M=— H

[c sin *--u — cos —

)]

(66)

(7 cos

— m sin

if+Ą

[Csm| +

u cos

M₀

und für die Strecke b:

M= —

C' sin

u y1 — cos

)]

(67)

<? = —

^. x C cos ---u sm —

H+Hg

C'sinf■+«cos-f +

Mo

Zur Berechnung von C und C' dienen die Bedingungen Mx=a = Mx=b Qx = a    Qx—bi

diese lauten:

(68)

(69)

C sin a — C' sin ß = u (1 -— cos a) — u (1 — cos ß) C cos a -j- C' cos ß = u sin a -\- u sin ß.

Man findet

(70)

(71)

u (cos ß — cos X) -j- u (1 — cos ß)

sin X

u (1 — cos a) -j- u (cos a — cos X)

sin X

Ai

____

\*-æ

Fig. 399.

Zur Berechnung von H dient die Gleichung

Hl 8 f

EF l²

j hydx, o

oder anders geschrieben l

8EFf

■J\ydx. o

Nun ist

H+E

II

A ydx=k[—<7 (cos a — l)-j-wsina — C'(cosß — l)-|-w'sinß]

— ua

— u b    J M₀dx—Jydx

oder wegen Gleichung (69)

^-i-j±ydx = WC+Ć)

o

. =^{y

— ua —

i    i

) +    Modx — fVdx

0 0

wo

(72)

pa -f- p'b

Man erhält wieder

M₀dx

(78)

ydx

wo

(74)

v' =

1 — 0,1

l² 1 —

k²

- + 1,5

k²

fl

(x-ł)

Für den Sonderfall a—b = —

u

pl

p = 0 ergibt sich u -(- u

tg — ” 2

w + «'=    ^ + ¹⁶

22f

fc

Die Annäherungsrechnung liefert

H==ilh

16f

also P

Ißf 1

l²

Daher ist

u -j- u = 16 f

k² 1 — v

l²

und

(75)

j' =

S/¹

(¹⁻²Ttg

)¹—•

Man findet schließlich

(76) v =

[1—0,1

/²    1 — V

⁴    —-4-12

v

k²

T²

/. Ä , A

vTtgY

l)^V

Diese Gleichung hat eine ähnliche Form wie die auf Seite 409 für die versteifte Kette gefundene Gleichung (53).

Während bei der Kette der Einfluß des Gliedes (H -J- Hg) A y ein günstiger ist, insofern die genaueren Momente kleiner sind als die genäherten, liegt beim Bogen der umgekehrte Fall vor. Bringt man nämlich die Belastung auf, die für irgendeinen Querschnitt das Moment M erzeugt, so senkt sich der fragliche Querschnitt; sein A y ist negativ und der Hebelarm des dem positiven Balkenmomente M₀ entgegenwirkenden Horizontalschubes nimmt ab. Bei der das Moment erzeugenden Laststellung wächst y und der negative Bestandteil von M nimmt zu.

Bei sehr flachen Bogenbrücken empfiehlt es sich, mindestens für

den in Fig. 400 dargestellten Fall bei x =

l das genauere Moment

zu berechnen und festzustellen, um wieviel v. H. das genauere Moment größer ist als das genäherte.

Die vorstehenden Ansätze liefern für die A y etwas zu kleine Werte wegen der Vernachlässigung des Einflusses der 9? und Q. In Wirklichkeit sind also die Abweichungen zwischen den genaueren und den genäherten Momenten noch etwas größer.

160. Einfluß einer Temperaturänderung. Wir nehmen eine gleichmäßige Erwärmung des Bogens an und erhalten für einen Bogen zwischen festen Kämpfern

ztl

Ht = Xat

Wir rechnen ungünstig und setzen

Mlds

EJ

~ ifd x EJ' ’

j' = J cos 9.

Dann erhalten wir für einen Parabelhogen mit konstantem EJ'

8 f²l Tb EJ'

(77)

Ht

15 s Ej't

f*

Diese Formel darf auch bei flachen Kreisbogen angewendet werden.

Allgemein ist Jy²dx das doppelte statische Moment der zwischen Bogenachse und Schlußlinie AB gelegenen Fläche, bezogen auf die Schlußlinie. Es empfiehlt sich, j' durch J zu ersetzen.

M “-Fläche

ji"

Fig. 400.

b. Kernpunktmomente M° und Mu.

161. Die Darstellung der Kernpunktmomente M° und M“ deckt sich mit der in Band II, Abteilung I § 7, Kr. 84 beschriebenen Darstellung der Angriffsmomente für die Knotenpunkte eines Fachwerkbogens mit zwei

lo

E'±

h*— 3C₀

M- b" -

b'

i À.

He

"An

E:

Bk

UIL

oc

oc'

h*

E-Linże

iM

Un

Gelenken. Auch die im § 25 der vorliegenden Abteilung für den durch einen Balken versteiften Stabbogen entwickelten Formeln können ohne weiteres benutzt werden. An die Stelle des Knotenpunktes m treten die Punkte o und u.

Fig. 400 zeigt die Einflußfläche für Mu. Der Multiplikator ist p. = yu. Soll die Übertragung der Lasten durch Zwischenträger be-

-M

(JSrv

L._A

b™\

i/u\

\z

-H

Fig. 401.

rücksichtigt werden, so tritt an die Stelle der //-Parabel ein in die Parabel einbescbriebenes Polygon, dessen Ecken in den Lotrechten durch die Querträger liegen (Abt. I, § 7, Fig. 220). Die Festlegung des

Dreiecks ACB' geschieht dann mit Hilfe der Strecke A'A" =.1

y«

Rechnet man mit unmittelbar am Bogen angreifenden Lasten, was sich bei analytischen Untersuchungen der größeren Einfachheit wegen empfiehlt, so bestimmt man die Lastscheiden E und E' mittels der Kämpferdrucklinie.

162. Eisenbahnbrücken. Für die Momente infolge der Verkehrslast empfiehlt sich die Benutzung der Tafeln für parabolische Einflußlinien. Um z. B.

min

Mu zu bestimmen, berechne man die Pfeilhöhen

und 0₂ — z₀

r²

Z1 - ⁰O ^2

der negativen Teile der Einflußfläche, entnehme der Tafel V des § 24 die zu den Weiten h, und gehörigen Lasten Pi und P' und setze

(78)

min

Mp    Vu (z₀

r²

pi) ⁴)•

Für das Maximalmoment gilt die auf Seite 485 abgeleitete Formel

(79)

max

m; =

wo

(80)

24

8 = 1- — -

Vu

Der Lastzug muß so aufgestellt werden, daß die Bedingungen erfüllt werden

(81)

'3->-

?r-l

2 b'— £

Noch schneller führt die Anwendung der im § 25 abgeleiteten

,MU zum Ziele.

Gleichungen (19) bis (21) bei der Berechnung von Man entnimmt der Tabelle A, Seite 442, das Maximalmoment M₀ eines einfachen Balkens von der Spannweite l₀ und findet dann

(82)

max

WO

M₀ (t

$ =

Mu =

±tLp    max

!/«$ ^

H )

ist und den Inhalt der if-Parabel bedeutet. Die Zahl

■^o (0)88 Iq Xq)

(0,44^₀)²

wird der Tabelle auf Seite 443 entnommen. x₀ ist der kleinere der beiden Abstände CE und CE' in Fig. 400.

Für den Fall daß die //-Parabel die Pfeilhöhe

¹

Für den Parabelbogen ist r ein mittlerer Krümmungsradius.

²

.2 = — r 2°- (cos² ç₀ — Sin² ç₀) + ~ Sill cp₀ cos <f₀

³

= 1,0 — ^ = 0,000649,

⁴

Wir verweisen auch auf § 25, Nr. 123.

(vgl. Seite 429)

3/

-v

16 f

besitzt, ist der Ausdruck für

Mp auf Seite 441 umgeformt worden in

(83)

ma :

Mw = M

±TJp    max 0

(j-₈⁴+tv>

Es möge aber noch eine andere Umformung dieses Wertes gezeigt werden. Setzt man

%M =

05 to

z₀l und z₀

4 Vh

(nach (36), Seite 524),

so findet man

L A

6 ykl

und

m; =

max-*-

Vf lp Vk i

Nun ist aber

Vk — Vu

mithin ---

l -j- l₀

Vu

Vu

und man erhält daher

4—Y

l + h '

Die Formeln (83) und (84) setzen voraus, daß beide Punkte E und E' innerhalb der Spannweite AB liegen. Für den in Fig. 401 dargestellten Fall gilt die auf Seite 442 gewonnene Formel

(84)

JLfu--    1 f

-"*p    max*** 0

i co

(85)

m; =

• ■■

M₀

f>

In derselben Weise werden auch die Momente M° berechnet.

163. Ständige Belastung. Eine gleichförmige ständige Last g für die Einheit der Stützweite l erzeugt

(86)

Ht, = g%x

Ist

z₀ --

16f

v,

so erhält man

(87)

Hg =

v.

Nun findet man mittels der allgemeinen Formel M=M₀ — Hy

die Werte

(88)

_    x x

XX

m:

164. Gleichförmige Verkehrslast. Die beiden negativen Teile der in Fig. 400 dargestellten M“-Fläche haben zusammen den Inhalt

und es entsteht daher

(89)

min

m; =

£³-B'³

py«7u J3

wo

2 zQl

Für den in Fig. 401 dargestellten Fall ist

min

m; = —pyuën

a³

Hat man M„ und

VtOQ

so findet man

Mg = Cg,

M“ in der Form dargestellt:

m; = — cf

min

min

MT — Cg — Cp,

und nunmehr ohne weiteres

Mu = Cq + C'p,

WO q = g 4- p,

denn die Zusammenzählung der die Momente minM“ und maxMu erzeugenden Belastung gibt volle Belastung des Trägers mit

Zg -\-P = 9 + F

Es muß also sein:

min

maxMu = C(g + q).

In derselben Weise werden auch die Momente M° berechnet.

c. Zahlenbeispiel. Berechnung der Momente M° und Mu für eine eingleisige Eisen-bahnbrllcke von 48 m Spannweite und 6 m Pfeilhöhe.

