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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Theorie und Berechnung

DER

WECHSELSTROMERSCHEINUNGEN

VON

Charles Proteus Steinmetz.

DEUTSCHE, VOM VERFASSER AUTORISIERTE AUSGABE.

MIT 189 TEXTFIGUREN.

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BERLIN,

VERLAG VON REUTHER & REICHARD 1900.

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Alle Rechte Vorbehalten.

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I KRAKÓW

Vorwort zur ersten deutschen Auflage.

Im vorliegenden Werke habe ich mich bemüht, diejenigen verschiedenen Methoden zu beschreiben und ausführlich auseinanderzusetzen, die ich in der Erfahrung zur Untersuchung der mannigfachen in Wechselstromstromkreisen und Wechselstromapparaten auftretenden Erscheinungen und zur exakten Berechnung derselben als am besten geeignet gefunden habe.

Obwohl das Buch notwendigerweise eine gewisse Vorkenntnis der Wechselstromtechnik voraussetzt, habe ich dasselbe so elementar als möglich zu halten gesucht, und habe daher alle darin benutzten Untersuchungsmethoden allmählich eingeführt und ausführlich besprochen, mit Berechnung zahlreicher Beispiele.

Der erste Teil des Buches ist der Erläuterung der verschiedenen Untersuchungsmethoden und der Behandlung von Wechselstromerscheinungen allgemeiner Natur gewidmet, während im zweiten Teil spezielle Wechselstromapparate und Systeme behandelt sind.*)

Die vorliegende deutsche Ausgabe ist im wesentlichen eine Übersetzung der zweiten englischen Auflage; indes

*) In diesem zweiten praktischen Teile ist die deutsche Terminologie nach Möglichkeit der elektrotechnischen Praxis entlehnt, während im ersten allgemein-theoretischen Teil dies weniger der Fall ist. Beispielsweise ist „Magnetische Strömung“ durch „Kraftlinien“ und „Querströmung“ durch „Streuung“ ersetzt.

Der Übersetzer.

ist in derselben bereits ein grosser Teil des Materials verwendet, das bei der Vorbereitung der im Erscheinen begriffenen dritten englischen Auflage benutzt wurde.

Bei der Herausgabe der ersten englischen Auflage war die symbolische Methode der Untersuchung von Wechselstromerscheinungen mittels komplexer Grössen noch verhältnismässig neu und wenig bekannt. Seitdem hat, meiner Voraussage entsprechend, sich durch die praktische Erfahrung diese symbolische Methode allen früheren in solchem Grade überlegen erwiesen, dass die Methode der komplexen Grössen alle anderen Methoden der Untersuchung komplizierter Wechselstromerscheinungen fast vollständig aus der elektrotechnischen Praxis verdrängt hat.

Indes sind die

Es bedarf daher keiner weiteren Begründung, dass der wesentlichste Teil des Buches Untersuchungen mittels komplexer Grössen gewidmet ist. anderen Untersuchungsmethoden, wo sie überhaupt zum Ziele führen können, gewöhnlich in einer zu ihrem Verständnis genügenden Ausführlichkeit angedeutet und besprochen.

In einem gewissen Grade kann vorliegendes Werk als eine Ausführung und Erweiterung meines auf dem internationalen Elektriker-Kongress zu Chicago 1893 gehaltenen Vortrages über die Anwendung komplexer Grössen in der Elektrotechnik betrachtet werden. Indes ist die komplexe Grösse bei ihrer Einführung ausführlich erläutert und die Algebra der komplexen Grössen nochmals im Anhang I zusammengestellt, so dass bei dem Leser keinerlei vorherige Vertrautheit mit der Algebra der komplexen Grössen vorausgesetzt ist.

Obwohl diejenigen Erscheinungen, die für Mehrphasensysteme charakteristisch sind, wie die Gesamtwirkung der Phasen, ihre gegenseitige Beeinflussung, die Transformation von Mehrphasensystemen u. s. w. in den letzten Kapiteln besonders behandelt worden sind, so beziehen sich doch die meisten der im vorangegangenen Teil des Buches besprochenen Untersuchungen sowohl auf Einphasen-auch auf Mehrphasen-Systeme.

als

Den Herren IV. D. Weaver, A. E. Kennelly, Townsena Wolcott statte ich auch an dieser Stelle für ihre Mithilfe bei der Herausgabe der englischen Ausgabe meinen verbindlichsten Dank ab.

Ferner danke ich dem Übersetzer dieser Ausgabe, Herrn Julius Haacke zu Berlin, für seine mühevolle Arbeit und Sorgfalt, um dem Werke eine sachgemässe Verdeutschung zu geben, sowie den Herren Verlegern, die keine Mühe gescheut haben, um dasselbe in einem würdigen Gewand in die deutsche elektrotechnische Litteratur einzuführen.

Schenectady, N. Y., U. S. A., September 1899.

Charles Proteus Steinmetz.

Inhaltsverzeichnis.

I — II

12—17

18—21

22—36

Kapitel I. Einleitung............

§ i. Fundamentalgesetze von Gleichstromstromkreisen.

oi rö 7- LÖ

Impedanz, Reaktanz, effektiver Widerstand.

Elektromagnetismus als Ursache der Reaktanz.

Kapazität als Ursache der Reaktanz.

Das Joule'sche Gesetz und die Arbeitsgleichung des Wechselstromstromkreises.

6. Fundamentalwelle und höhere harmonische Glieder, Wechselstromwellen mit und ohne geradzahlige harmonische Glieder. §    7. Wechselstromwellen als Sinuswellen.

Kapitel II. Momentan- und Integralwerte. . .

§ 8. Integralwerte der Welle.

§ 9. Verhältnis des Mittelwertes zum Maximalwerte der Welle.

Kapitel III. Gesetz der elektromagnetischen Induktion............

§ 11. Induzierte elektromotorische Kraft; mittlerer Wert.

§ 12 Induzierte elektromotorische Kraft; effektiver Wert.

§ 13. Induktanz und Reaktanz.

Kapitel IV. Graphische Darstellung......

§ 14. Polar-Charakteristik der Wechselstromwelle.

§ 15. Polar-Charakteristik der Sinuswelle.

§ 16. Parallelogramm der Sinuswellen ; KirchhofF-sche Gesetze und Arbeitsgleichung.

§ 17. Induktionsfreier Stromkreis, gespeist durch eine nicht-induktionsfreie Leitung; Beispiel.

§§ 18, ig. Gegenelektromotorische Kraft und Komponente der Klemmenspannung.

Seite

37-46

47-56

57-63

§ 20. Nicht-induktionsfreier Stromkreis und Stromkreis mit voreilendem Strom, gespeist durch eine nicht-induktionsfreie Leitung. Wechselstrom-Generator.

§§ 2i, 22. Polardiagramm des Wechselstromtransformators; Beispiel.

Kapitel V. Symbolische Methode.......

§ 23. Nachteil der graphischen Methode für numerische Rechnung.

§ 24. Trigonometrische Rechnung.

§ 25. Rechtwinkelige Komponenten der Vektoren.

§ 26. Einführung des j als Unterscheidungs-Index.

§ 27. Drehungdes Vektors um 180⁰ u.90⁰; j — \/ — 1.

§ 28. Kombination von Sinuswellen in symbolischer Darstellung.

§ 29. Widerstand, Reaktanz und Impedanz in symbolischer Darstellung.

§ 30. Kapazitätsreaktanz in symbolischer Darstellung.

§ 31. Kirchhofi'sche Gesetze in symbolischer Darstellung.

§ 32. Stromkreis, gespeist durch eine nichtinduktionsfreie Leitung; Beispiel.

Kapitel VI. Topographische Methode.....

§ 33. Zweideutigkeit von Vektoren.

§ 34. Beispiel eines Dreiphasensystems.

§ 35. Dreiphasen-Generator bei gleicher Belastung. § 36. Dreiphasen-Generator bei ungleicher Belastung.

§ 37. Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung.

Kapitel VII. Admittanz,Konduktanz,Susceptanz

§ 38. Kombination von Widerständen und Kon-duktanzen in Hintereinander- und Parallelschaltung.

§ 39. Kombination von Impedanzen. Admittanz, Konduktanz, Susceptanz.

§ 40. Verhältnis zwischen Impedanz, Widerstand, Reaktanz und Admittanz, Konduktanz, Susceptanz.

§ 41. Abhängigkeit der Admittanz, Konduktanz, Susceptanz vom Widerstand und der Reaktanz. Kombination von Impedanzen und Admittanzen.

64—90

91—97

kapitel VIII. Stromkreise mit "Widerstand, Induk-tanz und Kapazität.......

§ 42. Einleitung.

§ 43. Widerstand in Hintereinanderschaltung mit dem Stromkreis.

§ 44. Diskussion von Beispielen.

§ 45. Reaktanz in Hintereinanderschaltung mit dem Stromkreis.

§ 46. Diskussion von Beispielen.

§ 47. Reaktanz in Hintereinanderschaltung mit dem Stromkreis.

§§ 48, 49. Impedanz in Hintereinanderschaltung mit dem Stromkreis.

50. Beispiel.

5r. Ausgleich phasenverspäteter Ströme durch Kondensanz im Nebenschluss.

§ 52. Vollständiger Ausgleich durch variable Kondensanz im Nebenschluss.

§ 53. Teilweiser Ausgleich durch konstante Kondensanz im Nebenschluss.

§ 54. Transformation von konstanter Spannung auf konstanten Strom.

§ 55. Transformation von konstantem Strom auf konstante Spannung

§ 56. Güteverhältnis konstanter Spannung zu konstantem Strom.

Kapitel IX. Widerstand und Reaktanz von Leitungen........... .

§ 57. Einleitung

§ 58. Induktionsfreier Entnahmestromkreis, der über eine nicht-induktionsfreie Leitung führt.

§ 59. Beispiel.

§ 60. Maximaler über eine nicht - induktionsfreie Leitung gesandter Effekt.

Kapitel IX. Widerstand und Reaktanz von Leitungen. — Fortsetzung......

Seite

98—112

§ 61. Abhängigkeit der Leistung von der Susceptanz des Entnahmestromkreises.

§ 62. Abhängigkeit der Leistung von der Kon-duktanz des Entnahmestromkreises.

00 , 3- lÖ M3 VO « «

c'Sjn

§ 6₇.

vg' g

§ 71-

Übersicht.

Beispiel.

Bedingung für den maximalen Wirkungsgrad.

Regulierung der Spannung im Entnahmestromkreis durch Susceptanz im Nebenschluss.

Ausgleich für den Leitungsverlust durch Susceptanz im Nebenschluss.

Maximale Leistung und Diskussion.

Beispiele.

Maximum des Anwachsens der Spannung in dem Entnahmestromkreis

Übersicht und Beispiele.

Kapitel X. Effektiver Widerstand und Reaktanz. 113—142

§ 72. Effektiver Widerstand, Reaktanz, Konduk-tanz und Susceptanz.

§ 73. Ursachen der Effektverluste in Wechselstromstromkreisen.

<//>

74.    Magnetische Hystérésis.

75.    Hysteresis-Cyklen und entsprechende Stromwellen.

§ 76.

Wirkung des Luftzwischenraumes und des induzierten Stromes auf Hystérésis-Verzerrung.

§ 77. Aequivalente Sinuswelle und wattlose höhere harmonische Glieder.

§ 78.

Wahre und scheinbare magnetische Charakteristik.

t/JTi

79.    Phasenwinkel der Hysteresisvoreiiung.

80.    Effektverlust infolge molekularer magnetischer Reibung.

§ 81. Effektive Konduktanz infolge magnetischer Hystérésis.

§ 82. Absolute Admittanz von mit Eisen umgebenen Stromkreisen und Winkel der Hysteresis-Voreilung.

§ 83. Magnetischer Stromkreis, einen Luftzwischenraum enthaltend.

eines Eisen

§§ 84, 85. Elektrische Konstanten enthaltenden Stromkreises.

143—166

Kapitel XI. Foucault- öder Wirbelströme . .

§ 86. Effektive Konduktanz von Wirbelströmen.

§ 87. Winkel-Voreilung von Wirbelströmen.

§ 88. Effektverlust durch Wirbelströme und Koeffizient für Wirbelströme.

§ 89. Lamelliertes Eisen.

§ 90. Eisendraht.

§ 91. Vergleich zwischen Eisenblech und Eisendraht. §§ 92, 93. Entmagnetisierende Wirkung oder Schirmwirkung durch Wirbelströme.

§ 94. Grosse Wirbelströme.

§§ 95> 96- Wirbelströme in Leitern und ungleich-massige Stromverteilung.

97-

Gegenseitige Induktanz.

Dielektrische und elektrostatische Erscheinungen.

§ 99-

Dielektrische Hystérésis - Admittanz, Impedanz, Verschiebung u. s. w.

c fr von

100.    Elektrostatische Induktion oder Influenz.

101.    Energiekomponenten und wattlose Komponenten.

Kapitel XII. Verteilte Kapazität, Induktanz,

Widerstand und Stromverlust . . 167—184

§ 102. Einleitung.

§ 103. Grösse des Ladungsstromes der Leitungen.

§ 104. Leitungs-Kapazität, dargestellt durch einen Kondensator, der in der Mitte der Leitung im Nebenschluss liegt.

§ 105. Leitungs-Kapazität, dargestellt durch drei Kondensatoren.

§§ 106, 107, 108, 109, 110, hi, 112. Genaue Untersuchung der verteilten Kapazität, der Induktanz, des Stromverlustes und des Widerstandes.

§ II3- Phasendifferenz an irgend einem Punkte der Leitung.

114.    Beispiel.

115.    Spezialfälle, offener Stromkreis am Ende

der Leitung; Leitung an ihrem Ende mit der Erde verbunden; unendlich langer Leiter; Generator einen geschlossenen Stromkreis speisend.

185—213

191—213

214—227

Kapitel XIII. Wechselstromtransformator .    .

§ 116. Allgemeines.

§ 117. Gegenseitige Induktanz und Selbstinduktanz des Transformators.

§§ 118, 119. Magnetischer Stromkreis des Transformators-

§ 120. Polardiagramm des Transformators.

Kapitel XIII. Wechselstromtransformator. — Fortsetzung...........

§ 121. Beispiel.

§ 122. Diagramm für variierende Belastung.

§ 123. Beispiel.

§§ 124, 125. Symbolische Methode, Gleichungen.

§§ 126, 127. Scheinbare Impedanz des Transformators. Transformator, gleichwertig einem unterteilten Stromkreis.

§ 128. Transformator bei induktionsfreier Belastung.

§ 129. Konstanten des Stromkreises bei induktionsfreier Belastung.

§ 130. Numerisches Beispiel.

Kapitel XIV. Allgemeiner Wechselstromtransformator ..........

131

132.

Einleitung.

Magnetische Streuung oder Selbstinduktion des Transformators.

Gegenseitige Induktion des Transformators.

Differenz der Frequenz zwischen dem primären und dem sekundären Stromkreis eines gewöhnlichen Wechselstromtransformators.

Allgemeine Wechselstromtransformator-Gleichungen.

§§ 136, 137. Effekt, Leistung, Kraftaufwand (mechanisch und elektrisch).

Seite

228-255

§ 138. Geschwindigkeit und Leistung.

§ 139. Numerisches Beispiel.

Kapitel XV. Induktionsmotor........

§ 140. Schlüpfung und sekundäre Frequenz.

§ 141. Induktionsmotoren-Gleichungen.

§ 142. Magnetisches Feld, Admittanz, Impedanz. § 143. Elektromotorische Kraft.

§§ 144, 145. Graphische Darstellung.

§ 146. Drehmoment und Effekt.

§ 147. Leistung von Induktionsmotoren.

§§ 148, 149. Maximales Drehmoment.

§ 150. Maximale Leistung.

§ 151. Drehmoment beim Anlassen.

§ 152. Synchronismus.

§ 153. Der Motor nahe dem Synchronismus.

§ 154. Induktionsgenerator.

§ 155. Vergleich zwischen Induktionsgenerator und synchronem Generator.

§ 156. Numerisches Beispiel für einen Induktionsmotor.

Kapitel XV. Induktionsmotor. — Fortsetzung . 256—265

§ 157. Verkettung oder Doppelschaltung von Induktionsmotoren.

§ 158. Einphasiger Induktionsmotor.

§ 159. Synchroner Induktionsmotor.

§ 160. Hysteresis-Motor.

Kapitel XVI. Wechselstromgenerator .... 266—281

§ 161. Magnetische Rückwirkung bei Phasenvoreilung und -nacheilung.

§ 162. Selbstinduktanz und synchrone Reaktanz.

§ 163. Wechselstrommaschinen-Gleichungen.

