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L. A. Sohncke s

Sammlung von Aufgaben aus der

Erster Teil:

Differentialrechnung.

Herausgegeben von

Prof. Dr. Hermann /Arnstein.

Professor der höheren Mathematik und theoretischen Mechanik an der Akademie in Lausanne.

Sechste verbesserte Auflage bearbeitet von

Dr. Martin Lindów.

Mit 124 in den Text gedruckten Figuren.

Halle a. S.,

Verlag von H. W. Schmidt. 1903.

L. A. Sohncke’s

Sammlung von Aufgaben aus der

Differentialrechnung.

Herausgegeben von

Prof. Dr. Hermann /Amstein,

Professor der höheren Mathematik und theoretischen Mechanik an der Akademie in Lausanne.

Sechste verbesserte Auflage bearbeitet von

Dr. Martin Lindów.

Mit 124 in den Text gedruckten Figuren.

Halle a. S.

Verlag von H. W. Schmidt. 1903.

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Vorwort zur vierten und fünften Auflage.

Die Aufgabensammlung von Sohncke hat durch drei Auflagen hindurch ihre Brauchbarkeit bewährt. Wie sie manchem Lehrer beim Unterricht in- der Differential- und Integralrechnung als Sammlung von zweckmässigen Beispielen lieb geworden ist, so hat sie auch vielen Studierenden an Universitäten und polytechnischen Schulen willkommenes Übungsmaterial geliefert. Dass Einzelnes, wie es in den bisherigen Auflagen enthalten ist, den durch das jetzt allgemeiner verbreitete und intensiver gewordene Studium der mathematischen Wissenschaften so hoch gesteigerten Anforderungen gegenüber nicht mehr denselben Wert besitzt, wie beim ersten Erscheinen des Buches und Anderes geradezu veraltet ist, liegt in der Natur der Sache. Nichtsdestoweniger schien mir das Buch des Brauchbaren und Wertvollen so viel zu enthalten, dass ich auf den Wunsch des Herrn Verlegers die Besorgung der vierten Auflage gern übernahm. Ich verhehlte mir dabei die eigentümliche Schwierigkeit nicht, die darin lag, bei Berücksichtigung des ursprünglichen Charakters des Buches den Bedürfnissen der Jetztzeit möglichst gerecht zu werden.

Mein Hauptaugenmerk musste dahin gehen, den Mängeln möglichst abzuhelfen, welche sich bei langjährigem Gebrauche des Buches herausgestellt hatten. So sind sämtliche, die einzelnen Beispielgruppen einleitenden Erklärungen, Regeln u. s. w. vollständig umgearbeitet worden. Sodann habe ich, um eine möglichst grosse Korrektheit zu erzielen, sämtliche Beispiele auf’s Neue selbst durchgerechnet und die dabei aufgefundenen, zahlreichen Fehler verbessert. Die Lösung derjenigen Aufgaben, welche erfahrungsgemäss den Studirenden grössere Schwierigkeiten darboten, ist noch mehr als in früheren Ausgaben durch kurze Anleitungen erleichtert worden; auch habe ich, wo mir dies nötig schien, die Anzahl der Beispiele vermehrt. Die mannigfaltigen grösseren und kleineren Änderungen, welche ich nach sorgfältiger Überlegung und bei möglichster Schonung des vorhandenen Guten im Interesse der Sache vornehmen zu müssen glaubte, hier anzugeben, würde zu weit führen. Der unparteiische Sachverständige wird diese Änderungen und die Gründe, die mich hierbei geleitet haben, wie ich hoffe, billigen.

Der erste Abschnitt über die Differentialquotienten algebraischer und transzendenter Funktionen, der sich durch die Reichhaltigkeit und Brauchbarkeit seiner Beispiele vor allen andern auszeichnete, ist nahezu unverändert beibehalten worden. Im früheren vierten, jetzigen fünften Abschnitt wurden jeder wichtigeren unendlichen Reihe die Gültigkeitsgrenzen beigesetzt; dagegen konnten auch in dieser neuen Ausgabe Untersuchungen über die Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen, als in die algebraische Analysis gehörig, selbstverständlich keine Aufnahme finden. Die kurze Anleitung zur näherungsweisen Lösung numerischer Gleichungen mittelst des Maclaurin’schen Lehrsatzes, welche diesem Abschnitt beigegeben ist, wird manchem Studierenden nicht unwillkommen sein. Der fünfte Abschnitt der dritten Auflage über die hyperbolischen Funktionen konnte bei dem beschränkten Raume des Buches nicht mehr aufgenommen werden. Die Untersuchung der Kurven und Oberflächen ist, soweit dies tunlich erschien, den neueren Anforderungen an Symmetrie entsprechend umgearbeitet worden.

Seit dem ersten Erscheinen der Sohncke’schen Aufgabensammlung im Jahre 1850 ist dieselbe für viele der nachfolgenden, ähnlichen Sammlungen, auch für solche, welche jetzt vornehm auf ihre Vorgängerin glauben herabblicken zu müssen, zu einer reichen Fundgrube geworden, so dass es gewiss in der Natur der Sache liegt, wenn jetzt die Zinsen und Zinseszinsen des von Sohncke angelegten Kapitals dem Buche selbst wieder zugeflossen sind. Es haben dem Bearbeiter der vierten Auflage namentlich die beiden trefflichen französischen Übungsbücher Brahy: Exercices méthodiques de calc. diff. und Frenet: Recueil d’exercices sur le calc, infinitésimal, sowie die englischen Lehrbücher Tothunter: A treatise on the differential calculus und Salmon: Analytische Geometrie des Raumes (deutsch bearbeitet von Herrn Prof. Fiedler) wesentliche Dienste geleistet.

Auf die Korrektur ist sowohl von Seite des Herrn Verlegers, wie auch von Seite des Herausgebers die grösste Sorgfalt verwendet worden. Die dessenungeachte stehengebliebenen, wenigen Druckfehler bitte ich vor dem Gebrauche des Buches verbessern zu wollen.

Zürich, im Oktober 1874.

H. Amstein.

Vorwort zur sechsten Auflage.

Bei der vorliegenden sechsten Auflage des altbewährten Werkes hat sich die Notwendigkeit herausgestellt, dasselbe einer neuen, gründlichen Bearbeitung zu unterziehen und einige wichtige Änderungen an demselben vorzunehmen, jedoch so, dass der bisherige Charakter des Werkes möglichst gewahrt blieb. Die am meisten in die Augen fallende Änderung besteht in der Einfügung der Figuren in die entsprechenden Stellen des Textes, während sie bisher in einem besonderen Hefte erschienen. Ich hoffe, dadurch das Studium der Sammlung angenehmer gemacht zu haben. Natürlich sollen sie zu selbständigen Zeichnungen anregen und zur Probe auf deren Richtigkeit dienen.

Das bisherige letzte Kapitel, Anwendung der Differentialrechnung auf Geometrie, habe ich in 3 Kapitel zerlegt und die Aufgaben systematisch geordnet, wodurch ich, ebenso wie durch das ausführlichere Inhaltsverzeichnis, eine grössere Übersichtlichkeit erreicht zu haben hoffe.

Dass Druckfehler und Unrichtigkeiten möglichst ausgemerzt wurden, sowie dass die neue Rechtschreibung eingeführt wurde, bedarf kaum der Erwähnung. Endlich ist besondere Sorgfalt auf den Druck verwandt worden.

Leider hat Herr Verlagsbuchhändler H. W. Schmidt, von dem ich den höchst ehrenvollen Auftrag der Bearbeitung erhielt, die Vollendung des Druckes nicht mehr erlebt; seine unermüdliche und erfolgreiche Tätigkeit sichern ihm ein bleibendes Andenken.

Göttingen, im Juni 1903.

M. Lindów.

Inhalt.

Kapitel I.

Differentialquotienten erster Ordnung von entwickelten Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen.

§ 1. Grundformeln und allgemeine Regeln.....

§ 2. Beispiele zur Differentiation einfacher algebraischer

Funktionen .    .............

§ 3. Definitionen und Grundformeln.......

§ 4. Beispiele zur Differentiation transcendenter Funktionen 10

Kapitel II.

Differentialquotienten höherer Ordnungen von entwickelten Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen.

COO

p\

cd c>

COO COO

Allgemeine Sätze über independente Darstellung der Differentialquotienten höherer Ordnungen entwickelter Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen ...    23

Beispiele................

Beispiele zur numerischen Berechnung der sukzessiven Differentialquotienten einiger Funktionen für den speziellen Wert x = 0 mittelst Rekursion......

29

43

Kapitel III.

Differentiale von entwickelten Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen.

G00 CJOO

со po

Allgemeine Sätze Beispiele .    .    .

ос О

lO

Kapitel IV.

Differentiale unentwickelter Funktionen von zwei und mehr Veränderlichen.

1 Allgemeine Sätze.............

1 Beispiele zur Differentiation unentwickelter Funktionen

einer unabhängigen Veränderlichen.......

§ 12. Beispiele zur Differentiation unentwickelter Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen .    .    .    .    .

сда coo

55

60

64

COO GOO COO

CO -T|H Ю

i—I T—I T—1

Vertauschung der unabhängigen Veränderlichen.

Allgemeine Sätze...........

Beispiele..............

Homogene Funktionen.........

00 rH CO

со О f>

-JOT: CGC

h-k l-J-

r³ P

.«    Kapitel V.

Der Taylor’sche und der Maclaurin’sche Lehrsatz.

Lehrsätze..............

Beispiele...............

00 iH О 00

Kapitel VI.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Bestimmung des wahren Wertes einer Funktion, die für einen speziellen Wert der Veränderlichen in unbestimmter Form erscheint.

О CO I-¹ 00

§ 18. Allgemeine Sätze und Regeln § 19. Beispiele.......

Kapitel Vll.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Bestimmung der Maxima und Minima der Funktionen.

СО О

тН (N t—I tH

§ 20. Allgemeine Sätze und Regeln § 21. Beispiele........

Kapitel Vlll.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung ebener Kurven.

164

§ 22 Allgemeine Sätze

§ 23. Beispiele.

1. Allgemeine Aufgaben.

Transcendente Kurven......

Spiralen..........

Zykloiden..........

Enveloppen.........

Fusspunktkurveu........

Parallelkurven........

180

. . 182 .    .    191

.    .    192

СООО-зрО'рКЮ

193

197

. . 204

212

218

239

247

249

Kapitel IX.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung der Raumkurven.

§ 24. Lehrsätze § 25. Beispiele

Ol о Ю iO (M

Kapitel X.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung krummer Oberflächen.

§ 26. Lehrsätze......

§ 27. Beispiele.

1.    Allgemeine Aufgaben .

2.    Flächen zweiter Ordnung

274

282

284

289

291

293

298

Kapitel I.

Difïerentialquotienten erster Ordnung von entwickelten Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen.

§ 1. Grimdformeln lind allgemeine Regeln.

Bezeichnen u, v, w, . . . Funktionen der unabhängigen Ver-

,    . , du dv dw

anderlichen x und sind —, —, ——, .

dx dx dx

. . die Differentialquotienten

dieser Funktionen und A, B, C, . ♦ . Konstanten, so gelten folgende allgemeinen Gesetze:

I.

y — и + v w + • • •

dy_du _^_dv dw

dx dx dx dx

Zusatz: y—C

dy = 0

dx

П.

du

dx

dx

Zusatz: y — Au^rBv-\z_ Cw + ...

= + + -----

dx dx dx dx

dw

III.

у— uv

dy dv . du di = UTx + V Zusatz 1: у — u v w

dx

SU SU

du

= v w    4- и w

dx

SU SU

—J— и •у

dx

Zusatz 2: y— uv

dy du dv dx dx . dx

Der Differentialquotient einer Funktion, dividiert durch die Funktion, wird der logarithmische Differentialquotient dieser Funktion genannt.

IV.

y — ~~

* V

du

dy

V ---и -r—

dx dx

dx

Zusatz 1:

dy_ dx

dx

Zusatz 2:

dy du dx dx

su

V.

= un

tdu dx ’

wo n irgend eine positive oder negative, ganze oder gebrochene, rationale oder irrationale Zahl bedeutet, welche von x unabhängig ist.

dx

— n un~

Zusatz 1:

y = y/~Ü

du

dy_ dx

dx

Zusatz 2:

y = iï

dy

dx

Si. !

Ist и eine Funktion von x und F(u) eine Funktion von u, so wird F (и) eine mittelbare Ehinktion von x genannt, und es gilt der Satz:

VI.

d F (и)

= Г(ц)

dx

wo F'{и) —

die in Bezug auf и genommene Ableitung von

F (и) bezeichnet.

Ist у — f (ж), und bezeichnet man diejenige Funktion von y, welche für jeden Wert von у den aus der Gleichung y — f (ж) hervorgehenden Wert von ж angibt, mit <p (y), sodass also ж — <f(y) oder f[(p(y)] — y ist, so heisst diese Funktion y> (y) die inverse Funktion der Funktion f(x), und es gilt die Gleichung; d<f(y)

VII.

dy

fix)

§ 2. Beispiele zur Differentiation einfacher algebraischer Funktionen.

2) y = a . xn

1)    y—- xn

~==n ж”-1 dx

dy

dx

П—1

xn

³) У ~~~fb

CI

dy n n л — — ж”-1 и а

5) yz=jx³ —    — 2 rr⁶ —}— o?⁷

4) у = (a -f- Ъ x)m

~ — m Ъ (a -j- b x)

CL X

— = x² (1 — 6 x -(- 13 x? — 12 x³ -|— 4 xF) а

6) y — ~xm — p жр_1 -j- q_

ÜJ- = X

7)

8)

m_1 —p (p — 1) xp~2 y = 9 ж⁷ -f- ³ ж⁻⁵ — 3 x ¹¹ — a x~~m

—    63 x³ — 15 ж⁻⁶ -}- 33 x~¹² -j-am ж'_(т+¹⁾

у — 3 x⁵—4ж^т-|-9ж¥—6ж^-|-4ж Y—y x    -f-7.5 -

djŁ — l J —7 J -f-бж⁻^ — Зж~* — 2ж~^ + 2ж~⁴^ dx

у = \а-\-Ъх-\- ex² eж³]"¹

—    m (& -}- 2 с ж -f- 3 e x²) (a -f- & ж -f- с x² -j- e ж³)

йж

dy

dx

то—1

б£ж

10)

у—Ух² ~h~

dy _    2

£^Ж

зу^

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5 n *

6    ! В/— , П\Хп

Wq Vх

i + V2 *

ж \f xq 2х^х

П)

у = У(а -f- & X -f- с ж² -f- е ж³) dy_т

йж

— (Ъ 2 с х -\- 3 е ж²) У (a -f- & ж —|— с ж² -j— е х³)т~п

oder =

ш(&-)-2сж-)-Зе ж²)

п У (а -\-Ъ X -{- с X² --j- е х³)п~т

12)    у =

а — Ъх + ex² (т -f- п ж³ -f- р ж⁵)²

dy_ Ъ — 2 сх

dx    (а — Ъх-\-сх²)²    (т -f- п ж³ -f- р ж⁵)³

2 е ж² (3 w -j- 5 р ж²)

13)

у~ {a Ą-Ъ х) {с -\- ех) $ в -f- Ъ с -j— 2 Ъ е X

14)

5 ж²

1-30’^+3-1

ÿ Уж5 ₌ 8⁶vSî + ^J/®

Ж

Уж уз*⁻

х\[х

15) у = 27 ж³ — --/-ж² Уж² -j-12 ж² -f- -^-ж Уж²

16)

— 81 ж² —108 ж Уж² + 24ж+4³Уж² — (9ж — 6 Уж² —2 Уж)2 У = 2 Уж [-»/ж ³yJ +    + V- V®* + -V- V® + ⁹ — "]

- =ЗбУж² + ЗбУж« + 9Уж + т^--Ь

Уж⁵

17) у= X Уж⁵ — If ж² Уж⁵ -f- Л ж³ Уж dy__

TS ns

³J“2

уж

Ии>

Уж⁵ (4 — 3 ж -f- ж \/ж) — Уж⁵ (Уж —1) (2 — Уж)2 18) у = х³ |~Т²Т ж² Уж

dx

72 ж

(2ж

23<У ⁺ “]

ж² (ж² Уж — 12 У^в -f 16) = ж² (⁶У^— 2)² (Уж5 -f 4)

19)

y ~ (6 Ж² — ^ Ж⁵)⁴

— 4 ж⁷ (12 — ж³) (6 — ^ ж³)³

dy

dx

20)    y—У Зж— 2 ж2 dj/__ _₌₌₌₌

У(3 ж — 2 ж²)²

21)    у — \/(2 ж² — ж³)3 dy_ Зж(4 — Зж) йж 4 у 2 ж² — ж³

22)

23)

y= \/4 + 2д/Зж + Зж2 1 -j- 2 ж д/Зж

д/Зж V4 -f- 2д/3ж -j- 3 ж²)2 y= V(3 + 4 УЗД³

dy

dx

dy

йж

У2

Ух² Уз 4 У2 ж

24)

y=\/|²V»—~+Va - ж)²|

dy

|(Ж -j- 1) Vl — Х--Y х Ух

х Ух yi — ж У 2 у ж (ж — 1) -f- ж У(1 — х)²

25) у— д/(а-|-ж²)⁴ д/(а-|-ж²)² 26) у — (5 -f- 3ж) \/бж — 5

dy_ 27 ж

\/бж — 5

dy

dx

⁼ тъ Х±У(аX²)¹

27)    у — У(а²ах-\-х²)(а—ж)

3 ж²

2 д/а³ — ж³

28)    у — (3 ж² -J- 5 а X — 2 а²) У а² -f- 3 ж²

dy_5 а³ -f- 30 а ж² -f- 27 ж³

д/а²-)- Зж²

29)    г/ = (9а² — 6 а & ж 5 &² ж²) д/(а -)- & ж)2 40 6³ж²

3 Уа-\-Ь X

30)    г/ = (2 а -f- 3 & ж) (2 а — 3 Ь ж)² д/4 а -j- 6 Ъ ж

^- = 1Ь (ЗЪ X —2 а) (21 & ж 2 а) Уб & ж -f- 4 а dx

dy

dx

dx

dy

31)    — ж (a²-j-ж²) д/а² — ж²

dx

У а² — ж²

32) y — {x-\-yj\ -f- ж²) д/l -f- ж² 33) y = ~ija²—ж²

dy_

dy    (ж -f- д/l + x²)²

a²

а!ж

д/l + X²

dx

X² д/а²—X²

34)

35)

у = (40 — 12 ж -j- -У- X²) д/5 -f- 3 ж 81 ж²

2д/5Т^

у — (V⁻ — 2 ж + ж²) д/ (5 -f- 2 ж)3 — = 7 ж² д/54^2ж

dy

dx

с?ж

36)

у — (4 ж — 7) (3 ж + 7) д/3 ж + 7 = 28 ж УЗж + 7

dj/

йж

37)

7 ж² — 9

40) у = (8ж³— 21) д/(7+ 4ж³)²

dy_    18

dy

160 ж⁵

dx

ж⁴ д/7 ж² —9

с£ж

д/7 + 4 ж³

38)

41)    ?, = (Зж⁴ + 4) д/9ж⁴ — 3

dy_    63

39)

У(3 — 5 ж²)³

У = 1-27^ “ gJV^+ж2 dj/__

d% 2ж²д/Зж-(-ж²

dy

135 ж⁷

с?ж

д/(9 ж⁴ — З)³

42) у =

dy_

dx

{⁷-Й#+^)³

720

7 ж⁵

43) г/ = (ff — Т⁸Т д/4 ж⁵ -f- f ж д/16 ж) д/(3 + д/4 ж⁵)⁷

||=MVöV(3+V4^)³

#+D⁴

44) у —

ж³ — 1

а² — йж.-f ж²

dy__

а — 2ж

dy

йж (а² — аж + ж²)²

__2ж + 1

vv tЛ/

46)

ж³ a x² 4~ си X + 1

У    X + 1

— 2x -\- a — 1

ày

dx

à² — ж2 a² + ж²

51) ÿ = V‘

à² — X²

dy

2 a² ж

йж

52) y

(a² -j- ж²)д/ a⁴ — ж⁴

,Ы-Ь

X*a — bx

dy

4 a² ж

dy

a² 4~ a b x — b² X²

dx

48) y =

(a² + ж²)²

5 -f 3 ж —f- ж2 5 — 3 ж + ж²

dx

53) y =

(a — b x) д/a² — b² x²

dy

6 (5 — ж²)

x+yi+æ²

dy_[д/l -f~    — ж]²

dx

(5 — 3 ж + ж²)²

dx

\/i + ж²

49)

_(8ж⁴ 4- 4ж²4~ 3) д/ж²—1

У~~    15 ж⁵

dy__

д/l 4~ ж² 4~ х

л/l +ж2___

_2 [д/l 4~ ж² 4~ ж]²

dx

ж⁶ д/ж² — 1

dx

д/l 4- ж²

50)

^ д/а² — ж²

dy

а²

56) у =

dy

57)

д /1 4“ ж — д Д — ж

д/1 -(— Ж 4~ д/1 — X

dy_1 — д/l — ж²

55) у =

йж

(а² — ж²) д/а² — ж2 5 &³ ж³ 4“ 80 а Ь² ж² 4~ 40 а² & ж -j- 16 а³

Ж² д/l — ж²

5 &⁴ ж³

(а 6 ж)² д/а 4~ & ж

dx 2 (аb x)³tJаЪх ___д/(4 ж³ —5)³

^ V(b ^²4-1)²

dy_[190 ж⁴ 4- 54 ж² + 100ж] д/4 ж³ — 5

д/4 (2³ — 5)

dx

3 У(5 ж² 4-1)⁵

_    2 ж⁴

^    (9 ж—13)³д/9ж² — 13 ж

91 ж³

dj/

59)

108 —18 л/х У —--з7=

‘Sx — f ж д/ж

dy

10 X

V2 — Уж

dx

9 V(2—ух)⁴

xlïï я?⁴

60)

^_ 8 X²

?J ~    S X⁶)²

d?l__

61) y

4 + 20x³

XŁ

\/(3 -f- 5 ж⁶)³

xd

dy

27

^ж

62)

X³ \/(20 — 3 ж⁶)⁵

y=№3_îV] Va+ev^

|^=24 ж² VI + 6 y^³)²

ЙЖ

ж⁴У(3 + 5ж⁶)⁵

63) y =

⁵v(¹+i) ⁸v(¹+Jr)

64)

dy

dx

TS TS

Ж⁴

д/(ж³ + 1)п 2/ — Vö + 7 \/ж j

_    2 ³v^ — 3

9(5 — 21Уж)

50 Уж²

¥7 (7    13) I

Уж⁵ (5 -f- 7 уж)² #

§ 3. Definitionen und Grundformeln für transzendente

Funktionen.

Die einfachsten transzendenten Funktionen sind diejenigen, welche aus der Exponentialfunktion, aus den trigonometrischen Funktionen und aus der Umkehrung dieser Funktionen, nämlich aus den Logarithmen und den zyklometrischen Funktionen hervorgehen.

Die Exponentialfunktion ex ist definiert durch die für jeden endlichen Wert von ж unbedingt konvergente Reihe

ж³

ex

1.2

1.2.3

+... in inf.,

wobei e

1.2

1.2.3

-f-... in inf. = 2,718281828...

Ans der Umkehrung der Exponentialfunktion ex gehen die natürlichen (Neper’schen) Logarithmen, deren Basis e ist, hervor, sodass, wenn

y = (f ,

cc —— log * nat. y.

In der Folge werden die natürlichen Logarithmen durch ein dem zu logarithmierenden Ausdruck vorgesetztes l bezeichnet.

Die Logarithmen in Beziehung auf die Basis 10, welche durch ein dem zu logarithmierenden Ausdruck vorgesetztes log bezeichnet werden sollen, werden Brigg’sche oder gemeine Logarithmen genannt.

Zwischen dem Brigg’schen und dem natürlichen Logarithmus einer Zahl z besteht die Beziehung

log z —

110

Allgemein gilt zwischen den Logarithmen einer Zahl z in Beziehung auf die zwei Grundzahlen a und b der Satz

log z

log я

log b

woraus folgt

Die konstante Zahl --

log a . log b = 1.

— loge, mit welcher man den natür-

liehen Logarithmus einer Zahl z multiplizieren muss, um den Logarithmus der nämlichen Zahl z in Beziehung auf die Basis b zu erhalten, heisst Modulus des zur Basis b gehörenden Logarithmensystems.

Es ist demnach der Modulus des Brigg’schen Logarithmensystems

= log e = 0,434294482 ...

Umgekehrt findet man den natürlichen Logarithmus einer Zahl, indem man den Brigg’schen Logarithmus derselben mit dem reziproken Werte des Modulus

log e

110 = 2,302585093 ...

-i "

arc 1

0,000004848 ...

multipliziert. Die Multipla dieser beiden Zahlen, deren Kenntnis die wirkliche Berechnung abkürzt, findet man in jeder gut eingerichteten Logarithmentafel.

Die Erklärung der trigonometrischen Funktionen entlehnt die Analysis der Goniometrie. Während aber in der Goniometrie die unabhängige Variable gewöhnlich als eine Winkelgrösse (ausgedrückt in Graden, Minuten und Sekunden) betrachtet wird, zieht man es in der Analysis vor, die Länge des auf einem Kreise mit dem Radius 1 diesem Winkel als Zentriwinkel entsprechenden Bogens (ausgedrückt in Teilen des Halbmessers) als unabhängige Variable einzuführen.

Zur Verwandlung von Winkelmass in Bogenmass dienen die arc 360° — 2 n, arc 180° — тс, arc 90° — \ тс,

Г8Г60 = 0’000290888---’

Gleichungen

arc 1°

71

180

0,017453293..., arc 1'

тс

180.60.60

Die Multipla dieser Zahlen findet man in den Logarithmentafeln. Mit Hülfe dieser Zahlen ergibt sich z. B., dass einem Bogen von der Länge 1 ein Winkel von 57° 17' 44,806" = 206264,8" entspricht. Der Brigg’sche Logarithmus der letzteren Zahl, welcher mitunter gebraucht wird, ist 5,3144251.

Einige Schriftsteller haben für folgende rationalen Funktionen der Exponentialfunktion ex

y (ex — e~x), i (ex -f- e~x)

die besonderen Benennungen sinus hyperbolicus von x und cosinus hyp. von x und die besonderen Zeichen

(Sin x und (£08 x

eingeführt. Eine wesentliche Abkürzung wird hierdurch nicht erreicht.

Die inversen Funktionen der trigonometrischen sind die zyklometrischen Funktionen arc sin x, arctan g x, etc.

Unter arc sin x, resp. arc tang x, arc cotang x ist derjenige

zwischen — Цг- und -f- ~ liegende Bogen des Kreises mit dem

U    Li

Radius 1 zu verstehen, dessen sinus, resp. tangens, cotangens gleich x ist. Mit arc cos x wird derjenige zwischen 0 und n liegende Bogen des Kreises mit dem Radius 1 bezeichnet, dessen cosinus gleich x ist.

Unter diesen Voraussetzungen gelten folgende Differentiations-Vorschriften, wobei и eine beliebige Funktion von x bedeutet:

VIII.

y — eu

dy

du

dx

dx

Zusatz:    y — au

du

VL = a‘U--^

dx

dx

IX.

y— lu

du

dy_dx

dx

Zusatz 1: y — logu

du

dy_ 1 dx

l а и

SS «

Zusatz 2: —— — и.

dx

wobei y— lu ist.

X.

у — sin и

d у

— cos и ~z

dx

dx

XI.

у — COS U

— — sin и

du

dx

XII.

у — tang и

du

du

dx

d у_ dx

dx cos²#

(1 -f- tang² x)

XIII.

y — cotang x

du

dy

dx

dx

sin² и

(1 + cotang² u)

dx

XIV.

y — sec и

dy cos u dи

dx    sin ²udx

— cosec u cotang и

du

dx

XV.

у — cosec и

cos udu

du

cosec u cotang и

Die Formeln X—XIII liefern nach dem Satze über die Differentiation der inversen Funktionen folgende weiteren: у — arc sin и

sin² и dx

dx

XVI.

du

dy

dx

dx

XVII.

yfl — u2 у — arc cos и

dy

dx

dx

XVIII.

-\Д — и2 y — arc tang и

du

dy__

dx

XIX.

1 + u2 y — arc cotang и

dx

dy

dx

dx

1 -f- u²

§ 4. Beispiele zur Differentiation transzendenter Funktionen.

1) У—Н 1 + ж²)

3)

У = 1~

Su SU

äy

—J— т-i

dx

X (1 + X²)

— x²

4)

y=i

1 -f-ж

dy

1 -f- X²

dy

dy

dx

д/l -f~ X2 x² — 2 V(6—2 ж²)³

dy

ж³

dx

(ж² — 2) (.ж² — 3)

8)

y=l

dy

dx

I j~yjl X* X

T VÎT®®

д/l -f- ж²

9) у=г

I Гд/3 — ж д/7

' УЗ -f- ж У7

dy_    У21

dx

7 ж² — 3

7)

У- I

yi "{“Ж—yi —

>У1+ж + д/1

А

xJ

10)

ж² (2 ж -f- 4)7 (64-7ж+2ж²)(2ж+3)⁷

dy

dy

12

с/ ж

У1 — ж²

с£ж

И)

"У(ж + 4)13 2д/(ж — 3)¹³

Ч&+Т

dy

ж² + ж -f 1

йж

ж³ -f- 2 ж² — 11 ж — 12

12)

У(ж² + 3ж— 7)¹⁷

У (ж— I)²

бУГ/Г|72 ж + 3 + д/37\²⁹1 г ^2ж + 3 —д/37^ )

Man setze : 2 ж -f- 3 -j- д/37 = г¹, 2 ж -f- 3 — У37 — i5, ж — 1 — г¹, alsdann wird:

dy    5ж² — 4ж -f-1

dx ж³-{-2ж²— 10ж    7

til 05

ж³ — f ж² — II ж +

(5 ж — 4)²

“h ТТ5 Ц4 5 ж)

14)

dy

5 ж³

dx (5 ж—4)³

1 , 125 , 65    . 35 ₉ . , ч

Î2" + у « + у + 5ж3

(1 -f ж)⁴

1 -j-ж

dy

йж

ж² (1 4- ж)⁵

15)

245 ж — 18

У 294 (3

dy_ 5 — 2 ж³

йж (3 — 7 ж²)²

5    ('/3 + ЖУ7\

7 ж²) ¹ 6 д/21 I д/3 —'7 ж²/

г (з — 7 ж²)

16)

_} 1    5    13ж²    7ж⁴ i ж⁶ }    1

У — [Ь ^    12 ' ””75    250 '625/(ж²—5)⁴

БТБТ

ж²

dy

17)

18)

ж³ (ж² — 5)5 у = 0ж]»

— ?г [7 ж]”⁻¹. —

аж    ж

у — ахт1{Ъ хп)

dx

dy

dx

19) у = ахт [1(Ъ хп)]р

dy

-~-~ах dx

[I (Ъ хп)]р 1. [т I (Ъ ж”) -f- р п\

20)

У-

ж² (ж⁸ — 4)

\/(г2ж)²

dy_ж (5 ж³ — 8) Л 2 ж — Iж (ж³ — 4)

йж

V(Z 2 ж)⁵

21)

— ех. ж”

23)

у — ех{хэ — Зж² + 6ж — 6)

dy

— еж ж”⁻¹ (ж -}~ ?г)

^ = жз.е*

б?ж

22) у — а²'*³“⁸*²

^ — 6 ж (ж — 1) а2х3~3х2 7 а dx

24)

— Xх

йж

25) у — (4 ж -f- 5 ж⁸) (4ж -|- 5ж³)

dy

dx

Зж²—2.x

За;²— 2х

(Зж—2)(4 + 15ж²)

4-f 5ж²

(6ж—2) 1 (4ж -[-5ж³)|

y = l[(ßx — 7 ж³)

5х—2

dy_(5ж — 2) (3 — 21 ж²)

dx

3 ж — 7 ж³

27)

y —I {lu) dy__ i

du

dx

u l и dx

28)

y — (4 X —

4!+⁴æ+*(ÿ+J)l

SU

16#⁴—18#²-}-9

29)

y — uv

dy

~ — uv .lu . -z—h V . uv dx    dx

du

' dx

30)

<h

dx

dv , V du dx ¹ и dx

31) y = Q u)v

dy V /7 dx и

du

dx

-f- (l u)vl lu

dx

32)

dx

U^ . Vw . IU    V

dw . w dv

' dx

33)

y — sin” X

~- = n sin”-¹ X . cos X

34)

1 du1 V dx ¹ ul и dxl y — sin m X

dy

dx

—— — m . cos m X

dx

35)

SU su

y — sin (p X Ą-g)

— —p . cos (px q)

Wenn n eine gerade Zahl ist, so ist:

x~2 cos2 ж + \ % з~ ± cos4 « — •••]

COS n X = + [1

Diese Gleichung auf beiden Seiten differentiiert und durch (—n) dividiert, gibt:

_    U/¹

sin nx--\-n sin X [cos x — T-

4    „

7.-cos³ ж

(w²—4) (n²—16)

1.2.3

Ist n ungerade, so hat man:

u? — 1.2.3

cos n X — + n cos # [1 —

i cos²# -}

1.2.3.4.5

cos⁵#...]

(n²—l)(n²—9)

1.2.3.4.5

woraus sich durch dasselbe Verfahren, wie oben, ergibt: sin n x — + sin # [1---

cos² # -f

(n²—l)(n²—9)

Die oberen Zeichen sind zu nehmen, wenn n von der Form 4 a oder 4 « -j- 1, die unteren, wenn es von der Form 4 a -j- 2 oder 4 a -f- 3 ist.

Diese vier Formeln, welche in Кар. V abgeleitet werden, können in einigen der folgenden Beispiele zur Vereinfachung der durch die Differentiation unmittelbar erhaltenen Resultate dienen.

y — | sin 7 ж -j- f sin 5 ж -j- -g sin 3 ж — 5 sin ж

= cos 7ж -(- 3 cos 5ж -)- cos 3 ж — 5 cos ж =

36)

dy

dx

64 sin² ж cos ⁵ ж

37)

y — l- sin 8 x -f- I sin 6 x -f- sin 4 x — 2 sin 2 x — 5 x

— = cos 8 x -f- 4 cos 6 x -J- 4 cos 4 x — 4 cos 2 x — 5

— — 128 sin² x cos⁶ x

38)

у — I cos 9 ж -f- f cos 7ж — f cos 3ж — 6 cos ж + f cos (— I) ^ — —вшЭж — 38т7ж + 88шЗж + б8шж = 25б8т³жсо8⁶ж

dx

y = T\ cos 10ж -j- I cos 8 ж -f- I cos 6x — 2сов4ж

4)

(2 (2“)J

(ayff + by + cff + -|- + yH-»»)^H-

x-\- у Z — U V xJryJru = vz x-\-y Ą- V — z u

(—Oo <+<C + oo).

rw [ f'WF 2

Ill

MAo àZ=o

143 -

v^2+(w—x)2.

y/b2 + c2

2n, (p .

У—0,

+ ^ = 1

d s = а д/i + cos2 \

¥и(хт* + у¥у + г ai) (1Л2+(1Л2+(1Г)2 ’

œr+ær+ær '

x2 y2 z2 — (b уУ5 (a2 — b2Y — r2 + ci2 — 2 b2.

39)

y = T\ cos 10ж -j- I cos 8 ж -f- I cos 6x — 2сов4ж — 7 соз2ж

dx

— — — (sin 10ж + 4 sin 8ж -f- 3 sin 6ж — 8 sin4ж — 14 sin 2ж)

== 512 sin³ ж cos⁷ ж

40)

у — x³ sin ж -j- 3 ж² cos ж — 6 ж sin ж — 6 cos ж ^ = *3

йж

. COS Ж

41)

y — tang x-\- i tang³ x

dy

dx cos⁴ x

43) y — tang ж — cotg X — 2 x — — (tang² x -]- cotg² x)

Si, SL,

42)

j sin x 44) y — (cos² x -f- f ) sin³ x

45)

cos⁴ж ¹ cos²ж

dy_8 — 3 cos⁴ж

cos⁵ ж

y — i cos ж cotg ж — I cos 2 ж sin ж — f sin ж — -f cosec ж

dy cos⁵ ж

dx    sin² ж

y — Jg⁵- x -j- cotg ж -j- I sin 2 ж -f- -5J si¹¹⁴ ж

^У₌15 _    ¹

d ж ⁸ sin² ж

йж

^ — 5 sin² ж cos³ ж

б? ж

■f- cos 2 ж -f~ I cos 4 ж = —

cos⁶ Ж

sin² ж

47) у =

3 cosec ж — 2 sin ж

5 cos¹ ж

cotg 2 ж

dy

dx    sin²ж cos⁶ж

sec² ж . cosec² ж

cos⁴ ж

48) y

2 sin² ж

-f-1 tang ж -f-1 sin I

dy

d x sin³ ж cos ж

49)

3S^-sS + !tang(f+ł)

50)

dy_ 1_____

d x sin⁴ ж cos ж sin¹ ж y = £ cos³ ж -f cos ж -f-1 tang 4 ж

tang ж

г»

СО

o_

be

51)

y— y cosec² ж -f- cos² x + { cos⁴ X + 31 sm x

COS⁷ X

dy

dx

sin³ ж

52)

y = | sin² x cos³ x — xi cos3 x — 3 cos ж — | cotg ж cosec ж

— \ I tang I ж

dy cos⁸ ж

dx    sin⁸ ж

53) y = \ tang⁴ ж — \ tang² ж — l cos ж

dy

= tang¹ ж

Cv OC

54)

y — — 1 cotg⁴ ж-f I cotg² ж -f- 2 sin ж

^ж

= cotg¹ Ж

55)

y = £ tang⁶ ж — I tang⁴ ж + ł tang¹ ж -j- ? cos ж

^ = tang⁷ ж dx

23 -f-18 cos 2 ж -f- 3 cos 4 ж . ₇,

У =    48 cos⁶ ж-+ *tang "

dy_sec ж . cosec ж

dx

cos⁶ ж

sin ж cos⁷ ж

57)

(3 cos 4 x — 7) cotg 2 x . _ _,

» = --(sin 2 x)⁸    + б Л tang x

4^ — sec⁵ x . cosec⁵ x

dx

58)

59)

У Jr- ^ + У CQ* ⁴    | C0S 8 *)?*«** + 20 г tang *

(Sin и X)

~ — sec⁷ x . cosec⁷ x dx

у — sin (m -f- n x)

4^ — n . cos (w -f~ n x)

CL X

60)

У — [tang (p + q x)]²

dy__2q tang (p -|- qx)

dx [cos {p -j- q x)]²

61)

y = x². sec (p x -j- q x³)

2 x -f- x² (p + 3 q x²) tang (p x -f- q Xs)

dy

dx

cos (p x -j- q x³)

62)

sin ж

^ a -f- Ъ cos x a cos x -f- b

63)

sin² x

У а-\-Ъ cos²#

dy

dy_(a 4~ b) sin 2 x

dx

(aĄ-b cos x)²

dx (q-f-6 cos²ж)²

to

b -f- a cos X -j- у &² — я² . sin x

a -\-b cos x

со

CO

\[b²— a2 a -\-Ъ cos x

eax (a sin x — cos x)    66)

(ia² -j-1) eax. sin x

у rrr eax (a cos x -(- sin x) — (a² -f-1) eax cos x

CL OC

67)

y — ae⁰^ sin ж (a sin x — 2 cos ж)-)-2е|И ^ — a (a² -f- 4) e^sin² x

CL t Ky

68) у — ea,c cos² x (a cos x -f- 3 sin x) -f

6 e™(geosx -f- sinx)

q² + 1

dy

— (^2 I 9) C0S3 x

dx

69) y — łx (3 sin X — cos x) + e~⁴ (5 sin 2 — cos 3)

S^S Su « l«5S

CO

i=

70)

У = *(

dy

6X V^s a? — e8in æ 4- e-x д/cos a? 4~ g

e* д/cos a? — e8m 33 — e~x yj cos a? -j-e

2 esin 37 (cos² a? 4~ sin æ) — 4 (cos² a? — e3 sin3!)

sin x

sin x

d a? [cos ж (e2x — e~2x) — e8in 35 (e2x + e~2x)] Vcos² ж — e² 8in x 71)    у = arc sin yfoc³

I у/х

dx yl _ ж3 73)    у — arc sin

72)

X — arc sin 2 x yl — x²

dy

dy

dx д/l _ ж2 74)    arc sin^

— a?²

1 Ą-х²

dy

dy

dx

(1 4- x) y/2 x (1 — ж)

da?

1 -f ж²

75) y — x³ arc sin

dy_

da?

x² (з arc sin — V    ж

"r==)

yfx^—ld

76)

y = arc sin

а? у Ъ²-\-а

81)

у — arc tang —-

у 1 — ж²

dy

V«

dx

xy/x²-{- 2ba?— a

SCI Su

77)

у — arc sin д/

aĄ-Ьх²

a-\-l-\-bx²

82)

л/i — ^²

у — arc tang

2 \/l —)— ж—a?²

dy

dy

da? (a+ 1 +&a?²)\/a + &a?2 78) у = arc tang з-

2 a?

— a?²

dx    yj \-\-x — x²

83) у = arc tang

a? — 2

dy

dy

2 д/4² a? — 1

da? 1 + a?²

dx

79) у = arc tang

V¹ -¹ 84)

a?

<гж—го + ж²)

80) у — arc tang

Xy/x2JrX~l у — arc tang

dy i

da? ⁷

Vt

— cos a?

1 + cos a?

2 a? 4" 1

a?\/3

85)

x = arc cos yj 1 — a?²

dy

da?

7 a?²    4 a? 4" 1

Sul su

a «s

V¹ — a?²

86)

î/zzrarccos д/l—ж

87) у — arc cos

2 д/ж² -f-ж— 1

ж д/5

dy

с£ж

<?ж

ж д/ж² + ж — 1

88)

89)

2д/ж— ж²

у = д/1 — ж² — ж . arc sin д/l — ж²

djl_

dx

у = ( 1 — I ж²) ж. arc sin д/1 — ж² — i (7 — ж²) д/l — ж²

— arc sin д/l — ж²

^ = (1 — ж²) arc sin д/1 — ж²

90)

у — j. — [i. # д/1 — я² — I arc sin ж]. arc sin ж . arc sin ж

ж²

dx

91)

dy

д/1 — ж²

у — [— (i ж³ +1 ж) д/1 — ж² -f A arc si¹¹ х]. arc sin ж

+ А ж⁴ + А

ж⁴

dx д/l — ж2

. arc sin ж

92)

у — —.....ж ₂. arc sin ж + ł / (1 — æ²) — arc sin

dy

йж

(1 — ж²)1

. arc sin ж

93)

— arc sin д/l — ж² + 12 f--

®    Ч + д/Г-ж²'

ЙЖ

~ • arc sin д/l

CC

— Ж²

94)

y — (\x² — I) arc cos ж — I ж д/l — ж²

dy

—^- = x. arc cos ж

с/ж

95)

у — I- д/l — ж² — (1 — I ж²) arc tang д/1 — ж2 ^ = ж arc tang д/l — ж²

2/ = |ж⁵ arc tang ж — А ж⁴ + А я² “ А ¹0- + я²) ~ — ж⁴ arc tang ж

tv «А/

97) y — [ж — arc tang ж]. arc tang x — \l (1 + ж²) 2 arc tang x

dy

x²

98) y =

f x

(2 (1 Ą-х²)

j- I arc tang x j . arc tang x +

4 (1 -f- ж²)

dy

dx (1 + я²)² '

arc tang x

99) y =

(r

— I arc tang -—

Man setze 2 arc tang x für arc tang j 16 x²

dx (1 — ж⁴) (1 — ж²) ‘

100) y — arc tang tang I (x Ą-Ąx² Ą- a)

— X²

У .arc tang j

1+Ж²

dy

arc tang x

—Ж²

1 — ж²

— ж²

dy

dx yjx²-\-a

101) y =

jare tang

arc tang

Vl + x² — 1

Es ist arc tang Ferner ist, wenn y = uu, ly— ulu,

= l arc tang x = u.

dy

dy

du

^- = \Ą arc tang x] a oo

sin ж

tdł-»

arc tang a; fl — I 2 —J— I аГС tang X

102) y =

2 + cos ж д/3

arc cos

2 (1 -j- x2) 1 -f 2 cos ж

2 + cos ж

dy

dx    (2 +cos ж)²

ЮЗ) у — arc tang у    tang łж

dy

Ьом

\/а² — Ъ²

dx а 4- Ъ cos ж

104) y = ~

(— 2 p\n

^ arc tang

2 p sin X

+ ^-(—+ —) arc tang 2 q\n m)

2 q sin x

(m — ri) -f- (m -f- ri) cos x

__

d x ab cos x - c cos 2 x

105) y =    (— + —) arc tang

2 p\n mJ

2 q sin x

(m -f- ri) -J- (m — ri) cos x

— (—

2 q\n

J arc tang

2 q sin x

(m — ri) -f- (m -f- ri) cos x

dy

COS X

dx a + b cos x + c cos 2 x

In diesen beiden letzten Formeln ist m² = a + b + c ; n² = a — b -f- c; p² = i (m — ri)² — 2 c; q² = ^{m-\- ri)² — 2 c.

Kapitel IL

Differentialquotienten höherer Ordnungen von entwickelten Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen.

§ 5. Allgemeine Sätze über independente Darstellung der Differentialquotienten höherer Ordnungen entwickelter Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen.²)

Zur Abkürzung soll in der Folge das Produkt aller positiven

ganzen Zahlen 1.2.3...% nach Kramp mit n\ (n Fakultät)

n (n — 1 ) (n — 2 )... (n — r —[— 1)

mit

und der Binomialco efficient

i^j bezeichnet werden, zu verstehen.

Bezeichnen и und v beliebige Funktionen der unabhängigen Veränderlichen x, so gelten für die Bildung der Differentialquotienten höherer Ordnungen folgende Vorschriften:

1. 2.

Unter

3.

und 0! ist immer die Zahl 1

I. у — U -f- V

dn у_dn и . dn v dx¹¹ dxn dxn

II.

— Au

_ . dnu ~~A~d^'

dxn

wenn A eine von x unabhängige Grösse bezeichnet.

III.

y —UV

dn y_ dn V

d xn 4 xn

'n\ dudn 1V Д/ dxdxn~i . (n\ dk u dn~k V ' Vе) dxk dxn~k

'n\ d² u dn~² V ß) dx² dxn~²

i / n \ d”_1 udv \w 4dxn~¹dx

dnu

J^V

k=;n

2 (n\ dk и dn~

k=0 ^

Eine allgemeinere Form desselben ist:

y — uvw...

. fdu .

symb-G^

Wie die symbolische Entwicklung von +

binomischen Lehrsätze zn verstehen sei, erhellt ans der vorhergehenden ausführlichen Formel. Es möge noch hervorgehoben d° V dx°

Bezeichnet F (и) eine mittelbare Funktion von x, so gilt in dem speziellen Falle, wo и eine lineare Funktion von x ist, für jeden

dnF(u) _ d xn

(Vgl. Formel VI, § 1 für n — 1.) Ist dagegen и irgend eine andere Funktion von x, so werden im allgemeinen die Differentialquotienten du d²u dx’ dx²

nach, wenn man von der Lagrange’schen Bezeichnung F'(u), F" (u), ... F{n) (w) für die erste, zweite, ... wte in Bezug auf и genommene Ableitung der Funktion F(u) Gebrauch macht: y — F (и) d F (и)

dn y

dxn

werden, dass

d° u

dx°

und

dv . d w

dx d x

nach dem

die Funktionen u und v selbst bedeuten.

positiven, ganzzahligen Wert von n der Satz

. wieder Funktionen von x sein, und man hat der Reihe

dy

dx

dx

F\u)

du

dx ’

d² y_ d² F {и)

dx²

dx²

г (и)

d² и

dx²

d³y_ d³ F jii)

dv³

dx³

= F'(u)

dx³

f 3 F⁷»

dud² и

dxdx²

f F"\u)

du

dx) ’

dAy_ d±F{u)

б? ж⁴

<^ж⁴

=г^ш+г'Ф(Ш+4 +*’"»•⁶ (fD²S+jjF(“)(fx)⁴

dud³ и

dxdx³

und im allgemeinen

dxn

dn y _ dn F (и)

d xn

к—П

2 А* Fm (и)

к— 1

In dieser Formel bedeutet Ak eine von der Natur der Funktion F völlig unabhängige Funktion gewisser in Bezug auf die unabhängige Variable x genommener Differentialquotienten von u. Kann demnach Ak für eine spezielle Funktion F bestimmt werden, so behält das Kesultat seine Gültigkeit für jede beliebige Funktion F.

Setzt man z. B. y — F (u) = uh, so wird

FW{u)

dk(uh)_

duk

h(h—1)(ä—2)...(ä — Ä + l)uh-k=k\.( )

SS-

uh-k'

Dann wird die obige Gleichung

dn (uh)

k—n

d xn

2*'ß

к—1

uh~k. Ak-

>-ST ws

Dividiert man beide Seiten durch uh und beachtet, dass für к > h verschwindet, so ist

u-h dn ("*)

k—h

d xn

2*'(£;)«

k=l ⁴ '

—k

. Ak-

— Wh,

Setzt man für den Augenblick der Kürze wegen , dn (uh)

U~h ---

dxn

k\u~k Ak — Vk,

so gibt die Gleichung

k—h

Vk.

Wh =

Wenn man in dieser Gleichung- der Reihe nach h —1,2, 3 ... к einsetzt, so folgt :

W1 = vx w₂ — 2 v₁ + V2 Щ — 3 V\ -f- 3 v₂ -j- v3 Щ = 4vt -}- 6 v₂ + 4 v₃ 4- г>₄

Wk —

(Î)    + (2) ?;2 + (3) ?;3 + • * • Vk •

Rückwärts erhält man hieraus leicht:

% —

— — %wx-\-w₂

3 wi — 3 w₂ -j- w₃

wl

v₃ —

vL — — 4 w\ -j- 6 w₂ — 4 iv₃ ~\- w±

Vk — (— 1)*⁺¹ (ij wx + (— 1)Æ [2) w% + •

. .Ar Wk

S*-¹)***-©

. Wh-

h— 1

Setzt man für v und w ihre Werte wieder ein, so findet sich

Ak —

uk

dn (uh)

k\

h=l

dx¹¹

und daher wird dn F (и)

IV*.

d x‘

k=n    „.к h=k    /JA

-h

dn (uh)

h=i

dx¹¹

Beachtet man, dass

<-11-2C-!)•(*)

y—h yh

h—0

und differentiiert man diese Gleichung nmal nach einander, indem man у als Konstante betrachtet, so folgt

dn

d xn

/©r*^

h= 1

oder wenn nach der Differentiation y — u gesetzt wird:

dn

(-M*

dn (uh )

dxn

dx¹¹

Mit Hülfe dieser Gleichung- erhält die Formel IV* folgende, in manchen Fällen brauchbarere Gestalt:

IV.

dxn

k—t

d xn

y—U

Die beigefügte Marke ly —u^ soll an deuten, dass die Grösse y während der Differentiation in Bezug auf x als konstant zu behandeln und nach Ausführung derselben durch и zu ersetzen ist.

Macht man in dieser Gleichung и = x², so erhält man einen dn F (x²)

, dessen Umformung jedoch einige Weitläufigkeiten verursacht. Es wird daher zur Herstellung der n ten Ableitung von F(x²) der Weg der Induktion vorzuziehen sein.

Ausdruck für

d xn

so wird

Setzt man У — F (x²),

dy

dx

2 x F' (x²),

d²y

dx²

d³ y

= {2x)²F"{x²) + 2F'{x²),

dx³

= (2 xY F'" {x²) + 6 (2 x) F" (x²),

d ж4 d⁵y

= (2 ж)⁴ FIr (ж²) + 12 (2 ж)² F'" (ж²) + 12 F" (ж²):

d x⁵

= (2 х)ъ Fv (x²) + 20 (2 xY FIV {x²) + 60 (2 x) F'" (x²),

IV a.

У— F {x²)

dny

jĄ — (2 xY F(n) (x²) -f n (n — 1) (2 x)n~² F<n-V (x²) +

Cl oc

(2 xY~⁴ F^~²⁾ (x²) +...

n (n — 1 ) (n — 2) (n — 3)

1.2

1.2...^

- (2 x)n~2p F⁽*~p) {x²) -f .. •

Die Richtigkeit dieser Formel kann durch den Schluss von n auf (n -j- 1) erwiesen werden.

Auf analoge Weise wird gefunden:

IYh. y — F {л[х)

dn у _F(n) (\fx)    n (n—1) F⁴”⁻¹) (yjx)

(2 \/ж)п+1

{n + 1) n (n — 1) (n — 2) F¹^-²) (yjx)

(2 \/ж)и+²

p {n-\-y—1 ){n-\-p—2)...{n-{-l)n{n—l)...(w—p) F(n~p) (Уж)

2(д/ж)п+р

dxn

(2 \jx)n

1.2

+ (-l У-

1.    2.    3. . . .

IYc. y — F

d’y

(—Df?

dxn

2n—1

7,4«-1)

rH «

(n — 1) (« — 2) (2)

Ж²"“²

(n — 1) (n — 2)... (n —

F(n—p)

(i)+• • •]

I    gün—p

Setzt man in der Gleichung IV* u — x*, so ergibt sich y = F(F)

d"y_

dxn

K—n    Ifc    П—К    ц V

w*

lh dn {хш) _

k—l

h—1

dxn

А'—1

/i=l

Demnach hat man den Satz IVd. y = F{F) dy _

wo Ak=TT

w! 2 (-0*+* (1Ю

k\

h—1

(Man vergleiche die drei vorangehenden mit der hier aufge-stellten Formel).

Macht man in der Formel IV* и = ex, so kommt

d a?”

K= rt    а=к    /-j \

2 |r -F“¹ и 2 (- ^ [h)e_to

/i—1

Ä?=n    /7 \

d" (d**)

d a?”

A”.

i=i

/i=i

Folglich ist

k=n

dn F (ex)

^Ak ekxF^{ex),

i=i

wo i,=:^2(_¹⁾⁴*t)'i‘

IV e.

da?”

§ 6. Beispiele.

1)

«sî «ei

— X*

dxn

/л (fi — 1) fi — 2)... (fi — n -f~ 1) • a?^_”

2) » = -

dny

1.2.3...w

da?”

a?"⁺¹

= (-l )"

n\

a?n+1

3)    V =&

n У (p +1) 0* + ²) • • : fr* +    — !)

da?”

a^+”

¹

o hucke’e Aufgabensammlung. I.

²

Vergleiche Hoppe: Theorie der independenten Darstellung der höheren Differentialquotienten, Leipzig 1845.

4)

= (-1)

1.3.5...(2м —3(2м —1).д/^

(2 м — 1) 2п . хп

dxn

(Der Faktor (2 м — 1) ist im Zähler und Nenner hinzugefügt, damit die Formel auch für den ersten Differentialquotienten, für n = 1, ihre Anwendung- finde.)

dn у

1.3.5...(2n —1)

dxn

6)

=v*

2n . xn у'ж

(- I)"'¹ •

2.5.8. И... (Зм —7) (3m — 4) (3m— 1). \[x

(3 M — 1). 3" . xn

dxn

(Wegen des Faktors (3 м — 1) siehe die Bemerkung bei Aufgabe 4.)

7)

dny

У 3 /

\X

1.4.7.10 ... (Зм-8) (3 m — 5) (3 m — 2)

dxn

3n xn yjx

8)

1.4.7.10...(3n-5)(3n-2) V5*

(3 m — 2). 3™ ж”

(Wegen des Faktors (Зм — 2) siehe die Bemerkung bei Aufgabe 4.)

dx¹

(- 1)

9) у — зт=

(- l)n-

dny

2.5.8.11... (3 m — 1)

3n яг*

10)

2/ = (« +

dny

dxn

— y (fl — 1) (^ — 2).. . (p — m + 1) /9й (a -\-ßxY~n

И)

y = (a + ßx²}u

Nach dem vorhergehenden Beispiel findet sich mit Hülfe von IVa, § 5, wenn man noch zur Abkürzung das Binom a -J- ß x2 mit и und seine erste Ableitung 2 ß x mit и bezeichnet

n(n — 1) (n — 2) (n — 3) fß(A 1.2 . (y — n -f-1) (y — n + 2) W²,

12)

у = {а-\-%Ъх-\-с x²Y

Die gesuchte wte Ableitung geht aus 11) hervor, wenn man

darin a, ß, x ersetzt durch

dny

dxn

— Bl —

О/ c —    Ъ

--, с, —Y- X. Macht man dann

c    c

noch a -f- 2 b X -f- c x² — u, 2 (b + с x) — и, so erhält die Lösung die nämliche Form, wie in Beispiel 11). Lagrange, Mémoires de Berlin, 1772).

Anmerkung. Die Substitutionen a— 1, b — 0, c — —1, x — cos z, n = v — 1, [i=zv — ^ ergeben unter Anwendung der allgemeinen Formel

(l) tang ^ — (g) tang³ г + (5) tang⁵ г — .

sinv^

cos¹' z

welche durch Entwicklung des Ausdrucks

(cos z + i sin z)v — (cos z

sinv^

evzl — e~VZi

i sin z)v

2 i cosr z

entsteht, den bemerkenswerten Spezialfall

cosv z

2 i cosv я

dr-¹ [(1 — ж²/"?]

d xy~x

(Jacobi, Crelle’s Journal ХУ, S. 3 und 0. Rodrigues: Thèse sur l’attraction des sphéroïdes, 1815.)

13)

dny

dxn

^ a -f- ßx

= (~ß)n

ni

(a -f- ß х)п+1

14)

dny

dxn

y « + /Sx²

'n

un+i

wo и —a-{- ß x², и =2 ßx. (Vergleiche Beispiel 11) für y — — 1).

а-\~2Ъх-\-сх2 Durch das gelegentlich des Beispiels 12) angewandte Verfahren erhält man dieselbe Formel, wie im Beispiel 14).

15) y =

16) y=T+b^ (- ъу-¹

(g -j- ô x)m У~~ (а' + Ъ'хУ

17)

dny

an\

da?”

(a + & ж)и+¹

Nach dem Leibniz’schen Satze erhält man, wenn der Kürze wegen gesetzt wird

(g H- 6 x)m-n

(a -f- b' x)p

A — m{m — 1) (m — 2)... (m — n -f- 1) bn

d’y

a~\- Ъ X

dxn

(m — n-\- 1) ( b ) Gt' -f- b' x

со §

V (P + 1)

(Щ,    ,

{m — n -f- 2) (m — n -J- 1) V Ъ ) Vg -\-b x

g -f- bx\2 /

___    fbY 7"а+Ьа?у+

(m—w-f-&)(w—n-j-&—l)...(m—n-j-l)'& / v/'-j-bgy    "J

ff (ff "К)---(ff—Æ+l)

18) y =

a² — &² ж²

Es ist y = ~(-^

y 2 a\ a —b x

L.)

a-\-bxs

folglich

(—!)■

dn y n ! ôw

б? ж” 2 g L(g—bx)n+1 1 {а-\-Ьх)п^¹

Für ein gerades и hat man demnach

b—n

h T

dny_

n \ bn

d xn (g² — b² x²)nJrl

2 ("2t¹

fc=0 ⁴    '

qU 2h h rjßlh

und für ein ungerades n

dny __

n ! bn+x

da?” (g²— b²x²)n+x

à u+ij

q71—2h—1 J2/i 2/1+I

Ordnet man nach fallenden Potenzen von x, so wird sowohl für ein gerades, als auch für ein ungerades n

n \ bn

'S? ( n + l \

(Unter dem Zeichen h < ₀ ist hier stets die grösste in

LJ

enthaltene ganze Zahl zu verstehen.)

cln y

d x¹¹    {a² — b² ж²)и+³

ß2h J -rt—2h .j,n—2h

to S

19) у

а² + b² ж²

Substituiert man in der Lösung der Aufgabe 18) & i für b, so wird für ein gerades n

h——

dn у dxn

n \ bn

(a² -f- b² ж²)п+³

2 (— i)* (?£h) an~2h b2hx2h

л=о

und für ein ungerades n

dn у

n-f-l

h— 1 (та—1)

n ! bvJrl (a²-\-b²x²)n+i

Eine andere Form der Lösung dieser Aufgabe wird erhalten, wenn man schreibt

dxn

= (-l) ²

-—■—)•

а —f- г b xJ

Hieraus folgt dny dxn

Setzt man nun a — r cos (p, bx — r sin (p, so kommt für ein

— in

n\ bn

(- l)¹

(а — i b ж)"+¹

(ia-\-ib х)п+1

gerades n

dru

dxn

= (-l)T

n\ bn

n-\-1

a {a² -f- b² x²) s

COS

[~(n + 1) arc tang

und für ein ungerades n d²y dx²

71-]-1

(-1Г*

n \ bn

и-f-l

a (a² -f- b² x²) ²

sin

+ 1) arc tang

Sohncke’s Aufgabensammlung. I.

Mittelst der Zerlegung

а² -f- b² X²

— (-- .

2 ai \b X — ai Ъх -f- а и

erhält man durch eine analoge Rechnung eine Formel, die sowohl

für ein gerades, als auch für ein ungerades n Gültigkeit besitzt.

dn у

dxn

(— 1)”

nl bn

n-|-l

a (a² -f- b² X²) ²

sin

20) y

xm _ am

Man muss hier die Zerlegung in Partialbrüche, die bei der Integralrechnung ausführlicher besprochen wird, vorweg nehmen.

Ist

f (x) — (pc — a) (pc — ß) ... (x — v)

eine ganze rationale Funktion von x, und sind deren Nullstellen, a, ß... v sämtlich von einander verschieden, so gilt die Gleichung

(<x — v) ’

f (x) (x — a) (x — ß)

wobei

df(x)

df(x)

...N=

df(x)

dx

x—a

dx

_ X—ß

dx

x=v

In dem vorliegenden Falle sind diese Nullstellen, die Wurzeln der binomischen Gleichung xm — am, ohne Weiteres bekannt.