165. Vorläufige Ermittlung des Querschnitts. Den Pfeil der JT-Parabel setzen wir zunächst

16 f

—— v == —- • 8 v = 1,5 v,

16

15    Wh ’

8 Ff

16    ~Ff

wo W das Widerstandsmoment und Ti die Höhe des Querschnitts be-

deuten, und schätzen die Kernweite k — höhe h₀. Dann erhalten wir

5

gleich der Stehblech-

i    2

25 h₀h 64 ~f~

Nun wählen wir h₀ etwa

40

der Stützweite, d. i. 1,2 m, schätzen

h = 1,3 m und finden v — 0,983 und z₀ = 1,475. Hierzu gehört

Vk =

4^o

— 8.14 m.

2 3    4    5    6    7    8    9    10 //    12 13 74- 15 16

Q.

IL

’f-6,0⁷n'

£ = 48^

Fig. 402.

Die Bogenachse sei ein Kreisbogen; ihr Halbmesser ist r=51 m.

Die Radien der oberen und unteren Kernlinie sind mit k —

5 ₇

— h₀ = 0,5 mr

tH ! "dH

r„ =■ 51,5 m, r„ = 49,5 m. Die größten Momente M° und Mu entstehen in der Regel in der Nähe von x = - -l. Maßgebend für die Querschnittsberechnung sind die Momente minM° und maxMu. Wir beginnen mit der Berechnung von minM° an der Stelle x = 12 m. Es ist

— 5,08 m, l — h, = x-^-=12 Vo

Zu 29 m gehört nach Tafel Y, Seite 422, P, = 143 t; folglich ist

19 m, ^ = 29 m.

8,14

5,08

yoz₀~ Pi = — 5,08 • 0,54 • 143 = — 392 tm. Die ständige Last der Brücke sei <7—3 t/m; sie erzeugt = gl') = 3•48 • 0,983 = 142 t, 3-12-36

min

m; =

M°a

xx

Es ist mithin

min

— Hg y o

M° = — 392 — 73 = — 465 tm.

142 • 5,08 =— 73 tm.

Dieser Wert muß mit

max

Vu = 4,05 m,

x₀ = 12 m,

l — Ź = l₀=x^ X° =0,5, y — 1

Mu verglichen werden. Für x — 8,14

12

Vu

4,05

tH

= 24 m

l = 12 m ist

M₀ — 551 tm (Tabelle A, S. 442),

Mü =

M„(j —

= 551

co

-)

= 367 tm

MT

a? a?

HgVu —

3 • 12•36

142 -4,05 = 73 tm,

max

F= 367 + 73 = 440 tm. Das Moment

M° ist also maßgebend; es erfährt auch infolge von Temperaturänderungen eine größere Steigerung wie

Wir nehmen eine gleichmäßige Temperaturänderung an und setzen 15 zEJt

min

Mu.

Ht =

8 /²

m: = —

15 zEJy₀t

Das Moment M° erzeugt die Biegungsspannung 15 &EJy₀t _^15

Gt =

Wf

16

Für Flußeisen ist zE = 25 kg/qcm, mithin 1,3 • 5,08

15

t = 4,3 t.

Gt = — 25 16

Es soll t zwischen —25° und —]— 45° schwankend angenommen werden. Für die negativen Momente minM° kommt die obere Grenze in Betracht. Wir erhalten at = 4,3 • 45 = 194kg/qcm und finden, wenn etwa c = 950kg/qcm zugelassen werden sollen*), das erforderliche Widerstandsmoment 46500000 950 — 194

also für jeden der beiden Hauptträger W= 30 7 50. Der in Fig. 392 dargestellte Querschnitt besitzt nach Abzug der Nietlöcher W— 31 746 cm³, E = 642 cm² und k = W/ F = 4 9,4 cm = rund 0,5 m. Nach Feststellung dieses Querschnitts kann die Verbesserung des Wertes z₀ mit Hilfe der in Nr. 152 bis 155 entwickelten Formeln vorgenommen werden. Die dort mitgeteilten Zahlenrechnungen, die sich auf den Querschnitt Fig. 392 bezogen, ergehen für den Kreisbogenträger einen zwischen den Grenzen 1,46 und 1,47 liegenden Wert z₀. Wir rechnen die Momente M° mit z₀= 1,47, die Momente der Felder sei 16, die Feldweite 3 m.

*) Die Belast™gsVorschriften für die preußischen Staatshahnen gestatten für l = a =

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

= 61 500 cm³

min

ma i

Mu mit z₀= 1,46. Die Anzahl

20    40    80    120    160    200 m,

850    900    950    1000    1050    1100 kg/qcm.

35

166. Momente minM°. Zu z₀ = 1,47 gehört = 8,16 m, l — B, = x-^L- = m

24,48

m.

Vk =

Die Werte B, sind positiv für m — 1 bis m— 11. Daraus folgt, daß die den Querschnitten 8, 7, 6, 5 entsprechenden Punkte E', Pig. 400, innerhalb der Spannweite des Bogens liegen. Zu 5 gehört allerdings ih’'= 1 m, d. i. eine vernachlässigbare negative Beitragstrecke. Nach Ermittlung von    P{ und P- findet

Vo

Vo

Vo

man

min

Hierzu tritt

/ B²    B'²\

\Pizo + Pi'z0 j2 )’

Ml

xx

\²

⁼⁼

m = 16 — m,

HaVo = 9 ~y mm — H₀yo:

2 • 1,47 • 48 = 141 t,

TT _ 2<V

Hy —9    ₃

ferner der Einfluß der Temperaturerhöhung

wo

Mt = — Hty₀ — —

15

s Et

2 y°’

Das Trägheitsmoment des in Fig. 392 dargestellten Querschnitts ist ohne Nietabzug J — rund 2 360 000 cm⁴. Man erhält also mit t — 45° und s Æ¹ = 2 5 kg/qcm für beide Hauptträger zusammen: 2360000 • 2

15

t = 614,6 -t — 27 657 kg = 27,7 t,

Mt —— 27,7 y₀.    .

Die Ergebnisse dieser Rechnung sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden*).

« = T²⁵ ■

600 ²

z₀ = 1,47

i-i z r

¥ r²

Pi p; -m°p

t t tm

gl² mm'

— M°g

— M°

tm

tm

tm

tm

2,02

12

3,25

15

4,27

17

5,08

19

5,71

21

6    6,15 23,5

7    6,41 26,5

8    6,50 30

OOOOOCO^CO _ rH rH

0 CO H Oi D---h't-TgO

COCOCOCMCMCMCM-t-h

O lO iQ iQ iO COQH^CDCOOiH CO CM CM

ddddddod

OOP 'do'm- ©

HbSO«

Ol

172

159

150

TT CO (M H tH rH rH rH

92

288

359

Ol CO CO OJ H Ot» OC> lQ tH d» i_o CO CO CO CO GM GM

648

68

CD O O 05

426

529

742,5

810

850,5

S64

63

57

53

53

GO rH GO tH

rH rH rH

O GO O I> D- CO

rH rH t-H

588

601

574

540

503

484

916,41 34    14

10 6,15 39,5 8,5 115,71 47    1

min

M°=m; + m; + Mt.

*) Die Abrundungen erfolgten in ungünstigem Sinne. Z. B. ist für m — 6, l — g = 23,88, wofür 23,5 gesetzt wurde.

167. Momente

z₀= 1,46 m, yk

8,22 m.

m\yk

24,66

y»

25 m

wofür wir um ungünstig zu rechnen l — £

halten dann reichliche Längen l₀. Die Werte 'S, sind positiv für m = 1 bis m = 9. Für die Querschnitte 7 und 8 erhält man also innerhalb der Stützweite liegende Punkte E', Fig. 400. Für m = 1 bis m — 6 gilt die Formel

y*

setzen. Wir er-

X \

T-)

G-S)

M₀

M₀

Mu —

4« p    max

für m = 7 und m = 8 die Formel

icta

m; = maxM₀

(t

4 __

3 l-r-l

Der Einfluß der ständigen Belastung ist

X²

wo

Mg = g — mm—Hgyu,

2 ₇

Hg —g yzo¹

Die Temperatui’änderung t = — 25° erzeugt IIt = — 614,6 • t = — 15365 kg = — 15,4 t, Ml = + 15,4 yu.

= 2 • 1,46 • 48 = 140 t.

l-l

*? a

Ö" §

i—I CM CO -dH iO CO

oo -o

0*0* O' ^    05    _0

» » ©Tot-*-"©

Ol-¹ tli CD Oi K) CO W

co co no i>- oT ofco 04 Ol 04 Ol 04 COCO

CO CO CO CO CO CO CD -vj Qi OÛ CO ^4 Oi ^

26«)

25

CO 05 oc

05 (N H H N

t-H tH t-H t-H r-H

AA

tH ca 00 ^ -di 05

-d oa co -di -di co ddddoo"

CO CO O O 05 00 05 0^0^05

o'd'd'HHd

680

510

530

591

680

806

05 >0> CO -d

513

537

555

564

>0,44

>0,44

632

591

336 93 83 512 321 94 85 500

Mu = Ml -f Mug + Ml.

9 j 5,41 | 41,5 |

Das größte aller Momente ist — M\ = 601 tm. Für einen Hauptträger ist mit Nietabzug W= 31 746. Es entsteht also

60100000

M°

2•31746

= 950 kg/qcm.

*) Siehe Fig. 403. **) Siehe Fig. 404.

Ik-

Tl

l₀=27™

23™

^    23,5™

k-oco=9Trv~^

25™

JS

->1

kr

p*

r*-

ÜC₀=IZ™

Z7™

I5m

7<y^

32,5™

-- 0C= 12™-H

Zâ,5™

-aAc-

Fig. 403.

-»H

=£

»1

oc₀-j 1,5^^

£*

PC

^7,5™

27™

11,5™-

75, 5™->i

lo=Z6,0™

A'⁷

36,5™

Le

71,5™—îh

11,5™^

4= A5^ Fig. 404.

Je nachdem die Anzahl der Gurtplatten 2 oder 1 oder 0 ist

er-

gibt sich

W = 24 736,    17 753,

Die zulässigen Angriffsmomente sind

10790.

M— 470

337

205 tm.

