WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

L. inw.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297097

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Sammlung von Aufgaben

aus der

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Zweiter Teil. Zweite Abteilung:

Integralrechnung II.

Sechste verbesserte Auflage.

Bearbeitet und herausgegeben von

Dr. Martin Lindów,

wissensch. Lehrer an den Königl. Vereinigten Maschinenbauschulen in Dortmund.

Mit 151 in den Text gedruckten Figuren.

Jena,

H. W. Schmidt’s Verlagsbuchhandlung Gustav Tauscher.

1906.

Sammlung von Aufgaben aus der

Integralrechnung.

Zweite Abteilung.

- Sechste verbesserte Auflage.

Bearbeitet und herausgegeben von

Dr. Martin Lindów wissensch. Lehrer an den Königl. Vereinigten Maschinenbauschulen in Dortmund.

Mit 151 in den Text gedruckten Figuren.

Jena,

H. W. Schmidt’s Verlagsbuchhandlung Gustav Tauscher.

1906.

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C?0(tó

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Alle Eechte Vorbehalten.

Ala:.. Nr. 3bQ

Inhalt.

Kapitel I.

Mehrfache Integrale.

§    1. Definition und Anwendungen der mehrfachen Integrale

§    2. Oberflächenberechnungen..........

§ S^InTraltsberechnungen von Körpern......

§    4. Massen- und Schwerpunktsberechnungen ....

§    5. Berechnungen von Trägheitsmomenten.....

§    6. Aufgaben aus der Potentialtheorie......

Seite

16

24

37

43

CZ/2 cOo OOO 0(75 C/70

§ 13.

Kapitel II.

Differentialgleichungen erster Ordnung.

Trennung der Variabein........ .    .    .

Homogene Differentialgleichungen.......

Lineare Differentialgleichungen........

Trajektorien...............

Singuläre Lösungen.............

Differentialgleichungen erster Ordnung von höherem

Grade..................

Der integrierende Faktor...........

CD 05 O ' O' I—¹ CO    CC O

Kapitel III.

Differentialgleichungen höherer Ordnung. § 14. Differentialgleichungen von der Form

dmy

dxm

f{x). . 126 •

Seite

§15.

Differentialgleichungen von der Form

d'“y ä"l~ly dxm~l

§ 16.

dxm ’

Differentialgleichungen von der Form

idmy    d'n~²y \ _ Q

' \dxm ’ dxm~²!

133

§ 17.

§ 18.

05 O rH CNI H CM (M (M

000 ZOO oyi vy;

Differentialgleichungen von der Form

f (x, y'^+v, y(r+²⁾y{n)) = 0........

Differentialgleichungen von der Form

f {y, y‘, y“ •••> y'n))==o..........

Homogene Differentialgleichungen......

Lineare Differentialgleichungen ohne zweites Glied Lineare Differentialgleichungen mit zweitem Glied Simultane Differentialgleichungen.......

137

140

146

151

155

162

CO "St CvJ (M

zCH r//~

Kapitel IV.

V ariationsrechnung.

Formeln und Lehrsätze .... Beispiele..........

O vO ▼H y—I

Kapitel I.

3Ielirfacłie Integrale.

§ 1. Definition und Anwendungen der mehrfachen

Integrale. \

1. Definitionen und Lehrsätze.

Enthält eine Funktion f die beiden . Variabein x und y, so kann man zunächst nach y integrieren, indem man x als konstant betrachtet, und dann diesen Ausdruck nach x, indem man y als konstant betrachtet. Das so entstandene Integral

I dxj'f (x, y) dy oder j j f (x, y) dx dy

heißt ein zweifaches. Ganz entsprechend wird das dreifache Integral

Çdx Jdy j f (x, y. z) dz oder J^J^f f (x> V:z)    dy dz

ausgerechnet. Es läßt sich zeigen, daß unter bestimmten Bedingungen die Reihenfolge der Integration gleichgültig ist.

Sind die Integrale bestimmte, so sind zwei Fälle möglich. Entweder treten in den Grenzen nur konstante Zahlen auf, z. B.

rib fid-

I I f(x> y) dx dy.

V a y c

Dann ist zunächst x als konstant aufzufassen und das In-

f2y — d    ,

tegral I f (x, y) dy auszureclnie

v y=c

n. Dies ist nur noch eine Funk-

tion von x, F (x) und das Doppelintegral ist auf das einfache Integral

f F (x) dx

V CL

zurückgeführt.

Häufig sind aber auch die Grenzen alle oder zum Teil variabel, z. B. in dem Integral

f ix. y, z") dx dy dz.

fr,y)

<Pi (x, v)

ßZ2=(f\ (x, y)

J z = <Pi (x,y)

eine nur von x und y abhängende Funktion F (x, y). Dann ist

Py=xPv{%) v y— V’i (*)

hängt, = <I> (x). Endlich ist

Hier bilde man zuerst

f (x, y, z) dz. Dies ergibt

F(x,y)dy zu bilden, ein Ausdruck der nur von x ab-

f <I> (x) dx

V «

auszuführen.

Bei konstanten Grenzen läßt sich die Reihenfolge der Integration im allgemeinen ohne weiteres umkehren, bei variabeln Grenzen ändern sich diese. Die neuen Grenzen werden am besten durch geometrische Überlegungen festgestellt.

Sollen in dem Integral

fAx)

f (x, y) dx dy

ff

V ad fl (x)

die Variabein x und y durch t und u ersetzt werden, wobei x = co₁ (t, u), y = w₂ (t, u) ist, so setze man diese Werte in die Funktion f (x, y) ein, die dadurch in F (t, u) übergehe. Die neuen Grenzen sind durch besondere (womöglich geometrische) Betrachtungen zu ermitteln.

Es ist dann

^ dt du.

du du

Bezüglich des Unendlichwerdens des Integranden oder der Grenzen muß auf die einschlägige Literatur verwiesen werden.

2. Anwendungen auf Geometrie und Mechanik.

Ist eine Fläche cp (x, y,z) = 0 gegeben, so bringe man ihre

9? ₌ 3t = v

9*    0*    ¹ '

Gleichung auf die Form z — f (x, y). Setzt man

= q, so ist die Oberfläche

ff]/1 -\-p² -\- q* dx dy.

Die Schwerpunktskoordinaten der Fläche sind

ffx y i + p²

-⁼    F

-f- q² dx dy

pb pn*) p

V aV Yh (x) V ¹

V-2 (x, y)

9>i( y)

x = co₁ (t, u, V) ; y = to₂ (t, u, v) ; £ = oj:] (t, u, v), SO ist

(K

Ist J =

f (x, y, #) dx % F?, und

CU

w₂

QJ

c't;

cu

J = fff F (t, w, v)

CU

W1 Ôw2 9f%

U 0W

9wjl

CU

CU

dt du dv

u,

CU

CO

CU

W2_

9Ü 9V 9y

ffW l+p2 F

ff z V1 -J-^² + <Z² dx dy ff y 1 +£>² -j- q¹ dx dy

F⁷

F⁷

Die Grenzen der Integrale richten sich nach der Begrenzung des Flächenstückes.

1) Ist die Projektion des Flächenstückes auf die xy Ebene das

von den Linien x = a1: x = a.₂, y — b

y = b₂ begrenzte

Rechteck, so ist die Fläche

$2 &2

+ q² dx dy.

/ / yi+P²

f/ a, V

Bt/

il!

lik

⁰ Kli

b3/

2) Ist die Projektion des Flächenstückes auf die X F-Achse begrenzt durch die Kurve y (x, y) = 0, eine Parallele zur X-Achse (;y = b), und eine zur F-Achse (x — a), so ist

p Y' («) ,--

/    / /I + P² + 2² dx di).

V a V b

TT

A4

-X

B,

Hierbei ist ip (x) der Wert, der sich aus der Gleichung <p\x, y) für y ergibt und x₀ ist zu berechnen aus y (x₀, b) = 0.

Führt man aber zuerst die Integration nach x aus, so ist

Py<> px(y)    —:-!-

/    / i 1-\-p² + ą² dx dy,

V b V a

wobei sich %(y) als Wert von x aus q>{x,y) = 0 und y₀ aus 5P(Ä2/o) = ° ergibt.

3) Wird der Inhalt der Fläche <p(x,y,z) oder z = f(x,y) gesucht, die durch die Schnittlinien mit den drei Koordinatenebenen begrenzt ist, so findet man die Projektion auf die

ÿ\;y

Y'

X F-Ebene, indem man z — 0 setzt, ihre Gleichung ist also f (x, y) = 0. Setzt man ferner a = 0 und b = 0, so ist dieser Fall auf den vorhergehenden zurückgeführt.

Ist es bequemer, die Fläche in der Form y = f₁(x,z) oder x = f₂(y,z) darzustellen, so ist natürlich die Behandlung ganz analog.

Fällt man von jedem Punkte der Begrenzungslinie der Fläche z = f(x, y) das Lot auf die X F-Ebene, so entsteht dadurch ein Körper, der begrenzt wird:

1) von der Fläche, 2) von ihrer Projektion, 3) von einer geradlinigen abwickelbaren Mantelfläche.

Der Inhalt dieses Körpers ist

J J z dx dy.

Die Begrenzung ist wie vorher zu wählen. Ygl. die vorhergehenden Figuren.

Ebenso kann man die Lote auf.die andern Koordinatenebenen fällen und erhält

jJj y dx dz,

I x dy dz.

V tJ

J=

Die Begrenzung ist entsprechend zu wählen.

Beachtet man, daß z. B. z = Jdz ist, so findet man

fffdx dy dz.

Die Schwerpunktskoordinaten eines homogenen Körpers sind

j³j j* x dx dy dz

J

f j ]f V dx dy dz V=    j    »

'Fr;

jJj z dx dy dz

Die Grenzen der im Zähler auftretenden Integrale sind ebenso zu wählen wie die in J auftretenden.

Unter der Dichtigkeit q versteht man bei gleichförmiger Massen Verteilung die Masse, welche in der Volumen einheit des Körpers, resp. der Flächeneinheit einer Fläche oder der Längeneinheit einer Linie enthalten ist, sie ist also hei einem Körper

= -j • In einem inhomogenen Körper bezeichnet man als Dichtigkeit den Grenzwert dieses Bruches, es ist q =

bei eine Funktion der Koordinaten. Dann ist die Masse des Körpers bestimmt durch

d/i

dJ'

q ist hier-

/i — J J J Q dx dy dz,

und der Schwerpunkt durch

'fr;

.fff'xQdxdydz

/i

etc.

Die Grenzen sind wie vorher zu bestimmen.

Das Trägheitsmoment eines Elementarvolumens in bezug auf eine Achse ist gleich seiner Masse multipliziert mit dem

Quadrate des Abstandes von der Achse. Ist die Dichtigkeit = 1, so ist das Trägheitsmoment eines Elementarvolumens in bezug auf die X-Achse

clT = (?/² -j- z²) dx dy dz.

Das Trägheitsmoment eines Körpers in bezug auf die X-Achse ist

\ = fj“rf (y1    ¹²²)    dy dz.

Entsprechend ist Ty und Tz zu bilden.

Der Trä g heits radius eines Körpers in bezug auf eine Achse ist die Entfernung von derselben, die ein materieller Punkt, mit der Masse des Körpers beladen, haben müßte, damit sein Trägheitsmoment gleich dem des Körpers sei. Nennt man ihn r, so gilt die Beziehung

Mr² = T.

§ 2. Oberflächenberechnungen.

1) A uf g. Man berechne den Inhalt desjenigen Teiles der Oberfläche

sd*9

+ V?

welcher zwischen den Ebenen æ = 0, y = 0, # + ^ = 3 liegt. Lös.: In dieser Aufgabe ist

also | 1 + p~ + <f = 1 1 x -\- y.

Man kann zunächst den Inhalt des Teiles der Fläche berechnen, dessen Projektion auf die X Y-Ebene ein unendlich dünner Streifen parallel der X-Achse ist. Dieser wird begrenzt durch

die Kurven x — O und x -f- y = 3 oder x = 3 — y. x wächst also in diesem Streifen von 0 bis 3 — y. Daher ist der Inhalt des betreffenden Flächenteiles

l/f;

'X-

dy J    y 1 + x -f- y dx

y (ï ~-Çx~-\- yf

d£2 = ^dy( 8 — y (1 + 2/)³)

d£2 =

d £2 = dy

CM CO

" x=3—y

x—O

Den Inhalt der ganzen Fläche findet man, indem man sämtliche Streifen summiert, y wächst dabei von 0 bis zu dem Werte, der sich aus der Gleichung 0 -j-y = 3 ergibt. Somit ist

001

£2 =

£2 =

03

15

Lös.: a) Es ist £ = y r² — a:² — ?/², also

TS

]/r'² — x² — iß

(P

g_ = X

/r² — x²

y'²

. t>i

yr² — æ² — y²

—Lhl

"T

Die Projektion der Begrenzung der Fläche wird durch die Kurven x = 0 und x² — ry -|- iß = 0 oder x - iy(r-—y) gebildet. Dies sind also die Grenzen bei der Integration nach x. y wächst von 0 bis zu dem Werte, der aus der Gleichung 0² — ry -j- iß = 0 gewonnen wird, also r.

Also wird

S2 =

r dy d o d o

~!y (r—y)

dx

ijr² — x² — iß

r f arcsin]/ L

d o Ir + y

dy =

i r[iy — yr arctang j/- -j

= r |ÿ arcsin j/ ^

r-ßy

4^!—

= r\r ■ TC — y r (j/r — y r • ^?r)] = r² — 1).

Wenn Polarkoordinaten x = q cos g), y = sin cp angewendet werden, so ist an die Stelle von dx dy zu setzen : q dg dcp, und die Gleichung x² -f- y² — ry = 0 geht über in q = r sin cp. q wächst also von 0 bis r sin cp, cp von 0 bis Mithin ist

r sin ÇP

odo

yr² — ^2

/>

— COS cp) dcp =

= r² (i?* — 1).

= r² Lp — sin (f

4x⁴

die Gleichung y¹ = 3x¹ —

von den Ebenen y = 0 und y = x begrenzt wird. Man berechne in beiden genannten Fällen den quadratischen Inhalt desjenigen von dem betreffenden Zylinder aus der Kugel geschnittenen Flächenstückes, welches im ersten Oktanten liegt.

^•2

Bei Vertauschung der Integrationsfolge ergibt sich ebenso:

-f.

r gdr

]/r² —

dcp =

rfy

— arcsin

'G

]V²— o²

tO

rG

= r² (\tc — 1).

Wird der soeben berechnete Flächeninhalt von dem Kugeloktanten abgezogen, so folgt für das übrig bleibende Flächenstück :

\ti r² — r² i)fc — 1) = r².

Anm. Zur Übung möge dieser letztere Flächeninhalt auch direkt bestimmt werden. Hierbei hat man zu ermitteln:

Vf*—y²

rfdy f V 0 V 1

dx

iy{r-y)

~j r² — x² — y² ’

oder in Polarkoordinaten:

r h⁷¹ dcp fr

C/O    C/ r\

g dg

-s.

r q dg ]/r²— g²

f.

sin — r

dcp.

sin    Q~

b) Führt man Polarkoordinaten x = g cos cp, y = g sin cp ein,

wodurch die Gleichung ij² = 3x² —

4 cos ²w — 1    „. ,

———,-, so folgt

4 cos ⁴a>    ö

g² = r²

Mk

cy2

übergeht in

-H-

r f ⁷¹dcf f V o V o

J 4 cos »y — 1 '    4 cos icp

g dg

fr

]!r² — g2 2 cos ²cp — 1

2 cos ²(f

dtp = \r² tang <p

t~—

<M *

3) Auf g. Es soll für den Zylinder

z² -f- (x cos a -f- y sin a)² — a² = 0

der Inhalt desjenigen Teiles der Mantelfläche berechnet werden, welcher im ersten Oktanten liegt.

Lös.: Die Achse dieses Zylinders ist, wie man leicht erkennt, die Gerade x cos a-j- y sin a = 0, £ = 0; jeder zu dieser Geraden senkrechte Schnitt ist ein Kreis vom Kadius a. Da der Zylinder die X Y-Ebene in den Geraden x cos a -|- y sin a = + a schneidet, so ergeben sich als Grenzen für die Integration nach y, wenn dieselbe zuerst ausgeführt wird : yx— 0, y₂ = —

— x cos a

sin a

Grenzen für die Integration nach x: x₁ = 0, x₂ = - ₀g~~~ :

und als

~7P~

i.

Nun ist

z = ]/ a² — (x cos a -{- y sin a)², also a -|- y sin a) cos a z    ’ ^

y 1 -{-p2Jr^ =

(x cos

{x cos a -f- y sin a) sin a

y a² — {x cos a -f y sin a)²’

somit wird

S2 =

/gcosa yg

I dx I

u o v o

a — x COS a

sin a

dy

y a² — (x cos a + y sin a)²

Die Integration nach y liefert:

f.

a— a; cos a sin a

dy

y a² — (x cos a -J- y sin a)2 x cos a -j- y sin a

a — #cosa

sin a

arcsin

sin et

demnach ist

S2 =

-/

a e/ o

COS#

sin a

ta: — arcsin

\7t — arcsin

x cos a

æ cos a

dx =

sin a

— x arcsin

x cos a

—— Va²— x² cos ²a cos a

COS a

a²

sin a cos a

4) A uf g. Wie groß ist der Inhalt des Flächenstückes,

p = iw² aus dem Paraholoid

welches der Zylinder p -j-

-J ausschneidet? a ¹ b

2e =

yi

y²

■v

.ir

^JćZ/

w'i ^

Lös.: In diesem Falle ist /l +_p²-f-<Z² =

Æ²

to i

¹+?+l ■

Betrachtet man die Ellipse ₂- + p = m² als affine Figur

eines Kreises und setzt demgemäß x = cos % y = mbq sin c/>, so folgt:

I? = aöm²

f f ]/l -j- m²ç² Qdgdy = 2rc abm² f ]/l m²Q² çdç

V 0 V 0    tJ 0

= lab 7t [(1 -|- m²)J — 1 •

311

5) Aufg. Das elliptische Paraboloid 2z —^—f-^

und b positive .Zahlen bedeuten, wird von der Kugelfläche x² -\-y² -\- {z — c)² = c² geschnitten. Man bestimme den Flächeninhalt des Kugelstückes, welches innerhalb der Durchdringungskurve liegt.

wo a

Jti

Lös.: Mit Hilfe der Kugelgleichung findet sich:

/Ï+F+2⁵

-je² — x² — y²’

oder wenn man Polarko.ordinaten (x = r cosg>, y = r siny) anwendet :

i 1 + p'² + ą²

-je² — r²

Die Elimination der Variablen z aus den gegebenen Gleichungen liefert für die Horizontalprojektion der Durchdringungskurve die Gleichung

/COS ²(p .

\ a '

sin ²(f

2c (a -j- ß cos 2g>) — 1

(a -j- ß cos 2g))²

wobei zur Abkürzung a = \

1-1    55

CH I—L

gesetzt

wurde.

Somit wird, wenn man etwa a^>c)>b voraussetzt und zuerst nach r integriert

d(p

/■

14

j:

T/ 2c (acos 29p) — 1 (« —f— /S cos 2<p)²

rdr

Mi-

fi rc

I dcp

arctang]/⁶ (a~c)

' a(c—6)

Die Integration nach r ergibt:

y 2c (a-f-7? cos 29p) — 1 (a-j-/? cos 29p)²

Q == 4c

r dr

]/c² — r²

/.

y'c² — r²

ic²

i/2c(a-f-/9 cos 2<p) — 1 '    (a-(-/9cos 2qo)²

Folglich wird

a -j- /5-COS 2(p

..•o.a„₆l/S“+^COS2y

r a[c—b)

linders

va rctan^

a — /?

a-\-ß

tang (p

= 8c y ab g— arctang j/

MH

TT

arctan g] ⁶ P_°)

' a (c—6)

a — c c — b

6) Auf g. Es soll derjenige Teil der Mantelfläche des Zy

(æ — £ fang w)²'-f- y² = r²

berechnet werden, welcher innerhalb des -Zylinders (x z tang d)² -f- y² = r²

liegt.

T\.

r-

Lös.: Die beiden gegebenen Zylinder, welche den Kreis x² -\-y² = r² zur gemeinsamen Basis haben, durchdringen sich in einer Kurve, deren Projektionen durch die Gleichungen

, y*-i 2 + r2 — ¹

2x

& =-

tang eu — tang ^

X²

/ tang >!/ — tang cd\ \ tang tang toi

bestimmt sind. Die Durchdringungskurve ist demnach eine Ellipse mit den Halbachsen

/4 -f- (tang y'J- — tang cd)2 tang # -f- tang cd

und r.

fr.

Nun ist

x — fr² — y²

tang cd

,    == cotang cd, ą =

y cotang cd

y r² — y²

yi+P²+^=]/

r² (1 -f- cotang ²cd) — y² _

r² — 9/²

somit wird

Vr² — t/²

r² (1 + cotang ²cd) — y²

tang 9 — tang co tang ₁9,+tang»

]/r2 _ y2

r² — 9/²

8 tang cd

tang & -f- tang M

f y r² (1-j-cotang ²cd) d o

— ty² dy =

== 4r²

sin 2cd -|- 2cd

sin 2cd (tang ^ -f- tang cd)

7) A uf g. Man bestimme den Flächeninhalt eines windschiefen Vierecks auf dem hyperbolischen Paraboloid z = xy.

7/vZ'Y?f//7

Lös.: Die Begrenzungslinien des windschiefen Vierecks werden vier Erzeugende des gegebenen hyperbolischen Para-boloides sein. Sämtliche Erzeugende der vorgelegten Fläche bilden zwei Scharen von Geraden, von denen die eine der XZ-Ebene, die andere der FZ-Ebene parallel ist. Es ist demnach das Integrationsgebiet ein Rechteck, dessen Seiten der X- und

der Y-Achse beziehungsweise parallel smd. Wird noch die eine Ecke des Rechtecks in den Koordinatenanfangspunkt verlegt und sind a und b die bezüglichen Längen der Rechteckseiten, so hat man zu bilden

Q = f diJ f 1i +p~ -! • Q-

V O V 0

= i £ \a f T+W+f + (1 + y-)l

dx - -

= a&yi + a²-f-6²+ g-(3 + a²)Z

+ |(3 + &²)Z

f dy f y 1 +

U 0 e/ 0

a ~f~ y 1 -j- a>² -p y£

yi • ; • ?/²    .

& + y 14-a>2+

x² -j- y- dx —

y 1 + a²

dy —

a + y 1 -i- a² -f- &²

y i + s²

— ^ arctang

ab

yi + a² + ô²

§ 3. Inhaltsberechnungen von Körpern.

1) A uf g. Es soll das Volumen desjenigen Körpers berechnet werden, der von der Fläche a²?/² + x²z² = r²x² (Cono-cuneus, s. Bd. I, S. 282) und den Ebenen x = 0 und x = a begrenzt wird.

g.

Lös.: J —

Jj z dx dy.

Die Begrenzungskurve in der XY- Ebene wird aus der Flächengleichung erhalten, indem man z = 0 setzt. Es ergibt sich

a-y- — r²x²,

y = ± a

Es soll hier nur die dem Vorzeichen + entsprechende Gerade

rx

x betrachtet werden.

Die Grenzen für y sind also

r

y — 0 und y — — x.

CI

x soll nach der Aufgabe die Werte x = 0 bis x —a annehmen. Daher ist, da der Körper aus 4 kongruenten Teilen besteht

j=

⁴/>/; y

, a dx • —

dx ■

« [ 2 r²irx 4a ’

ry - _

a² y²'

r²x²

dy,

-y² +

1    r²x²

2    a²

ay

arcsin -

rx y—o

nar²

2) Aufg. Es soll das Volumen J desjenigen Teiles des |/2 ^2

Ellipsoids    -j- c2 — 1 berechnet werden, welcher durch die

OC V

Koordinatenebenen und die Ebene    —|—= 1 begrenzt wird.

..Æ

■yp

Lös.: Es ist

c/₀(fe/₀⁽ V

x-

a²    //²

dy,

oder wenn man x = ax₁, y = by₁ setzt und für x1} yl wieder x, y schreibt:

J — obc

Fax rxn

J 0 Jo

— x² — y² dy —

= \abc

fo [(1 — s) V2 (x

— x²) -f- (1 —

x²) arcsin j/j

dx =

1 + x

x²' —j— ^ y 2 (2x — î) yx — x² -\-T\ y 2 arcsin (2x — 1) + (x — |xs) arcsin ~\/\~ X +1 arcsin

=-I abc y y 2 y#

y¹¥ abc Tt (5/ 2 — 4).

3) Auf g. Es soll das Volumen des dreiachsigen Ellipsoids

1 -j- a? o

x²

CH 'ss

to t

Z²

c²

bestimmt werden.

Lös.: Zunächst ergibt sich

i i*

p+a A-6M--a

I dx I    dy I

J-a (J ,r Ï* e/

—6 n——

dz.

Um konstante Grenzen zu erhalten, setze man

* = o|, y = bn    2 = <£ V(T- P) (1 - >fj ;

dann wird das entsprechende Volumenelement

¥ ö*

as ' a>? ’ &

0// 07/ 01

’ a»? ’ ac

a* ai ai

as ’ a*? ’ ac

dt] dt, = abc (l — ^²) y 1 — y² dt, drt dt

und daher

</ = abc

f⁺¹ f⁺' f⁺\l-£*)l/l-<i'dSdndt =

(J — le/ — le/ — 1

I abc Ti.

4) Auf g. Man bestimme das Gesamtvolumen des Körpers^ welcher durch die Fläche

O <5:

Ci

begrenzt wird.

Lös.: Das Integrationsgebiet ist gegeben durch die Gleichung

Substituiert man x = a cos ³cp sin ³p,y = b sin ³cp sin ³p, z = c cos ³p, wo (f und p zwei neue unabhängige Veränderliche bedeuten, so wird

»■

rf

dy

öj/_

Öv’

3« cos ³(p sin ²<// cos p, 3b sin³y sin ²p cos p

d(f dip =

ärp dtp —

und J = 8 • 9 abc

—?>a cos ² cp sin cp si n³ ip, 3b sin²cp cos cp sin³ ip = 9 ab sin ²(f cos ²cp sin bp cos p dtp dp

h⁷¹    P¹

sin ²(p cos ²cp dtp I V o

/:

sin bp cos ip dp —

Pk71

B — 2.

.¥

•>

y f + p2

[y-f{c,W + {c2-xy = i.

ivt+fp y* rn+^T

6) Æ4

fi (x; y, y\ • • • yr<m)\ *, z[p)) = o,

f y T i + y'2 àx.

G2 = 2, G1 = l, À = l,

* = ' +« ■' ),

¹

Aufgaben über die Komplanation der Kugeloberfläche x¹ + y¹ ~b ^ —r2-

Die Kugeloberfläche werde durchdrungen a) von dem durch die Gleichung x¹ — ry -J- y¹ = 0 dargestellten geraden Zylinder ; b) von dem Zylinderausschnitt, dessen krumme Oberfläche durch

gegeben ist und der andererseits

— ft a^c

Pk⁷¹

J sin ²xp cos ²<p d(p = ^ abc 7t.

Welches sind die Kuryensysteme <p = const. und p = const., durch welche bei den hier angewandten Koordinaten das Integrationsgebiet in Elemente zerlegt wird?

5) Aufg. Es soll der kubische Inhalt J des von der ÏI-Ebene, dem Zylinder x²-\-y² — ax = 0 und dem Rotationspara-boloid x² + y² — cz = 0 begrenzten Körpers ermittelt werden.

Lös.: Integriert man zuerst nach y, so wird

— x² dx =

Ą_y2 dy= 2 Pa ^2    aoĄ y—

C    O CfJ Q

p_a³ — -Ą a²x +    — #² +

2x — a\a

-f- ^a⁴ arcsin

_ 3 a^.

— ™c

Bei Anwendung von Polarkoordinaten (% = Q cos cp, y = q sin cp) ergibt sich, wenn man zuerst nach q integriert:

Ci to

fV

V 0 V 0

a cos cp

g³ dg —

a⁴ l'h⁷¹

'J o

cos ⁴(f dtp =

■jTT

„ a⁴ rc = * c '

2c .ut sin 4?> + i sin 2y + f ^

6) Auf g. Die Achsen zweier geraden Kreiszylinder von demselben Radius a schneiden sich rechtwinklig. Man bestimme a) das beiden Zylindern gemeinsame Volumen; b) demjenigen Teil der Fläche des einen, welcher innerhalb des andern liegt.

.........-U\,

CC2S

Lös.: Wenn x²-\-z² — a², x²-\[~.y² = a² die Gleichungen der beiden Zylinder sind, so ergibt sich

z⁵“    py <t‘—x²

a) J = 8 J dxJ    y a²

x² dy = 8 / (a² — x²) dx = eJ 0

V⁶«⁸.

b) Das Flächenstück des ersten Zylinders, welches innerhalb des zweiten liegt, wird

}    dy

y«² — x²

7) Aufg. Man bestimme das der Kugel x² -f- y² -f- z² = a2 und dem vertikalen Zylinder x²(x²-\-iy²)— a² (x²— y²) = 0 gemeinsame Volumen

S2=8a

fdx r

Jo Jo

8a

f.

dx = 8a².

JU

Lös.: Für zylindrische Koordinaten x = rcos(p, y = rsinc/>, z = z wird die Gleichung- der Kugel r²-f-£² = «² und diejenige des Zylinders

« y 2- y.

cos 2 <p

1 -f- cos 2 <p

führt,

Demnach ist, wenn man die Integration nach r zuerst aus

cos 2 qo

r\f

V 0 V 0

1 -j-cos 2 cp

]/a² — r² r dr =

8 a³ PM/i/l

Jo Ir i

— cos 2</Aù

1 + cos 2tp

⁸3 J⁹^r(tanff⁸SP—l)#

8 c*³

(p — ^ tang ²(f — l cos tp

_8a³.

— 3- Iw"* —

8) A uf g. Ein Rotation sparaboloid hat seinen Scheitel in der Basis und seine Achse in der Oberfläche eines Zylinders. Man zeige, daß der Zylinderinhalt durch die Fläche des Para-

t4

boloides im Verhältnis 3:5 geteilt wird, wenn Höhe und Durchmesser des Zylinders gleich dem Parameter (2p) des Para-boloides sind.

\i

Lös.: Setzt man den Parameter (2p) des Paraboloides = 1 und verlegt den Koordinatenanfangspunkt in das Zentrum der Zylinderbasis, so lautet die Gleichung des Zylinders:

£'² + y² = i

und diejenige des Paraboloides

0» — i)² + f =

Hiernach wird derjenige Teil des Zylinders, welcher außerhalb des Paraboloides liegt, indem man Polarkoordinaten x = r cos y, y = r sin cp einführt,

/32tt    1

/ d(p I J(r² — r cos (f -f- £) r dr = Jo Jo

J =

Da das Volumen des ganzen Zylinders Jx — so ist der innerhalb des Paraboloides liegende Teil desselben J₂ = JX — J= — -sVr und daher J:J^ = 3:5.

9) Aufg. Ein gerader Kreiskegel hat seine Spitze auf einer Kugeloberfläche, und seine Achse fällt mit einem Kugeldurchmesser zusammen. Es soll das dem Kegel und der Kugel gemeinsame Volumen bestimmt werden. (Kegel- und Kugelabschnitt.)

r®

Lös.: Sei a der halbe Winkel an der Kegelspitze und r der Kugelradius. Führt man räumliche Polarkoordinaten q, (p, d ein, deren Pol die Kegelspitze ist, so lautet die Gleichung der Kugel ç = 2r cos d und diejenige des Kegels d = a. Hiernach ergibt sich für den verlangten kubischen Inhalt

J=

q² sin ddg =

/s27t fia ri2r cos d

I dtp I dd I

v 0    ■ d q V 0

= 2 7t

fia fi\

dd

d o d o

2r cos d

q ² sin d dq —

cos sd sin ddd —

=    (1 — cos ⁴a).

10) Auf g. Der Mittelpunkt eines Kreises vom Radius r bewege sich auf einem zweiten Kreise, der denselben Radius hat, so, daß die Ebenen beider senkrecht stehen und die Ebene des sich bewegenden Kreises stets ihrer Anfangslage parallel ist. Wie groß ist der Inhalt des dadurch erzeugten Körpers?

QV

ft

Lös.: Wird der Mittelpunkt des festen Kreises zum Koordinatenanfangspunkt und die Ebene, welcher die bewegliche Ebene parallel bleiben soll, zur XZ-Ebene gewählt, so ist für jeden Punkt der Fläche, welche durch die Bewegung der Scheibe erzeugt wird,

z² = r² — (x — /r² — y²)².

Hiernach ergibt sich

fsr    —

\ äy

d o d o

J= 8

|Ir² — (x — yr² — y²)² dx =

I \{r² 7t —|— \y y r² — y² -f- \r² arcsin ’/ o I

y r² — y²

dy =

= fr³ (3?r + 8).

§ 4. Massen- und Schwerpunktsberechnungen.

1) Es ist der Schwerpunkt der Fläche zu finden, die von der X-Achse, der Geraden x = a und dem positiven Zweige der Parabel y* = 2px begrenzt wird. (Cf. Teil II, Abt. 1, pag. 127.)

~l2px

Lös.:

Pia Pi yipx    Pia

I dx I dy = I Jo Jo    Jo

xdx

Da F =

fîa

I y dx

03 CO

fîa__

= I x]/2pxdx= -a? j/2p ist, so ergibt sich

Oll CO

a¹ i 2p.

CO IDO

a.

y 2px

pa²

Pia P

ï]F= I dx I

Jo J 0

y dy = J* px dy

1=8 ¹

S : H

tc, |    «

f*a__

<Jrf

■jj,

Pa Py

I J xdx dy

Pa Py

J.J odxdy

faxfa²

d o______

— x¹dx

]>

— x-dx

und auf ähnliche Weise

4/5

3/r’

aP

’Y

IJ

/>/

/>/

joY /

cfcc

Yf

im Falle b)

’frt

Pa Py-i

I J xdx dy

Pa Py-i

J I dxdy

wobei y₂ der Gleichung¹ der Ellipse und yx der Gleichung der

Sehne — -f-a

-Cb

= 1 zu entnehmen ist. Hiernach wird

Im Falle a) wird

J [x~j a¹— x¹ — (a — x)x\dx I []/ a¹ — x¹ — (a — x)] dx

3) Man leite die in Teil II, Abt. 1, § 28 angegebenen Formeln für die Schwerpunktskoordinaten einer ebenen Fläche, eines Rotationskörpers und einer Rotationsfläche ab.

Px-, Pf ix)    Px₂    Px-i

Lös.: a) §F= I I    xdx dy — I xf(x)dx—l xy dy.

d xt d 0    d xt    d x₁

PX-2

y dx dy — ^ i [/»] d xi

Px-i P)

VF= /

d x, d 0

¹/(*)

² dx —

fix2

i / y*dx.

U Xi

b) Rotiert die Kurve y = f(x) um die X-Achse und bezeichnet man die Koordinaten eines Punktes der so entstehenden Fläche

mit x,yx,z, so ist leicht zu ersehen, daß die Gleichung- der Rotationsfläche ist

^    V1² = f(x)² oder

z = ]l[f(x)Y — yx². Es ist also

x ch dyx dx,

f)+ f(x) /s+ V [/ (£)]² — y i2 V xxV —f (x) J - y [/(*)² -ydi

fïXï fï-\- f (?)

— Vi² dx,

2 I I x]/f(x)²

v X\ V — / (x)

SJ=

7t r x[f (x)}

U Xi

² dx =

nx₂

V,

xy² dx,

rj J=fff Vi dzdy

dx. (Grenzen wie vorher.)

Führt man dies Integral aus, so erhält man rjJ= 0. Ebenso ist ÇJ — 0.

c) Aus der obigen Flächengleichung folgt

fP

p dx iP-y^

Vx

fP-yp

df

Hierbei ist

dx

i 1 Xp² + g² —

ffx+r

l/P — yP

Dann ist

2 r p/(”~ uä±£1 J Xi J —/(x) Cf² Pi

arcsin

=- dyx dx,

S2Ç = 2 Fxfil + r

fj Xi

+/

-f

dx,

fpy> r¹+(!)’**

=~ dy dx,

Px" fi+f f |! \ _j_ f‘-

²JJTW

-■ rvyi+f

e/

— 1f²—yi²

+/

dx,

ß'C muß =0 sein, da man die F- und X-Achse aus Symmetriegründen ohne weiteres vertauschen kann.

4) Es ist der Schwerpunkt der Fläche eines Kugeloktanten zu ermitteln.

Lös.: Es ist x² y² -f- z² = r², also z = ^r²— x² — y²

„-te- ~x „—fri_»

ftx ^/r2_x2_y2^ * fty I fr2__x2

— y

— y²

also

y i -f-p² -j- o²

y r² — x² — y²

}/r² — x² — y²

—y² dy,

’fj,

x dx dy

r J ]/V²

Ufl

rs re

Nun ist aber ß =

4 T²Tt    7t T²

also

CO¹ 'S

Ebenso findet man rj und £ =

was schon aus Symmetriegründen klar ist.

Führt man räumliche Polarkoordinaten ein durch die Gleichungen

x = r sin 9 cos cp, y = r sin ^ sin (p,

z = r cos#, so wird dF = r² sin^ dfrdtp, also

7t 71

ß£ = J^ Jr rs sin² d cos (f dd- dtp,

ein Integral, das sich noch bequemer ausführen läßt. Entsprechend findet man ßrj und ßC

5) Es soll der Schwerpunkt eines sphärischen rechtwinkligen Dreiecks gefunden werden.

Lös.: Mögen die Ecken des Dreiecks mit M, B, C, die gegenüberliegenden Seiten respektive mit a, b, c bezeichnet werden. Ferner sei der Einfachheit wegen der Radius der Kugel = 1 und die Lage des Koordinatensystems so gewählt, daß der Anfangspunkt der Koordinaten im Mittelpunkt der Kugel, die sphärische Seite b in der XF-Ebene und die Seite a in der XX-Ebene liegt, so daß also der sphärische Winkel C ein rechter

Winkel ist. — Bezeichnet man nun die Fläche des Dreiecks mit F, die Koordinaten ihres Schwerpunkts mit Ę, y, l, so wird

\z

F-$ =

H? SJ

dxdy

ii—x²—ij²

ss

• dx • dy =

JJn

x dx dy

F-Tj =

S!¹.

• dx • dy =

JJn

y dx dy

— x² — y²

F-Ç =

Jdx-dy.

Setzt man hierin zur Vereinfachung der Rechnung sin a • cotang b-y i i—f

und integriert zunächst nach x zwischen den Grenzen x = ]/1 — y² • cos (a — u) und x = ]/1 — y²,

so erhält man:

^ (a — w) • dy,

— y'¹ • dy,

F • | J sin (a — w) • ]/1

J⁷ • V = I {a —u). y -dy,

d

F • Ç = J [1 — cos (a — w)] • y 1 — y² • dy.

Wenn man diese Integrale von

y = 0 bis y = sin &

oder in bezug auf u von

u = 0 bis u = a

ausdehnt, so ergibt sieh:

F — A -f- B —

F • £ — |c • sin B • sin a,

F-r} = ^a —    • cos I?,

F-i = \b — -|c • cos A.

6) Man beweise den Satz: Bezeichnet man mit S die Fläche einer beliebigen Figur auf der Oberfläche der Kugel x² + V~ +    = r², mit Sx, Sy, Sz deren Projektionen resp. auf die

YZ-, XZ- und XT-Ebene und mit £, rj, Ç die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche S, so bestehen die Proportionen

x] Ç r

~&=:~sy⁼~s; ⁼ ~s'

Bew. Sei Ą die orthogonale Projektion der Fläche S auf irgend eine Diametralebene der Kugel, dS das Element dieser Fläche, l die Entfernung der Ebene vom Schwerpunkt der Fläche S und a der Winkel, den der nach dem Element dS gezogene Kugelradius mit der Normale auf die Ebene einschließt; dann ist, wenn man noch die Entfernung des Elementes dS von der Ebene mit z bezeichnet

XS = f zdS.

Nun hat man aber z = r cos a, J cos adS=Sx, folglich wird IS = rSx oder ^ —~g’

(Giulio, Journal de Math, de Liouville, t. IV, p. 386.

7) Es soll die Masse einer von zwei konzentrischen Kreisen mit den Radien r± und r₂ begrenzten Fläche berechnet werden, wenn die Dichtigkeit in den der kleineren Peripherie anliegenden Flächenelementen = a ist und mit der wten Potenz der Entfernung vom Mittelpunkt a) zunimmt, b) abnimmt.

Lös.: a) M= f /’****

t/fit/O pr<i Pi

b) M= /    /

(/ n t/ o

2rt a

(r₂"+² -^«+2),

n- r d(p dr

rin \n ~r 2)

27tarxn l 1 n — 2 \ rxn~²    r₂"

8) Aus der in der vorigen Aufgabe beschriebenen Fläche soll ein Stück herausgeschnitten werden durch zwei Gerade, die vom Mittelpunkt ausgehen und miteinander den Winkel a bilden. Wo liegt der Schwerpunkt der so entstandenen Fläche, wenn die Massen Verteilung dieselbe ist wie vorher?

ri

2« ar.n ,    ,

— r da dr =

yn    *

—2

rd.