A. wenn m gerade ist

X -f-

— —— xm—am m am_1 — a

COS

•2

— + i sin

h—1

X — a cos

i a sin

cos

i sin

•2

h~l X — a cos

2 h 7t

-f- i a sin

also mit Hülfe von 13), wenn man noch setzt:

2hn

X — a cos

COS (fh

\x²

— 2 аж cos

2h Ti

+ a²

a sin

sin (fh

д/ж²

— 2 а ж cos

2 hn

+ CL²

A'y

dxn

(— 1)” •

n\

\(x

a)n+x (x + «)n+1

+(-1)*

n\

h— m—1

COS

4 Ш CLm

i-S

Л—г

I /

д/ (ж² — 2 ax cos

2 hn

fa²)

n-j-1

B. wenn m ungerade ist

_m—1

xm—am

-—•'S

ж—а ‘ та”¹⁻¹ ^

/t=i

cos

2h n

+ i sin

2 hn

ж — a cos

2hn

i a sin

2 hn

cos

2 hn

i sin

/1=1

ж — a cos

2hn

+ i a sin

2 h тс

also unter ähnlicher Annahme wie vorhin: dny dxn

n\

m—1

(ж — а)

h:

+ (- о* •

ni

COS

4 m am~x

•2

h= 1

Vf

— 2 аж cos

2 h тс

+ a²)

«-(-1

21) y =

dny

dxn

\a-\-bx

(- b)

n 1.3.5... (2n — 1)

2n (a -\-Ъх) ²

22)

^ Vа-\-Ъх²

Aus Beispiel 11) für y ——a = a, ß—b erhält man 1.3.5...(2n—1) и

dn у

dxn

=(-1)

2¹. n {n —

2"

2w-)-l U 2

1) fb u\ I. (2 w — 1) VV

2². w (w — 1) (n — 2) {n — 3) fb u\2 “1.2(2 w — 1) (2 n — 3) Vv '

23)

dny

-(-1)

IX i 2¹. w (n—1) ^ гЛ

L ⁺ l.(2w —1) v²;

2². n (n — Ï) (n — 2) (n — 3) fb u\² .

1.2(2 n — 1) (2 w — 3) VzT²/ ⁺ ‘ " J *

n 1.3.5...(2n—1)

2”

wo u = а — & ж², и = — 2 5 ж

24)

у = у/(а -f- b ж)“

Bezeichnet ^ die grösste in —- enthaltene ganze Zahl und

Li

ist n<p -b 1, so ergibt sich der w.te Differentialquotient unmittelbar aus 10); ist dagegen n^pĄ-l, so wird

dny

dxn

y(y—2) (y — 4)... (y — 2 p). 1.3.5... (2 n — 2p — 3) X

д/а+ bx

25)    y — ex dxn

26)    у = ea+bx d"y dxn

dy

dx

= 2 b.ea2+b’*\bx

37 —

d?iy

dx²

= 2 b². ea'+™. [2 b² ж² + 1]

dx3 d±y

= 4 &³ . е°²+й2;в2. [2 6³ ж³ + 3 b x]

dxi d⁵ У

4 ¥ . ea2+b2x2. [4 &⁴ ж⁴ + 12 &² ж² + 3]

d x⁵

8 &⁵ . e“²+ü2*². [4 b⁵ ж⁵ + 20 &з x*-\-lbb x]

_ П

P^T

= e“4".2 2 n-p . 1 • 3.5 . . . (2 p — 1). (Ip) bn2~²P xn-²P

p=о    "

dx

28)

y = ax

dny

da?¹

— a* (Z a)n

29)

dy

y — ex.xm — ex . \xm -f- m ж"⁻¹]

dx

d²y

dx2 d³y dx³

= еж . [xm -f- 2 m x

-f- m (m — 1) xm 2]

— ex. [жт+Зшж”¹⁻¹--]-Зт(т—1)жт-2+ m(m— ï){m—2)жте 3]

dn y

dx

= ex .

S*'©-©

p=0

xm~p

30) y — lx

Da ^ = — ist, so wird nach Beispiel 2)

dx

dxn

31)    y — l (a + b x)

Mit Hülfe von Aufgabe 13) wird

dny

dx¹¹

(-1)

n—1

(n — 1)!6W

(a + b x)n

32) y = l(a³ — b² X²) 2 Ъ² X

dy

dx

a² — b² X²

d²y

2 b² (b² X² -f- a²)

dx²

# y

(a² — b² X²)²

4 b³ (b³ x³ -f- 3 a² b x)

dx³

d±y

(a² — b² x²)³

12 ô⁴ (&⁴ ж⁴ + 6 a² b² x² -f- a4)

dx⁴

{a² — b² x²)

db y_    48 bb ( b⁵ ж⁵ -j- 10 a² b³ x³ -j- 5 a⁴ b x)

dx⁵

(a² — b² x²)⁵

dn y

n—2p

dxn

33)

y — l(a²-\- b²x²)

dny_2 . (?г — 1) ! bn

dÿ

{a² -j- b² x²)

S(-D

и—p-\-l

p=0

34) y = l

a-\-bx

a — bx

Da dy

2 ab

dx

a² — b²x²

ist, so wird nach Beispiel 18)

dn y _ 2 in — 1) a bn    n \ 2p //,

(а² — b² ж²)" ^ V2 j? —J— ly

dxn

n—2p~ 1

35) y = (a -f- b x)m l(a-\-bx)

Der Leibniz’sche Satz liefert

[l {ci -f- b ж) -j-

⁴- — m {m — 1)... (m — n -J- 1) bn {a + b x)

dny

dx

S T—I

CO s

(m — n -j- 1)    (m — n -(- 1) {m — u-f- 2)

g CO

.1.2

{m — n -f-1) (m — n -j- 2) (m — n -f- 3)

36)

dx

-y/a -f- 2 Ъ X -f- X²

so kann der gesuchte nte Differentialquotient als Spezialfall des Beispiels 12) erhalten werden, indem in 12) /л = — \ und (n — 1) an Stelle von n gesetzt wird.

dny

dxn

(-1)

n— 1

1.3.5...(2w—3) и

2n~¹

2n—1 U 2

Г 2Чп-1)(п-2)/ц\ L l.(2n—3) \uV

2². (n — 1) (n — 2) (n — 3) (n — 4)

1.2.(2w —3) (2n—5)

37)

у — sin p X

dy

p sin [px-\- y)

— — p² sin^j X — p² sin [p)x-\-2 -g-j

{px + n^Yj

dn у _    /    , 7t \

- —pn cos \p X -f- n y)

sin (x cos a)

dx

dn y

p cos px —

—pn sin

dxn

38)    y = cos p x

dx

39)

sin a

40)

У — <?

^LÄ-—ęocema gjn UC0Sa Ий-f n-^r)

dxn    \    ‘    2 /

у = eax sin mx

dy _

dx

eax a ^sin m x -f-

— cos mx

so wird

Setzt man — tang g>, also а = (а² -j- m2)Y cos У

— (а² -j- m²)Y eax sin (m x -j- (f>) dx

— (а² -f~ w²)² eax sin (m x -f- n <p)

dny

dxn

41) y = {a — b x)m sin (a -f- b x)

42) y = xm ea x sin m x

Setzt man eax sin m x — u, xm — v, so ist zunächst nach Beispiel 40)

dn n    —

dx

Der Leibniz sehe Satz liefert

dn y dxn

— (— 1 )nm (m—1)... (m—n-\-1) bn(ci—bx)m~n j^sin (a-\-bx) —

sin {^ct -[- b X “I⁻    ~f~

sin (« + Jx + 2-^-) —...]

m — n-j- 1

+(

§ см

(a — b X)²

(m—n-f- 1) (m — n -f- 2)

- = (a² -(- w.²)² ea x sin (m x -f- n y>),

und nun ergibt der Leibniz’sehe Satz leicht

dn y

dxn

(a² -f~ m²)² eax |~xm sin (m x -j- n (f) -j-

+(

ss гч

mx

sin [m x -j- (n — 1) <f]

-f- m (m — 1) ж

(a² -f- w²) " sin [m x -f- (n — 2) (f ]

(а² -j- m²)

tdu>

43)

а) у — sin2m p x ß) y — ńn2md¹px у) у — cos2m p x

â) y = cos²”¹'!’¹ p x, wo m eine positive ganze Zahl bezeichne.

Mit Hülfe des Euler’sehen Satzes

sin x

exi— e~xi

, cos x

dl + e~xi

erhält man die bekannten Formeln

sh—Tfi—1    ч

a) 22m—'¹ sin2m x:=: (—1)

(2    (²“)J

h=m

h—m—1

X=2 (²/Г )cos (2 m

/1=0 ' ⁷

4) 22w cos²”^¹ ж = 2 P Ш/^~ cos (2m+l — 2 /г) ж л=о '    '

y) 22i

COS

2 m,

h—m

Darnach wird:

a) у — sin2m p X

dn y_(— l)m

2<îm—1

h=m—1    __

p" 2 (-1)'{ л j(2m—2/!)*cos[(2m-2/i)iœ+,“J

jS) y — sin²”^¹ p X

dn у (— l)m

h—m

с?жп

22m

Y)    y — cos2m p X

h—m—1

dn y_ pn

dxn

22 m—

Pn 2 (— 0* f mh~ X) (2 m + 1 - 2 А)" X

л=о    '    ⁷

|^(2 m + 1 — /г)

|^(2 m — 2 h)px-{-

X sin

/2 CD с*

/1=0 N '

m — 2 7/)re cos

4) y — cos²”^¹^ X h=m

= -fc- 2 ²”⁺¹)(2»+1-2А)”со₈[2м+1-2й)РЖ+

/i—0

44)

у — arc tang —

G

Setzt man arc tang — = 9, also x — a cotang

sin² g>

d(p

sin² y ’ d x

so wird

dy

sin² cp

dx

d²y

a²~j~X²

2 sin (p cos (p sin² (p

sin² (p sin 2 <p

dx²

dny

dxn

(-1)

{n — 1) ! sin” (p sin n (f

an

45) y — arc sin x

(Euler: Inst. Calc, diff.)

dy _______1

dx |/l — xl

Setzt man in Beispiel 23) a — 1, b— 1, wodurch u = 1—x², и — — 2 ж wird, und schreibt (n— 1) für n, so erhält man dny dxn

= (-l)

1.3.5...(2w—3) гЛ-Т

• 2та—I

2n~¹

2 l.{n—1 ){n—2)( u\ !

l.(2w—3)

2 ².(n — 1) (n—2) (n — 3) {n—4)

1.2(2m —3) (2 m — 5)

46)

у — arc tang -

x sin а

— x cos a

dy

sin a

sin a

dx 1 — 2 ж cos a -J- ж² (1 — p x) (1 — qx) ' wo cos a -f- i sin a — p, cos « — i sin a — q.

Hieraus folgt

dy_ 1 (_P

dx

CO

i\l — p x    1 — qx

und daher

dn у_{n — 1) ! pn (1 — q x)n — qn {1 — p x)n

dxn

Wenn man noch setzt

1 — ж cos а — q cos cp, x sin a = y sin çp,

(1 — 2 ж cos a -f- ж²)"

so wird

folglich

pn (1 — q x)n — qn (1 —p x)n — 2 i Qn sin n (« -j- (p) ;

dny

dxn

= (n — 1) !

sin n (a + <p)

(1 — 2 ж cos a -J- ж²)²

§ 7. Beispiele zur numerischen Berechnung¹ der sukzessiven Differentialquotienten einiger Funktionen für den speziellen Wert x — 0 mittelst Rekursion.

1) f{x) — {a-\-b x²Y

f (ж) — 2 fib x {a -f- Ъ ж²)¹“⁻¹

Multipliziert man beide Seiten der zweiten Gleichung mit (a -j- Ь X²) und gibt dem Resultate die Form

(a -j- Ъ X²) f (x) — 2 lи hx f (ж),

differentiiert hierauf beiderseits (n 1) mal, so erhält man nach dem Leibniz’sehen Satze

(а + Ъ x²) /*•+*> (ж) 4- 2 b (Д ^ x Yn+V (ж) + 2 h (n 1)    (x) =

oder Yn+²> (x) = Ъ

= 2 fib x /'(re+¹⁾ (ж) -)- 2 fi Ъ ^ j f(n) (ж) (2 fi — 2 n—2) ж/‘⁽”+¹⁾ (ж) -f- (n - j-1) (2 fi—n) f(n) (ж)

а-\-Ъ ж²

Setzt man in diese Gleichung den speziellen Wert ж = 0 ein,

so kommt

(n + 1) (2 fi — n)

f(n₊2) (0) _ b

Ist nun n eine gerade Zahl, so wird

fV> (0).

/»(0):=1.3.5...(?г—l)fi(fi—l)(fi—2)...[fi — (jfi—1)](Y jU (2 Ъ)² ; ist dagegen n eine ungerade Zahl, so folgt, da f (0) — 0,

/•(-) (0) = 0

ain x

2) f(x) = e f ipe) — e

fin+i) — f(n) ^ cos x —    j(n—i)    sin ж —    f(n~²⁾ (x) cos ж -j-

sin x

cos Ж — fix) COS Ж

+ (3) f{n~³⁾ (x) sin ж + . ..

/■M-« (0) = /■<">(0)- (2) />-г> (0) + (2) ż,"-‘⁾ (0) - (б) f*-6,(0) +...

Hieraus ergibt sich

A0) = i, f (0) = 1, f"(0) = i, f"(0) = 0,    (0) — — 3,

fV(0)= — 8, /^(0) = —3, fVII(0) — 56, /™(0) = 217, /**(0) = 64, /*(0) = —2951, /,ХГ(0)== —12672 = — 2L3².11 etc.

3) f{x) = arc tang x

1 -j-x²

f 0*0    ¹

fix)

(1+X²)²

(1 -f- x²) f" (x) -j- 2 x f (x) = 0

(1 + x²) f(n+V (x) + 2    7 г| ж /W (ж) + 2 (>г 7¹)    (ж) +

+ 2 ж (ж) + 2    7 г) (ж) = О

f(n+i) (О) + w (w — 1)    (0) = О

Wenn nun % eine gerade Zahl ist, so folgt, weil f (0) = 1

/•(»+!) (0) = (— l)² 1.2.3... n; ist dagegen n eine ungerade Zahl, so wird wegen f"(0) = 0

f(n+i) (o) _ о

4) f (x) = arc sin x

f (x)

V¹ —

д/1 — X² f {x) — 1

- -7=^= /' (*) +    f" (a) = 0

yi — æ²

(1 — ж²) f" (x) — xf'{x)~0

(1 — a?²) /‘(n+¹⁾ (x) — 2(nJ¹⁾jx f*» (x) — 2 (w 7    /-(»-¹) (ж) -

— ж /w (x) —    7 ¹) ^(П-1)    = 0

/•(n+x) (0) — (n — l)² /'(n“¹⁾ (0) = 0

Für ein gerades w wird, da f (0) — 1

f(«+v (0) = 1. З².5²... (n — l)²

und für ein ungerades n

/чп+1) (0) _ о

5) f (x) — (arc sin x)²

Analog wie in 4) erhält man die Gleichung

und hieraus für ein gerades n

fin+1) (0) ₌ o

und für ein ungerades n

f₍n+i) (0)₌ 2.2².4².6² ... (n — l)²

6) f(x) = x cotang X Schreibt man

X cos x — f {x) sin X,

so folgt nach dem Leibniz’schen Satze durch n malige Differentiation dn(cos x)

X d xn

4- n

dn_1 (cos X)

dxn~x

fix)

dn (sin x)

dn~¹{ sina;)

dxn

dxn 1

j- ... + /,(m) (x) sin x

+ (2)rw

d"⁻² (sin ж)

d xn~²

Setzt man in dieser Gleichung x = 0, so verschwindet das Glied, welches f{n) {x) enthält, und es wird    (x) als Funktion

aller vorhergehenden Ableitungen erhalten. Da f(x) eine gerade Funktion von x ist, so erkennt man leicht, dass alle Ableitungen ungerader Ordnung verschwinden.

Es ist also:

n cos

[(«-i)4l=m Sb [4]+(2) f" (°)sin [(»-2)4]+

~b (4) f¹⁷ (0) sin [(«—4) —+...

Man findet demnach:

m = i, n0)=0, n0)=~l f"'(0)=0, f""{0)=-A, etc,

7) f (x) — sin (m arc sin x)

f (®) =

m cos [m arc sin x)

V¹ —

m x cos (m arc sin x)    m² sin (m arc sin x)

1 — x²

{l—x²)^l—x²

Hieraus folgt

(1 — x²) f" {x) — xf (x) -f- m² f (x) — 0.

Differentiiert man Glied für Glied p mal, so erhält man

(1-

.x²) /’(?'+²⁾ (x) — x (x) — 2 (д) /‘(p) (ж) — X (x)

und für x — 0

/■(Г+2) (0) — (^2 _ m2) ^(p) (0).

Alle Ableitungen gerader Ordnung sind gleich Null und f2n+^ (0) — m (l² —- m²) (3² — m²) (5² — m²).. . [(2 n — l)² — m²]

8)    f (x) — cos (m arc sin x)

/*з*+1)(0)=0, f2n+²\0)=—m²i2²—m²)(4²—w²)(6²-m²)...[(2n)²—m²]

liegenden Bogen

und -j-

Anmerkung. In den vorstehenden Formeln bezeichnet arc sin x denjenigen zwischen —

des Kreises mit dem Radius 1, dessen sinus gleich x ist. Da der cosinus dieses Bogens immer positiv ist, so ist in Beispiel 8) /• (0) = 1 und f (0) = 0.

9)    f (x) — cos (m arc cos x)

Wenn m eine ungerade Zahl bezeichnet, so wird

/,(2и+¹⁾(0) = m (l² — m²) (3² — m²)... [(2n — l)² — m² sin

/•(20 (0) = 0;

für ein gerades m dagegen kommt

/’(•2и+2) (0) — — m2 (2² — ш²) (4² — m²)... [(2 n)² — m²\ cos r^-

f&n+i) (0) — 0

Anmerkung. In diesem Beispiele bedeutet arc cos x denjenigen zwischen 0 und n liegenden Bogen des Kreises mit dem Radius 1, dessen cosinus gleich x ist.

10) f (x) = (1 + x²)² sin (m arc tang x)

Indem man aus den drei für fix), fix) und f" ix) erhaltenen Gleichungen sin im arc tang x) und cos (m arc tang x) eliminiert, erhält man

(1 -j- x²) f" (x) — 2 im — 1) x f (x) -j- (m² — m) f (x) = 0 und hieraus durch p malige Differentiation nach dem Leibniz’schen Satze (l^x²)f^+²\x)^2(^xf^¹\x)Ą-2(^f(p)(x)—2(m—l)xfP+¹\x)

m) f 'yV) (ж) — 0.

— 2 (ж

1) (д) f{p) (ж) -j- (ж²

Setzt man in dieser Gleichung ж — 0, so folgt f(p+2) (0) — — f(p) (0) (m — p) (ж —p — 1). Demnach wird, indem man arc tang 0 — 0 voraussetzt

/t»»+*)(0)=₀, fV"+V(0)=(—    l)(m—2)...(ж—2%+l)(m—2n).

11) f{x)

cos (ж arc tang ж)

(1 -j- ж²)²

fczn+1) ₍₀₎ _ o₅ f(2») (()) _ (__ !)» m (w -j- 1)... (m + 2 n — 1).

Kapitel III.

Differentiale von entwickelten Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen.

§ 8. Allgemeine Sätze.

Bedeutet f(x, y) eine beliebige Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y und werden deren partielle Ableitungen nach Jacobi mittelst des charakteristischen 5 mit

etc. bezeichnet, während zur Bezeich-

èx ôy’ Ô*²’ dy²’

nung der Differentiale das Zeichen d verwendet wird, so gelten für die Differentiation dieser Funktion folgende Sätze:

I. df=

Ô/'

dx

d x -j-

il

GJ

Ô²/

III. dn f=

GJ

fG>

Sr- S

¹Qy

b^z4¥dx'~"dyl + '"nb^by

+ —7rn-dyn =

<G>

nf

Gu

nf

СУ

GJ

dxdyn~x

a xdx+hü^f

Hierbei ist die letzte Bezeichnungsweise in dem Sinne zu verstehen, dass nach ausgeführter Entwicklung der n ten Potenz

r zu setzen ist.

к

statt

• (^") Partielle Ableitung

nf

дхП kdy

Allgemein ist, wenn f=f(x,y,z...)

dn (dxdx⁺dydy⁺⁺‘ * ■)f

IV. Bezeichnet F— F {и, v) eine mittelbare Funktion von X, indem и — <p (x), v—ip (x) Funktionen der einzigen unabhängigen Veränderlichen x bedeuten, so ist

dF 5F du , ftFdv

dx    ftu dx' ftv dx’

Э²F(du\*    ft^ (du\ (dv\ tfFfdvY ,

5 и² \d x)    u v \d x) \d x) 5 v2 'd x'

d² F

dJ

wo

du

dx

= ч>' (») »

dx

d²u

dx²

(f " {x),

d²v

d x²

ft Fd² и , ft Fd² v

ft и dx² ftv dx²

— xp"(x), etc.

, etc.

Diese Formeln für

4^-,    etc. bleiben auch dann noch

dx dx£

bestehen, wenn u — fix, y) und v — g (ж, у) Funktionen der beiden unabhängigen Veränderlichen x und у bezeichnen; nur ist in diesem Falle

bf

A f

du = ^~ dx -j~ łp- dy,

ftx

bv

d²u —

d¥*dx*+²iWydxdy + wdy2’

etc.

dv — ~dx-\-~^dy,

ftx ft у

5²

Pv=^x + a^dxit +

du du d?_u d?u et(J< МсМ berechnen iassen.

dx dy dx¹ dy²

Anmerkung. Die symbolische Gleichung

.) = C$-du + £-dv + ..)"F,

\ftu    *

welche zunächst nur Gültigkeit besitzt, wenn u, v ... unabhängige Veränderliche sind, behält ihre Bedeutung auch dann, wenn u,v... nicht mehr die unabhängigen Variablen selbst, sondern ganze lineare Funktionen derselben sind.

OJ

etc., woraus sich

dn F {u, v,..

r©

dy²,

Sohncke’s Aufgabensammlung. I,

s)

(y + b)m

(x + a)n~¹ [n (y + b) d x — m {x -j- a) d у]

§ 9. Beispiele.

Es empfiehlt sich, zur Übung- in diesem und dem folg-enden

Kapitel Ausdrücke wie

Л (ал ₌ ± (Щ

auf ver-

schiedene Arten zu berechnen, wobei natürlich Formel II bestätigt

gefunden werden muss.

1)

и — 27 хъ -f- 27 X² у -(- 9 x у² -j- y³ -j- 81 d и — 3 (3 X -j- y)² (3 d X -j- d y)

²) u (x² + y²)²

du —

4 (x d x -j- y d y)

(x² -j- У²)³

du —

4)

du —

— л[у dx -f- \/x dy

2 yjxyitlx — ^y)²

5)

6)

и — у I x = lxy

du-~dx-\-lxdy

00

^dx²-j- — dx dy 00 00

dx³--^dx² d у

00 00

7 00 у u — l—— x — y

d²u — —

d³ и =

du —

x² —

d² и =

4 xy

(oc²—y²)²

—*dx + -5--«dy

у*    -yù

. X² y² J J ,    4 xy „

⁴    **dy + pzrÿÿ d ?»

dx² —

7)

du

8)

9)

d³ и

4 y (3 a?² -j- y²)

(a?² — y²)³

d x³ -f-

12 a? (a?² -(- 3 y²)

(a?² — y²)³

dx² d y —

12 y (3 a?² -j- y²)

(x² — y²)³

dx d y²

4 a? (a?² + 3 y²)

, (a?² — y²)³

dy³

10)

n = lJ^L±ll.

* a x — by

ab (x d y — y dx) a² x² — b² y² u — xy еаг+2г/

du — ex+2y [y (1 x) d x -j- x (1 -f- 2 y) d y\ и — yx

du = yxlydx-\-x yx~x d y

d² u = yx {ly)²dx²Ą-2yx~¹ (1 xly) dx dy x{x—1 )yx~²dy²

y e

\/x²-\-y²

(a?² -f- y² — x) y e?

du =

(x² + y²)J

dx-f

x² ex

(x² -f y²)

CO P'1

dy

H)

u — sin x cos y

du = cos x cos y dx — sin x sin y d y

d²u = — sin x cos y dx² — 2 cos x^my dx dy — sina? cosy d y2 d³u — — cos x cos y dx³ -\- 3 sin a? sin y dx² d y —

— 3 cos x cos y d x d y² -f- sin x sin y d y³

12)

OC

и = arc tang* —

y

du —

x² y2 dx x² + y2dy

d² и =

2 xy

2 (x² — y²)

(x² + y²)

(x² + y²)

Y dxdy -j

(x² + y²)

2 dy²

d³ и

— 2 y (y² — 3a?²)

{x² + У²)³

dx³ —

6x (x² — 3 y²)

(a?² -(- y²)³

dx² d y -j-

6 y (y² — 3 a?²)

(a?² -f- y²)³

dxdy² -f

2 a? (a?² — 3 y²)

(a?² + y²)³

dy³

18)

ж — v

и — arc tang* —г-^ х-\-у

du —

ydx—xdy

X² -f- у²

14) и = arc tang

2 ж + у — X² у

1 — 2 xy — X²

2 йж

dy

1 + ж2 1 1 + </²

15) м=arc cos

l—xy

\/l -f- ж² -f- у² -f- ж² у²

du —

dx

dy

16) и — arc tang

xy

Vl + x² + y²

Man bestimme

ra>

0^02/

U    ,

und

au

§x²fty

га

cc

au

it»

15 ж y

dxdy

Ô Ж² Ô y²

17)

18)

(1 +X²+y²Y , . X

u = l sm —

У

1    ж

—2 {y dx — xdy) cotan g — У    У

и = I tang —

У

2    (y dx — xdy)

(1 + Ж² -j- y²)?

du —

2ж

w² sin — У

19) и — arc sin

JŁ_

» ж² -|-у²

д/2 жу

\/2 ж²

dy

dx —

(ж² -f- Î/²) д/ж² — у²

-j- тж -{- w у + р £

(ж² -f- ^²) у/X² — у²

(ayff + by + cff + -|- + yH-»»)^H-

du —

+ (a^^ + ba? + e^ — ^p + -y+n)d2/ +

+ (ажу + «ж + ву-Л^-Л-£+1»)й*

21)

ж y

W) - À Â

^

du =

2æî/

22)

23)

24)

2 X² y z ₇

(й² — *²)«‘,г

Ж²

dy 4

йж -f

a² — г2 _ Ж² y + У² -S' + z² X xĄ-y + z

a² — z²

du =

(У + z) (z² -j-2xy)-j-y (ж² — y z)

(x -f y + z)²

d X -j-

(z + ж) (ж² -\-2 y z)-\- z {y² — xz)

dyĄ-

{xy) (y²2 x z) + x (z² — xy) , (ж + у + ff)²

(ж + y + г)²

u — -j=

уж—

du —

d²u —

d³u

2(x — 1)Y

4 (ж—1)*

15

3- dx    z dy y d z

dx²-\-2dydz

8 (ж—1)¥

Y d x³

„_₇I /~ÿ + V^

* У-д/^²- ^

ж y 6? ж (ff² — ж²) dy — y z d z (y² — ж² -j~ z²) yjx² — z²

— z²

du —

25) tt =

du=z^ .

yx . y . Z г . d X -f-

. I z • d y -j—~. dffj

ж sin w — w sin ^

26)

M =---:-

p sm z — ж sin ж

_ жсовжСж siny—nsmz)dx-j-m cosy(psinz—msmx)dy-\~m cos z(n эшж—psmy)dz

(p sin,? — msin^)²

27)

и — arc cos —

xy

du —

yzdx-\~zxdy — xy d z

X у дlx² у² — z²

28)

и = д/ж² -j- у¹ -f- я² -j- arc tang — -f- 4~

0 л

ж dx -f- у dy -f- z d z

д/ж² + y² -j~

zdx — X d z

z² -f- ж²

29)

u = x y z

Zu berechnen und

d³u — Qdxdydz,

ô ж 5 ?/ 5 '

³ м _^

Ö ж ô Ô ^ ~

OJ

и — х³ + У³ + z3 Zu berechnen d³u. d³ и = 6 (d ж³ -f- d y³ -f⁻ d z³) и = exyz

Man berechne

30)

31)

ftxftyftz

Oj

(1 -f- 3 X y z X² y² z²) eæyz

32)

_ xy zt

U~~ X + y + Z + t

_iyJ\-z-\-t)yztdx-\-{z-\-t-]~x)ztx dy -|- (<-|-ж4-у) txydz -)- {x-\-y-\-z) xyzdt

(ж + у + *4- О²

Kapitel IV.

Differentiale unentwickelter Funktionen von zwei und mehr

Veränderlichen.

§ 10. Allgemeine Sätze.

Wenn die abhängige Veränderliche y mit der unabhängigen Veränderlichen x durch eine Gleichung von der Form F (x, y) — 0 verbunden erscheint, so heisst y eine unentwickelte oder implizite Funktion von x, wenn man sich die Gleichung nicht nach y aufgelöst denkt.

Bei der Differentiation unentwickelter Funktionen sind sowohl die Fälle einer und mehrerer unabhängigen Veränderlichen, als auch die Fälle einer und mehrerer abhängigen Veränderlichen zu unterscheiden.

1) Ist im einfachsten Falle eine Gleichung mit zwei Veränderlichen gegeben F(x", y) = 0, so kann das Differential der abhängigen Veränderlichen y dadurch gefunden werden, dass man das vollständige Differential dF, genommen in Bezug auf die beiden Veränderlichen x und y, gleich Null setzt und aus der'entstandenen Gleichung dy bestimmt.

F {x\y) — 0,

Ist also gegeben so ergibt die angedeutete Regel

dx -)

dF=:^r

dy — 0,

und hieraus folgt

9^

dx

by

zu betrachten und der gefundene Wert von ergibt

Si Sit

5^ «es

•mH

аз

ts

03

’S

CD

Sa

d²y

dx²

fàj\² à² F _ ₂ ÔZ    b²F

^0У' 0ж²    02/ 0^ 0^02/

to

<N ⁵⁵⁵

ro|<0

SD'

2) Liegen m Gleichungen

■*i (я;У1,У2».--.у») = 0

-^2 («; з/i, з/2» •• • У™) — ⁰

Fm (ж; 2/i, 2/2> • • • У»») — О

zwischen den m abhängigen Veränderlichen yl} y₂, •.. ym und der einzigen unabhängigen Veränderlichen x vor, so werden die Differentiale der m Funktionen yu y₂,... ym auf folgende Weise bestimmt: Man setze die vollständigen Differentiale der Funktionen Fi, F₂,... Fm in Bezug auf sämtliche Veränderliche gleich Null, wodurch man ein System von m Gleichungen erhält:

0 Fi

d Fi

0^i

dx-\

0^i

d F₂ —

— dxĄ

0 x

CU CU

rc

'm

d Ут —— 0

rm

d ym-О

_ 0 та

CU

— dx -j—~—■ dyi -f- ... ~|—^— d ym — О X 03/1    9 У»

Da nun diese m Gleichungen in Beziehung auf die Differentiale d 2/i, dy₂,... d ym linear sind, so können aus denselben die gesuchten Differentiale berechnet werden. Die Auflösung dieses Systems von m linearen Gleichungen wird bekanntlich durch Anwendung der Determinanten wesentlich erleichtert. Vorausgesetzt wird hierbei, dass die Determinante

0 Ft    Fi

d Fm

CU

ГС

<■©

[Cu

nicht identisch verschwinde.

0 У i “ 0 Ут

bür den Fall von zwei Gleichungen mit drei Veränderlichen

Fi (ж; у и 2/г) — О F₂ (ж; yu у₂) — О

führt folgende Rechnung znm Ziel: Die Differentiation dieser Gleichungen ergibt

Г©

<©

<©

O#

|<©

und hieraus

ö*i а-ft

d yi

Ô» 02/2

Ô F2 0 F2

a« a2/2

Mi Ml

Ö 2/1 Ô2/2

Ô F2 Ô F2

. dx, dy₂ — —

02/1 02/2

MMł

Ô 2/1 Ö ^

5 F‘i Э F 2

ÜJhJ$x_

(1 Fi Ml Ô 2/1 Ô 2/2 a^2 5^2 Ö 2/1 Ö 2/2

. d X.

Hieraus ergibt sich natürlich sofort -JF und .

Cv 00    Cb 00

Anmerkung. Die Rechnungsvorschrift für Determinanten mit 4 Elementen liegt ausgesprochen in der Gleichung % «2 h h

Zur Auswertung einer Determinante mit 9 Elementen (aber nur für diese) gilt folgende mechanische Regel: Man denke sich neben der dritten Kolumne die erste und zweite wiederholt und führe dann die Multiplikation nach Anleitung des folgenden Schema aus

«i a₂ «3    \    a₂

bi b<2    = \ ;A>    К — а\ &2 C3 H~ «2 ^3 ci ~b % c2 —

Cl C2 C3 C <?₂    (?₃    b₂    ^2 ^3 C2 63 ^1    *3 й2

3) Ist eine Gleichung F{x,y,z) — 0 zwischen den drei Veränderlichen ж, у, z gegeben und wird z als Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen ж und у angesehen, so werden die

partiellen Ableitungen

9^ (b

dadurch erhalten, dass man das

9® 9 у

vollständige Differential von F, genommen in Bezug auf x, у, z, gleich Null setzt und die so entstandene Gleichung in Bezug auf dz auflöst. Die Koeffizienten von dx und dy sind die gesuchten

Werte von — und

9^    9 У

Darnach hätte man z. B., wenn ge

geben ist

F(x,y;e) = 0,

9F

dF—^—dx-\

9ж

9^

©J

OJ

dy-1—— dz = 0,

го

Si.

dFn —

dz — —

9^    9^

9^

dx —

9^

dy,

9^    9*

9^

9^_ 9^ èj 9ж 9^’ 9у

9*

O Oj

4) Sind endlich m Gleichungen mit (m -(- n) Veränderlichen gegeben, so können im Allgemeinen in Folge dieser Gleichungen m dieser Grössen als Funktionen der übrigen Variablen betrachtet werden, und es ergeben sich die Differentiale dieser m impliziten Funktionen durch die Verbindung der für die Fälle 2) und 3) gegebenen Vorschriften. Es wird hierbei die Kenntnis der elementarsten Sätze aus der Determinantentheorie vorausgesetzt.

Es sei

Ft (xi, x₂,... xn\ yi, у^-'-ут) — 0, F₂ (pCЬ ^2) • • • Уь У% • • • Ут) — 0,

Dann ist

Fm{x 1, X₂, • . • Xn, yi, y₂ . • • Ут) - 0.

|o*

CU

oko

la»

|ro

OJlOJ

£

to

1СУ

СУ!

Oj

OJ,

if©

ÄT

'S

|CU

0^1

Oj Oj

oj

Oj

'S

CU

Hieraus folgt

9Fi 9fl 9Ft

9 2/1 ’”9 y*-i 9®i

dx 1 +

9 F2    9 F‘i 9 F 2

9 y\ ’"9y*-i’9®i

fd\rd> rd>

-dx%-\-

öFi

9 Xn

dxn,

9^2

fO

X-i

dt

Xn

dxn,

9^i tJFr

9 Ун-1’” 9 im

9^    9 Fi

9^+l’”9 Уm

àFm Ö Fm Ô Fm

9yiv'ôy*-i’ô®i

dx i-j

Q/Q»

CO

+

iCb»

to:

du

<a»i

«SS

Q/Q»

Ms

<■©

d Fl 9 Fx 9 ^

du

'S

du du du

' ’ S \ *s

о/

CU

fd

du dJ <dJ ' ' $ ^

CQ»|

Q/

т-l    I т-1

+ ьГ +

s, s,

du

du

9 Fm 9 Fm 9 Fm _

byi 9 уь-1 9 yk 9 ук+i ‘ " 9 уш

Ordnet man d ijk nach d xx... d xn, so ergebe dies : d г/k = Ф\ d Xi + Ф₂ d x<i ... -j- Фп cl Xn, wobei die Funktionen Ф aus den bekannten Ableitungen yon F, die in den Determinanten auftreten, nach den Regeln der Determinantentheorie auf bekannte Weise zusammengesetzt, mithin selbst bekannt sind. Dann ist

<d>

9 xi

4>i.

Hieraus lassen sich dann die höheren partiellen Ableitungen bilden, wenn man nicht vorzieht, sie nach mehrfacher Differentiation der Gleichungen F analog wie die ersten Ableitungen zu bestimmen.

§ 11. Beispiele zur Differentiation unentwickelter Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen.

1)

f—Ax² -}-2Bxy-\-Cy²-\-2Dx-{-2Ey-\-F=0 dy _

dx

A X -f- B y -f- D Bx+Cy-\-B ’

d²V

2)

dx² (В xС y-Ą-E)³

f— yb — b ах y Ą- хъ = О

dy_ay — ж⁴ d² у _

dx yŁ — ax' dx²

ABD

, wenn Д = в С E DE F

_ 2 a (a?⁴—ax) (ay—ж⁴) — 4 уъ{хА—ay)²—4ж³(?/⁴—ax)²

(у⁴ — a x)²

3)

f— (ж² -f- y² — b x)² — a² (ж² + у²) ^ 0

(Schnecke (Limaçon) von Pascal.)

dy_ 1 a² x — (ж² -f- y² — bx) (2 ж — 5)

dx у

2 (ж² -f- y² — bx) — a²

a? + y_Q

x — y

Multipliziert man nach der Differentiation Dividend und Divisor mit y und ersetzt Ж durch so folgt

Oß 1J

W

n (x² — ?/²) — 2жг/

*4V_A ж² — Î/²

4) yn

dy

dx

5)

ж”

dy n (ж⁴ — yŁ) -h 4 ж² ?/²

4 ж³ у

6) (я + уУ + (я — у)* = «

^ж

7)

х-\-^х²—У² d²y_

’ йж²

+ & + ж 2/ — л/ж² + у2 dj/ __ {aJry){axJrbyJrxy) — x dx у — (Ъ-\- x) (ах-{• b у Ą- x у)

dy

dx

2ж³+ (2ж² —(— 2/²) д/ж²—У²

Уъ \х²—у

ey=xy+x

oder y (x -f- y) l X

dy_x (1 l x) y

dx    x(l — Ix)

9) eB+y = xy oder x-\- y = y l x

8)

dy

dx

x (1 — Ix)

10) xy = l(écy + e~**) oder = 0

dy_ _ J/_

dx

Zu demselben Resultate führt auch c-\-xy = l (exy -j- e~mj) yx — xy oder ylx — xly

dy__ y y — xly_y² (lx — 1) dx x'x — ylx x²(ly—1) y = 1 -f- x ey

И)

12)

dy

ey

dx 2 — y 13) y eny = a xm

dy

dx x (1 -\-ny)

14) x sin y — cos y 4- cos 2 y — 0

sin y

dy

sin² y

dx 2 sin 2 y — sin y — x cos y sin y sin 2 y -f- cos y — 1

15)    y sin x — cos (x — y) = 0

dy_y cos x -f- sin (x — y)_ 1 — 2 y sin y -f- y²

dx    sin (x — y) — sin ж 1 — cos у — у sin у

16)    sin {xy) — mx

dy_m — у cos {x y)

X cos (x y)

dx

17)

ylx — xsmy

dy

x sin у — у у у — x sin у

dx x(lx — x cos y)    x² у cos у — sin у

18)

sin²#_n² sin² (ж + y)

a²—m²

CL² — П²

<2ж

dy m² (a² — n²)    sin ж cos ж    ^

n² (a² — m²) ' sin (ж 4~ у) cos (ж -f- y)

_m la² — w² cos ж ^

w "V a² — m² ' cos (ж -f- 2/)

19)

4 y³ — 3 2/ -(- sin ^ = 0

dy _

cos ж

йж

(1-4 у*)

= t«*y

20) з/вшмж = a епх+у

dy пу

йж

- (1 — cotang- п ж) У

i/—^

Vl + ж

21) tang

I tang I = \1{1 — ж) — 11 (1 + ж) dy_

sin 2/

йж

1 — ж²

д/1 — Ж²

ж cos ж — sin ж

— (1 -f- у²) sin ж

22) у sin ж = ж arc tang y dj£_

йж

23)

X у = arc tang -

dy _ у 1 — (ж² 4- у²) d X X ’ 1 4* (ж² 4'У²)

24)

У    , ж

— = arc tang — ж    у

dy__y_

dx X

Anmerkung. Da diese Gleichung zwischen ж und у nur das

Verhältnis — z enthält, so ist dieses Verhältnis eine Konstante,

ж

welche aus der Gleichung ztmgz=l zu bestimmen ist.

25) arc tang х , а — arc tang -

а

- — arc tang

х-\-а

dy_у² а²

dx X² -f- а²

26) arc sin — 4- arc sin ~ m    n

dy_

— taug —

— e »

dx

Jt._

* m²— X²

27) у³ — 3 у arc sin x -f x³ = 0

dy

у X² д/Г— X²

3 у {у — x² \/l — x²)

dx

{у² — arc sin x) д/l — x2 28) у xy arc sin x + arc cos m--

(2 у³ — Xs) \/l — x²

x    У}/1 —    arcsin x

~ ~ x y/1 — ж² * arc sin ж (1 у l x)

29) arc sin (У³ ~t~ ж3 ^    — a

\ys + x³ — 3xyV ~a

dy

dy

d]£ _ У

dx x

Man erkennt leicht, dass der gegebene Ausdruck nur von dem Verhältnis —=iz der beiden Veränderlichen x und у ab-

X

hängt. Der konstante Wert dieses Verhältnisses bestimmt sich aus der Gleichung

гъ — 3 z —f- 1

#³ — 3 z² 1

sin³ a.

30) • axV -f Vsec (xy) = l cotang а dy _

2axV .у . ху~х .la-\-y tang (x y) д/sec (x y)

dx

2 ахУ. xy . I x . I a x tang (x y) д/sec (x y)

31) x³ + y² — 3 z + а = 0 z² — 2 y² — х-\-Ъ — 0

dy 3 (1 — 2 x² z) dz 1 — 6 x²

dx 4 y (z — 3) ’ dx 2 (z — 3)

32)    хъ -\- уъ гъ — 3 ху z = 0 x-\-y + k = a

dx

dу _z — ж dz__х — у у — 0 ’ dx у — 0 "

33)    tang (х -f- у) + sin z = cos а tang (х — у) -f- sin 0 == tang a

dy cos² (x -j- y) — cos² (x — y)

d x    cos² {x -f- y) -f- cos² (x — y)

dx

COS 0 [cos² (x -j- y) -f- cos² (x — y)\

34) x +y + г +u =a x²-\-y²z²Ą- и²— b х³ ~Ь У³ ~ł" z³ -f- u³ — c

dy

(u — x) (z — x) d 0

(u — x)(y — x)

dx

{u — y){z — y), dx

(u — z) (y — z)’

du

(z — x){y — x)

dx

(z — u) (y — u)'

35) u² -f- x² y² -j- 0² — a2 l {x y) -f- — = b²

CO

— -f-XZ — Q X

§ s

'■5Ś ^

iH g

SI s

Z² X z — 1 X ' X z Л-1

-]•

§ 12. Beispiele zur Differentiation unentwickelter Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen.

a²

(Dreiaxiges Ellipsoid.)

00    С² X 00 c²

0ж~    a² z ’ ft у    Ь²

с² a² z² -f- с²X² 0² z

X²

0³

с⁴ ху

Wb²~z*'

0²0    С² Ь² Z² с² у²

я³

«О

(y — nz)² __₁

b²

(Elliptischer Zylinder.)

b² (ж — m z)

9 ж    a²n{y— nz)Ą-b²m{x— mz)

9f _

a² — n z)

5 у a²n(y — n z) —b² тп (ж — mz)'

Z²

(Hyperbolisches Paraboloid.)

ÎM О-

QJ

QJ

Ь8

Ф1 ICO

rO I «Si

СУ о»

О* <s£ ÎM

а а-

«О

СО

О» СУ

b a z² — b y²

z³

4)    —

У

=tang a z

5 z_cos²a^ 5 z_

dx~ ay ’ dy~ 5) xyx z — y² z²

(Schraubenfläche.)

X cos² a z

О г уАгг

О» СУ

«а «м

(M

to

СУ

c-i

ХУ + Z) (z — ж — у)

«О

«M

y² + z¹ — X z

5 ж²

(2 z — x)³

’ д^ду

СУ

²*

ду²

6)    (ж² -\~у²-h г²)² — 2 а² (ж² — у² + £²)

(2 z — x)³    ’

(2 g — ж)² 4- (ж — 2 у)2 (2 z — ж)³

9g___х_    9j?__J/.A

г ’ 9У~ г В' wenn А~ x² у² -\- z² -\- a² und В — х² у² z² — а², X² -f- z²

9ж

ху А

z³ 9 х 9 У z³ В

9²г    4 а² у² z² — А (В z² -\- А у²)

9 у²~

7)    ж³-|-y³-\-z³=-xy-\~xz-\-yz

СУ

ГО

СУ

ж²

В² z³

9ж

x -f- у — 3 z² ’

Of о»

z_3 у² — ж — г

8)    xy-\-xz-\-yz — xyz

0 z_у -f- z — yz <Sz_x-\-z — xz

0Ж xy—x — у’ $y xy—X — y'

9)    xly — ylx — xyz

5 z_xly — у — xy Z 0 z_x — ylx — xyz

, —

0Ж

X² y

10) eeaf+*H-« — ai x -J- hi y -j- ą z

X y²

0 z_a {ax x    -j- &i    y +    ą z)    —    %

11) z* = y ex+z

го ro

y ex+z

0ж S z² — yex+z

d*

ex+z

0 У 3z² — yex+z y(z—3)' 12) xx . yv. z* — a

0Ж

l X 1    0 Z l y -f⁻ 1

Iz--j— 1    02/    Iz-J— 1

0²*_

Z (l Z l)² X (l Xl)²

ГО

X z (Iz + l)³

ГТЭ

(l X -f- 1) (l у + 1)

0Ж02/

z{ls + 1У ’

0² £

CU

,2

z(lz-j- l)² + ypy + l)²

у z {Iz + l)³

13)    a?⁴ -j- y* -f- г⁴ -f- M⁴ = (x² -j- y²) z u -f- {z² -(- U²) X y

Cu

y (z² + u²) -f- 2 X z u — 4 xà

Cu CU

z (x² + y²) + 2 X у u — 4m³’

X (z² -j- u²) -f- 2 y zu — 4 y³

и (х² -|- у²) -f- 2 x у z — 4 z³

z (x² -f- y²) -f- 2 x y и — 4 m³'

..s    , и 4- z — 1    , y + x—1

14) arc cotang —— -гт — arc tang --т—г

и — z 1    у — X -\-l

«O

-O

су о>а»

s H g

У М² -f- (* - l)² _

z — 1 '    (ж—l)²“⁻

X — 1 м² -(z — l)²

dy

z — 1    y²+(x— l)²

15) ж -f y + z + м == a X³ysz³us — Ъ ii² — X² 5 z u² — Z² ’ 5 y

5 U Z² X²    5 м _ *² — y²

0 ж    U² — Z²’ 5 y и² — z²

àz

0Ж

u² — y²

u² — z²’

Q->

«ОСУ

NH»

to fcj

₀ м(ж² *²)² + ж(м² *²)² -j- 2 (u² — Ж²)²__

0и² — z²)³    ~

₉ u(z²—X²) (z²—у²) + Z (и² — X²) (и² — у²) _

СУО»

ts

à%dy

(u²—z²)³

0² z_₀ y ('U² — *²)² -f- z (y² — M²)² -\-u{z² — y²)² _

(u² — z²)³    “

0^02/ ’

Ô2/²

Vu

b y² ’

16) xy -f- 6 z и — 10

x-\-y — 8 * — 12 м = 5

_    + z ____

X 4 (2 z — 3 m)’ 0 y 4 (2 z — Зм)’

0 u ________

Ô X 12 (2 я — 3 и) ’    12 (2 z — 3 и) ’

о-»:оу

4 y -f- 3 м

0 z_    2 X -j- z

4ж + 3м

го

(² У + z) (4 у + 3 и)

s Vu

0 Ж2 0²* _

8(2* — Зм)³

(Зм -f- 4ж) (2 у-f-z) + (2ж+z) (4?/-{-Зм) — 8 (2*—Зм)²__

16 (2 z — 3 u)³

ccbi

ОУ

|ГО

<sS

го

■i

QJ

*<г

(4 X -f- 3 м) (2 X z) _

8 (2 * — 3 и)³

Vu

Ö2/²'

17)

x-\-y z + u = a X y z и — h

си

^ ClkCJ CU CJ

м> î* &    & îs*

z и — X    ftz_ z    и—у

и' и — z'    9 у    у    ‘ U — z’

и z — X    9 и_ и    z — у

x ' z — и’    9 У    У    'г — и’

з \-(и—ZY + (и—х)²+(*■—■ХУ]

9²«

X² (и — z)

x у (и — г)

3 [(и—х) 0и — у) + (г—х) (г—у)]

9²м

9^9у ’

у² (и — Z)

3 [{и—г)² + {и—у)² + (z—у)²}

д²и

9 У² ’

18)

x-\- у Z — U V xJryJru = vz x-\-y Ą- V — z u

«О

(1 + и + V — z) (1 + z)

си

u² -)- V² -f- z² + 2 и V z — 1

du

(1 + V -j- z — u) (1 u) _5 u

fix

u²v² Ą-z²-\-2 u v z—1 fty’

9«

9 y'

Vertauschung der unabhängigen Veränderlichen.

§ 13. Allgemeine Sätze.

1) Soll in einem Ausdrucke von der Form

Ц F(x',y, äVx,

wo F eine gegebene Funktion bedeutet, statt der Grösse x eine andere veränderliche Grösse t als unabhängige Veränderliche betrachtet werden, welche mit x durch die Gleichung

(f (x, t) — 0

clx dy d² X d² y dt' d t ' dt²' dt2 ihre aus den Gleichungen ^ = 0, (f₂ — 0 (nach § 10) folgenden Werte zu setzen.

in den obigen hhwmeln an die Stelle von

, etc.

3) Um in einem Ausdrucke von der Form

2) Fi

x у-₂ â£ â£ Üîi, _ü±_    91*

’9®’ Эу’ Э®²’ 3® 9y ’ Зг/

statt der unabhängigen Veränderlichen x und y zwei neue veränderliche Grössen и und v mittelst der Gleichungen

<Pi (x, у, и, V) = 0,

(p₂ (x, y, U, V) — 0

als unabhängige Variable einzuführen, kann man von den Gleichungen

ôf₌<L? ôw I    àv

0^0

С,'

0 0w Ô ^0^0 Ô_^Ôi0

y 0^ 02/ ¹ 0 v 02/

etc.

ausgehen, in welche man für

, etc. die aus den

U 0 V 0 U 0 V x ’ 0aV 02/ ’ 02/

Gleichungen cpx = 0 und cp₂ — 0 (nach § 10) folgenden Werte einzusetzen hat.

Anmerkung. In denjenigen Fällen, wo sich die Gleichungen (pi=- 0 und (p₂ = 0 leicht nach x und у auflösen lassen, ist es vorzuziehen, von den Gleichungen

9f_9f9^_|_9«9ÿ

0W 0Ж 0 U ' 0 y 0W’

Ü£ _ 0£ 0Я , 0£ dy

0 V 0Ж0^ ' 02/0V’

etc.

auszugehen. Das weitere Verfahren ist dem vorigen ganz analog.

4) Es seien endlich in dem Ausdrucke 2) anstatt der drei veränderlichen Grössen x, y, z drei neue veränderliche Grössen u, v, w einzuführen, welche mit den früheren durch die Gleichungen

<fl (x, у, z, u, V, w) — 0,

<p₂ {x, г/, г, u, v, w) = О,

<Рз (х, 2/> и, v,w) = О

verbunden sind und von denen w als abhängige, и und v als unabhängige Variablen betrachtet werden sollen.

Ausgehend von den Gleichungen

X 9^ 9^ ' 9® 9^’

w_9 w 9^,9^; 9V

etc.,

, ,    9w 9 м 9v 9w 9 м 9?;

in welche man fur 1 —

9a;’ 9ж’ 9ж’ ду ’ 9у' 9У

, etc. die aus den

Gleichungen цх =0, (р₂ = 0, (р₃ = 0 (nach § 10) folgenden Werte zu setzen hat, erhält man neue Gleichungen, aus welchen man

die Werte von

dl Ô£ ÏÏLI 9*’ 9y' 9^²’

etc. entnehmen und in 2) sub-

stituieren kann.

Anmerkung. Sind aus den gegebenen Gleichungen <р± — 0, y₂ = 0, y₃ — 0 die Grössen x, y, z leicht als Funktionen von u, v, w zu erhalten, so wird es in vielen Fällen vorzuziehen sein, von den Gleichungen

dl — di dl , dl dy r dy 9w’

9w 9^ 9^

QJlQJ

!₌dldx,

v dx dv'

d* dy

9у 9*>’

etc.

auszugehen.

§ 14. Beispiele.

1) In der Gleichung

g+©'+.»-> s=«

soll у als unabhängige Veränderliche eingeführt werden. Es wird

0.

. fdx\² , ,d²x

1 + Ы-(г/-а)5р

2) Zur Berechnung des Krümmungshalbmessers einer ebenen Kurve, bei welcher y als Funktion von x betrachtet wird, dient die Formel

мйл

d²y dx²

Dieser Ausdruck geht, wenn x als abhängige, y als unabhängige Veränderliche betrachtet wird, in den folgenden über:

[■+©’]

K.jw

d²x

dy²

3) In der Gleichung

₂ d² и X dx²

j- x

dx

-j— и — О

soll у mittelst der Relation у— Ix als unabhängige Veränderliche eingeführt werden. Man erhält

f- и = 0.

d²u

dy²

4) (1 — x²)²

dx²-

— 2 x (1 — x²)

dy d² у

dx dx²

x = sin t]

5) V+L^l ₊ ^1 ¹ y^xdx^dx*

©)'+©)'+>

= 0, x² = 4 t;

dy

d²y

dt²

= 0.

(Fourier, Traité de la chaleur).

6) In der Gleichung

du

_ dy ⁺ ^|ï+^ a

soll x = l{y -\-\1~\-у²) als unabhängige Variable eingeführt werden.

idco

[■+©!

d²y

dx²

x = r cos у, у — г sin у ;

₌_нет

г2+²©-’'

Der Ausdruck für x gibt durch Differentiation dy_ex -j- e~x

dx

folglich wird

du du

dy dx' ex -f- e~x ‘

Aus der Gleichung zwischen x und y folgt ferner

ex — e~x

ex — У + дА 4" У² » daher у

und

д/1 + r*

Setzt man die so erhaltenen Werte ein, so ergibt sich + и = ~ (ex + e~x).

U U in    л

у — -j- n² г-t = 0, ж = arc cos y\

du

dx

йж²

-j- n² и = 0.

8) (ж — ж³)

d?y

£?Ж²

f (1 — 3 ж²)

dy

с£ж

— x у — 0, х — л]\ — f²;

«-в

d²y

tH²

t^²r ’ d(f²

wenn a als unabhängige Variable betrachtet werden soll; dagegen

verbunden sein möge, so kann zur Berechnung der Ableitungen .. folgendes Verfahren eingeschlagen werden:

dy d¹ y dx' dx¹' ’

Es ist

dy

dy_dy dt_ dt

dx dt'dx X

indem y als Funktion von t, d. h. als mittelbare Funktion von x betrachtet wird und hierauf die früheren Sätze (§ 1) angewendet werden.

x ergibt

Die weitere Differentiation der erhaltenen Gleichung nach

dx d¹ y dy d¹x d¹ y_dt dt¹ dt dt¹

dx¹

fdx у \dt)

d² 3 y (dx\¹ „dx d¹x d¹ y , „ dy fd¹xX¹ d² у dt²\dts dt dt¹ dt¹ dt\dt¹)

dx dy d²x dt dt dt²

dx²

f d x\⁴

\ItJ

etc.,

dx d¹x

.. die aus der Gleichung

(p (x, t) — 0 (nach § 10) sich ergebenden Werte einzusetzen sind.

In dem sich häufig darbietenden Falle, wo у als unabhängige Variable betrachtet werden soll, können die nötigen Formeln aus den vorigen durch die Spezialisierung t — у oder auch direkt auf analoge Weise erhalten werden.

wo auf den rechten Seiten für —

dt' dt¹' '

Ь++<ш\

₂ dÿ    ₂ ßtf r cPy '

dr    \drJ dr²

wenn r als unabhängige Variable betrachtet werden soll. 10) Unter der Voraussetzung-, dass

soll bewiesen werden, dass

11) Es sei и eine Funktion von r. Setzt man r—}Jx²-\-y²-\-z², so besteht die Gleichung

5 ² u ft²u

ro

d*² dy² è*²

0.

Es soll hieraus eine Gleichung hergeleitet werden, in welcher и nur in Bezug auf r differentiiert vorkommt. d² и dr²

12) Welchen Wert hat der Ausdruck

X ?

2 du

r dr

= 0.

ày’

wenn

x — r cos (f, y = r sin (f

gesetzt wird, wo r und <f> zwei neue unabhängige veränderliche Grössen bedeuten?

Man erhält

!i+O₌₀

x — r cos (p, y — r sin <f ;

CuiQ^

X²

ftr²'r² ÖSP²

r (jr

= o.

14) Wenn X, г/, z und £, C die Koordinaten eines Punktes des Raumes in zwei verschiedenen rechtwinkligen Koordinaten-. Systemen bezeichnen, so ist zu zeigen, dass, wenn и eine Funktion von X, y, z bezeichnet,

9!^ 4-&₊0iil₌9!'« , Ô!'» , 0!«

Die Lösung dieser Aufgabe setzt die Kenntnis derjenigen Formeln der analytischen Geometrie des Raumes voraus, welche die Koordinatentransformation betreffen.

15)

Э²^ I    . d²u = 0

0 X² 0 y² z²

X — r sin J cos (p, y = r sin $ sin y>, z — r cos

Führt man die Hülfsgrösse Q — r sin J ein, so erhält man nach Aufgabe 13)

0²m , 0²г^_5²м , 1 0²м , ¹ 0^

CU CJ

'2 1 ftx²

r© r©

Q² q² (f²

² и . 1    ² и

<■© fO

Ferner ist

²и , tfu 5 Q² ô z² 5 r'¹ _r r² 9 J²

*C> ro

1_ ô и_    0 u , cotang J 3 и

Q 0?

Г² 0 It '

Diese drei Gleichungen addiert, folgt

92ц i 92ц i d²u₌à²u    1 9²м    1 0²u

à У² 0 z:²    0r²    r² 0 it²    q² 0y²

X²

r 0 r

, cotang J 5 и r² 0 &

Ersetzt man q wieder durch seinen Wert, so wird die vorgelegte Gleichung

CU

a(sin*p)

9² (иг) .____1_ ft² и ,    1

r²    ' sin² & 5 <P² ' sin ^    0 J

(Ueber die Transformation dieser Gleichung sehe man Jacobi: Ueber eine partikuläre Lösung der partiellen Differentialgleichung Э² F i 9² F i 9² P 0 X²    y² ' z²

113—134.)

CU

= 0.

<©

— 0; Crelle’s Journal Bd. 36, pag.

16) Es soll der Ausdruck

Ô£ _ 9ü

by ö«

mittelst der Gleichungen

u~lyjx² Ą-y², v — arc tang z, t — x-\- y -f- z umgeformt werden, wenn и als abhängige, v und t als unabhängige Variable betrachtet werden.

Man erhält

•"(«'•Ë+sS-

§ 15. Homogene Funktionen.

Eine Funktion u — f(x, y, z, t,...) der Veränderlichen x, y, z,t,... heisst homogen von der wten Dimension oder von der wten Ordnung, wenn sie die durch folgende Gleichung f{ax, a y, a z, at, . . .)

an f(x, y, z, t, . . .),

in welcher a eine neue Variable bezeichnet, ausgedrückte Eigenschaft besitzt.

Differentiiert man diese Gleichung in Bezug auf a und setzt nach ausgeführter Differentiation a = 1, so erhält man folgende Euler’schen Sätze:

Öit i    - 9m i

^ ⁺ ^ + 2Р ⁺ -=и

ÿ3x0î/

a² н

dy²

Es ist eine nützliche Übung, die Richtigkeit dieser Sätze an einigen Beispielen durch wirkliche Ausführung der Differentiationen nachzuweisen.

ГО

1)

M=®!±ül.(n=i)

y — x

2)

3)

и = arc tang. (п — О)

-'S

4) Bezeichnet w = f(x, y, z) eine homogene Funktion der Veränderlichen x, y, z und w = y (£, rj, £) diejenige Funktion, welche aus f heryorgeht, indem man für x, y, z ganze lineare Funktionen der Veränderlichen £, % £ einsetzt, so ist zu beweisen, dass wenn x₁,yl,zl diejenigen Werte der Variablen x,y,z bezeichnen, welche den Werten £l5der Variablen £, r\, £ entsprechen.

Kapitel V.

Der Taylor’sche und der Maclaurin’sche Lehrsatz.

§ 16. Lehrsätze. I. Die Taylor’sche Reihe.

f (x + h) = f(x) + ^ f (ж) + ~ f" (ж) + ^ f" (*) + ...+

/■(”-⁴ (ж) + Bn.

hn~x

(n — 1) !

II. Die allgemeine Maclaurin’sche Reihe.

f (a) +(x ~gj

f(x) = f(a) -f

(,x — a)

(x — a)‘à

1!

3!    ' («) +

(x — a)

+ ...Ч

(n — 1) !

wo a eine Konstante bedeutet.

Wird hierin а — 0 gesetzt, so entsteht:

III. Die spezielle Maclaurin’sche Reihe.

f (ж) = f (0) + ~ Г (0) + ^ f" (0) + ^ Г (0) + ■ • ■ +

TI 1

/,(n—1) (0) + Bn.

In Bezug auf alle diese Reihen legen wir die Voraussetzung zu Grunde, dass die Funktion f(x) nebst ihren n ersten Ableitungen in dem betrachteten Intervalle endlich, stetig und eindeutig sei.

Wenn f(x) eine ganze, rationale Funktion von x bezeichnet, so brechen die drei Reihen bei einem gewissen Gliede ab. In allen anderen Fällen muss der Summe der n ersten Glieder, sofern man eine dieser Reihen mit dem n ten Gliede abhrechen will, noch ein sogenanntes Restglied zugefiigt werden, welches in den obigen Gleichungen mit Rn bezeichnet worden ist. Die Schätzung der Grösse dieses Restgliedes erlaubt ein Urteil über den Grad der Annäherung, mit welcher die Summe der ersten n Glieder der Reihe den Funktionswert darstellt.

Besitzt dieses Restglied die Eigenschaft, unendlich klein zu werden, wenn n unendlich gross wird, so stellt für jeden zulässigen Wert von X die Summe der in’s Unendliche fortgeführten Reihe den Wert der entwickelten Funktion genau dar.

Von den verschiedenen Formen, unter welchen das Restglied dargestellt werden kann, sind die wichtigsten folgende:

Restglied der Taylor’schen Reihe.

hn

Rn——y У(п) (x -j- # h),

_hn (l—ö'y-1 (n — 1) !

Rn

. y« {x + & h).

Restglied der allgemeinen Maclaurin’scben Reihe.

Rn

(x — a)n

n\

. f(n) [a -j- Ü (x — a)\,

Rn

(x — a)n (1 — Aj

(n

1)!