Hiernach kann die Länge der einzelnen Platten bemessen werden. Bei größeren Unterschieden der Momente M° und Mu empfiehlt es sich, die beiden Gurtungen ungleich stark zu machen. Die Berechnung der Gurtplattenquerschnitte für diesen Pall ist in Bd. I, § 24, unter e beschrieben worden.

d. Die Querkräfte.

168. Einflußlinien. Die Querkraft Q für einen Bogenquerschnitt ist gleich der Summe der Projektionen der auf der einen Seite des

a'

fn,

s:

il

*s

-S,

fr*

'Z

Fig. 405.

Q = Fläche u = sin fm

A"

Querschnittes angreifenden äußeren Kräfte auf den Querschnitt. Bei lotrechten Lasten ergibt sich

(90)

Q—Qq cos 9 — H sin 9,

wo Q₀ die Querkraft für den Querschnitt eines einfachen Balkens AB bedeutet. Wir schreiben

(91)

Q = sin 9 (Q₀ cotg 9 — H)

und bilden die Einflußfläche (Fig. 405), indem wir die H- Fläche von der Einflußfläche für Q₀ cotg 9 in Abzug bringen. Der Multiplikator ist (J. = sin 9.

Fig. 405 setzt mittelbare Belastung voraus und zeigt die Einflußfläche für das Feld FXF₂. Sie gilt zwar strenggenommen nur für den Querschnitt (7, dessen Bogentangente mit der Sehne F₁F₂ parallel läuft, darf aber mit genügender Genauigkeit allen Querschnitten des Feldes FXF₂ zugewiesen werden.

Wird eine stetig gekrümmte H-Linie eingeführt, was sich bei analytischen Untersuchungen der Einfachheit wegen stets empfiehlt, so liegt der Schnittpunkt der Fl-Linie und Q₀ cotg 9-Linie lotrecht unter dem Punkte E, in welchem die Kämpferdrucklinie von einer durch A parallel zu FXF₂ gezogenen Geraden geschnitten wird, denn eine in E angreifende Last erzeugt einen zum Querschnitte C rechtwinkligen Kämpferdruck. Bei kleinen Winkeln 9 wird Q₀ cotg 9 sehr groß ; man ziehe dann die FL sin 9-Fläche von der Q₀ cos 9-Fläche ab. Es genügt hierbei, den kleinen Pfeil z₀ sin 9 aufzutragen und durch dessen Endpunkt mit dem Kurvenlineal nach Gutdünken eine flache Fl sin 9 -Linie zu zeichnen.

169. Bei Eisenbahnbrücken empfiehlt es sich, die Querkräfte mit Hilfe der Tabellen für parabolische Einflußlinien zu berechnen. Es können hierzu die im § 25 für die Querkräfte des Versteifungsbalkens eines Stabbogens mit Gelenken entwickelten Formeln benutzt werden. Man erkennt dies, wenn man Gleichung (90) umformt in

(92)

cos 9

= Qo — H tg 9.

Die rechte Seite hat nunmehr dieselbe Form wie die Querkraft des Versteifungsbalkens. Man erhält also (Fig. 405):

(93)

sl

CM'6" + £») — P',

cos <p

unter der Bedingung, daß die Ungleichungen

WO P' =

>' (si

fr-, > b'+t"

i'

(94)

erfüllt werden.

Zur Querkraft liefert die Belastung links vom Querschnitte den Beitrag (Fig. 406):    •

(95)

cos cp

sl

(%aa'—Zn) — P\

a" — s l — a ,

b'

\B

<P

S'

Fig. 406.

wobei sich heraussteilen muß:

s'

(96)

u -j- a"

Liegt der Punkt E innerhalb der Stützweite, so tritt hierzu noch der Einfluß der Belastung' der Strecke EB:

Q = — sin cp P{z.

Der Einfluß der ständigen Last beträgt

Qg — gx" cos 9 — Hg sin 9, wo x" den Abstand der Feldmitte von der Trägermitte bezeichnet.

Eine Temperaturänderung erzeugt

Qt = — Ht sin 9.

$r-l

(97)

170. Die größten Querkräfte braucht man zur Berechnung der Nietteilung e (Fig. 407). Bedeutet S das statische Moment eines Gurtquerschnittes in bezug auf die Schwerachse des ganzen Querschnittes, so hat ein Niet die Schubkraft

QS

(99)

aufzunehmen. Die Niete sind doppelschnittig. Die zulässige Scher

spannung ist gleich der zulässigen Normalspannung <5, der zulässige Lochleibungsdruck gleich 2a, daher, wenn d die Nietstärke und 5 die Stehblechstärke bedeutet,

7C d “

a bzw. T — 2adb

und

(100)

oder

(101)

7c adJ ₇

e =--—— d

2 QS

e= 2—-QS

abJ

d.

yo

WZ

ö.

hn

łln

/oÆ o /V

Fig. 408.

Fig. 407.

Die kleinere Teilung e muß ausgeführt werden. Formel (101), sobald

Es gilt also

7C d

45

—— > 2 5, d. i. d>-= 1,27 5,

2    7C

was wohl immer der Fall sein wird. Zur Erzielung einer genügend dichten Nietung darf e nicht größer als 6 d gewählt werden.

Zu einer sehr einfachen Näherungsformel für die Schubkraft T gelangt man mittels der Annahme, es werde die Querkraft Q allein vom Stehbleche aufgenommen. Dann erhält man nämlich (Fig. 408)

(102)

Thn — Qe, also T— Q

h„

wo

hn den Abstand der beiden Nietreihen bedeutet. Es ergibt sich e — 2 —-—- d.

Für den in Fig. 392 dargestellten Querschnitt ist z. B.

S= 44 • 4,5 • 64,25 -)- 2-40-58 = 17361 2111097

122,

17361

während hn— 109 cm ist. Die Anwendung der einfachen Formel (103) erhöht also den Sicherheitsgrad.

171. Zahlenbeispiel. Berechnung der Nietteilung für die in Nr. 173—175 untersuchte Eisenbahnbrücke. Wir nehmen rund yk = 8,2 m an und erhalten für das erste Feld, Fig. 409,

_ o 8,2

1,476

16,7 m, £ = 31,3 m.

TTL

b-7,7"^

-n

I UJrrv I P

71

£=37,3

f=6^

\ )8t277v

1-L

_r

JL

m.

3,0

13,7m' —i-ł

re-

If-gTTV Fig. 409.

Zu diesem b, gehört P₄ = 146 -j- 1,3-4 = 151t und

979,69

= 1,47

2304

0,63;

mithin ist

min

QXp = — sin = — 0,442 • 151 • 0,63 = — 42 t.

Weiter ist

Q\g = gx” cos <?i — Hg sin 9,

= 3 • 22,5 • 0,897 — 141 • 0,442 = — 1,8 t, Qt = — Ht sin 9, = — 27,7 -0,442 = — 12,2 t,

im ganzen also

Qp entsteht bei der in Fig. 409 angegebenen

Die Querkraft Laststellung, denn es ist

124

16,7 • 16

267,2

34    b'-\-b"    ~ 40,7 + 9,4 ~~ 50,1

124    267,2

_ TT    5+T'

Die Belastung des Knotenpunktes o beträgt P' = 8,5 t; es ergibt sich daher:

-82 -«3

cos 9

8,5 == + 51,9 t

124-40,7 • 9,4 + 2606

16,7-48

und:

Qp — 51,9 • 0,897 = 46,6 t.

Hierzu tritt, mit Hg =140, Q\g = — 1,8 und Qt = + 15,4 • 0,442 = 6,8 t.

Im ganzen entsteht maxQ₁ =-\-52 t. Die maßgebende Querkraft

ist alsO niinQ\ ■    56 t.

Für das achte Feld darf man sin 9 = 0, cos 9 = 1 setzen. Man erhält dann dieselbe Querkraft wie für einen einfachen Balken, im vorliegenden Falle: maxQs = 57 t. Der genauere Wert Qa ist etwas kleiner. Die gesuchte zulässige Metteilung ist nun

2ahhn

2-950-1,2-109

= 8,7 d,

— 57000

während man höchstens 6 d nehmen darf. In den übrigen Feldern entstehen kleinere Querkräfte.

e. Ungleichhohe Kämpfergelenke.

172. Liegen die Kämpfergelenke nicht gleichhoch, so werden die Kämpferdrücke in die senkrechten Seitenkräfte A und B und die mit der Verbindungslinie der Kämpfergelenke zusammenfallenden Seitenkräfte ///, HÉ zerlegt. Bei senkrechter Belastung ist HA' = HB' — H' (Fig. 410); es stimmen dann A und B mit den Auflagerdrücken eines einfachen Balkens von der Spannweite l überein, und man erhält für den Querschnitt an der Stelle x das Biegungsmoment

M—M₀ — Hy,

wo H = H ' cos a und y den senkrechten Abstand des Querschnittsschwerpunktes von der Geraden A B bedeutet.

In gleicher Weise bildet man

M° = M₀ — Hy₀ und Mu — M₀ — Hiju.

Ist der Winkel a klein, so dürfen hinsichtlich des Gesetzes, dem das Trägheitsmoment J folgt, dieselben Annahmen gemacht werden, wie beim Bogen mit gleichhoch liegenden Kämpfern. Für die ZT-Linie erhält man eine Parabel von der Pfeilhöhe

l²

(&+#)

Uk

-H

DC'

t-Sr

z₀

Fig. 410.

Die Kämpferdrucklinie ist parallel zu AB und hat von AB den senkrechten Abstand

Vh

4^o

Hinsichtlich der Momente verhält sich also der Bogen genau wie ein solcher mit gleichhohen Kämpfergelenken.

Bei der Berechnung der Querkräfte muß man beachten, daß

(104)

ist; vgl. Bd. I, § 24, d. Führt

ein, so tritt an die Stelle der Q₀ cotg 9-Fläche die Q₀

Q = Qo cos 9 — H sin (9 — °0

man also den Multiplikator p. = sin (9 — a)

cos 9

sin (9 — a)

- Fläche.

§ 31.

Der an beiden Enden eingespannte Bogen.