'dr

a) Führt man Polarkoordinaten ein, so ist

ar'¹ ,    ,

r cos (f • —— • r dcf dr,

fir-i /3 a

ÏM =

v n (j o

rx

ÇM =

a sin a

r\ (n + 3)

jr./+³

— rx

Die Masse des Ausschnitts verhält sich zu der Masse des

ganzen Kreisringes wie a : 2/r, also ist

M=

aa

(r₂"+² — rx n+²),

r₁n (n 4- 2)

_ n -f- 2 sina    r₂”+³— rxn+z

n -f- 3 ’ a    r₂”+² — rxn+² ’

pr-i pct

rjM— I I r sin (p •

t/fit/o

arn

ri

- • r d(f dr,

n -f- 2 1 — cos a r₂”+³ — rp+3 ^ _ n + 3

Der Mittelpunkt liegt also auf der Halbierungslinie des Winkels a, denn = tang ", und hat vom Mittelpunkt die Entfernung

_j_ 2 2 sin    *H"3

-[-3 a

y U—3 y 71—3

— r₂n_2)

Bei rj und q ist nur der a enthaltende Faktor entsprechend zu ändern.

9) Es ist der Schwerpunkt des Oktanten eines dreiachsigen Ellipsoids zu bestimmen.

e = f?² + >)²

y W—J— 2 _ y 71—[-2

b)

n — 2 sin a

a rx r₂ (rxn

-2

Lös.:

x² y² z2 a²'b² ' c²

— 1, x —

y²

z²

b²    c² ’

Jl=

% 'S.

x dx dy dz,

JÇ =

z²

b² c²

j dy dz,

yjf)

a²bc7t

16

abcTt

(vgl. § 3 Aufg. 3),

to co

co 'co

CO GO

b, £ = -:c.

10) Der Schwerpunkt eines Oktanten des elliptischen Para-

/y»2    /Î/2

boloides — -|-    —    =0 ist zu ermitteln, wobei das Paraboloid

durch die Ebene z = c begrenzt gedacht wird.

im

a. Ebenso ist rj =

Lös.: %J =

x dx dy dz,

öi2z

?J=2

b²

dy dz,

irrt

2a²b

w?

“15

⁴ a²bci 2.

Y/

Den Inhalt berechnet man am einfachsten, indem man durch den Körper Parallelebenen zur X V-Ebene legt, die elliptische Querschnitte erzeugen, deren Gleichung lautet

y-

= i.

- x²

2z\²

Der Inhalt eines Quadranten ist

t-WH)

<X>

ab zu

daher ist das Volumen des Paraboloidoktanten

bTt dc

2~Jo

, ab c 7t z dz = —g—

Es ist also

16b ]/ 2

_ 16a]/ 2 15?r

11) Es soll die Masse und der Schwerpunkt eines Parallel-epipedons mit den Kanten a, b, c bestimmt werden, wenn die Dichtigkeit mit dem Quadrat der Entfernung von einer Ecke wächst und im Abstande p von derselben den Wert q₀ besitzt.

Tr;

ebenso findet sich rj =

15 7t

. ²

’ - — 3 C'

Lös.: Der Ausdruck für die Dichtigkeit ist

M=

Q₀ (;X² + y- +

^    p²

^°₂ f f f (x² -f- y² -f- z²) efe dy dx,

fV o t/ o î/ o

(a² -f- 6² + c²).

ab c g₀

‘dp²

Bezeichnet man die Dichtigkeit in der der Ausgangsecke gegenüberliegenden Ecke mit qx, so ergibt sich

J‘Q\

M=

iJ r;

= Ç f f x (x² -f- y² -j- £⁹) dz dy dx, IVowoe/O

(3a² + 2 b² + 2c²).

g₀a²bc

712 jp²

Bezeichnet man die Dichtigkeit im Punkte -, - -, p₂, so ist

B CD

B CD

53 CD

mit

£M

U r;

tO S

2~ + aJç.₂,

i¹+⁶f}

Entsprechend findet man rj und Ç. •

12) Man berechne die Masse und die Schwerpunktskoordinaten § und rj des Körpers, der in § 3, Aufg. 2) beschrieben ist,

Q₀xyz

wenn die Dichtigkeitsverteilung nach dem Gesetze q = stattfindet.

ps

L ö,:M=%r

psd od o    do

x2^yï

~ a² b*

x y z dxdy dz,

n/r—Q0 «2&2c‘2 ¹    80 ps    ’

£Jf =

Qo r    .

p^ V 0 d 0 v 0

x² y z dz dy dx =

_p₀ asb²c²

210p³

Sohncke’s Aufgabensammlung. II.

■J /»

~ 21 a’

lia iiti( 1 ——)    /i]

1M=±f f “/

P V 0 V 0    V 0

X2    y-l

ä?~b*

x y² z dz dy dx =

g₀ a² b³ c²

210 p

b.

V 21

13) Der Druckmittelpunkt einer ebenen, in eine Flüssigkeit getauchten Fläche ist bestimmt durch seine Koordinaten

■J f.

JzpdF jypdF fpdF ’ ‘ J'pdF

wo p den Druck bedeutet, den die Flüssigkeit auf die Flächeneinheit ausübt und x, y die Koordinaten sind, welche dem Flächenelement dF in bezug auf ein recht- oder schiefwinkliges Koordinatensystem in der betrachteten Fläche zukommen.

T'

Man bestimme mit Hilfe dieser Formeln den Druckmittelpunkt a) eines vertikalen Kreises vom Radius r, dessen Peripherie die Oberfläche der Flüssigkeit berührt ; b) eines vollständig untergetauchten Dreiecks mit nach oben gekehrter Spitze, dessen Ebene vertikal und dessen Basis horizontal ist ; c) eines Flächenstückes, welches begrenzt wird durch eine Parabel, durch die Achse derselben und durch eine dazu senkrechte, in der freien Oberfläche der Flüssigkeit liegende Ordinate; d) der Basis eines geraden Kreiszylinders vom Radius r, dessen Achse mit der Vertikalen den Winkel a bildet, wenn das im Zylinder enthaltene Flüssigkeitsvolumen = c³.

Lös.: a) Wird die Vertikale, welche durch das Zentrum des Kreises geht, zur X-Achse, die Kreistangente, welche in der Ober-

fläche der Flüssigkeit liegt, zur Y- Achse und ihr Berührungspunkt zum Koordinatenanfangspunkt genommen, so ist

UL/)

I^x² dx dy

PP    ’ V

I I x dx dy

= 0.

Wenn man noch zur Berechnung von £ Polarkoordinaten x = r + Q cos ff, r] = q sin ff einführt, für welche das Zentrum des Kreises der Pol ist, so ergibt sich

irrt

ß2rt    ßr

I dcp I (r -f- q cos ff) ²q dg

cJ_o___y j3_    _

P2 Tt    ßr

I dff I (r + Q COS ff) Q dg

v 0    fJ 0

P2* rd »

+-§ cos (p -j- \ cos ²ąi) dff

ß2n

(ł +1 cos ff) dff

V 0

= f r.

• n jr.ünjTJJTTÜjfn.

1+77.JC

b) Sei h die Höhe des Dreiecks, m die Länge der Geraden, welche die Spitze mit der Mitte der Basis verbindet und c die Entfernung der Spitze vom Flüssigkeitsspiegel. Wählt man nun die genannte Mittellinie zur X-Achse und eine Parallele zur Basis durch die Spitze zur Y-Achse eines schiefwinkligen Koordinatensystems, so lauten die Gleichungen der Dreieckseiten, welche sich in der Spitze treffen: y — nx, y = — nx, wenn + n den Winkelkoeffizienten bedeutet. Wird noch der Winkel, den die X-Achse mit der Höhe bildet, mit a bezeichnet, so ergibt sich

rj = 0 und £ =

«/>'+

x COS a

) x dx J³

— nx

dy

fini    /5-j- nx

I (c -j- x cos a) dx I dy

V 0    y—nx

36

/ilïl

I x² (c -f- x cos a) dx

4c + 3 h

J x (c -j- x cos a) dx

6c -f- 4 h

rtr

■r

£'

c) Hat das untergetauchte Stück der Parabelachse die Länge a, die im Flüssigkeitsspiegel liegende Ordinate die Länge b und macht man die Achse der Parabel zur X-Achse, die Schnittlinie der Parabelebene mit dem Flüssigkeitsspiegel zur P-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems, so ist die Gleichung der b²

Parabel y² = — (a — x). Daher wrird

CI

Pr;

I dyf

*(«-s

x² dx

Idy I

•(‘-S

x dx

t«, V =

f y dy f

C/o V c

a (l —

xdx

/ <%/

c/o c/o

a(l~ÿ

— fV b-

xdx

'Æj

d) Verlegt man den Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems in das Zentrum der Basis, so wird, wenn h die Länge des untergetauchten Stückes der Zylinderachse bezeichnet,

c3

h= p = h cos a -j- x sin a.

r²7t

Für die Entfernung des Druckmittelpunktes vom Zentrum der Basis ergibt sich, indem man zum Zwecke der Integration Polarkoordinaten (x = q cos tp, y = q sin <jp) anwendet,

UTK

f dtp i Qi cos a -j- Q sin a cos cp) q cos cp q dq

V O__e/ 0_

ßlx

I dtp I Qi cos a -f- q sin a cos (p) q dq

d o C/o

7t r⁴ tang a

4c³

§ 5. Berechnungen von Trägheitsmomenten.

1) Es ist das Trägheitsmoment und der Trägheitsradius einer Ellipsenfläche zu bestimmen, deren Dichtigkeit konstant

= q ist,

a)    wenn die Achse mit einer der Ellipsenachsen zusammenfällt,

b)    wenn die Achse im Mittelpunkt auf der Ellipsenfläche - senkrecht steht.

Lös.: a) Das Trägheitsmoment in bezug auf die X-Achse ist

pa p>

= /

V O V 0

b fl —

X²

a²

iß dy dx =

dx —

q abs 7t ⁼    4

Nun ist aber die Masse der Ellipsenfläche M=qab7t, also Der Trägheitsradius Bx ist bestimmt durch die

Gleichung Bx² M = Tx, also ist Bx = ~-Entsprechend findet man

pa pb11 —

Ty = ±Q

pa pi

^ r = 4?ioio

ist Tx —

d ² ]\£

x²dydx = ^-=

a {%- -f- y²) dy dx = Tx-\- Ty — M

= ~(a²ßb²\

B — — ■Lly — o

ia²+b\

2) Wie groß ist Trägheitsmoment und Trägheitsradius eines geraden Kreiszylinders in bezug auf seine Achse?

Lös.: Wendet man zylindrische Koordinaten an, so ist fic fi2rc fin

T — g I I I rz dr dy dz,

V 0 V 0 V 0

g cr₁i

Mrj²

¹

Es soll der Schwerpunkt bestimmt werden a) eines durch die konjugierten Halbmesser a und ß begrenzten elliptischen Sektors; b) eines elliptischen Segmentes, dessen Sehne die Endpunkte der genannten konjugierten Halbmesser verbindet.

Lös.: Die auf konjugierte Durchmesser bezogene Gleichung der Ellipse lautet:

B —    2.

3) Man berechne Trägheitsmoment und Trägheitsradius eines geraden Kreiszylinders in bezug auf eine Erzeugende des Zylindermantels als Achse.

1/x (2 rj — x)

(,x² -)- y²) dx dy dz,

Lös.: T =

/sc p2rt p-

²eJJ„ J.

T = ^ T T'’¹ (r, « -f £²) V a: (2rŁ 3 e/ of/ o

— #) dx dz,

4) Aufg. Es soll das Trägheitsmoment eines homogenen geraden Kreiskegels in bezug auf seine Achse berechnet werden.

■4-

3 Q Cri i7T

<:

Lös.: Die Gleichung des Kegels, dessen Höhe h und dessen Basisradius r sein möge, lautet:

£² + 2/² = p-*²-

Für das gesuchte Trägheitsmoment findet sich nun, wenn man

zylindrische Koordinaten x = q cos (ß, y = Q siny, z — z einführt und die konstante Dichtigkeit des Kegels mit y bezeichnet:

q³ do = T¹ÏÏ y 7C r¹ h = il/,

ftï 7l    fih ph

y I d(f I dz I

t/o <d 0 V 0

wo M die Masse des Kegels bedeutet.

5) Aufg. Man berechne die Trägheitsmomente des in § 3, Aufg. 3) genannten homogenen Ellipsoids in bezug auf dessen drei Achsen.

Lös.: Bestimmt man mit Hilfe derselben Koordinaten, wie in dieser Aufgabe, die drei Integrale

P+ a    p

,+7

x²

*]/l

a² p

_dy /

x² V

a²

dz =

= a³ bc

rf² dE, drj dÇ —

= + azbc7t = 4- a²ilf,

B = ab³ c

/S+¹ p+i p+1

J J J (1 — ^²)²^² y 1 — ri*d$di}d£ =

= + ab³ CTt— ⁴ A² ilf und

C = ab c³

= t⁴5 fl/c³ TC= Ic²M,

wo il/ die Masse des Ellipsoids bedeutet, dessen Dichtigkeit = 1 vorausgesetzt wird, so sind die gesuchten Trägheitsmomente in bezug auf die X-, E- und X-Achse resp.

⁴⁸ + c2iK, A+C =

M.

a² + c²

6) Aufg. Es soll das Trägheitsmoment eines homogenen elliptischen Kreisringes in bezug auf dessen Rotationsachse bestimmt werden.

Lös.: Die rotierende Ellipse, als affine Figur eines Kreises betrachtet, kann dargestellt werden durch die Gleichungen x = ap cos <p, y = bç sin (p.

iw

Bezeichnet B die Entfernung- des Ellipsenmittelpunktes von der Rotationsachse, r = B -j- x = B -f- ag cos tp diejenige eines Yolumenelementes dV von derselben Achse und y die Dichtigkeit des Körpers, so wird das gesuchte Trägheitsmoment ausgedrückt

durch das dreifache Integral T = y J ^Jr²d V, welches über den

gesamten Rotationskörper zu erstrecken ist. Das Volumenelement dV kann angesehen werden als ein senkrechtes Parallelepiped, dessen Basis das Ellipsenelement ab g dg dtp und dessen Höhe gleich rdip ist, wenn ip den Winkel bedeutet, den die erzeugende Ellipse in irgend einer ihrer Lagen mit der Anfangslage bildet. Sonach ist

dV = abg dtp dg r dip und

/sl    P2n    P2n

yab    I dg    I dtp    I gr³ dip =

Jo Jo    Jo

PI    P27t    P2n

yab    f dg    I dtp    I (B J- ag cos    tp)³ g dip =

Jo Jo    Jo

= 2y ab n² B (B² -\-1a²).

7) Aufg. Es soll der Trägheitshalbmesser einer bikonvexen homogenen Linse, welche durch zwei kongruente Kugel-ilächen geschlossen wird, für eine Parallele zur Rotationsachse gefunden werden.

Lös.: Es genügt offenbar, die Rechnung nur für eine der beiden plan-konvexen Linsen durchzuführen, welche zusammen die vorausgesetzte Linse bilden.

Sei r der Radius der Kugel, a der Pfeil, b der Radius der

Basis, M die . Masse und y die Dichtigkeit der plan-konvexen Linse, h der Trägheitsradius für die gegebene Achse, Tt‘ derjenige für die Rotationsachse der Linse und c die Distanz der beiden Achsen. Zur Berechnung von h‘ betrachten wir im Abstande x vom Scheitel der Linse eine Scheibe vom Radius y und der Dicke dx. Diese werde durch Radien und konzentrische Kreise in Elementarteile zerlegt. Das Trägheitsmoment dieser Scheibe für die Rotationsachse wird dann

/*2 JT /sy 2rj: — x²

T₁~ y dx I I e/ o e/ o

f (2rx — x²)² dx = ^ny (fr²a³ — r«⁴ -f- f a⁵); v o

y²-y d(p dy = \ny (2rx — x²)² dx, folglich das Trägheitsmoment der ganzen plan-konvexen Linse T = Mh‘² —

Da aber r =

a² + ö²

so ist auch

MJc'² — \ny [f a (a²    b²)² — a³ (a² -f- b²) -j- f a⁵] =

= ^nay (a⁴ -f- ha²b² -j- 106⁴).

Nun ist M — ny (a³ -f- 3ab²), folglich

a⁴ -f- ha²b² -f- 106⁴

a² + 3&²

£'² —- i ^    — TU

Nach einem bekannten Satze der Mechanik wird endlich

Je² = h‘² -f- c².

(Euler, Tlieoria motus corporum solidorum, cap. VI, prob. 42.)

8) Man bestimme die Trägheitsmomente des Ellipsoids

t₊t i >1-1

in bezug auf seine drei Achsen unter der Voraussetzung, daß die

CC^ flf^i

Dichtigkeit s nach dem Gesetz « =    -j-^ + ₂

variiere.

Lös.: Berechnet man zunächst die drei Integrale

fod0LdyLx°~&⁺F⁺?)dx’

Pz j Cyj Px „ (x² y² . z²\ ₇

JoJo+ P +    ’

V²

z²

ß² + pj dx»

wobei die oberen Grenzen resp.

1*’ y-¹}¹

0-

3 — c sind, so werden die Trägheitsmomente für die X-, I- und X-Achse beziehungsweise

y₂(P + P) + 3(^T + p) +

+ b’Ar- + y)’ *> + «•)+ 8 (£ + £) + .

+ ^«⁵(p +ay) . £(«* + &•) +8 (£-|-£) +

+ a'b'(**b) •

Ta — 8 (B + C) ==    7t abc

ß²

Tb = 8 (A -f- C) = -jf-o 7t abc

Tc = 8(A-\- B) = Tfj7t abc

9) Man beweise den Satz: Das Trägheitsmoment in bezug auf eine beliebige Achse ist gleich dem Trägheitsmoment in bezug auf die durch den Schwerpunkt zu ihr gezogene Parallele, vermehrt um das Trägheitsmoment der im Schwerpunkt konzentriert gedachten Masse in bezug auf die erste Achse.

Hierdurch läßt sich die eben behandelte Aufgabe auf die vorige zurückführen.

Lös.: Nimmt man die durch den Schwerpunkt gehende Achse als X-Achse des Koordinatensystems an, den Schwerpunkt als Nullpunkt desselben und ist die neue Achse durch die Gleichungen x = a, y = b gekennzeichnet, so ist das Trägheitsmoment in bezug auf die erste Achse, wenn q die Dichtigkeit ist

T = j^J Çq (x² -1- y²) dx dy dz ;

in bezug auf die zweite Achse

Tx == J’J'J'Q |(^ — a)² -f- (y — b)² dx dy dz.

i'i

F"

Pr

s;

Die Grenzen sind in beiden Fällen die gleichen; sie sind so zu wählen, daß alle Punkte des Körpers berücksichtigt werden. Nun ist

Tx =J³JiJ q (x²    y²) dxdy dz — 2a J j*j qx dx dy dz —

— 2b J1³ q y dxdy dz -f- («² -f- b²) JJ j q dx dy dz.

Nach den Schwerpunktsfonneln stellen die beiden in der Mitte stehenden Integrale das Produkt aus den Schwerpunktskoordinaten und der Masse vor, da aber die ersteren = 0 sind, so verschwinden sie auch. Also ist

Tx = T + (a² -f b²) M.

§ 6. Aufgaben aus der Potentialtheorie.

1) Es ist die Anziehung zu berechnen, die eine homogene Vollkugel vom Radius B auf einen außerhalb der Kugel liegenden materiellen Punkt ausiibt.

Lös.: Der gegebene Punkt P liege auf der Z-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems, dessen Anfangspunkt der

,,    . ,    a — g cos &

; daher wird

Mittelpunkt der Kugel ist. Bezeichnet man mit m‘ die Masse des gegebenen Punktes P und mit y die konstante Dichtigkeit der Kugel, ist ferner a die Entfernung des gegebenen Punktes, g diejenige eines Massenelementes dm der Kugel vom Mittelpunkt derselben und r die Entfernung dieses Elementes von P, so wird das Element der gesuchten Anziehung nach dem Nevvton’sclien

m‘ dm ^•2

Attraktionsgesetz ausgedrückt durch liehe Polarkoordinaten an, so ist

dm = y g² sin <9 dg dd dtp, r² = a - + g- — 2 ag cos d,

Wendet man räum-

rl

kt

l/'j

IS?

wo & und tp die bekannte Bedeutung haben. Die beiden Komponenten der gesamten Anziehung, welche senkrecht zur Z-Achse sind, werden offenbar gleich Null. Für das Element der Z-Komponente ergibt sich, wenn man den Winkel, den die von P nach dm gezogene Gerade mit der Z-Achse bildet, mit ip bezeichnet:

m‘ dm

cos ip.

Nun ist cos ip =-—

r

m‘ dm

y2

cos ip = ym‘

{a — g cos &) g² sin d dg dd dtp

(«² -f- g² — 2ag cos .9)^

und

47tym‘ ₂

n 2    ? ⁻

Wird dieser Ausdruck noch mit dg multipliziert und zwischen den Grenzen 0 und B integriert, so findet sich für die verlangte Anziehung

a²

Die Integration nach A liefert: ity m‘

a*

g ]/ a² -j- g² — 2ag cos A

g (a² —g²)

7t

² — 2ag cos A

7vym‘

a²

?(« + ?) — Q(a — Q) — 9 («²

P!)( 1 — — \a —f- g a — g

(a — g cos A) Q- sin A dg dO dtp (a- -f- Q' — 2ag cos A)^

f—Q

=jr (ci — g cos A) g² sin A dg dA

fiO=K /SiT—T fi

ym‘ /    /    |

v g=0 v &=o (] (

fiO=R fi fr

= 2rcym‘ I    I

J ç=0 v &—0

(a- -f- g* — 2ag cos A)

A = f Bs oder A =

wenn M die Gesamtmasse der Kugel bedeutet. Aus diesem Resultate erhellt, daß die Kugel auf den gegebenen Punkt dieselbe Anziehung ausübt, wie wenn ihre Gesamtmasse im Mittelpunkte konzentriert wäre.

Anm. Die hier durchgeführte Rechnung bleibt auch noch gültig für den Fall, daß der gegebene Punkt sich auf der Oberfläche der Kugel befindet. Unter der Voraussetzung a = B ist

₍ ĄyrtBs Mm1 B2    = B² ‘

Liegt der gegebene Punkt dagegen im Innern der Kugel, so gestaltet sich die Rechnung wesentlich anders. Um z. B. die Anziehung einer hohlen, unendlich dünnen, homogenen Kugelschale vom Radius g und der Dicke dg auf einen in ihrem Inneren gelegenen materiellen Punkt zu erhalten, muß in der obigen Rechnung, nachdem die Integrationen nach <p und A in der angegebenen Weise ausgeführt sind, beim Einsetzen der unteren Grenze A = 0 für y a² -)- g² — 2 ag der Wert (g — a) genommen werden, da in diesem Falle g^>a ist. Es wird demnach

Ttyni¹

do [2ao — 2aq] = 0.

Mithin übt eine unendlich dünne, hohle Kugelschale auf einen Punkt in ihrem Inneren gar keine Anziehung aus. Führt man die Integration nach q zwischen entsprechenden Grenzen ans, so erkennt man, daß auch eine hohle Kugelschale von endlicher Dicke auf einen in ihrem Inneren gelegenen Punkt keine Anziehung ausübt.

Wenn es sich daher um die Bestimmung der Anziehung einer Vollkugel auf einen Punkt im Innern derselben handelt, so legt man durch den gegebenen Punkt eine konzentrische Kugelfläche, welche die gegebene Kugel in zwei Teile teilt. Für die äußere Kugelschale ist dann der gegebene Punkt ein innerer, für die innere Vollkugel dagegen ein äußerer, resp. ein Punkt auf ihrer Oberfläche.

Die Gesamtanziehung wird demnach A = |ym' ita.

2) Man berechne die Anziehung, die ein homogener Kreiszylinder vom Radius R und der Höhe 2h auf einen materiellen Punkt ausübt, welcher auf der Zylinderachse liegt.

““hrî:

Je

7iym‘

JC

dq q ]/a² -j- (?² — 2aq COS #

q(<*²-q²)

]/a² -J- q²— 2aq cos M₀

fit!

2. Fall. Wenn der gegebene Punkt innerhalb des Zylinders liegt, also a <CJi ist, so teilt man den Zylinder vermittels einer durch den Punkt P gehenden, der Basis parallelen Ebene in zwei Teile und führt die Rechnung für beide Teile besonders durch, indem man beachtet, daß für den einen Teil

r = y (ce — z)² -f- g²

Lös.: Wählt man die Zylinderachse zur X-Achse und die in der halben Zylinderhöhe zur Basis parallel gelegte Ebene zur XY-Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems, so kann es sich in dieser Aufgabe aus leicht einzusehenden Gründen nur um die X-Komponente der Anziehung handeln. Ist a die Entfernung des gegebenen Punktes P von der XY-Ebene, r diejenige eines Massenelementes dm des Zylinders vom Punkte P, l der Winkel, den die von P nach dm gezogene Gerade mit der X-Achse einschließt, so wird das Attraktionselement, wenn man zylindrische Koordinaten q, <p, z einführt und der Einfachheit wegen die Masse des gegebenen Punktes und ebenso die Dichtigkeit des Zylinders = 1 setzt :

dA

o dg tl(f dz

r2

cos l.

1. Fall. Liegt der gegebene Punkt außerhalb des Zylinders, ist also a^>h, so wird, da a — z

cos l —

, r=i(a — zy+ g²,

pz=-\-h /iq=R /s<p=2-t (a—z) g dg dtp dz _

v■ z = — h V q =-0 fy cp — 0

r>Q=R (a — z) g dg dz

Jz=-hJQ=o Ua-z)²-f?²jł

[(a — z)² + g²] 2

= 2 7t

f-

1/(a — z)² + B

: + 1 dz = 2

2;t ) (a — h)² -1 - II ²

f(a -j- h)² R² -1- 2h .

, a COS A =

und für den andern

COS l -

8 — CI    -.rr~

, r=1(e

a)² + Q².

Die Differenz der so erhaltenen Resultate liefert dann die verlangte Anziehung. Es wird hiernach

pz=a P?=R py = 2rr (a — z) q dg dz drp v z— — h & q — 0 d q,— Q

fiz—Ą-b pq = R rtcp = 2Ji (z — a) o dg dz d(f v z — a    V q = 0 d <p = o

= 2?t I f(h — a)² -{- P² — y (a -f- Ä)² -f- P² -f- 2a .

Anm. Man zeige, daß das letztere Resultat aus demjenigen für den ersten Fall einfach durch die Vertauschung der Größen a und h abgeleitet werden kann.

3) Es soll das Potential des in der vorhergehenden Aufgabe genannten Zylinders in bezug auf einen Punkt P seiner Achse bestimmt werden.

Lös.: Unter dem Potential eines Körpers in Beziehung auf einen gegebenen Punkt P versteht man eine Funktion F(x,y,z) der Koordinaten x, y, z dieses Punktes, deren mit entgegengesetztem Zeichen genommene partielle Ableitungen

<■© ro

die Komponenten der Kraft liefern, mit welcher sich der Körper und der Punkt gegenseitig anziehen.

Wird die Masse des gegebenen Punktes = 1 und die Dichtigkeit des Körpers == y gesetzt und ist ferner r = ~j{x — «)² + (j/ — by~\-(z — c)² die Entfernung des Punktes P von einem beliebigen Elemente y da db de des Körpers, so kann das Potential des Körpers in bezug auf den Punkt P ausgedrückt werden durch das über den ganzen Körper zu erstreckende dreifache Integral

⁽^a ^ C^C

Wenn alle Bezeichnungen der vorhergehenden Aufgabe bestehen bleiben, so ergibt sich für das gesuchte Potential in dem Falle a^>h, in welchem also der Punkt außerhalb des Zylinders liegt:

]/ (a — z)² + Q-jï f(a- -f h) + (« + h)- —(a — A) fW+lcT—hy —

p>Q = R /iz = -\-h ficp = 2n g dç d(f dz V 9 = 0 V z— — h u qp = 0

P*

- iah + S² ï a + b + W + ^ + W a — A + l-B² + (a — A)²

TT a (y jr² + {a + A)² — ]R² -f (a — A)²) + A (>/]R² + (a + A)² +

4. j /^4- {a —h)²) — 4aA 4- R²1 «_+/* +?^²+(« +A)2 ⁷⁷    a — A4-)/i2⁸4- (a — A)²]

und im Falle a < A, d. h. wenn der gegebene Punkt sich im Innern des Zylinders befindet:

o do d(f dz

A Vê»² + (a — z)²

Ziep — 2n /so — R rsz = a

eJ qp = 0 e/ 9 = 0 e/ z = —

Çcp=2n Pq = R çz = -\-h    gdgd/pdz

J cp — 0] J q = 0 J z = a V(?²⁻|-(^ — ®)²

a)²4-

7t\(a 4- A) j/Æ* 4_ (a 4_ ÏÇI4_    _ a) /Ï2* 4. (A

4-E²Z

(a 4- A 4- l'Æ² 4- (a 4- A)²) (A — « 4- \ R² 4- (A — a)²) __

— 2 (a* 4-A²) •

Kapitel II.

Differentialgleichungen erster Ordnung.

§ 7. Trennung der Variabein.

Einleitung-. Wenn die linke Seite einer auf die Form Mdx -j- Ndy = 0

gebrachten Differentialgleichung, wo M und N beliebige Funktionen von x und y bezeichnen, das vollständige Differential einer Funktion u ist, in welchem Falle der Integrabilitätsbedingung

genügt wird, so ist

dy dx

rix    fiy r

u= I Mdx -j- I

nx

I Mdx dy -f- Const.

das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung; Differentialgleichungen von der Form

X! Y₁ dx + X₂ Y₂ dy = 0,

wo Xx und X, Funktionen der einen Veränderlichen x, Yx und Y₂ Funktionen der einen Veränderlichen y bedeuten, werden mittels der Trennung der Variablen integriert. Aus der gegebenen Differentialgleichung folgt:

dy,

X, Y₁dx — — X₂ V₂ dy,    dx= —

und es ist daher

dx — —

dy -\- Const. das allgemeine

Integral derselben.

51

\ Beispiele.

1)    Als Beispiele zur Integration von Differentialgleichungen

du = Mdx -\- Ndy = 0,

deren erste Glieder vollständige Differentiale sind, können die in Abt. 1, Kap. V genannten Aufgaben dienen, indem man die dort zur Integration vorgelegten zwei- und dreigliedrigen Differentialausdrücke gleich Null setzt.

2)    Trennung der Variablen.

1)    xdy — ydx = 0 ; Lös.: y = Cx.

2)    2x²dy = ydx ; Lös.: y — e 2x.

/ 3) x²dy -\-(y ■— a) dx = 0 ; Lös.: y = a -f- Cex.

Ż4) xy dx = (et + æ) (6    i/) dy ; Lös.: x — y -j- G = Z (j/⁶ (a -j- æ)a]

5)    (æ ;— ?/²) dx 2xy dy — 0.

y®0, so folgt ôte + æÆsr = 0, und

Lös.: Setzt man y

hieraus ^ -f- Ix = G.

6)    (y² -f- xy²) dx -j- (æ² — yx-) dy = 0;

rH «

Lös.:

H----\-l — =C.

'    x    '

7)    xdy — ydx — dy ]/l -}- æ² -f- dx 1 -|- ?/² ;

L os. : a:² — y² -f- y fl -j- y² + x fl + æ² +

+1 [{y+yr+ ÿ²) (*+r i+= g

8)    #yi -f- y² dx -f y yi + ^² % — o ;

lös.: yr+F²+yr+i²=G

9)    (1 + */²) dx - {y + n + F) (yi +^²)⁸% = °; Z(l + ya + yyi"+ÿ^+^.

Lös.:

a:

yi+£²

10) Aufg. Man bestimme sämtliche Kurven, welche in jedem ihrer Punkte eine Subtangente von gegebener Länge a be

sitzen.

■ec

Lös.: Da St = y

Pi

so führt die vorgelegte Aufgabe auf

die Differentialgleichung y

dx

dy

= a, deren allgemeine Lösung

X—Xq

y — e a ist. Es genügt somit nur die logarithmische Linie der gestellten Bedingung.

11) Aufg. Es sollen die Kurven gefunden werden, für welche in jedem Punkte die Subtangente gleich der w-fachen Abszisse ist.

\i

T-

T\

<Z

iQ iCj ’-q i<z

Lös.: Die verlangten Kurven genügen der Differential-; sie sind daher sämtlich enthalten in

dx

gleichung y ~d der Gleichung yn = Cx.

= nx

»=1

Welche Kurven ergeben sich hieraus für w = 1, 2,    -§,

— 1, usw. ?

12) Aufg. Welche Kurven ergeben in jedem ihrer Punkte eine Polarsubtangente von der konstanten Länge a?

jp

d(f

= a und somit

C.

'y

11

'3

'•'J

"i

-fezZ

Lös.: Da St = r-^- ? so wird r²

r (9>o    (f) = °.

Es besitzt daher nur die hj^perbolische Spirale die in der Aufgabe genannte Eigenschaft.

13) Aufg. Man bestimme eine Kurve von der Beschaffenheit, daß das zwischen den Koordinatenachsen enthaltene Stück jeder ihrer Tangenten im Berührungspunkte halbiert wird.

Lös.: Bezeichnet man bei Annahme eines schiefwinkligen Koordinatensystems die laufenden Koordinaten der Tangente mit §, rj und die Koordinaten des Berührungspunktes mit

x, y, so lautet die Gleichung der Tangente -j-    = 1.

-- .54

4-

x Da auch bei schiefwinkligen Koordinaten der Winkelkoeffi-zient der Tangente gleich ^ ist, so hat man die Differen-

V

, deren allgemeine Lösung xy = C

oc

tialgleichung

dy

dx

ist. Die gesuchte Kurve ist demnach eine auf ihre Asymptoten bezogene Hyperbel.

14) A u f g. Es soll eine Kurve gefunden werden, für welche das aus den rechtwinkligen Koordinaten x, y eines jeden ihrer Punkte gebildete Kechteck gleich ist dem durch die Subnormale und eine Linie von konstanter Länge a bestimmten Rechteck.

iF

JC

Lös.: Da Sn — y

ist. so hat man für die gesuchte

dy

Kurve die Differentialgleichung ay^—xy. Das allgemeine

Integral dieser Gleichung lautet : x² = 2a (y — y₀) ; es ist somit die verlangte Kurve eine Parabel.

55 —

15) A uf g¹. Man bestimme sämtliche Kurven, deren von x = 0 bis x = x gerechnete Flächeninhalte dem Kechteck xy proportional sind.

jr

!"

n—3

F/

pï

IL

T?

Lös.: Die in der Aufgabe gestellte Bedingung liefert die

Gleichung 1) n I ydx

tiation folgt : 2) (n —• 1) y dx = x dy. Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung ist 3) y = Cx¹¹-¹. Da diese Gleichung für jeden Wert von C der Gleichung 1) genügt, so kann jede der gefundenen Kurven noch einer weiteren Bedingung unterworfen werden.

Welche speziellen Kurven gehen aus der Gleichung 3) für n = 1, 2, 3, I, | usw. hervor?

16) Aufg. Bei welcher Kurve verhalten sich die von demselben Leitstrahl (y = 0) an gezählten Polarsektoren, wie die Unterschiede der Quadrate der die Sektoren begrenzenden Leitstrahlen ?

= xy, aus welcher durch Differen-

Lös.: Wird der tp = 0 entsprechende Leitstrahl mit r₀ bezeichnet, so muß für die gesuchte Kurve

1) ł fj r2 d(f =

= n(r²— r₀²) sein. Hieraus ergibt sich die Differentialgleichung 2)    , deren allgemeines Integral

3) r = C(tn ist.

Die für r gefundene Funktion genügt der Gleichung 2), welchen Wert man auch der Konstanten C beilegt. Damit aber auch die Gleichung 1) erfüllt sei, muß n (r² — C²) = — n(r² — r₀²), d. h. C = r₀ sein. Die verlangte Kurve ist

cp

somit die logarithmische Spirale r = r₀ eiH (cf. Bd. I, p. 216).

17) Aufg. Wie muß eine Säule konstruiert werden, die an allen Stellen dem konstanten Drucke Q den gleichen Widerstand entgegensetzen soll?

■y""*

Lös.: Ein im Abstande x vom oberen Ende der Säule befindlicher Querschnitt, dessen Flächeninhalt mit y bezeichnet werden möge, hat außer der Last Q noch das über ihm lastende Eigengewicht des Körpers zu tragen. Ist nun y das Gewicht der Volumeneinheit des Materials, B der konstante Widerstand, den die Flächeneinheit darbietet, so ist

1) By = Q + y / ydx.

V 0

Hieraus folgt durch Differentiation 2) Bdy — yydx. Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung ist 3 ) Bl y = = y(x — x₀), und es lautet daher die Gleichung, die zwischen

7 (x — xn)

//

stante xn = — 7

X und y bestehen muß: y — e R . Hierbei ist die Könaus der Gleichung 1) zu bestimmen.

18) Auf g. Ein Punkt bewegt sieli in einer Ebene so, daß der Winkel a, den die Tangente in irgend einem Punkte seiner Bahn mit der X-Achse einschließt, wmal so groß ist, als der Winkel cp, den der nach diesem Punkte geführte Leitstrahl mit der X-Achse bildet. Welche Bahn beschreibt der Punkt?

IT

.¥

7>

•TV

t?

-JP-

-X

n— 0

-P

śk

JL

JL

*=i

Lös.: Werden Polarkoordinaten angewendet und bezeichnet Ü den Winkel, den die Tangente mit dem Leitstrahl bildet, so ist a = ff    Nach der in der Aufgabe ausgesprochenen

Bedingung soll nun a — ncp sein ; demnach wird Ü = (n — 1 )<p

und tang i) —

rdcf

dr

= tang (n — 1) cp. Hieraus folgt

dtp

’ Hcr) = n ¹ sin (n — i) %

dr

r tang (n — 1) c/

oder, indem cn = C gesetzt wird, Crn~¹ = sin (n — 1) <p.

Welche Kurven werden durch diese Gleichung dargestellt, wenn n — 0, 2, 3,    —1 angenommen wird?

Für n = 1 verliert das gefundene Resultat seine Bedeutung. In diesem Falle ergibt sich unmittelbar als allgemeine Lösung die Gleichung (p = a, welcher ein Büschel

von Geraden entspricht, die sich im Koordinatenanfangspunkt schneiden.

§ 8. Homogene Differentialgleichungen.

Einleitung. Eine Differentialgleichung Mdx -j- Ndy = 0 heißt homogen, wenn M und N homogene Funktionen desselben Grades von x und y sind. (Vgl. Bd. I, § 15.) Die Substitution y = xz, dy = xdz -j- zdx in eine solche Differentialgleichung ermöglicht die Trennung der Variablen x und z.

Das allgemeine Integral einer homogenen Differentialgleichung wird geometrisch repräsentiert durch eine Schar von ähnlichen und ähnlich gelegenen Kurven, für welche der Koordinatenanfangspunkt der Ähnlichkeitspunkt ist.

Eine Differentialgleichung von der Form

(ax -f- by -j- c) dx -j- (a‘ x -j- b‘ y -|- c‘) dy = 0, wo a, b. c und a'. 5', & Konstanten bedeuten, kann, wenn ab¹ — a'b > 0 ist, durch Verlegung des Koordinatenanfangspunktes in den Schnittpunkt der Geraden M=ax-\-by-\-c = Q, N=a,xJr b‘y -j- & == 0 in eine homogene Differentialgleichung übergeführt werden. Ist dagegen ab' — a‘b = 0, d. h. sind die Geraden M= 0 und N = 0 parallel, so wird die Differentialgleichung durch Einführung der neuen Variablen u = ax -f- by -f- c, v = bx — ay + c“ (wo c" auch gleich Null sein kann) in eine solche verwandelt, in welcher sich die Variablen u und v trennen lassen.

Beispiele.

1) (x y) dx -j- x dy — 0.

Lös.: Setzt man y = xz, dy = xdz -f- zdx, so folgt

dz

(x -j- xz) dx -)- x (xdz -f- zdx) = 0 und hieraus -Ix .-j-(1 + 2^) = c.

Führt man für z wieder seinen Wert z =

dx

1 + 2?

V

ein und geht

von den Logarithmen zu den Zahlen über, so wird, indem man noch ec = / C setzt, x² + 2xy = C.

2) (8y -j- lOx) dx + (5y + Ix) dy = 0 ;

Lös.: (y + x) - (y -f- 2x)s = C.

3) (ix² — y²) % — 2a$ cte = O ; Lös.: x² -j- y² — Cy.

Bei Einführung⁻ von Polarkoordinaten x = r cos y, y = r sin y

gelangt man zu der Differentialgleichung

allgemeines Integral r = c sin y ist.

cos y sin y

dy = 0. deren

ite.

/•

Die allgemeine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung wird demnach geometrisch durch eine Kreisschar repräsentiert. Sämtliche Kreise der Schar haben den Nullpunkt und in diesem die X-Achse als Tangente gemein; ihre Mittelpunkte liegen auf der Y-Achse im Abstand \C vom Nullpunkt, und ihre Radien sind =\C. Für C — oo wird der Radius unendlich groß, und der Kreis -geht in die X-Achse über.

Aus der gegebenen Differentialgleichung folgt

hieraus ergibt sich, daß die Tangenten in denjenigen Kreispunkten , welche auf den Koordinatenachsen x = 0 und y = 0 liegen, der X-Achse und in denjenigen Punkten, welche die Kreise mit den Geraden y = + x gemein haben, der F-Achse parallel sind.

