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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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'ZQjb = ZSJàs,

b», bm m Pm [ bm n P-n

a. -j- ax

Jf.i

,, q mittels A(nq) und A(pq)*)

p2 = 0'— 2', 93 = 2—3',..., p„ = (w 1)' — n .

S3C' '

— Sy.AX, — Sy. AS, — s X.

Der Träger wird statisch bestimmt, sobald der Stab

Der Verfasser hält übrigens bei in höherem Grade s

— Omh = + Um+i h = Mm)

§ 7.

2,1*

Der Arerfasser pflegt dieser letzteren Darstellung

einer im Abstande H von 0 eingetragenen Senkrechte

0,112 •

Fig. 289.

§ H-

$bc == = 0).

126. Einfluss einer Temperaturänderung. Aendert si

= 45° Cels. entstehen wird. Man vergl. die auf Sei

cj = 6 eEAt

§ 14.

Fig. 380.

e* .x.

Seite 291), so wäre das durch die Ursache X0 = — 1

At?7+ .... A d15).

0, 2Sas = 0, 25^ = 0,

Literatur zum II. Abschnitt.

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H. F. B. MÜLLER-BRESLAU

GRAPHISCHE STATIK DER

BAUKONSTRUKTIONEN.

DIE

GRAPHISCHE STATIK

DER

BAUKONSTRUKTIONEN

VON

HEINRICH F. B. MÜLLER-BRESLAU,

GEH. REGIERUNGSRATH UND PROFESSOR AN DER KGL. TECHNISCHEN HOCHSCHULE

IN BERLIN.

Dritte wesentlich vermehrte Auflage.

Band II.

Erste Abtheilung.

Formänderung ebener Fach werke. — Untersuchung der ebenen, statisch unbestimmten Fach werke.

Mit 436 Textfiguren und 7 lithograph. Tafeln.

LEIPZIG,

Baumgärtner’s Buchhandlung.

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BIBLIOTEKA P9UTECRIIGZI4

KRAKÓW

Àkc. Nr.

Lljas:

Druck von Grimme & Trômel in Leipzig.

Vorwort.

Die vorliegende Abtheilung der Statik der Baukonstruktionen beschäftigt sich mit einer der wichtigsten Anwendungen der Elasti-citätslehre; sie stellt sich die Aufgabe, die Formänderungen ebener Fachwerke und die Theorie des statisch unbestimmten ebenen Fachwerks möglichst vollständig darzustellen.

Den Ausgangspunkt bildet hierbei das Gesetz der virtuellen Verrückungen und der aus diesem gefolgerte, zuerst von Maxwell für einen einfachen Sonderfall bewiesene und vom Verfasser erweiterte Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen¹), eine analytische Grundlage, die auf den ersten Blick für ein Lehrbuch der graphischen Statik nicht recht geeignet erscheint. — Wer sich aber auf das Gebiet der Elasticitätslehre begiebt, ist immer gezwungen, gewisse Vorarbeiten durch Rechnung zu erledigen, und angesichts dieser Sacli-

läge liesse es sich kaum rechtfertigen, ein so vortreffliches Itüstzeug wie die neuere analytische Theorie beiseite zu legen und durch umständlichere Hilfsmittel zu ersetzen. Dem zeichnerischen Verfahren bleibt immer noch ein weites Feld: die Auftragung der Verschiebungspläne und die Benutzung dieser Liniengebilde zur Herleitung der Einflusslinien und Einflusszahlen, welche auf alle bei der Untersuchung eines gegebenen Fachwerks zu stellenden Fragen die bündigste Antwort geben.

Unser Buch ist folgendermassen gegliedert:

In der Einleitung werden die Grundgesetze der neueren analytischen Theorie unter der Voraussetzung hergeleitet, dass für den Baustoff eine Proportionalitätsgrenze besteht und die Beanspruchung innerhalb dieser Grenze liegt, eine Annahme, welche bei den hier ausschliesslich in Betracht kommenden Trägern aus Schweisseisen, Flusseisen und Stahl zulässig ist. Der Verfasser hat sich hierbei möglichster Kürze befleissigt, hofft aber, die Schwierigkeiten, welche diese allgemeinen Lehren dem Anfänger zu bieten pflegen, durch Einflechtung von leicht zu überschauenden Sonderfällen gehoben zu haben.

Der I. Abschnitt lehrt in den §§ 1 — 4 die verschiedenen Darstellungsweisen der Knotenpunktsverschiebungen ebener Fachwerke und zwar in erster Linie die zeichnerischen Verfahren, nebenbei aber auch den in vielen Fällen einfacheren rechnerischen Weg. Dieser wichtigste Tlieil des Buches ist besonders ausführlich behandelt worden; es wurden auch schwierigere Aufgaben mit Zuhilfenahme der Kinematik behandelt. § 5 enthält sodann als Fortsetzung der Einleitung eine Reihe von Aufgaben über das statisch unbestimmte Fachwerk und zeigt, dass sich die Ermittelung der statisch nicht bestimmbaren Grössen stets mit Hilfe von einfachen Verschiebungsplänen durchführen lässt und dass der vorgetragene Lehrstoff selbst bei Behandlung verwickelterer Fälle nicht im Stiche lässt.

Damit ist die Theorie des ebenen Fach werks abgeschlossen. Der

II. Abschnitt enthält lediglich Anwendungen; es werden die wichtigsten statisch unbestimmten Träger ausführlicher betrachtet, zuerst der Zweigelenkbogen, sodann die versteiften Stabbögen, der beiderseits eingespannte Bogen, der Balken auf mehreren Stützen, verschiedene seltenere Anordnungen statisch unbestimmter Balken-, Bogen- und Kettenbrücken und die mehrtheiligen Fachwerkbalken. Dieser für den praktischen Ingenieur bestimmte Theil des Buches hat in der neuen Auflage erhebliche Erweiterungen erfahren. Den

Schluss der reichhaltigen Aufgabensammlung bildet die Untersuchung eines viertheiligen, dreifach statisch unbestimmten Netzwerks; sie ist besonders wichtig, da Träger dieser Art für zerlegbare Brücken gewisse Vorzüge besitzen. Hier galt es, nicht allein durch Vorführung einer strengen Untersuchung die im I. Bande vorgetragene bequeme angenäherte Berechnung zu prüfen und zu bestätigen, sondern auch falsche Ansichten zu bekämpfen, die neuerdings auf diesem Gebiete laut geworden sind.

Alle Untersuchungen des II. Abschnitts sind als Beispiele zur Erläuterung der allgemeinen Theorie aufgefasst worden, ein Verfahren, welches der Verfasser in seinen Vorträgen an der hiesigen technischen Hochschule als vortheilhaft erkannt hat und welches die Bewältigung dieses wichtigen Lehrstoffs ohne grossen Zeitaufwand gestattet. Der Lernende hat in der That nur nöthig, ein einziges schwierigeres Beispiel sorgfältig durchzuarbeiten, um sich volle Sicherheit auf dem ganzen Gebiete zu erwerben. Dass diese auf die Beherrschung der allgemeinen Gesetze hinzielende Vortragsweise seitens des Studirenden anfangs etwas mehr geistige Anstrengung verlangt als die Beschränkung auf die einfachsten Sonderfälle, von denen jeder von Grund aus entwickelt wird, ist selbstverständlich. Dafür bietet sie aber auch mehr als eine Gebrauchsanweisung für die Behandlung leichter Aufgaben.

Berlin im Juni 1902.

H. Müller-Breslau.

Berichtigungen zu Band II, Abth. 1.

Seite 8,    Zeile    1    v.    o.    lies    § 34 statt § 38.

8,    Zeile    3    v.    u.    hinter Band I. ist einzuschalten:    (2.    Auflage.)

19,    Zeile    4    v.    u.    lies    X=0 statt X=0.

31,    Zeile    1    v.    u.    lies    (32) statt (20).

43,    Zeile    7    v.    u.    lies    -j- xz yz statt -f x* yy.

46,    Zeile    1    v.    u.    lies    'Ej'QdS — J' f (....) d    V    anstatt

2fQdS = f (.....)tIV.

47,    Zeile 10 bis 12 lies dyx=~- dxx statt =~ra:.

Gr    Gr

dyy — -Q dxy statt = — xy.

dye = ^-dxz statt = — x*.

Cr    (jt

53, Zeile 1 v. o. lies Atti della academia delle scienze statt Atti delle Scienzi. 59, Zeile 1 v. o. lies empfiehlt statt empfliehlt.

64, Zeile 1 v. u. lies § 41 statt § 42.

69, Fig. 45 ist der doppelt eingekreiste Punkt 0 nicht O, der Punkt rechts daneben ist r\ nicht r.

74, Zeile 13 v. u. lies Abschnitt XIII statt Abschnitt XIV.

80, Zeile 11 v. u. lies (13 ■ w) statt 13 m).

85, Zeile 6 v. o. lies Abschnitt XIII statt Abschnitt XIV.

91, Fig. 62a lies (ay) statt s(p)).

91, Fig. 62 b oben lies C statt Cx.

„    103, Zeile 18 v. u. lies: (Seite 95) statt Seite 95).

„    109,    Fig. 91 b    lies — p.₆ und -f- p₂ statt    p.₀ und p.₂.

„    110,    Fig. 93 b    lies —ps und —;j.₇ statt    p.₆ und p.₇.

„    119,    lies Fig.    105 statt Fig. 106.

„    121,    Zeile    12 v. u. lies § 33 statt § 20.

„    127,    Zeile    2    v.    o.    lies    § 45 und § 46 statt    § 46 und § 47.

„    127,    Zeile    5    v.    o.    lies    Anfang statt Anhang.

„    127,    Zeile    6    v.    o.    lies    § 46 statt § 47.

„    127,    Zeile 10    v. u. lies 10000 Xu = —    577 statt =    — 555.

„    142.    Zeile 17    v. o. lies A = A₀ — A'X,    B = B₀ —    B'X    statt

A = A₀ — A'X', B = B₀ — B’X'.

„    161, Zeile 5 v. o. lies (I'II) statt (I'II').

„    163, Zeile 21 v. o. lies Xd= — 1 statt Xb — — 1.

„    169,    Zeile    1    v.    o.    lies    G'LJ' statt G'L'J'.

.,    173,    Zeile    1    v.    u.    lies    u. s. w. statt u. s.

„    176,    Zeile    9    v.    u.    lies    § 30, S. 242 statt    §    35.

„    177,    Zeile    3    v.    u.    lies    § 34 und 38 statt    §    35 und 39.

„    182, Zeile 11 v. o. lies § 40 statt § 41.

„    192 u. 193. Die Literaturangaben unter 9, 10, 11 und 15 beziehen sich

auf die in der neuen Auflage im Bd. I, Abschnitt XIII enthaltene kinematische Untersuchung des statisch bestimmten Fachwerks.

,,    209, Zeile 16 v. o. lies 410 F₀ statt 420 F₀.

„ 225, Zeile 5 v. o. Die Worte: „nach Band I, Anhang“ sind zu streichen.

„ 256, Zeile 1 v. u. lies p • X statt p ■ y.

„ 301, Zeile 17 v. o. lies Mm" = xm\ Mm'" = ym statt

CCm

Mm"

Tm

; Mm"' = lJm .

Vm

VIII

statt

Seite 301, Zeile 8 v. u. lies X' = P

statt X’ = P

2 w

2IV m

„ 302, Zeile 10 v. o. lies 176 statt 175.

„ 302, Zeile 16 v. o. lies Füllungsstäben statt Füllungslinien.

„    304,    Zeile    5 v. o. lies Fig. 308 statt Fig. 207.

,,    313,    Zeile    14 v. o. lies a₁₅ a.₂, a₃ . . . statt an a₃,    a₃ .    .. .

„    331,    Zeile    9 v. o. lies h’m-i = hm-i — 0,30 statt    h'm_i~hm_i = 0,30.

„    349,    Zeile    8 v. o. M₀ = 0,90 X ist zu streichen.

„    349,    Zeile    16 v. o. 0 ist zu streichen.

h

„    353, Zeile 1 v. u. lies J... •

O

-— (1 -}- a) — .... statt

V4

„ 367, Zeile 5 v. o. lies Wk statt wh.

„ 398. Die Gleichungen auf den Zeilen 14, 17, 21 und 22, 26 erhalten die die Nummern 29 bis 32.

„    399. Die Gleichungen auf den Zeilen 3 und 5 erhalten die Nummern 33

und 34.

„    399, Fig. 377 lies L'r und R’r statt L’ und R'.

„ 415, Zeile 6 v. o. fehlt hinter der Formel für Xb die Formel

§mc

= Pm

„    425, Zeile 4 v. o. lies    ~    statt

t /'

,, 448, Fig. 420 im Felde m bis m -j- 4 lies (A u) statt [A u\. ., 457, Fig. 422 fehlen bei der 0X-Linie folgende Mafszahlen:

/ (0,18)

\0,25 (0,li5)

unter Punkt 4

0,13

„ 12

(+ 0,09)

0,00.

Nachträgliche Berichtigungen zu Band I.

ys dx

Seite 97, Zeile 7 und 8 v. unten lies Jn = J -(- Fr¹ — 2 f

oJ

}-T.(R*

„ 117, Zeile 18 v. u. lies Fig. 108 statt 107.

„ 119, Zeile 15 v. o. lies DE statt CE.

„    123, Fig. 115 muss P₂ bis an den Polstrahl III gehen statt bis zur Schluss

linie s.

„    130, Zeile 1 v. u. lies max Qp statt mrx Qp.

~ (PC — r²)

r²) rl —

16a³/

3-5-7

142, Zeile 5 v. u. lies ij — ij₃+(yi — y₃) — ~y₃ — +    - -

y — yz + (y*. — y%) y ⁼ y* y + y-

Seite 143, Zeile 10 v. u. lies (ab') statt (ab).

„    144,    Zeile    14 v. u. lies G₃ statt Pg.

,,    144,    Zeile    13 v. u. lies C'GD' statt C'GD.

„    190,    Zeile    3 v. u. lies M₀k statt Mk-

„    191,    Zeile    8 v. u. lies E’DB' statt E'DB.

„    203,    Zeile    1 v. o. lies cx statt bx.

.,    211,    Zeile    17 v. o. lies C statt e.

222, Zeile 12 v. u. lies No. 132 statt 133.

248, Zeile 15 v. u. lies Cp + P>g statt Cp -}- — Dg.

259, Zeile 17 v. u. lies dritte statt zweite.

267, Fig. 255 muss das Mais x₃ bis zur Senkrechten durch Punkt 3 statt durch den Punkt 2 gehen.

l- statt = H

275, Zeile 13 v. o. lies Konst. —

288, Zeile 11 v. o. lies Fig. 282 und 283 statt Fig. 290 und 291.

301, Zeile 7 v. o. lies Fig. 300 statt Fig. 295.

310, Zeile 12 v. o. lies No. 85 statt No. 84.

344, Zeile 2 v. u. lies Versehen statt Verfahren.

401, Fig. 402 (d) lies

444, Zeile 6 v. o. lies unbekannten statt unkekannten.

444, lauten die beiden ersten Gleichungen (8):

T = Yo + Ya Za + Yb' zh + Yc Zc + • •.. + Y„; Zm = 0 Y" = Y" + Ya" Za + Yb" Zb + Yc" Zc +

(Yc' statt Yc und Yc" statt Y".

462, Fig. 457 fehlen die punktierten Linien 6' 1' und (6') (7').

477,    Fig. 469 lies anstatt P.

478,    Zeile    7    v.    o.    lies    (9) statt (2).

481,    Zeile    3    v.    u.    lies    w statt w.

488, Fig. 481 muss das Mals von der Senkrechten durch 2 bis zur Senkrechten durch Bx statt x heissen.

494, Zeile 1 v. o. lies (IV)! statt (IVX).

502,    Fig. 499 (a) lies 6' und 9' statt 6 und 9; ferner ist die unterste schraff. Fläche mit (d) statt (b) zu bezeichnen,

503,    Zeile    3    v.    u.    lies    Fig. 499 d statt Fig. 499 c.

505,    Fig. 500c    lies —    U₃ statt — Ux.

520, Zeile 1 und 9 von oben lies vierteilig statt zweiteilig.

pV*

statt

p(

7²'

+ Y„r zm = o

Tafel II, Fig. 197 a sind die Pfeile von V, umzukehren.

„ II, Fig. 197 b ist die oberste Last P statt 2 P.

„ IV, lies Seite 309 statt 380.

M    M

„ V, Fig. 345 ist das von Punkt C ausgehende Mals -, ², nicht ¹

Inhalt.

Einleitung.

Grundgesetze der Theorie der elastischen Träger.

Seite

A.    Das Fachwerk..........

B.    Gesetze für beliebige isotrope, feste Körper

Literatur zur Einleitung........

38

52

I. Abschnitt.

Bestimmung der Formveränderungen ebener Fachwerke, mit Anwendungen auf die Untersuchung statisch unbestimmter und statisch bestimmter Träger.

§    1. Yerschiebungspläne nach dem Verfahren von AV'illiot.....

§    2. Darstellung der Formveränderung von Stabzügen mit gelenkartigen

Knoten....................

§ 3. Die Biegungslinie als Seilpolygon betrachtet......• .

§ 4. Einflusslinien und Einflusszahlen für elastische Verschiebungen . .

§    5. Das statisch unbestimmte Fachwerk........ .    .    .

§    6. Allgemeines über das Aufträgen der Einflusslinien......

Literatur zum I. Abschnitt.................

57

86

99

137

140

174

192

II. Abschnitt.

Formeln, Regeln und Beispiele für die Berechnung der wichtigsten statisch unbestimmten Fachwerke.

194

§    7. Ber Bogen mit zwei Gelenken.............

§    8. Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange und verwandte Trägerarten .....................

§    9. Kette, versteift durch einen Fachwerkbalken........

§ 1-0. Einfach statisch unbestimmte Bogen- und Kettenbrücken mit mehreren Oeffnungen...............

Seite.

zcn> c fjn> coo c//> crr>

11.    Fach werkbogen mit eingespannten Kämpfern........

12.    Durchgehender Balken mit drei Stützpunkten........

13.    Durchgehender Balken mit vier Stützpunkten ........

. Durchgehender Balken mit beliebig vielen Stützen......

. Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken- und

Kettenbrücken..................

§16. Beispiele für die Einführung eines statisch unbestimmten Hauptsystems ....................

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken Untersuchung der Formveränderung eines viertheiligen statisch bestimmten Netzwerks Mehrtens’scher Bauart........

§ 19. Herleitung der Biegungslinien aus den Momentenlinien.....

Literatur zum II. Abschnitt.................

296

359

368

382

402

433

QO

439

469

473

Einleitung

Grundgesetze der Theorie der elastischen

Träger.

A. Das Fach werk.

a. Voraussetzungen und Erklärungen. Elasticitätsbedingungen. Gesetz von der Zusammenzählung der einzelnen Wirkungen.

1. — Wird ein aus elastischen Stäben gebildetes und auf elastischen Stützen ruhendes Fachwerk der Einwirkung von äusseren Kräften und Temperaturänderungen ausgesetzt, so erfährt es vor Eintritt des Gleichgewichts, dessen schliessliches Zustandekommen vorausgesetzt werden möge, im Allgemeinen eine Form Veränderung. Die Verschiebungen, welche die Knotenpunkte dabei erfahren, bezeichnet man als elastische, sobald sie nur eine Folge der Dehnbarkeit der Stäbe und der Elasti-cität der Widerlager sind. Ihre Werthe sind meistens so klein, dass es zulässig ist, sie als verschwindende Grössen zu behandeln und bei Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen sämmtliche Kräfte in den für starre Stäbe und Stützen gültigen Lagen zu denken.

Die folgenden Untersuchungen sind an die Annahme ganz allmählich wachsender Kräfte gebunden, setzen also voraus, dass der Gleichgewichtszustand eintritt, ohne dass Schwingungen entstehen. Sie beschäftigen sich mit ebenen und räumlichen Fach werken, beschränken sich aber auf den Fall sehr kleiner und nur elastischer Formänderungen. Ihr erstes Ziel ist die Herleitung von allgemeinen Beziehungen zwischen den Aenderungen der Stablängen und den Verschiebungen der Knotenpunkte — Beziehungen, die nicht allein die Bestimmung der Gestalt des verschobenen Fachwerks möglich machen, sondern auch die Grundlage für die Ermittelung der Spannkräfte und Stützenwiderstände derjenigen statisch unbestimmten Fachwerke bilden werden, welche sich durch Beseitigung von Stäben oder Auflagerbedingungen in statisch bestimmte und ausschliesslich elastischen Formänderungen unterworfene Stabgebilde verwandeln lassen.

Müller-Breslau, Graphische Statik II. 1.

2. — Es wird zunächst angenommen, dass die äusseren Kräfte nur in den Knotenpunkten angreifen, mithin sätnmtliehe Stäbe ausschliesslich auf Zug oder auf Druck beansprucht werden. Die Gewichte der Stäbe sind hierbei auf die Knotenpunkte vertheilt zu denken. Alle gegebenen äusseren Kräfte werden Lasten genannt, zur Unterscheidung derselben von den an den Auflagern hervorgerufenen Widerständen. Eine Last werden wir allgemein mit P bezeichnen, hingegen den Buchstaben Q anwenden, wenn es dahingestellt sein soll, ob die damit gemeinte äussere Kraft eine Last oder ein Stützenwiderstand ist. Vor Einwirkung der äusseren Kräfte und der Temperaturänderungen seien sämmtliche Stäbe spannungslos.

Es wird vorausgesetzt, dass für den Baustoff eine Proportionalitätsgrenze besteht und die Beanspruchung innerhalb dieser Grenze liegt, eine Annahme, welche bei den hier ausschliesslich in Betracht kommenden Trägern aus Sch weisseisen, Flusseisen und Stahl zulässig ist. Bedeutet dann

S die Spannkraft in irgend einem Stabe, s die anfängliche Länge dieses Stabes,

As die Strecke, um welche s zunimmt (sie ist negativ, sobald sich der Stab verkürzt),

— das Verlängerungsverhältnis des Stabes,

F den Querschnitt des prismatisch vorausgesetzten Stabes,

ge-

E die für alle Punkte des Stabes gleich gross angenommene Elasti-citätsziffer (auch Elasticitätskoefficient oder Elasticitätsmodul nannt),

t die für alle Punkte des Stabes gleiche Temperaturerhöhung,

£ das einer Temperaturerhöhung um 1 ° Cels. entsprechende Verlängerungsverhältnis,

c = die im Stabe hervorgerufene Spannung — positiv, sobald

JU

der Stab gezogen wird, so ist

(1)

Schreibt man

As    c —J— s Et

-, so erkennt man, dass die Temperatur-

erböhung denselben Einfluss auf As besitzt, wie eine Zunahme der Spannung um sEt, ein Gesetz, von dem wir später öfter Gebrauch machen wollen. Man darf im Mittel annehmen

für Schweisseisen E= 2000 000 *'/ „ Musseisen

qcm

E— 2150000    „

ferner für

für Stahldraht E = 2150 000 kj „ Flussstahl E = 2200000 „ „ Stahlguss E = 2150 000 „

{CW

Schweisseisen s = 0,0000121. s E = 2 47 = 240 7

7m

Flusseisen 0,0000118, eE=2b 7-= 250 7

Stahl

0,0000124 sA = 277 = 270 7

7m

3. — Ein räumliches Fachwerk sei auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem x, ?/, z bezogen, i und & seien irgend zwei durch einen Stab von der Länge s«, verbundene Knotenpunkte. Die Koordinaten (x,-?/,-z,-), (x*,. y* zfc) derselben mögen infolge der Formänderung des Fachwerks um (Ax,- Aiji A2,-), (Ax* Ay* Az*) zunehmen. Dann bestehen die Gleichungen:

*<*² = {xk — x{)² + (y* — y<) ² -f- (z* — 4 ² und (3) (s,-* 4 As,-*)² = [(x* 4 Ax*) — (x< 4 Ax,-)]² -}- [C?/* 4 Ay*)— (y% 4 Ay,-)]²

4 [4 4 Az*)—44 Az,-)|2 4 4 (Ax*— Ax/)]² 4 [(v/fc—4 4 (Ay*—Axf)]2 4 [4— 4 4 (Az*— Ay<)]²

(2)

= [4

und man erhält, wenn man (2) von (3) abzieht:

2 s,-* As,-* 4 As 4 = 2 4, — Xi) (Ax* — Ax,-) 4 (Ax* — Ar,-)²

4 ² Ga- — 4 (4/, — 44 4 (4a- — 442 4 2 4 — 4 (Az* — A4 4 (As* — Az,-)².

Werden nun die Werthe Ax, A y, Az, As so klein vorausgesetzt, dass es zulässig ist, die kleinen Grössen zweiter Ordnung gegen diejenigen der ersten Ordnung zu vernachlässigen, so geht (4) über in (5)    2 sik As,-* = 2 (x* — Xi) (Ax* — Ar<) 4 2 (y* — yt) (Ayk — Ay,)

4 ² (z* — 4 (Az* — Az,-),

d. i. in eine Gleichung, welche man auch erhalten kann, indem man die Gleichung (2) differentiirt und das DifFerentialzeichen d durch das Zeichen A ersetzt; sie ist nur dann streng richtig, wenn die Ax, A y, Az, As unendlich klein sind.

Bedeuten aik, ßik, y,-* die Winkel, welche *// die Richtung des Stabes sik mit den Richtungen der Achsen x, y, z einschliesst, so ist:

Vk—Vi = sik cos ß,-*;

(4)

o*

Xk — Xi = sik cos <xik;

zk —zi = sik cos yik

(vergl. Fig. 1, welche sich auf ein ebenes Fachwerk bezieht) und es kann deshalb (5) um-

geformt werden in

Au

æc

<r'>

xk

Fig. 1.

Asik = (Ax* — Ax,-) cos a,-* 4 (Ay* — Ay,-) cos ß,-*

4 (Aar* — Az,-) cos y,-*,

oder mit Rücksicht auf Gleichung (1) in:

S'uc sik

Eik Fik

(?)

+ ZrJiksik = (A% — àXi) cos a,-fc -f- (Ay* — Aijt) cos ßik

-J⁻ (Azk

Asf) cos 7a-

Wir nennen die Gleichung (7) eine Elasiicitätsbedingung. Ist die Anzahl der Fachwerkstäbe = r, so lassen sich r Elasticitätsbedingungen aufstellen.

4. — Die Aufgabe der Theorie des Fachwerks besteht in der Ermittelung der Stützenwiderstände und Spannkräfte, sowie in der Aufsuchung der Gestalt des verschobenen Fachwerks. Der letztere Theil dieser Aufgabe ist als gelöst zu betrachten, sobald die Seitenverschiebungen Aæ, A y, A ^ sämmtlicher Knotenpunkte bekannt sind.

Als gegeben wollen wir ausser den auf das Fachwerk wirkenden Lasten P und den Temperaturänderungen t vorläufig auch die Verschiebungen der Stützpunkte annehmen, denn diese können meistens nur geschätzt oder durch Beobachtung bestimmt werden ; sie lassen sich in den seltensten Fällen durch die auf die Widerlager wirkenden Kräfte und die Temperaturänderungen der Stützen ausdrücken, da wichtige Ursachen jener Verschiebungen, wie das Nachgeben des Baugrundes und die Formänderung der Mauerwerkkörper, bislang noch sehr wrenig erforscht sind.

Wir setzen zunächst voraus, dass an den Auflagerstellen keine Reibungswiderstände auftreten und unterscheiden dann drei Arten von Stützung:

a) Der Stützpunkt w wird auf einer Fläche geführt. Der Stützenwiderstand wirkt rechtwinklig zu der in w an jene Fläche gelegten Berührungsebene; seine Richtung ist gegeben, seine Grösse wird gesucht. Bei ruhendem Widerlager ist die Verschiebung von w in der Richtung des Auflagerdruckes = 0 ; im Gegenfalle möge dieselbe einen durch die Beobachtung gefundenen, gegebenen Werth annehmen.

wegen.

rechtwinkligen Ebene und muss durch Angabe zweier Seitenkräfte be

b) Der Stützpunkt w wird auf einer Linie geführt; er kann sich in der Richtung der in w an jene Linie gelegten Tangente frei be-Der in w angreifende Auflagerdruck liegt in der zur Tangente

stimmt werden. Bei ruhendem Widerlager sind die in die Richtungen dieser Seitenkräfte fallenden Seitenverschiebungen des Punktes w gleich Null. Giebt das Widerlager nach, so mögen jene Verschiebungen gegebene, durch Beobachtung gefundene Werthe besitzen.

c) Kann sich ein Stützpunkt w nach keiner Richtung hin frei bewegen, so ist zur Bestimmung des an demselben angreifenden Wider-

Standes die Angabe von drei Seitenkräften erforderlich, und diesen Kräften stehen bei nachgebendem Widerlager drei beobachtete Seitenverschiebungen gegenüber.

Wie also die Stützung eines Punktes w immer beschaffen sein mag — stets ist die Anzahl der an dem Auflager auftretenden unbekannten äusseren Kräfte ebenso gross wie die Anzahl der gegebenen Seitenver-sehiebungen, welche letztere die Auflagerbedingungen genannt werden sollen.

Die Anzahl der Knotenpunkte sei = &, diejenige der Stäbe = r. Für jeden Knotenpunkt lassen sich drei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Bedeuten nämlich Qxm, Qym, Qsm die den Achsen x, y, -z parallelen Seitenkräfte der in irgend einem Knotenpunkte m angreifenden äusseren Kraft Qm, ferner St, S%, . . . Sp die Spannkräfte in den von m ausgehenden Stäben und alf a₂, . . . a.p, ß1} ß₂, . , . ßp, ylf y₂, . . . yp die Neigungswinkel der Stabachsen gegen die Achsen x, y, z, so muss sein:

V

Qxm “h 2 S cos cl = 0

i

(8)

-f- 2 aF cos ß = 0

Qzm ~l⁻ ^ S cos Y - 0.

Im Ganzen stehen beim räumlichen Fachwerk zur Verfügung:

3 k Gleichgewichtsbedingungen,

r Elasticitätsbedingungen von der Art der Gleichung (7), a Auflagerbedingungen,

und diese Gleichungen enthalten als Unbekannte: r Spannkräfte St

a nach bestimmten Richtungen wirkende Stützenwidei'stände, 3 k Seitenverschiebungen Ax, A y, Az von k Knotenpunkten. (Beim ebenen Fach werk tritt 2 k an die Stelle von 3 k).

Die Anzahl der Unbekannten ist also ebenso gross wie die Anzahl der Gleichungen. Letztere sind durchweg vom ersten Grade; sie lassen sich eindeutig auflösen, sobald ihre Nennerdeterminante einen von Null verschiedenen Werth besitzt — was hier vorausgesetzt werden soll. Eine nähere Untersuchung dieser Nennerdeterminante ist überflüssig, weil später ein anderer, viel einfacherer Weg zur Lösung der gestellten Aufgabe eingeschlagen und aus der vorstehenden Untersuchung nur gefolgert werden soll,

dass sich die Spannkräfte S, ferner die nach bestimmten Bichtungen icirkenden Stützenwiderstände C und die Seitenverschiebungen A x, À y, A z darstellen lassen als lineare Funktionen der den Koordinatenachsen parallelen Seitenkräfte P₁, P₂, P₃ . . . der Lasten, der Aenderungen tl, t₂, t₃ ... der anfänglichen Stabtemperaturen und der nach bestimmten Richtungen erfolgenden Verschiebungen §wl, S,„₂, S„3; . . . der Stützpunkte w.

Für jede der zu suchenden Unbekannten, die wir allgemein mit Z bezeichnen wollen,    ergiebt sich hiernach    ein Ausdruck von der Form'-

(9)

wobei x, p., v Werthe sind, welche von den Abmessungen und Richtungen der Stäbe, den Werthen E und s, den Koordinaten x, y, 0 der Knotenpunkte und von der Art der Stützung des Fachwerks abhängen, nicht aber von den Grössen P, t, 5«,.

Ist insbesondere die Anzahl der Stäbe und der Auflagerkräfte zusammen ~ 3k für das räumliche und =2k für das ebene Fachwerk, und besitzt die Nennerdeterminante der Gleichgewichtsbedingungen einen von Null verschiedenen Werth, so ist es möglich, sämmtliche S und C mit Hilfe dieser Gleichungen (oder mittels anderer bequemerer Verfahren, die für das ebene Fachwerk im ersten Bande mitgetheilt worden sind und für das räumliche im dritten Bande folgen werden) als lineare Funktionen der Lasten P darzustellen; sie sind dann unabhängig von den t und und das Fachwerk ist ein statisch bestimmtes.

5. — Wird ein Fachwerk durch bestimmte Lasten P beansprucht, bestimmten Temperaturänderungen unterworfen, und erleiden die Stützpunkte bestimmte Verschiebungen, so sagen wir: das Fachiverk wird von bestimmten Ursachen P, t, bw angegriffen, und sprechen dann kurz von einer bestimmten An griffstveise des Fach werks.

tu

\

‘J

Fig. 2.

Erfolgt die Stützung stets in denselben Punkten und in jedem dieser Punkte immer auf dieselbe Art, so nennen wir das Fachwerk ein solches von unveränderlicher Stiitz-ungsart.

Beispiele für veränderliche Stützungsart bieten die Figuren 2 bis 4. An dem in Fig. 2 abgebildeten Auflager eines ebenen Fachwerks wirken einer Verschiebung des Stützpunktes in der Richtung des Pfeiles 1 zwei Widerstände V und II entgegen, einer Verschiebung in der Richtung 3 nur ein Widerstand V, einer solchen in der Richtung 3 nur ein Widerstand //, während sich der Punkt w in der Richtung 4 frei bewegen kann.

Der Fachwerkbalken in Fig. 3 wird hei geringer Belastung der Aussen-felder nur in zwei Punkten gestützt und ist dann statisch bestimmt. Infolge kleiner Senkungen der Enden kann er in einen auf vier Stützen ruhenden, mithin zweifach statisch unbestimmten Balken übergehen.

W,'////,/■

Fig. 3.

Eine mit der Angriffsweise veränderliche Art der Stützung kann auch durch grössere Reibungswiderstände verursacht werden. Erhält z. B. der in

w‘

?\b

Fig. 4 dargestellte ebene Träger links ein festes und rechts ein bewegliches Auflager, und ist der an dem letzteren auf tretende Reibungswiderstand gross genug, um eine Bewegung des Stützpunktes zu hindern, so ist der Träger statisch unbestimmt (Bogen mit zwei Gelenken).

Fig. 4.

Sonst ist er statisch bestimmt, und es darf dann der in der Aullagerbahn wirkende Widerstand C — f B angenommen werden, wo f die Reibungsziffer und B den zur Auflagerbahn rechtwinkligen Widerstand bedeutet. Der Sinn von C ist entgegengesetzt dem Sinne der Verschiebung des Stützpunktes iv.

Lässt sich ein Fach werk in Theile zerlegen, welche im Falle unelastischer Stäbe starr wären, und ist die gegenseitige Stützung dieser Theile von unveränderlicher Art, sind ferner sämmtliche Stäbe widerstandsfähig gegen Zug und Druck, so bezeichnen wir das Fach werk als ein solches von unveränderlicher Gliederung.

rn m

Ein Beispiel von veränderlicher Gliederung in Folge wechselnder Art der gegenseitigen Stützung einzelner Theile zeigt Fig. D.

Fig. 5.

Dieselbe stellt zwei durch ein Gelenk G verbundene gegliederte Scheiben eines ebenen Fachwerks dar. Die Scheiben sind so geformt, dass sie sich in Folge einer sehr kleinen, im Sinne der beigefügten Pfeile erfolgenden Drehung in den Punkten m berühren, während sie bei Eintritt einer entgegengesetzten Drehung nur in G aufeinander wirken. Im zweiten Falle sind die beiden Punkte m als zwei verschiedene Knoten zu behandeln, und es ergeben sich für dieselben vier Gleichgewichtsbedingungen. Anderenfalls bilden sie einen einzigen Knotenpunkt, für den sich nur zwei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen lassen.

Eine veränderliche Gliederung liegt auch vor, wenn das Fachwerk Stäbe besitzt, die nur nach einer Richtung widerstandsfähig sind, die also aus Seilen oder Ketten bestehen und deshalb nur Zugkräfte aufnehmen können, oder die sich mit halbcylindrischen Endflächen gegen die in den Knoten angeordneten Gelenkbolzen stützen und in Folge dessen nur Widerstand gegen Druck leisten.

Das wichtigste Beispiel hierfür ist der im ersten Bande (§ 3%) dieses Buches untersuchte Fachwerkbalken mit Gegendiagonalen. Die früher für diesen Träger aufgestellte Theorie ist durch die Bemerkung zu vervollständigen, dass zuweilen in allen oder einzelnen Feldern beide Diagonalen gleichzeitig gespannt werden, und der Träger in Folge dessen statisch unbestimmt wird, dass aber die genaueren Werthe der Spannkräfte von den früher angegebenen stets sehr wenig abweichen und die schärfere Berechnung deshalb unterbleiben darf.

Ein anderes Beispiel führt die Fig. 6 vor. Das hier abgebildete ebene

Fig. 6.

Fachwerk ist im Allgemeinen fünffach statisch unbestimmt, weil es 36 Knotenpunkte und 74 Stäbe besitzt, mithin die Anzahl der Stäbe um 5 grösser ist als die Zahl 2.36 — 3 = 69, wo 3 = Anzahl der an den Widerlagern auftretenden Unbekannten *). Sind die Stäbe 1 bis 9 nur im Stande. Zugkräfte zu übertragen, und wird das Fachwerk so beansprucht, dass die Stäbe 2 und 3 spannungslos werden, so ist es für die fragliche An-griffsweise nur dreifach statisch unbestimmt. Werden auch noch 5, 7, 8 spannungslos, so treten 1, 4, 6, 9 ebenfalls ausser Thätigkeit (weil sonst Gleichgewicht an den Knoten e und f nicht möglich ist) und das Fachwerk geht in ein statisch bestimmtes über.

Die Untersuchung von Fachwerken mit veränderlicher Gliederung und Stützungsart kann grossen Schwierigkeiten begegnen, da es häufig nicht möglich ist, von vornherein die bei einer bestimmten Angriffsweise in Thätigkeit tretenden einseitig widerstehenden Stäbe zu bezeichnen und die augenblickliche Art der gegenseitigen Stützung einzelner Theile des Fachwerks, sowie die Art der Stützung durch die Widerlager anzugeben, so dass man vielfach auf den Weg des Versuchs angewiesen ist.

6. — Bei einem Fachwerke von unveränderlicher Gliederung und Stützungsart sind die Zahlen k, r, a (vergl. S. 5), ferner die in der Gleichung (9) auftretenden Werthe x, fx, v unabhängig von der Angriffsweise. Wirken auf das Fachwerk einmal die Ursachen, P', t', hierauf die Ursachen P", t", h"w; und entspricht den ersteren der Werth Z' der gesuchten Unbekannten, den letzteren der Werth Z", so folgt aus den linearen Beziehungen (9), für den von den Ursachen P', t', h't0, P", t", h"w hervorgerufene Werth Z die Gleichung _ Z=Ź Ą- Z

*) Man darf den Träger auch als ein Gebilde betrachten, welches aus einer statisch bestimmten gegliederten Scheibe^,und 9 Stäben (1 bis 9) bestellt. Dann erhält man nach Seite 230, Band T? 2 \g 2g" -j- 3g” +..) -f- r -f- a — 2.0 + 9 + 3 = 12, ferner 3s + 2k = 3.1 + 2 . 2 = 7. Wegen 12 — 7 = 5 ist der Träger fünffach statisch unbestimmt.

Gesetz von der Zusammenzählung der einzelnen Wirkungen.

Es ist also bei der Bestimmung der Spannkräfte S, sowie der nach bestimmten Richtungen wirkenden Auflagerkräfte und der nach bestimmten Richtungen gebildeten Seitenverschiebungen der Knotenpunkte zulässig die Einflüsse der einzelnen auf das Fachwerk wirkenden Ursachen getrennt zu ermitteln und schliesslich zusammen zu zählen — ein sehr wichtiges Gesetz, welches in der Folge das Gesetz von der Zusammenzählung der einzelnen Wirkungen genannt werden soll. Dasselbe gilt nur für Fachwerke von unveränderlicher Gliederung und Stützungsart.

jnegativi

\positivj

widerstandsfähigen Stabes

ausfallen. Bedingung ist

Hat man aber bei Untersuchung eines in bestimmter Weise angegriffenen Fachwerks mit einseitig widerstehenden Stäben die wirkungslosen Stäbe ausgeschieden, so darf man auf das übrig bleibende Stabgebilde das eben bewiesene Gesetz anwenden. Hierbei dürfen die Einflüsse der einzelnen Ursachen auf die Spannkraft S eines nur gegen Zug 1 Druck|

positiver

negativer

nur, dass sich für die Summe S sämmtlicher Beiträge ein j

Werth ergiebt. Auch wenn die Stützungsart veränderlich ist, darf jenes Gesetz — falls eine bestimmte Angriflfsweise vorliegt — angewendet werden. Es ist dann zunächst die Art der augenblicklichen Stützung zu ermitteln, und diese Stützungsart muss der Berechnung sämmtlicher einzelnen Wirkungen zu Grunde gelegt werden. Dies gilt sowohl für die Stützung durch die Widerlager, als auch für die gegenseitige Stützung einzelner Theile des Fachwerks.

b. Gesetz der virtuellen Verschiebungen. Arbeitsgleichungen. Clapeyron’sches Gesetz.

7.

Um zu einer sehr einfachen und fruchtbaren Beziehung zwischen den Aenderungen As der Stablängen und den von denselben Ursachen herrührenden Verschiebungen der Fachwerksknoten zu gelangen, multipliciren wir die auf Seite 3 abgeleitete Gleichung A sik = (A% — A Xi) cos a.ik -f (A xjk — A yf) cos ß«, + (Asfc — Az,) cos yik mit einer Spannkraft, welche im Stabe i—k durch irgend einen nur gedachten Belastungszustand des Fachwerks erzeugt sein möge, und die zur Unterscheidung von der wirklichen Spannkraft Sik mit Sik bezeichnet werden soll. Hierauf stellen wir eine ähnliche Gleichung für jeden Stab auf, addiren alle diese Gleichungen und erhalten:

2£;₄A.s,₇, = 2 [5» (Axk — A .rt-) cos a,₇, + Sik (A yk — A g,) cos ß<fc

+ 'S» O^a* — Az<) cos Y,fc],

2 [(*,, cos aftAXi + Sik cos ß«. A//t- -j- S!k cos yik Azt) + (Su cos aMAxk + 5», cos ßw Ay* +5*, cos yw As*)], denn es ist cos <xki — — cos <xik, cos ßki = — COS ßik, cos yki — — cos yik, hingegen Ski = Sik. Man vergleiche die auf ein ebenes Fachwerk sich beziehende

wofür auch geschrieben weiden darf:

(10) 2Cas,-* =

-fa \

:-/k 'ßf’-y

!    >' "~akC

Figur 7, in welcher die S als Kräfte aufgefasst worden sind, welche an den Knotenpunkten angreifen, also den weggenommenen Stab ik ersetzen.

Fig. 7.

Das Bildungsgesetz der rechten Seite der Gleichung (10) lässt sich wie folgt aussprechen: Man zerlege die in i wirkende Kraft Sik in die den Achsen x, y, z, parallelen Seitenkräfte Sik cos a.ik, Sik cos ßte, Sik cos yik, multiplicire diese Kräfte der Reihe nach mit den Seitenverschiebungen Ax{, Ayu Az{ ihres Angriffspunktes i, verfahre in gleicher Weise mit sämmtlichenKräften S und addire alle diese Produkte. Ordnet man nun die so erhaltene Summe nach den Knotenpunkten und bezeichnet die Ordnungsziffer eines beliebigen Knotens mit m, so gelangt man (wenn man auf der linken Seite den jetzt entbehrlichen Zeiger ik fortlässt) zu der Gleichung (11)    SS As = — S(AxmSmS cos a -f- AymSmS cos ß -j- AzmSmS cos y),

in welcher sich die Summen SmS cos a, SmS cos ß, SmS cos y über alle in rn angreifenden Spannkräfte S erstrecken.

Die äusseren Kräfte des gedachten Belastungszustandes sollen, damit sie von den in Wirklichkeit auftretenden äusseren Kräften Qm unterschieden werden, mit Qm bezeichnet werden; sie mögen mit den Achsen x, y, z die Winkel £m, vj„„ einschliessen. Hinsichtlich der Kräfte Q und S wird nur vorausgesetzt, dass sie miteinander im Gleichgewichte sind. Finden Knotenpunkt m erhält man die Bedingungen :

Qm cos    c„,    -f-    S,nS    cos    a = 0

(12)

Qm cos    vjm    -f-    SmS    cos    ß = 0

Qm cos    L»    +    cos    y = 0,

und es lässt sich nun (11) umformen in:

(Axm cosę„, + Aym cos r[m -f- Azm cos ÇJ — 'SSAs.

Diese Gleichung kann man aber noch kürzer fassen, wenn man beachtet, dass die Projection hm der wirklichen Verschiebung mm des Knoten m auf die Richtung der gedachten Kraft Qm durch die Formel bm = Axm cos em -f- Ay,n cos rlm -J- Azm cos

bestimmt ist. Es ergiebt sich dann die Gleichung:

(13)

2Qj>m = 2SAs,

in welche die Verschiebung als positive oder negative Grösse einzuführen ist, je nachdem sie denselben oder den entgegengesetzten Sinn hat wie die Kraft Qm.

Das Produkt Qmhm lässt sich als diejenige mechanische Arbeit deuten, welche die Kraft Qm verrichtet, wenn ihr Angriffspunkt m im Sinne von Qm um die Strecke 6m verschoben wird. Um nun auszudrücken, dass diese Verschiebung durch Ursachen erzeugt wird, welche von den Kräften Q ganz unabhängig sind, bezeichnet man hm als eine

virtuelle Verschiebung des Angriffspunktes m der Kraft Qm und nennt

Ebenso bezeichnet

das Produkt Qmhm die virtuelle Arbeit der Kraft Q, man den Ausdruck (—Sikksik) als die virtuelle Arbeit der beiden in den Knotenpunkten i und k angreifenden, gegen einander gerichteten Kräfte Sik (Fig. 7) und Asik als die gegenseitige virtuelle Verschiebung ihrer Angriffspunkte.

Die Gleichung

2Qjm — iSSAs = 0 drückt demnach den unter dem Namen Princip der virtuellen Geschwindigkeiten (oder besser: Gesetz der virtuellen Verschiebungen) bekannten Satz aus:

Die Summe der virtuellen Arbeiten sämmtlicher in den Knotenpunkten angreifenden äusseren und inneren Kräfte Q und S ist im Falle einer verschwindend kleinen Formveränderung des Fachwerks gleich Null.

rrv

x'f\

lfm.

in

ms

Fig. 8.

Dieser Satz ist zuerst von Mohr zur Berechnung des Fachwerksbenutzt worden.

Man nennt auch das Produkt (-j- Sikb.sih) die virtuelle Foi mände-rungsarbeit des durch die beiden Kräfte Sik beanspruchten Stabes sik und den Ausdruck 2NAs die virtuelle Formänderungsarbeit des Fachwerks. Die Gleichung (13) sagt also aus: dass die virtuelle Arbeit der äusseren Kräfte ebenso gross ist wie die virtuelle Formänderungsarbeit des Fachwerks.

Die Anwendung dieses Gesetzes auf den wirklichen Belastungs-zustand und den wirklichen Formänderungszustand liefert die Gleichung:

(14)

2Qmbm = 26'As,

in welcher jetzt 5„, die Projektion des wirklichen Weges des Knotens m auf die Richtung von Qm bedeutet.

Wir werden die Gleichungen (13) und (14) auch als Arbeitsbedingungen oder Arbeitsgleichungen bezeichnen und z. B. die am häufigsten benutzte Gleichung (13) kurz die Arbeitsgleichung für den Belastungszustand (Q) nennen, wobei wir dann stillschweigend voraussetzen, dass es sich um den wirklichen Yerschiebungszustand handelt.

8. — Für die Folge ist es wichtig, die von den äusseren Kräften Q verrichtete mechanische Arbeit A zu bestimmen, und zwar für den Fall, dass das anfangs spannungslose Fachwerk keinen Temperaturänderungen unterworfen wird.

Die äusseren und inneren Kräfte wachsen allmählich von Null bis

Sind Qx, Sx gleichzeitige Zwischen-

db und d (As)

zu ihren Endwerthen Q und 8 an. werthe dieser Kräfte, und nehmen in dem Augenblicke, in welchem die Qx und Sx wirken, die Verschiebungen 5 und As um zu, so ist nach (13):

¹

Ich habe diesen Satz zu Ehren des berühmten englischen Gelehrten den Maxwell’schen Satz genannt, mache aber darauf aufmerksam, dass die Abhandlung von Maxwell im Philosophical Magazine Bd. 27 (1864) S. 294 keineswegs jene Zurückführung aller Einflusslinien auf Biegungslinien enthält, durch welche die Untersuchung der statisch unbestimmten Systeme sich so ausserordentlich einfach und übersichtlich gestaltet hat. Die in diesem Buche zu diesem Zwecke benutzten Gewichte w habe ich in einer Eeihe von in den Jahren 1883 und 1884 erschienenen Abhandlungen über die wichtigsten Trägersysteme eingeführt, und die allgemeine Deutung der Einflusslinien der Summen 'SSoSap, 'ZSoSb ?••• als Biegungslinien gab ich in der Zeitschrift des Hannoverschen Archit. u. Ing.-Ver. 1885, ohne hinsichtlich der Grössen X einschränkende Voraussetzungen zu machen; schliesslich habe ich in meinem Buche „Die neueren Methoden der Festigkeitslehre u.s.w.“, Leipzig 1886, die allgemeinen Elasticitäts-gleichungen

La T" ö« $at 2 P,„ Sm(l Xa 8aa — Xb §ia — Xc $ca • • •

auf gestellt. Ich hebe dies hervor, weil diese Gleichungen öfter benutzt und mit der Bemerkung „nach Maxwell“ begleitet worden sind. Wer sich davon überzeugen will, dass der vorstehende Einspruch gerechtfertigt ist, möge die kurze

Arbeit Maxwells nachlesen.

'ZQjb = ZSJàs,

und diese Gleichung gilt für jedes der unendlich kleinen Zeittheilchen, in welche sich die ganze Bewegungsdauer zerlegen lässt. Hieraus folgt

aber

mit As =

Äs

EF

)-

dSxs

(15)    2 / Qxdb = 2 ISJàs = 2 / Sx EF

-2£As.

2

Da nun nach (14)

t 2<SAs — -j 2Q,„bm

ist, so erhält man für die gesuchte Arbeit H = 2 / Qxdb den Ausdruck:

(16)

A — y '2iQmhm

und gelangt zu dem zuerst von Clapeyron bewiesenen Gesetze:

Wird ein anfänglich spannungsloses Fachwerk, dessen Temperatur sich in keinem Punkte ändert, von äusseren Kräften ergriffen, welche allmählich von Null aus anwachsen, so ist die mechanische Arbeit der äusseren Kräfte unabhängig von dem Gesetze, nach welchem diese Kräfte zunehmen und auch unabhängig von der Reihenfolge, in der die äusseren Kräfte am Fachwerke angebracht werden; sie ist stets halb so gross, als wenn sämml-liche Kräfte Q ivährend der ganzen Formänderung ihre End-werthe hätten.

c. Anwendung der Gleichung 2Ç8 = "SSAs auf statisch bestimmte Fachwerke.

9. — Die Aenderungen As der Stablängen s eines statisch bestimmten Fachwerks seien bekannt; auch seien die durch Nachgeben der elastischen Widerlager entstandenen Verschiebungen der Stützpunkte gegeben. Zu lösen seien folgende Aufgaben:

1. Avfgabe. Gesucht ist die Strecke hm, um welche sich die Entfernung zweier Knotenpunkte m und m₁ ändert.

Man nehme in m und mx zwei entgegengesetzt gleiche, zusammenfallende Kräfte von der Grösse eins an (Fig. 9) und wähle den Sinn derselben so, dass sie in Folge der Ver-grösserung der Entfernung mmi um §m die positive virtuelle Arbeit 1 . hm verrichten. Hierauf bestimme man mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen die von jenen Kräften erzeugten Stützenwiderstände C und Spannkräfte S und schreibe für diesen gedachten Belastungszustand die Arbeitsgleichung 2 Ç§ = 2*9As an. Bezeichnet man die virtuelle Arbeit der Kräfte C mit L, so erhält man die Gleichung 1 . bm + L = 2SÄs, aus welcher sich 8„, unmittelbar berechnen lässt.

Die beiden in m und inl angreifenden Kräfte Eins mögen (nach Mohr) die Belastungseinheit des Punktepaares m, my genannt werden und hm die gegenseitige Verschiebung des Punktepaares m, mx. Ist mi ein ausserhalb des Fachwerks liegender fester Punkt, so giebt die Gleichung (17) die Verschiebung §w des Knotens m im Sinne mpn an d. i. die Projektion des Weges des Knotens m auf die Richtung mpm. (Fig- 10 veranschaulicht den Fall zweier anfänglich senkrecht übereinander liegender Punkte m, mp, sie stellt einen Theil eines Ger&er’schen Balkens vor, dessen schwebender Theil (I) bei m ein bewegliches Auflager erhält.)

Es sei beispielsweise die Aufgabe gestellt, für den in der Figur 11 angegebenen Belastungszustand eines Bogenträgers mit drei Gelenken die wagerechte Verschiebung 8* des Scheitelgelenkes G zu berechnen. In Folge der

(17)

<y

7/i)

Fig. 9.

7 rn .

nr

Fig. 10.

Elasticität der Widerlager mögen sich die Kämpfergelenke A und B in waagerechter Richtung um beziehungsweise verschieben und in senkrechter Richtung um y)! bezw. ri2. Die Richtungen dieser Verschiebungen sind in

(a-J

Fig. 11.

''G

Fig. 12.

(b)

fi

Kf

i4

Fig. 11 durch gestrichelte Pfeile angedeutet worden. Es sollen Temperatur-Veränderungen berücksichtigt werden. Dann ist As

Ss

tts, welcher

EF

Werth nach Ermittelung der wirklichen Spannkräfte S für jeden Stab des Fachwerks berechnet wird. Fig. 12 giebt den gedachten Belastungszustand an. Die Verschiebung 8/, soll nach links positiv gezählt werden, und es wurde daher in G eine nach links gerichtete Last Eins angenommen; diese ruft Kämpferdrücke Kl und Ko hervor, welche beziehungsweise die Eichtungen AG und GB haben und durch das Kräftedreieck ORT bestimmt sind. Ihre wagerechten und senkrechten Seitenkräfte seien = Hl, II₂, A. B. Die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte ist dann:

L = — Arj, - "H& + Ey)₂ 4- H^o ;

denn die Kräfte A, II, haben den entgegengesetzten Sinn wie die Verschiebungen y; j, | x, während B. li₂ von gleichem Sinne sind wie die Verschiebungen y]2, Die Bedingung:

1.8h-\-L = '% Sbs liefert

(Jjy + £^) + ÄTii + Ui

li — Ey)₂ — H.&.

8;, — 2 S

In gleicher Weise kann man die senkrechte Verschiebung 8., des Scheitel-gelenkes G bestimmen und hierauf 8/, und 8* zur Gesammtverschiebung des Punktes G zusammensetzen.

2. Aufgabe. Es wird die Aenderung hm des Winkels 9 gesucht, welchen die beiden durch die Knotenpunkte i, k bezw. i₁, k, bestimmten Geraden (m) und (m₁) eines ebenen Fachwerks miteinander bilden. Fig. 13. Um zu erhalten, wird die Gleichung 2Ç5 = 25'As auf den

in der Figur 13 dargestellten gedachten Belastungszustand und den wirklichen Verschiebungszustand angewendet. In i und k sind zwei zur Geraden (m) rechtwinklige, entgegengesetzt gleiche Kräfte von 1 *)

der Grösse — angenommen worden, und in i, und k₁ zwei zur

e

■'\jr

\4

e,

A"

f'

(m)

JL

e,

t'

Fig. 13.

Geraden (mj rechtwinklige, entgegengesetzt gleiche Kräfte— Der Sinn

ei

dieser Kräfte wurde so gewählt, dass die beiden Kräftepaare (deren

Momente gleich — e e

ex = 1 sind)

und gleich —

in Folge Vergrösserung des Winkels 9 um Sm die positive Arbeit 1 . 5,„ verrichten.

Der Werth dieser Arbeit er-giebt sich aus der folgenden Betrachtung.

Dreht sich eine unbegrenzte Gerade (m), welche die Angriffspunkte i und k eines zur (m) rechtwinkligen Kräftepaares enthält (Fig. 14), um den verschwindend kleinen Winkel x in die Lage (in), und sind i', k' die schliesslichen Lagen von i, k, so nehme man, behufs Bestimmung der Arbeit des Kräftepaares, zunächst an, dass i und k die Kreisbogen-theilchen ii" und kk" beschreiben, deren gemeinsamer Mittelpunkt der Schnittpunkt von (m) und (m) ist. Hierauf verschiebe man

fm')---- t

(m)

Fig. 14.

\k

i” und k"

-= 1

= Krafteinheit X

Längeneinheit

in die Lagen Ï und k'. Während des ersten Theiles dieser verschwindend kleinen Bewegung verrichtet das Kräftepaar, dessen Moment M — Qe sein möge, die Arbeit Qii" — Qkk" = Qez — Mt, und während des zweiten Theiles ist die geleistete Arbeit = 0, weil die Verschiebungen i" i' und k" k' rechtwinklig zu Q sind. Mithin giebt Mt die Gesammtarbeit des Kräftepaares an. Drehen sich also die Geraden (m) und (mj) der Figur 13 im Sinne der in i und k beziehungsweise in il und kt angreifenden Kräftepaare (deren Momente = 1 sind) um die Winkel x und x₁, so ist, wegen x -j- xx = hm, die von beiden Paaren verrichtete Arbeit = l*x-)-l*x₁ = l hm, wobei hm als Bogenlänge für den Halbmesser 1 aufzufassen ist.

Bezeichnet man nun die virtuelle Arbeit der von den beiden

Kräftepaaren etwa erzeugten Stützenwiderstände mit L und die Spann

kräfte des gedachten Belastungszustandes mit S, so ergiebt sich zur Bestimmung von b„, die mit (17) der Form nach übereinstimmende Gleichung:

8m-fL = 2SA s .

Sind i₁ und kl zwei ausserhalb des Fachwerks gelegene feste Punkte, so liefert die vorstehende Gleichung den Drehungswinkel h,n der Geraden m.

Die Aenderung 5m des Winkels 9 in Figur 13 nennen wir die gegenseitige Drehung des Geradenpaares (m) (mx) und die vier in i, k, ix, kx

(LA)

V e e₁ J

fassen wir unter dem Namen Belastungs-

angreifenden Kräfte

einheit des Geradenpaares (m) (wj zusammen. Es entsprechen diese Begriffe den auf Seite 13 erklärten, auf das Punktpaar rn, ml sich beziehenden.

10. — Bei Lösung der beiden in No. 9 vorgeführten Aufgaben ist nach folgender Regel verfahren worden. Um die Verschiebung bezw. Drehung hm zu bestimmen, wurde das Fachwerk so belastet gedacht, dass die angenommenen Lasten zusammen die virtuelle Arbeit 1 . hm verrichten. Auf diesen gedachten Belastungszustand und auf den wirklichen Verschiebungszustand wurde die Bedingung    ange

wendet und eine Gleichung erhalten, aus welcher sich hm unmittelbar berechnen liess.

Nach dieser Regel lassen sich nun die verschiedenartigsten Aufgaben lösen.

Soll beispielsweise für ein ebenes Fachwerk die Aenderung 5m der in bestimmter Richtung gemessenen Entfernung inf eines Knotens m von einer durch zwei Knoten i und k gehenden Geraden (w;x) ermittelt werden, so denke man das Fachwerk auf die in Fig. 15 an-

gegebene Weise belastet. Die in m angenommene Last Eins hat die Richtung fm; die ihr parallelen, in i und k wirksamen Kräfte 1

t

ß

und 1 - - besitzen eine mit der Geraden mf zusammenfallende, von m

nach f gerichtete Mittelkraft von der Grösse eins. Die gesammte virtuelle Arbeit dieser drei Lasten ist = 1 • hm, und es ergiebt sich daher nach Berechnung der von diesen Lasten hervorgerufenen Spannkräfte S

rf

A"

///Z'

yy?z

ï/

Fig. 15.

und Stützenwiderstände (welche letztere die Arbeit L verrichten mögen) die Arbeitsbedingung:

1 • hm -\-L =

welche dieselbe Form hat wie die Gleichung (17).

Noch verschiedenartiger sind die bei räumlichen Fachwerken zu stellenden und mit Hilfe der oben angegebenen Regel lösbaren Aufgaben. Wir begnügen uns damit, eine derselben anzuführen. Es sei die Aenderung der Länge des Lothes gesucht, welches von einem Knotenpunkte m auf die durch irgend drei Knotenpunkte h, i, k bestimmte Ebene [wj gefällt ist und dessen Fusspunkt f sein möge. Man nehme in m eine von f nach m gerichtete Last Eins an, ferner drei in h, i, k angreifende, zur Ebene [mj rechtwinklige Lasten, deren Mittelkraft in die Gerade mf fällt, von m nach f gerichtet ist und die Grösse eins besitzt. Die Gesammtarbeit der vier Lasten ist dann = 1 . hm, und das oben angegebene Verfahren ermöglicht wieder die unmittelbare Berechnung von Sm.

d. Anwendung der Gleichung 208— 'SSAs auf statisch unbestimmte Fachwerke.

Ziele führendes Verfahren an.

11. — Wir leiten die Berechnung der statisch unbestimmten Fachwerke durch Lösung einer einfachen Aufgabe ein, wenden aber hierbei ein ganz allgemeines, stets zum

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

Es soll der- in Fig. 16 dargestellte, über drei Oeffnungen gespannte, ebene Bogenträger untersucht werden. Bei A und D sind feste, bei B und C bewegliche Auflagergelenke angeordnet. In den auf wagerechten Geraden geführten Stützpunkten B und C greifen senkrechte Widerstände B und C an. Die senkrechten und wagerechten Seitenkräfte der in A und D wirksamen Auflagerkräfte seien A und //, beziehungsweise L> und Xa.

Die Anzahl der an den Auflagern auftretenden unbekannnten Kräfte ist = 6, die Anzahl der Stäbe =83, diejenige der Knotenpunkte = 43.

2)

■Æ-

Fig. 16.

Da 6 -J- 8B 2 • 43 ist, so ist das Fachwerk (Bd. I Absch. XIII) statisch unbestimmt, und zwar ist es dreifach statisch unbestimmt, weil 6 -f- 83 — 2 • 43 = 3 ist¹). Werden drei der zu berechnenden Unbekannten zunächst als gegeben angenommen, z. B. die Auflagerkraft Xa (deren Angriffspunkt die Ordnungsziffer a erhalten möge) und die Spannkräfte Xb und Xc der beiden Stäbe bbt und cct, so lassen sich die übrigen Spannkräfte und Auflagerkräfte für jeden Belastungszustand mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen eindeutig berechnen. Zu diesem Zwecke wird das Fachwerk durch Beseitigung der beiden Stäbe bbt und cc₁ und durch Umwandlung des festen Auflagergelenkes D in ein auf wagerechter Bahn verschiebbares statisch bestimmt gemacht, und hierauf werden, damit der Spannungszustand des Fachwerks ungeändert bleibt, die Spannkräfte Xh, Xc der beseitigten Stäbe als äussere Kräfte wieder hinzugefügt. Auch wird in a die wagerechte Kraft Xa angebracht. Fig. 17. Die Kräfte Xa, Xb, Xc in Fig. 17 werden vorübergehend zu den Lasten gerechnet.

Das in Fig. 17 dargestellte statisch bestimmte Fachwerk nennen

wir das Hauptsystem des fraglichen Trägers; seine Stäbe heissen die Hauptstäbe oder auch die nothicendigen Stäbe, während bbi und ccx in Fig. 16 überzählige Stäbe genannt werden. In gleicher Weise unterscheidet man nothwendige und überzählige Auflagerkräfte. Eine überzählige Auflagerkraft ist Xa in Fig. 16.

ąP

tw

^-^JT

Fig. 17.

Die Spannkraft S in irgend einem Hauptstabe ist, da sämmtliche Gleichgewichtsbedingungen vom ersten Grade sind, eine lineare Funktion der Kräfte P, Xa, Xb, Xc; sie lässt sich in der Form darstellen:

s = So — saxa — SbXb — scx

worin Sa, Sb, Sc sowohl von den Lasten P als auch von den Kräften X unabhängig sind, während So eine Funktion ersten Grades der gegebenen Lasten P ist. Die Werthe So, Sa, Sb, Sc können wie folgt gedeutet werden.

Das Glied So stellt diejenige Spannkraft vor, welche in dem 'fraglichen Stabe entsteht, sobald Xa, Xb, Xc gleich Null angenommen werden, sobald also nur die Lasten P auf das Hauptnetz wirken, ein Be-

(18)

TU*

IP

im

fo

JO

Fig. 18.

lastungszustand, welcher in Fig. 18 dargestellt worden ist und in der Folge kurz der „Zustand X= Q“ heissen möge.

Sa darf als diejenige Spannkraft aufgefasst werden, welche in dem fraglichen Stabe erzeugt wird, sobald sämmtliche Lasten P und ebenso die Grössen Xb, Xc gleich Null angenommen werden, während Xa — — 1

gesetzt wird. Dieser Belastungszustand möge der „ Zustand Xa = — 1“ heissen; er ist in der Fig. 19 angegeben worden. Die im Punkte a angreifende wagerechte Last Xa = — 1 ruft an den Auflagern des Hauptnetzes Widerstände hervor, über deren Grösse die Fig. 19 Aufschluss giebt. (Der bei A erzeugte Widerstand muss die Richtung BA und eine wagerechte Seitenkraft von der Grösse 1 haben; seine senk-

ß

rechte Seitenkraft besitzt deshalb die Grösse 1    — Ebenso schliesst

h

man auf den senkrechten Widerstand bei D und findet dann die in B und C angreifenden Auflagerkräfte.)

■JT"I

•si

N.>

Mg. 19.

In gleicher Weise können Sb und Se als die den Belastungszuständen: Xb = — 1 und Xc = — 1 entsprechenden Spannkräfte betrachtet werden.

Diese beiden Zustände sind in den Figuren 20 und 21 dargestellt worden. Grösse und Richtung der Auflagerkräfte sind den Figuren zu entnehmen.

Im Belastungsfalle Fig. 20 sind die Stäbe des Theiles CD spannungslos, im Belastungsfalle Fig. 21 diejenigen des Theiles AB.

Alle diese Spannkräfte S₀, Sa, Sb, Sc lassen sich mit Hilfe der im ersten Bande unseres Buches entwickelten Verfahren bestimmen, worauf S gegeben ist durch Gleichung (18), während für die nothwendigen Auflagerkräfte A, B, C} H die folgenden Werthe gefunden werden:

A = A. + X±-Xp

ly    ly

— Xc —

(19)

C= Co

li

H= Ho -f Xa.

f ; A — -\- A = 0. Vergl. Fig. 19, 20, 21. h    h

prüfe man die Ausdrücke für B, C, D, H.

*) Den Zuständen Xa — — 1 ; Xb —

1: Xc = —1 müssen entsprechen:

Auf dieselbe Weise

Die Aufgabe der Berechnung des Fachwerks ist jetzt auf diejenige zurückgeführt: „die statisch nicht bestimmbaren Grössen Xa? Xh} Xc zu ermitteln“, und diese Aufgabe kann man in einfacher Weise lösen, indem man die Arbeitsbedingung 2()5 = SS&s der Reihe nach auf die drei gedachten Belastungszustände: Xa = — 1 ; Xb = — 1 ; Xc — und — in allen drei Fällen — auf den wirklichen Verschiebungszustand anwendet. Man gelangt dann zu drei Gleichungen ersten Grades, welche nur die Unbekannten Xa, Xb, Xc enthalten.

ttu

s;

.Y

V:

-K-

------)

Ht*v1

Fig. 20.

Nehmen wir an, dass sich in Folge der Nachgiebigkeit der Wider

lager

Stützpunkt A in senkrechter Richtung um bA nach abwärts verschiebt, A „ wagerechter B „ senkrechter

55

55

„ links,

55

55

„ abwärts,

55

55

55

55

55

55

D 5,

D ,, wagerechter „

55

55

55

„ rechts,

tu

^SZVA

y.

Fig. 21.

(I)

so lautet die Arbeitsgleichung für den Zustand Xa = — 1 (Fig. 19) : La + 1 • ba = 'SSM, wobei

La = 1 —— (S A —    — 5 c -j- bD) -f- 1 • bH

n

die virtuelle Arbeit der an den Auflagern des statisch bestimmten Hauptnetzes angreifenden Stützenwiderstände bedeutet.

Für den Zustand Xb = — 1 ergiebt sieh, wenn 8₆ die Aenderung der Länge sb des überzähligen Stabes bbx bezeichnet;

Lb-j- 1 • bb = 'SiSf,As, wo

(II)

Lb = —

8j + 1 (v + t) ⁸*

- 8c=virtuelleArbeitder

¹ h

Auflagerkräfte, und für den Zustand Xc = — 1 (wenn 8C = Aenderung der Stablänge ccx =■ s„)

(HI)

Lc -j- 1 • 8,. =    wo

L, = -i~hB+l (-£-+-j-)»»

-|-e£s gesetzt und zur Abkürzung die Bezeich-

Wird As =

EF

nung

EF

eingeführt, so gehen mit Berücksichtigung von (18) die Gleichungen (I), (II), (III) über in:

£«+8b=:S#ÄP —X^Sjp —Xb2SaSbç —Xc2SaScp + ^SaBts (20) \Lb + hb = 2SbS₀p —Xa2SbSap —Xb2Sb²ç> — Xc2S„Seç + 2Sbets Lc-j-hc=2ScS₀ç> —Xa2ScSap—Xb2ScSbç>—Xc2Sc²ç> -fSS.sts.

Die auf der rechten Seite stehenden Summen erstrecken sich über sämmtliche nothwendigen Stäbe.

Bezeichnet man nun mit Fb, Fc die Querschnitte der beiden überzähligen Stäbe, mit Eb, Ec die Elasticitätszitfern, mit tb, tc die Temperaturänderungen, und mit s₆, sc die Verlängerungsverhältnisse für t— 1°, so hat man in die Gleichungen (20) zu setzen:

Xbsb

(21)

EbFb

Zbhsb‘,

Xese

~f“ ZctCSc,

EcFe

und ist jetzt im Stande, die Unbekannten Xa, Xb, Xc zu berechnen, vorausgesetzt, dass die Formänderungen der Stützen bekannt oder als Funktionen von X darstellbar sind. Dass die letztere Aufgabe meistens auf unüberwindliche Schwierigkeiten stösst, wurde bereits auf Seite 3 angeführt und begründet. In Folge dessen begnügt man sich in der Regel damit, bei der Untersuchung neuer Arten statisch unbestimmter Träger festzustellen, welchen Einfluss die gegenseitigen Verschiebungen der Stützpunkte auf den Spannungszustand des Trägers ausüben. Ist dieser Einfluss ein wesentlicher und schädlicher, so dürfen die fraglichen Träger nur dann ausgeführt werden, wenn auf nahezu unverschiebliche Stützen gerechnet werden darf; sie sind z. B. bei unsicherem Baugrunde zu verwerfen; auch ist in diesem Falle bei der Aufstellung der Träger besonders darauf zu achten, dass die Stützpunkte genau die in der Rechnung vorausgesetzte Lage erhalten.

Zuweilen aber ist es möglich, die Formänderungen der Widerlager bei der Berechnung der Träger theilweise zu berücksichtigen. Wird z. B. der in der Fig. 16 dargestellte Träger bei B und C durch Säulen von der Länge ti gestützt, und entsprechen diesen Säulen die Werthe E', F', t', s, so ist bei Vernachlässigung der Formänderung der Grundpfeiler und des Baugrundes zu setzen:

bB = der durch den Druck B erzeugten Verkürzung der Säule, vermindert um die Dehnung dieser Säule in Folge der Temperaturerhöhung, d. i.

— s' t' h'

Bh'

E'F' und ebenso ist einzuführen:

Cti

E'F'

Nun drückt man B und C mittels (19) durch Xa, Xh, Xc aus und lost schliesslich die Gleichungen (20) nach den drei Unbekannten X auf.

12. — Die in den Gleichungen (20) stehenden Summenausdrücke lassen sich auf eine sehr einfache und für die Folge sehr nützliche Weise deuten. Zu diesem Zwecke bezeichnen wir mit

hma die Verschiebung, welche der Angriffspunkt m irgend einer Last Pm in der Richtung von Pm erfährt, sobald auf das statisch bestimmte Hauptnetz nur die Belastung Xa = — 1 wirkt [Zustand Xa = — 1 (Fig. 19)],

hmb desgleichen die Verschiebung von m im Sinne von Pm und in Folge von Xb — — 1 (Fig. 20),

hmc desgleichen die Verschiebung von m im Sinne von Pm und in Folge von Xc — — 1 (Fig. 21),

ferner mit

haa die nach rechts positiv gezählte wagerechte Verschiebung des Punktes a, für den Fall, dass auf das statisch bestimmte Hauptnetz nur die Belastung Xa = — 1 wirkt, öa6 die wagerechte Verschiebung von a in Folge von Xb =—1,

^ac Y)

weiter mit

» X — — 1 >

hba die gegenseitige Verschiebung des Punktpaares b, bx d. i. die Aenderung der Strecke bbt für den Fall, dass auf das statisch bestimmte Hauptnetz nur die Last Xa = — 1 wirkt, hbb die Aenderung der Strecke bbx in Folge von Xb = —1,

„ Xc = — 1, „ X = — 1,

bbv „

CC

bcb die Aenderung der Strecke ccx in Folge von Xh= —- 1,

„ Xc —    1,

cc₁ „

schliesslich mit

bat die nach rechts positive, wagerechte Verschiebung des Punktes a, für den Fall, dass das statisch bestimmte, unbelastete Hauptnetz nur einer Temperaturänderung unterworfen wird,

die in diesem Falle entstehende Aenderung der Strecke bblf

^Ct 11    11

sodann setzen wir fest, dass bei der Ermittelung aller hier aufgeführten Verschiebungen 6 die Stützen des statisch bestimmten Hauptnetzes vollkommen starr angenommen werden sollen.

Jetzt schreiben wir die Arbeitsbedingung für den Belastungszustand X = 0 (Fig. 18) an, setzen in dieselbe die dem ZustandeAro = — 1

ccx;

(welcher die Spannkräfte 8a und Aenderungen A sa = entsprechenden Verschiebungen ein, und erhalten 2Pmbma = 2S₀Asa = 2S₀

Sas

EF

hervorruft)

Sas

EF

woraus, mit ~— EF

P:

(22)

2S₀$aç = 2Pmbma]

und ebenso finden wir:

%S₀Sb p = SPm8WJ;    2S₀SC p = 2PJW,

Wird die Arbeitsbedingung für den Belastungszustand Xa — — 1 angeschrieben, und werden in dieselbe der Reihe nach die den Zuständen Xa = — 1, Xb = — 1, Xc — — 1 entsprechenden Verschiebungen eingeführt, so entstehen die Gleichungen

l.baa = 2SaAsa; 1 • Kb = 2SaAsb; 1 .bac = 2SaAsc,

und aus diesen folgt

(23)

2SaSaç> = baa-, Ebenso wird erhalten: 'SSbSa9 = bba] ^ScSa p = bca-,

2SaSbç> = hab-,

2iSbSbp —- bbb;

^ScSb p = bcb;

Schliesslich liefern die für die Belastungszustände Xa — — 1, Xb = — 1, Xc = — 1 angeschriebenen und jedesmal auf die nur von den Temperaturänderungen herrührenden Verschiebungen angewandten Arbeitsbedingungen die Gleichungen:

2Saîts = 1 . bai-,

(24)

^Sbzts — 1 .

2SbSc p = hbc;

^SCSC P = bcc;

2Sczts — 1 . bct.

(25)

Die drei Bedingungen (20) lassen sich nun umformen in:

I L. + 8. = 2 P„§„ — xx. — xx, — XX, + K,

I Lb Sj = 2Pm8m6 — Xahba — Xbhbb — Xchbc -}- hu

I Lc + 8r = 2P„,L — XXa — xbhcb — Xehee + hct,

und hierin ist nach Gleichung (23):

8ab    -

(26)

8ac    ,

8j£. —

Die Gleichungen (25) werden sich später in vielen Fällen als sehr nützlich erweisen, da sich die Verschiebungen 8 der Knotenpunkte der meisten Fachwerke in sehr einfacher Weise durch Zeichnung feststellen lassen. Wir werden die Figuren, welche diese Verschiebungen liefern, in der Folge Verschiebungspläne nennen. (Vergleiche Abschnitt I.) Um die Unbekannten Xa, Xb, Xc mit Hilfe der Gleichungen (25) bestimmen zu können, genügt es, für das statisch bestimmte Hauptnetz vier Verschiebungspläne zu zeichnen, den ersten für den Belastungszustand Xa = — 1, den zweiten für den Zustand Xb = —1, den dritten für Xc = — 1 und schliesslich den vierten für das unbelastete und nur Temperaturänderungen ausgesetzte Hauptnetz.

13. — Das in Ko. 9 zur Berechnung eines statisch unbestimmten Fachwerks benutzte Verfahren führt stets zum Ziele; dasselbe besteht darin, die Spannkräfte der überzähligen Stäbe und die überzähligen Stützenwiderstände mit Hilfe von Arbeitsbedingungen von der Art der Gleichung (13) zu bestimmen. Zuweilen stellt es sich nun als zweckmässiger heraus, zunächst andere Werthe als Unbekannte einzuführen und die überzähligen Stabkräfte und Auflagerkräfte als lineare Funktionen dieser statisch nicht bestimmbaren Grössen darzustellen. So könnte man z. B. bei Untersuchung des Trägers in Fig. 16 an Stelle der in den Stäben bb₁ und cc₁ auftretenden Spannkräfte, die auf die Drehpunkte B und C bezogenen Momente Sb_bx • h und Sc_cX • h dieser Kräfte (die sogenannten Stützenmomente) zu Unbekannten wählen und mit Hilfe von Arbeitsbedingungen berechnen.

Man darf also allgemeiner aussprechen:

Sämmlliche Spannkräfte S und nach bestimmten Bichtungen wirkenden Auflagerkräfte C eines statisch unbestimmten Fachwerks lassen sich auf die Form bringen:

(27)

Ç1 Qt    Cl' Tr'    çy" y"    Qf,r XT

V) ADq O X O x\ U

C=C₀ — C' X' — C" X" — C" X -----

wobei X', X", X'" .... gewisse statisch nicht bestimmbare Grössen bedeuten, ivährend S0; S'; S" . ■ . ., C₀, C , C" ... . Werthe vor stellen, welche von den Unbekannten X unabhängig sind. Insbesondere bedeuten S₀ und C₀ die Spannkräfte und Auflagerkräfte des statisch bestimmten Hauptnetzes,, in welches das Fachicerk übergeht, sobald, sämmlliche Grössen X verschwin-

CL' —ZS'&ts =2S₀S'p — X'2S'²p

— X"’2S'S"p — X"'2S'S'" p —... L" —2S"zts = ^S₀S"p — X'2S"S'p — X"2S"²p

(29)

den; sie sind geradlinige Funktionen der Lasten P, während die S', S" . . . C, C" . .

Beispielsweise lassen sich S' und C' als diejenigen Werthe deuten, welche die Spannkräfte und Auflagerkräfte annehmen, sobald sämmtliche Lasten P und sämmtliche X verschwinden, ausgenommen X', welchem der Werth (— 1) beizulegen ist — ein Belastungszustand, welcher kurz der Zustand X' — — 1 genannt werden soll.

Weiter darf man sagen:

Die durch die Ursache X' = — 1 hervor gerufenen Auflagerkräfte C' und Spannkräfte S' sind miteinander im Gleichgewicht, und ebenso sind die C" im Gleichgewichte mit den S , die C " mit den S"'

. . von

u. s. io.

den P unabhängig sein sollen.

In Folge dieser Auffassung gelten die Gleichungen (27) nicht nur für die nothwendigen, sondern auch für die überzähligen Stäbe und Auflagerkräfte. Ist z. B. X" die Spannkraft in einem überzähligen Stabe, so entsprechen diesem die Werthe:

s₀ = 0, S' = 0, S" = — 1, S'" = 0, s

und es folgt dann S = X".

Schreibt man nun die Arbeitsbedingung (13) der Reihe nach für

trn

— 0 u. s. w.

die Belastungszustände

X' = — 1 ; X'’ = — 1 ; X"' s= — 1 ;

an und wendet sie jedesmal auf den wirklichen Verschiebungszustand an, so gelangt man zu den Gleichungen:

A' = 2S'As; 2/' = 2S"As; L'" = 2#"'As; .... in denen L', L", L'", .... die beziehungsweise von den Auflagerkräften C', C", C'", .... verrichteten virtuellen Arbeiten bedeuten.

(28)

Die Anzahl der Gleichungen (28) ist ebenso gross wie die Anzahl der statisch nicht bestimmbaren Grössen. Führt man ein:

As =

Ss

~h

FF

drückt S mit Hilfe der ersten der Gleichungen (27) aus und setzt schliess-

lieh zur Abkürzung:

FF

p, so gelangt man zu den Bedingungen:

— X"' 2S"-S"'p—...

L"' — 2S'"ets = 2S₀S'"p —X'2S','S'p—X'''2S'"S"p

— X'"2S'"* p —...

Alle in diesen Gleichungen stehenden Summenausdrücke erstrecken sich über sämmtliche Stäbe des Fachvverks, über die nothwendigen und überzähligen.

Auf den letzten Satz ist besonders zu achten. Wendet man z. B. die Gleichungen (29) auf den in No. 11 untersuchten und in der Kg. 16 dargestellten Träger an, und setzt man X' = Xa- X" = Xb- X"’ — Xc, so entsprechen dem überzähligen Stabe bbx die Werthe:

-So = 0; S' = 0; S" = — 1; S"' = 0 und dem überzähligen Stabe ccx die Werthe:

-S'o = 0; S'= 0; S" = 0; S’" = — 1.

Für jeden nothwendigen Stab ist S' = Sa, S" = Sb] S"’ = SC.

Die Summen 2,S"²p, '£S'"²p. 'SSTzts, iSS”'its unterscheiden sich von den in den Gleichungen (20) stehenden Summen: 2SV²p, SSV²p, 2Sbzts, S&sls (welche letztere sich nur auf die nothwendigen Stäbe beziehen) um die den überzähligen Stäben entsprechenden Glieder. Es ist also

1 • Sb

ÉiFb

Sb

2ä"'²p=s;ä²p +

? II

EF

EbFb

EcFc ’

’2,S"zts = ’SSbtts — 1 • ZbtbSb'-, 2 S'" zts = 2Sczts — 1 • zctcsc-Hingegen ist S,S'₀,S'"p = 'SS₀Sbp; S S"[S"' p = 2 SbScp, weil für jeden überzähligen Stab S₀ — 0 und entweder S" = 0 oder S'" — 0 ist, und ebenso folgt, dass in allen übrigen Summen S' durch Sa ersetzt werden darf, S" durch Sb und S'" durch Sc-

Bei der Berechnung von L' ist die im Belastungsfalle X„ — — 1 am Stützpunkte a angreifende wagerechte Kraft 1 zu den Auflagerkräften zu rechnen, weil Xa eine Auflagerkraft ist, und es folgt deshalb L' = La -j- 1 • während L" = Lb und L'” — Lc ist.

Formt man nun die Gleichungen (29) für den vorliegenden Fall auf diese Weise um, und beachtet noch, dass

XbSb

-Xc Sc

j—ZbtbSb und = ist, so erhält man die auf Seite 22 abgeleiteten Gleichungen (20).

EbFb

EcFc

---H ZctcSc

Bei der Anwendung der Gleichungen (29) kommt es hauptsächlich darauf an, die von den Lasten P abhängigen Summen möglichst schnell zu bestimmen. In der Regel wird es, sich empfehlen, den in No. 12 eingeschlagenen Weg zu wählen und zu setzen:

~2S₀ S'ç = 2>Pmb„' ; 'SSq S" ç> —’2Pmhm"-, u. s. w. wobei bm', hm" .... diejenigen Verschiebungen bedeuten, welche der Angriffspunkt m irgend einer Last Pm in der Richtung von Pm erfährt, sobald auf das Fachwerk beziehungsweise nur die Ursache X' — — 1 oder nur die Ursache X" = — 1, u. s. w. wirkt.

Alle übrigen (S₀ nicht enthaltenden) Summenausdrücke sind unabhängig von den Lasten; sie brauchen also nur einmal bestimmt zu werden und werden häufig am schnellsten durch Rechnung gefunden,

(30)

nachdem man die Spannkräfte S', S" ... ^ berechnet oder mit Hilfe von Kräfteplänen ermittelt hat. Es lassen sich aber diese Summen auch auf dem in No. 13 angegebenen Wege als Verschiebungen deuten und dann oft mit Hilfe einfacher Verschiebungspläne angeben.

14. — Hat man die statisch nicht bestimmbaren Grössen X auf dem in No. 11 bis 13 beschriebenen Wege ermittelt und hierauf mit Hilfe der Gleichungen (18) bezw. (27) die Spannkräfte S berechnet, so kann man die Aenderungen As sämmtlicher Stablängen s angeben und ist nun im Stande, alle die in No. 9 und 10 behandelten Aufgaben zu lösen und zwar genau nach dem früher benutzten Verfahren. Dasselbe besteht in der Anwendung der Gleichung 2 Qm 5„, = 2 S A s auf den wirklichen Verschiebungszustand und auf einen gedachten Belastungszustand, welcher letzterer so zu wählen ist, dass die virtuelle Gesammtarbeit der Lasten = 1 • ist, wobei h„, die gesuchte gegenseitige Verschiebung eines Punktpaares m, mx oder die gesuchte gegenseitige Drehung eines Geradenpaares u. s. w. bedeutet. Hierbei ist zu beachten, dass zwischen den gedachten äusseren und inneren Kräften Q und S nur Gleichgewicht zu bestehen braucht, dass also die Spannkräfte in den überzähligen Stäben und die überzähligen Auflagerkräfte gleich Null gesetzt werden dürfen.

S)

l<r,h

"T

i!N :

V>,

—m-

Fig. 22.

Es liege beispielsweise der in Fig. 16 dargestellte Bogenträger ■vor. Gesucht sei die Verschiebung hm, welche irgend ein dem mittleren Bogen angehörender Knotenpunkt m in der Richtung mxm erfahrt. Die auf Seite 21 angegebenen Verschiebungen der Stützpunkte sollen berücksichtigt werden.

Zuerst wird der Träger durch Beseitigung der überzähligen Stäbe und Auflagerbedingungen statisch bestimmt gemacht (Fig. 22). Hierauf wird in m eine von mx nach m gerichtete Last von der Grösse eins

angebracht und zur Berechnung der durch diese Last an den Auflagern des Hauptnetzes hervorgerufenen Widerstände A, ß, . . . . geschritten. Bildet ml m mit der Wagerechten den Winkel a, und ist der loth-rechte Abstand des Stützpunktes B von der mm₁ gleich r, so lauten die Gleichgewichtsbedingungen :

Alx — He = 0 A —|— B -J⁻ C — 1 • sin (X.

H == 1 • cos a ;

CI — 1 • r = 0; und aus diesen findet man:

e cos a

C=1 -ri

B — 1 • ^sin a

e cos a

r>

*)

Nun bestimmt man die von den äusseren Kräften 1, A, B, C, H in den Stäben des Hauptnetzes hervorgerufenen Spannkräfte S und schreibt die Arbeitsgleichung an:

1 • 6m — AhA — Bhs—~Chc — hbH = 2 SA s,

in welche die wirklichen Aenderungen As der Stablängen einzuführen sind. Es ist also zu setzen:

As

Ss

EF

j- sts wo S = S₀ — SaXa — SbXb — SeXc.

Auf diesem Wege erhält man stets §m als lineare Funktion der Lasten F, der Temperaturänderungen t, der statisch nicht bestimmbaren Grössen X und der nach bestimmten Richtungen erfolgenden Verschiebungen der Stützpunkte. Da nun zwischen den X, P, t, ebenfalls nur Beziehungen ersten Grades bestehen, so folgt, dass im Falle unveränderlicher Gliederung und Stützungsart das in No. 6 ausgesprochene Gesetz von der Zusammenzählung der einzelnen Wirkungen für alle diejenigen Grössen hm gilt, welche sich mittels einer Bedingung

von der Form 1 •    -f- L = 2²SAs bestimmen lassen.

15. — Es möge noch darauf hingewiesen werden, dass bei der Auswahl der als überzählig zu bezeichnenden Stäbe und Auflagerbe-dingungen innerhalb gewisser Grenzen nach Willkür verfahren werden darf.

Führt man z. B. die Widerstände der beiden Mittelstützen des in der Fig. 23 dargestellten durchgehenden Balkens als statisch nicht be-

stimmen.

stimmbare Grössen (X) ein, so erhält man das in der Fig. 24 abgebildete Hauptnetz; dasselbe ist ein einfacher Balken. Hingegen gelangt man zu dem aus drei Einzelbalken bestehenden Hauptnetze (Fig. 25)

cu

Fig. 23.

Fig. 2i.

Fig. 25.

Fig. 26.

oder zu dem einen Gerber' sehen Balken vorstellenden Hauptnetze (Fig. 26), je nachdem man die beiden Stäbe bc oder die beiden Stäbe ab als überzählig bezeichnet.

Auch ist hervorzuheben, dass bei der Ermittelung der Verschiebungen hm andere Hauptnetze gebildet werden dürfen, wie bei der Bestimmung der Spannkräfte.

e. Der IVIaxwell’sche Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen

und das Gesetz von Betti.

16.

Wir betrachten ein auf starren Stützen ruhendes, ebenes oder räumliches Fachwerk von unveränderlicher Gliederung und Stützungsart (Seite 6) und setzen einen spannungslosen Anfangszustand voraus. Auch nehmen wir an, dass keine Temperaturänderungen entstehen. Es gilt dann das auf Seite 12 nachgewiesene Clapeyron'sehe Gesetz, und es ergiebt sich für die mechanische Arbeit A der äusseren Kräfte der nur von den Lasten P abhängige Ausdruck:

(31)

A — \ 2PS = ^ (Paha -j- Pbhb -(-••• + Pmhm -}-•••)>

in welchem bis jetzt unter Pa, Pb, ... Pm .. . Einzellasten verstanden wurden und unter Sa, §₆, . . . §m . . . die wirklichen Verschiebungen

r Angriffspunkte a, b, .... m ... . derselben, im Sinne der , Pb, . . . Pm . . .

Für die Folge ist es nun nützlich, den Buchstaben P und 5 eine allgemeinere Bedeutung beizulegen und unter jedem der in der Gleichung auftretenden Produkte ^ Pb die mechanische Arbeit einer ganzen Gruppe von Lasten zu verstehen.

Solche Gruppen lassen sich leicht an der Hand der Untersuchungen in No. 9 und No. 10 bilden.

Werden z. B. die beiden Lasten Eins in der Fig. 9 mit Pm mul-tiplicirt (wobei man natürlich entweder Eins oder Pm als Zahl zu betrachten hat), so entsteht eine Lastengruppe, deren Beitrag zur Arbeit A gleich -g- Pmb„, ist, wenn 8,„ die gegenseitige Verschiebung des Punktpaares m, ml bedeutet.

Multiplicirt man die vier Lasten in Fig. 13 mit Pm, so erhält man eine Gruppe, deren entsprechendes 8m gleich der im Bogenmass ausgedrückten gegenseitigen Drehung des Geradenpaares (w), (mj) ist.

In gleicher Weise lässt sich aus der Figur 15 durch Multiplikation der dort angenommenen Lasten mit Pm eine Lastengruppe ableiten, deren zugehöriges 8m gleich der Aenderung der Entfernung mf ist.

Die vorliegenden Beispiele dürften genügen, um die Bildung von Lastengruppen zu erläutern, und es sei nur noch hervorgehoben, dass jede am Fachwerk vorkommende Last stets nur einer einzigen Gruppe zugewiesen werden darf. Der Kürze wegen nennen wir eine solche Gruppe von Kräften eine Belastung und das entsprechende 8 den Weg dieser Belastung. Unter anderem werden wir in der Folge öfter von der Belastung Pm eines Punktpaares m, ml oder eines Geradenpaares (m), (m^ sprechen, Belastungen, die nach der vorstehenden Erklärung durch Multiplikation der auf Seite 13 und 16 eingeführten Belastungseinheiten jener Paare mit Pm entstehen.

Sämmtliche 8 sind lineare Funktionen der Belastungen P; sie lassen sich daher auf die Form bringen:

Pa H ' Pb -j- • * • -j- 8„m Pm~j~ • ’ ' Pa hbb Pb -f- • • • -f- bbm Pm -J-*"'

(32)

8,„ — bma P„ -j- 8„,₆ JF& —(— - * - —f— 8mm Pm -{-•••

wobei die mit einem Doppelzeiger behafteten Werthe 8 unabhängig sind von den Belastungen P. Um diese Werthe zu deuten, setze man in irgend einer der Gleichungen (2©) sämmtliche P gleich Null, mit

Ausnahme eines einzigen, dem man den Werth Eins beilege, ergiebt sich beispielsweise bmb als derjenige Werth, welchen der Weg bm für den Fall annimmt, dass auf das Fachwerk nur die Belastung Pb — 1 wirkt.

Dann

17. — Wir setzen jetzt voraus, dass nur zwei Belastungen auf-treten, etwa Pm und Pn. Die entsprechenden Wege sind

¹

Man erkennt auch ohne weiteres, dass der aus drei gegliederten Scheiben und zwei Stäben bbn cct bestehende Träger statisch bestimmt wäre, wenn nur drei Stützenwiderstände vorhanden wären. Nun treten aber deren 6 auf, so dass eine dreifache Unbestimmtheit vorliegt.

²

Wir empfehlen dem Leser, diese Kräfte auch durch Zeichnung zu be

b», bm m Pm [ bm n P-n

bnm Pm | bnn Pn'

Wird zuerst nur die Belastung Pm aufgebracht, so ist der Weg derselben = bmm Pm, und es verrichtet deshalb die von ÜSTull aus allmählich anwachsende Belastung Pm die mechanische Arbeit ÿ 5mmPm². Fügt man die ebenfalls von ÜSTull aus anvvachsende Belastung Pn hinzu, so nimmt die Arbeit der äusseren Kräfte erstens um bnnPn² zu, weil die wachsende Belastung Pn den Weg bHHPn zurücklegt, und zweitens um Pm(bmnP„), weil der Weg der bereits vorhandenen Belastung Pm die Vergrösserung 5mnP„ erfährt. Im Ganzen entsteht:

A = i bmmpj +1 bnHpj + bmnprnpn.

Wird zuerst die Belastung Pn aufgebracht und nachher Pm, so ergiebt sich durch Vertauschung von m und n:

A = i b„„P„² + i bmmPj + bnmPnPm.

Nach dem Clapeyron’schen Gesetze müssen aber die beiden für A gewonnenen Ausdrücke übereinstimmen, und es folgt daher die wichtige Gleichung:

(33)

bnm    bmn •

Dieselbe wurde zuerst von Maxwell bewiesen und soll in der Folge stets als Maxwell’scher Lehrsatz angeführt werden.

Von den vielen Sätzen, welche sich aus der Gleichung (33) ergeben, sind die folgenden für die späteren Untersuchungen von besonderer Bedeutung.

1.    Die gegenseitige Verschiebung bmn eines Punktpaares m, mx in Folge der Belastungseinheit eines anderen Punktpaares n,nx ist ebenso gross wie die gegenseitige Verschiebung bnm des Punktpaares n, nx in Folge der Belastungseinheit des Punktpaares m, mx.

2.    Die gegenseitige Drehung bmn eines Geradenpaares (m), (tnx) in Folge der Belastungseinheit eines anderen Geradenpaares (n)y (nx) ist ebenso gross wie die gegenseitige Drehung bnm des Geradenpaares (n), (nx) in Folge der Belastungseinheit des Geradengoaares (m), (mx).

3. Die gegenseitige Verschiebung eines Punktepaares m, ml in Folge der Belastungseinheit eines Geradenpaares (n), (nx) ist ebenso gross ivie die gegenseitige Drehung des Geradenpaares (n), (nx) in Folge der Belastungseinheit des Punktepaares m, mx.

Die Sätze (2) und (3) beziehen sich auf ein ebenes Fachwerk. Die Erklärungen der Begriffe: Punktpaar, Geradenpaar, Belastungseinheit eines Punkt- oder Geradenpaares finden sich auf Seite 13 und 16.

Noch sei ein Beispiel angeführt, welches besonders geeignet sein dürfte, von der Fruchtbarkeit des Maxwell’schen Satzes zu überzeugen. Man darf nämlich mit Hinweis auf die Figuren 27 und 28, welche ein und dasselbe Fachwerk auf verschiedenartige Weise belastet darstellen, aussprechen: Die

.1

A4

,/i

(mj

j.

e,

)"hj

Kg. 27.

/ S

/ Ha

~#-4-

" l_____

G —-

.....*

■*?.

’f

"À

\rrv }/

Fig. 28.

Strecke, um welche sich der Abstand mf in Fig. 28 ändert, sobald auf das

— wirken, ist

und

Fachwerk nur die in der Fig. 27 angenommenen Lasten

ebenso gross wie die im Bogenmaass ausgedrückte Aenderung, welche der Winkel cp (Fig. 27) erfährt, falls das Fachwerk auf die in Fig. 28 angegebene Art belastet wird. (Die gleichbezeicbneten Strecken e, ex der Figuren 27 und 28 brauchen nicht gleich gross zu sein.)

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

Sms

EF

(34)

18. — Zu einem anderen Beweise für den Maxwell’schen Satz führt die folgende Betrachtung.

Ein Fachwerk, welches den in No. 16 angeführten Voraussetzungen genügt, werde von beliebigen Belastungen Pm ergriffen. In Folge dessen entstehen Spannkräfte Sm und Aenderungen der Stablängen um Sms EF '

Nach Entfernung der Pm mögen andere Belastungen Pn auf das Fachwerk wirken und die Spannkräfte Sn sowie die Längenänderungen

hervorbringen.

A sm =

A s„ =

Sns

EF

Es bedeute nun (öm„) den Werth, welchen der Weg irgend einer Belastung Pm annimmt, wenn auf das Fachwerk nur die Belastungen P„ wirken, ferner (§nm) den nur durch die Belastungen Pm hervorgerufenen Weg irgend einer Belastung P„. Die Werthe 6 wurden durch Klammern ausgezeichnet, da sie eine andere Bedeutung haben als die früher erklärten hmn und §„ von für den Fall vorstellte, dass nur eine Belastung P„ wirkt und diese die Grösse Eins besitzt.

deren ersteres z. B. den Werth

Schreibt man nun die Arbeitsbedingung (13) einmal an

für den Kräftezustand (Pm, Sm) und den hiervon unabhängigen Verschiebungszustand [(5,„„) As„]

und hierauf

für den Kräftezustand (Pn, S„) und den hiervon unabhängigen Verschiebungszustand [(6„m) Asm], so erhält man die Gleichungen:

NPm (Sm„) = 2Sm A.9b = 2Sm

Sns

EF

und

und gelangt zu dem zuerst von Betti nacbgewiesenen Gesetze 2P,„ (0Mn) = 2P„ (5nw).

Wirkt auf das Fachwerk das eine mal nur eine Belastung Pm = 1, sodann nur eine Belastung P„= 1, so entsteht aus (34):

= 8««

und hieraus folgt, dass der Maxwell’sehe Satz nur ein besonderer Fall des viel allgemeineren, aber erst später entdeckten Betti’sehen Satzes ist.

19. — Um die Anwendung des Maxwell’schen Satzes auf die Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke zu erläutern, behandeln wir zunächst die in No. 11 und 13 bereits auf anderem Wege gelöste Aufgabe: die überzählige Äuflagerkraft Xa und die Spannkräfte Xb, Xc der überzähligen Stäbe des in der Fig. 16 dargestellten Bogenträgers zu bestimmen.

Es sollen sowohl Temperaturänderungen als auch die auf Seite 21 angeführten Verschiebungen der Stützpunkte berücksichtigt werden.

Wir rechnen (wie in Fig. 17 auf Seite 19) die Kräfte Xa, Xb, Xc zu den auf das Hauptnetz wirkenden Lasten und erhalten für die Wege ba, hb, 8C der Belastungen Xa, Xb, Xc die Werthe:

8. = 2Pmham — baaXa — 8a₆Xé — 8 aeXc + 8at +

(35)

8, = 2Pm8iw - 8₆aXa — hbbXb — bbeXc -f 8W + bbw 8e = 2Pmbcm — bcaXa — hcbXb — hcc Xe + 8* + 8«..

Hierbei bezeichnet:

ham den Einfluss der Ursache Pm = 1 auf den Weg 8„, 8oa desgl. den Einfluss der Ursache Xa = — 1,

8ab    »

»

bat desgl. den Einfluss von Temperaturänderungen,

5 UW    n

Xb=—1,

xc = — i,

„ Verschiebungen der Stützpunkte, und ebenso lassen sich die übrigen, mit Doppelzeigern behafteten Werthe 8 deuten.

Um baie zu bestimmen, wird die Arbeitsbedingung für den Belastungszustand Xa — — 1 (Fig. 19) angeschrieben und dabei jedem Stabe die Längenänderung As = 0 beigelegt. Es ergiebt sich dann

1 * 8a„, -j- 1 •    -J- 1 • — (8^ — 8_g — 8C -j- 8^) — 0

und hieraus und aus ähnlichen, für die Belastungszustände Xb = — 1, Xc = — 1 aufgestellten Gleichungen folgt

8atc = — La; bb„ — — Lb; 8CW = — Lc (vergl. Seite 22).

Setzt man nun diese Werthe in (35) ein und beachtet, dass die Buchstaben der Doppelzeiger miteinander vertauscht werden dürfen, dass also 8am==8ma, hbm—hmb, bcm — bmc, hab = hba, ... ist, so gelangt man zu den auf Seite 25 erhaltenen Gleichungen (25).

Der eben eingeschlagene Weg führt immer zum Ziele. Man darf aussprechen :

von

Jedes statisch unbestimmte Fachwerk lässt sich durch Beseitigung überzähligen Stäben und Auflagerkräften in ein statisch bestimmtes Fachwerk (Hauptnetz genannt) verwandeln. Auf dieses Hauptnetz wirken ausser den gegebenen Lasten Pm und den Temperaturänderungen noch gewisse vorläufig unbekannte Belastungen Xa, Xb, Xc, Xd . . .

xleren Wege 5a, bc, 8d . . ., jedoch bestimmten Bedingungen unterworfen sind. Es gelten die Gleichungen:

X — ha* + Sa = 2Pm5m„ — haaxa—bbaxb~hcaxc—bdaxd—. . . Lb — 8„ +    = 2PmÖmfc — 5aiXa — hbbXb—hcbXc—bdbxd— ...

(36) Lc — K + 8C = 2Pm§mc — bacXa — 8beXb—8ccXc—bdcXd—... La — 8* + 5d = 2Pm5Md— K«Xa— bbdXb — KdXc—hddXa— . . .

1, Xc = — 1, . . . entsprechenden Formänderungen des Haupt-

welche eine schnelle Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grössen X gestatten, sobald sich die den Belastungszuständen Xa — — 1, X₆ =

netzes bequem darstellen lassen, und ebenso die von den Temperaturänderungen herrührenden Werthe h„t, 8W, .... Begegnet die Ermittelung dieser Verschiebungen Schwierigkeiten, so wende man die in No. 11 und 13 abgeleiteten Gleichungen (20) oder (29) an.

I. Einfluss unrichtiger Ablängung überzähliger Stäbe. Künstliche Anspannung.

20. — Die bisherigen Untersuchungen setzten voraus, dass jeder Stab genau diejenige Länge erhält, welche dem spannungslosen Zustande des Fachwerks entspricht. In statisch unbestimmten Fachwerken können jedoch geringfügige Fehler bei der Ablängung der überzähligen Stäbe wesentliche Aenderungen der Spannkräfte zur Folge haben.

...X

Soll z. B. in ein aus 5 Stäben gebildetes ebenes Viereck (Fig. 29) ein sechster Stab ab eingefügt werden, welcher die zu geringe Länge ab ₁ besitzt, so ist dieser Stab vorher so anzuspannen, dass er sich um byb verlängert. In Folge dessen aber wird er auf das ursprüngliche Fachwerk in a und b gewisse Kräfte ausüben, welche in den Stäben desselben Spannungen hervorrufen.

(F-----

mg. 29.

Damit man die früher entwickelten Gleichungen auch unmittelbar zur Berechnung von statisch unbestimmten Fach werken benutzen kann, deren überzählige Stäbe wegen unrichtiger Ablängung mit Anfangsspannungen eingesetzt werden müssen, stelle man sich vor, es seien jene Herstellungsfehler durch Abkühlung beziehungsweise Erwärmung der unrichtig bearbeiteten Stäbe beseitigt worden und zwar vor Einfügung dieser Stäbe in das Fachwerk. Die Länge s eines Stabes, dessen Temperatur um t' zunimmt, wächst um Bt's, und es muss deshalb die Temperatur eines um ws zu kurzen

Ausnahmefälle.

CO

Stabes um t =

erhöht, diejenige eines um ws zu langen Stabes

um t' = — erniedrigt werden, e

Nach Einsetzen säm rötlicher Stäbe denke man die ursprünglichen Stabtemperaturen wieder hergestellt, schreibe also den erwärmten Stäben die Temperaturänderung (—t'), den abgekühlten die Temperaturerhöhung Man erkennt dann, dass man den fraglichen Bearbeitungsfehlern Rechnung trägt, wenn man die in die früheren Entwickelungen eingeführten Temperaturänderungen t für die um us zu langen oder

zu kurzen Stäbe um t' =

(+ n

zu.

vergrössert beziehungsweise verkleinert.

Werden überzählige Stäbe absichtlich mit unrichtigen Längen eingesetzt, so bezeichnet man das Stabgebilde als ein Fachwerk mit künstlicher Anspannung.

g. Ausnahmefälle.

21. — Alle vorstehenden Entwickelungen sind an die Voraussetzung gebunden, dass es zulässig sei, bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen die Formänderung des Fachwerks zu vernachlässigen; sie gelten also nur für Stabgebilde, deren Knoten sehr geringe Verschiebungen erleiden, und führen, auf Träger von ungenügender Steifigkeit (z. B. mangelhaft versteifte Kettenbrücken) angewendet, mitunter zu ganz unrichtigen Ergebnissen. Es giebt aber auch Fälle, in denen bereits sehr geringe elastische Formänderungen die angenäherte Berechnungsweise unbrauchbar machen, und hierzu gehören die im ersten Bande, als Fachwerke von unendlich kleiner Verschiebbarkeit bezeichneten Stabgebilde, deren Knotenpunkte sich selbst dann gegeneinander (wenn auch nur unendlich wenig) verschieben würden, wenn sämmtliche Stäbe und Stützen starr wären. Ein besonders einfaches Fachwerk dieser Art stellt Fig. 30 dar.

Die Achsen der beiden wagerechten Stäbe ac und bc fallen in dieselbe Gerade. a und b sind feste Auflagergelenke. Die um a und b mit den Halbmessern s geschlagenen Kreise haben ein Bogenelement gemein, innerhalb dessen sich c frei bewegen kann. Wird das Fachwerk durch eine senk-

Abschnitt XIII,

(------s--------*<-----

\cu

■o-

"P

f-t

«45

I"

Fig. 30.

*±_____M

sł

rS

rechte Last P beanspnicht, und verschiebt sich jedes der beiden Auflagergelenke um die gleiche wagerechte Strecke £, so entstehen in den Stäben ac und bc gleich grosse Spannkräfte S. Man erhält:

2 Psin A a = P;

sin A a = y"l — cos² Aa;

cos A a

Ss

s -j- As

EF

: also

4 P²|\ —

E²F²(s — £)²J

s²(PP+P)

= P²

und diese Gleichung liefert für S einen bestimmten endlichen Werth, welcher desto grösser ist, je grösser E und Psind. Werden die Widerlager und die Stäbe vollkommen starr angenommen, so ergiebt sich (wegen £ = 0;A$ = 0; sin A a = 0) für die Spannkraft S, selbst bei sehr kleiner Last P, der unrichtige Werth S = oo.

Zu einem ähnlichen Ergebnisse führt die genauere Berechnung des auf Seite 208 und 211 des ersten Bandes angeführten Paskal’schen Sechsecks. Gleichgewicht tritt hier selbst bei starren Stäben im Allgemeinen erst nach einer gegenseitigen Verschiebung der Knotenpunkte ein. Da diese Formänderung aber unendlich klein ist, so darf bei Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen die ursprüngliche Gestalt des Fachwerks beibehalten werden, und es ergeben sich dann (nach Band I, Abschnitt XIII) für die Spannkräfte S unendlich grosse oder unbestimmte Werthe. Werden aber die elastischen Verschiebungen berücksichtigt, so liefern die Gleichgewichtsbedingungen für jede Spannkraft S einen ganz bestimmten endlichen Werth. Immerhin ist es rath-sam, derartige bereits ausgeführte Fach werke zu vermeiden, wegen der verhältnissmässig grossen Anstrengungen, welche die Stäbe selbst bei geringer Belastung erleiden.

B. Gesetze für beliebige isotrojje, feste Körper.

a. Voraussetzungen und Erklärungen. Gesetz der virtuellen Verschiebungen.

22.    — Wir werden in diesem Buche ausser Fachwerken noch Träger untersuchen, die aus irgendwie miteinander befestigten geraden oder krummen Stäben zusammengesetzt sind und Stabwerke genannt werden mögen. Die Theorie derselben leiten wir durch Entwickelung einiger Gesetze ein, welche für beliebige feste Körper, die nur elastische, verschwindend kleine Formänderungen erleiden, gelten.

23.    — An irgend einer Stelle eines im Gleichgewichte befindlichen festen Körpers denken wir uns ein unendlich kleines Theilchen abgegrenzt. Die auf die Seitenflächen desselben wirkenden Kräfte sollen Flächenkräfte genannt und insbesondere als innere Kräfte oder Oberflächenkräfte bezeichnet werden, je nachdem die durch sie beanspruchten Flächen im Innern des Körpers liegen oder zur Oberfläche gehören; ausser ihnen wird an dem Körpertheilchen im Allgemeinen noch eine auf die Masse desselben wirtende äussere Kraft angreifen, welche eine Massenkraft heisst (z. B. die Erdanziehung, Ergänzungskräfte der relativen Bewegung).

Nehmen wir nun an, es erleide ein anfänglich im Gleichgewichte befindlicher Körper durch Hinzutreten äusserer Kräfte und durch Temperaturänderung eine Umgestaltung. Dieselbe hört auf, sobald sich ein neuer Gleichgewichtszustand gebildet hat und bestehen bleibt; während ihrer Erzeugung werden die Flächenkräfte des betrachteten Körper-theilchens eine bestimmte Arbeitssumme verrichten, und von dieser ist besonders derjenige Theil von Wichtigkeit, der nur von der Formänderung des Körpertheilchens abhängig ist, der also verschwindet, wenn sich das Theilchen bewegt, ohne seine Gestalt zu ändern. Man nennt diesen Theil der Gesammtarbeit der Flächenkräfte die Formänderungsarbeit des Körpertheilchens ; ihre Integration über den ganzen Körper liefert die Formänderungsarbeit des Körpers. Bei der Berechnung dieser Arbeit ist zu beachten, dass die Flächenkräfte, deren schliessliche Werthe wir ganz allgemein mit R bezeichnen wollen, sich im Verlaufe jener Umgestaltung ändern.

Denkt man sich hingegen die Flächenkräfte während der ganzen Dauer der Formänderung mit ihren Endwerthen R wirkend und bestimmt die von den R geleistete Formänderungsarbeit unter der Voraussetzung einer tviVkürlichen Formänderung, die man sich zwar als möglich vorstellen kann, die aber nicht von den die Kräfte R erzeugenden, sondern von irgend welchen anderen Ursachen herrührt, so erhält man einen Ausdruck dAv, welcher die virtuelle Formänderungsarbeit des Körpertheilchens heisst, während jene willkürliche, mögliche Umgestaltung eine virtuelle Formänderung genannt werden soll.

Somit stellt dAm-\-dAf—dA*

Wir fassen jetzt eine unendliche kleine virtuelle Formänderung eines im Gleichgewichte befindlichen Körpers und insbesondere die Bewegung und Umgestaltung eines Körpertheilchens ins Auge und bezeichnen die virtuelle Arbeit der auf dieses Körpertheilchen wirkenden Massenkraft mit dAm, diejenige der Flächenkräfte mit dAf. Letztere Arbeit besteht aus zwei Theilen; der eine, dAv, hängt nur von der Umgestaltung des Körpertheilchens ab, der andere, nämlich dAf—dAv von der Bewegung des Massenmittelpunktes und der Drehung des Körpertheilchens um diesen Punkt, diejenige virtuelle Arbeit vor, welche sämmtliche auf das Körper-

theilchen wirkenden Kräfte verrichten, wenn dessen Bewegung ohne eine Formveränderung vor sich geht. Diese Arbeit muss aber = Null sein, da die Mittelkraft der auf das Körpertheilchen wirkenden Kräfte (des vorausgesetzten Gleichgewichtszustandes wegen) zu Anfang = Null ist und auch während der ganzen Dauer der gedachten unendlich kleinen Bewegung bis auf eine verschwindende Grösse den Werth Null behält.

Es folgt mithin dAm -(- dAf — dA„ und, wenn entsprechende Gleichungen für sämmtliche Körpertheilchen gebildet und hierauf addirt werden,

(37)

Am -f- Af — Av.

aus:

Da sich nun in dem Ausdrucke Af die Arbeiten der inneren Flächenkräfte gegenseitig tilgen, weil auf die Flächen, in denen aneinander grenzende Körpertheilchen Zusammenhängen, bei gleichen Verschiebungen entgegengesetzt gleiche Kräfte wirken, so leuchtet ein, dass Af die virtuelle Arbeit der Oberflächenkräfte, mithin Af -J- Am die virtuelle Arbeit särnnitlicher äusseren Kräfte vorstellt, und es drückt deshalb die Gleichung (37) das Gesetz

Bei einer verschwindend kleinen virtuellen Formänderung eines im Gleichgewichte befindlichen Körpers ist die virtuelle Arbeit der äusseren Kräfte gleich der virtuellen Formänderungsarbeit.

Die Ableitung dieses Satzes nimmt an, dass alle anfänglich sich deckenden Seitenflächen von aneinander grenzenden Körpertheilchen auch während des ganzen Verlaufs der Formänderung sich decken, weil nur dann die Arbeiten der auf diese Flächen wirkenden Kräfte sich auf-heben. Besteht nun der betrachtete Körper aus mehreren einander berührenden Theilen, von denen jeder einzelne der gemachten Annahme entspricht, und finden gegenseitige Verschiebungen von anfänglich zusammenliegenden Berührungsflächen je zweier Theile statt, so müssen, wenn das bewiesene Gesetz gelten soll, alle diese Flächen zur Oberfläche gezählt werden, d. h. es sind die auf diese Flächen wirkenden Kräfte, soweit sich ihre Arbeiten nicht tilgen, zu den äusseren Kräften zu rechnen. So sind z. B. bei aufeinander reibenden Theilen eines Körpers die an den Berührungsstellen wirkenden Reibungswiderstände als äussere Kräfte aufzufassen.

24. — Um einen allgemeinen Ausdruck für A„ abzuleiten, beziehen wir den Körper auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem und denken an irgend einer Stelle, aber innerhalb eines Körpertheiles, dessen Spannungen sich stetig ändern, ein Parallelopipedon von den anfänglichen Kantenlängen dx, dy, dz abgegrenzt.

Die Spannung in der zur Æ-Achse senkrechten, den Punkt (x, y, z) enthaltenden Seitenfläche dydz sei in die Seitenspannungen

<3X, parallel der a;-Achse und positiv, wenn im Sinne von (—x) wirkend,

>> ( y) h »» (—“*) »

ii

11

11

z-

11

11

11

11

11

11

+z

xy \ y oy

st

'•-V

<r

-O.....-Ą--JX

-i-—Y

'Z’

Fig. 31.

zerlegt, und in gleicher Weise mögen die Spannungen in den dem Punkte (x, y, z) anliegenden Seitenflächen dzdx und dxdy durch ihre Seitenspannungen gegeben werden. Die c sind Zug- oder Druckspannungen, die x Schubspannungen (Band I, Seite 56).

Durch Multiplikation dieser Spannungen mit den entsprechenden Flächeninhalten gelangt man zu den Kräften, welche jene Flächen beanspruchen. Auf die Fläche dy dz wirken z. B. die drei Kräfte:

axdydz, xxydydz, xxzdydz.

Wird die Momentensumme aller am Parallelopipedon dxdydz angreifenden Kräfte in Bezug auf die der y-Achse parallele Schwerachse des Körpertheilchens gleich Null gesetzt und hierbei davon abgesehen, dass sich die Spannungen in gegenüberliegenden Seitenflächen um Differentiale unterscheiden, weil die Berücksichtigung dieser Unterschiede zu unendlich kleinen Grössen der vierten Ord-

iLdxdj-

“53

waY

Fig. 32,

Kdxdy

nung führen würde, welche gegen die der dritten Ordnung verschwinden, so erhält man, (mit Hinweis auf Fig. 32, in der die Projektion des Körpertheilchens auf die (^a;)-Ebene dargestellt ist) die Gleichung :

(i:zxdx dy) dz = (xxzdy dz) dx (vergl. auch Band I, § 12), und hieraus und aus ähnlichen Momentengleichungen für die der a>Achse und z-Achse parallelen Schwerachsen des Körpertheilchens folgt:

^zx    •■zi

Tzy ^yz j *^xy *^yx)

weshalb die kürzere Bezeichnung eingeführt werden soll:

T*    ^yz    ^zy 5    y    *^zx    ^xzl ~ z    ' xy    yz)

wobei zu bemerken ist, dass

tx J_dx\ ^y_\_dy\    1 dz.

Es ändere sich nun die anfängliche Länge dx um die Strecke

zwar, dass sie die dem Punkte

A dx —

A'(f ) + A"(f ) »

(x, y, z) anliegende Fläche gegen den Massenmittelpunkt M im Sinne / cl cc

der (— x) um A'    --—J verschiebt und die gegenüber liegende Fläche

Die auf jene Flächen wirkenden

„ / dx \

im Sinne der (-f- %) um A" y—-- J.

Kräfte :

dax

^ dy dz

liefern dann zur virtuellen Formänderungsarbeit den Beitrag:

cxdy dz A'    + (gx + dx^dy dz A" (-y-)

und hierfür darf man nach Streichung der kleinen Grösse vierter Ord-

dx dy dz A” - dx'j

ax dy dz ^dx — ax

nung:

dcx

dx

axdydz und

dx

dx

setzen :

A dx

dx

dV

worin dV=dxdydz den Inhalt des Körpertheilchens bedeutet.

Hieraus und aus ähnlichen Betrachtungen folgt: Aendern sich die anfänglichen Längen dx, dy, dz um Strecken A dx, kdy, kdz und bezeichnet man die in der Folge Dehnungen genannten Verlängerungsverhältnisse mit

(38)

A dx

i'

dx

dy

kdz

dz ~ ’

so ist der von den Spannungen ax, ay, az abhängige Theil der virtuellen Formänderungsarbeit dAv des Körpertheilchens (dx dy dz) gleich

(89)

(GXZX H⁻ 6;,Sy “h Gz O d V.

Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen und in Folge dessen leisten auch die Schubkräfte Arbeit. Es sei, mit Bezugnahme auf Fig. 31

y* die Aenderung des Winkels YOZ,

zox,

XOY.

Ty » T» I!

?)

))

Man nennt jx, jy, ys, die Gleitungen im Punkte x, y, z; sie seien positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösse-rungen der Winkel YOZ, ZOX, XOY vorstellen. Bei Berechnung der in Folge der Gleitungen von den Schubkräften verrichteten virtuellen Formänderungsarbeit darf man wieder die Spannungsunterschiede in den einander gegenüber liegenden Flächen vernachlässigen und den Punkt xyz an Stelle des Massenmittelpunktes als ruhend an-nebmen.

die Strecke yxdz, bei

um

Aendert sich der Winkel YOZ um yx, so verschiebt sich die Fläche YO' im Sinne OZ gegen die Fläche OY' um yædy, wobei die in YO' und senkrecht zu dx wirksame Schubkraft rXdxdz die virtuelle Arbeit rXdx dz yxdy verrichtet, oder es verschiebt sich die Fläche ZO' im Sinne OY gegen die Fläche OZ' welcher Bewegung die in ZO' und senkrecht zu dx wirkende Schubkraft tXdxdy die Arbeit xxdx dy jxdz leistet. In beiden Fällen wird die Arbeit

*c,y* dx dy dz = xx^x d V

erhalten, und ebenso ergeben sich für die den Gleitungen y„, yy entsprechenden Arbeiten die Ausdrücke TyyvdV und TsyxdV, so dass die gesammte virtuelle Formänderungsarbeit der an dem Theilehen (dxdydz) angreifenden Flächenkräfte gleich

d Av = (ax sx + a„ + <J. s* + V*y* + r, + T*y#) d V ist. Für den ganzen Körper erhält man:

(40)

Die Werthe A„

Bei unstetigen Spannungen muss der Körper in Theile zerlegt werden, innerhalb welcher alle Spannungen stetig sind, werden für die einzelnen Theile gesondert berechnet und schliesslich addirt.

Setzt man (nach N. 23) Av gleich der virtuellen Arbeit der äusseren Kräfte Q, so erhält man: (41) wo hm die den Dehnungen ex, ey, ez und Gleitungen yx} yy, y¹ entsprechende Verschiebung des Angriffspunktes m der Kraft Qm im Sinne von Qm bedeutet, d. i. die Projektion des Weges von m auf die Richtung von Qm. Zu erinnern ist daran, dass bei Ableitung der Gleichung (41) hinsichtlich der äusseren und inneren Kräfte nur die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen vorausgesetzt wurde, und dass die Dehnungen, die Gleitungen und die ihnen entsprechenden Verschiebungen 5 von den Kräften Q und den Spannungen <5 und x unabhängig zu denken sind und von irgend welchen anderen Ursachen herrühren können.

25. — Wir setzen jetzt fest, dass sœ, sy, ez, yx, yy, ys die bei einer gegebenen Angriffsweise des Körpers entstehenden wirklichen Dehnungen und Gleitungen sind, bezeichnen mit Q, Gx, ay, as, xx, xy, x, die äusseren Kräfte und Spannungen eines nur gedachten .Belastungszustandes, wenden auf den letzteren und auf den wirklichen Formänderungszustand die Gleichung (41) an, und ei'halten die Beziehung: (42) 2Qmhm =

welche der für das Fachwerk abgeleiteten Gleichung (13) gegenüber zu stellen ist, und in welcher 5m die Projektion des wirklichen Weges

des Punktes m auf die gedachte Kraft Qm bedeutet.

Die wirklichen Dehnungen und Gleitungen sollen hier nur für den isotropen (d. h. in allen Punkten gleichbeschaffenen) Körper angegeben werden. Es wird ein spannungsloser Anfangszustand angenommen. Die anfängliche Temperatur ändere sich im Punkte (x, y, z) um t.

Die Seite dx des Körpertheilchens (dxdydz) erleidet, wenn die

A dx

Spannung ax allein wirkt, die Dehnung

<5X

dx

während die

A dx

Temperaturänderung den Einfluss

von g„ und c₂ entsteht:

A dx

dx

s t erzeugt und in Folge — die Werth-

, wobei

tnE

Ziffer der Querdehnung (abgerundet für Eisen und Stahl) bedeutet.¹) Das Zusammenwirken aller Ursachen ruft die Dehnung hervor:

vn

während die nur von den Schubspannungen abhängigen Gleitungen die Werthe annehmen:

(44)

T' = 1T’

wobei

mE

(45)

die Schub-Elasticitätsziffer (auch Gleitmodul genannt) bedeutet.*)

b. Anwendung der Gleichung (42),

26. — Wir werden bei Berechnung der Stabwerke die Gleichung (42) in derselben Weise benutzen wie die Gleichung (13) bei Untersuchung des Fachwerks. Zunächst werden wir die nach bestimmten Richtungen wirkenden Seitenkräfte C der Stützenwiderstände sowie die Spannungen a und t als lineare Funktionen der gegebenen Lasten P und gewisser statisch nicht bestimmbarer Grössen X', X", X'" . . . darstellen, und zwar in der Form:

C = C₀ — C'X' — C"X" — C"' X'" —

=g*₀ — <x‘—*:x"—*mmzr—

(46)

iO

o)

u>

ta u« ts kp tg Lp

gy + g* mE

gz H~ s* mE

g* + gy

mE

—|— e^ und ebenso ergiebt sich:

“h

+ 6«,

cy = oy0 — c'X' — <t”X" — o"' X'"— g* = cz0 — a/W' — a."X" —    —

= t* — t* X — t* X — tx X —

f    rr    tn -*?-///

Ty XyQ    X y X    Ty X    Ty X

T* = T,o — <x' — t/' X" — t/"W"' —

Die mit dem Zeiger 0 behafteten Werthe sind Funktionen ersten Grades der Lasten und unabhängig von den Grössen X', X", .... Die Werthe C',    "    , a, a" ... , x', x" . . . sind unabhängig von den

P und X.

Es bedeuten:

' *) Yergl. u. A. Grashof, Theorie der Elasticitât und Festigkeit, 2. Auflage, Berlin 1878, Seite 24 und 30.

C', a', T die Stützenwiderstände und Spannungen für den Zustand X' — — 1.

C", a", z" die Stützenwiderstände und Spannungen für den Zustand X" = — 1 u. s. w.

Wird nun die Gleichung (42) der Reihe nach auf die Belastungszustände: X' = —1, Xr = — 1, . . . angewendet und jedesmal auf den wirklichen Verschiebungszustand, so ergeben sich die zur Berechnung der Grössen X', X", . . . ausreichenden Bedingungen:

L' =

(47)

L”

= f + ö/'sy +    T/y. + T/'YyH- t."y.) d V

unter L', L" . . . die den Zuständen X' = — i, X" = — 1, . . . entsprechenden virtuellen Arbeiten der Auflagerkräfte verstanden.

27. — Wird die durch bestimmte Dehnungen und Gleitungen sæ, s„, s*, yx, yy, Y* bedingte gegenseitige Verschiebung S,„ zweier Punkte m und des Körpers gesucht, so bringe man in m und mx zwei entgegengesetzt gleiche, in die Gerade mm₁ fallende und von einander weg gerichtete Kräfte Eins an (Fig. 9) und stelle für diesen gedachten Belastungszustand und für den wirklichen Verschiebungszustand die Gleichung (42) auf. Man erhält:

(48)    1 • hm-\- L —J(axS* -f- GyZy -j- Ö₂£, TXY* H“ xyly xE{z) d V,

worin c, t und C Spannungen und Stützenwiderstände bedeuten, welche mit der Belastungseinheit des Punktepaares m, m₁ im Gleichgewichte sind.

Auf diese Weise lassen sich alle die Aufgaben behandeln, welche in No. 9, 10, 14 für das Fachwerk gelöst worden sind.

c. Das Clapeyron'sche Gesetz und die Sätze von Maxwell und Betti.

28. — Es wird vorausgesetzt, dass die äusseren und inneren Kräfte allmählich von Null aus wachsen, dass also auch die Umgestaltung des Körpers allmählich vor sich geht, ohne das Schwingungen entstehen. Für jede der unendlich kleinen Formänderungen, in welche sich die ganze Formänderung zerlegen lässt, gilt die Gleichung (42) und es er-giebt sich daher die Beziehung

(49)

2J Qdi =^j(amdtm+e,dt,-t-a.dt.+*.d‘u+-crdy,+T:.d-iJdr,

wo Q, ox, Oy, Oz, xx, xy, xz die Werthe der äusseren Kräfte und Spannungen in dem Augenblicke bedeuten, in welchem die Verschiebungen ô um d 5 zunehmen und die Dehnungen und Gleitungen um de., d&y, de„ dyx, dyy, dyz.

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (48) giebt die mechanische Arbeit der äusseren Kräfte Q an, der Ausdruck rechts die wirkliche Formänderungsarbeit A des Körpers. Behält der Körper in jedem Punkte die anfängliche Temperatur, ist also t — 0, so er-giebt sich:

dea —

(dOx

dov--~doz );

m /

dty = 4r (doy--- daz--l-dcx );

F \ m    m J

dez — —r

(da.

d 1.= -gChm,

dyv (x^y 1

d'(z = —o(xz, also Cr

axdsx -f- avdoy -f- ozdez -j- Txdyx -f- Xy<7yy -j- Tzdyz

— w\axdoxĄ- oydoy -f ozdoz--—dfao. -f- ozox + oxoy)

Jjj L    tyi    -J

+ -Q [ V*dzx -f- XyrfTy -f- xtdxz] und hieraus durch Integration:

(50) A =

yJ [ö*² H" cv² +

2    f .1

(^yÖz -{— OzOx -j- OxOy) I

m    j Jb

dV

Nun gilt aber auch andererseits die Gleichung:

¹

Vergl. Band I, § 12.

a. -j- ax

+ a. (a.

und diese lässt sich leicht umformen in

Da nun, nach (50),    2JQdh

= A ist, so ergiebt sich :

2J Qdb

Qb

und hieraus folgt, dass das in No. 8 für das Fach werk bewiesene Clapeyron’ sehe Gesetz auch für den isotropen festen Körper gilt.

Aus der Gültigkeit des Clapeyron’schen Gesetzes folgt aber auch ohne weiteres diejenige des in No. 17 für den Fall t — 0 und L = 0 abgeleiteten Maxwell’sehen Lehrsatzes.

20. — Um den Maxwell’schen Satz noch auf eine ähnliche Weise wie in No. 18 als besonderen Fall des allgemeineren Gesetzes von Betti herzuleiten, nehmen wir an, dass auf den Körper zuerst beliebige Belastungen Pm wirken. Den Körper denken wir durch drei einander rechtwinklig schneidende Flächen-Schaaren in unendlich kleine Theilchen zerlegt, in deren Seitenflächen nur Normalspannungen auftreten, welche dann Hauptspannungen heissen und mit c/, o₂', a₃ bezeichnet werden sollen. Die entsprechenden Dehnungen sind (wegen t — 0)

k-

(51)

6₂,==

SS' =

die Gleitungen sind = 0.

Jetzt ersetzen wir die Belastungen POT durch andere Belastungen Pn, behalten aber die vorhin angenommene Zerlegung des Körpers bei. Es treten dann Normalspannungen a/', a₂", o₃" auf, und diese erzeugen Dehnungen :

(52)

ft    ft

< s₂ — yc₂

^S₃    - <j₃

(a₂ -f- o₃ )J

(a₃ ' -j- Oj ')]

(ai + ö2 )j

Ausserdem werden durch die P„ Schubspannungen t ' und Gleitungen y" hervorgerufen.

Bezeichnen wir nun mit (§m„) den Weg irgend einer Belastung Pm für den Fall, dass auf den Körper nur die Belastungen P„ wirken, und mit (5„m) den Weg irgend einer Belastung P„ in Folge ausschliesslicher Wirkung der Pm, und wenden wir die Gleichung (42) zuerst an

auf den Belastungszustand (Pm) und den hiervon unabhängigen, den Belastungen Pn entsprechenden Verschiebungszustand,

sodann:

auf den Belastungszustand (Pn) und den hiervon unabhängigen, den Pm entsprechenden Verschiebungszustand, so erhalten wir, da die Stützen widerstände, der Voraussetzung gemäss, keine Arbeit verrichten, die Gleichungen:

2 POT (§„,„) — / (o₁ s₁ -j- g₂ s₂ -f- g₃ s₃ )dV

— Pn (<U«) = I (Gl S1 “~b    £2 “h a3 £3 ) d Vf

bei deren Aufstellung zu beachten ist, dass den Gleitungen y" die Schubspannungen z = 0 gegenüberstehen und den Schubspannungen z" die Gleitungen y' = 0. (In der ersten Veröffentlichung dieses Beweises in des Verfassers Buch: ,,Die neueren Methoden der Festigkeitslehre u. s. w.“ Seite 176 wurden die g" irrthümlich als Hauptspannungen bezeichnet.) Mit Hilfe von (51) und (52) lässt sich nun leicht nachweisen, dass

£1    + C2 £2    “f" a3 £3    — ai £1    a2 S2    C3 £3

ist, und deshalb auch

2    (5„,„) — 2 P„ (§„,„).

Hieraus aber folgt, wie auf Seite 34, als besonderer Fall:

d. Die Castigliano’schen Sätze.

