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CARL SCHOY

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MIT 3 FIGUREN IM TEXT UND 8 TAFELN

LEIPZIG UND BERLIN DEUCE UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1910

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BEITRÄGE ZUR KONSTRUKTIVEN LÖSUNG SPHÄRISCH-ASTRONOMISCHER AUFGABEN

VON

CARL SCHOY

OBERLEHRER AM STÄDTISCHEN GYMNASIUM ZU ESSEN (RUHR)

MIT 3 FIGUREN IM TEXT UND 8 TAFELN

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LEIPZIG UND BERLIN DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1910

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EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

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Vorwort.

Wer in der Geschichte der Astronomie und Trigonometrie bis in die Zeiten der ältesten Kulturvölker zurückblättert, der wird finden, daß die Anfänge dieser Disziplinen rein geometrische Traktate sind, in denen sich noch keine Spur von einer Ver- * bindung der Konstruktion mit der Rechnung findet. Die uns heute geläufigen Formeln der sphärischen Trigonometrie kannten weder die Griechen, noch die Inder und Araber. Die Aufgaben, welche ihnen insbesondere die sphärische Astronomie darbot, bewältigten sie anfangs meist auf rein graphischem Wege unter Benützung zweier Prinzipien: des Astrolabiums, welches auf der stereographischen Projektion beruht, und demjenigen des Analemmas, einer orthographischen Projektion der Himmelskugel. So sehr man noch im späteren Mittelalter mit Begeisterung das Astrolabium konstruierte und in zahlreichen Schriften lehrte, „wie solches herrliche und hochnützliche astronomische Instrument aufgerissen werden soll“, so wenig findet man heute mehr die Methoden der Alten in unseren modernen Lehr- und Schulbüchern erwähnt. Durchblättert man irgendein Kompendium der sphärischen Trigonometrie oder Astronomie, so stehen die bekannten Grundformeln in Gestalt des Sinus-, Kosinus- und Kotangentensatzes obenan, mit denen dann alle vorkommenden Probleme rechnerisch gelöst werden. Daß dies aber ebenso, nur weniger einförmig, graphisch geschehen kann und auch tatsächlich durch lange Zeiten geschah, davon sprechen nur wenige der erwähnten Schriften.¹) Dies muß um so mehr als ein Mangel empfunden werden, als gerade der historische Weg am besten die Einsicht in eine Disziplin vermittelt und so dem Lernenden auf anschauliche Weise gezeigt werden kann, wie der menschliche Geist, nach und nach

erstarkend, schwierigere Aufgaben überwand. Man braucht nicht Anhänger der Zi 11 er sehen Forderung zu sein, daß ein Schüler in seinen Lernjahren alle Kulturstufen der Menschheit durchlaufen müsse, um ihm in dem speziellen Falle, wo es sich um den Unterricht in der mathematischen oder astronomischen Geographie handelt, beizupflichten. Wahr ist es freilich und bedauerlich, daß auch selbst in neunklassigen realistischen Anstalten kaum die nötige Zeit sich findet, um nur die allerbekanntesten Aufgaben der sphärischen Astronomie rechnerisch abzutun, während von einer Anwendung der Geometrie auf dieselben — vielleicht einer ihrer schönsten Anwendungen — keine Rede sein kann. Indessen fehlt es keineswegs ganz an Versuchen, die geometrische Behandlungsweise sphärischer Aufgaben der Schule näher zu bringen. So machte S. Günther im VII. u. X. Jahrgang der Zeitschrift für math. u. naturwiss. Unterricht darauf aufmerksam, daß der Lernende, wenn er die Yorkommenden Größen wirklich konstruiert, einen tieferen Einblick in den Kern der Sache erhält, als wenn er sich an ein bloß mechanisches Manipulieren mit gewissen Kugeldreiecken gewöhnt. Zugleich gab Günther in genannter Zeitschrift die geometrische Lösung der zwei Aufgaben: Aus der Polhöhe eines Ortes und der Morgenweite oder Deklination eines Gestirns dessen Tagebogen und aus der Polhöhe eines Ortes, der Deklination und dem Stundenwinkel eines Sterns dessen Höhe und Azimut zu finden. Für den Schulgehrauch an solchen Anstalten, an denen sphärische Trigonometrie nicht gelehrt werden kann, ist eine Programmahhandlung Dr. A. Peins bestimmt: „Aufgaben der sphärischen Astronomie gelöst durch planimetrische Konstruktionen und mit Hilfe der ebenen Trigonometrie“ 1883. Die Schrift legt stereometrische Betrachtungen zugrunde, und die Umlegung aller Ebenen in die Meridianebene ist etwas umständlich.

Auch in manchen Lehrbüchern der Trigonometrie wird auf die große Bedeutung des geometrischen Prinzips hingewiesen, so von Reidt in der trigonometrischen Analysis und von Hammer in seinem Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie, woselbst die Fundamentalformeln der letzteren auch durch Umklappen des Dreikants in die

Ebene bewiesen werden, eine Ableitung, die übrigens schon F. W. vonOppel, Oberberghauptmann in Freiberg (1720—1769), in der Analysis triangulorum 1746 gab, hiermit einen Gedanken systematisch durchführend, den man schon früher bei Cas well und R. 1. Boscovich angedeutet findet. (Vgl. A. v. Braunmühl: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Leipzig 1899—1903. II. Bd. Seite 99 ff.)

In der unserer Schrift vorangestellten historischen Einleitung soll die Entwickelung des geometrischen Prinzips in der sphärischen Astronomie etwas deutlicher skizziert werden; manche schöne Anwendung der Geometrie auf Astronomie ist namhaft zu machen. Eine solche geschichtliche Orientierung ist unbedingt notwendig, um nicht der Täuschung zu verfallen, etwas Neues zu Markte gebracht zu haben, was sich bei sorgfältiger Prüfung als längst dagewesen erweist, ein Fall, der in der Geschichte der Trigonometrie öfters vorkommt. Trotzdem glauben wir doch zur Komplettierung dieses Kapitels noch verschiedenes Neue zu bringen. Der erste Abschnitt der Arbeit gibt Lösungen mittels der Orthogonalprojektion, also der Methode des Analemmas; doch sind sie der unübersichtlichen Darstellung entkleidet und infolge ihrer Einfachheit ein trefflicher Ubungsstoff für die Schule. Dem Sachkundigen wird aber nicht entgehen, daß hier nicht nur Reproduktionen der Alten vorliegen; so ist die Aufgabe der kürzesten Dämmerung, wie wir glauben zum erstenmal und in der denkbar einfachsten Art orthographisch gelöst, während die stereographiscbe Behandlung doch weit unübersichtlicher ist.

Zuerst ist hier ferner im zweiten Teil die Zentralperspektive zur Verwendung gelangt, die auf weniger einfache Fragen angewandt, freilich praktisch nicht so einfach ist, aber theoretisch ein gewisses Interesse hat. Ferner gab der Verfasser, wie er glaubt, ebenfalls zum erstenmal eine rein geometrische Lösung der berühmten D ou wes sehen Aufgabe, deren analytische Ausgestaltung eine nicht uninteressante Geschichte hat. Den Vorwurf freilich will und kann die graphische Methode von sich nicht ab wälzen, daß sie, besonders wo es sich um kleine Winkel handelt — der Dämmerungskreis liegt nur etwa 6V₂ 0 unter dem Horizonte, und beim „Bestecknehmen“ des Kapitäns

erfolgen die zwei Messungen der Sonnenhöhen rasch aufeinander — entweder zu ungenaue Resultate für die Praxis liefert oder die Konstruktion in großer Ausführung erheischt. Allein in letzter Instanz handelt es sich bei dem rein geometrischen Verfahren doch weniger um große Präzision als vielmehr um einen tieferen Einblick in die Natur der Aufgabe, den die konstruktive Methode ja stets am besten vermittelt.

Baden-Baden, im Juli 1907.

C. Schoy.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Historische Einleitung

Erster Abschnitt.

I. Gegeben cp und d; gesucht s0 cp und m; gesucht s₀

cp, d und q; gesucht die Dauer des Aufgangs .    .

qp und d; gesucht die Dauer der Dämmerung . cp ; gesucht das Datum der kürzesten Dämmerung cp ; gesucht die Dauer der kürzesten Dämmerung . cp und d; wann und wie hoch steht die Sonne im ersten Vertikal qp, d und hx ; gesucht s d, h und s; gesucht cp cp, d und s; gesucht h

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

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Zweiter Abschnitt.

I. Die Ziehung der Mittagslinie........

II. Ermittelung der Stundenlinien der Sonnenuhr .    .

III.    Ermittelung der Polhöhe

IV.    Dauer der Besonnung einer vertikalen Wand bei gegebenem

qp und d.........

V. Gegeben qp, d und s; gesucht h und co cp, d und co ; gesucht h und s VII. Die Douwessche Aufgabe.....

Anmerkungen und Zusätze......

23

.    .    25

VI.

11

aus

der Deklination s, sx, h und hx 26

28

30

. 30

31

.    .    33

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Einleitung.

Schon bei den Griechen treten uns mehrere bedeutende Leistungen konstruktiver Natur entgegen: Es sind dies das schon erwähnte Analemma, das sicher schon den ältesten Griechen bekannt war, ja, wie v. Braunmühl (Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie I. Bd. pag. 11) vermutet, ägyptisch-chaldäischen Ursprungs ist; ferner das Astrolabium plani-sphärium, das als eine Erfindung Hipparchs, des Vaters der Astronomie, angesehen wird, und endlich die Ziehung der Mittagslinie aus drei kurz nacheinander gemessenen ungleichen Schattenlängen. Was das Analemma anbelangt, über dessen Geschichte und Anwendung sich Delambre’s Histoire de l’astronomie ancienne tome II pag. 458—503 ausführlich verbreitet, so ist sein hohes Alter schon aus dem Umstande unzweifelhaft, daß die orthographische Projektion die einfachste Darstellung der Himmelskugel ist. (Vgl. v. Braunmühl: Vorlesungen etc. I. Bd. pag. 11, Anmerkung 1.) Von der Schrift des Claudius Ptolemaeus: nsçl uvccXrfiinaros sind nur noch Bruchstücke vorhanden; wir besitzen aber eine lateinische Ausgabe von F. Com-mandinus: Cl. Ptolemaei liber de Analemmate Romae 1562 nebst einem guten Kommentar. Delambre bemerkt a. a. 0. 458 hierzu: „La traduction latine publiée par Commandin parait avoir été plus défectueuse que celle du Planisphère; car il s’en plaint avec amertume ... Le mal est que souvent Ptolémée néglige de démontrer ce qui est connu avant lui; ensorte qu’on se trouve parfois très-embarrassé.“ Im wesentlichen ist danach das Analemma eine Orthogonalprojektion der Kugel auf die drei senkreckt zueinander stehenden Ebenen: Meridian, Horizont und ersten Vertikal. Dies Prinzip zieht sich nun durch alle Zeiten hin und gestattet tatsächlich auch eine reiche graphische Ausbeute und eine leichte Deduktion des Kosinussatzes der sphärischen Trigonometrie. Ptolemaeus selbst löste die Aufgabe: Aus der Deklination d der Sonne und ihrem Stunden-

Schoy, konstrukt. Lösung sphär.- astron. Aufg.

winkel s,. sowie der Polhöhe des Beobachtungsortes cp den Ort der Sonne zu ermitteln.

Auch die Astronomie der Inder basiert ganz auf dieser Methode; doch gingen die rein geometrischen Methoden der Hellenen bei der ausgesprochenen rechnerischen Veranlagung der ersteren bald in jene Formelsprache über, welche wir heute als indische Trigonometrie zu bezeichnen gewohnt sind. Ungemein interessant ist die Wiedergabe zweier Beispiele aus dem Surya-Siddhanta in v. Braunmühls Vorlesungen etc. I. Bd. pag. 38 ff., wo für die Berechnung des Tagebogens 2s₀ eines Gestirns aus d und cp eine der Formel cos s₀ = — Tang cp Tang d äquivalente angegeben wird, ja in der Lösung einer zweiten Aufgabe: die Höhe h der Sonne aus d, cp und s zu finden, zum erstenmal der Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie angedeutet ist.

Die Errungenschaften dieser zwei Völker übernahmen nun die Araber; doch hinterließen uns erst die Westaraber schriftliche Dokumente über ihre Gnomonik und ihre graphischen Methoden. Der 2. Band von Abul Hassans Werk, welches der als Orientalist wie als Mathematiker gleich ausgezeichnete Sédillot (der Altere) uns in einer trefflichen Übersetzung unter dem Titel: Traité des instruments astronomiques des Arabes composé au treizième siècle par Aboul Hhassan (Paris 1834) zugänglich gemacht hat, ist ganz unserm Gegenstand, d. h. der Konstruktion, gewidmet, und es beruhen demnach die Behandlungsweisen astronomischer Aufgaben auch bei den Arabern zum Teil auf dem Analemma; doch finden wir auch eine Menge anderer graphischer Methoden, die namentlich zur Verfertigung von Astrolabien, Quadranten etc. dienten, da ja dereinst alle diese Instrumente in der arabischen Astronomie eine große Rolle spielten.