Anm. Wenn man

dy 2 xy

dx    x² — y²’

= tang ß setzt, so wird tang a —

dy

dx

IC

x² — y²

2 tang ß 1 — tang ²ß

= tang 2ß. Welche geome-

trische Eigenschaft des Kreises liegt hierin ausgesprochen?

4)    xdy — ydx =' dx ^ x² -f- y* ;

Lös.: y —ex² — ^x²y² oder 2y — ex²— ^

5)    (æ — ]/ xy — y) dx -f- / xy dy — 0.

(L:

Lös.: Setzt man

= t², so wird

und daher

C---- r ..    , y

{l — t)^l — t²

t²e

oder indem man eliminiert:

(1 — t) ] 1 — f²

y*

£ Va; — Vy

- C.

(y x — iy) 1% — y

6)    ix — y cos j dx -{- x cos ^ % = 0; Lös.: x — Ce sm x.

7)    [a y x² -f- y² — cx\ dx -\-[b^ x²    y² — cy] dy = 0.

c.

-jf-

\'n

VJ\

J⁷

<r-

OU

\7

Lös.: Die Einführung von

= z ergibt

dx

(b ]/1 -f- z² — cz) dz (a -f- bz) ]/1 + z² — c (1 -j- £²')

, cz b--

ł'l+*:

dz.

(a -f bz) — c V1 + £2 Hieraus folgt als allgemeines Integral

Ix = — ?(« -j- ^ — c y 1 —f- #²) -j- Gx oder ax -\- by = x² -\- y² -|- G.

Kürzer gelangt man zu demselben Resultate mittels der Substitution x² -f- y² = r², wodurch die gegebene Differentialgleichung übergeht in folgende : adx + bdy — cdr, deren allgemeines Integral ax -|-by = cr-\-C ist.

Die letztere Gleichung stellt eine Schar von ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitten dar, für welche der Koordinatenanfangspunkt der Brennpunkt und die Gerade ax -J- by — 0 = 0 die zugehörige Direktrix ist. Die Kegelschnitte sind Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln, je nachdem c²^a²-\- b² ist.

8) 2 (x — 2y -j- 1) dx -j- (5x — y — 4) dy = 0.

11/

Lös.: Verlegt man den Koordinatenanfangspunkt in den Schnittpunkt cc = 1, ß = 1 der Geraden x — 2y + 1 = 0 und

hx — y — 4 = 0 und setzt zu diesem Zwecke x = 1 -\- u, y — 1 -f- v, so folgt 2 (u — 2v) du -f- (hu — v) dv = 0.

Das allgemeine Integral dieser Gleichung ist (u + v)² = = C (2u — v) und daher das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung (x-\-y — 2)² = G (2x — y — 1).

Die geometrische Interpretation der Gleichung (u -j- v)² = = C (2u — v) ergibt eine Schar von Parabeln, welche den (neuen) Koordinatenanfangspunkt und in demselben die Gerade v = 2u als Tangente gemeinsam haben und deren Durchmesser der Geraden v — — u parallel sind. Aus der Differentialgleichung 2 (u — 2v) du (hu — v) dv = 0 oder

erkennt man, daß die Tangenten in den-

dv

du

jenigen Punkten der Parabeln, welche auf der Geraden v = \u liegen, der U-Achse und in den Punkten, welche auf der Geraden v — hu liegen, der F-Achse parallel sind. Ebenso würde man beispielsweise finden, daß die Tangenten in den-

dv

= 1, d. h. in den Punkten,

jenigen Punkten, für welche

welche auf der Geraden v = \u liegen, einen Winkel von 45° mit der U-Achse bilden. Die genannte Gerade schneidet somit sämtliche Parabeln, außer im Nullpunkte, in den Scheiteln derselben.

9) (3y — Ix -f- 7) dx -}- (7y — 3x-{-3)dy = 0-,

Lös.: (y — x -(- l)² (y -f- x — l)⁵ = C.

10) (x — 3y -f- 2) dx -j- (3x — y — 2) dy = 0.

du

CM

■v—

n--:

Lös.: Führt man den Schnittpunkt cc = 1, ß — 1 der Geraden x — 3y -f- 2 = 0 und 3x — ij — 2 = 0 als neuen Koordinatenanfangspunkt ein und setzt demgemäß x — n -j- 1, ij = v -j- 1, so erhält man die Differentialgleichung (u — 3v) du -f- (3u — v) dv = 0 und deren allgemeines Integral v — u=C(u + «)².

Man diskutiere die letztere Gleichung in ähnlicher M eise, wie es unter 26) geschehen.

Kehrt man wieder zum ursprünglichen Koordinatensystem zurück, so lautet die allgemeine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung : C (y -j- x — 2)² = y — x.

11) (ax -f- by -j- c) dx -f- [k [ax -J- by —(— c) —f— c‘] dy = 0.

Lös.: Da in diesem Falle die Geraden M = 0 und N = 0 parallel sind, so wähle man u = ax -(- by -f- c und v = bx — ay als neue Variable, wodurch man zu der Differentialgleichung

[(« -)- bk) u -[- bö‘] du -f- [(6 — alt) u — ac‘\ dv — 0 gelangt. Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung ist

(b — ak)

I [(ak — b)u-1- ac‘] -J- C.

a -f- bk V = ak — b U

Drückt man u. und v wieder durch x und y aus, so folgt

hx -“y=+ b'J+c) -c' yrécif ¹K“⁷' -

— b) (ax -f- by —|— c) —(— a&) -f- C.

In dem speziellen Falle a = b = c = 1, k = — 1, c‘ = 2 ergibt sich beispielsweise (u —-1) Cl = e~v oder (x -\-y)C' = — c-f*-»). Transformiert man noch auf die Geraden y = + x als neue Koordinatenachsen mit Hilfe der Formeln

so kommt

* = (§ + v) , y =—(I — v)

\ \ tf

Die durch die letztere Gleichung- darg-estellte Kurvenschar kann leicht konstruiert werden.

12)    (x — 2y -\- 9) dx — (3x — Qy -J- 19) dy = 0 ;

Lös.: 3y — x = 8l(x — 2y -f- 1) + C.

13)    xm (ay dx    bx dy) + yn (a'y dx -j- b‘x dy) = 0.

Lös.: Setzt man xm = u, yn — v, woraus m dy_dv

U -:

y v

g-leichung- in die folgende (au -f- a⁴v)

du

so verwandelt sieli die gegebene Differential-

du

mu

-J- (bu -f- b'v)

HS ! §

= 0,

als deren allgemeine Lösung man findet

ßv -(- aw

lu -j-

aß

bßl

— (bß — b'a) l

ßu

= c,

wo a für na -j- mb, ß für na⁴ + mb⁴ steht. Ersetzt man u, v, aß ß wieder durch ihre Werte, so kann das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung auf die Form gebracht werden

a! (na -f- mb) Ix -\-b (na⁴ -f- mb⁴) ly -f--f- (ab⁴ — a‘b) l [(na⁴ + mb⁴) yn -(- (na -f- mb) xm] = C.

14) x³ (2y dx — 3x dy) -f- yl (— 3y dx    2# dy) = 0.

Lös.: Durch Anwendung der in der vorhergehenden Auf-

gäbe angegebenen Substitution ergibt sich die allgemeine Lösung

Ix + &y — f Z (jy⁴ + %x³) = C.

15) Man bestimme diejenige Kurve, deren von x = 0 bis x = x gerechneter Flächeninhalt gegeben wird durch den Aus-

y³

u.

druck .

Lös.: Die in der Aufgabe ausgesprochene Eigenschaft'der

Gleichung 1) / y dx ,

V 0    x

woraus durch Differentiation 2) (x~ -|- y~) dx — 3xy dy = 0.

2

Das allgemeine Integral der Gleichung 2) ist 3) x² — 2y² — Cx? |//'x² —Gxß

Kurve liefert unmittelbar die

oder y

. Da der für y gefundene Ausdruck

für jeden beliebigen Wert von C der Gleichung 1) genügt, so kann die gefundene Kurve noch einer weiteren Bedingung unterworfen werden.

16) Aus einem durchsichtigen, das Licht einfach brechenden Körper soll ein Rotationskörper geschliffen werden, welcher Lichtstrahlen, die in der Richtung seiner Achse auffallen, nach einem Punkte bricht. Welche Form muß der Meridian dieses Körpers haben?

M".

vMääF----------vtf—

mmm

n> 1

Lös.: Wird der Einfallswinkel eines beliebigen, im Punkte P der gesuchten Kurve eintreffenden Lichtstrahles mit ß, der Ausfallswinkel mit ß‘ bezeichnet, so ist nach einem be-

Sohncke’s Aufgabensammlung. II.

Als allgemeines Integral dieser Differentialgleichung ergibt sich

]/ x² -f- y² -f- nx— C

oder bei Anwendung von Polarkoordinaten r

sin/S' _

sin ß n

man die Rotationsachse des Körpers zur X-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems. dessen Anfangspunkt der Vereinigungspunkt F der Lichtstrahlen sein möge und sind x, y die Koordinaten des Punktes P, so findet man

sin ß

kannten Gesetze der Physik

= Const. Wählt

dx

ds

dy

sin's'=-&

X + 'Jdx

und daher

dx

l4r²-f y²

sin

x-\-y

dy

dx

V*² + y

^ oder n ]/æ² -f- iß -f- x + y ^ = 0.

Gx

1 -j~ n cos (f

Der Meridian des verlangten Rotationskörpers ist demnach ein Kegelschnitt, und zwar eine Ellipse, wenn w <M, d. h. wenn das Licht von einem dünneren in ein dichteres

Medium übergeht, eine Hyperbel (der eine Zweig derselben), wenn n > 1, d. h. wenn das Licht von einem dichteren in ein dünneres Medium eintritt und eine Parabel, wenn n = 1. Der letztere Fall liefert insofern keine Lösung der gestellten Aufgabe, als für ß‘ = ß der Körper das Licht nicht bricht, sondern einfach durchläßt. Für die genannten Kegelschnitte ist der Koordinatenanfangspunkt ein Brennpunkt.

17) Welche Form muß der Meridian einer Rotationsfläche haben, welche, als Brennspiegel aufgefaßt, parallel zur Achse auffallende Lichtstrahlen in einen Punkt F der Achse zurückwirft?

Lös.: Wählt man die Achse der Rotationsfläche zur X-Achse und den Punkt F zum Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems, so findet man, daß die gesuchte Kurve der Differentialgleichung

Diese Gleichung repräsentiert eine Schar von Parabeln, welche den Nullpunkt zum gemeinsamen Brennpunkt haben. (Konfokale Parabeln.)

§ 9. Lineare Differentialgleichungen.

Einleitung. Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn in ihr die Funktion y und ihre Ableitungen y‘, y“ usw. nur in der ersten Potenz Vorkommen. Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung kann stets auf die Form

dx

dy +?y = Q

gebracht werden, wo P und Q Funktionen von x oder Konstante bedeuten. Ist in einer solchen Differentialgleichung das zweite Glied Q = 0, so ergibt sich unmittelbar als deren allgemeines

, wo C eine willkürliche Konstante be-

Integral y — Ce

zeichnet. Wenn dagegen Q von Null verschieden ist, so gelangt man durch eine der drei folgenden Methoden zum allgemeinen

y/

-'rfî

■kr

Łs

(M

IèlWo x èl _-,

\ dx f ‘ y dx

= 0 oder

dy

— X + fx* + y²

dx

genügen muß. Als allgemeines Integral derselben ergibt sich

Væ² -j- y² + x — C oçLer y² = 2(7 (a; + %C).

—fPdx

Integral.

a) Methode der Variation der Konstanten. (Vop

-SPäx

Lagrange.) Wird in dem allgemeinen Integral y — Ce

der

y) Methode des integrierenden Faktors. Multipliziert man die gegebene Differentialgleichung mit vdx, so kann v als Funktion von x so bestimmt werden, daß die linke Seite der Gleichung vdy -f- Pyvdx = Qvdx, deren rechte Seite ein vollständiges Differential ist, ebenfalls ein vollständiges Differential wird. Die Funktion v heißt dann ein integrierender Faktor der vorgelegten Differentialgleichung. Zur Bestimmung desselben liefert

die Integrabilitätsbedingung

dx'

. (Pyv) = -    (v) oder vP =

w    x

woraus sich v — rentialgleichung

ergibt. Das allgemeine Integral der Diffe-

fPdx

Macht man nun e so erkennt man, daß

— fPdx dC

dx

= Q. woraus C =

jQe

+fPdx

• dx —j- C|,

e~*ni

[fçe

+fPdx

• dx -f- C₁ j

y =

das allgemeine Integral der Differentialgleichung mit zweitem Gliede ist.

ß) Methode von Bernoulli. Das allgemeine Integral wird in der Form y = uv vorausgesetzt, wonach die Differentialgleichung ergibt

dv

du

= Q.

U\M + P,]j + V

Über die Variable v kann man so verfügen, daß wird; nachdem v aus dieser Differentialgleichung bestimmt ist, findet sich u aus der Differentialgleichung v ^ = Q.

dx

dv

dx

+ Pv = 0

dx

dx

68

Differentialgleichung ohne zweites Glied die Größe C nicht mehr als konstant, sondern als eine Funktion von x angesehen, so folgt

—fPdx

dy

dx

= —PCe

— ÇPdx dC

dx

oder

dy + Py =

- fpdx dC e '

(dy -j- Pydx) — e'* P° Qdx wird hierauf auf bekannte Weise erhalten. (Vgl. 1).)

Das allgemeine Integral der Differentialgleichung dy + Py=_Q

dx

erscheint stets unter der Form

—j'Pdx

Qe

fPdx

■ dx Ce

-fPdx

= Vi + Cy2,

t'l

wo y» das Integral der Differentialgleichung ohne zweites Glied bezeichnet. Hieraus ergibt sich eine einfache Konstruktion der das allgemeine Integral repräsentierenden Kurvenschar. Denkt man sich nämlich die Kurven y = yx und y =y₂ konstruiert und sind yx und y₂ die der Abszisse x entsprechenden Ordinaten dieser Kurven, so findet man die zu derselben x4bszisse gehörige Ordinate der Kurve y = yx-\- Cy₂, indem man zur Ordinate yx das O-fache der Ordinate y₂ hinzufügt. Jeder spezielle Wert von C liefert eine spezielle Kurve der Schar. Aus dieser Entstehungsweise der Kurvenschar folgt leicht die weitere Eigenschaft, daß die Tangenten an sämtliche Kurven der Schar sich in einem und demselben Punkte schneiden, sofern ihre Berührungspunkte in einer Parallelen zur F-Achse liegen.

Die nachfolgenden Aufgaben mögen zur Übung nach jeder der drei soeben angegebenen Methoden und, wo es sich tun läßt, auch dadurch gelöst werden, daß man ein partikuläres Integral der Differentialgleichung mit zweitem Gliede zu erraten sucht und zu demselben das allgemeine Integral der entsprechenden Differentialgleichung ohne zweites Glied hinzufügt.

-s*

Beispiele.

»i

2y =(x +1)³.

x-\-l

Lös.: 1) Methode von Bernoulli. Substituiert man y — uv, so geht die gegebene Differentialgleichung über in

dv

(du V\dx

Über die Funktionen u und v kann nun so verfügt werden, daß

x -f-1

dx

— (x -f l)³.

du

dx

x -f- 1

= 0 und u

dv

dx

= (* + l)³

wird. Das Integral der ersteren dieser Differentialgleichungen

70

ist ^ lu = l (x -f-1) oder u = (x -f- 1) • Setzt man diesen Wert für u in die zweite Differentialgleichung ein, so er-clv

hält man (x -(- l)'² ^ = (x -j- l)³ oder dv = (x -f-1) dx und hieraus v = ^{x Ą-1)²-\-C. Demnach wird schließlich

y = UV = (X + l)² Tł (x + l)² + C\.

2) Variation der Konstanten. Das allgemeine Integral der Differentialgleichung ohne zweites Glied

= 0 lautet : £ ly = IC (x -j- 1) oder y = C(x-\-1)².

dy 2 y dx x -j- Ï

Betrachtet man in dieser Gleichung die Größe C als Funktion von x, so ergibt sich

dy

dx

= 2 ü (* + !) +

dC

dx

(x -j- i)².

Wenn man die für y und

^ gefundenen Werte in die ge-

dx

gebene Differentialgleichung einsetzt

r/n

2C(* + l) + ^(tf + l)²

so erkennt man, daß derselben nur dann Genüge geleistet wird, wenn

20 (x -j- l)2 x-j-1

= (x-\- l)³,

dC

dC

dx

, = x 4-1. Dem-dx

nach muß C =

(x -f- l)² = (x -f-1)⁸ oder J (x -f- 1) dx = \(x -\- l)² -f- C₁ sein. Hier-

nach wird

y — {x +1)² [I ix H⁻1)² + @i]-

_3). Anwendung eines integrierenden Faktors.

Multipliziert man die gegebene Differentialgleichung mit vdx

vdy —

LC

dx = v{x-j- l)³ dx,

x -f-1

so läßt sich v als Funktion von x so bestimmen, daß die linke Seite dieser Differentialgleichung ein vollständiges Differential wird. Zur Berechnung der Funktion v ergibt

die Integrabilitätsbedingung P (v) = — ^

()x    w \x \ d

2v

x -\- 1

ferentialgleichun g

oder

dv

tsS

2 dx

die Dif-

x 4- 1'

Dém

nach wird lv = — 21 (x -j- 1) und v

diesen Wert in die obige Gleichung ein und wendet zur Integration der linken Seite entweder die in Teil II, Abt. 1, Kap. V angegebene Formel oder die Methode der teilweisen Integration an, so folgt

(z + 1)²

• Setzt man

(æ + l )²

i(* + i)² + c

und hieraus, wie oben

y — («+l)² [i ix + l)² + C].

4) Durch Erraten. Da die gegebene Differential-y gleichung die Variable x explicite nur in der Verbindung (x-\-l) enthält, so kann man versuchen, ob in dem Ausdruck y — A(x-f- l)w sich die Konstanten A und m so bestimmen lassen, daß derselbe der Differentialgleichung genügt. Aus y = A[x Ą-1)“ ergibt sich ^ = mA(x-f-1)"*-¹.

Setzt man diese Werte in die vorgelegte Differentialgleichung ein, so geht diese über in

A (x-f- l)m

~ ir+i

mA (x -j- 1)

(x -f- l)³.

Hieraus erkennt man, daß dieselbe befriedigt wird, wenn man hat mA — 2A = 1 und m — 1 = 3. Hieraus folgt m = 4, A — \. Es ist somit y = \ (x -f l)⁴ ein partikuläres Integral der vorgelegten Differentialgleichung. Fügt man zu demselben noch das allgemeine Integral y = C (x -J- 1)2 der Differentialgleichung ohne zweites Glied hinzu, so findet sich als allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung

₉ dy _ y dx y'l + x²

y = (x+lf[^{x+iy--\-C].

X -f- f l -j- x-o :    :

ii-x*

3)

Lös.: y = (x -f- ] 1 -f- x-) (a arcsin x -f- G).

dy - ay    b T ..

dx+ l+x²~ l + x*‘: L0S': y~'

a a-

j (Jß— a arctan g

4)

dy

dx

— aij cos x = b sin 2x ;

tc

Cjx

Lös.: y = Ceasinx— ^ jsin x -j-    )•

-\-    = 2; Lösx(y — x) = C.

6) ^ = xy -j- ax -j- by -j- ab ; Lös.: y = Ce*{x + W — a.

Q/M

Da ~- = (x-\- b) (y    a) ist, so können die Variablen ge

trennt werden.

-J- my = n ; Lös.: y= -j- Cer- mx.

5)

dy

dy

dx

9)

10)

H)

Sä

+ ay = b₀ -f \x -f hx²-,

a²b₀ — ab₁ -\-2&₂

Lös.: y =

a³

'+

abx — 2h

- xĄ-

-j- cty = bemx ; Lös.: y —

+ b- x² 4- Ce- ax. a

-j- Ce- ax.

i e

m -f- a

mx

-f- ay = b sin mx ;

Lös.: y =

— ay = x^\

bm

a² -f- m²

cos mx -j-

ab

a² -f- m²

sin mx -f- Ce~ax.

Lös.: y = Ceax —

Ix⁴ . 4æ³ .    . _. x , 24\

U + -a=+¹²₍?+²L‘+«d-

cos x -f- y sin x — x cos x + sin x ;

Lös.: y — \x² + C cos x.

Man diskutiere die allgemeine Lösung und konstruiere einzelne Repräsentanten der dieselbe geometrisch darstellenden Kurvenscliar.

fr

~i

'€

TT

________

13) tanga;-

dx

------y = \x (2 tang’ x — a;) ;

Lös.: y = {x² -f- G sin x.

14) 2x~~ — y — \x²\ Lös.: y = \x² -|- G ÿ#.

">ä.

8 ! f f / /

//y

Setzt man y = y₁-Ą-Cy₂, y₁ = \x², y₂ = 'fx, so kann man

die Kurven, auf welche das allgemeine Intégral führt, mittels zweier Parabeln leicht konstruieren.

15)    (1 + x²) ^ + V = arctang x.

Lös.: y = Ce~ arctang * _|_ arctang x — 1.

+ Cy 1 — z².

16)    (1 — x²)    -j- xy — a ; Lös.: y — ax

N,\

=T

!•

C,a>

Die Kurven der Schar, welche die allgemeine Lösung repräsentiert, sind für reelle Werte der Konstanten G Ellipsen und für imaginäre Werte von C Hyperbeln. Unter den Kurven befinden sich die Geraden y = ax, x =. + 1. Die Gerade y = ax ist ein allen Kurven gemeinsamer Durchmesser; die Gerade æ = + l wird im Punkte (1, a) und die Gerade x = — 1 im Punkte (— 1, — a) von sämtlichen Kurven der Schar berührt. Wenn man die gegebene Differentialgleichung in der Form

Mdx -f- Ndy = 0

schreibt, so haben die beiden ausgezeichneten Punkte (1, a), (— 1, — a) die Eigenschaft, daß für dieselben sowohl M = 0, als auch N=0 wird.

dy

-(-Pyp+l — Qy*. (Gleichung von Bernoulli).

Hierin bedeuten P und Q gegebene Funktionen von x, und p und ą beliebige positive oder negative, ganze oder gebrochene, konstante Zahlen mit Einschluß der Null.

Lös.: Nimmt man mit der gegebenen Differentialgleichung

rlu

der Reihe nach folgende Umformungen vor: ^ + Py — Qyn, wo

17) yp

dx

n = q —p,

dy

---- 4-

dx yn

yn~l

1_ d l 1 \ P — 1 dx \yn~l)

dx \yn~

und setzt nun — tialgleichung

= (n — 1) Q ~ gleich z, so gelangt man zu der Differen-

yn 1

r~

dz

dx~^n~ ^F* = (n — 1) Q>

welche in bezug auf s linear ist.

18) Aufg. Nach der in der vorhergehenden Nummer angegebenen Vorschrift löse man die Gleichungen:

-f- a sinx-y = by² sin'«; Lös.: y =

«)

dy

dx

aeacosx be⁹⁰™* — aC

2 J ’

y* =(*+ ir^^+l)²^^]. ï) % + x =ayHX'i LÖS-: y =z[C-

ß)

dy

dx ¹ x + 1

Lös.:

a (Ixfl

19) Aufg. Es sollen alle Kurven von der Eigenschaft bestimmt werden, daß sich in jedem ihrer Punkte der Subtangente zur Ordinate verhält, wie eine Linie von gegebener Länge a zu der um die Abszisse verminderten Ordinate.

Lös.: Für die gesuchten Kurven soll die Proportion

= a:y — x

dx

•>

bestehen, aus welcher die Differentialgleichung

S M-

dy

dx

folgt, deren allgemeines Integral lautet: y — x-\-aCea.

Transformiert man noch zu schiefwinkligen Achsen, indem man die Y-Achse beibehält und die Gerade y — x — a — 0 zur X-Achse wählt, so erhält man als Gleichung der gesuchten

A'

Kurvenschar Y=Ceaf².

20) Aufg. Man bestimme alle ebenen Kurven von der Eigenschaft, daß in jedem Punkte derselben die Projektion der Normale auf den Leitstrahl die konstante Länge Je hat. Die Normale werde hierbei vom Kurvenpunkte P bis zum Durchschnitt mit einer gegebenen Geraden MN und der Leitstrahl von einem festen Punkte 0 bis zum Kurvenpunkte gezählt. (Nouvelles Annales de Math, de Gerono et J. Bourget. Bd. XIII, 2me Série, pag. 483).

i.

wy

Lös.: Wählt man die durch 0 gehende Parallele zur gegebenen Geraden MN als Achse eines Polarkoordinatensystems, ist ferner PQ die Normale in dem angegebenen Sinne, a die Entfernung des Pôles von der gegebenen Geraden und & der Winkel, den die Tangente an die gesuchte Kurve im Punkte P mit dem Leitstrahl einschließt, so besteht die Relation 1) PQ sin -9- — Je.

Bezeichnet man die Koordinaten des Punktes P mit r und p, so wird

PQ =

r sin (f — a

r sin p — a

rdp

dr

dp

cos (f — sin p r ^

’ Sin9= ds

und die Gleichung 1) geht über in r sin p — a

rdp

l-

cos (f

sin cp r

dp cts

= Je oder

ds

dr Je sin cp — a dp Je cos cp

2)

sin cf Je COS (f

Diese Differentialgleichung ist in bezug auf die Funktion r von der unter 17) behandelten Form. Dividiert man durch r-

und setzt ^ = s, so verwandelt sie sich in die lineare Differen-r

tialgleichung

Je sin cp — a ^ k ç,o$ cp

Wenn man zur Integration der Gleichung 3) die Bernoulli -sche Methode anwendet und demgemäß s = uv setzt, so ergeben sich zur Bestimmung von u und v die Differentialgleichungen sin cp cos cp

3)

ds

dp

dep

sin cp Je cos cp

Das Integral der ersteren dieser Gleichungen ist

COS Cp

1 sin cp

v Je cos cp

dcp.

CH

Iv = l cos cp -j- l tang {\?t -f- \p)-

Demnach wird v = [tang {{ti -)- ±p)]k ■ cos cp,

du = —

sin cp dp

u== —

Je cos² cp [tang (fa -f- \p)]k sin cp dcp

cos² p [tang (\tt -[- \p)\k

Die Ausführung dieser letzteren Quadratur wird wesentlich erleichtert durch die Substitutionen

tang (\it + {cp) = t, cos cp = wodurch man erhält

2t

1 + ć²

— sin cp dcp = 2 ,

-t²

(1 + *²)²

U~2Jc Da nun

t k]dt = { C —

(t+0

a -j- Je

_ 2tk+1

V-ï+t*’ *

so ergibt sich schließlich, indem man wieder zu den ursprünglichen Koordinaten zurückkehrt, für die gesuchte Kurvenschar die Gleichung

1 _Je-\- a sin cp

a² — Je²

+ C [tang {{7t-\-{cp) J

i+'

cos² {{7t + {cp).

Spezialfälle. 1) (7 = 0 ergibt r

le²

Je -j- a sin cp

• Die Kurve

ist somit eine Ellipse, wenn a << Je, eine Hyperbel, wenn a > Je ist.

n

2)    a 0, Je — 0, (7 = 0 liefert r = —- ^ oder r sin cp = a.

Es ist dies die Gleichung der gegebenen Geraden MN. In diesem Falle ist die Normale gleich Null.

3)    (7=0, a = 0, Je 0 ergibt r = — Je-, es ist dies der Kreis vom Radius Je.

4)    Der Fall Je —a, in welchem die gefundene Gleichung ihre Gültigkeit verliert, erfordert eine besondere Behandlung. Geht man auf die Differentialgleichungen für u und v zurück, so findet sich

= 2Je S^    dt = 2Jc t ß ² d H“

und daher

[Ct² — { — t²lt\ =

Je (1 +1²)

|[(7 — J tang {{7t + {cp)] sin² {{it -\r{cp)—{

cos²

Dieser Gleichung entspricht eine transzendente Kurve,

§ 10. Trajek tor i en.

Einleitung. Eine Kurve, welche sämtliche Kurven einer gegebenen Kurvenschar unter demselben Winkel schneidet, heißt eine isogonale Trajektorie der letzteren.

Denkt man sich = tang a aus der Differentialgleichung

der gegebenen Kurvenschar bestimmt (als Funktion von x, y) so

daß etwa ^ = cp (x, y) und ist ß der Winkel, den die Trajek-

torien mit den Kurven der gegebenen Schar bilden sollen, so lautet die Differentialgleichung der gesuchten Trajektorienschar dy _ (f (x, y) -j- tang ß _ dx 1 — tang ß ■ ff (x, y)

dy

dx

ff (%, y)

Die Differentialgleichung einer Kurvenschar, welche durch die Gleichung f(x,y,a) = 0 gegeben ist, wird erhalten durch Elimination des variablen Parameters a aus den Gleichungen

Für ß = 90° ergibt sich als Differentialgleichung der orthogonalen Trajektorien

f (x, y ; a) — 0 und

^ dx dy = 0.

Beispiele.

1) Aufg. Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der Lemniskatenschar

(x² -f y-)- = a-(x² — y²), wo a einen variablen Parameter bezeichnet.

Lös.: Die Differentialgleichung' der gegebenen Kurvenschar

lautet :

dy

x 3 y²— x2 dx y 3x² — y²

Hiernach ergibt sich für die Trajektorienschar die homogene Differentialgleichung :

dx

x 3 y² — x2 dy y 3x²— y'v

deren allgemeines Integral {x² -j- y²)² = Cxy ist.

In Polarkoordinaten lautet die Gleichung der gegebenen Kur-venschar: r² = a cos 2(f und die Gleichung der Trajektorien : r² — C₁ sin 2(p. Hieraus erkennt man, daß die gesuchten Kurven wieder Lemniskaten sind, deren Achsen jedoch um 45° gegen die Achsen der gegebenen Lenmiskaten gedreht erscheinen.

2) Aufg. Es soll eine Kurvenscliar bestimmt werden, welche sämtliche Kurven der Schar y — axn so schneidet, daß in jedem Durchschnittspunkt einer gegebenen Kurve mit einer Trajektorie die Tangenten an diese Kurven s3^mmetrisch zu der betreffenden Ordinate liegen.

Lös.: Differentialgleichung der gegebenen Kurvenschar:

'SS

dy    y

Differentialgleichung der Trajektorien:    = — n | •

Gleichung der Trajektorienschar: xny — C.

Für n = 1 ist die gegebene Kurvenschar das Strahlenbüschel y = ax, und die Trajektorien sind die gleichseitigen Hy-. perbeln xy=C.

3) Aufg. Man bestimme die orthogonalen Trajektorien einer Schar von kongruenten Parabeln, welche in ihren Scheiteln eine gegebene Gerade berühren.

Lös.: Wird die gegebene Gerade zur Y-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems gewählt und bezeichnet a einen variablen Parameter, so lautet die Gleichung der gegebenen Kurvenschar (y — a)² = 2px, die entsprechende Differential-

gleichung p ^ | = 2x, die Differentialgleichung der Trajektorien

~i /Qoc

= 2x oder = +

C10C

|/ — und das allgemeine Integral dieser

letzteren (y — C)² = ^— xs.

Die verlangten Trajektorien sind somit Neilsche Parabeln.

4) Aufg. Es sollen die Kurven gefunden werden, welche die Parahelschar

y² = 2p(x — a),

wo a einen variablen Parameter bezeichnet, unter dem Winkel ß schneiden.

■y

AZ

600

GO

ci

.»F ■' '*J/

ß = 90°

Lös.: Differentialgleichung

der

gegebenen Kurvenschar

dy

dx ’

Differentialgleichung der Trajektorien :

Sohneke’s Aufgabensammlung. II.

Integral der letzteren Gleichung:

x-\- C= cotang ß ■ y — gJ₂ - l (y tang ß -\-p).

sin² ß

dy

+tang ß

dx

tang ß

P + y tang ß y — p tang ß

Wählt man noch mit Beibehaltung der X-Achse die Gerade x = cotang ß • y zur Y-Achse eines schiefwinkligen Koordinatensystems und setzt zu diesem Zwecke x = £ + V cos y — V sin ß, so ergibt sich für die verlangten Kurven die Gleichung cos ß

^ sin² ß C

Diese Kurven können unter Zuhilfenahme der auf rechtwinklige Koordinaten bezogenen logarithmischen Linie y — e? leicht konstruiert werden.

Für ß = 90° tritt an die Stelle der Differentialgleichung

. dy ₌

dx p

dv ₌P Ą-y tB,ng ß dx y — p tang ß

(*+c9

e p

die folgende

- , aus welcher sich

als Gleichung der orthogonalen Trajektorien der

y =

gegebenen Kurvenschar ergibt.

5) Aufg. Es sollen die beiden Kurvenscharen bestimmt werden, welche die Parabelschar

x² = 2a (y — x ]/lT)

unter dem Winkel ß = + 60° schneiden.

7/

7-A

-JF

Lös.: 1) ß = -J- 60°. Differentialgleichung der gegebenen Kurvenschar:

2y — xi 3

dx

, Differentialgleichung der Trajek-

torien :

. dy

rte

allgemeines Integral der letzteren ho

2x — y ]/ 3

mogenen Differentialgleichung : y² — C (x — y~j 3 ).

Diese Gleichung läßt erkennen, daß die verlangten Trajek-torien eine Parabelschar bilden, welche durch Spiegelung der gegebenen Kurvenschar in bezug auf die Geraden y = + x entstanden gedacht werden kann. Die Achsen dieser Parabeln sind

X

der X-Achse parallel; die Gerade y =

ist eine sämtlichen

Parabeln im Koordinatenanfangspunkte gemeinsame Tangente. Der geometrische Ort der Scheitel der Parabeln ist die Gerade y — y 3 x.

2) ß =

60°. Differentialgleichung der Trajektorien:

dy _y — x / 3

y]/ 3 — x ’

dx

Integral derselben : y 3 (x² -f- y²) — 2xy = C.

In diesem Falle bestehen demnach die Trajektorien aus einer Schar von ähnlichen und ähnlich gelegenen Ellipsen, deren gemeinschaftlicher Mittelpunkt der Koordinatenanfangspunkt ist. Die Achsen der Ellipsen verhalten sich zueinander, wie (y 3 -j— 1) : y 2 und sind um 45° gegen die Koordinatenachsen gedreht. In allen Ellipsenpunkten, welche auf der Geraden y = xi 3 liegen, sind die Tangenten der X-Achse und in allen

^ x liegen, der F-Achse

denjenigen, welche auf der Geraden y =

ys

parallel.

6) Aufg. Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der Kreisschar

x² -f- y² — 2ay = 0.

Lös.: Differentialgleichung der gegebenen Kreisschar:

dy

2 xy

dx x² — y²'

Differentialgleichung der Trajektorien :

dx 2 xy

dy    x² — y²

Das allgemeine Integral dieser letzteren homogenen Differentialgleichung lautet: x² -f- y² — Cx — 0.

7) Aufg. Der Mittelpunkt eines Kreises vom konstanten Radius r bewegt sich auf der X-Achse fort. Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der auf diese Weise entstehenden Kreisschar.

-o

-Z-

Lös.: Bezeichnet man mit a die Abszisse des beweglichen Kreismittelpunktes, so lautet die Gleichung der gegebenen Kreisschar :

(x — a)² -f- y² — r².

Hieraus ergibt sich als Differentialgleichung dieser Kreisschar ( dx ) y2 = r2 un^ sonach al>s Differentialgleichung der ortho-

gonalen Trajektorien y ^ÿj + 2/²

= r² oder

dy

]/r² — y²

Das allgemeine Integral der letzteren Differentialgleichung ist

+ x = Vr² — iß -f- rl-4- C,

~    r + ir² — y* ¹

und es sind daher die gesuchten Trajektorien kongruente Huy-genssche Traktorien, welche sämtlich aus einer einzigen derselben durch Verschiebung in der Richtung der X-Achse entstehen. (Vgl. Bd. I, S. 211.)

8) Aufg. Es sollen die Kurven gefunden werden, welche die Kurvenschar

y = axn,

wobei a einen variablen Parameter und n eine gegebene konstante Zahl bedeutet, unter dem konstanten Winkel ß schneiden.

|T

n = i, ß — 60°

Lös.: Die Differentialgleichung der gegebenen Kurvenschar

Wird tang ß = m gesetzt, so findet man für

lautet: ^~- = n dx

die Trajektorien die homogene Differentialgleichung

(mx -f- ny) dx — (x — mny) dy.

Spezialfälle. 1) Für n — 1 ist die gegebene Kurvenschar ein Strahlenbüschel. Die Differentialgleichung der Trajektorien wird (mx -j- y) dx -f- (my — x) dy = 0, das allgemeine Integral derselben

V

arctang -f- G.

x² — y² =

Es sind somit die Trajektorien logarithmische Spiralen, wie man beim Übergang zu Polarkoordinaten sofort erkennt. Wird in der letztem Gleichung m = oo gesetzt, so folgt x- -f- y* — O ; daher sind die orthogonalen Trajektorien des gegebenen Strahlenbüschels, wie vorauszusehen war, konzentrische Kreise.

\\

n = — 1, ß= 60».

2) » = — 1. Die vorgelegten Kurven sind gleichseitige, auf ihre Asymptoten bezogene Hyperbeln. Differentialgleichung der Trajektorien :

(mx — y)dx — (my -j- x)dy = 0,

Integral derselben:

m (x'² — y²) — 2xy = C.

Die verlangten Trajektorien sind hiernach wieder gleichseitige Hyperbeln.

3) Für den Fall der orthogonalen Trajektorien, m = oo, ergibt sich die Differentialgleichung nydy — — xdx, als deren Integral man unmittelbar findet x² -J- ny² = C.

Die orthogonalen Trajektorien sind daher ähnliche und ähnlich gelegene Ellipsen oder Hyperbeln, je nachdem n positiv oder negativ ist.

9) Aufg. Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der Kurvenschar

rm — C sin nuf.

Lös.: Differentialgleichung der gegebenen Kurven:

dr

— = cotang ni(f • dtp,

Differentialgleichung' der Trajektorien :

= — taug nup • dtp,

Integral der letzteren Differentialgleichung: rm = C cos mcp. Hieraus ersieht man, daß die Trajektorien durch eine Drehung

7t

um den Winkel übergehen in die gegebenen Kurven. Welche

Kurven werden durch die gegebene Gleichung .dargestellt, wenn man m die Werte —1, +1, Ą-2, —2, —^ usw. beilegt?

« c cs_

OT = — 1

FF

~\

Figur zum Fall m = +1 ist identisch mit der Figur zu Aufgabe 61, pag. 202. '

Figur zum Fall m = + 2 ist identisch mit der Figur zu Aufgabe 56, pag. 199.

10) Aufg. Es sollen die orthogonalen Trajektorien der Schar von ähnlichen und ähnlich gelegenen Ellipsen

y² = l² (a² — X²),

wo a einen variablen Parameter bezeichnet, gefunden werden.

C=o

ff

l =V2

Lös.: Differentialgleichung der gegebenen Kurven:

//

dy _ _ . ₂ s dx

Differentialgleichung der Trajektorien :

dy

= A² ^

Integral der letzteren Gleichung : yl<l = Gr.

Welche Kurven ergeben sich hieraus für 1 = )' 2 , ]/f, 1 usw.?

11) Aufg. Man bestimme die orthogonalen Trajektorien der Schar von konfokalen Kegelschnitten

i

1L

<2T

« +1 a

y²

= 1.

wo a einen variablen Parameter bedeutet.

Lös.: Die Differentialgleichung der gegebenen Kurvenschar

lautet: [x — y~^ (x-\-y

de

^ j = 1. Für die Trajektorien findet

man genau dieselbe Differentialgleichung, woraus hervorgeht, daß die gesuchten Trajektorien mit den gegebenen Kurven identisch sind, so jedoch, daß zu den konfokalen Ellipsen konfokale Hyperbeln als Trajektorien gehören und umgekehrt.

12) Aufg. Man sucht für die Parabelschar

y² = 2px,

wo p einen variablen Parameter bezeichnet, die Trajektorien von der Eigenschaft, daß in jedem Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer Kurve der gegebenen Schar die Subnormale der ersteren das n fache der Subtangente der letzteren sei.

-dr

-2o

cd

n = 2

y²

G 2nC '    ¹

Lös.: Die verlangten Trajektorien genügen der Differential-clv

gleichung 2nx = y    deren allgemeines Integral

ist. Sie bestehen daher, welche reellen Werte man auch der Konstanten G beilegen möge, aus einer Schar von ähnlichen und ähnlich gelegenen Hyperbeln.

13) Aufg. Es soll die Horizontalprojektion (auf die AT-Ebene) derjenigen Kurven bestimmt werden, welche sämtliche Meridiane einer gegebenen Kotationsoberfläche unter dem gegebenen Winkel a schneiden. (Nouvelles Annales de Math., Bd. XIII, 2me Série.)

Lös.: Wird die Rotationsachse der gegebenen Oberfläche zur Z-Achse gewählt, so erscheint die Gleichung der gegebenen Fläche unter der Form z — f (r), wo r = ]/æ² Ą-y*.

p’

Sei P ein Punkt eines Meridians, PT die Tangente an den Meridian, PT₁ diejenige an die Trajektorie. Wird von 1\ noch ein Lot T±T auf PT gefällt, so entsteht ein Dreieck PTT₁, dessen Projektion auf die XF-Ebene P¹TTp sei. PT projiziert sich im Radius vector OP\ PT₁ in der Tangente P‘ Tx‘ der ge-

suchten Kurve. Somit ist tang T‘P‘Tx‘ = tang & — ^

TT₁_TT₁‘ PT ~~ W

rdcp

—anderer

TTX*

pi r£, j

tang a =

und daher

seits ist auch tang Ö =

PT

Infolge der Gleichung z — f (r) wird

tang d = tang a • nun PT = P‘T‘    -f- [f‘ (r)]², mithin

tang d- —    = tang a /I -f- [f (r)]² oder

1.ï+VWdr.