30. — Betrachtet man die statisch nicht bestimmbaren Grössen X (welche sich stets auf Kräfte zurückführen lassen) ebenso wie die P als unabhängige Veränderliche der Gleichungen (46), d. h. rechnet man die X vorübergehend zu den Belastungen, so dürfen die Werthe a, a", . . . z, z", ... als Differentialquotienten der G und z aufgefasst werden; denn es ist

daz

dxx

z'x . . . u. s. w.

zzr — —

Die Gleichungen (47) lassen sich dann auf die gemeinsame Form

ex

dX

c X'

ex'

bringen

(58)

+ £Z

da,

ex

+ ÏX

drx

ex

+ lu

ex

f- Y*

ex

dV,

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

wobei X irgend eine der statisch nicht bestimmbaren Grössen und Lx die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zustand X — —1 bedeutet. Führt man für die Dehnungen und Gleitungen die durch (43) und (44) gegebenen Werthe ein, so gelangt man zu dem übersichtlichen Gesetze:

wo

(55)

(54)

dA{

ex

Lx — 0 >

s tdV

A =

und A gleich der wirklichen Formänderungsarbeit ist. (Siehe Gleichung 50.)

Verrichten die Stützenwiderstände keine Arbeit (Lx = 0) und findet keiner Stelle des Körpers eine Aenderung der anfänglichen Temperatur statt (* = 0), so geht (54) über in

an

(56)

dA

ex und diese Gleichung sagt aus:

dass die statisch nicht bestimmbaren Grössen X die Formänderung sarbeit A, welche als Funktion der zuerst unabhängig veränderlich gedachten Werthe X darzustellen ist, zu einem Minimum machen.

Dieses Gesetz der kleinsten Formänderungsarbeit ist zuerst von

Castigliano scharf bewiesen worden. Setzt man in Gleichung (41):

2 Qmhm — 2Pm5,„ -f- L,

wobei 2P„t8„, die virtuelle Arbeit der Belastungen P„, und L diejenige der Stützen widerstände bedeutet, und beachtet, dass Gleichung (41) auch für den Fall gilt, dass die 8, zx, s,„ tz, xx, xy, xz von den Kräften Q unabhängig sind, so findet man durch theilweise Differentiation jener Gleichung nach P,„, bei unveränderlich angenommener Formänderung:

-J-

0P

dP„,

£x

cPm

8 c,,

daz

?p,„

T.v

dP,„

cP.,,

und diese Beziehung lässt sich umformen in

dJt dL dPm ' dPm;

sie liefert, falls die Stützenwiderstände keine Arbeit leisten und t = 0

(57)

S,„ =

ist, das ebenfalls von Castigliano bewiesene Gesetz:

bm

(58)

dA

dPm

Dasselbe lässt sich auch wie folgt ableiten. Auf einen Körper mögen die Belastungen Pa, Pb, . . . . Pm, .... wirken; ihre Wege seien 5„,    ... bm, . . . (vergl. Seite 31). Im Falle L = 0 und t = 0 ist

⁼ baaPa -f- bahPb —(— . . - —f— bamPm -j- . . .

^h = bba Pa -f- \b Pb • • • + 5bmPn + • • •

Wächst Pm um dPm, während die übrigen Belastungen ungeändert bleiben, so nehmen ba, bb, . . . bm . . . zu um

= bamdPm] dbh = bbmcPm; ...dbm = bmm d Pm ; . . . und die Formänderungsarbeit A, welche ebenso gross ist wie die mechanische Arbeit der äusseren Kräfte, wächst .um

dA = Padb„ -f- Pbdbb —j— ... —{— Pmdbm -}-...

Man erhält

d A —- (bamPa -j- bbmPb -j- . . . -f- bmmP„, -{-...) dP,,,, wofür man (nach dem Gesetze: bmn — bmn) auch schreiben darf:

dA

bfttaPa I bmb2b [ ... | bmm Pm ~j ... bm.

dPm

Da die Gleichung (41) hinsichtlich der äusseren und inneren Kräfte nur die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen verlangt, so ist es erlaubt, bei Anwendung der Formeln (57) und (58) die statisch nicht bestimmbaren Grössen X als willkürliche Veränderliche aufzufassen. Differentiirt man also nach Pm, so darf man nicht nur alle übrigen Belastungen sondern auch sämmtliche X als unveränderlich ansehen.

Wendet man die Castigliano'sehen Sätze auf das Fachwerk an (welches ja nur ein besonderer Fall des eben untersuchten Körpers ist) so hat man zu setzen:

(59)

At — 2

S²s

2 EF

2s tSs.

4*

Literatur zur Einleitung.

1.    Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides, Paris 1852 und 1866 (2. Auflage).

2.    Clerk Maxwell, On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames, Philosophical Magazine, Band 27 (1864), Seite 294. Diese Abhandlung enthält die erste allgemeine Theorie des statisch unbestimmten Fachwerks, allerdings nur für den Fall eines spannungslosen Anfangszustandes und unter der Voraussetzung, dass keine Temperaturänderungen eintreten. Die Grundlage bildet das in unserem Buche (Seite 32) der Maxwell’sche Lehrsatz genannte Gesetz, welches aber nur für Verschiebungen, nicht auch für Drehungen bewiesen wird.

3.    Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks, Zeitschr. des Hannov. Arch. und Ing.-Vereins 1874 und 1875 fortgesetzt im Civilingenieur 1885. In dieser Arbeit wird, vom Gesetze der virtuellen Verschiebungen ausgehend, die erste. vollständige Theorie des statisch unbestimmten Fachwerks auf-gestellt und dabei auch der Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen entwickelt, letzterer zwar auch nur für Verschiebungen, jedoch in einer Weise, welche die Verallgemeinerung dieses Satzes durch blosse Aenderung der Bedeutung der Buchstaben möglich macht.

4.    Castigliano, Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques, Turin (bei Negrö) 1879. An der Spitze dieses hervorragenden Werkes steht der mit Hilfe des Clapeyron’schen Gesetzes entwickelte Satz von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit (Gleichung 58 auf Seite 51 unseres Buches) sowie der aus diesem folgende Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit. Castigliano wendet sein Verfahren auch auf die Untersuchung von Stabgebilden an, welche auf Biegung, Torsion und Abscheerung beansprucht werden.

5.    Frankel, entwickelt in der Abhandlung: Das Princip der kleinsten Arbeit der inneren Kräfte elastischer Systeme und seine Anwendung auf die Lösung baustatischer Aufgaben, (Zeitschrift des Hannov. Arch. u. Ing.-Vereins 1882) — unabhängig von Castigliano — den Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit, und zwar ebenfalls zuerst für das Fachwerk, dann aber auch für den isotropen festen Körper.

\0-zadjg,yju a. <EMe.j

6. Castigliano, Intorno ad una propriété dei sistemi elastici, Atti dellecScienzè-di Torino, Band 17 (1882) Seite 705; enthält, die erste allgemeine (d. k. finden beliebig geformten isotropen elastischen Körper gütige) Entwickelung des Maxwell’schen Satzes, sowie einen Bericht über das auf Seite 34 u. 48 unseres Buches abgeleitete Gesetz von Betti. Letzteres schliesst den Max-well’schen Satz als besonderen Fall ein und wird von Betti in der Form gegeben:

j p (Xu + Yv + Zw') dS+ I (L v + Mv + Nw) ds

= / p (X'u + Y'v + Z’w) dS+ (L'u + M'v+N'w) ds.

Dabei bedeuten: p XdS, p YdS. p ZdS die an einem Körpertkeilchen dS = dxdydz angreifenden, den Koordinatenachsen x. ?/, z parallelen Massenkräfte (p = Dichtigkeit an der Stelle xyz), ferner Lds, Mds, Nds die auf ein Oberfläckentheilcken ds wirkenden ebenfalls den Koordinatenachsen x, y, z parallelen äusseren Kräfte, und u, v, iv die von allen diesen Kräften herrührenden Verschiebungen eines Punktes (xyz) im Sinne der x, y, z, während u, v, w durch die Kräfte pX'dS, p Y'dS, p Z’dS. L'ds, M’ ds. N'ds erzeugt werden.-

7.    Swain, On the application of the principle of virtual velocities to the détermination of the deflection and stresses of frames. Journal of the Franklin Institute, 1883, Febr. bis April. Seite 102, 194, 250.

8.    Melan, Ueber den Einfluss der Wärme auf elastische Systeme. Wochenschrift des Österreich. Arck. u. Ing.-Ver. 1883, S. 183 u. 202. Erweiterung des Castigliano’scken Satzes von der kleinsten Formänderungsarbeit.

9.    Müller-Breslau, Der Satz von der Abyeleiteten der ideellen Formänderungsarbeit. Zeitsckr. des Arck. u. Ing.-Ver. zu Hannover, 1884. S. 211. Erweiterung der Sätze Castigliano’s.

10.    Krohn, Der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen und Anwendung derselben zur Berechnung statisch unbestimmter Fachwerkträger ; Zeitschrift des Hannov. Arck. u. Ing.-Vereins 1884. Herleitung des Max-well’schen Satzes und Anwendung desselben auf die Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke.

11.    Melan, Beitrag zur Berechnung statisch unbestimmter Stabsysteme. Zeitschrift des Österreich. Arch. u. Ing.-Ver. 1884, S. 100.

12.    Weyrauch, Arbeitsbedingungen für statisch unbestimmte Systeme. W ochenblatt für Arch. u. Ing. 1884, S. 200.

13.    Müller-Breslau, Bedingungsgleichungen für statisch unbestimmte Körper. Wochenblatt für Arch. u. Ing. 1884.

14.    Weyrauch, Theorie elastischer Körper. Leipzig (bei Teubner) 1884.

15.    Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen, Leipzig 1886 (Baumgärtner's Buchhandlung). Hier

• wird darauf hingewiesen, dass der Maxwell’sche Satz nicht nur für Verschiebungen, sondern auch für Drehungen gilt.

16.    Forchheimer, Die Gegenseitigkeit der Verschiebungen, Zeitschr. des Österreich. Ing. u. Arch. Vereins 1886; giebt u. A. eine sehr übersichtliche, auf das Clapeyron’sche Gesetz sich stützende und auf Seite 32 dieses Buches wiedergegebene Ableitung des Vax well'sehen Satzes, von der dasselbe gilt wie von der Beweisführung Mohr’s.

17,    Land. Die Gegenseitigkeit elastischer Formänderungen u. s. w. Wochenblatt für Baukunde 1887. Seite 14.

ERSTE ABTHEILUNG.

Formänderung ebener Fach werke. — Untersuchung der ebenen, statisch unbestimmten Fàchwerke.

I. Abschnitt.

Bestimmung der Formveränderungen ebener Fa chwerke; mit Anwendungen auf die Untersuchung statisch unbestimmter und statisch bestimmter Träger.

COE)

•vH

Verschieb ungspläne nach dem Verfahren von Williot.

31. — Ein statisch bestimmtes ebenes Fachwerk sei durch gegebene Lasten beansprucht und gegebenen Temperaturänderungen ausgesetzt. Die in den Stäben hervorgerufenen Spannkräfte S, welche (nach Seite 6) von den Temperaturänderungen unabhängig sind, seien mit Hilfe der im ersten Bande unseres Buches entwickelten Verfahren gefunden, auch seien die Aenderungen As sämmtlicher Stablängen s mittels der Gleichung

As

Ss

EF

zts (vergl. S. 2)

berechnet. Gesucht seien die Verschiebungen der Knotenpunkte. — So lautet die Aufgabe, deren geometrische Lösung das Ziel unserer nächsten Untersuchungen ist.

Die Knotenpunkte werden wir mit kleinen Buchstaben, welche die Stelle von Ordnungsziffern vertreten, bezeichnen, die Stäbe hingegen mit arabischen Ziffern. Die Längen der Stäbe 1,2,... seien = s1? s₂, . . .; für ihre Aenderungen Asl5 As₂, . . . mögen, um übersichtliche Figuren zu erhalten, die kürzeren Zeichen Al, A 2, . . . eingeführt werden.

Wir beginnen mit der Behandlung des einfachsten und wichtigsten, fast alle Anwendungen umfassenden Falles, nämlich mit der Unter? suchung eines Fachwerks, welches man in der Weise erzeugen kann, dass man zu einem Stabdreieck abc (Fig. 33) zwei neue Stäbe fügt, die in einem neuen Knoten d miteinander verbunden sind, hierauf an zwei beliebige Knoten dieses Stabgebildes wieder zwei neue Stäbe mit

r/

einem neuen Knoten e anschliesst, u. s. f. Die Bestimmung der durch gegebene Aende-rungen der Stablängen hervorgerufenen Verschiebungen der Knotenpunkte eines derartigen Fachwerks stützt sich auf die Lösung der folgenden Aufgabe.

Fig. 33.

32. Erste Hauptaufgabe. Der Knotenpunkt c ist mit den Knoten a und b durch zwei Stäbe 1 und 2 verbunden, deren Längen sx und s₂ sich um die gegebenen Strecken Al und A2 ändern, während sich die Punkte a und b in die neuen Lagen a und b' bewegen. Gesucht ist die Verschiebung cd des Punktes c (der mit a und b nicht in derselben Geraden liegen darf). Fig. 34 a.

Um die neue Lage von c durch Zeichnung zu bestimmen, löse man bei c die Verbindung beider Stäbe, verschiebe den Stab 1 parallel

Sr

xfs

<V

OGr-'-

Jp-

a

%>■

'b'

Fig. 34 a.

Fig. 34 b.

mit sich selbst in die Lage acx und den Stab 2 parallel mit sich selbst in die Lage b'c₂. Hierauf ändere man die Längen der Stäbe in der vorgeschriebenen Weise. Wird z. B. der Stab 1 gedehnt, der Stab 2 verkürzt, so verlängere man a ct um cx c₃ = A1 und bringe von b'c₂ die Strecke c₂c₄ = A 2 in Abzug. Nun schlage man mit den neuen Stablängen a c₃ und b'c₄ als Halbmesser Kreisbögen, deren Mittelpunkte a und b' sind. Der Schnittpunkt c jener Bögen giebt die gesuchte neue Lage des Punktes c an. In dem hier vorausgesetzten Falle verschwindend kleiner Verschiebungen dürfen die Kreisbögen c₃c und c₄c durch die auf den Geraden a c₃ und b'c₄ errichteten Lothe ersetzt werden.

Es empfiehlt sich nun, die Verschiebung cć in einer besonderen Figur und in gehöriger Vergrösserung darzustellen. Von einem beliebig gewählten Punkte 0 aus (welcher der Ursprung oder der Pol genannt wird, Fig. 34 b) trage man die gegebenen Verschiebungen Oa = aa und Ob' — bl) der Punkte a und b nach Grösse, Richtung und Sinn auf. An die Polstrahlen O a und Ob' füge man in a und b' die den Stäben 1 und 2 parallelen Längenänderungen A1 und A 2 und errichte in den Endpunkten der letzteren Lothe, deren Schnittpunkt ć dann die verlangte Verschiebung des Punktes c bestimmt; dieselbe wird nach Grösse, Richtung und Sinn durch den Polstrahl Oc dargestellt.

Besonders zu achten ist auf den Sinn, in welchem die Längenänderungen Al und A 2 anzutragen sind. Man merke Folgendes:

Ist der Knoten c mit a durch einen Stab 1 verbunden, welcher gedehnt wird, so verschiebt sich c gegen a im Sinne ac, und es muss desshalb A1 an a im Sinne ac gefügt werden.

Ist der Knoten c mit b durch einen Stab 2 verbunden, welcher verkürzt wird, so verschiebt sich c gegen b im Sinne cb, und es muss deshalb A 2 an b' im Sinne cb angetragen iverden.

Durch wiederholte Lösung der eben behandelten Aufgabe ist man im Stande, die Verschiebungen der Knotenpunkte einer gegliederten Scheibe von der in No. 31 beschriebenen Art für den Fall zu bestimmen, dass die Richtungslinie eines Stabes (der im allgemeinen einem der beiden Dreiecke abc und abd, Fig. 33, angehören muss) ungeändert bleibt und die Verschiebung eines Punktes der Mittellinie dieses Stabes gleich

IC

; :< //

h tH J__fr

1/

,’JX

Pf

Fig. 35 b.

Fig. 35 a.

Null .ist. Als Beispiel wählen wir das in der Figur 35a dargestellte Fachwerk und setzen voraus, dass der Punkt a und die Richtung des

Stabes 1 festliegen. Die in der Figur mit dem Zeichen (-)-) versehenen Stäbe 3, 5, 6 mögen Dehnungen, alle übrigen aber Verkürzungen erleiden.

Punkt 0 in Fig. 35b ist der beliebig angenommene Pol. Die Verschiebung von a ist gleich Null, mithin fällt der Punkt a mit 0 zusammen. Die Verschiebung Ob' des Punktes b ist gleich der Verkürzung Al des Stabes 1. Der Knoten c wird mit a durch den Stab 2 und mit b durch den Stab 3 verbunden, er nähert sich a um A 2 und entfernt sich von b um A3. Trägt man also an a im Sinne ca die Strecke A2 || 2 an und an b' im Sinne bc die Strecke A3 || 3 und errichtet auf diesen Strecken in ihren Endpunkten Lothe, so bestimmt deren Schnittpunkt die Verschiebung Oc des Punktes c. Der Knoten d ist mit a und c durch 4 bezieh. 5 verbunden, seine Verschiebung Od' erhält man, wenn man A4 || 4 an a im Sinne da anträgt, ferner A5 || 5 an c im Sinne cd, und auf A4 und A5 in deren Endpunkten Lothe errichtet, deren Schnittpunkt der Punkt d’ ist. Auf dieselbe Weise wird Punkt e bestimmt.

Die Figur 35 b, deren Polstrahlen Ob', Oc, . . . . nach Grösse, Richtung und Sinn die Verschiebungen der Knoten b, c, ... . darstellen, nennen wir den Verschiebungsplan des Fachwerks abcde oder auch — nach dem Erfinder des vorstehenden Verfahrens — einen Williofschen Verschiebungsplan.

V?//

rn

10

Fig. 36.

33. Zusammensetzung der Verschiebungen in Folge von zwei getrennt betrachteten, verschwindend kleinen Bewegungen. — Bewegung einer starren Scheibe. Will man die Form Veränderung einer irgendwie gestützten, gegliederten Scheibe, die aber äusserlich statisch bestimmt sein möge, untersuchen, so nehme man zuerst die Richtung eines Stabes und einen Punkt der Achse dieses Stabes als festliegend an, zeichne den Verschiebungsplan auf die vorhin beschriebene Weise, und ertheile hierauf der Scheibe — die jetzt als starr anzusehen ist —- eine Bewegung, durch welche die wirklichen Auflagerbedingungen erfüllt werden. Den Weg, den irgend ein Knotenpunkt m in Folge dieser zweiten Bewegung zurücklegt, stelle man durch einen Polstrahl m" 0 (Fig. 36) dar, der nach dem Pole hinzeigt, weil hierdurch die Zusammensetzung dieser Verschiebung mit der zuerst gefundenen elastischen Verschiebung Om erleichtert wird. Denn es giebt nun die Strecke m"m nach Grösse, Richtung und Sinn den Weg des Knotens m für den Fall an, dass die beiden getrennt betrachteten Bewegungen gleichzeitig erfolgen.

Die Verschiebungen der Punkte einer starren Scheibe erhält man unmittelbar durch Anwendung des Satzes, dass sich jede verschwindend kleine Bewegung einer starren Figur auf eine Drehbewegung um einen festen Punkt ^ zurückführen lässt. Stellen nämlich die Polstrahlen a" 0, b" 0, c" 0, .. . (Fig. 37) nach Grösse, Richtung und Sinn die Verschiebungen der Knoten a, b, c, . . . dar, so muss sein

(I)

b"Oj_bc" 0 _]_ c . .

ST

,S\

' ’i i

fr.

fr

T-

r-j/

Fig. 37.

denn die Richtung der Verschiebung eines jeden Punktes einer starren Figur ist rechtwinklig zu der Geraden, welche diesen Punkt mit dem augenblicklichen Drehpunkte verbindet, und weiter ergiebt sich

a" 0 : b" 0 : c" 0:

(II)

= r<s.p: />s$    .....;

weil sich die Verschiebungen der Punkte a, b, c, . . . zu einander verhalten wie die entsprechenden Geschwindigkeiten und die letzteren wie die Entfernungen der Punkte vom Drehpol ^3.

Aus den Beziehungen (I) und (II) folgt aber:

1.    Verbindet man die Punkte a", b", . . . des Verschiebungsplanes so durch gerade Linien, dass jedem Fachwerkstabe ik eine Gerade i"k" entspricht, so bilden diese Geraden eine Figur, welche der sich bewegenden starren Scheibe ähnlich ist.

2.    Die Verbindungsgerade zweier beliebiger Punkte m, n der

Scheibe ist rechtwinklig zu der Verbindungsgeraden der entsprechenden Punkte m", n". (Es ist beispielsweise in Fig. 37: ab"    a" e" \ ae.)

Hat man also mit Hilfe der Auflagerbedingungen zwei Punkte der Figur a'b'c" . . . bestimmt, so ist man im Stande diese Figur zu zeichnen.

Es sei noch hervorgehoben, dass sich die vorstehenden Ergebnisse auch aus den in No. 32 entwickelten Gesetzen ableiten lassen. Werden beispielsweise die Aenderungen A5, A6, A7 der Seiten des Stabdreiecks cde in Fig. 35a gleich Null angenommen, so entspricht diesem Dreieck in der Fig. 35b ein ähnliches Dreieck c d’ e, dessen Seiten rechtwinklig zu den entsprechenden Seiten des Dreiecks cde sind. Auch aus Fig. 34 folgt ohne weiteres, dass der Verbindungs-geraden zweier starr mit einander verbundener Punkte a und c (wegen Al = 0) im Verschiebungsplane eine zu ac rechtwinklige Gerade a c entspricht.

34. Fachwerkträger mit einem festen und einem beweglichen Auflagergelenk. Gesucht ist der Verschiebungsplan des in der

Fig. 38 a dargestellten Trägers, der bei a ein festes und bei g ein auf schräger Bahn geführtes Auflagergelenk besitzt. Die mit dem Zeichen (-|~) versehenen Stäbe mögen Verlängerungen erleiden.

Wird zuerst die Richtung des Stabes 1 als festliegend vorausgesetzt, so lassen sich die von den gegebenen Aenderungen der Stablängen herrührenden elastischen Verschiebungen Ob', Oc, . . . Og der Knotenpunkte b, c, . . . g auf die in No. 32 beschriebene Weise bestimmen. Dieselben müssen noch mit denjenigen Verschiebungen b" 0, c" 0, . . . g" 0 zusammengesetzt werden, welche die Knotenpunkte erfahren, wenn das starre Fachwerk so um a gedreht wird, dass sich für den auf einer festen Geraden geführten Punkt g eine Gesammtverschiebung g" g er-giebt, welche zu dieser Geraden parallel ist. Die von den Punkten a", b", c", . . . g" gebildete, der Figur abcclefg ähnliche Figur a”b" c" d"e"f" g" ist demnach durch die Bedingungen bestimmt, dass a" mit a zusammenfallen muss, weil n ruht, und dass ferner a"g" | a g und g g parallel zur Bahn des Auflagergelenkes g sein muss. Die (in der Fig. nicht ausgezogenen) Strecken b" b', c"c,... g"g stellen nach Grösse, Richtung und Sinn die gesuchten Verschiebungen der Knotenpunkte b, e, ... g dar.

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Fig. 38.

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Meistens ist es zweckmässig, zuerst einen Knotenpunkt in der Kalie der Trägermitte und einen von diesem Punkte ausgehenden Stab festzuhalten, weil sich nach dem in Fig. 38 befolgten Verfahren für die vom festen Auflager entfernter liegenden Knotenpunkte zuweilen sehr grosse elastische Verschiebungen ergeben. Als zweites Beispiel ist deshalb in Fig. 39 der Verschiebungsplan eines einfachen Fachwerkbalkens vorgeführt worden. Zuerst wurde der Knoten a und die Richtung des Stabes 1 festgehalten, und die Lage der Punkte b\ c, ... . h' ermittelt, wobei, der Deutlichkeit der Figur wegen, die Zeichen Al, A2, . . . durch die blossen Ziffern 1, 2, ... ersetzt worden sind. Hierauf wurde die der Figur hgadecbf ähnliche Figur h" g" a" d" e' c" b" f" mit Hilfe der Bedingungen bestimmt, dass

erstens h" mit h' zusammenfallen muss, weil die Verschiebung von h gleich Null ist,

he sein muss.

zweitens é' e wagerecht sein muss, weil sich e auf einer Wagerechten bewegt, drittens h" é'

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Fig. 39.

Damit sind die Verschiebungen b"b', cc,... der Knotenpunkte b, c, . . . gegeben.

Projieirt man die Punkte Ji, g , a, d\ e in h₀, g₀, a₀, d₀, e0 auf die Senkrechten durch die entsprechenden Knotenpunkte h, g, a, d, e und verbindet h₀ und e₀ durch eine Gerade, welche jene Senkrechten in g", a", d" schneiden mögen, so geben die Strecken g"' g₀, a" a₀, d!" d₀ an, um wie viel sich die Knotenpunkte g, a, d in senkrechter Richtung verschieben. Man nennt diese Projektionen der Gesammt-verschiebungen auch Durchbiegungen und beispielsweise g"' g₀ die senkrechte Durchbiegung des Fachwerks an der Stelle g.

Das Polygon h₀ g₀ a₀ d₀ e₀ heisst Biegungspolygon oder Biegungslinie der unteren Gurtung und die Gerade h₀ e₀ die Schlusslinie. Wird nur das Polygon h₀ g₀ a₀ d₀ e₀ verlangt (was häufig der Fall ist), so braucht in dem hier vorliegenden wichtigen Falle eines Trägers mit wagerechter Auflagerbahn die Figur h"g"a"d”e'c'b"f" nicht gezeichnet zu werden.

35. Gerber’scher Fachwerkbalken. Es sind zwei Fälle zu unterscheiden. 1. Die Koppelträger cd und gh werden gelenkartig mit den gestützten Theilen verbunden. 2. Jeder Koppelträger wird (wie ein einfacher Balken) an dem einen Ende mit einem festen, an dem anderen mit einem beweglichen Auflagergelenke versehen. Im

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Fig. 40.

ersten Falle darf auf den Pfeilern nur ein festes Lager angeordnet werden; alle übrigen Lager müssen beweglich sein. Im zweiten Falle erhält jeder der gestützten Theile ein festes unc( ein bewegliches Auflagergelenk. (Vergl. Band I, Abschnitt X, § 42.)

Ein Beispiel für die erste Anordnung zeigt die Figur 40. Die Koppelträger II und IV sind mit den gestützten Theilen I und III durch die Gelenke c, d, g verbunden. Das Auflagergelenk a ist fest, während sich die Auflagergelenke b, e, f, h auf wagerechten Bahnen bewegen können. Die Darstellung der durch gegebene Aenderungen der Stablängen bedingten Verschiebungen der Knotenpunkte erfolgt zweckmässig in vier getrennten Figuren, entsprechend den vier Scheiben I, II, III, IV. Zuerst nehme man von jeder Scheibe einen beliebigen Punkt und die Richtung eines durch diesen Punkt gehenden Stabes als festliegend an, bestimme die elastischen Verschiebungen der Knotenpunkte auf die in No. 32 angegebene Weise und ertheile hierauf den nunmehr als starre Gebilde anzusehenden Scheiben Bewegungen, durch welche die Auflagerbedingungen erfüllt werden und der Zusammenhang der Scheiben in den Punkten c, d, g wieder hergestellt wird. Der erste Theil dieser Untersuchung einem Knoten m entsprechenden Punktes m — ist bereits durch mehrere Beispiele erläutert worden, und es sind deshalb in die Fig. 40 nur die wichtigsten dieser Punkte eingetragen worden, nämlich:

die Bestimmung des irgend

des Verschiebungsplanes für die Scheibe II,

» HI,

die Punkte c,

d',

f', 9 »

IV.

Der Verschiebungsplan für die Scheibe I wurde überhaupt fortgelassen, da dieses Trägerstück ein festes und ein bewegliches Auflagergelenk besitzt, mithin ganz nach No 34 behandelt werden kann. Es bleibt jetzt nur noch zu erläutern, wie die den Figuren cid, defg, gkh ähnlichen Figuren c"i"d", d"e"f''g", g"k"h" zu bestimmen sind.

Der Punkt c" des Planes II ist durch die dem Plane I zu entnehmende Verschiebung c' ć des Gelenkes c gegeben ; von d" ist vorläufig nur bekannt, dass c"d" _|_ cd sein muss. Im Plane III liegt e" auf der Wagerechten durch er, und f" auf der Wagerechten durch f', weil sich die Auflagergelenke e und f auf wagerechten Bahnen bewegen. Bedeuten ivt' und w₂ die in senkrechter Richtung gemessenen Abstände der Punkte d" und e', beziehungsweise e" und f", ferner wx, w₂ die in wagerechter Richtung gemessenen Entfernungen der entsprechenden Punkte d, e, f, so verhält sich

wx' : w₂ = w₁ : w₂

und mittels dieser Beziehung lässt sich w/

bestimmen und

, w₁

— w₉ -— w₂

damit auch die Lage der in Fig. 40 strichpunktirten Wagerechten, auf welcher der Punkt d" liegen muss. Diesen Punkt selbst aber findet man, indem man c d' aus dem Plane II in den Plan III überträgt

Müller-Breslau, Graphische Statik II. 1.

und c”d"_    _

cd zieht Ist noch mit Hilfe der Geraden d"e" J de der

Punkt e" ermittelt worden, so sind zwei Punkte der Figur d'e'f'g bekannt, und damit ist diese Figur vollständig bestimmt. — Nun überträgt man d'd" aus III in den Plan II und zeichnet die Figur c"i"d", macht hierauf in IV die Strecke g g" gleich und parallel der ebenso bezeichneten Strecke des Planes III, zieht g"h" J_gh bis zur Wagerechten durch ti und erhält auf diese Weise zwei Punkte der nunmehr bestimmten Figur g"k"h".

Ein Beispiel für die zweite Anordnung ist in der Fig. 41 darge-

stellt worden. Bei a und g wird der Träger durch feste, bei b und f durch bewegliche Auflagergelenke (letztere mit wagerechten Bahnen) unterstützt.

Der Koppelträger II ist bei c durch ein Gelenk mit I verbunden und erhält bei d ein wagerechtes Gleitlager. Die

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/ Œ)

Fig. 41.

Man macht die Strecke c"c nach

Yerschiebungspläne für die Scheiben I und III werden nach No. 34 gezeichnet. Von der Scheibe II nehme man zuerst wieder einen beliebigen Punkt und die Richtung eines durch diesen Punkt gehenden Stabes als festliegend an, und ertheile hierauf dieser Scheibe eine Bewegung, durch welche bei c der Zusammenhang der Scheiben I und II wieder hergestellt und der Bedingung genügt wird, dass die senkrechten Projektionen der Verschiebungen der Punkte d und e gleich gross werden. Hiernach findet man die der Figur ckd ähnliche Figur c" k" d" auf die folgende Weise.

Grösse, Richtung und Sinn gleich dem durch den Verschiebungsplan für die Scheibe I gegebenen Wege des Knotens c und die Strecke e" d' gleich der aus dem Plane für die Scheibe III zu entnehmenden Verschiebung des Punktes e. Hierauf zieht man c"d" J_cd bis zur Wagerechten durch e" und erhält in der Strecke d"d' nach Grösse, Richtung und Sinn die Verschiebung von d. Die Figur c" k"d" ist durch die beiden Punkte c" und d" vollständig bestimmt.

36. Bogenträger mit drei Gelenken. Die beiden gegliederten Scheiben I und II, welche bei a und b feste Auflagergelenke besitzen und bei c durch ein Gelenk miteinander verbunden sind, werden zuerst getrennt untersucht, wobei von jeder Scheibe ein beliebiger Punkt und die Richtung eines durch diesen Punkt gehenden Stabes als festliegend angesehen werden.

(L

Hierauf werden den als starr anzusehenden Scheiben Be-

wegungen ertheilt, welche die Auflagerbedingungen befriedigen und den Zusammenhang der Scheiben bei c wieder hersteilen. Fig. 42 giebt nur die Lage der den Gelenken a, b, c entsprechenden Punkte a, b', c der beiden Verschiebungspläne I und II an; die den übrigen Knoten m entsprechenden Punkte m wurden fortge-Zur Bestimmung

c"

Jf.i

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(Ah

Fig. 42.

lassen.

der den Figuren acd und

bce ähnlichen Figuren a"c"d" und b"c"e' stehen die folgenden Bedingungen zur Verfügung:

1. Die Verschiebung a"a von a ist gleich Null; mithin muss a" mit a zusammenfallen.

2.    Aus gleichem Grunde muss b" mit b' zusammenfallen.

3.    Im Plane I muss sein: a"c" J_ac und im Plane II: b"c' | bc.

4.    Die Pläne I und II müssen für die Verschiebung von c denselben Werth c" c liefern.

Man lege nun im Plane I durch a eine zu ac rechtwinklige Gerade, ziehe durch c zu ac eine Parallele, welche jene Gerade in k schneidet und bestimme auf diese Weise die Projektion kc der Verschiebung c"c auf die Richtung ac. Diese Projektion übertrage man in den Plan II, errichte hier in k auf ck ein Loth und bestimme dessen Schnittpunkt ć' mit der durch b" rechtwinklig zu bc gezogenen Geraden b"c". Jetzt ist die Figur b"c"e" gegeben, da zwei Punkte derselben bekannt sind. Ueberträgt man noch kc" aus dem Plane II in den Plan I, so kennt man auch zwei Punkte (a" und c") der Figur d'c'd", kann also auch diese Figur zeichnen. Auch lässt sich im Plane II die Projektion ic von c’c auf die Richtung bc finden und in den Plan I übertragen, worauf dann c" mittels c"i J_ ci bestimmt werden kann.

37. — Dem in No. 31 beschriebenen und als Fachwerk einfachster Art bezeichneten Stabgebilde lässt sich ein sehr wichtiges Scheibengebilde von ähnlicher Entstehungsweise an die Seite stellen. Man erhält dasselbe, indem man drei gegliederte Scheiben I, II, III durch drei Gelenke gx, g₂, g₃ zu einem Scheibendreieck vereinigt (Fig. 43), an dieses zwei weitere Scheiben IV und V, die in einem Gelenke g& aneinanderhängen, mittels zweier Gelenke gi und g₅ anschliesst, in derselben Weise zwei neue Scheiben VI und VII hinzufügt und so fortfährt. Sind sämmtliche Scheiben Fachwerke von der in No. 31 angegebenen Art, so ist es möglich, den Yerschiebungsplan des Gebildes durch wiederholte Lösung der in No. 32 behandelten Aufgabe zunächst unter der Voraussetzung zu erhalten, dass nur die Richtung eines Stabes

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Fig. 44.

Fig. 43.

(der im Allgemeinen dem Scheibendreiecke IIIIII angehören muss) und ein Punkt in der Achse dieses Stabes festliegen, und hierauf können dann mit Hilfe von No. 33 auch solche Fälle erledigt werden, in denen das Gebilde in anderer, aber ebenfalls statisch bestimmter Weise gestützt wird.

Soll z. B. das in Fig. 43 dargestellte Fachwerk untersucht werden, und gehört der Stab, dessen Richtungslinie zunächst festgehalten wird, der Scheibe 7 an, so denke man die übrigen Scheiben auf die in der Fig. 44 angegebene Weise durch Stäbe ersetzt und schreibe diesen Stäben Längenänderungen zu, -welche mit den wirklichen gegenseitigen Verschiebungen ihrer Endpunkte übereinstimmen, so dass z. B. die Längenänderung des gedachten Stabes g₂g₃ gleich der gegenseitigen Verschiebung des der Scheibe II angehörenden Punktepaares g₂, g₃ ist. Es liegt jetzt ein Fachwerk von der in No. 31 beschriebenen Art vor;, man ist im Stande, der Reihe nach die Verschiebungen der Gelenke 9₃, 9b, 9e, 9t, 9s, 9₉, 9xq, 9x\, 9x2 anzugeben, und hierauf mit Hilfe von No. 33 die wirklichen Auflagerbedingungen zu befriedigen. Um den zweiten Theil dieser Aufgabe lösen zu können, müssen die Stützpunkte in passender Weise mit den Gelenken durch Stäbe verbunden gedacht werden. Besitzt z. B. das Scheibengebilde zwei Auflagergelenke a und b (von denen das eine fest, das andere beweglich sein muss), so sind noch die Stäbe ag₁₁, ag₁₂, bgl0> bg₁₂ hinzuzufügen.

Der auf dem angegebenen Wege erhaltene Verschiebungsplan soll kurz der Plan I heissen; er enthält die den wirklichen Auflagerbedingungen entsprechenden Verschiebungen m"m sämmtlicher Knotenpunkte in der Scheibe I, die Verschiebungen g''g sämmtlicher Mittelgelenke g und die Verschiebung des beweglichen Auflagergelenks.

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Um nun die zur Anfertigung des Planes / erforderlichen Längenänderungen der gedachten Stäbe zu erhalten, muss im Allgemeinen für jede einzelne Scheibe ein besonderer Vei’schiebungsplan unter der Voraussetzung gezeichnet werden, dass die Richtung eines Stabes der fraglichen Scheibe und ein Punkt in der Achse dieses Stabes festliegen. Fig. 45 stellt einen Theil de3 auf diese Weise für die Scheibe III erhaltenen Planes (kurz Plan III genannt) vor; er dient zur Bestimmung der Aenderungen A(gtga), A(g₃glx), A(gxxgx) der Entfernungen gxg3Y g^giii 9i\9i• Behufs Ermittelung vonA(^,g₃), projicire man die Polstrahlen Og^ und Og₃ in 0 gx und 0 g₃ auf eine zur gxg₃ parallele Gerade 1—3. Es stellt dann Og₁ die Verschiebung von gx in der Richtung g₃gx dar, ferner Og₃ die Verschiebung von g₃ in derselben Richtung und es giebt mithin die Strecke

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9i9z = A {gxg₃) die gegenseitige Verschiebung des Punktepaares gx, g₃ an; sie hat denselben Sinn wie die Strecke gx g₃ und bedeutet deshalb eine Verlängerung d es gedachten Stabes gx g₃.

9n

Auf dieselbe Weise wird

der Werth A (g₃gxl) durch Projiciren der Punkte g3 und gxx

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Fig. 45.

Für A^g^) ergab sich in der Fig. 45

11.

auf die zur g₃ gx x parallele Gerade 3 —11 gefunden und A (gx gxl) mittels der Projektionen von gx und gii auf die Gerade 1 ein positiver Werth, für A(g₃glx) hingegen ein negativer, so dass dem gedachten Stabe g₃gX\ eine Verkürzung zuzuschreiben ist.

ff

Der in Fig. 45 für die Scheibe III gezeichnete Einzelplan lässt sich mit Vortheil verwerthen, um nach Vollendung des Planes I die wirklichen Verschiebungen r"r sämmtlicher Knoten r dieser Scheibe darzustellen. Zu diesem Zwecke übertrage man die im Plane I für die Gelenke gx, g₃, g₁₁ gefundenen wirklichen Verschiebungen g₁ g₁ , g₃" g₃', 9n"9n' den ^an 777 und zeichne hierauf die der Scheibe III ähnliche Figur gx"g₃"r"g₁₁"’, welche bereits durch zwei der Punkte ", gxx" bestimmt wird, so dass man die Schärfe der Zeichnung

9i . 9s

leicht prüfen kann. Hat man nämlich g^'g/, g$’g% , 9n 9u aus Plan I in Plan III übertragen, so muss bei sorgfältiger Zeichnung sein:

9i"ffs" 1.9i9s, 9s"9u” A_9s9w und 9ii"9i" _L9ii 9i■

Zahlenbeispiel. Zur Erläuterung untersuchen wir den auf Tafel 1 im: Maassstahe 1 : 100 aufgetragenen Dachbinder, und zwar zunächst mit Hilfe des allgemeinen Verfahrens. Auf die im vorliegenden und in vielen anderen Fällen möglichen Vereinfachungen werden wir an geeigneter Stelle hinweisen.

Die von dem Eigengewichte des Dachstuhls und dem Schnee herrührende senkrechte Belastung jedes der mittleren Knotenpunkte betrage 1125+ jedes Endknotens: 1125L Der auf jedes Feld der linken Dachhälfte wirkende Winddruck sei = 700 b Die mit Hilfe eines Cremona’schen Kräfteplanes (der hier nicht wiedergegeben worden ist) erhaltenen Spannkräfte V, sowie die Stablängen s. Querschnitte F (ohne Abzug für Nietlöcher) und Längenände-

Ss

sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden. Tem-

EF

rungen A s =

peraturänderungen blieben unberücksichtigt. Die Elasticitätsziffer wurde (für Schweisseisen) : E— 1800 000 k f. d. qcm angenommen.*) Zur besseren TJebersicht

Linke Trägerhälfte

Rechte Trägerhälfte

Stab S

A s Stab S

As

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H-*- I—^ I—L

to to to to

—    0,27

—    0,24

—    0,22 — 0,20

to to w U) to to to to

— 0,26

—    0,23

—    0,21

— 0,19

+ 8970 + 7470 + 4110 + 4210 + 5710

CO CO (M IM 04

tH -rH -rH tH T—1

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+ 0,73 + 0,65

+ 0,32 + 0,41

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122 —0,06 245    + 0,22.

245    —0,14

245    + 0,22

122 —0,06

kilogr. | qcm.

*) Bei Berechnung von Formveränderungen empfiehlt es sich im Allgemeinen, E nicht zu hoch anzunehmen, um den schwierig zu berechnenden Einfluss der Ver-schwächung durch Niete und das Nachgeben der Verbindungen zu berücksichtigen.

kilogr. qcm. cm.

mm.

cm.

mm.

wurden die As (in Millimetern) auch in das Trägernetz auf Tafel 1 eingeschrieben.

Der zu untersuchende Träger besteht aus den beiden gegliederten Scheiben a eh und iqh, welche kurz mit Jund II bezeichnet werden sollen und die mittels des Gelenkes h und des Stahes ai mit einander verbunden sind.

Zuerst wurde in Fig. 47 der Verschiebungsplan für die Scheibe I unter der Voraussetzung aufgetragen, dass der Knoten a und die Richtung des Stahes ab festliegen. Sämmtliche Verschiebungen wurden in zwanzigfacher Vergrösse-rung gezeichnet. 0 ist der beliebig angenommene Pol. a' fällt mit 0 zusammen. Die Verschiebung Ob' des Punktes b ist gleich der Längenänderung A 12 des Stabes 12. Die Punkte c\ d\ é ferner f\ g\ h' wurden nach dem in No. 32 beschriebenen Verfahren bestimmt. Hierauf wurde der (roth ausgezogene) Verschiebungsplan II für die Scheibe II in Angriff genommen, vorerst für den Fall, dass Punkt i und die Richtung des Stabes ik festgehalten werden. Nach Ermittelung der Punkte k\ l\ m', q und n', p\ K konnte die Aenderung A (hi) der Entfernung hi als Projektion der Strecke h'i’ auf eine zu hi parallele Gerade angegeben werden und ebenso die Aenderungen A(iq) und A(hq) der Abstände iq und hq. [Im vorliegenden Falle wäre allerdings hierzu die Aufzeichnung des Planes II nicht nöthig gewesen, denn es ist offenbar A (7m) gleich der Summe der Längenänderungen der Stäbe 9' und 8', d. h. A (7m) = -j- 0,41 -j- 0,32 = -1-0,73“”* und ebenso findet man ohne weiteres: A (Ti ç) = A 4'+ A3'-j-A2' -f Al'= — 0,19 — 0,21 - 0,23 —0,26 = —0,89”*“ und A(iq) = A6' + A5' = + 0,65 + 0,73 = -f 1,38”*”*].

Jetzt war es möglich, den Plan I zu vollenden. Mit Hilfe von A (hi) und A 7 wurde die Lage von i\ ferner mittels A (h q) und A (iq) die Lage von q’ gefunden und hierauf den Auflagerbedingungen genügt. Da e festliegt und q auf einer Wagerecüten geführt wird, so fällt e" mit e’ zusammen, während q" der Schnittpunkt der rechtwinklig zu eq gezogenen Geraden e"q’ mit der Wagerechten durch q ist. Durch die Punkte e" und q" ist die dem gegebenen Fachwerke ähnliche Figur e"d"b"g"h”f"d'i"q' vollständig bestimmt, und damit sind auch die Verschiebungen sämmtlicher Knoten der Scheibe I sowie diejenigen der Punkte i und q gegeben.

Behufs Darstellung der Verschiebungen der Knotenpunkte der Scheibe II wurden die Verschiebungen q q und h"h’ aus Plan Jin II übertragen und auf diese Weise zwei Punkte der Figur q"m" k"p"h"n i"l" gefunden. Bei sorgfältiger Zeichnung muss q"h" J_qh sein, ferner muss die Verschiebung i"i mit der bereits im Plane / erhaltenen Verschiebung i"Ï nach Grösse und Richtung übereinstimmen. [Wegen der geraden Gurtung hk hätte man auch im Plane I einen Punkt k‘ mit Hilfe von A12' und A(hk) = — 0,19 — 0,21 = — 0,40”*”* ermitteln können, hierauf n mittels A13' und A8', p mittels A3' und A14' sodann V und m’. Plan II kann also bei Untersuchung des vorliegenden Trägers entbehrt werden; er ist aber nöthig, sobald h, p. &, m. q oder Ti, w, i oder /, 7, q nicht in einer Geraden liegen.

Vergleichende Messungen zeigen, dass im vorliegenden Falle von allen Knoten des Trägers der Punkt g die grösste Verschiebung erfährt. Man findet g"g = 7,6”*”*. Die wagerechte Verschiebung des Punktes q ist: qq = 6,5”*”*.

Die Figuren 49 bis 52 zeigen weitere Arten von Fachwerken, deren Verschiebungspläne auf dem im vorstehenden Beispiele angegebenen Wege erhalten werden können.

Der einfache Fachwerkbalken in Fig. 49 besteht aus den beiden Scheiben abc und bde (deren Ränder durch Schraffirung hervorgehoben

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Fig. 49.

wurden) und dem Stabe ce. Die sich schneidenden Diagonalen und Vertikalen sind an den Kreuzungsstellen nicht miteinander verbunden.

Fig. 50 stellt einen versteiften Gelenkbogen (vergl. Band I, Abschnitt XII) dar, welcher in die Scheiben I und II und den Stab ce

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Fig. 50.

Fig. 51.

zerlegt werden kann, Fig. 51 einen Fach werkbogen mit drei Gelenken, dessen Kämpfer durch eine Stange verbunden sind.

Soll die Form Veränderung des in Fig. 52 abgebildeten Trägers

<rv

a.

Fig. 52.

untersucht werden, so nehme man zunächst den Punkt c und die Richtung des Stabes ce als festliegend an, ermittele e', sodann:

d' mit Hilfe von A (dc) und A (de) b' „    „    „ A (6 c)

„    A(6d)    = A5 -}-    A6    + A7 + A8

,,    A (d c) ,,    A (a 6)    — A1 —J—    A 2    —j— A 3 -J— A 4,

und ebenso bestimme man f und g. Nun befriedige man die Auf

n    j)    >>

lagerbedingungen, übertrage die hierbei gefundenen Verschiebungen b"b', d"d', ff, g"g der Punkte b, d, f, g in die nach No. 32 für die einzelnen Scheiben angefertigten Pläne und zeichne in diese letzteren schliesslich die den Scheiben ab, bd, df, fg ähnlichen Figuren a"b", o d , d j i T 9 ein.

am besten durch Aenderung der zunächst in ein solches, dessen Verschiebungsplan durch

38. Fachwerkträger verschiedener Art. Liegt ein Fachwerk vor, von anderer als in den vorstehenden Untersuchungen beschriebener Art, so verwandele man dasselbe Stützung

wiederholte Lösung der in No. 32 vorgeführten Hauptaufgabe erhalten werden kann, nachdem man vorher nötigenfalls für einzelne Theile (Scheiben) besondere Pläne zur Bestimmung der gegenseitigen Verschiebungen derjenigen Gelenke gezeichnet hat, in denen diese Theile aneinander hängen. Hierauf beseitige man die neu hinzugefügten Stützen, und schreibe den starr zu denkenden Gliedern des nunmehr beweglichen Fachwerks Verschiebungen und Drehungen zu, durch welche die wirklichen Auflagerbedingungen erfüllt werden. Die folgenden Beispiele werden genügen, dieses Verfahren zu ei’läutern.

1. Beispiel. Das in Fig. 53 dargestellte Fach werk besteht aus zwei gegliederten Scheiben I und II, die im Gelenke c aneinander hängen und durch die Stäbe 4 und 7 mit dem Kopfe e der Pendelsäule 5 verbunden sind. Bei a ist ein festes, bei g ein auf wagerechter Bahn bewegliches Auflagergelenk angeordnet. Will man die Verschiebungen der Knotenpunkte dieses Fachwerks ermitteln, so bestimme man zunächst mit Hilfe von Einzelplänen (I) und (II), die nach No. 32 für die Scheiben I und II aufgetragen werden, die Aenderungen Al, A2, A 8, A 9 der kurz mit 1, 2, 8, 9 bezeichneten Strecken ab, ac, dg, cg. Hierauf nehme man an, der Knoten g sei frei, setze dafür aber b in der Richtung ab geführt voraus und zeichne den Plan Fig. 53 A.

sammen

giebt die Verschiebung von b an. Mittels A2 und A3 wird nach No. 32 der Punkte' bestimmt, hierauf der Reihe nach: e mittels A4 und A 5, d' mittels A6 und A 7, g' mittels A 8 und A 9¹).

0 ist der beliebig angenommene Pol. d und f fallen mit 0 zu-da a und f feste Punkte sind. Die Wagerechte Ob' = Al

Jetzt verwandele man das Fach werk durch Beseitigung der Führung des Punktes b in eine zwangläufige kinematische Kette, drehe die

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Fig. 53.

Scheibe J so um das Auflagergelenk a, dass der Punkt <7 eine (im Plane A durch einen Strahl g" 0 darzustellende) Verschiebung erfährt, die, mit der vorhin gefundenen Og zusammengesetzt, eine wagerechte Gesammtverschiebung g"g ergiebt, und bestimme schliesslich auch die von den Knotenpunkten d, c, e, b bei dieser Bewegung beschriebenen Wege: d"O, ć' O, e 0, b" 0.

Zu einer einfachen Lösung dieser Aufgabe führen die im ersten Bande (Abschnitt Xfv) mitgetheilten Untersuchungen kinematischer Ketten. Die dort für die Geschwindigkeiten der Punkte solcher Ketten abgeleiteten Gesetze gelten auch für die Verschiebungen dieser Punkte, sobald nur vorausgesetzt wird, dass alle diese Verschiebungen in demselben Zeittheilchen erfolgen und sich mithin zu einander verhalten, wie die entsprechenden Geschwindigkeiten.

Stellt man also die vorläufig willkürlich anzunehmende Grösse der Verschiebung des Punktes b durch eine Strecke bb₀ dar, welche, von b aus, auf dem nach dem augenblicklichen Drehpunkte (Drehpole) a schliessen kann. Plan (II) ist auch bei der oben angenommenen Stützungsart entbehrlich, doch möge wiederholt werden, dass die Anfertigung von Einzelplänen für die verschiedenen Scheiben den Vorzug der grösseren Uebersichtlich-keit besitzt.

gezogenen Strahle ba abgetragen wird, und zieht man b₀ca \\bc bis zum Polstrahle ca, so giebt cc₀ die Grösse der Verschiebung von c an. Macht man weiter b₀e₀ [| be, so erhält man in der Strecke ee₀ die Grösse der Verschiebung des Punktes e, der um f sich drehenden Pendelsäule, und hierauf kann man mittels c₀d₀ || cd und e₀d₀ || ed die Verschiebung dd₀ von d, sodann mittels c₀g₀ || cg und d₀g₀ || dg die Verschiebung gg₀ von g bestimmen. Die Richtungen der Verschiebungen der Punkte b, c, e, d, g sind rechtwinklig zu den entsprechenden Strecken bb₀, cc₀, ee₀, dd₀, gg₀ (welche letztere deshalb „um 90⁰ gedrehte Verschiebungen“ genannt werden sollen) und damit sind die Richtungen der Strahlen bestimmt, die im Plane A die Punkte g", d", c" . . . . mit dem Pole 0 verbinden. Es ist g" O J_ gg₀, d" 0 _J_ dd₀, c" O I ccn u. s. w. Die Länge des Strahles g"0 folgt aus der Bedingung, dass g" auf der Wagerechten durch g liegen muss, und hierauf ist d" gegeben durch g'd" | gd, c" durch: c" d” \_cd oder g”c' J_ gc, ferner b" durch: c"b" 1 cb, sodann, e" durch b"e" be oder d" e"

de.

Wir theilen noch drei andere Verfahren mit, die Punkte d", é'\ bl', ć' zu ermitteln:

1.    Man zeichne einen Linienzug g₁ dx ex b₁ cx, dessen Seiten den entsprechenden Seiten des Zuges g₀d₀e₀b₀cQ parallel sind (so dass also gld₁ || gd, d₁e₁ || de, . . . .) und dessen Ecken auf den Geraden gg₀, dd₀, ee₀, .... liegen. Macht man hierbei gg₁ — g"0, so ist auch d"0 = ddi, e"0 = ee₁, u. s. w.

2.    Man bestimme die Pole, um welche sich die einzelnen Glieder der bewegten zwangläufigen Kette gegen das ruhende, kurz mit w bezeichnte Widerlager, dem die festen Punkte a und f angehören, drehen. Der Pol (I • w) der Scheibe 1 fällt mit a zusammen, der Pol (I• II) von I gegen II mit dem Gelenke c. Die Glieder I, 4, 5 der Kette bilden mit dem Widerlager zusammen ein Gelenkviereck, und es liegt daher der Pol (4 • ul) von 4 gegen w im Schnittpunkte der Geraden ab und fe. Ebenso folgt, dass der Pol (4-77) von 4 gegen II der Schnittpunkt der Geraden cb und de ist, und nun lässt sich der Pol (II • w) von II gegen w mittels der Bedingungen finden, dass die drei Punkte (I - iv), (I ■ II) und (II • w) in einer Geraden liegen müssen, desgleichen die Punkte (4 • II), (4 • w), (II • iv). Durch den Pol (II • w) sind die Richtungen gg₀ und dd₀ gegeben, und man ist jetzt im Stande, die Punkte g", d", c", b", é' auf die zuerst beschriebene Art zu bestimmen.

3. Man nehme die Verschiebung des Punktes b der um a sich drehenden Scheibe 7 zunächst beliebig gross an und stelle sie in einem besonderen Plane (Fig. 53 B) durch einen zur Geraden ba rechtwinkligen Polstrahl b"'0 dar, wobei es gleichgiltig ist, ob b'" unterhalb oder oberhalb des Pôles 0 liegend gewählt wird. Hierauf bestimme man die gleichzeitig von den Punkten c, e, d, g beschriebenen Wege, indem man die Reihe zieht:

i    t/t rtt

und a c „    f'"e''Jfe,*)

t/t Tr//

„ ed c g ±_ cg „ dg dg-

Die Strahlen, welche die Punkte b'", c", e", d'", g" mit dem Pole 0 verbinden, stellen nach Grösse und Richtung die Verschiebungen der Punkte b, c, e, d, g dar. Nun ermittele man im Plane (Ä) mit Hilfe von g"0 [| g"0 diejenige Verschiebung, welche g erfahren muss, damit die Auflagerbedingung bei g erfüllt wird, und hierauf die zugehörigen Verschiebungen c" 0, d" 0, . . . indem man eine Figur g' ć' d" . . . zeichnet, deren Seiten parallel sind den entsprechenden Seiten der Figur ged ....

Die Figur (B) ist offenbar nichts weiter als der TFÏWiofsche Verschiebungsplan derjenigen kinematischen Kette, in welche das zu unter-

ac,

ed,

. i/t m

0 C

b"'e" J_ « c"d'" | cd

suchende Fachwerk durch Beseitigung des beweglichen Auflagers g übergeht**).

Ueberträgt man schliesslich die auf einem der beschriebenen Wege gefundenen Verschiebungen b"b', c"d", d"d', g"g aus dem Plane (A) in die für die Scheiben (/) und (II) angefertigten Einzelpläne, und zeichnet in (7) die der Scheibe abc ähnliche Figur a"b"c" (deren Punkt a' mit dem Punkte a dieses Planes zusammenfällt) sodann in (77) die der Scheibe edg ähnliche Figur c"d"g", so ist man im Stande, die Verschiebungen mm sämmtlicher Knoten m der Scheiben 7 und 77 anzugeben.

Auf ähnliche Weise wie das eben untersuchte Fachwerk kann auch das in Fig. 54 dargestellte behandelt werden. Es ist zweckmässig, zunächst den Punkt a und die Richtung von ab festliegend anzunehmen und sich die Führung des Gelenkes m beseitigt zu denken. Hierauf drehe man die Scheibe 7 so um a, dass der Punkt m eine wagerechte Gesammtverschiebung m"m erfährt. Die Pole, um welche sich die Scheiben 77 und III in Folge dieser zweiten Bewegung drehen, sind in der Fig. 54 angegeben worden***). An ihrer Stelle können auch die

*) f" fällt mit a" zusammen.

**) Dass es sich bei Aufzeichnung der Figur (B) in der That nur um die wiederholte Lösung der in No. 32 vorgefühi'ten Hauptaufgabe handelt, lehrt ein Blick auf Fig. 34. Ist Al— 0undA2 = 0, so entsprechen den Geraden ac und cb in Fig. 34 a die zu ihnen rechtwinkligen Geraden d c und c b' des Verschiebungsplanes Fig. 34b. Vergl. auch den Anfang von Seite 62.

***) Das Zeichen oo (4 • II) beutet an, dass der Pol (4 • II) mit dem unendlich fernen Schnittpunkte der Stäbe 3 und 7 zusammenfällt.

90° gedrehten Verschiebungen oder ein Williot’scher Plan benutzt werden, und es wird dem Leser empfohlen, zur Uebung die betreffenden Figuren selbst zu entwerfen²).

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Fig. 54.

2. Beispiel, Fig. 55 zeigt einen statisch bestimmten Bogenträger mit drei Oeflfnungen. Derselbe besteht aus vier gegliederten Scheiben, die in den Gelenken c, g, i aneinander hängen. Die Scheiben / und II sind durch zwei Stäbe mit dem Kopfe der Pendelsäule ef verbunden, in gleicher Weise III und IV mit der Säule Im. Bei a und n sind feste Auflagergelenke angeordnet.

Wird der Verschiebungsplan dieses Trägers verlangt, so setze man zunächst voraus, es sei bei g die Verbindung der Scheiben II und III

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Fig. 55.

gelöst, nehme dafür aber den Punkt b in der Richtung ab geführt an und den Punkt k in der Richtung nk. Für diese Stützungsart ermittele man (genau wie im Beispiel 1) die Verschiebungen der Punkte b, c, e, d, g der linken Trägerhälfte und der Punkte k, i, l, h, g der rechten Hälfte — am besten in zwei besonderen Figuren (L) und (R); deren Pole Oi und Or seien. Hierauf drehe man die Scheiben I und IV so um die Gelenke a bezieh, n, dass der Zusammenhang der Scheiben II und III in g wieder hergestellt wird.

Der erste Theil dieser Untersuchung möge für den Punkt g der linken Trägerhälfte die Verschiebung 0{g' (Plan L) ergeben haben und für den Punkt g der rechten Hälfte die Verschiebung Org (Plan B). In Folge der zweiten Bewegung dreht sich die Scheibe II um den Pol (II • u>), dessen Lage in der auf Seite 74 beschriebenen Weise gefunden wird, und es muss deshalb der Strahl g'Ol rechtwinklig zu der durch die Punkte (II- tv) und g bestimmten Geraden sein. Im Plane R hingegen ist g" 0,. rechtwinklig zur Geraden <7 — (III -w). Da nun beide Pläne Verschiebungen g"g liefern müssen, die nach Grösse, Sichtung und Sinn übereinstimmen, so lässt sich die Lage der Punkte g" in folgender Weise ermitteln.

Man mache in (L) die Strecke g's gleich und parallel dem Strahle g Or des Planes (R) und lege durch den Punkt s, rechtwinklig zu g — (III • w) eine Gerade. Dieselbe schneidet die gegebene Sichtung des Strahles g" Oz in g". Hierauf mache man in (R) die Strecke 0,.g" gleich der Strecke sg" in (L).

Jetzt ist man im Stande, genau wie bei Aufgabe 1 die der Verschiebung g" Oi entsprechenden Wege d" Ou c"Oly . . . . der Punkte d, c, . . . zu bestimmen, desgleichen die Verschiebungen h” 0,., i" Or, . . . der Punkte h, i, . . . .

3. Beispiel. Es soll der Verschiebungsplan einer durch einen Balken mit Mittelgelenk versteiften Kette gezeichnet werden. Fig. 56. Bei b ist ein festes, bei p ein auf einer Wagerechten geführtes Auflager-gelenk angeordnet. Die ebenfalls auf wagerechten Bahnen beweglichen Gelenke a und x der Tragkette aox sind durch Sückhaltketten, deren Längen sich um die gegebenen Strecken A" und à" vergrössern, mit festen Punkten der Widerlager verbunden.

dar. An a wird die

Von dem beliebig angenommenen Pole 0 aus (Plan A) wird A' aufgetragen, und im Endpunkte dieser der linken Rückhaltkette parallelen Strecke ein Loth errichtet, welches die Wagerechte durch 0 in a schneidet. Oa stellt die Verschiebung von Verlängerung Al des Kettengliedes 1 angetragen und in dem auf Al im Endpunkte errichteten Lothe der Ort des Punktes c gefunden.

Es empfiehlt sich nun, den Punkt c zunächst beliebig anzunehmen und gewissermassen vorauszusetzen, es werde der Punkt c in der durch den Strahl Oc angegebenen Richtung geführt; dafür aber denke man

die wagerechte Führung des Punktes x beseitigt. Denn durch die Annahme eines bestimmten c sind die Verschiebungen sämmtlicher

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Fig. 56.

Knoten des Fachwerks gegeben, da man schrittweise finden kann: Punkt    d'    mittels    A(bd)    und    A2,

A (be)    „    A (de),

„    /•'    „    A W)    „    A(ef),

M<ty)    „    A (fg),

JJ

JJ

JJ

JJ

h'

JJ

A4

A3,

u. s. f. die Punkte i', k', l', m, n, o, hierauf:

Punkt p auf der Wagerechten durch 0 mittels A np,

¹

Anstatt Scheibe I in b zu führen, kann man auch die Richtung des Stabes ah festlegen. Der Plan (I) wird dann überflüssig, da man die Knotenpunkte der Scheibe I schrittweise durch je zwei Stäbe an den Stab ah an-

²

Bei Polbestimmungen müssen häufig Gerade durch die Schnittpunkte von ausserhalb des Zeichenblattes sich treffenden Linien gelegt werden, was zwar keinerlei Schwierigkeiten bietet, immerhin aber umständlich genug ist, tun dann die Bevorzugung anderer Verfahren zu veranlassen.

,, q mittels A(nq) und A(pq)¹)

A (nr) ,, A(ç r)

A9 ,, A10 u. s. w. bis Punkt w.

Schliesslich erhält man den Punkt x, indem man in 0 und w die Strecken A/r (parallel zur rechten Rückhaltkette) und A15 anträgt und in den Endpunkten dieser Strecken Lothe errichtet.

Jetzt wird die vorübergehend angenommene Führung des Punktes c wieder beseitigt, und hierdurch das Fach werk in eine zwangläufige kinematische Kette verwandelt, der eine Bewegung zu ertheilen ist, durch welche der Punkt x eine Verschiebung x" 0 erfährt, die mit Ox zusammengesetzt eine wagerechte Gesammtverschiebung x"x er-giebt. Die Pole, um welche sich die einzelnen Glieder des Fachwerks bei dieser zweiten Bewegung drehen, werden wie folgt ermittelt.

Der Pol (7 • w) der Scheibe 7 gegen das Widerlager fällt mit b zusammen, der Pol (7 • TZ) mit n, während (II • w) durch den Schnittpunkt der Geraden (I • w) — (I • II) mit der Senkrechten durch p bestimmt ist, weil sich p auf einer Wagerechten bewegt.

Die Stäbe 5, 4, 6 bilden mit der Scheibe I ein Gelenkviereck, und es ist deshalb der unendlich ferne Schnittpunkt von 4 und 6 der Pol von 5 gegen 7; derselbe liegt in der Senkrechten durch b, denn die Pole (5 ■ w), (5 -7), (7• w) fallen in eine Gerade. Da nun die Verschiebungsrichtung des Punktes c rechtwinklig zur Achse des um a sich drehenden Stabes 1 ist, und c auch dem Stabe 3 angehört, so ist der Schnittpunkt ^3 von 1 mit der Senkrechten durch b der Pol von 3 gegen w, und es bewegt sich deshalb h rechtwinklig zur Geraden ^J3A Daraus ergiebt sich aber, dass (5 • ir) mit ^J3 zusammenfällt und ebenso kann gefolgert werden, dass sich ^3 auch mit (7 • w) deckt.

Ganz ähnlich lässt sich beweisen, dass der Schnittpunkt ^3' der Geraden $j3o mit der Senkrechten durch p der gemeinschaftliche Pol der Stäbe 9, 11 und 13 ist, denn die Pole (9-w), (11 • w), (13 • w) liegen auf der Geraden, welche durch (77 • w) und die unendlich fernen Schnittpunkte der Stäbe 8 und 10, 10 und 12, 12 und 14 geht.

Legt man nun durch ^3 und den oberen Endpunkt einer der linken Trägerhälfte an gehörenden Hängestange eine Gerade, desgleichen durch (7• iv) und den unteren Endpunkt, so erhält man im Schnittpunkte beider Geraden den Pol dieser Stange. Auf diese Art ist in Fig. 56 der kurz mit (4) bezeichnete Pol (4 • w) des Stabes 4 bestimmt

worden ; der Beweis folgt daraus, dass die Punkte (5 • w), (4 • 5), (4 • w) in einer Geraden liegen, desgleichen die Punkte (I-w), (4 •/), (4 -tv). Aehnlich werden die Pole der Hängestangen der rechten Hälfte ermittelt. An Stelle der Punkte ^3 und (I-w) treten hier die Punkte ^ und (II- w). In der Figur sind die kurz mit (12) und (14) bezeichneten Pole (12 • w) und (14-w) der Stäbe 12 und 14 angegeben worden. Pol (8) von 8 ist der Schnittpunkt der Geraden ^3^3' und (I-w) — (II• w). Der Pol von (15 - w) gehört der Geraden ^ (14) und der Mittellinie der rechten Rückhaltkette an.

vn und n 0 \ n(I-io), womit je zwei Punkte der den Scheiben npq und nmb ähnlichen Figuren n'p" q und n" m a" bestimmt sind. Bei richtiger Zeichnung muss hierbei p" in die Wage

Um die Verschiebungen zu ermitteln, welche die Punkte der betrachteten Kette erfahren, ziehe man im Plane A den Strahl x' 0 rechtwinklig zur rechten Rückhaltkette bis zur Wagerechten durch x, hierauf x" w' 1 xw und 0 w" rechtwinklig zu der Geraden, welche den Punkt xv mit dem Pole ^ verbindet. Den Punkt v" findet man mittels der Bedingungen v" w" \_vw und v" 0 J_ v(14) und den Punkt n" mit Hilfe von v" n" |

rechte durch 0 fallen.

Damit Fig. (A) deutlich bleibe, haben wir die bereits gefundenen Punkte x" w" v" n" p" in eine besondere Fig. (B) übertragen und in dieser die Ermittlung der fraglichen Verschiebungen fortgesetzt. Hach Auftragung der Figuren n"p" q und n m" a" wurden der Reihe nach bestimmt:

u" mittels : u" w" _}_uw und u" t" _[ ut

rt tf h    fr tf i

Bei sorgfältiger Zeichnung muss eine von c' aus rechtwinklig zu ca gezogene Gerade den Pol 0 des Verschiebungsplanes treffen. Ferner muss sein:

/014', s'0±s$', o"0±o%', 1 "014, ti'0±h%.

4, (Beispiel. Fig. 57 stellt eine gegliederte Scheibe der folgenden Erzeugungsweise dar. An ein aus vier Stäben bestehendes Gelenkviereck 1, 2, 3, 4 werden die Knoten 5, 6, 7, .... n so angeschlossen, dass 5 verbunden wird mit 4 und 2, 6 mit 5 und 3, 7 mit 6 und 4, . ... n mit n— 1 und n — 3, worauf schliesslich noch der Stab n 1 hinzugefügt wird. In Fig. 57 ist n = 8. Wird der Verschiebungsplan für den Fall gesucht, dass der Knoten 1 und die Richtung des Stabes 1—2 festliegen, so nehme man zuerst an, es sei der Knoten 3 auf

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

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rr

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irgend einer festen Geraden geführt, der Stab 1—8 hingegen beseitigt. Trägt man dann vom Pole 0 des Verschiebungsplanes aus die (in Fig. 57

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3'

4 Ł

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Fig. 57.

positiv vorausgesetzte) Längenänderung A (2—3) des Stabes 2—3 auf und errichtet im Endpunkte derselben ein Loth, so ist dieses der Ort des Punktes 3". Dieser Punkt selbst wird beliebig angenommen; die Gerade, welche ihn mit 0 verbindet, giebt die Richtung an, in welcher 3 vorläufig geführt wird.

Nun bestimmt man der Reihe nach die Punkte 4', 5', 6', l', S', beseitigt hierauf die Führung des Knotens 3 und ertheilt den nunmehr starr zu denkenden, zwangläufig miteinander verbundenen Stäben Bewegungen, durch welche die Bedingung erfüllt wird, dass die gegenseitige Verschiebung der Punkte 8 und 1 gleich der Längenänderung A(1—8) des Stabes 1—8 ist. Dazu ermittelt man mit Hilfe der um 90° gedrehten Verschiebungen 3— 3₀, 4—4₀, .... 8—-8₀ die zur Geraden 8—8₀ rechtwinklige Richtung des Strahles 8” 0 und bestimmt auf diesem den Punkt 8" mittels der Bedingung, dass die Projektion der Gesammtverschiebung 8” 8/ des Punktes 8 auf eine zum Stabe

(1 — 8) parallele Gerade gleich der (in der Fig. 57 negativ angenommenen) Längenänderung A(1—8) dieses Stabes ist. . Jetzt kann l" finden mittels l"—8" J_ 7—8 und l" 0 | 7

7₀, hierauf

man

Q", 5", .... Damit sind die Gesammtverschiebungen m" tri sämmt-licher Knoten m bestimmt.

von

Dem eben betrachteten Stabgebilde entspricht ein Scheibengebilde ähnlicher Entstehungsweise. Ein Beispiel bietet der in Fig. 54 dargestellte Träger. Die Glieder I, 4, 5 bilden mit dem die festen Punkte a und f[verbindenden starren Widerlager ein Gelenkviereck, an das der Knoten^ mittels II und 7 zwangläufig angeschlossen wird, hierauf i mittels 12 und 13, sodann l mittels 15 und III, welches letzte Glied schliesslich bei m eine Führung erhält.

5. Beispiel. Es soll noch eine sehr lehrreiche Aufgabe mitgetheilt und auf zweierlei Art gelöst werden. Die zweite Lösung wird nach einem Verfahren erfolgen, das selbst in , den schwierigsten Fällen übersichtlich zum Ziele führt.

10,

Aa ein aus Stäben gebildetes Gelenkfünfeck 1—2—3—4—5 seien weitere Knoten 6, 7 8, .... »i, .... « durch je zwei Stäbe in der Weise angeschlossen, dass 6 verbunden 7 mit 6

0» — i)

n mit

wird mit 5 und und 3, . . . ., m und (m — 4), ...

(n — 1) und (n—4). Der Knoten 1 und die Richtung des Stabes 1—2 liegen fest; m werde in einer ruhenden Geraden m₀m₀ geführt, ebenso n in n₀n₀. Es soll der Verschiebungsplan gezeichnet werden.

In Fig. 58 a ist m — 8 und n = 11. Vom Pole 0 aus (Fig. 58 b) wurden die Längenänderungen A (1—2) und A (1—5) der Stäbe 1—2 und 1—5 aufgetragen und an A(1—2) die Strecke A (2—3) gesetzt. Die in den Endpunkten von A (2—3) und A(1—5) auf diesen Strecken

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Fig. 58 a.

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Fig. 58 b.

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errichteten Lothe sind die Oerter von 3' beziehungsweise 5'. Werden die Punkte 3' und 5' vorläufig willkürlich angenommen, wird also gewissermaassen zunächst vorausgesetzt, es seien die Knoten 3 und 5 (statt 8 und 11) in festen, den Polstrahlen 0 3' und 0 5' parallelen Geraden geführt, so lassen sich die Punkte 4', 6', 7', 8', 9', 10', 11' schrittweise bestimmen, da 4 durch zwei Stäbe mit'3 und 5 verbunden ist, desgleichen 6 mit 2 und 5, u. s. f.

Jetzt hebe man die Pührung der Punkte 3 und 5 wieder auf, und drehe die Stäbe 2—3 und 1—5 so um die in Ruhe bleibenden Gelenke 1 und 2, dass 8 eine Verschiebung 8" 0 erfährt, die, mit 0 8' zusammengesetzt, eine zur Führung 8₀ 8₀ parallele Verschiebung 8" 8' ergiebt und ebenso für den Punkt 11 eine zu 11₀—11₀ parallele Gesammtverschiebung 11" 11'erhalten wird. Behufs Darstellung dieser Bewegung zeichne man im Plane Fig. 58 b eine Figur 1"—2"—3"—4". . . 8" . . . 11", deren Seiten rechtwinklig zu den ihnen entsprechenden Stäben des Fachwerks 1 — 2—3—4 ... 8 ... 11 sind, deren Punkte 1", 2" mit 0 zusammenfallen, und deren Punkte 8", 11" in gegebenen Geraden (g₈) bezieh. (gn) liegen. Die zu 8₀—8₀ parallele (g₈) ist durch den Punkt 8' bestimmt, die zu 11₀=ll₀ parallele (gn) durch den Punkt 11'. Diese rein geometrische Aufgabe lässt sich mit Hilfe des folgenden (bereits im ersten Bande mehrfach benutzten) Satzes der Geometrie der Lage lösen.

Aendert ein n-Eck in der Weise seine Form, dass sämmtliche Seiten desselben durch feste Punkte einer und derselben Geraden gehen (die im vorliegenden Falle die unendlich ferne Gerade ist) während n — 1 Eckpunkte gerade Linien beschreiben, so bewegt sich auch der letzte Endpunkt in einer Geraden.

Man nehme auf der zum Stabe 2—3 rechtwinkligen Geraden 0 3" zunächst zwei beliebige Punkte (3/', 3₂") versuchsweise an, ebenso auf der zu 1—5 rechtwinkligen 0 5" zwei beliebige Punkte (5,, 5₂), ziehe durch 3," und 3./' gerade Linien rechtwinklig zum Stabe 3—4 und bestimme auf denselben die Schnittpunkte 4^, 4X.₂, 42M, 4₂.₂ der durch 5, und 5₂ rechtwinklig zu 5—4 gelegten Geraden. Es sind dann

[0, 3X , 4j.!, 5j]; [O, 3X , 4X.₂, 5₂]; [0, 3₂ , J₂.d 5j]; [0, 3₂ , 4₃.₂, 5₂| vier versuchsweise Lösungen für das verlangte Viereck 0, 3", 4", 5".

Der ersten Lösung entsprechen die Punkte 6n 7,.x, 8,-j,

„ zweiten ,, ,, dritten „ „ vierten „

7j.₂, 8j.₂, bi i ^2-n 8₂.15 6₂, 7₂.₂, 8₂.₂ .

Die Bestimmung von 6X, 7X.x, 8W erfolgt der Reihe nach mittels: öi-ÖiJ.Ö—6, 0—6j J_ 2 — 6, 6₁-7₁.₁_L6-7, 3l"-ll.t _L 3-7,

7i. i—81*1 _L 7 8, 4X. ! 8₁.₁J_4 8,

und in gleicher Weise findet man 6₂,...... 8₂.₂.

In den Punkten, in denen die Geraden 8j. x—8X .₂ und 8.₂. l—8₂.

(Die Er-

die gegebene (g₈) schneiden, erhält man die zu (3X", 3₂") gehörenden Lösungen (8,", 8₂") und kann nun in der Geraden —71>2 den Punkt l" bestimmen, in der Geraden 7₂.₁—7₂.₂ den Punkt 7₂", hierauf 6/', 6₂" und 5X", 5.,". mittelung von 4X" und 4₂" ist überflüssig.)

Weiter lässt sich jetzt angeben:

9X" mittels 8/'— 9X"_L 8— 9 und 5X"— 9j"_L 5—9 10i" „ 9X"—10j"_L 9-10 „ 6X"—10i"J_ 6—10

nr n lor-n/'j, 10-11 „ 7r-nr_L7-ii

und ebenso 9₂", 10./', 11/', worauf 11" bestimmt ist als Schnittpunkt der Geraden 11/'—11/' mit der zur Führung 11₀—11₀ parallelen gn. Hat man aber 11" gefunden, so kann man auch 10", 9", 8", 7", 6", 5", 4", 3" ermitteln, denn es liegen 10/', 10/', 10" in einer Geraden, desgleichen 9/', 9/', 9" u. s. w.

Die mitgetheilte Lösung gilt für jedes m und, n und bezieht sich auch auf gegliederte Scheiben von der in Abschnitt KÏY des ersten Bandes beschriebenen Art. AVird die Führung des Knotens 11 durch einen Stab ersetzt, der 11 mit 1 verbindet, so liegt 11" auf einer zum Stabe 11—1 rechtwinkligen Geraden, deren Abstand von 11' gleich der Längenänderung dieses Stabes ist. (Yergl. Beispiel 4, worin der Ort von 8" auf diese AVeise bestimmt wurde.) Auch wenn an die Stelle der Stäbe gegliederte Scheiben treten, führt das entwickelte Verfahren zum Ziele.

Zu einer anderen, ebenfalls allgemeinen Lösung führt die folgende Be

trachtung.

Beseitigt man wie vorhin die Stützungen der Punkte 8 und 11 (Fig. 58 a), nimmt dafür aber an, es sei jeder der Knoten 3 und 5 mit einem ausserhalb des Fachwerks liegenden festen Punkte durch einen Stab verbunden, und legt man diesen Stäben (die zur Unterscheidung von den wirklichen Fachwerkstäben als gedachte bezeichnet werden mögen) beliebige Längenänderungen Ax und A y bei, so lassen sich die Verschiebungen sämmtlicher Knotenpunkte durch wiederholte Lösung der ersten Hauptaufgabe (No. 32) bestimmen. Punkt 8 wird sich im allgemeinen von der Führung 8₀—8₀ entfernen; die Projektion seiner Verschiebung auf eine zu 8₀—8₀ rechtwinklige Gerade wird einen endlichen AVerth S₈ annehmen, und ebenso wird sich auch für die Projektion der Verschiebung von 11 auf eine zu 11₀—11₀ rechtwinklige Gerade ein endlicher AVerth 8n ergeben.

Zwischen S₈, Su und den Aenderungen der Stablängen bestehen nach No. 4 Beziehungen ersten Grades, die sich auf die Form

(I)

/ S₈ = cc₈ Aa; + ß₈ Ay-\- 8/ l Sn = «ii Ax + ßn A y + 8n'

bringen lassen, worin §₈ und 8U' von den Längenänderungen der wirklichen Stäbe abhängig sind und diejenigen AVerthe bezeichnen, welche S₈ und Sn für den Fall annehmen, dass die beiden gedachten Stäbe starr vorausgesetzt werden (Zustand Ax = 0 und Ay = 0). Arerschwinden auch die Längenänderungen der wirklichen Stäbe (was kurz durch A s — 0 angedeutet werden soll) so ergiebt sich 8/=0, 8n'=0.

AVeiter bedeuten:

11 §8, ^11 11 11

Ax = 0, Ay = l, As — ;

a₈, an die AVerthe von §₈, 8n für den Zustand: Aa; = l, Ay = 0, A$ = ; ß8l ßll 11

und es können somit die sechs Koefficienten der rechten Seiten der Gleichungen I mit Hilfe von drei Yerschiebungsplänen, welche den drei angeführten Zuständen entsprechen, bestimmt werden, worauf die Bedingungen : S₈ = 0 und 8n = 0, d. h.

a₈ Ax + ß₈ Ay-f-8/ =0 an Ax -+- ßu Ax -f- Sn' = 0

diejenigen Längenänderungen A x und A y liefern, welche den beiden gedachten Stäben zugeschrieben werden müssen.

Es leuchtet ein, dass sich auf diesem Wege die Ermittlung der Verschiebungen der Knoten jedes statisch bestimmten Fachwerks auf die wiederholte Lösung der ersten Hauptaufgabe und die Auflösung einer Gruppe von Gleichungen ersten Grades zurückführen lässt.

coo

cd

Darstellung der Formyeränderung yon Stalbzögen mit gelenkartigen Knoten.

Fig. 59.

2) •

n-1 •

39. — Werden gerade Stäbe so aneinander gereiht, dass jeder Stab nur mit dem vorhergehenden und dem nachfolgenden zusammenhängt, so entsteht ein Gebilde, welchem wir den Namen Stabzug beilegen. Die Knotenpunkte bezeichnen wir mit den Ziffern 0, 1, 2, . . . (m—1), m, (tn —j— 1), . . . n, die Stablängen mit s₂, . . . sm, . . . s„ und die Winkel, welche die Mittellinien aufeinander folgender Stäbe ein-schliessen, mit ^

Greifen alle äusseren Kräfte in den Knotenpunkten an, und sind die Stäbe durch reibungslose Gelenke miteinander verbunden — was

Vy

(OyJ

nv+i

m-t

r*

'Hi

'4-

nJ

— v + * *nA

^rv-r

z'c^r.

Vf

0 ₀>

Fig. 59.

beides hier vorausgesetzt werden möge — so wird jeder Stab nur auf Zug oder Druck beansprucht; seine Mittellinie bleibt gerade, und die gegenseitigen Verschiebungen der Knotenpunkte des Gebildes sind bestimmt durch die Aenderungen Asx, As₂, . .    A^, A^₂, . . . der

Längen s und Winkel Eine übersichtliche Darstellung dieser Verschiebungen ist u. A. von Werth für die Theorie des Fachwerks, dessen Knotenpunkte häufig durch Stabzüge mit leicht zu berechnenden Winkeländerungen A'ÿ verbunden werden können.

Zunächst werde angenommen, es seien sämmtliche As und A ^ bekannt, auch werde vorausgesetzt, dass die Richtung der Achse irgend eines Stabes und ein Punkt dieser Achse festliegen, beispielsweise die Richtung des Stabes st und der Knotenpunkt 0. Die übrigen Stäbe (*₂, s₃, ... sm, ... sn) werden sich um gewisse Winkel vp₂ * 4*3» • • • 4.»> . . . 4» drehen, und zwar ist:

4*2    ! 43 = 42 +* • •! 4»»    4»-i + AVi; • • •

Wir betrachten nun einen beliebigen Stab s, dessen Endpunkte die Ordnungsziffern a und b tragen mögen. Fig. 60. Der Weg a a des Punktes a sei gegeben. Behufs Bestimmung der neuen Lage b' des

b’

6’

a. q

a°£4±r

<L-

Fig. 60 a.

Fig. 60 b.

Punktes b verschieben wir den Stab ab parallel mit sich selbst in die Lage a blt ändern seine Länge um das gegebene Maass bxb₂ —As und drehen ihn schliesslich um den gegebenen Winkel 4- Hierbei beschreibt b₂ den Kreisbogen

b₂b' = 0 -f As) 4,

der aber — wegen der Beschränkung unserer Untersuchung auf sehr kleine Verschiebungen — durch ein in b₂ auf a b₂ errichtetes Loth von der Länge

p = *4

ersetzt werden darf.

Es empfiehlt sich nun, die Knotenpunktsverschiebungen (wie im § 1) in einer besonderen Figur und in gehöriger Vergrösserung von einem beliebig gewählten Pole 0 aus aufzutragen, so zwar, dass jede Verschiebung nach Grösse, Richtung und Sinn durch einen vom Pole ausgehenden Strahl dargestellt wird. In Fig. 60b bezeichnet O a die gegebene Verschiebung des Punktes a\ an diese wurde die dem Stabe s parallele Strecke A s angetragen und hieran die zu s rechtwinklige Strecke p; es stellt dann der Strahl Ob' die gesuchte Verschiebung des Punktes b vor.

Auf diese Weise sind in Fig. 59b die Verschiebungen der Knotenpunkte des in der Fig. 59a abgebildeten Stabzuges schrittweise ermittelt worden. Die Werthe As und p = s4 wurden in der Reihenfolge

AS}, AS2, P2» Asg, P31 • • • *5 Asm, pm, . . . ., As„, p„

nach Grösse, Richtung und Sinn aneinander gesetzt, wobei allgemein As,„ || sm, pm J_5m. Anstatt der Zeichen Aslf As₂, .... wurden die kürzeren A 1, A 2, . . . . gebraucht. Die (in der Figur nicht ausgezogenen) Polstrahlen Ol', 0 2', OB', ... . stellen nach Grösse, Richtung und Sinn die gesuchten Verschiebungen der Knoten 1, 2, 3 .. . dar. In Fig. 59 geben kleine Pfeile den Drehungssinn der einzelnen Stäbe an. Einem positiven vj; entspricht im vorliegenden Falle eine Drehung nach links, einem negativen eine Drehung nach rechts. Die an die Stäbe gesetzten (-j-) und (—) bedeuten die Vorzeichen der entsprechenden As. Die ein (-j-) tragenden Stäbe werden gedehnt, die übrigen verkürzt.

Wird der Stabzug in einer anderen als der eben vorausgesetzten Art gestützt, so nehme man zuerst die Richtung irgend einer Stabachse und einen Punkt derselben als festliegend an, zeichne den Verschiebungsplan auf die beschriebene Weise und ertheile hierauf dem nunmehr als starres Ganzes zu betrachtenden Gebilde eine Bewegung, durch welche die wirklichen Auflagerbedingungen befriedigt werden. Die Verschiebungen, welche die Knotenpunkte in Folge dieser zweiten Bewegung erfahren, werden — genau wie im § 1 (No. 33) — durch Strahlen m 0 dargestellt, die nach dem Pole hinzeigen, und deren Zusammensetzung mit den Strahlen 0 m die Gesammtverschiebungen m" m liefern (Fig. 36, S. 60).

Wir werden die Ergebnisse der vorstehenden Betrachtungen hauptsächlich auf die Darstellung der Formänderungen von gegliederten Scheiben anwenden, die sich in Dreiecke zerlegen lassen. Die Winkel zwischen den aufeinander folgenden Seiten der die Knotenpunkte derartiger Scheiben verbindenden Stabzüge sind entweder Dreieckswinkel, oder sie setzen sich aus solchen zusammen, und es erfordert daher die Berechnung der A'à' nur die Lösung der folgenden, auch für spätere Untersuchungen sehr wichtigen Aufgabe:

40. — Zweite Hauptaufgabe. Gegeben seien die Aenderungen Aslf As₂, As₃ der Seitenlängen Sj, s₂, s₃ eines Dreiecks ABC, gesucht die Aenderungen Aoq, Aa₂, Aa₃ der Winkel ax, a₂, a₃. Fig. 61a.

Zu einer sehr einfachen Darstellung der A a gelangt man mit Hilfe eines WillioFschen Verschiebungsplanes. Man nehme A und die Richtung der Seite AB als festliegend an. Dann fällt A' mit dem Pole 0 zusammen (Fig. 61b) und A'B’ = As₃ giebt die Verschiebung von B an. In A' und B' trage man die Strecken As₂ und Asx an und errichte auf diesen in ihren Endpunkten Lothe, deren Schnittpunkt C' die Verschiebung OC' von C bestimmt. Denkt man sich nun den Punkt C' auf dem in No. 39 beschriebenen Wege mittels der dem Stabe s₂ entsprechenden Werthe As₂ und p₂ = s₂ 4*2 gefunden, so erkennt man,

■/ft

'jNSr

jt

°x

;g,

A'

Fig. 61a.

Fig. 61b.

dass das Loth C' C2 sich aber, da s₃ festliegt, um A <xx ; es ergiebt sich daher :

C C₂ = p₂ ⁼ s₂ Aalf

und ebenso findet man (indem man den Pol von A' nach B' verlegt, also B als ruhend ansieht):

von

C' auf As₂ gleich p₂ ist. Der Stab s₂ dreht

C'CX ==?! =s₁ Aoc₂.

Wir bezeichnen nun den Schnittpunkt von A sx und As₂ mit (7₃, errichten in einem beliebigen Punkte 0 der A B' auf dieser Geraden ein Loth, ziehen durch Clt C₂, C.ä Parallelen zu A'B', welche jenes Loth in 1, 2, 8 schneiden und erhalten:

h —

= A sx —; 0 2

0 1 : A sx — h :    ;

As₂

«l

S2

Ä; 0 3

As₃

S3

h,

wo h die zu AB rechtwinklige Höhe des Dreiecks ABC bedeutet.

Weiter projiciren wir die Strecken C₂C' und CXC' auf eine zur A'B' parallele Gerade und finden für die Projektionen die Werthe:

C₂ C' sin <Xj = p₂ sin ax = s₂ sin a.x A ax = A ax& und Cx C' sin a₂ = A a₂ h,

deren algebraische Summe = — Aa₃A ist, weil die Summe der Dreieckswinkel auch nach der Formänderung 180° beträgt, mithin

A 04 -f- A a₂ -f- A a₃ = 0 ist.

Ersetzt man in Fig. 61b die Längenänderungen Asx, A s₂, As₃

durch die Verhältnisszahlen

h ’ h

Ząhlenmasisssteibe durch Strecken dargestellt werden), so liefert diese Figur die Werthe Aa₁₍ Aa₂, Aa₃.

—— —~    ~r~ (welche nach einem

h

Es braucht übrigens nur das durch die Punkte 1, 3, 2 bestimmte Viereck CXC₃C₂C' gezeichnet zu werden. 3 wird beliebig gewählt; 1 und 2 haben von 3 die Abstände:

A

A.?3

As₂

^s₃

⁵3

S2

S3

Behufs Vermeidung von Fehlern bei der Feststellung von Vorzeichen der Aa, versehe man die Strecken C₂C' und Cx C' mit Pfeilen, die nach C' hinzeigen. Diese Pfeile geben an, in welchem Sinne sich die Seiten s₂ und gegen die Seite s₃ drehen. In dem in der Figur dargestellten Falle dreht sich s₂ nach rechts, sx nach links; A(X.X und Aa₂ sind also positiv, während sich für Aa₃ ein negativer Werth ergiebt.

Aus der Fig. 61b, deren Längenabmessungen wir uns durch h dividirt denken, lässt sich auch eine einfache Formel ableiten. Es ist nämlich :

— A a₃ = C₂ C₃ cos at -f- C₃ Cx cos a₂

As₂

As₃

S2

S3

sin ax

c, c, = (

A sx

S1

As^\

5₃ /

sin a₂

und es folgt daher:

(1)

Aa₃ =

■+(?

As₂

S2

) cotg ax.

Sind die Längenänderungen lediglich Folge von Spannkräften Sx, S₂, S₃, welche die Spannungen

s₂

S3

- T-r » Ö2 - T7f > C3 - T7Î

F3

erzeugen, so hat man

In diesem Falle ist es    zweckmässig,    die Werthe E A a (an    Stelle der Aa)

\ £

durch Zeichnung darzustellen, also in Fig. 61b die --h durch die

s

entsprechenden a zu ersetzen. Man gelangt dann zu dem in der Fig. 62 angegebenen Verfahren, das einer weiteren Erläuterung nicht mehr bedarf. Zu achten ist auf die Vorzeichen der Spannungsunterschiede Ö!—tf₃ und a₂—a₃. In Fig. 62b wurden beide Werthe positiv an-

As₂

S2

&₂ A S₃

<*3

(2)

S3

genommen, in Fig. 62c der erstere positiv, der andere negativ. In letzterer Figur <7₃ mit 3 zusammenfallend gewählt. Hinsichtlich der Vorzeichen der Winkeländerungen stimmt Fig. 62 b mit Fig. 61b überein.

^ÉAa,"%ËAi₂^

JSa<x₂

*r~

J'

c'

ss

......

--------Ą

________:-^V>

²f

'3

Fig. 62 a.

Mg. 62 b.

Fig. 62 c.

In dem in der Fig. 62c dargestellten Falle erfährt sowohl S! als auch s₂ eine Drehung nach rechts; es ist mithin Aa₂ negativ, A ai positiv.

Will man die Werthe EAa berechnen, so führt man zweckmässig die Hilfsgrössen ein:

(Oj = cotg «j (<ja — a₃) ; w₂ = cotg a₂ (a₃ — a,) ; to₃ = cotg a₃ (a, — a₂) und hat dann:

£A«i = (i)₃ — w₂; EAa, = Wj — w₃; EAa₃ = w₂— coj.

Zur besseren Übersicht schreibe man auf jede Dreieckseite die betreffende Spannung und in jeden Winkel dessen Cotangente, wie dies Fig. 63 angiebt. Für das dort dargestellte (mit dem Dreieck 11—12—13 des auf Tafel 2 abgebildeten Fischbauchträgers übereinstimmende) Dreieck, in dessen Seiten die Spannungen:

— 141, + 463, — 17 klgr f. d. qcm herrschen, erhält man:

<e

'r,o;

\0,U>3 63

cot = 0,496 (+ 463 + 17) = + 238 ; w₂ = 1,079 (— 17 + 141) = + 134; u₃ = 0,295 (— 141 — 463) = — 178;

EAa, = — 178 — 134 = — 312* f. d. qcm; EAa, = + 238 + 178 = + 416 E Aa₃ = 134 — 238 = — 104.

Sehr zweckmässig ist es auch, die Werthe w zeichnerisch zu ermitteln und hierzu ein in möglichst grossem Maassstabe angefertigtes Trägemetz zu benutzen. Fig. 64 (Tafel 2, welche zwei Dreiecke des auf dieser Tafel abgebildeten Fischbauchträgers darstellt) giebt eine Anordnung an, die recht übersichtlich ist. Die auf den Stäben stehenden rothen Zahlen bedeuten die Spannungen in klgr f. d. qcm. Die Spannungsunterschiede in den die Winkel al7 einschliessenden Seiten sind für das Dreieck I:

Fig. 63.

ö₂, a₃

+ 463+ 17 = + 480;    — 17 + 141 = + 124;    — 141 — 463 = — 604

und für das Dreieck II:

— 128 + 141 = +13;    — 141 + 576 = + 435, — 576 + 128 = — 448;

dieselben werden beziehungsweise mit cotg ax, cotg a₂, cotg a₃ multiplicirt. Die Ergebnisse sind für das Dreieck I:

(i>i = -j- 238 5 w.j -f-134 ; g>₃ = — 178

und für das Dreieck II:

Wj — -j— 13j    (n)₂ — —j— 177 5 w₃ —    183.

Die Strecken, welche diese Werthe w darstellen, wurden in Fig. 64 durch Doppellinien bezeichnet. Der Spannungsmaassstab lautet: 4mm=100Lf. d. qcm\ nur für im Dreieck II wurde der Maassstab \mm = \k f. d. qcm gewählt.

źl

Fig. 65.

Ist für jedes Dreieck nur eine Winkeländerung A a zu bestimmen [ein Fall, der vorliegt, wenn das Fachwerk in Fig. 77 (Seite 95) durch den mittels kräftiger Linien angedeuteten Stabzug ersetzt werden soll] so gewährt die folgende Darstellungsweise die beste Uebersicht. Yom Scheitel A Fig. 65 des fraglichen Winkels a, wird auf die gegenüberliegende Seite ein Loth gefällt, und auf diesem werden die absoluten Werthe der Spannungsunterschiede aufgetragen, indem AAl = al — a₃ und A A₂ = er, — ct2 gemacht wird. Zieht man nun Ax A? || sl5 ebenso A.₂ C || sx, so ist A^—ioy—ct₃) cotg a₂ und A₂C={a₁—a₂) cotg a₃. Die Vorzeichen werden an die Strecken geschrieben, ln Fig. 65 ist    und    vorausgesetzt worden.

Dann folgt:

FA a, = M, ß — A.₂C.

Temperaturänderungen können nach Seite 2 durch Vergrösserung

sEt berücksichtigt werden. Ist beispiels-

urn

der Spannungen a —

weise für einen schweisseisernen Stab: 5= 20 000*, £=50 qcm., S

also —= 400, und wird der Stab um 30° C. erwärmt, so ist demselben bei Ermittlung der £Aa nach dem zuletzt beschriebenen Verfahren eine Spannung a = 400 -f- sEt = 400 -j- 22 • 30 = 1060* f. d. qcm zuzuschreiben, wobei s = 0,000012 und £= 1800000 angenommen wurden. Im Falle einer Abkühlung um 30⁰ erhält man c = 400 — 22 • 30 = — 260.

41. Untersuchung der Formänderung eines Fachwerkbalkens. Zahlenbeispiel. (Figuren auf Tafel 2.) Es sollen die Verschiebungen der Knotenpunkte der unteren Gurtung des auf Tafel 2 abgebildeten Hauptträgers einer zweigleisigen Eisenbahnbrücke für die in Fig. 66 angegebene Probebelastung bestimmt werden.*) Die durch diese Belastung erzeugten Spannkräfte sind in Fig. 67 auf folgende Weise ermittelt worden.

Mit beliebiger Polweite H wurde in Fig. 66 zu den Achsenbelastungen eine Seillinie gezeichnet und in diese ein Polygon IIIIII. . . X

*) Bei Belastungsproben handelt es sich stets um die Ermittlung der von der beweglichen Belastung allein hervorgerufenen Durchbiegungen.

einbeschrieben, dessen Ecken den in der oberen Gurtung liegenden Angriffspunkten 0, 2, 4, .... 18, 20 der Zwischenträger entsprechen. Hierauf wurden in Fig. 67 mittels eines Büschels, dessen Strahlen I, IT, . . . X parallel den gleichbezeichneten Polygonseiten sind, auf einer vom Mittelpunkte 0 des Büschels um H entfernten Senkrechten die Knotenlasten P₂, P₄, P₆, . . . . P₁₈ abgeschnitten und durch einen zur Schlusslinie des Seilpolygons parallelen Strahl s die an den Stützpunkten 0 und 20 angreifenden Auflagerdrücke A und B bestimmt. Schliesslich wurde ein Cremona’scher Kräfteplan gezeichnet. In demselben bedeuten:

„ unteren „

„ Füllungsstäbe.

Oj, 0S, 0₅, ... die Spannkräfte der oberen Gurtung, ult U₂, U„ . . .

-^3»    * • *

Die Figuren 68 und 69 bieten eine übersichtliche Zusammenstellung der Stablängen (in cm), Querschnittsinhalte (qcm), Spannkräfte (Tonnen) und Spannungen (kilogr. f. d. qcm). Die in den Figuren 70 bis 75 abgebildeten Querschnitte wurden voll gerechnet; die Elasticitäts-ziffer wurde (für Schweisseisen) = I 800 000fc f. d. qcm angenommen.

Der Füllungsstab 1—2 erhält den Querschnitt: Fig. 72 mit F= 52 qcm Die Füllungsst. 2—3, 3—4 erhalten

4—5, 5—6, 6—J, 7—8 „

„    „    8—9, 9—10

Fig. 76 zeigt den Yerschiebungsplan der einen Stabzug bildenden unteren Gurtung. Die nach Ko. 40 ermittelten Werthe PA a der an dieser Gurtung liegenden Dreieckswinkel a sind in die betreffenden Winkel eingeschrieben worden; sie bestimmen die Aenderungen A‘ÜT der Stabzugswinkel Zuerst wurde der Knoten 9 und die Richtung des Stabes 7—9 festliegend, der Stabzug aber sonst frei angenommen. Es entspricht dann:

dem Stabe 7—5 der Werth P^₇_₅= PA^T₇ = + 212 + 363 + 294

= + 869* f. d. qcm.

5—3

„ Pvp₅_₃ = -f- 869 —|— (301 —f- 439 —|— 426) = -f 2035,

„    „    3—1    „    „    ^3^ = 2035 + (447 + 541 + 412)

= + 3435,

„    1—0 „    „    E^_₀ = 3435 +(2170 + 926)

= + 6531,

und ebenso ergeben sich für die rechts an 9 sich schliessenden Stäbe der Reihe nach die Werthe:

E*\) = 850;    1754;    2433;    3421;    4943; 8389.

Alle auf der linken Seite des ruhenden Stabes 7—9 befindlichen Stäbe erfahren eine Drehung nach rechts, die auf der rechten Seite eine Drehung nach links.

Für den Stab 0 — 1 erhält man nun s • EĄ

271e”*

6531

0,983"“ —' 9,83

Po —i =s-']>

für den folgenden Stab: p = 6,21 Fig. 66 (in Klammern) an die einzelnen Stäbe geschrieben; desgleichen

1800000

mm

u. s.

f. Diese Werthe wurden in

wurden die Längenänderungen A s =

Ss

as

Stab 0—1 ergiebt sich z. B.: As₀_₁ =

EF E 478•271 1 800 000

angegeben. Für den

= 0,07 2cm = 0,72”””.

Nach Erledigung dieser Rechnungen konnte der Verschiebungsplan An die Strecke l' — 9'= As₇

aufgetragen werden.

(Maassstab 2:1) wurden links der Reihe nach angetragen:

-9

= 0,94

As₇_₅ = 0,98”””, p₇_₅ — l,77mm, As u. s. w.

und rechts die Strecken:

A*9—„ = 0,95”"”, p₉_u = 1,70””", Asj u. s. f.

5-3

1-13

= 1,00””", p₅_₃ = 4,25"‘”‘,

= 0,93”””, p₁₁_₁₃ = 3,53"",

Die Endpunkte der Strecken p₇_₅, p₅_₃, . . . bestimmen die Punkte 5', 3',    denjenigen von p₉

. . die Punkte ll\ 13', . . ..

-11, Pl1-13» *

Schliesslich wurde zur Erfüllung der wirklichen Auflagerbeding

ungen geschritten und die dem Stabzuge 0 — 1—3 — 5 ... 19 — 20 ähnliche Figur 0"—- l" — 3 —5' ... 19 —20 gezeichnet. Der Punkt 0" fällt mit 0*

weil Knoten 0 festliegt, während 20"

zusammen,

auf der Wagerechten durch 20" liegen muss, da der Knoten 20 auf einer wagerechten Auflagerbahn geführt wird; 0" — 20 ' ist rechtwinklig zu 0 — 20.*)

Damit sind die Verschiebungen l" t', 3" 3 , ... . der Knoten

1, 3, . . . . nach Grösse, Richtung und Sinn bestimmt.

In Fig. 76 wurde noch die Biegungslinie der unteren Gurtung eingetragen. Die Eckpunkte 0₀, 1₀, 3₀, .... derselben liegen senkrecht unter den entsprechenden Knoten 0, 1, 3, ... . und auf den

*) Probe: Die Verschiebung 20” — 20' muss im vorliegenden Falle gleich der Summe der Längenänderungen As der Stäbe der oberen Gurtung sein. Da diese Stäbe gleiche Länge und gleichen Querschnitt haben, so findet man:

360 • 1592000*

20”—20'

EF

1800000-278

1,15e" = 11,5"*“.

Wagereehten durch die Punkte 0 , 1 , 3 , .... ; die grösste senkrechte Verschiebung (28,8mm) erfährt der Knotenpunkt 9. Wird nur das Biegungspolygon gesucht, so braucht die Figur 0"—l"—2" . . . 20" nicht gezeichnet zu werden.

so muss

In Fig. 77 sind die Längenänderungen der Stäbe (in mm) und in

Will man die Verschiebungen sämmtlicher Knotenpunkte haben, man den in Fig. 77 kräftig ausgezogenen Stabzug 0—1—2—3 . . . 18—19—20 untersuchen.

10

I‘l

Pt 16    18

20

//

13

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Fig. 77.

10_tt

PL_16

18

20

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,371,

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Uit

Iva

,-vwi

11

13

IS

17

Fig. 78.

Fig. 78 die Werthe EAol (in Mg f. d. qcm) angegeben worden. Dem Leser wird empfohlen, diese Aufgabe zu lösen. Es ist zweckmässig, zuerst den Knoten 10 und die Richtung des Stabes 10-9 als ruhend anzusehen.

42. — Wir wollen die im Vorstehenden gelehrte Darstellungsweise der Verschiebungen kurz das Stabzugverfahren nennen; dasselbe liefert übersichtlichere Figuren als das Verfahren von Williot und verdient namentlich dann den Vorzug, wenn die nach Williot zur Bestimmung der Punkte m' auf den As zu errichtenden Lothe sich unter sehr spitzen Winkeln schneiden. Dagegen erfordert das Stabzugver-fahren etwas mehr Zeit, es sei denn, dass die Winkeländerungen noch anderweitig gebraucht werden, was beispielsweise der Fall ist, wenn für fein unter der Voraussetzung gelenkartiger Knoten berechnetes, in Wirklichkeit aber vernietetes Fachwerk die von den festen Verbindungen herrührenden Spannungsänderungen nachgewiesen werden sollen — eine Aufgabe, die sich, wie in der zweiten Abtheilung dieses Bandes gezeigt werden wird, mit Hilfe der Winkeländerungen besonders einfach lösen lässt. Hierbei wird allerdings vorausgesetzt, dass diese Zusatzspannungen (welche auch Nebenspannungen heissen) und die Verschiebungen für ein und denselben Belastungszustand verlangt werden, ein Fall, der häufig eintritt.

Auch die Anwendung eines gemischten Verfahrens ist oft am Platze. So kann es z. B. vortheilhaft sein, bei Untersuchung der in den Figuren 50 bis 56 dargestellten Träger die für die einzelnen Scheiben erforderliehen Sonderpläne nach dem Stabzugverfahren zu zeichnen, während es im übrigen zweckmässig ist, den früher befolgten Weg einzuschlagen.

n Fig. 79, dessen

43. Zeichnerische Ermittlung der Werthe p. Wir betrachten (wie in No. 39) einen Stabzug 0—1 — 2— . .

Knoten 0 und Stabrichtung 0—1 festliegen und suchen die nur von den Winkeländerungen A*^ abhängigen Verschiebungen, nehmen also an, es seien sämmtliche As = 0. Der Verschiebungsplan besteht dann aus einem Linienzuge 0—2'—3'— . . . —n, dessen Seiten 02' — p₂ = s₂ A ^₂, 2'3' = p₃ = s₃ A'Ä'g, . . . beziehungsweise rechtwinklig zu den Stäben s₂, s₃, ... sind, und der offenbar bestimmt ist, sobald die Projektionen Sg', . . . der Verschiebungen 02', 03', . . . auf eine Gerade AB (deren Richtung aber keiner der Stabachsen parallel sein darf, damit sie von keiner Seite p rechtwinklig geschnitten wird) gegeben sind.

Die Seitenverschiebungen 5' lassen sich sehr leicht finden. Dazu nehmen wir zunächst an, es ändere sich nur der Winkel <%₁, es drehe

m,

TV i*~

•——7--------

fl

f)

m-T

rnp

iß

w’

'<C

@àr.

Fig. 79.

sich also der Stabzug 1 — 2— . . . n um A^Tj. Punkt m, der vom Drehpunkte 1 den Abstand e haben möge, verschiebt sich in einer zur Geraden 1—m rechtwinkligen Richtung und um eine Strecke: 5m.₁=eAlà'₁, deren Projektion    auf die zur AB parallele mm₁ durch die

Gleichung:

h'

*• 1

=

bestimmt ist, worin x₁ den Abstand des Knotens 1 von der Geraden mm₁ bedeutet. Man erhält:

8'..!

und, wenn sämmtliche Winkel die vorgeschriebenen Aenderungen A^ erfahren :

(3)

5'm = ®₁A5‘₁+3j.A$₂ + . . . a:m_,A^

m—1

= 2a;A^.

i

. . sind ohne Einfluss auf die

Die Winkeländerungen A^m, A^T Bewegung von m.

Der auf der rechten Seite der Gleichung (3) stehende Ausdruck lässt sich nun deuten als das auf den Punkt m bezogene statische Moment von Kräften A^, A^₂ . . . . A^T gelegenen Knotenpunkten angreifen und die Richtung AB haben, und hieraus (und aus Band I) ergiebt sich das folgende Verfahren, die Werthe p durch Zeichnung zu bestimmen.

Man zeichne zu den Gewichten²) A^, Aï₂, . . . AX-i mit der Polweite 1 (Zahlenevahz\t) ein Seilpolygon, dessen erste Seite zweckmässig rechtwinklig zu AB angenommen wird. Die den Knotenpunkten 2, 3, ... m, ... n entsprechenden, parallel zu AB gemessenen Abstände des Seilpolygons von der Seite I sind dann beziehungsweise = §₂', 5S', . . . bm', . . . Zieht man also durch die Punkte 1, 2, . .

m—1 ?

welche in den links von m

. m, ... n

. m . . . n, dessen Ecken in jenen Parallelen liegen, und dessen

des Seilpolygons Parallelen zur Seite I und zeichnet einen Linienzug 0'2\ .

Seiten rechtwinklig zu den entsprechenden Seiten des Stabzuges sind, so erhält man die Werthe:

¹

l) und A (np) werden einem für die Scheibe II gezeichneten besonderen Plane entnommen. Im Plane (A) haben wir, um eine übersichtliche Figur zu erhalten, nur die Punkte a, c, d\ ri, p q\ w\ x angegeben.

²

Der Ausdruck Gewicht ist hier natürlich in mathematischem Sinne zu nehmen. Die AS sind Zahlen, ihre Auftragung macht die Anfertigung eines besonderen Zahlenmaassstabes nöthig.

Müller-Breelau, Graphische Statik. II. 1.

p₂ = 0'— 2', 93 = 2—3',..., p„ = (w 1)' — n .

Will man diese Strecken p in v-facher Vergrösserung erhalten, so ersetze man die A^r durch die Gewichte vA'à' oder die Polweite 1 durch

die Polweite--

In Pig. 79 wurde angenommen, dass die Winkel X.-i und X» abnehmen, alle übrigen hingegen eine Vergrösserung erfahren.

Wir empfehlen dem Leser, die auf Tafel 2 in Fig. 76 angegebenen Werthe p durch Zeichnung zu bestimmen, und die Ergebnisse mit den durch die Rechnung gewonnenen zu vergleichen. Sollen die p im Maassstahe 2 :1 erhalten werden, so sind (wenn die Polweite = 1 gewählt wird) die Knoten des im Maassstabe 1: 300

600-EAS

gezeichneten Fachwerks mit den Gewichten 2 • 300 AS

-EAS

1800000

-zu

3000

belasten. Dem Knoten 1 entspricht z. B. 2?AS = 2170 -f- 926 = 3096, und es ist daher seine Belastung = 1,032.

44. Längenänderung einer Stabzugsehne. Eine für die Folge wichtige Aufgabe besteht darin, die Längenänderung der zwei Knoten 0 und n eines Stabzuges (Fig. 80) verbindenden Sehne durch die Längenänderungen A s und Winkeländerungen A^r auszudrücken. Wir bezeichnen den Abstand irgend eines Knotens m von der Sehne 0 — n mit ym, den Neigungswinkel des Stabes sm gegen die 0—n mit <pm und setzen sm cos ßm.

Die Vergrösserung von    um    A    erzeugt für sich allein

Al — ymA^m, ein Ergebnis, das ohne weiteres aus No. 43 (und auch aus Fig. 80) folgt, während der Aenderung der Stablänge sm um Asm Al = Asm cos <pm entspricht. Im ganzen entsteht daher:

« — 1    n

Al = 2ymA&m -f    2 Asm cos <pm*)

1    1

2-

ni/

S/n

iy*.

w,

>m/

oM

l/m,

e,

Kg. 80.

/    as

und für den Fall t — 0 wegen As = —

»- 1

(4) M

= Sy.4ÿ. + 2^

1    1 il/

Will man diese Formel auch dann anwenden, wenn Temperaturänderungen berücksichtigt werden sollen, so muss die Spannung

s

um den Betrag s Et erhöhen. Vergl. den Schluss von No. 40.

Der Ausdruck 2yA^T lässt sich als das auf die Sehne 0—n bezogene statische Moment von Gewichten A^, A^T₂, . . . deuten, welche in den Knoten 1, 2, . . . des Stabzuges angreifen und parallel zu 0—n sind. Es ist also möglich, diesen Ausdruck mit Hilfe eines Seilpolygons darzustellen.

fl — 1

*)    == 2j/mA&m bedeutet die Summe der Werthe Abx, y₂ A3r₂...

bis y„_i A&n-i.

3.

Die Biegungslinie als Seilpolygon betrachtet.

45. Auffassung eines beliebigen Polygons als Seilpolygon.

Jeder aus Geraden bestehende Linienzug 0 — 1 — 2 — 3—. . . (Fig. 81) lässt sich als das Seilpolygon endlicher Kräfte Pj, P₂, P₃, . . . deuten, die in den Punkten 1.

2, 3, . . . angreifen, und deren Richtungen innerhalb gewisser Grenzen willkürlich gewählt werden dürfen. Das Grössen-verhältniss dieser Kräfte ist durch die Seiten eines zweiten Linienzuges AB CD . . . bestimmt, dessen Ecken auf den durch einen beliebigen Pol 0 parallel zu den Geraden 0 — 1, 1 — 2, 2 — 3, . . . gezogenen Strahlen I, II, III, . . . liegen, und dessen Seiten AB, BC', CD, ... die Richtungen der Kräfte Plt P₂, P₃, . . . haben. Es verhält sich:

P₁ : P₂ : P₃ : - . . = AB : BC : CD: . . .

Sollen alle Kräfte endlich werden, so darf die Richtung keiner Kraft in eine der beiden angrenzenden Seiten des Linienzuges 0—1—2—3— ... fallen, es darf also z. B. P₂ weder die Richtung von II noch die von III haben.

BFi

cf¹*

PS

Z'

Fig. 81.

Wird ein Linienzug 0 — 1 — 2 — 3— . . . als das Seilpolygon paralleler Kräfte betrachtet (Fig. 82), so bestehen zwischen der Polweite H, den Kräften P und den in der Richtung der P gemessenen Abständen 7^, tj₂, 7]₃, . . . der Punkte 1, 2, 3, . . . von einer beliebigen Geraden AB einfache Beziehungen, die es gestatten, die P durch die 7] auszudrücken. Legt man nämlich durch den Punkt 2 eine Parallele zu AB, welche die Richtung von P₃ in 3' trifft und verlängert 1 — 2 bis 3”, so erhält man:

³" — 3' = C*l₂ — '’Qi) y-;

3 — 3= t]₃ — t]₂, also

3    3' = (t)₂ Tjj) ~

A2

wobei X₂ und X₃ die Projektionen der Seiten 1 — 2 und 2 — 3 auf

3" — 3 = 3" — 3' —

— Öls“ *12),

7*

eine zur Richtung der P rechtwinklige Gerade bedeuten. Weiter findet man:

3" — 3 : \₃ = P₂ : H, mithin: 3" — 3 = P₂

H

-B

________i__

* i*

■iS'

v.

% w--

B — >1

&—    y —fi

H    Ä3 ¹

Fig. 82.

und daraus folgt dann:

p₂ = b

und allgemein:

f^2 —

L x₂

%    ^3 -^2 1

>>3 J’

(1) Pm — H

vim+i

1-1,

46. Die Biegungslinie. An der Hand der vorstehenden Betrachtungen möge nun die Biegungslinie eines Stabzuges 0—1—2— . . . m . . . (Big. 83) als Seilpolygon paralleler Kräfte gedeutet werden.

Den in einer senkrechten

j**

rrviT

Ebene angenommenen Stabzug beziehen wir auf ein

ML

A\

ä’&m

w,

W»v

⁺y

beliebiges rechtwinkliges Achsenkreuz x, y, dessen Wahl an die einzige Einschränkung gebunden ist, dass keiner der Neigungswinkel ßl5 ß₂, ß₃ . - - der Stäbe sx, s₂, s₃ . . . gegen die x-Achse gleich 90° sein darf.

Sodann setzen wir

Fig. 83.

voraus, es seien die Verschiebungen sämmtlicher Knotenpunkte in je zwei den Achsen x und y parallele Seitenverschiebungen Ax und A y (das sind die Aenderungen der Coordinaten

x und y) zerlegt und denken uns die A y auf den durch die Knotenpunkte parallel zur «/-Achse gelegten Geraden von einer beliebig angenommenen Geraden AB aus aufgetragen. Den Linienzug, welcher die Endpunkte der A y verbindet, nennen wir die Biegungslinie und die von dieser Linie, von der AB und den Ay₀, Ayn begrenzte Fläche die Biegung stäche für die Richtung y. Die der «/-Achse parallelen Kräfte, deren Seilpolygon die Biegungslinie ist, bezeichnen wir mit wx, w₂, . . . wm, ... ; sie sind, wenn die Polweite = 1 gemacht, bestimmt durch:

A«/ot + i — A ym

(2)

wn -

A ym A y,n

-i

Differentiiren wir nun die Gleichung

ym-1 — ym = sm sin ßm

und ersetzen (da es sich hier nur um verschwindend kleine Verschiebungen handelt) das Differentialzeichen durch das Zeichen A, so erhalten wir:

A«/m-i — Aym = Asm sin ßm + sm cos ßm Aßm und (nach Division durch \m — sm cos ßm) :

Asm

A«/m — A ym

tg ßm —Aßm.

Ebenso ergiebt sich:

Ay»»+i A ym

Asm

tg ßm+i— Aßm

+ i>

t»+ 1

weshalb entsteht:

— — A ßm -f- A ßm + !

Asm

tg ßm -f

Asm

tg ßm

+ «•

ßm + 1 “f- 180° ßm X»

Aßm + 1— Aßm = AX,

Nun ist aber: mithin :

und es findet sich schliesslich

(3) wm — AX

A sm

Sm

tg ßm 4

<30.

m+1-

S»1 + l

Für ßm = 90° oder ßm+1 = 90° wird wm unendlich gross, und es leuchtet ein, dass die zu Anfang der Untersuchung hinsichtlich der Lage des Achsenkreuzes gemachte Einschränkung geboten ist, wenn alle w endlich sein sollen.

Bleiben die anfänglichen Stabtemperaturen ungeändert, ist also für a

— , und besitzen sämmtliche Stäbe die

jeden Stab:

As

EF E

gleiche Elasticitätsziffer E, so ist es zweckmässig, die Biegungslinie als das Seilpolygon von Kräften

wm = Etâm — om tg ßm -|- am+1 tg ßm + ₁

aufzufassen. Wählt man dann die Polweite E, so erhält man die A y in demselben Maassstabe, in welchem der Stabzug gezeichnet ist. Will man die A y in v-mal grösserem Maassstabe darstellen, so mache man

(4)

die Pol weite = — • Es ist dieses Verfahren — bei überall gleichem E — auch dann zu empfehlen, wenn Temperaturänderungen berücksichtigt

g

werden sollen; man muss dann aber die Spannungen a — — um sEt

F

yergrössern. Vergl. den Schluss von No. 40.

Nach Aufzeichnung des Seilpolygons sind die A y bestimmt, sobald die Schlusslinie AB gegeben ist, sobald also beispielsweise zwei Verschiebungen A y bekannt sind.

Zahlenbeispiel (Figuren auf Tafel 2). Es sollen die senkrechten Seitenverschiebungen der Knotenpunkte der oberen Gurtung des in Fig. 84 abgebildeten Fischbauchträgers bestimmt werden. Die Belastung ist in Fig. 66 angegeben; den Kräfteplan zeigt Fig. 67*). Die Stablängen s und Querschnittsinhalte F sind in Fig. 68 zusammengestellt, die Spannkräfte S und Spannungen er in Fig. 69. Die rothen Zahlen in Fig. 84 bedeuten die nach No. 40 ermittelten Werthe EAx (kgr f. d. qcm) der Dreieckswinkel, aus denen sich die Winkel ba, b₄, . . . zusammensetzen. Es ergiebt sich:

AAS, = + 1719+ 1373 + 243 = 3335* f.d. qcm; A/Ab₄ = 298 + 713 + 25 = 1036; _E7ASr₆ = 1371 ; E ASr₈ = 457; AJAb,₀ = 1246; EA5la=581; A/AbI4 = 1025; A/Ab₁₆ = 1150; A/Ab,₈ = 3856.

Da die Neigungswinkel sämmtlicher Obergurtstäbe gegen die wagerechte r-Achse gleich Null sind, so folgt aus Gleich. (4),

Wm = EA'Am.

Die Gewichte wm wurden im Maassstabe: 1000* f. d. qcm — 5mm aufge-tragen. Der Längenmaassstab der Trägerzeichnung ist 1:300, der für die Verschiebungen ist 600 mal so gross (nämlich 2:1), und es wurde daher die

gewählt. Nach Aufzeichnung des Seilpolygons wurde die Schlusslinie AB mittels der Bedingungen festgelegt, dass die senkrechten Verschiebungen der Knoten 0 und 20 gleich Null sind. Die für die Durchbiegungen gefundenen Werthe wurden in die Figur eingeschrieben.

Im vorliegenden Falle lassen sich auch die wagerechten Verschiebungen der Knoten 2, 4, . . . der oberen Gurtung sehr schnell angeben. So erfährt

Polweite

E 1800000

600

600

3000* f. d. qcm = 15

mm

*) Vergl. No. 41; dort ist die Formänderung der unteren Gurtung dieses Trägers untersucht worden.

8 eine Verschiebung nach links, welche gleich der Summe der (in die Fig. 84 eingetragenen) Verkürzungen der Stäbe 0 — 2, 2 — 4, 4 — 6, 6 — 8 ist, also = 1,09 + 1,12 + 1,16 + 1,17 = 4,54mm. Für den Knoten 18 erhält man die wagerechte Verschiebung: 10,32”¹”¹. Das ganze Verfahren ist sehr übersichtlich und liefert auch recht zuverlässige Ergebnisse.

Wir empfehlen dem Leser, zur TJebung auch die Biegungslinie der unteren Gurtung dieses Trägers durch ein Seilpolygon darzustellen. Zuerst müssen die den einzelnen Stäben entsprechenden Werthe a tg ß berechnet werden, wobei die Vorzeichen streng zu beachten sind. Für die Stäbe 0—1 bis 7 — 9 ist ß negativ, für 11 —13 bis 19 — 20 positiv (vergl. auch die Textfigur 83 auf S. 100). Man erhält mit den in der Fig. 68 angegebenen Höhenzahlen:

1,268

für den Stab 0 — 1 :

253

2,546 - 1,268

„    „    „ 1 — 3: atgß = — 492

für die folgenden Stäbe der Reihe nach:

o tg ß = — 151 ", — 98 ; — 47; 0; + 47; + 98; + 151 ; + 219 ; —(- 264. Die EA% sind für die Knoten 1, 3, 5, ... . 19:

3096; 1400; 1166; 869; 850; 904; 679; 988; 1522; 3446, und es ergeben sich mithin für die Gewichte wm nach Gleichung (3) die Werthe (klgr f. d. qcm)

W\ = 3096 + 253 — 210 = 3139 w₃ = 1400 + 210 — 151 = 1459 M7₅ = 1166 + 151 — 98 = 1219 «>₇= 869 + 98 — 47 = 920 M7₉=: 850+ 47 + 0= 897

Die Polweite wähle man wie vorhin = 3000* f. d. gern; man erhält dann die senkrechten Verschiebungen im Maassstahe 2:1.

Will man die senkrechten Verschiebungen sammtlicher Knotenpunkte des Trägers mit Hilfe eines Seilpolygons darstellen, so betrachte man den in Fig. 77 " (Seite 95) durch kräftige Linien dargestellten Stahzug. Dieser letztere Weg führt aber nur dann zum Ziele, wenn alle Füllungsstäbe (wie im vorliegenden Beispiele) eine gegen die Senkrechte geneigte Lage haben.

Wollte man die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte leider Gurtungen des in Fig. 85 abgebildeten Trägers durch ein Seilpolygon darstellen , und zu diesem Zwecke den Stahzug 0 — 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — , ... 9 — 11 —10 —13— . . . . 16 untersuchen, so würde man unendlich grosse «?-Kräfte    -r

erhalten, da den senkrechten Stäben KT p ^ '

Winkel ß = 90⁰ entsprechen. Hat man J \ aber für dieses Fachwerk die Biegungslinie der einen Gurtung ermittelt, so findet man diejenige der anderen sehr schnell mit Hilfe der Bedingung, dass sich die senkrechten Verschiebungen entsprechender Punkte (z. B. 1 und 0, 3 und 2, u. s. w.) um die Längenänderung des Verbindungsstahes unterscheiden. Verschiebt sich also beispielsweise 4 um S₄ nach abwärts und verkürzt sich der Stab 5 — 4 um As, sev ist 3g ;= 3., +* A s.

3,0

210

0+ 47 = 951

wlx = 904 — w₁₃ = 679 — 47 + 98 = 730 «7,5= 988 — 98 + 151 = 1041 «>₁₇ = 1522 — 151 + 219 = 1590 «7₁₉ = 3446 — 219 + 264 = 3491.

.9

//

13

!3

tr

i ff n to n iff

Fig. 85.

16

47. — Für das einfache Dreiecknetz möge noch eine andere Berechnungsweise der w gezeigt werden, wobei dahingestellt bleiben möge, ob dieses Fach werk einem einfachen oder einem Gerber’schen Balken, einem Bogen mit drei Gelenken oder einer anderen Trägerart angehört. Wir unterscheiden drei Fälle.

I. Fall. Sämmtliche Stäbe schliessen mit der x -Achse Winkel ein, die kleiner oder grösser als 90° sind (Strebenfachwerk). Gesucht sind die Verschiebungen A y der Knotenpunkte beider Gurtungen.

Mit Bezugnahme auf die aus Fig. 86 zu ersehende Bezeichnung der Knotenpunkte sollen bedeuten:

om die Länge des einem Knotenpunkte m der unteren Gurtung gegenüberliegenden Obergurtstabes, uk die Länge des einem Knotenpunkte k der oberen Gurtung gegenüberliegenden Untergurtstabes, dm die Länge der Diagonale (m — 1) — m,

Am die Projekton von dm auf die æ-Achse,

Uk

den Neigungswinkel von om gegen die Achse Yfc n 9m „

ni

î___*3

fl

nh+i

*\

/BV, 1...J-

Vf f*

/ł /

-*■

taj

Wk.r

nrn

V3T

SvA

rn

'Z/

///-

'f'₃

ffl + /

Fig. 86.

belastet, Fig. 86b, und im Punkte m

Wir denken uns das Dreieck (m—1) — w — (m -j- 1) in den Punkten (m — 1) und (m -J- 1) mit den im Sinne der (— y) angenommenen Kräften —

gestützt und wenden auf diesen Belastungszustand und den wirklichen Verschiebungszustand die auf Seite 11 der Einleitung entwickelte Arbeitsgleichung 2 Qh = 2/S'As an. Da sich m— 1 gegen m im Sinne der (4~ y) um A ym-\ — A ym verschiebt und (m -f- 1) gegen m um A«/m+1— A ym, so ist die virtuelle Arbeit der äusseren Kräfte (mit Rücksicht auf Gleichung 2, Seite 101):

(A ym + l — A ym) — wm.

Die absoluten Werthe der in den drei Stäben om, dm, dm+l in Folge der gedachten Belastung entstehenden Spannkräfte seien =    ,

(x₂, p.₃ ; sie können auf die in Fig. 86 c angegebene Weise ermittelt werden, worauf dann

(5)

wm — 2 Q 5 — 2 S A s —    A om -1— p*₂ A dm | [x₃ A dm _j_ i

erhalten wird. Das erste Glied ist negativ, weil der Stab om durch gedrückt wird.

Bezeichnet man nun mit hm die parallel zur y-Achse gemessene Höhe des Fachwerks im Punkte m, so findet man:

sec ßm

[Aj : — = \m sec ßOT : hm und hieraus p.x

ebenso :

— dm : hm \m sec <pm . hm „

{^2

ft» =

sec 9m

hm ’

sec 9m +i

hm

weshalb der oben für wm angegebene Ausdruck übergeht in:

— Aom sec ßm -f- Adm sec y« -f- Adm+l sec <p

(6)

Wm —

Ganz ähnlich wird entwickelt:

(?)

wk =

+ Auk sec y* — A dh sec yfc— A<4+i sec yL+₁

Die Polweite ist

= 1 (Zahleneinheit) oder — — zu wählen, je

nachdem die A y in demselben oder im v-fachen Maassstabe der Trägerzeichnung dargestellt werden sollen.

Es dürfte hier noch eine Bemerkung über die Vorzeichen der Winkel ß, Y> 9 am Platze sein.

Liegt die durch den Knoten r parallel zur «/-Achse gezogene Gerade zwischen den Knoten (1--1) und (r -j- 1), wo r eine beliebige

Ordnungsziffer bedeutet, so genügt die Festsetzung, dass unter ß, y, 9

die spitzen Neigungswinkel der Stäbe gegen die x-Achse zu verstehen sind. Ob diese Winkel nach oben oder unten positiv gezählt werden, ist gleichgültig, weil die Ausdrücke für wm und wh nur die Sekanten enthalten und sec (— a) = sec (-J- a) ist. — Anders in dem in Fig. 87 dargestellten, zuweilen bei Bogenträgern vorkommenden Falle. Bedeutet hier r einen Knotenpunkt der unteren Gurtung, so ist sec 9r positiv oder negativ, je nachdem r — 1 links oder rechts von r liegt, und sec çr + ₁ positiv oder negativ, je nachdem sich r* —J— 1 rechts oder links von r befindet. Auch ist zu beachten, dass die w-Kräfte in der Reihenfolge . . . wr_ 1, wr, wr\ 1, . . . durch das Seilpolygon verbunden werden müssen, und dass hr der in der Richtung der y gemessene Abstand des Knotens r von der Verlängerung des Stabes (r — 1) — (r* —f— 1) ist.

fr

4-:

i\ !*r

-M

Ts

'x\ ! i

>A!/s

ws tv₆ n>s Fig. 87.

Zur Abkürzung führen wir die Bezeichnungen ein:

A’o — A0 sec ß, A u — A u sec y, A'd — Ad sec 9

und schreiben:

(8)

wm —

A'om -f- A ’dm 4- A 'd

m+l

(9)

Wh =

4- A 'uk — A ’dj, — A'<4

Für das Fachwerk in Fig. 86 haben A'0, A u, A d dieselben Vorzeichen wie die Längenänderungen A0, Au, Ad; sie sind also positiv oder negativ je nachdem die entsprechenden Stäbe gedehnt oder verkürzt werden. Wendet man aber die Gleichungen (8) und (9) auf das Fachwerk in Fig. 87 an, so hat (wenn r einen Knoten der unteren Gurtung bedeutet) A'dr dasselbe oder das entgegengesetzte Vorzeichen wie Adr

dasselbe

je nachdem 1--1 links oder rechts von r liegt, und A'dr

oder das entgegengesetzte Vorzeichen von Adr+1 je nachdem r-(-1 rechts oder links von r liegt.

Die A'o, A'u, A'd bestimme man durch Zeichnung und benutze hierzu ein in grossem Maassstabe angefertigtes Trägernetz.

Zahlenbeispiel. Es sollen die senkrechten Verschiebungen sämmtlicher Knotenpunkte des in Fig. 88 dargestellten schmiedeeisernen Netzwerks unter der Voraussetzung bestimmt werden, dass in jedem Knoten der unteren Gurtung die Last 12' angreift und E den überall gleichen Werth 1800000* f. d. qcm hat. Der Träger ist symmetrisch in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte. Es genügt deshalb, die eine Hälfte zu untersuchen.

In die rechte Hälfte des Trägernetzes wurden die Spannkräfte in Tonnen und die Querschnitte in qcm (eingeklammerte Zahlen) eingetragen, und in die

1:250

(110)

2m

(0).

12*7,0 cm'

V.....