173. Die allgemeine Untersuchung eines beliebig geformten, durch irgendwie gerichtete Lasten beanspruchten, an beiden Enden eingespannten Bogens ist im Abschnitt VII, § 28, vorgeführt worden. Nunmehr sollen geschlossene Formeln für einen symmetrischen Bogen mit lotrechten Lasten entwickelt werden. Der hierbei eingeschlagene Weg deckt sich mit der in Abteil. 1, § 11, unter d und e beschriebenen Berechnung eines an beiden Enden eingespannten Fachwerkbogens. Als statisch unbestimmte Größen werden die die inneren Kräfte des Scheitelquerschnitts ersetzenden Größen ATa, Xb, Xc eingeführt, Fig. 411. Der Bogen wird auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz bezogen, dessen ?/-Achse mit der Symmetrieachse zusammenfällt, und dessen Æ-Achse so gewählt werden soll, daß §ac = 0 wird. Das Nullwerden von §a6 und 5Lc folgt ohne weiteres aus der Symmetrie.

Die Gleichungen zur Berechnung der Größen X lauten also¹):

La — bai = ^Pmbma — Xabaa

(1)

Lb 3bt = 2 Pmbmb - Aijöjj Lc — bct=2Pmbmc — Xcbcc.

Das statisch bestimmte Hauptsystem besteht aus zwei Freiträgern AC und CB. Da die wirkliche gegenseitige Bewegung der beiden Scheitelquerschnitte, an denen die Xa, Xb) Xc angreifen, Null ist, so sind die Werte §a, bb, bc gleich Null; sie wurden daher in den Gleichungen (1) fortgelassen. Behufs Ermittlung von La, Lb, Lc geben wir die an den Widerlagern des statisch bestimmten Hauptsystems angreifenden Auflagerkräfte an.

Im Belastungsfalle Xa~ — 1 greift am linken Auflager ein linksdrehendes, am rechten ein rechtsdrehendes Kräftepaar an, dessen Moment = 1 ist.

Im Belastungsfalle Xb — — 1 greift in A ein aufwärtsgerichteter, in B ein abwärtsgerichteter Widerstand von der Größe 1 an, ferner am linken und rechten Widerlager je ein linksdrehendes Kräftepaar, dessen Moment gleich 1 • lx ist.

Im Belastungsfalle Xc = — 1 greift am linken Auflager ein linksgerichteter, am rechten ein rechtsgerichteter Widerstand 1 an, ferner links ein linksdrehendes, rechts ein rechtsdrehendes Kräftepaar von der Größe 1 • cM.

Erfahren also die Widerlager A und B eine Rechtsdrehung um <pA bzw. cpB, senken sie sich um r\A und    und werden sie nach rechts

um hzw. Ęb yerschoben, so ergibt sich

¹

Nach § 8, Gleich. (1).

L„= <?B — 9 A

(2)

Lb = — lx (9b    9^) + ^

Lc = cu (93 — 9^) + £» —- £4.

<■

1,

1,

ich

td

Ä=

A\

A' h —

---/

/ *0 /    ^

ht⁻

C)

Fig. 411.

Infolge einer gleichmäßigen Erwärmung entsteht:

= 0,

Kt = 0,

Bei der Berechnung der Biegungslinien hma, hmh, bmc und der Verschiebungen haa, §s6, §cc vernachlässigen wir die Querkräfte Q und die Kräfte 9L Nur bei der Ermittlung von bcc soll die Längenänderung A ds berücksichtigt werden. Wir ersetzen hierbei aber %lc durch Nc, nehmen also für den Beitrag von A ds den Wert an

&cc =

N²cds / cos² 9ds

FF

EF

-h

und, indem wir die Voraussetzung

F — Fc sec 9

machen, wo Fc den Scheitelquerschnitt bedeutet,

(3)

FFC

cos² 9dx

EFC

dx

1 +tg²9

Für den Parabelbogen, auf dessen Untersuchung wir uns hier beschränken, erhalten wir dann:

» tg²⁽P

4 fx²

(4)

2Zi

EFC

wo

(5)

arctang

Für

1,0    0,9    0,8    0,7    0,6    0,5    0,4    0,8

0,55    0,59    0,63    0,68    0,73    0,79    0,84    0,90.

ist z. B. t —

Das Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts bezeichnen wir mit Jc und rechnen fortan mit den EJC-fachen Verschiebungen, die wir kurz mit 5 bezeichnen. Da

Mb — — x, ist, so erhalten wir mit der Bezeichnung

J'—J cos 9

(6)

Ma = — 1

Mc = tg

(7)

die Werte

~\-h

(8)

5«« =

Ml

US

ds — 2

SS

dx,

-h

(9)

Ml

ds =

7*

2 ’S

(10) hec= Ml

2 'S

Jo

ds + ²h

y² -jt- dx + 2^

'S

iS

4- h

(11)

hac =

MaMc

ds = 2

Je

dx.

-h

Für den Kämpferquerschnitt sei

(12)

(£)

= a>

X=li

ferner werde angenommen, es ändere sich Jc | j' nach dem Gesetze

(13)

Je

J'

= 1 — (1 — <*) —

h*

wo p eine beliebige ganze oder gebrochene, positive oder negative Zahl ist.

Wir erhalten dann zur Bestimmung der Lage der æ-Achse die

Gleichung

0 = hao — 2 y-

SS

dx =

— (1 — a)

J dx,

aus der sich ergibt

(14)

f P + 1 P + 3a 3 p -J⁻ a p —j— 3

Weiter folgt:

p ~ł~ a

.    (15)

(16)

A 78 P + 3a

3 * p + 3 ’

(17) hcc =

nh (} r

p + 3«\ , p + 3 / +

2 lx

Je

und der Einfluß einer gleichmäßigen Erwärmung beträgt

(21)

Xa — 0, Xb — 0, Xc

Setzt man diese Werte in die Gleichungen (1) ein, so muß man die L und 5* mit EJC multiplizieren. Eine Änderung der Stützlage erzeugt also

(18)

Xa

EJe

(Ça ~~ 9-b)i

(19)

EJC

£>bb

Pl (<tG -f 9b) + riA — ln],

(20)

EJC

[C«( 9 a    9 b) -f- %A -

2<zEJcllt

hce

Am häufigsten wird die freilich wenig empfehlenswerte Annahme eines konstanten Wertes J' gemacht. Dann bedeutet Jc einen Mittelwert der Veränderlichen j\ und a wird gleich 1. Man erhält für diesen Fall:

(22)

c = Yf

Je

Fc

174. Einfluß einer Einzellast. Eine Einzellast P= 1 erzeugt

Xa

Xb

^mb

Xc

Die hma-Linie der linken Trägerhälfte ist die Momentenlinie eines Freiträgers, der bei C eingespannt isfi^Fig. 411a) und dessen Belastungslinie die Gleichung

Je

Je

Ma —- = 1 • -A = 1 — (1 — a)

x°

J'

J'

Iß

besitzt. Die Differentialgleichung der ^mn-Linie lautet

= ! — (1 — a)

d²hma

Iß

dx²

Hieraus folgt

dhma

dx

1 — a XV+¹

X--:-- —----

P 1 Iß

1 — a

+ C1

(p + 1) (P + 2) Iß

Man erhält:

d²hmb

Iß

Die Integrationskonstanten sind durch die Bedingungen gegeben, daß für x = ly sowohl Man findet

dx

als auch Null werden muß.

P + 2«

P_+a

P + ¹

und erhält schließlich für _Xa:=5maj8aa die Formel:

Xa 1 p -j- 1 p -(- 2 a    1

lx    4 p + a p -{- 2    2Zj

Ci= — h

x 1 p-f 1 x²

4 p a

2 (p —(— 2) (p —j— a) Iß*²'

Ganz in derselben Weise werden die 5mö-Linie und die öOT(!-Linie der linken Trägerhälfte als Momentenlinien eines Freiträgers AG aufgefaßt. Die Gleichungen der Belastungslinien lauten

(23)

Jo

Mb ~r = x — (1 — a)

J'

Iß

bzw.

Je

Mc —=r — y — (1    <z) ij

J'

h h-

dx

d^mb

dx

x² _ 1 — a x?+2 2    p —(— 2 Iß

a:³

(p H⁻ 2) (p -(- 3) Iß

-j- Cxx -j- G₂;

x — ly liefert

dx

— 0 und hmb = 0, folglich ist

Ci = —

p -f- 3 a

und es ergibt sich für Xb =

— der Wert

(24) Xs= —

1    3 p —|— 3    p —|— 2 a

4 p —|— 3 a    p —(— 2 ly

x?+³

2(p H⁻ 2) (p -j~ 3a) Zp+³

x³

P 3 p -f- 3 a ly

3(1 — a)

36

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

und

und

wo

Die Differentialgleichung der ömc-Linie lautet

d²hmc

dx²

y\i

— (I — a)

= r — (1 — a)

Da nun für x = 0 auch

dx

• ['

f a;²

°l 2

A-

' Li2;

x°

>S

xQ

dx

iS

— (1 — a)

a'" + 2 + + ²

]■

0 sein muß, so folgt

1 — a x?+3 p + 3 1J+²

(p + 1) (P + 2) 1 — a

x³

3l\

x?+²

IS

a4' + ⁴

■J + c.

(? ~f~ 3) (p -f- 4)    l\^} d- 2

Für x — lx muß hmc = 0 sein. Man findet daher

1 — a

tło-f)

4t <■

to

a;⁴ \

a;²

fiilA (

s² Ll2 V

(26) s² — 2 f f

(p + 1) (? + 2) 1 — a

(p + 3) (p + 4)

(p ~~b l) (p 2)

1 — a

(P + 3) (p + 4)

is⁺²

a;?+⁴

lS+i

)]

)]

xo + 2

lj+²

a:?+⁴

z,?+⁴

)]

)]

p+ j+ p + 5

f p + 1 P + 3 a

3 p -j— ot p —|— 3

¹ f P + ⁸«t

8    p+3/⁺

Eine ähnliche Untersuchung ist bereits in Abteilung 1, § 11, unter e, für den an beiden Enden eingespannten Fachwerkbogen durchgeführt worden, aber nur für p = 1. Für diesen Sonderfall ergibt sich

1 — a cc3 6 ( 1 -j- a) l\

1 — a xŁ

(27)

SSa 1 -f* 2 a 1 x

6(l + a}~~2 T~ "H 2(1 + a) If 1    1 + 2 a x

1 + 3a I, r 1 + 3a

(28) ₂

a;³

2(1 +3 a) l\

cl J

(29) X₀ = -f

k²

fk

2k²

x²

1 — a /

3^ V

T>]

wo

(80)

J.