P‘T⁷'

d(f = tang a •

d(p

S p'e z i a 1 f ä 11 e. 1) Für a = 90° wird r

^ =0, r = Const. Die Trajektorien sind daher Parallelkreise.

2)    a = 0° ergibt dy = 0, (p = Const. In diesem Falle findet man selbstverständlich die Meridiane der gegebenen Fläche wieder.

3)    Wenn der Meridian eine Gerade, die gegebene Fläche also ein Rotationskegel ist, so wird f (r) = Const. = a und daher

= co oder

rd(p

wo Ti für tanga j/1 a² steht, r=Cek. Die Horizontalprojektion der Trajektorien besteht sonach ans einer Schar von loga-rithmischen Spiralen. (Vgl. Bd. I, pag. 216.)

|f

d(f — tang a . ]/1 -|-a²

, cp = tang cc ]/1 + a² Z

4) Ist die gegebene Fläche die Kugel vom Radius R:

z = ^R² — r², so wird

d£ = R tang a

rfR² — r²’ ^ r = 2R

(Vgl. Teil H, Abt. 1, pag. 172.)

tang a l

0 ß<p cotang «

R + 1 R- — r²

rC

§ 11. Singuläre Lösungen.

Einleitung. Wenn man in dem allgemeinen Integrale f (x, y ; C) = 0 einer gegebenen Differentialgleichung erster Ordnung der willkürlichen Konstanten C einen bestimmten Wert beilegt, so geht dasselbe über in ein partikuläres Integral dieser Differentialgleichung. Ein solches partikuläres Integral enthält demnach keine willkürliche Konstante mehr. Ein Integral der gegebenen Differentialgleichung, welches, ohne ein partikuläres Integral zu sein, keine willkürliche Konstante enthält, heißt eine singuläre Lösung derselben, es kann also nicht aus dem allgemeinen Integral gewonnen werden durch spezielle Wahl von C.

Das allgemeine Integral einer Differentialgleichung wird geometrisch dargestellt durch eine Kurvenschar. Während jedem partikulären Integrale eine besondere Kurve der Schar entspricht, so stimmt dagegen die singuläre Lösung im allgemeinen überein mit der Enveloppe der Kurvenschar. Die singuläre Lösung einer gegebenen Differentialgleichung kann daher, wenn das allgemeine Integral der letzteren bekannt ist, bestimmt werden, wie Bd. I, pag. 279 angegeben.

Ohne Zuhilfenahme der allgemeinen Lösung kann die singuläre Lösung aus der gegebenen Differentialgleichung

dy

f(x,y;p) = 0, wo ^

man die Größe p aus den Gleichungen f (x, y • p) = 0 und

= 0 eliminiert. Zur Existenz einer singulären Lösung

ist erforderlich, daß die gegebene Differentialgleichung/¹^,?/; p) = 0, deren linke Seite als ganze rationale Funktion in bezug auf x, y> P gedacht wird, hinsichtlich p wenigstens vom zweiten Grade sei.

Anm. Zur Bestimmung der singulären Lösung kann auch jedes andere Verfahren angewendet werden, welches dazu dient, die mehrfachen Wurzeln einer gegebenen Gleichung aufzufinden. Hierbei muß jedoch in jedem einzelnen Falle geprüft werden, ob die erhaltene Bedingung, unter welcher die Gleichung f(%,y;p) = 0 in bezug auf p eine Doppelwurzel besitzt, überhaupt eine Lösung der Differentialgleichung ergibt.

Es ist eine nützliche Übung, die nachfolgenden Aufgaben nach jeder der soeben erwähnten Methoden zu behandeln.

= p gesetzt wurde, erhalten werden, indem

ftf    y ; p )

ftp

Beispiele.

1) A uf g. Es ist gegeben die Differentialgleichung

2$-

dx

und deren allgemeines Integral

2) Æ+ ~a

JL —J— (X    -(X

tH

= 1.

Ix

-zF

är-i

Man bestimme die Enveloppe von 2) und die singuläre Lösung von 1).

Lös.: Bestimmung der Enveloppe von 2). Die Differentiation der Gleichung 2) in bezug auf a ergibt

X²

(l-«)ł

Hieraus folgen die beiden Werte

(1 + a)²

, y , x — 0 oder    •

1 — a — 1 -f a

und a —

■ x+l.

x — y'

Eliminiert man mit Hilfe derselben die Größe a aus der Gleichung

2), so findet man für die Enveloppe die beiden Gleichungen (x -f- y)² = 2, (x — y)- = 2, welche sich in die weiteren Zerfällen lassen

y — 12 = o,

x -f- y — V 2 = 0, x -j- y -J- y 2 = 0, x x — y -fi 2 = 0.

Die Enveloppe besteht daher aus vier zu den Koordinatenachsen symmetrischen Geraden.

Bestimmung dersingulärenLösung vonl). 1) Setzt

man

dy

dx

= p und schreibt die Gleichung 1) in der Form

2)p — xy (1 -f⁻^²) = 0, differentiiert diese Gleichung

(x² + y'

in bezug auf j?, wodurch man erhält (x² Ą-y² — 2) — 2xyp — Q und eliminiert hierauf aus dieser letzteren und der Gleichung

1) die Größe p, so ergibt sich für die singuläre Lösung

21

x² + y² — 2

x² -j- y² —*

² — xy l-(-|

0 == (x² -f- y² — 2)² —4x²y² = {x² -]-y² — 2 + 2xy) (x² -(- y² — 2 — — 2xy) = [(x + y)² — 2] [{x — y)² — 2J =

= {x + y 2) {x Ą- y — ft ) {x — y -ff 2) [x — y — ^ 2). Demnach ist die singuläre Lösung von 1) identisch mit der bereits gefundenen Enveloppe der Kurvenschar 2).

2) Aus der Gleichung 1) findet sich unmittelbar

_x² -f y² — 2 + ]/(x² -j- y² — 2)2 P    2xy

(x² + y² — 2)

2 xy

2 xy

4 x²y²

— 0 oder

Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Existenz einer singulären Lösung ist die, daß die beiden für p gefundenen Werte einander gleich seien. Demnach muß (;x²-\-y²— 2)² — 4æ²2/² = 0 sein. Dieser Gleichung kann dadurch genügt werden, daß man der Reihe nach jeden der vier Faktoren, in welche sich die linke Seite derselben zerfallen läßt, gleich Null setzt. Da die so gewonnenen Gleichungen x + y + y 2 = 0, x — y + ^2 = 0 die gegebene Differentialgleichung 1) befriedigen, so stellen sie, in Übereinstimmung mit dem oben gefundenen Resultate, die singuläre Lösung derselben dar.

2) Aufg. Eine Kurve ist so beschaffen, daß die Lote, welche von einem festen Punkte (a, b) auf die Tangenten derselben gefällt werden, die konstante Länge r haben. Es soll die Gleichung der Kurve gefunden werden. (Euler: Exposition de quelques paradoxes du calcul intégral. Sammlungen der Berliner Akademie der Wissenschaften vom Jahr 1756.)

0-

= p gesetzt, so lautet

dx

Lös.: Bezeichnet man die laufenden Koordinaten der Tangente an die gesuchte Kurve mit £, rj, die Koordinaten des Berührungspunktes mit x, y und wird ^

• Man hat daher für die Bestimmung der ge-

die Gleichung der Tangente rj — y = p(Ç— x). Das vom Punkte (a, b) auf diese Tangente gefällte Lot hat die Länge b — y — p (a — x)

Vl +P²

suchten Kurve die Differentialgleichung

p(x — a) — (y — b) ₌ ^

y f + p²

Die allgemeine Lösung derselben ist y — b — C (x — a)— r]l -(- C². Für die singuläre Lösung findet man (x — a)² -f- (y — b)² = r-.

Während die singuläre Lösung den Kreis vom Radius r um den Mittelpunkt (a, b) als Lösung der vorgelegten Aufgabe er

gibt, so stellt dagegen die allgemeine Lösung die Gesamtheit der Tangenten dieses Kreises dar.

3) Aufg. Man bestimme eine Kurve, für welche die zwischen der Tangente und den beiden Koordinatenachsen enthaltene Fläche den konstanten Inhalt \a² habe.

tH

-,

■ f.i

-et—

Lös.: Differentialgleichung der gesuchten Kurve:

«²,

singuläre Lösung dieser Differentialgleichung : xy — \a².

Die verlangte Kurve ist mithin eine auf ihre Asymptoten bezogene gleichseitige Hyperbel.

4) Aufg. Man bestimme die singuläre Lösung der Differentialgleichung

(1 -f- x²)p² — 2p xy -f- y² — 1 = 0. (Lagrange: Calcul des fonctions, pag. 276.)

JT

-c-

-C

-C- o

77;

äs

C,o

t>i

Lös.: Allgemeine Lösung: y = Cx -f ]/l — Ü², Singuläre Lösung : y² — x² = 1.

5) A uf g. Es soll die allgemeine und die singuläre Lösung der Differentialgleichung

p² (’2x² — y²) — 2xy p -f- x² = 0

gefunden werden.

AF-

Lös.: Aus der gegebenen Differentialgleichung folgt

dy

dx

xy -f- x / 2 (y- — x²)

2x² — y²

oder

(:2x² — y²) dy =    + æ / 2 (?/² — æ²)] dx.

Als allgemeines Integral dieser homogenen Differentialgleichung ergibt sich

x² + (y-C)² = {C²-, die singuläre Lösung wird y == + x.

Die allgemeine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung stellt demnach eine Schar von Kreisen dar, deren Mittelpunkte auf der Y-Achse liegen und welche sämtlich von den Geraden y = + x berührt werden.

6) Aufg. Man bestimme eine Kurve von der Eigenschaft, daß das Produkt der Lote, die von zwei festen Punkten auf eine beliebige Tangente der Kurve gefällt werden, den konstanten Wert Je² habe. (Lagrange: Calcul des fonctions pag. 282.)

Lös.: Ist 2m die Entfernung der beiden gegebenen Punkte A und JB und wählt man die Gerade AB zur X-Achse und die Mitte von AB zum Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems, so lautet die Gleichung der Tangente im Punkte (x, y) der gesuchten Kurve, wenn die Bezeichnungen der Auf-

gäbe 2) gelten: r} — y =p (§— a). Die Längen der von den Punkten A (— m, 0) und B (-j- m, 0) auf diese Tangente gefällten Lote werden beziehungsweise y -J- p (— m — x)

yi

und +

y -|-p (:m — x)

yi+P³

\\

K__

■-

Die verlangte Kurve genügt somit der Differentialgleichung

[y — p (m + #)] [y — p — w*)]

l + pL

Je nachdem man das obere oder das untere Zeichen berücksichtigt, erhält man für die singuläre Lösung

-    1 oder

JA

i.

m² -j- Æ²

Die gesuchte Kurve ist daher eine Ellipse oder eine Hyperbel, je nachdem die von den gegebenen Punkten auf die Tangenten gefällten Lote gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben. Die Realität der Hyperbel ist an die Bedingung m² > 7c² geknüpft. Die Punkte A und B sind die Brennpunkte der gefundenen Kurven.

7) Aufg. Es soll eine Kurve gefunden werden, für welche die zwischen den Koordinatenachsen liegenden Stücke ihrer Tangenten die konstante Länge a haben.

-0

Lös.: Differentialgleichung der verlangten Kurve:

P

y i +>²’

y=px-\-a

aC

allgemeine Lösung derselben : y — Cx -f-

singuläre Lösung :    y% = a A

Die singuläre Lösung ist somit eine Asteroide (vgl. Bd. I, pag. 228) ; die allgemeine Lösung der obigen Differentialgleichung stellt die Gesamtheit der Tangenten der Asteroide dar.

8) A u f g. Ein Kreis vom Radius r rollt auf einer gegebenen geraden Linie. Welche Kurve wird bei dieser Bewegung von einem Durchmesser des Kreises eingehüllt?

T--\

Vr\

Lös. : Wird die gegebene Gerade zur X-Achse und der bewegliche Durchmesser in seiner Anfangslage zur Y-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems gewählt, ist ferner der Winkel, den dieser Durchmesser in irgend einer seiner Lagen mit der Anfangslage bildet, so lautet die Gleichung desselben 1) y — r— cotang <p ■ (x — r<p).

Für die Enveloppe dieser Geraden findet man auf bekannte Weise die Zykloide

x = \r (2<p — sin 2</>), y =    (1 — cos 2<p).

Sieht man die Gleichung 1) als die Gleichung einer Kurvenschar mit dem variablen Parameter (p an, so ergibt sich die zugehörige Differentialgleichung

2) y — r = p(x — r arccotang p). Differentiiert man dieselbe nach p:

3) x — r arccotang p +

Pr _₀

r

und berechnet aus dieser und der Gleichung 2) die Größen x und y, so erhält man

1 + j>²

x = r ( arccotangp — ^ ₂j = |r (2(p — sin 29?)

j =    (1 — cos 29)).

j?²

Diese beiden Gleichungen zusammengenommen, oder die aus ihnen hervorgehende Gleichung

²-1ry— y²

bilden die singuläre Lösung der Differentialgleichung 2).

9) Aufg. Man bestimme die Kurven von der Eigenschaft, daß in jedem ihrer Punkte die Normale die mittlere Proportionale ist zwischen einer Linie von der konstanten Länge a und der um die Abszisse x vermehrten Subnormale. (Leibniz: Acta eruditorum für 1694.)

A.pr

Lös.: Differentialgleichung der gesuchten Kurven:

a (x -f yp) = y² (1 + p²),

2) iß = a (x -)- \a).

allgemeine Lösung derselben : 1) y--\-{x — C)² = aC, singuläre Lösung:

Der gestellten Aufgabe wird daher genügt durch die Kreisschar 1) und die Parabel 2), welche sämtliche Kreise der Schar berührt.

10) Aufg. Es sollen die Kurven bestimmt werden, deren Polarnormalen die konstante Länge 2a besitzen.

Lös.: Bei Anwendung von Polarkoordinaten ergibt sich für die verlangten Kurven die Differentialgleichung fr² -j-p² = 2a,

dr

d(f

wo p —

100

T

Die allgemeine Lösung derselben ist <p — (p₀ = arcsin ^ oder

r = 2a sin (tp — y>₀) und die singuläre Lösung r — 2a.

Die gesuchten Kurven sind sonach Kreise vom Radius a, welche durch den Pol gehen und vom Kreise r = 2a berührt werden. Der letztere Kreis ist selbstverständlich ebenfalls eine Lösung der gestellten Aufgabe.

11) Aufg. Gegeben ist die Differentialgleichung

1) y —px — 4p² und deren allgemeines Integral 2) y = Cx — 4C². Welches ist die singuläre Lösung der ersteren?

■ézriF-

L ö s. : 3) y = TV^²-

Die Gleichung 2) stellt für jeden besonderen Wert der Konstanten C eine Tangente der Parabel 3) dar.

12) Aufg. Gegeben die Gleichung einer Schar von geraden

= 1, wo C einen variablen Parameter be-

m-C

Limen -g-r

deutet. Man bestimme die zugehörige Differentialgleichung und deren singuläre Lösung.

■Çfï

Lös.: Differentialgleichung: (1 —p) (px — y) = mp\ singuläre Lösung : (/ x + fÿ f = m.

13) Auf g. Es ist gegeben die Gleichung einer Schar von

Parabeln

Cl

p?.

y² = 2 ax — a² ;

es wird die zugehörige Differentialgleichung und deren singuläre Lösung gesucht.

U/,

Lös.: Differentialgleichung : y²p² — 2xyp -f- y² = 0. singuläre Lösung : y=-j-x.

Sämtliche Parabeln der gegebenen Schar werden von den beiden Geraden y = + x berührt.

14) Aufg. In dem Kreise x² -f- y² = 1 zieht man parallel zur Y-Achse eine Schar von Sehnen und über denselben als Durchmesser Kreise. Die Gleichung der auf diese Weise entstehenden Kreisschar lautet:

1) (x — à)² —f- y² — 1 — a²,

wo a einen variablen Parameter bedeutet. Es soll die zugehörige Differentialgleichung und deren singuläre Lösung gefunden werden.

rr

"Z

Lös.: Differentialgleich nng :

2) 2y-p² -f- 2xyp -\- x² -\- y² — 1 = 0, singuläre Lösung: 3) \x² -\-y² — 1 = 0.

Es ist bemerkenswert, daß nur diejenigen Kreise der Schar die Enveloppe berühren, für welche a² << 1 — a², d. h. a² < £ ist.

= liefert den oskulierenden Kreis im Scheitel

Der Grenzfall a

/2

der Ellipse 3). Die Brennpunkte der Ellipse, nämlich die beiden Grenzpunkte y = 0, x = + 1 sind ebenfalls als Kreise der Schar, d. h. als partikuläre Lösungen der Differentialgleichung 2) anzusehen.

Als Bedingung, unter welcher sich für p gleiche Wurzeln ergeben, tritt auch y = 0, d. h. die X-Achse auf. Da y = 0 die Differentialgleichung 2) jedoch nicht befriedigt, so gehört diese Gerade nicht zur singulären Lösung.

15) Aufg. Zu welcher Kurve gehört die Lemniskate (;x² + y²)² — a² (x² — y²) als Fußpunktkurve für den Anfangspunkt der Koordinaten als Pol?

Sr

'6

Lös.: Die Gleichung der Tangente im Punkte (£,rj) der gesuchten Kurve lautet, wenn man die laufenden Koordinaten mit

(X — '§) ; das Lot von 0 auf diese

dt)

X, Y bezeichnet, Y—rj =

-3 Trv

Tangente hat die Gleichung Y — — ^ X. Diese beiden Geraden

müssen durch den Punkt (x, y) der gegebenen Kurve gehen; man hat daher zur Bestimmung der gesuchten Kurve, wenn man

noch C^!c=p setzt, die Gleichungen

1)    y —y =p (% — ?),

TS I⁻¹

2)    y =---X,

3)    (x² 4- y²)² = a<2 (%² —■ y²)-

Durch Elimination der Größen x, y aus diesen Gleichungen gelangt man zu der Differentialgleichung

(jl — P§)² = a2 (P² — 1).

Das allgemeine Integral der letzteren ist rj = CÇ-{-a^C² —-1; die singuläre Lösung wird £² — ff² == a².

Die verlangte Kurve ist demnach eine gleichseitige Hyperbel, deren Tangenten durch die allgemeine Lösung gegeben werden.

16) Aufg. Es soll die Basis der Fußpunktkurve (x²-\- y²)² — a²x² -j- b²y² für den Koordinatenanfangspunkt als Pol bestimmt werden.

ĄI

Lös.: Bei Anwendung des m der vorhergehenden Nummer angegebenen Verfahrens findet man die Differentialgleichung

1)    (jo§ — Y])² = a²p² -]- b², deren allgemeine Lösung,

2)    y] = C£— 1/o²C²-\-b² und deren singuläre Lösung,

3)

£2 v2

a*+& = 1 ist

Die verlangte Kurve ist somit eine Ellipse, deren Tangenten durch die Gleichung 2) bestimmt sind.

17) Aufg. Man sucht eine Kurve von der Eigenschaft, daß das Trapez, welches gebildet wird durch die Tangente in irgend einem Punkte der Kurve, die Lote von zwei gegebenen Punkten A und B auf diese Tangente, und die Gerade AB, einen konstanten Flächeninhalt = a~ habe. (.Nouvelles Annales de Math. Bd. IV. pag. 364.)

/.Y*

Lös.: Sei die Entfernung der gegebenen Punkte AB = 2c. Wird die Gerade AB zur X-Achse und die Mitte von AB zum Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems gewählt, so lautet die Gleichung der Tangente im Punkte (x, y) der Kurve rj — y =p (i-— x), wo £, rj die laufenden Koordinaten be-

dy

deuten und p = ist. Für die Längen der Lote von den

Punkten A (— c, 0), B (-f- c, 0) auf diese Tangente findet man

y—P (c + x)

fr+p²

inhalt des in der Aufgabe genannten Trapezes

und

y+P(c — x)

• Hiernach wird der Flächen-

2c (y — px)

1 +P²

und

man hat daher die Differentialgleichung

2c (y — px)

1 + p²

a-.

Das allgemeine Integral derselben ist y = Cx -}- ^ (1 + G²) ; als

— C, x\

a²

a2.

2a²

singuläre Lösung ergibt sich y — ^

18) Aufg. Es ist eine feste Gerade gegeben, auf derselben ein Punkt B und überdies ein außerhalb der Geraden liegender fester Punkt A. Es soll eine Kurve gefunden werden von der Beschaffenheit, daß, wenn man in einem beliebigen Punkte derselben eine Tangente und durch A eine Parallele zu dieser Tangente zieht, diese beiden Geraden zwei von B aus gezählte Abschnitte m und n auf der festen Geraden bestimmen, welche der Eelation m² + n'² = c- genügen. {Nouvelles Annales de Math. Bd. XIX, pag. 154.)

or

-Æ-

m²-\-n²=c²

m- — n² = c²

Lös.: Macht man die Gerade AB zur X-Achse, die gegebene Gerade zur X-Achse eines schiefwinkligen Koordinatensystems und ist AB = a, so lautet die Gleichung der Tangente im Punkte (x, y) der gesuchten Kurve rj — y=p(g—.x) und die Gleichung der durch A gehenden Parallelen rj = p (£ -\- a). Hiernach wird m = y — px, n = ap, und man hat daher die Differentialgleichung (y — px)² + a-p² == c².

Das allgemeine Integral derselben ist y = Cx -f ]/c² + a²C²-

2    /jq 2

die singuläre Lösung wird ₂ + -₂ = 1. Die verlangte Kurve ist

demnach eine auf konjugierte Durchmesser bezogene Hyperbel oder Ellipse, je nachdem in der Beziehung m² + n² = c² das obere oder das untere Zeichen berücksichtigt wird.

§ 12. Differentialgleichungen erster Ordnung von höherem Grade.

Einleitung, a) Die gegebene Differentialgleichung f (p) — 0, ^ steht, enthalte weder x noch y und sei in bezug auf

wo p für

p vom wten Grade. Den n Wurzeln a₁, a₂, . . . an der Gleichung f{p) = 0 entsprechen n einzelne Differentialgleichungen p — «1=0, p — a₂ = 0, ... p — an = 0, deren Integrale sind y = a₁x-\-C₁, y = a₂x -f- C₂, ... y = aHx -(- C„. Das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung ist demnach das Produkt (y — axx — Cj) (y — a₂x — C₂) ... {y — anx — C„) - 0, worin noch sämtliche Konstanten C einander gleich gesetzt werden können. Geometrisch wird dasselbe repräsentiert durch n Scharen von parallelen Geraden, deren Neigungswinkel gegen die X-Achse bestimmt sind durch: tang = a1; tang</)₂=a₂ usw.

ß) Wenn in der Differentialgleichung f(x,p) = 0 die Variable

dti

dx

y nicht vorkommt, so ergibt sich '

In diesem Falle sind die das Integral darstellenden Kurven kongruent und können sämtlich aus einer einzigen derselben durch Verschiebung in der Richtung der Y-Achse erhalten werden.

Wenn sich die Gleichung f(x,p) = 0 nach x leichter auf-lösen läßt, als nach p, so wird zweckmäßig p als neue Veränderliche eingeführt. Es findet sich dann x = rp (p) aus der gegebenen

Gleichung f(x,p) = 0 direkt und y = Jp <p‘ (p) dp -f- C

der Gleichung dy = pdx. Falls die Elimination von p aus den so erhaltenen Ausdrücken für x und y möglich ist, so erhält man eine Gleichung zwischen x und y.

y) Kommt in der gegebenen Differentialgleichung f(y,p) = 0 die Variable x nicht vor, so findet sich entweder

dx, also x -f- C = J**

mit Hilfe

dy , ,

= y (y),

dx

dx =

dy

dy

<p (y)

oder y = ip (p), dy = ip¹ (p) dp, —- dp, x-j-- C =

j-dp.

<p (y)

Da die Konstante C nur in der Verbindung x -j- C in das allgemeine Integral eingeht, so sind die Kurven der Schar, welche die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung darstellt, kongruent und können sämtlich aus einer einzigen derselben durch Verschiebung in der Richtung der X-Achse erhalten werden.

S) Enthält die Differentialgleichung f(x,y; p)== 0 außer p sowohl x, als y, so zerfällt sie, wenn die Auflösung nach p möglich ist, in die n Differentialgleichungen p — (x, y) = 0. P — ^2 (x, y) = 0, ... p — (fin (x, y) = 0. Wenn y = F₁ (x, C±), y = F₂ (x, C₂), .. .y = Fn (x, Cn) deren Integrale sind, so erscheint das allgemeine Integral in der Form des Produktes

[:y — Fi (æ, Ci)] [y — F2 fa c₂)] ... [y — fh(x, c„)] = o,

worin sämtliche Konstanten C einander gleichgesetzt werden können.

Wenn sich die gegebene Differentialgleichung leichter nach y als nach p auflösen läßt, so betrachte man p als unabhängige Variable, und es ergebe sich etwa y — F (x, p); dann ist

dy

p '    öp⁷^)’ ^en11 ^ese ^e^ere Gleichung

dx =

integrabel ist, hat man zwei Gleichungen, aus welchen sich in manchen Fällen durch Elimination der Größe p eine Gleichung zwischen x und y hersteilen läßt.

Ist die vorgelegte Differentialgleichung leicht nach x auflösbar, so führt ein analoges Verfahren zum Ziel.

Beispiele.

Vorbemerkung. Als hierhergehörig können auch sämtliche unter der Überschrift „Singuläre Lösung¹¹ aufgeführten Beispiele betrachtet werden.

1) p³ - lp + 6 = 0.

Lös.: Es ist p³ — lp -f- 6 = (p — 1) (p — 2) (p + 3). Demnach zerfällt die gegebene Differentialgleichung in die drei folgenden :

2 = 0, p + 3 = 0,

p — 1 = 0, p

deren Integrale y — x -f- C1} y — 2x 4- G₂, y = — 3x-j- Cs sind. Das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung wird demnach, indem man sämtliche Integrationskonstanten einander gleichsetzt

(y — x — G) {y — 2x — C) (y + 3x — C) = 0.

Geometrisch wird dasselbe dargestellt durch drei Scharen von parallelen Geraden.

2) p²-f

2^3    ¹    — 1 3 __ 0.

2 p 2

Lös.: (y — {x — G) (y + x ]/ 3 — C) = 0.

3) P²= v

Lös.: 1. Methode: p— +

J j/ dx -|- C = + 2 a# -f- C.

2. Methode : x=®₂, dy =pdx = — pdp = — p dp,

, 2a

y= + -p+c•

Eliminiert man aus den beiden für « und y gefundenen Werten die Größe p, so folgt wie oben y — + 2 ]/ aa? -f- G

4)    ^ = 1

Lös.: 1. Methode : p — (x — 1)^, y — C — \(x — 1)^.

2. Methode : x = 1 -j-p³, dy —pdx — 3p³dp, y = |p⁴ -f- C,

y—G = f (s—1)4.

5)    æ = a -f- f p². Lös.: y — C=(x — a)^.

o-

fl?

■c

Die allgemeine Lösung stellt eine Schar von semikubischen Parabeln dar, deren Achsen der X-Achse parallel sind und deren Spitzen auf der Geraden x = a liegen.

6) # =p-f-p²+P³.

Lö s. :

x=p-\-p²-\-p³,

y = ip² + 1p³ + îp* + o.

7) y = p² -j- 2p³.

Lös.:

x — C = 2p -f- 3p²,

y = p² -}- 2p³.

8) y = ap² -f- bp³ -j- cph.

\y — ap* + bpz -J- cpb,

Lös.:

{ x — G = 2ap -j- |fy?¹ 2 +1cp\

9) y

Lös.: 1)

1 :rp- + arctangjp .

Setzt man p = cotang \cp, so folgt

(y = a (1 — cos y),

\ x — Cj = a (cp — sin (p).

2) Macht man in der gegebenen Gleichung p = tang a, so folgt y — 2a cos² a — a (1 -f- cos 2a),

äx= jjiL.

tang a

= — 4a cos² a da = — 2a (1 + cos 2a) ^a,

x — C— — 2a (a -j- \ sin 2a). Substituiert man noch 2a = 7t — (p, so ergibt sich

y — a (1 — cos <p), \x — Gx—a (cp — sin cp).

dy

3> p-dx -

2a— y

dy]/₂a-y’ a ~ y — 1 %ay — y\

, dx —

x — C — a arccos

sind x, y die rechtwinkligen Koordinaten des entsprechenden Punktes der gesuchten Kurve, so findet man

dy

dx ~ co^an^

y = r sin p =

W,

(?

~x

JT

Nun ist

rd(p

ds

V-+&!

cos p, cotang # = tang ^p,

folglich p = tang fy, y — r COS

2a cos _2a cos {(p _

1 -j- cos (p 2 cos² \<p

a fl -J-p².

cos f<p

Man hat daher die Differentialgleichung y — af 1 -\- p². Als allgemeines Integral derselben ergibt sich

00    00^ — Ct 1/

X— Xo

ferner ist 2)

f+ys-¹

addiert man die Gleichungen 1) und 2), so kommt

- ]•

y = {a[e a + e Die gesuchte Kurve ist demnach eine Kettenlinie. Zur Bestimmung der Konstanten x₀ dient die Bemerkung, daß für x = 0 y = a werden soll. Hiernach wird xQ = 0.

11) 1) y = xp² -\-p² sin p.

Lös.: Durch Differentiation folgt

pdx =p²dx -|- 2px dp -f- 2p sin p dp + p² cos p dp.

Der Faktor p darf weggehoben werden, da p = 0 der gegebenen Differentialgleichung zufolge nur die X-Achse ergäbe. Es bleibt daher

dx = pdx -f- 2xdp    2 sin pdp -\- p cosp dp oder

dp

(1 —p) ClX — 2x — 2 sinp -f-p cosp.

Diese Differentialgleichung ist in bezug auf x linear. Ihr allgemeines Integral lautet

— cos p -f- p sinp — p² sinp G

(i —pY

2) x =

Die beiden zusammengehörigen Gleichungen 1) und 2) sind als das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung anzusehen.

12) y = xp² -(- «p³ + bpl + cp⁵ ;

(y — xp² -j- «p³ + fyp⁴ -(- cp⁵,

1    ĄJ)_^/7

,[0 + !«P²+    3 P³ +

p⁴ — cp⁵].

Lös. :

fl— P)

5c —

13)    y=px—\p².

Lös.: dy = pdx = pdx -f- %dp — pdp oder {x — p) dp — 0.

Dieser Gleichung kann dadurch genügt werden, daß man dp = 0 oder aber x — p = 0 setzt.

Die Annahme dp — 0 ergibt p = C und der gegebenen Gleichung zufolge 1) y = Cx — IC'².

Die Gleichung x—p = 0 liefert 2) y.= \x².

Da die beiden Gleichungen 1) und 2) der gegebenen Differentialgleichung genügen, die Gleichung 2) jedoch keine willkürliche Konstante enthält und auch nicht durch Spezialisierung der Konstanten aus der Gleichung 1) hervorgegangen ist, so stellt die Gleichung 1) die allgemeine und die Gleichung 2) die singuläre Lösung der gegebenen Differentialgleichung dar. Geometrisch repräsentiert das allgemeine Integral die Gesamtheit der Tangenten der singulären Lösung. (Vgl. § 11, Aufg. 11).)

14)    y = px + p — \p².

Lös.: Allgemeine Lösung: y=Cx-\-C — |G², singuläre Lösung: y = (x -f-1)².

15) yp² — 2xp -f- y — 0.

Lös.: 1) Aus der Differentialgleichung folgt

dy

dx

X — ^ X-— oder ydy = (x + y x² — y²) dx.

Diese Differentialgleichung ist homogen und kann daher auf bekannte Weise integriert werden.

2) Löst man die gegebene Differentialgleichung nach y auf,

2x dp    dx dp

1 +jö²’    2x    p~(l-\-p²)

2 1

Das allgemeine Integral ist y² = x — und die singu-

so wird y —

2px

l^rp

pdx

usw.

läre Lösung y=-\-x. Die erstere stellt eine Schar von Parabeln dar, welche sämtlich von den beiden Geraden y = -\-x berührt werden.

16) Aufg. Man bestimme eine Kurve, für welche der Abstand des Koordinatenanfangspunktes von irgend einer Tangente derselben a) gleich der ersten Potenz, ß) gleich dem Quadrat, y) gleich dem Kubus des Leitstrahles sei, der nach dem Berührungspunkt geführt wird.

Lös.: a) Der Abstand des Koordinatenanfangspunktes von einer Tangente der gesuchten Kurve ist gegeben durch den Aus-

druck Ï=2L

y i ~\~p²

gleichung y~.XP₉ = ix- -j- y².

y i -\~p

x = r cos c/, y = r sin (p ein, so geht dieselbe über in die folgende

wo p =

dy

dx

Sonach besteht die Differential-

Führt man Polarkoordinaten

r oder — rd(p = ]/ r²d<p² -|- <7r²,

r²d(f

y r ²d(f ² -j- dr²

(rdff)² = (rd(f)² -f- dr² = 0, dr = 0, woraus sich ergibt r — C.

Diese Gleichung stellt eine Schar von Kreisen dar, deren gemeinsamer Mittelpunkt der Koordinatenanfangspunkt ist. ß) Differentialgleichung : — r²d<p = r² y r²d(p² -f- dr² oder

dr

d(f

y 1 — r² ’

allgemeines Integral derselben : q> — <£>₀ = arcsin r oder

r = sin (<p — <p₀).

Es ist dies die Gleichung einer Schar von Kreisen vom Radius j-, welche sämtlich durch den Pol gehen und von dem Kreise r = 1 berührt werden. (Vgl. § 11, Aufg. 10).)

y) Differentialgleichung : — r²dcp = r³ ~J r²d(p² -f- dr² oder rdr — y 1 — r⁴ d(p ;

allgemeines Integral: y — <p₀ — ł arcsin (r²) oder r² = sin 2 (</> — <p₀).

Als Lösung der gestellten Aufgabe ergibt sich somit in diesem Falle eine Schar von Lemniskaten, deren Achsen die Länge 1 haben und um den Winkel 45° -(- (p₀ gegen die X-Achse gedreht sind.

17) Aufg. Es soll eine Kurve gefunden werden, deren von x = a bis x — x gerechnete Fläche F zur entsprechenden Bogenlänge s in einem konstanten Verhältnisse m steht.

ttc

fcF

Lös.: Da F —

fiX    fiX _________

I ydx = m I y 1 4-p² dx.

Ja    Ja'

I ydx, s — i y 1 —}-p²dx,

c/ a    t/a

so wird

Hieraus folgt durch Differentiation

y — m y 1 4- p²-

x -f- C

Als allgemeines Integral dieser Differentialgleichung ergibt sich (vgl. Aufg. 10))

y = i- m [e m -\- e und es ist daher die gesuchte Kurve eine Kettenlinie, welche, da C unbestimmt bleibt, noch einer weiteren Bedingung unterworfen werden kann.

18) Auf g. Für welche Kurve ist die Bogenlänge gleich der nach dem Radius vector genommenen Ableitung des Ausdrucks, welcher den entsprechenden Polarsektor derselben bestimmt?

Lös.: Es ist f

Hieraus folgt durch Differentiation r =

und durch Integration r — Const.

Die verlangte Kurve ist demnach ein Kreis.

2 2 2

19) A uf g. Es soll die Evolvente der Asteroide x* + y^ = a? in der Weise bestimmt werden, daß man sie als orthogonale Trajektorie der Tangenten der gegebenen Kurve betrachtet.

Lös.: Bezeichnet man die Koordinaten eines beliebigen Punktes der gegebenen Kurve mit £, diejenigen des entsprechen-

dv

den Punktes der Evolvente mit x, y und wird noch JX~P ge~ setzt, so bestehen die Beziehungen

drj

(x—'§), (Bedingung, daß die Tangente im

Punkte (^, rj) der gegebenen Kurve den Punkt (x, y) der Evolvente enthalte),    .    - ■

(Bedingung, daß die Tangente der gegebenen 2 2 2

d$~~

Kurve Normale der Evolvente sei), y) ^ -f- rfs — aJ.

Eliminiert man aus diesen drei Gleichungen die Größen B, rj, so gelangt man zu der Differentialgleichung

1) yp + x

ap

yi+p²

Durch Differentiation ergibt sich pdy -f- y dp + dx —

adp

yi+T²³’

oder da dx = ^

2) dy ]/1-j-p²-j-y

dp -

2

apdp

(i+p²y

Das allgemeine Integral dieser linearen Differentialgleichung

lautet :

3) y

yi+^²

und die Gleichung 1) liefert

C----=

2 (1 + p²)

P

,    • a

yi+W

— c-\-

4) x

2 (1 +P²) J

Durch die zusammengehörigen Gleichungen 3) und 4) ist eine Schar von Evolventen bestimmt.

Setzt man p —- tang (p und beispielsweise C = a, so folgt x — |-a sin (p [sin² (p 3 cos² </>], •

</===!« cos (p [cos² (p -f- 3 sin² </>].

Vergleicht man diese Werte mit den auf Bd. I, S. 229 bei Bestimmung der Evolute der Asteroide gefundenen, so erkennt man, daß diese spezielle Evolvente der gegebenen Kurve wieder eine Asteroide ist und zwar eine solche, bei welcher der Radius des festen Kreises \a und somit der des rollenden Kreises \a ist. Man kann daher leicht zu den Formeln gelangen X = {a cos³«/;, Y=\asm³ip.

20) Aufg. Man bestimme auf dieselbe Weise, wie in der vorhergehenden Aufgabe, die Evolvente des Kreises £ = r cos (p:' rj — r sin <p.

L ö s. : Differentialgleichung : 1) x -j- yp = r / 1 -f- P², allgemeines Integral derselben:

p — arctang p -f- C i i +p²

1 -\-p arctang p — pC yi+p²

y =

2)

Setzt man noch p = tang <p, so wird

3 )\X

l y

= r (cos <p -f- <jP sin (p — C sin cp),

= r (sin cp — (p cos rp -f- C cos (p).

Für (7=0 ergibt sich die Bd. I, S. 210 untersuchte, spezielle Kreisevolvente.

Der Krümmungsradius q der Evolvente 3) wird Q = r{q> — C). Welche allgemeine Eigenschaft der Evolventen einer gegebenen Kurve findet hierdurch für den vorliegenden Fall ihre Bestätigung?

21) Aufg. Man finde eine Kurve, für wrelche der Abstand des Nullpunktes von irgend einer Tangente derselben der Abszisse des Berührungspunktes proportional ist.

Die allgemeine Lösung stellt eine Schar von Zykloiden dar, deren Spitzen auf der X-Achse liegen.

10) Aufg. Die Parabel r

rollt auf der X-Achse.

Lös.: Differentialgleichung :

y — xp

yi+ p

= ax\

y — c

In dem speziellen Falle a — 1 ergibt sich

allgemeines Integral:

yi+WZ+yi+Y²

yi+^^+yi+P²)’

y i -j-p²

oder, indem man p = cotang (p setzt fx — C = — C cos (p y = G sin <p

Es ist dies die Gleichung einer Schar von Kreisen, welche sämtlich durch den Nullpunkt gehen und deren Mittelpunkte auf der X-Achse liegen. Der Koordinatenanfangspunkt ist ebenfalls als ein Kreis der Schar anzusehen.

oder y² -\-(x — C)² — C².

22) y

gebene Funktion bedeutet.

wo f eine beliebig ge-

Lös.: Setzt man

i) y

y i

so findet man durch Differentiation, daß die beiden Gleichungen zu der nämlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung

3)

y>+©:

d²y

dx²

= 0 führen. Sonach können dieselben

als erste Integrale der Differentialgleichung 3) angesehen werden. Um das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung zu erhalten, hat man nur aus den Gleichungen 1) und 2) die Größe p zu eliminieren. Die Gleichung 2) liefert

= Gx oder x -|

n+p’-

p = fi-(Gl-xy'

C₂ —x

C₂, und hieraus

Substituiert man diesen Wert in die Gleichung’ 1), so kommt y — fl - (C₂—x)-=C. Nun ist zufolge der gegebenen Differentialgleichung C = f(C₂); daher ergibt sich schließlich

¹

+ cos cp

Welche Kurve beschreibt ihr Brennpunkt bei dieser Bewegung?

²

Lös.: Bezeichnet S- den Winkel, den die Tangente in irgend einem Punkte der Parabel mit dem Leitstrahl ein schließt und

[y-f{c,W + {c₂-xy = i.

23) Aufg. Man bestimme nach der in der vorhergehenden Nummer angegebenen Methode das allgemeine Integral der Differentialgleichung

yil + p* = f(x-\- py),

wo f eine beliebig gegebene Funktion bedeutet.

Lös.: y²(C₂ — x)² = [f (C.₂)]\

24) Axyp² -j- (x² — Aiß — E)p — xy = 0.

Lös.: Durch die Substitutionen x² = l, y² = rj, =p‘,

p'f

Sr

geht die gegebene Differentialgleichung über in die

folgende

Alp¹² -1⁻ (I —    — B)P‘ — rl = 0 oder rj = lp‘ —

Bp‘

1 + Ap‘

Pifferentiiert man diese Gleichung, so folgt dp‘

dl

= 0.