■<

1.

~~~S

(ty-nąi +72*

y 60 t

i'0f

~,r-

1.

7Z*

>'lZt

Cf

Kl

20™- *i-

iutu

mfn^

~~ -----

mms

—-z&t&-----

T71777S

-Z3,7-

w+

(KOSO™ ”V

Kg. 88.

linke Hälfte die 180-fachen, mit den Sekanten der Stabneigungswinkel mul-tiplicirten Längenänderuugen (in cm). Für einen wagerechten Gurtungsstab ist A’o = Ao bezieh. A'n=Au, z. B. für den Stab 1—3:

48 000*•400

180 A'o =

Oo

cm

10000-70

27,4cm.

(tUE)F

Für einen Füllungsstab erhält man (wegen d — \ sec 45 ° = X yr2) : 180 A'd — 180 Ad-?-

Dd²

2 Dl

z. B. für den Stab 1—2:

180 A'd

2-34000*•200

27,2 e"».

10000-50

Die Gleichungen (8) und (9) liefern nun:

19X = jfo [+    24,0 -f    22,7 —    27,2] = 0,0975    «>₄ =    [+    28,8 + 22,7]    = 0,2575

u>, =    [+    27,4 +    27,2 -    18,0] = 0,1830    w₅ = ^ 26,2 = 0,1310.

«»3 = vfa [+    25,3 -f    18,0 -    22,7] = 0,1030

Die Werthe w    und die Polweite H sind Zahlen.    Wählt man    H=    1,    so

liefert das Seilpolygon die 180 fachen Durchbiegungen im Maassstabe der Trägerzeichnung (d. i. in 1:250). In Fig. 88 wurden die Durchbiegungen im Maassstabe'1 :1 dargestellt und deshalb die Polweite H—\f| = 0,72 angenommen. Der Maassstab für die Zahlen w lautet: 1 = 50mm.

TT. Fall. Gesucht sind die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte der unteren Gurtung eines (in senkrechter Ebene angenommenen) Fachwerks mit Vertikalen (Ständerfachwerk).

m.

0„

m-r,

K-

An-

Hi.

Kn/

ny

Kn-r /cL

Kn,

Aaa T. _

tc

ß------Am ¹"

Fig. 90.

Fig. 89.

Wir bezeichnen (Fig. 89 und 90) mit

om die Länge des Obergurtstabes

„ Untergurtstabes im mtea Felde, der Diagonale „ Vertikale mm,

TI

dm „

Ä,« „

ßm den Neigungswinkel von om gegen die Wagerechte,

T m    n    n

))    ))

\m die Feldweite.

Sodann führen wir (wie auf Seite 106) die Abkürzungen ein A'o = Aosecß; A'u = Ausecy, A'd = Adsec<p

und heben hervor, dass im vorliegenden Falle A'o, Am, A'd stets dieselben Vorzeichen haben wie Ao, Au, Ad.

und die

Zunächst sei die in Fig. 91 dargestellte Anordnung der Füllungsstäbe (linkssteigende Diagonalen zu beiden Seiten der Vertikale mm) vorausgesetzt. Der Kräfteplan für den in der Fig. 91b angegebenen, gedachten Belastungsfall liefert für die Gurtstäbe om, u Diagonalen dm, dm folgende Spannkräfte p. (ohne Vorzeichen):

sec ßm

sec Ym + i

hm

P-3 =    1

"m

sec <pm+1 ¹)

Für die Spannkraft |x₅ der Vertikale mm erhält man

— = tim

: hm also

ti

m+ 1

hm ’

{a)

iF

St

ra

>ti

>11

K»

k'

m-i

nb-7

2*    «i*.,,

/ty/

?/

\m-+t

i*'"    '

///

Fig. 91 a.

SM-

13

m-+1

Fig. 91 b.

Fig. 91 c.

den Abstand des unteren Knotens m -j- 1 von dem Punkte

worin ti

bedeutet, in welchem die (m -j- l)te Vertikale die Verlängerung des Stabes

Vertikale entsteht fx₆=—• Die

m -f 1

om schneidet, In der (m

1)

ten

der Pig. 91b durch gestrichelte Linien bezeichneten Stäbe sind spannungslos.

Mit Rücksicht auf die in die Pig. 91b eingetragenen Vorzeichen der Spannkräfte [i. erhält man nun (nach Gleich. 5, Seite 105):

wm —- p.j A om | p*2 Aum _j. i 1 p*3 A dm p*4 AcZm^_ i | p*5 Ahm p.g Ahm_\t d. i.

m+ 1

T” [-A ö« + A'U

(10)

[Fig. 91.J

worin am_x — A/im

-1

und

ti

K = A/?m —

m -f 1

m+ 1

addiren.

Die Werthe am_i, bm (welche dasselbe Vorzeichen haben, wie Ahm_^ bezieh. A hm) werden zweckmässig auf die in Fig. 91a angegebene Weise durch Zeichnung bestimmt; auch ist es häufig zweckmässig, die Multiplicationen der Längenänderungen mit den Sekanten zeichnerisch auszuführen und die Glieder des Klammerausdruckes mit dem Zirkel zu Nur achte man hierbei auf die Vorzeichen!

angegebenen Bedeutung):

Durch Betrachtung des Spiegelbildes der Fig. 91 ergiebt sich für die in der Fig. 92 dargestellte Anordnung der Füllungsstäbe (und mit der dort für ti

Fig. 92.

Ist links von der Vertikale mm eine linkssteigende Diagonale und rechts davon eine rechtssteigende angeordnet, Fig. 93, so erhält man:

'“-r

Wm =

(H)

km

[Fig. 92.]

worin

ßm + 1 - AÄm+ !

Am

und bm = AAm

h f/i — 1

(T"

'ù

a<

/7bt

hm>,

7Tb'1

//2-

771+7

y ms

VAhnit om

(cu)

-JŁ

(bj

dl

m

'dm„

r*l

-/v

\>»

772//

je

m+i.

Z

rrv

Fig. 93 a,

Fig. 93 b.

Fig. 93 c.

m - 1

[X7 A Âm + ! ,

^ + 1 H* P-3 ^ dm ~| ” [-^4 A $m -f 1 ”|~ f^5 A Am [Xg A A

P-5

fX₇

sec ßm

; îj-2

sec

OCL

m -f-1

>    M”3

sec <pM

hm

; iJ'4 =

scc (pm + 1

hm

[J-i sin ßm — [X₂ sin ßm+1 =

(tgßw — tg ßm + 1); JJ-6 = —- ;

\n

Xm

mithin :

wm —

hm

(12)

{worin cm = kh„( tgßm— tgßm+i); a

hm

[Fig. 93.]

öm + l - & hm+1

Xn + 1

Liegt der in Fig. 93 a dargestellte Werth cm oberhalb der Verlängerung von om (ist also ßm+1 ßm) so hat cm das entgegengesetzte Vorzeichen von Aäot.

Bei der in Fig. 94 abgebildeten Anordnung ergiebt sich für die mte Vertikale die Spannkraft

|x₅ == p,₃ sin cpm 4- (x₄ sin 9m+1

sec 9m

hm

sin <pm 4

sec 9m + i

hm

sin 9m+ l

tg 9m + tg 9

M+ 1

hm

(et')

(bl

(c)

JL

m

(J'3

fdm

us

m-t

X

nu

",

'fIO

Pt,

Fig. 94 a.

Fig. 94b.

Fig. 94 c.

und man findet deshalb:

(13)

Wm — [4- A Um 4- A Um+1 — A dm A dm + x 4" em]

hm

[Fig. 94.]

em = AÄm (tg 9„, 4- tg 9m+ l).

worin

III. Fall* Ständerfachwerk; gesucht sind die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte der oberen Gurtung. Man gelangt auf dem vorhin eingeschlagenen Wege zu den folgenden, den in Fig. 95, 96, 97, 98, dargestellten Anordnungen der Füllungsstäbe entsprechenden Formeln:

Wm

-- ~r~ [- À Om 4“ A Mm+l 4~ A d'm-A dm + 1-bm-\-Clm+ l]

(14)

hm

[Fig. 95.]

worin

bm - A hm

h'm-!

Xm

«m + l = ^hm

hm

wm = — [— A'om+i 4-    —AA'dm+1 + a

(15)

Ä»

m-l

[Fig. 96.]

worin    =

. 7 ^ m + 1

A"-xr

-1

rr>

nis

mjj

mt1

> fnu-Ojgi.

m-r

*‘m+f

d„

■arn,

y>m.

>*L.r

^m+7

hd

Fig. 95.

Fig. 96.

(16)

wm = ^-\— A'o„ — Aom + ₁ -f- A'<4 -f A'(7m + 1 — eM]

hm

[Fig. 97]

worin

em = Mim (tg <p„, + tg 9„₊i)

«V

ml

vw

rrv + 1

//A

nty

rn-7

*-ähm.s

ri

i/f

K,

CL

m-i

>erw

a h

TfHT\ •

S*ä"1 -

;    /Tr-/!

mil

F-

¹

Vergl. Seite 105.

S3C' '

Fig. 98.

Fig. 97.

W« =

[ -j- A\^m+A' wm+! —A ’ dm —A 'd

m-fl

-Cm~\~ am-\ “f" Om+l]

(17)

' wo

Cm = A hm (tg Ym — tg Y„₊₁) ;

am—1

Kn

[Fig. 98.]

= a hm_x — ;

°m + l AÂm+1

^m+1

Hat man die Biegungslinie der einen Gurtung bestimmt, so findet man diejenige der anderen mittels der Bedingung, dass sich die beiden

senkrecht übereinander gelegenen Knotenpunkte m gegen einander um Ahm verschieben.

Ein Zahlenbeispiel findet sich in No. 49.

Die Berechnung der Weithe wm mit Hilfe der Gleichungen (8) — (17) ist dem in No. 46 angegebenen Verfahren vorzuziehen, sobald die Aenderungen der Dreieckswinkel nicht ohnehin zu anderen Zwecken (z. B. Untersuchung von Nebenspannungen) berechnet werden müssen.

Anmerkungen zu No. 47.

1. — Liegt ein Fachwerk von der unter Fall I behandelten Art vor, und wird nur die Biegungslinie der oberen Gurtung verlangt, so ist es zuweilen zweckmässig, die den Knoten der unteren Gurtung entsprechenden Gewichte w auf die benachbarten oberen

Knotenpunkte zu vertheilen. Yon icm in Fig. 99 kommt auf den Knoten (m—1)

^»i+i

m-r

der Theil: wń' = wm

und auf

r-r

km

(tn —j— 1) der Theil: wm' — wm--Die

■7H-2

Yertheilung von wr liefert: kr+l

\m\

k—*

Wr =- Wr

Und Wr =-\-Wr--

wr

r

X-

,)!

,fPm-

\l

Nun wird wń' zu wm-1 addirt, wm' zu wm+1 n. s. w., so dass sich z. B. für den oberen Knoten (m — 1) im ganzen ergiebt:

><-----

T--S

Wm- 1 —— Wm' -f- Wm-1 "j⁻ w'm-i•

Dieses Verfahren ist namenthch

dann am Platz, wenn die durch einen Knoten r der unteren Gurtung parallel zur Verschiebungsrichtung gelegte Gerade nicht zwischen r — 1 und r + 1 liegt. Bei derartigen Fachwerken kann es Vorkommen, dass einzelne Stabachsen mit der Versehie-zusammenfal-

Fig. 99.

r*--

<aj

(L

,kf'

/ (b)

bungsrichtung

len, wie beispielsweise dh in Fig. 100. Man berechne dann die "Werthe w zunächst ohne Rücksicht auf diejenigen Füllungsstäbe, welche die Richtung der w haben und deren Einfluss auf die w dann nachträglich gesondert anzugeben ist. So findet man für das Fachwerk in Fig. 100 unter der vorläufigen Annahme A d₅ = 0 die "Werthe :

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

/UJ

Fs

Fi. 100.

w.₂ —    (— A o, Ą- A'(7a -f- A'(7₃) :

Wi = — (— A o₄ -f- A di) ;

J-(- A'o₆+ A'(7₆+ A'c7₇)

w3 — ~ (“H A Uz — A di — A df) — (H~ A Us A (7g)

w₅ =

u. s. w.

w₆ =

sodann: ws =■ w\ -j- lca'i w& = w* + w& + u’&" '■> wi — we! + wi + ws"5 u- s- w-wobei zu beachten ist, dass A'(7S das entgegengesetzte Vorzeichen von A d3 hat, weil der Knoten 3 links von der Senkrechten durch 2 liegt (vergl. Seite 106). Der Einfluss von A<7₅ auf w₆ ist ==— |j.₄ A c7₅ , worin jr₄ den mittels des Kräfte -planes in Eig. 100 c bestimmten "Werth bedeutet, w₇ ist unabhängig von A d₅

, weshalb schliesslich erhalten

und der Einfluss von A d₅ auf w₂ ist = + wird:

wÿ = wf + w3 +

A d& . -

«l

A dt

«i

w₆ = Wi -f- «’s + u>a" — P-4 A(7₅; w-, — wj -j- wi + toa".

Aehnlich wird verfahren, wenn die Biegungslinie der unteren Gurtung gesucht wird. Die den oberen Knoten entsprechenden Gewichte wm werden in den angeführten Sonderfällen zweckmässig auf die Knotenpunkte der unteren Gurtung vertheilt.

2. — Es verdient hervorgehoben zu werden, dass die Spannkräfte p. durch parallele äussere Kräfte erzeugt werden und sich in Folge dessen auch mit Hilfe der im ersten Bande (IX. Abschnitt) für den einfachen Fachwerkbalken entwickelten Formeln berechnen lassen. So sind z. B. die Spannkräfte in den Stäben om, dm, d„,+1 des in der (Fig. 86) dargestellten Fachwerks, falls auf dieses nur äussere Kräfte, welche die Richtung der w haben, wirken:

Mm sec ßOT _

Om —

/!■»*

Dm =

Mm

hm

Mm-1

hm -1

sec cpm ;

«-> = (£

Mm+1

sec (pm+1,

hm+\

und es ergeben sich (da die gedachten Lasten —!— und

X VI

Xm+i

die

Momente :

Mm-i — 0, Mm— 1, Mm+1=0 erzeugen) für die Spannkräfte p₇, pa, p₃ die Werthe:

sec ßm

*

Auch leuchtet ein, dass die Glieder des Ausdrucks:

A Om sec ßm A(7msec<pm A(7m+i sec <pw+i

V-i

sec (pm

hm ’

M- s

secjp m+i

hm

wm —

A'0m

A 'dm

hm

hm

hm

hm

hm

Ä'dm + l

hm

als diejenigen Spannkräfte gedeutet werden dürfen, welche in den Stäben om, dm, dm+1 entstehen, wenn Mm-1 = 0 und Mm+1 = 0 angenommen werden, icährend Mm der Reihe nach die Werthe Aom, Adm, Ac7m+i beigelegt werden.

Bestimmt man nun diese Spannkräfte mit Hilfe des im § 36 des ersten Bandes mitgetheilten Zimmermann’schen Verfahrens, so gelangt man zu der in Fig. 101 angegebenen Darstellung der Glieder von wm. Es wurde auf der durch den Knoten 2 in der Richtung von w₂ gelegten Geraden abgetragen:

TT- __ Ad₂ ,77 Zt —Z/C

A<4 .

sodann wurden durch. fi, i, Je zum Obergurtstabe o₂ die Parallelen fifif, ii\ kJc' gezogen und erhalten:

A'°2 .    ~2~i'_ A <?₂

Trägt man an Stelle der Werthe

ho

2 k'

A 'da

ha

A o₂ Ad₂ Ada X₂ X₂ X₈

die Werthe A o₂ —-

g    ß

Ada —, A<4— auf, wo e eine beliebige, aber für alle Knotenpunkte gleich

gross angenommene Strecke bedeutet, und zeichnet man das Seilpolygon der Kräfte :

IV m

IVk

'I - hm

= e[⁴ Hk

A Om . A dm

A dm -f-1

hm

hm

A'uh A'dic

hk

hk

] (vergl. Fig. 86),

so geben die Ordinaten desselben die mit e multiplicirten Yerschiebungen an. Sind die Strecken Xl5 X₂, X₈, .... gleich gross (= X) oder hat die Mehrzahl derselben die gleiche Grösse X, so wähle man e = X. Die schliesslich nöthig werdende Division der Ordinaten des Seilpolygons durch e bezieh. X kann natürlich auch durch "Wahl einer geeigneten Polweite umgangen werden.

o.

Aehnliche Untersuchungen lassen sich auch für das Fachwerk mit Vertikalen durchführen. So folgt z. B. aus der für die Vertikale mm in Fig. 93 bei unten angreifender Belastung gefundenen Formel

TX

Vcl\

A er '

Vm — (tg ßm — tg ßm + l)

kal^-*

hm

ohne weiteres, dass die Längenänderung A hm dieser Vertikalen nur auf das Gewicht Einfluss besitzt, und dass die Grösse

dieses Einflusses:    (tg ß,„ — tg ßm+i) ist.

Fig. 101.

Wm

hm

Es lässt sich dieser Werth als

diejenige Spannkraft deuten, welche in der fraglichen Vertikale entsteht, sobald das Moment Mm = Ahm wird.

Für die Vertikale mm in Fig. 95 wurde bei oben angreifender Belastung

gefunden :

Vm

Mm- 1

Xm

Mm r Xm L

Xm

(tg ßm + tgym+l) 1 hm    J

ein Ausdruck, der sich leicht umformen lässt in:

Mm hm — 1

Vm =

Mm -1

Xm

Xm hm

und aus dem dann gefolgert werden kann, dass der Einfluss von Ahm auf den

A hm hm-1 \

Werth Wm-1 gleich

Ahm

Xm

ist und auf wm gleich (

f~m

hm r

48. Bestimmung der Längenänderung einer Stabzugsehne.

Wir betrachten einen Stabzug 0 —-1 — 2 — ... . — n, der in einer senkrechten Ebene liegen möge, und dessen Sehne 0 n mit der Wagerechten den Winkel a bildet. Die senkrechten Seitenverschiebungen seien mit Hilfe eines Seilpolygons gefunden, dessen Gewichte wm nach No. 47 (also ohne Zuhilfenahme der Winkeländerungen) berechnet worden sind. Gesucht sei die Aenderung Al der Länge l der Sehne 0n. Bedeutet: 7]m die Länge des vom Knoten m auf die Sehne 0 n gefällten Lothes,

<pm den Neigungswinkel des Stabes sm gegen 0 n, so ist nach Seite 98:

M- 1

M = 2t]m AX -f- 2 Asm cos <pm,

1 1

und diese Beziehung wird zweckmässig so umgeformt, dass Al durch die bereits bei Ermittlung der Biegungslinie benutzten Werthe w aus-gedrückt wird. Dazu führen wir ein:

As»»-i-i

⁵m+l

■q» = ym cos a, ?„= m—a,

A X — wm-\

A sm

■DC

-DU

s.

.f.    ' nC

T/*r#c^

tgß,„+i (nach Gleich. (3) aufSeitelOl),.

ms

4Ü

c N'4

At

j nui

\ns

",

,Dn,

nt+i

"x-    Wnu

Fig. 102.

wo ßm den Neigungswinkel des Stabes sm gegen die Wagerechte,

ym den in senkrechter Richtung gemessenen Abstand des Knotens m von der Geraden 0«

bedeutet, und erhalten:

A l = cos a

-f c J,

worin

c=ïym(

Asm

tg ß„

ASm-)-l

tg ß»+i) + 2

A cos (ßm — a)

cos a

Der Stab sm liefert zu dem Werthe c die drei Glieder:

Asm cos (ßm — a)

Asm

Asm

tgßm, 4

tgßm»    4-ffm

Sm

deren Summe j^wegen ym— ym_i = Xm(tgß*—tga) gleich

Vm-X

Sm

cos a

sm sin (ßm — a)

cos a

A sm

cos a

[tg ßm sin (ß„ — a) 4- cos (ßm — a)] = A sm sec ßm

ist, weshalb sich ergiebt: c = 2Asmsecßm und

(18)

A£ = cos a

sn—X    n    x

^ 2 ym wm 4- s Asm sec ß„, J •

Diese Formel ist ausserordentlich bequem, weil sowohl die w als auch die As sec ß bereits zur Bestimmung der Biegungslinie berechnet worden sind.

Gleichung (18) setzt voraus, dass keiner der Winkel ß gleich 90° ist. Will man nun die Aenderung Al der Sehne AB des in der Fig. 103 dargestellten Fachwerks mit Endvertikalen, für dessen obere Gurtung die Biegungslinie bereits nach No. 47 bestimmt sei, durch die Werthe w ausdrücken — eine für die Folge wichtige Ausfgabe — so

/////

Alty.

r\

Æi

o.

! JA? '

,1

)!Jnv

CV

n-i

'V

a, /

> i

Cr2

y :

A ----

j).

il i_______J—T

--------

-AB‘L

Fig. 103.

denke man sich die starren Stäbe 0Ä, AA, nB', BB hinzugefügt. A'A und B'B erhalten die Richtung AB, und es ergiebt sich dann Al == A(AB) = A (A'B'y,

so dass die Aufgabe zurückgeführt ist auf die Bestimmung der Aenderung

der Länge der Sehne AB' eines Stabzuges A'012 ... m ... nB', dessen Anfangspunkt und Endpunkt in der fraglichen Sehne liegen. Man erhält

(19)

hl — 2ymwm -f-2A'oM.

0 1

worin A'om = Ao„, sec ßm, vergl. Seite 106.

Für den in der Fig. 103 dargestellten Fall, welcher der Fig. 98,

Seite 112 entspricht, ist:

w₀ =

h₀

(A\ — h'dx — c₀ -f aj

(20)

wn —— (A 'un — A 'dn — cn -f an_x)

worin : c₀ — A/?₀ (tgyx—tga) (wenn    nach oben positiv gezählt wird) und

o₁ = AA₁^‘ Vergl. Fig. 103, in welcher c₀, ax, cn, an.x beziehungs-

weise dieselben Vorzeichen haben, wie A/?₀, Ahlf Ah„, Ahn.x.

Hinzugefügt werde, dass w₀ und wn nur zur Berechnung von hl, nicht aber bei Aufzeichnung der Biegungslinie A₀SB₀ gebraucht werden, und dass die Schlusslinie durch die Aenderungen AA₀^und hh„ der Längen der Endvertikalen bestimmt ist. In Fig. 103 wurdefAA₀ positiv, hh„ negativ angenommen; es erfährt dann bei ruhenden Punkten A und B der Knoten 0 eine Verschiebung nach oben, Knoten «"eine solche nach unten.

Hat man die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte beider Gurtungen des in Fig. 104 abgebildeten Fachwerks, dessen Füllungs-rrt

TV

hf

S V!

i*

i .AB kl j

-r-1-

>r

;/4 ł ł ł

Fig. 104.

stäbe mit Ausnahme der End vertikalen schräg stehen, nach No. 47, Fall I, ermittelt, also wx bis wn.x nach Gleich. (8) und (9) berechnet, c₀ und c„ haben die in Fig. 103 angegebene Bedeutung. Die Summe 2A/cZm erstreckt sich über alle schrägen Füllungsstäbe (dx bis dn).

Aufgabe. Es soll die Biegungslinie der unteren Gurtung des in der Fig. 105 dargestellten Fachwerkträgers bestimmt werden. Bei (0) bat der Träger ein festes, bei (5) ein bewegliches Auflagergelenk. Letzteres wird auf einer unter dem Winkel vJj geneigten Geraden geführt.

Nachdem die Gewichte wx bis w± mittels Formel (10) berechnet worden sind, wird mit der Polweite 1 das Seilpolygon III III IV V gezeichnet und die Schlusslinie eingetragen. Diese Linie ist durch die Bedingungen bestimmt, dass der Knoten (5) die senkrechte Verschiebung ö₅ = — AZ sin erfährt, wo AZ die Aenderung der Stabzugsehne

->!

so bestimmt man AZ mit Hilfe der Gleichung:

n    n

A Z    2 ym wm | 2 A dm

0    1

Wq — — (A u₀ A d₁ c₀) T~ (A 'un — A 'dn — cn).

(21)

worin zu setzen ist:

wn =

r*"

ly

TśFS

¹—T’!    N

I,

S_j_

\<

Fig. m.

0 — 5 bedeutet, und dass ferner ö₀ = 0 ist. Für Al aber”ergiebt sich, wenn 0 — 5 als Sehne des Stabzuges 0—1 — 2 — 3 — 4 — 5 aufgefasst wird, der Werth:

— 2ymwm + 2 A um,*)

i    i

und zwar ist das erste Glied negativ, weil die Knoten 1, 2, 3, 4 unter-

*) Die Bedeutung von A’u ist auf Seite 106 erklärt.

halb der Sehne 0 — 5 liegen. Werden nun wlt w₂, io₃, als wagerechte Kräfte betrachtet, die von 0 — 5 beziehungsweise die Abstände a2/i>    Laben, wo a eine beliebige Zahl bedeutet,*) und

wird zu diesen wagerechten Kräften mit der Pol weite 1 ein Seilpolygon gezeichnet, so besteht zwischen der Strecke b, welche die äussersten Seiten dieses Polygons auf der Verlängerung von 0 — 5 abschneiden und den Gewichten w die Beziehung:

4

1 • b = 2 oc y m wm,

⁴    b

und hieraus folgt: 2ymw;m =--

l    (X

Da dem Seilpolyon 7 77 . . . und 7' IÏ . . . dieselbe Polweite entspricht, so ist Ï | I, 1Ï J_ 77, .... In Fig. 105 wurde oc= 2 gewählt, weshalb sich schliesslich

ergiebt. Fig. 105 setzt voraus, dass ö₅ negativ ist, dass sich also Punkt (5) nach oben verschiebt.

Werden die 5 in v-facher Vergrösserung dargestellt (werden also die Polweiten 1 durch die Polweiten 1 : v ersetzt) so müssen in die Formel für §₅ natürlich auch die v-fachen Werthe A'u eingeführt werden.

40. Auffassung der Biegungsfläehe als Momentenfläche. Berechnung der Durchbiegungen. Es sei O l'2' . . . rn . . . n

(Fig. 106) die Biegungslinie des Stabzuges 0—1—2— ... m ... n für die Verschiebungsrichtung AÂ und AB die Schlusslinie. Die Durchbiegung an der Stelle m sei hm, und der zwischen dem Seilpolygon und der Geraden O'n gelegene Theil von 5„, möge mit ■/]„, bezeichnet werden. Den Stabzug denken wir uns in einer senkrechten Ebene.

Die von der Biegungslinie und der Geraden O'n eingeschlossene Fläche lässt sich als die Culmanrisehe Momentenfläche eines einfachen Balkens A' B deuten, dessen bewegliches Auflagergelenk auf einer zu AA'

M

o’r&/

K-

TTl'

un!

»,

Ù) (Z> (rjy)

TTTl

x -----------

Fig. 106.

TV

TL

*) Je flacher der Stabzug ist, desto grösser muss a gewäht werden, damit eine deutliche Figur erhalten wird.

rechtwinkligen Bahn geführt wird, dessen Stützpunkte auf den durch 0 und n zur Verschiebungsrichtung gezogenen Parallelen liegen und der mit iv±, w₂, . . . ivm, . . . wn_ x belastet ist. Sind die w mittels einer der Gleichungen (3) oder (6) bis (17) berechnet worden, so ist die Polweite des Seilpolygons gleich der Zahl 1, und es besteht dann zwischen dem Biegungsmomente Mw.m des Balkenquerschnitts m und der Verschiebung v\m die Beziehung:

(22)

1 ¹ m.

Wurde wm aus Gleich. (4), Seite 102, gefunden, so ist die Polweite = E, und es ergiebt sich:

•¹ u

(23)

Hiermit ist die Bestimmung der Durchbiegungen ï] auf die Berechnung der Biegungsmomente eines einfachen Balkens zurückgeführt. Sind die Verschiebungen 5₀ und 5„ bekannt, so findet man nach Ermittlung der rj die S mit Hilfe von:

= V + ö₀ —;

Die Berechnung der Momente ist namentlich dann sehr einfach (und meistens schneller zum Ziele führend als die Aufzeichnung des Seilpolygons) wenn der Balken A' B' symmetrisch belastet wird und die «^-Kräfte in gleichen Abständen X wirken. Man beachte dann das im § al des ersten Bandes gelehrte Verfahren und berechne zuerst die Verhältnisse Mw | X.¹)

Zahlenbeispiel. Für den auf Seite 107 (Fig. 88) untersuchten Fachwerkbalken wurde erhalten:

*^ = 0,0975; w% — 0,1830; w₃ = 0,1030; w± — 0,2575; wh — 0,1310, und zwar entsprechen diese Werthe den 180-fachen Längenänderungen der Stäbe. Die w wurden mittels der Gleichungen (8) und (9) berechnet, weshalb nach (22):

*(]m -

Mio. m

180

180

*•!

3j

K) I

3! .

â:

-i-

-v-

J¹!

a:

-i—

iw

a:

*t\

Fig. 107.

und mit X = 2000

■qm

100

Die Berechnung der Querkräfte Q und der (Hf«, j X) geschieht nun nach folgendem Ansatz:

Qt — \ ich = 0,0655

+ 0,2575 = ^4

Qi = 0,3230 -J- 0,1030 = w>3

Qs = 0,4260 -{- 0,1830 = Wo

Qo = 0,6090 -)- 0,0975 = wx

(Mu.i \ X) = Qi = 0,7065

+ 0,6090 = Q₂

(M«,.o |X)=    1,3155

+ 0,4260 — Qa (jr*.,|X)=    1,7415

+ 0,3230 = Qi (Mw.i |X)=    2,0645

+ 0,0655 = Qb

(M«,.s | X) =

Hierauf erhält man (da §₀ = 0 und §„ = 0 ist, vergl. Fig. 106) die Durch-

Qx — 0,7065

2,1300.

biegungen :

§1 = T)l

100

100

— • 0,7065 = 7,85mm;    8, = - — • 1,3155 = 14,6’"m;

8₃ = 19,35”‘”‘; S₄ = 22,9 S₆ = 23,7mm; dieselben stimmen mit den in Fig. 88 durch Zeichnung ermittelten Verschiebungen überein.

50. Aufgaben. Die folgenden Beispiele zeigen die Anwendung der in No. 45—48 entwickelten Gesetze auf die Ermittlung der Biegungslinien der wichtigsten statisch bestimmten Träger. Die Form der Lösungen wählen wir so, dass auch die rechnerische Bestimmung der Durchbiegungen erledigt wird, indem wir angeben, in welcher Weise die Biegungslinien am zweckmässigsten als Momentenlinien gedeutet werden.

Wir setzen voraus, dass die Werthe w mittels der Gleichung (3) oder mit Hilfe von (6) bis (17) berechnet worden sind. Wird Gleichung (4) angewendet, so liefern die folgenden Regeln die E-fachen Durchbiegungen.

1. Beispiel. Gesucht sind die Durchbiegungen 5₂, 5₃, . ... des in Fig. 108 dar gestellten Freiträgers.

Man zeichne das Seilpolygon der gedachten Kräfte bis w₇ (welche in Fig. 108 negativ, also nach oben gerichtet angenommen wurden) und mache die erste Seite desselben zur Schlusslinie. Der neben S₅ stehende Pfeil giebt die

(o)

\w

'¥)

<8!

M8)

">■

'S-

<r

.t 11 ł i 11 I

(J)    (2) <3) <V) (S) (6) (V (8m

Fig. 108.

WrB

Richtung der positiven Verschiebungen an. Die schraffirte Biegungsfläche lässt sich als Momentenfläche eines Balkens AB deuten, der bei B eingespannt, sonst aber frei und mit wx, w₂, . . . belastet ist. Hat man also die Momente M„x, M, findet man:

te 2 5    •

. . dieses Balkens berechnet, so

xo.m*

2. Beispiel. Gesucht sind die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte der unteren Gurtung des in der Fig. 109 abgebildeten Fachwerkbalkens mit überstehenden Enden. Ob A oder B auf einer wagerechten Bahn verschiebbar ist, ist gleichgültig.

Man bestimme (durch Zeichnung oder Rechnung) die Momenten-linie C'A'NB'D' eines bei C' und D' frei auf liegenden Balkens, auf welchen die Lasten wx, iv₂, . . .

(die in Fig. 109 theils positiv, also abwärts wirkend, theils negativ, mithin aufwärts gerichtet, angenommen wurden) wirken, bringe hierauf die Auflagersenkrechten in Ä und B' mit der Momentenlinie zum Schnitte und lege durch diese beiden Punkte die Schlusslinie. Die in der Figur schraffirte Fläche ist die ver- C' langte Biegungsfläche. Beispielsweise sind die Senkungen der Knotenpunkte 0 und 5 gleich §₀ bezieh. 5₅.

A'

i\

JO

'±_

'S

iV

J)’

Fig. 109.

3. Beispiel. Es soll die Biegungsfläche der oberen Gurtung des Gerber’sehen Balkens in Fig. 110 ermittelt werden. Die Verkei

lung der auf wagerechten Bahnen beweglichen Auflagergelenke ist gleichgültig.

Nach Berechnung der w, welche theils positiv, theils negativ aus-fallen, werden die folgenden Momentenlinien aufgetragen:

C' ND' für den einfachen Balken C D' mit den Lasten wx bis w₃,

D'E'

E'F'

D' LE' „ E'EF' „

yy

yy

Hierauf werden die Senkrechten durch die Punkte A und B mit der Momentenlinie D'LE' in Ä und B'

zum

Schnitte gebracht, die

Strecken :

A'A" = h' = Senkung des Punktes A, B'B" = h" =

yy

yy

abgetragen und schliesslich der durch A" uud B" gehende Linienzug CD'E'F', dessen Ecken senkrecht unter D und E liegen, eingezeichnet.

10,

11

■ 15

±Ao !

ÜÜ

B’

e" !

äüjjij

B’

fîTfiîtjîi

te".

U¹.

Fig. 110.

Die Fläche zwischen diesem Linienzuge und den Momentenlinien ist die gesuchte Biegungsfläche.

Bei starren Stützen A₀ und B₀ sind 5' und S" beziehungsweise gleich den Längenänderungen der Vertikalen AA₀ und BB₀. Erleiden diese Stäbe Verkürzungen, so liegen A" und B" oberhalb A' und B', sonst unterhalb.

4. Beispiel. Gesucht ist die Biegungslinie für die obere Gurtung des in Fig. 111 dargestellten Fachwerkbogens mit drei Gelenken. Die Werthe w₁ bis w₃ und w₅ bis w₇ seien nach No. 46 mit Hilfe der Winkeländerungen berechnet worden. Ist auch w₄ bekannt, so lässt sich die Momentenlinie des durch die Lasten w beanspruchten einfachen Balkens A B' ermitteln, worauf die Durchbiegungen 8m = gegeben sind. Um wà berechnen zu können, muss man die Winkeländerung A haben, und diese lässt sich wie folgt bestimmen.

Nach Gleich. (4), Seite 98 ist die durch die Aenderungen der Winkel und der Spannungen a in den Gurtstäben bedingte Aende-rung Al der Stützweite AB zunächst für den Fall t = 0:

M — Vi + y₂ A^2 -f- y₃ A^3 -f- ^A^₄ + ?/₅ A^₅ + y₆ A^₆ -f- y₇ A^₇

+ jjT \    \ + • • • • +    \

und man erhält somit, bei gegebener Verschiebung A/, für A^T₄ den Werth:

¹

M | X

— Sy.AX, — Sy. AS, — s    X.

AZ

(24)

1    5    1 Ł

y*

Bei starren Stützen ist AZ=0. Sind die Kämpfer ^4 und J5 durch eine Zugstange vom Querschnitte F₀ verbunden, so ist AZ gleich der

3

«s

60>

er

ft

i\ X

i\ >7

ft

v X J, X

f-~7——8

A’l

TV

CO

■Kk t

I \ 2

B'

-----v

Fig. 111.

Verlängerung dieser den Horizontalschub H des Bogens aufnehmenden

Hl

• Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt werden, so sind die Spannungen 6 in Gleich. (24) zu er-

Stange; es folgt dann AZ

EF₀

J.

jr

by ;

ajLAl

;2 : t-4

Y*\\

% Ip**

iB

/pr

Fig. 112.

setzen durch die Werthe am-\-zEtm, während für AZ der Werth Hl

EF₀

-f- st₀l einzuführen ist. Hierbei bedeutet tm die Temperatur-

Änderung für den Stab sm der oberen Gurtung und t₀ die Temperaturänderung für die Stange AB.

Will man die Biegungslinie ermitteln, ohne die Wlnkeländerungen zu berechnen, so bestimmt man wi bis w₆ (Fig. 112) und ics bis w13 mit Hilfe der in No. 47 entwickelten Formeln und wendet dann die Beziehung :

6    13    14

Al = ^ymwm + y₇ w₇ -j- 2ymWm -J- 2 A'dm¹)

an. Man erhält:

6    13    14

—    — 2ymwm — 2 A ' dm

Vi

Wrj

Zahlelibeispiel. (Figuren auf Tafel 2). Es soll die Biegungslinie der unteren Gurtung des in Fig. 113 abgebildeten Fachwerkbogens mit drei Gelenken für den Fall bestimmt werden, dass auf den Träger nur eine im Scheitelgelenk angreifende Einzellast 1000fc wirkt.

Sämmtliche Stäbe sind aus Winkeleisen zusammengesetzt; die Inhalte ihrer Querschnitte (ohne Abzug für Nietlöcher) sind in der folgenden Tabelle sowie in Fig. 113 zusammengestellt worden.

Form

des

Inhalt

Quer

schnitts

Winkeleisensorte

des

Quer

schnitts

Obere Gurtung

nr

80 • 80 • 10

mm

30?cm

Untere

>)

nr

nr

90 • 90 • 11 „

Endvertikale

nr

90-90-11 „

87 „

Vertikale bei (1)

ir

80 • 80 • 10 „

30 „

» (2) (3) (4)

nr

60 • 60 • 10 „

22 „

lte Diagonale

ir

90-90-11 ,,' ;

37 „

2te und 5te Diagonale

nr

80 • 80 • 10 „

30 „

3te Diagonale

ir

70 • 70 • 10 „

26 „

4¹e

nr

60 • 60 • 10 „

22 „

Die in die linke Hälfte des Trägernetzes (Fig. 113) eingeschriebenen Zahlen geben die Spannkräfte (in kilogr.) an; dieselben können u. A.

JJ

sehr schnell mit Hilfe eines Cremona’schen Kräfteplanes} ^erhalten ^grden. [Der vorliegende Träger wurde im ersten Bande, § 4 6 und § t7, für

verschiedene Belastungsweisen untersucht. Die in Fig. 113 angegebenen Spannkräfte stimmen mit den früher mit S& bezeichneten überein und — in Tonnen ausgedrückt — in der Tabelle am Anhang von , Band I, enthalten. Die dort fehlende Spannkraft im ersten Stabe des Untergurts findet man, indem man den Horizontalschub 77= 1875* mit der Sekante des Stabneigungswinkels multiplicirt; es ergiebt sich der Druck: 1875

Die schwarzen Zahlen in der rechten Hälfte des Trägernetzes (Fig. 113) bedeuten die Stablängen (in cm), während Fig. 114 eine übersichtliche Zusammenstellung der 10 000-fachen Längenänderungen (aufgetragen im Maassstabe 1:40) bietet. Diese Werthe sind für E = 1800 000* f. d. qcm (Schweisseisen) berechnet worden, und es ergab sich beispielsweise für den ersten Stab der oberen Gurtung:

10000 • OjO!

sin«

ÏÏ0ÏT

= 2081*.]

10000 Aoj

10000 • 315 • 300

EF

1800000 • 30

= + 17,5 = + 175

mm

für die Diagonale des ersten Feldes:

10000 • D₁ dx _

10000 =

10000 • 509 • 485

EF

1800000 • 37

37,1

cm

= — 371

mm

und für die Endvertikale:

10 000 • V₀h₀

10000 Ah₀

10000 • 400 • 525

EF

1800000 • 37

+ 31,5

cm

Nach Berechnung dieser Längenänderungen wurden die 10 000-fachen Werthe A’«, A' d (vergl. Seite 108) durch Zeichnung ermittelt. Für den ersten Stab der unteren Gurtung wurde z. B. der durch eine kräftig ausgezogene, mit dem fraglichen Stabe zusammenfallende Linie darge-^stellte Werth 10000 ùTu — — 5§émm gefunden, für die erste Diagonale: 10 000 A.'d = — 600mm. Die Gewichte w wurden mittels Glei

chung (10), Seite 109, bestimmt, da die Füllungsglieder die in der Fig. 91 dargestellte Anordnung haben. Es ist im vorliegenden Falle hkO = Ao und bm = am, vergl. Fig. 91, also:

— (— A om -j- A um ₊1 -j- A dm — A d

Of>i— 1    |    ^m)‘

Die 10000-fachen Werthe a sind ebenfalls in der Fig. 114 angegeben *). Man erhält (mit Weglassung des Faktors 10 000)

*) Die Strecke, welche a$ darstellt, wurde — weil sehr klein — nicht eingezeichnet.

wm —

m+ 1

wx—[—175 — 600 — 600 + 477 — 400 + 201] = — 0,29 u>2—iiÿ-o [— 372 — 633 — 477 + 300 — 201 + 77] = — 0,49 i+öE—529 —663 —300—104 — 77— 11] = —0,89 tttöE— 473 — 616 + 104-601+ 11— 53] = —1,15

V !«>!=— 417,6’ y 2 w* = — 1254,4 ysu>n = — 2990,4 y<w\ — — 4416,0

^yw=— 9078,4 1

SA'w= —(577 + 600+633 + 663 + 616). 2 = —6178.

Da nun im vorliegenden Palle:

= 2 ’Syw + y₅ iv₅ + 2 A’u — 0 1

ist, so folgt

**6 =

Vh

9078,4 • 2 + 6178

4000

f 6,08.

. . der gesuchten Biegungslinie sollen zu-

Die Ordinaten 81? 8 nächst berechnet und zu diesem Zwecke als Biegungsmomente eines mit wlt to₂, . . . belasteten einfachen Balkens gedeutet werden. Für die Werthe (Mw | X) erhält man dann folgenden Ansatz:

Qs — 1 w5 ⁼ 3,04

— 1,15 = u\

2> •

0₄ = + l,89

— 0,89 = iva

Ç₈ = + 1,00

<?2 = + 0,51

0,49 = w₂

0,29 = wx

(MW.X\\) = QX = 0,22

+ Q>51 == Qä + 0,73 +1,00 = q.a + 1,78 + 1,89 = Q± + 3,62 + 3,04 = Q₅

(Mw.₂\\) =

Ä-4 IX) =

Qi — + 0,22

(X-51X) =

+ 6,66

Da nun in die Formel für w die 10000-fachen Längenänderungen eingeführt wurden, so ergiebt sich:

10000

X {Mum | X) _ 3000 (Mwm 1 X)

10000

10000

, also :

8₂ = 0,3 • 0,73 = 0,219"””; 8₄ = 0,3 • 3,62 = 1,086’”'”;

Sj = 0,3 • 0,22 = 0,066”””;

8₃ = 0,3 • 1,73 = 0,519”””;

8₅ = 0,3 • 6,66 = 1,998”"”.

Will man diese Werthe durch Zeichnung finden und zwar im Maassstabe 25 : 1, so ist für das Seilpolygon der Gewichte w die Pol-

weite 10 000

4

300    25

der Trägerzeichnung = 1 : 300 ist. Die Werthe w und die Polweite sind Zahlen, für welche in Fig. 113 der Maassstab 1 = 12””” gewählt wurde.

— anzunehmen, weil der Längenmaassstab 3

Nach Ermittlung der Biegungslinie der unteren Gurtung ist diejenige der oberen Gurtung durch die Bedingung bestimmt, dass sich der Abstand zweier senkrecht übereinander gelegenen Knotenpunkte um die Strecke Alnm ändert. Für den oberen Knotenpunkt 2 ergiebt sich hiernach eine senkrechte Verschiebung von 0,219 — AA₂ = 0,219 — 0,012 = 0,207 deten Werthe der Durchbiegungen zusammengestellt worden.

mm

. In Fig. 113 sind die auf zwei Stellen abgerun-

Wz.

yt

Fig. 115.

51. Vollständige Bestimmung der Verschiebungen. Durch Aufzeichnung einer Biegungslinie erhält man zunächst nur die Projektionen der Verschiebungen der Knotenpunkte auf eine feste Richtung, nicht aber diese Verschiebungen selbst. Wird also die vollständige Bestimmung der Formänderung eines Fachwerks verlangt, und will man diese Aufgabe mit Hilfe des Seilpolygons lösen, so muss man zwei Biegungslinien zeichnen. Wurde hierbei der Träger einmal auf ein Achsenkreuz {x₁,y₁), dann auf die Achsen (x₂,y₂) bezogen, Fig. 115, und sind mm₁ und mm₂ die für den Knoten m erhaltenen Ordinaten der für die Richtungen y₁ und y₂ ermittelten Biegungslinien, so ist die Verschiebung mm des Punktes m bestimmt durch mx m _]_ m₁ m, m₂ m J_ m₂ m. Es möge aber noch eine andere Darstellungsweise der Verschiebungen (die meistens den Vorzug verdienen wird) gezeigt werden, darin bestehend, dass nach Auftragung einer Biegungslinie das im § 2 gelehrte Stabzugverfahren zu Hilfe genommen wird. In Fig. 116 ist dieser Weg erläutert worden.

Gegeben seien die Verschiebungen A y des auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz (x,y) bezogenen Stabzuges 0—1 — 2 — 3—....; ausserdem sei die Verschiebung Hx irgend eines Knotens bekannt. Es werde die vollständige Darstellung der Verschiebungen sämmtlicher Knoten gefordert.

Die

AB sei die Schlusslinie der Biegungslinie 0"l"2"3"

. zur

Punkte 0", t", 2" . . . projicire man durch Parallelen zu AB auf eine zur y-Achse parallele Gerade, welche von der Schlusslinie in A geschnitten werde, und ziehe durch A und durch die Projektionen 0"', l"',2'" . . . der Punkte 0", 1 ", 2", . . . Parallelen gA, g₀,g^g^, • - • x- Achse. Auf der gA nehme man den Pol 0 des verlangten Verschiebungsplanes beliebig an und bestimme nun zunächst die Verschiebung desjenigen Knotens, dessen t^x bekannt ist.

In Fig. 116 wurde A.r₂ als gegeben angenommen und der Strahl 02', welcher die Verschiebung des Punktes 2 nach Grösse, Richtung und Sinn darstellt, eingezeichnet; sein Endpunkt 2' liegt auf der Ge-

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

raden g₂ (weil die Projektion von 02' auf die Richtung y gleich Ay2 sein muss) und im (negativ vorausgesetzten) Abstande A;z₂ von der durch 0 parallel zur y-Achse gezogenen Geraden 00'.

Trägt man nun an 2' die dem Stabe s₂ parallele Strecke A 2 an, welche gleich der Aenderung der Länge s₂ ist und den Sinn 2 — 1 oder 1 — 2 erhält, je nachdem der Stab s₂ gedehnt oder verkürzt

Xt

y,

6'\

o'

o-------95------

-6-"-

--------«r

-----0------4is~

V'Övl--

v,

■jet----

2."

Axl

Fig. 116.

— der Reihe nach 3', 4', 5', 6' festgelegt.

wird, und errichtet man im Endpunkte von A2 auf A2 ein Loth (p₂), welches die Gerade gt in l' schneidet, so giebt der Polstrahl Ol' nach Grösse, Richtung und Sinn die Verschiebung des Knotenpunktes 1 an, wie ohne weiteres aus dem im § 2 gelehrten Stabzugverfahren hervorgeht. Auf dieselbe Weise wurde die Lage des Punktes 0' bestimmt und — wieder von 2' aus In Fig. 116 ist vorausgesetzt worden, dass alle Stäbe mit Ausnahme von s₅ Verkürzungen erleiden.

Gleichung

Will man die Ax durch Rechnung bestimmen, so differenzire man die

Sm? (Xm—1    Xm)^ “jp (//??’ — I    //m) ”

und ersetze das Differentialzeichen durch das Zeichen A. Man erhält:

2 Sm A Sm 2 (a?łn -1 Xm) (A Xtn — 1    A Xm) 1 ’ 2 fî/w — 1    ( A ym — 1    A ynt)

und hieraus

AXm — \    A Xm — A Stn SeC    (Aî/w-l    A ym) tg ß»,,

so kann man auch den

m,

wo ßOT den Neigungswinkel des Stabes sm gegen die x- Achse bedeutet. Kennt man also einen der beiden Werthe Axm-\ und Ax anderen angeben, so dass es möglich ist, mit Hilfe der vorstehenden Formel und mittels des in Nr 49 zur Bestimmung der A y entwickelten Verfahrens sämmtliche Seiten Verschiebungen Ax, A y eines Stabzuges durch Rechnung

zu finden, sobald ein Werth Ax und zwei Werthe A y bekannt sind. Ein anderes rechnerisches Verfahren lässt sich leicht durch Projiciren des im § 2 eingeführten, durch Aneinanderreihung der As und p entstandenen Linienzuges auf zwei rechtwinklige Achsen x und y ableiten.

52. Einführung stellvertretender Stabzüge. Die in der Fig. 116 gezeigte Darstellungsweise der Verschiebungen wird besonders übersichtlich, sobald sämmtliche As = 0 sind, weil der Verschiebungsplan dann aus einem Linienzuge (/l'2' .... besteht, dessen Eckpunkte 0', l', 2 , .... in den Geraden g₀, glt g₂, . . . . liegen, und dessen Seiten 0'-—l', l'—2', . . . rechtwinklig zu den entsprechenden Stabrichtungen 0 — 1, 1 — 2, ... . sind.*) Auch ist zu beachten, dass sich im Falle des Verschwindens der As für die Gewichte w (nach Gleich. 3, S. 101) die von der Lage des Achsenkreuzes x, y unabhängigen Werthe

iv m = AX.

ergeben, und es liegt daher der Gedanke sehr nahe, dass es zuweilen vortheilhaft sein dürfte, den elastischen Stabzug behufs Darstellung der Verschiebungen seiner Knotenpunkte durch einen aus starren Gliedern bestehenden zu ersetzen.**)

Zu einem solchen stellvertretenden Stabzuge gelangt man, indem man zwischen je zwei aufeinander folgenden Knotenpunkten m — 1, m einen neuen Knoten m₀ annimmt und diesen sowohl mit m — 1 als auch mit m durch starre (in Fig. 117 gestrichelt angegebene) Stäbe verbindet. Der neue Randwinkel bei m sei am = X» -f- ~b x»» + i, der Randwinkel bei m₀ sei xm. Die Aenderungen von xm und am sind:

,i>

/%

jT    »

\TJL~Z [

m-i

m₀

'~dr'

m+\j

rrt-7

âZ

Fig. 117.

*) Vergl. auch Seite 96, Fig. 79. Dort wurde dieses Gesetz bereits auf anderem Wege abgeleitet.

**) Der Umstand, dass wm =Afim von der Lage des Achsenkreuzes (x₎ y) unabhängig ist, vereinfacht auch die Anwendung zweier Biegungslinien. Schliessen die beiden Richtungen, welche den Gewichten w zugeschrieben werden sollen,

Erster Abschnitt. — § 3.

CO

Axw =

Asm

Sm

(cotg xm -f- cotg aj

A a.m — A X, -f- A wm -f- A x

= AX-

Asm

cotg xw

Asm+1

cotg

1+1*

^m+1

Betrachtet man die Ax und A a als Kräfte, welche in der Richtung r wirken, und verbindet man dieselben durch ein Seilpolygon mit der Polweite Eins, so ist dieses Seilgolygon die Biegungslinie des aus starren Gliedern bestehenden Stabzuges für die Richtung r, und das eingeschriebene Polygon, dessen Ecken den Knoten . . . (m — 2), (m—1), m, (m-f-1) . . . entsprechen, ist die Biegungslinie des elastischen Stabzuges . . . (m—2) (w—1) m (m-f-1) . . .

Die Punkte m₀ wird man so annehmen, dass die Cotangenten der Winkel x und runde Zahlen sind. Wählt man z. B. «m = xm = 45°, so erhält man sehr einfach :

Atm =

2^.

A sm A sm

Sm +1

+¹

Hat die Elasticitätsziffer E für alle Stäbe denselben Werth, so ersetze man die Gewichte Ax und A a durch die Gewichte EAx bezw. EAa. und die Polweite 1 durch die Polweite E. Sollen dann Temperaturänderungen unberücksichtigt bleiben, so treten in den vorstehenden "Winkel 4 ein, so denke man das Kräftepolygon nach Aufzeichnung der ersten Biegungslinie um 4* gedreht, um einzusehen, dass jede Seite des zweiten Seilpolygons mit der entsprechenden Seite der ersten Biegungslinie den Winkel bilden muss. Mit Rücksicht auf die käuflichen Winkelbrettehen wird man für 4» einen der Winkel: 30°, 60°, 45°, 90° wählen. Auf weitere Beziehungen zwischen den beiden Biegungslinien gehen wir nicht ein, da sich der Linienzug 0'1'2'3' . . . ebenfalls schnell zeichnen lässt und die Verschiebungen sofort nach Grösse und Richtung liefert, so dass man die Zusammensetzung der Seitenverschiebungen (nach Eig. 115) spart.

*) Es ist darauf zu achten, dass keiner der hinzugefügten starren Stäbe die Richtung r erhalten darf, wenn ausser der Biegungslinie noch die vollständige Darstellung der Verschiebungen mit Hilfe des Linienzuges 0'1'2' . . . (Fig. 116) ohne jede weitere Zwischenrechnung erfolgen soll. Diese Zwischenrechnung, welche, wie leicht einzusehen ist, in der Ermittlung des Werthes p für jeden in die Richtung r fallenden Stab bestehen würde, ist zwar nicht schwierig, immerhin aber umständlicher als die Annahme besonderer Winkel to und x für diese Stelle des Stabzuges. Wird nur die Biegungslinie für die Richtung r verlangt, so dürfen Stäbe von der Richtung r Vorkommen, denn es entsprechen dann den beiden Endpunkten solcher Stäbe im Sinne r gleichgrosse Verschiebungen. Zu beachten ist auch, dass die Gewichte At und A a in der Reihenfolge . . . Avm_i, Aa„_i, Axm, Aam, Arm+i, Aam+i . . . durch das Seilpolygon verbunden werden müssen.

den Formeln an die Stelle der Verlängerungsverhältnisse As/s die Spannungen a. Ist o = x = 45° so erhält man:

rm == 2 am, FAam = Etâm — am — am+1. *)

Für die in der Fig. 118 angegebene Lage der eingeschalteten Punkte m₀ ergiebt sich :

Arm

A*„

(cotg Xm -f- cotg G)m)

Aam = AX +

A sm

cotg Xm 4

A sm+i

cotg wm+1.

Sm + 1

Welche der beiden Anordnungen (Fig. 117 oder Fig. 118) gewählt wird, ist für das Ergebniss gleichgiltig. Man strebe zur Erzielung übersichtlicher Kräftepolygone nach Möglichkeit gleiche Vorzeichen der Gewichte w an. Z. B. wird man bei einfachen Balkenbrücken in der Kegel für die A a der oberen und auch der unteren Gurtung positive Werthe erhalten und sich infolgedessen bei Untersuchung einer oberen Gurtung für die in Fig. 118 gegebene Anordnung entscheiden, weil die As und a der Obergurtstäbe negativ sind. Bei einer unteren Gurtung wird besser nach Fig. 117 verfahren.

Eine andere Behandlungsweise des stellvertretenden Stabzuges schliesst sich der auf Seite 104 bis 112 gelösten Aufgabe an: die Gewichte wm zu bestimmen, ohne vorher die Winkeländerungen A'Ü' zu berechnen. Dieses Verfahren kommt natürlich nur dann in Frage, wenn die Winkeländerungen nicht ohnehin zu anderen Zwecken**) angegeben werden müssen; dasselbe möge an dem in Fig. 119 dargestellten Beispiele erläutert werden.

Gesucht sei die Biegungslinie (für die Richtung r) der Gurtung . . . (m—1) m (m-fl) • • • eines einfachen Dreiecknetzes. Die den eingeschalteten Knoten m₀ entsprechenden Gewichte Atot werden wie vorhin berechnet, das Gewicht wm für einen Knoten m der Gurtung hingegen nach der auf Seite 105 bewiesenen Gleichung:

wm = 2 p. • A s.

m.n

m-z.

,A\    /

V» v'

Ÿ v

ax T m-t AV

At    **■

Ax v

rn> ”

At

mtt

mt

Fig. 118.

*) Vergl. S. 102. Dem Einfluss von Temperaturänderungen t kann man auch• Bechnung tragen, indem man a ersetzt durch a-f-eEt.

**) Z. B. Bestimmung von Nebenspannungen. Vergl. auch Seite 95.

Hierin bedeutet [A die Spannkraft, welche in einem Stabe des in Fig. 119¹ berausgetragenen Fachwerktheiles in Folge der drei unter sich im

Gleichgewichte befindlichen parallelen äusseren Kräfte—, —, T--j——^

entsteht und As die Längenänderung des Stabes für denjenigen Belastungszustand , für welchen die Biegungslinie gesucht wird, e und e sind die gegenseitigen Abstände jener 3 Kräfte, deren Richtung gelegentlich der früheren Ableitung der Gleichung ?^m=2p.As parallel den w vorausgesetzt wurde, jetzt aber willkürlich gewählt werden darf, weil ja die Grösse der w eines aus starren Gliedern bestehenden Stabzuges unabhängig von der Richtung r ist. Die Summe 2 erstreckt

Q-—/<

m-i

nv

(m''o

z.

/S

771-Tj'

M/A

\J

■7ltJ

e'

"Y 7D'n i dz

Fig. 119.

sich über die in der Fig. 119¹ mit den Ziffern 1, 2, 3, ... 6, 7 be-zeichneten Stäbe, deren Spannkräfte p. in Fig. 119n mittels eines Cremona’schen Kräfteplanes dargestellt wurden. Für die Fachwerkstäbe 3 und 5 ergaben sich Zugkräfte |X, für die übrigen Druckkräfte. Sind also die Längenänderungen der Stäbe 1, 2, 3 . . . bezieh. = AX, A₂, As, . . . so folgt:

wm —    M-1 \    {-*-2 ^2 + ft» A3 M-4 ^4 “ł" ^5 ^5    ^6    1*7 ^7 •

Es wird sich empfehlen, die Richtung der Kraft — so zu wählen, dass

e

e einen festen, durch eine runde Zahl ausdrückbaren Werth annimmt. Bei Ermittlung der verschiedenen w sind also verschiedene Kraftrichtungen anzunehmen.

Eine wichtige Anwendung der stellvertretenden Stabzüge findet sich in No. 75.

Hebung sauf g oben zu den §§ 1 bis 3.

1. Aufgabe. Es soll die Aenderung AS& des Randwinkels des in Fig. 120 dargestellten Fachwerks mit Hilfe eines Williot’sehen Verschiebungsplanes bestimmt werden.

Lösung. Man nehme den Punkt a und die Richtung des Stabes ab als-festliegend an, ermittle nach No. 32 (S. 58) der Reihe nach die Verschiebungen Ob', Oc, Od’, Oe der Punkte b, c, d, e und denke hierauf die Verschiebung von e nach dem Stabzugverfahren bestimmt. Man erkennt dann, dass das Loth von e' auf A 7 gleich s₇ A h?, ist und findet

"O

Aj& =

Der Drehungssinn von s₇ gegen s₇ ist in der Figur durch einen Pfeil angegeben worden; hiernach ist Apositiv. Wir setzten voraus, dass die Stäbe 2, 4, 5 gedehnt, die übrigen verkürzt werden.

Z\ 3

Ui

v.«

ro/

^■1

K'

■V

e'

A V-

fi

Sr

c'av

><%

d'

>r

m:Aocb

Fig. 120.

Fig. 12i.

Aufgabe. Behufs Darstellung der Biegungslinie der oberen Gurtung des in Fig. 121 abgebildeten Fachwerks soll das Gewicht ivb mit Hilfe eines Williot’schen Planes dargestellt werden und zwar ohne gesonderte Ermittlung von A Sr&.

Lösung. Man füge die zu wi parallelen starren beliebig langen Stäbe 8 und 11 hinzu, ferner die starren Stäbe 9 und 10. Dann ist (wenn die Polweite 1 gewählt wird) j^fc==Aa&, welcher Werth nun auf die soeben gezeigte Weise bestimmt wird. Man nehme hierbei a₀ und die Richtung des Stabes 9 als festliegend an.

3. Aufgabe. Mit Bezugnahme auf Fig. 121 beweise man, dass, sobald

^-ist, das Gewicht wi nach der

As

die Polweite = E gewählt wird und Formel

wb = cotg «! (0 — c?i) ²) + cotg a₂ (a₂ — CTj) + cotg a₃ (a₂ — a₃) -f- cotg a₄ (<j₄ — as) + cotg a5 (ci — °t) + cotg a₆ (c₆ — g₅) + cotg a₇ (<j₆ — a₇) + cotg a₈ (0 — a₇) berechnet werden darf.

Lösung. Man gelangt zur vorstehenden Formel ohne weiteres, indem man nach Gl. (2) Seite 90 die Aenderungen der Dreieckswinkel, aus denen sich

, wb zusammensetzt, bestimmt und dieselben addirt. Die Multiplikationen mit cotg. werden zweckmässig zeichnerisch ausgeführt. Man könnte auch den Ausdruck nach den Spannungen a ordnen. Der Einfluss von a₂ auf ivb ist dann

=    , wo s.₂ die Länge des Stabes 2 und r₂ das Loth von b auf 2 bedeutet.

r₂

Wie stellt man den Einfluss der Spannung eines von b ausgehenden Stabes z. B. den von <js am bequemsten dar?

4. Aufgabe. Gesucht sei die Biegungslinie (für die Richtung f) eines Stabzuges, dessen As und A5 gegeben sind; einzelne Stäbe haben aber die Richtung r.

m+1

Jntft

rti'

Lösung. Fällt sm mit der Richtung r zusammen, so schalte man nach Eig. 122 zwischen m — 1 und m mittels starrer Stäbe, welche mit Sm Winkel von 45° ein-schliessen, einen neuen Knoten m₀ ein, dessen Gewicht ivmo = — 2 ist.

Sm

+r

Für wm-1 und wm erhält man:

A Sm

Sni.

Fig. 122.

Wm A Sw —j-

A Sm

Sni

im Sinne (—r) anzunehmen. Figur 122 setzt also

Ist A Sm positiv, so ist w voraus, dass der Stab sm gedrückt wird. Zu beachten ist, dass die Gewichte in der Reihenfolge ivm -1 ■ w,n0, icm durch das Seilpolygon verbimden werden müssen wie dies in Fig. 122 angedeutet ist.

5. Aufgabe. Es soll der Yerschiebungsplan für die untere Gurtung 0—2—4 — 6 des in der Fig. 123 dargestellten Trägers mit Hilfe eines stellvertretenden, aus starren Gliedern bestehenden Stabzuges 0 —1-2-3-4-5-6 gezeichnet werden.

/,

: W//J

/

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—SKT.

Wz W j    n>v ms

3'

Fig. 123.

Die Lösung besteht darin, dass zuerst nach No. 52 die Biegungslinie für die zur Bahn des beweglichen Auflagers rechtwinklige Richtung r gezeichnet wird, weil dann die Schlusslinie 0" 6" sofort gegeben ist. Hierauf wird der Linienzug 6'5'4'3'2'l'0' nach No. 51 bestimmt. Die Strahlen 00', 02', 04' stellen nach Grösse, Richtung und Sinn die Yerschiebungen der Punkte

O, 2, 4 dar. — Von den drei für diesen Träger in diesem Buche mitgetheilten Verfahren (vergl. Fig. 38, 105, 123) ist das erste im allgemeinen das einfachste. Die Lösung in Fig. 105 verdient den Vorzug, sobald die lothrechten Verschiebungen 8 durch Rechnung bestimmt werden sollen und die zuletzt angegebene (Fig. 123) wird vortheilhaft, sobald die Winkeländerungen noch zu anderen Zwecken (z. B. zur Ermittlung von Nebenspannungen) gebraucht werden.

6. Aufgabe. Ein Fachwerk sei in der Weise erzeugt, dass zu einem Stabdreieck abc zwei neue Stäbe gefügt werden, die in einem neuen Knoten d miteinander verbunden sind, hierauf an zwei beliebige Knoten dieses Stabgebildes wieder zwei Stäbe mit einem Knoten e angeschlossen werden u. s. f. Es sollen die Winkeländerungen dieses Fachwerks berechnet werden.

Die Lösung stützt sich auf die Gleichung As₁ =h Aax + As₂ cosas

+ A s₃ cos a₂, welche einen besonderen Fall der auf S. 98 für A l abgeleiteten Formel darstellt, und durch welche die Aenderung der Seitenlänge Sj eines Dreiecks (Fig. 125) bestimmt ist, sobald die Aenderungen des Gegenwinkels und der beiden anderen Dreieckseiten bekannt sind.

Liegt beispielsweise das Fachwerk in Fig. 124 vor, so berechnet man auf die in No. 40 gezeigte Weise die Winkeländerungen der Dreiecke ach und abd und drückt hierauf die Aenderung der Entfernung cd durch die Längenänderungen A ac und À ad der Seiten ac und ad und durch die Winkeländerung A(cad) — \(cab) — A(dab) aus. Jetzt bestimmt man die Winkeländerungen der Dreiecke acd, cdb und cde, drückt Aeb durch A ce, A cb und A (ecb) aus, u. s. w.

Auf diesem Wege lassen sich z. B. sämmtliche Winkeländerungen der in den Figuren 49 und 50 abgebildeten Fachwerke berechnen, wie denn überhaupt leicht einzusehen ist, dass sich mit Hilfe der Formel für A Sj und mittels der in No. 37 u. 38 durchgeführten allgemeineren Untersuchungen die in den §§ 2 u. 3 angegebenen Darstellungsweisen auf ähnliche Art erweitern lassen, wie dies im § 1 mit dem von Williot ursprünglich auch nur für einen sehr einfachen Fall gegebenen Verfahren geschehen ist.

c.

Fig. 124.

§ 4.

/oT V,

V '\h fk

s,

Fig. 125.

Einflusslinien und Einflusszahlen für elastische Verschiebungen.

53. — Mit Hilfe der in den vorigen Paragraphen gelehrten Verfahren ist man im Stande, die Formänderung eines statisch bestimmten, irgendwie belasteten Fachwerks festzustellen. Es bedürfen aber diese Untersuchungen noch einer Ergänzung für den Fall, dass der Einfluss der am Fach werk angreifenden Lasten Plf P₂, • • • auf irgend eine der

die Formänderung bestimmenden Grössen gesondert angegeben werden soll, etwa zu dem Zweck, die Grenzwertbe dieser Grösse (für welche natürlich das Gesetz von der Zusammenzählung der einzelnen Wirkungen gelten muss) zu ermitteln. Zwar könnte man diese Aufgabe in der Weise behandeln, dass man das Fach werk zuerst nur mit P₁ belastet, dann nur mit P₂, u. s. w. und für jeden dieser Fälle einen Verschiebungsplan zeichnet; doch ist dieses Verfahren so umständlich, dass die Aufsuchung einer anderen Lösung geboten erscheint. Die Handhabe hierzu bietet der Maxwell’sche Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen (S. 30), dessen Anwendung zunächst an zwei Beispielen gezeigt werden soll.

1. Aufgabe. Gesucht ist die Einflusslinie für die Senkung des Knotenpunktes m eines durch lothrechte Lasten P beanspruchten Fachwerkträgers.

r,

lc

Fig. 126.

Man nehme das gewichtslose Fachwerk nur mit einer in m angreifenden lothrechten Kraft Eins belastet an, ermittle die herbei entstehenden Spannkräfte S und Längenänderungen As und bestimme (nach einem der inden§§ 1—3 angegebenen Verfahren) die diesen As entsprechende Biegungslinie derjenigen Gurtung (beispielsweise A CB), an welcher die Lasten P angreifen sollen. Ist nun die bei k gemessene Ordinate dieser Biegungslinie = ■/]*., so verschiebt die in m angreifende Last Eins den Knoten k im lothrechten Sinne um ?)*., und es wird deshalb (nach dem Maxwell’schen Satze) eine in k angreifende Last Eins den Knotenpunkt m ebenfalls um v\k verschieben. Hieraus folgt aber, dass die gezeichnete Biegungslinie die Einflusslinie für hm ist.

Die Lasten Plf P₂, P₃ denen die Ordinaten , r)₂, t]₃ entsprechen, verursachen beispielsweise bei m die Senkung

= Pi^i + p2r\2 + -Ps⁷)*-

Beispiel. In Fig. 113 auf Tafel 2 wurden die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte eines Bogenträgers mit drei Gelenken für den Fall aufgetragen, dass im Scheitelgelenk eine Last lf= 1000L wirkt. Die für die untere und obere Gurtung erhaltenen Biegungslinien sind daher die Einflusslinien für die lothrechte Verschiebung 8 des Scheitelgelenks; mit Hilfe der ersteren kann der Einfluss von Lasten festgestellt werden, welche in den unteren Knotenpunkten angreifen, mittels der zweiten der Einfluss der Belastung der oberen

Knoten. Ist die oben angreifende Verkehrslast: p — 0,665³ f. d. Meter und pX = 0,665 • 3,0 = 2' f. d. Knotenpunkt, so folgt für volle Belastung (also mit Vernachlässigung der kleinen negativen Beitragsstrecken an den Trägerenden) 8max — p\ [2,00 + 2 (1,10 + 0,52 + 0,21 + 0,04)] = ll,5mm.

Von der ständigen Belastung £1 = 0,37-3,0=1,11' eines Feldes möge der Theil £„X = 0,27 (Gewicht der Hälfte eines Feldes des Hauptträgers) an der unteren Gurtung angreifend angenommen werden, der Theil £₀ X = 0,84' an der oberen Gurtung. Die Durchbiegung in Folge der ständigen Belastung beträgt dann:

*t = gu\ [2,00 + 2 (1,09 + 0,52 + 0,22 + 0,07)]

+ </₀X [2,00 + 2 (1,10 + 0,52 +0,21 + 0,04 —Ä^-)] = 6,4—.

2m Aufgabe. Ein Fachwerk sei mit beliebig gerichteten Kräften Plt P₂, . . . belastet. Gesucht sei die Projektion Sr der Verschiebung eines Knotens C auf eine feste Richtung r. Der Einfluss jeder Last P soll gesondert angegeben werden.

V“ c

-Vm JL

Man zeichne den Verschiebungsplan für den Fall, dass auf das Fachwerk nur eine Last Pr = 1 wirkt, welche in G angreift und die Richtung r hat. Für irgend einen Knoten m ergebe dieser Plan die Verschiebung m' m, deren Projektion auf die Richtung von Pm mit + 8mr bezeichnet werden möge,⁴) wobei das obere oder untere Vorzeichen gelten soll, je-nachdem der Sinn jener Projektion mit dem Sinne von Pm übereinstimmt oder nicht.

rnS

Nun ist aber nach dem    Maxwell’sehen

Tr

Satze die gesuchte Ver-    -JL

Fig. 127.

Schiebung hrm, welche Punkt C in der Richtungrund in Folge von Pm= 1 erfährt, ebenso gross wie die bereits dargestellte Verschiebung 8mr welche der Punkt m in der Richtung Pm und in Folge von Pr — 1 erleidet und daraus folgt, dass der Einfluss von Pm auf die Verschiebung 5r gleich Pmhmr ist. Auf die gleiche Weise findet man die Einflüsse der Lasten Plt P₂, . . . so dass man schliesslich

5r = P₁8lr + P₂52r + . . . + Pw5mr+. . .

belastet.

erhält. Die Grössen 5 Lasten Plf P₂ . . . entsprechenden Einfluss zahlen; sie ergeben sich sämmtlich aus dem für Pr = 1 gezeichneten Verschiebungsplane.

S2r, . . . nennen wir kurz die den einzelnen

!>■)

54. — Das in den vorstehenden Beispielen angewandte Verfahren ist ein allgemeines und führt auch dann zum Ziele, wenn die 6 nicht Verschiebungen und die P nicht Einzellasten bedeuten, sondern diese Buchstaben zur Bezeichnung der auf Seite 31 erklärten Begriffe „Weg einer Belastung“ und „Belastung“ dienen. Stets wird man die darzustellende Grösse

K - KaPa "j⁻ KbPb “f- • • • • KmPm • • • •

mittels des Maxwell’schen Satzes umformen in und dann die Einflusszahlen har, hbr, ... . hmr, . . . einem für den Zustand Pr = 1 gezeichneten Verschiebungsplane (an dessen Stelle häufig eine Biegungslinie treten darf) entnehmen. Es verdient hervorgehoben zu werden, dass diese Pegel auch für statisch unbestimmte Fachwerke gilt.

ocr.

5.

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

a. Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grössen mittels des Maxwell’schen Satzes.

55. — Wir haben bereits in der Einleitung gezeigt, dass die Berechnung eines statisch unbestimmten Fachwerks in die Lösung zweier Aufgaben zerfällt. Erstens sind die Spannkräfte der Stäbe und die Stützenwiderstände mittels der Gleichgewichtsbedingungen durch die gegebenen Lasten P und gewisse statisch nicht bestimmbare Grössen X auszudrücken, und zweitens sind die Grössen X mit Hilfe von Gleichungen zu berechnen, welche man erhält, indem man die Form Veränderung des statisch bestimmten Fachwerks, in welches das unbestimmte im Falle des Verschwindens sämmtlicher Grössen X übergeht, gewissen Bedingungen unterwirft.

Der einzuschlagende Weg ist meistens sehr leicht zu finden, wie die folgenden Aufgaben zeigen werden, bei deren Lösnng wir von den in der Einleitung angestellten allgemeineren Untersuchungen zunächst nur den Maxwell’schen Satz zu Hilfe nehmen, während wir uns im übrigen lediglich auf die §§ 1—3 stützen. Denn es kommt uns besonders darauf an, zu zeigen, dass die Berechnung eines gegebenen statisch unbestimmten Fachwerks für denjenigen eine sehr leichte Aufgabe ist, welcher sich mit der Darstellung der Formänderungen statisch bestimmter Fachwerke vertraut gemacht hat und das von uns kurz als Maxwell’scher Satz bezeichnete allgemeine Gesetz kennt.⁵) Später werden wir auch die übrigen in der Einleitung angegebenen Verfahren verwerthen.

welcher durch lothrechte Lasten P bean-

56. Untersuchung eines über zwei Oeffnungen gestreckten Balkens ACH, Fig. 128 spracht wird.

Der naheliegendste Rechnungsgang ist der folgende. Wäre der Widerstand X der Mittelstütze bekannt, so Hessen sich die in A und B angreifenden Stützendrücke und sämmtliche Spannkräfte S des aus aneinandergereihten Dreiecken bestehenden Fachwerks angeben.

Nimmt man zunächst

X — 0 an, so entsteht ein einfacher Balken AB, des-

sen Stützenwiderstände A₀ ^ 2 Pb

TFT

Fig. 128.

undi?₀

2Pa A

h + 4

sind, und dessen Spannkräfte S₀ leicht gefunden werden können, beispielsweise mit-tels eines Cremona’schen

W K

------

H-------ly

\B

C_

k......L

Fig. 129.

VP

Bo

Kräfteplanes. Dieser einfache Balken wird an der Stelle C eine lothrechte

Durchbiegung 5₀ erfahren, ^    ¹'₍p>

deren Grösse sich nach einem \A' der in den §§ 1—3 gezeigten Verfahren ermitteln lässt.

(Das gestrichelte Polygon in Fig. 129 sei die Biegungslinie der Gurtung A CB). Denkt man jetzt die Kräfte P beseitigt und belastet den einfachen Balken AB nur mit einer in C angreifenden, nach oben gerichteten Last X, so wird der Punkt C im lothrechten Sinne um h' X

/_

Y/

Fig. 130.

gehoben, wobei 5' die mit Hilfe eines zweiten Verschiebungsplanes zu bestimmende lothrechte Senkung bedeutet, welche C erfährt, sobald der einfache Balken AB nur durch eine in C angreifende, lothrechte, abwärts gerichtete Last von der Grösse 1 beansprucht wird. Sind nun die Stützen des in Fig. 128 abgebildeten Trägers vollkommen starr, so muss die lothrechte Verschiebung von C gleich Null sein, und es folgt hieraus die Bedingung: 8₀— 8'X=0, aus welcher sich

x=

So

1 —

8'

ergiebt. Würde sich, bei nachgebenden Widerlagern, Punkt C gegen die relativ festliegend gedachte Gerade AB in lothrechter Richtung um 8«, nach unten verschieben, so wäre X aus der Gleichung 8₀ — 8' X = 8«, zu berechnen. Nach Bestimmung von X können die Spannkräfte S in den Stäben des Balkens ACB mittels der Formel

S=S₀— S'X

gefunden werden, unter S' die Spannkraft für den in Fig. 130 dargestellten Belastungsfall X = — 1 verstanden, und ganz ebenso erhält man die Stützen widerstände: A = A₀ — A'X* B = B₀ — B'X\

S₀s

erfahren, und

EF

schliesslich wird man mit Hilfe eines dritten Verschiebungsplanes diejenige lothrechte Verrückung bt feststellen, welche der Punkt C des einfachen Balkens HR erfährt, sobald sich die Stablängen um Ast = ets ändern. Der entsprechende Widerstand der Mittelstütze ist dann:

Den Einfluss von Temperaturänderungen wird man stets gesondert bestimmen; man wird also die Verschiebung S₀ des durch die Lasten P beanspruchten Balkens AB (Fig. 129) unter der Voraussetzung ermitteln, dass die Stäbe die Längenänderungen A s₀ =

Xt= 1

er erzeugt im Träger ACB (Fig. 128) die Spannkräfte: St = —S'Xt. Im Falle gleichmässiger Erwärmung sämmtlicher Stäbe ist 8t = 0, sobald die drei Punkte A, B, C in derselben Wagerechten liegen.

Unsere Aufgabe ist hiermit gelöst. Die Auflösung leidet aber noch an einer Weitläufigkeit, die darin besteht, dass 8₀ für jeden zu untersuchenden Belastungsfall von neuem bestimmt werden muss. Diese Schwierigkeit lässt sich nun durch Anwendung des Maxwell’schen Satzes leicht heben. Bezeichnet man nämlich mit h'm die dem Knoten m entsprechende Ordinate der in Fig. 130 für den Zustand X= — 1 gezeichneten Biegungslinie, so darf man schliessen: Eine in C angreifende lothrechte Last Eins senkt den Punkt m um h'm, und es wird daher eine in m angreifende Last Eins den Punkt C ebenfalls um 8’ senken •und eine Last Pm wird auf die Senkung 6₀ den Einfluss 5₀ = Pmh'm ausüben. Daraus folgt aber

s„ = Pi&', +P₁i\ + ...+ P„ 5'. + ...*)

und es ist daher der Einfluss der Lasten P auf X

S'

Man darf aussprecben:

Die für den Zustand X— — 1 gezeichnete Biegungslinie der zur Aufnahme der Lasten bestimmten Gurtung ist die Einflusslinie für X. Der Multiplikator dieser Linie ist = 11 5'.

tu

*4-

So

Un

57. Untersuchung eines Fachwerkbogens mit Kämpfergelenken und ohne Scheitelgelenk, Fig. 131. Der Träger sei durch beliebig gerichtete Lasten P beansprucht. Die an den festen Auflagergelenken A und B angreifenden Widerstände seien in die zur Geraden AB rechtwinkligen Seitenkräfte A und B und die in die Gerade AB fallenden Seitenkräfte C und

X zerlegt.

Wird X — 0 angenommen, wird also das feste Auflagergelenk durch ein in der Richtung AB bewegliches Lager ersetzt, so geht das Fachwerk in ein statisch bestimmtes über

1.

U——-

(Fig. 132). Die Auflagerkräfte A₀, B₀, C₀ und die Spannkräfte S₀ lassen sich für diesen Zustand leicht

„ cP

angeben.

Um A zu ermitteln,

nu

wird das erhaltene statisch bestimmte Fachwerk mit einer Kraft X—— 1 belastet (Fig. 133), welche die Spannkräfte S' und

Fig. 131—133.

S's

Aenderungen (As)' = diese Angriffsweise ein Verschiebungsplan gezeichnet. *) Vergl. auch Seite 138.

EF

der Stablängen hervorruft; dann wird für

Dieser Plan möge für den Punkt B die zu AB parallele Verschiebung B" B' = h' liefern und für irgend einen Knotenpunkt m die Verschiebung m"m. Bezeichnet hm' die Projektion der Strecke m"m auf die Richtung von Pm, so folgt:

P h'

m w m*

Eine in B und im Sinne AB angreifende Kraft 1 verschiebt den Punkt m im Sinne von Pm um h'm, und es wird deshalb eine in m angreifende Last Pm= 1 eine Verlängerung der Stützweite AB = l um verursachen und eine Last Pm eine Verlängerung um Da nun eine von B nach A gerichtete Kraft X eine Verkürzung von AB um Xh' herbeiführt, so beträgt die Aenderung von l im ganzen:

Al=2Pmh'm — Xh'.

Hieraus folgt aber für das Bogenfachwerk in Fig. 131 für den Fall unbeweglicher Widerlager (d. h. für A£ = 0):

h'

Geben die Widerlager nach und verschiebt sich hierbei B gegen A um hK, so ändert sich X um einen Werth AJ, der durch die Gleichung

hw = — A Xh'

gegeben ist. Den Einfluss Xt einer Temperaturänderung findet man, indem man die Aenderungen k.st — zts der Stablängen berechnet, die hierdurch bedingte Vergrösserung §₍ der Strecke AB mit Hilfe eines Verschiebungsplanes bestimmt und die Bedingung 0 = 5t — AT<5/ aufstellt. Es ergiebt sich:

AJ = — 1

und Xt= 1

Bei gleichmässiger Erwärmung ist ht = ztl.

Sobald X bekannt ist, können sämmtliche Spannkräfte S des Bogenfachwerks mittels der Formel

S=S₀—S'X

berechnet werden. B=B₀, C=C₀+X

Für die Stützenwiderstände erhält man: A = A

58. Der Binder eines Freidaches (Fig. 134) sei bei B und C mittels fester Auflagergelenke und ausserdem noch durch eine Stange AD gestützt, welche bei D gelenkartig mit dem Widerlager verbunden ist.

¹

Die Stäbe A1, 6 — 7, 7 — 8 und 13A, werden hier zweckmässig mit d₁, d₇, dSi d₁₄ bezeichnet.

²

Zur besseren Uebersicht wurden die Spannungen 0 der Stäbe 8 und 11 mit aufgeführt.

³

Die Knotenpunkte an den Trägerenden sind nur mit — g₀ X

⁴

Nach der auf Seite 31 eingeführten Bezeichnungsweise.

⁵

Die Untersuchung von Fachwerken, welche erst entworfen werden sollen, ist nur insofern umständlicher, als die statisch nicht bestimmbaren Grössen von den zunächst unbekannten Stabquerschnitten abhängen. Im allgemeinen wird man die Querschnittsgrössen zuerst schätzungsweise annehmen, hierauf die X und S ermitteln, die erforderlichen Querschnitte bestimmen und im Falle grösserer Unterschiede zwischen den gerechneten und den geschätzten Querschnitten das ganze Verfahren wiederholen. Vereinfachend wirkt hierbei der Umstand, dass der Einfluss der Belastung auf die Grössen X nur von dem gegenseitigen Verhältniss der Querschnitte ahhängt. Vergl. auch No. 74.

Der Träger wird statisch bestimmt, sobald der Stab AD (dessen Spannkraft —X sei) weggenommen wird. Für diesen Zustand X—0 werden die Spannkräfte S₀ ermittelt und hierauf wird der Versehiebungs-plan für den in Fig. 136 dargestellten Zustand X=—1, dem die

Spannkräfte S' entsprechen mögen, aufgezeichnet.*) Die Verschiebung von A sei dargestellt durch den Polstrahl OA', diejenige von m durch Om'. Die Projektion von O Â auf die Richtung von AD sei 5' (positiv im Sinne der in Fig. 186 angenommenen Kraft 1), diejenige von Om auf Pm sei h'm (positiv im Sinne von Pm). Dann kann wie in der vorigen Aufgabe mittels des Maxwell’schen Satzes die Beziehung gefunden werden:

rrv

AZ = 2Pmh'm — Xh',

wo Z die Länge des Stabes AD bedeutet. Besitzt dieser Stab den Querschnitt F1 und die Elasticitätsziffer E₁, so ist seine durch die Spannkraft X hervor gebrachte Längenänderung :

Fm

So

AZ

XI

und man erhält schliesslich für X den W erth :

x=

h' +

E\F\

Wird noch der Einfluss einer Aende-rung der Temperatur gesucht, so bestimmt man mit Hilfe eines zweiten Verschiebungsplanes die von den Aenderungen As = ets herrührende gegenseitige Verschiebung ht des Punktepaares A, D und stellt die Bedingung auf:

AZ = 5, — Xth',

Fin,

1IIÄD

JA’

mf

ins

Fig. 134—136.

in welche für AZ jetzt der Werth:

AZ =

Xtl

E₁F₁

j- s₁^₁Z

einzusetzen ist, unter ex und tx die Ausdehnungsziffer und die Temperaturänderung des Stabes AD verstanden. Man findet:

5* Z

ö'4

FXFX

*) Beispielsweise nach dem in No. 32 angegebenen \ erfahren.

10

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. I.

59. Untersuchung des in Fig. 137 dargestellten Dachstuhls einer dreischiffigen Halle. Bei A ist ein festes, bei B ein auf wagerechter Bahn bewegliches Auflagergelenk angeordnet. CD und EF sind Säulen mit Kopf- und Fussgelenken (sogenannte Pendelsäulen oder Schwingstützen). Die lothrecht wirkenden Widerstände Xa und Xb der Säulen sollen als die statisch nicht bestimmbaren Grössen eingeführt werden; ihre Angriffspunkte erhalten die Ordnungsbuchstaben a und b.*) Den Zustand Xa — 0, Xb = 0 (den wir kurz den Zustand X == 0 nennen wollen) zeigt Fig. 138; die Zustände Xa = — 1 und Xb = — 1 sind in den Figuren 139 und 140 dargestellt worden. In allen drei Fällen handelt es sich um die Untersuchung eines einfachen Fachwerkbalkens AB; die Stützen widerstände und die Spannkräfte (S₀, Sa, Sb) lassen sich also leicht ermitteln. Ist dies geschehen, so werden die von den Spannkräften 8a und Sb sowie von Temperaturänderungen t hervorgerufenen Längenänderuugen

As„

Sas

EF ’

A sb

Sbs

EF

A st = s ts

berechnet und die durch diese As verursachten Verschiebungen der Knotenpunkte ermittelt.

Der erste dieser Pläne liefert:

8m„ = Verschiebung von m im Sinne von Pm**) in Folge Xa — — 1

„ Xa— lf) „

„ xb = — 1

?ha ⁼

Der zweite Plan liefert:

J)

11

11

= —1 » -X« = — 1.

= Verschiebung von m im Sinne von Pm in Folge Xb = — 1

y y Eft ■ -    1    ,, Xb    ' 1

y y C^b    1    y y    '    1 y

-    yy    yy

⁼⁼    yy    yy

der dritte Plan endlich:

hmt — Verschiebung von m im Sinne von Pm in Folge der t

=

$bt ⁼⁼

(Nach dem Maxwell’schen Satze muss sich bab — bba herausstellen, eine Bedingung, die zur Prüfung der Zuverlässigkeit der Zeichnung benutzt werden kann).

11

yy b yy

*) Wir wählen jetzt dieselben Bezeichnungen wie in der Einleitung.

**) Abgekürzte Ausdrucksweise an Stelle von: 8ma = Projektion der Verschiebung von m auf die Bicktung von P„,, positiv im Sinne von P,„. Zu beachten ist, dass der zweite Buchstabe des an 8 gesetzten Doppelzeigers stets auf die Ursache der Verschiebung kinweisen soll und mit dem Zeiger der Belastung X übereinstimmt.

f) Diese Verschiebung ward also positiv gezählt im Sinne der in a (Fig. 139) angenommenen Last 1.

Die Gleichungen zur Berechnung der X ergeben sich nun wie folgt.

Die auf das Fachwerk AB wirkenden Belastungen Pm, Xa, Xb werden im Verein mit Temperaturänderungen t und etwaigen anderen Ursachen (z. B. Bewegungen der Widerlager A und B) die Punkte a und b im Sinne Xa = — 1 und Xb = — 1 um Strecken 8a und hb verschieben, welche geradlinige Funktionen der P, Xa, Xb, t sind*) und sich auf die Form bringen lassen:

— 2Pm8am — -V„8oa — Xbhab -f- S₀₍ -j- 8aw, = -2Pmhbm Xahba — Xbhbb -j- hbt -f- 8iw,

wobei die Grössen 8aic und hbw den Einfluss jener „anderen Ursachen“ zum Ausdruck bringen. Die Koefficienten der X sind bereits vorhin erklärt worden (8aa ist z. B. der Werth, den 8„ annimmt, wenn nur

y|

7T

3'

Fig. 139 u. 140.

Fig. 137 u. 138.

die Ursache Xa — — 1 wirkt) und ganz ebenso lassen sich die 8am und 8im deuten, welche bezw. den Einfluss von Pm = 1 auf Sa und hb darstellen.

Nun ist aber nach dem Maxwell’schen Satze die Verschiebung Som welche a im Sinne Xa =— 1 und in Folge der Last Pm — 1 erfährt, ebenso gross wie die Verschiebung von w im Sinne von Pm, hervorgerufen durch Xa = —1, und in gleicherweise ergiebt sich hbm = 8m5, so dass obige Gleichungen übergehen in

8a = ZPmhma — Xahaa — Xbhab + hat + Saw Sj ==: 2Pm8m6 Xahba — Xbhbb -j- S6< -j-

*) Diese Eigenschaft ist in der Einleitung erörtert worden; sie folgt aber auch ohne weiteres aus den Untersuchungen in den §§ 1—3; denn zwischen den auf feste Richtungen projicirten Verschiebungen 8 und As bestehen nur Beziehungen ersten Grades, ebenso zwischen den As und den Lasten.

10*

Die auf der rechten Seite stehenden § sind mit Ausnahme der baw und bbw durch die vorhin angeführten drei Verschiebungspläne bereits bestimmt; für §„ und hb sind die lothrechten Verschiebungen der Stützpunkte a und b einzuführen.

Setzen wir bei A und B starre Widerlager voraus, nehmen wir ferner an, dass weitere Ursachen, welche „Störungsglieder“    hbu>

erzeugen, nicht vorhanden sind, so ist 5««, = 0, hbw — 0. Vernachlässigen wir noch die Zusammendrückung der Grundpfeiler der Säulen und des Baugrundes, so ist §„ gleich der Verkürzung der durch Xa auf Druck beanspruchten Säule CD, vermindert um die Verlängerung, welche diese Säule in Folge der Temperaturerhöhung erfährt.¹)

Es ergiebt sich:

Xaha

EaFa

worin Ea, Fa, ta, s₀, ha bezieh, die Elasticitätsziffer, den Querschnitt, die Temperaturerhöhung, die Ausdehnungsziffer für t = 1⁰ und die Länge der Säule CD bedeuten: und ebenso folgt:

Xbhb

EbFb

Jetzt können die Grössen Xa, Xb aus den beiden für 8a und 8b abgeleiteten Gleichungen berechnet und hierauf die Spannkräfte:

S = Sq — SaXa — SbXb.

bestimmt werden.

60. Uebungsaufgaben. Der im vorstehenden Beispiele eingeschlagene Weg führt bei jedem statisch unbestimmten Fachwerke, welches sich durch Beseitigung von überzähligen Stäben und Auflagerbedingungen in ein statisch bestimmtes verwandeln lässt, zum Ziele. Treten mehrere statisch nicht bestimmbare Grössen Xa, Xb, XC1 . . . auf, so erhält man:

A₀5aa A₆8a6 ATc8a(.- • • • . &at H⁻ ^aw

(I)

5₆ = 2Pmhmb - XA„ — Xbhbb — Xehbc — ....+ 06< + hbw K = 2Pmhmc — Xahca — Xbhcb — XXc — • • . • + Kt + 5ew

Die als Coefficienten der P und X auftretenden 5 sind bestimmt, sobald die den Belastungszuständen Xa = — 1, Xb=—1, Xe — — 1 . . . entsprechenden Verschiebungen der Knotenpunkte ermittelt worden sind.

^JXIXlAIAiXlAlAAL

771

Ja*

Fig. 142.

Fig. 141.

JO

IŁ

Trn

/A

(rp

Ar

Fig 143.

Fig. 144

]P

>P

{m

x/;

)a

MT?

*a

7ZW7777,

Fig. 145.

Die 8aK), bbu>, bet0 . . . werden in der Regel = 0 gesetzt. Will man sie berücksichtigen, so beachte man, dass (nach Seite 35) 5att, —— La, hbie = — Lb, . . . ist, wobei La die virtuelle Arbeit der Stützenwiderstände des statisch bestimmten Hauptnetzes für den Belastungszustand Xa — — 1 ist, Lb für den Zustand Xb = — 1, u. s. w. Die 8a, 5b, 8C . . . werden schliesslich gewissen Bedingungen unterworfen und hierauf werden die Gleichungen (T) aufgelöst. Dem Leser wird empfohlen, an dieser Stelle das in der Einleitung vorgeführte Beispiel noch einmal an der

Hand des Maxwell’sehen Satzes durchzugehen und dann die in den Figuren 141 bis 145 abgebildeten Fachwerke in derselben Weise zu behandeln. Welche Grössen als statisch nicht bestimmbar einzuführen sind, ist in den Figuren angegeben worden. Feste Auflagergelenke sind mit (ft) bezeichnet.

61. Ueber die Wahl der Grössen X. In der Regel wird es nicht schwer fallen, diejenigen Spannkräfte und Stützenwiderstände eines statisch unbestimmten Fachwerks herauszufinden, welche zweckmässig zu den mit Hilfe von Elasticitätsgleichungen zu bestimmenden Grössen X gewählt werden. Vor allem wird man danach streben, dass das statisch bestimmte Fachwerk, welches durch Beseitigung der als überzählig bezeichneten Stäbe und Auflagerbedingungen gewonnen wird, möglichst einfach ist. So» leuchtet z. B. ohnes weiteres ein, dass die in No. 57 durchgeführte Verwandlung des Bogens mit zwei festen Gelenken in ein Fachwerk mit einem festen und einem beweglichen Gelenke zweckmässiger ist als die Verwandlung in einen Bogenträger mit drei Gelenken, zu welcher man durch Wegnahme eines Gurtstabes gelangt wäre; denn die Darstellung der Formänderung ist für diesen. Bogenträger etwas umständlicher als für das Fachwerk in Fig. 132.

-b--------x

k-

<-

i_Li

N,

c ,    ' ₄ Z' i

----------4^4

k-

Fig. 146.

Sodann ist hervorzuheben, dass nicht jeder Stab und jede Auflagerbedingung eines statisch unbestimmten Fachwerks als überzählig bezeichnet werden dürfen. Wollte man z. B. bei dem in Fig. 146 abgebildeten sichelförmigen Bogenträger, dessen Gurtstäbe EG und JF sich in einem Punkte C der Geraden AB schneiden, die Spannkraft des Schrägstabes EF zur Grösse X wählen, so würde man mit X = 0 einen Bogenträger mit einem Gelenkviereck erhalten, der zwar im allgemeinen steif, im vorliegenden Sonderfalle aber von unendlich kleiner Beweglichkeit wäre, da die drei Punkte A, C, B in dieselbe Gerade fallen. Dass EF ein nothwendiger Stab ist, mithin nicht entfernt werden darf, erkennt man auch, wenn man die Spannkraft jD des Stabes EF mittels des Ritter’schen Verfahrens berechnet,.

In dieser Gleichung kommen ausser I) nur noch die Lasten Pl5 P₂ und der Stützenwiderstand A vor, und für den letzteren findet

d. h. die Summe der auf den Drehpunkt C bezogenen Momente der am Trägertheile links vom Schnitte tt angreifenden Kräfte = 0 setzt.

man aus der Momentengleichung für den Punkt B den Werth A =

2PZ>

l ¹

so dass für D ein nur von den Kräften P abhängiger Ausdruck erhalten wird, der nur bei ganz bestimmter Lastvertheilung verschwindet.

Ein besonders lehrreiches Beispiel bietet der Träger in Figur 147²), welcher drei feste Auflagergelenke A, B, C und zwei Mittelgelenke D und E besitzt und einfach statisch unbestimmt ist. Er sei so geformt, dass sich die Geraden AD und CE in einem Punkte F der Senkrechten durch B schneiden.

Sind die Scheiben I und II unbelastet, so gehen die Widerstände der Stützen A und C beziehungsweise durch die Gelenke D und E. Zerlegt man nun den Widerstand der Mittelstütze in die senkrechte Seitenkraft B und in die wagerechte H, und belastet die Scheibe III mit einer Kraft P, so erhält man (mit den in die Figur eingetragenen Hebelarmen h und r) die Gleichgewichtsbedingung

Eh = Pr

"r'/K7

VA

if²

ii

Fig 147.

CW

und erkennt, dass H im allgemeinen nicht = 0 gesetzt werden darf; und in der That führt die Beseitigung der wagerechten Stützung des Punktes B zu einem Fachwerke, welches zwar die erforderliche Anzahl von Stäben und Auflagerbedingungen besitzt, trotzdem aber verschieblich ist, wie am sichersten und einfachsten mit Hilfe der im Band I Abschnitt XIII eingeführten Figur F' nacbgewiesen werden kann. Zu diesem Zwecke ersetzen wir zunächst die steifen Scheiben I, II und III, deren Gestalt für die anzustellende Untersuchung gleichgiltig ist, durch einfacher geformte, nämlich I und II durch je einen Stab und III durch ein Dreieck (Fig. 148); sodann verbinden wir jedes feste Auflagergelenk durch zwei Stäbe und das bewegliche Auflagergelenk durch emen in die Richtung des Stützenwiderstandes B fallenden Stab mit dem die Ge-sammtheit der Widerlager vorstellenden Dreiecke HJK und erhalten auf diese Weise ein sehr leicht zu übersehendes Fachwerk. Dass sich

nun für dieses Stabgebilde eine Eigur (F') zeichnen lässt, welche der Eachwerksfigur (F) unähnlich ist, lehrt ein Rück auf die Abbildung 148*); und damit ist bewiesen, dass jenes Fachwerk beweglich ist. Die Beweglichkeit ist allerdings — starre Stäbe vorausgesetzt — eine unendlich kleine, der Träger ist aber in Folge dessen unbrauchbar.

Es möge schliesslich noch darauf hingewiesen werden, dass im allgemeinen ein statisch unbestimmtes Facb-werk mit Hilfe der Figur F' auf Beweglichkeit untersucht werden muss, noch ehe auf die Frage, welche Grössen mit X zu bezeichnen sind, ein-gegangen wird ; denn es kann vor-^(e) kommen, dass die Beweglichkeit nicht erst durch Beseitigung von Stäben oder Auflagerkräften herbeigeführt wird, sondern schon vorher besteht. Beispiele hierfür bieten die Figuren 149 und 150. Erstere stellt ein ebenes Stabgebilde von endlicher Beweglichkeit vor, was leicht zu erkennen ist, weil das Gebilde aus der Form a in die Form b gebracht werden kann, und letztere zeigt ein ebenes

not)

t<fj

Da—

(Aj

v/m.

Fig. 148.

crcfj

\s

---A__A y/

-----Xs' \

y/

Fig. 149.

Fachwerk, welches selbst dann von unendlich kleiner Beweglichkeit sein würde, wenn sämmtliche Stäbe starr wären ; denn die Scheibe 1 — 2 — 3 — 4 kann sich so lange um den Punkt C, in welchem die Achsen der an der Scheibe angreifenden Stäbe Zusammentreffen, drehen, bis jene Achsen nicht mehr durch einen Punkt gehen, was nach einer unendlich kleinen Drehung der Scheibe der Fall sein wird. Bezüglich

Fig. 150.

*) Die Punkte A\ C, H', J\ K' wurden beziehw. mit A, C, H, J, K zusammenfallend angenommen.

der Stabgebilde von unendlich kleiner Beweglichkeit verweisen wir noch auf die in der Einleitung, Seite 37, angestellten Betrachtungen. Dort wurde gezeigt, dass bei solchen Fach werken die Vernachlässigung der Längenänderungen der Stäbe nicht erlaubt ist, auch hervorgehoben, dass derartige Stabwerke als Träger ungeeignet sind.

b. Vereinfachung der mittels des Maxwell'schen Satzes abgeleiteten

Elasticitätsgleichungen.

62. Allgemeines. Die Elasticitätsbedingungen I auf Seite 149 (s. auch Seite 35, Gleich. 35) lassen sich stets so umformen, dass in jeder Bedingung nur eine Unbekannte X vorkommt, welche dann ohne weiteres aus dieser Gleichung berechnet werden kann. Um dies zu erreichen, muss man die statisch nicht bestimmbaren Grössen so wählen, dass alle diejenigen Coefficienten 5 der X verschwinden, welche einen aus zwei verschiedenen Buchstaben gebildeten Zeiger haben, nämlich:

^ab ^baf 5ac — §ca,    8cj, U. S. f.

Es ergeben sich dann die einfachen Beziehungen:

(II)

2 Pm^ma — Xahaa -f- S„, -J- 8aw 5, = 2PmSm6 — XA* + K + 8*„ .

Diese Umformung bezweckt nicht allein die Umgehung der an und für sich einfachen Aufgabe, Gleichungen mit mehreren Unbekannten aufzulösen, sondern auch die Vermeidung grösserer Fehler, die bei Anwendung der Bedingungen (I) meistens unausbleiblich sind, sobald die Verschiebungen 8 auf zeichnerischem Wege ermittelt werden. Liegt beispielsweise ein zweifach statisch unbestimmtes Fachwerk vor, für welches der Einfluss einer Einzellast Pm auf die Grössen Xa und Xb angegeben werden soll, so hat man (wenn 8a = 0 und 8ft = 0 sind) :

0 = Pm 8wa — XA« — XA*

o = pm8m* — XA« — xbhbb

und hieraus:

Xa

S,»a ^*6 ^mb^ab

Xb

8w,a8§at

8aeA& 8aj²

^«<A*    ^«*

Man erhält also, falls die Glieder, aus denen die vorstehenden Brüche bestehen, positiv sind, die X:P als Verhältnisse von Unterschieden und kann schon bei geringen Zeichenfehlern zu ganz unrichtigen Ergebnissen gelangen. Wurden z. B. für Zähler und Nenner von Xa : Pm die Werthe 151,87 — 149,12 = 2,75 und 223,81 — 220,58 = 3,23

Pm

Pm

anstatt der genaueren: 151,58-—149,34 = 2,24 und 224,67 — 220,68 = 3,99 erhalten, so findet man

X₀ 2,75

Pm 3,23

= 0,85 statt

Xa

2.24

Pm 3,99

-=0,56,

bekommt also trotz den geringen Fehlern in den einzelnen Zahlen einen um 52 °/₀ zu grossen Werth Xa:Pm.

Nach den Erfahrungen des Verfassers empfiehlt sich die Anwendung der Gleichungen (I) bei mehrfach statisch unbestimmten Fachwerken nur dann, wenn die Verschiebungen 5 durch Rechnung ermittelt werden und zwar auf mehrere Decimalstellen, die erst nach Bestimmung der X zum Theil abzuwerfen sind. Meistens kommen nur parallele Lasten in Betracht, in welchem Falle nur die Berechnung von Biegungslinien nach dem in No. 49 gelehrten Verfahren verlangt wird.

Entscheidet man sich aber für die Anwendung von Verschiebungsplänen, so forme man die Gleichungen (I) auf die im folgenden gelehrte Weise in II um. Dabei wird sich zeigen, dass diese Umwandlung bei Fachwerken von niedrigerem Grade statischer Unbestimmtheit (und diese kommen ja fast allein vor) sehr einfach ist. Je grösser die Anzahl der X, desto umständlicher wird es, die Gleichungen (II) herbeizuführen.

Vorausgesehickt werde noch, dass in den nachstehenden Untersuchungen die X entweder Einzelkräfte oder Momente von an starren Scheiben angreifenden Kräftepaaren bedeuten. Im ersten Falle bezeichnet das zugehörige ô eine Verschiebung, im zweiten einen (im Bogenmaass ausgedrückten) Drehungswinkel. Ist also z. B. Xa eine im Punkte a angreifende Einzelkraft, so bedeutet §„ die Projektion der Verschiebung von a auf die Richtung Xa. Stellt Xa das Moment eines an einer starren Scheibe    \a]    angreifenden Kräftepaares    vor,    so giebt ha den

Winkel an, um    den    sich die Scheibe [a] dreht.    Die    8„, §fc, . . . werden

in entgegengesetztem Sinne positiv gezählt wie die zugehörigen Grössen X. Bezüglich der übrigen Bezeichnungen verweisen wir auf Seite 35 (vgl. auch No. 59). Greifen zwei Einzelkräfte Xn Xs an demselben Punkte an, so wählen    wir    für diesen den Buchstaben    r oder s, je nachdem

wir den Punkt    als    den Angriffspunkt von Xr    oder    von Xs besonders

ins Auge fassen.

Schliesslich machen wir darauf aufmerksam, dass in den folgenden Beispielen bei unverschieblichen Widerlagern mit den Grössen baiC, 8&K,, . . . auch stets die 5„, 5&, ... verschwinden, so dass sich für den Einfluss der Lasten P auf die Grössen X die Formeln ergeben:

(III)

x„

2Pm8m6

^bb

und für den Einfluss von Temperaturänderungen die Ausdrücke: Xat = 1 -f— ; Xbt= 1

(IV)

^aa

63. Das zweifach statisch unbestimmte Fachwerk. Als statisch nicht bestimmbare Grössen lassen sich hier stets zwei in einem und

demselben Punkte angreifende Einzelkräfte Xa und Xb einführen. Die Gleichungen II gelten, sobald hba — hab — 0 ist. Um dies zu erreichen, nehme man die Richtung von X„ willkürlich an, bestimme die Verschiebung aax, welche a in Folge des Be

lastungszustandes Xa = — 1 erleidet und nehme Xb rechtwinklig zu aal an. Dann wird \a— 0, denn es bedeutet hba die Verschiebung, weiche b in der Richtung Xb erfährt, wenn nur die Ursache Xa=—1 wirkt. Trägt man nun den Verschiebungsplan für den Zustand Xb = auf, so muss sich bei sorgfältiger Zeichnung für den Punkt b eine zu Xa rechtwinklige Verschiebung bb₁ ergeben, denn sobald 6ia = 0 ist, muss auch 5o& = 0 sein, weil Sfco = SaJ ist.

1. Beispiel.

Der in Fig. 152 dargestellte , über zwei Oeffnungen gespannte Bogenträger, welcher bei A und C feste, bei B ein bewegliches Auf-lagevgelenk besitzt, ist zweifach statisch unbe-

’t v

a\

Fig. 151.

771V.

■à

stimmt. AlsGrössenX sollen die nach festen Richtungen wirkenden Seitenkräfte Xa und Xb des in A angreifenden Stützenwiderstandes eingeführt werden. Im FalleXa = 0 u. Xb—0 geht der Träger in einen statisch bestimmten Balken mit den Stützen B und C und einem auskragenden Arme BA über. Für diesen Balken wird nach willkürlicher Wahl der Richtung von Xa der dem Zustande Xa = —1 entsprechende Verschiebungsplan gezeichnet, welcher für a die Verschiebung aax und für irgend einen Knoten m die Verschiebung mmx ergeben

Sacc

ff

H'i

r[m₂

f-'Z/P

/ rn

•b

».

Fig. 152. 153. 154.

möge. Nun wird Xb rechtwinklig zu aax angenommen und der Verschiebungsplan für Xb~ — 1 aufgetragen; derselbe liefert für den Punkt b eine zu Xa rechtwinklige Verschiebung bb₂ und für m die Verschiebung mm₂. Nach Bestimmung der in die Figur 152 eingetragenen Projektionen haa, hbb, hma, bmb, (von denen 8m„ negativ ist) erhält man den Einfluss von Pm:

Xa =

jj

m ö*

Ka

; Xb = Pm

Wird sämmtlichen Stäben die gleiche Temperaturänderung t zugeschrieben, und liegen A, B, C in einer zur Bahn des Lagers B parallelen Geraden, so erfährt der Endpunkt A des Balkens ABC in Folge t eine wagerechte Verschiebung von der Grösse stl (wo l = AC), deren Projektionen auf die Richtungen von Xa — —- 1 und Xb = — 1 beziehungsweise 8at = s,tl und hbt = ztl cos sind (wo 9 den Neigungswinkel von Xh gegen die Wagerechte bedeutet) und es ergiebt sich deshalb :

Xat =

s tl

Xbt — 1

stl cos 9

¹

2. Beispiel. Der Fachwerkbogen in Fig. 155 ist bei A und B fest gelagert und besitzt einen überzähligen Stab CD; er ist also zweifach statisch unbestimmt. Wir verwandeln das feste Gelenk in ein bewegliches, denken uns aus dem Stabe CD ein Stück EF herausgeschnitten, führen die Punkte E und F in der Geraden CD, fügen die

J)

MTd

][\a

Fig. 155.

Fig. 156.

starren Stäbe EG, FG, GH und AH hinzu und bringen in H zwei Kräfte Xa und Xb an, welche wir so bestimmen, dass die gegenseitige Verschiebung des Punktepaares CD ebenso gross wird wie die Längenänderung des überzähligen Stabes und dass ferner (unbewegliche Widerlager vorausgesetzt) die Verschiebung des Punktes A den Werth Null annimmt. Dann stimmen die Spannkräfte der Träger in den Figuren 155 und 156 miteinander überein. Die Spannkraft des Stabes AH giebt den wagerechten Widerstand des festen Auflagergelenks A an. Zu beachten ist, dass GH J_ CD und j_ EGH — [_ FGH sein muss, damit sich für die Stäbe CE und FD gleich grosse Spannkräfte ergeben; auch empfiehlt es sich, den Stäben CE und FD Querschnitte F', F" und Temperaturänderungen t', t" zuzuschreiben, welche zur Folge haben, dass die Summe der Längenänderungen von CE und FD gleich der Längenänderung des überzähligen Stabes CD ist. Entsprechen dem letzteren daher die Werthe F, t und ist CD = s, CE = s', FD — s", sein:

so muss

+ yr — -y und t's -f t"s" = ts.

Es wird dann ausser der Verschiebung des Punktes A die gegenseitige Verschiebung des Punktepaares EF gleich Null gesetzt und hieraus 5a— 0, hb = 0 gefolgert. Wählt man nun nach willkürlicher Annahme der Richtung von Xa, die Kraft Xb rechtwinklig zu der Verschiebung, welche a in Folge von Xa —— 1 erfährt, so gelten wie vorhin die Gleichungen:

Sa«

Xb = Fm

S bb

Schreibt man sämmtlichen Stäben die gleiche Temperaturänderung t zu (mit Ausnahme der Stäbe CE und FD, für welche t' bezieh, t" anzunehmen sind) so erhält man wie im vorigen Beispiele:

stl cos q>

X0< =

etl

1 s > t 0««

Das Minuszeichen ist erforderlich, weil Xb jetzt einen anderen Richtungspfeil besitzt.

3. Beispiel. Träger mit einem festen und drei beweglichen Auflagergelenken, Fig. 157. Das Verfahren ist in der Abbildung angegeben worden.

Stäbe AE und CF sind , rechtwinklig zu den Bahnen # der Auflager A und C-, ihre ^

Endpunkte E und F werden in den Richtungen MA¹ und CF geführt.

64. Das dreifach statisch unbestimmte Fachwerk. Man schliesse an das statisch bestimmte Fachwerk, in welches das unbestimmte in Folge Beseitigung der

Die

A\

m.

Fig. 157, 158.

überzähligen Stäbe und Auflagerbedingungen übergeht, auf irgend eine Weise eine starre Scheibe an und belaste diese mit einem Kräftepaare, dessen Moment — Xa ist, ferner mit zwei in demselben Punkte (b, c) angreifenden Einzelkräften Xb und Xc. Hierauf nehme man die Werthe ba (Drehungswinkel der Scheibe), hb (Verschiebung von b im Sinne Xb ——1) und §„ (Verschiebung von c im Sinne Xc = — 1) so an, dass die an der Scheibe angreifenden Kräfte auf das statisch bestimmte Fach werk genau dieselbe Wirkung ausüben, wie die beseitigten überzähligen Glieder. Wählt man nun den Pol, um den sich die Scheibe in Folge des Belastungsfalles Xa — — 1 dreht, zum Angriffspunkte von

\m

Xb und Xc, so erzielt man, dass hba — 0 und = 0 wird, und es müssen sich dann bei sorgfältiger Zeichnung oder Rechnung X die Drehungswinkel und 50 X;    welche die Scheibe in Folge

x.

li'

Xb = -—1 und Xc = — 1 erfährt, ebenfalls = 0 ergeben. Nimmt man schliesslich, bei willkürlich gewählter Richtung von Xb, die Richtung von Xc rechtwinklig zu der Verschiebung an, welche der Punkt (b, c) in Folge der Ursache Xb =—1 erfährt, so wird bcb = Q und damit auch §₅₍i=0, und es gelten dann die Gleichungen II.

li'¹

711

Fig. 159, 160, 161, 162, 163,

1. Beispiel. Liegt der in Fig. 159 dargestellte, in der Regel als Fachicerkbogen mit ein-gespannten Enden bezeichnete Träger vor, so ersetzt man das linke Widerlager durch die starre Scheibe ADL und den nach Lage und Grösse vorläufig unbekannten Kämpferdruek K durch ein Kräftepaar mit dem Momente Xa und durch zwei nach festen Richtungen wirkende Einzelkräfte Xb und Xe.

Hierauf zeichnet man den Verschiebungsplan für den Belastungszustand

Xaj= — 1, indem man in A und B zwei entgegengesetzt gleiche im

Abstande e von einander wirkende, parallele Kräfte von der Grösse — annimmt, Gestimmt die Verschiebungen AA₁ und BD₁ von A und B und wählt hierauf den Angriffspunkt L von Xb und Xc so, dass LA\_AAX und LB BBX ist. Dahn ist L der Drehpol der Scheibe für den Zustand Xa — — 1 ; es ergiebt sich — 0, 5co — 0 und deshalb auch §«& = 0, hac - 0.

Die Richtung von Xb wird willkürlich gewählt und die Richtung von Xc rechtwinklig zu der Verschiebung angenommen, welche L in Folge Xb = — 1 erfährt, damit hcb = hbc = 0 werde. Schliesslich werden bei starren Widerlagern die Werthe ha, hb und hc — 0 gesetzt und die Gleichungen (II) aufgelöst. Für den Einfluss von Pm gelten die Gleichungen III, für denjenigen von t die Gleichungen IV (S. 154 u. 155).

2. Beispiel. Soll der in Fig. 164 abgebildete, über 3 Oeff*-nungen gespannte Bogenträger mit den festen Auflagergelenken A, D und den beweglichen Auflagergelenken B, C untersucht werden, so ersetze man die Stützen A und C auf die in der Figur angegebene Weise durch eine starre Scheibe A F und einen zur Bahn des Auflagers C rechtwinkligen Stab CF, belaste die Scheibe mit einem Kräftepaare Xa und zwei in demselben Punkte L angreifenden Einzelkräften Xb, Xe und

Ci

~F

Jnm

W

rx

V/

V/

Fig. 164.

verfahre wie bei Lösung der vorigen Aufgabe. Behufs Bestimmung des Punktes L ermittle man für den Zustand Xa — — 1 die Verschiebungen von A und C, hierauf die Verschiebung von F und trage AL und FL rechtwinklig zu den Bewegungsrichtungen der Punkte A bezieh. F ein. Bei starren Widerlagern sind 8„, hb und bc gleich Null zu setzen.

65. Das vierfach, statisch unbestimmte Fachwerk. Man lasse die Kräfte Xa, Xb, Xc, Xd auf eine aus zwei starren Scheiben 1, II und zwei starren Stäben l', ll' gebildete kinematische Kette (Fig. 165) wirken, -welche mit dem statisch bestimmten Hauptsysteme so verbunden wird, dass sich die von den Ursachen Xa = —• 1, Xb — — 1, Xc = — 1,

Xd = — 1 hervorgerufenen Spannkräfte Sa, Sb, Sc, Sd eindeutig und auf möglichst einfache Weise mittels der Gleichgewichtsbedingungen bestimmen lassen. Die Scheibe I belaste man hierbei mit den Einzelkräften Xa und Xb*), die Scheibe II mit den Einzelkräften Xc und Xd. Die ganze Anordnung wähle man so, dass man die Belastungszustände

der Scheibe II zu kennen.

1 und Xb = — 1 vollständig erledigen kann, ohne die Lage

Die Lage von Xa darf willkürlich angenommen werden; Xb muss durch den Pol Ia gehen, um den sich die Scheibe I in Folge der Belastung Xa = —1 dreht. Man erreicht dann: bba = bab=0.

Nach Bestimmung der Verschiebungen in Folge der Ursache Xb——1, welche für die Scheibe I den Pol Ib liefern möge, gebe man der Scheibe II eine solche Lage, d dass die Pole IIa und IIb um welche sich II bei Eintreten der Belastungszustände Xa = — 1 und Xb=— 1 dreht, zusammenfallen, und diesen gemeinschaftlichen (in der Fig. 165) mit L be-zeichneten Pol wähle man zum Angriffspunkte der Kräfte Xc und Xd. Dann wird nämlich hca — 0, bcb = 0, bda = 0, hdb — 0 und in Folge dessen auch bac = 0, hbe = 0,    = 0,    = 0. Schliesslich nehme man bei willkürlicher

Wahl der Richtung von Xe die Kraft Xd rechtwinklig zu der Verschiebung an, welche Punkt L in Folge Xc = — 1 erfährt, damit hdc = bcd= 0 werde. Die Gültigkeit der Elasticitätsgleichungen II ist hiermit erreicht.

Die Lage des Punktes L bestimmt man am schnellsten mit Hilfe des im I. Bande Abschnitt XIII abgeleiteten Satzes von den drei Polen. Die Pole (/•/')

?<

//

(iiü

B    ¹⁽¹

Wl) !

i'

Fig 165.

von

I gegen 1 und (Ï • II) von Ï gegen II

*) Die Kraft X„ darf auch durch ein Kräftepaar ersetzt werden.

fallen mit Gelenk B bezieh, dem Schnittpunkte von AB und CD zusammen, Pol (I • II) mit A. Die durch la und (I • Ï) ferner durch Ib und (I-T) gelegten Geraden sind die Oerter der Pole I„ und Ib', um welche sich Ï in Folge von Xa ——1 bezw. Xb — — 1 dreht, und welche mit {Ï • II*) in derselben Geraden liegen. Da nun weiter die 3 Pole (/.//), IIa in einer Geraden liegen müssen, desgleichen die Pole (I • II) Ib, IIb, so ergiebt sich die folgende Bestimmungsweise der gesuchten Kette.

Man nehme (/•//) in der Geraden Ia—- Ih an, wähle die Lage des Stabes BC nach Belieben, bestimme die Pole I« und Ib um welche sich Ï in Folge X„ = — 1 und Xb = — 1 dreht, bringe die Geraden Ia' — 7/ und AB in {I' II) zum Schnitt und stelle nun die (durch den Punkt Ï • II gehende) Richtung des Stabes CD, dessen Länge willkürlich ist, fest. Schliesslich findet man L als Schnittpunkt der Geraden lä — Ib nnd Ia — J₆.

fa)

Beispiel. In Fig.

\m

fb)

«77?

Die

166 ist das beschriebene Verfahren auf einen über ^ drei Oeffnungen gespann- H ten Bogenträger mit den festen Gelenken A und E und den auf wagerechten Geraden beweglichen Ge- A lenken B, C und D angewendet worden.

Z/>

(cj

Scheibe I wurde mit dem Kräftepaare Xa und der Einzelkraft Xb belastet.

/X

fdj

ZustcuulJQ -/

Die Einführung eines Kräftepaares Xa bietet den Vortheil, dass sich die Spannkräfte Sa und Längenänderungen A sa

für den Zustand Xa——1 angeben lassen, ohne dass

'c

-----------e

Fig. 166.

über die Länge des Stabes CG etwas festgesetzt zu werden braucht, denn wie lang auch CG gewählt wird, stets werden durch die Scheibe I in Folge Xa — — 1 auf die Punkte A und C des statisch bestimmten

über-

Hauptsystems zwei entgegengesetzt gleiche lothrechte Kräfte —

11

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. ).

tragen, wobei e= dem wagerechten Abstande A C ist. Hat man nun für diesen Belastungszustand die Verschiebungen der Punkte A und C ermittelt, so kann man durch eine passende Wahl des Punktes G eine

bequemere Lage des Pôles erzielen, um den sich I dreht und durch den dann Xb gehen muss. Ist der Belastungsfall Xa = —i erledigt, so untersucht man den Zustand Xb = — 1. Hierbei braucht man die Lagen der Stäbe T und II' noch nicht zu kennen und wird diese nachträglich so wählen, dass der Angriffspunkt L (d. i. der Pol IIa und zugleich der Pol IIb) günstig liegt, wobei zu beachten ist, dass man den Stab DF auch nach Fig. 166C durch zwei Stäbe DJ und FJ ersetzen darf, deren gemeinsames Gelenk J in lothrechter Richtung geführt wird. Bei starren Widerlagern wird schliesslich = 0, bb = 0, bc = 0, ba = 0 gesetzt.

66. Träger von höherem Grade statischer Unbestimmtheit.

Ist die Anzahl der statisch nicht bestimmbaren Werthe X grösser als 4, so ist es möglich, das gesteckte Ziel durch wiederholte Lösung der in Fig. 165 behandelten Aufgabe zu erreichen: die Pole//« und JIb miteinander zur Deckung zu bringen. Um dies an einem Beispiele zu zeigen, denken wir uns den Bogenträger in Fig. 1 66 rechts von Enoch um mehrere OefFnungen verlängert und nehmen an, dass über sämmtlichen Mittelstützen bewegliche Lager mit wagerechten Bahnen angeordnet sind, an beiden Enden hingegen feste Auflagergelenke. Die beweglichen Auflager seien beseitigt, an ihre Stelle mögen lothrechte Stäbe treten, an welche in gleicher Weise wie an die Stäbe CG und DF noch weitere starre Stäbe und Scheiben angereiht werden sollen. Ebenso wie nun die Scheibe II in Abb. 166 an den Stab DF und an die Scheibe I so angeschlossen wurde, dass sich II in Folge der beiden Belastungszustände Xa = — 1 und Xb = — 1 um denselben Pol L dreht, denken wir uns weitere Scheiben III, IV, V hinzugefügt, deren Anzahl mit derjenigen der rechts von E sich anreihenden Trägeröffnungen übereinstimmt, die sämmtlich mit I und mit je einem der von den beseitigten Stützpunkten ausgehenden lothrechten Stäben so verbunden sind, dass jeder Scheibe für die beiden Belastungszustände X„ — —1, Xb = —1 derselbe Drehpol entspricht, und zwar falle ///« mit IIIb in M zusammen, lVa mit IVb in N usw. Es bleiben dann alle etwa noch an die Punkte L, M, N, . . . anzuschliessenden Stäbe und Scheiben bei Eintreten jener beiden Belastungszustände in Ruhe, und es folgt, wenn an diesen Gliedern Kräfte Xe, Xf, Xg, . . . angreifen: bea = bae — 0, bfa = baf = 0, . . . beb — hbe = 0, bfb = bbf = 0, . . . Gesetzt nun, es sei der Träger fünffach statisch unbestimmt, ein Fall der vorliegt, wenn rechts von E in Fig. 166 noch eine Oeffnung hinzutritt. Dann kommen nur die Scheiben II und III in Betracht ; man füge die in einem Gelenke T aneinander-

hängenden Glieder L T und TM hinzu, bestimme die Pole Sc und Sd, um welche sich die Scheibe S — TM in Folge von Xc — — 1 bezieh. Xd = — 1 dreht und belaste S mit einer in die Gerade SCSÆ fallenden Einzelkraft Xe. Dann ergiebt sich 5ec =    — 0 und hed = hde — 0,

und es gelten die Gleichungen (5), weil sämmtliche 6, die in den Gleichungen 4 in Verbindung mit den X auftreten und deren Zeiger aus zwei ungleichen Buchstaben bestehen, verschwinden.

Wäre der Träger sechsfach statisch unbestimmt, so würde man an die Scheiben II, III, IV eine Scheibe S' auf irgend eine Weise so anzuschliessen haben, dass die Drehpole und S d sich decken, und hierauf würde man diesen gemeinschaftlichen Pol zum Angriffspunkte von zwei Einzelkräften Xe und Xf wählen, wobei die Richtung von Xf rechtwinklig zu der Richtung der Verschiebung sein muss, welche der Angriffspunkt dieser Kraft in Folge Xe = — 1 erfährt. Die Möglichkeit nun, im Falle noch höheren Grades statischer Unbestimmtheit, weitere Scheiben S”, S”) ... so anzureihen, dass mit zusammenfällt, S,,,c mit S,r/rf usw. bildet die Handhabe zur planmässigen Ausbildung unseres Verfahrens; denn alle an die gemeinschaftlichen Pole angeschlossenen folgenden Stäbe und Scheiben bleiben nicht nur beim Eintreten der Zustände Xa — —1, Xb = — 1, sondern auch in den Belastungsfällen Xc = — 1 und X^==- — 1 in Ruhe.

¹

Es ist streng darauf zu achten, dass bei der Untersuchung des Einflusses der Bewegungen der Stützen auf die Glieder 5ow und Sbw nur die Widerlager des statisch bestimmten Trägers (hier der einfache Balken A B) in Betracht kommen; die Xa und Xb sind gewissermassen Lasten, welche ausser den P auf diesen statisch bestimmten Träger wirken. Die Bewegungen der überzähligen Stützenpunkte (C und E) werden bei Aufstellung der Bedingungen berücksichtigt, denen die Verschiebungen 8a und 8b schliesslich unterworfen werden. Als weitere Ursachen von Störungsgliedern 8₀«, und 8bw kommen in Wirklichkeit nur noch künstliche Anspannungen und unrichtige Ablängungen von Stäben in Betracht; diese lassen sich aber nach Seite 86 bei Wahl der Temperaturen t berücksichtigen. In der Regel werden die Glieder 8aw und 8bw gestrichen, da sie sich schwierig schätzen lassen. Vergl. auch Seite 22 den letzten Absatz.

²

Yergl. auch Fig. 143, Seite 149.

Der Verfasser hält übrigens bei in höherem Grade statisch unbestimmten Fachwerken die in No. 67 bis 70 durch Aufgaben erläuterte Berechnungsweise für unbedingt zweckmässiger, und hat sich aus diesem Grunde auch damit begnügt, von den verschiedenen möglichen Verfahren, die Gültigkeit der Gleichungen II auf Grund kinematischer Untersuchungen herbeizuführen, nur das eine anzugeben.

c. Anwendung der Elasticitätsgleichungen:

ZPm8m" -j- ZS" ets —L

(V)

X'ZS'¹ p -fX"2S'Ä"p +X'"'2Srg p + ... = ZPm8m’ + ZS‘Its — L X' ZS" S' p + X" ZS"² P + X'" ZS" S"'p + X'ZS'"S'p4-X"ZS"'S"p4-X'"ZS'"²9 + ... = ZPm$m'"+ ZS"'zts —L

welche voraussetzen, dass sämmtliche Spannkräfte S und (nach festen Richtungen wirkenden) Stützenwiderstände C des statisch unbestimmten Fachwerks auf die Form gebracht worden sind:

S=S₀—S'X' — S"X" — S'"X —...

C=C₀ — C'X'— C"X" — C"'X — .. . wobei X', X", X'" ... die statisch nicht bestimmbaren Grössen bedeuten. ¹)

11¹

bm', bm", . • . sind die Verschiebungen, welche der Angriffspunkt m einer Last Pm erfährt, sobald auf das Fachwerk beziehungsweise nur die Ursache X' — — 1 oder nur die Ursache X" — — 1 u. s. w. wirkt, während L', L", ... die virtuellen Arbeiten der Stützenwiderstände C’, C" . . . bedeuten. Alle in den obigen Gleichungen enthaltenen, von den S', S", S'" . . . abhängigen Summenausdrücke erstrecken sich über sämmtliche Stäbe des Fachwerks, über die nothwendigen und überzähligen. Der Werth p ist

EF

Meistens werden die Widerlager starr angenommen und die virtuellen Arbeiten L — 0 gesetzt.

