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Vorträge über

BRÜCKENBAU

gehalten an den technischen Hochschulen in Frag, Wien und Berlin von

Dr. E. Winkler

Professor für Statik der Baukonstruktionen und Brückenbau an der königl. technischen Hochschule

in Berlin.

Theorie der Brücken.

I. Heft.

A e u s s e г e К r ä f t e d e г В а 1 к ent r ä g e г.

Dritte Auflage.

WIEN.

Druck und Verlag von Carl Gerold’s Sohn.

THEORIE DER BRÜCKEN.

Aeussere Kräfte der Balkenträger

von

Dr. E. Winkler.

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Dritte Au fl а g é.

Mit 256 Holzschnitten und 6 lithographirten Tafeln.

Das Recht der Uebcrsetzung in fremde Sprachen ist Vorbehalten.

WIEN.

Druck und Verlag von Carl Gerold’s Sohn.

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Holzschnitte aus der xylographischen Anstalt von C. Wlczek in Wien.

Lithogr. Tafeln aus der lithographischen Anstalt von C. Koke in Wien und der artistischen Anstalt von ß. v. Wald heim in Wien.

Akc. Nr. ..............

Vorwort.

Das vorliegende Werk behandelt insbesondere die „Theorie der äusseren Kräfte der Balkenträger“, also die Bestimmung der von einer gegebenen Belastung erzeugten Reaktionen, Transversalkräfte und Momente, durch welche die inneren Kräfte oder die Beanspruchung eines Balkenträgers bestimmt sind und im Anschlüsse hieran die Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise. Es behandelt somit einen Haupttheil der „Statik der Baukonstruktionen“, insbesondere der „Theorie der Brücken“.

Die vorliegende dritte Auflage lässt gegenüber der vor dreizehn Jahren erschienenen ersten Auflage und der zwei Jahre später folgenden zweiten Auflage wesentliche Aenderungen, und wie ich hoffe, dem Fortschritte der Wissenschaft entsprechende Verbesserungen erkennen.

Obwohl der Titel „Theorie der Brücken“ der früheren Auflagen belassen ist, habe ich doch eine solche Behandlung gewählt, welche nicht nur eine Anwendung auf Brücken, sondern auch auf andere Baukonstruktionen gestattet, um das Werk meinen jetzigen Vorlesungen an der technischen Hochschule in Berlin, in denen ich die „Theorie der Brücken“ nicht gesondert, sondern eingeflochten in den Vortrag über allgemeine „Statik der Baukonstruktionen“ zum Vortrag bringe, mehr anzupassen, während die beiden ersten Auflagen durch meine Thätigkeit an der technischen Hochschule in Wien entstand, an welcher die Vorträge über die Statik der Baukonstruktionen nicht von mir gehalten wurden.

Ausserdem sind gegenüber den früheren Auflagen besonders die folgenden Aenderungen durchgeführt: 1. Vollständigere Besprechung der Eintheilung der Träger. 2. Einschaltung eines Kapitels über die Methode der Einflusslinien im Allgemeinen, da diese Methode die Anschauung, namentlich für die Bestimmung der ungünstigsten Belastung, wesentlich unterstützt. 3. Weitergehende Anwendung dieser Methode bei den einzelnen Aufgaben, auch beim kontinuirlichen Träger. 4. Ergänzungen in der Behandlung der einfachen oder Einzelträger. 5. Grafische Behandlung der kontinuirlichen Gelenkträger. 6. Berücksichtigung der Formänderung

durch die Schubspannungen bei der allgemeinen Behandlung der kon-tinuirlichen Träger. 7. Gleichzeitige Behandlung der kontinuirlichen Träger mit konstantem und veränderlichem Querschnitte statt der getrennten Behandlung in den früheren Auflagen, wodurch an Baum gewonnen wurde. 8. Einschaltung der Theorie der kontinuirlichen Träger mit veränderlicher Höhe der Stützen und zwar der Träger mit elastischen Stützen und mit Stützen, welche durch ein Stabpölygon (Hänge- oder Sprengwerk) gegeben sind, in beiden Fällen einschliesslich einer kontinuirlichen Unterstützung. 9. Einschaltung eines Kapitels über die Formänderung (Durchbiegung) der Balkenträger. 10. Hinzufügung eines Kapitels über die Bestimmung der einem Systeme von Einzellasten entsprechenden gleichmässigen Belastung. 11. Einflechtung von kurzen geschichtlichen Notizen.

Durch diese nicht unwesentliche Umgestaltung ist die Anzahl der in den Text eingedruckten Figuren auf das Doppelte erhöht worden.

Der grössere Theil des Werkes bezieht sich auf die kontinuirlichen Träger. Obwohl dieselben in neuerer Zeit an Bedeutung, hinsichtlich der Verwendung als Hauptträger der Brücken, verloren haben, so werden dieselben doch hinsichtlich der Verwendung zu mannigfachen Zwecken, auch im Hochbau, immer eine gewisse Bedeutuug behalten, welche eine Behandlung in den Vorträgen rechtfertigt.

Möge denn auch dieser neuen Auflage eine gleich günstige Aufnahme, wie den früheren, zu Theil werden.

Berlin, Oktober 1885.

E. Winkler.

Einleitung

INHALT.

I. Kap. Belastung der Konstruktionen

II.    n Eintheilung der Träger

III.    я Methode der Einflusslinien .

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I. Abschnitt.

Die äusseren Kräfte der Balkenträger . .

40

A. Statisch bestimmte Träger.

IV. Kap. Ständige Belastung.....

a) Einfache Träger .... ft) Ueberhängende Träger .

V. n Verkehrsbelastung......

а) Einfache Träger .    .    .    .

ft) Ueberhängende Träger .

41

41

48

53

53

81

B. Kontinuirliche Träger.

VI. Kap. Allgemeine analytische Behandlung.......

VII. » Belastung eines einzelnen Feldes........

VIII. » Belastung durch Einzellasten.........

a) Eine einzige Einzellast.........

ft) System von Einzellasten........

IX.    я    Gleichmässige Belastung...........

X. я Einfluss der Stützen............

XI.    я    Verbindung des Balkenträgers mit dem Stabpolygon

XII.    я    Träger mit einer Oeffnung .    ........

XIII.    я    Träger mit zwei Feldern ...........

XIV.    я    Träger mit drei Feldern...........

XV.    я    Träger mit vier Feldern........

XVI. я Träger mit unendlich vielen Feldern.......

XVII.    я    Grafische Behandlung der koutinuirlichen Träger .    .    .

XVIII.    я    Grafische Behandlung bestimmter Belastungsweisen.

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116

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211

217

237

. 262

273

. 282

302

C. Formänderung der Balkenträger.

XIX. Kap. Formänderung der Balkenträger

313

XX. Kap. Anhang. Ersatz eines Systèmes von Einzellasten durch eine gleichmässige Belastung

Berichtigungen.

I. (vorliegendes) Heft.

Seite 50, Zeile 17 von oben : §. 33 statt §. 32. „    115, zu Formel 42 ist hinzuzufügen:

12V

Ж"

zu Formel 43 ist hinzuzufügen:

12 V

n 118, Zeile 22 von unten: — statt n 122, n 14    „

„Für unendlich viele gleiche Felder“ statt „Für unendlich viele Felder“, я 137, erste und zweite der Formeln 24: 1 4- v statt l-\-v. я 182, Zeile 1 von unten, Formel 30: e n 189, Formel 18a: ZA, statt ZA.

n 283, Zeile 4 von oben: M

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II. Heft, II. Auflage.

Seite 98, Zeile 6 von oben: II statt B.

n 102. Nach Zeile 11 von oben ist einzuschalten: „mit der Richtung und Kraft Qu. r, 126, erste der Formeln 36, letzter Faktor: d statt d »    172, Tabelle, Rubrik 4: аг statt ß.t.

statt

177, Formel 120:

196,    Formel 139: q statt g.

197,    Formel 140: q statt g.

198,    Formel 143: in beiden Ausdrücken fehlt der Faktor ZJ.

279, Formeln lia: q statt r.

290, Zeile 8 von oben: „auf den Gurt“ statt „den Gurt“; Zeile 1 von unten: „gesammten“ statt ^gespannten“.

306,    Zeile 15 von unten: 47 statt 45.

307,    Zeile 5 von oben und Zeile 13 von unten: 49 statt 47; Zeile 7 von unten:

45 statt 44 a.

EINLEITUNG.

§• 1. Aufgabe der Statik der Baukonstruktionen. Die

Statik der Baukonstruktionen hat die Aufgabe, aus den Grundsätzen der allgemeinen Mechanik Regeln für diejenige Anordnung eines Bauwerkes abzuleiten, welche demselben einen hinreichenden Widerstand gegen die einwirkenden äusseren Kräfte sichert, natürlich unter Einhaltung einer Reihe von anderweiten Bedingungen nicht mechanischer Natur, wie Minimum der Kosten, Raumbedürfniss, Schönheit u. s. w. Obwohl zur Beurtheilung von Baukonstruktionen nicht nur die Statik, sondern auch die Dynamik in Betracht kommt, so ist dennoch wohl der Name »Statik der Baukonstruktionen« gerechtfertigt, weil dabei doch die Statik die weitaus vorwiegende Rolle spielt, freilich theilweise deshalb, weil die in Betracht kommenden dynamischen Aufgaben oft unüberwindliche Schwierigkeiten bieten.

Die Theorie der Brücken ist eine spezielle Anwendung der Statik der Baukonstruktionen auf Brücken.

Eine bestimmte Begrenzung der »Statik der Baukonstruktionen« in dem grossen Gebiete der Mechanik lässt sich allerdings nicht leicht vornehmen. Es würde recht wohl möglich sein, die allgemeine Mechanik so speziell zu lehren, dass ein besonderer Unterricht in der Statik der Baukonstruktionen entfallen kann. Bei dem heutigen Umfange des hierbei zu bewältigenden Gebietes würde dies aber aus verschiedenen Gründen nicht zweckmässig sein. Zunächst wird man jedenfalls von der allgemeinen Mechanik die Festigkeitslehre entweder in ihrem ganzen Umfange oder nur in den speziell auf Baukonstruktionen angewendeten Theilen abtrennen; hierzu gehören dann bereits auch Steinkonstruktionen, wie Mauern, Pfeiler und Gewölbe. Zur Berechnung der Futtermauern, wohl auch der Gewölbe ist die Kenntniss des Erddruckes erforderlich, dessen Theorie man ebenfalls als einen speziellen Theil der Statik der Baukonstruktionen ansehen kann. Wenn man die allgemeine

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Festigkeitslehre, wie dies im vorliegenden Werke geschehen soll, als bekannt ansieht, so würden als Theile der Statik der Baukonstruktionen verbleiben:

1.    Theorie der ebenen vollwandigen und gegliederten Träger.

2.    Theorie der räumlichen vollwandigen und gegliederten Träger.

3.    Theorie des Erddruckes.

4.    Theorie der Steinkonstruktionen, wie Mauer, Pfeiler und Gewölbe.

Anmerkung. Statt der Bezeichnung «Statik der Baukonstruktionen« sind vielfach andere Bezeichnungen für denselben Gegenstand in Gebrauch. Westphal nannte die deutsche Uebersetzung des bezüglichen französischen Werkes «Mécanique appliquée etc.« von Navier: Mechanik der Baukunst. Eitter, Professor an der technischen Hochschule in Achen, hat für sein bezügliches Werk das Wort: Ingenieurmechanik gebraucht. An den österreichischen technischen Hochschulen ist das Wort Baumechanik üblich. An der Bauakademie in Berlin war früher die Bezeichnung Mathematische Baukonstruktion üblich. Auch der Name Baustatik ist neuerdings aufgetaucht.

§. 2. Methoden. Die statische Untersuchung einer Konstruktion lässt sich entweder durch Bechnung oder auf grafischem Wege, d. h. durch geometrische Konstruktion, oder endlich durch eine aus beiden Methoden kombinirte Methode führen. Für die Entwicklung der zu dieser Untersuchung nöthigen Regeln können alle Theile der Mathematik in Anwendung kommen. Hauptsächlich unterscheidet man die Anwendung der Algebra im allgemeinsten Sinne des Wortes, auch die analytische Methode genannt, und die Anwendung der Geometrie; auch eine kombinirfce Methode ist denkbar. Die Ergebnisse der analytischen Methoden sind hauptsächlich Formeln, welche entweder durch Rechnung oder durch Uebersetzung in geometrische Konstruktionen zur Verwendung kommen, während die Ergebnisse der geometrischen Untersuchung in der Regel nur auf grafischem Wege verwerthet werden. Die Zusammenfassung der geometrischen Untersuchungsmethode wurde von Culmann «grafische Statik« genannt; Reuleaux wendete statt dessen”den Namen Graphostatik an.||

Anmerkung. Keine der^Methoden® lässt* sich ;in allen Fällen der anderen vorziehen; in einzelnen Fällen führt diese, in anderen jene einfacher, schneller oder belehrender zum Ziele, oder bietet sonst einen Vortheil gegen die andere, so dass es gerathen erscheint, im Vortrage keine der Methoden grundsätzlich auszuschliessen. Für gewisse Untersuchungen hat überhaupt die geometrische Methode bis jetzt keine Ausbildung erfahren. Wir werden öfters Gelegenheit haben, auf die Vorzüge der einen oder anderen Methode aufmerksam zu machen.

§. 3. Geschichtlicher Ueberblick. In dem folgenden geschichtlichen Ueberblicke haben wir die Statik der Baukonstruktion im allgemeinen Sinne, also einschliesslich der Festigkeitslehre, aufgefasst.

I. Alterthum. In welcher Weise die Baumeister der Alten die Stabilität ihrer Bauwerke untersuchten, ist uns nicht genau bekannt;

wahrscheinlich ist es, dass sie nur Erfahrungsregeln besassen. Das erste Buch über Mechanik soll der Grieche Archytas (400 v. Chr.) geschrieben haben. Das erste uns erhaltene Werk hat der Grieche Aristoteles (384—322 v. Chr.) verfasst; in demselben werden bereits das Parallelogramm der Bewegungen, der Hebel und der Keil behandelt. Als den eigentlichen Begründer einer mehr wissenschaftlichen Statik sieht man indess.den Griechen Archimedes'(287—212 v. Chr.) an: er behandelt sämmtliche sogenannte einfache Maschinen, den Schwerpunkt ebener Flächen und den Auftrieb des Wassers. Nach ihm schrieb der Alexandriner Heron (120 v. Chr.) mehrere Bücher über Mechanik, in denen er sämmtliche einfache Maschinen auf den Hebel zurückführt, die Kombinationen einfacher Maschinen und hydrostatische Sätze behandelt. Der Alexandriner Pappus (360 n. Chr.) behandelt zuerst den Schwerpunkt der Körper. Als ältester Schriftsteller auf dem Gebiete des Baufaches tritt der Römer Vitruv (um Chr. Geb.) auf; er gibt in seinen Werken (Yitruvii de architectura libri decem — deutsch von Rode) zwar einige Anwendungen der Mechanik auf Baumaschinen, nicht aber auf die Baukonstruktionen selbst.

H. Mittelalter. Von Vitruv bis zum Entstehen der Universitäten im Anfänge des 13. Jahrhunderts ist ein Fortschritt in den Wissenschaften überhaupt kaum zu verzeichnen. Auch die Universitäten kulti-virten anfangs die Mathematik und Mechanik nur wenig. Wesentlichen Einfluss musste die Erfindung der Buchdruckerkunst im 15. Jahrhundert üben. Bahnbrechend auf dem Gebiete der Statik waren erst die Arbeiten des Holländers Stevin (1548—1620), der nach Aufstellung der Theorie der schiefen Ebene zuerst den Satz vom Parallelogramm der Kräfte für den Fall rechtwinklig auf einander wirkender Kräfte nachwies, aber auch diesen Satz in seiner Allgemeinheit verwendet, z. B. zur Bestimmung der Spannungen im Seilpolygon. Die Begründung des Zusammenhanges zwischen Statik und Dynamik haben wir dem Italiener Galilei (1564 bis 1642) zu danken]). Ihm verdanken wir auch die ersten Anfänge uiner Anwendung der Statik auf Baukonstruktionen, da er eine allerdings unrichtigerweise auf blosses Zerreissen beruhende Theorie der Bruchfestigkeit aufstellte. Seine Theorie wurde namentlich hinsichtlich der Form der Körper konstanter Festigkeit angewendet durch die Italiener Blondei, Marchotti, Fabri und Grandi (1660—1700). Jedoch erhielt die Festigkeitslehre überhaupt erst eine sichere Grundlage durch die Auffindung des Elastizitätsgesetzes durch den Engländer Hooke (1660). Dieses Gesetz wurde unabhängig hiervon auch von dem

!) Hinsichtlich der weiteren Entwickelung der allgemeinen Mechanik verweisen wir auf die Werke: Dühring, kritische Geschichte der Prinzipien der hlechanik, Berlin 1873, II. Auf. 1877. — Kühlmann, Vorträge tüber Geschiehte der theoretischen Maschinenlehre, Braunschweig 1881 etc. — Mach¹, die Mechanik in ihrer Entwickelung, Leipzig 1883.    »

Franzosen Mariotte (1620—1684) gefunden und auf die Theorie der Biegungsfestigkeit angewendet, indem er dieselbe auf das Verlängern und Verkürzen der Fasern zurückführte. Diese Theorie wurde iudess hinsichtlich der Lage der neutralen Axe erst durch deu Franzosen Parent (1713) richtig gestellt.

Die erste primitive Theorie des Erddruckes stellten die Franzosen Bullet und Couplet (Ende des 17. Jahrhunderts) auf; sie wurde durch die Franzosen Sallonyer, Rondelet, Tersac de Montlong, Bla-veau, Belidor, Gadroy, d’Antony und Gautthey (1700—1770) etwas weiter ausgebildet; alle nehmen aber das Abgleiten eines Erdprismas unter ganz bestimmtem Winkel an.

In diese Zeit fällt auch die Aufstellung der ersten primitiven Gewölbetheorie durch den Franzosen Lahire (1695), indem er die Ge Wölbsteine wie Keile wirkend ansieht.

Die vom Deutschen Leibnitz (1646—1716) und dem Engländer Newton (1643—1727) aufgestellte Infinitesimalrechnung gab Anlass zu neuen Fortschritten. Sie fand zunächst Anwendung auf die Theorie der Kettenlinie durch beide Bernoulli’s, Leibnitz und Newton, und auf die Theorie der Biegung durch die Schweizer Jac. Bernoulli (1654—1705) und Euler (1707—1783), durch Leibnitz selbst und durch den Italiener Lagrange (1763—1813).

Wichtige Dienste sollte später auch das bereits von Stevin und Galilei für spezielle Fälle gefundene, von Job. Bernoulli (1717) allgemein ausgesprochene und von Lagrange allgemein bewiesene Prinzip der virtuellen Verschiebungen oder das Prinzip der virtuellen Arbeiten leisten. Ebenso wurde die geometrische Auffassung der Mechanik durch Varignon (1654—1722), insbesondere durch die Behandlung des Kräfte -und Seilpolygons später von grosser Bedeutung, nachdem vorher New to n den Satz von Parallelogramm der Kräfte in seiner Allgemeinheit ausgesprochen hatte.

Die Versuche über die Festigkeit wurden insbesondere mit Holzstäben gemacht; so von Mariotte, Parent, Muschenbroek, Belidor, Buffon, Aubry. Versuche über die ;Festigkeit der Steine machten Gauthey, Soufflot, Perronet und Rondelet. Versuche mit Metallen, insbesondere Eisen, sind nur von Mariotte und Po le ni bekannt.

TTT. Neuere Zeit. Eine weiter gehende Ausbildung fanden verschiedene Theile der Statik der Baukonstruktionen durch den [Franzosen Coulomb (1736—1806). Er stellte die erste rationelle Theorie des Erddruckes durch Einführung eines Rutschprismas mit dem grössten Drucke und der Gewölbe durch Einführung eines Einsturzes durch Kanten, (statt durch Gleiten) auf, nachdem allerdings schon vorher Couplet (1730) hierauf bezügliche Bemerkungen gemacht hatte. Er hatte ferner fruchtbare Gedanken auf dem Gebiete der Festigkeitslehre, indem er die Parent’sche Theorie der Biegungsfestigkeit vervollkommnet, das Auftreten von Schubspannungen hierbei erkennt und die erste primitive Theorie der Torsionselastizität aufstellt. Die Arbeiten Coulombs fanden erst spät die gebührende Anerkennung. Seine Theorie des Erddruckes erfuhr weitere Ausbildung durch die Franzosen Prony (1802), Mayniel (1808) und namentlich Français (1820), während das Auftreten der Schubspannungen bei der Scheer- und Biegungsfestigkeit durch den Engländer Thom. Young (1807) in mathematische Form gebracht wurde.

Wichtige Dienste leistete Monge (1746—1818) durch seine synthetische Behandlung der Statik und Poinsot (1771—1859) durch Einführung eines neuen Begriffes, dem des Kräftepaares.

Die erste wissenschaftliche Behandlung der gesammten Statik der Baukonstruktionen gibt aber der Franzose Navier (1785 —1836) in seinem berühmten Werke: nüesume des leçons sur l'application de la mécaniqueи. Seine Lehren auf dem Gebiete der Festigkeitslehre fanden in verschiedener Richtung Ausbildung durch die Franzosen Persy, Poisson, De Saint-Venaut und Bresse. Der Franzose Poncelet (1788—1867) beschäftigte sich ebenfalls mit der Festigkeitslehre ; jedoch verdanken ihm besonders die Theorie des Erddruckes und der Gewölbe wichtige Neuerungen.

Ausser den genannten Franzosen waren zwei Deutsche, Eytelwein (1764—1848) und Gerstner (1797—1840) auf dem Gebiete der Festigkeitslehre und der Gewölbe thätig.

Neben den für die unmittelbare Anwendung in der Praxis bestimmten Festigkeitstheorien, die sämmtlich auf vereinfachenden, der Wirklichkeit aber nicht ganz entsprechenden Annahmen beruhen, entstand die strenge mathematische Behandlung, theils durch Anwendung der Molekulartheorie von Poisson, Navier und Cauchy, theils durch Anwendung des allgemeinen Elastizitätsgesetzes von Cauchy, Lamé, Clapeyron und De Saint-Venaut.

Die Theorien wurden durch viele Versuche, namentlich auf dem Gebiete der Festigkeitslehre, mit Steinen durch Tredgold u. a., mit Holz durch Ardant, W. Barlow, Belidor, Bevan, Chevandier und Wertheim, Ebbels und Tredgold, Eytelwein, Houbotte, Lamarle, mit Metallen durch Brix, Burg, Clark, Duleau, Fair-bairn, Hodgkinson, Lagerhjelm, Malberg, Napier, Telford, Vickers, Volkers, Weishaupt u. a. unterstützt. Versuche überden Erddruck wurden von Mayniel, Martony de Köszegh, Aude und Hagen angestellt.

IV. Neueste Zeit. Seit Navier haben alle Zweige der Statik der Baukonstruktionen eine weitgehende Ausbildung gefunden. Ein wesentlicher Faktor ist hierbei die Einführung der Eisenbahnen, namentlich in Folge des hierdurch hervorgerufenen Bedürfnisses grosser Brücken und Hallen, sowie auch der hiermit allerdings ebenfalls zusammenhängende Aufschwung der technischen Hochschulen.

Bis in die neueste Zeit wurde insbesondere die analytische Methode gepflegt. Französische Autoren benützen hier und da geometrische Ableitungen oder sie leiten aus den entwickelten Regeln geometrische Konstruktionen ab. Namentlich macht Poncelet bei der Theorie des Erddruckes und' der Gewölbe von der Geometrie zweckmässigen Gebrauch. Später verwendeten auch St. Guilhem, Cous ine ry und Mery die Geometrie. Die erste wissenschaftliche Bearbeitung der geometrischen Methoden im organischen Zusammenhänge liefert aber Cul mann (1821 bis 1882) in seinem Epoche machenden Werke: я Die grafische Statik«, 1864.

Auf dem Gebiete der Festigkeitslehre sind wesentliche Fortschritte zu verzeichnen, namentlich hat die Theorie der kontinuirlichen Träger und der Bogenträger durch Clapeyron, Bresse, Mohr, Culmann u. a. eine Ausbildung erfahren. Die Theorie der Stabsysteme, auf die in früheren Perioden noch kein Werth gelegt wurde, findet Ausbildung durch Ritter, Maxwell, Culmann, Cremona, Favero u, a. Die Theorie der auf blossem statischem Wege nicht mehr zu behandelnden sogenannten statisch unbestimmten Systeme wird im Zusammenhänge mit der Bestimmung der Formänderung der Stabsysteme durch Benützung des Prinzipes der virtuellen Arbeit ausgebildet durch Maxwell, Mohr, Castigliano, Frankel u. a. Durch die Anwendung bei Brücken musste besonders Werth auf die Ermittelung der ungünstigsten Belastung gelegt werden, was zu besonderen Untersuchungen Anlass gibt.

Die strenge Theorie der Elastizität fand Ausbildung durch Clebsch, Clausius, Kirch hoff und Pochhammer. Die grafische Theorie der inneren Kräfte behandeln Mohr, Canevazzi u. a.

Die Theorie des Erddruckes erfuhr eine Vervollkommnung durch St. Guilhem, Culmann und Rebhann. Auch hier suchte man eine strenge Theorie auszubilden, wie in den Arbeiten von Scheffler, Rankine, Levy, Considère, Mohr u. a.

Die Theorie der Gewölbe fand weitere Ausbildung durch Hagen, Scheffler, Drouets, Carvallo, Durand-Claye und Dupuit. Namentlich ist hier das Streben zu verzeichnen, die Gewölbe als Bögen zu betrachten, welche der Elastizitätslehre unterliegen, wie dies in den Arbeiten von Schwedler, Perrodil, Belpaire u. a. geschehen ist.

Auch die Versuche auf dem Gebiete der Festigkeitslehre wurden vervollständigt und vervollkommnet, insbesondere durch Styffe, Kir-kaldy, Bauschinger, Thurston u. a. Der Einfluss wiederholter Beanspruchung wurde durch Wohl er studirt.

I. Kapitel.

Belastung der Konstruktionen.

§. 4. Eigengewicht. Das Eigengewicht der Konstruktion, auch ständige, ruhende oder dauernde (permanente) Belastung genannt, einer zu entwerfenden Konstruktion, ist vor der Fertigstellung des Entwurfes nicht bekannt. Dennoch aber ist dieses Gewicht für die statische Berechnung erforderlich. Wollte man das Eigengewicht hei der Berechnung als Unbekannte und zwar als Funktion der zu berechnenden Stärken einführen, so würde die Berechnung im Allgemeinen sehr weitläufig, vielleicht selbst unmöglich werden. Nur bei ganz einfachen Konstruktionen (z. B. einer Spannstange, einer Futtermauer, einem Widerlager) kann dies Verfahren zweckmässig erscheinen. Im Allgemeinen ist es üblich, das Eigengewicht im Voraus nach Massgabe bereits ausgeführter ähnlicher oder gleicher Konstruktionen oder theilweise auf Grund besonders anzustellender theoretischer Untersuchungen, angenähert anzunehmen. Ist der Entwurf auf Grundlage der so durchgeführten Berechnung vollendet, so kann man das Gewicht in bekannter Weise genauer bestimmen und hiernach die durchgeführte Berechnung berichtigen.

Das Eigengewicht wird in der Regel für die Längen- oder Flächeneinheit und zwar meistentheils konstant angenommen, bei Brückenträgern, bei Dachbändern, Decken u. s. w. für die horizontale Längen- oder Flächeneinheit, hinsichtlich der Dachdeckung für die Flächeneinheit der Dachfläche. In manchen Fällen indess erscheint es, um eine grössere Genauigkeit zu erreichen, geboten, das Eigengewicht für die Längen- oder Flächeneinheit veränderlich anzunehmen, z. B. bei steinernen Brücken.

Angaben über das Eigengewicht machen wir hier nicht, da dies viel besser in den Vorträgen über Hoch- und Brückenbau geschehen kann.

§. 5. Verkehrsbelastaag der iBrücken im Allgemeinen.

Die Verkehrsbelastung, auch zufällige, variable oder mobile Belastung genannt, führt man entweder als eine auf die Längen-oder Flächeneinheit gleichmässig vertheilte Belastung oder als System von Einzellasten ein. Hinsichtlich einer Belastung durch Menschejigedränge kommt man durch Einführung einer gleichmässigen Belastung der Wirklichkeit ziemlich nahe. Die Belastung durch Wagen indess wird besser als ein System von Einzellasten betrachtet. Auf den annähernden Ersatz durch eine gleichmässige Belastung wollen wir erst am Schlüsse der Untersuchung der äusseren Kräfte eingehen.

Die Berücksichtigung der Verkehrsbelastung muss insofern eine ganz andere sein, als die des Eigengewichtes, als dieselbe hinsichtlich der belasteten Stellen oder Strecken eine veränderliche sein kann und weil deshalb unter allen möglichen Belastungsarten für jeden Konstruktions-theil die ungünstigste Belastung zu bestimmen und der statischen Berechnung zu Grunde zu legen ist.

Die Einwirkung der Stösse, welche durch die Unregelmässigkeit der Bahn u. s. w. beim Verkehre entstehen, pflegt man dadurch zu berücksichtigen, dass man die Verkehrsbelastung um einen bestimmten Theil vermehrt oder aber die bei einer Wirkung ohne Stösse zulässige Inanspruchnahme um einen bestimmten Theil vermindert Das letztere ist das üblichere, obwohl das erste das prinzipiell richtigere ist. Man kann die Vermehrung der Belastung etwa bei Eisenbahnbrücken mit grosser Geschwindigkeit 30 Prozent, bei Strassenbrücken hinsichtlich der Wagen bei glatter Bahn 20 Prozent, hinsichtlich des Menschengedränges 10 Prozent annehmen, wobei allerdings vorausgesetzt wird, dass Truppen nicht im Schritt über die Brücke marschiren dürfen. Streng genommen kann der Einfluss der Stösse allerdings nicht in so einfacher Weise berücksichtigt werden. Es müsste vielmehr eine entsprechende dynamische Untersuchung angestellt werden, die indess, abgesehen von der theoretischen Schwierigkeit, ebenfalls keine genaueren Resultate geben kann, weil die dabei in Betracht kommenden Umstände, wie Unregelmässigkeit der Bahn, Elastizität der Materialien u. s. w. sich schwer durch zuverlässige Zahlen angeben lassen.

§. 6. Verkehrsbelastung der Strassenbrücken.

1. Menschengedränge. Je nach der Dichtigkeit des Menschengedränges gehen auf 1 Quadratmeter 5 bis 6 Mann; rechnet man einen Mann zu 70 Klgr., so ist die Belastung

0,35 bis 0,42 Ton. pro Q Meter.

Hierbei ist immer noch vorausgesetzt, dass die Menschen nur so dicht an einander gedrängt sind, dass noch eine langsame Bewegung möglich ist. Bei Brücken in Landstrassen genügt es, die kleinere Zahl zu nehmen. In stark bevölkerten Orten wählt man besser die grössere Zahl. Vielfach hat man hier 0,40 Ton. pro □ Met. angenommen. Wenn die Belastung durch Menschengedränge in der That oft eintritt, wird man sogar besser etwa 0,45 Ton. pro □ Met. annehmen. In der deutschen Armee sind alle Eeldbrücken auf die durch dicht aufgeschlossene Infanterie ohne Gepäck und Waifen oder auf 0,45 Ton. pro Q Met. zu berechnen. Die Belastung durch Pferde (Kavallerie) beträgt, wenn die Pferde nur so dicht an einander gedrängt sind, dass sie sich nach vorwärts bewegen können, höchstens 0,25 Ton. pro □ Met., ist also geringer als die Belastung durch Menschengedränge.

Einzelne Theile der Brücke können indess durch stärkeres Aneinanderdrängen mehrerer Personen noch wesentlich stärker belastet werden ; man kann solche örtliche Belastungen mit etwa 0,50 Ton. pro QMet. bemessen. Schmale Theile, wie Bohlen, nimmt man besser pro Längeneinheit belastet an, etwa mit 0,16 Ton. pro Met., was bei 0,20 0,25 0,30m breiten Bohlen bezüglich 0,80 0,64 0,53 Ton. pro □Met. geben würde.

2. Wagenbelastung. Bei einer bestimmten Brücke wird man natürlich die schwersten Wagen, welche auf der betreffenden Strasse nach der Beschaffenheit derselben verkehren können, voraussetzen. Man kann hiernach im Allgemeinen zwei-und vierspännige Wagen oder leichte und schwere Wagen unterscheiden.

Das Belastungsschema derselben ist beispielsweise durch Fig. 1 und 2 gegeben.

Für Brücken in Erd- und Kieswegen genügt die Annahme leichter Wagen; in Chausséen und gepflasterten Strassen sind im Allgemeinen schwere Wagen anzunehmen. In Fabriksstädten können besonders grosse Belastungen durch Maschinentheile, namentlich

Fig. 2.

durch Lokomotiven

Fig. 1.

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Met.

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Ten.

entstehen ; ein entsprechendes Belastungsschema zeigt Fig. 3. Es genügt aber in diesem Falle anzunehmen, dass die Brücke nur mit einem solchen sehr schweren Wagen, im Uebrigen mit schweren Wagen belastet ist.

Bei der Vertheilung der Wagen der Breite nach kann man jeden Wagen etwa mit 2,3 Met. Breite bemessen und da- i

13,3

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0,8

0,8

Fig. 3.

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Met.

Ton.

bei die Spurweite mit 1,5 Met. annehmen.

In besonderen

20 T.

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Met.

Fällen wird auf die Belastung

durch sehr schwere Chausseewalzen oder Strassenlokomotiven Rücksicht

0,8

0,8

10

10

Ton.

zu nehmen sein. Die Belastung durch Feldgeschütz und selbst Belagerungsgeschütz ist geringer, als durch schwere Wagen.

In einzelnen Fällen wird man eine Brücke dadurch leichter, also billiger konstruiren können, dass man durch Ueberwachung dafür sorgt, dass die Brücke nie vollständig belastet wird.

§. 7. Verkehrsbelastung der Eisenbahnbrücken. Eisenbahnbrücken nimmt man gewöhnlich mit einem Zuge besetzt an, welcher aus drei hinter einander gehenden Lokomotiven und ausserdem aus schweren Güterwagen besteht. Dabei nimmt man wohl auch zwei Lokomotiven mit den Schornsteinen gegen einander gekehrt an, wenn dadurch eine grössere Beanspruchung entsteht, als bei normaler Lage.

Nach den von Wöhler durch Versuche mit Eisen über den Einfluss wiederholter Inanspruchnahme gefundenen Gesetzen hat eine Belastung einen um so grösseren Einfluss, je häufiger sie eine Beanspruchung erzeugt. Die ganz selten, vielleicht nie vorkommende Belastung mit drei Lokomotiven wird daher die Brücke verhältnissmässig geringer beanspruchen, als die häufiger vorkommende Belastung mit zwei Lokomotiven. Wir glauben daher, dass es rationeller ist, nur zwei Lokomotiven anzunehmen, natürlich unter Voraussetzung einer entsprechenden zulässigen Inanspruchnahme des Materiales,

Bei der Wahl der Lokomotive ist zu berücksichtigen, dass die Lokomotiven einer Bahn gewöhnlich nicht auf andere Bahnen übergehen, so dass es im Allgemeinen genügt, die ungünstigsten Lokomotiven derjenigen Bahn vorauszusetzen, für welche die Brücke konstruirt wird. Allerdings kann im Kriege der Fall eintreten, dass die Lokomotiven auch fremde Bahnen befahren; hierbei dürfen diese Lokomotiven aber nicht wesentlich schwerer sein, als die Lokomotiven der betreffenden Bahn, weil nach diesen in der Kegel die Stärke des Oberbaues bemessen wird. Nach den oben angeführten Wöhler’schen Gesetzen wird es auch der Brücke nichts schaden, wenn sie einigemale mit etwas schwereren Lokomotiven befahren wird. Natürlich wird man unter Umständen bei der Wahl der Lokomotiven berücksichtigen müssen, dass eine Vergrösserung des Verkehres eintreten kann, welche die Beschaffung schwererer Lokomotiven erheischt.

Allgemeine Normen gibt es nicht; nur nimmt der Verein deutscher Eisenbahnverwaltungen als grössten zulässigen Druck pro Achse für Hauptbahnen 14 Tonnen, für normalspurige Nebenbahnen 10 Tonnen, für 1,00 und 0,75m Spurweite bezüglich 7,5 und 5 Tonnen an.

Für Hauptbahnen wiegen die schwersten Lokomotiven mit getrennten Tendern bei drei Achsen 40 Tonnen, bei vier Achsen 50 Tonnen, die schwersten Tenderlokomotiven etwa 68 Tonnen. Die schwersten Tender wiegen etwa 28 Tonnen. Der Kadstand der Lokomotiven ist 1,15 bis 2,20 Meter; er ist hier natürlich möglichst klein zu wählen. Der

grösste Druck einer Lastwagenachse ist 8 Tonnen, der kleinste Radstand etwa 3 Meter.

Fig. 4.

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27 T.

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13

13

13

Ton.

Wir haben allgemeinen Berechnungen gewöhnlich für Hauptbahnen das in Fig. 4 und 5 dargestellte ideale Beiastungsschema zu Grunde gelegt. Für normalspurige Nebenbahnen können dieselben Radstände und Achsdrücke der Lastwagen angenommen werden; dagegen würden die Achsdrücke der Lokomotive und des Tenders auf 10 und 7, Ö Tonnen zu reduziren sein.

Die Lastwagen lassen sich ohne zu grossen Fehler auch durch eine gleichmässige Belastung von 2,7 Ton. pro Met. ersetzen.

Wir geben im Folgenden noch ein Paar Beispiele angewendeter Belastungsschemen :

a) Normallokomotive nebst Tender der preussischen Staatsbahnen:

Gütermglokomotive :

2,8    2,0    1,4    2,6 I 1,5 1,8 1,5 1,6 Meter

9,9 8,6 9,1 Tonnen.

Abstand : Adminicle :

12,6 12,5 13,6

Fig. 5.

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16T.

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5—-5------3.0------> ■*---1,5—]yet.

Ton.

Abstand : Achsdruck:

Personenzuglokomotive :

2,4    1,9    2,5    1,6 I 1,5 1,8 1,5 1,6 Meter

12,6 12,2 12,4

9,9 8,6 9,1 Tonnen.

b) Semmeringlokomotive nach Engerth’s System und offene Lastwagen, welche in Oesterreich der Berechnung vieler Brücken zu Grunde gelegt wurde.

Abstand :

Achsdruck:    13,7 12,6 12,9    3,1    8,7

2,53 1,16 1,16 1,16 2,52 2,22 | 1,89 3,47 1,89 Met.

Ton.

7,8    7,8

3,9 3,6 3,9    3,6    3,8    1,7    1,7    4,4    1,4    1,4

i c) Belastungszug, welcher den für die russischen Staatsbahnen nach einer Bestimmung von 1884 anzunehmenden gleichmässigen Belastungen zu Grunde gelegt ist:

Abstand :

Achsdruck:

8,2 8,2 8,2 8,2 10,7 10,7 10,7 12,5 12,5

1,4    4,6    1,7    1,7    4,4    1,4    1,3    1,4    5,5    1,4

12,5 12,5 10,7    10,7    10,7    12,5    12,5    12,5 12,5 12,5

Meter

1,4    1,4    4,4    1,7    1,7    3,8    3,7    3,7 3,7

12,5 12,5 12,5    10,7    10,7    10,7    8,2    8,2 8,2 8,2 Ton.

d) Belastungszug, welcher der Berechnung der Pennsylvanischen Eisenbahnen zu Grunde gelegt wird:

Lastzüge :

2,3    1,4    1,4    1,4    4,1 1,5 1,7 1,5 2,4 2,3

Abstand :

Achsdruck: 5,5 10,9 10,9 10,9 10,9 7,3 7,3 7,3 7,3 5,5

1,4    1,4    1,4    4,1    1,5    1,7    1,5    0,9

10,9 10,9 10,9 10,9    7,3    7,3    7,3    7,3    4,46 Ton. pro Met,

Güterzüge :

Abstand : Aćhsdrućk :

Ko

Ko

Ko

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Ko

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2,4    2,9    1,5    1,7    1,5    0,9

18,1    18,1    7,3    7,3    7,3    7,3    4,46 Ton. pro Met.

Hier sind nur zwei Lokomotiven angenommen und für die Wagen eine gleichmässige Belastung von 4,46 Ton. pro Met. eingeführt.

§. 8. Zufällige Belastung der Decken. Wöhnräume pflegt man für eine gleichmässige Belastung von etwa 0,15 bis 0,20 Ton. pro O Met. zu berechnen, was hier wohl genügt, da die schweren Möbeln an den Wänden, also den Enden der Träger, aufgestellt zu werden pflegen und enges MenschengedräDge im Allgemeinen nicht anzunehmen ist.

In Versammlungsräumen, in denen sich die Menschen stehend aufhalten können, wird man, wie bei Brücken, 0,45 Ton. pro Q Met. rechnen müssen, wobei ein ganz dichtes Aneinanderstehen noch immer nicht vorausgesetzt ist. Ist das Stehen durch feste Stühle ausgeschlossen, so wird die Annahme einer Belastung von 0,25 Ton. pro Q Met. einschliesslich Stühle genügen; für die nicht mit Stühlen besetzten Flächen muss indess die vorige höhere Ziffer angenommen werden. In Unterrichtsräumen für Kinder bis zu 14 Jahren würde statt 0,25 und 0,45 etwa 0,18 und 0,32 Ton. pro QMet. gesetzt werden können. Wenn indess die Möglichkeit einer späteren anderen Verwendung des Raumes

vorliegt, so wird man doch wohl thun, durchgehends mit 0,45 Ton. pro

□    Met. zu rechnen.

Selbst für Tanzsäle hat man nur 0,25 Ton. pro □ Met. gerechnet. Mit Rücksicht darauf, dass diese Säle oft zu Versammlungen verwendet werden und selbst bei Bällen starke Zusammendrängungen von Personen entstehen können, sollte man hier nicht unter 0,40 Ton. pro

□    Met. annehmen.

Angaben über Belastungen von Decken, die anderen Zwecken dienen, wie für Speicher, Heu- und Fruchtböden u. s. w., werden besser in den Vorträgen über die betreffenden Anlagen gemacht.

§. 9. Belastung durch Schnee. Die Belastung durch Schnee kommt hauptsächlich bei Dächern in Betracht. In unseren Gegenden wird man den Maximalschneedruck bei 0,8m Höhe und 0,001 Tonnen Gewicht pro Kubikmeter zu

0,08 Ton. pro Q Met.

Horizontalfläche annehmen können, wenn der Neigungswinkel kein zu grosser ist. Bei sehr steilen Dächern, insbesondere bei Kirchthürmen, wird man einen Schneedruck überhaupt nicht annehmen. *

Man wird auch hier, wie bei der Verkehrsbelastung der Brücken, die ungünstigste Belastungsweise zu bestimmen haben, da der Schnee durch allmäliges Abschaufeln, durch Wehen und Abthauen eine verschiedene Lage annehmen kann. Bei Satteldächern hat man in der Regel nur halbe Belastung und totale Belastung als mögliche Belastungsfälle vorausgesetzt. Mehrfach hat man, namentlich bei komplizirteren Dachformen, unter allen denkbaren Belastungsfällen die ungünstigste gewählt.

Bei Brücken pflegt man den Schnee gar nicht zu berücksichtigen, weil auf denselben der Schnee gewöhnlich oft beseitigt wird, und bei starker Schneedecke kein sehr dichtes Menschen- und Wagengedränge möglich ist. Nur bei Drehbrücken kann in geöffnetem Zustande, jenach-dem derselbe mehr oder minder lange Zeit anzudauern pflegt, eine mehr oder weniger dicke Schneedecke entstehen.

§. 10. Winddruck. Der grösste Winddruck w₀ auf eine zur Windrichtung senkrechte ebene Fläche wird bei uns zu w₀= 0,10 bis 0,27 Ton. pro □ Met. angenommen. Bei Dächern in geschützter Lage nimmt man bei uns wQ = 0,10 bis 0,12 an. Bei Brücken und Thürmen, die dem Winde mehr ausgesetzt zu sein pflegen, ist je nach der Lage w₀ = 0,12 bis 0,25 anzunehmen. Bei Brücken über Thäler wird man den Winddruck senkrecht zum Thaïe hinsichtlich der durch die Thalwände geschützten Pfeiler im Allgemeinen kleiner annehmen können, als in Richtung des

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Thales. Wenn die Brücke mit einem Zuge besetzt ist, wird man w0 nicht grösser als 0,15 Ton. pro □ Met. anzunehmen brauchen, da ein stärkerer Winddruck die Wagen umwerfen würde.

Als vom Winde getroffene Fläche einer Brücke nimmt man am besten die Projektionsfläche an, welche sich ergibt, wenn man sich die einzelnen Träger der Brücke etwas gegen einander verschoben denkt, um dadurch einer etwas schiefen Richtung des Windes Rechnung zu tragen. Bei gegliederten Trägern ist hiernach die Fläche, welche zwei Träger bieten, ungefähr 1,6 von der Fläche eines Trägers und 0,50 bis 0,65 von der vollen Fläche eines Trägers. Zu genaueren Regeln kann man nur durch Versuche, die bis jetzt noch nicht in hinreichendem Masse angestellt sind, gelangen.

Die Wagen, sowohl Eisenbahn- als Strassen wagen, bieten dem Winde ungefähr eine Fläche von 3,2 QMet. pro Meter, wenn die Bahn oben liegt. Bei tiefer liegender Bahn ist zu berücksichtigen, dass ein Theil der Wagenfläche von dem davor stehenden Träger verdeckt wird, Unter gleichzeitiger Berücksichtigung des Winddruckes und der Vertikalbelastung kann die Beanspruchung möglicherweise grösser werden, wenn die Wagen möglichst leicht angenommen werden. Bei normalspurigen Eisenbahnen kann man die leeren geschlossenen Güterwagen mit etwa 0,7 Ton. pro lauf. Met. bemessen.

Bei Dächern ergibt sich theoretisch der normal zur Dachfläche gerichtete und für die statische Berechnung massgebende Winddruck iv pro Flächeneinheit nach der Regel

w = w₀ sw² (a -f- ß),\

wenn a den Neigungswinkel des Daches, ß den Neigungswinkel des

Fig. 6.

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Windes gegen die Horizontalfläche bedeutet, wobei man ß zu etwa 10 Grad oder tanß zu etwa ~ annimmt. Stellt in Fig. 6 В В die Dachfläche, CA die Windrichtung dar, so mache man auf der Normalen zu В В AB = wa, fälle von В auf AC die Senkrechte BE und von E auf AB die Senkrechte A F; alsdann ist, wie ohne Weiters zu übersehen ist, A F = w₀sin* /_САВ = w₀ sin² (<x ß) = w. Den gemachten Versuchen zu Folge gibt indess die Regel keine sehr gute Uebereinstimmung.

Weiteres hinsichlich des Winddruckes siehe in des Verfassers: Vorträge über Brückenbau, Eiserne Brücken, Querkonstruktionen, II. Aufl., Wien 1884, S. 308 — 316.

§. 11. Andere äussere Kräfte. Ausser den besprochenen äusseren Kräften können auf die Baukonstruktionen noch die folgenden Kräfte wirken :

1.    Seitendrücke der Wagen in Folge unregelmässiger Bewegung. Hinsichtlich dieser Kräfte, welche insbesondere bei der Berechnung der Wind- und Querverstrebungen in Betracht kommen, ist man noch sehr im Unklaren. Um einigermassen diesen Seitendrücken Rechnung zu tragen, pflege ich an jeder Achse der Lokomotive einen Seitendruck anzunehmen, welcher gleich 0,08 des Achsendruckes ist, wobei nur eine Lokomotive vorausgesetzt wird; Seitendrücke am Tender und den Wagen werden als sich gegenseitig aufhebend vorausgesetzt. Bei grösserer Spannweite genügt es, bei Berechnung der Wind Verstrebungen an der ungünstigsten Stelle eine Einzelkraft anzunehmen, welche gleich 0,08 des Lokomotivgewichtes ist¹).

2.    Centrifugalkraft bei Eisenbahnbrücken mit in der Kurve liegender Bahn. Wenn sowohl die Vertikalbelastung, als die Centrifugalkraft eine Beanspruchung erzeugt, können hierbei sowohl Schnellzüge, als die wesentlich langsamer fahrenden, aber schwereren Güterzüge in Betracht kömmen. Bei einer Windverstrebung, welche nur durch Horizontalkräfte beansprucht wird, kommt allerdings nur der Schnellzug in Betracht. Die Centrifugalkraft C für eine Achse mit dem Achsdrucke G ist

Gv¹ gr ’

wenn r den Radius, v die Geschwindigkeit, g die Beschleunigung der Schwere bedeutet. Für v ist natürlich die in der betreffenden Strecke zulässige Maximalgeschwindigkeit zu setzen. Beispielsweise wird, wenn man für Schnellzüge v = 18, für Güterzüge v — 10 annimmt, und

g — 9,81 setzt, bezüglich G = y G und G — y G.

Bei den Lokomotiven und Tendern wird man am besten an jeder Achse eine Centrifugalkraft annehmen; bei den Wagen dagegen kann man sich die Centrifugalkraft gleichmässig vertheilt denken und im Maximum die Last für Personenzüge 1,5, für Güterzüge 2,7 Ton. pro Met. eines Gleises annehmen. Wenn gleichzeitig der Winddruck bei minimaler Vertikalbelastung, also leeren Wagen in Betracht kommt, kann man im Minimum die Last für Personenzüge 0,8, für Güterzüge 0,7 Ton. pro Met. eines Gleises annehmen.

3.    Wasserdruck. Der bei Aquädukten und Quaimauern als äussere Kraft in Betracht kommende Wasserdruck ist nach bekannten hydrostatischen Gesetzen leicht zu bestimmen.

4.    Erddruck, welcher insbesondere bei Futtermauern, gewölbten Brücken und Tunneln in Betracht kommt. Wir betrachten die Bestimmung desselben als einen speziellen Theil der Statik der Baukonstruk-tionen und verzichten deshalb hier auf bestimmte Angaben.

§. 12. Unmittelbare und mittelbare Belastung. Wir unterscheiden zwei Arten der Uebertragung der Belastung auf den Träger, nämlich die unmittelbare (direkte) Belastung, bei welcher die Belastung auf jeden beliebigen Punkt des Trägers wirken kann und die mittelbare (indirekte) Belastung, bei welcher sich die Belastung nur an bestimmten Punkten auf den Träger übertragen kann. Bei einem vollwandigen Träger bildet das Eigengewicht des Trägers selbst eine unmittelbare Belastung; das Gewicht der Bahn und die Verkehrslast können unmittelbar oder mittelbar wirken, letzteres dann, wenn die Belastung durch Querträger auf den in Frage stehenden Träger (Hauptträger) übertragen wird. Bei den gegliederten Trägern denkt man sich am besten die einzelnen Stäbe als gewichtslos und ohne Belastung, also die ganze Belastung in den Knotenpunkten wirkend; eine auf den Stab zwischen seinen beiden Enden wirkende Last würde hierbei in zwei auf die beiden die Enden stützenden Knotenpunkte wirkende Seitenkräfte zu zerlegen sein. Man erhält in dieser Weise die Axialspannungen der Stäbe, falls gelenkartige Knotenpunkte vorausgesetzt werden, vollkommen richtig; die zwischen den Enden eines Stabes wirkende Belastung, also auch das Eigengewicht, bringen Schub- und Biegungsspannungen hervor, die erforderlichenfalls besonders zu bestimmen sind, hinsichtlich des Eigengewichtes aber meistens vernachlässigt werden. Bei einem gegliederten Träger wird man es also immer mit mittelbarer Belastung zu thun haben.

Wir nehmen an, dass sich die Belastung auf die Querträger durch einfache Zwischenträger übertrage, ebenso, dass die Stäbe eines gegliederten Trägers hinsichtlich der Uebertragung einer Last als einfache Träger anzusehen sind, so dass eine im Abstande | und

I. = a — £ wirkende Last G (Fig. 7) in die

£ £ beiden Seitenlasten G. — G — und G»=G-

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zu zerlegen sein würde.

Die Lasten, welche nach dieser Zerlegung an den Querträgern oder Knotenpunkten wirken, nennen wir Knotenlasten.    .

Fig. 7.

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I. Ebene Träger.

II. Kapitel.

Einteilung der Träger.

§•13. Arten der Auflagerung. Die Belastung eines' Trägers bewirkt Gegendrücke (Reaktionen) derjenigen Konstruktionstheile, welche den Träger unterstützen, der Lager; wir nennen dieselben Stützendrücke. Der Stützendruck ist, wie jede Kraft, bekannt, wenn die Richtung, Lage und Grösse desselben oder überhaupt drei auf den Stützendruck bezügliche Grössen, z. B. zwei Komponenten und das statische Moment für einen bestimmten Punkt gegeben sind. Ausser durch die Belastung werden die Stützendrücke namentlich durch die Konstruktion des Lagers bedingt. Wir unterscheiden in dieser Hinsicht die folgenden Konstruktionen :

1. Durch das Lager ist die Richtung des Stützendruckes gegeben. Dies ist der Fall bei einem sogenannten Rollenlager (Fig. 9), bei dem der Stützendruck senkrecht zur Bahn der Rollen ge-

Fig. 9.

Fig. 8.

Fig. 10.

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richtet sein muss oder beim Pendellager mit parallelen Stelzen (Fig. 10), bei dem der Druck parallel den beiden Pendeln wirken muss, in beiden Fällen allerdings abgesehen von der geringen hier entstehenden Reibung. Diese Lager gestatten eine freie Verschiebung längs einer Fläche, der Lagerfläche. Beim Gleitlager (Fig. 8), bei welchem bei einer Verschiebung die gleitende Reibung zu überwinden ist, ist die Richtung nach dem Reibungsgesetz nur innerhalb gewisser Grenzen bestimmt.

2. Durch das Lager ist ein Punkt des Stützendruckes, alsl) seine Lage, gegeben. Dies tritt bei einer gelenkartigen Unterstützung oder beim sogenannten Kipplager ein, wenn man von der Reibung, die sich durch Wahl eines möglichst kleinen Durchmessers des Zapfens (Fig. 11) oder durch Anwendung zweier sich mit cylindrischen Flächen gegenseitig abwälzenden Theile (Fig. 12) möglichst herabmindern lässt, absieht; ferner beim Pendellager mit zwei gegen einander

Winkler's Brückenbau. Theorie. Ï. Heft.

geneigten Stelzen (Fig. 13), bei welchem der Stützendruck durch den Durchschnittspunkt A gehen muss. Föppl nennt in seiner ^Theorie des Fachwerkes« (Leipzig 1880) A ein imaginäres Gelenk. Diese Lager gestatten eine freie Drehung um einen Punkt, den wir den Lager punkt nennen.

Fig. 12.

Fig. 11.

Fig. 13.

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3. Durch das Lager ist die Richtung und die Lage des Stützendruckes gegeben. Dies tritt ein bei der Kombination des Rollen- und Kipplagers oder beim Rollen-Kipplager (Fig. 14) und beim Pendellager mit einer Stelze (Fig. 15), zu denen auch pendelnde Säulen und Pfeiler, Seilstücke und Kettenglieder zu p rechnen sind. Auch das Walzen-I lager (Fig. 9) oder das Pendellager (Fig. 10) gebt in ein solches Lager über, wenn der Stützendruck ausserhalb des Lagers liegt, falls nicht das Kippen durch besondere Vorkehrungen verhindert

Fig. 14.

Fig. 15.

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ist.

4. Durch das Lager ist weder die Richtung, noch die Lage des Stützendruckes gegeben. Dies tritt ein bei einer Berührung in einer Fläche innerhalb gewisser durch die Reibung bedingter Grenzen (Fig. 16), sowie bei starrer Verbindung. In gleicher Weise

wirkt natürlich auch die Auflagerung an zwei oder mehreren Punkten (F. 17). Wir wollen diese Konstruktion ein starres Lager nennen.

5. Durch das Lager ist die Grösse des Stützendruckes oder Die Grösse des Stützen-

Fig. 16.

Fig. 17.

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eine Komponente desselben gegeben, druckes ist bei allen vorigen Konstruktionen durch die Belastung bestimmt. Durch Anwendung von Federn oder Hilfslasten (Gegengewichten)

ist es indess möglich, die Grösse zweier oder einer Komponente vorzuschreiben. Bisher ist diese Konstruktion, ausser bei der Elbebrücke bei Biesa, wo von Kopeke durch ein Gegengewicht ein bestimmter Horizontalschub erzeugt wurde, noch nicht zur Anwendung gelangt.

In derselben Weise, wie die Träger auf die Pfeiler aufgelagert werden, können auch verschiedene Träger oder Theile eines Trägers gegen einander gestützt werden. Insbesondere findet diejenige Verbindung Anwendung, bei welcher eine bestimmte Lage der von einem Theile auf den anderen ausgeübten Kraft gesichert wird oder die Verbindung durch Gelenke, wozu wir auch die imaginären Gelenke rechnen. Wir nennen Träger dieser Art im Allgemeinen Gelenkträger.

Die Auflagerbedingungen sind am vollständigsten von Föppl (Theorie des Fachwerkes, Leipzig 1880) der Eintheilung der Träger oder der Systemkunde zu Grunde gelegt worden.

§. 14. Bestimmung der Stütz endrücke. Bei einem starren Träger, d.h. einem solchen, bei welchem keine Bedingungen für die von einem Theile auf den anderen geäusserte Kraft zu erfüllen sind, namentlich also keine Verbindung durch Gelenke angeordnet ist, sind für die äusseren Kräfte drei Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen.

Da nun für jedes Lager drei Unbekannte zu bestimmen sind, so ist bei der Unterstützung durch ein Lager nur ein starres Lager zulässig. In dieser Lage befinden sich Pfeiler, Konsolen und Drehbrücken in geöffnetem Zustande.

Bei einer Unterstützung durch zwei Lager, bei welcher sechs auf die Stützendrücke bezügliche Grössen zu bestimmen sind, müssen bei einem Lager zwei, bei dem anderen eine Grösse bestimmt sein, damit die Stützendrücke statisch bestimmt sind. Es kann also entweder das eine Lager ein festes Kipplager (Fig. 18) oder ein Walzen-

Fig. 18.

Fig. 19.

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lager (Fig. 19) sein, wenn das andere ein Walzenkipplager ist. Bei Anwendung zweier fester Kipplager müsste der Träger noch ein Gelenk haben, damit die Stützendrücke statisch bestimmt sind; es ist dies beim Dreigelenkträger der Fall (Fig. 20).

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Wenn zwei feste Kipplager bei einem Träger ohne Gelenk angewendet werden (Fig. 21), so bleibt eine auf die Stützendrücke bezügliche Grösse statisch unbestimmt. Die Bestimmung dieser Unbekannten muss hier durch das Elastizitätsgesetz erfolgen. Wir nennen einen derartigen Träger einen Zweigelenkträger.

Fig. 21.

Fig. 20.

Wenn zwei starre Lager angewendet werden, so bleiben drei auf die Stützendrücke bezügliche Grössen unbestimmt (Fig. -23). Nur wenn der Träger ein Gelenk besitzt (Fig. -22)-, würden sich die statisch unbestimmten Grössen auf zwei einschränken.

Fig. 23.

Fig. 22.

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Wenn der Träger durch n Lager unterstützt ist, so sind 3n auf die Stützendrücke bezügliche Grössen zu bestimmen, für welche sich drei Gleichgewichtsbedingungen ergeben. Sind sämmtliche Lager Walzenkipplager, so bleiben also m = n — 3 Grössen statisch unbestimmt.

Nur wenn die Stützendrücke sich sämmtlich in einem Punkte schneiden, also auch dann, wenn sie sämmtlich vertikal wirken (kon-tinuirliche Träger), lassen sich für die äusseren Kräfte nur zwei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen ; es bleiben daher m — n 2 Grössen statisch unbestimmt. Ebenso gross wird m, wenn ein festes Kipplager und n — i Bollenkipplager vorhanden sind. Wenn die Stützendrücke in diesem Falle statisch bestimmt sein sollen, so müsste also der Träger n — 2 Gelenke haben (kontinuirliche Gelenkträger).

§. 15. Konstruktion des Trägers- Wir können zwei Hauptarten der Konstruktion unterscheiden: 1. Der Träger besteht aus einem einzigen vollen Stücke desselben Materiales oder aus verschiedenen so

mit einander verbundenen Theilen, dass sie hinsichtlich der Beanspruchung als ein einziges Stück angesehen werden könnten. Wir nennen diese Träger, die insbesondere als gegossene und gewalzte Träger, sowie als Blechträger auftreten, vollwandige Träger. 2. Der Träger besteht aus einzelnen an ihren Enden mit einander verbundenen Stäben; wir nennen einen solchen Träger einen gegliederten Träger. Die Verbindungsstellen der einzelnen Stäbe heissen Knoten, geometrisch genommen, Knotenpunkte. Die Knoten können hierbei wieder verschieden konstruirt sein: 1. Die einzelnen an einem Knoten zusammen-stossenden Stäbe können sich um eine Axe frei, d. h. ohne Widerstand drehen, wenn man sie am anderen Ende frei macht oder durchschneidet; wir nennen eine solche Verbindung eine gelenkartige und den Knoten einen Gelenkknoten. Die freie Drehung ist allerdings nur ein idealer Zustand, dem man sich durch Verminderung der Reibung mehr oder weniger nähern kann. 2. Die Stäbe sind so mit einander verbunden, dass eine derartige Drehling nicht möglich ist; wir nennen einen solchen Knoten einen starren Knoten. Selbstverständlich kann hierbei an die Stelle der Verbindung zweier Stäbe auch die Herstellung aus dem Ganzen treten.

Natürlich sind auch Träger denkbar und es kommen solche in der That vor, welche aus vollwandigen und gegliederten Theilen zusammengesetzt sind.

Der Träger kann seine Form in doppelter Weise ändern. Zunächst durch die Elastizität der Materialien; wir nennen diese Formänderung die elastische. Bei einem vollwandigen Träger und einem gegliederten Träger mit starren Knoten ist eine andere Formänderung überhaupt nicht denkbar. Bei gegliederten Trägern mit Gelenkknoten ist es aber recht wohl denkbar, dass eine Bewegung bei einer Aenderung der Belastung eintritt, indem bei veränderter Belastung die Form des Trägers nicht mehr den Gleichgewichtsbedingungen entspricht; man nennt diese Formänderung die statische. Wir nennen Konstruktionen, welche eine statische Formänderung nicht zeigen, starre oder steife, dagegen solche mit statischer Formänderung schlaffe.

§. 16. Statische Bestimmtheit der gegliederten Träger.

Das Seilpolygon geht hier in eine Seilkurve über, 

§. 40. Ungünstigste mittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

§. 46. Lastensystem aus Einzellasten und gleichmässiger

Die Integration lässt sich allgemein nicht ausführ

mithin ist AM=IK~, В N = HK folglich Fläche AB NM

§. 66. Transversalkräfte und Stützendrücke in den nicht belasteten Feldern. Nach der ersten der Gleichungen 4 (S. 94) wird für das m-te unbelastete Feld, wobei, falls das r*te Feld belastet ist, m < r ist

B. System von Einzellasten.

§. 79. Bestimmung der grössten Transversalkräfte. Für

§. 84. Beispiel für einen veränderlichen Querschnitt.

§. 85. Mittlere Transversalkraft und mittleres Moment.

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1. Momente. Zur grafischen Bestimmung der Momente

Die Einflusslinien sind hiernach in Fig. 194 a für

§. 115. Träger von konstanter Höhe, aber veränderlichem Querschnitte. Bei konstanter Höhe Ъ kann man für einen Gitterträger setzen. Wenn man nun unter irgend einer Annahme, etwa eines konstanten Trägheitsmomentes, die Spannungen in den Gurten und hiernach f bestimmt, so kann man nach §. 62 und 63 die genauere Behandlung durchführen. Wir wollen hier noch eine allgemeinere Behandlung durch Einführung eines Näherungsgesetzes für 1 geben.

[(6ł + ^gX)j/ + (7+ 12Ъ+4Х2)рТ1* 512 (1 + X)2 {ff + p)

у fl,3 + *3) _ _

Äbsolutes positives Maximum.

(61“ - mi, + 91Л

Verminderung der Transversalkräfte

§. 132. Grafische Darstellung der elastischen Linie. Die

Dx — Dy -f- cty у у -f- cię y,j, Dq — D g -f~ Wy y

§. 155. Näherungsregeln für Träger konstanter Höhe.

§. 166. Gleichschenkliges Dreieck als Einflussfigur. Als

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Siehe des Verfassers Vorträge über Brückenbau, Eiserne Brücken, Querkonstruktionen, II. Aufl. Wien 1884, §. 149.

§. 16. Statische Bestimmtheit der gegliederten Träger.

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einzelnen Knoten aufstellen lassen, — 2n. Ist m die Anzahl der Stäbe, so hat man zunächst m unbekannte Stabspannungen zu bestimmen;

Wir nennen ein Stabsystem mit Gelenkknoten statisch bestimmt, wenn die Spannungen sämmtlicher Stäbe nach rein statischen Gesetzen bestimmbar sind. Die Bedingungen für ein statisch bestimmtes System lassen sich leicht aufstellen. Bezeichnen wir die Anzahl der Knoten mit ist die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen, welche sich für die

ausserdem aber seien и auf die Stützendrücke bezügliche Unbekannte zu bestimmen. Alsdann muss

m -J- и = 2n

sein. Hierbei richtet sich nach dem oben Gesagten и nach der Konstruktion der Lager. Für die Unterstützung durch ein starres Lager ist u = 3. Für ein festes Kipplager und ein Kollenkipplager ist u — 2-j-1 = 3. Für zwei feste Kipplager ist u=2 -\- 2 = 4. Für zwei starre Lager ist и = 3 -f- 3 = 6. Wir haben demnach als Bedingung für das statisch bestimmte System:

. m -f- 4 = 2n, . m -{- 6 = 2n.

I. Ein Lager oder ein festes und ein Rollenkipplager m -f- 3 = 2n, II. Zwei feste Kipplager

III. Zwei starre Lager .

Ist m-\-u>2n, so nennen wir das System statisch unbestimmt. Ist dagegen m-\-uc2n, so kann statische Bestimmtheit nur eintreten, wenn noch eine entsprechende Anzahl von Bedingungen hinsichtlich der Form des Stabsystemes hinzukommt. Aus diesem Grunde tritt immer eine Formänderung ein, wenn sich die Belastungsweise ändert. Wir nennen ein solches System, dem vorigen Paragrafe entsprechend, schlaff. Sowohl die statisch bestimmten als statisch unbestimmten Systeme sind starr. Umgekehrt lässt sich hiernach leicht schliessen, dass jedes starre System mit dem Minimum von Stäben statisch bestimmt ist.

Die alleinige Erfüllung der Bedingung mи — 2n genügt indess für das statisch bestimmte System noch nicht. Es kann diese Bedingung recht wohl erfüllt sein, während ein Theil des Systems schlaff, ein anderer

Fig. 24.

Fig. 25.

statisch unbestimmt ist (Fig. 24). Der statisch unbestimmte Theil 3 4 5 6 verhält sich hinsichtlich der statischen Formänderung ebenso, als wenn dieser Theil statisch bestimmt wäre. Da aber alsdann im Ganzen zu wenig Stäbe vorhanden sind, so wird eine statische Formänderung eintreten, das System also als schlaffes gelten müssen. Es dürfen also offenbar keine statisch unbestimmbaren Theile Vorkommen. Um die Bedingungen für das statisch bestimmte System vollkommener zu erkennen, wollen wir verschiedene Bildungsweisen solcher Systeme näher untersuchen.

1. Das Dreieck ist an sich starr. Wenn man nun einzelne Dreiecke an einander reiht (Fig. 25), so kommen durch jedes neue Dreieck zwei neue Stäbe und ein neuer Knoten hinzu; durch diese beiden Stäbe wird der Knoten unverschieblich bestimmt, es entsteht also hierdurch ein starres,

mithin auch statisch bestimmtes System. Reiht man in dieser Weise s Dreiecke an einander, so wird m — 3 -j- 2 (s — 1) = 2s -j- 1 und n = 3 (s — 1) = s 2, wonach in der That auch m 3 — 2n ist, wie es dem Falle I entspricht. Diese Bildungsweise ist für die Träger entschieden die wichtigste. Wir nennen ein solches System ein Dreieckssystem. Man kann hierbei zwei Gattungen von Stäben unterscheiden, nämlich die zu einem geschlossenen Polygone vereinigten U m-fangsstäbe und die übrigen oder Diagonalstäbe. Bei den Fällen II und III würden bezüglich 1 und 3 Stäbe fehlen müssen, um das System statisch bestimmt zu machen. Fehlen ümfangsstäbe, so entstehen wirkliche Gelenke; fehlen Diagonalstäbe, so entstehen imaginäre Gelenke.

Fig. 26.

2. Ein statisch bestimmtes System entsteht, wie sich in ganz gleicher Weise nachweisen lässt, wenn man an ein Dreieck zwei neue Stäbe mit einem neuen Knoten, an zwei beliebige Knoten dieses Systems wieder zwei neue Stäbe mit einem neuen Knoten u. s. f. an-schliesst (Fig. 26). Die vorige Bildungsweise ist nur ein spezieller Fall dieser weniger wichtigen Bildungsweise. Fig. 27 bis 29 geben drei Beispiele.

Fig. 29.

Fig. 28.

Fig. 27.

X,

I/

3. Wenn man k Scheiben durch s in einer Ebene liegende Stäbe mit einander verbindet, so hat man s unbekannte Spannungen, also mit den drei auf die äusseren Kräfte bezüglichen Grössen s 3 Unbekannte. Da sich für jede Scheibe drei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen lassen, so hat man 3k Gleichungen. Für das statisch bestimmte System muss also s -f- 3 — 3 k oder

s = 3 (ft — JQ

Fig. 30.

sein. Das System wird statisch unbestimmt, wenn s > 3 (Je — 1) ist. Auch einzelne Theile des Systems dürfen nicht statisch unbestimmt sein ; je zwei Scheiben dürfen daher durch höchstens 3 (2 — 1) — 5, sich nicht in einem Punkte schneidende , also auch nicht sämmtlich parallele Stäbe verbunden sein. In dieser Weise lassen sich statisch bestimmte Systeme bilden, indem man statt der Scheiben einzelne

Stäbe oder statisch bestimmte Stabsysteme einfährt. So zeigt Fig. 30 die statisch bestimmten Systeme, welche durch Verbindung dreier Stäbe

Fig. 31.

entstehen können und Fig. 31 die statisch bestimmten Systeme, welche durch Verbindung von drei Dreiecken entstehen können. Fig. 32 kann als Verbindung von 3 Stäben durch 6 Stäbe oder von 2 Dreiecken durch 3 Stäbe gelten. Fig. 33 lässt sich als Verbindung von 2 Dreiecken und einem Stabe durch 3(3 — 1) = 6 Stäbe betrachten. Fig. 34 würde als Verbindung von 6 Stäben durch •3 (6 — 1) — 15 Stäbe aufgefasst werden können.

Fig. 33.

Fig. 34.

Fig. 32.

\IX17 ЧФУ

Als statisch unbestimmte Systeme kommen hauptsächlich die nach dem Obigen als Dreieckssysteme, aber mit überzähligen Diagonalstäben, gebildeten Systeme in Betracht. Das hauptsächlichste schlaffe System ist das einfache Polygon (Kettenhängewerk).

Früher wurden in der R^gel nur die Dreieckssysteme als statisch bestimmte Systeme behandelt. Allgemein werden die Kennzeichen solcher Systeme durch Weyrauch (Zeitschrift für Baukunde, 1880 und 1881) untersucht. Am vollständigsten behandelte Favero die Sache (La determinazione grafica delle forze interne uelle travi reticolari. Roma 1878). Er fasst zuerst die statischen Systeme als Verbindung von starren Theilen (Scheiben) durch Stäbe auf.

§. 17. Beanspruchungsweise der Träger. Wenn man zwischen den Lasten, mit welchen der Träger belastet ist, Vertikalschnitte durch die Konstruktion legt und die Kichtungen der Resultanten der in diesen Schnitten wirkenden Spannungen bestimmt, so bilden diese Richtungen ein den Lasten entsprechendes Seilpolygon. Bei den statisch bestimmten Systemen ist auch das Seilpolygon vollständig bestimmt. Bei den hinsichtlich der Stützeudrücke statisch unbestimmten Systemen wird es erst durch das Elastizitätsgesetz bestimmt.

Die Spannungen im Seilpolygone sind Züge, wenn das Seilpolygon nach oben konkav ist, dagegen Drücke, wenn das Seilpolygon nach unten konkav ist. Die Konstruktion wird daher vorzugsweise auf Zug oder Druck beansprucht, je nachdem sich dieselbe um ein nach oben oder unten konkaves Seilpolygon gruppirt. Es entstehen hierdurch die beiden entgegengesetzt beanspruchten Konstruktionen: das Hängewerk (Fig. 35) und das Sprengwerk (Fig. 36).

Die Stützendrücke sind beim Hängewerke schief nach oben und aussen, beim Sprengwerke schief nach oben und innen gerichtet. Ausser den Vertikalreaktionen tritt also hier eine Horizontalreaktion auf, die beim Hängewerk als Horizontalzug, beim Sprengwerke als Horizontaldruck oder Horizontalschub wirkt.

Fig- 36.

Fig. 35.

imjj

ж mmt

МЛ,

шШщА

sä

Haben beide Stützendrücke eine von der vertikalen wenig abweichende Eichtung, so wird das genannte Seilpolygon sehr hoch und tritt also ganz aus der Konstruktion heraus. Der Träger wird dann sowohl auf Zug als auf Druck, das ist auf Biegung beansprucht. Wir nennen einen solchen Träger einen Balkenträger.

Durch die Anordnung der Lager haben wir die Richtung der Stützendrücke und hiermit die Form des Seilpolygones in unserer Gewalt; es wird dadurch möglich, die drei Systeme: Hängewerk, Balken- und Sprengwerk allmälig in einander überzuführen, so dass es bestimmte Grenzen zwischen diesen Systemen nicht gibt. Bei den praktisch an-gewendeten Konstruktionen sind indessen die drei Systeme ziemlich streng getrennt.

Der Träger selbst kann steif oder schlalf konstruirt sein. Als äusserste Form des schlaffen Trägers kann das Polygonal-Hänge-und Sprengwerk (Fig. 37 und 38) gelten, dessen Form unmittelbar durch

Fig. 37.

Fig. 38.

шШ

тШ

das der Belastung entsprechende Seilpolygon gegeben ist. Beim schlaffen Träger besteht ein wesentlicher Unterschied hinsichtlich der statischen Formänderung beim Hänge- und Sprengwerk. Bei einer Aenderung der Belastungsweise geht das Hängewerk in die neue Gleichgewichtsform von- selbst über, das Sprengwerk dagegen nicht; dasselbe schlägt vielmehr in die entgegengesetzte Form über, so dass aus dem Sprengwerk ein Hängewerk wird, wenn dies überhaupt möglich ist; sind die Stäbe an den Knoten nicht derart verbunden, dass ein Zug übertragen werden

1. Verbindung von Balken- und I    Hängewerk (Fig. 39).

kann, so stürzt das Sprengwerk zusammen. Das schlaffe Sprengwerk kann also nur labiles Gleichgewicht besitzen, während das schlaffe Hängewerk stabiles Gleichgewicht besitzt, wie dies auch dem allgemeinen Maupertuis’schen Satze entspricht. Ein schlaffes Sprengwerk ist demnach überhaupt als Träger unbrauchbar. Wohl aber sind das schlaffe Hängewerk und das steife oder versteifte Hängewerk wirklich zur Anwendung gekommen.

Ausser den genannten einfachen Trägerarten sind natürlich Verbindungen derselben möglich. Ausser den Verbindungen von Trägern derselben Art können wir unterscheiden:

Fig. 39.

1    2. Verbindung    von    Balken-    und

jjj Sprengwerk (Fig. 40).

Fig. 40.

3. Verbindung von Hänge- und Sprengwerk (Fig. 41).

Durch die Verbindung mit    dem

steifen Balkenträger wird auch das schlaffe Hänge- und Sprengwerk steif. Bei    der Verbindung von    Hänge-    und

Fig. 41.

Sprengwerk sind eines der Theile oder beide steif zu konstruiren.

Ausser der Verbindung zweier Theile, von denen jeder für sich als Träger wirken kann, kommt die Verbindung eines Trägers mit einem geraden nur auf Zug oder Druck beanspruchten Theile, einer Spannsta'nge oder einem Spannriegel vor, um die vom Träger geäusserte Horizontalreaktion aufzunehmen und dadurch die Widerlager zu entlasten. Wenn man hier beide Theile als ein Ganzes betrachtet, so würde dasselbe einem Balkenträger entsprechen. Dennoch wird man diese Träger besser zu den Hängewerken und Sprengwerken rechnen, indem man die Spannstange und den Spannriegel als zum Widerlager gehörig ansieht.

§. 18. Eintheilung nach der Anzahl der Oeffnungen. Nach der Anzahl der durch Stützen getrennten Oeffnungen, über welche der Träger zusammenhängend hinwegreicht, unterscheidet man Träger über eine Oeffnung oder Einzelträger (einfache Träger) und Träger über mehrere Oeffnungen oder kontinuirliche Träger. Bei den kontinuirlichen Trägern kann eine starre Verbindung der einzelnen Theile vorhanden sein oder es kann eine Gelenkverbindung vorhanden sein, so dass man wirkliche kontinuirliche Träger und kontinuirliche

Gelenkträger unterscheiden kann. Die kontinuirlichen Träger kommen hauptsächlich nur bei den Balkenträgern vor. Bei den kontinuirlichen Gelenkträgern ordnet man die Gelenke innerhalb der Oeffnungen so an, dass jeder Theil nur durch zwei Punkte unterstützt wird, um den Träger statisch bestimmt zu machen. Auch bei den Hängewerks- und Spreng-werksträgern kommen zuweilen kontinuirliche Träger vor ; auch hier findet man eine starre Verbindung der einzelnen Theile, namentlich aber eine Gelenkverbindung über den Pfeilern, so dass durch diese Verbindung nur der Horizontalschub übertragen wird.

III. Kapitel.

Methode der Einflusslinien.

§. 19. Bedeutung der Einflusslinie. Um den Einfluss eines Lastensystemes auf einen beliebig konstruirten Träger zu untersuchen, erscheint es rathsam, zunächst den Einfluss einer einzigen vertikal gerichteten Einzellast in den verschiedenen Lagen, welche dieselbe annehmen kann, zu untersuchen. Man wird sich also eine Einzellast trüber den Träger bewegt denken und für jede Lage derselben den Einfluss auf den Träger bestimmen. Dieser Einfluss kann ein sehr verschiedener sein; es kann sich dabei handeln um die von der Last erzeugten Reaktionen nach bestimmten Richtungen, um Transversalkräfte, Momente, Spannungen, Längenänderungen, Verschiebungen von bestimmten Punkten nach bestimmten Richtungen u. s. w. Wir wollen die Grösse, um die es sich handelt, hier allgemein die Einflussgrösse der Einzellast nennen, dabei indess die Art dieser Grösse in diesem Kapitel unbestimmt lassen.

Der Einfluss einer beweglichen Einzellast lässt sieh am besten versinnlichen, wenn man die Einflussgrösse Y in der Richtung der Einzellast von einer horizontalen Axe aus als Ordinate aufträgt. Die Endpunkte der Ordinaten bilden sodann eine Linie, welche man die Einflusslinie (Influenzlinie, Influenzkurve) nennt. Die von der Einflusslinie und der Axe eingeschlossene Fläche nennen wir die Einflussfigur.

Für die statische Untersuchung von Trägern sind die Einflusslinien im Allgemeinen von ausserordentlichem Werthe, weil aus der Form derselben auch auf den Einfluss eines ganzen Lastensystemes hinsichtlich der gefährlichsten Belastungsweise, der erzeugten Maximalspannungen

u. s. w. geschlossen werden kann und der hierbei auftretende statische Vorgang in übersichtlicher Weise zur Anschauung gelangt.

Die Einflusslinien wurden wohl zuerst vom Verfasser im Jahre 1868 hei der Untersuchung von Bogenträgern angewendet (Zeitschrift des böhmischen Ingen.- u. Archit.-Ver. 1868); sie sind dort „Spannungskurven“ genannt worden. Das Wort Influenzlinie ist zuerst von Weyrauch in seinem Werke: „Theorieund Berechnung der kontinuirlichen und einfachen Träger“, Leipzig 1873, gewählt. In neuerer Zeit sind die Einflusslinien vielfach bei statischen Untersuchungen zur Anwendung gekommen, so in Arbeiten von Frankel, Krohn, Melan, Schäfer, Steiner, Stelzei, Tliullie, Weyrauch u. a.

§. 20. Form der Einflusslinie. Die spezielle Form der Einflusslinie ist je nach der Art des Trägersjstemes verschieden ; etwas Allgemeines lässt sich nur für statisch bestimmte Systeme sagen.

An jedem Auflager eines Trägers entsteht ein Stützendruck, welcher nur vollständig bestimmt ist, wenn die Richtung, Grösse und Lage oder ein Punkt des Stützendruckes gegeben sind, so dass eine Reaktion durch drei Grössen bestimmt ist. Aus den Gleichgewichtsbedingungen eines Trägers lassen sich unter der Voraussetzung, dass alle Kräfte in einer Ebene wirken, nur drei auf die äusseren Kräfte bezügliche Grössen bestimmen. Bei zwei Auflagern müssen daher an einem Auflager ein Punkt und die Richtung (etwa durch ein Rollenkipplager), an dem anderen ein Punkt

oder die Richtung (etwa durch ein Kipplager, bezüglich ein Rollenlager) gegeben sein. Nehmen wir an, es sei beim linken Lager ein Punkt A und die Richtung AE gegeben. Ist nun am rechten Lager ein Punkt jВ gegeben, so besteht, wenn man den linken Stützendruck mit B, den Abstand der Richtung AE von B mit а, den Abstand der Last G von A mit x und den Horizontalabstand von A und B mit l bezeichnet, die zu erfüllende Beziehung

у/.

Fig. 42.

JE;

<-

Ыт

ei

В'

Ва — G (I — х).

Bildet В mit der Vertikalen den Winkel a und hat der rechte Stützendruck die Vertikal- und Horizontalkomponente F, if, so ist V -j~ В cos a — G, H = В sina, mithin

— cos aj,

H= G-sina.

Ist von dem rechten Stützendruck Bx die Richtung gegeben, welche mit der Vertikalen den Winkel ß bildet, so bestehen die Beziehungen

R cos a -f- -R, cosß — G, R sina = Rx sinß und wenn man den Abstand des rechten Stützendruckes von A mit ij bezeichnet, Rty — Gx, mithin

G sin ß sin (a — ß)

x sin (a -4- ß)

Rt =

G sin a

sin a

sin (a ß)' У

Da diese Anordnung keine gebräuchliche ist und für а = 0 überhaupt unmöglich wird, so wollen wir in der Folge auf dieselbe keine weitere Rücksicht nehmen.

In allen Fällen sind hiernach die Stützendrücke, sowie ihre Horizontal- und Vertikalkomponente und ihr Moment für einen bestimmten Punkt in Beziehung auf x vom ersten Grade, die Einflusslinien für diese Grössen sind also Gerade,

Theilt man den Träger durch einen Schnitt in zwei Theile, so wirkt auf einen der beiden Theile als äussere Kraft nur der Stützendruck, falls nicht durch die Konstruktion selbst die Last G auf beide Theile vertheilt wird; sowohl für diese selbst, als für ihr Moment hinsichtlich eines bestimmten Punktes wird die Einflusslinie eine Gerade.

Sonach müssen also die auf einer Seite des Schnittes nach einer bestimmten Richtung wirkende Komponente der äusseren Kraft, sowie das Moment der äusseren Kraft für einen bestimmten Punkt ebenfalls vom ersten Grade sein. Proportional den äusseren Kräften oder ihren Momenten sind aber auch die inneren Spannuugen nach bestimmten Richtungen, also sowohl die Normalspannungen, als die Schubspannungen für vollwandige und für statisch bestimmte gegliederte Träger, sobald die bezügliche Spannung durch einen nur drei Stäbe treffenden Schnitt bestimmt werden kann.

Bei Trägern mit statisch bestimmten Stützendrücken sind also die Einflusslinien für die Stützendrücke, für die nach bestimmten Richtungen wirkenden Komponenten der äusseren Kraft, für das Moment derselben in Beziehung auf einen bestimmten Punkt, für die Spannungen in vollwan-digen Trägern und in statisch bestimmten gegliederten Trägern gerade Linien.

In dem Falle, dass wir es nicht mit unmittelbarer, sondern mit mittelbarer Belastung zu thun haben, liege bei einem statisch bestimmten oder unbestimmten Systeme die Last G zwischen zwei Querträgern E und F, von denen sie den Horizontalabstand x und a — x hat, alsdann ist der Druck, welcher durch die Querträger E und F auf den in Frage stehenden Träger übertragen wird, bezüglich

Г/

Si ! «

GG .

a

1'

Ist nun Tj, Y„ die Einflussgrösse, wenn dieselbe bezüglich in E und F auf den Träger wirkt, so ist für die Lage der Last G zwischen beiden Querträgern die Einflussgrösse offenbar

Tta—+ J,-.

¹ a    a

Somit ist die Einflusslinie zwischen je zwei Querträgern eine gerade Linie. Dies gilt sowohl vom statisch bestimmten, als statisch unbestimmten Systeme.

Bei Stabsystemen mit gelenkartigen Knotenpunkten verhalten sich die einzelnen Stäbe ganz wie die frei aufgelagerten Zwischenträger, die Knotenpunkte also wie die Querträger.

Wenn die Last unmittelbar auf den Träger wirkt, so entstehen in der geraden Einflusslinie da, wo die Last den Schnitt, der der Bestimmung der Spannungen zu Grunde gelegt wird, überschreitet, Brechpunkte (Knicke) oder eine Unterbrechung (Absatz). Sind Querträger vorhanden, so müssen an denjenigen beiden Querträgern, zwischen denen der Schnitt liegt, Brechpunkte (aber keine Unterbrechung) entstehen, weil in dem Momente, wo die Last, von einem Ende anrückend-, einen dieser Querträger überschreitet, auf der anderen Seite ausser dem Stützendrucke noch eine durch den Querträger übertragene Komponente der Last G hinzukommt Zwischen diesen beiden Querträgern ist die Einflusslinie nach dem obigen Satze eine Gerade.

Wenn die Last G vertikal über dem

Fig. 43.

c'

Punkte В liegt, durch welchen in Fig. 42 die rechte Reaktion geht, so ist x — l, also ^    В = О, V = G. Die Einflusslinie für В

шиш

£ und auch für Spannungen, falls die Last auf der rechten Seite des Schnittes liegt, hat also am linken Ende die Ordinate 0. Dasselbe g    ist für das rechte Ende hinsichtlich der

rechten Reaktion und für Spannungen der Fall, falls die Last auf der linken Seite des Schnittes liegt, wenn die Punkte A und В (Fig. 42) in einer Horizontalebene liegen, В da alsdann für x = 0 auch V = О, H = О wird. Bei der gewöhnlichen Auflagerung werden daher die Einflusslinien die in Fig. 43 В dargestellten Formen zeigen.

§. 21- Einfluss einer gleichmässigen Belastung. Ist eine unendlich kleine Länge dx mit der Last p pro Längeneinheit belastet, so ist die p dx die an der betreffenden Stelle wirkende Last. Ist nun у die Ordinate der für die Einzellast 1 konstruirten Einflusslinie, so ist also pdx . y die Einflussgrösse. Sonach ist die von der Belastung einer beliebigen Strecke mit der gleichmässigen Belastung p pro Längeneinheit herrührende Einflussgrösse

Y — pf y dx — Fp,

wenn F die der belasteten Strecke entsprechende Fläche der Einflussfigur bezeichnet. Man erhält also die von einer gleichmässigen Belastung erzeugte Einflussgrösse, wenn man die entsprechende Fläche der Einflussfigur mit der Last pro Längeneinheit multiplizirt.

Handelt es sich um den Einfluss einer gänzlichen Belastung des Trägers, so ist natürlich die gesammte Fläche mit der Last pro Längeneinheit zu multipliziren, wobei natürlich die auf verschiedenen Seiten der Axe liegenden Theile der Einflussfigur mit entgegengesetztem Vorzeichen einzuführen sind*

Fig. 44.

Der grösstmögliche Einfluss der zufälligen Belastung im bestimmten Sinne entsteht hiernach offenbar, wenn die ganze Strecke belastet ist, in welcher die Einflussgrösse dasselbe Vorzeichen hat. Ma'n erhält daher das positive und negative Maximum der Einflussgrösse, indem man bezüglich den positiven und negativen Theil der Fläche der Einflussfigur mit der Last proLän-    л

rB

geneinheit multiplizirt. Die ungiin-stigste Belastung hinsichtlich des positiven und negativen Maximums ergänzen sich hiernach zur gänzlichen Belastung. Die Durchschhittspunkte G (Fig. 44) der Einflusslinie mit der Axe, welche dem Ende /а der ungünstigsten Belastung entsprechen, nennt man daher auch die Belastungsscheiden, neutralen Punkte oder Nullpunkte.

Anstalt die Einflusslinie für die Last 1 zu konstruiren, kann man dieselbe auch für eine Einzellast konstruiren, welche gleich ist der Last p pro Längeneinheit. In diesem Falle gibt die Fläche der Einflussfigur unmittelbar die Einflussgrösse.

§. 22. Einfluss eines unverrückbaren Systèmes von Einzellasten. Die Methode der Einflusslinie hat hauptsächlich nur Werth bei vollständiger oder theilweiser grafischer Bestimmung. Man kann in diesem Falle die folgenden Methoden anwenden.

1. Sind sämmtliche Einzellasten gleich gross, und zwar = 6r, so addirt man die zugehörigen Ordinaten der Einflusslinie mit Hilfe des Zirkels. Wird die Einflusslinie für die Last G konstruirt, so gibt die erhaltene Summe der Ordinaten bereits die gesuchte Einflussgrösse Y.

Sonst muss diese noch durch Rechnung oder Konstruktion mit G multi-plizirt werden. Sind mehrere verschiedene Einzellasten Gt, Gü, G₃.. jede derselben indess mehrfach wiederholt vorhanden, wie dies ja bei den Lastenzügen der Eisenbahn- und Strassenbrücken thatsächlich der Fall ist, so muss die vorige Operation mehrfach wiederholt werden, indem

man

¥=GxZy x + GaZyt+.-.

setzt. Man kann hier aber auch

³-zy₃ +

i

. grafisch ¹) mit Hilfe des Reduktionswinkels aus-

setzen, wobei man die Multiplikation von Zya, Zy₃... mit den Verhältnissen —..

Or, 6r,

führt, so dass die.ganze in der Klammer stehende Summe grafisch gebildet werden kann. Die im Allgemeinen noch erforderliche Multiplikation von Gl entfällt hierbei, wenn die Einflusslinie nicht für die Last 1, sondern für die Last Gx konstruirt wird.

Bei gerader Einflusslinie kann eine Vereinfachung dann eintreten, wenn die n gleichen Lasten symmetrisch liegen ; x alsdann ist nämlich Zy gleich der n fachen der Symmetrieaxe entsprechenden Ordinate.

2.    Wenn mehrere Einzellasten Gv G„, G₃..., jede derselben aber mehrfach Vorkommen, so konstruirt man für jede der Einzellasten eine besondere Einflusslinie. In diesem Falle hat man natürlich nur nöthig, mit Hilfe des Zirkels die den Lasten entsprechenden Ordinaten der zugehörigen Einflusslinie zu addiren. Bei krummlinigen oder mehrfach gebrochenen Einflusslinien ist indess die vorige Methode bequemer.

3.    Man kann ZGy auffassen als die Summe der Momente, die in Beziehung auf die Axe der Einflusslinie entstehen, wenn man sich die Lasten G am Ende der zugehörigen Ordinaten parallel zur Axe wirkend denkt. Konstruirt man nun das zugehörige Seilpolygon (Fig. 46), so

lässt sich be-

Fig. 45.

B'

ist Y—Z G y bekanntlich gleich dem Produkte aus der Pol weite H und der zwischen den äussersten Seiten des Seilpolygones liegenden Strecke E E der Axe.

Wählt man R—l (gleich der Krafteinheit), so ist ЕЕ selbst = Y.

4. Ist die Einfluss-

Fig. 46.

c;

Q------

Cb

linie eine Gerade, welche gegen die Axe unter dem Winkel a geneigt ist

•0'

-os

1)

(Fig. 47) und sind xx,

Xo,... die Abstände der Lasten Cr,, Cr₂... vom Durchschnittspunkte 0, so ist yx — xx tan a, y^ — x„ tan a, also

Y — tanaEGx.

Ist x₀ der Abstand des Mittelpunktes (Schwerpunktes) sämmtlicher Lasten von 0, so ist EGx — x₀EG, also

Y — x₀tana . EG = y₀EG,

A-

ys

<■

<-- -

▼ r

Fig. 47.

<-

wenn y₀ die dem Mittelpunkte entsprechende Ordinate der Einflusslinie bezeichnet. Die Lage des Mittelpunktes aber lässt sich mit Hilfe des Seilpolygones leicht in bekannter Weise ermitteln. Man kann

->

Fig. 48.

also auch das Moment EGx grafisch bestimmen. Legt man durch 0 eine Vertikale, welche die äussersten Seilpolygonseiten in C und E schneidet (Fig. 48), so ist, wenn H die Polweite bezeichnet, EGx = H . CE, also

Y = Il tan a . CE.

Legt man durch C eine Normale zur Einflusslinie, welche die durch E gelegte Horizontale in E schneidet, so ist EE = CE .tancc, also Y— H. ЕЕ, und, wenn man H = 1 wählt, Y = ЕЕ.

Kp\i

<-----i

śA

4/

JE

§. 23. Einfluss eines verschiebbaren Systèmes von

Einzellasten. Hier wird es sich in der Eegel darum handeln, die ungünstigste Stellung des Lastensystemes, bei welcher also die Einflussgrösse Y ein Maximum wird, zu bestimmen. Im Allgemeinen wird man diese Lage durch Probiren ermitteln müssen, indem man Y für verschiedene Lagen des Lastensystemes bestimmt. Für die Summirung der

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Ordinaten mit Hilfe des Zirkels erscheint es hier rathsam, die Zeichnung - auf vertikal liniirtem Papiere zu machen oder die Zeichnung mit einer vertikalen Bleistiftschraffur zu versehen. Deo Lastenzug trägt man am besten auf einen besonderen Papierstreifen auf, um denselben leicht in beliebige Lage bringen zu können. Die Einflussgrösse Y wird man am ‘besten an irgend einer der Lasten als Ordinate auftragen; wir nennen die so entstehende Linie die Summen-Einflusslinie.

Besteht die Einflusslinie aus Geraden, so bleibt auch die Linie für Ÿ eine Gerade, so lange sich bei der Verschiebung die Lasten innerhalb der einzelnen Strecken, in denen die Einflusslinie geradlinig ist, nicht ändern, wie aus der Gleichung Y — x₀tanaUG-, in welcher bei der Verschiebung nur x₀ variabel ist, leicht hervorgeht. Demnach wird sich die Linie für Y als eine gebrochene Linie darstellen, deren Ecken •derjenigen Lastenstellung entsprechen, bei welcher eine Einzellast an einem Brechpunkte der Einflusslinie oder an einem Trägerende liegt.

Es ist leicht zu übersehen, dass die Ecke, welche in der Summen-Einflusslinie beim Ueberschreiten einer Ecke der Einflusslinie durch eine Last entsteht, ausspringend oder einspringend ist, je nachdem die betreffende Ecke' der Einflusslinie aus- oder einspringend ist. Wenn, wie gewöhnlich, am Trägerende die Ordinate der Einflusslinie gleich Null ist, so entspricht das Ende einer einspringenden Ecke, da man sich die Axe als

Fig. 49.

IC

4-

J)

мл *

Theil der Einflusslinie nach aussen fortgesetzt denken kann; es wird also auch beim Ueberschreiten eines Trägerendes durch eine Last eine einspringende Ecke der Summen-Einflusslinie entstehen. So entsprechen in Eig. 49 die aus springend en Ecken c dem Ueberschreiten der ausspringenden Ecke (7, die einspringenden Ecken d, а, Ъ bezüglich dem Ueberschreiten der einspringenden Ecke D und der Enden А, B. Das Maximum der Einflussgrösse kann offenbar nur einer ausspringenden Ecke der Summen-Einflusslinie entsprechen. Wir können daher auch sagen: Das Maximum der Einflussgrösse

Y    tritt ein, wenn eine Einzellast an einer ausspringenden Ecke der Einflusslinie liegt.

Es kann allerdings zufällig der Fall eintreten, dass das Maximum von Y einer zur Axe parallelen Seite der Summen-Einflusslinie entspricht. In diesem Falle ist die Lage des Lastensjstemes für das Maximum von

Y    innerhalb gewisser Grenzen gleichgiltig.

_ ЯЛ

\ \ h r

A Y — e (By tanау — В„ tanсс„) = eh

Damit Y möglichst gross werde, wird man, falls Y positiv ist, das Lastensystem, nach rechts schieben müssen, wenn Bltanccl>~ Bstanccü ist. Hierdurch nimmt By tan ay ab und B„ tan ccQ zu, es nähern sich also Bltanai und B^tanaq immer mehr. Ist endlich so weit verschoben, dass By tan at <z В₂ tan , dann würde Y nicht mehr zu-, sondern abnehmen, man darf dann also nicht weiter nach rechts verschieben, muss vielmehr jetzt nach links verschieben. Die Bedingung für das Maximum von Y ist also, dass Bytanccy möglichst gleich B^tana^ oder

t>    e    Tt

-j¹ möglichst gleich werde, was wir folgendermassen schreiben wollen :

li    h

oder

1. jß, tan ccy X tan Uz

li

2.

§. 24. Ungünstigste Belastung bei dreieckiger Einflussfigur. Die Einflussfigur habe die dreieckige Form A G‘B (Fig. 50) und es sei AG = ly, B G — lq, AB — l, CG* — h. Die innerhalb der Strecken A G und B G liegenden Lasten mögen die Resultanten By und B₂ haben, deren Angriffspunkten die Ordinaten yy, y„ entsprechen, so dass Y=Blyl-f-B^y^ ist. Verschiebt sich das Lastensystem um e nach rechts,

Fig. 50.

D\

>r r

аЩ.

■< ly—X—

'X

— eB„ tanccç, wenn /_ CJAC = at, /_ С'ВC — ccq gesetzt wird; die Aenderung von Y ist demnach

so ändert sich yy und yz um bezüglich -f- e Bx tan ay und

fRz

'fr

ly    ln

oder: Das Maximum von Y tritt ein, wenn die Last pro Längeneinheit in den beiden Strecken ly und möglichst gleich ist.

Es muss hiernach das Lastensystem nach derjenigen Seite verschoben werden, in welcher die Last y- pro Längeneinheit den kleineren

Werth hat. Bei diesem Verschieben kommt eine Last G nach C; schiebt man das System noch weiter und ergibt sich dann, dass man das Lastensystem nach der anderen Seite schieben muss, so kommt die Last G offenbar nach G zu liegen; das Maximum von Y tritt also ein, wenn eine Last in G liegt, wie wir bereits im vorigen Paragrafe gesehen haben. Nur wenn zufällig genau Bytanay = B^tana^ ist, ist die Lage des Systems glichgiltig.

Die Verschiebung nach rechts oder links, jenachdem RJana^R^tancco hat zu erfolgen, auch wenn dabei eine Last vom Träger abläuft oder eine neue hinzukommt. Denn ist RltanalT> R„tana^, so ist nach rechts zu verschieben ; läuft die letzte Last rechts ab, so wird Д, kleiner, es bleibt also RltanalT> R^tana^; kommt links eine neue Last hinzu, so wird Rt grösser, es bleibt also ebenfalls R^tan^^ R^tana„. Eine neue Prüfung, ob nach rechts oder links zu schieben ist, hat also nur zu erfolgen, wenn eine Last den Punkt G überschritten hat.

Die Bedingung 1 kann allerdings erfüllt werden, wenn verschiedene Lasten bei C liegen. Da nun aber die Ordinaten der Influenzlinie von О aus nach beiden Seiten abnehmen, so werden jedenfalls bei G die schwersten, vielleicht dichtesten Lasten konzentrirt sein müssen.

Die Ungleichung 1 lässt sich auch schreiben:

3.

w h

I I, ~ l o *

в,

B₂ >

alsdann Ęr<Zj- ist. Die Theilung von ab in dem Verhältnisse lx : l„

kann in verschiedener Weise erfolgen, z. B. dadurch, dass man durch a und b Normalen zu den Geraden AC und B G zieht, welche sich in c⁴ schneiden; c liegt alsdann in der durch c‘ gehenden Horizontalen; die Höhe CC‘ der Einflusslinie AG¹ В ist dabei vollkommen gleich-gütig.

Theilt man hiernach die Gerade ab, welche der innerhalb AB liegenden Last Rx -j— Rq entspricht, im Punkte c in dem Verhältnisse ac:bc = lt : so muss diejenige Last G, welcher der Theilpunkt c angehört, bei C liegen Denn liegt G links, so ist nach rechts zu schieben, weil alsdann Y ist; liegt G dagegen rechts, so ist nach links zu schieben, weil

to

Ehe man weiss, welche Last bei G liegen muss, kann man natürlich im Allgemeinen auch nicht bestimmt wissen, welche Lasten überhaupt auf den Träger fallen; man muss also vorläufig die ungünstigste Lage schätzungsweise annehmen; hat man unter der Voraussetzung dieser vorläufig angenommenen Belastung die bei C liegende Last bestimmt, so muss man natürlich untersuchen, ob jetzt nicht einzelne Lasten hinzukommen oder wegfallen; erforderlichenfalls hat man die Untersuchung von Neuem zu machen.

Beispiel. Es sei folgende Belastung gegeben: Last Nr. I    11    III    IV

Druck    12    13    12

Abstand

VI

Ob

9 Tonnen.

1,3    1,3    4,0    1,5    1,5 Meter.

Es sei l. — 3,0m, L = 7,0m. Legen wir die I Last nach l,, so können nur die

12    В 43

Lasten II, III, IV, V 'in l₂ liegen. Es wird = y = 4,0, -y — — = 6,1, so dass nach links geschoben werden muss. Liegen jetzt I und II in lt, so können

zunächst die Lasten III, IV, F in l₂ liegen und es wird -p- = AA ₌

JS 30    ¹

-y¹ = -y = ^,<3, so dass jetzt nach rechts geschoben werden muss, es muss also die

Last II bei C liegen (Fig. 51). Für diese Lage wird, wenn die Höhe des Dreiecks =1 ist,

Г = 12 . ÿ + 13.1 + 12 .Ц- + 9 A-f -f 9 .Ц-= 32,02.

Fig. 51.