(1 -(- Ap‘Y

Diese letztere Gleichung zerfällt in die beiden anderen

L = 0 und l —

dl

= 0.

(1 + i#

Bc

Die erstere liefert das allgemeine Integral r]=cl —

y² — cx² =

1 + Ac Bc

die letztere die singuläre Lösung

oder

1-f Ac

[2 i B fï— I] oder y² + B

-A - = i[ar.y

Anm. Auf die hier gegebene Differentialgleichung wird man bei der Bestimmung der Krümmungslinien einer Fläche zweiter Ordnung mit Mittelpunkt geführt.

tu' i-*

§ 13. Der integrierende Faktor.

Einleitung. Es existiert immer eine Funktion v von x und y, so daß wenn M und N Funktionen von x uncl y sind, v (Mdx -f- Ndy) = du ein vollständiges Differential isD Jeder integrierende Faktor v genügt der partiellen Differentialgleichung

Mf--

(W_P

ày àx

= 0.

Wenn es einen integrierenden Faktor gibt, welcher nur von x oder nur von y abhängt, so wird für denselben diese Differentialgleichung zu einer gewöhnlichen, deren Koeffizienten entweder nur x oder nur y enthalten, und kann dann dazu dienen, den betreffenden integrierenden Faktor zu bestimmen.

Für den Fall, daß das allgemeine Integral f(x,y;C) = 0 der Differentialgleichung Mdx + Ndy = 0 bekannt ist, kann ein integrierender Faktor auf folgende Weise bestimmt werden: Aus f (x, y ; C) = 0 ergebe sich C — y (x, y) und durch Differentiation

0 = ^ dx -J- ^ dy. Diese Differentialgleichung kann sich von

der gegebenen nur durch einen integrierenden Faktor unterscheiden. Es ist daher

v = ^ : M.

Wenn

j⁵v (Mdx -f- Ndy) = u ist und mit $ (ü) eine beliebige

Funktion von u bezeichnet wird, so ist v<J>(u) ebenfalls ein integrierender Faktor der Differentialgleichung Mdx -|- Ndy = 0 ; umgekehrt ist der Quotient aus zwei verschiedenen integrierenden Faktoren V und v (wenn man von dem Falle absieht, in welchem sich V und v nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden) eine Funktion von u. Daher ergibt der gleich einer

V

Konstanten gesetzte Quotient — = Const. die allgemeine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung.

Beispiele.

1) Aufg. Gegeben ist die Differentialgleichung Mdx -f- Ndy = 0, wo M und N beliebige Funktionen von x und y bedeuten. Unter welchen Bedingungen existiert für dieselbe ein integrierender Faktor, der eine Funktion a) nur von x, ß) nur von y, y) von    von XV ist?

Lös.: a) Sei cp (x) ein integrierender Faktor, der nur von x abhängt; dann ist (p (x) Mdx -f- cp (x) Ndy ein vollständiges Differential, d. h. dieser zweigliedrige Differentialausdruck genügt der Integrabilitätsbedingung

^ \(p (x) M] = ^ [cp (x) W] oder cp (x)

<a»

d(p (x)

fr

fr

fr

Man hat daher zur Berechnung der Funktion cp die Gleichung

d<p (x) _ fr

fr

SP 0*0

dx.

Diese Gleichung kann offenbar nur dann bestehen, d. h. es ist cp (x) nur dann ein integrierender Faktor der gegebenen Differentialgleichung, wenn der Ausdruck

m

fr

fr

nur von der Variablen x abhängig ist.

ß) Auf ähnliche Weise, wie im vorhergehenden Falle, gelangt man zu der Gleichung

<p{y)

fr

fry

M    dy■

Es kann daher cp (y) nur unter der Bedingung ein integrierender Faktor der gegebenen Differentialgleichung sein, daß der Ausdruck

ÖV_0^

fr

nur von y abhängt.

ÖW ödf

y)

fr

My — Nx

^ muß eine Funktion nur von (x² -f- y²) sein.

ist ein integrierender Faktor der Differentialgleichung Mdx -f- Ndy = 0, wenn entweder Mx — Ny identisch verschwindet oder M und N homogene Funktionen von x und y

Ausdruck

Mx -J- Ny

à)

muß allein von dem Produkt xy abhängig sein.

Mx — Ny

2) Aufg. Man zeige die Richtigkeit des Satzes: Der

sind; ebenso ist der Ausdruck

ein integrierender Fak-

Mx — Ny

tor der genannten Differentialgleichung, wenn entweder Mx-\-Ny

identisch verschwindet, oder dukt xy ist.

Anl. Man hat identisch

Mx

Ny

eine Funktion von dem Pro-

Mdx + Ndy = \ (Mx + Ny) + ^) + i (Mx - Ny) oder Mdx -j- Ndy = \ (Mx -\- Ny) dl (xy) -j- \ (Mx — Ny) dl -- •

= \ dl (xy) ein vollständiges Differential

setzt wird.

Hiernach ist, wenn beispielsweise Mx — Ny — 0 vorausge-Mdx -J- Ndy Mx -f- Ny

ein integrierender Faktor der Differential-

und daher

Mx -j- Ny

gleichung Mdx -J- Ndy = 0. Ebenso einfach läßt sich die Richtigkeit der übrigen, in obigem Satze ausgesprochenen Behauptungen dartun.

Anm. Zur Übung möge auch durch Differentiation bewiesen werden, daß unter den im Satze angegebenen Bedingungen die

Mdx 4- Ndy Mx — Ny

Ausdrücke

Mdx -f- Ndy Mx -j- Ny

und

der Integrabilitätsbe-

dingung genügen.

ein integrierender Faktor ist. Es soll ein inte-

3), Aufg. Man weiß, daß für die lineare Differentialgleichung ~~ Ą- Py — Q, wo P und Q Funktionen von x bezeichnen, J Pdx

grierender Faktor für die Differentialgleichung

dy

dx

+ Py= Qif

abgeleitet werden.

Lös.: Setzt man —-

yn

= z, so geht die Differentialgleichung

dy

-jj— -f-Py — Qyn über in

dz

jx — {n—l)Pz = — {n — 1) Q.

(Vgl. § 9, Anfg. 17).)

Ein integrierender Faktor dieser linearen Differentialgleichung ist

; der entsprechende integrierende Faktor der ge-

— {n — l)fPdx

gebenen Differentialgleichung wird demnach

4)    Aufg. Gegeben sind die Differentialgleichungen a) (.x²y -)- y -(- 1) dx -f- (x -f- xs) dy = 0.

ß) (;x²    y² -f- 2x) dx -\-2ydy= 0.

Man integriere dieselben mit Hilfe von integrierenden Faktoren, die nur von x abhängen. (Bei dieser und den folgenden Aufgaben vergleiche man Aufg. 1.)

Lös.: a) Integrierender Faktor:    ;

allgemeines Integral : xy -|- arctang x — C. ß) Integrierender Faktor: e*;

allgemeines Integral : (x² -f- y²) ex — C.

5)    Aufg. Man bestimme die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen mit Hilfe von integrierenden Faktoren, die Funktionen nur von y sind.

a) ydx — (y -j- x) dy = 0,

ß) 2xy dx -f- (y² — 3x²) dy — 0, y) y² (x — y)dx-j- (1 — y²x) dy = 0.

Lös.: a) Integrierender Faktor: \ ;

y

— ly = a

allg’em. Lösung

ß) Integrierender Faktor : ^ ;

allgem. Lösung x² — y² = Cys.

y) Integrierender Faktor: allgem. Lös. \x² — xy —

lr

= C.

6) A uf g. Es soll geprüft werden, ob die Differentialgleichung

(1 -f- y²) dx {1    x²) dy = 0

integrierende Faktoren besitzt, die entweder nur von (x -f- y) oder nur von xy abhängen.

Lös.: Integrierende Faktoren:

• Da der

(1 — xy)²

Quotient dieser beiden Faktoren nicht konstant ist, so liefert er, gleich einer Konstanten gesetzt, die allgemeine Lösung der ge

(x-\-y)

gebenen Differentialgleichung :

(1 - xy)²

(x + y)²

C oder -

xy

= CV

x-\-y

7) Anfg. Man integriere die Differentialgleichung

(y -J- xy²) dx (x — x²y) dy = 0

mittels eines integrierenden Faktors, der eine Funktion von xy ist. Lös.: Integrierender Faktor:

} ₀; allgem. Lösung l

xay

xy

= G.

8) Anfg. Die Differentialgleichungen a) (x -\-y)dx — (x — y) dy = 0, ß) (a / x² -f- y² — cx) dx -f- (b /x² -f- y² — cy) dy = 0 besitzen integrierende Faktoren, die von (x² -f- y²) abhängen. Man bestimme dieselben und integriere mit deren Hilfe die gegebenen Differentialgleichungen.

x² Ą-y

__ Qß

allgemeines Integral : l ]/x² + y² -f- arctang -ß) Integrierender Faktor:

Lös.: a) Integrierender Faktor:

= c.

y x² 4- y² '

allgemeines Integral : ax-\-by — c / x² -j- y² = C.

9) Aufg. Es sollen die homogenen Differentialgleichungen

yxäy = 0,

dx — x cos

a) (3æsin -ÿcos j

ß) y²dx — (xy -j- x²) dy = 0, y) (3x — y) dx-\- (x-f- 4y) dy = 0

mit Hilfe von integrierenden Faktoren integriert werden. (Ygl. Aufg. 2).)

3x² sin y ’ x

V

allgemeine Lösung : xz = C sin •

X

ß) Integrierender Faktor:

Lös.: a) Integrierender Faktor:

allgemeine Lösung: y=Ce x. y) Integrierender Faktor: allgemeine Lösung:

zyto*+^i+: i

10) Aufg. Man bestimme integrierende Faktoren der Differentialgleichungen (vgl. Aufg. 2))

a) (x²y² -|- xy) ydx -j- (x²y² — 1) xdy = 0, ß) y (1 — x²y²) dx -f- x (1 -j- x²y²) dy = 0 und integriere mit Hilfe derselben.

Lös.: a) In diesem Falle ist

• 3æ² + 4y

arctang

2y —C.

Mx

Ny

eine Funktion von xy,

Mx — Ny xy (xy -j- 1) allgemeine Integral wird ly = xy -f- C.

daher ein integrierender Faktor. Das

ß) Integrierender Faktor:

2 xsy*'

Mx — Ny

X

allgemeines Integral : l--hi

11) Aufg. Es soll für die beiden Seiten der Differential-

x²y

gleichung

ay dx ~h l>x dy = xmyn(a‘y dx -f- b‘x dy) ein gemeinschaftlicher integrierender Faktor bestimmt und auf diese Weise ein integrierender Faktor der vorgelegten Differentialgleichung erhalten werden.

Lös.: Ein integrierender Faktor von aydx-\-bxdy = 0 ist

1    /lop

— Da das Integral von a -\-b xy    x

sämtliche integrierende Faktoren von ay dx -j- bx dy = 0 enthalten

(f (xayb)

= 0, u — xayb ist, so sind

in der Form

xy

wo (f eine beliebige Funktion bedeutet.

Auf analoge Weise findet man, daß die integrierenden Faktoren

r sind. Nun

von xmyn [a‘y dx -|- b‘x dy) = 0 von der Form

if> (xa‘ yb‘)

Xm + lyn +

soll

(p (xa yb)_ ifj (xa‘ yh‘)

xm+lyn+

xy

Y oder xmyn tp (xa yh) = ifj (xa‘ yb‘) sein. Setzt

man (p (xayb) = (xaybfl und ip {xa‘yh‘) — (xa'yb‘)v, so muß demnach xm yn (xa ybf — (xa‘ yb‘)r

sein. Zur Bestimmung der Konstanten f.i und v ergeben sich die Gleichungen

m = a‘ v, bf.i -j-n = b‘ v,

an — bm

a‘n — b‘m ab“ — a‘b ’

integrierende Faktor lautet hiernach xafl-¹ybfl

aus denen fi

ab‘ — a‘b

folgt. Der verlangte oder

Xav

Beispiel, ydx — y xdy = x³y² (\ydx — l^xdy).

_ 2 3

Integrierender Faktor: xy ? ;

_ 2 o

allgemeines Integral: \x-y ³ = \xby

-V

+ c.

Kapitel III.

Differentialgleichungen höherer Ordnung.

§ 14. Differ entialgleichungen von der Form

dmy -, \

dxm —

Einleitung. AVenn die gegebene Differentialgleichung von der Form ist

dx

= /»,

so wird y =

ftX    .fix    px

I dx I dx I

Va Va Va

dx . . . I f (x) dx -j- c₁ (x — d)m~¹ -f

+ c₂ (x — a)m~² +... c;ra_t (x — a) -f- cm,

wobei a eine beliebige konstante Größe ist. Das m-fach wiederholte Integral kann berechnet werden nach der Formel:

px px px

/ dx dx

Va Va va

px

dx ... / f (x)dx

■{m — 1) !

fix

/    («—■*)

V a

f(z) dz.

Beispiele.

1)

d²y

dx²

[]/2 ax — #²1³’

Lös.: y =

UO

s-

127

²) dx* =xsinx'i

Lös.: y = x cos x — 3 sin x -f- Cx² -f- Cxx -J- C₂.

« s-

Lös.: y — cos x -f- {x³ -{- Cx -(- Cx.

= x³eF\

Lös.: y = ex [x³ — 12a:² -f- 60a; — 120] Cx³ -f- C±x--f-

+ G₂a: -f- Go.

— cos x :

4)

dxy

axx

§ 15. Differentialgleichungen von der Form

dm~xy dxm 1

dmy dxm ’

= 0.

Einleitung. Besteht zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ableitungen eine Gleichung

f\

dmy d'n dxm ’ dx”¹—¹

so folgt, indem

dp

dx

l)=0,

gesetzt wird, f(^, p)

X+Cl=fdp

= (p (p), dx —

dp

= 0, woraus

<p{p)

Wenn diese Integration ausgeführt und die resultierende Gleichung nach p aufgelöst werden kann, so ergibt sich eine Differentialgleichung p = ip (x, cx), wie sie in § 14 behandelt worden.

<P(P)

dp

Kann die vorgelegte Gleichung leichter nach p, als nach

aufgelöst werden, so sei etwa p — S- = & (q). Hieraus folgt durch Differentiation

da

Z = & (0) dx x also dx = & (q) - -, & (q) dq

+ ct=/

Läßt sich aus dieser und der Gleichung p = d- (q) mittels Elimi-

128

nation von q die Größe p als Funktion von x bestimmen, so ist nachher die in § 14 angegebene Methode anwendbar.

Beispiele.

!) (0)-⁵l + ⁶ = °-

Lös.: 1) Mittels Auflösung nach

ä-y

dx²

Setzt man ^

so ist

^ = y'öp — 6, x — x₀ =

dx

Ç dp

J ïhp

y 5p — 6 ;

hieraus folgt p = %(x — x₍₎)² + f> V = A (x — xoY + îx + C*

2) Mittels Auflösung nach ^

= q gesetzt, so ergibt sich p = \q² + f, q = \q ~

dx

Wird wieder ^ —p und dx

d²y

dx²

überdies l=,hi.,

T dx ' 1 y = ₁^(x — Xoy-\-§X-\-C.

|dx = dq, q = \{x—xQ), p = \|(æ —^₀)² + f,

/ d²y \² d²y dy

' \dx²J    dx² dx

+ 3 = 0;

ilą + iq

1 Q _1_ _?

3) Aufg. Eine Kurve zu finden, deren Krümmungsradien die konstante Länge r haben.

Lös.:

x — x₀ =

y — yo =

wo q =

d\

dx-

Lös.: Differentialgleichung :

V'+ffi

213

d-y

r oder

~dx²

[yi+p²]⁸

= r. Hieraus folgt q —

lu ; p*ï

dx

dx =

dp

r [yi -\-p²Y

Setzt man p = tang a, dp —

da

cos² a’

so wird dx = r cos a da,

x — x₀ — r sin a, dy = pdx = r tang a cos a da = r sin a da, y —y₀ = — rcosa und (x — x^ -f- (y — y₀)² = r².

Die gesuchte Kurve ist somit ein Kreis.

4) Aufg. Es soll eine Kurve gefunden werden, für welche in jedem ihrer Punkte der Krümmungsradius q dem Winkel « proportional ist, den die entsprechende Tangente mit der X-Achse einschließt.

. Lös.: Die Beziehung- Q — ra, wo r eine konstante Länge bezeichnet, führt zu der Differentialgleichung

[fi+rT

r arctang^.

Löst man dieselbe nach q auf, so folgt

dx =

r arctang p

dp oder,

jp [yi+i>⁸]⁸

IH /'f

¹ dx r arctan g p

indem man p = tang a setzt,

dx — ra cos a da, x — x₀ = r (a sin a -f- cos a), dy — pdx = r tang a • a cos a da = ra sin a da, y — y₀ = r (sin a — a cos a).

Die verlangte Kurve ist demnach eine Kreisvolvente. (Vgl. Bd. I, pag. 210.)

5) Auf g. Zwei Kurven stehen in der Beziehung zueinander, daß die Ordinate eines beliebigen Punktes der ersteren genau die Länge des Krümmungsradius in demjenigen Punkte der zweiten liefert, der dieselbe Abszisse x besitzt. Ferner soll die von x = x₀ bis x = x gerechnete Fläche der ersteren gleich dazwischen denselben Parallelen zur Y-Achse gelegenen Fläche

sein, die durch die zweite Kurve und die um die Längeneinheit vertikal verschobene Parallelkurve derselben begrenzt wird. Man finde die Gleichungen der beiden Kurven.

Lvs. .>

Lös.: Bezeichnet man die Koordinaten eines beliebigen Punktes der zweiten Kurve mit x, y, die Koordinaten des ent-

du

sprechenden Punktes der ersten Kurve mit x, rj und ist ^

= q, so bestellen die Gleichungen

[ri-hP*]*

= Pr

dhj

dx²

la)

rix    px

rj, lb) / ï]dx— I fl-j-jj² dx,

V Xq    V Xq

woraus durch Differentiation folgt

2)

l?l

y 1 + p² oder l-\-p² = q.

Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung ergibt für die Gleichung der zweiten Kurve y — y₀ = — l cos (x — C).

Demnach lautet die Gleichung der ersten Kurve rj =

cos (x — G)

6)

Hierbei ist zufolge der Gleichung lb) C — x₀ zu setzen, während y₀ beliebig angenommen werden kann. d²y _ 1 dy dx² a dx ’

X — Xq

7) «

L ö s. : y — y₀ — ae a . fLogarithm. Linie.) d-y dy dx² dx

= 1;

Lös.: y — y₀ =

j/jj f(x — x₀)s. (Neilsche Parabel.)

8) A uf g. Eine Kurve zu finden, für welche in jedem ihrer Punkte die Ordinate sich zur Normale verhält, wie der Krümmungsradius zu einer Linie von der gegebenen Länge a.

Co ■

ïa

fr.

-z

C=-

, so hat man die

Lös. : Da N=y ] 1 -j- p², q Differentialgleichung

yfï + p*

ag

oder q= * (l+î>²)²,

dx =

dp

° (1 +P²)² '

Wird zum Zwecke der Integration p = tang a gesetzt, so folgt dx = a cos² a da, also x — x{) = a (£ a -f- \ sin 2 a), dy = pdx = a tang a cos² a da = a sin a cos a da, y — y₀ = — i« (1 + cos 2 cc).

Für 2ft = (p -J— tc gehen die gefundenen Gleichungen über in (x — x₀ — \ an — \ a (<p — sin g>),

\y — y» = — i « (i — cos <f>).

Mithin ist die verlangte Kurve eine Zykloide.

9) Bei welcher Kurve verhält sich das Quadrat der Normale in einem Kurven punkte zu dem Quadrat der zugehörigen Ordinate wie der zugehörige Krümmungsradius zu einer gegebenen konstanten Strecke a?

Lös.: Aus der Gleichung

N² : y² = q : a

ergibt sich die Differentialgleichung

d²y

dx²

+ C".

co a

132

Sie hat das allgemeine Integral

10) Aufg. Welche Kurve hat die Eigenschaft, daß in jedem Punkte derselben sich der Krümmungsradius zu einer konstanten Strecke 4r verhält wie der Sinus desjenigen Winkels, den die entsprechende Tangente mit der Abszissenachse einschließt, zu 1?

Die Kurve geht durch den Koordinatenanfangspunkt, und die in diesem Punkte konstruierte Tangente ist gegen die Abszissenachse unter — 45° geneigt. Es soll die Kurve für diese Angaben bestimmt werden.

-=F

Lös.: Da q

, • % und sin a =

ds    y i-i-p*’

so hat man die Proportion

: 4r =

In i-nr

yi+j»²

oder die Differentialgleichung

(1+JP²)⁸ — 4rp^,

dx =

4 rp dp

d+vr

Setzt man noch p = tang a, wodurch

dx = 4r cos² a tang a da — 4r sin a cos a da wird, so folgt durch Integration

x — x₀ = — 2r cos² a, dy — pdx = 4r tang³ a cos³ a da = 4r sin³ a da, y — y₀ == 4r [£ a — \ sin 2a].

Die Anfangsbedingung, wonach im Koordinatenanfangspunkt tang a = — 1, d. h. a = — \tc werden soll, liefert — x₀ = — r, — yo ⁼⁼    -j-1), woraus

*o=r> d o = \r7t — r.

Daher wird x = — r cos 2a,

y + r — ^ rit = r (2a — sin 2a) oder f x -]- r == r (1 — cos 2a),

\y + r — ^rrt = r (2a — sin 2a).

Hiernach ist die verlangte Kurve eine gewöhnliche Zykloide, entstanden durch das Rollen eines Kreises vom Radius r längs der Geraden x = — r.

§ 16. Differentialgleichungen von der Form fld'ny dm~²y ' \dxm ’ dxm~'²

Einleitung. Die Differentialgleichung

dmy dm~~²y dxm ’ dxm~'²

geht durch die Substitution c^-m ’{= p in die einfachere = 0 über. Diese letztere, welche nach

= 0.

f[

d-p

dx²

aufgelöst,

d²p

ytfi — V (p) erg’e^e, wird auf folgende Weise integriert :

dp d²p dxdx²

d²p

dp\²

dx = d

= V (p), ²

(&)=²fo(p),ip+c'’ x=f-

dx²

dx

= 2(f (p) dp, woraus

dp

y² J <f (p) dp +

+ F₂.

Wenn die hier nötig werdende Quadratur, sowie die nachlierige Auflösung nach p möglich ist, so bleibt noch die Methode des § 14 anzuwenden.

Beispiele.

d-y1

d%~ I ay Lös.: 1) 2

1)

dy d²y

dx dx²

dx —

2 dy

i ay

(dyV₌ f \dx I J

dy

dx

l iay+C,

]/f 1ay+ c,

dx =

dy

|/+ay+C

/y> _ /v>    -

tAs    dUç) -

2) p² =

-iay+C,

^(pn--cr,

dx = dy={a{p²~C)dp,

p

x — x{) = + ap (p>² — SC).

Ersetzt man in der letzten Gleichung- die Größe p durch

so gelangt man zu dem nach der

ihren Wert p = ]/— i ay -f G,

1 Qj

ersten Methode bereits gefundenen Resultate. 2) a²

d*y

d²y

dx⁴    dx'¹

Lös.: Setzt man

d²y

= p, so verwandelt sich die gegebene

dx²

\₂p. Das Integral dieser letzteren Difteren-

72    xx

tialgleichung ist p— =\a[C₁ea + Cze 'a]. Durch weitere Integration findet sich hieraus

Gleichung in

d²p

dx²

a²[C,e“ -C,e «] + Cs,

y — ia° [^1ß<l -j~ G₂e a] -t⁻ Cs x -f- 64. + a²y = 0.

o\ d-y dx²

Lös.: y = C sin a (x — x₀) oder mit Änderung¹ der Kon

stanten

y = Cx cos ax -f- C₂ sin ax.

4) Aufg. Eine Kurve genügt der Differentialgleichung

ä-y

dx²

= ł y*-

und berührt die X-Achse (asymptotisch). Wie lautet die Gleichung derselben ?

Lös. : yx² = 4.

5)

d²y

V Cy² + 2ay —

— °r - l yfC + cic [

du

Wird verlangt, daß für y = 00, p = ^ = 0 sei, so ergibt sich 6' = 0. In diesem Falle wird die gefundene Gleichung unbrauchbar. Es tritt an ihre Stelle die folgende

y% — 4 (ic — ic₀). (Neilsche Parabel.)

6) Aufg. Eine Kurve hat die Eigenschaft, daß in jedem Punkte sich der Krümmungsradius zur Normale verhält, wie das Quadrat der Normale zu einem gegebenen Quadrate mit der Seite a. Es soll die Gleichung der Kurve gefunden werden.

Lös.: Differentialgleichung :

a-

oder q— „ •

y³

Allgemeines Integral : Oy² — C² (x — xQ)² = a².

Es ist dies die Gleichung eines Kegelschnittes mit Mittel-

ivt+fp y* rn+^T

a-

punkt.

Wird die Bedingung gestellt, daß für y = 00, p = 0 sei, so

— 136

ergibt sich C — 0. Da die Annahme C— 0 in der gefundenen Formel auf einen Widerspruch führt, so muß dieser Fall be-

(JL^

sonders behandelt werden. Aus der Gleichung’ q = folgt durch

/y 2

Integration p² — — ₂ • (Const. = 0.)

y

Soll daher die Lösung der gestellten Aufgabe eine reelle Kurve ergeben, so muß a- = — a² negativ sein. Unter dieser Voraussetzung gelangt man zu der Parabel y² = 2a (x — x₀).

7) Aufg. Ein Punkt bewegt sich auf einer geraden Linie nach dem Gesetz

d²x

dt² — — 8>x -\- 2x°,

wo t die Zeit und x den in der Zeit t zurückgelegten Weg bedeutet. Hierbei soll zu Anfang der Bewegung die Geschwindigkeit a) =4, ß) = V7, y) =5 sein. Man diskutiere diese Bewegung in jedem der drei Fälle mit Hilfe der zugehörigen Geschwindigkeitskurven.

|T

~z>

dx

=y und

Anl. Die einmalige Integration der vorgelegten Differentialgleichung liefert — — 8x² -f- xé -f- C. Setzt man ^

bestimmt die Konstante C den gegebenen Anfangsbedingungen gemäß, so findet man als Gleichungen der Geschwindigkeitskurven

ff) V = 4 — x², ß) y = y(x² — 1) (X² — 7), y) y = Y x¹ — 8x² -)- 25.

Für die Zeit t, welche zur Zurücklegung des Weges x erforderlich ist, ergibt sich

¹ F(x){P = A)

«)    « t= f

dx

i(x* —    — 7) y 7

y)t =

j:

da:

y a:⁴ — 8æ² -|- 25 Diese sechs Gleichungen lassen die Bewegungen vollständigerkennen; die Untersuchung wird jedoch durch die geometrische Darstellung der Geschwindigkeitskurven wesentlich erleichtert.

Ci

§ 17. Differentialgleichungen von der Form

f (x ; y(r +¹), y(r +²)... y(nß = 0.

Einleitung. Wenn die gegebene Differentialgleichung

F(x- y^+V, y⁽~r+²), ... y(")) = 0

die Funktion y und deren r (r <ß n) erste Ableitungen nicht enthält, so setze man yir +x) = 2, wodurch man zu einer Differentialgleichung F (x, 2, 2',...    _ o gelangt, welche nur noch von

der (w — r — l)ten Ordnung ist.

Beispiele.

1> W* !    =0; l '»‘i Cfe + C,.

Lös.: y =--—--t    ?(1 + Gr) -j- O,.

3) Auf g. Man bestimme eine Kurve, für welche der Zahlen-wert des Krümmungsradius q in jedem Punkte gegeben ist durch die Gleichung

a) g = — x², ß) o = [ yi -j- x²\\

Lös.: a) Differentialgleichung:

. [yi+pf

dp

dx

allgemeines Integral : y — y₀ —

fia

(Cx -f-1 ) dx

C²)x²-2Cx-l

dp

dx

Il 1 — Il 1 -r'sf

x -j- 0 ] 1 -j- Y²

Hieraus folgt p =

y — y<> =

Wäre beispielsweise die Anfangsbedingung gestellt, daß für x = oc, p = 0 sei. so fände sich 0=0, und man erhielte y — y₀ = l {x -j- y#² — 1) oder x — 4-[e(y-y#) -f- e-(y-y°)] (Kettenlinie).

ß) Differentialgleichung :

. [yi+p²]³

dp

[yi-j-æ²]³ oder

dx

11 - 2Gx il -fx² — 0²"(1 + x*)’ (x -f- O ]/l —(— x²) dx

y l — 2 Gz y i +4 — O² (1 + Æ²)

Wird z. B. verlangt, daß für æ = 0, p = 0 sei, so wird 0 = 0 und y — yn = ^æ². (Parabel.)

4) Aufg. Ein Punkt bewegt sich in einer Parallelen zur Y-Achse; ein anderer verfolgt ihn vom Koordinatenanfangspunkt aus. Welche Bahn beschreibt der verfolgende Punkt, wenn seine Geschwindigkeit ranal so groß ist, als diejenige des verfolgten Punktes und wenn beide Punkte ihre Bewegung in der Abszissenachse beginnen? (Verfolgungskurve.)

T*

Lös.: Sei x — a = 0 die Gleichung der gegebenen Parallelen zur Y-Achse. Wenn der verfolgte Punkt im Punkte (a, Y) angekommen ist, so möge sich der verfolgende Punkt im Punkte (x, y) seiner Bahn befinden. Bezeichnet man mit t die Zeit und mit s die Bogenlänge der Verfolgungskurve, so besteht zwischen

dY

den Geschwindigkeiten’ ^

(lS

und ^ der beiden Punkte die Be-

d Y    fis

Ziehung-    woraus folgt J ds = nY. Die Gleichung der

Tangente im Punkte (x, y) der Verfolgungskurve lautet y — y = p(§ — x)- Da diese Tangente stets nach dem verfolgten Punkte, (a, Y) gerichtet sein muß, so hat man die Bedingung

Y—y=p(o — x) oder indem man Y =

fix

i'i+F

v o

dx einsetzt

1 -f- p² dx — y —p(a — x). Durch Differentiation ergibt sich hieraus

~ V 1 + P² — p = (a — x) — p oder

²⁾ dx~' Integriert man einmal, so wird

3) ZO+ ]/!++ =

dp    y 1+2)

n{a — x)

l{a — x) + C.

la.

Nun ist für x = 0 offenbar auch p — 0 und daher C = Substituiert man diesen Wert von C in die Gleichung 3), so folgt

oder

»(p + VT + p^-D-^

Das Integral dieser Gleichung lautet:

n-\- 1

n — ln

r\    {a — x) ¹¹

5) y — </o — 4» V-

an (n + 1)

an (a — x) n

in — 1)

Zur Bestimmung der Konstanten y₀ kann die Bemerkung dienen, daß die gefundene Kurve durch den Koordinatenanfangspunkt

du

gehen muß. Man findet y₀ —

Selbstverständlich können sich die beiden Punkte nur auf der Geraden x — a treffen und zwar nur dann, wenn n +> 1 ist.

Spezialfälle. 1) n = 2; y =

2a -(x-j- 2a) j/- ß - -

2) n — 1. In diesem Falle wird die Gleichung 5) unbrauchbar. Die Gleichung 4) geht über in p =

² [a — x

Integral dieser letzteren Differentialgleichung ist

; das

— \al{a — x)Ar (a - x)², wo y₀ = —    (|

— la).

§ 18. Differentialgleichungen von der Form

f(y, y‘, y", • • • y[n))= o.

Einleitung. Kommt in der gegebenen Differentialgleichung

F(y, y‘, y“, ... y(n)) = 0

die Variable x explizite nicht vor, so kann die Differentialgleichung in eine andere übergeführt werden, deren Ordnungszahl um eine

Einheit niedriger ist, indem man

dy

dx

= p setzt und y als unab-

hängige Variable wählt. Dadurch wird nämlich dp    ₌

² dy ’ dxs ^ dy² ' ^ \    /

_ d²y _

dx ^ dx²

dy

usw.

1) 1 +

dy \²

dx

d*y

dx²

Beispiele.

= O ; Lös.: (x — x₀)² + y- = G².

lO

²) y 1 +

dy \²

dx

— 1 = 0; L ö s. : y² — (x — x₀)² == C².

3) Aufg\ Es sollen alle Kurven gefunden werden, für welche in jedem Punkte der Krümmungsradius wmal so groß ist, wie die zugehörige Normale.

Lös.: Differentialgleichung :

. Il i -/'T

dp

= ny il+p² oder

dx

dp

y

allgemeine Lösung:

= 0(1 +F²)²

x — x₀ = nC

JiX~\rP²Y ¹ dp.

//

Spezialfälle. 1) n =^= 1 : y = \C [e

X — x₀

X— x₀

c ]•

2)    n — 2: (x— æ₀)² = 4G (y—C). (Parabel.)

3)    n = — 1: (x — x₀)² -\-y² = C-. (Kreis.)

(Kettenlinie.)

4) n — — 2 :

,J

x — x₀ = — C

i _fp + arctan^^ '

Substituiert man p = tang a, so folgt

y = C cos² a =    (1 -j- cos 2a),

—_j

\x — x₀ = — C (sin a cos a -f- a)

C (sin 2a -j- 2a). Für 2a = — (n -f <p) gehen diese Gleichungen über in

■i

( y = (i — cos (p),

\x — x₀ —    = \G (<jp — sin (p).

Die Kurve ist somit eine gewöhnliche Zykloide.

4) Aufg. Man bestimme alle Kurven, deren Krümmungsradien wmal so groß wie die entsprechenden Polarnormalen sind.

Lös.: Da

sin i)

^•2

dr

dtp

und

^•2

dr

d(f

d²r

dtp -

so hat man die Differentialgleichung

d²r

dff²\ ’

dr

d²r dp dtp² d(f

r² -f- p² = n |r² -f- 2p² — r ^ j = n |r² -j- 2p² — rp j •

Diese Gleichung ist homogen in bezug auf r und p. Substituiert man daher p und hieraus durch Integration

oder indem man

dtp

=p

setzt,

dr

rz, so folgt ~

zdz n — 1 ,0²+ 1

il

Nun ist

dr

dr

^ = p = rz, also dtp =    •

arctang z.

dz

n — 1 1 -f- z²

und ff — (pn =

n

Die allgemeine Lösung der vorliegenden Differentialgleichung wird somit dargestellt durch die beiden zusammengehörigen Gleichungen

(p — ⁽P o =

n

r = C (1 -f z²)* (»-b n ^ arctang z

oder durch die eine Gleichung r =

[cos**-—- (fjp — <Po)]n~l

rv

Kürzer gelangt man auf folgende Weise zu demselben Resultate: Wählt man für den Krümmungsradius die Form

ils

ils

°⁼ dä ⁼ dd -\- dcp ’ w0 a’ un<^ ^ iR der gewöhnlichen Bedeutung genommen sind, so besteht die Differentialgleichung oder dtp = n (dtp -f- d!J). Hieraus folgt unmittel-

n arctang

Jl — 71

ds

nr

dd -j- dcp sin &

bar (f — *p₍₎ =

d(p r~

*-=tan£

rdcp dr ’

dcp

i’i

tang

¹ —- (cp — <p₀) n

, r n ₇ .    1 — n .    .

l n = ï l sin (ÿ — y,,), (J 1—w    n y r"n

r = C[sin¹ -- ”(SP —y₀)Jr_“

oder mit Änderung der Konstanten r

r w — 1 cos

0/ — 9>o0]

Spezialfälle. 1) w = 1. Als wahren Wert des Nenners, der für w = l die unbestimmte Form 1°° annimmt, findet sich die Einheit. Daher wird die Gleichung der Kurve r = C und somit die Kurve selbst ein Kreis.

perbel.)

2) n = — 1 ; r² cos 2 (cp

9>o)

C'². (Gleichseitiges Hy-

3) n = 2; r

2G

• (Parabel.)

1 + COS (cp — cp₀)

4) n — \ ; r = C cos (cp — cp₀). (Kreis vom Radius \ G und durch den Pol gehend.)

r = C ]/cos 2 (cp — cp₀). (Lemniskate.)

5)    n =

6)    n — | ; r = 2C [1 + cos (cp — cp₀)]. (Kardioide.)

5) Aufg. Die Polargleichung aller Kurven zu finden, bei denen die Projektion des Krümmungsradius auf den Leitstrahl sich zum Leitstrahl verhält, wie l:w-J-L

Lös.: Differentialgleichung : çsin^:r=l:w-|-l oder nd(p = dd\

allgemeine Lösung : rn= C sin n (<p — (p₀).

(Vgl. die zweite in der vorigen Nummer angedeutete Lösung.) Welche speziellen Kurven ergeben die Werte n= 1, — 2, + 2 usw. ?

6) Aufg. Es soll eine Kurve gefunden werden, deren von x — a bis x = x gerechneter Flächeninhalt der wte Teil von dem Flächeninhalt des Dreiecks ist, das durch die Tangente im Punkte (x, y), die Ordinate y und die Subtangente gebildet wird.

Pà

Lös.: Die in der Aufgabe erwähnte Eigenschaft der verlangten Kurve findet ihren Ausdruck in der Gleichung:

y'L

- , aus welcher durch Differentiation folgt

2yy² — f d£

rix

1) n I ydx o

dy

oder 2) 2 (n — 1)

p‘*

ny = ł

Als allgemeines Integral dieser letzteren Differentialgleichung ergibt sich

3) y = C (x — X₀)2n - \

Die für y gefundene Funktion genügt der Gleichung 2); damit auch die Gleichung 1) befriedigt sei, muß x₀ — a sein. Die Konstante C bleibt unbestimmt.

Spezial fälle. 1) Der Fall n = \ verlangt eine besondere

dy dp

Behandlung. Die Gleichung 2) geht für n = 4 über in ^

Hieraus folgt y = C₁cCx. Da sich jedoch mit Hilfe von 1) ergibt, daß C₁=0 sein muß, so reduziert sich die gefundene Gleichung auf y = 0 ; es liefert daher n = { keine Lösung der gestellten Aufgabe.

2)    « = ■§•; y — C'(x — a)². (Parabel.)

3)    w = f ; y = C(x — a)².

4)    « = 1 ; y = C (x — a). (Gerade.)

7) A uf g-. Die gewöhnliche Pendelbewegung ist definiert durch die Differentialgleichung

(Neilsche Parabel.)

d²x

y sin x,

wo x den in der Zeit t beschriebenen Zentriwinkel (ausgedrückt in Teilen des Halbmessers), g die Beschleunigung der Schwere und 1 die Pendellänge bedeutet. Man diskutiere die Bewegung.

dt²

zF

A n 1. Die einmalige Integration der vorgelegten Differentialgleichung ergibt = y

C=v₀² — y setzt, Geschwindigkeitskurve wird daher

cosx-j-C oder, wenn man (elf) ~ v°² — T s^n2i^- Gleichung der

y=]/v

^ sin² 4-.«.

" 7

Die Zeit t, in welcher das Pendel den Winkel x beschreibt, ist bestimmt durch das Integral

r.

dx

j/7

^ sin² \x

v F (x) |wenn x² = ^

<*)■

Die Bewegung wird eine wesentlich andere, je nachdem

t’₀²5§^y, d. h. je nachdem die Anfangsgeschwindigkeit 02^gl ist.

Nimmt man an, daß der Winkel x sehr klein ist, so kann man sin \x = \x setzen. Dann wird die Geschwindigkeit

Sohncke’s Aufgabensammlung. II.

10

Für die Werte x = + v₀

2/=]Ao²

wird die Ge-

schwindigkeit = 0, hier kehrt also das Pendel seine Bewegungsrichtung um. Die Zeit, die verläuft, bis das Pendel, von einem Umkehrpunkte ausgehend wieder dahin zurückgelangt ist, ist

dx

*’o yi

<JX²

winkeis v₀ j/~

Sie ist also unabhängig von der Größe des Schwingungsund hängt nur von der Länge des Pendels ab.

§ 19. Homogene Differentialgleichungen.

a) Wenn eine Differentialgleichung in bezug auf die Größe y und deren Ableitungen homogen ist, so führen die Substitutionen

fudx dy    d²y du .    „

'    - dx=y-u’    +    ,1SW-

zu einer Differentialgleichung, deren Ordnungszahl um eine Einheit niedriger ist, als die der gegebenen Differentialgleichung.

ß) Eine in bezug auf x, y und die Differentiale dx, dy, d²y, ... dny homogene Differentialgleichung geht durch die Substitutionen

ë dt,

x = ë, y = e •*, dy=L-\- d*f j

ë dt² usw.

io (de , d²z\ dy~~ [dt + dt²) in eine Differentialgleichung über, in welcher die Variable t explizite nicht vorkommt und welche demnach gemäß 5) eine Erniedrigung der Ordnungszahl gestattet.

y) Wenn eine Differentialgleichung in dem Sinne homogen ist, daß man in derselben x und dx als Größen erster Ordnung, y als eine Größe ,t< ter Ordnung und dem entsprechend y', y“ usw. als Größen (ß— l)ter, (ß— 2)ter usw. Ordnung betrachtet, so ergeben die Substitutionen x = et, y = e“fz eine Differentialgleichung, welche t explizite Dicht enthält und welche daher einer Erniedrigung der Ordnungszahl fähig ist.

Beispiele.

i) ,p"..    .

dx²    x²

Lös.: Diese Differentialgleichung ist homogen in bezug auf die Funktion y und deren Ableitungen. Setzt man daher y = /udx^

dy

dx

= udx² = ^ dx    S0 ^^ese^e über e^ne Differen

tialgleichung erster Ordnung x²du = (2— x²u²)dx.