§ 164. Numerisches Beispiel; Feldcharakteristik.

§ 165. Abhängigkeit der Klemmenspannung von dem Phasenverhältnis.

ON 0\ Ch

Regulierung auf konstante Spannung. Regulierung auf konstanten Strom; maximale Leistung.

Seite

Kapitel XVII. Parallelarbeiten von Wechselstrommaschinen

.    . 282 —292

Einleitung.

Starre mechanische Verbindung. Ungleichförmigkeit der Geschwindigkeit. Synchronisierende Wirkung.

Synchronismus.

Hintereinanderschaltung von Wechselstrommaschinen.

Gleichungen synchron laufender Wechselstrommaschinen ; synchronisierende Leistung.

§ 175. Besonderer Fall von gleichen Wechselstrommaschinen bei gleicher Erregung.

§ 176. Numerisches Beispiel.

Kapitel XVIII. Synchronmotor.......

§ 168 § 169. § I7°-§ I7I-§ 172. § 173-

§ 174-

293—3!9

§§ 177) I7°* Graphische Methode.

179.    Beispiel.

180.    Konstante Klemmenspannung und kon

stanter Strom.

§ 181. Konstante Klemmenspannung und konstante gegenelektromotorische Kraft.

§ 182. Konstante Klemmenspannung und maximaler Wirkungsgrad.

§ 183 Konstante Klemmenspannung und konstante Leistung.

§ 184. Analytische Methode. Fundamental-Gleichungen und Leistungs-Charakteristik.

185.    Maximale Leistung.

186.    Leerlauf.

ST; ccr>

Kapitel XVIII. Synchronmotor.

§ 187. Minimaler Strom.

§ 188. Maximale Phasenverschiebung.

§ 189. Konstante gegenelektromotorische Kraft. § 190. Numerisches Beispiel.

§ 191. Diskussion der Resultate.

Fortsetzung. 320—328

Kapitel XIX. Kommutator-Motoren . .

§ 192. Typen dieser Motoren.

§ 193. Repulsionsmotor als Induktionsmotor.

329—346

§ 194. Zwei Typen von Repulsionsmotoren.

§ 195. Definition des Repulsionsmotors.

§§ 196, 197. Repulsionsmotor-Gleichungen.

§ 198. Leistung des Repulsionsmotors. Beispiel. § 199. Hauptschluss-Motor, Nebenschluss-Motor. § 200. Hauptschluss-Motor-Gleichungen.

§ 201. Numerisches Beispiel.

§ 202. Nebenschluss-Motor.

§ 203. Leistungsfaktor des Hauptschluss-Motors.

• • 347—359

Kapitel XX. Reaktions-Maschinen . .

§ 204. Allgemeine Diskussion.

§ 205. Energiekomponente der Reaktanz.

§ 206. Hysteresis-Energiekomponente der Reaktanz.

§ 207. Periodische veränderliche Reaktanz.

§ 208. Verzerrung der Wellenform.

§ 209. UnsymmetrischeVerzerrungderWellenform.

§ 210. Reaktionsmaschinen-Gleichungen.

§ 211. Numerisches Beispiel.

Kapitel XXI. Verzerrung der Wellen-(Kurven)

form und ihre Ursachen . . . 360—375

§ 212. Aequivalente Sinuswelle.

§ 213. Ursache der Verzerrung.

§§ 214, 215. Ungleichmässiges und pulsierendes magnetisches Feld.

§ 216. Pulsation der Reaktanz.

§ 217. Pulsation der Reaktanz in Reaktionsmaschinen.

§ 218. Allgemeine Diskussion.

§ 219. Pulsation des Lichtbogenwiderstandes.

§ 220. Beispiel.

§ 221. Verzerrung der Wellenform durch den Lichtbogen.

§ 222. Diskussion.

376—388

Kapitel XXII. Wirkung höherer harmonischer Glieder...........

§ 223. Verzerrung der Wellenform durch dreifache und fünffache harmonische Glieder. Einige charakteristische Wellenformen.

§ 224. Wirkung der Selbstinduktion und Kapazität auf höhere harmonische Glieder.

Seite

§ 225. Resonanz infolge höherer harmonischer Glieder in Übertragungsleitungen.

§ 226. Effekt komplexer harmonischer Wellen.

§ 227. Dreiphasengenerator.

§ 228. Sinken der Hystérésis durch Verzerrung der Wellenform.

§ 229. Wachsen der Hystérésis durch Verzerrung der Wellenform.

§ 230. Wirbelströme.

§ 231. Wirkung verzerrter Wellen auf die Isolation.

Kapitel XXIII. Allgemeine Mehrphasen-Systeme 389—392

§ 232. Erklärung von Systemen (symmetrische und unsymmetrische Systeme).

§ 233. Effektströmung. Ausgeglichene und nicht ausgeglichene Systeme. Unabhängige und verkettete Systeme. Sternschaltung und Ringschaltung.

§ 234. Klassifikation von Mehrphasensystemen.

KapitelXXIV. SymmetrischeMehrphasen-Systeme 393—399 § 235. Allgemeine Gleichungen symmetrischer Systeme.

§ 236. Besondere Systeme.

§ 237. Resultierende magnetomotorische Kraft eines symmetrischen Systems.

§ 238. Besondere Systeme.

Kapitel XXV.

Ausgeglichene und unausge-

ghchene Mehrphasen-Syteme 400—412

Effektströmung in Einphasensystemen.

Effektströmung in Mehrphasensystemen;

Ausgleichfaktor des Systems.

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§ ²47-§ 248.

Ausgleichfaktor.

Dreiphasensystem, Vierphasensystem.

Umgekehrtes Dreiphasensystem.

Diagramme der Effektströmung.

Monocyklische und polycyklische Systeme. Leistungs-Charakteristik des Wechselstromsystems.

Dasselbe in rechtwinkeligen Koordinaten. Haupteffektaxen des Wechselstromsystems.

Kapitel XXVI. Verkettete Mehrphasen-Systeme 413—420

§ 249. Verkettete und unabhängige Systeme.

§§ 250, 251. Sternschaltung und Ringschaltung. Y-Schaltung und J- Schaltung.

§ 252. Sternspannung und Ringspannung. Sternstrom und Ringstrom. Y-Spannung und Y-Strom. ^/-Spannung und J- Strom.

§§ 253, 254. Gleichungen verketteter Mehrphasensysteme.

421—424

Kapitel XXVII. Transformation von Mehrphasensystemen ..........

§ 255. Konstanz des Ausgleichfaktors.

§ 256. Gleichungen der Transformation von Mehrphasensystemen.

§ 257. Dreiphasen- und Vierphasen-Transformation.

§ 258. Transformation mit Änderung des Ausgleichfaktors.

Kapitel XXVIII.

425—435

436—440

441—444

447—454

Kupfer - Wirkungsgrad der Systeme........

§ 259. Allgemeine Diskussion.

§ 260. Vergleich auf der Basis der Gleichheit der minimalen Spannungsdifferenz.

§§ 261, 262. Vergleich auf der Basis der Gleichheit der maximalen Spannungsdinerenz.

Kapitel XXIX. Dreiphasen-System......

§ 263. Allgemeine Gleichungen.

§ 264. Besondere Fälle: Ausgeglichenes System;

eine Zweigleitung belastet; zwei Zweigleitungen belastet.

Kapitel XXX. Vierphasen-System......

§ 265. Allgemeine Gleichungen.

§ 266. Besondere Fälle: Ausgeglichenes System; eine Zweigleitung belastet.

Anhang I. Algebra komplexer imaginärer Grössen.........

§ 267. Einleitung.

§ 268. Rechnungsweise, Addition, Multiplikation, Potenzierung

§ 269. Subtraktion, negative Zahl.

§ 270. Division, Bruch.

§ 271. Wurzelziehen und Logarithmierung.

§ 272. Imaginäre Einheit. Komplexe Zahl.

§ 273. Übersicht.

§§ 274,275. Algebraische Operationen mit komplexen Grössen § 276. Wurzeln der Einheit.

§ 277. Kreislauf.

§ 278. Komplexe Ebene.

Anhang II. Oscillierende Ströme. . . Einleitung.

Allgemeine Gleichungen. Polarkoordinaten.

Loxodrome.

Impedanz und Admittanz. Induktanz.

Kapazität.

Impedanz.

Admittanz.

455—47¹

§ 279.

§ 280.

§ 281.

§ 282.

§ 283.

& 284.

§ 285.

§ 286.

§ 287.

Konduktanz und Susceptanz.

290. Stromkreise mit der Impedanz Null.

Seite

§ 288.

§§ 289,

§ 291. Ursache oscillierender Ströme.

§ 292. Oscillierende Entladung.

§ 293. Oscillierende Entladung von Kondensatoren. § 294. Transformator mit oscillierendem Strom.

§ 295. Fundamentalgleichungen.

Anhang III. Effekt und sonstige Grössen

doppelter Periodizität .... 472—485

§ 296. Einleitung.

§ 297. Wahrer und wattloser Effekt.

§ 298. Kommutatives Prinzip.

§ 299. Gesamteffekt.

§ 300. Drehmoment.

§ 301. Hintereinanderschaltung von Mehrphasenmotoren.

Anhang IV. Symbolische Darstellung allgemeiner Wechselstromwellen . 486—503 § 302. Die allgemeine Wechselstrom welle.

§ 303. Effektivwert.

§ 304. Doppelperiodische Produkte. § 305. Erstes Beispiel.

§ 306. Zweites Beispiel.

§ 307. Drittes Beispiel.

Errata.

Seite 4 Zeile 5    V.    o.:    „Induktanz“ anstatt „Selbstinduktion“.

„    21    „    „ :    „z“ anstatt „Z“.

„    12    „    „ :    „io⁸“ anstatt „io~⁸“.

„    29    „    „ :    Die Formel muss lauten:

„ 18 » ²7

1)

j/Æ'o² — ( Ix)'² — Ir.

„: „Ix“ anstatt „Ix“. v. u. : „Ix“ anstatt „Ix“.

17 v. o.: „dem Winkel“ anstatt „den Winkel“.

11

„ 62 » 69

11

11 v. u.: „Leistung“ anstatt „Kraft“.

26 „    „ : Das „i“ hinter dem Wort „Teil“ fällt weg.

2 „    „ : „Widerstand“ anstatt „Widerstandes“.

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„2X

8 v. o. : Die Formel muss lauten:

5 v- u.:

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anstatt

„2

und

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FF 102 FF ¹⁰⁸

]/s~ -f" 2XX₀ -j- X* = Z.

FF ¹¹²

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,» H⁸

FF ¹⁶⁰

8 v. u : „x₀“ anstatt ,,x°“.

4 v. 0.: „x₀“ anstatt „r₀“

„ 711.8v. u. : „auf konstanten“ anstatt „zu konstantem“. „8u.26„ „ : „auf einen“ anstatt „zu einem“.

„ 611.7 „ „ : „auf konstanten“ anstatt „zu konstantem“, v. o. : „—“ anstatt „bis“.

„    „ : „einem Spannungsverhältnis“ anstatt „einer

Spannung“.

,,    ¹⁶ „    „ = anstatt „Z°“.

„    20 „    „ : „magnetischem“ anstatt „magnetischen“.

1 „    „ : „B¹,⁶“ anstatt „5⁶»¹“.

23 „    „ : „sin «=“ anstatt „sin —

„ : „Stromkreises“ anstatt „kreises“.

: „NLi“ anstatt „NL“.

„molekularer“ anstatt „molekuler.

11

11

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FF ²9 „ 26

1)

Theorie und Berechnung von

Wechselstromerscheinungen.

Kapitel I.

Einleitung.

l. Bei der praktischen Anwendung von elektrischer Energie begegnen wir zwei Klassen von Erscheinungen, die durch Gleichstrom bezw. Wechselstrom hervorgebracht werden.

Die Gleichstromerscheinungen sind durch die exakte analytische Rechnung auf folgende Fundamentalgesetze zurückgeführt:

wo r den Widerstand,

i. das Ohm sche Gesetz: i —

eine Konstante des Stromkreises, bedeutet.

2.    das Joule'sche Gesetz: P— i² r, wo P den Energieverbrauch in einem Stromkreise, dessen Stromstärke i und dessen Widerstand r ist, darstellt.

3.    die Arbeitsgleichung: P₀ = ei, wo P₀ die Arbeit ist, die in einem Stromkreise von der elektromotorischen Kraft e und dem Strom i verbraucht wird.

4.    die Kirchhoff’schen Gesetze:

a) die Summe sämtlicher elektromotorischen Kräfte in einem geschlossenen Stromkreise ist gleich Null, wenn die in demselben durch seinen Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft ir auch als gegenelektro-

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.    I motorische Kraft betrachtet wird und alle elektromotorischen Kräfte ihrer wahren Richtung nach angenommen werden;

b) an jedem Knotenpunkt ist die algebraische Summe sämtlicher Ströme gleich Null.

In Wechselstromstromkreisen, d.h. solchen Stromkreisen, in denen die Ströme schnell und periodisch ihre Richtung wechseln, haben diese Gesetze keine Giltigkeit. Energie wird nicht nur in dem Leiter infolge seines Ohm schen Widerstandes verbraucht, sondern auch ausserhalb desselben; sie wird aufgespeichert und abgegeben, so dass infolge hoher elektromotorischer Kräfte ausgedehnte Ströme fliessen können, ohne eine beträchtliche Menge verbrauchter Energie, sondern nur ein einfaches Steigen und Sinken derselben darzustellen. Der Ohm sche Widerstand hört auf, der bestimmende Faktor für die Stromstärke zu sein. Ströme können sich in Komponenten teilen, von denen eine jede grösser ist, als der ungeteilte Strom u. s. w.

2. An Stelle der oben erwähnten Fundamentalgesetze für Gleichstrom finden wir in Wechselstromstromkreisen folgendes:

g

an, wo

Das Ohm’sche Gesetz nimmt die Form i =

z der scheinbare Widerstand oder die Impedanz ist; sie ist keine Konstante des Stromkreises, sondern sie ist abhängig von der Frequenz der Ströme, und auch von der elektromotorischen Kraft in Stromkreisen, die Eisenmassen u. s. w. enthalten.

Die Impedanz z hat im absoluten Maasssystem dieselben Dimensionen, als der Widerstand (nämlich LT~X, eine Geschwindigkeit) und wird in Ohm ausgedrückt; sie besteht aus zwei Komponenten, dem Widerstand r und der Reaktanz a; oder es ist

z — V r ² + v ².

Der Widerstand r ist in solchen Stromkreisen, in denen die Energie nur zur Erwärmung des Leiters verbraucht

wird, derselbe als der Ohm sche Widerstand in Gleichstromstromkreisen. In solchen Stromkreisen, wo auch ausserhalb des Leiters Energie durch magnetische Hystérésis, gegenseitige Induktanz, dielektrische Hystérésis u. s. w. verbraucht wird, ist r grösser als der wahre Ohm sche Widerstand, da er sich auf den gesamten Energieverbrauch bezieht; er kann darum auch der effektive Widerstand genannt werden und ist nicht mehr eine Konstante des Stromkreises.

Die Reaktanz x stellt nicht den Kraftverbrauch dar, wie es der effektive Widerstand r thut, sondern nur ein Steigen und Sinken der Energie. Sie ist keine Konstante des Stromkreises, sondern hängt von der Frequenz und häufig auch von der elektromotorischen Kraft ab, z. B. in Stromkreisen, dieEisen enthalten, oder in elektrolytischen Leitern. Während sich der effektive Widerstand r auf die Energiekomponente der elektromotorischen Kraft oder auf die elektromotorische Kraft in Phase mit dem Strom bezieht, bezieht sich die Reaktanz x auf die wattlose Komponente der elektromotorischen Kraft oder auf die elektromotorische Kraft senkrecht zu dem Strom.

3. Die Hauptquellen der Reaktanz sind der Elektromagnetismus und die Kapazität.

Elektromagnetismus.

Ein durch einen Leiter fliessender Strom i erzeugt eine magnetische Strömung, die jenen mit magnetischen Kraftlinien umgiebt (oder genauer ausgedrückt, von Linien magnetischer Induktion), von geschlossener, kreisförmiger oder irgend einer anderen Form, die mit den Änderungen des Stromes wechseln und so eine elektromotorische Kraft im Leiter induzieren. Da die magnetische Strömung mit dem Strom in Phase ist und die induzierte elektromotorische Kraft 90° oder eine viertel Periode hinter der Strömung zurückbleibt, so ist diese elektromotorische Kraft der Selbstinduktion 90° oder eine viertel Periode hinter dem Strom zurück, d. h. sie befindet sich senkrecht zu demselben und ist daher wattlos.