90

1 -f- oc

Fc

(31)

1 —(— 3 oc

6(1 —j— oc)

Die Formeln (27) und (28) werden etwas einfacher, wenn man den Abstand a der Last P = 1 vom linken Kämpfer einführt; sie gehen dann über in

6(1+ «)

(33)    =

[8alf+ (1_oi)t]’

- J^3 oc —|— (1 — 2 oc) —--0,5 (1 —

3 a -f 1 l\

Die für Xa, Xb, Xc abgeleiteten Formeln gelten im allgemeinen nur für eine links vom Scheitel des Bogens angreifende Last, also nur für positive Werte x. Wird die Last im gleichen Abstande x rechts vom Scheitel aufgebracht, so bleiben Xa und Xc ungeändert, während Xh das Vorzeichen wechselt.

Die lotrechten Seitenkräfte der Kämpferdrücke sind für eine links vom Scheitel angreifende Last

(34)

B = Xb, A= l — Xb.

Eine rechts vom Scheitel liegende Last erzeugt B = 1 + X₆, A = — Xb.

Verschiebt man also den Zweig C"B der X₆-Linie in senkrechter Richtung um die Strecke 1 in die gestrichelte Lage C B', so ist die Linie A C B' die B-Linie; ihre Ordinaten sind durchweg positiv. Ganz ebenso erhält man die A-Linie AC"B.

Zur Bestimmung der Lagen der Kämpferdrücke eignen sich am besten die Schnittpunkte L und B der Kämpferdrücke mit der x-Achse und der Punkt E der Kämpferdrucklinie. Die Strecken v, v, yk (Fig. 412) ergeben sich aus den Momentengleichungen

Xa -f- Xbv — P (v — x) = 0 Xa — Xbv — 0 Xa -J- Xbx    Acyk = 0.

(35)

P= 1

*) Vgl. Abteilung 1, § 11, Kr. 135, Gleich. (2) und Nr. 136, Gleich. (3).

36*

Man erhält

(36)

Xa -j- x

i — Xb

(37)

Xa

(38)

Xbx -f- Äa

Xc

OC

Cu

ZA

!p

Er

Ih

V__

U'—J

/ =~

Li Z

Fig. 412.

Die Biegungsmomente für die Kämpferquerschnitte, die sogenannten Einspannungsmomente, sind :

(39)

(40)

Ma = Xc (cu — zA) = Xcru — XczA Mb — Xccu — XczB

WO

1)    XczA — 1 • a Xbl\    Xa,

2)    XczB = Xbh — Xa.

Das Biegungsmoment für den Scheitelquerschnitt ist

(43)

Ms = Xa — Xcc.

Sehr einfach gestaltet sich die Rechnung für den Sonderfall a — 1. Man findet dann

u>

(44)

(45)

k² =

16

45

45 Je 4 Fcf² T

(47)

(46)

Xc

15

32

’O

15 a²b²

wo

32

(48)

15 v ’

i\

(49)

b² a

4«;

XczB

a²b

Al\

Dort ist auch eine einfache zeichnerische

Vgl. Aht. 1, § 11, Nr. 140.

Bestimmung der Lagen der Kämpferdrücke angegeben worden. Weiter ist

ma = xc

(f-)

ab²

Al²,

o.

oder mit 2^ — 1:

(50)

Ma

ab²

i²

/5 a V 2    /

rv

(51)

ba²

(52)

B=Xb =

0»—)

(53)

A = 1—B =

! M-

Die für A, B, 44, 44, gefundenen Formeln gelten für jede Lage der Last 1, gleichgültig ob links oder rechts vom Scheitel.

Das Biegungsmoment Ms für den Scheitelquerschnitt ist

Ms = Xa — Xc^-₁

o

(54)

44 =

-(

21 V

b²

l²

Zahlenbeispiel. Es sei lt = 30 m, f = 15 m, a = 0,25 m. Die Stehblechhöhe des Scheitelquerschnitts sei zu h₀ = l,0m angenommen und die ganze Höhe dieses Querschnitts zu h — 1,10 m geschätzt. Die

Kern weite darf dann k

5

12

— 1,0 gesetzt werden, womit

Jc    Wc __Ä    5hh₀

Wc    Fc 2

24

5,5

24

Zu f /x = 0,5 gehört nach Seite 558 rund t = 0,8, weshalb

5,5

Je

Fc T 30

Die Einflußlinien für Xa, Xb, Xc sollen für p = 1 und p = 2 berechnet werden, außerdem noch für den der Voraussetzung eines konstanten J,= J'coscp entsprechenden Fall a = 0.

Erster Fall: p = 1. Nach (32) und (33) ist

x.

5    / a²    a³ \    / cf a³ \

•ü (⁰-⁷⁵ Yf + 0’⁷⁶ lf)= ³(tT + 7f)

(o,7 5+0,5-^

a²

— 0,375

a²

a²

l\

nach (31)

1 —j- 3 (X

6(l + a)

3,50 m

und nach (29)

Ts + t(

wo

74

clx

Ts

elx 1 — a

k²

fli 1 — a ~kr 10    ’

Ti=T₂—Ts'—T4+T5    ■

ff 1

6 A:²

Ts

f²    7 -f- 42 a -f 15 a

90

1 -j- a

22

= 36,87 50    = 37,6,

mithin

X,=0,99734 —

*7

in

2,79 255 — j 0,69 814+ ^(l,99468 — 0,89 761^) j J-

Zweiter Fall: p = 2. Die Gleichungen (23) und (24) liefern

x . x²    x*

= 6,25 — 15 — -f 10--1,25-j*-

Xb = 0,5

ir(³⁷'⁶f—²⁰

x³

+⁴-⁵t)-

Xc = yx —

xr

V-

+ 11,25 (

)].

) — 37,5 (

2,75    11

s²= 30 (3 und nach (25)

₃ = 3,67 m

3,25    11    2,75 \ ,

5“) + ²

2,25

5,5

30 - 21,986,

Nach (14) und (26) wird

Xc8%= 55 (l —— 6,875 (

wo

0,99495,    y₂= 2,50 159,    y₃= 2,01883,    y₄== 0,51169.

Dritter Fall: a = 1.

Xa =

a²

a²

— 7,5 —j-

fl

l-'-

(-f)

45

0,9909

45 Jc 4 Fcf² T

5,5

4    30-15²

)•

a;²

) = 0,9290 (l

x¹

15 lx

TT 7

Die Ergebnisse der Rechnung sind in den folgenden Tabellen zusammengestellt worden.

Xe

v(l

X.-Linie

a = 0,25

CM CD GO

⁰ o o o O

P = 1

6,0000

3,4560

1,7280

0,6720

0,1440

ç> = 2

6,2500

3,6480

1,8180

0,6880

0,1380

7,5000

4,8000

2,7000

1,2000

0,3000

Xb- Linie

a = 0,25

0,2

0,4

0,6

0,8

0,5000

0,3328

0,1882

0,0814

0,0191

0,5000

0,3331

0,1872

0,0789

0,0174

0,5000

0,3520

0,2160

0,1040

0,0280

Xc - Linie

a = 0,25

II PhP-P-P o II CO 05

0,9973

0,8941

0,6371

0,3315

0,0904

3,50 m

P — 2

0,9950

0,8981

0,6443

0,3321

0,0865

3,67 m

0,9290

0,8562

0,6555

0,3805

0,1204

5,00 m

Die Unterschiede der für p = 1 und p — 2 gewonnenen Zahlen sind für die Praxis belanglos. Daß die bequeme Annahme oc = 1 nur für Überschlagsrechnungen zu empfehlen ist, haben wir bereits am Schluß des § 11 der Abteilung 1 gezeigt.

Die folgende Tabelle enthält noch die zur Festlegung der Kämpferdrücke dienenden Strecken yk, v, v für p = 1 und p = 2. Die Kämpferdruckrichtungen des Falles a = 1 werden am schnellsten zeichnerisch bestimmt. Ein Beispiel hierzu findet sich in Abteilung 1 auf Tafel 6.

OC

,r-! 8

0,25

Vh

Vh

(M tM CO GO

cf O © cf

(M O CDiCKO

co co cd" co" co" ¹⁻¹

12,00

14,17

16,91

20,33

24,61

r—M¹

^OïGOCOO

00 05 H lO w C'jCviCOCC^ g

co~ co' cd~ cd co' ¹⁻¹

12,50

14.47

17,00

20,29

24,57

OiOHwai >0^05 C— C— 05 oh cT crT co' i>~

t-H t—1

Für den Fall p = 1 haben wir noch die Ordinaten der Einflußlinien für Ma, Mb und Ms in der nachstehenden Tabelle zusammengestellt.

l-* O O O O

OGcro^to

ma

Mb

Ms

—    0,278 + 2,469

+ 0,611 + 2,042 + 3,409 + 3,754 + 2,469

—    0,173

—    0,488

—    0,502 + 0,327 + 2,509

Die Zahlen der mit Ms überscbriebenen Spalte geben, von unten nach oben gelesen, die Ordinaten der MA-Linie rechts vom Scheitel an. Für a = 1 erhält man die folgenden Werte Ms:

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Ms= — 0,301    — 0,703    — 0,577    + 0,519    + 2,855.

175. Die Einflußlinie für die Kernpunktmomente 31° und Mu

findet man nach Festlegung der den verschiedenen Lagen der Last P = 1 entsprechenden Kämpferdruckrichtungen ÄE und BE (Fig. 413) mit Hilfe der Formeln

(55)

M° = Xef\₀, Mu = Xcriu,

o\

Ml

"e

A',

Fig. 413.

Tj₀ und 7]„ die in senkrechter Richtung gemessenen Abstände der Punkte o und u vom Linienzuge A'EB' sind. Unterhalb dieses Linienzuges liegenden Punkten o und u entsprechen positive Momente M° und Mu.

wo

Die Querkraft Q für einen Querschnitt links oder rechts von P ist gleich der Projektion des Kämpferdruckes Aj bzw. des Kämpferdruckes Kr auf den Querschnitt.