Die Anwendung der vorstehenden Gleichungen ist namentlich dann zu empfehlen, wenn die Werthe X', X" . . . durch Rechnung bestimmt werden sollen, was (wie schon auf Seite 153 hervorgehoben wurde) im allgemeinen geboten ist, sobald nicht jede Grösse X mittels einer einzigen Gleichung gefunden werden kann. In der Regel hat man es mit lothrechten Lasten zu thun; die bm', bm", bj", . . . sind dann Ordinaten von Biegungslinien, deren Berechnung sich (nach No. 49) stets auf die Ermittlung von Angriffsmomenten einfacher Balken zurückführen lässt. Aber auch der Einfluss schräg gerichteter, nicht paralleler Kräfte P kann auf dem am Schluss von No. 51 angegebenen Wege leicht durch Rechnung erledigt werden, nachdem die den Zuständen X' =—1, X' =—1, . . . entsprechenden Biegungslinien für irgend eine Verschiebungsrichtung bestimmt worden sind. Wenn wir also in den folgenden Beispielen durchweg lothrechte Lasten annehmen, so geschieht dies nur der kürzeren Darstellungsweise wegen. Vergl. auch No. 75.

67. Untersuchung eines über drei Oeffnungen gespannten Bogenträgers, Fig. 16 7, mit Scheitelgelenken in den Seitenöffnungen, festen Kämpfergelenken und wagerechten Gleitlagern über den Mittelpfeilern.

Der Träger ist einfach statisch unbestimmt; als statisch nicht bestimmbare Grösse wird zweckmässig der Horizontalschub X eingeführt. Die Spannkräfte S sollen in der Form

s = s₀ — s'x

dargestellt werden. Wird X—0 gesetzt, so geht der Bogen in einen Gerber’sehen Balken über, dessen Spannkräfte S₀ sich leicht bestimmen lassen. S' bedeutet den Werth, welchen S annimmt, sobald X — — 1 gemacht wird. Diesen Belastungszustand zeigt Fig. 168. In 4 und B greifen die wagerechten, nach aussen gerichteten Kräfte 1 an; ausserdem müssen — damit sich die Bogentheile AE und BF nicht um die

Gelenke E und E drehen — die lothrechten, nach unten gerichteten 2h

Kräfte

angebracht werden. Letztere bedingen bei C und D gleich

grosse, nach oben wirkende Widerstände.

Nachdem die Spannkräfte S' für sämmtliche Stäbe bestimmt worden sind (beispielsweise mit Hilfe eines Cremona’schen Kräfteplanes) kann X mit Hilfe der Elasticitätsbedingung

X2£'²p = 2PmSm' -f SS'sts — L'

Fig. 167.    §

F.

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Fig. 168.

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Fig. 169.

Al

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'J?'

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berechnet werden. Am besten bestimmt man getrennt:

den Einfluss einer Last P:

pb'

„ Temperaturänderung

X,=

2S'² p 2\S'sts Ys'²c

von Verschiebungen der Stützen AX =

L'

2S'²p

L' bedeutet die virtuelle Arbeit der an den

Die Werthe Xt und AX können bereits nach Ermittlung der S' ausgerechnet werden.

Stützpunkten A, B, C, D angreifenden äusseren Kräften des Zustandes X= — 1. Wird z. B. der Einfluss einer Vergrösserung der Stützweite

AB um Al gesucht, ferner der Einfluss von Senkungen der Punkte C und D um Strecken und t\ \ so hat man zu setzen:

L' = 1 Al

(V + ⁷f )

weil den in A und B angreifenden wagerechten Kräften 1 die positive virtuelle Arbeit 1 • AZ entspricht und den nach oben gerichteten Kräften

2h , 2h

2h

die negative Arbeit

Zur Bestimmung von X in Folge von P muss — da P an der oberen Gurtung angreift — die Biegungslinie dieser oberen Gurtung ermittelt werden, und zwar für den Zustand X— — 1. Entscheidet man sich beispielsweise für den in No. 46 (Seite 100) angegebenen Weg, so berechne man die von den Spannungen a =

S'

abhängigen Aenderungen t

der Randwinkel schreibe den Knoten 1, 2, 3 . . . die Gewichte wx = A' , w₂ — A' , ws — X ^ ist wagerecht und es verschwinden in Gleich. 3, Seite 101 die Glieder mit As) und verfahre im übrigen nach Beispiel 3 auf Seite 123. In Fig. 169 wurden die Gewichte wx, w₂, w₁₂, wx3 positiv, die anderen w negativ vorausgesetzt.

Die Linienzüge ÂLE', E'C'BD'F' und F' TB' sind die Momen-tenkurven einfacher Balken A'E', E'F' und F'B', welche beziehw. belastet sind mit wlf w₂, mit w₃ bis wxx und mit wX2, wX3. Der Schlusslinienzug A”E"F"B" ist bestimmt durch die Längenänderungen der Vertikalen AA₀, CC₀, DD₀ und BB₀; es ist nämlich:

3» •

. . zu (denn die obere Gurtung

A"A' = AAA₀; C"C' = ACC₀; D"D' = ADD₀; B"B' — ABB₀.

Diese Vertikalen werden gedrückt, und es liegen daher die Punkte A", C", D", B ' oberhalb A', C', D', B. *) Die in Fig. 169 schraffirte Fläche ist die gesuchte Biegungsfläche und gleichzeitig Einflussfläche für X (mit dem Multiplikator 1 :2S" ²p); der mittlere Theil derselben ist negativ, weshalb Lasten, die in den Knoten 6 bis 8 angreifen, einen negativen Horizontalschub X hervorbringen.

Hinzuzufügen bleibt, dass der für Xt abgeleitete Ausdruck sich für den in der Regel vorausgesetzten Fall einer gleichmässigen Erwärmung des Bogens noch vereinfachen lässt. Zu diesem Zwecke schreiben wir den Stablängen s des bei B auf wagerechter Bahn verschiebbar gedachten Bogens die verschwindend kleinen Aenderungen As = us zu, wobei « für alle Stäbe gleich sein soll, und wenden auf diesen Ver-

*) Wir erinnern daran, dass wir die lothrechten Verschiebungen stets nach unten positiv zählen.

schiebungszustand und auf den Belastungszustand X — — 1 das Gesetz der virtuellen Verschiebungen an. Wir erhalten dann, da sich l—l₂ -j-2ly una = ändert, die Beziehung

1-0I—'SiS'cùs, d. h.

und finden nun (falls neben t auch s einen festen Werth besitzt)

etl

Xt

s t^S's

p"

68. Kette, versteift durch einen Gerber’schen Balken. Wir

knüpfen an die im ersten Bande (§ 49) durchgeführte Untersuchung an, welche lehrte, dass eine über beliebig viele Oeffnungen gespannte Kette mit durchgehendem Versteifungsbalken ein statisch bestimmtes Tragwerk ist, sobald der Versteifungsbalken ebensoviel Mittelgelenke erhält als die Brücke Oeffnungen besitzt, und die Mittelgelenke so vertheilt sind, dass nach Weglassung irgend eines derselben (welches wir kurz das Gelenk G' nennen wollen) der Versteifungsbalken ein Gerber’scher wird.²) Wir zeigten auch, dass nach Bestimmung des Horizontalzuges H der Kette die Spannkräfte Z der Hängestangen sich mittels des Gesetzes leicht angeben lassen, dass die Kette das Seilpolygon der Kräfte Z ist, womit dann alle am Balken angreifenden Kräfte bestimmt sind; und schliesslich ermittelten wir H, indem wir das Angriffsmoment für den Balkenquerschitt G' gleich Null setzten. Fehlt nun das Gelenk G', wird also die Kette durch einen Gerber’schen Balken versteift, so entsteht ein einfach statisch unbestimmtes Tragwerk, als dessen statisch nicht bestimmbare Grösse X am zweckmässigsten der Horizontalzug der Kette gewählt wird. Zur Berechnung von X dienen, wenn sämmtliche Spannkräfte S auf die Form

S = S₀ —S'X

gebracht werden, die Formeln:

Einfluss einer Einzellast:

Pb'

„ Temperaturänderung:

US' zts

.³)

2S'² p

von Verschiebungen der Stützen: AJ =

L'

2S'²p

Das Verfahren möge an dem in Fig. 170 abgebildeten Träger erläutert werden. Der Versteifungsbalken besitzt hier zwei in der Mittelöffnung liegende Gelenke G und J. Um den Belastungszustand X= — 1 zu erhalten, denke man in den Kettengliedern Drücke S₁ , S₂', S₃', . . . erzeugt, denen ein Horizontalschub von der Grösse Eins entspricht. Fig. 170b giebt an, wie diese Kräfte und die zugehörigen Drücke Sÿ', Si0', S₁₁' . . ., in den Hängestangen dargestellt werden können, wobei es genügte, die linke Trägerhälfte zu behandeln. Die Drücke S₉', S₁₀', S₁₁' . . . bilden die Belastungen des Versteifungsbalkens, dessen Stützenwiderstände Ä, B', C', D' nach Abschnitt VI, Band I, zu be-

2.

10

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Fig. 170.

stimmen sind, worauf die Spannkräfte S' der Stäbe des Balkens mit Hilfe eines Cremona’schen Kräfteplanes gezeichnet werden können. Ist

s'

dies geschehen, so werden die Spannungen a = —- oder die Längen-

Jo

sämmtlicher Balkenstäbe berechnet, hierauf

S's

änderungen (As)'

nach No. 46 oder No. 47 die Gewichte w ermittelt und die in Fig. 170d schraffirte Biegungsfläche der Gurtung A₀ D₀ bestimmt. Dieselbe ist

die Einflussfläche für X ^Multiplicator

EE

2S'²p

^ und wird begrenzt

durch die Momentenlinien A'B'G', G'L⁴J', J'C'D' der mit den entsprechenden Gewichten w belasteten einfachen Balken ä’G', G' J', D' und den Schlusslinienzug A'G' J 'D', welcher bestimmt ist durch die Verkürzungen B'B' und C"C' der Vertikalen B₀B und C₀C.⁴) Zu beachten ist, dass sich der Ausdruck 2$'² p auf sämmtliche Stäbe des Tragwerks (Balkenstäbe, Hängestangen, Glieder der Tragketten und Rückhaltketten) bezieht.

Bei der Berechnung von Xt wird meistens angenommen, dass sich die dem spannungslosen Anfangszustande entsprechenden Temperaturen sämmtlicher Stäbe um den gleichen Betrag t ändern. Es stellt sich dann heraus, dass der Einfluss der Temperaturänderungen der Balkenstäbe und Hängestangen ein verhältnissmässig sehr geringer ist, und dass es genügt, im Zähler des für Xt erhaltenen Ausdruckes nur die Glieder der Tragketten und Rückhaltketten zu berücksichtigen. Für ein unter a gegen die Wagerechte geneigtes Glied der Tragkette erhält man S' = — 1 • sec a, und für die Glieder der Rückhaltketten ergeben sich z. B. bei der in Fig. 171 veranschaulichten Anordnung die Werthe S' — — 1 sec a.'. Daraus folgt dann:

Xt — -—

et

2S'²p

| 2s sec a -j- 2 (sa -}- sb) sec a') j,

worin sa — KKX und sb = KXK₂. Die Summe 2 s sec a erstreckt sich nur über die Glieder der Tragkette. In Folge einer Erhöhung der Temperatur wird der Horizontalzug der Kette verkleinert.

:sx

■"“©ê

>P

Fig. 171.

Verschiebungen der Widerlager bleiben meistens unberücksichtigt, obgleich Längenänderungen schlanker Mittelpfeiler und ein Hachgeben der Verankerungen von merklichem Einfluss auf X sein können. Es senke | sich z. B. der Stützpunkt E um tqx, A’um 7]₂, | auch verschiebe sich der Stützpunkt K im Sinne KKX um if)₃ und der entsprechende Stützpunkt des rechten Endpfeilers um v]₄.

In den Punkten E und K greifen beim Eintreten des Zustandes X — — 1 die Stützenwiderstände an :

1 (tg a₄ -f- tg a₅), nach abwärts gerichtet 1 sec a'

oben

und entsprechend gleiche Widerstände wirken bei F und N. Die virtuelle Arbeit dieser Auflagerkräfte ist:

L' = (tg a₄ -f tg a₅) (t]i + yj₂) + sec a (k)₃ + ij₄) und man erhält daher:

AX =

2S'²p

[(tga₄ -f tg a₅) (vj₄ -f vj₂) -f- sec a (rj₃ -f- v]₄)J •

69. Kette, über eine Oeffnung gespannt und durch einen Bogenträger mit 2 Kämpfergelenken versteift, Fig. 172. Dieses Tragwerk ist zweifach statisch unbestimmt. Als statisch nicht bestimmbare Grössen werden zweckmässig der Horizontalzug X' der Kette und der Horizontalschub X" des Bogens eingeführt. Die Spannkräfte werden auf die Form S = S₀ — S' X' — S"X" gebracht.

Fig. 175 zeigt den einfachen Balken AB, in welchen das Fachwerk im Falle X' = 0 und X" — 0 übergeht, während die Figuren 173 und 174 diesen Balken im Belastungszustande X' —— 1 bezieh. X" — — 1 darstellen.

1 befindet sich der Balken unter dem

Bei Eintreten des Zustandes X' — — 1 greifen am Balken A B die lothrechten Lasten S₇', S₈', ... an (d. h. die Drücke in den Hängestangen, welche genau so bestimmt werden wie im vorigen Beispiele), und im Belastungsfalle X" =

Einflüsse zweier wagerechter Kräfte 1. Nach Berechnung der den Spannkräften S' und S" entsprechenden Knotenpunktsgewichte w und w" werden die Biegungslinien (5' und S") als Momentenlinien einfacher Balken AB ermittelt**) und schliesslich die Elasticitätsgleichungen aufgelöst:

JT2£'²p + X"2S'S"p = Ph' 4- 2S'&ts — L' X'2S"S'ç> + X''2S"⁵ ⁶ ç =Pb" + 2S"sts — L".

worin

Man erhält den Einfluss der Belastung X' = P(w"5' — o5") X"=P(o'5" — wS')

2S"s p

G)'

iV ’ w

JV= 2s'²p • 2S"²p — (2S'£"p)

2P'P"p

, « =-t.-

'WM

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J)

7,

i⁵

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10

11

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Fig. 172.

>x"

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Kg. 173.

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w' t F w' X»

\+-

fr

>L-V

Kg. 174.

w*

^ l» X [

jV'

IV*

w*

Fig. 175.

-<

ferner den Einfluss einer Temperatur Änderung:

X't — (d"2iS' ets — oXiS" ets X't =    zts — id^ES' &ts

und den Einfluss einer Bewegung der Stützen:

A X' = — (ô"L' oL" kX"= — uL" + uL'.

Die von S' abhängigen Summenausdrücke erstrecken sich über die Stäbe des Bogens, die Hängestangen, die Tragkette und die Rückhaltketten, die von S" abhängigen nur über den Bogen, da für die Kettenglieder und Hängestangen S" = 0 ist.

Wird eine gleichmässige Temperaturänderung angenommen, so darf man, wie im vorigen Beispiele,

h?

T"

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CS

Fig. 176.

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Fig. 177.

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Fig. 179.

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Fig. 178.

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Fig. 180.

Fig. 181.

^S'zts = 2s sec a -f- 2s' sec a'

setzen, worin sich 2 s sec a nur über die Glieder der Tragkette erstreckt und s' die Länge einer Jtückhaltkette (bis zur Ankerplatte gemessen!) bedeutet. Dabei ist vorausgesetzt, dass die Rückhaltkette entweder geradlinig oder, wenn gebrochen, derart mit Zwischenstützen versehen ist. dass die Spannkraft in der ganzen Kette gleich gross ist. Yergl. Fig. 171. Weiter darf man (ähnlich wie beim ersten Beispiel, Fig. 16 7)

25" zts = etl

setzen.

Sollen Al' und AX" unter der Voraussetzung berechnet werden, dass sich die Stützpunkte C und D um 7)₁ bezieh. rj₂ senken, dass ferner die Ankerplatten links und rechts in der Richtung der Rückhaltketten um t]₃ bezieh. t}₄ nachgeben und l sich um Al ändert, so hat man zu setzen:

(Vergl. das vorige Beispiel).

L' = 1 • (tg a₀ + tg a ) (kr + %) + 1 • sec a (ï]₃ -f ï]₄) L" = 1 • A/

70. Uebungsaufgaben. Die durch einen einfachen Balken versteifte Kette in Fig. 176 ist einfach statisch unbestimmt. Kennt man den Horizontalzug X, so kann man die Spannkräfte in den Hängestangen mittels der Bedingung finden, dass die Kette das Seilpolygon dieser Kräfte ist.

Figur 177 stellt ein dreifach statisch unbestimmtes Hängewerk (System Ordish-Lefeuvre) dar. Sind die Spannkräfte X', X", X'" der lothrechten Hängestangen bekannt, so sind die in den Tragketten AC, CD, EB, ED, AD, DB und in den Rückhaltketten auftretenden Kräfte gegeben. Die durch eine gestrichelte Linie angedeutete Kette hat nur das Gewicht der Tragketten aufzunehmen. Bei symmetrischer Anordnung ist die Biegungslinie für X"' = — 1 das Spiegelbild der Biegungslinie für X' — — 1.

X"' = — 1, X'

Ein ähnliches Hängewerk zeigt Figur 178; dasselbe ist 4-fach statisch unbestimmt. Die Belastungszustände X' = — 1, X = — 1, 1 des Versteifungsbalkens sind in der Figur dargestellt worden; es ist zu beachten, dass am festen Auflager A schräge Widerstände hervorgerufen werden.

Das Balkenfachwerk in Fig. 179 besitzt in jedem Felde zwei sich kreuzende Diagonalen, welche aber beide im Stande sind, Zug- und Druckkräfte zu übertragen. Hat das Fachwerk also n Felder, so ist es n-fach statisch unbestimmt. In der Figur ist der Kräfteplan für X"' = —1 vorgeführt worden; die Wirkung dieser Kraft erstreckt sich nur über die Stäbe 9, 10, 11, 12, 13, und es treten daher nur zwei Gewichte w auf, nämlich w₂" und u>₃"', welche am besten nach No 47 Gleich. 10 berechnet werden. Man erhält für w₂" einen positiven, für ws'" einen negativen Werth und gelangt daher zu der in der Abbildung angedeuteten Biegungslinie (§ ")• Ebenso werden die Zustände X' = — 1, X" — — 1, u. s. untersucht.

Die Figuren 180 und 181 zeigen zweifach statisch unbestimmte Tragwerke, welche in ähnlicher Weise behandelt werden wie die versteiften Kettenbrücken in Fig. 170, 172, 176.

Wir heben zum Schluss noch einmal hervor, dass bei Anwendung der Gleichungen V auf Seite 163 die Summe 2 sich über sämmtliche Stäbe erstreckt, über die nothwendigen und überzähligen. So entsprechen beispielsweise dem überzähligen Stabe des ersten Feldes des Trägers in Fig. 179 die Werthe: S'=—1; S"= 0; S'" = 0; S"" = 0; u. s. w. dem des zweiten Feldes :    = 0 ; S" — — 1 ; S"' = 0 ; S"" = 0

u. s. w. Man vergl. auch Seite 26 der Einleitung.

§ 6.

Allgemeines über das Aufträgen der Einflusslinien.

71. Sind die Einflusslinien für die Grössen X eines durch parallele Lasten P beanspruchten Fachwerks nach einem der in No. 56 bis 69 angegebenen Verfahren bestimmt worden, so lassen sich die Einfluss-linien der Spannkräfte S und Stützenwiderstände C mittels der zwischen den S, C und X bestehenden Beziehungen ersten Grades darstellen. Soll beispielsweise die Einflusslinie für eine Spannkraft S = S₀ — SaXa — SbXb — »ScXe — . . . . aufgetragen werden, so nehme man zuerst sämmtliche X= 0 an, zeichne die »S^-Linie des statisch bestimmten Hauptsystems auf die im I. Bande gezeigte Weise und verkleinere die Ordinaten derselben um die Summe der beziehungsweise mit Sa, Sb, Sc, ... . multiplicirten entsprechenden Ordinaten der Einflusslinien für Xa, Xb, Xc, . . . wobei es sich empfiehlt, die Multiplikation mit Hilfe von Winkeln a, ß, y . . . . aus-zuführen, welche der Reihe nach durch

tgoc=£„, tg ß = Sb, tgy = Sc, . . . .

bestimmt sind.*)

In Fig. 182 ist dieses allgemeine Verfahren an einem Bogenträger mit festen Kämpfergelenken (A, B) und auf wagerechter Bahn beweglichem Auflagergelenke C erläutert worden. Als statisch nicht bestimmbare Grössen sind eingeführt: der Horizontalschub Xa und der Widerstand Xb der Mittelstütze. Gesucht sei die Einflusslinie für die Spannkraft S im »Stabe i — k der oberen Gurtung. Werden Xa und Xb — 0 gesetzt, so liegt ein einfacher Balken AB vor, und es besteht deshalb die S₀-Linie aus zwei Geraden AC und CB, welche nach Fig. 182c

bestimmt sind, wobei rm das

durch Auftragung von AJ — — 1

*) Auch der Proportionalcirkel leistet gute Dienste.

Loth vom Knotenpunkt m auf den Stab ifc bedeutet, lastungszuständen Xa == — 1 und Xb = — 1 entsprechenden Spannkräfte Sa und Sb stellen sich hier negativ heraus, während Xa und Xb nur positive Werthe besitzen; das Glied: —(SaXa -{- SbXb) ist also positiv; addirt man dasselbe zu dem negativen Werthe S₀, so erhält man für P= 1 :

Die den Be-

S — S₀ Sa Xb    Sb Ä₀ — P'i]

und gelangt zu der in der Fig. 182° voll schraffirten Einflussfläche für

S. Dieselbe ermöglicht für jeden Belastungszustand die Ermittlung von

S=’2Pt\.

*-

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J,

I-

(C)

-/ xm<

rm

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M.

Fig. 182.

= + 1 und Um+[ = 0

tn—l

72. Die ziemlich umfangreiche Arbeit, welche die Auftragung der Einflusslinien für sämmtliche Spannkräfte S eines mehrfach statisch unbestimmten Fachwerks verursacht, lässt sich durch Verwerthung der zwischen den einzelnen Grössen S stattfindenden statischen Beziehungen meistens erheblich abkürzen. In der Regel liegen Fachwerke vor, die aus aneinander gereihten .Dreiecken bestehen; es ist dann zu empfehlen, die Spannkräfte in den Füllungsstäben durch die Gurtkräfte auszudrücken. Bei belasteter oberer Gurtung betrachte man einen unteren Knotenpunkt m (Fig. 183), nehme zuerst U, an und bestimme mit Hilfe des in Fig. 183a dargestellten Kräftepolygons die entsprechenden Spannkräfte: — (Druck) und -j- xm+1 (Zug) der Wandglieder Dm und Dm+1. Ganz ebenso ermittle man für den Zustand ?7m-i = 0 und Um+X =-f-1 die Spannkräfte -J- vOT und — vOT+]

jener Glieder, um hierauf die für jeden Belastungszustand gültigen Formeln zu erhalten:

Dm =

Xm Um - 1 -j~ Vm Um

+ Um+1)

-I

^»M+1

^-x — U,

m+1

^»i + l

Die Einflusslinien für die Klammerausdrücke wollen wir kurz die Einflusslinien für Dm beziehungsweise Dm+1 nennen und die Faktoren und vm+1 als Multiplikatoren dieser Linien bezeichnen. Die Dm-Linie erhält man, wenn man die mit xm :    multiplicirte LTm-i'Linie von der

so?-"*r

m-1 Om,

___X

m-/

fez,;

(ÓJ

r,#

Fig. 183.

Fig. 184.

Dm+1-Linie in Abzug bringt, und ganz entsprechend ergiebt sich die Dm+l- Linie. Zur Ausführung der Multiplikationen mit xm : v„, und xOT+1 : vm+1 benutze man Hilfswinkel oder den Proportionalcirkel.

Bei belasteter unterer Gurtung drücke man die Spannkräfte D durch die Spannkräfte 0 aus.

Die oben für Dm und Dm+1 abgeleiteten Gleichungen gelten auch für den Fall belasteter unterer Gurtung so lange im Knoten m keine Last angreift. Liegt die Lasteinheit bei m, so treten rechts noch Glieder pm bezieh. pm+t hinzu, die der Fig. 184c zu entnehmen sind. Hierauf ist zu achten, wenn beide Gurte belastet sind. Yergl. auch das ähnliche allgemeine Verfahren in Band I, § 3

Sind nicht nur die Lasten, sondern überhaupt alle äusseren Kräfte (also auch die Stützenwiderstände) einander parallel, ein Fall der bei Balken auf mehreren Stützen, sowie bei den Versteifungsbalken von Kettenbrücken in der Regel vorliegen wird, so gehe man, falls sämmt-liche Wandglieder gegen die Richtung der Lasten geneigt sind (Fig. 184), von den bereits im I. Bande benutzten Gleichungen aus:

Dm cos <pm = — Um.x cos — Om cos ßm UmĄ.\ cos 9m+1 —    Um^.\ cos    Om cos ßm.

Sind dann mittels des in No. 71 beschriebenen Verfahrens die Einflusslinien für die 0 cos ß und U cos y gefunden worden, so sind auch die Einflusslinien für die D cos 9 bestimmt.

Für das in Fig. 185 dargestellte, von parallelen äusseren Kräften angegriffene Fachwerk, dessen Stäbe zum Theil in die Kraftrichtung fallen, gelten die Beziehungen:

Mm⁷)

Om cos ß,H = + Um+l cos yM+1 =

ti

/TL-7

Vm

fl

m- 1

h"

m+1

ln

Dm cos <pm

I~M„

hm

-1

[ Mm lhm

h,n

-1

K-i Mm

ti

hm

>//

/aj/

hm -

Last am Obergurt

h m+1-

Last am Untergurt;

-i

JL-"/ v /

— AL .iS⁷

m+7

f----A ——->t

ITLr/ :

Fig. 185.

" 'rm,

Fig. 186.

aus denen hervorgeht, dass es zweckmässig sein wird, zunächst die

M

—— darzustellen, um in dem Unter-

- Flächen eine D cos 9-Fläche zu

Auch die Vm-Fläche ist durch zwei aufeinanderfolgende

-^-Flächen, von denen aber die eine mit einem Höhenverhältniss mul-h

Einflussflächen für die Werthe

schiede zweier aufeinanderfolgenden erhalten.

.1/

tiplicirt werden muss, bestimmt; ferner treten bei den F-Flächen Mul-tiplicatoren auf.

Bei gerader Gurtung wird die Ermittlung der Kräfte V wesentlich einfacher. So findet man z. B. für den in Fig. 186 dargestellten Fall einer geraden unteren Gurtung die Gleichgewichtsbedingung:

( Vm — P) sin <xm -f- Dm sin = 0

und hieraus:

Vm

Dm sin

sin vh

sin am

sin am cos cpm (

-Pm C0S9m-f-

P cos <p„, sin a,,,^

sin il»

So lange die über den Träger wandernde Lasteinheit ausserhalb der Felder \m und km+1 liegt, unterscheidet sich die Einflussfläche für den Klammerausdruck von der Dm cos 9,,, - Fläche nur durch das Vorzeichen ; an der Stelle m ist zu der in entgegengesetztem Sinne zu nehmen-

den Ordinate der Dm cos 9»,-Linie noch der Betrag:

1 • cos 9„, sin am

-:—:-— zu

sm üi,„

addiren. Ist die untere Gurtung rechtwinklig zur Richtung der Lasten,,

so wird

sin vjjm

sin a,„ cos cpm

tg 9-

Besonders einfach wird die ganze Untersuchung für Parallelträger, deren äussere Kräfte rechtwinklig zu den Gurtungen sind. Hier kommt es nur darauf an, die Momente und Querkräfte zu bestimmen, aus denen sich dann sämmtliche Stabkräfte berechnen lassen.

...Ÿ.

Dm

Pm h

te

m-i

\m+7

Y.

.y

A.

>1

cp

Fig. 188.

Für das in Fig. 187 dargestellte Fachwerk ergiebt sich z. B. wenn Qm die Querkraft für das mte Feld bedeutet,

¹

Yergl. Seite 25 bis 27.

²

"Wie beim Gerber’schen Balken die Gelenke über die verschiedenen Oeffnungen zu vertheilen sind, lehrt Abschnitt VI von Band I.

³

Es handelt sich hier nur um diejenigen Lasten, welche nach Ausführung der Versteifung der Kette aufgebracht werden, in der Regel also nur um die bewegliche Belastung. Vergl. Band I, § 49.

⁴

Die Vertikalen A₀A und D₀D des in der Fig. 170 abgebildeten Trägem sind für den Belastungszustand X— — 1 spannungslos; ihre Längenänderungen sind also = 0.

⁵

"Wir setzen voraus, dass bei Kx und iT₂ bewegliche Lager angeordnet sind. Der "Widerstand des auf wagerechter Bahn geführten Stützpunktes K2 ist lothrecht, der Widerstand bei Kx halbire den Winkel KKX K₂. Dann wird jedes der beiden Kettenglieder KKX und KXK, durch eine Spannkraft Xsec a beansprucht, wo a den Neigungswinkel von Kx K₂ gegen die Wage-rechte bedeutet. In K greift also ein von K₂ nach Kx gerichteter Widerstand Xseca' an und im Falle X— — 1 ein von K₂ nach Kx gerichteter von der Grösse 1 sec a'.

⁶

In Fig. 173 und 174 wurden die Längenänderungen der Endständer AA₀ und BB₀ vernachlässigt.

⁷

Mm bedeutet dàs Angriffsmoment für den Knoten m; dasselbe wird in der Form: Mm = Mom — M'm X' — M"m X — .... dargestellt, wenn X', X",.. . die statisch nicht bestimmbaren Grössen

sind im I. Bande, § 3fu. 3f, abgeleitet worden. Die Ausdrücke für die V ^ wurden oben in anderer Form geschrieben wie früher. Die Formeln für 0 und TJ gelten bei beliebig gerichteten äusseren Kräften Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

Dm sin cpm = Qm

— Omh = + Um+i h = Mm)

Vm = — Qm, Last oben,

Vm = — Qm¥i, Last unten.

Da nun Qm=

— (Mm — Mm_,) ist

so kann man nach Ermitt-

lung der Af-Flächen jede Q\-Fläche als den Unterschied zweier aufeinanderfolgender Af-Flächen gewinnen, oder man zeichnet zuerst die ÇX-Flâchen und benutzt hierauf die Beziehung

Mm — M,n_l -j- Qm\ um aus der einen Ai-Fläche schrittweise alle übrigen abzuleiten.

Liegt das Fach werk in Fig. 188 vor, und sind m — 1 und m -j- 1 Knotenpunkte der belasteten Gurtung, ferner Q die Querkraft für das Feld (m—1) — (m -(— -1), so beachte man die Beziehungen:

= Mm_x -}- Qe.

m — ly

Um h = -j~ Mm, Om+! h — — Mm+1 Dm sin cp„, = — Dm+l sin çm+x = + Q.

73. Auf eine sehr übersichtliche Weise lassen sich die Einfluss-flachen für die Spannkräfte einfach statisch unbestimmter Träger gewinnen; denn hier erscheint S in der Form

s = s₀ — s'x = s' (-

S₀

s'

x),

und es ist daher möglich, wenn S' als Multiplikator herausgezogen wird, jede S-Fläche als den Unterschied der X- Fläche und einer meistens von nur wenigen Geraden begrenzten S₀IS'~Fläche (deren Aufzeichnung ebenso schnell vor sich geht, wie die der SQ -Fläche) darzustellen.

Wir werden meistens die X und die r{ = S₀IS' (Figur 189a) von derselben Geraden N'N aus auftragen und erhalten dann die S-Fläche (deren Ordinaten mit •¹) bezeichnet werden mögen) gewisser-massen auf die X-Linie als gebrochene Kuli-Achse bezogen. Giebt man aber der Einführung einer allen ^-Flächen gemeinsamen geraden Nulllinie (die bei lothrechter Belastung meistens wagerecht gewählt wird) den Vorzug, so gelangt man zu der Darstellungsweise in Fig. 189b, in welcher die Ordinaten rf von der X-Linie aus aufgetragen wurden, und aus welcher ohne weiteres das Gesetz abgelesen werden kann, dass innerhalb eines Gebietes, in welchem die S₀fS'-Linie der Fig. 189a geradlinig verläuft, entsprechende Seiten der »S-Linie und X-Linie sich in Punkten einer Geraden schneiden, welche durch den Nullpunkt der S₀lS'-Linie geht und parallel zu P ist. ¹) Auf Grund dieser Eigenschaft lässt sich die S'-Linie aus der X-Linie ableiten, sobald eine Ordinate und die Nullpunkte der S₀jS'-Linie bekannt sind.²)

(CLJ

't

Li/"'

s'

(V

8Linie j

......::-'Ą^3

Avl

Kg. 189.

Beispiel. Für den in Fig. 190 abgebildeten, einfach statisch unbestimmten Bogenträger sei nach dem in No. 67 beschriebenen Verfahren die Einflusslinie für den Horizontalschub X ermittelt und von der geraden Nulllinie A'B' aus aufgetragen worden.³) Es soll die Einflussfläche für die Spannkraft 0 des dem Knotenpunkte m gegenüberliegenden Stabes der oberen Gurtung gezeichnet werden.

Den Belastungszustand X——1 zeigt Fig. 193. In A und B wurden Kräfte (K') angebracht, deren wagerechte nach aussen gerichtete Seitenkräfte von der Grösse 1 sind und welche durch die Gelenke E und F gehen müssen, damit sich die Bogentheile AE und BF nicht um E bezieh. F drehen. Sodann wurden die einander gleichen Kräfte (C') und (D') hinzugefügt, welche den (K') das Gleichgewicht halten. Der aus drei Geraden bestehende Linienzug A, C1; Dlt B ist das Seilpolygon (Mittelkraftspolygon) der Kräfte K', C', D', K'.

Ein behufs Bestimmung der Spannkraft Ö durch das Pachwerk geführter Schnitt tt trifft die Seilpolygonseite C₁D₁, welche die Lage der Mittelkraft (R) der links von tt wirksamen äusseren Kräfte K' und

HT

¹ //

-m

Jfc

Æl

ikm

7n

-x

OiîtyâcÀe

Z⁷

K-

,y

7>

i Ir

<ŁL

.//

,/

-5/

./ty"

CA

'<N

irTJ

Zustfinc&A- -/

IŁ

Cl

ir

r?r

(kT

> C 'r

ænv

(h

(JDJ

wj

Fig. 190, 191, 192, 193.

also den lothrechten Abstand ym des Punktes

man

C' bestimmt. Misst m von der Seite C₁D₁ und erwägt, dass die wagerechte Seitenkraft von R die Grösse 1 besitzt, so lautet die Ritter’sche Momentengleichung für den Drehpunkt w:

O rm — 1 • ym — 0, woraus O' = -f- 1

y*n

rm

weshalb schliesslich

0 = V(2L—X

erhalten wird.

[Die vorstehende Beschreibung der Bestimmungsweise der Spannkräfte S' berücksichtigt eine beliebige Neigung der vom Schnitte tt getroffenen Seite des Mittelkraftspolygons; sie liefert z. B. für den Ober-

, für den Untergurtstab des

gurtstab des ersten Feldes: Ö ——1

5ten Feldes: U'= — l •—

r„

für die vom Schnitte tt getroffene Dia-

gonale : D = — 1 • —, wo r{ das Loth von i auf D bedeutet.]

rt

Im Falle X — 0 geht der Träger in einen Gerber’schen Balken über, und es besteht deshalb (nach Band I, § 40) die Einflusslinie für

r»,

O₀ aus 4 Geraden A'E", E" C'm", m"D' F" und F"B' (Fig. 191),

Vm

deren Nullpunkte den Auflagergelenken entsprechen und deren Schnittpunkte in den Senkrechten durch E, m, F liegen. Die Gerade D'm" muss auf der Senkrechten durch C die Strecke:

xm

ym

rm

• O₀-Fläche die X-Fläche

abschneiden. Bringt man nun von der

in Abzug, so erhält man die in Fig. 191 durch Schraffirung hervorgehobene O-Fläche ; der Multiplikator derselben ist = yjrm. Lothi’echte Lasten P erzeugen:

Um

ym

rm

SPyj.

In Fig. 192 ist die O-Fläche noch einmal, auf eine wagerechte Nulllinie bezogen, dargestellt worden. Nach Auftragung der X-Linie wurde die Gerade D'm mit der Senkrechten durch C' in J zum Schnitt gebracht, die Strecke JJ" — 1 abgetragen und mittels der Geraden

Vm

J 'I)' der Punkt m" der O-Linie bestimmt. Zur Festlegung der Punkte F" und E" dienten die aus dem Verlauf der O₀ -Linie (welche man für diesen Zweck nur zu skizziren braucht) gefolgerten Bedingungen, dass sich die Geraden m"F” und tn F' in einem Punkte der Senkrechten durch D' schneiden müssen und die (in unserer Figur nicht ausgezogenen) Geraden m E" und m E' in einem Punkte der Senkrechten durch C', und schliesslich wurden die sechs Zweige der O-Linie in der auf Seite 180 beschriebenen Weise (vergl. auch Fig. 189) aus den entsprechenden Zweigen der X-Linie abgeleitet.

Die Darstellungsweise in Fig. 191 ist unbedingt die übersichtlichere und verdient stets den Vorzug. Nach den Erfahrungen, welche der Verfasser bei den von ihm selbst und von den Hörern seiner Vorträge durchgeführten Berechnungen gesammelt hat, empfiehlt sich folgendes Vorgehen.

Man vertheile die Zeichnungen im allgemeinen⁴) auf 4 Blätter,

wo-

welche der Reihe nach zur Auftragung der Einflusslinien für die Obergurtstäbe, Untergurtstäbe, Diagonalen und Vertikalen benutzt werden. Auf jedem dieser Blätter bestimme man mit Hilfe einer einzigen X-Linie nach dem in Fig. 191 angewandten Verfahren die Einflusslinien für die in Frage kommenden Spannkräfte, und trage schliesslich jede Einflusslinie von einer besonderen, geraden Nulllinie aus auf, bei die Ordinaten der nach Fig. 191 angefertigten Zeichnung zu ent-

P-------

V" V V

■fA’—j ?--■

?4-.....IF.....

Fig. 194.

nehmen sind. Nun gebe man die gefährlichsten Zugstellungen (welche am besten durch Versuche bestimmt werden) an und schreibe neben jede Einflusslinie die folgenden Werthe:

1.    den Multiplikator (den wir von jetzt an stets mit [X bezeichnen werden),

2.    die den Lasten P entsprechenden "Werthe 2P7], wobei es sich empfiehlt, durch einen an das Zeichen 2 gesetzten Zeiger -f- oder

— anzudeuten, dass es sich um den Einfluss der auf den positiven oder den negativen Beitragsstrecken liegenden Lasten P handelt,

3.    diejenigen Grössen, durch welche der Einfluss der ständigen Belastung bestimmt wird. Bei ungleichen Feldweiten ist es am zweckmässigsten, die Inhalte F und F des positiven bezieh.

negativen Theiles der Einflussfläche zu berechnen und die von der ständigen Belastung (.g für die Längeneinheit) herrührende Spannkraft Sg mittels der Formel Sg = g (F—F) zu ermitteln,

wo-

+ —

bei die unter den F stehenden -f- und — nicht Vorzeichen sondern nur Zeiger bedeuten. Haben sämmtliche Felder die gleiche Länge X so ist die Rechnung mit Knotenlasten g\ vorzuziehen. Man bestimme dann die Summe aller positiven, an den Knotenpunkten gemessenen Ordinaten, desgleichen die Summe aller negativen Ordinaten, bezeichne diese Summen kurz mit 2 und 2 und

setze schliesslich Sg — g\ (2 — 2).    ⁺

+ —

Auf diese Weise erhält man sehr übersichtliche Kräftepläne, die von Jedermann schnell geprüft werden können.

( _S=|»[+SPil+sr(f’— F) + Xt] S= n [- 2Py] +g(F—F) — XJ:

Die Formeln zur Berechnung der Grenzwerthe der Spannkräfte lauten mit den vorstehenden Bezeichnungen und mit Berücksichtigung des Einflusses (St = + S'Xt = + p.X*) einer Erwärmung bezieh. Abkühlung :

(1)

min

und bei gleichlangen Feldern:

S— P- [~f~    -f- pX (2    2) -f- XJ

(2)

min

S=p.[-2Pr)+<A(2 —2)-XJ.

— + —

Es ist darauf zu achten, dass die neben die Einflusslinien zu schreibenden: p., 2Pir], 2Pï], F, F, 2, 2 die absoluten Werthe der fraglichen

Grössen vorstellen.

Aehnlich verfahre man bei mehrfach statisch unbestimmten Fach

werken. Den Maassstab für die Einflusslinien (den man für die Gurtkräfte und die Spannkräfte in den Füllungsstäben im allgemeinen verschieden annehmen muss) wähle man nicht zu gross, damit man möglichst viele Ordinaten mit dem Cirkel addiren kann. Bei Bestimmung

der 2 Pt] und 2 Pr\ beachte man das auf Seite 120 des I. Bandes gesagte. + —

Bei gleichförmiger Verkehrslast p erhält man (mit der Bezeichnung

yP+X,] qF—X,]

(3)

min

wofür man bei gleichlangen Feldern auch setzen darf:*)

*) Band I, Seite 118.

Noch sei hervorgehoben, dass es manchmal zweckmässig ist, den Einfluss S, der ständigen Belastung nach Ermittlung von Xg gesondert mit Hilfe eines Cremona’schen Kräfteplanes zu bestimmen, und im Falle gleichförmiger Verkehrslast die folgenden für alle Träger von unveränderlicher Gliederung und Stützungsart (Vgl. Seite 6 u. 7) geltenden Beziehungen zu benutzen.

Die Spannkraft max8 entsteht, wenn die positiven Beitragsstrecken mit q, die negativen mit g belastet werden, und die Spannkraft minS erhält man, wenn man die positiven Beitragsstrecken mit g und die negativen mit q belastet. Die Zusammenzählung beider Belastungen führt zur gänzlichen Belastung des Trägers mit q -j- g. Hat man nun 8g in der Form

(5)

max

s=

(4)

min

s=

|i[₂X2 —₂XS — x].

S₉ = gc₀

dargestellt, wo C₀ den Werth bedeutet, den Sg im Falle g — 1 annehmen würde, so findet man

(6)

S -f- min s (q -j~ g) C₀

kann also nach Berechnung des einen Grenzwerthes ohne weiteres den anderen angeben.

Ist die Berechnung von man den Einfluss von p in der Form

Sp— pC\

max

max

S einfacher als die von

min

S, so wird

(7)

ermitteln und erhält dann

(8)

max

min

S = gC₀+pCl S = qC₀ —pC,

Probe :

>»ax

S + min 8 — (g + q) C₀.

Sollte die Berechnung von

min

S die einfachere sein, so suche man

‘ (9)

min

S= — PC₂

auf, um dann zu erhalten:

J min 8

C

^ max &

(10)

= gC₀—pC2 S = qC₀ -f- p C₂.

Die Gesetze (6) bis (10) gelten nicht nur für Spannkräfte, sondern auch für die nach festen Richtungen gebildeten Seitenkräfte von Stützenwiderständen, für Angriffsmomente und Querkräfte; sie gestatten in vielen Fällen eine wesentliche Abkürzung der Rechnung. Zu beachten ist, dass die nach den Gleichungen (8) und (10) berechneten Grenz-werthe S noch um den Einfluss St einer Temperaturänderung zu ver-grossern sind.

Annahmen, behufs Vereinfachung der Berechnung von neu zu entwerfenden statisch unbestimmten Trägern.

74. Die genaue Berechnung von neu zu entwerfenden statisch unbestimmten Fachwerken wird durch den Umstand sehr erschwert, dass die Grössen X von den vorläufig unbekannten Stabquerschnitten oder — wenn es sich nur um den Einfluss der Belastung handelt — von dem gegenseitigen Verhältnisse dieser Querschnitte abhängen. Es müssen deshalb im allgemeinen die Querschnittsflächen zunächst abgeschätzt und hierauf an der Hand der Ergebnisse der schärferen Untersuchung geändert werden. Bei wesentlichen Abweichungen zwischen den so erhaltenen und den zuerst angenommenen Querschnitten muss die ganze Rechnung wiederholt werden.

In allen wichtigen Fällen lässt sich nun eine Abkürzung (ohne dass die Ergebnisse der Rechnung an Zuverlässigkeit einbüssen) dadurch erzielen, dass bei der Berechnung der Grössen X die Formänderungen der Füllungsglieder des statisch bestimmten Hauptsystems vernachlässigt und hinsichtlich der Gurtungen vereinfachende Annahmen (z. B. Einführung eines gleichen Querschnitts für die Stäbe einer oder auch beider Gurtungen) gemacht werden.

Es liege z. B. der in No. 57 untersuchte Fachwerkbogen vor. Behufs Bestimmung von X muss für den Zustand X — — 1, welchem

S' s

entsprechen, ein Williot’scher Ver-

EF

schiebungsplan gezeichnet werden. Hierbei weise man jedem Füllungsstabe zunächst den Werth (As/ = 0 zu, was zur Folge hat, dass einem zwei Knoten i und k verbindenden Wandgliede ik im Verschiebungsplane eine zu ik rechtwinklige Gerade i k' entspricht, und ferner nehme

die Längenänderungen (A s)'

man für alle Gurtstäbe gleich grosse Werthe (As)' — S's ( anstatt As'

FE

an. Setzt man nun

S's '

FF

^ so liefert der Verschiebungsplan die

FF-fachen Knotenpunktsverschiebungen; es bleibt aber die Gleichung

Y _

8'

bestehen, da in Zähler und Nenner die in gleichem

Maasse vergrösserten Verschiebungen h'm und 5' eingeführt werden. Hingegen ist die (einer gleichmässigen Temperaturerhöhung entsprechende) s tl

Formel Xt — 1    — zu ersetzen durch Xt =

o

die Feldweiten annähernd gleich und dann empfiehlt es sich, den Werth für alle Gurtstäbe gleich gross anzunehmen und mit (As)' = S'

zEFtl

5'

• Meistens sind

EF

sEFtl

• Will man

zu rechnen. Der Einfluss von t ist jetzt: Xt

für die obere und die untere Gurtung verschieden grosse Querschnitte F₀ und Fu einführen und einem Obergurt-Stabe den Werth (As)'= S'

zuweisen, so muss man für einen Untergurtstab (As)'= S'

sh'

F₀

Fu

an-

nehmen und Xt =

aEF₀tl

sh'

setzen. Hervorzuheben bleibt aber, dass

im allgemeinen unter F₀ und Fu nicht die mittleren Querschnitte der oberen und unteren Gurtung zu verstehen sind und unter s nicht eine mittlere Stablänge, sondern dass häufig die Längenänderungen gewisser Stäbe von ganz hervorragendem Einflüsse auf die Formänderung des Fachwerkes sind und die Abmessungen dieser Stäbe daher besonders ins Gewicht fallen. Erhält z. B. der betrachtete Bogenträger im Scheitel eine wesentlich gei’ingere Höhe wie an den Kämpfern, so muss man für F₀, Fu und s die Gurtquerschnitte und die Stablänge im Scheitel wählen.

Indem wir hinsichtlich der bei den wichtigsten Fachwerken einzuführenden Annahmen auf den folgenden Abschnitt verweisen, heben wir noch hervor, dass die dort bevorzugte Benutzung der Biegungslinien den Vortheil bietet, bereits bei Berechnung der Werthe w häufig das besondere Gewicht einzelner Stäbe erkennen zu lassen. Es ist dieser Weg nach den Erfahrungen des Verfassers unbedingt dann vorzuziehen, wenn nur Lasten gleicher Richtung in Betracht kommen, wenn es sich also beispielsweise um den besonders wichtigen Fall lotkrechter Lasten handelt.

* In der Regel greifen die Lasten P in den Knotenpunkten des statisch bestimmten Hauptsystems an, und dieses Hauptsystem ist meistens ein einfaches Dreiecknetz. Werden die Gleichungen (V) auf Seite 163 angewendet, so handelt es sich zunächst darum, die den Belastungszuständen X' =—1, X" — — 1, . . . entsprechenden Biegungslinien (h', h" . . .) dieses Dreiecknetzes zu bestimmen.

Bezeichnet nun M'm das durch die Ursache X' = — 1 hervorge-nifene Angriffsmoment für den Knotenpunkt m, so ergiebt sich für den

dem Punkte m gegenüberliegenden Gurtstab sm die Spannkraft S'm —

, wobei rm die Länge des Lothes von m auf sm bedeutet. Das

rm

obere Vorzeichen bezieht sich auf die obere, das untere auf die untere Gurtung. Das Gewicht w m des Knotens m ist (nach No. 47)

Sm

(1)

(Asmy

M„'sm

rm

EFmrm

EFmrJ

TO

fc

und ebenso erhält man für die Zustände X" = — 1, X'" = — 1, ... die Gewichte

Die Formeln für O, D und V

12

«Jt

wm

Mm"sm

\rm

Vs

EFmrm

Mj"sm

wm

EFmrm

Ttls

Hat E für alle Stäbe denselben

Fig. 195.

w gleich genommen werden muss) womit sich dann

Werth, so multiplicire man die w, w . . . mit E. Ausserdem empfiehlt sich stets noch die Multiplikation mit einer vorläufig beliebigen Querschnittsgrösse Fc (die aber für alle

(2)

Mm'sm Fc

Mm"sm Fc

rj

ergiebt. Legt man diese Gewichte der Berechnung der Ordinaten h', h", . . . der den Zuständen X' = — 1, X" — — 1, . . . entsprechenden Biegungslinien zu Grunde, so muss man alle Glieder der Gleichungen V (mit Ausnahme der Glieder 2Pm5'm, 2PM5„," . . . .) mit EFC multipli-ciren. Auch ist zu beachten, dass eine weitere Multiplikation mit v erforderlich wird, sobald die Werthe w, w" . . . aus irgend einem Grunde mit v multiplicirt werden. *)

Wendet man diese Regeln beispielsweise auf das einfach statisch unbestimmte Fachwerk an, so erhält man zur Berechnung von X die Gleichung :

rm

Fm

*) Wäre z. B. das Fachwerk in Fig. 195 ein Parallelträger von der Höhe

h, und hätten sämmtliche Gurtstäbe die gleiche Länge X, so wäre s~ = -^ir.

n» nl

h²

. . . mit v = -y- multipliciren und einfacher

Man würde dann die iv, w"

W — M'm

Fc

u. s. w. setzen. Fm

EFCL' = 2Pmbm' — X2S'²s    EF.SetS's

F.

F

lind findet hieraus für den Einfluss einer Last P, für den Einfluss von Temperaturänderungen und für den Einfluss von Verschiebungen der Widerlager der Reihe nach die Werthe:

£ EFg'SiS'tS

X=Pm

AX —

— efcl’

(3)

Fc

Diese Gleichungen (2) und (3) werden wir im folgenden Abschnitte vorzugsweise anwenden.

Verwerthung von stellvertretenden, aus steifen Gliedern gebildeten Stabzilgen.

75.. Bedeutet X die Spannkraft eines Stabes ik, der als überzählig bezeichnet werden darf, durch dessen Beseitigung also das 2-fach statisch unbestimmt angenommene Fachwerk seine Steifigkeit nicht verliert, und werden alle Spannkräfte auf die Form

S = @₀ — @'X

gebracht, unter ©₀ und ©' die den Zuständen X=0. und X——1 . entsprechenden Werthe von S verstanden, so lautet die Arbeitsgleichung für den Zustand X = — 1 :

0 = 2©' As,

(1)

(2)

wobei vorausgesetzt wird, dass Bewegungen der Widerlager ausgeschlossen sind und die Summe in (2) auch den Stab ik, dem © = — 1 entspricht, umschliesst. Die Einführung vonAs = Pp = (©₀— ©'X)p, wo p — s:EF, und die Beachtung der Gleichungen (30) auf Seite 27 liefert den Ausdruck

2Pm 8/

2©'-p    ’

in welchem hm' die Verschiebung bedeutet, die der Angriffspunkt m Pm im Sinne von Pm erfährt, sobald auf das nunmehr (z — l)fach statisch unbestimmte Fachwerk nur die Ursache X—— 1 wirkt.*) Auf Grund dieses Gesetzes darf die Einflusslinie für jede Stabkraft und — wie ohne weiteres einleuchtet — auch für jeden nach einer festen Richtung wirkenden Stützenwiderstand als Biegungslinie (deren

(3)

von

. *) Gleichung 3 hat dieselbe Form wie die früher für das einfach statisch

unbestimmte Fachwerk aufgestellte Beziehung: X =

iss'² p

; vgl. S. 166 u. 167.

Multiplikator in dem hier betrachteten Falle — 1 : 2@,2p ist) gedeutet werden, wobei nur die Einschränkung besteht, dass das Fachwerk in Folge Beseitigung des fraglichen Stabes nicht seine Steifigkeit und in Folge Aufhebung des fraglichen Stützenwiderstandes nicht seine Standfestigkeit einbüsst.⁵) Zu beachten ist allerdings, dass die Anwendung der Gleichung (3) zur Aufsuchung der AMfinie die Auftragung der Biegungslinie für ein durch die Ursache X = — 1 belastetes (z — l)fach statisch unbestimmtes Fachwerk erheischt; sie bietet nur in ganz bestimmten Fällen (die wir bei den späteren Anwendungen behandeln wollen) einen Ersatz für den früher gewiesenen Weg: die Einflusslinien für z passend ausgewählte Grössen X', X", . . . mit Hilfe von 0 Biegungslinien eines statisch bestimmten Fachwerks zu ermitteln und hierauf die Einflusslinien aller übrigen Grössen mittels der Gleichgewichtsbedingungen zu gewinnen.

JO

ff. JT

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Slip

\7E

S'—'ZX.

Xïh:

w-'-----------

’S

Fig. 196.

Trotzdem ist die in Gleich. (3) ausgesprochene Deutung jeder Einflusslinie als Biegungslinie stets von Vortheil, denn sie gestattet eine unmittelbare Verwerthung der in No. 51 behandelten Beziehungen zwischen den vollständigen Verschiebungsplänen und den Biegungslinien — Gesetze, die uns bei Beachtung des in No. 52 gelehrten Kunstgriffs der Einführung von stellvertretenden steifen Stabzügen in den Stand setzen, nach Auftragung der Einflusslinien für eine feste Lastrichtung schnell Figuren zu zeichnen, welche auch die Wirkung anders gerichteter Kräfte P bestimmen.

Zwei Beispiele werden genügen, dieses Verfahren zu erläutern. In Figur 196 handelt es sich um die Ermittlung des rechtsseitigen

wagerechten Stützenwiderstandes H eines Bogenträgers mit festen Kämpfergelenken. Nach Einschaltung der Knotenpunkte 1, 3, 5, 7,. ..15 sei die einer lothrechten Belastung entsprechende Einflusslinie nach einem der früher beschriebenen Verfahren aus der dem Zustande X— — 1 entsprechenden Biegungslinie des aus starren Gliedern bestehenden Stabzuges 0-1-2-3-4- . . . -16 abgeleitet und der besseren Uebersicht wegen von einer wagerechten Geraden aus aufgetragen. Zieht man dann durch die Punkte 0, 1, 2, . . . der PT-Linie wagerechte Geraden g₀, glf g₂, . . . wählt in g₀ einen beliebigen Pol Oe^O' und zeichnet von 0' aus einen Linienzug (F Ï 2' 3' . . . 16', dessen Seiten rechtwinklig zu den entsprechenden Seiten des Stabzuges 0 1 2 3 ... 16 sind, und dessen Eckpunkte in den Geraden glf g₂, #₃, . • • liegen, so sind die Polstrahlen

v-

o\

10. ff

rr

.irr

sL

(Z'

fj'

YS

³\

Fig. 197.

Ol', 02', 03', . . . proportional den Verschiebungen, welche die Punkte l', 2', 3 , .. . in Folge des Belastungszustandes H = — 1 erfahren, und . ihre Richtungen stimmen (auch dem Sinne nach) mit den Verschiebungsrichtungen überein. Greift also in 2 eine Last P₂ an und ist §₂ die Projektion des Strahles 02' auf die Richtung von P₂, so ist der Einfluss von P₂ auf H\

2-

H—P₂b

Fig. 197 zeigt die Einflusslinie für die Spannkraft U im Untergurtstabe eines Bogenträgers der eben behandelten Art, setzt aber voraus, dass die Berechnung des Trägers auf Grund der Annahme starrer

Füllungsglieder durchgeführt werden darf. Bei Bestimmung der einer loth-rechten Belastung entsprechenden AT-Linie und der hieraus nach No. 73 abgeleiteten £/-Linie wird dann nur die Einschaltung von zwei Knotenpunkten (1 und 9) und von vier starren Stäben erforderlich.⁶) Der Linienzug (T l' 2' S' . . . 9' 10' muss sich bei sorgfältiger Ausführung der Zeichnung schliessen, weil er als Verschiebungsplan für den Zustand U — — 1 aufgefasst werden kann und für diesen Belastungsfall die Punkte 0 und 10 festliegen. Die Lasten P₂ und P₄ in Fig. 197 erzeugen, wenn die P-Linie einen Multiplikator [J. besitzt,

P= li(P₂yj₂-f- P₄8₄).

Literatur zum I. Abschnitt.

1.    Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks, Zeitschr. d. Areh. u. Ing. Ver. zu Hannover 1875, S. 17. Hier wird zum ersten Male die Biegungslinie des Fachwerks als Seilpolygon behandelt.

2.    Williot, Notations pratiques sur la- statique graphique, Publications scientifiques industrielles, 1877; enthält die Begründung der von uns als das Williot’sche Verfahren bezeichneten Darstellungsweise der Verschiebungen.

3.    Herzmansky, Durchbiegung eiserner Fachiverke, Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Ver. 1878, S. 185—189.

4.    Steiner, F., Studien über Fachwerke, Techn. Blätter 1880, S. 134. Unter anderem wird die lothrechte Biegungslinie einer wagerechten Gurtung als Seilpolygon der Winkeländerungen Ab dargestellt.

5.    Skibiński, Das Deformationspolygon und dessen Anwendung zur graphischen Berechnung statisch unbestimmter Fachiverke, Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Ver. 1888, S. 23.

6.    Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachiverks, Civilingenieur 1885.

7.    Müller - Breslau, Beitrag zur Theorie des Fachwerks, Zeitschr. d. Arch. u. Ing. Ver. zu Hannover, 1885. Berechnung der Gewichte w auf die im § 3 des vorliegenden Buches gezeigte Weise und (wohl die erste) ganz allgemeine Benutzung der Biegungslinien zur Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke.

8.    Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, 1886. (Zweite Auflage: 1893.) Die §§ 5—11 behandeln die Darstellung und Verwerthung der Biegungslinien.

A 9. Müller-Breslau, Beitrag zur Theorie der ebenen Träger, Schweiz. Bauz.

S.ßericbT 1887, Band IX, S. 121; Band X, S. 129 und 1888, Bd. XI, S. 45. In diesen

Aufsätzen, welche sich mit statisch bestimmten Trägern beschäftigen (vgl. § 6 des vorliegenden Buches) wird zum ersten Male auf die Darstellung der Verschiebungen (u. Geschwindigkeiten) kinematischer Ketten mittels des Williot’schen Verfahrens hingewiesen.

Seife. Y( ii

ntu_ 10. Mohr, Ueber Geschwindigkeitspläne und Beschleunigungspläne, Civil-ingenieur 1887. Zeigt die Anwendung des AVilliot’schen Verfahrens auf die Darstellung der Geschwindigkeiten und schliesslich auch der Beschleunigungen kinematischer Ketten.

„ ^    11. Müller-Breslau, Berechnung statisch bestimmter ebener Träger mit Hilfe

der geometrischen Bewegungslehre, Zeitschr. d. Arch. u. Ing. Ver. zu Hannover 1888, S. 91. Zeigt u. A. die Berechnung der Fachwerke mit Hilfe von AVilliot’schen Verschiebungsplänen.

12.    Ovazza, Sul calcolo delle deformazioni dei sistemi articolati, Atti della Academia delle Scienze di ïorino, vol. XXIII, 1888.

13.    Ovazza, Sul calcolo delle freccie elastice delle travi reticolari, Atti della Academia delle Scienze di Torino, vol. XXIII, 1888.

14.    Müller - Breslau, Beitrag zur Theorie der ebenen, elastischen Träger, Zeitschr. d. Arch. u. Ing. Ver. zu Hannover, 1888, S. 605. Einführung des Stabzugverfahrens; vergl. § 2 des vorliegenden Buches.

<\) ₍    15. Land, Kinematische Theorie der statisch bestimmten Träger, Zeitschr. d.

österr. Ing. u. Arch. Ver., 1888, S. 11 u. 162 stützt sich hauptsächlich auf die Anwendung der AVilliot’schen Verschiebungspläne kinematischer Ketten. Ein Anhang beschäftigt sich mit den Biegungslinien elastischer Stahzüge; dabei ist die Ersetzung der elastischen Gebilde durch Gliederketten aus starren Scheiben beachtenswerth. Diese Umwandlung verdankt ähnlichen Gründen ihre Entstehung, wrie der von uns in Xo. 52 Seite 181 des vorliegenden Buches eingeführte stellvertretende Stabzug; während aber die Form dieses Stabzuges einmal angenommen und dann für alle Belastungszustände beibehalten wird (was namentlich für die Anwendungen in No. 75 sehr wichtig ist), ändert die von Land benutzte Gliederkette mit wechselnder Belastung ihre Gestalt.

16. Müller-Breslau, Beiträge zur Theorie der ebenen, elastischen Träger, Centralblatt der Bauverwaltung, 1889, zeigt u. A. die auf Seite 153—163 des vorlieg. Buches angegebenen Umformungen der Elasticitätsgleichungen.

II. Abschnitt.

Formeln, Regeln und Beispiele für die Berechnung der wichtigsten statisch unbestimmten Fachwerke.

76. Mit Hilfe der im § 5 enthaltenen Untersuchungen lässt sich die Berechnung jedes ebenen statisch unbestimmten Fachwerks, das durch Kräfte von beliebiger Richtung beansprucht wird, durchführen. Zweck des vorliegenden Abschnitts ist es nun, die aus jenen allgemeinen Betrachtungen für die wichtigsten Trägerarten und für den Fall lothrechter Lasten sich ergebenden Formeln und Regeln in möglichst übersichtlicher Weise zusammenzustellen und zu erläutern. Dabei soll von allen die Rechnung vereinfachenden Annahmen, soweit dieselben zulässig sind, Gebrauch gemacht, und der Werth der angenäherten Theorie durch vergleichende Zahlenrechnungen geprüft werden.

¹

Die S-Linie ist also innerhalb eines von einer geraden S₀-Linie beherrschten Gebietes affin mit der X-Linie.

12¹

²

Wir erinnern hier u. A. an die Ermittlung der Nullpunkte der (S'₀-Linien mit Hilfe von Polbestimmungen kinematischer Ketten. Band I, XHI. Abschnitt.

³

In Figur 190 vernachlässigten wir die dem Zustande X——1 entsprechenden Längenänderungen der von den Stützpunkten A, C, X>, B ausgehenden lothrechten Füllungsstäbe. Vergl. Fig. 169, Seite 165.

⁴

Auf Vereinfachungen, die sich an der Hand der Betrachtungen in No. 12 ergeben, werden wir in dem von den wichtigsten Trägern handelnden Abschnitt II hinweisen.

⁵

Vergl. No. 61.

⁶

Kommen lothrechte Füllungsstäbe vor, so beachte man die Lösung der Aufgabe 4 auf Seite 136.

§ 7.

Der Bogen mit zwei Gelenken.

a. Bestimmung des Horizontalschubs.

77. Allgemeines Verfahren. Wirkt auf einen Fachwerkbogen mit 2 Kämpfergelenken und ohne Scheitelgelenk eine Einzellast P in den Abständen a und b von den Auflagerlothrechten (Fig. 198), so entstehen Stützenwiderstände, deren jede sich in eine lothrechte Seitenkraft A bezieh. B und in eine Seitenkraft H nach der Richtung der Schlusslinie AB zerlegen lässt. Die wagerechte Seitenkraft von H' (d. i. der Horizontalschub) ist

H = H' cos a,

wobei a den Neigungswinkel der Schlusslinie bedeutet.

Die Kräfte A und B stimmen mit den Auflagerwiderständen eines einfachen Balkens überein und sind

Pb

Pa

Die statisch nicht bestimmbare Kraft H ist von den Längenänderungen sämmtlicher Stäbe abhängig und wird, falls die für das Ergebnis unwesentlichen Formänderungen der Füllungsstäbe vernachlässigt werden, wie folgt ermittelt.

Man berechne für jeden Gurtstab die Ausdrücke:

^ m U ni Ec

rj

wobei sm die Länge des Gurtstabes bedeutet, m die Ordnungsziffer des gegenüberliegenden Knotenpunktes, rm das Loth von m auf sm,

ijm den lothrechten Abstand des Punktes m von der Schlusslinie,

Fm die Querschnittsfläche des Stabes sm,

Fc eine beliebige, aber für alle Stäbe gleiche Querschnittsfläche , welche im allgemeinen gleich dem am häufigsten vorkommenden Gurtquerschnitte gesetzt wird, damit möglichst viele der Verhältnisse Fc:Fm— 1 werden.

(1)

w,„

Fm

und zm = ymwm,

771-7

m+7

''k

CL

2.

tk.

j*

Fig. 198.

>»

■>v------

->*-

,i7ÆÉ

TO

JU

Fig. 199.

L___________»i

Ss-------

V" '

Nun bestimme man (durch Rechnung ocl. Zeichnung) die Biegungsmomente Mwl, M,

Fig. 200.

wici * • •

S"

für einen einfachen (d. h.

einen bei Ä und B', Fig. 199, frei aufliegenden) Balken, dessen Stützpunkte lothrecht unter A bezw. B liegen, und auf welchen lothrechte, durch die entsprechenden Knotenpunkte des Bogens gehende Lasten wx, . . wirken, worauf man für eine im Knoten Je des Bogens

CT3

OS

Zweiter Abschnitt. — § 7.

angreifende Last P den Horizontalschub erhält.

P^wlc

2zm

Darin ist: 2zm = z₀ -f- zx -f- z₂ -(- . . . -(- z„.

Es folgt dieses Verfahren aus Gleichung V Seite 163. Hiernach wird ferner 8' die Ordinate der Biegungslinie für den

EF

Zustand 11= — 1 und S' die Stabkraft für H = — 1 ist. Man erhält für einen Stab der oberen, bezw. unteren Gurtung: S' —--— und S'

(2)

Hk =P

ff»

wo p =

Hk = P

so dass der Nenner des für Hk angegebenen Bruches nach Multiplikation mit

'S - ^^ = S\z übergeht. Die S'-Linie darf nach ri F

A/ mSm    Fc

EFC in EFc'ZS'²

EF

No. 74 als Momentenlinie eines mit den Gewichten wm =

lasteten einfachen Balkens aufgefasst werden, wobei M'm — ym das Angriffsmoment in Folge H = — 1 ist. Damit ergeben sich die oben angeführten Gewichte Wrn.

rm²

F,n

be-

Die auf diese Weise berechneten Werthe H₂, H±, . . . bestimmen in Figur 200 die aus Geraden bestehende Einflusslinie für den Fall oben angreifender Lasten, und ganz entsprechend würden Hx, Hs, . . . die Einflusslinie für unten wirkende Lasten liefern. Der erstere Fall liegt in der Regel vor, und es ist dann meistens zulässig, auch die ständige Last ausschliesslich auf die oberen Knotenpunkte zu vertheilen. Man kommt dann mit der Einflusslinie A" S" B” in Fig. 200 aus.

Will man die Lf-Linie durch Zeichnung bestimmen, so nehme man

die Polweite wh des die Gewichte w verbindenden Seilpolygons so an, dass dessen Ordinate 't]k (Fig. 201) den Horizontalschub Hk an-giebt. Stellt man dann die Lasteinheit durch eine Strecke c dar, so erhält man (wegen Mwk = wht]k) die Bedingung

(h s

JO

-X

“"S

%•

tn

rn

"il

Fig. 201.

Hk

cwhy\k

Ti*

und hieraus folgt die Polweite

Wh =

wählen. wh und wm enthalten dieselbe Einheit; sie sind,

wh =

Drückt man bei Berechnung der zm alle Abmessungen in Metern aus, so muss man auch c in Metern angeben. Wird beispielsweise der Kräftemaassstab 50””” = 1¹ gewählt, und ist die Trägerzeichnung im Maassstabe 1 : 75 gefertigt, so wird die Lasteinheit durch eine Strecke--von der Länge c — 75 • 0,050 = 3,75” dargestellt, und man muss dann 2¹.

3,75

wenn die Gleichung (1) angewandt wird, Zahlen und bedingen die Anfertigung eines besonderen Zahlenmaassstabes.¹)

Man könnte auch den Ausdruck = ym wm als das auf die Achse AB bezogene Moment von Kräften wm, welche parallel zu Aß sind, auffassen und mittels eines Seilpolygons bestimmen, jedoch führt die Berechnung von schneller und übersichtlicher zum Ziele. Ebenso unzweckmässig wäre es, die Gewichte wm durch Zeichnung zu ermitteln.

Hinsichtlich der Werthe w und z ist noch folgendes zu bemerken. Werden die Gurtungen nach Fig. 202 am Auflager zusammengeführt, so weise man den Stab dem loth-recht über 2 gelegenen Punkte 1 des Stabes s₂ zu. Bezeichnet dann rx die Länge des Lothes von 1 auf so findet man für den Punkt 2 des Balkens AB das von den Stäben und s₂ herrührende Gewicht:

f ,„₂ = J4Ł A

3.

cLY

Fig 202.

y2 s2    F„

(3)

ri

r2

f₂

ferner :

z2 -

li\ Fc ri² Fx

V2 2s2 Fc

r2

F₂

m.

Beim Ständerfachwerk in Fig. 203 geben wir zwei lothrecht übereinandergelegenen Knotenpunkten dieselbe Ordnungsziflfer und bezeichnen die lothrechten Abstände der Knotenpunkte von der Schlusslinie mit ymu für den unteren Knoten m und mit ,, oberen

An-y

m-j

TnmU

j-

—b

(X

] U-

Fig. 203.

-JS'

Ferner nennen wir: hm die lothrechte Trägerhöhe in w,

ßm, Ym denNeigungswinkel des mten Stabes der oberen bezw. unteren Gurtung gegen die Wagerechte,

Am die Weite des mten Feldes, Fom den Querschnitt des mten Obergurtstabes,

Fum den Querschnitt des w<ten Untergurtstabes,

und erhalten für den oberen Kno-

überliegt, (aus Gleich. 1 nach einfacher Umformung):

tenpunkt m, welchem der (in -j-1 )te Stab der unteren Gurtung gegen

^ m    Ifmo

^»î + l

h²m

sec³ Ym+i

Fc

Fu

(m+1)

h\n

sec³Y„!+i

Fc

Fu

(«*+!)

während dem unteren Knoten m entspricht:

ymu ^m

h\

Durch Zusammenfassung der in dieselbe Lothrechte fallenden Gewichte iv ergiebt sich:

sec³ ß„

Fc

¹ Fom

y²mv\n

h*m

sec³ßw

Fc

Fom

wm

Fc

(4)

sec³ß,„

-F mo

1~ yrn o ni +1 SeC {m+1

Fc

Fu

(m+l)

zm

(y²mu^msec³ßw

Fc

Fc

Fom

Fu

(»*+!)

t.....

Ui

IT

fli

Fig. 204.

Fig. 205.

Bildet der Ständer bei m, Fig. 204, die Grenze zwischen den links-und rechtssteigenden Diagonalen, so liegen dem Knoten m zwei Ober-

gurtstäbe gegenüber und man erhält:

^ (x.,.seeäß,-p- + X„₊₁ sec³ß,„+1 Ebenso ergiebt sich für den Fall in Fig. 205:

(6)

m ^

(5) ivm

F„

h²

h²

, secsY,

Fc

nF.

+ ^m+i sec³ ym+i

F₀

(m+1)

5 -    ymu    •

Fc

Fu (m-\-1)

Liegt die Lothrechte durch einen Knoten r rechts von r -f-1 (oder links

von >--1) — vergl. Fig. 99 auf Seite 113 — so ist bei der zeichnerischen

Bestimmung der Momente Mw zu beachten, dass die Gewichte in der Reihenfolge Wr -1, iVri u’r+1 durch- das Seilpolygon verbunden werden müssen. Will

oben unten

man rechnen, so vertheile man im Falle

oberen unteren

liche Gewichte w auf die

angreifender Belastung sämmt-

Knotenpunkte. Auf die Punkte r — 1 und

X,'+i

X>- Xr-f-l

kommen. Dieses Verfahren ist zuweilen auch dann zu empfeh-

r -J- 1 würden z. B. bei Zerlegung von icr die Antheile : — wv -—

und Wr

X)-+i

Xr-X,-+l

len, wenn r zwischen r — 1 und r -J- 1 liegt.

78. Einfluss der Temperatur. Wächst die bei der Aufstellung des Bogens herrschende Temperatur überall um den gleichen Betrag t, so ändert sich der Horizontalschub um

s EtlFcaec² a

Meistens genügt es, mit f = + 35° Cels. zu rechnen. Dann ist für Schmiedeisen und Stahl (mit s FJ = 240* für das qm.) :

(7)

Ht =

(8)

Ht = ± 8400

lFe

sec² <x Tonnen,

-worin die Abmessungen in Metern einzuführen sind.

SS¹' tts ^S'²p

■ Wendet man nun das Gesetz der virtuellen Verschiebungen

Die Formel (7) folgt aus Gleich. (V), Seite 163. Danach ist Et —

EFc^S'its

— Zm    ^

auf den Zustand H — — 1 an, und führt als mögliche Formänderungen die Aenderungen As = zts der Stablängen ein, ferner die ihnen entsprechende Aenderung ztlseca. der Weite AB — l sec a, so erhält man: 1 sec a-st sec a = 2S'zts und gelangt zur Formel (7).

79. Der Sichelträger, Fig. 206. Bei der Ermittlung der H-Linie sichelförmiger Träger empfiehlt sich die Annahme eines überall gleichen Gurtquerschnitts. Man versteht dann unter Fc den Mittelwerth aller F₀ und Fu und setze die in den Gleichungen (1), (3), (4) auftretenden Querschnittsverhältnisse = 1. Haben alle Felder gleiche (oder annähernd gleiche) Weite, so weichen (bei nicht zu grosser Pfeilhöhe).

auch die Längen der Gurtstäbe wenig von einander ab, und es ist dann

jrc

rathsam, für sm —f- einen festen Mittelwerth einzuführen und sämmt-

" Fm

Man setze also z. B.

liehe io und 0 durch diesen Werth zu dividiren. für den in Fig. 206 dargestellten Träger

y»i

Wm =    ₉

r

berechne dann aber Ht mittels der Formel:

s FJFe sec² a

Zahlenbeispiele. I. Die Knotenpunkte der Gurtungen des in Fig. 206 abgebildeten Sichelträgers liegen in Parabeln von 4,0 bezieh. 2,5”’ Pfeilhöhe. Die Stützweite ist = 20m, die Feldweite = 2m. Die Ordinaten y, Strecken r, Gewichte w und Grössen 0 sind in der folgenden Tabelle angegeben. Für w.2 bis w₁₀ und z₂ bis z₁₀ gelten die Gleich. (9), während wx und zx nach den Gleich. (5) zu berechnen sind. Der erste Untergurtstab ist als halber Stab behandelt worden.

(9)

(10)

Ht =

» zm—ymwm

t*).

m I IJrn

IVm

_ V'tn _

-&m -y*n Wm

Ausnahmefälle

»OO-JOSÜ'llä.tOKIM

0,20

po_Copo Cd^mkko co 00 c* TA 7Ü

Gi “4 05 «v|

O o O’ o O¹

7,67

0,475    1    0,72

0,20² + 2 0.22-

0,475^    1    0,72^

0,20* ⁺ 2 0.22²

9

2z,n = 2 'S 0 + 01O = 2 • 53,82 -f 6,88 = 114.52.

i

Für den mit den Gewichten w belasteten Balken A’B' wurden jetzt von der Mitte aus die Querkräfte nach der Formel Qm — Qm+i -j- wm berechnet, hierauf die Momente Mm = Mm-\ -f- QmF und schliesslich die Ordinaten H,„

= -—***) der H-Linie. "Wegen X' = 1 ist Mm — Mm-i + Qm. Wäre X' nicht

4,10

7,42

3,45

7.11

u\ =

0i =

19,31**)

= 11,00

10

0 0*00 rr- ^ t- O OJ 00 ^ O

3.11

7,01

2.95

6,88

VmFm)

*) Streng genommen wäre X durch den Mittelwerth von

setzen, doch erwäge man die Schwierigkeit, t zutreffend zu schätzen und rechne daher so einfach wie möglich. Aus diesem Grunde wird man auch, falls a klein ist, sec² a = 1 setzen.

**) Die Ordinate des lothrecht über 1 gelegenen Punktes 1' der oberen Gurtung ist =0,72 und das Loth von 1' auf die Verlängerung des ersten Untergurtstabes = 0,22.

***) Bei den Mm und Q,„ haben wir den Zeiger w hier fortgelassen.

zu er-

= 1. aber konstant, so würde man trotzdem /.' = 1 setzen, dafür aber durch À' divnïiren. Wir schreiben den vollständigen Ansatz der Rechnung hin.

#io = \ «ho = 0,86

+ 1,19 #9= 2,05 1,83 #₈ = 3,88 1,37

Qt= 5,25

M₁ = 39,96 = + 20,65 M₂ — 60,61 15,32 Ms — 75,93 12,11 A/₄ = 88,04

60,61

114.52

= 0,53

H.₄

88,04

2,12

9,21

114,52

0,77

#₀= 7,37

Ms = 97,25

1.84

7,37

#5 —— 9,21

M& =104,62

H₆

104,62

2,90

5,25

114,52

0,91

#4 =12,11

Mi =109,87

3,21

3,88

#g = 15,32

Mÿ = 113,75

113,75

5,33

2,05

114,52

0,99

#₂ = 20,65 19,31 Qi = 39,96

M₉ = 115,80

0,86

M₁₀ = 116.66

Ho

116,66

114,52

= 1,02

/J /A /3ł

9*

l,o™ 2,o™ 2,orn

ód)

ói

[/o

//

Ai

fi

I:

LLLJLJ,

fiffO

77;/ó«ó

Fig. 206.

Die gleichförmig angenommene ständige Belastung sei </ = 1.45' f. d. m, also für ein Feld: X = 2,90*; sie erzeugt:

Hg = $rX {2 (£T, + i/₄ + H + 77₈) + H₁₀} = 2,90 • 7,42 = 21,5'.

Ein vom rechten Auflager bis zum Querträger 12 vorgeschobener Lastenzug (mit den in der Fig. angegebenen Achsendrücken und Radständen) ruft hervor :

7/=:SPy) = 39,0'.

Der Einfluss einer gleichmäßigen Temperaturerhöhung um t = 35° C. ist nach Gleich. 10:

240 • 20 • Fe

■ 35 = 733 Fc,

2,0-114,52

wobei Fc den mittleren Gurtquerschnitt in qm. bedeutet.

II. In neuerer Zeit sind mehrfach Sichelträger von bedeutender Pfeilhöhe ausgeführt worden, z. B. für die Douro-Brücke bei Porto und den Garabit-Viadukt. Es ist hier zulässig, die Węrthe ym, sm und ß„, zur Vereinfachung der Rechnung auf eine durch die Mitten der Höhen hm geführte Bogenachse zu beziehen und, mit Hinweis auf Figur 207, die Gleichungen 4 zu ersetzen durch

*1:

4r

Um

ŚL—

2 ym_ ssm Fc^

Ä²„    À''»« Frn

Zm- ym ti*m •

Kürzt man sämmtliche w durch 2, und nimmt man für Fm einen festen Mittelwerth Fc an, so erhält man:

1/m S³m _

^ Vj \ 5 z»>- 1Jm U'rn

und für den Einfluss von t :

zElFc sec² a 2"2+, L

Wm

11) U'rn

12) Ht

Pig. 207.

Wir wenden die Formeln (11) und (12) auf die Berechnung des Horizontalschubes der Eisenbahnbrücke über den Douro bei Porto an. Figur 208 stellt die Hälfte des sichelförmigen Bogenträgers dar. Die folgende Tabelle giebt an:

die in den Mitten der Felder gemessenen lothrechten Höhen h die Längen sm der Verbindungslinien der Mittelpunkte der aufeinanderfolgenden Vertikalen,

die Ordinaten der Mittelpunkte der Strecken sm, die Feldweiten Xm, Gewichte wm und Werthe z,„.

ym

Sm

Jim

Km

_ ymssm

Wm

Zm - y™ Wm

OîOOO-vJOîÜ'^COtOK

O CA JO OD

24,45

28,23

33,15

37,13

40,09

41,90

42,50

gÓ go gÓ 00 co

10,01

10,14

10,31

10,68

10,47

10.40

CO CO JO ^CO JO JO GO OD CTt cn CO 0GCGOOCOOOOHKK COCOOCOQCK^tO^cOH

5.60

5,55

5,95

6,65

3,00

8,45

9,10

9,70

10.40

10.40

10.40

13,35

5,91

5,03

4,64

1,87

4,88

4,74

4,66

4,71

4,55

4,48

42.74 55,14

75.75 95,65 45,70

137,90

157,25

173,15

188,92

190,46

190.51

io

2 S Zm + Z11 1

1162,66 + 190,51 = 2515,83.

■ Nun wurden die Querkräfte und Momente des mit den Gewichten wm belasteten Balkens berechnet und aus den Momenten die Werthe II ermittelt:

Querkräfte

Momente

II

2515,83

—    i wi\ — 2,

—    Qn + w\o

—    Qio + w 9

Q = 16,16 20.90 25,78 27.65 32,29 37.32 43,23 56,53

S II II

OS

Osoo-jojy^ojta-

M₁ = Ql 2,8= 158,42 M, = M₁ -f- Qź 5,58 = 399,65 M₃=M₂ + Q₃ 5,74 = 613,86 M— 817,29 950,84 1098.56 1281,85 1433.76 1549,33 1619,95 1643,24

0,063

0,159

0,244

0,325

0,378

0,437

0,509

0,570

0.615

0,644

0,653

<-

Xe

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J 0,326

0,376

0,^31

0,.jo9

0,370

0,592

f.19 'Q

0,630

wo

O,

tf»'0

\--------J,

> ^ i

iS*

.-tM

Fig. 208. '

Nach Aufzeichnung der Eintlusslinie für H misst man, entsprechend den Angriffspunkten C. X>, E. F der Fahrbahnbelastung, die Ordinaten

0,630

während Seyrig in seiner Veröffentlichung: Le pont sur Je Douro à Porto

0,378

0,592

0,649,

(Paris 1878) auf Seite 31 mittels einer wesentlich umständlicheren Berechnung die Werthe

0,370

0,592

0,637

findet. Die Abweichungen beider Ergebnisse sind ganz unwesentlich. Bei gänzlicher Belastung der Brücke werden in den Punkten C. T). E, F auf den Bogen seitens der Yerkehrslast die senkrechten Drücke 126,8 * ; 62,4 * ; 47,0 * ; 40,5* (vergl. die angezogene Quelle, Seite 34) ausgeübt. Dieselben erzeugen — nach unserer Berechnung —

H= 2 [126,8 • 0,378 + 62,4 • 0,592 -f 47,0 • 0,630 + 40,5 • 0,649] = 281.53£.

0,650

Seyrig findet 280,62*. Es ist dies die Summe der Horizontalschübe der beiden das Gleis stützenden Bogenträger.

Bei Berechnung von Ht darf der mittlere Querschnitt der einen Gurtung eines Bogens Fc = 0,0560 qm gesetzt werden (vgl. die Quelle, Seite 26, Mittelwerth von 4 Mi) und es folgt dann für t — 30° für jeden Bogenträger:

zEtlFc

Ht

240-30-160-0,0560

2 'S ««,

2 • 2515.83

= 12,82*.

Dabei ist E = 20000007c f. d. qcm angenommen worden. Setzt man, wie dies bei der Berechnung der Douro-Brücke geschehen ist, E= 1600000. so erhält man Ht —    12,82 = 10,26*, während Seyrig (Seite 41) den Werth Ht

= 4 • 17,74 = 8,87* findet.

Es ist hier hervorzuheben, dass bei Vernachlässigung der Formänderung

der Gitterstäbe der aus S S'²

hervorgegangene Werth S« stets ein grösseres

EF

Ht liefert, da in jener Summe nur die Quadrate von S' auftreten, dass es aber bei der grossen Unsicherheit, in -welcher man sich bezüglich der anzunehmenden Temperatur-Aenderung t befindet, nur zu empfehlen ist, Ht reichlich gross zu rechnen.

80. Formel für den Horizontalschub parabelförmiger Sichelträger.

Liegen die Knotenpunkte beider Gurtungen in Parabeln, so lässt sich für II

ein einfacher Ausdruck herleiten, welcher sehr zuverlässige Ergebnisse liefert. Zu diesem Zwecke nehmen wir unendlich kleine Felder an, und ersetzen die nach Gleichung (9) zu berechnenden Einzelgewichte w durch eine stetige Belastung, welche dem Gesetze folgt:

w = |üsec2ß + -fvsec2 Y‘

Die Bezeichnungen sind aus der Fig. 209 ersichtlich. Die Kämpfer sind in derselben Wagerechten gedacht. Das erste Glied entspricht dem Theilchen ds der oberen Gurtung und ergiebt sich durch Einführung von ru (d. i. Abstand des Punktes u von der Tangente in o) = h cos ß, und ebenso entsteht das zweite Glied. Die Summe:    ist zu ersetzen durch:

l3\

>S/o-

A'j

h.

riTTTTTTn 111H111 ! 11 ITTUTl

JQ lip-dp

WfLv K - /

rodx

•>!

Fig. 209.

%B'

I sec² ßdx-fj    sec² y dx

O

/['+(£•)•]

UA

dx 4

fo

■/[•+(&)!

dx,

wobei zu beachten ist, dass yu:h = fu'f und y₀:h = f₀:f. Führt man ein: 4 fox(l—x)

y₀

und yu —

4 fu x (l x)

so erhält man nach Ausführung der Integration und nach gehöriger Zusammenziehung :

fo + fu

[_L(za + 16/-o/u)

16 fofu

91 =

31 f²

X (l — x)

|^3J² (/o² + /»²) + 32f₀²/v!J-

Die Differentialgleichung der Momentenlinie (Mw) lautet, da diese Linie das mit der Polweite 1 gezeichnete Seilpolygon der Belastungsfläche ist:

(FMu,

dx²

(13)

— d (tg9) = wdx, oder

— — w,

wo cf» den Neigungswinkel des auf eine wagerechte Schlusslinie bezogenen Seilpolygons bedeutet. Denn zwei aufeinanderfolgende Tangenten müssen auf einer Lothrechten im Abstande 1 von der Stelle (x) das Lasttheilchen wdx abschneiden.

Wird nun die Differentialgleichung

d²Mw

fo + fu

dx²

[t(/2 + i 6fof“)

x (Z — x)

16 fofu

zweimal integrirt, und werden die beiden Konstanten mittels der Bedingungen bestimmt

x = 0 und x — l muss liefern Mw — 0,

(deren eine auch durch die Forderung ersetzt werden darf, dass für x — \l der 0 werden muss) so ergiebt sich:

Werth

dMw

dx

(l*+i6 f°fu) (fp lo*- nat -- + -

i—

X log. nat.

— 8fofu V

*]•

Für eine in den Abständen a und b von A bezw. B gelegene Last P er-

Mw

hält man jetzt (nach der Formel H — P-=-

ü Z

M«, \

¥ ):

(14)

3 PI ( fp + fu) [Q² + 16 fofu) «! - f,fu«o\ 3 P ( fo² + fu²) 4- 32 fo²fu²

wo ax = -- (^-y- log. nat. — -f- “r na^- f) 1

4 \ t    (l t    O /

Zur Erleichterung der Benutzung dieser Formel diene die folgende Tabelle, welche gestattet, zwischen Kämpfer und Scheitel 10 Punkte der //-Linie schnell festzulegen. Im Allgemeinen wird man diese Punkte durch eine krumme Linie verbinden und in diese ein Polygon beschreiben, dessen Ecken den Querträgern entsprechen.

iS

0.0496

0,0813

0,1057

0,1251

0,1406

OOfMtMOOO CO h— O (M kO

Ö Ö y* vH T-^

p popp O ćo As O O' o o o

0,1527

0,1619

0,1683

0,1720

0,1733

00 CM 03 CO o CO oo Oi 05 o

H H ^ ^ (N

Für den m Figur 206 dargestellten parabolischen Sichelträger ist z. B. f₀ = 4,0m; fu = 2,5l — 20m, mithin

2184

299    299

und man erhält demnach für -j- = 0.1    0,2    0,3    0,4    0,5 die AVerthe

H = 0,50

welche sich von den vorhin berechneten:

17=0,53 nur unwesentlich unterscheiden.

Für den von Temperaturänderungen parabelförmiger Bögen herrührenden Horizontalschub Ht findet man, indem man in Gleich. (10) den AYerth X 3z„,

0,75

0,77

39

0,89

0,97

1,01

0,91

0,99

1,02

durch

j se°² ß    sec<! dx ersetzt, die einfache Formel

(15)

Ht = tEFct

3 P (f„ - fu)‘

und beispielsweise für den Bogenträger in Fig. 206 (mit ££'— 240; t = 35°):

Ht = 240 Fc 35

3 • 20² (4,0 — 2,5)²

3 • 20‘² (4,0² -f 2,5²) + 32 ■ 4,0² • 2,5²

= 759 Fc Tonnen.

Vorhin ergab sich der hiervon nur wenig verschiedene AYerth H, = 733 Fc.

81. Bogenträger mit fast wagerechter oberer Gurtung. Zu

den am häufigsten ausgeführten Arten von Bogenträgern gehört der in Figur 210 dargestellte Träger mit annähernd oder genau wagerechter oberer Gurtung. Meistens wird die Höhe im Scheitel sehr klein gewählt, und es stellt sich dann heraus, dass die Querschnittsverhältnisse der dem Scheitel zunächst gelegenen Gurtstäbe von wesentlichem Einfluss auf die Ergebnisse sind. Die Gewichte iv der Knoten in der Nähe der Auflager spielen eine untergeordnete Rolle. Wir empfehlen bei Berechnung der //-Linie folgende Annahmen:

Man benutze die Gleichungen (4), ersetze die veränderlichen Glieder sec³ ßm

Fom

und sec³ y

m-f1

F,

Fu

m-f 1

Fc

durch die festen Werthe —— bezw.

F₀

Fc

nehme die willkürliche Querscbnittsfläche Fc — F₀ an und kürze

F ’

die w und 0 durch die (konstant gedachte) Feldweite Man erhält dann:

(16) wm =

(Vm« + Vmo ~)    und 0W =

[y mu I y

F₀

mo

1) J_

Fjh\

wo für F₀ : Fu das Verhält-niss der Querschnitte der oberen und unteren Gurtung in der Nähe des Scheitels einzusetzen ist.

Für den Knotenpunkt 0 und für den Scheitel s hat man bezw. zu setzen:

//' >UmoUnuF'm

Fig. 210.

(17)

F, 1

F₀

Fu

h₀

(18)

ws

2 ys F₀

F₀

h\ Fu

Der Einfluss einer Temperaturänderung ist:

(vgl. Formel 5).

(19)

Ht=

s EFJt

Zahlenbeispiel. I. Für den schmiedeeisernen Bogenträger in Fig. 211 erhält man mit F₀:FU= 1 (ein Querschnittsverhältniss, für welches der Verfasse! in einer ganzen Reihe von Fällen recht befriedigende Ergebnisse erzielt hat):

!5-

-X-

mOO'c

<lto

r\/

IjæM

-------!<-

JAO

^-----

La

Si

fr

0,38

u'O

1,36

iVl

-V

--

0,88 Zy

2,224

0,9 + 3,0

¹

In Folge von Kürzungen wird die Einheit der wi, und wm später zuweilen eine andere werden.

2,1*

0,9* + 3,0*

2,1*

z₀ = 1,000

w.₂

1,6 + 3,0

1,4*

2,35

1,6*+ 3,0*

1,4*

5,898

ebenso m.’₃ = 6,30; w4 = 15,00 2 • 2,5

schliesslich ivh

0,5*

20,00

^3 = 16,556; «4 = 41,000 2 • 2,5*

S2:», = 66,678

0,5*

= 50,00

’5zm= 2 -66,678 + 50,000 — 183,356.

Die Momente des mit den Gewichten w belasteten Balkens À B' sind, wenn die Feldweite X = 1 gesetzt wird (vergl. das Zahlenbeispiel auf S. 214):

My = 34,53; M₂ = 68,18; Ma = 99,48; Mi — 124.48; M₅ = 134,48.

183,356

Der durch X divkjirte Werth 'S zm ist

sich daher:

2,0

= 91,678, und es ergiebt

34,53

91,678

„0-0,38, tf.-₉₁6-₇₈

= 0,74;

ebenso H₃ = 1,09; Ä* = 1,36; AT₆ = 1,47.

Ist die ständige Belastung g — 1,45* f. d. nu so ist die Belastung eines Knotens :

1,45 • 2,0 = 2,9'.

Der Horizontalschub in Folge des Eigengewichtes beträgt dann: Hg = gl [2 (Hy + Ą + Hb + H₄) + H₅] = 2,9 • 8,61 = 25,0*.

Der Einfluss einer Temperaturänderung um t = 35° ist: zEtlFo

Ht =

240 • 35 • 20 • F„

2,0 • 183,356

460 F₀ (abgerundet).

II. Will man die Untersuchung für verschiedene Querschnittsverhältnisse Fo : FM durchführen, so berechne man (unter der Voraussetzung: X = 1) die

Momente Mm in Folge der Gewichte: wń — und die Momente Mm" in Folge

hm¹

h₀

ft-*

° und bestimme Hm mittels der Formel:

Mm +

F„

(20)

II,n =

Fu

M,"

afc")

Für den Scheitel ist wi

h\

und wa" ==■ 0; zé — igs w' und z" = 0. Der

Einfluss von t ist:

zEtlFo

**Zrn

Man erhält:

rn I iom

IVm

Mm'

Mm

O <M O L- O <N 00 ® CO O

ö ö oT co cT

CM

co co o co «ONCOo © — CO GO

0,184

1.306

5,444

16,000

50,000

H (N

11,111

25,000

20,29    14,24    Sar'    =95,868

Die nach Gleichung (20) berechneten Werthe Hm sind für verschiedene Verhältnisse F₀ : F„ in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden.

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

0.39

0,39

0,38

0,38

0,37

0,77

0,76

0,75

0,74

0,73

1,13    1,11

1,42    1,40

1,10

1,09

1,07

1,38

1.36

1,34

1,55

1,52

1,49

1,47

1.44

CO CO CM CM CO N O CO Tf

00

Der Einfluss von t

= 35° C. wird der Reilie nach (abgerundet):

Ht = 540 Fo\ 510 F o ; 480 F„; 160 Fa\ 440 F₀\ 4f0 F₀.

In der Nähe des Scheitels weichen also die //-Linien wesentlich von einander ab. Den Einfluss dieser Unterschiede auf die Spannkräfte werden wir später besprechen. Yergl. No. 85.

82. Bogenträger von nahezu unveränderlicher Höhe. Die in

den Figuren 212 und 213 dargestellten Bogenträger mit annähernd konstantem rm, welche häufig der Kürze wegen Parallelträger genannt werden, sind meistens so gebildet, dass die oberen und unteren Knotenpunkte in Kreisbögen mit gemeinsamem Mittelpunkte liegen. Bedeutet dann h den Unterschied der beiden Kreishalbmesser, so darf man rm durch h ersetzen und, bei gleichen (oder annähernd gleichen) Feldweiten, die Formeln

ym Fq h\ Fm

wm =

; z — ymwm\

s EIFC

.#■

Fig. 212.

Ti

.....;!

"WA

Fig. 213.

12 zm

anwenden. Man vergl. die Begründung von (9) und (10). Kürzt man alle ic und 0 durch 1 : h²m und nimmt einen überall gleichen Gurtquerschnitt an, so erhält man sehr einfach:

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

sEFJh²

In den Formeln für Ht bedeutet Fc einen mittleren Gurtquerschnitt.

Die Gleichungen (22) liefern auch dann noch brauchbare Werthe, wenn die Trägerhöhe h sich vom Scheitel nach dem Kämpfer hin etwas ändert. In den Ausdruck für Ht muss dann ein Mittelwerth h eingesetzt werden.

Will man für die obere und untere Gurtung verschiedene mittlere Querschnitte F₀ und Fu einführen, so wähle man Fc — F₀ und setze für einen Knoten m der unteren und einen Knoten k der oberen Gurtung bezw. :

(23) wm = ym; ztn = y²„l und wk = yk^r\ zh = y\

(22)

y*n *    V m ?    -

F₀

Fu

Fu

Für Parabelbögen lassen sich die gewonnenen Ergebnisse noch erheblich vereinfachen. Dazu nehmen wir mit Bezugnahme auf Fig.®214 an, es’ folgen die Gurtungen den Gesetzen:

k-

ya — g -|- h₀ bezw. yu — y — hu,

{.----

.......b......

wobei

~y

4 fx (l — x)

y =-j₂—-

X-

-T'

—*■

*\

ST

die Gleichung einer Parabel von der Pfeilhöhe f ist. Sodann ersetzen wir (ähnlich wie in No. 80) die Einzellasten w durch eine stetige Belastung, welche an der Stelle x die Höhe

Fig. 214.

F„

W — y„ + y₀

Fo

= y — hK + (y -f- h₀) hat, und welcher dann die Momentengleichung tu

kfx (l — x)

d*Mw

dx²

v²

('+*)

F„

— h₀ —--b hu

Fu

entspricht. Durch zweimalige Integration dieser Beziehung finden wir

Mw

«<• +£)+»(•

h₀

Fu

hu^x (l — x)

wobei die Konstanten mittels der Bedingung bestimmt werden, dass x = 0 und x — l den Werth M — 0 liefern müssen. Das Moment Mw dividiren wir durch

(y-huY + (y + hoT^rAdx- ₁₅

8 fH F₀ + Fu

Fu

w, wo

(24)

5 h₀ Fo — hu Fu . 15 h\Fo + h\Fu 2 f(F₀ + Fu) ⁺ 8 P (F₀ + Flt)

(25)

Der von einer Temperaturänderung t lierrührende Werth H ist: zEFolhH

Ht =

, d. i.

Ht

15 zEtlrF₀Fu

8 p (Fo + Fu) w

Indem wir dann schliesslich x durch a ersetzen, çrhalten wir den Einfluss einer Einzelkraft P auf //:

bP

a (l — a) [Z² -f a (Z — a) -j-

3 Z² h₀ F₀ — hu Fn

2 f F₀ + Fu

Die nach Gleichung (26) aufgetragene //-Linie weicht so wenig von einer Parahel ab, dass der Gedanke nahe liegt, sie durch eine Parabel zu ersetzen, dass beide Linien mit der Nulllinie gleichgrosse Flächen einschliessen.

so zwar Die Bedingung hierfür lautet:

z2i p r__ ,

J Mwdx

Tc

und liefert für Z den Werth:

(27)

3 PI

16 f

V, wo

(28)

f(F₀ + F„) -}- 1,25 (hoFo — KFU)

15

f(F₀ + Fu) + 2,5 (hoFo — huFu) + iw (h\Fo + hPFu)

°T

Die Gleichung der parabelförmigen //-Linie ist:

3 Pab 4/7 V;

sie liefert auch für flache Kreisbögen sehr zuverlässige Ergebnisse.

Für den in Fig. 212 dargestellten Fall ist li₀ — h und 7i„ — 0. Man findet: f(F₀ + Fu) + 1,25 hF₀

(29)

(30)

Ht =

f{F₀ + Fu) + 2,5 hF₀ ( 1 + 0,75 j ) 15 zEtWFoFu

8/'[7(*⁷o+    + 2,5 *2^1 + 0,75 y-)]

Setzt man einmal Fa — Fu, sodann F₀ = 2F„. so erhält man, wenn f= 4h ist, v = 0,84 bezw. v = 0,81 und erkennt hieraus, dass das Querschnittsverhält-niss Fo : Fu in der Regel keinen wesentlichen Einfluss auf H haben wird. Mit der zulässigen Vereinfachung F₀ = Fu gehen die Gleichungen (28) für den Träger in Fig. 212 über in:

8f+ bh

(31)

Fig. 212.

Ht

8f+2,57>(₄ + 3y-) 1 bzEtWFc

2/jV-f 2,5fc(4 + 3 y-)]

wo- jetzt Fc einen Mittelwerth der Querschnitte F₀ und Fu bedeutet.*)

*) Maassgebend sind hauptsächlich die Querschnitte in der Nähe des Scheitels.

Für den zweiten wichtigen Sonderfall in Fig. 213 ergiebt sich mit F₀ = Fu = Fc (wegen h₀ = hu = h):

(32)

15

und Ht —

1 btEth'Fc'i

1 + ^r

i 6f*

Fig. 213.

Der Verfasser empfehlt die Anivendung parabelförmiger H-Linien auf das dringendste. Vergl. des Verfassers: Theorie und Berechnung der eisernen Bogenbrücken, Berlin 1880, Seite 34.

32

b. Ermittlung der Spannkräfte.

83. Allgemeine Beziehungen. Nach Bestimmung des Horizontalschubes H lässt sich das Angriffsmoment Mm für den Knotenpunkt m (Fig. 198) in der Form darstellen:

Mm = Mom — H' ym cos a = M₍

(33)

om

— Hym

den Werth des Momentes für den Fall H — 0 bedeutet, d. i.

wo M₍

das Angriffsmoment für den Knoten m eines einfachen Balkens AB.

om

m+f

m.

-y

,łj.

!//

N.

Ara-/

\ ~'ä\

•-

: --X—(y

......A Æ.i____

-1

Fig. 215.

Fig. 216.

Durch Mm aber ist die Spannkraft des dem Knoten m gegenüberliegenden Gurtstabes bestimmt. So erhält man für die Gurtkräfte Ox und U₂ in Fig. 198 die Werthe:

Oi= —

ri

— und U₂ — -f-

M₂

r2

Soll die Spannkraft D in Fig. 215 aus der Momentengleichung für den Schnittpunkt i der Gurtkräfte U und 0 ermittelt werden, so findet man:

(34)

M{ — DVi= 0 wo Mi = Moi — Hyi und Moi, das Angriffsmoment der links vom Schnitte t — t wirksamen lothrechten Kräfte A und P in Bezug auf den Punkt i bedeutet, während — Hyi den Einfluss von H' angiebt; r{ ist der Hebelarm von D.

Bei Berechnung der Angriffsmomente und Spannkräfte für das Ständerfachwerk (Fig. 216) führen wir die Bezeichnungen ein:

M°m = Angriffsmoment für den oberen Knotenpunkt m ,,    ,, unteren

und finden dann:

(35)

Om =

Ml

hm cos ßm

K-\ cos ym

Die Spannkräfte in den Füllungsstäben kann man wie vorhin mittels der durch Formel (34) dargestellten Ritter’schen Momentengleichung bestimmen, oder auch auf die folgende Weise:

Man führt durch Om, Dm, Um einen lothrechten Schnitt, setzt die Summe der links vom Schnitte wirkenden wagerechten Kräfte = 0, erhält dann zunächst

Dm cos -|- Om cos ßm -j- Um cos -f-11 = 0,

drückt nun 0 und U mittels Gleich. (35) aus und berücksichtigt schliesslich, dass

M°m = Mum — Hhm

ist, weil sich beim Uebergange vom unteren zum oberen Knoten m nur der Einfluss von H auf das Moment ändert. Man gelangt dann zu der übersichtlichen Formelgruppe:

Om cos ß,„ =

Ml

; Vm cos Y„, = -f-

(36)

A-i ’

M°m _Ml-i _ Ml Ml_x hm hm.

Hiernach ist man z. B. im Stande, mit Hilfe der Einflusslinien für die Grössen: M” : h und M° : h sämmtliche Spannkräfte O, U, D zu bestimmen.

Auch die Spannkräfte in den Ständern lassen sich durch die Momente Alu und M° ausdrücken. Greift die Belastung oben an, auf welchen Fall wir uns hier beschränken wollen, so folgt aus dem Gleichgewicht der am unteren Knotenpunkte m angreifenden Kräfte:

Vm + Dm sin cpm + Um+x sin ym+1 — Um sin ym = 0, und aus dieser Bedingung erhält man, wenn man Dm, l/m+1 und Um mittels der Gleichungen 36 bestimmt und die Beziehungen

h m—1

I)m cos 9„, ==

km- 1

h i

tg 9m + tg Ym = und tg 9„ + tg ym+1 = beachtet, die einfache Formel:

Àm

(37)

Vm =

Ml

km—1

hm-\ MlKy

m— 1

Kn

Darin bedeutet h'm_x die obere der Strecken, in welche hm__x durch die Verlängerung des Stabes Um+X zerlegt wird.

Auf ähnliche Weise können auch die Spannkräfte D des Strebenfachwerks dargestellt werden. Man denke sich die punktirten Ständer eingeschaltet, Fig. 217, und findet:

(38)

Dm cos <pm =

M°m

M°m_x

hm hm_

hm

Mum_x

hm—1

Ml

Ml

Mum_ i

vn - 1

hm—1

Werden in jedem Felde zwei sich kreuzende steife Diagonalen angeordnet (Fig. 218), so ist die genaue Berechnung der Spannkräfte eine ausserordentlich mühsame Arbeit, weil ausser H noch in jedem Felde eine statisch nicht bestimmbare Grosse, nämlich die Spannkraft in einer der beiden Diagonalen, auftritt. Wir begnügen uns deshalb hier mit einem Annäherungsverfahren. ¹)

Es bedeuten: D die Spannkraft, d die Länge und F den Querschnitt der linksstei-

mL.

m-Z

m—l

nt /

Fig. 217.

COS ©OT_„!

h,„

—2

h„,_2

ni

Tn

"yC

\y₀ /F

___y----

B‘

Kg. 218.

Fig. 219.

genden und T> , d', F' die entsprechenden Werthe der rechtssteigenden Diagonale irgend eines Feldes, ferner seien für die übrigen Stablängen und die Winkel die in der Fig. 219 angegebenen Bezeichnungen gewählt. Auf die Aenderung A y der Winkel y haben die Längenände-

und

rungen Ad und Àd' einen hervorragenden Einfluss, und es sei deshalb aus der Gleichung

d² = s’l -(- n\ — 2s₀nx cos yx, unter Vernachlässigung von As₀, Anx die Beziehung'

2d Ad = 2s₀n₁ sin yx Ayx

gebildet und hieraus (und auf ähnliche Weise) sei erhalten:

d' Ad'

Aji =

d Ad

s₀n₁sinj₁

; ^y₂

sunx siny₂

; Ay₃

dAd

suw₂siny₃

; Ay₄=

d' Ad'

s₀w₂sin y₄

Da nun die Summe der Viereckswinkel y₁, y₂, y₃, y₄ auch nach der Formänderung = 360° ist, so ergiebt sich Ayx -j- Ay₂ -f- Ay3 -|- A y₄ = 0 und hieraus folgt dann : sun₂ sin y₃ -\- s₀nx sin yx

s₀n₂ sin y₄ -f- sun₁ sin y2 sin y₂ sin y₄    ’

oder, da der Inhalt des Vierecks sowohl = \ (sun₂ sin y₃ -f- s₀n₁ sin y₄) wie auch = ^ (s₀n₂ sin y₄ -f~ sunx sin y₂) gesetzt werden darf,

d' sin yx sin y₃

dAd

sin yx sin y₃

d' Ad'

Ad

Ad'

d sin y₂ sin y₄

Nach Einführung von Ad =

Dd

und Ad' — -—

D'd'

ergiebt sich

EF

F sin yx sin y₃ • d²    F' sin y₂ sin y₃

und, wenn s₀ ]| su ist, wenn also sin yx = sin y₂ und sin y₃ = sin y₄ ist,

d^² _F^ h² ~Fr‘

Man nehme (wenigstens bei der ersten Berechnung) F = F' an, und benutze die vorstehende Gleichung auch dann, wenn s„ und su nur annähernd parallel sind.

Werden nun, vom Kreuzungspunkte J der Diagonalen aus, auf diesen die Strecken JC und JE (Fig. 218) so angetragen, dass JC : JE = d'²F : d²F' ist, und wird das Parallelogramm JF gezeichnet, so giebt JF die Richtung der Mittelkraft S) aus den Spannkräften D und D' an. Sind o und u die Schnittpunkte der Geraden JF mit den Gurtungen, ferner M₀ und Mu die für die Punkte o und u berechneten Angriffsmomente, so ergeben sich die Spannkräfte für die Gurtungen:

(39)

(40)

d'²

EF'

D'

D‘

Mu

0 =--— und U = +

M₀

r»

ra

wenn r₀ das Loth von Punkt o auf die untere Gurtung und ru das Loth von u auf die obere Gurtung bedeutet.

Die Spannkräfte D und 1)' werden durch Zerlegung von ü£) gefunden, und bei Berechnung von 2) verfährt man genau so, als befinde sich in dem fraglichen Felde nur eine die Punkte o und u verbindende Diagonale.

Behufs Ermittlung der //-Linie nach No. 7 7 werden den Punkten

zugeschrie-

®o|/m    ^ c

ben, ferner die Werthe z₀ — w₀y₀\ zu — wuyu. Die Berechnung von Ht erfolgt dann nach Gleichung 7. In der Regel sind die in No. 82 angeführten Vereinfachungen w₀ = y₀ und wu — yu zulässig oder — was noch mehr zu empfehlen ist //-Linie.

o und u die Gewichte w₀ =

Suj/o K

rl Fu

—— und iou =

die Benutzung der para bei förmigen

Zur Bestimmung der Grenzwerthe der Spannkräfte bedient man sich im Allgemeinen am zweckmässigsten der Einflusslinien.

84. Einflusslinien für die Angriffsmomente und Spannkräfte. Die Einflussfläche für das Angriffsmoment

(41)

Hym    y »i

Mom

— //

y tn

St

4i>    ••••• >°

Vk...... P.......•?,-

\P-T

iV<

A'>

-v

hll'

ft]

Fig. 220.

ergiebt sich — wenn ym als Multiplikator angesehen wird*) —-als der Unterschied der (Mom:ym)-Fläche und der //-Fläche. Nach Aufzeichnung der //-LinieA'Sß' (Fig. 220) trage man auf der Lothrechten durch A die Strecke

= 1    ab**),

y,n

binde A" und ß' durch eine Gerade, bestimme auf dieser senkrecht unter m den Punkt rn und ziehe A'm. Die schraf-firte Fläche ist dann die Einflussfläche für !/„,***); sie gestattet die Berechnung der

ver-

*) Vergl. Seite 174. Wir werden die Multiplikatoren der Einflussflächen mit fr bezeichnen und stets an die betreffenden Flächen setzen.

**) Die zeichnerische Bestimmung von 1 • —- ist in der Figur 220 ange-

y*n

deutet worden. Der Verfasser zieht die Berechnung vor.

***) Wäre A'A" — 1 • xm-, so wäre das Dreieck Äni B' nach Band I, S. 134, die Einflussfläche für das Moment Mam.

Grenz wer the

M,n und minMm in der Form:

= |x(SPYi+y (P — £) + #>)

Mm = —    — P) + H,).

wobei ^Pv\, 2iPvj, F und F die auf Seite 18B erklärte Bedeutung + ~

haben; dort ist auch gezeigt, dass man im Falle gleich langer Felder auch setzen darf:

max

min

?>

Figur 220 setzt voraus, dass m der oberen Gurtung angehört und die Belastung oben angreift. Ist m ein Knoten der unbelasteten Gurtung (Fig. 221), so beachte man, dass jedem Felde F₁F₂ eine gerade Einflusslinie Lx L₂ entsprechen muss.

Durch die Momente Mm sind die Spannkräfte in den Gurtungen bestimmt.

Bei Untersuchung eines Füllungsstabes gehen wir, mit Bezugnahme auf Fig. 215, von der für jeden Neigungswinkel des Stabes gültigen Gleichung %

Ph'i — + Mi aus und ermitteln zunächst die Einflussfläche für Mi = Moi — Hiji. Nach Auf-Zeichnung der //-Linie machen

wir A'A" = 1 •

Xi

Vi

Fig. 222,

’m,

fr

m ZMncFlächc//u.-yn

Fig. 221.

ziehen die Gerade A"j/, bestimmen auf dieser senkrecht unter i den Punkt Ï, verbinden i und A' und tragen schliesslich die dem Felde FXF₂ entsprechende Gerade LjL₂ ein. Fassen wir jetzt die in Fig. 222 schraffirte Fläche als Einflussfläche für die Spannkraft D auf, so ist der Multiplikator derselben

P* = —

r,

Die Einflussflächen für D und M₍ haben gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen, je nachdem die Spannkraft D in Fig. 215 links oder rechts um i dreht. Bei Feststellung dieser Vorzeichen schlage man zur Vermeidung von Irrthümern folgenden Weg ein. Man nehme eine

rechts von F₂ gelegene Last P an, und setze zunächst H— 0, betrachte also den Träger als einfachen Balken. Am linken Auflager

an, und man erhält aus der Gleichung

greift dann nur A = P

r~

~x£

—X-

f,oJA

F.nX

‘-V-

TT

Ar, ,    ,    .

6t-------

FAR

I;

a:

'i

R"

A'

H;

JF' R=FldcÂe/U~^.

lii

R=ïUnie JJ- Flüche

Ai

Fig 222.

Fig. 223.

\P

PL

-JÉ.J

!N.

T3*fc

W-----y-—-i

A'*

B'

T-P.

ÏSF

i___

A“

D=Flâehe/a-^r

-s

Fig. 224.

Fig. 225.

A X.; — D y\ = 0 mit P = 1 den Werth : D = A — = -{- 1 ⁶    **'

Vi

— = H- • 1

Ti

wo v\₀ die unter P gemessene Ordinate der Geraden BA " bedeutet. Für den Einfluss von H'— H sec a hat man nun: Hyi -j- Drt — 0, woraus D — — [jiH, weshalb sich im Ganzen

ergiebt, woraus für den vorliegenden Fall folgt: dass D positiv ist, so lange rlo^> H ist. Erwägt man übrigens, dass die Gerade B'A" die mit : iji multiplicirte H-Linie ist, so braucht man zur Entscheidung der Vorzeichenfrage nur den Einfluss von A und H' — H sec a zu prüfen. So findet man in dem in Fig. 223 dargestellten Falle, dass A sowohl wie H eine Zugkraft D hervorbringen, und folgert dann, dass die Ordinaten der Geraden B A" zu denjenigen der Pf-Linie zu fügen sind, und dass die Einflussfläche rechts von F₂ positiv ist. Auf dieselbe Weise prüfe man die Figuren 224 und 225.

Bislang haben wir vorausgesetzt, dass der Punkt i auf dem Zeichenblatte liegt. Fällt er über dasselbe hinaus, so lässt sich der zur Festlegung der Geraden B'A" dienende Werth x{ : yu sowie der Multiplikator [X = y{ : rf wie folgt ermitteln. Man verlängere die Gurtstäbe 0 und U (Fig. 226) und ziehe an beliebiger Stelle eine Gerade ST parallel zu dem links an den fraglichen Füllungsstab D sich anschliessenden Wandgliede FtF'. Hierauf lege man durch S und T Parallelen zu ÀI\ und AF', bestimme deren Schnittpunkt i₀ und messe die in der Fig. 226 mit ?],•, pf bezeichneten Strecken. pf bedeutet das Loth von S auf den Stab B. Man erhält dann:

₌ FmilL₌lL.

Xi

\U

•*)<

rt

9*

FO-

FS ...

Der Punkt i liegt in der Geraden Ai₀, was bei der Vorzeichenbestimmung beachten ist.

Auf ähnliche Weise Hesse sich auch die von der Geraden A B" (Fig. 222) auf der Lothrechten durch B ab-

Xi

geschnittene Strecke 1 • —-

Vi

ermitteln, doch ist dies nicht nöthig, da man die Gerade A B ' schneller auf andere Weise bestimmen kann. Man muss nur daran denken, dass der Geradenzug A L₁L.₂B' die Einflusslinie für die Spannkraft D des einfachen Balkens AB ist.

In Fig. 227 ist beispielsweise die D-Fläche eines rechtssteigenden

zu

-y

Fig. 226.

Füllungsstabes dargestellt worden. Punkt i liege ausserhalb des Blattes; daher wurde x{ : «/,• = ^ : Yjf gefunden. Die Hilfslinien zur Ermittlung von i₀ sind wieder ausgelöscht worden. i₀ ergab sich oberhalb der Geraden AB, und es liegt daher auch i oberhalb AB. Die Kräfte A

und H' = H sec a erzeugen in D Drücke, weshalb A'A" — 1 nach

Vi

oben aufgetragen wurde.²) Zur Festlegung der Geraden L₂Ll un<^ A'Lt wurden zwei Verfahren angewandt, erstens die Bestimmung des Nullpunktes N auf dem im I. Bande, § 30, gezeigten Wege,

ic

t/d'-²

- vf

//

ta

no

>2?

¹h

fl.

\\

\S>

YZ

*Ś

YdM

M^JTAche/iC/L

y²

*Vi

VB"

Fig 227.

zweitens durch Ermittlung der Strecke L₂ T, welche die Geraden B'A" und A B" auf der Senkrechten durch den der belasteten Gurtung angehörenden Endpunkt F₂ des Stabes D abschneidet. Wir wiesen früher das Gesetz nach: Zerlegt man P — 1 nach den Richtungen von 0 und D und ist die zu D parallele Seitenkraft = [D], so ist L₂ T — [D], vorausgesetzt, dass die Einflussfläche den Multiplikator 1 hat³).

y.

Da nun im vorliegenden Falle ein Multiplikator (X =    ¹

eingeführt ist,

so muss P= 1 ersetzt werden durch — = 1

rt

!-»-

y*

• An die Stelle von

[D] tritt jetzt der in Fig. 227 gefundene Werth Z. Die zweite Bestimmungsart der Geraden A'L₁ und L₂L₁ verdient natürlich den Vorzug.

Ferner ist zu beachten, dass die Strecke A A

~77F

Vi

yt

ist, wo Da den absoluten Werth der von einem Stützenwiderstande A — 1 im fraglichen Wandgliede erzeugten Spannkraft bedeutet, und

ebenso lässt sich B'B" = DB—^— aus der durch B = 1 hervorgerufenen

y<

v •

Spannkraft 1)B berechnen, während schliesslich 1    = DH gleich dem

absoluten Werthe der Spannkraft in Folge einer in A angreifenden, von A nach B gerichteten Belastung 1 sec a ist. Hiernach kann man den Linienzug A'L₁L₂B' mit Hilfe von zweien der drei Strecken: A A" = DA : Dh, B'B = DB : DH und Z bestimmen.*)

Die Benutzung der Spannkräfte DA, DB, DH liefert wohl die übersichtlichsten und schärfsten Zeichnungen, vorausgesetzt, dass man die geringe Mühe nicht scheut, diese Werthe durch Rechnung zu bestimmen. Man gehe dann von den Gleichungen (36) und (38) aus.

Als Beispiel sei hier die Ermittlung der Da, Db,

Dh für den auf S. 201 dargestellten Sichelträger mit-getheilt; denn gerade für diese Träger ist das fragliche Verfahren besonders am Platze. Durch die unteren Knotenpunkte 1', 3',

5', T, ... . wurden senkrechte Geraden gezogen, welche die obere Gurtung in 1, 3, 5, 7, . . . schneiden**). Aus den Angriffsmomenten Mx, AT₂, Ma, M₄, M&, ... findet man dann für jeden Belastungszustand für eine linkssteigende Diagonale:

v-

x.

<.......

‘A

9'

i'

Jf

Fig. 228.

*) Vergl. auch Band I, § 30; dort wurden die DA und Db mit D' bezw. D”

bezeichnet.

. **) Der bequemeren Schreibweise der Momente wegen ist die Bezeichnung der unteren Knotenpunkte anders gewählt wie in Fig. 206.

A«-i)

htn    hm — 1

und für eine rechtssteigende Diagonale:

jl/(m — 1 )

hm -1

Den Zuständen A = 1, B — 1, H= 1, entsprechen nun für den Knoten m der Reihe nach die Werthe:

Mm = 1 • Xm , Mm — 1 • x rn,    M,„ — - 1 • ym

so^dass man z. B. für J>₈ und A die Gleichungen erhält:

Einfluss von A = 1 ; D₅ cos 95 = ----D< cos 94 == ----— ;

%    r?4    %    "4

_ . t    X 5 X ±    X % X i

”    „ B=1;CSC0S«P. = ._-— ;ĄcoS?ł = — - — ■

„ H = D₆cos(fb — -j^---I>₄coscp. -----

Die Ergebnisse der Rechnung sind in den folgenden Tabellen zusammengestellt worden.

Dm COS 9m

Dm cos 9m

11

Xm

M„

Mm

lim

z. B. A cos 9s =

z. B. A cos 94 —

Mt

M,

Ms _ A

h K

Xm = l-Xm

Tim

Vnt

Xm

Tim

Ti-m

Tim

■HNeOrjtOtOl-OOOO

O _0O —4 02 Ol Jf*. CO tC M-

"o~& o ö öTo'o'o'o'o

OOOOOOOOOO

0.245

0,565

0.725

0,985

1,085

1,285

1,325

1,465

1,445

1,525

0,72

1,44

2,00

2,56

2,96

3,36

3,60

3,84

3,92

4,00

4,082

3,540

4,138

4,061

4.608

4,669

5,283

5,461

6,228

6.557

OGOOO^lOO-HrHNt-^oo^^c^co 00 00 -h ^

*>- tHCO CcTco'Ö'oi'ocTt^'cO CO (M H H H

to to tO tO to <1 Gi ^1 Ci Ö* -<1 Ö* CO OSOJM-sJOiooCCOCDCO

Einfluss von

H— 1

A cos cp₂ — A cos % =

A COS 94 =

A cos 9s = A cos 9s = A cos 9₇ = Dq cos 9₈ — A cos 9₉ — Ao cos 9io —■

+ 0,542 + 0,598 + 0,077 + 0,547 — 0,061 + 0,614

—    0,178 + 0,767

—    0,329

+ 45,692

—    8.410 + 7,204

—    2,419 + 2,930

—    1,084 4- 1,620

—    0,579 + 1.055

Mit Hilfe dieser Werthe lassen sich die Einflusslinien für die Spannkräfte D oder — was zweckmässiger ist — für die D cos 9 sehr schnell auf tragen.

Fig. 229b zeigt die /)₈ cos <p₈-Fläche. Die Einflüsse von À und H haben gleiche

1,85 auf der entgegenge-

__    _ Q J7Û

Vorzeichen und es wurde daher A'A" = 1—---

0,096

setzten Seite der //-Fläche abgetragen, damit sich die Einflüsse von A und H

summiren. Die Gerade Â B" konnte nicht mittels der Strecke Br B"

1,620 0,096

= 16,88 festgelegt werden, da dies zu viel Platz erfordert hätte, sondern wurde bestimmt mit Hilfe von FLX — xs₈ • 16,88 = 5,06. Der Multiplikator der gezeichneten Einflussfläche ist p. = 0,096.

Ą,

>1,86*

çA

ff A

ff A    ff> 1    ff A    ff A    ff A

/\: 250

ffA

io

16

!8

ht

(a;

wjł

'■£

(b)

ff

m3^lX=\

£ s

£T= Linie

Deos faPla-ckc/yd - O, 036

V¹’⁹² hT^U*

16.=3,10

~dJ

mm

Aß

Fig. 229.

Wir wollen an der vorliegenden Figur noch die Berechnung der Spannkräfte in Folge einer gleichförmigen Belastung erläutern und nehmen zu diesem Zwecke eine ständige Belastung g — 1.45* f. d. m. der Stützweite und eine bewegliche^/) — 2,6* an. Die Knotenlasten sind dann: gl = 1,45 • 2,0 — 2,9( und pl = 2,6 2,0 = 5,2/ Um maxDs zu erhalten werden, die Knoten rechts von Z>₈ nur mit gl belastet, die Knoten links davon mit ql = (g    = 8,1/

Man misst nun:

Ś = Y₅₂ + t₎₄ + Yle=7,92;    2    'Oio + 'Ois + hu *f" "Die “h "bis = 9)10

und erhält:

max

D₈ cos <p₈ = n — ^XSp = 0,096 (8,1 • 7,92 — 2,9 • 9,10) = + 3,6h

Vertauscht man g und q, so findet man: minies cos <pg = p. (gX'Z — ql2^ = 0,096 (2,9 • 7,92 — 8,1 ■ 9,10) = — 4,9*.

Zu diesen AVerthen tritt noch in Folge Erwärmung bezw. Abkühlung

Z>₈ cos 9 ₈ = + p, Ht.**)

In den vorstehenden Untersuchungen wurden sämmtliche Einflussflächen aus derselben //-Linie mittels Ziehen weniger Geraden abgeleitet. Dieses einfache Verfahren führt bei den Gurtstäben stets zum Ziele, versagt aber zuweilen bei Berechnung der Spannkräfte in den Wandgliedern; denn hier kann es bei sehr nahe an der Geraden AB liegenden Punkten i Vorkommen, dass die AVerthe Xi : yi (bezieh. Da'-Dh), welche bei endlichem xt mit yt = 0 unendlich werden, sehr gross ausfallen, und dass infolgedessen die fraglichen Einflussflächen zu viel Platz beanspruchen. Das Herausziehen eines Multiplikators muss dann unterbleiben; die Einflussfläche ist zunächst für H= 0 aufzutragen, und hierauf muss der Einfluss von H mit Berücksichtigung der Vorzeichen hinzugefügt werden. In dem zuletzt durchgeführten Beispiele

• 1,62

(Fig. 229) würde man also ÄA" = 0,178 |statt j und FL₁ = —^

Utt -L. Ä

\    10    0,096 /

machen, und schliesslich würde man die //-Linie durch die

(0,096 //)-Linie ersetzen, wobei die Multiplikation der Ordinaten ZZ mit 0,096 nach Seite 174 am übersichtlichsten mit Hilfe eines AVinkels, dessen Tangente = 0,096 ist, ausgeführt wird.

¹

Das genauere Verfahren findet sich in: Müller-Breslau, Theorie Berechnung der eisernen Bogenbrücken (Berlin 1880) Seite 72. Eine nachträgliche schärfere Berechnung, die allerdings wesentlich mühsamer ist, dürfte meistens nicht zu entbehren sein. Mit Rücksicht hierauf ist die Anordnung des Gitterwerks nach Fig. 218 wenig zu empfehlen.

²

Die //-Linie wollen wir stets nach unten liegend zeichnen.

³

Yergl. Band I, § 30.

Der Arerfasser pflegt dieser letzteren Darstellungsweise nach Möglichkeit aus dem Wege zu gehen, indem er gleich von vornherein die //-Linie nach zwei verschiedenen Maassstäben (unter Umständen auch noch nach einem dritten sehr kleinen Alaassstabe) aufträgt und dann die grössere //-Linie zur Untersuchung aller Gurtstäbe benutzt, die kleinere zur Berechnung der Füllungsglieder. Nur bei den AVandgliedern von Sichelträgern sind diese Maassregeln zuweilen fruchtlos.

Bezüglich der Einführung wagerechter Nullachsen, sowie der übersichtlichen Zusammenstellung der Einflussflächen und der Ergebnisse der Rechnung verweisen wir auf No. 73.

c. Vollständiges Zahlenbeispiel. Berechnung einer Eisenbahnbrücke mit Bogenträgern.

(Tafel 3 und 4.)

85. Eine eingleisige Eisenbahnbrücke soll zwei Hauptträger mit den in Fig. 230 auf Tafel 3 angegebenen Längenabmessungen erhalten. Die Knoten-

*) Vergl. Seite 184. Genauer ist

D cos cp =

p. (qF — gFy, doch ist

der oben angegebene AVeg schneller zum Ziele führend und sein Ergebniss genügend scharf.

**) Wie man IIt in die Rechnung einführt, darüber giebt das in No. 85 behandelte vollständige Zahlenbeispiel Auskunft.^

max

pnnkte der unteren Gurtungen liegen auf einer Parabel; die obere Gurtung ist wagerecht. Das Gewicht der nach Fig. 231 angeordneten Brückenbahn beträgt 700l!,J f. d. Meter Gleis und das Gewicht der beiden Hauptträger und des Querverbandes wird