Wenn nun 0 die durch den Strom i erzeugte und mit ihm verkettete magnetische Strömung ist (wo die magnetischen Kraftlinien, die «-fach verkettet sind oder n Windungen des Leiters passieren, « mal gezählt werden),

so wird das Verhältnis

0

mit L bezeichnet und Selbstinduktion oder Selbst induktionskoeffozient des Stromkreises genannt. Dieser ist numerisch gleich (in absoluten Einheiten) den Verkettungen des Stromes mit der durch den Strom Eins erzeugten magnetischen Strömung; er ist in absoluten Einheiten von der Längendimension. Anstatt des Selbstinduktionskoeffizienten L wird manchmal sein Verhältnis zu dem Ohm schen Widerstand r gebraucht. Dieses Verhältnis wird Zeitkonstante des Stromes genannt und ausgedrückt durch die Formel:

Wenn ein Leiter mit n Windungen einen magnetischen Stromkreis von dem Widerstand R umgiebt, so stellt der Strom i in dem Leiter die magnetomotorische Kraft von ni Amperewindungen dar und erzeugt dann eine magnetische

r Kraftlinien, die jede der « Windungen

des Leiters umgeben und dadurch 0 = «² i R Verkettungen zwischen den magnetischen und elektrischen Strömen er-

0

geben. Die Selbstinduktion ist daher: L =

Strömung von

«²

i ~~ R '

Das Grundgesetz der elektromagnetischen Induktion heisst:    Die in einem Leiter durch ein veränderliches

magnetisches Feld induzierte elektromotorische Kraft ist die Geschwindigkeit, mit der der Leiter die Kraftlinien schneidet.

Wenn daher i der Strom und L der Selbstinduktionskoeffizient eines Stromkreises ist, so ist die mit einem Strom i verkettete magnetische Strömung Li, und \NLi ist demnach die mittlere Geschwindigkeit des Schneidens, d. i. die Zahl der Kraftlinien, die in der Sekunde von dem

Leiter geschnitten wird oder die mittlere elektromotorische Kraft; N ist die Frequenz oder die Zahl der Perioden in der Sekunde.

Da sich die maximale Geschwindigkeit zur mittleren Geschwindigkeit des Schneidens, wie der vierte Teil des Kreisumfanges zu seinem Radius (eine sinusförmige

Änderung vorausgesetzt), nämlich wie ⁷¹: 1 verhält, so ist

2

die maximale Schnittgeschwindigkeit 2 n N und demnach auch der maximale Wert der elektromotorischen Kraft, die in einem Stromkreis von der maximalen Stromstärke i und der Selbstinduktion L induziert wird:

e — 2,7t NLi.

Da die maximalen Werte der Sinuswellen (mit dem Faktor V 2) den effektiven Werten (der Quadratwurzel der mittleren Quadrate) proportional sind, so ist, wenn i der effektive Wert des Wechselstromes, e — 2 7r NLi der effektive Wert

der Selbstinduktion und das Verhältnis — = 2 yr NL ist, die

1

magnetische Reaktanz:

xm = 2 n NL.

Wenn daher r der Widerstand, xm die Reaktanz und 7. die Impedanz ist, so ist die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft el = ir und die durch die Reaktanz verbrauchte elektromotorische Kraft = i xm und da beide elektromotorischen Kräfte zu einander senkrecht stehen, so ist die gesamte elektromotorische Kraft

e = V <?!² + ć₂² = i V r² 4- Xm² — i z, d. h. die Impedanz 0 nimmt in Wechselstromstromkreisen dieselbe Stelle ein als der Widerstand r in Gleichstromstromkreisen.

Kapazität.

4. Wenn auf einen Kondensator von der Kapazität C eine elektromotorische Kraft e wirkt, so erhält der Kondensator die elektrostatische Ladung Ce.

Wechselt die elektromotorische Kraft e mit der Frequenz N, so ist die mittlere Ladungs- und Entladungsgeschwindigkeit 4 N und die maximale Ladungs- und Entladungsgeschwindigkeit 2 n N, sinusförmige Wellen vorausgesetzt. Daher ist i = 2 7i NCe der Strom, der in den Kondensator übergeht, voreilt und zu der elektromotorischen Kraft senkrecht steht.

Dann ist

xc =

2 71 NC

die Kapazitätsreaktanz oder Kondensanz.

Die Polarisation in elektrolytischen Leitern wirkt in gewissem Grade wie die Kapazität.

Die Kapazitätsreaktanz ist umgekehrt proportional der Frequenz und erzeugt eine phasenverfrühte Stromwelle. Die magnetische Reaktanz ist direkt proportional der Frequenz und erzeugt eine phasenverspätete Stromwelle. Daher sind beide in bezug auf einander von entgegengesetztem Vorzeichen und die gesamte Reaktanz des Stromkreises ist ihre Differenz

x — xm — xc .

Der Gesamtwiderstand eines Stromkreises ist gleich der Summe sämtlicher in Reihe geschalteten Widerstände; die gesamte Reaktanz eines Stromkreises ist gleich der algebraischen Summe aller in Reihe geschalteten Reaktanzen ; die Gesamtimpedanz eines Stromkreises ist jedoch nicht gleich der Summe aller einzelnen Impedanzen, sondern im allgemeinen geringer; sie ist die Resultante des Gesamtwiderstandes und der Gesamtreaktanz. Deshalb ist es nich.t zulässig, die Impedanzen direkt zu addieren wie die Widerstände oder Reaktanzen.

Weitere Untersuchungen über diese Grössen werden in späteren Kapiteln behandelt.

5. Im Joule’schen Gesetz P = P r ist r nicht mehr der wahre Ohm’sche Widerstand, sondern der effektive Widerstand, d. h. das Verhältnis der Energiekomponente der elektromotorischen Kraft zum Strom. Da in Wechselstromstromkreisen ausser durch den Ohm schen Widerstand des Leiters teils ausserhalb, teils innerhalb desselben durch magnetische Hystérésis, gegenseitige Induktion, dielektrische Hystérésis u. s. w., Energie verbraucht wird, so ist der effektive Widerstand r im allgemeinen grösser als der wahre Widerstand des Leiters, oft sogar um den mehrfachen Betrag, z. B. in Transformatoren bei offenem, sekundären Stromkreis, in welchem Falle er keine Konstante desselben ist. Näheres hierüber siehe Kapitel VII.

In Wechselstromstromkreisen erhält die Arbeitsgleichung ein drittes Glied, das bei Sinuswellen der Kosinus der Phasenverschiebung zwischen der elektromotorischen Kraft und dem Strom ist, nämlich P₀ — ei cos (f .

Folglich kann, selbst wenn e und i gross sind, P₀ sehr klein sein, wenn nur cös (f klein, d. h. ep nahezu 90°, ist.

Die Kirchhoff'schen Gesetze werden in ihrer ursprünglichen Form bedeutungslos, da sie die Ströme und die elektromotorischen Kräfte als Richtungsgrössen betrachten, positiv in der einen, negativ in der entgegengesetzten Richtung, während der Wechselstrom keine eigentliche bestimmte Richtung besitzt.

6. Die Wechselstrom wellen können sehr verschieden gestaltet sein; einige der am meisten vorkommenden werden in einem späteren Kapitel behandelt.

Die einfachste Form indessen ist die Sinus welle oder eine Welle, die der Sinusform sehr ähnelt, wie sie in Fig. 1 gezeigt ist. Man kann sie analytisch darstellen durch die Formel

i = / sin

yr {t — tx) — I sin 2,71 N (t — tx),

wo / das Maximum der Welle oder ihre Amplitude ist; T bezeichnet die Zeit einer vollständigen cyklischen Wiederholung oder die Periode der Welle, oder es ist N = — die Frequenz oder die Zahl der vollständigen Perioden pro Sekunde; tx bezeichnet die Zeit, in der die Welle gleich Null ist, oder die Epoche der Welle, gewöhnlich Phase*) genannt.

Offenbar erlangt die Bezeichnung Phase oder Epoche nur dann eine praktische Bedeutung, wenn mehrere Wellen verschiedener Phasen betrachtet werden, als Phasendifferenz. Handelt es sich nur um eine Welle, so können wir die Zeit von dem Moment an zählen, wo die Welle gleich Null ist, oder wo sie ihr Maximum erreicht hat. Wir stellen sie dann dar durch den Ausdruck

oder

i — I sin 2 n. Nt i — I cos 2 n Nt.

Fig. i. Sinuswelle.

Da jede elektrische Grösse notwendiger Weise eine einwertige Funktion der Zeit ist, d. h. für einen gegebenen Zeitpunkt nur einen Wert ergiebt, so kann jede beliebige Wechselstrom welle, ohne Unterschied der Form,

:i:) Epoche bezeichnet die Zeit, in der eine periodische Funktion einen bestimmten Wert, z. B. Null, erreicht, und Phase die Winkelstellung einer periodischen Funktion in einer gegebenen Zeit in bezug auf eine gegebene Lage. Beide sind bei den Wechselstromerscheinungen nur verschiedene Wege, um ein und' dasselbe auszudrücken.

nach dem Fourier sehen Satze durch eine Reihe von Sinusfunktionen verschiedener Frequenz und verschiedener Phasen folgendermassen dargestellt werden

i — It sin -zu N (t — tt) -f- I₂ sin 4 7t N (t —t₂)

-p /₃ sin 6 Tr N (t — t₃) -f-.....,

wo /j, I₂₎ /₃, . . . die maximalen Werte der verschiedenen Komponenten der Welle und tu t2} t₃ . . . die Zeiten sind, in denen die betreffenden Komponenten den Wert Null passieren.

Das erste Glied sin 2 71 N (t — heisst die Fundamentalwelle oder die erste Harmonische; die übrigen Glieder heissen die höheren Harmonischen oder die Obertöne, ganz analog den Obertönen in der Akustik. Das Glied In sin 2 tc n N {t — tn) ist die «te Harmonische.

Indem wir die Sinusfunktionen von den Zeitdifferenzen / — tlf t — 4, • • • trennen, reduzieren wir den allgemeinen Ausdruck für die Welle auf folgende Form:

i = Av sin 2 tc Nt -f- A₂ sin 4 n Nt -f- A₃ sin 6 tc Nt -j- . . .

+    cos 2 tc Nt + B₂ cos 4 tc Nt + B₃ cos 6 tc Nt -f . . .

zt

Fig. 2. Welle ohne geradzahlige Harmonische.

Die beiden halben Wellen (die positive und die negative) einer jeden Periode, die in einem Stromkreise nach einer bestimmten Richtung hin zählen, sind fast immer identisch. Die geradzahligen höheren Harmonischen, die einen Unterschied in der Form der beiden halben Wellen verursachen, verschwinden hier und es bleiben nur die ungeraden Harmonischen bestehen, ausser in ganz speziellen Fällen.

Daher wird die gewöhnliche Wechselstromwelle durch folgende Formel ausgedrückt

i — /t sin 2.TC N {t — tv) I₃ sin 6 n N (t — t₃)

+ Ą sin io n N (t — th) -j- . .

oder

i — Ax sin 2 Tt Nt -f- A₅ sin 6 n Nt -f- Ah sin io 7r iW + . . . -j- cos 2 tc Nt B₃ cos 6 n Nt Bh cos io n Nt -f- . . . Eine solche Welle ist in Fig. 2 dargestellt, während Fig. 3 eine Welle zeigt, deren halbe Wellen verschieden sind. Fig. 2 und 3 stellen die sekundären Ströme eines Ruhm-korff’schen Funkeninduktors dar, dessen sekundäre Spule durch einen hohen äusseren Widerstand geschlossen ist.

f\ _

_s,

Fig. 3. Welle mit geradzahligen Harmonischen.

Fig. 3 bezeichnet die gewöhnliche Betriebsweise des In-duktoriums durch einen Unterbrecher, der in den primären Stromkreis eingeschaltet ist; in Fig. 2 ist die Spule durch Batterieströme gespeist, die durch einen Kommutator umgekehrt werden.

7. Die Selbstinduktion, oder das elektromagnetische Moment, das in Wechselstromstromkreisen stets vorhanden ist — in hohem Grade in Generatoren, Transformatoren u. s. w., — pflegt die höheren Harmonischen von einer zusammengesetzten Harmonischen Welle mehr zu unterdrücken als die fundamentale Harmonische, und bewirkt dadurch eine allgemeine Neigung zur einfachen Sinusform. Dieses hat zur Folge, dass im allgemeinen die Wechselströme in unseren Licht- und Kraftstromkreisen den Sinuswellen genügend nahe kommen, so dass die Annahme der Sinusform zulässig ist.

Daher können wir bei der Berechnung von Wechselstromerscheinungen die Wechselstromwelle als eine Sinuswelle annehmen, ohne dadurch einen bedeutenden Fehler zu machen; es genügt, sich die Verzerrung der Sinusform als einen möglichen, obgleich unwahrscheinlichen Störungsfaktor vorzustellen, der im allgemeinen in der Praxis zu vernachlässigen ist, vielleicht mit der einzigen Ausnahme von solchen Stromkreisen, die einen niedrigen Widerstand mit grosser magnetischer Reaktanz und grossen mit einander in Reihe geschalteten Kondensanzen haben, so dass Resonanzeffekte von diesen höheren Harmonischen erzeugt werden.

Kapitel II.

Momentane und integrale Werte.

8. Bei einer periodisch veränderlichen Funktion, wie sie der Wechselstrom ist, haben wir zu unterscheiden zwischen dem momentanen Wert, der als Funktion der Zeit beständig variiert, und dem integralen Wert, der die Welle als ein Ganzes charakterisiert.

Als solcher integraler Wert wird fast ausschliesslich

Fig. 4. Wechselstromwelle.

der effektive Wert gebraucht, nämlich die Quadratwurzel aus den mittleren Quadraten, und wo auch immer die Intensität einer elektrischen Welle ohne weitere Beziehung erwähnt wird, ist der effektive Wert gemeint.

Der maximale Wert der Welle ist nur in wenigen Fällen von praktischem Interesse; er kann ausserdem für die beiden halben Wellen verschieden sein, wie Fig. 3 zeigt.

Unter dem arithmetischen Mittel oder dem Mittelwert einer Welle (siehe Fig. 4 und 5) versteht man das arithmetische Mittel aller momentanen Werte während einer vollständigen Periode.

Dieses arithmetische Mittel ist entweder gleich Null, wie in Fig. 4, oder es ist von Null verschieden, wie in Fig. 5. Im ersten Fall heisst die Welle eine Wechselstromwelle, im anderen eine pulsierende Welle.

Eine Wechselstromwelle ist daher eine solche Welle, bei der die Gesamtsumme der positiven Werte dieselbe Zahl ergiebt als die Gesamtsumme der negativen Werte, d. h. im rechtwinkligen Koordinatensystem haben ihre beiden halben Wellen gleichen Flächeninhalt, wie Fig. 4 zeigt.

jMÏTTÊpWERT

Fig. 5. Pulsierende Welle.

Eine pulsierende Welle ist eine solche, in der die eine der halben Wellen das Übergewicht hat (Fig. 5).

Pulsierende Wellen werden nur durch Maschinen mit Stromwender erzeugt, ferner durch Unipolarmaschinen oder durch das Aufeinanderschichten von Wechselstromwellen auf Gleichtröme u.- s. w.

Alle Induktionsapparate ohne Stromwender geben ausschliesslich Wechselstrom wellen, da, gleichgiltig in welcher Weise der Stromkreis angeordnet ist, irgend eine magnetische Kraftlinie, die während einer vollständigen Periode vom Leiter durchschnitten wird und so eine elektro-motorische Kraft induziert, während derselben Periode wieder in entgegengesetzter Richtung durchschnitten werden muss und dadurch denselben Betrag von elektromotorischer Kraft induziert (natürlich findet dies keine Anwendung auf Stromkreise, die aus verschiedenen sich in Beziehung zu einander bewegenden Teilen bestehen, wie auf Unipolarmaschinen).

Im folgenden werden wir fast ausschliesslich die Wechselstrom welle betrachten, d. h. die Welle, deren wahrer arithmetischer Mittelwert gleich Null ist.

Häufig wird als mittlerer Wert einer Wechselstromwelle das Mittel einer halben Welle bezeichnet, oder besser, das Mittel aller momentanen Werte, ohne Rücksicht auf ihre Vorzeichen. Dieser Mittelwert besitzt keine praktische Bedeutung und ist ausserdem noch in vielen Fällen unbestimmt.

9. Bei einer Sinuswelle wird die Beziehung des Mittelwertes zum Maximalwerte folgendermassen gefunden:

?*

'S

<P\

Fig. 6.