Die von den Kämpferdrücken Kt und Kr umhüllte Linie heißt die Kämpf er druck - Umhüllungslinie ; Fig. 414.

fr-Umhüllungsünie

7*

' $

#-

Fig. 414.

176. Wirkung einer gleichförmigen ständigen Belastung.

Sind und $c die Inhalte der Einflußflächen für Xa und Xc, so ist der Einfluß einer ständigen gleichförmigen Belastung

Hag ■ 9 S’a j H-bg 0, HCg    g Sc ,

(56) m;

(5 7) Mg

X

= gda — g^cVo — g^

X ^

= g^a—g^cVu — g-^

(58)

Qg = Qog cos 9 — Xcg sin 9 = gx cos 9 — g%e sin 9.

Greift die Belastung unmittelbar am Bogen an, so ist nach (28):

1 P + l 12 p + a 1 — a

2 (p + 2) (p + 3) (p -|- a). ’

"1 p + l p + 2a .4 p —|— ot p —J— 2

(59) S«

Ji p + 3 a 2 + p (p + 3) 12 p + 3 (p + 2) (p + a)

und nach (25)

(60) de

.r

Ka

(p + 1) (p + 3)

1 — a

(p + 3) (p + 5)

c und s² sind bestimmt durch die Gleich. (14) und (26).

Man kann aber auch die zur Darstellung der Einflußlinien für Xa und Xc gerechneten Ausdrücke zur Gewinnung von und verwerten. So fanden wir für ^=30 m, f — 15 m, a = 0,25 und p = 2:

xx

ï6~

Xc = 0,99495 — 2,50189

₂ -}- 2,01 833 —j--0,51169

l'ï    U

und erhalten

& = 2Z₁ (o,99 495

2,50 189 , 2,01833    0,51 169 ^

= 29,5 m.

177. Einfluß einer gleichförmigen Verkehrslast. Ist der

+

Inhalt des positiven Teiles der M°- Fläche, so erzeugt eine gleichförmige Verkehrslast p:

Mp — pW.

+ .

Hat man nun mit Hilfe von (56) das Moment M°g auf die Form

gebracht, so erhält man

Ml = gC

maa

= <>c+py

+

= qC — p%° +

Mp — —p%°

M°

und findet nun ohne weiteres

min

M°

q = 9 + P-

Man könnte auch zuerst

min

bestimmen, hierauf

min

M° = gC — p%°

und würde dann erhalten

M°=qC + p%°.

Auf dieselbe Weise berechnet man die Mu und Q.

Einfachheit und Übersichtlichkeit.

Die Einführung einer gleichförmigen Verkehrslast geschieht stets auf Grund einer Schätzung. Aus diesem Grund zieht es Verfasser vor, mit einer unmittelbar am Bogen angreifenden Belastung zu rechnen. Die ganze Untersuchung gewinnt dann an

Man berechne zunächst Xa, Xb, Xc für eine von B aus eine beliebige Strecke £ bedeckende Last und trage diese Werte unter dem Lastende E als Ordinaten auf. In derselben Weise verfahre man mit

t-*

r-H

■j— oc

Jl'

xa

Bude

Xc

ÜjeXx

Irve

ZrveU⁰

Ma

LU¹&

Fig. 415.

dem Stützenwiderstande A. Man erhält vier Kurven, welche die zweite Xa-Linie, die zweite Xb-Linie, die zweite Xc-Linie und die zweite Al-Linie genannt und zunächst als gegeben angesehen werden mögen. Weiter zeichne man die Kämpferdruck-Umhüllungslinie.

Liegt E rechts vom Scheitel des Bogens, so entsteht m; = W, + Xbx — Xey₀.

(62)

min

(63)

min

Werden nun die Grenzwerte des Momentes M° gesucht, so lege man durch den Punkt o zwei Tangenten an die Kämpferdruck-Umhüllungslinie und bestimme deren Schnittpunkte E und E' mit der Kämpferdrucklinie. Lasten, welche durch E oder E' gehen, erzeugen M° = o. Wird nur die Strecke EE' mit p belastet, so entsteht maxM°p.

EE' aufgebrachte Belastung erzeugt minM°.

In dem in Fig. 415 dargestellten Falle gibt es nur eine Belastungsscheide E. Nach Ermittlung der zur belasteten Strecke h, gehörigen Werte Xa, Xb, Xc findet man, wenn der Punkt E links vom Scheitel liegt, im Abstande h,' vom Scheitel,

Die außerhalb

(61)

min

m;

Xa -f- Xbx — Xcyu —pk' (x

il).

2 /

Man könnte auch die zweite MA - Linie • zeichnen und würde dann Mp — Axa — Xcy₀ -(- Ma

erhalten, gleichgültig ob der Punkt E rechts oder links vom Scheitel liegt. Die Berechnung der zweiten MA-Linie ist aber umständlicher wie die Berechnung der zweiten Xa-Linie.

In derselben Weise bestimmt man den Einfluß der Belastung einer etwa links von o auftretenden negativen Beitragstrecke.

Hat man

min

m; =

C' p

und nach Nr. 176

m; = Cg

gefunden, so findet man

min

M° = Cg — C'p,

und hierauf ohne weiteres

nax

M° = Cg -j- C'p,

Ganz ebenso werden die Mu berechnet. Um die Querkraft

Q für den mittleren Querschnitt C des Feldes F] F₂ zu ermitteln, legt man parallel mit Fx F₂ an die Kämpferdruckumhüllungslinie eine Tangente. Schneidet diese die Kämpferdruck-

linie in einem innerhalb der Stützweite gelegenen Punkte E, Fig. 416, so entsteht

Qp, wenn der Bogen nur zwischen C und E mit p belastet Man bestimmt die zu dieser Belastung gehörigen Widerstände A

wird.

und Xc des linken Widerlagers mit Hilfe der gezeichneten Kurven und

findet

max

Qp = A cos <p — Xc sin 9.

jl-Xjinie

Fig. 416.

Liegt E außerhalb der Stützweite, so reicht die die Querkraft maxQ erzeugende Belastung vom Querschnitte C bis zum rechten Wiederlager.

Es erübrigt noch, die Berechnung von Xa, Xb und Xc infolge der gleichmäßigen Belastung der Strecke Fig. 417, zu zeigen. Hierbei ist zu beachten, daß die in Nr. 174 abgeleiteten Formeln für eine links vom Scheitel im Abstande x vom Scheitel angreifende Last 1 gelten und nicht etwa in der Weise ganz allgemein auf Lasten rechts vom Scheitel übertragen werden dürfen, daß -f- x durch —x ersetzt wird.

Wir nehmen deshalb zunächst an, es sei links vom Scheitel S eine Strecke gleichförmig mit p f. d. Längeneinheit belastet, bezeichnen die hierbei hervorgerufenen Werte von Xa, Xb, Xc mit Xa', Xb, X' und berechnen diese Werte durch Integration der für den Einfluß einer Einzellast gewonnenen Ausdrücke.

p = 2 und

Hierzu fügt man Qg. Man erhält Q in der Form xQ = Cg -f C'p,

und hierauf

min

Q=Cg — Cp.

<P

<P

A-i

t<veite

Sc

So erhielten wir z. B. für    —= 30 m, /=15m

a = 0,25:

<JY*

a)

}xa

}K

WLt

X'J

'm

C)

d)

pl,

w-

l₇

l,

Fig. 417.

X„=6,25 —

r+¹⁰T

1,25 —T"

fl

1    /    iC

= 0,5-s(B7.5T

— 20

Æ³

“il"

a?⁵ \

+ 4’⁵t'

X = Ti

X⁶

//» 2    /y*4

-T₂|- + T3lr-T4^

und finden hieraus

x=

plx ^6,25

x/=

Ti

i,25_

5 Z? )

15 P , 10 ~ 3

/37,5 ^_20 r⁴ , 4^5 £'6 V 2    4    6 ll

2 Z*

/i    44

Ï2

/x    3    Z?

tTïT

)]

5    /;

-)■

7 ll

Yi = 0,99495, y₂ = 2,50159,    y₃= 2,01 833,    y₄= 0,51169.

Nach Berechnung der zu %'= /x gehörigen Werte

Xa'A =- 55,00j?,    X₆'^ = 5,11 p, X'A = 14,75_p,

gelangt man za den in den Figuren 417 a, b, c dargestellten zweiten Linien für X„, Xb, Xc. Die Belastung der Strecke lx -f- c erzeugt nämlich

xa = xa'A + x;, xc = x:A + x;,

und die Belastung der Strecke lx — % :

xa = Xa'A — x;, X₆. = X/, — X/.

Die gleichzeitige Belastung der beiden links und rechts vom Scheitel liegenden gleichlangen Strecken erzeugt Xb — 0. Die Belastung der Strecke 1: — ruft also dasselbe Xb hervor, wie die Belastung der Strecke /j -j- nämlich

xb = xbA + x/.

Die Ordinaten der Xb-Linie sind durchweg negativ.

Im Falle p = 1 geht man bei der Berechnung von Xa und Xb zweckmäßiger von den Formeln (32) und (33) aus. Sie liefern für £ li die Gleichungen

1 —a £⁴~

£³

(64) Xa —

pA

6(1 + a) .

air+ 4

(65) X,

Ph

£³

1 —2a

l\

— 0,1 (1 a) -V- •

3 a -j- 1

Diese Formeln gelten auch für a = 1.

Der lotrechte Widerstand A der linken Stütze ist, solange nur die rechte Trägerhälfte belastet wird,

A = — Xb.

A =p%—Xb.

Hieraus folgt die in Fig. 417 d dargestellte zweite A-Linie.

Sonderfall a = 1.

Zur Berechnung der Momente M° und Mu benutzt man zweckmäßig Gleich. (63), weil sich für die zweite MA-hmie

aus (50) die einfache Formel

Ma — p

2l³

db,

pl² ¥ \(

12 * i³ IA

(66) Ma ableiten läßt.

vl²

Zu £ = l gehört MA = -— (v — 1). Der Einfluß einer gleich -

10— 15 —

12

förmigen ständigen Belastung g ist daher

(67)

^Ag

gi²

12

(1—V).