CL

</-3 —9 *...........7------

i 1,60 o,-» JV V

1,3

Nimmt man den Zug umgekehrt an und legt die Last VI nach l,, die Lasten V, IV, III

II nach so wird ~ = j = 3,0, ^ = y = 6,1, so dass nach links geschoben werden muss. Legt

jetzt VI und V nach IV, III, II nach l₂, so wird    — 6,0

*i    a

1,y fr 5

11 ЛГ

—/Ź5—I

ГН

И-

DH

man

■R    34c

= 4,9, so dass jetzt nach rechts verschoben werden muss. Es muss also

t,    7

die Last V nach C gelegt werden (Fig. 52).

Jedoch gibt diese Belastung kleinerer Werthe für Y, als die vorige Belastung, da bei C nicht nur kleinere Lasten, sondern auch Lasten mit grösserem

Abstande liegen; die Rechnung gibt Y=9.1jA~r 9.1-\-9.⁵-£ + 12 A-f +13 A-f = 23,51.

Um den Belastungszug gegen den Träger oder die Einflusslinie leicht in verschiedene Lagen bringen zu können, trägt man denselben, -wie schon oben bemerkt, am besten auf einen besonderen verschiebbaren Papierstreifen (Fig. 51b), den wir Lastenstreifen nennen, auf und zwar so, dass man durch Umdrehen des Papierstreifens den Zug auch in der entgegengesetzten Richtung anlegen kann.

Fig. 52.

■</4.3-

JsTTT^ Y~ö

IV

Ill I

§. 25. Ungünstigste Belastung für das abgestumpfte Dreieck. Das Dreieck AC'B (Fig. 53) sei durch die Seite E'E' abgestumpft und es sei die Projektion von E'E', D' C¹, E'C' auf die Axe AE bezüglich a, at, a₂. Die Resultanten der in den Strecken AE, ЕЕ,

ЕВ liegenden Lasten seien Rt, R, die Neigungswinkel der Seiten AE¹, E‘E\ E'B gegen AB bezüglich av а, a₂. Bei einer Verschiebung des Lastensystems um e nach rechts wird alsdann die Aenderung von Y

A Y — e [R, tanccx -f- R tana — R^tancc^].

Setzt man CC' = h, ЕЕ' = hv ЕЕ' = so wird \ = h (l —1‘),

К = h(l— )

mithin

,    h₂—h.

, Шй = — а

F'

[Ab

!"

bl

Fig. 53.

<---

_ T

...

\ R

а (? _    tanCC1 ~ Ь tanCC² “ . ’

AY = eh

/Ч

ц

— eh

Д i ^

X ⁺ ~ä

R.+R^- R₀+R^A а - ¹ а

а*

Als Bedingung für die ungünstigste Belastung ergibt sich hiernach ganz entsprechend dem vorigen Paragrafe:

\Aj

-B, + .B —

.    *    d

4.    ----

Das Maximum von Y tritt also wieder ein, wenn die Last pro Längeneinheit in den beiden Strecken Д lt möglichst gleich ist; hierbei ist aber die zwischen D und E liegende Last R nach dem Verhältnisse a,:a₂ in zwei Theile zu zerlegen, welche bezüglich zur linken und rechten Belastung zn rechnen sind.

Wenn, wie dies häufig vorkommt, der Punkt G in der Mitte zwischen D und E liegt, so ist demnach die Hälfte von R je zur linken und rechten Belastung zu rechnen.

Fig. 54.

>r

c'i

Je nachdem nun die linke oder rechte Last pro Längeneinheit die kleinere ist, muss der Lastenzug nach links oder rechts geschoben werden, wodurch sich entscheidet, ob eine Last bei D oder E liegen muss. Die im vorigen Paragrafe gezeigte grafische Bestimmung lässt sich auch auf den vorliegenden Fall ausdehnen. Theilt man die auf den Träger fallende Belastung ab (Fig. 54) in c in dem Verhältnisse lt : Z₂, so muss diejenige Last, in welcher c liegt, in dem fraglichen Fache liegen. Theilt man nun noch die in das fragliche Fach fallende Belastung de in f in dem Verhältnisse a,:a₂, so muss der Lastenzug nach A oder В hin geschoben werden, je nachdem f von c aus nach a oder b hin liegt.

Fig. 55.

—z~ > <-■

s—-1

Beispiel. Wir wählen dasselbe Beispiel wie im vorigen Paragrafe; nur sei das Dreieck abgestumpft mit a,—lm, аг—2т, а = 3m (Fig. 55). Legen wir zuerst die Lasten 1 und II nach DE, die Lasten III, IV nach EB, so wirkt pro 0,33 (12 + 13)

Längeneinheit links

= 2,8, rechts

0,67 (12 + 13) + 12 + 9

5,4; es muss also nach links geschoben werden. Legen

wir jetzt 1, II, III nach DE, IV nach EB, so wirkt pro Längeneinheit links

0,67 (12 + 13+ 12)+ 9 _

0,33 {12 + 13 +12)

= 4,1, rechts

4,8, es muss also

со

to

nochmals nach links geschoben werden. Legen wir nun I nach A D, II und III

12+0,33(13 + 12)

nach DJS, IV nach DJB, so wirkt pro Längeneinheit links 0,67 (13 + 12)+ 9 _

rechts

= 6,8,

3,7; es muss also nach rechts geschoben werden. Hier

nach muss die Last 1 bei D liegen.

§. 26. Ungünstigste Belastung bei polygonaler Einflussfigur. Bezeichnen wir die Resultanten der in den] einzelnen Strecken BC, CB,... (Fig. 56) liegenden Strecken mit Д Д, Д..., die Neigungswinkel der Seiten AC', C D‘, D' E‘... mit a, ax, a₂..., so ist die Aenderung der Einflussgrösse Y bei einer Verschiebung des Lastensystems um e nach links:

A Y — e(R tana -f- B₁tanal -f- Д tana„ -}-...).

Fig. 56.

Trägt man nun die einzelnen Lasten auf einer Vertikalen ab auf, so dass а Ъ gleich der Ge-sammtlast B + Bx +-... wird und legt durch а einen Linienzug aus Geraden, welche senkrecht .L auf den Seiten A C,

C'D', . . . stehen und welchen wir Normalenzug nennen, derart, dass die Ecken desselben auf den die Lasten B, Д, B,₂... trennenden Horizontalen liegen, so erhält man auf der durch Ъ gehenden Horizontalen einen Punkt k. Es ist alsdann Ък = В tana 4- Д tanax -f- Д tonat +.... Die Lage des Punktes к gegen b gibt daher an, in welcher Richtung der Lastenzug verschoben werden muss, damit Y wächst; denn liegt b auf derselben Seite, auf welcher der Normalenzug bei a liegt (hier rechts), so ist A Y positiv, es muss also das Lastensystem nach rechts verschoben werden; liegt к dagegen auf der anderen Seite, so müsste das Lastensystem nach links verschoben werden.

Bei vielen Ecken und vielen Lasten kann allerdings diese Untersuchung sehr zeitraubend werden, weil nach dem Ueberschreiten einer Ecke durch eine Last beim Verschieben die Konstruktion des Normalenzuges vom Neuen wiederholt werden muss, so dass man dann vielleicht besser wegkommt, die Einflussgrösse für einzelne Lagen des Lastenzuges zu bestimmen, um die Summen-Einfiusslinie auftragen zu können, wodurch gleichzeitig die ungünstigste Lage der Belastung, als auch das Maximum der Einflussgrösse selbst bestimmt sind.

's

E'

''s

—z—

Д''

C

>L_

K-

I. Abschnitt.

Die äusseren Kräfte der Balkenträger.

§. 27. Einleitung- Bei dem Balkenträger im engeren Sinne, wie wir ihn hier voraussetzen, wirken sämmtliche äussere Kräfte in vertikaler Richtung. Die Spannungen in irgend einem Schnitte hängen von zwei durch die äusseren Kräfte bedingten Grössen ab : nämlich von der Resultante der auf einer Seite des Schnittes wirkenden äusseren Kräfte und deren statischen Momente. Die erstere oder die Summe aller auf einer Seite eines Schnittes wirkenden äusseren Kräfte nennen wir die Transversalkraft (Yertikalkraft, Schubkraft, Scheerkraft, scheerende Kraft) und bezeichnen dieselbe mit Qг). Das statische Moment der Resultante oder die Summe der statischen Momente aller auf einer Seite des Querschnittes wirkenden äusseren Kräfte in Beziehung auf den Querschnitt selbst nennen wir kurz das Moment für diesen Querschnitt und bezeichnen dasselbe mit M\ dasselbe wird wohl auch Angriffsmoment oder Biegungsmoment genannt.

Ausser dem auf den Querschnitt selbst bezogenen Momente kann noch das Moment für einen nicht im Querschnitte liegenden Punkt in Betracht kommen. In diesem Falle ist das Moment ausser von der Lage des Querschnittes natürlich auch noch von der Lage des Momenten-punktes abhängig.

Wir führen die Transversalkraft Q als positiv in Rechnung, wenn sie auf den linken Theil nach oben oder auf den rechten Theil nach unten wirkt. Wir führen ebenso das Moment M als positiv in Rechnung, wenn dasselbe auf den linken Theil rechts drehend oder auf den rechten Theil links drehend wirkt, oder wenn es den Träger nach oben hohl (^) zu biegen strebt.

ł) Q soll an Qu er kraft erinnern, welche Bezeichnung wir wühlen würden, wenn nicht das Wort „Transversalkraft“ in fast allgemeiner Anwendung stünde.

A. Statisch bestimmte Träger.

IV. Kapitel.

Ständige Belastung,

a) Einfache Träger.

§. 28. Unmittelbar wirkende Einzellasten. Der Träger sei durch beliebig viele Lasten 6rn 6r„, 6r₃... belastet, welche von der linken Stütze В (Fig. 57) den Abstand |₂, |₃..., von der rechten Stütze B‘ den Abstand £/,    |₃' . . . haben. Die Entfernung der

Stützen sei l, der Druck auf dieselben B, BJ.

a) Rechnung. Der Stützendruck D, B‘ ergibt sich durch Aufstellung der Momentengleichungen für die Punkte В' und В zu

1) =

ii' + Ф» êv' + ja' + • • •

l.

jy _    + &зЁз +•    •

Sind Qlf Q₃... die Transversalkräfte für die einzelnen Strecken ACV Cx Cvj, CQG₃ ..., so wird

2. Qt = 1), Q„~D — Gl9 Q^n-O.-G.-Q,- G„...

Das Moment M im Abstande x von В wird

3. M=Dx — [_Gl(x- J,) + G„Jx — Je) — ...],

wobei sich die in Klammer gesetzte Summe auf alle liuks vom fraglichen Querschnitte wirkende Lasten zu erstrecken hat.

b) Konstruktion. Man trage die gegebenen Kräfte zur Bildung des geradlinigen Kräftepolygons der Reihe nach auf einer Geraden auf (Fig. 57) und ziehe nach den so erhaltenen Punkten von einem beliebig gewählten Pole 0 die Strahlen. Zu diesen Strahlen ziehe man zur Bildung des Seilpolygons zwischen den gegebenen Kraftrichtungen Parallelen. Schliesst man jetzt das Seilpolygon durch die Gerade BBJ, die sogenannte Schlusslinie und zieht durch 0 einen Strahl OE parallel zu BB‘, so stellen A^E und AeE die beiden in В und B‘ wirkenden, den gegebenen Lasten das Gleichgewicht haltenden Kräfte, d. i. die beiden Stützendrücke B, B‘ dar. Sonach wird

Ql == В — Qi —— В

Q* = D —    = Ax E — At As = EA„,

, —    = AtE — AtA₂ — As A₃ = E A₃ u. s. w.

d. h. die Transversalkräfte werden durch die Abstände der Punkte des Kräftepolygons vom Punkte E dargestellt. Es ist nun leicht, die Transversalkräfte als Ordinaten in dem betreffenden Querschnitte aufzutragen, wodurch die Figur 57 c entsteht. Die Transversalkräfte werden hiernach theilweise positiv, theilweise negativ.

Legen wir durch das Seilpolygon an beliebiger Stelle einen Vertikalschnitt IK, fällen von К auf BB' die Senkrechte KL, bezeichnen mit H die horizontale Seitenkraft der Spannung S des Seilstückes BB', mit M, wie oben, die Summe der Momente aller äusseren, links von IK wirkenden Kräfte in Beziehung auf IK, so ist für das Gleichgewicht gegen Drehung um den Punkt К die Bedingung zu erfüllen: M—S. KL oder M=S.IKcos/_1KL, oder, weil Z.IKL = J/SBE und 8cos/_SBH=H ist, M=H.IK oder

M=H.y,

wenn wir IK mit у bezeichnen. Hierbei ist H gleich dem normalen Abstande des Poles О von der Vertikalen, welche das Kräftepolygon

Fig. 57.

у if*

T)'

»ei

iBf

TT

JA'

------J—Æ*

.!

—T~As|-

ПП1Н1 J>-

■“Ai,

Gs

Um

G.

bildet oder gleich der Polweite. Das Moment ist also gleich dem Produkte aus der vertikalen Höhe des Seilpolygones in dem fraglichen Querschnitte und der Polweite. Hierbei ist natürlich H nach dem Kraftmassstabe, у nach dem Längenmass-stabe zu messen. Wählt man H gleich der Krafteinheit, so ist M=y, d. h. das Moment hat so viel Momenteneinheiten, als у Längeneinheiten. Das Seilpolygon liegt ganz auf derselben Seite der Schlusslinie, die Momente haben demnach sämmtlich dasselbe Vorzeichen; der in §. 27 gemachten Festsetzung entsprechend, sind sie positiv.

Ist das Moment Mx der links vom Schnitte IK wirksamen Kräfte für einen in der beliebigen Vertikalen NN (Fig. 58) liegenden Punkt zu bestimmen, so findet man, wenn Ix, Kx die Durchschnittspunkte von NN mit der Verlängerung der Schlusslinie und der vom Schnitte getroffenen Seite B„ B₃ sind, durch das Gleichgewicht gegen Drehung um den Punkt Kx in ganz gleicher Weise, dass

Fig. 58.

--ex

JN

Вз

Mx = H . yx

ist, wenn man IxKx == yx setzt. Für den Durchschnittspunkt V der Schlusslinie mit der Polygonseite B^B₃ wird hiernach Mx = 0; je nachdem der Momentenpunkt rechts oder links von V liegt, wird Mr positiv oder negativ.

Die Eigenschaft des Seilpolygones, dass das Produkt aus Polweite und Höhe das Moment darstellt, wurde zuerst von Culmann gefunden (Culmann, grafische Statik, Zürich 1864). Dies aber ist gerade die wichtigste Eigenschaft des Seilpolygones, welche dasselbe zu grafischen Untersuchungen im Gebiete der Statik so ausserordentlich tauglich macht. Dieser Satz allein würde fast genügt haben, Culmann als Begründer der grafischen Statik erscheinen zu lassen.

§- 29. Unmittelbare stetige Belastung, a) Rechnung. Ist q die Last pro Längeneinheit im Abstande x von der linken Stütze, so haben wir die bekannten Beziehungen

q = —

Durch ein- und zweimalige Integration erhält man hiernach die Ausdrücke für Q und Jf, wobei die Konstanten durch die Bedingung zu bestimmen sind, dass das Moment an den Lagern gleich Null werden muss. Man findet aber auch unmittelbar:

dQ

dM

dx ’    ® dx

— x) dx =

j q dx — -^-^qxdx, о    о

4.

Q = D-

jq dx — jqdx

O    x

jqxdx,

0

M = Dx —

jq{x

о

x J* q dx -f- J* q xdx

x    О

— J* qxdx. о

Bei symmetrischer Belastung kann zur Bestimmung der Integrationskonstanten auch die Bedingung, dass in der Mitte Q — 0 wird, benützt werden.

dM

Nach der Gleichung Q = selben Querschnitte ein, für welchen Q = 0 wird.

b) Konstruktion. Wir denken uns die Last q pro Längeneinheit als Ordinate in dem betreffenden Punkte aufgetragen (Fig. 59) und

nennen die so entstehende Fläche die Belastungsfläche.

Fig. 59.

ъ‘

e"

dx

tritt das Maximum von M in dem-

¹

Die Multiplikation einer Linie y mit dem Verhältnisse

kanntlich unter Benützung der Sätze von ähnlichen Dreiecken in verschiedenerWeise

durchführen. Wenn die Multiplikation mit demselben В Verhältnisse häufig vorkommt und b>a ist, so ist die folgende Methode besonders bequem. Man konstruirt das rechtwinklige Dreieck ABC (Fig.45) so, dass sich eine Kathete B A zur Hypotenuse C B wie a : b verhält. Macht man nun CB‘ = y und B‘A‘ senkrecht auf CA,

so ist A‘B'= ^ y. Diese Methode ist deshalb bequem,

weil die Länge von B‘A‘ mit dem Zirkel genau abgegriffen werden kann (indem man die eine Spitze in B‘ einsetzt und die andere so einstellt, dass eine aus B‘ geschlagener Kreis die Gerade CA tangirt), ohne die Gerade B‘A‘ selbst zu zeichnen.

A,

Das Seilpolygon geht hier in eine Seilkurve über, für welche natürlich dieselben Gesetze gelten, wie für das Seilpolygon.

E’

Legen wir an das Seilpolygon in den den Punkten D und E entsprechenden Punkten D' und JE' Tangenten, welche sich in C‘ schneiden, so geht durch CJ die Mittelkraft der in der Strecke DE liegenden Lasten oder О liegt vertikal unter dem Schwerpunkte der Fläche DD"E"E.

Denkt man sich nun die Last in einzelne Theile zerlegt, so werden die diesen Theilen entsprechenden Mittelkräfte sämmtlich durch die Durchschnittspunkte der Tangenten der Seilkurve für die den Trennungspunkten der Last entsprechenden Punkte gehen. Da die Tangenten den Strahlen, welche diesen Trennungslinien entsprechen, parallel sind, so bilden sie das Seilpolygon für die Einzellasten.

Wenn wir die stetige Belastung in beliebige Theile zerlegen und dieselben durch Einzelkräfte ersetzen, so sind die Seiten des entsprechenden Seilpolygons also Tangenten an die Seilkurve, wobei die Tangentialpunkte den Trennungslinien entsprechen. Hierdurch wird es möglich, beliebig viele Tangenten der Seilkurve zu konstruiren und mit Hilfe derselben die Seilkurve selbst zu verzeichnen.

Die Transversalkraft für irgend einen Querschnitt wird im Kraftpolygone von der zur Schlusslinie und der dem fraglichen Querschnitte entsprechenden Tangente der Seilkurve parallelen Strahlen abgeschnitten. Hinsichtlich der Momente ist das im vorigen Paragrafe Gesagte unmittelbar anwendbar.

Beispiel. Es sei q bestimmt durch die Gleichung

₇₎ X (l — x)

~B—p—•

Anwendung auf Fälle, in denen man das Eigengewicht variabel annehmen will und auf Träger für Brücken in Kurven, bei denen sich eine gleichmässig über die Bahn vertheilt angenommene Verkehrslast auf die Träger des veränderlichen Abstandes der Gleismitte halber ungleichmässig vertheilt.

§. 30 Unmittelbare gänzliche gleichmässige Belastung.

Ist der Träger über seine ganze Länge gleichmässig mit der Last g pro

Längeneinheit belastet, so ist jeder Stützendruck D — ^gl. Für irgend einen Querschnitt wird nun Q = D — gx und M=Dx — jg%q, d. i.

¹ g il — £ as),

6. Ж = -д- g ж {I — x).

Q wird -am grössten für x = 0 und x — Z, M dagegen wird am grössten für x = jj-l und zwar ist

gl\

7. Жак Q = ± * gl, ЖахЖ =

Die Transversalkraft wird durch eine Gerade dargestellt, welche die Axe in der Mitte schneidet (Fig. 60). Das Moment wird durch eine

Fig. 60.

Zunächst haben wir

= — jqdx = — Ax +

Die Bedingung, dass der Symmetrie halber für x = C = ~ Al — ~ В1 ; mithin wird

Bx^

Bx³

21

+ C.

Q>

= 0 werden muss, gibt

Q = ^Al{l-2^ Bl (l-eÇ

= 1лг0“'гт)[²

_ ?Х

X³

l³

Es wird nun ferner Ж = f Q dx, d. i. da für x — 0 auch M — 0 werden muss, M =

Ах (l — x) —

*)]■

Fig. 61.

D'

Jj

A\

Jb

В'

А'

Parabel mit vertikaler Axe dargestellt, deren Scheitel in der Mitte liegt (Fig. 61). Die Momentenlinie lässt sich leicht mit Hilfe der Tangenten konstruiren. Macht man im Kraftpolygone A‘В = В'В = ~ gl, so ist, wenn A F und BF die Endtangenten der Seilkurve darstellen, /\AEFcv/\OBA', also

FF : AE = A4) : OB oder EF : l = Л gl : H,

ql*

also EF =    Sollen die Höhen der Seilkurve die Momente selbst

darstellen, so ist H=1 zu nehmen; alsdann wird EF= J gl*— 2MaxM. Hm für irgend einen Punkt G die Tangente GR der Seilkurve zu konstruiren, ist zu beachten, dass nach dem vorigen Paragrafe G und H vertikal unter der Mitte von AG und B G liegen. Hieraus ergibt sich leicht, dass sich, wenn man A F und BF in eine gleiche Anzahl gleicher Theile theilt und die Theilpunkte entsprechend mit einander verbindet,

I'ig. 62.

r.

eine Schaar von Tangenten der Seiloder Momentenkurve entsteht (Fig.62). In Fig. 61 ist AG = 2 . AG', der Tangentialpunkt hat also vom Ende einen doppelt so grossen Abstand, als das betreffende Ende G der Tangente, wonach in Fig. 62 leicht die Tangentialpunkte zu bestimmen sind; dieselben liegen vertikal über den abwechselnden Theilpunkten der Endtangenten. Da die Durchschnittspunkte der Tangenten nach dem vorigen Paragraf in der Mitte zwischen den durch die Theilpunkte gehenden Vertikalen liegen, so werden auch die Durchschnittspunkte der Tangenten in Fig. 62 vertikal über den abwechselnden Theilpunkten der Endtangenten und die Tangentenpunkte in der Mitte zwischen den Durchschnittspunkten liegen.

§. 31. Mittelbare Belastung. Die mittelbare Belastung ist ganz nach §. 28 wie eine unmittelbare Belastung durch Einzellasten zu behandeln, wobei jedoch als Einzellasten die in den Querträgern oder Knotenpunkten übertragenen Kuotenlasten einzuführen sind (siehe §. 12).

Bei einem gegliederten Träger würden nur Einzellasten in Frage kommen. Bei einem vollwandigen Träger würde das Eigengewicht in zwei Theile zu zerlegen sein, nämlich das gleichmässig vertheilte Eigengewicht der Träger selbst und das sich nur an den Querträgern übertragende Gewicht der Bahn. Dem ersteren Theile entspricht eine gerade Transversalkraftlinie und eine parabolische Momentenlinie, dem letzteren dagegen eine staffelförmige Transversalkraftlinie und eine polygonale Momentenlinie. Die Addition beider Wirkungen gibt die in Fig. 63 dargestellten Linien.

Hinsichtlich der grafischen Behandlung ist nun noch das Folgende zu bemerken. Für irgend einen Querschnitt im Abstande F von der linken Stütze ist das Moment M =

Fig. 63.

Dx —    wenn Rt die Mittelkraft \

aller auf der linken Seite wirkenden Lasten und ihr Abstand vom Querschnitte ist. Ist R die Mittelkraft aller Lasten, § ihr Abstand von der

rechten Stütze, so ist D = Nun

sSÜH

7/

aber ist das Moment R% dasselbe, ob man die gegebenen Lasten oder aber die durch die Zerlegung derselben entstandenen Knotenlasten einführt, weil ja das statische Moment der Mittelkraft immer gleich der Summe der statischen Momente der Seitenkräfte ist. Es wird also auch der Stützendruck D sich gleich ergeben, ob man die gegebenen Lasten oder die Knotenlasten einführt. Legt man den Querschnitt an einen Querträger, so wird sich auch für Rx derselbe Werth ergeben, man mag bei der Bestimmung von Rx%x die gegebenen Lasten oder die durch ihre Zerlegung entstandenen Knotenlasten einführen. Man kann hiernach behaupten:

An den Querträgern sind die Momente dieselben, als bei unmittelbarer Belastung.

Fig. 64.

I

■B

Hiernach wird man zunächst das Seilpolygon für die gegebenen Lasten konstrui-ren. Verbindet man diejenigen Punkte desselben, welche den Querträgern entsprechen, durch Gerade (Fig. 64), so erhält man das den Knotenlasten entsprechende Seilpolygon.

Zieht man im Kraftpolygone Strahlen parallel zu den Seiten dieses Seilpolygons und zur Schlusslinie, so schneiden dieselben, dem §. 28 entsprechend, Strecken ab, welche den Transversalkräften in den einzelnen Fächern entsprechen.

Für irgend einen Querschnitt wird, ebenfalls dem §. 28 entsprechend, das Moment gleich dem Produkte aus der Poldistanz und der vertikalen Höhe des den Knotenlasten entsprechenden Seilpolygons. Hiernach werden die Momente für Querschnitte, welche zwischen den Querträgern liegen, etwas kleiner, als bei unmittelbarer Belastung.

Wir haben hierbei stillschweigend vorausgesetzt, dass auch über den Stützen Querträger liegen. Wenn dies nicht der Fall ist, aber

Fig. 65.

F’

Й

KV

'S

Querträger außerhalb der Stützen angeord-jT net sind, so kommen von den Lasten, welche innerhalb der Endfächer G В und DF (Fig. 65) liegen, natürlich nur diejenigen Seitenkräfte in Betracht, welche auf die durch den zu unter-suchenden Träger un-\J<? terstützten Querträger C und D wirken. Sind Oc, Oe die Strahlen, welche der zwischen C und F liegenden Last G entsprechen und zieht man den Strahl Oa parallel zu C'E\ so ist ac die in C wirkende Seitenkraft von (7; die Schlusslinie wird dementsprechend durch den Punkt A‘ zu ziehen sein, welcher in der Seite C‘E‘ vertikal unter der Stütze A liegt; ebenso verhält es sich auf der rechten Seite.

b) Ueberhängende Träger.

§. 32. Träger mit überstellenden Enden im Allgemeinen

1. Rechnung. Die in §. 28 aufgestellten Ausdrücke für die Stützendrücke bleiben auch beim Träger mit überstehenden Enden gütig;

nur sind im Ausdrucke für D die Momente 6r£' der rechts von der Stütze B (Fig. 66)

-—д-- -------1 liegenden Lasten und im Aus-

T Y у drucke für D‘ die Momente GI der links von A liegenden Lasten negativ einzuführen. Sind G', G",... die links von A liegenden Lasten, so sind die Transversalkräfte in den Strecken (70', C‘(7",... 8. Q' = ~G‘, Q“ — — (G'+ G“),...

J)

Fig. 66.

Or Oz , JB

V.

Gr' V

Das Vorzeichen — entspricht der in §. 27 gemachten Festsetzung. Sind 6r,, Gz,... die innerhalb AB liegenden Lasten, so sind die Transversalkräfte in den einzelnen Strecken ACy, CyC₂...

9. QX=J> — {G‘+GU+.Q,= Qy-Gy, Q*=Ql-(Gi+Ga),i..

Für das rechte überstehende Ende gelten die Regeln 8, nur sind die Transversalkräfte hier positiv.

Für irgend einen Querschnitt im linken überstehenden Ende ist das

Moment

wenn Ц', die Abstände der links vom Querschnitte wirkenden Lasten G¹, G“,... vom Querschnitte bezeichnen. Die Momente sind hier, der Festsetzung in §. 27 entsprechend, negativ. Für irgend einen Querschnitt innerhalb AB im Abstande x von A wird, ganz entsprechend der Formel 8:

И. Ж= Пх- (G'g' + G"à“ + ... + Gt £х + Gqg, + ...),

wenn £',    wieder die Abstände der links vom Querschnitte

liegenden Lasten bezeichnen. Für das rechte überstehende Ende gelten wieder die Regeln 10; auch hier sind die Momente negativ.

2. Konstruktion. Man konstruire, wie gewöhnlich, zu der gegebenen Belastung das Seilpolygon (Fig. 67). Die äussersten Seiten verlängere man nach innen bis zum Durchschnitte A‘ und B‘ mit den Stützenvertikalen, ziehe die Gerade A‘ B‘ und betrachte das zwischen den Enden C¹,

D* liegende Seilpolygon in Verbindung mit der gebrochenen Gera- F den C'A'B'D' als geschlossenes Seilpolygon.

Zieht man parallel zu A'B¹ einen Strahl OE, so stellen E F und E G die Kräfte dar, welche im Seilpolygon in A‘ und B‘ nach auf- ^ wärts angebracht werden müssen, um das Gleichgewicht herzustellen; ЕЕ und EG stellen also die Stützendrücke dar. Die Transversalkräfte

Winkler’s Brückenkau. Theorie. I. Heft.

Pig. 67.

\a

А\

’В'

Г/

in den drei Strecken CA, AB und BD werden daher dargestellt durch die Abstände der einzelnen Punkte des Kraftpolygons bezüglich von den Punkten F, E und G. Ebenso lässt sich genau, wie im §. 28 nach-weisen, dass das Moment M für irgend einen Querschnitt gleich ist dem Produkte aus der Polweite H und der dem Querschnitte entsprechenden vertikalen Höhe IK (Fig. 57) des Seilpolygones. Hierbei würden beim hängenden Seilpolygon die Momente positiv oder negativ zu nehmen sein, jenachdem IK unter oder über C'A'B'D' liegt. Zeichnet man das Seilpolygon, indem man die Polweite umkehrt, stehend (nicht als Hängewerk, sondern als Sprengwerk), so findet das Umgekehrte statt. Hiernach sind die Momente ausserhalb AB nur negativ, innerhalb AB aber entweder theils negativ, theils positiv oder nur negativ.

Wir haben in Fig. 67 eine unmittelbare Belastung durch Einzellasten vorausgesetzt. Das in §. 29 und 31 über stetige Belastung und mittelbare Belastung Gesagte lässt sich natürlich ebenfalls auf den Träger mit überstehenden Enden übertragen.

§. 32. Kontinuirlieber Gelenkträger. Diejenigen Träger-theile EF (Fig. 68), welche an ihren Enden durch die überstehenden Enden der auf die Pfeiler gelagerten Theile unterstützt sind und die wir

Fig. 68.

'\b

,    , fД, ff

<Cr

T Hl i

JB'¹

ïïiïïiTîT

lllllilll

«Su

Kv-

/j

schwebende Theile nennen, verhalten sich natürlich vollständig wie einfache Träger, sind also nach §. 28 bis 31 zu behandeln. Hierdurch ergeben sich auch die von diesen Theilen auf den überstehenden Enden E, F übertragenen Drücke. Sind diese aber bekannt, so sind auch die

auf den Pfeilern ruhenden Theile ganz nach dem vorigen Paragrafe als Träger mit überstehenden Enden zu behandeln.

Hinsichtlich der grafischen Behandlung ist hierbei noch das Folgende zu bemerken. Legt man zur Schlusslinie E'F¹ des schwebenden Theiles einen parallelen Strahl Ol und sind OV, OW die zu den äus-sersten Seiten des Seilpolygones des schwebenden Theiles parallelen Strahlen, so sind IV und IW die in E und F auf die überstehenden Enden anzubringenden Drücke. Demnach werden die äussersten Seiten des Seilpolygones für die gelagerten Theile AE und BF parallel zu Ol zu legen sein oder dieselben werden die Verlängerungen von E'F' bilden. Verlängert man dem entsprechend E'F' bis zum Durchschnitte B', D¹ der durch B, D gehenden Stützen vertikalen, so sind nach dem vorigen Paragrafe A'B' und C'D' die Schlusslinien für die Endfelder. Die Transversalkräfte und Momente sind nun durch den vorigen Paragraf bestimmt.

Anstatt das Seilpolygon für den ganzen kontinuirlichen Gelenkträger im Zusammenhänge zu zeichnen, kann man natürlich auch das Seilpolygon für die einzelnen Theile gesondert zeichnen. Man muss dann zunächst die Stützendrücke der schwebenden Theile bestimmen, welche alsdann für die übrigen Theile als Endlasten anzunehmen sind.

§. 34. Gänzliche gleichmässige Belastung des kontinuir-lichen Gelenkträgers. Wir wollen für den kontinuirlichen Gelenkträger noch die Ausdrücke hinsichtlich einer gänzlichen gleichmässigen Belastung durch die Last g pro Längeneinheit aufstellen.

1. Oeffnung mit zwei Gelenken. Ist die Entfernung CD (Fig. 69) der Gelenke = b, so ist die in einem Gelenke zwischen beiden Theilen wirkende Vertikalkraft = jgb, daher ist die Transversalkraft für einen um x von C abstehenden Querschnitt Q — j дЪ — gx oder

Fig. 69.

Д-- x.--Ąp

-5 в

,д

<-■

ъ-

12. Q —

a (b — 2æ),

wobei x positiv oder negativ zu nehmen ist, jeoachdem der Querschnitt rechts oder links von C liegt. Als Moment für diesen Querschnitt ergibt sich M — ~ gbx — j gx² oder

~gx{h - x),

wonach M positiv oder negativ ist, jenachdem der Querschnitt innerhalb oder ausserhalb der Gelenke liegt.

13. M =

4*

2. Endöffnung ohne Gelenk. Wir bezeichnen die Spannweite AB (Fig. 70) mit l, den Abstand AC des Gelenkes G von der Stütze

Fig. 70.

В i*-—л.—;>^L G

-------—— l---------------—Ъ'~—^

B mit а ■ wir haben zur Bestim-J) mung des Stützendruckes D in В die Gleichgewichtsbedingung gegen Drehung um А : Dl Ą-

дЪ . а — j gl? -*• — да? = 0, daher

1    ₇    1 а (а 4-Ъ)

—i—•

«r K.

1) =

Für einen Querschnitt im Abstande x von В wird nun Q = D — gx, Ж — D x —    gx'¹, d. i.

14.

/V    &    l

15. Ж—

1    /7 V 1    a{a-\-b)x

g x{l— as) — g —v j .

3. Mittelöffnung ohne Gelenk. Wir bezeichnen die Spannweite AB (Fig. 71) mit l, den Abstand der Gelenke C und D von A

Fig. 71.

F C A*#*\E    B D g

und B mit a und av die Längen der an G und D anstossenden schwebenden Theile mit b und

bv. Alsdann wirkt in G und D eine Last Ggb und — gbx, also

4—Ъ——7--------—bj—i>-

ist die Gleichgewichtsbedingung für Drehung um В: Dl—jgb(l-\-a) "f“ ~2 gbyCiy — g (l -f- ci -4- üy) y (J a — ai )> daher

D = jl [(l + a) (J + a + b) — ai («i + &,)]•

Für einen Querschnitt im Abstande x von A wird nun Q = D — — 9 (x + <*), M = Dx — j g Ъ (x + a) — j- g {x + a)² oder

16* Q = S? [7 (7 — 2x) + a {a + b) — ax (ax + &,)],

17. M =    [lx (I—x) — a(a-j-b) (I — x) — ал (at + 5,) as].

Wenn a = а,, Ъ = \ ist, so wird einfacher

ГО!

g [x (l — x) — a (a &)].

is. g = {«(î-H

Die grafischen Darstellungen von ф und Ж in diesen drei Fällen zeigen die Figuren 108 bis 110.

V. Kapitel.

Verkehrs - Belastung,

a) Einfache Träger.

§. 35. Einfluss einer Einzellast. Wir untersuchen zunächst den Einfluss einer beweglichen Einzellast G.

a) Transversalkräfte. Nehmen wir zuvörderst eine unmittelbare Belastung an, so ist die Transversalkraft für irgend einen Querschnitt, falls die Last rechts von demselben liegt, gleich dem linken Stützendrucke D, also der in §. 27 gemachten Festsetzung entsprechend, positiv. Liegt dagegen die Last links vom fraglichen Querschnitte, so ist die Transversalkraft — D — G, d. i., da D immer < G ist, negativ. Die Transversal к raft ist daher positiv oder negativ, je nachdem die Einzellast rechts oder links vom Querschnitte liegt.

Hat die Einzellast G von der rechten Stütze den Abstand §, so ist

£

JD = G y, demnach ist bei rechts liegender Last

Fig. 72.

Â.

dagegen bei links liegender Last

2. Q = D — G— — G

Die Einflusslinie besteht dementsprechend aus zwei parallelen Geraden BA‘ und AB' (Fig. 72 und 73), wobei AA' = BB' — G ist. Bei unmittelbarer Belastung sind diese beiden Geraden durch eine durch den fraglichen Querschnitt gehende Vertikale CE verbunden. Bei mittelbarer Belastung hat die Gleichung 1 und 2 dagegen nur Giltigkeit, wenn sich die Last ausserhalb der beiden Querträger C und E befindet, zwischen denen der fragliche Querschnitt liegt; die diesen Querträgern entsprechenden Punkte C' und E' der Einflusslinie sind nach §. 20 durch eine Gerade C'E' zu verbinden.

b) Momente. Wenn die Last G rechts vom fraglichen Querschnitte¹, der von der linken Stütze den Abstand x habe, liegt, so ist

H)-

£----------->i

B’

Fig. 73.

Al

JL-

! --------

■c-

\E-

................

das Moment M gleich dem Momente Dx des linken Stützendruckes, d. i. rechts drehend oder positiv. Liegt dagegen die Last links vom Querschnitte , so ist das Moment M gleich dem Momente D‘ (l — x) des rechten Stützendruckes, d. i. links drehend, also nach der Festsetzung in §. 27 ebenfalls positiv. Eine Einzellast erzeugt also stets ein positives Moment, wo sie auch liegen möge.

Hat die Einzellast von der rechten Stütze wieder den Abstand g, so ist D = G D‘ = D

— yj, mithin bei rechts liegender Last

3. M = Dx — -j- G

xi

und bei links liegender Last

4.

M= D‘ (l — x) = H- G ⁽i—~

Hiernach besteht die Einflusslinie aus zwei Geraden AF‘ und B F¹ (Fig. 74 und 75), welche sich in einem in der Querschnittsvertikalen liegenden

Punkte F‘ schneiden. Hierbei wird x (l — x)

Fig. 74.

F'

Es liegt somit der Punkt FJ auf einer Parabel mit vertikaler Axe, deren Höhe in der Mitte = j G l ist. Bei unmittelbarer Belastung (Fig. 74) reichen diese Geraden bis an die Querschnittsvertikale, bei mittelbarer Belastung (Fig. 75) dagegen nur bis an die Vertikalen, welche den den fraglichen Querschnitt einschliessenden Querträgern G, F entsprechen; zwischen diesen ist nach §. 20 eine geradlinige Verbindung CJ F‘ durchzuführen.

Fig. 76.

Fig. 75.

SS

гл>

CT F

Die Gleichungen 3 und 4 L gelten auch dann noch, wenn "B der Momentenpunkt nicht im fraglichen Querschnitte liegt ; nur bedeutet in diesem Falle x den Abstand des Momen-tenpunktes I (Fig. 76) von der linken Stütze A, wobei x positiv oder negativ zu nehmen ist, je nachdem I rechts oder links von A liegt. Auch hier besteht die Einflusslinie aus zwei Geraden AC‘, BE\ welche durch einen

-------------------

und denselben Punkt I' gehen, der in der Vertikalen des Momenten-punktes liegt. Liegt der Momentenpunkt innerhalb der Stützen A, B, so ist das Moment nur positiv ; liegt er dagegen ausserhalb der Stützen, wie in Fig. 76, so ist das Moment theilweise positiv, theilweise negativ.

3. Ungünstigste Lage der Einzellast. Nach den Ausdrücken 1 bis 4 und den denselben entsprechenden Einflusslinien folgt, dass sowohl die Transversalkraft, als das Moment um so grösser werden, je näher die Einzellast bei unmittelbarer Belastung dem Querschnitte, bei mittelbarer Belastung dem Fache, welchem der Querschnitt angehört, liegt. Transversalkraft und Moment werden also am grössten, wenndieLast bei unmittelbarer Belastung am Qu erschnitte, bei mittelbarer Belastung an einem der das fragliche Fach begrenzenden Querträger liegt.

§. 36. Ungünstigste gleichmässige Belastung. Durch die im vorigen Paragrafe bestimmten Einflusslinien ist gleichzeitig die ungünstigste Belastungsweise gegeben.

Die Transversalkraft wird hiernach zum positiven und negativen Maximum bei theilweiser Belastung und zwar ist für das positive Maximum die rechte Seite von der rechten Stütze aus, für das negative Maximum die linke Seite von der linken Stütze aus zu belasten. Bei unmittelbarer Belastung muss hierbei die Last bis zum Querschnitte reichen, während sie bei mittelbarer Belastung bis zu dem entsprechenden neutralen Punkt H (Fig. 77) reichen muss. Dem vorigen Paragrafe entsprechend, lassen sich die neutralen Punkte H leicht konstruiren, indem man durch A und В zwei beliebige parallele Gerade AB' und B A' legt und in den zwischen diesen Parallelen durch die Querträgervertikalen abgetheilten Fächern die links fallenden Diagonalen zieht (Fig. 77). AB kann hierbei auch eine schiefe Lage haben. Bezeichnen wir den Abstand des neutralen Punktes H vom rechten Querträger E mit I, die Fachweite GE mit a, den Abstand BE mit xv so

Д| 4~ I

A‘

K-

Fig. 77.

—a—>

ist, wenn in H eine Einzellast G liegt, B — G

also

Q= G

-e

а xx — (I — a) £

al

Da aber für den Punkt H Q = 0 werden muss, so wird

axx

Da das Moment (wenn der Momentenpunkt im Querschnitte liegt) stets positiv ist, wo auch die Einzellast liegt, so wird das Moment zum Maximum bei gänzlicher Belastung des Trägers.

Liegt der Momentenpunkt nicht im Querschnitte, so wird das Moment zum Maximum, 1. falls der Momentenpunkt zwischen den Stützen liegt, bei gänzlicher Belastung; 2. falls der Momentenpunkt ausserhalb der Stützen liegt, bei theilweiser Belastung (Fig. 76).

§. 37. Grösste Transversalkraft bei gleichmässiger Belastung. Die gleichmässige Belastung pro Längeneinheit sei p.

Fig. 78.

a) Unmittelbare Belastung. Wenn n!    der Träger vom Querschnitte aus bis zur

I    rechten oder linken Stütze belastet ist

. (Fig. 78), so wird die Transversalkraft be-I züglich gleich dem linken oder negativen rechten Stützendrucke-, demnach ist, wenn der Querschnitt von der linken Stütze den Abstand x hat,

Fig. 79.

.D

-JC-

max (+ Q) = -f-

p (l—xY

6.

21

I max (— Q) = +

px¹

21

Hiernach lässt sich max (± Q) durch zwei Parabeln mit vertikaler Axe darstellen, deren Scheitel bezüglich an der rechten und linken Stütze liegen (Fig. 79).

V:

Wirken das Eigengewicht und die Verkehrsbelastung gleichzeitig, so kommt noch der durch die Gleichung 5 (S. 45) bestimmte Ausdruck hinzu. Man hat also

7.

шах (+ Q) =

2x) +

p(l — x\

21

шах (— Q) =

2x) —

p я?

21 '

Hiernach lässt sich auch unter Berücksichtigung des Eigengewichtes max (± Q) durch zwei Parabeln mit vertikaler Axe darstellen (Fig. 80), deren Scheitel indess nicht mehr den Stützen entsprechen. Die Stützweite theilt sich dementsprechend in drei Theile AG, CD, BD derart, dass Q im linken Theile nur positiv, im rechten Theile nur negativ, im mittleren Theile dagegen positiv und negativ werden kann. Setzt man

АС = хх, so würde zur Bestimmung von xl in der zweiten der Gleichungen Q = О, X = x, zu setzen sein; hierdurch ergibt sich

8. —

Fig. 80.

wonach x, um so grösser wird, je grösser das Eigengewicht gegen die zufällige Last ist.

6) Mittelbare Belastung. Wenn der Träger von der rechten Stütze aus bis zu einem Punkte H (Fig. 81) des fraglichen Faches belastet ist, und A wie im vorigen Paragrafe AC = x,

В E X,, EH = % gesetzt wird, so ist der linke Stützendruck В—ff, die in C wirkende Seitenkraft der Belastung des Faches CE = p mithin

Im

(я, 4- £)"

ii]

a J

Um das Maximum von Q zu erhalten, ist für I der Ausdruck 5 einzusetzen. Dies ^4 gibt

Fig. 81.

B'

C\

^----n

9. max (+ Q) = +

px,

2(1— a)

p (l — а — xY 2 (l— a)

Für das Eigengewicht wird Q = D — gx —у да = j g(l — a — 2x), also wird die Gesammtwirkung

10. max (-f- Q) = ^g(l—a—2x)

I P(l—«—ac)2 +    2(1— a)

Das negative Maximum erhält man durch Vertauschung von x mit xx und Umkehrung des Vorzeichens in dem Gliede mit ff. Hiernach ist das Maximum der Transversalkraft ebenso gross wie bei einem Träger mit der Stützweite l — a bei unmittelbarer Belastung und zwar an e i n e m [Quer schnitte,

Fig. 82.

j\

■''V

SjSSippL

welcher für das positive und negative Maximum von der linken und rechten Stütze bezüglich den Abstand x und xt hat, wonach auch leicht die grafische Darstellung mit Hilfe der Parabel erfolgen kann (Fig. 82).

Wir wollen noch den Mittel werth von Q feststellen unter der Voraussetzung, dass nur die eine Trägerhälfte in Betracht kommt. Setzen wir diesen Mittelwerth

■j l mitt Q = jQ dx о

von Q — mitt Q, so ist olfenbar

oder gleich der der linken Trä

gerhälfte entsprechenden Transversalkraftfläche. Die Ausführung gibt, wenn man für Q die Formeln 7 einführt,

a.

b.

mitt max (— Q) — — gl — V (I —2a).

§. 38. Grösstes Moment für gleichmässige Belastung.

Da das grösste Moment für irgend einen Querschnitt bei gänzlicher Belastung eintritt, so gelten hier dieselben Regeln, wie für die ständige Belastung nach §. 30 und 31.

a)    Unmittelbare Belastung. Für den Querschnitt im Abstande x von der linken Stütze wird nach Formel 6 (S. 45) für das Eigengewicht M = j gx(l—x), mithin für die Verkehrslast M=^px{l—x), folglich als Gesammtwirkung

11.    M=~(g + p)x(l~x).

b)    Mittelbare Belastung. Hat der Querschnitt von den Stützen den Abstand x und l—x, von den nächsten Querträgern den Abstand Ц, a — {*, während der Abstand der Querträger =a ist, so ist für die zwischen den beiden Querträgern liegende Last (g -f- p) a allein bei unmittelbarer Belastung M — Dx — j (g + p) für mittelbare Belastung Ш — Dx — j (g -f- p) a I, also ist das Moment im letzteren Falle um 4 (9 + P) £ (a — £) kleiner, als im ersteren. Für die übrige Belastung ist das Moment in beiden Fällen dasselbe. Da nun für unmittelbare Belastung M = ~(g — p) x (l — x), so ist für mittelbare Belastung

12. M —

^ (<7 +P) [x (I — x) — £ (a - i)].

Bei Yollwandigen Trägern würde sich dieser Ausdruck indess nur auf die Verkehrslast und die Bahn beziehen; für das Gewicht der Träger seihst hat natürlich die Regel für unmittelbare Belastung in Anwendung zu kommen.

M dx

Bezeichnen wir wieder den Mittelwerth von M mit mitt M, so ist ЭК l

oder gleich der Momentenfläche. Setzt man für M den Ausdruck 11, so gibt die Ausführung

a. mitt M =

J2 (0 + V) ?²-

Bei mittelbarer Belastung ist von der Momentenfläche ~ (g -J- p) l³ für jedes Fach j2~ (gp) a*³ abzuziehen. Hierdurch ergibt sich

-J2 (9 + P) № — a2)*

b. mitt M =

Der Parameter der Parabel, deren Ordinaten M darstellen, ist gĄ-p, also von der Spannweite unabhängig. Steiner schlägt deshalb zum Zeichnen der Momenten-lcurve die Anwendung einer Parabel-Schablone vor.

§. 39. Ungünstigste unmittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten. Die Bestimmung der gefährlichsten Belastung kann nach der allgemeinen Behandlung in §. 23 und 24, mit Rücksicht auf die in §. 35 bestimmte Form der Einflusslinien erfolgen, so dass wir uns hier kurz fassen können.

a) Transversalkräfte. Dem §. 24 entsprechend, wird die grösste Transversalkraft dann entstehen, wenn eine der Einzellasten am fraglichen Querschnitte liegt. Da nur rechts vom Querschnitte liegende Lasten positive Transversalkräfte erzeugen, so wird für das positive Maximum eine der vorderen Lasten am Querschnitte liegen müssen. Wenn die vordere Last dicht rechts vom Querschnitte liegt, so ist die Transversalkraft, falls R die Mittelkraft aller Lasten, £ ihr Abstand von der rechten Stütze ist, bestimmt durch

Ql = Rt

Verschiebt man nun das Lastensystem nach links, so dass die zweite Last dicht rechts vom Querschnitte liegt, so wird die Transversalkraft, wenn man die vordere Last mit 6r, ihren Abstand von der zweiten Last mit e bezeichnet und wenn beim Verschieben um e neue Lasten mit der

Resultante G' auf den Träger rücken, deren Abstand von der rechten Stütze = e⁴ ist,

Qx l = R (I -f e) + G⁴e' — Gl

Hiernach wird > Q, wenn

13. Gl <Z Re "J- Gr'ß‘

ist. Wenn die grössten Lasten mit dem kleinsten Radstande vorausschreiten, so ist unbedingt — >

da e'<e und l — x-\- e <il ist, Gl > Re -f G* e' ; in diesem Falle muss also unbedingt die vordere Last am Querschnitte liegen. Nur wenn leichte Lasten vorausschreiten, kann die zweite Last am Querschnitte liegen müssen. Es ergibt sich in gleicher Weise, dass die dritte Last am Querschnitte liegen müsste, wenn die Bedingung 13 und die folgende

В + G‘ l — x 4- e

Be + G‘e l — x -f- e

, mithin auch,

Gtl С Rex -j- G‘ex -j- G^e“

erfüllt sind, wobei Gx die zweite Last, ex ihren Abstand von der dritten Last bezeichnet, und wenn beim Verschieben um ex noch Lasten mit der Resultante Gu und dem Abstande e" von der rechten Stütze auf den Träger rücken. Bei den üblichen Belastungen der Eisenbahn- und Strassenbrücken dürfen indess immer nur Lasten auf der rechten Seite des Querschnittes Hegen. Bei Strassenbrücken hat hierbei das hintere Wagenrad am Querschnitt zu liegen, während die Pferde nach der rechten Seite gerichtet sind. Für das negative Maximum der Transversalkraft ist einfach das „rechts“ mit „links“ zu vertauschen.

V) Momente. Da die Einflusslinie nach §. 35 ein über die ganze Stützweite reichendes Dreieck ist, dessen grösste Höhe sich am fraglichen Querschnitte befindet, so folgt aus §.24, dass eine der Einzellasten am fraglichen Querschnitte liegen muss und zwar diejenige, für welche

17. -ËS ~

x l — x

ist, wenn Rx und Д, die auf beiden Seiten des Querschnittes liegenden bezeichnen; es muss also die Last pro Längeneinheit auf beiden Seiten des Querschnittes möglichst gleich sein.

Die Art und Weise der Anwendung dieser Regeln, sowie die grafische Bestimmung der ungünstigsten Belastung ist in §. 24 gezeigt worden. In Fig. 9\d ist noch eine andere Form der Konstruktion dargestellt. Man trägt auf einer Stützenvertikalen die Lasten in ihrer Reihenfolge auf und legt durch die Punkte dieses Kräftepolygones Horizontalen. Man zieht nun die Diagonale, welche sämmtlichen auf den Träger liegenden Lasten entspricht, die allerdings für die einzelnen Querschnitte veränderlich sein kann. An einem bestimmten Querschnitte C muss alsdann diejenige Last liegen, in deren Fache der dem Querschnitte C entsprechende Punkt C" der Belastungs-Diagonale liegt, weil der Punkt C‘ die ganze Belastung Ca Cb in dem Verhältnisse x* : l — x theilt.

Die Querschnitte, für welche eine Aenderung der Belastungsart eintritt, können in dreifacher Weise entstehen: 1. Es bleibt dieselbe

Last am Querschnitte liegen, aber es ändert sich die Anzahl der Lasten; für diese Querschnitte liegt eine Last aut einer Stütze. In Fig. 91 sind dies die Querschnitte s und t, für welche die Last VI über der rechten Stütze liegt. 2. Es ändert sich die am Querschnitte liegende Last, aber es bleibt dieselbe Gesammtbelastung ; diese Querschnitte entsprechen einem Durchschnitte der Belastungs-Diagonale mit einer Horizontalen,- in Fig. 91 ist dies der Querschnitt Je, welcher dem Durchschnittspunkte К entspricht. 3. Es ändert sich die am Querschnitte liegende Last, aber auch die auf dem Träger liegende Gesammtbelastung. In Fig. 91 ist v ein solcher Querschnitt. Die Bestimmung dieser Querschnitte, welche durch quadratische Gleichungen bestimmt sind, ist weniger einfach.

Fig. 83.

7 6    5    432    10Г 2'3‘4‘ 5‘ 6‘ 7'

444777    777    777444

а : 0 — 4, 0 -4‘ Ъ -.0 1 34 2‘ 3‘ Ъ‘:0 1‘3‘4‘ 2 3

\Тч

2//У

«\»

г'

1_\,0

10-

\B

Göbel zeigt in der „Theorie der Maximalmomente einfacher Träger“ (Mainz 1883) die Konstruktion eines Netzes zur schnellen Bestimmung derjenigen Last, welche für maxM am Querschnitte liegen muss. Diese „Tafel der Bereiche der massgebenden Lasten“, wie er das Netz nennt, wird dadurch erhalten, dass man die Stützweite so aufträgt, dass beide Enden auf den Schenkeln eines Winkels A OB (Fig. 83) liegen und in jeder Stützweite die Grenzpunkte markirt, innerhalb deren eine ganz bestimmte Last am Querschnitte liegen muss. Fig. 83 entspricht einer symmetrischen Belastung und OC der Mitte der Stützweite. Die dem absoluten Maximum von M entsprechenden Querschnitte sind durch strichpunk- ^ tirte Linien angegeben. Ueber die Natur und Konstruktion der Linien des Netzes siehe das genannte Werk. Wenn für dieselbe Belastung die Momente bei sehr verschiedenen Stützweiten zu bestimmen sind, so kann dieses Netz in der That gute Dienste leisten.

\\\

1'4

W4

1b

Z1 \\

03

Die Regel, dass die ungünstigste Belastung hinsichtlich der Momente diejenige ist, bei welcher die Last pro Längeneinheit auf beiden Seiten möglichst gleich gross ist, wurde zuerst vom Verfasser aufgestellt (Zeitschr. des österr.

\ \\

ъ \ \ \г'

q\|    3

\___A—-•

Ingen.- u. Arch.-Ver. 1870), nachdem nachgewiesen worden war, dass bei einer stetigen Belastung genaue Gleichheit der Lasten pro Längeneinheit stattfinden müsse. Die auf demselben Satze beruhende Regel für die zur Herbeiführung der ungünstigsten Belastung nöthige Verschiebung eines Systèmes von Einzellasten wurde zuerst von Schaffer (Erb-kam’s Zeitschr. für Bauw. 1870) aufgestellt. Die in Fig. 91 cZ vorgeführte, auf demselben Satze beruhende Darstellung wurde zuerst von Weyrauch (Zeitschr. des hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1875) angegeben.

¹

Q — D — H- G

§. 40. Ungünstigste mittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

so

a) Transversalkräfte. Für das positive Maximum der Transversalkraft muss, dem §. 24 und 35 entsprechend, eine Einzelkraft am rechten Querträger E (Fig. 81) des fraglichen Faches liegen. Bezeichnet man die Mittelkraft aller rechts von E liegenden Lasten mit Rv den Abstand des neutralen Punktes H von E mit £ und BE mit xt muss nach §. 24

14.    - - - K'

I    Xy

oder

sein. Da nach Formel 5    — a)=axl ist, so wird auch R(l— a)'X,Bla

oder Bl Ж (В -f- -ß, ) a oder

Es soll also die in den Strecken AB und CE liegende Last auf die Längeneinheit möglichst gleich gross sein.

V) Momente. Die Einflusslinie ist hier nach §. 35 ein über die ganze Stützweite reichendes Viereck, von dem zwei Ecken den Querträgern entsprechen, zwischen denen der fragliche Querschnitt liegt. Nach §. 25 muss eine der Einzellasten an einem der beiden das fragliche Fach begrenzenden Querträger liegen und zwar muss hierbei die Bedingung

R„ + ^R 1 1 а    ¹ 1 а

16.--'sr —---

l — X

erfüllt sein, wenn В die im fraglichen Fache liegende Belastung, В jß₂ die links und rechts vom fraglichen Fache liegende Belastung, a,, a2 den Abstand des Querschnittes vom linken und rechten Querträger bezeichnet. Es muss also die Last pro Längeneinheit auf beiden Seiten des fraglichen Querschnittes möglichst gleich gross sein; hierbei ist die im fraglichen Fache liegende Last im Verhältnisse der Entfernung des Querschnittes von den beiden Querträgern in zwei Theile zu zerlegen, welche zur Belastung der bezüglichen Seite des Trägers zu rechnen sind.

Die Anwendung dieser Regeln wurde bereits in §. 24 und 25 gezeigt. Wir wollen indess noch eine der im vorigen Paragrafe für unmittelbare Belastung gezeigten Konstruktion entsprechende Bestimmung vorführen. In Fig. 96 & ziehe man von dem dem fraglichen Fache CE entsprechenden neutralen Punkte H aus die entsprechende Belastungsdiagonale HB₄; schneidet dieselbe die dem Querträger E entsprechende Vertikale in e, so theilt e die Belastung В -f- Bx im Verhältnisse % : £ -f x, ; nach der Beziehung 14 wird daher diejenige Last, welche der Punkt e

entspricht (hier die II. Last) für maxQ bei E liegen müssen. Zur Bestimmung der ungünstigsten Belastung für max M ziehe man die Belastungsdiagonalen sowohl hinsichtlich der möglichen Gesammtbela-stung, als der hierbei möglichen Belastung des fraglichen Faches CE. Die dem fraglichen Querschnitte F entsprechende Vertikale schneide die Diagonale A₀B₃ für die Gesammtbelastung A₀Bb in f und die Diagonalen CXE₃ und C₀E₃ für die Belastung des Faches CE in fx und f₂. Alsdann ist F₀f:Föf—x:l— x und für die Belastung von CE

durch die Lasten II und III: F₀fx = Rt В , jP₅ U = Rq 4* В dagegen für die Belastung von CE durch die Lasten I, II, III: F₀ f₂ = Rx + R F₅f₂ = Rs + R Der Bedingung 16 entsprechend, muss das Lastensystem bei der Belastung von CE mit II und III nach rechts, bei der Belastung von CE mit I, II, III nach links geschoben werden; in beiden Fällen kommt die Last I nach C zu liegen, welche Belastung also für den Querschnitt F die ungünstigste ist. Für die Querschnitte, welche den Durchschnittspunkten g und h entsprechen, ist die Lage der Belastung, so lange innerhalb AB und CE dieselben Lasten bleiben, gleichmütig.

§. 41. Grösste Transversalkraft für unmittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

a)    Rechnung. Sind für das positive Maximum von Q die einzelnen Lasten Gv G₂,..., ihre Abstände von der rechten Stütze g/,

und ist С die Summe aller links vom fraglichen Querschnitte liegenden Lasten, so ist, dem §. 28 entsprechend,

G-iè\‘ + fot la' +• • •

— Cr,

17. шах (+ Q) =

Fig. 84.

______

J-

......

Für das negative Maximum ist rechts mit links zu vertauschen und das Vorzeichen umzukehren.

..•i

b)    Konstruktion. a) Stützendruck.

_____

........

.....

........

ГТ

Der Belastungszug sei von rechts so weit vorgerückt, dass die vordere Last in C liegt. Man konstruire für diese Belastung das Kraftpolygon EG (Fig. 84) und das entsprechende Seilpoly-gon. Wir haben hierbei А

den Pol О in der durch E gehenden Horizontalen, dementsprechend die erste Seilpolygonseite AC horizontal angenommen. Zieht man jetzt der Spannweite AB entsprechend die Schlusslinie AB' und parallel zu derselben den Strahl OF, so ist nach §.28 EF der linke Stützendruek D. Nun aber ist /\OEF oo /\ABB', mithin AB : В B‘ = OE : EF. Setzt man OE = Д В B' = y, so wird, da EF — D, AB = l ist,

l : у = H : D,

mithin

*>=¥-■

Hierbei sind l und у Längen, H und D Kräfte. Man erhält aber bei einem Produkte zweier Linien, von denen die eine eine Länge, die andere eine Kraft darstellt, denselben Werth, wenn man die Massstäbe vertauscht; man kann also auch H nach dem Längenmassstabe, у nach dem Kraftmassstabe messen. Macht man alsdann H = l, wie es in Fig. 84 geschehen ist, so wird sehr einfach

В = y.

Besonders bequem wird die Konstruktion, wenn man das Seilpolygon in umgekehrter Lage konstruirt, so dass die vordere Last in В liegt; es kann dann В als Pol, die Vertikale AA‘ als Kraftpolygon benützt werden. Alsdann ist die Ordinate GC\ welche der Lage der vorderen Last entspricht, der linke Stützendruck D.

in Fig. 85 nochmals durchgeführt. Wenn dagegen die zweite Last am Querschnitte liegen muss, so zieht man einfach von der der vorderen

ß) Transversalkraft. Wenn für das Maximum von Q die vordere Last am Querschnitte liegen muss, so ist der linke Stützendruck gleichzeitig das positive Maximum der Transversalkraft. Die Konstruktion ist Fig. 85.

Г""

Last entsprechenden Ordinate des Seilpolygons, welche nach dem Vorigen den linken Stützendruck darstellt, die vordere Last ab. Durch dieses Verfahren verschiebt sich das Seilpolygon um den Abstand der beiden ersten Lasten nach rechts und um die erste Last nach unten. Konstruirt man beide Seilpolygone, so entspricht an einem bestimmten Querschnitte die grössere der beiden Ordinaten der Maximal-Transversalkraft.

Diese grafische Bestimmung des Stützendruckes und die darauf gegründete Konstruktion der Maximal-Transversalkraft wurde zuerst vom Verfasser (Zeitschr, des österr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1870) gegeben.

§. 42. Grösste Transversalkraft für mittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

a) Rechnung. In dem .für unmittelbare Belastung geltenden

'c

Ausdrueke 17 ist offenbar nur G — für G zu setzen, wenn a den Abstand der Querträger bedeutet, zwischen denen der fragliche Schnitt liegt und I den Abstand der Resultante der zwischen diesen Querträgern liegenden Lasten vom rechten Querträger; es wird also

i/ + Qg &'+• • ♦

18. max (+ Q) =

Natürlich kann auch für (7 g die Summe der Momente der einzelnen zwischen beiden Querträgern liegenden Lasten in Beziehung auf den rechten Querträger genommen werden.

Ь) Konstruktion. Die im vorigen Paragrafe gezeigte Konstruktion des Stützendruckes, welcher von der Lage der Querträger unabhängig ist, bleibt natürlich auch hier giltig. Dieselbe Konstruktion aber macht man für jedes einzelne Fach, d. h. man bestimmt grafisch den Druck, welchen die Zwischenträger durch ihre Belastung durch Einzellasten auf die Querträger übertragen, indem man ein Seilpolygon kon-struirt, für welches die vordere Last am rechten Querträger liegt und für welches die Polweite gleich der Fachweite a ist (Fig. 86). Haben alle Fächer dieselbe Weite a, so ist selbstverständlich die Konstruktion nur einmal nöthig. Liegt nun die vordere Last im Fache CE bei H, so ist HH' der linke Stützendruck.

Entspricht nun dem Punkte H die Höhe lih' des für das Fach CE konstruirten Seilpolygones eh'c', wobei also eh — ER ist, so ist hh' gleich dem vom Zwischenträger CE auf den Querträger C übertragenen Drucke. Macht man daher RH“ = hh', so ist HR“ die Transversalkraft für das Fach CE bei der angenommenen Belastung.

Konstruirt man in jedem Fache Polygone in der Weise, dass man die Ordinaten der den Fächern entsprechenden Seilpolygone von den oberen Enden der Ordinaten des Seilpolygons BH'A' nach unten abträgt, so entsprechen die höchsten Punkte dieser Polygone in jedem Fache offenbar der Maximaltransversalkraft für dieses Fach.

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Fig. 86.

Jv

fl'

c‘

/\

[/

77 il Ж ,    /

Ш

u? (гг Ста

ff-’’

Liegt in dem Fache GE nur eine einzige Last G im Abstande g von E, so ist der vom Stützendrucke abzuziehende

Druck in C — G -J-; macht man in Fig. 87 cc‘ = G

und zieht die Gerade de, so ist hh‘ = G —. Es

a

ist diese Konstruktion indess mit der vorigen übereinstimmend, da eh¹ die erste Seite des Seilpolygons mit der Polweite a ist.

Fig. 87.

YA

§. 43. Grösstes Moment für unmittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

d) Rechnung. Es seien Gv ćr₂,... die auf der linken Seite des im Abstande x von der linken Stütze liegenden Querschnittes liegenden Lasten, |jIf £₂,... ihre Abstände von der linken Stütze, ferner GG

die auf der rechten Seite des Querschnittes liegenden Lasten,

.. ihre Abstände von

Dt

Fig. 88.

, fecüs^lrrr

V”-

---5»

Gs G, Gl С

«e-

С'

■■ -t

G"

der rechten Stütze (Fig. 88). Alsdann ist der linke Stützendruck bestimmt durch Dl — Gx (l — £t) -f ćr₂ (I —1₂)G“

Das Moment Ж für den fraglichen Querschnitt wird nun Ж = Dx — Gx (x — £,) — G„ (x — |₂) — .... Die Einsetzung des Ausdruckes für D gibt:

(g.l. + g,&+    +    + Gj“+...)x

Die im Querschnitte selbst liegende Last kann entweder zur linken oder rechten Seite gerechnet werden. Ist diese Last G, so ergibt sich für dieselbe im Zähler das Glied Gx (l — x).

Sind die Abstände vom fraglichen Querschnitte für die linken Lasten ex, e₂,..., für die rechten Lasten e\ e“,... und ist die Summe _j_ ... G‘ + G“ ... aller Lasten =B, so lässt sich der vorige Ausdruck leicht in die Form

20. M=

H x (l— x)—{Gxex+Gą во+. • ■) (l—as)—((*'e+G“e“+ . ) x

bringen. Die grafische Darstellung von Ж liefert hiernach als Momenten-linie eine Parabel. Kommt für das Maximum von Ж eine neue Last an den Querschnitt zu liegen oder vermehrt oder vermindert sich die Zahl der auf dem Träger ruhenden Lasten, so entsteht natürlich eine neue Parabel. Demnach wird die das Maximum von Ж enthaltende

Linie eine aus einzelnen Parabeln zusammengesetzte Kurve sein. Beispielsweise ergibt sich für zwei gleiche Lasten im Abstande a, je nachdem die linke oder rechte Last am Querschnitte liegt,

311 = G (21 — a — 2x) X Ml — G (l — x) (2X — a), wonach sich Fig. 89 (für a = 0,51) ergibt. Für drei gleiche Lasten G, welche unter sich den Abstand a haben, wird, je nachdem die erste, zweite oder dritte Last am Querschnitte liegt,

Ml = 3 Gx (l — a — x)

■ Ml — G [Зх (l — x) — al]

. Ml = 3G (l — x) (x — a),

wonach in Fig. 90 (für a = 0,31) die Darstellung erfolgt ist.

Fig. 90.

Fig. 89.

Die Berechnung kann man erleichtern, wenn man die Momenten-summen Gx ex + G₂ea -f-... und G'e' 4- G“ e“    annimmt, indęm

man dabei von denjenigen Achsen, die in der Begel am Querschnitte liegen müssen, ausgeht, wie z. B. im folgenden zuerst von Dr. Zimmermann (Das Momentenschema, Zeitschr. des hannoverschen Arch.- u. Ingen.-Ver. 1877) angegebenen Schema:

G = e =

13.    9    9

2,6 6,6 8,1

12,8

Cb

372

15,3 14,0 12,7 8,7 7,2 5,7 1,3 0    1,3 5,3 6,8 8,3 11,5

757 558 376 211 133 68 17 0    17    65    126 201 293

ZG =85,5 72,5 59,5 46,5 37,5 28,5 19,5 6,5 6,5 19,5 28,5 37,5 46,5 54,5 ZGe —

16,6 15,3 14,0 10,0 8,5 7,0 2,6 1,3 0    4,0 5,5 7,0 10,2

877 661 462 280 (190 114 51 17 0    36    86 149 230

ZG = 98,5 85,5 72,5 59,5 50,5 41,5 32,5 19,5 6,5 6,5 15,5 24,5 33,5 41,5 ZGe —

Ъ) Konstruktion. Man konstruire zunächst für das gegebene Lastensystem das Kraft- und Seilpolygon (Fig. 91). Um nun an irgend einem Querschnitte das Moment zu bestimmen, bestimmt man zuvörderst nach §. 39 diejenige Last, welche am Querschnitte liegen muss. Von dieser Last G aus^trägt man auf einer horizontalen Axe XX' die Strecken

ca — CA und со — CB auf und legt durch a und b Vertikalen, welche das Seilpolygon in А' und В' schneiden. Die Gerade A‘B‘ ist alsdann

Fig. 91.

Xft

die Schlusslinie und das Moment Ж für den Querschnitt G ist jetzt gleich dem Produkte aus der Polweite H und der der Last G entsprechenden Höhe С' II. Zur Darstellung der Momentenlinie trägt man G'II nochmals als Ordinate in G auf.

-_I Yï C

О 1 S:Z T\3 ‘t k\5

\b

i    TL

Ukj

lei

:Ц

С*

в₅

Bei grösseren Spannweiten genügt es, in dieser Weise die Momente für einzelne Querschnitte {10 bis 20 Theile der ganzen Stützweite) zu bestimmen und die so erhaltenen Punkte durch eine Kurve zu verbinden. Bei kleineren Spannweiten erscheint es rathsam, die einzelnen Parabeln, aus denen die Momentenlinie besteht, ein Stück über die Strecke, für welche sie Giltigkeit haben, fortzusetzen, um die Schnitte dieser Parabeln sicherer zu erhalten.

Lassen wir die Schlusslinie auf zwei Polygonseiten, welche sich in

Fig. 92.

'fr

By

-Ö-

В, Д

А₀

С„

в₀

S schneiden (Fig. 92), gleiten, so beschreibt der Punkt C'y welcher von А, В den Horizon-talabstaud lt, l,₂ haben möge, eine Linie ECJD. Bezeichnen wir die Ordinaten der Punkte A', B‘, G‘ in Beziehung auf die durch S gehende Horizontale mit yx f/₂, у und den Abstand SG₀ mit x, so ist SAii — ll +#, SB₀ =    — x, also, wenn man /_A‘ SA₀ — a, /_ B‘SB₀ = ß setzt,

yl — (ll-\~x)tana, y₂=(l₂— x)tanß. Ferner wird nun y = ylj -f y^j-

Die Einsetzung der Ausdrücke für yt und y„ gibt zwischen x und y eine Gleichung ersten Grades, der Punkt E beschreibt also eine Gerade. Diese Gerade nennt Wittmann die Momentenabscisse für den Querschnitt C. Liegt der Punkt A‘ in S, so falle C' nach D\ liegt Ъ* in S, so falle C nach E. Alsdann ist offenbar DE die fragliche Gerade, wobei die Horizontalprojektion von SD und SE bezüglich 7, und 2₂ ist. Demnach ist die Momentenabscisse eine Schlusslinie für den symmetrisch zu C‘ gelegenen Querschnitt F. Legt man im Kraftpolygone eine Parallele Oc zu DE, so theilt c die gesammte auf A'B‘ liegende Belastung ab in dem Verhältnisse der Stützendrücke, welche in E und D entstehen, wenn diese Last in S liegt; es verhält sich demnach ac :bc — lx : 2„. Mit Rücksicht auf das Gleiten der Schlusslinie auf dem Seilpolygone wird nun О natürlich ein Polygon beschreiben. Die Höhen zwischen diesem und dem Seilpolygone entsprechen dem Momente am fraglichen Querschnitte. Das Maximum des Momentes kann offenbar nur über einer Ecke des Seilpolygones entstehen, d. h. dann, wenn eine Last am Querschnitte liegt, was bereits früher in anderer Weise nachgewiesen wurde.

Die Konstruktion der Momente in der vorgeführten Weise (Fig. 91a, c) zeigte zuerst Culmann (Grafische Statik, I. Aufl. Zürich 1866). Culmann zog es indess vor, die ungünstigste Stellung des Lastenzuges durch Probiren zu finden. Man kann indess mit Benützung der in §. 24 und 39 aufgestellten Regeln zur Bestimmung der ungünstigsten Belastung doch schneller zum Ziele gelangen.

§. 44. Grösstes Moment für mittelbare Belastung durch ein System von Einzellasten.

a) Rechnung. Die Berechnung des Momentes bleibt hinsichtlich derjenigen Lasten, welche ausserhalb des fraglichen Faches oder an den begrenzenden Querträgern liegen, ganz dieselbe. Haben die innerhalb des Faches liegenden Lasten die Resultante Gt und ist    deren Ab

stand von den beiden Querträgern, x,, xtl der Abstand dieser Querträger von den Stützen, so ergibt sich leicht als Ausdruck für das Moment M' dieser Lasten

Ъ/L - [^l (J Ж) ^2 "i“ Xq X ^i].

Die Momentenlinie ist, so lange das Lastensystem seine Lage beibehält, eine Gerade. Da indess die ungünstigste Belastung für verschiedene Querschnitte des fraglichen Faches eine verschiedene sein kann, so wird sieh das Maximalmoment innerhalb des fraglichen Faches durch eine gebrochene Linie darstellen lassen. Indessen kommen für alle Querschnitte eines Faches gewöhnlich nur zwei oder drei verschiedene Laststellungen in Betracht, so dass die Momentenlinie innerhalb eines Faches meist nur

eine oder zwei Ecken haben wird. Ist CG⁴ das Maximalmoment bei C

und für diese Lastenstellung ЕЕ" das Moment bei E, so wird das Moment fiir diese Lastensfcellung durch die Ordinaten der Geraden C'E“ dargestellt. Fig. 93.

Ist nun EEf das Maximalmoment bei E und

C"

für diese Lastenstellung CG“ das Moment bei C, so entspricht dem Momente für diese Lastenstellung die Gerade EC". Da CG' und ЕЕ die Maximalmomente bei G und E darstellen, so muss CC"<zCC‘ und ЕЕ" < ЕЕ sein, die beiden Geraden G‘ E" und E' G" werden sich also innerhalb GE schneiden, Kommt noch eine dritte Stellung in Betracht, so wird dieser eine Gerade C'"E‘" entsprechen, welche die beiden vorigen Geraden ebenfalls innerhalb GE schneidet. Die Momente würden also immer kleiner sein, als sie der Sehne C'E' entsprechen würden. Nur iu einem Endfache muss das Moment an der Stütze immer Null sein, für alle Belastungen muss also die Momentenlinie immer durch den der Stütze entsprechenden Punkt der angenommenen Axe gehen; in einem Endfache kann also nur eine einzige Lastenstellung als die ungünstigste in Betracht kommen oder es wird das Maximalmoment nur durch eine einzige Gerade dargestellt. Als Beispiele sind in Fig. 94 und 95 die Momentenlinien für dasselbe Lastensystem, wie in Fig. 89 und 90, jedoch unter Voraussetzung von bezüglich drei und vier Fächern dargestellt.

Fig. 94.

Fig. 95.

/[

\\

Ъ) Konstruktion. Man konstruirt zunächst für jeden Querträger das Maximalmoment, wie im vorigen Paragrafe gezeigt; für dieselbe Lage des Lastenzuges, also mit Hilfe derselben Schlusslinie, bestimmt man aber noch das Moment am benachbarten linken und rechten Querträger. Durch geradliniges Verbinden der so aufgetragenen Punkte erhält man bereits die Momente in der Nähe der Querträger richtig. Es bliebe dann noch zu untersuchen, ob vielleicht für mittlere Querschnitte andere Laststellungen grössere Momente geben; im bejahenden Falle sind auch in gleicher Weise für diese Laststellungen die Schlusslinien einzutragen, die Momente an den Querträgern des 'fraglichen Faches zu bestimmen und die hiernach aufgetragenen Punkte geradlinig zu verbinden.

Die bereits im §. 37 und Fig. 96 & gezeigte grafische Bestimmung der ungünstigsten Belastung wird von Alm qui st in Stockholm (Civilingenieur 1884) in fol-

Fig. 96.

gender Weise nachgewiesen. Lässt inan auf dem

Seilpolygone P (Fig. 97) die Schlusslinie und zwar sowohl für die Stützweite AB = 1 des Hauptträgers, als auch für die Stützweite CE=a des Zwischenträgers gleiten, so beschreiben die dem fraglichen Querschnitte F entsprechenden Punkte zwei Polygone P‘ und P“.    A

Da C E‘ eine Seite des Polygones der Knotenlasten ist, so ist das Moment in F = H.F‘F“,

Das grösste Moment in F kann nun offenbar nur über einer Ecke des Polygones P“ entstehen, d. h. wenn eine Last in C oder A E liegt. Ausserdem aber erfordert das Entstehen des Maximums noch, dass die an Fanstossenden Seiten des Seilpolygones P“ mit der Seite des Polygones P‘, in welcher F‘ Hegt, nach beiden Seiten hin konvergiren. Legen wir durch den Pol О Parellelen Om, On zu den ersteren Seiten und eine Parallele Op zur letzteren Seite, so wird die Bedingung des Konvergirens erfüllt, wenn p zwischen m und n liegt. Nach dem vorigen Paragrafe aber wirdy) die gesammte Last ab im Verhältnisse ap :bp =

X : l — X und m und n die bezüglichen im Fache СE liegenden Lasten in dem Verhältnisse CF : EF = a, : a₂ theilen. Auf demselben Gesetze aber beruht die in Fig. 96 b gezeigte Konstruktion. Die Punkte g,h, in denen sich die Diagonalen schneiden, entsprechen offenbar den Ecken der Momentenlinie. Diejenigen Ecken, welche einer Aende-rung der Gesammtbelastung des Trägers und auch einer Umkehrung des Lastenzuges

-"i

ПН\

iff

К.

А'

Fig. 97.

<вл

л'

=<>

Äk

Р"

71у

о.

IL

V-

1Л

It

JS

\У

IX

entsprechen, sind indess nur durch die Konstruktion der Momentenlinien selbst zu bestimmen; so entspricht in Fig. 96 die Ecke i einer Umkehr des Lastenzuges; für Querschnitte links von i ist die in Fig. 97 angegebene Lage des Lastenzuges, für Querschnitte rechts von г dagegen die umgekehrte Lage die ungünstigste.

§. 45. Absolutes Maximum der Momente- Da bei unmittelbarer Belastung für irgend einen Querschnitt das Moment M zum Maximum wird, wenn am Querschnitte eine Last liegt, so wird auch an demjenigen Querschnitte, an welchem das grösste dieser Maxima oder das absolute Maximum eintritt, eine Last liegen müssen.

1. Rechnung. Es seien В die Resultante aller Lasten, Bx und die Resultante der auf der linken und rechten Seite des Querschnittes liegenden Lasten, e, und e₂ ihre Abstände vom Querschnitte. Alsdann ist nach Formel 20

Ml = Bx(l — x) — Bex (I — x) — B„etlx. Hiernach wird M zum Maximum für

21. В (l — 2x) -f- Bx ex — Räe₂ = 0

oder für

-ß| 0₍    ü'n 0Q

2 It

22. * = ^ +

Bezeichnet man den Abstand der Resultante В aller Lasten vom Querschnitte mit e, wobei e als positiv zu nehmen ist, wenn die Resultante auf der rechten Seite liegt, so ist Be = Bze% — Bxex\ mithin kann man auch schreiben:

23. x —

Hiernach liegt die Trägermitte in der Mitte zwischen dem gefährlichen Querschnitte und dem Schwerpunkte sämmt-licher Lasten. Durch Einsetzung dieses Ausdruckes erhält man als wirkliches Maximum von Ж:

24. Max M— 5 lil —-4

— Д <га + еа)

(R| в, -J- 4**2 (i,2) “I“ R, 01 “4" lig e>>

<ić, с, -

4 lii

41

— It -; — Дхех.

I/

Man bestimmt

Hiernach würde in folgender Weise zu verfahren sein: zunächst diejenige Last, welche vermuthlich am gefährlichen Querschnitte liegen wird. Dies kann mit Hilfe der in §. 39 aufgestellten Bedingung 14 zunächst noch nicht mit voller Bestimmtheit geschehen, weil man x noch nicht genau kennt. Man wird zunächst annähernd x = I annehmen, also diejenige Last an den Querschnitt legen, für welche die

Last auf jeder Seite möglichst gleich gross ist. Sodann bestimmt man nach Formel 22 das x. Man kann jetzt nachsehen, ob die auf dem Träger angenommenen Lasten möglich sind, d. h. ob nicht zu viel oder zu wenig Lasten angenommen waren ; erforderlichenfalls muss das x vom Neuen bestimmt werden. Man bestimmt dann nach Formel 24 MaxM. Da nun für ein anderes x auch die am Querschnitte liegende Last eine andere werden kann, so ist es immer noch möglich, dass das wirkliche Maximum von M unter einer anderen Last entsteht; es wird deshalb im Allgemeinen die ßechnung noch für eine zweite, wohl auch dritte, am Querschnitte liegende Last zu führen sein. Statt dessen kann man in folgender Weise noch eine Bedingung aufstellen, unter welcher das Maximalmoment unter einer angenommenen Last grösser ist, als unter den beiden benachbarten Lasten. Das Maximalmoment MaxMx unter der nächsten, links von der am Querschnitte angenommenen Last G liegenden und von dieser um ax abstehenden Last erhält man, wenn man in Formel 24 Rx (e, — ax) statt Rxex und Jß₂ (e₂ + at) -\- G ax statt R₂ e2 setzt. Dies gibt

MaxMx —

RI--[-ß| (c, — at) + R» + «i) 4" Gat]

[.В, (ег — ax) —    (e₂ -4- a\) —

+------Tri '    "    ‘

= MaxM -f-    [2 (Rx — -ß₂ — G)l — 2 {Rxex —Д,е₂) -j- Rax]

oder, wenn man Rx — R₂ — G = Rx — (R — Rx) — 2Rx — R und nach Formel 21 Rx ex — R„ez = R (2x — l) setzt,

MaxM; = MaxM—    |

Damit nun MaxM ;> MaxMx werde, muss R {x —    a^> Rxl

Damit MaxM auch grösser, als das Maximalmoment unter der rechts von der Last G liegenden Last sei, ergibt sich ebenso die Bedingung

r(1—x

sein.

^a₂j >* B,₂l. Beide Bedingungen kann man in der Form

- >

25.

M,

Mn

T»«

zusammenfassen.

1st ausser den Einzellasten noch eine gänzliche gleichmässige Belastung g pro Längeneinheit vorhanden, so kommt im Ausdrucke für M auf der rechten Seite noch j g x (l — x) hinzu. Dies hat den Erfolg, dass in den für x und MaxM gütigen Ausdrücken 22 und 24 R 4- y gl statt R zu setzen ist.

2. Konstruktion. Gleitet eine Schlusslinie auf dem Seilpolygone (Fig. 98), so umhüllt dieselbe, so lange ihre Enden auf denselben Seiten des Seilpolygons bleiben, eine Parabel mit vertikalen Durchmessern. Bei

Fig. 98.

a,

jo /

\J/

weiterer Bewegung wird / sie eine aus Parabelstücken B zusammengesetzte Linie umhüllen. Die vertikale Höhe D G von einer Ecke D bis zur Schlusslinie AB entspricht dem am Angriffspunkte der Last G wirkenden Momente. Am grössten wird nun offenbar DC, wenn die Gerade AB die erwähnte Umhüllungs-kurve in C tangirt, so dass das Maximum des bei D stattfindenden Momentes dem Уertikalstande des Seilpolygons und der Umhüllungskurve bei D entspricht. Die Konstruktion der Tangente AB ergibt sich durch folgende Betrachtung.

Die Verlängerung der Seiten, auf welchen AB gleitet, mögen sich in E schneiden. FG sei die Tangente für den Punkt H der Parabel, welcher in der durch E gehenden Vertikalen, also in der Mitte von F G liegt, und I der Durchschnittspunkt zwischen AB und FG. Ziehen wir durch A eine Parallele zu EB, welche F G in К schneidet, so sind die Horizontalprojektionen von A F und AK gleich, da diejenigen von EF und EG gleich sind. Da aber auch die Horizontalprojektionen von F G und AB, also auch die von A F und GB gleich sind, so muss AK = GB sein. Da die Dreiecke AKI und В Gl ausserdem in den Winkeln übereinstimmen, so sind sie kongruent, also AI=BI. Da HI und CI Tangenten sind, so müssen die Horizontalprojektionen von HI und CI gleich sein. Der Mittelpunkt I der Tangente AB liegt also in der Mitte zwischen den durch die fragliche Seilecke D und den Durchschnittspunkt E der Verlängerungen der Seilpolygon s ei ten, auf welcher AB gleitet, gehenden Vertikalen. Dieser Satz ist übereinstimmend mit dem oben aufgestellten Satze, nach welchem der Querschnitt für MaxM und der Schwerpunkt sämmtlicher Lasten gleich weit von der Mitte der Stützweite abstehen. Da die Horizontalprojektion von AB — I ist, so ist somit die Konstruktion von AB sehr leicht durchzuführen. Natürlich ist die Konstruktion für einige Ecken zu wiederholen, um diejenige zu bestimmen, für welche M wirklich zum absoluten Maximum wird.

Der Satz, dass die Mitte der Stützweite in der Mitte zwischen der Resultante sämmtlicher Lasten und dem Querschnitte, an welchem M zum Maximum wird, liegt,’

ist zuerst von Culm an n (Grafische Statik, Zürich 1866) aufgestellt worden. Die Bedingung 25 wurde zuerst von Scholin (Mittheilungen des Arch.- u. Ingen.-Ver. in Böhmen, 1877) entwickelt.

Fig. 99.

Beispiel. Ein Träger mit 12m Stützweite sei durch das in Fig. 99 dargestellte Lastensystem belastet. Wir nehmen als erste Näherung den gefährlichen Querschnitt in der Mitte an. Legen wir die Lasten I, II links, so finden rechts nur die Lasten III. IV, V Platz; es liegt dann links 13 + 13 — 26, rechts 13+7 + 7 — 27, es muss also nach links geschoben werden; es muss demnach die Last III am Querschnitte liegen. Für diese Lage wird

0,02,

7.5,0 -f 7.3,5 — 13.1,5 — 13.3,0 _ 1,0 e ~    7 + 7 + 13 + 13+13    ~ 53 ~

= 5,99, l — x = 6,01.

12 — 0,02

Wenn wir jetzt wieder I und II auf die linke, III, IŸ, V auf die rechte Seite legen, so liegt pro Längeneinheit links

26

4,34, rechts

27

6,01

= 4,48, es muss

5,99

also wieder nach links geschoben werden, die angenommene Lage des Lastensystemes ist also beizubehalten. Die Last VI findet auch für diesen Werth von x keinen

Platz. Ferner wird nun

-Bi

26

53

Kl

5,62

4,63,    -j— —    — 4,42,

ü₂

14

5,14

= 2,73.

Die Bedingung 25 ist hiernach nicht erfüllt. Es wird daher noch nöthig, die Last II an den Querschnitt zu legen, wobei wir zunächst wieder annehmen, dass die Lasten J bis V Platz finden. Es wird jetzt:

7.6,5 + 7.5,0+ 13.1,5 — 13.1,5    80,5

7 + 7 + 13 + 13 + 13    —    ~

12 — 1,14 _

53

1,14,

5,43, l — x = 6,57.

Für diesen Werth von x finden, wenn die Last II am Querschnitte liegt, in der That die Lasten I bis V Platz. Wenn wir I, II auf die linke, III, IV, V auf die rechte

26

Seite legen, so liegt pro Längeneinheit links

= 4,8, rechts

27

= 4,1, so

5,43

dass nach rechts geschoben werden muss, wonach in der That die Last II am Querschnitte liegen muss. Es wird jetzt

6,57

R,

13

5,05

= 2,57,

53

12 4,42>

R₂

27

-a₂

6,19

= 4,36.

Die Bedingung 25 ist somit erfüllt. Für diese Lage des Lastensystemes wird nun nach Formel 24:

Max M =

53.5,43ł

12

— 13.1,5 = 110,7.

Für die vorige Belastung, bei welcher die Last III am Querschnitte liegt, würde — —13.1,5 — 13 » 3,0 = 100,0, also in der That kleiner.

MaxM =

53.5,99²

12

§. 46. Lastensystem aus Einzellasten und gleichmässiger

Belastung. Es kommt bei Strassenbrücken vor, dass statt einzelner

Wagen nebst Pferden eine grössere Wirkung durch Menschengedränge entsteht. So kann hinsichtlich der Transversalkräfte an der einen Stütze statt der Achsendrücke Menschengedränge (Fig. 100) und hinsichtlich der Momente an der einen Stütze statt der Pferde Menschengedränge (Fig. 101), vielleicht auch an der anderen Stütze statt der Achsendrücke

Fig. 101.

Fig. 100.

Menschengedränge vorauszusetzen sein. Hat diese gleichmässige Belastung p pro Längeneinheit auf der linken und rechten Seite bezüglich die Lange £ und so sind beide Stützendrücke

D = [i (ui - 8 + |д d‘ = r + i, m - 6,)]-

Die Transversalkraft und das Moment für einen nicht durch die gleichmässige Belastung belasteten Querschnitt werden

Handelt es sich um das absolute Maximum des Momentes, so ist I = X — cl} I, = l — X — c₂ zu setzen, wenn cx und c₂ den Abstand des Endes der gleichmässigen Belastung vom Querschnitte bedeutet. Daher wird

27. M = jL [(X — cxY (l — x) + (I — я — сйУх].

In Folge dessen kommt in der Gleichung 21 zur Bestimmung von x auf der linken Seite noch für die linke Belastung -jp{x—cx)(2l + c, — 3x) und für die rechte Belastung -jP(l — x — cq) (l —    — 3x) hinzu.

Die Gleichung zur Bestimmung von x wird dadurch allerdings eine quadratische.

Bei der grafischen Bestimmung ist im Seilpolygone für die gleichmässige Belastung die entsprechende Seilkurve anzuschliessen. Zeichnet man ausser dieser Seilkurve auch noch das Seilpolygon für den Fall, dass statt des Menschengedränges Wagen vorhanden sind, so ist von diesen beiden Linien alsdann an jeder Stelle nur diejenige beizubehalten, welche das grösste Q oder M gibt.

§. 47. Brücken mit krummliniger Bahn. Wir wollen eine in der Kurve liegende Eisenbahnbrücke mit zwei Trägern voraussetzen. An irgend einem Querträger oder einer Querschwelle sei der Achsendruck = 2 Gr, der Druck auf den inneren und äusseren Träger Dv D₂, der

Abstand der Träger = b, der Abstand der Gleismitte von den beiden Trägern bn b₂, die Gleis weite s, die Schienenüberhöhung h, die Höhe des Schwerpunktes der Wagen über der Bahn    die Centrifugalkraft

pro Achse = C. Alsdann ist

+ Ghv

D, Ъ — 2 Cr

(\ + », I) - Ch„ D,h = aa(b,~ h, I)

Ist r der mittlere Krümmungsradius, g die Beschleunigung der Schwere,

C3

c die Geschwindigkeit, so ist C = 2G —, mithin 28. D

2 G /,    . h.h

ir{b> + -T

hxh b, c²\ s gr) ‘

Die Schienenüberhöhung h wird gewöhnlich so bemessen, dass für Schnellzüge y — ist; alsdann aber ist

gr

2G L

irl⁶'

29. D

= 2Gf-, D₂

= 2&4-

о

= 4- —, mithin

gr 4 s’

Für Güterzüge ist die Geschwindigkeit ungefähr halb so gross; alsdann würde —

30. D, =

тг(>

3 h. h

D’ = ir{b

3h. h

Wir wollen hiernach allgemeiner

_ 2G (6„ + ß„)

31. D. =

_ 2G(b,+ß,)

setzen, wobei nach dem Vorstehenden ßa = ßi—O zu setzen wäre. Da ungefähr b, = 1,1s ist, so wird annähernd ßt = 0,83h.

Das Verfahren zur statischen Berechnung kann nun ein verschie

denes sein.

1. Die Ordinaten

Fig. 102.

der Einfiusslinien ändern sich gegenüber den geraden Brücken in dem

-8 (b, + ßt)

ч:

Verhältnisse und

beispielsweise Fig. 102, hinsichtlich der Einflusslinien für einen Stützendruck und für das Mo-ment in der Mitte zeigt. ^

Mit Hilfe der so geänderten Einflusslinien kann man nun für das gegebene Sjrstem

wie dies

von Einzellasten

in der allgemeinen Weise (§. 23) die Maxima von Q und M bestimmen.

2. Ist die gleichmässige Belastung für die gerade Brücke j», für die beiden Träger der in der Kurve liegenden Brücke pv jp₂, so ist

2 p (b, + ßi)

32. Pl =

2p (lq + ßq)

> Pi —

Ist der Abstand der Gleismitte von den Trägern in der Mitte der Stützen-weite = at, a₂, so ist im Abstande x von der Mitte &, = a, —-ту, K = «2 + -Jy, aise

33.

p, -    («. + A +

2p

Pt = -iT

(“■ + if)-

Die Transversalkraft wird nun nach der allgemeinen Beziehung dQ=pdx mit Rücksicht auf den Umstand, dass in der Mitte Q = 0 sein muss,

d. i.

Qx —Jpidx, Qq = Jpadx

о    0

2 (    хг\

Qi — P x • у “Ь ßi J ‘

34. Q, — px . у ßi + g—J>

Die Momente werden nach der allgemeinen Beziehung dM= — Qdx mit Rücksicht auf den Umstand, dass an den Enden M = 0 werden

i    i

muss, Ж, =

I'Qxdx, M„ =J „dx, d. i.

35.

[j/i =

l² + 4æ²

48 r

48 r

j^2 =

in bekannter Weise für

In diesen Formeln kann man entweder für p eine gleichwerthige Belastung einführen, welche nach den für gerade Brücken gütigen Näherungs-regeln bestimmt wird oder man kann die der geraden Brücke entsprechenden Werthe Q = px, M —у (j — das gegebene System von Einzellasten genau bestimmen.

§. 48. Schiefe Brücken. Wir haben bisher nur normale Brücken vorausgesetzt, bei denen von jedem Achsdrucke sich ein ganz bestimmter, für alle Achsen gleichbleibender Theil auf einen Träger überträgt. Bei den schiefen Brücken aber ändert sich dieses Уerhältniss an den schiefen Enden. Die hierbei eintretenden Veränderungen lassen sich ebenfalls am übersichtlichsten durch Einflusslinien darstellen, wobei natürlich festzuhalten ist, dass die Einflussgrösse als Ordinate an der betreffenden Wagenachse aufzutragen ist. Im Allgemeinen wird die Konstruktion der Einflusslinie am bequemsten, wenn man dabei die Einflussgrösse für jedes der beiden Räder der Achse getrennt bestimmt und aufträgt, und sodann erst die Summirung vornimmt. Die Form der Einflusslinie wird natürlich durch die spezielle Konstruktion der Bahn (siehe des Verfassers: Eiserne Brücken, Querkonstruktionen, IL Aufl., XX. Kapitel) bedingt sein. Wir wollen dies nur an ein Paar Beispielen erläutern.

1. Bei einer Eisenbahnbrücke mit 7m Stützweite werde der Raddruck von den Schienen durch Querschwellen auf die 2m von einander entfernten Träger übertragen, wobei die Schwellen an den Enden eine immer mehr und mehr schief werdende Lage haben (Fig. 103). Wir konstruiren die Einflusslinie für den Träger AB, welche in der Strecke CD natürlich dieselbe sein wird, wie bei normaler Brücke. Von dem

Fig. 103.

B'

Lf

. ■■■■

IPÜ

iälP

A\

iß

LA

• iS

e\ j F

h\ 9\ Ä\ l

'/i⁵

V\

der Druck

über einer Schwelle auf die Schiene I wirkenden Raddrucke 1 wird an dem Punkte, in welchem diese Schwelle auf dem Träger AB ruht, nach dem Hebelarm Verhältnisse 2 0

2,5

~ — 0,8 übertragen. Wenn also das Rad an den Punkten a, e, f und

b, g, h ruht, so hat die Ordinate der Einflusslinie 0,8 der Grösse, als wenn der Raddruck 1 bezüglich in den Punkten A, JE, F und B, G, H unmittelbar auf den Träger wirkt. Yon dem über einer Schwelle auf die Schiene II wirkenden Raddrucke 1 wird auf den Träger AB in dem Punkte, wo die betreffende Schwelle auf diesem 0 5

Träger ruht, der Druck —- = 0,2 übertragen. Węnn demnach das Rad in den Punkten Л fo

ei> fi un(l 9\i К ruht, so hat die Ordinate der Einflusslinie 0,2 der Grösse, als wenn der Raddruck 1 bezüglich in den Punkten A, E, F und B, G, H unmittelbar auf den Träger wirkt. Wenn die Schienen noch ausserhalb der Brücke in 1t, k„ г, i, unterstützt sind und in den Strecken lta, к,а,, ib, i, b, frei schweben, so beginnen die von der Belastung der Schiene I herrührenden Theile in k, i, die von der Belastung der Schiene II herrührenden Theile in Jc„ it. In der Figur ist hiernach beispielsweise die Einflusslinie für beide Stützendrücke dargestellt. Für den in Fig. 99 angegebenen Lastenzug müssste die Vorderachse bezüglich bei a und b stehen, damit das Maximum eintritt.

2. Bei einer Eisenbahnbrücke mit 14™ Stützweite werde der Raddruck durch Zwischenträger mit 1,8™ Abstand auf die Querträger, von diesen auf die 4™ entfernten Hauptträger übertragen (Fig. 104). Die 'Hauptträger, die Endzwischenträger und der letzte halbe Querträger seien auf dem Widerlager in Punkten gelagert, welche in einer Geraden liegen. Für den Träger AB ist innerhalb der Strecke В C die Einflusslinie dieselbe, wie bei normaler Brücke. Von dem auf den Zwischenträgern

4,0

I wirkenden Drucke 1 wird in der normalen Strecke der Druck —^ = 0,725 auf den

Träger übertragen ; der in den Punkten d und e wirkende Raddruck 1 erzeugt in D und E den Druck 0 und = 0,45 ; demnach hat in D, E, C die Ordinate der Einflusslinie das 0-, 0,450- und 0,725fache der Ordinate bei normaler Lage; ebenso

Fig. 104.

A'

B'

«gl

tu

„feg.

bd

1=4

/-*4»

fl

■jy

10

B-

ist in В die Ordinate 0,725 die Ordinate bei normaler Lage, während in F die Ordinate = 0 wird; in den Strecken DE, EC, CB, BF ist die Einflusslinie nach §. 20 eine Gerade. Von dem auf den Zwischenträgern II wirkenden Drucke 1 wird

= 0,275 übertragen;

4,0

in der normalen Strecke auf den Träger AB der Druck 1,1

der in Punkten g und i wirkende Raddruck wird auf den Träger AB überhaupt nicht übertragen; in G und 1 ist also die Ordinate der Einflusslinie 0; in C und В dagegen ist die Ordinate 0,275 von der Ordinate der Einflusslinie bei normaler Anordnung. Hiernach sind wieder die Einflusslinien für beide Stützendrücke oder Transversalkräfte der Endfächer konstruirt. Für den in Fig. 99 angegebenen Lastenzug würde der linke und rechte Stützendruck am grössten, wenn bei dem bezüglich nach links und rechts gehenden Zuge bezüglich die II. Achse bei C, die I. Achse bei В liegt.

b) Ueberhängende Träger.

§• 49. Einfluss einer Einzellast.

1. Träger mit überstehenden Enden. Hinsichtlich der Transversalkraft und des Momentes für einen zwischen den beiden Stützen A und В liegenden Querschnitt, sowie für die beiden Stützendrücke ist die Einflusslinie zwischen den beiden Stützen natürlich ganz dieselbe, wie beim einfachen Träger (Fig. 105). Da sich aber der Ausdruck für D, Q, M durch das Ueberschreiten einer Stütze durch die Last nicht ändert, so sind die innerhalb der Stützen erhaltenen geraden Linien auch nach aussen fortzusetzen. Dadurch entsteht eine Aenderung des Vorzeichens hinsichtlich Q und M; für die linken und rechten Stützendrücke ändert sich das Vorzeichen nur beim Ueberschreiten bezüglich der rechten und linken Stütze.

Fig. 105.

СX А Жа В К В

pipт

i At

Ttc

В'Х

fcti ^

\D"

i" ĄB"

Hinsichtlich eines Querschnittes I und К im linken oder rechten überhängenden Theile entsteht offenbar eine Transversalkraft und ein Moment nur, wenn die Last bezüglich in den Strecken Gl c und BK liegt. Alsdann ist für den Querschnitt I: Q = —G, M~ — Gl und für den Querschnitt К: Q = -j- G, M — — G%, wenn § den Abstand der Last vom Querschnitte (absolut genommen) bezeichnet. Die bezüglichen Einflusslinien sind in der Figur angegeben.

J" i

-U"

.Ar--...

c'\

рта

К.........JD

\D"

In Fig. 105 ist unmittelbare Belastung angenommen; bei mittelbarer Belastung treten die in §. 35 für den einfachen Träger besprochenen Aenderungen ein.

2. Kontinuirlicher Gelenkträger. Hinsichtlich eines ruhenden Theiles bleibt die Einflusslinie innerhalb dieses Theiles genau dieselbe, wie beim Träger mit überstehenden Enden. Ueber die anschliessenden schwebenden Theile setzt sich die Einflusslinie ohne Absatz geradlinig fort; denn ist § die Entfernung der innerhalb des schwebenden Theiles CE (Fig. 106) liegenden Last G von E, Ъ die Länge CE,

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

SO

ist der Druck in C = G ~, es ist also auch die Einflussgrösse für den

Theil CD dem £ proportional. Liegt die Last in :    E, so ist der Ein

fluss = 0, ebenso natürlich, wenn p die Last in dem etwa an E an-stossenden ruhenden Theile liegt.

Für den schwebenden Theil ist die Einflusslinie natürlich ganz dieselbe, wie beim einfachen Träger und ein Einfluss 4JP einer auf dem ruhenden Theile I liegenden Last E auf den schwebenden Theil ist überhaupt nicht vorhanden.

Fig. 106.

CIA И a В К

с’

b 34

в"

жт

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мпг lilii

С" i :    : с

С ! л*\".....

■г-У

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Ъ' i

В'

D'

■г

к' е

В'

с\    \ i

ГС'

гг"

(А

§ 50. Ungünstigste gleiclimässige Belastung. Aus dem

vorigen Paragrafe ergeben sich nun sofort die folgenden Sätze für die ungünstigste Belastung durch eine gleichmässig vertheilte Last:

1.    Für die Transversalkraft und das Moment für einen zwischen den beiden Stützen des ruhenden Theiles liegenden Querschnitt ist die Belastung zwischen den Stützen genau dieselbe, wie beim entsprechenden einfachen Träger.