mit 150 + 30Z = 150 + 30-20= 750*» in Rechnung gestellt. Es ist dann für jeden Hauptträger g = £ (700 -j- 750)**, mithin die ständige Belastung eines Trägerfeldes: g\ = 1450** — 1,45*. Die Raddrücke und Radstände der Fahrzeuge sind in Fig. 242 (Tafel 3) angegeben worden. — Gesucht sind die Spannkräfte und Querschnittsabmessungen des Hauptträgers.

-V°-~—4

k.....t*----->j

4r i______

Fig. 231.

1.    Die H-Linie des vorliegenden Trägers wurde bereits in No. 81 (Seite 207, Fig. 211) berechnet. Das Querschnittsverhältniss F„ '• Fu ist gleich 1 gewählt ; demselben entsprechen die in Fig. 240 eingeschriebenen Werthe H.

2.    Die Spannkräfte Sg in Folge der ständigen Belastung wurden, nach Berechnung von 77^—12,5**) in Fig. 232 mittels eines Cremona’sehen Kräfteplanes bestimmt und hierauf in die Fig. 233 eingetragen.

3.    Die Spannkräfte SP in Folge der beweglichen Belastung sind mit Hilfe von Einflusslinien nach dem in No. 84 gelehrten Verfahren bestimmt worden. Dabei waren einige Vereinfachungen möglich, die sich aus der gewählten Trägerform ergeben.

Liegt in Fig. 221 der Punkt m der unteren Gurtung auf einer Parabel 4fxmXm

so erhält man für den Abstand des Punktes

von der Gleichung yn}

m von der Geraden Ä B' den Ausdruck : A'A" •    — 1

i    y m l

es ist daher der Ort von m eine zu A' B' parallele Gerade. Im vorliegenden Falle ist 1 = 20m und f= 2,5m, mithin 2,0*, und durch diesen 'Werth sind

sämmtliche 0-Flächen bestimmt; vergl. Fig. 240, in der die ö₃-Fläche durch Schraffirung hervorgehoben ist, und welche die Ordinaten der auf wagerechte Nulllinien bezogenen O-Flächen liefert.

Fig. 241 enthält die Darstellung der Einflussflächen für Z7₂, U₃, kr₄, Us. Behufs Ermittlung der (schraffirten) U₅ - Fläche wurde A4" gleich dem für den oberen Knotenpunkt 4 berechneten Werthe x₄ : y₀₄ = x₄ : h₀ — f* gemacht, sodann auf der Geraden 4" B der Punkt 4' lothrecht unter 4 bestimmt und die Gerade A4' gezogen. Da nun y₀ den festen Werth h₀ besitzt und die Trägerfelder gleich lang sind, so zerlegen die den Knotenpunkten 1, 2, 3 entsprechenden Punkte 1", 2", 3" die Strecke A4" in gleiche Theile**), und damit sind die Einflussflächen für U₂, Us, U₄ bestimmt. Für den ersten Stab der unteren

I4lind

funden.

*) Vergl. Seite 208; dort wurde für ^X = 2,90* der Werth Hg — 25,0* ge

.**) Hieraus folgt, dass die Punkte 1', 2', 3', 4' auf einer Parabel liegen,

deren Pfeil = 1 —— ist.

4 h₀

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

15

Gurtung erhält man Ux — Hsec y₄ = 1,097 II und, da die in Fig. 240 oberhalb der II-Linie eingezeichnete Laststellung den Horizontalschub Hp = 'S Py; = 43,2¹ erzeugt, Ulp = 1,097 • 43,2 = 47,4¹.

Die Ermittlung der Spannkräfte in den Füllungsstäben wird durch den Umstand vereinfacht, dass sich die Gurtstäbe Om-\ und Um in demselben Punkte i schneiden wie Om und Um. Hat man also in Fig. 234 die 7)₄-Fläche mit Hilfe von AA^ — xn'.ho als den Unterschied der von Geraden begrenzten Fläche AL₁L.,BA und der Pf-Fläche erhalten, so findet man die F₃-Fläche (indem man Ll L₂ durch L'L" ersetzt) als den Unterschied der Fläche AL' L" B A und der //-Fläche. Links von F₀ und rechts von I\ stimmen also die Einflussflächen für Di und V₃ überein; die Vorzeichen sind jedoch entgegengesetzte, auch sind die Multiplikatoren verschieden, nämlich p. = h₀ : r₄ für die J9₄-Fläche und p. — ~h₀ : (a?<₄ — x₃) für die Vs-Fläche. Es liefert also die Fig. 244, welche die auf die //-Linie als gebrochene Nullachse bezogenen D-Flächen enthält, auch sämmtliche F-Flächen ¹).

k------

--------x ---------

-------

ta

FP-

—•.....

fl

J

—V¹

b" ¹ ¹ - -j

Fig. 234.

Nach Aufzeichnung der Einflussflächen wurden auf den Tafeln 3 und 4 die gefährlichsten Zugstellungen durch Probiren bestimmt und die denselben entsprechenden AVerthe 'S Pr, und SPiq ermittelt; letztere sind nebst den Multi-

aufgetragen und hierauf wurden

plikatoren auf den Tafeln angegeben. Die Multiplikation der Ordinaten y] mit den P ist mit Hilfe von Maassstäben ausgeführt worden. So wurde z. B. auf Tafel 3 die FT-Linie im Maassstabe P = 25

Die niernach berechneten Spannkräfte St sind in die Fig. 235 eingetragen worden; die oberen Yorzeichen gelten für den Fall einer Zunahme der Temperatur.

5. Die Gesammtspannkräfte, welche durch Zusammenzählung der Einflüsse der ständigen und beweglichen Belastung, sowie der Temperaturänderung erhalten werden, sind in die Fig. 237 eingeschrieben worden.

6. Ueber die gewählten Stabquerschnitte und die grössten Beanspruchun-

Zu derselben ist zu bemerken,

die den Raddrücken 6,5* und 4,5* entsprechenden Ordinaten der Einflusslinien mit den Maassstäben 6,5* = 25””'' bezw. 4,5* — 25mm gemessen. Eür die Füllungs-stäbe wurden auf Tafel 4 kleinere Maassstäbe gewählt.

Die Berechnung der von der beweglichen Belastung herrührenden Spannkräfte SP erfolgte nach den Formeln:

ntax

Sp p. 2 PY], min Sp- p. 2 Py].

Die Ergebnisse wurden in Fig. 236 zusammengestellt.

4. Einfluss der Temperaturänderung. Ausser den Spannkräften Sg und SP entstehen in Folge einer (hier gleichmässig vorausgesetzten) Aenderung der Aufstellungstemperatur um t° noch Spannkräfte St, deren absolute Werth e

St —g. Ht

sind. Hinsichtlich der Yorzeichen ist zu beachten, dass ein positives Ht in der oberen Gurtung und in den Vertikalen Zugspannungen, in den übrigen Stäben Druckspannungen erzeugt. Wird t — + 35° C. angenommen, so ist (nach Seite 208) abgerundet Ht — ± 460 F₀. wo für F₀ zur Sicherheit der grösste Obergurtquerschnitt (der immer einem der mittelsten Felder angehören wird) gesetzt werden soll; derselbe wird wie folgt berechnet.

Die obere Gurtung wird vorwiegend auf Druck beansprucht. Ist also <j die zulässige Spannung, so muss sein:

— oFo — min 0 = — pl2Py) + Og-\- Ot = — p-SPy; -\-Og — P.Ht

= — p. 'S Pf] + Og — p. 460 Fo

und hieraus folgt:

p. S Pr) — Og

F₀ =

a — 460 p.

Für das 5. Feld ist p. = 5,0, SPy> = 8,9, Og- — 10,0 mithin, wenn a = 700*» f.

d. qcm — 7000* f. d. qm gestattet wird,

5,0 • 8,9 + 10,0 7000 — 460 • 5,0

F₀

- r= 0,0116 qm.

Für das 4. Feld ergiebt sich:

Fo _ 4,0 ■ 10,5 + 8,0

7000 — 460 • 4,0

0,0097 <0,0116

und man findet daher

Ht = ± 460 Fo

max

— + 460 • 0,0116 — + 5,3* und St = ± 5,3 p..

gen giebt die folgende Tabelle Aufschluss, dass die untere Gurtung in der Nähe des Scheitels denselben Querschnitt erhalten hat wie die obere Gurtung, damit die in die Rechnung eingeführte Annahme F₉ :F„— 1 erfüllt werde. Bei den vorzugsweise auf Druck bean-

15*

’ spruchten Gurtstäben und Vertikalen wurden die Nietlöcher nicht in Abzug gebracht, wohl aber bei den von grösseren Zugkräften ergriffenen Diagonalen.

Feld

kO

to

tH

Obere Gurtung.

Winkeleisen

sorte

© © t— tH tH

M- h-²-© O²

P Jr² P

CO o to

Ji__

"II--

Querschnitt, j

Inhalt des vollen Querschnittes F

Grösste Spannkraft S

a— F

114 qcm. 76 „ 47 „

81000²»

50000

30000

l\0kg 1 d. qcm.

660 „ „

640 „ „

Untere Gurtung.

p = Querschnitt, j

Feld

Winkeleisen

sorte

Inhalt des vollen Querschnittes F

Grösste Spannkraft S

Co

5 u. 4    10-15-1,2 cm.

3, 2 u. 1    10-10-1,3 „

114 qcm. 97 „

66000²»    580²» f. d. qcm.

67000

690

VI V) 77

Diagonalen. ( 11 = Querschnitt.)

Feld

Winkeleisen

sorte

Inhalt des vollen Querschnittes F

Grösste Spann- j _

kraft S \ a

F—2d8²)

iO

|j CO (N rl

14-14-1,4 cm. 11-11-1,3 „ 9-9-1,3 „ 9-9-1,1 „

74 qcm. 54    „

43    „

37 „

39 000^ 29 000 27 000 21 000

580^ f. d. qcm.

600 „ „ 720 „ „

650 „

. ii u

Vertikalen. ( | i = Querschnitt.)

Winkeleisensorte durchweg 7,5 -7,5 -1,2; F =33 qcm; S = 21 000^

²¹^° = 640²» f- d. qcm.

33

Die Knickfestigkeit der gedrückten Stähe wird am besten mittels der Eulerschen Fonnel heurtheilt. Hiernach soll das kleinste Trägheitsmoment J des Querschnitts bei 5fâcher Sicherheit mindestens sein:

5 Ss²

5 Ss²

10-2 000000

wo s die Stablänge in cm. bedeutet. Für die erste Diagonale ist z. B. erforderlich:

= 210,

5•10000-2902 10 • 2000000

hingegen vorhanden: J— 2 • 139,7 = 279,4. Auf dieselbe Weise überzeugt man sich, dass auch die übrigen Stäbe genügende Sicherheit gegen Knicken bieten.

1.1 cm.

7. Einfluss des Querschnittsverhältnisses F₀ : Fu. Es sollen noch, einige Bechnungsergebnisse mitgetheilt werden, welche den Einfluss des Querschnitts-Verhältnisses Fo ■ Fu auf die Spannkräfte klarlegen. Nimmt man, anstatt Fo- Fu=-1, einmal F₀- Fu = 0,7 sodann F₀ : Fu — 1,2 an, so erhält man die folgenden Ordinaten der //-Linie und Werthe Hg und Ht:*)

Tr —/0,39\ jT —/0,77\. TT —/1,13\ jt —/M2\. jqr _/1T55\

1 — io,37/ >’    — \0,73/ ’ ³ ~ (l,06/ ’    — (l,32/ ’    ~ (l,42/

*=(&V=(i®

und hieraus ergeben sich für den am stärksten beanspruchten Obergurtstab 06 die Werthe:

'540'

410,

Fo

Der erforderliche Querschnitt F₀ ist daher (vgl. Seite 227)

5,0 • 7,0 + 7,5

F„

für -f = 0,7

Fu

F„

7000 — 5-540

0,0099 qm.

Fo

für - - = 1,2

5.0 • 10,1 + 12,5

0,0127 qm.,

Fo

7000- 5-410

während sich für F₀:FU = 1,0 der Werth Fo — 0,0116 qm. ergab.

Der Horizontalschub in Folge einer Temperaturänderung wird

/540 • 0,0099\ _ , /5,3V ± (420 • 0,0127/    *** \5,3/ ’

er stimmt also mit dem für F₀ : Fu —-1 berechneten Ht — ± 5,3‘ überein, so dass die in Fig. 235 zusammengestellten Spannkräfte St gütig bleiben.

Für den Untergurtstab £7₄ (der stärker beansprucht wird als U₅) findet man

^ =    ^ =    St — — 17,9; ^ = 3,37

minU, = — p.'SPr) + £, + & = — Q

Diesen Spannkräften würden bei einer zulässigen Inanspruchnahme von a — 700^ f. d. qcm. die Querschnitte

Fu

Ht =

Fu

76

0,700

109 qcm. bezw. Fu =

64

= 91 qcm.

0,700

genügen. Es ist jedoch erforderlich, das in die Rechnung eingeführte Quer-schnittsverhältniss F₀ : Fu auch der Ausführung zu Grunde zu legen, oder sich doch demselben möglichst zu nähern, da dieses Yerhältniss von bedeutendem Einfluss auf die Beanspruchung namentlich der oberen Gurtung ist; und es empfiehlt sich daher, die soeben berechneten Querschnitte Fu zu ersetzen durch

0.7 Oj = ¹⁴² »"*• bezw- dm'0h F-=JJ 1,1 Für die Ausführung wäre nun streng genommen derjenige Werth F₀ '.F„ zu ermitteln, der den billigsten Träger liefert, welche Forderung man im vorliegenden Falle auch durch die des kleinsten Trägergewichtes ersetzen darf. Die genaue Beantwortung dieser Frage würde aber sehr mühsame und zeit

Fu =

ig 99

= 106 qcm.

*) Vergl. No. 81, Seite 209.

**) In den folgenden Werthangaben bezieht sich die obere Zahl auf Fo : Fu — 0,7, die untere auf Fa: Fu — 1,2.

raubende Rechnungen verlangen und kann daher nur angenähert gegeben werden. Dazu beachte man, dass von den äusseren Kräften nur der Horizontalschub H von F₀ : Fu abhängt und der Einfluss einer Aenderung von TI desto grösser wird, je grösser p. ist. Da die Werthe p. der Gurtstäbe nach den Kämpfern hin abnehmen, so werden auch die Unterschiede der Stabkräfte für verschiedene F₀ '■ Fu in den äusseren Feldern kleiner sein als in den mittleren. Dies zeigt in der That die folgende Tabelle, welche die absoluten Werthe der grössten Spannkräfte angiebt.

F₀ :FU 0₅ j 0₄

03 J Oo Oi j| U₅ U₄ U₃ U-2 Ui

0,7

73 ! 70 ! 72

69

63

46

29

13

69

76

1,0

65 ! 64 ¹ 67

81

71

50

30

13

61

66

1,2

89

73

50

32

14

57    64    64

63    65

Tonnen.

Da nun weiter eine Aenderung von H auf die Spannkräfte in den Füllungsstäben einen bedeutend geringeren Einfluss hat als auf die Gurtkräfte, so ist ersichtlich, dass es hauptsächlich darauf ankommen wird, das Gewicht der Gurtungen der Mittelfelder miteinander zu vergleichen. Dieses Gewicht ist proportional F₀ -4- FU1 weshalb wir noch folgende Zusammenstellung geben,

F o : F»

Fa | Fu [ F„ + Fn

00 05 C N

<S CT Ö' tH⁻ tH

99

142

241

105

131

236

111

116

127

123

116

106

234

232

233

qcm.

aus welcher hervorgeht, dass sich wesentliche Unterschiede in den Gewichten der für die letzten vier Qnerschnittsverhältnisse berechneten Träger nicht heraus-stellen werden.³) Das Ergehniss, dass in der Nähe von F₀:FU = 1 eine Aen-derung dieses Werthes nur eine geringe Aenderung von F₀ -j- F„ nach sich zieht, fand der Verfasser auch in anderen Beispielen bestätigt, und dies ist der Grund, der ihn veranlasste, dem Werthe F₀ : Fu= 1 den Vorzug zu geben, um so mehr als die gleichartige Ausbildung der beiden Gurtungen in der Nähe des Scheitels (Verwendung derselben Eisensorten) nur Vortheile bietet.

8. Berücksichtigung der Längenänderungen der Füllungsstäbe bei Ermittlung der H-Linie. Bei Berechnung der D-Linie wurden bislang die Formänderungen der "Wandglieder vernachlässigt und auch hinsichtlich der Querschnittsänderung der Gurtungen Annahmen gemacht, welche der Wirklichkeit nicht ganz entsprechen. Es erscheint daher nicht unwichtig, die Zulässigkeit jener Voraus-setznngen zu prüfen. Wir wollen die genauere Berechnung der iT-Linie nach drei verschiedenen Verfahren durchführen.

(Fig. 247) berechnet, am besten für E— 1, und nun

änderungen A s =

Erstes Verfahren. Es werden die Spannkräfte S' für den Zustand H = — 1 (Figur 246, Tafel 4) und die denselben entsprechenden Längen-S's⁴)

EF

0', A ', welche auf die in No. 32 beschriebene Weise erfolgt,

wird für diesen Zustand ein Williot’scher Verschiebungsplan gezeichnet. Der Knotenpunkt V und die Richtung des Stabes F5 (vergl. Fig. 245) werden zunächst festliegend gedacht; es fällt dann V' und (da der Stab F5 spannungslos ist) auch 5' mit dem Pole 0 zusammen. Nach Bestimmung der Punkte 4', IV 3', III',

ist man im Stande, die Biegungslinie für den Zustand H——1 zu zeichnen und die Aenderung 8a der Stützweite anzugeben. Diese letztere ist doppelt so gross, wie die wagerechte Verschiebung von A gegen den Knotenpunkt F nämlich

8^ = 2 • 2200 = 4400dw.

Aus den in die Fig. 245 eingeschriebenen Ordinaten 8₀, Sl5 .... der Biegungslinie erhält man nun die Ordinaten

! ⁸”!

JJ» =

der iT-Linie, nämlich 41

0,01; IIl

Ho

1750

4400

4400

0,40; H₂

3350

4400

0,76; H₃

4790

4400

1,09;

H⁴

5930

6400

1,35; H₅

1,46;

4400

dieselben weichen von den früher berechneten Werthen:

0; 0,38; 0,74; 1,09; 1,36; 1,47

unwesentlich ab. Man findet nun weiter Hg = 12,6⁴ (statt 12,5⁴) und für den Stab Oa:^Pr\== 8,3e (statt 8,9⁴), erhält also nahezu dieselben Spannkräfte

4400

nur

Sy und Sp wie früher.

Nur für Ht findet inan einen wesentlich anderen Werth, nämlich (nach

Seite 144)

Ht = ± 1

E8t⁵) _

Ettl

200000 • 0,000012 • 35°-200

8^

4400

= ± 3,8⁴ (statt 5,3⁴).

Im Obergurtstabe Oa verursacht also eine Temperaturänderung um t — 35° Cels. eine Spannkraft: St = + 5 • 3,8 = T 19⁴ (statt + 26,5⁴). Worin diese Abweichung ihren Grund hat, ist bereits auf Seite 204 gelegentlich der Untersuchung der Douro-Brücke hervorgehoben worden; es ist ein Vorzug der Näherungstheorie, für Ht stets zu grosse Werthe zu liefern, da gerade die Schätzung von t auf sehr unsicherer Grundlage beruht, und es sich deshalb

dringend empfiehlt, nicht zu günstig zu

rechnen. Zu beachten ist auch, dass

entspricht.

Als zweites Verfahren wählen wir das im § 2 beschriebene Stabzugverfahren und berechnen zu diesem Zwecke zunächst die Aenderungen Ah der oberen Eandwinkel h. In Pig. 243 geben die auf den einzelnen Stäben stehen-

S’

für den Zustand H— — 1 in Tonnen

ein Ausweichen der Widerlager um Al eine Aenderung von H um AH = _ EM Sa

= 0,05 dm bereits

verursacht, so dass beispielsweise dem kleinen Werthe A7 = 5

mm

AH

200000.0,05

4400

2,3⁶

den Zahlen die Spannungen o' —

F

für das qdm an und die in die Winkel eingeschriebenen Zahlen die Cotangenten

(O) -0,9/    (/) -ZA3 (ZJ -3,07    (3) -3,6/ (M - %8»    (j) -4,39

mzj

im]

seJ-

.-V

ab

¥.89

000,

+ ⁶,39

$\ J

W»

Ah

Ak

Ak

Fig. 243.

dieser Winkel ⁶). Die Aenderung von h₃ wird beispielsweise (für E — 1)

AS₃ = 2,222 (2,43 + 3,07) + 0,450 (2,43 + 1,52) + 0,150 (2,96 -f- 1,52) + 2,122 (2,96 — 2,35) + 0,300 (— 0,76 — 2,35) = + 15,03, und auf diese Weise erhält man:

Ah₀ = — 2,42; A^ = + 5,33; Ah₂ = -f-7,93; Ah₃ = + 15,03; Ah₄ = + 33,54;

Ah₅ = + 46,94.

Wird nun zunächst der Stab F5 festgehalten, so sind die Drehungswinkel 41 der Obergurtstäbe (5) (4) . . . (1) sowie der Endvertikale (h₀) :

4^5 = J Ah₅ = 23,47; 4>₄ = 4j₅-f-Ah₄ = 57,01; 4h = 44 + Ah₃ = 72,04 u. s. w. 4>ä = 79,97; 4»1 == 85,30; 4>₀ = 82,88

und die den Stäben entsprechenden Werthe p (d. i. Drehungswinkel mal Stablänge*)

p₅ = 20-23,47 = 469,4^"*; p₄ = 20-57,01 = 1140,2**; p, = 20-72,04 = 1440,8*"; p₂ = 20 • 79,97 = 1599,4Æm; p₄ = 20-85,30 = 1706*«; p₀ = 30-82,88 = 2486,4*".

Berechnet man nun noch .die (in Fig. 247 zusammengestellten) Längenänderungen A(5) =— 87,7, A(4) = — 70,2, .... A(l) =— 18,3, Ah₀ = — 40,9 der Stäbe (5), (4), .... (1), h₀ und reiht (nach Fig. 245) die Strecken

A ho, Po

aneinander, so erhält man dieselben Punkte 4', 3', .... A', deren Lagen vorhin mittels des Williot’schen Verfahrens festgelegt worden sind. Das Stabzugverfahren erfordert etwas mehr Zeit,’ liefert aber übersichtlichere und vor allem genauere Zeichnungen.

Bas dritte Verfahren besteht in der Herleitung der Biegungslinie aus den Momenten M eines einfachen Balkens, der mit den Gewichten A hi, Ah,, . . . Ab₅, belastet wird. Man findet für diese Momente die Werthe

Mi = 1706,0; M₂ = 3305,4; M₃ — 4746,2; Mt = 5886,4; M₅ — 6355,8 fügt zu denselben die Verkürzung (40,9) der Endvertikale (Fig. 247) und erhält $! = 1746,9; S₃ — 3346,3; 8, = 4787,1; 8₄ = 59 2 7,3; S₅ = 6396,7.

Die dem Zustande II — — 1 entsprechende Aenderung der Stützweite wird nach Gleich. (4) auf Seite 98 (mit E — 1)

= Ä₀2 Ah -j- X 2 <j

= 30 [46,94 + 2 (33,54 + 15,03 + 7,93 + 5,33 — 2,42)]

— 20 (4,39 + 3,51 + 3,07 + 2,43 + 0,91) 2 = 4400,4 und es ergiebt sich daher:

§„ _ 40,9 Ho 8a 4400,4

Ein viertes Verfahren würde in der Berechnung der 8-Linie auf dem in No. 47 gezeigten Wege bestehen. Die Gewichte w werden hier immittelbar aus den Längenänderungen der Stäbe berechnet, während die Bestimmung von nach No. 48 zu erfolgen hat. Wir halten die Durchführung der Zahlenrechnung für entbehrlich, da dieses Verfahren bereits auf Seite 126 bis 128 durch ein Beispiel erläutert worden ist.

A (5), p₆, A (4), p₄, A (3), p„

0,01; Hi

1746,8

4400,4

0,40; u. s. w.

d. Einführung der Kämpferdrucklinie und der zweiten IZ-Linie.

86. Die Kämpferdrucklinie ist der geometrische Ort des Punktes F, Fig. 248, in welchem die von einer Einzellast hervorgerufenen Kämpferdrücke Kx und K₂ diese Last treffen; zur Bestimmung derselben zeichne die Einflusslinien für die Stützenwiderstände A und H und setze A

Der in senkrechter

man

mit H" = H sec a zur Mittelkraft K₁ zusammen.

Richtung gemessene Abstand kj des Punktes F von der Geraden A B ist

*) Vergl. Seite 87. Nicht zu verwechseln mit der im § 5 eingeführten Bezeichnung p

EF

durch die Gleich. 7j : a = A: H gegeben. Mit A

P ab

a ~

(42)    7)

Pb

folgt hieraus :

In Fig. 248 haben wir der Einfachheit wegen die AT-Linie und auch die Kämpferdrucklinie stetig gekrümmt gezeichnet. Meistens ist

die AA-Linie ein Polygon, dessen Ecken den Querträgern entsprechen, und es setzt sich dann auch die Kämpferdrucklinie A₀ B₀ nach Fig. 250 aus einzelnen Kuryenstücken zusammen, die in den Trennungspunkten 2₀, 4₀,... keine gemeinschaftlichen Tangenten besitzen.

4-

£’

7.

3nti

%■........— a---------**------ à

ff

Fig. 248.

Wird die Einflusslinie für den Horizontalschub H eines Trägers von nahezu unveränderlicher Höhe h durch eine stetig gekrümmte Parabel ersetzt, deren Gleichung nach Seite 211

3 Pab

4 fl

lautet, so ergiebt sich

(43)    7)

3 v *

und hieraus folgt dann, dass die Kämpfeidrucklinie eine zur Schlusslinie AB parallele Gerade ist.

87. Belastungsscheiden. Im I. Bande wurde die Kämpferdrucklinie des Dreigelenkbogens zur Ermittlung von Belastungsscheiden benutzt; sie lieferte gewisse ausgezeichnete Punkte der Einflusslinien und führte zu mancher Vereinfachung bei Auftragung dieser Linien. In ähnlicher Weise lässt sich natürlich auch die Kämpferdrucklinie des Bogens mit zwei Gelenken verwerthen. Wird z. B. die Einflusslinie für das Angriffsmoment Mm gesucht, so lege man durch das linke Gelenk und den Knotenpunkt m eine Gerade und bestimme den Schnitt-punkt E derselben mit der Kämpferdrucklinie. Einer durch E gehenden Last entspricht ein durch m gehender Kämpferdruck K₁ und mithin ein Moment Mm — 0, woraus dann folgt, dass lothrecht unter E der Nullpunkt E₀ der gesuchten Einflussfläche liegen muss, und damit ist der Linienzug A'm B' und in Folge dessen auch die schraffirte Mm-Fläche bestimmt. Es verdient indess hervorgehoben zu werden, dass die Ermittlung der Einflussflächen auf dem in No. 84 gewiesenen Wege im allgemeinen den Vorzug verdient, weil die Aufzeichnung der Kämpferdrucklinie des Zweigelenkbogens in der Regel wesentlich umständlicher ist als die des Bogens mit drei Gelenken. Auch liefert das frühere Verfahren schärfere Zeichnungen.

»,

111

IJ4

\H

Fig. 249.

88. Die zweite AT-Linie. Die Verkehrslast eines Bogenträgers sei von B aus um die Strecke £ vorgerückt und erzeuge in dieser Lage (Fig. 249) am linken Auflager die Widerstände A und H. Letztere seien an der Stelle £ als Ordinaten aufgetragen; ihre Endpunkte beschreiben, während die Last von B bis A vorgeschoben wird, zwei Linien, welche zur Unterscheidung von den Einflusslinien für A und H die zweite A-Linie bezw. die zweite Ei-Linie genannt werden sollen, und zuweilen mit Vortheil zur Berechnung der grössten Spannkräfte in den Füllungsstäben verwendet werden können. Die zweite M-Linie wurde bereits (unter der Bezeichnung: M-Polygon) im I. Bande bei der Berechnung der Balkenbrücken benutzt; ihre zeichnerische und rechnerische Ermittlung findet sich dort auf Seite 137 bis 139, 145 bis 152 und 187 (Gleich. 6). Die zweite AALinie aber bestimmt man, indem man H für verschiedene Zugstellungen mit Hilfe der Einflusslinie für H berechnet.

Die Anwendung dieser beiden Linien ist zu empfehlen, sobald sich für die Mehrzahl der Füllungsstäbe nur eine Belastungsscheide ergiebt und diese in dem Felde F₁ F₂ (Fig. 222 bis 225) liegt, welches der durch den fraglichen Stab und ausserdem noch durch zwei Gurtstäbe geführte Schnitt trifft, ein Fall, der namentlich bei parabelförmigen Sichelträgern vorkommt. Hier sind die Belastungsgesetze meistens dieselben wie für den einfachen Balken, weil der Einfluss von Ei verhält-nissmässig gering ist, und es stellt sich in der Regel heraus, dass in einer linkssteigenden Diagonale D (Fig. 249) der grösste Zug bezw.

der grösste Druck auftritt, je nachdem die Belastung von B aus bis F2 oder von A aus bis Fx reicht.⁷)

Wegen der verhältnissmässig kleinen Feldweiten der Bogenbrücken erweisen sich in der Regel die im I. Bande als Grundstellungen bezeich-neten Lagen der Verkehrslast als die ungünstigsten; d. h. es ist die erste Achse des von B aus vorrückenden Zuges über F₂ zu setzen und die erste Achse des von A aus auffahrenden über Fx. Will man bei grösseren Feldweiten sicher gehen, so nehme man die erste Achse etwas stärker belastet an. Man vergl. das im I. Bande in No. 148 über die Berechnung von Balkenbrücken gesagte.

Sind nun DA und DH die Spannkräfte, welche in dem fraglichen Füllungsstabe D in Folge A = 1 bezw. H = 1 hervorgerufen werden, so ist der Einfluss der von B bis F₂ vorgeschobenen Verkehrslast:

ma i

D = ADa + HDh,

und ebenso erhält man den Einfluss der von A bis Fx reichenden Belastung :

minD = BDb + HDh

wo

B und H die am rechten Auflager hervorgerufenen Widerstände

sind und DB die Spannkraft in Folge B — 1 bedeutet.

89. Zahlenbeispiel. Es liege der in Fig. 250 dargestellte Träger vor, dessen .ff-Linie auf Seite 201 ermittelt wurde. A₀ 2₀4₀ . . . B₀ ist die Kämpferdrucklinie; sie wurde nach No. 86 bestimmt; ihre äussersten Theile sind gerade Linien st₀2₀ und B₀18₀, welche bezw. durch B und A gehen, wie sich leicht aus Gleichung 42 folgern lässt.

Die ständige Belastung sei = 1,45⁷ f. d. m., also für ein Feld: g\ — 1,45 • 2,0 = 2,9⁷; die bewegliche Belastung bestehe aus einem Eisenbahnzuge mit den in Fig. 250 angegebenen Achsenlasten und Radständen. Die in die Figur eingeschriebenen, den Knoten der oberen Gurtung entsprechenden Ordinaten der zweiten A-Linie wurden mit Hilfe der Tabelle I auf Seite 310 des I. Bandes berechnet, und die Ordinaten der zweiten If-Linie auf die in No. 79 an einem Beispiele gezeigte Weise aus der Einflusslinie für H. Gesucht seien die Grenz-werthe der Spannkraft D₈. Die Einflüsse Da, Db, Du von A — 1, B = 1, H— 1 sind bereits auf Seite 222 berechnet worden.

ma c

D- je nachdem der Eisenbahnzug von B

Zunächst ist anzugeben, bei welchen Laststellungen diese Grenzwerthe entstehen. Bewegt sich über den Träger eine Einzellast von B bis 8, so beschreibt der zugehörige linke Kämpferdruck den Winkel B₀ A 8₀ ; er dreht stets links um den Schnittpunkt i von 0 und U, und es kann ihm daher nur durch einen rechts um i drehenden, am linken Trägerstücke angreifenden Druck D& das Gleichgewicht gehalten wrerden. Rückt die Last von A bis 6 vor, so beschreibt der rechte Kämpferdruck den Winkel A₀B 6₀, er dreht links um i und erzeugt einen Zug Z)₈, welcher, am rechten Trägerstücke angreifend, rechts um i dreht. Es entsteht also minD oder bis 8 oder von A bis 6 vorgerückt ist.

Der von B bis zum Knoten 8 vorgeschobene Eisenbahnzug erzeugt am linken Auflager: A — 25,7 und H= 59⁸. In Folge von A = 1 würde entstehen: D₈C0S9₈ = — 0,178 und H=1 würde erzeugen: Z>₈ cos p₈ =— 0,096. Daher entsteht in Folge der Verkehrslast:

minDs cos cp₈ = — 0,178 • 25,7 — 0,096 • 59 = — 10,24⁸.

Zur Hervorbringung von maxDs muss der Eisenbahnzug von A bis 6 vorgerückt werden; es entsteht dann am rechten Auflager: B = 9,0⁸, H— 31⁹) und man erhält (da B~ 1 den Einfluss D₈ cos <p₈ =-j- 1,620 ausübt):

D₈ cos <p₈ = + 1,620 • 9,0 — 0,096 • 31 = + 11.60⁸.

K-

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W ]/3⁸    ]ß⁸

y>⁸ jo⁸ w s

>A

130,0⁸

'Ą8

V⁸

°39⁸

-"'uyo

Fig. 250.

Der Einfluss der ständigen Belastung wird nun wie folgt bestimmt. Die rechts vom Schnitte tt in den Knotenpunkten 8 bis 18 angreifenden Lasten g\

“5,x(ï¹ô ⁺ ^ ⁺ è ⁺ Â ⁺ ^ ⁺ ïl)_2,l5,X-6,1< Uüd die IinLs

erzeugen: A

von tt angreifenden g\ rufen B = g\ -f- — -j- — -j- —J = 1,0 g\ = 2,9 hervor; ferner ist nach Seite 201 der von der gesammten ständigen Last hervorgerufene Horizontalschub JV, = 21,5⁸, weshalb der Einfluss von g auf Z)₈ :

Z>₈ cos <p₈ = — 0,178 • 6,1 + 1,620 ■ 2,9 — 0,096 • 21,5 = + 1,53⁸ gefunden wird. Im ganzen erzeugt also die Belastung:

minD₈ cos % = — 10,24 + 1,53 = — 8,7⁸

WOZU

Ds cos 9s = + 11,60 -j- 1,53 = + 13,1⁸ noch der Einfluss der Temperaturänderung mit D₈ cos 9S = — 0,096 H⁸

= + 0,096 • 738 Fc łun Zutritt, wenn Fc den Mittel werth der Gurtquerschnitte bedeutet.

In derselben Weise dürfen die Spannkräfte Z)₄, Z>₅, Z>₆, Z>₇, Z)₉, D₁₀ berechnet werden. Für D„ und D?> gelangt man zu anderen Belastungsgesetzen; es verdient dann die Anwendung der Einflusslinien den Vorzug.¹⁰)

90. Näherungsformel für die zweite //-Linie im Falle gleichmässiger Belastung. Die Verkehrslast sei = p f- d. Längeneinheit der Stützweite l und

------X

bedecke die Strecke £, Fig. 251 ; einem Lasttheilchen p dx entspreche der Horizontalschub

F7

---

clH. Dann ist H = dH, und

A'ö

<.----———>k-------

Fig. 251.

es lässt sich H als Funktion von I darstellen, sobald dH als Funktion von x ausgedrückt werden kann, eine Aufgabe, deren Lösung für den in No. 80 behandelten parabelförmigen Sichelträger und den in No. 82 untersuchten Bogenträger mit nahezu unveränderlicher Höhe h zu einfachen Ergebnissen führt, a. Der parabolische Sichelträger. Ersetzt man in Bleich. 14 (Seite 205) P durch p d x. ferner a durch l — x und b durch x, so erhält man

dH

3pdxl (fo -f- fu)

3P(fo² + f„²)+32fo²fu²

j (J² +16 /of«) i    log nat.— -j-

— fofu 8 V-

l—

-log nat. ——) l—x!

und, indem man diesen Ausdruck von o bis £ integrirt:

(44)

3 pl¹⁰ {fo + fu) [(¹¹ + 16 fofu) a - fofu «"]

3 l¹⁰ {U² + fj) +

{t⁺^1o¹⁰“l

4 Ml)

i (;—£)¹⁰,    , i }

---

und a" =

Zur Erleichterung der Berechnung diene die folgende Tabelle, in welcher die Werthe a' und a" für ç = 0 bis ç = 0,51 angegeben sind und zwar für 10 Theilpunkte der halben Stützweite. Der Verlauf der zweiten //-Linie für c 0,5 l ergiebt sich aus der folgenden Betrachtung.

Ist C₀E₀ (Fig. 251) die Ordinate der gesuchten Linie für g =: 0,5 /, so entspricht der vollen Belastung die Ordinate AÂ == 2 Ca E₀. Bedeckt nun die Last von B aus die Strecke l — £, so nehme man zunächst gänzliche Belastung des Trägers an und bringe den Einfluss einer von A aus um £ vorgeschobenen Belastung in Abzug, indem man von einer durch Ä zu A B gezogenen Paral-

leien aus die Strecke CE’—CE abträgt. Es ist dann E’ ein Punkt der zweiten JET-Linie.

oc'

0,05    0,00140

0,10 [ 0,00471 0,15    0,00941

0,20    0,01520

0,25 ; 0,02185

0,0097

0,0373

0,0810

0,1387

0,2083

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,02 920 0,03 707 0,04534 0,05 386 0,06 250

0,2880 0,3757 0,4693 0,5 670 0,6 667

In Folge gänzlicher Belastung (£ = l) entsteht:

pl² (fo + fu) (3 7² -}- 16 fo fu)

8 [3V¹ (fo* + fu) + 32 fo^fu*]'

Ersetzt man in dieser Formel p durch g, so erhält man den Einfluss der ständigen Belastung. Für den in No. 79 in anderer Weise behandelten Sichelträger ergiebt sich z B. wegen g = 1,45*:

Hg —

(45)

1,45 • 20² (4,0 + 2,5) (3 • 20² + 16 • 4,0 • 2,5)

= 21,4f

8 [3 • 20² (4,0² -f 2,5²) + 32 • 4,0² • 2,5²] ein Werth,r der von dem früher erhaltenen Hg —21,b* fast gar nicht abweicht.

b. Bogenträger von nahezu unveränderlicher Höhe h (Fig. 212 und 213 aufj Seite 209). Hier empfiehlt es sich, von der parabelförmigen Einflusslinie für H auszugehen und Gleich. 29 auf Seite 211 zu benutzen. Man erhält dann für ein Lasttheilchen pdx:

dH

3pdx • x (l — a?)v

4 fl

und, indem man diesen Ausdruck von 0 bis £ integrirt,

rr Pl*

H = —T v

(46)

«s rs

(*-4)

Zur Erleichterung der Berechnung der JET-Linie diene die folgende Tabelle, »7²

deren Werthe noch mit —— m zu multipliciren sind.

OOxOOO

TH v—* C<J 03

ö~ cT ö" d> ©'

0,00725

0,02800

0,06075

0,10400

0,15625

O    O    O    O    O

CO    CO    -rfH    xO

cT    ©    ©    ©    cT

0,21600

0,28175

0,35200

0,42525

0,50000

In Folge gänzlicher Belastung des Bogens entsteht

_pl²

“ 8 f V

(47) HP

und in Folge der ständigen Belastung

(48)

gP

H9 8f V.

Die Ziffer m ist nach einer der Gleichungen 28, 30, 31, 32 (Seite 211 u. 212) zu berechnen.

Aufgabe. Gesucht sei die durch eine gleichförmige Belastung hervorgerufene Spannkraft maxDr, des linkssteigenden Füllungsstabes eines Trägers von nahezu unveränderlicher Höhe h. Fig. 252. Es sollen die zweiten Linien für A und H sowie die Kämpferdrucklinie benutzt werden ; wobei es erlaubt sei, die Lasten unmittelbar am Bogenträger angreifend anzunehmen¹²).

IBM

rTp

r/

&?

ÎV

_4-

X.

; Zwe

Fig. 252.

Die Kämpferdrucklinie ist nach No. 86 eine wagerechte Gerade im Abstande 4/": 3m von der AB] sie wird von der durch das Gelenk A und den Schnittpunkt i der Stäbe 0 und U gelegten Geraden in E geschnitten. Die Senkrechte durch E ist eine Belastungsscheide, denn eine durch E gehende Last ruft am linken Auflager einen Kämpferdruck hervor, der die Richtung Ai hat und das Moment Mi — 0 erzeugt. Lasten rechts von E verursachen bei A Kämpferdrücke, welche links um i drehen und den fraglichen Stab D auf Druck beanspruchen, denn eine am Trägerstück links vom Schnitt tt angreifende Zugkraft würde ebenfalls links um i drehen. Durch Lasten, welche zwischen E und F₂ aufgebracht werden, wird D gezogen, während Lasten links von Fi wieder Drücke I) hervorbringen. Dies letztere einzusehen, stelle man für die rechts von tt angreifenden Kräfte die Momentengleichung in Bezug auf i auf. Die Aufsuchung der Belastungsscheide zwischen Fi F₂ darf man sparen; man rechnet genügend genau, wenn man behufs Erzeugung von maxD den Träger zwischen E und der Mitte C des Feldes FXF₂ belastet und den auf den Querträger F₁ entfallenden Theil der Belastung des Feldes F₁F₂ unberücksichtigt

lässt, also links von tt nur die äusseren Kräfte A und H annimmt. Dabei ist A gleich dem Unterschiede der bei C und E gemessenen Ordinaten der zweiten A-Linie, und ganz entsprechend wird auch H gefunden. Schliesslich erhält man mit den auf Seite 221 eingeführten Bezeichnungen Da und Dh-

D = DaA + DhH.*)

Man könnte auch A und H zum Kämpferdrucke K zusammensetzen und hierauf nach Band I, No. 184 verfahren.

Wird minD gesucht, so werden die Einflüsse der auf den beiden negativen Beitragsstrecken A₀ C und EB₀ aufzubringenden Belastungen getrennt ermittelt und dann zusammengezählt. Wird die Strecke A₀C belastet, so handelt es sich um die Bestimmung der am rechten Auflager hervorgerufenen Widerstände B und H.

e. Formeln für die Momente gleichmässig belasteter Bogenträger, deren If-Linie

eine Parabel ist.

91. Es handle sich um Bogenträger von nahezu unveränderlicher Höhe h (Fig. 212 u. 213 Seite 209), deren H-Linie nach S. 211 eine Parabel von der

31

ist, wobei zur Abkürzung

31

Pfeilhöhe Wf* = w

jr F!'

rj

VuWo

ß⁶

B'

T6t?

>f=£_

yu-yo

.L.

V-

->

Fig. 253.

Fig. 254.

gesetzt werden möge. Die Kämpferdrucklinie ist eine wagerechte Gerade im Abstande | f von der AB.**)

*) Wir erinnern daran, dass es häufig zweckmässiger ist, Deos9 zu berechnen.

**) Es wird wie in der Aufgabe auf Seite 240 die zulässige Annahme unmittelbarer Belastung gemacht.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. i.

16

Gesucht seien die Grenzwerthe der Momente M° und Mu für die Knotenpunkte o der oberen und u der unteren Gurtung.

Wir bestimmen zunächst den Einfluss der ständigen Belastung g, welche

den Horizontalschub Hg — ^r v hervorbringt, legen durch die Kämpfergelenke

A und B eine Parabel ASB, deren Pfeilhöhe

gl² _ f

8 Hg

'- = f (Fig. 254)

ist und messen die senkrechten Abstände c₀ und cu der Punkte o und u von jener Parabel. Liegt o oberhalb und u unterhalb der Parabel ASB. so ist:

M° = IIg C₀ —

(49)

gl²

MU_ —■ + Hg Cu + gy? C«'

M°p und min Mup in der Form *4/ u p    CuP

Gelingt es nun, die Momente

min M°p CoP i

darzustellen, so sind die Grenzwerthe von M₀ und Mu (nach der auf Seite 185 durchgeführten Untersuchung) :

min

min

min M° -

(50)

min

(51)

— ^ -gj.Co—pCo — Htifo 12

M° = — q Co + p Co + Htyo P

= +Ç ₈j’ Cu — PC« — Htyu CuĄ-p Cu Htyu

Mu

ma i

M“= + g

wo Ht den absoluten Werth des Horizontalschubes in Folge einer Temperaturänderung bedeutet.

Zur Ermittlung von minM°p legen wir durch A und o eine Gerade, welche die Kämpferdrucklinie in der Belastungsscheide E schneidet, bestimmen senkrecht unter E den Punkt N der AT-Parabel und erhalten in dem schraffirten Parabelabschnitte den zur negativen Beitragsstrecke B₀E gehörigen Theil der 3f°-Fläche. Der Inhalt dieses Abschnittes verhält sich zum Inhalt der Af-Fläche wie £ l : P,

3

und daraus folgt, dass die von B₀ bis E reichende

Vo ₂ 37

P '¥'16fV' Belastung das Moment

ist also =

8 If

(53)

Vo

pyoVo

min M°p - p p. g j -, -

erzeugt. Schneidet nun eine durch B und o gelegte Gerade die Kämpferdrucklinie innerhalb der Stützweite in E'. wie dies Fig. 253 voraussetzt, so muss noch die Strecke A₀E' belastet werden, und es entsteht dann:

8 fl

(54)

min Mop--

PVJL

8 fl

(Vo + So'³)

In diesem Falle ist

(55) Co = g^(SS+So'³).

Liegt E' links von A₀, so ist in vorstehender Gleichung |₀' = 0 zu

setzen.

Ganz ebenso erhält man für Cu den Ausdruck (56) a.=J£j(H+ &.'*).

Anmerkung. Weitere analytische Untersuchungen dieser Art findet der Leser in des Verfassers „Theorie und Berechnung der eisernen Bogenbrücken“, Berlin 1880. Dort ist allerdings nur der Fall v = 1 behandelt worden, und es unterscheiden sich daher die gewonnenen Formeln von den hier abgeleiteten dadurch, dass f an die Stelle von f tritt. Dem Leser wird es hiernach keine Schwierigkeiten bereiten, auch die in dem angeführten Buche für Einzellasten gegebenen einfachen und bequemen Gleichungen für den Fall eines von 1 verschiedenen Werthes v umzubilden.

§ 8.

Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange und verwandte

Trägerarten.

92. Eine für Dachstühle wichtige Anordnung des Bogens mit zwei Gelenken ist die in Pig. 255 dargestellte. Die Kämpfer A und B sind durch ein Zugband ver-bunden, welches an dem Fachwerkbogen durch senkrechte Stäbe befestigt ist; das Auflager A ist fest, das andere (B) wird auf einer ^ wagerechten Geraden geführt. Zur Bestimmung der Stützenwiderstände sind die Gleieh-gewichtsbedin gungen ausreichend ; der Träger verhält sich in dieser Beziehung wie ein einfacher Balken; er ist jedoch innerlich statisch unbestimmt. Als statisch nicht bestimmbare Grösse wird zweckmässig die wagerechte Projektion H der Spannkraft des Zugbandes eingeführt; dieselbe ist für alle Glieder gleich gross. Zieht man von einem Punkte 0 aus Parallelen zu den Stäben I, II, III, ... so schneiden diese auf

— -6-

Sä

in

(aj :

fl

0\

Ul\Z3

nr

ir r

(bj

1/

hl

..—i------

Fig 255.

x---------r.

16*

vnr

(cj

j>h

¹

Wir heben noch hervor, dass sich die Po-Fläche, wegen V₀ — A — iPtgył = tgY₁ (A cotg Yi — H), auch als den Unterschied der A cotg yj- Fläche und der //-Fläche deuten lässt. Der Multiplikator ist = 1 tg y₄ = 3,0 : 6,67 = 0,45. Die A cotg yi-Fläche ist ein Dreieck AAa P, welches bestimmt ist durch AAi— 1 cotg y, — 6,67 : 3,0 = 2,22.

²

d = Nietdurchmesser = 2,2 cm.] 8 = Eisenstärke = 1,4, 1,3 und

³

Man erwäge auch, dass sich bei Ausarbeitung des Entwurfs stets Abweichungen zwischen den berechneten und schliesslich gewählten Querschnitten ergeben werden. Z. B. haben wir vorhin F — 116 durch F— 114 ersetzt.

⁴

ln diese Formel sind die vollen Querschnitte einzusetzen; dieselben sind in Figur 238 auf Tafel 3 zusammengestellt worden, die Stablängen in Fig. 239.

⁵

Die Multiplikation des Zählers mit E ist erforderlich, weil 8^ für E— 1 •berechnet wurde. Zu beachten ist ferner, dass l in dm und E in Tonnen f. d. qdm auszudrücken sind.

⁶

Eig. 243 wurde verzerrt gezeichnet, damit die Zahlen in der Nähe des ⁶ Scheitels Platz fanden.

⁷

Ob dieser Fall vorliegt oder nicht, kann auch mit Hilfe der Kämpferdrucklinie entschieden werden, vergl. No. 89.

⁸

Diese AVerthe sind den Spiegelbildern der in Fig. 250 gezeichneten

⁹

Linien zu entnehmen; sie erscheinen in Fig. 250 unter dem Knotenpunkte 14.

¹⁰

Die Berechnung von Z>₂ ist überflüssig, da man am Bogenende ein volles

¹¹

Stehblech anordnen wird.

¹²

Rechnet man mit gleichförmiger Belastung (die stets einer Schätzung unterliegt), so ist die Annahme unmittelbarer Belastung immer zulässig. Man gestalte dann überhaupt die Untersuchung möglichst einfach.

einer im Abstande H von 0 eingetragenen Senkrechten die Spannkräfte Z der Hängestangen ab, und die Längen der von 0 ausgehenden Strahlen geben die Spannkräfte Sx, SIZ, Sin, . . . der Stäbe I, II, III, . . . an. Damit sind alle am Fachwerkbogen angreifenden Kräfte bekannt.

Da nun die äusseren Kräfte mit

Will man die Stabkräfte aus den Momenten M berechnen, so führe man durch in einen senkrechten Schnitt und zerlege die Spannkraft der geschnittenen Zugstange in eine senkrechte und eine wagerechte Seitenkraft; die erstere geht durch den Drehpunkt m, und die letztere übt das Angriffsmoment — Hym aus.

denen eines einfachen Balkens übereinstimmen, so erhält man

(1)

Mm = Mom — Hym

d. i. dieselbe Gleichung, welche auf Seite 212 für den Bogen mit festen Kämpfergelenken gefunden wurde. Nur bedeutet jetzt y nicht mehr den Abstand des fraglichen Knotenpunktes von der Geraden AB sondern von dem Zugbande.

Wird behufs Berechnung einer Spannkraft D das Angriffsmoment für den Schnittpunkt i der an D grenzenden Gurtstäbe 0 und U ge-so misst man den senkrechten Abstand y{ des Punktes i von

sucht

demjenigen Gliede der Zugstange, welches der durch O, D, TJ geführte Schnitt tt trifft und erhält:

(2)

Mi — Moi — IIyi

oder allgemeiner

Mi = Moi ± Hyi,

wobei das Vorzeichen von der Lage des Punktes i abhängt.

Es bedarf jetzt nur eines Hinweises darauf, dass die in No. 84 gelehrten Verfahren, die Einflussflächen für senkrechte Belastung aus ein und derselben //-Linie deren Bestimmung in No. 93 gezeigt werden wird, zu ermitteln, auch auf den vorliegenden Fall angewendet werden dürfen; man hat nur auf die andere Bedeutung von y zu achten.

Hinsichtlich der Gestalt des Stabzuges /, II, III, ... ist die vorstehende Untersuchung an keinerlei Voraussetzungen gebunden. Dieser Stabzug darf auch nach unten gesprengt werden ; es entstehen dann Träger der in den Fig. 256 bis 259 dargestellten Art. Die senkrechten Zwischenstäbe werden hier auf Druck beansprucht. Die Tragwerke in den Figuren 258 und 259 bezeichnet man auch als verspannte Balken, und den Träger in Fig. 257 als versteifte Kette, und man nennt dann das Dreieckfachwerk ACBA den Versteifungsbalken der Kette ASB. Nicht unzweckmässig dürfte es sein, den mit dem Dreieckfachwerk durch senkrechte Stäbe verbundenen Stabzug in allen den hier vorgeführten Fällen die dritte Gurtung zu nennen und festzusetzen, dass, falls kurz von der

oberen und der unteren Gurtung gesprochen wird, hierunter die Gurtungen des Dreieckfachwerks zu verstehen sind. Die dritte Gurtung kann auch oberhalb des Dreieckfachwerks liegen; sie wird dann auf Druck beansprucht, während die Zwischenstäbe (eine durchweg nach unten hohl liegende dritte Gurtung vorausgesetzt) Zugspannungen er-

77?.

7/2.

\l

--‘i

\tk

Fig. 256.

Fig. 257.

]Z[

*8eoh

Fig. 258.

Fig. 259.

leiden. Bezeichnet man für diesen in Figur 260 dargestellten Fall mit H die wagerechte Seitenkraft des in der dritten Gurtung auftretenden Druckes, so bleibt die Gleichung Mm = Mom — Hijm gültig. Für M( erhält man je nach der Lage des Punktes i gegen den vom Schnitte t — t getroffenen Stab der dritten Gurtung: Mi — Moi + Hy{.

Den in Fig. 260 ahgebildeten Träger pflegt man auch einen durch einen Balken versteiften Stabbogen zu nennen und bezeichnet dann das Dreieckfachwerk als den Versteifungsbalken des Stabbogens.¹) Dieser Balken, welcher zugleich bestimmt ist, den Horizontalschub des Bogens

fijrccx

Fig. 260.

aufzunehmen, erhält meistens (abgesehen von den Endfeldern) parallele Gurtungen. Die Untersuchung der Füllungsstäbe gestaltet sich dann besonders einfach. Es handele sich z. B. um die linkssteigende Diagonale D des Trägers in Fig. 261. Führt man den Schnitt tt, zerlegt den Druck H sec a des von tt getroffenen Stabes der dritten Gurtung in die Seitenkräfte H (wagerecht) und II tg a (senkrecht) und setzt

man schliesslich die Summe aller links vom Schnitte tt wirkenden loth-rechten Kräfte = 0, so erhält man :

A — 2 P — D sin 9 — H tg a = 0, wo 2? die Summe der links vom Schnitte t angreifenden Lasten be-

o

deutet. Hierin ist nun

A — 2P=Q₀

die Querkraft für den Schnitt tt eines einfachen Balkens AB, und es ergiebt sich daher

D sin cp = Q, wo

(3)

Q—Qo — H tg a = tg a (Q₀ cotg a — H).

_V_.

•V...........—

i.

F.....7

r.......N

-~-x

“S.....«

H‘f-----H"

-H

>1.cotgcc

Dsinp-=Q

A*.

Fig. 261.

Man nennt Q die Querkraft für den Schnitt tt des Versteifungsbalkens, betrachtet tg a als Multiplikator und erhält dann die Einflussfläche für Q als den Unterschied der Q₀ cot g a-Fläche und der LZ-Fläche. Macht man also (Figur 261) A'A" = 1 cotg a, zieht A'B', hierauf A' Lx || B'A", schliesslich LXL₂, so ist die schraffirte Fläche die ^-Fläche; denn wäre A'A" — 1, so würde nach Band I, Seite 132 der Linienzug A' LxL₂B' die auf die Achse A B' bezogene Q₀-Linie sein.

Auf dieselbe Weise werden die Spannkräfte in den Füllungsstäben der in den Figuren 258, 259, 270 abgebildeten Versteifungsbalken bestimmt.

93. Die Bestimmung der Einflusslinie für M unterscheidet sich von der in No. 7 7 gelehrten Weise, die -Ö-Linie eines Zweigelenk-

S'²s EF

sich bisher nur auf die Stäbe des Bogens bezog, und für welche der

2zm gefunden wurde, um die der dritten Gurtung und

den senkrechten Zwischenstäben entsprechenden Glieder vermehrt werden muss. Sind nun <xx, a₂, . . . die Neigungswinkel der Glieder der dritten Gurtung, so sind die Spannkräfte S und Z,

Ni = H sec ölx ; S₂ = H sec a₂ ; . . . *)

(5) Zx — H (tg <xx — tg oc₂) ; Z₂ = H(tg a₂ — tg a₃); ...

und man erhält für die allgemein mit S' bezeichneten Spannkräfte des Zustandes H=—1 die absoluten Werthe:

Sr — sec ar für das rte Glied des Zugbandes,

Sr' = (tg ar — tg ar+1) für die rte Zwischenstange.

bogens zu berechnen, nur dadurch, dass die Summe: 2

Ausdruck

EFC

welche

(4)

(6)

Sind also die Längen dieser Stäbe = sr bezw. zr und ihre Querschnitte = Ftr bezw. = Fzr so ergiebt sich:

srsec ² ar

(7) 2

S'²s

^ (tg ccr — tg ar+1)

EF EFC

EFsr

EFzr

Man darf nun stets die Annahme machen, dass sich der Quer-

H sec ar

schnitt der dritten Gurtung so ändert, dass die Spannung a —

Fsr

einen festen Werth annimmt.

Erfordert also H den Querschnitt Fb (d. i. der Querschnitt eines wagerechten Gliedes der dritten Gurtung), so wird Fsr — Fb sec ar, und man erhält, wenn man für alle Zwischenstäbe denselben Querschnitt F„ annimmt,

(8) 2

S'²s

EF ~~ E~F {^Zm + Yb ² ^sec2a" + Y    tgoćr+1)²} •

wo \r die Horizontalprojektion von sr bedeutet (Fig. 255c).

Die Bestimmung der LT-Linie geschieht jetzt nach folgender Regel:

eines mit den Gewichten

Man berechne die Momente M.

wm

Jm m belasteten einfachen Balkens A B' (vergleiche

rl Fm

*) Es sind dies die absoluten Werthe. Die unterhalb des Dreieckfachwerks liegende dritte Gurtung (Fig. 255 bis 259) wird gezogen; ist sie nach oben gesprengt, so werden die lothrechten Zwischenstäbe auf Zug beansprucht, sonst auf Druck. Liegt die dritte Gurtung oberhalb des Dreieckfachwerks, Fig. 260, so wird sie gedrückt; die Zwischenstäbe werden dann gezogen.

Fig. 198 bis 200) und dividire sie durch

(9)

Fc

9? =    -f- —f 2Xr sec² ar -f-

Fe

Fb

Fz

2sr(tg ar — tg ar+1)²,

wobei zm = ymiv,„. Das Ergebniss ist: Hm

Mwm

Die beiden letzten Glieder des Ausdruckes für 9Î sind von ver-hältnissmässig geringem Einfluss auf H und lassen sich meistens erheblich vereinfachen. Liegen z. B. die Knotenpunkte der dritten Gurtung in einer Parabel mit der Gleichung

x (l — x)

Vb — 4/),

(Fig. 255)

und folgen auch die Längen 0 der Zwischenstäbe dem Gesetze:

z    j2    >

so darf man stets genügend genau setzen:

2 \r sec² CLr —

2 z, (tg ar — tg a,₊₁)² = X₆ 2

(tg a,. — tg a,.₊₁)²

128

/fr.

Z³’

wo À₆ den Mittelwerth der annähernd gleich grossen Feldweiten \r bedeutet, und man erhält dann den schnell zu berechnenden Ausdruck:

fc fin

Fz Ai i&

Für den Fall eines Zweigelenkbogens mit icagereclder Zugstange (fb — 0 in Fig. 255) ergiebt sich

(10) æ = :s*„ + Jjw( 1 +

i6 n

3 l²

05 ! CO

(H)

Fe

Fb

ein Werth, der auch bei geringer Sprengung des Zugbandes genügend genau ist und daher auch für die in den Fig. 256 und 275 dargestellten Träger brauchbar bleibt. Bei Berechnung von Dachbindern dieser Art ist es sogar zulässig, 9i = zu setzen, weil ja die Bestimmung des grössten Schneedruckes und besonders des Winddrucks auf einer ziemlich unsicheren Schätzung beruht.

Kürzungen der Werthe wm und zm ziehen natürlich auch eine entsprechende Aenderung der beiden letzten Glieder des Ausdruckes 9Î nach sich. Nimmt man z. B. bei Untersuchung des in Fig. 261 dargestellten Trägers für alle Obergurtstäbe denselben Querschnitt Fa an und für alle Untergurtstäbe denselben Querschnitt Fu, und setzt man die willkürliche Querschnittsfläche Fe = F„, so empfiehlt es sich, einem Knotenpunkte m der unteren Gurtung das Gewicht

ym^m

(12) . .

. wm =

ym ^statt wm

rl

h*

zuzuschreiben und einem oberen Knotenpunkte k das Gewicht:

2/fcX F₀

T²“ Tu

Diese besonderen Werthe w sind aus den allgemeineren durch Division mit X : h² erhalten worden, und es müssen daher auch die beiden letzten Glieder von 91 mit X : h² dividirt werden. Man erhält:

(13) . ... wk = yk

F₀

Fu

^statt wk

)•

(14) SR = 2yi+|fSy:+^[^SX,.Sec²ar+^S^(tga,-tga,.₊₁)!]

wofür man stets

(15) 91 = 2^ -\-y-2yl + y    +

16 fl

)+f#> ]

*)

setzen darf; auch ist es in der Regel erlaubt, das zweite Glied des

zu streichen. Man

Klammerausdruckes und den Faktor

0+T 4)

erhält dann:

(16)

91 = 2*14-

F₀

Fu

Syï +

h²lb F₀

X Fb

94. Der Einfluss einer Temperaturänderung auf H ist durch

die allgemeine, für jedes einfach statisch unbestimmte Fachwerk gültige Gleichung gegeben:

(17)

2S' zts

EF

S' die Stabkraft für H = — 1 ist. Sind s und t für sämmtliche Stäbe gleich gross, so wird Ht = 0 ; denn setzt man in die dem Span-

wo

*) Für die Stäbe A G und EB, deren Spannkräfte nur von den Stützendrücken abhängen, ergiebt sich S'= 0; die dritte Gurtung reicht nur von C bis E. Ihr Pfeil ist =A, ihre Spannweite =h-

nungszustande H = — 1 entsprechende Arbeitsgleichung

0,

welche für beliebige mögliche As gilt, As — os, wobei o eine Konstante ist, d. h. nimmt man an, dass die geänderte Form des Fachwerks der ursprünglichen ähnlich ist, so findet man

2S'i = 0.

Wird nun vorausgesetzt, dass sich die dem spannungslosen Anfangszustande entsprechenden Wärmegrade der Stäbe des Dreieckfachwerks und der Zwischenstäbe um t ändern, diejenigen der dritten Gurtung hingegen um t-\-kt, so erhält man für Ht den Werth

S'²s

Ht =

EF

wobei sich über sämmtliche Stäbe erstreckt, hingegen nur über die dritte Gurtung. Erstere Summe ist = 0, und letztere geht für den Fall einer gezogenen dritten Gurtung [wegen Sr = -j- H sec ar und — — sec aj in —2krsec²ar über, weshalb sich

(18) H =

sAt^\r sec² ar

EF

2 Alf

e,EFckt^\r sec² a,.

-f-

Fe

Fb

2kr sec²ar -f-

Fc

F.

2 zr (tg a,. — tg a,.₊₁)

ergiebt, und hieraus folgt: wird die dritte Gurtung stärker erwärmt als die übrigen Theile des Bogens, so nimmt der Horizontal^«*? ab; im Gegenfalle wächst H um ein positives Ht. Für den in der Fig. 260 dargestellten Träger findet man, dass der Horizontaler«*^ H zu- oder abnimmt, je nachdem die dritte Gurtung mehr oder weniger erwärmt wird, als der Versteifungsbalken.

Es ist nun stets zulässig, die Formel (18) durch die einfachere:

(19)

Ht = -F

zEFJAt

2<Zm

zu ersetzen; denn, da die Wahl von At einer groben Schätzung unter

liegt, so hat es natürlich keinen Zweck, die übrigen Glieder allzu pein-

yhsm

r£

lieh zu berechnen. Für zm ist in (19) der Werth zm =

zuführen. Eine Kürzung der z bedingt auch eine entsprechende Aen-derung des Zählers von Ht. Setzt man z. B. für den Träger in

95. Näherungsformeln für den durch einen Balken mit parallelen Gurtungen versteiften Parabelbogen. Wir bezeichnen mit h₀ und hu die

Abstände der Gurtungen von der die Bogenenden AB verbindenden wagerechten Geraden, mit y die auf die Gerade AB bezogene Ordinate des Bogens an der Stelle x\ sodann betrachten wir den Bogen als stetig gekrümmt und setzen für eine Einzellast P (unter Vernachlässigung der Dehnung der Hängestangen*):

Mw

H—P

Mw

i'+U)

F.

F₀

Figur 261, wm — ym und wk = yk —, ferner = \fm, zk = y\~-, so

-r«

77 dividiren;

muss man den Zähler von Ht in Gleich. (19) durch es ergiebt sich dann:

r²

h²

(20)

H. = -F-

zEFJh² kt

• /

/(y + K)² dx-f j'(y — h₀)²dx -J- A²

wobei

d²Mw

F₀

Fo

dx²

ym + yk jT = y + A» + {y — h») ^

4 fx{l — x)

und y =

V¹

/•

iB

—->k-------i------

K"

Fig. 262.

*) Dafür wollen wir die Abmessungen ]b und fb (Eig. 261) durch die grösseren l und f ersetzen.

Man vergleiche die ähnliche Entwicklung in No. 82, Seite 210; in derselben Weise wie dort ergiebt sich

(21)

8 fl³u>

(1    \ i 72 _1_    (1    \ J ^ ^uFu hoFo

«(i-ał^ + oO—) + ä₇ *.„ + *■„

5 huF„-hoFo 15 hu*Fu + ho*F„ , 15 h2 2 f(Fu + Fo) ⁺ 8 f*(Fu + Fo) ⁺ 8 f²

, wo

FuFo

Fb{Fu + F₀)

Die hiernach aufgetragene //-Linie weicht nur ' wenig von einer Parabel ab; sie darf durch eine Parabel von der Pfeilhöhe

(22)

3 PI

— — v

16f

ersetzt werden, wobei

(23) v =

f [Fn + Fo) + 1,25 (huFu — hoFo)

f(Fu+F₀)+2,5 {huFu - h₀F₀)+ff.(hu>Fu+hSF₀) + j j(l + j Ç) —

FuFo

ist. Sollen die Längenänderungen der Hängestangen berücksichtigt werden, so tritt im Nenner noch das Glied

80

h²\f² FuFo l* Fz

15 h² 128 FuFo lf³

' 8 f 3 Fz V

hinzu. Für die in den Figuren 263 und 264 dargestellten Sonderfälle erhält man:

Fu

f\~+l —1,25*

(25)

Fo

Kf+i)-²’5;*+

15 h²

(Fig. 263).

(26)

(Fig. 264).

-/•

/;

K=h;hu° |

h,F°;à^h

AiikLdii

Fig. 264.

Fig. 263.

In Folge einer von B aus um die Strecke £ vorgeschobenen gleichförmigen Belastung p entsteht:

(27)

ir

*) Yergl. Seite 239, Gleichung 46.

lastung ist:

(28)

Der Einfluss einer den ganzen Träger bedeckenden gleichförmigen Be-

ä=4?v.

8/'

Die ständige Belastung erzeugt:

(29)

H,

In Folge einer Temperaturänderung entsteht:

zEF₀F„At v

Jf f{F„ + Fu) + 1,25 (huFu — hoFo) wobei zu beachten ist, dass der Horizontal druck H in der dritten Gurtung vergrössert wird, sobald diese Gurtung um A t mehr erwärmt wird als die übrigen Theile des Fachwerks.

Für den Fall einer gleichförmigen ständigen und beweglichen Belastung lassen sich sehr einfache Formeln gewinnen, welche den in No. 91 für den Zweigelenkbogen abgeleiteten ähnlich sind.

1. Angriffsmomente. "Ware II — 0, so würde sich für den Knotenpunkt

u (Fig. 265) in Folge der ständigen Belastung das Angriffsmoment M„r = g X-~

ql2

ergeben, und es entsteht daher mit Berücksichtigung von Hg = ’ — v

8/

Moment:

(30)

Ht —

15 h²

*)

das

(31)

Mgu = g~ — ~'* (y + Kf

woraus, wegen y’ — Af —, nach Division durch h**)

■-A--

—cv •—*1«----------x~~

rr

>à'\o

rg»L-.

ç. I

\iX

-•A

i my

B'

WA?

y.

S'

Fig. 265.

15 zEktWFoFu 8 PiFo + FJü’

welche Formel der Gleichung (25)

*) Abgeleitet aus Ht auf Seite 211 entspricht.

**) "Wir berechnen die , weil die Spannkräfte in den Gurtstäben diesen Werthen proportional sind.

(32)

Mgu

gl²

vhu — g

* ».

(V — 1).

(33)

8 fh

Ebenso erhält man für einen Knotenpunkt der oberen Gurtung:

',h--gw

Mg° _ gP h 8 fh

Zeichnet man also eine Parabel A'S'B\ deren Pfeil

(v —1) ist,

Pjhu 8 fh

— von der A'B\ und misst entsprechend u und o die Abstände F«

8/i

zieht die zu A'B’ parallelen Geraden CD und EF in den Abständen

,    P\h

bezw. —

8 fh

und Y₀ der Parabel von jenen Geraden, so findet man

x, M9°

glui h

denn die auf A'B’ bezogene Ordinate der Parabel an der Stelle x ist = 4 P (v — 1)

P\    8h

giebt sich v < 1, so liegt S' oberhalb A’B’.

Behufs Ermittlung von Mup bringen wir die untere Gurtung des Versteifungsbalkens in Au und Bu mit den Auflagersenkrechten zum Schnitt, bestimmen den lothrecht über u gelegenen Punkt u des Bogens und folgern

aus der Gleich. Mu = M₀ — Hy«, in welcher M₀ das Moment für den Querschnitt x eines einfachen Balkens bedeutet, dass Mu dieselbe Form hat wie das Moment für den Punkt u eines in den Punkten Au und Bu gestützten Zweigelenkbogens. Diesem Zweigelenkbogen muss natürlich der für den versteiften Bogen gefundene Werth v (Gleich. 23, Seite 252) zugeschrieben werden. Die Kämpferdrucklinie ist eine

4 f

Wagerechte im Abstande von der AUBU und werde von den Geraden Auu 3 v

und Buu in Punkten E, E' geschnitten, deren Abstände von den Auflagersenkrechten %u und sind, Fig. 266.

(34)

xx'

MgU

f 9 Tu

xx' (v — 1)

2h

• Figur 265 setzt voraus, dass v>l ist. Er-

Ar

\3F

A)

Fig. 266.

tv    • i i • i wiitt p

Dann ergiebt sien. —-—- —

pCu, WO

(35)

8 flh

Die beiden Grenzwerthe von Mu : h sind nun

min Mu

(36)

^-=-=-gY„-pCu

maxMu^ __ — q Yu P C

und ebenso ergiebt sieb:

(37)

tnax

f gYo—pCo

+ qYo+pCo-, wo

(38)

Co =

y» (io³ + £V) v

8flh

Die Ermittlung von Ę₀ und |'₀ zeigt die ohne weitere Erklärung verständliche Figur 267. Liegt E’ links von A, so ist g' = 0 zu setzen, hingegen ? = 0, wenn E rechts von B fällt. — Durch die vorstehenden Formeln sind die Spannkräfte in den Gurtungen bestimmt.

J £'

-------*

. *li f

..........—|&i

Fig. 267.

\\JW

2. Querkräfte. Wird zunächst Hg = 0 angenommen, so entstehen Momente

dl2

Mo g, welche gleich den Ordinaten eines in eine Parabel vom Pfeil ~~ einge-

schriebenen Polygons sind und für das mie Feld ergiebt sich die Querkraft:

Mo (m — 1 ) g

Qomg

M om ff

tg ß,„. Fig. 268.

Äf

-/V—

AB

À !    I'*’*

Wa

WM

Fig. 268.

Mit Berücksichtigung von Hg erhält man also:

öZ²

Qm g —— Qomg Hg tg GC„i = tg ßm    —; V tg 0tm

Q ?²

und wegen tg am : tg ßm = f :    .

8

(39)

Qmg = -Q

omg

(v — 1).

Man hat also nur nötliig, die im ersten Bande Seite 128 für die Querkräfte Qog des einfachen Balkens gewonnenen Werthe mit — (v — 1) zu mul-

Qmg = — gx,n (V — 1).

tipliciren und gelangt zu der in Fig. 268 dargestellten Querkraftsfläche. Will man rechnen, so setze man

(40)

Die Bestimmung des Einflusses der beweglichen Belastung p geschieht sehr übersichtlich wie .folgt.

Im Abstande-^- von der AB wird die Wagerechte A'B' gezogen, und

O V

durch A eine Parallele zum    Stabe (F'F") der dritten Gurtung gelegt

(Fig. 269), welche die A'B' in E schneidet. Eine durch E gehende Last P erzeugt — eine stetig gekrümmte iZ-Linie vorausgesetzt —

Pb a

H=

3 Pa b ___

4/7    l 4 f

Pb

cotg oc», = A cotg

3v

A'-

>/

\P'

JP

ff---

---CL

K--------£----->f

“TÆ

'/p

Al

fm-t) jt

(ml

tp/l TpA ipA \pA

r s ²

fr---JV—> '—JŁ——y²t---->

T

\si

Fig. 269.

und bringt die Querkraft

Qm — A — Htg am = 0

hervor. Eine links von E liegende Last P' verursacht H— A cotg a' und die

Querkraft Qm — A — A cotg a' tg am = A 11 —    , welche positiv ist, weil

tg um <Z tg a ist, während Lasten rechts von E negative Querkräfte Qm erzeugen. Liegt aber P links von m — 1, so entsteht

Qm — A P H tg a.m •—    B H tg am

und hieraus darf man schliessen, dass zur Erzielung von maxQmp nur die zwischen dem Schnitte tt und der Senkrechten durch E gelegenen Knotenpunkte (mit je pX) zu belasten sind.²) Zeichnet man nun die Einflusslinie für H und A unter der Voraussetzung, dass sich über den Träger die Last 1 • X bewegt und addirt die unter den belasteten Knotenpunkten gemessenen Ordinaten H und A, so erhält man

maxQmp — ('S A — tg am 2 H) p, wobei in dem in der Fig. 269 dargestellten Falle

= A₃ -j- A₄ -f- A₅ -f- A@5 2 H— Ha •+■ H₄ -f- H₆ -J- Ha ist. Die beiden Grenzwerthe von Q sind nun

ma

xQm = — gxm (v — 1) + p (2    — tg am 25)

mrnQm — — ? X,n (v — 1 )~P (2^4 — tg 0Cm 2 H) J durch dieselben sind die Spannkräfte der beiden Diagonalen Dr und Di bestimmt.

Fig. 270.

Die vorstehend abgeleiteten Formeln lassen sich auch zur Berechnung der Spannkräfte des in der Fig. 270 dargestellten Trägers benutzen. In den Gleichungen (31) bis (30) zur Bestimmung von H muss mun h₀ mit hu vertauschen, F₀ mit F«.

96. Zahlenbeispiel. Es soll die H-Linie des in Fig. 271 dargestellten Trägers zunächst angenähert, sodann aber mit Berücksichtigung der Längenänderungen sämmtlicher Stäbe ermittelt werden. Die Knotenpunkte der dritten Gurtung liegen in einer Parabel, deren Pfeil /" = 6,12"³ ist.⁴)

1. Vernachlässigung der Längenänderungen der Füllungsstäbe. Die Gewichte w der einzelnen Knotenpunkte des Versteifungsbalkens sind nach den Gleich. (12) und (13) zu berechnen, worauf durch Gleich. (16) und H durch die Formel bestimmt ist. Geschätzt seien: ^ = 0,37; ^ = 0,40. Man erhält

für einen unteren Knoten m; wm = ym

F₀

für einen oberen Knoten Je-, Wk = yt>y = 0,37 yu,

und wenn die den Knoten 1, 3, 5, 7, . . . entsprechenden w auf die Angriffspunkte 2, 4, 6, . . . der Querträger vertheilt werden:

ic₃ =

== I • 4,835 • 0,37 + 6,12 +    • 4.835 • 0,37 = 7,88

Die Angritfsmomente M,„ des mit diesen Gewichten w belasteten Balkens A'B' sind, wenn die Feldweite X = 1 gesetzt wird:⁵)

= 30,65 Ml06 = 83,49 j Mwxo = 113,60 Mwl = 59,16 J Mu,₈ — 102,02 I Mm2 = 117,54

Nun findet man:

ffi = 2ym² + Ęl    + ^ — = 2(1,87⁵ + 3,4Ö³ + 4,59² + 5,44²+5,95a)+6,12²

r u    A jP 5

+ 0,37 • 2(1,435² + 2,795²+3,815² + 4,495² + 4,835²H

1,2² • 33,5

3,125

0,40 = 296,20

OrdinaUn in Aletcm

■Ą⁵rdJąS~-

STlablängen inMeiern

3,13

-.....-+-

W¥

JJÆ.

5A4

<5,05

4836

6,n

1:400

S8'o

f ~8Öl

j«.

k—ł

A.

HIP

tzo

tu

-------

Fig. 271.

und (da die Mt„ vorhin für X = 1 berechnet worden sind) mit P=l:

H₂ =

30,65

94,78

Mw ■ X_Mw . 3,125 _ Mk

296,20    296,20    94,78

also

0,32; if₄ =: 0,62; Hc = 0,88; /lg = 1,08; H₁₀ = 1,20; H₁₂ = 1,24.

2. Berücksichtigung der Längenänderungen sämmtlicher Stäbe. Die Inhalte der Stabquerschnitte (ohne Abzug für Nietlöcher) sind in Fig. 272 zu-samuiengestellt worden. Zur Ermittluug der ET-Linie soll Gleichung (F) auf Seite 163 benutzt werden. Dieselbe liefert

Hm = Pm

'S.

wo S' die Stabkraft in Folge H = — 1 und 8m die durch diesen Belastungszustand verursachte lothrechte Verschiebung des Knotenpunktes m bedeutet. Die Summe 2 umfasst sämmtliche Stäbe des Fachwerks. Den Kräfteplan für H— — 1 zeigt Fig. 273a. Man denke sich in den Stäben der dritten Gurtung

Zugkräfte S\, S'₂, . . . hervorgerufen, deren wage rechte Seitenkraft = 1 ist, bestimme die in den lothrechten Zwischenstäben hierdurch erzeugten Drücke, S' = Z’ (welche beim Parabelbogen von gleicher Peldweite den konstanten 8 A

8 • 6,12

— 0,11 annehmen) und zeichne hierauf für den mit den Kräften S\ und Z’ belasteten Yersteifungsbalken einen Cremona’schen Plan.

"Werth —

V¹

87,5-12

*81

*81

565

5/5

5/5

5/5

5/5

5/5

5/5

Fig. 272.

Die Ergebnisse sind in die Fig. 273b eingeschrieben, ebenso (in Klammern) die

den Stäben der dritten Gurtung entsprechenden Werthe

letzteren wurde die für alle Stäbe gleiche Elasticitätsziffer E, deren Grösse S'²s

auf das Verhältniss    —- ohne Einfluss ist, =1 gesetzt. Als Einheiten

hj r

wurden die Tonne und das cm gewählt, so dass sich beispielsweise für das dritte Feld der Werth

S'²s

EF

-■ Bei Berechnung der

S'²s_ 1,07² • 334

EF

1 • 519

0,738

ergab.

S's

Jetzt wurden für den Zustand II— — 1 die Längenänderungen As =

der Stäbe des Versteifungsbalkens berechnet und in Fig. 274*) zusammenge-

S'As

S’*s

stellt (nicht eingeklammerte Zahlen), desgleichen die Werthe

(eingeklammerte Zahlen). Für den zweiten Untergurtstab wurden z. B. erhalten :

EF

As =

1,20 -312,5

1 • 515

= 0,7282 = 0,73 und S'As = 1,20 • 0,7282 = 0,874.**)

Die Durchbiegungen §m lassen sich als Momente Mw eines einfachen Balkens A’B’ (Fig. 271) deuten, welcher mit Gewichten w belastet wird, zu deren Berechnung die Gleichungen (6) und (7) auf Seite 105 dienen. Wegen

1,97

sec 9j = —-

1,64

1,12

= 1,46 und sec <p =

v • 3,125

= 1, 26 ergeben sich, wenn die

*) Diese Figur ist verzerrt gezeichnet worden, um Platz für die Zahlen zu gewinnen.

**) Die Stablängen (in Metern) sind in Fig. 271 angegeben.

überall gleiche Abmessung h zunächst = 1 gesetzt wird, für die unteren Knoten die Werther

= 4,7074 = 6,2078 = 7,4446 = 10,1814 — 10,4640

wi = 2,61 + 1,49 • 1,46 — 2,32 • 1,26 = 1,8622 «’₄ == 4,09 + (2,32 — 1,83) • 1,26 w₆ — 5,54 + (1,83 — 1,30) • 1,26 «?₈ = 6,55 + (1,30 — 0,59) • 1,26 w₁₀ — 9,69 4- (0.59 — 0,20) • 1,26 w₁₂ = 9,96 4- (0,20 + 0,20) • 1,26

(uj

IC

äh

o;

o;

o,

ii>)

(0,XK>

(0, 316)

Ml

4:

(0,618)

Sl' + I.OO

jO

a) srtt».⁸

A.« s.

Z~C,t!

ZlO,f1

:Lo,n

1:200

o)MS3 o)— f Si

o)- m oś-w

jS'=0    (X) V=+l,Ml%ri%‘+Zp (6) IÇ-+3/8 (b ZJy+3)ä (/OJ V^es (12)

Fig. 273.

(4,076)    (11,582)    (21,ZW    (29,689)    (28,050)    (50,801)

/ -W 3    -6,09    2    -6,68    ?    -6,53    0-9,60    //    - 9,96

0,

2 +0,n    9    6 +8 + 2,28 IO 7-2⁶6    i$

(0,mj    (3,20⁶)    (S.J36)    (8,633)    (9,856) j

<■

Fig. 274.

und für die oberen Knotenpunkte:

Wr, = 1,93 wÿ — 2,28

XV i j ⁶— 2,4 o •

Wi = — 1,49 • 1,46 = — 2,18 w₃ = 0,73 ⁶) wh = 1,41

Werden die Gewichte der oberen Knoten auf die Querträger-Angriffspunkte 2, 4, 6, . . . vertheilt, so erhält man für diese letzteren die Gewichte:

«>* = 1,8622—2,18

m-s = 7,4416 -f- \ (1,93 -j- 2,28) = 9,55

2,005 3,125

«’₄ = 4,7074 + £(0,73-f- 1,41)    =5,78 wl0 = 10,1814 + i (2,28 + 2,45) = 12,55

= 6,2078 + i (1,41 + 1,93)    = 7,88 wl2 = 10,4640 + 1 (2,45 + 2,45) = 12,91,

denselben entsprechen mit X = 1 die Momente:

Mw2 = 43,045 Mw& = 121,695 Mm0 = 169,255 Af«,₄ = 85,260 Mwa = 150,250 Mm2 = 175,710.

Die Zusammenzählung der in die Figuren 273 und 274 eingeschriebenen

(eingeklammerten) Werthe

S'⁷ s

EF

giebt für beide Trägerhälften:

= 362,937

² EF

und hierzu tritt noch für die Hängestangen, für welche durchweg S' — — 0,11 und F—~\-90qcm ist, das Glied:

¹

Unseres Wissens ist diese Trägerart zuerst von dem verstorbenen österreichischen Ingenieur Langer gegeben worden und dürfte daher wohl am besten Langer'scher Balken genannt werden.

²

Wir machen die zweckmässige (etwas zu ungünstige) Annahme fester Knotenlasten py. Yergl. Band I Seite 118.

³

Figur 271 stellt den Hauptträger einer 1889 in Hannover nach den Plänen des Verfassers erbauten StrassenbrücJee über die Ihme dar.

⁴

Müller-Breslau, Graphische Statik. H. 1.

⁵

Vergl. Seite 203. Die rechnerische Bestimmung der Mtc ist der zeichnerischen Ermittlung unbedingt vorzuziehen.

⁶

An jedem Knoten 3, 5, 7, ... . greifen zwei Diagonalen an, deren Längenänderungen entgegengesetzt gleich sind und sich daher tilgen.

⁷

F ’

*) Man übersieht hier recht deutlich den geringen Einfluss dieses Gliedes.

[2 (1,87 -f 3,40 + 4,59 -f 5,44 + 5,95) + 6,12] = 0,00654*)

0,11¹ •

1 • 90 weshalb

362,937 + 0,654 = 363,59.

^ EF

Da nun bei Berechnung der Mw sowohl h — 1 als auch X = 1 gesetzt wurde, so folgt jetzt für P=1

H,=

43,045

M„ \_M„- 312,5 _ Mw

363,59 ’ h ~ 363,59 • 120“ 139,62

also

0,31; #4 = 0,61 ; #₆ = 0,87; #₈ = 1,08; #₁₀ = 1,21; #₁₂ = 1,26.

139,62

Diese genaueren Werthe weichen von den vorhin berechneten nur unwesentlich ab.

Wir empfehlen dem Leser, zur Uebung die <5,„-Linie noch mit Hilfe eines Williot’schen Planes oder mittels des Stabzugverfahrens zu bestimmen.

97. Einfluss schräger Lasten. Wir schliessen diesen § mit einer Untersuchung des Einflusses schräger Lasten auf einen Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange (Dachbinder) und machen auf diejenigen Annahmen aufmerksam, welche zur Vereinfachung des im § 5 erledigten strengeren Verfahrens gemacht werden dürfen. Der allgemeine Ausdruck für H in Folge einer Einzellast Pm ist (nach der ersten der Gleichungen V auf Seite 168):

(41)

H = Pm

S'¹ s

worin S' die dem Zustande H — — 1 entsprechende Spannkraft irgend eines Stabes des Fachwerks ist, und hm' die Verschiebung bedeutet, welche der Angriffspunkt m der Last Pm im Sinne von Pm erfährt, sobald nur die Ursache PL = — 1 wirkt. Die Ermittlung der Verschiebungen die in Fig. 275 mit Hilfe eines Williotschen Planes erfolgte, darf stets unter der Voraussetzung starrer Füllungsstäbe durchgeführt werden; auch ist es zulässig, sämmtlichen Gurtstäben denselben

o.

/o

Ą/

—-j----

iw-

4~e~

-o

fO

N?

(ö)

4--

4'

i

«i

—t----

------V----Sb

Qa\

y'

</

jj

Fig. 275.

Querschnitt Fc zuzuschreiben. Setzt man dann bei der Berechnung' der Längenänderungen A s —

S's

der Gurtstäbe sowohl E = 1 als auch

EFC

Fc= 1, so muss man in Gleich. (41) den Nenner durch den Werth

Fc

ersetzen. In Fig. 275 liegt ein symmetrischer Träger vor. i

Es wurde bei Aufzeichnung des Verschiebungsplanes zunächst der Mittelpunkt und die Richtung des Stabes s₅ als festliegend angesehen hierauf 64' = A5²) gemacht und b'4'J_54, b'6' J_ 5 6 gezogen.

Die Anschliessung der Punkte 3', l', O', A' erfolgte nach No. 32. — Die Punkte 8', 10', B' liegen in Bezug auf die Senkrechte durch 5' symmetrisch zu 2', l', A' ; und ebenso würde man, falls auch in den Knoten 1, 3, 5, 7, 9, C, D Lasten angreifen sollten, die symmetrisch zu 3' und l' gelegenen Punkte 7', 9', eintragen und endlich C', D', welche in Fig. 27 5 fortgelassen sind, bestimmen. Behufs Erfüllung der wirklichen Auflagerbedingungen musste schliesslich der Verschiebungspol aus dem Mittelpunkte von A 5 in den dem festen Auflager A entsprechenden Punkte A' gelegt werden, worauf sich beispielsweise die Verschiebung 5₂/ des Knotens 2 im Sinne von P₂ gleich der Projektion des Strahles A'2' und die Richtung von P₂ ergab.³)

Wären nun Zugstange und Zwischenstäbe nicht vorhanden, so würde sich

F₀

ergeben, d. h. gleich der Verschiebung, welche B in Folge des Belastungszustandes H = — 1 erfährt. Im vorliegenden Falle ist aber

^S'²s

Fc

= hs + 2eS' ²s

Fe

wobei sich das Zeichen 2₃ über die Glieder der Zugstange und die Zwischenstäbe erstreckt und hierfür darf stets

F.

SS'³.-/ = »/ + !

Fc

gesetzt werden,⁴) womit sich

H=Pm

hm'

Fe

Fb

ergiebt, oder, falls man die Lasteinheit durch eine Strecke von der Länge -j- l

Fc

Fb

darstellt,

H— Pmhm'.

Will man die Punkte 5', 6', 4', . . . in Fig. 275b aus der nach No. 93 für die lothrechte Lastenrichtung ermittelten Biegungslinie ableiten, was manchmal vortheilhaft ist, so beachte man die Beziehung:

wm

rm

(absolut genommen). Hat man also die Gewichte w nicht

mittels der Gleichungen auf Seite 247 berechnet, sondern von den später gezeigten Vereinfachungen Gebrauch gemacht, so muss man bei Aufzeichnung des Linienzuges 5', 4', 2', O', l', A' die Längenänderungen As = wr auftragen und auch das Glied l

Fc

entsprechend

ändern. Liegt z. B. ein Sichelträger vor und wird nach Seite 200 das

Gewicht wm —

statt

rm

m ^ eingeführt, rm '

so folgt für den dem

V

Knoten m gegenüberliegenden Gurtstab: Asm—und es muss

rm

l Fc

Fc

an die Stelle von 1-—- treten, wo se die mittlere Gurtstab-

sc Fb

länge bedeutet. Sind sämmtliche Füllungsstäbe mit Ausnahme eines etwa vorhandenen Endständers gegen die Lothrechte geneigt, so bestimme man i', 3', 2', 0', indem 3' —2'J_3 —2, 2'—1'_[_2 — 1 und l'—0' am schnellsten mit Hilfe von As₀ = AO festgelegt wird.

Schliesslich sei noch daran erinnert, dass sich die Punkte 4', 2', O', Â auch nach dem Stabzugverfahren ermitteln lassen, wie das in No. 85 durchgeführte Zahlenbeispiel gezeigt hat.

Wird die Zugstange durch geneigte Stäbe mit dem Fachwerkbogen verbunden, Fig. 27 6*), so führe man die Spannkraft X irgend eines

Fb

man

5' — 4'

5 — 4, 4'— 3' | 4 — 3

0 zieht, worauf Ä

T?/f

fct-J

\ss

IS

Ix

z.

\\m-

ir

£-

'XI

¹ zr

's

ST

pr

Fig. 276.

Gliedes derselben als statisch nicht bestimmbare Grösse ein, ermittle die von der Ursache X~— 1 hervorgerufenen Spannkräfte und Längenänderungen und zeichne — wie in Figur 275 — einen Williotschen Verschiebungsplan. Die Bestimmung der S' für die Glieder der Zug-

*) In dieser Weise sind z. B. die Dachbinder der Queens-Street-Station der North British R. in Glasgow angeordnet.

Stange und für die Zwischenstäbe hat, hierbei nach Fig. 276b folgen.⁵) Zu betonen ist, dass alle vorhin als zulässig bezeichneten Annahmen auch für den Fall schräger Hängestangen statthaft sind; die Berechnung von X darf dann bei der üblichen geringen Sprengung der Zugstange mittels der Formel

zu er-

X = Pm

Fc

(vergl. Seite 263)

Fh

erfolgen.

Hinsichtlich der bei der Berechnung von Dachbindern in Betracht zu ziehenden Belastungsfälle wird auf Band I, § 39 verwiesen.

Kette, versteift durch einen Fachwerkhalken.

98. Eine sehr wichtige Trägerart, deren Berechnung sich von der Untersuchung der im vorigen § behandelten Stabgebilde nur wenig unterscheidet, ist die in Fig. 27 7 dargestellte, durch einen einfachen Balken versteifte Kette. Bei R und T seien auf wagerechter Bahn geführte Auflager angeordnet; die Hängestangen seien lothrecht.

Da es zweckmässig ist, den Versteifungsbalken nur durch die bewegliche Belastung zu beanspruchen, so wird man das Bauwerk zunächst als unversteifte Kettenbrücke ausführen und die Dreiecke des Versteifungsbalkens erst dann schliessen, wenn die Kettenglieder und die Hängestangen die der ständigen Belastung entsprechenden Längenänderungen erfahren haben.

Die Aufsuchung der Form der meistens durch drei angenommene Punkte R, W, T geführten Kette und die Ermittlung der Spannkräfte in Folge der ständigen Belastung ist bereits im I. Bande (S. 404—408) unseres Buches beschrieben worden, und wir fügen nur noch hinzu, dass auf dem dort angegebenen Wege die Gestalt der durch die ständige Belastung gespannten Kette — nicht diejenige der spannungslosen — gefunden wird, dass also die Längen, welche den Kettengliedern und

Hängestangen in der Werkstatt zu geben sind, = s

sein müssen,

Sgs

FF

wenn allgemein s die Länge des fraglichen Stabes auf Grund der erwähnten Formbestimmung und Sg die Spannkraft in Folge der ständigen Belastung bedeutet. Dass ausserdem noch der Unterschied zwischen Aufstellungs- und Werkstattstemperatur berücksichtigt werden muss, ist selbstverständlich, ebenso dass bei Bemessung der Pfeilerhöhen der Verkürzung Rechnung zu tragen ist, welche die Pfeiler in Folge der ständigen Belastung erfahren werden.

Wird nur ein Theil (gv) der ständigen Belastung (g) vor Ausführung der Versteifung aufgebracht, der Rest (gn) erst nach Einfügung des Balkens, so ist in der vorstehenden Betrachtung Sgv an die Stelle von Sg zu setzen. Die beschriebene Formbestimmung liefert die Gestalt der mit gv belasteten Kette und der Einfluss von gn muss, ebenso wie derjenige der beweglichen Belastung, nach den in den folgenden Untersuchungen abgeleiteten Verfahren festgestellt werden.

Andererseits könnte man aber auch ausser der gesammten ständigen Belastung (g) noch eine Belastung g' auf die unversteifte Brücke bringen und nach Vollendung des Versteifungsbalkens wieder entfernen. Es würde dann, bei Untersuchung der nach der Versteifung hinzutretenden Lasten, g' als eine negative Belastung aufzufassen sein.

Aehnliche Verhältnisse lassen sich natürlich bei jedem statisch unbestimmten Träger herbeiführen. So könnte man z. B. einen Zweigelenkbogen zunächst mit Scheitelgelenk ausführen und dieses Gelenk nach Aufbringung

der gesammten ständigen Belastung g oder eines Theiles von g vernichten; auch eine später wieder zu beseitigende Belastung g' könnte zuweilen von Vor

theil sein.

Die Untersuchung des Einflusses der nach erfolgter Versteifung der Kette auf den Balken gebrachten Belastungen beginnen wir wie immer mit der Betrachtung der Wirkung einer Einzellast.

99. Der Horizontalzug TI in Folge einer Einzellast. Verbindet man die senkrecht über den Balkenstützen A, B gelegenen Punkte A", B" der Kette durch eine Gerade (die Schhisslinie) und bezeichnet die Strecke, welche Kette und Schlusslinie auf der Lothrechten durch irgend einen Knotenpunkt m abschneiden, mit ym (Fig. 277), so ist das auf m bezogene Angriflsmoment:

Mm = M0m — Hym,

wo M0m den Werth von Mm für den Fall bedeutet, dass der von den Lasten P ergriffene Balken nicht an der Kette hängt, sondern nur in A und B gestützt wird. Für den Zustand H = — 1 ergiebt sich = ym und hieraus folgt, dass die Berechnung des von einer Einzellast P hervorgerufenen Horizontalzuges H sich von der Ermittlung der Werthe H für die im vorigen § behandelten Trägerarten nur in-

sofern unterscheidet, als die im Nenner des allgemeinen Ausdrucks für S'²s EF

Die Spannkraft der unter a geneigten linken Rückhaltkette ist = IIsec a' und nimmt für H——1 den Werth S'= — sec ol' an. Ist also die Länge dieser Kette = s' und der Querschnitt F — Fk sec ol', wo Fh den zur Aufnahme der Spannkraft S = JET,

H stehende Summe 2

von den Rückhaltketten beeinflusst wird.

bestimmten

ff

Xy

b/s

------

T (cc)

fr

t;

;f_

'MM.

ff

ifi‘in

fi>

'y™ \

SB*

Af-rtfLch^ |

(cf)

Mi

Onui

In.

fc)

1”"'

Fig. 277.

Scheitel-Querschnitt der Tragkette RWT bedeutet, so ergiebt sich S'*8 EF

liehe Glieder der Rückhaltkette gleich gespannt sind, dass also die Stützung derselben auf die in Figur 171 (Seite 169) dargestellte Weise erfolgt. Bezeichnen s" und ol” die entsprechenden Werthe der rechten Rückhaltkette, so führen die vorstehenden Betrachtungen zu der folgenden Bestimmungsweise der Einflusslinie für H.

s' sec <x'

EFk

, wobei allerdings vorausgesetzt wird, dass sämmt-

ymsm Fc rl Fm

wm =

Man berechne die Momente Mw eines mit den Gewichten belasteten einfachen Balkens A’B' (unter F₀ eine

beliebig grosse, aber konstante Querschnittsfläche verstanden) und dividire dieselben durch

Fc

Fh

sec

a")

2zr (tg <xr — tg a.r+l)²,

Mw

■⁶)

ivorin zm = ym icm.    Das Ergebniss ist H

Die zweite der Summen in Gleichung (1) erstreckt sich über sämmt-liche Glieder der Tragkette, die dritte über alle Hängestangen. Für beide Summen lassen sich einfache, genügend genaue Näherungsformeln

QC'^ocJ

r-i

•r

T~

71,

<—

~/4----------------⁵¹

•v

A-A A ■>

'    r+1

ff

U'

. ,1

x —-H

Fig. 278.

Fig. 279.

ableiten. Zu diesem Zwecke betrachten wir die Kette als stetig gekrümmte Parabel und setzen mit Bezugnahme auf die Bezeichnungen in Fig. 279:

4 fx x (7X — x)

ex

und

2 \r sec² a,. =

idx t¹+i ~ (

16/7

3 l\

+t)

— tg ar+1^²

ferner    (tg a,. — tg ar+1)² = a2 (h' — y') X    —'

<>

00 I to

— y') dx

Wir erhalten dann:

Fc

(2)    zm-\—— s₀

(3)    s₀ =    ^1 -f-

Fh

64 f\ (3 h — 2/i — 1,5 c) X Fc

31*

Fz ’

wo

16 fl

3 l\

Das von den Abmessungen der Hängestangen abhängige letzte Glied von 9Î darf in der Regel gestrichen werden ; sein Einfluss ist sehr gering. Bei Berechnung der Werthe wm und zm ist es zulässig, allen Gurtstäben denselben Querschnitt zuzuschreiben. Man setze daher

m

+if)+s

/    / i    tf    //

sec a + s sec a .

(4)

wm

rl

und verstehe unter dem bislang willkürlichen Fc den Mittelwerth der Gurtquerschnitte.

Erfolgt die Versteifung der Kette durch einen nach Fig. 282 (S. 274) angeordneten Parallelträger von der Höhe h, so nimmt bei gleichlangen ₈    X

Feldern der Ausdruck üen festen Werth —r- an. Setzt man dann

rm

h²

(5)

IVm = ym und =r ymwm = yl,

so muss man mit

(6) 3ł = 2yŁ+M[-

64f\ (3h'

— 1,5 c ) X Fe

Fz

rechnen.

Für die durch einen Parallelträger versteifte Kette ist aber noch eine weitere Vereinfachung möglich, bestehend in der Einführung einer parabel-förmigen //-Linie. Die Entwicklung ist ähnlich der in No. 82 für den Horizontalschub eines Zweigelenkbogens gegebenen Ableitung. Man betrachte die Kette als stetig gekrümmte Parabel, deren Gleichung

y =

ist, (Fig. 280), und ersetze die Einzelgewichte w durch eine stetige Belastung, so zwar dass das Balkentheilchen dx mit 2y dx belastet wird, wobei die Ziffer 2 ausdrückt, dass an der Stelle dx die Gewichte zweier Knoten (eines oberen und eines unteren) zu berücksichtigen sind. Man erhält dann an der

4 fx(l — x )

Angriffsstelle von P das Moment

(aP-2la* + a*)*)

und findet nun: FL —

PMW

’ W°

Fc

91 = 2 j y² dxĄ-h² ~jp~ so

to

£j°°

h⁷ 8 Fc

Fk ⁹°-

Ji.

^--fl----X

--------------

\f

-t-

I-----Ä---\-Ap

l f

-b -

Der unwesentliche Einfluss der Hängestangen ist hierbei vernachlässigt worden. Ersetzt man die auf diese "Weise erhaltene PL-Linie durch eine Parabel (vergl. Seite 211) so findet man den Pfeil derselben:

3 PZv

T'

16 f

wo

ff

(8) v =

Fig. 280.

15    h² s₀ Fc

16    f² l Fk

Die Gleichung der Para-

bel ist

wo 3t der durch Gleichung (1) auf Seite 268 bestimmte Werth ist. Zahlenrechnungen beweisen, dass der Einfluss der Spannkräfte S' der Stäbe des Balkens auf die Summe ^S's ganz unwesentlich ist, und dass es genügt, in den Zähler der Gleichung (10) nur die den Kettengliedern und den Hängestangen entsprechenden Werthe S's einzusetzen.

*) Yergl. den Ausdruck für Mw auf Seite 210. An die Stelle von x ist

Fo

a getreten; f wurde durch 2 f ersetzt; die Glieder F x (l — x) wurden gestrichen.

und

Fo

Fu

hu)-

« <M

Wir führen ein: für die Tragkette:

,,    „ Eückhaltketten:

,,    „ Hängestangen :

ms's = — 2 sec a.s = — 2X sec² a

16 fl 3 l\

ms's = — (s' sec a' -f- s" sec a") ms's = — mzr (tg ar — tg ar+1)

'i (i

+ f)

= — 2 (*' — j,') X (tggy xtg°Wl) = +j(h’

— y) dx

iV

dx²

— y') dx

f-. (*■

und erhalten:

(11) Ht =

&EFct

8/j (3ä' — 2Ą — 1,5 c)

3/j

wobei 97 und s₀ nach Gleichung (2) und (3) zu berechnen sind.

Das Vorzeichen deutet an, dass in Folge einer Erhöhung der Aufstellungstemperatur der Horizontalzug der Kette abnimmt.

Wird die Kette durch einen Parallelträger versteift, so lässt sich Gleich. (11) noch erheblich vereinfachen. Man ersetze dann nach Streichung des unwesentlichen Einflusses der Hängestangen und Einführung eines mittleren Gurtciuer-schnittes den Werth

Fc

Vm

durch

Fc

16 f H , Fc

Fh So’

um dann zu erhalten:

Ht —• — zEFh t

15 ä² s₀ Fc

16 f² l Fh

oder nach einfacher Umformung:

15 hÿ s₀ Fc

Tëjzimv

(12)

IIt = — zEFict (1 — v), wo v nach Gleich. (8) auf Seite 270 zu berechne!) ist.

101. Einflussflächen. Die Einflussflächen für die Momente Mm = M0m — Hym und Mm+y = M0m+l — Hym+l

sind in den Figuren 277b und 277c (für den Fall in den oberen Balkenknoten angreifender Lasten) dargestellt worden. Ihre Aufzeichnung bedarf keiner weiteren Erläuterung mehr, da sie nach den in den §§ 7 und 8 für die Jf-Flächen gegebenen Regeln erfolgt. Mach Berechnung der Momente Mm, Mm+X findet man die Spannkräfte in den Gurtungen:

(vergl. Fig. 277d).

Um

; Om+i

rm

Mm+\ rm+1

Auch die Ermittlung der Spannkräfte in den Füllungsstäben gestaltet sich ganz ähnlich wie beim Zweigelenkbogen und bei den im § 9 untersuchten Trägerarten. Wir führen durch A und B (Fig. 281) lothrechte Schnitte, welche die Tragkette in A" bezieh. B" treffen, zerlegen die Spannkräfte S, und Sn der äussersten Kettenglieder in die

!*•

—*___

i*---

K----

A, A

a.

ho /

'Y~

■■

»i

H*.

//

CS«

-----hi- .....

-b

V"—?

Fig. 281.

lothrechten Seitenkräfte A₀, B₀ und die in die Sehlusslinie fallenden Seitenkräfte H', und finden zunächst aus der auf B" bezogenen Momentengleichung :

{A' + AJl — Pb = 0,

Pb

dass A₀ -f- Au ebenso gross ist, wie der Stützenwiderstand A —

Pa

eines einfachen Balkens AB, und dass ferner B„ -j- Bu = B Sodann führen wir behufs Bestimmung von D den Schnitt it, wählen

ist.

den Treffpunkt i von 0 und U zum Drehpunkt, bestimmen die Strecke yit welche der Kettenstab S und die Schlusslinie A"B" auf der Loth-rechten durch i abschneiden, zerlegen die Spannkraft S (welche auf die in der Fig. 281 angegebene Weise in ihrer Richtung verschoben wird) in eine lothrechte Seitenkraft und in die zur Schlusslinie parallele H'=H sec t (wo t den Neigungswinkel der Schlusslinie bedeutet) und erhalten die Momentengleichung

(18)

M0i — Hiji -j- I) rj = 0.

(also positiv) ist, während sich im

Hierin bedeutet M0i das auf den Punkt i bezogene Angriffsmoment für den Fall, dass AB ein einfacher, nicht an der Kette hängender Balken ist, ein Balken also, dessen Stützen widerstände A₀ -j- Au = A und B₀ -j- Bu = B sind; r{ aber ist der Hebelarm von D in Bezug auf i. Die Gleichung (13) hat dieselbe Form wie Gleichung 34 auf Seite 212, und hieraus folgt die aus der Figur 281 ersichtliche Bestimmungsweise der D-Fläche. Man vergleiche die Figuren 222 bis 225 auf Seite 218 und beachte behufs Feststellung der Vorzeichen, dass bei der in Fig. 281 angenommenen Lage des Punktes i der Einfluss von H auf D gleich -J- FL^-

r{

Falle H = 0 die Momentengleichung

(^o “I⁻ Au) Xi -j- Dri — 0 und hieraus der ebenfalls positive Werth

D= 4- A

ergeben würde.

Es leuchtet ein, dass sich auch die anderen im § 7 zur Bestimmung der D- Flächen angegebenen Verfahren auf den vorliegenden Fall an wenden lassen; wir führen dies aber hier nicht weiter aus, empfehlen vielmehr dem Leser, diese leichte Arbeit selbst vorzunehmen und weisen nur noch auf den wichtigsten Sonderfall hin, nämlich den in Fig. 282 abgebildeten Versteifungsbalken mit parallelen Gurtungen. Hier ergeben sich die Spannkräfte in den Füllungsstäben in bekannter Weise aus den Querkräften Q, und es genügt daher, die Ermittlung der Ç-Flâche für irgend ein Feld F₁F₂ zu zeigen.¹⁰)

Sind Mx und M₂ die Angriffsmomente für die Knoten Ft, F₂, so besteht, da auf den Balken nur lothrechte Kräfte wirken, die Be-

18

ziehung

m₂ — m₁

Mp 2    Hy2    3/₀i -f- HtJi

= Qo — H

y 2 — Vi

•>

wo Q₀ die Querkraft für das Feld F₁F₂ eines einfachen nicht an der Kette hängenden Balkens AB bedeutet. Trägt man die Ordinaten i/iy2 nach Fig. 282b von einer wagerechten Schlusslinie aus auf und

(6)

Ba

L/'

! i/r

'-mt

F.

S/w

*-du

-i*

t7kbk>l\ÀÀyf~TX

mrt I

“T

-K

L\

(c)

liAj

ZfdZäcAe (U.-tyccj

B'

Zcofyci

u4'\

(d)

^4u-FZädie. /i-L’tÿx;

cF

<S‘

Fig. 282.

bezeichnet man die Neigungswinkel der auf diese Weise erhaltenen neuen Kettenlinie mit a.', so erhält man die Gleichung

(14)

Q = Ç₀ — Htg a' = tg a' (Q₀ cotg a' — E),

welche dieselbe Form hat wie Gleichung (3) auf Seite 246; sie führt zu der in Figur 282c angegebenen Darstellungsweise der Q-Fläche. Figur 282d zeigt schliesslich die Einflussfläche für den Auflagerdruck Au, unter der Voraussetzung, dass bei A ein Querträger angeordnet ist; sie gilt für Träger beliebiger Gurtform und folgt ohne weiteres daraus, dass dem Balkenquerschnitte A die Querkraft Q = Au entspricht. Fehlt der Endquerträger, wird also der erste Zwischenträger unmittelbar auf das Widerlager gelegt, so ist das Dreieck A' J'B' durch das Dreieck A' J"B' zu ersetzen.¹¹)

102. Formeln für den gleichmässig belasteten Versteifungsbalken mit parallelen Gurtungen. Wird die statische Berechnung auf Grund der stets zulässigen Annahme durchgeführt, es liegen die Knoten der Kette in einer

4 fx (1 — x)

ist, Fig. 280, und wird ferner die

Parabel, deren Gleichung y

auf Seite 270 abgeleitete parabelförmige ff-Linie benutzt, so lassen sich die von einer gleichförmigen Belastung verursachten Momente M und Querkräfte Q auch schnell durch Rechnung bestimmen. Die bezüglichen Formeln und Regeln sollen hier zusammengestellt werden; sie werden in ähnlicher Weise entwickelt, wie die auf Seite 241—243 und 253—257 für den Zweigelenkbogen bezw. den versteiften Stabbogen hergeleiteten Gesetze.

1. Kette und Hängestangen. Es möge der allgemeinere Fall vorausgesetzt werden, dass nur ein Theil (gv) der ständigen Belastung g vor Ausführung der Versteifung aufgebracht werde, der Rest gn = g — gv hingegen erst nach

gvP ¹²)

Vollendung des Balkens. Die Belastung gv erzeugt: ff, = gnl¹³v

g„ nur ff₂

, während

hervorbringt. In Folge gänzlicher gleichförmiger Belastung _ pPv

und in Folge einer Erniedrigung der

des Balkens mit p entsteht IIP Aufstellungstemperatur ff, = -f tEFid (1 — v), weshalb der Grösstwerth von ff:

Hmax

(15)

[ÿv + (gn+P) 'O + lEFkt (1 — v)

ist. Die grösste Spannkraft in einem unter a geneigten Gliede der Kette ist nun

(16)

sec a

Smax - -ff

und die grösste Spannkraft in einer Hängestange:

Amax — Hmax (tg O-r tg    -— -ff

(17)

und im Felde FtFa (Fig. 286) dessen Mitte von der Trägermitte den Abstand x" haben möge, die Querkraft:

/V) J'

QP = —--px — Hp tg a" — px

pl²v

tga".

Der Winkel a", den das Kettenglied des fraglichen Feldes mit der vorerst in eine wagerechte Lage gebrachten Schlusslinie A"B" bildet, ist ebenso gross, wie der Neigungswinkel einer an der Stelle x an die Parabel vom Pfeile f gelegten Tangente, weshalb

—--x

dg

und

(19)

Qp — px" (1 — v).

Mp und Qp sind also ebenso gross wie Moment und Querkraft für den Querschnitt x eines nicht an der Kette hängenden, nur bei A und B aufliegenden Balkens, der gleichmässig mit p (1 — v) für die Längeneinheit belastet ist.

Den Einfluss Mg bezieh. Qg der ständigen Belastung erhält man, indem man p durch g„ ersetzt.

j4‘

s.

— fi

JC

------r----

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rr

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ÇP

-,E

U—&—-J

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V.

___p—

■ZŹZźy/.

JK

\A

-i

Fig. 283.

3. Grenztverthe der Momente in Folge der beweglichen Belastung. Um das Moment minMpm für einen (oberen oder unteren) Knoten m an der Stelle x zu bestimmen (Fig. 283, in welcher der Parallelträger durch eine Gerade ersetzt ist)

mache man B" T — -f-,

3v

(senkrecht über m) die Geraden A” E und B"E' und belaste den Balken rechts von E und links von E'. Es entsteht dann (vergl. Seite 242):

ziehe TS\\B" A'\ lege durch den Kettenpunkt m'

(9)

100. Horizontalzug in Folge einer Temperaturänderung. Eine gleichmässige Aenderung der Aufstellungstemperatur um t° erzeugt:

e<25'« eEFj^S's s EFet2S's

(10)

Ht

S'²s

FF

2S'*s

91

MP =

px (1 — x)

— Hpy

(18)

M,=

p x {I — x) pP 4 f x (/- — x) ~ 2 ' V ’ “ px (l — x)

, d. i.

(1 — v)

18¹¹

ist, und verbinde den lothrecht unter E liegenden Punkt E₀ dieser Parabel mit A. Die Gerade AE₀ schneidet dann auf der Lothrechten durch m die Strecke

FD — Y—?

(absolut genommen)

pyvS³

8 fl

ab, und es ist deshalb D ein Punkt der mi„Mp-Linie, zunächst allerdings unter der Voraussetzung, dass nur eine Belastungsscheide E in Betracht kommt. Bestimmt man aber die Punkte D für alle Querschnitte, die zwischen A und der Stelle C liegen, welcher ç = 0 entspricht, zeichnet dann das Spiegelbild C' B der so erhaltenen Kurve und addirt schliesslich zwischen C und C die

Ordinaten beider Kurven, so erhält man die endgültige minMp-Linie. Dieselbe wurde in Eig. 283 durch Schraffirung hervorgehoben. Behufs Aufzeichnung der kubischen Hilfsparabel berechne man für irgend eine Abscisse ^ die Or-

(20)

pyy

8 fl

(£³+n,

während die Belastung der positiven Beitragstrecke EE' hervorbringt:

pyy

(21)

px (l — x)

(£³ + £'³) +

(1-v),

MP = +

Weil mind/j) -j“ maxMP- ist.

Die Ergebnisse der Gleich. (20) lassen sich auch recht übersichtlich wie folgt durch Zeichnung darstellen. Man trage von der Geraden AB (Eig. 283) aus eine kubische Parabel BJ auf, deren Gleichung

p¥

maa

8 fl

dinate Y₁

Ql

und bringe dann die Gleichung der Parabel auf die Form:

Eine bequeme Konstruktion dieses Ausdrucks ist in der ohne

’

weiteres verständlichen Fig. 284 angegeben; die Geraden LM und NO sind parallel zur Abscissenachse.

Die Ordinaten Y wachsen sehr

schnell, weshalb es sich empfiehlt, gj nicht grösser anzunehmen, als gerade erforderlich, damit die Zeichnung nicht zu viel Kaum beansprucht. Am besten ist es, die Punkte der kubischen Parabel nur für diejenigen Querschnitte zu bestimmen, für welche die Momente gesucht werden. Man vergleiche das auf Tafel 5 durchgeführte Beispiel.

JT

Yl

<— -jf—

-Z7

Will man die Momente rech

k----

nen, so setze man (indem man zunächst nur die Belastungsscheide E berücksichtigt):

Fig. 284.

minMp

und beachte, dass y — -    ^——

/-

ferner

ist. Man erhält dann für die Kurve ADC (Fig. 283) die Gleichung

px\ 3vx' — £]³

(22)

minMp

54v*a;'*

"TI

majcJfG)

^ min Aff-) jj

'ff

Fig. 285.

worin x'= l— x ist. Die Berücksichtigung der zweiten Belastungsscheide erfolgt in derselben Weise wie heim zeichnerischen Verfahren. Der Punkt C

und der Punkt C' hei x —

(Fig. 283) liegt hei x = l —

4. Die Momente Mt in Folge einer Temperaturänderung sind:

.    (23)

8 Iltf x(l — x)

Mt--1- Ht y--f- ~ p

sie sind ebenso gross wie die Momente eines nicht an der Kette hängenden einfachen Balkens AB, welcher gleichmässig mit -f-

8 Htf

für die Längenein-

heit belastet ist.

5. Die Gesammtmomente :

minM- min Mp Ht y “J“ Mg

Mp -(- Hy -f- Mg ⁼⁼ — min Mp -j- Mp -j- Ht y -j- Mg lassen sich nun sehr übersichtlich wie folgt darstellen.

Man zeichne zuerst die Linie AD SB, deren Ordinaten die grössten negativen Momente minMp angeben und addire hierzu die Ordinaten einer Parabel ASyB von der Pfeilhöhe.

tnax

SlJ= — Htf +

gni*

(1 - v).

Je nachdem Htf

gnP

(1 — v) ist, wird diese Parabel unterhalb oder

oberhalb der AB aufgetragen; ihre Ordinate an der Stelle x ist

x (l — x)

ED! = — Hy + gn

(! — v) = — Hty + Mg

und es ergiebt sich daher: minM = — DDV

Jetzt zeichnet man eine zweite Parabel AS.₂B, welche die Pfeilhöhe

S₂J=Htf+(p + g„)~( 1-v)

hat und deren Ordinate an der Stelle x

x(l — x)

EDa — Hty + {p + Qn) ist, weshalb man maxM = -f- DD.₂ erhält.

6. Das grösste aller Balken-Momente entsteht sehr nahe der Stelle x —    1. Es kommt dort nur eine Belastungsscheide in Betracht, und es ist

3

daher (wegen y = — f) :

maxM-

Mp    Mg -\- Ht g — — minMp -f- Mp -j- Mg -1--— ^

px [3va;' — Z]³

pxx'

gnxx'

54v²a?'²

1    3

— Z und x' = -— l geht dieser Werth über in 4    4

~(j> + gn)i²^-^) + \Htf.

Für den Gurtquerschnitt des Versteifungsbalkens ergiebt sich nun an der betrachteten Stelle der Werth

Mit x —

(24)

32 v²

G-ir

wo er die zulässige Spannung bedeutet. Es empfiehlt sich, den auf diese Weise gefundenen Querschnitt der Berechnung der Ziffer v zu Grunde zu legen, weil die Momente mit abnehmendem v tcachsen und es deshalb rathsam ist, den Werth v eher etwas zu klein als zu gross zu nehmen. Wir setzen daher:

3 Htf

(25) Fc

3Z²

4 hv

32 ha

7. Grenzwerthe der Querkräfte in Folge der beweglichen Belastung. Nachdem die Schlusslinie A"B" in wagerechte Lage gebracht worden ist (Fig. 282 u. 286), wird im Abstande S’B" = Ąf: 3v die Wagerechte SS' eingetragen.*) Hierauf wird, behufs Ermittlung der Querkraft F₁Fij, durch A” eine Parallele zu dem Kettengliede F'F" gezogen, der Schnitt-punkt E dieser Geraden mit SS' bestimmt und (vorausgesetzt dass E links von B” liegt) der Balken zwischen E und der Feldmitte belastet. Für diesen Belastungszustand werden nun mit Hilfe der zweiten A- Linie und der zweiten H-Linie die Werthe A und II dargestellt und dann wird gefunden:

Qp = A — H tg a"

wo a" den Winkel bedeutet, welchen F’F" mit der Wagerechten einschliesst. Die zweite yl-Linie ist eine Parabel, deren Scheitel bei B₀ liegt, und die zweite H- Linie wird in derselben Weise bestimmt wie beim Bogen mit zwei Gelenken (Gleich. 46, Seite 239); nur mit dem Unterschiede, dass v einen anderen Werth annimmt. Vergleiche auch die auf Seite 240 gelöste Aufgabe.

(26)

m i ■■

na;

Qp des Feldes

*) Damit Figur 286 recht deutlich werde, nahmen wir die Balkenachse zusammenfallend mit der Geraden SS' an.

Liegt E rechts von J5₀, so wird der Balken von der Mitte des Feldes F₁F₂ Ms B belastet.

Zur Berechnung von

(27)

Qp dient schliesslich die Gleichung

minQp —p maxQp Qp P & (1    '0*

min

-x”----------fl-------

---------T-----------

-y

F‘

lF"

\/ff

JS

si ig

STi

_____

an

Ein zweites Verfahren, Qp zu ermitteln, ist auf Seite 256 und 257 erläutert worden ; dasselbe setzt gleicheFeidweiten und feste AFerthe der Knoten lasten voraus; und ein drittes Verfahren, ebenfalls für gleichlange Felder und feste Knotenlasten, ergiebt sich wie folgt:

Belastet man r Knotenpunkte, von B aus gezählt, Fig. 287, mit je £>X, so entsteht

Fig. 286.

(28) Ar

p r X (r -j- 1) X

21

JD

a"

A

■''s.

F'

Vit

\&y

/y/ir T⁵-/

FTpç:r

.r

A4

r"

pû

>r y ' 'f V ^

tÿ

-4±

(l-X)

Fk

It

?r"‘

P'

<—A'Â----

— JcX

Fig. 287 u. 288.

und (nach der Formel 9, Seite 270, mit l = n\): 3 jöXv

Hr =

(29)

4 fl

p X³v

j^l (n— 1) -f- 2 (n — 2) —J— 3 (n — 3) -{-.... -f- r(n — r)J X2 r (r + 1) (3 n — 2 r — 1),

wofür man mit Rücksicht auf Gleich. 28 auch schreiben darf

1,5 l — 0,5 X — rX

(30)

IIr = Ar

V.

Zur zeichnerischen Bestimmnng der Werthe Ar und II, mache man (nach

pl

Fig. 287) A₀J— 2“, bestimme senkrecht unter r + 1 auf der Geraden B₀J

den Punkt £, ziehe LR\\ A₀B₀ und verbinde R mit B₀. Die Geraden B₀A0 und B₀R schneiden auf der Senkrechten durch r die Kraft r"r — Ar ab.

Verlängert man jetzt B₀A₀ um A₀C— 0,5 (l — X), macht CD = 2f: v und bringt die Gerade Dr" mit der Wagerechten durch r in r” zum Schnitt, so erhält man r r” —.Hr-, welcher Werth nun von einer Wagerechten ÄB' aus als Ordinate aufgetragen wird.

Soll nun die Querkraft suche man mit Hilfe von A"E\\F'F" die Belastungsscheide E auf und nehme nur die zwischen E und dem Schnitte tt gelegenen Knoten belastet an. Es seien dies die Knoten r, (r — 1), .... k1. Dann entsteht

QP = A-H tga".*)

8. Die Querkräfte Qt in Folge einer Temperaturänderung sind

8 fHt

HOi

Qp für das Feld FXF₂ bestimmt werden, so

A — Ar- Ah\ H=IIr—m-,

max

Qt = + Ht tga" = +

x’\

sie sind ebenso gross wie die Querkräfte eines nicht an der Kette hängenden

f. d. Längeneinheit

einfachen Balkens AB, welcher gleichmässig mit -j-

8 fHt

belastet ist.

9. Die Gesammtquerkräfte:

Qp —■

max

minQp - minQp

8 fHt

X + Qg

Qp + Qp--p *"x" "t” Qg

lassen sich jetzt übersichtlich wie folgt darstellen.

Man trage von der Wagerechten A'B’ aus (Fig. 289) die Querkräfte Qp auf und addire zu denselben die Querkräfte eines gleichmässig mit

, x . 8 fHt gn (1 — v) + -jp~

in bekannter Weise mittels einer Geraden J₁M gewonnen werden, wobei

4 fHt

max

für die Längeneinheit belasteten Balkens, welche letztere

A' M =

y l und JxA' = gn{ 1 — v) Qp-}- A Jx

x”

0,51

ist. Das Ergebniss ist:

X -j- gn (1 - v) X - maxQ’

*) Dieses Verfahren lässt sich selbstverständlich auch beim Zweigelenkbogen mit annähernd konstanter Höhe /«, sowie bei dem im vorigen § behandelten Versteifungsbalken mit parallelen Gurtungen anwenden.

**) Ht sei der absolute Werth des Horizontalzuges in Folge einer Temperatur

änderung.

Ersetzt man die Gerade J₁M durch die mit Hilfe von 4 fHt

AJ₂ =

— (ff» + p) (1 — v) y

bestimmte Gerade J> M, so erhält man :

max

Qp ~j- A J>

x"

0,5^

Qp ~\

-maxQp

Innerhalb eines Feldes hat Q einen festen Werth.

x' — p (1 — v) X — g„( 1 — v) X

8 fHt

X Qp Qg minQ■

—-,r

1

i+

TPcAq Jf

jL..|

HP

II'

ta

ir

^ j.

i—

¹

F ’

*) Man übersieht hier recht deutlich den geringen Einfluss dieses Gliedes.

²

Wir erinnern an die Bezeichnung Ass = A5.

³

Die bei imsymmetrischem Träger nach No. 33, Seite 6!, zu zeichnende Figur A" 0" 1" . . . B" schrumpft hier zu einem mit A' sich deckenden Punkte zusammen.

⁴

Vergl. Seite 248, Gleich. (11).

⁵

Die Unterschiede in den Spannkräften der einzelnen Glieder werden stets gering sein; durch entsprechende Neigung der Hängestangen lässt sich sogar erreichen, dass in allen Theiien der Zugstange dieselbe Spannkraft X auftritt.

⁶

Die Bezeichnungen sind dieselben wie im vorigen §; sie wurden überdies in die Figuren 277 und 278 eingetragen. Die Knotenpunkte des Balkens und der Kette wurden für sich nummerirt; . . . m — 1, m, m-f~ 1 . • . sind die Ordnungsziffern der Knotenpunkte des Balkens, . . . r — 1, r, r-f-1 . . . diejenigen der Knotenpunkte der Kette.

⁷

Pabv

⁸

ifl

⁹

Der Werth s₀ ist nach Gleich. (3) zu berechnen. Fc bedeutet den mittleren Querschnitt der Balkengurtung, Fk den Querschnitt der Kette im Scheitel.

¹⁰

Bildet die vom Schnitte t getroffene Diagonale (Z>) mit der Wagerechten den Winkel 9, so ist D sin 9 = Q.

Müller-Breslau, Graphische Statik, II. 1.

¹¹

Die Auflager des Versteifungsbalkens und des ersten Zwischenträgers sind bündig liegend angenommen.

¹²

Wir vernachlässigen hier den Umstand, dass die Stützweite der Kette in der Regel etwas grösser ist als die des Balkens.

¹³

Momente und Querkräfte des gänzlich belasteten Balkens. Ist der ganze Balken mit p für die Längeneinheit belastet, so entsteht an der Stelle x das Moment

Fig. 289.

103. Zahlenbeispiel (Tafel 5). Es soll eine versteifte Kettenbrücke mit folgenden Abmessungen berechnet werden:

Stützweite der Kette ü₁ = 75™, des Balkens l — 72’"; Pfeil der Kette, gemessen bis zur Schlusslinie f — 9,0 m (fl — rund 9,7”*); Länge der unter a' = 35° geneigten Rückhaltkette s' = 27m; Höhe des Versteifungsbalkens h = 2,0 Feld weite \ — 3m.

Die ständige Belastung für jeden der beiden die Brückenbahn stützenden Hauptträger sei g — 2,8* f. d. Meter, die bewegliche p = 1,5*, Es sei in Aussicht genommen, die Brücke zuerst unversteift auszuführen (vergl. Seite 266) weshalb gv = g — 2,8' und gn = 0. Die Temperaturänderung sei t — A 40° Cels.

1. Abschätzung des Querschnittsverhältnisses Fc : Fh (Fc — Gurtquerschnitt des Balkens, Fjc — Querschnitt der Kette im Scheitel) behufs Berechnung der Ziffer v. Es ist

So

sec a'J = 2,09 und

Fc

1 + 0,0968 ^

Schätzt man zuerst Fc : Fh — 0,40 bis 0,45, so erhält man v = 0,962 bis v = 0,957, also rund v = 0,96. Aus der Formel

ru \Qo +    v] “1“ zFFkt (1 — v)

16 f* l Fh

a Fk = H„

iax-

folgt nun der erforderliche Kettenquerschnitt im Scheitel

Fk _ V \g« + (ffn + p) v]

8 f[a — zEt (1 — v)] imd, wenn für eine schweisseiserne Flacheisenkette die Beanspruchung cr = 1000*s' f. d. qcm = 10000* f. d. qm zugelassen und zE = 240‘ f. d. qm gesetzt wird:

Fk

72² (2,8 + 1,5-0,96)

8 • 9 [10000 — 240 • 40 • 0,04]

0,0317 qm.

Der Neigungswinkel a der äussersten Glieder der parabelförmig gerechneten Kette ist durch

sec oq =

16 f¹

|A+ł=|w

0,0317 r-

2 'Ü⁵

= 0,0356 qm anwachsen. Im vorliegenden Falle empfiehlt es sich, der Kette den überall gleichen Querschnitt 0,0356 qm zu geben, also auch Fk = 0,0356 zu setzen.

bestimmt, und es muss daher der Kettenquerschnitt bis zu Fk sec oq

Nun ergiebt sich der Horizontalzug in Folge der Temperaturänderung:

Ht = zEFkt (1 — v) = 240 • 0,0356 • 40 • 0,04 = 13,7' und der Gurtquerschnitt des Balkens nach Gleich. 25 (wegen gn = 0):

3 Htf

Fc —

3 Pp

32ha

iha

Fc =

Wird a = 750*®' f. d. qcm = 7500' f. d. qm gestattet, so folgt:

3    • 13,7 • 9,0

4    • 2,0 • 7 500

wj&im [w (°’% - t)‘+°-⁰⁴]+

Hiernach ist:

= 0,0154.

Fc 0,0154

= 0,9598,

— = 0,433 und v =

1 + 0,0968 • 0,433

also rund v = 0,96, übereinstimmend mit dem zuerst gefundenen Werthe von v. Eine Wiederholung der Kechnung ist daher nicht erforderlich, und es darf die Untersuchung des Yersteifungsbalkens mit v = 0,96 durchgeführt werden. Der grösste Horizontalzug der Kette ist

Fk 0,0356

11 =

4 (g + P'*) + Ft

72²

8 • 9,0

und der grösste Zug in einer Hängestange:

(2,8 + 1,5 • 0,96) + 13,7 = 319'

max

Z- Hmox (tg CC») tg <xm+l) - Ht

8 • 9,0 • 3,0

max

72²

Für die Eückhaltkette erhält man:

Smax — Ht

max

sec 35° = 389',

und der Druck auf den Kettenpfeiler ist:

Hmax (tg 35° + tg oq)*) = 319 [0,7 + 0,5] = 383'.

*) Genügend genau ist tg oq = ——

2. Spannkräfte in den Gurtungen, Fig. 290. Die zur Ermittlung der Belastungsscheiden dienende Wäger echte SS' liegt im Abstande

4 • 9,0 3 • 0,96

von der A"B"; ihre Schnittpunkte 1₀, 2₀, 3₀, . • . . mit den Geraden A" 1', A" 2', A" 3", . . . bestimmen die den Knotenpunkten 1, 2, 3, . . . entsprechenden Belastungsscheiden. In Fig. 290 wurde die Kette parabolisch angenommen. Auf der Senkrechten durch B" wurde die Strecke B"0" = 4f— 36”‘ aufgetragen und in 24 gleiche Theile zerlegt. Die von den Theilpunkten 1”, 2", 3”, . . . nach A" gezogenen Strahlen schneiden dann die Senkrechten durch 1, 2, 3, . . . in den Ketteripunkten 1', 2', 3' . . . und die Gerade SS¹ in den Punkten 1₀, 2₀, 3₀, . . . .