Während Al-Battani in einem speziellen Falle vermittels des Analemmas einen Winkel aus den Seiten des sphärischen Dreiecks bestimmte, behandelt Regiomontan diese Aufgabe in sehr origineller Weise mit Hilfe der orthographischen Projektion im IV. Buche seiner berühmten Schrift: „De triangulis omnimodis libri quinque“, indem er die Aufgabe auf die Bestimmung eines Winkels aus den drei Seiten eines ebenen Dreiecks zurückführt, eine Leistung, die seinem geometrischen Talent alle Ehre macht; ebenso wandte sich Kopernikus bei Lösung der Aufgabe: Aus Breite, Deklination und Ekliptikschiefe die Länge eines Gestirns zu bestimmen, wieder ganz der Projektionsmethode des Analemmas zu. (II. Buch, Kap. 3 von De revo-lutionibus orbium coelestium.)

Es wäre nicht schwierig, noch weitere Verwendungen des Analemmas anzuführen; wir begnügen uns aber mit der Erwähnung, daß Clavius, Bürgi u. a. es auch zur prostha-phäretischen Umgestaltung des Kosinussatzes mit Erfolg anwandten.

Wir kehren jetzt nach dieser Digression zu dem zweiten, schon erwähnten Prinzip, dem Astrolabium, zurück, das in R. Wolfs Handbuch der Astronomie, ihre Geschichte und Literatur, II. Bd. pag. 70 ff. eine sehr ausführliche Darstellung erfährt. Eine Erfindung des „Altmeisters“ Hipparch, ist es im wesentlichen eine stereographische Projektion der Himmelskugel und setzt sich aus den vier Hauptteilen: der Mater astrolabii, dem eigentlichen Planisphaerium, dem Rete und dem Dorsum zusammen. Auch mittels dieser Methode fanden bekannte Aufgaben der praktischen Astronomie ihre Erledigung, besonders bei den Arabern, wo nach R. Wolf a. a. 0. pag. 73 Aly Ibn den Ehrentitel „Al Asterlaby“, als berühmter Konstrukteur von Astrolabien, erhielt. Ein beliebiger Alum-cantarat h konnte leicht in das Planisphärium eingetragen werden; für h = 0°, 90° und — 18° erhielt man dann speziell Horizont, Zenit und die Linea crepusculi. Auf dem Dorsum las man für irgendeinen Jahrestag die Länge der Sonne, an der Mater nach Eintragung der Sonnenhöhe h den Stundenwinkel derselben ab. Mittels des Horizontes und Dämmerungskreises erhielt man entsprechend die Zeiten des Auf- oder Unterganges der Sonne; des Anfangs, resp. Endes der Dämmerung etc. 1593 veröffentlichte Chr. Clavius auch eine Schrift „Astrolabium“, in der er die sämtlichen Fundamentalaufgaben des sphärischen Dreiecks geometrisch löste und eine Sammlung von Sätzen zur Lösung astronomischer Aufgaben anwandte (vgl. Dr. Haller: Biblioth. math. 1899 pag. 71 ff.), die er in stereographischer Methode gab.

Ehe wir die Bedeutung der stereographischen Projektion für die sphärische Astronomie vollends würdigen können, müssen wir der Ziehung der Mittagslinie aus drei ungleichen Schattenlängen Erwähnung tun. Uber ihren Urheber wissen wir so gut wie nichts. Beschrieben ist sie uns durch Hyginus in dem Werke: „Die Schriften der römischen Feldmesser etc", trägt aber so entschieden griechischen Charakter, daß Cantor (Yorles. üb. Geschichte d. Mathem. I. Bd. pag. 453) von ihr, die nicht ein Praktiker, sondern nur ein sehr fachkundiger Mathematiker erdacht haben kann, sagt: „Es muß eine griechische Methode aus der Zeit hochentwickelter Stereometrie sein, wenn es auch nicht möglich gewesen ist, sie bei irgendeinem uns erhaltenen griechischen Astronomen nachzuweisen." Trotzdem Mollweide im 28. Band der „Monatlichen Korrespondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde" (v. Zach) von pag. 396—425 eine stereometrische, zwei graphische Lösungen und eine Auflösung dieses interessanten Problems mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie gab, so scheint es doch wenig gekannt zu sein, weshalb wir auf die rein graphische Lösung Mollweides im Text noch zurückkommen werden; auch er sagt: „Der Urheber der von Hygin gelehrten Methode ist unbekannt; von Hygin selbst rührt sie schwerlich her; höchstwahrscheinlich ist sie von einem griechischen Schriftsteller entlehnt, aber aus einem verloren gegangenen und unbekannten."

Einher mit diesen geometrischen Traktaten gingen Einrichtungen zur mechanischen Lösung solcher astronomischer Fragen, die für das tägliche Leben von praktischer Bedeutung sind. Wir denken außer dem mit immer mehr Geschick konstruierten Astrolabium vor allem an die aus grauer Vorzeit stammende Sonnenuhr, die bei keinem Kulturvolk fehlte; der Globus wurde später mit Horizontring zur Demonstration einfacherer Aufgaben versehen; jedoch spielte bis vor kurzer Zeit zur See die Gunterscale eine noch fast wichtigere, praktische Rolle. Ihr widmet Kapitän Jerrmann eine sehr interessante Schrift: „Die Gunterscale" (Hamburg 1888), in der manche Aufgabe graphisch gelöst oder mit Hilfe der Tangenten- und Sinuslinie eine Proportion konstruiert wird.

Ziehung der Mittagslinie; Konstruktion der arabischen Sonnenuhr. 5

Da die Sonnenuhr einem rein praktischen Bedürfnis entsprang, so mußte ihre Anfertigung populär werden; die Legion der gnomonischen Literatur führt alle diese Konstruktionen vor. Yom wissenschaftlichen Standpunkt aus schenkte zuerst T habit benKorra den vom Endpunkt des Stylus beschriebenen krummen Linien, welche bekanntlich Kegelschnitte sind, Aufmerksamkeit. Die Entwickelung der arabischen Gnomonik wurde durch religiöse Gebräuche bestimmt. Bekanntlich muß jeder Muselmann beim Gebet sein Antlitz gen Mekka wenden, deshalb war in die horizontale Sonnenuhr die sog. Quibla (Kibleh) eingetragen, d. h. die nach der heiligen Stadt führende gerade Linie. Der Zeiger der Uhr war meist senkrecht stehend; ein eigener Beamter hatte dieselbe ständig zu bewachen und durch Ausruf bekannt zu geben, wann der Schatten des Gnomons gerade mit der Quibla koinzidierte; dann wies auch der eigene Körperschatten dem Gläubigen die Richtung gen Mekka.²)

Dieser senkrechte Zeiger, der nie eine beträchtliche Höhe besaß, nötigte nun den arabischen Astronomen, die Schattenlinien des Endpunktes desselben, die für jeden Tag sich ändern, zu bestimmen und dann die Stundenlinien jedesmal einzutragen. (Nur für einen Zeiger parallel der Weltachse sind die einmal eingezeichneten Stundenlinien das ganze Jahr brauchbar.) So ist es erklärlich, daß schon Thabit ben Korra die Schattenkurven, welche in der heißen und gemäßigten Zone bekanntlich Hyperbeln sind, eingehend studierte. Statt aber für eine große Hyperbelschar die Punkte aufzusuchen, in welche der Endpunkt des Gnomonschattens in entsprechenden Stunden fiel, und entsprechende Punkte dann durch eine stetige Kurve — Stundenlinie — zu verbinden, besorgte der Astronom dies nur für die zwei äußersten Schattenkurven; d. h. für die Solstitialtage, und verband dann entsprechende Punkte dieser zwei Hyperbeln durch gerade Linien, ein Verfahren, das natürlich nicht genau richtig ist. Wir werden hierauf im zweiten Teil unserer Schrift noch näher eingehen, hier sei nur erwähnt, daß Delambre a. a. O. Bd. II pag. 482 ff. nachweist, daß der Fehler in diesem Annäherungsverfahren nicht beträchtlich ist.

Mit dem großen Aufschwung der Trigonometrie durch Jobst Bürgi und John Napier, welcher besonders die sphärische

Trigonometrie durch seine Theorie der zirkulären Stücke und die Ableitung der bekannten Analogien für das schiefwinkelige Dreieck ganz neu organisiert hat, gehen bald auch Versuche graphischer Ableitungen der neuentdeckten Relationen Hand in Hand. So nennt v. Braunmühl a. a. O. Bd. II pag. 47 einen gewissen John Cas well, über dessen Persönlichkeit nichts bekannt zu sein scheint, der schon durch Umklappung des Dreikants in die Ebene den Kosinussatz verifiziert hat, während er zur Ableitung der Neperschen Analogien, deren Beweis dazumal mit großer Mühe geometrisch gegeben wurde³), die stereographische und orthogonale Projektion miteinander verband.

Im 18. Jahrhundert hat sich ferner besonders der Jesuit Roger Joseph Boscovich (1711—1787) um die Förderung geometrischer Lösungen in der sphärischen Trigonometrie und Astronomie verdient gemacht. Nicht nur, daß er in seinen Opp. ad Optic. et Astronom, pertinent; Tomo IV pag. 243 eine treffliche graphische Lösung des Problems der Ziehung der Mittagslinie aus drei ungleichen Schattenlängen gab, die an Einfachheit der von Hygin angeführten kaum nachsteht, sind auch die konstruktiven Lösungen der sechs sphärischen Fundamentalaufgaben hervorzuheben, welche er in der Trigono-metriae sphericae constructio, Romae 1737, veröffentlichte.

folgende:

nun

Während in neuerer Zeit P. Serret (1855) eine einheitliche Ableitung aller Hauptformeln der sphärischen Trigonometrie, auch der Neperschen und Delambre’schen, vermittelst der stereographischen Projektion gab (vgl.: Des méthodes en Geometrie) und so die geometrische Theorie der Sphärik zu einem gewissen Abschluß brachte, sind speziell für unser Thema noch eine Anzahl origineller Arbeiten zu nennen, in denen nicht nur die üblichen Projektionsmethoden, sondern sogar die Prinzipien der synthetischen und darstellenden Geometrie zur Lösung sphärisch-astronomischer Probleme verwendet werden. Den Anfang hierzu machte de la Hi re 1682 in „La Gnomonique“, in der sich unter manchen anderen rein geometrischen Lösungen von gnomonischen Fragen folgende Aufgabe findet: „Six intervalles d’heure de suite estant données, tracer toutes les autres heures“ (Chap. III pag. 139 ff.). Die Lösung ist Angenommen, es seien die sieben Stundenlinien X, XI, XII,

I, II, III und IV bekannt, so ziehe man durch einen Punkt f der Linie IV eine Transversale parallel der Stundenlinie X; sie möge die Tracen III, II, I, XII und XI in Punkten a, b, c, d, e treffen; auf dieser Transversalen trägt man zur anderen Seite von o die Stücke oa!, ob', oc', od', oe' resp. gleich oa, ob, oc, od, oe ab, dann gehören die Punkte a', b', c', dl, e' zu den fünf anderen Stundenlinien. Der kurze und strenge Beweis von de la Hire basiert darauf, daß die zwei Stundenebenen X und IV senkrecht aufeinander stehen, III und V dieselbe Neigung zu IV haben, also III und IV konjugiert harmonisch zu X und IV sind; also sind es auch die entsprechenden Stundenlinien, die daher von jeder Transversalen in vier harmonischen Punkten geschnitten werden; da aber die Transversale durch o parallel zu X ist, so werden die beiden Punkte, in denen sie die Linien III und V trifft, gleichweit von dem entfernt sein, in welchem sie IV trifft.⁴)

Aber, fragt Chasles (Geschichte der Geometrie, deutsch von Sohncke, 1839) mit Recht: „Sind alle diese Data notwendig? Und welches ist die kleinste Anzahl von Stundenlinien, die zur Konstruktion der anderen hinreichen?“ (pag.653). Es genügen bekanntlich deren drei, um eine ebenso einfache Konstruktion für die Auffindung der andern zu geben, als es de la Hire für sieben aufeinanderfolgende tat. In der Tat, sind (nach Chasles) a, b, c die drei gegebenen Tracen, welche drei bestimmten, aber beliebigen Stunden entsprechen, und es sei d eine vierte gesuchte Linie, so wird sie mit a, b, c dasselbe Doppelverhältnis bilden, wie es zwischen den vier entsprechenden Stundenebenen A, B, C, D statthat; d. h. es muß sein:

gegeb. Größe n,

— einer

sin (e, a) _ sin (d, a) sin (C, A) > sin (D, Ä) sin (c, b) ' sin (d, b) sin (C, B) ’ sin ÇD, B)

da ja die    der vier Stundenebenen bekannt sind. Diese

schöne Konstruktion ist ein originelles Beispiel der Anwendung der Theorie des an harmonischen Verhältnisses auf astronomische Probleme.