2.    Der ausserhalb der Stützen liegende Theil sammt dem anstossenden schwebenden Theile ist entweder gänzlich oder gar nicht zu belasten,' je nachdem der ruhende Theil neben der angrenzenden Stütze nicht belastet oder belastet ist. So z. B. ist für max\-\- Q) für den Querschnitt II die Strecke BH belastet; deshalb ist der Theil BF nicht zu belasten; für max (—Q) dagegen ist die Strecke AH belastet, also Bll unbelastet. Deshalb ist die Stiecke BF gänzlich zu belasten (Fig. 106c). Für max(~f~M) ist die ganze Länge AB zu belasten; die äusseren Theile sind,

deshalb nieht zu belasten. Für max (— M) darf innerhalb AB keine Last liegen; deshalb ist AE und BF gänzlich zu belasten (Fig. 106e).

3.    Für einen Querschnitt des ruhenden Theiles ausserhalb der Stützen kann Q und M nur positiv oder nur negativ sein; das Maximum entsteht, wenn der ruhende Theil vom fraglichen Querschnitte bis zum Ende des bezüglichen überstehenden Theiles sammt dem anstossenden schwebenden Theile gänzlich belastet ist. Die übrigen Theile können belastet sein oder nicht, da eine Belastung derselben keinen Einfluss auf das fragliche Q (Fig. 106 d) und M (Fig. Юб/) hat.

un-

4.    Für den schwebenden Theil bleibt natürlich die günstigste Belastung dieselbe, wie beim entsprechenden einfachen Träger. Die Belastung anderer Theile hat auf diesen Theil keinen Einfluss.

5.    Der Druck auf eine Stütze wird zum positiven Maximum, wenn die ganze Oeffnung zwischen beiden Stützen, sammt dem an die fragliche Stütze angrenzenden überstehenden Theil und dem daran anschliessenden schwebenden Theil belastet sind (Fig. 106b).

6.    Der Druck auf eine Stütze wird zum negativen Maximum, wenn das an die andere Stütze anschliessende überstehende Ende sammt dem an dasselbe anschliessenden schwebenden Theil belastet ist (Fig. 106b).

§. 51. Grösste Stützendrücke. Ist l die Entfernung der Stützen, sind a, die Längen der überhängenden Theile und b, bt die Längen der schwebenden Theile, so ist für den Stützendruck D auf die Stütze А bei gleichmässiger Belastung des ganzen Theiles BE (Fig. 106): Bl — j pb . (I -f- a) -f- -f j? (Z + a)², also

p (i + ») (i + a -ł~ ft)

21

36. Max (+ Z>) = +

Ebenso ergibt sich für den grössten negativen Stützendruck auf A, also bei Belastung des Theiles BF: Bl -f- ~pa^ j pbl. av — 0 oder

37. Max (— D) = —

Pai («i + &»)

21

Hinsichtlich des Druckes auf die Stütze В ist nur а, b mit alt bt zu vertauschen.

Für ein System von Einzellasten wird man für Max (=Ь B) am besten nach §. 24 die Einflussfiguren EC'B und BB‘F (Fig. 106)

beachten, wobei CC —

und BB' = ~ ist.

§. 52. Grösste Transversalkräfte.

1. Querschnitt zwischen den Stützen. Pur die Belastung des Theiles AE (Fig. 106) ist Bl = j рЪ (l 4- a) -}- pa (l + ya)>

Q = D — ~ pb — pa —

BH wird, wie beim einfachen Träger, Q =

pa (a -f &)

21

. Für die Belastung der Strecke -(l ~ mithin

38. max (+ Q) = + ^ \a (a + &) + (l — x)-\.

Für max{— Q) ist а, Ъ, x mit alf bv l — x zu vertauschen und — statt -f" zu setzen.

Bei einer Belastung durch ein System von Einzellasten wird die Einflussfigur zu beachten sein, die hier aus zwei von einander getrennten Theilen besteht. Bei einer Strassenbrücke ist in einem solchen Falle

jeder Theil für sich in möglichst ungünstigster Weise zu belasten; bei Eisenbahnbrücken würde indess eine derartige Belastung nicht immer möglich sein; jedenfalls aber wird es zulässig sein, nur mögliche Belastungen zu berücksichtigen, worauf wir hier indess nicht näher eingehen wollen. Das der Belastung von BH entsprechende Q wurde wie in §.41 u. 42 bestimmt. Das der Belastung von AE entsprechende Q kann nach der in §. 43 gezeigten Konstruktion für die Momente bestimmt werden. Man konstruirt der angenommenen Belastung entsprechend, die Schlusslinie mit der Horizontalprojektion AE; ist die dem Punkte G entsprechende Höhe des Seilpolygones y, die Polweite H, so würde das Moment in C

bei der Stützweite AE=Hy sein. Da nun aber GC¹ = 1.^~-1 — ^-ist, während in der Einflussfigur für das der Stützweite AE entsprechende Moment CC‘ — ab

sein würde, so wird für die Belastung von

« -f ft

a a + b — H (a + b) y. Wählt man H=l, so wird

AE: Q — Ну . y so wird Q = y.

2. Querschnitt ausserhalb der Stützen. Wir nehmen einen Querschnitt К im rechten überstehenden Theile im Abstande x von der Stütze В an. Fiir die Belastung des Theiles KD ist Q — p (<*, — x) und für die Belastung von BF wird Q = ? pbt, somit ist

ab

was leicht zu konstruiren ist. Wählt man H = l

a -f- by

39. max(+Q) = +    (at — x)+ bx], max (— Q) = O.

Für einen Querschnitt I im linken überstehenden Theile ist x = AI und a, b für av &, zu setzen, sowie das Vorzeichen zu wechseln.

Für eine Belastung durch Einzellasten ist die Einflussfigur KK"D‘F (Fig. 107) zu beachten. Für einen Eisenbahnzug wird hierbei das vordere Lokomotivrad nach К zu legen sein. Dem §. 41 entsprechend, kon-struirt man ein Seilpolygon mit der Polweite FD=\, wobei die vordere Last nach F verlegt wird. Macht man FV=JDK, so ist Q = К2Г, —

Fig. 107.

FF,, da die Einflussfigur als Differenz der Dreiecke FKK⁴ und DK‘‘K⁴

angesehen werden kann, welchen die Einflussgrössen KKX und FF, entsprechen.

In Fig. 108 bis 110 sind die Transversalkräfte für ein Feld mit zwei Gelenken, sowie ein Endfeld und ein Mittelfeld ohne Gelenk grafisch dargestellt.

Mittlere Transversalkraft. Die mittlere Transversalkraft mittQ für eine bestimmte Länge erhält man durch Bestimmung der entsprechenden Transversalkraftfläche oder des Integrales J Qdx und Division durch die entsprechende Länge. Wir wollen hier nur den absoluten Werth in Betracht ziehen und von max (-f- Q) und max (— Q) nur den absolut grösseren Werth beibehalten und in Ergänzung zu §. 34 auch das Eigengewicht berücksichtigen. Für den schwebenden Theil gilt die in §. 37 für mitt Q aufgestellte Begeh

Für das zwischen den Stützen liegende Stück des ruhenden Theiles ergibt sich, wenn wir den Abstand desjenigen Punktes, in welchem die absoluten Werthe von max (-}- Q) uud max(—Q) gleich werden oder in welchem für das Eigengewicht Q = 0 wird, von den Stützen mit £, bezeichnen, nach Formel 16 (S. 52) und 38:

l mitt Q

0

£ J{a (a + b)-j-(l — æ)î}daj-f-J*{a₁(a, + b₁)-j-a;,}J dx, о    I

2x)dx

+ 21

wenn man zur Abkürzung ld = a(a-\-b)— al(al + b,) setzt. Für das Eigengewicht g (l -f- d — 2x), mithin

wird Q =

Io*

— (?-}-<?), £i — 1    £ — (J ■ di).

Die Ausführung der Integration gibt, wenn man noch Is = a (a + b) -f- a, (à, -f b,) setzt,

bo\

a. I mittQ = -j g (Zł+ ds) + p (71¹ + 6U + 3d³).

Ist wie gewöhnlich a = a,, b =bt, so wird d — O, s = 2a(a + b), £ = £, = 11 und

b. ImittQ = ~gV + JL v[7P + 12a{a + b)).

Für ein linkes Endfeld wird wa tss 0, b = 0, also Id == — al{a₁ ~j- b,), ₌ _|_ tti (a, -f b,); für ein rechtes Endfeld wird al —0, b, = 0, also Is — Id — (a + b) ; in beiden Fällen wird

з. I viittQ = g (l⁷ -j- s’) -}- p (7P -f* 6Is -f 5s⁵).

wenn X

Für das linke überstehende Ende wird Q — ~ (g -\~p)(2a -f- b— 2x),

den Abstand von der Stütze bedeutet, also a mitt Q

= j(Q + P)f (5a + ö — 2x)dx — о

JL (g p) a (a -f- b). Ebenso wird für das rechte überstehende Ende ax mittl Q => mithin

~2 (9 P) ai (°h A-

d. mittQ = y (g + P) (a + b), mitt\ Q — -^(g+p) (a, + b,).

In den unteren Theilen der Figuren 112 und 113 sind die Transversalkraft für das Eigengewicht und die absoluten Werthe der Maximaltransversalkräfte für die Verkehrslast, sowie die Summe von beiden für die beiden möglichen Anordnungen

von drei Feldern (Gelenk im Mittelfeld oder in den äusseren Feldern) aufgetragen.

Fig. 108.

AI

Łb

г— a---►

§. 53. Grösste Momente.

4i%

■Л

1. Querschnitt zwischen den Stützen. Das positive Maximum von M behält denselben Werth wie beim einfachen Träger. Für die Belastung des Theiles AE (Fig. 106) ist für den Stützendruck in B: А I — — у 2?ba — ~ pa'¹ = — y p a (a -f b), also Ail =

Dtl (l — x) — — YPaiaJrb) (l — x). Ebenso wird für die Belastung des Theiles BF:

Ml — — y Pai (at + &i)* Wonach haben wir

— ж),

max (+ M) — + -и⁻ P ж (l

40.

max (— Ж) = — [а (а + ö) (I — x) + ал («, + Ьх)х\ 1st а — at, b = so wird wesentlich einfacher

41. waaü (— Jf ) =--£    « (« + ft).

Hier ist also max (—Ж) konstant.

Für die Konstruktion genügt es, M für x = 0, Mx für x = l zu kon • struiren; diese Momente werden

a\

, Mx‘ — Hx yx

Dementsprechend bleibt auch für ein System von Einzellasten max(-\- M) dasselbe, wie beim einfachen Träger. Für max(—M) sind die Strecken AE und BF den Einflussfiguren AHE und B DJF (Fig. 106e) entsprechend zu belasten; wobei allerdings bei einer Eisenbahnbrücke die Möglichkeit einer derartigen Belastung in Betracht kommt. Bei den Einfluss-

I

-ce

Fig. 109.

CL

, -..-0—0.

—Q—

цт>

figuren für das den Punkten С und В entsprechende Moment bei /?| einem einfachen Träger mit der J| Stützweite AE und BF würde | a, bt

а (l — x)

Hier

CC' = -' j-, DD' =

a-j-b

dagegen wird CG“ —

BB¹ = Bezeichnet man da-

r/

her die Höhen des Seilpolygones für die ungünstigste Belastung, den Stützweiten CG¹, DB' entsprechend, mit y,yn so würde das Moment in G und В für diese Stützweiten Hy, IIX yx sein. Im В vorliegenden Fall wird daher, der veränderten Höhe der Einflussfigur entsprechend,

irmTÉlfllf

<L

/А

Ну (а    — x)

, Мх =

_ Ну (а, -I- Ъх)х

ъх I

Qf —(— b

Ist in Fig. Ill GG‘ — y, die Horizontalprojektion von EG und Gl bezüglich = b und a und legt man durch E und C' eine Gerade, welche

die Vertikale von I in Г schneidet, so ist 1F = у a у-Д also

W — H.IV, wonach Ж' und Mx leicht zu konstruiren sind. Die Momenteufläche bildet nun ein Trapez, dessen Höhen in A und В bezüglich gleich M‘ und Mx‘ sind.

2. Querschnitt ausserhalb der Stützen. Bei der Belastung der Strecke IE (Fig. 10G /*) wird das Moment für den Querschnitt 1: M — pb .(a — x) — j p (a — x)Q, wenn man AI=x setzt ; es ist mithin :

42. max (+ M) = О, max(— M) = — ~ p (a—x){a+Ъ—х)

Für ein System von Einzelnsten ist wieder die Einflussfigur EC'I (Fig. 106/*) zu beachten. Trägt man in das Seilpolygon, der ungünstigsten Lage entsprechend, die Schlusslinie mit der Horizontalprojektion ß EI ein, so würde, wenn y die dem Punkte G V    entsprechende Höhe des

1    Seilpolygones ist, Hy

I    das Moment in C hei

1    der Stützweite EI sein.

Für diese Stützweite würde aber CG' — b (a — x) a-\-b -x’

CC'—a— x ist. Diesem Verhältnisse der Höhen der Einflussfigur entprechend, wird

,    M = Ну а + Ъ-х '

Ist nun in Fig. 111 CC' = у und die Horizontalprojektion von EC und CI bezüglich =b und а — x, und macht

man dieselbe Konstruktion, wie

jr vorhin, so ist II' — y — mithin M — H. II'.

In Fig. 108 bis 110 sind die Momente für ein Feld mit zwei l' Gelenken, ein Endfeld ohne Gelenk, sowie ein Mittelfeld ohne Gelenk (für P -f- d? = 21 s) grafisch dargestellt.

Fig. 110.

&r*~X~£

Л,

Pi

4~

während hier

Fig. ill.

!<-----------— l---------------

Mittleres Moment. Das mittlere Moment mittQ für eine bestimmte Länge erhält man durch Bestimmung des Integrales J Mdx für diese Länge und Division durch die letztere. Wir wollen auch hier nur die absoluten Werthe von max(-{- M) und viax{—M) berücksichtigen. Diese beiden Werthe werden zwischen beiden Stützen, absolut genommen, einander gleich für lx(l — x) = a (a -f- Ъ) (I — x) -f- a, (a, -j- bt). Hieraus ergibt sich unter Berücksichtigung der im vorigen Paragrafe benützten abgekürzten Bezeichnungen s und d

a. x =

[l4-d — Vl‘ — ,27s-4-d⁵].

Hiernach können drei Fälle eintreten; es kann nämlich Z⁵ -j- d⁵ = 2Zs sein. Für

P -\- d*>- 2ls gibt es wirklich zwei Werthe von x; es hat also theilweise max(-\-M), theilweise max(—M) den grösseren absoluten Werth. Für P -j- d* = 2ls gibt es nur einen Werth für x. Für P + d²<z2ls wird x imaginär; hier hat durchgehende max (— M) den grösseren absoluten Werth.

Fig. 112.

fl

J.

DBG

Gx Bt Dx Ex A,

Für P-\- d¹ :> 2ls wird, wenn man die beiden Werthe von x mit æ, und хг bezeichnet und wenn man zur Abkürzung P—21 s — d'‘ = w setzt,

X₂ — X, = w.

1 1

b. xI = — (Z -f- d — w), x₂ = — (Z -j- d -f- w)t xt + x₂ = l -f- d,

Fig. 113.

liw

sSiiii

Dx Bx C

Ex At

pH

Für die zufällige Last besteht innerhalb beider Stützen die Momentenfläche einem Trapeze AA'B'B (Fig. 114 a) mit dem Flächeninhalte В (M‘ -f- M“) l = J-pSp, wenn M‘ und M“ die Momente an den Stützen bedeuten und der Parabelfläche S' U‘ T mit dem Flächeninhalte Pw*> da die Länge von S T = x₂ — xl=w ist. Der gesammte Flächeninhalt ist also ~p{3sliJrwr)-

Für das Eigengewicht besteht die Momentenfläche aus drei Parabelstücken mit dem Ge-saramtinhalte Trapez А А¹ В' В — Parabel

A¹ WB¹ -f 2 Parabel S W T= j    Z—

■jg 9? + ² Ts 9ws = \ 9Sl' - js 91³ ■+■

= -Dg{3sP— l³-\-2w³). Demnach wird

с. I mitt M —

aus

Fig. 114.

ir

's-

T'B'

В 1)

-•J в'

Wenn P-f-dîc2ls wird, so besteht für die zufällige Last die Momenten-iläche nur aus dem Trapeze AA'B'B mit dem Inhalte -^-psl² und für das Eigengewicht aus einer Parabelfläche mit dem Inhalte Trapez AA‘ B‘ В— Parabel AJWB* = gsl'¹— ~ gl³-, mithin wird hier

d. I mittM = (g + p)sV —

Für l‘¹-\-di = 2ls wird w — 0\ alsdann geben beide Ausdrücke für mittM denselben Werth.

Für das linke überstehende Stück wird a mitt M

==— (g-\-p) f\a—x){a-{-b — x)dx— (g    p) a¹² (2a3b). Für das rechte überstehende Ende ist nur alt b, für a, b

zu setzen. Die mittleren Momente für die beiden überstellenden Enden sind demnach

е. mitt M=

y (g + p) a (2а + 3b),

Oi i-ь

(д+Р) aL(2a-\-3b).

mitt! M =

Für den schwebenden Theil gilt natürlich die in §. 38 aufgestellte Regel.

In den oberen Theilen der Figuren 112 und 113 sind die Momente für das Eigengewicht und der absolute Werth der Maximalmomente für die Verkehrslast, sowie die Summe von beiden für die beiden möglichen Anordnungen von drei Feldern grafisch dargestellt.

B. KontinuirHche Träger.

VI. Kapitel.

Allgemeine analytische Behandlung.

§. 54- Einleitung. Die wirklichen köntinuirlichen Träger oder die Träger, welche, ohne durch Gelenke unterbrochen zu sein, auf mehr als zwei Stützen liegen, lassen sich nicht mehr nach den Regeln der reinen Statik behandeln; vielmehr sind zur Ermittlung der Verthei-lung des Druckes über die Stützen auch noch die Gesetze der Elastizitätslehre in Anwendung zu bringen, wodurch die Behandlung natürlich eine schwierigere wird. Die Aufgabe wird noch dadurch besonders erschwert, dass bei der Bestimmung der Druckvertheilung das Gesetz, nach welchem sich der Querschnitt verändert, mit in Frage kommt, während man andererseits durch diese Untersuchung das Gesetz der Querschnittsveränderung erst kennen lernen will. Für einzelne Fälle ist es wohl geglückt, die Aufgabe auch in dieser Richtung streng durchzuführen; im Allgemeinen aber bleibt wohl nichts übrig, als zunächst den Querschnitt konstant anzunehmen. Hat man auf Grundlage der sich hieraus ergebenden

Druckvertheilung die Veränderlichkeit des Querschnittes ermittelt, so ist es möglich, noch einmal, erforderlichenfalls noch ein weiteres Mal eine genauere Bestimmung der Druckvertheilung vorzunehmen. Wir werden indess zeigen, wie man von vornherein den Einfluss der Veränderlichkeit des Querschnittes wenigstens schätzungsweise berücksichtigen kann.

Abweichend von der bei den einfachen Trägern befolgten Methode erscheint es uns angemessen, die analytische und grafische Behandlung zu trennen.

§ 55. Drehung des Endquersehnittes. Das zu untersuchende Trägerfeld AB (Fig. 115) mit der Länge l sei beliebig belastet. In einem beliebigen Querschnitte CC entsteht hierdurch in einem beliebigen Punkte D die spezifische Normalspannung N und die spezifische Schubspannung T.

Der Elastizitätskoeffizient sei E, der Gleitungselastizitätskoeffizient Ex. Wenn bei der Beanspruchung auf Zug oder Druck die relative Längenänderung der

Querschnittsmaasse = — der

relativen Längenänderung der Längenmaasse ist, so besteht für isotrope Körper die Beziehung

Fig. 115.

■ > -i-

c'i °

<■—

Vf

c'

X—-H

-B

->■

E. =

E.

2 (m + 1)

Da m = 3 bis 4 ist, so wird Et — E bis 0,400 E.

E oder 0,375E bis

Wir bestimmen zunächst die bei der Formänderung entstehende Verdrehung г' des Endquerschnittes AA' nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit, das uns für den vorliegenden Fall als die geeignetste Methode erscheint. Wir denken uns zu diesem Zwecke auf den Querschnitt AA! ein rechts drehendes Kräftepaar mit dem Momente 1 wirkend; ist c der Abstand beider Kräfte, so muss also jede Kraft = y sein (Fig. 115). Hierdurch entsteht in A und В eine bezüglich abwärts und aufwärts wirkende Reaktion y. In dem beliebigen Punkte D des Querschnittes möge hierdurch die spezifische Normalspannung n und die spezifische Schubspannung t entstehen. Da auf die Länge dx

die Normalspannung N die Längenänderung ^ dx und die Schubspannung T die Verschiebung dx bewirkt, so ist die virtuelle Arbeit für ein Volumenelement mit der Länge dx, der Breite dw und der wobei die Integration über den ganzen, das betreffende Feld des kon-tinuirlichen Trägers bildenden Körper auszudehnen ist.

Ist M das Moment, welches in Folge der Belastung auf den Querschnitt CG* wirkt und m das Moment, welches durch das angenommene Kräftepaar im Querschnitte CC‘ entsteht, ferner I das Trägheitsmoment dieses Querschnittes in Beziehung auf eine zur Kraftebene senkrechte Schweraxe, so ist im Abstande v von der Schweraxe bekanntlich

Mv    (l — x)v    -,    ^    1

— *»• —    wel1 m — 1--Xх —

wenn dF das Flächendifferenzial bezeichnet,

— ist; mithin wird,

N =

nNdF=~jvqdV= ~

weil f vq dF — 1 ist. Unter der Voraussetzung eines konstanten Querschnittes ist ferner, wenn S das in Beziehung auf die genannte Schwer-axe genommene statische Moment desjenigen Flächenstückes bezeichnet, welches auf jeder Seite einer im Querschnitte im Abstande v von der Schweraxe parallel zu dieser gezogenen Sehne liegt und wenn Ъ die Länge dieser Sehne, Q die durch die Belastung im Querschnitte entstehende Transversalkraft bedeutet,

Ibl ’

/nN . tT\

\~Е~^ Ej

das Volumenelement bezeichnet¹). Die virtuelle Arbeit des auf den Querschnitt А А' wirkenden Kräftepaares mit dem Momente 1 ist 1. т' — t'. Da die Summe aller virtuellen Arbeiten Null sein muss, so wird

Höhe dv = —

dx dv dw =

(nN . tT\

wenn dV

1.

t' —

dV,

T =

weil die Transversalkraft, welche durch das angenommene Kräftepaar mit dem Momente 1 entsteht, = — у ist. Demnach wird

CSq

J V

tTdF = —

IH

j-r-

dv.

Die Integration lässt sich allgemein nicht ausführen. Wir setzen zur Abkürzung    _

9    F    7

²‘ x:=-p-Jirdv;

>) Denkt man sich das Körperelement beseitigt und statt dessen die entsprechenden inneren Kräfte ti, t angebracht, um das Prinzip der virtuellen Arbeiten anwenden zu können, so wirken n und t in der

N    T

entgegengesetzten Richtung, als die Längenänderung -jrdx und die Verschiebung —

dx, so dass die

alsdann wird:

tTdF = —

xQ

Fl *

Sonach haben wir jetzt:

3. T' =

-A_f

Fl J

M{l — x)

dx

FtlJ F

dx.

Das zweite Glied ist zwar nur bei konstantem Querschnitte richtig, abgesehen von den Mängeln, welche von den der Entwickelung des Ausdruckes von T zu Grunde gelegten Annahmen herrühren. Wir wollen indess dieses Glied auch auf wenig veränderliche Querschnitte als Näherung anwenden.

О

Für einen veränderlichen Querschnitt ergibt sich statt des Ausdruckes T = у der allerdings für die weitere Verwendung viel weniger bequeme Ausdruck

, В

I Q S    M ^ I

~~ ~ TF ~b~ ~Jx"

а. T =

Л MS

d -

bdx

Indessen lässt sich eine einfachere, namentlich für Blechträger mit veränderlicher Höhe hinreichende Näherungstheorie angeben. Wir legen in Fig. 116 einen cylindrischen Schnitt, welcher an den Rändern C‘, C“ auf diesen, oder hei einem Blechträger auf den Axen der Gurte senkrecht steht. Die Tangenten an den Rändern oder Gurtaxen mögen sich in L schneiden, so dass L der Krümmungsraittelpunkt des cylindrischen Schnittes ist. Wir nehmen nun c‘

I

an, dass die Schubspannungen, welche in diesem Schnitte wirken, in einem mittleren Theile mit der Fläche f₀ w ÿ konstant, dagegen im übrigen, an den Rändern liegenden Theile = Null angenommen werden können. Bezeichnen wir das Moment der äusseren, auf einer Seite des Schnittes wirkenden Kräfte in Beziehung auf den Punkt L mit M₀ und den Abstand CL des Punktes L vom Schnitte mit x₀, so ist Tf₀x₀ = M₀, weil die auf den cylindrischen Schnitt wirkenden Normalspannungen kein Moment haben. Demnach wird

b. T =

Das Moment des Kräftepaares 1 und der linken Reaktion in Beziehung auf L ist 1 — ~    wenn wir AL = xlt BL = xi setzen. Folglich ist

V    i

Fig. 116.

M₀

C\

c"

■xr

----?c---->-

jL

foxо *

Demnach wird

d.

j tTd F =

M₀

f₀X₀l f Г) Xq

fo =

Махг

fo^l'

Es würde mithin hier

M₀ ж,

für ^S- zu setzen sein.

§. 56. Anwendung bei gegebener Belastung. Wir bezeichnen nun die Momente, welche am linken und rechten Ende entstehen, mit 3L‘, M“. Ist eine Belastung nicht vorhanden, so ist M = Q‘ a, M" ■= QJ (a 4* l) = W -f- QI, wenn Q¹ die Transversalkraft für das linke Ende, a ihren Abstand von demselben bedeutet. Hiernach ist

Ж" — M‘

Q‘ =

M — Q‘ (a -F x) — 31 + Q‘x, d. i.

. Ferner wird für einen beliebigen Querschnitt Q = Q\

31“ — Ж

, M=M<

(’-f>

Wir bezeichnen ferner die Transversalkraft und das Moment, welche im beliebigen Querschnitte entstehen, wenn der Träger als Einzelträger wirkt, wenn also M¹ und 31“ = 0 sind, mit Q und ЭД7. Ist nun 31 und 31“ nicht = 0, so wird offenbar

Ж“ - Ж

4. Q = С +

Demnach wird nun

5. Г‘—

Ш(1—х)

j- dx 4

Ж“ Çx(l—x)

г J i

i

dx J

ïf.U

Xd

F dx +

j § ,,j i •

Den Ausdruck für die Drehung г“ des rechten Endquerschnittes erhält man durch Vertauschung von W und M", x und l — x, — О und Q, vorausgesetzt, dass man sowohl am linken, als am rechten Ende eine Drehuog des Querschnittes nach rechts positiv nimmt. Wir setzen nun zur Abkürzung, wenn J₍₎, F₀ das Trägheitsmoment und die Fläche eines mittleren oder auch eines beliebigen Querschnittes bezeichnet und sich щ auf diesen Querschnitt bezieht,

6.1

Cx'idx_C'P Г

) I ~3I₀’ J

mxdx Ж'Р f

o’ j

(l — x)-dx _ C“ p

- 3Ę

x(l—x)dx_CV*

Ш (l - X) dx_ Ж“Р

XI,

2I₀

X dx_X„ Fl

F - ”дГ

X Cl d x_Xo l

Ж~'

Alsdann wird:

7.

-сЖГ(ЗЖ“ + 2С¹Ж + СЗГ) -

bFltt

.x₍,

ДД*

— Т“=

OFF

( 3 ЧЖ 4- СЖ' + 2 О Ж“) +

x„

FtF₀l

Bei konstantem Querschnitte werden die nur von den Dimensionen abhängigen Koeffizienten C, C', C“ und В sämmtlich = 1. Für eine im Abstande £', von beiden Stützen wirkende Einzellast G wird

&dx = + G . Г — G 4-    = 0.

Demnach muss sich auch für jede beliebige Belastung j£Jdx = 0 ergeben ; es wird also auch Q' = 0, mithin

8.

+r =

— Г“ —

6Ш <ЗШ“+ 2Ж + Ж“)-

₆~I (3 Ж¹ + m + 2M ) +

——7 (31“ — Ж),

JE, Fl

—,-7 (31“ — M).

JE, Fl

Die Reduktion auf M‘ und M“ bei gegebenem t' und x“ ist hiernach leicht zu bewirken. Wenn man den Einfluss der Schubspannungen, also die Glieder mit dem Divisor F, F₀ vernachlässigen kann, so ergibt sich

ЗСЖ1- 6С'Ж“1 + 6FI, (2СГ +Cr“)

9.

(4 О C“ — С'¹) l

M“ =

6 c“ mi — зсж“1+ в fi, (er'+ 2 c“ r“ )

' (4 0 C“ — C-) l

und bei konstantem Querschnitte

10.

Ж‘ — + Ж' — 2Ж“ + 2^ (2Г‘ + Т‘%

31“ = — 2Ж' + Ж“ — 2 ^(т' + ЗТ ).

Die Anwendung auf einen auf beiden Seiten horizontal eingespannten Träger ist ohne Weiteres zu machen, indem man x‘ = x“ = 0 setzt. Ist der Träger nur am linken Ende eingespannt, während er am rechten frei aufliegt, so ist M“ = 0 zu setzen. Alsdann aber wird bei Vernachlässigung der Glieder mit F sehr einfach

и. m‘ — - m\

bei konstantem Querschnitte also M‘ =

— ■§ Ш1".

Bei veränderlichem Querschnitte würde der Anmerkung des vorigen Paragrafes entsprechend, das zweite Glied in der Formel 5 zu ersetzen sein durch

7 dx + ~

1 Г fSOt₀ x₂

‘    |_J /₀х₀г

In den Formeln 7 sind dementsprechend die zweiten Glieder mit dem Faktor * wegzulassen, den Grössen C, C‘, C“, SDP, Ш" dafür aber folgende Bedeutung zu geben :

Z³

Г Гx*dx E Çx^dxl

U~т-^жуг^у

QU _

(Z — xydx , E

Z⁸

f-xt*dx~l

Л J foV J

a: (Z — x) d x . E

a.

Et

Г £C, Ж₂ O? £C “I

J №гг J ’

C 9Jî₀ ж, d x 1

J fo*o² J’

„Sio

Z²

[J

2№ (Z — x)dx

+ Т5Г

Г 2JÎ₀ ж₂йж 1

J /iV J'

Bei konstanter Höhe wird ж₂* = ж₀*, а;₂² = гси², гс,ж₂= —ж₀² und 2Я₀ж,:=Ож₀², ЗЯ₀ж₂ = — Ож₀².

§. 57. Anwendung auf den kontinuirlichen Träger. Die

Momente an drei auf einander folgenden Stützen A, B, C (Fig. 117) seien

M₀, Mv Jf₂; diese Stützen mögen um die kleinen Grössen y₀, yx, y,j unter einer beliebigen Horizontalen liegen ; die Längen der beiden auf einander t folgenden Felder seien

;;:Г W \,h,

Fig. 117.

ос/

[г

вЧУ-Z/

у*

i«/

.В

Sind

die

Winkel, welche AB, ВС mit der Horizontalen bilden, so ist

У* — У i

«i =

_ Ух— Уа

-, a₂ =

Der Querschnitt über J5 bilde nach der Formänderung mit der Vertikalen den Winkel r, mit den Normalen zu AB und B G die Winkel t⁴⁴, x\ Alsdann ist z=al-\-x“ und x = tf₂-j-r⁴, also ax -f- t“ =a₂ -f t'; t⁴⁴ — t' = cr₂ — огг oder

12.    t⁴⁴—т' =

Уо — Ух

Ух_Уч

г*

Die Winkel r" und т⁴ sind durch die Gleichungen 7 bestimmt, wobei natürlich t⁴⁴ auf das linke, x‘ auf das rechte Feld zu beziehen ist. Unterscheiden wir diese beiden Felder durch die Zeiger 1 und 2, so erhalten wir

13. (ą — к, B,) lx М₀ + (2 С,7, + kt В, 1л + 2 (JĄ L + Ïfc, В, L) Мх

+ ( С₂ - к„ Вд) Ж„

— — 31Х Шх⁴ - 31:₂Ж" - ktС,'?,² + к, Су V

Ух — Уч

— 6* Л/

Уо - Ух

wenn wir zur Abkürzung

6EI₀Xn KF₀l*~

— Jr 6EI0%0

” EyFaU

setzen. Wenn die Stützen in gleicher Höhe oder in einer Geraden liegen, und wenn wir ferner für ein bestimmtes Feld zur Abkürzung

G" + -j kB,

y — С — Тс В,

setzen und wenn wir die immer nur sehr kleinen Glieder mit O' vernachlässigen, so wird

14. у. lx M₀ + 2 (cc, lx + ßa Q Mx +    l:a Ж = - 3 (lx Шх' + h SÖM-

Ist ausserdem der Querschnitt konstant, so wird bei Vernachlässigung der Glieder mit F

15. lt M₀ + 2 (lx + IJ Mx + l„ Mo. — — 3 (lx Ш, ' + h ЯК.")*

Wir nennen die Momente an den Stützen die Stützenmomente. Indem man die eben aufgestellte Beziehung für die Stützenmomente an drei auf einander folgenden Stützen aufstellt, erhält man, da die Stützenmomente an den Endstützen Null sind, so viele Gleichungen, als Stützenmomente vorhanden sind.

Liegt der Träger auf der ersten Stütze mit dem Index 0 nicht frei auf, sondern ist er hier horizontal eingespannt, so wird hier x‘ = 0, daher, wenn die Stützen in gleicher Höhe liegen und wir die kleinen Glieder mit O' vernachlässigen,

16. 2ßxM₀ + yxMx — — ЗЯЯЛ

Nach demselben Schema ist auch die Gleichung für das letzte Feld aufzustellen, wenn der Träger auch an der letzten Stütze eingespannt ist.

Der kontinuirliche Träger mit drei und vier Stützen wird zuerst von Eytel-wein (Statik fester Körper, III. Band 1808) behandelt und zwar für konstanten Querschnitt, eine gänzliche gleichmässige Belastung und eine Einzellast in jedem Felde. Eytelwein bestimmt unter Annahme unbekannter Stützendrücke, nachdem bereits von Bernoulli, Euler und Lagrange die Regeln zur Aufstellung der Gleichung der elastischen Linie gegeben waren, die Durchbiegung an den Stützen und setzt diese Null, wodurch er Gleichungen für die unbekannten Stützendrücke erhält. Später behandelt Na vier (Résumé des leçons sur l'application de la mécanique etc. 1826) den an einem Ende und an beiden Enden eingespannten, Stab, sowie den auf drei Stützen liegenden Stab konstanten Querschnittes und unter Voraussetzung einer

für die ela-

Einzellast in jedem Felde unter Benützung der Gleichung =

stische Linie. Den eingespannten Stab behandelt er in der Weise, dass er statt der Einspannung eine Stütze annimmt, über welche der Stab hinausragt; das überstehende Ende belastet er mit einem Gewichte, welches er so bestimmt, dass die Tangente über der Stütze horizontal bleibt. Später ist der eingespannte Stab mehrfach unter willkürlichen Annahmen behandelt worden. Der gleichmässig belastete eingespannte Stab konstanten Querschnittes wurde zuerst von Rebhann (Forster’s Bauzeitung 1853) richtig behandelt.

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Mehrfach wird nun der kontinuirliche Träger konstanten Querschnittes mit gleich-massig und gänzlich, sowie durch unverrückbare Einzellasten belasteten Feldern be

handelt, indem mit Hilfe dev Gleichung    die Neigung der Tangenten der

dxz Л1

elastischen Linie über den Pfeilern bestimmt und diese Neigung für je zwei auf einander folgende Felder gleich gesetzt wird; dabei werden die Stützendrücke als Unbekannte eingeführt, so von Rebhann (Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen, Wien 1856) und Scheffler (Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken, Braunschweig 1857).

Clapeyron (calcul (Tune poutre élastique reposant librement sur des appuis inégalement expèces. Comptes rendus, 1857) behandelt den kontinuirlichen Träger konstanten Querschnittes mit gleichmässiger gänzlicher Belastung der Felder, indem er die Momente an den Stützen als Unbekannte einführt, wodurch eine wesentliche Vereinfachung erzielt wird, weil bei Einführung der Stützendrücke als Unbekannte es im Allgemeinen nicht möglich ist, Beziehungen zwischen nur drei Unbekannten aufzustellen.

Unter Annahme eines veränderlichen Querschnittes sind die kontinuirlichen Träger nach der Clapeyron’schen Methode zuerst von C ul mann (Die grafische Statik I. Aufl. Zürich 1866), von Grashof (Die Festigkeitslehre, Berlin 1866) und dem Verfasser (Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867) behandelt worden.

Auf Grundlage der Clapeyron’schen Methode sind viele Arbeiten mit mehr oder minder abweichenden Einzelheiten entstanden. Wir nennen die Arbeiten von Bresse, Albaret, Renaudot, Collignon, Laissle und Schübler, Lippich, Pierre, Weyrauch etc.

Castigliano (Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques, Turin 1879)

ersetzt zum ersten Male die Anwendung der Gleichung    durch den Satz,

nach welchem die Drehung eines Querschnittes der Differenzialquotient der Formänderungsarbeit nach dem im Querschnitte wirkenden Momente ist und berücksichtigt hierbei gleichzeitig zum ersten Male den Einfluss der Schubspannungen.

§. 58. Auflösung der Gleichungen zwischen den Stützen-momenten- Zur Auflösung kann man verschiedene Methoden anwenden :

1.    Elimination. Bei nur wenigen Stützen kann man leicht die gewöhnliche Eliminationsmethode benutzen.

2.    Clapejron’sche Methode. Die Gleichungen für die Stützenmomente seien :

+ с,Ж„

+ сч + сз Ж|

Сп-3 Мп-3-^Ьп-3 Жп-2-\-Сп—2 Шп -1 = Лп—а

— Лп-1

Diese Gleichungen multiplizirt man, von der letzten beginnend, mit den Zahlen Jct, ... kn-i, welche man so bestimmt, dass bei Addition aller

16 a.

c, Mx

Д,

ьхмх

-j- b„ ifcf2 -f- b₃ üf₃

= a,

= A

= A₃

Cn—ä Mn—3 “j“    1 Mn-i

Gleichungen nur Ж, als Unbekannte übrig bleibt. Zu diesem Zwecke muss allgemein sein. Die erste Zahl kann man beliebig wählen. Wählt man sie = 1, so hat man

18.

bn—i -f b:1 Cn-2 — 0, 0n-2 + \Ьп-2 "1“ \ ćn—3 = 0,

К On—8 “j“ &3 bn— 3 -f“ ^4 Cn—4 = 0.

Hiernach kann man diese Zahlen, die wir Clapeyron’sche Zahlen genannt haben, allmälig bestimmen. Die Addition der Gleichungen gibt

19. (kn—2 ot -f- kn—i bj) kn—i A{ -j- knsA₂ -f-... 4~ k₂ An—2 4- An—i=0.

als Unbekannte bleibt. Die übrigen Unbekannten

Man könnte diese Zahlen natürlich auch so bestimmen, dass bei der Addition nur M,

lassen sich nun aus den Gleichungen allmälig bestimmen. Bei lauter gleichen Feldern werden die Clapeyron’schen Zahlen

+ 1 — 4 4-15 — 56 +209 — 780 -f 2911 — 10864...

Man kann diese Zahlen к auch leicht so bestimmen, dass bei der Addition der Gleichungen nur ein bestimmtes Stützenmomeut übrig bleibt; dasselbe also unmittelbar erhalten wird¹).

3. Determinanten-Methode. Wir bezeichnen die Determinante n — 1 -ster Ordnung des Systèmes sämmtlicher Koeffizienten der Stützenmomente mit D, setzen also

1 с,

с, \

с„

20. I) —

Cn—J

• -P

Cn—4 Ъп—3 On—8

On—8 5n—2 Сп—2 On—2 On—1

Durch Vertauschung der Kolonne, in welcher Ъг steht, mit den von der Belastung abhängigen Grössen At, A₂₁... entstehe die Determinante Dr, so dass

21. Д =

©J

О- C4

ci

cr—2 Ar

Cr

A-n—S Cn—4    &w_5

Cn—3

n—2

ist; alsdann ist MrJD = Д oder

Cn—8

Ьп—2 Cn—g Cn—2 bn—2

Dr

22. Mr = ~

Bezeichnet man in dem Systeme der Determinante Д die Adjunkten von Ax, As,... oder die Unterdeterminanten, welche durch Fortlassung der Zeile und Kolonne, in welchen Ax, A₀,.. . steht, mit dx, da,.. setzt also

23. d.=.

C2

C3

Cr—l Cr

d„ —

Cf—i Cr

Cn—2 bn—2 Cn—2 Cn—2 bn—1

!'

Cn—3 bn—2 Cn—2 Cn—2 bn—J

u. s. w., so ist Д = dx At + da A₂ -j-..., also

24. Mr = -jj (dx Ax -f- dqAq -j-.. .-f- drAr -j-... dn-2An^i).

Hierbei sind die Determinanten n — 2-ter Ordnung von der Belastung unabhängig.

Die Unterdeterminanten lassen sich nach dem Satze, dass eine Determinante, welche in m Zeilen n — m Kolonnen Nullen hat, sich in ein Produkt aus zwei Determinanten von der m-ten und n — w-ten Ordnung zerlegen lässt, immer in ein Produkt aus drei Determinanten zerlegen. Bei einem Träger mit 11 Feldern wird z. B. für das Stützenmoment Ж₇ der Koeffizient d₃ von A₃ :

li

05

^ еР cP

CS о-1 to 00

welcher sich in das Produkt aus den drei in den von der rechts fallenden Diagonale geschnittenen Quadraten enthaltenen Determinanten zerlegen lässt. Die obere linke Determinante ist für d₂, d₃, d₄... von der i-sten, .2-ten, 5-ten... Ordnung; für dt wird sie = 1; die untere rechte Determinante ist für Mr von der n — r-ten Ordnung. In dem vorigen Schema ist die in der Determinante D fortgelassene Zeile und Kolonne durch einen Doppelstrich hervorgehoben.

Da die Determinante D symmetrisch ist (in Beziehung auf die rechts fallende Diagonale) und die Adjunkten symmetrischer Glieder gleich sind, so werden unter den (n — iy Koeffizienten d ausser n — 1 nur einmal auftretenden Koeffizienten von den übrigen je zwei einander gleich, so dass man nur ~ n (n— 1) Koeffizienten zu bestimmen braucht.

Bei einem symmetrischen kontinuirlichen Träger wird die Determinante D doppelt symmetrisch (in Beziehung auf beide Diagonalen) ; hier lässt sich behufs leichterer Berechnung noch eine Umwandlung vornehmen. Es wird beispielsweise bei 9 Feldern oder 8 zu bestimmenden Stützenmomenten

I)

_5

ка°

«Л- о ьсГ о"

.P

О ^ о к-    1Э

cyj _çs

СН CS ts кЭ

4p⁴

ьР Н—Ь ы⁵¹

Owes

“

кР sFs? кр-кр

Bei der zweiten Form ist zur I-sten, 3-ten, 3-ten, 4-ten Kolonne bezüg-lieh die 8-te, 7-te, d-te, 5-te Kolonne addirt. Indem man nun von der 5-ten, d-ten, 7-ten, 8-ten Reihe bezüglich die 4-te, 5-te, ,2-te, I-ste Reihe subtrahirt, erhält man

гсГ о о о о

О

О⁴

*-

cs

C4

&₄ c₄ c₃

C3

\ c₂

^2 ^2 ^1

c, \

rO

&4+ C4 C3

Cg &3 c₂

^2 ^2 G C.

Allgemein findet man in dieser Weise für ein ungerades n, wenn man {n — 1) mit m bezeichnet

25. D =

Ci»

Ьщ—l Сщ—2

bm—2 bm—1

Cm—1

cq &o

Cm—1 bm ~p Cm

und für ein gerades n, wenn man

Ъх cx cx b„

n mit m bezeichnet,

Ьт—1

brn—1

Cm—1 bm—2 Cm—2

Cm—2

b,

Cm—1 2 Cm—1 bm

Hierdurch wird also die Determinante D in ein Produkt zweier Determinanten zerlegt.

Unter den (n — i)² Koeffizienten d werden hier von n — 1 Koeffizienten je 2, von den übrigen je 4 einander gleich.

4. Bei symmetrischer Anordnung des kontinuirlichen Trägers, indessen beliebiger Belastung, lässt sich eine Vereinfachung dadurch herbeiführen, dass man die 7-ste und (n — 7)-ste, die ,2-te und (n—2)-te, die 3-te und (n — 3)-te Gleichung u. s. w. addirt und subtrahirt. Setzt man dabei

Mx -}- Mn-i = Xx, Mx -f- Mn-2 — Xqi • • M — M

= *i.

Mx - Mn-S = гц, . .

so ergibt sich

27.

( ЬД, + c, Xq cx Xx -)- bq Xq -p cq X₃

Cq Xq -j- &3 X₃ -f- Cg X± - A-₃ -j- An—3 ,

— Ax -j- An—ii

- Aq -J— An—2 ч

bt Y, + с, Yq

С\ Yx -р bq Yq -f cq Y₃

27 a.

— A j An—i, —    —,2 ,

с2 ^2 + Ьл Y₃ -р с₃ Vj — А₃ — А

Man erhält hierdurch also zwei Gruppen von Gleichungen; die Anzahl der Unbekannten ist bei ungeradem n in jeder Gruppe ~ (n — 1), bei geradem n dagegen in der ersten Gruppe y n, in der zweiten j n — 1.

Setzt man im letzteren Falle Xn — 2Mn, so stimmen die Determinanten

Y    J

D der Koeffizienten in den beiden Gruppen mit den Faktoren des Produktes überein, in welche sich D nach Formel 25 und 26 zerlegen lässt. Nach Auflösung beider Gruppen von Gleichungen wird Mx = -j (Xx + Yx)r üf„_, = 1 (X,- Tt), M, =    (X, + Ę), M„-S = j (X,-ra) u. s.w.

Beispiel. Träger konstanten Querschnittes mit gleich hohen Stützen und vier Feldern, deren Längen sich wie 8 : 10 : 10 : 8 verhalten. Die Gleichungen zwischen den Stützenmomenten werden 36 M, + 10 M₂

= - 54 2Я/ — 30Ж,“ = А„

юм, + 40 m₂ 4- io м₃ = — зот₂‘ — 30 m₃" = a₂,

10M₂ 4- 36M₃ = — 30Шз' — 24Ж₃" = А₃.

1. Clapeyron’s Methode. Multipliziren wir die Gleichungen mit k₃, k₂, 1, so erhalten wir, damit durch Addition M₂ und M₃ verschwinden, 36 -f-10 k₂ = 0, 10 + 40k₂ + l0k₃=0, daher k₂—-3,6, k₃ = — l — 4k₂= — 1 + 14,4 = + 13,4. Die Multiplikation gibt

= + 134 A,

4824 M, -f- 1340 M2 — 360 M, — 1440 M₂ — 360 M₃ = — 36 Ä2 + 100 M₂ 4- 360 M₃ = 4- 10 A₃.

Die Addition gibt 4464M, = 134A, — 36A₂ + 10A₃ oder Mx = 4- 0,03002 A, —0,00807 A₂    0,00224 A₃.

= — 0,720m,¹ — 0,004 3V 4- 0,545m₂‘ + 0,242 m₃" - 0,067Ж₃‘ — 0,054 ЯЛД Es wird nun M₂ — - 3,6 M, 4“ 0,4    oder

M₂ = — 0,00807 A, 4~ 0,02905 A₂ — 0,00807 A₃

= 4- 0,194m,¹ + 0,545ЭЛ/' — 0,8759JV — 0,875 9D4₃'' 4~ 0,242Ж₃‘ -f- 0,194SR/', Ж₄ erhält man nun der symmetrischen Anordnung wegen ohne Weiters durch Umkehr der Zeiger.

2. Determinantemethode. Es wird

36 10 10 40 10 10 36

— 36

40 10 10 36

- 10

36 (40.36- 10.10) 10 36 ~ — 10 {10.36)

10

= 44640 .

10    j £0 ю I

A^ 40 10 I ßß A₃ 10 36

— A, (40.36 —10.10) — A₂ {10.36) -j- A₃ {10.10) = 1340 A, — 360 A.t -f 100 A3 36 A,

10 A₂ 10 — — A,

A₃ 37

= — A, (10.36) 4- A₂ (36.36) - A₃ (36.10) — — 360A, + 1296A₂ — 360 A₃. Setzt man nun M, = M₂ — so erhält man wieder die obigen Zahlen.

-Л

10 10

36

10

10

10 36

40 10

36

36

10 10

I)

§. 59. Bestimmung der übrigen Grössen. Nachdem die Stützenmomente in der gezeigten Weise bestimmt sind, ergeben sich die Werthe für Q und M für beliebige Querschnitte nach den Formeln 4. Es ist in gewissen Fällen von Nutzen, die Rechnung mit der Konstruktion zu verbinden, indem man die Stützenmomente durch Rechnung, die übrigen Grössen aber auf grafischem Wege bestimmt. Man kon-struirt zu diesem Zwecke das Seilpolygon für die gegebene Belastung (Fig. 118). In den Stützenvertikalen macht man sodann die Strecken AA‘ und BB' gleich den Stützenmomenten, dividirt durch die Polweite H. Zieht man sodann die Schlusslinie AB, so geben die Ordi-

naten des Seilpolygons von AB aus gerechnet, mit H multiplizirt, die Momente. Man kann auch AB horizontal annehmen und sodann das

Seilpolygon in bekannter Weise durch die Punkte A‘ und B‘ legen wie in Fig 119. Legt man im Kraftpolygone parallel zur Schlusslinie AB einen Strahl OEx, so ist die zwischen OEx und dem zur letzten linken Polygonseite A‘ E parallelen Strahle EAx liegende Kraft Et At gleich der Summe aller auf der linken Seite von einem durch die letzte Polygonseite A‘F gelegten Schnitt wirkenden Kräfte, also gleich der Kesultante der links von diesem Schnitte noch wirkenden Stützendrücke und Lasten, d. i. gleich der Transversalkraft Q‘ für die linke Stütze A. Ebenso stellt Ex Bx die Transversalkraft für die rechte Stütze В dar. Die Transversalkräfte für andere Schnitte werden durch die Abstände der entsprechenden Punkte des Kraftpolygons von Ex dargestellt.

Fig. 119.

Fig. 118.

R‘

Тв

Ata

Bezeichnen wir wieder die Normalmomente für drei auf einander

die Längen der Felder mit lx, lq,

folgende Stützen mit M₀, MX) M( die Transversalkräfte in diesen Feldern an der mittleren Stütze bezüg-

lieh mit QX>1, Q^ und die hier unter der Voraussetzung von Einzelträgern entstehenden Transversalkräfte mit O,", 0₂', so ist nach der ersten der Formeln 4

Qr“ = «V +

Mx - Mn

, Q ‘ — -f

Ist nun Dx der Stützendruck auf die mittlere Stütze, so ist olfenbar Q„‘ = Qy“ -(- D, oder B₁=Qq‘—QA Da dementsprechend Ц/— der Stützendruck ©, ist, welcher auf die mittlere Stütze bei Annahme von Einzelträgern entsteht, so wird

28. JDX=QĄ- Qx" = ®x +

Mn — M,

M, - Ж,

l,

Der Druck _D₀ auf die erste Stütze mit dem Zeiger 0 ergibt sich in gleicher Weise

A) — Qi —    ^ »

unter der Voraussetzung, dass der Träger auf dieser Stütze frei auf liegt, also M₀ — 0 ist.

Legt man im Kraftpolygone Strahlen 0Aq und OB₂ parallel zu den an A‘ und Б' anschliessenden Seilpolygonseiten der Nachbarfelder, so wird AtA₂ gleich der Summe der auf den beiden Seiten von A wirkenden Transversalkräfte, d. i. gleich dem Stützendrucke in A; ebenso wird Bl Bo gleich dem Stützendrucke in B.

29.

§. 60. Drehung der Axen der Träger an den Stützen.

Wenn wir die durch die Formänderung veranlasste Drehung t,' des linken Endes der Axe des Stabes bestimmen wollen, so haben wir uns in der Axe in unendlich kleinem Abstande c vom linken Ende die 2

vertikale Kraft — wirkend zu

Fig. 120.

JL

...fi..

Ji'

denken (Fig. 120). Hierdurch ent-2

stehen die der Kraft — entgegengesetzt gerichteten ßeaktionen

A— Л. unci A., Innerhalb des Stückes B₀E₀ entstehen dieselben Spannungen n und t, wie in §. 55, wo wir ein auf den Querschnitt AA' wirkendes Kräftepaar mit dem Momente 1 annahmen. Innerhalb des

Stückes A₀Etl mögen durch die Kraft ~ die spezifischen Schubspannungen t₀ entstehen, die wir, weil A₀E₀ unendlich klein ist, als mit x nicht veränderlich voraussetzen können. Die Normalspannungen, welche

in diesem Stücke durch die Kraft A entstehen, sind wegen des unendlich kleinen Hebelarmes der Kraft ~— L. gegen t₀ unendlich klein, können

also sofort weggelassen werden. Demnach wird hier nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit, wenn d F das Flächendifferenzial des Querschnittes bezeichnet,

ß-i-

-►

f / nJY tT

i    ^

dV 4- А

J t„TdF,

t\‘ =

wobei sich das erste Integral auf das Stück GE, das zweite auf die ganze Endquerschnittsfläche bezieht. Da aber c unendlich klein ist, so ist das erste Integral dasselbe, wie in Formel 1. Demnach ist

30.

r j taTd F.

Nun aber ist, wenn QJ die am linken Ende durch die Belastung entstehende Transversalkraft bedeutet, T = ctn — c — y^ jy =

wenn

— y) jy, oder, da c unendlich klein ist, c t₀ = mithin, wir den Werth 2 für я berücksichtigen,

Х(У Mt F

31. t₁/ = t/ +

Sonach bildet die Tangente an die deformirte Stabaxe in A mit der

* ö'

Sehne A A' des deformirten Endqnerschnittes einen Winkel von 90° -f yy.

Ist A ein Stützpunkt eines kontinuirlichen Trägers und ist Q" die links von diesem wirkende Transversalkraft, so bildet auf der linken

Seite die Tangente an die Stabaxe mit der

Sehne des Querschnittes den Winkel 90°-

Fig. 121.

W

*Q“

E,F'

wobei in Wirklichkeit Q“ negativ ist. Demnach entsteht an der Stütze in der Stabaxe

!\

ein Knick (Fig. 121). Bezeichnen wir den

Д F ’

oder, wenn wir den Stützendruck Q‘ — Q“

Winkel desselben mit v, so ist v =

mit D bezeichnen,

32. V —

X I)

E₁F '

Die wirkliche Formänderung ist indess über der Stütze eine etwas andere, weil die Schubspannungen sich an denjenigen Stellen, wo Einzeldrücke angreifen, wesentlich anders vertheilen, als nach der bekannten Theorie. Wie Versuche an Gummimodellen zeigen, tritt statt des Knickes eine Abrundung ein; nur auf der Seite, an welcher sich der Stützendruck auf den Träger überträgt, also gewöhnlich unten, tritt eine wirkliche Knickbildung ein, wenn sich der Druck nicht auf eine grössere Breite vertheilt.

Für einen veränderlichen Querschnitt würde, der in der Anmerkung zu §. 55 gegebenen Näherungstheorie entsprechend, statt der Formel 31

а. Ху = г‘ H--

Д /о

zu schreiben sein, wobei sich M₀, f₀ und xt auf den Endschnitt beziehen. Statt der Formel 32 ist zu schreiben

Ъ. v —

wenn My das Moment an der betreffenden Stütze, xt, хг die Abstände der Schnittpunkte der Randtangenten von der Stütze bedeuten.

§. 61. Bestimmung des Koeffizienten X-

Wir wollen uns hierbei lediglich auf den symmetrischen I - förmigen Querschnitt beschränken (Eig. 122). Wir bezeichnen die ganze obere und untere Breite mit b, die Dicke des Steges mit bx, die ganze Höhe mit die Höhe zwischen den Flanschen mit wir das statische    <

und unteren Theil    i

bezeichnen,

Fig. 122.

ÉÜ.

И JbL il

Sv

Si ÖQ О

*-S    ^ ö

ergibt sich, wenn für einen oberen

den Steg mit S,₂

s, =

loi Kl

‘(Ï-)

{b№-    + bxh*)— îriy.

Es wird nun

Setzt man ferner F=bh— (b—bx) hx und /— — [bh³ — (b — &,) h{³\, sowie zur Abkürzung

h. — mh,

bx — nb,

so gibt die Ausführung

33. X =

20n(l-m³-\~m³n)

Hiernach ist folgende Tabelle berechnet:

xbih

n—0,1 n=0,2^1—0,3^=0,Ąn=-0,5\

— 1 п=0,1 п=-0,2\п=0,з\п=0,4 w=0,5| n=l

■---^-00 ^

j-i (—i jo Jo JK JK j-i to "oo Co Oi со кг to

<C Ot HK Ox to CO <C

Kl J-l J—I Jo Jo Jo J-l 'to "нк 'ос "to "ox 'кг 'to ocoootomosîs

J-l J-l J-l J-l J-l JO J-l 'to 'со "ox 'кг 'c 'c 'to с ox кг ас ох кг с>

J—l J—l J-l J-l J-l J-l J-l

'to "to "чк "ox "oi 'кг 'fo О Со К O) Oj IK Ü

J-l t-l Kl J-l J-l J-l J-l "to "to 'to 'мк "ох Ox'tO СО Ox НК Co CO Ox CO

J-l J-l J-l J-l J-l J-l J-l îo îo to >o Ъ to to с с с с с с. со

^ A H Os CO <9

oo_ <3i_ Cj cj

со' со' со' сГ ■к" т-Г t-T

ki j-i j— j-i jo> je jc 'io C "c "со 'со lo

C Кг HK K. Cto tO HK

J-l J-l J-l J-l J-l C) c

'to с 'со "с. 'со 'со "со <o> со кг oi ki ox ci

Kl J-l J-i J-l J-l jc jo "to "ki "ki '<c '<c 'со 'hk С К Cs 00 K «9 Co

J-l J-i Kl J-l J-i J-l jo 1-0 Kl "ki "к. "c "c 'Oł omtocsùjo

J-l J-l J-l J-l J-i J-l J-l to to го го to to to о о со о <с о

Für den rechteckigen Querschnitt wird hiernach x = -f- == Für die gewöhnlich vorkommenden Formen wird nach der Tabelle nahezu

F ~~ b.h•

Wir wollen nun noch voraussetzen, dass, wie bei einem Blechträger, jeder der beiden Gurte die Fläche f, dabei eine beliebige Form, aber eine gegen die ganze Höhe h nur sehr kleine Höhe habe; der Steg habe die Dicke d. Alsdann ist F = 2f ôh, I = j /7г² -f ~ dha und S = j fh -f- ~ ô h? — j d v^. Man erhält leicht

iS

h

S-dv =

120 ö

(.30P + lOfdh -f <№)•

Hieraus folgt, wenn man zur Abkürzung f=vdh setzt,

6 (1 + 2V) (1 + 10V + SOV^) 5\1+6VY

Für grosse V ergibt sich, wenn man v — setzt und in eine ßeihe verwandelt, x =

4(²~Ta) = T + i oder

34. X =

oder annähernd x —

34a. X = 2V + 1.

Diese Regel ist fast für jedes beliebige v hinreichend genau. So erhält man für v — 0 0,25 0,5 0,75 1 2 genau x = 1,20 1,55 2,03 2,52 3,01 5,01, nach der Näherungsregel x — 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 5,0, Bei den jetzigen Blechbrücken wird x die Zahl 5 nicht überschreiten, in der Regel aber wesentlich kleiner sein. Da nun F=2f-\-hd = (2v-{-l)hd ist, so wird sehr nahe

§. 62. Bestimmung der Hilfsgrössen В und C. Zur Bestimmung dieser Hilfsgrössen tragen wir den reciproken Werth des

Trägheitsmomentes an der betreffenden Stelle als Ordinate auf; die so erhaltene Fläche AB GE B (Fig. 123) nennen wir die Krümmungsfläche, weil

die Krümmung von -j abhängt.

den Flächen-

Fig. 123.

lÜ

i!l

II!

Es bedeutet nun

(dx

J I

ausgedrückt werden. Die Bestimmung von cp, 6, r\ kann auf verschiedene Weise erfolgen.

1. Durch Rechnung. Bei krummliniger Begrenzung wendet man zur Berechnung am besten die Simpson’sche Begel an. Aendert sich aber der Querschnitt, wie dies meist der Fall ist, Staffel förmig, so besteht die Krümmungsfläche aus einzelnen Rechtecken, deren Flächen und Trägheitsmomente einzeln zu berechnen sind.

2.    Durch Planimetrirung. Ein sehr geeignetes Mittel ist jedenfalls das Momentenplanimeter von Amsler, mit Hilfe dessen man durch blosses Umfahren der Fläche den Flächeninhalt, das statische und Trägheitsmoment in bekannter Weise erhält (siehe des Verfassers „Vorträge über Eisenbahnbau, Heft 1, III. Auf!., Seite 243“).

3.    Durch Konstruktion. Man denkt sich die Krümmungsfläche als Belastungsfläche, d. h. die Ordinaten als Lasten pro Längeneinheit, und konstruirt hierzu die Seilkurve AGB (Fig. 124). Zieht man zwischen den Endvertikalen die Endtangenten AN und BM der Seilkurve, so ist bekanntlich, wenn man die Polweite des Kräftepolygons mit H bezeichnet, rj'= 2H Fläche AGB M, r\“ — 2H Fläche AGB N. Die Fläche cp ist gleich der Linie HI im Kräftepolygone. Macht, man OK parallel MN, so ist /\OIK™/\AMN und Д OHKcs>£BNM,

¹

) lieber die Eigenschaften dieser Zahlen siehe: Winkler, die Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867, S. 120. — Weyrauch, allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuirlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 37.

²

Ö- Jf - hö '

in Uebereinstimmung mit obiger Näherungsregel.

Man kommt auf diese Eegel unmittelbar, wenn man in naher Uebereinstimmung mit der Wirklichkeit annimmt, dass in den Gurten gar keine Schubspannungen entstehen und dass die Schubspannungen im Querschnitte des Steges konstant sind, welche Annahme der in der Anmerkung zu §. 65 gegebenen Näherungstheorie zu Grunde liegt. Die Fläche /„ würde hier —hd' zu setzen sein.

mithin ist AM=IK~, В N = HK    folglich Fläche AB NM

— Y

AB NM. Sonach wird jetzt

~_ Fläche AGB N

⁰ ~ ³ • Fläche AB NM'

Das statische Moment a‘ wird durch das Produkt aus der Polweite H und der Strecke AM dargestellt. Es ist demnach la' = 2H/\AB M.

(AB F BN) I = - (IK F HK)    f! oder cplq=2H Fläche

C“

38.

Ç(l — X) dx

J I

das statische Moment <?', 6“,

das Trägheitsmoment rj‘, 4“ der Krümmungsfläche in

Beziehung auf die Endordinaten. Wenn man IQ so wählt, dass —

~ darstellt, so ist Jl — jdx

3rj"

~ <pF’

Da (l— x)q = lq — 21X 4- xq ist, so wird    — lqcp— 21 б' -f r\\

also la' — ~ (l~<p -f- У* — îî//)i mithin kann C auch in der Form 3 (cp lq — tt]' — rj")

inhalt

und

<P

j(l— xydx

den Mittelwerth von

36.    Q

= cp. Alsdann wird 6(1 б' — 1?')

cpV¹

(p lq

37. G =

cp G

= 3 — C‘ -G“

Fläche AGBM ~ ³ ' Fläche AB NM '

Demnach ist 1б‘ — 17' — 2H (/\ABM — Fläche AGBM) = 2H Fläche AGB. Sonach wird

39. C = 6 .

Fläche AGB

Fläche ABJSM *

Fig. 124.

1-1

iij

-a--—

IV

Wenn man die zur Axe AB senkrechte Schweraxe der Krümmungsfläche als Abscissenaxe wählt und den Abstand eines Querschnittes von dieser mit xd, den Abstand dieser Schweraxe von den Enden mit e, ex bezeichnet, so ist x — e -f- xa. Wenn man berücksichtigt, dass alsdann Ç x₀dx0 J~~T~

= 0 ist, so ergeben sich die Beziehungen: C' = 3 A₀ A,

Kl

К.] ki

C“ = 3^-A₀ + А

0=6j}A,-1a,

40. à OG“ — C*= 3AAn,

wenn man zur Abkürzung

41.

dx₀

121₀ Ç x₀qdxit

J _

A =

setzt. Der in den Ausdrücken 9 für Ж' und Ж" auftretende Koeffizient 4 G‘ G" — G'¹ ergibt sich leicht zu

42. 4 G'C“ — C* = 36

Trägt man noch als Ordinate auf, so ist der Flächeninhalt gj,

Figur = J — dx. Wählt man, was zulässig ist, ■—

j= ~~ l, mithin nach Formel 6

В — 1. Wird nach Formel 36    = A gesetzt, so wird auch ■— = ~.

Fläche AGB

Fläche AB NM *

der erhaltenen

als Mittelwerth von so ist

Beispiel. Drehbrücke mit zwei Oeffhungen von 20 und 18 Meter Stützweite mit Blechträgern, mit geradem Ober- und Untergurte, aber von den Enden nach dem Mittelpfeiler hin von 1,2 bis 1,8 Meter zunehmender Höhe. Die Querschnittsveränderung für die linke Oeffnung von 20m Stützweite ist durch Fig. 125 und durch die folgende Tabelle gegeben.

Fig. 125.

-a

<- Z, S —к------------9r à-------------K -Z. S -К- 2.0*-1,6-Х/,2У

1000

Ç dx

J~r

Io

j Çx"² d X

loJ~T

14

67,2

73,6

222,1

233.3 233,3 298,1 298,1 363,0 363,0

14,90

13,60

12,40

381,3

3,9

8,77

7,94

7,25

6,60

6,02

5,56

124

152

162

172

188

200

Decimet. ! Decimet.

Nach der 4. Rubrik wird

5,13

7,14

14,2

10,0

22,3

38,2

9,2

644,5

56,0

73,6

94,5

6,67    187,3

6,25

4,50

4,29

4,29

3,36

3,36

2,75

2,75

' 1000

553,8

86,5

53,8

33,0

113.8

159.9

184.7 210,2 152,5

162.7

183.4

144.9 173,2

141.4 160,0

517,5

328,9

254,5

180,8

1386,4

. 100

1844,7 . 1000

Ç doc    1

J ~y — 0,1386. Wenn wir I₀ so wählen, dass -j-

der

Mittelwerth von ~ ist, so wird ~ = 0,1386, ~ = 0,00693, I₀ — 145. Hiernach

-y- in der 5. Rubrik berechnet. Nach der 7. Rubrik wird

ist sodann

1844700. Die Integrale sind hierbei hinsichtlich der 4 ersten Theile nach der Simpson sehen Regel, hinsichtlich der 2 letzten Theile nach der Regel für das Trapez berechnet. Sonach wird nun nach der ersten der Formeln 6:

3 .1844700

= 0,692.

200³

Mit Berücksichtigung der Schubspannungen ist nach der ersten der Formeln a

3 I„E Гx,²dx

J

hinzuzufügen. Für den vorliegenden Fall ist ж, konstant und nach den in Fig. 126 iangege-benen Bezeichnungen f₀—hd =

â daher

Fig. 126.

'----—X

к----------------л*-----------

■*5

(S. 96) noch

<—x->

<:------

-4-—4-z->

k₃

•'s

EJ³l

+ X₃

x,²dx _ х^Хз

foXo* ~

äh₃

К , i₌ h (X3 ■+ xt) , Jj_

J x₀³ dh₃    2dh₃x₃    ' 6h₃

— *i

- УЩ [г< (² + ъ) + n]

Hierbei ist in Decimetern l, — 162, l = 38, \ = 12, h₃ = 18, 6 = 0,1. Setzen wir noch E = E-El} so ist obiger Werth von C₃ zu vermehren um 3.148.8

3.2003 * 2.0,1.18

Sonach wird C* = 0,692 -f- 0,014 = 0,706. Die Vermehrung von C‘ durch die Schubspannungen beträgt hiernach 2 Prozent.

+ 2.38

0,014.

§. 63. Bestimmung der Grössen 30t', 301" und ßv. Trägt Io Ш7 an der betreffenden Stelle als Ordinate auf, so

man die Grösse

erhält man eine Fläche AD GEF (Fig. 127), weiche sich der Momenten-

fläche für den Einzelträger, die wir einfache Momenten-flâche nennen, um so mehr nähert, je weniger veränderlich der Querschnitt ist; wir nennen daher diese Fläche die verzerrte Momentenfläche. Nach den Formeln 6 sind ЭДР und Ш7" das -p-fache des statischen Momentes der verzerrten Momentenfläche in Beziehung auf die durch die Enden A und В gehenden Vertikalen. Die Bestimmung des statischen Momentes der verzerrten Momentenfläche kann nun, dem vorigen Paragrafe entsprechend, 1. durch Rechnung, 2. mit Hilfe des Momentenplanimeters und 3. durch Konstruktion erfolgen. Im ersten Falle wird man bei stetiger Veränderung des Querschnittes am besten die Simpson’sche Regel anwenden. Wenn sich indess der Querschnitt stalfelförmig ändert, so wird man die Integration innerhalb der einzelnen Strecken ausführen

ii

~I

Fig. 127.

können. In Betreif der Konstruktion ist zu bemerken, dass die statischen Momente dargestellt werden 1. durch das Produkt aus dem Flächeninhalte und dem Abstande des (durch den Durchschnittspunkt der Endtangenten der Seilkurve bestimmten) Schwerpunktes von den Endvertikalen und

2. durch das Produkt aus dem Abschnitte der Endtangenten auf den Endvertikalen und der Polweite.

Trägt man als Ordinate auf, so ist O' das ~ fache der Fläche der erhaltenen Figur. Da nach §.61 für den I-förmigen Querschnitt mit konstanter Höhe ~ sehr nahe konstant ist, so wird sehr nahe O' = 0, so dass man das Glied mit O' in der Regel wird vernachlässigen können.

Beispiel. Wir wollen das Beispiel’ des vorigen Paragrafes noch um die Bestimmung von SDÎ' für eine gleichmässige Belastung mit der Last q pro Längeneinheit

ergänzen. Für dieselbe ist W—^-qxil— ж), SDl£c = 4 qx¹ (I —• x).

i,

J₀ X⁷ (l—X)

х*(1 — x) dx

I₀ I₀x'(l-x)

x\l—x) dx

2,16

124

1,04

14 1,98

73

250

138

0,97

2в\

1,81

244

44

1,27

172

152

\ 0,91

\ 0,66

1215

1145

1009

3171

732

60

1,15

348

162

1,06

535

0,62

618

1239

76 0,97 92 0,87

694

795

6049

172

I 0,62

0,49

514

406

108

0,81

869

0,49

208

491

124

0,74

865

200

0,40

170

0,40

102

Deci

meter

. 1000 Decimeter

6299 . 10000

Deci

meter

. 1000 Decimeter

11302 . 10000

а ч

200¹ 2

90t' = 2825 q = 0,848 . •— ql\

Nach der 4. der Formeln a (S. 96) ist noch

fügen. Nun aber ist S0io = — y qIx, + qx (x₀ + 4 ж) =

Setzt man nun wieder /„ =    und für den Theil mit konstanter Höhe — 9Ji„ —j

x₃    xo

gleich der Transversalkraft ~q(l — 2x), so wird

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Nach der 4. Rubrik wird SOI'

. 11302.10000 oder

2JnE C S0io x, dx

~ШГ J /»**

hinzuzu-

q [as, (Z + ж,) — жД

33î₀ я, d X

хз

^33 Г/

^ 2âh₃ Л

Хх (I -f" Ж|)

к)ах- ⁺

_ ü^h Г(* + ж.)(ж₃ + Д?,) ж^з ₇ æs “ 2Jä₃ L ^ж₃ z₂    г, г, ⁹    X,

_qlj₂ f{Z,7г₃ + Z₂ (Ä₃ — й,)1 (й₃ + A,) Z,ft,fe₃

^2 (Лз ÄA)*

Setzen wir 1,-162, Z₂ = 38, 11,-12, h₃ = 18, â = 0,1, I₀ = 145 und E—^E,, so wird die hinzufügende Grösse

2.145.8    q.162.38 [*(162.18Ą 38.6)30 162.12.18

3.200² ' 2.0,1.18

= 33,06 {11,50 — 10,37 -l)q — 33,06.0,13 .q = 4,30.q = 0,002 .~^ql\

so dass jetzt SU' = {0,848 + 0,002) qP = 0,850. — ql* ist. Die Schubspannungen vermehren den Werth von 2JP hiernach nur um 0,24 Prozent.

Wenn wir annehmen, dass sich für das zweite Feld mit der Spannweite l, = 18m und der gänzlichen Belastung mit q, pro Längeneinheit C“ = 0,698,

Ш" = 0,847. ~ q,!,² ergibt, so wird die Gleichung zur Bestimmung des Stützenmomentes M, : 2 (0,7061 -f 0,698l,)M, — L (0,850ql¹ + 0,847 q, l,²) oder

2 â h₃

M 3 USQ

-o

2 Z₂ h₃\h₃ — h,)

2.38.18.6

38.6*

— 2x)dx

h₃

lognat —

18

lognat —

-*]

M, — —

0,1062qll -f- 0,1059 q, l,²

0,7061 -f- 0,6981,

§. 64. Werthe von und 39Î" bei konstantem Querschnitte. Bei konstantem Querschnitte kann Ш1' und 20î" leicht durch eine Integration oder mit Hilfe des bekannten Flächeninhaltes und der bekannten Schwerpunktslage der Momentenfläche des Einzelträgers bestimmt werden.

Fig. 128.

4.

-Д

et

1. Belastung durch eine Einzellast G (Fig. 128). Der Abstand der Last von beiden Stützen sei g, gr Die einfache Momentenfläche ist ein Dreieck GH,

mit der Höhe

, also der

Fläche ~ ćrggj. Der Abstand des Schwerpunktes dieser Fläche vom linken und rechten Ende wird 4 ^ + 4 (i — T 0 ⁼ 4 Q + I) und T I ~ 4 (4 ^ — ii) = 4 G + ii)- Daher wird

= G

43.

( да = e ** g+-Д

ЗГ

iUL+ÈA = G UJ-â²)

зг²

зг²

2. Gänzliche gleichmässige Belastung (Fig. 129). Die einfache Momentenfläche ist eine Parabelfläche mit der Höhe jql, wenn

q die Last pro Längeneinheit bezeichnet, also mit der Fläche

Fig. 129. ----1------

Tli Z¹'* = iv¹*’ deren

Schwerpunkt in der Mitte liegt.

Demnach wird hier i)J£' = Ш“ = yr ’1 ^    4. i-

44. wv = m — В <)i°-

3. Theilweise gleich massige Belastung mit der Last p pro Längeneinheit. Es sei zunächst der linke Theil AC (Fig. 130) belastet; wir setzen AC = £,

В C = Die einfache Mo-mentenfläche besteht aus einem Dreieck А CB mit der Höhe

CG\= yi> T &

Fläche y p !³ und einer Parabelfläche AD'C mit der Höhe B'D" = -I- PŹ², also der Fläche

Ąr * ТГР? • S = -jsPŹ³- Der Abstand der Schwerpunkte dieser beiden Flächen von A ist ~ (l + g) und jjj, von В dagegen Q + li) und -j (Z -hli)* Daher wird |-ЭД№ =

*>(* + © + i>p¥-i i und    (ï+i.)

+ -Tg-pF'-T (I + ii) oder

also der

Fig. 130.

WÊt

<=~

4-----£_-------y

-9-

Ni

■fi-

j?|

4-----^------

45. Ш¹

121-

121¹

Fig. 131.

\*---------------*r—-ß,—

-----/.-----

Wenn dagegen der rechte Theil В C belastet ist (Fig. 131), so ergibt sich durch Vertauschung von äJD mit ÜD?" und £ * mit I, in den vorigen Formeln

46.    i'>*,    —    ii⁸).

Des häufigeren Vorkommens wegen ist hiernach für $Z' und ЭД?" die folgende Tabelle berechnet:

VII. Kapitel.

Belastung eines einzelnen Feldes.

§. 65. Beziehungen zwischen den Stützenmomenten der nicht belasteten Felder. Wir setzen in dem folgenden Kapitel voraus, dass die Stützen in einer Geraden liegen. Ist nun eine Reihe von Feldern, vom ersten angefangen, nicht belastet, so sind die Gleichungen für die Stützenmomente hinsichtlich der nicht belasteten Felder nach Formel 4 (S. 97):

2    (cct lx -f- ß„ L) Ж,    -f- y₂1„ — 0,

У2    -f-    2    (a₂ lq -f- ß₃l₃) M,    + y₃ h Щ ~ 0,

y₃ ?з3f₂    -}-    2    (a₃l₃ + /ЗЛ) M₃    -f- У₄ h Д* = 0,

Ж‘

SK"

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,00166

0,00653

0,01433

0,02453

0,03646

0,04920

0,06166

0,07253

0,08032

0,08333

0,00301

0,01080

0,02168

0,03413

0,04688

0,05880

0,06901

0,07680

0,08168

0,08333

0,08333

0,08168

0,07680

0,06901

0,05880

0,04688

0,03413

0,02168

0,01080

0,00301

0,08333

0,08032

0,07253

0,06166

0,04920

0,03646

0,02453

0,01433

0,00653

0,00166

.pP

. pP

. pP

. pl²

Links belastet (Fig. 130)

Hechts belastet (Fig. 131)

1.

Hiernach ist zunächst Ж₂ = — 2    + yy) Ж, und M„

haben also entgegengesetzte Vorzeichen und es ist — —■ > 2 y-. Ferner ist

7ч

Ж,

><8 A ₊

Уз ‘

Nach §.57 wird aber für irgend ein Feld 4aß — y- =

Da nun aber negativ, indess < ist, so wird —

l₂ (4 C<₂ ßi    У2 ł)

2l₃ ßt Уз

мг

4(C'-\-~lcB)(C“ + ±kB) — (С — IB)'¹ =    — Cs +

2 ((7-f- С" + C“)kB, d. i. nach §, 62 = 3A₀ (A -f- kB), d. i. unter allen Umständen positiv. Sonach ist unbedingt — Ц³- positiv, und

M₃ haben also stets entgegengesetztes Vorzeichen und es ist —~ > 2

y*

Durch Fortsetzung dieser Schlüsse kommt man zu dem Resultate:

Die Stützenmomente in den nicht belasteten Feldern sind abwechselnd positiv und negativ und es ist

(im+l

У m+1

Da im Allgemeinen 2ß>y ist, so nehmen die Stützenmomente vom Ende nach dem belasteten Felde hin zu. Bei konstantem

Mm+l Mm

2.

AT.m+i

Mm

Querschnitte ist ß = 1, у = 1, hier wird also —

Regel aber hier dieses Verhältnis wesentlich grösser, als 2. Denn es ist

> 2\ in der

nach Obigem : — ~ = 2 + y- + jf}, oder da ~ negativ und

M₂ ^ -

findet man:

— ist, — ~ > 2 + у у-. Durch Fortsetzung dieser Schlüsse

3.

Mm+l

Slm

2 lm+1

so dass also beispielsweise bei konstanter Länge der Felder —^—>5,5 wird. Bei konstanter Höhe von Gitterträgern, aber variablem Quer-

ß

schnitte ergibt sich auf Grund spezieller Berechnungen — > 0,8,

Ут

Mm

<c 1,2, ■—— > 0,8. Hiernach ergibt sich

l’m+l    У m+1

4.

MmVl

Mm

> 1,6+ 0,9

Im

Bei konstanter Feldlänge würde hiernach —

lm+1

Mm+l

Mm

>2,5.

Wir wollen nun, vom linken Ende beginnend, J/₂ = —    ,

M₃ — — Mq, M^ — — [1АМ₃,. . . und vom rechten Ende beginnend, ALn _ 2 z=z Vn—l Mm—i Zeiger von p- und v dem Felde entspricht, an dessen Stützen die Momente verglichen werden. Alsdann ergibt sich aus den Gleichungen 1:

У ъ l<i

Mn-i — — vn-2 Mns,... setzen, wobei der

2 (cc₂    + ß₃1₃) —

»    f*3 -

УзЪ

wonach leicht die Verhältnisse    ,... allmälig berechnet werden

können. Nach denselben Regeln sind, vom rechten Ende beginnend,

allmälig die Verhältnisse v zu berechnen. Bei symmetrischer Anordnung wird natürlich (i₂ = p₃ = vns... oder allgemein

pm —- ^n—m-\-l •

Unter der Voraussetzung eines konstanten Querschnittes sind für den Fall, dass das erste Feld die LäDge Z,, alle übrigen die Länge l haben, die folgenden Werthe für p berechnet worden:

Pi

Pi

Pi

Pb

Pe

4,22222    3,76316    j    3,73426

1,0    ,    4,00000    3,75000    ;    3,73333

1.1    I    3,81818    3,73810    3,73246

1.2    II    3,66667    3,72727    \    3,73171

1.3    I    3,53846    3,71739    \    3,73099

0,9

3,73221

3,73214

3,73208

3,73203

3,73197

3,73206

3,73206

3,73205

3,73205

3,73205

Der Grenzwerth von p für ein wachsendes m ergibt sich, wenn

man (ini—i = p,n setzt, also lpm — 2 (l -f- l)--— — 41 — —,

Pm    Pm

p-m — 4pm 4-1 = 0, woraus folgt:

6. pm = 2 + }/3 = 3,73205.

Ist у- = und zwar = 2    1/3 = 3,73205.

-J-V3 = 1,15470, so werden sämmtliche pm gleich gross

In weniger strenger Weise gelangt man folgen dermassen zu diesen Resultaten: Wenn irgend ein Feld belastet wird, so werden sich offenbar alle Punkte dieses Feldes senken. In b’olge des Zusammenhanges der Felder müssen sich dadurch offenbar alle Punkte der beiden benachbarten Felder heben, was wiederum eine Senkung aller Punkte der anstossenden Felder zur Folge hat u. s. f. Die unbelasteten Felder biegen sich also abwechselnd nach oben und unten durch (Fig. 132 a). Dies ist natürlich nur möglich, wenn konkave und konvexe Krümmungen, also positive und negative Momente wechseln, wobei die Wendepunkte nicht an den Stützen liegen können, weil die Momente proportional den Höhen des den Stützendrücken entsprechenden Seilpolygones (Fig. 132 c) sind. Da also in ein- und demselben Felde konkave und konvexe Krümmung auftritt, die deformirte Axe aber nach Obigem ganz auf ein- und derselben Seite der die Stützen verbindenden Sehne liegt, so muss in einem Felde der Krümmungsradius auf der dem belasteten Felde abgewendeten Seite grösser sein, als auf der dem belasteten Felde zugekehrten Seite, die Momente müssen also im Allgemeinen vom belasteten Felde aus nach beiden Seiten hin abnehmen.

§. 66. Transversalkräfte und Stützendrücke in den nicht belasteten Feldern. Nach der ersten der Gleichungen 4 (S. 94) wird für das m-te unbelastete Feld, wobei, falls das r*te Feld belastet ist, m < r ist

Mm — Mm-j

Im

7. Qm =

Da nun Mm_! und Mm entgegengesetztes Vorzeichen haben, so hat Q dasselbe Vorzeichen wie Mm; die Transversalkräfte sind also ebenfalls abwechselnd positiv und negativ (Fig. 1326).

Da ebenso Qm+ilm+i = Mm+i — Mm ist, so wird

m+1

8.

Qm+1 _

Mm

I'm

Qm

1 __

Mm

Nach dem vorigen Paragrafe ist nun im Allgemeinen —    > 1,

JyJ-m

Qm + 1

Mm- -1

Im

sein. Bei konstantem Quer-

< 1, daher wird

schnitte ist —    > 2,    < 4, mithin —    > 2 ^ .

Mm    Mm    2 ⁷    Qm    lm+l

Parallelträgern überhaupt wird — —p* > 1,6, ——Т~г С-Лг oder

Mm

Qm

Bei

Mm

1,6

< 0,625, daher —

Qm+1

Qm

In der Regel werden hier-

lm+1

nach die Transversalkräfte nach dem belasteten Felde hin

zunehmen.

Fig 132.

rB

11111111 щ 1111 iTiTTTTl

IIIHIIIIIIIIIIIIIIIÏÏÏÏÏIÏI

—^TîTïïfflÏÏHTiîîft)w

vrftiriilterrn^

Ferner ist nach Gleichung 28 (S. 104) der Stützendruck an einer beliebigen Stütze zwischen den unbelasteten Feldern Dm = — Qm -fQm'+i-Da Qm und Qm+i entgegengesetzte Vorzeichen haben, so hat Dm dasselbe Vorzeichen wie Qm+i. Die Stützendrücke sind also ebenfalls abwechselnd positiv und negativ.

Setzt man die Ausdrücke für Qm und Qm+i ein, so findet man 9. Dm — M, ¹

m-1    —

I'm

m (j--H 7-) + MmO j— ■

\ ''m    vm+l/    f'm+l

Bei konstanter Länge der Felder wird Dml — Mm-i — 2M'*» -f* Mm+i ; bei konstantem Querschnitte wird ausserdem Mm—i-\-4Mm-{-Mm±i=0, mithin

10# Д* =

Hier ist also der Stützendruck dem Stützenmomente proportional. Für die Endstütze dagegen ergibt sich Dl l = -j- AfL. Da nach der vorigen Gleichung D, £ = — £1/, ist, so wird D, = — 6D₀. Die Stützendrücke werden hiernach nach dem belasteten Felde hin zunehmen. Auch in anderen Fällen wird dies in der Kegel der Fall sein.

§. 67. Momente in den nicht belasteten Feldern. Für

einen beliebigen Querschnitt im w-ten Felde ist nach §. 56 M =

4- Q‘mx = Mm -1 — (Мт-! — Mm) y, oder

11.

i¹ ~ t) + Mm T

Da Mm-i und Mm nach dem belasteten Felde hin zunehmen, so nimmt für dasselbe y auch M nach dem belasteten Felde hin zu (Fig. 132 c).

vQjn / Um-7

Fig. 133.

AZ>m

ь Ir i

£⁴ОС-----“G>-

Nach Formel 11 theilt sich das Feld AB (Fig. 133) in zwei Theile AI und IB, in denen die Momente entgegengesetzte Vorzeichen haben. Bezeichnen wir Al

mit a, so wird, wenn wir M — 0, x — a setzen,

ar =

Mr—1

Mr-i — Mr

Die Länge a ändert sich hierbei nicht, welches der rechten Felder auch belastet sein möge, da das Verhältniss von Mr—i und Mr dasselbe bleibt. Setzen wir Mr = — {irMr-i, so wird

12. (ir — ^

Ir

1+Mr

Ist eines der links vom fraglichen Felde liegenden Felder belastet, so ergibt sich in gleicher Weise, dass sich das Feld in zwei Theile AK und KB theilt, in denen das Vorzeichen des Momentes verschieden ist. Setzen wir hierbei BK — br, Mr~i — — vrMr, so wird

13. ъг =

Ir

1 "f* Vr

Wir nennen die Punkte 1 und K, welche ihre Lage nicht ändern, welches der bezüglich rechts oder links liegenden Felder auch belastet sein möge, die Fixpunkte dieses Feldes. Aus der in §. 65 gezeigten Bestimmung der Verhältnisszahlen v geht hervor, dass fir und vrt also auch ar und Ъ'г nur von den Längen der bezüglich links und rechts vom fraglichen Felde liegenden Felder abhängen.

Jede rechts vom fraglichen Felde liegende Last erzeugt im linken Fixpunkte 1 kein Moment, verändert also auch das Moment, welches durch die Belastung des fraglichen Feldes oder der links liegenden Felder entsteht, nicht. Ebenso verändert jede links vom fraglichen Felde das Moment im rechten Fixpunkte К nicht. Wir können daher auch sagen:

der rechten Felder

Das Moment im linken Fixpunkte ist von der Belastung das Moment im rechten Fixpunkte dagegen von der Belastung der linken Felder unabhängig.

Wenn die Längen der mittleren Felder und ausserdem der beiden Endfelder gleich gross sind, so ergeben sich nach den in §. 65 aufgestellten Werthen für ц bei konstantem Querschnitte folgende Werthe

für

T*

l,

11. Feld

III. Feld

IV. Feld

7. Feld

0,1915

0,2000

0,2075

0,2143

0,2203 0,2099

0,2105

0,2111

0,2115

0,2120 0,2112

0,2113

0,2113

0,2113

0,2114 0,2113

0,2113

0,2113

0,2113

0,2113

Hiernach ist z. B. hei 3 Feldern mit dem Verhältnisse 5:6:5 im II. Felde a — 0,21431, Ъ = 0,21431 ; für 4 Felder mit dem Verhältnisse 5:6: 6:5 im II. Felde а = 0,21431, Ъ = 0,21151, im III. Felde а — 0,21151, Ъ = 0,21431 u. s. w.

Trägt man an den Stützen А, В, C (Fig. 134) mit dem Zeiger m — 1, m, m -f- 1 die bezüglichen Stützenmomente als Ordinaten auf, macht also 14' = Mm-i, BB‘

— Mm, CO — Mm+i, macht man hierauf В B“ — 2BB' und zieht

Fig. 134.

die Geraden A'B“, B“0, so ist die Fläche AA'B“ C‘ C = Mm-i lm -j— 2 (lm “I⁻    "i⁻Ifm+i Bei

konstantem Querschnitte ist diese Fläche für die unbelasteten Felder A

1K

C'

-*! ЬВ'

ос"

ЕВ    v

= Null. Legt man durch die Mitte 1) und E von A¹ B“ und C'B“ eine Gerade A“0‘, so wird die Fläche des Trapezes AA“ 0‘B‘ gleich

der Fläche AA⁴B“OC. Für die nicht belasteten Felder muss also die Höhe FF¹ des Trapezes in der Mitte von AC = Null sein, es muss also F⁴ mit F zusammenfallen, woraus sich die folgende Konstruktion der Fixpunkte ableiten lässt (Fig. 135): Man legt durch den Fixpunkt

I eine beliebige Gerade, welche die Pfeilervertikalen von A und В in A‘ und B⁴ schneidet, macht B'B“ = В B⁴ und zieht die Gerade A⁴B", welche die durch die Mitte von AB gehende Vertikale in D schneidet. Durch D und die Mitte F von AC legt man eine Gerade, welche die durch die Mitte von BC gehende Vertikale in E schneidet. Legt man jetzt durch E und В¹¹ eine Gerade, welche die Pfeilervertikale von C in C⁴ schneidet, so schneidet die Gerade C'B‘ die Axe im Fixpunkte J,. Im ersten Felde ist die äusserste Stütze ein Fixpunkt; man kann daher mit Hilfe dieser Konstruktion die Fixpunkte in den einzelnen Feldern allmälig bestimmen. Zieht man die Gerade D' E¹, welche die durch F gehende Vertikale in F‘ schneidet, so wird DD⁴ — ЕЕ⁴ = FF⁴ = j В B⁴. Man kann daher die Konstruktion wesentlich vereinfachen, indem man FF‘ — jBB4 macht und durch B⁴ und F⁴ eine Gerade legt, welche den Punkt E4 bestimmt; dadurch werden die Punkte A⁴, B", C⁴, D, E mit den sie verbindenden Geraden ganz entbehrlich (Fig. 135 & und Taf. I, Fig. 1).

Fig. 135.

F jß

B’r

B\

E‘

I 2ST 0 В

УЕ’

Für unendlich viele Felder wird ^ = .2-f-]A?, daher j —

_ 3 — Уз 1 __    - j —

_    2 + V3

yf j . ^, woraus sich sofort die folgende Konstruktion der Fixpunkte ergibt (Fig. 136). Man halbire AB in C und dritttheile AB in D und E\ man schlage nun über BD aus E einen Halbkreis und errichte in demselben in C auf AB eine Senkrechte CF\ macht man jetzt CI — CF, so ist I ein Fixpunkt.

Ist in einem Felde der Neigungswinkel der Geraden, deren Ordi-naten das Moment M darstellen (Fig. 132c) = am, so ist lmtanccm = Mm — Mm+1, mithin ist der Formel 7 entsprechend, Q,n — tanam, die Transversalkräfte sind also der Tangente der Neigungswinkel in den einzelnen Feldern proportional.

Fig. 136.

ВСЕ

JB

Die hier erwähnten Eigenschaften der Fixpunkte wurden zuerst von Culm an n (Die grafische Statik, I. Aufl. 1866) gefunden. Der Name Fixpunkt rührt von Mohr her (Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. des hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1868).— Nach Fig. 134 konstruirte zuerst Collignon (Cours de mécanique appliqué aux constructions, Paris 1869) ein Stützenmoment aus den beiden vorhergehenden, wobei er am Anfänge M₀ = O setzte, M₁ aber berechnete. Dieselbe Konstruktion habe ich zur Konstruktion der Fixpunkte nach Fig. 135 verwendet.

§. 68. Stützenmomente für ein belastetes Feld. Es sei

jetzt nur ein Feld, und zwar das r-te, belastet. Die Gleichungen für die Stützenmomente, welche sich auf das belastete Feld beziehen, sind nach 14 (S. 97):

yr—iIr—iMr—2 4* -2(ccr—jlr—i 4“ j8rlr) Mr—i 4” УгMr 4" 3lrWl“ == 0, Уг^г-Му—1 4- 2 (arlr 4“ ßr-\-l Ir+l) Mr 4~ Уг-\-1 IrĄ-l MyĄ-l 4- 3    = 0.

Denkt man sich das r-te Feld nicht belastet, so wird y,—i lr-i Mr~2 4-2{ar-ilr-i 4" ßrlr)Mr—i 4~ yrMr= 0, oder, weil jetzt Mr— — ist, yr-i lr-i Mr—2 4~ 2 (<Xr-i lr-i 4~ ßrlr)Mr-i — yr^rlrMr-i = 0. Diese Gleichung bleibt aber auch noch erfüllt, wenn das r-te Feld belastet ist, weil sich durch diese Belastung das Verhältnis von Mr-a und Mr-i nicht ändert. Ebenso wird — yrvrJrMr 4- 2 (arlr 4- ßr+ilr—i) Mr 4~ yr+i lr+i Mr+i = 0. Die Subtraktion dieser Gleichungen gibt, wenn man jetzt nur [i, V, у statt k«r, vr, yr setzt,

14.

у ([iMr-i 4- Mr) = — ЗШ",

У {Mr-! + vMr) = — 3WV.

Die Auflösung gibt 15. Mr-i = — 3

q МШ'— Ш“ riliv — ï)'

Mr—~

УЖ" - Ж' risiv — iy

Setzen wir hierin (i —    --1, v — —1, l — a — Ъ — с, so wird

Mr-1 — — 3

16.

~л CO - ь) 9Я" - ⁶

Mr — - S-~Щ-а)Ш— аШ"\

Bezeichnet man die verzerrte Momentenfläche (siehe §. 63) mit cp, den Abstand ihres Schwerpunktes von beiden Enden mit e\ e“, so ist Ш‘1* — 2cpe',    = 2cpe", also, da e'4~ e'¹ = I ist,

(i — Ъ)    —- Ъ $Ш' =    (e" — Ъ). Der Schwerpunkt der verzerrten

Momentenfläche rückt am weitesten nach rechts oder e“ wird am kleinsten, wenn die Belastung durch eine Einzellast erfolgt, welche am rechten

. Ferner ist

Ende liegt. In diesem Falle ist    jnüß — x)dx

l-\~v

; nun aber ist nach §. 65 v > 2 —, d. i.

y

x*dx

X (l — x) dx

x (l — x)dx /

daher b <

x dx

Mit Berücksichtigung der Schubspannungen ergibt sich b noch etwas kleiner. Sonach wird unter allen Umständen £";>&, also Mr~i negativ; dasselbe lässt sich von Mr nachweisen. Die Stützenmomente an den Enden des belasteten Feldes sind also stets negativ.

Die Benützung der Fixpunkte zur Bestimmung der Stützenmomente, welche gegenüber der direkten Benützung der Clapeyron’schen Gleichungen wesentliche Vereinfachung herbeiführt, erfolgte zuerst vom Verfasser (Theorie der äusseren Kräfte gerader Träger. Zeitschr. des österr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1870).

VIII. Kapitel.

Belastung durch Einzellasten.

A. Eine einzige Einzellast.

§. 69. Belastung eines Feldes konstanten Querschnittes durch eine Einzellast. In einem beliebigen Felde liege eine Einzellast G im Abstande £ und £, von der linken und rechten Stütze A und B (Fig. ' 137). Alsdann sind die Stützenmomente nach den Gleichungen 16 (S. 123), wenn man darin у = 1 und für ЭД7', ЭД7" die Aus-

Fig. 137.

*7-GL------------£-------

•-Ц<--A—>

JA X

<----s------X--------1-----

T

drücke 40 (S. 114) setzt,

M‘ — -

Gai$,

1.

cl‘

[(21- Hb) - J],

M“ — -    [<* — 3«) + |].

worin а, с, b die Längen der Theile bezeichnen, in welche die Länge l des Feldes durch die beiden Fixpunkte I und К getheilt wird, wobei а und b nach §. 67 zu bestimmen sind.

Aus den vorigen Formeln für die Stützenmomente ergibt sich sofort die folgende Konstruktion: Man mache in Fig. 138 BE = 1 — 3b =

AB — 3BK, EF — l -A — AB ^ und DL gleich dem Momente für

den Einzeltiäger, d. i. = G ^y¹. Macht man jetzt FF¹ = DL und

zieht die Gerade EF\ welche DL in D' schneidet, so ist DD' das Moment MJ für die linke Stütze A. In gleicher Weise lässt sich das Moment DD“ = M¹¹ für die rechte Stütze В konstruiren. In dieser Weise kann man leicht Punkte der Einflusslinien für beide Stützenmomente erhalten.

Fig. 138.

-Ä,

D'

JVf<

'N

-о

D,r

р,

Das Stützenmoment Ж'wird zum Maximum für    —6(1—&)£-{-

(21 — 3b)l = 0 oder für

2. i = г _ ь — у -j г² — ь (i — ъ).

Fig. 139. ______ J)

fj

Ab

lEV a w к

Da Ъ zwischen 0 und 0,31 liegt, so liegt £ für M‘ zwischen 0,351 und 0,421. Nach der eben aufgestellten Gleichung lassen sich die Punkte, in denen M‘ und M“ zum Maximum werden, leicht konstruiren: Man mache in Fig. 139 AE = ~ AB und schlage aus E mit EA einen Kreisbogen, welcher die durch die Mitte von AB gehende Vertikale in D schneidet. Schlägt man jetzt aus den Fixpunkten К und I durch D Kreisbögen, welche AB in F und W schneiden, so muss die Last in V und W liegen, damit bezüglich das Moment an der linken und rechten Stütze zum Maximum werde. Denn es ist nach der Konstruktion

gd=\/(D-(F=/5^also KD=Kr=VW-bf⁺rA‘

= ^~Y l* — Ъ(1 — Ъ) und AV =1 —

§. 70. Belastung eines Feldes veränderlichen Querschnittes durch eine Einzellast. Die Werthe von 3JÎ' und 2Я" können nach §. 63 bestimmt werden5 jedoch sind hier noch, wenn es sich um verschiedene Lagen der Einzellast handelt, Vereinfachungen möglich.

a) Man zieht durch A und В zwei Gerade AP und В O (Fig. 140), welche gegen AB unter einem Winkel geneigt sind, dessen Tangente

Fig. 140.

Чч

eine beliebig angenommene einfache Zahl m ist. Die Ordi-naten dieser Geraden werden

's

mit 4- multipliżirt und somit

s.

ä'M‘ dx*

1 = 1— Ъ, d. h. den Fixpunkten entsprechen Wendepunkte der Einflusslinien für die Stützenmomente.

Die übrigen Stützenmomente sind nun nach §. 65 mit Hilfe der berechneten Verhältnisse fi und v leicht zu bestimmen. So wird bei

Belastung des III. Feldes Mx = — —

Mq = — Д Ж, = -f

Из

M„ = -1-

weise bei einem Träger von 4 Feldern mit dem Verhältnisse 0,8:l:l:0t8 die in'Fig. 141 dargestellte, mit a bezeichnete Kurve als Einflusslinie für das Moment an der Stütze a, also für Mx.

Die in Fig. 138 dargestellte Konstruktion der Stützenmomente mit Hilfe der Fixpunkte ist zuerst von Scliolin angegeben worden (Geometrische Theorie der kon-tinuirlichen Träger. Mittheilungen des Arch.- u. Ingen.-Ver. in Böhmen, Prag 1873 und 1874). Die in Fig. 139 dargestellte Konstruktion der Maximalpunkte rührt von Lippich her (Theorie der kontinuirlichen Träger konstanten Querschnitts. Förster’s Bauzeitung 1871).

Ein Wendepunkt der Einflusslinie tritt ein für

-, d. i. für

ИзИ*'

ИзИз'

Mt

Иг Из Из

bei Belastung des IV. Feldes

bei Belastung des V. Feldes M₃ —— —,

и*

u. s. f. Hiernach ergibt sich beispiels-

Иг ’

zwei Kurven I und II kon-struirt. Man theilt die hierdurch begrenzten Flächen in Streifen und bestimmt die statischen Momente derselben in Beziehung auf die beiden Endvertikalen durch Rechnung, Planimetrirung oder Konstruktion. Durch Summirung erhält man das statische Moment beliebiger Theile. Bezeichnet mau nun für den Fall, dass die Einzellast in G liegt, die statischen Momente der schraffirten Flächen in Beziehung auf die durch A gehende Vertikale mit б und av so sind die statischen Momente der beiden entsprechenden Theile der verzerrten

Momentenfläche б und о. wenn fj, L den Abstand der Einzel-

last von den Enden A und B, und у das Moment am Angriffspunkte der Last bezeichnet. Sonach ist

( +*)•

_ 2 у ml³

Nun aber ist für die Einzellast G das Moment y = G

«Ttc I Q

-, mithin wird

3. W‘ =

2G

mV

(⁶%i + ⁶i ю*

In gleicher Weise ist Ш“ zu bestimmen. Die statischen Momente sind wiederum durch Rechnung, Planimetrirung oder Konstruktion zu ermitteln. In letzterer Hinsicht ist zu bemerken, dass das statische Moment eines beliebigen Flächenstückes dargestellt wird durch das Produkt aus dem Abschnitte, welchen die beiden den Enden des fraglichen Flächentheiles entsprechenden Tangenten der Seilkurve auf der in Rede stehenden Momentenaxe abschneiden und aus der Polweite.