.f™[a + V{x — d)\

Die in diesen Formeln auftretenden Grössen # und bezeichnen nicht näher bekannte, positive, echte Brüche. Die erste Form des Restes wird gewöhnlich auf Lagrange zurückgeführt; die zweite rührt von Cauchy her.

IV. Die Taylor’sche Reihe für Funktionen mehrerer Veränderlichen.

f{X + h,y + k) = f(x,y)+^ß^h + ^yk) +

+ 2l(S A2 + ²

4

⁺ Гу(У'/‘³⁺³

res

ro

CD

0^02/

hk +

Ô³/¹

7ia/Ł + 3.    . . h к² + ,

ö^dr оу

»+■:

V. Die Maclaurin’sche Reihe für Funktionen mehrerer Veränderlichen.

f(x, У) = f(a, b) + i    (Х-a) + (f^.<*- »] +

⁺h. [(|^)»;,(ж “a)* +² (рт^(ж - “Ну—+

+fÄ>-i)2] + -wo a und Ъ Konstanten bezeichnen.

Die Restglieder, welche zu diesen Reihen hinzuzufügen sind, sind den vorhin angegebenen ganz analog.

Allgemein ist

VI. f (xi + h±, x₂ -f- h2> %з + h> • • •) — ffa, x₂, x₃,. •.) +

1!

h -+

bf

rz

СУ

+ snsymb'(p^⁴

(^IjTsymb-(^Äl4

CU

QJ

CU

h-\

O»

h +■•••)+

^3 + • • •) ~\r • • •

\7l—1

7г₃ -f-... J -f- Rn

Die symbolischen Klammern sollen zunächst nach dem polynomischen Lehrsatz auf gewöhnliche Weise entwickelt werden, dann soll aber für die к te Potenz einer Derivierten von f die entsprechende к te Derivierte substituiert werden.

A=Msymb-(p^⁴

ro

л

' Ja;, dhL

х,г d h₂

xs

+++

&h₃

Oder

(i — д-у-¹

(n — 1)!

[symb.^AH

1^0

«S-

dJ\

SK

Cc

+++

Cp Cp Cp

Die Maclaurin sehe Reihe und ihr Restglied erhält man, indem man in VI xk -\-hk durch Xk, Ы durch xk —ak, xk + # hk durch ak -f- ük {xk — ak) ersetzt und bei jeder Ableitung den Index au <h . .. hinzufügt.

§ 17. Beispiele.

1) Sei f (x) = xL -f- 2 x³ — 5 X -j- 3.

a) Man bilde fix-j-h) mit Hülfe des Taylor’schen Lehr

satzes.

ß) ordne f (x) nach steigenden Potenzen von (x — 1) mittelst des Maclaurin’schen Lehrsatzes,

y) ordne fix) nach steigenden Potenzen von (x -j- 1).

«) fix + h) = ж⁴ + 2 ж³ — 5 ж -f 3 + (4 x³ + 6 ж² — 5). h -f + (6 ж² + 6 x). h² -f (4 ж + 2). h³ 4-ß) f{x) = 1 + 5 {x - 1) + 12 {x - l)² + 6 (x — l)³-f

+ (x — l)⁴,

Г)

fix) = 7 — 3 ix + 1) — 2 ix -f l)³ + ix + l)⁴.

2) ix + h)m zu entwickeln, wenn m eine beliebige Zahl bedeutet. Bezeichnet man xm mit fix), so ist

f(n) - m __    — 2). .. im — n 4" 1) xm~n

und daher

ix 4- h)m = xm 4- ^ x"¹-¹

h+(“)

+ (n m l) xm~n+i h*-¹ 4- (j^j {x~\-9 h)

xm~²h²

+ «?)*

h³+...+

hn.

Die Reihe ist konvergent, wenn h, absolut genommen, kleiner

als x ist.

Setzt man x = 1 und x an die Stelle von h, so ist

fl-—1

4-(™) (1 4- d'x)m~nxn. 10< + 1, für a? = 4"l,

Die Reihe konvergiert für wenn —l<im<i4~00 und für x = — l, wenn w^>0.

Anmerkung. Zur Beurteilung der Grösse des Restgliedes für diese Reihe ist für positive Werte von x die Lagrange’sche, für negative Werte von x hingegen die Cauchy’sehe Form des Restgliedes

Rn —

n. xn (1 4- У x)m ⁷¹ (1 — У)

geeignet. Die Fälle x — +1 bedürfen einer besonderen Untersuchung. Sie können leicht z. B. durch Anwendung des Gauss’sehen

Konvergenzkriteriums erledigt werden. (Gauss, Disquisitiones gen. circa seriem inf. 1 -{- —

suchungen über die Reihe 1 -f- -y- x +

Journal Bd. I, S. 311.

3) г(ж + ;,) = гж + А_,(А)!₊.(А)³_...₊

n — 1 V# /

Qi abs. < x).

Wird x — 1 und x an Stelle von h gesetzt, so erhält man

x Ą-...). Man sehe auch Abel: Unter-

m (m — 1)

1.2

ж² + ..., Crelle’s

(— 1)” (    h V

n \x & hJ

hieraus

/VI <y>2 <yi3

l{ l + tf) = j — “ + y

(—l)*

(———Y

VI -f- i) X'

(—1<*<1).

Anmerkung. Für negative Werte von ж kann zur Beurteilung der Grösse des Restgliedes wieder die Cauchy’sche Form für das Restglied

Bn = (— 1)

(1 -f- У x)n

dienen.

Ebenso ist

/^2    /^3

l y —y —... (—1<*<1).

1    7»3 /уэ5    \

1 -1- I 1А/    /4 I «X/ I «X/ I «X/ I

ZT^ = 2VT + T + y ⁺ --V-

Zusatz 2. Setzt man in der letzten Formel

l (1 — X) — —

Zusatz 1.

1+х_у+Ь

also x

so folgt

2 y + h'

Uy + h) = ly +

eine Formel, welche aus dem Logarithmus einer Zahl y den Logarithmus von (;y -f- h), wo h positiv oder negativ sein kann, zu berechnen lehrt.

4) Man lasse in

n ( 4    CL-\~ X

a — X

X in X + h übergehen und ordne f(x + h) nach steigenden Potenzen von h.

Da

f (®) —

(a — x)² ’

so ist nach Aufgabe 10, § 6

f(n) (ж)

2.2.3.4...W

(a — x)n+l a

und daher

/г²

/г³

hn

{(а—x)² 1 (а—ж)3 1 (а—-ж)4 1    1 [а—(ж + #/г)]”+¹[ *

5) Sei f{x)

\! i — x2 x² nicht gleich 1 ist, Дж + h)

. Es soll unter der Voraussetzung, dass

д/1 — (ж -f- Л)²

nach Potenzen von

h entwickelt werden.

Mit Hülfe von Aufgabe 23, § 6 erhält man

h . 1 + 2 x² h²

: г-н

(1 — ж²)⁴

(1 — ж²)² ' 1 . 2 ⁺

’1.2.3.4

ь].

COS Ж

3!

sin

hn.

sin ж ,, ,    ,

^у-7г⁴ + ...+

(ж+

arc tang (x -j- h) = ~ — arc cotang (x -f- h),

arc tang x — ~ — arc cotang x — -Z- — y,

Z    ù

y — arc cotang x — y.

Es folgt

Ji .    .    7z²

arc cotang (x -f- A) — У — sin² y. -y + sin2 У sin 2 y . y

h³

7) cos (X -j- h) nach Potenzen von h zu entwickeln, sin X ,

j-r- h —

cos (x + A) = COS X —

1!

2ГЛ, + ТГ** +

COS X

C0Sa; ZU_    4

4!

cos

hn.

8) arc tang (x -j- h) nach Potenzen von h zu entwickeln.

Nach Aufgabe 44, § 6 ist

= (— l)n_1 (n — 1) ! sin” (f sin n <f, wenn x — cotang y,

dn arc tang x

dxn

und man erhält

/г²

arc tang (x -j- h) — arc tang x -j- sin² <p. h — sin² y sin 2 y . ^ +

h³

7г⁴

sin⁴ y sin 4 y .

-f- sin³ y sin 3 y . -g-

9) arc cotang (x -j- h) nach Potenzen von h zu entwickeln.

Die Lösung kann auf ähnliche Weise wie die der vorhergehenden Aufgabe erhalten werden. Sie geht aber auch aus dem soeben erhaltenen Resultate hervor durch die Substitutionen

— sin³ y sin 3 y . -g- -f- ...

10) Es bezeichne y = f(x) denjenigen Bogen, dessen trigonometrische Tangente den natürlichen Logarithmus x besitzt; man entwickle f(x-{- h) nach Potenzen von /?.

Die Gleichung x — l tang y liefert ohne Schwierigkeit die sukzessiven nach x genommenen Ableitungen von y. Es wird

11) nach Potenzen yon x zu entwickeln.

Mit Hülfe des Maclaurin’schen Lehrsatzes erhält man, wenn f (x) = ax gesetzt wird, wonach

f (0) = l a, f" (0) = (l a)², ... fto (0) = (l a)n,

(la)

+ ••• + -

x²(la)² . x³(la)³

3!

(n — 1) !

Die Reihe konvergiert für jeden endlichen Wert von x und a.

/у*    /у» 2    /у»3    /у№>    1    /у*^

Zusatz l.<. = l+*+fi + f, + „.çî-₁jT + îI «-

е⁻¹

/i    li 2

/■(ж -j- h) = y + sin 2 y. y + sin 2 y cos 2 y.

Ы

+ sin 2 y (cos 6 y — sin 2 y sin 4 y)

1.2

f- sin 2 y cos 4 y.    -(-

4!

е¹ = 1 + ^у + ^т + ^| + - = 2,718281828459... = ¹- ^, + ет-ГТ + -- = 0,367879441171...

Zusatz 2. Setzt man ex — z, so wird x — lz, also (lz)² . (I z)³ i (lz)⁴ .

* = l-t

Iz

1!'    2!    '    3!    '    4!

12)    sina; nach Potenzen von x zu entwickeln.

« c-

/у»    /у»3    /у»5    7    rpH /    JT \

•    «Л/    «Л/ i iAs    i    i «л/ • / a    i    •'*' \

8шж = Т-зТ + 51- T⁺--- ⁺ ^TsmPæ + ”vl

(— СО < X < + со).

sin 1° = sin 0,0174533 = 0,0174533 — 0,0000009 = 0,0174524.

13)    cos x nach Potenzen von x zu entwickeln.

x² . x⁴ x⁶ ,    , xn (a , n\

cosa;—1 — 21 +^ —    + cos + a; + nyj

¹

Wenn es darauf ankommt, den Ausdruck F durch Einführung zweier neuen veränderlichen Grössen t und и umzugestalten, welche mit den vorigen durch die Gleichungen

²

<ii (x, y, t, u) — 0,

³

(p₂ {x, y, t,u) — 0

⁴

Zusammenhängen, so dass t als unabhängige Variable und и als abhängige veränderliche Grösse betrachtet wird, so hat man nur

(—Oo <+<C + oo).

COS 1° = 1 — 0,0001523 = 0,9998477.

Anmerkung. Setzt man in den Beispielen 6) und 7) die Reihen bis ins Unendliche fort und fasst die Glieder zusammen, welche mit cosa;, beziehungsweise mit sina: multipliziert sind, so erhält man die bekannten Formeln

Man vergleiche die betreffende Differenz in den Logarith

mentafeln.

sin (,X + h) — sin X cos h + cos x sin h, cos (x + li) — cos x cos h — sin x sin li.

nach Potenzen von x zu entwickeln.

I sin    -f- x)

{^-+x) = lsin^-+ux-

log sin (30° -f- 10”) — log sin 30° =

= 0,43429448 (1,7320508.0,00004848) = 0,0000365.

14)

ir2 I §V? „3

2\    ' 3!

so

15) arc sin x nach Potenzen von x zu entwickeln. Nach Aufgabe 4, § 7 ist

f(2n+i) (0) = 1.3².5² ... (2 n — l)²,

/w (0) = 0;

folglich

. 1 , . 1.3²

arc sin = x -f- g-j x⁶ -j—-g-у- хъ

1.3².5²

7!

X¹ -j- . ..

CO

X³

-æ+ g

1.3 ж⁵ 1.3.5 7 2.45 ⁺ 2.4.6

Zusatz. Setzt man arc sin х — г, so ist

, 1 sin³^ , 1.3 sin⁵z , 1.3.5sin⁷2-я — sm г + у —0

ai, a

r~ + • • •

2 ЗТ2³ 2Л 5'72⁵ + 2.4.6 7 .“27 + ‘ ~ °’⁵²³⁵⁹⁹*

2.4    5

2.4.6

16) arc cos x nach Potenzen von x zu entwickeln.

Auf analoge Weise, wie in der vorigen Aufgabe, oder auch

durch die Substitution von arc cos x — ~ — arc sin x in das soeben

и

erhaltene Resultat folgt

1 x³ 1.3 x⁵

arc cos x =

2    1    232.45

(-1<*<+1).

Zusatz. Setzt man arc cos æ = 2, so ist

n cos z 1 cos³ г 1.3 cos⁵ g

23    2.4    5

17) arc tang ж zu entwickeln.

Da nach Aufgabe 3, § 7

f(2n+D (0) = (— 1)» . 1.2.3 ... (2 n),

/W (0)    0,

so erhält man

X

arc tang X — -y

/^5

T + T

Ж⁷

(— 1 <ж<+ 1).

Um das Lagrauge’sche Restglied zu erhalten, erinnere man sich, dass (Aufgabe 44, § 6)

dn arc tang x

dxn

(— 1)”_1 (n — 1) ! sin” cp sin n (f,

wo

~ — arc tang x, also sin” y —

(1 + ж²)²

и

Daher lautet das Restglied

(-1)

OC™    (    \

—— sin n (^ 2--arc tang & xj ,

71 (1 -f- #² X²)

und m:m erkennt leicht, dass obige Reihe konvergiert und ihre Summe mit arc tang ж übereinstimmt für jedes ж, das, absolut genommen, kleiner als 1 ist.

... (Leibniz’sche Reihe).

Ist arc tang ж — z, so wird tang г    tang³^ tang⁵£

Zusatz. Für tang z = 1 ist г —    also

т=1—

” ² (т73 ^ 5.7 ¹ 9.11

ми

f...)

² (з. 5    7.9    11. 13 "

)•

Zur Berechnung von n eignen sich diese Reihen aber nicht;*) bessere Formeln erhält man durch:

— arc tang j -f- arc tang 1

oder

Tt

= arc tang I -f- arc tang i -f- arc tang |. **)

18)    tangx nach Potenzen yon x zu entwickeln.

Es sei tang x = ff (x), alsdann ist:

<f ' (x) — sec² x — 1 -f- tang² x -j- [ff (x)[²;

I 9 (x) — ff (x) <f' (x)] j <f'" {x) — [ff' (x)]² + ff (x) ff" (x) ;

\ (pIV {x) = 3 <f" (x) ff' {x) + ff (,x) ff'" ix) ;

j (f(n+²⁾ (x) — (f{n) (x) ff' (,X) -f- ^    (x) ff " (x) -j-

+ (2) ÎP(n-2) (X) 9" (x) + • . . + (^j Cf'" (x) (pin-2) (д.) _|_

+ (2) 9 (ж) 5P(n_1) {x) + (J) ff' (x) ff(n) (x) -f ff (x) ff(n+1) (x).

Nun ist

cp (0) = (fn (0) = ffIV (0) = ff VI (0) = . .. = (fVp) (0) = 0 ;

also:

9<"+a> (0) =(0) y (0) + 00 у<-*> (0) ₉"’(0) +

^"-⁴>(0) cpv(0) + (j\ (f<n-v (0) <pvn{0) -f ...

Beachtet man, dass n, n — 2 etc. nur ungerade sein können, so sieht man, dass (f{k) (0) q/!) (0) noch einmal auftreten muss, ausser, wenn к = l wird. Fasst man die gleich hohen Ableitungen zusammen, so ergibt sich unter Benutzung der bekannten Relation : (2ä) ^(n — 2k — l) (2 к) ⁺ (2к+ l)”(2Är+l):

*) Nach Euler müsste man nicht weniger als 10⁵⁰ Glieder berechnen, um л auf 100 Stellen genau zu erhalten.

**) Durch diese letztere Formel ist die Zahl n durch Dahse in Zeit von 2 Monaten auf 200 Dezimalstellen berechnet worden, Richter berechnete sie auf 500, Shanks nach einander auf 440, 607 und 707 Stellen, Proc. of the Royal Society, Bd. 21, 1873.

Yi -4— 1

wenn —-— gerade ist:

и

-    n—3

к— —■—

wenn    ungerade ist:

т n—5

K=z -

15р(«+ч₍₀)— 2 feiiK-“’® «>(a+”(o)+

i=:0    '    '

+ [n— 1

L№)

(0)

у/(0) = 1 ; <p"'(0) = 2; ^(0) = 16 = 2⁴; (fVI1(0) = 2⁴ . 17; ç>JX(0) = 2⁸.31 ; <pXI(0) = 2⁹.691; ç>™(0) = 2¹².5461.

Es ist also:

,    , 2    ... 24

tang X = X -f- g-j x⁶ -f-

5!

xb -f

2⁴.17

£C⁷ -f

2⁸.31

9!

Ж⁹ -j-

2⁹.691

11!

X¹¹4

2¹².5461 1в .

-X¹³ + • •

13!

, 1 , , 2 , , 17    _ .    62    ₀ .

tang х = х+^х^^хо + шх^ 28g5 ж 9 +

1382

155925

=• xl 1 +

21844

6081075

tang X =

Allgemein ist

Br . 2² . (2² — 1)

2!

Вя.2Ц2±-1)х.а

В⁵.2⁶ (2⁶ — 1)

4!

-f

6!

worin die Koeffizienten В die sogenannten Bernoulli’schen Zahlen sind, und zwar ist Bi =

B₃ — 4ïï > Въ — tV ) Brj —    > B₉ —    > Bn — ttsv ,

B₁₃ = $, Bn = Wtt etc. Diese Zahlen befolgen kein einfaches Bildungsgesetz. Durch andere Betrachtungen kann man nachweisen, dass die Beihe für

tang-ж nur dann konvergent ist, wenn der absolute Betrag von x kleiner ist als - -.

Beispiel:

tang 18° = tang TV тг = 0,314159265 + 0,010335426 -f

+ 0,000408026 + 0,000016300 + 0,000000652 + -f 0,000000026 + 0,000000001 = 0,324919696.

19) sec# nach Potenzen von x zu entwickeln.

Es sei sec x = f(x). f" (x) — f (x). tang x = f(x)(p (x) ; f(n+l) — fW (ж) (Jj (x) -|- ^ f[n~l)(x) (/ ' (X)    fin~²⁾(x) <f"{x) -f-

+ (3) f(n~³⁾ (x)    + (J) f(n~i](x) ylv(x) + ...

Nun ist nach Aufgabe 18 5Р(0) = ₅р"(0) = улг(0)... = 0,

daher

/■(»+« (0) = (») /■<—)(0) g,' (0) + (*j) /*-*> (0) f" (0) +

VII

(0) -f ...

+ (5) /,("-⁵⁾ (0) 4'v (0)+(»)    (0) if

f (0) = f" (0) = fv (0) = fVp+v (0) = 0. f(0) = 1; f'\0) = 1; fIV{0) — 5; fVI(0) = 61; fVIII(0) = 1385; fx(0) — 50521; fXII(0) — 2702765.

50521

• 1 0,5 . .61    1385 ₈ .

10!

seca; — 1 + ol^² ~r |1ж4 "T    1—gT^⁸ '

2702765

12!

Die Bedingungen der Konvergenz dieser Reihe sind dieselben, wie bei tanga;.

Beispiel:

sec 18° = 1 + 0,049348022 + 0,002029357 + 0,000081451 +

-f 0,000003529 + 0,000000130 -f 0,000000005 = 1,051462224.

20) cotanga; nach Potenzen von x zu entwickeln.

Man entwickle zunächst x cotang x nach Aufgabe 6, § 7, wodurch man erhält

ж² ж⁴

¥ ~~ 45    945 “ 4725 ~~ 98555

2 ж⁶

ж⁸

2 ж¹⁰

ж cotang ж = 1 -j-

Darnach wird

cotang ж — —---

ж

Allgemein ist cotang ж = i- - Л, 22* — В, 2* fl — В₅ 2«|

Ж³

2 ж⁵

ж⁷

2 ж⁹

3    45    945    4725    93555

Die Konvergenz dieser Reihe erstreckt sich von ж — — n bis ж = -j- n, die Grenzen exklusive.

Anmerkung. Aus der Reihe für cotang ж lässt sich diejenige für tang ж leicht ableiten mittelst der Beziehung 2 cotang 2 X — cotang ж — tang ж.

21) I tang -f ж)

^ tang (-J + ж) = Z tang-J- + у ж + ~ ж³ H

+ Ä⁷

nach Potenzen von ж zu entwickeln.

5.25

5!

ж⁵ -j-

1385.2⁹

7!

9!

ж⁹ 4" • • •

logtang (45°-f 10") — logtang 45° = 0,43429448.2.0,00004848 =

= 0,0000421.

Man vergleiche die betreffende Stelle in den Logarithmen

tafeln. 22 a) e

ein X

zu entwickeln.

Unter Berücksichtigung der in Aufgabe 2, § 7 enthaltenen Werte folgt:

ein X -

-j    I    0(y    I чХу

1 + Г! + 2!

4!

8 .    3 ₆    56

5 !    g \x ^ 7 \x

217

8!

ж⁸ -j—

64

тН L—

ж¹⁰

2⁷. З².11

11!

ж¹¹ ...

22 b) etaag х zu entwickeln. Es sei

gtanjj X — y (ж)₅ tang x = (f (ж),

mithin

F’ (x) = F (ж) a>' (ж).

Differentiiert man diese Gleichung- p mal nach einander nach dem Leibniz’schen Satze und berücksichtigt die aus Aufgabe 18 bekannten Werte der Ableitungen von g> (ж), so erhält man leicht eine Rekursionsformel für F(n+1) (0). Es wird

11    Q    7    177

— 1 4_ _ T 4_ _ r2 i гз i _ r4 i 1 r5 i I. r6 i

1    ^ j    g J ^    ^    j ^    J **/    g J ^

.969 . . 6097 . . 41641 8ГЖ +“9Г

gtang x

со

со

7!

X⁷ -j

ж⁹+...

23) Aufgabe. Es sollen Formeln für sin n z und cos n z aufgefunden werden.

Setzt man ц (ж) — sin (n arc sin x) = sin n z und bildet nach Aufgabe 7, § 7 die sukzessiven Ableitungen von у (ж) für den speziellen Wert ж —0, so liefert der Maclaurin’sche Lehrsatz n sin,? n(n²—l²)

sinw?

3!

sin³,? -f

n (n² — 1²) (n² — 3²)

5!

sin⁵ z —...

Durch Differentiation erhält man — I²

2 ; sin‘² * 4

(n² — l²) (n² — 3²)

cos n z — cos z

Diese beiden Reihen brechen ab, wenn n eine ungerade Zahl ist. Beispiel : sin 3 z — 3 sin z — 4 sin³ z,

sin 5 z = 5 sin z — 20 sin³ z -j— 16 sin⁵ z,

sin 7 z — 7 sin z — 56 sin³ z -f- 112 sin⁵ z — 64 sin⁷ z\

cos 3 г = cos z ( 1 — 4 sin² z),

cos 5 z — cos z (1 — 12 sin² z -f-16 sin⁴ z),

cos 7 z — cos z (1 — 24 sin² z -)- 80 sin⁴ z — 64 sin⁶ z).

Nimmt man f(x) = cos (n arc sin ж)* (Aufgabe 8, § 7), so findet man ganz in derselben Weise wie oben

cos n z = 1 ■—

4!

n² . „ i n² (■n² — 2²)

2!sln * +-4!-

sin⁴ z — ..

[n sin z

n (n² — 2²)

sin n z — cos z

Ist n eine gerade Zahl, so brechen beide Reihen ab.

Beispiel: cos 2^ = 1 — 2 sin²?,

cos 4 z — 1 — 8 sin² ? --j- 8 sin⁴ ?,

cos 6 ? — 1 — 18 sin² ? 4- 48 sin⁴ z — 32 sin⁶ z\

3!

sin 2 г = cos z . 2 sin z,

sin 4 г- — cos(4 sin z — 8 sin³ z),

sin 6 z — cos z (6 sin z — 32 sin³ z -f- 32 sin⁵ z).

Setzt man f(x) = cos (n arc cos x) (Aufgabe 9, §7), so ist für ein ungerades n\

cos nz=-

ncosz

n(n²—l²)

3!

COS³? 4

n (n² — 1²) (n² — 3²)

5!

Hieraus

sin n z —

n—1    /    9

= (— l^sin^l ——,2!

Für ein gerades n ist:

— I²

cos² z -f-

(n² — l²)(n² — 3²)

4!

cos n Z —

eos⁴?-

w²cos% n²(n²—2²)

n²(n²—2²) (n²—4²)

6!

sin n z =

— (— 1) - sin z(-—wcos?-f

n(n²—2²)

3!

cos³?

n(n²—2²) (n²—4²)

5!

cos⁵?+...) •

Es ist also:

cos 3 z ⁼⁼ — 3 cos z -J- 4 cos³ z,

cos 5 ? —

5 cos z — 20 cos³ z-f-16 cos⁵ z, cos 7 z = — 7 cos z + 56 cos³?— 112 cos⁵? -j- 64 cos⁷,?; sin 3 ? = — sin ? + 4 sin ? cos² ?,

sin 5 z —

sin 7 z — — sin z + 24 sin z cos² ? — 80 sin z cos⁴ z + 64 sin z cos⁶ ?;

sin ? —12 sin z cos² z + 16 sin ? cos⁴ ?,

cos 2 ? = —1 + 2 cos² z,

cos 4 z —    1    —    8 cos² ? + 8 cos⁴ z,

cos 6 ? = —1 + 18 cos² ? — 48 cos⁴ ? + 32 cos⁶ ? ;

sin 2 z— 2 sin ? cos z,

sin 4 ? = — 4 sin z cos z -f - 8 sin ? cos³ z,

sin 6 z —    6    sin    z cos z — 32 sin z cos³ ? + 32 sin z cos⁵ z.

24) (ж -j- h)m (;у + k)n — F (x + h, y -f- k) soll nach Potenzen von h und к entwickelt werden.

(x -f- h)m (y -j- k)n — xm yn -{- m x

yn h² -f⁻ m n x

m— 2

yn h -j- n xm yn 1 к -f-

yn~¹ h к -(-    xm yn~² k² -f-

yn-i h2 k _j_

yn h³ W (^j X

xm~x yn~² h к² -f xm у

25)    (x -(- h) l {y -j- k) = (f (ж -f- h, у + к) nach Potenzen von h

lind к zu entwickeln.

Auflösung:

(x + Ä)l(y + k) — xly -f [zy Ä -f-yfc] + ^7 [² ü

-f- m

r»—3

w—2

k³ + ...

7**] +

+]п[-³^“²+7>]+т[⁴Р“³

, 1 Г _ 3 !, ,, . 4!ж,Л , 1 ro4!

+ 5! HV4А + V⁵“ j + 6! L⁶«ï

lH +

ihk⁶ —

ÿ*] + -

(x + h) l (y + k) = x ly + y [y¹ y h + x Ä] + p [y h — 4 x k] —

5^

to

k³

là

—    [\ук-$хк]-\--yh — ^xk] — —^yh — \xk]-\-...

У

(xJrh)l(yJrk) = xlyJr ~ [y ly hxk]~\~

'J

«s

,;тл'*1

26) sin (ж -f- 2/) nach Potenzen von ж und у zu entwickeln.

Sowohl die Substitution von ж -J- у an Stelle von ж in der Reihe für sin ж, als auch die Anwendung des Maclaurin’schen Lehrsatzes für Funktionen zweier Veränderlichen liefert

sin(I+y)=£±9-^+gxHlg

3!

вш(ж +y) = у(ж + 2/) — -^{x³Jr3x²y-\-Sxij² + y³)-\-

-f-    (ж⁵ -j- 5 ж⁴ у -f-10 ж³ ?/² -f-10 ж² y³ -f- 5 ж î/⁴ -f- ?/⁵) -j- •..

27) sin ж. siny nach Potenzen von ж und y zu entwickeln, sin x . sin y = ^j2xy

— j-^x^yß^xy^-ß

—“j [6 ж⁵ у —(— 20 ж³ 2/³ —J— 6 ж y b\ — [8 x^ y -J— 56 x⁵ уъ --f- 56 xs yb -f- 8 x y¹] -{- •..

P= ao    r—p—1

sinæ.Sinÿ=2 tgr 2Gr+0

Es ist also, wenn y = x gesetzt wird,

x2p-2r-l y2r+l '

2 • 4 i (²    2 ! ' 6 !    " '

Diese letztere Reihe lässt sich auch aus der Formel sin² x = 1(1 — cos 2 ж) und der Reihe für cos 2 ж ableiten.

28) cos ж cos у nach Potenzen von ж und у zu entwickeln.

(ж² + IJ¹) +    (ж⁴ -f 6 ж² у¹ -f у⁴) —

— (П ^ xL    ^ x2    "b 2/ß) “h

+ i (ж⁸ + 28 ж⁶ y² -b 70 ж* ?/⁴ -f 28 ж² yG + y⁸) — ...

sin² x —

гН км

‘2!

(2 ж)² —

COS Ж COS у—^ — ç

2!

р=

COS Ж COS У — 2

j (-О'

р=Ю

(2р)! r=o

2$)

ж2р-2г ^2r _

29) arc tang werden.

ж-f- h y + h

soll nach Potenzen von h und Ar entwickelt

*]+

x-j- h_ y + k'

+M

30) Es sollen folgende Gleichungen mit besonderer Berücksichtigung derjenigen Methoden, welche sich auf den Taylor’schen und Maclaurin’schen Lehrsatz stützen, näherungsweise gelöst werden:

arc tans:

arctan^7+n[^+FA

łhk-\

— 2 ху

(ж² -f Î/²)

₅лн

2 (ж²—у²)

(ж² + у²)

ж² 4-г/²

2 ху

(ж² + 2/²)

«) x³-j-2x²-j~3x-j-4 = 0;

ä) tangx-j-x = 0;

^ = 116° 14' 21", x₂ = 281° 30' 16", x₃ = 457° 8'38",

X = —1,6506292. p) ж⁴ — 2 ж² -(- 4 X — 8 = 0;

ж = 1,6117663.

etc.

;') 10 log^ ж = а? ;

ж =1,371288.

Anleitung-. Es sei у — f(x) = 0 die zu lösende Gleichung. Bezeichnet x₀ einen durch Versuch gefundenen Näherungswert der Wurzel und x₀ -j-h den wahren Wert derselben, so ist nach dem Taylor’schen Satze

1 .2

⁰ = f(x₀ + h) = f Ы + f Ы у -f- f" (xq) h

Kommt nun x₀ dem wahren Wert der Wurzel so nahe, dass h² und die höheren Potenzen von h vernachlässigt werden dürfen, so hat man zur Berechnung der Korrektion h die Gleichung

° = /,(®о) + Г

woraus

h= —

x₀ -(- h ist dann ein neuer Näherungswert.

Diese Methode, welche von Newton herrührt, kann geometrisch so interpretiert werden, dass man die Kurve y — f(x) durch ihre Tangente ersetzt und den Schnittpunkt der Tangente mit der ж-Ахе auf sucht, während der sogenannten Regula falsi

•.Vi

x = x₁

xi —x₂

У1 — У2

oder

Xl + x₂ X\ x₂ yl-\-y₂

2    2/1 — 3/2 •    2

wo xl und x₂ Näherungswerte, yv und y₂ die zugehörigen Resultate bezeichnen, die Annahme zu Grunde liegt, dass der zwischen zwei Punkten der Kurve liegende Kurvenbogen durch die Sehne ersetzt und der Schnittpunkt der Sehne mit der ж-Ахе aufgesucht wird.

Eine angemessene Verbindung der Newton’schen Methode mit der Regula falsi liefert zu gleicher Zeit zwei Grenzen, zwischen welchen die Wurzel enthalten sein muss. Hierbei hat man die Newton’sche Formel für denjenigen Näherungswert auzuwenden, für welchen f (x) und f" (x) dasselbe Zeichen besitzen.

Ein weiteres Mittel zur Auflösung der Gleichung f(x) = 0 liefert der Maclaurin’sche Lehrsatz, mit dessen Hülfe die Inversion der Funktion f(x) erreicht werden kann.

Bezeichnet nämlich x₀, y₀ ein Wertepaar, welches der Gleichung y — f (x) genügt, so gibt die Maclaurin’sche Reihe die Entwicklung

. fd³x\ (у f Mo 172.3

-Уо)³

(dx\ y—y₀ ; (d²x\ (y ~^\dy)₀    1 ⁺\dyV₀

X = x₀

УоУ

1.2

Setzt man hierin y — O und für Werte, nämlich

fdx\ fd²x\

\d yJd    у²' ’

. ihre

~ ГЫ’

/ dx\ ^dy Jo

f d²

\d у²)о

ГЫ

fd³x\ y³J O

[fW]³’

f Ы f" Ы — ³ if" (w)]²

[ГУ⁵

, etc.

so erhält man, x₀ als Näherungswert vorausgesetzt, für den neuen Näherungswert x die Gleichung

X—Xq

fixq)    f" (x₀) [f(x q)]²

rw    [ f'WF 2

[fixo)p

Vorausgesetzt wird bei allen diesen Näherungsmethoden, dass in dem betrachteten Intervalle f (x) weder sein Zeichen wechselt, noch gleich Null wird.

Sohncke’s Aufgabensammlung. I.

Kapitel VI.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Bestimmung des wahren Wertes einer Funktion, die für einen speziellen Wert der Veränderlichen in unbestimmter Form erscheint.

§ 18. Allgemeine Sätze und Regeln.

1) Bezeichnen f(x) und cp {x) zwei Funktionen von x, welche nebst ihren n ersten Ableitungen in demselben Intervalle endlich, stetig und eindeutig sind und welche nebst ihren (n — 1) ersten Ableitungen für den speziellen Wert x — a verschwinden, während cp(n) (a) von Null verschieden vorausgesetzt wird, so gilt für jeden innerhalb des Intervalles liegenden Wert von x der Satz

f(x) _ f{n) [a -j- S (x — a)j

(p (x)    (p^ [a-\-&(x — a)\

wo & einen nicht näherbekannten, positiven, echten Bruch bedeutet.

In dieser Gleichung erscheint der Ausdruck auf der linken Seite für x — a unter der unbestimmten Form # und verliert daher seine bestimmte Bedeutung. Aus der obigen Gleichung folgt

aber, dass für lim x — a, lim

f(x) _ fW ja)

<p (x)    (pW (a)

ist. Biesen Wert

nennt man den wahren Wert des Quotienten

f(x)

(fix)

für x — à.

Der wahre Wert des Quotienten

9>(x)

, welcher für x — a

unter der unbestimmten Form $ erscheint, ist demnach gleich dem

Werte von

fW (g)

wenn die n ten Ableitungen von f(x) und (p (x)

(pW (a) ’

die ersten sind, welche für x — a nicht zugleich verschwinden.

Dieser Satz gilt in dieser Form nur dann, wenn fW (tt) und (pw (ą) bestimmte Werte haben; verlieren fW (a) und (pW (a) für x — a ihre Bedeutung oder werden beide unendlich gross, während

/'w ix)

mit dem Grenzwerte des Quotienten

к für lim X — a, voraus-

die übrigen Voraussetzungen bestehen bleiben, so tritt an die Stelle des vorigen Satzes der folgende: Der wahre Wert von

für lim x — a, stimmt überein

fix)

(fix)

für lim X — a, d. h. lim

fix)

(fix)

(ji{n} (x )

gesetzt, dass ein solcher Grenzwert existiert.

fix)

für x — a die unbe-

2) Der Fall, wo die Funktion stimmte Form annimmt, wird auf den vorhergehenden zurück-

<f ix)

geführt, wenn man schreibt

f ix) __ <p ix)

(fix)

fix)

Der wahre Wert des Quotienten

fix)

(fix)

, welcher für x — a

unter der unbestimmten Form erscheint, ist gleich dem Werte

von

ia)

(f{n) ia)

, wenn die n ten Ableitungen von f ix) und ц> {x) die

ersten sind, welche für x — a nicht zugleich unendlich gross werden.

Auch für diesen Fall gilt ein dem im letzten Teil von 1) ausgesprochenen ganz analoger Satz.

Zusatz. Derselbe Satz gilt für a = oo.

3) Wenn f{x). (f ix) — 0 . oo wird für x — a, so setze man

fix) _ (fix)

fix) . (f ix)

, wodurch man einen der beiden vor-

(fix) fix)

hergehenden Fälle erhält.

4) Die unbestimmte Form oo — oo, unter welcher die Differenz fix) — (fix) für x — a erscheinen kann, wird auf die Form J,

zurückgeführt, indem man

fix)

/i ix) und

(fix)

(fx ix) setzt,

wodurch man erhält

fl ix) (fl ix) fl ix) (fl ix)

fix) — (fix) = -T7

1 _(ft ix) — fi ix)

5) Nimmt die Funktion [f (x)]'i,(x) für x — a eine der unbestimmten Formen 0°, cc° oder l⁰⁰ an, so erscheint beim Übergang zur Exponentialfunktion, wonach [f {х)]^х) = e,p(x)Jr(x), der Exponent (f (x). I f{x) unter einer der vorhergehenden unbestimmten Formen und kann demgemäss behandelt werden.

Wenn das allgemeine Verfahren mehrfache Differentiationen

f{x)

für x — a erfordert,

(fix)

zur Bestimmung des wahren Wertes von

so ist es in vielen Fällen zweckmässig, Zähler und Nenner nach steigenden Potenzen von (x — a) zu entwickeln. Da nach der Voraussetzung einige der Funktionen f{a), fia),... und (fia), f ia), . . . verschwinden werden, so wird sich eine gewisse Potenz von (x — a) als gemeinschaftlicher Faktor im Zähler und Nenner fortheben lassen; der übrig bleibende Bruch gibt für x — a den gesuchten wahren Wert.

Falls eine Entwicklung des Zählers und Nenners eines Aus-

drucks

fix)

welcher für x = a unter der unbestimmten Form £

erscheint, nach Potenzen von (x — a) mit nur ganzen Exponenten nicht möglich ist und in Folge dessen das allgemeine Verfahren nur mühsam oder auf Umwegen zum Ziele führt, kann der wahre Wert dieses Quotienten auf folgende Weise bestimmt werden: Man setze (a -j- h) für x in die Funktionen f {x) und (p (x) und entwickle sie nach steigenden Potenzen von h. Nach Hebung einer gewissen

Potenz von h, welche hierbei im Zähler und Nenner von

als gemeinsamer Faktor auf tritt, ergibt sich der wahre Wert des

für x — a, indem man in dem übrig bleibenden

fix)

fix)

fix)

Quotienten

fix)

(fix)

Bruche h — 0 setzt.

Die Bestimmung des wahren Wertes einer für x — a unter unbestimmter Form erscheinenden Funktion kann häufig dadurch vereinfacht werden, dass man die gegebene Funktion durch Division von solchen Faktoren befreit, welche für x — a weder gleich Null, noch unendlich gross werden. Das Produkt aus dem wahren Werte des übrig bleibenden Teiles in den bestimmten Wert der abgesonderten Faktoren liefert dann den wahren Wert der gegebenen Funktion.

§ 19. Beispiele.

Bei denjenigen Aufgaben, welche mit einem * bezeichnet sind, reicht eine einmalige Differentiation nicht hin.

; für X == a wird и =

1)

xm — am

xn — an

o_™ ту —

— am ~n.

c²)

X³ — 1

X³ — 2 X² -j- 2 X —

J ; für x — ï wird и — # — 3.

-3)

X³ — 8 X² -f-17 X — 10

ж⁴—5 ж³— 2x²-j-llx— 5

; für x = 5 wird и —

X³ —- 5 ж² -j- 2 ж -|- 8

а?⁴—2ж³—16 a?² —j—    {— lö

:»>

X³— ix²— tVe + Л.

ж⁴ + |ж³~Чж-|

if-; für £c=—I wird «=$ = —W-

iß

о — з JT-

für ж = -j- 2 wird и — für ж — — 2 wird и = $ = t-

ж⁴ — 5 ж² -f- 4 . ж⁴-3ж²-г4’

ж⁴ + 3ж³—7ж² —27ж —18. (fürж=-j- 3 wirdи= $ —10, ж⁴—Зж³—7ж²+27ж—18’ |Мгж=—3 wirdM=^=rV

О-4

ТТ-

8)

_ ж⁴ -j- ж³ — 11 ж² — 9 ж 4~ 18 м — ж⁴ -f- 2ж³-— 13ж²— 14ж + 24⁵

j'für ж — 1 wird и—

J für ж——2 wird и=ъ [für ж = 3 wird м—^=т-

fa-

*и

ах² — 2асх-\- ас²ш

Ъх² — 2 b ex b с²

für х= с wird и — $

,10) ~1у

аь-\-а^х — аж⁴—ж⁵

а⁴-|-2а³ж-Ь2а²ж²+2аж³Н-ж⁴

; für х=—a wird и-=$=2а.

11) и

ж³ — ж² — 8 ж -j- 12

X³ — 4 ж² -f- ж -f- 6

12)

X³ -\- X² — 4 ж — 4 U    ж⁴-)-2ж³—Зж²—8ж—4

; für ж — 2 wird и — & = 0.

für ж——1 wird а = $— сю,

, . für X— + 2 wird и —

für ж— — 2 wird =—1.

ах — ж²

а⁴— 2а³ж -j- 2аж³ — ж⁴’

; für ж —а wird гг — о =—оо.

_ а — д/а” — жп

(Щ и

у/а + X

У'2 а

; für X = a wird и —$ = \/|.

C¹⁶⁾

у]а-\-2х — yßfa yjx³—а³

4 = ^=-

у/х — а

Man dividiere mit dem Nenner in den Zähler und setze im

; für X = a wird а = |}

а уЗ.

Quotienten x — a.

17)

___y/x — y/'a -f y/x — а

tv - ,-

; für x —a wird n = §

*    y/2a'

Setzt man x — a-\-h und entwickelt Zähler und Nenner nach steigenden Potenzen von h, so folgt

y/x² — а²

у/a -j~ h — yfä -j- yfh

у/a \/lH----y[ü~\~ yfh

y/2 ahĄ-li²

yfh

i yfh

yfh

, woraus für h = О, и

18)

_хъ — 4 а X² -f- 7 а² X — 2 а³ — 2 а² у/2 ах — а²

19)

ах — Ъх

20)

21)

_ ах — Ьх = 1{ 1 — х) ап — хп

X² — 2 ax — a²-f 2а^2яж — х²

für X — a wird и — $ = — 5 а.

; für X = 0 wird и — % —

о

о _г А

17- Ł _ •

; für X — О wird и —

I (ап) — I (хп)

; für X — a wird и = — ап.

cb

22)

_а² — yjaŁ— х²

23)

; für X — О wird и = $ —

_ л} а²—ах-\-х²—у/а²-\-ах-\-х².

'Ja-Ą-х — у/а— X

X²

2 а²'

; für X—О wird w=^—y/a.

Anstatt vom Zähler und vom Nenner die Ableitung zu bilden, kann man auch jede einzelne Quadratwurzel nach dem binomischen Satze entwickeln.

24)

и =    , a - ; für X — a wird и = $ = 2 a д/зГа .

у (ж — a)³

Dividiert man mit dem Nenner in den Zähler, so gibt der Quotient für x = a unmittelbar den gesuchten wahren Wert.

= ; für x

25)

a (x — a) 4- ß у ж —

и =---—-„■■■■-----------

y (x — a)¹ -j- ô 'у/ж — a

Setzt man \/x — а — t, so folgt für t = 0 der gesuchte wahre Wert.

26)

д/2 a³x — ж⁴ — а д/а¹ x _

%{j - л Г----------- 1

; für ж = a wird и = $ — \⁶~ а.

27)

_(ж — с) д/ж — Ь -j- д/х —

д/2 с — д/ж + с + д/ж — с

= ; für х — с wird и — % — 1.

28) *и =

(1 — ж)¹

; für х—1 wird и—

oto

n{nĄ-1)

Durch Division ergibt sich:

и — x + 2 ж¹ -f- 3 x³ + • • • + n хП >

und für x = 1 :

n {n +1)

29) w ==

a -j- д/ж²— а¹ — д/2 аж — ж¹ д/ж³ — а³ — д/ж¹ — а¹

; für ж = a wird и = $ — О.

30) и =

ж д/8 а¹ ж¹ + 8

д/2 а³ — ж³ — д/5 а² — 4 ж¹

з __

д/20 а⁶ ж⁴ + 12 а⁴ ж⁶

für х = a wird и = -Я

20

31) и =

9 а '

ж—д/32а¹ж — 24аж¹-|- д/40 а³ж³-}- 24 а¹ ж⁴—д/2ж³—а³. ~ За(9ж —10а)+д/36а³ж + 45ж⁴ у/2ж³ —а³

für ж = а wird а = |

24а '

1 — ж -4- £ж

Weil x = l, so können wir den Faktor x absondern und gelangen kürzer zum Resultate durch Differentiation von

xx~x — 1 1 — x-j--Ix'

Ebenso wird man finden, dass man vor der zweiten Differen-

xlx-\-x—1

tiation x:cabsondern kann und nur

zu betrachten hat.

; für ж — 0 wird и = $ = — 1.

33)

xex-\- e~x—ex — xe~x

u —-x--—

e —e

Da ex = 1 für x — 0, so kann man Zähler und Nenner durch (f dividieren und die Differentiation ausführen an

x -f e~2x— 1 — x. e~2x 1 — e~2x

34)

* xe²x-\-xex — 2 e2x + 2 ex £..    „    . ,

*u —-(~ea.1L i)₃--5 fur x = ⁰ wird    =

Wenn x — 0 wird ex = 1 und и =

x . ex x — 2e*-j-2

(ex — l)³

Vor der zweiten Differentiation kann man Zähler und Nenner durch ex dividieren.

ex —

35) и

ex .1(1 — x)

ex

36) и —

37) *u =

38) и =

39) и =

; für x — 0 wird и = $ —

(f — 1

1(1 — x) '

- ; für x — 1 wird и = $ — l а — 1.

1, für x = 0, also и —

alx —

Ix

а — x -j- а l x — a .la

а — y2 ах — x²

ex — e~x

sin x

sin x

Х²

; für x — a wird u = § — — 1.

; für x — 0 wird u =

; für x — 0 wird и —

o'o

— GO.

x — sin x

Der wahre Wert von и kann sowohl nach der allgemeinen Methode, als auch dadurch erhalten werden, dass man für sin a? die betreffende Potenzreihe einsetzt.

41) *u =

ex — e x — 2 x

x — sin x

; für x = 0 wird и — # = 2.

Die mehrfache Differentiation kann umgangen werden durch Einführung der bezüglichen Reihen für ex, e~x und sina?.

für x — \n wird и = -g- = 1.

42) и

1 — sin x + cos x _

sin 2 а? — cos x

43) *u

sin x — x cos x

sin³a?

; für x = 0 wird u — £ = j.

44) и

2 sin² x + sin x —

2sin²a?—3sma? + l

\ ; für x — i n wird и =

3.

45)

sin x — cos x + 1 sin x -f- cos x — 1

; für x — 0 wird а —    = 1.

o|o

46) и

1 — cos а?

cos a?, sin² а?

; für x 0 wird и = ⁽₍|-

— у*

47) и =

sin (a -f- ß) sin (a -f- x) — sin ß. sin x .

sin (a -J- ß -f- x)

für x=-n — а — ß wird u = § = sin a.

48) *u

g f _ gsinx

x — sin а?

; für x = 0 wird u=z^ — 1.

49) *u —

(e* — e~x)²

а?². cos x

50) и =

tang {a-fa?) — tang (<% — a?)

arc tang (a -f- a?) — arc tang (a — x) ’

für a? = 0 wird u = ^ —

51) и —    ; für a? = 0 wird м = — = 1.

I tang 2 a?    ⁰⁰

_ ax sin ax — bxsin Ьа?

дх sin g x — hx sin h x

—i-3-; für a? —

a? — 1

1-f a 2 cos² a

52)

53) и =

a?² — 1

; für a? = 0 wird и —

a — b g —h'

1 wird u = cd — oo —

y-

54) *u

— ; für x = X — 1 Ix

1 wird u = cc — сю —

55 a) *u

sina;

; für X = 0 wird u = cc — oo — 0.

55b) *м

sin² X

ж²’

; für X — 0 wird и — со — oo

— "3 •

55 c) *u

sin³ ж

i; für ж

xö

0 wird u — oo — oo — oo.

[<+©i

dx²

dargestellten Kurve

d²y

u. cc

55 d) Man bestimme den Krümmungsradius q

der durch die Gleichung у -----15    —

für den Punkt ж = 0, у — 5.

Es ist für diesen Punkt q —

In diesen vier Beispielen gelangt man am kürzesten zum Ziele, indem man für sin ж die betreffende Reihe einsetzt und sin² ж, resp. sin³ ж nach dem binomischen Lehrsätze entwickelt. Darnach erhält man z. B. im Falle der Aufgabe 55b) folgende Rechnung:

1 ж² — sin² ж

ж² — (ж

ж³ ,    \²

3~M “ /

sin² ж ж²

ж² sin² ж

ж² (ж

ж³

3!

I    \2

! + "•)

ж² —

ж²

x2(L 6

+-)’

ж² —

ж⁴ (l

/у>2    \ 2

Т + -)

Fasst man sämtliche Glieder, in welchen ж in der 6 ten und in höheren Potenzen vorkommt, in dem Zeichen (ж⁶) zusammen, so kann man schreiben:

/yi 4:

£- + (**)

ж⁴ -f- (ж⁶)    1 + (^²) ’

woraus für ж — 0 folgt w

56)    *u = ±---г-; für ж

I ж— 1

57)    *u

1 wird w = oo — go = l.

; für X = 0 wird ц — сс — go = -i.

58) и

59) *u =

2 ж² 2 X tang- X

X . tang- X — - J sec ж; für ж=— wird г« — ; für ж = 0 wird и =

l (1 ж)

m CO — GO = —1.

GO - GO GZ y*

Durch Einführung- der Reihe für l (1 -j- x) kann die mehrfache Differentiation vermieden werden.

2 x²

x{e2x — 1)

; für x = 0 wird u— — oo-j-oo —

61) *U

71X— 1

71

2 ж²

x (ei7tx— 1)

Dies ist die Summe der Reihe:

TX^

; für ж=0 wird u=—cc -j- oor=—.

1 -j- x²

und für x = 0 :

— _f_ —    _L_ . . .

12 T 2² ' 3a“

62) и

71

7Г²

4 x 2х(еях-\-1) и ist die Summe der Reihe:

; für x = 0 wird u = cc — go — ►—

l² -f- X²

für x = 0 :

3²-f ж²

¹ , ¹ , 12 + 32 +

5² -f- x²

63)

14 а²

а — x ba³ — ах² — 4 ж³

5² -Г • ••

; für x — а

wird и = oo — go Gm

13

Berücksichtigt man, dass

5 a³ — ax² — 4 ж³ = (5 а² -f- 5 a x -j- 4 ж²) (a — x), so genügt eine einfache Differentiation.

64) *и -

I (ж-¹) .

cotang X

für Ж

OD

-О.

65)

U — —', für X — 00 wird и = ~Г= OD .

GO

66)

и — —: für X = oo wird и — ²⁰

GO

= 0.

67)

ж“¹

cotang’ ж

; für ж — 0 wird    = 1.

68) *и

(i-*)

V a J

пх cotang’ — а

; für ж = a wird и

— = 0.

69) *и

Кос— 1) + tang (ж

cotang ж п

70) и = (1 — х) .1(1 — ж) ; für ж = 1 wird и

; für ж = 1 wird и — ~= — 2.

О . со = 0.

ж²—а²

72)    и = (а — ж). tang

73)    гг = tang 2 ж. cotang + ж)

71)

ж²

; für х~— a wird гг — 0. оо

7Г

2 г/

; für ж = « wird и — 0 . оо — —

; für ж =

4

— wird и—od .0 = ^.

74) и = sec

(■ï)

; für ж = 1 wird и — od ,0=i

75)    и = 2'в. tang “ ; für ж = oo wird и —od . О — а.

и ‘

76)    u — xn.lx\ für ж —О wird, wenn п positiv ist, и=0.со— 0. 77 a) ii — xx', für ж = 0 wird гг = 0° = 1.

77b) u=z ххГП; für ж —0 wird, wenn 0, гг = 0⁰с=1 und

wenn m<C 0, и = 0* — 0.

78)

и —xx\ für x — OD wird гг = oo ⁰ = 1.

i

79a) и — (1 -j- mx)x; für x~0 wird гг — l⁰⁰ = em.

i _

80) и — X

i 00    _-j

1 = e \

81)

; für ж = 1 wird и =

; für X — 0 wird и — qo ⁰ — 1.

^ \sin .r

7t X

82)

i‘-i)

tang—— 2a

; für X = a wird и — 1“ =    .

7t X

8S) ** = (l-f)

/ 1 \ tang X

щ « = (-)

tang -

; für x~a wird и — 0°

; für x = 0 wird u = co ⁰ = 1.

1.

m-

85) *u — (cos m X)

Hin-иX.

86)

[tang +аж)]

; für ж = 0 wird u~ Iх =e 2n*.

; für ж — 0 wird и — l*³ = e2a.

cotang X

87) и

(Wï)

; für X — оо wird г« = е~~я.

88 a) и

^tang ж^

; für ж = О wird и — ($)* = Г — 1.

^tang a?y²

88 с) » =

Am einfachsten gelangt man zu den in diesen drei Beispielen verlangten wahren Werten auf folgende Weise:

Es ist

88 b) и

; für X = 0 wird и = (ft)⁰⁰ r= Г

; für X = 0 wird и = (j})œ = l⁰⁰ = oo .

/yi3

"~(¹ + У + "-)

und daher z. B. im Falle der Aufgabe 88 b)

(1+Ï+-)

tang ж

«=(¹+y+-f

гЛ

-g- -j~ (ж⁴)

; lu~

Folglich wird für ж = 0 lu — h also и = e⁵.

ж²

Ж²

ł+(**).

Die Bezeichnung¹ (ж⁴), (х²) betreffend, vergleiche man die Bemerkung¹ zu Aufgabe 55b).

89) *u — жг(1+ж) ; für x = 0 wird г< = 0° = 1.

90) u = xm+nlx', fürm = 0 wird u — 0° = e".

91)

« i-

(1+®) -

; für X = oo wird и

e ...

- ; fur ж

denn differentiiert man Zähler und Nenner einmal, so folgt

92) и

0 wird и

1+яг)*

X

(l-f-ж)* /(1+ж)

X²

(1 + ж)

^-in (l+x)l{l+x)~\' Lx    X² J

0 ist nach

Der wahre Wert des ersten Faktors für x Aufgabe 79 b) gleich e. Setzt man nun für l (1 -f- x) die Potenzreibe ein und bildet das Produkt (1 -j- x) l (1 -f- x) mit Vernachlässigung aller Potenzen von x, deren Exponent grösser als 2 ist, so ergibt sich leicht — I als Grenzwert des zweiten Faktors für

x = 0. Demnach wird für x 93) f (x, y) — y⁴ — a² y² -f- 2 а² x² — x⁴ — 0.

Welchen Wert hat ^ für x = 0 у ~0?

dx    J

Wenn man auf die gewöhnliche Weise verfährt (nach § 10, 1), 2 (x³ — а² x)

2 у³ — а² у

unter der unbestimmten Form $,

als auch , also auch df den Wert

so erhält man ~ =

dx

Dieser Ausdruck erscheint

weil für dieses Wertepaar

x ~ 0, у — 0 sowohl Null hat.

by

Ist überhaupt f(a,b) = 0 und

(äü,s-⁰’Jaü,*_0’

Auflösung der Gleichung

so

dy

0, wenn

nicht sämtliche Koeffizienten dieses Ausdrucks gleich Null sind.

erhält man

dx

durch

a,b

¹

— 1 + 2 + 3 -f ... + n

Ill

Wären für x — a, y — b sämtliche Koeffizienten von

(ä^T)

\d x²)

a, b

0,

so setze man

(<Pf\

\d хУ

0 u. s. w.

o, b

Im vorhegenden Falle bestimmt sich also quadratischen Gleichung

dy

dx

aus der

²f

Ô X²

+*M-d,y- + Um)

QXQy dx oy“ \dx' J

0,0

[4 (as _ 3 x*) ₊ 2 (6 ÿ* - а²) (Ш]

г— 4 а² —

0,0

dy

die beiden Werte Hh д/2 haben.

Die geometrische Interpretation ist folgende: Die Gleichung f ----- 0 stellt eine Kurve vierten Grades dar, für welche der t Koordinatenanfang ein Doppelpunkt ist. Die Tangenten in diesem Doppelpunkte sind gegeben durch die Beziehung

und zwar kann

dx

dy

-- - := tang а dx

+ д/2 .

In ähnlicher Weise verfahre man in den folgenden Beispielen :

94) Wenn (y² -j- ax)² — x²{ct² -j- 2 ax — x²) ist, dann wird für

x = 0 und y — 0:

= +l.

<h₌₀

dx ⁰

und y

95)    Wenn (y² — x²)² = x³ — 2 axy² ist, dann wird für x — 0 л. d у — ₀ __ i f

' dx *    - Дa'

96)    Wenn 2/⁴ — 96 а² у² + 100 a² x² — xé ~ 0 ist, dann wird für

x = 0 und y — 0: ^ = % = ±by[&.

97) Wenn {x² -f- У²)² = u² ix² — y²) ist, dann wird für x — 0 und у

dx

— + 1.

x³ ist, dann wird für x — 0 und y~ 0:

98) Wenn y² (a — x)

dy_ — о — о

dx

a²xy ist, dann wird für x = 0 und

99) Wenn {x²-\-y²)2 y = 0:

100)    Wenn î/⁴ + (a² + x²) У² = a² x² ist, dann wird für x — 0 und y

101)    Wenn (x — y) {x² + y²) — a (x -f y)² ist, dann wird für x = 0 und y —

d_y

dx

0.

n. d У — о dx~~°

— +1.

— 1.

102) Wenn {x² -j- y²)² — 6 а ж у²

0: —

a x² (2 x — a) ist, dann wird

für ж = 0 und у

dx

— « — GC.

Kapitel VII.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Bestimmung der Maxima und Minima der Funktionen.

§ 18. Allgemeine Sätze und Regeln.

A. Absolute Maxima und Minima.

a) Explizite Funktionen eines Argumentes. Verstellt man unter f(x) eine Funktion, welche nebst ihrer ersten Ableitung in dem Intervalle von x₁ bis x₂ endlich, stetig und eindeutig ist, so gelten, den Gang dieser Funktion betreffend, folgende Sätze:

1)    In der Nähe eines jeden Wertes x₀ innerhalb des betrachteten Intervalles, für welchen f (ж₀) ^ 0 ist, gibt es sowohl solche Werte des Argumentes, für welche die Funktion f(x) grössere, als auch solche, für welche sie kleinere Werte annimmt, als für x₀.

2)    Wenn die Funktion f(x) an beiden Grenzen des Intervalles x₁ x₂ denselben Wert besitzt, so gibt es innerhalb dieses Intervalles wenigstens einen Wert von x, für welchen die erste Ableitung f'(x) verschwindet.

3)    Wenn die erste Ableitung der Funktion f(x) innerhalb des betrachteten Intervalles ihr Zeichen nicht wechselt, so ist der Wert der Funktion an der oberen Grenze des Intervalles grösser oder kleiner als an der unteren, je nachdem f {x), allgemein zu reden, in dem Intervalle positiv oder negativ ist, wobei nicht ausgeschlossen ist, dass f (x) für einzelne Werte gleich Null werden kann.

4)    Wenn die erste Ableitung der Funktion f(x) für irgend einen innerhalb des Intervalles xt x₂ liegenden Argumentswert verschwindet und ihr Zeichen wechselt, so erreicht die Funktion für diesen Wert von x ein Maximum oder ein Minimum, je nachdem f {x) mit wachsendem Argument von positiven zu negativen oder von negativen zu positiven Werten übergeht. Verschwindet

Sohncke’s Aufgabensammlung. I.

die erste Ableitung dagegen, ohne ihr Zeichen zu wechseln, so tritt für die Funktion f (x) weder ein Maximum, noch ein Minimum ein.

Macht man noch die Voraussetzung, dass die Funktion f(x) Ableitungen aller Ordnungen besitze, welche in dem betrachteten Intervalle endlich, stetig und eindeutig sind, so erhält man zur Bestimmung derjenigen Werte von x, für welche ein Maximum oder Minimum der Funktion innerhalb des Intervalles eintreten kann, folgende Regel: Man setze f (x) — 0 und setze alle in dem betrachteten Intervalle liegenden Wurzeln dieser Gleichung auf. Hierauf berechne man für jeden dieser Werte von x den zugehörigen Wert von f" (x), wenn dieser gleich Null ist, den Wert von f" (x) und wenn auch dieser gleich Null ist, den Wert von fIV (x) u. s. f. Zur Entscheidung, ob ein Maximum oder Minimum oder keines von beiden eintritt, gilt dann der Satz: Ist die erste für x = a nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung, so tritt weder ein Maximum, noch ein Minimum ein; ist die erste für x — a nicht verschwindende Ableitung von gerader Ordnung und positiv, so entspricht diesem Werte ein Minimum der Funktion; ist dagegen die erste nicht verschwindende Ableitung von gerader Ordnung und negativ, so entspricht diesem Werte ein Maximum der Funktion.

Anmerkung 1. Wenn die erste Ableitung f (x) ein Bruch,

etwa

— , also f" (x) z

M-

dx

У dx

,г²

ist, so richtet sich das Vor-

Zeichen von f" (x) nach demjenigen von —    .

Z CL CC

Anmerkung 2. Ein Maximum oder Minimum einer Funktion kann aber auch auftreten für einen solchen speziellen Wert des Argumentes, welcher am Rande des betrachteten Intervalles liegt oder für welchen die früher gestellten Bedingungen, z. B. dass f (x) endlich und stetig sei, nicht erfüllt sind. Diese Fälle erfordern jedesmal eine besondere Untersuchung.

b) Explizite Funktionen zweier Argumente. Es bezeichne f(x,y) eine Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y, welche nebst ihren Ableitungen in dem Gebiete,

tH

lO

für welches der Gang dieser Funktion untersucht werden soll, endlich, stetig und eindeutig ist. Wenn die Werte x = a, у — Ъ

■\ f

— = 0 genügen, so ent-

den beiden Gleichungen

0/

— О und

by

spricht diesem Wertepaar ein Maximum oder Minimum der Funktion f(x,y), je nachdem die vollständige Änderung dieser Funktion in der Umgebung von x — a, y = b negativ oder positiv ausfällt.