In der beinahe unübersehbaren Literatur über das berühmte Problem der kürzesten Dämmerung finden sich auch zwei rein geometrische Lösungen desselben. Die eine, gegeben von

Monge (1746—1818), veröffentlicht in der Correspondance sur l’école imperiale polytechnique par Hachette Nr. 5, 1806, lehrt das Datum der kürzesten Tages Verlängerung mittelst deskriptiver Geometrie finden. Zelbr hat sich mit dieser Lösung eingehender befaßt und sie durch Veröffentlichung im 108. Band Nr. 2575 der astronomischen Nachrichten einem größeren Leserkreis zugänglich gemacht.⁵) Im 109. Band der astr. Nachr. Nr. 2602 setzt Zelbr seine Studien fort. Danach ist die Fassung der Aufgabe von Monge ungefähr diese: Es werde eine gemeinsame Tangentialebene an zwei gerade Kegel gezogen, von denen der eine zur Achse die Vertikale des Ortes hat, für welchen man die kürzeste Dämmerung sucht, und zur Basis jenen Almucantarat, in welchem die Sonne anfängt die Dämmerung zu bewirken; der andere Kegel hat zur Achse die Weltachse und ist die umhüllende Fläche des Raumes, welchen der Horizont bei der täglichen Bewegung beschreibt. Die Berührungslinie am ersten Kegel schneidet den Parallel der Basis in einem bestimmten Punkte; errichtet man in diesem Punkte eine senkrechte Ebene auf die Weltachse, so wird diese Ebene den Deklinationskreis der Sonne am Tage der kürzesten Dämmerung enthalten. Eine zweite geometrische Behandlung des Crepuscularproblems verdanken wir H. Cranz in einem Aufsatze „Zur geometrischen Theorie der Dämmerung“ (Zeitschr. f. Math. u. Phys., 31. Bd. pag. 158 ff.), wobei die stereographische Projektion zur Verwendung gelangt. Mit entschiedenem Vorteil endlich wandte R. Sonndorfer (Theorie und Konstruktion der Sonnenuhren, Wien 1864) die Methoden der darstellenden Geometrie zur Konstruktion der Stundenlinien einer Sonnenuhr auf gekrümmter Aufnahmefläche (Zylinder- und Kegelmantel) an.

Dies in Kürze die wichtigsten Daten zur geometrischen Entwickelung der sphärischen Probleme. Einzelne Ergänzungen sind da und dort im Texte der Ausführung angefügt, zu der wir jetzt übergehen.

Erster Abschnitt.

I.    Gegeben die Polhöhe <p eines Ortes, sowie die Deklination 6 eines Sterns (oder der Sonne d®); gesncht der Tagebogen s₀.

Auflösung.

In Fig. 1 sind unmittelbar in wahrer Größe abzulesen: PMH — <£; cp und <$C BMH — -èfc d, wenn BBl der Durchmesser desjenigen Parallelkreises ist, in welchem das Gestirn sich gerade befindet. Ist V der Aufgangs-, U der Untergangspunkt desselben, so repräsentiert arc VBXTJ den gesuchten Tagebogen s₀. Zieht man nun BBt im Abstand d vom Äquator A Q, so erhält man auf dem Durchmesser HH₁ des Horizontkreises den Schnittpunkt!⁷, durch den, senkrecht zvlHH^ als der Mittagslinie (da P,Q,P₁A der Meridian ist), und parallel zur Ost-Westlinie OW, 'die Sehne UV geht, die im Parallelkreis den Tagebogen VBXU vom Nachtbogen VBUtrennt. BBX, also auchTBt lassen sich unmittelbar in wahrer Größe aus Fig. 1 nach Fig. 2 übertragen.

II.    Gegeben die Polhöhe <p eines Ortes und die Morgenweite m

eines Gestirns; gesucht dessen Tagebogen s₀.

Auflösung.

trage man nun m nach V und fälle auf

aus

Im Horizonte seien 0 und W der Ost- und Westpunkt (Fig. 1 und 3). Von 0

HHX das Lot VTU. Durch T geht parallel zum Äquator AQ, dessen Richtung durch den (p bestimmt ist, der Deklinationskreis BBi des Gestirns, und arc VBxü ist wieder der gesuchte Tagebogen s₀ (Fig. 2).

III.    Gegeben die Polhöhe <p eines Ortes, sowie die Deklination 6 und der Scheibenradius q eines Gestirns in Bogenmaß (Sonne und Mond); es ist die Dauer des Auf- oder Untergangs zu ermitteln.

Auflösung.

Der Scheibenradius p -läßt sich auf dem Meridian in wahrer Größe abtragen, wie es in Fig. 4 geschehen ist. Befindet sich nun der Mittelpunkt des scheibenförmigen Himmelskörpers in 2J1} so daß dieser mit seinem oberen Rande den Horizont HHX berührt, so beginnt der Aufgang oder ist der Untergang vollendet. ln 2J₂ findet eine Berührung des unteren Randes der Scheibe mit HH₁ statt; dann ist der Aufgang vollendet, resp. der Untergang beginnt. Diese zwei Positionen des Himmelskörpers schneiden aus dem Durchmesser BBi des Parallels ein Stück ĄĄ aus, und der hierzu gehörige Parallelkreisbogen UXU2 oder VtV₂ ist proportional der Zeit des Unter- oder Aufganges. Die Strecke ĄĄ läßt sich wieder in wahrer Größe aus Fig. 4 nach Fig. 5 übertragen. Are V₁V₂ oder arc UXTJ₂ fällt bei gleichem p verschieden aus, je nach Polhöhe und Deklination (vgl. ein Zahlenbeispiel bei S. Günther: Handbuch der mathemat. Geographie pag. 163).

Ebenda, pag. 162, findet sich auch eine Lösung mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie in Form der biquadratischen Gleichung:

sin²d • sin²qp

sin² q

COS² â ■ COS² qp • COS2 §2 S-

-1,

cos² â ■ cos² qp • sin2 §1

wo <yC s₁ —■ s₂ der der Dauer des Auf- oder Untergangs proportionale Bogen ist. Setzt man jetzt

si ~si

sin²^ • sin²qp

COS²d- COS²qp

Ä:

sin² q

COS²^- COS²qp

wo A und B zwei positive Größen sind, so wird die Gleichung:

A B cos²a? sin²#

oder

sin⁴ x + (A — B — 1) sin² x + B — 0,

so daß sie hiermit auf den zweiten Grad heruntergebracht ist. Die Auflösung nach sin x ergibt:

sin x

_±|/2±^

-s,

so daß sin x vier Werte entsprechen würden, während die Konstruktion nur eine eindeutige Lösung liefert. In der Tat ist auch

B + l-A

da ist. Somit liefert die Berücksichtigung des Minuszeichens unter der großen Wurzel zwei komplexe, also unbrauchbare Lösungen; es bleiben also nur zwei entgegengesetzt gleiche Werte für

Æ    welche offenbar der Dauer des Auf-, resp. Unter

gangs zukommen.⁶)

IV. Gegeben die Polhöhe cp eines Ortes nnd die Deklination der Sonne cf® ; gesucht die Dauer der Dämmerung, die bei einer Höhe der Sonne von — h° beginnen, resp. endigen soll.

Auflösung.

Man trage von HUl aus (Fig. 6) im Meridian h° nach unten ab und ziehe den Durchmesser H₂H₃ des sogenannten Dämmerungskreises (linea crepusculi). Die Dämmerung beginnt oder endigt, wenn die Sonne diesen passiert. Zieht man den Äquator unter der Neigung 90°—cp zum Horizont und im Abstand d den Parallel der Sonne BBX, so läuft die Lösung der Aufgabe auf die Ermittlung jenes Bogenstücks in dem genannten Parallel hinaus, das zwischen HHX und H₂H₃ liegt. Man zeichne daher (Fig. 7) den Parallel BBX in seiner wahren Größe mit dem Radius cos d®, ermittle wie in Aufgabe I den Untergangs- und Aufgangspunkt U und V und ziehe die Sehne VTU und durch Y, den Schnittpunkt von BBt mit dem Dämmerungskreis    parallel zu VTU die Sehne XYZ]

dann ist arc VZ— arc UX proportional der Dauer der Dämmerung. Fällt Y nach B, so treten damit für einen gegebenen Ort die sogenannten „hellen Nächte" ein, in welchen sich bekanntlich Morgen- und Abenddämmerung die Hand reichen. Fig. 9 ist mit anderen Werten von cp und d entworfen, und in Figg. 7 und 8 sind die Figg. 6 und 9 zusammengestellt, woselbst sich die Differenz der Dauer der Dämmerungen in beiden Fällen in dem schraffierten Winkel 6 —- 6X präsentiert. Hält man nun cp fest und variiert d, so kommt man notwendig zu einem Wert von d, für welchen arc VZ ein Minimum wird, d. h. zu der Frage:

Y. Für welche Sonnendeklination cf© wird an einem Ort nnter der gegebenen Breite (p die Dämmerung oder Tagesverlängerung

V. Gegeben cp, ó und s; gesucht h und co.

Y. Für welche Sonnendeklination cf© wird an einem Ort nnter der gegebenen Breite (p die Dämmerung oder Tagesverlängerung

am kürzesten?

Auflösung.

Die Literatur über dieses in der Geschichte der Mathematik berühmte Problem ist außerordentlich groß; entsprechend auch die Arten der Lösung dieser Aufgabe. Gestellt wurde dieselbe zum erstenmal von dem Portugiesen Nunes in dem Werke: De crepusculis (Lissabon 1542), jedoch ohne Lösung. Die berühmten Mathematiker Jak. Bernoulli, D’Alembert und Fuß wandten auf diese Minimumsaufgabe den Differentialkalkul an, gelangten jedoch auf sehr komplizierte Formeln; auch Kästner (Astron. Abhandlungen 2. Bd. 1774) glaubte, daß die Lösung einer biquadratischen Gleichung unumgänglich sei. In Nr. 1085 der astronomischen Nachrichten gab D’Arrest zuerst eine einigermaßen einfache Lösung, während Stoli: „Das Problem der kürzesten Dämmerung“ (Zeitschrift f.Math. und Phys. 28. Bd. S. 150 ff.) die Aufgabe völlig elementar und ohne Hilfe der höheren Analysis löste. Sein Verfahren wird in S. Günthers Handbuch der mathematischen Geographie S. 154 ff. ausführlich mitgeteilt. Im Anschluß hieran ließ H. Cranz im 31. Band derselben Zeitschrift S. 158 ff. die schon erwähnte geometrische Theorie der Dämmerung folgen, die auf dem 1811 von Bohnenberger bewiesenen Satz fußt, daß zur Zeit der kürzesten Dämmerung der Parallelkreis der Sonne den Dämmerungskreis und den Horizont unter demselben Winkel schneidet, und ferner darauf, das die Yertikalkreise, welche die Sonne zu Anfang und zu Ende der kürzesten Dämmerung passiert, symmetrisch zum ersten Vertikal liegen.

Eine ausführliche Übersicht über die ältere und moderne Literatur des Problems gewinnt man bei Zelbr in Schlömilchs bekannter Zeitschrift Jahrg. 41. Unter Berücksichtigung der Tatsache, daß die Höhe der Sonne sich am raschesten ändert auf einem Parallel, der die schon erwähnten Eigenschaften hat, läßt sich auch die trigonometrische Lösung sehr einfach geben. Da der Bogen, den die Sonne während der kürzesten Dämmerung durchläuft, vom ersten Vertikal halbiert wird, so muß die Abend-

weite der Sonne zu dieser Zeit gen Süden liegen, mithin das Phänomen bei negativem d®, also vordem 21. März und nach dem 23. September eintreten. Diese Abendweite sei cq, so daß das Azimut der Sonne beim wahren Untergang des Sonnenmittelpunktes 90° —œt und beim Ende der Dämmerung 90° -}-cq ist. Dann findet man aus dem astronomischen Dreieck Zenit — Pol — Sonne für beide Positionen der Sonne:

sin d® = — cos cp • sin Gq

sin d® = — sin h • sin cp + cos h • cos cp • sin Gq,

woraus durch Elimination von sin oq:

sin d® = — sin cp • Tang

oder

sin (— d®) = sin cp • Tang

folgt. Man nimmt h für die bürgerliche Dämmerung zu für die astronomische zu 16°—18° an.