Ъ) Es ist

б — ml

"J

о

x~dx

6t = m I{

•/

i

(Ix — xq) dx

Nun aber ist    das statische Moment des zwischen £ und l

ë

liegenden Theiles der Krümmungsfläche in Beziehung auf das linke Ende ;

ferner sind

ë

Г X¹ dx

J 1

und

Ç x'dx

J

ë

die Trägheitsmomente der zwischen О

und I, £ und l liegenden Theile der Krümmungsfläche in Beziehung auf das linke Ende. Sonach kann naan б und <?, durch Rechnung, Planimetrirung oder Konstruktion auch bestimmen, ohne die Kurven in Fig. 140 zu konstruiren. In Betreff der Konstruktion ist zu bemerken, dass das Trägheitsmoment eines beliebigen Flächentheiles dargestellt wird durch das doppelte Produkt aus der Fläche, welche zwischen den dem Flüchentheile entsprechenden Endtangenten der Seilkurve und der Momentenaxe enthalten ist, und der doppelten Polweite. Diese Methode dürfte der vorigen vorzuziehen sein, weil sie die Konstruktion neuer Kurven unnöthig macht.

Die Stützenmomente sind nach Bestimmung von ЭДР, ШР' nach den Formeln 16 (S. 123) zu ermitteln, nämlich

Ж' =

3a

ус I

M“ = -

3b

у cl

[(l - а) Ш' - a SW¹'].

Die übrigen Stützenmomente sind mm, wie im vorigen Paragrafe, durch die Verhältnisse ft und v bestimmt. Die hierdurch bestimmte Einflusslinie hat im Allgemeinen die Form der in Fig. 141 mit a bezeichnten Kurve.

Nach Formel 3 wird, wenn sich g um dl, also g, und —dl ändert, dW = ^ (— б dl -f- l,da + <?i d% + %d6v). Nun aber ist

da = idi . i, da' = -    . i, mithin t,da + lda,= О,

also

d№^ _ 2G dl m l*

dm»

2G

(<?, — *),

K' — o,

wenn o' und 6,' die statischen Momente der Flächen A CD, ВСЕ in Beziehung auf die durch В gehende Vertikale bedeuten. Da nun ferner

da = ^-%41, da, —— da' wird, so ergibt sich

”^4i, di, rf«,'= - ^r-

<2²9J2' 2J₀Gg <2²9)2"_    ^„Gg,

Л³

IIя ’ dl²

Sonach wird

d*M‘ _ 6lnGa dl² - у dl*

[(I -1)1,- Ы] =

il-Ъ- l).

61₀ Ga,

YcW

Der Wendepunkt der Einflusslinie für 9)2' liegt also bei I — l — Ъ. Den Fixpunkten entsprechen also allgemein Wendepunkte der Einflusslinien für die Stützenmomente.

Da man nach dem Vorigen das Moment an einer links von dem belasteten Felde liegenden Stütze durch Multiplikation von 9)2' mit einem ganz bestimmten positiven und negativen echten Bruche erhält, so werden die Einflusslinien in demselben Felde für die Momente an den links

liegenden Stützen, ebenso an allen rechts liegenden Stützen affine Figuren.’

Wenn eine Last unendlich nahe neben einer Stütze liegt, so bilden diese Last und der gleich grosse Stützen druck ein Kräftepaar, welches bei gleich grosser Last und gleichem Abstande von der Stütze mit gleichem Momente nach links oder rechts dreht, je nachdem die Last auf der linken oder rechten Seite der Stütze liegt. Die Einflusslinien für ein Stützenmoment werden dementsprechend an den Stützen für die beiden benachbarten OefFnungen dieselbe Tangente haben oder stetig in einander übergehen, natürlich mit Ausnahme der Stütze, deren Moment in Frage steht.

§. 71. Momente für einen beliebigen Querschnitt. Nach Bestimmung der Stützenmomente für das belastete Feld sind die Momente für beliebige Querschnitte des belasteten Feldes durch die zweite der

Gleichungen 14 (S. 94), in welcher 2ft = G -y¹ zu setzen ist, bestimmt. In der in Fig. 138 gezeigten Weise, in welcher G О = D L = G ^ ist und die Momente durch die Ordinaten der gebrochenen

Linie MGN dargestellt werden, lassen sich die Momente leicht kon-struiren; auch in den übrigen Feldern sind die Momente nach Fig. 132 mit Hilfe der Fixpunkte leicht durch Konstruktion zu bestimmen. Die Form der sich hierdurch ergebenden Einflusslinien zeigt Fig. 141 beispielsweise für einen Träger mit konstantem Querschnitte, dessen Felder sich wie 4 : 5 : 5 : 4 verhalten, für die Querschnitte а, Ъ, c, d des II. Feldes.

Fig. 141.

а.

Fig. 142.

кг

-o—o

к /в7

(i

Wir wollen die Punkte Q und В (Fig. 142), in denen das Moment, wenn die Last im beliebigen Punkte C liegt, Null wird, näher betrachten. Liegt die Last im Nachbarfelde links von А, so ist das Moment im Fixpunkte K = 0. Wenn nun die Last unendlich nahe bei A liegt, aber einmal links, sodann rechts von А, so wirkt in A auf den Träger, wie schon oben bemerkt, ein unendlich kleines Kräftepaar einmal links, sodann rechts drehend. Der Zustand des Trägers bleibt also derselbe, nur wechseln die, allerdings unendlich kleinen Momente, das Vorzeichen. In К wird das Moment Null bleiben; ebenso ist das Moment in A selbst Null. Liegt umgekehrt die Last unendlich nahe bei В, so ist das Moment im Fixpunkte I und В Null. Wenn also die Last von A nach В rückt,

Winkler's Brückenkau. Theorie. I. Heft.

so rückt der linke Nullpunkt des Momentes von A nach I, der rechte Nullpunkt von К nach B.

Setzen wir AC = %, BC—%t, AQ = x, das Moment CO bei

oder, da Ж, = W — (M‘ — M") -~

C = .Mj, so wird X = + СЦ¹ ist,

M‘è

M‘ - Mt

M'l

X — M‘ — M“ —    *

Setzen wir für Ж und M" die Ausdrücke 4, so ergibt sich

aW‘ - Ш' 4- c№“

5. x =

аШ“

- ЪШ‘ + -- rocn

a.

Nun aber ist Ш“ — ^ G

<Ггм Ki

x(l — x) dx

I

4-

Kl

j (I — хУ dx J ë

21₀ G

l³

J

Г«. [ x(l — x)dx . c. ( (l — xYdx

IA J—i— + ⁵J~

»    ë

J und jyGrŹ

In 6r j. Çx(l — x)dx

P~~ J 7

о

^[4

O

x il — x) dx

x(l — x) dx)

Da nun aber im Theile

rechts von der Last für jeden Punkt g < x, l — x c ist, so wird 9Я" <C -j y 6r£,. Da ferner M‘ negativ ist, so ist in der vorigen Formel der Zähler positiv. Da ~ ycG^ > сШ" ist, so wird auch der Nenner positiv und der Bruch ein echter oder x positiv und < a. Die Punkte M und О liegen hiernach auf verschiedenen Seiten von AB oder AB und ilij haben verschiedenes Vorzeichen. Hiernach lässt sich behaupten :

Das Moment am Angriffspunkte der Last ist stets positiv. Die Punkte, in denen das Moment Null wird, liegen stets ausserhalb der Fixpunkte.

Das Moment an einem beliebigen Querschnitte im Abstande x von der linken Stütze wird, falls die Last rechts vom Querschnitte liegt,

l '

Bei konstantem Querschnitte ergibt sich durch Einsetzung der Ausdrücke für M‘ und M“

6. M = W l —. X + ЛГ"¹ -f- + G

Ch ! »

7. Ж= —

\\bx — a (l — аз)} £-

+ {ö {I — 3a)x + а (21 — ЗЪ) (I — à?)} J — cl²x]. Hiernach wird Ж — 0 für 8. [Ъ x — а (I — x)] J

+ [b (I — За) x + а (21 — ЗЬ) (I — ас)] J — с1гх — О.

Die zulässige Wurzel dieser quadratischen Gleichung sei £*. Für X — 0 ergibt sich £* — 0. Ferner wird £x = l für

X — a,

d. i. nach §. 67 für den linken Fixpunkt I des betreffenden Feldes. Für noch grössere x wird %x > l, also unzulässig. M ist nun positiv oder negativ, je nachdem 1^1* ist.

Liegt dagegen die Last links vom fraglichen Querschnitte, so wird Ж — 0 für

9. [a(l — x)— bx\^—3al{l— x——3a)(l—b—x) = 0.

Diese Gleichung ergibt sich aus der Gleichung 8 durch Vertauschung von a mit Ъ, x mit l — x und £ mit £,. Die zulässige Wurzel sei £1Ж. Für x = l wird £,x = 0. Ferner wird £1X = Z für

I — x — Ъ,

also nach §. 67 für den rechten Fixpunkt К des betreffenden Feldes. Für kleinere x wird £,æ > l, also unzulässig. M ist nun positiv oder negativ, je nachdem £, ^ £iæ ist.

Anstatt für ein angenommenes x des Momenten-Nullpunktes das zugehörige £ zu berechnen, kann man auch umgekehrt für ein angenommenes £ das zugehörige x bestimmen, was eine Vereinfachung der Berechnung der entsprechenden Momente gewährt. Für den linken Theil ergibt sich

in — —__a    ~ Ê) è

U* I — cl* + (2a-b)l£- {a + b) £'

und für den rechten Theil

11.

x_ _ (l-b)(3a£,— 3(11 + 1*)- ag1 l V¹ (? — 3 а) 3 a l£ — {a -f- b) J²

Dieselben Regeln gelten natürlich auch für die Endfelder; nur ist im ersten Felde a = 0, im letzten Ъ = 0 zu setzen. Für das erste Feld gibt die Gleichung 9:

bx

{x + ъ — i)

oder umgekehrt

₁₀ x _ V* (l — b)

* i — г³ + &|² *

Das positive Maximum von Ж tritt, den Einflusslinien Fig. 141 entsprechend, immer ein, wenn die Last am fraglichen Querschnitte liegt, wenn also £ = x ist. Demnach wird

14. шах (+ Ж) — +

Gx (l — x)

[(l — b) (l- За) l ■+■ (3 a — b)lx — (а + Ь) x⁸J.

cl-

э*

Zum negativen Maximum wird M für — 0, also, falls die Last auf der rechten Seite des Querschnittes liegt, für

15.    3 [bX — a (l — x)] J² -f- в (l—b — x)al£

— [а (21 — 3b) + (l- За) x] P = 0.

Für x — a ergibt sich hiernach £ — l. Setzt man den sich hieraus ergebenden Ausdruck für \bx — а (l — x)] £'² in den Ausdruck für M ein, so erhält man

G (a — x) J,

16. max (— M) = —

Die übrigen Felder müssen für maxM nach Massgabe der Einflusslinie abwechselnd belastet sein und zwar so, dass das Moment an der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze zum Maximum wird.

3cP

[(21- 3b) l— 3b gl

§. 72. Transversalkräfte und Stützendrücke. Sind Q* und Q“ die Transversalkräfte auf beiden Seiten der Last, Mx das Moment am Angriffspunkte der Last, so ist Mx = M‘ -j- Q'£, Mx — M“ — Q" £,, also

Q' =

M. — M‘

Q" =

M¹¹ — M,

Da wir nachgewiesen haben, dass M' und M“ stets negativ, Mx dagegen stets positiv ist, so können wir behaupten, dass die Transversalkraft auf der linken Seite der Last stets positiv, auf der rechten Seite der Last stets negativ ist.

Zur Bestimmung von Q‘ und Q¹¹ setzt man besser:

ii

,    ₀"=-Gt-

17.    Q'= G-f- —

Für einen konstanten Querschnitt ergibt sich durch die Einsetzung der Ausdrücke für M‘ und M¹¹

Ж — M“

18.

= + ~§~ [cP +    - 6) li - (a + b)£4,

Q" = - -§ß- [cP + (26 -    + 6УД

Die Form der Einflusslinie zeigt Fig. 143, beispielsweise für den Querschnitt c des II. Feldes eines kontinuirlichen Trägers mit 4 Oeffnungen, deren Yerhältniss 4 : 5 : 5 : 4 ist. Wendepunkte im Felde, in welchem der fragliche Querschnitt liegt, treten sowohl für Q', als für Q" bei

—~r l auf. Behufs Konstruktion konstruirt man zunächst die Ein-

a -j- о

flusslinien für M\ Mil in einem solchen Massstabe, dass das Moment Gl gleich der Last G wird. Alsdann stellt die Differenz der Ordinaten

dar. Die Glieder G

Hz*

und — бг 4-

beider Linien das Glied

entsprechen der Transversalkraft für den Einzelträger. Ist für die Belastung eines rechts liegenden Feldes das Moment an der linken Stütze dieses Feldes Mm und das fragliche Feld das r-te, so wird

—t- llm~J ßm—2 • • • ßr Al — Alm , —J— ßm—lßtn—2 • • • ßl-\-l Al ⁼⁼ Alm i älSO

19. M‘ — Al“ == dz

ßm—1 ßm—2 • • • ßr

Alm •

Flg. 143.

Eür Fig. 143 wird beispielsweise ßq = 3,60, ß₃ = 3,72, also bei Belastung des IV. Feldes Mq = —

M₃

= — 0,269 Al₃, Alx — 4-

3,72.3,60

3,72 ~

— -f 0,075 M₃, also Ql = — [0,075M₃ -f 0,269 Al₃) — — 0,344Al₃ und

ЛГ,

bei Belastung des III. Feldes Mx — —

Ql = — (— 0,278 M₂ — AQ — + 1,278 Mt.

Das Maximum von Q tritt für einen Querschnitt ein, wenn die Last dicht rechts oder links neben dem Querschnitte liegt und wenn die übrigen Felder abwechselnd belastet sind, derart, dass in den belasteten Feldern die Last eine solche Lage hat, dass das Moment an der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze zum Maximum wird.

Der Stützendruck D an einer Stütze ist, wenn Al', Al", Al'" die Momente an der linken, der fraglichen und der rechten Stütze der beiden an einander stossenden Felder mit den Spannweiten l und Z, bezeichnet, falls die Last im linken Felde im Abstande g, £, von den beiden Stützen dieses Feldes liegt, nach Formel 28 (S. 104):]

3,60

= — 0,278 Al,

also

D = G 4- +

Al' — Al"

Al" — Al'"

oder, wenn wir М,и — — ?    &■ Mn setzen,

20. D = G 4 + Щ- — Ж ?1/Г| г ¹ г    — &i)

Wenn die Last im rechten Felde liegt, so ist natürlich M' mit M“\ Ï mit ll} bt mit a und | mit £, zu vertauschen.

Die Form der Einflusslinien zeigt Fig. 144, beispielsweise für 4 Felder mit dem Verhältnisse 8 : 10 :10 : 8. Die Stützendrücke an den äusseren Stützen sind natürlich gleichbedeutend mit den neben denselben wirkenden Transversalkräften.

Fig. 144.

Die Transversalkräfte und Stützendrücke beim kontinuirlichen Träger und beim Einzelträger zeigen, diesen Einflusslinien entsprechend, eine wesentlich geringere Abweichung, als die Momente, so dass es in manchen Fällen wohl gestattet sein wird, die Transversalkräfte und Stützendrücke unter der vereinfachenden Annahme von Einzelträgern zu berechnen.

Der Einfluss einer Einzellast auf die Momente und Transversalkräfte, insbesondere zum Zwecke der Ermittelung der ungünstigsten Belastungsweise, wurde wohl zuerst vom Verfasser untersucht (Beiträge zur Theorie der kontinuirlichen Brückenträger, Civilingenieur 1860). — Die grafische Darstellung der Beanspruchung der kontinuirlichen Träger durch Einflusslinien gibt zuerst Weyrauch (Allgem. Theorie und Berechnung der kontinuirlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873).

B. System von Einzellasten.

§. 73. Momente in Folge der Belastung des fraglichen

Feldes.

1. Querschnitte zwischen den Fixpunkten. Durch die Belastung des fraglichen Feldes können hier nach §.71 nur positive Momente entstehen. Die Einflusslinie (Fig. 141) ist im Allgemeinen einspringend und nur dem fraglichen Querschnitte entspricht eine ausspringende Ecke. Die Summeneinflusslinie muss deshalb nach §. 23 aus

Die Bestimmung des Maximalmomentes geschieht bei einer grösseren Anzahl von Lasten wohl am besten nach der Regel:

2i m=№ + m

/V»    rg»

- + Ж" ~ .

Fig. 146.

Das Moment Ш7 für den Einzelträger ist nach dem IY. und Y. Kapitel zu bestimmen; M‘ und M“ sind durch Addition der für jede einzelne Last nach §. 68 bestimmenden Werthe zu ermitteln. Bei Anwendung der Konstruktion bestimmt man die Stützenmomente für verschiedene Lagen des Lastensystemes mit Hilfe der Einflusslinien für die Stützenmomente nach einer der in §. 22 und 23 besprochenen Methoden. Die so erhaltenen Stützenmomente, dividirt durch die Polweite, trägt man vom Seilpolygone des Lastensystemes aus an der bezüglichen Stelle als Yertikale auf, wodurch sich auf der ausspringenden Seite des Seilpolygons zwei Kurven ergeben (Fig.

man nun

Linien bestehen, welche nur an den Stellen ausspringende Ecken haben, welche einer Ueberschreitung des fraglichen Querschnittes durch eine Last entsprechen (Fig. 145). Demnach muss jedenfalls eine Einzellast am fraglichen Querschnitte liegen. Da die Einflusslinien im Allgemeinen nicht viel von denjenigen des Einzelträgers abweichen (Dreieck für unmittelbare, abgestumpftes Dreieck für mittelbare Belastung), 0 so wird man auch die für den Einzelträger aufgestellten Regeln (§. 24 und 25, 39 und 40) hier verwerthen können.

Fig. 145.

Ąi

0,3.

o.%    0,5

o,\b

—1 — 31.

146). Für die in Frage kommende Lage des Lastensystemes bestimmt die auf diesen Kurven liegenden Enden der Schlusslinie und kann jetzt in bekannter Weise (§. 59) das Moment bestimmen.

Bei einer kleineren Anzahl von Lasten kann man auch in folgender Weise verfahren. Man konstruirt die Einflusslinie für die Stützenmomente und die Kurve für das Moment am Angriffspunkte der Einzel-last (Fig. 147) nach §. 69 und 70, und zwar für jede verschiedene der vorkommenden Einzellasten. Mit Hilfe dieser Kurven zieht man die, Momentenlinien für alle einzelnen Lasten bei der in Frage kommenden

Die Anwendung der Einflusslinie für die Momente an den einzelnen Querschnitten nach §. 22 und 23 ist im Allgemeinen umständlicher, als die Anwendung der genannten У erfahrungsweisen.

Lage. Man kann dann das Moment an einem bestimmten Querschnitte durch die Summirung der an diesem Querschnitte abzugreifenden Momente der einzelnen Lasten bestimmen.

Fig. 147.

\N'

-ü

2. Querschnitte ausserhalb der Pixpunkte. Die positiven Maximalmomente kann man ganz in der eben gezeigten Weise bestimmen. Die ungünstigste Belastung bestimmt man hierbei entweder mit Zuhilfenahme des positiven Theiles der Einflusslinie oder durch Probiren mit verschiedenen Laststellungen, wobei eine Einzellast am fraglichen Querschnitte liegen muss. Das negative Maximum QQ' (Fig. 148) an einem Querschnitte Q entspricht unter allen Lastenstellungen derjenigen, bei welcher die äus-serste linke Seilpolygonseite die durch Q gelegte Vertikale im höchsten Punkte schneidet; diese Seilpolygonseite muss hier offenbar die Kurve

Fig. 148.

B'

a'

""^Е

für die negativen Maximalmomente tangiren. Wenn man daher die äusserste Seilpolygonseite A'E‘ für verschiedene Lagen des La-stensystemes konstruirt, so umhüllen alle diese Seiten die Momentenkurve. Zum Einzeichnen der Geraden A‘E' wird man am besten mit Hilfe der Fig. 146 für verschiedene Lastenstellungen die Höhe AA' und DD' bestimmen. Die Bestimmung der ungünstigsten Belastung kann in dieser Weise ganz entfallen.

Bei mittelbarer Belastung wird es wohl meist genügen, wenn man in der gezeigten Weise die Momente an den Querträgern oder Knotenpunkten bestimmt und die so erhaltenen Punkte geradlinig verbindet. Es hat indess keinen Anstand, ganz dem §. 44 entsprechend, auch für zwischeDliegende Querschnitte die Maximalmomente genau zu bestimmen. Hierbei ist natürlich zu beachten, dass nach §. 20 die Einflusslinien zwischen den Querträgern geradlinig, dass aber an den Querträgern die Ordinaten der Einflusslinen ganz dieselben sind, wie bei unmittelbarer Belastung.

§. 74. Transversalkräfte in Folge der Belastung des fraglichen Feldes. Die Bestimmung der Maximaltransversalkräfte erfolgt am besten durch die Kegel 4 (S. 94), nämlich

Ж — M“

Fig. 149.

'à

'9

worin Ю die Transversalkraft bedeutet, welche beim Einzelträger entstehen würde und welche ganz nach dem Y. Kapitel durch Rechnung oder Konstruktion zu bestimmen ist. MJ und M“ wird man, wie im vorigen Paragrafe, für jede in Betracht kommende Lastenstellung durch Summirung der für jede einzelne Last zu berechnenden Werthe bestimmen. Wesentlich bequemer ist die Bestimmung durch die Einflusslinien für M* und M", wobei natürlich nicht M' und M“ einzeln, sondern sogleich die Differenz M‘ — M“ abgegriffen und bei der Summirung das Vorzeichen von M'—M“ beachtet wird. Man kann aber auch das Glied 4 W - M") mit Hilfe der Fig. 146 bestimmen, indem man für die bei einem bestimmten Querschnitte in Betracht kommende Lastenstellung im Kraftpolygone zwei Strahlen parallel der Schlusslinie    für die Einzelträger und parallel der

Schlusslinie A'B‘ für den kontinuirlichen Träger zieht; diese Parallelen schneiden auf der Kräftelinie eine Strecke C C“ ab, welche unmittelbar

das Glied 4 iM' — M“) gibt.

§. 75. Momente und Transversalkräfte für die Belastung der übrigen Felder. Wenn das Peld, in welchem der fragliche Querschnitt liegt, nicht belastet ist, so wird

23. М=М‘

- -f M" 4r

Ist ein linkes Feld belastet, so wird vM" = — M\ mithin

l -j— V X

24. M = M‘ (l -

)■

Ist dagegen ein rechtes Feld belastet, so wird fiM‘ = — M“, folglich

Jl    (JL I

24 a. M = M

e=+l±-^

r

l *

Nun aber ist nach §. 65 im ersten Falle M‘ proportional dem Momente J/₀" an der rechten Stütze des belasteten Feldes und im zweiten Falle M“ proportional dem Momente M₀‘ an der linken Stütze

des belasteten Feldes. Es wird also darauf ankommen, die Maxima von M₀‘ und Ma" zu finden, was am besten mit Hilfe der Einflusslinien in bekannter Weise geschieht. Auch kann man diese Maxima unmittelbar aus der Fig. 146 entnehmen. Aus M₀‘ und Л/₀" kann man mit Hilfe der Fixpunkte nach §. 65 bis 67 (Fig. 132) leicht M\ M‘\ sowie M und Q konstruiren.

Nicht selten ist bei den von uns zu behandelnden Aufgaben, wie im vorliegenden Falle, die Bestimmung des Maximums einer Funktion у für den Fall vorzunehmen, dass nicht das Gesetz, welchem diese Funktion folgt , durch einen analytischen Ausdruck gegeben ist, sondern, dass nur die Werthe der Funktion für bestimmte Werthe der Variablen x gegeben sind. Oft wird man hierbei annehmen können, wenn die Differenzen der gegebenen Werthe der Variablen x nur klein sind, dass у in Beziehung auf x vom zweiten Grade sei und es genügen alsdann drei Werthe von y. In der Regel werden die Differenzen der gegebenen Variablen gleich sein; diese Variablen seien xx — x₂ —e, x₂ und xs = x₂ + e und die zugehörigen Werthe von у bezüglich yx, Ун Уз- Setzt man allgemein у — а -{- Ъх -f- схг, so ergeben sich zur Bestimmung von а, Ъ, c durch Einsetzung vorstehender Werthe von x und у drei Gleichungen.

Es wird nun у zum Maximum für x — —

& c

d. i. für

x — x₂ -f- n

und zwar ist maxy = a — d. i.

У. — Уз

<2 У1 — 2Уг 4- Уз

8(у₁'-2у₁-\-узУ

max у = у₂

(JA-Уз)²

Hiernach lassen sich verschiedene geometrische Konstruktionen angeben ; eine ^ein fache Konstruktion ist folgende (Fig. 150):    A₂B₂, A₃B₃ seien bezüglich = yx,

y₂, y₃, AXA₂ = А^А₃ = e. Man ziehe die Gerade BXB₃, welche die mittlere Ordinate in C schneidet, mache B₂D = ВгС und lege durch D eine Parallele zur Ab-scissenaxe, welche die äusseren Ordinaten in Ex und jEs schneidet. Zieht man jetzt die Geraden Д E₃ und Ex B₃, so schneiden sich dieselben im Maximalpunkte G.

Fig. 150.

Fig. 151.

r¹-:

JŁ

-"C

l-

'"К

§. 76. Beispiel. Taf. I.

Kontinuirlicher Träger mit drei Feldern von 10, 12, 10 Meter Stützweite, konstantem Querschnitte und unmittelbarer Belastung. Das System von Einzellasten sei durch Fig. 152 gegeben:

Fig. 152.

Tender.

Lokomotive.

■s

%\

!3

•J

Meter

TonneM

Es soll vorausgesetzt werden, dass jedes Feld für sich durch Lokomotive und Tender oder durch die Lokomotive allein belastet sein könne und dass zwei Lokomotiven auch Brust an Brust stehen können.

1. Fixpnnkte. Nach den Formeln 5 (S. 117) wird tu₂ = —= —

12    3

2 {12 + 10) — 12

= 3,667,

Из

224

10

22 — 4,073, also v, = 4,073, v₂ = 3,667. Sonach

wird, wenn wir die drei Stützweiten mit l„ l, l, bezeichnen, a, = 0, аг

•i-

4,667 L

5 (У73 ~ 0,19715 bi = 0,197 lu bi ~ 0,314¹’ Ъз 0 > Cl = 0,80 3 Z,

0,2141, a₃

c, — 0,5711, c₃ = 0,8031,. In Fig. 1 sind die Fixpunkte nach §. 67 konstruirt worden.

14

2. Stützenmomente für eine Einzellast. Nach. Formel l (S. 124) ergibt sich für die Belastung des I. Feldes durch eine Einzellast G:

M,=

und für die Belastung des II. Feldes

Gl.

--0,375 Ł (j_4)(VOT_4)

Wenn wir die Theilung der Stützweiten so durchführen, dass die Fixpunkte Theilpunkte werden, so ergeben sich folgende Werthe für M, :

Belastung des I. Feldes

Belastung des II. Feldes

M,

M,

M,

M,

0,602    0,0942

0,100    0,0243    0,703    0,0873

0,201    0,0474    0,803    0,0700

0,301    0,0673    0,902    0,0413

0,402    0,0827    1

0,502    0,0922

,c>    ,c>

to ft, Co îo k O Q O k О to to to ft, N

0,0448

0,0722

0,0839

0,0860

0,0804

^

kJ. "oo "v? "bi Ъ»

to Oo to to to to k to

0,0689

0,0534

0,0360

0,0166

. I,

. Gl, . I,

. Gl,

. Gl

. Gl

In Fig. 2 sind diese Stützenmomente auch noch nach §. 69 (Fig. 138) konstruirt worden. Nach dem Massstabe II erhält man M, für eine Last von 12 Tonnen in Tonnenmetern. Für die Lasten von 13 und 9 Tonnen sind die Ordinaten erst mit Hilfe der Reduktionswinkel Fig. 9 mit    -(-1 und =

zu multipliziren.

3. Maximale Stützenmomente. Für die Belastung des I. Feldes ergibt sich durch die Konstruktion der Summeneinflusslinie a (Fig. 2)

max M, — — 34,8 Tonnenmeter.

Hierbei hat das vordere Lokomotivrad von der Stütze 1 den Abstand von 2,28m (Stellung Fig. 8a). Ebenso ergibt sich für die Belastung des II. Feldes durch Konstruktion der Summeneinflusslinie b (Fig. 2):

max M, — — 42,1 Tonnenmeter.

Hierbei hat das vordere Lokomotivrad von der Stütze 1 den Abstand von l,89m (Stellung Fig. 8 b).

Wenn man jedes der Felder I und II für sich möglichst ungünstig belastet, so würde hiernach maxM, = — 34,8 — 42,1 — — 76,9 werden. Die Vorderräder der Lokomotiven erhalten hierbei einen Abstand von 2,28 -j- 1,89 = 4,17m, während derselbe, dem Schema Fig. 152 zufolge, nicht kleiner als 2.2,7 = 5,4m werden kann. Gibt man den Vorderrädern diesen Abstand, so ergibt sich mit Hilfe die Summeneinflusslinie c (halber Maassstab):

max Mt = — 76,1 Tonnenmeter,

also nicht wesentlich kleiner. Dieses Maximum entspricht der Stellung Fig. 8 c.

4. Momente. I. Feld. Das positive Maximum tritt ein, wenn das III. Feld so belastet ist, dass Мг zum Maximum wird; da alsdann M\ = — 34,8, so wird

Mt = -f- -J 34,8 = -f 9,5 und

•a.

Ausserdem ist das I. Feld zu belasten. Die Maximalmomente-sind in Fig. 3 nach §. 73 (Fig. 146) konstruirt und in Fig. 5 zu den Momenten für die Belastung des III. Feldes addirt worden. Fig. 8, d und e zeigen die Laststellungen für die Querschnitte bei X — 0,4021, und x — 0,9021,. Für Querschnitte rechts vom Fixpunkte ist nur der rechte Theil des I. Feldes zu belasten.

Das negative Maximum des Momentes tritt ein, wenn das II. Feld so belastet ist, dass M, zum Maximum wird. Da alsdann М, — — 42,1 ist, so wird

b. M— — 42,1

"1

Für Querschnitte links vom Fixpunkte ist das I. Feld nicht zu belasten (Laststellung Fig. 8 b). Für Querschnitte rechts vom Fixpunkte sind nach Fig. 148 mit Hilfe des Seilpolygones Fig. 4 in Fig. 6 einzelne Tangenten der Momentenkurve konstruirt worden.

II. Feld. Wir bestimmen nur das Moment für Querschnitte in der linken Hälfte. Das positive Maximum tritt hier ein, wenn das I. Feld gar nicht belastet ist und das III. Feld darf nur für Querschnitte links vom Fixpunkte belastet sein und zwar ist es so zu belasten, dass M, zum Maximum wird. Da hierbei M, = — 34,8, M, = 4 9,5 ist, so wird

с. M = 9,5

Für die Belastung des II. Feldes selbst sind die Maximalmomente in Fig. 4 nach §. 73 (S. 145) konstruirt und in Fig. 5 aufgetragen worden. Für Querschnitte links vom Fixpunkte ist nur der linke Theil zu belasten; Fig. 8f zeigt die Belastung für den Querschnitt bei x — 0,1071.

Das negative Maximum tritt für Querschnitte rechts vom Fixpunkte ein, wenn das I. und III. Feld so belastet sind, dass M, und M₂ zum Maximum werden (Last-stellung Fig. 8 g). Hierbei wird M₁ = M₂ ——34,8 -}- 9,5 = — 25,3, also konstant

d. M = — 25,3.

Für Querschnitte links vom Fixpunkte tritt das negative Maximum ein, wenn das I. Feld so belastet ist, dass M, zum Maximum wird; hierbei ist Ml — — 34,8, M₂ = -f 9,5, also

e.

M = — 34,8

Ausserdem ist das II. Feld rechts zu belasten; mit Hilfe des Seilpolygones Fig. 5 sind in Fig. 6 nach Fig. 147 einzelne Tangenten der Momentenkurve konstruirt worden.

In folgender Tabelle sind die erhaltenen Maximalmomente zusammengestellt:

I. Feld

max (4- M) \ max (— M)

IL Feld max (-f- M)

max (— M)

"b

0,100

0,201

0,301

0,402

0,502

0,602

0,703

0,803

0,902

30,2

46,9

61,1

66,8

65,3

60,2

48,7

32,7

10,3

9,5

4,2

8,4

12,7

16,8

21,1

25,3

29,6

33,8

48,0

76,2

0,107

0,214

0,309

0,405

0,500

0,595

0,691

0,786

0,893

9,5

12,0

33,6

50,8

60,1

61,8

60,1

50,8

33,6

12,0

9,5

76,2

42,0

25,3

25,3

25,3

25,3

25,3

25,3

25,3

42,0

76,2

Tonnenmeter

Tonnenmeter

5. Transversalkräfte. I. Feld. Ausser dem I. Felde muss für das positive und negative Maximum bezüglich das III. und II. Feld so belastet sein, dass bezüglich M₂ und M, zum Maximum wird. Im ersten Falle wird M₂ — — 34,8,

M, = — 42,2, Q = + -£■ = 0,95t, im zweiten wird М, — —42,1, Q — 4,21t. Für die Belastung des I. Feldes wird nach Formel 22

42,1

10

Q = ° + TT'

In Fig. 7 ist О durch das Seilpolygon mit der Polweite lt konstruirt worden; wurde durch das Seilpolygon Fig. 4 und zugehörige Kraftpolygon 4a erhalten. II. Feld. Ausser dem II. Felde muss für das positive Maximum das I. Feld so belastet sein, dass Mx zum Maximum wird. Hierbei wird Mx = — 34,8, Мг = -f- 9,5, 34,8 + 9,5

also Q = -f nach Formel 22

12

= -f 3,69. Für die Belastung des II. Feldes selbst wird

Q = O-

M, — M₂

polygon 5 a bestimmt worden ist. Die negativen Maxima von Q wurden einfach durch entgegengesetzt symmetrische Umkehr erhalten.

In folgender Tabelle sind die erhaltenen Maxima von Q zusammengestellt

worden :

In Fig. 7 ist wieder 0 mit Hilfe des Seilpolygones mit der Polweite l konstruirt М, — Мг

worden, während

mit Hilfe des Seilpolygones Fig. 5 und zugehörige Kraft

I. Feld

max (-f- Q)    max (— Q)

II. Feld

I max (+ Q) max (— Q)

■4"

0,100

0,201

0,301

0,402

0,502

0,602

0,703

0,803

0,902

35,5

29,8

23,5

19,6

15,1

11,8

8,1

5,1

2,7

1,0

1,0

4,2

6,3

8,5

12,3

16,2

20,4

24,7

29,1

33,6

38,0

43,5

0,107

9,214

0,309

0,405

0,500

0,595

0,691

0,786

0,893

5,7

4,5

7,5

10,3

13,7

17,5

21,9

27,0

32,2

38,5

44,7

Tonnen

Tonnen

6. Stützendrücke. Der Druck auf die äusseren Stützen 0 und 3 ist gleichbedeutend mit den dort wirksamen Transversalkräften; es kann also dieser Druck zwischen -{- 35,5t und — 4,2t schwanken. Für den Stützendruck Dt ist in Fig. 2 die Einflusslinie für die Belastung des I. und II. Feldes mit einer Einzellast von 12t (strichpunktirt) und mit Hilfe derselben die Summeneinflusslinie d konstruirt worden und zwar unter der Voraussetzung, dass das I. und II. Feld durch zwei Brust an Brust stehende Lokomotiven belastet sind. Hiernach wird max (4-2),) = + 63,Ot ■ dasselbe tritt ein, wenn das Vorderrad der rechten Lokomotive über der Stütze 1 ruht. Dx wird zum negativen Maximum, wenn das III Feld so belastet ist, dass Мг

0 — 9,5

um Maximum wird. Bei dieser Belastung wird Д = — 0,95 — 3,69 = - 4,64t.

4-

10 ~

— 34,8 — 9,5 _

12

IX. Kapitel.

Gleichmässige Belastung.

§. 77. Gänzliche gleichmässige Belastung.

1. Stützenmomente. Zur Bestimmung der Stützenmomente kann man die Clapeyeon’sche Methode mit Benützung der Gleichung 14 (S. 97)

anwenden, nachdem man für die einzelnen Felder die Koeffizienten a, ß, y, sowie die Grössen SDP, ЭДР' durch die Gleichungen 6 (S. 94) bestimmt hat.

Bei konstantem Querschnitte wird a = ß = y = 1 und nach §. 64 ЭДР = 9)P' = ^дВ, wenn g die Last pro Längeneinheit bezeichnet, mithin

1. M₀lt + 2M,    + lq) + lo = —

UKKl

a(i,³ + h³)-

Anstatt dessen kann man aber auch die für die einzelnen Felder bereits bestimmten Verhältnisse g, v oder Längen а, b, c benützen, indem man nach den Formeln 16 (S. 123) und §. 35 für die Belastung jedes einzelnen Feldes die Stützenmomente bestimmt. Bei konstantem Querschnitte ergibt sich, wenn man ЭДР = ЭДР' =— у₂ g^ setzt,

iwèT)*,, = -

r^Y)^ = -

Bei eisernen Gitterträgern mit geradlinigen parallelen Gurten mit veränderlichem Querschnitte ergeben sich die Stützenmomente bis zu 5 Prozent grösser, als bei konstantem Querschnitte.

2. Transversalkräfte. Sind M‘ und M“ die Stützenmomente für die Enden eines beliebigen Feldes mit der Länge l, so ist M" = M‘ -j- Q'l — gl j l, Q“ — Q' — gl, mithin

3. Q= + i

Für einen beliebigen Querschnitt wird

A4r—i — —

gla(l — 2b)

2.

4c

Mr

gi —

, Q“=-

gib (l — 2a)

4c

gl —

Ж — M“

4- Q—Q' — gx —

Ж — M“

g(l — 2x) — г

Die Transversalkräfte in den einzelnen Feldern lassen sich hiernach durch parallele ^ Gerade darstellen (Fig. 153).

Die Stützensind

A‘

B“

Fig. 153.

C¹¹

⁴'!

drücke

nunmehr durch

die Gleichung 28 (S. 104) bestimmt. In der Figur wird der Stützendruck durch die Höhen AM, B'B", G‘Cn B' D“ dargestellt.

B'

C*

3. Momente. Das Moment M für einen beliebigen Querschnitt ist M — Q' (a -J- x) — gx. j x, oder

gx*.

M — W -f- Q‘% —

Setzt man nach Formel 3 Q‘ = ~ gl —

M‘ — M“

so wird

5. Ж =

gx {l — x) + M' (l — y) +    y.

Hiernach lassen sich die Momente in den einzelnen Feldern durch Parabeln mit vertikaler Axe darstellen, welche sämmtlich denselben Parameter haben (Fig. 154). M wird zum Maximum für — 0, d. i. für — Q‘ -f- gx — 0, oder für

6. x — ^ — ^l-

g 2

und zwar wird MaxM = M‘ -{- Q¹ -Q--1 g (-yj*» d. i.

7. MaxM=M' +

Ш — M“

yl

91-Ł

2g 8

Fig 154.

gV¹ -f- ^(ЛГ+ЛГ‘) +

2 gl* ‘

Das zweite Glied in dem Ausdrucke für x ist gegen das erste nur klein, so dass M nahezu für x = j l zum Maximum wird. In praktischen Fällen wird x in den äusseren Feldern höchstens um 0,121, in den mittleren höchstens um 0,041 von j l abweichen.

Hinsichtlich der Gesetze, welchen die Momente, Transversalkräfte und Stützen, drücke bei gleicher Länge der Felder folgen, siehe des Verfassers: „Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867“, S. 125 bis 131. Es ergibt sich dort, dass diese Grössen in den auf einander folgenden Feldern abwechselnd grösser und kleiner sind, als in den Mittelfeldern eines Stabes mit unendlich vielen Feldern; hier

wird das Stützenmoment — ql², das grösste positive Moment +~ ql\ die Transversalkraft an den Stützen 1 gl und der Stützendruck gl.

§. 78. Ungünstigste Belastungsweise hinsichtlich der Transversalkräfte. Die ungünstigste Belastungsweise ergibt sich ohne Weiters aus dem in §. 72 behandelten Einflüsse einer Einzellast und der in Fig. 143 dargestellten Einflusslinie. Hieraus folgt mittelbar für die Belastung des fraglichen Feldes:

nun un-

Die Transversalkraft wird für irgend einen Querschnitt zum positiven oder negativen Maximum, wenn sich dieLast vom Querschnitte aus bis zum rechten oder linken Ende des betreffenden Feldes erstreckt.

Ganz dasselbe Gesetz gilt bekanntlich auch für Einzelträger.

Ferner folgt aus §. 66 für die Belastung der übrigen Felder:

Die Transversalkraft wird zum Maximum, wenn die Felder abwechselnd belastet sind, und zwar zum positiven, wenn das rechte Feld nicht belastet, das linke belastet, zum negativen dagegen, wenn das rechte Feld belastet, das linke nicht belastet ist.

In Fig. 155 ist diese ungünstigste Belastungsweise dargestellt.

Fig. 155.

-ft

^    Ly—^----L—7*----C—>

л----Ь----X----L'—X----ir,—>

/П\

Es lässt sich gegen diesen Satz allerdings einwenden, dass eine derartige Belastung in Wirklichkeit eigentlich nie Vorkommen, namentlich dass eine Trennung der zufälligen Last in sehr viele Theile nie eintreten wird. Dagegen lässt sich aber wiederum erwidern, 1. dass nach obigem Gesetze bei Trägern mit zwei und drei Feldern die Last ohnehin nur in zwei Theile getrennt erscheint, und 2. dass sich bei Trägern mit vier und mehreren Feldern die Transversalkräfte nur wenig kleiner ergeben, wenn man eine Trennung der Last in nur zwei Theile annimmt. Der Unterschied beträgt in Betreff der grössten und kleinsten in Betracht kommenden Transversalkräfte höchstens in den äusseren Feldern bezüglich 3 und 1 Prozent, in den übrigen Feldern bezüglich 11 und 4 Prozent.

Nimmt man eine Trennung der Last in nur zwei Theile an, so würden nur die beiden dem betreffenden Querschnitte zunächst liegenden Theile beizubehalten sein und die Regel hiesse alsdann: Die Transversalkraft wird zum positiven Maximum, wenn der rechts vom fraglichen Querschnitte liegende Theil des fraglichen Feldes und das links neben diesem liegende Feld ganz belastet, zum negativen Maximum, wenn der links vpm frag-

10

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

liehen Querschnitte liegende Theil des fraglichen Feldes und das rechts neben diesem liegende Feld ganz belastet sind.

In der Verordnung des k. k. österreichischen Handelsministeriums von 1870, betreffend die bei der Erbauung eiserner Brücken für Eisenbahnen zu beobachtenden Sicherheitsrücksichten, heisst es in der That in Nr. 2: „Bei kontinuirlichen Trägern muss darauf Rücksicht genommen werden, dass die gleich vertheilte Prohelast in zwei (aber nicht mehrere) Stücke getrennt sein kann, so zwar, dass z. B. das zweite und vierte Brückenfeld belastet sind, während die drei andern dazwischen liegenden Felder unbelastet bleiben.“

¹

x /

A Az F

Wenn statt der Ordinate A₂B₂ in der Mitte eine beliebige andere Ordinate AB gegeben ist (Fig. 151), so findet man, wie sich leicht nachweisen lässt, den Punkt D dadurch, dass man die Gerade BXB und B₃B zieht, welche die mittlere Ordinate in 1 und К schneiden; alsdann ist ID = CK oder KD = IC zu machen.

§. 79. Bestimmung der grössten Transversalkräfte. Für

die Einzelträger ergibt sich nach §.37: 21 max (+ Q) = -f p (l — ж)2 und 21 max (— Q) == — px*. Daher wird für den kontinuirlichen Träger nach Formel 4, S. 94:

8.

max (-f- Q) = +

p(l — x)"

W — M“

21

px²

max (— Q) = — 2l

Ж' — M“

Ist Qt die Transversalkraft für gänzliche Belastung, so ist offenbar

9. max (+ Q) -f- max (— Q) = Qt

weil die Belastungen für das positive und negative Maximum zusammen die gänzliche Belastung ausmachen. Man kann diese Begel benützen, um nach Bestimmung des einen Maximums das andere zu erhalten.

ist natürlich mit x veränderlich; jedoch ist

dasselbe gegen das erste Glied in den Formeln 8 überhaupt nur klein,

so dass sich die Maximaltransversalkräfte durch Kurven darstellen lassen, welche wenig von Parabeln abweichen, deren vertikale Axen durch die Stützen (Fig. 156).

Die Einflusslinie für Q ist für alle Querschnitte desselben Feldes dieselbe (Fig. 143) ; nur der Uebergang vom positiven zum negativen Q erfolgt an dem veränderlichen Querschnitte. Demnach wird die positive und negative Fläche der Einflussfigur um so grösser, je näher der

Das Glied

M¹ — M“

Fig. 156.

NJ

N1

gehen

Querschnitt bezüglich an der linken und rechten Stütze liegt. Man kann sonach behaupten:

Die Transversalkraft wird zum absoluten Maximum, an den Stützen und zwar bei abwechselnder Belastung der Felder, wobei die auf den beiden Seiten der fraglichen Stütze liegenden Felder mitbelastet sind. Für diese Belastung wird

10.

J Max (+ Q) = + ^jr Pl ~

7

Max (— Q)= —₀ p l — £

M‘ — Ж"

M‘ — M“

Bei veränderlichem Querschnitte werden die Transversalkräfte nur sehr wenig grösser oder kleiner, als bei konstantem. Bei Parallelträgern ist die Abweichung bei den absolut grössten Transversalkräften höchstens 3 Prozent, in der Regel aber wesentlich kleiner.

§. 80. Stützendrücke. Da der Stützendruck die Differenz der auf beiden Seiten der Stütze wirkenden Transversalkräfte oder gleich der Summe der absoluten Werthe desselben ist, und beide Transversalkräfte für dieselbe Belastungsweise zum Maximum werden, so wird der Stützendruck für dieselbe Belastungsweise zum Maximum, wie die Transversalkraft an der Stütze.

Bei gewissen Belastungen können in Folge der zufälligen Last auch entgegengesetzt gerichtete oder negative Stützendrücke eintretem Wenn der vom Eigengewichte erzeugte positive Stützendruck grösser ist, als der von der zufälligen Last erzeugte negative Stützendruck, so tritt in Wirklichkeit kein negativer Stützendruck auf. Bei gewissen Verhältnissen aber kann der negative Stützendruck wirklich zur Ausbildung kommen; alsdann gelten die für den kontinuirlichen Träger aufgestellten Gesetze nur, wenn der Träger durch besondere Vorkehrungen am Abheben von der Stütze gehindert wird.

Das Maximum eines negativen Stützendruckes tritt offenbar ein, wenn diejenigen Stellen des Trägers belastet sind, welche für das positive Maximum des Druckes auf dieselbe Stütze nicht belastet sind, d. h. der negative Stützendruck wird zum Maximum bei abwechselnder Belastung der Felder, wenn die auf beiden Seiten der fraglichen Stütze liegenden Felder nicht belastet sind.

Man erhält den von der zufälligen Last erzeugten negativen Maxi-mal-Stiitzendruck am einfachsten durch Subtraktion des positiven Maximal-Stützendruckes von dem bei gänzlicher Belastung entstehenden Stützendrucke.

io*

§.81. Ungünstigste Belastung hinsichtlich der Momente.

1. Belastung des fraglichen Feldes.

a) Querschnitt zwischen den Fixpunkten. Wir haben in §.71 gesehen, dass jede im fraglichen Felde liegende Last in einem zwischen den Fixpunkten liegenden Querschnitte nur ein positives Moment erzeugen kann. Daraus folgt unmittelbar:

Für einen zwischen den Fixpunkten liegenden Querschnitt tritt das grösste positive Moment ein, wenn das betreffende Feld gänzlich, dagegen das grösste negative Moment, wenn das betreffende Feld gar nicht belastet ist.

b) Querschnitt ausserhalb der Fixpunkte. Wenn eine Einzellast in einem beliebigen Punkte G liegt (Fig. 157), so wird das

Moment in zwei Punkten Q und B, welche nach §.71 ausserhalb К J\r der Fixpunkte liegen, Null. Im Querschnitte Q erzeugt nach §.71 \ß eine zwischen A und G liegende Last ein positives, eine zwischen В und C liegende Last ein negatives Moment, wie auch der Einflusslinie Fig. 141Ъ entspricht. Ebenso erzeugt im Querschnitte В eine zwischen В und G liegende Last ein positives, eine zwischen A und G liegende Last ein negatives Moment. Wir nennen G den zum Querschnitte Q oder В gehörigen Nullpunkt und können dann behaupten :

Fig. 157.

АШ,

M.

C'

---

fl!#¹

Für einen ausserhalb der Fixpunkte liegenden Querschnitt tritt das grösste positive Moment ein, wenn die Strecke des betreffenden Feldes, in welchem der Querschnit t liegt, bis zum zugehörigen Nullpunkt, dagegen das grösste negative Moment, wenn die andere Strecke des Feldes bis zum zugehörigen Nullpunkt belastet ist.

Setzen wir AQ = x, ВB=xt, AC=l, BC = £{ und die Momente in А, В und C bezüglich = M', M“ und Mlf so ergibt sich, entsprechend dem §. 71:

11. я =

xl —

M' — Ml>

oder auch, da J/j = M‘ -y -}- M“ j -f- G ~ ist,

M“—Ml

12. X =

Ml

xt =

МЧ

Mu — Ml — G l *

Sind für verschiedene Lagen der Einzellast die Stützenmomente AB, M“ berechnet, so kann man mit Hilfe dieser Gleichungen leicht für ein gegebenes §, die Abstände x, xx der zugehörigen Querschnitte von den Stützen bestimmen. Für einen konstanten Querschnitt gibt die Einsetzung der Ausdrücke 1 (S. 124) für AB, Al“ :

___а (21 - 3b~£\ j___

13.

l — ct¹ + (2a — b)l£- (a + ö)J

b (21 - 3a — J,

я?! _

г “ cï²+(2b — a) J— (a -f- b)gx* *

Mit Hilfe der Gleichungen 8 und 9 (S. 130 und 131) lässt sich bei konstantem Querschnitte auch £, £, bei gegebenem x, xx berechnen. Bei veränderlichem Querschnitte kann man, nachdem man die Einflusslinien für die Stützenmomente gezeichnet hat, nach Fig. 142 leicht die zu einem angenommenen Nullpunkte gehörigen Querschnitte konstruiren. Bei konstantem Querschnitte ergibt sich in folgender Weise eine wesentlich einfachere Konstruktion: Setzen wir in Fig. 157 IB = y, KK‘ = yx, so wird

У =

nach Einsetzung der Ausdrücke 1 (S. 124):

- AB 4- (AB — AI“) у und yx = — AI“ + (Mu — AB) y, d. i.

-, Ух =

GHX (21-1) а

Is

т — ыъ

Setzen wir nach 0(7 = £, so ist zl — G££,, mithin

а (21

14.

îsi

— Ю 2/, _ Ь{21 — i,)

’    в

In Fig. 158 seien J., Б die Stützpunkte, I, Ж die Fixpunkte des fraglichen Feldes und die Vertikalen AQ = BB — dem beliebig wählbaren z\ S sei die Mitte von QB. Die Geraden AB, AS,

BQ, BS mögen die durch die Fixpunkte gelegten Vertikalen in Ix, J₂,

Kx, schneiden.

Alsdann ist II„ —

2jS,KK, = 2jS,

1,1,= T г, KtK,

_b

— T

Иг : IXI„ = i : l, hK„ : KXK^ = : l ist, so ist nach den vorigen Formeln Ii — у, Kl = yx. Wählt man £, |x so, dass dadurch die

Fig. 158.

А

'Os

0,

»Й

2v

«o.

ГЗ

//

Wählt man in IXL und АГ, AT₂ die Punkte i, & so, dass

Feldlänge QR = l in gleiche Theile getheilt wird, so werden ij und K₁K<i durch die Punkte i und Je in ebenso viel gleiche Theile getheilt, woraus sich sofort die in Fig. 158 dargestellte Konstruktion ergibt. Die Durchschnittspunkte der die Theilpunkte von Ix I„ und Kx К,г in umgekehrter Keihenfolge verbindenden Geraden mit den von A und В aus nach den Theilpunkten von QR gezogenen Geraden entsprechen den zu den Theilpunkten von QR als Nullpunkten gehörigen Querschnitten.

2. Belastung der übrigen Felder. Aus dem in §. 67 Gesagten und den in Fig. 141 dargestellten Einflusslinien lässt sich ohne Weiteres schliessen :

Das Moment wird zum Maximum, wenn die Felder abwechselnd belastet sind und zwar derart, dass an das belastete Ende des fraglichen Feldes ein unbelastetes Feld, an das unbelastete Ende desselben ein belastetes Feld stösst.

Fig. 159.

<—

IM

l--*

*м

7s

-M

|H| |P| J—I I

X ...♦

C---> — -4U

Д Д1

7S

Hiernach ist die ungünstigste Belastungsweise in Fig. 159 dargestellt und zwar in a für den linken, in Ъ für den mittleren und in c für den rechten Theil eines beliebigen (hier des vierten) Feldes.

Die in §. 78 gemachte Bemerkung hinsichtlich der Theilung der Last in mehrere Theile lässt sich natürlich auch hier anwenden.

Die allgemeine Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise für Transversäl-kräfte und Momente wurde, allerdings unter Voraussetzung eines konstanten Querschnittes zuerst vom Verfasser durchgeführt (Beiträge zur Theorie der kontinuirlichen Brückenträger, Civilingenieur 1862). Hier wurde wohl auch zuerst von dem Einflüsse einer Einzellast Gebrauch gemacht zur Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise. Vordem pflegte man jedes Feld entweder ganz oder gar nicht belastet anzunehmen und die ungünstigste Kombination von ganz belasteten und unbelasteten Feldern durch Probiren aufzusuchen.

Die in Fig. 158 dargestellte grafische Bestimmung der zu einem Nullpunkte gehörigen Querschnitte hat zuerst Mohr gezeigt. Er leitet dieselbe auf grafischem Wege ab in: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen, Zeitschr. des hannoverschen Arch.- und Ingen.-Ver. 1868.

§. 82, Bestimmung der grössten Momente. Für einen zwischen den Fixpunkten liegenden Querschnitt ist das Feld hinsichtlich des positiven Maximums ganz, hinsichtlich des negativen gar nicht belastet; dementsprechend ergibt sich nach der zweiten der Formeln 4 (S.94) :

шах (+ Ж) = Ж — (Ж — M“) т +    я),

i /С

шах (— Ж) — Ж — (Ж¹ — Ж ) ~ ,

wobei natürlich in beiden Fällen W und M“ nach §. 58 unter der Voraussetzung der ungünstigsten Belastung zu bestimmen ist. Hiernach ist das negative Maximum durch eine Gerade, das positive durch eine Parabel darstellbar, die sich nach dem Aufträgen der Stützenmomente leicht nach §. 59 konstruiren lässt.

Für einen links vom linken Fixpunkte liegenden Querschnitt ist für das positive Maximum der linke Theil* in der Länge g, für das negative Maximum der rechte Theil in der Länge zu belasten. Es ergibt sich leicht

шах (+ Ж) — Ж — (Ж — M‘‘)j + ^{2lg-£²—lx), шах (— Ж) — Ж — (Ж — Ж“) y +

L

Ebenso ergibt sich für einen rechts vom rechten Fixpunkte liegenden Querschnitt

15.

px£S

21 '

шах (+ Ж) — Ж— (Ж'

17.

max (- Ж) = Ж - (Ж — Ж") % -|

X JL. PV — x) (lx — £*> 21

p£*(i-_x)

21

Hat man das eine der beiden Maximalmomente bestimmt, so kann man nach Bestimmung des Momentes Mt für gänzliche Belastung des Trägers das andere durch die Beziehung

18. max (4- M) -|- max (— M) = Mt

bestimmen.

Hiernach ergibt sich die in Fig. 160 dargestellte Form der Kurven für die Maximalmomente (unten positiv, oben Ü? negativ).

Fig. 160.

Nach der zwei

beachtet, dass hier £ = 0 wird, d max (— M)

dM'

dM'    dM"

dx

dx

dx

dx

ten der Formeln 15 wird am rechten Fixpunkte , wenn man

M‘ - M“

M‘ und M“ lassen sich darstellen durch einen Ausdruck von der Form И. -f- ВШ' -f- СШ" ; nun aber wird und (S. 127) für h = 0 ebenfalls = 0, mithin ist d max (— M)

am"

dx

M* — M"

nach Formel 3

dx

Im ersten Felde ist die Belastung für max{—M) für Querschnitte lints vom Fixpunkte, sowie für Querschnitte unmittelbar rechts vom

Fig. 161.

Я/

c' \

-9-

Fixpunkte dieselbe, es hat also auch M‘ — Al“ denselben Werth. In den äusseren Feldern geht also in der Momen-tenlinie für max (—AI) die Kurve in die Gerade tangential über; somit .    findet auch in der

Kurve für max (Ą-Al) ein tangentialer

4.    Uebergang der bei-

den Theile statt. In den mittleren Feldern dagegen findet ein tangentialer Uebergang nicht statt (Fig. 161, links I. Feld, rechts Mittelfeld).

Bei theilweiser Anwendung der Konstruktion kann man ganz entsprechend dem §. 73 für ein System von Einzellasten verfahren. Für

Querschnitte zwischen den Fixpunkten sind die Momentenkurven Seilkurven , welche sich nach dem Aufträgen der berechneten Stützenmomente leicht konstruiren oder mit Hilfe der Parabelschablone (siehe Anmerkung zu §. 38) verzeichnen lassen. Für Querschnitte im linken Theile AB würde man am besten zunächst die negativen Maximalmomente konstruiren; die Geraden, welche ‘ die Momentenlinien im unbelaste- A\ ten Theile darstellen, sind, dem §. 73 entsprechend, die Umhüllungslinien der Momentenkurve.

Diese Geraden A‘ D‘ (Fig. 162) werden, wie dort, am besten verzeichnet, indem man das Moment

Fig. 162.

$-1

А a\\>

aKt-ï.....AB

M‘ an der linken Stütze A und das Moment Ж'" am Ende D der Belastung aufträgt. Allgemein ist im Theile AI: Ml — МЧ -j- (M“ — M‘)x also, wenn man x = l — g,, M — M“ setzt,

pß -JA

19. M‘“ = M“ — (M“ — M‘)

Bei Bestimmung von M‘ und Mu kann man gleichzeitig auch die ungünstigste Belastung der übrigen Felder berücksichtigen. Nach Fig. 158 kann man zu jedem angenommenen Punkte C auch noch den entsprechenden Querschnitt Q, hiermit also auch den entsprechenden Punkt Q' der Momentenkurve konstruiren; indess genügen zum Einzeichnen der Momentenkurve auch schon die umhüllenden Tangenten. Das positive Maximum von M findet man jetzt nach Konstruktion der Momentenkurve für Belastung des ganzen Trägers nach der Beziehung 18.

21

§. 83. Beispiel für einen konstanten Querschnitt.

Kontinuirlicher Träger mit drei Feldern, deren Längen Z,, Z, Z, das Verhältniss 5:6:5 haben, so dass 1 — 1,21, wird. Ist X die mittlere Länge, so wird 3X = 2l,

-4-J = i-Z + Z=|-Z, also

l = ÿli oder

L = ~ X = 0,9375X, Z,² = 0,8789X\ lo

— X = 1,1250 X,

Z² = 1,2656 X\

Die beiden Gleichungen zur Bestimmung der Stützenmomente werden nach der Gleichung 14 (S. 97):

Hieraus ergibt sich

4,4 M, -f 1,2m, 4- 3,0®i‘ + 3,6Ж,“ = 1,2 М,-1- 4,4 M, -I- 3,6 Ж/ + 3,0 Ж, " =

a. i

M, = — 0,7365 Ж/ + 0,2412Ж/ - 0,8841 Ж/' -f 0,2010Ж₃", M₂ = - 0,2010®f/ - 0,8841Жг‘ + 0,2412®l₂“ - 0,7365Ж₃“, M; — М, — - 0,9375 (äft,' — 2ft₃") + 1,1253 (Ж/ - Ж,“).

1. Eigengewicht. Setzen wir SJV = 9JV' =    gl,*, W = ЗЯ₂" — gl¹,

so wird

Mt = Мг = — 0,1218gl,² = — 0,0846gl² = — 0,1070gl².

I. Feld. Hier ist M — 0, M“ = — 0,1218gl,² zu setzen; daher wird nach Formel 4 und 5

b.

Q = ^0,3782 — j gl, = ^0,3546 M = + ^0,3782 — 0,5

0,9378 y) gl, gl,¹— + (0,3324

— 0,4394

.н в

gl².

Für X = 0,37821, wird Q — O und M zum Maximum und für x — 0,75641, wird M = 0-, ferner wird

maxM

₌ (0,3782gl,)²

4 0,0715gl ² = -f- 0,0629gl². II. Feld. Hier wird M‘ = M“ = — 0,0846gl²; daher wird

2g

Q — j>g(l — 2x) = 0,5625 (l — 2 у j gl,

|м= — 10,0846 — 0,5 у 4 0,5 Ç") gl² = — J 0,1070 - 0,6328 (l -    | J gl².

Für x — 0,51 wird Q — O und M zum Maximum und zwar wild maxM — 4 0,0404gl² — -f- 0,0512gl².

Ferner wird M — 0 für

X² — Ix Ą- 0,1691l² — 0.

(0,5 =F V0fi809) I = (0,5 4 0,2843) l = 0,21571 und 0,78431.

Für das I. Feld wird Q‘ —    0,3546g 1, Q“ = — 0,5829gl; für das II. Feld wird

Q' = -f- 0,5625gl, Q“ = — 0,5625gl. Daher wird

d. D₀ = 0,3546gl,    Д = (0,5829 -f 0,5625)gl = 1,1454gl

In Fig. 153 und 154 sind hiernach Q und M grafisch dargestellt.

2. Verkehrslast. Bei gänzlicher Belastung ist in den vorigen Formeln nur p für g zu setzen.

I. Feld, a) Transversalkräfte. Nach Formel 8 wird, wenn wir M‘=0, M“ — M, setzen,

max (4 Q) =

ÎSS ьч

+ V-

Für max (-{- Q) aber ist das I. Feld vom Querschnitte bis zur Stütze 1 und das III. Feld ganz zu belasten. Daher wird nach Formel 41 und 43 (S. 115)

ä»i' = jz i¹ ~ fr)W, W = a»i" = o,

4- 0,0168pl ² - 0,0614 [l

~ 12

4- Ph¹,

mithin

M, =

X²

)W,

folglich

max (4 Q)

= 4 ^0,5 11 — y y — 0,06138 (l

[О - f)>'Ä8s

0,01675J pl, 0,0576 (l + y)JJ + 0,0157J

h¹

pl.

Für gänzliche Belastung ist Q durch die erste der Formeln a bestimmt. Daher ergibt sich nach Formel 9:

max (— Q) = —

[- (i0,5839 — 0,0576 -|v) + 0fl783]

pX.

b) Momente. Nach §. 65 wird

o 1 + 1,2    11    ßßßry

Vi—2. —j-~~ = -j- = 3,6667, V, — a, = 0, b, = ——

2 (1 + 1,2)-1,2 —

224

1,0

₅₅ = 4,07S7;

= 0,19711,, c, = Z, — 6, = 0,80291,.

5,0727

Erster Theil von der Stütze 0 bis zum Fixpunkte. Für лшж (—If) ist nur das II. Feld ganz zu belasten. Es ist also ЗЯ/ = Ш+ = O, 3JÎ/ = 2Яг" = p P

zu setzen. Daher wird

M, = — (0,0737 — 0,0201) pP = — 0,0536 pP.

Setzen wir nun in Formel 15 M‘ — 0, M“ = Mx — — 0,0536pP, so ergibt sich

max (— M) = — 0,0536 ^ X

Bei gänzlicher Belastung ist M durch die Formel a bestimmt. Daher wird nach Formel 18:

= - 0,0678 jpl\

{o,4002 j — 0,4395 -fv) 4^²-

Zweiter Theil. Für max (—M) muss das II. Feld ganz und vom I. Felde nur der linke Theil, dessen Länge nach Formel 12 (S. 131) bestimmt ist durch

Y = \/r5,0727 - 4,0727 b,

Setzen wir daher in Formel a) 3Ä,' — Шг" — pP, so wird M, = - 0,7365m— 0,0536pP = — (i0,6474    -j- 0,0678) pP.

belastet sein.

Hierbei wird nach Formel 42 (S. 115)

äJV

pis

j?) - è l¹ - w'58n 0 - »T

M, = + (<0,7731 - 1,7898 \ +0,8949 ^pX\

__Jl_ ( 2

12 I, * V

Nach Formel 17 wird nun, wenn wir M‘ — 0, M“ = M, setzen,

p 'e (l, — x)

max (— M) = M, у +

d. i. wenn man für M, und £ die gefundenen Ausdrücke setzt, max (— M) — —

Für gänzliche Belastung ist M durch Formel b bestimmt; daher wird nach Formel 18:

21,

(1,4561 y — 2,2292 + 0,8949 -ЦрГ.

max (+ M) = + ^1,7885

X*

— 0,4395 -j—r

— 2,2292 + 0,8949 pX\

II. Feld, a) Transversalkräfte. Nach Formel 8 wird

M, — M,

max (-f- Q)

= )’p! +

Für max (+ Q) ist das I. Feld ganz und das II. Feld vom Querschnitte bis zur Stütze 2 zu belasten. Daher ist nach Formel 41 und 42 (S. 115) :

ér*ù = M¹- f

2)î"₃ = 0.

х²

(' - f)>

0-7 )>’•

M₂ — M, — 0,0781 pis — 0,1876 = J^0,0545 - 0,1876 ~

Dies eingesetzt gibt, wenn wir dabei gleichzeitig pl = 1,125 pl setzen, max (-}- Q)

Für gänzliche Belastung ist nach Formel c : Ql = 0,0625 (l — 2x) p 1 ; daher wird nach Formel 9:

max (— Q) = —

= +[(■*- y)' (0,5625 - 0,2109 ^ + 0,061o]pL

10,5625 — 0,2109

(■* ~ I +    pl.

Ъ) Momente. Da v₂ =

0,21431.

14

1 + v₂

Mittlerer Tlieil. Im mittleren Theile wird M zum positiven Maximum bei Belastung des ganzen I. und III. Feldes. Setzen wir dementsprechend 991/ = ffl₃"

— jzPW Ш₂‘ = Ш₂‘‘ — 0, so ergibt sich M₁ = M.₁ = —0,04463 pl,² =— 0,03924pP, Daher wird nach Formel 15, wenn wir = M‘ — M“ = 0 setzen,

max (— M) = — 0,0392pl².

Bei Belastung des ganzen Trägers ist M durch Formel c bestimmt; mithin wird nach Formel 18:

max (-f- M)

= + ^0,0678 — 0,6328 j — I)] pl².

Erster Th eil. Für max (— M) muss das I. Feld ganz belastet sein und im II. Felde nur der rechte Theil, welcher durch Formel 8 (S. 130) bestimmt ist. Setzen

wir hierin a = b = j^l, so wird

[l — 2 x)'p — (1,35711 — х)Ц + 2,6667 Px — 0

oder auf x reduzirt

(.1,35711 — S)IS 2,6667P -f- Ц — 2S '

d. x —

Setzen wir in den Formeln a. 2)1,' = j^plp, = 0, so wird

/    9)î "    5DÎ ' i

(0,0540 + 1,1187    - 0,3051

Wi₂‘ — Щ"

M, = —

e.

M, — M₂ — —

^0,0687

— 1,4241

pl²

) i>**.

Nach Formel 43 (S. 115) ist hierin

2»j"

1 f,

pP 12 P

2И,'

zu setzen; daher

— = — (l pp 12 \

9

)’

_ ¹ *«I

~~ 12 P

(*

fi

)’

M, = -

^0,0540 -f (i0,0848 -f 0,1017

S,

~T

— 0,1187

0,0687 ^4

$²1,²

- 3,456 - -lt

■}pk².

Demnach wird nun nach Formel 16:

max (— M)

f,

- 0,1187 Щ - -] pV-

= — £ 0,0540 -f {о,0848 + 0,1017 + [о,0687 (l - 3,456    -f 0,6328    ~pk².

'S S'*

Beispielsweise wird für x = 0,11: P —1,57141$ -f 0,3333P = 0, § = 0,25281, £i = 0,74721, daher nach der vorigen Formel max (— M) = — (0,0540 -j- 0,0528 — 0,006*0 — 0,0353) p l² = — 0,0654p l².

Nach Formel 18 ist jetzt max (-f- M) zu bestimmen, nachdem man Mt nach Formel c bestimmt hat. Beispielsweise ist für x = 0,11: Mt — — [0,4070 — 0,6328.0,9.0,1] gl² = — 0,0501p k², mithin max(-\- M) —[0,0654 — 0,0501)pk² = + 0,0153 p k².

Statt dessen könnte man auch | und £, annehmen, und nach ^Formel d das zugehörige x berechnen. Man kann dann auch zur Bestimmung von 50t', 5DÎ" die Tabellen zu §. 64 benützen. Beispielsweise wird für £ = 0,51:    — 0,4218 pP,

50V' = 0,3282pP, daher nach e: M, — — 0,0805p k², Mt — M₂ = — 0,0539pk². Für | = 0,51 aber wird nach Formel d:

also nach Formel 17:

(.1,3571 — 0,5) 0,5    _ 0,4286 _

2,6667 + 0,5 — 2 . 0,5² ~ 2,6667 ~~

0,1607,

max (— M)

= - |^0,0<S05 - (0,0539 + -j . 0,5² . l,125²j 0,1607J pk²

— — 0,0464p P.

In den Figuren 156 und 160 sind hiernach die Maxima von Q und M grafisch

dargestellt.

§. 84. Beispiel für einen veränderlichen Querschnitt.

Taf. II.

Wir wählen als Beispiel einen kontinuirlichen Parallelgitterträger mit drei Oefinungen von 50, 60, 50 Meter Stützweite; hierbei sei das Eigengewicht pro Meter g = 0,3q, also die zufällige Last pro Meter p — 0,7q. Die Berechnung unter Annahme eines konstanten Querschnittes gibt für die Gurte die in Fig. 1 dargestellten und mit Zahlen eingeschriebenen Querschnitte; diesen proportional sind die Trägheitsmomente. Den Einfluss des Gitterwerkes vernachlässigen wir.

1. Bestimmung von «, ß, y. Multiplizirt man die reciproken Werthe der Querschnitte mit den Längen der einzelnen Theile, so ergibt sich als Gesammtsuinme 0,0061871, + 0,0062371 -f- 0,0061871, = 0,005800 k + 0,007016 k -f 0,005800 к = 0,018616k. Der mittlere reciproke Werth ist daher = о,ошнп_ _ q qqq^05, die entsprechende mittlere Querschnittsfläche also 0 0q₆₂₀'₅ —161,1. Multiplizirt man hiermit die reciproken Querschnittsflächen, so erhält man die Verhältnisse welche in Fig. 2 grafisch dargestellt und mit Zahlen eingeschrieben sind.

1. Feld. Der Inhalt Al,

Г dx

— I -у- der Krümmungsfläche ergibt sich zu 0,99651„

Als Trägheitsmoment der Krümmungsfläche für die beiden Enden ergibt sich 0,30221,³ und 0,38001,³; nach §. 62 wird daher а — 3.0,3022, ß = 3.0,3800, у— ЗА — а — ß, d. i.

« = 0,9066, ß = 1,1400, у = 0,9429.

II. Feld. In ganz gleicher Weise ergibt sich für das II. Feld A—1,0046 und « = 0,9943, ß = 0,9943, у = 1,0252.

2. Bestimmung von ЗЯ' und Ш" für eine Einzellast. In folgender Tabelle sind die statischen und Trägheitsmomente der einzelnen Theile der Krümmungsfläche, sowie die hieraus durch allmälige Addition abgeleiteten statischen und Trägheitsmomente der vom Ende bis zu einer bestimmten Ordinate reichenden Flächenstücke in Beziehung auf die beiden Enden zusammengestellt:

Erstes Feld.

Statisches Moment für das linke Ende

Trägheitsmoment für das linke Ende

einzeln

von 0 bis X

TV

von X bis lt

tv

einzeln

von X bis l, St'

0,119

0,173

0,250

0,426

0,602

0,679

0,853

0,898

0,931

0,962

92

143

328

1621

3701

3005

12277

3192

2082

1767

2010

92

235

563

2184

5885

8890

21167

24359

26441

28208

30218

30218

30126

29983

29655

28034

24333

21328

9051

5859

3777

2010

1147

945

1548

4702

7150

4688

15979

3643

2277

1865

2050

45994

44847

43902

42354

37652

30502

25814

9835

6192

3915

2050

15776

14721

13999

12699

9618

6169

4486

784

333

138

40

. I,

0,000011,³

. 0,000011²

.0,000011]

Zweites Feld.

Trägheitsmoment für das linke Ende

Statisches Moment für das linke Ende

einzeln

von 0 bis X von X bis l

JL

einzeln

T =

von X bis l S₂1 — T₂

s.₂

0,030

0,058

0,089

0,124

0,165

0,241

0,296

0,379

0,500

0,621

0,704

0,759

0,835

0,876

0,911

0,942

0,070

12

37

17

103

514

477

903

1855

3008

3466

3526

7821

3594

2586

2008

1628

1600

54

157

671

. 1148 2051 3906 6914 10380 13906 21727 25321 27907 29915 31543 33143

33143

33142

33138

33126

33089

32986

32472

31995

31092

29237

26229

22763

19237

11416

7822

5236

3228

1600

25

78

172

345

711

2497

1769

2663

4188

5342

5227

4821

9803

4209

2895

2168

1702

1585

50240

50215

50137

49965

49620

48909

46412

44643

41980

37790

32450

27223

22402

12599

8390

5495

3327

1625

17097

17073

16999

16839

16231

15923

13940

12748

10888

8555

6201

4460

3165

1183

568

259

99

25

. 0,00001 P

. 0,00001V¹

\ 0,000011s

Die grafische Bestimmung der statischen und Trägheitsmomente ist in Fig. 3 nach §. 63 und 70 durchgeführt.

Mit Hilfe der so erhaltenen Zahlen lassen sich nun nach Formel 3 (S. 127) die Werthe von äü' und 9JÎ" berechnen. So z. B. ist im II. Felde für x — 0,8351: ÜÄ' = 2 (0,165.0,2173 -j-0,835.0,0118) = 0,0915 Gl und für x=0,165l: Ш‘ = 2{0,835. 0,0016 -j- 0,165.0,1592)— 0,0552 Gl. Der Symmetrie halber ist für x — 0,1651 das 2)ï" gleich dem für 0,8351, also = 0,0915 Gl. Die Resultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

Erstes Feld

Zweites Feld

m,

WLf

0,030

0,058

0,089

0,124

0,165

0,241

0,296

0,379

0,500

0,119 0,173 0,250 0,426 0,602 ! 0,679 I 0,853 0,898 i 9,931 0,962 I

0,0366

0,0520

0,0714

0,1068

0,1210

0,1178

0,0755

0,0557

0,0391

0,0222 0,0103

0,0198

0,0303

0,0420

0,0552

0,0772

0,0909

0,1079

0,1245 0,0194

0,0365

0,0544

0,0727

0,0915

0,1151

0,1242

0,1296

0,1245

. Gl,

. Gl

. Gl

somit

3. Lage der Fixpnnkte. Nach Formel 5 (S. 117) wird 2 (0,9066 + 0,9943.1,2)

^ —    1,0252.1,2

2 (0,9943.1,2 -j- 0,9066) —

= 3,4138,

1,0252.1,2

Из =

3,4138

Demnach wird at =

4,4138

1. Feld: а = О II. Feld: a = 0,22661,

0,9429

— 0,22661, a₃ — £ 0717

= 4,0717.

0,19721,. Wir haben

с = 0,80281,, b = 0,19721„ с — 0,54681, b = 0,22661.

4. Bestimmung der Maximalmomente für eine Einzellast. I. Feld. Nach den Formeln 4 (S. 127) wird

M, = — 3

3 . 0,1972

yc

0,9429 . 0,8028

Ж' = - 0,7815 W.

Das Moment am Angriffspunkte der Last wird jetzt

)Gh+TiM'=- i¹ ~ )Gl

II. Feld. Ebenso wird für die Belastung des II. Feldes

9JÎ" =

— 0,7815 j m\

3 ~[{l — а) Ш" - at], Мг= - 3    [(Z - а) Ж' — аШ‘% d. i.

Mt — — 0,9378 Ш" + 0,2748 W, Мг = — 0,9378 Ж' + 0,2748 Ж".

Das Moment M‘“ am Angriffspunkte der Last wird nun

J ( т) ¹ ~ J (Ml ~ Mi)-

Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet:

M, = -

M“' = M, —

Erstes Feld

Zweites Feld

M,

M,

Mt

M“‘

0,119

0,173

0,250

0,426

0,602

0,679

0,853

0,898

0,931

0,962

0,0286

0,0406

0,0558

0,0835

0,0946

0,0921

0,0589

0,0435

0,0305

0,0173

0,0358    ! 0,500

0,0199

0,0154

0,0298

0,0426

0,0566

0,0699

0,0867

0,0915

0,0919

0,0825

0,0043 j 0,0141 0,0085 ! 0,0260 0,0135 ! 0,0410 I 0,0194 ! 0,0569 0,0268    0,0750

0,0408    0,1073

0,0511    0,1289

0,0655    0,1535

0,0825    0,1675

• li

. Gl,

. Gl,

. Gl

. Gl

. Gl

5. Stützenmomente für theilweise gleichmässige Belastung. Die Stützenmomente für eine Einzellast wurden in Fig. 4 grafisch dargestellt. Durch Bestim-

inung des Flächeninhaltes der топ х = 0 his х = х und х — х bis x — l reichenden Flächenstücke mit Hilfe des Planimeters wurden die in folgender Tabelle zusammengestellten Stützenmomente für theilweise Belastung erhalten.

Belastung des I. Feldes

Belastung des II. Feldes

von 0 bis X

il/,

von X bis l

il/,

von X bis l

Ml

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0012

0,0047

0,0102

0,0174

0,0260

0,0353

0,0446

0,0528

0,0586

0,0609

0,0609

0,0597

0,0561

0,0506

0,0434

0,0349

0,0255

0,0162

0,0081

0,0022

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0566    0,0566

0,0542    0,0558

0,0479    0,0533

0,0392    0,0490

0,0300    0,0430

0,0212    0,0354

0,0136    0,0266

0,0076    0,0174

0,0033    ¹    0,0088

0,0008    0,0024

•М²

. pi,¹

. рР

. pl²

6.; Einfluss des Eigengewichtes. Bei Belastung des ganzen I. Feldes ist nach dem eben erhaltenen Resultate M,= — 0,0609plS — — 0,0535p P, M₂ =

— ~-Л/, = — 0,293M.₂ = + 0,0127plS — + 0,0157pl². Bei Belastung des ganzen

II. Feldes ist Ml = Mi = — 0,0566pl² = — 0,0717pl². Hieraus folgt nun für eine gänzliche Belastung aller drei Oeö'nungen M, — М.г = — (0,0535 + 0,0717 — 0,0157)pl* — — 0,1095 pl², also ist für das Eigengewicht

M, =

— 0,1095g Iй.

Hieraus ergibt sich nun leicht in bekannter Weise

a.

I. Feld

Q = + 10,3519 — 0,9375 ^ gl,

= + f0,32994 — 0,4395 j'j g Я².

Q --= 4- y),5625 — 1,1250 g 1,

b. II. Feld

M = — (o,10952 — 0,6328    + 0,6328    g)3.

7. Transversalkräfte in Folge der zufälligen Last. I. Feld. Q wird zum positiven Maximum hei Belastung des rechten Theiles des I. Feldes und bei Belastung des ganzen III. Feldes. Für die Belastung des ganzen III. Feldes wird M,= -f-0,293.0,0609plS = 4- 0,0178plS> Setzen wir für die Belastung des I. Feldes M, — — JcplS, wobei к aus der Tabelle zu Nr. 5 zu entnehmen ist, so ist M, =

— (k — 0,0178)plS— I max (-J- Q) — lg p(l, — xS, also

11

Winkler's Brückenbau. Theorie. I. Heft.

~ [H¹ ~ f) + 0,0178 ” ]^7,

max (+ Q)

= 0,9375 I 0,5    + 0,0178 — pL

Das negative Maximum von Q berechnet man am besten nach der Regel 9.

IT. Feld. Q wird zum positiven Maximum bei Belastung des rechten Theiles des II. Feldes und bei Belastung des ganzen I. Feldes. Für die Belastung des ganzen I. Feldes ist Mt= - 0,0609plt*~ 0,0423pp, Мг = — 0,293 — 0,0124p l¹. Setzen wir für die Belastung des II. Feldes M, = — к,р1г, M₂ — — к.₂р1г, wobei k, und Jc2 wieder aus der Tabelle zu Nr. 5 zu entnehmen sind, so ist M\ — — (к 0,0423) pV, Мг = — (fc₂ — 0,0124)pP. Es wird nuu l max (+ Q) = j p (l — x)J —    oder

max (+ Q)

= 1,1250

£0,5 ^2 — jJ + 0,0546 + h - PL

Das negative Maximum ist dadurch bestimmt, dass die absoluten Werthe von max (+ Q) für x und von max (— Q) für l — x einander gleich sind.

Hiernach ist nun die folgende Tabelle berechnet:

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (4- Q)

max (— Q)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

+ 0,352 + 0,258 4- 0,165 + 0,061

0,428

0,340

0,264

0,199

0,145

0,101

0,068

0,044

0,028

0,019

0,017

0,076

0,082

0,099

0,138

0,168

0,218

0,278

0,348

0,426

0,511

0,602

II. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

-f 0,562 4- 0,450 + 0,337 4- 0,225 4- 0,112

0,5

41 »O »O CO Ol Co <M M łi O) ^ 05

сГ сГ о cT cT cT

s s s s s

"m."ki Kl Ъ> "сь

Oc to о ^ 05 Ą 05 V Ы OO Си К

Fjl

. pl

. pl

8. Momente in Folge der Verkehrsbelastung. I. Feld. Im ersten Theile, d. i. von x = 0 bis x =0,80231, wird M bei Belastung des ganzen II. Feldes zum negativen Maximum. Hierbei ist M,= — 0,0566pV = — 0,0717pF,

max (— M) =

- 0,0717 y- pF.

Da bei gänzlicher Belastung aller drei Felder M durch Formel a bestimmt ist, so wird nach Formel 18:

= + ( 0,4016 - 0,4395 y) f

max (-f- M)

Im zweiten Theile, d. i. von x = 0,8023l₂ bis x — lt wird M zum negativen Maximum, wenn der linke Theii des I. Feldes auf eine gewisse Länge | belastet ist. Die nach §. 82 durchgeführte Konstruktion (Fig. 4) gibt für

0,2

0,4

0,6

0,8

0,9

0,802    0,813    0,838    0,863    0,910    0,951

Das entsprechende Moment 1/, ist durch die Tabelle zu Nr. 8 bestimmt, natürlich unter Zuhilfenahme einer Interpolation. Ausserdem muss das ganze II. Feld belastet sein; für diese Belastung ist Mx — — 0,0566pP — — 0,0816pl², wras dem aus der Tabelle zu entnehmenden Momente hinzuzufügen ist. Alsdann wird nach

, d. i.

. ,,,    M. x , Ръ²{1, - x)

21,

Formel 17 max {— M) — —^

О    0,2    0,4    0,6    0,8    0,9    1    l,

M, —    —    0,0816    0,0863    0,0990    0,1169    0,1344    0,1402    0,1424    . pl,²,

max (— M) =    -    0,0654    0,0664    0,0700    0,0762    0,0935    0,1135    0,1424    . pl,²,

—    —    0,0575    0,0584    0,0615    0,0670    0,0822    0,0997    0,1252    . pl².

II. Feld. Im ersten Theile, d. i. von x = 0 bis x = 0,22561 wird M zum negativen Maximum, wenn der rechte Theii des II. Feldes auf eine gewisse Länge § belastet ist. Durch die Konstruktion (Fig. 4) ergibt sich für den Ahstand I des Zugendes vom linken Ende des Feldes:

I =

x —

О <o

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

■    0,050    0,093    0,144    0,175    0,200    0,226 .

Die entsprechenden Momente M, und M₂ sind durch die Tabelle zu Nr. 5 bestimmt. Ausserdem muss das ganze I. Feld belastet sein; für diese Belastung ist nach Nr. 6 My = — 0,0609 pl,² =— 0,0423 pl¹, M₂ = + 0,0124pP. Es wird nun

nach Formel 17 max (— M) = M, — (M, — M₂) ~ -f

px(l — g)'²

21

. Hiernach wird

1 .1,

M, = — 0,0989 - 0,0965 — 0,0901 — 0,0723 — 0,0559 — 0,0456—0,0423 .pP, M₂ = — 0,0442 - 0.0433 — 0,0408 — 0,0305 — 0,0142 + 0,0037 + 0,0125.p P, max{ — M) — — 0,0989 — 0,0736 — 0,0558 — 0,0403 — 0,0346 — 0,0318 — 0,0299 .pl\ = — 0,1252 — 0,0931 — 0,0706 — 0,0510 — 0,0438 — 0,0403 - 0,0378.p V.

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

Im zweiten Theile, d. i. von 0,22561 bis 0,77441 wird M zum negativen Maximum bei Belastung des ganzen I. und III. Feldes. Für diese Belastung wird M\ = M₂ = — 0,0423pP + 0,0124pP — — 0,0299p P = - 0,0378pP. Wir haben daher an jeder Stelle

max (— M) — — 0,0378pl².

Das positive Maximum findet man nun leicht durch Subtraktion des nagativen vom Momente für gänzliche Belastung. Hiernach ist die folgende Tabelle berechnet;

1. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,802

0,813

0,838

0,863

0,910

0,951

/

IL Feld

0,050 0,093    !

0,144 0,175 0,200 0,226

0,3

0,4

0,5

•T'¹! H

Einfluss von g

4- 0,0286 4- 0,0484 i| 4- 0,0594 i 4- 0,0617 4- 0,0551 Il 4- 0,0397 Il 4- 0,0156

—    0,0173

—    0,0181

— 0,0222

—    0,0321 I

—    0,0426

—    0,0637 Il — 0,0837

—    0,1095

—    0,1095 I j — 0,0795

—    0,0562

—    0,0313

—    0,0182 — 0,0083

4- 0,0011 4- 0,0233 I + 0,0428 ! 4- 0,0486

Moment

Einfluss von p

max (4- M)

max (— M)

0,0358

0,0627

0,0809

0,0903

0,0909

0,0828

0,0658

0,0400

0,0394

0,0361

0,0294

0,0244

0,0185

0,0164

0,0157

0,0072

0,0143

0,0215

0,0287

0,0358

0,0430

0,0502

0,0574

0,0574

0,0584

0,0616

0,0670

0,0822

0,0097

0,1252

0,0157

0,0137

0,0144

0,0197

0,0256

0,0320

0,0389

0,0611

0,0801

0,0865

0,1252

0,0931

0,0706

0,0510

0,0438

0,0403

0,0403

0,0378

0,0378

0,0378

. pl*

. р1г

Die Transversalkräfte und Momente sind hiernach in Fig. 5 und 6 grafisch dargestellt. Die Momente ausserhalb der Fixpunkte lassen sich wesentlich einfacher nach §. 73 (Fig. 148) darstellen, indem man eine Schaar umhüllender Tangenten verzeichnet. Hierzu ist für die bezügliche ungünstigste Belastung noch das Moment M“‘ am Ende der theihveisen Belastung zu bestimmen. Für das I. Feld ist

ЛР"

I¹«

tTm

fO

Nach den oben angegebenen Werthen von M, wird:

0,4

0,0

0,5

0,0

1,0 .

М‘ = 0 — 0,0013 4- 0,0084 + 0,0019 — 0,0435 — 0,0857 — 0,1424 .pi*, = О _ 0,0011    0,0074 4-0,0017 — 0,0382 —0,0753 — 0,1252.pl².

t ür das II. Feld wird :

Mu = Ml - (Mt — Щ

-’АЯ :

ppl - g)⁸

21

und hiernach ergibt sich :

1,0 .

M“‘ = — 0,0987 — 0,0507 — 0,0162 + 0,0164 + 0,0171 -f 0,0098 + 0,0125 . pl², . = — 0,1250 —0,0642 —0,0205 + 0,0207 + 0,0216 + 0,0124 -f 0,0158 .pl¹.

Hiernach sind in Fig. 5 die Tangenten eingetragen. Bei Anwendung dieses Verfahrens kann die in Fig. 4 durchgeführte Konstruktion natürlich unterbleiben.

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

§. 85. Mittlere Transversalkraft und mittleres Moment.

Für die Bestimmung der zu eiuem Träger erforderlichen Materialmenge ist noch die Kenntniss der mittleren Transversalkraft mittQ und des mittleren Momentes mittM erforderlich. Es genügt hierbei, vom positiven und negativen Maximum nur das absolut grössere in Betracht zu ziehen.

Ist in einem Felde der Abstand des Punktes, in welchem für das Eigengewicht Q = 0 wird, von beiden Stützen x‘, x" und die Transversalkraft an den Stützen, absolut genommen, Q¹, Q", so ist die Transversalkraftfläche = y QQ‘x* Q“x“). Setzen wir dieselbe —I mittQ und hierbei gx‘ — Q\ gx“ — Q‘l, so wird 2gl mittQ = Q'- -f- Q"2 oder, da Q‘l — — M' -f- M“ + y gl², Q“ l'¹ = M‘—M“ -f- ~ gl² ist,

20. mittQ = ("1 + ~gl

Für die Momente wird hinsichtlich des Eigengewichtes, der Anmerkung zu §. 53 entprechend, l mittM — Trapez AA‘ В¹ В -j- 2 Parabel DTE — Parabel Da CG' = j gl² und, wenn wir

Fig. 163.

A‘GB‘.

ЕЕ — w setzen, 11' = —■ gw³ ist, so wird Trapez AA'B'B — j [M -f- M“)l, Parabel EPE — ~ g w³, Parabel A'CB‘ = j-₃g Iя, mithin

V-

g (l³ --- 2 tv³)

■j W + M“) -

Für die zufällige Last bestimmt man mitt Q und mitt M am besten durch Berechnung der Transversalkraft- und Momentenfläche mit Hilfe der für gleich weit abstehende Querschnitte berechneten Werthe von maxQ und maxM. Nur der zwischen den Fixpunkten liegende parabolische Theil der Momentenfläche lässt sich einfacher nach der Formel ~ {Mx-\-M<1)wx -\-~₁₂gwj³ berechnen, wenn wl die Länge dieses Theiles und Mt, die Momente an den Enden desselben bezeichnen. Für einen Träger mit

21. mittM =

121

Fig. 164.

drei Feldern ist die Momenten- und Transversalkraftfläche in dem hier vorausgesetzten Sinne in Fig. 164 dargestellt.

X. Kapitel.

Einfluss der Stützen.

§. 86. Einleitung. Die Stützen sind in der Kegel in einer solchen Höhenlage angeordnet, dass keinerlei Spannungen, also auch keine Stützendrücke und Stützenmomente entstehen, falls die Wirkung des Eigengewichtes durch eine Unterstützung aufgehoben wird; wir haben diesen Fall der Einfachheit halber als einen solchen bezeichnet, bei welchem die Stützen in einer Geraden oder in gleicher Höhe liegen. Mehrfach hat man aber, um gewisse Vortheile hinsichtlich der nöthigen Materialmenge zu erreichen, den Stützen eine andere gegenseitige Höhenlage gegeben. Auch zur Vermeidung negativer Stützendrücke und dadurch bedingter Verankerungen sind ungleiche Höhenlagen angewendet worden, namentlich bei Drehbrücken. Ausserdem aber ist das Studium der Höhenlage der Stützen deshalb nöthig, um den Einfluss einer unbeabsichtigten Veränderung der Höhenlage, sowie den Einfluss der Bewegung elastischer Stützen oder durch schlaffe Stabsysteme gewonnener Stützpunkte durch die Belastung kennen zu lernen.

In der Regel wird vorausgesetzt, dass sich der Träger auf jeder Stütze frei drehen kann; wir haben aber auch Fälle, wo sich dieser Drehung ein Widerstand entgegensetzt. Wir können hierzu auch die Fälle rechnen, in denen der Träger durch breite Lager oder an jedem Pfeiler durch zwei Lager unterstützt ist.

In gleicher Weise, wie verschieden hohe Lager, wirkt auch eine ungleiche Erwärmung der oberen und unteren Theile der Träger, die wir deshalb hier gleichzeitig mit besprechen wollen.

Die allgemeine Gleichung 13 (S. 96) enthält auch den Einfluss der Höhenlage der Stützen in den Gliedern mit y₀, yv y₂. Nach dieser Gleichung kann man den Einfluss der Belastung und der Höhenlage der Stützen getrennt bestimmen und sodann durch Addition vereinigen, falls die Stützeu feste sind, d. h. falls dieselben eine unveränderliche, also von der Belastung unabhängige Höhenlage haben. Der blosse Einfluss der Höhenlage der Stützen wird hiernach ausgedrückt durch die Gleichung

1.    = 6JEI₀z

wenn z den Abstand der Stütze 1 von der die Stützen 0 und 2 verbindenden Geraden bezeichnet, nach unten als positiv gerechnet, da sich У« — Ух

ausdrücken lässt.

ąJl j --- leicht in der Form — z -f-

1st r der Radius eines durch die drei’ Stützen gelegten Kreises, so ergibt sich leicht

2. 2rz =

man kann daher auch

3 (?, -f-1₂)

(ł+i)

für 6 z

Hiernach wird bei festen Stützen auch die Höhenlage derselben auf die ungünstigste Belastungsweise ohne Einfluss sein.

setzen.

§. 87. Einfluss der Hebung und Senkung einer einzigen Stütze. Wir denken uns von sämmtlichen Stützen nur die eine und zwar die r-te Stütze C (Fig. 165) um y in vertikaler Richtung verrückt (nach unten positiv, nach oben negativ). Die r — 2 ersten Gleichungen für die Stützenmomente bleiben alsdann dieselben, als bei gleich hoher Lage der Stützen. Die in §. 65 bis 67 gefundenen Gesetze für die unbelasteten Felder bleiben daher bis einschliesslich zum r — 1-ten Felde oder der r — 7-ten Stütze giltig. Dieselben lassen sich wie folgt zusammenfassen: Die Stützenmomente, Stützendrücke und Transversalkräfte in den einzelnen Feldern sind abwechselnd positiv und negativ und ihre absoluten Werthe nehmen im Allgemeinen nach der verschobenen Stütze hin zu. Die auf einander folgenden Stützenmomente stehen in einem ganz bestimmten, von der Grösse der Verschiebung der Stütze und der [Lage der verschobenen Stütze unabhängigen Verhältnisse. In den einzelnen Feldern lassen sich die Momente durch Gerade darstellen, welche auf der linken und rechten Seite der verschobenen Stütze bezüglich durch die linken und rechten Fixpunkte gehen (Fig. 132).

so erhalten wir

Wenden wir nun die Gleichung 1 auf die vier die verschobenen Stützen enthaltenden Felder an und setzen dabei y,Mrs = — Mr-i und V M

3.

*(

(%г—1

G—I -f- /VG-J

Mr-1 -J- у г 1г AG

1г

yr lr Mr-l -j- 2 (<Xrlr "I" ßf+1 IГ+1) -M-r "t" У'Г+l lr+1 Мг+1

-\-бЕ1₀у (j-

2 ^ccr+l lr+1 + (ßr+2 —    ^r+X'j Mr+! + Уг+l lr+1 Mr

lr+1

——6EI₀y~

lr+1

durch welche Gleichungen Mr~i, Mr und Mr+i bestimmt sind.

Ist у positiv, also die Stütze G (Fig. 165) gesenkt, so verhält sich der Stab offenbar genau so, als wenn der gerade, also in der Strecke 5D frei liegende Stab in C mit einer Last ćr belastet wird, welche eine Senkung ihres Angriffspunktes um y bewirkt. Nach §.71 entsteht

hierdurch aber in C ein positives, in В und J) ein negatives Moment. Ist dagegen у negativ, so wird natürlich ein Zeichenwechsel eintreten. Dasselbe kann man auch mit Hilfe der vorigen Gleichungen nach weisen. Das Vorzeichen der Transversalkräfte und Stützendrücke ist nun durch die Formeln 7 und 9 -(S. 118 und 119) bestimmt. Man kann also sagen:

Die Senkung einer Stütze veranlasst an demselben ein positives Moment und einen negativen Stützendruck, an den Nachbarstützen ein negatives Moment und einen positiven Stützendruck. Links von der gesenkten Stütze entsteht eine positive, rechts von derselben eine negative Transversalkraft. Die Hebung einer Stütze bewirkt das Umgekehrte.

Die Vorzeichen der übrigen Momente, Transversalkräfte und Stützendrücke sind nun durch den vorigen Satz bestimmt.

Fig. IG5.

BL

T-z

К-........Gr

7-7

—S'Kc-------IjZ-----

r+1

Ж"

l-.......*

r+z

§. 88. Wahl der Höhenlage der Stützen bei konstantem Querschnitte. Bei einem konstanten, gegen die horizontale Schweraxe symmetrischen Querschnitte würde zur Berechnung des Querschnittes nur das absolute Maximum aller Momente massgebend sein. Bei gleich hohen Stützen sind im Allgemeinen die Stützenmomente grösser, als die grössten positiven Momente, so dass das grösste Stützenmoment massgebend wäre. Nun aber lassen sich die Stützenmomente vermindern, indem man dem ganzen Stabe eine nach oben konkave Krümmung gibt, d. h. die Stützen so anordnet, dass jede Stütze unter der Geraden liegt, welche die benachbarten Stützen verbindet. Dadurch werden natürlich auch die positiven Maximalmomente vergrössert. Bei einer grossen Veränderung

der Höhenlage würden daun die positiven Maximalmomente massgebend werden. Man wird daher die Höhenlage der Stützen am zweckmässigsten so bestimmen, dass die positiven und negativen Maximalmomente gleich werden. Bei n Feldern erhält man durch Gleichsetzung der n—1 Stützenmomente n — 2 Gleichungen, durch Gleichsetzung der n positiven Maximalmomente n — 1 Gleichungen und durch Gleichsetzung der Stützenmomente und positiven Maximalmomente 1 Gleichung, also zusammen 2 (n — 2) Gleichungen. Ist die Feldweite gegeben, so sind nur n— 1 Stützenordinaten unbekannt, es würden also nicht sämmtliche Gleichungen zu erfüllen sein. Ist dagegen nur die Gesammtlänge gegeben, das Ver-hältniss der einzelnen Feldlängen aber wählbar, so sind noch n — 1 Verhältnisse der Feldlängen unbekaunt und dadurch wird die Aufgabe vollständig bestimmt.

Auf eine allgemein mathematische Behandlung wollen wir nicht eingehen, da die Aufgabe in ihrer Allgemeinheit keine besondere Wichtigkeit besitzt.

Eine Senkung der Mittelstützen auf Grund dieser Thatsachen wurde zuerst von Sehe filer (Theorie der Gewölbe, Futtennauern und eisernen Brücken, Braunschweig 1857) in Vorschlag gebracht. Scheffler behandelt daselbst den Träger mit 2 und 3 Feldern, indess nur für eine gänzliche gleichmässige Belastung aller Felder. Ebenso wird der Gegenstand von Grashof (Zeitschr. des deutschen Ingen.-Ver. 1857 bis 1859; und Mohr (Zeitschr. des hannoverschen Arch.- und Ingen.-Ver. 1800) behandelt.

§. 89. Wahl der Höhenlage der Stützen bei variablem Querschnitte. Bei variablem Querschnitte würde die Materialmenge für die günstigste Höhenlage der Stützen massgebend sein. Bei Gitterträgern von konstanter Höhe sind die Gurtquerschnitte dem Momente und die Gitterstabquerschnitte der Transversalkraft proportional, die Gesammt-volumina der Gurte und der Gitterstäbe sind daher bezüglich der Momenten- und Transversalkraftfläche im Sinne des §. 85 proportional. Diese Flächen oder die Mittelwerthe    Fig. i66.

SÄT

Щ-/И

HpÜLhj

der Momente und Transversalkräfte C sind nach §. 85 zu ermitteln. Es sei q in Fig. 166 CEFD die Momenten-kurve für eine horizontale Lage der Stützen, CXGHDX dieselbe für eine ungleiche Höhenlage der Stützen. Die Momentenfläche für die ungleiche ^

Höhenlage wird um die Fläche CEICX und DFKDX grösser und um die Fläche Gl GXHXKH kleiner. Die Flächen CEEXCX, DFFXDX und GHHXGX sind als Trapeze zu berechnen, deren Höhen gleich der Horizontalprojektion dieser Flächen und deren parallele Seiten bezüglich CCX und EEX, DDt und FFX, GGX und HHX sind. Die übrigen dreieckähnlichen Flächen sind besonders zu berechnen; jedoch gleichen sich dieselben nahezu aus, so dass sie meist vernachlässigt werden können. In gleicher Weise würden die Flächen für die Transversalkräfte zu bestimmen sein.

Eine wesentliche Veränderung tritt durch eine Veränderung der Höhenlage der Stützen weder in der Grösse der Momentenfläche, noch in der der Transversalkraftfläche ein, so dass auch für die Materialmenge die gewählte Höhenlage der Stützen ohne grossen Einfluss ist.

Wenn man aus praktischen Gründen die Höhenlage der Stützen so wählen will, dass sich die Querschnittsflächen der Gurte eines Parallelträgers möglichst wenig ändern, so müsste die Höhenlage wie im vorigen Paragrafe bestimmt werden.

§. 90. Einfluss einer zufälligen Aenderung der Höhenlage. Die Anwendung kontinuirlicher Träger setzt voraus, dass die Höhenlage der Stützen, welche der Berechnung zu Grunde gelegt wurde, auch möglichst genau ausgeführt und erhalten werde. Nach dem Vorstehenden ist es leicht, die Aenderung der Momente, Transversalkräfte und Stützendrücke zu bestimmen, welche eintritt, wenn sich die Höhenlage der Stützen um ein gewisses Maass in unbeabsichtigter Weise ändert.

. Bezeichnen

Die Momente, welche durch eine Höhenänderung erzeugt werden, lassen sich ausdrücken in der allgemeinen l'orm A

wir das mittlere Moment mit mittM, so kann man bei Parallelträgern I ausdrücken durch die Form Bl mittM, vorausgesetzt, dass man die Höhe des Trägers der Stützweite proportional macht. Setzt man mittM =kql~, so wird I — BJcql³, folglich das durch die Höhenänderung erzeugte Moment = ABTiEqly. Drücken wir das an derselben Stelle durch das Eigengewicht und die zufällige Last bei horizontaler Lage der Stützen erzeugte Moment durch kxql' aus, so wird das Verhältnis der Aenderung wenn C einen annähernd konstanten Koeffizienten bezeichnet. Dasselbe lässt sich von den Transversalkräften und Stützendrücken nachweisen. Der relative Einfluss einer Höhenänderung ist also der Höhenänderung direkt und der Stützweite nahezu umgekehrt proportional.