— fu>

Setzt man der Kürze wegen    ⁰

CU

3y~fi'

X¹

bx

2f

CU

/22, so liefert der Taylor’sche Lehrsatz für

— fl2

’ by*

die erwähnte vollständige Änderung, wenn man die Inkremente der Variablen x und y mit h und к bezeichnet

b^by

A*+A,y+*)-A®,y) = AÄ+/iÄH-i(/iiÄ»+2/i₂ÄÄ-|-^MÄ*)+Ä Da nach der Voraussetzung für x — a* у — Ъ die Grössen /i und /2 verschwinden, so hängt das Vorzeichen der vollständigen Änderung von fix, у) bei hinreichend kleinen h und к nur von dem Vorzeichen der Summe der Glieder zweiter Ordnung ab. Nun ist aber

А1 V + 2 fn h к + fn k² = fn (h -f

N IN

rH H

4^

fi 1

k²

und man erkennt leicht, dass das Vorzeichen der Summe dieser zwei Quadrate nur dann von den speziellen Werten h und к un-

fiu fi2 /21> /22

abhängig ist, wenn die Funktionaldeterminante

für das be-

trachtete Wertepaar einen positiven Wert hat.

Die Funktion f {x, y) besitzt daher ein Maximum für die aus den Gleichungen = 0, f₂ — 0 bestimmten Werte x—a, у — Ъ,

/il> /12 /21» /22

wenn für diese Werte zugleich fn<0 und

> 0, ein

/11 > /12

>0.

Minimum, wenn fn >> 0 und

Sollten die Glieder zweiter Ordnung für x — à, у — Ъ ebenfalls verschwinden, so erfordert die Beantwortung der Frage nach dem Verhalten der Funktion in der Umgebung dieses Wertepaares in jedem besonderen Falle weitergehende Untersuchungen. Wenn

/21 > /22

116

jedoch aus der Aufgabenstellung ohne weiteres ersichtlich ist, dass in dem betrachteten Gebiete nur ein Maximum oder nur ein Minimum existieren kann, so werden diese meist mühsamen Untersuchungen entbehrlich. Eine analoge Bemerkung gilt auch für das Folgende.

c) Explizite Funktionen dreier Veränderlichen. Wenn für die Funktion f(x,y,z) der drei unabhängigen Veränderlichen X, y, z dieselben Voraussetzungen bestehen, wie für die Funktion f (;X, y) des vorhergehenden Falles, so liefert die Auflösung des

Systems der drei Gleichungen — 0, ^ — 0, ^ - — 0 diejenigen

0^ О У 0z

Wertesysteme von x,y,z, welche der Funktion f {x, y, z) ausgezeichnete Werte erteilen. Aus dem Vorzeichen, welches die Summe

der Glieder zweiter Ordnung der vollständigen Änderung von fix, y, z) in der Umgebung einer so bestimmten Wertegruppe x, y, z annimmt, kann im allgemeinen entschieden werden, welcher Art der auftretende ausgezeichnete Wert der Funktion ist. Bei analoger Bezeichnung wie im vorhergehenden Falle lautet die vollständige Änderung der Funktion unter der Voraussetzung, dass fi = 0, /2 = 0,    = ° sei:

fix + h, у + к, z + l) — fix, y, z) —

— i (fu h² + 2 fi2 h к -f- /22    + 2 f₁₃ h l -f- 2/23 кl -f- f₃₃ l²) -f~ R-

Setzt man zur Abkürzung die Funktionaldeterminante

fll> fl2’ fl3

und die Unterdeterminante

, so lassen sich die

Ô /зз

/21 > /22» /23 — А /зЬ /з2> /зз j/il) /12 l/*2i> /22

Glieder zweiter Ordnung als Summe der drei Quadrate darstellen

СУ

/11 /23 — fl 3 /1

ÔA

Ô /зз

')⁺

ô /зз

1².

Diese Summe kann, wie leicht zu zeigen, nur dann für beliebige h, к, I ein bestimmtes Zeichen haben, wenn den Koeffizienten der drei Quadrate dasselbe Zeichen zukommt. Die Funktion f (X, y, z) besitzt demnach für eine ans den Gleichungen /i = 0, /2 — 0, /3 — 0 bestimmte Wertegruppe x, y, z ein Minimum, wenn

>0

die Funktionaldeterminante Д >» 0, die Unterdeterminante

und ihr Anfangsglied /i 1 > 0, ein Maximum, wenn Д<0,

ÔA

>• 0 und fn < 0.

d) Implizite Funktionen. Wenn eine implizite Funktion и von x durch die Gleichung f(u,x) — 0 gegeben ist, so muss für

d f (u>x)

den Fall eines Maximums oder Minimums

du

dx

------— — 0

0 / (и, x)

o.»

Dieser Bedingung wird im allgemeinen genügt, wenn

0 ist. Eliminiert man aus dieser und der Gleichung

f(u,x) = 0 die Grösse u, so erhält man eine Gleichung zur Bestimmung derjenigen Werte von x, die zu einem Maximum oder

d² и d x²

sein.

dx

Minimum von и gehören.

reduziert sich für die genannten

ÔV

Werte von x auf

d%²

ar

Es tritt also ein Maximum oder ein Mini-

mum ein, je nachdem

Ô²/

fix²

mit

gleiches Zeichen hat oder nicht.

B. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen.

liehen x, y, z, t, . .

(fl (x, y, Z, t, . . .) — 0, (p2 (x, y,z,t,...) = 0, . . . (fm (ж, у, Zyty...) = О bestehen mögen. Mit Hülfe dieser m Bedingungsgleichungen lässt

Sei / (x, y, Zyty...) eine Funktion der (m -f- n) Veränder-zwischen denen noch die m Gleichungen

sich die Funktion f im allgemeinen auf eine Funktion F von n unabhängigen Veränderlichen zurückführen, für welche man nach den vorhergehenden Regeln die absoluten Maxima und Minima bestimmen kann. Die n Gleichungen, die man hierbei erhält, indem man die nach den n unabhängigen Veränderlichen genommenen

partiellen Ableitungen yon F gleich Null setzt, liefern in Verbindung mit den m Bedingungsgleichungen <pi = 0,    — 0, ... (fm — 0 ein

System von (m + w) Gleichungen, dessen Auflösung die Wertegruppen von ж, y, z, t, . . . ergibt, welche die Funktion f zu einem relativen Maximum oder Minimum machen.

Dieses Verfahren führt jedoch meist auf wenig übersichtliche Resultate und ist in allen den Fällen unanwendbar, wo die angedeutete Elimination praktisch unmöglich ist.

Einfacher gelangt man zum Ziele, wenn man statt der Veränderlichen selbst ihre Differentiale eliminiert. In dem System von (m -f- 1) Gleichungen, das man erhält, wenn man die Differentiale der (m 1) Funktionen f, q>u y>₂, . . . (pm, genommen in Bezug auf alle darin vorkommenden Veränderlichen, gleich Null setzt, treten nämlich die Differentiale d x, d y, . . . linear auf, und man kann daher im allgemeinen m dieser Differentiale eliminieren. Hierdurch erhält man eine Gleichung, in welche nur n der Differentiale eingehen, die nun als von einander unabhängig zu betrachten sind. Setzt man die Koeffizienten dieser Differentiale einzeln gleich Null, so erhält man n Gleichungen, welche, zusammengenommen mit den m Bedingungsgleichungen (f\ — 0, <p₂ — 0,

. . . (pm — 0 im allgemeinen die Bestimmung der Wertegruppen x, y, z, t, . . . gestatten, für welche die Funktion f Maximal- oder Minimalwerte erreicht.

V (p₂ — ... — n (fm

In den meisten Fällen ist jedoch die Methode der sogenannten unbestimmten Multiplikatoren dem soeben besprochenen Verfahren vorzuziehen. Diese Methode besteht darin, dass man nach Multiplikation einer jeden der Funktionen <pi, <f₂, ■ ■ . <pm mit einem unbestimmten, konstanten Faktor Я, y, v, . . . n der Funktion f die Funktion F=f(x,y,z,t,...) — Я y>t — ^ y2 substituiert, hierauf sämtliche partiellen Ableitungen erster Ordnung dieser Funktion, genommen in Bezug auf die als von einander unabhängig betrachteten Variablen x, y, z, t, . . . gleich Null setzt und die m unbestimmten Multiplikatoren Я, y,v,...n so bestimmt, dass die m Gleichungen ^ = 0, (f₂ — 0, . . . cpm = 0 erfüllt sind. Hiernach wird die Aufsuchung der relativen Maxima und Minima der Funktion f zurückgeführt auf die Bestimmung der absoluten Maxima und Minima der Funktion F. Die (m + n) Gleichungen

etc.

in Verbindung mit den m Bedingnngsgleichnngen — 0, <; > — 0, . . . (pm — 0 reichen im allgemeinen hin zur Bestimmung der (2 w -[- w) Grössen ж, y, z, t, .. . Я, г, . . . зт, für welche die Funktion /' Maximal- oder Minimalwerte erlangt.

In vielen Fällen wird es sich hierbei empfehlen, die Multiplikatoren so lange als möglich in der Rechnung beizubehalten, für dieselben besondere Gleichungen aufzustellen, welche sie allein enthalten und die Unbekannten ж, y, z, t, . . . durch die Multiplikatoren auszudrücken. Häufig führt auch die Interpretation der

0 etc. zu übersichtlicheren Resultaten, als die

Gleichungen

wirkliche Ausrechnung aller Grössen x, y, z, t, . . . Я, u, v, ... n.

Anmerkung 1. Methoden zur Entscheidung, ob in einem gegebenen Falle ein relatives Maximum oder Minimum oder keines von beiden auftritt, findet man in der Abhandlung von Richelot: Bemerkungen zur Theorie der Maxima und Minima. Astronomische Nachrichten von Schumacher, Bd. 48, Seite 274—286.

Anmerkung 2. Es bedarf wohl kaum der Erinnerung, dass bei denjenigen unter den folgenden Aufgaben, welche sich dazu eignen, die Anfertigung einer mehr oder weniger sorgfältigen Skizze sehr dazu beitragen wird, den Zusammenhang der in Betracht gezogenen Grössen besser zu übersehen.

Anmerkung 3. Oft vereinfacht sich die Aufgabe, die Maxima oder Minima von и = f (ж) — a + h [cf> (x)\n (a und b Konstanten, n^> 0) aufzusuchen, wenn man zunächst die Werte von x bestimmt, die v = (p {x) zu einem solchen machen. Sie sind mit den gesuchten Werten identisch.

Ist allgemein u = Ф (<p (ж)) — Ф (z) zu einem Maximum oder

Minimum zu machen, und bleibt untersuchenden Intervalle 1) stets positiv oder 2) stets negativ,

in dem ganzen zu

т-H

h*

«о

dl₌df___x

ÜÆ-àf,

0 2/ ““02/

l<a>

■S

OJ

СУ

'S

\<=»

«ТС

'S ^ rS

^ to    I to

СУ

du_d Ф (z)

dz dz

so suche man die Maxima und Minima yon z — (f> (x) auf. Im Fall 1) entspricht einem Maximum resp. Minimum von z ein Maximum oder Minimum von u, im Fall 2) ein Minimum oder Maximum.

§ 21. Beispiele.

1)    и —ax — x²; für x = }a wird u = {a² ein Max.

2)    и = 2х-\-3'\1{а — х)²’, für x=a—1 wird w = 2a-f-l ein Max.

3) и — x {a — x)²‘, für x — j a wird и

ein Max.

4 a³

27

für x — a wird и — 0 ein Min.

4)    и — x* — 8 a x³ -{- 22 а² х² — 24 а³ х -J- 12 а⁴;

für x — a wird u — m-f- f а² y] a² ein Max., für x = 2a wird u = m ein Min.

б) и

a?⁴ — x² -j-1

du

1 -j- 4 x² — 4 xé — x⁶

dx

(ж⁴ — ж²+ 1)²

0, x — + 1.

d² и dx²

8 x — 16 a;³ — 6 a;5 (a;⁴ — x² -f-1)²

welches für x — -f-1 negativ und für x — — 1 positiv wird.

Operieren wir zur Bestimmung des Zeichens von

wie

§ 20. a) Anm. 1. angegeben, so ergibt sich

dass für

Durch Substitution in die oberste Gleichung finden wir,

x — 1, и = -f- 2 ein Max., x — — 1, u — — 2 ein Min.

7) и —

хъ — x

a?⁴ x² -J— 1

du_ 2a;⁴-f~2a;² — x⁶ — 1

(a;⁴ — a;² -f-1)²

dx

X\

1 + У5

a?₄

_1 —V5

2    » x2    g

1 —Vb

x₃ =

1 + V5

Verfahren wir, wie in der vorigen Aufgabe, so finden wir, d² и dx²

Dieser Ansdruck wird negativ für x\ und x₂, positiv für x₃ und a?₄. Es wird demnach и — -f~ ł ein Maximum für xb u = -j- 4 ein Maximum für x₂, u — — 4 ein Minimum für a?₃ und endlich и = — 4 ein Minimum für a?₄.

dass das Zeichen von

abhängt von 4 a?³ + 2 x — 3 a?⁵.

8) и

(x+2)

für x = 0 wird и = -Ж¹ ein Min.,

für x~ — 3 wird и — 0 weder ein Min., noch ein Max.

3 а² V3

9) u=x\/ax — x²; für x — \a wird и

/10)    и — x²\/4а²—a?²; für x = + 2ayf wird и

für x = 0 wird и — 0 ein Min.

11)    ц = f* ) ; für x — a wird u = a \/2 ein Min.,

2 (rar

für x = — a wird и = — а л]2 ein Max.

12)    u = a{x — 6)⁴; für х=Ъ wird u — 0 ein Min., wenn a 4> 0,

ein Max., wenn a<C 0.

13)    и — а?⁵ — 5 a a?⁴ -f- 5 а² а?³ -f- et⁵',

für x — a wird и — 2 а⁵ ein Мах.,

für х — Ъа wird и = — 26 а⁵ ein Min.,

für x — 0 wird и = a⁵ weder ein Min., noch ein Max.

14)    и — (x — 1) (2 — a?)²; für x = 2 wird и = 0 ein Min.,

für x — I wird и = YT ein Max.

15)    и:==: a?⁵ — 7 a?⁴ -(- 16 a?³ — 8 x² — 16 x ~f-16 ;

für x = 2, für x — — I, и — ³-jty°5⁸- Max.

16)    au³— u²x² -f- ж⁴ — 0; für a? = + 2ayl2 wird и — 4а ein Min.

16

=¥

ein Max.

a³y4 ein Max.,

u — 0 Min.,

17) и²

2 т X и -f- x² — а² = 0 ;

т а

für х—Л

yl —т²

wird и

-VI-

Мах.

Min.

— wird и = У er¹ ein Min.

18)    и — хх\ für X — -

S

19)    и — ех . cos 2 х; für х—\ arc tang¹1 wird

20)    ît⁴ — 4 а² и x -j- .г⁴ — 0 : ж —+ а\/ 3, г(~ + я\/27 Мах. о. Miu.

21)    и = х⁶ — 6 X⁴ -(- 4 X³ -|- 9 X² — 12 X 4- 4; für х — — 2 wird

и — 0 ein Min., х — — 1, и — 16 ein Мах., х — 1, гб = 0 ein Min.

22)    и — ж⁸ -j- \ X¹ — 4 ж⁶ — I хъ -|- 6 ж⁴ -j- X³ — 4 ж² — х;

für X — — 1 wird и ein Min., für x — — } ein Max., für ж = +1 ein Min.

23)    и = 1 x¹ — f ж⁵ -f- V- ж³ — 12 ж;

für x — — 2, — 1 und -f- \/3 wird и ein Max., für X — — yß, +1 und + 2 ein Min.

24)    и³ — 3 а и x -j- x³ = 0. Ist a^> 0, so ist

1)    für x = a \/2, и ein Max. = a \/4,

2)    für x = 0, и ein Min. = 0.

и =-

1 aro tang 1

ein Max.

; für x — — wird и = (ee) e

je nachdem a^O.

26 a) A u² -f- 2 B x и -f- С x² -f- 2 D и -j- 2 Ex -f- F— 0;

2i

ein Min. oder Max.,

für ж

В²—АС -В²—АС

. /(BD—AE)²—(В²—AC)(D²--AE)

V    АС

, l{BÏ)-AËÿ²--(B²--AC){D²-AF)

V    мс

_ CD—BE _

В²—АС + В²—АС

respektive für das obere Zeichen ein Max., für das untere ein Min.

26 b) и — хА-\-х-\-1. Es gibt keinen Wert für x, der и zu einem Max. oder Min. macht.

wird и

26 с) и — X³ -f- a X² -f- Ъ X -j- c. Für x — — f a 4- Vf ft² — i b wird u = j%- a³ — i a b -f- c +f b \IYa² — f Ъ zu einem Max. oder Min., wenn a² > 3 Ъ ist; ist dagegen a² = 3b,

so tritt für x —--%- weder ein Max., noch ein Min. ein.

о

26 d) и = 4 x^ -j- 5 ж⁴ — 60 x³ —j- 110 ж² — 80 x -f-1 ;

für x = 1 wird и ein Min., für x — — 4 ein Max.

26 e) и = (x — a)⁴ (x — /3)⁵; für x — « wird и — 0 ein Max. oder Min., je nachdem a^ß] für x — ß gibt es weder ein Max. noch ein Min. ; für x ■= i (5 a -f~ 4 ß) endlich wird fa_ß\⁹

u — 4⁴.5⁵    ein Min. oder Max., je nachdem

ß ist.

^27 а) и

Ix

— ; für x — e, wird u — e ein Min.

5,831

27 b) u — yflx ; für ж = 5,831 ... wird и = Vl,7632 ... — 1,102 ... ein Max.

\a-\- i - arcsin (

28)    и — sin"¹ (ж). sin” (a — ж) ; für x

wird и ein Max.

29)    и ==: sin x . cos 2 ж”,

für x = (2 h -j- I) n wird u — — 1 ein Min.,¹) für x — (2 h — l) и wird и — -f- 1 ein Max., für x — 2 h л -j- arc sin Vf wird и = für x — 2JiTt — arc sin Vf wird и —

m-j- n

n .    \

- sin а n J

Ir д/6 ein Max. — I V6 ein Min.

30) и = sin n x . sin” (a -j- x) ;

unter der Voraussetzung, dass а <4 7r ist, wird für

71 ~\-n a\n

31 a) и — cos x . sin² ж; für x — bn wird и = 0 und zwar ein Min., wenn h gerade, und ein Max., wenn h ungerade ist; für x — + arc sin Vf wird u= VF ein Max.

n-fl

ein Max.

31    b) и = siu X . cos {a — x) ; für x — 4 « -j- \ (2 h -j- 1 ) n wird

u = \. [sin a -J- (— l)/l] ein Max., wenn h gerade, und ein Min., wenn h ungerade ist.

32    а) и — ex . sin {x — «) ; für x — « -{- {h -f- f) n wird, je nachdem

h gerade oder ungerade ist, и — (—l)h . д/| . е“+(,1+1)лг ein Мах. oder Min.

; für x = a -j- (h + i) n wird, je nachdem h

32 b) u —

ex

sin (x — «)

gerade oder ungerade ist, и — (— l)/l д/2 . e“+(/l+i)Ä ein Min. oder Max.

33 а) и = cos x + cos 2 x + cos 3 x. Für x = 0 und allgemein x — 2 h n wird u = 3 ein Max. ; für x — n und allgemein x = (2 h -(- 1) n wird u — — 1 ein Min.; für

_17 + 7д/7 .

--—-— ein

x=2hn -(- arc cos    ^

33 b) и = tangm x . tang” (а — x) ; für x —

•1±д/7

wird u =

27

|Min.,

(Max.

i« + łarc tang    tang et)

wird и ein Max.

34 a) Auf g. Es seien gegeben die Gleichungen

a² -f- b² — x² — у²-\-2ах-\-2Ъу — 2 z — 0, a² x² — Ъ² у² — 2 a³ x -f- 2 b³ y -f- {a² — b²) z — 0 ; es soll das Max. für г gefunden werden.

Lös. г wird ein Max. = a² -j- b² für x = a, y — b.

34 b) Aufg. Das Max. oder Min. von г zu bestimmen, wenn x² -\- y² — 6 x — 8 у -j— 25 — 2 г — 0, lQx² — 9y² — 96ж -j- 72у — 1 z — 0.

Lös. Für x = 3, y = 4 wird z = 0 zu einem Min.

35a) Aufg. Für welche Werte von x und у wird u x² -j- x у -j- y² — m x — ny

zu einem Max. oder Min.?

Lös. Für x = i (2 m — n), у =    (2 n — m) wird

u— —1[ (m² — mn-\- n²)

— г:

ein Min.

35 b) Aufg. Für welche Werte von x und у wird n — a² x² -f- 2 b x y -f- c² y² — ex — g y

zu einem Max. oder Min.?

Lös. Für x

a² a — be

с² e — Ъ g 2 (a² c² — b²) ’ y~2 (a²c² — b²)

wird, wenn

a²c²^>b² ist, и zu einem Min.

35c) Aufg. Für welche Werte von x, y, z wird и = sin x sin у sin z ein Max., wenn x у z = nl

Lös. Es wird cotangx = cotang у = cotangz oder

x = y = z = und daher ist das Max. von u = iyf3.

D

ein Max. oder Min.?

36 a) A uf g. Für welche Werte von x lind y wird и ^ ł X y + (47 — ж — y) (y +

Lös. Für x — 21, y = 20 wird u = 282 ein Max.

— 0 bestehen.

36 b) Auf g. Man bestimme den grössten und kleinsten Wert, welchen die Funktion f= x² + 4 y² -j- 3 z² anuehmen kann, wenn zwischen den Veränderlichen x, y, z die Gleichungen (p = x²-f-y² -j-z² — 49 — 0 und il> = x -j- j y -j- } z Lös. Führt man die unbestimmten Multiplikatoren Я und 2 /и ein, so hat man das absolute Max. und Min. dev Funktion F=f—Я — 2 y ip aufzusuchen. Die Werte der unbekannten Grössen x, y, z, Я und у bestimmen sich aus den Gleichungen

¹

Hier und in dem Folgenden bedeutet h eine beliebige ganze Zahl.

— = 0, (f> = 0 und ip = 0. Es ergibt sich

z

r©

MAo àZ=o

9æ ’ 0y ’

СО и

5!

36c) Aufg. Man führe die analogen Rechnungen durch für die f= x² — y², wenn y zzr x² -(- y² -j- z² — 9 = 0 und w = x-\-y + {z = 0.

тч CN CO TU

Funktion

+ 175 (Max.)

+ 133 (Min.)

Lös.

H (M CO ^

+ 3 (Max.)

— 3 (Min.)

36 cl) Aufg. Man löse dieselbe Aufgabe für f— 2 î/² -f- z², wenn (f — X² -j- y² -(- z² — 9 = 0 und ip = X -f y — i г — 0.

Lös. Я

+ 1 - 2 +2

2! +

12 (Max.)

- 2    +1    - 2 }

-f- 2    — 1    -j- 2 )

37) Aufg. Eine gerade Linie a in zwei solche Teile zu teilen, dass das Rechteck aus beiden Teilen ein Max. sei.

Lös. Die Linie muss halbiert werden.

+ 6 (Min.)

|38) Aufg. Aus zwei gegebenen Seiten das an Flächeninhalt grösste Dreieck zu bilden.

Lös. Der eingeschlossene Winkel muss ein Rechter sein.

39) Aufg. Unter allen Dreiecken, die auf einerlei Grundlinie g stehen und gleichen Umfang и haben, das an Flächeninhalt grösste zu finden.

Lös. Sei X die zweite Seite des Dreiecks, so ist bekanntlich der Inhalt desselben:

1= ^^u(u — 2 g) (u — 2 x) (2 g -j- 2 x — u).

I wird ein Max., wenn (u — 2 x) (2 g -f- 2 x — u) ein Max. wird. Hieraus ergibt sich als Resultat, dass der Inhalt ein Max. wird, wenn man über g ein gleichschenkliges Dreieck mit \ (u — g) beschreibt.

! 40) Aufg. Unter allen Dreiecken, welche eine Seite s und den Gegenwinkel a gleich haben, dasjenige zu finden, welches den grössten Inhalt hat.

Lös. Bezeichnet x den zweiten Winkel, so ist der Inhalt

des Dreiecks I—

s²

2 sin a *

sin x . sin (« -f- x) — Max.

127 —

Hieraus x — \{rt — a). Jeder der Seite s anliegende Winkel ist = В — i a, das Dreieck ist also gleichschenklig.

41) Aufg. Unter allen Dreiecken, welche einen Winkel a und die Summe der einschliessenden Seiten = 2 s haben, das grösste zu finden.

Lös. Jede der beiden einschliessenden Seiten ist = s.

42) Aufg. In den Seiten eines gegebenen gleichseitigen Dreiecks drei solche Punkte zu finden, dass die Verbindungslinien derselben wieder ein gleichseitiges Dreieck bilden und zwar das kleinst-mögliche.

Lös. Das neue Dreieck wird ein Min., wenn die Summe der

übrigen drei Dreiecke ein Max. wird. Diese stehen aber der Anforderung gemäss auf gleichen Grundlinien (den Seiten des neuen Dreiecks) und haben denselben Gegenwinkel B, also ist jedes nach Aufg. 40 ein Max., wenn jeder an der Grundlinie liegende Winkel 1 В — 4 В = f В wird, d. h. wenn auch sie gleichseitig sind.

Es entsteht also das kleinstmögliche Dreieck durch die Verbindung der Mitten der Seiten.

,A3) Aufg. Unter allen Parallelogrammen mit einem gegebenen ' Winkel, die man in ein gegebenes Dreieck so einschreiben kann, dass eine Seite des Parallelo-gramms in eine Seite des Dreiecks und die    У-—-

—--•л

beiden anderen Ecken des Parallelogramms in L. die beiden anderen Seiten des Dreiecks fallen, j,- --— das grösste zu finden.

und sein Inhalt

Höhe des letzteren

Lös. Wenn a die Grundlinie, h die Höhe des Dreiecks, x die Grundlinie des Parallelogramms (ein Teil von a), so ist die h (а — x)

и = h    x wird ein Max. mit (a — x) x,

a

wenn x = l a.

Das Parallelogramm wird mithin ein Max., wenn seine Grundlinie die Hälfte der Grundlinie des Dreiecks und seine Höhe gleich der halben Dreieckshöhe ist.

44)    Aufg. Das grösstmögliche Dreieck mit einem gegebenen Winkel in ein gegebenes Dreieck so einzutragen, dass eine Seite des ersten parallel mit einer Seite des letzteren geht. (cf. Figur auf pag. 127.)

Lös. Der Inhalt des verlangten Dreiecks ist offenbar die Hälfte des in der vorigen Aufgabe erwähnten Parallelogramms; die Bedingungen für die Max. beider Figuren sind also dieselben, und man zieht daher in der halben Höhe des Dreiecks eine Parallele mit der Grundlinie und beschreibt über dieser Parallelen ein Dreieck, welches den gegebenen Winkel entweder als anliegenden oder gegenüberliegenden enthält, und dessen dritte Ecke in der Grundlinie liegt.

45)    Aufg. In dem einen Schenkel eines gegebenen Winkels C sind zwei Punkte A und В durch ihre Entfernungen a und b von

JL

dem Scheitel des Winkels gegeben; man soll in dem anderen Schenkel ein solchen Punkt 1) finden, dass die von ihm nach den beiden ge-

5-*'

:v;-    .......gebenen Punkten A und В gezogenen Linien

den grösstmöglichen Winkel А 1) B einschliessen.

Lös. Bezeichnet man CD mit x, so ist:

tang CDA— - S*n—- tang CD В— — x — a cos C    x

ZlADB = CDB — CDA — Max.,

. A i \    (Ь — а) X sin C

tang AD В    ^    x cog c + ab ,

— Max. —f(x), f{x) —О

b sin C

— b cos C ’

x² — (a -f- b) x cos C -j- a b wenn x — yjab, f"(x) wird negativ. Der Winkel wird also ein Max., wenn die Entfernung des gesuchten Punktes von dem Scheitel des gegebenen Winkels die mittlere Proportionale zwischen а und b ist.

Leicht kann geometrisch nachgewiesen werden, dass der Punkt D der Berührungspunkt eines durch die Punkte A und В gehenden und den zweiten Schenkel des gegebenen Winkels berührenden Kreises sein muss. Entsprechend den beiden Vorzeichen von \/a b gibt es zwei solcher Kreise, deren Berührungspunkte zu verschiedenen Seiten des Punktes C liegen.

46) A uf g. Wenn in einer von zwei parallelen Linien zwei Punkte A und В in einer Distanz — d gegeben sind, so soll man in der anderen '

Parallelen einen solchen Punkt C finden, dass die von ihm nach den beiden ersten ^

Punkten gezogenen Geraden den grösstmög-lichen Winkel einschliessen.

Lös. Sei a das Lot vom Scheitelpunkte C des Winkels (у) auf die Gerade А B, x der Abstand des Fusspunktes dieses Lotes von dem gegebenen Punkte A, so ist

tang у ==

JT

f.............<Z —

.....*5

a² — dx-\~ x²’

Der Winkel y wird ein Max., wenn x = 4 d ist. Man errichtet daher in der Mitte von А В ein Lot auf А В; der Durchschnittspunkt mit der anderen Parallelen ist der gesuchte.

47) Aufg. Unter allen Dreiecken, welche einen Winkel ~ 2 а und denselben Umfang — 2 s haben, dasjenige zu finden, welches den grössten Inhalt hat.

Lös. Bezeichnen А, В, C die Winkel, a, b, c die gegenüberliegenden Seiten eines Dreiecks ABC, so wird dessen Inhalt и ausgedrückt durch die Formel

и = s² tang -g- tang — tang - .

Bezeichnet man mit 2 x den zweiten Winkel des Dreiecks,

so ist

и — s² tang a tang x cotang (a -j- x). Dies wird ein Max., wenn

sin 2 (a + x) — sin 2 x_^

2 cos² x sin² (a -f - x)

und

cos 2 (« -f~ x) — cos 2 ж

negativ wird.

Hieraus erhält man 2 x — R — «; also wird auch der dritte Winkel = R — a und jede der den Winkel 2 a einschliessenden

2 s . sin а 1 -j- sin а '

Seiten —

1 -f- sin а

Sohncke’s Aufgabengammlung. I,

die gegenüberliegende Seite =

ISO —

48) Aufg. Unter allen Dreiecken, welche einen Winkel — 2a und denselben Flächeninhalt — и haben, dasjenige zu finden, welches den kleinsten Umfang hat.

Lös. Wenn die Bezeichnungen dieselben bleiben, wie in der vorigen Aufgabe, so haben wir

s² —

tang а . tang x . cotang (a -f- x) ’

Die Grosses wird ein Min., wenn x = \(R—a) wird. Jede

der den Winkel 2 a einschliessenden Seiten ist — u -y/2 cosec 2 а und die gegenüberliegende Seite = 2 и у tang а .

49) Auf g. Unter allen Dreiecken, welche dieselbe Höhe = h und denselben Umfang — 2 s haben, dasjenige zu finden, welches den grössten Flächeninhalt hat.

Lös. Bezeichnen wir mit y die zu h gehörige und mit x eine anliegende Seite, mit и den Flächeninhalt, so ist

= g {s — y) (s — x) (y + x — s)...

Aus der ersten Gleichung folgt, dass и offenbar ein Max., wenn у ein Max., aus der zweiten, wenn

{s-y){s — x){y-\-x — s) = <p ipc, y)

1)

gesetzt wird,

2)

(d<P.b<P')_(s — y)(2s — 2x — y)==0 dx ч) ж ‘ ö y)    (s — x) (2 у — 2 s -f- x)

wenn у = 2 (s — x)...

Diesen Wert für у in 1) gesetzt, erhalten wir

(s — x)² h² — s (s — x)² (2 x — s) = 0, (s — x)² (h² — 2xs-{~ s²) ï= 0.

Д2 _i_ ^2

Eine Wurzel dieser Gleichung ist x — —^— ; hieraus folgt

s² — h²

. Die dritte Seite ist — 2 5 — x —

h² + s²

y = ~2T~

, also

У —

ist das Dreieck gleichschenklig.

50) Aufg. Unter allen Dreiecken, welche dieselbe Höhe — h und denselben hlächeninhalt — I haben, dasjenige zu finden, welches den kleinsten Umfang hat.

Lös. Mit I und h ist auch die zu h gehörige Grundlinie

21

-j^ — a gegeben; bezeichnet nun y den halben Umfang und x eine zweite Seite des Dreiecks, so ist

1)

1= у!у (У — а) (У — x) (« + « — У) —    (ж, у).. •

dx

— О, wenn у — x +    ...

Führen wir 2) in 1) ein und quadrieren, so erhalten wir (4 x² — а²) о²

a² h²

= 1²

h

Aus 2) folgt, dass y — x + 4 a, das Dreieck also gleichschenklig ist über a.

Der Umfang wird also ein Min., wenn man über

16

21

₇- mit h

jr-. \/l² -j- № ein gleichschenkliges Dreieck beschreibt.

51) Aufg. In einen gegebenen Kreis einen gegebenen Winkel so als Peripheriewinkel einzutragen, dass der von seinen Schenkeln und dem zwischenliegenden Bogen begrenzte Flächenraum ein Max. wird.

Lös. Mit gegebenem Kreise und gegebenem Peripheriewinkel sind Sehne und Bogen zu diesem Winkel konstant. Der Wert des fraglichen Inhalts richtet sich daher nur nach dem Inhalt desjenigen Dreiecks, welches über der konstanten Sehne beschrieben wird. Dasselbe wird aber nach Aufg. 40 ein Max., wenn es gleichschenklig ist.

Der Winkel muss also so eingetragen werden, dass der nach seinem Scheitel gezogene Radius ihn halbiert.

52) Aufg. In einen gegebenen Kreis einen gegebenen Winkel so als Peripheriewinkel einzutragen, dass der Umfang der von seinen Schenkeln und dem zwischenliegenden Bogen begrenzten Fläche ein Max. werde.

Lös. Der Winkel muss so eingetragen werden, dass der nach seinem Scheitel gezogene Radius ihn halbiert.

— 132

53) Aufg. Unter allen Kreisausschnitten von gleichem Umfang = 2 s die bestimmenden Stücke desjenigen zu finden, welcher den grössten Flächeninhalt hat.

Lös. Der Radius des gesuchten Kreises ist =    , der zu-

и

gehörige Bogen — s und der Winkel am Mittelpunkte in Graden ausgedrückt

114° 35' 29,61"...

360°

3,14159...

54) Aufg. Unter allen Kreisausschnitten von gleichem Flächeninhalt = u² denjenigen zu finden, der den kleinsten Umfang hat.

— 114° 35' 29,61" ...

Lös. Der Radius des gesuchten Kreises ist = u, d. h. gleich der Seite eines Quadrats, welches den gegebenen Flächeninhalt angibt, und der Winkel am Mittelpunkte, in Graden ausgedrückt 360°

“3,14159. ..

55) Aufg. Unter allen Kreisabschnitten von gleichem Umfang 2 s denjenigen zu finden, welcher den grössten Flächeninhalt hat. Lös. Es ist ein ganzer Kreis mit dem Radius

s . 0,318309 ...

3,14159...

56) Aufg. Unter allen Kreisabschnitten von gleichem Flächeninhalt — u² denjenigen zu finden, welcher den kleinsten Umfang hat.

Lös. Es ist ein ganzer Kreis mit dem Radius

и. 0,56418 ...

д/3,14159 ...

ЧГ

57) Aufg. Unter allen Dreiecken, die einen gegebenen Winkel enthalten und einem gegebenen Kreise mit dem Radius r umschrieben werden können, dasjenige zu finden, welches den grössten oder kleinsten Flächeninhalt hat.

Lös. Denkt man sich den gegebenen Winkel 2 a durch zwei Tangenten an den gegebenen Kreis gebildet Und nennt die Winkel, welche die dritte Tangente mit diesen zwei Tangenten einschliesst, resp. 2 ж und 2 y, so besteht zwischen x und у die

Gleichung X -f- y -j- a — 90° = 0, und es wird die Fläche I des Dreiecks, I = r² (cotang a -f- cotang x -j- cotang y), ein Max., resp. Min. für x = y. Zieht man daher eine gerade Linie von dem Scheitel des Winkels durch den Mittelpunkt des Kreises, so sind die Durchschnittspunkte dieser Zentrallinie mit der Peripherie die Berührungspunkte der dritten Seiten der beiden sich ergebenden Dreiecke. In dem einen Falle (Min.) wird der Kreis alle drei Seiten des Dreiecks auf der inneren Seite berühren und liegt also ganz innerhalb des Dreiecks; in dem anderen Falle aber (Max.) berührt er eine Seite von aussen und die beiden anderen in ihren Verlängerungen.

58)    Aufg. Unter denselben Bedingungen, wie in der vorigen Aufgabe, soll das Dreieck mit dem grössten oder kleinsten Umfang gefunden werden.

Lös. Es sind dieselben beiden Dreiecke wie vorhin.

_.r-......

/Ar'

со -

CO

59)    Aufg. Unter allen Vierecken mit einem gegebenen Winkel 2 et, die einem gegebenen Kreise mit dem Radius r umschrieben sind und zugleich der Bedingung genügen, dass um dieselben ein Kreis beschrieben werden kann, das grösste und kleinste zu finden.

Lös. Alle Vierecke, welche einem gegebenen Kreise umschrieben sind und um welche sich zugleich ein Kreis beschreiben lässt, sind teils solche, deren Fläche ganz ausserhalb der Fläche des gegebenen Kreises liegt, teils solche, welche den gegebenen Kreis ganz umschliessen. Unter den ersteren gibt es ein grösstes, unter den letzteren ein kleinstes. Denkt man sich den gegebenen Winkel 2 a durch zwei Tangenten an den gegebenen Kreis gebildet, so erhält man das grösste Viereck, wenn man auf diesen Tangenten selbst von den Berührungspunkten an gerechnet rückwärts den Radius auf trägt und von diesen so erhaltenen Punkten zwei neue Tangenten an den Kreis zieht; und das zweite, das kleinste Viereck erhält man, wenn man auf denselben ersten Tangenten auf ihren Verlängerungen von den Berührungspunkten an den Radius aufträgt und von diesen so erhaltenen Punkten Tangenten an den Kreis zieht. Bei dem letzten Viereck berührt der Kreis alle vier Seiten von innen, liegt also ganz innerhalb des

CO

Vierecks; bei dem ersten dagegen berührt er zwei Seiten von aussen und alle in ihren Verlängerungen. Bei dem grössten Viereck sind je zwei Seiten respektive r (cotang « — 1) und r (tang « — 1), bei dem kleinsten dagegen r (cotang a -|~ 1) und r (tang a -f-1).

Für die Rechnung wird am besten die Hälfte eines der beiden nicht bekannten Winkel als unabhängige Variable eingeführt, die beiden Winkel findet man je = 90°.

60) Aufg. Unter allen Vierecken, welche zwei gegebene Winkel enthalten und einem gegebenen Kreise mit dem Radius r so umschrieben sind, dass dieser ganz innerhalb liegt, das kleinste zu finden.

Lös. Erster Fall. Wenn die beiden gegebenen Winkel 2 a und 2 ß an einer Seite liegen, dann ergibt sich zunächst die

Gleichheit der beiden anderen Winkel, und man erhält für die einzelnen Seiten folgende Ausdrücke:

_ r. sin (a -j- ß) sin a . sin ß ’ r cos ! (a — ß) cos i(a-ß) sin ß ’ r cos I (a — ß) cos 4 (a -f- ß) sin a ’ die Seite, welche der ersten gegenüber liegt = 2 r tang j (a -f- ß).

die Seite, welche zwischen 2 a und 2 ß liegt

die Seite, welche zunächst an 2 ß liegt

die Seite, welche zunächst an 2 a liegt

Zweiter Fall. Wenn die beiden gegebenen Winkel 2 a und 2 у sich diagonal gegenüber liegen, so sind die beiden anderen Winkel zunächst wieder einander gleich, und es werden die beiden Seiten, welche den Winkel 2 a einschliessen : r cos 4 (ff — y) sin « cos I (a -j- y)

In beiden Fällen empfiehlt es sich, die Hälfte eines der beiden nicht gegebenen Winkel als unabhängige Variable zu wählen.

61) Aufg. In einer Seite В C eines gegebenen Dreiecks ABC ist ein Punkt D gegeben; man soll von diesem nach zwei zu findenden Punkten E und F in den beiden anderen Seiten А В und А C zwei Linien D E und D F, die einen gegebenen Winkel Я einschliessen, so ziehen, dass das hierdurch entstandene Dreieck seinem Inhalte

und die anderen

r cos I (« — y) sin у cos 4 (a -j- y) ’

в-

7П

nach ein Minimum wird.

Lös. Bezeichnet man die beiden Stücke BD und DC der Seite BC mit m und n, die Winkel BDE und F DC mit x und y, so ist der Inhalt des Dreiecks D EF durch

\ m n sin В sin C sin Я sin (2 В — x — В) sin {x -f Я — C)

gegeben, der ein Min. wird, wenn der Nenner ein Max. ist. Hierdurch erhält man 2 R — 2 x — В — Я -J- (7 — 0, woraus у — x — В — C folgt. Die Konstruktion ist hiernach folgende: Man fälle von D auf die Seiten А В und А C Lote D M, D N, halbiere den Winkel MD N und trage zu beiden Seiten der Halbierungslinie D 0 gleiche Winkel ODE und 0 D F= 4 Я ab, wodurch man das verlangte Dreieck D EF erhalten wird.

..

62) Aufg. In einer Ebene sind zwei parallele Linien gegeben, die von einer dritten unter rechten Winkeln geschnitten werden; ebenso ist ein Punkt in derselben Ebene gegeben. Es soll durch diesen eine solche die beiden Parallelen schneidende Gerade gezogen werden, dass das Produkt der Stücke, welche auf den Parallelen zwischen dieser neuen und der gegebenen schneidenden Linie liegen, ein Max. sei.

Lös. Die Abstände des gegebenen Punktes von den beiden Parallelen seien m und n, (m 7> n) ; der Abstand von der gegebenen schneidenden Linie sei h. Je nachdem der gegebene Punkt entweder innerhalb oder ausserhalb der Parallelen liegt, sind die h (m + w)

li (m + n)

. Im ersteren Falle

und

verlangten Stücke

werden die Stücke auf derselben Seite, im zweiten auf verschiedenen Seiten der gegebenen Schneidenden liegen, und es wird in beiden Fällen von derjenigen Parallelen das grössere Stück abgeschnitten, von welcher der gegebene Punkt am weitesten entfernt ist.

63) Aufg. Wenn alles wie in der vorigen Aufgabe bleibt, so soll die gesuchte Linie so gezogen werden, dass die Summe der Quadrate der abgeschnittenen Stücke ein Min. werde.

Lös. Die abgeschnittenen Stücke sind:

w² n²

und

m² -j- n¹

Die Lage der Stücke ist in Bezug auf die gegebene Schneidende dieselbe wie bei der vorigen Aufgabe; jedoch unterscheiden sich in beiden Fällen die gegenwärtigen Resultate von denen in der vorigen Aufgabe dadurch, dass hier auf derjenigen Parallelen das grössere Stück abgeschnitten wird, welcher der gegebene Punkt zunächst liegt.

64) Aufg. Unter den Vierecken, welche einen gegebenen Winkel

2 a und einen gegebenen Umfang 2 s haben und zugleich der Bedingung genügen, dass sowohl in als um dieselben ein Kreis beschrieben werden könne, das grösste zu finden.

>a

l*Ac

Г ^

_Ja$\

Lös. Bezeichnet man die Winkel

des gesuchten Vierecks mit 2 a, 2 ß, 2 y, 2d, den Radius des eingeschriebenen Kreises mit r, so hat man infolge der Bedingungen der Aufgabe

s sin 2 а . sin 2 ß 2 ' sin 2 а -(- sin 2 ß Die Fläche des Vierecks I—rs wird also ein Max. für den-

y = 90® — ft, d — 90° — ß, r —

jenigen Wert der unabhängigen Veränderlichen ß, für welchen die

Funktion

sin 2 ß

einen grössten Wert annimmt.

sin 2 a -j- sin 2 ß Jede der beiden Seiten, die den Winkel 2 a einschliessen, ist

, und jede der beiden anderen Seiten

1 -f- cotang « '

Zieht man die Diagonale durch die Spitze des Winkels 2 a, so entsteht auf jeder Seite dieser Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck.

1-f-tanga

65) Aufg. Unter allen Vierecken, welche zwei gegebene Diagonalen p und q haben und einem gegebenen Kreise mit dem Radius r eingeschrieben werden können, das grösste zu finden.

Lös. Zuerst ergibt sich leicht, dass die beiden Diagonalen auf einander senkrecht stehen müssen. Nennt man ferner 2 а einen Vierecks winke], welcher der Diagonale p gegeniib ersteht und

2 ß den Winkel, der q gegenübersteht, so dass sin 2 a — und

2 r

sin 2 ß — ~, dann ergeben sich folgende Ausdrücke für die Seiten

2 V

des Vierecks:

die zwischen 2 « und 2 ß liegende die zunächst, an 2 ß liegende die zunächst an 2 a liegende die der ersten gegenüberliegende = 2 r . sin (a -j- ß — | B). Anmerkung. Noch symmetrischer werden diese Ausdrücke, wenn man die Winkel des Vierecks der Reihe nach 2 a, 2ß, 2y, 2d nennt, wo also 2y — 2B— 2 a und 2 ô=z2 В — 2 ß ist. Man erhält dann die Seite,

welche zwischen 2 a    und    2    ß    liegt = 2 r . cos (a -f- ß — | B),

—    2 r . cos (ß + у — I В), = 2 r . cos (y -f d — I B),

—    2 r . cos (ô a — I B),

В C    und    C D    den Winkel 2 у u. s. w. einschliessen    und    setzt

AB = x, BC=y, CB —г, DA — t, so hat man die Funktion X у sin В -\- z t sin В zu einem Max. oder Min. zu machen, während zwischen den Veränderlichen x, y, z, t die Bedingungsgleichungen X —    у cos В + г cos {A -f- В) — t cos A — О,

у sin    В + г sin (А + В) — t sin А — О,

x Ą- у z -Ą- t — 2 s

bestehen. Wird noch die Grösse x — y -j- z — t — 2 и gesetzt und и als unabhängige Veränderliche betrachtet, so findet man nach

— 138

einiger Rechnung и — 0 als Bedingung für das Auftreten eines Max. oder Min. Das verlangte Viereck muss daher einem Kreise umschrieben werden können.

Anmerkung 1. Einen einfachen geometrischen Beweis dieses Satzes hat Steiner gegeben im Art. 43 der Abhandlung: Sur le maximum et le minimum des figures dans le plan etc. Crelle’s Journal, Bd. XXIV.

Wenn alle Ecken des Vierecks ausspringende sind, wenn also jeder Winkel kleiner als 2 R ist, so geben die folgenden Ausdrücke der Seiten ein Max., springt aber eine der Ecken ein (mehr als eine Ecke kann aber bekanntlich nicht einspringen), so geben dieselben Werte ein Min. Es werden nun die Seiten, welche zwischen

2 « und 2 ß liegen =

s . sin y . sin d

y'sin (« -f- y). sin (a -j- d). sin    sin (ß-{- dj ’

2 ß und 2 y liegen —

s . sin d. sin a

2 y und 2 d liegen =

\/sin (ß -j- d). sin (ß -j- a). sin (y d). sin (y-f- a) ’ s . sin a . sin ß

2 d und 2 a liegen =

\/sin(y -f a). sin (y -f- ß). sin(d -j- «) . sin (d-\-ß) ’ s . sin ß. sin y

д/sin (d -f ß). sin (d -j— y). sin (a -j- ß). sin (a -f - yj Anmerkung 2. Diese Ausdrücke können einfacher und zwar mit rationalen Nennern dargestellt werden, verlieren aber dann die Symmetrie, welche jetzt, wenn man auf die jeder Seite anliegenden und gegenüberliegenden Winkel achtet, leicht zu erkennen ist.

-c»>-

67a) Aufg. Unter allen Paralleltrapezen, in welchen eine der parallelen Seiten gegeben ist und welche einem gegebenen Kreise mit dem Radius r eingeschrieben werden können, die grössten zu finden.

Lös. Denkt man sich die gegebene Seite a als Sehne in den gegebenen Kreis eingetragen, so gibt es, wenn man nur positive Flächen zulässt, in jedem der entstehenden Kreisabschnitte ein grösstes Paralleltrapez, welches erhalten wird, wenn man den zugehörigen Bogen in drei gleiche Teile teilt und die Teilpunkte durch Gerade verbindet. Nennt man den der Sehne a entsprechenden Zentriwinkel 2 a, ist also a —2 r sin«, so wird jede der drei anderen Seiten im grösseren Kreisabschnitt — 2 r sin \ (n — «) und im kleineren — 2 r sin a. Die Höhe des ersten Trapezes ist —2 r cos (j- n -f- j a) X X cos (I n — I a) und die des zweiten — 2 r. sin 1 a sin f a.

Für die Rechnung ist es zweckmässig, den Zentriwinkel — 2x, welcher zu der Sehne gehört, die der gegebenen Sehne a parallel ist, als unabhängige Variable einzuführen.

67 b) Aufg. In ein gegebenes Kreissegment das grösste Rechteck einzuschreiben.    _

Lös. Der Halbmesser des Kreises, DZ_ MD — M C, sei — r, die Entfernung der /P\ Sehne des Segmentes vom Mittelpunkte л des Kreises, M F, sei — n. Die Grundlinie des gesuchten Rechtecks, А В, ist

Für n — 0, ist AB = r\l2.

67c) Aufg. Aus 4 Seiten a, b, c, d ein Viereck von grösstmög-lichem Inhalt zu konstruieren.

V2 r² — In² -}- n д/2 r² -j- \ n².

Lös. Nennt man den Winkel, der von den Seiten a und d gebildet wird, x und den gegenüberliegenden y, so besteht die Bedingung a² + d² — 2 ad cos x = b² -j- c² — 2b c cos y, und der Inhalt des Vierecks wird ein Max., wenn x -f у — 2 B, d. h. wenn das Viereck ein Kreisviereck ist.¹)

r.

\.n

?..

68) Aufg. Über dem Durchmesser eines gegebenen Halbkreises sollen zwei sich berührende Halbkreise und über diesen ein ganzer Kreis beschrieben werden, welcher die drei Halbkreise berührt. Es sollen die Radien der drei neuen Kreise der Bedingung gemäss bestimmt werden, dass der Flächenraum, welcher übrig bleibt, wenn man die Flächen der gesuchten Halbkreise und des ganzen Kreises von der Fläche des gegebenen Halbkreises abzieht, ein Max. oder ein Min. werde.

Lös. Nennt man den Mittelpunkt des gegebenen Halbkreises 0, die Mittelpunkte der beiden gesuchten Halbkreise und des gesuchten Yollkreises beziehungsweise Ä, B, C und bezeichnet man die zugehörigen Radien mit r, ru r₂, r₃, so bestehen bei Einführung der Differenz r — 2rx—x als unabhängige Variable die Beziehungen

2    _Qß 2

Г 3 r² -f- x² ’

von denen die letzte dadurch erhalten wird, dass man den cosinus des Winkels ABC ans den beiden Dreiecken О В C und ABC als Funktion der Seiten berechnet und die gefundenen Werte mit einander vergleicht.

Die in Rede stehende Fläche F erreicht ihren kleinsten oder

r 4- X 2 ’ Гз=г

grössten Wert für diejenigen Werte der unabhängigen Veränder-

^2 /

lichen X, für welche der Ausdruck -f- 2 r² у

oder Min. wird. Entsprechend den reellen Wurzeln x — 0 und X = Hb 0,2892542 ... r der Gleichung x (ж⁶ + 9 г² ж⁴ -f- 49 г⁴ ж² — 5 re) — 0 wird demnach die Fläche F ein Min. für = r₂ — I r, r₃ — ir, ein Max. für

r² — x² Y /

3r² -f-ж²

ein Max.

= 0,3553729 ... r, -

щ

rij

= 0,6446271. .. r, r₃ = 0,2971565 ... r.

Die übrigen vier Wurzeln der angegebenen Gleichung sind imaginär.

(Vergl. C. W. Baur, Schlömilchs Zeitschr. für Math, und Phys. 1860, S. 369.)

69) Aufg. Es soll das grösste rechtwinklige Parallelepipedum

gefunden werden, welches einer Kugel von gegebenem Radius r eingeschrieben werden kann,

t.......!......r:X-

a) wenn die Grundfläche ein Quadrat

sein soll,

b) wenn die Grundfläche ein Rechteck mit einer gegebenen Seite — a sein soll.

Lös. a) Die Entfernung des die Grundfläche bildenden Schnitts vom Mittelpunkt der Kugel ist = r .

b) Die Entfernung des die Grundfläche bildenden Schnitts vom Mittelpunkt der Kugel ist =    r²—\a².

141 -

70) Aufg. Unter den Parallelepipeden, welche denselben kubischen Inhalt, eine gleiche Kante und eine gleiche Ecke haben, dasjenige zu finden, welches die kleinste Oberfläche hat.

Lös. Wenn der kubische Inhalt —/ist, die gegebene Kante — r, die drei ebenen Winkel, welche die gegebene Ecke bilden, «, ß, y, so dass « und ß die Kante r zum gemeinschaftlichen Schenkel haben, so wird bekanntlich das Lot, welches vom Endpunkt der Kante r auf die gegenüberliegende Ebene gefällt wird, wenn man noch \ (a -}- ß -(- y) == a setzt :

sin y

V'sin a sin (a — a) sin {a — ß) sin (a — y).

Wenn man die hier vorkommende Wurzelgrösse durch R bezeichnet, so werden die Werte der beiden anderen Kanten des Parallelepipeds, welches der in der Aufgabe gestellten Bedingung

, wovon die erste den

genügt :

J. sin a

und

J. sin ß

2 r. R. sin a

2r.R. sinß

Winkeln ß und y, die zweite den Winkeln a und y zum gemeinschaftlichen Schenkel dient. — Es ergibt sich hierbei, dass die beiden an der Kante r liegenden Seitenflächen an Flächeninhalt gleich sind.

71) Auf g. Unter allen geraden dreiseitigen Prismen, deren Höhe — h, Grundfläche = g und eine Seitenfläche = s ist, dasjenige zu finden, welches die kleinste Oberfläche hat.

Nennt man die beiden dieser Seite

Lös. Diejenige Seite der Grundfläche, auf welcher die gegebene Seitenfläche steht, ist offenbar — Л-

anliegenden Winkel der Grundfläche x und y, so

, und es ist

n    ,    s² sin x sin y

besteht die Bedingungsgleichung 9 —

die Funktion

sin ж-f- sin y zu e|nem zu mac}ien Das Min. sm (x -j- y)

tritt ein für x = y, d. h. die beiden nicht gegebenen Seitenflächen des gesuchten Prismas sind kongruent.

- 142 —

72 a) Auf g. Unter allen geraden Zylindern von gleichem kubischen Inhalt J denjenigen zu finden, der die kleinste Oberfläche hat.

Lös. Der Radius der Grundfläche des gesuchten Zylinders

3 rj~    3 ГТ

— Vs— llnd seine Höhe = 2    d. h. die Höhe ist dem

* 2 n    *2 n

Durchmesser der Grundfläche gleich. Der Zylinder kann also einem

Würfel eingeschrieben werden.

72b) Aufg. Unter allen geraden Zylindern von gleichem kubischen Inhalte J denjenigen zu finden, dessen Mantel vermehrt um eine der Grundflächen ein Min. wird.

Lös. Der Halbmesser der Grundfläche = \ —, die Höhe

' n

des Zylinders wird ebenso gross.

73) Aufg. Unter allen geraden Zylindern von gleicher Oberfläche F denjenigen zu finden, der den grössten kubischen Inhalt hat.

wird

21/

Lös. Der Durchmesser der Grundfläche wird — die Höhe des Zylinders wird ebenso gross.

74) Aufg. Unter allen geraden Kegeln von gleichem kubischen Inhalt I denjenigen zu finden, welcher den kleinsten Mantel hat.

Lös. Der Radius der Grundfläche des gesuchten Kegels wird , die Höhe —

und

\-

71

die Seitenlinie —

dass sich das Quadrat des Radius der Grundfläche, zum Quadrat der Höhe, zum Quadrat der Seite = 1:2:3 verhält.

75) Aufg. Unter allen geraden Kegeln von gleichem kubischen Inhalt I denjenigen zu finden, der die kleinste Oberfläche hat.

Lös. Der Radius der Grundfläche, Höhe und Seitenlinie

sind

2 n д/2 ’

»V

, so dass also die Seitenlinie

2 n д/2

des Kegels das Dreifache vom Radius der Grundlinie ist.

76) Aufg. Unter allen geraden Kegeln von gleichem Mantel M denjenigen zu finden, der den grössten kubischen Inhalt hat.

¹

Über die Konstruktion eines solchen Vierecks vergleiche man He is und Eschweiler, Lehrbuch der Geometrie, L Teil. Кар. XI. 25. Über Maxima und Minima in der Planimetrie vergleiche man 1. Teil Кар. XII. und über die der Stereometrie 2. Teil. Anhang IX. desselben Lehrbuchs.

143 -

Lös. Der Radius der Grundfläche, die Höhe und die Seite

. .    1 IM    1/2 M 1 /31

smd = ÿfV^T’ ÿ|V^r> ÿfv^T’ und es verhalten Sleh ihre Quadrate zu einander wie 1:2:3.

77) Aufg. Unter allen geraden Kegeln von gleicher Oberfläche F denjenigen zu finden, der den grössten kubischen Inhalt hat.

Lös. Der Radius der Grundfläche, die Höhe und Seite sind

VA #VA *v^

» 7T    » JX    » 71

. Die Seite ist das Dreifache von

= \

dem Radius der Grundfläche.

78)    Aufg. Unter allen Kugelabschnitten von dem kubischen Inhalt I die bestimmenden Stücke desjenigen zu finden, für welchen die gesamte Oberfläche (Kalotte nebst begrenzender Kreisfläche) ein Max. wird.

W-

» 71

Lös. Der Radius r der zugehörigen Kugel wird —

und die Höhe des Abschnitts — 2 r, d. h. der Abschnitt ist die Kugel selbst mit dem Radius r.

79)    Aufg. Unter allen Kugelabschnitten mit der gegebenen gesamten Oberfläche — F, die bestimmenden Stücke desjenigen zu finden, welcher den grössten kubischen Inhalt hat.

Lös. Der verlangte Kugelabschnitt wird eine vollständige

[F

Kugel mit dem Radius |л/ —.

» 71

80) Aufg. Unter allen Kugelausschnitten von dem kubischen Inhalt I denjenigen zu bestimmen, dessen Oberfläche ein Max. oder Min. wird.

Lös. Wenn der Radius r der Kugel =

15 J

2 71

und die

Höhe h des zugehörigen Kugelabschnittes — j r, so findet ein Min.

—, so erhält man die Halbkugel

2 71

statt; ist dagegen r — h — als Max.

81) Aufg. Unter allen Kugelausschnitten mit der gesamten Oberfläche = F denjenigen zu finden, dessen kubischer Inhalt ein Max. oder Min. ist.

Lös. Wenn r und h die nämliche Bedeutung- haben, wie in der vorigen Aufgabe, so ergibt die Rechnung ein Max. für

Man erhält

>-=v^

» JT

, h — \ r, ein Min. für r = h = \

3 n

demnach, abgesehen von der absoluten Grösse, die nämlichen Kugelausschnitte, wie in der vorigen Aufgabe; nur tritt hier ein Max. ein, wo dort ein Min. war und umgekehrt.

82) Aufg. In einen gegebenen geraden Kegel den seinem kubischen Inhalte nach grössten Zylinder einzuschreiben.

Lös. Wenn der Radius der Grundfläche des Kegels — r, die Höhe des Kegels — h ist, so wird der Radius der Grundfläche des gesuchten Zylinders — f r, und seine Höhe — | h.

grösste krumme Oberfläche hat.

83) Aufg. In einen gegebenen geraden Kegel denjenigen Zylinder einzuschreiben, welcher die

Lös. Bei derselben Bezeichnung wie in der vorigen Aufgabe wird der Radius der Grundfläche des Zylinders — 4 r und seine Höhe = | h.

84)    Aufg. In einen gegebenen geraden Kegel denjenigen Zylinder einzuschreiben, dessen gesamte Begrenzungsflächen ein Max. bilden.

Lös. Unter der Voraussetzung, dass    werden Radius

h (h — 2 r)

2 Qi — r)

85)    Aufg. In eine gegebene Kugel, mit dem Radius r, den seinem

kubischen Inhalt nach grössten Zylinder einzuschreiben.

Lös. Der Radius der Grundfläche == r vT, die Höhe = 2 r y/} .

86) Aufg. In eine gegebene Kugel einen Zylinder einzuschreiben, dessen krumme Oberfläche ein Max. ist.

Lös. Der Radius der Grundfläche = ryfl, die Höhe — r \/2 .

der Grundfläche und Höhe des Zylinders

2 (h — r)

und

/I

/Г

.L.

87) A uf g-. In eine gegebene Kugel einen Zylinder einzuschreibeü, dessen gesamte Begrenzungsfläche ein Max. wird.

Lös. Der Radius der beiden Endflächen des Zylinders ist — г X4 + j Vi und seine Höhe — 2 r vi + 4 y[%, wobei die oberen Zeichen den oberen, die unteren den unteren entsprechen. Der Durchmesser der Grundkreise eines dieser Zylinder ist also gleich der Höhe des anderen. Zieht man vom Mittelpunkt der Kugel Gerade nach je einem Punkte der beiden Grundkreise, so ergänzen sich die spitzen Winkel, welche von denselben mit der Axe des Zylinders gebildet werden, zu 90°.

Zusatz. Legt man durch die Axe des Zylinders eine Ebene, so erhält man als Durchschnitt derselben mit der Zylinderfläche und der Kugel ein dem grössten Kreise der Kugel eingeschriebenes Rechteck von dem Inhalte 4 r² vT. Dieses Rechteck lässt sich leicht in den Kreis einschreiben. Teilt man nämlich dasselbe durch eine Diagonale in zwei Dreiecke, so ist die Höhe jedes dieser Dreiecke, welche zur Grundlinie 2 r haben, = д/2 r .fr, welcher Ausdruck leicht zu konstruieren ist.

88) Aufg. In eine gegebene Kugel den seinem kubischen Inhalte nach grössten Kegel einzuschreiben.

Lös. Der Radius der Grundfläche des gesuchten Kegels wird — f г д/2 und seine Höhe = -f r.