Zur graphischen Lösung des Problems sei in orthographischer Projektion (Fig. 10) der Meridian, der Horizont und der Dämmerungskreis, sowie die Lage des Äquators verzeichnet, die ja durch die Polhöhe cp gegeben ist. Dann handelt es sich um die Bestimmung des Punktes X, durch den der Durchmesser BBX des Sonnenparallels parallel zum Äquator AQ im gesuchten Abstand (— d@) gehen muß. Die Lage von X ergibt sich nun leicht auf folgende Weise: Wir zeichnen den Horizontkreis in der Ebene des Papiers mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt M und ebenso den Dämmerungskreis mit dem Radius cos h und dem Mittelpunkt M₁ so, daßMM₁ = sin h ist (Fig. 11), ziehen HHl7 H₂H₃ durch Aï, resp. Mx und senkrecht dazu WWV Auf dem Horizontkreis tragen wir den (beliebigen) Winkel cq = (— Gq) nach rechts von MW, so daß — oq = WMU ist, und auf dem Dämmerungskreis + cq = WXMX Ut nach links von M₁W₁ ab, fällen auf die Durchmesser HHX und H₂H3 die Lote UT und U₁T₁, verbindend mit Tx und erhalten im Schnittpunkt mit WWX den gesuchten Punkt X. Zum Beweise Stelle man in den zwei ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken TMX und TxMxX die Proportion auf:

woraus

MX:MT = MxX\MxTx,

MX =

MTMtX

MlTl

Nun ist:

sin cdx; JM^X — sin h — MX] M₁T₁ = sin ca₁- cos/i,

also

MX

sin w₁ (sin h — M X)

sin ta₁ • cos h

(1 + cos h) MX — sin h

2 sin —

2

2 cos* ^

2

Mit Hilfe dieses Wertes für MX liest man aber aus dem rechtwinkligen Dreieck MXG (Fig. 10) folgende Relation ab:

sin (— fl©)

MX =

sin (p

■ cos —

MC

MX

2 m h

- = Tang —•

d. i. die schon vorhin rechnerisch gefundene Gleichung:

sin (— d®) = sin cp • Tang Daher die einfache Konstruktion:

Halbiere Bogen H₁Hs = h° im Punkte Hi_, ziehe MHund

2 2

verlängere es; errichte ini^ das Lot, welches dem Strahl MH±

2

in Y begegnet, ziehe YX\\HHt und durch X|| zu AQ den gesuchten Parallel JBB1} dann ist QMBl = ^Z (— d₀).

VI. Man soll für eine gegebene Polhöhe cp die Dauer der kürzesten Dämmerung ermitteln.

Auflösung.

Diese Aufgabe erledigt sich wie IV, wenn das zugehörige d® bei gegebenen cp und h ermittelt ist, wie es soeben in V geschehen ist. Durch Entwerfen mehrerer Figuren unter Annahme verschiedener Werte von (p findet man, daß die Dauer und der Eintritt des Crepuscularphänomens wesentlich von der Polhöhe cp abhängt.

VII. Gegeben die Polhöhe <p eines Ortes und die Deklination

der Sonne d@:

a)    Wann steht die Sonne im ersten Vertikal?

b)    Wie hoch steht sie im ersten Vertikal?

Auflösung.

a)    Unter Laien herrscht vielfach die irrige Meinung, daß die Sonne stets morgens 6A im ersten Vertikal stehe; dies trifft nur zur Zeit der Äquinoktien zu und ist an jedem anderen Tage anders. Ebensowenig steht sie im allgemeinen um 9/( a. m. in Südost und um 3A p. m. in Südwest. (Vgl. hierzu die Fig. 7 pag. 52 in Wagners Lehrbuch der Geographie I. Bd.) In Fig. 12 ist nun ZN die Projektion des Premiervertikals, falls PHNP₁H₁Z den Meridian vorstellt. Dann hat die Sonne seit ihrem Aufgang bis zum Durchgang durch den ersten Vertikal den zur Sehne TI gehörigen Bogen ihres Parallelkreises JBB₁ durchlaufen, wenn I der Schnittpunkt von ZN und BBt ist. Es ist also zuerst die Zeit des Aufganges zu ermitteln, was wie in Aufgabe I geschieht, indem ja der halbe Tagebogen vom Aufgang bis zum Mittag reicht, und dann arc VS in Zeitmaß dazu zu zählen (Fig. 13).

b)    Um die Höhe der Sonne beim Passieren des ersten

Vertikals zu finden, ziehe man durch ijj HHX den Höhenkreis    dann ist arc HXH₅ gleich dem gesuchten Höhen

winkel der Sonne. In der Tat liest man auch aus der Fig. 12

ohne weiteres ab:

IM

sin h = sin d • cosec qp, welche Formel vollständig mit der durch Rechnung gefundenen übereinstimmt.

= sinqp; IL = sind; IM = sinh, d. h.

VIII. Gegeben die Polhöhe eines Ortes nnd die Deklination tf® der Sonne. Zn welcher Zeit war die Höhe der Sonne Ai°?

Auflösung.

Zur graphischen Lösung dieser Aufgabe sei auf Fig. 14 verwiesen. Nachdem der Sonnenparallel BB₁ durch die Daten d.^ und (f festgelegt ist, trage man die Höhe h auf dem Meridian auf und ziehe den Höhenkreis Ü₃II±, welcher BBX in I schneidet;

errichte in I auf dem Durchmesser BBX (vgl. Fig. 15) das Lot IF, so repräsentiert arc BtF den gesuchten Stundenwinkel s. Da es zwei gleiche (korrespondierende) Sonnenhöhen vor- und nachmittags gibt, so ist auch arc BlE=(— s) eine Lösung der Aufgabe.

Aus Fig. 14 läßt sich auch leicht trigonometrisch die Richtigkeit unserer Konstruktion und damit der Cosinussatz der sphärischen Trigonometrie dartun. Fällt man nämlich IG _[_ HHV so hat man die ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke ICK und KGM und demnach die Proportion:

IK:CK=KM:KG

oder

Es ist aber

z : y — (sin d — y): (sin h — z).

y = cos s • cos d • Tang qp cos s ■ cosd

mithin

COS qp

cos s ■ cos d

sin 3 — cos s • cos 3 ■ Tang cp

. sing?

cos qp • cos s ■ cos 3 --

cosqp

cosqp-sin h — coss-cosd = cos qp • sin qp-sind — cosd cos s (1 — cos² cp) cos cp ■ sinh — sinqp ■ cosqp ■ sind = cosd • coss • cos²qp; und, indem sich cos cp rechts und links weghebt:

sin h — sin cp sin d = cos s ■ cos d • cos cp

sinh = sinqp • sind -j- cosqp • cosd • coss,

sin h —

coss • cosd

cos qp

sin h — sin qp • sin 3

d. i. eben die bekannte Relation der räumlichen Trigonometrie, woraus sofort folgt:

COS S

COS qp • cos 3

Da cos s = cos (— s) ist, so erklären sich eben dadurch die zwei gleichen und entgegengesetzten Werte für den Stundenwinkel s.

IX. Aus der Höhe h eines Gestirns, der Deklination cf und dem Stnndenwinkel s desselben die geographische Breite cp des Beobachtungsortes zn ermitteln.

Auflösung.

Man ziehe vermittelst der Höhe JiHsIl± || IIH^ (Fig. 16), mache CM == CtM = sind und in Fig. 17 CF = cosd, also IC = cosd• coss. Damit ist MI gegeben als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks IMG (Fig. 17). Hiermit beschreibe man von M (Fig. 16) aus einen Kreisbogen, der H₃Hi in I und Ix schneidet. Auf dem Halbkreis über MI, resp. MIX (Mittelpunkte Mx, resp. M₂) liegt der Punkt C, resp. Cx, welche Punkte man durch Abtragen von sin d von M aus erhält. Durch C und Cx gehen die Weltachsen PBX und P₂P₃, welche mit HHX zwei Winkel cpx und cp₂ bilden. Die Lösung liefert also zwei Werte, weil sich cp aus einer quadratischen Gleichung errechnet. Auf PPX steht senkrecht der Äquator A Q und in der Distanz d der Parallel BBX, ebenso auf der zweiten möglichen Weltachse P₂ P₃ der Äquator Ax Qx und Parallel B₂ B₃ (gestrichelt).

Auch hier ergibt sich ganz wie in der vorhergehenden Aufgabe aus den zwei rechtwinkligen ähnlichen Dreiecken G KM und LIK eine trigonometrische Lösung mit Hilfe der Proportion: MK:GK = KI\LK

z\x = (coss ■ cosd — x): (sinh — g\ Für z und x liest man aber aus Fig. 16 ab:

x == sin d ■ cotg <p

z ■ sin cp = sin d; z —

sin 8 sinqp’

mit diesen Werten für x und z wird obige Proportion zu sin 8

coss • cosd — sind ■ cotgqp

sin cp ■ sin 8 ■

COS (f)

sin qp

sinÄ —

sin 8

sinqp

woraus

sin h ■ sin cp — sin ô = cos cp ■ cos s • cos d ■ sin cp — sin d ■ cos² cp sin h ■ sin cp = cos cp ■ sin cp ■ cos ö ■ cos s + sin d ■ sin² cp sin h = sin d ■ sin cp + cos d • cos cp ■ cos s d. h. wieder der Cosinussatz der sphärischen Trigonometrie folgt.

X. Gegeben die Deklination â und der Stundenwinkel s eines Gestirns, sowie die Polhöhe cp des Beobachtungsortes; in welcher Höhe h befindet sich das Gestirn?

Auflösung.

Diese ergibt sieb ohne weiteres aus Fig. 14 und 15, man I auf BBX bestimmt und zu HHX eine Parallele die auf dem Meridian die gesuchte Höhe h = arc Hx H\ abschjjjt^Met.

Schoy, konstrukt. Lösung sphär.-astron. Aufg.

1 '£ ff'

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03

Vv,.......

sv'V'

Den hier yorgeführten 10 Aufgaben ließen sich natürlich noch mehrere an die Seite stellen, allein sie zeigen zur Genüge, wie lehrreich und zugleich wie einfach die geometrische Behandlung sich gestaltet. Man kann nun noch das Azimut o hinzunehmen und dann aus den fünf Stücken h, cp, 8, oo, s zehn neue Aufgaben bilden. Dieselben sind alle geometrisch gelöst in Dr. A. Peins schon erwähnter Schrift. Bemerkt sei hier nur noch, daß konstruktive Lösungen derselben sich auch leicht durch Umklappung des diese Elemente enthaltenden Dreikants ergeben, womit sich wiederum eine ganz nette Verbindung der darstellenden Geometrie, resp. Stereometrie, mit der mathematischen Erdkunde herstellen ließe.

Zweiter Abschnitt.

Zähl’ wie die Sonnenuhr die heitern Stunden nur.

Falls man die Deklination der Sonne (d@) für einen Tag als konstant ansieht, ist die scheinbare Sonnenbahn ein Parallelkreis, der zugleich als Grundkreis eines Kegels erscheint, dessen Spitze M (Fig. 18) im Erd- oder Himmelsmittelpunkt liegt und dessen Achse die Weltachse ist. Dieser Kegel ändert den Winkel 8, den die Mantellinien zum Grundkreis 15VBJJ bilden, keineswegs, wenn man seine Spitze aus dem wahren Horizont in den scheinbaren und dort noch in das Ende eines senkrecht

aufgestellten Stabes von endlicher Höhe % verlegt, da ja alle irdischen Entfernungen bei unendlich fern angenommener Sonne nicht in Betracht kommen; somit darf die Stabspitze mit dem Mittelpunkt des Himmelsgewölbes identifiziert werden. Zieht durch diese Spitze 0 hindurch die Mantellinien (Sonnen-

Horizont, so entsteht

man

strahlen) und verlängert diese bis zum dort als Schnittkurve ein Kegelschnitt (Schattenlinie). Es liegt also hier der Fall der Zentralprojektion eines Kreises oder der Zentralkollineation vor, wobei der Parallelkreis das Original, die Schattenkurve das Abbild ist. Der Stab o'der das Gnomon wirft natürlich so lange einen Schatten, als die Sonne über dem Horizonte steht. Beim Auf- und Untergang

der Sonne sind ihre Strahlen der Horizontal ebene parallel und damit die Schattenbilder von sehr niedrigen Gegenständen — streng genommen nur von solchen mit der Höhe h = o — gleichzeitig unendlich lang. Demnach liefert eine auf- und untergehende Sonne zwei unendlich ferne Punkte der Schattenkurve; d. h. dieselbe ist eine Hyperbel, und gleichzeitig ist einleuchtend, daß die Strahlenrichtungen vom Auf- und Untergangspunkt, welche beide symmetrisch zur Nord-Südrichtung oder Mittagslinie liegen, die Asymptoten, als Verbindungslinie des Fußpunktes des Gnomons mit den unendlich fernen Punkten der Hyperbel, darstellen (eigentlich nur dann, wenn Spitze und Fußpunkt des Stabes zusammenfallen). Bleibt die Sonne gerade 24 Stunden über dem Horizonte und berührt denselben nur bei der unteren Kulmination, so liegen alle Punkte der Schattenkurve, mit Ausnahme dieses einen, im Endlichen: dieselbe ist eine Parabel. Bleibt endlich die Sonne bei ihrer oberen und unteren Kulmination über dem Horizonte, so verläuft die Projektion ihrer Bahn ganz im Endlichen: die Schattenkurve ist dann eine Ellipse.⁷)