Bei zwei Feldern wird für das Stützenmoment G = 0,25, für das positive Maximalmoment C — 0,15. Bei drei Feldern wird ungefähr für das Stützenmoment an der Stütze 1: C—0,18, an der Stütze 2: C =0,11, wenn nur die Stütze 1 ihre Höhenlage ändert und für beide Mittelstützen

С = 0,11, wenn beide ihre Höhenlage ändern ; ferner für das positive Maximalmoment im I. Felde C = 0,11, im II. Felde C — 0,05, wenn nur die Stütze 1 ihre Höhenlage ändert und im I. Felde C = 0,07, im II. Felde C = 0,17, wenn beide Mittelstützen ihre Höhenlage ändern. Hierbei ist die Höhenänderung in Millimetern, die Stützweite in Metern zu nehmen.

§. 91. Einfluss der Wärme. Wir betrachten einen Gitterträger mit parallelen Gurten mit der Höhe h, dessen beide Gurte durch verschiedenen Einfluss der Sonne oder Bodenwärme einen Temperaturunterschied t annehmen mögen. Ist a der Ausdehnungskoeffizient für 1 Grad Temperaturunterschied, so ändert sich die Länge l der Gurte gegen einander um alt. Wenn die Träger ganz frei wären, so würden sie hierbei eine Krümmung annehmen; der Radius derselben sei r. Offenbar verhält sich nun r : h = l : alt, es ist mithin

4. r — —r.

at

Da aber der Träger durch die Verbindung mit den Stützen mit Rücksicht auf das eigene Gewicht verhindert ist, sich frei zu krümmen, so werden durch die Temperaturänderung Stützenmomente entstehen, welche ebenso gross sind, als wenn die drei in einer geraden Linie liegenden Stützen in einem Kreise mit dem Radius r liegen würden. Nach den Gleichungen 1 und 2 wird daher:

3EatIa(l, 4~ lo)

5. yx lt M₀ -f 2 (a, lt -}- ßq l„) Mt -(-    l„ Ma =

Hierbei ist t positiv einzuführen, wenn der Obergurt eine höhere Temperatur hat als der Untergurt.

Nehmen wir bei einer grösseren Anzahl von Feldern bei konstantem Querschnitte die mittlere Stützweite und dementsprechend auch die Stützenmomente und damit die Momente M überhaupt als gleich an, so wird 6Mlli =. 6EatI₀l, also Mh — Eatl₀. Ist die Querschnittsfläche eines Gurtes f, so wird In = ~ fhr, daher

6. M = Eatfh.

/i

Ist N die hierdurch in den Gurten entstehende spezifische Spannung, so ist Nfh = M, folglich

7. N = -

% Eat.

Für Schmiedeeisen ist ungefähr E — 2000 Ton. pro □CM, a = 0,000012, ~Ea —0,012, N= 0,012t, also z. B. für t — 10° N = 0,12, d. i. ungefähr 16 Prozent der Beanspruchung durch die Belastung.

Sind die Stützenmomente bestimmt, so können die übrigen Grössen leicht nach §. 66 und 67 bestimmt werden.

Bei Pfeilern aus verschiedenem Material oder von verschiedener Höhe ändern sich bei einer Temperaturänderung auch die Höhen der Stützen. Bei hohen Pfeilern sind die hierdurch entstehenden Aenderungen der Beanspruchung so gross (bis zu 20 Prozent), dass darauf bei der Berechnung Rücksicht zu nehmen ist. Bei der Bestimmung der Verschiebung der Stützen kann aber hierbei in der Regel die elastische Längenänderung der Pfeiler in Folge der Veränderung des Stützendruckes vernachlässigt werden.

§. 92. Doppelte Lager. Die kontinuirlichen Träger sind, namentlich in früherer Zeit, oft auf einem Pfeiler durch zwei Lager unterstützt worden. Als zwei Lager wirken aber eigentlich auch schon sehr breite Lager, die eine Drehung um einen bestimmten Punkt nicht gestatten.

Eine derartige Unterstützung kann in doppelter Weise wirken. Es kann sich nämlich, wenn eine Verankerung nicht vorhanden ist, der Träger von dem einen Lager abheben (Fig. 167 und 168), so dass dasselbe bei

Fig. 168.

Fig. 167.

Й1ДШН

der Berechnung natürlich als nicht vorhanden anzusehen ist; oder der Träger kann wirklich auf beiden Lagern aufruhen (Fig. 169 und 170), so dass der zwischen den Lagern liegende Theil als eine besondere Oeffnung mit kleiner Stützweite anzusehen ist. Der zweite Fall wird

Fig. 169.

Fig. 170.

f------■*

immer dann eintreten, wenn sich beide Stützendrücke positiv ergeben; der erste dagegen dann, wenn sich der eine Stützendruck negativ ergibt. Die Anordnung so zu treffen, dass bei allen Belastungen ein Aufruhen auf beiden Lagern eintritt, ist theoretisch wohl möglich, lässt sich aber praktisch im Allgemeinen nicht durchführen, da sie zu grosse Pfeilerbreiten erfordern würde.

Auf eine allgemeinere Untersuchung wollen wir der geringeren Wichtigkeit halber verzichten und nur im Folgenden noch die Ergebnisse einer solchen Untersuchung mittheilen.

па

1. Die Transversalkraft wird zum positiven oder negativen Maximum, wenn das fragliche Feld von dem fraglichen Querschnitte aus auf der rechten oder linken Seite belastet ist und wenn die übrigen Hauptfelder abwechselnd derart belastet sind, dass an das belastete Ende des fraglichen Feldes ein unbelastetes, an das unbelastete Ende ein belastetes Feld stösst, wobei der Träger auf denjenigen Stützen, welche die nicht belasteten Hauptfelder begrenzen, nicht aufruht (Fig. 171). Hierbei sind aber zwei Fälle zu unterscheiden : Das zwischen dem fraglichen und dem nächsten belasteten Hauptfelde liegende Zwischenfeld AB ist entweder unbelastet und der Träger auf der Stütze В nicht aufruhend (Fig. 171«), oder es ist belastet und der Träger auf der Stütze В aufruhend (Fig. 171h) anzunehmen.

Fig. 171.

liPfT

A AA

■fil

AA

LA

A AA

2. Das Moment wird in den mittleren Theilen der Mittelfelder und in den Endtheilen der Endfelder zum positiven oder negativen Maximum, wenn das fragliche Feld gar nicht oder ganz, die übrigen Hauptfelder abwechselnd belastet sind, wobei der Träger auf denjenigen Stützen, welche die nicht belasteten Hauptfelder begrenzen, nicht aufruht.

In den zunächst den Mittelstützen liegenden Theilen der Hauptfelder wird dasMoment zum positiven Maximum, wenn das fragliche Feld von der am weitesten vom Querschnitte abstehenden Stütze des Feldes aus theilweise belastet ist, und wenn die übrigen Hauptfelder abwechselnd derart belastet sind, dass an das belastete Ende des fraglichen Feldes ein unbelastetes, an das unbelastete Endeein belastetes Feld stösst (Fig. 171). Hierbei sind dieselben zwei Fälle zu untersuchen, wie bei den Transversalkräften (Fig. 171« und Ъ). Die Länge der belasteten Strecke des fraglichen Feldes ist durch §.71 bestimmt.

Endlich wird das Moment in den mittleren Theilen der Mittelfelder und in den Endtheilen der Endfelder zum positiven Maximum, wenn das fragliche Feld ganz und die übrigen Felder abwechselnd belastet sind, wobei nur ein Aufruhen an denjenigen Mittelstützen anzunehmen ist, welche die belasteten

Hauptfelder begrenzen. In den zunächst den Mittelstützen liegenden Theilen kommt das positive Moment in der Regel nicht in Frage.

In den Zwischenfeldern kann die Momentenfläche als geradlinig begrenzt angenommen werden.

Man erhält nahezu richtige Werthe für die Momente, welche durchschnittlich ein wenig zu gross sind, wenn man sich die Zwischenfelder ganz herausgeschnitten denkt.

Bei Anordnung von doppelten Lagern mit dem Abstande Я fallen ungefähr durchschnittlich die Transversalkräfte um 64 ~ Prozent, die Momente um 250 у kleiner aus, als bei Anordnung einfacher in der Mitte liegender Lager.

§. 93. Einfluss eines Widerstandes gegen Drehung an den Stützen- Wir wollen noch kurz auf den Fall eingehen, dass sich die Träger über den Stützen nicht frei drehen können, sondern dass der Drehung ein Moment entgegen wirke, welches der Drehung proportional ist. Es findet dies z. B. statt, wenn die Träger mit den Pfeilern starr verbunden sind (Fig. 172). Wichtig ist namentlich die Anwendung auf kontinuirliche Zwischenträger, welche mit den Querträgern starr verbunden sind.

Fig. 172.

Mj M“ MJ Ж₂“Ж₃'

Ж₃" ж₄

Ж"

MJ

Mn“

I!

""-i'

hi

1Ï

Wir wollen voraussetzen, dass die Stützen in einer Geraden liegen. Bezeichnen wir den Winkel, welchen die Tangente an die elastische Linie mit der ursprünglichen Axe bildet oder den sogenannten Ausschlagwinkel an drei auf einander folgenden Stützen mit xm-i, rm und rm+i, die Momente, welche an der mittleren Stütze in den unmittelbar links und rechts von derselben liegenden Querschnitten wirken, mit Mm“ und M“m+1 und die Werthe der Grössen ЭД7 (§. 56) bezüglich mit Ш‘т, so ist nach den Gleichungen 9 (S. 95):

Ж'

m+1,

m“

m+11

8.

M“m =— [21ьт ШРш— kmШ1“т ~r 2EI₀ (k,nxm-i -f- 2Jc“mt„i)] lm M'm+i = -}- [lcnl+l Ш'т+1 — 2h\n

11. T„,-i + (4+m)T„+T»+J =    [9ЯSSOi m+2SSW“

Für die Stütze 0 ergibt sich in gleicher W^eise, da hier —M\ =A₀ra

sein muss,

wenn man zur Abkürzung

8 а. к —

3C

, k‘ =

3C'

3C“

4С'С“—С*

setzt. Auf die Mittelstütze wirkt, wenn wir rechts drehende Momente positiv nehmen, das Moment M“m — Mlmjrl und proportional diesem Momente ist der Winkel rm, so dass wir

9. Mum -    = Am Tm

setzen können, wobei Am von der Konstruktion der Stütze abhängt. Die Einsetzung obiger Ausdrücke für M“m und M‘m+1 gibt:

éC'C^—C*

éC'W — C*

-f- 7c'm+i l,n+

Ю. h'mZm'T/m-—1 “j“ 2 m lm “{■

—    -p\ j \J^m Zm ЭЯ m 2 7v mZm ЭЯ то“}“ 2 Z&mĄ-l Zm-\-l ЭЯ m-\-l TimĄ-l ZmĄ-1 ЭЯ łn-fi]*

Am

4EI₀

'TŹm’mf" TCmĄ-l ZmĄ-1 'Tśm\l

Bei konstantem Querschnitte sind die Werthe von k, k‘, k“ = 1; ist ausserdem l und A konstant und setzen wir zur Abkürzung А — 2Eil . m, so wird

4MlJ

und bei konstantem I, A und l:

i3. (,2+m)r„ + Tl=~I(2m\-m\).

12. [2Ь\ I, + A

T₀ H⁻ 7+x Zx —

2~т(Зк\1,Ж", -

Durch Anwendung dieser Gleichungen auf sämmtliche Stützen erhält man so viele Gleichungen, als unbekannte Winkel vorhanden sind. Nach Auflösung dieser Gleichungen sind die Stützenmomente durch die Formeln 8 bestimmt.

Unter der Voraussetzung der Belastung eines einzigen Feldes lassen sich nun dieselben Schlussfolgerungen anwenden, wie in §. 65. Es ergibt-sich hieraus:

Die Ausschlagwinkel in den nicht belasteten Feldern sind abwechselnd positiv und negativ und nehmen vom Ende aus nach dem belasteten Felde hin zu und zwar in noch stärkerem Verhältnisse, als die Stützenmomente bei freier A uflagerung. Es ist allgemein

Am

14.

7+mĄl

Tm+l ^ о

Bei konstantem 1, A und I wird

⁷

■» + m

'X in

Es ist M т+1 — -}- 2 Е Iq lmĄ.i (2№m+i tm -j- /îm+J ïffl+j)- In Folge der Beziehung 14 hat hiernach M'm+7 das Vorzeichen von rm+7 und zwar wird der absolute Werth von M‘

in Folge der Beziehung 14

m+l

grösser, als der von Amtm. Der Gleichung 9 zu Folge hat dann aber auch M“m das Vorzeichen von tm+i, es ist aber der absolute Werth von M“m kleiner, als der von M'

Die Stützenmomente neben ein und derselben Stütze haben also dasselbe Vorzeichen; beide Stützenmomente sind aber abwechselnd positiv und negativ (Fig. 173).

m+1 •

F lg. -'73.

VI.' -,

Nach den Gleichungen 8 wird für irgend ein Feld, wenn wir — M“m i-i = [i M‘m+i und — xm+i = [i‘ тт setzen,

— k Ъц' — 2h‘‘

Da hier (iJ grösser ist, als bei freier Auflagerung, so wird ц kleinerr

[i 2> 2 £, wenn

ist. Es werden also die Momente nach dem belasteten Felde hin zunehmen.

Die Fixpunkte in der in §. 67 angegebenen Bedeutung bestehen auch hier; sie haben indess eine etwas andere Lage. Da das Verhältniss ^ etwas grösser ist, als bei freier Auflagerung, so wird die Entfernung der Fixpunkte von den Stützen etwas grösser.

Hieraus lässt sich schliessen, dass alle im VIII. und IX. Kapitel hinsichtlich der ungünstigsten Belastungsweise entwickelten Hegeln auch hier gelten.

16. а —

als bei dieser. Aber immerhin bleibt noch

§. 94. Kontinuirlicher Träger mit elastischen Stützen.

Der Stützendruck auf fünf auf einander folgenden Stützen sei Dx..

der auf diese Stützen geübte Druck in dem Falle, dass der Trä-■F ger über den Stützen getrennt ist, sei ©,.. .©₅; die Momente an diesen Stützen seien Mv...Mb. Sind Z₂..J₅ die Längen der Felder (Fig. 174), so wird nach Formel 28 (S. 104):

"L-——

~"!3f

j&

f Уз

■h

>r

\Vs

,2

ж, — Mo мп — м.л

1₃

D₃ —    -j-

мп — м.л

*з

Ж₃ — Ж₄ Ж₄ — Ж₅

h '

Nach der Gleichung 13 (Seite 96) wird, wenn wir den Einfluss der Schubspannungen vernachlässigen und den Vertikalabstand der Stützen von einer über ihnen liegenden Horizontalen mit уъ bezeichnen,

18. y₃i₃M„ +    +

A» — ®4 ~Ь

+ 3i₃m₃+ 3i₄m\ + 6jei₀ (v°- г Уз —

~уЛ

h )

— о.

Wir machen nun die spezielle Annahme, dass die Ordinaten yv 2/0,... den entsprechenden Stützendrücken Dlf D₂... proportional seien und setzen allgemein yn — lcnDn. Alsdann ist y„ = \1)„, y₃ = \D₃, У\ — \ Ai» Setzt man diese Ausdrücke in die vorige Gleichung und dabei für D„, D₃, Dx die obigen Werthe, so erhält man die Gleichung:

Уз h___7 / Ażę - feg ~f~ A

6EI„    \ \ /₂ т 1₃

a* h *ł* fi i z₄ i A» ~ł~ A i ^ Аз i AJAl ir

^    i₄» J ³

19.

JCqJjTy » !

Мз 4

iS

+!

SEI,

A (A

V ^3

+t)l

Mx-{

__hЖ‘я+1*АФ, _L ААкНА^з _ Aj$4

«4    ’

An den ersten Stützen tritt eine Abweichung ein, weil hier Mü — 0 und

M,    Ж, — Mg

2EI,

l₃ lx

Mt

A* — ®o + tA

*1

z,

z₂

wird. Dementsprechend ergibt sich die erste Gleichung aus der vorigen, wenn man die Zeiger um 2 vermindert und links die beiden ersten Glieder weglässt; es ergibt sich ebenso die zweite Gleichung aus der vorigen, wenn man die Zeiger um 1 vermindert und links das erste Glied weglässt. In gleicher Weise ist natürlich die Aenderung für die beiden letzten Gleichungen vorzunehmen.

Bei konstantem Querschnitte werden die Koeffizienten cc, ß, у — 1. Sind ausserdem die Längen der Felder gleich gross und die von der Elastizität der Stützen abhängigen Koeffizienten k, mit Ausnahme derjenigen für die Endstützen, ebenfalls gleich, so gehen die Gleichungen über in

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

12

20.

wenn man zur Abkürzung

6JEIha

6 Elk

21.

setzt.

Zx '■— — 3 (ä)t/t -j" £0c<(g) — x₀l⁽Sla 4- xl (<2®[ —

( Zm = — 3 (дУс'т + 3)7 “ m+l) - уЛ — 2    4" ®mfj)

Nach Bestimmung der Stützenmomente sind die übrigen Grössen in bekannter Weise zu ermitteln.

Beispiel. Ein Träger A konstanten Querschnittes mit sechs Feldern von gleicher Länge Z sei an den Enden durch unbewegliche Stützen, in der Mitte durch vier ebenso starke Träger В mit der Länge 21 unterstützt und zwar möge der Träger A in der Mitte der Träger В aufruhen.

1. Allgemeine Auflösung. Es wird у =

(21У

-i³- D

6EI ’

also

48 EI

P    6EI P

к = ß-ßjj y.= j₃ - • gßj- = 1 und y.₀ — O. Nur für die Endstützen wird Jc — O, x — 0. Die Gleichungen 11 geben

Oj Ło Os Oj

OS О о о OS тч

«fe! fei fei fe| fei

Oj to Oj Oj

fei fei fei fei + 4-4-fel fei «fei

tsf tsf tsf tsf tsf

Wenn wir die 1. und 5., 2. und 4. Gleichung addiren und subtrahiren und M₄ + M₅ — Xt, M₂ + M₄ = X₂, 2M₃ = X₃, M\ — M₅— Yn M₂ - M₄ = Y2 setzen, so erhalten wir

+ 9X,    -    3X₂ +    Xa = Zt +    Zs,

— 3 Xt    4" 11X j —    <5 .Xj = Z₂ -f~    Z₄,

+ Xt - 3X₂ + 5X₃ = Z₃ ; f +    9Y,    - 3Y₂    = Z₄ - Z.a,

\ —    3 T,    + 9 Y₂    = Z₂ — Z₄.

Die Auflösung dieser Gleichungen liefert

188 X,    =    +    23 Z,    + 6Z₂    -    Z₃    + 6Z₄    +    25 Z₅,

•    188 X₂    =    -)-    6 Zx    —22 Z₂    -j-    12 Z₃    -j- 22 Z₄    —[-    6 Z-,

188 X₃    =    —    Zt    12 Z₂    4    39 Z₃    -j~ 12 Z₄    —    Zb.

24Y, = 3Z₄ 4    — 3ZS,

24 Y₂ = Z₄ + 3Z₂ — 3Z₄ - Z₅.

Es wird nun 2Mt = X, -f Yt, 2M₂ = X₂ + Y₂, 2M₃ = X₃, 2M₄ =X₂ — Y„ 2M₅ = X₄ — Y., mithin

[ 2256 M, = 4- 279 Z, + 83 Z.г —

6Z₃ - UZ, - 3ZS, 9Za — UZ-01 6Z\ + 72.2, -j-,234Z₃ + 72 Z₄ —    3Z₅,

3Z₂ 4 72£₃ + 273Z₄ 4- S3Z₅, 3Z₂ — üZ₂ —    6Z₃ 4- 83Z₄ + 279Z,.

- 2256Мъ = + 83 Z, + 273 Z₂ + 72Z₃ —

2256 M₃ = —

, 2256 M, = —    11Z, —

l 2256 M- — -

Nach der 3. und 4. der Formeln 12 wird nun:

( Z, = - 3 №il + 2Rj") + (*©, - 3)₂)Z,

■    Z₂    =    -    3 (Ш/    4    2»₃")    —    (3>!    -    3 ©₂    4    ®₃) 7,

Z₃    =    -    3 (2R,'    +    зи,")    -    (®,    -    5 ®3    +    7,

=    -    3 (2R₄‘    +    3ÄB")    -    (®3    -    .2 2>₄    +    ®.) 7,

1    Z₅    =    -    3 (ШУ    +    2Я₆")    -    (S,    -    2 ©s)    7.

Wir wollen nun hieran einige weitere Bestimmungen knüpfen.

2. Einflusslinie für das Stützenmoment Af₃. Wenn die Einzellast G in einem beliebigen (dem m-ten) Mittelfelde im Abstande |, §t von der linken und rechten Stütze liegt, so wird nach den Gleichungen 40 (S. 114), wenn man Sm7=(?f und ®w,_j7= G!jt setzt,

ZmP = - G(P - 2PÇ - I³),

ZmĄ-1 = — G |.

Zm-i7² = - G(7³ — 31,³) = + £(2Z³ - 9 7s| + 9I|* - 3 |³).

Zm-^2 = — G £ j,

Wenn die Last im I. Felde liegt, so wird

Zt P = + G i (P 4 Is), Z₂P — — GI,

und wenn die Last im VI. Felde liegt,

Z₄P = — Gè„ Z- P = 4 G$x (P 4 I,²) = 46(1-0 (2P - 2П + Is).

Wenn also die Last im I. Felde liegt, so wird Z₃ bis Z^=0; es wird demnach 376 Mt = — Zt-\-12 Z₂ oder

376M₃P = — G| (13 P 4 |s).

Wenn die Last im II. Felde liegt, so wird 376M₃l = — Zv-\-12 Z₂-\- 39 Z₃ oder 376 M₃ P — — G {14 Z³ 4 6 P i 4 9 l |s — 151³).

Wenn die Last im III. Felde liegt, so wird 376M₃P= — Zt-\-12Z₂-\- 39Z₃ 12Zt oder

376 M₃ P — — G (U P 4 43 PI — 108 Z |s — 31³).

Hiernach ist in Fig. 175 die Einflusslinie dargestellt. Zum Vergleich ist auch die Einflusslinie bei festen Stützen (punktirt) eingetragen.

Fig. 175.

’s..-'*

3. Einflusslinie für das Moment M in der Mitte des III. Feldes. Wenn das III. Feld nicht belastet wird, so wird M —    4 M₃) oder

4512 M= 77 Z₄ 4 345 Z₂ 4 306 Z₃ 4 63 Z, — 17 Zs.

12*

Wie vorhin ergibt sich für die Belastung des

I. Feldes: 4573MP — — G (268 Pi — 771³),

4572 MP = — G (191P -f 309 P § — 693 li¹ — 114|³),

4572MP — — G(~ 204 P + 2283 l*£ — 275411* -f <S3<9|³), 4572 MP = — G (1631³ + 295 Pi — 5671 |* + 206|³),

4572MP = — G (ОТ -    — 17i³).

Wenn das III. Feld belastet ist, so wird M — (Af, -f“    + -j G£, wenn die Last

links liegt und M —    (M₂ -j- M₃) -f- j £|,, wenn die Last rechts liegt; dies gibt

Last links:    4572MP = -f G (3071³ — 160 Pi + 31051 i¹ — 7921³),

Last rechts: 4572 MP = -f G (2563 P — 4672 Pi + 31051f* — 79-2 |³).

II.

IF.

F.

FI.

Hiernach ist in Fig. 176 die Einflusslinie dargestellt. Auch hier ist die Einflusslinie bei festen Stützen punktirt eingetragen.

Fig 176.

4. Einflusslinie für den Stützendruck D₃. Wenn die Last im I., H., Y. oder VI. Felde liegt, so wird nach den Formeln 8: D₃l = M₂ —2M₃-\-Mv d. i.

188 D₃l = + 5Z, + 34 Z₂ + 51Z₃ + 34 Z, + 5Z-.

Hiernach wird bei Belastung des I. Feldes :

188 D₃P = — G (29 Pi — 5i³)\

und bei Belastung des II. Feldes:

188 D₃P = — G (24 P + 28 Pi - 45 П¹ — 191³).

Wenn das III. Feld belastet ist, so wird D₃l= Gi -j- M₂ —2M₃ -{- Mi} d. i. 188D₃P = — <?(— 12P + 45Pi — 306Ц¹ + 5Ц³).

In Fig. 177 ist hiernach die Einflusslinie dargestellt und auch die Einflusslinie bei festen Stützen punktirt hinzugefügt.

Fig. 177.

v\

Anwendungen bei Unterstützungen von kontinuirlichen Zwischenträgern durch Querträger, bei der Bestimmung des Einflusses der Belastung offener Brücken

auf die seitliche Ausbiegung des Obergurtes (siehe des Verfassers: „Eiserne Brücken, Querkonstruktionen, S. 525“), auf Unterstützung von Trägern durch Dreieckshängewerke (System Ordish - Lefeuvre) u. s. w. Anwendung auf die Unterstützung von Trägern durch Pontons, deren Einsenkung in das Wasser ebenfalls dem Stützendrucke proportional ist, machte Kupferschmid (Zeitschr. des österr. Ingen.-u. Arch.-Ver. 1880). Anwendung auf die Beanspruchung der Eisenbahnschienen mit Rücksicht auf die Eindrückung der Querschwellen in den Schotter machte Löwe (Organ für die Fortschritte des Eisenbahnwesens, 1883).

§. 95. Kontinuirlich unterstützter Stab. Wir setzen jetzt einen Stab mit konstantem Querschnitte voraus, welcher kontinuirlich durch ein elastisches Mittel unterstützt ist. An einem beliebigen Punkte sei der Druck pro Längeneinheit zwischen beiden Theilen q, die Eindrückung y und es sei

22. q — X y.

Die Differenzialgleichung der elastischen Linie wird alsdann

EI

— к y.

d*y _

d X* oder

4-

wenn wir zur Abkürzung

24. k

4EI

setzen. Das Integral dieser Differenzialgleichung ist, wenn e die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet,

25. y = (Aekx + Be~kx) coskx + (Cekx + De

-kx

) sinkx.

Die dreimalige Differenziation gibt 1 dy k dx

— [{A -f- C)ekx — (В — D)e~kx] coskx

— [{A — C)ekx -f- (B — D)e~ kx] smkx,

26.

1 dPy

2 k'¹ dx¹

— (C ekx — D~kx) coskx — (Aekx — Be~kx) sinkx,

1 d³y

2 k³ dx³

= [(C — A)ekx -f (D -f- B)e~kx] coskx

— [(С -j- A)ekx — (D — B)e~kx] sinkx.

Wir wollen nun speziell eine Belastung durch eine einzige Einzellast untersuchen, welche in der Mitte des Stabes liegt. Wir nehmen die

Mitte als Anfang der x an. Alsdann muss für x = 0 natürlich = 0 werden. Dies gibt die Bedingung

a-b + c + d = o.

Ferner wird, wenn der Stab die Länge 21 hat,

2 ją dx о

— 2k

j у dx о

dx dx⁴

Nun aber ist    =

Q = 0 werden; da aber Q — — 0 werden.

dx*

Für X — l muss die Transversalkraft

Sonach ist G — ^ für x — 0, d. i.

A —В — C — I) = — K,

G Je

wenn wir zur Abkürzuug — = К setzen. Hiernach wird 27. B = A + K, D = ~K-C.

dM

dx

dx³

ist, so muss für x = l

d²y

Es wird nun ferner für x = l das Moment M — 0, daher auch = 0; ferner wird für x = l> wie bereits bemerkt, auch = 0.

dxг

Dies gibt:

(Cekl — jDe~kl) coskl = (Aekl— Be~kl) sinkl,

[((7 — A) ekl -\- (D + B)e~kl] coskl = [(C -\- A)ekl — (D — B)e~kl] sin kl oder, wenn wir obige Ausdrücke für В und D einsetzen,

A (ekl — e~kl)sinkl— G (ekl -f- e~kl) coskl =--Ke~kl(coskl — sinkl),

л

A \{ekl— e~kl) coskl -f- (ßkl -\- c~kl) sinkl]

— G [(ekl — e~kl) coskl — (ekl -f- e~kl) sinkl] = Ke~kl coskl.

Hieraus ergibt sich

28.

C= -

Gk 2 + e~2kl 4- cos2kl — sin\2kl

e2kl - e-2kl sin2kl ’

G h e~2kl — cos 2 kl —sin 2 kl 2k e2kl— e~2kl -f* 2 sin2kl

Gk

Sonach wird

Durch die Gleichungen 18 sind jetzt auch В und В bestimmt. Wir wollen indess nur den Fall näher betrachten, in welchem l gross ist, so dass A und G gegen К nur sehr klein, also annähernd = 0 sind; dementsprechend wird also nahezu B = D = ~ К — sehr nahe

on    G к

²⁹- V = 27ie

-kx

(coskx -j- sinkx),

30.    31= - EI

dqy_ G ахг~ 4k c

—kx

(coskx — sinkx).

Die Maxima von у und М treten für x = 0 ein; es wird sonach

31.

max y —

Gk

2X

4EI’

32. max Ж —

sil 1 ^

4k    4

4 EI

Hieraus ergeben sich folgende Zahlen:

kx

kx

ii 7

-h 0,0058

¹ тс ' 4- 0,6448 тс \ + 0,2079 — 0,2079

Ч Со toi 8ч Ч

тс

— 0,1340

-4 я

2 тс + 0,0019 4- 0,0019 ^тс + 0,0012 ■j л + 0,0004 — 0,0004

тс

тс

— 0,0432 — 0,0432

тс — 0,0279

тс — 0,0090 + 0,0090

— 0,0003

— 0,0001 — 0,0001

тс — 0,0000

Gk

Gr

Gk

' 2z

* 4k

Hiernach sind die elastische Linie und die Momentenkurve in Fig. 178 dargestellt. Von Jcx =~тс bis Jcx= \ тс wird у negativ. Wenn

Fig. 178.

- а C    —

III

=»o

=~c.

der Träger mit der elastischen Unterlage nicht fest verbunden ist, so tritt von einem gewissen Werthe von kx ab ein Abheben des Trägers ein

(Fig. 179); die Verhältnisse gestalten sich hierbei gerade so, als wenn der Stab nur die Länge А В hätte. Es ergibt sich für diese Länge genau

33. kl = ~ л = 1,571.

Für dieselbe wird

1 + e~*

= 0,045, В = D =

1 4- é*

с% е~л

= 1,045

und dementsprechend

34. у —

Gic

2% (en — e~n)

[(ekz 4- е~ж+кх) (cos JeX — sinicx)

4- (е~кх 4~ еж~кх) {coslix -j- sin hx)],

4k (еж — e~n)

[(ekx 4- e~n+kx) (coslex 4~ sinicx)

4_ (e-Jcx _j_ gn—jcx'j (coslex — sinicx)]. Hieraus ergibt sich für lcx = 0 j ж л — л ~ л bezüglich у — 1,090 0,958 0,827 0,342 0und M = 1,090 0,500 2,140 0,018 0.^

Fig. 179.

hiernach sind in Fig. 179 die Kurven für у und M dargestellt. Die grösste Durchbiegung und das grösste Moment werden hier das

= 1,090-

еж 4"

C'a— g—a

fache von den entsprechenden Werthen bei unendlich langem Stabe und fester Verbindung mit der elastischen Unterlage.

Die Kurven in Fig. 178 stellen offenbar auch die Einflusslinien für die Durchbiegung und das Moment in G dar, so dass man mit Hilfe dieser Linien in bekannter Weise auch den Einfluss irgend eines beliebigen Systèmes von Einzellasten bestimmen kann.

Die Beanspruchung eines durch ein elastisches Mittel kontinuirlich unterstützten Stabes wurde zuerst vom Verfasser in seiner „Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867“ untersucht und zwar für ein System gleich grosser und gleich weit von einander abstehender Einzellasten. Insbesondere hat diese Theorie bei der Bestimmung der Beanspruchung des eisernen Langschwellen-Oberbaues der Eisenbahnen Anwendung gefunden; sie ist ebenso anwendbar für die kontinuirliche Unterstützung von Schienen durch Querschwellen auf Brücken.

XL Kapitel.

Verbindung des Balkenträgers mit dem Stabpolygon.

§. 96. Gleichgewiehtsbedingungen des Stabpolygones.

Wir wollen als Anwendung der Theorie der kontinuirlichen Träger noch die Verbindung eines Balkenträgers mit einem schlaffen Hänge- oder Sprengwerke, welche letztere wir unter dem Namen Stabpolygon zusammenfassen, behandeln. Beide seien durch vertikale Stäbe mit einander verbunden.

Bezeichnen wir die Spannungen der von einem Knotenpunkte E ausgehenden Stäbe mit S, S\ die Neigungswinkel derselben gegen die Horizontale mit t, t\ so muss zunächst S cost = S⁴ cost⁴ sein, es ist somit die Horizontalkomponente H der Spannungen konstant. Ist nun V die Spannung der von E ausgehenden Vertikalen, © die in E wirkende Knotenlast, so muss ferner V -f- © = S sinT — S⁴ sin t⁴ sein; da nun S = H sec r, S⁴ = H sec t⁴ ist, so wird

1. F + (& = I£{tanT — tanT').

Denkt man sich die Knotenpunkte unendlich nahe und dem entsprechend das Stabpolygon kontinuirlich gekrümmt, so ist, wenn V die Spannung der Vertikalen, g die Knotenlast auf die horizontale Längeneinheit bezeichnen, (v 4- g)dx für V + ©, ä für tanT⁴ — tanT zu

setzen. Da tan r = ^ ist, so wird

2. v + g = JET

d*y

dx¹ '

Da das Stabpolygon mit dem Balkenträger verbunden ist, so kann seine Form eine beliebige sein ; natürlich ist dadurch die Spannung der Vertikalen und die Beanspruchung des Balkeuträgers bestimmt. Wir wollen speziell nur den Fall untersuchen, dass die Knotenpunkte auf einer Parabel mit vertikaler Axe liegen. Nehmen wir AB als Abscissen-axe und A als Anfang der x an und ist h die Höhe der Parabel, so ist l^y = 4hX (l — x). Ist a} a‘ der Horizontalabstand des Knotenpunktes E von den benachbarten Knotenpunkten, so wird l*tanT = 4h(l-\-a — 2x), Z² tanT⁴ = 4 h (l — a⁴ — 2 x), also Z² (tan т — tan t⁴) = 4h{a -p «')» folglich

4Hh (a + «')

3.    F+© =

und bei kontinuirlicher Krümmung

4. v + tj = 8

Hh

da hier (v -f g) dx für V -f- © und 2dx für a -}- a‘ zu setzen ist.

Je stärker der Balkenträger kon-struirt ist, je kleiner also seine Formänderung ist, mit desto grösserer Genauigkeit wird man an-

Fig. 180.

Vk

T7

II rjf.....3S.-........>

°S

nehmen können, dass die Gleichungen 1 bis 4 auch nach der Formänderung gütig seien, dass also hei ursprünglich parabolischer Kette v -f- g auch nach der Formänderung konstant ist. Wenn wir aber die Formänderung berücksichtigen, so haben wir, wenn sich der Knotenpunkt E um Ay, die links und rechts von E liegenden Knotenpunkte um Axy, Atly senken und wenn wir die allerdings nicht ganz richtige, bei flachem Stabpolygone indess zulässige Annahme machen, dass sich die Horizontalprojektion der Stäbe bei der

лу — 4У

■CT

'S,

Formänderung nicht ändern, tawг' —

i    —

a‘

für tam' und tant

für tant zu setzen; es wird somit

A. y—Ay . Ay—A^y

5. V + <1$ = JET    — tani¹ —

und bei kontinuirlicher Krümmung

dx²

[Wy ,

\dx*

Hierin ist bei parabolischer Kette, wie oben lq(tant — tant') = 4h(a-j- a')

л d* y    8h    ,

und —---— zu setzen.

d x²    l²

Bei der Untersuchung der Belastung des Balkenträgers, die wir im Folgenden allein durchführen wollen, ist natürlich ® = 0, g = 0 zu setzen.

§. 97. Formänderung des Stabpolygones. Bezeichnen wir die Längen der Stäbe des Stabpolygones mit A, so wird

X = 2 (A cos г), y — 2 (A sint),

wobei die Summirung von A bis zu dem betreffenden Knotenpunkte E zu erstrecken ist. Hiernach wird, wenn sich A um Al, t um At ändert, die Aenderung von x und y unter der Voraussetzung, dass die Aenderungen nur sehr klein sind,

\ Ax — Z (— Я sim /1т^-\- cost A X), I Ay = Z (Я cost At    sin г At).

7.

Wenn man die letzte Gleichung für zwei benachbarte Knotenpunkte, deren vertikale Verschiebungen Ay, Ay' seien, anwendet und die Differenz bildet, so erhält man

also

А у — Ay' — I cost Ar -f- sintAl,

8. At —

Ay — Ay' A l

Я cost

tan T.

Dies in den Ausdruck für Ax eingesetzt, gibt Ax~ — Z {Ay — A y') tant + Z (a I

—f- А Я cos    oder

sin² t

COST

9. Ax — — Z [{Ay — Ay) tant] -f- Z {Aк sect).

Zwei auf einander folgende Glieder der Summe enthalten die Grössen — A y tant und A y tant', wenn т und т' die Neigungswinkel der an den Knotenpunkten E anstossenden Stäbe bezeichnen. Daher kann man auch schreiben

10. Ax = — Z [A y {tant — tant')] -f- Z {A I sect).

Für den Punkt В muss sich [Ax — 0 ergeben, falls die Lagerpunkte A und В als unverschieblich angesehen werden können. Setzt man ausserdem für das parabolische Stabpolygon V¹ {tant — tant')— 4 h {a A a‘)i so erhält man

Ah

11. Z [(a -f- a') Ay] — Z (AfasecT) = 0.

Al =

Ist F die Querschnittsfläche des Stabes mit der Länge Я, so ist Ist nun A₀ y die vertikale Senkung des Punktes

Sk

Я sec г

EF

F des Balkenträgers, у die Länge der Vertikalen EF, А у ihre Längen-

EF '

Vv

änderung, /'ihre Querschnittsfläche, so ist Ay = A₀y — Arj = A₀y — j

4Hh (a -j- a')_y

d. i. nach der Gleichung 3 für © = 0: Ay = A₀y — Dies eingesetzt, gibt

EVf

12. Z [(а + а') A₀ у] =

CI

4 Eh

S,

wenn man zur Abkürzung 13. C=IZ

setzt. Berücksichtigt man nur die statische, nicht aber die elastische Formänderung, so wird wesentlich einfacher

14. Z [{a + a') A₀y] = 0 und, wenn a konstant ist, ZAay— 0.

Die Gleichungen 12 bis 14 können auch noch bei Benützung der Gleichungen 5 und 6 beibehalten werden, da bei Benützung dieser Gleichungen nur der ohnehin geringe Einfluss der Längenänderung der Vertikalen eine Aenderung erfahren würde.

Sind die Lager bei A und В in horizontaler Bichtung ohne Widerstand verschieblich und sind dieselben durch Spannketten mit den Längen А,, A₂ und den Neigungswinkeln r,, r₂ festgehalten, so entsteht durch die Verlängerung AX1} AX„ der Spannketten eine Verkürzung Alxsecrx -f- АA₂secr₂ der Spannweite AB. Die Spannungen der Spannketten sind Hsectx und Hsect„. Daher wird, wenn Fx, F„ die Querschnittsflächen der Spannketten sind, die Längenänderung Al der Spannweite

15. Al = —

-£ \x SCC4' + F,Secq^\-

Dies hat zur Folge, dass in Gleichung 11 auf der rechten Seite —Al statt 0 zu schreiben ist. Die Gleichung 12 bleibt dann richtig, wenn man

ksec¹ T _j_ A, sec¹ Tt

16. c = i[z

Ao

* J

F,

16 h°- (a + a')'¹r\ l³ 27

setzt.

Bei kontinuirlicher Krümmung ist 2^A₀ydx für U [(a -f- a') A₀ y]

о

zu setzen. Bezeichnen. wir eine mittlere Senkung mit Am y, so ist

l Ат y —

jA₀ydx, folglich о

wird

17. Amy —

Hierin wird

lS ж

о

61h² Çу dx

J <f ’

wenn den Querschnitt der Vertikalen für die horizontale Längeneinheit bezeichnet. Wenn der Querschnitt F proportional der Spannung Hsect ist, so wird F = F₀seet, wenn F₀ den Querschnitt im Scheitel bezeichnet. Alsdann wird

18. C =

dxsec*T . IAi

sec*T, 4

sec*X^Ą- p

dxsec³t

kl

0

dx sec*r

(Z — 2 x)

~ж,}ах\¹⁺^

о

•}-T. (’ + «)•

Ferner wird, wenn ri₀ den Abstand des Scheitels vom Balkenträger bezeichnet, rj = rj₀ -j- Ji — 4 ~ x (l — x), daher, falls cp konstant ist,

Cr^d

J V

о

\ fao + у}l) > somit

18 a. C — —

lk

+ вес-Гг 4

sec-To

64 h1 ЗГф

Bei konstantem Querschnitte F ergibt sich, dass l-\-8^    .

zu setzen ist. Bei blosser Berücksichtigung der stati-

fl)-

16 h²

statt 1 -j-

sehen Formänderung würde

19. Jmy — 0

zu setzen sein.

§. 98 Bestimmung der Horizontalspannung H. Wir unterscheiden bei dieser Bestimmung die folgenden beiden Fälle:

1. Der Balkenträger ist in der Mitte getrennt. In diesem Falle ist die Konstruktion statisch bestimmt. Liegen in den beiden Trägerhälften die Lasten G\ G" in den Abständen £', £“ von den Stützen, so ergeben sich für die Vertikalreaktionen in A und В die Bedingungen DG = G' (V — £') -j- G“ £" und D“l = G'% -f- G“ (l — £"). Für den Scheitel erhält man die Momentengleichung Hh = ^ DJl — G‘ — £') und hieraus

20. 11 —

2 h

Hierbei ist in 6r' und G“ das Gewicht des Stabpolygons der Vertikalen und Balkenträger mit einzurechnen. Durch die Formeln 1 bis 4 sind jetzt die Spannungen F, v der Vertikalen bestimmt.

Ist nur eine einzige Einzellast G vorhanden, welche vom linken Ende den Abstand £ hat, so wird, je nachdem dieselbe auf der linken oder rechten Hälfte liegt,

21. II — —■â

2h

Die Einflussfigur ist hiernach ein gleichschenkliges Dreieck. Bei kon-tinuirlicher Krümmung wird nach Formel 4 die Spannung der Vertikalen:

22. v = 4

V¹

II =

G jl - j>

21

Bei gänzlicher Belastung mit der Last p pro Längeneinheit wird hier-Ip = und v — p.

nach H —

2 4h’

2. Ko ntinuirlicher Balkenträger. I. Verfahren. Nach der Gleichung 13 (S. 96) wird, wenn wir die Zeiger von drei auf einander folgenden Knotenpunkten des Balkenträgers mit m—1, m, m -\-l, die Senkung derselben entsprechend mit <dym—i, Лут, 4ym+i bezeichnen,

23. У m dm JXLm—1 “|“ 2 dm ”|“    (&m-f-i)    “f” ¥mĄ-1 Cf'mĄ-1 4XTmĄ-l

“J“ 3 dm^yt m "|“ 3 dm-\-1 _ 6EIn

dm

Nachdem man bei n Feldern die n — 1 Gleichungen nach diesem Schema aufgestellt hat, bestimmt man diejenigen Koeffizienten ct, cv...cn—i, mit welchen diese Gleichungen multiplizirt werden müssen, damit bei der Addition sämmtlicher Gleichungen auf der rechten Seite die Summe (a, -j- a„)Jy{ + (Д, + aa)4yq -f- . . . = 2 [{a -{- a,)/ly\ erscheint. Bei gleichen Längen ergibt sich leicht, dass man allgemein

24. cm —

m (n — m)

setzen kann. So wird beispielsweise für n = 6: c, = — J-, c = — 4, c₃ = — y, c₄ = — 4, c₅ = — J-. Durch Addition sämmtlicher Glei

chungen erhält man mit Berücksichtigung der Gleichung 12 eine Gleichung von der Form CIH

25.

4Eh

= mt Ж, 4- m„ Mq -F ... 4- mn-i Mn-i

4~ ylfflł/i -}-    4~    4~ • •. 4" уп-М"

Nach der Gleichung 28 (S. 104) wird, wenn man beachtet, dass hier nach Gleichung 3 Dm = Vm — --(am 4- am+:) ist,

26.    —i    ( dm 4"    4“ -M-mĄ-l dm

(dm 4“    dm

4Hh

Die n — 1 nach diesem Schema gebildeten Gleichungen reduzirt man auf Жп Ж₂,... und setzt die erhaltenen Ausdrücke in die vorige Gleichung ein. Man erhält hierdurch einen Ausdruck für H in der Form

27. H= d,®t +    + ... + dn-i&

-|- fit ЭЛ) -J- д) ЭЛ) -|- fil“i ЭЛ"» H-... -j- filn—i ЭЛ “n-

3. Kontinuirlicher Balkenträger. II. Verfahren. Anstatt die Theorie der kontinuirlichen Träger zu Hilfe zu nehmen, kann man auch eine mehr unmittelbare Bestimmung durchführen. Wir wollen hierzu nur eine Belastung durch eine an beliebiger Stelle C im Abstande £, £, von beiden Enden liegende Einzellast G voraussetzen. Wir setzen 2 [(a 4~ a‘) Л₀у] = 21Лту, wobei, wie oben, Лту eine mittlere Durchbiegung bezeichnet, welche sich zusammensetzt aus der von der Einzellast G hervorgerufenen mittleren Durchbiegung A'my und aus der von den nach oben wirkenden Kräften V hervorgerufenen mittleren Durchbiegung A"my.

Wir denken uns nun, um zunächst A\ny zu bestimmen, in jedem Knotenpunkte des Balkenträgers die Kraft c{aĄ-a‘) nach unten wirkend, wobei c beliebig, auch ~ 1, gewählt werden kann. Diese Belastung erzeuge in einem beliebigen Querschnitte das Moment m. Das Moment M, welches in demselben Querschnitte die Einzellast G erzeugt, ist auf der

linken Seite der Einzellast — -¹ x, auf der rechten Seite = xv

wenn x und xt den Abstand des Querschnittes vom linken und rechten Ende bedeutet. Nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit ergibt sich entsprechend dem §. 55:

ШХ ,

— ax -f-

28. c2[(a -j- a‘) A₀y] = 2clA'my — yj

wobei natürlich m eine im Allgemeinen unstetige Funktion von x und xx ist.

Wir denken uns jetzt jeden Knotenpunkt des Balkenträgers mit der Last c, (a -f- a‘) belastet und bestimmen die Durchbiegung A y des Punktes C, in welchem vorhin die Einzellast G angenommen wurde. Diese Belastung wird offenbar in einem beliebigen Querschnitte das Moment

m ~ erzeugen. Eine in G gedachte Last 1 erzeugt in diesem Quer-

auf der

t    'C

schnitte das Moment ~ x auf der linken, das Moment y xt rechten Seite von C. Daher ist nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit

c.

Jy = m

Hiernach wird A'm = Ay, wenn man cx = ~ setzt, wenn man also in

wirken lässt, was einer gleich-

jedem Knotenpunkte die Last a a- —

massigen Vertheilung der Last G über die ganze Länge l entsprechen würde. Wir können hiernach den Satz aussprechen: Die mittlere Durchbiegung A'my bei der Belastung durch eine Einzellast ist gleich der Durchbiegung des Angriffspunktes der Einzellast in dem Falle, dass man die Last über die Knoten, punkte gleichmässig vertheilt¹)-

P Dieser Satz bildet eine spezielle Anwendung des allgemeinen Castigliano’schen Satzes von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen.

Da V—^j— (a -f- a') ist, so ist A“my gleich dem 8 ~ fachen

¹    Cr t

der mittleren Durchbiegung in dem Falle, dass jeder Knotenpunkt mit der Last

a -j- a* Gr

~2~ T

belastet ist. Setzt man für diese Belastung die

Senkung A y des Punktes C = A~j, die mittlere Senkung Amy der

Knotenpunkte = В so ist Amy = A ^ — 8 ^ . В -щ Formel 12:

also nach

8A

64

Vernachlässigt man das Glied mit C, so wird R= Al

r l^y

h Am У ’

Ay a -{- a'

Amy Ul

Mit Rücksicht auf das Glied G sind diese Werthe noch durch den kon-

zu dividiren.

29. H =

30. V— G

8Bh

G oder

stanten Werth 1 -J-

Cl²

64 в zc

Man kann hieran auch die grafische Bestimmung knüpfen. Bestimmt man die Senkungen der Knotenpunkte des Balkenträgers unter der An-Fig. 181.

J) OE

nähme, dass in jedem Knotenpunkte die Last

a af G ..    ,    ,    .

——- -у liegt, durch

ß’ c

Co

„jVß Rechnung oder Konstruktion (die letztere werden wir später behandeln) und wählt den Massstab so, dass die Fläche ABB'A' (Fig. 181), d. i.

• die Fläche ÏAmy = G wird, so wird V = l(a-\-a')Ay,e$ entspricht also V für den Punkt C

ЩЖ

der Fläche DEJE'D¹, H dagegen der Fläche lAy.~, also dem der Fläche ABB“A",

Die Linie AC'B ist offenbar die Einflusslinie für E. Mit Hilfe derselben kann man nun den Werth von H für jede beliebige Belastung in bekannter Weise bestimmen.

8h

fachen

Diese Methode ist ebenso gut bei polygonalem als stetig gekrümmtem Stabpolygone anwendbar.

4. Kontinuirlicher Balkenträger konstanten Querschnittes, parabolisch stetig gekrümmtes Stabpolygon. Eine gleichmässig über einen Balkenträger mit der Länge l vertheilte Belastung p pro Längeneinheit erzeugt das Moment ~ px(l— x). Eine im Abstande £ vom linken Ende gedachte Einzellast 1 erzeugt in einem lin-

I_i

ken und rechten Querschnitte bezüglich das Moment —j— x und

daher wird nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit die Senkung im Abstande x vom linken Ende

Axj =

eh jÿ-*)/**(* 0

— x) d x -f-

xi

0

l—x

x (l — x)'¹d (l —

*)]

— 24.EÏ x $ ~ ^ ⁽'l°‘ + lx ~ x Nach dem Vorigen ist also die mittlere Durchbiegung, welche eine im Abstande | vom linken Ende liegende Einzellast G erzeugt, Rémy —

2Je fl ^ ^    4- — £ö). Die mittlere Durchbiegung, welche die

nach oben wirkende Belastung v pro Längeneinheit bewirkt, ist ferner

R“my = —

24EII

о

— x) Q? -f- Ix — x¹) = —

vl⁴

120 El

. Sonach wird

30 a. Rmy =

24EII

S(l - Ю (Iя 4- П 4- Г) -

120 E Г

Die mittlere Senkung, welche durch die Senkung Rty, zl^y der Endvertikalen entsteht, ist -4 (Rxy -f- Л^у). Bei der Länge /г, und der

Querschnittsfläche fx der Endvertikalen wird Rxy —    у—jvlj

— j t?z), also I (Л,у-Ма0) = Щ {a—Jvl)’

P₂h,_ Д,

~ЕК~Ж

Dieser Ausdruck ist zu dem vorigen Ausdrucke von z/OT?/ noch hinzuzufügen. Setzen wir nun nach 4: vl'¹ = 8Rh, so gebeu die Gleichungen 17 und 18 a:

(Gf

31. H—G

6£(l- £) (l* + l£-£*)+120

Ifh

wenn man zur Abkürzung

151

8Г1ь{1 + сл)

32.    =

814, [/.’„ft + ^tl\ + /-'.ft sec"'Tl + F, ft

2 h //, ,    64 h

G Iff

г-1

y sec-To

/,

(3i?₀ + Ä)]

setzt. Ist statt der Spannketten ein Spannriegel mit der Querschnitts-

P

fläche F₃ vorhanden, so ist statt der Summe der Glieder mit’ rr

t₂ zu setzen. Sind die Auflagerpunkte A und В, sowie die Enden des Balkenträgers in vertikaler Richtung unverschieblich, so werden die Glieder mit ft Null. Bei blosser Berücksichtigung der statischen Formänderung ergibt sich

33. H =

8l³h

Bei gänzlicher gleichmässiger Belastung wird hiernach H =

5p

8 Is h

jx{l

о

pl²

— x) (l' -f- Ix — x'²) dx — ^r-

ОЛ TI _ P

34. H—    ₊

und allgemeiner

Beispiel. Eiserner Polygonal - Sprengwerksträger mit 30m Stützweite mit Versteifung durch einen Blechträger (Fig. 18-2). Es seien für die Stäbe des Spreng-

werkes X = 572, 527, 503 Cent., F =103, 95, 90Q*nt — ip secr = 1,144 1,054 1,006. ą W sec³ г = 1,309 1,111 1,012, * Ш.    für die Vertikalen (mit Aus

schluss der Endvertikalen) r] = 252 86 30 Cent., f = 250P)cm. Es wird hiernach

3,5, C = 3000 (38,2 + 3,5) = 124500.

Fig. 182.

If'

Tat

vm>

-30-

mm

6h‘ v (a -j- a‘)‘ t] W ^ f

Ж^р = звА

also, wenn wir E = 2000 Ton. pro □

setzen,

124500.3000 4.2000.500

Die Gleichung 23 gibt bei konstantem Querschnitte des Balkenträgers

-2 [(« -b «О 4y] =

H = 93,4 H.

I {M, 4- 4M, + 3ÜÂ'S 4- ЗЖ\) a2 Multiplizirt man diese Gleichungen der Formel 24 entsprechend, mit — 5, — 8, — 9, — 8, — 5 und addirt sie sodann, so erhält man, da 2 a {Jy,-\- Jy, Лу₃ 4- /1уА -f-/jyj = 93,4H sein muss,

4“ 8EI(/1yA — 2/1 у, 4" Лу₆) =

c> сГ <гГ о о

Ъ. (28M, 4- 46M, 4- 52 M₃ 4- 46 M, 4- 28 Ms) a³

+3(5Ж\+8 Ж‘, + 5 Ж“, 4- 9 Ж'я 4- « 5Ш"з + 8 Ж\ + 9Ж"₄ + 5 Ж¹, 4- 8 Ж", 4- 5 Ж“,) а³

= — EI (ЗОа/ty₀ 4“ 30а/1у₆ — 560,411).

Hierin ist

30EI (Лу₀    Лу₆) а =■

und, wenn wir h, = 530,    — 40 setzen

с. 30EI (/1 ya 4~ Луь) а = 0,168 (M\ -j- M, -f- 2)₀(ï 4~ a) a³.

30I(D₀ -4-Eg) h, a 301 h.

fj³

(M, 4-ЛГ₅4- 2)₀a4-S₆«)a*

Nach der Gleichung 26 wird

<7.

- 2M, +    =    - 2),)

M, - 2M, + M₃ = (|ä - 2),)

= (4 H - 2>„) e,

-(4я- ®.) «,

= (4 h - ®.) «■

0,

Я,

M₂ — 5M₃ 4~ Л/,

il/₃ - 5А/, -f A4.

Af, - 5 Л/,,

Die Auflösung gibt

10 Ha,

( 18M, = 3 (5$,    + 32)3 + 2 2), 4- 2>a)« —

¹ I8M,    =    6(5$, 4- 4 24 4- 32)₃ 4- -2 2), 4- 25₃) «    —    46 Да,

f8M.,    =    9    (2),    + -2252 4- 3$, + 5$, 4- 2>ä) а    —    43 На,

18 M,    =    6    (25,    4- 5$, 4- 32)₃ 4- 4 2)₄ 4- <2 2)₅) «    —    16 Ha,

I 43 Hf₅    =    3    (24    4- 5 2)., 4- 32)₃ t 4$, + 5 2)₅) а    —    10Ha.

Dies in die Gleichung b gesetzt, gibt unter Berücksichtigung der Gleichung c: ^164,9 — 560,4 ~\ H= 9925» + 4742), + 1972)₃ 4- 4742), + 332)ä — 0,47 (2)„ 4* 2)₆)

4-^(5934,' 4- 893(44- 52)4/'4- 9934,/4-85D4₃"-j-89)4/4- 3 934/'+5934/ + SSWä"4-59)4/').

Setzen wir 1—52800, so wird 560,4EI = 0,6IV, der Einfluss der elastischen Formänderung also nur gering. Hiernach ergibt sich nun f. H=- 0,001 (2>₀ -f $„) 4- 0,600(2), 4- ®₈) + 038 (2), 4-2)₄) 4- 1,197S>,

4-| [0,0345 (9)4/ -+- 934₆"j 4- 0,1458 (9)4/ 4- 934/') 4- 0,0912 (934/' 4- SR*¹)

+ 0,1638 (9)4/ 4- 9)4₄“) 4- 0,1458 (9J4₃" + 934,')].

Fig. 183.

gm

In dem Falle mittelbarer Belastung und unter der Voraussetzung, dass die Querträger mit den Hauptträgern an denselben Punkten verbunden sind, wie die Vertikalen, werden die Grössen 9)4 sämmtlich Null.

In Fig. 183 ist hiernach die Einflusslinie für H dargestellt und zwar entspricht das Polygon der

mittelbaren, die krumme Linie der unmittelbaren Belastung.

§• 99. Kämpferdrucklinie. Die Reaktionen in den Stützpunkten A und В, welche durch eine Einzellast G erzeugt werden, schneiden sieh mit dieser letzteren in ein und demselben Punkte K. Bei einer Verschiebung der Einzellast beschreibt der Punkt К eine Linie, welche wir Kämpferdrucklinie nennen.

Ist der Balkenträger in der Mitte unterbrochen, so muss die rechte Reaktion, falls die Last auf der linken Hälfte liegt, durch В und den Scheitel S gehen, da in В und C das Moment Null sein muss; ebenso muss die linke Reaktion, falls die Last auf der rechten Hälfte iiegt, durch A und S gehen. Die Kämpferdrucklinie besteht daher

zwei Geraden, welche die Verlängerungen der Geraden

aus

AS und BS bilden.

Bei kontinuirlichem Balkenträger sei die Ordinate CQKX (Fig. 181) = rj. Aisdaun ist у = £ tan /_ KXAC₀ — g wena D der vertikale Stützendruck in A ist. Nun aber ist Bl = G (l — £), mithin

G £(*-£)

wobei H nach dem vorigen Paragrafe zu bestimmen ist. Bei konstantem Querschnitte des Balkenträgers und stetig gekrümmtem Stabpolygon,, wird, wenn man nur die statische Formänderung berücksichtigt, nach Formel 33

36. i] =

81-h

halten wir

Setzen wir in dem Ausdrucke 35 für H den Ausdruck 29,

so er

_ o i — Ю лт у n - 8    ,, -Jy h,

ist, 2AA'

oder, da in Fig. 181 у — C₀C = 4

о 7    _ n Am у

³⁷- i =

wonach sich verschiedene Konstruktionen angeben lassen; z. B. man macht GaLa und CL parallel und bezüglich — 2Amy und 2Amy— yr d. i. = 2AA‘ und 2AA‘ — GG‘ \ eine durch Llt und L gelegte Gerade bestimmt sodann den Punkt Kx.

In dem Falle mittelbarer Belastung bestimmt man am besten in der gezeigten Weise die den Knotenpunkten entsprechenden Punkte der Kämpferdrucklinie. Andere Punkte ergeben sich sodann durch folgende

Betrachtung. Ist ab (Fig. 184)

■ « gleich der Einzellast 6r, sind d B‘,C\ B/ Punkte der Kämpfer-c drucklinie und die von a und e b ausgehenden Strahlen mit den Durchschnittspunkten d\ c', e' parallel den von A und В nach D' G‘, E‘ gezogenen Strahlen, so sind ad, ac, ae ^ und bd, be, be die in A und В bei der Lage der Last in D, G, E wirkenden Vertikalreaktionen, ädl, c&, ее¹ die bezüglichen Horizontalreaktionen. Da sich nun, wenn die Last von A und В den Abstand £ und £j hat, die Vertikalreaktionen in A und В wie £ : £, verhalten, so müssen die Punkte d, c, e die

A J) CE

= G₀C

CG¹ ’

Fig. 184.

óL

Cr

e'r

Gerade ab in demselben Verhältnisse theilen, wie die Punkte D, С, E die Gerade AB. Die Figur acVe'b wird somit eine zur Einflussfigur für die Horizontalspannung H affine Figur sein. Entsprechen die Punkte JD und E Querträgern, so wird also nach §. 20 d‘c‘e‘ eine Gerade sein, so dass sich der Punkt c‘ leicht bestimmen lässt. Legt man sodann durch A und В Parallelen zu ac\ Ъс\ so erhält man den Punkt C*. Die einzelnen Theile der Kämpferdrucklinie ergeben sich hiernach als Hyperbeln; in den äussersten Fächern entstehen, wenn die Horizontalspannung H für die Lage der Last an den Enden = 0 wird, Gerade, welche bezüglich durch В und A gehen.

§. 100. Bestimmung der Momente und Transversalkräfte bei beliebiger Belastung. Nach Bestimmung der Horizontalspan-nung H sind durch die Formeln 1 bis 4 die Spannungen der Vertikalen bestimmt. Da hierdurch die auf den Balkenträger wirkenden Vertikalkräfte gegeben sind, kann man auch die auf denselben wirkenden Momente und Transversalkräfte bestimmen. Wir wollen hier noch auf die grafische Bestimmung dieser Grössen eingehen.

1. Momente. Zur grafischen Bestimmung der Momente bei einer beliebigen Belastung konstruirt man für die gegebene Belastung ein Seilpolygon mit der Polweite H, welches durch die Stützpunkte A und В geht. Alsdann ist das Moment der nach unten wirkenden Lasten in

Fig. 185.

7?

F₀

o-

JX

JB

jo

O-v

Â i......

S'

Nv........ 'F

............

..............Ъ

F = H. E₀E‘ (Fig. 185), das Moment der nach oben wirkenden Spannungen dagegen H.E₀E, mithin das wirkliche in F wirkende Moment — H (E₀EJ — E₀E) = H.EE\ Das Moment ist also proportional dem Vertikalabstande des Seilpolygones von derAxe des Stab polygones.

Wenn der Balkenträger in der Mitte unterbrochen ist, so geht das Seilpolygon ausser durch die Punkte A und В auch noch durch den Scheitel S.

Um bei verschiedenen Belastungen die Konstruktion neuer Seilpolygone zu umgehen, kann man auch ein Seilpolygön mit einer beliebig angenommenen Polweite Hx konstruiren (Fig. 185 b). Macht man in

demselben FF“ = ~ y — Æ- д Д so wird offenbar M — Ex. F‘F“\

nach Bestimmung von H ist es aber leicht, у zu konstruiren. Wenn

der Balkenträger in der Mitte unterbrochen ist, so sei die Höhe des Seil-polvgones mit der Polweite Hx in der Mitte der Schlusslinie =SS' = hh an dem dem Punkte F entsprechenden Punkte — FF⁴ = yv Alsdann ist M = Ht yx — Hy. Nun aber ist nach Formel 20: Hh= j 2 (Cr'l'-f G“%“). Die Momente 2G‘i‘ und 2G“%“ für die Enden werden aber nach den Kegeln für das Seilpolygon durch HX.AA' und HX.BB‘ dargestellt; somit ist Hh — Hx. SS⁴ — Hx\, H — H{ also

38. Mx = Hx

wonach sich die folgende Konstruktion ergibt: In Fig. 185a lege man durch S _und E eine Gerade, welche die Verlängerung von AB in L schneidet. In Fig. 185 b habe L von S denselben Horizontalabstand, wie in Fig. 185a; zieht man hier die Gerade LS‘, so erhält man den

Durchschnittspunkt F“ und es ist nun offenbar FF“ — also F'F“

”, mithin Ж = IIX. F¹ F“.

h    ¹

Bei mittelbarer Belastung ist, wie in §. 31 (Fig. 64) das Seilpolygon in der Art abzuändern, dass die den Querträgern entsprechenden Punkte des ursprünglichen Seilpolygones die Ecken des Seilpolygones bilden.

In derselben Weise kann man auch bei einer einzigen Einzellast verfahren und hierdurch auch die Einflusslinien durch Konstruktion bestimmen.

Für die Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise durch eine gleichmässige Belastung und bei unterbrochenem Balkenträger auch durch ein System von Einzellasten genügt die Konstruktion des Nullpunktes der Einflusslinie, welcher mit Hilfe der Kämpferdrucklinie leicht zu finden ist. Legt man durch den Punkt N (Fig. 181) des Seilpolygones, welcher dem fraglichen Querschnitte des Balkenträgers entspricht, zwei Gerade durch A und B, welche die Einflusslinie in К und Kx schneiden, so wird das Moment in N offenbar Null, wenn die Einzellast G in К oder Kx liegt, den Punkten К und Kx entsprechen also die Nullpunkte-der Einflusslinie. Bei unterbrochenem Balkeuträger ist nur ein Nullpunkt vorhanden; auch bei kontinuirlichem Balkenträger gibt es nur für Querschnitte iu der Nähe des Scheitels zwei Nullpunkte.

2. Transversalkräfte. Legt man im Kraftpolygone mit der Polweite H parallele Strahlen zu der dem fraglichen Querschnitte entsprechenden Seilpolygonseite und dem entsprechenden Stahe des Stab-polygones, so schneidet die erstere die Transversalkraft für die Lasten, die letztere die Transversalkraft für die Spannung der Vertikalen ab; die zwischen beiden Strahlen liegende Kraft des Kraftpolygones ist also die wirkliche Transversalkraft für den fraglichen Querschnitt. Hiernach ist die Transversalkraft die Vertikalkomponente der Spannung der bezüglichen Seilpolygonseite, wenn die andere Komponente die Lichtung des entsprechenden Stabes des Stabpolygones hat.

Q“-

Um das Seilpolygon mit der beliebig angenommenen Polweite Щ benützen zu können, kann man durch dieses die Transversalkraft Q‘ für die Lasten in bekannter Weise bestimmen, während die Transversalkraft Q“ für die Spannuugen der Vertikalen = H tanz durch die der in Rede stehenden Belastung entsprechende Horizontalspannung H zu bestimmen ist; sodann ist Q — Q'

Um für eine Einzellast den Nullpunkt der Einflusslinie zu bestimmen, legt man durch die Stützpunkte A und В Parallelen zu dem Stabe des Stabpolygones, welche dem in Frage stehenden Querschnitte F des Balkenträgers entspricht. Schneiden diese Parallelen die Kämpferdruck-* linie in I und Iv so wird offenbar die Transversalkraft in N Null, wenn eine Last in I oder liegt. Von den Punkten I und i, ist immer nur der eine vorhanden ; dagegen schneidet die Einflusslinie die Axe bei unmittelbarer Belastung am fraglichen Querschnitte und bei mittelbarer Belastung zwischen den Querträgern, zwischen denen der fragliche Querschnitt liegt. Bei mittelbarer Belastung wird die Transversalkraft zwischen den Querträgern В und E (Fig. 181) Null, wenn in Fig. 181b die Seite D* E' des Seilpolygones der Seite IDE des Stabpolygones parallel ist. Im Allgemeinen ist die Lage der Last, bei welcher D'E‘ parallel BE wird, durch Probiren leicht zu finden; bei unterbrochenem Balkenträger würde, da BK hier durch den Scheitel geht, der Punkt E' unmittelbar gegeben sein; den Punkt B‘ findet man durch eine Parallele zu DE, den Punkt К sodann durch eine durch A und B‘ gelegte Gerade.

§• 101. Unterbrochener Balkenträger mit parabolischem Stabpolygon.

1. Momente. Eine auf der linken Hälfte im Abstande £ von А liegende Einzellast G erzeugt in einem auf der rechten oder linken Seite der Einzellast liegenden Querschnitt bezüglich das Moment

ж) und G

Die nach oben wirkenden Spannungen der Vertikalen erzeugen bei stetig gekrümmtem Stabpolygone in der linken

il

-—■ X.

— Xs), wobei nach Formel 22 v = 4 ~

4 ■g ^    - zu setzen ist, je nachdem die Last auf der linken

oder rechten Hälfte liegt. Die Summirung gibt als Moment für eine auf der linken Seite des Querschnittes, auf der rechten Seite desselben und auf der rechten Hälfte liegende Last bezüglich

ЖГ — + G£ (l — x) (l — 2a0,

Ml* = + 6r x (?* — 3l£ + 2x£),

. ЖГ = — G(l — g)x(l — 2x).

Fig. 186.

Hälfte das Moment

oder V —

39.

-O'---..

vx

p:

33.

//

Hiernach sind in Fig. 186« die Einflusslinien dargestellt. Das Moment wird Null für

31 — 2x

\ 40- £ =

21(1 — x)

к ъ

ilk

JB

Für eine gleichmässige Last ergibt sich hiernach, wenn man p d £ für G setzt, durch eine Integration zwischen 0 und I oder £ und l als Maximum des Momentes

p x il — x) (l — 2x)

2j3l— 2x)

Fig. 186& zeigt die hiernach aufgetragene Momentenlinie. Das absolute Maximum tritt bei x = 0,2351 ein; dasselbe ist

42. Max Ж — 0,0188p V¹.

Das mittlere Moment ergibt sich zu 0,0124pl".

41. шах (+ Ж\ ~ +

Bei mittelbarer Belastung und wenn die Vertikalen an denselben Punkten angeordnet sind, wie die Querträger, ist zu den Ausdrücken 39

Gèetf

noch 4-

hinzuzufügen, wenn der Querschnitt von den nächsten

Querträgern den Abstand e, e* hat und zwischen diesen Querträgern die Einflusslinie als Gerade anzunehmen.

2. Transversalkräfte. Eine auf der linken Hälfte liegende Einzellast erzeugt an einem auf der rechten oder linken Seite der Last liegenden Querschnitt bezüglich die Transversalkräfte — G l — 2è

und

. Die nach oben wirkenden Spannungen der Vertikalen erzeugen in einem Querschnitte auf der linken Hälfte die Transversalkraft — 1Г v (J — 4#). Die Summirung gibt, wenn man für v den Ausdruck 22 setzt, als Transversalkraft für eine auf der linken Seite des Querschnittes,

auf der rechten Seite desselben und auf der rechten Hälfte liegenden Last bezüglich

43.

Ql* = — G£(3l-4x).

Ql°- = + G(l*- 3l£ + 4x£), Qlq = — G(l-£) (l-4x)

Hiernach sind in Fig. 187« die Einflusslinien dargestellt. Für

. i t    Г

44. £ =

Fig. 187.

cc

•'s

31 — 4 x

'•■s

wird Q = 0 ; ausserdem tritt ein Wechsel des Vorzeichens auch am Querschnitte ein.

nur am Querschnitte ein.

Für eine gleichmässige Belastung ergibt sich hiernach durch eine entsprechende Integration

= 0 bis

Tm

''s

''s

gili

лк,

рх*(31 — 4x),

шах (+ Q) — ±

1 1

y x = — I bis — I : max (+ Q) = +

In Fig. 187 & ist hiernach maxQ grafisch dargestellt. Am grössten wird max Q für x — 0 und x = 0,51 und zwar wird hier bezüglich max Q — j pl — 0,167pl und ~pl — 0,125pl ; am kleinsten wird max Q für x = 0,251; hier wird maxQ — ^ pl = 0,063 pl. Im Mittel wird maxQ = 0,100 pl.

Für den Fall mittelbarer Belastung ergibt sich leicht, dass die Einflusslinie für irgend ein Fach dieselbe ist, wie für einen Querschnitt in der Mitte des Faches bei unmittelbarer Belastung; in dem fraglichen Fache ist natürlich ein geradliniger Uebergang statt des Absatzes einzuführen.

45.

I:

p{tl — 3lx + 4xy-21* {31 — 4x)    '

§• 102. Kontinuirlicher Balkenträger mit parabolischem Stabpolygon.

1. Momente. Das Moment M wird für einen Querschnitt auf

der rechten Seite der Last bei stetig gekrümmtem Stabpolygon

G'z (l — x) 4Hhx (l — x)

GUl-x)

l V (I — x) =

Für einen Querschnitt auf der linken Seite ist £ mit l — £, x mit l — x zu vertauschen. Unter Einführung des Näherungsausdruckes 33 für H erhält man bezüglich für eine links oder rechts vom Querschnitte liegende Last :

46.

2ЖР =G£(l- x) [21‘ -5(l-£)x (t‘ +l£- J% 2 MP — G {I — J) x [2ll — 3£ (l — ж) (Г + l£ - J»)].

Hiernach sind in Fig. 188 a die Einflusslinien dargestellt. Für x — 0 bis 0,4:1 und x — 0,61 bis l haben die Einflusslinien nur einen Nullpunkt; für x — 0,41 bis 0,61 dagegen sind zwei Nullpunkte vorhanden. Durch entsprechende Integration ergibt sich für eine gleichmässige Belastung als Maximum von M für Querschnitte von x—0 bis 0,41:

47. max (dr M) —

P%ln²

4Г°

_рЦ₍*(31³-10Цо* + 51°)

w (i - i„)“ (i 4 n„ - i»“)

wenn £₀ den Abstand des Nullpunktes vom rechten Ende bedeutet. Für x = 0 0,11 0,21 0,31 0,41 0,51 0,61 ergibt sich |₀ = l 0,6361 0,5961 0,5351 0,4601 0,3391 0. Für Querschnitte von x— 0,41 bis 0,61 ist

Fi? 188.

><

îii

zu dem hiernach berechneten Werthe noch der dem linken Nullpunkte entsprechende Werth hinzuzufügen, wobei l — x für x und für £₀ der Abstand des linken Nullpunktes vom linken Ende zu setzen ist. Hiernach ist die Momentenlinie in Fig. 188 & dargestellt. Das absolute Maximum tritt für x — 0,2441 und x — 0,7561 ein, wobei £„ = 0,5751 ist. Das absolute Maximum ist

48. Max M = 0,0166p V¹,

d. i. nur 13 Prozent des Maximalmomentes bei einem Einzelträger mit derselben Spannweite. Das Maximalmoment in der Mitte wird nur 0,00678pV¹. Das mittlere Moment ergibt sich durch Flächenberechnung der Momentenfläche zu 0,0123pV.

2. Transversalkräfte. Für einen Querschnitt auf der rechten Seite der Einzellast G wird Ql = — 6r£ — j v (l — 2x) und für einen Querschnitt auf der linken Seite der Last Ql = G(l — £) — 4 v (J — 2x).

betzt man hierin vP — 8Hli und für H den Näherungsausdruck 33, so erhält man für eine links und rechts vom Querschnitte liegende Einzellast bezüglich

49.

j 0 = — -gp l³¹“ +5(i- их) (г —i) (г⁵ + i§ — f )],

! Q= +

G il-à)

21°

[21* — 5 (I    2æ) i (P + li- J²)].

Hiernach sind in Fig. 189a die Einflusslinien dargestellt. Für x = 0,31 tangirt die Einflusslinie die Axe am rechten Ende; für kleinere x schneidet die Einflusslinie die Axe.

Für eine gleich-massige Belastung ergibt sich für Querschnitte von x=0 bis x — 0,31 durch Integration zwischen x = x tv und x = £„, wenn |n den Werth von § bezeichnet, für welchen Q = О wird,

50. max (± Q) = ±    [4P (|₀ — x) — P (71 — 10 x) (|₀U — ж²)

+ 51 (l — 2x) (J₍₎⁴ — x*) — 2 (l — 2x) (|₀⁵ — xb)].

Fig. 189.

'Cc-

i™Oz

.___Q

''s

'Ч

«fit!

•о-

Hierbei wird für x = 0 0,11 0,21 0,31 bezüglich = 0,3311 0,4041 0,5401 l. Für Querschnitte zwischen x = 0,31 und 0,71 erhält man durch Integration zwischen x = x und x = l:

(7l⁴ — 10 Px — 5 Px'¹ 4- 12lx³ — 4x*).

51. max (± Q) = ±

In Fig. 189 5 ist die Kurve für maxQ dargestellt. Das absolute Maximum erreicht Q für x — 0 und x = l, dasselbe ist 0,153pl. In der Mitte wird maxQ — 0,125pl. Für x — 0,2161 wird maxQ am kleinsten; hier ist maxQ —0,0744pl. Im Mittel wird maxQ = 0,100pl. Der Mittelwerth von maxQ ist also fast ebenso gross, wie bei getrenntem Balkenträger.

Bei mittelbarer Belastung würde für die angenommene Belastung nach §. 98 die Bestimmung von H vorzunehmen sein; durch die Formeln 1 bis 4 ist sodann V bestimmt. Die Bestimmung der Momente und Transversalkräfte kann hierauf in bekannter Weise erfolgen.

Beispiel. Wir wollen das bereits in §. 98 behandelte Beispiel weiterführen. Setzt man den gewonnenen Ausdruck f für H in die Gleichungen e ein, so ergibt sich für den Fall, dass nur Lasten in den Knotenpunkten des Balkenträgers wirken,

M, = [+ 0,500®,+0,090®, - 0,165®₃-0,243®₄-0,167®₅+-0,0006(®₀+-®,)\a,

a. ' M₂= [+ 0,133®, -f 0,411 ®г — 0,064®₃—0,256®₄ — 0,200®- -f- 0,0009 (®₀+®,)\a,

3*3= Г— 0,100®, — 0,038®!+- 0,303®!-0,038®— 0,100®,+- 0,0010{®0+®,)] a. Bei unmittelbarer Belastung kommen noch die Glieder mit 31Î im Ausdrucke für H, aber bezüglich mit —~ a, —^a, —a multiplizirt, hinzu. Die entsprechenden Einflusslinien für mittelbare Belastung sind in Fig. 190 dargestellt.

Es lassen sich nun leicht auch die Momente und Transversalkräfte für beliebige Querschnitte bestimmen. Wir wollen nur beispielsweise das ? M und Q in der Mitte des III. Faches in Betracht ziehen. Wenn die Last nicht im III. Fache liegt, so wird

M — — (3*2 “b З*₃), d. i.

b.    М={0,001®₀ + 0,017®, + 0,187 ®г-+0,120®₃ - 0,147®—0,150®, + 0,001®₆)а -o,o86{Wi,+mi“+mi‘+m₆‘i)-o,i38(mi,+m₃"+m,,+-mh")-o,i55(m₃i+m₄“)-

Liegt die Last im III. Fache, so kommt noch, je nachdem sie in der linken oder rechten Hälfte liegt, das Glied -j- J- 6rf, -f- j- G (l —- |) hinzu.

Ferner wird, wenn die Last nicht im III. Fache liegt, Qa = M₃—Ж

7i

Fig. 190.

Ni?

з\

1l

d. i.

Q = 0,0001®₀ — 0,233®, — 0,449®, + 0,367 ®₃ + 0,218®, + 0,100®, +0,0001 ®e

—    0,0101 №,' -f зи," +    +- m₆“) — о,от (шу + шу* + зй/ + шу/о

—    0,0182 (ШУ + т,“).

Fig. 191.

/!

Liegt die Last nicht im III. Fache, so kommt hoch, je nachdem die Last in der linken oder rechten Hälfte liegt, bezüglich das Glied

У %\

0 1 1

у und Aß ~ 2 ~~

h Г"-

ИГ--'

IIHMïïmTrrB-

hinzu. Die Einflusslinie für M und Q ist hiernach in Fig. 191 dargestellt und zwar entsprechen wieder die geraden Linien der mittelbaren, die krummen Linien der unmittelbaren Belastung.

§. 103. Einfluss der Wärme. Um den Einfluss einer Temperatur Veränderung t zu bestimmen, ist in Gleichung 11 /J?, — atl+-

Hl seer

zu setzen, wenn a den Ausdehnungskoeffizienten bezeichnet.

Ausserdem ist Hy = H₀y — Hrj = H₀y — atrj — setzen. Dies gibt statt der Gleichung 12:

EF

4H (a -j- a¹) rj

EfV

ZU

52. E[(a+a')H₀y]= Cl

4Eli

n+uĄ^sa г» +2; [(«+«■) (/] J,

wobei G durch Formel 13 bestimmt ist. Sind Spannketten vorhanden, so ist G durch Formel 16 bestimmt; ausserdem ist in vorstehender Formel E (Я sect) -f- Я₁ secxx -f- A₂ sect₂ statt E (Я sect) zu setzen.

Bei kontinuirlich gekrümmtem Stabpolygone würde statt der Glei

chung 17

\mjdxsec'‘r +j

о    0

⁵³- ^=*жд+т

zu schreiben sein.

Die weitere Behandlung bleibt nun dieselbe wie in §. 98.

Beispiel. Wir ergänzen das Beispiel zu §.89 und setzen а = 0,000012, t = 30°, also at = 0,00036. Es wird 2 (I sec г) = 34,3™ = 3430™, 2 [{a -f a?) rj] -70,6 Qm = 706000 Qcm (mit Ausschluss der Endvertikalen), also

0,00036 (4500.3430 -f- 706000)

rj dx

{lh Z (Я sec ^ + ² K® +

= 0,00036.16141000 = 5811 Centim.

Statt der Gleichung b in §. 98 erhält man jetzt

{28 M, + 46 M₂ + 52 M₃ + 46 M, + 28 Mb) a³

— — EI {30 a (zl y„ + Hye) — 560,4 H) — 34866 El. Hierbei wird 30Ela (Jy₀ + Hy₆) = 0,17{M, -f- M-) a³ + 30EI.а{0,00036.2.530) = 0,17{Mt -j- M₅) a³ + 5724EI. Hierdurch geht die vorige Gleichung über in

{28,17 M, + 46 M₂ -f- 52 Ms + 46 M, -{-28,17 Ms) a³ = -}- {560,4 H = 40590) EI. Nach den Gleichungen e wird МХ=МЬ=— ^ На, M₂=M^ = — Ha, M-=—Ha. Dies eingesetzt gibt

165,08 Ha* — {40590 — 560,4 R) El.

Für E= 2000, 1—52800, а = 500 wird 165,0811=69,0 - 0,95 H, also

II = 0,416 Tonnen.

Dementsprechend wird MI=M.=1,16, M₂=M₄ = 1,85, M-=2,08 Tonnen und zwar -f- bei Erhöhung, — bei Erniedrigung der Temperatur. Die übrigen Grössen sind jetzt leicht zu bestimmen.

§. 104. Strengere Theorie. In den vorigen Paragrafen haben wir angenommen, dass bei Bestimmung der Spannungen V der Vertikalen die Vertikalverschiebung Hy zu vernachlässigen sei und haben dementsprechend für V, V die Formeln 1 bis 4 benützt, während statt derselben die Formeln 5 und 6 anzuwenden wären. Die Bestimmung der Unbekannten wird hierdurch allerdings eine wesentlich umständlichere

und die Theorie wird noch dadurch erschwert, dass es hier nicht mehr möglich ist, den Einfluss einer beliebigen Belastung durch die Sum-mirung der Einflüsse der entsprechenden Einzellasten zu bestimmen, so dass die Methode der Einflusslinien nicht anwendbar ist. Wir wollen hier nur den anzuwendenden Weg andeuten, da eine weitere Durchführung mehr in die Theorie der Hänge- und Sprengwerksträger gehört.

Bei der allgemeinen Bestimmung der Horizontalspannung H in §. 98 bleibt die Gleichung 23 unverändert. Dagegen geht die Gleichung 26, mit Berücksichtigung der Gleichung 5 (S. 186), wenn wir die Werthe von zly für das Seilpolygon und den Balkenträger gleich setzen, also die Längenänderung der Vertikalen vernachlässigen, über in

54.    —i CbinĄ-i — 1\Lm (dm Ч⁻ dm-\-l) ■MmĄ-l dm

4Hh

l'¹

i (dm    dmĄ.l) — (Фм 4“ ©) ®m dmĄ.i

II \dm-\-l z/ym—l    (d])i-\-l I drii) z/y,n —)— dm z/y

und der IJn-

Setzt man nun die Ausdrücke von dm^ym.j— (am+1 -\-dm)4ym -f- атЛут+1 aus dieser und der Gleichung 23 einander gleich, so erhält man n — 1 Gleichungen mit den n—1 Unbekannten Jf,, Mt bekannten H. Zwischen denselben Unbekannten besteht noch die auch hier richtige Gleichung 26. Indessen gestattet die Form der Gleichungen nur ein Auflösen durch Probiren. Am besten führt man wohl H in der Gleichung 54 als Faktor von [awz/i/m_7 —..] näherungsweise ein und bestimmt dann H wie in §. 98, 2 ; bei zu grosser Abweichung würde jetzt dieselbe Rechnung noch einmal mit dem genaueren Werthe von H zu führen sein.

Die Differenzialgleichung der elastischen Linie des Balkenträgers wird in einem stetig mit der nach oben und unten wirkenden Last v und q pro Längeneinheit belasteten Punkte

55. EI

— v,

d*4y_

dx⁴    ^

wenn wir die Längenänderung der Vertikalen wieder vernachlässigen, also 4₀y = Jy setzen. Nach Gleichung 6 aber wird für das parabolische Stabpolygon

56. H

d*4 у_8 Hh

dxq

— Q — V.

Die Subtraktion beider Gleichungen gibt

d^ = Hd4Jl_8in+s + e'

57. EI

d X*

dx'¹

oder, wenn wir unter Annahme eines konstanten Werthes von I, q und g

58. № = -4

ЕГ

Оо

W+

1сЕ>

setzen,

59.

d²z

dx¹

= к'¹ z.

Das Integral dieser Differenzialgleichung ist

60. z = Aekx Ą-Be~kx,

wenn e die Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet. Nun aber lässt sich in dem konstant pro Längeneinheit belasteten Theile des Balkenträgers das Moment M in der Form а + Ъх -j- ex² — H (y -f- А у) ausdrücken, wobei a -f- Ъх -f- ex'¹ das vom Eigengewichte g des Balkenträgers, dem Eigengewichte g des Stabpolygones und der zufälligen Last p herrührende Moment, —H{y-\-Ay) das von der Spannung v der Vertikalen und dem Eigengewichte g herrührende Moment bedeutet; da g in beiden Gliedern enthalten ist, so hebt sich, wie es erforderlich ist, der Einfluss von g auf. Es wird daher

61.

cP A y

a 4- Ъх -f- сх¹

dx'¹

EL ~

El

+ к² (;y -f Ay).

d' /ly

ï +_9 js^ s0 gibt die

Da aber nach dem Obigen Gleichsetzung, wenn wir hierbei yP = 4hx{l — x) seien,

dx¹

— ⁶ + T*⁻

62. Ay —

tu

екх Tà e~kx Кг

8h 4hx(l—x) . a -\-bx-\-cx² g-}-9

к² P

Hk²'

Wenn wir nun den Balkenträger durchgehends mit dem Eigengewichte g pro Längeneinheit und ausserdem von x — g bis x = l — g + gt mit der zufälligen Last p pro Längeneinheit belastet annehmen, so wird bei kontinuirlichem Balkenträger a -f- Ъх 4- cx² im linken Theile

у 0 + Q)x(l — x) 4-    im rechten Theile = ~ (g + q)x(1 — x)

(Ix - Г) = 4 (g 4- 9) (I - *,) 4- pif    **,).

i pG — x)

' 21

wenn wir l — x — xx setzen. Es wird somit bezüglich im linken und rechten Theile

Ау —

к¹

e’+vT

e~~k x -f ^

(f 4“ fl 4J}

2 H l¹

« 8,1 У + я

lik¹

к¹1¹

^ X (l — x)

Р (I — i)ł_g

2 Hl

Ау =

8h

рх}(2/£, — J,² — 1х,)

Лк¹

2Н1

Für X — 0 und xx — 0 wird Ау — O' für x — xx = werden die Werthe von z/y auf beiden Seiten gleich und gibt zur Bestimmung der Konstanten die vier Gleichungen:

L±J = 0

H ’

ff +i> 4- б _ n H ~ ’

64.

dx

dx

. Dies

A + В + -j,--

Л , -D I

A + -®t + -pf —

-f- J5e~*Ś _ Ax ekb — 5, е~*5» _f_ A = tf,

— Be~kè -j- e*!i —    e-*l« = 0.

Die Auflösung gibt:

65.

A (ekl — e kl) = — J~ (eftI* + e~k^ — 2) —    —

(ę*b + er*b + 2) + (?£-(e4 + e~kè-2e-kl)—(j^ 2e~kl)~

В (ekl — e~kl) = -\-А, {ек1 — е~к1) — А--~

Bx(ekl — e~kl) — —

2 H

Nach der Gleichung 17 ist

Г (e*S + e-*s —

nun

ff + 9

Ч Т- fcq

’)«

-ekl),

— e~kl)f

8h <7-4-0 г² "1 h

y,

66.

CH

8Е1ь~^тУ l

Die Ausführung der Integration gibt CHI

S    §3

I da? Æ;ri] *

tf    0

8 Eh

^[A(ek£—1) —B (e~k S — l)-\-Ax (e* b — 1)— Bx (e~k i> -1)]

p(i-t) r ą-m+H)

(9 + 9) l³

--8 Ih

1Г——¹ I

JL12 {kiyJ

— 1

(* 0²J

Die Einsetzung der Ausdrücke für А, B, Ax, Bx gibt:

(2g +p + 2ß)i³

67.

ein _

8Eli ~~

p Is ek & -f- e~k li—ekè — e~k ś (kl)³(ekl — e~kl)

11

- 16 Ih

ekl -f- e~kl — 2

(kl)³(ekl — e~kl)

11

+ [ U

. P у - j> Г(I - il у±1Й

— JBT I 12

(fl+9) l³

8 Ih

] [l2 (kl)

(**)"] '

Diese Gleichung würde nach H durch Probiren aufzulösen sein, wobei .man als ersten Näherungswerth für H den der früheren Näherungstheorie entsprechenden Werth annehmen kann.

Für einen sehr schwachen Balkenträger wird kl sehr gross; wenn man in diesem Falle behufs Annäherung die Glieder, welche kl im Divisor haben, vernachlässigt, so erhält man

68. H =

(0 + 0) P+pQ-tYQ-YH)

8lh(l -f- a)

3 CH

setzt. Für einen sehr starken

wenn man zur Abkürzung a = 16Е1~г Balkenträger dagegen wird к l sehr klein. Wenn man ex -f- e~x

— ² (² + J X* + JÎ X* + Wo x* + • ••) » e* —    = 2x i¹ + i x"

+ Ш + • ' • ) se^» s0 beben sich sämmtliche Glieder bis zur vierten Potenz von X und es bleibt, wenn man nur die zwei ersten der verbleibenden Glieder berücksichtigt und wenn man zur Abkürzung g, =nl setzt,

+ pl³ ^5—5п*-{-2п³—^(42 — 35п,1+14п*

17 HP 168 EI

Vernachlässigt mau hierin die Glieder mit к l, so wird in Uebereinstim-mung mit dem aus Formel 33 durch Integration zwischen а — £ und X = l abzuleitenden Ausdrucke

69. H

17 HP

168 EI

70. II =

2(g + 0) P+p{5P- ölt* + 2ÏY)

16lh(l + ß)

15 CI

wenn man zur Abkürzung ß =

Nach Bestimmung von H wird M=—EI für den linken und rechten Theil:

8l4i*

setzt.

d¹zly

, d. i. bezüglich

Ж- —

71.

EI ^Aekx + Be~kx

M= — El ^Alekx+Ble~kx^ l-

_ dM dx ’

+

И Г IJ+P + Ś

II

Die Transversalkraft wird nun Q — linken und rechten Theil:

d. i. bezüglich für den

Q = Elk (Aekx — Bek%

Q = Elk (Atekx* — B,e kx).

Es wird genügen, hierbei als Belastung diejenige anzunehmen, welche sich nach der früheren Näherungstheorie als die ungünstigste ergeben hatte.

Ist der Balkenträger in der Mitte unterbrochen, so würden ausser den vier Konstanten А, В, Alf Bx noch zwei neue Konstante anzunehmen sein. Zur Bestimmung der Konstanten und der Grösse H

72.

kommen dafür zwei neue Bedingungen hinzu ; es muss nämlich in der Mitte z/г/ = 0 und M oder handlung wollen wir indess nicht eingehen.

d^Ay

~dtf

— 0 sein. Auf eine speziellere Be-

In obiger Entwickelung wurde vorausgesetzt, dass der Anfangszustand, von welchem aus der Werth von z1y gerechnet wird, ein spannungsloser für den Balkenträger sei. Setzen wir indess voraus, dass in den Vertikalen die künstliche Spannung vx pro Längeneinheit des Trägers erzeugt werde, dass derselben unter der Wirkung des Eigengewichtes eine Durchbiegung Axy des Balkenträgers nach oben entspreche, und dass z/г/ von der Axe des Balkenträgers in dieser durchgebogenen Form aus gerechnet werde, so ist in Formel 55 z/г/ — z/г/, statt z/г/ zu

schreiben, wobei EI~-~ — vx— g zu setzen ist; die rechte Seite von

55 lautet alsdann q — v -j- vx — g = p — v -f- vt statt q — v. In den Gleichungen 57 und 58 ist daher p -j- ь\ statt q zu schreiben. In der Formel 61 wird wieder z/г/ — zlxy statt ziy zu schreiben sein, wobei,

falls vx konstant ist, EI d₍fx\y = — j (vx — g) x (l — x) zu setzen ist.

Hierdurch ergibt sich, dass in den Formeln 63 bis 70 vx statt g zu setzen ist.

Die Theorie der Verbindung von Balken träger und Seilpolygon v ist erst in neuerer Zeit aufgestellt worden; zwar macht bereits Bankine (A manual of civil engineering, London, I. Aufi. 1862) die Angabe, dass das grösste Moment

bei unterbrochenem Balkenträger ^ pP — 0,0156pP, bei kontinuirlichem Balkenträger ~pP = 0,0179pP (in §. 101 und 102 hat sich bezüglich 0,0188pP und 0,0166pP ergeben) und im ersten Falle die grösste Transversalkraft —p l (was

mit dem im §. 101 gefundenen Besultate stimmt) sei. Langer gibt für den speziellen Fall, dass der Balkenträger in der Mitte unterbrochen und als Sprengwerk angeordnet ist, eine weniger strenge Theorie (Die Eisenkonstruktionen für Brücken und Dachstühle von Jos. Langer. Wien 1862). Die erste durchgeführte Theorie unter der Annahme einer auf die Längeneinheit konstanten Spannung v der Vertikalen für einen kontinuirlichen Balkenträger gab zuerst Bitter (Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach- und Brückenkonstruktionen, Hannover, II. Aufl. 1870). Buschmann (Beiträge zur Theorie der kontinuirlichen Gitter- und Hängebrücken, Wien, 1873) ergänzt zwar die vorige Arbeit in einigen Punkten hinsichtlich des Eigengewichtes, macht aber ohne näheren Nachweis die falsche Behauptung, dass auch für die zufällige Last eine gänzliche Belastung die ungünstigste sei. Unter Einführung von Einzellasten hat zuerst Mül 1er-Breslau (Theorie der durch einen Balken versteiften Kette, Zeitschr. des hannoverschen Arch.- u. Ingen -Ver. 1881) die Theorie entwickelt. Diese Arbeit enthält auch für eine Einzellast die erste genauere Theorie unter Berücksichtigung des Einflusses der Formänderung der Kette auf die Spannung der Vertikalen. In ähnlicher Weise löst auch Du Bois (A new theory of the suspension system with stiffening truss. Journal of the Franklin institute, 1882) die Aufgabe.

XII. Kapitel

Träger mit einer Oeffnung.

§. 105. Eingespannter Träger mit elastisch drehbaren Widerlagern. Wir wollen jetzt einen an den Enden derart eingespannten Träger untersuchen, dass die Stützen oder Widerlager, welche den Träger festhalten, in dem Sinne elastisch sind, dass sie sich drehen können und dass die Drehung dem Momente an dem bezüglichen Ende proportional ist. Hierzu lassen sich auch die an einem oder an beiden Enden fest eingespannten Träger rechnen.

1. Allgemeiner Fall. Die Gleichungen 7 bis 10 (S. 94 und 95) können ohne Weiteres in Anwendung kommen, wenn man darin

1. T‘ — — A'W, T“ = + Л" №

setzt, worin A', A“ Konstanten bezeichnen, deren Grösse von der Art der Widerlager abhängen. Dieses Verhalten zeigen offenbar alle geradlinigen Stäbe irgend einer elastischen Konstruktion, z. B. die einzelnen Oeffnungen eines kontinuirlichen Trägers, die Querträger einer Brücke, welche mit den Vertikalen der Hauptträger starr verbunden sindu. s. wr Wenn die Stützen ausser der Drehung noch eine Verschiebung annehmen können, so behalten die Gleichungen 1 ihre Giltigkeit, wenn r' und t“ die Winkel, welche die Endtangenten der elastischen Linie nach der Formänderung mit der die Enden verbindenden Sehne bilden oder die sogenannten Ausschlagwinkel bezeichnen.

Die Gleichungen 7 (S. 94) geben, wenn man O' = 0 setzt, die Ausdrücke für a, ß, y (S. 97) beachtet und 6EI₀A‘ —    6E1₀A“ = ßj

setzt,

—    cc/W — ß Ж -\- у Ж" + зт,

—    /3, M" = у Ж 4- 2 a M“ + ЗШ¹.

Die Auflösung gibt

_ о    — {2а -f- /3,) 2W"

2.

31“ = з

^a + ß^^ß + a^-y уШ - (2& + а^Ж‘ (2а + À) (2ß + a{) - У¹ '

Bei konstantem Querschnitte wird а = ß = у = 1.

Ist das Feld gar nicht belastet, also = Ш7" = 0, so wird in dem Falle, dass am rechten Ende ein bestimmtes Moment M“ durch

M“. Ebenso wird in dem

äussere Kräfte erzeugt wird, M‘ — —

Falle, dass am linken Ende ein bestimmtes Moment 31' erzeugt wird,

_7-__M‘

*« + Ä

haben, so wird in beiden Fällen das Moment in einem bestimmten, von der Grösse des wirksamen Momentes unabhängigen Punkte, dem Fixpunkte, Null. Sind a und b die Abstände der beiden Fixpunkte bezüglich vom linken und rechten Ende, so wird а : l — M‘ : M‘ — M“ und b :l = M“ : M“ — M', folglich

3 a ~ у +    + ctx9 b ~ y + 2a + ßß

Hieraus folgt (2ß -f aß)b — у (l — &), (2 a -p /3,) а = у (I — a). Dies in die Gleichungen 2 eingesetzt, gibt, wenn man noch l — a — b = c setzt,

M“ =

Da M‘ und M“ entgegengesetztes Vorzeichen

M‘ — —

Sa

ycl

[(l- Ъ)№" — b№‘],

M" = —

3b

1(1 — а) Ш' — «’»!“]

ycl

in Uebereinstimmung mit den Formeln 16 (S. 123) und 4 (S. 127). Die aus diesen Formeln gezogenen Folgerungen der Kapitel VIII und IX hinsichtlich der Belastung durch eine Einzellast und der ungünstigsten Belastung lassen sich natürlich hier unmittelbar anwenden.

2. Träger, welcher an einem Ende frei aufliegt, am anderen eingespannt ist. Wenn der Träger in B (Fig. 192) so

eingespannt ist, dass der Träger im unbelasteten Zustande keine Formänderung zeigt, so ist z“ = 0, also A“ = 0, /3, — 0. Wenn der Träger ferner in A frei aufliegt, so wird bei jeder Belastung M' = 0, mithin A* = oo, ax — oo. Nach den Formeln 3 wird folglich

ą

te

-X-

Fig. 192.

il

l.

yl

5. b — _ '    —-,    a—O.

2fZ + У'

Dies in die Gleichungen 4 eingesetzt, gibt

ЗЪШ•

6. Mu =

sm

, — 0.

2a

Bei konstantem Querschnitte wird b = у l, M“ = — j

3. Träger, welcher an beidenEnden eingespannt ist. Wenn der Träger an beiden Enden so eingespannt ist (Fig. 193), dass er in unbelastetem Zustande keine Formänderung zeigt, so wird A‘ = A¹¹ = 0, also auch a, = jö, = 0. Mithin wird

Fig. 193.

yc

BW

7.

У1

a~ 20 +у ' b~ 2ct +у'

Bei symmetrischer Form wird а = ß, also auch а = Ъ und alsdann

8. Ж = —

з(2аЖ,1-уЖ)

4a* — у*

, жи =

з(2аЖ—уЖи)

4 a* —у*

Bei konstantem Querschnitte wird

9. a = b — l- l,

О

10. M‘ — — 2SW" + Ж\ Ж“ = - 2Ж' + Ж".

Bei symmetrischer Belastung wird hier —Ш7", mithin M‘— M“ = — 3tt' = - Ш“.

§. 106. Belastung durch eine Einzellast.

1. Stützenmomente. Die Formeln 1 bis 4 (S. 124 bis 127) sind ohne Weiteres anwendbar. Bei konstantem Querschnitte wird, wenn der Träger nur an einem Ende eingespannt ist, M“ — — j ÜDD, d. i.

11. M“ = — G

2T

und wenn er an beiden Enden eingespannt ist, nach obiger Formel 10 und nach Formel 40 (S. 114):

12. M‘ = —

G£ (* - i)°-

-, M“ — —

G£* (I - £)

l-

2. Moment für einen beliebigen Querschnitt. Wenn der Träger nur am rechten Ende eingespannt ist, so wird der linke Stützendruck D — ~ G

=    (21* -П- Г).

Dx — G (x — I), wenn die Last rechts liegt, M = Dx, d. i.

( Last links :

— , d. i. für einen konstanten Querschnitt

Wenn die Last links liegt, wird M =

31 =

Gi

13.

Last rechts : Ж =

(21*— 3l*x + £*x), G (I — £)x

21*

21*

(2l*-l£-£*).

Wenn der Träger an beiden Enden eingespannt ist, so wird nach der zweiten der Formeln 4 (S. 94), wenn die Last links liegt, Ml = G£(l—x) -|- M* (l — x) -j- M“x und wenn die Last rechts liegt, Ml—G(l— g)cc -f- Mf (l — x) -f- M“x, d. i. nach Einsetzung der Ausdrücke 12:

( Last links:

G£*

Last rechts : Ж =

-jr- (21* -l£- 3lx + 2£x), G (I - £)*

I*

(Ix + 2£x — l£).

Die Einflusslinien sind hiernach in Fig. 194 a für einen nur am rechten Ende und in Fig. 195 a für einen an beiden Enden eingespannten Träger dargestellt.

Fig. 195.

Fig. 194.

//

V ö-

______OL

'■4,

■O

-Ó-

3. Transversalkraft. Bei dem nur am rechten Ende eingespannten Träger wird, wenn die Last links vom Querschnitte liegt Q — I) — G und wenn sie rechts liegt, Q — D, d. i.

f Last links :

Gg(3V — j*)

15.

21³

G{1- 4) {21* -lj- j²)

Last rechts : Q = -{-

Wenn beide Enden eingespannt sind, so wird nach der ersten der Formeln 4: Ql = 0,1 -f- M“ — Ж'. Hierbei wird (M“ — M‘) l* = — G% (l — i) (21; — l) und bei links liegender Last Ol = — G£, bei rechts liegender Last Ol — -j- G (l — |), mithin

Last linJcs: Q-- —— 2£)

21³

16.

l³

Is

Last rechts : Q — -f-

Die Einflusslinien haben bei einem eingespannten Ende keinen Wendepunkt und tangiren die Axe am eingespannten Ende; wenn beide Enden eingespannt sind, so haben sie einen in der Mitte liegenden Wendepunkt und tangiren die Axe an beiden Enden.