89) Aufg. In eine gegebene Kugel denjenigen Kegel einzuschreiben, welcher die grösste krumme Oberfläche hat.

Lös. Derselbe Kegel, wie in der vorigen

Aufgabe.

90) Aufg. In eine gegebene Kugel denjenigen Kegel einzuschreiben, dessen gesamte Begrenzung ein Max. ist. Lös. Die Höhe des Kegels wird

= TV r (23 — д/Г7) = r . 1,179806 ..

der Radius der Grundfläche

Vl90 + 14 д/17 = r . 0,983702 ...

— Т1Г r

Für die Rechnung eignet sich die Höhe des Kegels als unabhängige У ariabl e.

91) Attfg. Unter allen sphärischen Dreiecken mit einem gegebenen Winkel a (welcher << n sein soll) und einem gegebenen Flächeninhalt a dasjenige zu finden, welches den kleinsten Umfang hat.

Lös. Die beiden anderen Winkel werden unter einander

«)P

, welcher als cosinus <C 1 sein

druck

Oi

gleich und zwar jeder — \ (a -j- ⁷¹ — «)• Die dem Winkel a gegenüberliegende Seite erhält dann für ihren cosinus den Aus-cos a -f- [cos    7T-

[sin \{a -j- n — a)]2 muss, woraus sich die Bedingung ergibt a<2 a. Der cosinus jeder der beiden anderen Seiten = cotang F a . cotang    — a).

92)    Aufg. Unter allen sphärischen Dreiecken von einem gegebenen Flächeninhalt — a dasjenige zu finden, dessen Umfang ein Min. ist.

Lös. Wie gross man sich auch den einen Winkel des gesuchten Dreiecks denken mag, immer müssen die beiden anderen Winkel unter einander gleich sein. Hier ergibt sich, dass alle drei Winkel unter einander gleich sein müssen und zwar jeder — ł (ß + n) und ebenso auch alle Seiten einander gleich, und zwar wird die Sekante der Hälfte jeder Seite = 2 sin { (a + n).

93)    Aufg. Auf einer Kugel sind zwei Parallelkreise gegeben, sowie auch der Pol eines dritten die beiden ersten schneidenden Kreises; es soll dieser dritte so bestimmt werden, dass die Sehne in ihm, welche seine Durchschnittspunkte mit den beiden gegebenen Kreisen verbindet, ein Max. sei.

.r

Lös. Denkt man sich durch den bekannten Pol der beiden gegebenen Parallelkreise und durch den gegebenen Pol des ge-

suchten dritten Kreises einen grössten Kugelkreis gelegt, so werden zur Bestimmung der gegenseitigen Lage in diesem folgende Bogen bekannt sein: 1) der Bogen zwischen dem gemeinsamen Pol der Parallelkreise und dem ersten Parallelkreise — ß, 2) der Bogen zwischen demselben Pol und dem zweiten = a, wobei a >> ß sein soll, und 3) der Bogen zwischen demselben Pol und dem gegebenen Pol des gesuchten dritten Kreises = ä. Man nenne nun den Bogen zwischen dem zweiten gegebenen Pol und seinem zugehörigen gesuchten dritten Kreis = x.

Damit überhaupt von einer reellen Sehne die Rede sein kann, deren Endpunkte auf den Parallelkreisen liegen und von dem zweiten Pole gleich weit entfernt sind, darf sin 4 nicht kleiner sein als sin 4 (a — ß).    1) Ist sin 4 (« -j- ß) >- sin d > sin \ (a — ß), so

cos i (a -f ß) cos I (a — ß)

ergibt sich für cos ж

cos ô ein Max. der Sehne

— 2 sin 4 (« -f- ß) und für cos ж —

cos \ (a -f- ß) cos \ (a — ß)

cos ö

ein Min.

der Sehne —

2 sin 4 («—/5) sin 4 (a+ß)

sin ô

. 2) Ist sin ô > sin ^ (a -j- ß),

so ergibt sich wieder für cos x —

cos 1 (a + ß)

cos ! (a — ß)

cos â ein Max. der

cos 1 (a — ß)

cos ô ein

Sehne = 2sin4(« -\-ß), dagegen für cosa:

Min. der Sehne = 2 sin } (a — ß).

94 a) Aufg. In eine gegebene Kugel soll das grösstmögliche Parallelepipedum eingeschrieben werden.

Lös. Wenn r der Radius der Kugel ist, so wird jede der drei in einer Ecke zusammenstossenden Kanten des Parallel-

epipedums —

2

94b) Aufg. In ein gegebenes Ellipsoid ^ 4- ^ Parallelepipedum von grösstem Volumen einzuschreiben.

y2

г²

■j- •—5 — 1 das сг

Lös. Die Kanten des Parallelepipeds werden —

und das gesuchte Volumen ist —

8 ah c

3 |/ 3 ‘

148 -

95) Aufg. Zu drei gegebenen Punkten soll in derselben Ebene ein vierter gefunden werden, so dass die Summe der Entfernungen desselben von den drei ersten ein Min. werde.

А¹

Lös. Die drei gegebenen Punkte bestimmen ein Dreieck, dessen Winkel А, В, C und die gegenüberliegenden Seiten respektive а, b, c sein mögen. Bezieht man den gesuchten Punkt О durch rechtwinkelige Koordinaten auf А В als Abszissenaxe und A als Anfangspunkt, so wird die Summe О А -)- О Б -j- О C ausgedrückt durch die Funktion

bx

by

— ж)² +2Гр -j- [(.X — Ô cos A)² -f- (у— &sinM)²p. Die Interpretation der Gleichungen ^ = 0 und ^ = 0 ergibt

dann leicht als Bedingung eines Min. der Funktion и die Beziehung ^ AOI) -\-ZLBOD — 120°, wro D den Fusspunkt des von 0 auf А В gefällten Lotes bezeichnet. Wenn man daher über jeder der drei Seiten a, b, c einen Kreisbogen beschreibt, der einen Winkel von f R als Peripheriewinkel enthält, so schneiden sich diese Bogen in einem einzigen und zwar in dem gesuchten Punkte.

In anderer Weise gelangt man zum Ziele, wenn man über jeder Dreieckseite das entsprechende gleichseitige Dreieck konstruiert, und zwar müssen die Spitzen derselben, Ä, В', C nach aussen gerichtet sein. AA', В В', CC schneiden sich dann in 0.

Die einzelnen Linien, welche von dem gesuchten Punkte nach den Ecken des Dreiecks gezogen werden, erhalten folgende Werte:

b . c . sin (60° 4- A) sin 60° . V&² + c² — 2bc . cos (60° + A) ’ c . a . sin (60° + B) sin 60° . Vc² + a² — 2 ca . cos (60° + B) ’ a . b . sin (60° -j- C) sin 60° . V«² + b² — 2 a b . cos (60° + C) '

Die Summe aller drei Linien, welche ein Min. wird, ist

'—a-\-b-\-ć) (a— &-j- с) (а-j- &—с) • Besitzt das Dreieck einen Winkel, der grösser ist als 120°, so schneiden sich die drei Kreisbogen nicht. Die beiden Gleichungen

= 0 können dann nicht gleichzeitig bestehen.

a-

(\X

— 0 und

'C I

Da nun die gestellte Aufgabe immer eine Lösung zulässt und die

и . ö и - und :

für jeden der Punkte А, В, C

partiellen Ableitungen —

X

die unbestimmte Form $ annehmen, so wird in diesem Falle, wie leicht einzusehen, derjenige der gegebenen Punkte zugleich der verlangte sein, welcher der Scheitel des stumpfen Winkels ist. (Yergl. Bertrand, Journal de Liouville, t. VIII.)

02/

96) Aufg. Zu vier gegebenen Punkten soll ein fünfter von der Beschaffenheit gefunden werden, dass die Summe der Entfernungen desselben von den ersten ein Min. wird.

Lös. Durch ein Verfahren, das dem in der vorhergehenden Aufgabe angegebenen ganz analog ist, findet man den Durchschnittspunkt der beiden Diagonalen des Vierecks, welches durch die vier gegebenen Punkte bestimmt ist.

97) Aufg. Auf den drei Seiten eines Dreiecks ABC sollen drei Punkte AI, N, P gefunden werden, so dass das Dreieck AI NP ein Max. oder Min. werde.

Lös. Betrachtet man AL C — x, &

P В — y, N B — z als unabhängige Veränderliche und bezeichnet F eine Funktion von x, y, z, welche

für jede bestimmte Wertegruppe der unabhängigen Veränderlichen den Flächeninhalt des Dreiecks MNP ausdrückt, so sind

x~2’У 2

, z — ~ diejenigen Werte, welche gleichzeitig den

и

drei Gleichungen

°, f-

0 У

diesen Werten entsprechende Dreieck wird erhalten, wenn man die Mitten der Seiten AB, AC und В C durch Gerade verbindet. Sein Flächeninhalt ist = \ Д А В C. Die Untersuchung der voll-

(\F

=0 und ^— — 0 genügen. Das

ständigen Änderung von F zeigt aber, dass dieses Dreieck weder ein Min., noch ein Max. ist. Dies lässt sich auch leicht geometrisch erkennen. Denkt man sich nämlich den Punkt M, die Mitte von А В, festgehalten, so wird bei dem ausgezeichneten Dreieck Z PMC = ZA,Z NMA — z C. Jedes andere Dreieck, welches seinen Scheitel in demselben Punkt AI hat, bei welchem aber die Winkel P MC und NMA beide zugleich grösser oder beide zugleich kleiner als A und В sind, wird kleiner als das Dreieck MNP sein; dagegen jedes Dreieck mit demselben Scheitel, bei welchem P AI C grösser oder kleiner als A und NMA kleiner oder grösser als C ist, wird grösser als das ausgezeichnete Dreieck MNP.

98a) Aufg. Auf einer gegebenen Linie A1N einen Punkt D zu finden, so dass die Verbindungslinien mit zwei auf derselben Seite von MN liegenden gegebenen Punkten A und В ein Min. zur Summe haben.

-łf

Ц>

Lös. Es heissen m und n die senkrechten Abstände А C und В E der Punkte A und В von MN, es sei ferner CD — x, DE—y, CE—c, so wird für ein Min. von AD -j- D В ‘.x'.y — m:n und AADC~ /\BDN

Zusatz. Denkt man sich A als einen Licht aussendenden Punkt, MN als spiegelnde Fläche, die Ebene der Zeichnung als Einfallsebene und sucht den Weg desjenigen von A ausgehenden Lichtstrahles, der nach der Reflexion durch В geht, so ist wegen der Gleichheit der Winkel AD M und B D N nach dem Reflexions-

gesctz klar, dass der gesuchte Weg mit AD В zusammenfällt. Somit ist der Weg, den das Licht zurücklegt, um bei einmaliger

M-

]<-

Spiegelung- von A nach В zu kommen, der kürzeste Weg zwischen diesen Punkten, der überhaupt bei Berührung der spiegelnden Fläche möglich ist.

98b) Aufg. Auf den drei Seiten eines Dreiecks ABC sollen drei Punkte M, N und P gefunden werden, so dass der Umfang des Dreiecks MNP ein Min. wird.

Lös. Bei der nämlichen Bedeutung der unabhängigen Veränderlichen X, у, z, wie in Aufg. 97, bezeichne и diejenige Funktion yon X, y, z, welche für jede bestimmte Wertegruppe der unabhängigen Veränderlichen den Umfang des Dreiecks AI NP aus-

drückt. Die geometrische Interpretation der Gleichungen

9ï = 0.

^ == 0,    = 0 ergibt cos A AIN— cos C MP u. s. f. Fällt man

0У    g z

eu

daher von den drei Endpunkten des gegebenen Dreiecks Lote auf die Gegenseiten, dann werden die Verbindungslinien der Fusspunkte derselben das gesuchte Dreieck bilden. — Dieses ist aber nur möglich, wenn alle drei Winkel des gegebenen Dreiecks spitze sind; in anderen Fällen aber erhält man weder ein Max. noch ein Min.

99) Aufg. Durch einen in der Axe einer Parabai gegebenen Punkt die kleinste Sehne zu ziehen.

Lös. Die auf der Axe senkrecht stehende Sehne wird die kleinste.

100) Auf g-. In ein Parabelsegment, welches durch eine auf der Axe senkrecht stehende Sehne abgeschnitten wird, soll das grösste Rechteck eingeschrieben werden.

i—

-рГ-

Lös. Wenn a die Entfernung der gegebenen Sehne vom Scheitel und b die halbe Sehne ist, so sind f a und f b д/3 die beiden Seiten des gesuchten Parallelogramms, dessen Flächeninhalt $ y 3 a b ein Max. ist.

101) Auf g. Zwei Durchmesser einer Ellipse schneiden sich unter einem gegebenen spitzen Winkel a, man soll ihre Grösse und Lage so bestimmen, dass das Parallelogramm, dessen Diagonalen sie sind, ein Max. oder Min. werde.

Lös. Sei a die halbe grosse, b die halbe kleine Axe der Ellipse. Betrachtet man den Winkel </>, den der eine Durchmesser mit der grossen Axe bildet, als unabhängige Variable, so findet sich in dem Falle,

wo tang I a << — ist, ein Max. für y> = —\a und ein Min. für

(p — I (яг — a), und zwar ist der Flächeninhalt des grössten 4 а² b² tang \ а b² a² tang² \ а

Die Parallelogramme sind Rechtecke und

Parallelogramms =

4 a² b² tang | а

und derjenige des kleinsten

a² + b² tang² 4 а ' liegen symmetrisch zur grossen und kleinen Axe der Ellipse. Ist

a²— b²

dagegen tang } а > oder cos « <<

a² -{-b²

für (f = — 4 «,    —    — a) und Maxima für

, so treten Minima ein

ł [« ± arc cos    cos « )]

— erreicht die Fläche wieder für

In dem Grenzfalle tang 4 a — —

a

(f — — I a ihren grössten und für <p = } (яг — a) ihren kleinsten

Wert und zwar ist ersterer = 2 ab, letzterer —

4 a³ b3 a⁴+6⁴ '

Lös. Wenn der erste Punkt durch die rechtwinkligen Koordinaten «' und ß', der zweite durch a" und ß" gegeben ist, wenn ferner a die halbe grosse und b die halbe kleine Axe der Ellipse bedeutet, so dass

ihre Gleichung wird y — ^z~-\/a² — ж²; dann wird die Abszisse des dritten Endpunktes des gesuchten Dreiecks

+ cß (ß' — ß")

102) A uf g-. In der Peripherie einer Ellipse sind zwei Punkte gegeben; man soll einen dritten so bestimmen, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks ein Max. oder Min. wird.

Ir

cr\

ap

yja² (/?' — ß")² -f- b²(a— a")² ’

wozu natürlich je zwei gleiche und entgegengesetzte Werte der Ordinate gehören, so dass vier Dreiecke erhalten werden.

103a) Aufg. In eine gegebene Ellipse soll das grösste Viereck eingeschrieben werden.

Lös. Die Gleichung der Ellipse sei ^y.

Bezeichnet ,nan Cie recht- £

iS*,

X²    у²

b²

= 1.

winkligen Koordinaten der Eckpunkte des gesuchten Vierecks der Reihe nach mit x\, У\ \ x₂, y₂ \ x₃, y₃; ж₄, ?/₄, so führt die Methode der unbestimmten Multiplikatoren auf Bestimmungsgleichungeil für xv, yx\ . . ., die nicht von einander unabhängig sind, woraus folgt, dass es unendlich viele grösste Vierecke gibt. Da sich ferner zeigt, dass

У\ Уч    Ъ²

aß

x₃ — — xu y₃ = — y\, xé = — X2, y± = — lhi — ' — ~'------

Xy X‘2

sein muss, so sind diese Vierecke Parallelogrämme, die erhalten werden, wenn man die Endpunkte konjugierter Durchmesser durch Gerade mit einander verbindet. Der Flächeninhalt eines jeden solchen Vierecks ist demnach — 2 ab.

103b) Aufg. In eine gegebene Ellipse soll das grösste Parallelogramm eingeschrieben werden, welches einen gegebenen spitzen Winkel a enthält.

Lös. Nach der vorhergehenden Aufgabe werden die Diagonalen des gesuchten Parallelogramms konjugierte Durchmesser sein, und man hat daher nur noch die Aufgabe zu lösen, diese konjugierten Durchmesser so zu bestimmen, dass das Parallelogramm, dessen Diagonalen sie sind, den gegebenen Winkel a enthält. Ist die Gleichung der Ellipse p +

= 1, so sind die

Koordinaten der Eckpunkte des verlangten Parallelogramms

1)    Xl=-\-a\

2)    Xi=—a^

icjH*

а²—b²

cotanga; ух =

+ Ъ\/

a²— b²

cotang а ;

IC-

a³— b²

cotang a; y₂~ —

&\А

a² — b²

cotang a ;

3) x₃

Id-

a² — b²

cotang a; y₃ =

+b\/i-f

cotang a;

4) х±=-\-а

V “₍^zr^cotan2(r> У±=~ь\1

IC

a² — b²

cotang a.

Aus diesen Werten folgt noch beiläufig, dass es für a einen

sein muss.

2 Q; j)

Grenzwert gibt, dass nämlich immer tang a >    —p

104) Aufg. In eine gegebene Ellipse soll das grösste Dreieck eingeschrieben werden.

Lös. Ist die Gleichung der Ellipse

у²

■f-

₇₀ — 1, und bezeichnet man die Koor-b£

dinaten der Eckpunkte des gesuchten Dreiecks ABC der Reihe nach mit xx, yv ; x₂, y₂\ so folgt aus demselben Grunde, wie in Aufg. 103 a), dass

x‘ii Уз

es unendlich viele der Ellipse eingeschriebene, grösste Dreiecke

gibt. Die Gleichung der Sehne В C ist

2/ — Z/2 =

Уз—У 2

(x — x₂) = —

x\ b²

Ух а²

(x — x₂) ;

x₃ —x₂

demnach ist diese Sehne der im Punkte A an die Ellipse gelegten

Tangente parallel. Ebenso findet sich, dass die Sehne А В der Tangente in C und die Sehne А C der Tangente in В parallel ist. Alle diese Dreiecke haben denselben Flächeninhalt — £ \/3 a b, und der Mittelpunkt der Ellipse ist ihr gemeinsamer Schwerpunkt.

r — \/(ж — а)² -|- (у — ß)²    2 (ж — а) (у — ß) cos со,

und der Flächeninhalt der Ellipse ist bekanntlich — ahn. Zur Bestimmung- des Produktes a b hat man daher, wenn man noch den unbestimmten Multiplikator Я einführt, die Funktion F =(x — a)² + (y — ß)² -j- 2 (ж — а) {у — ß) cos w -f-

QJ

= 0 mit у — ß

105a) Aufg. Man bestimme den Flächeninhalt der Ellipse

A(x — a)² -f 2 В (ж — а) (у — ß) -f С (y — ß)² -f- 1 = О, wo а und ß die Koordinaten des Mittelpunktes bedeuten.

Lös. Bezeichnet man    den    Koordinatenwinkel    mit со und    die    Koor

dinaten irgend eines Ellipsenpunktes mit ж und y, so sind die Halbaxen а und    b dieser    Ellipse resp.    das    Max.

und    Min. des    Abdrucks

o"

.T-

-0i

•M

A‘

-Tir

+ Я [А (ж - ay² + 2 В (ж - a) (у - ß) + С (у - ß)‘² + 1 ] zu einem Max. oder Min. zu machen. Multipliziert man die F

Gleichung -— = 0 mit ж — «, die Gleichung oc

und addiert, so erkennt man, dass für den Fall eines Maximums oder Minimums Я — r² wird. Drückt man aus der Gleichung

AjF

-— = 0, ж — a durch у — ß und Я aus und setzt den erhaltenen

Wert in

ày

— 0 ein, so kommt man auf die quadratische Gleichung:

(АС— В²) Я² + (А + С— 2В cos w) Я -f sin² а> = 0. siu² со

, und daher ist der gesuchte

Diese ergibt Я₁ Я₂ = a² b² — п sin со

JaCFFIB ‘

105 b) A uf g. Man bestimme den Kubikinhalt des auf rechtwinklige Koordinaten bezogenen Ellipsoids

anx²-\-à22 y² + a₃₃z² -f 2a₂₃yz + 2alsxz -\- 2anxy — a₀₀ — 0.

Lös. Auf analoge Weise, wie in der vorhergehenden Aufgabe erhält man für den gesuchten Kubikinhalt

Flächeninhalt

AC—B²

Î 71 «до

3 B___L c=-³

2 ab’¹

b² '

Die kubische Gleichung für Я erhält man hier am einfachsten, wenn man die aus der Determinantentheorie bekannte Bedingung des

0,

Zugleichbestehens der drei Gleichungen -=— = 0,

X

aufstellt.

.г

106) Aufg. Um ein gegebenes Dreieck soll die ihrem Flächeninhalte nach kleinste Ellipse beschrieben werden.

Lös. Das Dreieck ABC sei gegeben durch zwei Seiten А В = а, AC—b und den eingeschlossenen Winkel y. AVählt man die Geraden А В und А C beziehungsweise zur Abszissen- und Ordinatenaxe eines schief-

-Y~

..o

winkligen Axensystems, so kann die Gleichung

der Ellipse geschrieben werden

A (x - a)'» + 2 В (x - a) (y - ß) + C (y - ß)² + 1 = 0, avo a und ß die Koordinaten des Mittelpunktes bedeuten. Die drei Bedingungsgleichungen, welche ausdrücken, dass die Ellipse durch die drei Punkte x = 0, у —0; x = 0, y = b', x — a, у — 0 geht, ergeben

a (ab Ą- ßa —a b)

(2 a —a) (2 ß — b)

2 a ß (ab ß а — а Ъ) ’

ß (ab ßa — ab) ‘

п sin у у/АС—В² ’

und man hat daher nur noch a und ß so zu bestimmen, dass (2 ß — b) (2 а — а) (2 a b -j- 2 ß a — a b)

4 a²/S² (a b -f- ßa — ab)²

Nach Aufg. 105 a) ist der Flächeninhalt der Ellipse =

AC — B² =

zu einem Max.

wird. Man findet

a o b a __ a — g , ß g , A

Der Flächeninhalt der kleinsten umschriebenen Ellipse ist demnach = f ^3 n a b sin y, ihr Mittelpunkt liegt im Schwerpunkt des Dreiecks und ihre beiden rechtwinkligen Halbaxen werden I \/a² -f b² + 2 a b sin (y — 30°) -(- i \/a² -f b² — 2 ab sin (y + 30°) und

} y]a² + b² -)- 2 a b sin (y — 30°) — } yja² -\-b² — 2 a b sin (y -f- 30°).

a b cos у — у] (a²    b² — ab cos у)² — 3 а² Ъ² sin² у .

Die Berührungspunkte sind die Mittelpunkte der drei Seiten.

108)    Aufg. Die grösste Ellipse zu bestimmen, welche die vier Seiten eines gegebenen Vierecks berührt.

(Man sehe die betreffende Abhandlung von Gauss, Monatl. Korrespondenz von Zach, Bd. XXII, Seite 112.)

109)    Aufg. Für welche Ellipsenpunkte ist der Abstand derselben von dem Punkte x — 0, y = — ß der kleinen Axe ein Max. oder Min.?

Si

ТГ

h-¹

-CI

107) Aufg. In ein gegebenes Dreieck soll die grösste Ellipse eingeschrieben werden.

Lös. Wenn die Bezeichnungen der vorhergehenden Aufgabe beibehalten werden und die Gleichung der gesuchten Ellipse wieder A (x — a)² -f- 2 В (x — a) (y — /ff) —J-+ C (y — ß)² + 1 — 0 ist, so folgen aus der Bedingung,

dass die Ellipse die drei Geraden x = 0, y = 0, berühre, die Werte

N ’ B =

wo N= (2 a b -j- 2 ß а — 2 aß — ab)² — 4 a² ß².

Der weitere Gang der Rechnung ist dem in der vorhergehenden Aufgabe angedeuteten ganz analog. Der Flächeninhalt der grössten eingeschriebenen Ellipse findet sich = TV \/3 n a b . sin y, ihr Mittelpunkt ist wieder der Schwerpunkt des Dreiecks und ihre beiden rechtwinkligen Halbaxen werden

i V2 .\/a2Jrb² — ab. cos у -f v(«² + V¹

Aß²

2 (2 ab 2 ß а — 2 a ß — ab)

'S

C=-

4 а2 N~ ’

ab. cosy)² — 3a² b².sin²у ,

Lös. Sind X — a cos y, y — b sin у die Koordinaten eines Punktes der Ellipse, so hat man den Ausdruck

a² cos² у -j- (b sin у -ß)2 su einem Max. oder Min. zu machen. Zunächst erkennt man, dass die gesuchten

Punkte auf den Normalen liegen müssen, welche von dem gegebenen Punkte an die Ellipse möglich sind. Sodann findet sich a% — b²

1) wenn ß >- —-—

für (f = -

со а

- ein Max. und für cp— ln

ein Min.,

2) wenn ß •<

a² — b²

für (p —

со а

ein Min., für

(p — arc sin

hß

a² — b2 für (p — f n ein Min.,

und für <p — n — arc sin

bß

a² — b²

Maxima und

ein Min.

n2 — Ъ2    jr

3) wenn ß = —r- für (p — ein Max. und für (p — | n

ü    U

ri 2 7»2

Da x = 0, y = h

die Koordinaten eines Punktes sind,

welcher der Ellipsenevolute angehört, so ergibt sich also, dass von dem gegebenen Punkte zwei, drei zusammenfallende und eine vierte verschiedene oder endlich vier von einander verschiedene Normalen möglich sind, je nachdem derselbe ausserhalb, auf oder innerhalb der Evolute der Ellipse liegt. Der Winkel cp kann mittelst der

leicht konstruiert werden.

Gleichung sin (p =

bß

a² — b²

pf=-

jî

QJ'QJ

110a) Aufg. Der elliptische Zylinder X² —(— 4 y² — 1 = 0 werde von der Ebene \x — y — I z — 0 geschnitten. Man bestimme für die Schnittellipse die Dichtung und Länge der Halbaxen a und b, sowie die Koordinaten xx, yit z₁; . . . der vier Scheitel.

Lös. Setzt man f— x² -f- y² -j- z²,

ip — x²Jrly² — 1, xp = \x — y-r- \z,

so hat man die absoluten Maxima und Minima der Funktion F—f—Я cp — 2 pap aufzusuchen. Hierbei bestimmen sich die Grössen x, y, z, Я, у aus den Gleichungen

= 0 und

U> — 0. Es ergibt sich

fl

18

д/13

₊ _jl

д/13    2 д/13

д/13

18

+ 11 +

CO b-¹

+ -Д

у—H CO

д/13

2 д/13

+ -4-

++

r-4 CO

4 д/13

а = д/+ — 4 д/13, Ъ — \/Я₂ — 1 д/13.

V+3

д/13    4 д /13

А_ ._!=

д /13    4 д/13

Werden die Winkel, welche die Axen der Ellipse mit den Koordinatenaxen einschliessen, beziehungsweise mit , ßx, y, ; a₂, ß₂, у₂ bezeichnet, so folgt

cos ax : cos ß₁ : cos yx — 4 : cos a₂ : cos ß₂ : cos y₂ = 12:4: — 3.

110b) Aufg\ Man löse die nämliche Aufgabe für die Ellipse, in welcher der elliptische Zylinder

3:12,

ж²

12 .13

\x-\-^y — z — 0 geschnitten wird.

9.13

1 von der Ebene

Lös. Man findet

H--1--1--Г

13²

13²

|.132 f - 132

— 12 + 12 + 2# — 2 д/3

05

+ !д/з

— f л/з

а — д/Я^ = 13, & = д/Ę

— 6 д/3 + 6д/3

ł д/3

+ I#

13 уз.

13:3:4,

cos ах : cos Ą : cos ух — cos а₂ : cos ß₂ : cos y₃ = — 4 :12 : 3.

110c) Aufg. Man löse dieselbe Aufgabe für die Ellipse, in welcher das Ellipsoid 2 ж² + 5 î/² +    = 1 von der Ebene \x — y — \z—0

geschnitten wird.

- 160 —

Lös. Es wird

(.i

il

17

+ łł

144

12

17/13.17

д/13.17

д/13.17

/13.17

144

12

17 д/13.17

д/13.17

144

12

29 д/13.29

д/13.29

д/13.17

д/13.29

д/13.17

д/13.29

144

12

д/13.29

29 д/13.29

а = /Ц

cos : cos ß₁ : cos уг = 4 : — 3 :12, cos «2 : cos ß₂ : cos y₂ — 12 : 4 : — 3.

111) Aufg. Es ist die grösste Ellipse zu bestimmen, die erhalten werden kann, indem man einen gegebenen geraden Kreiskegel durch eine Ebene schneidet, welche durch einen gegebenen festen Punkt des Kegels geht.

д/13.29

TT) Ь — д/Я₂ — д/

д/13.29

Z\ac

..-Г'

g--- '■

Lös. Bezeichnet man den Neigungswinkel der Schnittebene gegen die Basisebene mit <p, den Winkel des Kegels mit 2 a,

sin 2 (f = 2 sin 2 а sein, woraus hervorgeht, dass ein Max. nur dann existiert, wenn 2a< 30° ist.

112) Aufg. In einen viereckigen Turm, dessen Tiefe Ъ ist, will man einen Balken von der Länge m (m^> b) hineinschaffen. Welche Höhe h muss die Türe des Turmes wenigstens haben, wenn Seitenbewegung des Balkens ausgeschlossen ist?

so muss

Lös. Man denke sich den Balken so bewegt, dass seine Enden beziehungsweise auf der inneren Kückwand des Turmes und auf dem Erdboden gleiten. Jede Lage, die der Balken hierbei annehmen kann, bedingt eine gewisse Höhe y der Türe des Turmes.

V-

CO

Bezeichnet x den Neigungswinkel des Balkens gegen den Erdboden, so wird y — m sin ж — Ъ tang x. Offenbar ist die gesuchte kleinste Höhe der Türe gleich dem Max. von y, d. h. es ist

h — {ni⁵ — Iß)- oder h⁵ -f- h⁵ — m⁵.

113)    Aufg. Aus einem runden Baumstamme den Balken von der grössten relativen Kohäsionskraft auszuschneiden.

Lös. Heisst die Breite des Balkens x, die Höhe y, so hängt nach dem Gesetze der Mechanik die Grösse der Kohäsion ab von x у². Das Max. dieses Produktes findet statt für x — dy/i, wenn d der Durchmesser des runden Baumstammes ist.

Die geometrische Konstruktion ergibt sich hiernach leicht.*)

114)    Aufg. In welcher Höhe über einem in einer Ebene liegenden Punkt A muss ein Licht L von der Intensität i angebracht werden, damit ein in derselben Ebene liegender Punkt В möglichst hell erleuchtet werde?

Lös. Die Lichtstärke hängt ab i sin L В А

iß

. Heisst

von dem Ausdruck daher a die Entfernung des Punktes В

von A, so muss das Licht in der Höhe a\[Ę über A angebracht werden.

{LBY

He is Sammlung von

*) Über dieselbe Aufgabe vergleiche Beispielen und Aufgaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra

man:

§ 108. 22.

Sohneke’8 Aufgabensammlung. I.

11

'Xt

------TJb —

гз

115) Aufg. Ein Körper bewegt sich von einem Punkte C zü einem Punkte D über eine gerade Linie А В hinweg und zwar von C zur Linie А В mit der Geschwindigkeit c und von AB zu ü mit der Geschwindigkeit c". Wie ist der Punkt E auf der Linie AB zu wählen, damit die auf Zurücklegung des Weges CED verwandte Zeit ein Min. werde?

Lös. Es seien die Entfernungen CH und D G der Punkte C und D von А В mit p und ą bezeichnet, G H — m, HE— x, so ist

v^²+(w—x)2.

Heissen die Winkel, welche die Linien CE und ED mit dem auf AB m E errichteten Lote EI bilden, a und ß, so ist sin a : sin ß = c : c". (Man vergleiche das Gesetz über die Brechung der Lichtstrahlen, sowie bei 98 a) das Gesetz über Zurückweisung derselben.)

116) Aufg. Ein Mann, der sich mit einem Boote in einer Entfernung von 3 Meilen (engl.) vom nächsten Punkte des Ufers befindet, wünscht einen zweiten Punkt am Ufer,

ляттг “ sr* r

0'

tc

Mann in der Stunde 5 Meilen weit gehen, aber nur 4 Meilen weit rudern kann, so wird gefragt, wo er landen müsse.

Lös. Eine Meile vor dem zu erreichenden Orte.

117) Aufg. Bei welcher Stellung- erscheint Yenus, unter der

Voraussetzung-, dass die Bahn des Planeten eine kreisförmige ist, am hellsten?

cl

Lös. Es befinde sich die Sonne in 8, die Erde in E, Venus in v, s SE=a, Sv=b, Ev—x, der Radius der Venus — y. Es stehe der Durchmesser gh senkrecht auf Sv, und der Durchmesser cd senkrecht auf Ev.

Xy

fl

CO

Die für die Erde sichtbare Lichtphase bestimmt sich aus dem Winkel gv d — 180° — Ev 8, und ist

— I n Q² — I n Q² cos g V d — y n Q² (1 -f- cos E v 8).

Die Helligkeit der Venus steht im geraden Verhältnisse mit 1 -f- cos E v 8 und im umgekehrten quadratischen Verhältnisse mit x. Setzt man

1 + cos EvS =

x² -J- b² -f- 2 Ъ x — а²

2 Ъх

(x -f- b)² — а²

so wird die Helligkeit ein Max. für das Max. von

hieraus: x = — 2b-\-\/b²-\-‘óa². Setzt man а — 1, 6 = 0,7233317, so ergibt sich

ж = 0,430358, Z.gvd = Q2° 4' 23,2", ^SEv — 39° 43' 28,2" (Elongation der Venus). Bei einer synodischen Umlaufszeit der Venus von 584 Tagen gehört zu der angegebenen Elongation eine Zeit von 64 Tagen. Das grösste Licht der Venus hat also im Mittel 64 Tage vor und nach der unteren Konjunktion mit der Sonne statt.

xs

118) A uf g. Welche Werte der Veränderlichen x, y, z machen die Funktion

F — x*    . x² z x z² Ą-^b . уъ ^b . y z² -\-

+ V2.*³ — 3x — 3 x/b. y — Зл/2.г + Const, zu einem Max. oder Min., und welche erteilen ihr Sattelwerte?

Lös. Maxima treten ein für die Wertegruppen —1, —1, 0;

Sattelwerte für

-VT. vT.

0,    0, —1,    Minima für    1, 1, 0;    0, 0,    1

1»    1» 0;    1. 1» 0; Vt>    Vt5

V⁷

VT’

119) Aufg. Man beantworte dieselben Fragen für die Funktion F = x? -f- 3 ж² y -f- 3 x² z -f- 3 x y² -j- 3 x z² — l%xyz-\-y^-\-

Ъ y² z -\-‘6 y z² -Ą- z* — Зги — 3 у — 3 z -j- Const.

Lös. Für die Wertegruppe 1, 1, 1 tritt ein Min., für —1,-1, —1 ein Max. ein, und die 6 Wertegruppen 1, 0, 0; — 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, — 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, — 1 ergeben Sattelwerte.

ll*

120) Auf g-. Es ist dieselbe Aufgabe zu lösen für die Funktion

F—x³ —IX² z -j- 3 X z² — y³ -j- I y² z — 3 y z² —

— 3 X -f- 3 y 4- Const.

Lös. Ein Min. tritt ein für die Wertegruppe 1, — 1, ein Max. für — 1, 1, 0. Die Gruppen 1, 1, 0; — 1, — 1,

0, 0, 1; 0, 0, —1; 1, 1, 1; —1, —1, —1 liefern Satt werte.

Kapitel VIII.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung

ebener Kurven.

§ 22.

Eine ebene Kurve kann dadurch auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen werden, dass man entweder 1) die Koordinaten eines beliebigen Punktes derselben als Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen t darstellt,

x~(f (t), у = Ц (t), .

oder 2) eine Gleichung zwischen x und y festsetzt

F (x, y) ----- 0,

welcher die Koordinaten eines jeden Kurvenpunktes genügen müssen oder 3) die Ordinate eines beliebigen Kurvenpunktes als Funktion der Abszisse ausdrückt,

Hierbei kann man sich die Gleichuug F (x, y) — 0 durch die Elimination der Grösse t aus den Gleichungen x—<p{t) und y=ip(t) und die Gleichung y —f{x) durch die Auflösung der Gleichung F (x, y) = 0 nach y entstanden denken.

Tangente und Normale. Entsprechend diesen drei Formen erhält man für die trigonometrische Tangente des Winkels a, den die geometrische Tangente der Kurve in irgend einem Punkte x, y mit der positiven X-Axe bildet, die Ausdrücke

tang a —

ft*-Ąy = f{x).

ft F dx

Die trigonometrische Tangente des Winkels ß, den die Normale der Kurve mit der positiven X-Axe bildet, ist

Trägt man demnach von dem Punkte x, у aus in der Richtung der X-, resp. F-Axe die Strecken (Komponenten) y (t) und ip' (t) oder 1 und f (x) auf, so liefert die Diagonale des hierdurch bestimmten Rechtecks (Resultierende) der Richtung und Länge nach die zugehörige Tangente. Im Falle die Gleichung der Kurve in der Form F (ж, у) — 0 gegeben ist, empfiehlt es sich, zunächst die Normale der Kurve zu konstruieren, deren Komponenten in dem

soeben angedeuteten Sinn und ~—

а* а у

fällt hierbei in denjenigen Teil der Ebene, in welchem die Funktion F {x, у) positive Werte besitzt.

Wird das Bogendifferential mit ds bezeichnet, so ist

ds — \/dx² dy²,

tang ß = —

tang а

у (о _ а у

dy

fix) '

a^

dx

sind. Die Resultierende

und man erhält ferner

cos a

dx

dx

yjdx² -f- d y² ds

dy _dy

\/d x²    d y²

Die Gleichung der Tangente im Punkte x, y der Kurve wird, wenn £, у die laufenden Koordinaten bedeuten,

sin a=z

ds

g— Ж_ri —y

dy ’

dt

п—

ОУ~и

^ I

«S5

У = /х⁽*-х)-

Die Gleichung der durch den Punkt ж, у gehenden Nor

male ist

dx

—æ) + 4|(4 — У) = 0,

y—y b F ’

Wrc

I ^ «

¹ r© r©

by

V у —

Man nennt Tangente und Normale im engeren Sinne oder schlechtweg Tangente und Normale diejenigen Stücke der gleichbenannten, unbegrenzten Geraden, welche zwischen dem Berührungspunkt der Tangente und der X-Axe liegen. Die Projektionen dieser Stücke auf die X-Axe heissen entsprechend Subtangente und Subnormale. Führt man für diese vier Grössen T, N, St und Sn ein, so erhält man

rjl___ У

since

\dx²-{-dy‘'

cl y

0ж

N=r. —J~- = у ^dx2+dV2 cos« J dx

^ V¹+(й) - в/V'(§D+(|{,) •

dx

St = у cotanga — y—~ —

cl y

CU CU

0Ж

О? '

2/41

а?/

Parallelkurven. Wenn man sich in allen Puukten einer gegebenen Kurve F (x, y) ==. 0 die Normalen gezogen und auf diesen vorwärts oder rückwärts von dem betreffenden Punkt eine konstante Länge к abgetragen denkt, so erhält man dadurch Punkte der äusseren oder inneren Parallelkurve.

Wird der Winkel, den die Tangente im Punkte x, у der gegebenen Kurve mit der positiven X-Axe bildet, mit a bezeichnet, so findet man für die Koordinaten £, rj des entsprechenden Punktes der Parallelkurve

\ — x -|- к sin a, rj — у + к cos а.

Gelingt es, aus diesen beiden Gleichungen die Veränderlichen mit Hülfe der gegebenen Kurvengleichung zu eliminieren, so ist die resultierende Gleichung zwischen £ und die Gleichung der Parallelkurve.

Fusspunktkurven. Fällt man von einem festen Punkte A aus Lote auf sämtliche Tangenten einer ebenen Kurve, so bilden deren Fusspunkte eine neue Kurve, welche die Fusspunktkurve der gegebenen Kurve für den Punkt A als Pol genannt wird. Sämtliche Lote sind natürlich, was für die Rechnung wesentlich ist, den betreffenden Normalen parallel.

Ist die Gleichung der ursprünglichen Kurve in rechtwinkligen Koordinaten F {x, y) = 0, so findet man die Gleichung ihrer Fusspunktkurve allgemein durch Elimination von x und y aus den Gleichungen

©©+© ©+© ■

©©⁺©) ' ©4fT

Asymptoten. Eine Tangente der Kurve, dessen Berührungspunkt unendlich weit entfernt ist, die selbst aber nicht ihrer ganzen Ausdehnung nach im Unendlichen liegt, heisst eine Asymptote der Kurve.

Die Gleichung einer Asymptote wird im allgemeinen in einer der beiden Formen geschrieben werden können

y — mx-\-n, x — y y v,

und es bestimmen sich m, n, y, v aus den Gleichungen

(x= oc)

— lim —, n = lim (y — m x) ;

(x= oo )

y — Hm —, v = lim (x — y y).

(y-— ®)

(;у— ®) У

Ist die Kurve eine algebraische vom n ten Grade, so kann ihre Gleichung, wenn man in m alle homogenen Glieder &ter Ordnung zusammenfasst, in die Form gebracht werden

F (x, y) — Uq -f- Щ Н⁻ Щ    un — 0.

Die Gleichung der Tangente einer solchen Kurve ist dann wo

p— —

(жЦ + г/jj!)-

— (Щ ~f~ 2 г<2 “I⁻ • • • ~f~ {u — 1) Un—i “h n un),

0 —nF=n H(\ 4" n Uy -j- . . .    11 Un-1 -f- n Un,

was durch Addition ergibt

p-П Uq -j⁻ {fl- 1) Щ -j— . . . -j- 2 . Un—2 “I⁻ 1 • Un—1 •

Ausgehend von dieser Form der Tangentengleichung, in welcher x und у nur noch im (n — 1) ten Grade erscheinen, können die Asymptoten einer Kurve n ten Grades auf folgende

Weise gefunden werden: Man bestimme die n Werte von ,

dividiert

n—1

welche der Gleichung ~ = 0 genügen, behalte hierauf in der vorstehenden Tangentengleichung nur die Glieder (n — 1) ter Ordnung in x und y bei und setze, nachdem man noch durch x

hat, für das Verhältnis — der Reihe nach die gefundenen Werte

x

in die resultierende Gleichung ein. Jede solche Substitution ergibt dann im allgemeinen die Gleichung einer Asymptote der Kurve.

In manchen Fällen gestattet folgende Modifikation des angegebenen Verfahrens eine rasche Bestimmung der Asymptoten einer algebraischen Kurve: Setzt man in der gegebenen Gleichung n ten Grades y = z x und dividiert dieselbe durch xn, so wird sie im allgemeinen folgende Form annehmen:

(f(z)

<Pi (*) 4~

= 0.

Wenn nun — = z für x —cc einer endlichen Grenze m zu-

X

strebt, so hat man zur Bestimmung derselben die Gleichung lim œ (z)~(f [m) — 0.

Substituiert man hierauf

z — m -\--

X

in die obige Gleichung und entwickelt die Funktionen у (z), y{ (z),

y₂ G), • • • nach steigenden Potenzen von —, multipliziert die sich

ergebende Gleichung mit x und macht x — oo, so erhält man eine Beziehung zwischen m und n — lim t — lim (y — mx), aus welcher

(x— oo)

(x— oo)

sich für jedes bestimmte m im allgemeinen ein bestimmter Wert für n ergibt. Die Gleichung der betreffenden Asymptote lautet dann y = m x -j- n.

Den hier angegebenen Methoden liegt die Voraussetzung zu Grunde, dass die Gleichung, aus welcher die Grenzwerte des Ver-

hältnisses

— z zu bestimmen sind, keine mehrfachen Wurzeln

besitze. Aus dem x4ngedeuteten ist jedoch leicht ersichtlich, wie die Untersuchung in denjenigen Fällen weiter zu führen wäre, wo

lln

in den Gleichungen — — 0 und y (m) — 0 mehrfache Wurzeln auftreten.

Höchste und tiefste Punkte. Für einen aus der Gleichung f (;x) — 0 bestimmten Wert x~ x₀ erreicht die Ordinate der Kurve y = f(x) einen grössten oder kleinsten Wert, je nachdem die erste der folgenden Ableitungen f" (x), f" (x), . . ., welche für x = x0 nicht verschwindet, von gerader Ordnung und negativ oder von gerader Ordnung und positiv ist; dagegen tritt weder ein Maximum, noch ein Minimum ein, wenn die erste nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist.

Konvexität und Konkavität. Eine Kurve ist im Punkte x, у nach der positiven Seite der F-Axe konkav oder konvex,

je nachdem für diesen Punkt

5^0 ist.

d?y

dxl

Unter dem Kontingenzwinkel einer Kurve versteht man den Winkel, den zwei benachbarte Tangenten, also auch zwei benachbarte Normalen der Kurve mit einander bilden; er ist gleich dem Differential da des Winkels a, den die Tangente mit der positiven X-Axe einschliesst.

_dx d² y    dy d² y

Man findet für rechtwinklige Koordinaten d (taug a)

fdx\² d ^d y\ \dss ds^dsJ

— — cos² a

ds ds²    d s ds²

Berührung der Kurven. Wenn zwei Kurven in einem gemeinsamen Punkte noch eine gemeinschaftliche Tangente besitzen, so berühren sie sich in diesem Punkte. Die Art der Berührung kann jedoch eine sehr mannigfache sein. Beschreibt man in dem betrachteten Punkte einen Kreisbogen mit dem an der Grenze unendlich kleinen Radius r und bezeichnet dasjenige Stück desselben, welches zwischen den gegebenen Kurven liegt, mit o',

so kann man das Verhältnis - nach steigenden Potenzen von r

r

entwickeln, wodurch man etwa erhalten wird

— = Ä rn 4- В rn+n‘ 4-... r

Man nennt nun Ordnung der Berührung oder des Kontaktes der beiden Kurven in dem betrachteten Punkte den niedrigsten in der obigen Entwickelung auftretenden Exponenten von r.

In dem Falle, wo die als Punktionen der Abszisse betrachteten Ordinaten beider Kurven in der Nähe des gemeinschaftlichen Punktes eine Entwickelung nach dem Taylor’schen Lehrsatz gestatten, erhält diese Definition folgenden, für die unmittelbare Anwendung geeigneten Ausdruck: Zwei Kurven gehen in einem bestimmten Punkte, welcher für keine derselben ein singulärer ist, einen Kontakt n ter Ordnung mit einander ein, wenn für diesen

dy

dn ïj

Punkt die Ordinate und die n ersten Ableitungen y, . . . -^n

für beide Kurven gleich sind, während die (n + 1) ten Ableitungen verschiedene Werte haben. Dabei haben die Kurven (n -f- 1) benachbarte Punkte mit einander gemein und schneiden sich in dem betreffenden Punkte gegenseitig oder berühren sich, ohne einander zu schneiden, je nachdem n eine gerade oder ungerade Zahl ist. Vorausgesetzt wird hierbei, dass die beiden Kurven gemeinsame Tangente nicht parallel der F-Axe sei.

Der Krümmungskreis einer Kurve im Punkte x, y hat ausser dem Punkte x, y im allgemeinen noch zwei benachbarte Punkte mit der Kurve gemein. Sein Radius q heisst der

Krümmungsradius und sein Mittelpunkt der Krümmungsmittelpunkt. Der letztere kann auch als der Durchschnitt zweier benachbarten Normalen betrachtet werden. Einige der gebräuchlichsten Ausdrücke für den Krümmungsradius in rechtwinkligen Koordinaten sind:

d s²

da dxd²y dy d²x ^{ß² x)² + {d² y)² — (<d² s)²

Ш+Ш''

Wird x als unabhängige Veränderliche betrachtet, so ist

b+W

d?y dx²

und für die Form F (ж, у)— 0 der Kurvengleichung wird

v0 yJ d^u

тыт

dF dZ d²F

dx dy d^ày

Bezeichnet man die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes für den Punkt x, y mit X, Y, so ist

X=:x —

d г/

Y=y + Q

oder

X=x — -

dy

+GS*

йж d² y dx²

, Y=y +

Evolute und Evolvente.

Der geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte einer Kurve heisst die Evolute (développée) der gegebenen Kurve, während die gegebene Kurve selbst die Evolvente (développante) der letzteren genannt wird. Sind die Koordinaten x, y eines beliebigen Punktes der gegebenen Kurve durch eine dritte Veränderliche t ausgedrückt, so werden auch die

Koordinaten X und Y eines Punktes der Evolute im allgemeinen als Funktionen derselben Veränderlichen erscheinen. Gelingt es, in diesem letzteren Falle die Grösse t, oder in dem Falle, wo x die unabhängige Veränderliche ist, mit Hülfe der Gleichung der gegebenen Kurve die Grössen x und y zu eliminieren, so erhält man eine Gleichung zwischen X und Y für die Evolute.

lute.

Die Normale der Evolvente ist zugleich Tangente der Evo-Ferner folgt aus der leicht zu beweisenden Gleichung d q — д/d X² -j- clY², dass die Bogenlänge zwischen zwei Punkten der Evolute gleich dem Unterschied der zu diesen Punkten gehörigen Krümmungsradien der Evolvente ist. Man kann sich daher die Evolvente entstanden denken durch Abwickelung eines unausdehnbaren Fadens, welcher in jeder seiner Lagen Tangente an die Evolute ist.

Wenn die Gleichung der Evolute gegeben ist, so findet man für den dem Punkte X, Y entsprechenden Punkt der Evolvente die Gleichungen

* = Х~⁸Ш’ 9 =

rH

<0

—у—~ dS ’

wo 8 die Bogenlänge der Evolute bezeichnet, gezählt von dem Punkte an, in welchem die Abwickelung beginnt, bis zu dem Punkte X, Y. Können mit Hülfe der Evolutengleichung die Grössen X und Y eliminiert werden, so erhält man eine Gleichung zwischen x und y für die Evolvente.

Singuläre Punkte. Diejenigen Punkte, in welchen die Kurve von der Konvexität zur Konkavität übergeht und umgekehrt, heissen Inflexions- oder Wendepunkte. Für einen aus der Gleichung f" (ж) = 0 bestimmten Wert a von x tritt jedesmal ein Wendepunkt ein, wenn von den Ableitungen f" (x), fIV(x) etc. die erste für x — a nicht verschwindende von ungerader Ordnung ist. Die Tangente in einem Wendepunkte (Wendetangente) hat daher mit der Kurve stets eine ungerade Anzahl (wenigstens drei) benachbarte Punkte gemein und schneidet die Kurve. In einem solchen Punkte ist der Krümmungsradius unendlich gross, und man kann somit in manchen Fällen zur Bestimmung der Wendepunkte einer Kurve eine der Gleichungen benutzen, die erhalten werden, indem man die Nenner der verschiedenen Ausdrücke für о gleich Null setzt.

Ein Punkt, in welchem sich zwei oder mehrere Zweige einer Kurve schneiden, heisst ein Doppelpunkt, resp. ein mehrfacher Punkt der Kurve. Ist F(x,y) — 0 die Gleichung einer Kurve und wird vorausgesetzt, es lasse sich die Funktion F (x, y) nach ganzen positiven Potenzen von x — x₀ und y — y₀ entwickeln, wo xq und y₍₎ zwei beliebige spezielle Werte der Veränderlichen x und y bedeuten, so kann nach dem Taylor’sehen Satze geschrieben werden

F (x, y) = F (x₀, y₀) -f (x — x₀) (~) + {y — Уо) (v~) +

U ^ xoiVo    U У ' хыУо

+¹U-(flU2 (ж -жо) {у - у°] (£Ut

= 0.

+ (у- у») (|U,J ⁺ • • '

Wenn darin F(x₀, у^) — 0 ist, so ist der Punkt x₀, yo ein Punkt der Kurve, und die Tangente in diesem Punkte hat die Gleichung

= 0 und

xotVo

0.

Hat man ausserdem noch

(ff)

OJ СУ

— 0, so ist

der Punkt xo, у о ein Doppelpunkt. Jede Gerade durch den Doppelpunkt kann in gewissem Sinne als Tangente angesehen werden; die Kurve besitzt aber ausserdem im allgemeinen noch zwei eigentliche Tangenten, welche beide zugleich durch die Gleichung

xoiVo

хо,Уо

(x - *»⁾² (fit+² ^ <2/ - (affäi

+<*-*>'(££)

dargestellt werden.

Ihre trigonometrischen Tangenten sind:

ö²^

u+

OJ

tang а —

дхду

OJ

OJ

OJ СУ

|2

®)

1%

Je nachdem die beiden so bestimmten Tangenten reell und verschieden, reell und zusammenfallend oder imaginär sind, ist der Punkt x₀, yo ein gewöhnlicher Doppelpunkt, ein Rückkehrpunkt (Spitze), sofern in diesem Punkte nicht Selbstberührung der Kurve stattfindet, oder ein isolierter oder konjugierter Punkt (Einsiedler). Verschwinden für x = x₀, y = yo auch noch die zweiten Ableitungen, so ist der Punkt ein dreifacher, und die gleich Null gesetzten Glieder dritter Ordnung ergeben die zugehörigen Tangenten. U. s. f.

Das Auftreten eines singulären Punktes ist daher im allgemeinen an die Bedingung geknüpft, dass gleichzeitig

F {x, y) = 0

0 und

0У

^=0

sei. Genügen die Werte x₀, y₀ diesen drei Gleichungen, so lässt sich das Verhalten der Kurve im Punkte x₀, у о auf folgende Weise ermitteln: Man denkt sich den Punkt xo, y₀ mit einem kleinen Kreise vom Radius q umgeben und bestimmt die Punkte, welche dieser Kreis mit der zu untersuchenden Kurve gemein hat, d. h. man setzt in die Gleichung der Kurve F (x, y) = 0

x — x₀ + Q cos <P » У — Уо -j- Q sin (p und sucht diejenigen Werte von y>, für welche F(q, <p) verschwindet. Dabei wird es im allgemeinen hinreichen, nur die Glieder niedrigster Dimension in q, welche nicht identisch verschwinden, zu berücksichtigen. Die Anzahl und gegenseitige Lage dieser gemeinsamen Punkte lässt dann im allgemeinen beim Übergang zu einem unendlich kleinen q die Natur der Kurve in diesem Punkte erkennen.

etwa erhält:

Zur Bestimmung der Gestalt singulärer Kurvenelemente kann in manchen Italien auch folgende Methode mit Vorteil angewendet werden: Wenn x₀, y₀ die Koordinaten des singulären Punktes sind, so denke man sich die Tangente in diesem Punkte zur Abszissen-axe und die Normale zur Ordinatenaxe eines neuen rechtwinkligen Koordinatensystems gewählt und entwickle x und у nach steigenden Potenzen einer dritten unabhängigen Veränderlichen t, so dass man x — xo — atm-\-ax Г+¹ + ..., у — yo — btn + &1 tnJrl -f- • • wo n^>m ist und a und Ь von Null verschieden vorausgesetzt werden. Dann können vier Fälle eintreten:

го

1) Wenn m eine ungerade und n eine gerade Zahl ist, so liegt in der Nähe des Punktes x₀, yo die Kurve auf derselben

jr

Seite der Tangente und auf beiden Seiten der Normale, und die Singularität besteht darin, dass die Tangente, mit der Kurve einen Kontakt von höherer als der ersten Ordnung bildet.

2) Wenn m und n ungerade Zahlen sind, so liegt die Kurve

ir

zu beiden Seiten sowohl der Tangente, als der Normale, und der Punkt xo, yo ist ein Wendepunkt.

3) Ist m eine gerade, n aber eine ungerade Zahl, so liegt die Kurve auf beiden Seiten der Tangente, aber auf derselben

tr

h*

“vj

•<!

Seite der Normale. Die Kurve bildet in diesem Falle im Punkte ж₀, y₀ eine Spitze erster Art.

4) Wenn endlich m und n gerade sind, so liegt die Kurve sowohl auf derselben Seite der Tangente, als auch auf derselben

Seite der Normale, und besitzt in dem betrachteten Punkte eine Spitze zweiter Art oder einen Schnabel.

Polarkoordinaten. Wenn die Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten F (r, y>) = 0 oder r — f (<f>) gegeben ist, so erhält man leicht sämtliche bisher angeführten Grössen mittelst der Transformationsformeln

x = r cos (p, y — r sin (p,

wobei r den Leitstrahl (Kadius vector) und <p den Polarwinkel bedeutet. Es ist z. B.

dy

sin (f

dr

d(f

r COS <f

d² у _

dx

dr

dx²

cos w ---r sin w

d(f

Ferner wird das Bogendifferential

(cos (p

dr

d(p

r sin (fj

ds =

da =

der Kontingenzwinkel

,    . fdr\² ₇ r dw

d4, + ^)d-dT’

d s\s

der Krümmungshalbmesser

ds

ßy-

da

d?r ‘

12

Sobaoke’t Aufgabensammlung. 1.

Die Koordinaten des Krümmung’smittelpunktes sind

X—r cos (f —

[r‘+©1 ■ tr cos *+sin ,f Ш

Y —r sin (f

r2+² ©-r

[r2+©T[rsin5p

ärr d(f²

dr

— cos (f —-d(p

dr r d(f²

Für die Untersuchung- einer auf Polarkoordinaten bezogenen Kurve ist es häufig zweckmässig, den Winkel & in Betracht zu ziehen, den der Leitstrahl eines Punktes mit der durch den Punkt an die Kurve gezogenen Tangente bildet. Es ist

& = a — cp, d & — d а — d(f,

sin ü —

r dcp

—, tang Ö

r d(f

dr

sub-

Errichtet man auf den Leitstrahl im Pole eine Senkrechte, welche die Tangente und die Normale der Kurve schneidet, so erhält man, entsprechend den Bezeichnungen für Parallelkoordinaten, indem man an Stelle der X-Axe die erwähnte Senkrechte setzt, die Polartangente, — normale, — subtangente normale.

Es ist

dr

dr

d(f’

' V¹' (Г)

Wenn dem Werte cp — a ein unendlich grosser Leitstrahl r entspricht, so besitzt die Kurve eine diesem Leitstrahl parallele

Asymptote, falls für cp = a die Subtangente Wert behält.

einen endlichen

r² d (f>

— 179

§ 23. Beispiele.

1. Allgemeine Aufgaben,

a) Tangenten und Normalen.

Xs -f-    = aA,

welches zwischen den beiden Koordinatenaxen liegt, die konstante Länge a hat.

1) Aufg. Es ist zu zeigen, dass das Stück der Tangente an die Kurve

2) Aufg. Welche Bedingung muss zwischen s und ex bestehen, damit die Ellipse

1, wo e <C 1,

a² ^ a² (1 — £²)

und die Hyperbel

= 1, WO >- 1

X²

А² A² (ef — 1) sich unter rechten Winkeln schneiden?

Lös. Es muss ae = Ae₁, d. h. die beiden Kegelschnitte müssen konfokal sein.

3) Aufg. Betrachtet man in der Gleichung

2p 2 p² 4 p³

C als variablen Parameter, so soll für die durch diese Gleichung dargestellte Kurvenschar der Ort der Punkte bestimmt werden, in welchen die Tangenten der X-Axe parallel sind.

Lös. Der gesuchte Ort ist die Parabel x²—2py.

4)    Aufg. Auf welcher Kurve liegen die Punkte, in denen die Tangenten an die einzelnen Kurven der durch die Gleichung

y = Ce‘-{

sin X —f- cos X    л

2 ¹

dargestellten Kurvenschar mit der positiven X-Axe einen Winkel von 45° einschliessen?

Lös. Der gesuchte geometrische Ort ist die Kurve у — sin x.

5)    Aufg. Wenn eine Kurve A längs einer zweiten Kurve В in derselben Ebene rollt, ohne zu gleiten, so beschreibt irgend ein mit der Kurve A fest verbundener Punkt eine Rolllinie oder Roulette.

QC

Es soll gezeigt werden, dass die Normale in einem beliebigen Punkte der Roulette durch den entsprechenden Berührungspunkt der Kurven A und В geht. (Descartes.)

6) Auf g. Es ist der Satz zu beweisen: Bei reziproken Kurven sind, wenn man den Pol als Ursprung eines Polarkoordinatensystems nimmt, die Winkel, die ein Leitstrahl mit den Tangenten in seinen Schnittpunkten mit den beiden Kurven bildet, Supplementwinkel.

Lös. Ist eine Kurve durch ihre Gleichung in Polarkoordinaten r — f(<p) gegeben, so ist bekanntlich die Gleichung der reziproken Kurve:

B²

ip = (p, q — —- , oder q

B²

wobei B² konstant ist. Es folgt

W) ’

lg Q — lg B² — lg r

Ь' —n — i).

b) Asymptoten.

Es sind die Asymptoten folgender Kurven zu bestimmen:

7) Aufg. xy² — x-\-2y — 1 — 0.

0-

-1

Lös. X = 0, y — -f~ 1.

8) Auf g. уъ — 3 у² х— у х² + 2 х³ + у² — 6ху-\-Ьх²— — 2у + 2х + 1 = 0.

Lös. у — х, у — — X — 2, у — 2х-\-1.

иГ

9) Auf g. X у² + у X² = а³.

Lös. ж — О, у — 0, у —— X.

■JF-

10) Auf g. г cos у — a cos 2 <р.

_    7С

LÖS. (f = ^ , Ж

= y cos (f =■ — а.

sin 3 cp

11) Aufg. г² — а²

т    п    л

Lös. у = -g-, X = г cos (р = 0.

COS (f

12)    Aufg. r(p — a. (Hyperbolische Spirale.) Lös. у = r sin (p = a.

13)    Aufg. r cos 2 (p — a.

y±x=±i-

c) Singuläre Punkte.

Man bestimme die Wendepunkte folgender Kurven:

14) Aufg. » =

\Y

x% — a{2 -f- y/3), а 1 + у/З 4 2+y/T

Die drei Punkte liegen auf der Geraden у — а — — i- (x + а).

Lös.

а?! — — а, У\ —    «;

У2= —

x₃ = а (2 — д/З), а 1 — у/3 4 2— у/3 ‘

Уъ — —

15) Aufg. y —Sx⁵ — 2 я⁶.

Lös. x — 0, у — 0; х = 1, у — 1.

Die Gerade у — 0 ist eine fünfpunktig berührende Wendetangente. 16) Auf g. хъ — axy — V*y = 0. (Trident von Newton.)

■aF-

Lös.

x — 0, y — 0.

Lös.

Der Punkt x = — 1, y — — 14 ist kein Wendepunkt, er hat

17) Auf g. y = 3 x⁵ -j- ö xé — 10 X³ — 30 x² + 4 x -f- 8. X — + 1, y — — 20.

eine vierpunktig berührende Tangente.