Nimmt man für den Augenblick die Höhe h des Stabes = o, so schneidet die Horizontalebene den Kegel durch die Spitze längs zweier Geraden, in welche dann die Hyperbel zerfällt. Dann kann von einer eigentlichen Schattenkurve nicht mehr die Rede sein; doch ist ohne weiteres ersichtlich, daß die Hyperbel im Winkel dieser Geraden liegen wird, sobald h eine auch noch so geringe endliche Ausdehnung hat; d. h. daß man zur Diskussion ihrer Gestalt sie als Asymptoten nehmen kann. Ist nun die Morgen- und Abendweite der Sonne positiv und beträchtlich, so bilden die Asymptoten einen sehr spitzen Winkel, in welchem dann die am Scheitel sehr konvexe Hyperbel liegt (d. h. immer nur der eine Ast, der vom Tagbogen der Sonne herrührt; der dem Nachtbogen entsprechende Ast ist imaginär). Diese Form wird besonders in Gegenden nahe dem Polarkreis bei größerem d® Vorkommen. Mit abnehmendem positiven und negativen d® werden auch die entsprechenden Morgen- und Ahendweiten kleiner, damit der Winkelraum der Asymptoten größer und die Hyperbeln flacher (Fig. 19); ist dann d® = o, d. h. bewegt sich die Sonne

im Äquator, so geht sie genau im Osten auf und im Westen unter; Auf- und Untergangspunkt liegen sich dann diametral gegenüber; der Winkelraum der Asymptoten beträgt nunmehr 180°, womit sich der Hyperbelast bis zur geraden Linie verflacht, welche die Ost-Westlinie ist. Sehr flache Hyperbeln finden sich bei kleinem d® in allen Teilen der heißen und gemäßigten Zone und das ganze Jahr, mit Ausnahme der Äquinoktien, am Äquator. Tritt nun die Sonne auf die Südseite des Himmelsäquators oder ist dÄ < o°, so treten zunächst wieder sehr flache und mit wachsendem d® allmählich stärker gebogene Hyperbeläste auf, allein sie liegen jetzt auf der anderen Seite der Ost-Westlinie, welcher sie den Scheitel zukehren. So überdeckt sich der Horizont diesseits und jenseits der Ost-Westlinie mit einer Schar von Hyperbelästen, als Projektionen der Parallelkreise von — 23 */₂° bis -f 23¹/₂°> ähnlich wie es bei der gnomonischen Kartenprojektion der Fall ist. Der Äquator selbst bildet sich dabei als gerade Linie ab (Ost-Westlinie) (Fig. 19).

Wie schon in der Einleitung erwähnt, verzeichneten die Araber die Stunden nur auf den zwei äußersten Hyperbeln und verbanden dann die Punkte gleichnamiger Stunden durch gerade Linien, welche dann auch auf allen anderen dazwischenliegenden Hyperbeln dieselben Stunden ausschnitten. Das Verfahren war, wie man auf den ersten Anblick sieht, nicht streng richtig, aber immerhin eine für die Praxis sehr bequeme und ganz brauchbare Annäherung.⁸) Um aber den wahren Charakter dieser Verbindungslinien kennen zu lernen, bedenke man, daß eine solche Stundenlinie die Projektion eines Stundenkreises mit dem Stabende als Projektionszentrum auf den Horizont, also sicher eine Kurve zweiten Grades ist. Auch sie hat zwei unendlich ferne Punkte: nämlich die Projektionen der Schnittpunkte des betreffenden Stundenkreises mit dem Horizonte, ist also, da der Horizont im allgemeinen den Stundenkreis immer schneidet, eine Hyperbel⁹), die nur für den Meridian und den Sechsstundenkreis jeweils in eine Gerade, die Nord-Südrichtung, resp. Ost-Westlinie, ausartet. Auf der Mittagslinie liegen selbstverständlich alle Scheitel des Hyperhelsystems der Parallelkreise, aber auch die Scheitel unserer „Stundenhyperbeln“

liegen, als Projektionen des Pols, durch welchen ja alle Stundenkreise gehen, und der selbst im Meridian liegt, ebenfalls auf der Nord-Südlinie, und zwar alle in einem Punkte 0f im Abstand h • cotg cp vom Fußpunkte des Gnomons, während die Scheitel 0" der erstgenannten Hyperbelschar um h • cotg d von diesem Punkte abstehen. Nun schneiden sich im Pol alle Stundenkreise, also muß auch 0' der Schnittpunkt aller Stundenhyperbeln sein; wir haben es also immer nur mit halben Hyperbeln zu tun, die sich umgekehrt symmetrisch jenseits des Scheitels fortketzen (in Fig. 18 und 20 der gestrichelte Ast); den zweiten symmetrischen Ast liefert die Projektion jenes Stundenkreises, dessen Neigung zum Meridian einen gleich großen entgegengesetzten Betrag hat wie der andere dazugehörige (z. B. IXh und IIP). Jede Stundenhyperbel hat mit der Projektion desjenigen Parallelkreises den unendlich fernen Punkt gemeinsam, für welchen die Sonne eben zu der Stunde auf- oder untergeht, welche der Stundenkreis repräsentiert.

Was nun weiter die Frage nach dem von den arabischen Astronomen begangenen Fehler angeht, so sehen wir zunächst, daß, indem ja nur das zwischen — s bis + e (23Y₂⁰) liegende (in Fig. 18 kräftig ausgezogene) Stück des Stundenkreises auf den Horizont projiziert wird, der Scheitel der Hyperbel und die ihm nächsten Teile stärkster Krümmung gar nicht in Betracht kommen; dies wäre anders gewesen, wenn die Ekliptikschiefe s für die Erde einen sehr großen Betrag hätte oder erreichen könnte. Nur jene Teile der Hyperbel werden mit geraden Linien, oder jene Hyperbelbögen mit ihren Sehnen vertauscht, die bereits abseits vom Scheitel liegen und mehr oder weniger flach verlaufen. Ferner ist aus Fig. 20 ersichtlich, daß sich die einzelnen Stundenlinien gegen den Scheitel der stark gebogenen Hyperbel hin mehr und mehr zusammendrängen; solche Hyperbeln kommen aber nur in der „Parabelnähe“, d. h. in höheren Breiten vor, in welche sich das Reich der Araber bekanntlich nicht erstreckte; innerhalb niedriger Breiten (Arabien, Nordafrika, Südspanien usw.) weichen die Stundenlinien noch weniger von der geraden Linie ab. Auch die Frage, für welche Stunden diese Abweichung bei gegebener Polhöhe ein Maximum beträgt, beantwortet sich mit Hilfe von

Fig. 20 leicht dahin, daß dies für die mittlere Stunde zwischen 6ha • oder p • m und 12h der Fall sein muß; d. h. um 9ha • m und 3hp • m; denn um 12h und 6h sind die Stundenlinien ja wirklich Gerade, werden sich also auch in der Nähe dieser Zeitpunkte der geraden Linie am meisten anschmiegen, um sich um 9h und 3h am meisten von ihr zu entfernen. Auch dies Resultat, das so durch ganz einfache geometrische Überlegungen gewonnen wurde und natürlich mit Delambres sehr ausgedehnten Rechnungen und Tabellen übereinstimmt, besitzt ebensoviel Beweiskraft als der trigonometrische Kalkül.¹⁰) (Vgl. Anmerkung 4.)

Die oben gemachte Bemerkung, daß zwischen dem Parallel der Sonne und der Schattenkurve, welche die Spitze eines senkrecht stehenden Stabes auf einer Horizontalebene beschreibt, Zentralkollineation stattfindet, soll jetzt weiter ausgeführt und an Fig. 21 näher erläutert werden. Dort ist ein Doppelkegel mit der Spitze 0 verzeichnet; Ą und 2J% bedeuten zwei Sonnenstände im Parallel der Sonne, die sich auf der Auffangfläche als zwei Punkte der Schattenlinie und U₂' darstellen. /Die Ebene des Parallelkreises K, der ja ebensogut als Sonnenbahn betrachtet werden kann wie der nicht gezeichnete mit den Sonnenörtern und U₂, ist natürlich parallel zur Äquator-ebene, bildet also mit der Horizontalebene den Winkel 90°— cp. Die Schnittlinie von Parallelkreis- und Horizontalebene ist die Kollineationsachse S, während die Gegenachse oder Fluchtlinie R der Schnitt der Ebene, durch die Spitze 0 parallel zum Horizont, mit der Parallelkreisebene ist; d. h. der Ort der unendlich fernen Punkte der Schattenlinie K'. (Die Fluchtgerade Q ist ebenso die Projektion der unendlich fernen Punkte des Parallelkreises (Originals) K.) Bekanntlich hat nun der Kegelschnitt K' zwei unendlich ferne Punkte, einen Punkt in unendlicher Ferne oder verläuft ganz im Endlichen, je nachdem die Gegenachse R den Parallelkreis durchschneidet, berührt oder ganz außerhalb desselben liegt. Unendlich ferne Punkte der Schattenlinie entsprechen aber dem Auf- und Untergangspunkt der Sonne; mithin schneidet die Fluchtlinie den Parallel der Sonne in diesen zwei Punkten; teilt ihn also in den Tag-und Nachtbogen. Da, wie schon erwähnt, die Höhe h des

Gnomons im Vergleich zur unendlich fern gedachten Sonne verschwindend klein ist, so müssen Kollineations- und Gegenachse in unserm Falle unendlich nahe aneinanderliegen, ja, die eine kann ohne weiteres für die andere gesetzt werden, und nie rastend legt ijhos selbst jeden Tag im Auf- und Untergangspunkt eine „Fluchtspur“ fest.

zu

zu

<P

An der Hand von Fig. 21 ist es nun leicht, auch Aufgaben des ersten Abschnittes mit der reinen Zentralprojektion zu lösen. Um z. B. hiernach aus und cp den Tagebogen 2 s0 ermitteln, hätte man in der Ebene des Papiers das rechtwinkelige Dreieck CB₁0: das bei B₁ den Winkel ds enthält, verzeichnen, hierauf um C mit dem Radius CBt den Parallel der Sonne K in derselben Ebene zu beschreiben, an 0 den cp anzutragen, um so den Schnittpunkt r des verlängerten Radius CBi mit dem geneigten Schenkel des Winkels cp zu erhalten; r wäre dann offenbar ein Punkt der Gegenachse, welche senkrecht auf BBt steht und den Kreis K entweder schneidet oder nicht. (In Fig. 21 schneidet sie ihn nicht, deshalb ist der Tag länger als 24 Stunden und K' eine Ellipse.) Für = o° halbiert die Gegenachse den Parallel K, d. h. am Äquator währt der Tag stets 12 Stunden (sphaera recta).

Nach diesen einleitenden Worten beginnen wir mit der Lösung neuer Aufgaben auf perspektivem Wege und erledigen

I. Das Problem der Ziehung der Mittagslinie,

dessen wir schon im Vorwort gedachten und über dessen Geschichte man Näheres bei S. Günther: Handbuch d. math. Geographie, pag. 81 ff., sowie in dem schon in der Einleitung genannten Artikel von Moll weide erfährt. Besondere Berücksichtigung erfuhr die Methode der drei ungleichen Schattenlängen, die noch später vornehmlich von italienischen Mathematikern, so Muzio Oddi und von Boscovich, auf verschiedene Arten behandelt wurde, während Mollweide selbst das Problem in folgender Fassung gab: Es ist die Lage der Durchschnitte dreier Vertikalkreise mit dem Horizonte gegeben und die Höhen, welche die Sonne in jedem der Vertikalkreise über dem Horizonte hatte; man soll die Lage der Mittagslinie finden¹¹) (Fig. 22).

in Fig. 24b die

Aus unserer Fig. 21 ist nun ersichtlich, daß die Kollineations-achse S senkrecht auf der großen Achse des Kegelschnittes K', d. i. der Mittagslinie, steht. Sobald also diese Achse ermittelt ist, ist das Problem auf kollinearem Wege erledigt. Sind nun (Fig. 24) 1, 2, 3 im Sonnenparallel K drei Sonnenörter, welche durch das Gnomon 00x drei ungleich lange Schatten 0X1% 0x2f, 0₁3f auf der Horizontalebene liefern, so liefern die drei rechtwinkeligen Dreiecke 00₁P, 00^', 00^' die entsprechenden Sonnenhöhen: h, h’, h". Verlängert man Sonnenstrahlen PO, 2'0, 3f0 um ein gleiches Stück s nach rückwärts (um die Mantellinie des Kegels (Fig. 24a) BS₁0) und beschreibt um 0 mit dem Radius s einen Kreisbogen, so erhält man in den Strecken 11", 22", 33" die wahren senkrechten Abstände der drei Sonnenörter im Raume von der Horizontalebene (Fig. 24 a). Damit sind die drei rechtwinkligen Dreiecke (Durchschnittsebenen durch den Kegel der Fig. 24 a) lFl", 22'2", 33'3" vollständig bestimmt, somit auch die Lage der drei Projektionspunkte 1", 2", 3" auf den verlängerten drei Schattenlinien gegeben. Jetzt ist die Spur S der Parallelkreisebene K bestimmbar aus den senkrechten Abständen und Horizontalprojektionen dreier ihrer Punkte. Dies ist aber eine Fundamentalaufgabe der darstellenden Geometrie, die in Fig. 24 gelöst ist: Die drei Abstände 11", 22", 33" sind in der Ebene des Papiers parallel zueinander abgetragen, wodurch das schraffierte Dreieck 1, 2, 3 entsteht; die Verbindungslinien 1", 3" und 1,3, sowie 2", 3" und 2,3 liefern in ihren Schnittpunkten S₁ und S₂ dann bekanntlich die Spur (Kollineationsachse) der Ebene K auf der Horizontalebene K'. Auf dieser Achse S liegt natürlich auch der Schnittpunkt von 1"2" und 1,2 ($₃ in der Figur nicht mehr sichtbar, aber angedeutet). Die Mittagslinie geht nun durch den Fußpunkt 0X des Gnomons und • steht, wie gesagt, senkrecht auf S. Hiermit ist, wie der Verfasser glaubt, eine ebenfalls sehr durchsichtige Lösung dieser merkwürdigen Aufgabe gegeben.