§• 107. Einfluss des Eigengewichtes. Wir wollen nur den Fall eines konstanten Querschnittes voraussetzen.

a) Träger mit einem eingespannten Ende. 1st nur das rechte Ende eingespannt, so wird nach dem Obigen M‘ = 0,

M“ = — j Säft' = — ~ • g^2*= — j-^2*. Es ist nun J/“ = Dl — ~gl*, also Dl = j- gl* M“ = |- gl², mithin

ос Co

17. 1) — gl.

Für einen beliebigen Querschnitt wird nun M = Dx — ^gx* und Q = D — gx, d. i.

18. M = ~ (jx (31 — 4йс),

cf

19-    0 = -g9(3l- Sx).

M wird hiernach Null für x=jl, zum positiven Maximum für X = j l und zum negativen für x = l. Das erstere ist = -f- -~gl* =

-j- 0,0703gl*, das letztere =

Q sind für да = 0: Q = §- gl, für x = l: Q — — f- gl. Die Mittel

— *- gl* — — 0,1250gl'¹. Die Maxima von

werte von M und Q im Sinne des §. 85 sind mittM— ~~gl² — 0,0495g V* und mitt Q = щ gl — 0,266gl.

Ъ) Träger, dessen beide Enden eingespannt sind. Hier wird М‘=Ми— — !*Щ' = — 2)2" = — y₃ gl* und Q‘=^gl, Q“ — —jgl. Für einen beliebigen Querschnitt wird nun M = M‘ -j- j glx — ~ gx*,

Q = Q! — gx, d. i.

20. M—--g (Г — в Ix + 6x%

JLv

21. Q — I g (l — 2x).

Hiernach wird M=0 für x*— lx-\-±l* = 0 oder für x=j (5 q= j/3) l — 0,21131 und 0,78871, Das positive Maximum von M oder der Werth von Ж für x = j l wird -f- jj gl*, das negative Maximum oder der Werth von M für x = 0 und x = l dagegen = —    gl*’, das negative

Maximum von M ist also doppelt so gross, als das positive. Die Transversalkraft Q ist genau ebenso gross, wie beim Einzelträger. Die Mittelwerte von M und Q im Sinne des §. 85 sind mittM — gl* = 0,0321 gl* und jr gl = 0,250gl.

§. 108. Einfluss einer gleiclimässigen Verkehrsbelastung

unter der Voraussetzung eines konstanten Querschnittes.

а) Träger mit einem eingespannten Ende. Für einen Querschnitt, dessen x < j l ist, kann nach §. 106 M nur positiv werden ;

das Maximum tritt ein, wenn der Träger ganz belastet ist. Der Formel 18 entsprechend wird

px {31 — 4x),

шах (— Ж) = О.

22. max (+ Ж) =

Wenn x |-Z s0 wd Ж der ersten der Gleichungen 13 entsprechend, zum negativen Maximum, wenn der Träger von £ = 0 bis zu einem der Gleichung a?£² = l*(3x— 21) entsprechenden Punkt belastet ist. Hieraus folgt

23. £ = l\/3-2~ .

r    X

Ferner wird ebenfalls nach der ersten der Gleichungen 13

max (— M) =

[2 (21* — 3l⁽¹x)-\- æ£²],

~ 81*

d. i. nach Einsetzung des Ausdruckes von ij

24. max (— Ж) = —

pl(3x — 21)

8x

Es ist nun ferner max (-f- M) -j- max (— Ж) gleich dem Werthe von Ж bei gänzlicher Belastung = -j- px(3l— 4x). Hieraus ergibt sich jetzt leicht

p (i — x)*

2x

25. шах (+ Ж) = +

Fig. 194 & zeigt die entsprechende Momentenkurve.

Die Transversalkraft Q wird für dieselbe Belastung zum Maximum, wie beim Einzelträger. Aus den Formeln 15 ergibt sich leicht durch Integration

max (+(>) = +

p (l — x)³ (31 + x)

26.

81*

I max (— Q) —z —

px¹ (6P — x²)

8P

Als Mittelwerthe der Maxima von Ж und Q im Sinne des §. 85 ergeben sich mittM— 0,0505pl², mittQ — 0,295pl.

V) Träger, dessen beide Enden eingespannt sind. Für einen innerhalb des mittleren Drittheiles liegenden Querschnitt kann nach §. 106 Ж nur positiv werden und zwar tritt das Maximum bei gänzlicher Belastung ein. Entsprechend der Formel 20 wird

27. шах (+ M) = + p (6Ix —    — P), шах (— Ж) = О.

J./V

Für einen im rechten Drittel liegenden Querschnitt tritt nach der ersten der Gleichungen 14 das negative Maximum von Ж ein, wenn der Träger von £ = 0 bis

28. g = Z

Зх — 21

2х — Z

reicht und zwar wird

max (— Ж) =

'S¹«

I

JW

Ъ)?]сЦ

og.

121³

Die Einsetzung des Ausdruckes von g gibt

29. max (— Ж) = —

(За* — 21)⁴

12 (£<315 ^l)³“"

Das positive Maximum von Ж bestimmt man jetzt am besten nach der Regel max (+ Ж) -j- max (— Ж) = Mt, wenn Mt das Moment für gänzliche Belastung bezeichnet. In Fig. 195 & ist die entsprechende Momentenkurve dargestellt.

Die Transversalkraft Q wird auch hier zum Maximum bei derselben Belastung, wie beim Einzelträger. Die Formeln 16 geben durch entsprechende Integration :

30.

f «•«* (+ 0) = + S(l-f4l±xl '

рас³ (21 — ж)

max (— Q) = —

Als Mittelwerthe der Maxima von Ж und Q im Sinne des §. 85 ergeben sich max M = 0,0335 p Z², max Q = 0,275p 7.

2l³

XIII. Kapitel.

Träger mit zwei Feldern.

§. 109. Stützennioment. Bei zwei Feldern ist nur ein Stützenmoment Ж, zu bestimmen. Wir bezeichnen die beiden Stützweiten mit Z und Zt, die vertikale Entfernung der Mittelstütze von der Geraden, welche die beiden äusseren Stützen verbindet (nach unten als positiv) mit y. Alsdann wird nach der Gleichung 13 (S. 96), wenn wir die Glieder mit О vernachlässigen,

— 3 iDZj "7, -f- 6EI₀y ^j -j-    ;

da sich das in dieser Gleichung vorkommende Glied

yx    t) — aus(irücken lasst durch y -j- yj.

зт'1 + ШГ *,) , SJEJI₀y (l + lx) ziai + ßM (C6i + ßi li) Hi’

Bei symmetrischer Anordnung wird lx — l und /3, = cc, mithin

3jm< +Щ") , SEI,y ' CU-

1. жх — —

2. M₁ = —

4CC

Bei konstantem Querschnitte ist а = 1 zu setzen.

Уо. I h

Es wird somit

Zur Bestimmung der Fixpunkte sind auch in den äusseren Stützen Momente auzunehmen, so dass die Gleichung bei gleich hohen Stützen und bei unbelastetem Träger lautet: ylM₀ -f- 2 {cd -f- ßxlx)Mx + yxlxM„ = 0.

Ist M₂ = 0, so wird V = — ~ — 2    5 ^    — 0, so wird

= 2 al    Ist Ъ und ax der Abstand der Fixpunkte im

Mx    yx lx

und а. = гг—

¹ i +t*i

УгУ

linken und rechten Felde, so wird Ъ =

oder

3. b =

yi²

(2cc -)— у) 1 —{- 2 ßxlx Bei konstantem Querschnitte wird

ax =

2cd -f- (2ßx    уx)lx

4. Ъ =

Г-

ai =

3l-\-2lß

Hiernach ist unter allen Umständen Ъ <. j l und ax <4 h- Wenn l = lx ist, so wird Ъ = at — -J- l.

21 -j- 3lx

§. 110. Belastung durch eine Einzellast bei konstantem Querschnitte. Bei gleich hohen Stützen und konstantem Querschnitte wird bei Belastung des ersten Feldes, wenn wir nach Formel 40 (S. 114)

Ш' = G

g - i²)

31

setzen,

5. Mx = — G Ą

i (i⁹ -1²)

2Щ + 1ХУ

Hiernach wird Mx zum Maximum für £ = -j-1 ]/3 = 0,57741 und zwar wird

\/3 Gl2 9 l -j~ 1>x

Transversalkräfte. Im ersten Felde ist Mx=D₀l — G(l — £), also D₀ = y- + G — j-j. Da nun, je nachdem die Last links oder rechts vom Querschnitte liegt, Q = D₀ — G oder — D₀ ist, so wird

6. max Mx — —

= — 0,1926

Gl²

l lx

7.

Last links : Q — — G

«•ч Огл.

*+

»(? + *,)

(*-«

Last rechts : Q — -f- G

^ ,Crey

(,+ł)]

~ 2(l + lx) Ï

Wenn die Last im II. Felde im Abstande g, von der rechten äusseren Stütze liegt, so wird im I. Felde Ql — ВЛ = Mx, d. i.

8. Q = —G %

In Fig. 196 a sind hiernach die Einflusslinien für lx = I dargestellt.

Der Stützendruck D0 ist gleichbedeutend mit Q für eine rechts vom Querschnitte liegende Last. Den Stützendruck Dl auf die Mittelstütze findet man

Â, (г,²-iii

2llx (? + £,) '

Fig. 196.

Сч

leicht durch die Beziehung D₀ -f- X), -f- Д» — G, wobei Mx = Bnl - G (l— £),

M\ = A zi ist- Hier- ijlll

nach wird

liii

'.X

B^ — G

мл м

oder

41

In Fig. 196 a ist auch die Einflusslinie für Bx (für I = lx) punktirt dargestellt.

Die Einflusslinien für beide Oeffnungen haben an der Mittelstütze eine gemeinschaftliche Tangente.

Momente. Wenn die Last im ersten Felde links oder rechts vom Querschnitte liegt, so wird bezüglich M — B₀x —

G (x — £) und M — Bax, d. i.

Fig. 197. Г\Х CL

—o-

зщш

10.

[ Last links :

M=Gi\ 1-j-

2(1+1,) I

I Last rechts: Ж —G-ж

(*- )0

!(*+!)]

Wenn die Last im II. Felde im Abstande von der rechten äusseren Stütze liegt, so wird M = D₀x, d. i.

ii w— _ r xii— lil

^ 211,(1 + 1,) ’

Die Einflusslinien sind hiernach für 1 = 1, in Fig. 197 a dargestellt.

§. 111. Einfluss des Eigengewichtes. Setzen wir in der

Gleichung 2 907" = ЭД7," = ^ gl?, so ergibt sich als Stützenmoment bei konstantem Querschnitte, gleichen Feldlängen und gleich hohen Stützen

12. Ж,— —\ gl".

Im ersten Felde wird nun, wenn wir M‘ = О, M“ = Ж, setzen, nach Formel 3 und 4 (S. 143)

13. 0' = -н|вгг = + 0,37âgl, Q" = -Ągl = -~0,625gl, und allgemein

14. Q = ±g(3l-8x).

Der Druck auf die’drei Stützen ergibt sich hiernach zu -f-gl, j gl und y gl, so dass sich diese drei Stützendrücke wie 3:10 :3 verhalten.

Das Moment wird nach Formel 5 (S. 144) M = j gx (l — x) — О — y glx, d. i.

15. Ж= ^ gx (31 —4x).

Cf

M wird =0 für x=jl —0,751 und zum analytischen Maximum für Q — 0, d. i. für x — y I = 0,3751, und zwar ist

16. ЖахЖ = + gl* = + 0,0703601*.

Das absolut grösste Moment findet an der Mittelstütze statt; dasselbe ist ebenso gross, wie das grösste Moment bei einem einfachen Träger mit derselben Spannweite l, nämlich —

§. 112. Einfluss der zufälligen Last. Wir setzen auch hier nur einen konstanten Querschnitt, gleiche Feldlängen und gleich hohe Stützen voraus.

Fig. 198.

а) Transversalkräfte.

wird

Das positive Maximum von Q tritt ira I. Felde ein, wenn nur der rechte Theil des I. Feldes belastet ist (Fig. 198). Für diese

nach Formel 2 und nach 43 (S. 115)

Ml=-

p (l² — ж²)²

p (l — x)'¹ (l -f- яг)²

161²

16 Г

Setzen wir nun in der ersten der Formeln 8 (S. 146) M¹ = 0, M“ = Ж,, so ergibt sich nach gehöriger Vereinfachung:

f) >•l-

17. шаж (+ 0) =

Bei gänzlicher Belastung ist nach Formel 14 Q — -§p(3l— 8x); nach Formel 9 (S. 146) wird daher nach gehöriger Vereinfachung

18. шах (—Q) — —

iei¹*¹⁰ !

азЛ

14

pl.

b)    Stützendrücke. Der Stützendruck auf die Stütze о wird zum Maximum bei Belastung des ersten Feldes; derselbe ist maxD₀ = A pl. Der Stützendruck auf die mittlere Stütze wird zum Maximum bei gänzlicher Belastung beider Felder; derselbe ist maxDy — ^ pl.

Der negative Stützendruck auf die Stütze о wird zum Maximum bei Belastung des zweiten Feldes; derselbe ist max (—D₀) — ~ pl — A pl =—je pl- Wenn auch das Eigengewicht wirkt, so wird max{—D₀) — -j- gl — pl, so dass Da in Wirklichkeit nur negativ werden kann, wenn j^p    g oder p> 6g ist. Ein negativer Druck

auf die mittlere Stütze kann nicht entstehen.

c)    Momente. Wir unterscheiden im I. Felde die durch den Fixpunkt getrennten beiden Theile.

Erster Theil. Ж wird zum negativen Maximum, wenn nur das zweite Feld, zum positiven Maximum, wenn nur das erste Feld belastet ist (Fig. 199 a). In beiden Fällen wird nach Formel 2, da 90V    = jgpl* zu setzen ist,

Daher wird nach den Formeln 15 (S. 151):

Fig. 109.

19. max (— Ж)

€7

-i.M

<r

CJ.I

16 I

ptl.

20. max (+ Ж)

71

<-

-M

Zweiter Theil. Nach Formel 12 (S. 131) wird, wenn wir b = -i l setzen:

- 4—.

-----.....Х‘--------—)

21. i* = iy â

Für das negative Maxi-аи mum ist der linke Theil des & ersten Feldes bis zu x — |x

belastet (Fig. 1995). Daher ist ffi' — setzen. Nach Formel 2 wird daher

und das ganze zweite Feld pV (W - P)

12 P

und nun nach der zweiten der Formeln 17 (S. 151):

maX(-M) = -XF (i* + 2Г-? - ?)x + X |*(Ï - x).

Setzen wir nach Formel 21 f* = l* {5 — 4 -~Y so ergibt sich nach gehöriger Vereinfachung:

22. max (— Ж) = —

(l3^-20 + sÿ)pP.

Für gänzliche Belastung beider Felder wird nach Formel 15 M — — ~px(4x— 31); daher ist max (-{- M) = — ~px[4x — 3T)

+ jpl (l3x —201 +    oder

i6j-+ -20 + 8+рГ.

⁺ ê(

23. max (+ Ж) =

§. 113. Tabellen. Nach den in den beiden vorigen Paragrafen aufgestellten Formeln sind die folgenden Tabellen berechnet.

Transversalkräfte.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max

(4 Q'i i max (— Q)

0,1

0,2

0,3

0,375

4 0,375 4 0,275 4- 0,175 + 0,075

4‘

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,4375

0,3437

0,2624

0,1932

0,1491

0,1359

0,0898

0,0544

0,0287

0,0119

0,0027

0,0625

0,0687

0,0874

0,1182

0,1491

0,1609

0,2148

0,2794

0,3537

0,4369

0,5277

0,6250

.gl

. pl

.pl

Stützendruck.

max (4 D₀) = 0,3750gl -f- 0,4375pl; max (-f- D,) = 1,25 (g    p) l.

max (— D₀) = 0,3750gl — 0,0625pl

Momente.

Moment

Einfluss V. g

Einfluss von p

max (-f- M)

max (— M)

4-

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,75

4 0,0325 4 0,0550 4 0,0675 4 0,0700 4 0,0625 4 0,0450 4 0,0175

0,8

0,85

0,9

0,95

0,5423

0,7454

0,8885

— 0,0200

—    0,0425

—    0,0675

—    0,0950

—0,1250

0,03875

0,06750

0,08625

0,09500

0,09375

0,08250

0,06125

0,046S8

0,03000

0,01523

0,00611

0,00138

0,00625

0,01250

0,01875

0,02500

0,03125

0,03750

0,04375

0,04688

0,05000

0,05773

0,07361

0,09638

0,12500

.1

■91²

. pV¹

Eigengewicht: max (-f- М) — -f- 0,07031 gl¹ für x — 0,37501. Zufällige Last: max (-J- Ж) = -f- 0,09566pl¹ für x = 0,43741. Mittlere Transversalkraft mittQ — 0,2656gl -f- 0,3287pl.

Mittleres Moment .    . mittM= 0,04948gl¹ -}- 0,07666pl¹.

In den Figuren 196 & und 197 & sind die Transversalkräfte und Momente bei gänzlicher Belastung beider Felder, sowie die Maxima von Q und M dargestellt.

§. 114. Trapezträger mit konstantem Gurtquer schnitt.

Um ein Beispiel für die allgemeine analytische Behandlung hei variablem

Trägheitsmoment des Quer-

-l-

____Schnittes zu geben, behandeln

h\

Cf

wir einen Gitterträger mit zwei gleichen Feldern mit geraden, aber nicht parallelen Gurten konstanten Querschnittes (Fig. 200). Ist die Höhe an den Enden = h₀, an der Mittelstütze h,, so ist allgemein hl — h₀l + (\ — h₀) x und bei dem Gurtquerschnitte f

- "»> ¹]’•

Für das mittlere Trägheitsmoment I₀ wird zunächstJ)

24. l=±fh'= f[K + (’h

1 C dx

T J T

0

21

J [¹. i + iK-K)¹}“

о

dx

f(h, — K) Ut KJ AA’

25. I₀=z~fh₀hr

Der Koeffizient cc wird nun unter Vernachlässigung des Einflusses der Schubspannungen nach §. 56 und 57:

i

3I₀ f x¹dx о

folglich

3 h₀ hx

x¹dx

21

[К¹ + (К — K) «J²

(lognat hyl—

г \

2 (\-кг Uh-к

p dx _

J {a + Ъх)¹~

хг dx

(a + Ъх)г

•si¹.

Ь{а + b x) Г а+_Ъх

L b

+ Const.

ах

^2 lognat (a Ъ ¹)1 + Const.

oder

²K 7    7

^--- lognat

Für eine gänzliche gleichmässige Belastung eines Feldes wird nach der vierten der Formeln 6 (S. 94), da ЭД7 = jqx{l— x) zu setzen ist¹)

26. a —

Ol — ho)

ÄT-I S?⁴

_ I₀q j x- (l — x) dx

о

<łhK c__

i* J [M + (V-*•)*]■ ’

0

x² (l — x) dx

d. i. nach Ausführung der Integration

5    + lix

In folgender Tabelle sind die hiernach für einige Verhältnisse von h0 zu \ berechneten Werthe von a, 907' und Mx zusammengestellt.

2{hx — h₀Y [

2h₀(h₀ + 2hx)

hx ïia

lognat

K]

KY

h₀

шг'

Do

Dx

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,2171

0,3706

0,4923

0,5943

0,6822

0,7596

0,8287

0,8911

0,9479

0,02918

0,04485

0,05530

0,06284

0,06853

0,07290

0,07643

0,07922

0,08162

0,08333

0,1250

0,1008

0,0907

0,0843

0,0794

0,0754

0,0720

0,0692

0,0667

0,0646

0,0625

0,3760    0,7500

0,3992    0,7016

0,4093    0,6814

0,4157    0,6686

0,4206 I 0,6588 0,4246    0,6508

0,4280    0,6440

0,4308    0,6384

0,4333    0,6334

0,4354    0,6292

0,4375    0,6250

. qV

•qV

. ql

Die Stützendrücke werden bei gänzlicher Belastung des linken Feldes Da = ^ ql + f, D, = ~ql    D, = M'

D₀ und Dx sind in der vorigen Tabelle mit angegeben. Bei gänzlicher Belastung beider Felder werden Mx und Dx doppelt so gross.

Bei Belastung durch eine Einzellast G, welche im linken Felde im Abstande g von der Stütze 0 liegt, wird für die linke Seite Ш1 — G (I — I) x, für die rechte Seite = Ш1 = G£, (l — x), daher

von

i) Es ist allgemein:

p X³ dx _ 1 Г

J (a + b X)г    V L

a-x

b {a ■+ hx) Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

l. *

Die Werthe

.+ lognat (a + üa;)J

+ Const.

1 Г.

№' =

I⁴ [с-в/

о

X¹ dx

X (l — x) dx

гс² dx

„ f x^dx ,    Ç x dx 1

Ч -г + гЧ -т\-

⁰    I

Setzt man I₀ = j fh₀hx, Ilq = j f[h₀l -f- (ht — ü₀)æ]², so gibt die Ausführung der Integration:

28. $Щ'

2 Glh₀hx

t    ^    ”1

11 2h₀jlognat j¹ — 2 h₀ lognat у— (hx -h₀)j- lognat — ,

L ^ 'h    К    l "iJ

(fli—K)

wenn h die Trägerhöhe an der Stelle bezeichnet, an welcher die Einzellast liegt. Nach der Formel 2 wird jetzt, wenn man auch den Ausdruck für a einsetzt,

£ ftp J

29. ЛГ, = —    У<1 ~A1

2h₀

К lO0na* ho

Mh,

2h₀ i . л,\

ï-V- lognat 1

hx — h₀ J hj

Die Tabelle auf folgender Seite enthält die Werthe von Mx für einige Verhältnisse von h₀ zu hx und £ zu l.

Für hQ = 0 ergibt sich sehr einfach

30. M. =~ Gl j- lognat ~,

lognat x

wenn man beachtet, dass

es wird daher

lognat x d lognat x _

dx

Fig. 201.

o.

Л CL

0,}

für x = oo die Form Щ annimmt;

— = 0. In Fig. 201a sind die

Einflusslinien für Mx dargestellt und zwar für hn = 0 0,2 0,4 0,6 0,8 l.\. Alle Linien haben an der Mittelstütze G eine gemeinschaftliche Tangente, da sich nach dem Ausdrucke 29

fur i = l T? =

y G ergibt. Für

die Stützendrücke ergibt sich jetzt: D₀1 = G (l — I) + Mx, Dxl = Gt + 2MX, D₃l — Mr Die Einflusslinien für D₀ und D, sind in Fig. 2016 dargestellt und zwar für h₀ — 0 0,2 1. hx. Alle Einflusslinien für JD haben an der Mittelstütze eine

gemeinschaftliche horizontale Tangente. Die weitere Behandlung, auch die Untersuchung des Einflusses der Höhenlage der Stützen, ist jetzt ohne Schwierigkeit durchzuführen.

Lr

Ci

ft. £

'S?

~|

Ci

cT

Go

Kl

oo ej ft. ю

0,1609

0,0902

0,0710

0,0601

0,0532

0,0480

0,1833    0,1532

0,1337    0,1291

0,1137    0,1172

0,1007    0,1086

0,0913    0,1018

0,0840    0,0960

Ъ Ъ> Ъ> Ъ> "о "о

кг к* кг оо оо

ÎO СЛ Ci «О Ъ Ci С) Ci ^ Ci Ci łO

о о о <c> о

. Gl

Die von uns vorausgesetzte Trägerform wurde zuerst von Baensch für eine gänzliche gleichmässige Belastung untersucht (Zeitschr. für Bauw. 1857). Eine Trägerform, bei welcher sich die Trägerhöhe nach dem Gesetze hl² = h₀1² -j-{h,—h₀) X {21 — X) ändert (parabolische Gurte) wurde von Michaelis untersucht < Verhandelingen van het k. Instit. van Ingenieurs, 1867—1868.

¹

Es ist allgemein:

§. 115. Träger von konstanter Höhe, aber veränderlichem Querschnitte. Bei konstanter Höhe Ъ kann man für einen Gitterträger setzen. Wenn man nun unter irgend einer Annahme, etwa eines konstanten Trägheitsmomentes, die Spannungen in den Gurten und hiernach f bestimmt, so kann man nach §. 62 und 63 die genauere Behandlung durchführen. Wir wollen hier noch eine allgemeinere Behandlung durch Einführung eines Näherungsgesetzes für 1 geben.

Wir setzen unter Annahme zweier symmetrischer Oeffnungen bei gänzlicher gleichmässiger Belastung mit g -j- p pro Längeneinheit

31. Mx — — Te (g p) l².

Alsdann ist bei blosser gänzlicher Belastung der linken Oeffnung

32. M, = -

k(g +^р)р-

Bei dieser Belastung entsteht innerhalb der Pixpunkte der linken Oeffnung (zu denen die linke Stütze gehört) das grösste positive Moment.

Dasselbe ist M = ^ (g + p) x (l — яг) -f- Mx у oder

33. max (+ Ж) = 4- [(1 — 2h) gl + {1 — h) pl — (g 4- p) ®] яг.

Dieser Ausdruck gilt bis zu dem Punkte, in welchem für eine gänzliche Belastung beider Felder oder für das Eigengewicht M — 0 wird.

15*

Bezeichnen wir das x dieses Punktes mit xv so wird 0 = {1 — 2k)l — xx, also

34. xt =(1-2 k) l.

Für x > xx ist das negative Maximum von M grösser, als das positive. Der genaue Ausdruck für dasselbe ist indess weniger einfach. Wir wollen deshalb annähernd

max (— M) = ~ (Al — Вx) x &

Fig. 202.

setzen. Wir bestimmen die Konstanten A und В so, dass der Werth von max(-M) 33 für x — xx und x=l richtig wird. Für

x = Xj wird max (— M) = — max (-f M) — — j p [{1 — к) l — xt ] xx — — у kplx! und für X = l wird max (— M) = — к {g + p) V¹. Demnach ist zu setzen j (A — В -f- 2 к В) I x, — — kplxx und j~ (A — B) l* — — к {g -f p) l* oder

A — B -j- 2k B — — kp,

— — 2k {g -f p).

Hieraus folgt A = (1 — 2k)g -f j- (1 — 4k) p und B — g j P, mithin

35. max (— M) — ~ [2 {1 — 2k) g l -f (1 — 4k) p l — (2g + p) x\ x. Setzen wir nun zur Abkürzung

а, = (1 — 2Щ L +

— ~Wh’ als0    = Т

А~

36.

und f =

--?:ж

-Ь

t0l K,

i. —

+Ł

2q

Mh

, wobei das Zeichen — für das Zeichen für x > x, gilt, so wird, wenn wir noch

x <L xx

³ — = G setzen (Fig. 202) :

4K

x < xxi I — C (al — Ъ x) x; x> xx: 1= — С (uxl — bxxx) xx. Hiernach wird nun *)

») Es ist

J' AAA— ——    ^ lognat (al — bx) + Const.

Г^ — x) d* _ * (a b)l i₀gnat(ai — bx) + Const. J al — bx b    b*

r x (I — x) dx _ (a — b) Ix x*_ a (a — b) 1г Jat — b x    b‘    2 b    b*

lognat (ut — bx) + Const.

38. a —

*1

[f.ï

о

X dx

Ъх ja₁l — blxl

X dx

31Л X, al

üV\~b~¥‘l09nat

■ri

al — Ъхх

l — xx ax l

b?l°9nat{a

und für gänzliche gleichmässige Belastung des ersten Feldes

al

axl— Ъххх

-bx)l

xi

[J

о

да. j)t    p—+ — +

(q, — bt)l(l — xt) l² — xx"

Ш'

X (l — x) dx al — Ъх

x (l — x) dx

xi

q, l — bXy

q (q — Ь) l²

, d. i.

al — Ъхх

lognat-J

Gj V

W¹

q,(q, —5, ) V¹

lognat

axl — 6, x.

Setzen wir zur Abkürzung

a\ — j m

2g p __

(ä, — ь,) г

₂ — n, so wird a = l — hm, — 21, Ъх — j m. Für gänzliche Belastung beider Felder

wird nun Mx= — d. i.

40. Ж =

ql²

A-\-km (1 — km) lognat —

— km

kn

8 к (:m — 4 k)

m³

lognat —r—

2 — m

— km) lognat — wenn zur Abkürzung gesetzt wird

— km

2 {m — 4 k)

41.

2 ’

lognat —-

2 — m

B = ~ l2k (² + ш) — ш].

kn

m?

A~m¹ [i67c*~ 4km +1ш*~

Da nun Mx — — hql* werden muss, so erhält man zur Bestimmung von Je die folgende Gleichung:

42. 2kB — A-\-k(2 — m) (1 — km)lognat —

4k (2 — m) (m — 4k)

— km

kn

m³

lognat ₀

/V

die natürlich durch Probiren aufzulösen ist.

Wenn p = 0 ist, also das Eigengewicht allein wirkt, so wird m ■— 2, n = 0. Die beiden Glieder mit den natürlichen Logarithmen erscheinen dann in der Form O.oo; in bekannter Weise findet man, dass diese Glieder 0 werden. Es bleibt also 2hВ — А — 0. Für = 2 aber wird А — j — 6h -f- 12h*, В = — 1 -f- 4h. Dies eingesetzt, gibt 8h² — 8h -\- 1 — 0 oder

= 0,1464:.

43. к =

Für g — p oder m = 1,5, n — 0,5 ergibt sich h = 0,1392. Für g = О oder m = 1, n == 1 wird h — 0,1346. Allgemein wird hiernach nahezu

44. к = 0,1458 ^ + 0,1340

In dem Falle ungleicher Höhenlagen der Stützen tritt nur der Unterschied ein, dass nicht mehr der Ausdruck 40 für Mt =—hql”>

sondern der Gleichung 2 entsprechend, dieser Ausdruck = — ]cql^— zu setzen und aus dieser Gleichung Je zu bestimmen ist. In der Gleichung 42 ist dementsprechend auf der linken Seite Ą- 2CEly —

hinzuzufügen. Für p = 0 ergibt sich, wenn man zur Abkürzung EJeqly = 8Ke setzt,

45. к —

2 +2£ — У 2 + 8E + 4E'¹

Wenn sich die Gurte durch staffelförmige Anordnung und durch Verstärkungen der zu schwach erscheinenden theoretischen Querschnitte mehr dem konstanten Gurte nähern, so nähert sich natürlich Je mehr dem betreffenden Werthe für einen konstanten Querschnitt, bei gleicher Höhenlage der Stützen also mehr der Zahl 0,1250. Namentlich bringt die Verstärkung der Stelle D und E, an welcher für das Eigengewicht M = 0 wird, eine wesentliche Veränderung von к hervor.

Hat man den Werth von Je und damit die Werthe von а, Ъ, av bt bestimmt, so kann man auch leicht den Einfluss einer Einzellast unter-

X dx — bx

suchen, da die vorkommenden zu behandeln sind.

Г ,

błegrab U

und

C{1 — x)dx J al — bx

leicht

vom

von Koeffizienten für derartige und andere Trägerbei Drehbrücken macht Frankel im Handbuch der Ingenieurwissenschaften, II. Band, Brückenbau, II. Abth., Leipzig 1882.

Die Träger konstanter Festigkeit bei konstanter Höhe und bei gänzlicher gleichmässiger Belastung aller Felder wurden zuerst von Grashof (Die Elastizitätslehre, I. Aufl., Berlin 1866) behandelt; etwas vervollständigt wurde diese Behandlung Verfasser (Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867). Angaben

§. 116. Günstigste Höhenlage der Stützen bei konstanter Trägerhöhe. Wir wollen nur zwei gleiche Felder voraussetzeD.

1. Günstigste Höhenlage bei konstantem Querschnitte. Das absolute positive Maximum des Momentes tritt im ersten Felde bei gänzlicher Belastung dieses Feldes ein, während das zweite Feld unbelastet ist. Hier ist in Formel 2: Ш' = jgigĄ-p)^, $Ш,"—-^gl*¹ zu setzen; es wird sonach

231

46. Ж = -

(2 g Р)    « ЗЕ1у

16    *"

i* *

Für einen beliebigen Querschnitt ist das Moment M= D₀ x — ~ (g Ą-p) x*\

Ж wird daher zum Maximum für x — ~dasselbe ist Max(-\-M)

Nun aber ist Afj = D₀1 — у (# -f- _p) Z², also

(dff+ ?1>H , 3 Ely l    16

Do²

-2 fg + jp) *

гз ’

folglich

47. Ж«ж (+ Ж) = +

(6g + 7p) I ЗЖ1уТ

i?

Das absolute negative Maximum von M tritt an der Mittelstütze bei gänzlicher Belastung beider Felder ein. Da hier SDP = 20V' — ~jg(g + p) V¹ zu setzen ist, so wird

48. Max (~M) = Mt =---(g + p) V- + ³^*~- •

Setzt man die absoluten Werthe beider Momente gleich und ordnet nach Potenzen von «/, so erhält man als Gleichung für den zweckmässigsten Werth von у

OE*!'¹ y¹ 3EI (22g 4- 23p) у    (28g¹ -f- 44gp -f- 13p*) £² n

la

81*

256

oder

49. у =

(— 22g — 23p + 4]/32g¹ + 66 gp + 34p ) l⁴

48 EI    '

Hiernach wird y stets positiv, so dass eine Senkung der Mittelstütze anzuordnen wäre. Für die beiden Grenzen g = 0 und p = О wird hiernach:

p — О \у —

4 Y34 —23 ql*

48

E1 = 0,00675

МахМ = 0,1048 ql*, 8 У2 — 11 ql*

24

E1 = 0,01307

ql*

ЕГ

qV

ЕГ

МахМ — 0,0858ql*.

Die Yergrösserung des positiven Maximalmomentes beträgt hiernach

9,5 bis 22,1 Prozent, die Verminderung des negativen Maximalmomentes 16,2 bis 31,3 Prozent. Die Transversalkräfte verändern sich hierbei um 0,0203ql bis 0,0392ql, wobei sich im I. Felde die positiven vergrössern, die negativen vermindern; die Aenderung der positiven Maxima von Q beträgt 4,6 bis 10,5 Prozent, die Aenderung der negativen Maxima 3,3 bis 6,3 Prozent.

2. Günstigste Höhenlage bei veränderlichem Querschnitte. Die für verschiedene Senkungen und Hebungen nach §. 89 und 85 unter der Voraussetzung eines konstanten Werthes von I bestimmten mittleren Momente und Transversalkräfte sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

Mittleres Moment mitt M

Mittlere Transversalkraft mitt Q

Senkung. Hebung.

—    0,050

-    0,025

-f 0,025 + 0,050

0,2806    0,3455    0,0499

0,2725    0,3365    0,0488

0,2656    0,3287    0,0495

0,2600    0,3236    0,0520

0,2556    0,3205    0,0566

0,0745

0,0709

0,0708

0,0744

0,0829

qV

3HI

• gl

. pi

-gl*

.pl*

Hiernach erhält man nahezu allgemein, wenn man zur Abkürzung

Ely

к setzt,

lmittM= [(0,0495g -f 0,0708p) + (0,201g -j- 0,252p) x 50.J    + (.73,5 g + 28,4p) x²] l*,

mittQ = [{0,2653g Ą- 0,3287p) — 0,75 (g+p)%-\-(9,0 g+15,5p) x²] l.

qV

Würde es auf die Momente allein ankommen, so würde die vortheil-

d mitt M _    • i л •

——— = 0 wird, d. l. eine

hiifteste Höhenlage diejenige sein, für welche Hebung von der Grösse:

0,201g + 0,252p gl4 27,0g -f 56,8p EI '

Für g = 0 und p — 0 wird bezüglich y — 0,0044

51.

qV

und

EI

у = 0,0075 -prj', das mittlere Moment würde hierdurch um bezüglich

0,6 und 1,4 Prozent vermindert, während die negativen Maximalmomente bezüglich um 10,6 und 11,7 Prozent vergrössert würden.

Wie bemerkt, ist bei Bestimmung von mitt M und mittQ der Werth von I konstant vorausgesetzt. Eine genauere Bestimmung würde nach dem vorigen Para-grafe zu erfolgen haben. Indess ändern sich unter der Voraussetzung eines veränderlichen Querschnittes bei konstanter Höhe die Werthe von mitt M und mittQ nur sehr wenig. In dem Falle einer gänzlichen Belastung beider Felder ist unter der Voraussetzung eines Gitterträgers von konstanter Beanspruchung in allen Querschnitten eine genaue Behandlung möglich, wie bereits im vorigen Paragrafe an-

geführt wurde. Durch dieselbe ergibt sich, dass sowohl bei einer Hebung, als bei einer Senkung der Mittelstütze eine Vermehrung der Materialmenge eintritt, dass also die kleinste Materialmenge für у = 0 entsteht (Winkler’s Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867).

§. 117. Einfluss der Wärme. Setzen wir eine symmetrische Anordnung beider Oefluungen voraus, so wird lt — l, ßt — a und die Gleichung 5 (S. 171) gibt

52. Ж, =

3EIĘt ‘iah

M

Das Moment in einem

Jeder Stützendruck auf eine Endstütze ist nun D₀ = Д₂ = — der Druck auf die Mittelstütze D, = — 2 beliebigen Querschnitte des ersten Feldes wird

M — D₀æ = fl/, - .

Bei konstantem Querschnitte jedes Gurtes eines Gitterträgers würde I₀ = ~ fh*. Da hier a = l ist, so wird fl/, == j Estfh. Die grösste spezifische Spannung N wird hiernach

= § F Et. 4

53. JV =

fh

Für E = 2000 Ton. pro Qcm, s = 0,000012 wird hiernach N — 0,018t, also für t — 10N — 0,18, d. i. ungefähr 21 Prozent der Beanspruchung durch die Belastung.

§. 118. Verbindung mit einem Dreiecks-Hänge- oder Sprengwerk. Das Dreiecks-Hänge- oder Sprengwerk, durch welches

Fig. 203.

der Balkenträger in seiner Mitte unterstützt werde, besteh,e aus einem Spannriegel AB (Fig. 203) mit der Querschuittsfläehe F, Zugbändern oder Streben mit der Querschnittsfläche F, der Länge l und dem Neigungswinkel r und einer Vertikalen CE mit der

zwei

«e

■It

■Y:

—4r

5-

\r

-2Ц

Länge rj und der Querschnitts-fläche f. Der Balkenträger kann hierbei auch gleichzeitig als Spannriegel wirken. Die Spannung sei bezüglich H, S, V, also die Längen-

änderungen bei gleichem Elastizitätskoeffizienten E bezüglich

Sk Vr,

EF' Ef’

2 Hl EF, ’

Ein in C auf CE geübter Druck 1 erzeugt bezüglich die

Spannungen —j cotant, j cosecx und —1. Die Senkung y des Punktes В findet man somit nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit durch die Beziehung 1 . y =

wenn Ey, Д,, E₃ die bezüglichen Elastizitätskoeffizienten bedeuten. We*nn der vom Balkenträger in G geübte Druck = В ist, so wird 1

54. II — —— E cotan x,

Dies eingesetzt gibt

2 Hl

2EtFa

cotan г -j-

2 Sk

2 E₂ F

cosec x

Vy

EJ’

- D.

55. y —

El

2>,

wenn man zur Abkürzung

56. A —El

l cotan* T . Я cosec4, T ' 2 Éy Fn ⁺    2 Ez F

+*)

setzt, worin E den Elastizitätskoeffizienten des Balkenträgers bedeuten soll. Bei der Konstruktion Fig. 203 h ist natürlich Ex = E. Nach der Gleichung 28 (S. 104) wird nun

57. В = SD —

2My

wenn SD den auf C geübten Druck für den Fall bezeichnet, dass statt des kontinuirlichen Trägers AB zwei Einzelträger AG und B G vorhanden wären. Die Gleichung 2 geht hierdurch über in

3(Я№' + ЗОЕ,н) , 3AInS) 6AInMy

M. = —

cd³

cd⁴

Somit wird

58. My — -

59. I) — -f

3 (Ш' + Щ ) — 2ъа⁽£>1 4&(1 + ус)

з(ЗИ' + Я№,“) + 2a<&i

2&(1А-Ъ)1

wenn man zur Abkürzung setzt:

6AI₀ __6I₀ (El cotan-T CtG — al* V 2EyF₀

60. X =

E^cosec^T i Ey \

2E„E

Hiernach ist bei jeder Belastung В positiv, so dass В und hiermit auch H, S und V am grössten bei gänzlicher Belastung beider Felder wird. Bei gänzlicher gleichmässiger Belastung mit g 4- P pro Längeneinheit wird unter Voraussetzung eines konstanten Querschnittes (ce = 1): Щ}' = SOÎ," = Д (9 + P) p, ® = (J) + p) l, folglich

.. _ 5 (fl + />) !

— 4(< + X)

Für das Moment in einem beliebigen Querschnitte wird Ml — jf (9 4" P) $ — x) 4“ Mx, d. i.

61. M. =

8{1 + X)

62. Ж = (<7 + Р) ж

8(1 + Ю

[(3 + £X)Z —4(2 + Х)я].

Für % = 0,25 wird Мх — 0. Hier verhält sieh also der kontinuir-liche Träger bei gänzlicher Belastung beider Felder ebenso, als wenn er bei C getrennt wäre.

Liegt im linken Felde eine Einzellast G im Abstande £ von der

Stütze Ä, so wird M'l = Gi (1“ — 5“), 3»,"= 0, ©! = <?& folglich

21³{1 + X) '

es.    ■»=

Dieselben Ausdrücke gelten auch noch, wenn die Einzellast G im zweiten Felde im Abstande | von der Stütze В liegt.

Für einen Querschnitt des ersten Feldes im Abstande x von der Stütze A wird nun, wenn die Last auf der linken Seite des Querschnittes liegt, Ml — G% (l — x) 4- Mxx und wenn sie im ersten Felde auf der rechten Seite des Querschnittes oder im zweiten Felde liegt, Ml — Gx(l — g) -f- My x. Demnach wird

Last links:

Last rechts:

64.

G£(l-x) Gxill — 27t)l⁹—£*] 4(1 + УС) l3 G(l-£)x Gx£ [(l-27C)l* - J²] I    4 (1 + X) Î⁶ ’

4 (1 + X)~l³

Last im zweiten Felde : M— —

Gxj[jl - £X)/²-|²]

wobei im zweiten Felde g den Abstand von В bedeutet. In Fig. 204« sind hiernach die Einflusslinien für к — 0,25 dargestellt (für к = 0 zeigt Fig. 197« die Einflusslinien). Für die Lage der Last im I. Felde wird M nur positiv, wenn der Querschnitt innerhalb der Strecke AD liegt, wobei der Punkt D durch die Bedingung bestimmt

Fig. 204.

л

.*•

Ai

/л

Ftp

МПц

Г4-

—О 0 -0-

I) CE

: j Ч!У I

Mi l" j

ist, dass für die Lage der Last auf der linken Seite (für % = 0) =0 sein muss. Dies gibt

65. A D = xx —

4 (1 + x)l 5 + 2x '

Im zweiten Felde gehen alle Einflusslinien durch denselben Punkt F. Nach der dritten der Gleichungen 64 wird

66. BF = £, =iyi- 2x.

Wenn к = j ist, so wird BF —0 und AB = l Ist x > y, so kann

für jeden Querschnitt eines Feldes bei Belastung dieses Feldes M positiv werden.

Für eine gleichmässige Verkehrsbelastung ist für das positive Maximum von M die Strecke CF, für das negative Maximum die Strecke B F des rechten Feldes zu belasten. Für die blosse Belastung des rechten Feldes ergibt sich leicht durch entprechende Integration des dritten der Ausdrücke 64:

nur

max (-f- M) — -{-

px(P-^²)[(4x-l) Z² + S,²] 16 (.1 + x) P

max (— M) — —

pxtx'[2{l-

16 (.1 4- x) P

oder, wenn man den Ausdruck 66 für £, einsetzt,

ypplx

, max{—Ж)=

(l — 2X)⁹plx

16 (1 -f X)

Für einen innerhalb der Strecke AD liegenden Querschnitt ist hinsichtlich des positiven Maximalmomentes das linke Feld ganz zu belassen. Für diese Belastung ist Ш' — ^рГ², ЭД7," — Or = j pl, also nach Formel 58

(1 — 4%) pl"

16 (1 + xj~'

Für einen beliebigen Querschnitt wird Ml = ^plx(l — x)-\-Mxx, d. i.

68. max (+ Ж) =

px

\(7+12K)l-8(l + X) xl

16(l+x)

Für einen innerhalb der Strecke CD liegenden Querschnitt dagegen ist vom Nullpunkte der Einflusslinie aus bezüglich der rechte oder linke Theil zu belasten. Dabei ist das | des Nullpunktes nach der ersten der Gleichungen 64 bestimmt durch 4(l-\- x)P(l — x) — x[(l—2x) P—g²] = 0 oder

69.    £ = I {b -f 2x)

Durch entsprechende Integration erhält man p(l — x) Г

max (— M) —

pxlSl (J_— 2 x) P-Ï²]

21

16 (1 + x) l³

oder nach Einsetzung des Ausdruckes von £

plx

Das positive Maximalmoment erhält man jetzt am besten nach der Kegel max (-(- M ) +■ max ( — M) — Mt, wenn Mt das Moment für die Belastung des ganzen ersten Feldes (nach Formel 68) bezeichnet.

Die Kurve für die Maximalmomente ist hiernach in Fig. 204b finît = 0,25 dargestellt.

Das wirkliche positive Maximum von M unter Berücksichtigung des Eigengewichtes und der Yerkehrsbelastung erhält man durch Addition der Ausdrücke 62 (p = 0), 67 und 68 zu

71. max (-|-Ж ) =

/6*(/+Х)

[{(6-МвХ)0+(Г+1«Х+4Х*)р|г — S(l + X)(ff + ł»)*l.

Das absolute Maximum ergibt sich hiernach zu

[(6ł + ^gX)j/ + (7+ 12Ъ+4Х²)рТ1* 512 (1 + X)² {ff + p)

Durch Bestimmung von Max (-J- M) für einige Werthe von л ergibt sich, dass sich annähernd, indess ziemlich genau, setzen lässt:

73. Max (-(- M) — [(0,0703 + 0,216л) g + (0,0957 -h 0,144л)р] Г. Das absolute negative Maximum von M findet an der Mittelstütze statt. Nach den Ausdrücken 61 und 67 wird dasselbe

[(1 - 4X) gr + (1 -2ХУР1 lq

8 {1 + X)

74. Max (— Ж) = —

Indess ist der absolute Werth von Max (— M) in der Regel kleiner, als der von Max (-f- M).

Bei der Untersuchung ist die bei der Konstruktion Fig. 203 b im Balkenträger wirkende Axialkraft vernachlässigt, da wir in diesem Hefte auf die Fälle, dass ausser den Normalkräften auch Axialkräfte thätig sind, nicht eingehen wollten. Wenn indess die Zugbänder AE und BE mit dem Balken durch Bolzen verbunden sind, welche in der Axe des Balkens vertikal über den Lagern liegen, so können die aufgestellten Eegeln immerhin als Näherungsregeln angewendet werden.

Diese Konstruktionen wurden zuerst mit Rücksicht auf die ungünstigste Belastung behandelt von Frankel (Schiebebühnen und Drehscheiben, Prag 1872) und Mel an (Zeitschr. des österr. Ingen.- und Arch.-Yer. 1876).

XIV. Kapitel. Träger mit drei Feldern.

§. 119. Stützenmoinente. Wir wollen eine symmetrische Anordnung des Trägers voraussetzen, so dass die Länge Z, der beiden äusseren Felder gleich ist. Die Länge l des inneren Feldes sei = nlx. Die

Gleichung 14 (S. 97) gibt sodann, da der Symmetrie halber ßq = a₂, ß₃ = a, ist,

1.

5 (o, + na„) Ж, + »y₂ Л/в = — 3 (ÜR#, + »t;'), nygM^ -j- 2 (»«2 -\- ax) M„ — — 3 {niЩ'„ +

Die Auflösung gibt :

2.

ж₂=-|

в m, '+n mq 2 (^,+n о—3 (к m,4-%i₃") ” ^

4 (tó, + ncc.j}'¹ — п-у<?

3 (Ш7, '+ n Wlq“) n yq - в (n Wh + ЯЯ,")(*,+п<ц,)

4 (tfsx + n^₂)² + n'^₂²

Bei konstantem Querschnitte wird «, — a₂ = y₂ = 4, mithin

б (Ш1/+ ii 9)7,") (J + n) - 3 (пШУ + %t₃“) ^

3.

(£ + n) + #w)

3 (3»/+пзкл n —6 (n    зду') (i + n)

(£ + n) (2 + 3 n)

ап-

Wenn behufs Bestimmung der Pixpunkte die Felder unbelastet genommen werden und das Moment an der Stütze 0 zu Null, das Moment M₃ an der Stütze 3 dagegen nicht = 0 angenommen wird, so ist 2 (orA + nocq) Ж, + nyqMq — 0 und nудЖг -J- 2 (a,-f- wa₂) Ж₂ -\-yxM₃— 0. Hieraus folgt, da [is Mx = — Ж₂, /х₃ Ж₂ = — Ж₃ ist,

_ 4 («, -f- »гк₂)² — ngya8 £ (а, 4- »ßj у,

Da nun {1 4- ft₂) а2 = h (4 4- ft₃) аз — Uü(i av = h> аз ⁼    ^

so wird

^2 -

2 (a, -f »œ₂)

»    ^3

2 (Л, + n<%o)

4.

( «3 —Ь_ ,___

¹1 h 2 (cc{ + n aa) -f 4 (л, + n cc.,y — wVe

&2 ₌______

г £ (CC, + H C6g) + ny₂ '

Bei konstantem Querschnitte wird

h-__

1, ~ 6 + 10n + 3n⁹'

I az _

\~l~

nyq

\h

2 (1 + n)

5.

aq_Ъ

l ~ l — 2+3n'

Hiernach liegen diese Verhältnisse stets zwischen 0 und

§. 120. Einfluss des Eigengewichtes bei konstantem Querschnitte. Setzen wir in den Gleichungen 2: Wlß = Ш₃=^ glx*, Wtq = Ша“ = -jj gl*, so erhalten wir

1 -f- n³

6. Ж, = Ж = —

у fl,³ + *³) _ _

4(2ll + 3l)~~    4(2 + 3 n)

Die Transversalkraft wird im I. Felde nach Formel 3 (S. 143), wenn wir M‘ — 0, M¹¹ = Ж, setzen,

h    _ I 3 + 6n~n³    ₇

4(^+3w) ^ und sodann für einen beliebigen Querschnitt Q — Qx—#;r. Im II. Felde wird Ж, = itf₂, daher

Qx* =

S + 6n + n³

4(2 + 3ti) gli

fei

und für einen beliebigen Querschnitt Q —    — gx = j 9(1— -2#) wie

beim Einzelträger.

Der Stützendruck D₀ auf die Stütze 0 ist = Qx\ Der Stützen-die Stütze 1 ist nach Formel 28 (S. 104): Dx —

5 + 10 n -j- 6n* -f- n3 4,(2 -f- Sn)

Das Moment wird für einen beliebigen Querschnitt nach Formel 5 (S. 144) im I. Felde, wenn wir M‘ — 0, M“ — Mx setzen,

8- <&' = +

gi>

Qxu =

druck Dx

Qv - QA

cs- C3

•    l-*5

i.

9. Dx =

9 h-

10. M — M.

Tx+jï9x(h

— X)

und im II. Felde, wenn wir M‘ = M“ — Mx setzen.

11. M = Mx -f- ~ gx (l —- x).

Transversalkräfte und Momente sind in Fig. 153 und 154 für l = l,2lx grafisch dargestellt.

§. 121. Einfluss der gleichniässigen zufälligen Belastung bei konstantem Querschnitte.

a) Transversalkräfte. I. Feld. Das positive Maximum von Q tritt ein, wenn Z\ der rechte Theil des I. Feldes und das ™

III. Feld ganz be-lastet ist (Fig. 205). A Alsdann ist in Formel 2 $£,' = p (l,¹ — a?T 121,¹ 3

Зй," = О, <Ш₃" =

plx* zu setzen.

Daher wird, wenn wir noch zur Abkürzung Y~m setzen,

Fig. 205.

m,; =

-e

-Ir

------->=

-9

<:--JG--->

12. Мх — —

2(1 + т)(1 — т°+

4(2 - п) (2 + Зп)

— п

Гг— Р\ •

In den Formeln 8 (Seite 146) ist nun M‘ — О, M“ = Mx zu setzen,

daher wird

13. max (+ (J) = —

G

*(*-*)■

Für gänzliche Belastung ist $ durch den vorigen Paragraf bestimmt ; bezeichnen wir dieses Q mit Qt, so ist max(—Q) = Qt— max (-j- Q). '

II. Feld. Nach den Gleichungen 3 wird allgemein

m_m — s Шг' + * (3V - шу) - шу

²¹    2 + n

рхг (l — х)г

W-, daher

Das positive Maximum von Q tritt bei der Belastung des II. Feldes ein (Fig. 205). Für diese Belastung ist = ^£>Zt², SW.,' = 0 und nach 43 (S. 115)    — 2Ra' =

Ma — Mx —

1 — 2n³ m¹ (1 — m)²

pl<?.

Nach 8 (Seite 146) wird demnach

14. шах (+ Q) — -f-

4n (2 + ri)

plx.

Hieraus ergibt sich max(—Q) ohne Weiteres durch Verwechslung von m mit 1 — m und Veränderung des Vorzeichens; also ist

1 + 2ппт~ [2 4- n — n {1 — m)*²]

15. max (— Q) = —

4n ( 2 + ri)

Ъ) Stützendrücke. Hiernach lassen sich nun auch leicht die Maxima der Stützendrücke bestimmen. Für eine unmittelbare Ermittelung bestimmt man am besten zunächst die negativen Maxima. Für die Stütze о wird der Stützendruck zum negativen Maximum bei Belastung des II. Feldes;

für diese Belastung wird nach Formel 2 Mx = — 3 2n ^4^4 3n)

npV _ n³plt²

~ ~ 4(2+3n) ~ ~~ 4(2+3n) * n³p lt

lt    4(2 + 3n)'

tiven Maximum bei Belastung des III. Feldes; für diese Belastung wird

ЗпШ₃"

(2 4 n) {2 + 3ri)

6(1 + n) ä)t₂" _    (1 + n)plS

(2 + n)(2 + 3n)~~    2(2-\-n)(2 + 3n)

D₀ (l -f lx) + Dx l ist, so wird Dx — Мг

(l + n)plt 4n(2 4 3n) *

Mt

— n'W‘,

Da aber Mx = D„ lx ist, so wird D₀ =

Für die Stütze 1 wird der Stützendruck zum nega-

nach Formel 2 M. — —

Also ist

npl,⁵

4(2 + n)(2 + 3n)

; da nun aber Mx—D₀lv = (l 4 b)_

-A,

l “f* Zj _ M2

ut

n³

max (— Z)₀) = —

16.

max (— Z>,) = —

Plv

plv

plv

4(2 +3n) 1+ n

4n (2 + 3ri)

Durch Subtraktion dieser Ausdrücke von den Stützendrücken für gänzliche Belastung ergehen sich die positiven Maxima der Stützendrücke, u.zw. :

3(2+ 5n + 2nq)

4(2 + n) (2 + 3ri)

1 + 6n -f 10n* + 6ri³ + nx

Pix

max (+ 2>₀) =

17.

4(2+ 3ri)

Wenn das Eigengewicht und die zufällige Last gleichzeitig wirken, so werden die negativen Maxima :

max (+ 2>,) =

max (— D₀) =

18.

h,

max (—Z),) =

Hiernach kann D₀ nur negativ werden, wenn

3 -(- 6 n — n³

h-

(5 -f- 6 n — n³) g — n³ p 4(2 + Зп) n (5 -j-10 n -f- 6 nq -f- n³)g— (l-\-n)p

4n (2 -j- 3ri)

n³

19.    -£>

9

ist; ebenso kann ü, nur negativ werden, wenn

20.

n (5 -f- 10 n -}- 6n*    n³)

1 -f- П

1,0    1,5    2,0    2,5 2,670

0 .g

ist. Hiernach ergibt sich für einige Werthe von n: n = 0,5

Fig. 206.

für D₀: p > 47,00 8,00 2,56 0,88 0,15 für D, : p > 3,88 11,00 22,12 38,00 59,37 68,04 . g.

c) Momente.

I. Feld.

-M

Erster

Th eil. M wird zum ,-fovj. positiven Maximum bei Belastung des IL, L und zum negativen bei Belastung des I. und III. Feldes (F. 206 а).    д

Nach Formel 2 wird    <-

bezüglich Mx — —

M², K =

— 4(2 + 3da‘ her wird nach Formel *

15 (Seite 151), wenn t, wir M, = 0,M"=Mx    <    '

setzen,

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Ą-M

-к-

16

----X - -

n³

-M

4(2+3n)

X......

4- M

21.

шах (— Ж) — —

max (-f- M) — + J

n³

4{2+3ń) lx

X , „

~r Ph*,

*■!(*-?)]

OC y g

J7ptl '

4(2 + 3ri)

Zweiter T h eil. M wird zum positiven Maximum, wenn der Zug von der linken Stütze bis zu

22.

-•УН>

reicht und das II. Feld ganz belastet ist (Fig. 206 Ъ). Nach Formel 2 wird für diese Belastungsweise, wenn wir Ш^ = Ш^" — ~₂р1^ und Ш1₃" = 0 setzen,

24 (1 4- n) SK/ -f (2 + n) n*plt* 4 (2 + n) (5 4- 2n)

M. — —

Hierbei ist nach Formel 42 (Seite 115):

23. 3Ä/ =

121

Gx — &.)²    — Ж)²

Ь*х°-

Nach der zweiten der Formeln 17 (Seite 151) wird nun

piЛ

24. max (— Ж) = Ж,

Das яша?(4-^0 berechnet man am besten nach der Regel ma# (4-^) =. Mt — max (— 3/).

II. Feld. Erster Theil. Setzen wir in Gleichung 8 (S. 130) а = b, so wird

a (l — 2x) £² — a (21 — 5a — x)l % — (£ — -2a) ?²# = 0, oder nach Einsetzung des Werthes für a:

25. (I —

Die Reduktion auf x gibt

2x)?- (

4 4- 3n

2 4 3n

x\₄₊*±n

/    n

l²x = 0.

26. x =

n [(4 4- Зп) l -(2 4- 3n) £]

(2 4- 3n) [(2 +«)!²|«4- 2w£²] ’

M wird nun zum negativen Maximum, wenn das II. Feld von æ = £ bis zum rechten Ende desselben und das ganze I. Feld belastet sind

(Fig. 207 a). Für diese Belastungsweise wird nach 2 :

3/, = -

2 (1 4- n)p\* + 24n (1 4- n) ЯЙ/' — Z2na3ft/

npl^-\- 12п^Шо" — 24п{1 4- п) ЭД7/ 4 (2 +'и) (2 + 5 w)

3/₂ -Mt =

_ M² + 72гс(ШУ — 3ft/)

4 (2 4 n)

Nach der zweiten der Formeln 16 (Seite 151) wird nun

X Ix

28. max (- Ж) = Ж' - (Ж' - Ж ) у + g у

Das positive Maximum wird man wieder am besten nach der Regel max{+ M) = Mt — max (— M) berechnen.

Mittlerer Th eil. Im mittleren Theile wird M zum negativen Maximum bei Belastung der beiden äusseren Felder, zum positiven Maximum aber bei Belastung des mittleren Feldes (Fig. 207 b).

Für die erstere Belastungsweise wird nach Formel 2, wenn wir in derselben

m,“ = m₃“ = —

±р1,\ æv=av

= 0 setzen,

Fig. 207.

-M

<Xr

-Jf

29. Mx = Mq =

4(2 + Зп) Г’¹ *

Da in der zweiten der Formeln 15 (Seite 151) M‘ = M“ zu setzen ist, so wird einfach max(—M) = Mx. Für das positive Maximum wird

Mx = Ж₂ = -(Seite 151)

30. шах (+ Ж) = —

4 (л? —\~ 3 fl)

pl², mithin nach der ersten der Formeln 15

piq+jpf(i- )pi*.

4(2+3n)

Die Maximal-Transversalkräfte und Momente sind in Fig. 156 und 160 für l = l,2lx grafisch dargestellt.

§. 122. Tabellen. Nach den gegebenen Regeln sind die folgenden Tabellen berechnet. Für die Tabellen erscheint es am geeignetsten, das arithmetische Mittel Я der drei Spannweiten als Maass einzuführen. Da alsdann 2lx + l — 3X, l — nlx ist, so wird

31.

3n

Die Einführung des arithmetischen Mittels Я der Spannweiten als Maass erscheint deshalb als zweckmässig, weil in einem gegebenen

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (4- Q)    max (— Q)

1. Feld

0,1

0,2

0,3

-f 0,4

4" о,з 4 0,2 4- o,i

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

— 0,1 - 0,2

—    0,3 ~ 0,4

—    0,5

—    0,6

0,4500

0,3560

0,2752

0,2065

0,1496

0,1042

0,0694

0,0443

0,0280

0,0193

0,0167

0,0500

0,0563

0,0752

0,1065

0,1496

0,2042

0,2694

0,3443

0,4280

0,5191

0,6167

IL Feld

^ „<=> ^ ^ ^ c Ol Ifc. tu к

4 4 4 44

0,5833

0,4870

0,3991

0,3210

0,2537

0,1979 0,0833

0,0870

0,0991

0,1210

0,1537

0,1979

. gl

. pl

. pl

Stützendrücke.

max (-|- D₀) = 0,40gl + 0,45pl, max (-f- Df) — 1,10gl -J- 1,20pl. max (— Df) = 0,40gl — 0,05pl, max (— Df) — 1,10gl — 0,10pl.

b{ = a₃ — 0,21051

a„ — bq = 0,20001.

245

o-j tTrv

Moment

Einfluss V. g

Einfluss von p

max (+ Ж) I max (— M)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7895

0,8'

0,85

0,9

0,95

0,2500

0,5816

0,7638

0,8959

-f 0,00414    0,04362

0,04022

—    0,02125    0,02773

—    0,04500    0,02042

—    0,07125    0,01706

—    0,10000    0,01667

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,03948

0,04022

0,04898

0,06542

0,08831

0,11667

II. Feld

4-

00,5

0,1

0,15

0,2

0,1209

0,2785

0,5000

0,2764

— 0,10000 0,01667

—    0,07625    0,01408

—    0,05500    0,00748

—    0,03625    0,02053

—    0,020

0,3

0,4

0,5

4- 0,005 4- 0,020 + 0,025

0,030

0,050

0,055

0,070

0,075

0,11667

0,09033

0,06248

0,05678

0,050

0,050

0,050

0,050

0,050

. pl°-

. ря²

Absolutes positives Maximum.

I.    Feld.    max(4~    M)    — 4~ 0,080gl’¹ für x = 0,4ly,

n (4-    M)    — 4- 0,025g А² я ж = 0,51.

Zufällige Last: I.    Feld,    max (4-    M)    = 4- 0,10125pA² für x = 0,45lv

я (4-    M)    =*4- 0,07500pT* я x = 0,501.

Eigengewicht:

IL

IL

1:1,1: 1.

40    34

l—~l= 0,967741, l = I — 1,064511.

31    ol

Transversalkraß

Einfluss von g

Einfluss von p

max (-f- Q)

max (— Q)

-f 0,3775 -f- 0,2807 + 0,1839 4- 0,0871

—    0,0096

—    0,1064

—    0,2032

—    0,3000

—    0,3967

—    0,4935 - 0,5903

0,é382

0,8475

0,2689

0,2021

0,1519

0,1468

0,1024

0,0683

0,0487

0,0275

0,0188

0,0162

0,0607

0,0668

0,0850

0,1150

0,1519

0,1564

0,2088

0,2715

0,3487

0,4242

0,5123

0,6065

IL Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

4- 0,5323 4- 0,4258 4- 0,3194 4- 0,2129 -f- 0,1065

0,6032

0,5005

0,4068

0,3234

0,2517

0,1922

0,0709

0,0747

0,0876

0,1105

0,1452

0,1922

. pl

Stützendruck.

max (-f D.) = 0,3775g X 4- 0,4382p Я, max (4- D}) = 1,1226gl 4~ 1,2097pl. max (— D₀) = 0,3775gl — 0,0607pi, max (— D{) = l,1226gl — 0,0871pl.

ГЧ

Ъх = a₃ = 0,2036 Z,,

aq = \ = 0,20751.

■T-'laY,'

Moment

Einfluss V. g

Einfluss von p

max (-{- M) I max (— M)

§ I 'S 'S 'S 'S § 'S 4 ^

* ^    s

0,8

0,85

0,9

0,95

0,1483

0,5565

0,7519

0,8911

+ 0,03185    0,03773

Н- 0,05433    0,06609

+ 0,06744    0,08508

4- 0,07119    0,09470

4- 0,06558    0,09497

4 0,05060    0,08587

4- 0,02626    0,06740

0,04586

—    0,00161    0,04075

—    0,00761    0,03945

—    0,02782    0,02704

—    0,05053    0,01960

—    0,07558    0,01613

—    0,10297    0,01568

0,00588

0,01176

0,01764

0,02351

0,02939

0,03527

0,04114

0,04586

0,04683

0,04706

0,05486

0,07013

0,09171

0,11865

IL Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,2075

0,2368

0,3

0,4

0,5

—    0,10297    0,01568

0,1155    —    0,07606    0,01370

0,2644    I—    0,05198    0,01525

0,4709    ;—    0,03073    0,02159

0,8288    '—    0,01231    0,03247

|—    0,00992    0,03427

0,04417 -I-    0,01701    0,06118

4-    0,03301    0,07718

4 0,03868 0,08285

0,11865

0,08976

0,06723

0,05232

0,04478

0,04417

0,04417

0,04417

0,04417

0,04417

. pF¹

. pF¹

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht:    I. Feld,    max (-+- M)    — -f 0,07124gl'¹    für    x =    0,3901lx,

II. n    max\-\- M)    — 4 0,03868g Я²    n    x =    0,5l.

Zufällige Last: I. Feld.    max(Ą-M)    = 4- 0,09602gX¹    für    x —    0,4528lx,

II. V    max (-\- M)    — + 0,08285g Я²    n    x=    0,51.

=£z=

16

1: 1,2 : 1.

I = I Я = 1,12501.

о

0,93751

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

II

max (4- Q)

max(— Q)

I. Feld

4 0,3546

+ 0,2608 4- 0,1671 4- 0,0733

ОС

—    0,0204

—    0,1142

—    0,2079

—    0,3017

—    0,3954

—    0,4892

—    0,5829 j

0,4269

0,3390

0,2627

0,1977

0,1547

0,1438

0,1005

0,0671

0,0429

0,0270

0,0183 j

0,0157

0,0723

0,0782

0,0956

0,1244

0,1547

0,1642

0,2147

0,2750

0,3446

0,4224

0,5075

0,5986

IL Feld

0,1

0,2

0,8

0,4

+ 0,5625 + 0,4500 \ 4- 0,3375 4- 0,2250 -4 0,1125

0,5

0,6235

0,5150

0,4156

0,3274

0,2514

0,1885

0,0610

0,0650

0,0781

0,1024

0,1389

0,1885

.gl

. pl

• pl

Stützendruck.

max {Ar Dü) — 0,3546gl 4 0,4269pl, max (4 Dx) = 1,1454gl 4- 1,2221p l. max (— D₀) = 0,3546gl — 0,0723pl, max {—Df) = 1,1454gl - o,0767pl.

1:1,2:1.

bt = a.t — 0,19711

aq — b„ — 0,21431.

Moment

Einfluss V. g

Einfluss von p

max (+ M) max (— M)

4-

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7564

+ 0,02885 + 0,04890 4- 0,06017 + 0,06265 4- 0,05634 4- 0,04124 + 0,01736

0,8

0,8029

0,85

; °'⁹

0,95

0,5304

0,7399

0,8864

—    0,01532

—    0,01639

—    0,03496

—    0,05679

—    0,08082 — 0,10701

0,03563

0,06246

0,08051

0,08975

0,09024

0,08193

0,06482

0,05127

0,03892

0,03804

0,02520

0,01879

0,01524

0,01472

0,00678

0,01356

0,02034

0,02710

0,03390

0,04069

0,04746

0,05127

0,05424

0,05443

0,06016

0,07558

0,09606

0,12176

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht: I.    Feld.    max{Ą-M)    —    -j-    0,06286g №    für    x =    0,3781

II. я    max (4- M)    —    -f-    0,05116 g A²    »    x =    0,51.

Zufällige Last : 1.    Feld,    max (-)- M)    —    -j-    О.ОЭШрХ¹    n    x —    0,456 lt,

II. n    max (4-M)    —    4-    0,09040pl"    n    x —    0,51.

1:1,3:1.

lx = j- к = 0,90909 к, I — JJ- к = 1,18182 к.

Н В -Н в

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (-f- Q)

max (— Q)

“b

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,3646

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

-f 0,3311 + 0,2405 + 0,1496 -f 0,0587

—    0,0322

—    0,1232

—    0,2141

—    0,3050

—    0,3959

—    0,4868

—    0,5777 I

0,4160

0,3307

0,2566

0,1934

0,1583

0,1409

0,0986

0,0659

0,0421

0,0264

0,0178

0,0152

0,0846

0,0902

0,1070

0,1347

0,1583

0,1731

0,2218

0,2800

0,3471

0,4223

0,5046

0,5929

IL Feld

4 0,5909

4- 0,4727 4- 0,3545 4 0,2364 4 0,1182

0,6439

0,5298

0,4252

0,3323

0,2523

0,1862

0,0530

0,0571

0,0707

0,0959

0,1341

0,1862

. gk

. pl

. pk

Stützendruck.

max (4- D₀) = 0,3314gl 4 0,4160pk, max (4 Dx) — 1,1686 g к 4- 1,2368p к. max (— Dq) = 0,3314 g I — 0,0846p к, max (— Df) = 1,1686g к — 0,0682p к.

0,05

0,1

0,15

0,2

0,1104

0,2528

0,4475

0,7619

0,2143

0,2157

—    0,10701

—    0,07698

—    0,05009

—    0,02637

—    0,00579

—    0,00050

0,3

0,4

■0,5

+ 0,02585 + 0,04483

+ 0,05116

0,01472

0,01297

0,01527

0,02245

0,03460

0,03875

0,03923

0,06508

0,08406

0,09010

0,12176

0,08995

0,06536

0,04882

0,04039

0,03923

0,03923

0,03923

0,03923

0,03923

.gF

. pl'¹

1: 1,3 : 1.

— ая = 0,19111., ай — Ъ„ = 0,22031.

«=—11 СЛПп    1ГГ)р

Einfluss V. g

Moment

Einfluss von р

max (-f- Щ

max (— M)

4-

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7291

-I- 0,02599 + 0,04373 -j- 0,05319 4- 0,05439 + 0,04733 + 0,03200 -i- 0,00841

0,8

0,8089

0,85

0,9

0,95

0,5031

0,7278

0,8816

—    0,02341

—    0,02668

—    0,04247

—    0,06356

—    0,08673

—    0,11196

0,03369

0,05911

0,07627

0,08517

0,08580

0,07816

0,06226

0,05609

0,03810

0,03556

0,02557

0,01799

0,01435

0,01380

0,00769 О 01539 0,02308 0,03077 0,03847 0,04616 0,05385 0,05609 0,06155 0,06224 0,06805 0,08155 0,10108 0,12575

IL Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

‘О со

0,1067

0,2429

0,4282

0,7152

0,7207

—    0,11196

|— 0,07878

—    0,04910

—    0,02357

—    0,00022

0,3

0,4

0,5

4- 0,00802 + 0,03469 4 0,05566 4-0,06264

0,01380

0,01246

0,01523

0,02253

0,03650

0,03644

0,04305

0,06972

0,09069

0,09767

0,12575

0,09124

0,06433

0,04610

0,03672

0,03644

0,03503

0,03503

0,03503

0,03503

■ 9 Я²

. р А"

. рк-

¹

Feld

Äbsolutes positives Maximum.

Eigengewicht :    I.    Feld,    max (4    M) = -j-    0,05491gк'¹    für    x =    0,365lu

II.    V    max (4~    M) = 4"    0,06263gk-    n    x =    0,51.

Zufällige Last    : I.    Feld,    max (4-    M) — -f-    0,08654p к"    für    x =    0,458lx,

II.    V    max (-f-    M) — 4    0,09767pÀ²    v    x —    0,51.

Mittleres Moment.

mittM = 0,04243 g k* 4 0,07075p k*.

praktischen Falle die Gesammtlänge 5Я, also auch das arithmetische Mittel Я der Spannweiten gegeben ist, mithin für verschiedene Verhältnisse der Spannweiten konstant bleibt.

Für Verhältnisse der Spannweiten, welche in den Tabellen nicht berücksichtigt sind, lassen sich die Grössen mit einer für die praktische Anwendung hinreichenden Genauigkeit durch Interpolation bestimmen.

§. J23. Einfluss ungleich hoher Stützen.

1. Liegen die beiden Mittelstützen um y, y„ unter der Geraden, welche die Endstützen verbindet, so ergibt sich bei konstantem Querschnitte aus den Gleichungen 13 (S. 96) zunächst unter der Voraussetzung, dass keine Belastung vorhanden ist,

lxl (21, + 31)

32 jf — 6EI [y, (l, + 21) — У* (£i + Щ

Jlf₂ erhält man durch Vertauschung von yx und yv Die Stützendrücke D₀ und D₃ erhält man durch die Beziehungen M,= D₀l, Ж₂ = D₃l. Nach Formel 28 (S. 104) ergibt sich ferner D,lxl = M, (lx -j- l) -f Ж₂?,, d. i.

33. 7>, = —

6EI[2y, (1^+1)* -y<l (21,*+ 41,1 + ?)]

1,4* (2lx + 31)

Do erhält man wieder durch Vertauschung von у, und y,₂. Ist y, — y^ =y, so wird, wenn wir l = nl, setzen,

6 E ly n²

l, (2 1, + 31) ~ (2 +~3n) l² '

6 Ein³

l, *(2l, +31) ~ (2 + 3 n)Vr Bei veränderlichem Querschnitte würde für у, — у₂

34. M, = JĄ =

6EIy

35. 7>₀=—I>,=—Do — 7>j

GEIy

6EIayn²

36. Mx = Ж₂ =

Endlich ist im I. Felde Q = D₀, M=D₀x, im II. Felde Q — D₀ + D, — 0, M konstant = Mx.

2. Das absolute negative Maximum von Ж tritt [an einer Mittelstütze ein, wenn die beiden Felder neben dieser Stütze belastet sind. Setzt man in Formel 3: $7t' — ~ {g+p)l,*,    = Ш^‘ =j^(g +p)l*,

Ш₃" = ^ gl,*, so ergibt sich, wenn mau noch g = mq,\ p = (1 — n) q setzt, unter Berücksichtigung der verschiedenen Höhenlage der Stützen

2(1 + n) + (2 + n) n³— mn 4nf(2 -j-n) i(2 + 3n)

qi* +

6EIyn2 (2 + 3n)l* ’

Das absolute positive Maximum von M tritt im I. Felde bei Belastung des I. und III. Feldes ein. Setzen wir daher in Formel 3: 9JÎ,' = Щ," = i iff + P) 2Ka' =    Л so ergibt sich

A» =

mx =

1 ₇ Ж, г«г' -

1 -f- mn³

4 (2 + 3n)

3 4* 6 n — m ri³

4(2 4- 3n)

6 JE Iq (2 -)— 3 w) l

ah —

6 E Iy

(<2 4- 3n) Z,²’

Es ist nun Ж = — D₀x -f- j- g ж², wonach Ж zum Maximum für qx = JD₀ wird; bezeichnen wir dasselbe mit Ж,', so wird дЖ/ =— D₀a, d. i.

38. Ж' =

<H²

24JEIyl~

₂ (3 + 6n — mn³) —

Qh*

Endlich wird im II. Felde Ж zum absoluten negativen Maximum bei blosser Belastung des II. Feldes. Setzen wir in Formel 3 ЭД1/ — = T₂gh²! = ЗКа" = Ts (9 + p) l²i s0 ergibt sich

qVi 4_ 6BIyn* q + (2 4- Зп) Z²'

Es ist nun M = Mx — y qx (Z — x). Das Maximum von Ж tritt der Symmetrie wegen in der Mitte ein; bezeichnen wir dasselbe mit M+ so wird M₂‘ = Mx — j qV, d. i.

32 (2+ 3n)

Mx — M„ =

m -f- n³

4 (2 4- 3ri) n¹

6 JE ly,™²

(2 -f Зп) t¹ ‘

3. Ein mehr oder minder konstanter Querschnitt kommt namentlich bei kleineren Wegüberbrückungen vor, bei denen die beiden Seitenöffnungen wesentlich kleiner sind, als die Mittelöffnung. Die spezielle Berechnung ergab für einige Werthe von n und für у — 0:

39. Ж/ = +

(2 -f- n) n'¹ — 2 m

8(2 + 3n) nl

ql* +

n —

IM^ = + 0,0800 +0,0060    —    -    —    —

m = l\Mx =—0,1000 —0,0703 —0,0707 —0,0726 —0,0741 —0,0753 ql\ (MS — + 0,0250 +0,0547 +0,0543 +0,0525 +0,0509 +0,0496]

Ж' =

+ 0,0101 +0,0028 + 0,0013 +0,0007 + 0,0005 + 0,0003\ m = 0\Ml = — 0,1167 — 0,0742 - 0,0727 —0,0733 — 0,0745 — 0,0756 ql\ MS = +0,0750 + 0,0625 + 0,0568 + 0,0536 + 0,0515 +0,0500)

Im I. Felde wird das x für maxM bei m = 1 und bei grösseren Werthen von n negativ, also ohne Bedeutung. Aber auch bei positiven Werthen von x wird Ж/ für grössere Werthe von n so klein, dass es nicht in Betracht kommt. Ж, ergibt sich stets grösser als Ж₂'. Setzt

man in dem Ausdrucke 24 l =    ^ Я und differenziirt nach w, so wird

der Differenzialquotient = 0, also Mx bei gleichem Я oder gleicher Gesammtlänge zum Minimum für

40.    16 -f 32n — 6n- — 40 n³ — 14n* + 4m — 4mn — Эти¹ = 0.

Die Auflösung gibt für m = 0: n — 0,913, für m = 1: n = 0,858, also allgemein annähernd

41.

n = 0,858    + 0,913 —,

Q. Q.

wonach das Mittelfeld eine etwas kleinere Länge haben müsste, als die äusseren Felder.

4. Bei einer Ueberhöhung der Mittelstützen wird das absolute Maximalmoment am kleinsten, wenn die Ueberhöhung so gewählt wird, dass —    = Д/д' wird. Die Gleichsetzung gibt

4m² — 4 — 4n — n⁴ — 4m ql⁴

ET'

42. y =

Die spezielle Berechnung ergibt n —

—y=

—y=

m—1: — M₁ —    MJ — 0,0625 0,0625    0,0625    0,0625    0,0625    0,0625

m = 0: — Ж, =    = 0,0959 0,0683    0,0648    0,0635    0,0630    0,0628

96 (2 -f- n) n⁴

0,0313 0,00260 0,00167 0,00146 0,00132 0,001191 ql4 0,0174 0,00195 0,00162 0,00144 0,00131 0,00119}' Ш

}.2*s

Die Differenz der Maximalmomente für den Träger mit und ohne Ueberhöhung beträgt für m = 123456 bezüglich für m — 1: 37,5

11,6 11,6 13,9 15,7 17,0 und für m — 0: 17,8 7,9 10,9 13,4 15,4 16,9 Prozent.

5. Wenn das Yerhältniss n wählbar ist, so wird das grösste Moment am kleinsten, wenn Mx = — Mx — MJ gesetzt wird. Setzt man zunächst — Mx — M^, so ergibt sich

4 -\- 4n — 4nq n⁴ 2m — mn ql⁴

43. y —

Die Momente Mx, ftlv M₂' sind jetzt durch die Formeln 37 bis 39 bestimmt. Setzt man Mv — — Mx‘, so ergibt sich eine Gleichung achten Grades. Am besten aber erscheint es wohl, Mx und Mx für einige Werthe von n zu berechnen und sodann durch Interpolation denjenigen zu bestimmen, für welchen (— Mx) — Mx = 0 wird. Hiernach ergibt sich für n die Näherungsregel

96 (2 -j- n) n⁴

EI'

44. n = 1,174 9- -f- 1,131 —.

• q    q

45. у —

EI'

( 0,0266 ^ -f 0,0142    -³—

Hiernach wird also die Länge des inneren Feldes etwas grösser, als die der äusseren Felder.

Für Träger, deren Stützen in einer Geraden liegen, ergibt sich bei der Wahl des zweckmässigsten Verhältnisses der Spannweiten das grösste Moment Afj = 0,1161 ql" bis 0,1028ql*, während sich bei gesenkten

Mittelstützen unter den günstigsten Bedingungen das grösste Moment = 0,10.24 ql* bis 0,0830ql*, also um 11,8 bis 19,2 Prozent kleiner ergibt.

6. Die für verschiedene Höhenlagen der Stützen nach §. 85 berechneten mittleren Transversalkräfte und Momente sind in folgender Tabelle zusammengestellt :

Mittleres Moment mitt M

Mittlere Transversal-kraft

9=0

1,0

0,050 + 0,025

-f- 0,0417 4- 0,0208

—    0,025

—    0,050

— 0,0208 — 0,0417

0,2650

0,2604

0,2567

0,2540

0,2559

0,3530

0,3470

0,3425

0,3398

0,3392

0,0550

0,0473

0,0452

0,0499

0,0595

0,0877

0,0771

0,0707

0,0778

0,0931

1,1

+ 0,050 4- 0,025

+ 0,0414 4 0,0207

—    0,025

—    0,050

—    0,0207

—    0,0414

0,2667

0,2618

0,2580

0,2550

0,2530

0,3425

0,3367

0,3325

0,3301

0,3263

0,0521

0,0454

0,0434

0,0487

0,0574

0,0842

0,0735

0,0701

0,0764

0,0911

1,2

4 0,050 4 0,025

4- 0,0410 4 0,0205

—    0,025

—    0,050

—    0,0205

—    0,0410

0,2707

0,2653

0,2607

0,2570

0,2545

0,3600

0,3517

0,3450

0,3400

0,3370

0,0475    0,0867

0,0424 ' 0,0735 0,0424    0,0700

0,0468    0,0757

0,0555    0,0908

1,3

+ 0,050 4- 0,025

4- 0,0406 4- 0,0203

—    0,025

—    0,050

—    0,0203

—    0,0406

0,2750

0,2689

0,2642

0,2604

0,2585

0,3580

0,3526

0,3487

0,3464

0,3457

0,0463

0,0419

0,0424

0,0462

0,0546

0,0871

0,0722

0,0708

0,0775

0,0924

gl,(81, + 3l)V

6EI

Jjl

• EI

. ql

. ql

. ql'¹

. qV

Hiernach müssen die Mittelstützen ein wenig gehoben werden, damit das mittlere Moment zu einem Minimum werde. Das mittlere Moment lässt sich aber um höchstens 1 Prozent vermindern. Hierbei wächst indess die mittlere Transversalkraft ein wenig, wodurch der У ortheil noch vermindert wird, so dass man durch eine verschiedene Höhenlage der Stützen in der Materialmenge keinen besonderen Vortheil erzielen kann.

§.124. Verbindung des Balkenträgers mit einem Spreng-werke. Wir bezeichnen den ursprünglichen Neigungswinkel der beiden Streben AlE und jB, F (Fig. 208«) oder Zugbänder AE und BF

1st Я die Länge von AE, bezüglich AtEf AX die Längenänderung von Я, Axl die Verschiebung des Punktes E nach rechts, so ist (X — AX)q = (lx -f Ax |)a 4- (Ji — yx)² oder, wenn man auflöst, dabei die Quadrate von AX, AxX und yx vernachlässigt und beachtet, dass Xq = lxqhq ist: hyx — lxAxx + ХАX. Ebenso erhält man für den Punkt F: hy₂ = ltAa x -f- IAX. Die Addition beider Gleichungen gibt, da Axx Ą- A^x die Verkürzung Al des Riegels EF ist,

h (yx -f- y,₂) — lx A l -J- 2XAX.

Setzen wir hierin Al = щ, z/A =

Querschnitte des Riegels und der Streben bezüglich mit f und /j be-

, indem wir die

(Fig. 208&) mit т, die Höhe EEX = FFX mit h, so dass h = lxtanг ist. Ist xx, x⁴ der Neigungswinkel der Streben oder Zugbänder F nach

der Formänderung, so ist die Spannung derselben Ш    = Hsecxx und Hsecx⁴,

Щ    also fordert das Gleich-

- ^    gewicht des Punktes E

>/ß    gegen Verschiebung in

ЛИ    vertikaler Richtung die

Li—>- Z?    Erfüllung der Bedingung

Dx = H (tan xx ⁴ — tanx⁴), /» — y, h ’

Fig. 208.

A<-----------------------Z—.......

\Е

-h

CL

Л<т------1/------——-L——^

wobei tan хх —

tanx⁴ = Vl ~ у± zu setzen ist. In gleicher Weise ist die Gleichgewichtsbedingung für den Punkt F aufzustellen. Wir haben demnach

УЕ

= Д(1_А

Vernachlässigt man die Verschiebungen yx und yq gegen h, so wird 47. J)l — 1K = Ji¹-.

46. Д

Ух—У о

D,=E

(h-

— У2

HsecT . l,secT

W,

48. Ух+Уо =

zeichnen, so erhalten wir

Hl (l . 2lxsec³T\ EF \/⁺ fx Г

Diese Gleichung ist in Uebereinstimmung mit den Gleichungen 12 und 13 (S. 187), wenn man in diesen für Ti die Höhe der durch A, E, D, В

setzt. Bei Vernachlässigung der

zu legenden Parabel, d. i.

h(2l, + iy 41, (l, + l)

Längenänderung des Riegels und der Streben wird

49. yx + yq = 0,

also y₉ = — ylt d. h. bei einer Formänderung des Sprengwerkes schieben sich die beiden Punkte E und F um gleich viel nach oben und unten.

ver-

Bezeichnen wir die Stützendrücke in E und F, welche entstehen, wenn alle vier Stützen in gleicher Höhe liegen, mit Dx‘, jy, so ist bei konstantem Querschnitte des Balkens nach Formel 33 :

6EI

+ 31)

erhält man, indem man Zy für Dx‘, yq für yx setzt. Hiernach wird Д + Dq = iy -f D₂'

50. Dx = Dp —

[*y. (h+1)² - У* (2 y 4- 4ixi + г«)].

— 6EI & + y«)

h¹ (2lt *t" 3 l)

Setzt man für Dx und Dq den Ausdruck 47 und für у -f yq den Ausdruck 48, so erhält man

51.

52. 11 =

wenn man zur Abkürzung

qy + jy> l

2h(l + cc) ’

53.

³¹ (I

(2lx + 3l)h* \f

2 lx sec³ T

fi

setzt. Da DXJ und Dq‘ durch die Belastung gegeben sind, so ist durch Gleichung 52 H bestimmt. Bei Vernachlässigung der Längenänderung des Biegels und der Streben wird

54. D, = Dg,

Sind Mx, Mg' die Momente, welche in E und F entstehen, wenn die Stützen in einer Horizontalen liegen, so ist nach Gleichung 32:

6EI [yx (?, 4~ 21) — yg (lx 4- T)

llx 02lx -f 31)

55. Mx = Mt' +

Setzt man in Gleichung 50 und in dem in gleicher Form, für Dn

gebildeten Ausdrucke Dx = D₃

, so erhält man zwei Glei-

A' + iy

2{l-\r a)

chungen zur Bestimmung von yx und yq. Setzt man diese Ausdrücke sodann in die Gleichung 55, so erhält man nach entsprechender Vereinfachung

56. MX=MX‘ +

(Dt — Dz') l₁l + 2tZlx[2Dx‘(li + l) + Dg¹ lx>

2{i + a)(2ix + i)

Durch Vertauschung von Mx mit Mq, Dq mit Dx erhält man M„. Hierbei ist

57. Dx = SD, -

MĄlx + l)

Mg'

hl

, Dg — 'S) JJ -f-

M3

Ml (lx ±1)

zu setzen, wenn ©t, ©₂ die bei Anwendung von drei Einzelträgern entstehenden Stützendrücke bedeuten. Die Einsetzung gibt

17

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

58. Ж₂ =

— Фо) \ l 4~ 2 alx [.2Ф, (lt -f- l) -4- ®2^,]

2 [1 -\- a) (2li -j- l)

A' 4- Жа'

a (Z, + l) [Ж,' (h + l) - ДА J

2(1 +ce)

(i -f- a) (2lt -f- l)

Die weitere Durchführung bietet keine Schwierigkeit; wir wollen indess nur den Fall weiter behandeln, dass lt == l ist und zwar unter der Annahme, dass a vernachlässigt werden kann. Die unmittelbare Entwickelung ist dann sehr einfach. Zunächst ist nach Gleichung 33: Dx l³ = D^l³ — ~ EI (8yt — 7y₉), also für y₂ = — yt: DJ³ = Dt‘l³ — 18EIyr Ebenso wird D₂Z³ — D^l³— EI(8y₂ — 7yt), also für y₂ = — yt : Dql³ — Dçl³ -f- 18EIyr Das Gleichgewicht des Sprengwerkes verlangt, dass D₁ = D₂ ist; daher wird 36EIyy — (Д' — D₂') l³. Nach Formel 32 ist MlP = M₁'P+ f- EI(3yx — 2yz), also für y₂ — — yx : MXP = M+i² + 6EIyx, d. i.

Ж,    (Д,- - D,<) l.

Setzen wir D,‘l = ®l — 2M,‘ + Ж„', Dt‘l = ®si + M,‘ — 2Mt‘, so wird

4 Ж' + Ą0 + ~ (®, - ®„) г,

у (Ml‘ + Mi‘) -

Setzen wir ferner nach Formel 3 (S. 238): Ж, + Ж = — -J (üft,' -j-$Щ₂" + $Щ₂' + 3fts"), so wif(l

( Ж, =

Ж₁ =

59.

Ж₂ =

Ci! M.

(Ф, — Ф₂) I.

60.

Ж₂=-

~ (ЗД1/+ та,"+9Я„+эи₃")+| (©, - жа) г,

yö <5»г,+ т/'+5»г,-+здг,") -1 <®, - ®.) г-

Liegen in den drei Feldern Einzellasten Glf ćr₂, 6r₃ in den Abständen |j, |₂, £₂', g₃ bezüglich von der Stütze 0,1, 2 und 5, so ergibt sich unter Benützung der Ausdrücke 40 (S. 114) leicht

(®i - ®.) * = <?,i, - e„ & - feo - e.t,, 3 (Ж,‘ + ак," + æv 4- ша") р

= ej, (г²- i,²) + âe.îfeî,- + e₃Ł (z= - ł»).

Dies eingesetzt gibt

61 Ж - g»i«C^a + ^.g) _    + *4. - 61M

‘    1 — зог²    зог

Ъ&(8Р-3£*)

30 l²

Der Ausdruck für Ж₂ ergibt sich durch entsprechende Vertauschung.

Liegt die Last im I. Felde, so ist hiernach Mx positiv, ibT₂ negativ ; liegt sie im Ш. Felde, so findet das Umgekehrte statt. Liegt die Last

19 — VWl

im П. Felde, so wird Mx positiv, A/₂ negativ, wenn g₂ <

— Ï+ УШ

18

oder < 0,3081 ist; ist g₂ > 0,3081, aber <

C 0,692 l, so werden Mx und Ma negativ.

Hiernach sind nun auch leicht die Momente für beliebige Querschnitte zu bestimmen. Die bezüglichen Einflusslinien zeigt Fig. 209 a.

Für die Bestimmung der ungünstigsten Belastung hinsichtlich der Momente unterscheiden wir folgende Fälle:

a) Der Querschnitt liegt im I. Felde. Wenn die Last im I. Felde liegt, so ist Mx stets positiv, mithin auch M. Das I. Feld muss also für das positive Maximum gänzlich, für das negative Maximum gar nicht belastet sein. Wenn die Last im H. Felde

Fig. 209.

(L

18

l oder

os

liegt, so ist Mx nur positiv, wenn £₂ < 0,3081 ist ; das II. Feld muss also von £₃ = 0,3081 für das positive Maximum links, für das negative Maximum rechts belastet sein.

lilii! ; ii l! I

Wenn das III. Feld belastet ist, so ist Mx negativ, also auch M.

Das IH. Feld ist also für das positive Maximum gar nicht, für das negative Maximum ganz zu belasten.

Durch entsprechende .Integration ergibt sich bei Belastung des ganzen I. Feldes Mx = +    = + 0,0583pl\ bei Belastung des

II. Feldes von x = 0 bis x — 0,3081: Mx = 4- 0,0242p also bei Belastung beider Strecken Mx = -f- 0,0825pl\ Bei gänzlicher Belastung

aller drei Felder ergibt sich Mx — -f- — (7 — 6 — 13) pl* = — jßP^y

also bei der Belastung für das negative Maximum von M: Mx = — 0,1 pl* — 0,0825pl* = — 0,1825pl*. Sonach ergibt sich jetzt

Мх у oder

шах (-j- M) = Л/, -j—I—-g px(l — x), шах ( M)

17*

шах (-J- Ж) Ą-px {0,58201 — 0,5х), max (— Ж) = — 0,1825рх.

62.

Zum absoluten positiven Maximum wird M hiernach für x=0,58251 und zwar wird

63. Max (-1- M) = + 0,1696pl*.

Ъ) Der Querschnitt liegt im II. Felde. Bei Belastung des I. Feldes wird Ml = Mt (l — x) -f- М,гх, d. i.

64. M =

30 V¹

{2V¹ -f- 3%* — lOlx).

M wird Null für + 21? — 10lx oder

-0.

05. èx=V-1 ИЯ*

Für x < j l wird I imaginär; hier wird M bei jeder Belastung positiv. Für x = ~l wird £ = l und für x > l wird § > 1, also ohne Bedeutung; hier wird M bei jeder Belastung negativ. Ist also x < ~ l} so ist das I. Feld für das positive Maximnm ganz, für das negative gar nicht zu belasten. Liegt x zwischen j l und jl, so ist das I. Feld von g = j/f- I {5% — l) für das positive Maximum rechts, für das negative Maximum links zu belasten.

Bei Belastung des III. Feldes erhält man M aus 64, wenn man mit £₃, x mit l — x vertauscht. Hiernach wird

(81* + 3 iS—10 Ix).

66. M= —

301²

Für die linke Hälfte, also für x < j l wird hiernach M stets negativ. Das HI. Feld ist also für das positive Maximum von M gar nicht, für das negative Maximum ganz zu belasten.

Bei Belastung des H. Feldes ergibt sich aus Formel 61:

■M, = +

(61“ - mi, + 91Л

(51“ - П, - 91“),

= + -f G (l - *{,).

Liegt nun die Last links vom Querschnitte, so wird Ml = ćr£₃ (I — x) -j- My (l — x) -}- M%x, d. i.

67. M— + G

Mz = —

Mx — J/a

301

[51* + Ul & + 9 iS — 10 (l + L)oc\.

Für X < j I wird hiernach M stets positiv. Liegt die Last dagegen rechts vom Querschnitte, so wird Ml = G (l — {*,)#-}-Mx (l — x) -f- M„x, d. i.

301

Sonach wird M = 0 für

[äl*-19l£₂+9£* + 10(2l -J₂)æ].

68. Ж = + G

69. 9£S — (191 + lOoc) J₂ + 3 l <7 + 4x) = 0. Hiernach ergibt sich:

0    0,1    0,2    0,3    0,4    0,5 . I

g₂ = 0,508    0,455    0,500    0,704    0,844    1,000 . I

M wird nun positiv, je nachdem g₂ kleiner oder grösser ist, als dieser Werth. Für das positive Maximum von M ist also die linke Seite, für das negative Maximum dagegen die rechte Seite von dem durch die Gleichung 69 bestimmten Nullpunkte aus zu belasten.

Die Werthe von M für die ungünstigste gleichmässige Belastung ergeben sich nun leicht durch entsprechende Integration der Gleichungen 64, 66, 67 und 68. Für die Belastung des I. Feldes wird für x<j-U

70. шах (-|- M) —

120

( 71 — 20 x), max (— Ж) = О.

Für x > ~ I wird

PÏS

max (— M) =

301'¹

oder, wenn man für g, den Ansdruck 65 setzt, max (— M) — — Ъо P (.5% — Q². Da für ganze Belastung des I. Feldes M = jYdPKJl— 2x) wird, so wird max (-f- M) — pl (71 — 2x) -j-Jö p (5x — Vf oder

— 2хУ, max(—M)=

71. max (+ Ж)у ₀

Für die Belastung des III. Feldes ergibt sich

P {5x-iy.

90

72. max (+ Ж) = 0, max (— Ж) = —    ¹ ~

Für die Belastung des IL Feldes wird zunächst

[3V+13l£i-6iS—10(3l-£,)x],

73. max {—Ж)—

wobei g₂ durch die Gleichung 69 bestimmt ist. Bei gänzlicher Belastung des II. Feldes wird M = — yöpl'¹ 4" y P^Q¹ — **0 ? daher wird

pl'¹ + ~ px(l - x)—max(— Ж). 2 0 2

601

74. max (-f- Ж) = —

0    0,1    0,2    0,3    , 0,4    0,5 .1

Die spezielle Berechnung ergibt hiernach für die ungünstigste Belastung aller drei Felder:

X =

max (+ Ж) =    + 0,0825    0,0834    0,0808    0,0774    0,0756    0,0750. pl\

max (— Ж) =    - 0,1825    0,1374    0,1008    0,0724    0,0556    0,0500. рК

In Fig. 209 & ist hiernach max Ж grafisch dargestellt.

Die sachgemässe Behandlung der Verbindung eines kontinuirlichen Trägers mit drei Feldern mit einem Hänge- oder Spreng werke erfolgte wohl zuerst von Frankel (Civilingenieur 1876), sodann von Holzhey (Vorträge über Baumechanik,. 1879) und Mel an (Zeitschr. des ös'terr. Ingen.- und Arch.-Vor. 1876).

! XV. Kapitel.

Träger mit vier Feldern.

§. 125. Stützenmomente. Wir setzen eine symmetrische Anordnung voraus und bezeichnen die Längen der Felder mit lv l, l, lxr die Abweichungen der Stützen 1, 2,3 von der durch die äusseren Stützen 0 und 4 gehenden Geraden nach unten mit yv y, yx. Die Gleichungen für die Stützenmomente sind alsdann unter Voraussetzung eines konstanten Querschnittes und unter Vernachlässigung des Einflusses der Schubspannungen

6EI

ц ÜV    (У Ui) h] — Oy

\.\Мх1 + 4Мъ1+Мй1 + 3'№ъ‘1 + ЗШли1

12E1

II

(У — У\)\ = О,

j Ж, I + 5 Ж₃ (l -f lx ) А 3 ШУ:I+5 Ш,¹¹ lx

6ЕI г 7    .    ₇,

II    [У(У У\)    — ćL

Die Auflösung gibt, wenn wir l = nlx setzen, falls y — yx — 0 ist,

3L =

³    4(1 + n)(4 + 3n)

2 (4 + Зп)

ж=+з

м₃ =

_ о п ЯИ, + ^ Щ" - 2 n ( 1+и) (9??/+ шя ")+(*+? *) (п ЯУ + ЗУ)

4 (1 + п) (4 + Зп)

Ist nur das Eigengewicht zu berücksichtigen, so ist 207/ =

=T*9lЛ 3»«' = 3»/' = 3Ra' = V = Tb9V, mithin

—2n* — n³    ₂

4(4 + 3n)g

Liegen die Stützen nicht in gleicher Höhe, so kommt noch hinzu :

3. wx= M₃ = —

2 + n3 4 (4 + 3n)

<ji<\

M, = M, =

4.

iS

n (4 + 3ri)

_ 6 UI (2 + 3n) 2/, — (3 + £n) у

«Iя

n (V + ïl)

Für die Lage der Fixpunkte ergibt sich nach §. 65 und 67 :

5.

_ „ _ JS (Ц+ SU__

⁴ “ 12Р+ЗШt + ^4ïj

г-

_ (E + Et) — 9г + юг/

I ai — b3— 3l + 2lt’ b“

Auf eine Aufstellung der Ausdrücke für die übrigen Grössen wollen wir verzichten, da sich gegen die entwickelten allgemeinen Regeln keine besonderen Vereinfachungen ergeben.

§. 126. Tabellen. In den folgenden Tabellen ist wiederum, wie in §. 122, das arithmetische Mittel Я der vier Spannweiten als Maass eingeführt. Hierbei ist, da 2(1 -f- lx) = 4Я oder, da l = nlx ist;

2n

Я.

6. \ =

Bei diesen Tabellen ist vorausgesetzt, dass sich die Verkehrslast nicht nur in zwei, sondern auch in drei einzelne Theile trennen könne. Wenn man voraussetzt, dass sich die Verkehrslast nur in zwei Theile trennen könne, so ist eine Verminderung einzelner Grössen um die auf Seite 272 angegebenen Werthe vorzunehmen, wobei die Verminderung ohne Rücksicht auf das Vorzeichen gedacht ist.

1:1:1:1.

\ = a, = 0,21131., а„ = Ъ₃ = 0,20001, bq = aq = 0,21051.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (-j- Q)

max (— Q)

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,3929

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

+ 0,3929 F 0,2929 4- 0,1929 + 0,0929

—    0,0071

—    0,1071

—    0,2071

—    0,3071

—    0,4071

—    0,5071

—    0,6071

0,4464

0,3528

0,2717

0,2029

0,1498

0,1461

0,1007

0,0660

0,0410

0,0247

0,0160

0,0134

0,0535

0,0599

0,0788

0,1101

0,1498

0,1533

0,2079

0,2731

0,3481

0,4319

0,5231

0,6205

II. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,5357

0,6

0,7

0,8

0,9

+ 0,5357

+ 0,4357 + 0,3357 4- 0,2357 4- 0,1357 4- 0,0357

—    0,0643

—    0,1643

—    0,2643

—    0,3643

—    0,4633

0,6027

0,5064

0,4187

0,3410

0,2742

0,2190

0,2028

0,1755

0,1435

0,1222

0,1106

0,1071

0,0670

0,0707

0,0830

0,1153

0,1385

0,1833

0,2028

0,2398

0,3078

0,3865

0,4749

0,5714

. pl

Stützendrücke.

max(-\-D₀) =0,3929gA+0,4464pЯ, max(—Do) = 0,3929gl—0,0535pl, max(4-£\) =1,1428gк-\-1,2232pЯ, max{—Dl)=l,1428gl—0,0804pl, max (-f-Дг) — 0,9286gX-\-l,1428p l, max(—B„) = 0,9285g 1—0,2142p l.