18) Aufg. y — sin³#.

LöS> х==.пя, у — 0, wo w eine ganze Zahl bedeutet; x — arc tang (i V2)₅ У — (l)^*

19) Auf g. y = i X — I sin X -f TV sin 2 x.

JX'*'

Lös. Die Punkte ж = 2 ä: 7Г, у —kn, wo к irgend eine ganze Zahl bedeutet, sind Wendepunkte, welche beziehungsweise mit den Geraden у— kn fünf unendlich benachbarte Punkte ge-

mein haben. Die Punkte x — (2 k -f 1) n, y = wohnliche Wendepunkte.

——n sind ge-

и

20) Aufg. r =

Lös.

21) Aufg. r — a(fn.

Lös.

r = a[— n (n -f 1)]², <f> — [— n {n -fl)]⁵’.

Für n — — 1 verliert dieses Resultat seine Bedeutung. Die

ist bekannt

Spirale, die sich für n = — 4 ergibt, nämlich r² = ^

unter dem Namen Lituus. Sie besitzt einen Wendepunkt für r — a^2, (f =

Wenn in den folgenden drei Gleichungen a einen variablen Parameter bezeichnet, so wird der geometrische Ort der Wendepunkte sämtlicher Kurven der durch diese Gleichungen gegebenen Kurvenscharen verlangt.

X²

22) Aufg. y = ~-\-a sin ж.

/y»2

y=T + h

2x²

Lös.

23) Aufg. y

a² + ж² *

Lös.

У — \'

24)    Aufg. у— аех — х² — 1.

Lös.

у =■ — X² Ą-1.

Es sind die Singularitäten folgender Kurven zu untersuchen:

25)    Aufg. ж⁴— 2 ay³ — 3 a² y² — 2 a² x² -|- a⁴ = 0.

Lös. Die Kurve besitzt drei Doppelpunkte :

0, y— a\ ^| = + Vf ,

o- ÛIL--(- —

’ dx~-y]3 ’

0- ^ ₌ 4-A. ' dx —д/3

<?

-jf-

а, У —

x — — а, у —

26) Auf g. y⁴-f-ж⁴— 2 ay³-\-2Ъ X² y = 0.

Lös. Der Koordinatenanfangspunkt ist ein dreifacher Punkt. Die Tangenten an die drei Kurvenzweige sind bestimmt durch

^ = 0 und Ы =

dx

dx

+V¹-

— * а

27) Auf g. (x² -f- У²)³ — 4 a² x² y² = 0.

■JF-

Lös. Der Koordinatenanfangspunkt ist ein vierfacher Punkt. Die Koordinatenaxen sind die Tangenten an die vier Kurvenzweige.

28) Aufg. ж⁴ + У⁴" — 2 a² (ж² -f- У²) + я⁴ — 0.

Lös. Dier vier Punkte

0, y = ±a; || = ±Vł. 0;

CL Cu

x — + dj У—

Die vorliegende Kurve zerfällt in die beiden Ellipsen

sind Doppelpunkte. Wenn eine Kurve vierter Ordnung vier Doppelpunkte besitzt, so muss sie in Kurven niedrigerer Ordnung zerfallen.

x² -f ^2~x У + У¹ — «² = 0 und ж'² — V² » У + У² — «² = °-

29) Aufg. ж⁴ -j- ж² у²— 6 ах² уа²у² = 0.

-Z&-

Lös. Die Kurve berührt sich selbst im Koordinatenanfangs-punkte, und die X-Axe ist die gemeinsame Tangente der sich berührenden Kurvenzweige.

30) Aufg. {by — cx)² — (x — a)⁵ = 0.

Lös. Die Kurve kann auch dargestellt werden durch die Gleichungen

x — a-j-1²,

у (« C -f C ^ -f t⁵).

Der Punkt x = a, у = ™ ist ein

7F-

singulärer. Die Tangente in diesem

Punkte hat die Gleichung

ас c .    .

У--~ = у {x — a).

Bezeichnet man die Koordinaten eines Kurvenpunktes in Bezug auf diese Tangente als Abszissen- und die zugehörige Normale als Ordinaten-axe mit £ und rj, so hat man zu setzen

ас.Ъ

, i) = b.

ас с , V y — ----— (ж — a)

У — у + — & — a)

y/b² -f- с²

лЬ(Чг' + Т>- '

yjb² -f- с²

wodurch man erhält

y/b² + c²

Da hier m — 2, n — 5 ist (vergl. § 22), so bildet die Kurve in dem betrachteten Punkte eine Spitze erster Art.

31) Aufg. y — Ь — (x— ар-\-{х— а)⁴. Lös. Setzt man x— а — t¹² — %

у — Ь = tŁ -f- t⁹ = S,

о'

-2F-

so ist m = 4, n —12. Folglich ist der Punkt x = a, y — b ein Rückkehrpunkt zweiter Art; die Tangente in diesem Punkte ist der y-Axe parallel.

32) Aufg. xL — ax’* y — a x y² -}- -----

-в-

Lös. Drückt man x und y als Funktionen der dritten Veränderlichen t aus, wonach z. B.

x = at²,

2at± y~l + 2t

so erkennt man, da m — 2, n — 4, dass die Kurve im Koordinatenanfangspunkte eine Spitze zweiter Art bildet. Die X-Axe ist die zugehörige Tangente.

33)    Aufg. (y² — x²)²— ж⁴ sin ж —0.

Lös. Betrachtet man nur Punkte

/>

der Kurve, die in dem Intervall von x = 0 bis x — n liegen, so findet man, dass im Koordinatenanfangspunkte sich vier Zweige der Kurve zu zwei Spitzen

erster Art vereinigen. Der Punkt x —

и

у — 0 ist ein Doppelpunkt, dessen Tangenten bestimmt sind durch die Gleichung

dy

= + — . dx — 4

34)    Aufg. x — r (cp — sin (p),

у = r (1 — cos (f ). (Zykloide.)

Lös. Entwickelt man sin (p und cos cp nach steigenden ganzen Potenzen von cp, so wird

x=r^

-) = Ç

'S

Da hier m — 2, n — 3 ist, so sind der Koordinaten anfangs-punkt und die Punkte x—2kn,y = Q, wo к irgend eine ganze Zahl bezeichnet, Rückkehrpunkte erster Art. Die Tangenten in diesen Punkten sind der F-Axe parallel.

35) Aufg. asy² — 2 a² {a + x) x y -f- а (а + x)² x² — ж⁵ = 0. Lös. Zunächst kann man schreiben x = at²,

y —a (t² -И⁴ + t⁵),

•Я-

•tH

ec

und man erkennt, dass der Anfangspunkt der Koordinaten ein singulärer Punkt ist. Wählt man hierauf die Tangente in diesem Punkte ^ у — x = 0 und die Normale y -f- x — 0 zu neuen Koordinatenaxen, so erhält man mittelst der Formeln

— 190

У+х „ — У ß ’ п~ i —%<ï е + +

n=-1 «* + «»).

Die Kurve besitzt somit im Punkte x — 0, у — 0 eine Spitze zweiter Art.

36) Aufg. {y + x + l)² = (l—x)b.

Lös. Werden die Koordinaten eines Punktes der Kurve ausgedrückt durch eine dritte Veränderliche t

x — 1 = — t²,

У + 2 = t² -f- t⁵,

so ergibt sich, dass der Punkt x = 1, у — — 2 ein singulärer ist. Die Tangente in diesem Punkte hat die Gleichung {y -f- 2) -j- (x — 1) — 0. Macht man nun diese Tangente zur Abszissen-, die zugehörige Normale zur Ordinatenaxe eines neuen Koordinatensystems vermittelst der Formeln

АЛ

(у + 2) + (ж—1)    _ — (y + 2) + (^— 1)

V2

so wird

v/2

-Чг.

2 г² -и⁵ г5 V2 ’ V~ß’

und mau erkennt, dass die Kurve in dem betrachteten Punkte eine Spitze erster Art besitzt.

37) Aufg. yb-\~ax^— b²xy²=-0.

Jr

-r-

Lös. Im Koordinatenanfangspunkt besitzt die Kurve einen dreifachen Punkt, einen Wendepunkt und eine Spitze erster Art.

Anmerkung’. Die meisten in dieser Nummer enthaltenen Kurven finden sich in dem Werke von Cramer: Introduction à l’analyse des lignes courbes. (Genf 1750.)

19i —

d) Berührung- der Kurven.

38) A uf g. Man zeige, dass sich sämtliche Kurven, deren Gleichung ist, indem n verschiedene konstante Werte beigelegt werden, in dem Punkte a, b berühren.

39) Aufg. Man bestimme die Parabel, deren Axe der Ordinaten-axe parallel ist und welche mit der Kurve

* = T'

im Punkte x — a, y — a einen Kontakt von möglichst hoher Ordnung bildet.

Lös. Die Gleichung der Parabel ist

(x

a\² a ( a\

y) ~ Tw t) ’

40) Aufg. Es ist zu zeigen, dass der Kreis x² -\- У² — 6 (x y) 10 — 0

und die Kurve

yjx + \!y = 2

im Punkte x — y = 1 einen Kontakt dritter Ordnung mit einander eingehen.

41) Aufg. Es sollen die beiden Parabeln bestimmt werden, deren Axen den Koordinatenaxen parallel sind und welche im Punkte x — a, y = 2 a mit dem Kreise x² + У² — 5 a² einen Kontakt zweiter Ordnung bilden.

Lös. Die Gleichungen der gesuchten Parabeln sind (    8 a\²    2 а П a \

und

а Л²_ 16a/ll

~b) - VT

42) Aufg. Es ist der geometrische Ort der Mittelpunkte derjenigen Ellipsen zu bestimmen, deren Axenrichtung bekannt ist und welche mit einer gegebenen Kurve in einem gegebenen Punkte derselben einen Kontakt zweiter Ordnung bilden.

(x

y)‘

I—¹-

CC

tc

Los. Der gesuchte Ort ist eine gleichseitige Hyperbel, welche durch den gegebenen Punkt geht.

43) Aufg. Von welcher Ordnung ist die Berührung der beiden Kurven

x — 2 (у — sin (f ) у = 2 (1 — cos (f>) im Koordinatenanfangspunkte ?

Lös. Die Ordnung des Kontaktes ist 4.

und y = (3x)

44) Aufg. Von welcher Ordnung ist die Berührung der beiden Kurven

у — X¹ und y — x⁵

im Koordinatenanfangspunkte?

Lös. Die Ordnung des Kontaktes ist (In dem Werke: Traité de calcul diff. et de cale, intégral von J. Bertrand wird im I. Teil, pag. 571 irrtümlich ^ als Ordnung des Kontaktes angegeben.)

e) Krümmungsradien und Evoluten.

45)    A uf g. Man bestimme die Asymptoten der Evolute der Kurve

y = tang X.

46)    Auf g. Wird der Krümmungsradius in irgend einem Punkte einer Kurve mit q bezeichnet, so soll bewiesen werden, dass der Krümmungsradius der Evolute dieser Kurve in dem entsprechenden

d<! ist

Punkte q

47) Aufg. Man berechne den Krümmungsradius der Kurve

r — a sin 2 (f.

Lös. q =

(4 a² — 3 r²)'¹ '

8 a² — 3 r²

48) Aufg. Man bestimme den Krümmungsradius für die Pascal’sche Schnecke. r — a -j- b cos (f.

Lös. (> —

(b² -j- 2 a r — a²) Sar 2b² — 2a²’

- 193

49) Auf g. Es soll die Evolute der logarithmischen Spirale

r =

gefunden werden.

Lös. Bezeichnet p den Abstand des Poles von der Tangente in einem beliebigen Punkte der Kurve, so kann die Gleichung der Kurve auch geschrieben werden in der Form

p vi + c«)¹'

Wenn r und p dieselbe Bedeutung für die gesuchte Evolute haben, wie r und p für die gegebene Kurve, so hat man die Beziehungen

dr

p ¹ — Г¹ — p¹, r'¹ — r¹-f- (?¹ — 2 P Q, Q — r — . Führt man für q seinen Wert ein, so erhält man

V V¹ + (Z a)¹ ’

d. i. die Gleichung einer Spirale, welche der vorgelegten ähnlich ist.

50) Aufg. Es soll bewiesen werden, dass in solchen Punkten einer gegebenen Kurve, in welchen der Krümmungsradius einen grössten oder kleinsten Wert erreicht, der Krümmungskreis mit der gegebenen Kurve einen Kontakt dritter Ordnung bildet.

13

А    Ъ² р

у — — und п — —* = — аг а

dy_р -f-пх

dx

Die Gleichung- der Tangente an einen Punkt {x, y) ist , pÄ^nx ,    ,₄

y — y —    —(x — x)-

Für x

— 0 wird у — ~~ ; hieraus die einfache Konstruktion У

einer Tang-ente im Punkte {x, y) eines Keg-elschnittes. Der Aus-

druck у

wird für die Parabel — \ у. Da für у =. oo auch

y — oo ist, so hat die Parabel keine Asymptote. Für die Ellipse und Hyperbel ist

±Vf+*

со

У -j-д/2 yx -f- пхг

Für x =oo erhält man nur hei der Hyperbel den Grenzwert у — ^— 4- b, wenn man für p und n die oben an-±л!п —

gegebenen Ausdrücke einsetzt. Es hat also die Hyperbel zwei Asymptoten. Setzt man in der obigen Gleichung der Tangente x = oo und y — 0, so erhält man bei der Hyperbel das zu у — 0 gehörige x —— a.

Die Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel sind also У iL ₌ i und    *. = 1.

Für die Parabel ist die Gleichung der Tangente:

y — y —

die Gleichung der Normale:

y — y' — —

—, (x — x) oder: у у =p (x-j-x); У

— (x — x).

p

T — \/2 p x -(- 4 x²~ \jy'2Jr 4 a/²,

N—^p (2x -j-p) = уУ² -f- p²,

St— 2 x,

Sn — p, also konstant.

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind X = 3 X -f - p,

p2 •

Y= —

Der Krümmungshalbmesser ist (2 x'-j-p)⁷ _    (y'²+P²)

p2 •

Die Gleichung der Evolute wird (X-p)³

y 2 — _8

i>

ж²

Ist die Gleichung der Parabel 2jiy, so ist

ж³

2р² + 3ж'²    _ (р2_|_ж'2)

„9    1 Q - -„Я

p2

j)²

Die Gleichung der Evolute ist:

F— p — f Xs .

Die Gleichung der Ellipse und Hyperbel, bezogen auf dereu Mittelpunkt als Anfangspunkt, lautet:

i.

u² — &²    ' dx

X²

— b²x

a²y ‘

Für einen Punkt (ж', у') der Kurve ist die Gleichung der

Tangente

_    zv/

y—y'=+^(*—

oder

XX

а²    Ъ²

Diese Gleichung gilt sowohl für ein rechtwinkliges, als auch für ein schiefwinkliges Koordinatensystem.

Für у — 0 wird    a². Die Konstruktion der Tangente

an eine Ellipse oder Hyperbel in einem gegebenen Punkte (ж', y) derselben und ebenso von einem gegebenen Punkte ausserhalb derselben ist hiernach leicht. Um die letztere Aufgabe zu lösen,

13*

l9é —

lege man durch den gegebenen Punkt die X-Axe, suche zu derselben mit Hülfe einer bekannten Eigenschaft konjugierter Durchmesser die F-Axe und konstruiere die Abszisse des Berührungspunktes der gesuchten Tangente mittelst der Gleichung

, a²

X = —.

Die Gleichung der Normale ist für das rechtwinklige Koordinatensystem

a²y

oder

(,X — x),

y — y— d

+ y°a? = x' y +

— b² x

Für den Kreis ist b — a, also der Ausdruck rechts = 0, d. h. die Normale geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Setzt man in der Gleichung der Normale y = 0, so ist das zugehörige a² + b²

x = x 0 a£

Hyperbel bedeutet. Es ist ferner

x e², wenn e die Exzentrizität der Ellipse oder

b²

Sn — -\~—^x

8t =

a² — x²

Die Subtangente ist also unabhängig von b.

Für den Krümmungsradius ergibt sich

(a⁴ y² -f- fe⁴ X²)

a⁴ 6⁴

-в-

« — -Л-.уу

га    Die Koordinaten des Mittelpunktes

der Krümmung ergeben sich За-    _у_ (а*У² + № X²) y

aus

a² 6⁴

X-X=:~i

(a⁴ ^² -f- i⁴ ж²) ж

а⁴ 6²

Die Gleichung der Evolute der Ellipse und Hyperbel ist, wenn a² + b² — c² gesetzt wird,

2    2,2    2    4

а? X? + V*Y* — cT.

Die Gleichung der Hyperbel in Bezug auf die Asymptoten ist

_a² -f-6²> dy у

4    ’ dx    x

-Ni

wo das Koordinatensystem im allgemeinen ein schiefwinkliges ist. Die Gleichung der Tangente ist

x i У —i

2x~r2y'

wonach sich dieselbe leicht konstruieren lässt.

Fl

St = — x.

Eine andere Darstellungsweise der Ellipse besteht darin, dass man die rechtwinkligen Koordinaten eines beliebigen Punktes der Kurve durch eine dritte Veränderliche cp ausdrückt:

x — a cos cp, у— b sin cp.

Ebenso kann die Hyperbel dargestellt werden durch die Gleichungen

у — Ъ tang cp.

x — a sec cp

Man führe die den vorhergehenden analogen Untersuchungen für diese Darstellungsweise der Ellipse und Hyperbel aus.

3. Höhere algebraische Kurven.

52) Auf g. Es sollen die hingehörigen Stücke für die unter dem Namen der Zissoide des Diodes bekannten Kurve bestimmt werden.

-t-

<kfr

Lös. Ein beliebiger Punkt der Kurve wird auf folgende Weise gefunden: An einen Kreis vom Radius r werden zwei parallele Tangenten А В und C D gelegt und vom Berührungspunkt О der Tangente А В aus wird eine beliebige Sekante gezogen. Der Schnittpunkt der letzteren mit der Tangente C D sei E. Wenn man nun von E aus rückwärts auf die Sekante die Länge der

Sehne, welche von der Sekante durch den Kreis ab geschnitten wird, abträgt, so ist der zweite Endpunkt dieser Strecke, P, ein Punkt der Kurve. Wählt man die Verbindungsgerade der Berührungspunkte beider Tangenten zur X-Axe, die Tangente А В zur Y-Axe, so lautet die Gleichung der Zissoide: x³ — y² (2 r — x) ;

ihrer Tangente:

y — y-

ihrer Normale:

3 x² -j- у'²

2у (2r — x)

(x — x) ;

(x — x) ;

2y' (2 r — x)

3 ж'² -j- г/²

Sn

x'(2 r — x)

Sr — x

x² (Sr—x)

(2r-х')² ’

8 r— Sx 2 r — x r x' \[x (8 r — 3 x)

(2 r — хУ '

T Sr — x’\

N=

Der Krümmungshalbmesser wird r yjx (8 r — Sx)*

3 (2 r — x')²

wobei das obere Zeichen dem oberen, das untere dem unteren Zweige der Kurve entspricht.

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes:

Y—

8 ry/x

ry

3 д/2 r — x    x

r x (12 r — 5 x) 3(2 r — x')²    ’

Gleichung der Evolute:

27 Г⁴ + 1152 r² Y² -f 4096 r³ X= 0.

Sr²

Die Kurve besitzt im Anfangspunkt der Koordinaten einen Rückkehrpunkt der ersten Art; die Tangente in diesem Punkte ist die X-Axe. Die Gerade x = 2 r ist eine Asymtote der Kurve. Da d²y

dx²

\/x (2 r — x)b

immer dasselbe Zeichen wie die Ordinate у hat, so kehrt die Kurve stets ihre konvexe Seite der X-Axe zu.

53) A uf g¹. Es soll die Lemniskate untersucht werden.

Lös. Eine Entstehungsweise der Lemniskate ist folgende: Fällt man von dem Mittelpunkte einer gleichseitigen Hyperbel auf die Tangenten dieser Kurve Lote, so ist der geometrische Ort dieser Fusspunkte die unter dem Namen Lemniskate bekannte Kurve, deren Gestalt die einer liegenden Acht ist.

Die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel sei x²—y²=a²', die Gleichung der Tangente ist

■9F-

~T

1)    xx₁ — yyl = a², die Gleichung der vom Mittelpunkte auf die Tangente gefällten Senkrechten

2)    « Vi + У = °-Durch Verbindung der beiden Gleichungen (1) und (2) mit der Gleichung x\ — y% — a² erhält man die Gleichung der Lemniskate:

(x² -f- y²)² — а² (x² — y²) — 0.

Wählt man Polarkoordinaten, so wird T² — а² cos 2 у.

Hieraus ergibt sich

dy x.(a² — 2x² — 2 y²) cos у. (1 — 2 cos 2 y)

dx    у ■ {а²    2ж² + 2у²)    siny . (1-J- 2 cos2y) ’

1 dr r d<i>

dr

— — tang 2 у.

dtp

a sin 2 у Vcos 2 у ’

Die Grösse — ~ ist die trigonometrische Tangente des r d(f

Winkels, welchen die Normale mit dem Radius vector bildet. Aus der letzten Formel folgt, dass dieser Winkel doppelt so gross ist, als der Winkel, den derselbe Radius vector mit der Abszissenaxe einschliesst.

Der Krümmungshalbmesser wird

а²

Syjx'²-{-у'²    3\/cos2 у

X {а² 4“ ж'² -)- у"²)

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes:

2    a . sin³ (p m

3    д/cos 2 (f

7=

у (а² — X'² — у’²)

3 (ж'² + у'²)

3 (ж'² -f- y'²)

2 а. cos³ ff

3\/cos 2 (f

Die Gleichung der Evolute wird

3 (X* + ТЬ (X* — F*)* = 2 а.

Da in der Gleichung der Lemniskate (in rechtwinkligen Koordinaten) das konstante Glied und die Glieder erster Ordnung fehlen, so besitzt die Kurve im Nullpunkte einen singulären Punkt und zwar einen Doppelpunkt. Die gleich Null gesetzten Glieder zweiter Ordnung ж² — у² — 0 liefern die Tangenten an die beiden Kurvenzweige, welche sich in diesem Punkte schneiden.

Der Nullpunkt ist für beide Zweige ein Wendepunkt.

Man bestätige, dass die höchsten und tiefsten Punkte der

a2

Lemniskate auf dem Kreise ж² -f- y² = liegen.

и

Zusatz. Die Grundlinie eines Dreiecks ist gegeben. Man soll den Ort des Scheitels finden, wenn das Produkt der Seiten dem Quadrate der halben Grundlinie gleich ist.

Auflösung. Der Ort ist eine Lemniskate von der Form (ж² -f- У²)² + 2 m² (;у² — ж²) = 0.

Die halbe Axe der Lemniskate ist also — m yj2.

Die Aufgabe lässt sich noch allgemeiner fassen. Gegeben seien die „Brennpunkte“ F und F' in fester Lage mit der Entfernung 2 a. Es soll der Ort der Punkte bestimmt werden, für den das Produkt seiner Entfernungen von den Brennpunkten gleich der Konstanten c² ist.

Nimmt man FF' als Abszissen, die Mittelsenkrechte darauf als Ordinate, so wird die Kurvengleichung

(ж² -f- y²)² — 2 а² (ж² — у²) — с⁴ — а⁴.

Lässt man c variieren, so erhält man die in der Optik wichtigen „Cassini’schen Kurven“. Ist c — a, so erhält man als Spezialfall die Lemniskate.

Die Gleichung der Tangente ist

(x — x) ;

54) Aiifg. Untersuchung der Konchoide des Nicomedes.

Lös. Denkt man sich eine gerade Linie und zwar, um die Begriffe zu fixieren, in horizontaler Lage, unterhalb derselben in der senkrechten Entfernung h einen Punkt, den man den Pol der Konchoide nennt; zieht man alsdann von diesem Pol aus gerade Linien durch die feste Gerade und schneidet auf ihnen oberhalb und unterhalb des Durchschnittspunktes eine konstante Grosse a

ab, so erhält man dadurch zwei Punkte, welche respektive zur oberen und unteren Konchoide gehören. Nimmt man die gegebene feste Gerade zur X-Axe, die von dem Pol auf diese gefällte Senkrechte zur F-Axe an und zwar so, dass zur oberen Konchoide die positiven Werte der у gehören, zur unteren dagegen die negativen, so wird die Gleichung der Konchoide

у² x²

(У + b)²

+ У¹ — a²,

oder

?/⁴ -f- 2 b y³ -f- {,X² -{- b² — a²) y² — 2 a² b у — a² b² = О,

oder

b-±i^p.

Für das obere Zeichen -f- ist alsdann

dy

dx

y²\la² — y2 у³ а²Ъ~ ’

d² у а² у³ (2 а²Ъ — у³ — 3 Ъ у²)

dx²

(у³ -(- а² Ъ)³

y'²\ja² — у ²

Y=

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind Ъ fa⁴ b² — y'³ (y'³ — S a² y' — За² b)]

y³ [2a²b — y'³ — Sb y²]

ссЫ

die Gleichung der Normale ist

y-frV'-

y i\a* — уй

a\//⁴ + 2 b у'³ -|- а² Ь²

у у]а² —у'²

St

у'³ -f- а² Ъ

у'л!а² —у'² ’

а у' \V⁴ ~\- % Ь у³ -{- а² Ъ²

Sn

у'³ у] а² — у'²

у'³ + а²Ъ

Der Krümmungshalbmesser wird

а (у ⁴ + 2 Ь у'³ -(- а² Ь²У /3(2 а²Ъ — у³ — ЪЬу²У

у³ а² Ъ

6 (2/+ 3 5) (a²-/²) y (2 a² b — y'³ — 3 b y²) '

Die X-Axe ist eine Asymptote der Kurve.

Der zweite Differentialquotient = 0 gesetzt, gibt y³ -f- 3 b y² — 2 a² b — 0.

Die Wurzeln dieser kubischen Gleichung geben die Ordinaten der Wendepunkte, welche aber hinsichtlich ihrer Realität näher zu untersuchen sind. Hierbei stellt sich eine Verschiedenheit heraus, je nachdem b grösser als a, oder b kleiner als a ist. Der Punkt x — O, y ■=■ — b des unteren Zweiges der Kurve ist ein Doppelpunkt, oder ein Rückkehrpunkt erster Art oder ein isolierter Punkt, je nachdem ьЩа ist.

Anmerkung. Wenn man auf der ursprünglich als fest angenommenen Geraden eine Ellipse so fortschiebt, dass ihre grosse Axe stets in dieser Linie liegt und von dem angenommenen Pol der Konchoide gerade Linien durch den Mittelpunkt der Ellipse zieht, so werden die beiden Durchschnittspunkte in der Peripherie der Ellipse Punkte einer Kurve, die man elliptische Konchoide nennt. Ebenso erhält man auch eine parabolische und eine hyperbolische Konchoide. Wo vorhin die vom Pol ausgehende gerade Linie durch den Mittelpunkt der Ellipse gezogen wurde, wird sie bei den beiden letzteren durch einen beliebig angenommenen, Punkt der bezüglichen Axe zu ziehen sein.

55) Aufg. Es soll das Folium von Descartes untersucht werden.

Lös. Die Gleichung dieser Kurve ist x³ -f У³ — axy = 0.

[Г

I/

Hieraus folgt

-de-

3 X² — а у 3 у¹ — ах

Der Anfangspunkt der Koordinaten ist ein Doppelpunkt, und die Koordinatenaxen sind die Tangenten in demselben. Die Kurve besitzt eine (blattförmige)

dx

Schleife und zwei unendliche Äste. Die Gerade y =

X ₃

ist eine Asymptote der Kurve. Der höchste Punkt des Blattes hat die Koordinaten

д/2 . a = а . 0,42 .. д/4 . a = а . 0,53 ....

У =

Der Scheitel des Blattes liegt auf der Geraden y — x und hat die Koordinaten

x — y— \a.

Der Krümmungsradius ist im Koordinatenanfangspunkte und zwar für beide Kurvenzweige = | a, im Scheitel = XV а д/2.

56) A uf g. Man untersuche die Kurve, welche dargestellt wird durch die beiden Gleichungen

X = t²,

y = t — it³.

&■-

Die Ordinate wird gleich Null für t~ 0 und £ — + д/З • Demnach schneidet die Kurve die Abszissenaxe im Koordinatenanfangspunkte und in dem Punkte x = 3, y — 0. Der letztere ist ein Doppelpunkt.

Es wird

dx

dt 2t’

Ш = 1 — t².

dt

Ein Maximum der Ordinate tritt ein im Punkte x = l, у —-f für t — -J- 1, ein Minimum im Punkte x — 1, y = — f für t — — 1. Im Doppelpunkte sind die Tangenten bestimmt durch

(a = ± 30°).

dx

Ferner wird

d s — (1 -f- Г) d t,

е = -И1-Н²)².

Im Koordinatenanfangspunkte ist

Q - Ï!

im höchsten und tiefsten Punkt

(< = + l) q = — 2

im Doppelpunkt

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind

X= +t² — -

Y— — i t³.

Durch diese beiden Gleichungen ist die Evolute der Kurve bestimmt; sie besitzt in dem Punkte X= 4, Y = 0 (m = 2, n = 3) eine Spitze erster Art.

4. Transzendente Kurven.

57) Auf g. Es soll die Kurve untersucht werden, deren Gleichung y — cos ж — £ cos 2 X.

Lös. Aus der Kurvengleichung folgt

dy_

dx

ist

ir

r—*\

К......

4 v dby ix/ }■. dx²

/    ТУГ

—    sin X -f ł sin 2 x =

= sin X (cos X — 1),

—    cos X ~j- cos 2 X —

— — 2 sin IX sin \ X. In den höchsten Punkten ж = 0, 2 7г, 4 7Г, .. .2kn, y = i, wo к irgend eine ganze Zahl bedeutet, hat die Tan

gente vier unendlich benachbarte Punkte mit der Kurve gemein,

Tiefste Punkte treten ein für x — n, 3 n, ... (2 к -f- 1) n, у — — Wendepunkte für x — ^n, f тг, f тг, + n,

y = (W 3)³.

Ferner wird

ds =

Y 1 + 4sin²# . sin⁴y -dx

(д/ 1 + 4 sin² ж sin⁴

cos 2 ж — cos ж

Demnach wird g — | für die tiefsten Punkte der Kurve, für die Wende- und höchsten Punkte natürlich — oo.

58) Aufg. Man untersuche die Kurve, deren Gleichung ist у == \ x — sin x + I sin 2 x.

Lös. Die Punkte, deren Abszissen x = 0, n, 2 n, ... kn sind, wo к irgend eine ganze Zahl bedeutet, liegen auf der Geraden y = \x.

Es ist

dx

jr

"v *

d²y

dx²

sin x — sin 2 x.

Die Ordinate erreicht ein Maxi-4k — 1

mum für x —

uiw

71, ...

¥~*’

7Г, . .

ein Minimum für x = \n,

4Ä+1 2 7Г'

Wendepunkte treten ein für x = 0, 2 n, 4 n, ... 2 к n und

für X = . . .-\n, n,

Ferner wird

d s— д/l + cos² x — 2 cos³ x + cos⁴ x . d x,

odes

MOI

2Ä + 1

.. —3—^.

_ (д/l + COS² X — 2 COS³ X + cos⁴ x)3 ^    sin x — sin 2 ж

59) Aufg. Es soll die logarithraische oder logistische Linie untersucht werden.

Lös. In dieser Kurve schreiten die Ordinaten in arithmetischer Progression fort, während die Abszissen in geometrischer Reihe wachsend angenommen werden. Ihre Gleichung wird

y — m .Ix.

dy_m

dx²    X² ’

Die Gleichung der Tangente wird

dy X

, m ,

-3E-

T — Ix д/m² -j-x'²,

У — У =—r(x — x),

die Gleichung der Normale wird

У — У = — -Z7    — x')-

St = x'Ix

cc

O.'

X y'

m²

t

N — ^r\Im² -\-x'²,

Sn = —rix —~rm.

Die Subtangente in Bezug auf die F-Axe ist — m. Der Krümmungshalbmesser

(m² -j- x'²)J

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden 2x² -(- m²

Y—m.lx

m² -j- x² ,    m² -f- x²

-!- ZZZ у--

m    m

60) Aufg. Es soll die Quadratrix des Dinostratus untersucht werden.

Lös. Wenn man eine gerade Linie um einen festen Endpunkt bewegt denkt, so dass ein Kreisbogen und zwar zunächst ein Quadrant entsteht, so möge die erste Lage des bewegten Radius eine vertikale gewesen sein und die Ordinaten- oder F-Axe vorstellen, seine letzte Lage, die horizontale, die Abszissen- oder

X-Axe. Denkt man sich nun auf dem bewegten Radius in einer seiner Lagen einen Punkt so bestimmt, dass der bis dahin beschriebene Bogen sich zum ganzen Viertelkreis wie r₀ — у zu r0 verhält, so gehört dieser Punkt der Quadratrix an. Nimmt man nun noch an, dass der Winkel, den der bewegte Radius noch zu beschreiben hat, bis er in die horizontale Lage kommt, sich zu zwei Rechten verhält so wie у : /г, so hat man als Gleichung der Quadratrix:

2 y y — -—

'S    TT' y — x. tang y;

*o-

7Г. tang y

Um den Durchsclmittspunkt der Kurve mit der letzten Lage des bewegten Radius, d. h. mit der Abszissenaxe zu erhalten, muss man y — 0 setzen; es wird aber dann x = %} oder, wenn man nach der gewöhnlichen Methode den wahren Wert bestimmt,

2 r₀

Bequemer werden die nötigen Ausdrücke, wenn man neben y noch den Radius vector r statt der rechtwinkligen Koordinaten in die Rechnung einführt; es wird dann y — r sin y, x — r cos y, also die Gleichung der Kurve

¹

Kegelschnitte.

51) Aufg. Es soll die allgemeine Gleichung der Kegelschnitte untersucht werden.

Lös. Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes ist y¹ — 2 p X -(- n X¹,

wo für den Fall, dass n = 0 wird, die Gleichung y¹ = 2px die der Parabel ist; y¹=2px — n x¹ ist die Gleichung der Ellipse und y¹ — 2px-\- nx¹ die der Hyperbel. Die Grösse 2 p heisst der Parameter der Kurve und ist die durch den Brennpunkt gehende, auf der Hauptaxe senkrecht stehende Sehne.

Heissen a und Ъ resp. die halbe Haupt- und Nebenaxe der Ellipse und Hyperbel, so ist

Sohnoke’e Aufgabensammlung. I.

2n, (p .

71

siny ’

mithin

är _ 2 r₀ sin у — у . cos у

Sh К

sin² у

2 r₀ y . (1 -j- cos² y) — 2 sin y . cos y sin³ y

dy²

Der Krümmungshalbmesser wird

7Г

r₀ (sin² y — 2 y . sin y . cos y + sin³ y (sin y — y . cos y)

x = r₀. cos cp

oder

Die rechtwinkligen Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes

werden

r₀ sin² cp — 4 cp sin cp cos cp + </>² (1 + 2 cos² cp) sin cp . (sin (p — cp . cos (p)

X=

71

r₀ sin³cp cos cp + cp sin² cp (1—4 cos² cp) + cp² sin cp cos cp (1+2 cos² cp)—cps

TT

sin³ cp (sin cp — cp cos cp)

Um zu untersuchen, ob die Kurve Asymptoten hat, muss man

dcp

in den Ausdruck der Polarsubtangente r². den Radius vector r

unendlich setzen oder denjenigen Wert von cp, welcher aus der Gleichung der Kurve dem unendlichen r entspricht, und dann zusehen, ob die Polarsubtangente einen endlichen Wert erhält.

Setzt man aber in r =    den Kadius vector r—

n sm cp

oo, so wird

cp —Ti, 3 7i, 2 7i, ... mithin r² .    — —-

dr

cp²

2r₀,

71 sin cp — cp . cos cp — 4 r₀, +6 r₀, — 8 r₀, ... Die Kurve hat also unendlich viele Asymptoten.

Anmerkung. Ganz ähnlich gibt die Quadrat-rix von Tschirnhausen als Gleichung

-3i

2 cp

und

71 V

X — r₀ . COS ~ .

2r₀

61) Aufg. Untersuchung der Kettenlinie.

Lös. Denkt man sich eine vollkommen biegsame, aber schwere Linie in ihren beiden Endpunkten an zwei Punkten befestigt, aber so, dass sie nicht gespannt ist, so bildet sie bekanntlich die Kettenlinie. Die Gleichung der Kettenlinie ist

X —ml

Für x = 0 wird у = m.

y— \m\em + e mJ ;

2/d=V?/²

— m²

Es ist

bl

B as

tcjh*

to

Hieraus ergibt sich leicht eine Tangentenkonstruktion. Ferner wird

ds

St =

f -

m \em -f- e

ж\²

m J

71

em — e m

x\2 m) ;

N = — (em + e

q = N.

Die Kettenlinie besitzt also gemeinsam mit dem Kreise die Eigenschaft, dass in jedem Punkte der Kurve Normale und Krümmungsradius ihrem absoluten Betrage nach einander gleich sind. Jedoch liegen sie bei der Kettenlinie nach entgegengesetzten Seiten, bei dem Kreise nach derselben Seite, nämlich nach dem Mittelpunkte zu.

/ 2_X    _ 2зЛ

X — x — \m\em — e m),

( ~

Y = m \em —

Die Gleichung der Evolute wird

X=ml

(Y± \/Y²Yy/Y* — 4 m2 V 2 m '

Über die Gleichung der Kettenlinie sehe man nach: Theorie der Potentialfunktionen von Gudermann, Berlin 1833. S. 84.

14

Sohneke’a Aufgabensammlung. I.

62) Auf g¹. Untersuchung der Kreis evolvente.

Lös. Wenn in dem Falle der gewöhnlichen Epizykloide der Radius des rollenden Kreises unendlich gross wird, so nennt man die entsprechende Kurve Kreisevolvente. Diese wird demnach durch einen beliebigen Punkt einer Geraden beschrieben, welche sich, ohne zu gleiten, auf einem Kreise ab wälzt. Wählt man die Verbindungsgerade des Kreismittelpunktes О mit dem Berührungspunkt der beweglichen Geraden in irgend einer ihrer Lagen zur X-Axe, die in О darauf Senkrechte zur X-Axe, so erhält man für die rechtwinkligen Koordinaten eines beliebigen Punktes der Kurve die Gleichungen

X — r (cos (f -f- cp sin cp), y — r (sin (p — (p cos ф), wo r den Radius des festen Kreises und ц> den Zentriwinkel des abgewickelten Kreisbogens bezeichnet.

Hieraus folgt:

dx

dy

—— — r cp cos w,    = r w sin w,

dw    d(p

tang а —

dy

dx

— tang(p, also a = (p]

d s — r (f d (f, q ~ r (f.

Es ist also der Krümmungsradius gleich der Länge des abgewickelten Kreisbogens. Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind

X — r cos (p,

Y — r sin (p,

woraus

X² + Г² = r².

Die Evolute der Kreisevolvente ist mithin, wie nach der Entstehungsweise der Kurve erwartet werden musste, der gegebene feste Kreis.

63) Aufg. Es soll die Traktrix von Huygens untersucht werden.

Lös. Diese Kurve hat die Eigenschaft, dass für jeden Punkt derselben das Stück der Tangente, gerechnet vom Berührungs-punkt bis zum Schnitt mit der X-Axe, die konstante Länge a hat. Demnach ist

— a oder

je nachdem x negativ oder positiv ist.

X.

Die endliche Gleichung ist

a -f- л]а² — y²\ У '

t4

rH

Hb x — у/à² — y² — al(4

je nachdem y positiv oder negativ ist.

Hierbei liegt der Anfangspunkt der Koordinaten in demjenigen Punkte, in welchem die Tangente der Kurve die X-Axe unter rechtem Winkel schneidet.

Ferner wird

d²y

a²y

dx²

iß² — У²)² ’

T = a,

ay

y/a²— y² '

Sn

yja²— y²

aYEzjL.

et —j— ^ d² —

a²

Y= —

Die Gleichung der Evolute wird

Y= +

% G° + e

14*

to

so

Die Evolute besteht also aus zwei Kettenlinien, von welchen die eine über, die andere unter der Abszissenaxe liegt.

Die Kurve hat vier Äste, welche bei den Punkten

(x = 0)    (x = 0 I

\y=4 und {»=-.(

Eückkehrpunkte oder Spitzen der ersten Art bilden. Die X-Axe ist zugleich Asymptote der Kurve.

5. Spiralen.

64) A uf g-. Untersuchung- der Spiralen im allgemeinen.

Lös. Für die Kurven, die die Gleichung r = a<pn haben, als deren Spezialfälle sich die in den folgenden Aufgaben zu behandelnden Kurven herausstellen werden, ist die Polarsubtangente die Polartangente

r-\Z1 + rK(d0-

die Polarsubnormale

dr

— z=zn.a. (pn 1 =

nr

d(f

4>

die Polarnormale

71— 1

= a .<p

. yjn² -f- 9² .

r . (w² -{- у²)

. (<p² -j- n² -j- w) ’

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes

n .r .[(f . cos (p — (n² -f- <p²). sin (p]

У • (<P² + w² + w)

F=

n. r. [y. sin у -f- (w² -f- (p²) . cos y]

îP • (5P² + '^² + n)

Eine Asymptote im Endlichen existiert nur für n — — 1. (Vergl. Aufg. 66.)

a [(p . sin (p -)- (1 -f- g>²). cos <p]

(У²+ 2)

65) Aufg. Es soll die archimedische Spirale untersucht werden.

Lös. Wenn eine gerade Linie um einen festen Endpunkt gleichmässig bewegt wird, und wenn man zugleich auf dieser Linie einen Punkt von dem festen Endpunkt aus sich gleichförmig forth ewegen lässt, so beschreibt dieser Punkt die archimedische Spirale. Ihre Gleichung ist

"К

dr

r = a(f,    -s— — a,

Cv (p

0,

dy²

wo q> sich auf den Bogen eines Kreises mit dem Radius 1 bezieht.

Nimmt man an, dass der Punkt den Weg r₀ zurückgelegt habe, während die bewegliche Gerade eine ganze Umdrehung gemacht hat, so ist

Vt\

r₀=-2an, also а = -- .

и 7t

Die Polarsubtangente wird

@, = r^=r

dr

und die Polarsubnormale

dr

@n- J    -(%•

dtp

Da die Polarsubnormale konstant ist, so lässt sich in jedem beliebigen Punkte der Kurve die Tangente leicht konstruieren.

Die Länge des Krümmungshalbmessers wird _ а (1 -j- (p²Ÿ (a² + r²)Y

(îp² + 2) “ 2 a² + г² '

Dieser letztere Ausdruck lässt sich leicht konstruieren. Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind

X=

a [g>. cos (p — (1 -f- (p²). sin y]

(<p² + 2)

X= — a sin <p,

Je grösser y wird, um so mehr nähern sich diese Grössen den Werten

woraus folgt

Y — a cos (f,

X²-{-Y² = a²,

d. h. die Evolute der archimedischen Spirale nähert sich asymptotisch dem Kreise, dessen Mittelpunkt der Pol und dessen Radius = a ist.

66) Aufg. Untersuchung der hyperbolischen Spirale.

Lös. Die Gleichung der hyperbolischen Spirale ist r <p = a.

Beschreibt man demnach um den Pol als Zentrum eine Schar von Kreisen und trägt auf denselben von der Polaraxe aus nach

Ж-

derselben Seite hin Bogen von der Länge a ab, so ist der geometrische Ort der Endpunkte eine hyperbolische Spirale. Für dieselbe ist der Pol ein asymptotischer Punkt, um welchen die Kurve unendlich viele Windungen macht, ohne ihn für endliche Werte von cp je zu erreichen.

Es wird

dr

tp²    a

2 a_2 r³

g>³~~ a² ’

A (1 + У²)

⁽r

cos³ ОТ P ’

wenn О den Pol, P den Kurvenpunkt und T den Schnittpunkt der Tangente mit dem in О auf den Radius vector gefällten Lote bezeichnet. Der letztere Ausdruck ist leicht zu konstruieren.

X=

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden r [<p . cos <p — (1 -j- (p²). sin (p\

Y=

r [g>. sin <p -f- (1 -f- (p²). sin (p]

= — a,

Errichtet man im Pol Senkrechte auf die Leitstrahlen und bringt dieselben zum Schnitt mit den zugehörigen Tangenten, so ist der Ort der Schnittpunkte ein Kreis vom Radius a, dessen Mittelpunkt der Pol ist.

Damit die Kurve eine Asymptote habe, muss die Subtangente

r²d(f

Ferner ist

für ein unendlich gross werdendes r einen endlichen Wert

haben; sie wird aber = — a, und da zugleich für ein unendlich grosses r aus der Gleichung der Kurve sich (p = 0 ergibt, so folgt, dass die hyperbolische Spirale eine Asymptote hat, die mit der X-Axe oder mit der Linie, von welcher ab die Winkel <p gezählt werden, parallel geht und zwar in der Entfernung a.

67) Aufg. Es soll die parabolische Spirale untersucht werden.

Lös. Die parabolische Spirale hat die Gleichung r²= a². (f.

Der Name der Kurve rührt, analog wie der der soeben behandelten, daher, dass dieselbe in Beziehung auf die Peripherie des Kreises vom Radius 1 als Abszissenaxe und die nach dem Zentrum gerichteten Normalen als Ordinaten nach demselben Gesetze konstruiert wird, wie die gewöhnliche Parabel.

dr    a²

d(f²

4 (р²    4 г³ ’

r(l + 4ç>²)^_ а (1 + 4 <р²)

2ÿ7(3 + 4 (f²)— 2д/<? (3 + 4 у²)

з

4 (pY

fcdoa

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes:

X=

r . [4 (f. cos (f — (1 -j— 4 (f²). sin (f ]

2 (p . (3 -J- 4 (p²)

r . [4 (f . sin (f -J- (1 -{- 4 (p²). cos (p]

2 <p . (3 + 4 ^²)

Die Länge der Polarsubtangente wird

=ïaif._₌_.

die Länge der Polarsubnormale wird

a²

2v/ÿ 2r ‘

Da r und у zugleich unendlich werden, existiert keine

Asymptote.

68) Aufg. Untersuchung der logarithmischen Spirale.

Lös. Diese Spirale ist nicht unter den bisher behandelten mitbegriffen, sondern unterscheidet sich von diesen wesentlich

dadurch, dass in ihrer Gleichung (jp als Exponent einer konstanten Basis erscheint, während in den Gleichungen der früheren Spiralen diese Grösse zu einer Potenz mit konstantem Exponenten erhoben wurde. Die Gleichung der Kurve wird

r—af,

und es wächst daher der Radius vector in geometrischer Proportion, wenn (p arithmetisch fortschreitet.

Aus der Kurvengleichung folgt:

dr

— — la . aP,

dtp

d(p²

oder

d² r dg>²

wenn man mit к den natürlichen Logarithmus von a bezeichnet.

dr

—— к . a? = kr

dtp

— k² . аУ — к² r,

„ Polartangente

[да

„ Polarsubnormale „ Polarnormale

/;

Die Länge der Polarsubtangente wird —

„    = k.r,

»    — r.\/l+k².

Aus diesen Gleichungen folgt, dass sowohl der Ort der zweiten Endpunkte (den Pol als ersten Endpunkt betrachtet) der Polarsubnormalen, als auch der Polarsubtangenten wieder eine logarith-mische Spirale ist, welche der ursprünglichen kongruent, aber gegen dieselbe um einen bestimmten Winkel gedreht ist.

Die trigonometrische Tangente des Winkels A, den die Tangente mit dem Radius vector des Berührungspunktes bildet, ist

= -j-, also konstant.

rC

Die Länge des Krümmungshalbmessers wird = r. \/l -f- k² — 9L Da q — 9?, so stimmt die Evolute der logarithmischen Spirale mit dem soeben erwähnten geometrischen Ort der zweiten Endpunkte der Polarnormalen überein. Man findet übrigens als Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes

X= — к . а? . sin <j>, Y—k.aV. cos (p. Die Gleichung der Evolute wird

(VX»+ r8) = arctaDg(_|)

oder wenn man Y—r. cosy' und X=r'.sin(p’ setzt, г'=к.а2я~⁽Р oder noch einfacher, wenn man Y—kv. cos xp' und X— — к v . sin ip' setzt: v' — aV".

Dies ist in der That die Gleichung einer logarithmischen Spirale, welche der vorgelegten kongruent ist. (Vergl. Aufg. 49.)¹)

6. Zykloiden.

69) Aufg. Es soll die gewöhnliche (gemeine) Zykloide untersucht werden.

Lös. Wenn ein Kreis mit dem Radius r auf einer geraden Linie fortrollt, ohne zu gleiten, so beschreibt ein bestimmter Punkt

c\

in der Peripherie des Kreises die gewöhnliche (gemeine) Zykloide. Beim Anfänge des Rollens möge der bestimmte Punkt auf der Geraden liegen. Dieser sei der Anfangspunkt des Koordinatensystems, die gegebene gerade Linie die X-Axe und die darauf senk-

rechte Gerade die F-Axe.

Derjenige Kuryenzug, der entstanden ist, indem der rollende Kreis seine Peripherie einmal auf der Basis abgewickelt hat, wiederholt sich bei der fortgesetzten Bewegung unendlich oft. Die Kurve besteht sonach aus unendlich vielen kongruenten Kurvenzügen. In jedem Punkte, wo sich zwei Züge aneinander an-schliessen, besitzt sie eine Spitze erster Art. (Vergl. Aufg. 34.)

Die Zykloide wird entweder durch das System der beiden Gleichungen

x — r {pp — sin (p), y = r (1 — cos cp),

oder durch die Gleichung

x — r arc cos

dargestellt.

Die erste Darstellungsweise, die hier allein berücksichtigt werden soll, liefert:

~ — r (1 — cos (p) = 2 r sin² , d(p    2

— r sin (p — 2 r sin cos ; d(p    y    2    2 ⁷

dx = cotang--;

dy

dy

COINS

somit ist

Tt

4>

a 2

Hieraus erkennt man leicht, dass die Normale der Kurve durch den jeweiligen Berührungspunkt des erzeugenden Kreises mit der X-Axe (vergl. Aufg. 5) und die Tangente durch den höchsten Punkt dieses nämlichen Kreises geht.

d s = 2 r sin d (p,

U

X=2rsin^-,

Li

Q — — 4 т sin folglich ist der Krümmungsradius, absolut genommen, gleich der doppelten Normale.

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind X ⁼⁼ T {(f -]— sin (f ),

Setzt man X=X'

Y=r (cos(p — 1).

(p = ip — u,

— Г тс,

Y= Г — 2 r

so folgt

' = r(xp — sin if>),

' = r (1 — cos ip), woraus erhellt, dass die Evolute der Zykloide wieder eine der ursprünglichen kongruente Zykloide ist.

70) Aufg. Untersuchung der gedehnten und verkürzten Zykloide.

Lös. Wenn auf einer festen Geraden ein Kreis rollt, so beschreibt ein Punkt Pj, der auf einem bestimmten Radius innerhalb des Kreises liegt, eine gedehnte, und ein Punkt P₂, der auf der Verlängerung dieses Radius liegt, eine verkürzte Zykloide.²) Denkt man sich nun den rollenden Kreis zuerst in einer solchen Lage, dass der Radius, auf welchem der beschreibende Punkt liegt,

senkrecht auf der zur Basis dienenden Geraden steht, so wähle man den verlängerten Radius in dieser Lage zur Ordinaten-, die Basis selbst zur Abszissen- oder X-Axe eines rechtwinkligen Koordinatensystems. Nennt man alsdann bei irgend einer Lage des

gerollten Kreises den Winkel zwischen dem Radius mit dem beschreibenden Punkte und dem mit der F-Axe parallelen Radius cp, so erhält man für die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Kurve

x = rg> — (r=fd)sin?, y — r — (r + d) cos cp, wo (r p d) die Entfernung des beschreibenden Punktes vom Zentrum des beweglichen Kreises bedeutet. Eliminiert man aus diesen Gleichungen die Grösse cp, so folgt als Gleichung der Kurve

X — arc cos

—V(²r=Fd — y) (yzFd).

Zur Abkürzung werde gesetzt rpd — a’, dann wird

dx

dy

— a cos cp,

dcp ⁷

Diese Gleichungen lassen erkennen, dass die Normale im Punkte P durch den diesem Punkte entsprechenden Berührungspunkt des rollenden Kreises mit der Basis geht. (Vergl. Aufg. 5). In der That ist die Länge der Normale

N — дIr² — 2 r a cos <p -\~- a²

gleich der Länge einer Dreieckseite, wenn die beiden anderen Dreieckseiten r und a sind und den Winkel cp einschliessen.

Der Krümmungsradius ist

dcp

= a sin cp.

_ (r³ — 2 r a cos cp -j- a²)J a (r cos cp — a)

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind

— a cos cp a — r cos cp ’

T

X — r cp -f- r sin cp -

r (r — a cos cp)2 a (r cos cp — a)

71) Aufg\ Untersuchung der einfachen Epizykloide Und Hypozykloide.

*>■

f: Z?')

Y-y

cc

Lös. Wenn die Basis, auf der ein Kreis rollt, nicht eine gerade Linie, sondern wieder ein anderer Kreis ist, so beschreibt ein bestimmter Punkt des rollenden Kreises eine Kurve, die Epi-zykloide oder Hypozykloide genannt wird, je nachdem jener Kreis auf der äusseren oder inneren Seite des festen Kreises rollt, d. h. je nachdem die beiden Kreise sich von aussen oder von innen berühren.³) Denkt man sich nun zunächst bei der Epizykloide die beiden Kreise in solcher Lage, dass der für die Beschreibung der Kurve auf der Peripherie des rollenden Kreises befindliche Punkt in der Peripherie des festen Kreises liegt, so soll der von hier ausgehende Durchmesser des festen Kreises zur X-Axe und der Mittelpunkt desselben zum Anfangspunkt der Koordinaten genommen werden. Der Radius des festen Kreises heisse r, der des rollenden q, Für irgend eine von der Anfangslage verschiedene Lage des rollenden Kreises werde noch der Winkel, der von der Zentrallinie beider Kreise und von der A-Axe gebildet wird, mit y> bezeichnet, dann wird die Epizykloide durch das System folgender beiden Gleichungen dargestellt:

X = (r -j- (>) . COS (f — Q . COS

Die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Hypozykloide ergeben sich aus diesen Gleichungen, wenn man — q an die Stelle von q setzt, nämlich:

âââ

ОС —(г — Q) . COS <р -J- Q . COS y— ç ^ y) ,

y — (r — p) . sin (f -j- Q • sin    <f) •

Aus diesen Gleichungen folgt unmittelbar, dass die Hypozykloide r, p identisch ist mit der Hypozykloide r, r — p oder mit der Epizykloide r, p— r, je nachdem p=§> ist.

In allen nächsten Formeln bezieht sich das obere Zeichen auf die Epizykloide, das untere dagegen auf die Hypozykloide.

Es wird

(r + p) • sin (f + (r + p) . sin Г——y>) —

■ s    ,

=±² (r ± *> •cos ф ^ •sin fc ⁹)

= 4-

^-^(r.smcp — y),

dy

dtp

— (r ih (*) • C°S ÇP — (r + p) . cos f j ~ -

' л V

2(r±?).

Die Normale in irgend einem Punkte der Kurve geht durch den entsprechenden Berührungspunkt des rollenden mit dem Basiskreise. (Vergl. Aufg. 5.) Aus den vorstehenden Gleichungen folgt

tang a — ~ = + tang    ^ <p

r cos y — X r sin g> — y ’

r 4~ 2 g

d X² 4 p (r + p)

Der Krümmungshalbmesser wird

___4 p (r + p)

r + 2 p

sin

GW-

— 228 —

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden

г ^ щ \}r—e} cos ⁹—"cos (-7~⁹)\ ’

r£Tç [(Г ± ?) Sin ⁹ + ? Sin    ^ •

Das System dieser beiden Gleichungen stellt die Evolute dar, welche offenbar wieder entsprechend eine Epizykloide oder Hypozykloide ist. Um diese Gleichungen auf die Form der oben gegebenen Gleichungen zurückzuführen, setze man

(«£) + r sin (12),

X= X' cos

±r-.(^ + r«(Ł=).

/ i Яп <Р = (р ± -

г — Г ~ł~ 2 Q

dann wird

X' — (г' + (>') . COS g>' -р (/. cos

(-тМ.

Г' = (г' + </). sin у — q' . sin

Y

— — d. h. dass das Ver-

Hierbei ist zu bemerken, dass —

(>

hältnis des Radius des rollenden Kreises zu dem des festen Kreises bei der Epi- und Hypozykloide dasselbe ist, wie das der Kreise, die ihre Evoluten erzeugen.

Anmerkung. Da der Punkt des rollenden Kreises, welcher beim Anfang der Bewegung auf der Peripherie des festen Kreises lag, bei der beständig fortgesetzten Bewegung unendlich oft wieder die Peripherie des festen Kreises treffen muss, so wird die Kurve aus unendlich vielen unter sich kongruenten Zügen bestehen, die nur dann zu einem gewissen Abschluss kommen werden, wenn das Verhältnis der Radien r und q beider Kreise ein rationales ist, weil alsdann der beschreibende Punkt nach einer hinreichenden Anzahl von Revolutionen wieder an dieselbe Stelle gelangen wird,

yyi

—, wobei m und n n

von welcher er ausgegangen ist. Ist

ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Teiler seien, so muss der rollende Kreis die Peripherie des festen wmal durchmessen, sich also m mal um seinen eigenen Mittelpunkt drehen, bis der die Kurve beschreibende Punkt zum ersten Mal in seine Anfangslage zurückkehrt. Überall da, wo der beschreibende Punkt auf die Peripherie des Grundkreises gelangt, besitzt die Kurve eine Spitze erster Art. — Einzelne Beispiele von rationalen Verhältnissen der Radien beider Kreise mögen hier folgen.

72) Aufg. Untersuchung der Kardioide.

Wenn die beiden Radien einander gleich sind, also q — r, so entsteht als Epizykloide die sogenannte Kardioide.

Ein beliebiger Punkt derselben ist nach dem Vorhergehenden bestimmt durch die Gleichungen

-3E-

x—2 r cos g — r cos 2 (f>, y = 2 r sing — r sin 2 g. Hieraus folgt

dx

d<p

= — 2rsinç> -{-2rsin2<p = 4rsinf ycosf (p,

rzr 2 r cos (p — 2 r cos 2 (p = 4 r sin b cp sin f (p,

dg>

dy

dx

= tang |y,

d²y

dx²    Sr (cos Ig)³ sin \ g '

Da y mit g sein Zeichen wechselt, x dagegen nicht, so ist die Kurve symmetrisch in Bezug auf die X-Axe.

Der    höchste Punkt    x — — \r, y — Ir \/2    ^rgibt sich    für

g = 17i, der tiefste Punkt    x — — Ьг, y = — f ryj2 für g = —    n.

Für    g — 0 wird x — r, y — 0, und da für    diesen Punkt    die

Tangente    mit der X-Axe    zusammenfällt, so ist    er ein Rückkehr

g — —j— f n f x

Y-Axe entfernt; in denselben sind die Tangenten der F-Axe parallel.

Eliminiert man aus den Gleichungen für x und y die Grösse g, so ergibt sich:

punkt der ersten Art. Die Punkte g = u, x— — 3 r, y — 0 und fr, y = + j r \/3 sind am weitesten von der

(x² -(- y²)² — 6 r² (x² -j- y²) -f-Sr³ x — 3 r⁴ — 0.

Für diese Gleichung lag der Anfangspunkt der Koordinaten in dem Mittelpunkte des festen Kreises; verlegt man ihn aber nach der Peripherie des Kreises und nimmt die X-Axe in umgekehrten Sinn, indem man r — £ für x setzt, so nimmt die Gleichung folgende Gestalt an:

(£² -f- y²)² — 4 r £ (£² -j- y²) — 4 r² y² — 0 ; oder endlich, wenn man die gewöhnlichen Polarkoordinaten, also y — u. sin t und Y—u. cost einführt

и = 2 r (1 -j- cos t).

Aus dieser Gleichung folgt, dass zwei Radien Vektoren, die entgegengerichtet sind, sich zu 2 r ergänzen.

Ferner ist tang & = — cotang , folglich & = 90° -j- — .

u    i

Der Krümmungshalbmesser wird = f r. sin \ y.

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden X — I r (2 cos у -f cos 2 у),

Y= } r (2 sin у + sin 2 y).

Durch diese Gleichungen ist zugleich die Evolute bestimmt. Setzt man X= —X', Y — — Y', у — у'-\-л, so wird X' = }r(2 cos у — cos 2 y),

Y' = }r(2 sin у — sin 2 y).

Diese Gleichungen stellen eine neue Kardioide dar, in welcher sowohl der Radius des festen Kreises, als der des rollenden der dritte Teil von dem ursprünglichen Radius ist.

73) Aufg. Untersuchung der Epizykloide q= r.

Wenn der Radius des rollenden Kreises die Hälfte von dem des festen ist, also q = ^r, so wird ein beliebiger Punkt der Epizykloide gegeben durch die Gleichungen

x = j r cos у — \r cos 3 y, у — I r sin у — \ r sin 3 y.

Wenn man cos 3 у und sin 3 у durch den einfachen Winkel ausdrückt und dann у eliminiert, so erhält man als Gleichung der Kurve

4 (x²    y² — r²)³ — 27 r⁴ y².

15

Soincke’s Aufgabensammlung. I.

dy

^ = tang 2 (P,

d²y

dx² 3 r (cos 2 (f)³ . sin y '

Der Krümmungshalbmesser ^ wird = f r sin (f.

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden X — у T (y COS (f —J— y cos 3 Y — y r (I sin (f -f- 4 sin 3 ф).

Die Gleichung der Evolute, welche durch die Elimination des Winkels cp aus diesen beiden Gleichungen erhalten wird, lautet:

(4 X² + 4 Г² — r²)³ = 27 r⁴ X².

Setzt man r = 2r\ <f =■ ф -J- 4 n, X— — Y', Y— X', so nehmen die vorangehenden drei Gleichungen folgende Gestalt an: X' — r (I cos ф — \ cos 3 ф),

Y’ — r (f sin ф — I sin 3 ф)

und

64 (X'² + X'² — r'²)³ = 27 /⁴ Г'².

Diese Gleichungen stellen eine Epizykloide dar, welche der gegebenen ähnlich ist und bei welcher der Radius des festen Kreises halb so gross ist, als der Radius des ursprünglich gegebenen festen Kreises.