M

Die Werthe —— wurden nach dem auf Seite 276 bis 279 zur Ermittlung h

3v

12,5”*

der Momente M benutzten Verfahren bestimmt. Punkt 1₀ liegt im Abstande = 45,91”* von der Senkrechten B"B\ und es ist daher die zugehörige Ordinate der nach Fig. 284, Seite 277 aufzutragenden kubischen Hilfsparabel:

1,5 • 45,91®

pił

6 Ih

6 • 72 • 2.0

168,0 Tonnen.

Die Pfeilhöhen der gemeinen Parabeln A'LlB' und A'L^B' sind (wegen gn — 0), bezw.

Htf

13,7 • 9,0

und

2,0

61,65 Tonnen = rund 62 Tonnen

1,5 - 72² • 0,04

8-2,0

Die Zeichnung liefert für die Knoten 1, 2, 3, ... 12:

rund 81 Tonnen.

= + 32; +59; +80; +97; +108; +115; +118; +118; +115; + 111; +109; +108 Tonnen

min -— = — 29; —53; —72; —86; —95; —101; —102; —101; —97; n

— 93; —90; —89 Tonnen.

Durch diese Werthe sind die in Fig. 293 zusammengestellten Spannkräfte in den Gurtungen bestimmt.

3. Spannkräfte D in den Diagonalen. In einer unter dem Winkel cp gegen die Wagerechte geneigten Diagonale entsteht die Spannkraft

D = ±

max

sin 9 ’

wo Q die Querkraft für das fragliche Feld bedeutet. Das obere Vorzeichen gilt für eine linkssteigende, das untere für eine rechtssteigende Diagonale.

Da 9 für sämmtliche Diagonalen gleich gross ist [

1,8028)

so wurden

an Stelle der Querkräfte Q sofort die Werthe Q'

dargestellt und zwar

sin 9

nach dem auf Seite 280, Fig. 287 und 288 für die Ermittlung der Kräfte Q angegebenen Verfahren. Hiernach sind die Ordinaten der für feste Knotenlasten p\ aufgetragenen zweiten (A. : sin 9)-Linie durch die Strecke (Fig. 291)

A₀J

pl

1,5 • 72 • 1,8028

2 sin

97,35*

bestimmt. Die Ordinaten der zweiten (H : sin 9)-Linie wurden nach Fest-

2f _ 2 • 9,0

CD

0,96

legung des Punktes D [mittels A₀C — —(l — X) = — (72 — 3) = 34,50”’ und 18,75”*] auf die früher beschriebene "Weise (Fig. 287)

aus den Werthen A : sin 9 hergeleitet; die Hilfslinien sind grösstentheils wieder ausgelöscht worden. Für A : sin 9 und H : sin 9 wurden auf Tafel 5 die kürzeren Zeichen A' und H' eingeführt.

Wird nun beispielsweise

Qp für das dritte Feld gesucht, so zieht man von A" aus zu dem Kettengliede III eine Parallele, bringt diese mit der Wagerechten SS' in III₀ zum Schnitt und erhält in der Senkrechten durch III₀ eine Belastungsscheide.*) Hierauf nimmt man die zwischen dem fraglichen Felde und I1I₀ gelegenen Knotenpunkte 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 mit je p X belastet an und findet für diesen Zustand:

sin 9

= H₃¹ — Hu], mithin

sin cp

Qr =(-V- Ai') - (HJ - Hu’) tg «Î-

Der Kürze wegen haben wir auf Tafel 5 den Werth Aa' — Anl mit Am bezeichnet und den Werth (H₃' — II11) tg a₈ mit Tm. Die letztere Kraft ist mittels der zum Kettengliede III rechtwinkligen Geraden III' bestimmt worden.

Auf dieselbe Weise wurde die Kraft

Qp' für alle Felder der linken

Balkenhälfte in der Form dargestellt:

Q'pi — Ai—Tj;

5 tnax

Q'pii — Ah— Tn', n. s. w.

wobei zu beachten ist, dass nur den Feldern I bis VIII Belastungsscheiden J₀ . . . . VIII₀ entsprechen. Für das IXte Feld entsteht maxQp sobald sämmt-liche rechts von diesem Felde gelegenen Knoten belastet sind, weshalb Aix-Ag und Tix = Hg tg oc₉, und ebenso folgt Ax=A₁₀', Tx— Hw’ tg a10 u. s. w.

Qp' sind in Fig. 292 im Maassstabe lmm = 1*

Die so gewonnenen Kräfte von der Geraden AM aus nach unten aufgetragen worden. Hierauf wurde die Gerade J₁M mittels

_ AfHt _ 4-9,0-13,7 ~ l sin 9

festgelegt und für jedes Feld die Kraft maxQ' nach dem auf Seite 281, Fig. 289, angegebenen Verfahren bestimmt.

Zur Ermittlung der mi„Q' müsste die Gerade Jx M durch eine Gerade J₂M (Fig. 289) ersetzt werden, Wobei 4 fHt

72

•1,8028 = 12,35*

AJ₂

l sin 9

P (1 — v)

2 sin 9

= 11,96*

zu machen wäre. Es unterscheiden sich aber die Ordinaten der Geraden Jx M und J₂M so wenig voneinander, dass es im vorliegenden Falle erlaubt ist, Q' zu setzen.

tninQ' -

max

*) Ist die Kette parabelförmig, so sind die von A" aus nach den bereits in Fig. 290 benutzten Punkten 1", 3", 5", 7", .... gezogenen Geraden beziehungsweise parallel zu

den Kettengliedern J, II, III, IV, . . .

Die Ergebnisse lauten für die Felder 1, 2, 3, .... 12:

J Q' = ± 39*; 33*, 29*; 26*; 24*; 23*; 23*: 24*; 25*; 25*; 25*; 25*;

tnax

min

denselben entsprechen die in die Figur 293 eingeschriehenen Spannkräfte D.

Der Widerstand A am linken Auflager des Balkens ist, falls kein Endquerträger angeordnet wird:

A — Dx sin qj, woraus

M = + 21,6*; minA = — 21,6*.

Der positive Widerstand ist nach oben gerichtet, der negative Werth A muss durch einen Anker aufgenommen werden.

Ist ein Endquerträger vorhanden, so entsteht

max

1,5 • 3,0

A = 21,6 + ^- =

während minA den oben angegebenen Werth behält, weil bei der Belastung, welche mi„A erzeugt, der Knoten 0 unbelastet bleibt.

21,6

+ 24*,

Wir empfehlen dem Leser, auf Grund der angegebenen Spannkräfte nunmehr die Längenänderungen sämmtlicher Stäbe zu berechnen, die genauere Einflusslinie für H als Biegungslinie für den Zustand H = — 1 darzustellen und für einige Momente und Querkräfte die Emflussflächen abzuleiten. Diese schärfere Ermittlung der LT-Linie erfolgt genau wie bei dem in No. 96 behandelten Zahlenbeispiele, und es dürfte deshalb überflüssig sein, hier näher darauf einzugehen.

104. Der Stabbogen mit darüber liegendem Versteifungsbalken, Fig. 294, lässt sich als umgekehrte versteifte Kette deuten und mit Hilfe der im vorstehenden entwickelten Verfahren untersuchen. Die Glieder des Stabbogens und die senkrechten Zwischenstäbe werden natürlich auf Druck beansprucht; auch muss man zur Bestimmung der

Punkte A" und B" die äussersten Glieder des Bogens über R und T hinaus verlängern. Endlich sind bei Berechnung des Horizontalschubes H mit Hilfe der für den Horizontalzug der Kette abgeleiteten Formeln die Längen s' und s" der Rückhaltketten gleich Null zu setzen.

In Fig. 294 ist ein bei A und B auf den Pfeilern gelagerter Balken gezeichnet worden, in Fig. 295 ein an den Enden mit den Kämpfergelenken durch senkrechte Stäbe verbundenes Versteifungsfachwerk.

It

TU

fL

T

_y.

■v

<\

Wik

Fig. 294.

ir

m.

T\

Während das erstere Tragwerk Lasten beliebiger Lichtung aufzunehmen vermag, ist letzteres nur senkrechten Lasten gewachsen. Damit es fähig werde, auch wagerechte Lasten auf die Pfeiler zu übertragen, lege man einen Knoten des Versteifungsbalkens auch im wagerechten Sinne fest, z. B. B in Fig. 295a. Führt man dagegen den Stabbogen bis an den Balken heran, Fig. 296, so erhält man ein Fachwerk, welches nur in den Punkten R und T gestützt zu werden braucht; dasselbe ist steif und einfach statisch unbestimmt.

■<---------a----

rar

//

Pm

i-

vr

Fig. 295.

Fig. 295¹.

<-------

-----a-----

<—b—

----

Z    gvr ^    ^ “

- 57 - -    ---■ ‘

v/,

Pf

!ß

Pf.

PJl

Fig. 296.

Fig. 295 b.

Für den in Fig. 295 dargestellten Träger ist die Anzahl der Knotenpunkte k = 27, der Stäbe s — 50 und der Seitenkräfte der Stützenwiderstände a — 4 ¹), mithin

2k = s -f a (d. h. 54 = 50 + 4),

so dass man versucht sein könnte, den Träger für einen statisch bestimmten zu halten. Ein Blick auf die in Fig. 295b eingetragene Figur F’ lehrt aber, dass hier ein bewegliches Stabgebilde vorliegt, ein Tragwerk, welches sich nur in gewissen Belastungsfällen als brauchbar erweist, dann aber statisch unbestimmt ist; und zwar ist leicht einzusehen, dass einer am Versteifungsbalken angreifenden wagerechten Last erst dann von den Spannkräften der anfänglich

senkrecht stehenden Zwischenstäbe das Gleichgewicht gehalten werden kann, wenn diese Stäbe in Folge einer Verschiebung des Balkens eine geneigte Lage angenommen haben. Fällt der Stabbogen mit der Geraden R T zusammen (f = 0), so ist das Fachwerk ein solches von endlicher Beweglichkeit; Gleichgewicht ist in diesem Falle bei einer wage rechten Belastung des Versteifungsbalkens überhaupt nicht möglich. Sonst ist die Beweglichkeit — starre Stäbe vorausgesetzt — eine unendlich kleine, und es liegt einer der auf Seite 37 hervorgehobenen Ausnahmefälle vor.

Haben Stabbogen und Versteifungsbalken einen Knotenpunkt gemein und wird trotzdem das eine Balkenauflager fest gemacht (Fig. 297), so entsteht ein steifes, zweifach statisch unbestimmtes Fachwerk. Als statisch nicht bestimmbare Grössen führt man zweckmässig die wagerechten Auflagerwiderstände H₀ und Hu ein; man berechne sie mit

Af

Y/,

Fig. 297.

Hilfe des im § 5 gelehrten allgemeinen Verfahrens und leite die Einflusslinie für H₀ und Hu aus den Biegungslinien für die Zustände H₀ = — 1 und Hu — — 1 ab.

Eine solche zweifache statische Unbestimmtheit entsteht natürlich auch dann, wenn eine der Hängestangen der in Fig. 277 dargestellten versteiften Kettenbrücke die Länge Null erhält; und man kann hieraus schon schliessen, dass im Falle sehr kurzer mittlerer Hängestangen die unter der Voraussetzung einer einfachen statischen Unbestimmtheit gewonnenen Ergebnisse nicht mehr ganz scharf sein können, eine That-sache, die sich auch in der Weise erklären lässt, dass die Neigungswinkel sehr kurzer Stäbe schon bei einer geringen Formveränderung des Fachwerks sich wesentlich ändern können, was dann zur Folge hat, dass die Annahme verschwindend kleiner Winkeländerungen nicht mehr zutrifft.

§ io.

Einfach statisch unbestimmte Bogen- und Kettenbrücken mit mehreren Oeffnungen.

105. Die nächste Untersuchung beschäftigt sich mit einer Eeihe einfach statisch unbestimmter Bogen- und Kettenbrücken mit mehreren Oeffnungen; deren Berechnung sieh eng an die Untersuchungen der vorigen Paragraphen anschliesst. Als statisch nicht bestimmbare Grösse wird durchweg der Horizontalschub (bezieh. Horizontalzug) H eingeführt und zur Ermittlung von H in Folge einer senkrechten, in m angreifenden Last Pm wird die Gleichung

Fc

II = Pm

benutzt, wobei 5' die mit EFC multiplicirte senkrechte Verschiebung bedeutet, welche m bei Eintreten des gedachten Belastungszustandes H = — 1 erfahren würde, während S' die Stabkraft für den Zustand H = — 1 ist. Die zu betrachtenden Tragwerke lassen sich in zwei Gruppen scheiden; bei den Gebilden der einen Gruppe besteht das statisch bestimmte Hauptnetz aus einer Reihe von Einzelbalken} während die anderen im Falle H — 0 in Gerbersche Balken übergehen.

a. Das statisch bestimmte Hauptnetz besteht aus einer Folge von Einzelbalken.

106. Bogenbrücke mit mehreren Oeffnungen. Die über einem Mittelpfeiler zusammentreffenden Bögen erhalten dort ein gemeinschaftliches, auf wagerechter Bahn geführtes Kämpfergelenk, damit diese Pfeiler nur senkrechte Drücke erfahren. An den Enden sind feste Kämpfergelenke angeordnet, Fig. 298.

Liegen sämmtliche Gelenke in einer wagerechten Geraden, so sind die senkrechten Stützenwiderstände A, B, C unabhängig von H und ebenso gross als bestände das Tragwerk aus einzelnen Balken A Cx, CXC₂, . . . Man erhält z. B. für die in Fig. 298 angenommene Belastung :

A — P\

; cx =px

«1

>2

Um die H-Linie zu bestimmen, berechne man für jede einzelne

ys Fc r² F

Oeffnung die den Gewichten w Balkenmomente — genau wie beim Zweigelenkbogen (Seite 195) —

Müller-Breslau, Graphische Statik. IL 1.

entsprechenden einfachen

19

und dividire dieselben durch die über die Knotenpunkte sämmtlicher Oeffnungen auszudehnende Summe: 2 z = 2yw. Man erhält für P= 1:

Mw

Aus der durchweg positiven ZT-Linie werden alle übrigen Einflusslinien ganz in derselben Weise abgeleitet wie beim Zweigelenkbogen.

i*—

--- lä----

J'.....

-£

----->

i—S

(5

\cf

■€

■itt

■3= Linie

Linie

M^F’läeTie

S“°9m

Fig. 298.

In Fig. 298 ist beispielsweise die Jfm-Fläche für einen Knotenpunkt m der Mittelöffnung    dargestellt worden; sie unterscheidet

sich von der Mm~Fläche eines Zweigelenkbogens C^Cg (abgesehen von den kleineren Ordinaten der FT-Linie) nur dadurch, dass sie links von Cx und rechts von C₂ einen aus den negativ zu nehmenden üT-Flächen bestehenden Zuwachs erhält. Denn Lasten, welche ausserhalb der Oeff-nung C₁C₂ liegen, beeinflussen das zweite Glied des Ausdruckes Mm = Mom — Hym.

Für den in Folge einer gleichmässigen Zunahme der Anfangstemperatur um t° entstehenden Horizontalschub findet man (vgl. S. 199)

Ht =

s EtF^l

wo 2Z die Summe der Stützweiten sämmtlicher Oeffnungen bedeutet.

107. Kette, versteift durch mehrere Einzelbalken. Der in No. 106 behandelten Bogenbrücke kann man die in Fig. 299 dargestellte, durch Einzelbalken versteifte Kettenbrücke an die Seite stellen. Jeder

Balken erhält ein festes und ein bewegliches Auflager. Ermittlung der H- Linie berechne man auch hier für jede einzelne

ys Fc r² F

Behufs

entsprechenden einfachen

Oeffnung die den Gewichten w —

Balkenmomente Mw und dividire dieselben durch den Ausdruck

^==20-f

Fe

(2\r sec² <xr -f- s sec ol -f- s" sec a")

(tg ar — tg ar+1)²,

dessen Summen sich über sämmtliche Oeffnungen erstrecken, erhält für P = 1 :

F.

Man

Mw

Aus der durchweg positiven //-Linie werden die übrigen Einflusslinien in derselben Weise abgeleitet wie im § 9, No. 101. In Fig. 299 ist als Beispiel die J/m-Fläche für einen Knotenpunkt der Mittelöffnung gezeichnet worden.

Vm.

•Ætûiàl

31^- Fuit/ir

su “ J/,r~

Mg. 299.

Für den Horizontalzug in Folge einer Temperaturänderung erhält man nach Seite 270 und 271: s EFct^S's

Ht =

zEFct

[2\r sec² a -f- s' sec ol -j- s" sec ol"

+ (tg ar — tg ar+1)].

Die in den vorstehenden Formeln noch enthaltenen Summenausdrücke darf man für die einzelnen Oeffnungen nach den Formeln berechnen:

2Xr sec² a.— lx

(tg ar — tg a.r+l)² =

(₁₊ üA+il)

\ ^ 3 Z? ^ Z? /

64/1 (3ä' — 2 A — 1,5 c)X

3Z?

8/i (3fer— 2/i — 1,5 c)

(tg <xr — tg a,.₊₁) =

woÿi, /i und c die in Fig. 279 auf Seite 268 angegebene Bedeutung haben.

Die im § 9 für Versteifungsbalken mit parallelen Gurtungen nachgewiesenen Vereinfachungen sind natürlich auch bei der Kettenbrücke mit mehreren^Oeffnungen ausführbar.

3ZX

19*

108. Hängebrücke über drei Oeffnungen, bestehend aus drei Scheiben, Fig. 300, 301. Jede Scheibe ruht auf zwei Gleitlagern. An den beiden äusseren Scheiben greifen die Rückhaltketten St und S6 an, so dass jede dieser beiden Scheiben durch drei Widerstände gestützt wird, deren Richtungen sich nicht in einem und demselben Punkte schneiden. Die mittelste Scheibe wird durch vier Kräfte gestützt, nämlich durch die an den beiden beweglichen Auflagern auftretenden Widerstände und durch die Spannkräfte S₃ und S±, welche an den mit Hilfe der Stäbe S₂ und S₅ festgehaltenen Gleitlagern C angreifen. Das vorliegende Tragwerk ist deshalb einfach statisch unbestimmt; es unterscheidet sich von dem im I. Bande, § 47, Seite 389 untersuchten Hängewerke nur dadurch, dass das Scheitelgelenk fehlt. Als statisch unbestimmte Grösse wird wieder der Horizontalzug, d. i. die überall gleiche wagerechte Seitenkraft H der Kettenstäbe Slt S₂, Sa, Sif S₅, Se eingeführt. Man findet dann für die Mittelöffnung, mit den aus der Figur ersichtlichen Bezeichnungen, die Angriffsmomente

Mm = M0m JJ/t ⁼⁼ JJq fc

Hym

Si.

Wm. \\

lk

'S

Jl

■■

Fig. 300.

wo M0m und Moh die Angriffsmomente für die Punke m und k eines einfachen Balkens von der Stützweite l bedeuten. Berücksichtigt man bei Ermittlung der Durchbiegungen h' für den Zustand H = — 1 nur die Formänderungen der Gurtungen, so erhält man

A om

ivm

rh

rjEFm

rk²EFk

Will man auch die Formänderungen der Füllungsglieder berücksichtigen, so bedient man sich am zweckmässigsten der Formeln 6 und 7 auf Seite 105. Die Vertikalen sind für den Belastungsfall H ——1 spannungslos, sie haben also keinen Einfluss auf die Durchbiegungen S'.

Für die über die Seitenöffnung gelegte Scheibe findet man, nach Zerlegung von Sx in A' und H' (Fig. 301) und von S₂ in B' und H', die Gleichgewichtsbedingungen

(A — A') l = Pb (B    — Pa

A' = Ii(tg ax — tg a) B' = E (tg a₂ — tg a)

mithin

Pb

f H (tg ctx — tg a)

Pa

— H (tg a₂ — tg a)-

Die Angriffsmomente sind

Mm — M0m — Hym, Mk — M()k — Hyk. Die Spannkraft in einer Diagonale ist

D = D₀ — R^-

rt

---J---

i ce

te'

m.

u4

Xv

Tay

77/-

-->)£-----~h----->

----*

Fig. 301.

wo rt das Loth von i auf D bedeutet. M0m, Mok, JD₀ sind die Werthe für den einfachen Balken AB. Damit sind auch die Gewichte w bestimmt. Zu beachten ist, dass in der Formel

H = Pm

8'w

Fc

die im Nenner stehende Summe die drei Scheiben und die 6 Stäbe Sx bis S₆ umfasst. Bezüglich des Einflusses der ständigen Belastung g und einer Belastung g wird auf Seite 266 verwiesen.

b. Das statisch bestimmte Hauptnetz ist ein Gerberscher Balken.

109. Ausleger-Bogenbrücke mit drei Oeffnungen. Das Tragwerk in Figur 302 besteht aus einem Zweigelenkbogen AB mit Auslegern AGX und BG₂, welche zur Unterstützung der Einzelbalken CGX und G₂D bestimmt sind. Wird eines der beiden festen Lager

A, B in ein auf wagerechter Bahn bewegliches verwandelt, so entsteht ein Gerberscher Balken (Zustand H = 0), dessen Angriffsmomente mit M₀ bezeichnet werden mögen, und dessen senkrechte Stützenwiderstände = A, B, C, D seien. Durch Hinzutreten der Widerstände H werden die senkrechten Auflagerkräfte sowie die Spannkräfte in den äusseren Oeffnungen CA und BD nicht geändert. Nur im mittleren Theile AB sind die Stabkräfte S abhängig von H-, sie lassen sich auf die Form bringen: S — S₀ — S H wo S₀ den Werth von S für H = 0 bedeutet und S' die Spannkraft in Folge H — — 1 ist.

I?

\T\[7ï/î Pf

ft

Ję

"rfW

Pi i

\q"

*2)'

Tm

11

-Tn'

Kg. 302.

Zur Ermittlung der IZ-Linie benutzen wir wieder das Gesetz:

8'

H=P

^S'²s~r F

wo h' die mit EFC multiplicirte Ordinate der Biegungslinie für den Zustand H= — 1 vorstellt. Diese Biegungslinie besteht zwischen A und B aus einem Polygon, welches genau so bestimmt wird, wie für einen gewöhnlichen Zweigelenkbogen AB, ferner aus den Geraden A'G₁', Gx"C' und B G₂', G₂'D', welche den bei Eintreten des Zustandes H = — 1 spannungslos bleibenden Auslegern und Einzelbalken entsprechen. Wird die Biegungslinie des Theiles AB durch Aufzeichnung eines Seilpolygons gewonnen, so erhält man die Geraden ÂGx" und B'GX" als die äussersten Seiten dieses Polygons. Meistens führt jedoch die Berechnung der H-Linie mittels der Formel

Mw

s (vergl. § 7).

schneller zum Ziele. In diesem Falle empfiehlt es sich, behufs Verlängerung der H-Linie über A' und B' hinaus, sämmtliche Gewichte

w zur 2w zu vereinigen, das Moment — zu berechnen, welches

dieses Gewicht in der Mitte eines einfachen Balkens A' B' hervorbringt,

hierauf senkrecht zu A'B' die Strecke RT

2\wl

aufzutragen und

4 2z

die Geraden TA' und TB' zu ziehen. Es ist dann A'Gx" die Verlängerung der Geraden TA' und B'G₂" die Verlängerung von TB'. Lasten P, welche links von A' oder rechts von B' aufgebracht werden,

rufen einen negativen Horizontalschub II hervor.

Hätte beispielsweise der mittlere Theil AB die Abmessungen des in Fig. 211 auf Seite 207 dargestellten Zweigelenkbogens, so würde zwischen A und B die in Fig. 211 dargestellte fi-Linie ohne jede Aenderung beizubehalten sein. Man würde dann Sw = (w₀ + ivx +    -j- w₃ + w₄) 2 -f- wh — (0,33*)

-j- 0,88 -f- 2,35    15,00) 2 -j- 20,00 = 57,12 erhalten, mithin

2wl

BT

57,12 • 20

1,56.

4 • 183,356

Der Horizontalschub in Folge einer Temperaturänderung ist ebenso gross wie der eines Zweigelenkbogens AB.

Behufs Herleitung der übrigen Einflusslinien aus der H- Linie beachte man, dass sich die Mittelöflhung bei unbelasteten Seiten-öfinungen genau wie ein gewöhnlicher Zweigelenkbogen verhält. Will man also beispielweise die ^„-Fläche zeichnen/ so trage man (wie in

Fig. 220, Seite 216) A'j — 1 auf, ziehe JB', bestimme m loth-recht unter m, verbinde m mit A' und subtrahire die iA-Fläche von -Fläche vorstellenden Dreiecke A'tn B'. Der Unterschied

Vm

dem die

AI Qm

ym

beider Flächen ist die ilTm-Fläche des Zweigelenkbogens AB; der Multiplikator ist = ym. Verlängert man nun die Geraden m A' und rn B' bis zu ihren Schnittpunkten Gx', G₂' mit den Senkrechten durch Gx, G2, und zieht man schliesslich die Geraden GX'C', G₂'D' so giebt der Linienzug C' Gx' Ä m B' G₂' D' die auf A'B' als Nulllinie bezogenen M

—— - Linie des Gerber’schen Balkens CABD an, und die in Fig. 302

y rn

schraffii’te, zwischen dieser Linie und der AT-Linie gelegene Fläche ist daher die gesuchte Mm- Fläche.

110. Stabbogen, versteift durch einen Gerber’schen Balken.

Ganz ebenso wie der in No. 109 untersuchte Träger werden die in den Figuren 303 und 304 dargestellten Stabgebilde behandelt. Zuerst werden die Einflusslinien für die Mittelöflhung genau so gezeichnet, als

— = 0,33 wurde früher nicht gebraucht, da

*) Der Werth «>₀ = er ohne Einfluss auf die Momente Mw ist.

3,0

wären die Seitenöffnungen gar nicht vorhanden, und schliesslich werden sie über A' und B' hinaus auf die vorhin beschriebene Weise verlängert. In Fig. 303 ist eine Ç-Flâche eingezeichnet worden.

sr

Vi*

___jk______

SP

rn

Icotgcc

\f

,-mirnrfljäJ

7 XMxMXij/MXiXNl th

f*

fz t ',/// mmm

i    I

Q= F'läche

Fig. 303.

Fig. 304.

¹

Wir erinnern daran, dass bei Ermittlung der Zahl a der Widerstand eines festen Auflagers in zwei Seitenkräfte zerlegt werden muss. Einem beweglichen Auflager entspricht a = 1.

§ H-

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

111. Der bereits auf Seite 158 in ganz allgemeiner Weise behandelte Bogenträger mit eingespannten Enden ist dreifach statisch unbestimmt und erfordert daher die Aufstellung von drei Elastieitäts-bedingungen. Diese soll hier nach zwei verschiedenen Verfahren erfolgen, von denen das erste an die Voraussetzung senkrechter Lasten gebunden ist, während die zweite Untersuchung Einzelkräfte beliebiger Richtung berücksichtigen wird. Besonders hervofzuheben ist, dass bei der Herleitung der Elasticitätsgleichungen die Längenänderungen der Füllungsstäbe in der* Regel vernachlässigt werden dürfen. Beim Bogen mit eingespannten Kämpfern erweist sich der Einfluss der Temperaturänderungen (welche doch nur geschätzt werden können) als so bedeutend, dass eine allzu peinliche Ermittlung der übrigen Einflüsse noch viel weniger am Platze ist, wie beim Zweigelenkbogen. Auch die Annahme eines überall gleichen oder nach einem einfachen Gesetze sich ändernden Gurtquerschnitts ist zur Vereinfachung der Rechnung meistens anzurathen.

a. Erstes Verfahren.

112. Einfluss einer senkrechten Einzellast (Fig. 305). Die Einzellast P erzeugt Stützenwiderstände (Kämpferdrücke) Kx und K₂, welche P in demselben Punkte C treffen, und deren Schnittpunkte mit den Senkrechten durch die äussersten Stützpunkte A und B mit Fx und F₂ bezeichnet werden mögen. Der Linienzug FXCF₂ heisst das Mittelkraftspolygon und die Gerade FXF₂ die Schlusslinie.

Der senkrechte Abstand NQ eines Punktes des Mittelkraftspolygons von der Schlusslinie ist gleich dem durch den Horizontalschub II des Bogens dividirten Biegungsmomente M₀ eines durch die Last P bean-■¹

Pa

------> -j~

->i

(Ö)

o.

>zo

rj

k-

I4----------Jç —

ml

"3

PA

ÏÏÏÏTÏÏÏÏ1

nC

(a) [r

Ml

A^Flâche

(c) i

\7"

(dJ

'H

■£3.

-îr

(Cj

Zw'<\

[i

LggiÉEŒ —__Ä

[lD jy%= Mâche. ____

n-------

■y¹

Fig. 305.

sprachten einfachen Balkens A'B\ dessen Stützweite — l ist und der an den Enden frei aufliegt.¹) Es folgt deshalb

und hiernach ist das Dreieck F₁CF₂ und somit auch die Richtung von und K₂ bestimmt, sobald die Schlusslinie F₁F₂ und der Horizontalschub H gegeben sind.

Wir beziehen den Bogenträger auf eine senkrechte Achse Ay und eine schräg liegende Achse Ax. Neigung der Ax und Lage des Ursprungs 0 seien vorläufig beliebig. Die Lage der Schlusslinie bestimmen wir durch Angabe ihres Schnittpunktes F₀ mit der Achse Av,

ferner durch die

d. h. durch Angabe der Strecke 0O in Fig. 305 Strecke e, welche die zur Schlusslinie parallele Gerade J₁J₂ auf der Senkrechten durch B abschneidet.

Mm = H • Nm.

Sind nun ym und xm der senkrechte bezw. wagereehte Abstand des Punktes m von den Achsen Ax und Ay, so ergiebt sich

Nm = NQ — ym — 0,

£

also z — — xm -j- 0O

CD

Pab

IH

Behufs Ermittlung des Angriffsmomentes Mm für irgend einen Knotenpunkt m führen wir durch m einen senkrechten Schnitt, zerlegen den von diesem Schnitte in N getroffenen Kämpferdruck (hier K₂) im Punkte N in eine senkrechte und eine wagerechte Seitenkraft und erhalten :

Xm

mithin (wegen H - NQ = Mom) :

Mm = Mom — Hym

(1)

He

■J—    - HZ₀.

Indem wir nun die Bezeichnungen einführen

(2)

Hz₀ = X';

He

X"; H=X"',

erhalten wir die Gleichung

Mm = Mom— X' — X"xm

(3)

-X- ym j

welche die Berechnung der Momente Mm gestattet, sobald die drei statisch nicht bestimmbaren Grössen X', X", X"' gefunden sind.

Zur Berechnung der X bedienen wir uns der Gleichungen (V) auf Seite 163. Wir nehmen starre Widerlager an, setzen also L' = 0, L" — 0, L " = 0. Auch vernachlässigen wir die Formänderung der Füllungsstäbe.

Die Spannkraft des einem Knotenpunkte m gegenüberliegenden Gurtstabes ist

Mm

rm

und zwar gilt das obere Vorzeichen für die obere, das untere für die untere Gurtung. Den Zuständen X' =— 1, X" =—1, X'"=—1 entsprechen die Momente:

(5)

M.: = + 1 ; Kn" = + ²„; MS' = + y.

und die Stabkräfte:

(6)

£' = + •-; S ' = =F — ;

rm

rm

rm

Wählen wir nun das Achsenkreuz Ax, Ay derart, dass die Summen

* ²)

EF

EF

2P"P'"

EF

verschwinden, dass also die Bedingungen:

= 0; 2

(?)

VmSm

EFmrm

EFmrJ

'X'm ym Sfn

EFmrJ

erfüllt werden, so gehen die Gleichungen (V) für eine Einzellast P über in:

X' 2

(8)

X" 2

EFmrJ

xjsm

EFmrJ

X'" 2

yjsm

FFmrJ

PS"'+2P//'s²5,

wo 5', h", h'" die an der Stelle P gemessenen Ordinaten der den Zuständen X'= — 1, X" ——1, X"' ——1 entsprechenden Biegungslinien bedeuten.

Zur weiteren Vereinfachung der Rechnung schreiben wir sämmt-lichen Gurtstäben denselben Querschnitt F (Mittelwerth der Fm) zu und setzen feste Werthe E, s, t voraus. Multipliciren wir dann die Glei-

chungen (8) mit EF, so erhalten wir mit der Bezeichnung:

Sm

Wm'**)

den Einfluss einer Einzellast P:

EFb'

(9)

X' = P-

2 wj

; X" = P

EFb"

^x²mwm'

; X"' = P

EFh'"

ferner den Einfluss einer gleichmässigen Erwärmung um t°:

zEFt^S"s

(10) Xt'=

zEFt^S's

2 ivm

'2iXlmivn[

; X"=

zEFt2S"'s

'SylwJ

EF

**) Sollen verschieden grosse Gurtquerschnitte Fm berücksichtigt werden, F

— gesetzt werden.

SO muss tVm =

Sm

rm² Fm

Die Bedingungen, welche durch geeignete Wahl der Lagen der Achsen Ax, Ay zu erfüllen sind, lauten:

2 xm wm    0, 2 ym wm    0, 2 xm ym tom    0.

Wird dem Knotenpunkte m das Gewicht beigelegt, so fordern die Gleichungen (11):

1.    Der Ursprung 0 muss mit dem Schwerpunkte der Gewichte w zusammenfallen.

2.    Die Richtung der Achse Ax muss so gewählt werden, dass das Centrifugalmoment der Gewichte w' gleich Null ist.

In der Regel wird der Bogen symmetrisch sein in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte. Dann fällt die Achse Ay mit der Symmetrieachse zusammen und die Achse Ax mit der wagerechten Schwerachse der Gewichte w'.

(11)

4.

Einen steigenden Bogen leite man, falls der Unterschied in der Höhenlage der Kämpfer gering ist, nach Fig. 306 aus einem symmetrischen Bogen ab und schreibe den einander entsprechenden Knotenpunkten beider Bogenhälften gleiche Gewichte w' zu.*) Man erreicht hierdurch, dass die Achse Ay mit der Mittelsenkrechten und die Ax mit der zu A'B' parallelen Schwerachse der Gewichte w' zusammenfällt.

./

Fig. 306.

j i z'iro'

i 7 Sto'

+9'

Ffe

+x'

X'

Fig. 307.

Ganz allgemein findet man die Achsen Ax, Ay wie folgt. Man bezieht den Bogen zunächst auf ein beliebiges rechtwinkliges Achsenkreuz x\ y' mit wagerechteraf-Achse (Fig. 307) berechnet die Summen;

2 m/, 'Sito'x'i HLw’y'i SwV²,

2w'y2w'x'y'

bezeichnet mit £, t; die Koordinaten von O in Bezug auf x\ y\ mit a den Neigungswinkel der Ax gegen

*) Diese Annahme ist ebenso zulässig, wie die Annahme F : Fm = 1.

die «'-Achse und hat dann:

« = £ — x'

y — y’ — x tg a — (y) — g tg a).

Die Gleichungen « = 0, IŁw’y = 0, 2m>'«î/ —0 liefern nun:

’Sw'y’

«'

(12)

S10'

’c^iv y’ — 'Sito'x'y'

tga =

Schliesslich bestimmt man noch

Sm;'«² = Sm'«'² — g²Sm'

Sw'ÿ² = 'Ew'y'³ — ï)²Sm' — tg³ a Sm'«³.

Natürlich kann man auch die auf der Darstellung von Momenten zweiter Ordnung beruhende Ermittlung von tg a auf zeichnerischem "Wege mit Hilfe von Band I, § 5—7 ausführen.

Nach Festlegung der Achsen Ay, Ax bestimme man die Zähler der für X , X , X"' gefundenen Ausdrücke (9) wie folgt.

Man erwäge, dass den Zuständen X'=—1, X"— — 1, X'"——1 die Momente

£S w' x' — Sw'«'²

(13)

ts"

entsprechen, und dass sich die mit EF multiplicirten Durchbiegungen b , b , Ô "als die Momente eines einfachen Balkens A'B' (des statisch bestimmten Hauptsystems) deuten lassen, welcher beziehungsweise belastet wird mit den Gewichten:

, Mjsm

wm =

„ Mm"sm

-, r rrr

Mm sm

*), d. h. mit

; wm

; wm

rm‘J xmsm

Y ^

’ m

Bezeichnet man also die unter P gemessenen Ordinaten dieser einfachen Momentenlinien mit Mw', Mw", Mj" so erhält man: EFb'— Mj-, EFb" — Mj,'-, EFb"' = Mj" und findet schliesslich für die Einflusslinien der Grössen X', X", X'" die Gleichungen:

(14) wm'

rm

rm

2 ! Wm

rj

fff

; wm

rm

(15) X' = P

Mj

; X" = P

M„"

lLxmWm

»- ; X"' = P

nr

V)    fff

*ymwm

. ⁴)

1 zu setzen ist.

Fm

Aus den Einflusslinien für die Grössen X', X", X"' kann man jetzt alle übrigen Einflusslinien ableiten und zwar lassen sich hierzu verschiedene Verfahren anwenden.

1. Mit Hilfe der Gleichungen Mm __ Mom__X

h yn    hm    hm

ermittle man die (M: h)-Linien und hieraus nach Seite 213 und 214 die Einflusslinien für die Stabkräfte.

// Xm

hm

X'"

Vm

hm

An Stelle von

X'

hm

zunehmende Strecke bedeutet.

schreibe man —--7—, wo d eine beliebig an-

d hm

, X", X'"

X'

m;t-A

Xm

Vm

hm hm hm

Die Multiplikation der —— führe man (nach Seite 174 und 17 J)

mit Hilfe

von Winkeln aus, deren Tangenten gleich den Multiplikatoren sind.

2. Man bestimme für verschiedene Lagen der Einzellast P — 1 die Mittelkraftspolygone FXCF₂ (Fig. 305) und benutze diese zur Berechnung der Ordinaten (M : h)- Linien.

3. Nach Aufzeichnung der Einflusslinien für die Gurtkräfte bestimme man die Einflusslinien für die Spannkräfte in den Füllungsinneü' nach No. 72.

4. Man nehme die Lasteinheit P der Reihe nach in sämmtlichen Querträgerangriffspunkten an, zeichne für jeden einzelnen dieser Belastungszustände einen Cremona’schen Kräfteplan und bestimme die Einflusslinien der Stabkräfte mit Hilfe dieser Kräftepläne.

113. Die Aufgabe, das Mittelkraftspolygon FtCF₂ (Fig. 305) zeichnen, lässt sich

zu

X’

ausser durch Bestimmung der Werthe z„ =

H

und e

X"

l — noch in folgender Weise lösen.

n

Verbindet man die Gewichte w' und w" durch Seilpolygone (Fig. 305), deren Pol weiten wx und wn sein mögen*), so erhält man nach Eintragung der Schlusslinien s', s" die Momente

Mj = w£t\’; Mw” — wur\(Fig. 305

Die äussersten Seiten des ersten Seilpolygons schneiden sich auf der Achse Ay, da ja diese Gerade die senkrechte Schwerachse der Ge-

c u. e

)•

*) Zum ersten Seilpolygon haben wir in Fig. 305d das zugehörige Kräftepolygon tbeüweise gezeichnet.

wichte w' ist, und man findet:

'Siiv' : Wi= m :k also ’Sw' =    und (nach Gleich. 15)

k

X'= P

r{ k

Die äussersten Seiten des zweiten Seilpolygons schneiden auf der 2xw"

Achse Ay die Strecke v

ab ; sie sind einander parallel, weil

wn

die Summe der Gewichte (nämlich 2«/' = 'Sxw') gleich Null und deshalb die Mittelkraft der w” unendlich klein und unendlich fern ist.

Es ergiebt sich nach (15):

X" = pr[—,

und, wenn die Lasteinheit P durch eine Strecke von der Länge v dargestellt wird:

Xr//    //

X =7] ; X

vk ,

7] =n Yj',

wobei n nach Fig. 294 mittels der parallel zu den äussersten Seiten des ersten Seilpolygons gezogenen Geraden und g₂ (Fig. 305e) bestimmt werden kann.

Zerlegt man nun die Kämpferdrücke Xl5 X₂ nach senkrechter Richtung und nach der Richtung der Achse Ax, und bezeichnet man die senkrechten Seitenkräfte mit A und B (Fig. 305b), so findet man leicht :

A : 11 =

(® + T*)

: a, wo CD

Pal

IH ’

weshalb

Pb

He

Pb

f X"

vl

und hieraus folgt, dass das Seilpolygon der Gewichte w" die Strecke v = P, welche seine äussersten Seiten auf der Last P abschneiden in die Theile

t\a = A und r\B = B

Hat man also den Horizontalschub H mit Hilfe eines die

zerlegt.

Gewichte w"' verbindenden Seilpolygons durch eine Strecke i}" dargestellt (was möglich ist, weil nach Gleichung 15 die Kraft X'" = H proportional 7]"' ist), so ist man im Stande, die Kämpferdrücke nach Grösse und Richtung anzugeben, und braucht jetzt nur noch einen Punkt des Linienzuges F₁ CF₂ zu bestimmen (Fig. 308).

Besonders einfach gestaltet sich nun die Bestimmung der Schnittpunkte R der Kämpferdrücke mit der Achse Ax. Wir bezeichnen die

Entfernung des Punktes Rt von der Ay mit h, und berechnen diese

Strecke, indem wir die Summe der Momente der im Gleichgewichte

befindlichen Kräfte Kx, K₂, P in Bezug auf F₀ gleich Null setzen.

Vorher ersetzen wir jedoch P durch die beiden in Fx und F₂ angreifen-

Pb    Pa    2>08

den Seitenkräfte —— und —-— zerlegen Ky und K₂ auf die in Fig. 2^7

i    i

angegebene Weise, verschieben die in die Achse Ax fallende Seitenkraft

— -ce-----

<---------------A — -

—->l

*'*.r

//

-~Ÿo-rT'

n' /

\ /B L

V7'

A:

éT >.

//

.>.

fV

<-

->

-t:

Fig. 308.

von Ky nach 0 und zerlegen sie dort nach wagerechter und senkrechter Eiehtung. Die fragliche Momentengleichung lautet dann:

A

Al + Hz.

+ »V—v~yk

= 0, d. h.

— 0;

sie liefert, wegen v — = n :

tn

nv}₀

wo 7]₀ in Fig. 305 die Strecke bedeutet, welche das Seilpolygon der Gewichte w' und die letzte Seite dieses Polygons auf der Last P abschneiden. Die hieraus sich ergebende zeichnerische Bestimmung des Punktes Rx zeigt Fig. 308; die von dem im festen Abstande n von 0 gelegenen Punkte T aus gezogene Gerade TRy ist parallel zur Geraden g.

Auch der Punkt Fx lässt sich schnell festlegen. Man trage zu

v

diesem Zwecke vom unteren Endpunkte von Kx die Strecke r\₀ — nach

oben auf, ziehe die Gerade g und hierauf OFx || g. Der Beweis ist leicht zu finden.

von K<

wählt, dass v — m wird (was durch zweimaliges Aufzeichnen dieses Seil-

Besonders einfach gestaltet sich die doppelte Bestimmung der Lage wenn man die willkürliche Polweite des Seilpolygons II so

V

polygons zu bewirken ist). Dann wird t]a -= v]₀ und n = k.

m

114. Wir wenden nun das im Vorstehenden entwickelte Verfahren auf einen symmetrischen Bogenträger (Fig. 309a) an und stützen uns hierbei auf die im ersten Bande unseres Buches, Seite 23 u. 24, Fig. 26, gezeigte Darstellung der höheren Momente paralleler Kräfte.

₀ ⁵ ⁶) werden r²

Die durch Rechnung zu bestimmenden Gewichte w' —

den auf der Achse Ay die den Gewichten w" proportionalen Strecken

zunächst als lothrechte Kräfte aufgefasst und in der Reihenfolge wx’, w₃, w₃', . . . durch den Seilzug I (Pol 0T, Polweite wi) verbunden. Die Polweite wi darf beliebig gross angenommen werden. Die Seiten des Seilpolygons I schneite' x

wi

an

ab, welche für die Knotenpunkte der linken Trägerhälfte positiv sind, für diejenigen der rechten negativ. Betrachtet man diese Strecken als senkrechte, die Stelle der w' tretende Kräfte, verbindet sie durch ein Seilpolygon II (Pol Orr, beliebige Polweite — wn), und misst man senkrecht unter der in Frage kommenden Last P die durch den Seilzug II und dessen äusserste Seiten bestimmten Strecken -r^, ips, v, so erhält man

ÏU : Ve"■ v = A: B :P

und für den Kräftemaassstab P=v:

i)a = A‘, t]B = B.

Da die x-Achse wagerecht ist, so sind A und B die senkrechten Stützenwiderstände.

Jetzt wird die Achse Ax als wagerechte Schwerachse der Gewichte w' bestimmt. Hierbei empfiehlt es sich, zur Erzielung einer recht deutlichen Zeichnung den Bogen verzerrt aufzutragen.

In Fig. 309b wurden die Höhen verdoppelt, auch sind die Gewichte w' zunächst in der Reihenfolge ivx\ w₃\ w₅\ «./. m’₄', | w₆'**) durch einen Seilzug III (Pol Om, beliebige Polweite wm) verbunden worden, um eine Durchkreuzung aufeinander folgender Seiten zu vermeiden. Der Schnittpunkt der äussersten Polygonseiten bestimmt die Ax, und auf dieser Achse werden von den Seiten

abge-

des Seilzuges die den Gewichten w'" proportionalen Strecken

w’ 2y

Will

schnitten, welche positiv oder negativ zu nehmen sind, je nachdem sie oberhalb oder unterhalb der Ax liegenden Knotenpunkten entsprechen. Diese

20

!

*»N

7ü’ \ TD‘ j Tü'/ TdJ/to;

+y

—-

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I

I

»ör -JT

!

I

i

r

i

i

v-*\

i

i

i

B’

i

Fig. 309.

Strecken wurden (an Stelle der w) als wagerechte Kräfte aufgefasst und durch, einen Seilzug IV (Pol Oiv, beliebige Polweitę wir) verbunden, dessen äusserste Seiten auf der Ax eine Strecke u abschneiden, für welche die Beziehung gilt:

2y.

UWIV

— 2 w'2y

Will

Hieraus folgt für eine Bogenhälfte iß — \ wmiviru und für den ganzen Träger:

Um nun die zur Ermittlung von

H — X'" — P

Mw

IS iv iß

dienenden Momente Mj” zu bestimmen, wurden die Strecken

2 y tv

Will

(an

Stelle der w) als senkrechte Kräfte aufgefasst und durch ein Seilpolygon V (Pol Ovi Polweite wv) verbunden, jetzt aber in der Reihenfolge 1, 2, 3, . . . ⁷), Ist i{" die Ordinate dieses Seilzuges, so ist das Biegungsmoment des mit den 2 yir'

Gewichten

IV1II

belasteten Balkens A'B' gleich wvßund man erhält daher

für einen durch die Gewichte w” = iv y beanspruchten Balken:

MJ" = J wniwrv]"i weshalb vwr

Wvl)

iv iv • u

wir u

ri ■

wiv • u

(z. B. wiv—\v und wv—\ u wie dies in

Wählt man also wv

Eig. 309b geschehen ist)⁸) so findet man:

H = T]'",

Nun dreht

und ist jetzt im Stande, für jede Einzellast P die Kämpferdrücke Kx und K2 zu ermitteln. Um die Lagen dieser Kräfte anzugeben, bestimmt man mit Hilfe der zur ersten Seite des Seilzuges I parallelen Geraden ED die Strecke n und trägt dieselbe auf der Achse Ay von 0 aus nach T hin ab. man die vom Seilzug / und dessen letzter Seite auf P abgeschnittene Strecke rl0 um 90° nach links, verbindet ihren Endpunkt mit dem Endpunkte der Strecke riA durch eine (strichpunktirte) Gerade und zieht zu dieser von T aus eine Parallele; dieselbe schneidet die Ax im Durchgangspunkte von Kv

115. Einfluss einer Temperaturänderung. Zur Berechnung der von einer Temperaturänderung herrührenden Wertbe X könnten die Gleichungen (10) und (6) benutzt werden; der folgende Weg verdient jedoch den Vorzug.

2 S"' o s -f- 2 S"' w s — 1 sec a • w L₁ L₂ — 0

i

wobei sich das erste Glied auf die Stäbe des Bogenfachwerks bezieht,

das zweite auf die hinzugefügten starren Stäbe, mit Ausnahme von

Lx L₂, das dritte schliesslich auf den Stab L₁L₂. Wird o gehoben

und werden die Punkte Llt L₂ so angenommen, dass    == 0 wird,

1

so ergiebt sich

2S'"s = L₁L₂ sec a

und wir erhalten sehr einfach:

xr=

(16)

Wir denken die Spannkräfte S"' = + 1 —

durch zwei entgegengesetzt gleiche, nach aussen gerichtete Kräfte von der Grösse 1 sec a (Fig. 310) hervorgerufen, welche mit der Achse Ax (deren Neigungswinkel = a sei) zusammenfallen und deren Angxüffspunkte £⁹ und L2 mit den Bogenenden durch starre Stäbe verbunden seien.⁹) Sodann fassen wir 1 sec a als eine Spannkraft (und zwar als einen Druck) auf, der in einem die Knoten Lx und L₂ verbindenden Stabe auf irgend eine Weise erzeugt wird und wenden auf das nunmehr nur von inneren Kräften beanspruchte und in kei-Punkte gestützte Fachwerk das Gesetz der ^ virtuellen V erschiebungen an, indem wir den Stablängen s die Aenderungen    zuschreiben, wo « einen festen Werth

vorstellt. Wir erhalten dann die Arbeitsgleichung

nein

-ii.seec£

Jj

>C

rm

TU

ĆT;

Fig. 310.

zEFtl'" sec a

wo Ï" die Länge der Strecke LtL₂ bedeutet.

Zur Bestimmung des Punktes Lx bezeichnen wir die Längen der Stäbe ALX, CLlf AC mit a, b, c, die durch die Kraft 1 sec a in diesen Stäben erzeugten Spannkräfte mit Sa , Sb"\ S'" und suchen die Er-

füllung der Gleichung

Sa a -j- Sb b -)- Se c — 0

herb eizuführen. Geht der erste Füllungsstab des Bogenfachwerks durch den Punkt A, so ergiebt sich der in Fig. 311 dargestellte Kräfteplan, in welchem S'" die Spannkraft im ersten Gliede der unteren Gurtung bedeutet. Mit den aus der Figur zu entnehmenden Bezeichnungen der Winkel folgt, wenn AE und AE' so gezogen werden, dass L^EA — ^ und    L₁E'A = ß wird:

— S'"

sin (4* — Y)

CE CE

Q

Ufr

sin (180° — vp)

AC

sin p

LXE'

L,E'

Sb'"

A Ll

und hieraus:

Sâ"a + Sb'" (CE + L,E') + S'"c = 0.

-,

'3'

KW

'f.see• oc

SA

Fig. 311.

Fig. 312.

Die oben aufgestellte Bedingung wird hiernach erfüllt, sobald

CE LlE' = b, d. h. sobald ß = 4* wird.

Aehnlich folgt: Geht der erste Füllungsstab von C aus (Fig. 312), so muss, damit aS-f- bSh'" -f- cSc'" = 0 werde, der Winkel L₂L₁C= 4 sein.

In derselben Weise wird der Punkt L₂ bestimmt und damit die Länge der Strecke L₁L₂ — V" gefunden. Man vergleiche Fig. 313, in welcher die äussersten Füllungsstäbe durch A bezieh. B gehend angenommen wurden.

Durch eine Reihe ganz ähnlicher Schlussfolgerungen wird für die im Zähler des Ausdruckes für X" stehende Summe der Werth

sEFtr_

^xmivm"

gefunden, wobei l" den gegenseitigen Abstand der auf der Achse Ay gelegenen Punkte Nt und N₂ bedeutet, welche erhalten werden, sobald man von A und B aus Gerade zieht, die mit der Achse Ay die Winkel 4 und vl/ bilden.

(17)

s = l" und damit X"

,/V'

V»'

>B

Aj

ZY

Fig. 313.

Um schliesslich noch die Summe 2S's in einfacher Weise zu berechnen, denken wir uns die Momente M'— 1 und Spannkräfte

Sm' = X — durch an den Bogenenden angreifende rechts drehende Kräfte-

Dn

paare hervorgehracht, welche aus zur Achse Ax parallelen Kräften von der Grösse 1 bestehen und deren Arm = 1 ist, Fig. 314. Sind E\,

)B

V'i

Fig. 314.

E₂, Jx, J₂ die Schnittpunkte dieser Kräfte mit den Geraden ALX und BL₂, so folgt aus den vorstehenden Untersuchungen

'SS's — JXJ₂ — EXE₂ = cotg d* -f- cotg 4"

und es ergiebt sich daher:

(18)

zEFt (cotg d» -f- cotg <]/)

Für den in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte symmetrischen Bogen ist l" = 0 also auch X" =0. Ist ausserdem, was ebenfalls in der Regel (zum mindesten annähernd) zutreffen wird, vjj == ij/ = 90° also cotg 4> = cotg vj/ = 0, so folgt auch X' = 0 und (wegen oc = 0)

(19)

X;" = Ht =

zEFtï"

worin l " die gegenseitige wagerechte Entfernung derjenigen Punkte der Kämpfer bedeutet, von denen die äussersten Füllungsstäbe ausgehen.¹⁰) In diesem wichtigen Falle erzeugt also die Temperaturände-rung zwei in die Achse Ax fallende Kämpferdrücke von der Grösse Eft.

Wird die Gestalt eines leicht ansteigenden Bogens nach Seite 300 aus einer symmetrischen Grundform entwickelt, so ist es ebenfalls zulässig, als Folge der Temperaturänderung einen mit der Ax-Achse zusammenfallenden Kämpferwiderstand anzunehmen. Die Grösse desselben ist (wegen Kt = Ht sec a = X”' sec a)

(20)

K,

zEFtl'" sec a

Wird der Einfluss der Belastung nach Ko. 114 mit Hilfe von Seilpolygonen dargestellt, so wird man auch die in den Nennern der Werthe Xt, Xt", Xt" auftretenden Summenausdrücke mittels jener Seilzüge berechnen. Man muss dann auf die Einheiten der in Frage kommenden Grössen achten. Für den in Fig. 309 untersuchten Bogen ist z. B.

Ht

zEFtl’" zEFtV"

2 ym Wm"

2 ißn W,n

und 2 y%, Wm’ — \ it'm wiru, weshalb

Ht

n zEFtl"’

2--

Will WIV u

Nun ist Wm'— ß- der reciproke Werth einer Länge, also iSyhwj eine

Länge und man muss deshalb eine der drei Strecken wm, wir, u (gleichgültig welche) mit dem Maassstabe messen, in welchem die w’ aufgetragen worden sind, die andern beiden aber mit dem Längenmaassstabe der Zeichnung.

b. Zweites Verfahren.

116. Wir entwickeln noch ein zweites Verfahren, welches auch über den Einfluss schräger Lasten Aufschluss giebt und sich eng an die in No. 64, Seite 158, gegebene allgemeine Lösung anlehnt. Zu dem Zwecke ersetzen wir das linke Widerlager durch eine starre Scheibe (Fig. 315a), und fügen in dem vorläufig beliebig angenommenen Punkte 0 derselben zwei sich aufhebende Kräfte Kx hinzu, welche dieselbe Richtung und Grösse haben, wie der linke Kämpferwiderstand Kx. Die eine dieser beiden Kräfte bildet mit dem Kämpferwiderstande Kx ein Kräftepaar, dessen Moment Kxc wir mit Xa bezeichnen; die andere zerlegen wir in Xb (senkrecht) und Xc (mit vorläufig willkürlicher Richtung). Xa, Xb, Xc führen wir als die statisch nicht bestimmbaren Grössen ein. Sind dieselben bekannt, so lässt sich Kx wie folgt finden: Zunächst stellt man Grösse und Richtung von Kx mittels des Kräfte-

? faj

ITT

(b) u

ip

-_-V

kz

.s')

k--------h —

—->j

T'

Fig. 315.

zuges Xc Xb in Fig. 315b fest. Nun bestimmt man die in Fig. 315a mit Z bezeichneten senkrechten Kräfte, welche ein dem Kräftepaare (Kx, üfj) gleichwertiges Paar bilden, mittels der Bedingung Zk = Xa, bildet hierauf in Fig. 315b die Mittelkraft L von Z und Kx und zieht durch 0 zu L eine Parallele; sie schneidet die Senkrechte durch A im Durchgangspunkte Fx des Kämpferdruckes Kl.

Bei Aufstellung der Elasticitätsbedingungen legen wir dem Punkte 0 die Ordnungsziffern b oder c bei, je nachdem wir 0 als den Angriffspunkt von Xb oder Xc bezeichnen wollen. Zur Berechnung des Einflusses einer in m angreifenden, beliebig gerichteten Last Pm be-

nutzen wir die Gleichungen:

(21) Xa = Pm

Xh =

^bb

> Xc — Pm

Knc

Ke ’

in denen die 5 die in der Einleitung erklärte Bedeutung haben, und deren Gültigkeit voraussetzt, dass der Angriffspunkt von Xh, Xc und die Richtung von Xc nach den auf Seite 158 und 159 (im Beispiel 1) gegebenen Regeln bestimmt werden. (Erzielung von hab — hba = 0; 'bac — hca = 0 ;

¹

Man betrachte Fx CF, als Culmann’sche Momentenfläche des einfachen Balkens A’B’.

²

In den angezogenen Gleichungen (V) ist p

³

Yergl. Seite 188, Gleichung (2), in welcher

⁴

Die Gleichung für H= X’" stimmt mit der im § 7 zur Berechnung des Horizontalschubes eines Zweigelenkbogens erhaltenen Formel überein. Nur ist jetzt y auf eine andere Achse bezogen. Wir machen noch auf die im § 7 für verschiedene Sonderfälle gezeigten Umformungen und Kürzungen der Gewichte w aufmerksam; dieselben sind natürlich auch bei eingespannten Bogen-trägern brauchbar.

⁵

Vergl. die Fussnote auf Seite 299.

⁶

i M/₀₁ weil nur die Hälfte des symmetrischen Bogens betrachtet wird.

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

⁷

Im zugehörigen Kräfteplan ist die Reihenfolge der Strahlen durch Ziffern angegeben.

⁸

ivv ist die einzige Polweite, welche nicht willkürlich, sondern durch die vorhergehenden Polweiten bestimmt ist. Der Maassstab, in welchem die w' aufgetragen werden, ist, so lange nur der Einfluss von Lasten in Frage kommt (nicht auch der von Temperaturänderungen) ganz gleichgültig.

20⁷

⁹

Diese Kräfte erzeugen das Angriffsmoment Mm = 1 sec a (ym cos a) = ym

und die Stabkraft Sm"' = + —- • Diese Formel gilt auch für die Füllungs-

stäbe ; an Stelle der Knoten m treten die bekannten Drehpunkte der Kitter’schen Momentengleichungen.

¹⁰

Für den Träger in Fig. 306 ist V" — A’B'.

$bc ⁼⁼    = 0).

Wir fassen (Fig. 316) den Stabzug 0—1 mit der ruhenden Seite 0 — 1 ins Auge, und schliessen an diesen den (vorläufig noch nicht gegebenen) Punkt O^slO mittels der starren Stäbe 9 —10 und 8—10 an. Das Dreieck 8 — 9 —10 ist dann die das linke Widerlager vertretende Scheibe. Die Stablängen bezeichnen wir mit dlt d₂, d₃ . . . und die in demselben Sinne zu messenden Winkel zwischen den aufeinander folgenden Seiten mit a₁, aa₃ . . .

Werden die Formänderungen der Füllungsstäbe vernachlässigt, was meistens erlaubt ist, so sind die Verschiebungen der Knotenpunkte durch die Aenderungen A a der Winkel a vollständig bestimmt. Dabei ist mit den geläufigen Bezeichnungen sm und rm:

(22)

A s„

r,n

bezieh. Aa„, = —

A sm

rm

je nachdem a,„ ein Dreieckswinkel ist oder nicht.

Mm

Mmsm

Dem Angriffsmomente Mm entspricht £',„ = +

wobei sich das obere Vorzeichen auf die obere Gurtung bezieht,* das untere auf die untere Gurtung. Ist a ein Dreieckswinkel, so ist s ein Untergurtstab, anderenfalls ein Obergurtstab, so dass allgemein:

rm

rmEFj

(23) Aa,„ = -f-

Mmsm

rlEFm

und EFc&.am =

Mmsm Fc

ri

Fj

wo Fc eine beliebig grosse, aber konstante Querschnittsgrösse bedeutet. Rechnen wir also mit

(24)

sm Fc rl Em

so erhalten wir die Ui^-fachen Verschiebungen, eine A'ergrösserung, die auf das Ergebniss der Gleichungen 21 ohne Einfluss ist, da in diesen nur Verhältnisse von Verschiebungen Vorkommen.

!o

—i — i—*■

■s. I

5$

Üï

3^WW1

--hs

Darf

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"il

\ •?£( \

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1

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P !

i, i

10

10

vy

Ç>%'

\y

r~y£

AL--

■h'

-ifc —

.V

xr*

Fig. 316.

Den Zuständen Xa — — 1, Xb — — 1, Xc — — 1 entsprechen die Momente:

Mj

— i, jC

und in Folge dessen die Winkeländerungen:

s„ Fc

xm —--

rj, Fm

deren absolute Werthe mit den im ersten Verfahren benutzten Gewichten wm, w„”, wj" übereinstimmen, wobei nur zu beachten ist, dass jetzt y rechtwinklig zu Xe gemessen werden muss.¹)

Die Aufzeichnung der Verschiebungspläne geschieht nun in folgender Weise.

A a„,' —

s» F\ rl Fm

Mm

Vm

}!m Sm Fc

r² F ’

' m M m

I. Verschiebungsplan für den Zustand Xa = — 1. Man betrachte die Winkeländerungen — Aam als lothrechte nach abwärts gerichtete Kräfte und verbinde sie durch einen Seilzug I, dessen erste Seite wagei’echt anzunehmen ist und dessen Polweite wx willkürlich gewählt werden darf. Durch die den Knotenpunkten 1, 2, 3, ... 9 des Stabzuges entsprechenden Punkte des Seilzuges lege man wagerechte Gerade glf g₂, g₃, ... und zeichne von dem beliebig in gx angenommenen Punkte Y aus einen Linienzug l' 2' 3' 4' ... . 9', dessen Seiten rechtwinklig zu den entsprechenden Seiten des Stabzuges 1 — 2 — 3 — 4 .... 9 sind. Die von dem mit Y zusammenfallenden Pole Oa nach den Punkten 2', 3', Y . . . gezogenen Strahlen stellen dann die Verschiebungen der Knoten 2, 3, 4, . . . nach Grösse und Richtung dar, und man findet daher den einer Einzellast Pm entsprechenden Werth als Projektion des Strahles Oam auf die Richtung von Pm und zwar in einem von der Polweite Wi und den Werthen F, ^abhängigen, vorläufig gleichgültigen Maassstabe. Da nun der (die Ziffer 10 tragende) Punkt 0 in Ruhe bleiben soll, muss 10' mit Oa zusammenfallen und es ist mithin die Lage von 10 durch die Bedingungen: 9 —10 1 9'—10', 8 — 10_J_8'-—10' bestimmt; auch leuchtet ein, dass Punkt 10 in der senkrechten Schwerachse der Gewichte — Aa' = iv liegt, wodurch das Zusammenfallen von Xb mit der früher benutzten Achse Ay bewiesen ist.

Ein zweites Verfahren der Aufzeichnung des Linienzuges Y 2' 3' . . . besteht in der Berechnung der Drehungswinkel vJj und Werthe p =

für die einzelnen Stäbe d1} d₂ . . . Man erhält:

4i = AaU 42 = 4i + Aa2i 4s = ^₂ + Aa3Î

Pi :== d₁4i ; p2 ⁼⁼ d₂ 4s ; P3 ⁼⁼ d₃ 43 5......

und macht nun:

1' — 2' = Pl; 2' — 3' —-p₂ ; 3' — 4' = p₃;

Ein drittes Verfahren stützt sich auf den Umstand, dass die Strecken p nur von den A a und d abhängen, nicht aber von der Gestalt des Stabzuges. Reiht man also die Stablängen d wagerecht aneinander, wie dies die in kleinerem Maassstabe gezeichnete Fig. 317

zeigt, so findet man die Werthe p als die Unterschiede aufeinander folgender Ordinaten eines die Gewichte —Aa verbindenden Seilpolygons.

Schliesslich könnte man viertens die Punkte U, 2', 3' . . . . . . mit Hilfe eines Williot’schen Verschiebungsplanes festlegen.

Das erste Verfahren lässt im Stich, sobald der Stabzug lothrechte Stäbe enthält, und es führt zu ungenauen Ergebnissen, falls Stabrichtungen verkommen, die von der Lothrechten nur wenig abweichen.

-Ą<*a -Ąat,    "4** -Ja, -Joe, -Ja-,

ds | d₇    d,,

i    I

9 7-

?r

p*

6\.

iß

8,

?'

Fig. 317.

Man denke sich z. B. den Stab 7—8 der lothrechten Lage genähert, um einzusehen, dass eine genaue Bestimmung des Punktes 8' in Folge des entstehenden schleifenden Schnittes¹ schwierig ist. Man würde dann p₇ berechnen oder von dem Seilpolygon in Fig. 317 das Stück 6—7 — 8 aufzeichnen, welches durch p₆ und da, bestimmt ist. Besitzen mehrere Stäbe eine solche Lage, so wird man von der Anwendung des ersten Verfahrens ganz absehen. Am übersichtlichsten ist die Bestimmung der p nach Fig. 317.

Nach Ermittlung von 8mo findet man den Einfluss von Pm auf Xa mittels der ersten der Gleichungen 21, in der 5„a den Drehungs

winkel (40 der Scheibe 8 — 9 —10 für den betrachteten Belastungs-zustand Xa = —1 bedeutet. Nun entspricht dem Stabe 9 —10 der

9' — 10'

Werth p₉ == 9' — 10' also der Drehungswinkel 4g und man erhält daher:

9 — 10

8.

xa

und für die durch die Gleichung Zk = Xa bestimmte Kraft Z den Werth:

Z=Pm

Einer in 5 angreifenden lothrechten Last P₅ entspricht:

y ^5 ^5«

fi.

zj —^ :-

d. i. ein Werth, zu dessen Ermittlung die Aufzeichnung des Seilzuges I genügen würde.

II. Verschiebungsplan für den Zustand Xb — — 1. Die Gewichte

smxm Fc

— Aa' =

werden durch die Gewichte —Aa” =

sm

rl Fm

(wrelche rechts von 0 positiv also abwärts gerichtet sind) ersetzt und nun wird das vorhin beschriebene Verfahren wiederholt. Der die neuen Gewichte verbindende Seilzug II kann aus dem Seilzuge I in derselben Weise abgeleitet werden wie in Fig. 309. Nur muss die Lage des Pôles Ou (bei beliebig anzunehmender Polweite u'if) so gewählt werden, dass die erste Seite des Seilzuges II wagerecht liegt. Nach Eintragung des vom Pole Ob aus gezeichneten Linienzuges l' 2' 3" .... 8' 9' findet man den einer schrägen Last Pm entsprechenden Werth hmb als Projektion von Obm auf die Richtung von Pm und die Verschiebung hbb des Angriffspunktes b 10 von Xb als Projektion des Strahles Ob 10' auf die Richtung von Xb = — 1. In Folge dessen findet man den Einfluss der schrägen Last Pm:

$bb

Xb = pm

und den Einfluss einer lothx*echten Last P₅ :

Xb = P₅

Zur Ermittlung des letzteren Werthes würde die Aufzeichnung des Seilzuges II genügen.

Noch sei aus dem Zusammenfallen der Punkte 8’, 9', IO’ der Schluss gezogen, dass sämmtliche Punkte der Scheibe 8 — 9 —10 bei Eintreten des Zustandes Xb— — 1 dieselbe Verschiebung Ob8' — Ob9' — 0b10' erfahren, dass also der Drehungswinkel hab = 0 wird — eine Bedingung, an welche die Gültigkeit der Gleichungen (21) bekanntlich gebunden ist.

III. Verschiebungsplan für den Zustand Xc — — 1. Da die Verschiebung hcb, welche der Angriffspunkt c von Xc im Sinne von Xc und in Folge von Xb — — 1 erfährt, gleich Null sein soll, so muss die Richtung von Xc rechtwinklig zum Strahle 0b10' des soeben gezeichneten Verschiebungsplanes angenommen werden. Ist dies geschehen, so

werden die Gewichte Awam = ym

— ymivń (absolut genommen)

'V; Fe

d ym

bestimmt oder aber es werden — was meistens bequemer ist ■— Gewichte ermittelt, welche den Werthen ymwń proportional sind, beispielsweise die in der Figur 316 (im Kräfteplane der w) dargestellten:

ß

-— ymwj, wo ß eine beliebige runde Zahl bedeutet. Die algebraische

Wj

Summe dieser theils positiven theils negativen Gewichte muss gleich Null sein (eine sehr scharfe Zeichenprobe!). Da nämlich die Richtung von X₀ durch die Bedingung hcb = 0 bestimmt wurde, so muss nach dem Maxwellschen Satze auch = 0 sein, d. h. es muss die Verschiebung des Angriffspunktes b von Xb in der Richtung von Xb und hervorgerufen durch Xc ——1 gleich Null sein. Hieraus folgt aber: O^IO’ Xb, was nur der Fall ist, wenn die äussersten Seiten des Seilzuges III zusammenfallen.

Man erhält schliesslich für eine schräge Last Pm und eine senkrechte Last P₅ :

Xc = Pm

und Xc — Pm5

<\nC

8.. ’

wo 5CC die Projektion von 0C10' auf die Richtung von Xc bedeutet.

Die gestellte Aufgabe ist somit gelöst; und es möge nur noch daran erinnert werden, dass man die den Linienzug Ob2' d' ... . H/ bezieh. Oc2' 3' ... . IO" bestimmenden Strecken p auch in der bei Herleitung des Verschiebungsplanes für Xa = — 1 beschriebenen Weise durch Rechnung oder mit Hilfe eines gestreckten Stabzuges (Fig. 317) oder mittels eines Williotschen Planes ermitteln kann — und dass diese Abänderung des in der Fig. 316 befolgten Verfahrens zuweilen geboten ist.

Es verdient hervorgehoben zu werden, dass ganz besondere Sorgfalt auf die Bestimmung der Lage des Punktes 0 und der Richtung der Kraft Xc zu verwenden ist. Etwa hierbei begangene Zeichenfehler sind von grossem Einfluss. Will man diesen Theil der Aufgabe durch Rechnung lösen, so beachte man, dass (wegen 12 y w = 0) der Punkt 0 mit dem Schwerpunkte der Gewichte w und die Kraft Xc mit der früher benutzten Achse Ax zusammenfällt, weshalb die auf Seite 313 abgeleiteten Formeln brauchbar sind; die y dürfen hierbei zunächst lothrecht gemessen werden.

Andererseits liefern die vorstehend entwickelten Verschiebungspläne einen Beitrag zur Lehre vom Schwerpunkte und den Momenten zweiter Ordnung.

Mit Hilfe des Linienzuges 0.₂ i' 2' ... . (den man dann um 90° nach links drehen wird) vermag man den Schwerpunkt 0 einer Gruppe von Punkten zu bestimmen, welche mit den Gewichten w belastet sind und die Linienziige Ob 1' 2'

Hw'x² und 'Siv'iß benutzt werden. Man findet nämlich:

^ w'x x *    w'y$ y _

^    *    7 0C C - ^    *    7

IVI    WH

also für wi= w u = wm = 1 und ß =: 1 :

§bb — Hw' x²] SCe = Hw'y².

IV. Einfluss einer Temperaturänderung. Wir gehen von den Formeln aus:

Oo T 2'

können zur Ermittlung der Trägheitsmomente

Wl

Will

(25)

Kt

Kt

1

®bb    *cc

in welchen öa( den von der Temperaturänderung hervorgerufenen Drehungswinkel der Scheibe 8 — 9-—-10 bedeutet, während hbt und die von der gleichen Ursache herrührenden Verschiebungen des Punktes 10 im Sinne von Xh bezw. Xc sind.

Wir nehmen eine gleichmässigeErwärmung des Trägers an und machen zur Vereinfachung der Rechnung die stets zulässige Annahme, dass sich auch die Strecken 1—0 und 8—9 in demselben Maasse ausdehnen können, wie die Fachwerkstäbe. Es sind dann alle Winkeländerungen = 0 und der Stabzug 1 — 2 — 3 anfänglichen Gestalt ähnlich ist. Man erhält hat = 0, ferner, da die Verschiebungen von 10 mit denen des Punktes 8 übereinstimmen: bbt ' " &tlbi ^et    ^ t lc t

wo lb und lc die Projektionen der Strecke 8—1 auf die Richtungen von Xb und Xc bedeuten. Hiernach ergiebt sich:

Xat = 0; Xbt

Ka

8 nimmt eine Form an, welche der

&tlb

ztlc

&CC

Sollen hierein die in Fig. 316 dargestellten Strecken hbb und 5ce eingesetzt werden, so ist zu beachten, dass jene Verschiebungspläne die EFC-fachen Verschiebungen liefern, dass also die Zähler der Ausdrücke für Xbt, Xet mit EFe multiplicirt werden müssen. Weitere Umformungen sind dadurch bedingt, dass die Polweiten der Seilzüge 1I? III (welche letztere die Biegungslinien für Xb——1 und Xc — —1 vorstellen) nicht = 1 sondern = ivu bezieh. u>m sind, dass also die entsprechenden Verschiebungen noch mit Wu bezieh. Wm zu multipli-ciren sind. Schliesslich wurden die Gewichte iv" — xw und w = yw xw

durch die Gewichte

U'i

und $yw.- ersetzt; was eine weitere Mul-

IVi

tiplication mit ivi bezieh. zur Folge hat.

Man erhält daher:

Xbt =

S EFclbt

WiWnhb

und Xct =

zLFclct

iVjiVjnhcc

Von den in den Nennern erscheinenden drei Strecken (wj, wJIy hbb bezieh. wz, wni, 8CC) müssen je zwei mit dem Längenmaassstabe gemessen werden (z. B. wn und hbb ferner win und hcc) und je eine (nämlich beidemale Wj) mit dem Maassstabe, nach welchem die Gewichte iv aufgetragen worden sind. *)

Zeichnet man die Verschiebungspläne nach dem Verfahren von Williot, so fasse man die den Zuständen Xa = — 1, Xb ==— 1, Xe — — 1 entprechen-den Spannkräfte Sa, Sb, &, als Zahlen auf. Die mit EFC multiplicirten Längenänderungen

. . ^ Sa SaSa , ^ Sb Sb Sb , ^ Sc Sc ^ Sc

sind dann Längen, welche in einem geeigneten — vom Maassstabe der Zeichnung unabhängigen — Maassstabe aufgetragen werden, mit dem auch die Scc gemessen werden. Man erhält dann :

Xbt — £EFCt -z— ; Xct == iEFct ■

b    ₉ c

117. Der Kämpferdruck, dessen Zerlegung die Unbekannten Xa, Xb, Xc lieferte, ist die Mittelkraft der Spannkräfte in den drei am Widerlager angreifenden Stäben. Ersetzt man diese drei Stäbe durch drei andere, von irgend einem Schnitte tt getroffene Stäbe, Fig. 318, so gelangt man zu der folgenden Lösung, die sich von der eben beschriebenen nur unwesentlich unterscheidet und deshalb nur einer kurzen Erläuterung bedarf.

Man betrachte zunächst den links vom Schnitte tt gelegenen Theil des Bogenträgers, Fig. 319, ersetze die Spannkräfte in den durchschnittenen Stäben wieder durch ein Kräftepaar Xa und zwei Einzelkräfte Xb und Xc und stelle sich vor, es greifen Xa, Xb und Xc an einer starren Scheibe I an, welche mit den durchschnittenen Stäben durch drei in der Linie tt liegende Gelenke, von denen auch zwei zusammenfallen dürfen, befestigt ist. Diese Scheibe wird sich beim Eintreten des Belastungszustandes Xa = — 1 um einen leicht zu bestimmenden Pol (/) drehen.

Nun suche man den in der Verbindungsgeraden der

In derselben Weise verfahre man mit dem rechten Trägertheile, Fig. 320, und ermittle den Pol (II) der Scheibe II für den Zustand Xa = — 1.

Pole (I) und (II) liegenden Pol (III) von I gegen II auf und wähle diesen Punkt zum Angriffspunkte von Xb und Xc\ er spielt dieselbe Rolle wie der Punkt 0 in Fig. 315 und möge bezeichnet werden

*)' Vergl. den Schluss von No. 115, Seite 311.

Fig. 320.

Fig. 319.

Es bedeutet dann, mit den auf Seite 31 und 32 erklärten Begriffen, hba die gegenseitige Verschiebung des Punktepaares bIbII im Sinne der Belastung Xb =—1 und in Folge der Belastung Xa = —1,

8 desgleichen des Punktepaares CjCn im Sinne Xc — —1 und in Folge von Xa = — 1,

hci desgleichen des Punktepaares C/Cjj im Sinne Xc — —1 und in Folge von Xb — — 1.

Da nun der Punkt (I II) im Belastungsfalle Xa = — 1 als gemeinschaftlicher Punkt der beiden Scheiben I und II angesehen werden darf, so ist

bba — 0 und Seo = 0.

Soll auch hcb verschwinden, so muss, nach willkürlicher Annahme der

21

"m

fjjn®

X4

OQ

‘C

►e

o..

-    CD

“    »7!

SfJ

CD

- - K

CD⁵

ßj

CD

xx-e-' *

(Jrj

(J)

(IJ)

Fig. 318.

t!

7'/

(ii)

m/i/ütiäk

(JH)

-i -3

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

Richtung von Xb, die Richtung von Xc rechtwinklig zu der Geraden Ci Cn gewählt werden, wo c/ und die Endpunkte der Strecken Oc/ und Ocu sind, welche die Verschiebungen der Punkte C/ und cu für den ßelastungszustand Xb = — 1 darstellen.

Als Rechen- und Zeichenproben stehen die Bedingungen

= 0, hac — 0, bbc = 0

zur Verfügung, welche der Reihe nach aussagen: es müssen die Winkel, um welche sich die Scheiben I und II in den Belastungsfällen Xb — —1 und Xc = — 1 gegeneinander drehen, gleich Null sein, und es muss die Gerade 6/ bń mit Xb einen rechten Winkel bilden, wo &/ und bn die Endpunkte der Strecken Obi und Obn' sind, durch welche die Verschiebungen der Punkte 6/und bn für den Belastungszustand .Xc = — 1 dargestellt werden.

Wir heben noch hervor, dass

Sis

Sis

EF

Sis "

¹¹ EF

den Winkel bedeutet, um den sich die Scheibe I gegen die Scheibe II dreht. Die Summe bezieht sich hierbei auf den Trägertheil links vom Schnitte tt (wobei die linken Abschnitte der durch den Schnitt tt

EF

Y*'

\Cf

AĆW

Pff

J5 J3I

-,    •£ f-;

Fig. 321.

getheilten Stäbe mitzureehnen sind) und die Summe 2jr umfasst das Stabwerk rechts von tt\ die erste Summe ist gleich dem Drehungs^ winkel der Scheibe 1, die zweite gleich dem Drehungswinkel von II. Das Verhältnis der beiden Strecken er und en, in welche die Strecke (1) (II) durch den Pol (III) zerlegt wird, ist

; " ' /• . .'.'.V f' :’i .. •    'i f ...    - * i-    1

-.5.

SaS

Ci

EF

en

Sls

EF

In Fig. 321 ist der Schnitt tt durch einen Knotenpunkt der oberen Gurtung geführt worden. Punkt G erfahre als Punkt der Scheibe I die zum Polstrahle G (7) rechtwinklige Verschiebung und als Punkt der Scheibe II die zu G (II) rechtwinklige Verschiebung hn. Macht man dann (I) Fj = (I) G und (II) Fn — (II) G und errichtet man auf der Geraden (I) (II) in den Punkten Fz und Fn die Lothe F₁EI=hI und FirEn =hII,

so bestimmt der Schnittpunkt E der beiden Geraden (I) Ei und (II) En den Pol (III). Es ist E (III)

± CO (H).

Q-

(U

f7\x>

Fig. 322.

—-----o

Ist eine Scheitelvertikale vorhanden,

Besitzt der Träger eine Symmetrieachse tt, so halbirt der Pol (III) die Strecke (/)(//), Fig. 322. so halbire man sie durch einen längs der Achse geführten Schnitt und weise je eine Hälfte derselben jedem der beiden Trägertheile zu. Bezüglich der Einzelheiten dieser Untersuchung verweisen wir auf den zweiten Theil des folgenden Zahlenbeispiels.

I*

Fig. 323.

Fallen die beiden Kämpfer zusammen, so entsteht der Fachwerkring, Fig. 323, dessen Berechnung mithin durch die vorstehenden Betrachtungen ebenfalls erledigt ist.

21*

c. Zahlenbeispiel. Erster Theil.

118. Aufgabe. Es sollen die Einflusslinien für den in Fig. 324 dargestellten Bogenträger ermittelt werden. Spannweite und Pfeilhöhe der unteren Gurtung sind 60'"‘ und 15m, Länge der Scheitelvertikale l,5m, der Vertikale am Kämpfer 3,95“. Die Knotenpunkte 0, 1, 2, ... . beider Gurtungen liegen in Parabeln; ihre auf die Schlusslinie A B der unteren Gurtung bezogenen Ordinaten y ₀ und yu sowie die Höhen hm = y'om — yum sind, auf zwei Decimalstellen abgerundet, in der Tabelle I, Seite 326, zusammengestellt worden. Die Verkehrslast wird nur auf die Knotenpunkte 1, 3, 5, 7, 9, 9', 7', .... übertragen, sie sei gleichmässig vertheilt und p = 2,5' f. d. m. Ebenso gross sei die gleichförmig vertheilt angenommene ständige Belastung g. ²)

ZA

-<---6,0"² -    > < — -6[on'--->

___+x____

P-

<?

M'À

r²—

■r\

~T~

Mitte

Jc²=

HW

k~

i ism

<V n/v’¹

v?

I ! i ä

.j___J-----²-Z

V»

-r

Ni

.jj.

,i_

Fig. 324.

119. Die Gewichte wm sollen zunächst unter der Voraussetzung starrer Füllungsstäbe berechnet werden. Es ist dann (nach Gl. 14 auf Seite 111):

(    &0m SGC ß/;² .A Wm+1 SGC Yw-f-l)

O»« o?»

EF om

sec ßm -f

C4k + 1 M)« + l

FFu (m+l)

SGC yvnĄ-1

und, dâ O ni- ^ SGC    ^ SGC Y»w + 1

Mm

0„,

M°m

hm

hm

sec y»«+i 1

X sec³

\_Mm

o X sec ⁸Ym+i

EFu{m+\)

wo Mm das Angriffsmoment für den mten Knotenpunkt der unteren Gurtung, Mm desgl. für den miea Knotenpunkt der oberen Gurtung bedeutet.

'Wegen der grossen Pfeilhöhe wachsen die Gurtquerschnitte F₀ und Fu vom Scheitel nach dem Kämpfer ziemlich stark an, und es möge deshalb die für die Rechnung besonders bequeme Annahme gemacht werden,

Fom — Fs sec ³ ßmi F— Fs sec ³ ym+i

wo Fs den Gurtquerschnitt im Scheitel des Bogens bedeutet. Es geht dann Gleich. (1) über in

(1)

IV m —

hl,

EFom

(2)

U'm =

und nach Heben des konstanten Faktors

EFs

(3)

Wm = -p- {Mm + Mm ).

Bei Ermittlung des Einflusses der Temperaturänderung ist später daran zu denken, dass die auf Gmnd der Gleich. 3 gewonnenen Verschiebungen noch mit

—multipliciert werden müssen.

EFs

Wir wenden zur Ermittlung der Kämpferdrücke das unter a beschriebene Verfahren an, wollen aber die Ordinaten der Seillinien durch Rechnung bestimmen.

2

120. Zustand X’ — — 1. Es ist M°m=Mum = +1, mithin wm = wofür

in'    — —-

hm

gesetzt werden darf. Nach Berechnung der Momente M’ eines mit den Gewichten xv m belasteten Balkens von der Stützweite l = 60m Fig. 305 c erhält man

(4)

(5)

x’ -----

M’

Sb

Die Berechnung der M’ erfolgt am schnellsten nach dem auf Seite 201 beschriebenen Verfahren mit Hilfe der Querkräfte Q'm = Ç'm+i -f- iv',„ nach der

^ m — m—i _|_ g,,* uncj |s|. jn qel. Tabelle I übersichtlich zusammengestellt worden. X' wurde nur für die Knotenpunkte 1, 3, 5, 7, 9 ausgerechnet, da es im vorliegenden Falle zulässig ist, auch die ständige Belastung ausschliesslich auf diese Knotenpunkte zu vertheilen.

Formel

121. Zustand X" = — 1. Es ist M°m = Mm = 1 • ccm. mithin xv"m

2 Xm

hl ¹

wofür

(6)

iv'm =

OCm

hin

gesetzt werden darf. Für die linke Trägerhälfte sind die w" positiv, für die rechte negativ. Für einen mit den w" belasteten einfachen Balken von der Stützweite l (Fig. 305e) ergiebt sich im vorhegenden Falle, wegen der symmetrischen Trägerform, in der Mitte das Moment M" — 0. Es darf deshalb die M"- Linie der einen Trägerhälfte auch als Momentenlinie eines Balkens von der

CO

CM

OO

b

l 1 T X" 1

0,950    0,99374    0,00626

0,850    0,957    0,043

)Ö,750    ‘ 0,879    0,121

:

|0,650    0,756    0,244

0,550    0,591    0,409,

Ag - Bg

Ai = Bi

u. s. w.

M"

\x"

2 x w" M"

2 • 47,89 X²

0,04374

0,107

0,129

0,106

0,041

M"

iiifolge

- - p p pp p pp

OiGONCOiO^cOOQHO QOO^iOOOH W HN TH-co^oq_coco^oo^TH -th os -d* is* cT h cd' *"

O CO ■

■H tH

Q"

©p''

infolge

05 05 00 CO

tH

xH CO

+ 2,589

+ 1,609

4- 0,529

0,571

1,691

2,711

3,491

— 3,921

Balken von der

Stützweite 11

Tabelle I.

'S.w

M'

2 • 2,45

X'

1,46327

4,224

6,637

8,498

9,533

§>

-s 's

.s

*< P. ; r ; ; ; ; r ; OiOOCD^OCOtMNOi COb-OjOiCOiOCOQiOO

Cq^^crTcO^Ô'cd'cd^fiO'in'

b* «2 b

•S

O5HO0COCÛÛO^»O(M CO co W O 00 -<D CO O co (M

W <M IM (M H rH -H -H (O O*

Balken von ck Stützweite l

X²m

~hl

6,00 X2 6,48 „ 7,04 „ 6,86 „

6.48    „ 5,50 „

4.48    „ 3,06 „ 1,56 „ 0,43 „

47,89 X²

Xm

⁷ hl

0,60 X 0,72 „ 0,88 „ 0,98 „ 1,08 „

1,10

1,12 „ 1,02 „

0,78

0,43 „

u0

w i₀ eingetragen worden.

w’o = (4,789 — 0,60) X = 4,189 X.

Xm

OOGONCOiO^COlMHO

von

¹ ai

(M GO Q CO Si vO (M (N CO CO (M

CO 00 H 00

O 0_ tH ¹ xH

ddddd'odö'odd cd

*o oq

»OCONOûOriOPMOWO _Ç* 05^ ^ O CO_ tH 00 N CO O iO ^

co co co cq cq oq th th th th t-h

SÂ>

v5s>

ocoNiooooasot-o œ co'f co    co in

co^cootroT-Tcô^-^rio'coco'co'

___r^Hr-THrii-lTH th

oiooiooinoiooio O » -^CD CO (M co CO rj( co

croiicfiPcrT-rofcA-^-AkO

x) Es ist nur die Hälfte 47,89 X²

; Qi" = A"

10 X

²) A" =

Tabelle II.

M'" : X

2 • 58,536 : X — 39,024 X~

M'"

0,0338 — Hy

0,204 — II₃

0,487 = //₅

0,797 -=fy

1,002 = Z/y

x-^-^ooiMcoco^œc«

IMI>®ffllOO)l>NOOt-

ot^o œ œ o co

O H x" rf cą Ö O N co" -H

58,536

M'"

<r

hm Cu

0/ « + y o)

?/« + y'ol

Vl

Ul

NMwœœoœcoffi® ^ co œ œ o_o) oj o_œ o œ r< "co oo io -h o œ a> £

H H (M CO CO' co CO £3

OtfOCOOtOiOHNTf

n®o!-hoooî®w®

COœffiWffiNXXrHX

T-To<rcô'»irrio^«^io''^cô'ô^

—    1,322

—    1,344

—    1,332

—    1,117 0,792

—    0,301 + 0,311 + 1,034 + 1,724 + 2,253 + 0,884»)

^CÛM^HNOOOtHCO

o_cû io o q^co lo co o co Or«^ofiHOTH©fc<5CO

0i^C5-^.05^0iCDT-iîD-H O^tH iOCOCOt>COCO^OOO 0-1 O t'» O CO rH o <0 T—i iH 0-1

tH -rH

MU I++++

O'ft'OilOJNOOOtOO N^ioo^TfincDtc-mo COCOlNIMXrtÛOCDlOIMO C<1_ lO_ 00 ^ lO 00 OO rt «5

o o t-T oT co' io i>T cT t-T co" co

OCONOOOHOłWOWO OHCOOOCDOO^tMO co oT có oT th t?no'6'h6' HHOQ(M(NC1COCOCO

CT^

COGO-H^iOOlMOO^ałCOW

OOHr-H(M(MCOCO^lM

oö'oooooooö'o

OrNCO^»O.^^OOfl50

OQ

63,6483

Summe —

; die ändere Hälfte gehört zur rechten Trägerhälfte.

*) 0,22 ist die Hälfte von —

²) 2/„.i₀ = 2* 15,0 = 30,0.

») 2 ya • 0,22 = 2 • 2,01 • 0,22 = 0,884. ⁴) 2 yi • 0,22 — 1,778.

h\o ’

Stützweite \ l aufgefasst werden. Der Stützenwiderstand A" ist dann

h l „

S w x

A"

und die Querkraft für das Feld 01

U'o'-

Aus den Momenten M" findet man

(7)

X" =

M"

M"

S w" x

xl

hl

Die Tabelle I enthält die Ausrechnung der AVerthe X" und die aus ihnen folgenden lothrechten Seitenkräfte der Kämpferdrücke fiirP— 1, nämlich (vergl. Seite 303)

(8)

A = 1 y + X" und B = 1 — A.

Für die rechte Trägerhälfte erhält man dieselben AVerthe X", nur sind dieselben negativ.    *

122. Zustand X' —— 1. Bezeichnen y₀ und yu die Ordinaten der Gurt-knoten in Bezug auf eine mit X’" zusammenfallende x-Achse, so ist Ml = 1 • yu und M°m = 1 • y₀ und

(9)

= jr (y- + y»).

Die neue x-Achse muss so bestimmt werden, dass 2ivm"’ = 0 wird; ihr Abstand cu von der Schlusslinie AB der unteren Gurtung ist

(10)

Cu

hl ,    ,    1

S(y«+y<0-*

hl

hl

Die Untersuchung des Zustandes X'" — — 1 ist in Tabelle II durchgeführt worden. Aus der Summe der Glieder der dritten Spalte und der vorhin ge-

= 2,45 ergiebt sich cu —

fundenen Summe 2

63,6488

2 • 2,45

Summe der auf Grund dieses AVerthes berechneten Gewichte w"',

0 hl

= 12,99”*, und die

Sm>'" = — 6,208 + 6,206,

weicht nur unwesentlich von Null ab.

Aus den Momenten M"' ergeben sich für den Horizontalschub die AVerthe

M'"

(ID

H=X"' =

M"'

2S (yi + y!)

2 • 58,536

hl

M'"

M'”

2 • 58.536

X 39,024

3,0

123. Berechnung der Lage der Kämpferdrücke. Um die Kämpferdrücke möglichst genau aufzeichnen zu können, empfiehlt es sich, die Oidinate yi-

der Kämpferdrucklinie und die Schnittpunkte der Kämpferdrücke mit der rr-Achse durch Rechnung zu bestimmen. Mit den aus der Fig. 325 ersichtlichen Bezeichnungen findet man

(12)

Hy*

Hy*

Das Angriffsmoment für den Punkt 0 ist, nach Gleich. (3), Seite 298 (wegen xm — 0 und ym = 0) :

Mo = andrerseits ist aber auch

Mo = Bq"

mithin ergiebt sich (für P=l)

(13)

Nun ist

y*— (« + 2") H

folglich

Pa l l ' 2

(14)

Hyk — Be + — a

X',

■?j

i

k—Jp' —x—

ł*-*'-*

TV-'

5^

A____.s

e'

ii x

—*___

Fig. 325.

und für die Knotenpunkte 1, 3, 5, 7, 9 der Reihe nach

Hyk = 0,00626 • 27    +    1,5 —    1,46327 = 0,20575

= 0,043    -21    +    4,5 —    4,224    = 1,179

= 0,121    -15    +    7.5 —    6,637    = 2,678

= 0,244    • 9    +    10,5 —    8,498    =4,198

= 0.409    • 3    +    13,5 —    9.533    =5,194.

f.---^--->

.1

CO

Zweiter...Abschnitt, — § 11.

Aus. diesen Werthen ergeben sich für m = 1

die Strecken

= 6,09“    5,78’”    5,50m    5,26’”    5,18“

= 0,21”»    1,23”*    3,05“    5,55’”    8,79“

e" = 32,87”’    27,42“    22,13“    17,20“    12,70“.

In Fig. 326 auf Tafel 6 sind die Kämpferdrücke dargestellt worden.

yk

e

124. Beziehungen zwischen den Spannkräften U, 0, D, V und den Momenten HF⁰, Fig. 327. Durch die Angriffsmomente M° für die Knotenpunkte der oberen Gurtung sind die Spannkräfte U ohne weiteres bestimmt; es empfiehlt sich, die Einflusslinien für die wagerechten Seitenkräfte

M°m

(15)

UmĄ-1 COS Ym-fl ~~f

Tim

aufzutragen. Für die obere Gurtung erhält man dann

(16)

Om COS ßm

Diese Gleichung gilt auch für O₁₀.

Om cos ßm — — Um+i cos ym + i — H Mm

Tim

H.

m-f

"f "

m-

(L

vm

hl-,

K-i

Ki-,

Ł-,

JL

IAA

i.

m,+i

-ÿ—

-^17 cos

Vl+1 7tt+1

7/1-7

£l.

V cos Y*

■Tri m

Fig. 328.

Fig. 327.

Die Spannkräfte Dm sind bestimmt durch

(17)

Dm COS (pm

Mm Mm

-1

Tim

Tim—1

und die Spannkräfte V (mit Ausnahme von V₀ und V₁ 0) durch

, , o hm—1

Mm—rr--

Tim

(18)

I m km - Mm—1

Zu dieser Formel, die wir früher nur für senkrechte äussere Kräfte hergeleitet haben, gelangt man am schnellsten durch Betrachtung des Gleichgewichts der am unteren, unbelasteten Knotenpunkte m angreifenden Kräfte. Zerlegt man Um +i und Um nach Fig. 328 in ihre wagerechten und senkrechten Seitenkräfte

1 zum Drehpunkt, so findet man

m —1

und wählt man den oberen Knotenpunkt m

Fmk —- Um COS ym ‘ hm—1 ' Um-\-A COS Ym+1 Tl

lind aus dieser Gleichung findet man mit Hilfe der Formel 15 sofort die Gleichung 18.³)

Die Berechnung der Strecken h'm—i gestaltet sich besonders einfach, da die Knotenpunkte der unteren Gurtung in einer Parabel vom Pfeile f — 15,0” liegen. Es ist nämlich

8 f\

tg y»> — tg Ym+1 = Konstante —

mithin

h’m

- hlm—1    k (tg Ym    tg Y»³+l) hm—1

(19)    h'm—\ — hm-\ Ür0,30.

8Ą²

— Ilml 20²

Man erhält für m — 1

Km-\ = 3,65 = 1,05

h'm

hm

3,18 2,77 1,04 1,03

S o

cP t2

o to o< 'ĆD 'o co oo

1,81

0,96

t- :r-T Ö

CO Qx tO CO

O ^ GO ~GO 4^

CO to

1,30”‘

0,86

Die Spannkraft in der Scheitelvertikale ergiebt sich, da der obere Knotenpunkt 10 unbelastet ist, ohne weiteres aus O₁₀ (Fig. 330), und für die Spannkraft V₀ finden wir ' durch Untersuchung des Gleichgewichts am oberen, unbe-

an, so

*) Greifen die Lasten in den Knotenpunkten der unteren Gurtung betrachte man den Gleichgewichtszustand der am oberen Knotenpunkte rn an-

%<°mro«Ąv

I

0,n+/

°,n

n+-1

Hm

/rb.

.J.

'Owv‘/ ----

Ä)n+7 —^

Fig. 329.

greifenden Kräfte. Man findet dann aus der Momentengleichung für den unteren Knotenpunkt (m -)- l) (Fig. 329)

Om COS [1 m h m-1-1

Vm^m + l — Om +1 COS ßi«+l ³ h,„ +1

(18 a)

und, da Om cos ßm

Mm

/i OT

ist,

rm\m+l = - Mm+1 + Mm

« ll'm

hm

lasteten Knotenpunkte 0 nach Fig. 331 die Gleichung

V₀ Xx -f- O₀ cos ß₀ • Tc -j- Z>! cos 9X •    = 0

V₀ Xj = — 0,095 O₀ cos ß₀ — 3,48 Zh cos 9,.

(20)

±0«

ZA

Vjr

o

^D, cavf'

K---X,----->

Fig. 330.

Fig. 331.

135. Einflusslinien für die Momente M°. Bedeutet r\ den in senkrechter Richtung gemessenen Abstand eines Knotenpunktes m von dem zu einer Last 1 gehörigen Mittelkraftspolygon (Fig. 325), so ist der Einfluss dieser Last 1 auf das Angriffsmoment Mm nach Seite 298

Mm — Hr\\

es ist positiv oder negativ, je nachdem m unterhalb oder oberhalb des Mittelkraftspolygons liegt. Auf diese "Weise kann man die Einflüsse der in den Knotenpunkten 1, 3, 5 . . . angreifenden Lasten 1 auf sämmtliche Angriffsmomente M°m schnell ermitteln. Auch die Anwendung der Formeln

Mm — Bx" -—Hijm (für die Knotenpunkte rechts von der Last)

Mm — Ax' — Hym (für die Knotenpunkte links von der Last)

führt bei gleichen Feldweiten sehr schnell zum] Ziele, weil sich die Werthe Bx" und Ax' von Knotenpunkt zu Knotenpunkt um die konstanten Beträge Bl und A l ändern. Die Ergebnisse der Rechnung sind für alle Momente M° in der Tabelle III zusammengestellt worden. Die Tabellen IV, V, VI und VII enthalten die mittels der Formeln 15 bis 20 berechneten Ordinaten der Einflusslinien für die Ucos y, 0 cos ß, D cos 9 und VI.

und

co

V-

+ 0,154 + 0,093 + 0,039 — 0,006

—    0,042

—    0,070

—    0,089

—    0,100

—    0,103 0,096

—    0,082

Vh

+ 0,830 + 0,474 + 0,166 0,088

—    0,292

—    0,444

—    0,546

—    0,597

—    0,596

—    0,543

—    0,440

co

+ 0,210    + 0,039

+ 0,136    + 0,027

+ 0,054    + 0,013

—    0,033    — 0,002

—    0,123    —0,018

—    0,210    —0,033

—    0,289    — 0,047

—    0,058

—    0,064

—    0,063

—    0,055

—    0,347

—    0,373

—    0,357

—    0,293

+ 1,635 + 0,839 + 0,160

-    0,392

-    0,823

—    1,132 2,122 | —1,320

-    1,385 —1,329

-    1,146

—    0,846

lo

+ 0,414 + 0,241 + 0,052

—    0,145

—    0,346

—    0,536

—    0,698

—    0,805

—    0,831

—    0,754

—    0,564

+ 1,887 + 0,722 0,252 1,018

—    1,585

—    1,953

—    2,091

—    1,861

—    1,424

—    0,795

v.

+ 0,478 + 0,207 — 0,082

—    0,377

—    0,666

—    0,926 —1,123 —1,216 —1,163

—    0,937

—    0,530

ocooNooaî^oiîON©

OOWNCOCO^OiO^iO

ö'©-rHTH'c4'c<rc<r(>f'rH'©cr

0*1

_03

—    1,705

—    2,317 2,688 2.799

—    2,659

—    2,269

—    1,628 - 0,737 + 0,405 + 1,807 + 0,450

U,n+1 COS Ym -f 1 ■

0,432 I +0,191 — 0,116

—    0,430

—    0,732

—    1,001

—    1,203

—    1,293 — 0,428 I —1,220 + 0,253 I - 0,939 + 1,189

+ 0,300 I +0,300

— 0,666

—    0,876

—    1,037

—    1,117

—    1,075

—    0,861

0,426

j4

ł-H

—    4,473

—    4,102

—    3,540

—    2,770

—    1,801

—    0.633 + 0,734 + 2.301 + 1,067 + 0,040

—    0,755

iY.

hm

(NOiCO0l>OOOOONCßO CONkONiOOOOCOCOWCC r-^ t-^ ©^ t>^ CO CO CO CO O iO th T—t tH -h O O O th O O O

I++++I

iO

6,105

—    4,627

—    3,032

—    1,310 + 0,533 + 2,498 + 1,585 + 0,793 + 0,123

—    0,420

—    0,846

iO

—    1,546

—    1.330

—    0,988

—    0,485 4- 0,224 + 1,184 + 0,839 4- 0,461 + 0,077

—    0,276

—    0,564

co

—    5,590

—    3,204

—    0,770 + 1,718 + 1,256 + 0,846 + 0,486 + 0,177

—    0,080

—    0,285

—    0,440

co

—    1,415

—    0,921

—    0,251 + 0,636 + 0,528 + 0,401 + 0,257 + 0,103

—    0,050

—    0,187

—    0,293.

OhON^OOHCONOKM NCO^lOOOHCDHWłOCO ^ ^ CO h h o o O ojcTocTcT cT cT cT cT © o'

I+++++++I

-0,625 + 0,124 + 0,111 + 0,095 + 0,077 + 0,056 + 0,032 + 0,008

—    0,017

—    0,039

—    0,055

coOHOnoNcyciocœci'CïcflJOH

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

©*-t ww^iotot*®o2

0O0’"0f>6M0*il0“)0<C0t,8®8®C-'

Last in 1

.3

Oq cos ßo +0,59 —J—1.21 0, cos ßi —0,16 +-0,72 0, cos ß, —0,14+0,05 0₃ cös ß₃ —0,13—0,84 0₄ cosß₄ —0,11—0,73 O₅cosß₅ —0,09-0,60 O₀ cos 0₆ —0,07 —0.46 Or, cos ß₇ —0,04 —0,31 0₈ cos ß₈ —0,02 — 0,15 Og cosß₉ +0,00 — 0,02 O₁₀ cosßio +-0,02 -+0,09

Last m -1

co

V. Om COS ß„,

+ 1,06+0,34 + 0,84+0,38 + 0,50+0,36

—    0.00+0,23

—    0,71 —0,04 —1,67—0,50 -1,33'—1,19

—    0,95—2,13

—    0,56—1,46

—    0,21 —0,82 + 0,08—0.27

YI. Dm'Cos <pm

-*1

+++

t-~ co oo co

lO^CO tHOt-,OtHiOC<I-i—ICO

ooocToooô 4 d ri

Ml

H.

9'

5'

3'    1'

I ;1 +++ ! il

■H«« c-î on S So oom t-7 cl c? o~ obo o 6 o o" w

1,27

— 1,00

0,72

0,42

0,13

+ 0,13 + 0,33 + 0,42 + 0,37 + 0,14 — 0,27

p O O O oppo    O p>

Q co CO CO to O M- CO 4+j +o 00 -<1 +■ LO r-*- CA ^    ^ OJ o

H^0NOOHGO + l>lOCi ^ CO OQt-hOOOtH-t-Ht-hO

<D 6 o" o' o" o" O o" O o" d'

0,07

-0,06

0,05

— 0,03

-—0,02

0,00

+ 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,03 + 0.02

Ml Ml

km

co

hm — l

co

M-

Di cos cp, -|— 0,75j—f— 0,49 +-0,22 Z>.₂coscp₃ —0,01 D₃coscp₃ —0,02 Z)₄ cos 94 — 0,02 D₆cos9₅ —0,02 I)₆ cos ça —0,02 X>₇cos9₇ —0,02 Ds cos 9₈ —0,02 i>9 cos-9₉ — 0,02 X>₁₀cos9₁₀ — 0,02

+ 0,67 +0,34 + 0,89 +0,50 -0,11 +0,71 -0,13+0,96 -0,14 -0,35

—    0,15 —0,38

—    0,15 - 0,38

—    0,14 -s* 0.35

—    0,11 —0,29

—    0.05 —0,23 —0,31 —0,27 —0,17 + 0,08 — 0,21 -0,31 —0.29 —0,19 + 0,13 - 0,16 - 0,30 —0,30 —0,20 + 0,27 - 0,08 — 0,27 - 0,29 — 0,20 + 0,46 + 0,04 —0,20 — 0,26 —0,19 + 0,69+0,21 — 0,09 —0,20 —0,16 + 0,95+0,43+0,07 -0,09—0,11

—    0,67 +0,68 + 0,28 +0,051 — 0,03

—    0,64+0,94 + 0,51 +0,23i+0,08

—    0,56 — 0,89 +0,73 +0,41 + 0,19

—    0,07 - 0,04

-    0,08 —0,01

—    0,09 —0,01 -0,09 —0,02 -0,09 —0,02

—    0,08 —0,01 — 0,06—0,01 — 0,03—0,01 +- 0,02 ! —|—0.00 +0.06+0,01

VII. Vml.

Last in

CO

9'

r y 5' • b'

1'

- 2,66 — 2,92 + 0,08 +0,07 + 0,07 + 0,07 • 1 + 0,06 ' +0,05

0,85j—j— 0,13

—    1,38 + 1,35

—    1,83

—    2,23 -2,40 —2,54 + 0,45 + 0,42 + 0,38 + 0,32

+ 0,04+0,25 J —J— 0,02 +0,16 +0,48 + 1,03

—1,25 —1,47-—1,68 —1,85 — 1,94 + 0,98 + 0,85 + 0,68

+ 0,87 + 0,73 + 0,48 + 0,19

-0,11

—    0,41

—    0,71 —0,19

—    0.95    0.51

—    1,10—0,76

—    1,15 —0,95

+ 1,18+1,06 —j— 1.18 —j— 1.1-3 + 0,97 + 0,72 + 0,43 + 0,13

+ 0,69 + 0,75 + 0.98+0,67 + 0,80+0,56 + 0,58+0,44 + 0,35+0,30 + 0,08 +0,13

—    0,20—0,05

—    0,43—0,20

—    0,64—0,34

+ 0,30+0,05 + 0,33+0,06 +0,30 + 0,05 ■+0,26 +0,04 + 0,21 +0,04 + 0,15+0.03 + 0,08+0,02 — 0,00+0,00 -0.07—0,01

0,09

0,02

¹

Es wird sich später zeigen, dass die Richtung von Xc mit der Richtung der Achse Ax in Fig. 305 zusammenfällt. Wäre die wagerechte Projektion von Xc (d. i. H) als statisch nicht bestimmbare Grösse eingeführt worden, so würde die Uebereinstimmung der Aa'" mit den früheren w” eine vollständige sein.

²

Diese Annahme machen wir hier der Einfachheit wegen. Bei einer Bogen bräche mit grösserer Pfeilhöhe wächst g nach dem Kämpfer hin.

³

o cos/3 -U-/r-rn-n r/i //

126. Einfluss einer Temperaturänderung. Aendert sich die dem spannungslosen Anfangszustande entsprechende Temperatur um t°, so entsteht nach

No. 115    ■ :T-f '    r

(21)

X" = 0, X’ angenähert = 0.

^ ist derselbe, der auf Seite 325

Der im Nenner von Xi" stehende Faktor

beim Uebergang von Gleich. 2 zur Gleich. 3 gehoben worden war. Für V" darf l = 60”¹ gesetzt werden. Es entsteht dann, mit zE = 250 t/qm für Flusseisen,

zE ¹ Fst

(22)

250 -20 Fst

S ^(|Æ + y!)

2-58,536

— 42,7 Fsi,

wo Fs den—Gurtquerschnitt im-Scheitel der Brücke- bedeutet.¹) In der Regel genügt es, mit £ = + 35°C. zu rechnen. Dies würde Ht = + 1500 Fs liefern. Wir wollen aber, da der Einfluss der Füllungsglieder diesen Werth erheblich verkleinert, nur    ......

Ilt = ± 1400 Fs

annehmen. Die Berechnung- von Fs soll mit Hilfe der auf Seite 185 abgeleiteten Näherungsformeln (4) erfolgen.

Die Summe der positiven Ordinaten der Einflusslinie für O₁₀ cos ß₁₀ ist 22 = 2 (0,02 + 0,09 -f 0,08) = 0,38

die Summe der negativen Ordinaten

2 = 2(0,27 + 1,30) = 3,14.

Die Knotenlast setzt sich zusammen aus der ständigen Last 2,5 ■ 6,0 = 15¹ und der ebenso grossen Yerkehrslast 15¹. Der grösste Druck O₁₀ ist, wegen sec ß₁₀ = 1,00, minO₁₀ =— 30 - 3,14 + 15 • 0,38 = — 88,5¹; maxO < minO.

Der Einflüss von IIt auf O₁₀ ist

O,o=    L = ±

1400-2,01 Fs .

^10

Wird eine Beanspruchung von a sich Fs aus der Gleichung

± 1880 Fs-

950 kg/qcin = 9500 t/qm gestattet, so ergiebt

1,5

88,5 + 1880 Fs = 9500 Fs-

Man erhält Fa — 0,0116 qm.

Ganz ebenso findet man für Ul0 cos Yio = Ho die Werthe 2=1,22, 2=3,04

c:

j minUJ0 = — 30 • 3.04 + 15 • 1,22

Ht - y₀

hÿ

= — 73

M00 • 3,38 F" .. — jg

1,52

3110 Fs.

•:!

Aus der Gleichung

73 -j- 3110 Fs = 9500 Fs

folgt Fs = 0,0114 qm. Der mittlere Gurtquerschnitt beträgt also im Scheitel rund Fs — 0,012 qm und es darf daher mit

Ht — ± 1400 • 0,012 = 17*

gerechnet werden. Dieser Horizontalschub erzeugt die folgenden Momente M° = — Ht - y0 für Knotenpunkt 0

M° = ± 153,68; ±113.22; + 76,84; ±44,88; ±17,17^

für

10

M° = +    6,29;+ 25,50; +40,46; +51,17; +57,46; +59,67 tm

und aus diesen Momenten ergeben sich mit Hilfe der Formeln 15 bis 19 die in Tabelle VIII zusammengestellten Spannkräfte in Tonnen.

VIII. Einfluss der Temperaturänderung.

m ± Um cos y».    + Om cos ßm

± Dm COS 9m

± Vml

56 *

50

42

34

oo oo oi

24

14

0^0

rH

15

21

23

HOOtON

127. Querschnittsberechnung. Es genügt hier, die Berechnung eines Stabquerschnittes zu besprechen. Wir wählen die Diagonale D₀. Die Einflusslinie für D₆ cos <p₆ liefert 2 = 0,90, 2 = 1,05. Es ergiebt sich also einschliess-

lieh des Einflusses der Temperaturänderung

ml„D₆ cos 9₆ = — 30 • 1,05 + 15 • 0,90 — 10 = — 28*, mi„D₆ = — 28 sec cp₆ — — 28 • 1,03 —

Ds ist kleiner als mmZ)₆. Das erforderliche Trägheitsmoment des Querschnitts ist bei 5-fâcher Knicksicherheit nach der Euler’sehen Formel

max

Jt

c/rF

29 t

Jmin = 2,5 Del² cm⁴,

Fig. 332.

wo d die Länge der Diagonale in Metern bedeutet. Man erhält

Jmin = 2,5 • 29 • 9,58 = 695 cm⁴.

Zwei gleichschenldige Winkeleisen von den Abmessungen 12-1,1 cm, Fig. 332, besitzen Jmin = 2 • 340 = 680, genügen also. Der Querschnittsinhalt ist F— 2 • 25,4 = 50,8 qcm und die Beanspruchung

29

50,8

= 0,57 t/qcm = 570 kg/qcm.

Die anf diesem Wege gewonnenen Querschnitte sind in der Tabelle IX zusammengestellt worden unter Beifügung der Werthe

Stablänge in cm Querschnittsinhalt in qcm

Die Stablängen sind für die Gurtungen, Diagonalen und Vertikalen mit o, u. d, h bezeichnet wmrden.

«O ! Mû

HK

10.1,0

■3 t. 1,0

em-

3t.l,o

cm

16.1,0

' 13.13.1,3-

7.1. l-î. /,a

Fig. 333.

Fig. 334.

Fig. 335.

IX. Querschnitte.

a) Gurtungen.

4 Winkeleisen 13-1,2

1    Platte 34-1,1

2    Platten 16-1,1 Fig. 333

193)259 1,3 193 383 2,0

1 4 Winkeleisen 13-1,2 2 Platten 34 • 1,0 > 4    „    16-l,0Fig. 334

252 414 252:394

CO CO

0₂ j 4 Winkeleisen 13-1,4 13 • 1,2 13 • 1,2 13 • 1,2 13-1,2 13 • 1,2 13 • 1,2 13 • 1,4 13 • 1,2

139 369

2,6

0₃

Os

O io

Ao

11

11

120

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

TI

120

354

120

342

330

120 321 120 312 120,307 1391302

2 Winkeleisen 12 • 1,1 45 12-1,1 45 12-1,1 45 12-1,1 45 12-1,1 45

12- 1,1 45

13- 1,2 54 13-1,2 54

13- 1,2 54

14- 1.3 63

ii

ii

ii

3,0

2,8

2,8

2,7

2,6

2,6

2,2

4 Winkeieisen 13-1,2

1    Platte 34-1,0

2    Platten 16 • 1,0 Fig. 3 3 5

jj₅ 4 Winkeleisen 13 • 1,4

A „

A „

A „

A „

Ao 11

CO

CD

11

11

11

11

13 • 1,4 13-1,4 13 • 1,4 13 • 1,4 13 • 1,2

186 375 2.0 186 358 1,9

139

139

342

139

329

318

139

309

139

303

120 300

S⁴

JA tO J\D tO JO I O

320

314

311

310

ii

ii

ii

310

310

ii

ii

312

ii

ii

ii

ii

315

321

CO 04 tH T—ł tH t—I 04 04 CO t>-

v₄

Ao

2 Winkeleisen

11

11

11

11

ii

ii

ii

11

11

11

11

ii

ii

ii

ii

lOiOCOCO

tH tH tH tH

81

81

60

60

11 •

11 •

CJT 'qt 'qi qx

395 4,9 348 4.3 307 5,1 270 4,5 238 5,6 211 5,0 189 5,1 172 4,6 160 5,3 152 5,0 150 5,0

d. Zahlenbeispiel, zweiter Theil.

128. Im Anschluss an die vorstehende Querschnittsberechnung stellen wir uns jetzt die Aufgabe, die Kämpferdrücke mit Berücksichtigung der Längenänderungen sämmtlicher Stäbe zu berechnen. Als statisch unbestimmte Grössen sollen die auf den Scheitelquerschnitt’ des Bogens wirkenden X«, X& und Xc eingeführt werden, Fig. 336, vergl. auch Fig. 318 bis 320. Da ein symmetrischer Träger vorliegt, so nehmen wir Xi, senkrecht und Xe wagerecht an.

---£

_____c

k---a —-pj

| (I) i xc

BT

-----o

(P>

'<1

mm\

u4l

(v)

\B'

J)

(c)

-B"

Fig. 336.

Die Gewichte w sind nach der Formel

T— \om sec ßm -J- kum+i sec Ym+i + Aclm sec cpm— Adm+i sec <pm+i

-)- A hm +1

zu berechnen, mit Ausnahme von ivc²) und w1Q. für welche man die "Werthe

(23) Wrn =

htn

A Tim

h'm

'Tm

'Tm -f-1

(24)

A Tiq

und

(25)

\ «ho — T~ [— A Oio sec ß₁₀ + A d₁₀ sec <p₁₀ — A h₁₀ tg <p₁₀]

Äio

erhält, \ wUi ist das auf eine Bogenhälfte entfallende Gewicht des Knotenpunktes 10. Bei der Berechnung von w₀ denke man die Stützpunkte C und A in Fig. 337 durch einen starren Stab verbunden, der die Rolle einer Diagonale spielt. Der für alle Stäbe gleich grosse Elasticitätsmodul E darf = 1 gesetzt werden.

Fig. 337.

129. Zustand Xa = — 1. Die Tabelle X enthält die durch die Momente M° — — 1 bestimmten und mit Hilfe der Gleichungen 15 bis 18 auf Seite. 330 berechneten Spannkräfte sowie alle zur Berechnung der Gewichte iva erforderlichen AYerthe.

Tabelle X.

Fig. 337.

Oa

A 0(i - Sa -r

Oa A Oa

sec ß Aosecß

Obere Gurtung

0    + 0,329

1    i +0,367

2    ¹ + 0,401

3    + 0,437

4    + 0,479 + 0,521 + 0,566

7    +0,604

+ 0,638 9    + 0.665

10    +0,667

CO O CO O 00 00    CO 04

h    C<f <of

+ 0,43 + 0,73 + 1,04 + 1,31 + 1.34 + 1,46 + 1,53 + 1,57 + 1,66 + 1,46 + 1,67

Summe :

+ 0,141 + 0.268 + 0,417 + 0,572 + 0,642 + 0,761 + 0,866 + 0,948 + 1,059 + 0,971 f 1,114

1,30    + 0,56

1,28    + 0,93

1,01

7,759

Summe :

15,56

22*

Au

Uu

UAu

sec y

Au sec y

untere Gurtung

O!D00-0O)O,|^03N)K

1,6

1,6

2,0

1,9

2,5

2,4

2,3

2,2

2,2

2,5

+ 0,195 + 0,226 + 0,330 + 0,370 + 0,575 + 0,651 + 0,724 + 0,789 + 0,877

-j- 1,086

1,38

1,31

1,25

1,19

1,14

1,10

1,06

1,03

1,01

1,00

Summe :

5,823

DAd

sec cp J A d sec cp

Diagonalen

ssssllllil

oooooodd do

0,24

0,19

— 0,05

+ 0,009 + 0,010 + 0,013 +- 0,016 + 0,019 + 0,020 + 0,015

—j— 0,011

+ 0,007

+ 0,000

1,07

1,05

1,04

1,03

1,03

1,03

1,04

1,05

1,07

1,10

0,25

— 0,26

0,25

0,20

— 0,05

Summe :

+ 0,120

Fm

hm \

A hm-

Fm A hm

h m—1    . ₇

—-! Ahm

hm —1 hm —1

. ₇ hm—X

Ahm —r—

Vertikalen

+++++I MIM

O CD (M C) CO tH t—I o o o o o

popppp p pp p p

g g § S 2

CO CO CO O*

^    JLT’ ^    ^

UJ O CO Ci H-J- ~0    'o* 'h* "co 'co

'S—

cp

thOOOOOO^Sn^ S ddo dd dd ddd o c

+ 0,006 + 0,001 + 0,001 4- 0,000 + 0,000 + 0,000 + 0,001 + 0,003 + 0,008 + 0,012 + 0,008

+ 0,040

2,10*)

1,22

1,06

0,92

0,80

0,69

0,60

0,53

0,47

0,43

+ 0,36 + 0,08 + 0,06 + 0,04 + 0,01 — 0,02

1,32    + 0,09

1,16    +0,07

1,02    +0,04

0,90    + 0,02

0,79    — 0,02

0,70    — 0,05

0,63    — 0,07

0,57    —0,11

0,53    —0,13

0,51 | —0,13

*)

Ko _ 2,30

+ tg Yl = 1,15 + 0,95 = 2,10.

X₀ 2,0

**) Es ist nur die halbe Scheitelvertikale in Kechuung gestellt worden.

Die Gewichte wa für den Zustand Xa = — 1 sind nun 0,17 2,00

= + 0,08 (nach Gleich. 24)

~ (— 0,56 — 0,77 — 0,00 + 0,25 — 0,36 + 0,09) = - 0,34

WCa —

3,95

wla

Wg a

(— 0,93 — 0,79 — 0,25 + 0,26 — 0,08 + 0,07) = — 0,49 (— 1,28 — 1,01 — 0,26 + 0,29 — 0,06 + 0,04) = — 0,74 (— 1,55 — 1,00 — 0,29 + 0,32 — 0,04 + 0,02) = — 0.94

3,48

3,07

2.70

IV 4 a

tt’na

(— 1,53 — 1,37 — 0,32 + 0,35 — 0,01 — 0,02) — — 1,22 77- (— 1,61 — 1,38 — 0,35 + 0,36 + 0,02 — 0,05) = — 1,43

2,38

2,11

(— 1.64 — 1,37 — 0,36 + 0,29 + 0,04 — 0.07) = — 1,65 ¹₀ (— 1,63 — 1,36 — 0,29 + 0,25 + 0,06 — 0,11) = — 1,79 (— 1,69 — 1,40 — 0,25 + 0,20 + 0,09 — 0,13) = — 1.99

1,89

H* -J

1,60

Wga =

(— 1,47 — 1,65 — 0,20 + 0,05 + 0,10 — 0,13) =

2,17.

1,52

Die Biegungslinie für den Zustand Xa = — 1 lässt sich als die Momenten-Imie eines Freiträgers CG deuten, dessen Einspannungsstelle dem Scheitelquerschnitt des Bogens entspricht, Fig. 338,*) und der mit den Gewichten —wa belastet ist. Nach Berechnung der Querkräfte:

0,08

Qo —

Q₁ = — 0,08 + 0,34 = 0,26 Qi —

Qs —

0,26 + 0,49 = 0,75 0,75 + 0,74 = 1,49

Q4 = 2,43 Qs = 3,65 Q₆ = 5,08 Qi ⁼⁼ 6,73

Qs = 8,52 Q₉ = 10,51 Qio = 12,68

Mo

findet man M₀ — — 0,08 • 2,0 also —

Mx : X = — 0,05 + 0,26 = 0,21 M₂ : X =

-Ms :X =

M4 : X =

0,08 • | = — 0,05

0,21 + 0.75 = 0,96 0,96 + 1,49 = 2,45 2,45 + 2,43 = 4,88

Ms : X = 8,53 ilf₆:X = 13,61 M₇ : X = 20,34

M₈ : X = 28,86 Mg : X = 39,37 M₁₀ : X = 52,05.

8aa = '2Sl = 2 Sa A Sa

= 2OAo + S UAu + 2D\d + N FAv = 2 [7,759 + 5,823 + 0,120 + 0,040] = 2 • 13,74 und man erhält daher aus den die Durchbiegungen &ma (für E = 1) vorstehenden Momenten M:

Nun ist

Mm

Xa = Pm

V>ma

Mm

Mm : x

Sa«

2 • 13,74    2 • 13,74

9,16

3,0

*) Yergl. auch Seite 122, Fig. 108.

Den in den Knotenpunkten 1, 3, 5, 7, 9 angreifenden Lasten entspricht also der Reihe nach

(V

r~

J,

ą.

7,

C\

0,21

cT c<T

9.16

s.

0,02293

0,267

0,931

X„.₇

20,34

9,16

2.225

39,37

9,16

-I⁵

-o«-*

4,298.

’t.

----H

\------- A-—<

\ /

>- —

-C?-------X \

.V

frtfk---

<-

8'

8"\

a‘

VP,

\w_‘

Fig. 338.

Wir wenden uns jetzt zur Bestimmung des Pôles (I), um den sich eine nach Seite 321, Fig. 319 an die Scheitelvertikale angeschlossene starre Scheibe I dreht, und ermitteln zunächst die wagerechte Verschiebung A des oberen Knotenpunktes 10 nach dem in Nr. 51, Seite 129, beschriebenen Verfahren. Aus der, einen Sonderfall der Fig. 116, Seite 130, bildenden (nur als Skizze anzusehenden) Figur 338 folgt die einfache, leicht zu beweisende Gleichung

10    fl

8* = 2 Aom sec ßm + 28mo (tg ß,„ — tg ßm_i) -j- 8ł0« tg ßI0.

0    0

Da nun die Knotenpunkte 0, 1, 2, ... 10 der oberen Gurtung in einer Parabel

von der Pfeilhöhe f₀= 12,55 und der Spannweite l — 60’” = 20X liegen, und da ferner die Feldweite konstant ist, so ergiebt sich

8 f„\ _ 8 ■ 12,55 _ 0,2510

tg ßm tg ßm-1 - 2 tg ß₁₀

und

20²X

Sa = 15,56 + 26ma + |8i₀₍,

0,2510

₁₅,₅₆₊(l^ ₊ ^*)⁰,₂5,°

wo Mm die vorhin berechneten Momente in Folge der Gewichte wa sind.

Es ergiebt sich (für E — 1 )

Sh = 15,56 + (119,16 + 26,02) 0,2510 = 52,00.

Bezeichnet man den Abstand des Pôles (I) vom Knotenpunkte 10 mit s und beachtet man, dass sich die Scheibe I in Folge von X« = — 1 um den Winkel \ S«„ dreht, so findet man für die Yerschiehung des Punktes 10 den Werth i 8aa s. Da nun andrerseits die Yerschiehung des Punktes 10 durch die Strecke

Sa

G 10" = -r-

sin

dargestellt wird, so ergiebt sich die Gleichung

und man findet daher

■5 S« a S —-

Sa

sin

c₀ — s sin 4> =

Sa

52,00

0,5 S„«    13,74

cu = 16,5 — 3,78 = 12,72'”

= 3,78m

während sich vorhin c„ = 12,99’” ergab. Die Lage der Kraft Xc ist nunmehr bekannt, Fig. 336.

130. Eine zweite Bestimmungsweise von cu ergiebt sich aus der Be

dingung

SaScS

EF

0,

Sc die Spannkräfte in Folge von Xc == — 1 bedeuten. Fügt man zu der Kraft Xc = — 1 in beliebiger Höhe (z. B. in der Höhe 10m, Fig. 339) zwei sich aufhebende Kräfte 1 hinzu und bezeichnet man die Spannkräfte in Folge der durch einen gefiederten Pfeil dargestellten Kraft 1 mit S\ und den Hebelarm des ausser dieser Kraft noch angreifenden Kräftepaares mit e, so ist

wto

!/em

---xl.

Fig. 339.

te

und man erhält

Sc —S' + Sa-e

S'S„s

Sls

EF

EF

woraus (wegen S«a = 2 • 13,74)

ii

So«

13,74    ’

In der Tabelle XI sind die Spannkräfte S’*)₁ die aus Tabelle X übernommenen Längenänderungen Asa in Folge Xa = — 1 und die Produkte S'Asa zusammengestellt worden. Man erhält

14,7572 + 20,6132 + 1,6929 + 0,2690 13,74

also, wie vorhin, cu = 10,0 + 2,72 = 12,72“.

Tabelle XI.

Gurtungen.

0’

AOa

0'AOa

A Ua

V Aua

+++++I I

02 CC tO MkOO-'-'MOJ

~02 ĆO I» Io TFa: 7-“-. ~Ö 00'05 Io

+ 0,43 + 0,73 + 1,04 + 1,31 + 1,34 + 1,46 + 1,53 + 1,57 + 1,66 + 1,46 + 1,67

+ 1,4147 + 1,9199 + 1,9136 + 1,3493 + 0,2546

—    0,9490

—    2,2491

—    3,4697

—    4,6646

—    4,7158

—    5,5611

+++++++III

i-*- O O O t-J- to O^dtOlOO'O'U'tOGOH-

+ 1,1816 + 0,8280 -j- 0-5022 — 0,1260

—    1,1400

—    2,1875

—    3,2508

—    4,2504

—    5,2403

—    6,9300

Summe :

— 14,7572 I

Summe :

| —20,6132

Füllungsstäbe.

I)'

A Ha

D'\da j

A Jla

V’Aha

++++++++++

O ^ CO

H OO O (M M o t- IO t- T( lOlOtOt-t-OOt'tD'jlH

cf © o" © o © cT o o cT

co co t- to œ œ

<x>

—    0,1173

—    0,1460

—    0,1828

—    0,2241

—    0,2662

—    0,2825

—    0,2173

—    0,1582

—    0,0910

—    0,0075

Il Vo    —0,634    + 0,17

Vl    —0,732    + 0,07

F,    — 0,693    + 0,06

V₃    — 0,630    + 0,04

F₄    — 0,545    + 0,02

F₅    — 0,449    — 0,02

F₆    — 0,357    - 0,07

F₇    —0,150    —0,12

F₈    — 0,010    — 0,20

Fg    +0,174    —0,24

F₁₀    + 0,289    — 0,14

—    0,1078

—    0,0512

—    0,0416

—    0,0252

—    0,0109 + 0,0090 + 0,0250 + 0,0180

—    0,0020

—    0,0418

—    0,0405

Summe :

— 1,6929

Summe :

— 0,2690

131. Für den Zustand Xb =--den wir an Stelle des Zustandes

— für

Xb = — 1 untersuchen wollen, ergeben sich die Momente M° —--— und

*) Die Berechnung der S' erfolgte wieder mit Hilfe der Formeln 15 bis 20 auf Seite 330.

die linke Bogenkälfte — die in der Tabelle XII angegebenen Spannkräfte Sb und Längenänderungen A Sb-

Tabelle XII.

<1

Ob • A Ob

sec ß | Aojsecß

Obere Gurtung

CDOOHCOOI^COKIHO

05HHONHCOHOOO C4 CO (^qco CO 03 GO q CO CO CO CO có w C4 tH rH 6

to co to to tO tO OS^OJO^-* lo b> Kj oo ~bc ö a> o co

+ 4,28 + 6,62 + 8,35 + 9,18 + 8,04 + 7.31 + 6,10 + 4-71 + 3,33 + 1,45_

Summe: | 160,571

1,30

1,18

ONNCON^COOOO kO CM CO xH o O CJi O od O Ö O) OÓ to rf co” rH

tH t-H

A Ub —

Uu

Uh ■ A Ub \ sec y

A Ub sec y

Untere Gurtung

OtOOO-JffiO'if'COMK

1,6 I

1,6

2,0

1,9

2,5

2,5

19.474

18,374

21,255

18.138

20,607

16.339

11,536

7,128

3,490

1,089

1,38

1,31

1,25

1,19

1,14

1,10

1,06

1,03

1,01

1.00

—    2,80 — 1,65

Summe :

137,430

Adb

Dd

Db • A db

sec 9

A db sec 9

Diagonalen

COCO^lO^O'^OOtOM-

—    0,058

—    0,021 —(— 0,011 + 0,074 + 0,156 + 0,261 + 0.387 + 0,519 + 0.634 + 0.724

—    0,37

—    0,13 + 0,07 + 0,45 + 0,95 + 1,59 + 2,01 + 2,70 + 3,36 + 3,40

Summe :

tO tO M- O O o o p p^o +*■ ^ o b o b

O Co O H h¹ 4- co o o to tOO^COOiOOCOOOWH-

1,07

1,05

1,04

1,03

1,03

1,03

1,04

1.05

tH

1,07

1.10

H—I—r++H—b+ I I

05 W tOtOKOOOOO

7,400

A»,

A Ji m

FA

V-AA

Am — 1 A m — 1

Am —1

Am—1

rAh~

Vertikalen

0 —0,017 1, —0,183

2    — 0,227

3    i — 0,263

4    —0,313

5    — 0,350

6    - 0,387

7    —0,413

8    —0,407

9    — 0.380

— 0,08

—    2,16 — 1,90

H o

O^O-H-fHCDOOb-CM O^H (M CO O O N N 00 N

oöocTodcS'cfd'o

tOCCOXtOO^QOOCO

JD O O O O O OM- M“ to ^ ^ c* cx o "go 'co 'o 'to M C0-4CtfOc0Ot005t0O

1,09

—    1,40

—    1,21 — 1,18 — 1,00 — 1,02 — 0,82

Summe :

5,028

Für die Gewichte Wb erhält man die AVerthe :

2 =~⁰’⁰⁴

V (— 5,56 - 7,70 — 0,00 + 0,40 -f 0,17 — 1,04) — — 3,48 (— 8,47 — 7.10 — 0,40 + 0,14 + 0,96 - 1,35) = — 4,66 (— 10,27 - 8,15 — 0,14 — 0,07 + 1,23 — 1,20) = — 6,06

tOCb — -

0,08

Wo b

W ib

Wo i

Wgb =

W₄b

W₆b =

W₇b

irai —

3,95

3,48

3,07

2,70

2,38

2,11

1,89

1,60

—(— 1,46 - 1,65 + 3,60 — 3,74 + 0,82) = — 1,60.

Die Momente Mm eines mit den Gewichten Wb belasteten Freiträgers sind für X = 1 (in derselben AVeise berechnet wie auf Seite 341)

Ma — 203,20 Mg — 256,06 M₁₀ = 310,52.

Wg b

M₄= 47,14 i¥₆ = 75 81 Mt = 111,95 M, = 154,68

Mg— 0,03 M₁ = 3,55 Mo — 11,73 Ma = 25,97

Da nun Xb proportional Mm ist und für eine mit dem Scheitel zusammenfallende Last 1 den AVerth Xi = 0,5 annehmen muss, so entsprechen den in den Knotenpunkten 1, 3, 5, 7, 9 angreifenden Lasten 1 der Reihe nach die AAr erthe

Xbl

3,55

X*₃ =

2 • 310,52 25,97

0,00572

2 • 310,52

0,042

X₆₅ = 0,122 Xbl — 0,249 Xfcg = 0,412.

Andrerseits muss auch, sein

Xb

Mm

2S&As&

EF

wo nach Tabelle XII

'ZSbAsb = 2 (160,571 + 137,430 + 7,400 + 5,028) = 2 • 310,43.

Dieser Werth stimmt mit 2 • Ml0 in befriedigender Weise überein. Noch sei hervorgehoben, dass für alle links vom Scheitel gelegenen Lasten

B — Xb und A = 1 — Jb ist.

132. Zustand Xc = — 1. Tabelle XIII enthält die Spannkräfte Sc in Folge der in der Höhe c„=12,72m angreifenden Belastung Xc —— 1 sowie die zugehörigen A sc.

Tabelle XIII.

Oo

,0 • Ao

sec ß Aosecß

Obere Gurtung

+ 4,19 + 3,63' + 2,93 -|-2,22 + 1,50 + 0,77 + 0,07

1,3

2,0

2,6

3,0

2,8

2,8

2,7

2,6

2,6

2,2

2,5

+ 5,45    I 22,836

+ 7,26    26,354

+ 7,62 + 6,66 + 4,20 + 2,16 + 0,19

1,30

1,28

05 CO tO K O tO ^4 ZO CD —4 OO GO Qr UO CO --4 Ćo CO to O OÜ'^^OCOCDOlHCDCO

Summe :

108,303

<1

TJA u

sec y Am sec y

Untere Gurtung

CDGO^OlÜ’^COtOK

—    0,35 + 0,33 + 1,09 + 1,59 + 2,07 + 2,40

1,6

1,6

2,0

1,9

2,5

2,4

2,3

2,2

2,2

2,5

—    0,88 + 0,79 + 2,51 + 3,50 + 4,55 + 6,00

Summe:

M*

CO Cn tO O O FO Ü^ p O* 4-^ 0’ -^1 tO W O O Co Ö OKOlCOOlOCnCOO^ O CD Ü’

1,38

1,31

1,25

1,19

1,14

1,10

1,06

1,03

1,01

1,00

—    1,00 + 0,87 + 2,66 + 3,60 + 4,60 + 6,00

65.111

Ad

Del

DAd

sec 9 A d sec 9

Diagonalen

5.2

+ 2,60 + 2,94 . + 3,21 + 3,56 + 3.86 + 3,98 + 3,30 + 2,75 + 1,96

~i~ QGO

1,074

1,394

1,692

2,079

2,443

2,595

2,096

1,452

0.737

0,002

t-7 tA tA t-7 T-H rü

-I I I I    I—I—I—I—I—1_

O jotoco^.020:cocoto

H- r* GC rfi. M' CD 'et) Ö

OO^COOGOn^^O)

Summe :

15,564

<1

s-

s**

F Ah

hm—1 hm—1

Ahm

2!

vertikalen

10

—    0,603 4.5

—    0.541 1 5,6

—    0,458 I 5,0

—    0,353 ! 5,1

—    0,223 | 4,6

—    0.090 1 5.3 + 0,047 5,0 + 0,132 i 2,5 j

—    0.48 + 0,24 4- 0-33

0,044

—    1,08 — 0,56 —0,23 + 0,10

1,32    —3.89

1,16    —3.89

1,02    — 2,76

0,90    — 2,73

0,79    — 1,81

0,70    — 1,26

0,63    — 0,65

0,57    — 0,27

0,53    +0,13

0.51    +0,17

Summe :

10.831 j

Für die Gewichte wc erhält man die Werthe :

2.70

WCc = -

2,0

= —1,35

wÜC —

3.95

[— 7,08 — 6,78 + 0,00 — 2,60 + 5,67 — 3,89] = — 3,72

• Wic —