E,

r+rp~Jx ^Epiz2 4- rr() — jr0x) _ ä2 + 2 rr0 4- r02

E,

•h = EY

iE

87t2n2fxSN N ix

E — j Xfji ly,

A = ff* 1 + bc e\) +j (ge' 1 —beex)=—B\

= [R + 2 (r0 7A?o) — ^2 <5o +A) —(ru—A)

0 — j0

(G + G2 4- Oi 4- G2

‘7

E.

^o2 — 4 rP — °>

Er = (r + rt) /,

dq>

WMF

P = Ex II cos -f- P2 -4 cos bh + • . • •

Ausserdem ist bei den Spannungen, die in Betracht 

—7 ^2.

Yy = (gj-/by) dec« =

00 00 y— i (eń 4- jn e„") — y'fn—i

H.

Fig. 6.

Es sei OAB in Fig. 6 der Quadrant eines Kreises mit dem Radius Eins.

10 H

von A nach B

Während der Winkel (f den Bogen durchläuft, ändert sich sein Sinus von Null bis OB = i.

Daher verhält sich das Mittel aus der Änderung des Sinus

: i. Das Maximum

Tt

zu seinem Bogen wie i :    oder wie

2

der Änderung des Sinus findet um seinen Nullwert herum statt, wo der Sinus gleich dem Bogen ist. Daraus folgt, dass die grösste Änderung des Sinus gleich der Änderung des entsprechenden Bogens ist und folglich steht auch die maximale Änderung des Sinus zu seiner mittleren Änderung in demselben Verhältnis wie die mittlere Änderung des

und da die

Bogens zu der des Sinus, d. h. wie i :

Änderungen einer Sinusfunktion auch sinusartig sind, so erhalten wir:

Mittelwert der Sinuswelle

Maximalwert

: i = 0,63663.

Die Grössen „Strom“, „elektromotorische Kraft“, „Magnetismus“ u. s. w. sind in Wirklichkeit nur mathematische Begriffe, als Komponenten der reellen Grössen „Energie“, „Kraft“ u. s. w., d. h. sie haben keine unabhängige Existenz, sondern erscheinen nur als Quadrate oder Produkte.

Folglich ist nur der mit den mechanischen Einheiten in Verbindung stehende integrale Wert einer Wechselstromwelle von praktischer Bedeutung, der dieselbe Kraft oder denselben Effekt darstellt als die periodische Welle. Dieser heisst der effektive Wert. Sein Quadrat ist gleich dem mittleren Quadrat der periodischen Funktion, d. h.:

Der effektive Wert einer Wechselstromwelle oder die Welle, die deviselben Effekt darstellt wie die periodisch veränderliche Welle, ist die Quadratwurzel aus dem mittleren Quadrat.

Bei einer Sinuswelle wird ihre Beziehung zum maximalen Wert auf folgendem Wege gefunden:

Es sei OAB in Fig. 7 der Quadrant eines Kreises mit dem Radius Eins.

Da nun die Sinus irgend eines Winkels (f und seines Komplementes 90⁰— (f die Bedingung erfüllen sin² (f -f- sin² (90° — <p) — 1,

•I

'S

•I

Fig. 7.

so können die Sinus in dem Quadranten GAB zu Paaren gruppiert werden, so dass die Summe der Quadrate eines jeden Paares gleich Eins ist, oder mit anderen Worten: das

mittlere Quadrat des Sinus ist ~ und die Quadratwurzel

aus dem mittleren Quadrat oder der effektive Wert des

d. h.

vO

Sinus ist 77= V 2

Der effektive Wert einer Sinusfunktion verhält sich zu seinem maximalen Werte wie

1 = 0,70711.

Daher haben wir für die Sinuskurve folgende Beziehungen :

Max.

Wert

Eff.

Wert j

Halbe

Periode

Mittel

Ganze

Periode

0,7071

1,4142

1,6708

0,63668

0,90034

1,1107    1

o io |o

10. Wenn wir nun zur allgemeinen Wechselstromkurve i = A₁ sin 2n Nt -j- ^4 s^n \n Nt + Aa sin 6rt Nt + • • •

-(- Bx cos 27T Nt -J- B₂ cos 4n Nt -j- B₃ cos 6n Nt + . . . übergehen, so finden wir, wenn wir diesen Ausdruck quadrieren und alle Produkte, die als mittleres Quadrat Null ergeben, streichen, den effektiven Wert

1= VAS + A,* + ~Ä} + ... + S,² +    + £,*+...

Der mittlere Wert giebt keinen einfachen Ausdruck; er ist auch von keinem besonderen Interesse.

Kapitel III.

Gesetz der elektromagnetischen Induktion.

li. Wenn ein elektrischer Leiter sich in Beziehung auf ein magnetisches Feld bewegt, so wird in dem Leiter eine elektromotorische Kraft induziert, die der Intensität des magnetischen Feldes, der Länge des Leiters und der Geschwindigkeit seiner zum magnetischen Felde und zur Richtung des Leiters senkrechten Bewegung proportional ist, oder mit anderen Worten: sie ist proportional der Zahl der magnetischen Kraftlinien, die' in einer Sekunde von dem Leiter geschnitten werden.

Als praktische Einheit der elektromotorischen Kraft ist das Volt festgesetzt, d. i. die elektromotorische Kraft, die in einem Leiter induziert wird, der in der Sekunde io~8 magnetische Kraftlinien schneidet.

Wenn der Leiter in sich geschlossen ist, so erzeugt die induzierte elektromotorische Kraft einen Strom.

Einen geschlossenen Leiter kann man eine Windung nennen. In einer solchen Windung ist die Zahl der in einer Sekunde geschnittenen magnetischen Kraftlinien gleich der Zunahme oder Abnahme der durch diese Windung hindurchgehenden Kraftlinien; sie ist n mal so gross bei n Windungen.

Daher ist die in n Windungen induzierte elektromotorische Kraft, ausgedrückt in Volt, n mal so gross als die Zunahme oder Abnahme der durch die Windungen in einer Sekunde hindurchgehenden magnetischen Strömung, multipliziert mit i o ⁸.

Wenn die Änderung der durch eine Windung oder durch n Windungen hindurchgehenden Strömung nicht gleichförmig stattfindet, so giebt das Produkt aus der Windungszahl und der Änderung der Strömung pro Sekunde die mittlere elektromotorische Kraft.

Sobald die magnetische Strömung 0 sich in Beziehung auf n Windungen ändert — d. h. wenn die Windungen sich entweder in der Strömung drehen oder dieselbe während eines jeden vollständigen Wechsels oder Cyklus periodisch in die Windungen ein- und aus demselben austritt —, so wird die Gesamtströmung viermal durchschnitten, zweimal beim Ein- und zweimal beim Austritt.

Ist daher N die Zahl der ganzen Cyklen pro Sekunde oder die Frequenz des Wechsels der Strömung 0, so ist die in n Windungen induzierte mittlere elektromotorische Kraft E Mittel — \ n0 N io⁻⁸ Volt. Dies ist die Grundgleichung in der Elektrotechnik; sie ist sowohl in Gleichstrom- als auch in Wechselstromapparaten gütig.

12. Bei Gleichstrommaschinen und auch bei vielen Wechselstrommaschinen rotieren die Windungen in einem konstanten magnetischen Felde, bei andern Wechselstrommaschinen hingegen und bei Induktionsmotoren rotiert das magnetische Feld; bei Transformatoren wechselt das Feld mit Rücksicht auf die stationären Windungen.

Es sei bei einer Gleichstrommaschine n die Zahl der von Bürste zu Bürste hintereinander geschalteten Windungen, 0 die durch eine Windung hindurchgehende Strömung und N die Frequenz; dann ist die in der Maschine induzierte elektromotorische Kraft, E— 4 n 0 N io~8 Volt, unabhängig von der Zahl der Pole oder der Hintereinander- oder Parallelschaltung der Armatur, sei sie ein Ringanker, ein Trommelanker oder eine andere Type.

Ist bei einer Wechselstrommaschine oder bei einem Transformator n die Zahl der hintereinander geschalteten

Windungen, 0 die durch eine Windung hindurchgehende maximale Strömung und N die Frequenz, so ergiebt obige Formel E Mittel — 4 n 0 N io⁻⁸ Volt. Da aber die maximale

= —E im Mittel gegeben 2

max.

elekromotorische Kraft durch E

= 2 n n 0 N io⁻⁸ Volt. Da ferner

ist, so erhalten wir E die effektive elektromotorische Kraft durch den Ausdruck

max.

E eff. —

max.

V2

gegeben ist, so erhalten wir

—8

—8

E eg. = y₂n n 0 N 10 = 4,44 // 0 N 10 Volt. Dies ist die Grundformel der Wechselstrominduktion durch Sinuswellen.

13. Wenn in einem Stromkreise von n Windungen die durch ihn hindurchgehende magnetische Strömung 0 von dem in diesem Stromkreise fliessenden Strom hervorgebracht wird, so heisst das Verhältnis

—8

Strömung X Zahl der Windungen X 10 Stromstärke

die Selbstinduktion L des Stromkreises, gemessen in Henry.

Das Produkt aus der Windungszahl n und der maximalen Strömung 0, die durch einen effektiven Strom von / Ampère oder durch den maximalen Strom von I V 2 Ampère hervorgebracht wird, ist demnach n 0= LIV2 io⁸ und folglich die effektive elektromotorische Kraft der Selbstinduktion E — V2 n n 0 N io“8 = 27r NLI Volt.

Das Produkt x — 2 n NL hat dieselbe Dimension als der Widerstand und heisst die Reaktanz des Stromkreises. Die elektromotorische Kraft der Selbstinduktion des Stromkreises oder die Reaktanzspannung ist E — Ix. Sie bleibt 90° hinter dem Strom zurück, weil der Strom mit der durch sich erzeugten magnetischen Strömung in Phase ist und die elektromotorische Kraft 90° hinter der magnetischen

Strömung zurückbleibt. Die elektromotorische Kraft bleibt 90° hinter der magnetischen Strömung zurück, weil sie der Änderung der Strömung proportional ist. Sie ist Null, wenn der Magnetismus seinen maximalen Wert erreicht hat und ein Maximum, wenn die Strömung durch Null geht, wo sie sich am schnellsten ändert.

Kapitel IV.

Graphische Darstellung.

14. Häufig werden Wechselstrom wellen graphisch in rechtwinkligen Koordinaten dargestellt, in denen die Zeiten als Abscissen und die momentanen Werte der Welle als Ordinaten eingetragen werden. Den besten Einblick in Hinsicht auf die gegenseitige Beziehung verschiedener Wechselstromwellen erhält man aber durch ihre Darstellung in Polarkoordinaten, in denen die Zeit als Winkel oder Amplitude (eine vollständige Periode wird durch eine Umdrehung repräsentiert), die momentanen Werte dagegen als Radii vectores eingetragen werden.

Fig. 8.

Die beiden Wellen in den Figuren 2 und 3 sind in Figur 8 bezw. 9 in Polarkoordinaten als geschlossene charakteristische Kurven dargestellt, die in ihrem Durchschnittspunkt mit dem Radius vector den momentanen Wert der Welle ergeben, entsprechend der Zeit, die durch die Amplitude des Radius vector repräsentiert wird.

Diese momentanen Werte sind positiv in der Richtung des Radius vector, negativ in entgegengesetzter Richtung. Daher werden die beiden halben Wellen in Figur 1 durch dieselbe polare charakteristische Kurve dargestellt, die den Durchschnittspunkt des Radius vector zweimal während einer Periode durchläuft, das eine Mal in der Richtung des Vectors die positive halbe Welle, das andere Mal in entgegengesetzter Richtung die negative ergebend. In den

Fig. 9.

Figuren 3 und 9, in denen die beiden halben Wellen von einander verschieden sind, haben sie auch verschiedene polare Charakteristiken.

tB>

'a

,C

->A

B₂

Fig. 10.

15. Die Sinuswelle in Figur 1 wird in Polarkoordinaten durch einen Kreis dargestellt (Figur 10). Der Durchmesser der charakteristischen Kurve der Sinuswelle I = OC stellt die Intensität der Welle vor; die Amplitude des Durchmessers OC, Winkel <w = AOC ist die Phase der Welle, die demnach analytisch durch die Funktion i — I cos (<jp — 00)

der momentane Wert der

dargestellt wird, wo (f =

Amplitude ist, der dem momentanen Werte i der Welle entspricht.

Die momentanen Werte erhält man aus dem beweglichen Radius vector durch seine Schnittpunkte mit dem charakteristischen Kreis. So ist z. B. bei der Amplitude

AOBy = (fl

= 2 Tr 4 (Fig. 10) der momentane Wert

OB'-, bei der Amplitude AOB₂ = <p₂ = 2 ist er OB"

und negativ, weil in entgegengesetzter Richtung zum Vector OB₂.

Der charakteristische Kreis der Wechselstromwelle wird durch die Länge seines Durchmessers (die Intensität der Welle) und durch die Amplitude des Durchmessers (die Phase der Welle) bestimmt.

Kommt der integrale Wert der Welle allein in Betracht, nicht aber die momentanen Werte, so kann der charakteristische Kreis ganz fortgelassen und die Welle in Intensität und Phase durch den Durchmesser des charakteristischen Kreises dargestellt werden.

Daher ist die Wechselstromwelle im Polarkoordinatensystem in Intensität und Phase durch die Länge und Richtung eines Vectors OC (Fig. 10) gegeben. An Stelle des maximalen Wertes der Welle kann der effektive Wert oder die Quadratwurzel aus dem mittleren Quadrat als Vector gebraucht werden, was auch viel bequemer ist. Der maximale Wert ist dann I/2 multipliziert mit dem Vector OC, so dass die momentanen Werte, wenn sie dem Diagramm entnommen werden, mit dem Faktor V2 multipliziert werden müssen.

Um verschiedene Sinuswellen zu kombinieren, werden ihre graphischen Darstellungen oder ihre Vectoren nach dem Gesetz vom Parallelogramm der Kräfte miteinander verbunden.

16.

Wenn z. B. zwei Sinuswellen OB und OC (Fig. n) übereinander gelagert sind, wie z.B. zwei elektromotorische Kräfte, die in einem und demselben Stromkreise wirken, so wird ihre resultierende Welle durch OD dargestellt, d. h. durch die Diagonale eines Parallelogramms mit OB und OC als Seiten.

Zu jeder Zeit t, die durch den Winkel tp = AOX repräsentiert wird, sind die momentanen Werte der drei Wellen OB, OC und OD ihre Projektionen auf OX und da die Summe der Projektionen von OB und OC gleich der Projektion von OD ist, so sind die momentanen Werte der Welle OD gleich der Summe der momentanen Werte der beiden Wellen OB und OC.

Aus den vorangegangenen Betrachtungen schliessen wir folgendes:

Die Sinuswelle wird in Polarkoordinaten graphisch durch den Vector dar gest eilt, dessen Länge OC die Intensität und dessen Amplitude AOC die Phase der Sinuswelle bezeichnet.

'B

-X

■A

Al

Fig. ii.

Sinuswellen werden in Polarkoordinaten graphisch durch das Gesetz des Parallelogramms oder Polygons der Sinus-wellen zusammengesetzt oder aufgelöst.

Die KirchhofFschen Gesetze lassen sich nun für Wechselstromsinus wellen folgendermaassen ausdrücken:

a)    Die Resultante aller elektromotorischen Kräfte in einem geschlossenen Stromkreis, wie sie durch das Parallelogramm der Sinuswellen gefunden wird, ist Null, wenn die gegenelektromotorischen Kräfte des Widerstandes und der Reaktanz mit einbegriffen sind.

b)    Die Resultante sämtlicher Ströme, die nach einem Knotenpunkt hin fliessen, durch das Parallelogramm der Sinuswellen gefunden, ist gleich Null.

Die Energiegleichung wird graphisch so ausgedrückt:

Der Effekt in einem Wechselstromstromkreise wird in Polarkoordinaten dargestellt durch das Produkt aus dem Strom I und der Projektion der elektromotorischen Kraft E auf den Strom /, oder durch das Produkt aus der elektromotorischen Kraft E und der Projektion des Stromes I auf die elektromotorische Kraft, oder sie ist IE cos (I,E).

17. Es wird z. B. mittels einer Zuleitung, deren Widerstand r und deren Reaktanz x = 2 n NL ist (wo N die Frequenz und L die Selbstinduktion bedeutet), ein Strom von I Ampère durch einen induktionsfreien Stromkreis bei einer elektromotorischen Kraft von E Volt hindurchgeschickt. Wie gross ist dann die vom Generator

•e.

e*'~e7

Fig. 12.

an dem einen Ende der Zuleitung geforderte elektromotorische Kraft?