Zur Integration dieser letzteren kann die Substitution    = z

dienen. Man erhält der Reihe nach

dx

dz

a:

z² — z — 2’ Æ

\l nz -f-1    dy

tH

C -f- 2a:³

x⁴ — C'a: ’

i V t* C H⁻ 2a:³ ,    ~ a:³ — (7

¹ r. - J .d <y',r- ,J = °'    X--

dy

'J dx

fc² + X²

Lös.: Mittels der in der vorhergehenden Nummer angewandten Substitution gelangt man zu der Differentialgleichung

du

dx

= — (a -j- b) u².

yc²-\-x²

Wendet man auf dieselbe das im § 9, Aufg. 17) angegebene Verfahren an und setzt noch zur Abkürzung

I (x -f- ]/c²-\-x²)a

dx = X, so findet man

a (a:-(-1lc²Ą-x²)

und daher l y, =

üj

a Ç(x -f- fc²-\-x²)a dx __

a + b J X+.C

10*

Die Berechnung von X = tert durch die Substitutionen

CH' Ći/ X    i n\

⁼ a + b J X-fü ⁼ a + b ¹ (X + ( , )-

^ {x + ^c²-\-x²)a

dx wird erleich-

x -j- l/c² -j-x² = ta, x = ^ (ta — CH-“), dx = \a {if¹-¹ -f- c² f~a-1) di. Es wird

a -\-l

+ c²

X = ^a

t~a+¹

— a -j-1

; folglich

y = o±

(x -j- yc² -j-x²) a

-f- c²

-«+i

(x -f- yc²+^-) a

— a -j- 1

+ <?

2 [a -j- 6)

Die Fälle a — -j- 1 machen eine besondere Berechnung der Größe X nötig.

d*y

3) a²

= uy,

Lös.: Substitution : y = e'- wdx,

d²y du .    ₀

dx2 ==y dx^U V]

C

allgemeine Lösung : y = Cx -f- ¹ •

4) wæ³

d²y

dx²

Lös.: Diese Differentialgleichung ist in bezug auf die Größen x, y, dx, dy, d²y homogen.

öv

Setzt man dem entsprechend x — e\ y — ëz, y

dx

= z-\-z‘,

d²y

d²z'

= (z‘ -f- z“) e

so verwandelt sie sich

in die folgende: n (z‘ -j- z") — z‘², deren allgemeines Integral

= nl ^~ lXQx °der y = nxl ^%Xqx ist.

5) Aufg. Eine Kurve zu finden, deren Krümmungsradien von einem gegebenen Punkte aus sämtlich unter demselben

dx²

SS

wo z‘ —

, *" =

dt²,

Winkel (= arctang a) erscheinen. {Nouvelles Annales de Math., Bd. NIX, pag. 285.)

/J

Lös.: Es werde der gegebene Punkt zum Koordinatenanfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems gewählt. Bezeichnet man die Koordinaten eines beliebigen Punktes P der gesuchten Kurve mit x, y und die Winkel, welche die nach P und dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkt gezogenen Leitstrahlen mit der Abszissenachse einschließen, beziehungsweise mit (p und cu, so muß der Aufgabe gemäß ca — p = Const. sein.

Nun ist, wenn X, Y die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind,

dx

tang cu —

y + sds

dp

'É+¹+**

dy

; (vgl. Bd. I, S. 172.)

bo

— cp)

tau g eu — tang cp 1 4- tang cu • tang cp

(p+mO-+ir)

dp

Jx + (y — px) (1 -f p')

Man hat daher zur Bestimmung der verlangten Kurve die Differentialgleichung

i)

(x + pij) (i i- p-)

dp

a.

(%- + y²)    + px) (x + p²)

Dieselbe ist in bezug auf x, y, dx, dy, d'²y homogen und gestattet daher eine ähnliche Behandlung, wie die vorhergehende Aufgabe.

Wird x — é, y = zeK p = z-\- P,

^ = (P + z“) e-t gesetzt, so folgt

Oï [l + *(* + <)][l + (* + *')²J    ₌

j (1 + **)(*' + >0 —> [1 + O + *')²]    ■

Die Substitutionen z = tang y>, z + et = tang a

z' -f- zH = a‘[ 1 + (^ + O²] ⁼⁼

a'

cos² a’

COS² (f

z‘ = y-' (1 + ^²) =

= tang a — tang r/

ergeben weiter

= a(a‘ —

tang (« — (f)

Sonach wird dtp == a tang (a — (p)d (a — </>),

a = C cos (« — f/>).

3) | = —Z [O cos (« — ?>)], c

(A/

Nun ist a — ff = cos $ =

dr

y^r² -f- (rdipY

; daher

oder

dr

d(f

2qp

und

C²e« —1

d(f

2qp

4) lCxr = a H !

. e

— a arcsin

C² ea — 1

Spezialfälle. 1) a = 0 ergibt r = Const. (Kreis.)

2) a = oo in die Gleichung 3) eingesetzt, liefert IC cos (a — (f) — IC cos 9- = O, C cos & = 1, cos -9- — Const. (Logarithmische Spirale.)

dx² r dx) ’ Lös.: y = Cxx — x arcsin

6) Æ⁴

⁷) dx² ~(x* + 2xiJ) Ix + 4y~

Lös.: Diese Differentialgleichung wird homogen, wenn man in derselben y als eine Größe zweiter, x und dx als Größen erster Ordnung ansieht. Setzt man demgemäß

x = ë, y = e2t-z, wonach

= 0.

d²y

= 2z -j- 3z‘ -J- z",

= é (2z -}- z‘),

so geht dieselbe über in 2z‘ — 2zz‘ -j- z“ = 0. Substituiert man

dx²

noch z* — u, z“ = u J*, so folgt 2 — 2z -f- J^j—0. Die Lösung n = 0 ergibt y = cx². Setzt man aber 2 — 2# -f-

fl p

findet sich u = ^ =(z — l)² -J- C,

^

t-\- C\ = ^ arctan g    ^ , wenn C positiv ist.

= tang ]/ 0 (£ -f- Dj). Nun ist £

du

&=°>so

, t = lx, also wird

Æ²

Jä — 1 = y C tang [y <7 (to + Oj] oder

y = x² {l -)- ]/(7 tang [y (7 (to + Oj]}*

Anm. Als Übungsbeispiele für die hier angedeutete Methode können auch einige der nachfolgenden linearen Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten verwendet werden.

fc

§ 20. Lineare Differentialgleichungen ohne zweites Glied.

Einleitung.

Erster Fall. Sämtliche Koeffizienten der gegebenen Dif-ferentialgleichun g

•«=£-+*£A!+-+ï|+^=°

seien konstante Zahlen. Durch die Substitution y = erx geht <I> (y) = 0 über in

(p ( erx) = erx [rn -J- Pr»-¹ + ... -f- Tr -j- ü] = 0.

Dieser Gleichung kann durch die Wurzeln der charakteristischen Gleichung

rn -f- Prn~l    Tr -f- U = 0

genügt werden. Wenn sämtliche Wurzeln der letzteren voneinander verschieden sind, so erhält man n partikuläre Integrale y₁₌eriX, y.₂=er-x, .... yn = ernx, und es ergibt sich als allgemeines Integral der vorgelegten Differentialgleichung

y = G₁eriX -(- C₂e' --¹    -j- Cnev — Cly₁-J- Cl₂y., —(— -.. —j— C„yn.

Für eine m-fache Wurzel r' der charakteristischen Gleichungsind die ausfallenden (m — 1) partikulären Integrale zu ersetzen durch die folgenden:

y — x er'x, y — x²er‘x, .... y == xm~l er‘x.

Zweiter Fall. Die Differentialgleichung

J"y

(ax -f- b)

dxn

-j- P (ax -j- b)¹

dn~¹y

dxn~l

dy

+ T (ax -j- fy ~\~ Uy — 0,

wro a, b, P, . . . T, U konstante Zahlen sind, gestattet für die Annahme y = (ax-\-b)r eine ganz ähnliche Behandlung, wie der erste Fall. Wenn r‘ eine m-fache Wurzel der für r sich ergebenden Gleichung wten Grades ist, so treten an die Stelle der ausfallenden partikulären Integrale die folgenden:

y = (ax -j- b)r‘ • I (ax + 5), y = (ax -f- Vf • P (ax -j- b),

... y = (ax -j- b)r‘ • Im~l (ax -(- b).

Beispiele.

\ dsy i d'²y

dx* ⁺ dxn- ~

Anfangsbedingungen : Für x = 0 soll y =

%+15y = 0.

dx

i.f

dx

d²y

'd&

= b“ werden.

Lös.: Annahme: y = erx, charakteristische Gleichung:

r3 r2-r _j_ 15 _ 0,

Wurzeln derselben: r, = — 3, r₂ = 1 -j- 2i, r₃ = l — 2 i,

partikuläre Integrale: y₁ = e⁻³*, y₂ =e(¹+²«')^,

ys = eV—²0*.

Nun ist y.₂ = eK (cos 2x -f- i sin 2x), y, = cv (cos 2x — i sin 2x)1 y2 — ys

y² 'g — = ex cos 2x, g;

hat man sonach die partikulären Integrale

daher

= ex sin 2x; in reeller Form

153 —

yx = e~s-v, y.₂ = e? cos 2%, ys = ev sin 2x, allgemeine Lösung : y = CX e~3x -f- C₂ ex cos 2x + C₃ ev sin 2x.

Bestimmt man, um den Anfangsbedingungen zu genügen, drei partikuläre Integrale yx, y»_ und ys von der Eigenschaft, daß für x = 0,    yx    — 1,    yi = 0,    yx ■    0,

y-2⁼⁼ o,    y.2 r= 1?    y2 o,

ys    = 0,    ys' = 0,    &"== 1,

so lautet die allgemeine Lösung: y = byx    + b‘y₂ -|-&"y₃, wobei

2/j — -|c-³-r + \e? cos 2x,

y*= — ïV~?x + Tü⁶* cos 2x + Tö^ sin 2a;,

Vs = itf~Zx — ïVx cos 2a: + sin 2a;.

b, f

⁷ dx

Anfangsbedingungen : Für a: 0 soll y

d²y

= b“ werden.

Lös.: Allgemeine Lösung: y — Cxc? -f D₂e²-r-f Gze~3x.

Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen nimmt dieselbe die Form an:

y = (V> — {b‘ - \b") e + (- |i + IV + *4") è* +

+ (*»-** + *»") «-**•

. » 2-*3+*-»

dy

Anfangsbedingungen: Für x = 0 soll y = b, ^ = b“ werden.

= b‘

dhy

dx²

Lös.: Charakteristische Gleichung : r³ — 3r² -f- 4 = 0, Wurzeln derselben: rx = r.₂ =2, r, = — 1. r — 2 ist eine Doppel Wurzel.

Partikuläre Integrale : yx — e2x, y.₂ = xe-x, ys = e~x, allgemeines Integral : y = (Cx-\- C₂x) e2x + Cze~x, oder unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen y = %i + h% +    , wobei

y₂ = [(4 — Sx) e²* — 4e⁻*], 2/s= [(— l-j-3z)c²* + e-*].

^T4)

Ol- cd-

dby

<od*y 4 + d    4 dx

Lös.: Charakteristische Gleichung : r'° 4- 3rs — 4r = 0, Wurzeln derselben: r± = 0, r.₂ — 1, r. = — 1, ri = 2i, r. = — 2i, partikuläre Integrale: yl = 1, y₂ = e'c, y.a = e~x, yi = sin 2æ,

=cos 24

allgemeine Lösung: y = C₁ -f- C^e* -f- C₃e-X -f- C₄ sin 2æ -j- Q cos 2.r.

a » <g-«g'+»g -»1+«-*

dx⁵

= 0.

6) x

Lös.: y = (C} -f- C.₂x) éix -f- ec (G, sin \x -J- Ci cos j-x).

2 d²y

dy

15 y = 0.

+ 3xdz

Lös.: Annahme: ÿ=xr, charakteristische Gleichung: r (r — 1) -f- 3r — 15 = 0,

Wurzeln derselben: r, = 3, r.₂ = — 5,

partikuläre Integrale : yl — x‘\ y₂ = ^ ,

allgemeine Lösung: y = Cxxs + ~

oc>

3 dzy dx³

Lös.: Annahme: y = (x— 2)r, charakteristische Gleichung: r (r — 1) (r — 2) —- 2r —{— 4 = 0,

Wurzeln derselben: rx = r₂ = 2, r, = — 1. r = 2 ist eine Doppelwurzel.

Partikuläre Integrale : yL = (x — 2)², y.₂ = (x — 2)²1 (x — 2),

dx²

C.

_2

7) (x — 2)

— 2(x — 2)^| + 4i/ = 0.

x — 2’

Os

allgemeine Lösung : y = [C₁ + 0₂1 (x — 2)] 4 — 2)² -j-    " ₉

Oß Li

3 d³y

idAy

cfa:⁴

— 2 [x-\- a)

ćte³

2 d²y _ dx²

À dy

-b(? + a>dx

+ 5y = 0.

155

Lös.: Annahme : y = (x + a)r, charakteristische Gleichung : r⁴ _ 8rs _j_ 18r2 _ iQr 5 ₌ o,

Wurzeln derselben : rx = r., = rs = 1,    = 5,

partikuläre Integrale : yx = x -J- a, y2i — (x-\-d)l{x-\- a), ih = (x + «) V (x + a)Yi yi = (x + «)⁵,

allgemeine Lösung:

y = [Oj + 0-> l (x T“a) +^3 ^ (x d- a)) (x + a)    c4. kxJr aY-

dy

9i (1 + z)s + (1 + *)³ 0 + ³ C + *) £ - ⁸» = 0-

Lös.: Annahme : y = (1 -f- #)’’> charakteristische Gleichung : rs — 2r- -j- 4r — 8 = 0,

Wurzeln derselben: rx =2, r₂ = 2(, r₃ = — 2i, partikuläre Integrale : % = (1 + XY? % = (1 + x)2i = e2ilil+^ rjä = (1 -j- x)~2i = e~2il (¹+*)

oder in reeller Form :

& = (1 + *0², y₂ = cos[2Z(l+«)], yz — sin [21 (1 -j- x)\,

allgemeine Lösung:

y = Gx (1 -\~XY+ C-2 COS (1 + XY] + Cä sin U C¹ + xYl

§ 21. Lineare Differentialgleichungen mit zweitem Glied.

Einleitung. Das allgemeine Integral einer Differentialgleichung mit zweitem Gliede dn~x y dxnl

dny

dxn

+p

dy

in welcher P. Q. ... T, U, V im allgemeinen Funktionen von x sind, hat die Form

y = Y -\- Gxy y -\- C₂ y₂ -)- ... C„ yn,

wo

Y ein partikuläres Integral dieser Differentialgleichung, tj—G₁y₁ + C.₂y₂ + . . . Cnyn dagegen das allgemeine Integral der nämlichen Differentialgleichung mit gleich Null gesetztem zweiten Gliede ist. Man kann daher leicht zum allgemeinen Integral der vorgelegten Differentialgleichung gelangen, wenn es auf irgend eine Weise gelungen ist, ein partikuläres Integral 1

156

derselben zu finden, vorausgesetzt, daß man das allgemeine Integral der „verkürzten“ Differentialgleichung kennt.

a) Methode der Variation der Konstanten. (Von Lagrange.) In dem allgemeinen Integral der Differentialgleichung ohne zweites Glied

y — Ci Ui + ^2 y 2 4~ • • • H⁻ Cn y «

werden Cx, 0₂, ... Cn als Funktionen von x betrachtet, deren Differentiale aus dem System der n Gleichungen

dC, .    d Cn

dx    ^² dx

dy₁ dCl dy₂ dC2 dx dx ' dx dx

dCn

dx

= 0,

4--

I dy n d Cn_

' ' dx dx

d'l~²yx d C1 dxn~² dx

dll-²yn dCn dxn~² dx

d,lC% dC2 dxn~² dx

dn~ly₁ dCy dn-% dC>    , dn~lyn d C„

dxn~l dx . dxn~x dx ‘ ‘ ' * ' dx1l~l dx

4-

4-. • .+

= 0,

zu bestimmen sind. Aus den sich ergebenden n Gleichungen = ff , (x), (i — 1, 2, . . . n) folgt dann unmittelbar

da

dx

Ci — j (ft (x) dx 4- Ci.

b) Methode von Cauchy. Wenn die Konstanten Clt C₂, . . . Cn in dem allgemeinen Integral der Differentialgleichung ohne zweites Glied y = yx -j- C₂ 2/a 4~ • • • + Cnyn so bestimmt sind, daß für x = a den Anfangsbedingungen genügt wird :

= 0,

y a = °; y‘a = 0, . . . y⁽”~²⁾ —

dann ist Y= I yada ein partikuläres Integral der vorgelegten

Differentialgleichung mit zweitem Gliede, deren allgemeines Integral sonach lautet:

y — y4- Ci yy 4- c.₂ y₂ 4- . . . 4~ Gnyn.

c) Methode der integrierenden Faktoren. Werden

beide Seiten der gegebenen Differentialgleichung mit vdx multipliziert

•®+p

d,l~xy

dxnl

+ ...+T

dy

dx

+ Uy'j dx = v Vdx,

i'i

so wird die linke Seite ein vollständiges Differential, wenn v der Differentialgleichung

dnv dn~¹(Pv)    dn~²(Qv)

dxn

dxn~~²

+ • • • (-1)¹

d ( Tv)

dx

+ (-l)*üt> = 0

genügt. Diese letztere Gleichung liefert n integrierende Faktoren, mit Hilfe deren man nach wiederholter Anwendung der teilweisen Integration n Integrale erster Ordnung, d.h. n Gleichungen dn~ly dx ’ dx" -1 die eben genannten Funktionen berechnen lassen.

Es ist eine empfehlenswerte Übung, die nachfolgenden Aufgaben nach jeder der angegebenen Methoden zu lösen.

zwischen y,

dy

erhält, aus denen sich im allgemeinen

Beispiele.

d²y

-|- a² y — cos bx.

dx²

Lös.: 1) Variation der Konstanten. Allgemeine Lösung der Differentialgleichung ohne zweites Glied:

y — Ct cos ax -j- C₂ sin ax.

Hieraus folgt durch Differentiation, indem man Cx und C₂ als Funktionen von x betrachtet,

dy

a'C

~ = — aC₁ sin ax -}- aö₂ cos ax -j- cos ax -f- sin ax

dC₂

dx

Setzt man hierin cos ax

dC

^    d(j

dx s*n aX dx ~ S0    die weitere

Differentiation d*y dx²

— a² C\ cos ax — a² C₂ sin ax — a sin ax

dü

ji

dx

dC.

4- a cos ax , ² • dx

cl² y dx¹

Differentialgleichung“ genügt werden, so hat man — a sin ax

Zur Bestimmung der Funktionen Cx und C₂ dienen die Gleichungen

Soll durch die für y,

gefundenen Ausdrücke der gegebenen

dC

dx

-f- a cos ax

dC,

dx

— cos bx anzunehmen.

cos ax

dCx

dx

-f- sin ax

dC₂

dx

= 0,

d Gt

— a sin ax + ° cos ax Aus denselben findet man

dC₂

dx

----- cos bx.

dx

^ cos bx sin ax,

dC.₂

dx

cos bx cos ax,

und daher durch Integration 2a aĄ-b ⁼ 2a

1 cos (a -f- b) x cos (a — b) x

1 [sin (a -|- b) x

sin (a — b) x

a ~\-b

+ B.

Somit lautet das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung

V 2a

1 cos (a-\-b)x cos (a — b)x

a —|— b

cos ax -f-

1 sin (a -|-b) x

sin (a — b) x

a-\-b

sin ax-j-A cos ax B sin ax =

cos bx

-j- A cos ax -f- B sin ax.

2) Methode von Cauchy. Bestimmt man in dem allgemeinen Integral der Differentialgleichung ohne zweites Glied y = Cx cos ax-)- 0₂ sin ax die Konstanten Cx und C₂ so, daß für

x — a, ya = 0 und

ein partikuläres Integral der gegebenen Differentialgleichung mit zweitem Gliede. Hiernach findet man

«² - b²

j = cos ba wird, so ist Y = J yada

a    h-*■

C₂ = 1 cos ba cos aa,

cos ba sin au • cos ax -j- ^ cos ba cos aa ■ sin ax.

¹    te

1 Px

Y = — j [— cos ba sin aa cos ax -j- cos ba cos aa • sin aœ\ da =

cos ba sin aa.

_ cos bx

~ a² — b~ ’

Es wird demnach das allgemeine Integral der vorgelegten Differentialgleichung, wie oben cos bx a² — b²

3) Methode der integrierenden Faktoren. Multipliziert man die gegebene Differentialgleichung mit vdx

dx -f- a-vydx = v cos bxdx

und integriert mittels der Methode der teilweisen Integration, so folgt v dy

-j- A cos ax -f- B sin ax.

1) v

d²y

dx'²

dx

fdy-.dvdx4- f

J dx dx ' J

a²vydx =

oder indem man zur Umformung dieser Gleichung dieselbe Methode nochmals anwendet

2) 3

dx

Hieraus erkennt man, daß die einmalige Integration der vorgelegten Differentialgleichung ausgeführt werden kann, wenn

\-a?v\dx = 0 ist. Zur Bestimmung der integrierenden

Faktoren v hat man daher die Differentialgleichung

^ -f- a²v = 0. Die partikulären Integrale derselben v₁ — cos ax,

v₂ = sin ax liefern die gesuchten integrierenden Faktoren. Die Gleichung 2) ergibt nun die beiden folgenden ersten Integrale

dy cos ax -j- ay sin ax — J cos ax cos bx dx -f- G₁,

^sin ax cos bx dx -f- C₂,

fii

d²v

dx²

d²v

dx

dy .

sm ax — ay cos ax =

dx

aus denen das allgemeine Integral der gegebenen Differential-

clv

gleichung durch Elimination der Ableitung ' kann. Man findet

dx

erhalten werden

cos Ix a² — b²

-f- A cos ax -f- B sin ax.

4) Durch Erraten. Das zweite Glied der gegebenen Differentialgleichung ist cos bx. Es liegt daher nahe, zu versuchen, ob in dem Ausdruck y = C₁ cos bx -f- C.₂ sin bx sich die Konstanten Cx und C₂ so bestimmen lassen, daß derselbe der Differentialgleichung genügt. Man hat

y=C₁ cos bx -f- C.₂ sin bx,

d²y

— b²Cx cos bx — b²C₂ sin bx.

dx²

Setzt man diese Werte in die Differentialgleichung ein, so folgt — b²Cx cos bx — b²C₂ sin bx + a²Cx cos bx -f- a²C₂ sin bx = cos bx. Hieraus findet sich durch Koeffizientenvergleichung

Cx — a2 ^2 un^ C₂ = 0. Es ist daher y — ^₂_ein parti

kuläres und somit

cos bx

y~ a² — b²

A cos ax -f- B sin ax

das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung.

Im Falle a = b ist der gefundene Ausdruck zu ersetzen durch

„,    .    x sin ax .    .    .    .

folgenden : y= ^ -ff- A cos ax -j- B sin ax.

²)    + y = a cos 2x.

clti

Anfangsbedingungen : Für x = 0 soll y = 0 und X- = 1 werden.

ib

Lös.: y — — \a cos 2x -f- \a cos x -f- sin x.

d^v

3) ■— + k²y — fix), wo f eine beliebig gegebene Funktion

bedeutet. (Differentialgleichung der gestörten Schwingung.)

cos hx

Lös.: y —

sin&z ts* , s ₇ ,

-— I j (xj cos kx dx

nx

I fix) sin Tcxdx -f-

+ A cos Tex -(- B sin hx.

X ⁴)

tVy

Lös.: y =

| — 14y = sin mx. sin mx

m⁴ — 5m² — 14

_j_ cx#n 4 Cae-<² +

5)

4 Cs cos 7 -J- 0₄ sin xi 7 . Für m = 4 ]/ 7 verliert diese Lösung ihre Bedeutung.

^-⁹I+²⁰^^

Lös.: y = -SV²'² 4    + ïIm + ^'ie4x + LoC⁵*.

6)

'[ — a⁴y = x².

Lös.: y =

a⁴

⁷> +⁴»=*²-

oc ^

, -j- 4 ea-r -J- C.,e-(iX + Co sin ax -[- C± cos ax.

S)

Lös.: y = I«² 4 \x H⁻ ł + Cxx&* 4 L₂e2a:. dXj dx²

dy

— 2a 4 a%y — e’nx-

*mx

4 A eax 4 Bx eąx.

Für m = a tritt an die Stelle dieser Lösung die folgende:

y = (A 4 Sx 4 4‘²)e<tx-

(m — a)

9)

(Py

dx²

Lös.: y = (-jäc ■ 4 Lj —(— C^x) cv.

f/./

10) F²

d²y

cL²

dy

-Î- — 2 y = xn. dx y

a?»

4 Ljir 4

Lös.: y =

Für n — 1 ist diese Gleichung zu ersetzen durch

(m — 1) (n 4 2)

wl-

xlx 4 Oxx 4 x2 ? un(i für n — — 2 durch

y — — 042    Lj# h—- •

X²

§ 22. Simultane Differentialgleichungen.

Wenn die Anzahl der unbekannten Funktionen größer ist als 1, so sind zu deren Bestimmung ebenso viele (simultane) Differentialgleichungen erforderlich, als unbekannte Funktionen vorhanden sind.

Sind beispielsweise zwei Differentialgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen y und z gegeben

fi (x; y, y\ • • • yr<m)\ *,    z[p)) = o,

A («; y, y‘, • • • 2/(n); A • • • ^(?)) = o,

= (f (x) zu integrieren.

dxr

so kann man zum Zwecke der Elimination der Funktion z die erste Gleichung ą mal und die zweite p mal nacheinander differen-tiieren, wodurch man im ganzen (p -f- ą -j- 2) Gleichungen erhält, wovon (p + <1 + 1) im allgemeinen zur Berechnung der (p + g 1) Größen z, z\ z“, . . . z^p+^ hinreichen. Setzt man die so gefundenen AVerte in die noch nicht verwendete (jp ą -}- 2 ) te Gleichung ein, so ergibt sich eine Differentialgleichung, welche nur y und deren Ableitungen enthält. Nachdem die Funktion y und damit auch deren Ableitungen bestimmt sind, ergibt sich die Funktion z im allgemeinen durch bloße Substitution der gefundenen AVerte in den bereits für z erhaltenen Ausdruck. Sollte in den beiden gegebenen Gleichungen die Funktion z explizite nicht Vorkommen, so könnte man nach Bestimmung der Funktion y die niedrigste vorkommende Ableitung von z durch bloße Substitution berechnen und hätte hierauf noch eine Differentialgleichung von der Form

Beispiele.

dx

dy

-\-2x-\-oy = e\

²- dt

Lös.: 1) Aus der ersten der gegebenen Gleichungen folgt unmittelbar

SS- SS-

&

3) y — -g-    4#

163

und hieraus durch Differentiation

4)d,J ' dt

. dx 4

ä-x\

”M1_

(XV

Setzt man die für y und gefundenen Werte in die Gleichung 2) ein, so ergibt sich die Differentialgleichung

dt dt'² /

d²x

dx

welche nur noch die Funktion x enthält. Das allgemeine Integral von 5) lautet:

x =

+ t¥ —    + C.₂e-lł.

Nachdem auf diese Weise die Funktion x bestimmt ist, gelangt man ohne weitere Integration mit Hilfe der Gleichung 3) zu dem Werte der Funktion y. Es wird

V — Tg 4“ ~ł$et    4" G₃e_ ¹¹.

2) Subtrahiert man die mit einer unbestimmten Konstanten l multiplizierte Gleichung 2) von der Gleichung 1), so kommt

dx

dy

3) ^    ^ dt "*j~    ^ ^ 4~ (3    5l)y — t le\

und hieraus, indem man x — ly — z, x = z-\-ly substituiert ch + (4 — 21) z + (3 — l — 2P) y = t — leK

Die Funktion y kann nun dadurch eliminiert werden, daß man 3 — l — 2/l² = 0 setzt. Führt man die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung lx =1, l.₂ = — f in die Gleichung 4) ein, so ergeben sich die zwei weiteren Gleichungen

a+

4)

dt

5)

dz

deren Integrale

= x — y = — { 4- ¥ —    4" cie. ²'>

z2= x + \v — — tV 4-4*4- tbc< 4" u

sind. Durch Auflösung dieser letzteren Gleichungen nach x und y erhält man, wie oben

4- t¥ — iet 4- ! Gxer²¹ + f C.Äe- ‘l,

V — -gV — 7^4“7⁵ie<    2< 4- 1 C₂e ¹¹.

TBïï

164

2)

-j- hx — 2 y = e\

— x -f-    = e2t.

Lös.: x = j\e⁽ + 4^ + Cxe~4t + C.₂e~^,

V = A* +    + \Cye~* - C.₂e~>K

***+5*+y=«*,

³⁾ dt

dy

dt~x + 3y = ^

Lös.: æ = 44 — ^e2/ -f- Cxe~4t -\~ Cote-⁴¹,

y = A* + i-V²' - (4 + <?₂)    - Ąfc""-

4)

= « + y,

Ö)

= x — y.

Lös.: x = C\ei}2 + G₂e~*¹²,

y = C± (]/2— 1) 4'² — C₂ (]/2 + l)e-^L

_ z , dy

= Æ.

Lös.: x = — 1 — £ 4" Ôe",

Lös.: x=C₁#1* — C₂e-^² 4-0₃,

y = 0, (f2 — 1) e»'* + Ç, (V2 ■+ 1) e-“'² + C₄.

gjT = axx 4- bsy.

Lös.: x Ą- bxy = C₁e^a+aiki 14~ C₂e~ ,a+ai;-¹^ æ -I- 1.,y — Cod/a+ai/it 4~ Cr₄e~l a+a‘/i-2<,

165

wo ly und l₂ die Wurzeln der quadratischen Gleichung ciyl² -(- (a — by) l — b == 0 bedeuten.

— 11a: -J- 16y,

8)

d²x

dt²

8a: —13?/.

dt²

Lös. : a: = 2C₁e^³ -j- 2C₂e~t}3 — Cs cos t]/5 — Cy sin ^5, y — — G₁e^'³ — C.₂e~f^ -|- (X cos tfb -j- G₄ sin f}' 5.

d²a:

9 ) dt²

= 2®+'3ÿ + 5,

d²y

A* = - 22a: — 15y + 4.

Lös.: a: = || -f- C'i cos 2a: -J- C.₂ sin 2a: -J- C, cos 3a: -j- C₄ sin 3a:. y =—— 2 Cy cos 2a: — 2 C₂ sin 2a: — y Cs cos 3a: —

— y Cy sin 3a\

10)

d²x

dt²

^y- = -2x + 2y + S.

Lös.: x — — %-\-Cyé-\- C₂e~⁽ -J- C₃e²* -f- Cyß-²¹,

y = — y + 2C±eł -f- 2C₂e-¹ — Cse2t — Cye~2t.

-j- m²y = 0,

d²x

U ) dit²

d²y

dt²

— m²x = 0.

mV 2 t

L ô.s. : x = [Cye ²

mV 2 t

y = [(7,6 ² —(7,6

m V 2J

-f C₂e ² ] cos

m V 2 t

+ [0,e ²

m} 2 t

2 * + m \ 2 t

+ Cye ²    ] sin

ni

t.

n%y 21 — [C-e ²    -

m\2t

2 n ni y 2 ] cos |

t.

12)

-f- m²a: = 0,

3b

-|- m²x — 0.

Lös.: x = Cx cos mt -f- G₂ sin mt,

y = — Cx cos mt — C.₂ sin mt -f- Czt -f- C

ri -/y*

13)    + x + 2y = cos mt,

dP

d²y

df2 + xłx — y = sin nt.

Lös.: a: = —

1 -j- m-

m⁴ — 16

cos mt

M⁴

sin nt + 0₁e2i: +

-j- (7₂e_2* -f- 0₃ cos 2£ -f- (7₄ sin 2t, — w²

-16C0SB!* + +‘-16

sin nt — |Cxe2t —

— \C₂e~2t -{- f 0₃ cos 21 + f0₄ sin 21. Für m = -f- 2, »= + 2 verliert diese Lösung ihre Gültigkeit.

d-x

14) f^₂ -\-bx-\- 2hy — cos 2t,

d²y

— Ax — 15y = sin 2t.

Lös.: x = — cos 2t — f~f- sin 2t -f- (Cx +    1) e^⁵ -j-

+ (Cs-\-c₄t)e-<^,

y = s⁴t cos 2t -f ¥V sin 2t — f (Ct -f CJ) e⁽¹'⁵ —

_

25

dy

¹⁵) i) dt +<p‘ 09 y — xp‘ (t)x — o,

dx

²⁾ dt

-j- ip‘ (t) y -(- y' (t) x = 0, wo (f‘ (t) und ip' (t) die Ablei-

tungen zweier gegebenen Funktionen <f (t) und ip (t) sind. (Nouvelles Annales de Math. Bd. XXVI, pag. 553.)

Lös.: Multipliziert man 1) mit y, und 2) mit x und addiert,

so folgt

dx

V A~x df + V' (t) (x² + y²) = O»

oder indem man x² -\-y² = u setzt,

. dw    . , v

i dt — ⁽f (0 ’u-

Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung ist u = x³ -f- y* — Cxe~Wd)%

Multipliziert man weiter 1) mit x und 2) mit y und subtrahiert. so wird

dx

x% — y Jt —-f// (0 (x* + y²) = 0 oder

ip' (t) dt,

= xp‘ (t) dt.

xdy — ydx x² -f- 2/²

i+t r

Als allgemeines Integral dieser letzteren Differentialgleichung ergibt sich

= tang [ip (t) + C₂\.

V

arctang = ip(t) -(- C.₂ oder

Setzt man noch ]/C₁ = C¹, so erhält man schließlich nach einfacher ' Rechnung

y — C‘ e-v d) sin [ip (t) + C₂], x = C‘ e-fd) cos [ip (t) -j- C₂],

16) Die Bewegung eines Punktes in der Ebene ist definiert durch die Gleichungen

1)

d-x

dt³ ~~

2)

d²y

dt²

wo t die Zeit bedeutet und x, y die rechtwinkligen Koordinaten desjenigen Punktes der Ebene sind, in welchem sich der bewegliche Punkt zur Zeit t befindet. Man untersuche die Bewegung des Punktes unter Voraussetzung der Anfangsbedingungen, daß

für t = 0, a) x = 1, y = — 1,

= 1.

dy __

- dt ~~ ’

b) x

0, y = 0,

dy

°> i = 1 sei-

Lös.: Nach der zweiten der unter Aufgabel) angegebenen Methoden gelangt man leicht zu den Integralen / x — y = A₁ cos 21    B₁ sin 2t,

\ x -j- y = A₂ cosf -I- B.₂ sin t.

Führt man in diese Gleichungen die Anfangsbedingungen a) ein, so ergibt sich

— y = 2 cos 2t, x y = 2 sin t,

x + y

oder indem man mittels der Formeln

v x — y Tt = X, -r = 1 zu

den 45°-Linien als neuen Achsen transformiert

X — Ÿ2 sin t, r=_/2cos 2t.

■ cn

>,

co:

,A-:

' •. XV\V ,#

FF

- V

Eliminiert man aus diesen letzteren Gleichungen die Zeit t, so ergibt sich

Y=f2{X² — 1),

und es ist daher in diesem Falle die Bahn des beweglichen Punktes eine Parabel und zwar derjenige Teil derselben, welcher zwischen den Punkten X= +}2. Y—}'2 liegt. Mit Hilfe der Gleichungen 4a) kann nun auch leicht die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des beweglichen Punktes zu irgend einer Zeit t ermittelt werden.

Die Anfangsbedingungen b) ergeben

I x — y = — ^ sin 2t,

\ x -J- y = sin t.

4b)

Indem man wieder zu den 45°-Linien transformiert, folgt

sin 2t

5b)

]/2

oder durch Elimination der Zeit t: Y² = X² — 2X⁴.

$•

VT

;•

2v

In diesem Falle ist die Bahn des beweglichen Punktes eine Kurve vierter Ordnung, welche, ähnlich wie die Lemniskate, die Form einer liegenden 8 hat.

Die Formeln 5 a) und 5 b) gestatten eine einfache Konstruktion der in Frage stehenden Kurven.

t-t

Kapitel IV.

Variationsrechnung.

§ 23. Formeln und Lehrsätze.

I. Gegeben sei ein Ausdruck F (x, y, y¹, y“ . . .) in dem y als unbekannte Funktion von x anzusehen ist und y‘, y“ ... ihre Ableitungen nach x sind. Man kann sich die Aufgabe stellen, diejenige Funktion y zu finden, welche, in F eingesetzt, diesen Ausdruck zu einem Maximum oder Minimum macht.

Zu diesem Zweck läßt man die Funktion y in die sehr wenig verschiedene Funktion y + öy übergehen, man variiert sie. öy bestehe aus einem sehr kleinen stetig veränderlichen und von x unabhängigen Faktor « und einer völlig willkürlichen Funktion <f (x), sodaß öy = e(p (x) ist.

Zugleich gehe y' in y‘ -f- öy¹, y“ in y“ -(- öy“ über usw.

Dann ist

= (y‘ -f öy¹)—y‘ = (*/' + « <f‘ («))—y' = £<p‘ («) = jx h-

Der in dieser Gleichung ausgesprochene Satz, daß die Keihen-folge der Differentiation und Variation gleichgültig ist, kann leicht verallgemeinert werden.

Bei der Variation geht F (x, y, y¹, y“ . . .) über in F -f- öF = F (x, y -f- öy, y' -j- di/, y“ -(- öy"...). Nach dem Taylor-schen Satze ist unter Vernachlässigung der sehr kleinen Glieder höherer Ordnung

AF=Ç-<Jy4-

öy

öy' +

ro o

öy“ -j- ... oder

171

ÔF - fty ÔlJ + If dx ^ + %'• dx2W + • • •

Für jede Funktion y, welche F einen Maximal- oder Minimalwert erteilt, muß öF verschwinden, die Gleichung- öF — 0 kann also zur Bestimmung von y gebraucht werden.

II. Ist statt der Funktion F das bestimmte Integral

fix i

I F (x, y, y' y“) dx,

V Xg

wobei x₀ und xx zunächst als gegebene Konstanten angesehen werden mögen, zu einem Maximum oder Minimum zu machen, so verfährt man wie vorher.

fix 1

/ F (x, y + öy, y¹ -f öif, y“ -f öy“) dx

V Xg

fix l

— / F (x, y, y', y“) dx

V Xg

ÔF d

0?/ dx

Durch partielle Integration ergibt sich \W d

ÖJ=

-ÖJ =

fix

V Xg

x‘ 0F

(%) +

fix 1

I ÔF dx,

V Xg

0F d2 0?/" dx

, (ày) dx.

d.j= L

I ày‘

dx

( )}+Sy'

<*©

Xi

+

Xg

+r\

V Xg y

d idF\ d~ !0F 0W ~rdx²\Qy,i

öy dx.

Kommen höhere Ableitungen als y“ vor, so ist das Verfahren ganz entsprechend, kommt y oder y‘ oder y“ nicht vor, so fallen die betreffenden Glieder fort.

Damit öJ verschwindet, müssen die Gleichungen bestehen:

X> di~ dx (a?) + & (al) = ⁰ (Hauptgleichung),

²⁾ h(a'-s(a3)+^'

dx

X,

0 (Randgleichung).

In dem Spezialfall, daß F nur eine Funktion von y und y‘ ist, wird ein erstes Integral der Hauptgleichung

= 0 erhalten in der Form ^ = const.

Xg

r©

Rfi»

(I)

F — y' ,

III. Die Hauptgleichung ist eine Differentialgleichung- für die gesuchte Funktion y, die Randgleichung dient zur Bestimmung der Konstanten, die bei der Lösung jeder Differentialgleichung auftreten. Kommt in F nur x und y vor, so erhält man keine Differential-, sondern eine gewöhnliche Gleichung zwischen x und y, kommt x, y, y‘ vor, so sind zwei Konstanten zu bestimmen, kommt x, y, y\ y“ vor, vier.

Es genügt, die letztere, allgemeinere Aufgabe zu untersuchen.

Fall 1. y und y‘ soll für die gegebenen konstanten Größen xQ und x₁ vorgeschriebene Werte annehmen.

Dann ist eine Änderung der Funktion für diese Werte nicht erlaubt, es muß öy und öy‘ sowohl für x₀ wie für xx = 0 sein. Die Randgleichung ist von selbst erfüllt. Zur Bestimmung der Konstanten cxr c₂, c;3, c₄, die in der gefundenen Funktion y = ip(x) auftreten dient die Forderung, daß die Kurve y — ip (x) durch die Punkte (æ₀, y₀), (x1} yx) gehen soll und daß dort ihre Tangente eine vorgeschriebene Richtung gegen die X-Achse hat.

1) Vo ~ *P (X0, G ’ C2> G> G) j y 1 ⁼ (*G> G J G? G? G) 5

3)    y'o =    («„,    G, G, G? g);

4)    y\ = W (X1, G, G- G, G)-

Fall 2. Die Endpunkte der Kurve y = ip(x) sollen auf den gegebenen Geraden x = x₀, x — x₁ liegen.

Dann ist (dy)Xo, (öy)Xi, (öy‘)Xa, (öy‘)Xl beliebig, also muß in der Randgleichung jedesmal der Koeffizient von einer jeden dieser Größen = 0 sein.