II. Es liegen drei Stundenlinien (Tracen) einer Sonnenuhr gezeichnet vor; man soll die übrigen ermitteln.

Lösung.

Diese wurde, wie in der Einleitung bereits erwähnt, geometrisch zuerst von De la Hire und Chasles gegeben; hier wird von der Tatsache ausgegangen, daß die Endpunkte dreier Stundenlinien ein Dreieck bilden (in Eig. 25 das schraffierte Dreieck V 2' 3'), durch dessen Ecken die vom Stylus beschriebene Schattenlinie K' hindurchgehen muß, und dem zentrisch-kollinear im Sonnenparallel K das Dreieck 1, 2, 3 entspricht. Sind nun I, II, III drei Tracen, die äquidistanten Punkten in K entsprechen, so ist Dreieck 1, 2, 3 gleichschenklig (in Eig. 25 ebenfalls schraffiert.). Durch diese zwei zugeordneten Dreiecke: V, 2', 3' und 1, 2, 3 ist aber eine zentrische Kollineation vollständig bestimmt, und die weiteren Stundenlinien IV,V,VI usw. ergeben sich aus derselben dadurch, daß man weitere, den ebenfalls äquidistanten Kreispunkten 4, 5, 6 usw. entsprechende Punkte 4', 5', 6' usw. der Schattenkurve K' konstruiert und sie dann mit dem Fußpunkt Oj des Gnomons verbindet. Um nun das gleichschenklige Dreieck 1, 2, 3 mit Dreieck 1', 2' 3f in kollineare Lage zu bringen, was eine Aufgabe mit unendlich vielen Lösungen ist, kann man etwa so verfahren, daß man zunächst den Sonnenparallel K in 24 gleiche Teile teilt und aus drei sukzessiven Teilpunkten ein Originaldreieck bildet¹²); dieses werde nun in dem Winkelraum 1, 0, 3 so plaziert, daß 0 die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundlinie 1, 3 wird, auf dessen Mittelsenkrechter der Punkt 2 liegt. Dann ist P, 2', 3' zu 1, 2, 3 kollinear, wenn die Strecken V, 21 und 2', 3' unter demselben Winkel a von 0 aus gesehen werden, wie dies für 1, 2 und 2, 3 der Fall ist. Dies erreicht man aber bekanntlich dadurch, daß man den Ort der Schnittpunkte zweier Kreise mit den Mittelpunkten Mx und M₂ sucht (0), die über den Sehnen F, 2' und 2', 3' den beliebigen Winkel a als Peripheriewinkel enthalten. Da zwei Schnittpunkte möglich sind, so gibt es für jedes a auch zwei Kollineationszentra, in Fig. 25 wurde nur eines berücksichtigt. Die Achse S der Kollineation ergibt sich bekanntlich als Ort der Schnittpunkte ver-

längerter, entsprechender Seiten der zugeordneten Figuren. Nun lassen sich ohne weiteres beliebig viele Kurvenpunkte der Schattenlinie und damit die zugehörigen Stundenlinien konstruieren.

Unsere Figur und Darstellungsweise gibt auch eine Antwort auf die Frage, wie lange die Sonnenuhr sich täglich als Zeitmeßwerk eignet. Dazu bedarf es nur der Konstruktion der Fluchtlinie R, da ja nach Früherem die Fluchtgerade den Kreis K in seinen Tag- und Nachtbogen zerfällt. Sie schneidet K in den Punkten c und d] K' ist daher eine Hyperbel, von der jedoch nur der dem Tagebogen entsprechende Ast gezeichnet ist. Die Ermittelung der Gegenachse R aus den vier Punkten 1, 1', s,, 0 ist eine bekannte Aufgabe der Zentralperspektive, die sich dadurch, daß man die Charakteristik oder den Modul der Kollineation zJ = (IT SjO) in ein einfaches Verhältnis verwandelt, leicht löst. (Vgl. z. B. das Lehrbuch der synthetischen Geometrie von Dr. Wenck pag. 142ff., sowie die folgende Aufgabe.)

In Fig 26 sind auch die Asymptoten der Hyperbel gezeichnet, die den Kreistangenten in den Durchschnittspunkten c und d mit der Gegenachse R kollinear entsprechen. Sie ergehen sich als Parallele durch y und d, die Schnittpunkte dieser Tangenten mit der Achse S, zu den Verbindungslinien der Punkte c und d mit 0. Die Winkelhalbierende des Scheitelraums der Asymptoten ist die Mittagslinie, in der auch der Fußpunkt des schattenwerfenden Stabes liegt.

Diese, nach der Meinung des Verfassers, völlig neue Durchführung der bekannten Fundamentalaufgahe der Gnomonik ist schon deswegen die natürlichste, wenn auch nicht einfachste Lösung derselben, weil sie den Projektions Vorgang, der ja de facto vorhanden ist, genau wiedergibt.

III. Nach Verlauf der Zeiten t und tt (in Bogenmaß) von dem Augenblicke der Kulmination an gerechnet, waren die betreffenden Höhen der Sonne = h° und 7i⁰'; welches ist die Deklination der Sonne d® und die geographische Breite des Beobachtungsortes (p?

Lösung.

Man verschaffe sich mit dem Gnomon 00, die zwei Schattenpunkte V, 2' zu den Zeiten t und t\ denen zentrisch-kollinear die zwei Punkte 1 und 2 im Sonnenparallel K entsprechen. Außerdem ist, da die Zeiten t und t' gegeben sind, auch die Lage der Mittagslinie bezüglich der zwei Sonnenörter 1 und 2 bekannt (Fig. 26). Auf ihr liegen nach der Umlegung in die Zeichnungsebene der Sonnenparallel K mit dem Mittelpunkt C und den Sonnenpositionen 1 und 2, das Gnomon 00x in seiner wahren Länge, wobei 0 als Kollineationszentrum erscheint. Plaziert man nun zunächst 0 auf der Nord-Südlinie willkürlich und zieht die Strahlen 10 und 20, so müssen die entsprechenden Punkte der Schattenkurve 1', 2' ebenfalls auf ihnen liegen; man erhält die Orte für sie, indem man von 0X die gemessenen Schattenlängen 0t lf und 0x2f auf den Projektionsstrahlen abträgt. Ein Punkt s₂ der Achse der Kollineation ist der Schnittpunkt der Verbindungslinien 1, 2 und V, 2'. S selbst repräsentiert sich als Lot auf der Mittagslinie. Auf einem beliebigen Strahl, z. B. F01, schneidet S einen entsprechenden Punkt (Sj) aus, der mit den drei ersteren ein konstantes Doppelverhältnis, den Modul oder die Charakteristik A = (0sx 1 P) der Kollineation, bildet. Hierdurch ist uns nun die Konstruktion der Gegenachse R ermöglicht, die uns die gesuchten Winkel qp und d® liefert. Um zunächst 4 als einfaches Verhältnis darzustellen, lege man durch das Kollineationszentrum 0 eine Parallele zur Achse S, nehme auf der letzteren einen willkürlichen Punkt n an und konstruiere aus n das Strahlenbüschel nO, nV, ns1} n 1. Diese Strahlen schneiden die Parallele zu S durch 0 so, daß auf dieser eine Punktreihe entsteht, welche mit der Punktreihe 01,s₁l in perspektiver Lage sich befindet, denn der Punkt 0 entspricht sich selber, dem Punkt V entspricht Ti', dem Punkte 1 der Punkt Ti und dem Punkte sx der unendlich ferne Punkt sx. Wir haben daher die gleichen Doppelverhältnisse

(OSjll¹) = (Osjch')

oder

01 _ 01'    _ <yk_    _    0V    _ 0k    k'sx

und weil

lSj ’ l's, ksw    ‘    k's^ 0k'    ks^

1,

Vs*

so ist

(0Slll')=§-4

also = dem Verhältnis der beiden Strecken Ok und Ok'. Die Konstruktion der Gegenachse łł ist nun folgende: Man lege durch k' eine Parallele zu 0Bj^B, verbinde also k' mit dem unendlich fernen Punkt des ersten Systems, so schneidet diese die Kollineationsachse in Z; die Verbindung von k mit l liefert im Schnitt mit dem Strahle 0BtB einen Punkt r der gesuchten Gegenachse B, die parallel zu S ist. Um nun hiermit cp und d® zu eruieren, bemerke man an Fig. 21, daß das Gnomon mit der Höhe 00, senkrecht auf den beiden Strahlen 0r und 0,s steht; mithin gibt es, in senkrechte Lage zu diesen zwei Strahlen gebracht, die Neigung dieser zwei parallelen Linien zur Horizontalebene = 90° — cp an. Man beschreibe daher über rs einen Halbkreis und trage von s aus die Länge des Gnomons auf der Peripherie desselben ab, wodurch man den Punkt m erhält (Fig. 26); dann ist    msr = cp. Ferner ist aus

Fig. 21 ersichtlich, daß z/OCV hei C recktwinklig ist, man also durch Verlängerung von rm (Fig. 26) im Schnitt mit dem in C errichteten Lote die Spitze 0 des Kegels erhält, worauf d® sich als Basiswinkel des Kegels OK ergibt. In Fig. 26 ist der durch die Fluchtlinie B abgeschnittene Tagebogen < 180°, daher die Deklination der Sonne hei positivem cp negativ zu nehmen oder umgekehrt.

IV. Gegeben die Polhühe <p eines Ortes und die Sonnendeklination cf®. Wie lange dauert dann die Besonnung einer vertikalen Wand, deren Spur W auf dem Horizonte zu irgendeiner festen Richtung (z. B. zur Kord-Südlinie) den Winkel ß

bildet?

Lösung.

Eine ungemein gründliche Diskussion dieser einfachen Frage findet sich in einer Schrift Adams: „Bruchstück aus der mathematischen Geographie mit besonderer Berücksichtigung einiger Beleuchtungsverhältnisse“, Wien 1885; eine rechnerische Lösung findet sich auch hei S. Günther: „Handbuch der math. Geogr.“ pag. 270 und 271. Um die Aufgabe auch zentralperspektivisch zu lösen, fassen wir ein Lot in der Wand, deren Höhe = 00, sei, als Gnomon auf, dessen Schattenenden dann auf einem Kegelschnitt K' liegen, der von der Spur W der Wand, als einer Sehne, durchschnitten wird. Diese teilt offenbar die Schattenkurve in zwei Teile, wovon einer eben jener Zeitdauer entspricht, während welcher die Wand beleuchtet wird, der andere aber die Dauer der Beschattung ebenderselben Seite repräsentiert. Den Schnittpunkten V und Je' von W mit K' entsprechen kollinear die Punkte l und Je auf K, wo die Zeit im Winkelmaß direkt abzulesen ist. Nennen wir den so gefundenen Winkel IC Je ^£6, so ist ~ die Dauer der täglichen Besonnung in Stunden (Fig. 28).

Zugleich ist aus der Lage des Winkels 6 zur Mittagslinie ersichtlich, welche Zeitdauer der Besonnung auf den Vormittag und welche auf den Nachmittag fällt. Da mit d₀ und cp auch der Tagebogen 2s₀ gegeben ist, so stellt sich die Dauer der Beschattung durch ——— Stunden für einen gegebenen Tag dar.