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

о" О

0,8

0,85

0,9

0,95

1,0

0,2582

0,5841

0,7650

0,8964

IL Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,1216

0,2732

0,5037

0,2661

0,3

0,4

QA

0,6

0,7

0,7895

0,8

0,8053

0,85

0,9

0,95

1,0

0,7927

0,7625

0,4569

0,2574

0,1124

Einfluss V. g

Einfluss von р

max (4- M) max (— M)

4- 0,03429    0,03964

4- 0,05857    0,06929

4- 0,07286    0,08893

0,07714    0,09857

4- 0,07143    0,09822

4- 0,05572    0,08786

4- 0,03000    0,06750

0,04209

—    0,00117    0,04108

—    0,00571    0,03738

—    0,02732    0,02484

—    0,05143    0,01629

—    0,07803    0,01393

—    0,10714    0,01340

0,00536

0,01071

0,01607

0,02143

0,02679

0,03214

0,03750

0,04209

0,04225

0,04309

0,05216

0,06772

0,09197

0,12054

4-

—    0,10714    0,01340

—    0,08160    0,01163

—    0,05857    0,01455

—    0,03803    0,02537

—    0,02000    0,03000

0,04882

4- 0,00857    0,05678

4- 0,02714    0,07357

4- 0,03572    0,08036

0,07715 4- 0,02286    0,06393

4- 0,00416    0,04363

4- 0,00143    0,04170

0,04092

—    0,01303    0,03451

—    0,03000    0,03105

—    0,04947    0,03173

—    0,07143    0,03571

0,12054

0,09323

0,07212

0,06340

0,05000

0,04882

0,04821

0,04643

0,04464

0,04286

0,04107

0,03947

0,04027

0,04092

0,04754

0,06105

0,08120

0,10714

■ дъ

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht:    I.    Feld,    max (4- M)    =    4~    0,0771 g A²    für    x    =    0,393lx,

II.    V    max (4- M)    —    4-    0,0363g À.²    r>    x    —    0,5361.

Zufällige Last: I.    Feld,    max (4- M)    =    4-    0,0997pi²    für    x    —    0,446lx,

II.    n    max (4- M)    =    4~    0,0805p №    »    x    —    0,5121.

. pi²

. pF¹

20

22

I = 4т к — 1,04762 к. *il

1Л= ~ Я = 0,95238к,

\ = «₄ = 0,20381г, а„ = Ъ₃ = 0,20751, Ъ„ = а₃ = 0,21111.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (-j- Q)

max (— Q)

1. Feld

4-

0,1

0,2

0,3

0,3859

+ 0,3676

+ 0,2723 i + 0,1771 + 0,0818

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

—    0,0134

—    0,1087

—    0,2039

—    0,2991

—    0,3943

—    0,4896

—    0,5848

0,4313

0,3420

0,2646

0,1989

0,1515

0,1444

0,1008

0,0672

0,0430

0,0272

0,0186

0,0160

0,0637

0,0697

0,0875

0,1171

0,1515

0,1578

0,2094

0,2711

0,3421

0,4215

0,5082

0,6009

IL Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,5164

4- 0,5410

+ 0,4362 + 0,3315 + 0,2267 4- 0,1219 + 0,0172

0,6

0,7

0,8

0,9

—    0,0876

—    0,1924

—    0,2971

—    0,4019

—    0,5066

0,6112

,    0,5102

0,4180 0,3361 0,2657 0,2073 0,1990 0,1613 0,1274 0,1049 0,0926 0,0890

0,0702

0,0740

0,0865

0,1094

0,1437

0,1901

0,1990

0,2489

0,3198

0,4020

0,4945

0,5956

.gl

Stützendrücke.

max{4-Do)—0,3676 g k-\-0,4313p 1, max (—D₀) — 0,3676 g к—0,0637p к, max(-\-Dx) =1,1259 g к Ą-1,2121p Я, тах(—I),) = 1,1259 дк— 0,0862рк, màxf^-D,,) =1,0132 g к 41,1912p к, max {—D„) = 1,0132д к — 0,1780p к.

1. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7718

0,7962

0,8

0,85

0,9

0,95

1,0

II. Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,2075

0,2369

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7889

0,7959

0,8

0,85

0,9

0,95

1,0

4 «in. ,4 «Vf

0,1535

0,5574

0,7523

0,8913

0,1154

0,2651

0,4722

0,8300

0,8998

0,7900

0,4573

0,2577

0,1124

Einfluss V. g

4 0,03047 4 0,05187 + 0,06421 4 0,06745 + 0,06164 4- 0,04676 4- 0,02281

—    0,00883

—    0,01022

—    0,03013

—    0,05230

—    0,07675 —0,10347

—    0,10347

—    0,07651

—    0,05229

—    0,03081

—    0,01206 — 0,00947

4 0,01718 4 0,03544 4- 0,04274 4- 0,03905 4- 0,02439 4- 0,00213

—    0,00124

—    0,01819

—    0,03786

—    0,06028

— 0,08544

Einfluss von p

max (-+- M) max (— M)

0,03654    0,00607

0,06400    0,01213

0,08241    0,01820

0,09172    0,02427

0,09198    0,03034

0,08316    0,03640

0,06528    0,04247

0,04683    0,04683

0,03947    0,04830

0,03836    0,04858

0,02637    0,05650

0,01931    0,07161

0,01603    0,09278

0,01525    0,11872

0,01525    0,11872

0,01337    0,08988

0,01358    0,06587

0,02794    0,05875

0,03196    0,04402

0,03331    0,04278

0,04278    0,04278

0,05996 I 0,04278 0,07821    0,04277

0,08550 i 0,04276 0,08181    0,04276

0,06714    0,04275

0,04487    0,04274

0,04317    0,04317

0,04241    0,04365

0,03320    0,05139

0,02836    0,06622

0,00978    0,07006

0,03107    0,11651

.gl¹    . pV¹ . pЯ²

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht:    I.    Feld,    max (4 AI)    — 4    0,0672gA²    für    x = 0,385lv

II.    r>    max (4- M)    — 4    0,0424g №    »    x — 0,5171.

Zufällige Last : I.    Feld,    max (4- M)    = 4~    0,0925p№    für    x = 0,453 lx,

II.    n    max (4- M)    — 4-    0,0852p А²    я    x = 0,5171.

1:1,2: 1,2 : 1.

к = 0,90909 k, I = Щ- к — 1,09091 L Ъ₁—ах — 0,19691{, а^ — Ъ₃ — 0,21431, Ъ„ = а₃ — 0,21151.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max ( + Q)

max (— Q i

I. Feld

0,1

0,2

0,3

0,3774

4 0,3431 4 0,2521 4 0,1612 4 0,0703

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

— 0,0206

—    0,1115

—    0,2024

—    0,2933

—    0,3842

—    0,4751

—    0,5660

0,4176

0,3324

0,2583

0,1954

0,1541

0,1431

0,1011

0,0687

0,0452

0,0298

0,0213

0,0188

0,0746

0,0802

0,0971

0,1251

0,1541

0,1637

0,2126

0,2711

0,3385

0,4140

0,4965

0,5848

IL Feld

Is

4- 0,5484

4 0,4393 + 0,3302 ' + 0,2211 + 0,1120 4 0,0030

— 0,1061

—    0,2152

—    0,3243

—    0,4334

—    0,5425

0,6215

0,5160

0,4198

0,3341

0,2603

0,1991

0,1976

0,1508

0,1151

0,0914

0,0785

0,0747

0,0731

0,0767

0,0896

0,1130

0,1483

0,1961

0,1976

0,2569

0,3303

0,4157

0,5119

0,6172

. gl

. pl

Stützendrücke.

max (4X>₀) =0,3i31gl-\- 0,4176p X, max (—D₀) — 0,3431gl—0,0745pl, max (4D, ) —1,1144g к 41,2063p к, max (—D, )=1,1144 g l—0,0919p к, max (4Дг) —1,0850g к 4 l,2344p Я, max(—Df) = 1,0850 g к — 0,1494p к.

1 : 1.2 : 1,2 : 1

Einfluss V. g.

Einfluss von p

max (+ Ж) j max (— M)

0,5295

0,7395

0,8862

4- 0,02706    0,03383

+ 0,04585    0,05940

-i- 0,05637    0,07671

4 0,05863    0,08574

-f 0,05263    0,08652

4 0,03836    0,07903

4 0,01583    0,06328

0,05114

—    0,01497    0,03926

—    0,01604    0,03839

—    0,03346    0,02754

—    0,05403    0,01961

—    0,07666    0,01742

—    0,10135    0,01709

0,00678

0,01356

0,02033

0,02711

0,03389

0,04067

0,04745

0,05114

0,05422

0,05443

0,06100

0,07364

0,09408

0,11844

о    о о

Oo Ot    чг с«

0,1102

0,2521

0,4466

0,7608

0,7877

0,4577

0,2579

0,1125

-b

—    0,10135    0,01709

—    0,07292    0,01469

—    0,04747    0,01608

—    0,02499    0,03048

—    0,00549    0,03260

—    0,00047    0,03642

0,03698

+ 0,02459    0,06281

4 0,04277    0,08253

4 0,04905    0,09036

4 0,04343    0,08628

4 0,02590    0,07030

4 0,00046    0,04623

0,04590

—    0,00352    0,04328

—    0,02270    0,03242

—    0,04485    0,02624

—    0,06998    0,02465

—    0,09809    0,02718

' 0,11844

0,08761

0,06355

0,05547

0,03809

0,03689

0,03698

0,03822

0,03976

0,04131

0,04285

0,04440

0,04577

0,04590

0,04680

0,05512

0,07109

0,09463

0,12527

2 70

1 : 1,3 : 1,3 : 1.

lx = ~ I = 0,869571, l = fl A = 1,130441.

23    23

Ъх = a₄ = 0,1905+ aq = b₃ = 0,22031, \ = a₃ — 0,2120 l.

Transversalkraft

Einfluss von g

Einfluss von p

max (4- Q)

max (— Q)

1. Feld

0,1

0,2

0,3

0,3672

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

-f 0,3193

+ 0,2323 4- 0,1454 4- 0,0584 0

—    0,0285

—    0,1155

—    0,2025

—    0,2894

—    0,3764

—    0,4633

—    0,5503

0,4053

0,3237

0,2528

0,1924

0,1588

0,1421

0,1016

0,0703

0,0475

0,0324

0,0242

0,0217

0,0860

0,0914

0,1074

0,1340

0,1588

0,1707

0,2171

0,2728

0,3369

0,4088

0,4875

0,5720

II. Feld

0,1

0,2

0,3

0,4

0,4929

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

-f- 0,5572

+ 0,4441 F 0,3311 4- 0,2181 + 0,1050

— 0,0080

—    9,1211

—    0,2341

—    0,3472

—    0,4602

—    0,5733

0,6329

0,5236

0,4235

0,3332

0,2573

0,1981

0,1934

0,1430

0,1059

0,0810

0,0675

0,0635

0,0757

0,0795

0,0924

0,1162

0,1523

0,1981

0,2015

0,2641

0,3400

0,4282

0,5277

0,6368

♦ gb

. pl

. pl

Stützendrücke.

max (4-Do)=0,3193 g Я -f 0,4053 p Я, max (—D₀) = 0,3193 gl — 0,0860p l, max (4-Dt) =1,1075g l -\-l,2049p l, max (—D, ) = 1,1075gl— 0,0974p A, max (4-ДО =1,1466g 1+1,2736p A, max (—Df) = 1,1466gl — 0,1270pi.

1:1,3: 1,3 :1.

t/V*

Einfluss V. g

Einfluss von p

max (4* M) max (— M)

I. Feld

"h

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7344

0,8

0,8095

0,85

0,9

0,95

1,0

0,5000

0,6872

0,8811

+ 0,02398    0,03146

4- 0,04041    0,05535

+ 0,04927    0,07171

+ 0,05057    0,08049

4- 0,04430    0,08171

4- 0,03048    0,07537

+ 0,00909    0,06146

0,05494

—    0,01985    0,04000

—    0,02301    0,03756

—    0,03716    0,02979

—    0,05636    0,02199

—    0,07745    0,01905

—    0,10043    0,01885

0,0074:8

0,01496

0,02244

0,02992

0,03741

0,04489

0,05237

0,05494

0,05985

0,06056

0,06595

0,07835

0,09550

0,11928

II. Feld

0,05

0,1

0,15

0,2

0,1058

0,2416

0,2456

0,7158

0,2203 I

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7857

0,7880

0,8

0,85

0,9

—    0,10043    0,01885

—    0,07053    0,01627

—    0,04384    0,01738

—    0,02023    0,03305

0,03529

4- 0,00732    0,03936

4- 0,03101    0,06538

4- 0,04927    0,08655

4- 0,05475    0,09494

4 0,04744    0,09055

4- 0,02738    0,07341

0,04844

—    0,00048    0,04774

—    0,00548    0,04423

—    0,02671    0,03079

—    0,05111    0,02448

0,95

1,0

0,7858 0,4580 0,2581

0,1125 I— 0,07811    0,02211

— 0,10952    0,02410

0,11928

0,08680

0,06122

0,05338

0,03529

0,03204

0,03437

0,03728

0,04019

0,04311

0,04603

0,04844

0,04858

0,04973

0,05750

0,07559

0,10082

0,13362

.gl*

. pl'¹

. pi*

Absolutes positives Maximum.

Eigengewicht:    I. Feld.    max(Ą-M)    =    4- 0,0510gV    für    x— 0,3671

II. n    max (4- M)    —    4~ 0,0548 g Я²    n    x = 0,4931.

Zufällige Last: I. Feld.    max(Ą- M)    =    4- 0,0959pX'¹    für    x — 0,4131{

II. я    max\-\- M)    —    4- 0,0963p№    v    x= 0,5131.

Verminderung der Transversalkräfte

I. Feld

II. Feld

max{— Q)

max (+ Q)

1,0

1,1

1,2

1,3

0,0045

0,0043

0,0041

0,0039

0,0223

0,0187

0,0159

0,0136

. pl

. pl

Verminderung des Momentes

I. Feld. Zweiter Theil

II. Feld. Erster Theil

II. Feld. Dritter Theilt

max (— Q)

max (— M)

max (-j- M)

1,0

1,1

1,2

1,3

0,00893 j, 0,00854 y,

0,00816 y,

0,00778 y,

0,00893 — 0,02679 y 0,02679 y — 0,00893 0,00854 — 0,02407 y 0,02407 y — 0,00854 0,00816 — 0,02175 y 0,02175 y — 0,00816 0,00778 — 0,01974 y 0,01974 y — 0,00778

.pl*

.pl*

Die Verminderung ist nur insoweit vorzunehmen, als hierdurch das Moment nicht kleiner wird, als das durch eine Gerade darstellbare negative Maximalmoment, bezüglich das durch eine Parabel darstellbar» positive Maximalmoment.

XVI. Kapitel.

Träger mit unendlich vielen Feldern.

§. 127. Vorbemerkungen. Wenn die Anzahl der Felder über vier bis fünf hinaus geht, so kann die Beanspruchung des Trägers für die praktische Anwendung gleich derjenigen angesehen werden, welche sich bei unendlich grosser Anzahl der Felder ergibt. Wir wollen daher noch den Träger konstanten Querschnittes mit unendlich vielen gleich langen Feldern unter Annahme gleich hoher Stützen untersuchen. Die Stütze 0 sei eine Endstütze ; rechts von derselben mögen unendlich viele Stützen liegen.

Bei Belastung eines beliebigen Feldes verhalten sich die Stützenmomente auf der linken Seite des belasteten Feldes wie die Clapeyron-schen Zahlen Jc₀, Jcx, \... (siehe §. 58). Das Verhältnis ft (§. 65) wird hiernach:

= oo, ft₂ =

Ь-Ч

15

209

56

== 3,7322, ft₆ =

—    ^ — 3,75, ft₄ —

— 3,7321, ft₇ =

780

2911

209

780

56

₅ = 3,7333,

= 3,7321,. . .

Der Abstand a des linken Fixpunktes von der linken Stütze des

ztt;— h d. i.

1 + fi

~ = 0,21052,

betreffenden Feldes wird allgemein а =

a ,i ^

«1

а,г _ 1

у = 0,2,

ö

56

= 0,21132,

19

a₆

209

989

— Yl — 0,21127,

= 0,21132,. . .

l 265

Das Verhältniss der Momente auf der rechten Seite des belasteten Feldes ist konstant und zwar wird das Verhältniss v (§. 65) :

1. v 2 + УЗ = 3,732058,

dementsprechend der Abstand Ъ des rechten Fixpunktes von der rechten y-j-— l, d. i.

1 -j- V

Stütze Ъ —

2. Ъ —

з—Уз

I = 0,211324 l.

Für ein mittleres Feld wird а = Ъ — J- (5 — У3)1, с — I — а — Ъ = -гУзг.

Der Einfluss eines Systems von Einzellasten und einer gleich-massigen Belastung sind nun durch die Kapitel VIII und IX bestimmt. Hier wollen wir nur voraussetzen, dass in jedem Felde höchstens eine Einzellast liegen könne, wie es beim Querschwellen-Oberbau der Eisen-

Winkler's Brückenbau. Theorie. I. Heft.

bahnen, sowie bei Zwischenträgern der Brücken bei kleinem Abstande der Querträger Vorkommen kann. Wir wollen hierbei nur ein Endfeld und ein mittleres Feld untersuchen.

§. 128. Stützenmomente. Bei Belastung eines beliebigen Feldes (des rten) wird nach Formel 15 (S. 123)

3 (v№" - ШР) _ Ж-i [(2 + VS) Ш“ - ЗДР]

K-i -f- (2 -f- J/"3) kr

Multiplizirt man Zähler und Nenner mit lcr-i -\-(2— У 3) kr, so erhält man im Nenner k\-i -f- dk^kr -f k\, d. i. aber = 1 (siehe des Verfassers Lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag 1867, S. 122). Somit wird

M,-, = — 3K-1 [K-i + (5 - уз) ч p+]/з) Ш" - а»-].

so erhält man

Setzt man nach Formel 40 (S. 114) ЗШИ² = Gg (l² - g²), ЗШЧ* = Q%(1 — g) (21 — g) und ausserdem Mx =    ^ Ж

Ш¹~й

lq

3. Mx ——1(3"V&y3)kr-i + У3kr\\l — (У3—-Z)J]

Zum Maximum wird hiernach Mx,    für

4. £ = ~(3 + У3 — У6)1 = 0,38041

und zwar ist

5. max Ж, = — jß [(5 -\-2У3) lcr-i -\~У 3 kr] (3-j-3 У2    У3 У6) Gl

= -^[h,^ + (ä-V3)h}(l + V^ +1/3 +1/6) Gl.

— — 1,0993 Qcr-i + 0,2679kr) Gl.

zum Sonach wird

Zum positiven Maximum wird Mx, wenn man von der Belastung des ersten Feldes noch absieht, bei Belastung des 3ten, 5ten,... Feldes, negativen Maximum bei Belastung des £ten, 4ten,... Feldes.

max (-j- Mx) —

6.

— ^ [кц-{-кл-\-...-\-(2—У<5)(&3+&5+•••)] (1-\~У2-\-У3-\~У6)Gl,

max (—My) —

— тг [&i + К +•••■+■ (2—У3)(К + ^4+-• •)] (1 + У2-\~У3-\~У6)Gl. 6

Die in der Klammer stehenden unendlichen Reihen ergeben sich leicht durch Berechnung einiger der schnell abnehmenden Glieder \ -(-(2 — У~3) К » К + (2 — УЗ) \,.... Durch analytische Summirung (siehe des Verfassers „Lehre von der Elastizität und Festigkeit“, S. 122)

ergibt sich die Klammer des ersten Ausdruckes zu 2 — j [/ 3 und die Klammer des zweiten Ausdruckes zu -j-(2]/3 — 3). Somit wird

шах (-|- Mx) =

7.

⁺ ~Se Wa + Vty-5{V3+V6)]Gl = + 0,02277Gl,

шах ( - Ж,) =

—    [3 (1 + ]/2) — <1/5 + Vli)\Gl = -0,08603Gl.

Wenn das erste Feld selbst belastet ist, so wird, wenn wir in den Formeln 1 (S. 124) a — 0, Ъ — ^ (3—\^3)l, c = ~ (3 -f- ]/3)1 setzen,

8. Ж, = — (2 — V 3)

Hiernach wird Ж, zum negativen Maximum für I = j V3 l = 0,57741 und zwar ist

(2V3— 3)Gl = 0,10313 Gl.

9. шах (— Mx) — —

Bei der ungünstigsten Belastung aller Felder würde sonach max(—Mx) = 0,18816 Gl.

Bei Belastung eines mittleren Feldes wird nach den Gleichungen 1 (S. 124), wenn man für а, Ь, c obige Werthe setzt,

Gl (I - l)

21*

10.

Mr

Gl (l — I)

2P

Mr-1 - Mr = —

l(2-V3)l-{V3-l)l], Gl (l -l)

21²

(V3 ~ 1) (1-21).

Zum negativen Maximum wird Mr-i ebenfalls für

11 £ = “ (3 + Vs — Ve) l — 0,38041

und zwar ist

12 max (- Мг-г) = — ^[3(1 + |/2) - (]/5 + V6)] ОI =

— 0,08503 Gl.

Hinsichtlich der rechten Felder wird Mr~i zum negativen Maximum bei Belastung des rten, (r Ą-2) ten, (r 4-4) ten,... Feldes bei 1 = 0,38041. ln Folge der Belastung des rten Feldes ist Mr -i — — я Gl, wenn wir y(3 + ]/3 — V0) = 0,3804 — я setzen. In Folge der Belastung des (r + 2) ten Feldes ist, wenn wir

v 2 + V 3

= 2 — У 3 = 0,2679

setzeD, Mr+1 = — xGl, Mr = — aMr+I, Mr_₁ = ~uMr = +a*Mr+1z= — xcc²Gl. Für die Belastung des (r + 4) ten Feldes wird ebenso Mr—i = — xcc* Gl u. s. f. Sonach wird

xGl

1 — a²

max (— Mr_!) = — к {i -f- a2 a4 _ < ) Qi _

Die Einsetzung der Werthe für x und к gibt:

13.    max (— Mr-î) —

~~Y^{l + V^+V^+V^)Gl= — 0,09161 Gl.

Zum positiven Maximum wird Жг_₇ hinsichtlich der rechten Felder bei Belastung des (r -festen, (r -f- 5) ten,... Feldes. Für diese Belastung wird Mr ebenso gross, wie max (—Jfr_₇), folglich Mr-i = — a max (— Mr-i) = — (2 — j/ 3) max (— Жг_₇) oder

14.    max (+ Mr-i) =

+■    ¹~ V2 + V3 + V0)Gl = + 0,02450 Gl.

Sind beide Seiten der fraglichen Stütze möglichst ungünstig belastet, so werden die Maxima doppelt so gross, also max (—Jfr_₇) = — 0,18322Gl, max (-f- Mr—i) = -f- 0,04910 Gl; der erstere Werth setzt allerdings voraus, dass die Lasten in den benachbarten Feldern den Abstand 2.0,38041 = 0,76081 haben. Bei Anwendung auf Eisenbahnschienen wird indess ein so enger Badstand nicht anzunehmen sein.

§. 129. Momente für beliebige Querschnitte. Für das

Moment für einen beliebigen Querschnitt wird, wenn die Last auf der rechten Seite liegt, Ml — Mr-i l — (4/r_₇ — Mr) x -f- Gx(l — |) und wenn sie auf der linken Seite liegt, Ml = Мг-г1—[Mr^₁ — Mr)x -\-Gl(l — x). Im ersten Felde ist Mr~i — 0, Mr = Mt zu setzen. Dies gibt, wenn die Last auf der rechten Seite liegt:

( Erstes Feld, Last rechts:

MV — Gx (I — S) [V¹ - (2 — Уз) g (l + £)]•

Erstes Feld, Last links:

15.

MP = Gl Иг - (3 - yj/xj + (3 - }П)х?]. Mittleres Feld, Last rechts:

Ml³ =

1. Positive Momente. Das positive Moment tritt immer ein, wenn die Last am fraglichen Querschnitte liegt, also für £ = x. Dies gibt für die Belastung des fraglichen Feldes:

277

Erstes Feld:

G-l.

16.

mœc(+j!r) = + j(ï-*)[l-(2-l/3)y(ï+^)]

Mittleres Feld :

шах (+ Ж) =+

Für das positive Maximum von M im ersten Felde muss ausserdem das 3te, 5te,... Feld belastet sein. Für diese Belastung ist Mx durch

die erste der Formeln 7 bestimmt; Ж ist alsdann — Mxj oder:

17. шах (-f- -M”) = +

36

Grx.

Für ein mittleres Feld muss für einen Querschnitt links vom linken Fixpunkte das (r—2) te, (r—4)te,,.. sowie das (r-\-l) ste, (r-)-5)te,... Feld belastet sein. Für einen Querschnitt zwischen beiden Fixpunkten sind dieselben linken Felder, dagegen auf der rechten Seite das (r-f-^)te, (r -f- 4) te,... Feld zu belasten. Diese Felder sind in einem Punkte zu belasten, welcher von der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze den Abstand 0,38041 hat.

Für die Belastung des {r — 2)ten, (r — 4)ten,,.. Feldes wird

—, Gl, Mr = — aMr-i —

1 — «s

Gl. Für die Belastung des (r-j-l)sten, (r-(-3)ten,... Feldes

iGl> Mr~] = — “ Mr —

— ul

Gl; folglich wird für die Belastung aller übrigen Felder

Mr-i — -f-

2 ccx

1+ cP

Gl, Mr = —

1 — 0?

Gl, Mr-!-Mr

1 — a²

Gl

Es wird nun für x < j (3 —3) l: max{-\-M) = M, 2xGl

r—1

— (Mr-l — Mr)

'="'1 «

—    — {1 + u) yj, d. i.

= + 0,0491 G (l — 3x).

Für die Belastung des (r -j- ,2)ten, (r-}-4)ten. Feldes wird Mr-i und Mr ebenso gross, als bezüglich Mr und Mr-i für die Belastung des (r — 2)ten, (r — 4)ten,... Feldes. Für beide Belastungen zusammen wird daher Mr-i — Mr = ^

Ebenso gross wird max (-f- M) für x > ~ (3 — ]/~3) l, d. i.

18. шах (+ M) — +

— ß’

k!x

)ei

G l.

= + 0,01796 Gl.

Zum absoluten positiven Maximum wird M, wenn man die ungünstigste Belastung sämmtlicher Felder berücksichtigt, im ersten Felde für X = 0,4181, in einem mittleren Felde für x = jl und zwar ist

Erstes Feld:

Mittleres Feld: Max (-f- M) = -^ 0,1888 Gl.

20.

Max (+ 31) = + 0,2142 Gl.

2. Negative Momente. Für einen innerhalb beider Fixpunkte, im ersten Felde also links vom Fixpunkte, liegenden Querschnitt darf das fragliche Feld für max (— M) gar nicht belastet sein.

Für das erste Feld wird nach der zweiten der Gleichungen 15 M zum Maximum für

21. £ =

19. max (+ Ж) = +

2+2]/2 -У 3 -V 6 G г

36

₍j/3+^y3    2 +уз l

1,3774 — 1,2440

Für ein mittleres Feld wird nach der dritten der Gleichungen 15 M zum Maximum für

22. J²-r

(3 + У 3) l — 6 ж

3(1— 2x)

*i +

(УЗ + 1)1 + 2У 3x 6(1- 2x)

l¹ = o.

oder, wenn man auf x reduzirt, für

23. x —

(]/з_+ 1)1 - уз I p

3 i\/l P + 6ï (I - D]

Setzt man den Ausdruck für £² aus 21 und von (l — 2x) £² aus 22 in 15 ein, so erhält man

Erstes Feld:

24.

‘jGJ.

max (— Ж) = —

iS L

[(3 - V3) ж — Ц.

Mittleres Feld:

I max (— Ж)

Für das erste Feld muss ausserdem das 2te, 4te,... Feld belastet sein. Für diese Belastung ist i/, durch die zweite der Formeln 7 bestimmt. Es wird also

<?(*-!>

6i“

[i-(3+V3№ [i-(äV3 -3)1].

25. max ( — Ж ) = —

4 [3<*+]/ 3) - ()/3 + V«>J G ж

— — 0,0830 Gx.

36

26.

Für ein mittleres Feld muss ausserdem noch für einen links vom linken Fixpunkte liegenden Querschnitt das (r — 1) ste, (r — 3) te,.. sowie das (r -F 2)te, (r -4- 4)te,... Feld, für einen zwischen beiden Fixpunkten liegenden Querschnitt das (r — .2)ste, (r— 3)te,..., sowie das (r -F 1) ste, (r + 3) te,... Feld so belastet sein, dass die Last von der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze den Abstand 0,38041 hat. Für diese Belastung ergibt sich leicht, wie oben:

3-]/3

X< 6

3 —]/3

[x> 6

— — 0,0982 G(l — l,5x),

1 + V2

36

Gl = - 0, 0671 Gi

Das absolute negative Maximum tritt im ersten Felde an der Stütze 1, in einem mittleren Felde an jeder der beiden Stützen ein und ist im ersten Felde — 0,1882Gl, in einem mittleren Felde —0,1832 Gl.

Wir geben hiernach in Fig. 210 die grafische Darstellung und im Folgenden eine Tabelle der Maximalmomente:

Fig. 210.

iff

If

Erstes Feld.

Mittleres Feld.

Erstes Feld max (F Щ max (— 141)

Mittleres Feld max (-j- M)

max ( — M)

-F

0,1

0,2

0,2113

0,0896

0,1543

0,0085

0,0170

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,7887

0,8

0,9

0,1949

0,2131

0,2112

0,1919

0,1590

0,1216

0,1165

0,0693

0,0228

0,0255

0,0340

0,0425

0,0510

0,0595

0,0670

0,0694

0,1181

0,1882

0,0490

0,0852

0,1183

0,1216

0,1552

0,1800

0,1887

0,1800

0,1552

0,1216

0,1183

0,0852

0,0490

0,1832

0,1137

0,0695

0,0671

0,0671

0,0671

0,0671

0,0671

0,0671

0,0671

0,0695

0,1137

. Gl

. Gl

Für Querschnitte in der Nähe der Stütze können die Lasten im ersten und zweiten, bezüglich im rten und (r — 1) sten Felde so nahe rücken, dass eine praktisch unmögliche Laststellung eintritt. In diesem Falle ist das Maximum durch die Einflusslinie mit Rücksicht auf den gegebenen Abstand der Lasten besonders zu bestimmen.

§. 130. Transversalkräfte. Die grösste positive oder negative Transversalkraft tritt ein, wenn die Last dicht rechts, bezüglich links neben dem Querschnitte liegt. Für diese Belastung ist max (4- Q)l = G (l — x) — {Mr-! — Mr), max (— Q) I = — Gx — (Mr-i — Mr) ; im ersten Felde wird hiernach max (-f Q) I = G {I — x) 4- Mx max (— Q)l — — Gx -f Mt. Dies gibt:

Erstes Feld :

27.

maxi— Q) = — (3 —

V 3) - [i

3 — V3 ²

G.

Mittleres Feld:

max

<+<?>+(i- л j '+

^ (--*?)]

G.

Das negative Maximum erhält man für ein mittleres Feld, indem man x für l — x setzt und das Vorzeichen vertauscht.

Hinsichtlich des ersten Feldes muss ausserdem für max (4- Q) das 3te, 5te,..., für max{—Q) das 2te, 4te,... Feld so belastet sein, dass die Last von der linken Stütze den Abstand 0,38041 hat. Für diese Belastung ist Mx durch die Formeln 7 bestimmt. Da Ql — Mx ist, so wird demnach

te

max(-\- Q) = + 0,02277G,

max (—£) = — 0 08303G.

Für max (-f- Q) in einem mittleren Felde muss ausserdem das (r — 7)ste, (r — 3)te,... sowie das (r -f- 2) te, (r -j- 4)te,... Feld so belastet sein, dass die Last von der dem fraglichen Felde zugekehrten Stütze den Abstand 0,38041 hat. Für diese Belastung ergibt sich leicht Mr—i = — x(l + a²) (7 -f- a² +    4~...) G l, Mr — -f 2xa {1 4- «² 4"

aA 4-• • • ) Gl, Ql — Mr — Mr-i = я {1 +    (1 -f⁻    + • • • ) Gl

Gl, d. i.

_x G ~\~ a)

1 — a

29. max Gf- Q) = + Jä(—1 —    + V3 -f V&) & = + 0,1473 G.

Als absolutes Maximum ergibt sich hiernach für das erste Feld Max (40= 4 1,0228 G, Max (— Q) = — 1,0850 G und für ein

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0228

0,8963

0,7713

0,6496

0,5328

0,4223

0,3199

0,2271

0,1456

0,0770

0,0228

0,0850

0,2115

0,3364

0,4185

0,5750

0,6855

0,7879

0,8806

0,9621

1,0308

1,0850

1,1473

1,0737

0,9825

0,8781

0,7649

0,6473

0,5297

'0,4166

0,3122

0,2209

0,1473

0,1473

0,2209

0,3122

0,4166

0,5297

0,6473

0,7647

0,8781

0,9825

1,0737

1,1473

max (— Q)

mittleres Feld Max (+ Q) = — Max (— Q) — 1,1473 G. Untersucht man in gleicher Weise auch noch die übrigen Felder, so findet man, dass die grösste Transversalkraft überhaupt im II. Felde an der Stütze 1 ent-

Fig. 211.

steht; dieselbe ist 1,1624 G.

In Fig. 211 ist hiernach maxQ grafisch dargestellt. Die folgende Tabelle enthält die bezüglichen Zahlen werthe:

Erstes Feld.

Mittleres Feld.

Erstes Feld

max (4- Q)

Mittler es Feld max (4- Ç) [ max (— Q)

II

Wenn die Lasten im ersten und zweiten, bezüglich (r — 2) sten und rten Felde näher rücken, als dies praktisch möglich ist, so wird natürlich wieder eine besondere Bestimmung zu treffen sein, wobei indess stets eine Last am Querschnitte anzunehmen ist.

§. 131. Stützendruck. Der Druck auf die linke Endstütze ist gleichbedeutend mit der Transversalkraft Q daselbst. Wir wollen ausserdem nur noch den Druck auf eine mittlere Stütze bestimmen.

Wenn im rten Felde eine Last liegt, so ist für den Stützendruck auf die (r — 1)ste Stütze: Dl = G (l — |) -f- Mr-₂ — 2Mr._₇ + Mr = G (l — I) — (a -f- 2) Mr-! 4- Mr. Setzt man für Mr-i und Mr die Ausdrücke 10 und a -\- 2 = 4 — 1^3, so erhält man

30. D — G

^•ICrevs

Wenn in deD neben dieser Stütze liegenden Feldern gleiche Lasten mit dem Abstande a liegen, so tritt das Maximum von Dr ein, wenn jede der Lasten von der Stütze den Abstand -j a hat. Ausserdem muss das (r — 3) te, (r — 5) te,..., sowie das (r 4- 2) te, (r 4- 4)te,... Feld belastet Sein. Für diese Belastung wird Mr~2=Mr, also Dl = 2 {Mr — Mr-i), Mr-! = — 2 а² и G I (i + a² + «⁴ + . . .), Mr = a [1 4~ a²) я Gr I {14- a²4~ a⁴ -f-...), D — 2cc {1 -j- a)"xG {14- a'² 4" «⁴4~ • • •)

X G oder

_ 2 a (1 -\- a)

31. max (-j- 7>) — Hb

••‘(I    +!«>•»</ + V:i)

= + 0,0790 G.

Das negative Maximum von D, welches bei Belastung der übrigen Felder eintritt, ergibt sich in gleicher Weise zu —— max (4- D) oder zu

- 1 - V 2 + Vs + V в „ 6------------ G

— - 0,2946 G.

32.

max (— D) — —

XVII. Kapitel.

Grafische Behandlung der kontinuirlichen Träger.

§. 132. Grafische Darstellung der elastischen Linie. Die

d*y __ M dxl - EI '

Differenzialgleichung der elastischen Linie oder der deformirten Axe eines Stabes ist, wenn man von dem Einflüsse der Schubspannungen absieht,

1.

Die Differenzialgleichung einer Seilkurve mit der vertikalen Belastung q pro horizontale Längeneinheit und der Horizontalspannung H ist

9 d*y — q dx* ~ H •

Hiernach ist die elastische Linie eine Seilkurve, für welche die Last pro Längeneinheit gleich dem durch das Trägheitsmoment I dividirten Momente M und die Horizontal-

Spannung gleich dem Elastizitätskoeffizienten E ist. Statt dessen würde man bei konstantem I auch q = M und H — EI setzen können. Wir wollen in der Folge in Uebereinstimmung mit §. 56

= 1.

und 63 q = M j- und dementsprechend H = EI₀ setzen, wenn I₀ ein mittleres Trägheitsmoment bezeichnet. Bei konstantem Querschnitte ist dann

Man hat also das Seilpolygon der gegebenen Kräfte zu konstruiren und die Höhen desselben mit ~ zu multipliziren. Die so entstandene

verzerrte Mo me nt en fläche (siehe §. 63) hat man jetzt als Belastungsfläche anzusehen und für dieselbe die Seilkurve zu konstruiren. Bei konstantem I entfällt die Division mit I₀ und die vom Seilpolygone gebildete Momentenfläche ist jetzt unmittelbar als Belastungsfläche anzusehen.

Wenn man die Momentenfläche durch Vertikalen in mehrere Flächenstücke theilt und die Flächen derselben in ihren Schwerpunkten wirkend denkt, so bestimmen diese Kräfte ein Seilpolygon, welches die elastische Linie in der Vertikalen, welche die einzelnen Flächen von einander trennen, tangirt, wodurch sich beliebig viele Tangenten der elastischen Linie konstruiren lassen. Flächen, welche positiven oder negativen Momenten entsprechen, sind natürlich im Kräftepolygone im entgegengesetzten Sinne aufzutragen.

Nimmt man eine Thei-lung durch nicht vertikale Linien vor (Fig. 212), so sind die Richtungen der äusseren Polygonseiten mit denen für die vertikale Theilung übereinstimmend, weil die vertikale Höhe zwischen den entsprechenden Strahlen des Kräftepolygones der Gesammtlast entspricht. Die äusseren Polygonseiten werden also auch in diesem Falle Tangenten an die elastische Linie in den Endpunkten des in Rede stehenden Stückes derselben bilden. Hierbei können natürlich auch einzelne Flächentheile negativ sein.

Die Darstellung der elastischen Linie als Seilkurve auf Grund der Gleichungen 1 und 2 erfolgte zuerst von Mohr im „Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen“, Zeitschr. des Hannov. Arch.- und Ingen.-Ver. 1868.

Pig. 212.

NI

lPr

(—CL______

Ъ.

§. 133. Das elastische Polygon. Handelt es sich nicht um die wirkliche Form der elastischen Linie, sondern nur um die äusseren Kräfte und ihre Momente, so genügt die Kenntniss der Lage der Tangenten der elastischen Linie an den Stützen, welche wir Stützentangenten nennen.

Bei konstantem Querschnitte denkt man sich hier die Momenten-fläche am besten als Differenz der einfachen Momentenfläche A“ C“ B“ und des Trapezes A'A“ B" B' (Fig. 213), setzt also die Momentenfläche

= Fläche А"С“В" — ДA'A¹¹ B‘ — ДA“B“B‘.

Bei variablem Querschnitte multiplizirt man die Ordinaten aller drei Flächen mit . Hierdurch mögen die beiden Dreiecke, die wir Mo-

mentendreie с к e nennen, in die verzerrten Momen-tendreiecke, die einfache Momentenfläche in die verzerrte einfache Momentenfläche übergehen. Alsdann '0 ist die verzerrte Momentenfläche gleich der verzerrten einfachen Momentenfläche weniger der Summe der beiden verzerrten Momen-tendreiecke.

Die Inhalte dieser drei Flächen denken wir uns nun in ihren

Schwerpunkten als Vertikalkräfte wirkend; das denselben entsprechende Seilpolygon AUSVB nennen wir das elastische Polygon.

Bei konstantem Querschnitte theilen die durch die Schwerpunkte beider Dreiecke gehenden Vertikalen die Spannweite in drei gleiche Theile; wir nennen dieselben daher die Drittelvertikalen. Aber auch bei variablem Querschnitte lässt sich die Lage der durch Schwerpunkte der verzerrten Momentendreiecke gehenden Vertikalen, die wir auch hier Drittelvertikalen nennen wollen, bestimmen, auch wenn man die Stützenmomente noch nicht kennt. Bezeichnen a\ а“ die Abstände der Schwerpunkte von den nächsten Stützenvertikalen, so wird

Fig. 213.

A"

i\

B‘

M,

B’ F

—f- %₃l—-Vsl—

A" д

rU-

ur'sN

slV‘

jb

GI

N,

3. o' =

X (J — x)

J-T

dx

x (I — x )

J-r

dx

x dx

oder

i. a‘ —

a"

3B‘

wenn man ausser den Bezeichnungen von §. 56 noch

5. B' =

_ 2 In Ç x d x

~I

0

z JB“ — _л

T Î    72

2In f (I — X) d(l — x) о

setzt. Unter Einführung der Beziehungen von §. 56 wird auch Б' = (C + 2C“) = -j(3 + Cl — C"), B" = I (C+ 5 C") = у (3 ■— C‘ + C"). In der grafischen Bestimmung von §. 62 (Fig. 124) wird hiernach

Fig. 214.

6. I

Б" =

о

Trapez AB NM ’

О

Trope* И Б JY Ж

...

und

a‘

7.

o"

Fläche AGB /\ABN~ ’ Fläche AGB /\ABM    '

<----CL-----

<7

so dass die Lage ^ der Drittelvertikalen durch die £

Form des Trä- jj gers gegeben ist.

Wir verwan- } dein nun die beiden verzerrten Momentendreiecke in Dreiecke mit der Länge l und bezeichnen die Höhen an den Enden mit Ж,' und ЖД Bei konstantem KU Querschnitte, wo die Flächenver- 0 Wandlung wegfällt, ist МХ' = М\

Bei variablem Querschnitte wird das Yerhältniss von Mx‘ und Mi' zu № und M" dasselbe bleiben, wie gross auch MJ und M" sein möge. Dieses p

Ft

i\M

/I¹ 1X

Ac:i

■I-

SX

W'

Б”

Hi

batrs

V erhältniss erhalten wir durch die Flächenverwandlung. Offenbar wird

MX⁴ = B⁴3I⁴, Ml ¹¹ = B“ M“.

Wir verwandeln ferner die verzerrte einfache Momentenfläche in ein Rechteck mit der Länge l und bezeichnen die Höhe desselben, oder das mittlere Moment des Einzelträgers mit derselben Belastung mit Ш?₀.

Die drei Kräfte zur Konstruktion des elastischen Polygones würden alsdann    Mxl und yl/'l zu wählen sein, während die Pol

weite Ъ = EI₀ zu setzen sein würde. Statt dessen aber können wir auch die Kräfte = тШ₀1, -^mMx⁴l, ^т М₁"1 und die Polweite b — mEI₀ annehmen, wenn m einen beliebigen Faktor bezeichnet. Um m möglichst günstig wählen zu können, bestimmen wir zunächst die Stützenmomente M⁴ und M“.

‘I : b und

Verlängert man die mittleren Seiten des elastischen Polygones bis zum Durchschnitte M und N mit den Stützenvertikalen, so ist A A UM ähnlich £±GOF und /\BVN ähnlich /\HOE-, folglich verhält sich, wenn wir AM = у⁴, В N = y“ setzen, y‘ : a‘ =

yu : a“ = j m Mi u l : Ъ, also ist

2by‘ _6B“by‘

m l а⁴ mC V¹ ’

M„ ₌ Mr _ e&by“

ml a“

m G V¹

Es wird somit, da B“M⁴ — Mx⁴, B⁴M“ — Mx⁴ ist,

6by⁴

M“ =

8. M⁴ =

— mGl**

6by“ mCl* '

Die Stützenmomente sind also den von den inneren Seiten des elastischen Polygones auf den Stützen vertikalen abgeschnittenen Strecken y⁴ und y“ proportional.

Am einfachsten würde man hiernach, wenn l für alle Felder gleich gross ist, b — — l und m = setzen, da alsdann unmittelbar M' = yJ, M4t = y“ wird. Wenn indessen die Länge der einzelnen Felder ver-schieden ist, so wollen wir b = -^ X, m = — setzen, so dass

9. M⁴ =

©V.

M“ =

wird. Man kann hierbei Я beliebig wählen; am besten wird man für Я eine der vorhandenen Spannweiten wählen, da dann wenigstens für die Stützen, welche die Felder mit der Spannweite Я begrenzen, M⁴ = y⁴, M¹¹ = у " wird.

Die drei Kräfte für die Konstruktion des elastischen Polygones sind alsdann

Das elastische Polygon wurde zur grafischen Behandlung des kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes unter Einführung der obigen Zerlegung der Mo-mentenfläche in die einfache Momentenfläche und zwei Dreiecke zuerst von Mohr angewendet (Zeitschr. des Hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1868). Die Ausdehnung auf den veränderlichen Querschnitt erfolgte zuerst vom Verfasser (vorliegendes Werk, I. Aufl. 1872). Die Bezeichnung „elastisches Polygon“ wurde in Uebereinstimmung mit der längst üblichen Bezeichnung „elastische Linie“ zuerst von v. Ott (Die grafische Statik, II. Theil, Prag 1885) angewendet. Ritter (Die elastische Linie und ihre Anwendung auf den kontinuirlichen Balken, Zürich 1871) gebrauchte dafür die Bezeichnung zweites Seilpolygon; diese Bezeichnung ist auch in den früheren Auflagen dieses Buches benützt.

§. 134. Die Kreuzlinien. Ist die Lage der Stützentangenten AU und BV (Fig. 213 und 214) gegeben, só lässt sich das elastische Polygon in folgender Weise konstruiren: Auf zwei Vertikalen, welche vom Schwerpunkte der verzerrten einfachen Momentenfläche den Hori-

zontalabstand Ъ haben, trägt man die Grösse

auf und verbindet

10. P = +

m₀ i

(7 Я

■f, P' = -

М.Ч

2CA

, P" =

M±i

2CI '

cz

<2

und a"

Zieht man in den Abständen a'

Gl    von U und V Vertikalen, so sind die Strecken А, Ж, und

ByN„ welche auf diesen Vertikalen von den Verlängerungen der inneren Seiten des elastischen Polygones abgeschnitten werden, gleich M‘ und M“ und zwar nach demjenigen Momentenmaassstabe, nach dem im Kraftpolygone die Kräfte P, P', P" aufgetragen wurden.

3B‘

3B‘

c i

die so erhaltenen Punkte durch zwei sich kreuzende Gerade, welche man die Kreuzlinien nennt. Macht man jetzt auf den Drittel vertikalen Uü¹ und VVJ gleich dem Vertikalabstande der Kreuzlinien in denselben Vertikalen, so bilden UV⁴ und VU offenbar die mittleren Seiten des elastischen Polygones.

Bezeichnen wir den Abstand OP und QB der Kreuzlinien in den Stützenvertikalen mit TJ und T", den Abstand des Schwerpunktes der verzerrten einfachen Momentenfläche von diesen Vertikalen mit g' und g",

1?

so ist V : ^ = g' : Ъ, also V =

Nun aber sind 9)l₀Zg' und Ш₀1%“ die statischen Momente der verzerrten einfachen Momentenfläche in Beziehung auf die linke und rechte Stützen-

und ebenso T“ =

СЫ •

vertikale di — 7

V VA LiiACtlv^ vA • A*    '' -X-Q 1    J

Zeichnung von §. 56 = ^ШЧ'¹ und jWl*. Es wird somit

~ 2СЫ ‘

und

, d. i. nach der Be-

11.

тч²

20Ы ’

Man kann sonach zur Konstruktion der Kreuzlinien auch die Grössen 9DF und ШР' verwenden, deren Bestimmung durch Rechnung und Konstruktion in §. 63 gezeigt wurde. Wenn man Ъ = wählt, so wird

IV

12. V =

für 1 = 1 wird also T‘ = ЗШT“ = ЗШ".

Die Einführung der Kreuzlinien rührt von Culmann her (Ritter, Die elastische Linie u. s. w., Zürich 1871).

§. 135. Beiderseitig und einseitig horizontal eingespannter Träger. Die gezeigte Konstruktion ist unmittelbar anwendbar auf die Bestimmung der Stützenmomente beim beiderseitig und einseitig horizontal eingespannten Träger.

Beim beiderseitig horizontal eingespannten Träger werden die äusseren Seiten A U₀ und B V₀ (F. 215) des elastischen Polygones horizontal. Durch die Kreuzlinien sind

Fig. 215.

r:

0.

dann die Punkte U₀' und V₀‘ und durch diese die Punkte Ma und N0 bestimmt. Es ist alsdann, wenn man 1 = 1, Ъ = jl wählt, M' = AM₀, M“ = BqN₀ und bei konstantem Querschnitte M* = A M0 = v₀ V₀', M“ = B₀ N₀ = ü₀ ü₀\ Im Kraftpolygone fallen hier die Punkte G und H zusammen; es wird also -j- (MJ -{- M“) = Ш1₀. Im ersten Seilpolygone werden demnach bei konstantem Querschnitte die auf beiden Seiten der Schlusslinie liegenden Momentenflächen einander gleich. Bei symmetrischer Belastung würde hiernach M‘ = Mu = ЭД!₀.

Zieht man in Fig. 215 durch die Punkte U und V, welche dem schief eingespannten Träger entsprechen, eine Gerade, welche die Stützenvertikalen in О und P schneidet, so ist OM = AM₀, PN = B₉N₀; demnach wird für 1 = 1, b = jl: АО = M₀‘—M, В P=M₀"—M“, wenn Ma‘, M₀“ die Endmomente für den horizontal eingespannten Träger bedeuten. АО und BP sind also der Differenz der Endmomente beim horizontal und schief eingespannten Träger proportional.

Ist der Träger nur auf der linken Seite horizontal eingespannt, während er auf der rechten frei auf der Stütze В ruht, so ist nur die linke Seite A U (Fig. 216) des zweiten Seilpolygones horizontal. In В muss das Moment Null sein, es muss also BN=0 sein oder es müssen

die Seiten SV und BV des zweiten Seilpolygones zusammenfallen. Man bestimmt demnach den Punkt U* durch die Kreuzlinien; durch diesen Punkt ist also die Seite BS, also auch der Punkt S und durch diesen der Punkt M bestimmt; es ist alsdann

M‘ — AM und bei konstantem

Fig. 216.

.    , .    Щ

Querschnitte M‘ — AM. Im letzteren Ш

Falle würde bei symmetrischer Bela

fr

st

stung für l = l,b = ~l; U₀S₀=^l = b,

U₀U' = №₀, S₀S=^m₀, AM = 2S₀S= jWl

vfr"js

also № = f 3Ä₀.

§. 136. Verschränkte Stützenyertikale. Verlängern wir die mittleren Seiten UV und Ut F, (Fig. 217) der elastischen Polygone zweier auf einander folgender beliebig belasteter Felder mit den Längen l und lv so schneiden sich die Verlängerungen in einem Punkte W, welcher in der Richtung der Mittelkraft der in V und Ut wirkenden

Kräfte liegt. Diese Kräfte sind nach §. 133: ^ ВЦМХ ~ und ~BX Mtj,

wenn Ж, das Stützenmoment in В bedeutet und wenn sich В¹¹ auf das linke, Bx auf das rechte Feld bezieht. Es verhält sich also W₀VQ : W₀V₀ = Б/г, : B“l. Hiernach hat die durch W gehende Vertikale eine konstante, von der Belastung unabhängige Lage.

Fig. 217.

Ti

ui

BjTtó

v\ !

Bei konstantem Querschnitte ist die Horizontalprojektion von F₀ U№ — j {I + Zt). Da sich nun hier W₀Vn : W₀ U₀ — verhält, so wird die Horizontalprojektion von V₀W₀ = 4 die V(>u Ü₀W₀— ~ l und die von BW₀ = j (Z, — l). Wir nennen daher die durch IF0 gehende Vertikale, deren Lage sich hiernach leicht angeben lässt, die verschränkte Stützenvertikale.

19

W i n к 1 e r's Brückenbau. Theorie. I. Heft.

Wir wollen diesen Namen aber auch bei variablem Querschnitte beibehalten. Hier lässt sich diese Vertikale in folgender Weise bestimmen. Fig. 218.

Sind in Fig. 218 die Dreiecke ABD und СЕВ

-к

°l

gleich den entsprechenden verzerrten Momentendrei-ecken, so ist nach §. 133 BD = B"Ml und BE — B‘MX. Legt man durch ÜQ und V₀ Parallelen bezüglich zu AB und CE, welche sich in F schneiden, so geht, wie leicht nachweisbar, die verschränkte Stützenvertikale durch F.

Für einen konstanten Querschnitt wurde der aufgestellte Satz zuerst von Mohr (Zeitschr. des hannov. Arch.- und Ingen.-Yer. 1868) nachgewiesen. C ul mann nannte die verschränkte Stützenvertikale das verschränkte Drittel (Ritter, die elastische Linie u. s. w., Zürich 1871).

§. 137. Unbelastetes Feld- Wenn es sich um eine Oeffnung handelt, welche nicht belastet ist, so ist das elastische Polygon nur aus

den beiden Kräften -j ABI und jM“l zu konstruiren. Ist die Lage der Stützentangenten gegeben, so ist dieses Polygon vollkommen bestimmt. Verlängert man die mittlere Seite UV (Fig. 219) bis zum Durchschnitte M und N mit den

Stützenvertikalen, so ist nach §. 133: M⁴ =    (y)²- AM und M“ =

-^r (y) .BN, also AM:BN=M⁴ :M“. Zieht man noch die Gerade AB,

welche UV in I schneidet, so ist für den Punkt I das Moment Null oder: der Durchschnittspunkt I der die Stützen verbindenden Geraden AB mit der mittleren Seite UV des elastischen Polygones entspricht dem Wendepunkte der elastischen Linie.

Die Transversalkraft ist im ganzen Felde konstant. Ist a der Neigungswinkel der Momentenlinie gegen die horizontale Schlusslinie, so folgt aus dem Kräftepolygone mit der Pol weite H sofort Q = Htana.

Fig. 219.

'T~,

TT

Vj

■J.

§. 138. Unbelastetes und belastetes Feld. Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Punkte I und I, (Fig. 217), in welchen die durch die Stützen A und В eines unbelasteten Feldes gehende Gerade von den

mittleren Seiten des elastischen Polygones dieses unbelasteten Feldes und der linken inneren Seite des elastischen Polygones des anschliessenden, beliebig belasteten Feldes В C geschnitten wird. Es verhält sich II U₀ : lx W₀ = U₀UX : W₀W-, nun aber verhält sich auch ü₀ Ux : V₀V

= B‘lx : Bxul und W₀W:V₀V= IW₀ : IV₀ ;

= BV„:£V₀ = ± hieraus folgt leicht:

Das Verhältnis, in welchem W₀ UQ durch den Punkt Ix getheilt wird, hängt also bei gegebenen Spannweiten nur von dem Verhältnisse IVa : IW₀ oder von der Lage des Punktes I ab. Legt man also durch den Punkt I verschiedene elastische Polygone, so bleibt auch der Punkt lx derselbe oder noch allgemeiner: Bewegt sich der Punkt I bei verschiedener Höhenlage der Stützen und bei beliebigen elastischen Polygonen in ein und derselben Vertikalen, so bewegt sich auch der Punkt Ix in ein und derselben Vertikalen.

Aus dem Punkte I lässt sich leicht der Punkt ij konstruiren. Man hat nur nöthig, durch I eine beliebige Gerade zu ziehen, welche die Vertikale durch F₀ und die verschränkte Stützenvertikale in V und W schneidet. Durch V und В zieht man eine Gerade, welche die Vertikale durch ü₀ in t/j schneidet. Verbindet man jetzt TJX mit W, so schneidet üt W die Verlängerung von AB im Punkte Ix.

Liegen die Stützen A, B, G in einer Geraden und ist das rechte Feld В C nicht belastet, so sind I und Ix nach dem vorigen Paragrafe Wendepunkte.

Fig. 220.

Es seien nun vom linken Ende A (Fig. 221) aus mehrere Felder unbelastet. Das Ende A bildet alsdann, weil hier das Moment stets Null sein muss, einen Wendepunkt. Aus diesem lässt sich nach dem oben Gesagten der Wendepunkt J₂ für das zweite Feld В C konstruiren; aus diesem wieder der Wendepunkt I₃ für das dritte Feld u. s. f. Diese Wendepunkte wurden unter der Voraussetzung, dass sämmt-

19*

liehe Stützen in einer Geraden liegen, in §. 67 als Fixpunkte bezeichnet.

Eine zweite Reihe von Fixpunkten lässt sich in gleicher Weise kon-struiren, wenn mehrere Felder vom rechten Endfelde aus unbelastet sind. In den Endfeldern bilden die Endstützen Fixpunkte.

Aus der Konstruktion geht unmittelbar hervor, dass die Fixpunkte stets ausserhalb der äusseren Drittelverti kalen der Felder liegen müssen.

Taf. II zeigt die vollständige Konstruktion der Fixpunkte für einen Träger mit vier Feldern.

Ist nur ein Feld belastet, so lässt sich nach dem Gesagten der Satz aufstellen: Die Verlängerungen der mittleren Seiten US und VS (Fig.221) des elastischen Polygones des belasteten Feldes schneiden die Verlängerungen der die Stützen der anstossenden Felder verbindenden Geraden AA‘ und BB* in den Fixpunkt vertikalen.

Fig. 221.

! >?X

7Г

iw

B‘

jzr

\/s

Bei bekannter Lage der Fixpunkte und bei gegebener Belastung ist es hiernach leicht möglich, das elastische Polygon zu zeichnen, indem man die Vertikalen IIt und KKX gleich den den Fixpunkten I und К entsprechenden Vertikalabständen der Kreuzlinien macht; die mittleren Seiten US und VS gehen alsdann bezüglich durch I und Kv К und ij. Nach §. 134 sind hierdurch auch die Stützenmomente bestimmt.

Da AlcaJ ist, so liegt U rechts von I, der Winkel AUS ist demnach konkav, mithin die in U wirkende Kraft j Mx‘l nach oben gerichtet oder M negativ. Dasselbe gilt für den Punkt V. Die Stützenmomente des belasteten Feldes sind daher stets negativ.

Der in diesem Paragrafe entwickelte Hauptsatz und die darauf gegründete Konstruktion der Fixpunkte wurde zuerst von Mohr (Zeitschr. des hannov. Arch.-«. Ingen.-Ver. 1868) aufgestellt.

§. 139. Zwei auf einander folgende belastete Felder.

(Fig. 222.) Wir ziehen durch die Stütze В eine beliebige Gerade, welche die Seiten SV und UlSl in В und lt⁴ und die durch V, W und XJx gehenden Vertikalen in V₀, W₀ und ü₀ schneidet. Alsdann verhält sich

U₀ Ut : V₀V = U₀B : V₀B = Bx"l : B‘lx V₀V: W₀W = I'Vn : I‘WQ.

Fig 222.

iw

?■

I JL

jy.

S.

iw₀

s,

v„

Die Zusammensetzung dieser Proportionen gibt:

U₀ÜX : W₀ W = I'V₀ . Bx“l: IW₀.B4 oder weil Uö üy : W₀W — TJQIy‘ : W₀IX‘ ist,

ü₀A' : W₀I‘ = I'V₀ . By‘4: IW₀ . B4X.

Bewegt sich der Punkt I⁴ in einer Vertikalen, so ändert sich das Ver-hältniss I⁴Vq\I‘Wq nicht; es wird sich also auch das Verhältniss U₀Iy⁴ :W₀I.' nicht ändern, es wird sich mithin auch der Punkt It4 in einer Vertikalen bewegen. Fällt der Punkt I⁴ mit dem Fixpunkte I zusammen, so geht aus der aus §. 138 bekannten Konstruktion sofort hervor, dass alsdann der Punkt Ix* der Fixpunkt J, wird. Hieraus folgt:

Die Durchschnittspunkte I⁴ und Ix der durch die Fixpunkte I und ly gehenden Vertikalen mit den der Stütze В zunächst liegenden mittleren Seiten SV und L7t$, des elastischen Polygones liegen stets in einer durch die Stütze В gehenden Geraden.

Auch dieser Satz wurde zuerst von Mohr (Zeitschr. des hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1868) aufgestellt.

Derselbe bildet eine unmittelbare Anwendung des geometrischen Satzes: „Wenn sich die Ecken eines Dreieckes (FZ7,TT) in drei parallelen Geraden bewegen, so drehen sich die Seiten des Dreieckes um drei Punkte 1‘ und В), welche in einer Geraden liegen.“

§. 140. Beliebige Belastung der Felder. Der aus den nachgewiesenen Eigenschaften des elastischen Polygones hervorgehende, in einem beliebigen Belastungsfalle anzuwendende Gang der Konstruktion ist folgender (Fig. 223).

1. Man konstruire nach §. 138 sämmtliche Fixpunkte A, J₂, I₃... Kv K„... und lege durch sämmtliche Fixpunkte Vertikalen.

Fig. 223.

F;

Fa,

As.

D₄

Dt

E;₃

iC₃

Ki

Oz

К 2.

У] Ja

Г®

Сл

/Ы

---

'ar

j=>

c4

JO/    \?Q_____

/ \

«f

73

-F

GO

2.    Man konstruire in sämmtlichen Oeffnungen nach §. 134 die Kreuzlinien.

3.    Man mache AC gleich dem entsprechenden Vertikalabstande Oj Qx der Kreuzlinien und ziehe durch C und A, eine Gerade, welche die durch den Fixpunkt J.₂ gehende Vertikale in D₂ schneidet. Man mache jetzt Д, 0₂ gleich dem entsprechenden Vertikalabstande 0₂ Qq der Kreuzlinien und ziehe wiederum durch 0₂ und Aq eine Gerade, welche die durch den Fixpunkt I₃ gehende Vertikale in D₃ schneidet u. s. w. Ganz dieselbe Konstruktion wiederhole man vom rechten Ende aus, mache also A₄F₄ = В₄Р₄ u. s. f.

4.    Hierdurch hat man für jede der mittleren Seiten des elastischen Polygones zwei Punkte C und F₄, Cq und Fq etc. A und Ev Dq und Eq u. s. f. festgesetzt, so dass sich jetzt diese mittleren Seiten wirklich ziehen lassen.

5.    Die Abstände der Durchschnittspunkte dieser Linien mit den Stützenvertikalen von den Stützen bestimmen nach [§. 133 die Stützenmomente. Für diejenigen Oeffnungen, deren Länge = Я gewählt wurde, stellen diese Abstände unmittelbar die Stützenmomente dar; für andere Oeffnungen ist erforderlichenfalls die in §. 133 gezeigte Konstruktion

anzuwenden. Unter Umständen kann auch die folgende einfache Konstruktion vorzuziehen sein (Fig. 224); I, К seien die Durchschnittspunkte der Vertikalen durch die Fixpunkte mit der Verbindungsgeraden

AB der Stützen. Macht man ID' — ID , KF' = K F ,

C'D' = О

BP und zieht durch G' und F', E‘ und

D' Gerade, so schneiden dieselben offenbar auf den Stützenvertikalen die Strecken AM' und BN' ab, welche unmittelbar die Stützenmomente darstellen.

³, E‘F' =

Fig. 224.

M'

Bei der angegebenen Konstruktion pflanzen sich Zeichenfehler von einer Oeffnung auf die andere fort, so dass man möglichst genau konstruiren muss. Indess bieten sich auch mehrfache Kontrolen, nämlich : 1. die Durchschnittspunkte der zusammengehöri-. gen mittleren Seiten müssen mit den Durchschnittspunkten der Kreuzlinien in einer Vertikalen liegen; 2. die Verlängerungen der mittleren Polygonseiten müssen sich in den verschränkten Stützen vertikalen schneiden; 3. die entsprechenden Durchschnittspunkte der mittleren Seiten mit den Drittelvertikalen müssen in Geraden liegen, welche durch die Stützen gehen.

Sind einzelne Oeffnungen nicht belastet, so ist der Abstand der Kreuzlinien natürlich als Null anzunehmen.

o«

Cr

'4'

Diese Konstruktion bleibt auch in dem Falle giltig, wenn die Stützen nicht in einer Geraden liegen. Trägt man hierbei die Ordinaten der elastischen Linie, also auch die Höhenunterschiede der Stützpunkte

in — der wirklichen Grösse auf, so muss die Einheit für den Momenten-

m

maassstab =    gewählt werden, wie sich aus §. 133 leicht ergibt.

In dieser Form wurde die Konstruktion zuerst von Culm an n (Eitter, die elastische Linie u. s. w., Zürich 1871) angegeben. Die von Mohr angegebene Konstruktion ist eine etwas abweichende, indem derselbe für die nach unten und oben gerichteten Kräfte des elastischen Polygones zwei getrennte Polygone konstruirt.

§. 141. Grafische Darstellung der elastischen Lime unter Berücksichtigung der Schubspannungen. Bei Berücksichtigung der Schubspannungen ergibt sich statt der Gleichung 1 die Gleichung

F

x¹ Q d ~-

E^F — Ex F- dx ’

13.

xQ

d*y _ M d F dx* “ EI ⁺ E dx ~~ EI

woiin Q, E1} I, x die Bedeutung wie in §. 55 haben und worin d Q — Ц dx gesetzt ist. Die Ordinaten der verzerrten Momentenfläche würden demnach die Grösse

x¹ у

мЦ- H- ^ ^

T Ex dx

I± i I x(l

I 1 \F F* dx zu erhalten haben. Bei konstantem Querschnitte würde also

1-    71 Г , kEI

lo. z — M-)- -ß-j? Я>

so dass zu dem Momente M noch ein der Last q pro Längeneinheit proportionales Stück kommt. Bei sprungweiser Aenderung des Querschnittes würde innerhalb der einzelnen Theile mit konstantem Querschnitte z die Grösse 15 haben; an jedem Abschnitte aber würde eine Einzelkraft von der Grösse

16. z' = -

_/jL _ M

Ж VF FJ

EI₀Q

anzunehmen sein, wenn sich x, F und xt, F% auf die beiden Seiten des Absatzes beziehen. Auch an jeder Einzellast G ist von der verzerrten Momentenfläche eine Einzellast von der Grösse

17. z" =

xEI₀ &

anzunehmen.

Ег F

Konstruirt man ausser der elastischen Linie noch eine Kurve, deren Tangente auf dem entsprechenden Querschnitte senkrecht steht und bezeichnet die Ordinaten dieser Kurve mit y, so ist, ganz dem §. 60 entsprechend, der Winkel zwischen Querschnitt und Normalen zur elastischen Linie

dy drj _ xQ

dx

~ dx ~ WF ’

also wird

xQ

<Py

d" rj _ 1

dx²    E. dx

dx'²

Die Subtraktion von der Gleichung 13 gibt

18.

d‘rj _ M

dx* ~ EI ’

so dass also die Querschnitte mit den Normalen der ohne Rücksicht auf die Schubspannungen konstruirten elastischen Linie zusammenfallen.

Legt man beide Kurven durch ein und denselben Punkt der linken Stützenvertikalen, so haben die Kurven in der rechten Stützenvertikalen einen Abstand v, welcher bestimmt ist durch

19. V =

S(

о

dy

dx dx

dX — -7T-

xQ

-FF- dx.

Wir geben im Folgenden die Entwickelung der Gleichung 13 auf Grundlage des Prinzipes der virtuellen Arbeit und in Uebereinstimmung mit der Entwickelung in §. 55. Wir denken uns in drei benachbarten Punkten A, B, C (Fig. 225) mit dem Horizontalabstande a die im Gleichgewichte befindlichen Vertikalkräfte —1, -|- 2, —1 wirkend, also in A und C die Last 1 nach oben, in В die Kraft 2 nach unten. Diese drei Kräfte mögen in einem beliebigen Querschnitte in einem — beliebigen Punkte desselben die Normalspannung n und die у Schubspannung t erzeugen. Sind y₀, yt, y₂ die vertikalen Verschiebungen der Punkte А, В, C, so ist nach dem Prinzipe der \ k virtuellen Arbeit bei Benützung der in §. 55 gebrauchten Bezeich- A nungen

Fig. 225.

JB

-2/0-4- 2yx - y₂

=Дтг + Ю

dV.

è'

Erzeugen die drei Kräfte in dem beliebigen Querschnitte das Moment m und

Wenn man nun

die Transversalkraft q, so wird n N = m M —, die Integration über den Querschnitt durchführt, so erhält man

y.qQ

tT=tQlr

n    1 ÇmMj ,    1 C

- Уо + 3yt - yt = — J — dx + д- J -jr

dx.

Da die in А, В, C wirkenden Kräfte für sich im Gleichgewicht sind, so wird ausserhalb der Strecke AC offenbar m = 0, q = 0. In den Punkten А, В, C selbst

wird bezüglich m = О, 1. a und 0, der Mittelwerth von m ist also ~ a. Wenn

1 M 2.-a.-Ia

Ferner wird in der Strecke AB: q = -f 1, in der Strecke В C: q = — 1. Ist nun in der Strecke i5 = z, in der Strecke BC = %₂    » so ist demnach

in der Strecke AC konstant ist, so wird also j—j— dx =

Md¹

F,

№*-(

F.

f.₂

Somit wird

У, — Уо

У* — 2/.

FLa    /x, Q,

EI ' Et V

Ft

Nimmt man nun a unendlich klein an, so wird

Qt _ Q% _Q

F, Ft ~~ d " chung 13 über.

У1—У0

y*'~y,_diy

dx

und

~W'

Die vorige Gleichung geht hierdurch aber in die Glei-

§ 142. Das elastische Polygon unter Berücksichtigung der Schubspannungen. Die Momentenfläche, deren Ordinaten bei konstantem Querschnitte durch die Gleichung 15 ausgedrückt sind, wird inan hier wohl am besten aus den drei Theilen (Fig. 226):

+ Fläche А"А¹"СШВШВ = Ф, -Д4'4"Д —&BUBUAU

II

VN

Fig. 226.

C"

Ai

В"

jïl

•У

B’

N’

'"y N

xi ■ ^.....⁴

zusammensetzen. Die Fläche Ф besteht aus der eigentlichen Mo-mentenfläehe A^CB“ und der Fläche A"A,“C,“B“'BUC,>. Der Formel 15 entsprechend wird

20. Ф =

кЕ I

E. F

L,

wenn L die Belastung des ganzen Feldes bezeichnet. Die Kreuzlińien werden auch hier so zu kon-struiren sein, dass auf Vertikalen im Abstande Ъ vom Schwerpunkte

der Fläche Ф die Grösse

aufgetragen wird, wobei die Höhe des Rechteckes mit der Länge l bedeutet, dessen Fläche = Ф ist. Es wird alsdann, den Formeln 11 entsprechend,

\₄

B’

К ю‘

4--ï?R\ g y-_a

¹ W/r A

vUt

B'

41

21.

_ змг _ i_ г ç

¹ ~ Ы ~ Ы LJ

о

Шх dx 4

xEI

E. F

J~q xdxj

о

ITU _

SOUS" _

oder

Шш{г

о

— x)dx -f

tcEI

Ex F

I q (l — x) d XJ

r-

22. ! T‘ 2H

Гая' +

2хЕ1 E. Fl

(O' —O

»")].

I“ =

I“

2 xEI

(A,' - O')] ,

Ш" +

wenn O₀' und O₀“ die Transversalkräfte an den Enden des Feldes für den Einzelträger bezeichnen. Bei Einzellasten werden zu J*qæc?Æ und ,f q (l — x)dx noch die bezüglichen statischen Momente der Einzellasten hinzuzufügen sein.

Konstruirt man ein zweites elastisches Polygon AU'S'V'B’ ohne Rücksicht auf die Schubspannungen, so stehen die Stützentangenten desselben senkrecht auf den Querschnitten über den Stützen, diese Tangenten sind also zwei benachbarten Feldern gemeinschaftlich. Legt man beide Polygone durch ein und denselben Punkt A der linken Stützenvertikaleu, so ist der Abstand BB‘ = v derselben in der rechten Stützen vertikalen bei konstantem Querschnitte nach Formel 19: v = -g4__ J* q dx, d. i., weil nach §. 56 Ql = 0,1 -f- M“ — M' und J Odx = 0 ist,

2Ы

E.Fl

щр Wu - MJ). Hierbei liegt B‘ über B, wenn M“ — M‘ positiv ist.

23. v =

M‘l

P“ = —

und

Verschieben wir den Angriffspunkt der Kräfte P' = —

TU“ 7

-W7-, ohne die Grösse der Kräfte P, P', P“ zu ändern, um

<4 л

21

В nach aussen, so rückt unter Beibehaltung des Punktes A in der linken Stützenvertikalen der Punkt B‘ in der rechten Stützenvertikalen um

AM^ — B‘N~ = ~ (yJ — y“), d. i. nach Formel 8 um

(M“ — M‘) nach unten. Wählt man

2Ы x

ĄF “ Щ

so rückt der Punkt B‘ um v nach unten, also nach P; das für die Kräfte P, P', P“ ohne Rücksicht auf die Schubspannungen konstruirte Seilpolygon wird also dann sowohl durch den Stützpunkt A, als den Stützpunkt В gelegt werden können.

Die in §. 140 gezeigte Konstruktion bleibt also anwendbar, nur sind die Drittelvertikalen um den Werth 24 nach aussen zu rücken. Die Kreuzlinien sind hierbei ohne Rücksicht auf die Schubspannungen zu bestimmen. Die gezeigte Bestimmung der Stützenmomente bleibt dann auch hier bestehen} wobei indess die Abschnitte у — AM und y“ — B' NJ der Seiten des ohne Verschiebung der Kräfte P', Pu (ohne Rücksicht auf die Schubspannungen) konstruirten elastischen Polygones A U¹ S‘ V‘ В¹ auf den Stützenvertikalen in Betracht kommen.

Die wirklichen Stützentangenten A ü und В V der elastischen Linie würden durch Konstruktion des elastischen Polygones AU SV В oder nach Konstruktion der Transversalkräfte durch Anträgen der Winkel г,' — p, г," —t" (§. 60) an die Seiten AU“ und BV“ erhalten werden können.

24. В =

2 Ein

l,

§. 143. Zusammenhang mit der analytischen Theorie.

Der Zusammenhang der gezeigten Konstruktion mit den in §. 56 entwickelten Formeln lässt sich leicht erkennen. Der Winkel P zwischen dem linken Stützenquerschnitte und der Normalen zur Sehne AB

ist in Fig. 226: P = Hierbei ist ВI = N‘ L — LI — N‘ B* — ВB‘ und hierbei für einen konstanten Querschnitt

ал" p

N‘L = I" =

BB‘ = v —

% (M“ — M)

E. F

M‘ P

LI= 2y‘=--ÿbî'

JV'P' = y“ =

M“P

6Ы ’

folglich, da 6Ы = 6EI zu setzen ist,

(ЗШи + 2 M⁴ + M“) - ^ (Ж" - Щ,

²⁵' T,/ = ~6E7

in voller Uebereinstimmung mit der ersten der Gleichungen 8 (S. 95). In gleicher Weise würde die Uebereinstimmung mit der zweiten dieser Gleichungen nachzuweisen sein.

Umgekehrt würde man aus den auf analytischem Wege gefundenen Ausdrücken für x‘ und r“ leicht die Konstruktion ableiten können.

In gleicher Weise lässt sich der Zusammenhang auch für einen •variablen Querschnitt nachweisen.

Eine vollständige konstruktive, der Hauptsache nach mit der hier gegebenen .zusammenfallende Behandlung des kontinuirlichen Trägers auf Grundlage einer analytischen Entwickelung gibt Lippich (Theorie des kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes, Forster’s Bauzeitung 1871).

§. 144. Verbindung des kontinuirlichen Trägers mit dem Trapezsprengwerke. Der im §. 124 behandelte Fall lässt sich auch leicht grafisch lösen. Wir bezeichnen hierbei die Drücke auf die Mittelstützen, welche entstehen, wenn die Stützen in gleicher Höhe liegen, mit Dx‘, Dq. Alsdann ist offenbar, eine symmetrische Konstruktion vorausgesetzt,

Dx — Dy -f- cty у у -f- cię y,j, Dq — D g -f~ Wy yq -J- ccq yx,

wenn ccy, cc„ von der Belastung unabhängige Koeffizienten bezeichnen. Hiernach wird Dt -f- D₉ — Dy⁴ -j- Dq + («, + ccq) {yx + У г)- Da aber nach Gleichnng 49 (S. 251) yt-\-y„ = 0 ist, so wird Dy -f- Д, = Dy⁴ -f Д/. Da nach Gleichung 47 (S. 256) Dy = Dq ist, so wird

26. Dy == Dq =

Es sei nun in Fig. 228 die punktirte Linie AE'F'B das Seilpolygon für den Fall, dass die Stützen in gleicher Höhe liegen. Es seien E⁴C, E⁴ G, F⁴D, F⁴H die Verlängerungen der von E⁴, F‘ ausgehenden Seilpolygonseiten, bezüglich der Tangenten der Seilkurve in E⁴ und F¹. Legt man im Kraftpolygone parallele Strahlen zu diesen Geraden, so schneiden dieselben auf der Kraftlinie Strecken cg und dh ab, welche die Stützendrücke D,' und Dq darstellen. Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke E‘CG und О cg, F⁴DH und Odh wird deshalb

DJ = CG⁴ .

-H ta

II

DJ = DH⁴. -V-

l. •

Ist nun die ausgezogene Linie AE F В das Seilpolygon für die vorliegende Trägerkonstruktion, so werden im ersten und dritten Felde

l. ’

die Verlängerungen der Seilpolygonseiten in E und F durch G und E gehen, weil die Höhe

AC und BE von den -----------

Stützenmomenten unabhängig ist. Yerlän- ^ gert man auch im zweiten Felde die Seilpolygonseiten in E und F, so erhält man in den äusseren Stützenverti- ^ kalen die Punkte G‘ und E und es ist nun wie oben

Fig. 227.

............ I

\T"

/4

Fs

//

mmwwDP

\N

* ~K %>0

d=cg.~

j D₉=DE.==~.

Nach der Gleichung 24 muss nun CG = BE — A (CG⁴ -f DE} sein. Hiernach findet man die Punkte G und E leicht, indem man durch die Mitte I von G‘ E eine Parallele GE zu CE legt.

Die Verlängerungen von EG und FE, sowie von E⁴ G‘ und F⁴Hf schneiden sich in Punkten S und S⁴, welche in der vertikalen Schweraxe der Belastung des mittleren Feldes liegen; schneidet die Axe die Geraden G E und G⁴E in T und V, so ist ST — S⁴ T\ da dies die Höhe der einfachen Momentenfläche wäre, wenn die ganze im Mittelfelde liegende Last im Punkte S auf einen Träger mit den Stützen A und В wirken würde. Hierdurch aber sind auch die Punkte E⁴, F⁴, also die Stützenmomente und hiermit alles Uebrige bestimmt.

Hiermit ist also die grafische Behandlung der Verbindung des kon-tinuirlichen Trägers mit dem Trapezsprengwerke auf die grafische Behandlung des blossen kontinuirlichen Trägers mit gleich hohen Stützen zurückgeführt.

Die hier behandelte Aufgabe wurde grafisch zuerst von Steiner gelöst (Kon-tinuirliche Träger auf balansirten Stützen in Zeitschr. des österr. Ingen.- u. Arch.-Ver. 1876).

XVIII. Kapitel.

Grafische Behandlung bestimmter Belastungsweisen.

§. 145. Gänzliche gleichmässige Belastung. 1. Wenn ein Feld eine gleichmässige Belastung q pro Längeneinheit in seiner ganzen

Länge zu tragen hat, so ist bekanntlich die einfache Momenten -fläche ein Parabelabschnitt, dessen vertikale Schweraxe die Spannweite halbirt (Fig.228). Die grösste Höhe desselben ist j ql*, mithin der Flächeninhalt j.jql'i.l = jg ql³, folglich wird bei konstantem Querschnitte

1. =

Nimmt man als Einheit des Momentenmaasstabes q№ an, so hat man allgemein

Fig. 228.

Ał

А"

А'

---Я

в.

В'

2. $т₀ =

•der Mitte =

⁰ i ~ 12 so gross, d. i. für Ъ — g Я:

Der vertikale Abstand der Kreuzlinien wird bei konstantem Querschnitte im Abstande Ъ von

und in den Stützenvertikalen mal

2b

з. p=i-=4    g)¹

Bei veränderlichem Querschnitte genügt es für die Konstruktion, den Flächeninhalt Ш₀1 der verzerrten Momentenfläche und bei unsymmetrischer Trägerform ausserdem die Lage des Schwerpunktes der verzerrten Momentenfläche zu bestimmen.

vom

2. Momente. Sind nun durch das elastische Polygon die Stützenmomente AA“ und B'B" bestimmt, so erhält man die Endtangenten A"E und B"B der Seilkurve, indem man auf der Mittelvertikalen Durchschnittspunkte В mit der Geraden А" B" aus die Länge

3. Transversalkräfte. Zieht man im Kräftepolygone Strahlen parallel zu den Endtangenten A“E und B“E, sowie zur Schlusslinie A*B\ so sind die Abschnitte auf der Kraftlinie die Transversalkräfte Q\ Q“ an den Enden des Feldes. Statt dessen kann man aber auch AG = ВH = der Polweite H machen und durch G und H Parallelen zu den Endtangenten ziehen; dieselben schneiden auf den Stützenvertikalen die Transversalkräfte AAl = S£t = Qu ab. Die Gerade АХВЛ gibt alsdann die Transversalkräfte im beliebigen Querschnitte.

Wird die Momenteneinheit дЯ² durch die Linie = m, die Krafteinheit durch die Linie n dargestellt, so ist die Polweite H — ^ Я = — zu wählen.

Auf Taf. Ill ist hiernach ein Beispiel für die Behandlung des Eigengewichtes bei konstantem Querschnitte durchgeführt.

§. 146. Einzellast bei konstantem Querschnitte. Die einfache Momentenfläche wird hier ein Dreieck ACB (Fig. 229) mit dem

lli, wenn Ъ die grösste vertikale Höhe CD bedeutet. Demnach ist Ш?₀ = ~ h. Theilt man den Abstand DE des Angriffs-

Flächeninhalte

Fig. 229.

-.О

DE

= <2.4 ql² = \ ąl* — J ql* aufträgt.

Mit Hilfe derselben

lässt sich die Parabel leicht konstruiren.

D FE

P;⁹

°'C

-''C

punktes D der Einzellast von der Mitte E der Geraden AB in drei gleiche Theile, so geht die vertikale Schweraxe der einfachen Momentenfläche durch den E zunächst liegenden Theilpunkt F.

Da die Höhe CD dem proportional ist, so kann CD als Kraftpolygon für das elastische Polygon gelten5 da h = 2ffî₀ ist, so würde der Abstand des Poles N von CD — 2. jï = j? zu machen sein, wenn man hier Я = l wählt. Zieht man NP parallel AB, so würde NP = | AB.

Parallel zu JVC und ND können die Kreuzlinien gezogen werden. Eine einfache Konstruktion lässt sich für dieselben angeben, sie durch die Punkte A und В legt. AM und BL seien die Kreuzlinien; alsdann ist /\SBM^/\NCD, mithin BM:GD — BF: NP. Nun aber ist BF = BE -f j PP =    + {({iP - AD) =

j(2AB — AD) und NB = ^ AB, mithin:

M: GD= (2AB — AD) : AB.

Macht man DG —AB, so wird BG—2AB—AD. Der Punkt Ж ergibt sich sonach, indem man durch G und C eine Gerade legt. Macht man ebenso DH = AB und legt durch H und C eine Gerade, so ergibt sich der Punkt L.

Die Verlängerungen von MC und LG schneiden also die Verlängerungen von AB in den Punkten G und H, welche von D einen der Länge AB gleichen Abstand haben.

Statt dessen kann man auch die folgende Konstruktion anwenden (Fig. 230). Durch G lege man zu. AB eine Parallele, welche die durch A und В gehenden Vertikalen in V und W schneidet; ferner lege man durch C Parallelen zu В V und A W, welche die durch А und В gehenden Vertikalen in L und M schneiden; die Geraden AM und BL sind alsdann die Kreuzlinien. Diese Konstruktion beruht auf der Kongruenz der Dreiecke ABV und ABW mit den Dreiecken DHG und GDG (Fig. 229).

Es ist nun nach Festlegung der Kreuzlinien leicht, in der in §. 133 gezeigten Weise für eine beliebige Lage der Einzellast die Stützenmomente, sowie die übrigen Momente und Transversalkräfte zu konstruiren.

Fig. 231.

T J)

wenn man

Fig. 230.

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ff

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Kommen verschiedene Lagen der Einzellast in Frage, so konstruirt man am besten zunächst das Moment DC (Fig. 231) am Angriffspunkte

CD ist = G y², wenn A D = BD = £, ist; der Punkt (7 liegt also auf einer Parabel von der Höhe — Gl. Nach einer der vorhin angegebenen beiden Methoden lassen sich sodann für die verschiedenen Lagen der Last die Punkte L und M kon-struiren; die Geraden AM und BL sind sodann die Kreuzlinien. Legt man durch die Durchschnittspunkte V und K' derselben mit den Fixpunktvertikalen eine Gerade, so schneiden dieselben auf den Stützenvertikalen die Stützenmomente A A⁴ und В В' ab. Die Vertikalabstände der Geraden A'B' und der Linie ACB stellen die Momente an beliebigen Punkten dar, also z. B. CD' das Moment am Angriffspunkte der Last. Zieht man im Kräftepolygone die Strahlen 0At, 0B{ und 0(7, parallel den Geraden АС, ВC und A'B', so sind Ct Ax und (7,1?, die Transversalkräfte für die Strecken AD und BD.

Die Konstruktion der Kreuzlinien nach Fig. 229 wurde zuerst von Li pp ich (Förster’s Bauzeitung 1871) angegeben.

§. 147. Einzellast bei veränderlichem Querschnitte. Handelt es sich um verschiedene Lagen der Einzellast, so dürfte es wohl

Fig. 232.

der Last für den einfachen Träger.

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zweckmässigsten sein, 97?' und 9Ji" nach der in §. 70 unter a) gezeigten Methode zu bestimmen, indem man für jedes Feld die beiden

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

am

verzerrten Momentendreiecke und sodann zu jeder das entsprechende Seilpolygon konstruirt (Fig. 232). Bei Anwendung des Momentenplani-meters ist indess die in §. 60 unter b) gezeigte Methode einfacher. Ist б und at bestimmt, so bestimmt man UM' und ЭД7" nach der Kegel 3 (Seite 127) ; die Multiplikation mit £ und £, kann grafisch oder numerisch erfolgen; da man £ und £, in einfachem Verhältnisse zu l annimmt, so ist die Multiplikation sehr einfach.

Man erhält hierbei zugleich die Lage der Schwerpunkte der verzerrten Momentenfläche, hierdurch also die Lage der Drittelvertikalen und hieraus die Lage der verschränkten Stützenvertikalen.

Macht man auch hier die Konstruktion Fig. 231, wobei AL — T¹, В 31 — T" und CD gleich dem Momente h am Angriffspunkte der Last für den einfachen Träger ist, so ist (wenn wir l — I wählen),

CD _ h _ Ch

al ~ v ~ mv '

Ist das statische Moment der verzerrten einfachen Moraentenfläche (in Fig. 233 schraffirt) in Beziehung auf die linke Stützenvertikale = <?',

so ist ЭДР = ^ <?'. Verlängern wir BC

0^ bis zum Durchschnitte E mit der linken Stützenvertikalen, multipliziren die Ordi-

dinaten des Dreieckes ABE mit

■L

und bezeichnen das statische Moment des so entstandenen verzerrten Dreiecks in Beziehung auf die linke Stützenvertikale mit б und ihre Fläche mit F, so ist б = Fa‘. Nun aber ist

F = B“. — AE .1 — B“. wenn man BD = x‘ setzt, also 6 —

CVh 6x‘ ’

Fig. 233.

,r У

B“ da aber nach §. 133 3B"a‘ = CI ist, so wird 6 —

folglich Ch —    , mithin

CD

6X¹

AL 6‘1

Da nun aber б > a' ist, so ist

CL

oder in Fig. 230 liegt der

~AL > T

Punkt C unterhalb der Linie BL; ebenso lässt sich nach weisen, dass C unterhalb А 31 liegt. Hieraus folgt weiter, dass die Punkte G und H (Fig. 231) ausserhalb AB liegen.

Hiernach ergibt sich nun sofort, dass bei Belastung eines einzelnen Feldes durch eine Einzellast die Wendepunkte 0 und P (Fig. 234) ausserhalb der Fixpunkte I und К liegen.

Hieraus folgt wieder, dass die Punkte A\ B‘ einerseits und der Punkt C‘ andererseits auf verschiedenen Seiten der Schlusslinie AB

liegen, dass also das Moment am Angriffspunkte der Einzel-lastspositiv ist, während die Stützenmomente negativ sind.

Fig. 234.

S₄

В¹

г,

A-

's.

Ö\l

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C,

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C¹'"'

£H

•f ,ii .

•I ■

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Hinsichtlich des Weiteren, insbesondere der Konstruktion der Einflusslinien für Momente und Transversalkräfte können wir auf §. 67 bis 71 verweisen.

Die in §. 144 gegebene Konstruktion für die Verbindung des kon-tiimirlichen Trägers mit dem Trapezsprengwerke ist auf eine Belastung durch eine Einzellast ohne Weiteres anwendbar.

§. 148. Belastung durch ein System von Einzeliasten.

Für ein System von Einzellasten von gegebener Lage erhält man die Kreuzlinien, wenn man den Abstand T\ T“ derselben in den Stützenvertikalen nach dem Vorigen für jede ein-, zelne Last koustruirt und die gefundenen '

Abstände summirt.

Eine andere Konstruk-

. Fig. 235.

ß?

AL,'-'-—-

“—

>B

tion für den konstanten Querschnitt ergibt sich aus dem Um- A stände, dass in Fig. 230 T — AL = CD-\-L F, oi^

T“ =BM= CD-F

Ж TU ist; für das Sy- D -.....

-г,

stem von Einzeliasten wird man daher V und T“ erhalten, wenn ! man für die Einzeliasten die Grössen von CD, sowie von LV und MW einzeln ermittelt und sodann summirt. Dies geschieht am besten in

20*

folgender Weise. Im Seilpolygone (Fig. 235), welches dem gegebenen Systeme entspricht, verlängert man je zwei an einander stossende Polygonseiten und legt durch den Durchschnitt derselben mit den Stützenvertikalen eine Gerade; man erhält hierdurch die den Einzellasten entsprechenden Höhen CtDv C^D^, G₃D₃, welche man auf einer Stützenvertikalen an einander reiht, so dass also EE{ — GlDl, EtE₂ =

E^Eq = C₃D₃ ist. Man konstruirt jetzt ein zweites Polygon FKyK^K₃G, dessen Polygonseiten zwischen den Einzellasten parallel sind den von Ev Ex, Eq, E₃ nach einem beliebigen Punkte 0 der anderen Stützenvertikalen gezogenen Strahlen; schneiden die Verlängerungen der äusseren Polygonseiten die Stützenvertikalen in E₃ und I, so ist für das gegebene System von Einzellasten

T = EE₃ + FI,    I“ = EE₃ + GE₃.

Wenn das gegebene System von Einzellasten nur in einer bestimmten Lage in Frage kommt, so würde man am besten in der soeben gezeigten Weise die Kreuzlinien und sodann in der in §. 133 gezeigten Weise die Stützenmomente konstruiren ; die Einzeichnung des Seilpolygones gibt sodann alle übrigeD Momente, das zugehörige Kraftpolygon die Transversalkräfte.

Wenn es sich indess um die Bestimmung der Maximalmomente und Transversalkräfte für alle Querschnitte handelt, so wird man wohl am besten nach §. 73 bis 75 verfahren.

Die in Fig. 235 gezeigte Konstruktion wurde zuerst von Li pp ich (Forster’s Bauzeitung 1871) angegeben.

§. 149. Theilweise gleichmässige Belastung. Wenn nur ein Theil des Trägers von einem Ende В (Fig. 236) aus belastet ist, so besteht die einfache Momeutenfläche aus einem Dreiecke AB G und aus einem Parabelabschnitte СЕВ.

Entspricht im Kraftpolygone B‘D‘ der Belastung des ganzen Feldes, so theilt der Strahl OA‘, welcher der Endtangente AG der Seilkurve parallel ist, B‘D‘ in demselben Verhältnisse, als die Spannweite durch das Ende der Belastung getheilt wird, oder es verhält sich, wenn wir die Länge B₀G₃ der Belastung mit £, bezeichnen, B‘A':B'D —    ; l. Der Durchschnittspunkt G beider Endtangenten liegt ausserdem

in einer Vertikalen GH, welche BF halbirt.

Da /\GB T cv /\OA' B‘ ist, so verhält sich bei der Polweite H: ВI : j I, = B'A¹ : H oder, weil bei der Last p pro Längeneinheit

B'D‘=pl, B‘A‘ — p%x — pl y ist> BT : J^=PlT :H oder

S. &

Hiernach ist es leicht, die Länge von ВТ zu konstruieren, wie in Fig. 236 d gezeigt ist, worin BlBl=pl₎ AtBt = BXBV

— ВТ ist. Ist in dieser Weise die Länge von ВТ konstruirt, so kann man, wenn die Punkte А und В gegeben sind, leicht die Endtangenten und hiernach die Seilkurve selbst konstruiren.

Fig. 236.

tt

ijjl

-p

I. Konstanter Quer

schnitt.

1.    Macht man G К = j- Gl, so ist /\CKB gleich д der Parabelfläche СЕВ. Zieht man daher durch К eine Parallele zu CB, welche CG Di in L schneidet, und durch L bis zum Durchschnitte mit ,

AB die Vertikale LM, so    ''

ist ДALB gleich der ganzen einfachen Momenten-fläche, die letztere also der Höhe LM proportional, oder bestimmter 9DÎ₀Z — ^ l. LM oder = j L M. Es lässt sich leicht nachweisen, dass FM = ~ F В ist, so dass sich die Höhe LM leicht unmittelbar zeichnen lässt.

2.    Der Punkt N sei die Mitte von AB; macht man NO = j NF, so liegt der Schwerpunkt des Dreieckes ACB in der durch 0 gehenden Vertikalen, während der Schwerpunkt des Parabelabschnittes СЕВ in der Vertikalen HG liegt. Zieht man durch L eine Parallele zu AB, welche die durch C gehende Vertikale in P schneidet, so verhalten sich beide Flächen wie FC : CP. Macht man in der durch 0 gehenden Vertikalen OQ = ~ CP, so verhält sich, da IH= ~ CF ist, IH: OQ = FC : CP; der Durchschnittspunkt В der Geraden QI und AB muss daher in der vertikalen Schtveraxe der einfachen Momentenfläclie liegen.

Hiernach würde nun die Konstruktion der Kreuzlinien leicht ausführbar sein.

B,

TiT^K

(I

BJ

AL

BV

N Co/

Bo

C'

■t

-4

3. Für die Anwendung erscheint es am bequemsten, den Abstand T, T¹¹ der Kreuzlinien in den Stützenvertikalen für die Belastung verschiedener Theile der ganzen Oeffnung ein- für allemal zu konstruiren oder zu berechnen. Die bezüglichen Formeln lassen sich leicht unmittelbar

oder aus der gezeigten Konstruktion ableiten. Die Formeln für ЭДР und Ш7" sind in §. 64 aufgestellt. Die Werthe von V und 1“ ergeben sich

/1 \ i

hieraus nach §. 134 einfach durch Multiplikation mit 3 ly I •

Fig. 237.

Q dasselbe

Die Werthe von 2)7' oder Ш7'' für , aber für linke und rechte Belastung, müssen sich zu dem 2)7' oder 2)7" für gänzliche Belastung, d.i. zu jęPl* ergänzen. Da offenbar $2' bei rechter Belastung für j gleich 2)7" bei linker Belastung für 1 — J-’Tst, so müssen sich

auch Ш' und 2)7" für dieselbe Bela-

und 1 — I

Ï»

stungsweise, aber für

zu pl* ergänzen. Hiernach ergeben sich die Theile, welche die Kreuzlinien auf beiden Stützenvertikalen abschneiden, gleich gross (Fig. 237), falls man für alle Lagen der Last die eine Kreuzlinie (in Fig. 237 OB, für rechte Belastung, PQ für linke Belastung) beibehält.

IT. Veränderlicher Querschnitt. Handelt es sich nur um wenige Belastungsfälle, so kann man 337', 2)7" leicht durch Konstruktion der verzerrten Momentenfläcbe und des entsprechenden Seilpolygones oder Anwendung des Momentenplanimeters bestimmen. Bei einer grösseren Zahl von Belastungsfällen geht man besser von der Einzellast aus und bestimmt sodann Ш7', Ш7" durch die entsprechenden Flächen der Einflussfiguren.

§. 150. 3Iaximal-Transversalkräfte. Die ungünstigste Belastungsweise hinsichtlich der Transversalkräfte ist durch §. 78 bestimmt. Für diese Belastung bestimmt man nach dem vorigen Paragrafe die Lage der Momentenlinie für die nicht belastete Strecke des betreffenden Feldes. Ist a der Neigungswinkel derselben gegen die Horizontale, so ist die bezügliche Transversalkraft Q — Htana, was leicht zu kon-struiren ist.

Auf Tafel IV ist ein Beispiel durchgeführt, wozu nur wenig zu bemerken ist:

1.    Im III. und IV. Felde ist die Konstruktion für gänzliche Belastung in derselben Weise wie in Tafel III durchgeführt. Die erhaltenen Transversalkräfte sind alsdann in das I. und II. Feld übertragen.

2.    Im II. Felde ist die Konstruktion für die ungünstigste Belastung in Betreff der positiven Transversalkräfte des II. Feldes durchgeführt.

Für die Belastung des I. und IV. Feldes sind die Punkte В und F konstruirt, welche den mittleren Seiten des elastischen Polygones für alle Belastungsweisen des II. Feldes gemeinschaftlich sind. Nachdem nun für die Belastung des rechten Theiles des II. Feldes vom fraglichen Querschnitte aus nach der Tabelle in §. 64 die Kreuzlinien und hiernach die mittleren Seiten der elastischen Polygone konstruirt wurden, wurde die Endtangente AT (Fig. 236) der Seilkurve dadurch festgelegt, dass die Längen В T (Fig. 236) auf der rechten Stützenvertikalen aufgetragen wurden. Für die Bestimmung der Länge von ВТ ist die im vorigen Paragrafe, 1. gezeigte Konstruktion angewendet (Taf. IV, Fig. 6). Es ist auf den mittleren Stützenvertikalen aa, ЪЪ, cc etc. gleich den Längen aa, ЪЪ, cc etc. in Fig. 6 gemacht worden. Mit Hilfe der so festgelegten linken Endtangenten konnten nun in Fig. 2 die Transversalkräfte durch Parallelen zu denselben, welche von Punkten ausgehen, die von den betreffenden Ordinaten den Abstand H haben, konstruirt werden.

3.    Im I. Felde ist ebenfalls die Konstruktion für die ungünstigste Belastung in Betreff der positiven Transversalkräfte des I. Feldes durchgeführt. Die Stützenmomente indess wurden nach §. 133 im nicht belasteten II. Felde konstruirt. Für die alleinige Belastung des III. Feldes wurde der Punkt Ft konstruirt, durch welchen die mittlere Seite des Seilpolygones gehen muss. Ein zweiter Punkt dieser Seite auf der Vertikalen durch den linken Fixpunkt hat für die verschiedenen Belastungen des I. Feldes eine veränderliche Lage, ist aber mit Hilfe der Kreuzlinien leicht zu konstruiren. Im Uebrigen ist die Konstruktion wie im II. Felde, wobei Fig. 5 an die Stelle von Fig. 6 tritt.

4.    Die negativen Maxima der Transversalkräfte ergeben sich nun leicht durch Subtraktion der positiven Maxima von den Transversalkräften für gänzliche Belastung.

§. 151. Maximalmomente. Die ungüstigste Belastung ist durch §. 81 bestimmt. Man konstruirt am besten nach §. 149 die Lage der Momentenlinie der nicht belasteten Strecke für die ungünstigste Belastung hinsichtlich des negativen Momentes. Da hierbei der bezügliche Querschnitt in der nicht belasteten Strecke liegt, so ist hiermit das negative Maximalmoment bestimmt. Man kann hierbei nach §. 82 entweder die negativen Maximalmomente für einzelne Querschnitte bestimmen oder einfacher nur die Umhüllungslinien der bezüglichen Momentenkurve konstruiren. Die positiven Maximalmomente findet man dann durch Subtraktion von den Momenten für gänzliche Belastung. Eine unmittelbare Bestimmung der positiven Maximalmomente ist deshalb schwieriger, weil die Seilkurve am fraglichen Querschnitte nicht geradlinig, sondern parabolisch ist.

Auf Tafel У ist ein Beispiel durchgeführt, zu welchem wir noch das Folgende bemerken.

1.    Im III. und IV. Felde sind die Momente konstruirt, welche einer gänzlichen Belastung und der ungünstigsten Belastung für die negativen Momente innerhalb der Fixpunkte entsprechen. Für beide Fälle ist das betreffende Feld ganz belastet.

2.    Im I., II. und III. Felde ist die Konstruktion der Momente für die ungünstigste Belastung in Betreff der negativen Momente auf der rechten Seite des betreffenden Feldes durchgeführt. Die Konstruktion ist genau dieselbe wie für die Transversalkräfte. Es kommt nur noch die Konstruktion der ungünstigsten Belastungsweise hinzu, welche in Fig. 7 nach §. 81, Fig. 158 ausgeführt ist. Diese Figur kann indess entfallen, wenn man sich mit den Umhüllungslinien der Kurve der negativen Maximalmomente begnügt. Diese ümhüllungslinien sind die Endtangenten der Seilkurve, welche ebenfalls wie im vorigen Paragrafe konstruirt wurden (sie sind punktirt angegeben). Man kann demnach, falls Fig. 7 vorhanden ist, die negativen Maximalmomente unmittelbar aus Fig. 3 entnehmen.

Im I. Felde ist zur Konstruktion der Stützenmomente das in §. 140 gezeigte Verfahren angewendet. Es ist nämlich der Punkt F' so bestimmt,

(y) (Fig. 224) wurde. Ausserdem sind auf der

linken Stützenvertikalen nicht die Höhen der Kreuzlinien im I. Felde, sondern die Höhen der Kreuzlinien im II. Felde in den Stützenvertikalen,

multiplizirt mit (y) aufgetragen. Die Multiplikation ist grafisch mit Hilfe des Proportionaivvinkels durchgeführt.

3. Die positiven Maxima der Momente sind durch Subtraktion der negativen Maxima von den Momenten für gänzliche Belastung bestimmt worden.

dass KF' — K F.

§• 152. Bemerkungen. Für die praktische Anwendung ergeben sich gegen die auf Taf. III, IV, V ausgeführten Konstruktionen manche Vereinfachungen, die wir nur der grösseren Deutlichkeit wegen nicht angewendet haben.

1. Die von uns der Deutlichkeit wegen auf drei Blätter vertheilten Konstruktionen lassen sich auf ein und demselben Blatte ausführen, indem man Fig. 4 auf Taf. III, Fig. 3 auf Taf. IV und Fig. 3 auf Taf. V in eine Figur vereinigen kann. Ja die zur Konstruktion der grössten Transversalkräfte nöthigen Linien können ohne Weiteres zur Konstruktion der grössten Momente verwendet werden. Es würde sonach nicht einmal zweckmässig sein, die Konstruktion in verschiedene Figuren zu trennen. Auf Taf. VI ist ein Beispiel in dieser Weise auf einem Blatte durchgeführt. Die Transversalkräfte und Momente für die zufällige Last sind hier im IL, III. und IY. Felde konstruirt und zwar unmittelbar nur die positiven Transversalkräfte, also für die Belastung des rechten Theiles des fraglichen Feldes und für dieselbe Belastung auch die Momente.