Für die zweite A-Linie erhält man durch Integration von (53) die Gleichung

(68)

A = pl

l³

und für die zweite Xc-Linie aus (46)

(69)

X,

10— 15

+ e7⁵"/7r

Eine gleichförmige ständige Belastung g erzeugt

(70)

ev.

Bei Berechnung des Einflusses einer gleichmäßigen Temperaturänderung setze man v = 1. Man erhält

X" ⁼ J

45 zEJct

1"

178. Beliebig geformter symmetrischer Bogen. Die Querschnitte seien bekannt, die Werte —jr also gegebene Größen.

Man nimmt, die wagerechte a>Achse zunächst willkürlich an, legt sie z. B. durch die Endpunkte A und B des Bogens, Fig. 418, berechnet — am besten mittels der Simpsonschen Formel —- die Integrale

, Je

yr

dx und

Je

—r dx,

37

JMüIler-Breslau, Graphische Statik. II. 2.

578

W-

y.

Cu

oc

Ję

a)

*Ję on

J¹

9-

à)

Ję

J¹

0,5

O™ 5 W 15    20^h

lilii TT

Zt

o r~F

U—U= /£—*4

8 7    6 5 ^321

Fig. 418.

und findet dann

, Jo

y T⁷

dx

Cu =

Jo

—17- dx

J'

Damit ist das der Bedingung 5a(. = jy —ydx = 0 genügende

Achsenkreuz (xy) bestimmt. Nun berechnet man

Ko = 2

- dx 2

l Jcdx

J F sec 9 o

Für das zweite, nebensächliche Glied wird man meistens den auf

Seite 599 für den .Parabelbogen gefundenen Wert    setzen

Fc

dürfen. Sonst kann man auch dieses Glied mit der Simpson sehen Formel berechnen.

Nun werden die Biegungslinien hma, bmb, bmc für die linke Trägerhälfte als Seillinien gezeichnet. Das statisch bestimmte Hauptsystem ist ein bei A eingespannter Freiträger AC. Zur 5mo-Linie gehört die

-Linie als Belastungslinie. Die Polweite sei die Ordinate der

Seillinie 7]ft. Dann ist

Jo

J'

^ma    §a"^]a

und

Xa

§«a

WO

Jo

Wählt man    so erhält man das Moment

Xa=l •?)„•£.

Die Zahl s darf beliebig gewählt werden. Die rja sind Längen und werden mit dem Maßstabe der Trägerzeichnung gemessen, die Polweite und die Inhalte der Streifen, in welche man die Belastungsfläche zerlegt, sind Längen; sie dürfen in einem beliebigen Maß-

Auch

37*

stabe aufgetragen werden. Führt man die Streifenhöhen als Lasten ein, so muß man die Polweite durch die Streifenbreite teilen.

Nun wird die

Je

x- Linie als Belastungslinie aufgefaßt. Die zugehörige Seillinie ist die Xb-Linie; ihr Maßstab ist durch die Bedingung bestimmt, daß für x = 0 sich Xb = 0,5 ergeben muß.

Die zur ~ «/-Linie gehörige Seillinie, deren Polweite und deren Ordinate t\e sei, liefert

J'

Xc

&CC

Soll die Xc-Linie im Maßstabe

Krafteinheit = Strecke u dargestellt werden, so muß man, um

Xc = rlc

zu erhalten,

Ke

Die Einheit von $QC ist das Quadrat einer Länge, z. B. m²; dies ist auch die Einheit des Inhaltes der Streifen, in welche man die Belastungsfläche zerlegt. Werden die Streifenhöhen als Gewichte aufgefaßt, so muß durch die Streifenbreite geteilt werden.

Die weitere Untersuchung des Trägers erfolgt nach den in Nr. 174 bis 17 7 beschriebenen Verfahren. Selbstverständlich kann man aus den zeichnerisch gewonnenen Einflußlinien nicht Formeln für die einer gleichförmigen Belastung entsprechenden zweiten Linie für Xa, Xb, Xc ableiten. Diese Linien müssen durch Bestimmung der Flächeninhalte der Einflußlinien gewonnen werden. Zerlegt man z. B. die rechte Hälfte der Xc-Linie in Streifen, deren Inhalte gleich $₂, $₃, . . . sind, so erhält man als Ordinaten der zweiten Xc- Linie für p — 1 (Fig. 418d) in den Teilpunkten 1, 2, 3, . . . der Reihe nach

xc — 3fx, xc = %₁-\- xc =    -f- ^2 H⁻

Hat man die Linie für die rechte Trägerhälfte gezeichnet, so findet die Linie für die linke Hälfte nach dem in Figur 41 7 dargestellten

wählen.

usw.

man Verfahren.

Zahlenbeispiel. Wir teilen noch die Zahlenrechnung für ein gelenkloses, zwischen starre Widerlager gespanntes Tonnengewölbe mit, dessen Breite, senkrecht zur Bildfläche gemessen, gleich 1 ist. Die Ab-

messungen sind in die Figur 419 eingetragen worden. Die Gewölbestärke sei d, im Scheitel dc. Daher ist

Je

Je

dl

J'

J cos 9

sec 9 =

1,728 sec 9

Je

dl

0,144

F sec 9

12 d sec 9

d sec 9

1,2A

8.00”*

2.0TTŁ

-H

I    TT, ¹    I    \    I    I

^6,0 ^-6,0 6,0. -^6,0

Fig. 419.

Den Teilpunkten 0, 1, 2, 3, 4 entsprechen die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Werte.

d sec cp

'ss

<sS

to

Je

d sec 9

Je

F sec cp

© T-l <N CO

OHCO

OHrtl

o o o

o* to

o o

Q ^ CO C^ O CO t* CO O l

r-To © © o

oc F O'-¹ -F CO 05 Ol o

O CO

OCOWN _ O^CC^NO co ob -r-t

+ 1>75 + 1,75 + 1,30 +0,83

—    0,09 —0,04

—    2,53 —0,83

—    6,25 —1,69

OJ

Oi'h-^'o'o'o

05 o O CO 05

KIKM — GO CO 05 ⁰

^os^pipi of tt^'co'co CO o GO 00

OWOCNO O iO_ rH ( t—1 Ol Ol

O '-I CO TH cc rH t-h © O O

d'd'o'd'd'

Nach Ermittlung der Werte y ~ findet man

J'

, Jo

6,0

V ~j— dx = —[8,000 + 4 (4,832 -f 1,228) -f 2 • 2,710] = 75,32 m²,

Jo

6,0

J'

dx =-g~[l,00 + 4 (0,64+ 0,33)+ 2 • 0,44 + 0,27] = 12,06m,

c« =

75,32

12,06

7 = 6,25 m,

V = cu —y .

dx

nc

Fig. 420.

Weiter ergibt sich

dx —

ß 0

2 -4-[3j06 + 4 (1,08 + 2,10) + 10,56] = 105,36 m³,

O

²/—

J F sec 9

dx =

2— [0,120 + 4 (0,101 + 0,071)

+ 2 • 0,086 + 0,058] = 4,15 m³,

bcc = 105,36 + 4,15 = 109.51 m³.

JC    Jc

T' X~J

Je

Die in der Tabelle angegebenen Werte

nügen zur Festlegung der drei Belastungslinien, deren Seillinien die Einflufilinien für Xa, Xb. Xc sind.

und y

ge-

Die zu unserer allgemeinen Untersuchung gehörenden Figuren 418 a,b,c sind maßstäblich für das vorliegende Zahlenbeispiel gezeichnet. Die Polweiten sind:

und

= Yhaa== Y '² ‘12,06 = 12,06 m

— 109,51 = 10,951 m

$.=

10

10

wobei die Krafteinheit lt — 10 m gewählt wurde.

Es sei noch erwähnt, daß man das über den Kämpferfugen stehende Mauerwerk einfach zur lotrechten Belastung des Widerlagers rechnen darf. Bezeichnet dann g die Höhe der gesamten durch gleichschweres Mauerwerk ersetzten Belastung, y das Einheitsgewicht des Mauerwerks, so erhält man z. B. (Fig. 420):

Xc = y j gr\cdx.

Das Integral ist dabei nur für die Weite der inneren Laibung zu berechnen.

Ausführliche Untersuchungen über Tonnengewölbe wird der III. Band enthalten.

Anhang.

Tabelle der Zahlen¹)

x¹

m²

w³

l³

a'~ i ~~F~

(dp = (Op (1 -f- (Op).

m⁴

n⁴

n\

Knoten

punkte

(OB

(Ojy

(Op

lOp

Knoten

punkte

HCl CO ^

0,1600

0,2400

0,2400

0,1600 0,1920

0,8860

0,3840

0,2880 0,1984

0,3744

0,4704

0,3904 0,1856

0,2976

0,2976

0,1856

H (M CO    » O

0,1389

0,2222

0,2500

0,2222

0.1389 0,1620

0,2963

0,3750

0,3704

0,2546 0,1659

0,3210

0,4375

0,4691

0,3511 0,1582

0,2716

0,3125

0,2716

0,1582

03 CO t¹ »O

HCl COH iO CD

0,1224

0,2041

0,2449

0,2449

0,2041

0,1224

0,1399

0,2624

0,3499

0,3848

0,3499

0,2274

0,1424

0,2791

0,3948

0,4648

0,4540

0,3174

0,1374

0,2457

0,3049

0,3049

0,2457

0,1374

H (M CO iß ÎO

mit gleichlangen Feldern.