Im Polardiagramm (Fig. 12) nehme man die Phase des Stromes Ol als Anfangs- oder Nulllinie an. Da der Stromkreis induktionsfrei ist, so ist der Strom in Phase mit seiner elektromotorischen Kraft. Daher wird die elektromotorische Kraft E am Ende der Zuleitung an den Klemmen des Stromkreises durch den Vector OE dargestellt. Um den Widerstand r der Zuleitung zu überwinden, ist eine elektromotorische Kraft Ir, die in Phase mit dem Strom ist, erforderlich; sie ist im Diagramm mit OEr bezeichnet. Die Selbstinduktion der Zuleitung induziert eine elektromotorische Kraft, die dem Strom I und der Reaktanz x proportional ist und eine viertel Periode oder 90° hinter ihm zurückbleibt. Um diese gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion zu überwinden, ist eine elektromotorische Kraft Ix erforderlich, die dem Strom in der Phase um 90° voreilt; sie wird durch den Vector OEx dargestellt. Daher verbraucht der Widerstand eine elektromotorische Kraft in Phase mit dem Strom und die Reaktanz eine solche, die 90° dem Strom voreilt. Die elektromotorische Kraft des Generators E₀ muss die drei elektromotorischen Kräfte E, Er und Ex ergeben, ist somit als deren Resultante bestimmt. Verbinden wir OEr und OEx miteinander nach dem Gesetz des Parallelogramms der Kräfte, so erhalten wir OEz als die elektromotorische Kraft, die zur Überwindung der Impedanz der Zuleitung nötig ist, und ebenso erhalten wir für OEz und OE die Resultante OEQ als die zur Erzeugung der elektromotorischen Kraft E am Ende der Zuleitung erforderliche Klemmenspannung des Generators. Algebraisch erhalten wir aus Fig. 12

Eq = V(E -f Tr)² 4- (Ix)²,

oder

E = V£,' -(/*)» - Tr.

In diesem Falle haben wir die durch den Widerstand (in Phase mit dem Strom) und die durch die Reaktanz (90° dem Strom voreilend) verbrauchte elektromotorische Kraft als Teile oder Komponenten der Klemmenspannung A₀ betrachtet; E₀ haben wir durch Kombination von En Ex und E abgeleitet.

Indess können wir die Wirkung der Selbstinduktion direkt als eine elektromotorische Kraft EJ einführen, die gegenelektromotorische Kraft IX} welche 900 hinter dem Strorh zurückbleibt; ferner können wir die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft als

18.

Ei

tTö

Eo

Fig. 13.

E/

gegen elektromotorische Kraft £/ = Ir einführen, aber im entgegengesetzten Sinne zu dem Strom, wie in Fig. 13; dann müssen sich die drei elektromotorischen Kräfte E₀, und Ex' zu einer resultierenden elektromotorischen Kraft E zusammensetzen, die am Ende der Zuleitung übrig bleibt. EJ und EJ ergeben EI als gegenelektromotorische Kraft der Impedanz. Da EI und E₀ die Resultante E bilden müssen, so wird E₀ als die eine Seite des

Ei

E*

Er 0

ÏË7

->1

E„

Er

Fig 14.

Parallelogramms OEQEEz' gefunden, dessen andere Seite OEJ und die Diagonale OE gegeben sind.

Oder man kann sagen (Fig. 14), um die gegenelektromotorische Kraft der Impedanz der Zuleitung OEI zu überwinden, muss die Komponente OE~ der Klemmenspannung mit der andern Komponente OE die Klemmenspannung OE₀ ergeben.

Wie bereits gezeigt, können wir die in einem Stromkreis hervorgerufenen elektromotorischen Kräfte auf zweierlei Art darstellen, entweder als gegenelektromotorische Kräfte, die sich mit der Klemmenspannung kombinieren lassen oder als Teile oder Komponenten der Klemmenspannung; im letzten Falle haben sie entgegengesetzte Phasen als im ersteren. Der Natur des Problems gemäss kann entweder die eine oder die andere Darstellung vorgezogen werden.

So ist z. B. die elektromotorische Kraft, die durch den Widerstand verbraucht wird = Ir und in Phase mit dem Strom; die gegenelektromotorische Kraft des Widerstands ist dem Strom entgegengesetzt. Die durch die Reaktanz verbrauchte elektromotorische Kraft ist = Ix und eilt dem Strom um 90° voraus, während die elektromotorische Kraft der Reaktanz 90° hinter dem Strom zurückbleibt, so dass wir, wenn Ol (Fig. 15) der Strom ist, erhalten:

OEr als die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft,

OEr als die gegenelektromotorische Kraft des Widerstandes,

OEx als die durch Selbstinduktion verbrauchte elektromotorische Kraft,

OEx als die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion,

OE~ als die durch die Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft,

OEJ als die gegenelektromotorische Kraft der Impedanz.

Offenbar sind diese gegenelektromotorischen Kräfte z. B. von der gegenelektromotorischen Kraft eines synchronen Motors verschieden, insofern sie keine unabhängige Existenz haben, sondern nur so lange existieren als der Strom fliesst. In dieser Hinsicht sind sie analog der Gegenkraft der Reibung in der Mechanik.

19. Wir kommen nun zurück auf die Gleichung für die elektromotorische Kraft an dem Generatorende der Zuleitung/^, = V (E -)- Ir)² -(- (Ix)² und finden als Spannungsverlust in der Zuleitung

A E = E₀ — E — V(E + Ir)² -f (Ix)² — E.

E*

Ex

Er

Er O

Ei X E z

Fig. 15-

Dieser Ausdruck unterscheidet sich von dem für die elektromotorische Kraft der Impedanz und ist kleiner als dieser: Ez — Iz = / kV² + x².

Daher ist es nicht richtig, wenn man den Spannungsverlust in einem Stromkreise durch Multiplikation der Stromstärke mit der Impedanz berechnet. Der Spannungsverlust in der Zuleitung hängt bei einem gegebenen Strom, der durch sie in einen induktionsfreien Stromkreis gesandt wird, nicht nur von den Konstanten der Zuleitung r und x, sondern auch von der elektromotorischen Kraft E am Ende derselben ab, wie aus den Diagrammen zu ersehen ist.

20. Ist der Stromkreis nicht induktionsfrei, d. h. wenn der Strom I hinter der elektromotorischen Kraft E um den Winkel w zurückbleibt und wenn wir wiederum den Strom Ol (Fig. 16) als Nulllinie wählen, so eilt die elektromotorische Kraft OE dem Strom um den Winkel 01 voraus. Die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft Ir ist mit dem Strom in Phase und durch OE, dargestellt, während die durch die Reaktanz Ix verbrauchte elektromotorische Kraft dem Strom um 90° voraus ist und durch OE repräsentiert wird. Setzen wir 0E₎ OE, und 0EX zusammen, so erhalten wir OE₀ als die am Generatorende der Zuleitung erforderliche elektromotorische Kraft. Vergleichen wir die Figuren 16 und 13 miteinander, so sehen wir, dass in ersterer OE₀ grösser ist, oder umgekehrt, wenn A₀ gleich ist, so wird E bei induktiver Belastung kleiner sein. Mit anderen Worten: der Spannungsverlust in einer nicht induktionsfreien Zuleitung ist grösser, wenn der Stromkreis ebenfalls nicht induktionsfrei ist. Aus Figur 16 erhalten wir

E₀ — V (E cos w Ir)² -j- (E sin œ Ix)².

Er

EC-.

E* —

‘E.

Fig. 16.

Wenn jedoch der Strom in dem Stromkreise voreilt, was der Fall ist, wenn Kondensatoren oder synchrone Motoren gespeist werden, deren gegenelektromotorische Kraft grösser als die Klemmenspannung ist, so wird die elektromotorische Kraft durch einen Vector OE dargestellt, der hinter dem Strom Ol um den Winkel der Verschiebung co' zurückbleibt (Fig. 17). In diesem Fall erhalten wir, wenn wir OE mit OEr, in Phase mit dem Strom, und mit OEr, 90⁰ dem Strom voreilend, zusammensetzen, die elektromotorische Kraft des Generators OE₀, die hier nicht nur kleiner als in den Figuren 16 und 13 ist, sondern auch noch kleiner als E sein kann, d. h. die Spannung steigt in der Zuleitung. Mit andern Worten: in einem Stromkreise mit voreilendem Strom erhöht die Selbstinduktion der Zuleitung die Spannung, so dass der Spannungsverlust weniger beträgt als bei induktionsfreier Belastung; er kann sogar negativ sein ; d.h. die Generatorspannung kann niedriger sein als die Spannung an dem andern Ende der Zuleitung.

Alle Diagramme in den Figuren 13 bis 17 können als Polardiagramme eines Wechselstromgenerators von der elektromotorischen Kraft E₀ mit der von dem Widerstand verbrauchten elektromotorischen Kraft Er — Ir, mit der Reaktanz Ex = Ix und mit der Spannungsdifferenz E an den Klemmen der Wechselstrommaschine angesehen werden. Wir sehen hier, dass bei nicht induktionsfreier Belastung die Spannungsdifferenz an den Klemmen der Wechselstrommaschine kleiner ist als bei induktionsfreier Belastung und dass sie bei induktionsfreier Belastung kleiner ist als wenn die Maschine einen Stromkreis mit voreilendem Strom speist,

!/

E,

— E,

Fig. 17.

wie dies beispielsweise der Fall ist, wenn es sich um einen Stromkreis mit synchronen Motoren unter den oben angeführten Umständen handelt.

21. Als weiteres Beispiel können wir das Diagramm eines Wechselstromtransformators betrachten, dessen sekundärer Stromkreis nicht induktionsfrei belastet ist.

Der Einfachheit halber können wir hier die magnetische Hystérésis, deren Wirkung in einem besonderen Kapitel eingehend behandelt wird, vernachlässigen.

Wir zählen die Zeit von dem Augenblick an, wo die magnetische Strömung Null ist. Die Phase der Strömung, nämlich die Amplitude ihres maximalen Wertes ist dann 90⁰ und die Phase der induzierten elektromotorischen Kraft i8o° , weil sie 90° hinter der induzierenden Strömung zurückbleibt. Daher wird die sekundäre induzierte elektromotorische Kraft Ex durch einen Vektor 0EX in der Phase von 180⁰ dargestellt (Fig. 18). Der sekundäre Strom Ix bleibt hinter der elektromotorischen Kraft Ex um den Winkel wx zurück, der durch den Widerstand und die Selbstinduktion des sekundären Stromkreises, d. h. durch seine Belastung, bestimmt wird. Er wird im Diagramm durch den Vektor 0FX der Phase 180⁰ -f- cox dargestellt.

.oF‘

_£j_

Ao

Tr

E,

/El

E.

'Ex

uT

Fig. io.

Anstatt des sekundären Stromes Ix zeichnen wir die sekundäre magnetomotorische Kraft Fx = nx Ix auf, wo nx die Zahl der sekundären Windungen und Fx die Amperewindungen bedeuten. Dies macht uns von dem Verhältnis der Transformation unabhängig.

Aus der sekundären induzierten elektromotorischen

Kraft Ex erhalten wir die Strömung 0, die erforderlich ist, um diese elektromotorische Kraft zu erzeugen, aus der Gleichung

Ex — V 2, n nx N 0 io~⁸,

wo

Ex die sekundäre induzierte elektromotorische Kraft in effektiven Volt,

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

N die Frequenz in Cyklen pro Sekunde, nx die Zahl der sekundären Windungen,

(V der maximale Wert der magnetischen Strömung in Weber ist.

Die Ableitung dieser Gleichung wurde in einem früheren Kapitel gegeben.

Die magnetische Strömung 0 wird durch den Vektor 00 in der Phase von 90° dargestellt und zu seiner Erzeugung ist eine magnetomotorische Kraft von der Grösse F erforderlich, die durch die magnetische Charakteristik des Eisens, durch den Querschnitt und durch die Länge des magnetischen Stromkreises des Transformators bestimmt wird; sie ist in Phase mit der Strömung 0 und wird durch den Vektor OF in effektiven Amperewindungen dargestellt.

Die Wirkung der Hystérésis, die bis jetzt vernachlässigt wurde, ist die, dass OF vor OM um den Winkel a, dem Winkel der Hysteresisverschiebung, voreilt (siehe das Kapitel über Hystérésis).

Die magnetomotorische Kraft F ist die Resultante der sekundären magnetomotorischen Kraft Fx und der primären magnetomotorischen Kraft F₀, oder graphisch ist OF die Diagonale eines Parallelogramms, gebildet aus den Seiten OFx und OF₀. Weil OFx und OF bekannt sind, finden wir 0FO) die primären Amperewindungen, und hieraus und aus der Zahl der primären Windungen nQ den primären

F₀

der dem sekundären Strom Ix entspricht.

Um den Widerstand der primären Spule r₀ zu überwinden, ist eine elektromotorische Kraft Er — I₀ r₀ in Phase mit dem Strom I₀ erforderlich; sie wird durch den Vektor OEr dargestellt.

Um die Reaktanz der primären Spule xQ — 2,nn₀L0 zu überwinden, ist eine elektromotorische Kraft Ex — I₀ x0 erforderlich, die dem Strom I₀ um 90° voreilt und die durch den Vektor OEx bezeichnet wird.

Die resultierende magnetische Strömung 0, die in der

Strom I₀ —

nQ

sekundären Spule die elektromotorische Kraft Ex induziert, induziert in der primären Spule eine elektromotorische

Kraft Elt die nach dem Windungsverhältnis

nx

proportional

E, und mit E. in Phase ist, oder es ist E') = — E.,

nx

was durch den Vektor OE' dargestellt wird. Um diese gegenelektromotorische Kraft El zu überwinden, ist eine primäre elektromotorische Kraft Ei erforderlich, die gleich E/t ihr aber entgegengesetzt gerichtet ist; sie wird durch den Vektor OE{ dargestellt.

Die primäre Klemmenspannung E₀ muss daher aus den drei Komponenten OE,, OEr und OEx bestehen und ihre Resultante ist OE₀, während die Phasendifferenz im primären Stromkreise durch den Winkel oa₀ — E₀OI gefunden wird.

22. In den Figuren 18, 19 und 20 ist das Diagramm eines Wechselstromtransformators für dieselbe sekundäre elektromotorische Kraft Ex und für denselben sekundären Strom Ix gezeichnet, aber unter verschiedenen Bedingungen der sekundären Verschiebung.

Ei

.'''Ex

Er

~E„

Fig. 19.

In Fig. 18 bleibt der sekundäre Strom Ix hinter der sekundären elektromotorischen Kraft Ex um 6o° zurück.

In Fig. 19 ist der sekundäre Strom Ix in Phase mit der sekundären elektromotorischen Kraft Ex.

In Fig. 20 eilt der sekundäre Strom Ix der sekundären elektromotorischen Kraft Ex um 6o° voraus.

Diese Diagramme zeigen, dass Phasenverspätung die erforderlichen Werte von primärem Strome und primärer elektromotorischer Kraft erhöht, Phasenverfrühung dieselben erniedrigt; oder es wird umgekehrt bei einer gegebenen primären Klemmenspannung E₀ die sekundäre elektromotorische Kraft Et bei einer induktiven Belastung kleiner und bei einer Kondensatorbelastung (voreilendem Strom) grösser als bei einer induktionsfreien Belastung.

<P

“I

Io

Ei

'Eo.

Fig. 20.

Gleichzeitig sehen wir, dass eine im sekundären Stromkreise eines Transformators vorkommende Phasendifferenz im primären Kreise wieder erscheint und zwar etwas vermindert bei phasenverfrühtem, und etwas erhöht bei phasenverspätetem Strome. Später werden wir sehen, dass die Hystérésis die Verschiebung im primären Stromkreise reduziert, so dass bei sehr grosser Phasenverspätung in dem sekundären Stromkreise die Phasenverspätung in dem primären geringer sein kann als in dem sekundären.

Hieraus folgt, dass der Transformator nicht geeignet ist, Phasenverschiebung zwischen Strömen zu erzeugen, da die primären und sekundären Ströme, ausgenommen bei sehr geringen Belastungen, beinahe in Phase oder vielmehr einander entgegengesetzt sind.

Kapitel V.

Symbolische Methode.

23. Die graphische Methode, die die Wechselstrom-•erscheinungen durch Polarkoordinaten der Zeit darstellt, gewährt die besten Mittel, eine klare Einsicht in die gegenseitigen Beziehungen der verschiedenen Wechselstromsinuswellen zu erlangen. Für numerische Rechnungen aber ist die graphische Methode häufig nicht geeignet und zwar rührt dies von den sehr verschiedenen Grössen der Wechselstromsinus

wellen her, die in demselben Diagramm dargestellt werden und die eine genaue Bestimmung aus diesem unmöglich machen.