Die eigentliche Konstruktion beginnt nun damit, daß man zunächst für eine bestimmte Gnomonhöhe 00x bei gegebenem ö& und cp die Schattenlinie K' konstruiert. Zu dem Zweck wählt man den Radius des Kreises K beliebig mit dem Zentrum C auf der Mittagslinie; alsdann stellt man das rechtwinklige Dreieck C₀B₁ mit dem Basiswinkel des Kegels her; durch Abtragen von (p an 0C erhält man (Fig. 21) auf der Nord-Südrichtung r und damit die Gegenachse B, worauf sich, ganz wie in der vorhergehenden Aufgabe, mit Hilfe der Stablänge, oder in unserem Falle, der Mauerhöhe auch die Kollineationsachse S ergibt. Legt man endlich noch das Gnomon in die Zeichnungsebene um, so daß dessen Spitze nach 0₀ fällt, so läßt sich aus B, S und 0₀ auch die Charakteristik A der Kollineation ermitteln, indem man umgekehrt wie bei der vorhergehenden Aufgabe verfährt (wo aus A, 0₀ und S die Fluchtlinie bestimmt wurde), womit es dann ein leichtes ist, beliebig viele Punkte des Kegelschnitts, der in Fig. 28 eine Hyperbel ist, festzulegen. Jetzt erübrigt noch die Bestimmung der Geraden W, die als Kreissehne der Kegelschnittsehne W entspricht, was ebenfalls auf zentrisch - kolli-nearem Wege am besten geschieht; die Schnittpunkte von TV mit K, nämlich l und Je, liefern dann ohne weiteres den Winkel JCJe = <£ 6.

Man kann aber auch mit Hilfe der Doppelelemente (Steinersche Konstruktion) zuerst die Schnittpunkte V und h' von W mit R' ermitteln und diese dann von 0₀ aus auf K nach l und 1c projizieren.

Am Schlüsse des ersten Abschnitts wurde erwähnt, daß sich aus den fünf Stücken cp, d, s, h und co zehn Aufgaben bilden lassen, derart, daß immer drei Elemente gegeben und die übrigen zwei gesucht sind. Diese Aufgaben gestatten ebenfalls Lösungen mittelst der reinen Zentralperspektive. Wir geben hiervon ein Beispiel in der Aufgabe:

V. Gegeben cp, ó und s; gesucht h und co.

Lösung.

Man konstruiert wieder, wie in Nr. 1Y aus d@ und cp, sowie der Höhe des Gnomons 00t die Schattenkurve K'. Das Azimut co ist nun identisch mit der Neigung der Spur der vertikalen Wand W zur Mittagslinie, d. h. co = ß. Trägt man jetzt im Kreise Ar in C den Stundenwinkel s an die Mittagslinie an, so erhält man auf dessen Peripherie den Punkt l, dem im Kegelschnitt zentrisch-kollinear der Punkt V entspricht. Dieser, mit dem Fußpunkte 0X des Gnomons verbunden (Fig. 28), liefert die Gerade W, welche eben die Nord-Südrichtung unter dem gesuchten Azimut co schneidet. Den augenblicklichen Höhenwinkel h liefert uns stets das rechtwinklige Dreieck: Gnomon 00₁₇ Schattenlänge 0^' und Sonnenstrahl 0V (vgl. auch Fig. 24).

VI. Gegeben cp, cf nnd co; gesucht h und s.

Hier gestaltet sich die Lösung ganz ähnlich wie in Aufgabe V und ist mit Fig. 28 ohne weiteres gegeben.

Zum Schlüsse geben wir noch eine rein geometrische Auflösung der berühmten Douwesschen Aufgabe, die bekanntlich in der Nautik eine wichtige Rolle spielt. Sie lautet:

VII. Man kennt die Deklination der Sonne d@; gemessen wurden zwei Sonnenhöhen h und h', wobei die Zwischenzeit der Beobachtungen t'— t bekannt ist; welches ist die geographische Breite (p des Beobachtungsortes?

Lösung.

Obwohl die Aufgabe trigonometrisch ohne die geringsten Schwierigkeiten gelöst werden kann, so haben sich doch um die analytische Ausgestaltung eine Reihe von Mathematikern und Astronomen, so v. Littrow, Ligowski, Weyer, Matern u. a. bemüht. Zur See begnügt man sich in der Regel mit einer angenäherten Lösung. Über den Stand der ganzen Frage orientiert in trefflicher Weise das Handbuch der mathematischen

Geographie von S. Günther pag. 547 ff, woselbst auch die strenge Lösung von Matern gegeben ist, die jedoch immerhin das Aufschlagen von 13 Logarithmen erfordert. Zur rein geometrischen Behandlung wird man am zweckmäßigsten vermittelst eines Gnomons der Höhe 00, sich zwei Schattenpunkte 27/ und 27/ (Fig. 21) verschaffen, die den zwei Sonnenpositionen

öö^

0/Ę⁷’

Verzeichnet man jetzt einen geraden Kreis-

2?j und 27₂ der Höhen h und bl entsprechen ^Tang h = Tang bl —

00,

0i2V

A'),

kegel von beliebiger Höhe, doch mit dem gegebenen Basiswinkel d®, so sind sofort die zwei schraffierten Dreiecke 27,27/27," und 27₂27/27/' bekannt, denn es ist <)C 27/27,27/'= ebenso 27/27,27/' = <£ d® und 27,27/ = 027, - 027/; 27₂27/ = 027₂ — 027,', also auch 27/27," = 27,27/ • Tang d®, 27/27/'=27₂27/-Tang d®, während die Neigung dieser zwei Dreiecke = arc 27,27₂ = der Zwischenzeit V — t der beiden Beobachtungen ist. Mit Berücksichtigung all dieses läßt sich jetzt der Inhalt der Douwesschen Aufgabe geometrisch dahin präzisieren: Man kennt die Lage zweier Punkte des Raumes in Grund- und Aufriß (27,", 27/' und 27 die Raumpunkte bilden mit dem Fußpunkt 0 eines Stabes der Höhe 00, ein gegebenes Dreieck 0,27/27. außerdem ist durch C und 0 Grund- und Aufriß der

Spitze des Gnomons, resp. Kegels in bezug auf die Ebene des Sonnenparallels (Äquatorialebene) gegeben;

gesucht ist die Neigung =90°— qp der Ebene ĄGĄ zur Ebene    (Horizontalebene), wenn außerdem

00₁ auf 2JL'0t2Jj senkrecht steht.

Zum Zweck der Darstellung wählen wir jetzt die Bezeichnungen der darstellenden Geometrie, wie sie in Fig. 29, welche die stereometrische Lösung des Problems enthält, sich finden. Es ist also jetzt = ax\ 2J₂" = b₁ ; C = cx; 27/ = a₂ ; 27/ = &₂; 0j= d\ 0 = c. Wäre nun der Punkt d im Raume bekannt, so ließe sich damit die Spur der Ebene a₂b₂d auf axbxcx ermitteln, was aber nach Fig. 21 die Kollineationsachse S ist, die senkrecht auf der Mittagslinie steht. Nun liegt d aber einerseits auf einer zu a₂b₂ senkrechten Kreislinie K, deren Mittelpunkt der Fußpunkt der zu a₂b₂ gehörigen Dreieckshöhe und deren Halbmesser gleich der Länge dieser Höhe ist; anderseits liegt d aber auch auf einer Kugel fläche mit dem Mittelpunkte c und einem Halbmesser gleich dem Abstande der Punkte c und d.

Zur weiteren Ausführung wählt man die Aufrißebene am besten parallel a₂b₂ und verschiebe die Grundrißebene um den senkrechten Abstand axa₂, so daß sie, statt durch C (Fig. 21), jetzt durch a₂ geht; hierdurch wird der Grundriß von c nach cx gelegt, und es ist jetzt der vertikale Abstand ccx =cC—axa₂. Jetzt konstruiere man im Aufriß das Dreieck a₂db₂ gleich dem gegebenen Dreieck Ux0xIJ₂. Die durch d zu a₂b₂ geführte Senkrechte V₂ (Figg. 29 und 30) stellt dann die Aufrißspur der Kreisebene K dar, in welcher d liegen muß. Eine Kugel um c als Mittelpunkt mit dem gegebenen Abstande cd als Halbmesser liefert in der Ebene V₂ eine Kreislinie N, welche den Punkt d gleichfalls enthält. Durch Umlegung der Ebene V₂ um ihre Grundrißspur Ux, welche senkrecht auf a₁b₁ stehen muß, ergibt sich zunächst der Kreis K₃ mit dem Mittelpunkt e3 und dem Radius e₃d' = e₂d, ferner die Kreislinie N.ä mit f3 als Mittelpunkt und f₃g₃ = cd als Halbmesser. K₃ und N3 liefern nun zwei Schnittpunkte d₃ und d₃, denen in Grund-und Aufriß dlf d₂, bzw. <i/, d₂ entsprechen. Damit sind aber auch zwei Dreiecksebenen im Raume möglich, deren Spuren Si und auf der Horizontalebene (Äquatorialebene) in bekannter Weise ermittelt sind. Jetzt ist es leicht, die Neigungen dieser zwei Dreiecksebenen darzustellen: Ein vertikaler Schnitt z. B. durch b₂ (Fig. 21), der auch auf S senkrecht steht, liefert uns ein rechtwinkliges Dreieck \b₂b₃ oder in Fig. 21: 2t' 2^' 2^'', dessen spitze Winkel eben 90° — qp und qp sind. Da die Konstruktion zwei Spuren St und liefert, mithin die Aufgabe quadratisch ist, so erhalten wir als Lösung zwei Werte für die geographische Breite des Beobachtungsortes, nämlich qpx und qp₂ (Fig. 28).

Dies, wie wir glauben, eine erste graphische Auflösung der Aufgabe von Douwes.¹³) Doch ist zu derselben zu bemerken, daß sie nicht mit zwei sehr benachbarten Schattenpunkten und bv resp. 2t und 2₂, welche den zwei Sonnenpositionen beim „Bestecknehmen“ entsprächen, durchgeführt ist, da es, wie schon gesagt, nicht Zweck der Konstruktion sein kann, mit der Rechnung zu konkurrieren.

Anmerkungen und Zusätze.

1.    Eine rühmliche Ausnahme machen vor allen die Werke von R. Wolf, so sein Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Literatur, 1891 — 93, und das Handbuch der mathematischen Geographie von S. Günther, 1890, auch in E. Hammers Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie begegnet man schätzbaren historischen Notizen.

2.    Die Eintragung der Quibla ist eine Aufgabe der sphärischen Trigonometrie, die auch bei den Arabern rechnerisch bewerkstelligt wurde. Unter der Voraussetzung, daß die Polhöhe des fraglichen Ortes = qp₂ und diejenige von Mekka = qpt, sowie die Längendifferenz X₂ — ^ der beiden Orte gegeben ist, findet sich der gesuchte Winkel x, den die Quibla zum Meridian bildet

—    es war also zuerst die Bestimmung der Mittagslinie nötig

—    leicht mittels des Cotangentensatzes

cos (A₂ — Ax) • sin qp₂ = Tang qpx • cos qp₂ — sin (1₂ — 2X) • cotg x

cotang x

Tang qp, • cos — cos (1₂ — Äx) • sin qp₂

sin (2,a — Ä )

3.    Wohl zum erstenmal von William Oughtred mit Hilfe der Orthogonalprojektion; er sagt, daß er diesen Beweis auf Veranlassung von C. Cavendish, 1632, erdacht habe. (Vgl. v. Braunmühl a. a. O. II. Bd. pag. 42 ff.)

4.    Dieses einfache geometrische Raisonnement von De la Hire hält Delambre für nicht genügend beweiskräftig, sondern nimmt in seiner Histoire de l’astronomie du moyen âge pag. 634 ff. Veranlassung, durch ausgedehnte Rechnungen das zu erhärten, was uns die Geometrie in diesem Falle so einfach gibt. Hierdurch wurde Chasles (a. a. O., pag. 652 Anmerkung) zu einer Bemerkung veranlaßt, die durchaus nicht auf Delambre zielt, „sondern“, heißt es dort, „unsere Bemerkung gehört wesentlich zu dem Geiste, der bei Verfassung unseres Werkes vorgeherrscht hat, weil sie einerseits ein handgreifliches Beispiel von den Vorteilen liefert, welche häufig der geometrische Weg oder das einfache Raisonnement vor dem Kalkül hat und weil sie außerdem die Richtung zeigt, welchen die mathematischen Studien genommen haben, daß man nämlich klare und überzeugende Beweise von einer geometrischen Wahrheit und die „démonstration en forme“ nur in der Verifikation durch den algebraischen Kalkül findet. Diese neue Richtung ist der entgegengesetzt, welche zu allen Zeiten war: bei den Griechen, wo die Geometrie wegen der Strenge ihrer Beweise berühmt war; bei den Indern und Arabern, welche sich durch einen geometrischen Beweis Rechenschaft von den Resultaten der Algebra ablegten; bei den neueren bis zum letzten Jahrhundert, wo Newton und Maclaurin den Kalkül nur ungern und nur dann anwandten, wenn er unvermeidlich war.