Knoten

punkte

10p

(0 p

io p

Knoten

punkte

t-h <M CO ^ io <X> £>

0,1094

0,1875

0,2344

0,2500

0,2344

0,1875

0,1094 0,1230

0,2344

0,3223

0,3750

0,3809

0,3281

0,2051 0,1248

0,2461

0,3552

0,4375

0,4724

0,4336

0,2888 0,1213

0,2227

0,2893

0,3125

0,2893

0,2227

0,1213

GDC OS O» tf*. 05 tO K

0,0988

0,1728

0,2222

0,2469

0,2469

0,2222

0,1728

0,0988

0,1097

0,2112

0,2963

0,3567

0,3841

0,3704

0,3073

0,1866

0,1110

0,2198

0,3210

0,4054

0,4603

0,4691

0,4118

0,2646

0.1085

0,2027

0,2716

0,3079

0,3079

0,2716

0,2027

0,1085

OO 05 0> CO INS t-1

n= 10

rH <M CO-# iO CDD- 00 05

0,0900

0,1600

0,2100

0,2400

0,2500

0,2400

0,2100

0,1600

0,0900 0,0990

0,1920

0,2730

0,3360

0,3750

0,3840

0,3570

0,2880

0,1710 0,0999

0,1984

0,2919

0,3744

0,4375

0,4704

0,4599

0,3904

0,2439 0,0981

0,1856

0,2541

0,2976

0,3125

0,2976

0,2541

0,1856

0,0981

CO GO -0 05 O' Oi INS M.

n — 11

T-l (N CO'# >C> CO t>GO OSO

0,0826

0,1488

0,1983

0,2314

0,2479

0,2479

0,2314

0,1983

0,1488

0,0826

0,0902

0,1758

0,2524

0,3156

0,3606

0,3832

0,3787

0,3426

0,2705*)

0,1578

0.0908

0,1807

0,2672

0,3462

0,4119

0,4569

0,4724

0,4475

0,3701

0,2261

0,0895

0,1709

0,2377

0,2850

0,3094

0,3094

0,2850

0,2377

0,1709

0,0895

© CD OO -o OS Oi ^ CC MH

schräggedruckte 5 ist durch Erhöhung aus 4 entstanden.

Knoten

punkte

Wp

Wo

Wp

G) p"

Knoten

punkte

n = 12

O h

tH H

0,0764

0,1389

0,1875

0,2222

0,2431

0,2500

0,2431

0,2222

0,1875

0,1389

0,0764

0,0828

0,1620

0,2344

0,2963

0,3443

0,3750

0,3848

0,3704

0,3281

0,2546

0,1464

0,0833

0,1659

0,2461

0,3210

0,3865

0,4375

0,4675

0,4691

0,4336

0,3511

0,2106

0,0822

0,1582

0,2227

0,2716

0,3021

0,3125

0,3021

0,2716

0,2227

0,1582

0,0822

H(M CO •** łOCO

n — 13

^ ^ O CO 00 -O Cs O* CO bO k

0,0710

0,1302

0,1775

0,2130

0,2367

0,2485

0,2485

0,2367

0,2130

0.1775

0,1302

0,0710

0,0765

0,1502

0,2185

0,2786

0,3277

0,3632

0,3823

0,3823

0,3605

0,3141

0,2403

0,1365

0,0769

0,1533

0,2279

0,2987

0,3627

0,4162

0,4544

0,4720

0,4626

0,4191

0.3335

0,1971

0,0760

0,1471

0,2090

0,2584

0,2927

0,3103

0,3103

0,2927

0,2584

0,2090

0,1471

0,0760

CD GO -U 05 0' ►P-Ctó tO I-*

O tH 03 tH HH

n = 14

rH(M CO ^ »Q [>• CO OS © i-H

Ol CO

rH tH

0,0663

0,1224

0,1684

0,2041

0,2296

0,2449

0,2500

0,2449

0,2296

0,2041

0,1684

0,1224

0,0663

0,0711

0,1399

0,2044

0,2624

0,3116

0,3499

0,3750

0,3848

0,3772

0,3499

0,3007

0,2274

0,1279

0,0714

0,1424

0,2122

0,2791

0,3409

0,3948

0,4375

0,4648

0,4721

0,4540

0,4046

0,3174

0,1851

0,0707

0,1374

0,1967

0,2457

0,2823

0,3049

0,3125

0,3049

0,2823

0,2457

0,1967

0,1374

0,0707

O H (MfO rH tH i-H H

Knoten

punkte

Wie

G)D

CO p

W/>"

Knoten

punkte

n = 15

CO 00 O    ^ 05 tot-*.

O HW CO

tH t-H rH tH t-H

0,0622

0,1156

0,1600

0,1956

0,2222

0,2400

0,2489

0,2489

0,2400

0,2222

0,1956

0,1600

0,1156

0,0622

0,0664

0,1310

0,1920

0,2477

0,2963

0,3360

0,3650

0,3816

0,3840

0,3704

0,3390

0,2880

0,2157

0,1203

0,0666

0,1330

0,1984

0,2616

0,3210

0,3744

0,4192

0,4524

0,4704

0,4691

0,4441

0,3904

0,3025

0,1745

0,0661

0,1289

0,1856

0,2338

0,2716

0,2976

0,3108

0,3108

0,2976

0,2716

0,2338

0,1856

0,1289

0.0661

rH 03 CO ,iO <X> I>X G5

03 CO ^ t-H HH

n — 16

CD 00 ^3    05 CU 05 tO l-i

OH 03 CO tH tH tH t-H tH t-H t—I

0,0586

0,1094

0,1523

0,1875

0,2148

0,2344

0,2461

0,2500

0,2461

0,2344

0,2148

0,1875

0,1523

0,1094

0,0586

0.0623

0,1230

0,1809

0,2344

0,2820

0,3223

0,3538

0,3750

0,3845

0.3809

0,3625

0,3281

0,2761

0,2051

0,1135

0,0625

0,1248

0,1863

0,2461

0,3030

0,3552

0,4009

0,4375

0,4624

0,4724

0,4641

0,4336

0,3767

0,2888

0,1650

0,0620

0,1213

0,1756

0,2227

0,2610

0,2893

0,3067

0,3125

0,3067

0,2893

0,2610

0,2227

0,1756

0,1213

0,0620

03 CO ^ iO CD t>COOt)

O T-H    03 CO    ^ lO

t-H t-H    t-H t-H    t-H t-H

n = 17

0,0554

0,1038

0,1453

0,1799

0,2076

0,2284

0,2422

0,2491

0,2491

0,2422

0,0586

0,1160

0,1710

0,2223

0,2687

0,3090

0,3419

0,3664

0,3810

0,3847

0,0588

0,1175

0,1755

0,2322

0,2866

0,3374

0,3830

0,4215

0,4509

0,4685

0,0584

0,1146

0,1664

0,2123

0,2507

0,2805

0,3009

0,3112

0,3112

0,3009

CD 00 ~3 Ol CJ< 05 tsO

Knoten

punkte

WjD

(x)p

lùp

Knoten

punkte

ni

n — 17

h—*■

CM CO ^ iQ ZD

tH rH tH rH t-H

0,2284

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Alfred Kröner Verlag in Leipzig.

Die

graphische Statik der Baukonstruktionen

von

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Geh. Regierangsrat, Professor an der Technischen Hochschule in Berlin.

Hiervon erschienen bisher:

Band I.

Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte in der Ebene. — Trägheitsmomente und Zentrifugalmomente ebener Querschnitte; Spannungen in geraden Stäben.

statisch bestimmten Träger.

Theorie der

4. Auflage. Mit 585 Abbildungen im Text und 7 Tafeln.

Preis geheftet 18 Mark. In Halbfranz gebunden 20 Mark.

Band II. Abteilung I.

Formänderung ebener Fachwerke. — Untersuchung der ebenen, statisch unbestimmten Fachwerke.

4. Auflage. Mit 383 Abbildungen im Text und 7 Tafeln.

Preis geheftet 16 Mark. In Halbfranz gebunden 18 Mark.

Band II. Abteilung II.

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Formveränderung des geraden Stabes. — Der Balken auf mehreren Stützen.

Mit 420 Abbildungen im Text und 2 Tafeln.

Preis geheftet 18 Mark. In Halbfranz gebunden 20 Mark.

Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen

von

î)r.=3ng. H. Müller-Breslau

Geh. Regierungsrat, Professor an der Technischen Hochschule in Berlin.

3. Auflage. Mit 259 Abbildungen.

Preis geheftet 8 Mark. In Halbfranz gebunden 10 Mark.

Zu beziehen durch die meisten Buchhandlungen.

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Ergänzung der Tabelle auf Seite 105 für Träger

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(Bin Esitfabsn bittifj bis nsumn Bautbßifsn in ^fetn unb MtMi 3?ür ©tubium unb ^rajdê berfafjt bon 2)r.=$ng. Ittöalf Jaftaett

Dberteljrer an ber 33augen>erïfc()nle in Gaffel.

3^oeite Auflage. üDiit 354 2lbbUbungeu im £e£t. poeio geheftet 5 pß. 40 |0f. füsimttanîr getmuben 6 pßauft.

®te Ülufnatjme, metdfe btefer Seitfaben gteid) bei feinem erften fdjeinen gefunben tjat, ift ein $emei§ bafür, baff er einem bort)anbenen 23e= bürfnté entgegenfommt. So ber bottftänbig neu bearbeiteten gmeiten Auflage finb bie $ortfd)ritte ber neueften .ßeit berüdfidjtigt. 33et ben borgenom= menen 5tnberungen mar IjaufUfädjlid). ber (§5efic£)têpnn£t maffgebenb: ben 2tn= forberungeit ber ißraj:i§ nod) ntefyr at§ in ber erften Auflage ju entfpredjen.

ilbtx bis

iFcftigkeit ncrnnbcrüdj clafttfdjer Ion(truktioncn,

tnëbefonbere bon

©in Bßiirag jur ©iforfdjung bsr innmu Iträfts unb j^sformationsn fbroiß ptnt (ßmbraud; Bei bsr Bßmfjnttng unb Jttusfitljrung amtierter Bston-Balksn, -^tii^sn unb -©smölbs.

$on £)r.=3ng. üuöalf Halber

Oberlehrer an ber S3angetuer!fd)ute in Gaffel.

9Jiit 63 ^tbbitbungen im SEeßt unb 5 tafeln, ptmio gclteftet 4 fffianh.

$)iefe§ 33ud), metd)e§ fid) burd) Überfid)ttid)!eit ber 93eifpiete unb ®eut= lidjfeit ber giguren au^eid)net, biirfte für ben mit ber Seredfnung unb 2tuëfüf)rung bon @ifenbeton^od)bauten befdjäftigteu Xedjnifer unb Ingenieur eine gute |)ilfe fein.

—Zu beziehen durch die meiften Buchhandlungen. *<*

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