1)

to

Life

qj'Q»

X\

— 0;

3)

= 0;    4)

= 0.

Setzt man den aus der Hauptgleichung gefundenen Wert für y in diese vier Gleichungen ein. so kann man aus ihnen die vier Konstanten bestimmen.

Fall 3. x₀ und x₁ seien auch veränderungsfähig. (Die Endpunkte der gesuchten Kurve liegen auf gegebenen Kurven.)

Die Hauptgleichung bleibt dieselbe wie bisher, als Rand-gleichung erhält man

= 0,

(öy)Xl ist nicht etwa öyl, sondern

b)    (öy)*« =    — (y’k ; (%k = ày₁ — («/O^

c)    (%%, = <V₀ — (jf% àx₉ ;    = dy', — (y'% dx} .

Sind die Kurven, auf denen die Endpunkte der gesuchten Kurve liegen, dargestellt durch die Gleichungen

<i) y₀ = ⁽fu (Fd ; Ui = <Px (f\ so ist

e)    = 5P o W ôxo ;    = <P\ (u) ôF-

X, J

ÔJ=

xQ+dxQ

{F -f ÔF) dx

ÔJ=

ÔJ=

•fo+t^O

x₀

/    \*1 /î*l

-F «te + /

\    ! Xo    V ^0

fiX!

/ Fôx,

V -?o

(FĄ-óF) dx +

ôFdx.

Mittels der Gleichungen b), c) und e) kann man (öy)Xo, (dy) (ßy%₀, (ßy‘)Xi, d//₍₎, dy, durch dx₀, dx₁, dy'₀, dy't ausdrücken.

Setzt man diese Werte in a) ein, so erhält man eine Summe von vier Produkten, die gleich 0 sein soll

A öx₍₎ -f- B ôxi -j- C dy'₀ -|- T) öy\ = 0.

Da jetzt die d-Größen willkürlich sind, müssen ihre Koeffizienten = 0 sein. So erhält man vier Gleichungen, wozu noch die beiden Gleichungen d) kommen und, wenn aus der Hauptgleichung y — ifj (x, c₁, c₂, c;J, c₄) gefunden war:

f)    Vo = XP (F, G , G, Cg, c₄) ; yl = ip(x±, Cj, c₂, c₈, c₄).

Man hat also 8 Gleichungen für die 8 Unbekannten x₀, y₍₎, X15 Vli G ? G- G? G*

Fall 4. Kommen in der Funktion F auch die Grenzen x₀, yQ, x₁, yl vor, so bleibt die Hauptgleichung dieselbe und die Randgleichung wird

+ Kf*‘ al

h+*g-ś(g)}+*g]>

fix

-j- öxl i

V *0

f*x

dx -f ây₀ I

V *o

r> 0F

*'9F

duo

0L

nx

+ ôVi \

V a-₀

*‘0F

0«/i

dx = 0.

Die Behandlung ist dieselbe wie vorher.

IV. Enthält F die Funktionen y und z, ist also z. B.

fix 1

J = / /' («, y, y‘, z, <) <2®,

- e/ a-₀

so findet man, wenn man æ₀ und ^ als konstant voraussetzt ()./ = \öy ‘V , -f dg ']T

d'J ^    0-’

idF

\ 0²

f+r ßF

\x<> V *o [{dy

d |0r)l

dx \ 5^' /j

öz dx — 0.

Man erhält hier also zwei simultane Differentialgleichungen:

= 0;

0^

F _ d ,0F\

0y ^ \ 0*/' /

_^/0F\ o

dx \ 0?' I ’

sowie die Bandgleichung

Letztere dient wieder zur Bestimmung der Konstanten.

Kommen in F höhere Ableitungen der unbekannten Funktionen vor, oder sind die Grenzen variabel, so ist die Behandlung-ganz analog den vorher abgeleiteten Entwicklungen.

V. Es kommt häufig vor, daß ein bestimmtes Integral zu einem Maximum oder Minimum gemacht werden soll, während an die unbekannten Funktionen y und 0 noch eine andere Anforderung, die sogenannte Nebenbedingung, gestellt wird.

fix 1

/ F (x, y, y‘, 2, z')

V 3-0

Fall 1. J=

soll zu einem Maximum oder

Minimum gemacht werden, während die Nebenbedingung (f {x, y, y\ z, z‘) besteht.

Es läßt sich zeigen, daß das Resultat erhalten werden kann durch Behandlung des Integrals

Ji = f (F -f- Ff) dx,

eJ xo

wobei y, z und l als gesuchte Funktionen anzusehen sind.

y, ÿ. y“) dx soll zu einem Maximum

fixt.

/ F ix

J ,r₀

Fall 2. J=

oder Minimum gemacht werden, während zugleich das bestimmte Integral

/i.Ti

I ^ (f y, y‘, y“) dx

v x„

einen vorgeschriebenen Wert a hat. Man erhält y, indem man

J\ = f .(F -f-1 (p) dx

V %a

zu einem Maximum oder Minimum macht.

Hierbei ist aber l als konstant anzusehen.

§ 24. Beispiele.

1)    Aufg. Es soll unter allen auf dasselbe rechtwinklige Koordinatensystem bezogenen Kurven diejenige herausgesucht werden, welche in jedem ihrer Punkte das Produkt aus der Ordinate in die um die Ordinate verminderte Abszisse größer macht, als es an derselben Abszisse irgend eine der andern Kurven machen kann.

Lös.: Soll der Ausdruck F=y(x — y) in dem angedeuteten Sinne ein Maximum werden, so muß y als Funktion von x so gewählt werden, daß die erste Variation von F verschwindet. Nun ist ÔF=(x — y)ôy — yôy;

man hat daher zur Bestimmung von y die Gleichung (x — 2y) öy = 0, woraus sich y = \x ergibt. Die verlangte Kurve ist hiernach die Gerade y = \x.

2)    Aufg. Es soll unter allen benachbarten, auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogenen Kurven, welche durch einen gegebenen Punkt P gehen, diejenige herausgesucht werden, für welche die Tangente im Punkte P von der Ordinatenachse und der Geraden # = a(a^>0) Stücke OG und AD abschneidet (gezählt von der X-Achse aus), deren Produkt ein Maximum oder Minimum ist.

Lös.: Werden mit x, y die Koordinaten des Punktes P und

mit £, r] die laufenden Koordinaten bezeichnet und ist y' = so lautet die Gleichung der Tangente im Punkte P:

v—y = y'(§ — x\

dy

dx ’

C > o.

C<‘o

■-ÓT

jl

Nun ist OG — y — y'x, AD == y y‘ (a — x), und es soll OG-AD = (y — y'x) [y -\-y‘ (a — #)] ein Maximum oder ein Minimum werden. Da die gesuchte Kurve nur mit allen denjenigen benachbarten Kurven verglichen wird, welche durch den Punkt P (x, y) gehen, so ist olfenbar öy = 0, und man hat, wenn F ={y — y'x) (y + ccy' — y'x)

gesetzt wird,

x) (y — y'x) — X(y-\-ay‘ — y'x)] öy'.

Zur Bestimmung der gesuchten Kurve ergibt sich sonach die Differentialgleichung

ÖF=[(a

(a — x) (y — y'x) — x (y -j- ay' — y'x) = 0 oder a — 2x

dx,

(a — x) x

deren allgemeines Integral y² = Cx(a — x) ist.

Die verlangte Kurve ist hiernach eine Ellipse oder eine Hyperbel mit den Scheiteln 0 und A, je nachdem C positiv oder negativ ist. Die Konstante C kann erst dann bestimmt werden, wenn den Kurven noch eine weitere Bedingung auferlegt wird.

Beide Kurven ergeben, wenn man vom Vorzeichen absieht, Maxima und zwar wird F=\CcG. Sind a und b die Halbachsen der Ellipse, resp. der Hyperbel, so ist {«² = «², und es wird für

. Der ab-

die Ellipse C = -f- und für die Hyperbel C = — soluté Wert von F ist demnach in beiden Fällen =

3) Aufg. Zwei auf derselben Seite der X-Achse gegebene Punkte A (x₀, y₀), B (xt, y}) sollen durch eine Kurve so verbunden werden, daß die Rotationsoberfläche, welche entsteht, wenn man diese Kurve um die X-Achse rotieren läßt, einen möglichst kleinen Flächeninhalt habe.

Lös.: Der Flächeninhalt, welcher ein Minimum werden soll, ist bestimmt durch

J = 2 7t

f y T i + y'² àx.

fJ a-o

Da in diesem Falle die Funktion F {y, y') = y ÿ 1 -f- y'² die Variable x explizite nicht enthält, so ergibt sich als ein erstes

Integral der Differentialgleichung ^—dx^ty¹)

= 0, welche in-

folge der Gleichung öJ = 0 bestehen muß,

F {y, y¹) — y‘ ^ = C oder

y yi + y¹² —

yy'

y‘

n+<r-

C,

i'i+r'

C, y=Cil^ry¹².

Setzt man noch, da y immer positiv bleiben soll, C = -j- m, so folgt

mdy

y = m 11 -\-y‘² und hieraus y‘ = -

y + 1 y² — m2

i y² — m2i dx =

x—x₀‘

oder y = [e m -j- e

y y² — m²’

x—x,,'

x — Xq = m l

Die verlangte Kurve ist hiernach eine Kettenlinie. Die Konstanten x₀‘ und m bestimmen sich aus den Gleichungen

Xo—Xo'

y₀— m(e m -\-c

Xi—Xo'

bah

X₀—X₀‘

” ),

Xl—X₀‘

y₁ = ^m (e m -f- e welche ausdrücken, daß die gefundene Kurve durch die gegebenen Punkte A und B geht.

4) Aufg. Gegeben sind zwei Punkte (x₀, y₀), (xv yx). Es soll eine Kurve gezeichnet werden, die durch dieselben geht und die in bezug auf die X-Achse das kleinste Trägheitsmoment hat.

Das zu variierende Integral ist hier

J =

V X₀

y²ds =

f \y² yi + y‘² clx,

V x₀

² r

-4- c.

4    ¹

ÔJ=

y² y'

€+ßyfl+^+U

y² y¹

j ôy dx.

il + y¹²

Die Hauptgleichung erhält man, wenn man den Klammer-ausdruck des Integrals = 0 setzt. Multipliziert man diese Gleichung mit dem Doppelten des in der runden Klammer stehenden Ausdrucks, so erhält man

ń+<x

4d/y'

y² y¹

2 y²y‘ d

yï+y^Mÿl -j-ÿ'

iH

y^ =

y* y¹²

1 +ÿ

-j- m⁴,

y'²

m⁴

J il y¹

Setzt man y = mz, s² = ^    ^ (cf. Bd. II, Abt. 1, pag. 183,

Aufg. 4), so ist x auf das elliptische Integral erster Gattung

~i 2

fm

dt

G c zurückgeführt, während

ist.

y ~ J 1 — t²

Da die Endpunkte der Kurve vorgeschrieben sind, so verschwindet dy sowohl für x₀ wie für x1: die Randgleichung ist also von selbst erfüllt.

Da die Kurve durch die gegebenen Punkte gehen muß, so erhält man durch Einsetzen der betreffenden Werte und Elimination von t zwei Gleichungen für m und c.

Das elliptische Integral kann näherungsweise berechnet werden nach Bd. II, Abt. 1, pag. 197, Aufg. 19.

5) Aufg. Es wird eine Kurve gesucht, welche zwei gegebene Punkte A und B der X-Achse verbindet und das Integral

— a und -j- a

a

I (y“² — 2y)dx zu einem Minimum macht, wo

£/ —a beziehungsweise die Abszissen von A und B sind.

von denen die zweite, da ôy in den vorgeschriebenen Punkten A und B verschwindet, nicht weiter in Betracht kommt. Die Differentialgleichung 1) liefert

/ r\

-x

;•

fi-v a

I (j/"² — 2y)dx; dann wird

d —a

2 T (y“ ôy“ — ôy) dx = 2 y“ ôy'

V —a

— 2 f (y“' ôy¹ -j- ôy) dx — 2 y" ôy'

V —a

P+a,

+ 2

V —a

Die Gleichung ôJ = 0 zerfällt in die drei weiteren 1) y"" — 1 = 0, 2) [y'“ ôy

Lös.: Sei J—

ÔJ=

+«

Jra

~Ta

y“‘ Ôy +

un

— 1) ôy dx.

= 0, 3) yuô/

-\-a

= 0,

y —    -f- \Cxx³ -f- \C.₂x² -f- Czx -f- CL.

Zur Bestimmung der Konstanten dient einerseits die Bemerkung, daß die gefundene Kurve durch die gegebenen Punkte A und B gehen muß, anderseits die Gleichung 3), zufolge welcher, da öi/ für x = + a nicht gleich Null ist, y“ in den gegebenen Punkten verschwinden muß. Man erhält

C,= 0. C₂=-ia², C₃= 0, Cà = &a*, und es ist daher die Gleichung der gesuchten Kurve y = x⁴ — \a²x² -f- a⁴.

6) Aufg. Zwei gegebene Punkte A und B sollen so durch eine Kurve verbunden werden, daß die Fläche, welche durch diese Kurve, ihre Evolute und die Krümmungsradien in den Endpunkten der ersteren begrenzt wird, einen möglichst kleinen Inhalt habe. Man bestimme diese Kurve unter der Voraussetzung, daß sie der X-Achse ihre konkave Seite zukehre. (Euler, meth. inv. Cap. III, Nr. 51).

180

Lös.: Wenn a und b die Abszissen der gegebenen Punkte sind, so bat man (vgl. Bd. II, Abt. 1, pag. 124, c))

ry-da=i ra+jni

J «I    (Ja

LO —

y“

dx

zu einem Minimum zu machen.

Die Hauptgleichung wird hier, da x in F nicht explizite vorkommt :

i) -

dx

Die Randgleichung ist

b

a*n«

Da die Kurve durch gegebene Punkte gehen soll, so ist dy für a und b = 0. dy‘ ist aber für beide Werte von x willkürlich, also müssen die betreffenden Faktoren = 0 sein.

Man erhält also als Randbedingungen

*/{

dy‘

= 0.

2)

dF

= 0.

= 0 und 3)

a?/ x=b

Als ein erstes Integral der Differentialgleichung 1) ergibt sich sofort

az _d a*¹

0F dx fty“

Schreibt man die letztere Gleichung in der Form

a cf-ciy‘)

àÿ‘ X=a

= A.

dd(F-t\y) ₌

dx    y"

und beachtet, daß die Funktion F— die Variable x explizite nicht enthält, so findet man für das Integral derselben

4) F — C₁yl ■— y"    = C₂.

Im vorliegenden Falle ist F =

a ±jrr a f

y“

Die Gleichung 4) wird daher

(1+J/'²)²-

(1+y‘r

(AHr&yQy“

(i + ?/²)²

Ay'4

Substituiert man zum Zwecke der Integration dieser letzteren Differentialgleichung

y“

y“

= Co oder

= 2.

y‘ = tang a, y" =

da

dx cos² a

so folgt

(Co cos² a -f- Cx sili a cos a) da = 2dx oder i (G₂ ~b ^2 cos 2« + C± sin 2a) da = dx, und wenn man nocli a =    — \tp, da = — \d<p setzt,

dx = — J- ( C.₂ — C₂ cos tp -j- Cx sin <p) dtp

lind hieraus durch Integration

5) x — x₀ —

Ferner ist

(C.₂ tp — C.> sin tp — Cx cos tp).

■■

dy = tang adx = cotang \tp • dx = und daher

(Gj + G, cos tp -f- C₂ sin tp) dtp

6) V — y₀ = — i (<?i <P + sin <p — C.₂ cos tp).

Zufolge der Gleichungen 2) und 3) muß für x = a und x = b der Ausdruck

idx \² . (dy \²1 dx (dtp) +\dtp)

dtp

dx d²y    dy d²x

dtp dtp²    dtp dtp²

verschwinden, d. h. die in Frage stehende Kurve muß in den gegebenen Punkten Spitzen besitzen, und da, wie die rechte Seite

y“

dieser Gleichung erkennen Jäßt,

dx

dtp

= 0 sein muß, so stehen die

Tangenten in den genannten Punkten senkrecht auf der X-Achse. Es ist nun zweckmäßig, die X-Achse durch die beiden gegebenen Punkte zu legen und a = 0, b = 2rjt anzunehmen, wo r eine gegebene Konstante bedeutet.

Bestimmung der Konstanten. Setzt man die Wertepaare (0,0) und (2r/r,0) in die Gleichungen 5) und 6) ein, so erhält man

a)    x₀ —    -g'. ( Q \

b)    2m — x₀ =

c)    2/o ¹    (    G₂),

d)    —y₀ = — (2 7tCx — Go).

Subtrahiert man a) von b), so erhält man C.₂ = — 8r, aus d) und c) findet sich Cx = 0. Es ist dann x₀ = 0, y₍₎ = r. demnach geht das Gleichungssjstem 5) und 6) über in

x — r(tp — sin tp), y = r (1 — COS tp).

Die gesuchte Kurve ist eine gewöhnliche Zykloide.

(27tC.₂ - Cx),

*r- oq-

7) Anfg\ Es ist der Punkt B (xl: yJ fest gegeben, ferner die Parallele zur Ordinatenachse x = x₀. Es soll eine Kurve gezeichnet werden, deren einer Endpunkt auf dieser Geraden liegt, während der andere B ist. Die Kurve soll bei der Dotation um die X-Achse eine Rotationsfläche von möglichst kleinem Flächeninhalte ergeben.

Lös. Die Aufg. ist von Aufg. 3) nur durch die Bestimmung der Konstanten verschieden. Die Gleichung der Kurve ist

X—Xo¹

X—x₀‘

2/=2-0 m +e

m ) (Kettenlinie), die Randgleichung

® 00 kywlêh -    ⁼°-

Da B fest ist, ist dyt, also auch der erste Ausdruck, ohne weiteres = 0. Dafür hat man aber die Bedingung

Xl-'Xg¹

Vi — ₂ 0 m

yy‘

für x₍₎ verschwinden. /2 u

Il + y

öy₀ ist beliebig, also muß

y kann aber für keinen reellen Wert von x verschwinden. Für y‘= oo würde der Ausdruck nicht =0 werden, weil außer dem Nenner auch der Zähler unendlich wird, also muß y'=0sein. Die Gerade x — xl ist also die Achse der Kettenlinie.

Xj) Xq

x₀-x₀'

m ) — 0, also x₀⁴ = x₀.

x₀⁴ ist somit bestimmt, durch Einsetzen dieses Wertes in y± erhält man für m eine transzendente Gleichung.

8) Aufg. Man bestimme die Form, die ein Sprengloch besitzt, nachdem das zu sprengende Material herausgeschleudert ist. (C u 1 ni a n n : Der Minentrichter, Vierteljahresschrift der natur-forsch. Gesellsch. Zürich, 10 ter Jahrgang, 1871, S. 28—41.)

Lös.: Wenn das zu sprengende Material homogen ist, so wird der Minentrichter offenbar die Gestalt einer Rotationsoberfläche annehmen, und es kann sich daher nur darum handeln, den Meridian dieser Fläche zu bestimmen. Ferner wird angenommen, daß die Natur, um eine gewisse Masse Materials abzusprengen, ein Minimum von Kraft aufwende oder daß umgekehrt mit Aufwendung einer bestimmten Kraft ein möglichst günstiges Resultat erzielt werde.

t-gt^

Wählt man die Achse des Minentrichters zur X-Achse und den Punkt, in welchem dieselbe aus dem Material heraustritt, zum Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems und bezeichnet mit B die zur Achse parallele Kraft, welche durch die Explosion entwickelt wird und mit a den Winkel, den die Tangente im Punkte (x, y) des Meridians mit der X-Achse bildet, so ist die Kraftkomponente (senkrecht zum Flächenelement), welche zum Abreißen des Materials längs eines Flächenelementes

dy

Nimmt man nun an, daß

diese Kraft dem Flächenelemente proportional sei und bezeichnet den Proportionalitätsfaktor mit q, so besteht die Gleichung

ds

jx

erforderlich ist, = dB sin a— dB

dy

(ds)*

dB = q2tz y ds oder dB = 2n gy

und man hat

dx

ÿ(?+r)

zu einem Minimum zu machen. Da die Funktion F= die Variable x explizite nicht enthält, so ergibt die Differentialgleichung ^

dy

— dx (5^' ) ⁼ durch welche die gesuchte Kurve

t\F

zu bestimmen ist, das Integral F—y‘\-- -

<F

genden Falle y + yj — y‘y jl —    = C oder 2

Hieraus folgt

= C. also im vorlie-

= C.

2 (X—x₀)

x — x₀ = ^ Cly oder y — e c ,

Ô?/ _ -r=0

lind es ist somit der Meridian des Minentrichters eine logarith-mische Linie.

Die Grenzbedingung

= 0 liefert

y‘= + l. Es schließt daher der Meridian an derjenigen Stelle, wo er die Y-Achse trifft, d. h. da, wo er das Material verläßt, mit der X-Achse einen AVinkel von 45° ein.

2    2(X—x₀)

c

?-V<y

und daher 1 =

e ⁰ oder C = e

Nun ist y' = ~e

_ 2,r₀

Setzt man e c = b, so ist auch lC=b, und die Gleichung des

Meridians wird y =bcb.

Hierin bedeutet b den Radius des x = 0 entsprechenden

(größten) Parallelkreises; wird noch der Radius des Bohrloches

mit a und die Tiefe des Minentrichters mit h bezeichnet, so daß

für x — — h, y = a, dann sind die Größen a, b und h durch die

Gleichung

h    b

Y>

== e

b verbunden, woraus folgt h = bl

CI

Aus dieser transzendenten Gleichung kann b gefunden werden, dadurch ist C bestimmt und durch b und C läßt sich x₀ ausdriicken.

9) Aufg. Zwei Kurven y₀ =f₀ (x₀)-: yx =fx (xx) sind gegeben. Gesucht ist eine Kurve, deren Endpunkte auf den genannten Kurven liegen und deren Länge ein Maximum oder Minimum ist.

’• ajc rt>

■yrfM

Lös.: J —

f"n+

fJ

dx.

185

Die Hauptgleichung ist

y‘

H--r-

= const. =

yi +a²’

y‘ = a,

y = «a; -f- &.

Di

Die verlangte Kurve ist natürlich eine Gerade. Bestimmung der Konstanten

„!*■

= 0,

,^+ay

(Vi + */'²k -f (

(| 1 + y‘²)Xll öx₀ + (

2/'

yi+?/'²

y‘

! Xi

(%k = o.

= o.

]/l-f y/2Go

Es ist aber (dy)*, = d/y, — (y%₁ d^ und d//L =

«ft

dx₁

d^, sodaß

sich die erste Gleichung verwandelt in

dx, | )'l -j- a² -|- |

df;

dXj

/ yT+ö²

= 0.

Da d^ völlig willkürlich ist, muß der Klammerausdruck verschwinden, also erhält man

= 0.

1 "I- a (tc ⁼ ^ un(* &anz entsprechend 1 + a

Die gefundene Gerade muß also eine gemeinsame Normale der gegebenen Kurven sein. Zur Bestimmung der 6 Konstanten a, b, x₍₎, y₀, xi, yx hat man die 6 Gleichungen y() = ax₍₎Ą-b-, yx = axi -f- b ; yo = /oWi    yi=fi(*i);

df*

= 0.

dx₀

1 ! a = 0 ;    1 -f- a

Beispiel: Die gegebenen Kurven seien die Parabel #₀² = 2p(j/₀—c) und die Gerade yl=mx₁. Dann erhält man die Gleichungen

1) y,=ax₀ + b; 2) y₁ = axt + b;

co ^

3) y₀ = c+ -2p; 4)yl=mx₁-

5)l + “°-=0: 6)l + «« = 0.

V

Aus 6) folgt: a) a = — aus 5): b) æ₀ = pm; aus 3):

c) y₀ = c + ^-; aus !): d) &=C+P+

e) =

m²p

; aus 4) und 2) :

m² -j- 1

aus 4): f) yl =

(•+*+'D

m² -f- 1

10) Aufg. Welche Kurve muß ein materieller Punkt, auf den nur die Schwerkraft wirkt, durchlaufen, um in der kürzesten Zeit von einer gegebenen Kurve y₀ = f₀ (x₀) zu einer zweiten gegebenen Kurve y± = f₁ (x₁ ) zu gelangen? Vorausgesetzt wird hierbei, daß die Anfangsgeschwindigkeit im Punkte (x₀, y₀) entstanden sei durch den freien Fall aus einer Höhe h. Die gesuchte Kurve und die gegebenen seien auf dasselbe Koordinaten

system bezogen.

Lös.: Werden die Ordinaten von der horizontal gedachten X-Achse aus nach unten positiv gezählt, so hat der bewegliche Punkt im Punkte (x, y) seiner Bahn die Geschwindigkeit

v = y 2g (y -f- h — y₀). Nun ist v

en

(ds ist Bogen-, dt Zeit

ds

element). Hieraus folgt dt = - • Die Zeit T, die der bewegliche

Punkt braucht, um von der ersten Kurve zur zweiten zu kommen ist

Xl yi —}-y'²dx f2g (y + h — y₀)

Sieht man von dem konstanten Faktor /2g ab, so ist

n + y‘²

iy + h — y₀

Die Hauptgleichung wird 11 =

2y</+A—%J

<li i_________\

dx\i/a + r‘)(!i + h-,j₀)i

Setzt man y‘ — tang a, also ^ = tang a + sin a f

dy\^y h—y₀

und integriere

so findet man

2 iy + h — y0 Man multipliziere mit

iy + h- y0 sin² a

y + h—y 0 y +h — Vo

tang a

dy

dx

.1

sin a

= 0.

!'•

= const. = —

— (y + ä — 2/0)

y + h — y₀

:c

yr(M

Man setze y + h — yQ = c sin²

dann wird

dx = 2c sin²

d(f = c (1 — cos (f ) d(f , also

Man erhält also eine Zykloide.

x — a = c{(f — sin <p),

V + ä — y₀ = c (1 — cos (f).

Bestimmung der Konstanten. Die Randgleicliung wird

dx = 0.

Cu» QJ

Es ist aber

<%o =

df₍₎

df

dx₀

ôx₀- tyi=-fa àxx.

Setzt man diese Ausdrücke in die Randgleichung ein und beachtet, daß in der vorliegenden Aufgabe

yi + y¹² dA ₌______

fy + k—y'o àŸ y(1 + y'*)(y + A — Vo)

y‘

nx V %₀

X^F

d'j»

dx

fi 3'l

V Xa

y i+ï/²

2iy-\-h — y₀³

dx =

■^-(cotong^-cotengÇ)

ist, so ergibt sich

]1 + y¹²

y‘

_lA + A —

&z₀

A + h — y₀

y 2c

° (cotang^

}i + y¹² iy-f h — y₀

. y‘

! 1 -r-'/² yÿ+’Â —y0 _

(A —2/')

(fo — 2/') —

= 0.

Da jetzt ôx₀ und öxx völlig willkürlich sind, müssen die

Klammerausdrücke verschwinden.

Aus der ersten Klammer

findet man

[1 + y‘² -f y‘ (f\ — y%, = 0,

(i + y'fiU = o.

Die gesuchte Kurve steht also auf der gegebenen im zweiten Endpunkt senkrecht.

Vereinfacht man den zweiten Klammerausdruck entsprechend.

so ist

= 0,

i+_M

.yi + */'² fü + h — y₀ y 2c

(cotang — cotang

oder, wenn man die Wurzeln berechnet

99

ö£

'o

CB

aq

= 0.

x₀

Es ist aber stets cotang ^ = y‘, also heben sich die beiden mittleren Glieder in der Klammer auf, so daß 1 + f‘₀ cotang ^ = 0.

Andrerseits ist aber

1 -j- f\ co tang    = 0, daher ist f₀ = f\,

LJ

d. h. die Tangenten der gegebenen Kurven in den Schnittpunkten mit der gesuchten Kurve sind parallel.

IM

Zu bestimmen sind die Konstanten a, c, x₀, y₀, xy, y₁, <p₀, cpy. Durch die Gleichungen

x — a = c (ff — sin cp), y -f Ä—y» = c (i—cos cp),

die auch für die Endpunkte gelten, lassen sich x₀, c, xy, yx durch u, y₀, cp₀, cpy ausdrücken.

Für diese vier Konstanten erhält man vier Gleichungen, indem man die soeben gefundenen Werte in die Gleichungen

*/o=/o(0; Vi=fi Og);

1 + f\ cotang ^ = 0 ; f₀ = f i einsetzt.

11) Aufg. Der eine Endpunkt (x = b, y = yb) eines Kurven-hogens von der gegebenen Länge L ist vorgeschrieben; der andere Endpunkt soll sich auf einer Parallelen zur Y-Achse, x — a, befinden; es ist die Kurve so zu bestimmen, daß die Fläche, welche durch den genannten Kurvenbogen, die Geraden x-=a und x = b und die Abszissenachse begrenzt wird, einen möglichst großen Inhalt besitzt.

t‘i

Integral f yclx, welches den

çj a

Lös.: Es ist das bestimmte Flächeninhalt der gesuchten Kurve ausdrückt, zu einem

Maximum zu machen unter der Nebenbedingung, daß <2 dx sei.

L= JVi+ÿ

Setzt man J =

wonach

fa(y~xffy"¹)dx> F=y~l1¹ + s/'²,

02/“ ’ Ô2/'

ky‘

yi -f- y'²

so hat man zur Bestimmung der verlangten Kurve die Gleichungen

1} 1 + æÿr|:p = 0’ ²⁾

Da die Funktion F¹ die Variable æ explizite nicht enthält, so ist

— hy‘

fi+y'²

= 0.

x=a

F-Æ=C,

dy'

also im vorliegenden Falle y — X y 1 + y‘² -f

%'²

^    _ Q

fl + y« — '

ein erstes Integral der Differentialgleichung 1). Substituiert man noch y‘ = tang a, so folgt

fi + y'²

= Cx oder y

.3) y — h cos a -f- 0₃, dx —

tang a 4) x — — 1 sin a -J- C₂.

= — A cos a

Die Elimination der Größe a aus den Gleichungen 3) und 4) ergibt

(x-G₂r + (y-C^ = P,

und es ist somit die gesuchte Kurve ein Kreis vom Radius Â.

Zufolge der Grenzbedingung 2) soll y‘ — 0 werden für x — a, d. h. der Kreis muß die Gerade x — a unter einem rechten

Winkel treffen. Aus 0 = y‘

₂ folgt

a — C₂

x=a

y F²—y» — a)

•    a) Cej — (%•

Zur Bestimmung der Konstanten Cx dient die Bemerkung, daß der gefundene Kreis durch den Punkt x — b, y — yb geht; es findet sich

b) Ct = yb + fl* — (b — ä)\

Wie leicht ersichtlich, muß für den Fall eines Maximums das obere Zeichen beibehalten werden.

191

Die Konstante l endlich ergibt sich aus der transzendenten Gleichung

*/:

dx

y A² — (x — a)²

c) 6 — a = l sin ^ ,

,    . 6 — a

= A arcsin , oder

welche zugleich erkennen läßt, daß die gegebene Bogenlänge L gewissen Grenzbedingungen zu unterwerfen ist.

Spezialfälle. 1) Sei a — 2, 6 = 3, yb== 1, L = {yt; dann wird

G₂ = 2, G1 = l, À = l,

und der Kreisbogen ist ein Viertelkreis.

2) Wenn a = 2, 6 = 3, 2/6 = 1, L = \n'j 2 ist, so wird G> = 2, Cx=0, À = Y 2", und der Kreisbogen ist ein Achtelkreis.

12) Anfg. Welche Form nimmt ein homogener, unausdehnbarer, aber vollkommen biegsamer Faden von der konstanten Länge L an, welcher zwei gegebene Punkte A (x₀, y₀) und B (x1} y^) so verbindet, daß sein Schwerpunkt eine möglichst tiefe Lage besitzt ?

Lös.: Der Abstand des Schwerpunktes der gesuchten Kurve von der X-Achse ist bestimmt durch

/i Xy ____

'² dx

/ y yi -f y

' x„

'² dx

f y/i + y

c/

Da der Nenner dieses Quotienten nach der Voraussetzung

dx zu

fWi -fy

e/ «o

konstant ist, so hat man nur den Zähler einem Minimum zu machen unter der Nebenbedingung

² dx = L.

ffT+7

î/

Setzt man daher

f (y )1 + y'² — A ]/l + y'²) dx = f ¹ (y — A) ];1 + y'² dx.

V Xg    rj Xg

F=(y — X) 1/1 + y'²

und vergleicht diese Ausdrücke mit den entsprechenden der Aufgabe 3), so findet man als Gleichung der gesuchten Kurve unmittelbar

X—Xg'

X—Xg'

y — X = m (e m -f- e

Die Konstanten m, x₀‘ und X genügen den Gleichungen

- ).

Xg—Xg'

y₀ — X— m (e m -f- e

Hw

Xi—Xg‘

yL — X = m (e m -f- e

(iXy ________ fix y X—Xg'

L— I ]/l -\- y‘² dx = \ I    (e m

V Xg    fj Xg

Xg—Xg'

” ),

Xy—Xg'

-j-e

),

X —Xg‘

m ) dx —

X-Xg

(Vgl. ebenfalls Aufg. 22).)

13) Aufg. Der Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems soll mit dem Punkte x = a, y = b durch eine Kurve so verbunden werden, daß der Flächeninhalt der Rotationsoberfläche, Avelche entsteht, wenn die verlangte Kurve um die Y-Achse rotiert und welche durch einen Parallelkreis vom Radius a begrenzt ist, gleich na²?i sei, während zugleich der Rotationskörper ein möglichst großes Volumen besitzt.

-CL*

Lös.: Das Volumen, welches ein Maximum werden soll, ist bestimmt durch

7)x=a    Ti a

7t I x²dy = jv I x²y'dx;

V £=0    J 0

die Bedingungsgleichung lautet:

xds = 27t

2 7t

Px=a

I

V x=0

Setzt man daher J =

7t J (x²y

J x]l-\- y‘²dx

2lx ]/l -f- !/'²) dx

= na² 7t.

wo 1 einen

unbestimmten konstanten Faktor bezeichnet, und

F=x²y‘— 2lx /l -j- y¹'², so hat man zur Bestimmung der ver-

A/dF

dx\dy'

= 0.

langten Kurve die Differentialgleichung

co-»

= 0, oder

da im vorliegenden Falle

dx \ dy' )

— 0 ist,

Als ein erstes Integral derselben ergibt sich unmittelbar

2ly‘

n + y'~

Nun befindet sich der Koordinatenanfangspunkt auf der Rotationsachse: daher ist der Integrationskonstanten der Wert Null beizulegen, und man erhält

= X \x

= Const,

i)

2hf

= 0.

yi y²

Diese letztere Gleichung zerfällt in die beiden folgenden

2hf

2) x

0, 3) x — 0.

11 + y'²

Durch Integration der Gleichung 2) findet sich

^² + (y~ 2/o)² = 4A²;

es ist hiernach die gesuchte Kurve ein Kreis vom Radius 21. Zur Bestimmung der Konstanten y₀ und l dient einerseits die

rta    ________

Bedingungsgleichung na²7t = 27t j xds = 4/rA (21 — f 4/1² — a²),

Sohncke’s Aufgabensammlung. II.

13

YKUj

wonach 1=    , andererseits die Bemerkung-, daß die ge-

4 \ n — 1

Damit der Kreis außer durch den

fundene Kurve durch den Punkt x = a, y = b geht, wodurch y₀ = b-\- y 4À² — a² wird.

Punkt x = a, y— b auch noch durch den Nullpunkt g-elie. muß offenbar der gegebene Flächeninhalt na²n einer gewissen Bedingung unterworfen werden. In allen Fällen, in welchen dieser Bedingung nicht genügt wird, ist derjenige Teil der Y-Achse welcher den Nullpunkt mit dem Kreise verbindet, als zur Lösung der Aufgabe gehörig zu betrachten.

Spezialfälle. 1) n = 2 ergibt l =    , y₀ — b, und die

Gleichung des Kreises ist x² -j- (y — b)² = a².

Für b = a geht dieser Kreis durch den Koordinatenanfangspunkt.

2) Für n = f folgt l =    , y₀ = b + ■ ^ •

14) Aufg. Welche Gestalt müßten die Meridiane der Erde haben, damit die Erde bei unveränderter Masse M und unveränderter Dichtigkeit y auf einen am Nordpol befindlichen materiellen Punkt in der Richtung der Rotationsachse ein Maximum der Anziehung (nach dem Newtonschen Gesetze) ausübte?

Lös.: Wendet man räumliche Polarkoordinaten r, q. & an und wählt die Rotationsachse zur Achse und den Pol zum Anfangspunkt des Koordinatensystems, so ist

r rr=m dn *«***•«».

t J cp = 0 cJ r = 0 v &=Q

M=

Hierin bedeutet f (q) denjenigen Wert von r, welcher sich aus der gesuchten Gleichung des Meridians ergibt. Die Grenzen für die Integration nach q sind 0 und da sich, wie man leicht einsieht, nur auf der einen Seite der Tangentialebene im Pole Massenteile befinden können. Führt man die Integrationen nach # und r aus, so folgt

M—^Tcy J ^ [f(p)]s sin cp dp = const. = Je.

Für die Komponente der Anziehung in der Richtung der Rotationsachse ergibt sich

Z⁵^ fitisp)

V 0 c/o C/o

sin (p cos <p dp dr d& =

A = y

2yrc    sin cp cos <p f (pp) dp.

Nun soll A zu einem relativen oder

2y7t f    jsin cp cos cp f (cp) — sin cp [f (p)]'^. dp

V o l    )

zu einem absoluten Maximum werden. Setzt man, um die Formeln des vorigen § anwenden zu können, p = x und f (cp) — y, so

±ßF\

dx \ 0y' /

= 0 über in

geht die Gleichung

sin x (cos x — hß) = 0.

Dieser Gleichung wird genügt entweder durch sin x = 0 oder durch cos x — hß = 0. Die erstere Gleichung liefert die Rotationsachse und hat somit für das Problem keine Bedeutung; die letztere ergibt als Gleichung des gesuchten Meridians, wenn man

= a setzt,

zur Abkürzung

a ]/ cos cp.

Zur Berechnung der Konstanten a dient die Bedingungsgleichung

Je

⁴ y'7t

Verlangt man, daß die Masse Je gleich sei der Masse einer homogenen Kugel vom Radius q und der Dichtigkeit y, so findet

a = q y 5 .

31 = Je ; man findet a =

man leicht

Die Gleichung r = cos cp gestattet eine einfache geometrische Konstruktion der verlangten Kurve.

15) Aufg. Ein Rotationskörper mit gegebener Basis und mit gegebenem Volumen V soll so geformt werden, daß er ein Minimum von Widerstand erfährt, wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit c durch ein widerstehendes Mittel in der Richtung seiner Achse bewegt. Wie lautet die Gleichung des Meridians dieses Rotationskörpers?

- 196

Lös.: Es wird angenommen, daß der Widerstand, den ein Element der Oberfläche des Körpers bei der Bewegung durch das widerstehende Mittel zu überwinden hat, der Dichtigkeit y des Mediums, der gedrückten Fläche, d. h. der Projektion des Flächenelementes auf eine zur Achse senkrechte Ebene und dem Quadrate der in der Normale des betrachteten Elementes gemessenen Geschwindigkeit proportional sei. Sind ferner x = a, y = 0 die Koordinaten des Mittelpunktes und b der Radius des gegebenen Basiskreises und wird vorausgesetzt, der Meridian schneide die X-Achse im Punkte x — x₀, wo x₀ eine zu bestimmende Konstante bedeutet, so ist, wenn man die Achse des Körpers zur X-Achse wählt, der Gesamtwiderstand, der ein Minimum werden soll

W — 27t c-y Ç

V Xo

Setzt man nun J=

CO

dx, während zugleich V = 7t f y²dx.

1 _|_^2+²^²)^ F =

0F y,s . 0F    3y'* + ya

0</ “ i -f    0F “ y ' (1+1/T2)

Man hat hiernach zu integrieren die Differentialgleichung 0^— dx (0F ) ⁼⁼ ® unter Berücksichtigung der Grenzbedingung

^ — 0 für x — x₀. Da die Funktion F die Variable x explizite nicht enthält, so ist ein erstes Integral dieser Differentialgleichung F — y

wonach

àl.

y.y

/ àF

<2

yy‘³

yÿs

1 +y

so wird

Sb

— C, also in unserem Falle

197

yy

yy‘ (3yl2+ y,i)

i ~\~y

(Die Konstante C ist gleich Null, weil die Kurve die X-Achse schneiden soll.) Hieraus folgt, indem man c für ! schreibt,

cy‘s

y (i + y‘T

Substituiert man noch y‘ = tang a, so ergibt sich y = c sin³ a cos a,

dx —

dy

= c (3 sin a cos³ a — sin³ a cos a) da,

tang a

x •— cx= — c (3 cos⁴ a -f- sin⁴ a).

Durch einfache Umformung erhält man hieraus für die verlangte Kurve

y = c (2 sin y — sin 2(p),

x — c₂ = — \c (2 cos (f -f- cos 2(p), wo für 2a, c₂ für c\ — § c steht. ' Die gesuchte Kurve ist demnach eine Hypozykloide, für welche der Radius des festen Kreises dreimal so groß als derjenige des erzeugenden Kreises ist. (Vgl. Bd. I, S. 221.)