Welches ist die Ursache dieser ausschließlichen Richtung der mathematischen Studien? Welches war ihr Einfluß auf den Charakter und die Fortschritte der Wissenschaft? Wir wollen nicht versuchen, auf diese Fragen zu antworten, über die man nicht leicht einstimmig sein dürfte. Welche aber auch die Meinungen in bezug hierauf sein mögen, so wird man wenigstens nicht in Abrede stellen, daß es nützlich wäre, wenn die alte Methode, die bis zum letzten Jahrhundert befolgt wurde, weiter angeregt und neben der

neuen ausgebildet würde.“ So Chasles, mit dessen Ansichten also unsere Ausführungen im Vorwort vollständig übereinstimmen.

5. Hier sei die Konstruktion von Monge wenigstens angedeutet.

Im Meridian ziehe man den Durchmesser des Horizontkreises JBC und c°, tiefer den Dämmerungskreis bb'. Hierauf verbinde man A mit V und lege in V die Tangente, welche dem Lote in A auf BC in d begegnet, mache ferner Af = b'd, verlängere die Weltachse PPr und mache noch efJ_Ad und dll.de. Durch l geht nun parallel zum Äquator, d. h. senkrecht auf PPV der gesuchte Deklinationskreis der Sonne am Tage der kürzesten Dämmerung. Der Beweis ist in Kürze folgender:

Ab'= 1; Af=b'd=c,ot%C] Ad = cosec c; fd = (1 — cos c) • cosec c; cf = cotg c • cotg <jp; dm = cos² c ■ cosec c; Km = sin c • cotang <p; AK — ferner: A efd ~ A Imd ; also ef : fd — dm : Im

<?

/A

b'

Pyj

pi

ei.

sin c sin qpi

Im =

cos c (1 — cos c)

sin c

. tang (p

Kl — Km + Im =

sin c ■ cos cp

cos c (1 — cos c) ■ sin qp

sin qp

sin c ■ cos cp

sin cp ■ cos qp • sin c

[sin² c — sin² cp (1 — cos c)]

Kg = Kl • cos cp — sin d == A g = AK— Kg

sin cp ■ sin c

[sin² c — sin² cp (1 — cos (p)]    >

¹ [sin² c — sin² c

+ sin² cp — sin² cp • cos c]

sin cp ■ sin c

2 • sin* qp • sin*

te

— — sin cp ■ tang ,

2 ■ sin qp • sin — • cos —

^22

d. i. die bekannte Relation der kürzesten Dämmerung.

6.    Auf den Trabanten der größeren Planeten dauern die Auf- und Untergänge des Hauptkörpers, falls der Trabant rotiert, oft wohl ganz beträchtliche Zeiten. — Man könnte schließlich auch auf der Erde von der Dauer des Auf- und Unterganges derjenigen Planeten sprechen, die sich uns in der Erdnähe als deutliche Scheibchen präsentieren (Venus und Jupiter). Allein die Extinktion des Lichtes durch die Erdatmosphäre ist am Horizonte so bedeutend — in viel höherem Grade muß dies bei der dichten Jupiteratmosphäre der Fall sein —, daß ein deutlicher Untergang der immerhin lichtschwachen Planeten kaum sichtbar ist. Schilderungen von Auf- und Untergangsphänomenen der Venus in den Tropen, wonach sie den Reisenden wie eine Fackel hinter dem Walde oder einem Berge hervorleuchtete, so daß man an einen Brand denken könnte, scheinen dem Schreiber dieses entschieden übertrieben.

Es

7.    Es ist nicht schwer, die Bedingungen für das Zustandekommen einer Hyperbel, Parabel oder Ellipse als Schatten-

B k'

y'

q linie aufzustellen. Die Sonne \ geht auf und unter, wenn \    (s. d. Fig.)

B.

_d + cp < 90° (Hyperbel),

sie berührt in der unteren Kulmination den Horizont,

wenn

zont, wenn

d -f cp = 90° (Parabel); sie ist immer über dem Hori-

d -f cp > 90° (Ellipse)

ist. Dies ist dasselbe Resultat, welches die Lehrbücher der Gnomonik in umständlicher Weise aus der Gleichung der Schattenlinie deduzieren. (Vgl. z. B. R. Wolf: Handbuch d. Mathematik, Physik, Geodäsie u. Astronomie, IL Bd. S. 84 und R. Sonndorfer: Theorie u. Konstruktion d. Sonnenuhren S. 59.)

Hieraus ist ersichtlich, daß dieselbe in der heißen und gemäßigten Zone stets eine Hyperbel und auch jenseits des Polarkreises nur dann eine Ellipse wird, wenn die Sonne einen

demselben zugewandten Parallel durchläuft, während die Parabel zwischen Pol und Polarkreis hin- und herwandert. Da die Ellipse sich unmittelbar an die Parabel anschließt, so wird sie im allgemeinen sehr langgestreckt sein.

8.    Diese Fehler werden von Delambre: Histoire de l’astronomie ancienne tome II pag. 476—482 genau festgestellt durch Berechnung ausführlicher Tabellen und für so klein gefunden, daß sie für die Praxis kaum in Betracht kommen: „Ainsi, à 50° de latitude, l’erreur ne va pas à une minute de tems équinoxial, elle serait beaucoup moindre à 40° et surtout à 30°, qui était à peu près la latitude d’Alexandrie.“

9.    Auffallend ist, daß man bei Delambre vergeblich nach Aufschluß über die wahre Natur der Stundenlinie sucht, sondern darüber (pag. 476) nur die Worte findet: „Voyons maintenant, s’il est vrai que les lignes des heures temporaires sont toujours des lignes droites, ou, ce qui revient au même, si les courbes horaires sur la sphère sont toujours des arcs du grand cercle, ainsi que tous les auteurs le supposent tacitement.

Commandin et Clavius ont essayé de démontrer qu’en effet les arcs horaires appartiennent à des grands cercles. Montucla a dit, et Lalande a répété d’après lui, que les lignes horaires sont des courbes assez bizarres, et qu’on ne peut décrire exactement qu’en déterminant un grand nombre de points.“

10.    Auch analytisch läßt sich die Gleichung der Stundenlinien, als der Schnitte des „Stundenkegels“ mit der Horizontebene, leicht entwickeln. Zu dem Zweck sei in Fig. 18 das Koordinatensystem folgendermaßen orientiert: Die XX-Ebene falle mit dem Horizont HH₁ zusammen, so daß MHt die positive X-Achse sei, während MZ die X-Achse repräsentiert. Die Koordinaten der Stabspitze 0 sind dann æ₀= 0; y₀= 0; zQ=h. Für die Gleichung der Geraden PP1; d. i. der Weltachse, liest man, wenn

I)

x\*+ 2/i²+ z\ = jene der Himmelskugel ist, unmittelbar aus der Figur dann ab:

oder

= xy • Tang cp

— xl sin cp -f • cos cp ===== 0;

was in Verbindung mit?/₁ = 0 zugleich die Gleichung des Meridians darstellt. Versteht man aber unter m einen variablen Parameter, so wird das Ebenenbündel der Stundenkreise durch

H)

m • y₁ + xx • Tang cp — zx = 0

dargestellt, wo sich für m nach bekannten Formeln der Raumgeometrie, falls 6 der Stundenwinkel ist, aus

COS 6 =

j/l-(Tang⁸<)p+m²+l)    ]/Tangsgp + w² +1

cos cp ■ Tang e

ergibt. Ferner sind die Gleichungen einer Geraden durch Stundenkreis und Stabspitze:

s = h±i^-

l + l

I), II) und III) entsteht

III).

J 1 + 1

Durch Elimination von X, xx, yx, zx aus die Gleichung des Kegels:

h²x² + h²y²-\- h²(my + zTa,ngcp)²=r²{my + xTsmgcp — z -\-h)² IV).

Der Schnitt des Stundenkegels mit der Horizontalebene liefert nun eben die Gleichung der gesuchten Stundenlinien. Zu dem Zweck setzt man in IV) z — 0 und findet:

x² (h² — r² Tang² cp + h² Tang² cp) + y² (h² + h²m² — r²m²)

+ 2 x-y (imh² Tang cp — mr² Tang cp) — 2mhr²y

V).

— 2hTangcpr²x — h²r²— 0.....

Soll diese mit der allgemeinen Kegelschnittsgleichung anx² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0 übereinstimmen, so muß

alx = h² — r² Tang² cp + h² Tang² cp a₂₂ ⁼    — r²w²

a₁₂ = mh²Tangcp — mr²Tangqp sein. Die Determinante aus diesen Koeffizienten, nämlich

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ist dann > 0, wann die Kurve V) eine Hyperbel darstellt, ln der Tat wird nach einigen Ausrechnungen und Vereinfachungen:

A = a₁₂² — an ■ a₂₂ = h² {(r² — h²) ([m² 4- Tang² cp) — h²\ ■ ■ ■ VI),

womit bewiesen ist, daß die Stundenlinien im allgemeinen immer Hyperbeln sind, da ja h gegen r (Radius der Himmelskugel) sehr klein, somit r² — h² sehr groß ist und m² + Tang²qp stets eine positive Größe bleibt.

11.    Die rein graphische Lösung Mollweides ist folgende (Figg. 22 und 23): Es seien ACa, A'Ca' und A"Ca" die in die Horizontalebene fallenden Durchmesser der drei Vertikalkreise der Sonne. Man beschreibe aus dem gemeinschaftlichen Durchschnitt derselben G mit beliebigem Halbmesser den Kreis AA'aa' und gebe den Bogen AB, A!B', A"B" so viele Grade als den gegebenen Höhen der Sonne h, h', h" zukommen. Von den Punkten B, B', B" fälle man auf die Durchmesser ACa, A'Ca' A"Ca" die Perpendikel BD, B’B', B"JD" und verbinde D mit B', sowie B' mit B", mache durch B' die B'E und B'E' den BB und B" B" parallel und der B'B' gleich, ziehe EB und E'B", welche den Linien BB' und B'B" in den Punkten F und F" begegnen, so ist FF' der Ost-Westrichtung parallel, so daß ein Perpendikel auf FF' die verlangte Nord-Südrichtung gibt.

12.    Falls die drei Stundenlinien nicht drei aufeinanderfolgende (z. B. I, II, III), sondern drei beliebige sind (z. B. I, III, IV), verallgemeinert sich die Aufgabe dahin, zwei beliebige kollineare Dreiecke in zentrische Lage zu bringen. Eine einfache Lösung hierfür ist folgende: Sind a, b, c und a'b'c’ (Figg. 27a und 27b) die beiden Dreiecke, so zeichnet man zunächst ein dem Dreieck a’b'c’ ähnliches Dreieck a'b" c" (Fig. 27a) und legt die beiden Dreiecke abc und a'b"c' mit einer gemeinsamen Ecke aneinander (Fig. 27b), was auf unendlich viele Arten geschehen kann; in jeder Lage sind

• die beiden Dreiecke abc und ab"c" zentrisch-kollinear mit einem Zentrum 0'. Trägt man nun auf ac" von a aus die Strecke ac'" = a' c' (Fig. 27b) ab, so liefert die Parallele zu 0'a durch c'" auf 0'c den Punkt c' und damit eine Ecke des schraffierten Dreiecks a'b'c¹, dessen Ecken auf denVerbindungs-

linien 0' a, 0'b und 0'c liegen und dessen Seiten zu jenen des Dreiecks ab"c" parallel laufen. Die Dreiecke abc und a'b'c' liegen nun ebenfalls zentrisch-kollinear mit 0r als Zentrum. S ist die Achse der Kollineation. Die Zentren 0' liegen, wenn das Dreieck ac"b" um a in der Ebene abc gedreht wird, auf einer Kurve vierter Ordnung, welche also die unendlich vielen Lösungen der Aufgabe repräsentiert. Diese Ortskurve ist von Herrn Prof. F. Kölmel, Baden-Baden, eingehend untersucht worden, und seine diesbezügliche Abhandlung wird demnächst im „Archiv der Mathematik und Physik “ erscheinen.

13. Die Methode von Capitain Sumner, den Ort eines Schiffes vermittelst des Durchschnittspunktes zweier projizierter Höhenparallele — Linien gleicher Höhen — zu finden, die für den Nautiker deshalb so praktisch ist, weil jede Beobachtung sofort mit Erfolg verwendbar ist, hat durch Navigationslehrer Preuß zu Elsfleth nach der geometrischen Seite hin eine sehr gründliche und interessante Förderung erfahren in seiner Abhandlung: „Homographische Nautik“ (Annalen der Hydrographie und maritimen Meteorologie, 4. Jahrg. 1876 s. pag. 387 — 393, 431—438; 478—484). Die Betrachtung der Höhenkurven geschieht unter Verwendung der stereographischen Polarprojektion und der Projektion Mercators. Eine analytische Studie über denselben Gegenstand, unter Verwendung der Hyperbelfunktionen, findet sich bei Yvon Villarceau: „Nouvelle Navigation Astronomique“, Paris 1877, pag. 43—84, einem ganz eigenartigen und sehr bemerkenswerten Buche.

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