[— 9.29 — 5,06 + 2.60 — 2.94 + 3,60 — 3,89] = — 4,30 [— 9,37 — 4,32 + 2,94 — 3,21 + 3.55 — 2.76] = — 4,29 — [— 7,86 — 2,36 + 3,21 — 3,56 + 2,49 — 2.73] = — 4,00 [— 4,79 — 1,00 + 3,56 — 3,86 + 2,42 — 1,81] = — 2,30 [— 2,38 + 0,87 + 3,86 — 3,98 + 1,58 — 1,26] = — 0,62 [— 0,20 + 2,66 + 3,98 — 3.30 + 1,08 — 0,65] = + 1,89 4- [+ 1,54 + 3,60 + 3,30 - 2.75 + 0,56 - 0.27] = + 3,48

3,48

IV., c = —

U'₃c =

ivic =

IVsc —

«V

3,07

2.70

2.38

2,11

1,89

H\c = ~

1,72

⁴— [+ 2,84 + 4.60 -f 2.75 — 1,96 + 0.23 -f 0,13] = + 5,37

l.W [+ 3,15 + 6,00 + ¹’⁹⁶ — °’¹⁰ ~ °’¹⁰ + °’¹⁷] = + ⁷’34 iio [+ 3,80 + 0,10 _ 0,33'°’⁴⁶*)]

Das Gewicht \ w10 c hat keinen Einfluss auf die Momente M des mit den Gewichten w belasteten Freiträgers; es wurde aber berechnet um die Probe

9

"^Wc —(~ wcc ~l⁻ 4 *^io® “ -}- 20,58 — 20,58 —■ 0 o

ausführen zu können. Aus den Momenten

Mi — 5,97 X — 15,34 X Mä — 29,00 X

ergeben sich die Werthe

“’s® = T

«V =

2 “’lO® -

1,60

3,75

1,50

f 2,500.

Mi = 46,66 X M₅ = 66,62 X M₆— 87,20 X M\ — 105,89 X

M₈ = 121,10 X Mo, = 130,94 X Mi0 — 133,44 X

Xc

v c2 g *bcEF

*2 Sc & sc

wo nach Tabelle XIII

S&A«. = 2 (108,303 + 65,111 + 15,564 + 10,831) = 2 • 199,809. Für die Knotenpunkte S; 1, 3, 5, 7, 9 erhält man

Xe, = 0,795 Xc9 = 0,983

Xd = 0,0448 Xe 3 = 0,218 Xco = 0,500

133. Die Gleichung der Kämpferdrucklinie ergiebt sich aus der Gleichgewichtsbedingung (Fig. 336)

Xcyic- Xbß -j- Xa-

Man findet für die Knotenpunkte 1, 3, 5, 7, 9 der Eeihe nach

Xcyk = 0,1773 Xcyk = 1,149 Xcyic = 2,761 Xcijk — 4,466 Xey* = 5,534

yic — 3,96’" yk — 5,27"’ yk — 5,52 m yk — 5,62 m yk — 5,63 m.

Bezogen auf die Schlusslinie AB der unteren Gurtung, erhält man die Ordi-naten (y’k — yk-f- cu)■

y'k — 16,68w; 17,99”; 18,24’"; 18,34”*; 18,35”’ dieselben weichen von den früher erhaltenen Ordinaten

nur

y *=19,08”; 18,77”’; 18,49’"; 18,25’"; 18,17”* in der Nähe des Kämpfers wesentlich ab.

134. Einfluss der Temperaturänderung. Aendert sich die dem spannungslosen Anfangszustande des Bogens entsprechende Temperatur überall um

*) 0,46 = tg (pi₀

1,37

3,0

denselben Betrag £, so entsteht ein Kämpf erdrück Xct, der sehr annähernd in der Höhe cu = 12,72”* über der Schlusslinie AB der unteren Gurtung liegt und den Werth

Xct

e EtV"

zEtl'"

25 • tl"'

SS*

2 • 199,809

400

kg

EF

besitzt, wo (nach Fig. 312 auf Seite 309)

V" — l + 2 cu cos = 6000 + 2 • 1272 • 0,026 = 6066 cm ist.*) Mit £ = + 35° Cels. ergiebt sich

25 • 35 • 6066

Xet =

400

= 13300 kg.

17 000

Früher erhielten wir Xct = 17 000 kg, ein Werth der erst bei t = 35 —

lo oUU

¹

Da die Querschnitte der beiden Gurtungen nicht gleich gross ausfallen, so setze man für Fs den Mittelwerth der beiden Gurtquerschnitte.

²

Mit C ist der linke Endpunkt des Gurtstabes O₀ bezeichnet worden.

= 45° Cels. entstehen wird. Man vergl. die auf Seite 204 an die Berechnung des Horizontalschubes Ht der Douro-Brücke bei Porto geknüpfte Bemerkung.

e. Näherungstormein zur Berechnung der Kämpferdrücke.

135. Formel für Xa■ Um zu einfachen, geschlossenen Fonnein für die Unbekannten Xa. Xi und Xc zu gelangen, ersetzen wir die Einzelgewichte wai u-b, ivc durch stetige Belastungen.

P.

----->

k----

.*■

*K

_A

f ~"7 i

Vf

4 fi

__A__L

1/

III !

-4

! le

74». j »y ! j

~K~

jf

wô

,tc^---->j<------,;e---

___y_

ii

L.

-Z, -

Fig. 340.

ansgedrückt. Man erkennt,

cm

*) "Wir haben die Werthe -- (Seite 337) in F

dass man genügend genau V" = V setzen darf.

An Stelle der wa nehmen wir die in Fig. 340 dargesteilte trapezförmige Belastungsfläche an, deren Höhe am Kämpfer = a, und im Scheitel =1 sein möge. Im Abstande xa von A ist die Belastungshöhe

wa — a + (1 — a) XA

Der Freiträger AG wird dann an der Stelle xa durch das Moment

v.x\

ö--h (1 — a)

XA

beansprucht, wo l, — \ l ist. Der Inhalt der Belastungsfläche ist, für beide Bogenhälften,

g = (1 + «) lx

und man erhält daher (für xa = a < lt)

Xa =

(2)    Xa

6 (1 + a)

(1 + r,.)ly

[s^ + (1-4].

Für den vorhin untersuchten Bogenträger ergab sich am Kämpfer wa = 0,34, in der Nähe des Scheitels wa — 2,17. Das Yerhältniss dieser beiden Werthe ist

OL

0,34

2,17

0,16*)

und es folgt daher (mit lx — 30'")

n²

Dies giebt für

2,069 + 3,621 y-)-“ =0,1 Xa = 0,02431 tm

Xa = -r

= 0,284 = 0,970 = 2,256 = 4,316,

= 0,3 = 0,5 = 0,7 = 0,9

d. s. Werthe, die mit den früher gefundenen befriedigend übereinstimmen. Jedenfalls wird die Formel bei einer vorläufigen Querschnittsberechnung recht gute Dienste leisten; es kommt dann nur darauf an, das Verhältnis.? a der Gewichte Wa für die Knotenpunkte am Kämpfer und im Scheitel von vornherein zu schätzen.

gleich

136. Formel für X&. Wir nehmen die Belastungshöhe an der Stelle x w& = (ùax = w„ (ly — xa)

xa

[a + (1 - a)

J (ly — Xa)

*) Da die Querschnittsabmessungen bei einem neu zu entwerfenden Bogen nicht bekannt sind, so muss man ot zunächst schätzen. Man nehme etwa wo hs und hh die Werthe von h im Scheitel und am Kämpfer bedeuten. Im vorliegenden Falle liefert diese Formel zufällig ebenfalls a = 0,16.

an, und erhalten M durch zweimalige Integration der Differentialgleichung

[« + (1 — a) (4

— Xa).

d²M

dx²A

Die Integrations-Konstanten werden mit Hilfe der Bedingungen bestimmt:

xa — 0 muss liefern

dM

dXA

ta = 0

Es ergiebt sich

XA

XA

M= a-h ₂ + (1 — 2 a) —--(1 — a)

XA

12 L

Da nun Xb proportional M ist und für xa = 4 den Werth 0,5 annehmen muss, so folgt für xa = a ^ 4

Xb

a4 — + (1 — 2 a)

®l

— (1 — a) T

124

0,5

+ (1 — 2 a)

— (1 — a)

und schliesslich

(3)

Xb

d²

3a + 1 l²

[3 a + (1

CM

0,5 (1 — a)

a²

4*

Lasten, welche rechts vom Scheitel liegen, rufen negative Werthe Xb hervor. Yergl. Fig. 336; die Linie A'DD'B' ist die Einflusslinie für Xb. Verschiebt man den Zweig D'B' um die Strecke 1 nach unten, so entsteht die stetige Kurve A'DB", und diese ist die Einflusslinie für den senkrechten, rechtsseitigen Stützenwiderstand B.

Für a = 0,16 ergiebt sich:

Xb =

A [0,₈₂4 +    (0,460-0,284 » )]

und für

= 0,1 Xb = 0,00367

= 0,0393 = 0,121 = 0,248 = 0,411,

welche Werthe mit den früher gefundenen ebenfalls befriedigend übereinstimmen.

= 0,3 = 0,5 = 0,7 = 0,9

137. Formel für c. Die mit der Kraft Xc zusammenfallende x- Achse habe vom Mittelpunkte der Scheitelvertikale den Abstand c. Es ist

f—c

h

f ll/'oWa +    dXA

0

rh

J (Wo + Wo) dXA

0

wo, mit den in die Figur 340 eingetragenen Bezeichnungen, V o + !/'«

x²

ist. Es ergiebt sieb also

h ,    h

5 + 3ot

Juay'dxA    J<ùay dxa

O    0

0,5 (1 + a)h 6 (1 + 7.)

flùadXA

0

und

(4)

1 + 3a

6 (1 + a)

Für unser Beispiel ist f„ — 12,55"*, f„ = 15,00"*, f—\{f₀-\- fu) — 13,775"* und \ a = 0,16, mithin

c = 2,93’“ und cu = 12,82’”,

während wir auf Seite 328 und 343 die AVerthe cu — 12,99m und c„ = 12,72m fanden.

138. Formel für Xc. Ist M das Angriffsmoment an der Stelle X des Freiträgers A Cr in Folge einer dem Gesetze

wc

= «« (y» + y») — 2 <*ay = 2 |^1 — (1 — a) (c — f- -j

folgenden stetigen Belastung, so ist

Xe

h

2 f{y° + y*) ®adx

o

Integrirt man die Differentialgleichung

1    dfM

2    dx²

und bestimmt man die beiden Integrationskonstanten mit Hilfe der Bedingungen:

dM

x = 0 muss liefern

so erhält man

x — li ,,

M=0

'2m=cIy[

xl

xs

)>

r[uV(

,r⁴

h*

—1^-

/ 20 \

xh

hb

)>•

Da nun

lis

y°=c + -‘>

fo

X¹

y» — c

ist, so folgt

y»² + y ² = ^i² — h

h²

+ h²

wo

V =2c² + ł hs*

k₂² = 2 c {fo + fu) — h* [hi — hs) h² = fo² +fJ.

Es ergiebt sich dann

h

S (ijo² + yn) W adx =

O

23

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

F = kł (1 + «) -~ kł (1 + 3 a) + -¹- Ä+ (1 + 5 a).

wo

und für eine bei x = e gelegene Last 1 :

1 —

e²

f_h_

2 F

s r—1

<?⁴

)]

Drückt man <?, f₀ und fu durch f₁ hs und hk aus, so erhält man

hs^ijc

hs²

P 7 + 42«+ 15a2 1 + a

und gelangt schliesslich zu der Formel (für x > 0) :

₃₀ (U +5«)-f

30

Ił

(3 + 5 «) + -gó" (1 + 5 a)

(7)

e²

X = Yi- ₇ -

Ił

{y,—+ï.+ ~(

Ï4 — Ys V

wo

Yi

2 (2 + 10« + 3 a²)

15 (1 + 3«)

(7 a)

Y»

5(1 — a) (1 + 3 a)

15 (1 + a)

9(1 — a²)

ß = + (7 +42« + 15 a²)

3(1 + a)

fh

[hs² (ll + 5a) + Mfc(3 + 5a) + hk² (1 + 5 a)].

Für unser Zahlenbeispiel ist

f= 13,775”¹,    — 30m, hs = 1,5m, hk — 3,95¹", « = 0,16;

man findet ß = 7,12 577 und

X = 1.032 - + {3.115 - I [o,872 + j- (2,442 - 1,231 +]} •

Es ergehen sich daher die folgenden Ordinaten der Xc-Linie und der Kämpferdrucklinie :

Xc

t/k¹) y'k = cu + yh = 12,82 m + yk

07) t>- iO CO tH

ö o ö' o ö

0.0198

0,184

0,476

0,792

1,002

CO M O N Tÿ OO^

ccT io~ 10

19,05m

18,85

18,67

18,49

18,36

139. Die Formel für Xct in Folge einer Temperaturänderung lautet

Xct

ztl

²f tv°2Jry») “«*

0

dx

EFsh²

denn es ist zu beachten, dass der “Werth toa = 1 im Scheitel mit 1 : EFshA multiplicirt werden muss. Man erhält

(8)

Xct — 2 zEt

b.A

Fs.

Zwischen k und ß besteht die Beziehung

(9)

j}hf

90 (1 + oc)

Für unser Zahlenbeispiel (a — 0,16, f= 13.8. bs² — 2.25, t = 35°, zE— 25. _ 7,13 • 30 • 13.8 ~~    90 • 1.16

Xct = 16 700 kg.

Dieser “Werth darf natürlich nur mit der in Nr. 126 unter Vernachlässigung der Längenänderungen der Füllungsstäbe gefundenen Zahl Xct — 17 000 kg verglichen werden.

Fs = 120 qcm) ergiebt sich P

28,3 und

140. Für den Sonderfall a = 1,0 erhält man nach einer einfachen Zwischenrechnung für eine Last P = 1 :

1 «2 4 h

(10)

Xa =

(H)

Xb —

1    (o _

4 lx² \³ lj

Pb'1 Alx* '

Die Strecken za und zb-, welche die a?-Achse und die Kämpferdrücke Kx und K₂ auf den Senkrechten durch A und B abschneiden, Fig. 341, sind durch die Gleichungen bestimmt

(12)

Xe y k — Xb e -f- X,t —

XcZB = Xbh—Xa =

Pb

w

-Xc za — 1 ‘ a A b lx X-a —*

Pa

, za

und -=

Vk

und man findet daher (13)

Ist also die Kämpferdrucklinie bekannt, so kann man die Schnittpunkte Fx und F-2 der Kämpferdrücke Kx und K₂ mit den Senkrechten durch A und B wie folgt bestimmen. Man verbindet den Punkt C der Kämpferdrucklinie mit den Punkten Jx und «Z₂, in denen die a?-Achse die Senkrechten durch A und B trifft durch Gerade und zieht 0Fx || CJX und 0F.₂ || CJ.₂. Dieses einfache Gesetz ist nur an die Annahme eines konstanten Werthes w₀ gebunden; es ist also nicht nothwendig, dass die Mittellinie des Bogens parabolisch ist.

Liegt P sehr nahe an A, so ist die Ermittlung des Punktes Fx unbequem. Man bestimmt dann die Richtung von Kx zweckmässiger durch Berechnung des Schnittpunktes Lx von Kx mit der x- Achse. Man findet

23*

yh

(14)

cIa

; djj

Itb

h a

Die weiteren Entwicklungen setzen einen Parabelbogen voraus. Für diesen ist

(15)

•)

ferner nach Gleich. 5

Xc =

k²

CO

fh

6 k²

e² \²

Ił

fh

6 k²

und nach Gleich. 6

16

**=« f+ .5

(8 hs² + 4 hshk + 3 h,²).

<— d —>4

?----d----

⁷h

*Z-b

«*

Ai

rlVJ

//

vz

j<---------z,

w“

CL

>l

Fig. 341.

Führt man die Strecken

ein, so findet man schliesslich

(16)

X.

15 a²b2 32 fhs V

wo

(17)

X + 16

Für y je erhält man den konstanten Werth

3 8 h² + 4 hsh,c + 3 h-J

(18)

yk —

15 v

Beim Parabelbogen ist also für a — 1 die Kämpferdrucklinie eine wagerechte Gerade.

Der Horizontalsehub in Folge einer Temperaturänderung ist (nach Gleich. 8 mit dem oben für 1c² angegebenen Werthe)

Xct =

GO

£ Et

/>/

vFV

wofür man auch rund

(19)

setzen darf.

Xct — 6 zEtFs

Für unser Zahlenbeispiel ergiebt sich mit a = 1

v = 0,92, c = 4,59 m, cu = 11,16**, ^ = 7,99“, /² = 19,15”²

ferner für

xa

Xb

Vc

tH CO O t>- C'j © ©'© O O

IO O lO t— t—

O CO OO

vO lO t— t'-

co o ddHwœ

PPPPP tO OO en C5 o

05 K <1

Ul to

popp ©

co to 'o

to <1 to ^ 02 O GO GO ^ ^

0,92 = 6850 kg.

Xct — 6- 25-35-120

1,5®

13,8³

Die Werthe c, c„, Xa und Xct weichen von den früher gewonnenen erheblich ab, während die von den senkrechten Lasten herrührenden, auf Tafel 6, Fig. 342, dargestellten Kämpferdrücke mit den früher ermittelten befriedigend übereinstimmen. Diese Uebereinstimmung herrscht aber nur bezüglich der Grösse dieser Kräfte, die Unterschiede der Lagen sind so wesentliche, dass die Annahme a = 1,0 höchstens für eine ganz rohe Ueberschlagrechnung brauchbar ist. Ein gutes Bild von der Zulässigkeit der verschiedenen Näherungs verfahren liefert die folgende Untersuchung.

141. Vergleichung der auf verschiedenen Wegen gefundenen Werthe

minO₁₀ und m{nUv Die nächstfolgende Tabelle enthält die Ordinaten der Einflusslinie für das Moment M% bezogen auf den oberen Knotenpunkt 0 und zwar:

I nach dem im ersten Theile unseres Zahlenbeispiels durchgeführten Verfahren

(w'

).

hl

II auf Grund der im zweiten Theile durchgeführten genaueren, die Längenänderungen sämmtlicher Stäbe berücksichtigenden Untersuchung²)

III    auf Grund der für a = 0,16 berechneten Werthe Xa- Xb- Xc,

IV    auf Grund der Annahme a = l.

Last 1

in

T-t CO lO t— 02 02 V- lO CO rH

+ 0,755 + 1-887 + 1,635 + 0,830 + 0,1501

M°₀- Linie.

II

III

IV

-^413 i — 5,561

+++++

02 t-— CO 02 Tf* io CJ lO rt «O^t^CO 02 C-J

o th t-7 o cd

j4^ P to INS M- Ćo 1 Oi H «4 O OO OO Ol CO

02 CO

; — 2,470

—    4,736 : —4.638

—    3,256 i — 1,542

+ 0.874 — 0,042 + 1.84h + 1,562 + 0,737|

+ 0.189

+ 0,824 + 1,002 + 0,604 + 0,110

Summe ;|— 20,343 + 5.257 - - 20,052 + 5,105 — 20,617 + 5,203!|— 16,684 + 2,540

17,0⁴

12,99 — 3,95 = 9,04“

c6 oó

16,74 8,87,M

oo

INS

ii

Die ständige Belastung eines Knotenpunktes beträgt 15⁴, die bewegliche ebenfalls 15*. Da nun

U,=

M°₀ sec Yt _ M°₀ 1,38

ho

3,95

0,35 M°₀

ist, so ergiebt sich der Einfluss der Belastung:

und der Einfluss der Temperaturänderung

I 77, = ±0,35-17,0-9,04 = ±54⁴

II    77, = ±0,35 -13,3- 8,77 =±41*

III    77j — + 0,35 • 16,7 • 8,87 = ± 524 IY £7i=±0,85- 6,8 • 7,21 = ± 17*.

Im ganzen entsteht also

im Falle I

11

III

IV

77, = — 240⁴    — 224⁴    — 241*    — 180⁴.

Für die Spannkraft mi„Oi0 erhält man mittels der in der Tabelle angegebenen Ordinaten der Einflusslinie (wegen cos ß,„ = 1.0)

min

O₁₀-Lime.

Last in

II

III

IY

+ 0,02 + 0.09 + 0.08

—    0,27

—    1.30

+ 0,05 + 0,15 + 0,14

— 0,28 — 1,37 j!

+ 0,01 + 0,08 + 0,04

—    0,35

—    1,42

+ 0,04 + 0,17 j + 0,10

—    0,46

—    1,70

Summe +0,19

1,57

+ 0,34

— 1,651 +0,13

— 1,77    + 0,31

— 2.16

1s⁶. H

17,0⁴

13.3⁴

16,7⁴

2,01

2.28

2,18

1,5

1,5

1,5

h «¹¹⁰

'O cd

in Folge der Belastung

I    minOl0    = 2 [— 1,57    •    30 +    0,19    •    15]    = —    88,5'

II    minO₁₀    = 2 [— 1,65    •    80 +    0,34    •    15]    = —    88,8 *

III    minOi0    = 2 j — 1,77    •    30 +    0,13    •    15]    = —    102,3'

IV    n,<nO₁₀    = 2 [— 2,16    ■    30 +    0,31    •    15]    = —    120,3'

und in Folge einer Temperaturänderung

I minOio -±

17,0-2,01

1,5

= ± 22,8'

III minO\q ■—- ±

16,7 • 2,18

II viinO\o--- ±

13,3 • 2,28

1,5

= ±21,3'

1,5

= + 20,2'

IV minO io = ±

6,8 • 3,84

1,5

= ±17,4'.

Es ergiebt sich also im ganzen im Falle

mt-„On = —111'    -109'    -127'    —138'.

Die Uebereinstimmung der nach I und III berechneten AVerthe mit den nach II (d. i. unter Berücksichtigung der Längenänderungen sämmtlicher Stäbe) gefundenen kann als befriedigend bezeichnet werden, denn man darf nicht ausser-acht lassen, dass der ohnehin auf einer ziemlich rohen Schätzung beruhende Einfluss der Temperaturänderung eine grosse Rolle spielt. Dagegen müssen die Abweichungen der Ergebnisse II und IV als zu gross bezeichnet werden, so dass die Annahme a = 1 nicht zu empfehlen ist.

Schliesslich werde noch hervorgehoben, dass sich der Bogen mit eingespannten Kämpfern nur bei verhältnissmässig grosser Pfeilhöhe zur Ausführung empfiehlt, weil geringe Pfeilhöhen stets beträchtliche Spannungen durch Temperaturänderungen im Gefolge haben.

II

III

IV

§ 12.

Durchgehender Balken mit drei Stützpunkten.

142. Die Einflusslinie für den Widerstand C der Mittelstütze,

mit deren Aufzeichnung die Untersuchung des Trägers zweckmässig begonnen wird, erhält man nach No. 56, Seite 141, indem man für den Zustand C = — 1 die Biegungslinie der zur Aufnahme der Lasten bestimmten Gurtung zeichnet und ihre Ordinaten (±) durch die demselben Zustande entsprechende Senkung (c) des Stützpunktes C, welcher auch der anderen, unbelasteten Gurtung angehören kann, dividirt. In Fig. 343 ist die fragliche Biegungslinie als Seilpolygon von Gewichten w aufgefasst worden. Dreieck A B C' stellt die Momentenfläche des mit C = — 1 belasteten einfachen Balkens vor; ym sei das Moment an der Stelle m. Dann ergiebt sich mit der stets zulässigen A'ernachlässigung

y m

der Formänderungen der Füllungsstäbe: u\n stantem E

rlEFm

wofür bei kon-

r²

• rn

gesetzt werden möge, unter Fc eine beliebige Querschnittsfläche verstanden. Diese Abänderung der w ist auf das Ergebniss

7]

U- —

--ą—

—-*---

¹ a tr

<•--

W--

- —act—

-~d

-—-71 'W

J&L

'C"

P.

fa*j    fl

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J“l

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”h^4‘ t i n......H........ł

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A-’FlàLche. ^ v

</>

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4-

-h

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J.

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___i

AT

--JP,--

ki:

\----

ffm"FLäcfie /J A-

Jfl*

Lz~

C"

___irrrrriTlt

fl F'tâche m, r—i ? A* ri & V

77

U'trr,

Se)

ct

Fig. 343.

welches nur von dem Verhältnis : c abhängig ist, ohne Einfluss und aus demselben Grunde leuchtet ein, dass sowohl die Höhe des Momenten-dreiecks Ä B' C' als auch die Polweite des Seilzuges willkürlich gewählt werden dürfen. Aus der Q-Linie lassen sich nun mit Leichtigkeit alle übrigen Einflusslinien ableiten.

Anmerkung. Die Gewichte w erscheinen in derselben Form wie beim Zweigelenkbogen, § 7; die früher für gewisse Arten des Fachwerks gezeigten Umformungen der w lassen sich natürlich auch hier verwerthen. Es empfiehlt sich in der Regel, Fc : Fm — 1 anzunehmen. Für Paralleltfäger mit gleichlangen Feldern setze man wm = ym-

Roch sei hervorgehoben, dass wir es in Fig. 343 c, des kleinen Maassstabes wegen unterliessen, den Seilzug durch ein einbeschriebenes Polygon, dessen Ecken den Querträgern entsprechen, zu ersetzen.

143. Die Einflussfläclae für den Widerstand A der linken Stütze (Fig. 343d) wird als Unterschied des Dreiecks B'JA", dessen Seite B"J durch C" geht, und der C-Fläche erhalten; ihr Multipli-

kator ist [X =

, wo v = A" J. Wäre nämlich der Balken nur in A

und B gestützt, so bestände die M-Fläche aus einem Dreiecke A"JB" der Höhe A"J— 1, und von diesem Dreieck muss nun der Ein-

von

fluss von C so in Abzug gebracht werden, dass einer im Stützpunkte C angreifenden Last die Ordinate A = 0 entspricht. Der Multiplikator — ist erforderlich, weil A"j=v ist, statt A"J= 1.

144.    Die Af„-Fläche (Fig. 343e) erhält man, indem man auf der Geraden B" C" senkrecht unter m den Punkt m" bestimmt und die Gerade A"m" zieht. Wäre A"J = xm, so w'äre das Dreieck A"m" B" die AL.-Fläche des einfachen Balkens AB und Dreieck A"m"C" die Mm-Fläche des einfachen Balkens AC. Da À'J = v ist, muss der Multiplikator jx = xm : v eingeführt werden. Zu demselben Ergebniss führt die Ueberlegung, dass rechts von m gelegene Lasten das Moment Mm = Axm her vorrufen, weshalb sich rechts von m die Mm-Fläche von der A-Fläche nur durch den Multiplikator unterscheidet. Durch die Momente Mm sind die Gurtkräfte gegeben.

145.    Die D- Fläche in Figur 343f ergiebt sich aus ähnlichen Ueberlegungen wie sie in No. 143 und 144 angestellt worden sind. Der auf die A" B" als Nullachse bezogene Linienzug A L₁L₂B lässt sich als die D-Linie des einfachen Balkens AB auffassen, und der auf die Nullachse A"C" bezogene Linienzug A'L₁L₂C als D-Linie des einfachen Balkens A"C". Die Geraden A"Lt und B" L₂ müssen sich daher senkrecht unter dem Schnittpunkte i der Gurtstäbe 0 und U treffen, und die Punkte Nx, N₂ in denen LlL₂ von den Geraden A"B" und A"C" geschnitten wird, müssen senkrecht unter den Belastungsscheiden Ex und E₂ liegen, welche man erhält, wenn man D als Füllungsstab eines einfachen Balkens AC, oder eines einfachen Balkens AD ansiebt. Damit ist der Punkt L^ auf dreifache Weise bestimmt. Treten nur rechts von r Lasten auf, so greift links von dem durch die Stäbe O, D, U geführten Schnitt nur die äussere Kraft A an und die Momentengleichung in Bezug auf Punkt i lautet:

— Dri — AXi = 0;

Xi

und führt zu den in der Figur 343f angegebenen Vorzeichen der D-Fläche. Auch lehrt sie, dass der Multiplikator

sie liefert : D — — A

tu

Xi

Da

vr{

ist, wo Da der absolute Werth der durch A = 1 im fraglichen Füllungsstahe erzeugten Spannkraft bedeutet.

(Fig. 343«).

Eine vierte, besonders einfache Bestimmungsweise des Punktes L1 ergiebt sich schliesslich aus dem früher bewiesenen Gesetze, dass die Strecke L₁H im Falle fx = 1 gleich der durch Zerlegung von P= 1 nach den Richtungen von U und D gewonnenen Seitenkraft \_D~\ sein muss³), bei Auftreten eines Multiplikators fx also gleich der Seitenkraft einer Last

146. Die Einflussfläche für die Querkraft Q im Felde F₁F₂

zeigt Fig. 344; ihre Aufzeichnung empfiehlt sich bei Untersuchung von Parallelträgern ; da hier die Spannkräfte in den Füllungsstäben durch die Querkräfte Q bestimmt sind. Nach Eintragung der Geraden B" J wird A"L₁I/B"L2 Der Multiplikator ist = 1 : v. Der Beweis wird wie in No. 145 geführt.

Den Kräftemaassstab wird man in Figur 343 und 344 zweckmässig so wählen, dass die Lasteinheit durch eine Strecke von der Länge v dargestellt

"C

V{

C" Oi /‘lache ,/tt- ~

gezogen.

Fig. 344.

wird. Dann wird der Multiplikator der A-Fläche und Q - Fläche =1, der Mm-Fläche == xm und der D- Fläche = Da.

147.    Gehört der Stützpunkt C nicht der belasteten Gurtung an, so ist C" kein Punkt der dem Seilzuge A" C"B" einbeschriebenen C-Linie. Die Gerade B'J geht aber nach wie vor durch den Punkt C", und c bedeutet auch hier den Abstand des Punktes C" von der Schlusslinie A"B". Vergl. Pig. 345, welche einen Theil der A-Fläche darstellt.

148.    Der Einfluss einer Temperaturänderung auf den Stützen widerstand C ist ganz allgemein:

WBn

._2.

C"\

\ß"

Ct= 1

60 i 60

Fig. 345.

wo und hcc die Senkungen bedeuten, welche der Knotenpunkt C des einfachen Balkens AB in Folge einer Erwärmung bezieh, in Folge der Belastung G — — 1 erfährt. Wird eine gleichmässige Erhöhung der Aufstellungstemperatur vorausgesetzt und der Abstand des Punktes C von der Wagerechten AB mit e bezeichnet, so ergiebt sich —

Für bcc ist der Werth

§CC =

wP •

c-

EFC

einzuführen, unter wP die Polweite des Seilzuges A" C"B" verstanden. Es muss nämlich die Ordinate c des für den Zustand C = — 1 gezeichneten Seilpolygons multiplicirt werden: mit 1 : EFC, weil die -Einfachen Gewichte w benutzt worden sind, mit wP, weil die Polweite nicht

= 1 gewählt worden ist und mit

•• >Jn

weil die Höhe des

h "f 4

Momentendreiecks ÄC'B' für den Zustand C — — 1 gleich statt = y„ ist. Infolgedessen ergiebt sich der Stützenwiderstand

1    t ~t~ h)

C O) p

dessen Einfluss auf die Stabkräfte am besten mit Hilfe eines Cremo-na’schen Kräfteplanes untersucht wird. In der vorstehenden Formel ist ivP als Zahl aufzufassen, welche mit dem Maassstabe gemessen wird,

aufgetragen worden sind. Die

Strecken e, yn, Zlt l₂, c messe man mit dem Längenmaassstabe der Zeichnung.

nach welchem die Zahlen w =

ys

t,

ln der Regel wird beim durchgehenden Balken der Einfluss einer Temperaturänderung gar nicht berücksichtigt und für unwesentlich erachtet. Dies letztere trifft aber nur bei gleichförmiger Erwärmung zu, und es möge daher noch der wichtige Fall betrachtet werden, dass die obere Gurtung in Folge Sonnenbestrahlung eine um A.t höhere Temperatur annimmt als die untere. Man rechnet dann genügend genau, wenn man den Füllungsstäben und der unteren Gurtung den Werth

t = 0 zuschreibt und die Längenänderungen der Obergurtstäbe (zunächst für s = 1) nach der Formel As = sA£ bestimmt. Nun er-

skt

mittle man die Gewichte u\ —

As

der unteren Knoten-

punkte, verbinde dieselben durch ein Seilpolygon (Polweite = wtP) und messe unter C die Ordinate ct (Fig. 318e). Man findet dann hct = — s wtPct und

(2) Ct —

iEFcctyn(l, -\-l₂) wtP

wtP ist eine Zahl, welche mit dem Maassstabe gemessen werden muss, nach welchem die Zahlen wt aufgetragen worden sind.*) Ist die obere Gurtung um A t kälter als die untere, so entsteht ein positives Ct.

wP

Es möge noch für die in Fig. 346 dargestellte Trägerform eine Näherungsformel für Ct aufgestellt werden. Dazu gehen wir von dem Ausdrucke

'ES' ets

(3)

Ct

’ES'²-!

EF

aus, wo S' die durch die Belastung C — — 1 in den Stäben des einfachen Balkens AB hervorgerufenen Spannkräfte bedeuten. Wir berücksichtigen nur die Längenänderungen der Gurtstäbe, und erhalten für diese Stäbe die Werthe

(linke Seitenöffnung)

S’ = +

l₂x

S’ = +

(4 + 4) fr

lx x

(rechte Seitenöffnung).

(4 + 4) fr

Die oberen Vorzeichen gelten für die obere, die unteren für die untere Gurtung. Es ergiebt sich also, bei unendlich kleiner Feldweite

SS'²

EF (4 + l₂f

h

LM ;

x²dx

h-EF

Diesen Ausdruck schreiben wir in der Form ES'² —

EF    EF,h.*{h-F4)²

^4* J'x2(àdx -f- 4² J’x³wdx'j,

*) In der Regel empfiehlt es sich, für die verhältnissmässig grossen Gewichte uh einen anderen Maassstab zu wählen wie für die Gewichte w.

wo Fs und hs die vV erthe von F und h über der Mittelstütze bedeuten, während

WFs_

FF

ist. Die Querschnittsinhalte F mögen sich mit x so ändern, dass w eine lineare Funktion ist, welche an den Trägerenden die Werthe v.x bezw. a₂ annimmt.⁴) Dann ist

J'x² w dx = ~ - -f-

-Ł-.JC.

— OC

\h

T-

--^--

-J

-ff

OJ

U°

Fig. 346.

und man erhält

^ S'²s _ 4²4² Ri (3 + «i) + 4 (3 -I- a₂) | ^ EF    6 EFsfta² (4 -f- 4)²

Weiter ergieht sich, für die um A t erwärmte obere Gurtung

SS’ zAts = —

zAt

hh

Ixdx~1

J -⁴‘

Da nun

xdx

xdx

4²

ln

fi

Tis

so gelangt man schliesslich zu der Formel

Th (4 “R 4)

(4)

Ct — — 6 s E Fs A t

4 (3 + Ki) + 4 (3 + a₂)

hs

wo (mit den abkürzenden Bezeichnungen — = tx und

ln t.

Th

00 «

= T⁴)

(5j

& £-

Ti —1

(‘

t₂—1 V

(6)

«i =-

F\ Th

a₂ =

Fshs²

2W

Das Biegungsmoment; welches Ct über der Mittelstütze erzeugt, ist

M — — Ct

h + h

es ruft in der oberen oder unteren Gurtung die Spannkraft und die Spannung

hs F,

hervor. Man erhält also über der Stütze die Beanspruchung

(7)

a = + 6 lEAt

h 4tä

/i (3 ai) + h (3 + a2*

Der Stützenwiderstand ist. absolut genommen,

hs (6 ~f~ I-j)

hh

h —1-2 = 1. 4h = 4>* = 4», Oh ~ a₂ = a

(8)

Ct= c Fs

Ist

so ergiebt sich

¹

Nach der auf Seite 349 abgeleiteten Formel

H⁻ Xa

Xc

²

Die Ordinaten sind für eine links vom Scheitel gelegene Last P — 1 mittels der Formel M° = X« + Xbh + Xc (c« — y₀) — Pxa berechnet worden. Liegt P rechts vom Scheitel, so wird Xb negativ und das Glied Pxa fällt fort.

³

Vergl. Band I, Seite 240, Fig. 226. Bei obenliegender Fahrbahn erfolgt die Zerlegung nach den Richtungen 0 und J).

⁴

Es ist dies dieselbe einfache Annahme, die in No. 135 bei der Berechnung des Bogens mit eingespannten Kämpfern gemacht wurde.

(9)

cj = 6 eEAt

(10)

Ct — 2 aFs

Jls

Für

7    8    9    10

erhält mau

<{, — 0,500 0.614 0,676 0.717 0.747 0 770 0,788 0,803 0,816 0,830 Für h₁ = 0 also für z = cc wird = 1.

to

Es sei z. B. 7₁ = 7₂ = 30m, hs = 4,5”*, ht = fr₂ = 2,25OT, also hs:ht=z und 4> = 0,614; ferner F\ = 100 qcm und Fs = 300 qcm, mithin a = 3 • 2² = 1 Dann ergiebt sich für A 7 = 20° und für Flusseisen

a — 6 • 25 • 20

ferner

0,614 3 + 12

= rd. 120 kg/qcm

Ct — — 2 • 120 • 300

4.5

30

= — 10800 kg.

Die vorstehenden Formeln gelten auch für den Fall einer geneigten oberen Gurtung, weil sec ß so wenig von 1 abweicht, dass man A t sec ß konstant annehmen darf.

Wir erinnern wieder daran, dass der vorstehenden Rechnung die ungünstige Voraussetzung starrer Füllungsstäbe zu Grunde liegt. Dafür ist der durch Formel (1) gegebene Einfluss einer gleichmässigen Erwärmung vernachlässigt worden. Will man nach Berechnung sämmtlicher Stabquerschnitte Ct genauer bestimmen (was immer zu empfehlen ist) so benutze man die Formel (1). Dass dies nicht ganz überflüssig ist, haben wir in dem im § 11 durchgeführten Zahlenbeispiele gesehen.

149. Bei der Drehbrücke „Neuhof" über den Reiherstieg bei Hamburg-Neuhof hat die Maschinenbaugesellschaft Nürnberg die in der Figur 347 darge-

stellte eigenartige Anordnung der Füllungstäbe gewählt. Es mögen die Formeln für die Gewichte w mit Berücksichtigung der Längenänderungen der Füllungsstäbe aufgestellt werden. Zu beachten ist zunächst, dass im Belastungsfalle C — — 1 sämmtliche Vertikalen spannungslos sind, dass also die Gewichte wm und

Je

u—-

K-

LĄA\

a c d

Fig. 347.

der dem gewöhnlichen Strebensystem angehörigen Knotenpunkte m und k nach den auf Seite 105 abgeleiten Formeln

A Ont sec ß,» A f/jn sec 9»»    -1 dm • i sec cpm+1

M’m

hm

ICk —

-f- Am<; — Arffc sec cpx- — A cZa-4-x sec cp^+i

hk

zu berechnen sind.

d',

'd‘

d'/

d*

Irl“

JL.

IM

ci

<— x. —    < ^7 ' -

Su '

S'

71‘

S“

N\ id

V\

X-

4'-

L+

Fig. 348.

Fig. 349.

Um iva für den Knotenpunkt a zu finden, berechne man für den m Fig. 348 dargestellten Belastungsfall die Stabkräfte u; man findet

für den Stab o den Wertli p.

sec ß

ha

11    11 d

sec 9

11

ha

11

11 n ,4/ n

11

|X — —

cotg 9" X'

77

77

7*¹

V»

7*

17

X' sin 9"

77

77

77

77

» IX- ⁺ (xT ⁺

cotg 9"

X'

) sec 9'

und hierauf, mittels der auf Seite 105 abgeleiteten Formel

w — 2 p, A s:

— A o sec ß -J- A d sec 9 A sec 9' .

10 a —

cotg cp"

ha

(Ad' sec 9' — Ad" sec 9" — Au).

In derselben Weise werden die Gewichte wa und we berechnet.

Nun bestimmt man für den in Fig. 349 angegebenen Belastungszustand

cotg 9'

für den Stab u den Werth fr

X'

p-

cotg 9"'

X"

n n d ii

p-

cotg 9'

X'

sec 9'

•n d ,,

P- = —

cotg 9'"

P- = (*+

sec 9 cotg 9' cotg 9'"

X'

X"

j sec 9"

imd findet schliesslich cotg 9'

Wb

X'

(Au -j- Ad" sec 9" — Ad' sec 9')

cotg 9"'

X"

(Au" — Ad” sec 9" — Ad"’ sec cp'").

In derselben Weise berechnet man wc, uy und wg.

Die vorstehende Entwicklung zeigt, dass die Berechnung der Gewichte w für Ausnahmefälle nicht die geringsten Schwierigkeiten bereitet. Man denke aber auch daran, dass für solche Fälle noch das sehr allgemeine Williotsche Verfahren zur Verfügung steht. Im vorliegenden Falle giebt der Verfasser allerdings der Verwendung der Gewichte w den Yorzug, weil nach Berechnung der für beide Verfahren erforderlichen Längenänderungen Ao, Au und Ad die Ausrechnung der Werthe w so wenig Zeit in Anspruch nimmt, dass die grössere Einfachheit und Genauigkeit der Seillinie, gegenüber dem zeichnerisch viel umständlicheren und mit grösseren Fehlern behafteten Verfahren von Williot, die geringe rechnerische Mehrarbeit wieder ausgleicht. Auch lassen sich die Seillinien stets schnell durch Rechnung bestimmen.

§ 13.

Durchgehender Balken mit vier Stützpunkten.

150. Die Widerstände der Endstützen. Als statisch nicht bestimmbare Grössen führen wir die Widerstände X„ = A und Xb = B der Endstützen ein, weisen den Angriffspunkten derselben die Ordnungsziffern a und h zu und erhalten mit den auf Seite 146 erklärten allgemeinen Bezeichnungen :

Sa Pm^ma Ahaa    Bhab -f“ S0<

§6 = Pm^mb Ahba    Bhbb -J- hb

wo 5a, hb die lothrechten Verschiebungen sind, welche die Punkte a und b in Folge der Nachgiebigkeit der Widerlager gegen die durch die beiden mittleren Stützpunkte bestimmte Gerade erfahren; sie werden in der Regel gleich Null gesetzt.

Das statisch bestimmte Hauptsystem (Zustand A = 0, B = 0) ist ein Balken mit über die Stützen Cx', C.₂' ragenden Enden; seine Biegungslinien, gezeichnet für die Zustände A — — 1, B — — 1, liefern die Verschiebungen hma, haa, hba, hmb> hab, hbb.

K;

(clJ

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'&U**fd4r

imm

Fig. 350.

Die Momentenfläche des Zustandes A = — 1 besteht aus einem Dreieck I (Fig. 350b) von der Höhe —l Kräfte genau so berechnet werden, wie im vorigen Paragraphen. Beispielsweise ist bei Vernachlässigung der Formänderungen der Füllungsstäbe das Gewicht des Knotens k : u\ —--^*5*- —=^~ •

r\ F,

ic sind negativ; es entspricht ihnen also ein nach oben gebrochener Seilzug /*), dessen rechte Endseite als Biegungslinie des spannungslosen Trägertheiles C₂' B' — der nur eine Drehung aber keine Formver-

mit dessen Hilfe die w-

Die Gewichte

*) In Fig. 350 zeichneten wir der Einfachheit wegen Seilkurven. Auch haben wir die Höhen der Momentendreiecke in kleinerem Maassstabe aufgetragen. Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

24

änderung erfährt

aufzufassen ist. Nach Eintragung der durch die

Stützpunkte (7/C₂' bestimmten Schlusslinie ergiebt sich die in Fig. 32Ie schraffirte Fläche als Biegungslinie für den Zustand A = — 1 ; sie liefert die Verschiebungen hma, haa, hba.

Ganz in derselben Weise wird die BiegungsfLäche für den Zustand B — — 1 erhalten und damit bbb, hml, bab, gewonnen (wobei die Zeichenprobe hab — hba zu beachten ist), so dass jetzt alle Werthe gegeben sind, durch welche der Einfluss einer Last Pm bestimmt ist. Dieser ergiebt sich aus den Gleichungen

AKa — Bhai A bba Bbbb

(2)

0    Pm ^ m a

o = Pmhmb

und zwar erhält man A und B als lineare Funktionen der Veränderlichen    hmb. Beispielsweise wird

(3)

A Kabma | Fbbmb

wo Ka und Kb feste, von der Lage der Last P unabhängige Werthe sind, und dafür darf man auch schreiben: A =Ka    K'hmb) wo K'

einen neuen Festwerth bedeutet. Da nun nach diesem Gesetze A proportional der um K'hmb vermehrten Ordinate bma ist, da ferner einer im Stützpunkte C₁ oder C₂ angreifenden Last P der Werth A = 0 entspricht, und da endlich die im Stützpunkte A wirksame Last P den

Gegendruck A — P hervorruft, so ergiebt sich die folgende einfache Darstellungsweise der ^4-Fläche (Fig. 350f).

y"s Fc

Man zeichne den Seilzug II der Gewichte w" =

r² F

mit be-

liebiger Polweite und führe hierauf das die Gewichte w

V s Fc r² F

verbindende Seilpolygon I durch die Punkte 1, 2 und 3, in denen das Polygon II die Senkrechten durch die Stützen , C₂, B schneidet. Die von beiden Seilzügen eingeschlossene Fläche ist die gesuchte A-Fläche. Mit den aus Fig. 350f ersichtlichen Bezeichnungen 7] und v erhält man:

und, wenn die Lasteinheit P durch eine Strecke von der Länge v dargestellt wird, was hier vorausgesetzt werden möge, A = yj.

Das Seilpolygon I lässt sich sehr schnell zeichnen, weil die rechte äusserste Seite durch die Punkte 2 und 3 festgelegt ist. Bringt man diese Seite mit der Mittelkraft der zwischen den Stützpunkten C₁ und C2 liegenden Gewichte w zum Schnitt, so bestimmt dieser Schnittpunkt und der Punkt 1 die Lage der durch 1 gehenden Seite des Polygons 1.

151. Temperaturänderungen. Um noch die wichtige Aufgabe des Einflusses der ungleichen Erwärmung der beiden Gurtungen zu lösen, zeichnen wir das Seilpolygon (III) (Fig. 350) der Gewichte s A t

wt =-, wo s die Stablängen der um Ać stärker erwärmten Gurtung

-At^aa | Bf^)ab

■At^ba + Bl^bb — SS btWIIIi

bedeuten, bestimmen die Strecken hat und hbt und lösen die Gleichungen auf:

wo ivUI die Polweite des Seilpolygons III bedeutet. Die Multiplikation mit dem Ausdehnungskoefficienten s ist erforderlich, weil wt nicht' gleich zs At

A.9

sondern =

s Aż

— gesetzt worden ist. r

Man erhält

SogS6f - ^bJ>ct

^aa^bb    ^ba^ab

S&«

S6i - S„

— S Will

S«„ sb

I'L jr-

) Dilti

\xm

JF

iir

Fig. 351.

Bestimmt man nun mittels der durch die Punkte 1 und 2 der Seilpolygone I und II gelegten Geraden die Strecken v]««, v\ab und v\ba = y\bb, Fig. 351, so findet man, da ja I und II in einem gewissen, hier gleichgültigen Maassstabe die Biegungslinien für die Belastungszustände A = — 1 und B = — 1 vorstellen

S ba    S ab

S«« Sbb

S ba

Vba

Sa«

T\«a

und

ba \ab ^laa    ^bb

ab

Da nun weiter

S bb —

Wn' ^hb

EFC

ist, wo Wn die Polweite des Seilpolygons bedeutet, so erhält man schliesslich den einfachen Ausdruck

24*

Win

Bt = sEFc

U'u    % b CV' «    ’ri a b)

und auf dieselbe Weise findet man

At = zEFc

Wni ^atA]bb ~ §btTl Wi    r(]ab)

Wi, Wn, Win sind Zahlen, welche mit dem Maassstabe gemessen werden, in weichem die entsprechenden Gewichte w, io", wt aufgetragen worden sind.

152. Untersuchung einer Seitenöffnung. Aus der Einflusslinie für A, welche zweckmässig auf eine wagerechte Nulllinie (JCf Co B

p-------^---------wo----

______

J]

<s

P/i

.    I

l^famrnnnPTTïïniÏÏTIIIIIIIIttWHIIIIIIÏIÏÏIM^—1 Cî    _ ! fl "

Jf^Flcixhe,-^-jcm !    ^

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-t-

P\

■ItttlIllillIÏÏÏÏÏÏIÏÏÏÏTimiTm^

UJ

ii

WF"

D F’ldrJief 7Jj

L.

~ ^ -Lis/re

fej

C",

JĄ F/crche,/U- lt

c;

Fig. 352. •

in Fig. 352) bezogen wird, lassen sieli nun alle zur Berechnung der ersten Oeffnung erforderlichen Einflussflächen auf dieselbe Weise ableiten wie dies im § 12 für den Träger mit drei Stützen geschehen ist. Die Figuren 352b>c>d sind ohne weiteres verständlich, wenn beachtet wird, dass der Einfluss der rechts vom Schnitte tt gelegenen Lasten auf das Moment Mm, die Querkraft Qm+X und die Spannkraft D proportional dem Stützenwiderstande A ist, weil dann links von tt nur die äussere Kraft A angreift, und dass alle Einflussflächen in die einem einfachen Balken ACX entsprechenden übergehen müssen, sobald die gebrochene A- Linie durch die Gerade A"C" (d. i. die A-Linie des einfachen Balkens ACX) ersetzt wird.

Um die Mm-Fläche zu erhalten, bestimme man m" senkrecht unter m und ziehe die Gerade A"m". Multiplikator = xm.

Die Q-Fläche für das (m -)- l)te Feld entsteht nach Ziehen der wagerechten Geraden A" Lx durch Eintragung der Geraden L₂LX. Multiplikator = 1.

Der Punkt Lx der D-Fläche ist in Fig. 35 2d auf vierfache Weise bestimmt worden, nämlich mittels der Bedingung, dass der Schnittpunkt i" von LXA" und B" J senkrecht unter dem Treffpunkte i der Gurtstäbe 0 und U liegen muss, sodann mit Hilfe der den einfachen Balken ACX, AC₂, AB entsprechenden Nullpunkte Nx, N₂, 7V₃.*) Das einfachste aber ist, die Strecke HLX mit Hilfe von [Z>], vergl. Fig. 343 f vl. g, zu ermitteln.

In Fig. 350e wurde noch mittels der A-Linie die Einflussfläche für das Moment Mcx (Stützenmoment), welches wir in der Folge kürzer mit Mi bezeichnen wollen, bestimmt; der Multiplikator ist = lx ; und in derselben Weise Hesse sich mit Hilfe der B-Linie die Einflussfläche für das Stützenmoment MC2 — Mn herleiten.

Zwischen den Momenten Mi und Mu besteht eine für die folgenden Untersuchungen wichtige Beziehung. Bringt man nämlich nur eine rechts von C₂ und im Abstande 'Ę, von C₂ angreifende Last auf (Fig. 353),

und die erste

so entspricht dieser nach Fig. 350c der Werth bma

der Gleich. (1) geht (wegen bab — bba) mit ba = 0, bat = 0 über in:

0=Pbba^--Abaa— Bbba]

sie lässt sich mit Hilfe der Gleichungen

Alx = Mi und Bl₃—P% = Mn

4

4 4 a

umformen in

Mn

Mi

und führt zu dem wichtigen Gesetze:

*) Die Hilfslinien wurden in Fig. 352 fortgelassen. Vergl. dafür Fig. 343 a u. f.

Wird nur eine Aussenöffnung belastet, so nimmt das Ver-hältniss Mu : Mz einen von der Grösse und Lage der Lasten unabhängigen Werth an.¹)

Die Momentenlinie der Oeffnung l₂ besteht also, falls nur die Oeff-nung l₃ belastet wird, aus einer durch einen festen Punkt L gehenden Geraden, und die Lage dieses Punktes kann auf die in Fig. 353 gezeigte Weise ermittelt werden. Man findet nämlich:

m:m.

v bba ) V §aa )

— Mu : Mz = e : e — cotg ß : cotg a —

4L

(t    ¹..........

r |    j--¹

<---Z,---f«—e'----¹ k----L

----- r -----

Fig. 353.

Ganz in derselben Weise lässt sich mit Hilfe von hbb und hab der feste Punkt R bestimmen, durch welchen im Falle ausschliesslicher Belastung der Oeffnung die Momentengerade der Oeffnung l₂ geht. Man nennt die Punkte L und R Festpunkte, die ihre Lage bestimmenden Lothrechten sind in Fig. 350 c und e (strichpunktirt) eingetragen und mit (L), (R) bezeichnet worden.

In der Folge werden wir für die Verhältnisse zwischen den Strecken, in welche die Oeffnung l₂ durch die Festpunkte zerlegt wird, die Bezeichnungen ein führen :

e'

LC₂

RG x;

RC₂

Wir erhalten dann, je nachdem nur die rechte oder nur die linke Aussenöffnung belastet wird,

LCX

x\

Mu — — x Mz bezw. Mj = — y! Mn.

Wenn man die M-Fläche nach dem in Fig. 350f angegebenen Verfahren zeichnet, so stellen die Seilpolygone I und II die Biegungslinien für die Belastungszustände A = — 1 und B = — 1 in verschiedenen Maassstäben vor. Dies macht aber nichts aus, da es bei der Bestimmung der Festpunkte nur auf die Verhältnisse 5«a:5₆₍₍und : 5«& ankommt.

153. Untersuchung der Mittelöffnung, a. Querkräfte. Für

das mte Feld ergiebt sich nach Band I, Seite 162, Gleich. 2

Qom

(6) Qm

Mn—Mz

Die aus Gleich. 6 gefolgerte Darstellung der

wo Qom die Querkraft für das mie Feld eines einfachen Balkens I — II bedeutet.

4-—

—Hs

I    {Jfa -u Ifjl; inie

il

TT

i I ; iUïïhïïÏÏTMiïïrLlu^--^-¹^'    ^

jfF^

t%^jri0.cfie'■/ /tt /

t/'

Fig. 354.

<4-Fläche zeigt Fig. 354; sie erfordert nach Auftragung der durch

die Einflusslinien für A/z und Mu bestimmten

(Ma—Mj)-Linie nur

das Ziehen der parallelen Geraden IJ" und IIj’ und der Geraden L₁L₂; die letztere ändert ihre Lage von Feld zu Feld, die anderen Linien können für die ganze MittelöfFnung benutzt werden.

b. Momente. Zwischen den Querkräften und den Momenten bestehen Beziehungen von der Form

(7)

m- 1

\n

Bei gleichlangen Feldern kann man also mittels der Gleichung

+ Qm

Mm-1

die Af : X - Flächen schrittweise aus den Q-Flächen herleiten, indem man von der bereits durch die Mx: /.-Fläche bestimmten A/j: X-Fläche ausgeht.

Zu einer anderen Darstellung der Einflusslinien für die Momente gelangt man, wenn man den Einfluss einer Einzellast P auf sämmt-liche Querschnitte verfolgt. Fig. 355a zeigt die Momentenfläche für den im Punkte C mit P belasteten Balken; sie ist bestimmt durch die Stützenmomente MI = r[I und Mn=r\n und durch das Moment

CS = P

ist.

Es empfiehlt sich, den Werth 1 • —

. welches P im Querschnitte C eines einfachen Balkens I II erzeugen würde. Die Punkte S liegen in einer Parabel, deren Pfeilhöhe für P — 1 gleich -~ als Moment aufzufassen und den Maassstab hierfür nicht zu klein zu

k---

.j

HL

is

III I

0J

t,a

Molinie I

JljLinie

I (dj \JT

Fig. 355.

wählen. Der Einfluss von P = 1 auf das Moment für irgend einen Querschnitt E ist M = Pv\. Zeichnet man also die Momentenflächen für alle Lagen von P = 1, so erhält man sämmtliche Ordinaten der Einflusslinien für die Momente. Wir wollen aber die in Fig. 355 dargestellte Konstruktion nur zur Ermittlung der Ordinate des Punktes C benutzen, den wir in der Folge kurz die Spitze nennen wollen. Die Zweige IC und CII (Fig. 355°) lassen sich dann sehr schnell mit Hilfe der folgenden einfachen Betrachtung zeichnen.

In Fig. 356 haben wir den Ort der Spitzen C und die Zweige CII einer Mittelöffnung mit 10 gleichlangen Feldern dargestellt. Für den mit der Stütze I zusammenfallenden Querschnitt ist dieser Zweig die fff/-Linie. Liegt nun die Last P = 1 im Knotenpunkte 4, so ist für die ersten 4 Felder:

und daraus folgt, wegen Qm =

Qi — Q2 — Qs — Qi

Mm — M,

, bei konstantem X,

(8)

M₁ — Mt = M₂ — M₁ = M₃ — M₂ = Ml — il/₃.

c.

C-

fr

Y⁷

/i

_z>

z>

Ą i> Ą

Fig. 356.

Es wird also der Abstand C₄Z>₄ des Orts der Spitzen von der 4/j-Linie durch die rechten Zweige der Einflusslinien für M₃, M₂ und Mx in vier gleiche Theile zerlegt und ganz allgemein der Abstand CmDm in gleiche Theile.

Tritt die Last auf die rechte Seitenöffnung über, so ist die Querkraft Q für sämmtliche Felder der Mittelöffnung gleich gross. Besitzt also die rechte Seitenöffnung n gleichweite Felder, so hat man zur Bestimmung der zu l₃ gehörigen Zweige der Einflusslinien für Mx, M₂, Mn-i nur nöthig, die von den Einflusslinien für Mz und Mu auf den Senkrechten durch die Knotenpunkte abgeschnittenen Strecken in n gleichlange Theile zu zerlegen. In Fig. 357 ist dies für den Fall dargestellt worden, dass die Oeffnung I-II 6 gleichlange Felder besitzt.

Sind die Feldweiten nicht gleichlang, so findet man an Stelle von Gleich. 8 die Beziehung

(9) (JWi - Mj) : (Ms — J/J : (M₃ - M,) : (Jf₄ — M₃) = \ : X, : Xs : ²₄;

man muss also die Strecke Z>₄ (7₄ in Theile zerlegen, die, von untep nach oben gezählt, sich zu einander verhalten wie a₁:X₂:X₃:X₄.

Jfflirûé -7?

-S-

Linie

Fig. 357.

Fig. 358, die sich auf eine Mittelöffnung mit 6 Feldern bezieht, zeigt die Ausführung dieser Theilung. Es empfiehlt sich, mindestens zwei Schaaren von Parallelen, für grössere und kleinere Ordinaten zu benutzen.

In derselben Weise werden die linksseitigen Zweige der Ji-Linie

bestimmt.

fr-

fr²

/ //h

*-

Fig. 358.

Kennt man aber die Einflusslinien für die Momente M, so bereitet die Darstellung der Einflusslinien für sämmfliehe Stabkräfte nicht die geringsten Schwierigkeiten. Wir verweisen besonders auf das ausführliche Zahlenbeispiel im § 11²) und machen nur noch auf eine Vereinfachung aufmerksam, die bei dem in der Regel vorliegenden Falle einer geradlinigen oberen oder unteren Gurtung zu einer erheblichen Zeit-ersparniss führt.

m+ 1

Ist die eine Gurtung, beispielsweise die obere Gurtung, geradlinig und ß ihr Neigungswinkel, Fig. 359, so besteht zwischen Vm und die Beziehung

1 cos ß -f- Dm+\ cos (ß -j- 9«*h-0 ~f~ Pm cos ß = 0

und aus dieser folgt

Vm

D>n+1 cos 9„[+1

Pm

wo y

COS (ß + 9m+l)

COS ß COS 9m+1

I,

Fig. 359.

So lange also der Knotenpunkt m unbelastet ist, stimmt die Einflusslinie für —- Vm : y mit der Einflusslinie für

P»lĄ-\ COS 9 m-i- 1

Mm+1

^OT+l

überein. An der Stelle m unterscheiden sich die Ordinaten dieser beiden Linien um den Werth 1 : y.

Wir wollen noch zwei andere Verfahren zur Ermittlung der Einflusslinien der Stabkräfte angeben.

Das erste setzt gleiche Feld weiten voraus und beruht auf Ver-werthung des in Band I, § 33 mitgetheilten Zimmermann'sehen Verfahrens. Es ist in Fig. 360 für einen Theil eines Ständerfachwerks mit obenliegender Fahrbahn dargestellt worden. Mit Hilfe der Ordinaten und 7j" der Mm : X-Linie und Ifm_i : A-Linie sind die irgend einer Lastlage P entsprechenden Ordinaten y]D und r\v der Dm-Linie und F^-Linie bestimmt worden.

Ein anderes Verfahren bringt die Spannkräfte S in den Stäben auf die Form

S — So -j- SV M, -j- Sn Mn,

wo S₀ die Spannkraft für ff/j = 0 und Mu— 0 ist, d. h. für den Fall, dass die MittelöfFnung durch Beseitigung der den Mittelstützen C₁ und U₂ gegenüberliegenden Gurtstäbe in einen einfachen Balken verwandelt

wird, während ST und Su die Spannkräfte für die in den Figuren 361 und 362 dargestellten Belastungszustände Mi= 1 und Mu— 1 bedeuten.

154. Die bei der Untersuchung von Eisenbahnbrücken zu leistenden zeichnerischen Arbeiten werden erheblich vereinfacht, wenn man die im I. Bande auf Seite 168 unter No. 99 gegebenen und begründeten Rathschläge befolgt. Danach empfiehlt es sich, bei der Untersuchung der in den Stäben der Mittelöflhung durch möglichst ungünstige Belastung der Mittelöflhung hervorgerufenen Beanspruchungen, einzelne Theile von Fahrzeugen zu vernachlässigen, welche auf die Seitenöftnungen zu stehen kommen. Man braucht dann von den Einflusslinien für die Momente, Querkräfte und Stabkräfte S der Mittelöffnung nur die zwischen den Stützen I und II liegenden

//(/'

?/ß

r/'

P-I

m-t

IT

rn f

iißi&

Hk:

Fig. 360.

A)

g§

Ær

-4 -

Fig. 361.

Fig. 362.

Zweige zu zeichnen, und findet die ungünstigste Wirkung der Belastung der Seitenöffnung auf die in Rede stehenden il/, Q und S sehr schnell wie folgt. Man stellt über der rechten Seitenöffnung den Eisenbahnzug so auf, dass ein möglichst grosses Moment Mu entsteht; vernachlässigt hierbei den etwa über der Mittelöffnung stehenden Theil des äussersten Fahrzeugs und zeichnet mittels des Festpunktes L die in Fig. 353 schraffirte Momentenfläche; diese giebt den Einfluss der behandelten Belastung auf das Moment für jeden Querschnitt der Mittelöffnung an.

Die für das Trägerstück Cx C₂ konstante Querkraft ist Q

Mn—Mi

und der Einfluss auf die Stabkräfte S der Mittelöffnung ist S = NjAZ/ -J- Sn Mn.

lastung der linken Seitenöffnung untersucht.

155. Die Widerstände der Mittelstützen. Es seien r—1, r, r -f- 1 drei aufeinander folgende Stützpunkte eines über beliebig viele Stützen greifenden Balkens, M Cr, Cr+i die Stützenwiderstände. Cor bedeute den Werth, welchen Cr annehmen würde, wenn sämmtliche Stützenmomente gleich Null wären, wenn also die Trägerstücke lr und Ir+l in einfache Balken verwandelt würden. Ueben die einfachen Balken lr und lr+l auf die Stütze r die Drücke B,. und A aus, so ist

Und ganz in derselben Weise wird der Einfluss der Be-

Mr, Mr+i die Stützenmomente, Cr_u

r-f 1

/'/

\c,

TT

Cor - Br -f- Ar+1.

Nun ist die Querkraft für einen unmittelbar rechts oder links von r gedachten Querschnitt des durchgehenden Balkens:

Mr — M,

Fig. 3C3.

Mr+1 — Mr

»•+i

lr+1

bezieh. Qx =

Br

lr

und man erhält daher wegen Q₂ — Qi Cr, den allgemeinen Ausdruck:

Mr_x — Mr

Cr = CorĄ

MyĄ. 1 My

lr

Hiernach ergiebt sich für den Stützenwiderstand Cx des Trägers mit drei Oeffnungen (da das Moment M für die Endstütze gleich 0 ist) der Werth

Cx=CoX

Mx

und es ist deshalb die Cx-Linie bestimmt durch die in Fig. 364 dar-

C,

Fig. 364.

gestellte C0l-Linie, und die Einflusslinien für Mx und Mn. In gleicher Weise wird auch die C₂-Linie ermittelt.

156. Die EinfLusslinie für die Vertikale über der Mittelstütze

erhält man mit Hilfe einer Bedingung für das Gleichgewicht der am oberen oder unteren Knotenpunkte (Fig. 365) angreifenden Kräfte.

ir

L\

Fig. 365.

Ist die obere Gurtung geradlinig, so zerlege man die in n angreifenden Kräfte rechtwinklig zu 0 und nach der Richtung von 0 und setze die Summe der rechtwinklig zu 0 wirkenden Kräfte gleich Kuli. Man erhält dann Vn ausgedrückt durch Dn, Dt und Pn. Sonst betrachte man den unteren Knotenpunkt, bilde die in der Richtung der einen unteren Gurtung und rechtwinklig hierzu wirkenden Seitenkräfte rrnd setze wieder die Summe der letzteren gleich Null. Man erhält dann V ausgedrückt durch U₁ und C oder Un und C.

Andere Behandlungsweisen des durchgehenden Balkens auf 4 Stützen findet man in den folgenden Paragraphen.

¹

Kennt man also den zur Oeffnung l₃ gehörigen Zweig der Mi-Linie, so kann man sofort den entsprechenden Zweig der Mn-Linie zeichnen, oder umgekehrt. Hat'man innerhalb Oeffnung lä einen Belastungszug so aufgestellt, dass Mi (absolut genommen) möglichst gross ist, so entspricht derselben Zugstellung auch ein Grösstwerth von Mn.

²

Im vorliegenden Falle sind natürlich die Momente Mm für zwei senkrecht übereinander liegende Punkte m gleich gross; M°m = Jl“.

§ 14.

Durchgehender Balken mit beliebig yieien Stützen.

157. Die Elasticitätsgleicbungen. Ein über (ft -j- 1) Stützpunkte greifender, nirgends durch ein Gelenk unterbrochener Balken ist (n—l)-fach statisch unbestimmt, weil es der Beseitigung von

'“I

~----4/---Ÿ 4 T 4'

I. 1

if

4.

}?

J.

------r»

Fig. 366.

(ft — 1) Stützen bedarf, um diesen Träger in einen statisch bestimmten zu verwandeln. Die Untersuchung dieses Balkens soll zunächst ganz allgemein durchgeführt werden, ohne Rücksicht darauf, ob ein Fachwerk oder ein vollwandiger Träger vorliegt.

Drei beliebige aufeinander folgende Stützpunkte mögen die Ordnungsziffern r— 1, r, r-j- 1 tragen, ihre wagerechten Abstände seien I,-, lr+u Fig- 366. Die Geraden r — (r—1) und r—(r-|-l), welche den Punkt r mit den benachbarten Stützpunkten verbinden, nennen wir das ru Geradenpaar, und den Winkel, um welchen sie sich in Folge des Nachgebens der Widerlager gegen einander drehen, bezeichnen wir mit t,.. Bedeutet 5,. die nach oben positiv genommene lothreehte Verschiebung des Stützpunktes r gegen die Punkte (?--1) und (r -\- 1), so

besteht die Gleichung

(1)

/j. x— S,.

4-f-1 j A

Ir

d. h. xr = 5,.

A+i 1 A

lr /r-i_ i

(d)

<\\

welche gestattet, aus einem gegebenen §,. auf die Drehung xr zu schiiessen. Drückt man nun andrerseits xr durch die auf den Balken wirkenden Kräfte und die

Temperaturänderungen so erhält man eine

aus,

! Mt

Elasticitätsbedingung, und es leuchtet ein, dass sich durch Wiederholung dieses Verfahrens ebenso

viele Gleichungen aufstellen lassen, als Mittelstützen vorhanden sind — im ganzen also (n — 1 ) Bedingungen.

Als statisch nicht bestimmbare Grössen sollen die Stützenmomente Mx, M₂, . - • d/,._i, Mr, Mr+1, . . . A/„_i eingeführt werden, und es kommt daher zunächst darauf an, die Biegungslinien für die Zustände

‘-fffTTTT

AU

r-z

igsr

-fl

TT"“

r1

cr

Pr

fcc-J

i*-—4--t-—kr⁻*¹

Fig. 367.

Mi

M,. — — 1, Mn

— 1, M₂=— 1

aufzutragen, sowie die gegenseitigen Drehungen der den Mittelstützen 1, 2, . . . r—1, r, r-j-1, ... n—1 entsprechenden Geradenpaare zu ermitteln. Hierbei bezeichnen wir allgemein mit xpq die gegenseitige

Drehung des pten Geradenpaares in Folge Mq——1 und erinnern an die in der Einleitung bewiesene Beziehung

(2)

Fig. 367b zeigt die Momentenfläche für den Zustand Mr = —1,

erzeugt durch die aus vier Kräften ^

einheit des rten Geradenpaares.*) Fig. 367° sei die zugehörige Biegungslinie, d. i. das Seilpolygon der in bekannter Weise aus dem Momenten-dreiecke Ar berechneten Gewichte w**); die äussersten Seilseiten sind als Biegungslinien der links von r— 1 und rechts von r -|- 1 gelegenen, bei Eintritt des Zustandes Mr — — 1 spannungslosen Balkenstücke aufzufassen, und es leuchtet zunächst ein, dass der fragliche Belastungsfall nur auf die gegenseitige Drehung des (r—i)ten, rten und (r-j-1) Geradenpaares von Einfluss ist, dass sich also

^(r-i)r ⁼⁼ 0» ^(r—3)r ⁼⁼ 0, . . .

^(r-\-2)r ⁼⁼ 0;    =: 0, . . .

ergiebt. Drückt man demnach die Drehung Tr durch die Lasten P, die statisch nicht bestimmbaren Grössen M und die Temperaturänderungen aus, so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (3) die der Stütze r entsprechende Elasticitätsbedingung:

(4) rr = 2 Pm    — Tr(r_,) Mr_ ! — xrr Mr — Tr(r+1) Mr+i -f xri,

wo Trt den Einfluss der Temperaturänderung bedeutet.

^r(r-l)    “(r-l)f> *rrj    '    ' ^"(r+l)r Sind duich

die Biegungslinie in Figur 367° gegeben; während sich xrt mit Hilfe eines die Gewichte wt verbindenden Seilpolygons in der Form

lr lr+1

^ bestehende Belastungs-

ten

(3)

Die Werth e

(5)

^rt -- C'rt

lr+1 A

darstellen lässt, Fig. 36 7°. Werden noch die für den Fall sehr kleiner der hier ausschliesslich ins Auge gefasst wird —

Formänderungen — gütigen Beziehungen

(6)

dr

"“r(>— 1 ) - ,    ) ~rr

Ir

eingeführt, so geht (4) über in :

ly+\ —f~ !y

ly+\ ly

dy+l

lr+l

*) Vergl. Seite 31—33.

**) Für das Fachwerk erfolgt die Berechnung der w nach § 12, No. 117. Es ist in der Regel zulässig, den Einfluss der Füllungsstäbe zu vernachlässigen. Für den volhvandigen Balken, für den obige Gleichungen ebenfalls gelten, wird die Ermittlung der Gewichte ic in der zweiten Abtheilung dieses Bandes gezeigt werden.

(V

31,

•-i

+ v(

cr

c,.

ly+\

■+i

dr+1

lr

.AT,., wo

(8)

Nr= —

lr —(— l,.₊ \

Dabei ist das Vorzeichen des Gliedes NPmömr umgekehrt worden, weil von jetzt an unter hmr stets der absolute Werth der fraglichen Ordinate der Biegungslinie verstanden werden soll.

Wir wollen in diesem Paragraphen voraussetzen, dass die Stützenverschiebungen èr gegebene, durch Beobachtung gefundene Grössen sind, sie mögen also von Ursachen herrühren, die sich der Vorausberechnung entziehen, wie beispielsweise das Nachgeben der Fundamente. Wären die h,. abhängig von den Stützendrücken, so müsste man diese Drücke auf die in No. 155 beschriebene Weise durch die Stützenmomente ausdrücken. Ist dann hr nur abhängig von C,., so treten in der Gleichung 7 ausser den Momenten 3T,

Momente 3L

Mr und Mr+i noch die auf. Eine allgemeine Untersuchung dieses Falles soll in der zweiten von den vollwandigen Systemen handelnden Abtheilung dieses Bandes gegeben werden ; sie ist für den vollwandigen Balken wichtiger als für den gegliederten ; ihr Hauptanwendungsgebiet bilden die Schiffbrücken und die durchlaufenden gelenklosen Schienenträger der Eisenbahnbrücken.

r -2

und M

r+2

Die (n -—-1) Gleichungen, welche sich nach Art der Gleichung 7 aufstellen lassen, nennen wir die Grundgleichungen; wir werden sie später meistens in der bequemeren Form schreiben:

(9)

txrilP_i —j— $rMr —}- oc,.₊₁ Mr+l = Nr

wobei also:

(10)

Ehe wir uns mit der Auflösung dieser Gleichungen beschäftigen, machen wir darauf aufmerksam, dass bis jetzt stillschweigend vorausgesetzt worden ist, es seien die Biegungslinien mit der Polweite 1 gezeichnet und die Gewichte w aus den Längenänderungen der Fachwerkstäbe berechnet. Wählt man nun die Polweite = wP, giebt dem Dreieck A,. die beliebig gewählte, aber für alle Stützpunkte feste Höhe ijc,

ys Fc

r² F

r²EF ^eite 359)> so muss man die Werthe d, c und hmr noch mit ivP:EFcyc multipli-ciren, oder — was auf dasselbe hinauskommt durch jenen Ausdruck dividiren. Sind ausserdem die Gewichte wt für e = 1 berechnet (Seite 371) worden, so muss ct in (8) noch mit s

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

und setzt man schliesslich w

statt iv

das Glied hr -J- crt

multiplicirt werden und man erhält, wenn die Polweite des die Gewichte wt verbindenden Seilzuges = wtP angenommen wird:

(11)

N,. — — | 2 Pm hmr -j-

EFc(lr -j- h+\)yc

IV plr lr-\-1

(br -f- £Crt WtP^ }•

Die Strecken hmr, yc, hr, crt, lr, lr+l werden mit ein und demselben Längenmaassstabe gemessen, wP und wtP sind (ebenso wie die w) Zahlen. EFC ist eine Kraft, Nr ein Moment.

Solange nur der Einfluss der Lasten P untersucht wird, hat man lediglich darauf zu achten, dass sämmtliche Momentendreiecke A dieselbe Höhe yc erhalten und sämmtliche Seilzüge mit der gleichen Polweite wP gezeichnet werden; wie gross yc und ivP gewählt werden, ist dann gleichgültig.

158. Die Festpunkte L und li. Erstes Verfahren zur Auflösung der Elastieitätsgleichungen. Wir verfolgen jetzt nur den Einfluss der Lasten P, nehmen also 8,. = 0 und crt = 0 an; auch setzen wir zunächst voraus, dass nur ausserhalb der Oeffnungen lr, lr+l Kräfte P auftreten. Die Momentenlinien der Balkentheile Zr+1 bestehen dann aus zwei durch die Stützenmomente M, stimmten Geraden mit den Nullpunkten Lr, Lr+X, und zwischen jenen drei Momenten gelten die Gleichungen:

arMr-i -j- ß,. Mr -\- a,.₊₁ il4₊₁ = 0

Mr, Mr+1 be-

(12)

(13)

Mr-x = — Mr

b'

; Mr+X — — Mr—y (s. Fig. 368),

aus

denen sich die einfache Beziehung

ergiebt. Mit Hilfe derselben lässt sich die Lage des einen Nullpunktes leicht bestimmen, sobald die des anderen gegeben ist. Bringt man nämlich die Senkrechten durch Lr und L der für den Belastungsfall Mr = und Lr+X' zum Schnitt, so findet man:

mit den äussersten Seiten 1 gezeichneten Biegungslinie in L,'.

r-f-1

Z r (r— l)' = a' = ar

er-⁴ I S

also:

ß,. = ÖL -j- Oi"

= a =ar+l

*) Man denke daran, dass es sich hier um sehr kleine Formänderungen handelt. In Fig. 368 wurden nur die Punkte (?• — 1)', r\ (r-j-1)' und die äussersten Seiten der fraglichen Biegungslinie gezeichnet. Vergl. auch Fig. 367c.

und hieraus folgt, dass die drei Punkte Lr, r, L liegen¹)

r+1

in einer Geraden

Wir setzen voraus, dass nur die rte OefFnung belastet wird, und dass

die Stützenmomente Mr_x und Mr auf irgend eine Weise gefunden sind. Innerhalb einer unbelasteten OefFnung besteht die Momentenlinie aus einer Geraden, Fig. 369. Die Nullpunkte dieser Geraden seien links von der belasteten OefFnung: L₁, L₂, L₃, . .. rechts davon: En, Rn_x, R„.₂ • • • Der Punkt L₁ fällt mit dem Stützpunkte 0 zusammen; seine Lage ist also bestimmt, und damit sind auch schrittweise

rr

Tr

mittels des soeben bewiesenen Gesetzes die Punkte L₂, L₃, . . . gegeben. Und ganz auf dieselbe Weise kann man, von Rn ausgehend, der Reihe nach R„_u P finden.

n-2i • • •

\)C„

Fig. 368.

Die Lage der Punkte L und R ist ganz unabhängig von der Belastung des Balkens; sie ist vollständig bestimmt durch die den Zuständen Ml = — 1, M₂ — —1, ... entsprechenden Biegungslinien. Es führen deshalb diese Punkte den Namen Festpunkte ; ihre Ermittlung

AZ

Il I

li

Tt-Z

Bn

! ⁺ Affz

rt

TÎ Tn-t

n-t

Fig. 369.

ist die erste Arbeit, welche bei Untersuchung eines über mehrere Stützen greifenden Balkens auszuführen ist. Kennt man die Punkte L und R, so ist man nach Figur 369 im Stande, den Einfluss der Belastung irgend einer OefFnung auf die Momente aller übrigen OefF-nungen schnell anzugeben, sobald die Momente für die jene belastete OefFnung begrenzenden Stützpunkte gefunden sind.

Wir bezeichnen nun mit ar und br bezieh, a ’ und br die Strecken, in welche die OefFnung lr durch den Festpunkt Lr bezieh, den Festpunkt Br zerlegt wird, Fig. 370, setzen

(14)

a,.

K'

ar

= y-r,

und erhalten für den Fall, dass nur rechts von r Lasten auftreten, dass also die Momentenlinie der OefFnung lr eine durch den Punkt Lr gehende Gerade ist, die Beziehung:

Mr — —

welche in Verbindung mit der Elasticitätsbedingung:

IXr^Mr.2 —|— ïr-lMr-i ~~J⁻ <XrJ\Ir = 0

zu der Gleichung

(15)

a,._ii¥r_₂ -f- ßr_i M,.^i = xr a,. Mr führt, und diese letztere bleibt auch bestehen, wenn zwischen r— t und r Lasten hinzutreten, weil hierdurch das Verhältniss zwischen den Momenten M,

Gleichung (15) ist nur an die Bedingung gebunden, dass der Träger zwischen 0 und r—1 unbelastet bleibt; und ganz ebenso lässt sich, zeigen, dass zwischen Mr und Mr+X die Beziehung besteht:

<xr+lMr+i -f- firMr — x/ otrMr,

r-2

und M,

»--1

-1

nicht beeinflusst wird. Die Gültigkeit der

(16)

sobald rechts von r keine Lasten auf den Balken wirken. Ist also-nur die OefFnung lr belastet, so gilt sowohl (15) als (16) und die beiden Elasticitätsbedingungen :

a,._!-j-    -f- a.,.Mr = — 2POT6OT(r_i)

a,.Mr.\ —(— ßril/r -J⁻ a.r+lMr+l = — iSPm8mr

gehen über in

X,. ilIr _ i —j— Äfr — — k Pm

5»,

(r-1)

(17)

a,.

2Pm

(*•-1)

dr

Mr-1 -f- x,. Mr-    —' P,n

hmr

lr)

dr

sie führen zu einer sehr einfachen Darstellung der Momente Mr-\ und Mr► Trägt man nämlich Mr-\ und Mr bei (r —- 1) und r als Ordinaten auf, Figur 370, und verbindet die Endpunkte derselben durch eine Gerade, so sind die Ordinaten dieser Geraden an den Stellen Lr und B,i

a,.

Y= M,

r- 1 T⁻

lr

+ M,

ar

ar

ü'

r lr    lr

- (Mryr -j- dP-i),

(d/t._rx,. -j- il/,.)

woraus mit Beachtung der Gleichungen 17 :

2pm5m(r_1); r = -

(18)

Y= —

IMP

a'.

dr

2Pw8m,.,

und diese Werthe lassen sich leicht zeichnerisch bestimmen. In Fig. 370 ist beispielsweise die Ei'mittlung von Y und Y' für den Fall eingetragen, dass nur eine Einzellast P wirkt, und damit ist die Aufgabe

gelöst, die Zweige (?--1) — r der Einflusslinien für Mr_x und Mr zu

zeichnen.

JS&2-

K,

En..

\-

* E'

PU

gil

PiÀ,

rt A,    A'-"'"

Cfp

;T

i/V,

)c---

€-*----

■~*'4---1

—    r—*i

Fig. 370.

Will man den Einfluss der Last P = 1 nicht nur auf    und

Mr sondern auf sämmtliche Momente der Oeffnung lr haben, so muss die in Fig. 370 dax-gestellte durch Schraffirung hervorgehobene

, denn

man

Momentenfläche auftragen; dieselbe ist bestimmt durch 0 =

pE

lr

das Dreieck ECE' ist die Momentenfläche eines einfachen Balkens lr. Die Strecke 0 aber wird als Ordinate einer Parabel erhalten, deren

Pfeil = 0,25 PL ist.

Jetzt lassen sich alle bei der Untersuchung des Balkens auftretenden Fi-agen auf dieselbe Weise erledigen wie bei dem im § 13 behandelten, auf 4 Stützen ruhenden Balken. Wir verweisen besonders auf die in den Figuren 355 bis 357 dargestellten Verfahren. An die Stelle von Mi und Mn treten Mr_x und Mr. Ebenso können für die Querkräfte die früheren Untersuchungen benutzt werden. Die ^-Flächen für die Oeffnung lr lassen sich z. B. nach dem in der Fig. 354 dargestellten Verfahren aus der Einflusslinie für den Ausdruck (Mr—Mr__x):l,. herleiten.

Den Einfluss der Belastung der übi'igen Oeffnungen auf die Stabkräfte der Oeffnung lr kann man auch mit Hilfe der Gleichung finden S = Sr.\Mr.\ -j- SrMr,

S = S₀ -f- Sr_iMr-i -f- SrMr (entsprechend der Formel auf Seite 379) die zwischen (r— 1) und r gelegenen Zweige der ^-Linien gewinnen kann.

Ganz besonders einfach gestaltet sich die Untersuchung eines Endfeldes. So kann man z. B. alle zur Behandlung der Oefinung lx erforderlichen Einflusslinien auf die im § 13 in No. 152 gezeigte Weise aus der Einflusslinie für den Widerstand A der Endstütze herleiten, nachdem man die A-Linie mit Hilfe der Mx-Linie bestimmt hat. Es liegt hier die Umkehrung der in No. 152 gelösten Aufgabe vor; dort wurde die Mx -Linie aus der A-Linie entwickelt.

159. Zweites Verfahren zur Auflösung der Grundgleichungen:

•+i —

= N.

Wird

welche der auf Seite 381 benutzten Gleichung entspricht, z. B. der Einfluss der Belastung einer rechts von lr gelegenen Oeff-nung lv gesucht, so bestimme man mittels des von Stütze (v — 1) bis Stütze v laufenden Zweiges der Mv_x-Linie das Moment M, mittels eines nach Fig. 369 durch die Festpunkte L geführten Geradenzuges die Momente M,

hierauf

v-2 >

i-3 »

und setze die letzteren in die Gleichung (19) ein.

Auch leuchtet ein, dass man durch Anwendung der Gleichung

v-2 j

Mr, Mr.

oc,. ]\Tt. _ i —|— ß,. ATr —j—    i AI,

Wir setzen einen beliebigen Belastungs- und Temperaturzustand voraus, denken die Stützenmomente nach Fig. 371 als Ordinaten aufge-

si'

4---

*53

—Al

R,//r

£4:rl'

~7---

C'A

(o

ry

Mg. 371.

tragen, ihre Endpunkte durch die Geraden glt g₂, ... verbunden und nennen den auf diese Weise entstandenen Linienzug kurz das M-Polygon. Fig. 371 stellt das (r—l)te und rte Feld dieses Polygons dar. Wird die Senkrechte I,. so gezogen, dass sich die Strecken, in welche sie lr

die Senkrechten und B'B in ü" bezw. B" schneidet, führt hierauf durch U" und Er eine Gerade bis zu ihrem Schnittpunkte C" mit der Senkrechten durch C und zieht schliesslich die Gerade C B . Letztere bestimmt dann den Punkt Lr+[.

Mit Hilfe der vorstehenden Entwicklungen ist man im Stande, das M-Polygon zu zeichnen. Die Gerade^ Fig. 372 geht (wegen M₀ = 0) durch den Stützpunkt 0; es fällt also Lx mit 0 zusammen. Aus der

jf

"Hj

il

.XU',

—VT'

,//

T\

yZ.

.1

k_A-

\nS>

7,

Fig. 372.

und "zeichnet den Linien-

Lage von Lt schliesst man in der vorhin beschriebenen Weise auf die Lage von L₂, sodann auf die von L₃, L± . zug LVLÎ L₃' . . ., dessen Seiten auf den Senkrechten IIX, II.₂, II₃ . . . die gegebenen Momente T₁, T₂, T₃ ... abschneiden. Jetzt ist in jeder Oeffnung ein Punkt L' des M-Polygons bekannt, und da die Gerade gn nicht nur durch Ln' sondern auch durch den Stützpunkt n gehen muss, so ist der Linienzug gn, gn_i, . . . g₁ bestimmt.

. . . Ex auf ähnliche Art bestimmt,

B„

Man kann natürlich auch in der Weise vorgehen, dass man nicht von Lx, sondern von dem in der letzten Oeffnung gegebenen, mit Stützpunkt n zusammenfallenden Punkte Fn ausgeht, in den vorhergehenden OefFnungen Punkte E wie vorhin die Punkte L₂, L₃, . . ., hierauf mit Hilfe der T„_u T„_₂, • • . einen Linienzug E'n_u E'n_₂ • • • zeichnet und schliesslich g₁ durch Lx und Ex legt. Zur Ermittlung der Punkte E sind (an Stelle der /,.) Senkrechte l' zu bestimmen, welche Jr+l im Verhältniss <xr+x : ß,. theilen, Fig. 373.

Es ist leicht einzusehen, dass die Punkte L und E mit den früher benutzten Festpunkten übereinstimmen. Zu diesem Zwecke nehme man nur eine einzige Oeffnung belastet an und streiche die von den Temperaturänderungen und Stützensenkungen abhängigen Glieder der Werthe T. Dann gehen die Geraden g der links von der belasteten Oeffnung gelegenen OefFnungen durch die Punkte L und die Geraden g

(Xy My_ t —J“ JJ,. My

Fig. 373.

-j- tzr+1 My₊₁ = Nr\

und Gleichungen dieser Art

begegnet man in der That bei statischen Untersuchungen sehr häufig. Eine besonders wichtige Anwendung wird der den Nebenspannungen gewidmete Theil unseres Buches bringen.

160. Angenäherte Ermittlung der Stützenmomente. Zu bedeutenden Vereinfachungen gelangt man, wenn man bei der Berechnung

konstant annimmt und

Hieraus folgt,

der rechtsseitigen Oeffnungen dui*ch die Punkte R. dass man die beiden hier mitgetheilten Verfahren zur Ermittlung der

Stützenmomente auch miteinander vereinigen kann, so zwar dass man die Punkte L und R auf die früher gezeigte Weise mit Hilfe der Biegungslinien bestimmt und nun das ilf-Polygon aus den Momenten T ableitet. Dieser Weg ist sehr zu empfehlen bei Aufsuchung des Einflusses von Temperaturänderungen auf einen im übrigen nach No. 131 mittels Einflusslinien zu behandelnden Träger. Die Momente T sind hier durch die Gleichung bestimmt:

Tr

zEFc(lr -|- lr+i) yc

Crt-

O-r “l⁻ ßr ar+l

Werden negative T in Fig. 372 oberhalb der Achse 0 — n aufgetragen, so sind auch die Stützenmomente negativ, sobald sie durch oberhalb der 0 — n liegende Ordinaten dargestellt werden.

In Figur 37 3 ist noch gezeigt worden, wie die Senkrechten Ir> IIr, I,', mit Hilfe der Biegungslinie für den Zustand Mr — — 1 gefunden werden können. IIr geht durch den Schnittpunkt der äussersten Seilseiten, Ir und I,! gehen durch die Punkte, in denen die Endseiten von

den Schlusslinien (r -j- 1)' — r bezieh. (1--l)' — r getroffen werden.

Der Beweis ist leicht zu führen.

Es sei schliesslich noch

K v+i

WtP

hervorgehoben, dass das zweite Verfahren, die Elas-ticitätsbedingungen aufzulösen, insofern von grosser allgemeiner Bedeutung ist, als es die zeichnerische Behandlung von Gleichungen gestattet, welche dieselbe Form haben, wie die Beziehungen

A/- /

Vr-tJ '

//

der Gewichte w (Seite 385) die Werthe ,,    -₂-

die Einzelkräfte w durch eine, unendlich kleinen Stablängen entsprechende, stetige Belastung ersetzt, ein Verfahren, das nach den Erfahrungen des Verfassers bei Parallelträgeni und bei Trägern mit schwach gekrümmten Gurtungen recht befriedigende Ergebnisse für den Einfluss der Lasten P liefert. Die in Fig. 374b dargestellte Momentenfläche für den Zustand Mr = — 1 wird als Belastungsfläche aufgefasst. Das zugehörige Seil-

(c)

(V

7'-/

T'

! r+1 ,    ,

"t—M

<—/ --X-I

7.

(d)

----- Xy, -----X"-----7

l'i-l

--->i

Fig. 374.

polygon (Polweite = 1) zeigt die Fig. 374c; es liefert die Werthe Sm,., dr, dr+1, cr. Die Belastungsfläche besteht aus zwei Dreiecken von den

Inhalten und —r* - ; sie erzeugt an der Stelle r eines einfachen in

Z    u

den Punkten r — 1 und r -f- 1 unterstützten Balkens das Biegungsmoment

Cr

I ^•+¹

L 2

•iFL'' + f-

l 2 Ir

3 W,J

•rfr+l

Betrachtet man die beiden Dreiecke als Belastungsflächen einfacher Balken von den Stützweiten lr und lr

+n

so findet man für die in 1--1

und r-j- 1 angreifenden Stützen widerstände die Werthe — lr und —-

lf+i’

6 6

Da nun die Querkräfte für die Balken-Querschnitte bei (r—1) und (r -(- 1) gleich den entsprechenden Stützenwiderständen sind und da

ist, so ergehen sich nach Fig. 374d die Be-

weiter allgemein Q Ziehungen

dM

dx

dy

lr

und

lr+1

^/*+ 1

und die auf Seite 385 abgeleitete Gleichung 7 geht über in

My _ 1 ly —(— 2 Mr(j/y ~\[~ lyjy Q “j“ My+\ly+\ ⁼ Ny Ny= — G2Pmhmy.

(25)

wo

(26)

Dabei ist Öm). das Biegungsmoment für den Querschnitt m eines mit der Dreiecklast ^ lr belasteten einfachen Balkens von der Stützweite 1,.. Man findet

ro (Hy

ly    ly

r>

Bezeichnet man also den nur von dem Verhältnis B, : lr abhängigen Klammerausdruck mit «x>, wobei der Zeiger D an die Dreiecklast ei-innern soll, und nimmt man in jeder der beiden Oefifnungen eine Einzellast an, so erhält man die Gleichung

(27)

My_\ly -j— 2 My(ly -j“ ly₊ ]) -|- My₊\ly+\ - Ply <S)j) P ly₊\

wo

<Oxi

? Ś³

(28)

lr³

(Oxi

cDTV

'3

K+1

lr\

Die Werthe (Ox> und sind in der Tabelle auf Seite 396 für 9 Theil-punkte angegeben. Man wird die mit ihrer Hilfe für die Stützenmomente berechneten Einflusslinien zunächst als stetig gekrümmte Kurven zeichnen und schliesslich Polygone einbeschreiben, deren Ecken den Angriffspunkten der Querträger entsprechen.

Zu einer einfachen Bestimmung der Festpunkte L und i? führt die folgende Untersuchung. Die Stützenmomente bestimmen nach Fig. 375 einen Linienzug . ... gr, gr+x, .... welcher auf den in den

Ir

Abständen — die Momente

(HD

Tabelle.

(x)J)

p o o o o o o o o COOO-JOłOi^COUl-*

o o o o o o o ° o !->■ INS O0 os Tw Tw To U- ~o

HtCt'^liOcDCOIN®

t-xinoot-cONoiro

rHINCOCOCOCOiMHO

oooooo'oo'o'

OlOOl'COiO^COfNrH

o o” d d o" d o" o' 6

und von r eingetragenen Senkrechten d” und d,.+l' 3

y" _ !    2 Mr

Yr+;

2 Mr

Mr+\

fr

V<

r-/

jk.

>r

i'jk¹

!<- ^.,---------

7V

r+i

—-A—

'il

Fig. 375.

abschneidet. Die Verbindungslinie der oberen Endpunkte der Yr , Yr+l' bestimmt auf der verschränkten Stützensenkrechten vr, die von dr" den

Ir

hat, eine Strecke Tr, für

Abstand    und von dr+l' den Abstand ’

3    3

welche sich der Werth ergiebt

Tr =

y/U Y'r+ilr+i _ (Mr.r + 2 Mr) lr -f (2 Mr + Mr+l) lr+1

ly —|— lyJyX

3 {ly -f- ly ₊ j)

und man erhält daher den nur von der Belastung der beiden Oeff-nungen lr und lr+1 abhängigen Werth

Tr

3 {ly -)- ly ₊ 1)

Kennt man also die Lage der Geraden gr, so ist man im Stande, mit Hilfe von Nr die Lage der Geraden g,.+x anzugeben. Sind die beiden Oeffnungen unbelastet, so ist Tr — 0.

Wir setzen nun voraus, dass nur rechts von r -j- 1 Lasten angreifen. Die Geraden g,. und gr+x gehen dann nach Seite 390 durch die Festpunkte Lr und Lr+X. Da der Maassstab, in welchem die M aufgetragen werden, gleichgültig ist, so können wir, wenn der Festpunkt Lr gegeben ist, die Lage von L,.₊₁ wie folgt linden. Wir legen

ir

r-r^

V+!

•3    !    3

Fig. 376.

durch Ly die beliebige Gerade gr und bringen sie mit d" und der Senkrechten durch den Stützpunkt r in U und B zum Schnitt. Hierauf legen wir durch U und den Schnittpunkt der Geraden vr und r{r-\- 1) eine Gerade, welche die d'r+x in W trifft und ziehen die Gerade WB, sie schneidet die Achse r {r -}- 1) im Punkte Lr+X. Auf diese Weise kann man, von dem mit dem Stützpunkte 0 zusammenfallenden ersten Festpunkte Ll ausgehend, alle Festpunkte L und dann ganz ebenso von Stütze n ausgehend alle Festpunkte R bestimmen.²)

Sehr einfach gestaltet sich auch die Berechnung der Strecken a, b, a, b', in welche die Stützweiten l durch die Festpunkte zerlegt werden.

Sind nämlich die Oeffnungen l₁ bis lr+ï unbelastet, so gelten die Gleichungen

2 Mx (/j -j-1.₂) -f-    4 — 0

M₁/₂ -}- 2 M₂ (l₂ -f- /₃) -j- M₃ /₃ = 0

+i

Mr_₁lr -j- 2 Mr (lr -J- /,.₊i) -f- Mr+\lr

und in diese ist einzusetzen:

Mr_ j = — Mr

j 1 — Mr

br+1

ar+1

Es ergiebt sich daher

lr 2 (lr -f- lr+\)

lr+1 — Ct,.+1

und man erhält die einfache Formel

ar+1

Ir

ar

2 (/r -f- lr+l) h ~7~

mit deren Hilfe man die Zahlen schrittweise berechnen kann. Aus

b

der ersten Gleichung folgt

a₂

b₂ ² (h + ^2)

Sind die Festpunkte gefunden, so ermittelt man den Einfluss einer über der OefFnung lr ruhenden Last P auf die Momente und Mr mit Hilfe der Gleichungen (17). Diese gehen jetzt über in

Nr-

(30 ■ <

xr Äfr _ 1 —j— Mr —

lr

- - Plr^D

Mr_ 1 -j— x,. Mr —

' f*-

- P ly fl) Jj

und liefern, da xr

r ist, mit der Bezeichnung lr — ar — ür = cr (Fig. 37 7)

ar

ar

den Werth

(35.)

Mr = — P

/ ar'l V cr

OjT)

ar ar

Cr

(dp

9

ay

Cr

(br (ùj) — araD').

Errichtet man auf der Achse (r — 1) r im Punkte Rr das Loth P,.Pr' = er/ und legt man durch Lr und Br' eine Gerade, Fig. 37 7, so schneidet diese auf den Stützensenkrechten die Strecken

/. _ »    .    _ r eir

fr — ar — und ty = ar —

Cr

Cr

ab und man erhält daher schliesslich den einfachen Werth

(3 ^ ' Mr ⁼    -P (fr    Vr <»>D )•

Und ganz ebenso findet man

3 k ) ' Mr-X = P (kr Ci3 Vr Ox>)

wo kr die in Fig. 37 7 mit Hilfe der Geraden Lr'Br bestimmte Strecke bedeutet.

zerlegt, zu einander verhalten wie a,. zu ßr, so ist die von der Geraden gr auf der Senkrechten Ir abgeschnittene Ordinate:

(20) F

3/,._ i a,. —(— Mr ß,.

und die rte Grundgleichung lässt sich mithin auch schreiben:

(ar -j- ßr) Y -1- a^₊₁ Mr+x = .Vr.

Zieht man nun die Senkrechte IIr so, dass sie die Strecke lr+l-\-<x,.lr im Yerhältniss

(21)

c : c — (ar -j- ß,.) : a,.+l

theilt, so schneidet die Gerade U'C', welche die Endpunkte von Fund J/r+1 verbindet, auf II,. die Ordinate

(22)

(23) Tr =

F (a,. -(- ß,.) -f- 3/r+1ar+i

a,.    ß,. -j- a^+t

ab, und es folgt aus der Vergleichung dieses Ausdruckes mit der Beziehung (21) das Gesetz:

Die mit Iliife der Senkrechten Ir bestimmte Gerade V C schneidet auf der Senkrechten IIr das gegebene Moment ah:

(24) ErEf = Tr =

Nr

Jetzt werde angenommen, es sei ein Punkt Lr' der Geraden gr ge-durch Lf verschiedene Geraden gr gelegt, so kann

man

geben. Denkt man

jeder derselben die zugehörige Gerade gr+\ finden, indem dem Punkte ü', in welchem die gr von der Ir geschnitten wird,

man zu

von

durch den festen Punkt E,'. die Gerade U Ef C zieht und C mit B verbindet. Alle die Geraden gr+i, welche in dieser Weise zu verschiedenen Geraden gr gezeichnet werden können, schneiden sich in einem Punkte welcher auf der durch die Punkte LJ und Er bestimmten Geraden

L'

r+lł

liegt und gefunden wird, indem zu gr+x gezeichnet und mit der Geraden Lj Ej zum

Uebersichtlicher aber verfährt man, wenn man recht unter Lj gelegenen Punkte Lr ausgehend, zunächst auf die Lage scbliesst. Man legt durch Lr eine beliebige Gerade, welche

einer beliebigen gr die zugehörige Schnitt gebracht wird.³) von dem senk-

von L

r+1

ir.

AT“

V 7*-/

T-'

tX

** T⁻'

^ <

K--------\-----

k-

Fig. 377.

Zahlenbeispiel. Gesucht sind die Einflusslinien für die Stützenmomente des in der Figur 378 dargestellten Balkens.

— 21m, l₂ = 33’", 4 = 30™. l₄ = 24'", 4 = 21™.

In Figur 378a sind, von Lx aus, die Festpunkte L.₂, Z₃, L₄. L& und, von i?₅ aus, die Festpunkte i?₄, i?₈, i?₂, Rl mit Hilfe des auf Seite 397 (Fig. 376) beschriebenen Verfahrens bestimmt worden. Sodann wurden in Fig. 378b die Strecken f₁ Je und v ermittelt. Die Ergebnisse lauten:

für die erste Oeffnung

für die zweite Oeffnung j

Oeffnung j

für die dritte

für die vierte Oeffnung für die fünfte Oeffnung

fi= 4,48™ Jcs = 11,03™ f₂ = 10,17™

} V₂ =

3,10™

Je₃ —

fs —

8,41™ 1 9,59™ f

v₃ — 2,48™

I Je₄— 6,14™ \ f₄ = 6,83™ Jc₅= 5,24™.

*>4 = 1,64™

W!

-T/2J-

- /6ï'\ -—«7

SI ï

iGÏ-

to'z

----^r-

<r

\K

— -JrJl------:>K------~oeĄ—

"n

K >4

-Xgï

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S*

—S9ï—

1\S!

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£1, ‘L

co'z

G9Ï

seï

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« ‘l —,

198'Ghr

GVl

—— oe'Z—X. --------ci'z—

Sg'Z-j

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-L9ï

— a zi y

fix'o/

nb

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-og'o\ -ISÏ

-ZZ'Z—A

z,

'j

aï

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-Z

--Ot'Z

--a.-‘Z -

— '-ci ~c/ï

il'ot

«7 — -es'-g —

— tv\-

oa't

M'Z

zs'z-A

16'o--A

—9S'Z-

i'9'Z-

Gl'Z

zz'z-

—»ï

^_____

GO'Z

-X9Ï

X'j'Z

soi

■set—^

ïf

■y

6T\_ _/_____

ezï

Tr2r

091 - \ - Zlï —

t&7

tiï

Ml

Fig. 378.

Yon der Einflusslinie eines Stützenmomentes wurden nur die beiden Zweige gezeichnet, welche den durch den fragüchen Stützpunkt getrennten Oeffnungen angehören. Die Gleichungen dieser Linien sind:

linker Zweig    Mi    = —    4,4S    (ùd

¹    rechter Zweig    M₁    — —    11,03    <od'    + 3,10 öd

linker Zweig    M₂    — —    10,17    wp    +3,10 (ùd'

²    rechter Zweig    M₂    = —    8,41    coi/    + 2,48 (ùd

M    linker Zweig    M₃    — —    9,59    (ùd    + 2,48 (ùd'

³    rechter Zweig    if₃    = —    6,14    wd'+ 1,64 «d

flf₄

linker Zweig = — 6,83 (ùd + 1,64 wz> rechter Zweig = — 5,24 (ùd’

Mit Hilfe dieser Gleichungen und der Tabelle auf Seite 396 sind die Ordinaten für 9 Theilpunkte mittelst der Ci'eile sehen Rechentafel (Verlag von Reimer in Berlin) ermittelt worden. Das Verfahren führt ausserordentlich rasch zum Ziele.

161. Näherungsformeln für gleichförmige Belastung. Der

Einfluss einer über der Oeffnung lr stehenden Einzellast P auf das Glied Vr der Gleichung 25 auf Seite 395 ist

(35)

wr = — Pi; od = — Pi;

i_ü

lr £

TT

T'

Fig. 379.

>s

¹

Ein Sonderfall dieser Beziehung wurde bereits im § 13 gefunden.

25¹

²

Auch die in der Fig. 372 dargestellte Konstruktion der Stützenmomente mit Hilfe der Werthe T lässt sich leicht den vereinfachten Annahmen anpassen; die Senkrechten v spielen dieselbe Bolle wie die Senkrechten II in Fig. 371.

³

Es folgt dies aus dem bekannten Satze der Geometrie der Lage: Bewegen sich die Ecken (U\ B\ C') eines Dreiecks auf drei Strahlen (F, B B, C'C) eines Strahlenbüschels, und gehen hierbei zwei Seiten (gr und U C) des Dreiecks durch feste Punkte (LJ und Ej), so geht auch die dritte Seite (gr+i) durch einen festen Punkt (Lr+i)i welcher mit den beiden anderen festen Punkten in einer Geraden liegt.

Fig. 380.

ii p

*

und es ergiebt sich daher für eine zwischen den Grenzen ç = e und ^ = d (Fig. 379) aufgebrachte gleichmässige Belastung der Werth

Nr = —

k/(

(36)

Nr =

p(d² — e²)(2l²~ d² — e²)

4 lr

Einer gleichförmigen Belastung der ganzen Oeffnung (Fig. 380) entspricht

plr

(38)    Nr_x ■—- Xr

Anmerkung. Die aus der Festigkeitslehre bekannten Clapeyron'sehen Gleichungen

und ganz ebenso erhält man

(37)

iV,_x

p(d'² — e'²) (2q? — d'² — e²)

4/,

Mr-llr ~f- 2 Mr (Ir “j- lr+1) -f* Mr+\ ly+l - Nr

gelten streng genommen nur für den vollwandigen Balken konstanten Querschnitts und sollen in der zweiten Abtheilung dieses Bandes noch ausführlicher behandelt werden. Sie liefern aber auch für Fachwerkträger mit parallelen oder leicht gekrümmten Gurtungen brauchbare 'Werthe und eignen sich daher besonders zur schnellen überschläglichen Berechnung der Querschnittsabmessungen in solchen Fällen, in denen eine genauere Berechnung der statisch unbestimmten Grössen unter Berücksichtigung der Längenänderungen sämmtlicher Stäbe beabsichtigt wird.

§ 15.

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken -und Kettenbrücken.

162. Dreifach statisch unbestimmte Bogenbrücke mit drei

Oeffnungen, Fig. 381 und 382. Als statisch unbestimmte Grössen werden zweckmässig die auf den Scheitelquerschnitt wirkenden Kräfte Xa, Xb, Xe eingeführt. Das statisch bestimmte Hauptsjstem besteht dann aus zwei Auslegerbalken. Damit hbc und 5C(, gleich Null werden, ist nach der in No. 117 gegebenen Anweisung zu verfahren. Ein Zahlenbeispiel möge die Ermittlung der Einflusslinien für die Werthe Xa, Xb, Xc eines symmetrischen Trägers erläutern. Einem senkrechten Xb entspricht hier ein wagerechtes Xc. Bei der Berechnung der Gewichte w empfehlen sich im ersten Eechnungsgange (und nur dieser soll hier vorgeführt werden) dieselben Annahmen, wie beim Bogen mit eingespannten Kämpfern.

Wir setzen also für m= 1 bis 5 und m — 7 bis 13 nach Gleich. 3 auf Seite 325

(1)

wm

Ml, 4- Mt

hl

für m = 6 und m = 14 2 Ml

(2)

w₆

₂— (weil zu 6 zwei Untergurtstäbe gehören)

(3)

**14

2 Ml,

h\₄

L( „    ,14

„ Obergurtstäbe

und rechnen ^iv ₁₄ zur linken und -|m>₁₄ zur rechten Trägerhälfte. Die zu diesen Gewichten w gehörigen Seillinien liefern die Durchbiegungen

hme in einem Maassstahe, der voraussetzt, dass

wo Fs den mittleren Gurtquerschnitt im Scheitel der Brücke bedeutet;

Ka, h

EFS

= 1 ist,

■mJS~r~r\

P'-/

Xk»

—r---Jy-----1

⁷c

J iii-ii

fuTn

i \taJyia,

tf !

*&*

o,’

"t"

-4—{-

-t—i—

Ql

■5î *• LL

r\! wi

If

3k

ri.

V\1 *

4-

„L.

—>j

_i__

-4.

_L

-i*4-

__1___

Qox.

TM [JJ ;

4 'O

9P'0

t t i t f f f t —

*a4 si si

bgr r-ÏZ*

JL

0,33

tr'Ö

X-

ml

______feo_

_J

1,00

0,71 +

Wo

■oe

WO

Wo

PO

-+„i

[7

4HU-

eys

Fig. 381.

vergl. Seite 325. In die Formeln

(4) Xa = Pm

Kn a

8««

, xb = Pm

, X. = Pm^~

Ke

führen wir die Werthe ein

<5) oaa ^ EF, öbb

EFS ^ Sis \ ^ EF

§CC

EFS SU

EF

Da nun für einen Obergurtstab

Sis    Ml² X _ Mt X

EF    h² EF₀ h² EFS

und für einen Untergurtstab

S²s

o²

Ml

X sec ³ y

M°a² X

EF h² EFU

li* [EF,

ist, so ergiebt sich

wo

(7)

(6)

^aa    ^bb ^ ^mb J

_ m:²+m:²

hl

2 Mt

Ae

für m = 1 bis 5 und m — 7 bis 14,

*n

2 Jfïi*

*ü

t<-

oc=mjl

_P <-j° ->j

_I I ft

->^cV4j

/ r,;--

6'

"1-----

A y

-S—£

\Cu>

l<-

Tf---

Fig. 382.

Dass öo6 und ôic gleich Null sind, folgt ohne weiteres aus der Symmetrie. Die Bedingung

Kc = 2

SaScs

EF

geht über in

MaMc

h²

und lautet, mit Rücksicht auf die für nt — 6 und m— 14 bestehenden Ausnahmen

(8) 2

Ml Ml + M°aM°c

h²

Li+²m+m.

die Summe 2 umfasst m= 1 bis 5 und w= 7 bis 13.

Bei der Berechnung des Einflusses der Temperaturänderungen

wieder einzuführen. Man erhält

ist der weggehobene Werth —^r-

EFS

xat =

Kt

EFX<

(9)

EF

Xct

EFXt

Xbt wird, der Symmetrie wegen, gleich Null. Die Ermittlung der bei gleichmässiger Erwärmung entstehenden Verschiebungen §a< und hct soll zunächst an der allgemeineren Figur 383 erläutert werden. Man wähle das Kämpfergelenk 0 zum Pole eines Williot'sehen Verschiebungsplanes und stelle die Längenänderungen

A^2 - j A3g -

durch die Strecken sx, s₂, s₃ dar. Man erhält dann die Verschiebung Ol' des wagerecht geführten Punktes 1, indem man in 1 auf Ol ein Loth errichtet und mit der Wagerechten durch 0 zum Schnitt bringt.

7T

'v'

r/

îx \

11V

iwPwrT

» /•

\S

F4-

A**

K—¹S—X

nr

\7

\\

-A-—

.?

Fig. 383.

Macht man nun 12” = 1 2 jj 12 und errichtet in 2” und 2 auf 12' und 02 Lothe, so treffen sich diese im Punkte 2'. Von 2' aus trage man die senkrechte Strecke 2' S" = 23 an und bringe das in 3 auf OS errichtete Loth mit der Wagerechten durch S" in S' zum Schnitt. Bezeichnet man dann die Strecken 3”3' und 2 3 mit e und h„ so ergiebt sich für den Winkel, um den sich die Scheitelvertikale dreht, der Werth

£

= —-, und es drehen sich daher die nach No. 117 mit den Scheiteln

der beiden Trägerhälften befestigt gedachten starren Scheiben gegeneinander um

Kt = — 2 et-—

Das Zeichen — ist zu nehmen, weil sich die Scheitelvertikale 2 — 3 nach links also im Sinne von Xa dreht, während hat im entgegengesetzten Sinne positiv gezählt wird wie Xa.

Die wagerechte Verschiebung des Punktes 2 wird durch das vom Punkte 2' auf die Senkrechte durch 0 gefällte Loth d dargestellt; sie ist also — std, und die Verschiebung des Angriffspunktes L der Kraft Xe beträgt, wenn die Strecke 2 L mit k bezeichnet wird,

et (d -j- &tj>) = zt(d -f-    ^,

so dass sich schliesslich ergiebt hct = 2 et

ii + kir)'

Liegen die Punkte 1 und 2 in einer Wagerechten, wie bei dem in Fig. 381 dargestellten Sonderfalle, so wird mit den aus Fig. 383 ersichtlichen Bezeichnungen:

, bet = 2 et

Einflusslinie für Xa. Im Belastungsfalle Xa = — 1 entsteht am linken

Die Angriffsmomente sind

Endauflager ein abwärts gerichteter Widerstand —.

n

für die Seitenöffnung Muma — M°ma — — 1

n

„    „ Mittelöffnung = Ml

ma - 1*

Berechnet man nun die Gewichte wma und Werthe zma nach den Formeln (1) bis (3) und (7) und dividirt diese Grössen durch den sich später hebenden Faktor 2, so erhält man

für tn — 1 bis 5

Wma

OCm 1

in

6 hl

h hm

für tn ■— 6 bis 14 Wma — jX¹ ^ma — l⁻ y. und für den ganzen Träger

5 Zm a-    W Wm a

«T

UD

- 2Zma- -

1 5    13 1

— 'ImtVma + 2 2 -jy-

3 1    6 hm

Die Höhen hm und Gewichte wma sind in den Tabellen I und II zusammengestellt worden. Die Berechnung der Trägerform ist in Band I, Seite 436, als

Beispiel zur Linienführung der Gurtungen gebracht worden. Für <5ao ergiebt sich nach Gleich. 11 der Werth

§„„ = y 0,908 + 2 • 2,041 + 0,694 = 5,079.

Tabelle I Seitenöffnung.

hm

hm

hl,

Wma

6 hl,

- mWa IVmb = 8 IV

ma

Wm c -

2 • 5,93 Wma

1,20

1,33

1,75

2,51

TjlNOCO

3,64

5,19

TT O L— CJ5 CO -05 CO (M kO CO CO CO

d'dd’ddo'

•f« oo ^

05 — CO O O 0(N(M

doddd

-1,11

—    1,23

—    0,94

—    0,60 — 0.37

— 'ŻmiCa — 0,908

Tabelle II Mittelöffnung.

hm

h tn

| tVma- 7 * I

Jim j

m Wmb — lriw

Wmc

2,54 — hm

hm

CO NOO QO h

tH tH

7,20

5,19

3,75

2,74

2,07

1,64

0,139

CO to

1,38

1,24

1,20

^ £ S oo 2 S o co

(M CO ^ 0 N co 00

ooooooo©

0,019

0,037

0,071

0,133

0,233

0,372

0,526

0,650

0.694

+ 0,05³)

— 0,10

—    0,09

—    0,03 + 0,11 + 0,33 + 0,61 + 0,85 + 0,10*)

2,041²)

■)⁴’²⁸²    *> ²’⁰⁴¹⁼!t3:;

4,282!)

3)    w6c — 2    = 0,05;

4)    WUe=l?±L₌₌₀,io.

Ki

Die §ma- Linie darf als die Momentenlinie eines mit den Gewichten wa belasteten Balkens CAD aufgefasst werden, der bei C frei aufliegt, bei D eingespannt und bei A durch ein Gelenk unterbrochen ist. Für den mit wla bis v:ta belasteten Koppelträger CA erhält man in C und A die Stützendrücke*)

— 0,21

0,09 • 5 -f 0,11 • 4 4- 0,08 • 3 -f 0,05 • 2 + 0,03^ _

A = — 0,15

*) Die Gewichte w wurden auf zwei Decimalstellen abgerundet.

ferner die Querkräfte

Qi — — 0,21, Q₂ = - 0,21 + 0,09 = -0,12, Qs = — 0,01, Q₄ = + 0,07, — 4“ 0,12, Qc — 4“ 0,15

und Werthe M : X

M₁:\ = — 0,21, M₂ :\ = — 0,21 — 0,12 = — 0,33; M₃:\ = — 0.34,

= — 0,27, M₅ :X = — 0,15, M₆ : X = 0.

Für den mit w6a bis w13a und ausserdem in A mit — 0,15 belasteten Freiträger AD findet man

Qi — 0,15 4- 0,02 = 0,17, Qs = 0,17 + 0,04 = 0,21, Q₉ = 0,21 4- 0,07 = 0,28 Qio—'044 Qu —- G?G4, Qm ⁼⁼ 1:01, Qi3 = 1,54, Qi4==:2,19

ferner

M₇ :\ = 0,17, Jlf₈ : X == 0,17 4~ 0,21 = 0,38, Jf₉ : X = 0,38 4- 0,28 = 0,66,

M₁₀ : X = 1,07, Jfn : X = 1,71, 1H₁₂ : X — 2,72. 3fls:X = 4,26, M1A : X = 6,45. Nun erhält man

Ö«a

Sa a

Xa

Xai = — 0,124 X„₂ = — 0,195 X„₃ = — 0,201 X„₄ = — 0,160 Xü5 — — 0,089

J Ôaa

Xa₇ —4-0,100 x„₈ = 4- 0,225 Xoq ⁼ 4- 0,390 Xaio = 4~ 0,632

0.591 —•

Xan = 4- 1,011 Xai2= 4“ 1,608 Xai3 ⁼ 4- 2,518 Aai₄= 4- 3,812.

Einflusslinie für Xb. In Folge von Xb = — 1 entstellt am linken Endauflager der abwärts gerichtete Stützen widerstand 1 —, weshalb

h

für die Seitenöffnung M°mb = Mumb =--y~ xm

u

„    „ Mittelöffnung M°mb = M“,b = — 1 • x'm.

Mit xm — m\ und x m ~m\ ergeben sich also die Gewichte

—_ o A w h hl    6 ‘hl

tri

2~\

wmb — —

hm

und dafür nehmen wir

hl

für die Seitenöffnung wmb = — 8 —

O tim

8 Wma

„    „ Mittelöffnung u:mb — —

Die Berechnung von 8bb ist überflüssig, da Xb in der Mitte des symmetrischen Trägers den Werth 0,5 hat. Man berechnet also genau wie vorhin die durch die Gewichte tvb hervorgerufenen Momente M und findet dann aus der Gleichung

X6m

Mm

hl

14

Mu

. = 0,5^.

M \ 4

Auf diese "Weise erhält man:

XH = — 0,030 Xb2 = - 0,047 Xb3 = — 0,048 Xbi = — 0,038 Xb& - - — 0,021

Für die rechte Trägerhälfte ergehen sich dieselben Ordinaten mit den entgegengesetzten Vorzeichen.

Xbl = + 0,024 Xb8 = + 0,052 Xia = + 0,089 A&io = + 0,136

Xbn = + 0,200 Xbli = + 0,284 Xbi3 — + 0,386 X6l4 = + 0,500.

Ermittlung der Lage von Xc- Fig. 382. Am linken Endauflager wird durch die im Abstande c„ von den Kämpfern angreifende Belastung X, — — 1

der Widerstand C = —

aus der Figur 382 ersichtlichen Bezeichnungen für m = 1 bis 5 M“ = M°e — -14 M°c = + 1 - Co

c — + 1 • ])•

1 hervorgerufen, und es ergiebt sich daher mit den n

CUX

cum

11

Da nun

‘f

für m = 1 bis 5 M„ = M°a = —

„ 14 Ma = Ma =- 1

ist, so geht die Gleichung 8 auf Seite 404 über in s m cum

² 7 6 6h„*

und, wegen ym = c₀ — hm. in

1 ⁵ / ¹³ 1 -yf» 'Zrnu’ma — Co (2 'S —

Es folgt also, mit cu = h₆ — c₀ — 7,2 — c₀

*1 = 0

= 0.

(12)

Co —

1 ⁵,

--Sm w

6 7i«² ' A+ 3 1

¹³ 1

22r4

2,4 • 0,908 + 4,282 Co~ 2- 2,041 + 0,694 + } • 0,908 c„ = 7,2 — 1,27 = 5,93”*.

Einflusslinie für Xc. Setzt man die für Mc angegebenen Werthe in die Gleichung 1) 2) 3) und 7) ein, so erhält man mit ym — c₀— Äm = 1,27—hm

2    = 2 CuWma= 12,0 Wma

6/lm*

= cjrnw o

für m — 1 bis 5 :

_ ₀ c„² m2 6² hm*

= 1,27"*

ma

für yti = 6

= 2^-

V

= 2^

für m

7 bis 13: wme =

£o ~p 7/m _

Am» "

Co» + 7/m»

Am»

2 Co Tim Am»

= 2 — hm²

für m

14

«’14= =

2'l4c

» yi«

Ah*

2 ?/u* = 2 Au»

■T ?

!N

*-

IC

4*-

und es ergiebt sieh, daher für den ganzen Träger

Sc 0 - S S'm c- ■

5    „2    13    /

c„² 'Sin iem„ + 4 -r—r -f22 2 1    A₆»    7    '•

Co»

²£ + ')

~⁴f;⁺²

2    ⁵    13    1    1    Hl

=--— C„» SltlWma + 4 Co» 'S — -f 2 Co» — 2    — 4 Co S ---[-16

3    i    6    Am»    Ał4²    7 rtf»

Am»

Co»

Au*

und, mit Beachtung von Formel 12:

5oo=-

2    5    14 1

— cuh₆Stnwma — 2 c₀S —--1- 16 = 31,95.

3    1    7 hm

Die 5m c- Linie der Trägerstücke CA und AR darf als die Momentenlinie der mit den Gewichten wc belasteten einfachen Balken CA und AB betrachtet werden. Es folgt dies daraus, dass 5„c = 0 ist, dass also die beiden Scheitelvertikalen (14) der das statisch bestimmte Hauptsystem bildenden Auslegerbalken sich im Belastungsfalle Xc = — 1 nicht gegeneinander drehen und in senkrechter Richtung dieselben Verrückungen erfahren. Diese Eigenschaft kann auch zur Berechnung von c₀ benutzt werden. Für den Querschnitt D des mit den wc belasteten einfachen Balkens AB ist nämlich das Biegungsmoment gleich dem

statischen Momente der Gewichte wlc, w3C • ■ . w13c und ~ bezogen auf die

Stütze A, d. i.

13    ₁

= 'SiWmctn X -|--— WUc h

7    ^

Md

während sich für D als Querschnitt des Trägers CAD das Moment ergiebt

-V.    13

Md = — hSw

v / *

—--JLWmcm K.

6

Setzt man diese beiden Werthe einander gleich, so findet man

5    ^    13    ^    13    ^

“f" I2 S Wmc ~Z--j~ Wßc fa -f- S Wmc Wt X —j- S Wmc W*X -j--— W\ic l‘i ⁼⁼ 0

1    D    7    7    2

und, wegen (in -j- m) X = Z₂, nach Einführung der wc'-

Cu *    . Co ,    2 Co Am

— StHWma + 2 7^ + 2 3 1    h₃ 7

Cu A

--— S m iv

3 1

Co    Ai 4

Aml3

Ä14*

= 0 oder

ma

/    13    1    1    \    1*1

-M²?wr+d+?^

das ist dieselbe Gleichung, die auf Seite 409 auf anderem Wege gewonnen wurde.

Die Berechnung der Momente der Balken CA und AB liefert: M₇ :X = + 1,73 Ms : X = —j— 3,56 Mc, : X = —j— 5,48 M₁₀ : X = + 7,43

Mn • k — —I⁻ 9,27 Mla : X = -f 10,78 Mi3 : X = —(— 11,68 Mn : X = -f-11,73

Mi : X = — 2,48 M₂ : X = — 3,84 M₃ : X = — 3,98 Ma : X = — 3,17 Ma : X — — 1,77 und es ergieht sich daher

0,0939—•

Xd! = + 0,870 X₁₂= +1,012 Xj3 = + 1,097 Xu = + 1,101.

M: X

§CC:X 10,65

XC1 = — 0,233    Xc7    = + 0,162

Xd = — 0,361    Xc8    = + 0,334

X* = — 0,374    Xe9    = + 0,515

XC4 = — 0,298    XC10 = + 0,698

X₅ = — 0,166

Einflusslinie für den Widerstand C der linken Endstiitze. Liegt die Last P = 1 im Abstande § von der Stütze A und wird £ nach links positiv gerechnet, so folgt

und hieraus

Ch = 1 - g + Xbl₂ + Xa + XcCu c = -4- (g + 24 X, + Xa + 5,93 Xc).

1 o

Liegt P rechts von der Mitte des Trägers, so ist das Glied £ zu streichen. Die mit Hilfe dieser Gleichung berechnete C-Linie ist in Pig. 381 dargestellt worden.

Die weitere Untersuchung der Mittelöffnung erfolgt nun nach dem im § 11 in dem Zahlenbeispiele angegebenen Verfahren. Man berechne der Reihe nach die Einflusslinien für

und

Ml,

Ml

Ilm

1 ’rn -j-1 COS "Y m+1 ' Om

Ml

km

Ml

Dm cos 9„, —

hm

hm- 1

und schliesslich die Einflusslinien für

Vm COtg <pm+i = — Dm+1 COS Cpm+1 — Fcotg Cpm+l.

Die Seitenöffnung wird in derselben Weise untersucht wie die Seitenöffnung eines auf 4 Stützen ruhenden Balkens (Fig. 352, Seite 372); aus der C-Linie lassen sich hier die Einflusslinien für alle Stabkräfte schnell herleiten. Die Einflusslinie für die Vertikale über der Mittelstütze wird nach dem auf Seite 382 beschriebenen Verfahren bestimmt; man benutze die Gleichgewichtsbedingung für den oberen Knotenpunkt 6.

A'„ t —

Der Einfluss einer gleichmässigen Erwärmung um 35° ist (für Flusseisen) abgerundet und auf Tonnen und Meter bezogen o f zEtFs li X8„„

400 Fs

„ 6,0    250 • 35 • Fs

² 18,0    3,0-5,0    —

Der Einfluss der Temperaturänderungen ist verhältnissmässig gross, und es empfiehlt sich daher stets die Anwendung der genaueren, die Formänderungen sämmtlicher Stäbe berücksichtigenden Formeln

X„t

Sa t

FF

xct

Sc*

'²⁸'Wf

Ausser der gleichmässigen Erwärmung, welche

Sat = — 2 y- zt und 8ct — 2    — y-j zt

liefert, prüfe man noch den Einfluss einer ungleichmässigen Erwärmung der beiden Gurtungen. Dann ist

8a< = "SztSaS und 5ct = 'ZztScS

zu setzen.

Xct

-o.- &

zEt Fa

= 2 (24 —

250•35 Fs

18

3 • 32

= 4000 Fs.

163.    Der Balken auf 4 Stützen, der bereits im § 13 (Fig. 350) untersucht worden ist, kann auch auf dem in No. 162 eingeschlagenen Wege berechnet werden. Es ist Xc = 0.

164.    Die zweifach statisch unbestimmte Bogenbrücke mit

fr

Fig. 384.

drei Oeffnungen, Fig. 384, wird in ähnlicher Weise untersucht wie der in No. 162 behandelte Träger. Es ist Xa — 0, und ausserdem ist der Angriffspunkt von Xb und Xc von vornherein gegeben.

165. Eingelenkbalken mit drei Oeffnungen, Fig. 385. Es

QC'

Mt-*

i\

f iJ

^rtw| U

i i rd

r^mrAl UI li f ITTl 11 llllmnnr—

ujj

■t"

W^Lirde-' /a“ocm.

~~

Iixrmr»

JDJjinie.

m-2

ie

v-

I/o

\Ahinit

J

üL

v‘

\l /U=°Jp

jL    V

lïïMllïïnTTTrm^

HO

SÙ-=fr' W

4-

Fig. 385.

wird Xe = 0, und man erhält nach Zeichnung der Biegungslinie für Xb = — l den Einfluss von P

Xb = p

^>bb

In den Figuren 385 sind aus der Xb-Linie die Einflusslinien für die Momente Mm und Mk, für den Stützenwiderstand A und die Spannkräfte D und Tf hergeleitet worden. Der Kräftemaassstab ist hbb — P = 1. Der Einfluss einer gleichmässigen Erwärmung ist entweder gleich Null oder (falls der Träger unsymmetrisch ist und die Auflager nicht in derselben Wagerechten liegen) unwesentlich. Ungleichmässige Erwärmung, z. B. Sonnenbestrahlung der oberen Gurtung, kann dagegen grössere Spannkräfte hervorbringen. Man berechne dann Xht mittels der Formel

'SsSbts

und berücksichtige die Längenänderungen sämmtlicher Stäbe.

166. Der Eingelenkbogen, Fig. 386. Das statisch bestimmte Hauptsystem besteht aus zwei Freiträgern; die Untersuchung dieses

Xbt

ßJ

M\

~rn-ci

JP

-F

Fig. 386.

Trägers unterscheidet sich also von der im § 11, No. 116 durcbge-führten nur dadurch, dass Xa — 0 ist und der Angriffspunkt von Xb

und Xc mit dem Scheitelgelenk zusammenfällt. Fig. 386 zeigt einen Theil des Verschiebungsplanes für Xh = —1. Die Strahlen Ocx' und Oc₂' stellen die Verschiebungen dar, welche das Scheitelgelenk als Punkt des linken oder rechten Freiträgers erfährt. Om ist die Verschiebung des Angriffspunktes m von Pm. Wählt man Xc _j_ c/c₂ ’, so ist

żug ,

&mb

öT.

cfcc.

Näherungsformeln. Für einen symmetrischen Bogen mit parabelförmigen Gurtungen lassen sich auf dem im § 11 unter e, Seite 350, eingeschlagenen "Wege genügend genaue Formeln zur Berechnung der von senkrechten Lasten hervorgerufenen Kräfte Xb und Xc herleiten. Das Scheitelgelenk habe von der

-->

JP-1

e* .x.

-S

K~>

__*_

<rV----->k----JC---

!*-

cc

ÜJ

Fig. 387.

oberen Gurtung den Abstand e₀, von der unteren den Abstand eu\ bezüglich der übrigen Bezeichnungen verweisen wir auf Fig. 387 und auf die Untersuchung im § 11. Für Xb gilt die auf Seite 352 für P=1 abgeleitete Formel

s«w[3ct+<1_2s)ł_0’⁵⁽¹'~“⁾£l

und für Xc erhält man (vergl. Seite 353)

Xe =

Xb

wo

2 J («/o² -f- */«²) todx

0

W = a + (1 — «)

und M durch die Gleichung erklärt wird (PM

dx²

r    /çî

— u (i/o ~r1/«) — u ( fo y-j — e₀~rfu

?,²

+ **]

(?1    O?^)² [~    *] *

Da M das Biegungsmoment eines an der Stelle xa — 4 eingespannten, durch die stetige Belastung w beanspruchten Freiträgers ist, so sind die Integrationskonstanten der vorstehenden Differentialgleichung durch die Bedingungen bestimmt.

dM

xa = 0 muss liefern

d xa

Man erhält

xa~ 0

df =

(fo+m

60

[30a-f 10(1 — 3a)    — 5 (2 — 3a)

Xa²

Xa²

{ßu Co) /; ²

h²

ferner

[3a + (l_a) ^£]

T⁵"’

h²

² / (^«² + l/«²) u>dx = (f₀2JrfJ) h ₁₅

1 -j- 5a

h (f»eu — fo e₀) * ~‘₃ 3 7'

~b (*«2 e»²j (1 + a).

Es ergiebt sich also schliesslich für eine an der Stelle xa — a liegende Last P = 1 der Werth

wo

p [y {fo + fu) y + 5 (e₀ — *„) y'J ** = 2 (fo² + fu²) (1 + 5a) +10 (fueu-foe₀)(1 + 3 a) + 30 (c„² + e₀²) (1 + a) Y = [80a + 10(l-3a)|—5'(2 —3a)-^ + 3(l-a)-^-]|l

ï=[8a + (l-.)|-]|l.

X„ =

Der Einfluss einer gleichmässigen Erwärmung um t° ist, wenn Fs den mittleren Gurtquerschnitt in der Nähe des Scheitels bedeutet, Xu == 0 und

2 iEtlx Fshs²

Xct

² J(yo²-{-yu) Mdx 0

60 e Et Fshs²

k²

Son der fall

e₀ — eu = \ Jis- Fig. 388. f₀ = f — i (hk — Äs)

/« = /’+4 (Ä*-Äs).

wo

j^30 a —f— 10 (1 — 3 a) -    5 (2 — 3 a) y^~\~ 3 (1 — a) yj

k₁² = if² (1-f 5a) + Äs²(ll + 5a) + /^sÄL(3 + 5a) +Äi² (1 + 5a). Der Einfluss einer gleichmässigen Erwärmung ist

GOiEtFshs²

Xct =

k²

Für a = 1 erhält man

Xc

blx a²

24 f h²

(⁶

e Ar

15

hs²

Xct = — zEFst — ')

wo

Hierzu gehört

Xb

8 h² + ihjik-^3hk²

12 f²

a²

4 h²

(³

I<—(c—ĄP=1

L___

---V

"TT

4SI

Ł-

³V\

-X-

]

_*4_

Fig. 388.

Für a = 0 ergiebt sich

X=^[¹⁰ ~ ¹⁰i+³fJv

h ²

Xct = l 5tEFst~v

wo

1-1

11 hs² 3 hshk ~r

Hierzu gehört

4/“²

a³

V₆ = —

Die folgende Tabelle enthält für die Grenzfälle a = 1 und a — 0 die "VVerthe Xb und Xc — sowie die Zahlen v, wo yh die Ordinate der durch die Gleichung

Xb

27

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

bestimmten Kämpferdrucklinie. Die Zahlen beweisen, dass der Einfluss von a recht erheblich ist. Da nun beim Eingelenkbogen die Steifigkeit vom Scheitel nach dem Kämpfer stärker zunimmt wie beim gelenklosen Bogen, so wird es sich empfehlen, bei der ersten Ueberschlagsrechnung a noch kleiner zu wühlen als nach dem auf Seite 351 in der Fussnote gemachten Vorschläge. Den Einfluss der Temperaturänderung wird man auf jeden Fall noch einmal genauer mittels der Formel

Xct

ttl-L

berechnen, deren Nenner sich über die Stäbe der einen Bogenhälfte erstreckt.

xb

Xc

v7i

a == 0

M-OOOOOOOOOO o CO 00 —a"oi OlfL

OtMCOoSSSSSo

qO.OHHNNCO Tf lO

ooooooocTooo

N CO h

• t>- CO vH vH CO D- vH O

OOOJOOiOC^lOOO O O O tH^ CO ^8 O 0 000(0000000

0,0117

0,0437

0,0917

0,1520

0,2214

0,2970

0,3767

0.4587

0,5417

0,6250

0,0023

0,0162

0,0491

0.1037

0,1797

0,2743

0,3833

0,5018

0,6251

0,7500

O CO CO^T-ICO-»—

CDOiO^^CO(M(MhO

ood'cTcroô'oooo

O N lO (M Ci CD Cl N (M O CO CO CO 04 C^O^tH tH o

o o o o o cToooôo

167. Dreifach statisch unbestimmte Kettenbrücke mit drei Oeffnungen. Fig. 389. Die Ketten CA₀, A₀B₀ und B₀D werden durch eine auf vier Stützpunkten ruhende gegliederte Scheibe versteift, und sind mit den Endpunkten dieser Scheibe befestigt. Die Verankerung der Kette wird also erspart und man kommt mit schwachen Widerlagern aus.¹) Das ganze System besitzt nur ein festgehaltenes Auflagergelenk und drei in wagerechten Bahnen geführte Stützpunkte. Trennt man den Versteifungsbalken in der Mitte durch einen senkrechten Schnitt, Fig. 390, und bringt man (nach No. 117) an den Scheiben I und II die Kräfte Xa, Xb, Xc an, so besteht das statisch bestimmte Hauptsystem aus zwei Auslegerbalken, die durch die Kette miteinander verbunden sind. Den in Fig. 390 angenommenen wagerechten Verbindungsstab hat man sich unendlich klein zu denken. Bei