74) Aufg. Untersuchung der Hypozykloide ç =

Wenn der Radius des rollenden Kreises wieder halb so gross ist wie der Radius des festen, der bewegliche Kreis aber innerhalb des festen rollt, so wird jeder Punkt der Hypozykloide bestimmt durch:

¹

Die logarithmische Spirale liess sich der 1705 verstorbene Jac. Bernoulli auf seinen Grabstein setzen mit der Inschrift: „Eadem mutata resurgo“, um der Nachwelt nicht nur eine seiner schönsten Arbeiten, sondern auch seinen Glauben an die Unsterblichkeit der Seele in Erinnerung zu bringen.

²

Weissenborn nennt in seiner interessanten Schrift: „Die zyklischen Kurven“, Eisenach 1856, die gedehnte Zykloide „verkürzte“, die verkürzte „verlängerte“.

³

Weissenborn macht in der oben angeführten Schrift „die zyklischen Kurven“ bei der inneren Berührung der beiden Kreise einen Unterschied, je nachdem der feste oder der rollende Kreis der grössere ist und nennt hiernach die Kurve „Hypozykloide“ oder „Perizykloide“.

x = r cos ;

Es wird

dx

d(f

— 3 г cos 2 (f . sin (f

dy

d(p

=■ 3 r sin 2 (p . sin (f,

У—0,

d. h. die Kurve wird die Abszissenaxe, also ein Durchmesser des festen Kreises.

75) Aufg. Untersuchung der Epizykloide ç — ^r.

Wenn der Radius des rollenden Kreises der dritte Teil vom Radius des festen Kreises ist, so ist die Epizykloide gegeben durch die Gleichungen

Ж — -g- Г (4 COS (f COS 4 (f ),

у = I r (4 sin (f> — sin 4 cp) ;

ferner wird

dx

d(p

= I r. cos 4 <p . sin I (p,

dy

a-

N«'*

d(f

= I r . sin 4 cp . sin f (p,

dy

dx =

d²y

15

16 r (cos 4 <p)³ . sin f (p Der Krümmungshalbmesser q wird = -ff r sin 4 <p. X = f r (4 cos (p -f cos 4 (p),

Y = § r (4 sin (p -f- sin 4 y), welche Gleichungen die Evolute darstellen.

Durch die Substitution

#r.

dx²

T=^3T + iT’,

£ ' r = fr,

nehmen sie die Gestalt der gegebenen Gleichungen an.

X' — }r' (4 cos (p' — cos 4 cp'),

Y' — f r (4 sin (p' — sin 4 (p).

76) Aufg. Untersuchung der Hypozykloide

Wenn wieder der Radius des rollenden Kreises der dritte Teil von dem Radius des festen Kreises ist, der erste aber auf der inneren Seite des letzteren rollt, so wird die Hypozykloide dargestellt durch die Gleichungen

X — f r (2 cos (p -f- cos 2 cp), у =    2 sin ÿ — sin 2 (p),

oder nach Elimination des Winkels (p durch die Gleichung 3 (r² -f- X² -f- .4 r X -J- y²)² =■ 4 r (r -j- 2 x)³.

X=\T —

<P = <p'-\rî™,

tdn

8 r (cos \ (p)³. sin f (p Der Krümmungshalbmesser wird — f r sin f (p.

d²y

dx²

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpimktes werden X = r . (2 cos (p — cos 2 (p),

Y= r . (2 sin (p -j- sin 2 (p).

Diese Gleichungen bestimmen jeden beliebigen Punkt der Evolute, welche wie in allen vorhergehenden Beispielen wieder eine der ursprünglichen ähnliche Kurve ist.

77) Aufg. Untersuchung der Asteroide.

Wenn der Radius des rollenden Kreises der vierte Teil von dem Radius des festen Kreises ist und der erstere auf der inneren Seite des letzteren rollt, so wird die entstehende Hypozykloide (eine sogenannte Asteroide) gegeben durch die beiden Gleichungen x = r cos⁸ (p, y — T sin³ (p,

oder nach Elimination der Grösse (p durch die eine Gleichung X^ -f-y^ — r^. (Yergl. Aufg. 1 und 91.)

Hieraus folgt

dx

Hierbei wird

dx

= — Ircosly.sinf (f,

dtp

r sin I (p . sin f (f,

dy_

dx

— — tan

^ = — 3 r cos² (p sin <p,

-är

dy

— 3 r sin² (p cos (p

tang « —    — — tang а>.

dx

Aus der letzten Gleichung folgt, dass a = n — <p, und es lässt sich somit die Tangente in jedem Punkte der Kurve leicht konstruieren.

Ferner wird

d s = 3 r sin cp cos cp d(p,

Q = 3r sin cp cos cp = I r sin 2 cp.

Die Evolute wird dargestellt durch die Gleichungen X= r cos <p (cos² cp -j- 3 sin² cp),

Y —r sin cp (sin² cp -j- 3 cos² cp).

Setzt man

X' + T

V2

X=

so kommt

— X’ -f Y

V2

, cp =lp —

X’ = 2rcos⁸ip, Y’=2rsm³ip.

Es ist somit die Evolute der vorgelegten Kurve ähnlich und entsteht dadurch, dass ein Kreis vom Radius \r auf der inneren Seite eines festen Kreises vom Radius 2 r rollt.

Die vorgelegte Kurve ist vollkommen symmetrisch in Bezug auf beide Koordinatenaxen ; sie besitzt in den vier Punkten x— +r, у — 0 und x = y — -\~r Spitzen erster Art, in welchen die X-, resp. Y-Axe die zugehörigen Tangenten sind.

78) Aufg. Es soll die gedehnte und verkürzte Epizykloide und Hypozykloide untersucht werden.

■Г

Ir

!

I... kr£%-X-    >

hA

г 1^ЛдД

■dF

Lös. Wenn wieder ein gegebener Kreis auf einem anderen gegebenen festen Kreise rollt und wenn mit diesem rollenden Kreise innerhalb oder ausserhalb seiner Peripherie ein Punkt fest verblinden gedacht wird, so beschreibt dieser Punkt eine Epizykloide oder Hypozykloide, je nachdem die Kreise sich von aussen oder von innen berühren, und zwar wird es eine gedehnte oder verkürzte Kurve, je nachdem der beschreibende Punkt innerhalb oder ausserhalb der Peripherie des bewegten Kreises liegt.

Wenn man sich zunächst die Kreise bei der Berührung von aussen in solcher gegenseitigen Lage denkt, dass die beiden Mittelpunkte und der beschreibende Punkt in einer geraden Linie liegen, jedoch so, dass der beschreibende Punkt nicht zwischen den beiden Mittelpunkten hegt; wenn man dann diese Linie zur X-Axe annimmt und den Mittelpunkt des festen Kreises zum Anfangspunkt der rechtwinkligen Koordinaten; wenn man ferner bei einer beliebigen Lage des rollenden Kreises den Winkel zwischen der Zentrallinie beider Kreise mit der soeben genannten X-Axe mit y> bezeichnet; wenn endlich der Radius des festen Kreises r und der des rollenden Kreises q, sowie die Entfernung des beschreibenden Punktes von der Peripherie des rollenden Kreises und zwar von der Peripherie nach aussen gerechnet, d genannt wird, so wird ein beliebiger Punkt der verkürzten Epizykloide bestimmt durch die Gleichungen

X — (r + (>). cos (f -J- (e -f- d). cos    g (f,

У — (*■ + Q) • sin (f -f (ç 4- d). sin Г    g w.

?

Für die gedehnte Epizykloide wird

X — (r 4 Q) • cos (f 4- (Q — d). cos —t ^ (p,

У — (г (0 • sin (p 4- (q — d). sin g (p.

Indem man nun beide Epizykloiden zusammenfasst, er

hält man

dy __

d(p

(r 4 (0 • (sin (p 4- ~~ sin (r 4- p) • (cos (p 4-

Г + ?,Л

cos

r + e \.

—TV’

Der Krümmungshalbmesser wird

toi го

(r + q) [d² + 4 q (ç + d) (cos J

e³ + is dz d)² ü + q) + (? db d) (r + 2 (>) ? cos y (f

Wenn man sich zweitens bei der Berührung von innen die beiden Kreise anfänglich in solcher gegenseitigen Lage denkt, dass wieder die beiden Mittelpunkte und der beschreibende Punkt in einer geraden Linie liegen, hier aber so, dass der beschreibende Punkt zwischen die beiden Mittelpunkte fällt, im Übrigen aber die Koordinaten und die anderen Bezeichnungen so wählt, wie vorhin bei der Epizykloide, so wird die Hypozykloide bestimmt durch die Gleichungen

x — (r — q) cos (p — (ç^zd) cos --- (p,

Q

y — (r — q) sin cp -f- (q + d) sin r-

wo das obere Zeichen für die verkürzte, das untere für die gedehnte Hypozykloide gültig ist.

Der Krümmungshalbmesser wird

(r — q) [d² + 4 q (g + d) (cos ^y) ]

соЫ

ferner

dy

dx

d²y

p cos (p -4- (o + d). cos g,

_Z_Q

q sin <p -f (q + d). sin Q³ + (Q ± d)² (r + (>) + ?(? + d) (r + 2 q) . cos j (p

<?

dx²

e³ {г + Я) • (sin cp +

. sin

r -f q Y

—f)

Q³ — (Q i d)² (r — (>) — {q + d) (r — 2 q)q cos y>

Die Ausdrücke für die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes, bei der Epizvkloide sowohl als bei der Hypozykloide, werden so ungefügig, dass die Mühe ihrer Ausrechnung nicht belohnt wird. Auch hier mögen einzelne Beispiele folgen.

232 -*

79) Aufg. Untersuchung der verkürzten Epizykloide d = q — r.

Wenn die Entfernung d des beschreibenden Punktes von der Peripherie des rollenden Kreises gleich dem Radius des rollenden und gleich dem des festen Kreises ist, also d — Q = r, so soll die verkürzte Epizykloide untersucht werden.

Die Kurve wird dargestellt durch die Gleichungen

x — 2 r . (cos (p -)- cos 2 (p)

j    y = 2 r . (sin (p -}- sin 2 (p) ;

J oder durch die Gleichung

(ж² -|- у²)² — 12 r² (x² -f- у²) = 16 г³ ж,

rx.

у “ -f- \/6r² — X² HP 2 ryj9r² -p 4

dy_ cos (p -j- 2 cos 2 (p_4 r³ -\- Qr² x — x (x² -j- y²) _

dx

sin (p -f 2 sin 2 (p

y (x² -j- y²) — 6 r² y

2 r² -f- x д/9 r² -f- 4 y \/9 r² 4~ 4 r x

rx

d²y

3 (3 -f- 2 cos <p)

dx² 2 r (sin (p -f- 2 sin 2 (p)³ '

Der Krümmungshalbmesser wird

3

_2r(5 -J- 4cosg>)^

3 (3 -f- 2 cos (p)

X=

2 r (1 -f- 6 cos (f — 4 cos³ (p)

3 (3 -j- 2 cos cp)

Y=

8 r . sin³ (p

3 (3 -f- 2 cos (p) '

Die Kurve hat eine Schleife, welche von ж = 0 bis x = — 2r

reicht; in dem Punkte x = — 2 r, y = 0 schneiden sich zwei Aste

dy=±ß.

der Kurve, deren Richtungen gegeben sind durch (<p = } n und — ! n.)

80) Aufg. Untersuchung der verkürzten Epizykloide q — j r, d — d.

dx

Wenn der Radius des rollenden Kreises halb so gross ist wie der des festen, also q— \r, das d aber noch beliebig, so wird die verkürzte Epizykloide dargestellt durch die Gleichungen x — \ r . cos <p r d). cos 3 (p, y — \r . sin(p -f- (4 r -j- d). sin3(p.

dy_ r . cos (p (r -f- 2 d). cos 3 <p _

dx

r . sin <p -f- (r -f~ 2 d). sin 3 (p ~

— cotang (p.

r 3 d — 2 {r -\-2 d) cos² (p 2 r -f- 3 d — 2 (r -j- 2 d) sin² (p ’

d² y __ r d -j- 3 d² -(- 2 r (r    -(- 2 d) cos² <p

d X² 3 sin³ <p [d — 2 (r -j- 2 d) cos² (p]³

Der Krümmungshalbmesser wird

_    3 [d² -|- r (r + 2 d) cos² cp]

rd-\-3d²-\-2r(r-\-2d) cos²(p '

81) Aufg. Untersuchung der verkürzten Hypozykloide

q — y r, d— d.

Wenn wieder der Radius des rollenden Kreises halb so gross ist wie der des festen, wenn sich die Kreise aber von innen berühren, so wird ein beliebiger Punkt der verkürzten Hypozykloide gegeben durch die Gleichungen

X — y r • cos У —    ~\~ d). cos *p = — d    .    cos    (p,

у = \ r . sin (p -f- (|- r -f- d)    . sin (p = (r -(-    d). sin (p.

Die Gleichung der Kurve wird

У²

1,

X²

d² 1 (r + d):

d. h. es ist diese Hypozykloide eine Ellipse, deren halbe kleine Axe = d und deren halbe grosse Axe = r -J- d ist.

Wenn d = 0 wird, geht die Ellipse in denjenigen Durchmesser des Grundkreises über, welcher in der F-Axe liegt.

82) Aufg. Untersuchung der gedehnten Epizykloide Q = r, d= — y r-

Wenn der Radius des rollenden Kreises gleich dem der Basis, also Q — r ist, so sucht man die gedehnte Epizykloide unter der Bedingung, dass der beschreibende Punkt innerhalb des rollenden

Kreises liegt und um dessen halben Radius von der Peripherie entfernt ist, also d — — \q = — j r.

Diese Kurve wird dargestellt durch x = jT (4 cos(p -}- cos 2(p), y — i r (4 sin <p + sin 2 <p) — r sin g> (2cos <p),

woraus

dy    2 cos (p -f- cos 2 <p

z>

dx    4 sin (p . (cos \ (p)² ’

d²y

dx²

2 r cos ~ sin³ (p

Der Krümmungshalbmesser wird

_ r (5 + 4 cos y>)?

12 (cos I (p)²

x=

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes sind 2 -f- 3 cos (p — 2 cos³ cp r '    12 (cos I cp)² ’

T = I r. sin (p . (sin 4- <p)².

83) Aufg. Untersuchung der verkürzten Epizykloide q = 2 r, d— r.

Wenn die Kreise sich von aussen berühren und der Radius des rollenden Kreises doppelt so gross als der des festen Kreises, also

JP.

q — 2 r, die Distanz des beschreibenden Punktes d aber gleich dem Radius der Basis r ist, so wird ein beliebiger Punkt der verkürzten Epizykloide gegeben durch x—'èr. [cos(p -)- COS Y*?] —

— 6 r . COS I <p . COS £ (p, y = 3r. [sin (p -j- sin f y>] =

= 6 r . sinf (p . cos p,

woraus

— — tang f (p.

X

Durch die Elimination des Winkels cp wird als Gleichung der Kurve erhalten

(ж² -f- у²) . [(ж² y² — 18 r²)² — 9 г² (ж² 4-у² — 9 г²)] — 486 г⁵ ж.

oder

dy

dx

COS Cp -f- I COS I Cp

sin cp + 1 sin I cp ’

dy_243 r⁵ — ж . [3 (ж² -j- у²)² — 90r² . (ж² 4~ y²) ~\- 405 r⁴]

с2ж

у [3 (ж² -f⁻ 2/²)² — 90 r² . (ж² 4“ у²) -f⁻ 405 г⁴]

d²y

5 (7 4- 6 cos I cp)

с^ж²

24 r . (sin <jp 4~ i sin f <p)³ '

Der Krümmungshalbmesser wird

_ 3 (13 4-12 cos j cp)%

— 5 (7    6 cos I cp) ‘ r'

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden

— 3 (9 — 6 cos \ cp — 36 cos² ^cp 4-4 cos³ 4 cp 24 cos⁴f g>)

_    5    _|_ g cos I cp)    r —

_ 6 cos 4 (2 — cos cp) 4- 9 (2 cos ^ — cos 2 g>)

ö~(7 + 6 cos } cp)    r ’

Y—

12 r . sin³1 cp (1 4~ 6 cos 4 cp)

5 (7 4* 6 cos 4 cp)

Die Kurve schneidet die Z-Axe in vier Punkten, und zwar bei ж = 0, ж = 6г, X — fr(—14:д/5)- Die Kurve bildet zwei ineinanderliegende Schleifen, denn die beiden Punkte

x=f r(— 1 — л/5)

У—=0

(cp — \ n und — тг) sind Doppelpunkte; die Tangenten im ersten dieser Doppelpunkte sind bestimmt durch

und

ж = fr (—14-#)

- y = Ö

(y> = %7t und — 4²-n)

^ — 4- Vö (5 — 2 д/5) = 4- 5 tang 18° dx

und im zweiten durch

^ = + Vö (5 4- 2 #) = 4:5 cotang 36°.

84) Aufg. Untersuchung- der gedehnten Epizykloide q= 2 r,

d — — r.

Wenn alles wie in der vorigen: Aufgabe bleibt, nur dass der beschreibende Punkt innerhalb der Peripherie des rollenden Kreises liegt, so hat man in der allgemeinen Gleichung der Epizykloide q = 2 r, d — — r zu setzen und erhält für einen beliebigen Punkt der gedehnten Epizykloide

X — r. [3 cos (f -f- cos I ф\,

= r. [3 sin g? -|- sin f (p\.

Die Gleichung der Kurve wird

(X² -|- y² — 7 r²)³ — 27 r⁴ (2 X² -(- 2 y² — 13 r²) — 54 r⁵ x.

Æ-

dy

dx

2 cos (p -f- cos f (p

2 sin cp -f- sin I cp ’

oder

dy 27r⁵—x.[3(x²-j-y²—7r²)²—54r⁴]

d y. [3 {x² -f- y²— 7r²)² — 54 r⁴]

(11 + 10 . cos \ <p)

dx²

3 r . (2 sin <p —j- sin f (p)³ '

Der Krümmungshalbmesser wird _ 3 r . (5 + 4 cos ^(py 11 + 10 cos I (p

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden __ — 3 -|- 6 cos \ g> + 12 cos² | <p — 4 cos³ ?у> — 8 cos⁴ \ 9

11 -f-10 cos \ (p

2 cos I (p (2 — cos 9) + 2 cos (p — cos 2 9

11 + 10 cos £9    'r’

4 sin³ \ (p (1 + 2 cos \ (p)

11 + 10 cos I (f

. r.

Die Kurve schneidet die XAxe in drei Punkten und zwar bei x — 2 r, cp = 7T, x — 4 r, 9 — 0 und x —— |r(3 + \/l3),

(Ł=fĄ

fx

\y

— — ir (3

= 0

ein Doppelpunkt; für denselben ist der wahre Wert des in unbestimmter Form erscheinenden Differentialquotienten

<p — arc cos

Der Punkt

dx

J~13(7 + 2^13)

Die Kurve besitzt eine Schleife, welche sich erstreckt von x — 2 r bis x — — j r (3 -f- 13).

85) Aufg. Untersuchung- der verkürzten Hypo zykloide q = 2 r, d = r.

Wenn der Radius des rollenden Kreises doppelt so gross ist wie der des festen, also Q = 2r, und wenn sich die Kreise beständig von innen berühren, so wird in diesem Fall der rollende Kreis den festen umschliessen. Die Entfernung des beschreibenden Punktes von der Peripherie des rollenden Kreises sei gleich dem Radius des festen und liege ausserhalb der Peripherie, dann wird ein beliebiger Punkt der verkürzten Hypozykloide bestimmt durch X — Sr. COS j (f — r . cos (p,

?/ — 3 r . sin y У — r . sin (f.

Die Gleichung der Kurve wird

[,x²    y² — 10 r²]. [x² -f- y² — r²\    18 r³ (x — r) — 0;

3 cos | <p — 2 cos (p 3 sin \ (p — 2 sin cp ’

dJl

dx

ir

oder

9 r³ x [2 (x² -f- y²) — 11 r²] y [2 (x² + y²) — 11 r²]

17 — 18 . cos \ (p r . (3 sin \ (f — 2 sin <p)³ '

Die Länge des Krümmungshalbmessers wird

_r(13 — 12 cos j <p)

17 —18 cos j <p

dy

dx

d² y _

dx²

X=

— 3 r (3 — 6 cos y <p —(— 4 cos³ y <p)

17 — 18 cos \ <p

Jr

-7t

_ 12r.sin³|<p

17 — 18 cos 4 <f '

86) Aufg. Untersuchung der gedehnten Hypozykloide p = 2 r, d = — r.

- 238

Wenn mit Beibehaltung derselben Bedingungen wie vorhin der beschreibende Punkt innerhalb der Peripherie des rollenden

Kreises und wieder in der Entfernung — r von der Peripherie liegt, so wird die gedehnte Hypozykloide dargestellt durch x — — r cos (p r cos 4 (p =

= 2 r . sin 1 <p . sin 4 у,

у = — r sin y -\- r sin 4 (p =

= — 2 r . cos I <p . sin 4 <p,

oder zwischen rechtwinkligen Koordinaten allein

(x² -j- y²) (x² -J- y² — 3 r²) -f- 2 r³ x — 0. dy — 2 cos <p -j- cos 4y>

dx

2 sin (f — sin \ (p

sin k(f . (4 cos 4 (p — 1)

oder

d y_r³ — X . [3 r² — 2 (x² -f- y²)\

dx

y . [3 T² — 2 (x² + y²)\

d²y

3 (3 — 2 cos 4 cp)

d x²

r . (2 sin (p — sin \ cp)s

Der Krümmungshalbmesser wird

з

r (5 — 4 cos 4 (py

3 (3 — 2 cos I cp)

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden

X—

r (1 — 6 cos 4 y + 4 cos³ 4 <p)

3 (3 — 2 cos 4 (f )

4 r. sin³ 4 (p

3 (3 — 2 cos 4 <p) ‘

Die X-Axe wird von der Kurve in drei Punkten geschnitten, bei x — — 2r (y>= 2tt), bei x = 0 (^> — 0) und bei x—r

ist ein Doppelpunkt; die Rich

lind =    n). Der Punkt

tungen der beiden sich hier schneidenden Äste sind gegeben durch

dy

dx

— + ^3. Auch hat die Kurve eine Schleife in der Ausdehnung

von x — 0 bis x — r.

7. Enyeloppen.

87) Auf g. Der Mittelpunkt eines veränderlichen Kreises bewegt sich auf der X-Axe so, dass das Quadrat des Radius in jeder Lage gleich der zugehörigen Abszisse a des Mittelpunktes, multipliziert in eine Konstante m ist; es soll die Kurve gefunden werden, welche alle diese beweglichen Kreise einhüllt.

Lös. Die Gleichung des Kreises in irgend einer Lage wird

y² (x — a)² — m а = 0, also der partielle nach « genommene Differentialquotient — 2 (x — a) — m — 0; mithin die Gleichung der einhüllenden Kurve

у% = тх -1- i m².

Die Enveloppe ist somit eine Parabel.

88) Aufg. In den Endpunkten einer gegebenen geraden Linie (— 2 a) sind zwei parallele Linien gezogen, und eine andere Gerade bewegt sich stets so, dass das Produkt der durch sie von den

■У 52

rT

Jl

Hi

beiden Parallelen abgeschnittenen Stücke einem gegebenen Quadrate k² gleich ist; es soll die einhüllende Kurve dieser beweglichen Geraden gefunden werden.

Lös. Wenn die Richtung der gegebenen begrenzten Geraden zur X-Axe und die durch ihre Mitte mit den beiden anderen gegebenen Geraden parallel gezogene Linie zur Y-Axe angenommen wird und wenn man bei einer bestimmten Lage der beweglichen Linie das Stück, welches sie von der Г-Ахе abschneidet, mit « bezeichnet, so werden die beiden Stücke, welche dieselbe von den beiden festen Ordinaten abschneidet,

y₁~a — ca; y₂ = a-\-ca,

wo c eine noch zu bestimmende Konstante in der allgemeinen Gleichung y — a = cx der beweglichen Geraden ist. Aus der Be-

JrftZГр

dingung yl y₂ = + A², folgt c — -—~— . Hier gilt das obere

Zeichen, wenn die beiden Ordinatenabschnitte y₁ und y₂ beide auf einerlei Seite der Abszissenaxe liegen und das untere, wenn sie auf verschiedenen Seiten liegen. Durch Elimination der Grösse a aus

und

₁_ X • «

ayfcfi + A²

y — a

erhält man als Gleichung der einhüllenden Kurve entweder yg + ^=l, d. h. die Gleichung einer Ellipse,

1, d. h. die Gleichung einer Hyperbel.

oder

89) Auf g. Eine gerade Linie bewegt sich so, dass sie mit zweien, unter gegebenem Winkel Â sich schneidenden Geraden Dreiecke bildet, die einen konstanten Flächeninhalt A² haben; man sucht die einhüllende Kurve dieser Geraden.

Yi

/>/

Lös. Nimmt man die beiden Schenkel des gegebenen Winkels zu Koordinatenaxen an und bezeichnet die Stücke, welche die bewegliche gerade Linie in einer ihrer Lagen von diesen Axen abschneidet, mit « und ß, so ist die Gleichung dieser Linie

-z¥-

~‘⁺f-¹

oder, da die Fläche des abgeschnittenen Dreiecks 4 a ß. sin A = &² sein soll, y . a² . sin A — 2 A² (a — x).

Hieraus und aus den partiellen Differentialquotienten nach ß, nämlich

y . a . sin Я — к² — О,

erhält man nach Elimination von a als Gleichung¹ der einhüllen-den Kurve

Je²

xy —

2 . sin Я ’

welches die Gleichung einer Hyperbel ist, bei der die Koor-dinatenaxen, hier also die beiden gegebenen Geraden, Asymptoten sind.

90) Aufg. Man bestimme die Enveloppe aller konzentrischen Ellipsen von gleichem Flächeninhalt n c², deren Axenrichtungen zusammenfallen.

Lös. Die gesuchte Kurve hat die Gleichung 4 X² y² — c⁴,

besteht also aus zwei gleichseitigen Hyperbeln, deren Asymptoten die Koordinatenaxen sind.

91) Aufg. Eine gerade Linie von gegebener Länge к bewegt sich so, dass ihre Endpunkte beständig in zwei auf einander senkrecht stehenden festen Geraden liegen; es wird die einhüllende Kurve dieser bewegten Linie gesucht.

Lös. Wenn man die festen Geraden zu Koordinatenaxen

annimmt und die Stücke, welche von ihnen durch die bewegliche Gerade in einer ihrer Lagen abgeschnitten werden, mit a und ß bezeichnet, so hat man

•Æ-

+ 1=1, ß² + a* = k²;

also

yfk²—ß²

Eliminiert man hieraus und aus dem partiellen in Bezug auf « genommenen Differentialquotienten die Grösse a, so ergibt sich als Gleichung der einhüllenden Kurve

(Asteroide.)

Anmerkung-. Diese Kurve kann auch erhalten werden als Enveloppe konzentrischer Ellipsen, welche die Axenrichtung-en ge-mein haben und bei welchen die Summe der Halbaxen konstant = к ist.

Auf ein ähnliches Resultat, nämlich

©Mi)ł

—- 1 führt

auf die Kurve

folg-ende Aufg-abe: Von jedem Punkte der

Ellipse —g —^2 — 1 werden Lote auf die

Axen gefällt und die Fusspunkte derselben durch Gerade verbunden; man bestimme die Enveloppe aller dieser Geraden.

Wird in dieser Aufgabe an Stelle der Ellipse ein Kreis gesetzt, d. h. ist a = b — k, so wird wieder obige Kurve erhalten.

92) Aufg. Der Mittelpunkt eines Kreises von gegebenem Radius r bewegt sich auf einer gegebenen Kurve f(a,ß) = 0 oder ß—<p(a); man sucht die Kurve, welche alle diese Kreise einhüllt.

Lös. Die Gleichung des Kreises wird

(,X — «)² -j-\y — (p (a)]² — r² = 0, und die Differentation in Bezug auf a ergibt

x-a-\-[y — <p{a)\

Wenn man aus diesen beiden Gleichungen a eliminiert, so erhält man die Gleichung der gesuchten einhüllenden Kurve.

Wäre z. B. als leitende Kurve ein Kreis unter der Form ß = y/B*—a*

gegeben, so wäre die Gleichung der einhüllenden Kurve x² y² — (R + r)²,

d. h. die Enveloppe wäre ein konzentrischer Kreis, dessen Radius die Summe oder Differenz der beiden gegebenen Radien ist.

Wäre als leitende Kurve die gerade Linie ß = a a -j- Ь gegeben, so wäre die Gleichung der den beweglichen Kreis einhüllenden Kurve wieder die einer geraden Linie y = ax-j-b-hr\/l-j-a².

Aus den allgemeinen Gleichungen ergibt sich beiläufig noch: dß

T . —

da

und hieraus, wenn man beides nach a differentiiert,    — ~

CL OC

d. h. die einhüllende Kurve besitzt in jedem Punkte mit der eingehüllten eine gemeinsame Tangente. Die beiden einhüllenden Kurven sind Parallelkurven.

93) Aufg. Der Mittelpunkt eines Kreises von variablem Radius bewegt sich auf einer gegebenen Kurve, während die Peripherie desselben immer durch einen gegebenen festen Punkt geht. Es soll die einhüllende Kurve des bewegten Kreises gefunden werden.

Га

-2-

Lös. Wenn der feste Punkt zum Anfangspunkt der Koordinaten genommen wird und die Koordinaten des Mittelpunktes des bewegten Kreises « und ß sind, so wird die Gleichung dieses Kreises

X² y² = 2 а ж    2 ß у.

Die Gleichung der leitenden Kurve sei f(a,ß) — 0 oder ß=.(f{a) ; dann wird der Differentialquotient der vorigen Gleichung in Bezug auf а

16*

ans welchen beiden Gleichungen man durch Elimination von a die gesuchte Gleichung der einhüllenden Kurve erhält.

Wäre z. B. als leitende Kurve ein Kreis mit dem Radius r und den Mittelpunktskoordinaten p und q gegeben, wäre also {ß— #)² + (a—p)² — r², so würde die Gleichung der einhüllen-den Kurve sein

{x² -j- y² — 2p X — 2 q y)² — 4 r² (x² -|- y²),

und wenn man den Mittelpunkt des leitenden Kreises in den Anfangspunkt der Koordinaten selbst verlegt, also p = 0 und q — О setzt, so ergibt sich als einhüllende Kurve

x² ~f~ У² — 4 г²,

d. h. ein dem ersten konzentrischer Kreis, dessen Radius das Doppelte vom früheren ist.

Nähme man als leitende Kurve eine Ellipse mit den beiden Halbaxen a lind Ъ und den Mittelpunktskoordinaten p und q und denkt man sich die Koordinatenaxen parallel mit den Axen der Ellipse, so würde die Gleichung der den bewegten Kreis einhüllenden Kurve sein

(x² -j- y² — 2p x — 2 q y)² — 4 (a² x² —f- Ъ² у²).

Wenn hierbei der feste Punkt in einem Brennpunkt der Ellipse liegt, so ist die einhüllende Kurve ein Kreis, dessen Mittelpunkt im zweiten Brennpunkt liegt und dessen Radius = 2 a, also gleich der grossen Axe der Ellipse ist.

1c

94) Aufg. Der Mittelpunkt einer beweglichen Ellipse mit den Halbaxen h und к bewegt sich auf einer anderen Ellipse mit denselben Halbaxen, deren Mittelpunkt der Koordinatenanfangspunkt ist. Welches ist die Enveloppe der beweglichen Ellipse?

Lös.

X²

y²

{2 h)² 1 (2 li)² L

95) Anfg-. Mau bestimme die Enveloppe der Geraden

Si H

-r+f

97) Aufg. Man bestimme die Enveloppe der Berührungssehnen aller derjenigen Tangentenpaare an die Ellipse ^    ^ ~ 1, welche

auf einander senkrecht stehen.

Lös. Bedenkt man, dass der geometrische Ort derjenigen Punkte, von welchen aus sich Tangenten an die gegebene Ellipse ziehen lassen, die aufeinander senkrecht stehen, der Kreis x² -j- y* — ci² + b² ist, so erhält man durch die Substitution

h = k = \/a2Jr b²

in die vorhergehende Aufgabe als Lösung die der gegebenen konfokale Ellipse

a²+b² ₉

~w~y

= 1.

wenn die variablen Parameter a und b mit den Konstanten m und n durch die Gleichung

/У

m    n

Lös. \X- + \/---

* m    * n

verbunden sind.

n'/

----- 1. Die geometrische Interpretation dieses Problems ergibt eine bekannte Konstruktion der Parabel als Enveloppe ihrer Tangenten.

96) Aufg. Von jedem Punkte der Ellipse werden Tangentenpaare an die

*.......

iT

Ellipse -f- ~ — 1 gezogen. Es wird die а£    bä

Enveloppe der Berührungssehnen (Polaren derjenigen Punkte, von denen aus die Tangenten gezogen sind) verlangt. h² x²

Lös.

k² y²

ft⁴

6⁴

a²-\-b²

a⁴

98) Auf g-. Es soll die Enveloppe der Sehnen gefunden werden, welche die Endpunkte konjugierter Durchmesser der Ellipse

+ ^ = 1

mit einander verbinden.

Lös. Bezeichnet man mit £ und r\ die Koordinaten eines Endpunktes des einen Durchmessers, so sind

-

konjugierten Durchmessers. Folglich wird die Gleichung der Verbindungssehne

— £ diejenigen eines Endpunktes des а

-tF

fYC

(у-^х)-¹‘(х+тг/)+

ab = 0.

Hierin bedeuten § und rj zwei variable Parameter, die durch

£2    |o2

— 4- -As — 1 mit einander verbunden sind. a² o²

2x² . 2 y²

die Gleichung

Die

Enveloppe aller dieser Geraden ist die Ellipse ^

V²

1.

99) Aufg. Welche Gleichung muss zwischen den variablen Parametern и und V bestehen, damit die Gerade их -f- v у — 1 in jeder

x'²    v²

a²

Ir

ihrer Lagen Tangente an die Ellipse — -j- ^ = 1 sei?

Lös. Es muss а² и² -f b² v² — 1 sein. (Gleichung der Ellipse in Linienkoordinaten).

100) Aufg. Es ist die Evolute der Kurve

2 2 2 ХЪ + У* —

zu bestimmen. (Vergl. Aufg. 77.)

Lös. Die Koordinaten eines beliebigen Punktes dieser Kurve können gegeben werden durch die Gleichungen x — a cos³ <p, у =■ a sin³ (p.

Demnach wird die Gleichung der Normale in diesem Punkte x cos (p — у sin <p = a cos 2 (p

oder

— 2ayj2.

x-У

sin(W-j) cos(g>+^)

Betrachtet man in dieser Gleichung (p als variablen Parameter, so ist die Enveloppe aller dieser Normalen die gesuchte Evolute. Man erhält die Gleichung

Anmerkung. Es ist eine nützliche Übung, die Evolute einer gegebenen Kurve nicht nur als Ort der Krümmungsmittelpunkte derselben zu bestimmen, sondern auch dadurch, dass man sie als Enveloppe der Normalen dieser Kurve ansieht.

8. Fusspunktkurven.

101) Aufg. Man bestimme für den Koordinatenanfangspunkt als Pol die Fusspunktkurve der Kurve

= 1.

Lös. Die Fusspunktkurve hat die Gleichung

(a £)и-1 + (Ъ rfr”-¹ = ($² -f- ?j2)n—i _

Für die gleichseitige Hyperbel, b = a\]—1, n = 2, ergibt sich die Lemniskate

(£² + ryy + «2 (^2 _ Ç2)₌₀.

Für a = b und n — § (vergl. Aufg. 1) erhält man hieraus (g2-|—₄8)8=aa §2 V2f

in Polarkoordinaten : r = 2 a sin 2 (p.

2tp

Zusatz. Man erhält dieselbe Kurve durch folgende Konstruktion: Man lege an einen festen Kreis mit dem Radius a eine feste Tangente und schlage um den Berührungspunkt Kreise mit verschiedenen Radien.

A,

A,

AT

Ein solcher Kreis schneidet sowohl den festen Kreis, wie die feste Tangente in 2 Punkten. Man halbiere nun den Bogen des variabeln Kreises, der durch einen Punkt der festen Tangente und einen Punkt des festen Kreises begrenzt wird. Man erhält jedesmal 8 Punkte. Vergl. Aufg. 27,

102) Aufg. Man zeige, dass die Fusspunktkurve der Kurve

r — a sec³ -f-o

für den Pol des Koordinatensystems eine Parabel ist, deren Brennpunkt der Pol ist.

103) Aufg. Es soll bewiesen werden, dass die Fusspunktkurve der Kurve

rn — an cos n cp

für den Pol des Koordinatensystems wieder eine Kurve von derselben Art ist.

104) Aufg. Wenn dem Punkte P der gegebenen Kurve ein Punkt n der Fusspunktkurve entspricht, so soll gezeigt werden, dass die Tangente an die Fusspunktkurve im Punkte n ebenfalls Tangente an den Kreis ist, der über A P als Durchmesser beschrieben wird.

105) Aufg. Die Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten ist r — f (cp). Welches ist die Gleichung ihrer Fusspunktkurve, gleichfalls in Polarkoordinaten?

Lös. Nennt man Leitstrahl und Amplitude der Fusspunktkurve ç> und ip, so ist

ip — A (p--

Q — f COS (<f) — Ip)

wobei

A = arc tang \ т

ist. Eliminiert man aus beiden Gleichungen mit Benutzung der Relation r — f (cp) r und <p, so erhält man

F (ip, <p) — 0

als Gleichung der gesuchten Kurve.

9. Parallelkurven.

106) Auf g. Man beweise den Satz: Tangenten in entsprechenden Punkten einer gegebenen Kurve F (x, y) = 0 und ihrer Parallelkurve sind parallel.

Lös. Der Abstand zwischen beiden Kurven sei k. Dann ist d'§ — d ж + к cos a d а = cos a (d s + к d a), d у =. d у + к sin a d а — sin a (d s + к d a).

Die Parallelkurve kann also angesehen werden entweder als Enveloppe einer Geraden,

>-±*V(HWP

welche der Tangente an die gegebene Kurve parallel und in konstanter Entfernung + к von derselben ist, oder als Enveloppe des Kreises vom Radius к

(£ — x)³ -j- (tj — у)² = k²,

dessen Mittelpunkt sich auf der gegebenen Kurve bewegt. (Vergl. Aufg. 92.)

107) Aufg. Bezeichnet man mit da das Bogendifferential der Parallelkurve, so findet sich

d a = {d s -f- к d a).

Welcher Satz liegt hierin?

Lös. Ein endliches Bogenstück einer Parallelkurve hat die Länge des entsprechenden Bogenstückes der Grundkurve, vermindert oder vermehrt um denjenigen Teil der Peripherie eines Kreises vom Radius к, welcher die Differenz der Werte von a am Ende und Anfang des Kurvenbogens zum Zentriwinkel hat.

108)    Aufg. Für das Flächenelement, welches begrenzt wird von der gegebenen und der Parallelkurve und von zwei Normalen, die den Winkel d a mit einander verschliessen, erhält man

k d s + \k² d a.

Welche Eigenschaft der Parallelkurven drückt diese Formel aus?

109)    Aufg. Den Krümmungsradius einer Parallelkurve zu berechnen.

d/a = ra + k = * + k-

Lös. Der Krümmungsradius q wird Q —

110) A uf g. Es sei ein Kreis mit dem Radius r gegeben; man suche die Parallelkurve

Lös. Die Gleichung des Kreises sei x² y² — r².

Irgend ein Punkt x, y desselben ist bestimmt durch die Gleichungen x — r cos cp, y — r sin (f.

Hieraus folgt

tang a = — cotang cp, also a = ~ -j- cp.

Demnach erhält man für die Koordinaten des entsprechenden Punktes der Parallelkurve:

£ — (r ip k) COS (f , r\ = (r + k) sin (p,

woraus sich als Gleichung der inneren oder äusseren Parallelkurve ergibt

i;² -f■ ÏJ² =(r    k)².

Es sind somit die Parallelkurven Kreise, welche mit dem gegebenen konzentrisch sind.

111) Aufg. Es sei eine Ellipse mit den beiden Halbaxen a und b

IT

gegeben; man sucht die beiden Parallelkurven.

Lös. Wenn die Ellipse dargestellt ist durch die beiden Gleichungen x — a cos cp, y — b sin cp, so findet man für die Koordinaten der dem Punkte x, у entsprechenden Punkte der Parallelkurven

bk

M-?

Га± ;

L \a² sin² cp -f- b² cos² cp

. cos cp,

dx

ч=у-\-

k.~

dy

dx\²

[*±

yja² sin² cp -f- b² cos² cp

j . sin cp.

dy-

Wenn man hieraus den Winkel cp eliminiert, erhält man die Gleichungen der Parallelkurven.

112) A uf g. Wenn man für die gewöhnliche Zykloide die Parallelkuryen sucht, so ist für einen beliebigen Punkt der Zykloide X — r . (g> — sin cp), y — Г . (1 — COS cp).

l.

Die Koordinaten der entsprechenden Punkte der Parallelkuryen sind dann bestimmt durch

£ — r . cp — (2 r sin \ cp -f- k). cos j cp,

4 = (2 r sin I cp + k). sin \ cp.

t-i

Kapitel IX.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung der Raumkurven.

§ 24. Lehrsätze.

Eine doppelt gekrümmte Kurve oder eine Raumkurve kann dadurch gegeben werden, dass man die rechtwinkligen Koordinaten X, y, z eines beliebigen Punktes derselben als Funktionen einer vierten Veränderlichen t darstellt:

X = A(t), y — f₂(t), z = fy(t).

Kann aus diesen drei Gleichungen die Grösse t eliminiert werden, so erhält man zwei Gleichungen

Fi (x, y, z) — 0, F₂ (x, y,z) — 0, welche, zusammengenommen, die Kurve als Durchschnitt zweier Flächen erscheinen lassen.

Bezeichnen a, ß, y die Winkel, welche die Tangente an die Kurve im Punkte x, y, z mit den Koordinatenaxen einschliesst, so findet sich

dy

dx

cos a = —, d s

cos ß —    ,

d s

C0sr = cü’

wo

d s — y/d x² -j- d y² + d z2 das Bogendifferential der Kurve bedeutet.

Es sind demnach die Gleichungen der Tangente im Punkte

X, y, z

dx

dy

dt

und die Gleichung der Normalebene in diesem Punkte wird

258 —

Diejenige Ebene, welche zwei benachbarte Kuryenelemente oder ausser dem Punkte x, y, z noch die zwei benachbarten Kurvenpunkte enthält, heisst die Oskulations- oder Schmiegungsebene oder auch die Krümmungsebene der Kurve im Punkte x, y, z. Ihre Gleichung lautet:

wo

A — dy d² z — dz d²y,

В — d z d² x — dxd² z,

C — dx d²у — dy d²x.

Die Normale dieser Ebene im Punkte x, у, z heisst die Binormale der Kurve, weil sie auf zwei benachbarten Kurvenelementen zugleich senkrecht steht. Sind a₂, ß₂, y₂ die Winkel, welche dieselbe mit den Koordinatenaxen einschliesst, so ist

cos y₂ — -p-

cos a₂= — , cos ß₂ = —

wo

D = ijA² + B² + C² = d s y/(d² x)² + 0i² y)² + (d² z)² — (,d² s)²

— ds²

Wird der Winkel zweier benachbarten Tangenten oder der Kontingenzwinkel mit dr bezeichnet, so findet sich

dt

ds²

— yj(d cos a)² + (d cos ß)²    (d cos y)².

Das Verhältnis des Kontingenzwinkels dr zum Bogendiffe-rential ds heisst die erste Krümmung der Kurve oder die Krümmung in der Oskulationsebene. Bezeichnet man den Radius der ersten Krümmung mit q, so hat man die Beziehungen

q dr — d s, ds_ds³

V/(S)'+(S)’+(S)’'

Unter der Hauptnormale der Kurve im Punkte x, y, z versteht man diejenige Normale, welche in der Oskulationsebene liegt. Werden die Winkel, welche sie mit den Koordinatenaxen bildet, mit «j, ßlf yl bezeichnet, so findet sich

d cos a

dt

COS

cos ßx =

d cos ß

d s²

cos Yy

d cos у    d²z

~ ^Js²'

In der Hauptnormale liegt der Krümmungsmittelpunkt, dessen Koordinaten sind:

2 d²x

9,d‘żV d s²

Man nennt den Winkel, den zwei benachbarte Oskulations-ebenen mit einander bilden, den Schmiegungs-, Torsions- oder Windungswinkel. Wird derselbe mit dü bezeichnet, so ist dÖ = }/(dcos a₂)² -f- (d cos ß₂)² + (d cos y₂)²-Wenn für alle Werte von x, y, z die Grösse d& — 0 oder der Zähler von d&, d. i. die Determinante

dx dy dz d² x d²y d² z =0 d³x d³y d³z

, Y=y+ç

ist, so ist die Kurve eine ebene Kurve.

Zwischen den Winkeln a, ß, y; Oy, ßy, Yi und «2, ßz, У2 bestehen folgende, von Fr en et herrührende Formeln:

d cos a₂

cos cty —

d cos a

d$

cos ßy =

d cos ß

d cos ß₂

d»

d cos Y2

d cos у

cos Yi —

Das Verhältnis des Schmiegungswinkes zum Bogendifferential heisst die zweite Krümmung oder die Torsion (Windung) der Kurve, und der reziproke Wert r der zweiten Krümmung

dit

wird der Radins der zweiten Krümmung- genannt. Zuweilen wird die Grösse

dJc — д/dr² Ą- d&²

als Winkel der ganzen Krümmung der Kurve bezeichnet. Es ist dies der Winkel, den zwei benachbarte Hauptnormalen mit einander einschliessen. Nach Analogie der ersten und zweiten Krümmung einer doppelt gekrümmten Kurve wird das Verhältnis

.IfdA² , fd^Ÿ /1,1

^ Vrf J ⁺ \d J “ V + ri

r²    jß*

die ganze Krümmung und die Grösse R der Radius der ganzen Krümmung der Kurve genannt. (Schell.)

Die Ebene, welche im Punkte x, y, z senkrecht steht auf der Hauptnormale, heisst rektifizierende Ebene. Ihre Gleichung ist cos «! (£ — X) -f cos ßi (y — y) -J- cos yx (£ — z) = 0.

Die Schnittlinie zweier benachbarten rektifizierenden Ebenen heisst rektifizierende Kante. Bezeichnet man die Winkel, welche die rektifizierende Kante mit den Koordinatenaxen ein-schliesst, mit a*, b*, c* so ist

R*

cos a* — ^ cos a -j- ^ cos a₂ — — cos a -|--cos a₂,

cos ß₂ = — COS ß -f- — COS ß₂,

cos b* = ^ cos ß -j- 3

Cv rC

dö

cos C* =

cos у -j-

cos y₂ =

— cosy + y cosy₂.

Diejenige Kugelfläche, welche in einem bestimmten Punkte der Raumkurve vier unendlich benachbarte Punkte mit der Raumkurve gemeinsam hat, heisst Schmiegungs- oder Oskulations-kugel der Raumkurve in diesem Punkte. Ihr Mittelpunkt, welcher der Schnittpunkt dreier benachbarter Normalebenen ist, hat von der Oskulationsebene den Abstand

d# ds'

256 —

Der Radius R der Schmiegungskugel ergibt sich aus der

Gleichung

R² =

Ihr Mittelpunkt hat die Koordinaten:

X—X -f q ax-{- r ~^a₂,

Y—y + qßi + r

dq

ßi >

Ï2-

Z=Z + Qh~\-r

Die Schraubenlinie, welche im Punkte x, y, z mit der Raumkurve alle hier berechneten Grössen, mit Ausnahme der Schmiegungskugel, gemein hat, wird die oskulierende Schraubenlinie (Helix) der Kurve genannt. Die Axe des Rotationszylinders, auf welcher dieselbe liegt, ist der rektifizierenden Kante parallel. Werden die Koordinaten eines Punktes dieser Schraubenlinie gegeben durch die Gleichungen

x — m cos (f, y — m sin <f>, z — ny, so sind die Konstanten m und n zu bestimmen aus den Gleichungen

m² n²    m² 4- n²

Q =-, Г =-

wo q und r die Radien der ersten und zweiten Krümmung der vorliegenden Raumkurve im Punkte x, y, z sind.

§ 25. Beispiele.

1) Aufg. Man beweise den Satz: Wenn die beiden Krümmungen .    — und — einer Raumkurve ein konstantes Ver-

N. ?    r

■:

/■

, \ hältnis haben, so sind die Hauptnormalen dieser . Kurve einer festen Ebene und die rektifizieren-den Kanten einer festen Geraden parallel. Mit anderen Worten: Die rektifizierende Develop-pable ist ein Zylinder und die Raumkurve eine Schraubenlinie. (Bertrand.)

Anleitung¹. Der Beweis kann gegeben werden mit Hülfe des Satzes: Die rektifizierende Kante teilt den Winkel zwischen Tangente und Binormale in der Weise, dass die Sinus der Teile sich verhalten wie dridö, wie leicht aus den allgemeinen Gleichungen für cos a* u. s. w. zu rektifizieren ist. Trägt man

daher auf die Tangente vom Kurvenpunkte aus die Strecke

auf die Binormale die Strecke — ab und denkt sich die Figur

£

zu einem Parallelogramm vervollständigt, so besitzt die Diagonale desselben die Richtung t der rektifizierenden Kante und die Länge

der ganzen Krümmung. Wenn nun konstant und daher sind auch die Winkel des Dreiecks, dessen Seiten —

V

konstant ist, so ist auch

К '

und

~ sind, konstant. Die Raumkurve schneidet Ar

somit sämtliche Erzeugende der rektifizierenden Developpablen unter konstantem Winkel; sie ist also eine isogonale Trajektorie dieser Erzeugenden. Zeigt man noch (durch Differentiation), dass die Grössen cos a*, cos 6*, cos <r unabhängig von der Lage des Kurvenpunktes sind, so ergeben sich leicht die in obigem Satze ausgesprochenen Eigenschaften der Raumkurve.

und —

einer

Zusatz. Wenn die beiden Krümmungen

Raumkurve konstant sind, so ist die Kurve eine Schraubenlinie, die auf einem Kreiszylinder Hegt.

2) Aufg. Es soll die zylindrische Schraubenlinie untersucht werden.

Lös. Die rechtwinkligen Koordinaten irgend eines Punktes der zylindrischen Schraubenlinie können dargestellt werden durch die Gleichungen

x = m cos (f, у — m sin y>, z — пц>.

Hieraus folgt

X² y'² = m²,

m.

d. h. die Kurve Hegt auf einem geraden KreiszyHnder vom Radius Die Projektion der Kurve auf die Xif-Ebene ist die Kurve

è    %

x = m cos —-, diejenige auf die YX-Ebene die Kurve y = m sin —.

Ift    H

Die Rechnung ergibt

_ — m sin (p

д/Ш² J

cos ax= — cos (p,

cos a

ds — ym² -j- n² . d(p] m cos y) yjvi² + n² ’

cos ß =

cosy =

\jm² -f- n²

cos Ą — — sin (f,

cos = 0 ;

cos a₂ =

n sin (p

■\/ш² -j- n² ’

cos ß₂— —

n cos cp \/m² -j- n²

cos y2 —

ад

уш² -j- n²

Da cosy, cosy!, cosy₂ konstant sind, so ist die Kurve eine isogonale Trajektorie der Erzeugenden des Zylinders, auf welchem sie liegt; die Binor-malen bilden mit der Z-Axe und folglich die Oskulationsebenen mit der XK-Ebene

'"Kj

.ÀÂ

NN

einen konstanten Winkel. Die Hauptnormalen schneiden die Z- Axe und da

-x-y-

-r

jn der Abwickelung als Gerade.

cosy₁ = 0 ist, so sind sie der XF-Ebene parallel, woraus folgt, dass die rektifizierenden Ebenen der Z-Axe parallel sind. Die rektifizierende Developpable ist identisch mit dem Zylinder ж² -j- у² = m². Wird dieser Zylinder in eine Ebene ausgebreitet, so erscheint die Schraubenlinie

Es wird ferner

dv —

m d<p

л]т² -f- n² ’

m² + n²

Q —-!-,

m

h = — — 0 П di> ’

d$

n d(p

\jm² -f- n²

dk = d(p,

ш² -j— n2 r =-¹-,

E* — д/w² -f n² ;

R — Q.

Es sind somit sämtliche Krümmungen, sowie auch der Radius der oskulierenden Kugel der Schraubenlinie konstant. Dass die rektifizierenden Kanten der Z-Axe parallel sind, wird bestätigt durch die Formeln

cosa* = 0, cos 6* — 0, cosc* = l.

259 —

Es ist die Gleichung der Normalebene:

— m sin (p (£ — x) -f- m cos y> (rj — y) -f- n (£ — z) — 0, der Oskulationsebene:

n sin (f (£ — x) — n cos (f (rj — y) -\-m(£ — z) = 0, der rektifizierenden Ebene:

cos (f (£ — x) -j- sin (f (rj — y) — 0.

3) Aufg. Untersuchung der konischen Spirale.

Lös. Jeder Punkt dieser Kurve ist bestimmt durch die Gleichungen

x — t cos (mit), y — tsm(mlt), z = nt,

5»ч

У///

A'

in welchen t die unabhängige Veränderliche bedeutet. Aus denselben folgt

= 0;

X² -j- y² —

daher liegt die Kurve auf einem Rotationskegel, dessen Spitze der Koordinatenanfangspunkt und dessen Axe die Z-Axe ist. Die Gleichung

x² y² — t²

lässt erkennen, dass jeder bestimmte Wert der unabhängigen Veränderlichen t den Abstand des zugehörigen Kurvenpunktes von der Z-Axe angibt. Setzt man der Kürze wegen    so folgt

17*

— 260

t — em, und es ist somit die Horizontalprojektion der zu Untersuchenden Raumkurve eine logarithmische Spirale. Man findet

dydt, d³x=    ^ (1-}-m²) sin y dt³:

dxdt\ d³y — — ^(l-j-m²)cosye^³; d³z — 0;

dx = (cosy— msiny)dt, d²x ——

dy = {siny-\-mcosy)dt, d²y = dz — n dt,

d²z — 0, d s — ^1 m² n² dt\

cos a =

cos y — m sin y

д/l -f- m² -f- n²

cos ß

sin y -j- m cos y

\/l -J- m² -f- n²

cos у

д/l -f- m²-\- n²

Da cos у konstant ist, so ist der Winkel, den die Tangente mit der Z-Axe bildet, konstant.

Denkt man sich also durch einen beliebigen Punkt des Raumes Parallelen zu allen Tangenten der Kurve gezogen, so bildet die Gesamtheit derselben einen geraden Kreiskegel, dessen Axe die durch denselben Punkt gezogene Parallele zur Z-Axe ist.

Bezeichnet man mit ш den Winkel, den die Tangente im Punkte X, y, z mit der Erzeugenden des Kegels

z²

X² + y²—-2 — ⁰ >

welche durch diesen Punkt geht, bildet, so ist

X cos a -f- у cos ß + г cos у_ /

д/ж² + у² -f- z²    *

Dieser Winkel ist von t unabhängig, folglich ist die Kurve eine isogonale Trajektorie der Erzeugenden des Kegels. Es ist ferner

COS 03 =

1 -f- n²

1 -(- m² -j- n² ’

dx dt²,

dydt²,

C=^-(l + m²)dt³,

Z> = -^-V(¹ + ™²) (1 + m² + n²). d t³.

Daher wird

cos a₂

cos ß₂

n (cos (f — m sin (f)

V(1 + m²) (1 + w² + n²)

n (sin <p -f- m cos (p)

v/(i + m²) (1 + m² + n²)

COS У₂ =

1 -f⁻ m²

1 4~ w²

V(1 + m²) (1 + m² + n²)

1 + m² 4~ и²

Die Binormale und folglich auch die Oskulationsebene bildet also ebenfalls mit der Z-Axe einen konstanten Winkel.

cos ßi

cos ßx =

sin (f + m cos cp

\/l + m²

cos (f — m sin (p

\/l 4~ m²

cos yi == 0.

Aus der letzten Gleichung folgt, dass die Hauptnormalen sämtlich der XF-Ebene parallel sind. Sie schneiden jedoch die Z-Axe nicht. Die rektifizierenden Ebenen sind der Z-Axe parallel und umhüllen somit einen Zylinder. Der Schnitt desselben mit der X F-Ebene ist die oben erwähnte logarithmische Spirale.

dr — —

1 -f- m²

1 -j- m²-\- n²

dt,

d^ —

д/l + W² + n² ’

dk = — dt— dtp',

_1-|-m²-\-n² t __l-\-m²-\-n²

\/l + m²

в* = — v/i 4"-f~ w² •

Ш

mn

• t,

Da das Verhältnis

q _ n

r д/l -|- m²

konstant ist, so ist die Raumkurve nach dem Bertrand’schen Satze eine Schraubenlinie. Für den Radius II der Schmiegungskugel und für den Abstand h ihres Mittelpunktes von der Oskulations-ebene findet man

t (1 -j- ml -f- n²) д/1 + n

m² n д/Г-j- m²

^_t (д/l -f- m² + w²)³

Die Gerade, welche den Kurvenpunkt mit dem Mittelpunkt der zugehörigen Schmiegungskugel verbindet, schneidet beständig die Z-Axe. Der Radius q* des Zylinders, auf welchem die Schmiegungsschraubenlinie liegt, ist

Q*

__ t д/l -f- m²

also gleich dem Krümmungsradius der logarithmischen Spirale im Punkte t, (f. Die Gleichungen

cosa* = 0, cosb* = 0, cosc* = l geben das Resultat, dass die rektifizierenden Kanten der Z-Axe parallel sind. Endlich wird noch die Gleichung der Normalebene (cos (f — m s in g>) (é — x) -J- (sin <p-\-m cos g>) (rj — y) -f- n (£ — z) — 0, die Gleichung der Oskulationsebene

n (cos (f — m sin cp) (£ — x) 4- n (sin y> ~\~ m cos g>) (rj — y) —

— (!-}- ш²) (Ç — z) — 0,

die Gleichung der rektifizierenden Ebene

(sin (p -j- m cos <p) (^ — x) — (cos — m sin cp) (y — y) — 0.

4) Aufg. Ein grösster Kreis einer Kugel dreht sich um einen seiner Durchmesser mit gleichförmiger Geschwindigkeit, während gleichzeitig ein Punkt seine Peripherie durchläuft. Man untersuche die Kurve, welche der Punkt beschreibt unter der Voraussetzung, dass seine (gleichförmige) Geschwindigkeit gleich derjenigen des Kreises sei.

Lös. Wählt man den festen Durchmesser von der Länge 2 a zur Z-Axe eines rechtwinkligen Koordinatensystems, dessen X- und F-Axe durch den Mittelpunkt der Kugel gehen und bezeichnet man mit <p den Winkel, den der bewegliche Kreis in irgend einer seiner Lagen mit der X F-Ebene bildet, so erhält man für die Koordinaten eines beliebigen Punktes der zu untersuchenden Kurve

x = a cos²y, y = a sin y> cos <p, z = asia.(p, wo a den Radius der Kugel bedeutet.

\z

.z

-'f

fmr-°

"Л

Wü

•Л

Die Kurve liegt sowohl auf der Kugel x² у² -f- г² = а², als auch auf dem Kreiszylinder x² + y² — ax = 0 und auf dem parabolischen Zylinder z² — a{a — x). Verlegt man das Koordinatensystem in den Punkt x — a, y = O, z = 0 und setzt zu diesem Zwecke x — x'-j-a, so erkennt man ohne Schwierigkeit, dass die Kurve ebenfalls auf dem Rotationskegel x'² -\-y² — z² = 0 liegt. Sie kann demnach als Durchschnittskurve je zweier dieser vier Flächen konstruiert werden. Da x keine negativen Werte haben kann, so liegt sie ganz auf einer Halbkugel. Sie ist symmetrisch in Bezug auf die XY- und XZ-Ebene und besitzt im Punkte x — a, y — 0, z = 0 einen Doppelpunkt. Es findet sich

d s = а д/i + cos² \

cos а — —

sin 2 (p

y/l -j- COS² <p

cos ß =

cos 2

yjl + COS² (f ’

cos y =

COS (f

y/l + COS² (p

264

2 — 1 + 2 cos² y + cos⁴ 9 д/l + cos² (p д/ö + 3 cos² (p ’

cos ßi =

5 + 2 cos² 9

д/l + cos² 9 д/5 + 3 cos² у

sin 9 cos cp,

cos =

sin 9

д/l + cos² у д/5 + 3 cos² (p

cos a₂ =

cos ß₂ =

sin (p (2 cos² 9 + 1) д/ö + 3 cos² 9 2 cos³ 9 д/ö + 3 cos² 9

cos Y2 —

д/ö + 3 cos² 9 Ferner wird die Gleichung der Normalebene — sin 2 9 (Ç — x) + cos 2 9 (rj — y) + cos 9 (f — <sr) = 0 die Gleichung der Oskulationsehene

sin 9 (2 cos² 9 + 1) (S — x) — 2 cos³ 9 (ij — y) + 2 (£ — ^) — 0, die Gleichung der rektifizierenden Ebene

2 (—1 + 2 cos² 9 + cos⁴ 9) (5—ж) + (5 + 2 cos² 9) shi9 cos 9 (4—y)-\-

+ sin 9 (t — я) = 0 ;

д/5 + 3 cos² 9

1 + cos² 9

6 cos 9 д/l + cos² 9

5 + 3 cos² 9

Demnach ist

icjte

_а (1 + cos² 9)

д/5+ 3 cos² 9 à 5 + 3 cos² 9 cos 9

Für (p — \n und (p — \n wird d$ = 0; folglich besitzt die Kurve in den Punkten x = 0, у = О, г = + a die Torsion 0, also den Charakter einer ebenen Kurve. Im Doppelpunkte (9 = 0 und <-p = n) stimmt der Radius der ersten Krümmung mit dem Kugelradius überein.

Der Abstand des Mittelpunktes der eskalierenden Kugel von der Oskulationsebene ist

2 + cos² w a -=====. yö -f- 3 cos² (p

Selbstverständlich fällt die oskulierende Kugel in jedem Punkte der Raumkurve mit der Kugel zusammen, auf welcher die Raumkurve hegt, d. h. es ist R = a, X=Y= Z= 0.

5) Aufg. Ein gerader Kreiskegel, dessen Höhe gleich dem Radius der Grundfläche, gleich 1 ist, rolle längs eines anderen eben solchen Kegels und zwar so, dass sich die beiden Kegel beständig längs einer Erzeugenden berühren und ihre Spitzen zusammenfallen. Ein Punkt in der Peripherie der Basis des beweglichen Kegels beschreibt dann eine Raumkurve, die man sphärische Epizykloide nennt.

Es soll diese Kurve untersucht werden.

Lös. Bezeichnet man den Wälzungswinkel mit cp und wählt die beiden Kegeln gemeinsame Spitze zum Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems, so wird ein beliebiger Punkt der Kurve gegeben durch die Gleichungen X = cos (p -j- sin² (p, у — sin (p — sin g> cos g>, z — — COS cp.