In den Diagrammen für Transformatoren z. B. (vgl. die Figuren 18—20) haben die verschiedenen Grössen in der Praxis z. B. numerische Werte wie Ex = 100 Volt und Jx = 75 Ampère, für eine induktionsfreie sekundäre Belastung, wie bei Glühlampen. Dann ist die einzige Reaktanz des sekundären Stromkreises die der sekundären Spule oder xx = 0,08 S2, die eine Verschiebung von w₁ = 3,6° er-giebt. Wir haben ferner:

30 Windungen.

ni =

n₀ — 300 Windungen.

Fx — 2250 Amperewindungen. F = 100 Amperewindungen.

60 Volt.

Er— 10 Volt. Ex =

Ei — 1000 Volt.

Das entsprechende Diagramm ist in Fig. 21 gezeigt. Man kann keine genauen numerischen Werte aus einem

so flachen Parallelogramm als es OFxFF₍₎ ist, und aus der Zusammensetzung von Vektoren von den relativen Grössen 1 : 6 : 100 erhalten.

Daher liegt die Wichtigkeit der graphischen Methode nicht so sehr in ihrer Brauchbarkeit für die praktische Rechnung, als vielmehr in dem einfacheren Verständnis verwickelter Erscheinungen, die sie gewährt.

24. Wir können manchmal die numerischen Werte trigonometrisch mittelst des Diagramms berechnen, gewöhnlich wird dies aber zu kompliziert, wie leicht einzusehen ist,

E,

E.

Fig. 21.

wenn wir das Verhältnis der Transformation aus dem oben abgebildeten Diagramm eines Transformators berechnen wollen. Die primäre magnetomotorische Kraft ist gegeben durch die Gleichung

F₀ — ]/ F* 4- Fx u -f 2 FFX sin wl, ein Ausdruck, der als Ausgangspunkt für die fernere Berechnung ungeeignet ist.

co

Fig. 22.

Deshalb ist eine Methode erwünscht, die die Genauigkeit der analytischen Rechnung mit der Klarheit der graphischen Darstellung vereinigt.

25. Wir haben gesehen, dass die Wechselstromsinuswelle sowohl in der Intensität als auch in der Phase durch den Vektor Ol dargestellt ist, der analytisch durch zwei numerische Grössen, durch die Strecke Ol als Intensität und durch die Amplitude AOI als Phase co der Welle I bestimmt wird.

Anstatt den Vektor, der die Sinuswelle in dem Polardiagramm darstellt, durch die polaren Koordinaten I und 00 zu bezeichnen, können wir ihn durch die rechtwinkligen Koordinaten a und h (Fig. 22) darstellen, wo a — / cos co die horizontale Komponente der Sinuswelle, b = I sin ft) die vertikale Komponente der Sinuswelle ist.

Diese Darstellung der Sinuswelle durch rechtwinklige Komponenten ist sehr bequem, insofern als sie den Gebrauch von trigonometrischen Funktionen in der Kombination oder Auflösung der Sinuswellen vermeidet.

Da die rechtwinkligen Komponenten a und b die horizontalen und vertikalen Projektionen des Vektors sind, die die Sinuswelle darstellen, und da die Projektion der Diagonale eines Parallelogramms gleich der Summe der Projektionen seiner Seiten ist, so wird die Kombination der Sinuswellen durch das Gesetz vom Parallelogramm auf die Addition oder Subtraktion ihrer rechtwinkligen Komponenten reduziert, d. h.

1'

-.....

*........Os-—

Fig. 23.

Die Sinuswellen werden mit einander kombiniert oder aufgelöst durch die Addition oder Subtraktion ihrer recht-ivinkligen Komponenten.

Wenn z. B. a und b die rechtwinkligen Komponenten einer Sinuswelle I und wenn a' und b' die einer anderen /' sind (Fig. 23), so hat ihre resultierende Sinuswelle Ia die rechtwinkligen Komponenten a₀ = a -j- a' und b₀ — bbf.

Um von den rechtwinkligen Komponenten a und b einer Sinuswelle ihre Intensität i und ihre Phase <0 zu erhalten, können wir a und b mit Hilfe eines Parallelogramms kombinieren und erhalten dann

i= Va² -\-b²

tga> = —.

d

Daher können wir mit den Sinuswellen analytisch ebenso operieren als mit den Kräften in der Mechanik, indem wir sie in ihre rechtwinkligen Komponenten zerlegen.

26. Um bei längeren Rechnungen Verwechselungen zwischen den Komponenten zu vermeiden, können wir zur Unterscheidung der horizontalen und vertikalen Komponenten der Sinus wellen beispielsweise die vertikalen Komponenten mit einem Index versehen oder durch Hinzufügung eines sonst bedeutungslosen Symbols markieren, wie durch denBuchstaben/. Wir erhalten so für den Ausdruck der Sinuswelle I = a -f jb, der jetzt bedeutet, dass a die horizontale und b die vertikale Komponente der Sinuswelle / ist und dass beide Komponenten

in der resultierenden Welle von der Intensität i — V a² + b²

und der Phase tg w =

Ebenso bedeutet a — jb eine Sinuswelle, deren horizontale Komponente a und deren vertikale —b ist, u. s. w.

Jedoch deutet das Pluszeichen in dem Ausdruck a J- jb nicht mehr eine einfache Addition an, da es ungleichwertige Grössen (horizontale und vertikale Komponenten) mit einander verbindet, sondern eine Kombination nach dem Gesetz vom Parallelogramm.

Zunächst ist j nichts weiter als ein Unterscheidungs-

vereinigt sind.

index und kann daher noch willkürlich gewählt werden, nur darf es keine gewöhnliche Zahl sein.

27. Eine Welle von gleicher Intensität und in der Phase von der Welle a -f jb um 180⁰ oder eine halbe Periode verschieden, wird in Polarkoordinaten durch einen Vektor von entgegengesetzter Richtung dargestellt und durch den Ausdruck — a—jb bezeichnet, oder:

Wenn wir den symbolischen Ausdruck einer Sinuswelle a 4- jb mit — 1 midtiplizieren, so bedeutet dieses die Umkehrung der Welle, oder ihre Drehung um 180⁰ oder um eine halbe Periode.

Eine Welle von gleicher Intensität, die 90° oder eine viertel Periode hinter a + jb zurückbleibt (Fig. 24), hat als horizontale Komponente — b und als vertikale a\ sie wird symbolisch durch den Ausdruck ja — b dargestellt.

Multiplizieren wir dagegen a + jb mit j, so erhalten wir ja -f j²b. Definieren wir also das bis jetzt bedeutungslos gewesene Symbol j durch die Bedingung j² = — 1, so erhalten wir j [a -f- jb) = ja — b. Hieraus folgt:

Die Multiplikation des symbolischen Ausdrucks einer Sinuswelle a -j- jb mit j bedeutet die Drehung der Welle um cjo° oder um eine viertel Periode, d. i. die Verzögerung der Welle um eine viertel Periode,

a.

Fig. 24.

oder:

Die Multiplikation mit — j giebt die Voreilung der Welle um eine viertel Periode an, weil j² — —• 1, j — y— i ist, d. h.

j ist die imaginäre Einheit und die Sinuswelle wird durch eine komplex imaginäre Grösse a -f- jb dargestellt.

Da die imaginäre Einheit j im gewöhnlichen Zahlensystem keine numerische Bedeutung hat, so widerspricht die Erklärung von j— V—1 ihrer ursprünglichen Einführung als Unterscheidungsindex nicht. Zwecks einer genaueren Erklärung dieser komplex imaginären Grösse sei auf mathematische Lehrbücher hingewiesen.

28. In dem Polardiagramm der Zeit wird die Sinuswelle sowohl in der Intensität als auch in der Phase durch eine komplexe Grösse a -j- jb dargestellt, wo a die horizontale und b die vertikale Komponente der Welle ist. Die Intensität ist gegeben durch i = Ma? -f- b², die Phase durch b

tg a) = — und a

a — i cos w, b — i sin ft).

Daher kann die Welle a -j- jb auch ausgedrückt werden durch i (cos ft) -f j sin o))

oder, wenn wir für cos oj und sin co ihre Exponentialaus-drücke einsetzen, so erhalten wir ief⁰³.

Da wir gesehen haben, dass Sinuswellen durch Addition oder Subtraktion ihrer rechtwinkligen Komponenten mit einander vereinigt oder aufgelöst werden können, so folgt daraus :

Sinuswellen können durch Addition oder Subtraktion ihrer komplexen algebraischen Ausdrücke mit einander ver- • einigt oder aufgelöst werden.

Es ergeben z. B. die Sinuswellen a -f jb und a' -f jb' mit einander kombiniert die Sinuswelle I=(a-f ar) +j (b -f bj.

Hieraus ergiebt sich, dass die Kombination von Sinus-wellen auf die elementare Algebra der komplexen Grössen reduziert ist.

29. Wenn I — i 4- ji' eine Wechselstromsinus welle und r der Widerstand ist, so ist die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft in Phase mit dem

Strom und gleich dem Produkt aus dem Strom und dem Widerstand, oder r I = r i Ą- jri'.

Wenn L die Selbstinduktion und x — 2 n NL die Reaktanz ist, so ist die durch die Reaktanz oder durch die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion erzeugte elektromotorische Kraft das Produkt aus dem Strom und der Reaktanz und bleibt 90° hinter dem Strom zurück; sie wird deshalb dargestellt durch den Ausdruck jxl — jxi — x i'.

Die erforderliche elektromotorische Kraft zur Überwindung der Reaktanz eilt daher dem Strom um 90 ⁰ voraus (oder wie man sich gewöhnlich ausdrückt, der Strom bleibt hinter der elektromotorischen Kraft um 90° zurück) und wird dargestellt durch den Ausdruck — jxl = — jxi 4- xi'.

Daher ist die elektromotorische Kraft, die zur Überwindung des Widerstandes r und der Reaktanz x erforderlich ist (r — jx) I, d. h.

Z = r —jx ist der Ausdruck in komplexen Grössen für die Impedanz des Stromkreises.

Ist daher I—iĄ-ji' der Strom, so ist die elektromotorische Kraft, die zur Überwindung der Impedanz Z — r — jx erforderlich ist,

E — ZI =(r — jx) (i 4- ji') ; und da j² — —1, so erhalten wir

E = {ri 4- xi') 4- j (ri' — xi) ;

oder es ist, wenn E — e je' die Klemmenspannung und Z — r — jx die Impedanz ist, der durch den Leiter fliessende Strom

r_ E _ e+jS .

” Z ~ r —jx'

oder wir erhalten, wenn wir Zähler und Nenner mit rj-jx multiplizieren, um die Imaginäre aus dem Nenner zu bringen,

(e 4- je') (r 4- jx)    er—e'x

r² 4- x²

+J

e'r -jex r² -j- x²

r² 4- x²

oder es ist, wenn E — e -f je' die Klemmenspannung und

I — i + ji' der durch den Leiter fliessende Strom ist, seine Impedanz

„ E e-\-je' (e + je¹) (i—ji¹) ei-\-e'i'

----- —    — —    -    -    ⁼ P -f P

i+ß'

P + Ï²

Vj

. e'i—ei'

p + r² ‘

30. Wenn C die Kapazität eines Kondensators ist, der in einem Stromkreis, dessen Strom I — i 4- ji', eingeschaltet ist, so ist die Klemmenspannung am Konden-

sator E =

2 n NC

die hinter dem Strom um 90° zurück-

bleibt; sie kann durch

ji

2 n NC

oder jxxI dargestellt werden,

die Kapazitätsreaktanz oder Kondensanz

2 re NC

wo xl

des Kondensators genannt wird.

Die Kapazitätsreaktanz ist von entgegengesetztem Vorzeichen als die magnetische Reaktanz; beide können aber mit dem Namen Reaktanz bezeichnet werden.

Daraus folgt, dass x = 2 n NL die magnetische Reaktanz ist, wenn r den Widerstand und L die Selbstinduktion bedeilten.

die Kapazi

Wenn C die Kapazität, so ist =    ¹

tätsreaktanz oder Kondensanz und somit Z = r — j (x —

die Impedanz des Stromkreises.

Das Ohm sche Gesetz ist dann wiederhergestellt durch

z= :

E — ZI,

Die allgemeinere Form giebt nicht nur die Intensität der Welle, sondern auch ihre Phase an, wie sie in komplexen Grössen ausgedrückt wird.

31. Da die Kombination von Sinuswellen durch die Addition ihrer symbolischen Ausdrücke stattfindet, so sind die KirchhofFsehen Gesetze jetzt in ihrer ursprünglichen Form wiederhergestellt:

a) Die Summe sämtlicher elektromotorischen Kräfte, die in einem geschlossenen Stromkreise wirken, ist gleich Null, wenn sie durch komplexe Grössen ausgedrückt werden und wenn die elektromotorischen Kräfte des Widerstandes und der Reaktanz auch als gegenelektromotorische Kräfte betrachtet sind.

b) Die Summe aller Ströme, die nach einem Knotenpunkt hin fliessen, ist Null, wenn die Ströme in komplexen Grössen ausgedrückt werden.

Wenn eine komplexe Grösse Null ist, so muss sowohl der reelle als auch der imaginäre Teil i für sich Null sein, wenn

a + jb = o,

ODO

OJ

10

a — o, b — o

und es ergiebt sich somit bei Auflösung der elektromotorischen Kräfte und Ströme in ihre Komponenten:

a) Die Summe der Komponenten (in irgend einer Richtung) aller elektromotorischen Kräfte in einem geschlossenen Stromkreis ist Null, wenn der Widerstand und die Reaktanz als gegenelektromotorische Kräfte betrachtet werden.

b) Die Summe der Komponenten (in beliebiger Richtung) aller Ströme, die nach einem Knotenpunkt hin fliessen, ist Null.

Das Joule’sche Gesetz und die Energiegleichung geben keinen einfachen Ausdruck in komplexen Grössen, da der Effekt oder die Kraft eine Grösse ' von der doppelten Frequenz des Stromes oder der elektromotorischen Kraftwelle ist und somit nicht als Vektor in dem Diagramm dargestellt werden kann.

In der Folge bezeichnen wir komplexe Grössen durch grosse und absolute Grössen durch kleine Buchstaben.

32. Zurückkommend auf das in Kapitel IV gegebene Beispiel eines Stromkreises, dem unter einer elektromotorischen Kraft E ein Strom I über eine nicht induktionsfreie Zuleitung zugeführt wird, so können wir jetzt die Impedanz der Zuleitung durch Z—r—jx dar-

Xr

CO

1.

stellen, wo r der Widerstand und .v die Reaktanz der Zuleitung ist. Sodann erhalten wir als elektromotorische Kraft am Anfang der Zuleitung oder am Generator den Ausdruck E₀ = E + ZI.

Wenn wir nun wiederum den Strom als Nulllinie annehmen, nämlich I— i, so haben wir ganz allgemein E₀ — E 4- ir — jix ;

daher bei induktionsfreier Belastung oder bei E — e

E₍₎ — (e 4- ir) — jix ea = V (e + ir)² 4* (ix)²

tg m₀

ix

e -f- ir '

In einem Stromkreis mit verzögertem Strom, d. h. mit voreilender elektromotorischer Kraft, ist

und

E — e — je'

E„ = e —je' + (V —jx) i — (e 4- ir) — j (e- + ix),

eQ — V (e -f- ir)² 4- (e' 4- ix)2 e' 4~ ix e 4- ir

In einem Stromkreise mit voreilendem Strom, d. h. mit verzögerter elektromotorischer Kraft, ist E — e 4* je*

E₀ = (e 4- je') + (r —jx) i = (e 4- ir) 4- j — ix)

oder

und

tg M₀ =

e₀ = V (e -f ir)² 4- (ef — ix)2 e' — ix

tg m₀ =

e 4- ir ’

welche Werte eine einfache Rechnung gestatten.

Kapitel VI.

Topographische Methode.

33. Bei der Darstellung von Wechselstromsinus wellen in Polarkoordinaten durch Vektoren herrscht ein gewisser Doppelsinn, insofern als eine und dieselbe Grösse, z. B. eine elektromotorische Kraft, durch zwei Vektoren von entgegengesetzter Richtung dargestellt werden kann, je nachdem die elektromotorische Kraft entweder als ein Teil der Klemmenspannung oder als gegenelektromotorische Kraft betrachtet wird. Dieses ist analog dem Unterschiede zwischen Wirkung und Rückwirkung in der Mechanik.

Fig- 25.