Bestimmung der Konstanten. Da für (p = 0 oder (p = n y = 0 wird, so kann man die Bedingung stellen, es soll für (p = 0, x = x₀ sein, wodurch zugleich auch der Grenzbedingung

»!-

| ^ j — o genügt wird. Ist ferner (f₁ der Winkel, für welchen

x = a, y = b, so hat man die Gleichungen

x₀ C₂ = I c, b — c sin³ cos \(f x,

a — c₂= — \c (2 cos (p₁ -j- cos 2(px), aus denen folgt

2 cos <pt + cos 2(f x sin³ \<px cos ’

, c.₂— a-\- \b

2 cos (fx + cos 2(f>t -— 3 sin³^/^ cos^f/^

Die Konstante r/j endlich bestimmt sich aus der Gleichung

abs (| — T\ sin² \<px -fj sin⁴ \<px) _ sin {(px cos³

Daß die Konstante V gewissen Bedingungen unterworfen werden muß. ist hieraus leicht ersichtlich.

sin³ {(fi cos \(px x₀ = a -f- \b

*f

v

ifdx —

16) Aufg. Ein materieller Punkt von der Masse 1 wird von einem festen Punkte 0 nach dem Newtonschen Anziehungsgesetze angezogen. Die Attraktionskraft in der Entfernung 1 sei f. Welche Bahn beschreibt dieser Punkt, wenn er, von einem gegebenen Punkte A ausgehend, sich nach einem zweiten gegebenen Punkte B bewegt? Die Berechnung soll nach dem aus der Mechanik bekannten „Prinzip der kleinsten Wirkung“ erfolgen.

■i?

X- .......

Lös.: Das genannte Prinzip nimmt in dem vorliegenden Fall die Form an

vds = Min.

Hierbei bedeutet v die Geschwindigkeit, ds das Bahnelement.

Wählt man das Anziehungszentrum 0 zum Pole und die Gerade OA zur Achse eines Polarkoordinatensystems, ist ferner die Strecke AO = rt und wird die Anfangsgeschwindigkeit kleiner

gleich j/

als

— a vorausgesetzt, so kann man, um

die Geschwindigkeit v in dem Abstand r zu finden, den Satz von der Erhaltung der Energie an wenden. Dieser lautet in unserm Fall

^. etwa

ri

r-l TO

Hieraus findet man

Es soll nun

' ]/>² -}- r‘-d([, wo r¹ für

CI

dr

drp

steht

— z* = z'².

Die Differentiation dieser letzteren Gleichung ergibt die weitere

deren allgemeines Integral

und das Integral zwischen zwei konstanten, den Punkten A lind B entsprechenden Grenzen zu nehmen ist, ein Minimum werden. Setzt man, mit Weglassung des konstanten Faktors ff,

^ yV² -(- r'², so ist, da die Funktion F die Variable

t.

ff explizite nicht enthält,

1)

yi

T—i

; >i

et y ip-    p‘%

ein erstes Integral der Hauptgleichung. Aus der Gleichung 1) folgt

= Const. = | b

<-)

_____ y2    y^2

und wenn man ^

dz

d(f

= z‘ substituiert

4) z = y + C cos (ff — <jp₀) ist.

Zufolge der Gleichung 3) hat die Konstante C den Wert j/a^₂—

Also ist

1—1 rO

ab-

cos (ff — ff fl, r =

cos (ff —fff

Setzt man noch

= e, wodurch b = a (1 — s-) wird, so

findet sich

r_ a(l —e²)

1 + « cos (ff — fff’

und es ist mithin die verlangte Bahn eine Ellipse, deren große Achse = 2a und deren einer Brennpunkt 0, der Sitz der anziehenden Kraft, ist. Um die Integrationskonstanten e und tpt zu finden beachte man, daß die bekannten Polarkoordinaten von A und B der Kurvengleichung genügen müssen.

17) Aufg. Ein Rotationskörper, welcher die Rotationsachse in zwei gegebenen Punkten A und B trifft und das gegebene Volumen V hat, soll so bestimmt werden, daß das Trägheitsmoment desselben in bezug auf eine Achse, die senkrecht zur Rotationsachse durch die Mitte von AB gezogen wird, ein Minimum sei.

iE

!... <?......:.r„ .æ?#?'.

■ĆŁ......I

Lös.: Wird die Rotationsachse AB zur X-Achse und die Achse, auf die das Trägheitsmoment bezogen ist, zur Y-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems gewählt, so ist

«

7t J y²dx

çj — a

V—

und das fragliche Trägheitsmoment gleich

/3+« av a

-aJoJo

/î+ «

(x² -J- z¹) dy dz dx —7t I

C/ — a

(if + z²) f äx,

wo a eine konstante Zahl bedeutet, die nur unter einer bestimmten Voraussetzung über die Größe des gegebenen Wertes V mit a übereinstimmt, sonst aber von a verschieden ist.

/î-f- a

Multipliziert man 7t f y²dx mit einem unbestimmten kon-

U — ci

stanten Faktor l und subtrahiert das Produkt von

⁷¹ f⁺ (}y² + z²)y²dx,

çj — a

wodurch man nach Weglassung des gemeinschaftlichen konstanten Faktors 7t erhält

j=

f⁺ \{\y² + z²) y² — ly²1dx,

201

so ist y als Funktion von x so zu bestimmen, daß öJ verschwindet.

Die Hauptgleichung lautet also y [y² -f- 2x² — 21) = 0. Hieraus ergibt sich

y² -f- 2x² — 21 = 0,

und es ist somit die verlangte Rotationsfläche ein längliches Sphäroid.

Aus der Gleichung y² + 2x² — 21 = 0 folgt a = y 1, und es kann daher das Sphäroid nur dann durch die gegebenen Punkte gehen, wenn a =fl = a ist. Für jeden von a verschiedenen Wert von ]1 ist der die beiden gegebenen Punkte A und B verbindende Teil der Rotationsachse (y — 0) als zur Lösung gehörig zu betrachten. Die Größe 1 bestimmt sich aus der Gleichung

|/”^j, es hängt mithin ihr

y² dx, nämlich 1 = ^ j Wert von demjenigen des gegebenen Volumens F ab.

+n

-U

18) A uf g\ Auf einem Zjdindermantel sind die Punkte A und B fest gegeben. Sie sollen durch eine möglichst kurze Linie auf dem Mantel verbunden werden (Geodätische Linie auf dem Zylinder).

Lös.: Denkt man sich x, y, z als Funktionen einer Veränderlichen t ausgedrückt, so ist

I y#'⁹ -J- y‘* -f- zt2 dt

V h

zu einem Minimum zu machen unter der Bedingung, daß x² -j- y² — r² = 0 ist. Man hat also das Integral

f i^jx'² -j- y¹² -f- z'² -j- 1 {x² -|- y² — r²)) dt

d t₀

zu variieren, wobei 1 jetzt als variabel anzusehen ist, weil die Nebenbedingung in endlicher Form, nicht als bestimmtes Integral, gegeben ist.

Man erhält

2Xx + l{i

= 0 ; 2ly -f f /. V> \ - 0

,_—\ = 0: x² -f- y² — r²=0.

^öd² —y'² —J-* z'²/

x‘

x'² -f- yl2-\- z'²

Es ist somit

3)

d²z

= 0;

4) x² -}- y² — r².

Aus 3) findet man z — as -f- b. Die Gleichung 4) ist zu erfüllen durch die Annahme x = r cos cp, y = r sin rp, wobei cp leicht zu deuten ist. Multipliziert man 1) mit — y, 2) mit -j- x und addiert, so findet sich

ds²

d-x

d²y „„

X ds² ^ Ils² 0?

Xd?

d.i

ds y ds C'

dcp

ds

14    «

= 0:

Multipliziert man mit

dt

ds

setzt l

dt

äs

= lx und beachtet, daß

x‘

dx

y^² -|- yt2-\- z‘²

ist, so ergibt sich

o 2ii*+*

2) 2Àiy + ^| = 0;

, cs

⁽P — <Po + r2 '

x = r cos

(% + “*)>

z = as Ą-b.

Aus der Identität

©■+©■+©

’S Cł

L4 14

Wählt man nun das Koordinatensystem so, daß Punkt A die Koordinaten x — r, y — 0, z = 0 hat, während die Koordinaten von B x = r cos cpx, y = r sin cp1} z = zx seien, so ist, da für A die Bogenlänge =0 sein muß

<p₀ = 0, b = 0, also

X = r COS

C-

Andrerseits war

x = r cos cp ; y = r sin (f , so daß

- ist, mithin c

x — r cos <p, y = r sin (f,

CS

!M

y-

= <P, S =

z — — fr² — c². c

Die gesuchte Kurve ist also eine Schraubenlinie. (Vgl. Bd. 1, pag. 257.) Um die Konstante c zu bestimmen, beachte man, daß die Kurve auch durch den Punkt B gehen muß. Die zylindrischen Koordinaten desselben sind zx und rpx + wobei n eine- ganz willkürliche ganze Zahl ist. Man findet so

Cb :

£i_    „ ₌ *i<P

<px -J- 2n7t ’    <px -f- 2mt

B,

B,

Bj

B,

IZ/,

Zf

T.

.1

A 2rf,

Man erhält also zwischen zwei Punkten auf dem Zylindermantel unendlich viele Schraubenlinien als geodätische Linien.

Die n = 0 entsprechende Kurve geht direkt von A nach B, die Kurve für n = 1 umwindet vorher den Zylinder einmal, die Kurve für n — n umwindet ihn nmal, ehe sie B erreicht.

Der Grund für diese Erscheinung ist leicht einzusehen, wenn man die Zylinderfläche auf eine Ebene abwickelt.

19) Aufg. Man bestimme die geodätischen Linien auf der Kugel, deren Gleichung x² -f- y² -f- z² — r² ist.

Lös.: Es ist

2rxr

2rsc

2T JT

J=

f [fc*+y¹² ~F 0,2 + ^ (#² -f- y² -Jr z² — r²)] dt <J k

zu variieren.

1 ist dabei eine unbekannte Variable, t eine Variable, durch

dz

d.r

z~î----x = c„.

a,5    «,5

Durch Multiplikation mit z, x, y findet man -j- c.₂x -f- c$y = 0.

Dies ist die Gleichung einer Ebene, die durch den Anfangspunkt geht. Jede geodätische Linie ist also der Schnitt einer solchen Ebene mit der Kugel, d. h. ein größter Kugelkreis.

20) Aufg. Man bestimme die geodätischen Linien auf einer Rotationsfläche.

Lös.: Ist die Z-Achse die Drehachse, so ist die Gleichung der Fläche : z = f (r). wenn z — f(x) die Gleichung der Meridiankurve in der XZ-Ebene und r = ^x²-\-y² ist. Setzt man wieder

ds

dt

die x, y und z ausgedrückt sind. Setzt man l J = 1 hält man

so er-

d²x

2A₁ x -j-

²^y + 3?=0,

z —

Durch Elimination von ll folgt hieraus d-y d²x „

XV    »<!«*.....'

d-z d²y    A

y ds² ~ Z ds² ~

ds²

d²z

ds²

= 0,

= 0.

d²x

d²z

Bd^~Xds2 dy

Xds •" ds ⁼ ' dz dy yäs-*<k=C*’

= 0 oder

dx

= L,, so ist

lxx . d²x_n

~ 7 + ds²

KV i d*y __

~ r + ** ~ U’

= 0.

dH

äs¹

Durch Elimination von lt folgt aus den beiden ersten Gleichungen

xy“ — yx" = 0, xy* — yx¹ = c.

Setzt man x = r cos y, y = r sin y, so ist

d(f

— c, also ds

Pfi

/ r²d(f = c (Sj — s₀).

(J <Po

■d;

Projiziert man also verschiedene Stücke der geodätischen Linie auf die XY-Achse und verbindet deren Endpunkte mit dem Durchdringungspunkt der Rotationsachse, so sind die entstandenen Flächen den betreffenden Bogenlängen der geodätischen Linie proportional.

Da nach s difterentiiert ist, so ist

x‘- + y‘² + £<2 = 1. also

IC

CT.

«j

Andrerseits ist r² 7 = c, also cfe = ds

r²d(f

folglich nach

leichter Umformung

F dcp² = c² dr² ^ 1 + (j j -f- r²c²d(p².

ceür

d(p

d(p

r]/r²— c2 cda

oder

r ]/r²— c²’

wenn da das Bogendiiferential eines Meridians der Rotationsfläche ist.

Bezeichnet man den Winkel zwischen Parallelkreis und geodätischer Linie mit a, so ist

rdcp

cotang a =    ~

fr²—c²

cos a = + - •

Es ist also c = + r cos a.

21) Aufg. Man beweise mit Hilfe der Variationsrechnung den Satz, daß die Schmiegungsebene in jedem Punkte einer kürzesten (geodätischen) Linie auf einer gegebenen Oberfläche durch die Flächennormale geht.

A n 1. Sei F (x, y,z) = 0 die Gleichung der gegebenen Fläche, und es werde durch zwei gegebene Punkte A und B dieser Fläche eine beliebige Kurve gelegt. Denkt man sich die Koordinaten x, y, z irgend eines Punktes der Kurve durch eine vierte Variable t ausgedrückt und sind tx und t₂ die den gegebenen Punkten entsprechenden Werte derselben, so ist die Länge des Kurvenbogens AB

zu einem Minimum zu machen unter der Bedingung F (x, y z) = 0. Man geht also aus von dem Integral

4 = f yx¹²-fy² + P² + XF) dt,

J h

worin x. y, z, l als unabhängige Variabein zu betrachten sind.

207

;

ö*:

¹ fr’

Hieraus folgt d idx\ _

dt \ds I

wo l eine konstante Zahl bedeutet. Nun sind die ersten Glieder dieser Gleichungen den Cosinus der Winkel, welche die Haupt-normale im Punkte (x, y, z) der Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt, die zweiten Glieder dagegen den Cosinus der Winkel, welche die Flächennormale in demselben Punkte mit den Koordinatenachsen bildet, beziehungsweise proportional. (Vgl. Bd. I, S. 254 und 274.) Hieraus kann leicht geschlossen werden, daß die betreffenden Cosinus selbst einander gleich sein müssen, wodurch der verlangte Beweis geleistet ist.

22) Aufg. Es sind gegeben zwei Punkte A und B und außerdem eine gerade Linie. Die gegebenen Punkte sollen durch eine Kurve von folgender Eigenschaft verbunden werden: Fällt man von irgend einem Punkte P der gesuchten Kurve ein Lot PP¹ auf die gegebene Gerade und trägt auf demselben die Bogenlänge AP von der gegebenen Geraden aus ab (P‘Q), so bildet die Gesamtheit der hierdurch bestimmten Punkte Q eine Kurve. Es wird verlangt, daß der Flächeninhalt, welcher durch diese Kurve, die gegebene Gerade und das Lot von B auf letztere begrenzt ist, ein Maximum oder Minimum sei und zugleich die Kurve AB die konstante Länge L habe. (Bernoulli.)

JL

dF

Lös.: Wählt man die gegebene Gerade zur X-Achse und das Lot durch A auf dieselbe zur F-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems, sind ferner die Koordinaten der Punkte A

208

und B beziehungsweise 0, h und a, l und diejenigen des beliebigen Punktes P der gesuchten Kurve x, y, so ist die Bogenlänge

sdx zu einem Maximum

AP =

s= f yi + y'-d

<V O

x und man hat oder Minimum zu machen unter der Nebenbedingung L =

X.

Hiernach wird

Nun ist s =

fa(s + A ]/1 + y¹²) dx, ÔJ= f\ôs +

V O    V o

r ,ïm dx,

Jcfi+r¹

fn+y

dx. ôs =

ly‘

fi + y

- ôy‘) dx.

ôs dx =

H rf}i(âsvx=HrL

f.

a ay‘ ôy'

|1

dx —

f.

“ xy‘ôy¹

H -HT

dx =

“ xy‘ ôy¹

, h + r-

a (a — x) y‘ ôy'

, WTP

dx =

dx ,

und daher ôj=

a

j (a -j- À — x) ja-j-Â-x)y'^(ôy)

n+r-

dx =

a -f- A —

u +V²

-rMiViïA**-

Da in den gegebenen Punkten A und B ôy = 0 ist, so verschwinden die Grenzglieder, und man hat zur Bestimmung der gesuchten Kurve die Differentialgleichung

a 4- A — x

WFF?

x — a — A = —

ily'²

dx -

/y    <X

. y'ôy

woraus sofort folgt

A =o,

= c oder

cil+y’²

Setzt man y' — tang a, so wird

2) x — a — i = —

sin a

da

dy — y' dx — c

sm a ⁷

3) y — y o = cZ tangua.

Die Elimination der Größe a aus den Gleichungen 2) und 3) liefert.

y-vo    _y-y₀

e )•

x — a — l — — \c(e c + e Die gesuchte Kurve ist mithin eine Kettenlinie, deren Direktrix der Y-Achse parallel ist.

Sie muß durch die Punkte A und B gehen und ihre Länge zwischen den genannten Punkten = L sein. Hiernach ergeben sich zur Bestimmung der Konstanten l, y₀ und c die Gleichungen

h—ya

h—Va

« + ^ = c c ),

* — 2/o    —2/o

* = ' +« ■' ),

L=fj 1+7²

/rv>+©'*-

y — y«

^c[e c

von denen die zweite zugleich die Bedeutung der Konstanten l erkennen läßt; es ist l gleich dem senkrechten Abstand des Punktes B von der Direktrix.

Bei Festsetzung des Vorzeichens der Konstanten c kommt

c cos a da sin² a dx

dx =

_ y—yo

c cos a sin² a

welcher erhellt, daß c das gleiche Vorzeichen mit

Demnach ist c positiv oder negativ, je nachdem die verlangte Kurve gegen die X-Achse konvex oder konkav ist.

23) Aufg. Zwei gegebene Punkte sollen durch eine auf rechtwinklige Koordinaten bezogene Kurve verbunden werden, für welche das Produkt aus der Bogenlänge A in den Flächeninhalt B möglichst klein ausfällt.

Lös.: Sind x₀ und x₁ die Abszissen der beiden gegebenen Punkte, so ist

die Gleichung dx =

da oder 1

in Betracht, aus

dx

haben muß.

I ]1 -\-yl2dx, /> = i

ydx,

machen. Die erste Variation dieses Ausdruckes wird I    ]/1 -j- y'² dx -f- Ad I ydx =

(J x₀    Xo

ö f (B yi -J- ?/'² + AU/) dx= f (B ^ — d?/' -f- H<h/) dx = e/.r„    yi -f- 2/^

7? y-

yi+2/

Da in den gegebenen Punkten (h/ = 0 ist, so verschwinden die Grenzglieder, und es bleibt daher, damit öj= 0 sei, nur noch die Gleichung

ÖJ= Bö

öy 12 J

xi rixi r

+ f

x₀ V Xo L

By"

'! 1 T""'

₃- öy dx.

Sy“

0 zu erfüllen.

(yi + y'^f

Als allgemeines Integral dieser Differentialgleichung findet man leicht

(*+c₁)! + (» + c₈)²=(|-)²

Es ist sonach die gesuchte Kurve ein Kreisbogen, welcher offenbar die X-Achse die konvexe Seite zukehrt. Die Konstanten G₁ und C₂ können mit Hilfe der Bedingung, daß der Kreis durch die beiden gegebenen Punkte gehe, durch A und B ausgedrückt

werden, letztere bestimmen sich aus

X₁

I y dx — B.

V X₀

24) Aufg. Man lege durch zwei gegebene Punkte, deren Abszissen x₀ und x₁ sind, eine Kurve, für welche das bestimmte

Integral l

c/ x

bei bedeutet n eine konstante Zahl, und s ist die Bogenlänge der verlangten Kurve.

Lös.: Im vorliegenden Falle ist J — I sndx,

V

su_1 ös dx.

r y i+7‘

c/ xa

dx = A und

sndx zu einem Maximum oder Minimum wird. Hier-

ÖJ=

fixt

n i

J X₀

to •

t—i

P

V xo

xi Pxi

— i Ad (ôs) == — |    (ds).

*0 c/ .r₀    V x<i

0 nr+T*d*= r-, y‘

v *0    J xoil ~b y

=riiw

d{^=t-Tx^j)dx

sn~¹ôsdx = Mds

Nun ist ds =

( 2 dy dx —

• c& und daher

dx.

).

dx.

und

Damit J ein Maximum oder Minimum werde, muh

d\Ads

dy\ = o

oder in anderer Form Ad

dy

dy

j- dA== 0 sein. ds

Aus der ersteren dieser Gleichungen folgt sofort AdJ-- = c

Q

und hieraus A = ₇ . Ersetzt man in der zweiten Gleichung das

ds

dy

ds

Integral A durch den eben gefundenen Wert, so ergibt sich

eil*

ds

dy

+1«^*=°oder c<Ä(§) + (**)’

5”"¹ dx = 0.

ds

dy

Substituiert man noch ^ = u, so wird dx = ds jl — u², und die

vorhergehende Gleichung geht über in die folgende c du -f- u²#¹-¹ ds /1 - u² = 0, in welcher sich die Variablen s und u trennen lassen :

-j- stl~lds = 0.

edu

u² y 1 — u²

Als ein erstes Integral dieser letzteren Differentialgleichung findet

sich c

f,

du

u² y 1—u

nc

woraus man leicht erhält

du

u —    =

ds

y n² c² -j- (s* -j- wC))2 Die verlangte Kurve muß hiernach so beschaffen sein, daß ihre Gleichung der zuletzt gefundenen Differentialgleichung genügt. In dem speziellen Falle n = 1 ergibt sich ohne Schwierigkeit die Kettenlinie. (Vgl. Aufg. 22).)

25) Aufg. Eine Fläche von der Beschaffenheit zu finden, daß wenn man in einem Punkte P derselben eine Tangentialebene mit den Achsenabschnitten OA, OB, 00 konstruiert, OA² -j- OB² -J- OG² ein Minimum, d. h. kleiner sei, als für irgend eine andere durch P gehende Fläche.

Lös.: Bezeichnet man die laufenden Koordinaten mit |, rj, Ç, diejenigen des Punktes P mit x, y, z, so lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkte P der gesuchten Fläche

fr

fr

fr’ q fr

£ — a = p (i — x) -f q (rj — y), wo p =

Hiernach ist

-{px + qy — s),

f-(pv + gy—*),

OC = — (px -\- qy — Ą

OA² + OB"- + OC* = (-¹* + I + l) (px + qy

ein Minimum werden.

Setzt man zur Abkürzung px -j- qy — z= M, so wird

ÖF =

und es soll

OA =

OB =

— z)²

und es muß gleichzeitig (px -\-qy — z)

(px 4-qy — *)

|»-M, + 2xM[jï+ ÿ+l)]^ +

² M> + 2yM(^ + -^ + l)]dfi

'' + <'(p⁺äi + 1)

- + ä'(p + ^ + ¹)

px + qy —

px Ar qy —

= 0.

= 0 sein.

Sieht man von der Lösung ab, die daraus hervorgeht, daß man pxĄ- qy — z = 0 macht, wodurch auch F=Q wird, so bestehen noch die simultanen Differentialgleichungen

px -j- qy — z

p³

Aus denselben folgt unmittelbar p³x == q³y. Ersetzt man in der Gleichung 1) p³x durch q³y, so folgt

3)    q³y -f- * = 0 ; daher ist auch

4)    p³x -f- z = 0.

A Venn man zum Zwecke der Integration x als konstant betrachtet, so ergibt die Gleichung 3)

dz

z*

oder

cly

iß

Durch' Integration findet sich, indem man an Stelle der Integrationskonstanten eine unbestimmte Funktion von x, <p (x), setzt,

A = — y§-f <f ix).

Auf analoge Weise liefert die Gleichung 4)

2

z^= -

x^ßip (y).

2 2

Demnach ist — y$ + q> (x) = — x^ -f- if> (y) oder

x% -[- (f (x) = y% -f- ip (y).

Diese Gleichung kann nur bestehen, wenn

x* + ⁽p (x) = iß -f- ip (y) = Const. = aß ist.

Hiernach wird <p (x) = aß — x%, ip (y) = aß — iß, und die Gleichung der verlangten Fläche lautet daher

2 2 2 2 x* -f- iß -(- z^ = aß.

26) Aufg. Eine krumme Fläche zu finden, welche bei gegebenem Flächeninhalt das größtmögliche Volumen umschließt.

Lös.: Das Volumen eines durch die Fläche z — f'(x,y) begrenzten Körpers ist bestimmt durch das Doppelintegral

V = Jjzdx dy.

ffVl +p* + q*dxdy,

und die Fläche desselben Körpers hat zum Aus-

druck

wo p =

(>

9^’ q 9y

F- ‘ Hierbei sind

die aus der Gleichung der betrachteten Fläche sich ergebenden Grenzen für beide Integrale die nämlichen.

Im vorliegenden Falle ist V=^z dx dij zu einem Maximum

zu machen unter Berücksichtigung der Bedingungsgleichung

JJ/Ï -j- p² -j- q² dx dy.

ßX 'i ßy-2

Hat man allgemein J = I I F (z,

V Xi V Vi

X, X, [a*_ l ( a?) ~ Ł ( ?)]Ssdxdy

ßVi AP    ßx,

+X dp0dH J

p, q) dxdy, so ist

ÖJ=

dzdx,

und es muß, damit J ein Maximum oder Minimum werde, öj — 0, d. h.

1)

a/_ a/ön_ a /ap\=0) 2) pap

& dx \ dp ! dv \ do. ' J y*

dz dy = 0.

OP

3) /

V Xi

dzdx — 0 sein.

Für die hier zu lösende Aufgabe ist nun

J=

JJ (z — l yi ~-j- p² -f- q²) dx dy,

wo l einen unbestimmten konstanten Faktor bedeutet, F—z— Ifl -Ą^-p² + q²

dF_ 0F_

9* “ ’ dp ~

Ip

fl+p' + q'

ô (ÖF\

! i+f²-[-7-? 9x\dp!

A(dl) ₌

dv \ d<i '

lq

^ r -f- rq² — pqs

(1 + P² + 2²)*

wo r —

op_ ,₌ dj?

dx² ’ dxdv

1 t-\-tp²—pqs

\i+p²+aA

und die Gleichung 1) ver-

wandelt sich in 11

, *=a;*

r -f- rq² — pqs -f-t -{-ip² — pqs

(l+i>² + <Z²)ł (1 + ⁽f)r — ²PF + 0- + P~)1 a +i>²+«²#

= 0 oder

= 0.

¹ , 1 _ 1 R^ B₂-~T

Hiernach ist, wenn man die Hauptkrümmungsradien in irgend einem Punkte (x, y, z) der betrachteten Fläche mit R₁ und R.2 bezeichnet (vgl. Bd. I, S. 276),

Es besitzt demnach die verlangte Fläche in jedem ihrer Punkte dieselbe mittlere Krümmung.

27) Aufg. Es soll durch eine gegebene Raumkurve eine krumme Fläche gelegt werden, deren Flächeninhalt ein Minimum sei. (Minimalfläche.)

Lös.: Durch eine Rechnung, welche der in der vorhergehenden Nummer durchgeführten ganz analog ist, findet man den Satz: In jedem Punkte einer Minimalfläche ist die mittlere Krümmung-gleich Null, oder, was dasselbe ist, die Hauptkrümmungsradien sind einander gleich, aber von entgegengesetztem Vorzeichen.

^pCToïf^-

kraków

Register.

[Die fettgedruckten Zahlen bezeichnen Band und Abteilung, die andern die Seitenzahl.]

Abwickelbare Flächen.......

Additionstheoreme für Sinus und Corinus

I, 280.

I, 86.

Algebraische Funktionen, Differentiation

Algebraische Kurven.......

Allgemeines Integral . :.....

Archimedische Spirale.......

I, 3.

. I. 197.

. . . n, 2, 9i. I, 213; H, 1, 155. Asteroide. . . I, 228, 241, 246; H. 1, 167, 170; II, 2, 97, 114.

I. 168, 180.

Asymptoten

Basis der Logarithmen .... Bernoullische Differentialgleichung „    Integrationsmethode

„    Zahlen.....

Bertrandscher Satz......

Berührung von Kurven ....

Betafunktion........

Besselsche Zylinderfunktion. . .

Bestimmte Integrale.....

Binomialkoeffizienten.....

Binomische Integrale.....

,, Reihe......

i—T

05

05 ^ GO 05 CO t> Ô H 1(3

h-t ,<m(m

. «M <N

• ÖB

Binormale . . . Bogendifferential . Bogen einer Kurve

.... I. 23. . n, 1, 25, 43. . ... I, 81. .    . . .    I,    253.

I, 166, 177, 252. . H, 1, 121, 125.

Bogenmaß.....

. I, 10. H, 2, 186.

I, 9.

Brachistochrone . . . Briggsche Logarithmen

Charakteristik

Cassinische Kurven

Cauchys Integrationsmethode . „ Bestglied.....

Charakteristische Gleichung

Cono-cuneus.....

Cosecans .......

Cosinus.......

,, liyperbolicus . . Cotangens .......

..........I, 200.

........II, 2, 156.

.......... I, 79.

..........I, 280.

........II, 2, 151.

......I, 282; II, 2, 16.

s. u. trigonometrische Funktionen.

.........I, 12, 15.

s. u. trigonometrische Funktionen.

Descartes

Dichtigkeit.............

Differentialgleichungen erster Ordnung . .

I, 180, 203; H, 1, 142. . . II, 2, 6. . II, 2, 50 f.

„    höherer Ordnung.....II, 2, 126 f.

. . . . I, lf. . . I, 23 f.. 43 f. . . . . I, 206.

Differentialquotienten bestimmter Integrale . . . n, 1. 99, 108. „    erster Ordnung . . .

„    höherer Ordnung    . .

Dinostratus . . Diodes . . . Doppelpunkt . Doppelreihen . Druckmittelpunkt

. I, 197. . I, 174. 11, 1, 212. II. 2. 34.

Eigentliche bestimmte Integrale......

Einsiedler..............

Elastizitätsfläche............

Ellipse. . . I, 193, 239, 244, 245, 246, 271; II,

Ellipsoid......

Elliptische Integrale Elliptisches Paraboloid Enveloppen .... Epizykloiden . . .

. . Il, 1, 98. ... I, 175. ... I, 303. 128, 169, 184; 2, 24, 37, 198. I. 284; II, 2, 17, 18, 33, 39, 200.

..........I, 179.

...    87; II, 2, 12, 13, 31.

8; II, 2, 91. ; n, 1, 163.

Fl-

I,

CO J—I

CO HH

eo co

279.

221

Os CO

Eulersche Formeln für sin und cos ,. Funktionen.....

Eulerscher Satz über homogene Funktionen. . . „    „    „ Krümmungsradien . . . .

. II, 1. 64. H, 1, 174. . . I, 76. . . I. 276.

I, 172, 192. . . I, 172. I, 8, 11, 14.

Evoluten....

Evolventen . . .

Exponentialfunktion Exponentialfunktion, höhere Differentialquotienten ... I, 36.

„    Integration......

„    Reihenentwicklungen . .

II. 1, 63, 86. . . I. 85.

Fakultät .... Fläche .... Folium Cartesii . Frenetsche Formeln Fresnel ....

I, 274; II. 1,

t-H CO

IC

23.

, 3.

142.

254.

303.

Funktionen, entwickelte von mehreren Veränderlichen.    . I, 48.

,, unentwickelte

Fußpunktflächen

Fußpunktkurven

......I, 55.

.... I, 279, 303. I. 168, 247; II, 2, 102.

Gammafunktion

Gaußsches Krümmungsmaß . . . Gebrochene Funktionen, Integration

U, 1. 174. . I, 276.

II. 1, 3.

Gedehnte Zykloide, Epizykloide, Hypozykloide. . . I, 219, 229.

H, 1. 64, 81. II. 2, 201 f. . . I, 96. . . I. 280.

Gemischte Differentiale, Integration Geodätische Linien......

Gleichungen, Näherungsmethoden für Gratlinie...........

Grundformeln der Differentiation. ,,    „ Integration . .

I, 1.

Guldinsche Regel...........

Harmonische Reihe..........

Hauptgleichung der Variationsrechnung . .

Hauptkrümmungsradien........

Hauptnormale............

Hauptnormalschnitte.........

Höchste und tiefste Punkte von Kurven . .

Homogene Funktionen

Differentialgleichungen

... . I, 76. II. 2. 58, 146. . . . I. 210.

Huygens

Hyperbel I, 193, 239, 240, 241; H, 1, 131, 134, 185, 186, 187;

II, 2.

Hyperbolisches Paraboloid . *. Hyperbolische Spirale ....

Hyperboloid........

Hypergeometrische Keihe. . . Hypozykloiden.......

I.

i—r cm

CO tO

; Ii,

co' <ri ci

95.

15.

8    14; II. 53.

. . I. 285. 286. . . II. 1. 215. I, 221; II. 2, 195.

Implizite Funktionen.....

Integrabilitätsbedingung ....

Integralcosinus.......

Integral sinus........

Integrierender Faktor.....

Inverse Funktionen......

Irrationale Funktionen, Integration Isolierter Punkt.......

II. 1, 93; II, 50. . . . H, 1. 195. . . . II. 1. 195. II, 2, 68. 119. 156.

II. 1. 36.

Kardioide

I, 224; H, 1, 164.

Kegelflächen

I, 277, 291.

Kegelschnitte . . I, 193; H, 1, 126; H, 2, 60, 88, 97, 105, 135. Kettenlinie I, 208; II, 1, 149; II, 2, 109, 113, 177, 182, 191, 207.

I, 201; II, 1, 139. I, 259; II. 1. 172. I, 282; II, 2. 16.

Konstantenbestimmung bei Variationsproblemen . . .II, 2, 172.

I. 170, 177, 253. . . II. 1, 194.

Konchoide

Konische Spirale Konoid . . .

Kontingenzwinkel . . .

Konvergenz......

Konvexität und Konkavität

Körper, Inhalt und Schwerpunkt . . . Kreis . . .

Kreisevolvente Kreispunkt .

Krümmung .

Krümmungsebene

. . H, 2, 83, 94, 100, 101, 116, .......I, 210; n, 1, 1

. I. 170. II. 2. 5. 192. 209. 115. 129. . I. 276.

I, 253, 254, 255, 276; H, 2. 215. ..........I.    253.

K-¹ to

; ii,

• Ol' cf

Krümmungskreis . . . Krümmungsmittelpunkt Krümmungsradius . .

Kugel.......

Kurvengleichung . . .

II, 2.

... I, 172, 178, 254. 172, 177, 192, 253, 255. , 21, 22, 27, 28, 29, 203. .....I, 165, 252.

Lagranges Bezeichnung der Differentialquotienten ... I, 24. „    Interpolationsformel ..

„    ßestglied.....

Legendre. . .

Leibniz . . .

Leitstrahl . .

Lemniskate . .

Lineare Differentialgleichungen . . Lituus............

I, 199; n, 1, 139, 187

Logarithmen.........

Logarithmische Ausdrücke, Integration „    Linie

„    Spirale . . . I, 193,

I,

Loxodrome

II, 1, 116. . . I, 79. II, 1, 182. . . I, 24. . . I, 177. 2, 79, 102. ', 151, 155.

. . I, 185. I, 8, 9, 11, 12, 37, 82.

.....II, 1, 86.

j;    145; H, 2, 52.

»;    156; II, 2, 56.

172; II, 2, 89.

n, ,

PPP

Maclaurmsche Näherungsmethode „ Reihe ....

Masse ......

Maxima und Minima

. . I, 97. . . I, 78. II, 2, 6, 24. . . I. 112. II, 2, 1.

Mehrfache Integrale

Mehrgliedrige Differentialausdrücke.....I, 48 ; II, 1, 93.

Meunierscher Satz

Mittelbare Funktionen.....

Modulus eines Logarithmensystems Multiplikatoren, unbestimmte . .

. . I, 275. I, 2, 24, 49.

I, 9.

I, 118.

Nabelpunkt................

Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale . Natürliche Logarithmen Nebenbedingungen Newton ....

Nicomedes . .    .

Normale ....

. I, 276. II, 1, 115.

I. 9.

I, 117; II, 2, 174. . . I, 96, 183. .... I, 201. I, 167, 179, 274.

I, 252. I, 166. I, 165.

Normalformen der elliptischen Integrale . . II. 1. 182. 197, 198.

. I. 275.

. I, 253. . I. 255. . I. 256.

Normalebene . . Normalengleichung Normalenwinkel .

Normalschnitt

Oskulationsebene.....

Oskulationskugel.....

Oskulierende Schraubenlinie

Parabel . . .

Polarkoordinaten......

Polartangente usw.....

Polarwinkel......

Potential........

Potenz.........

Potenzreihe.......

Produkt ........

I, 193; n, 1, 126; II. 2, 24, 54, 104.

.......I, 215; n, 1, 189.

.........I, 167, 249.

.........I, 193. 279.

.........n, i, 3, 9.

. I, 48. II. 1, 2.

n, 2, l.

I, 192;

P !=

tH T—H 'T'l

QO CD

......I, 87.

.....II. 2, 48.

I, 2, 3, 29; II, 1, 1, 7.

.....H, 1, 194.

I, 1, 23, 24; II, 1, 2.

Quadratrix Quotient .

I. 206; II. 1, 148.

I. 2

Radius vector.............

Randgleichung hei Variationsproblemen .    .    .

Rationalmaclien von Wurzeln im Integranden .

Raumkurven...........

Reduktionen auf elliptische Integrale . .

Regula falsi...........

Reihen

. . . , 177. . . II. , 171. . . II, 1, 37. ... I, 252. . II, 1, 190. ... I, 96. L 78 f.; H, 1, 194, 201.

H-T TI

Reihenfolge der Integrationen.........

Rektifiziereude Ebene und Kante....... .

Rekursionsformeln für Differentialquotienteil höherer

Ordnung ......

„    ⁴    „ elliptische Integrale . .

„    „ Integrale binomischer

Differentiale usw. . .

II. 2. 1, 2. . . I. 255.

HH

43.

. II, 1 181.

Rest der Reihen . Restglied .    .    .

Reziproke Kurven Rollinie .... Rotationsflächen . Rotationskörper . Rotationsparaboloid Rückkehrkante . Rückkehrpunkt .

II, 1, 22.

„ Zähler der Partialbrüche ... II, 1, 5.

.......II, 1, 194.

........I, 79.

........ I, 180.

I,

•r. TH

Schmiegungsebene Schmiegungskugel Schmiegungswinkel Schnabel .... Schraubenfläche . Schraubenlinie. . Schwerpunkt . . Secans.....

.....I, 253; II, 2, 206.

I, 257; II 1, 171; II, 2 201. ; n, 2, 3,

s. u. trigonometrische Funktionen.

II, 1, 117. II, 2, 162. I, 173, 182.

Lösungen von Differentialgleichungen ... II, 2, 91.

s. u. trigonometrische Funktionen.

..........I, 10.

........II, 1, 187.

..........I,    271.

Simpson sehe Regel.....

Simultane Differentialgleichungen Singuläre Punkte.....

Sinus.....

„ hyperbolieus Sinuslinie . . .

Sphärische Ellipse . . „ Epizykloide

Spiralen . Spitze . . Sprengloch

II. 1

h-L '

- ZD

24.

........I, 265.

I, 184, 212, 259; II. 1, 155. ......I, 175, 1 6.

II. 2

L>* X

Subnormale

I, 167.

.... I, 167.

I, 1, 23; II, 1, 2.

Substitutionen neuer Veränderlicher I, 68; n, 1, 2, 18; II, 2, 2. Subtangente ....

Summen und Differenzen

s. u. trigonometrische Funktionen.

........I,    167, 179.

........I,    166, 252.

........I,    165, 252.

..........I,    274.

..........I, 78.

..........I,    254.

........H, 2, 6, 37.

.........II, 2, 79.

......I, 210; II, 1, 154.

.... I, 8, 12, 36; II, 1, 63.

..........I,    204.

....... .    II, 2, 50.

Tangens . . :.....

Tangente......

Tangentengleichung. . . .

Taugentenwinkel.....

Tangentialebene.....

Taylorsche Eeihe . . . .

Torsion........

Trägheitsmoment und -radius

Trajektorien......

Traktrix........

Transzendente Funktionen .

Kurven. . .

Trennung der Variabein .    .

183.

Trident ........

83 , 92; II, 1, 63 f. . I, 208.

Trigonometrische Funktionen ... 1, 8, 10, 11, 39,

Tschirnhausen

. I, 98 f.

II, 1, 99. II, 1, 100.

II, 2, 67, 156. . II, 2, 170. . I, 219, 229. ... I, 68. II, 1, 182, 199.

. . I, 282. . . I, 303. I, 173, 176. .’ . I, 280. . . I. 254

Unbestimmte Ausdrücke . . . . Un eigentliche bestimmte Integrale Unstetigkeitspunkt......

Variation der Konstanten........

Variationsrechnung...........

Verkürzte Zykloide usw....... . .    .

Vertauschung der unabhängigen Variabein .    .

Vollintegrale, elliptische.........

Wallis.......

Wellenfläche . . . . Wendepunkt, -tangente Wendungskurve . . . Windungswinkel . . .

Wurzeln

Zissoide

m°°

CO

CO

I, 197; II.

Zykloide . . , 189, 218; TL, 1, 157, 170; H, 2, 98, 131, Zyklometrische Funktionen I, 8, 10, 12, 41, 44, 84; II, 1, 84. Zylinderflächen I, 276, 289; II, 2, 11, 14, 19, 20, 38, 46, 48, 201. Zylinderfimktion

Lippert & Co. (G. Pätz’sche Buchdr.), Naumburg a. S.

rH C~-

, 135.

186.

II, 1, 200.

FI

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