Aus diesen Gleichungen folgen die weiteren x² + У² H~ £² — 2, z* + z + x — 1=0, aus welchen hervorgeht, dass die zu betrachtende Kurve sowohl auf der Kugel vom Radius \/2, als auch auf einem parabolischen Zylinder liegt, dessen Erzeugende der F-Axe parallel sind. Im Punkte X— 1, y = 0, z — — 1 besitzt die Kurve eine Spitze. Wird der Anfangspunkt eines neuen Koordinatensystems in diesen Punkt verlegt mittelst der Formeln x — x-\-1, y = y, z — z'—l,

sin (p.

tZ

.Y

-, ;

". li'

'm

n.

so erhält man leicht die Gleichung¹ ж'² -f- у'² — z'² = 0. Es liegt somit die Kurve auch auf einem Rotationskegel, dessen Spitze sich im neuen Koordinatenanfangspunkt befindet. Nun ergibt sich der Reihe nach

d s — sin \ (f д/2 (3 + cos cp) d y ;

cos а

2 cos f cp

д/2 (3 + cos cp) ’

cos ß =

2 sin f cp

д/2 (3 -J- cos cp) ’

cos у —

д/2 (3 + cos y) ’

cos ax —

sin cp (5 -f-10 cos cp -j- 2 cos² g>)

д/(7 + 2 cos ÿ) (3 + cos cp)

cos ß₁ =

2 (— 2 -f- 4 cos ÿ + cos² cp) cos ]- cp

д/(7 + 2 cosy) (3 4- cos cp)

dt =

COS ft =

cos a₂ —

COS /?2 =

COS ft =

— sin I у

д/(7 4" 2 cos 5p) (3 4- cos cp)

1 — 2 cos cp — 2 cos² cp

\/l4 4- 4 cos у 2 sin cp (1 4’ cos cp) д/14 4* 4 cos у

д/14 4" 4 cos cp

д/14 4* 4 cos cp

3 4- COS cp

d cp,

d$ —

6 COS I <£) д/£ (3 4" COS cp)

7 -j- 2 cos cp

d cp.

Da d & — 0 wird für cp = n, so besitzt die Kurve im Punkte X — — 1, y = 0, z = l die Torsion 0.

Für die Radien der ersten und zweiten Krümmung ergibt sich

3

_ sin j cp (3 4- cos cp)¹*

^    д/7 4- 2 cos cp

_ sin I cp (7 4- 2 cos cp)

3 COS I cp

Der Abstand h des Mittelpunktes der Schmiegungskugel von der Oskulationsebene ist

ъ_1 -f- 4 cos (p -f- cos² <f

д/14 -j- 4 cos (f

und der Radius dieser Kugel wird, da die Kurve eine sphärische ist, für alle Punkte derselben konstant und gleich dem Radius der Kugel, auf welcher die Kurve liegt, also В — \/2.

Endlich ist noch die Gleichung der Normalebene cos I (p (£ — x) -f sin I (f (y — y) -f cos \ (p (£ — z) — 0, die Gleichung der Oskulationsebene

(1— 2 cos (p — 2 cos² (f) (£—x)—2 sin y> (1cos Ф) (v — y) + 6 (£— z)—0,

die Gleichung der rektifizierenden Ebene

sin \ <p (5 -f- 10 cos (p -{- 2 cos² </>) (£ — x) — 2 (— 2 -f- 4 cos y> 4-

+ cos² (p) cos I (p (rj — y) —|— sin I (p (£ —z) — 0.

6) Aufg. Es soll die Kurve untersucht werden, die entsteht aus dem Schnitt des parabolischen Zylinders

y² — 2 p x

mit dem Kreiszylinder

z² -j- x² — a².

Lös. Aus der Addition und Subtraktion dieser beiden

Gleichungen folgen die weiteren

{x — p)² + y² -f z² — a² + p²,

(x -j- p)² Ą- z² — у² — а² -f- P² >

und es liegt daher diese Raumkurve sowohl auf einer Kugeloberfläche, als auch auf der Fläche eines einschaligen Rotationshyperboloids.

Es wird

AJ А

_ P

dx y

oder

oder

d²y

d² z

a²

dx²

2 xy'

Die Gleichungen der Tangente

V — y — —. (£ — x),

У

4 = y-? + ły,

Die Gleichung der Normalebene

dx²

+ -») + (?-*) = 0,

X y

— • Q—p z

t/Vf

■4 —

= 0.

yz

Die Länge der Tangente vom Berührungspunkt bis zur YZ- Ebene wird — . д/ä² y² -f- p² z²,

bis zur XZ-Ebene wird -У- д/а² y² -j- p² z², bis zur XY-Ebene wird a² y² -j- p² z².

Die Gleichungen der Schnittgeraden der Normalebene mit den Koordinatenebenen werden

У

mit der XX-Ebene: \——    — p

z

— .C—p = 0, z

mit der FX-Ebene: —

mit der XF-Ebene:    — p = 0.

У

Die Gleichung“ der Schmiegungsebene wird p² z³ . £ -— a² y³    -f- p² X . (3 a² — x²). £ — p² a² . (a² — В x²) — 0.

Der Halbmesser der ersten Krümmung wird

д__    (а² у² -f- p² z²)z

pa. \Ja² y² (4 x² -f- y²) + V² z² (4 x² -j- z²)

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden

X=

p . [a² y² (zé -j- 2 a² x²) -j- i z⁴ (a² y² + 2 p² z²)] a² . [a² y² (4 x² -j- y²) -f- p² z² (4 x² -j- z²)\

У • W У² (2 x² -f- y²) -J- z² (2 p² x² — a² y²)] a² y² (4 x² + y²) + p² z² (4 x² + z²)    ’

ry_p² z³ [a² (z² — 2px) — x (p z² 4~ 2 a² x)]

a² [a² y² (4 x² + y²) + p² z² (4 ж² + z²)} '

7) Aufg. Man untersuche die Kurve, welche durch den Schnitt zweier Kreiszylinder entsteht, die respektive auf der XY- und auf der XZ- Ebene senkrecht stehen.

Die Kurve ist gegeben durch die Gleichungen

x² Ą- y² — a², x² -\- z² = b².

îia

Aus denselben folgt durch Addition und Subtraktion 2 x² -(- y² + z² — a² — b², y² — z² — a² — b².

/к

___

Es kann somit die Kurve / auch angesehen werden als der Schnitt eines Rotationsellipsoids \ mit einem hyperbolischen Zylinder. V Für a — b zerfällt der letztere in zwei Ebenen, und die Kurve besteht in diesem Falle aus zwei Kegelschnitten.

Ferner wird

dy_ x

dz

dx

dx

d²y

d² z

b²

dx²

dx²

Die Gleichungen der Schnittgeraden der Normalebene mit den Koordinatenebenen werden

-1=0,

oder

oder

Die Gleichungen der Tangente

4 — 2/ = —

У

т ⁽⁵-æ):

i? y -j-    — a²,

Die Gleichung der Normalebene

£ — X y— y £ — г

£C

^---——[— 1 = 0.

y    Z

Die Länge der Tangente vom Berührungspunkt

his zur УEbene wird =

bis zur XX-Ebene wird =

bis zur XF- Ebene wird = z².

*äV'F + ^г+|г>

²,²-V5+p‘+?’

П—EIZ

V Ж2 + y2 + ^2 *

mit der FX-Ebene: — -4- —

У z

mit    der    XZ-Ebene:    —---—-4-1 = 0,

X    z

mit    der    XF-Ebene:    —----4-1 = 0,

X    у

Die Gleichung der Schmiegungsebene wird X (b² iß — а² z²) . £ -f- b² y³ . rj — a² z³. Ç — а² b² у² ß a² h² z² — 0. Der Halbmesser der ersten Krümmung wird

n__ {y²z²ßx²z²ßx²ißß__

^    \/a⁴ b² z⁴ -j- à² b⁴ y⁴ — 2 a² b² x² y² z²

Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden

xr_ в (a‘²    — b² y²)² — y² z² (а² z² -f b² y²)

' аЧ²^ + а²Ъ±у± — 2a²b²x²y²z² ’

ж⁴ у² + a² b² y² — 2 a² x² z2 ' a⁴ &² г⁴ -fa² 6⁴y⁴ —2 a² b² x² y² z² ’

ж⁴ -f a² b² z² — 2 6² x² y2 a⁴ b² z± + a² ft⁴ y⁴ — 2 a² ô² ж² y² *² ’

8) Auf g. Man untersuche die Kurve, welche hei dem Durchschnitt eines Ellipsoids mit einer Kugel entsteht. (Sphärische Ellipse.)

Y ~b²y³

Z=a²z³.

Wenn der gemeinsame Mittelpunkt beider Oberflächen der Anfangspunkt der Koordinaten ist, so wird die Kurve dargestellt durch die Gleichungen

i    i

a² ' b² '

z²

X² y² z² — r², aus welchen leicht die vier weiteren folgen

-r²,

— r²,

Die Kurve liegt sonach auf sechs verschiedenen Flächen zweiter Ordnung, unter denen sich ein Kegel und drei Zylinder befinden. Für c = b zerfällt sie in zwei Kreise. Bezeichnet man mit xu уъ Zi drei bestimmte zusammengehörige Werte von x, y, z und subtrahiert von

(^—o^+dr-¹)/

— c² — r²

die Identität

— с² — г²,

so kann man die sphärische Ellipse auch darstellen durch die drei Gleichungen

_ У² — y\ _

£² —

a² (6² — c²)    &² (c² — a²)    ' c² (a² — 6²) '

Dann erhält man

l² &⁴ (c² — a²) (c² — r²)

(c² — &²)² y³ ’

dx²

d² z c⁴ {b² — a²){b² — r²)

dx²    a² (b² — c²)²*³

Die Gleichungen der Tangente werden

ж (£ — x)

y (y — y)

*(£-*)

a² (b² — c²)    &² (c² — a²)    c² (a² — &²) ’

oder

a ? — ж² _ уу— у\ __

а² (Ь² — с²) Ь² (с² — а²) с² (а² — Ь²) '

Die Gleichung der Normalebene wird

a² (b² — c²) — -j-b² (c² — a²)^--j-c² {a² — b²) — = 0.

X    у    z

Setzt man

*² 1

C⁴

r2 ’

so wird die Länge der Tangente vom Berührungspunkt bis zur Y Z- Ebene —

b² c² r x

(c² — b²) y z

bis zur XZ- Ebene =

a² c² r y

(c²—a²)xz

.R,

bis zur XY- Ebene =

a²b² r z

(b²—a²)xy

. R.

273 —

Die Gleichungen der Schnittgeraden der Normalebene werden

in der Y Z-Ebene b² (c² — a²)    + c² (q² — b²) —

Die Gleichung der Oskulationsebene wird (iа²— b²) (а²— с²) (а²—r²)

— 0,

q⁴

x³.(%—x)-\

(b²—a²)(b²—c²)(b²—r²)

6⁴

y³-(v—y)+

(ic² — q²) (c² — 6²) (c²—r²)

c⁴

- я³ (£ — z) = 0.

M=

Wenn man der Kürze wegen folgende Bezeichnung einführt:

(b²—a²)² (fr²—c²)² (fr²—r²)²

1    Г (a²—b²)²(a²—c²)²(a²~r²)²

q⁴fr⁴c⁴L    q⁸

(c²—a²)² (c²—b²)² (c²—r²)²

c*

г⁶],

so wird der Radius der ersten Krümmung

rsR³

und die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes werden

(c²—a²)²(c²—r²)

X=x-t

xr² R²

a^b²c²M

Y=yi

yr²R²

a²¥c²M

zr²R²

q²frVilf

(c2_₆₈₎[(^W!=r2ÿ4 (e8_cS)[Mzî!ï

*⁴

c⁶

(a²— fr²)² (q²—r²)

q⁶

z⁴] ,

Anmerkung. Infolge der Eigenschaft, dass die Summe der Entfernungen (gemessen auf Bogen grösster Kreise) ihrer Punkte von zwei festen Punkten der Kugeloberfläche konstant ist, hat die hier untersuchte Kurve den Namen sphärische Ellipse erhalten.

Kapitel X.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung krummer Oberflächen.

§ 26. Lehrsätze.

Eine krumme Oberfläche kann allgemein gegeben werden durch drei Gleichungen, welche die rechtwinkligen Koordinaten eines beliebigen Punktes der Fläche als Funktionen zweier unabhängigen Veränderlichen и und v darstellen:

x = fi (u,v), y = f₂(u,v), z = f₃ (u, v).

Gelingt es, hieraus die Grössen и und v zu eliminieren, so erhält man eine Gleichung zwischen x, y, z als Gleichung der Fläche

F(x, y, z) — 0,

welche durch Auflösung nach falls dieselbe möglich ist, die Form annimmt

z = f{x, y).

Es werde zur Abkürzung gesetzt

ô^_²^_ л    _

0^    0У    X*    ftxfty

Die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkte x, y, z ist

ra

cu

Cu

Cu

Qj

—gf-®h

ftx

CU

(*? — y) -f

ПЭ

au

(С — лг) = 0,

oder

ç — g=p(ç — x)-)rq(ri — y).

Sind X, Y, Z die Cosinus der Winkel, welche die Normale im Punkte x, y, z mit den Koordinatenaxen einschliesst, so wird

IM⁷

W ft z ’

y_

Wftx’

1 ftF

W ft y

wo oder wenn die Fläche durch die Gleichung z— fix, y) gegeben ist

\jl p² q² ’ \/l p² -f- q²

z=

д/l -)- p² -|- q2 und die Gleichungen der Normale sind demnach

СУ! СУ

Die Länge der Normale vom Berührungspunkt der Tangentialebene bis zur

W,

Ebene der Y Z wird -J- = x д/1 -f- (g~) -f (g^) : Ebene der X Z wird -y- = у у/1 -f-    + (g^) :

— — w

à#

Ebene der XY wird

w.+ij+tfâ'

Jede durch die Normale im Punkte x, y, z gelegte Ebene schneidet die Fläche in einer Kurve, welche Normalschnitt ge-, nannt wird. Bildet die Tangente an den Norinalsclmitt im Punkte • x, y, z die Winkel a, ß, y mit den Koordinatenaxen, so ist der Krümmungsradius В des Normalschnittes

д/l +p² + q²

r cos² « + 2 s cos a cos ß -f t cos² ß '

Der Krümmungsradius eines schiefen Schnittes, dessen Ebene durch dieselbe Tangente («, ß, y) geht und mit der Ebene des Normalschnittes den Winkel w bildet, hat zum Ausdruck q — В cos со. (Satz von Meunier.)

Ünter sämtlichen Normalschnitten im Punkte x, y, z gibt es im allgemeinen zwei, deren Krümmungsradien resp. ein Maximum R₁ und ein Minimum B₂ sind. Diese Normalschnitte, deren Ebenen senkrecht auf einander stehen, werden Hauptnormalschnitte und die zugehörigen Krümmungsradien Hauptkrümmungsradien genannt. Die Richtungen der Hauptnormalschnitte sind bestimmt durch die drei Gleichungen

[p q t — (1 -f- q¹ 2) 5] cos² ß + [(1 -f- p²) t — (1 -J- q²) r] cos a cos ß -(-

-f- [(1 -j-J?²) $ —P ü rl cos² « = 0,

cos y —p cos a -(- q cos ß.

Die quadratische Gleichung für die beiden Hauptkrümmungs

radien ist

R²

_1_ Г(1 -f q²)r — 2pqs + (1 + P²) П

•bL (H-** + «*>*

rt — s²

(1 -f p² -f q²)

— 0,

woraus sich ergibt

rt — s²

BlĄ"( l+^ + З²)²’

1_ i JL _ (l + g²)r — ZpgsĄ-jl+p^t

(Gauss’sches Krümmungsmass.)

R\

Ri

. (Mittlere Krümmung.)

(1 -f- p² -j- q²)

Zwischen dem Krümmungsradius R eines beliebigen Normalschnittes, dessen Ebene mit der Ebene von Rl den Winkel (p bildet und den Hauptkrümmungsradien besteht die Beziehung

(Satz von Euler.)

1 _cos ²(p sin ²(p ~R~ Rx ' R₂ '

Ein Punkt, in welchem die Hauptkrümmungsradien und in Folge dessen die Krümmungsradien sämtlicher Normalschnitte einander gleich sind, heisst ein Kreispunkt oder ein Nabelpunkt der Fläche. Das Vorkommen eines Kreispunktes bedingt das gleichzeitige Bestehen der Gleichungen einer anderen festen Geraden parallel bleibt und immer durch eine gegebene Kurve, die Leitkurve, geht.

Seien die Gleichungen der beweglichen Geraden

ax-\-by-\-cz=a, a x-\- b' y -j- ć z — ß.

Hierin sind a, b, c, a, b', c als konstant, a und ß dagegen als veränderlich zu betrachten, so jedoch, dass ß —cp (a) irgend eine Funktion von a sein muss, die von der Natur der leitenden Kurve abhängt. Demnach sind sämtliche Zylinderflächen in der Gleichung enthalten

a X -j- b' y -|- c z = (f {a x -j- b y + с г).

Durch partielle Differentiation nach x und у und Elimination der willkürlichen Funktion cp erhält man hieraus die partielle Differentialgleichung der Zylinderflächen

(c b — c b') p -j- (а c — а c) q — (6' а — b а) = 0, welche ausdrückt, dass die Tangentialebene an den Zylinder beständig der Geraden ax-{-by-\-cz — 0, ci x-\- b' у -\~ ć z = О parallel bleibt.

Man kann diese Kesultate bedeutend vereinfachen, wenn man die Gleichungen der Geraden so umformt, dass а — 1, 6 = 0, d = 0, b' = 1 wird. Die Differentialgleichung wird dann:

CP c' Q + 1 — 0.

Eine konische Oberfläche wird durch die Bewegung einer geraden Linie erzeugt, welche beständig durch einen gegebenen festen Punkt und durch eine gegebene Kurve, die Leitkurve, geht.

In den Gleichungen der erzeugenden Geraden x — а_у — b

oder

c=ß

y — b_ B

Z — C

sind a, b, c, die Koordinaten des gegebenen festen Punktes, als konstant, a und ß dagegen als veränderlich anzusehen, so zwar₅

dass ß — (f(a) irgend eine von der Natur der leitenden Kurve abhängige Funktion von a ist. Die Gleichungen sämtlicher Kegelflächen sind demnach von der Form y — b

f(~). Vs" — c'

z — c

Die partielle Differentialgleichung der Kegelflächen z — c — p {x —* a) + q (y — h)

zeigt, dass jede Tangentialebene einer konischen Oberfläche durch den Mittelpunkt der Fläche geht.

Eine Rotationsoberfläche entsteht durch die Bewegung eines Kreises von veränderlichem Radius, dessen Mittelpunkt stets auf einer gegebenen geraden Linie (Rotationsaxe)

X — a_y— Ъ

bleibt, während seine Ebene beständig senkrecht zu dieser Geraden ist. Ein Kreis im Raum wird bestimmt als Schnitt einer Kugelfläche mit einer Ebene. Die Gleichungen des beweglichen Kreises werden demnach sein

(x-ay + (y-bf + (0-c)* = ß Ах -\- В y Ą- C z — «.

Hierin sind die Grössen a, b, с; A, В, C konstant, während zwischen den Veränderlichen « und ß eine Bedingungsgleichung ßz=z(p{a) stattfinden muss, welche von dem Gesetze abhängt, nach welchem der Radius des beweglichen Kreises sich ändert. Die Kenntnis einer ebenen oder doppelt gekrümmten Kurve, welche auf der Fläche liegt und durch deren Rotation man sich die Fläche entstanden denken kann, reicht im allgemeinen zur Bestimmung der Funktion cp hin. Die Gleichung der Rotationsfläche wird demnach die Gestalt haben

(x — a)² -f- (y — b)‘² -f" {z — cf = cp (A X + B y + C z).

Wählt man die Rotationsaxe als Z-Axe und ist die Gleichung der (als eben vorausgesetzten) Rotationskurve, wenn sie in die XZ-Ebene fällt: cp(x,z) = 0, so ist die Gleichung der Rotationsfläche :

(p (\lx² + y\ z) — 0.

Die partielle Differentialgleichung der Rotationsoberflächen

lautet :

P [В 0 — c) — C {y — &)] -f q [C (x — a) — A [z — c)] —

— [A {y — b) — В (x — a)] — 0. Die Entstehung der Fusspunktfläche ist der der Fusspunkt-kurve analog, sie ist der Ort der von einem festen Punkte aus auf alle Tangentialebenen einer gegebenen Fläche gefällten Lote. Ihre Gleichung wird, wenn f (x, y,z) — Q die gegebene Fläche ist, erhalten durch Elimination von x, y, z aus den Gleichungen:

x=

¹

-f- p² 1 -f- q² pq

²

Eine zylindrische Oberfläche entsteht im allgemeinen durch die Bewegung einer geraden Linie, die während ihrer Bewegung

¥и(хт* + у¥у + г ai) (1Л²+(1Л²₊(1Г)² ’

V0 x) V0 y) V0 z)

œr+ær+ær '

Wird in der Gleichung einer ebenen Kurve U —fix, y, a) — 0

der Parameter a variabel gedacht, so entspricht dieser Gleichung eine ganze Schar von Kurven. Zwei Kurven der Schar, welche benachbarten Werten von a entsprechen, werden sich im allgemeinen schneiden. Für die Schnittpunkte bestehen gleichzeitig die Gleichungen

= 0.-

U= 0,

Die Elimination von « aus diesen Gleichungen, wenn dieselbe möglich ist, ergibt eine Relation zwischen x und y, F {x, y) — 0, welche unabhängig von dem speziellen Wert von a ist und somit die Gleichung derjenigen Kurve darstellt, in welcher sämtliche Schnittpunkte benachbarter Kurven der Schar liegen. Diese Kurve

F{x,y) = 0 wird die einhiillende Kurve oder die Enveloppe, die Kurvenschar U— 0 dagegen die ein gehüllte (enveloppée) genannt. Die. einhiillende Kurve hat in jedem ihrer Punkte eine gemeinschaftliche Tangente mit der gegebenen, ihrer Form und Lage nach veränderlichen Kurve.

Denkt man sich ebenso in der Gleichung der Fläche U=f(x, y, z,a) = 0

den Parameter a stetig veränderlich, so stellt diese Gleichung eine Schar von unendlich vielen Flächen dar. Zwei benachbarten Werten von a entsprechen zwei Flächen der Schar, welche sich im allgemeinen in einer Kurve schneiden, die Charakteristik genannt wird. Für dieselbe gelten demnach die Gleichungen

U=0,

CU

ГГС

0.

Durch Elimination des Parameters a aus diesen beiden Gleichungen erhält man eine Gleichung zwischen x, у, г, welche allen Charakteristiken zukommt. Es ist dies die Gleichung der einhüllenden Fläche. Die Schnittpunkte zweier benachbarten Charakteristiken genügen den drei Gleichungen

0‘²^

U=0,

CU

CU

— 0.

Gelingt es, aus diesen drei Gleichungen a zu eliminieren, so erhält man zwei Gleichungen zwischen x, y, z, welche diejenige Kurve darstellen, auf welcher die Schnittpunkte je zweier benachbarter Charakteristiken liegen. Diese Kurve führt den Namen Rückkehrkante oder Wendlingskurve oder Gratlinie. (Arête de rebroussement). Sie wird ebenso von allen Charakteristiken berührt, wie die einhiillende Oberfläche von allen eingehüllten.

Wenn die veränderliche Fläche, deren Gleichung U=0 nur von dem einzigen willkürlichen Parameter a abhängt, eine Ebene ist, so heisst ihre Enveloppe eine developpable oder abwickelbare Fläche. In diesem Falle ist die Charakteristik eine gerade Linie, und die ganze Fläche kann als aus lauter ebenen Elementen bestehend angesehen werden. Da diese unendlich schmalen Elemente sich längs gerader Linien an einander anschliessen, so können sie in eine Ebene ausgebreitet oder abgewickelt werden.

Zwei benachbarte Erzeugende einer abwickelbaren Fläche schneiden sich in einem Punkte; die Gesamtheit dieser Punkte bildet eine Raumkurve, die Rückkehrkante der abwickelbaren Fläche. Die Erzeugenden der abwickelbaren Fläche sind die Tangenten der Rückkehrkante; die Ebenen, welche zwei benachbarte Erzeugende enthalten, also die Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche, sind die Oskulationsebenen der Rückkehrkante. Man kann sich daher jede abwickelbare Fläche entstanden denken sowohl als Enveloppe der Tangenten einer Raumkurve, als auch als Enveloppe der Schmiegungsebenen derselben.

Wenn

z — ax Ъ у c

die Gleichung der beweglichen Ebene ist, welche in allen ihren Lagen Schmiegungsebene einer gegebenen Raumkurve sein soll, so werden die Koeffizienten Ъ und c Funktionen von a sein, Ъ — <p (а), c= ip (a), welche abhängen von der Natur der gegebenen Raumkurve. Man hat demnach

z — а X -f- (f (а). у -f- ip (a).

Denkt man sich von einem Punkte der Kurve, welcher einem speziellen Werte von a entspricht, zum nächstfolgenden übergegangen d. h. differentiiert man diese Gleichung in Bezug auf a, so erhält man

О — X -j- у

d(p (a) , dtp (а)

d² y (a) y~ da²

d² ip (a)

d a²

Die beiden ersten Gleichungen gehören der Charakteristik der Fläche an. Gelingt es, aus denselben die Grösse a zu eliminieren, so erhält man die Gleichung der developpablen Fläche; die Elimination von a aus allen drei Gleichungen würde zwei Gleichungen zwischen x, y, z ergeben, welche der Rückkehrkante der Fläche zukommen.

Durch partielle Differentiation der ersten Gleichung erhält man

p — a,

Eine Fläche ist daher abwickelbar, wenn zwischen p und q eine Beziehung besteht, die von x, y, z unabhängig ist. Die Gleichung z — a x + y {a). y -(- гр (a) liefert jetzt als eine weitere Form der Gleichung einer abwickelbaren Fläche z — p x — q y — ip (p).

Aus der Gleichung q = y (p) ergibt sich endlich noch s — (f ' (p). r, t = q>' (p). s

und hieraus durch Elimination von q' (p) die partielle Differentialgleichung der developpablen Flächen

S²z=zrt.

§ 27. Beispiele.

1. Allgemeine Aufgaben.

1) Aufg. Man bestimme das Volumen der Pyramide, welche enthalten ist zwischen den Koordinatenebenen und der Tangentialebene an die Fläche

a² y² -f- x² z² — r² x²

(Cono-cuneus von Wallis, gewöhnliches Konoid.) Lös. Man findet für das verlangte Volumen . xs zb

2) Aufg. Für die Fläche, deren Gleichung

xy z = a¹

ist, bestimme man: a) die Hauptkrümmungsradien, b) die Kreispunkte.

Lös. a) Die Hauptkrümmungsradien können bestimmt werden aus der quadratischen Gleichung

B²~ 2(Ж¹ + y* + **)D

В , 27 a²

D³ 4

b) Die Koordinaten der Kreispnnkte sind 3? — -\- y — ~h z = cc,

— x — ~\- у—    z = a.

In einem Kreispnnkte ist

R — R₁ = B₂ — D — \/3 a ■

3)    A uf g. Es soll gezeigt werden, dass die Fläche

©•+ ©■+©■- >

von der Kugel x² -j- y² -j- z² = r² in den Kreispunkten berührt wird, wenn

2 —— Qn~² _|_ I)

Lös. Bestimmt man die Koordinaten eines Kreispunktes der gegebenen Fläche

an-2

f 2n

(üF¹

- und entspr.

_[_ Jjn-2 _|_ (fl

und setzt dieselben in die Gleichung der Kugel, x² -f y² -\-z² — r², ein, so findet man als Bedingung, dass der Kreispunkt ein Punkt der Kugel sei, die in der Aufgabe enthaltene Beziehung zwischen а, Ь, c und r. Ist diese Bedingung erfülllt, so sind für die Koor-

Ô*

dinaten der Kreispunkte die Grössen p =■ und ą — -^ für

beide Flächen identisch, womit die in der Aufgabe ausgesprochene Behauptung bewiesen ist.

4) Aufg. Die Hauptnormalen der zylindrischen Schraubenlinie, welche gegeben ist durch die Gleichungen

x — m cos cp, y — m sin cp, z — n cp, bilden die windschiefe Schraubenfläche. Man bestimme für dieselbe a) die Gleichung, b) die Tangentialebene im Punkte ж, у, z und deren Abstand vom Koordinatenanfangspunkt und c) die Hauptkrümmungsradien.

Lös. a) Die Gleichungen der Hauptnormale der gegebenen Schraubenlinie sind

(£ — x) sin <p = (ij — y) cos cp, l — z,

oder

£ sin (p = vj cos <p

l — ncp.

Hieraus folgt durch Elimination der Grösse у als Gleichung der Schraubenfläche

£ sin

«Vf US

oder

= tang — . n

b) Die Gleichung der Tangentialebene wird

— -Г1 cos — n    n

y £ — ж tj 4- ~ (x² + y²) (Ç — z) — 0;

Tb

der Abstand der Tangentialebene vom Koordinatenanfangspunkte ist

y/n² + r² ’

wenn r — yjx² -j- У² gesetzt wird.

c) Die Hauptkrümmungsradien können gefunden werden aus der Gleichung

Die Schraubenfläche hat somit in jedem Punkte ZAvei gleich grosse und entgegengesetzt gerichtete Hauptkrümmungsradien; ihre mittlere Krümmung ist gleich Null. Es ist dies eine Eigenschaft, welche den Minimalflächen zukommt, d. h. solchen Flächen, die bei gegebener Begrenzung die kleinste Oberfläche besitzen.

2. Flächen zweiter Ordnung, a) Das dreiaxige Ellipsoid.

Die Gleichung dieser Fläche ist

= 1.

u2_r J* ' c²

Für einen Punkt x, у, г des Ellipsoids ist die Gleichung der Tangentialebene

oder

Щ _j_    _ i.

b²

Г²

Bezeichnet man der Kürze wegen den Abstand des Koor-dinatenanfangspunktes von der Tangentialebene im Punkte x, y, z mit D, so dass

so erhält man für die Cosinus X, Y, Z der Winkel, welche die Flächennormale in diesem Punkte mit den Koordinatenaxen ein-schliesst

zD

yD ₇

~W’ z

Die Gleichungen der Normale werden

a² (£ — x) b² (rj — y) c² (Ç — z)

Die Länge der Normallinie vom Berührungspunkte der zugehörigen Tangentialebene bis

a²

zur Y i?-Ebene wird =

zur XZ- Ebene wird =

c²

zur XY- Ebene wird — -=r

Die Hauptkrümmungsradien sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung

R² -f- (a² -f- b² -j- c² — x² — y² — z²) —

Die vier reellen Kreispunkte des Ellipsoids haben die Koor-

a² b² c²

D⁴

= 0.

dinaten

x — ~T~ a

a² — b²

a²— c²

y — 0,

, Jb²~c²

b) Das einschalige Hyperboloid. Seine Gleichung ist

ж² _l_ ?/²_

*²

a²

b²

c²

die Gleichung der Tangentialebene in dem Punkte x, у, z

ć¹

4е-*)+тг<ч-у)-4с-*)=о

oder

IW

— —1 • а²    6² с²

c⁴

Die Gosinus der Winkel, welche die Flächennormale mit den Axen einschliesst, sind x D

~a2X

Normalengleichungen :

a²(£ — x) b- (q — y)

X=

У D b² ’

z D c²

c² (£ — г)

Die Länge der Normale vom Berührungspunkte der zugehörigen Tangentialebene bis

a²

zur Y iT-Ebene wird —

b²

zur XZ- Ebene wird = -ß ,

zur 17-Ebene wird = —

Die Hauptkrümmungsradien sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung

R² -f- (a² -f- b² — c² — x² — y² — z²) -ß -Reelle Kreispunkte sind nicht vorhanden.

a²b²c²

£>⁴

c) Das zweischalige Hyperboloid. Gleichung der Fläche:

X²

z²

a² b²

c²

wo

28?

Gleichung der Tangentialebene:

oder

4(£ — x)

a²

gr(4-y)--4(î-*) = о

6²

а? I уц

a²

è²

D hat dieselbe Grosse wie vorher.

a² ’

b² ’

Z= —

zB c²

b² Q? — y) _    c² q — г)

Gleichungen der Normale: a² (£ — x)

Die Länge der Normale vom Berührungspunkte der zugehörigen Tangentialebene bis

zur FZ-Ebene wird = zur X Z-Ebene wird = —

zur XF-Ebene wird — —

oder

Die Gleichung für die Hauptkrümmungsradien ist:

R , a²b²c²

R²Ą-{a² — b^ — c²~x² — y² — z²) Die Fläche hat 4 Kreispunkte:

- = 0.

x — -\- а

/а- + 6²

\Ж+7” У

V?5’ * = ±b}/.

= 0,

Z = -\- c

b²-C²

«²+c²

(wenn b b> c)

c² — 62 а²+6²’ г

— 0 (wenn c ^> &).

d) Das elliptische Paraboloid. Gleichung' der Fläche:

wobei a und b positiv sind.

Gleichung der Tangentialebene:

г + г = — +П

Łi a ⁺ ъ •

VS+-S+'

Z= —

yD

b² ’

Die Gleichungen der Normale sind

а (£ x)_b (у y)_£ z

Die Länge der Normale vom Berührungspunkt der entsprechenden Tangentialebene bis zum Durchschnitt

mit der FF-Ebene wird =

bz

mit der ZF-Ebene wird = -=r

mit der XY-Ebene wird = —

Gleichung

Die Hauptkrümmungsradien können bestimmt werden aus der

B²-~(a + b + 2z)R-\-

ab z^

I)

D⁴

= 0.

Die Koordinaten der Kreispunkte sind, wenn a b

а — b

x = 0,

у — àz^/b (a — b), z =

wenn b^>a

e) Das hyperbolische Paraboloid.

ж²

У¹

Z 2а 2b'

Tangentialebene :

T) —

h2

г.= —

Gleichungen der Normale: а (£ — ж)

b (⁷l — У) _

Die Länge der Normale vom Berührungspunkt der betreffenden Tangentialebene

bis zur Y Z-Ebene wird —

bis zur XZ- Ebene wird — —

bz

bis zur XF-Ebene wird — —

Die Hauptkrümmungsradien liefert die Gleichung

R²-~(a — b + 2z)B-

Kreispunkte sind nicht vorhanden.

Die übrigen eigentlichen Flächen zweiter Ordnung sind Zylinder- und Kegelflächen.

ab zL

D⁴

0.

3. Zylinderflächen.

5) Aufg. Es ist die Gleichung einer zylindrischen Oberfläche

zu finden, deren Erzeugenden der Geraden    — ~ parallel

A. Jtj С/

sind und deren Leitkurve gegeben ist durch die Gleichungen

и — 0, V = 0.

Lös. Bezeichnet man die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Leitkurve mit x, y, z, die laufenden Koordinaten der Zylinderfläche mit £, 7j, £, so können die Gleichungen einer Erzeugenden geschrieben werden

Sobncke’s Aufgabensammlung. I,

Die gesuchte Zylindergleichung ergibt sich nun, wenn man aus diesen und den Gleichungen и — 0, v — 0 die Veränderlichen X, у, z eliminiert. Setzt man zu diesem Zwecke die gleichen Quotienten so wird

x = Ç — А Я,

г = 1 — СЯ.

у = 7] — В Я,

Nachdem man die Grösse Я aus einer der Gleichungen u — 0, v — 0 bestimmt hat, erhält man die gesuchte Gleichung der zylindrischen Oberfläche durch die Substitution der Werte für x, y, z in die andere der Gleichungen и — 0, v — 0.

a) Wenn die leitende Kurve ein Kreis in der ZF-Ebene ist, bestimmt durch die Gleichungen

z = 0, (x — A)² -j-(y — B)² — R²; und wenn die Erzeugenden der Geraden

parallel sein sollen, so erhält man als gesuchte Gleichung des Zylinders

(£ — а £ - AY + (v — b C— B)² = B².

Wenn der Mittelpunkt des gegebenen Kreises zugleich Anfangspunkt der Koordinaten ist, so wird A = 0 uud B — 0, und wenn die Axe des Zylinders zugleich die Z-Axe ist, so wird а — 0 und b — 0 und daher die Gleichung des gewöhnlichen geraden Kreis-

Zylinders

£*-l_₄ï = B².

b) Wenn die leitende Kurve eine Ellipse in der ZF-Ebene ist, dargestellt durch die Gleichungen

— о _ j_ JL ’ A²^ B²

und wenn verlangt wird, dass die Erzeugenden der Geraden

b 1

parallel seien, so erhält man als Gleichung des Zylinders

(S-aCr- , (y-bQ²

A²

B²

6) Auf g. Est ist der Zylinder zu bestimmen, welcher die Fläche zweiter Ordnung

1)

a X¹ -j- b y² -f- с z² = 1 umhüllt und dessen Erzeugenden eine gegebene Richtung besitzen.

Lös. Sind die Cosinus der Winkel, welche die gegebene Richtung mit den Koordinatenaxen bildet, den Zahlen А, В, C proportional, so können die Gleichungen derjenigen Erzeugenden, welche die gegebene Fläche zweiter Ordnung im Punkte x, у, z berührt, geschrieben werden

Die Koordinaten х, у, £ der Punkte, welche der Berührungskurve angehören, genügen der partiellen Differentialgleichung der Zylinderflächen. Danach ist die Berührungskurve der Durchschnitt der gegebenen Fläche mit der Ebene

3)

aAx-\-bBy-\-cCz = 0.

Die Gleichung der Zylinderfläche wird nun erhalten, indem man aus den Gleichungen 1), 2) und 3) die Veränderlichen x, y, z eliminiert.

Die gesuchte Gleichung lautet

(«A²-f ЪВ² + сС²) {а¥ + Ъг? + ср — 1) = {аА$+ЪВп + сС&.

Zusatz. Wird allgemein die Gleichung des Zylinders verlangt, dessen Erzeugende den Richtungscosinus А, В, C entsprechen und welcher eine gegebene Fläche zweiter Ordnung F (x, y, z) — О umhüllt, so erhält man durch ein Verfahren, welches dem soeben angegebenen ganz analog ist, wenn man noch F (£, % £) — и setzt

~ + 2ЛвА^ + 2БсА^ + ^СА ôî² 3?9>!    9ч0!.

<©>

«©>

<©

r©

dCÖLJ —

L ⁺⁺ ad*

4. Kegelflächen.

7) Aufg. Man bestimme die Gleichung einer konischen Oberfläche vom Scheitel a, h, c, wenn die Leitkurve durch die Gleichungen u = 0, v=^0 dargestellt ist.

Los. Sind X, y, z die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Leitkurve, rj, t die laufenden Koordinaten, so ist die Erzeugende, welche durch den Punkt x, y, z geht, bestimmt durch die Gleichungen

у—Ь

Die Elimination der Grössen x, y, z aus diesen und den Gleichungen u~ 0, v — 0 liefert die gesuchte Gleichung der konischen Oberfläche. Werden zu diesem Zwecke die drei gleichen

Quotienten — } gesetzt, so folgt л

x = a -j- А (£ — о), у — Ъ-\-1{г\ — b), ź — с + Я (t — с).

Die Grösse Я kann aus einer der Gleichungen u — 0, v — 0 bestimmt werden. Setzt man hierauf die Werte für x, y, z in die andere der Gleichungen u = 0, v 0 ein, so erhält man als Substitutionsresultat die gesuchte Gleichung.

a) Wenn die leitende Kurve eine Ellipse ist, gegeben durch die Gleichungen

(x—p)² . {y — q)2 A²    B²

und wenn der Scheitel die Koordinaten а, b, 0 hat, so erhält man als Gleichung der konischen Oberfläche

A² [(t; — b) h + (b - q) С]² + B² [(5 - a) h + (a — p) £]² = А² B²1².

Wenn die leitende Kurve ein Kreis ist, so hat man nur А — В — r zu setzen.

b)    Wenn die leitende Kurve eine Lemniskate ist

z — 0,    (x² -f- y²)² — r² . (x² — у²),

und der Scheitel die Koordinaten a, b, c haben soll, so ergibt sich für die mit dieser Basis gebildete konische Oberfläche [{а C — c £)² + (b £ — c ,q)²]² — r². (C — c)² .[(at — c S)² — (bÇ — с ^)²].

c)    Wenn die leitende Kurve eine Parabel ist

z — 0, y² = 2px,

und der Scheitel die Koordinaten a, b, c hat, so erhält man als Gleichung der konischen Oberfläche

{b t — cr\)²— 2 p (t -- c) (a t — c 5).

8) Aufg. Man bestimme den Kegel vom Scheitel а, Ь, с, welcher die Fläche zweiter Ordnung

umhüllt.

F (ж, y, z) — О

Lös. Bezeichnet man der Kürze wegen F(a,b,c) mit и und beachtet, dass nach der partiellen Differentialgleichung der Kegelflächen die Berührungskurve der Durchschnitt der Fläche F (ж, у, z) — O mit der Fläche

(ж — а) -f-

OJ

— (z — с) — О z

ist, so erhält man als Gleichung des Berührungskegels

0Ж

СУ

(y~b)

OJ

(t—c)*+2

pJj(4-»)(t-o) + 8

го

(5— a) (*?—&) +

(5-a)l =

tt-4

го

3«

9) Aufg. Es soll gezeigt werden, dass alle Tangentialebenen der Fläche

z = x(py- -J ,

wo <p eine beliebige Funktion bezeichnet, durch einen und denselben Punkt gehen.

Lös. Die Gleichung der Tangentialebene ist

und man erkennt, dass alle Tangentialebenen durch den Anfangspunkt der Koordinaten gehen. Die vorgelegte Gleichung ist die Gleichung eines Kegels, dessen Spitze der Koordinatenanfangspunkt ist.

5. Rotationsflächen.

10) Aufg. Es soll die Gleichung der Fläche abgeleitet werden, welche entsteht, wenn eine gegebene Kurve и■— 0, v = 0 um eine

— als Axe rotiert.

00

gegebene Gerade —

У — b

Lös. Durch die Elimination der Veränderlichen x, y, z aus den vier Gleichungen

u = О, V — 0,

A x -f- B y -f- C z = а, (x — a)² -f- (y — b)² (z — c)² = y (a) wird im allgemeinen die Natur der Funktion q> bestimmt, und man erhält dann als gesuchte Gleichung der Rotationsfläche

(S-a)²+ft-+^+ <?£)•

Wenn die Wahl des Koordinatensystems frei steht, so wird man zweckmässig die Rotationsaxe zu einer der Koordinatenaxen, etwa zur Z-Axe machen. Dann ist jeder ebene, zur Z-Axe senkrechte Schnitt ein Kreis, und es wird daher die Gleichung der Rotationsoberfläche von der Form sein

¥ -f f = ip (£).

Da die Koordinaten x, y, z irgend eines Punktes der Kurve u = О, V = 0 der Gleichung der Fläche genügen müssen, so kann die Funktion ip (,z) dadurch bestimmt werden, dass man aus den Gleichungen и — 0, v = 0 die Grösse x² -f- y² als Funktion von z berechnet.

a) Wenn in der XZ-Ebene eine Ellipse mit den beiden Halb-axen A und В und den Mittelpunkts-Koordinaten p und q gegeben ist und wenn die iT-Axe zugleich die Drehungsaxe ist, so lautet die Gleichung der Oberfläche:

Die Gestalt der Fläche hängt wesentlich von den Annahmen

p 's A ab.

Wenn der Mittelpunkt der Ellipse zugleich Anfangspunkt der

Koordinaten ist, also p = 0 und q = 0, so wird

S² + T» , £²

A²

B²

die Gleichung eines Rotationsellipsoids, welches durch die Umdrehung einer Ellipse um die ŹT-Ахе entstanden ist.

b) Wenn die rotierende Kurve eine gerade Linie in der XZ-Ebene und die Rotationsaxe wieder die Z-Axe ist, so erhält man als Gleichung der Oberfläche

4f + B = vV + ¹î².

welche einen Kegel darstellt. Geht die erzeugende Gerade durch den Anfangspunkt der Koordinaten, ist also В — 0, dann liegt der Scheitel des Kegels in diesem Anfangspunkt und die Gleichung wird

P +    =

wo A die Tangente des Winkels bedeutet, welchen die Seitenlinie des Kegels mit dessen Axe bildet.

11) Aufg. Das Rotationsellipsoid

1)

{x — ß)² + (y — ß)* {г — y)²_, à²    c²

rotiere nm die Z-Axe.

Welches ist die Gleichung der dadurch entstehenden Rotations

fläche ?

Lös. Da die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Berührungskurve der partiellen Differentialgleichung der Rotationsflächen genügen, so hat man die Beziehung

2)

ß x — ay — 0,

und es ist somit die Berührungskurve die Schnittkurve der Fläche 1) mit der Ebene 2). Die gesuchte Gleichung wird

b^+il+Vl² ±ßl i ft - r)²

a²

c²

= i.

Die Aufgabe lässt sich auch leicht durch Zurückführung auf Aufg. 10 a lösen.

12) Aufg. Es soll gezeigt werden, dass die Fläche eine Rotationsfläche ist.

Lös. Indem man zeigt, dass die Gleichung der partiellen Differentialgleichung der Rotationsflächen genügt, findet man für die Rotationsaxe die Gleichungen x — y = z.

13) Aufg. Es soll die Rotationsfläche untersucht werden, die entsteht, wenn die gewöhnliche Lemniskate

(x² -f- y²)² = a² (x² — y²), z — 0

um ihren Durchmesser rotiert.

Lös. Die Gleichung dieser Fläche wird

(x² -J- y² + z²)² — а² (x² — y² — z²).

Wenn man der Kürze wegen ж² -(- y² -J- z² — m¹ setzt und dabei ж als Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen у und z betrachtet, so wird

0 X _ z (a² -j- 2 m²) ж (a² — 2 m²) ’

5ж_y . (a² -f- 2 m²)

ft y x . (a² — 2 m²) ’

5² ж_(a⁴ — 4 m⁴). [(a² — 2 m²) x² — (a² -f- 2 m²) t/²] -f-16 et⁴ ж²1/²

0У²

ж³ . (a² — 2 m²)³

0² ж £/ 2 . [16 a⁴ x² — (a⁴ — 4 m⁴) (a² 4- 2 m²)]

Ô2/Ô^

x³ . (a² — 2 m²)³

0² ж (a⁴ — 4 m⁴). [(a² — 2 m²) ж² — (a² -f- 2 m²) ^²] -f~ 16 a⁴ ж²

СУ

z²    ж³ . (a² — 2 w?²)³

Die Gleichung der Tangentenebene wird (2 m² — a²)x Л-f- (2 m² -f- a²) y . q -|- (2 m² -j- a²) z . £ = m⁴.

Es werden die Cosinus der Winkel, welche die Normale mit den Koordinatenaxen bildet

X—

X . (2 m² — a²)

Y— У • (2 m‘² + a2)

tt² m

^__2 . (2 m² -f- a²)

aFnd ’

Die Gleichungen der Normale werden

£— X    _

(2 m² — а²) ж    (2 m² 6t²) у (2 m² -f- a²) г

Die Länge der Normallinie vom Berührungspunkt der zuge-

t-e

hörigen Tangentialebene bis zum Durchschnitt

a²m

mit der Y Z-Ebene wird —

а² \/x² -f- y² z2 a² — 2m² ~~ a²-2x² — 2y² — 2z² ’

mit der XZ- Ebene wird =

a²\x² -f- y² -|- z2 a² + 2 m²~ а² + 2ж² + 2y²-\- 2z2 а² m

mit der XT- Ebene wird =    = „sfŻ* + f/+2^ '

Wenn mau die Krümmungshalbmesser der kleinsten und grössten Krümmung mit Ą und JR₂ und die Koordinaten der bezüglichen Krümmungsmittelpunkte mit al} ßv yt und «₂, ß₂, У2 bezeichnet, so erhält man für diese Stücke folgende Ausdrücke:

Ą=

a²

«1 =

3 ^/ж² -J- ?/² -f- я2 (ж² у²    z² -f- а²). X

-Вг—

3(ж²4-у² + п

«2 —

а²л]х² -j-у²-\- z2 a² + 2x² + 2y² + 2z² 5 2 dlx

«²+'2ж² + 2|/² 4- 2г² ’

(ж² 4" у² 4~ ^ — et²) •у з (ж² 4- у² 4- £²)

_ (ж² 4- ?/² 4~ ■²’² — a²). я

У1 ~ зЩТТ^ ’

/?2 =0,

14) A uf g. Die Lemniskate

(ж² 4" г/²)² — ft² (ж² — y²), z — 0

rotiert um die Y-Axe. Es soll die entstehende Rotationsfläche

untersucht werden.

Lös. Die Gleichung dieser Rotationsfläche ist (ж² ~\~ y² 4~ Z²)² — ft² (ж² — у² 4- z²).

Wenn man hier ebenso wie vorhin ж² 4~ У² ~b z² — m² setzt, und dabei у als Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen ж und z betrachtet, so wird ^ у    ж (а² — 2 m²)

frx~ÿ(a² 4-2m²)’

0² y (a⁴ — 4 m⁴). [(a² -j- 2 m²) ?/² — (a² — 2 ш²) ж²] — 16 a⁴ ж² y2 Ô ж² ~

fl y z (a² — 2 m²)

Ô z y {a² 4-2 m²)

yB (a² 4“ 2 m²)³

0² z/ _ — x z [16 a⁴ y² 4- (ft⁴ — 4 m⁴) (a² — 2 m²)]

?/³ (a² -|- 2 m²)³

Ô²*/

Ô^²

(ft⁴ — 4 m⁴). [(ft²    2 m²) г/² — (a² — 2 m²) £²] — 16 ft⁴ y² z²

y³ (ft² 4“ 2 m²)³

Die Gleichung der Tangentenebene an einen Punkt (ж, у, г) wird

ж (2 m² — ft²) Gf г/ (2 w³ 4 ft²) V 4* ^ (2 w² — ft²) £ = m⁴.

Ferner werden die Cosinus der Winkel, welche die Normale mit den Koordinatenaxen bildet

ж (2 m² — ft²) ft² m у (2 m² 4" ß²) ft² m ft² m

298

Die Gleichungen der Normale werden

(2 m² — n²) X (2 m²-f а²) у (2 m²    a²) z '

Die Länge der Normallinie vom Punkte (x, y, z) bis zum Durchschnitt

mit der Y Z- Ebene wird =

а² yjx² -f- y² + z2 a² — 2 x² — 2 y² — 2 z² ’

mit der X Z- Ebene wird —

a² y/x² Ą- y²-\-z²

~ a² + 2x² + 2y² + 2z²’

mit der ZK-Ebene wird =

d² \[x² -f y² -\- z2 d² — 2x² — 2 y² — 2 z²'

Wenn hier auch wieder die Radien der kleinsten und grössten Krümmung mit B₁ und B₂ und die Koordinaten der bezüglichen Krümmungsmittelpunkte mit alt ßx, y₁ und a₂, ß₂, y₂ bezeichnet werden, so erhält man

B₂—

a² — 2 x² — 2 y² — 2 z² ’

a²

3 y/x² -j- y² -j- z²

a² \/x² -f- y² -j- z²

«i =

x (x² -f- y² -f- z² -j- a²)

3 (x² -j-y²-i- z²)

cr₂ =0,

y (x² -f- y² -j- z² — a²)

3 (x² + y² + z²)    ’

z (x² + y² -)- z² + a²)

Yl —    3 (x² + y² + z²)    ’

ßi

ih —

2 a²y

~ a² — 2x² — 2y² — 2z²

6. Enyeloppen.

15) Aufg. Es ist eine ebene Kurve gegeben, und auf ihr bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel; man soll die einhüllende Oberfläche dieser beweglichen Kugel finden.

Lös. Wenn man die Ebene der Kurve zur ZZ-Ebene annimmt, so sei ß — cp (a) die Gleichung der Kurve ; ferner sei r der Radius der bewegten Kugel und a die Abszisse ihres Mittelpunktes bei irgend einer Lage; alsdann wird

die Gleichung der Kugel. Wenn man aus dieser und aus ihrem in Bezug auf a gebildeten ersten Differentialquotienten, nämlich die Grösse a eliminiert, so erhält man die Gleichung der ein-hüllenden Oberfläche.

a) Wenn die ebene Kurve, auf welcher sich der Mittelpunkt der Kugel des Radius r bewegt, ein Kreis mit dem Radius q ist und wenn dessen Mittelpunkt der Anfangspunkt der Koordinaten ist, so dass seine Gleichung ß² -\- cfi = p wird, so hat man (x — a)² -f- (y — дIq² — a²)² -f z² — r²,

X \/y² — a² — у a = 0.

Eliminiert man hieraus die Grösse u, so wird die Gleichung der einhüllenden Oberfläche

■\]x² 4- у¹ — Vr2 — Z'L — Q-

Die beiden vorangehenden Gleichungen zusammengenommen stellen die zu dem speziellen Wert von a gehörige Charakteristik dieser Oberfläche dar. Ihre Projektion auf die MF-Ebene ist

xyjo² — a'² = y a,

P²

. -f ^2 — r2 f

eine gerade Linie, und ihre Projektion auf die XX-Ebene (x — a)²

eine Ellipse.

Es ist also die Charakteristik eine ebene Kurve und zwai

ein Kreis vom Radius r, dessen Ebene senkrecht auf der X Y-Ebene steht. Die Spurlinie dieser Ebene macht mit der X-Axe einen

Winkel, dessen Cosinus = — ist.

Q

b) Wenn die leitende Kurve, auf welcher sich der Mittelpunkt der Kugel vom Radius r bewegt, eine Ellipse mit den beiden * Halbaxen a und b ist und wenn der Mittelpunkt der Ellipse der

iS² Cf²

Anfangspunkt der Koordinaten, so dass ihre Gleichung ist, so wird

also erhält man durch Differentiation in Bezug auf a

а² X —

[(«²-б²)+

ab у

у] а²—а²

J ' а'

Wird aus diesen beiden Gleichungen a eliminiert, was allerdings ausführbar ist, aber ein sehr unerquickliches Resultat gibt, so hat man die Gleichung der einhiillenden Oberfläche. — Nimmt man aber hierzu noch die durch zweimalige Differentiation entstehende Gleichung

a³b у

idw

0 = a² — b² +

(a² - а²)

und eliminiert nun aus diesen drei Gleichungen die Grösse a, so erhält man als die beiden zusammengehörigen Gleichungen der Rückkehrkante der Oberfläche

X — — [(а² — b²)î -f- (b ?/)!]. V(a² — b²)l — (b у)I,

Cb

¹

a¹

²

bezeichnet.

³

¹\ly² z² -j- Z²X² -j~ X² y²

⁴

den Abstand der Tangentialebene vom Koordinatenanfangspunkte

x² y² z² — (b уУ⁵ (a² — b²Y — r² + ci² — 2 b².

c) Wenn die leitende Kurve wieder wie in dem ersten Beispiel ein Kreis mit dem Radius q in der X Y- Ebene ist, also seine Gleichung a² -ß² = о² und wenn sich auf seiner Peripherie der Mittelpunkt eines Ellipsoids mit den drei Halbaxen a, b, c so bewegt, dass dieselben stets parallel mit der X-, Y-, Z-Axe bleiben, so hat man

(x — à)²

(y — x/ç²—a²)²

г²

a²

b²

c²

= 1.

Durch die erste Differentiation in Bezug auf a ergibt sich

a² — b2 a² b²

— a²

= 0,

und durch die zweite

a² ç² y a² —b²'

Eliminiert man aus den beiden ersten Gleichungen «, so erhält man die Gleichung der einhiillenden Fläche, was aber ein unbequemes Resultat gibt; eliminiert man aber aus allen dreien die Grösse a, so erhält man als die beiden Gleichungen ihrer Rückkehrkante

BOI (<b'² q² х)‘А -f- (а¹ q² у)А — Q² (а² — b²)ъ .

² , у² , z² о (a² Q² y)J (а² — b²)A    Q² (2 а²—Ъ~)

b²

_ ' •

Wenn das Ellipsoid durch Rotation um die Z-Axe entstanden ist, so wird a — b, und es ergibt sich als Gleichung- der einhüllen-den Oberfläche

VX² -f- y² — Q -(- ~ y/c² — Z² .

16) Aufg-. Man bestimme die Enveloppe der Ebenen, welche durch einen gegebenen Punkt gehen und von einem zweiten gegebenen Punkt gleichen Abstand haben. Die Entfernung beider Punkte sei d.

Lös. Wählt man den zweiten gegebenen Punkt zum Koordinatenanfang und die У erbindungsgerade der beiden gegebenen Punkte zur Z-Axe, so hat man die Enveloppe der Ebenen

ax-\-by-\-z— d

zu bestimmen, wobei die variablen Parameter a und b durch die Relation

P V¹ + «² + b²

mit einander verbunden sind, welche ausdrückt, dass der Abstand einer jeden Ebene vom Koordinatenanfangspunkt gleich p sein soll. Man erhält als Enveloppe den Kreiskegel, dessen Gleichung lautet:

(d² — p²) (x² -f- y²) — p² (d — z)² — 0.

17) Aufg. Man bestimme die Enveloppe der Ebenen A x -j- В у -|- C z = 0

wenn zwischen den variablen Parametern А, В, C und D die Gleichungen bestehen

А² + В² + С² = 1,

A²

B²

= 0.

D² — a²' D² — b²' D² — c2 Lös. Differentiiert man die drei gegebenen Gleichungen nach A, B, C, D, multipliziert die erhaltenen Gleichungen beziehungs-

weise mit Я,

—,    — und addiert sie, so erhält man dadurch,

и

Multipliziert man hierauf 1), 2) und 3) resp. mit А, В, C und addiert, so folgt

5)

ВОЙ

dass man die Koeffizienten von d A, dB, dC, dD gleich Null setzt, die Gleichungen

Xx = A fi -f

1)

D² - а² ’

2) Я у — В fi -f-

D² — 6² ’

D² — c²’

4)

A²

B²

(D²—a²)²

(D²—b²)² 1 (D²—c²)

X D = y,

multipliziert man dagegen dieselben Gleichungen mit x, у, ^ und addiert, so kommt, wenn man der Kürze wegen x²-\~y²Arz²—R² setzt

XR²=zDy oder in Folge von 5) 6) X(R² — D²)

— i BV i Iß — a² ' D² — b² ^

D² — c²

By

Cz

a² r D² — Ъ² ^ D² - с² '

Erhebt man beide Seiten von 1), 2), 3) ins Quadrat und addiert, so ergibt sich

D²

Я² R²

fl² z=z

A²

B²

C²

~(D²-a²)² 1 (D² — b²)² 1 (Iß — c²)² ' Es wird daher nach 4) und 5)

,__1

D(R² — Z>²)’    **

R² — D² *

Setzt man diese Werte in 1), 2), 3) ein, so folgt

AD

R² -— a²

D² — a² ’

BD

R² — b²

D² — b² ’

CD

— 303

Multipliziert man endlich diese Gleichungen resp. mit x, у, z und addiert unter Berücksichtigung des Wertes Я und der Gleichung 6), so folgt als Gleichung der gesuchten Enveloppe

У²

z²

R² — a² ' R² — b²' B²-— c²

x²+y² + z²

oder indem man links die Grosse

gleiche Grosse 1 subtrahiert

a²x²

R² —a² T R² — &2_r R² — c2 Es stellt diese Gleichung die Wellenfläche von Fresnel dar, welche in der Optik ihre Anwendung findet. (Yergl. Mémoires de l’Institut, t. VII, pag. 136).

b² y²

R²

c²*²

, rechts die ihr

= 0.

7. Fusspunktf lachen.

18) Aufg. Man bestimme a) die Fusspunktfläche des dreiaxigen

Ellipsoids |2 + |ä +

Pol, b) deren Tangentialebene, c) den Abstand der letzteren vom Koordinatenanfangspunkt.

^²

c²

= 1 für den Koordinatenanfangspunkt als

Lös. a) Als Gleichung der gesuchten Fusspunktfläche

findet man

a² x² -f- h² y² -(- c² z² — (ж² + у² -j- z²)²,

b)    als Gleichung der Tangentialebene im Punkte ж, у, z der Fusspunktfläche

(2 r² — a²) x % -{- (2 r² — b²) у у -|- (2 r² — c²) z £ — r⁴, wo ж² -f- y² -f- z² = r² gesetzt wurde.

c)    der Abstand dieser Tangentialebene vom Koordinatenanfangspunkte wird

r⁴ \Zfl5⁴ Ж² —|- &⁴ y² -f- C⁴ Z²

Die hier behandelte Fusspunktfläche ist die Elastizitätsfläche von Fresnel, welche in der Theorie des Lichtes von grosser Wichtigkeit ist. (Fresnel, Mémoires de l’Institut, t. VIII, pag. 130).

Man beweise, dass man dieselbe Fläche auch durch Abbildung durch reziproke Radien (rç = В²) aus dem Ellipsoid :

Щ»

er X² i h² y² . er z¹ _ .

Ж"'ł ' Ж ⁺ "Ж ~~ ¹

erhalten kaum Eine analoge Untersuchung lässt sich auch bei den nächsten Aufgaben durchführen.

19) Aufg. Es sollen dieselben Stücke der Fusspunktflâche des einschaligen Hyperboloids bestimmt werden.

Lös. Gleichung der gesuchten Fläche:

a² X² -\-h² y² — c² z² — r⁴,

Gleichung ihrer Tangentialebene:

(2 r² — a²) X £ -f- (2 r² — Ь²) y ^ -f- (2 r² -f- с²) £ £ = r⁴;

V«⁴ Ж² + &⁴ y² -f~ C⁴ ,22 20) Aufg. Man untersuche ebenso die Fusspunktfläche des zwei-schaligen Hyperboloids.

Lös. Gleichung der Fläche:

à² X² — b² y² — c² z² = r⁴,

Gleichung der Tangentialebene:

(2 r² — a²) X £ -j- (2 r² -(- 6²) y y -f- (2 r² -f- с²) гг £ = r⁴.

D wie vorher.

21) Aufg. Welches ist die Fusspunktfläche der Fläche xy z = a3 für den Koordinatenanfangspunkt als Pol?

Lös. Die Gleichung der gesuchten Fläche ist

S²-H²-K² = 3 аУЩ.

(In den Exercices méthodiques de calcul différentiel von Brahy ist pag. 215 irrtümlich x² -f- y² -f- z² = a² als Gleichung der Fusspunktfläche angegeben.)

Nachtrag.

Die Erläuterung zu § 23, 7 (Enveloppen) findet sich auf pag. 279.

Druck von G. A. Kaemmerer & Go, Halle a. S.

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Biblioteka Politechniki Kiakowskiej 11-348987

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Biblioteka Politechniki Krakowskie]

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