Es ist ferner klar, dass der Strom, der in dem Stromkreise eines Generators G (Fig. 25) von der Klemme A durch den Widerstand R zur Klemme B fliesst, durch einen Vektor Ol (Fig. 26) oder durch I = i -f- ji' dargestellt wird; ebenso kann derselbe Strom nach entgegengesetzter Richtung hin fliessend betrachtet werden, nämlich von der Klemme B zur Klemme A in entgegengesetzter Phase, und lässt sich dann durch den Vektor OIx (Fig. 26) oder durch Ix— — i — ji' darstellen.

Oder, wenn die Potentialdifferenz zwischen den Klemmen B und A mit E — e + je' bezeichnet wird, so ist diejenige zwischen A und B

Ex——e —je

Wenn wir uns daher mit Wechselstrom wellen befassen, so ist es erforderlich, sie in Beziehung auf den Stromkreis

i'

-i

»I

Fig. 26.

ihren wirklichen Richtungen nach zu betrachten. Besonders in komplizierten Stromkreisen, wie in verketteten mehr- • phasigen Systemen, muss diesem Punkt besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden.

E,

A,

À?

E₃

Fig. 27.

34. Angenommen in Fig. 27 wird ein verkettetes Dreiphasensystem durch das Diagramm dargestellt, das aus drei elektromotorischen Kräften von gleicher Intensität besteht, die in der Phase um eine drittel Periode verschoben sind; ferner, dass die elektromotorischen Kräfte der dfej

Dann ist die Spannungsdifferenz zwischen A₂ und A^\ E₂—Eu weil die beiden elektromotorischen Kräfte El und E₂ zwischen den Klemmen Ar und A₂ in diesem Stromkreise in der Richtung At — O — A₂ verbunden sind; d. h. E₂ in der Richtung OA₂, von neutralem Punkte nach Aussenleiter, und El in entgegengesetzter Richtung AxO} von Aussenleiter nach neutralem Punkte, und somit dargestellt durch — E₁. Umgekehrt ist die Spannungsdifferenz zwischen Ax und A₂ : Ex — E₂.

Zweigkreise in der üblichen Verbindungsrichtung von dem Punkte O zu den Klemmen Aly A₂, A₃ mit Elt E₂, Ez bezeichnet werden.

Es ist nun vorteilhaft, einen Schritt weiter zu gehen und in der Darstellung durch das Diagramm die Vektorlinie ganz fallen zu lassen, d. h. die Sinuswelle nur durch einen Punkt, den Endpunkt des entsprechenden Vektors,

zu bezeichnen.

Wenn wir dies von einem anderen Gesichtspunkt aus betrachten, so bedeutet es, dass wir einen Punkt des Systems, z. B. die gemeinsame Verbindung O als Nullpunkt oder als den Punkt der Spannung Null wählen und die

E*

Et

eT

Fig. 28.

Spannungen aller anderen Punkte des Stromkreises durch Punkte in dem Diagramm in der Weise darstellen, dass ihre Entfernungen vom Nullpunkt die Intensität ergeben, ferner dass ihre Amplitude die Phase der Spannungsdifferenz

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

des betreffenden Punktes in Beziehung auf den Nullpunkt und dass ihre Entfernung und Amplitude in Beziehung auf andere Punkte des Diagramms ihre Spannungsdifferenz diesen Punkten in Intensität und Phase ergiebt.

von

e«

E*

Et TO

Ei Ei

r-li

Es

Fig. 29.

So können wir z. B. in einem verketteten Dreiphasensystem mit drei elektromotorischen Kräften von gleicher Intensität, die in der Phase um eine drittel Periode ver-

e;

V<y\\

eX// \X'

e₂w \

f0

fi -i

E3 Xi''

E,

e;

»3.

Fig. 30.

an

schoben sind, die gemeinsame Verbindung des in Stern verketteten Generators als Nullpunkt annehmen und (Fig. 28) eine der elektromotorischen Kräfte oder die Spannung

einer der Dreiphasenklemmen durch den Punkt Ex darstellen. Die Spannungen an den beiden anderen Klemmen werden dann durch die Punkte E₂ und E₃ dargestellt, die dieselbe Entfernung als Ex von O haben und von einander gleich weit entfernt sind.

Die Spannungsdififerenz zwischen irgend einem Klemmenpaar, z. B. zwischen Ex und E₂₎ ist dann die Entfernung E₂ Ex oder Ex E₂₎ je nach der in Betracht kommenden Richtung.

35. Wenn nun (Fig. 29) ein Strom Ix in Phase mit der elektromotorischen Kraft Ex einen Stromkreis passiert, so ist die gegenelektromotorische Kraft des Widerstandes r Er — Ir entgegengesetzt gerichtet zu Ix oder Ex und daher im Diagramm durch den Punkt Er und ihre Zusammensetzung mit Ex durch Ex dargestellt. Die gegenelektromotorische Kraft

E°

^ :9/\

I,

e;

E,°

Fig. 3¹-der Reaktanz x ist Ex = Ix und bleibt 90° hinter dem Strom Ix oder der elektromotorischen Kraft Ex zurück und wird daher durch den Punkt Ex dargestellt. Sie ergiebt bei ihrer Zusammensetzung mit Ex die Klemmenspannung

4*

des Generators Ei<), die, wie ersichtlich, kleiner als die elektromotorische Kraft El ist.

Wenn alle drei Zweige durch drei Ströme, die durch einen induktionsfreien Stromkreis fliessen, gleich belastet und daher mit den elektromotorischen Kräften an den Generatorklemmen (in dem Diagramm Fig. 30 durch die Punkte Ex, E₂, E₃, die unter einander und auch von dem Nullpunkt O gleich weit entfernt sind, bezeichnet) in Phase sind, so werden die gegen elektromotorischen Kräfte des Widerstandes Ir durch die Entfernungen EE' als EXEX u. s. w. dargestellt und zwar in Phase mit den Strömen /; die gegenelektromotorischen Kräfte der Reaktanz Ix werden durch die Entfernungen E'E° senkrecht zu den Strömen dargestellt und ergeben dadurch als die elekromotorischen Kräfte des Generators die Punkte Ex°, E₂°, E₃°.

EÏ

T.-—'.El

1.

/V

Fig. 32.

Daher stellt das aus den elektromotorischen Kräften des Generators gebildete Dreieck EX°E₂°E₃° bei gleicher Belastung der drei Zweige und bei induktionsfreiem Stromkreise ein gleichseitiges Dreieck EXE₂E₃ der Klemmenspannungen dar.

Wenn die Belastung nicht induktionsfrei ist und die Ströme I hinter den Klemmenspannungen E, sagen wir, um 40° Zurückbleiben, so erhalten wir das Diagramm in Fig. 31, das sich von selbst erklärt und zeigt, dass der Spannungsverlust im Generator bei nicht induktionsfreier Belastung grösser ist als bei induktionsfreier Belastung.

Andererseits, wenn die Ströme den elektromotorischen Kräften an den Klemmen um, sagen wir, 40° voreilen, wie es Fig. 32 zeigt, so ist derSpannungsverlust im Generator geringer und die Spannung kann sogar durch die Belastung steigen.

36. Wird jedoch nur ein einzelner Zweig des Dreiphasenstromstromkreises belastet, wie z. B. EX°E₂°, so ist die elektromotorische Kraft, die den Strom (Fig. 33) erzeugt, EXE₂ und wenn der Strom um 20° zurückbleibt, so hat er die Richtung Ol, wo Ol mit ElE₂ den Winkel 00 = 20° bildet; d. h. der Strom in Ex ist gleich OIx und derjenige in E₂ ist gleich OI₂, der aber OIx entgegengesetzt gerichtet ist.

Daher ist die Spannung an der ersten Klemme E abgeleitet durch Zusammensetzung der elektromotorischen Kraft des Widerstandes E^EX , in Phase mit A₁°, und die elektromotorische Kraft der Reaktanz EXEX) senkrecht zu dem Strom, mit der elektromotorischen Kraft des Generators. Ebenso ist die elektromotorische Kraft an der zweiten Klemme E₂ durch Zusammensetzung von E₂° in Phase mit E₂°E₂' und E₂E₂ senkrecht zu dem Strom, abgeleitet.

Daher sind jetzt die drei Klemmenspannungen Eu E2) A₃° und die Spannungsdififerenzen zwischen den Klemmen des Generators die Seiten des Dreiecks EXE₂EZQ\ oder mit anderen Worten: das gleichseitige Dreieck der elektromotorischen Kräfte E^E^E^ erzeugt an den Generatorklemmen das Spannungsdreieck EXE₂EZ°, dessen drei Seiten ungleich sind. Die eine der Seiten oder der belastete Zweig ExE₂ ist kleiner als die beiden unbelasteten Zweige EXE^ und E₂Ez°, und von diesen ist die eine Seite kleiner geworden, während die andere grösser wurde und das System ist ausser Balance.

In derselben Weise finden wir, dass, wenn zwei Zweige EX°E₂° und E^E^ belastet sind und der dritte E^E^ unbelastet, während die Ströme um 20° Zurückbleiben, der Strom /₃ in Ex° um 20° hinter E^E^ und der Strom Ix in Ao° um 20° hinter E₂°E₃° zurückbleibt und der Strom

,\

.-•fr¹

tuT

Fig- 33-/₂ in E2° die gemeinsame Rückleitung von Ix und /₃ ist. Kombinieren wir wiederum die elektromotorischen Kräfte E⁰ des Generators mit den elektromotorischen Kräften E⁽⁾E' des Widerstandes, die in Phase, und die elektromotorischen Kräfte E'E der Reaktanz, die senkrecht zu den betreffenden Strömen sind, so erhalten wir die Klemmenspannung E. Wir sehen daher, dass das Spannungsdreieck E₁QE₂°EZQ durch Belastung zweier Kreise in das unbalan-cirte Klemmenspannungsdreieck ElE₂E₃ verwandelt wird, wie es die Figur 34 zeigt.

Wenn alle drei Zweige des Dreiphasensystems gleich-massig belastet sind, so sehen wir (Fig. 31), dass dieses System balanciert ist.

37. Als ein anderes Beispiel können wir ein Zweiphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung betrachten, das nicht balanciert ist.

Wenn wir in einem Zweiphasensystem die Spannung der gemeinsamen Rückleitung an den Generatorklemmen mit Null bezeichnen, so werden die Spannungen der beiden äusseren Klemmen des Generators durch üj° und E₂°, die rechtwinklig zu einander stehen und gleich weit von O entfernt sind, dargestellt (Fig. 35).

■El

E;

E'

El

Fig- 34-

die in Phase mit den Strömen

Nehmen wir jetzt an: beide Zweige seien gleichmässig durch Ströme belastet, die um 40° Zurückbleiben. Es werden dann die Ströme in Ex° und E₂° durch Ix und I₂ und ihr gemeinsamer Rückstrom durch I₃ dargestellt. Wenn nun diese Ströme durch Leitungen, die einen Widerstand haben und mit Reaktanz behaftet sind, gesandt werden, so erhalten wir die Spannungen am Ende der Leitung durch die Zusammensetzung der Generatorspannungen £j°, E₂° und O mit den gegenelektromotorischen Kräften des Widerstandes E^EX', E^E₂ und OE sind und mit den elektromotorischen Kräften Ex'Ex, E₂'E₂, E₃'Es der Reaktanz, die senkrecht zu den Strömen stehen, woraus sich die Punkte El} E₂₎ E% als Spannungen am Ende der Leitung ableiten, die weder ein gleichschenkliges noch ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Das heisst: das Zweiphasensystem mit einer gemeinsamen Rückleitung wird selbst bei gleichmässiger Belastungsverteilung in Intensität und Phase unbalanciert.

Diese Beispiele genügen, um die allgemeine Methode der topographischen Darstellung von Wechselstromsinuswellen zu erklären.

Da die Spannung eines jeden Punktes im Stromkreise durch einen Punkt in dem topographischen Diagramm dargestellt wird, so ist es klar, dass der ganze Stromkreis

.U

<

El

EnV

|Ei

40

*2

Fig- 35-

durch eine geschlossene Figur repräsentiert wird, die die topographische Charakteristik des Stromkreises genannt werden kann.

Eine solche Charakteristik ist z. B. OE^E^' in den Figuren 31 bis 34 dargestellt. Weitere Beispiele sind in den folgenden Kapiteln, und als Kurvencharakteristiken in dem Kapitel über verteilte Kapazität u. s. w. gegeben.

Kapitel VII.

38. Wenn in einem Gleichstromstromkreise mehrere Widerstände rlt r₂, r₃, . . . hinter einander geschaltet sind, so ist ihr gesamter Widerstand R gleich der Summe der einzelnen Widerstände, also

R — r, + r₂ -f- r₃ -f- • • •

Sind jedoch mehrere Widerstände parallel geschaltet, so lässt sich ihr Gesamtwiderstand R nicht so einfach

ausdrücken, sondern er wird durch den Ausdruck

ri

+ —+ •••

r2 '3

dargestellt. In diesem Falle ist es vorzuziehen, an Stelle des Widerstandes seinen reciproken Wert oder die Konduktanz g =

einzuführen. Sind mehrere Konduktanzen

glf g₂, g3f ■ ■ ■ parallel geschaltet, so ist ihre gesamte Kon-duktanz gleich der Summe der einzelnen Konduktanzen, also

G — gi + ^2 + £3 + • • •

Wenn wir die Bezeichnung Konduktanz gebrauchen, so wird die gesamte Konduktanz mehrerer hintereinander geschalteter Konduktanzen einen ähnlichen komplizierten Ausdruck wie oben geben, nämlich

---1—¹—1---h • • ■

£1    £2    £3

Es ist daher bei Reihenschaltungen der Gebrauch des Begriffes Widerstandes und bei Parallelschaltungen der der Konduktanz vorzuziehen.

Daher ist der gesamte Widerstand mehrerer hintereinander geschalteter Widerstände gleich der Summe der einzelnen Widerstände.

Die gesamte Konduktanz mehrerer parallel geschalteter Konduktanzen ist gleich der Summe der einzelnen Kon-duktanzen.

39. In Wechselstromstromkreisen haben wir in der Formel des Ohm’schen Gesetzes E = IZ an Stelle des Widerstandes die Impedanz Z — r—- jx mit ihren beiden Komponenten, dem Widerstand r und der Reaktanz x. Der Widerstand r ergiebt die Komponente der elektromotorischen Kraft in Phase mit dem Strom, oder die Energiekomponente der elektromotorischen Kraft Ir, die Reaktanz x dagegen die Komponente der elektromotorischen Kraft senkrecht zu dem Strom, oder die wattlose Komponente der elektromotorischen Kraft Ix; beide zusammen ergeben die gesamte elektromotorische Kraft

Iz = IV r² -j- *²-

so ist :

Da elektromotorische Kräfte durch Addition ihrer komplexen Ausdrücke miteinander kombiniert werden

die gesamte Impedanz mehrerer hintereinander geschalteter Impedanzen gleich der Summe der einzelnen Impedanzen, aus gedrückt in komplexen Grössen.

Bei der graphischen Darstellung dürfen Impedanzen nicht addiert werden, sondern müssen in Phase nach dem Gesetz vom Parallelogramm in derselben Weise zusammengesetzt werden als ihre entsprechenden elektromotorischen Kräfte. Die Bezeichnung Impedanz wird jedoch unbequem, wenn es sich um parallel geschaltete Stromkreise handelt, oder mit anderen Worten, wenn mehrere Ströme durch dieselbe elektromotorische Kraft erzeugt werden, wie in den Fällen, wo das Ohm'sche Gesetz durch die Form E

dargestellt wird.

In diesem Falle ist es besser, den reciproken Wert der Impedanz einzuführen, den wir die Admittanz des

Stromkreises nennen; sie ist Y =

Als reciproker Wert der komplexen Grösse Z — r—jx ist die Admittanz ebenfalls eine komplexe Grösse und ist also Y — g jb\ sie besteht aus der Komponente g₎ die den Stromkoefficienten in Phase mit der elektromotorischen Kraft oder den Arbeitsstrom gE in der Gleichung des Ohm’schen Gesetzes

I — YE = (g + jb)E

darstellt, und der Komponente b, die den Stromkoefficienten senkrecht zur elektromotorischen Kraft oder die wattlose Komponente des Stromes bE repräsentiert.

g nennen wir die Konduktanz und b die Susceptanz des Stromkreises. Daher ist die Konduktanz g die Energiekomponente und die Susceptanz b die wattlose Komponente der Admittanz Y =. g -j- jb, während der numerische Wert der Admittanz

y = V g² + b²

ist. Der Widerstand r ist die Energiekomponente und die Reaktanz x die wattlose Komponente der Impedanz Z=r—jx; der numerische Wert der Impedanz ist

z = V r²    x².