2.    Die Kreuzlinien in den Endfeldern kann man ganz entbehren, da hier die Kenntniss der Höhe der Kreuzlinien an den Endstützen genügt, die man im elastischen Polygone unmittelbar auftragen kann.

3.    Man kann dann das elastische Polygon benützen, um die Linien für die Momente in Betreff des Eigengewichtes und der zufälligen Last einzuzeichnen, so dass das Uebertragen der Ordinaten aus einer Figur in die andere wegfällt.

4.    Selbstverständlich wird man die zur Konstruktion nöthigen Geraden nicht ganz durchziehen, sondern nur die nöthigen Schnitte machen.

5. Eine weitere Vereinfachung lässt sich dadurch erzielen, dass man Eigengewicht und zufällige Last in der Konstruktion nicht trennt, sondern vereinigt lässt.

C. Formänderung. XIX. Kapitel. Durchbiegung der Träger.

§. 153. Durchbiegung im Allgemeinen. Die Formänderung der Träger soll hier nur insoweit behandelt werden, als mau sie bei Belastungsproben zu beobachten pflegt; insbesondere soll also die durch die Belastung hervorgebrachte Verschiebung von Punkten der Axe des Trägers in vertikaler Kichtung bestimmt werden.

Am einfachsten gelangt man zu der vertikalen Verschiebung y eines beliebigen Punktes C der Axe nach dem Prinzipe der virtuellen Arbeit. Eine in C wirkende Last 1 erzeuge in einem beliebigen Querschnitte an einem beliebigen Punkte die Normalspannung n und Schubspannung t, während in demselben Punkte durch die Belastung die Normalspannung N und Schubspannung T erzeugt wird. Alsdann ist der Entwickelung in §. 55 entsprechend, wenn sich die Punkte des Trägers, an denen derselbe aufruht, in vertikaler Richtung nicht verschieben,

, t T\ , r

+ ж)ЙТ-

“Л £

1.

nN

Wird in dem beliebigen Querschnitte durch die in C wirkende Last 1 das Moment m und die Transversalkraft q, durch die gegebene Belastung das Moment M und die Transversalkraft Q erzeugt, so ist

n —    , t — T = yy, wenn v, Ъ, S, I die Bedeutung

wie in §. 55 haben. Die Einsetzung gibt:

»=S[*T'i*dF+jfrSraF]

dx.

Da aber J v*dF = I und j (S. 92) hat, so wird

dF — -jp- ist, wenn x die Bedeutung 2

2. V=j(

m M XqQ

F Î ■*"

wobei die Integration über den ganzen Träger zu erstrecken ist.

Bei veränderlichem Querschnitte lässt sich unter den in der Anmerkung zu §. 55

gemachten Voraussetzungen besser    T

fBx₀

mM El

Bei konstanter Höhe geht dieser Ausdruck über in

ÿ = /(

rn„ M.

M₀

to^o

Ą/o4' /

dx.

setzen. Alsdann aber wird

C/mM ,

y = ) Ы +

aQ

Ff₀.

§. 154. Durchbiegung des Einzelträgers. Wenn wir beim Einzelträger im Abstande A C = £ von der linken Stütze die Last 1

i I

so werden die beiden Stützendrücke 1 — — und y, also

X und

annehmen,

auf der linken Seite von C : q = -\- {l — ^,

auf der rechten Seite q — — y, m — ~xl} wenn man den Abstand eines

Querschnittes von der linken und rechten Stütze mit x und xx bezeichnet. Daher wird nach Formel 2 die Senkung des Punktes C:

Mfi

M)

з- *=Ж*-9/т

0

[(*-!)/¥.***-

0

Mx

dx

l~è

+LiS^rax']

0

l~è

-В.

Die beiden Integrale im ersten Gliede bedeuten die statischen Momente б und <?, der durch den fraglichen Punkt getrennten Theile der verzerrten Momentenfläehe (§. 63) in Beziehung auf die Stützenvertikalen.

Bei symmetrischem Träger und symmetrischer Belastung ist eine Vereinfachung möglich. Bezeichnen wir den Theil der verzerrten

Momentenfläche, welcher zwischen x — | und x = l — % liegt, mit qp, so ist offenbar бх — о -f- j cpl, also (l — £) б -f- £<?j = (l — £) <? -f-+ У = Î (ff-f <p£), mi^bin die Senkung ohne Berücksichtigung der Schubspannungen

Jgr (c* + £ 4Pi)-

4. yx =

Um auch das zweite Glied in geometrischer Form darzustellen,

Fig. 238.

tragen wir ~ in dem betreffenden Punkte als Ordinate auf (Fig. 288) und legen durch den dem Punkte C entsprechenden Punkt Ä C“ der so erhaltenen Linie eine Parallele A“B“ zur Axe. Setzen А wir Fläche A'A“C“ = f, Fläche B‘B“C“, absolut genommen = fx und AA“ = 0, so ist

E" n"

■I

B"

Hilf

i-1

-ßr dx — f -j- jdxj 0

= (l — ij) а — fx; daher wird in Formel 3

das zweite Glied oder die Senkung des Punktes C in Folge der Schubspannungen:

= Ж [(* “ I) f + i¹ - I)

I* -

, d. i.

>l|hi

>СГву*

'К

Bei symmetrischem Träger und symmetrischer Belastung wird

mithin

t>. I/o -

/+ j* _ Л

wenn f₀ die Fläche AA‘ C“ C bedeutet.

An jeder Einzellast entsteht ein Absatz, z. B. bei E der Absatz FE“. Für die Senkung des Punktes E ist es gleichgiltig, durch welchen Punkt des Absatzes FE“ die Gerade A“ B“ gelegt wird.

Für die Senkung der Mitte eines symmetrischen Trägers, welcher symmetrisch belastet ist, wird hiernach

7. У-

fe' S*

il

Я

о

Ux ,    .    1

j dx + д

XQ

F

f dx.

Bei konstantem Querschnitte wird allgemein, indem man beachtet,

dass

j-fdx+jf

О    0

^ [<*- gjwxdx + sj

0 0

dx — 0 wird,

ls

Ж ж. dx

]⁺жж[0<г*-

о

Bei gänzlicher gleichmässiger Belastung mit der Last g + p pro Längeneinheit wird M — j (g + p) x (l — x), Q = i- (g -f- p) (l — 2 x), also bei konstantem Querschnitte

bs

X- (l —

JLtŁ

u 2 Eil

x(g + p)

2EXF

— 2x)dx.

Die Ausführung gibt: 9. у —

24EI

2 JE. F

Für die Mitte wird demnach

10. y =

5 (ff + P) Iх 4_ X (ff +p) 12 384 EI

Die relative Yergrösseruug s der Senkung in der Mitte durch die Schubspannungen ist hiernach

11.

48 xE I 96 (m l)xl

5EtFl*    5mFl² ’

wenn m die Bedeutung von §. 55 hat. Setzen wir m — 3, für Blechträger nach §. 61 annähernd xhd = F und 1 = ~ fh* -j- y₃h³ö, so wird

1281 _ 32 (6f + hô) h 51* hô

Für h = ^ l und f=0, 0,5h d, hô, 1,5hd, 2hô wird hiernach bezüglich s = 0,021 0,085 0,149 0,213 0,277. Für den rechteckigen Querschnitt wird genauer, wenn man x — 1,2, 1 — ^ Ъh³, F — bh setzt,

13. a —

12. £ =

151*0

576 (m 4- 1) h*

25 ml²

Beispiel. Ein Blechträger mit 10m — 100dcm Stützweite hat in den fünf Strecken mit 9, 12, 58, 12, 9 Decim. Länge das Trägheitsmoment 1 = 17,8 32,4 47,7 32,4 17,8 Decim. Er ist symmetrisch durch eine Lokomotive mit drei Achsen von 6,5* Raddruck und 13dcm Radstand belastet. Es ist die durch diese Belastung

erzeugte Durchbiegung zu bestimmen. Für die Punkte О, 1, 2, 3, 4 (Fig. 289) ergibt sich M = 0, 87,8 204,8 360,8 403,0 Tonnendecim. ; ferner für Punkt

7,56    8,43

M л    4,93 6,32

T = ⁰    2,71 4.29

Wenn h„ h, die beiden ein Trapez begrenzenden Ordinaten, b der Abstand derselben, x„ x₂ die bezüglichen Abscissen sind, so ist das statische Moment des Trapezes

о = — b [(2x, -f- x₂)h, -j- (X, -f- 2x₂) ä,].

Hiernach ergeben sich leicht die statischen Momente der einzelnen Trapeze für die linke Stützenvertikale. Die weitere Berechnung auf Grund der Formel 4 ist in folgender Tabelle zusammengestellt, wobei sich alle Zahlen auf Decimeter beziehen; nur die letzte Rubrik gibt у, in Millimetern für E = 200000 Ton. pro □ Decim.

Fig. 239.

eo—ó—ö-—ó—

A i    i Л

Punkt

I j Fläche

-i

H?

Statisches

Moment

Еу,

Уг

О ł-н О* Со ЧЛ

Oj Co to

O Vî к С c

kl

Ob СЛ to 5c 50 _4k 50 kj Oo to to

273,3 О

133,1

856,0

2786,0

4498,5

133 2393 989 5124 3775 7590 8274 I 8274

5* 50 5s A4 "kJ "сю Ал Ao о Kk Ob Ob Ob

Die Blechwand^habe eine Höhe von lOdcm und eine Dicke von 0,08dcm; als-

X 1

dann wird annähernd F = xh â = 0,8, also — — = 1,25. Die weitere Berechnung von yt nach Formel 6 enthält folgende Tabelle; hierbei sind Tonnen und Decimeter zu Grunde gelegt; nur die letzte Rubrik gibt уг in Millimetern für E, = ~ E = 75000 Ton. pro □Decim.

Punkt

x.Q

Fläche f₀ = E, yt

Уг

C) fk CQ cvb

ÎN ÏN.

Ob Ob Ob Co

ki ki ki

ус A³ ^0

Ab "ki "ki "ki

Ob to Ç© кь

kl. kl kJ. Ot кь ik ob

50 5* 5*

"00 Ab Ao"nj

Ot ife. (О к Ob Ot Ot Cb ^ 5*0 _kl Ob yo ^

"oo Ab Ab Ał

5b 5b 5b Ol O) Oj 1ч O V) Ci (fe. сл

Die Senkung in der Mitte würde hiernach 4,14 -j- 0,67 = 4,81 Millim. Die Vermehrung durch die Schubspannungen beträgt daher 16 Prozent.

§. 155. Näherungsregeln für Träger konstanter Höhe.

Ist der Einzelträger gleiehmässig belastet und von konstantem, sym-

metrischem Querschnitte, so ist derselbe bei der Höhe h zu berechnen nach der Regel KI = j    h, wenn К die zulässige Inanspruch

nahme bedeutet. Setzen wir nun in Formel 9 : ql*y = 16IK und nach Formel 35 (S. 108) xhd = F, so erhalten wir

* :    V

5 Kl

2IK

l 24 Eh

E,lh*d’

oder, wenn wir noch I — j fh² -f- jg Kd und Ex — E setzen,

y_ 5Kl ¹⁴-    7 - '24 Eh

32 h?

:Ы²

i¹ +n)]'

Da in der Anwendung etwa 2, bis 8 beträgt, so ist die Klammer 1'+ 6

6f= 3,9 hd, mithin die Klammer 1 -f- 10—.

h*

bis 1 -f- 18    . Bei den gewalzten I - Trägern ist ungefähr

Hat der Träger konstante Festigkeit,] so wird in jedem Querschnitte Kl = y Mh oder

Nach Gleichung 7 ergibt sich hiernach

* KP 4Eh*

Als zweites Glied ergibt sich bei gleichmässiger Belastung nach Glei-

als erstes Glied des Ausdruckes für die Durchbiegung in der Mitte

y.qV

chung 10

setzen KIX qP. у/г. ^Setzen wir ausserdem auch hier xhd = F, so wird

8 JSt F '

Ist It das Trägheitsmoment in der Mitte, so ist zu

У _ Kl

l ~ 4Eh

2 Ix К

EJhW'

oder, wenn wir Ix = j fx№ -j- j-₈ h³d und Ex — §- E einführen,

i!6h*

Kl\

[’

0+Й)]

15 У — ___

I ~ 4Eh

Blechträger haben entweder einen konstanten oder einen sprungweise veränderlichen Querschnitt. Man kann für dieselben nach den Gleichungen 14 und 15 allgemein

16.

91²

Eh

[¹+вЦ¹ + Ш

setzen. A würde nach Formel J14 und 15 zwischen = 0,21 und j — 0,25 liegen. Wenn indess К die bei Berechnung des Querschnittes angenommene zulässige Inanspruchnahme bedeutet, so ist mit Rücksicht auf die Schwächung durch die Nietlöcher A etwas kleiner, etwa 0,18 bis 0,22, während В — Щ = 2,13 bis j- = 1,78 zu setzen ist. Durchschnittlich wird ungefähr

= 0,2

17.

Hiernach erhält man die gesammte von der zufälligen Last und dem Eigengewichte erzeugte Durchbiegung. Die von der zufälligen Last

allein erzeugte Durchbiegung ist ~ y und bei Belastung durch ein System

von Einzellasten annähernd ~ y, wenn Mp und Mq die von der zufälligen Last allein und von der Gesammtlast erzeugten Maximalmomente bedeuten.

§. 156. Durchbiegung des kontinuirlichen Trägers. Die

Gleichung 3 behält für den Einzelträger auch dann noch Giltigkeit, wenn an den Enden A und В Momente № und M" angebracht werden. Ist hierbei eine Belastung nicht vorhanden, so ist

M“ — M'

- 4- M“ j, Q =

zu setzen. Man erhält alsdann als Abweichung yn eines beliebigen Punktes mit den Abständen g, l — g von A und В von der die Stützen A und В verbindenden Geraden

Ś

18. yn = j^\*r[u-i)f

О

" |o-i'jTdæ + iJ

и    О

X (l — a*)

dx -f- J J*    d a?, J

O

X (l — x)

dXy |J

■*-s

dx —

Ist eine Belastung vorhanden, so ist zu ya noch der durch die Gleichung 3 bestimmte Werth der Abweichung hinzuzufügen, wobei für Ж, Q lediglich nur die durch die Belastung bedingten Werthe von M und Q einzuführen sind.

Dieses Verfahren ist natürlich auch beim kontinuirlichen Träger anzuwenden, wenn für M', M" die beiden Stützenmomente eingeführt werden, welche für die gegebene Belastung nach dem Früheren zu bestimmen sind. Wenn die Schubspannungen berücksichtigt werden sollen, so. sind dieselben natürlich auch bei Bestimmung von M‘ und M" zu berücksichtigen, es hat also hierbei die Gleichung 13 (S. 96) als Grundlage zu dienen.

Bei konstantem Querschnitte ergibt sich durch die Ausführung der

Integration

Die Addition gibt als wirkliche Durchbiegung

Erstes Feld :

,, _

J — 96ЕЦ1+0)

. X(r/ + P)ie - i)

Die Durchbiegung in Folge der blossen Belastung, wenn man sich also den Träger über der Mittelstütze unterbrochen denkt, ist nach Formel 9

Erstes Feld:

{g±pm-mi±^ - F) _j_ *(g+p)w-&

24 EI

2E. F

Zweites Feld: yx =

gt(l-t) (P-HE-F) , *g_l {l-D

-2E. F

24 EI

(2д + р)П(1-Р) W-t)

ekn [м‘(2г - & + м"<г + & i <г - !>•

Die von den Schubspannungen herrührenden Glieder heben sich hier.

19. !/₀ =

§. 157. Durchbiegung des kontinuirlichen Trägers mit zwei Oeffnungen. Wir wollen als Beispiel die Durchbiegung eines kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes mit zwei gleich langen Oeffnungen bestimmen und zwar für eine gänzliche gleichmässige Belastung jeden Feldes ; das erste Feld sei mit g -f- p, das zweite mit g pro Längeneinheit belastet. Bei gleich hohen Stützen wird das Moment Mx an der Mittelstütze nach Formel 13 (S. 96), wenn man C — 1,

6 Elz E. Fl¹'

в — i, cv = cy=o, ix = iq = i, \ \

setzt,

— Тв (9 +P) ^

20. M

{2 g + p) V-16 (1 + d)

wenn man zur Abkürzung

3EIk

⁰ — Ex FV¹

einführt. Wenn man nun für das erste Feld M‘ = 0, M“ = Mv für das zweite M' = Mv M¹¹ = 0 setzt, so erhält man nach Formel 19:

Erstes Feld:

Уо = ~

(2g+р)П(1~Р (1 + I)

96 E 1(1 + d)

Zweites Feld:

96 E 1(1 4- d)

i»0 yr+1 ê - «i¹) + p (31“+31 è - 4i²)] [P+t£-g+4U+ó)i*\.

,1(г-,4)(зг- j)

У — 96ЕЦ1 + 0)

.    xg,40-i)

~ 8E,Fl«(l + Ô)

Zweites Feld:

(4ffi — pt)

[г⁵ + г|-|Ч-4(/ + ^) г*)].

Der Winkel v zwischen den Tangenten der elastischen Linien im ersten und zweiten Felde an der Mittelstütze ergibt sich hiernach leicht zu

22. v

__ iß + *8) {2 g -f P)x 8 {1 + Ô) EXF '

Ebenso gross ergibt sich v nach der Formel 32 (S. 106), wenn man

setzt.

23. D =

t-*

{2g + p) I —

2MX _ (5 -f *8) {2g + P) I

8 {1 + Ô)

Sind beide Felder gänzlich mit g Ą- p pro Längeneinheit belastet, so hat man nur in den vorstehenden Formeln g -f- p für g und p — 0 zu setzen.

Hat die Mittelstütze von der Geraden, welche die äusseren Stützen verbindet, den Abstand rj, so entsteht durch diesen Abstand allein nach Formel 13 (S. 96) das Stützenmoment

24. Mx =

ЗЕ1ц - {.1 + ô) P ’

folglich in einem beliebigen Punkte nach Formel 19 die Abweichung

I Erstes Feld :

25.    >

Уо =

Zweites Feld:

6 (2a - V)

2{1 H- d)l3 n‘

t{i-t){2i-t)

2 {I d) l³ ^

Diese Abweichung ist zu der durch die Formeln 21 bestimmten hinzuzufügen, um die Abweichung von den die Mittelstütze mit den äusseren Stützen verbindenden Geraden zu erhalten.

§. 158. Durchbiegung des kontinuirlichen Gelenkträgers.

Die Durchbiegung in einem Felde ohne Gelenk lässt sich ganz nach §. 156 bestimmen, wobei die Stützenmomente M‘, M" nach den Paragrafen 33, 34 und 53 zu bestimmen sind.

Um die Abweichung eines Punktes 1 (Fig. 106, S. 82) eines überhängenden Theiles AG zu bestimmen, denken wir uns in Anwendung der Formel 2 in I die Last 1 wirkend. Dieselbe erzeugt nur in den Strecken AI und AB ein Moment und eine Transversalkraft und zwar im Abstande x von A im Theile AI das Moment — (£ — x) und die

— 1, im Theile AB das Moment--- (l — x) und

wenn man AB = l, AI = £ setzt. Dem-

Transversalkraft

die Transversalkraft -j-nach wird

26. y — ~

Lf

Ж (J — »•) dx _j_

r

^ J-Qnsv

j Ж (l — x) dx J

kl ,

Fx

i

[/

0

y*Qdx J Cy,QdxT\

F J *

о

Für den Punkt C ist £ = A C = a zu setzen.

Wir wollen beispielsweise einen konstanten Querschnitt und eine gleichmässige Belastung voraussetzen. Letztere sei innerhalb der Felder AE, BF und AB bezüglich q, qv q₂. Alsdann ist, wenn wir noch СЕ — Ъ, DF=bl, BD = a₁ setzen, innerhalb des Theiles AC: JSI = — ~q (a — x) (a -j- b — x), innerhalb des Theiles AB: M = — qa (a -f- b) (l — x) — ~ qx a, (a -f- Ъг) x + ^ qq x (l — x). Daher wird unter Vernachlässigung der Schubspannungen

x)dx -f- qa(a-\-b) %j(l — x)²dx

о i

+ Ü\ ai (ai + bt)^Jx(l — x)dx—qQl£ j x(l — x)sdx.

о    о

Die Ausführung gibt

27. Ely = £q?{6a(a + Ъ) -2(2а + Щ + |*J

+ I «*»(« + Щ + jg 1,1a, («, + 6,)l — jjg îjPS.

Als Abweichung y‘ des Punktes C erhält man, indem man £ = а

28. Ely'=-gg qa? [a(3a4Ъ) Ą-él (а-\-V)]

1 1 jô <hlaai(ai “F bx) — ggg q,tl³a.

setzt,

— x) (a -j- b — x) (g —

Für den schwebenden Theil geben die Kegeln von §. 154 die Abweichung von der die beiden Enden dieses Theiles verbindenden Sehne. Sind die Abweichungen dieser Enden von der ursprünglichen Axe y', y", so erhält man, dem in §. 153 angewendeten Prinzipe entsprechend, die Abweichung eines beliebigen Punktes von der ursprünglichen Axe, wenn

- + y" j hinzufügt, da I die Stützendrücke der im beliebigen Punkte wirkenden Last 1, also y‘ und y“ — die Arbeiten derselben sind.

man zur Abweichung von der Sehne noch y

,1-

Tr?

§. 159. Einflusslinie für die Durchbiegung. Das Vorstehende lässt sich natürlich auch auf [die Abweichung eines beliebigen Punktes C in Folge der Belastung durch eine Einzellast von beliebiger Lage anwenden, wodurch sich die Einflusslinie für die Abweichung des Punktes C ergibt. Die Anwendung der Formel 3 gibt für einen Einzelträger als Abweichung eines Punktes, welcher von den Stützen den Abstand I, l — £ hat durch eine auf der rechten Seite des Punktes liegende Last G, welche von den Stützen den Abstand x, l — x hat :

’x-clx

29. y =

EV-

-m-

I

x)i‘

0

x)S

I

x(l—x) dx

^{1—

x)S

о

'/.dx

-{(i—*)J p s

Für einen konstanten Querschnitt gibt die Ausführung der Integration nach entsprechender Vereinfachung:

30. y —

6 ЕЛ

И1 — x) (2lx — z² — i²) -f

xG

1(1 — x).

Ех Fl

Liegt die Last auf der linken Seite des Punktes, so ist i; mit l — £, x mit l — x zu vertauschen und man erhält alsdann

30 a. y —

(I — £) x (2Ц - x*-?) +

(.I — £) x.

6 Ell

In Fig. 240 sind hiernach die Einflusslinien für £ = 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 . I hei Vernachlässigung des Gliedes mit x dargestellt.

Die auf beiden Seiten des fraglichen Punktes liegenden Aeste der Einflusslinie gehen, wie sich leicht nach-weisen lässt, allgemein tangential in einander über, wenn man die Schubspannungen vernachlässigt.

Beim kontinuirlichen Träger und kontinuirlichen Gelenkträger liegen die Einflusslinien, deren Ordinaten sich nach §. 156 und 158 bestimmen lassen, in zwei benachbarten Feldern auf verschiedenen Seiten der Axe.

Mit Hilfe der Einflusslmien würde sich nach §. 23 diejenige Lage eines Lastensystems bestimmen lassen, bei welcher die Abweichung eines beliebigen Punktes am grössten wird. Beim kontinuirlichen Träger und kontinuirlichen Gelenkträger wird dies bei abwechselnder Belastung der Felder stattfinden. Indess ist die Kenntniss der grössten Abweichungen der einzelnen Punkte im Allgemeinen nicht von Wichtigkeit. In der Regel wird die Durchbiegung nur bestimmt, um die Wirkung einer Probebelastung einer Beurtheilung unterziehen zu können; die Probe-

E, Fl

Fig. '240.

belastung aber pflegt man hinsichtlich der Lage des Lastenzuges entweder mehr oder weniger willkürlich anzunehmen oder so, dass in bestimmten Theilen die Maximalspannung eintritt. Nur bei der Beurteilung der Wirkung einer bewegten Probebelastung, bei welcher der Lastenzug nach einander alle möglichen Lagen einnimmt, kann wünscht sein, die theoretische Maximalabweichung bestimmter Punkte zu kennen.

es er-

§. 160. Grafische Bestimmung der Durchbiegung. Die

geometrische Konstruktion der elastischen Linie als Seilkurve ist bereits in §. 132 und 141 behandelt worden, so dass hier nur noch wenig zu bemerken ist.

Wenn man die Ordinaten der Belastungsfläche bei Vernachlässigung der Schubspannungen = M ^ annimmt, so ist die Polweite für die der elastischen Linie entsprechende Seilkurve — EI₀ anzunehmen. Ist das Verjüngungsverhältniss für den Längenmaassstab so erhält man hierbei auch die Ordinaten der Seilkurve in — natürlicher Grösse. Um die-

от

mn

selben in m fâcher natürlicher Grösse zu erhalten, müsste die Polweite — angenommen werden.

Statt dessen aber können die Ordinaten der Belastungsfläche bei Vernachlässigung der Schubspannungen auch =M angenommen werden.

Die Polweite ist alsdann = EI, bei variablem I also ebenfalls variabel anzunehmen. Insbesondere empfiehlt sich dies dann, wenn sich der Querschnitt sprungweise ändert, so dass nur einzelne verschiedene Polweiten in Anwendung zu kommen haben. Nimmt man als Belastungsfläche die Fläche des mit der Polweite H konstruirten Seilpolygones an, so würde die Polweite für die elastische

Fig. 241.

'9

³!'

2' j /'[ V

;

"tr

EI

Linie -j£ anzunehmen sein.

In gleicher Weise kann die Konstruktion beim kontinuirlichen Träger und kontinuirlichen Gelenkträger erfolgen, wobei die Belastungsfläche natürlich theilweise positiv, theilweise negativ vorauszusetzen ist.

Bei ersterem ist die elastische Linie in jedem Felde tangential an die nach §. 140 und 142 zu konstruirenden Stützentangenten anzuschliessen, wodurch die Lage des Poles bestimmt ist.

Beispiel, ln Fig. 241 und 242 ist die elastische Linie für das bereits in §. 154 berechnete Beispiel durchgeführt und zwar in Fig. 241 mit konstanter, in Fig. 242 mit variabler Polweite.

Für die Punkte 0, 1, 2, 3, 4 ergibt sich M = 0 87,8 204,8 360,8 403,0 Tonnen-Decimeter. Für die drei Strecken 01, 12, 2 4 ist I —17,8 32,4, 47,7 ;

wenn wir la = 47,7 wählen, so wird Punkt 0 M J°

Io = 2,680 1,472 1,000, daher wird

360,8    403,0.

235,3    301,5

129,2    204,8

Die Belastungsfiächen ergeben sich hiernach (Tonnen-Decimeter '< Decimeter): Punkt

1059    2584    4525    4965

Belastungsfläche

Diese Flächen sind in den durch Konstruktion bestimmten Schwerpunkten als Vertikalkräfte wirkend angenommen. Ausserdem ist zur Berücksichtigung der Schub-spannungeu in jedem der Punkte 3, 4, 3¹ nach Formel 17 (S. 296) die Einzellast

1,25.8.47,7

. 6,5 = 1034

EtF

angenommen. Wenn man die Zeichnung in natürlicher Grösse durchführte, so würde die Polweite = EI₀ = 200000.47,7 — 9540000 anzunehmen sein. Da aber der 1

Längenmaassstab = natür-

(Vl/t/

Fig. 242.

licher Grösse gewählt ist, so würde 9540000

die Polweite

200

= 47700

anzunehmen sein, wenn man die Durchbiegung in natürlicher Grösse erhalten will. In Fig. 241 ist

L 47700 —

"О

aber die Polweite =

11925 (nach dem Maassstabe, in welchem die Belastungsflächen als Kräfte aufgetragen sind) gewählt, um die Durchbiegung in 4 fâcher Grösse zu erhalten.

In Fig. 242 sind die Ordi-naten der Belastungsfläche = M

angenommen, dementsprechend ergeben sich als Belastungsflächen Punkt

Belastungsfläche =    391

In jedem der Punkte 3 4 3‘ ist wieder die Einzellast 1034 angenommen. Die Polweiten sind, da der Längenmaassstab wieder -^ natürlicher Grösse gewählt ist

E

und die Durchbiegung wieder in 4 fâcher Grösse erhalten werden soll, =^-^I = 1— 2501, d. i. 4450, 8100, 11925 anzunehmen.

-Г \

1756    4525    4965

200000 J

4.200

2>. Anhang.

XX. Kapitel.

Ersatz eines Systèmes von Einzellasten durch eine gleichmässige Belastung.

§. 161. Zweck des Ersatzes. Aus dem bisher über die Behandlung eines Systèmes von Einzellasten Gesagten geht zur Genüge hervor, dass es nicht möglich ist, eine aus einem Systeme von Einzellasten bestehende Verkehrsbelastung durch eine gleichmässige Belastung zu ersetzen, welche für alle nöthigen Grössen, also z. B. hinsichtlich der Transversalkräfte und Momente für sämmtliche Querschnitte ein und denselben Werth hat. Wenn dies bisher dennoch vielfach geschehen ist, so konnte es nur auf Kosten der Genauigkeit geschehen. Eine wesentlich grössere Genauigkeit lässt sich bereits erreichen, wenn man mehrere verschiedene gleichmässige Belastungen einführt, z. B. eine für die Transversalkräfte, eine andere für die Momente. Es ist indess möglich, Näherungsregeln für die Bestimmung der gleichmässigen Belastung für jede einzelne zu bestimmende Grösse, z. B. für die Transversalkräfte oder Momente für jeden einzelnen Querschnitt aufzustellen und dadurch eine noch wesentlich grössere Genauigkeit zu erreichen. Näherungen aber sind hier recht wohl zulässig, weil sich der Berechnung doch nur ein idealer Lastenzug zu Grunde legen lässt, der der wirklichen Belastung nicht genau entspricht, da wohl auch mit der Zeit in der wirklichen Belastung Aenderungen eintreten, weil die zu Grunde zu legenden Festigkeitskoeffizienten nicht genau festzustellen sind und namentlich, weil der einzuführende Sicherheitsgrad mehr oder weniger willkürlich ist.

Eine einfache Methode zur annähernden Bestimmung der einem Lastensysteme entsprechenden gleichmässigen Belastung ergibt sich durch die Methode der Einflusslinien. Durch die Einflusslinie ist die Einflussgrösse Y (siehe §. 19) bestimmt. Da nun aber, wenn F den Flächeninhalt der Einflussfigur, p die gleichwerthige gleichmässige Belastung bezeichnet, nach §.21 Y — Fp ist, so ist durch die Einflusslinie bei gegebenem Lastensysteme auch p bestimmt. Die Form und Dimensionen der Einflussfigur bestimmen also die einzuführende gleichmässige Belastung. Die Annäherung erhält man insbesondere durch einen Ausgleich der durch das unregelmässige Lastensystem bedingten Unregelmässigkeiten.

§. 162. Näherungsregeln unter Annahme einer gleich-massigen Belastung und einer Einzellast. Man erhält die einfachsten, wenn auch noch zu wenig genauen Näherungsregeln, wenn man den Lastenzug ersetzt durch eine gleichmässig vertheilte Belastung F pro Längeneinheit und ausserdem durch eine für sich verschiebbare Einzellast G, weil durch letztere einigermassen den an die ungünstigste Stelle zu schiebenden schweren Lasten Rechnung getragen wird. Wir wollen einige Anwendungen behandeln.

Wir denken uns zunächst zwei affine Einflussflächen mit den Längen £, lx und den grössten Höhen /г, \ ; zwei entsprechende Abscissen verhalten sich dann ebenfalls wie l : lx, zwei entsprechende Ordinaten wie h : /г,: Die Flächen F, Fl verhalten sich wie Ih : lx hx ; wir können also, wenn A einen von der Form der Einflussfigur abhängigen Faktor bezeichnet, F = Alh, Fx=Alxhx setzen. Es wird daher für beide Fälle Fp = jFp‘ + Gh, also

Gh

1- P = P‘ + F

oder

Al •

1 a. p — pé -j-

Sonach wird die gleichwertige Belastung um so kleiner, je grösser die Länge l der Einflussfigur ist.

Das durch die Formel 1 « dargestellte Gesetz ist in der That vielfach der Berechnung von Brücken zu Grunde gelegt worden, allerdings vielfach fehlerhaft in der Weise, dass man für l stets die Stützweite einführte, auch wenn die betreffende Einflussfigur nur einen Theil derselben einnahm und dass man A für alle Formen der Einflussfiguren gleich gross annahm.

Sind die beiden Seiten A C\

BC' (Fig. 243 d) der dreieckig krummlinigen Einflussfigur Parabeln , welche in der Mitte der Sehnen AC',BC‘ von diesen den Vertikalabstand c — mJi haben, so ist F = j Ih — j Ic — 4 (3 — 4m)lh, mithin nach Formel 1 :

2.

Fig. 243.

a.

/■

''

/А

Für das wirkliche Dreieck (Fig. 243«) wird m = Of mithin

3. p — p' -f- 2

Tangiren die Parabeln die Axe AB (Fig. 243c), so ist m — 0,25,

also

4. p=p‘+3^.

Tangiren die Parabeln eine Parallele zur Axe AB in C⁴ (Fig.243Ъ), so ist m = — 0,25, mithin

5. P=p' + 2 j.

Nehmen wir hierzu noch das Eechteck, so ist für dasselbe F—lh,

mithin

6. p = p‘ + y.

Hiernach wird die gleichwerthige Belastung um so grösser, je schneller die Einflusslinie von einem bestimmten Punkte C aus ab fällt. Die Lage des höchsten Punktes C4 oder des Scheitels würde hiernach ohne Einfluss auf die Grösse der gleichwerthigen Belastung sein, was allerdings nicht ganz der Wirklichkeit entspricht. Wir wollen deshalb unter Zugrundelegung der wirklichen Belastung die hauptsächlichsten vorkommenden Formen der Einflussfläche untersuchen.

§. 163. Rechteckige Einflnssfigm*. Das Eechteck kommt zwar als Einflussfigur nur untergeordnet vor; jedoch wollen wir dasselbe mit in Betracht ziehen, weil sich für dasselbe die gleichwertige Belastung für ein gegebenes Belastungsschema sehr leicht bestimmen lässt und diese sodann leicht zur rohen Schätzung für andere Formen der Einflussfiguren benutzt werden können.

Die ungünstigste Belastung ist hier diejenige, bei welcher sich die grösste Gesammtlast in der Länge des Eechteckes befindet. Die Werthe

Fig. 244.

-я*

lï

von Y lassen sich hier bei variablem l nicht durch eine stetige, sondern durch eine staffelförmige Linie darstellen (Fig. 244). Annähernd lässt sich dieselbe durch eine gebrochene Gerade ABC ersetzen, für welche sich die Gleichung leicht aufstellen lässt. Ist die Summe der Gewichte der Lokomotiven nebst Tender = G, der Achsendruck eines Wagens = Gv der Achsenstand der Wagen ev und a — A⁴B⁴ gleich der Länge von der Vorderachse bis zu einem Punkte, welcher -g- ex vor der ersten Wagenachse liegt, so ist offenbar, B B⁴ = G, CC⁴ = B BJ -f- В⁴ С⁴ — zu setzen. AA⁴ ist so zu bemessen,

ei

dass die Fläche AA'B'B gleich der wirklichen Fläche zwischen der

Staffellinie und A⁴ B⁴ wird. Diese Fläche aber ergibt sich leicht als

Summe der statischen Momente S der einzelnen Achsendröcke innerhalb

A⁴ B⁴ in Beziehung auf B⁴. Ist die Summe der statischen Momente der

Achsendrücke innerhalb A⁴ B⁴ in Beziehung auf A⁴ — S₀, so ist S =

Ga — S₀, S₀ — Ga — S. Hiernach lässt sich setzen:

2S₀ . Ga — 2S0 I c a: p = -^-\----£

7.

al

l > a:

— +

e,

Gex — Gx a

et l

Bei den Strassen brücken würde sich, wenn nur ein sehr schwerer, im Uebrigen nur schwere Wagen vorhanden sind, G und S₀ auf den ersteren beziehen, während Gt die ganze Last, e, die ganze Länge der schweren Wagen bedeutet. Für lauter gleiche Wagen ergibt sich

8. P = - +

G . Ge — 2S₀

2el

Für unsere Belastungsschemen (§. 7 und 6) und wenn man bei den Eisenbahnbrücken zwei nach vorn gerichtete Lokomotiven voraussetzt, ergeben sich hiernach die folgenden Ausdrücke (p in Tonnen pro Met., I in Meter) :

I < 25: р — 4,68 +    ,

p— 2,67+--^.

Sehr schwere Wagen: p— 0,98 + —j—₉

L

4 2

Schwere Wagen: ... p — 0,9i) -j- —,

t

Leichte Wagen:.... p — 0,88 -{-

L

Bei den Eisenbahnbrücken kann hierbei der Fehler für 1 — 8 bis 20m 6 bis 8 Prozent, für l = 25, 50, 75, 100, 150, 200m bezüglich 3,4 2,0 1,5 1,2 0,9 0,7 Prozent betragen.

9. Eisenbahnbrücken

l>25:

10.

§. 164. Rechtwinkliges Dreieck als Einflassfigur. Bei der un- a‘ günstigsten Belastung sind die schwersten Lasten an das Ende A (Fig. 245) und die vordere Last nach A selbst zu bringen. ^ Bezeichnet x den Abstand einer Last G von B, h die Höhe AA⁴, so ist für die

Fig. 245.

Da F — j hl ist, so wird die

Einflussgrösse Y: Yl = hEGx. gleichwertige Belastung, die wir für das rechtwinklige Dreieck mit bezeichnen wollen,    »

Po — гч

IzGx.

Das Resultat der für den in §. 7 angegebenen Eisenbahnzug an-gestellten Berechnung zeigt Fig. 246 (obere Linie) bis zu einer Länge

von 45m, in welcher l als Abscisse, p₀l als Ordinate aufgetragen ist. Die einzelnen Kurven, aus denen diese Linie besteht, sind Hyperbeln, welche die Axe der y zur Asymptote haben. Angenähert lässt sich diese Linie durch zwei Gerade ersetzen. Für Strassenbrücken mit einer Wagengattung lässt sich für alle Längen eine einzige Gerade als Näherung einführen. Man kann diese Geraden leicht so bestimmen, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen ein Minimum wird.

Fig. 246.

B'/

aW

<v

Für unsere Belastungsschemen ergeben sich unter derselben Voraussetzung, wie im vorigen Paragrafe folgende Ausdrücke (p Tonnen pro Meter, l Meter)¹):

l=o 10    20    30    40

l < 40:

11. Eisenbahnbrücken

p₀ = 4,54 +

p₀ = 2,84+—

20,0

Sehr schwere Wagen: p₀=- 1,02 +

12.

Schwere Wagen: ... p₀ — 1,00 +

9,5

Leichte Wagen:

p₀ = 0,90 Ą

3,6

]) Wenn man die vordere Lokomotive nebst Tender umkelirt, dementsprechend das Belastungs

schema :

9    13    13    13    13    13    13    9    9    9    8    8    8 Ton.

Achsenweite 1,5 1,5 4,0 1,3 1,3 5,2 1,3 1,3 4,0 1,5 1,5 3,0 3,0 3,0 Meter Last ... 9

anwendet, so ergehen sich hei Längen über 25»* die gleichwertigen Belastungen kleiner. Bei kleineren Spannweiten können dieselben indess bis eu 5 Prozent grösser werden.

Wenn man drei Lokomotiven mit Tendern und mit nach vom gerichteten Schornsteinen voraussezt, so werden dagegen die gleichwertigen Belastungen bei Längen über 25’“ grösser und zwar bei 40 50 60 80 100 125 150 200m Länge um ungefähr bezüglich 58999887 Prozent.

Маи könnte sich der wirklichen Linie noch viel besser anschmiegen, wenn man für p₀ nicht das Gesetz p₀ — А + -у, sondern das Gesetz c

-f- jT wählen würde. So ergibt sich für Eisenbahnbrücken

bei Längen über 25m, wenn man die Lastwagen durch eine gleich massige Belastung von ,2²/₃ Tonnen pro Meter ersetzt, ziemlich genau

13. p₀=--2,67 +

130    1245

Z² '

Indess kann die Regel 11 recht wohl angewendet werden, da keine grössere Differenz als ungefähr 4 Prozent für 1 = 10 bis 40m und 3 Prozent für l>40 entsteht.

Hiernach ergibt sich p₀ stets grösser, als p für das Rechteck; der Unterschied beträgt bei Eisenbahnbrücken, sehr schweren, schweren und leichten Wagen bezüglich bei 10m Länge 23, 51, 38, 20 Prozent, bei 20m Länge 12, 43, 23, 11 Prozent, bei 30m Länge 15, 24, 16, 9 Prozent, bei 50m Länge 21, 20, 11, 6 Prozent, bei 100m Länge 15, 12, 6, 4 Prozent. Bei Eisenbahnbrücken kann man durchschnittlich p für das rechtwinklige Dreieck 16 Prozent grösser annehmen, als für das Rechteck.

Die Maximaltransversalkraft für einen Einzelträger ist durch die Formeln 6 (S. 56) bestimmt. Wenn man den Formeln 11 und 12 entsprechend, allgemein

14. p = А -f-

setzt, so würde hier, wenn L die Spannweite bezeichnet, bezüglich p (L — x) = A (L — x) + В und px = Ax -f5 zu setzen sein; es wird demnach *)

15.

max (-j- Q) =

A(L — x)a B (L — x)

2L

2L

max (— Q) =

Ax² Bx ~2L~t~ ~2L'

Setzt man für die Strecke A B (Fig. 246) у = у₀ — А (а — х), für die nächste Strecke ВС: у = у₀ В (х — а), wobei В В¹ — у₀ ist, so ergibt sich nach der Methode der kleinsten Quadratsummen

\ Л-³У°_³А    \-³-^

I’ A~J^ а³’    Ъ*’

!/o =

Æ+s.

c c \« wenn man AB = а, BC — b, АС = c und zur Abkürzung

F =jydx, St =jy (a 0 0

=Jy(x

— a) dx

setzt. Hierin bedeutet F die Fläche, S„ 8г das statische Moment der betreffenden Flächenstücke in Beziehung auf die Axe BB‘.

Wenn nur eine einzige Gerade vorausgesetzt wird, so wird a—O, b — c, S^O,

— = 0, mithin

а

3F 6S . 6 (28

y = --~s+i?U--F'x-

§. 165- Trapezförmige Einflnssfigur. Die Einflussfigur sei ein Trapez (Fig. 247), dessen Seite A A' auf der Grundlinie AB senkrecht steht. Diese Figur tritt beim kon-tinuirlichen Gelenkträger auf (Fig. 106, S. 82). Bei der ungünstigsten Belastung liegt eine Last bei A oder G. Wir nehmen zunächst das vordere Ende des Zuges in A Das Trapez AA'С'В können wir [Миши I y    ajs Differenz der rechtwinkligen Dreiecke

AAnB und A'A“C' auffassen. Wirsetzen

Fig. 247.

д:

■4

Ä\r

v£'

■—c '

'Uff iiiiiii

в aD-

der Formel 14 entsprechend, für das Dreieck AA“ B: pl = Al -f- B, für das Dreieck A'A“G' dagegen pa = At a -|- Bt, wenn wir A‘G‘ mit a bezeichnen. Die Flächen dieser Dreiecke sind, AA'= h gesetzt,

bezüglich

l'h

2 (l — a)

und

a^h

; der Flächeninhalt des Trapezes ist

₁    2(1— a)

= y Q + a) h. Demnach ist für die gleichwerthige Belastung p :

§ p (l + a) h = (a -f

14

a4

2 (l — а)

2(1 —а) ’

Hiernach wird

16. p —

{Al + B)l — (A, a + Bt) а

V¹ - a*

Kann man At = А, Bx = В setzen, so wird sehr einfach:

17. p — A +

В/

l + « ’

Hiernach wird p kleiner, als für das rechtwinklige Dreieck mit derselben Länge l. Für а = l geht das Trapez in das Bechteck über; in

diesem Falle wird nach Formel 17 : p — А -{-    , was mit den Kegeln

9 und 10 im Vergleich zu den Kegeln 11 und 12 nahezu übereinstimmt.

Wenn der Zug nur die Länge BD = g einnimmt, so ergibt sich in gleicher Weise:

P V ~ «²) = M* + Bt-Ax (f, - ЪГ - Bx (I, - b),

wenn man B G ~l — a — b setzt. Hiernach wird p zum Maximum für

18. g =

Die Einsetzung gibt

В — Bx 4- 2Axb 2 (И, - A)

19. р =

(B — B,Y -f 4(AAxb 4- Ą В - АВг) Ъ

4 (H, — A) b (I -j- а)

Für А — Aj, В — Bj, also für Strassenbrücken und kleinere Längen der Eisenbahnbrücken würde sich £ = oo ergeben ; dafür ist £ = l zu setzen, so dass die Formeln 16 und 17 Giltigkeit behalten. Für A = 2,84, 4 = 4,54, В = 98,6, Bt = 30,6 wird

g = 20 + 2,67 b, 68 4- 212 b 4- 7,6 b'¹

b (l -f- a)

Ergibt sich hiernach £ > l, so ist natürlich wieder g = l zu setzen.

¹

) Die mittlere Transrersalkraft ergibt sich in dem Sinne der Anmerkung zu §. 37 :

§. 166. Gleichschenkliges Dreieck als Einflussfigur. Als

ungünstigste Belastung ergibt sich hier diejenige, bei welcher die schwersten Lasten mehr in der Mitte konzentrirt sind, die Gesammtlast in jeder Hälfte möglichst gleich gross ist und eine Last über der Mitte C liegt. Liegen auf der linken und rechten Hälfte die Lasten 6rx> 6r₂ im Abstande Xj, xq von den Enden, so wird, wenn speziell px die gleichwertige Belastung für das gleichschenklige Dreieck bedeutet,

2b

Y=~[2 (4 xx) + 27 (4 *,)], pj = ¥ [27 (Gt xt ) + 27 (G,x,)].

Das Resultat der Rechnung zeigt Fig. 246 (untere Linie) für Eisenbahnbrücken. Hiernach wird px wesentlich kleiner, als p₀. Es findet dies besonders darin seine Erklärung, dass bei gleicher Höhe des Dreieckes die Ordinaten in gleichem Abstande vom Scheitel beim rechtwinkligen Dreiecke grösser sind, als beim gleichschenkligen. Man kann auch hier wieder die Kurve durch zwei Geraden ersetzen. Das Verhält-

Po

niss — ergibt sich bei Eisenbahnbrücken innerhalb der Längen von 75m

bis 200m zu 0,835 bis 0,855; bei kleineren Längen ist dieses Yerhältniss allerdings mehr veränderlich; indess zwischen 4 und 75m schwankt —

Po

auch nur zwischen 0,83 und 0,89, so dass es sich der Einfachheit wegen wohl empfiehlt, ein konstantes Verhältniss einzuführen. Mau kann durchschnittlich etwa

Pj = 0,86p„,

Pj = 0,94p₀

Eisenbahnbrücken : Strassenbrücken :

setzen¹). Bestimmt man hierbei p₀ bei Eisenbahnbrücken nach Formel 11, so ist der Fehler bei kleinen und grossen Längen höchstens 3 Prozent.

Bei Längen über 99m ergibt sich für Eisenbahnbrücken, wenn man wieder die Lastwagen durch eine Last von 2²/₃ Tonnen pro Meter ersetzt, genau

5666

Os| 00

21.

§. 167. Dreieckige Einflussfigur im Allgemeinen. Die

ungünstigste Belastung ist durch §. 24 bestimmt. Die sich ergebenden

Fig. 248.

gleichwerthigen Belastungen sind in Fig. 248 für Eisenbahnbrücken dargestellt und zwar beziehen sich die - Kurven a, b, c, d, e auf 10, ч 20, 50, 100, 200m Länge.

Die betreffenden Kurven sind P Linien dritten Grades ; nur ; dann, wenn nur auf einer Ц Seite des Scheitels Lasten liegen, entstehen Hyperbeln, i Diese grafische Darstellung p zeigt, dass es allerdings nicht wohl möglich ist, die gleiches werthige Belastung durch ein einfaches Gesetz darzustellen. Jedoch dürfte das Gesetz

!    22. p¹ ~

0,1    0,2    0,3    0,4    0,5    0,6

n =0

P₀-4{Po-Px) Vx

für die praktische Anwendung genügen, wobei p', p₀, pt die gleichwertnige Belastung für das Dreieck im Allgemeinen, das rechtwinklige und gleichschenklige Dreieck, lt und l₂ die Längen AC und B G (Fig. 50, S. 35) bedeuten. Setzt man hierin lY = ni, l₂ = [1 — n) l und für px die Werthe 20, so ergibt sich

Eisenbahnbrücken : p‘ —PQ[1 — 0,56n (1 — #*)], Strassenbrücken :

23.

p' = p₀ [1 — 0,24 n (7 — n)\.

*) Wenn man bei den Eisenbahnbrücken die vordere Lokomotive umkehrt, so wird p, nur wenig grösser und zwar höchstens 2,5 Prozent, bei Längen über I00m höchstens 0,5 Prozent.

Wenn man drei nach vorn gerichtete Lokomotiven voraussetzt, so würde p, bei Längen über SO" grösser und zwar bei 40 50 60 80 100 125 150 200» um bezüglich 6 13 13 16 15 12 9 5 Prozent. Das

Verhältniss — wird hier durchschnittlich 0,88.

Po

Bei Anwendung dieser Näherungsregeln ergeben sich die grössten Fehler bei Längen von 10, 20, 30, 50, 75,100, 150, 200 Met. bei Eisenbahnbrücken bezüglich 2,8 5,3 2,0 2,3 3,2 2,3 1,8 2,6 Prozent.

Das grösste Moment für einen beliebigen Querschnitt eines Einzelträgers wird hiernach unter Berücksichtigung der Regel 11 (S. 58) *), wenn wir l, — X, l„ = l — X setzen,

⁴ (Po — fl)

24. M =

j\po +

X (l — X)

I-

X (l — x).

aufstellen.

In der folgenden Weise lassen sich indess noch genauere Regeln

Ein mit den Näherungsregeln 11 vollkommen im Einklänge stehender Ausdruck für p‘ lässt sich in folgender Weise entwickeln. Der Belastungszug bedecke in Fig. 50 die Strecke BB. Die für die Dreiecke BDD‘ und C'D'D" nach der für das rechtwinklige Dreieck auf-gestellten Regel anzunehmende gleichwerthige Belastung sei px, p₂; alsdann ist Y = p, . /\BBB' —Pq . Д CJ B‘ B". Setzen wir CB = x, CC‘ — h, so ergibt sich leicht

M ia 4- XY

/\BBB‘ =

hlx²

, Д C'B'B“ — 2lj.

Setzt man nun den Formeln 11 entsprechend px = A -f-    ,

Ps = At

25. p' =

2ls

und Y — p lln, so wird ln + x

[A (lg, -f- x) -f- B] — "? ? [Л x -f- Bx].

l4

Hierin ist nun x so zu wählen, dass p‘ zum Maximum wird. Indem man den Differentialquotienten von p‘ nach x = 0 setzt, erhält man

_ 2 Aln (1 — n) -\- Вn — _Bj x “    2 (At — An)

26.

2Axl(l — n) -f- Вn — B,

2 (A, — An)

Die Einsetzung gibt

A,B — AB, + AAxl (1 — n)

__(B, — Bnf__

4 (À, — A n) î n (1 — n) *

Es ist möglich, dass sich bei Eisenbabnbrücken nach Formel 26 der Werth von Z₂ -f- x kleiner ergibt, als der Werth a desjenigen l, für welches sich nach beiden der Formeln 11 gleiche Werthe ergeben (1= 40m) ; in diesem Falle ist a für l„ -f- x oder x = a — Z₂ zu

27. p‘ =

(A, — An) l

³) Das mittlere Maximalmora ent ergibt sieli hiernach in dem Sinne der Anmerkung zu §. 38:

(Po — Pi) l- =    (3p₀ -f- 2p,) l², d. i. für Eisenbalmbrücken = 0,0787p₀ l¹ =

77, Pol²

witt muxM rr —

0,0917 р,1г, für Strasseübrücken — 0,0813 p₀l* =z 0,08(>~>р,1г.

30

setzen und p' nach Formel 25 zu berechnen. Setzt man hierin A -j- — = Ax -f- —, so ergibt sich

l*n *

28. p‘ = At - [Ax(l - a) - Bt]

Für kleine Werthe von lx ergibt sich x negativ; statt dessen ist X — 0 zu setzen. Dies gibt einfach

29. p* = А {1 — ri) А -y.

Wenn x und \ Ą- x innerhalb der Grenzen liegen, für welche sich pl durch eine einzige gerade Linie darstellen lässt, so ist A = Ax, В = В. zu setzen. Es wird dann wesentlich einfacher

30. x = nl —

Bl

2AX’

31. p‘ — Ax -\-

4Axn l*

und für kleine Werthe von x, für welche sich nach Formel 30 x negativ ergeben würde,

32. p‘ = Al(l — n)-{■

Bei kleinen Längen kann indess bei Eisenbahnbrücken hiernach eine zu grosse Abweichung von der Wahrheit eintreten, weil in dieser Entwickelung angenommen wurde, dass die schweren Lokomotivräder vorausschreiten, während in Wahrheit zu beiden Seiten der Lokomotivräder noch Tenderräder anzunehmen sind.

Obwohl man durch diese Methode im Allgemeinen p⁴ genauer bestimmen kann, als durch die Formeln 22 und 23, so wird man bei Eisenbahnbrücken doch wohl die einfachere Anwendung dieser letzteren Regeln vorziehen. Es kommen indess bei Bestimmung der Spannungen im Gitterwerke oft Dreiecke vor, bei denen n nur klein ist, so dass sich diese Dreiecke dem rechtwinkligen nähern. Für diese Dreiecke sind die Formeln 29 und 32, die für Strassen- und Eisenbahnbrücken passen, bequem anzuwenden.

Für Strassenbrücken lassen sich indess leicht allgemeinere Regeln mit grösserer Genauigkeit entwickeln. Hier ist im Allgemeinen diejenige Belastung die ungünstigste, bei welcher (falls in Fig. 249 BG> AG oder Z₂ > lx ist) in G ein hinteres Wagenrad steht und die Wagen nach В hin fahren. In einzelnen Fällen kann allerdings Y noch grösser werden, bei derselben Fahrrichtung in G ein

r’ig. 249.

С/

•f

wenn

vorderes Wagenrad liegt; jedoch tritt dies seltener ein und in diesem Palle ist Y bei beiden Stellungen nicht viel verschieden. Wenn nur ein sehr schwerer Wagen vorausgesetzt wird, so ist dieser mit seinem hinteren Bade nach C zu stellen. Zunächst wollen wir Y für das Dreieck ACC⁴ bestimmen, und zwar für den Fall, dass nach rechts fahrende Wagen vorhanden sind, wobei der erste so dicht an dem rechts von C befindlichen Wagen steht, als dies möglich ist. Machen wir CB gleich dem Badstande a und legen wir nach C und D zwei Achsen, jede mit dem Drucke G, so hat das Dreieck ADD' nahezu die ungünstigste Belastung mit links fahrenden Wagen ; der geringfügige Unterschied liegt nur in einer etwas anderen Stellung der Pferde. Für das Dreieck ADD'

^ _l_‘ д. Ist px die gleichwerthige Belastung für das Dreieck ACC', so haben wir, wenn CC⁴ — 1, also DDX = 1 -j- y

lt “j- CI

werde nun p — Ax -f-

ist, -j pt l, Gr 4- G    j — (l, A- a)

hiernach

(a +

und

34. рх = Ах

4 G — 2 Ах а — Вх

{2 G — A, a — Bx ) а

Setzen wir für schwere Wagen Ax = 1,0, Bx — 9,5, G = 6,0, a = 5,5, für leichte Wagen Ax — 0,9, I?, = 5,5, G — 3,0, a = ,2,8, so wird

35. I

[ Schwere Wagen :

7,5    , 3,50

г,

-f

Leichte Wagen:

3,4

Px — 0,9----\-

0,34

Setzen wir allgemein für das Dreieck BCC'\ p — А у,

-f- so wird j p¹1

das Dreieck AC G¹ aber px = A —

t¹Aa~t+v)⁺4 ¹* U + fhmithin

36. p* — A-1-

В —В,

Сг

ni'¹'

II ?

Hiernach ergibt sich

Sehr schwere Wagen : p —1,02 +

37.

Schwere Wagen :

12,5 .3,5 + WÏ*'

,    . лл . » # , 5,5

V — 1,00 + —J

nt¹ ’

Leichte Wagen    p‘ — 0,90 +

0,2 ^ 0,3

пГ '

Es ist nun aber recht wohl möglich, dass die Belastung der Strecke AE, wobei CE etwa lm beträgt, mit Menschengedränge noch ungünstiger

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

22

wirkt. Setzen wir die Belastung durch Menschengedränge pro Längeneinheit = p₃ und CE = Ъ, so wird jp'l= mithin

(h-ъу

21,

so wird

nls *

Setzen wir p* — 0,92 (0,4l pro auf 2,3m Breite), Ъ = lm,

38. p‘ — A -f- (p₃ — A) n -f-

В — 2p₃ b

Sehr schwere Wagen: p‘ — 1, 02 — 0,1 On -f-

18,2

0,92

nP *

39.

Schwere Wagen :.... p' — 1,00 — 0,08n -f

7,7 . 0,92 l ⁺ nl* ¹

Leichte Wagen:

p' = 0,90+0,02n + ^ß- +

V

0,92

nl² *

Bei sehr schweren und schweren Wagen wird für die Mitte (n = 0,5) die einseitige Belastung mit Menschengedränge ungünstiger, wenn bezüglich l c 94m und 114m ist ; bei anderen Querschnitten (n <; 0,5) würde die Grenze noch höher liegen. Bei leichten Wagen ist die einseitige Belastung mit Menschengedränge immer ungünstiger. Dies kann sich ändern, wenn die Belastung durch Menschengedränge kleiner als 0,4* pro □ Met. angenommen wird.

An den Enden, an denen in der Strecke A C keine Belastung liegen kann, bleibt die Formel 29 giltig; nach derselben wird:

20,0

Sehr schwere Wagen: p‘ = 1,02 (1 — n)-f--

Schwere Wagen :

40.

p= 1,00)1    n>+-<⁵',

Leichte Wagen:

p = 0,90 (l-n) + ^.

Für Zj = lm oder n = geben die Ausdrücke 39 und 40 gleiche

Werthe für p‘‘, an dieser Stelle geht die Hyperbel, welche p‘ nach Formel 38 darstellt, tangential in die Gerade, welche p‘ nach Formel 40 darstellt, über. In folgender Tabelle sind hiernach die Werthe p₀ und

px für p‘ an den Enden und in der Mitte, sowie die Verhältnisse —

Po

zusammengestellt :

Sehr schwere Wagen Schwere Wagen Po Pt —

Leichte Wagen

Po

Pt

Pt

Po

Po

Po Pt

P,

Po

гЧ Кч

oicoQooitKOjîoi-iKi

CiCiOCOCOCiOOiCO

J-4 J-Ч J-4 J-Ч J-l J—ч Jo Jo JUs kîoteCoC^oiCiOsC) Oi Jno "Cs Oi î\o Co ÎO Ol Ino

2,81 0,93 2,19 0,93 1,93 0,94 1,60 0,95 1,44 0,95 1,28 0,95

0,95

1,15 0,95 1,09 0,95

J-l J-l J-l J-Ч J-4 J-Ч J-l J-l J-l

"со "кч "ki "ьч "tO "do Îk СО со

Oî,<0,ÎNOCiH4.ÎO<JOOsOi

J-Ч J-Ч J-Ч J-l J-* J-ч J-ч J-ч J-ч """""" "os "к- "к?

ел оо Oi

I—Ч ÎN0 Ol >С

Ci со ЧЦ 1-1 со со со со

со со со 50 СО JOO о jc> j2> СОСОСОСОСОСОСОСОСО OiOiOiH^OoloKiKiCO

J2> JC> JS J£> J-i j-i j-i j-i

"со "со "со "со "со "о "о "f-Ч Ind

*OH*-OlOsCOtOQoHKO} _Q> J2> JO JCO J2> JCO J-ч J-i J-i

"со "со "со "со "со "со "со 'со м.

ÏO<050oH4.COvîK4W4K4

Kl CO Jö JC> JC> JCO JC> J2> J2>

"CO СО со "со "со "со "со "со Оо COCOCoOoKJOlCuKlGo

§. 169. Das abgestumpfte Dreieck als Einflussfigur.

Wir wollen hier zunächst die im vorigen Falle angewendete Methode der Zurückführung auf das rechtwinklige Dreieck anwenden. Wir nehmen an, dass das vordere Rad bei F (Fig. 53, S. 37) stehen müsse. Alsdann können wir

Г = px . /\BFF‘ — pq . /^E'F'F“ — p₃ . Д D'F“F setzen, wenn wir die für die drei genannten Dreiecke nach dem Gesetze des rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmenden gleichwerthigen Belastungen mit px, pq, p₃ bezeichnen. Wir wollen nach den Formeln 11 und 12 für CF — X

px = А +

X -f- il»

Рз — А + —

—e.

setzen. Es ergibt sich ferner leicht, wenn man e, -{— e₂ = e einführt,

Д.BFF‘ =

(lq-\-x)qh

2lq

, /\EJF'F“ = 4—

(x 4- eq)'²lhex

2lxlqe

(x — ex)41ieq 2ltlqe

Die Einsetzung gibt 2Y11

-—= [A (Jz -f-    + В (?2 -f- #)3 lx — [Ax (x² -f- e, e₂) -f- Bx x] l.

Setzt man den Differentialquotienten von Y nach x — 0, so erhält man denselben Werth von x, wie für die dreieckige Einflussfigur nach Formel 27. Bezeichnet man den Werth von Y für die dreieckige Einflussfigur mit Y\ so wird demnach sehr einfach

41. Y =Y‘ — A,

Es ergibt sich ferner

et e„ IM

lx la 2

42. F =

4-ff)-

22*

43. p — p‘ —

Für e, = eq = j e, lx — ni, lq = (1 — n) l wird

44. p — p‘ —

(A -P ) g*

An (1 — ri)l² — e*

Die Abweichung von p gegen p\ welche theils positiv, theils negativ ausfallen kann, ergibt sich hiernach bei den in der Regel vorhandenen

kleinen Werthen von

nur klein, so dass für die praktische Anwendung

wohl p — p' gesetzt werden kann. In der Regel wird es sich nicht um die Bestimmung von p, sondern von Y handeln, welche am besten nach Formel 41 erfolgen wird. Ist dies Moment für einen beliebigen Querschnitt eines Einzelträgers unter Voraussetzung von Querträgern zu bestimmen, so wird man, der Formel 41 entsprechend, von dem nach der Formel 24 berechneten Werthe von M noch j Ахехеа abzuziehen haben, da hier h — ¹-Ф zu setzen ist.

§. 170. Vieleckige Einflussflgur. Beim beliebigen Vielecke kann die Bestimmung der gleichwerthigen Belastung auf Grundlage des rechtwinkligen Dreiecks in gleicher Weise erfolgen, wie beim Dreieck. Man wird hier zunächst diejenige Seite DE (Fig. 56, S. 39), innerhalb welcher der Kopf H des Zuges liegen wird, durch Schätzung zu bestimmen haben. Bezeichnen wir nun die Längen BH, FH} GH,... mit I, xlt #2,... die Neigungswinkel der Seiten BC, CD, DE,... gegen AB mit a, ax, a₂,... und nehmen wir an, dass beim rechtwinkligen Dreiecke bei den Längen £, xx, #₂... bezüglich p £ = A £ -j- B, pxxx = Atx -}- Bt, p₂x„ = Aaxa + B„,... zu setzen sei und setzen wir noch tan а = r, tana — tanax — tx, tanax — tana₃ = tS)... so ergibt sich leicht, dass das Maximum von Y eiutritt für

45. X — —

Br — Bx t, — B„t₉ —... + 2 (Ax ax tx -f A^a^Ą-...) 2 {At — Axtx — A„t„ —...

und zwar wird das Maximum von Y

,v ;

mithin, wenn man Y‘ =

к*

Ihp' setzt,

46. Y= I (Л.а.Ч + Ля.Ч +•••) + J    +    +...)

[Br — Bx tx — B„tg —...4~ 2 {A, axtx -[- A^a^t^ 4~• > • )]2 8 {Ar — Axtx—A₃t^—...)

Indess wird wohl selten von diesen Formeln Anwendung zu machen sein.

Bei gewissen Trägerformen (Dreigelenkträger) kann die viereckige Einflussfigur in der Form Fig. 250 Vorkommen. Bei kleinen Längen

wird hier die Bestimmung in der eben gezeigten Weise zu ungenau und bei grossen Längen wird der Kopf des Zuges gewöhnlich in die Seite CD fallen; dann aber hat Y ganz denselben Werth, wie für das Dreieck ВСЕ. Ist die gleichwerthige Belastung für die Flächen AD CB und ВСЕ bezüglich p, p⁴, der Flächeninhalt dieser Figuren F, F', so ist dann also Y = F'p¹ = Fp, also

Г⁴

47. p — p‘— .

Wenn das Polygon in eine Kurve übergeht, so ist t = ~~idx

zu setzen und es wird alsdann, wenn A und В in der ganzen Ausdehnung denselben Werth hat,

Fig. 250.

A J]

/V

Hi

48. Г —

X (Ах -f- B)dx.

Haben A und В zwei verschiedene Werthe, so müsste das Integral in die entsprechenden zwei Theile zerlegt werden.

Bei statisch unbestimmten Systemen bildet die Einflusslinie nach §. 20 ebenfalls ein Polygon, wenn sich die Last nur an bestimmten Punkten (durch Querträger) auf die Konstruktion übertragen kann. Allein hier kann man die Polygone in der Begel mit grosser Annäherung durch Kurven vertauschen, die wir im Folgenden noch behandeln werden.

Die Polygone, welche bei mehrtheiligen Gittersystemen Vorkommen, bedürfen einer besonderen Behandlung, auf welche wir hier indess nicht eingehen wollen.

§. 171. Symmetrische Parabelfläche als Näherungsform der bei verschiedenen statisch unbestimmten Systemen vorkommenden Einflussfiguren. Bei der ungünstigsten Belastung liegt hier der Schwerpunkt der Belastung in der Mitte, oder, falls dies bei der gegebenen Belastung nicht möglich ist, der Mitte möglichst nahe. Es wird hier, wenn x den Abstand einer Last von der Mitte bezeichnet (Fig. 251)

Fig. 251.

FU

Ft.

Y= hlzG-p

2(Gz*)\

2lh'

1. Eisenbahnbrücken. Für den von uns angenommenen Eisenbahnzug ergibt sich bei Längen über 50m die ungünstigste Entfernung der vorderen Last vom nächsten Ende =0,171 bis 0,121, genauer 0,091 -f- 4m. Bei einigen Längen ergibt sich durch genaue Berechnung das folgende Verhältniss der gleichwerthigen Belastung

p zu den gleichwertigen Belastungen px und p₀ für das gleichschenklige und rechtwinklige Dreieck:

1=5    10    15    20    30    50    75    100    150    200    Met.

2- = 0,94    0,87    0,90    0,94    1,00    0,96    0,97    0,99    1,01    1,01

P\

Po

P = 0,83    0,72    0,75    0,80    0,85    0,85    0,83    0,83    0,86    0,86.

setzen können.

Man wird hiernach bei Längen von 15 bis 150м durchschnittlich 49. p = 0,96 px — 0,82 p₀

Wenn man hier die im vorigen Paragrafe befolgte Bestimmung an wendet, so ergibt sich, falls man für l < а : pl = Axl 4- Bx, für l > a aber pl = Al -j- В setzen kann und wenn der Kopf des Zuges vom rechten

Ende den Abstand £ hat, indem man = y- setzt,

¥'

Für kleine Längen ist а = 0 und At, Bx für А, В einzuführen. Setzt man die den Formeln 11 entsprechenden Werthe von а, А, B, Av Bt ein, so findet man, dass p zum Maximum wird für

t kleine Längen:    £² — (l — 6,74) £    = 3,37ly

Igrosse Längen:    £² — (l — 34,72) £    = 17,361.

Annähernd ergibt sich hiernach für kleinere Längen l — £ = 3,37— у

für grössere Längen l — £ = 17,3 — hiernach wird l — £ = 0,141

bis 0,241. Die spezielle Berechnung gibt:

1 =    5    10    15 20 30    50 75 100 15b    200 Meter

p =    7,46    5,56    5,05 4,85 4,69    4,38 3,43 3,15 2,97    2,91 Ton. pro Met.

Bei grösseren Längen zeigt sich mit den genauen Werthen eine leidliche Uebereinstimmung.

2. Strassenbrücken. Wenn wir zunächst eine blosse Besetzung mit Wagen annehmen und für das rechtwinklige Dreieck pl = Al-\-B setzen, so gibt die Formel 50, wenn man A, = А, Bx = В und £ = I — £, setzt,

3(B~ A£,)£,

(.3B-2AÜx)t.*

52. p = A -f-Sonach wird p zum Maximum für

53.    g, =

-j\l +

к fcö

wenn man

Die Einsetzung gibt nach entsprechender Zusammenziehung, zur Abkürzung В = h . Al setzt,

54.    p = ^ [1 — F + (1 -f &²) УГ^ТЩ.

man

Indem man für h verschiedene Zahlenwerthe einfübrt, findet als Näherungsregel p — ^ A (1,94 -f Tc) oder

55. p= 0,97 A+ 0,50

c

Wenn man dagegen annimmt, dass auf der linken Seite die Strecke mit Menschengedränge und auf der rechten Seite die Strecke g = I — g, mit Wagen besetzt ist, so kommt zu dem Ausdrucke 52

noch ^ (I, —b)² (31 —- 2^ -f- 2b) hinzu. Es wird alsdann p zum Maximum für

- 5 A g, (I - g, ) + В (I - 2g, ) + 2p₃ (g, - 6) (l -1, + Ъ) = 0

^ - (>> +

Hiernach wird für p₃ = 0,92 und b = 1,0:

Sehr schwere Lasten : g,² — (I -j- 182) g, -f- (90,81 — 9,2) — 0, Schicere Lasten:

.Leichte Lasten:.

Hierdurch ergeben sich als Näherungsregeln durch numerische Anwendung auf einzelne Werthe für l bezüglich gt = 2,2 -f- 0,361, gt = 2,4 -f- 0,291, g, = — 3,7    0,731 oder weniger genau g, = 0,421,

I, — 0,371, g, = 0,621. Diese letzteren Zahlen kann man recht wohl einführen, da der Werth von p sich nur wenig verändert, wenn man gx in der Nähe des ungünstigsten Werthes von g, etwas ändert. Man erhält hierdurch als Näherungsregeln

13 3

Sehr schwere Lasten : p — 0,98 -J- -——

t

57: Schwere Lasten :... p — 0 98 -j-

oder

56.

В — 2р₃Ь\ g * /

А—ря

В l — 2ря Ъ (I -f- b)

2 (А — Р₃)

= о.

У - (I + 97) g, + (48,51 - 11,5) = О, g,² — (I — 88) g, — (44,01 — 46,0) — О.

= 0,96 А + 0.67 у,

= 0,98 А + 0,57Ę--

Leichte Lasten:.... p = 0,92 -|-    =1,02 А + 0,36

I    ъ

Bei sehr schweren und schweren Lasten würde hiernach die theil-weise Besetzung mit Menschengedränge immer ungünstiger sein; bei leichten Lasten ist dieselbe nur bei Längen über etwa 10m ungünstiger.

Ein bestimmtes Verhältnis von p zu dem px für das gleichschenklige Dreieck lässt sich hier weniger gut angeben, wie bei Eisenbahnbrücken, da dasselbe etwa zwischen 0,83 und 1,00 schwankt.

In Fig. 252 sind vier Kurven mit den Gleichungen:

1.

y = h(i —

4.

3. у

dargestellt. Dieselben entsprechen 1. einer Parabel, 2. dem Horizontalschube eines flachen

parabolischen Bogen konstanten Querschnittes mit Kämpergelenken ; 3. der Durchbiegung eines Einzelträgers konstanten Querschnittes in der Mitte; 4. dem Horizontalschube eines flachen parabolischen Bogens konstanten Quer-s    Schnittes ohne Gelenk. Für dieselben ergibt

sich beispielsweise bei einer Länge von 20m für den von uns angenommenen Eisenbahnzug: 3. F = 12,50h, p = 4,925,

Fig. 252.

у*

<-

-JC-

1. F — 13,33 h, p= 4,897,

<_■

2. F =12,80 h, p = 4,908,

4. F = 10,676, p — 4,964.

Die Abweichung von p bei 2, 3, 4 gegen den der Parabel entsprechenden Werth beträgt nur 0,2 0,5 1,3 Prozent. Man wird daher die für die Parabel aufgestellten Begeln mit ziemlich grosser Näherung auch bei andern ähnlichen Kurven verwenden können.

Fig. 258.

ESN

г=*[ге-

§. 172. Einseitige Parabelfläche. Wir betrachten diese Figur (Fig. 253) nur, weil sie die Grenzform einer unsymmetrischen Parabelfläche bildet. Die ungünstigste Belastung ist hier dieselbe, wie beim entsprechenden rechtwinkligen Dreieck AA'B. Es ergibt sich hier 3Y <

21 h

(Gar)l, p =

1. Eisenbahnbrücken. Für den angenommenen Lastenzug gibt die genaue Berechnung für einige Längen:

Ï =    5    10    15    20    30    50    75 100 150 200 Met.

= 0,90 0,90 0,91 0,93 0,95 0,94 0,94 0,95 0,96 0,96 Für l = etwa 18 bis 125 Met. kann man hiernach durchschnittlich

setzen :

58. p — 0,94p₀.

Unter Anwendung der für das rechtwinklige Dreieck aufgestellten Näherungsregeln ergibt sich hier leicht, wenn A, A^ B, Bx,a die Bedeutung wie im vorigen Paragrafe haben,

6i.

I > 40m : p = 2,84 -f-

94,0    27200

+ p •

Kleinere Längen ausgenommen, ist die Uebereinstimmung mit den genauen Werthen eine leidliche.

2. Strassenbrücken. Die Kegel 60 gilt auch hier, wenn man nur Besetzung mit Wagen annimmt, welche hier im Allgemeinen die ungünstigste ist; es wird also

3B

41 '

ЗВ

59. p — A 4-

§ (4-4)£+!(i»-Ąj£

und wenn Z < a ist,

ЗВ,

60. ^ = Ах 4-

Die Einsetzung der den Formeln 11 entsprechenden Zahlenwerthe gibt

40m: p = 4,54 -f

z<

4? •

23,0

62. p = A -f-

Der Vergleich mit den Kegeln 57 zeigt, dass p im Allgemeinen etwas grösser wird, als für die symmetrische Parabel. Der Unterschied ergibt sich für l =10 20 50 100 150m bezüglich für sehr schwere Lasten 9 7 6 5 4, für schwere Lasten 12 8-5 4 3 und für leichte Lasten 20 9 2 10 Prozent.

§. 173. Unsymmetrische Parabelfläche. Wie für die symmetrische Parabelfläche würde man die Behandlung auch für eine durch zwei Parabeln mit verschiedenem Parameter und gemeinschaftlicher Tangente begrenzte Fläche (Fig. 254) durchführen können, um damit Näherungsregeln für ähnliche, bei statisch unbestimmten Systemen vorkommende Figuren zu erhalten. Zwei Grenzfälle dieser Figur bilden die in den beiden vorigen Paragrafen behandelte symmetrische und einseitige Parabelfläche. Da die gleichwerthigen Belastungen bei diesen Grenzfällön nicht sehr verschieden sind, jedenfalls viel weniger verschieden, als bei dem entsprechenden Dreieck ACB und ausserdem der Punkt C bei den vorkommenden Fällen von der Mitte nicht Iviel abweicht (AC beträgt etwa 0,31 bis 0,51), so wird man in allen Fällen diejenige gleichwerthige Belastung einführen können, welche der symmetrischen Parabelfläche entspricht, man wird also die Regeln 49, 55 und 57 auch hier als Näherungsregeln anw.enden können.

Beispiele.

1. Die Einflusslinie für das Moment im ersten Felde eines kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes mit zwei gleichen Feldern in Beziehung auf den

Querschnitt mit der Abscisse x = 0,9b hat auf der linken Seite des Querschnittes für die Last 1 und die Spannweite b nach §. 110 die Gleichung (Fig. 254):

9_ & 5 b¹

I (* “

Hiernach wird у = 0 für x = 5b = 0,745 b und y zum Maximum für 1/ 15b = 0,430b. Der Flächeninhalt bis zum Nullpunkte ergibt sich zu

Fig. 254.

F = A b. Für b = 40m wird die Länge 288

dieser Einflussfigur l = 0,745.40 = 29,80. Für den von uns angenommenen Eisenbahnzug ergibt ich durch genaue Bestimmung das Maximum der

25

Einflussgrösse zu 3,329A und F=-^ A—0,694A;

daher wird die gleichwerthige Belasteng pro Meter :

C    <——X—Q    p _ ³>³²³ — 4 уд?

P 0,694    '    *

Für die symmetrische Parabel mit der Gleichung

ergibt sich bei derselben Länge 1 = 29,80™ das Maximum der Einflussgrösse —95,64h.

95,64 19,87

Da F =

во| to

Ih = 19,87h ist, so wird p =

= 4,813, also nur 0,4 Prozent

grösser.

2. Die Gleichung der Einflusslinie für das Stützenmoment eines kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes ist nach §. 69, wenn der Abstand beider Fixpunkte

von den Stützen =0,21 ist (Fig. 255):

Fig. 255.

V = A f (³ - т) ~ f )•

Hiernach wird y zum Maximum für x = 0,3841-, bei x = 0,8l liegt ein Wendepunkt. Der Flächeninhalt ist F =0,15Al. Die genaue Bestimmung gibt für unseren Eisenbahnzug bei einigen Spannweiten folgende Resultate:

10    20    30    50    75    100    150 Met.

Symmetrische Parabel: p = 9,59 5,70    4,91    4,79    4,05    3,49    3,20    2,94

p = 9,69    6,21    5,10    4,84    4,22    3,62    3,33    3,03

1,0    8,8    3,7    1,0    4,1    3,7    3,9    3,5 Proz

Stützenmoment:

Unterschied....

so dass auch hier der Unterschied im Allgemeinen nur klein ist.

§. 174. Parabeldreieck mit einer geraden Grundlinie und zwei parabolischen Seiten als Näherungsform für verschiedene bei statisch unbestimmten Systemen auftretende Einflusslinien.

1. Tangirende Parabeln. Wir setzen zunächst voraus, dass die Parabeln die Axe A und В (Fig. 256) mit ihren in A und В liegenden Scheiteln tangire. Bei der gefährlichsten Belastung sind die schwersten Lasten in der Nähe von G zu konzentriren und eine Last nach G zu verlegen. Man kann ausserdem noch den Satz aufstellen, dass die statischen Momente der in AG und B G liegenden Lasten für A und Б, dividirt durch die Quadrate von AG und B G möglichst gleich sein sollen; gewöhnlich ist die ungünstigste Belastung dieselbe, wie beim entsprechenden Dreiecke AG'B. Es wird nun

r=^2(e,V) + £.2(<W), p = ^,

wenn die in AG und BC liegenden Lasten Gx, von A und В die Abstände xx, a>₂ haben.

zusammen-

a) Eisenbahnbrücken. Die für einzelne Längen durch genaue Berechnung unter Voraussetzung unseres Eisenbahnzuges bestimmten Verhältnisse der Werthe von p gegen die Werthe von p' für das entsprechende Dreieck A'GB sind in folgender Tabelle gestellt :

Meter

sî

- ^

'S ii

«к

'От

О,

kkkkkkkkkk

ч'чч'ч'ч'ч’чччч

h4lsikkkkk}<i^o^

kkiOîoOto^OO^Çi

h* > ^ ^    ^ ^ ь* ^

OkkkOkktoiak

kkkKiKikikikiKik

■4 ■ч ч >    > ч > ч >    >

OOkkOkk^fok

^(OOOOokOjkCck

1,16

1,21

1,18

1,16

1,12

1,06

1,07

1,09

1,10

1,09

1,13

1,20

1,12

1,23

1,17

1,14

1,06

1,09

1,11

1,12

1,07

1,22

1,26

1,19

1,11

1,08

1,09

1,13

1,14

1,07

Hiernach kann man für Längen .von 20 bis 150m durchschnittlich

63. p = 1,10p'

setzen und zwar erhält man hierdurch p bis auf mindestens 3,5 Prozent genau. Für kleinere Werthe von l erhält man hiernach aber p etwas zu klein. Eine einfache Gesetzmässigkeit ist hier überhaupt nicht aufzustellen. Berechnet man p nach der Regel

64. p = (1,36 — 0,0131) p',

so erhält man p für Längen über 7,5m bis auf mindestens 4,5 Prozent genau.

b) Strassenbrücken. Ganz entsprechend den für das Dreieck gütigen Regeln 34 und 38 ergibt sich hier mit Berücksichtigung der Formel 48, wenn А, В, Bx, GXf n, ря, Ъ dieselbe Bedeutung haben, wie dort und wenn ein hinteres Wagenrad, betreffendenfalls das des

schwersten Wagens, in G liegt und zwar 1. wenn der Theil AG auch mit Wagen besetzt ist,

65. p = A -f-

3 (B — B,) , 3G_ nl² ’

21

wonach in den Formeln 37 18,8 3,0 0,3 statt 12,5 2,0 0,2 und 10,5 10,5 0,9 statt 3,5 3,5 0,3 zu setzen sein würde; und 2. wenn die Strecke AG — Ъ — Z, — b mit Menschengedränge besetzt ist,

3 (B — 2 р₃Ъ) ₍ Зр₃Ъ* р₃Ъ3 пР пЧ* ’

wonach in den Formeln 39 27,3 11,6 2,7 statt 18,2 7,7 1,8 und

2,76 {l — statt 0,92 zu setzen sein würde.

Für die Enden, an denen in der Strecke AC keine Belastung liegen kann, ergibt sich entsprechend den Regeln 40:

67. p = A(l — n)+3B

66. p — A -t- (A — p₃) n -f

21

21 ‘

2. Nichttangirende Parabeln. Wenn nun die Parabeln die Axe AB nicht tangiren (Fig. 256), so lässt sich die gleichwerthige Be-

Fig. 256.

lastung annähernd durch Interpolation zwischen dem Dreieck АО В und der

.'ÄN

Parabelfläche mit tangirenden Parabeln bestimmen. Bezeichnen wir die vertikale Höhe der Parabeln in der Mitte von A G und B G bis zur Sehne AG¹, BO ge-jg messen, indem wir diese Höhe auf beiden Seiten als gleich voraussetzen, mit c, den Werth von Y für das Dreieck AG*B mit Y¹, für die tangirenden Parabeln mit Y“, so ist annähernd

ли

и/ j /jyj

iii

ABC

Y = Г — 4 (Y* — Y") ~ ,

weil für с = 0 Y = Y⁴ und für с = j- h Y = Y“ werden muss. Setzen wir Y⁴ = j llip⁴, Yu = j Uip", Y = Fp = j Ih ^3 erhält man

4^)p, so

68.

P =P⁴ +P"

3h — 4 c ’

oder, wenn wir F — ^ Ih ^3 — 4 j), also ^ — j — Jyyt setzen,

7 h

69. p — 3p‘ — 2p“ +

F (p‘‘ — p ).

Setzt man für Eisenbahnbrücken, entsprechend der Formel 63: pu = 1,1p⁴, so wird

70. p =

P (-* +

8,8 c

37i — 4c

)=p‘(o,8+0,l ~).

Es passt diese Regel selbst noch für den Fall, dass c negativ ist. Für die Form Fig. 254 wird F = f lh, also nach Formel 70 p — 0,9op\ was mit der Formel 49 nahezu übereinstimmt.

Beispiel. Das im vorigen Paragrafe hinsichtlich des negativen Theiles der Einflussfigur durchgeführte Beispiel 1 wollen wir noch hinsichtlich des positiven Theiles durchführen. Die Gleichung der Einflusslinie ist für die linke Seite des Querschnittes (von x — 0,745 b bis x = 0,9b):

0,lâSA^(l-l,eÇ^

У = —

und für die rechte Seite (von x = 0,9b bis x — b):

y=A (o,9 - 1,12-, 14- 0,225

Die grösste Höhe (für x=0,9b) wird 0,0515 A. Der Flächeninhalt ergibt sich durch Integration zu F = 0,00612Ab — 0,2448A. Die Länge der Einflussfigur ist (.1 — 0,745) 40 — 10,20m.

Das Maximum von Y tritt ein, wenn eine Last von je 13 Ton. bei x = 34,7 36,0 37,3m und eine Last von 9 Ton. bei x = 30,7m liegt. Der entsprechende Werth

1,656

von У ist = 1,656 A. Daher wird der entsprechende Werth von p Nach Formel 11 und 23 wird

p₀ = 4,54 + Щ = 7,54, p‘ = 7,54 (l — 0,56

4,0    6,2

' 10,2 ' 10,2

) = 6,53,

0,2448

= 6,76.

also nach Formel 70:

p — 6,53    + 0,1 .

10,20 . 0,0515

0,2448

6,63,

d. i. nur 2 Prozent kleiner, als der genaue Werth.

KRAKÓW

Bezeichnungen,

welche gewöhnlich gebraucht sind.

A, B, C (A, B, C, D in §. 95) Koeffizienten.

C, C¹, C" von der Form des Trägers abhängige Koeffizienten (Formel 6, S. 94).

D Stützendruck.

E Elastizitätskoeffizient.

F Querschnittsfläche, Flächeninhalt der Einflussfigur.

G Einzellast.

H Polweite, Horizontalspannung.

I Trägheitsmoment des Querschnittes für die auf der Kraftebene senkrechte Schweraxe.

M Moment der äusseren Kräfte für einen Querschnitt (§. 27).

Л/,,    M“ Stützenmomente.

Q Transversalkraft (§. 27).

В Resultante mehrerer Lasten.

S Statisches Moment einer Fläche (§. 55).

T Spezifische Schubspannung (§. 55).

Y Einflussgrösse (§. 19—26).

2) Stützendruck für den Fall einer Unterbrechung des Trägers an den Stützen. 2)t Moment der äusseren Kräfte beim statisch bestimmten Träger.

ÜDP, 2JÎ' von Ш abhängige Grössen (Formel 6, S. 94).

О Transversalkraft beim statisch bestimmten Träger.

a Abstand der Gelenke beim Gelenkträger von den Stützen. b Abstand der Gelenke beim Gelenkträger unter sich. a, b Abstand der Fixpunkte von den Stützen (§. 67). c Abstand der Fixpunkte unter sich. g Eigengewicht pro Längeneinheit. h Höhe des Querschnittes; Höhe der Einflussfigur. к Koeffizient (§. 57, 93, 95).

I Stützweite, im XX. Kap. Länge der Einflussfigur. m, n Zeiger (Indices) und Verhältnisse. p Verkehrslast oder zufällige Last pro Längeneinheit. g Beliebige Last oder Gesammtlast (gĄ-p) pro Längeneinheit. t Temperaturänderung.

X Abscisse.

y Höhe des Seilpolygons, Ordinate der elastischen Linie, Abstand der Stützen von einer Horizontalen.

«, ß, y von der Form des Trägers abhängige Koeffizienten (§. 97). d Dicke des Steges beim I-förmigen Querschnitt (§. 61). f Ausdehnungskoeffizient für die Wärme. y. Koeffizient (§§. 55 und 95).

у, г Verhältnis der auf einander folgenden Stützenmomente bei unbelasteten Oeffnungen (§. 65).

a Statisches Moment einer Fläche (§. 70).

T Neigung der Stützenquerschnitte gegen die Vertikale. t' Neigung der Stützentangente gegen die Horizontale.

Ś Abstand einer Einzellast oder des Endes einer gleichmässigen Belastung von einem Punkte.

/t Differenzzeichen.

H Summenzeichen.

Ж Zeichen für „möglichst gleich“ (§. 24, 25, 39, 40).

Literatur.

Nach der Zeit geordnet. Bei Werken mit mehreren Auflagen ist die erste Auflage als massgebend für die Reihenfolge anzusehen.

I. Einzelne Werke.

1.    Rebhann. Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Wien 1856.

2.    SchefFIer. Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken.

Braunschweig 1857.

3.    Mollinos et Pronnier. Traité théorique et pratique de la construc

tion des ponts métalliques. Paris 1857.

4.    Laissle und Schübler. Der Bau der Brückenträger mit besonderer

Rücksicht auf Eisenkonstruktionen. Stuttgart, I. Aufl. 1857. IY. Aufl. 1876.

5.    Bresse. Cours mécanique appliquée proffessé à l'école impériale des

ponts et chaussées. Seconde partie. Paris 1862.

6.    Culmann. Die grafische Statik. I. Aufl. Zürich 1866.

7.    Grashof. Die Festigkeitslehre. I. Aufl. Berlin 1866. — H. Aufl.

unter dem Titel: Theorie der Elastizität und Festigkeit. Berlin. 1878.

8.    Winkler. Dje Lehre von der Elastizität und Festigkeit. Prag. 1867.

9.    Collignon. Cours de mécanique appliquée aux constructions. Paris

1869.

10.    Ott V. Die Grundzüge des grafischen Rechnens und der grafischen

Statik. I. Aufl. 1870. IV. Aufl. 1885.

11.    Leygue. Etude sur les surgarges à considérer dans les calculs des

tabliers métalliques d'après des conditions générales d'exploitation des chemins de fer. Paris 1871.

12.    Ritter W. Die elastische Linie und ihre Anwendung auf den kon-

tinuirlichen Balken. Ein Beitrag zur grafischen Statik. Zürich. I. Aufl. 1871. II. Aufl. 1883.

13.    Bauschinger. Elemente der grafischen Statik. München. I. Aufl. 1871.

II. Aufl. 1880.

14.    Ott V. Yorträge über Baumechanik. II. Theil. Prag. I. Aufl. 1872.

II. Aufl. 1878.

15.    Weyrauch. Allgemeine Theorie der kontinuirlichen und einfachen

Träger. Leipzig 1873.

16.    Levy. La statique graphique et ses applications aux constructions.

Paris 1874.

17.    Greene. Graphical method for the analysis of bridge trusses ex-

tented to continuous girders and draw span. New-York 1875.

18.    Tetmayer. Die äusseren und inneren Kräfte statisch bestimmter

Brücken und Dachstuhlkonstruktionen. Zürich 1875.

19.    Jay du Bois. The elements of graphical statics and their appli

cation to framed structures. New-York. I. ed. 1875. II. ed. 1877.

20.    Ritter A. Lehrbuch der Ingenieur-Mechanik. Hannover 1876.

21.    Merriman. On the theory and calcidation of continuous bridges.

New-York 1876.

22.    Böhlk. Statische Berechnung der Balkenbrücken einer Oeffnung.

Hannover 1877.

23.    Loewe. Grundzüge zu Vorlesungen über eiserne Balkenbrücken.

München 1877.

24.    Eddy. Researches in graphical statics. New-York 1878. (X. The

continuous girder with variable cross section.)

25.    Holzhey. Yorträge über Baumechanik. Wien 1872—1879.

26.    Kj*ohn. Resultate aus der Theorie des Brückenbaues und deren An

wendung , erläutert durch Beispiele. I. Theil. Balkenbrücken. Aachen 1879.

27.    Müller-Breslau. Elemente der grafischen Statik der Baukonstruktionen.

Berlin 1879.

28.    Castigliano. Théorie de Véquïlïbre des systèmes élastiques et ses ap

plications. Turin 1879.

29.    Stelzel. Theorie einfacher, statisch bestimmter Brückenträger.

Wien 1880.

30.    Chalmers. Graphical determination of forces in engineering struc

tures. London 1881.

31.    Handbuch der Ingenieurwissenschaften. IL Bd. Der Brückenbau.

Herausgegeben von Schaffer und Sonne. Leipzig 1882. (Frankel, bewegliche Brücken. Steiner, Konstruktion der eisernen Balkenbrücken.)

32.    Herrmann. Die Statik der Bauwerke. (Y. Aufl. von Weisbachs

Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinenmechanik, I. Abth. des II. Theiles.) Braunschweig 1882.

23

Winkler’s Brückenbau. Theorie. I. Heft.

354

33.    Landsberg. Die Statik der Hochbaukoiistruktionen. Im Handbuche

der Architektur. I. Th. I. Bd. Darmstadt 1883.

34.    Göbel. Theorie der Maximalmomente einfacher Träger. Mainz 1883.

35.    Wittmann. Statik der Hochbaukonstruktionen, II. und Ш. Theil.

München 1882 und 1884.

36.    Nehls. Der einfache Balken auf zwei Endstützen unter ruhender

und beweglicher Last. Auf Grundlage der Methode der grafischen Differenziation und Integration. Hamburg 1885.

37.    Weyrauch. Aufgaben zur Theorie elastischer Körper. Leipzig 1885.

II. Artikel in Zeitschriften.

a) Statisch bestimmte Träger.

1.    Schmidt H. lieber die Bestimmung der äusseren auf ein Brückensystem wirkenden

Kräfte. Forster’s Bauz. 1866.

2.    Heinzerling. Das Vertheilungsgesetz der grössten einseitigen Belastung über

Brückenträger. Zeitschr. f. Bauw. 1867.

3.    Vojacek. Grafische Bestimmung der Biegungsmomente'an kurzen Trägern. Zeitschr.

des Ver. deutscher Ingen. 1868.

4.    Cotteril. On the graphical construction of bending moments. Engineering

1869. (VII.)

5.    SchäfFer. Hilfssätze zur Berechnung der Fachwerksträger. Zeitschr. f. Bauw. 1870.

6.    Winkler. Theorie der äusseren Kräfte gerader Träger. Zeitschr. d. österr. Ingen. -

u. Arch.-Ver. 1870.

7.    Housselle. Zur Eintheilung der Balken mit freiliegenden Stützpunkten. Deutsche

Bauz. 1872.

8.    Loewe. lieber variable Belastung der Eisenbahnbrücken. Zeitschr. d. bair. Arch.-

und Ingen.-Ver. 1874.

9.    Schuster. Bestimmung der Maximalmomente von Eisenbahnbrucken für koncen-

trirte Belastung. Zeitschr. f. Bauw. 1875.

10.    Heinzerling. Belastuugsäquivalente zur Bestimmung der durch fortschreitende Eisen

bahnzüge erzeugten grössten Vertikalscheerkräfte. Zeitschr. f. Bauw. 1875.

11.    Weyrauch. Die Maximalmomente èinfacher Träger bei festen und mobilen Last

systemen. Zeitschr. d. haunov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1875.

12.    Schaffer. Vergleich der Brückenbelastungen durch Lokomotivzüge mit gleich

förmigen Belastungen. Deutsche Bauz. 1876.

13.    Asimont. Die Berechnung des Tragbalkens mit koncentrirter Verkehrslast. Zeitschr.

der bair. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1876.

14.    Ritter W. Die zufällige Belastung bei Eisenbahnbrücken. Rigaer Industrie-Zeit. 1877.

15.    Wittmann. Die grafische Bestimmung der Maximalmomente einfacher Träger.

Zeitschr. d. bair. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1877.

16.    Kleitz. Sur la Substitution dans les calculs de stabilité de travées métalliques

supportent de voies de terre, de surcharges uniformément reparties à celles qui résultent du passage des plus lourdes voitures. Ann. des ponts et chauss. 1877. {XIV.)

17.    Stahl. Die Maximalmomentenkurve eines mobilen Lastsystemes. Zeitschr. d. Ver.

deutscher Ingen. 1877.

18.    Zimmermann. Das Momentenschema ; ein Hilfsmittel zur Abkürzung der statischen

Berechnung von Brückenträgern. Zeitschr. d. hannov. Arch.-u. Ingen.-Ver. 1877.

19.    Bresse. Note sur la détermination graphique des moments fléchissantes qui se

produisent dans une poutre à deux appuis simples, pendant le passage d'un convoi. Ann. des ponts et chauss. 1877. IL

20.    Scholin. Analytische Bestimmung des absoluten Maximalmomentes einfacher voll-

wandiger Brückenträger. Wochenschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-Yer. 1878.

21.    Stelzei. Ueber gefährlichste Belastung einfacher Träger. Zeitschr. d. österr. In gen.-

u. Arch.-Yer. 1878.

22.    Lachner. Beitrag zur grafischen Berechnung von Brückenträgern. DeutscheBauz. 1879.

23.    Baldermann. Die grafische Integration und ihre Anwendung auf die Statik der

äusseren Kräfte am einfachen Balken. Förster’s Bauz. 1881.

24.    Almquist. Ueber die grafische Bestimmung der Maximalmomente bei indirekter

Belastung. Civilingenieur 1884.

V) Kontinuirliche Träger.

1.    Köpke. Ueber die Dimensionen von Balkenlagern, besonders in Lagerhäusern.

Zeitschr. d. hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1856.

2.    Scheffler. Ueber die Vermehrung der Tragfähigkeit der Träger durch angemessene

Bestimmung der Höhe und Entfernung der Stützpunkte. Organ für Eisen-bahnw. 1857.

3.    Baensch. Zur Theorie der Brückenbalkensysteme. Zeitschr. f. Bauw. 1857.

4.    Clapeyron. Calcul d'une poutre [élastique reposant librement sur des appuis

inégalement expèces. Comptes rendus 1857.

5.    Grashof. Ueber die relative Festigkeit mit Rücksicht auf deren möglichste Ver-

grösserung durch angemessene Unterstützung und Einmauerung der Träger bei konstantem Querschnitte. Zeitschr. d. deutschen Ingen.-Yer. 1857. 1858. 1859.

6.    Mohr. Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. d. hannov.

Arch.- u. Ingen.-Ver. 1860.

7.    H. Kontinuirliche Brückenträger. Civilingenieur 1860.

8.    Winkler. Beiträge zur Theorie der kontinuirlichen Brückenträger. Civilingenieur 1862

9.    Quensell. Beitrag zur statischen Berechnung kontinuirlicher Balken und Anwen

dung auf die Berechnung der Drehscheiben. Zeitschr. f. Bauw. 1865.:

10.    Albaret. Etude des ponts métalliques à poutres droites reposant sur plus de deux

appuis. Ann. des ponts et chauss. 1866.

11.    Renaudot. Mémoire sur le calcul et le contrôle de la resistance des poutres droites

à plusieurs travées. Ann. des ponts et chauss. 1866.

12.    Frankel. Ueber die ungünstigste Stellung eines Systèmes von Einzellasten auf

Trägern über eine und über zwei Oeffnungen, speziell über Trägern von Drehscheiben. Civilingenieur 1868.

13.    Mohr. Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. Zeitschr. d.

hannov. Arch.- u. Ingen.-Ver. 1868.

14.    Schmidt H. Betrachtungen über Brückenträger, welche auf zwei und mehr Stütz

punkten frei aufliegen, sowie über den Einfluss der ungleichen Höhenlage der Stützpunkte. Förster’s Bauz. 1868.

15.    Lippich. Theorie des kontinuirlichen Trägers konstanten Querschnittes. Elementare

Darstellung der von Clapeyron und Mohr begründeten analytischen und grafischen Methoden und ihres Zusammenhanges. Förster’s Bauz. 1871. Auch als Separatabdruck.

16.    Pierre. Note sur l'application sur laquelle on peut comptes dans la méthode

actuelle de calcul des poutres à plusieurs travées. Ann. des ponts et chauss. 1876.

356

17.    Renoust des Orgeries. Mémoire sur les poutres droites. Ann. des ponts et

chauss. 1871. IL

18.    Poulet. Du soulèvement des poutres métalliques un-dessus des culées. Ann. des

ponts et chauss. 1872. II.

19.    Winkler. Theorie der kontinuirlichen Träger. Zeitschr. d. österr. Ingen.- u. Arch

Ver. 1872.

20.    Scholin. Geometrische Theorie der kontinuirlichen Träger. Mittheil. d. Arch.- u.

Ingen.-Ver. in Böhmen. 1873. 1874.

21.    Schlösser. Ueber kontinuirliche Träger von konstantem Querschnitte mit ungleich

förmiger Belastung. Deutsche Bauz. 1874.

22.    Lavoinne. De la répartition des charches sur les tabliers des ponts. Ann. des

ponts et chauss. 1874. I.

23.    Chorou. Calcul des moments fléchissants et [de flèches dans les poutres droites

métalliques à plusieurs travées. Ann. des ponts et chauss. 1874. II.

24.    Gaudard. Influence des dénivellations d'appuis dans les poutres à plusieurs travées

solidaires. Ann. du genie civil 1875.

25.    Schaffer. Belastungsgesetze für den geraden stabförmigen Körper von konstantem

Querschnitte. Zeitschr. f. Bamv. 1876.

26.    Bender. Application of the theory of continuous girders to economy in bridge

building. Transact, of the ameré soc. of civ. engin. 1876.

27.    Fouret. Détermination graphique des moments de flexion d'une poutre à plu

sieurs travées solidaires. Ann. des ponts et chauss. 1876. I.

28.    Kieitz. Note sur les calculs de stabilité des poutres continues, ayant des mo-

mentes d'inertie variables. Ann. des ponts et chauss. 1876. I. 1877. I

29.    Böhlke. Beitrag zur Theorie der kontinuirlichen Träger. Deutsche Bauz. 1877.

30.    Steiner. Einfluss der Temperatur auf kontinuirliche Träger. Wochenschr. d. österr.

Ingen.- u. Arch.-Yer. 1877. 1878.

31.    Engesser. Zur Theorie der kontinuirlichen Träger. Zeitschr. f. Baukunde 1878.

32.    Brick. Beitrag zur Berechnung der Balkenträger. Zeitschr. d. österr. Ingen.- u.

Arch.-Ver. 1878.

33.    Krohn. Einfluss der Querträger auf kontinuirliche Balken. Forster’s Bauz. 1879.

34.    Weyrauch. Temperatureinflüsse bei kontinuirlichen Trägern. Zeitschr. f. Bau

kunde 1879.

35.    Schleck. Berechnung eines kontinuirlichen Trägers mit fünf Oeffnungen nach

Lippich’s Methode. Forster’s Bauz. 1880.

36.    Kupferschmied. Ueber eine allgemeine Form der Clapeyron’schen Momenten

gleichungen. Zeitschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-Yer. 1880.

37.    Hulewicz. Calcul de résistance des poutres droites à plusieurs travées. Ann. des

ponts et chauss. 1882. 1.

38.    Könen. Vereinfachung der Berechnung der kontinuirlichen Balken mit Hilfe des

Satzes von der Arbeit. Wochenbl. für Arch. u. Ingen. 1882.

39.    Könen. Abgekürztes Verfahren für die analytische Behandlung kontinuirlicher

Balken. Centralbl. der Bauverw. 1882.

40.    Rytirsch. Der kontinuirliche Balken. Förster’s Bauz. 1882.

41.    Scholin. Zur Theorie des kontinuirlichen Trägers veränderlichen Querschnitts.

Civilingenieur 1885.

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Fig. 1.

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