s„, = 0, &6c = 0, hca — 0

unsymmetrischer Anordnung des Tragwerks wird die Erfüllung der Gleichungen

auf die in No. 117 beschriebene Weise herbeigeführt. Ist der Träger symmetrisch, so werden die beiden ersten Bedingungen durch ein senkrechtes Xb und ein wagerechtes Xc befriedigt. Der Abstand c der Kraft Xc vom Scheitel der Kette wird mittels der Gleichung

Kc =

SaScs EF

téo

c+---z,----—ß

Fig. 389.

bestimmt. Der Gang der Rechnung ist derselbe wie in dem in No. 162 durchgeführten Zahlenbeispiele. In den Belastungsfällen Xa= — 1 und Xb = — 1 werden nur die Stäbe des Versteifungsbalkens beansprucht; die Kette, die Hängestangen und der Ständer A₀A bleiben spannungslos. Es sind also nur für den Einfluss von Xc neue Formeln aufzustellen.

Der Einfluss der statisch unbestimmten Grössen X auf den Widerstand C der Endstütze und auf die Momente M° und Mu für die oberen und unteren Knotenpunkte des Versteifungsbalkens ist mit den in den Figuren 389 bis 391 angegebenen Bezeichnungen:

Xa

'h

U-

—oc------>j

}%

----

CL

Fig. 390.

für die Seitenöffnung:

M° = Cx + Xcy. = Xa ~ + X n

M“ = Cx -f- Xcyu = Xa ——(~ Aj

xl%

Xc

cx

-,--Vo

Xc

cx

-,--Vu

und für die Mittelöffnung

M° =    + Xhx — Xc(c — y₀)

Mu = Xa+ Xbx — Xc (c — yu).

K-------æ

-->

7Ł

Fig. 391.

Näherungsformeln. Ist der Versteifungsbalken ein Parallelträger mit konstantem Gurtquerschnitte, so lassen sich einfache Näherungsformeln aufstellenT die auch im Falle schwach gekrümmter Gurtungen zur ersten Abschätzung der Querschnittsverhältnisse benutzt werden können. Die Endpunkte C der Kette sollen in der Mitte zwischen den beiden Gurtungen angenommen werden. Wir rechnen mit unendlich kleinen Feldweiten, setzen also

^ EF

und erhalten, da für die Seitenöffnung M°a — Mua = — nung M°a — Ma = — 1 ist

Ka

EFh²

(.M°a -f Ma') dx

(1)

EFk² Saa

■Ç- und für die Mittelöff-

h

f(Zi + 34).

xl₂

Nun ist weiter, für die Seitenöffnung Ml = Mb —---- und für die Mittel-

h

Öffnung Ml = Mb = — x

EFh²8bb =

(Ml² + Mb²) dx

*/*$-*•+

EFh²Sbb = y 4‘² (k + 4)-

Zur Berechnung der Lage von Xc dient die Bedingung 8ac = 0, das ist

(M°aM°c-\-MaMuc) dx = 0.

(2)

EFh²Kc =

Es genügt, diesen Werth für die Hälfte des symmetrischen Trägers zu berechnen. Für die Seitenöffnung ist

M°a M°c = —

Ml Mo = —

•H»

cx

cx

für die Mittelöffnung

M°aM⁰e = — \‘(c — yo)

Ma Mue = —l-{c — yu)

und man erhält daher (wegen y₀-\- yu = 2y) die Gleichung

(3)

— y) dx = 0

und nach Ausführung der Integration unter der Voraussetzung einer parabelförmigen Kette

Hieraus folgt die einfache Gleichung

(4)

c — hp

Zu dem Werthe

S*s

^ AJF

liefern auch die Ketten, die Hängestangen und die Ständer A₀A einen Beitrag. Es ist aber für unsere Zwecke zulässig, den Einfluss der Hängestangen und Ständer zu vernachlässigen und die Annahme Fa — Fk sec a zu machen, wo Fa den Querschnitt eines um a gegen die Wagerechte geneigten Kettengliedes und Fk den Querschnitt der Kette im Scheitel bedeutet. Der Zug in einem Kettengliede ist gleich X„sec a; es ist also & = — 1 - sec a, und man erhält für den Beitrag der Kette zu dem Werthe EFh²öcc nach Seite 268 für eine Seitenöffnung und die halbe Mittelöffnung den Ausdruck

h-\~h

(EFh²8ec)K

Fh²

Fk

dx sec ²a =

F

A— h²

Fk

Hl+

. V'

3 h² ^ h² t

16 U²

3 4?₂²

)]

Für die linke Hälfte des Versteifungsbalkens ist der Beitrag zu EFh²8CC:

h+h

(EFh²8ec)B = f ( Mf

+ Mf) dx,

wo für die Seitenöffnung

,.tS i -..u2    l CX

Me Ą-Mc = -r-

-2c~-

h²

*) Man beachte, dass J yxdx das auf die Senkrechte durch C bezogene 0

statische Moment der Fläche ist, die von der Parabel CAa, dem Ständer A₀A und der Balkenachse begrenzt wird; man erhält

Tip    2

”2    t

J yxdx 0

f«4-

und für die Mittelöffnung

h²

2c² (4+ 3 4)²) . h²

+ y (4 "4” 4)-

= 2 jy²dx-\- 2Jy²dx

0 0

Da nun für die Seitenöffnung

ist und für die Mittelöffnung

y = K y ~~ y

y = hp — y"i

so folgt mit Rücksicht auf Gleich. 4:

h    h

j yidx-\-Jy²dx=^ 0 0

— Jlp²ly--— hpfyly + y A ² 4 + ^4    y ^pfih + y /V 4

— y (4 + 37j)Tip (2c hp) + ^ (/i.²4 + A² 4)²

(EFh²8ec)B = || (+4 + A²4) -y (+~ c)² (4 + 3 4) + y Ä² (4 + 4)

und, da wir nur die Hälfte des Balkens berücksichtigt haben,

y EFh² 8ce = ■|| (A² 4 + /a²4) - y (/G - <0² (4 + 3 4) + y A²(4 + 4)

F

H--VT“ h² So,

Mithin wird

(5)

Fu

worin

So = 4 (l -f

16 fy² , V

■) + 4 (i “I

16 f.₂

3 44²

)■

3 4²

Nun lassen sich die Einflusslinien für die Grössen X„, X& und Xc sehr schnell ermitteln. Die Gewichte

M'+M“ X h² EF

ersetzen wir wieder durch eine stetige Belastung

MoJr Mu

““"Iw”"’

multipliziren diese mit |- h²EF und erhalten der Reihe nach für die Seiten-

Öffnung die folgenden Belastungsordinaten. die wir als Mittelwerthe von M° und Mu mit M bezeichnet haben. Es sind dies gewissermassen die auf die Baltenachse bezogenen Momente

Ma = y (M°a + MUa) = ~ y

Mb =

y (M°₆+M“) = -7₂y

Mo = y (1/: + mV) -c~- — y

-Mn

_ _r_ &

ÜC

f—11, —Ą

!    , K Je

----oc‘-----».

.1

tp /

ÎTT

i'

-^TmrmTTmïïïïTTITÏÏlMÏÏ^^

(a)

ms

—->1

TvT

’*A!

_Y

Iłf*

____%

_+

(c)

h—“ -»i

~izlz

Fig. 392.

und für die Mittelöffnung

JA, = — 1, Mb — — 1-x', Mc — c — y.

Die so gewonnenen Belastungsflächen sind in den Figuren 392a>b>c durch Schraf-firung hervorgehoben worden, die ihnen entsprechenden Momente geben durch die entsprechenden Werthe — EFh²8aa:

EFh²8bb, l EFh²8cc dividirt, die

£    L

Ordinaten der Einflusslinien für X«, Xi, Xc an. Bei der Berechnung von Xa und Xi handelt es sich um die Ermittlung der Momente für einen Balken CAD, der bei D eingespannt, bei C frei aufliegend ist und bei A ein Gelenk besitzt; während die Ordinaten der Xc- Linie sowohl über der Seitenöffnung als über der Mittelöffnung den Biegungsmomenten einfacher Balken CA und AB von den Stützweiten 4 und ?=24 proportional sind. Man vergl. auch das Zahlenbeispiel in No. 162. Da sich die Belastungsflächen aus Rechtecken, Dreiecken und Parabelabschnitten zusammensetzen, so können die in der Tabelle auf Seite 425 für zwanzig Theüpunkte der Stützweite berechneten Zahlen benutzt werden. Die Zeiger B. Z), P weisen auf das Rechteck, das Dreieck und den Parabelabschnitt als Belastungsfläche hin; die grösste Belastungshöhe ist mit z bezeichnet. Durch die über der Tabelle stehenden Figuren und die darunter stehenden Formeln dürfte die Tabelle genügend erläutert sein.³ ⁴) Die Anwendung dieses Verfahrens auf den vorliegenden Fall liefert für die Seitenöffnung die Gleichungen:

4 ² Ci)_Z)

X«

(x>D • 1 • l ²

6-

Xi

— EFh²8a„

<ùd 44²

4²wi>

4 4 (4    4)

6 ~EFh²8bb w® (hp — c)

+ “p/‘3~]

vro —EFh²8co durch die Gleichung 5, bestimmt ist.

X = [-

2 4²

EFh²8cc

Um X» für die Mittelöffnung zu berechnen, beachte man, dass der Koppel-

2 l

träger CA in Fig. 392a in A auf den Freiträger AD den Druck — • -X ausübt.

*    3    2

An der Stelle x des Freiträgers entsteht also

CO LT-

x²

X+Y'

Dividirt man diesen Werth durch

— EFh²8aa, so erhält man

Xa

4 (?i -)- 3 4)

und ganz ebenso entwickelt man die Gleichung

x₆ =

4 (4 -)- 4) Für die Mittelöffnung erhält man

H⁺⁸f

4²

Xc

o— c)

2 • (2 4)2 EFWKc

II

%

Ł ili

Tabelle der Werthe Up, oD, oP, oP'.

+ -OC-->|

------Z-----

---Ï

z?

Zx =

Zx =

x²

Zx

Azx (l—x)

tu

tö

I tö

to

tu

tu

tö

zP

zP

zP

Ui ——

top ——-

12

, zP

tl)p „

(Op

x²

(Op

X²

(Op

Up =2 (Op-(Op

O O O O I O iO O uO O *00000 o o o o

O-r^-rHCvlC^ICOCO^-^O O 0 0 N h- 00 00 0 05

oooooooooo oooöo oooo

ö doö ö'

05 (M CO OO

O O TH ^

0,2100

0,2275

0,2400

0,2475

0.2500

0,2475

0.2400

0,2275

0,2100

0.1875

0,1600

0,1275

0,0900

0,0475

0,0499

0,0990

0,1466

0,1920

0,2344

0,2730

0,3071

0.3360

0,3589

0,3750

0,3836

0,3840

0,3754

0,3570

0,3281

0,2880

0,2359

0,1710

0,0926

0,0500

0,0999

0.1495

0,1984

0.2461

0.2919

0,3350

0.3744

0,4090

0,4375

0,0498

0,0981

0.1438

0,1856

0.2227

0.2541

0,2793

0,2976

0,3089

0,3125

0,4585

0,4704

0,4715

0,4599

0,4336

0,3089

0,2976

0,2793

0,2541

0,2227

0,3904

0,3280

0,2439

0,1355

0,1856

0,1438

0,0981

0,0498

Die Zahlenwerthe oop und oop dieser Gleichung entsprechen der Stützweite l — 2 l,r

l 2 J

Ist z. B. = 7, und    = — so ergiebt sich

16 '*    4 U

hp — c

und

139

5 fj² , hp-

-₂ EFh',,

Für = la — 32m, ft = 8m, fx = 2,0”*, h = 2,0"', hp = 10m wird hp — c = 4,5”* und

~ EFh²    = 22,533 -j- 8,81

2    f    Fb

480

1 EFh²§cc

F = 0,51 Fk, -

X = 0,62 Fk-,

X= 0,731+

F = 0,85 Fk-,

Ist F= 0,62 Fk, so ergiebt sich für die Seitenöffnung

₌32 r 28 L

X.

4,5

11

Mp

= 28 = 29 = 30.

- ²A1

3 J

18 Mp +16 Mp

und für die Mittelöffnung

21

Xc

4-32

28

[+Mp'!_mp ⁴2⁵ ]

X,

256 m'p— 216 Mp

21

Xa : ?! und X& sind nur von dem Yerhältniss : l₂ abhängig. Man erhält für

4 • 4 ⁼⁼ 1

X«

Mp

für die Seitenöffnung

16

x₆ = —

Mp

Xa

für die Mittelöffnung

xb

-T[(- + *ï)î-ÿ]

Die hiernach berechneten "Werthe sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden.

Mittelöffnung

Seitenöffnung

0,2    —0,384    — 0,024    — 0,043

0,4    —0,672    —0,042    —0,105

0,6    —0,768    —0,048    —0,146

0,8    — 0,576    — 0,036    —0,125

+++++

^ CO CO-f o 0 0 0^0 o

tH    O

+++++

+ 0,270 + 0,617 + 0,938 + 1,159 + 1,238

Den Einfluss von Temperaturänderungen berechne man mit Hilfe der genaueren Formeln

Xat

'SttSaS

Xct

2s tScs

Für den ersten Bechnungsgang empfiehlt sich die folgende Entwicklung. Man schreibe den Gliedern der Kette die Temperaturänderung tu-, der oberen Gurtung den "Werth t₀ nnd der unteren Gurtung den Werth tu zu und lasse die Füllungsglieder, die Hängestangen und die Ständer A₀A ausser acht. Man erhält dann

h-\~h

h~\~h

und, wegen M°a — M“ — Ma,

Sa«

Z (tu to)

h + h

Madx.

Das Integral stellt den Inhalt der in Figur 392a schraffirten Ma-Fläche dar, weshalb

und

Weiter ist

y Sa«

X„t = 0,75 zEF (t₀ — tu)

hlh + 2l₂)

h+h

M“dx,

h~\~h    ztu

-jr Sct = 'SScZts = — ztu'Ss sec a -j- —=—

^    0    0    h ,

und, wegen M°c= Mc-\- — A und = Me--^-A,

Y Sc« = — ztjcSo + y £ (*« + *°) (4 "ł* 4) ^

Das Integral stellt den Inhalt der in Fig. 392c schraffirten Mc-Fläche dar, und man erhält daher

Y Sc« = — ztkSo + — z(tu -j- to) (4 + 4) ^

M°o dx —

Z (tu to)

h + h

Mcdx.

Z{tu-—°± [j ft 4 +A4)

(Ap    c)

(!+'>)]•

So

Das letzte Glied darf als belanglos vernachlässigt werden; auch ist es zulässig, durch 4 + 4 zu ersetzen; es handelt sich ja nur um eine Annäherung und die Einführung der Zahlenwerthe t₀ und tu beruht ohnehin auf einer ziemlich groben Schätzung.*) Man erhält also schliesslich

Y Sc« = e (tu + t₀ — 2 tk)¹- y

und

V«« =

Sc«

Sc«

sein, und dafür darf man setzen -^-£ (£« + *») (4+ 4)-

*) In unserem Zahlenbeispieie würde die Summe der beiden letzten Glieder £ (23 tu ~I⁻ 25 to) (4 ~j~ 4)

2-24

EF

0.

In unserem Zahlenbeispiele ist

h = ls, Ä = 2", yFFfc2 folglich (für Flusseisen und bezogen auf Tonnen und Meter) Xai = ~ zEF(t₀ — tu) h = 4- • 250 (t₀ — tu) F

16

Xa< = 281,25 (t₀ — tu) F

250 F (tu —f⁻ to — 2 tu) —

xct — zEF(tu-\-t₀ — 2tk) OQ

Zo

Xct = 36 (£« -(-    — 2 #*) F.

Im Falle t₀ = tu = tk wird Xat = 0 und X, t = 0.

Liegt die obere Gurtung oberhalb der Fahrbahn, so ist sie ebenso wie die Kette der Sonnenbestrahlung ausgesetzt. Setzt man für diesen Fall tu = 0, to = tk = 15 °, so erhält man

Xat = 4200 Fc, Xct = — 540 Fe

wo Fc einen mittleren Gurtquerschnitt bedeutet.

Da nun c = 5,5m und h — 2,0m ist, so entstehen in der Mittelöffnung die

Gurtkräfte

M°

0,5 Xat — 0,5    (5,5 — y₀)

0= —

Mu

— 0,5 Xat + 0,5 Xct (5,5 — yu).

In der Mitte des Trägers ist y₀ — 1,0M, yu = 3,0m also U—-\- 3200 Fei 0 = — 2800 Fc.

Ueber der Mittelstütze ist y₀ = 9,0m, yu= ll,0m und ?7₌-|- 1200 Fc, 0 = — 600 Fe.

Wäre in der Mitte F₀= 1,25 Fe und über der Mittelstütze F₀ = 2Fe, so würden sich an diesen Stellen in der oberen Gurtung die Spannungen 2800 1,25

ergeben. Man erkennt, dass ungleichmässige Erwärmung ziemlich erhebliche Spannungen hervorbringt. Die genauere Rechnung liefert geringere Werthe, da 8aa und 8CC grösser ausfallen.

168. Zweifach statisch unbestimmter, durch einen Balken mit parallelen Gurtungen versteifter Stabbogen, Fig. 393. Im Bogen entsteht oberhalb des Versteifungsbalkens der Horizontalschub Xa, unterhalb des Balkens der Horizontalschub Xb. Bei starren Widerlagern lauten die Elasticitätsgleichungen

Xa-{- Xbhab — Pmhma -{- hat Xa^ba H“    ⁼ •Pm5m6 -f- Sj*.

Im Belastungsfalle Xa = — 1 bleiben die in Fig. 393a durch gestrichelte Linien dargestellten Stäbe spannungslos.

Der Einfluss der Längenänderungen der Diagonalen des Versteifungsbalkens auf die Grössen Xa und Xb ist leicht zu berücksichtigen. Es sollen daher die Gewichte w mittels der Formeln 6 und 7 auf Seite 105 berechnet werden.

o₀

(1)

t/qm = 224 kg/qcm und a₀

600

2,0

30 kg/qcm

Kür einen

oberen

unteren

und für eine

| Gurtstab von der Länge 2 X ergiebt sich

a __ ym A _— y nt 2 X

ba~⁺~hT'

{SSlgnde}

Sa —- ± tg    Asa = ±tgCLm-^    ,

wo F und Fa die konstant angenommenen Querschnitte der Gurtungen und Diagonalen bedeuten. In den Stäben des über dem Balken liegenden Bogens entstehen die Spannkräfte Sa = — sec am. Der Bogen habe im Scheitel den Querschnitt Fb; für den um am geneigten Stab des Bogens sei F = Fb sec a, so Sa²s

dass

sec ²aX

EF EFb

wird.

K—

'Aff

» if

3,0

sJ³-/

& W 11    1Z.    13    !1 IS 16 IT

%\o

f/'-

(cc)

~)Fv

\ !\l

r

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Je.

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Si

0,0,

0,os\

0,19

"tVi,

i,-?»

AM

1,33

-MI.Ą

°,P?

°sz

L °,⁹⁰ \

-4S?.. J

o,os

JCjzLïnie

Fig. 393.

Man erhält nun nach Gleich. 6, Seite 105, für einen Knotenpunkt der unteren Gurtung

Wm

HK

Vm

2X

h EF

(tgam — tg am+i)

hEFd X

f]

und nacli Weglassung des konstanten Faktors

h²EF

= y⁶ + y (tg ⁶»» — tg a™+i) i -

Wm

F d³

Fd X³

Zu demselben Ausdrucke führt die Gleich. 7, Seite 105, für einen Knotenpunkt der oberen Gurtung. Dem Knotenpunkte 3 entspricht

F æ

Fa X³

Liegen die Knotenpunkte des Bogens in einer Parabel, was hier vorausgesetzt werden möge, so ist

8 f₀\

tg am — tg am+i

(2)

Wm = IJm + 4 fo -

y⁶ — h

w₃ =

Für 8ao ergiebt sich der "Werth SSs _™ym² 2X EF 7 h² FF und wenn (genügend genau)

10

X² F d³

lo² Fa X²

F d³

Fa X3 M’¹⁷'

<7²

2 2 tg ²am — •

4

d    ¹⁰

——(- 2 2 X sec ²a Fa    4

EFb ’

io

2 2X sec ²a

gesetzt wird

(3)

2X²

EFh²

r¹⁶

Schätzen wir Fa = 0,35 F und Fj, = 2,5 F: so erhalten wir mit den in die Fig. 392 eingetragenen Abmessungen

X²

1 Fd3 ~ 10 ’ Fa ' X³ ~~ 0,35 Wm = ym + 0,4 w₃ ■— w— 2,6.

2i/m² = 2 (2,8² + 4,8² + 6,0²) + 6,4² + 2 (2,4² + 4,0² + 4,8²) = 264,32

4

io    4

4X21 tg²am = -fr- (1,3² + 1,1⁶ + 0,9² + 0,7² + 0,5² + 0,3² + 0,1²) = 6,07

4    o

[88,11 + 6,07 + 2,10] =96,3

Betrachtet man die Gewichte w als Lasten eines einfachen Balkens AB und berechnet die zugehörigen Biegungsmomente Mmr unter der Annahme X = 1, so besteht zwischen den Mm und den Durchbiegungen 8ma die Beziehung

4 fo yt = 4-4,9 lo    14J

L. . 1,40 = 4,0

16

S«o

O CI

2 X²

EFh²

EFh²

Smo

2 X²

EFh²

Mm.

Für die Momente M„ erhält man die folgenden Werthe Mt' = 28,0 M,= 56,0 Ma' = 84,0 Mt = 114,6

M₅' = 142.0 M₆' —166,6 = 186,0

Ms' =201,0 Ms =209,6 M₁₀' = 218,0.

In Fig. 393b sind die im Belastungsfalle Xb — —1 spannungslos bleibenden Stäbe durch gestrichelte Linien dargestellt worden ; der obere Bogen ist spannungslos und wurde w⁷eggelassen. Man erhält für einen j Länge 2X

oberen

unteren

Gurtstab von der

a=+T’

Y]m 2 A + +F⁷’

für die Diagonalen der ersten beiden Felder , d — tga‘ ¥’

Sb — + tg a, —,

Sb =

Asb = — tg aj

As& = + tg a₂

d²

hEFa

für den unteren Bogen

hE Fa

Sb — — sec am,

A Sb = — sec am

EFb

!    2X

und gelangt nach Division der Gewichte w mit

EFh²

zu den Formeln

(4)

u>i = fh + y (tg «i — tg «O

«’2 = ^ + y tg «2

F⁷ #

F⁷* X³

⁼    +4/X

X² F d³

Fd X³

7Cm = y),» (gültig für m — 3 bis m = 17)

= «’l8

0)

2X²

EFh²

|- 19

2ï&

L+

16

-- "2

i

Die Einsetzung der Zahlenwerthe liefert

w₁ = w₁₉ = % + 0,4 = 2,3 3 6

76’j = w₁₈ — 3,6 -)--—

Wtn-*f]m

(6)

§a6 = 2 Sa Sb

EFh²

7,0

19

2t)J = 2 • 1,9² + 9 • 3,6² + 8 • 5,1² = 331.94 1,9*+ 1,7*

6,5

X (tg ² ocj + tg aa₂) =

2f/ffiV]m = 3,6 (2,8 + 4,8 + 6,0) 2 + 3,6 • 6,4 + 5,1 (2,4 + 4,0 + 4,8) 2 = 235,20 4

[110,65 + 8,67 + 0.60] = 120 • 78,4.

2X²

EFh²

3,0

2 X²

EFh²

Sa b =

2X²

EFh²

*) An Stelle von 11₀ in Gleich. (3) setzen wir 2X; rechnen also mit sec a= 1. Da F : Fb ohnehin geschätzt werden muss, ist dies zulässig.

Die Momente M" in Folge der Gewichte w sind für X = 1

= 167,5 Mj = 186,7 M₇" = 202,3

Mt"= 42,3 Mt"= 82,3 M₃" = 115,3 Mj = 143,2

Zwischen den Momenten Mm" und den Durchbiegungen 8besteht die Beziehung

2X²

EFh²

Mm".

M₈" =212,8 M₉" =219,7 Ml0"= 221,5

Die Gleichungen (1) gehen also über in

96,3 X, + 78,4 Xb = Mj

EFh²

2X²

8₀j

78,4 Xa -(-120 Xb — Mm"

EFh*

2X²

sie liefern für den Einfluss der Last Pm— 1 die Werthe Xa = 0,0222 MJ — 0,0145 Mm"

Xt = 0,0178 Mm" — 0,0145 MJ und für den Einfluss der Temperaturänderungen die Werthe EFh²

(7)

Xat

2X²

(0,0222 8at — 0,0145 Sit)

Xbt

EFh*

2X²

(0,0178 8bt — 0,0145 8at)

Die mit Hilfe der Gleichungen (7) berechneten Ordinaten der Einflusslinien für Xa und Xb sind in die Figur 393 eingetragen worden.

Belastet man jeden Knotenpunkt mit q X, so entsteht

Xa — 14,5 gX, Xb = 15,2 q\.

Xb weichen also nur wenig von einander ab.

In Folge einer gleichmässigen Erwärmung findet man

S„< = 'SztSaS = 0, 8bt — '2‘itSbS = ztl*)i

Die Werthe

Xa und

max

mithin

Ih²

und für zE —

Xat — — 0,0145 zEtF X* = + 0,0178 e Et F 250 (Flusseisen) £ = 35°, l— 60w, h : X = -i-

2 X²

ih²

2X²

Xat — — 950 F X« = +1160 F.

Für den oberen Knotenpunkt 3 des Versteifungsbalkens erhält man das Angriffsmoment

Mzt = — 1160 F-5,1

und in dem gegenüberliegenden Gurtstabe die Spannkraft

1160-5,1

Ut

1,5

F — — 3940 F.

*) Die Spannkräfte in den Vertikalen sind hierbei berücksichtigt worden. Man vergl. die Untersuchung von Ht auf Seite 199.

Wäre der Querschnitt dieses Gurtstabes zufällig gleich dem Mittelwerthe F. so würde in ihm in Folge der gleichmässigen Erwärmung die Spannung a = — 394 kg/qcm entstehen.

§ 16.

Beispiele für die Einführung eines statisch unbestimmten

Hauptsystems.

169. Wird ein «-fach statisch unbestimmtes Fachwerk durch Beseitigung von k überzähligen Steifigkeitsbedingungen, denen die statisch unbestimmten Grössen Xa, Xb, . . . Xk entsprechen mögen, in ein (n—k)-fach statisch unbestimmtes System verwandelt, so bestehen zwischen den Grössen X die Ä;-Gleichungen

La + ha — 8af = 2Pm5ma — XA« — XA» — • • • — XA*

Lb —f- §6 §bt =: ^ Pnfimb X<A« Xbhbb . . . Xkbbk

Lk —(—    — bkt—    XA« Xbhkb . . . Xkhkk

welche die Berechnung von Xa, Xb, ... Xk gestatten, vorausgesetzt, dass die Grössen Xk+1 bis X„ bereits bekannt sind. An die Stelle des statisch bestimmten Hauptsystems ist ein (n—Æ)-fach unbestimmtes System getreten. Dass diese Einführung eines unbestimmten Hauptsystems zuweilen sehr nützlich ist, wird die Lösung der folgenden Aufgaben zeigen.

170. Kettenbrücke über drei OÖffnungen mit durchlaufen

setzt.

darauf, dass für die Kette über der Seitenöffnung der auf die Sehne D₀B₀ bezogene Pfeil mit f₀ und der zur Sehne C₁A₀ gehörige mit fl bezeichnet worden ist. Man begeht aber keinen wesentlichen Fehler^ in den folgenden Formeln f₀ und l₀ durch f₁ und /j ersetzt. Wäre die Kette durch drei Einzelbalken versteift (Fig. 299,

dem Versteifungsbalken und Hückhaltketten. Fig. 394. Es handele sich um den ersten Rechnungsgang, und es möge der Horizontalzug Xc der Kette in Folge einer Einzellast P= 1 und einer gleichmässigen Erwärmung unter der Voraussetzung bestimmt werden, dass für den Balken die in No. 160 (Seite 393) eingeführten Annahmen gemacht werden dürfen und der Querschnitt eines unter a gegen die Wagerechte geneigten Kettengliedes Fa — Fk sec a ist, wo Fk den Querschnitt der Kette im Scheitel bedeutet. Die ganz unwesentlichen Längenänderungen der Hängestangen sollen vernachlässigt werden. Die Kettenlinien seien durch stetig gekrümmte Parabeln er-Die Bezeichnungen sind aus der Figur zu ersehen; man achte

wenn man

¹

Dafür ist allerdings der Eisenverbrauch verkältnissmässig gross. Das System wirkt aber in ästethischer Beziehung recht vortheilhaft; es wurde von meinem ehemaligen Hörer, Herrn Diplom-Ingenieur Eyde bei der Mühlenthor-Brücke in Lübeck zur Ausführung gebracht. Vergl. die Mittheilungen über den Elbe-Trave-Kanal in der Zeitschrift d. Ver. deutsch. Ing. 1900.

²

Dieser Werth für die Summe des zweiten und vierten Gliedes der vorstehenden Gleichung folgt ohne weiteres aus Gleich. 3.

³

Die Zahlen öd haben wir bereits bei der Berechnung der durchlaufenden Balken auf Seite 396 benutzt.

⁴

Die für X„ und Xb gefundenen Gleichungen gelten auch für den Balken auf vier Stützen; die für Xb erhaltene auch für den in No. 165 untersuchten Eingelenkbalken.

⁵

S Sa²

und berücksichtige die Längenänderungen sämmtlicher Stäbe. X& t wird — 0, weil der Träger symmetrisch ist. Die Lage von Xct bestimme man mittels der Bedingung

SaScS

EF

⁶

Yergl. Seite 249. Für unser Beispiel ist 1 +    -^r- = 1.07.

3 (o²

Seite 291), so wäre das durch die Ursache X₀ = — 1 hervorgerufene

28

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

M° = Mu = 1 • ly,

Angriffsmoment für irgend einen Knotenpunkt der oberen oder unteren Gurtung:

wo y die dem Knotenpunkte entsprechende Ordinate der Kette, bezogen auf den Sehnenzug Cx A₀ B₀ Dx bedeutet. Da nun aber der Versteifungsbalken ein durchlaufender ist, so tritt an die Stelle des Sehnenzuges CxA₀ B₀ Dx der durch die Stützenmomente c bestimmte Linienzug C₁A₁B₁B₁. Für die Strecke c ergiebt sich nach Gleich. 25, Seite 395, die Beziehung

2 c (lx “J⁻ ï) —j— cl — AT,

-i

>• \V

k-M

TO

I N?

IN

SS

i.

T'*

:---

Fig. 394.

wo N nach Gleich. 38, Seite 402, für eine gleichförmige Belastung zu berechnen ist, die für die Längeneinheit der Seitenöffnung zx und der Mittelöffnung z beträgt, und durch die Gleichungen

Wi

zl²

bestimmt ist. Man erhält also VI³

zl³

und absolut genommen,

(1)

HUh + fT)

c    2 lx 4- 31

Damit sind die Momente

M°e = m: = 7]

für den Belastungszustand Xe — — 1 des statisch unbestimmten Hauptsystems gefunden, und die Berechnung von

«O f/o

Xc =

p ^mc

auf eine sehr einfache Aufgabe zurück ge führt. Bezeichnet man mit h die Höhe des Balkens und mit F den mittleren Gurtquerschnitt, so •erhält man, mit Beachtung der Entwicklungen auf Seite 268,

a    / dx sec ²a -4-

EFh² r EFh J    ¹

dx

2 s' sec ol

EFt

Ei^bJ^ + f^Ą+Wi

■wo

16 f₀²

21. (l 4

s bedeutet die Länge einer Rückhaltkette C₀R₀T₀ und a den Neigungswinkel des obersten Gliedes C₀R₀, vergl. Seite 169. Für die beiden Integrale ergeben sich die Werthe

(2) s₀ =

3 l₀

sec öl.

J rt*dx=f(y-cE)

C²ly

15

4 cfl

fr[²dx = J (y — c)²dx = -^f²l

und es folgt schliesslich mit Beachtung von Gleich. (1) die Formel

EFh²

2    15

Die 5mc-Linie ist die Biegungslinie des Balkens für den Belastungszustand Xc = — 1.

(3)

(2/i ²lx    +80H

s₀h² F

2 Fk

Die endlichen Gewichte wc ersetzen wir durch

dx

dwc = (M: + M“)

2r\dx

EFh² EFh²

EFh²

und erhalten die Werthe--8me als Ordinaten einer Seillinie die mit

2

der Polweite 1 zu der in Fig. 394 schraffirte Belastnungsfläche ge-

'■-- Scc gewählt, so ist die

2

.zeichnet ist. Wird die Polweite gleich

EFh

28*

Seillinie die Einflusslinie für Xc. ecken, Parabelabschnitten und einem Rechtecke besteht, führt die Rechnung ebenfalls schnell zum Ziele. Mit der Bezeichnung

Da die Belastungsfläche aus Drei-

(4)

15

— (2ZX -j- 3/) -j-

s₀h² F

Kj

—— = k³

Fk

ergiebt sich für die Seitenöffnung, deren Belastungsfläche gleich dem Unterschiede des Parabelabschnittes ClSA₀ und des Dreiecks ClA₀Ai ist, nach der Tabelle auf Seite 425

(5)

k³

(y Urflh²

und für die Mittelöffnung

(6)

Je³

g    ²)

-^idpfl²--

In Folge einer gleichmässigen Erwärmung um t entsteht

(7) Xct

e t^Scs

wo, für die obere bezw. untere Gurtung des Balkens

se =

m:

Sc = -\

m;

und für die Kette

Sc = — 1 • sec a.

Da Me = ist, wird für den Balken 2Scs = 0. Für die Kette ist 2S> = — s₀, mithin

s,EFts₀h²

(8) Xct Zahlenbeispiel. Es sei ~ l —

2 k³

30-, fx=~f= 2-, e = 9*",

Ji = l.5m, s — 12"*, sec a = 1,05. Dann ergiebt sich (wenn la — lx und f„ = f% gesetzt wird)

wo

So

CQ

\fi = 4,5"

² + ^

139 fxnx

12 • 1,05

30

2,63

30

556-

1-f

30    _£o_ hl

139“' 2/, f* Fk

1 "U 0,32 -~

Man erhält also

für die Seitenöffnung Xc = (1,079 cap' — 1,214 wd) v für die Mittelöffnung Xc = (17,266 w/ — 14,568 wp) v und ist nun im Stande, die Xc-Linie mit Hilfe der auf Seite 425 stehenden Tabelle für verschiedene 'Werthe von v schnell zu berechnen.

Die Angriffsmomente für den Versteifungsbalken sind M° — Mu — Mo — Xct) ,

wo Mo das Moment für den nicht an der Kette hängenden, zweifach statisch unbestimmten durchlaufenden Balken bedeutet. Die Momente M₀ werden am zweckmässigsten nach dem in No. 160 angegebenen Verfahren ermittelt; sie sind unabhängig von v.

Grleichmässige Erwärmung erzeugt

30 g₀ h² F 139 21, f,² Fk '

Xd = — zEFkt

und dieser Ausdruck lässt sieh umformen in

Xct — — zEFkt (1 — v). F\Fk = 0,4    0,5    0,6    0,7

v = 0,89 0,86    0,84    0,82

zE — 250. £ = 35°

Xct

Für

erhält man und mit

Fk

963,    1225,    1400,    1575.

Den einzusetzenden Werth v ermittle man mit Hilfe von Versuchsrechnungen, v hängt u. A. von dem Verhältniss der ständigen Belastung zur Verkehrslast ab und ist für Kabelbrücken kleiner als für Kettenbrücken.

171. Ganz in derselben Weise wird das in Fig. 395 dargestellte Tragwerk untersucht. Der durchlaufende Balken ist nur in der Mittel-

kVVT

Tvt

YP~t

------»<— 7--5-

................

Fig. 395.

zlz

Öffnung mit der Kette durch Hängestangen befestigt. Die Gleichung zur Berechnung von c lautet

2 fl

2c {lx +0 + cl =

und liefert, absolut genommen,

(1)

2 fl

2^ + 3/

h

cH

Weiter wird

(2)

S₀ = l

(l +

16_ Z2 3 l²

^ -j- 2 s sec a.'

wo

s die Länge einer Rückhaltkette A₀ T bedeutet.

, mithin ist

Ueber der Seitenöffnung wird rj =

J r\²dx

und

k³ =

EFh²hcc_ 2g²/!    8

Soh²F

15

2 Fk

wofür man mit Rücksicht auf Gleich. 1 auch setzen darf

(3) fc³ = - f²l 4?1~^    | s°h2F.

U    15 / ¹ 2^+ dl ⁺ 2 Fk

Die Gleichung der Xc-Linie lautet

(4)

für die Seitenöffnung Xc =--—    ₃

0    rC

„    „ Mittelöffnung Xc =

clx

(y «p?^² — y UrcI²) •

Der Einfluss einer gleichmässigen Erwärmung um t° ist

(5) X„

eEFtsJi2 2k³

Bei der Berechnung der Seitenöffnung achte man darauf, dass sich die Einflusslinien für sämmtliche Stabkräfte nach dem im § 13 beschriebenen Verfahren aus der Einflusslinie für den Widerstand C der Endstütze herleiten lassen; und diese Linie findet man mit Hilfe der Einflusslinie für das Stützenmoment.

172. Die Kettenbrücke über zwei OefFnungen mit durchlaufendem Versteifungsbalken, Fig. 396, wird in derselben Weise behandelt. Die Strecke c ist bestimmt durch die Gleichung

(1)

2c{l-\-l) — — 2 fl — 2 fl, woraus c — — f.

Weiter erhält man

16 f₀

e²

-f- 2 s' sec a'

2jy\²dx = 2j(j/ — f~j^) dx = -^-f²l

s₀ = 21

3 l₀

lo

Y^f Linie,

Fig. 396.

und dieser Werth lässt sich umformen m

(4)

5 l ,

Xc — — — (2 uP üæ) v wo

(5)

s₀ h^_F T f¹ Fh

(6)

(3)

TfH +

s₀h²F

2 Fh

Up fl² —

!<■---ż

ZI

---

— z tFl

Der Einfluss einer gleichmässigen Temperaturänderung um t° ist Xet = — &EFkt (1 — v).

§ 17.

Aufgaben über statisch unbestimmte melirtlieilige Fachwerkbalken.

173. Im ersten Bande (No. 229 bis 230) haben wir die angenäherte Berechnung statisch unbestimmter mehrtheiliger Fach werke nach dem zur Zeit fast allein üblichen Verfahren der Zerlegung in statisch bestimmte Theilsysteme gezeigt und bereits dort darauf hingewiesen, dass die genauere Berechnung nicht immer entbehrt werden kann, weil diese Zerlegung öfter zu wenig befriedigenden Ergebnissen führt. Es soll daher die strengere Untersuchung dieser in neuerer Zeit wieder mehr in den Vordergrund getretenen Systeme an zwei Beispielen erläutert.

werden. Vorweg heben wir hervor, dass die Längenänderungen der Fiillungsstäbe nicht vernachlässigt werden dürfen. Bei den vom Verfasser untersuchten mehrtheiligen Netzwerken lieferte eine zuerst auf Grund der Zerlegung in statisch bestimmte Theilsysteme durchgeführte Berechnung Stabquerschnitte, die sich zur Einführung in den genaueren Rechnungsgang eigneten. Denn es kommt bei der Aufstellung der Elasticitätsgleichungen nicht auf die Querschnittsinhalte selbst an, sondern nur auf das gegenseitige Verhältniss dieser Inhalte. Die Spannungszustände X — — 1 sind namentlich für Netzwerke mit parallelen Gurtungen ganz ausserordentlich einfach, so dass die genaue Berechnung dieser Fachwerke keineswegs umständlicher ist, als die vieler anderer mehrfach statisch unbestimmter Systeme.

1. Untersuchung eines zweitheiligen Netzwerks mit gebrochenen Gurtungen.

Figuren auf Tafel 7.

Als statisch

174. Es soll der in Fig. 397 dargestellte Fachwerkträger untersucht werden. Stützweite 36'", Höhe in der Mitte 6m, an den Enden 2’", Feldweite 3,6m. Die Knotenpunkte der Gurtungen liegen in Parabeln. Der Träger ist einfach statisch unbestimmt, nicht bestimmbare Grösse möge die Spannkraft X des Stabes lY eingeführt werden.

. . gezeichnet. Die Gurtkräfte

Zuerst wurden in Fig. 400 die Spannkräfte (St) für den Zustand X = — 1 ermittelt, und zu diesem Zwecke der Reihe nach die Kräftepolygone für die Knotenpunkte l, Y, k, k', i, Y, .

Zugkräfte wurden blau, Drücke roth ausgezogen, wechseln von Fach zu Fach die Vorzeichen, ebenso die Spannkräfte in den Schrägstäben. Es genügte, die Stabkräfte der linken Trägerhälfte darzustellen; rechts von der Mitte ergeben sich dieselben Werthe, nur mit entgegengesetzten Vorzeichen. Die Ergebnisse wurden in die Figur 402 eingeschrieben (blaue Zahlen).

Die nächste Arbeit bestand in der Aufzeichnung der Biegungslinie für den Zustand X= — 1. — Ist nämlich

hu die gegenseitige Verschiebung des Punktpaares 7, Y in Folge X = — 1 und im Sinne X = — 1, hmj die Verschiebung des Angriffspunktes m einer Last Pm im Sinne von Pm und in Folge von X —— 1,

so ist der Einfluss von Pm auf A":

(1)

S„,

X=Pm

5ii

Wird also die Lasteinheit durch eine Strecke von der Länge hu dargestellt, so erzeugt eine in m angreifende Last Eins im überzähligen Stabe die Spannkraft X = bml. Die fragliche Biegungslinie ist dann gleichbedeutend mit der X-Linie; ihre Ermittlung muss durch eine Querschnittsabschätzung eingeleitet werden, und zwar kommt es hierbei nur auf das gegenseitige Verhältniss der Stabquerschnitte an, weil in Gleich. (1) nur das Verhältniss zwischen zwei Ordinaten der Biegungslinie vorkommt. Aus demselben Grunde darf, falls E für sämmtliche Stäbe den gleichen Werth besitzt, was hier vorausgesetzt wird, E — 1 angenommen werden. Die Zahlen in der linken Hälfte der Figur 401 geben nun die Stablängen in dm an, in der rechten Hälfte die abgeschätzten Querschnittsverhältnisse und die rothen Zahlen in Figur 402 schliesslich die hiernach berechneten Längenänderungen der Stäbe für den Zustand X=—1. Beispielsweise entspricht einem Schrägstabe des dritten Faches:

S,s

+ 5,1.

0,50 -61

ef

1 • 0,6

Die Einheiten sind gleichgültig, da es sich nur um das Verhältniss 8mZ : 8„ handelt. Die Bestimmung der Biegungslinie erfolgte mit Hilfe eines Williotschen Verschiebungsplanes. Zuerst wurde Punkt a, und die Richtung des Stabes a a festliegend angenommen und a a gleich der Längenänderung AO des Stabes 0 gemacht. An a und a wurde b mit Hilfe von Al und A2 angeschlossen, hierauf der in Bezug auf die Wagerechte durch die Mitte von a a symmetrisch zu b liegende Punkt b' bestimmt, sodann c fest gelegt mittels A3 und A4, nunmehr c symmetrisch zu c liegend gefunden u. s. w.¹) Man vergleiche die ausführliche Beschreibung des Williotschen Verfahrens im § 1 und namentlich die Untersuchung in No. 34 (Fig. 39), in welcher die Herleitung der Biegungslinie aus dem Verschiebungsplane eingehend erörtert worden ist. In Figur 398 stellt die ausgezogene Zickzacklinie die Biegungslinie für den Fall Fahrbahn unten vor, die strichpunktirte für den Fall Fahrbahn oben, beide bezogen auf die Gerade al als Nullachse. Da im Verschiebungsplan der Punkt V oberhalb l liegt (also ebenso wie im Fachwerke), so ist die gegenseitige Verschiebung htt des Punktpaares l, V positiv, und es entsprechen daher nach Gleichung (1) den positiven 8m/, d. h. den abwärts gerichteten Verschiebungen, auch positive Werthe X. In Figur 398 sind die positiven und negativen Zweige der als X-Linien aufzufassenden Biegungslinien durch blaue bezieh, rothe Schraffirung besonders kenntlich gemacht. Da sich die Strecke 5^ = 42,7mm ergab, so ist der Maassstab für die X-Linien: 1* = 42,7”””.

Nach Aufzeichnung der X-Linien lassen sich die Einflusslinien für die übrigen Stabkräfte leicht bestimmen. Wir begnügen uns damit, die Untersuchung eines Füllungsstabes und eines Gurtstabes durchzuführen.

1. Ermittlung der Spannkraft D im Füllungsstabe h' g, Fig. 403. Bezeichnet D₀ den Werth von D für den Fall, dass das Fachwerk durch Beseitigung des Stabes ll' statisch bestimmt gemacht wird, so gilt für jeden Belastungszustand die Gleichung:

(2)

D = D₀ — StX = D₀ + 0,43 X.

Zur Bestimmung der D₀~Linie wurde das Band I No. 215 beschriebene Verfahren benutzt und zu diesem Zwecke das statisch bestimmte Hauptsystem durch Beseitigung des Stabes h'g in eine zwangläufige kinematische Kette verwandelt. Es wurde zunächst die starre gegliederte Scheibe aa'g'hga ruhend angenommen, dem Punkte h' eine Geschwindigkeit von vorläufig willkürlicher Grösse ertheilt und nun der Reihe nach die Geschwindigkeit von i, von i' u. s. w. nach dem Williot’schen Verfahren bestimmt. Die Punkte g, g, h des Geschwindigkeitsplanes Fig. 404a fallen mit dem Pole zusammen; g'h' ist rechtwinklig zur Richtung des Stabes g'h' ebenso h'i 1 h'i, hi 1 hi u. s. w. Die ausgezogene Zickzacklinie in Fig. 404b liefert — bezogen auf die Nullachse la — die senkrechten Seitengeschwindigkeiten der Punkte der unteren Fachwerksgurtung, die strichpunktirte diejenigen der Punkte der oberen Gurtung. Entspricht dem Punkte i beispielsweise die Ordinate 5,-, und bezeichnet 5 die Projektion der Geschwindigkeit g'h' auf die Richtung des Füllungsstabes D, so ist der Einfluss einer in i angreifenden senkrechten Last 1* auf die Spannkraft D₀ (nach dem Gesetz der virtuellen Verschiebungen): durch die Gleichung bestimmt:

D₀5 -f 1 .§.= 0

und man erhält — für den Kräftemaassstab P = 5 —

D₀ = — 8,,

Die beiden Linienzüge in Fig. 404b sind also die Einflusslinien für D₀, der ausgezogene für Fahrbahn unten, der strichpunktirte für Fahrbahn oben. Rechts von g, g fallen beide Einflusslinien zusammen. Die positiven und negativen Zweige dieser Linien wurden wieder durch blaue bezieh, rothe Schraffirung kenntlich gemacht. Der Maassstab lautet: 25mM,= lf.

In den Figuren 405a und 406a sind nun die aus den D₀-Linien mittels der Gleichung (2) abgeleiteten D- Linien dargestellt worden. Dabei geschah die Ermittlung der Werthe 0,43 X mit Hilfe einer Geraden, welche in Fig. 398b auf die Weise bestimmt wurde, dass durch den oberen Endpunkt von hn parallel zur Nullachse eine Gerade gezogen und auf dieser von der Senkrechten durch a aus die dem Stabe h'g entsprechende Spannkraft Sl = 0,43 abgesetzt wurde. Diese Spannkraft ist dem ebenfalls im Maassstabe 25m”' = 1' gezeichneten Kräfteplane des Zustandes X =—1, Figur 400, entnommen worden. Der Verschiedenheit der Maassstäbe der X-Linien in Figur 398 und der D-Linien ist hierdurch Rechnung getragen, und es konnten daher die Ordinaten der D₀-Linien mit denjenigen der 0,43 X-Linie ohne Weiteres (mit Berücksichtigung der Vorzeichen!) addirt werden. Beispielsweise ist, absolut genommen,

7],= 8, — 8/ (Fig. 405a, 404b und 398a) und rif negativ, weil 8,-^> 8/.²)

Dem hiermit erledigten genaueren Verfahren ist nun folgendes Näherungsverfahren gegenübergestellt worden. Es wurde vorausgesetzt, dass Diagonale hg spannungslos sei, dass also der durch h'g geführte senkrechte Schnitt im ganzen nur drei beanspruchte Stäbe treffe. Die Einflusslinie besteht dann sowohl für Fahrbahn unten als auch für Fahrbahn oben aus drei Geraden ALlf LxL2i L₂B (Fig. 405b und 406b) und wird erhalten, indem man Strecke AJ gleich der Spannkraft ZG macht, welche im fraglichen Füllungsstabe durch einen Auflagerwiderstand A — 1 hervorgerufen wird, und indem man ferner die Strecke L₂FL gleich der Seitenkiaft [Z>] macht, die in Fig. 407 durch Zerlegung der Lasteinheit nach den Richtungen U und D gewonnen wurde. Die Bestimmung von DA erfolgte in Fig. 407 nach dem Culmann’schen Schnittverfahren; die Schnittpunkte (U, A) und (O, D) in Figur 403 wurden durch die Gerade (L) verbunden, hierauf wurde A = 1² nach den Richtungen U und L zerlegt, schliesslich L nach den Richtungen 0 und D. Nachdem auf diese Weise der Linienzug AL₁L₂B festgelegt war, wurde angenommen, dass Lasten, welche in den Knotenpunkten k, i', h, g, f, e, d, c, b des die fragliche Diagonale D nicht enthaltenden Strebenzuges angreifen, auch keinen Einfluss auf die Spannkraft D haben — sie wirken gewissermaassen auf das andere Theilfach-werk — und aus dieser Annahme ergeben sich schliesslich die in den Figuren 405b und 406b schraffirten angenäherten Z)-Flächen.

Wir wollen nun die Ergebnisse der genaueren und genäherten Rechnungsweise prüfen und setzen hierbei einen Zug von Lokomotiven mit den aus den Figuren ersichtlichen Radständen und Achsenbelastungen voraus. Die Mittelachse des Tenders ist von der Mittelachse der Lokomotive um die doppelte Feldweite entfernt — eine sehr ungünstige Annahme. Den eingezeichneten Zugstellungen entsprechen die folgenden Werthe:

tnax

genau

min

Fahrbahn unten.

Dp = 2Pyj = -f 31³

Dp = — 2Pki = + 11³

max

min

Fahrbahn oben. Dp= + 24" Dp = — 19³

D³ = -|- 25,5³ (Fehler 21 <%)

Die ständige Belastung sei g = 1,74³ f. d. Mtr. also = 1,74 • 3,6 = 6,3³ für jeden Knotenpunkt. Es stellt sich heraus, dass die genaueren und genäherten Einflusslinien dieselben Ergebnisse liefern, nämlich:

angenähert

tnax

min

min

Dp = + 1 9³ (Fehler21°/₀) Dp — — 20³.

für Fahrbahn unten Dg = 6,3 • 0,62 = 4³ für Fahrbahn oben Dg — 0.

ist. Der Kräftemaassstab für

2. Spannkraft in einem Gurtstabe. Der einzuschlagende Weg ist derselbe wie bei Untersuchung der Füllungsstäbe. Durch Beseitigung des Stabes i'li, nach dessen Spannkraft 0 (Fig. 408) gefragt sei, wurde das statisch bestimmte Hauptnetz in eine zwangläufige kinematische Kette verwandelt und nun wurden mit Hilfe eines Geschwindigkeitsplanes (Band I, Seite 503 u. Fig. 499b) die O₀-Linien für die beiden Fälle Fahrbahn unten und Fahrbahn oben gezeichnet. Die Geschwindigkeit hi' des Punktes i' wurde so gewählt, dass die Projektion von hi' auf die Richtung von 0 gleich 25” die O₀-Linien lautet dann: l‘=25”””.

Dem Stabe i'h' entspricht S{= — 0,30, weshalb

0 = O₀ — S,X = O₀ + 0,30 X,

und hierdurch ist die O-Linie gegeben; sie wurde in kleinerem Maassstabe (l³=12,5mm) gezeichnet — für Fahrbahn unten in Fig. 410a, für Fahrbahn oben in Fig. 41 la.³)

Die Figuren 410b und 41 lb enthalten die Ergebnisse der Näherungstheorie; es wird genügen, die Entwicklung von 410b zu geben.

in den

Der fragliche Gurtstab liegt in dem einen der beiden Theilfachwerke dem Knotenpunkte li gegenüber, in dem anderen dem Knoten i. Bedeuten Mh, Mi die Angriffsmomente, bezogen auf h bezieh, i und rh, r{ die Lothe von h und i auf 0, so ergiebt sich — jenachdem die Spannkraft im Stabe ih' oder im Stabe i'h gleich Null angenommen wird —

M„

rh

oder — 0

Mi

n-

Die Einflusslinie für Mh:rh besteht aus den Geraden A'H und HB ’, sie ist bestimmt durch

xhx₇i

HH'

(3-3,6) (7-3,6)

lrh

(10 • 3,6) • 5,34

= 1,42

während die aus den Geraden A'J und JB' bestehenden (M,-: r,)-Linie durch die Strecke

J'J

(2 • 3.6) (8-3.6)

Zu

(10 • 3,6) • 4,51

1,28

gegeben ist. Mit Hilfe der (Mh : rA)-Linie wird der Einfluss der in den Knotenpunkten k, h, f, d, b angreifenden Lasten gefunden, mittels der {Mi : r,)-Linie der Einfluss der übrigen Knotenlasten; schliesslich werden die Endpunkte der auf diese Weise bestimmten Ordinaten durch gerade Linien verbunden. Ganz ebenso wird die Fig. 411b erhalten. Den in die Figuren eingezeichneten Zugstellungen sowie der ständigen Last g= 1,74* entsprechen die Werthe:

Fahrbahn unten.

Op = —-2 Py] = — 125*

—    == — 43'

genau

0,

angenähert j

Fahrbahn oben.

Op = — 2Pv] = — 114f Og = — g\2vi = — 4L

Op — — 112'

0, = — 42*.

Op =--119' (Fehler 5«/₀)

0, = ~ 43*

Die Uebereinstimmung zwischen der angenäherten und genaueren Rechnung ist also hier eine befriedigende.

Die gewöhnliche Zerlegung in zwei Theilfachwerke, von denen jedes für die Hälfte der Belastung zu berechnen ist, würde wenn in jedem Theilfachwerke-die wirkliche Richtung des Gurtstabes i’Ti beibehalten wird, zu der Formel

1 (Mi . Mh

(3)

rn

führen und hierein wird man zweckmässig, um allen überflüssigen Feinheiten aus dem Wege zu gehen, für Mi und Mh gleichzeitig die Grösstwerthe einführen, trotzdem diese bei verschiedenen Zugstellungen entstehen. Wir würden dann

nach Band I, Seite 142*) erhalten

Mi-- 702<m Mh = 913*m also

) = — 164*= + U

702 ,    918

2 \ 4,51 ' 5,34

während sich vorhin ergab

für Fahrbahn unten 0 = — 125 — 43 = — 168* für Fahrbahn oben 0=— 114 — 41 = — 155*.

Es leuchtet ein, dass Formel 3 jedenfalls der Abschätzung der Querschnittsabmessungen zu Grunde gelegt werden darf, falls eine schärfere Untersuchung verlangt werden sollte. Nach Ansicht des Verfassers ist die Gleich. 3 aber auch für die endgiltige Berechnung genügend genau.

Wesentlich anders verhält es sich mit den Füllungsstäben. Hier befriedigte schon das Ergebniss der genäherten Einflusslinien nicht sonderlich, und noch ungenauer wird die Rechnung auf Grund der Zerlegung in Theilfachwerke mit den halben Lasten.

Betrachten wir beispielsweise behufs Bestimmung von maxDv im Stabe h'g das Theilfachwerk IJc'ih'g . . ., Fig. 412. Der Eisenbahnzug sei bis h' vorgeschoben und die den Schrägstab D auf Druck beanspruchende Belastung des Knotens i sei vernachlässigt — eine jedenfalls sehr ungünstige Voraussetzung. Es entsteht am linken Auflager A — 26* und

Dp = -\- 22*,**)

während sich vorhin

Dp = +- 31* ergab. Der Fehler beträgt also 41 %.

Hinzugefügt werde noch, dass sich nach Aufzeichnung der X-Linie die übrigen Einflusslinien ausser auf die vorhin beschriebene Art noch nach verschiedenen anderen Verfahren zeichnen lassen. So könnte man nach Ermittlung der 0- Linien und U-Linien die D- Linien auf die in Band I, Seite 242 angegebene Weise bestimmen, desgl. nach Seite 176 des vorliegenden Bandes. Drittens ist es möglich, mit Hilfe der für die Knotenpunkte ï, l, k\ k, . . . aufzustellenden Gleichgewichtsbedingungen schrittweise die Einflusslinien für die Spannkräfte in den Stäben 19', 20', 19, 20 u. s. w. herzuleiten.

Ein viertes Verfahren besteht darin, die Lasteinheit der Reihe nach in den sämmtlichen Knoten anzunehmen und für jeden dieser Belastungsfälle einen das ganze Fachwerk umfassenden Kräfteplan zu zeichnen.

*) Au der angezogenen Stelle sind die Maximalmomente eines Balkens von 36”* Stützweite und 3,6”‘ Feldweite berechnet worden, g ist = 1,74* f. d. Meter. Der Eisenbahnzug stimmt mit dem im vorliegenden Beispiele eingefühlten nicht ganz überein; man wird aber auch, falls man Gleichung 3 an wendet, mit den sonst üblichen Radständen rechnen, nicht mit den besonderen auf Tafel 7 an-

Dp kinematisch ermittelt. Beseitigt man D und schreibt man dem Punkte h" die lothrechte Geschwindigkeit h'h" zu, so entsprechen den Punkten i und l die Geschwindigkeiten ii" und ll". Wählt man h", so dass das Loth von h" auf D gleich A ist, so ist das Loth von l" auf A gleich

genommenen.

**) Wir haben in Fig. 412

max

max

Dp.

Die so gewonnenen Pläne enthalten dann die Ordinaten aller Einflusslinien. In Figur 899 auf Tafel 7 ist ein Theil eines solchen Planes gezeichnet worden; er entspricht einer in h angreifenden Last 1.

2. Untersuchung eines dreifach statisch unbestimmten viertheiligen Netzwerks.

175. Allgemeines über die Berechnung der Formänderungen.

Das in Fig. 413 dargestellte viertheilige Netzwerk von 30m Spann-

S O. e o, 7 o. 8 o; 9

.vwf

*>

s"

Sb*

'<3

⁸⁴1

Ol⁸

A»

!a

s'°

sf*

%\

Fig. 413.

weite, 2m Feldlänge, 4m Höhe und unten liegender Fahrbahn ist im I. Bande in Ho. 230 nach dem angenäherten Verfahren der Zerlegung in vier statisch bestimmte Systeme berechnet worden und soll nunmehr

ie

I-

■3

\6

ąo

Th

VpLviie

Dsinty^Linie

lljll

-H-

Y-

/«■

ift

HTT

\ W-

V>

¥.

Fig. 414.

genauer untersucht werden. Als statisch bestimmtes Hauptsystem betrachten wir den in Fig. 414 abgebildeten, durch Beseitigung der drei Vertikalen v, v₀' und vu' erhaltenen Träger; seine Knotenpunkte sind der

Reihe nach zweistäbig an die linke, aus aneinander gereihten Dreiecken bestehende steife Endscheibe angeschlossen, und es lassen sich daher die elastischen Verschiebungen der Knotenpunkte leicht zeichnerisch ermitteln, am besten wohl mit Hilfe eines Williot’schen Verschiebungsplanes. Aber auch die analytische Berechnung der Verschiebungen gestaltet sich sehr einfach und möge hier, ihrer grösseren Genauigkeit wegen, bevorzugt werden.

Zunächst ändern wir die Stützung des Hauptsystems in der Weise, dass wir den unteren Knotenpunkt 0 des Stabes v und die Richtung dieses Stabes festhalten und berechnen die vertikalen Verschiebungen 7]i, t]₂ . . . 7],n . . . der Knoten 1, 2, . . m, .... der unteren Gurtung, nach dem in No. 9, Seite 13 und 14 entwickelten, zu der Gleichung 8m = 2S'/As führenden Verfahren. Fig. 413 giebt Aufschluss über die Bezeichnung der Stablängen⁴); in die Figuren 415, 416, 417, 418 und 419 sind die Spannkräfte eingetragen worden,

-ł-

o,.

Mr.lA ⁴

o.

\b

\jà

ift.

« 4}

&

<J»

k⁴

ąm,

r^+

<s>

\S

-1

iS K

,/

■hs?

if

xy

+2

[AOj

m+g

■>>

-2

4<

>^-

;•

'/M

\f

~A

<%

'/W

V'

-2

-i

7 pMj

(h. wj

,vu4

\1

Fig. 415 bis 420.

welche eine der Reihe nach in den Knotenpunkten 1, 2, 3, 4; 5 angenommene Last 1 in den Stäben des Hauptsystems erzeugt. Mit Hilfe dieser Werthe erhält man

und

gut hervortreten.

7]i = 0,5 V 2 (As₂ — Ass) + ±vu — 0,5 kv,

?]₂ = 1,5 4/2 A s₂ — 0,5 4/2 A s₃—"|/2 A s₄ + A t?„ — 1,5 At> —f- ~\/ 2 A cZ₂ — Amx, %= y 2 (Asx — As₄) + 1,5 y2 (As₂ — As₃) At?„ — 2 At’₀ — 0,5 Ar

+ y2 Adg — (Amx + Am₂),

t]₄= 2 y 2 Asx + 1,5 4 2 As₂— 2,5 4/2 As₃ — y 2 As₄ — 2 Ar₀ + Ar„

—}— 0,5 Ar —|— 4⁷ 2 (A d^ — A d₂ ) — (A mx —J— A m₂ —j— A Mg) —|— 2 Aox, 7]₅= 2 \ 2 (Asx — As₄) + 2,5 y¹2 (As₂— As₃) — 2 Ar₀ + 3Aru — 0,5 Ar y* y 2 (A d§ — A tZ₃ ) — (Amx —j— Am₂ —j— A Mg —J— A m₄) —j— 2 (A ox —|— A o₂).

Die übrigen Verschiebungen 7] findet man mit Hilfe der mittels Fig. 420 abgeleiteten Formel

y]m+i — Tf]m = 2 4/2 (Asx + As₂ — As₃ — As₄) + 2 (Ar„ — Ar₀)

wo

+ 4/2 (Adm+i — Mm+2) — (Am) + 2{[Ao] — [Am]} (Am) die Längenänderung der Strecke m (m + 4)

1 (m — 2)

[Ao] „

[Am] „

bedeutet.

Zur Berechnung von t]x6— t)x5 betrachten wir den in Fig. 421 dargestellten Belastungszustand. In den Diagonalen entstehen die

/    2    0.’e

0« «r Qs o\os

0?9    10 Oj oj, Oj iS 0,'i 14-

vX

S>

X/

s\

X/

//

s\

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X/

s\

sV>~

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"*■ ^ », «* «> ué

Fig. 42 f.

Spannkräfte +0,5 4/2; in der oberen Gurtung werden die Stäbe ox, o₅, <+, o₂ mit + 1 beansprucht, in der unteren Gurtung die Stäbe m₃, m₇ und m₄' mit — 1 ; die übrigen Gurtstäbe sind spannungslos. Von den Stäben der Endscheiben werden nur die folgenden beansprucht:

sx und s₃' mit + 0,54/2

s3 JJ

Es ergiebt sich daher 7]₁₆— t]₁₅= 0,5 4 2 (A$x + A + — As₃— A.+) + 0,5 At> + Aox + Ao^ + Ao₆ + Ao₂

+ . . . + A(?₁₆) +0,54/2 ( Ad₃ + Ad₅

s₄'    „    —0,54/2 und v mit +0,5.

A m₃—Am₇ — Am₄ +0,5y2(—A d₂ +Arf₄ —A d₆

¹

Die Hilfslinien sind mit Ausnahme der zur Bestimmung von a dienenden wieder weggelöscht worden. Der Maassstab wurde so gewählt, dass eine Längenänderung As =10 durch eine Strecke von 5mm Länge dargestellt wird.

²

Für den Fall obenliegender Fahrbahn werden die Ordinaten der D-Linie bei V und d nicht genau gleich Null; sie ergaben sich aber — selbst in der vom Verfasser im doppelten Maassstabe hergestellten Zeichnung — so klein, dass sie = 0 gesetzt werden durften.

³

Zur Umsetzung der Strecken aus dem Maassstabe 1³ = 251 Maassstab l‘ = 12,5"³"³ diente der Winkel oberhalb Fig. 400.

⁴

Die Bezeichnung ist so gewählt worden, dass die vier, die beiden Endscheiben verbindenden Strebenzüge

d₂ dt <Jq ... . die : ^3 ds di .. . di5 dod e ■ • • • d \e^ d %d ^d 7 . . . d 15

At?₇+ .... A d₁₅).

29

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

176. Berechnung von Xa, Xh und X,

c¹

Grössen führen wir nicht die Spannkräfte V', Vu', V' in den drei überzähligen Stäben v„', v«, v sondern drei Werthe Xa, Xh, Xc ein, die mit den Grössen V₀', Vu', V' durch die Gleichungen

f; =—

ru' = + xa — xb — xe v' = 2 xc

verbunden sind.¹) Im Belastungsfalle Xa. = — 1 ist also

f; = +1 v: = — 1 V' = 0.

Dem Zustande Xb = — 1 entsprechen die Werthe

r:= +1 v:=+1 V=o

und der Zustand Xc = — 1 erzeugt

v; = +1 v: — +1 v = — 2.

Die Tabelle I enthält die Werthe Sa, Sb und Se für sämmtlicbe Stäbe und man erkennt sofort, dass

hab = 2SaSb

EF

ist, weil sich für die einander entsprechenden Stäbe der linken und rechten Hälfte des Trägers gleiche Spannkräfte Sb und entgegengesetzt gleiche Spannkräfte Sa ergeben. Weiter findet man

= 0,

8,, = 2SsS„^-

während hac im allgemeinen einen endlichen Werth annimmt.

Um die Rechnung thunlichst weit mit Buchstaben durchführen zu können, haben wir die Querschnittsverhältnisse Fe : F für die Gurtungen

. . und

mit a.lf a₂, . . . . für die Diagonalen mit

rr

bezeichnet und diese

für die Glieder der Endscheiben mit v, v',

Zeichen in die Tabelle eingetragen.²) Fc ist ein beliebiger, konstanter Querschnittsinhalt. Zwei in einem unbelasteten Knotenpunkte zusammen-stossende Diagonalen erhalten gleiche Querschnitte also auch gleiche Werthe ß. Die Querschnitte der einander entsprechenden Stäbe der

Tabelle I.

a) Gurtungen und Ständer.

? I»

SP

S°

00 cc

S?

Sp

5*

oooooooooooooo    ^    ^

hh- *-*. O !-*■ o p O O P O O O O 0^>JD tn üi oi b aik ►»»»» w oj ^    » o

HrlrlHHrlHrHrlTHHrlrHTH

ri t—I rH

+ | +I + I + I + I + I + I + I

(_». i—^ i—^ ^ ^ i—^ i—*-1—^ ^ i—>- i—*-i—^ t—ł

++II++II++II++ ++

■H tH

tH tH tH t—I tH t-H t-H M t-H tH t*H tH O h-H ^

+ ii++ii++ii++i +i i

«pH t-H tH tH t-H tH t-H t-H t-H tH tH tH tH tH

tH tH tH

+I+I+I+I+I+I+I +1

tH t-H tH tH H t—< t-H

r—I t—* t-H tH t«* o tH t-H

++    ++II++II++II++

MM O    k-à.h-*-MMMMMMk-*-k-»-MMk—»-

++I I++II++II++II+

t-H t-H t-H t-h tH tH t-H t-H tH tH t-H t-H tH tH

(MHtH

b) Diagonalen.

FcY 2 Fc/2

&,__

F s y* Y* Y² Y²

FcY 2 F Y 2 £___&

Sb

Sc

.F

Sc

Y2 /2 y2 Y 2

c? & h2®

m m    to to i4b rfb co cc m    M- to ^p’oytotoj^

to to to to    M M GO GO CO Ćo Qt    Ćo'+*> M “H i- CO

K W tO IO IO bO IO K

(M (N (M (M (M (M CÜ

I + I + I + I+ +1 + 1 + 1 +

OOOOOOOO

I+I+I+I+

t-H t-H tH tH tH t-H t-H

l+l+l+l

7—i -T-H 7-¹ t-H t-H t-H

4? «? & A + + + ++++

^ ^ ^ -ć *Tjö'C0Xö'Dö'GD*CD'G5 TÄn^'OöTXk'Cö'CöXöTö

5 x x X w *1 *k ®    ®    ot rfkrf^CDCDCCCD»^*-

00 00    (N (M (M (M 00    00    H H 00    OO CO OÎ kO    C<J 03 OJ^

T-H T-H    ^ y—*    T—i    04 04 ^ CO CO M    t-H t-H t-H tH

K WWtOtOtOlOK

to to io to to to to

lO IO O kO *

dddd g

tH tH t-H t-H t-H t—i t-H t-H

-rH -M t-H t—< tH t-H tH

oooooooo

tH t-H t-H M t-H t-H —H M

l+l+l+l

MMMMM

I++I

oberen und unteren Gurtung unterscheiden sich von einander so wenigT dass es stets zulässig ist, ihnen gleiche Werthe FC:F beizulegen. Die dritte Spalte der Tabelle enthält die Verhältnisszahlen s : sc, wo sc die Feldlänge, d. i. die Länge eines Gurtstabes, bedeutet. •

Mit diesen Bezeichnungen ergiebt sich nun

= ^SaSc---dr = 8 (ß₂ -j- 4 ß₆ + 2 ß₁₆    3 ß₄

5« r

FFC

Sc

4ß₈)

und dieser Werth wird gleich Null sobald

+ ß₂ + ⁴ ße + ² ßio — 3 ß₄ -j- 4 ß

ist, eine Bedingung, welche sich stets durch geringfügige und für die Endergebnisse der Untersuchung belanglose Aenderungen der auf Grund der angenäherten Berechnung gewonnenen Querschnittsflächen erfüllen lassen.³) Die Zahlenwerthe der vierten Spalte der Tabelle genügen der vorstehenden Bedingung, und es sind daher die drei Elasticitäts-gleichungen von einander unabhängig. Der Einfluss einer im Knotenpunkte m angreifenden Last Pm — 1 auf die statisch unbestimmten Grössen ist also

-X =

^mb

S«c

Scc ’

und hierein ist, mit den Bezeichnungen

ß3 ² ß5 2 ßj + 2 ß₉ = 4h

ß₂ 4" ⁴ ß6 4³ 2 ß₁₀ = 3 ß₄ -j- 4 ß₈ = v};₂

zu setzen:

EFC

Sc

EFe

Sc

EFC

Sc

sc F

5 "Ç rr2 §

hbb-^sb-—

5 Vn! S Fc

^ C C " ’ ‘ ^ c    .

⁰⁰    sc F

Ka = 2S²a

= ⁴²+ 4v' + 8    + 4₂)

-—- 4 ^ <xm —J— 4 v —j— 8 (v —j— v ) —f“ 8

Man erhält

2am = 3,3, 4*i ⁼ 21,9, 4»₂ = 22,2.

EFC

5C

5oa = 372,0,

EFC

5C

8«= 194,4,

FF₀

hee= 211,2.

EFC

An Stelle der Durchbiegungen §m berechnen wir die Werthe —

Sc

indem wir die Längenänderungen As

. s Fc = S---—

Ss

EF

ersetzen durch

EFC

Sc

As

EFC

Den sich hebenden Faktor

streichen wir. Zunächst

nehmen wir das statisch bestimmte Hauptsystem auf die in Fig. 421 angegebene Art gestützt an, berechnen für die Zustände Xa = —1, Xh = — 1 und Xc =— 1 die Durchbiegungen 7] und finden dann für den im Abstande xm vom linken Stützpunkte liegenden Knotenpunkt m

5c

8m    8 j g

Die senkrechten Verschiebungen der Stützpunkte A und B stimmen mit denen der Knotenpunkte 0 und 16 überein, weil die Ständer 0A und 16 B in den hier in Frage kommenden drei Belastungsfällen spannungslos sind.

Mit Hilfe der auf Seite 449 abgeleiteten Formeln ergeben sich die folgenden Werthe tj.

Zustand Xa = — 1 ■*li« = v' = 1,5

v'— 2 ß₂ — ocj

+<,=+«+4'/— 8ß₆ — 4a₁ + 3(a₂—a₃) + (a₄—a₅)

+0«=+« + ⁴    8 ß₁₀— 4 a, + 4 (a₂ — a₈) + 4 (a₄—a₅)+2 (a₆—a₇) = — 61,0

^1h„=^1io<»+4 vr— 8 ß₆ — 4 a₄ + 3 (a₂ - a₃)+ (a₄—a₅)

2,1

— 18,6

77,5

—h 3 v -f- 4 ß₃— (a₄ — a₂)

**18 « =

■*)t a =+« + 4 v'+ 8 ß₇ — 4 (a₄ — a₂) — 3 (a₃ — a₄) — (a₅ - a₆) + 4 v'+ 8 ß₉ — 4 (a, — a₂) — 4 (a₈—a₄) — 3 (a₅ — a₆) ^,5«='>fln«+4v,+ 8ß₅ — 3(a, — a₂)— (a₃ — a₄)

=+ 10,1

=+ 40,9

=+ 83,7

=+105,3

9,1

+ 3v'— 6ß₄ — 3ai+ (a₂—a₃)

+« —+« + 4 V — 8 ß₈ — 4 a₄ + 4 (a₂ — a₃) + 3 (a₄ — a₅) + (a₆ — a₇)=■— 3 9,6 +2«='*Î8«+4v'— 8ß₈ -4a+4(a₂-a₃) + 3(a₄-a₅)+(a₆- a₇) = — 70,1

Y)₁₆₆und y]₁₆₀ durcL

6«-

—5 v —)—8 ß₅ 3(ax a₂)    (a₃    a₄)

= + 23,1

**I5“ =

^9 « = ^Is «+4 v'+ 8 ß₉ —4 (ttj —a₂ )—4 (a₃ — a₄ ) — 3 (oc₅—a₆ ) = + 6 5,9 ^13a⁼⁼ "^9« 1 ^| 8 ß₇ 4 (oCj ——oc₂)    3 (oc₃ 0C4)    3 (otg Kg) = —96,7

^16« — %5« = -2a-2(^+(J)₂) = - 91,5

1

7j₁₆ = 105,3 — 91,5 = 13,8

Zustand Xb — — 1

fhb = > = 1,5

7]2J = v'- OCj

^66 — ^2* + a2- a3 4~a4- a5 — + 0,8

^lO* —    = + °,8,    = ⁷l26 ⁼ + ⁰,5

= + 0,5

Vs* = — v — 4ß₃—(a₁+ a₂)

^ =rl3b — 8ß₇—(oc₃+a₄+a₅+a₆) = —36,9 ^ii» = ^76 — ⁸ ß₉ — (a₇ + a₇ + a₆ + a₅) = — 76,5 = ^116— ⁸ß₅— (a₄ + a₃ + a₂ + OCj ) = — 95,7

t]₄₅ =— v'+tti — a₂ + a3 Vs» ⁼⁷Î46 — a₄+a5—a6+a7 = —O.8 = Yl46

v]₅₆ = V + 8ß₅ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄= + 20,7 ^gs =    + ⁸ ß₉ + ot₅ + a₆ + a₇ + a₇ = + 60,3

''Qis* ''lg» + 8ß₇+ a₆+ “5+ a₄+ a₃ = + 88,1

7

%6₆ —⁷li56 = 2a + 2^ =

1

^66 = — 95,7 + 47,1    = — 48,6

Zustand Xc — — 1 = — v' — v = — 2,1 rl2c = — 2')" — 3 v — '/ — 2 ß₂ — a,

^6« —^20 —⁸ ß₆ —(a₂ + a₃ + a₄ + a₅) = — 30,2 ^io«    — ⁸ß₁₀ - (a₆ + a₇ + a₇ + a₅) = — 77,0

⁷]i4c = ^ioc— 8ß₆ — (a₄+ a₃ + a₂ + otj) = — 97,9

7j3c =v—v—a, + a2 ■*17. = ri3c — a₃+a₄—a₅+a₆= + 0,5 ^11, =

— TI11C a4 + a3 a2 4~ ai = + 0,9

ï]4c = 2v + v + v + 6 ß₄ + ax + a₂ + a₃ = + 17,3 vise =    + ⁸ ß₈ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇

rU2« — ^8« ~f~ 8 ß₈ + a₇ + a₆ + a₅ + a₄

= — 0,7

= — 0,7

47,1

— + 0,5

— a6 + a5-4" 0,5

9,1

9,3

= + 52,2 = +87,1

t]5c == — v' — v -f ocj — a₂ + a₃ — oc₄ = — 1,7

= %.

+ 6?—    = v + 2v -f- 2a + 2 +>₂ = 50,7

1

rll6c = 0,9 + 50,7 = 51,6.

Die aus den Werthen Y] berechneten Grössen

+ a₅ — a₆

+ aG — a₅ -j" a₄ — a₃ —

7

= —1,7 — 1,7

Xa

+ 6«

Xb =

Timb

Xc =

tn c

sowie die in der weiteren Untersuchung gebrauchten Ausdrücke

Yx = Xa + Xh

y₂ = xa — xh

sind in der Tabelle II zusammengestellt worden.

Y₃=.Xri + Xc Yé=Xa — Xc

Tabelle II.

Xa

Xb

xe

Y₂

Ya

Y₄

+ 0,003    +0,016

—    0,009    + 0,027

+ 0,021    — 0,006

—    0,033    + 0,055

+ 0,051    +0.181

— 0,018 — 0,068

—    0,038 + 0,025

—    0,081

+ 0,019 + 0,018 + 0,015 + 0.022 + 0,232

—    0,013    —0,015    +0,021

—    0,036    —0,077    +0,059

+ 0,027    —0,017    + 0,059

—    0,088    — 0,008    — 0,058

—    0,130    —0,030    +0,132

10

—    0,064    + 0,096

+ 0,094    — 0,081

—    0,125    +0,121

+ 0,156    +0,452

—    0.186 +0,162

+ 0,032 + 0,013

—    0,004 + 0,608

—    0,024

—    0,160    — 0,296    +0,168

+ 0,175    -0,010    +0,198

—    0,247

—    0,296    + 0,010    + 0,302

—    0,348    — 0,704    + 0,332

— 0,250

11

12

13

14

15

+ 0,199

—    0,217 + 0,229

—    0,241 + 0,247

—    0.219 + 0,188 + 0,662 + 0,228

-    0,251

—    0,169 + 0,225

—    0,212 — 0,682 — 0,232

— 0,020

—    0,029 + 0,891

—    0,013

—    0.004

+ 0,418    +0,030    +0,368

—    0,405    + 0,008    — 0,442

—    0,433    +0,017    +0,441

—    0.469    — 0,923    + 0,441

+ 0,498    +0,015    +0,479

177. Spannkräfte in den Stäben der Endscheiben. Für die

Spannkräfte in den Stäben i\', v₀', vu', sx, s₂', s₃ , s₄ der rechten Endscheibe gelten die Formeln

V' = — 2XC, V₀'=—Xa — Xb—Xc, Vu'= + Xa—Xb-Xc ' sin 9 — — S₂' sin 9 = + Xc S± sin 9 = — S₃' sin 9 = \ (B + V') = 0,5 B — Xc,

wo B den Widerstand der rechten Stütze bedeutet. Die Einflusslinien für die Spannkräfte V und <S der linken Endscheibe sind die Spiegelbilder der Einflusslinien der entsprechenden Kräfte V' und S' der rechten Scheibe. In der Tabelle III sind die Ordinaten der Linien für V₀, Vu und zusammengestellt worden. Die sin 9-Linie und die Vu-Linie

Tabelle III.

(1)

Vu

v„

Si sin cp

Vu

V₀

Si sin cp

+ 0,730    +0,236

+ 0,213    +0,695

—    0,221    —0,679

—    0,630    —0,196

+ 0,587    +0.189

+ 0,170

—    0,150    —0,462

—    0.372    — 0,121

0 542

+ 0,251

—    0,232 + 0,205 + 0,608 + 0,181

—    0,201 + 0,137 + 0.375

9    +0,279

10    +0,072

11    — 0,049

12    —0,113

13    + 0,065

14    + 0,032

15    + 0-005

4-0,091    4-0,113

+ 0,200    — 0,049

—    0,151    4-0,069

—    0,047    +0,142

4- 0,023    4- 0.045

+ 0,050    —0,018

—    0,001    —0,001

zeigt Fig. 422; vergleicht man sie mit den im I. Bande auf Seite 529 nach dem Näherungsverfahren gewonnenen Linien, so findet man eine recht gute Uebereinstimmung. Um die Vergleichung zu erleichtern, haben wir die Geraden, in denen die Punkte der angenäherten Einflusslinien liegen, mit eingezeichnet; sie schneiden auf der Senkrechten durch A die Strecken 0,25, 0,50 und 0,75 ab.*) Als Lasten sind drei- oder vierachsige Lokomotiven von 1,2’" Radstand und 16* Achs-druck angenommen worden. Die ständige Belastung beträgt g = 1,67« also 3,2' für jeden der Knotenpunkte 2 bis 14 und 2,4' für jeden der Punkte 1 und 14. Den Einfluss des Eigengewichts ermittelt man in der Weise, dass man

Xag = + 0,20', Xbg — + 5,41‘, Xcg = -f- 6,60'

bestimmt und hierauf die Formeln 1 benutzt. Man erhält auf diesem Wege die folgenden grössten Stabkräfte, denen die nach dem Näherungsverfahren gewonnenen in Klammer beigefügt worden sind.

Vp -f- Vg =    — 108,5 —    13,2 = —    122' (— 122')

Kp+ F., =    +    42,2 +    1,4 = +    44' (+450

K,+ r„ =    +    41,8+    1,0 = +    42‘ (+ 43‘)

=    +    42,5 +    5,0 = +    47,5'(+47,5')

St sin 9 = | r = — 61* (—61').

*) Man achte darauf, dass wir im I. Bande die ,+Linie, jetzt aber die St sin 9-Linie dargestellt haben.

min

max

max

V = Vu =

K =

S₄ sin cp

min

max

min

*2

16* 16 16

U--r

•T

lml

025 <

4-

o,i

,K-~

J^:n

iS*

16 16*    ' 'Tfl-

rw*4 ¹

#11 imi

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ĄS<

! 16 16 16 16*

1 \'s\>Ąv'

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(ofĘsr¹-.

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te

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-°s

16

10

11

1.6 16

r-JÏOrn J

"T"

* 1Z 1Z

fiH-P-i

13

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15

16 16*

-i-

'J)„sintfhLinL

J___'_    !    !

^ftł^    I    '•---r- — -i-._

_- —j- • '    T”    j    'fS^sinfŁinie

16 î

16

13* ÀS* 13*

_j6/6i16* I    t

-1___!_ L# ik !    !'

«*

-A

11111111111 i>"    -    ,    i*i 11U-U i-ipnii h^j '1 km *

__|--''

T^Linie '■

•r

«L

16 'te*

4^4ff?*

te

If

13

if

! 16 te 16 '16*

^1,6-tel.f

*rl r i il

y i? ir !    :    tr 17

\ ttn

-** ¹ I * I ¹ I I T II , j | |T| | | j [ ! *1 I 1 uul>—“

0,00

17*    171    17

<-}S-te l,j l-1ys4--V w W |W >

j 17    17*

AS

?/?«

1JS

m

/ Linie

Fig. 422.

Die Veher ein Stimmung der genauen und angenäherten Werthe ist eine ganz vorzügliche, und es folgt daraus ohne weiteres, dass auch die 0, U und D nach dem Näherungsverfahren berechnet werden dürfen. Wir wollen aber trotzdem die genauere Berechnung auch für die übrigen Stäbe durchführen und noch verschiedene Vergleichungen mit den angenäherten Ergebnissen vornehmen.⁴)

178. Die Spannkräfte in den Diagonalen ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte. Für die Spannkräfte D₂, D₃, DA, D₅' gelten die Formeln

D₂ sin    9    =    Do2 sin 9 -j- Xa -f- Xc — Do2    sin 9    -f-    Yz

Die D₀-Linien lassen sich nach dem im I. Bande angegebenen Verfahren ermitteln. Fig. 414 zeigt die Einflusslinien für Do₂sin9 und Z)o₃sin9.

Die übrigen Kräfte D sind durch die Gleichungen bestimmt

u. s. w.

D₂ = DA , D₃ = D₅ , Da = D

D₇ sin 9

D₆ sin 9 = — D₄ sin 9 = D₂ sin 9 — P2 D₅ sin 9 — Z>₃ sin 9 — P3 Dg'sin 9 = — D/sin 9 = ^'sin 9 — ~ u. s. w.

wo P₂, P₃ . . die in 2 oder 3 u. s. w. angreifende Knotenlast bedeutet. Die Tabelle IV enthält die Ordinaten der Einflusslinien für alle linkssteigenden Diagonalen. Die sin 9-Linie ist in Fig. 422 dargestellt worden; sie weicht nur unwesentlich von der im I. Bande nach dem genäherten Verfahren der Zerlegung des Netzwerks in statisch bestimmte Theilsysteme gewonnenen ab. Für die maxD sin 9 ergeben sich die folgenden Werthe, denen die nach dem Näherungsverfahren gewonnenen in Klammern beigefügt worden sind.⁵)

Tabelle IV.

in

D₂sinç i)₃sin<p Z+sincp D₅'sin<p DgSkup Z>₇sin<p Z>₈'sin<p D/sintp D₁₀sin<p

—    0,015 + 0,923

—    0,017

—    0,008 — 0,030

-    0,004 + 0,004 — 0,019

—    0,014 + 0,009 — 0,018

+ 0,890 — 0,024 — 0,015

—    0,029 + 0,825 — 0,022

-    0,020 — 0,018 + 0,768

—    0,015 — 0,004 + 0,004

—    0,077 — 0,014 + 0,009

—    0,017 — 0.110 — 0,024

—    0,008 — 0,029 — 0,175

—    0,030 — 0,020 — 0,018

—    0,019 — 0,015

—    0.018 — 0,077

—    0,015 — 0.017

—    0,022 — 0,008 — 0,232 — 0,030

6    + 0,704 — 0,023

7    —0,010 + 0,608 — 0,003

9 +0,010 + 0,013 10 +0,296 + 0,031

-    0,015 — 0,032 + 0,704 — 0,0231— 0,015 — 0,032 — 0,296

tH vH

CO to

o

tH -t—I

+ 0,030 + 0,232 + 0,018 + 0,020 + 0,030 + 0,232 + 0,008 + 0,022 + 0,175 + 0,029 + 0,008 + 0,022 + 0.017 + 0,016 + 0,024 + 0,109 + 0,017 + 0,016 + 0,077 + 0,019 — 0,009 + 0,013 + 0,077 + 0,019 + 0,015 + 0,019 — 0,004 + 0,004 + 0,015 + 0,019

+ 0,018 + 0,020 + 0,030 + 0,175 + 0,029 + 0,008 + 0,024 + 0,109 + 0,017

—    0,009 + 0,013 + 0,077

—    0,004 + 0,004 + 0,015

max

D₂ sin 9 =

max

max

max

max

tJ.r

D2p sin 9 -+ P2g sin 9 = 54,4 +- 6,4 = 60,8* (60,0*) Dg sin 9 =    47,8    +    5,6 =    53,4* (52,1e)

D₄ sin 9 =    41,3    -f-    4,8 =    46,1* (45,5')

D₅'sin 9 = 35,5 -+ 4,0 = 39,5* (39,6*)

D₆ sin 9 =    28,1    -j-    3,2 =    31,3* (31,0*)

D₇ sin 9 =    22,5    4-    2,4 =    24,9* (24,9*)

D₈'sin 9 = 17,9 4- 1,6 == 19,5* (20,2*)

D₉'sin 9 = 13,4 -+ 0,8 = 14,2* (16,3*)

D₁₀sin 9 = 10,2 4- 0 = 10,2* (12,4‘).

179. Die Spannkräfte in der oberen Gurtung. Man erhält,

da 9 = 45° ist,

Ox = St sin 9 — D₃ sin 9

0₂ = 0X •+ J)₂ sin 9 — D; sin 9 = 0X — 2D/ sin 9 ^3—^2—2D₅'sin9, 0é= 0₃—2D₆sin9, u. s. w.

Tabelle Y enthält die nach diesen Formeln berechneten Ordinaten der O-Linien. In Tabelle VI haben wir diese Linien nach dem Näherungsverfahren berechnet und zwar für eine Lasteinheit von P— 120. Die angenäherte Sx sin 9-Linie zeigt Fig. 423; die Werthe D sin 9 sind der Tabelle auf Seite 530 des ersten Bandes entnommen worden; sie mussten mit 4 multiplicirt werden, da jene frühere Untersuchung die Lasteinheit P= 30 voraussetzte. Dieses Näherungsverfahren führt ausserordentlich rasch zum Ziele und liefert vorzügliche Ergebnisse. Bei der Berechnung von Ox wurden dieselben Achslasten und Rad-

stände angenommen, wie bei der Ermittlung der V, S und D. Die übrigen Werthe 0 sind für den neuen preussischen Belastungszug (Band I, Seite 338) berechnet worden. Man vergleiche die Figur 422,

.30

(120

Mo

10

11

13

16

16

Jm

,'iü

iy

im

m S,smf

60]

120\

Fig. 423.

Tabelle V.

-Ol

0-2 !

— oA

- Os

0₆

0,228 0,668 1,102 4    —0,254

0,149

0,495 0,754 8    —0,128

0,117 0,263

0,313 12    —0,003

0,054 0,087 0,037

10

11

13

14

15

CD M-p o 'b-n "cö "© 'o to

H CO Ql OD CO CO Ol Ol Ol

»O CO (M iO CO CO H N iO Ol ^tpGO^ vHp

cf o CD cT cf

PPPP O O OH CO CO

to Ol O ^ ^ CO CO to H co

COO^(M05 Ol O (M iO ^ vH CO O CO CO

h*- »-*• o O o

'b'bo'co'in'hj-Q0 CO CO CO 05 CO O O O 00

O GO o co co

H t>»

O O O vH vH

GO Ol

D- TfH GM iO

H*- ppp © 4^'h*. ^10^05 05 CO 00 o O 00

M- pppp O

►JH 00 H*- Ol CO

ooo

vh o o

O 05 GO CO ^ vt CO 00 Ol CO

cT cf o o cT

Ol O O 05 CO O N GO lO CO Go^pcopp

th'o cTcTo

CO CÛ lO kO CO GO t- OO O) oo^ oo^ p 05

vH tH O O O

O popp boco^ co CO co to o 00 H CH O O' ⁻X>

PO OOP b K)J

Ol. 4n -4 CO

4h

CH IG h ^ H CO

CO 4h

Ol

o o © © cT

h to co OOOCOOIH H Ol Ü» CO

05 lO CD r— ^ H CO CO Ol Ol GO p©

o o o o ö

oi co ci CO N kO Ol o

03 GO co Ol H

© © © © ö'

■i-

'S

g;

CD

•fj

fl"

j

go g

-fl

CK5

CD

N*

tL

w

CD

fl

CD

f—I

15

— 13

— 13

— 13

14

24

— 33

33

— 33

— 33

13

—    40

—    45

— 45

— 45

—    45

—    40

—    85

12

56

49

49

49

49

56

-105

— 105

11

36

45

45

45

45

72

— 117

— 117

— 117

10

33

33

33

33

88

— 121

— 121

- 121

— 121

13

13

13

104

117

Tabelle VI (P= 120).

17

— 68

+ 15 — 120 — 105

85

85

— 105

85

— 117

— 105

— 117

—    117

—    104

221

—    105

—    120 — 225

—    85

—    136

—    221

— 221

— 225

— 221

57

21

25

57

57

57

-152 — 209

— 209

— 209

— 209

21

21

— 168 — 189

+ 23

—    184

—    161

— 161

— 189

— 189

—    189 + 72

—    117

161

— 161

+ 56 — 105

— 105

— 100 — 125

— 125

— 125

- 125

+ 40

85

85

85

— 81

— 81

— 81

— 81 + 24

— 57

— 57

— 57

— 57

— 29

— 29

—    29

+ 8

—    21

21

\z —

— 21 + 8 — 13

Si sin 9 — Z>₃ sin 9

Oi

6 ins *<J2 —

V)

— 2 Dh sin cp

0₃

à ms ⁹(J z —

0₄

ms lQ z —•

°5

2 I)s sin 9

Oe

— 2 D₉ sin cp

Oi

in der die Einflusslinien für Ox und 0₅ abgebildet sind. Alle einge-klammerten Zahlen sind Ergebnisse der angenäherten Berechnung. Man erhält

= min0lp + Olg = — 85,4 — 12,2 = — 98* (— 95*) min0₂ = — 121,0 — 21,8 = — 143* (— 139*) min0₃ = — 157,9 — 29,8 = — 188* (— 187*)

,m„0₄ = — 184,9 — 36,2 = — 221* (— 221*) min0₅ = — 204,1 — 39,4 = — 244* (— 245*) min0₆ = — 219,4 — 42,6 = — 262* (— 258*) min0₇ = — 213,2 — 44,2 = — 257* (— 254*).

180. Die Spannkräfte in der unteren Gurtung wurden mit Hilfe der Formeln

Ux = S± sin 9 — D₃ sin 9

U₂ — Ux-\- D₂ sin 9 — Z>₄ sin 9 = Ux -f- 2 D₂ sin 9 — P2 U₃ = U₂ -f- 2 P₃ sin 9 — P₃ u. s. w. untersucht. Zur Probe wurde U₇ noch mittels der Gleichung

u₇ = uo7 — xa +x₆ + xc

berechnet. Tabelle VII enthält die Ordinaten der Einflusslinien. Man findet

max

max

max

m ix

Ulp+ Uu = 70,1 + 9,0 = 79*

Ux =

U₂= 92,7 + 18,6 = 111* U₃ = 126,1 + 26,6 = 153* C7₄= 147,8 + 33,0 = 181* U₅ = 167,1 + 37,8 = 205* U₆ = 197,7 + 41,0 = 239* U₇= 215,9 + 42,6 = 258*

max

Tabelle VII.

Ux

üt

U₃

U₅

Uq

u₇

05 to K

O O

CO kO Ci 00

<M^C+    05^

cTo cTo cT

CO 05

popp o

ö cn

QOHÜ'COO CO o

Ci Ci to

ppppp

'00 'o* lo u*

^ H- 05 Ci CO

co to Ci 00 rfi-

0 + 000 00

CM CO CO (M CO O ob go co

<M

co

rrppp

CO K GO ü’ K M- Ü' Oł Ci CO 00

^OOO

• 0,134 0,396 0,824 1,102 1,289

CO

<M CO O ^ ^ t+OQ CO O <M O O O tH tH

6    — 0,233

0,124 0,379 0,505 10    —0,025

iO

I - C S Cl CO T+T-t CO O iO HO © © ©

Ci o CO ^ o <M <M O <M tH CO CO kO^ CD

tH w o'dÖ

O O M. M- b-L <05 Ca'ts'cD Cn 00 <1 00 (O CO ffl 05 Kl CO

H W to to ö O 05 C" W —J CO I-* 05 CJt

CO O H CO 03 CO OO Oi O) CM CO CO CM

tH t-H tH tH t-H

1.397

1,452

1,375

1,419

1,361

11

0,089 0,171 0,154 14    —0,005

0,003

12

13

15

0,689

0,639

0,486

0,195

0,071

05 o o ^ O (M ^ O + COkOCO H

o ööö ö'

05 tH

CM 05 ■h 05 kO CO CO <M CC^kO CO T-< tH O O O O

CO 05

Fig. 424.

182. Einfluss einer ungleichmässigen Erwärmung. Schreibt man allen Stäben der unteren Gurtung die Temperatur tu, den Stäben der oberen Gurtung die Temperatur t₀ und den Ständern (v) und Streben (s u. d) die Temperatur ts zu, so entsteht

2&tSas

EFC

s£„ 2S'₀s -f- £t₀^Sas -j- sts2S₀s

ss„²—A

So F

Sc

181. Eine sehr schnell zum Ziele führende angenäherte Berechnung der grössten Gurtspannkräfte ist die folgende. Man ermittle mit Hilfe der im I. Bande auf Seite 539 abgedruckten Tabelle der grössten Biegungsmomente den Werth

MSP

max

832

4,0

208',

ferner den Werth

M%g _ gl²    1,6-30²

= 45'

8-4,0

zeichne über der Stützweite l eine Parabel vom Pfeile 45e und stelle Mp:h-Linie nach Band I Fig. 526 durch zwei Parabelstücke und eine gerade Linie von der Länge 0,12 1= 3,6m dar. Dann setze

die max

man 0₇

m₇

Man erhält, Fig. 424:

f’°* =

0₇ = — 253', 0₆ = — 252', 0₅= — 244', 0₄= — 225',

0₃ = — 194*, 0₂ = — 153', Ol = — 100',

das sind Zahlen, die von den vorhin ermittelten nur wenig abweichen.

u. s. w.

-801'

100

152

199

£52

Xat

2Sa²-^-a EF

wo 2, 2, 2 sich der Reihe nach auf die untere und die obere Gurtung

u o s

und auf die Füllungsglieder beziehen; und ähnliche Ausdrücke erhält man für Xb und X,.

Mit Hilfe der Tabelle I findet man nun

¹

Vergl. No. 13, Seite 25.

²

Die Querschnittsverhältnisse Fc : F runde man gut ab. Die Einführung runder ~Werthe Fc 2 : F für die Diagonalen erleichtert die Rechnung ausserordentlich.

³

Die zunächst nach der Näherangstheorie berechneten Stabquerschnitte’ und die ihnen entsprechenden Werthe a, ß und v sind in der Tabelle VIII zusammengestellt worden; Fc wurde gleich 100 qcm gewählt. Es ergaben sich die’ nur wenig von einander abweichenden Werthe

ß₂ + ⁴ ße + 2 ß₁₀ = 1,33 + 4 • 2,57 + 2 • 5,66 — 22,93 und 3ß₄ + ⁴ ßs = 3 • 1,77 + 4 • 4,04 = 21,47.

Der Querschnitt von dQ wurde nun gleich 29 qcm (statt 25) angenommen; sodann wurden die Werthe ß, v und '/ so abgerundet, dass sie den Theiler 3 erhielten.

7

Ebenso wurde dafür gesorgt, dass 2 a ohne Rest durch 3 getheilt werden konnte.

i

Diese Maassnahmen erleichtern die Zahlenrechnungen, da %

30 getheilt werden müssen.

⁴

Herr Professor G. Mehrtens hat in der Deutschen Bauzeitung 1902, Seite 75, die von mir im ersten Bande dieses Werkes durchgeführte Näherungsberechnung als einen „unzureichenden Nothbehelf“ bezeichnet und damit nur gezeigt, dass er seihst die Spannkräfte eines derartigen Systems noch nie genau untersucht hat.

⁵

Vergl. Band I, Seite 529 und 530. Die dort angenommene Belastung haben wir etwas geändert, indem wir der Einfachheit wegen die Mittelachse des Tenders an einen Knotenpunkt rückten.

0, 2Sas = 0,    25^ = 0,

nos

2Sbs = 2,0, 2Sbs = 2,0, 2^s = -4,

u    o    s

2Ses = 0, 25cs = 0,    25;*= 0,

mithin

Aa( — 0, Xct — 0

Xbt =

s EFc 21₀-\- 2 tu — 4 ta

Sc 42a + 4v+8^

i

Für unser Zahlenbeispiel ergiebt sich, wegen Fc = 0,01 qm, sc= 2,0m und &E = 2b0*jqm

Xbt =

1,25 (2*₀ + 2tu — 4ts)

194,4

Macht man die wohl am nächsten liegende Annahme

Y (fo Q

so erhält man Xbt = 0. Nimmt man an: t„ = 0, 4 = 25°, ts=b°, so erhält man trotz der sehr ungünstigen Voraussetzung den vernachlässigbaren Werth Xit = 0,2t. Temperaturänderungen spielen also gar keine Rolle.

183. Untersuchung der Durchbiegungen. Uebung saufgab en.

Wir beginnen mit der Berechnung der Biegungslinie für den in Fig. 425

12* 12 12

16    16    16t

46    16    16 t

-1,2^1,2-

12 12 1.

12*

12

12

16

15

10

11

Fig. 425.

dargestellten Belastungsfall. Dieser ist so gewählt, dass die vier verschiedenen Theilsysteme möglichst ungleichmässig belastet werden. Der Strebenzug d₂' d± d₆' ... . wird sogar nur durch das Eigengewicht beansprucht. Die auf die einzelnen Knotenpunkte entfallenden Lasten sind, einschliesslich des Eigengewichts, der Reihe nach

11,4* 21,2' 12,2' 3,2' 12,8' 32,0' 12,8' 3,2' 12,2' 21,2' 11,4'; sie erzeugen in den Ständern die mittels der Einflusslinien berechneten Spannkräfte

V= — 102,0‘, F„ — -j- 24,4', V₀ = 28,8'.

S 6'

Ab?

o.

03

04

05

06

°7

Vo

Vu

Die übrigen Spannkräfte sind mit Hilfe der für die einzelnen Knotenpunkte aufgestellten Gleichgewichtsbedingungen berechnet und in der Tabelle VIII, Spalte S', zusammengestellt worden; sie erzeugen die Längenänderungen

FF

Tabelle VIII.

a) Gurtungen und Ständer.

bmax ; F

GO CO 00 CO GO

221

244

262

257

122

42

44

Fc S

Sc

S’

EFcA's

Sc

hmux : F

Fc

Sc

S'

EFcA's

Sc

qcm

73

83

1    —114

1    1—178

1 I— 198

201

207

1 —102 1    + 28,8

1    + 24,4

—    60 - 62

— 61

+ 43 + 37

79

100

tt₂

U₃

Ui

u₅

U₆

U₁

111

153

181

205

239

258

140

228

228

260

325

325

Fc ~ 100 qcm

GO CO

CO Cd o CM O

r- O CO co Oi O

t—I tH tH tH tH 04

+H—I—I—I—I—b

COCOCÛtM HO(N h N CO CD    CO

Sntax F

b) Diagonalen.

S' EFcA’s F :ScY 2 Y2 ScY2

FcY 2

Sm ax ! F

FcY_2

F \scY%

S'

EFcA’s

Sc Y2”

i* c? & â> **•$***£*

86

44

44

14

108

55

55

25

86 115 86 115 67 115 67 115

tH 04 04 xO tH CO CO xO tH th -h th

H h- l> CO 05 04 04 CO COCOCOCO CO xO xO CO 04 04 CO 04040404

xO^ O xO xO

■H 04 04 04    04 04 04 04 Ö' cT Ö Ö'

++1+ +1 +

O 05 Ce Ci to to co OjO to

o^c^o co NOO'

Cl TH H

J®

T—I T—I

XO XO

co co

04 04

++1+ +1 +

O) a o

CO -t ^ H H H

co co co co co co

to to

O O xO xO O O xO xO GO oo CO CO tr^ 04 04

00 CO CO CO O O CO CO CM Cl iO kO (N (N

1,77

1,77

4,04

4,01

2,02

2,02

5,66

5,66

tO b3 tO tO (O IO te K

+ 1 + 1 +1 + 1

t» oo co to co^ço oo œ lOiAcüd

r-i tH

+ 17

+ 13

—    63 + 63

—    31

+ 31

Die erste Spalte der Tabelle TIII giebt die absoluten Werthe der für die Querschnittsberechnung massgebenden grössten Spannkräfte an, sie enthält also eine Zusammenstellung der in No. 177 bis 180 berech-

30

Müller-Breslau, Graphische Statik. II. 1.

neten Werthe. An Stelle der A 's wurden die Werthe EFcA's

EFcA's

bezieh.

sc:

in Tonnen angegeben. Mit Hilfe dieser Zahlen findet man

Ÿ2 Sc

nun mittels der in No. 175 abgeleiteten Formeln die Verschiebungen

Y], = 0,5 • 2 (31 + 2) + 37 + 0,5 • 61 = 100,5 7)₂= 1,5-2-31 —j— 0,5 - 2 * 2 — 2*2—(-37 + 1,5-61 + 2 • 70 — l8 = 280,5

■*)s = 2 (— 31 — 2) + 1,5 -2 (31 + 2) + 37 — 2 -43 + 0,5 -61 + 2 -66

—    (18 + 73) = 85,5

y)₄= — 2 • 2 - 31 + 1,5 • 2 • 31 + 2,5 • 2 • 2 — 2 • 2 — 2 • 43 + 37

—    0,5 • 61 + 2 (17 + 8) — (18 -f 73 + 66) — 2 • 58 = — 327,5 vj₅₌ 2- 2 (— 31 — 2) + 2,5 • 2 (31 + 2) — 2 • 43 + 3 • 37 -f 0,5 • 61

,+ 2 (63 + 63) — (18 + 73 + 66 + 62) — 2 (58 + 46) = — 56,5 ri6 = V]₂ — 12*) + 2 (16 + 16) — (73 + 66 + 62 + 61)

+ 2 (— 58    — 46 — 41 —    18) = —    255,5

•o    = 7] — 12    4- 2 (64 4- 64)    — (66 4-    62 4- 61 4- 60)

4- 2 (— 58    — 46 — 41 —    64 — 18 — 73) = — 519,5

t]₈    = y]₄— 12    + 2 (13 + 13)    —(62 +    61 + 60 + 62)

+ 2 (— 58 — 46 —41 —64 —59 — 18 — 73 — 66) = — 1382,5

+ •?

x^

x^

X^

jß

Ys>

/ ^

+>

-7

-ff

-s

-❖

-J*

Fig. 426.

Für y)₁₆ ergiebt sich mit Hilfe des in Fig. 426 dargestellten Belastungsfalles der allgemeine Ausdruck

y]₁₆= 7,5 Y2 (As, + As₂) — 8 V2Ass—7 Y2 As, + 0,5 Y2 (As'„—As.)

—    8 Av₀ + 7 Avu + 7 Ao, + 6 (Ao₂ + Ao₃ + Ao₄) + 5 Ao₅

+ 4 (Ao₆ + AOrj + Ao₇ ) + 3 Aog + 2 (Ao₅ + Ao₄ + Ao₃ ) + Ao₂

—    7 (A u₁ + A m₂ ) — 6 A u₃ — 5 (A + A w₅ + A u₆ ) — 4 A ?/7 3 (AUrj —{— AUg —J— Au₃ ) — 2 Aw₄ — (Au₃ —J— Aw₂ ~Am, )

+ 0,5 Y2 (Ac/₃— Arf₅ + Acż₇ — Acż₉ + Adxl — Atf₁₃ + AcZl5)

0,5 2(Ac?2 —A<7₄ -+Ac?g —Ac?g +^A<7₇g —A<7₁₂ n~4^i4 —Ac?₄g )• Da nun ein symmetrischer Belastungsfall vorliegt und ausserdem

*) 2 (A — A ©„) = 2 (3743) = — 12.

As₁ = — As₂, und As₃ =— As₄ ist, so geht die vorstehende Formel über in

>1

%₆= — 8 Ay₀+7 A®„+7( + Ao₁+Ao₂ — Aw₃ — Aw₄ + Ao₅ + Ao₆ — Am₇) -j-8(— A— Ai/₂+ Ao₃ + Ao₄ — A— AUg -|- Ao₇) + 0,bY2(+^d₃-^d₅+ \dr,~ ^d₉ + ^(lrl'-^d₅'+^d₃'):

Die Einsetzung der Zahlenwerthe liefert

d. i. abgerundet

Der mit M= 107,2 ‘ belastete untere Theil des Endständers, dessen ■Querschnitt 180 qcm beträgt, wird um

Ss ~ 107,2.100—

t)₁₆= — 8 • 48 -f 7 • 87 + 7 (— 58 — 46 — 66 — 62 — 59 — 60 — 62) + 8 (— 18 — 73 — 41 — 64 — 61 — 60 — 62) —J— 0,5 * 2 (-j- 66 —j— 64 —J— 64 — 81 — 81 — 63 — 63) Tf)₁₆ = — 6000.

0,0 3CM*)

As

EF 2150-180

verkürzt, und es ergeben sich daher die Senkungen 5 der Knotenpunkte aus der Formel

WO

8„ =

E± 0"

•—%* -y) + 0,03"”,

EFC _ 2150 - 100

So

200

•v

Man findet der Reihe nach

8,5m”‘ 10,4mm 10,3mm 16,5mm 18,4mm 19,7mm 15,4

’i L ... . i

5 ==3,1

und erkennt, dass sich bei den unbelasteten Knotenpunkten 4 und 8 in der 1

■Gurtung Knicke von —

Li

mm

(10,4 + 16,5) — 10,8 = 3,2m"\ bezieh. 19,7

— 15,4 = 4,3mm Pfeil bilden, die bei der kurzen Feldweite genügen, um in einer gelenklosen steifen Gurtung erhebliche Biegungsspannungen hervorzurufen. Aus diesem Grunde ist das untersuchte Netzwerk nur für Träger mit Bolzengelenken zu empfehlen.

Weiter möge noch die Durchbiegung 8₈ für den in Fig. 427 abgebildeten Belastungsfall angegeben werden. Da S₈ nur von den Längenänderungen des den Strebenzug d₂', d₅', d₇', dd' ... . enthaltenden Theilsystems abhängig ist, so wenden wir die Formel

s Ai v q' Ss . ;; .... -s:Z\.. *

⁸    EF . i-'C

auf die wirklichen Spannkräfte S und auf die Spannkräfte S' in Folge

g,...⁻    .

*j Es wurde für Flusseisen ~E=2150000    = 2150 łląc,n gesetzt.

30*

einer am Theilsysteme in 8 angreifenden Last 1 an. Ersetzen wir diese Last 1 durch eine Last von der Grösse 8, so nehmen die S' die in die linke Hälfte der Figur eingeschriebenen Werthe an und wir erhalten daher

8 5g = 2 As2 [ 1 • A Oj — 7 ( A Og —J- A Og —J— A o₄ —|— A Og) —15 ( A Og —|— A Oj ) —)— 3 (AMx-f- A Mg -f~ A Mg) —(— 11 (Am₄ —J— A Mg —j— A Mg —|— A Uj) -j— 4 Y 2 (— A (7g —J— A c7₄ — A (7 g —j— A (7₈ ) — A v₀ — 3 A vu + 2 A®+ /^(Asj— Asg) — 3 /2(As₃—As₄)]+8₀.

-15

-253 -250 -225 -201 -17Ï -122 -70

t *

<V. I

X/

A

X/

X ¹    -4* «y

+ //

4*a?^

13    13    13*

17    17    17    17    17e

Fig. 427.

t-JS-> <--1,5 -> »-Ifi-* t- £5^ «- //

17    17

Hierin sind A o, A u, A d, . . . Mittel werthe aus den Längenänderungen der einander entsprechenden Stäbe der linken und rechten Trägerhälfte. Beispielsweise erfährt der Stab ox durch die angegebene Yerkehrslast und durch das Eigengewicht einen Druck von 75‘, Stab o/ einen solchen

von 65*; wir schreiben also beiden Stäben den Druck —(7 5 —J— 65) =70*'

2

zu. Auf diese Weise sind die in die rechte Hälfte des Trägernetzes eingetragenen Spannkräfte bestimmt worden. Die für die geneigten Stäbe angegebenen Werthe sind noch mit Y2 zu multipliciren. 8₀ bedeutet die Verkürzung des untersten Theiles des Endständers. Man erhält schliesslich

5₈=23!

1300

7.

Die in Fig. 425 dargestellte Biegungslinie lässt, sich durch Hinzufügung eines Mittelständers, der mit den ihn kreuzenden Diagonalen befestigt werden muss, erheblich verbessern. Es werden gewissermassen die vier Theilsysteme an der Stelle 8 mit einander verbunden und gezwungen, sich bei 8 gleichstark durchzubiegen. Die Berechnung dieses fünffach statisch unbestimmten Systems ist ziemlich einfach und keineswegs zeitraubend, sie sei dem Leser als Uebungsaufgabe empfohlen. Mit der Anzahl eingeschalteter Ständer bessert sich einerseits die

Uebereinstimmung cler Biegungslinien der Theilsysteme, während andererseits die Schwierigkeiten der genauen Berechnung wachsen.

Als weitere Uebungsaufgaben empfehlen wir die Untersuchung des in Fig. 429 dargestellten fünffach statisch unbestimmten secks-theiligen Netzwerks, dessen Elasticitätsbedingungen sich leicht von

423.

< Fig'

1 Fig. 429.

7"

Fig. 430.

Z-

einander unabhängig machen lassen und schliesslich des in Fig. 430 abgebildeten einfach statisch unbestimmten Systèmes, dessen Hauptsystem im Band I, No. 228, untersucht worden ist.

§ 18.

Untersuchung- der Formveränderung eines yiertheiligen statisch bestimmten Netzwerks Melirtens’scher Bauart.

184. Die Besprechung des Versckiebungsplanes des in Fig. 432 dargestellten Netzwerks muss ich durch eine Bemerkung einleiten, die sich auf einen zwischen Herrn Professor G. Mekrtens und mir in der Deutschen Bauzeitung stattgehabten Meinungsaustausch bezieht.¹) Die Veranlassung hierzu gab die im ersten Bande dieses Werkes an einem mekrtheiligen Fachwerke Mehrtens'scher Bauart von mir geübte Kritik. Ich hob auf Grund einer allgemeinen Untersuchung des statisch bestimmten mehrtheiligen Netzwerks und der Berechnung eines Sonderfalles (I, No. 227) hervor, dass der Schlusssatz einer von Herrn Mehrtens über derartige Fach werke veröffentlichten Abhandlung in allen Punkten unrichtig sei, und betonte besonders, dass von dem seitens des Herrn Mehrtens den Netzwerken seiner Bauart zugeschriebenen Vorzüge, alle Lasten gleichmässig über das ge-sammte Stabwerk zu vertheilen, gar keine Rede sein könne. Ich zeigte, dass in der Diagonale des als Beispiel untersuchten riertkeiligen Trägers sogar eine Spannkraft erzeugt wird, die ebenso gross ist, als in der Diagonale eines ein-theiligen Systems gleicher Spannweite und wies darauf hin, dass man mit mehrteiligen Fachwerken vor allem das Streben nach Verkleinerung der Bean-

i:

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m.

rTV.

>rf

Fig. 431.

spruchung der Wandglieder verbinden müsse. Nach einem erfolglosen Versuche, die Behauptung einer gleichmässigen Beanspruchung seines Stabwerks zu recht-

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V.

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16* 16 16 16

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"JO¹

JO —

6'

20 —

/V

JO —

L\

\ //

'8'

1S

IO—.

Jffnuü

Fig. 432.

Sm

S’s

Smax F

s'

S’s

111

0₂    177

°3

188

o₄ 233 o₆ 257

°6

302

o₇ 275 o₈ 286

0g    262

°io

300

On

209

°12

226

°13

138

©14

160

380 200 380 200 380 200 285    200

285 200 200 200 200 200

— 108

162

83

80

245

293

210

146

00 O 05

68

133

149

—    154

—    138

71

«₂

49

uK

«5

«e

77

u₇

48

133

— 149

w₈

Mg

«io

«ii

«12

«13

«14

+*)    53

70

283

566

157

108

d₄

37

117

d₆ 48

di

95

⁽U

57

(Ja 96

200 566 135 566 50 566 150 566 60 566 125 566 80 566 125    566

++1 + +

38

56

34

65

39

4- 72

+ 154 + 307 + 433 — 235

*,o

du

d lg

*13

200

200

200

200

2<.» »

200

200

200

200

200

200

200

200

200

566

566

566

566

34

141

+ 441 + 321

—    294

—    276 + 326

*14

d\ 5

90    115

142    150

0V Vg - Ol4

424

566

141

424

566

I I —1—1—I—HH—1 1—1—1—H I +11+ +

4^05^1»-^ ^ODOCOOOOOO^KiMC^H^ M- 05^ 00 05 OO^OHO^OiCOlCOD^^O

84

— 105

I ~\—I—1—1—I—I—1—1—I—I—I—I—h I I H—I—1    r I I

16

98

70

69

53

353

362

14

40

54

99

297

— 396

*) Die Spannkraft D ist für eine tiv angenommen. Yergl. Band I, Seite

Druck

posi-

lieh der Wirkung des Eigengewichts und die Werthe EAs

fertigen²), erklärt Herr Mehrtens schliesslich: „Er habe durchaus nicht an eine ' gleichmässige Spannkraftvertheilung gedacht, sondern die konstruktiven Mängel der ungleichmässigen Formänderungen im Auge gehabt, die daraus entspringen, dass die einzelnen Theilsysteme der Wand bei den in Vergleich gezogenen unbestimmten Anordnungen die wandernden Einzellasten nicht gleichmässig übertragen. Bei der üblichen Zerlegung in Theilsysteme erscheine sogar nur dasjenige Wandsystem gespannt, in welchem die Knotenlast P liegt; alle anderen Wandsysteme seien spannungslos.“ Mit seinen mehrtheiligen Wandgliederungen behauptet nun Herr Mehrtens, bessere Wirkungen zu erzielen; dass er sich aber auch in diesem Punkte irrt, beweist der in Eig. 431 für einen Träger seiner Bauart (Fig. 432) — dasselbe viertheilige Netzwerk, dessen Beanspruchung in Band I, No. 227 untersucht worden ist — gezeichnete Verschiebungsplan. Die beigegebene Tabelle enthält die absoluten Werthe der mittels Einflusslinien und auf Grund der im Band I angegebenen Belastungen gefundenen grössten Spannkräfte S, ferner die Querschnitte und Längen der Stäbe, die Spannkräfte S' in Folge der in Fig. 432 dargestellten Belastung (Zugstellung für maxD₂) einschliess-

in t:cm. Das

S's

feste Auflager liegt bei Stütze 0. Die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte 1 und 2 wurden mit Hilfe der Formel 8 = 12S'As berechnet, ihre wagerechten Verschiebungen sind Am, und A%-{-Aw₂- Zur Bestimmung der Verschiebungen der übrigen Knotenpunkte wurde das Williot’sche Verfahren benutzt. Als Zeichnungsproben standen die Bedingungen zur Verfügung, dass die gegenseitige senkrechte Verschiebung der Knotenpunkte 16 und 17 gleich der Längenänderung des Stabes 16—17 und die Senkung des Punktes 17 gleich der Verkürzung des Stabes 17 B sein muss. Ausserdem wurde die Senkung des Knotenpunktes 5 nachträglich noch gerechnet; sie stimmte mit der zeichnerisch gefundenen genau überein.

Das Ergebniss dieser Untersuchung ist ausserordentlich ungünstig. Die

grösste Durchbiegung beträgt 43wm, also der Stützweite. Die in Fig. 432

d. i.

mn

dargestellten Biegungslinien der Gurtungen bilden einen Zickzack, gegen den sich die Knicke in der für das unbestimmte System gefundenen und in demselben Massstabe gezeichneten Linie recht winzig ausnehmen. Neun Knotenpunkte bewegen sich aufwärts. Die Strecke, um die Punkt 1' nach oben rückt, ist grösser als die grösste Durchbiegung des vorhin untersuchten unbestimmten Systems. Die gegenseitige senkrechte Verschiebung der Punkte 1 und 1' beträgt 60

—~ der Stützweite. Und ebenso gross ist auch die gegenseitige senkrechte 4oü

Verschiebung der nur 4m von einander entfernt liegenden Knotenpunkte 3 und 5. Der erste Knotenpunkt neben dem festen Auflager senkt sich bereits um 35m”‘. Dies hat eine ganz unzulässige Drehung des Stabdreiecks 0 —15 — 1 zur Folge und bewirkt, dass sich der Knotenpunkt 15 um rund 40””" in wagerechter Richtung verschiebt. Da nun die wagerechte Verschiebung des oberen Endpunktes 0' des Endständers verhältnissmässig gering ist, so zeigt der nur 4”* hohe Endständer in der Mitte einen Knick von rund 35 merkwürdigen Biegungslinien wird man unwillkürlich an die bekannte Nürnberger Scheere erinnert.

Pfeil. Beim Anblick dieser beiden

Unsere Untersuchung zeigt, dass der in Fig. 432 dargestellte Träger in jeder Hinsicht eine verfehlte Konstruktion ist. Zu den ungünstigen statischen Eigenschaften tritt noch — bei der Vergleichung mit dem unbestimmten Netzwerke — trotz der kleineren Spannweite ein Mehrgewicht von etwa 25 v. H., ferner der aus der unsymmetrischen Gestalt für Zeichenstube und Werkstatt entspringende, die Herstellungskosten unnöthig erhöhende grössere Arbeitsaufwand.

§ 19.

Herleitung- der Biegmigslinien aus den Momentenlinien.

185. Wir schliessen unsere Untersuchung des ebenen Fachwerks mit der Angabe eines Verfahrens: die Biegungslinien in der Weise aus den Momentenlinien herzuleiten, dass die Ermittlung der Durchbiegungen für eine Reihe von Belastungsfällen immer nur die Neubestimmung der Momentenlinie erfordert, während alle von den Querschnittsabmessungen und Stablängen abhängigen Grössen nur einmal berechnet werden müssen.

Zu diesem Zweck setzen wir voraus, es seien die Stabkräfte durch die auf die Knotenpunkte . . . (m — 1), m, (m -f- 1) . . . bezogenen Angriffsmomente . . . Mm_u Mm, Mm+U .. . ausgedrückt und auf die Form

(1) S =

-f-    4“ ^mMm    -f-.....

gebracht, unter vl> Werthe verstanden, welche von dem jeweiligen Belastungszustande unabhängig sind. Es ist dann nach Seite 115 der Einfluss der Aenderung As einer Stablänge s auf die Gewichte tv:

(2)

, wm-i = 4b»-iAs, wm = <hmAs, wm+l = <h„₁₊₁ As,.....

oder, wenn As

Ss

EF

gesetzt und S mittels Gleich. (1) bestimmt wird:

WM_ 1

EF

Mn -j-    -j- 4b„₊i Mm+i . . .)

wm —

4b» *

EF

m-f-1

1 • • •)

Bildet man auf diese Weise die Beiträge, welche die einzelnen Stäbe zu den Gewichten w liefern, so gelangt man schliesslich zu Ausdrücken von der Form:

u'm =

Mm.x

worin die Werthe a von der Gestalt des Fachwerks und den Querschnittsabmessungen abhängig sind, nicht aber von dem Belastungszustande.

Anstatt nun die Durchbiegungen mit Hilfe eines Seilpolygons zu bestimmen, welches mit der Polweite Eins zu den Gewichten w gezeichnet wird, kann man auch in der Weise verfahren, dass man das Gewicht tvm (und ebenso alle übrigen w) durch die Gewichte

+i)

in den Abständen

. . . .    ß(m+l)m.....

vom Pole 0 ersetzt.

.....i¥m_i, Mm, M,„

die Abschnitte:

+i>

Denn die nach den Endpunkten der Gewichte gezogenen Strahlen zerlegen wm in

'Mt V¹'..

7 4-Ai—1

W(m- 1) m

Mm-

,\j

7W =—

sv

M^Æ_M₇,Ltr a ⁺ a*

a'*

«ÜB 1 .

kli

K7

JI .

«4,

Fig. 433 a.

KM

::î

fr"

|'L,

: «••• K-----

k — -*

ML—

s—

- IX-fruijm " ~K '{■ :    ----a —

-----Orn^ty-

Fig. 433 b.

-y

•:

- - a-

Fig. 433 c.

Vergl. Fig. 433b, in der ein von drei Momenten abhängiges Gewicht w vorausgesetzt wurde. Treten negative Werthe o auf, so werden die entsprechenden M als negative Gewichte aufgefasst, wie dies die in der Regel vorliegende Figur 433° angiebt.

neuen

Durch die im Vorstehenden beschriebene Aenderung des Kräftezuges ist das gesteckte Ziel erreicht. Die von den Lasten unabhängigen Werthe a werden ein für allemal berechnet, und die Untersuchung eines neuen Belastungszustandes erfordert nur die Aufzeichnung der Momentenlinie. Ein Beispiel möge das Verfahren erläutern.

186. Zahlenbeispiel. Es liege der in Fig. 435 dargestellte Hauptträger einer Eisenbahnbrücke von 36m Spannweite mit 10 Feldern vor.

Die Spannkraft in einem Stabe der oberen Gurtung ist (Fig. 434):

Om

Mm

Vtn

und die Aenderung der Stablänge om hat nur Einfluss auf u>m] sie erzeugt:

AOm

r-

OmOm

Mm Om

EFm Vm

r,„

EFmVl

und man erhält, mit den in der folgenden Zusammenstellung angegebenen Querschnittsabmessungen, zunächst für E — l die nachstehenden Beiträge zu den Gewichten wu w₃. w₅.

Stab

Om

rm

Fm

0 0*0

oo oo w

kO O Oï

co ■*£

0,0160

0,0320

0,0320

wx = 35,64 Mt w₃ = 10,77 M3 u\ = 9,30 M₅

qm

Meter

I

d. i.

Dem Untergurtstabe ur entspricht (wegen r* = hk) _• MkUh

U'lc EFkhl

Stab

Uh

rtc

Fh

o o t>r

CO IO to CO

0,0240

0,0320

w₃ = 16,38 M2 — 9,30 Mi

r~ ł 'mi:

u>

>1 .

Fig. 434.

Für die Diagonale des mten Feldes ergiebt sich:

Dm =

/ i Mm

' h ,n

—r- Mm - 1 ^

dm

hm -1 ■ Xf»

wobei die oberen Yorzeicheii für eine linkssteigende, die unteren für eine rechtssteigende Diagonale gelten. Aus der Gleichung für Dm folgt

Dm dm dm

EFmhtn Xm EFmXmhm

Wm = +

üdm dm__,

hm Xm

dl

Mm

dl

E Fm X m hm — 1 hm

Mm -1

Wm - 1 = +

Dm dm

dm

dl

hm - 1 X.„

EFm hm — 1 X,„

EFm\lhrn-\hm

Mm -r

dl

EFrn Xm h l -1

Mm - 1

Stab dm Fm

Ci    Oi    Cl    O    O

CO    O    O    H    tH

-rf    io"    iO    cdr    co~

0,0210

0,0150

0,0070

0,0060

0,0060

ivx — 28,61 Mi

w,= 49,05 i¥₂ — 57,68 Mt - ivt = — 57,68 i¥₂ + 67,82 Mi w₃ = 90,99 M₃— 97,80 i¥₂; iv₂ — — 97,80 M₃ +105,11 M2 m>₄ = 120,59 ;¥₄ — 128,98 Jf,; w₃ = —128,98 1¥₄ + 137,95 M3 w₅ — 120,59 ¥₅ — 120,59 J¥₄; w>₄ = — 120,59 Ms + 120,59i¥₄

1:100

—x--4 ćr--*- -3,6    tJ 6™ *- • Ą 6™---* - -3, 6~-ß~-3,    - -3, (F--k--$ 6™ *j

!    A,—H-X    ! i ß;

^nr / v$ a / \ ! / \

I,

/jr

HH

Hl

Hl Hl

7/

"TT

■X

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z-0,3

Tx

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K

1 x-

7*

*r

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TZ

TH,

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I £*/ I

K------>

"H/3

<r >' - V'T

; i l-'

V A V

y \ y.

_

, / <5 Ira? i'

i <    \

*,ä#

TUT

*/

Fig. 435.

Dem linken Endständer entspricht

Af

F„ = -

und mit — 0,0160 qm:

H- also

V₀h₀

Mi hg

EF₀\

FF₀\*

Wi = 14,47 M₁.

Für den Pfosten mm in Fig. 435 würde man, wenn Km die Belastung des Knotens m bedeutet, erhalten:

Vm -j~ Km Qm+1 Qm

mit

U'm+l

A7/„,

U'm —

Y A Tim-, Wm-\

A Tim

worein zu setzen:

Tim

A Tim

T mTlm

EF

EFl

Eine derartige umständliche Berücksichtigung der Längenänderungen A Ti der Zwischenpfosten ist jedoch .im vorliegenden Falle entbehrlich. Man denke sich diese Stäbe vielmehr beseitigt, zeichne eine Biegungslinie, welche die loth-rechten Verschiebungen der Knoten 1, 3, 5, 7, 9 der unteren Gurtung und der Knoten 0, 2, 4, 6, 8, 10 der oberen Gurtung angiebt und beachte schliesslich, dass sich die Verschiebungen von zwei durch einen lothrechten Stab verbundenen Knoten um die Längenänderungen dieses Stabes unterscheiden (vgl. S. 103).

Die Zusammenzählung der an denselben Knotenpunkten angreifenden Gewichte w ergiebt nun:

wx — 35,64 Mx + 28,61 Mx — 57,68 M₂ + 67,82 Mx + 14,47 Mx, d. i.

wx = 146,55 Mx — 57,68 M₂ und ebenso:

w₂ — — 57,68 Mx + 170,54 M₂ - 97,80 M₃

iv₃ = — 97,80    -j- 239,71 Ma — 128,98 M₄

tv₄ = - 128,98 Ms + 250,48 M₄ — 120,59 Mh

wb = — 120,59 M₄ -fr 250,48 Mb — 120,59 M6³)

und zwar gelten diese AVerthe für E — 1. AVird beispielsweise E— 1800000h/qcm = 18000000³/qm gesetzt, so sind sämmtliche w durch 18000000 zu dividiren. Die Momente M werden zweckmässig mit Hilfe eines Seilpolygons auf

die Form

— Hym

gebracht, wo H die Polweite bedeutet. AVird H in Tonnen ausgedrückt, so müssen die y im Längenmaassstabe der Trägerzeichnung gemessen und in Metern ausgedrückt werden. Die Gewichte w sind Zahlen.

In unserem Beispiele wählen wir für den Träger den Maassstab 1 :400 und für die Durchbiegungen den Maassstab 1:1; ferner 11= 135b A Vir müssen dann in die für die Gewichte iv gefundenen Ausdrücke setzen:

Mm

135 • ym

400

3//m

und erhalten:

18000000

1000

wx = 146,55

3 • yx

1000

57,68

3 2/2

2/i

2/2

1000    2,27    5,78

und auf dieselbe AVeise:

2/i

2/2

2/3

5,78 ¹ 1,95    3,41

S

05

ob

05

__y±

2/3

2/4

* g|s

»    3

05

3,41 ¹ 1,39    2,58

2,58 ¹ 1,39    2,58

2/3

2/4

2/5

2,58 ¹ 1,33    2,76

U'₈ =

îh

2/s

3,41    ¹ 1,95    3,41

Wh —

2/4

2/5

J/6

Î/8

2/9

2,76 ¹ 1,33    2,76

5,78 ¹ 2,27

Die in den Nennern stehenden Zahlen gehen die Polwerten « der Gewichte y in Metern an, sie werden im Maassstabe 1 :400 aufgetragen.

Nach Erledigung dieser vorbereitenden Rechnungen, welche für jedes Fachwerk nur einmal auszuführen sind, ist man im Stande, die Biegungslinien I, II, III .... für irgend einen Belastungszustand schnell aus dem die Mo-mentenlinie vorstehenden Seilpolygone abzuleiten.

Die Richtung der Seite I wird willkürlich angenommen. Mit Hilfe von y₁ und y₂ wird die Richtung der Seite II festgestellt, hierauf mittels yu y₂- y3 die Richtung von II u. s. w. Man vergleiche Fig. 435d, welche durch wiederholte Anwendung des in Fig. 433° dargestellten Verfahrens entstanden ist und einer weiteren Erläuterung kaum bedarf. Die Punkte 1, 2. 3, . . . dieser Figur sind in so grossen Abständen von einander angenommen worden, dass die den einzelnen Knoten entsprechenden Kräftezüge ym.i, ym, y,n+i gut überschaut werden können.

187. Das in No. 184 beschriebene Verfahren zur Ermittlung der

Biegungslinien gilt auch für den Fall beliebig gerichteter äu Kräfte, denn seine Anwendung erheischt nur die Bestimmung der Stabkräfte mit Hilfe der “Angriffsmomente. Für das in Fig. 436 dargestellte Ständerfachwerk gelten die in No. 83 und No. 124 abgeleiteten Formeln, die wir hier noch

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Die Strecken li

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sind durch die Verlängerungen von Om und Um+l bestimmt. Aus den Gleichungen 1—4 ergeben sich die folgenden Einflüsse der Längenänderungen A o„„ A um, A dm, A hm auf die Gewichte wm

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gültig für die Biegungslinien der oberen und unt. Gurtung.

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nur für die Biegungslinie der oberen Gurtung gültig.

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nur für die Biegungslinie der unteren Gurtung gültig.

m+1

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Mit Hilfe dieser Gleichungen ist es möglich, die Gewichte ivm durch die Momente M° und Mu auszudrücken.

¹

Deutsche Bauzeitung 1901, No. 80 u. No. 90 und 1902, No. 12.

²

S. Deutsche Bauzeitung 1901, No. 80. Dort verlangt Herr Mehrtens, dass man eine gleichmässige Vertheilung der Lasten immer dann anerkenne, wenn sämmtliche Stäbe an deren Uebertragung theilnehmen, ohne Rücksicht auf das Gesetz, das diese Theilnahme regelt und ohne zu prüfen, ob hierbei nicht etwa die grösste Unregelmässigkeit herrscht.

³

Bei Berechnung von denke man an den Einfluss von D₆.

Literatur zum II. Abschnitt.

Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachiverks. Zeitschr. des Arcliit. u. Ing.-Ver. zu Hannover 1874 S. 509 u. 1875 S. 17. Grundlegende Arbeit, welche bereits am Schluss unserer Einleitung erwähnt worden ist.

Frankel, Anwendung der Theorie des augenblicklichen Drehpunktes auf die Bestimmung der Formänderung von Fachwerken u. s. w. Civilingenieur 1875, S. 121.

Winkler, Beitrag zur Theorie der Bogenträger. Zeitschr. des Archit. u. Ing.-Ver. zu Hannover, 1879, S. 199.

Mohr, Beitrag zur Theorie der Bogenfachwerkträger. Zeitschr. des Archit. u. Ing.-Ver. zu Hannover, 1881, S. 243.

Müller • Breslau, Theorie der durch einen Balken versteiften Kette. Zeitschr. des Archit. u. Ing.-Ver. zu Hannover, 1881 S. 57 und 1883 S. 347. Enthält die erste genauere Theorie dieser Trägerart.

Müller • Breslau, Theorie des durch einen Balken verstärkten steifen Bogens. Civilingenieur 1883, S. 13. Sonderdruck im Verlag von Arthur Felix in Leipzig.

Müller-Breslau, Influenzlinien für continuirliche Träger mit drei Stützpunkten. Wochenblatt f. Archit. u. Ing. 1883, S. 353.

Müller-Breslau, Zur Theorie der Versteifung labiler und flexibler Bogenträger. Zeitschr. f. Bauwesen 1883, S. 312.

Swain, On the application of the principle of virtual velocities to the détermination of the deflection and stresses of frames. Journal of the Franklin Institute 1883, Febr. bis April, S. 102, 194, 250.

Stelzel, Berechnung der Ferdinandsbriicke in Graz. Enthalten in der Schrift: v. Gabriely u. Winter, Ferdinandsbrücke in Graz, Mittheilungen des Polytechnischen Klubs in Graz 1883.

Müller-Breslau, Beitrag zur Theorie des durch einen Balken versteiften Bogens. Zeitschr. f. Bauwesen 1884, S. 323.

Krołm, Der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen und Anwendung desselben zur Berechnung statisch unbestimmter Fachwerkträger. Zeitschr. des Archit. u. Ing.-Ver. zu Hannover 1884, S. 269. Verwertet den Max-well’schen Satz in Verbindung mit dem Williot’schen Verschiebungsplan.

Müller-Breslau, Vereinfachung der Theorie der statisch unbestimmten Bogen-träger. Zeitschr. des Archit. u. Ing.-Ver. zu Hannover 1884, S. 575. Ein Sonderdruck erschien bei Schmorl u. von Seefeld in Hannover.

Müller-Breslau, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Zeitschr. des Archit. u. Ing.-Ver. zu Hannover 1885. Enthält die Zurückführung der Einflusslinien statisch unbestimmter Grössen auf Biegungslinien, ohne hinsichtlich dieser Grössen einschränkende Voraussetzungen zu machen.

Melan, Beitrag zur Berechnung statisch unbestimmter Stabsysteme. Zeitschr. des österr. Archit. u. Ing.-Ver. 1884, S. 100.

Melan, Theorie der eisernen Bogenbrücken im Handbuch der Ingenieurwissenschaften, II. Band, IV. Abtheilung. 1888.

Land, Heber die Ermittlung und die gegenseitigen Beziehungen der Einflusslinien für Träger. Zeigt u. A. die Bestimmung der Festpunkte durchgehender Balken mit Hilfe von Biegungslinien (Seite 387, Fig. 368 unseres Buches). Das von uns in Fig. 189 gegebene allgemeine Gesetz wird von Land für einige Sonderfälle entwickelt. Zeitschr. f. Bauwesen 1890, S. 165.

Müller-Breslau, Ueber einige Aufgaben der Statik, welche auf Gleichungen der Clapeyronschen Art führen. Enthält die auf Seite 390 dieses Buches gegebene Lösung der Gleichungen <xrMr-i -f- ßrMr -J- ar+i Mr+\ = Nr nebst verschiedenen Anwendungen. Centralblatt d. Bauverwaltg. 1891. Sonderdruck bei Ernst u. Sohn, Berlin.

Müller-Breslau, Berechnung statisch unbestimmter Auslegerbogenbrücken, Centralblatt d. Bauverwaltg., 1898.

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Druck von Grimme & Trömel in Leipzig.

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(Seite 126).

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Fig¹.72. Fig-. 73. Fig. 74. Fig’. 75.

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Fig. 235.

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Fig-. 237.

Spannkräfte inox S und min, S.

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Volle Stabquerschnitte in qcm .

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Fig. 239.

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H. Müller-Breslau. Graphische Statik. H.

Lith.Anst.v. F. Wirtz, Darmstadt.

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Lith. Anst.v. F. Wirtz, Darmstadt.

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