40. Wie man sieht, deutet die Bezeichnung Admittanz die Zerlegung des Stromes in zwei Komponenten an, nämlich in den Arbeitsstrom und in den wattlosen Strom, in Phase und senkrecht zur elektromotorischen Kraft, während die Bezeichnung Impedanz die Zerlegung der elektromotorischen Kraft in zwei Komponenten, nämlich in die Energie — elektromotorische Kraft und in die wattlose elektromotorische Kraft, andeutet, die in Phase und senkrecht zum Strom sind.

Es muss jedoch darauf hingewiesen werden, dass die Konduktanz nicht der reciproke Wert des Widerstandes ist, sondern dass sie sowohl von dem Widerstande als auch von der Reaktanz abhängt. Nur bei Gleichstromstromkreisen, oder wenn die Reaktanz x gleich Null ist, ist die Konduktanz der reciproke Wert des Widerstandes.

Nur in Stromkreisen mit dem Widerstand r gleich Null ist die Susceptanz der reciproke Wert der Reaktanz; sonst hängt sie von der Reaktanz und dem Widerstande ab.

Die Konduktanz ist Null für zwei Werte des Widerstandes:

i. wenn r = oo, oder x = oo, weil in diesem Falle kein Strom fliesst und jede Komponente des Stromes gleich Null ist;

2. wenn r— o ist, weil in diesem Falle der Strom, der durch den Stromkreis fliesst, zur elektromotorischen Kraft senkrecht steht und daher keine Energiekomponente hat.

Ähnlich ist die Susceptanz b für zwei Werte der Reaktanz Null:

i.

wenn x — cd, oder r ■= oo;

2. wenn x = o.

Aus der Definition der Admittanz Y = g -\- jb, als reciproken Wertes der Impedanz Z~r—jx, ergiebt sich oder durch Multiplikation des Zählers und Nenners auf der rechten Seite mit r -f jx:

r Y jx

g 4-jb =

(r — jx) (r Y jx)

und da:

(r— jx) (r -f- jx) = r² x² — z²,

so ist:

g + jb =

z²

r² + x²

r² -f- x²

. x + J -F

oder

r² + tx²

z'²

und umgekehrt

4r

r g* ₊ *2    y

x g² + 6² JV² '

Mit Hilfe dieser Gleichungen können Konduktanz und Susceptanz aus dem Widerstand und der Reaktanz berechnet werden und umgekehrt.

Durch Multiplikation der Gleichungen von g und r erhalten wir

gr =

rg

und weil

z² y² = (r² -j- x²) (g² + b²) = i,

der absolute Wert der Impedanz;

der absolute Wert der Admittanz.

so ist

y V g² -i- b²

V r² 4- x²

41. Wenn in einem Stromkreise die Reaktanz .v konstant ist und der Widerstand r von r — o bis r = 00 variiert, so

sinkt die Susceptanz b von b = — bei r — o bis zu b — o

x

bei r — 00, während die Konduktanz von g = o für r — o ansteigt und ein Maximum für r — x erreicht, wo g — —r

2

und gleich der Susceptanz, oder g=b wird, und sinkt dann wieder, sodass g den Wert Null bei r = 00 erreicht.

In Figur 36 sind für die konstante Reaktanz x = 0,5 Ohm die Änderungen der Konduktanz g und der Susceptanz b als Funktionen des variierenden Widerstandes r gezeichnet. Wie man sieht, sind die absoluten Werte der Admittanz, der Susceptanz und der Konduktanz in vollen Linien ausgezogen, während der absolute Wert der Impedanz punktiert

z = V r² + x² =

eingetragen ist.

Wenn der Widerstand r konstant ist und die Reaktanz x variiert, so werden die Werte der Konduktanz und die der Susceptanz nur vertauscht, wobei die Konduktanz ständig

Ohm

i,8

Konstante Reaktanz — 0,5 Ohm

1,5

1,3

1,2

1,1

1.0

0,9

0,7

0,8

0,5

0,4

0,3

0,2

04

Widerstand : r, Ohm 0 04 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9    1,0 1,1 1,2 1,3 1,1 1,5 1,6 1,7 1,8

Fig. 36.

von g = — bis g — o sinkt und die Susceptanz von Null r

r

bei x — o bis zum Maximum b == — = g = —

2    2

ansteigt und dann wieder bis b = o bei x = co sinkt.

Der Widerstand r und die Reaktanz x variieren als

— bei x — r

Funktionen der Konduktanz g und der Susceptanz b in derselben Weise als g und b als Funktionen von r und x.

Das Vorzeichen in dem komplexen Ausdruck der Admittanz ist immer entgegengesetzt dem der Impedanz. Dies ist klar, da die elektromotorische Kraft, wenn der Strom hinter ihr zuimckbleibt, ihm voreilt oder umgekehrt.

Wir können daher das Ohm'sche Gesetz auf zweierlei Weise ausdrücken:

E = /Z, I=EY;

daher ist

die gesamte Impedanz mehrerer hinter einander geschalteter Impedanzen gleich der Summe der einzelnen Impedanzen und die gesamte Admittanz mehrerer parallel

geschalteter Admittanzen, wenn sie in komplexen Grössen ausgedrückt sind, gleich der Summe der einzelnen Admittanzen.

Bei der Darstellung durch ein Diagramm nimmt die Zusammensetzung mit Hilfe des Parallelogramms die Stelle der Addition der komplexen Grössen ein.

Kapitel VIII.

42.    Nachdem wir im vorigen Kapitel das Ohm'sche Gesetz und die Kirchhoffschen Gesetze wieder als die Fundamentalgesetze der Wechselstromstromkreise nachgewiesen haben in ihrer komplexen Form

E — ZI oder I —YE,

und

2 E = o in einem geschlossenen Stromkreise 2 I — o bei einem Knotenpunkte, wo E, I, Z und Y die elektromotorische Kraft, den Strom, die Impedanz und die Admittanz in komplexen Grössen sind (diese Gesetze stellen nicht nur die Intensität, • sondern auch die Phase der Wechselstromwelle dar), können wir nun, indem wir diese Gesetze in derselben Weise als bei Gleichstromstromkreisen anwenden, Wechselstromstromkreise und Leitungsnetze, die Widerstand, Induktanz und Kapazität in jeder beliebigen Zusammenstellung enthalten, berechnen, ohne auf grössere Schwierigkeiten zu stossen als bei Gleichstromstromkreisen.

zu

Andererseits ist es nicht möglich, die unendlich vielen verschiedenen Kombinationen des Widerstandes, der Induktanz und der Kapazität, die man sich in einem Leitungsnetz denken kann und die in ihm Vorkommen diskutieren, sodass ich mich darauf beschränke, nur einige der wichtigsten dieser Kombinationen zu betrachten.

1) Ein mit einem Stromkreise hintereinander geschalteter Widerstand.

43.    In einem Netz mit konstanter Spannung sei die Klemmenspannung

Ep = ^o² + V²>

Ep = ^0 +./V,

und der zu speisende Stromkreis habe die Impedanz

Z = r — /.r,

die mit dem Widerstand r₀ hintereinandergeschaltet ist.

z = V r² -f- ^²,

Alsdann ist die gesamte Impedanz des Stromkreises Z + r₀ = r + r₀ — jx,

und der Strom

Ep

Ep

J __ -u ____~U_____ Ep (r + ro -t-»

Z -f- r₀ r 4- ^0 —    (r + ro)² + x2 ’

und die elektromotorische Kraft des zu speisenden Stromkreises wird

E=IZ =

Ep (r — jx) _ Eq [r(r -f r₀) 4- x*—jr₀x\

(r 4- r₀)² 4- v²

r+rp~Jx ^Epiz² 4- rr₍₎ — jr₀x) _ ä² + 2 rr₀ 4- r₀²

oder wir erhalten in absoluten Werten die Klemmenspannung den Strom

Ep

Ep

V (^4'ro)² + ^²    ' 0²4-2rro4- r₀

die elektromotorische Kraft an den Klemmen des Abnahme-

Stromkreises

r² fv2 (r4-r₀)²4-^²

V z² 4* 2rr₀ 4- ro²

die Phasendifferenz des Abnahmestromkreises

cotg eo — —

die Phasendifferenz in der Speiseleitung

,    r+r0

cotg w₀ = ——-ü .

X

a) Wenn x in Beziehung zu r, wie z. B. in einem induktionsfreien zu speisenden Stromkreise, vernachlässigt werden kann, so ist

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

r

E₀

r + r₀’

E = E₀-—-r+r₀

und der Strom und die elektromotorische Kraft an den Abnahmeklemmen nehmen ständig mit dem Wachsen von r₀ ab.

b) Wenn r im Verhältnis zu x, z. B. in einem wattlosen Stromkreise, vernachlässigt werden kann, so ist

E₀

VV₀² -fa:²’

E = E₀

Vr₀² -}- x²'

oder für kleine Werte von r₀

E₀

E=E₀;

d. h. der Strom und die elektromotorische Kraft an den Abnahmeklemmen bleiben für kleine Werte von r₀ annähernd konstant, sinken nachher aber sehr stark.

44. In den allgemeinen Gleichungen erscheint x iri den Ausdrücken für I und E nur als x², so dass I und E dieselben Werte annehmen, wenn x sowohl negativ als auch positiv ist; oder mit anderen Worten: hintereinandergeschaltete Widerstände wirken auf einen Stromkreis mit voreilendem Strom oder auf einen Kondensatorstromkreis in derselben Weise, wie auf einen Stromkreis mit zurückbleibendem Strom, oder auf einen nicht induktionsfreien Stromkreis.

Für eine gegebene Impedanz z des Abnahmestromkreises sind der Strom I und die elektromotorische Kraft E um so viel kleiner, je grösser r ist, d. h. je geringer die Phasendifferenz in diesem Stromkreise ist.

In Figur 37 ist die elektromotorische Kraft E an dem Abnahmestromkreis für ein konstantes if₀ = 100 Volt und z — 1 Ohm gegeben; daher ist I—E und

(Kurve I), (Kurve II);

a)    r₀ — 0,2 Ohm

b)    r₀ = 0,8 Ohm mit den Werten der Reaktanz x = Vz² — r² für die Ab-scissen von x ■= + 1,0 bis x = — 1,0 Ohm.

Wie ersichtlich, sind 1 und E am kleinsten für x=o und r= i,o, also für den induktionsfreien Abnahmestromkreis, und am grössten für „r = =t 1,0 und r— o, also für den wattlosen Stromkreis, in welchem ein hintereinander geschalteter Widerstand nur einen geringen Spannungsverlust verursacht.

Daher hängt die Spannungsregulierung eines Stromkreises mittelst Widerständen von der Phasendififerenz in diesem Stromkreise ab.

Für r₀ — 0,8 und für x = o und x= + 0,8 sind die polaren Diagramme aus den Figuren 38 und 39 zu ersehen.

2. Reaktanz mit einem Stromkreis hintereinander geschaltet.

45. Es sei in einem Netz von konstanter Spannung mit der Klemmenspannung

E, = Vef + e'

E = ^0 + jé 0»

die Reaktanz x₀ mit dem Abnahmestromkreis von der Impedanz

z = Vr² -f- x²

Z = r —jx, hintereinander geschaltet.

100

90

Konstânfe elektromotorische Kraft £„ * fOO Volt Konstante Jmpedanz des 4bnahmesfrotnkreises z=t,0

Konstanter Leitungswiderstand r₀=* 0,2. __

/•<,= 0,8

io 4 o,i

80

70

60

o.S

50

40

30

lf<

DUKT ANZ

R EAKT flN2

XONDENSANZ

20

10

Q> | o.s

£=

QKM

0,8

o,r\o,6 ,o,5

0.3

0.2

-0,5r-0.6-Q.tfO.S -0,9\-1,0

Fig. 37. Spannungsänderung bei hintereinander geschaltetem konstantem Widerstand in Phase mit dem Abnahmestromkreis.

Dann ist die gesamte Impedanz des Stromkreises Z -f *₀ = r — j (x 4- x₀)

speisenden Stromkreises

E₀z

-./ r² 4- x²

» r² 4- O 4~ *₀)²    V2² 4~ 2 xx₀ 4~ *₀²

die Phasendifferenz in dem Abnahmestromkreise

COtg M — —

die Phasendifferenz in der Speiseleitung

cotg«₀

^4-^0

a)    Wenn x im Vergleich zu r klein, d. h. wenn der Abnahmestromkreis induktionsfrei ist, so ändern sich / und E für kleine Werte von x₀ sehr wenig. Ist aber x gross, d. h. hat der Abnahmestromkreis grosse Reaktanz, so ändern sich I und E bedeutend bei einer Änderung von x₀.

kreis Kondensatoren

und der Strom

r — j (x + .r₀) ’

während die Spannungsdifferenz an den Klemmen des zu speisenden Stromkreises

Z -f- v₀

Er Er»

Er₀E E₀

Eo

Fig. 38.

Fig. 39-

E = IZ

r — jx

E»r

ist. Oder es sind in absoluten Einheiten der Strom

—j (x 4- *₀)

1=

V z² -j- 2 xx₀ + x₀²

Vr² -f (x 4- A'₀)2 die elektromotorische Kraft an den Klemmen des zu

b)    Ist x negativ, d. h. sind in den Abnahmestromsynchrone Motoren oder andere

Apparate geschaltet, die voreilende Ströme erzeugen, wenn x₀ einen bestimmten Wert übersteigt, so wird der Nenner in dem Ausdruck für E kleiner als z oder E^> E₀; d. h. die Reaktanz ^:₀ erhöht die Spannung.

c) E ist gleich E₀₎ oder die hintereinander geschaltete Induktanz x₀ wirkt nicht auf die Spannungsdififerenz an den Klemmen des zu speisenden Stromkreises ein, wenn

oder

V z² + 2 xx₀ -\- xQ2 x₀ =--2 X

ist.

Ist also die Reaktanz, die mit dem Stromkreise hintereinander geschaltet ist, von entgegengesetztem Vorzeichen und doppelt so gross als die des Abnahmestromkreises, so bleibt die Spannung unverändert und es ist E — Eü £

und 1= —Bei    — 2 x steigt die Spannung und bei

z

.r₀< — 2 x sinkt sie.

Wir ersehen daraus, dass eine mit einem Wechselstrom -Stromkreise hintereinander geschaltete Reaktanz die Spannung an den Klemmen des zu speisenden Stromkreises nur dann sinken macht, wenn sie dasselbe Vorzeichen als die Reaktanz des Abnahmestromkreises hat; ist dagegen ihr Vorzeichen entgegengesetzt, so sinkt oder steigt die Spannung, je nachdem' die Reaktanz x₀ grösser oder kleiner ist als der doppelte numerische Wert der Reaktanz des Abnahmestromkreises.

d) Wenn x gleich Null, d. h. wenn der Abnahmestromkreis induktionsfrei ist, so ist die elektromotorische Kraft an den Klemmen dieses Stromkreises

E₀r

Vr- -f x₀²

CM

to Î

4-

00100

4-

(i -j- X) i wird nach dem binomischen Lehrsatz

]/i -f- x

aufgelöst: (i •-(- x)n = i +■ nx +

n(n — i)

I -2

Ist a*₀ im Vergleich zu r klein, so haben wir

x² -j- . . .

E = E₀ i

und

E₀-E

E,

Es ist also der prozentuale Spannungsverlust durch die Einschaltung einer Reaktanz, die mit einem induktionsfreien Stromkreise hintereinander geschaltet ist, für kleine Werte der Reaktanz unabhängig von dem Vorzeichen, aber

-Eo

Er₀

Fig. 40.

4

proportional dem Quadrat der Reaktanz, oder er bleibt derselbe, gleichviel ob man es mit Induktanz oder Konden-sanzreaktanz zu thun hat.

46. In Figur 41 sind Beispiele für die Änderungen des Stromes I und der elekromotorischen Kraft E an den Klemmen des zu speisenden Stromkreises bei der konstanten Klemmenspannung Ä₀ unter verschiedenen Zuständen des Abnahmestromkreises und für verschiedene Werte der hintereinander geschalteten Reaktanz gegeben.

Diese Figur zeigt für die verschiedenen Werte der Reaktanz xQ (wenn die Induktanz positiv, die Kondensanz negativ ist) die elektromotorischen Kräfte E an den Klemmen

des zu speisenden Stromkreises bei der konstanten Klemmenspannung — 100 Volt und unter folgenden Bedingungen in dem Abnahmestromkreise:

z — i,o, r = 1,0, x = o (Kurve I).

2=1,0, r = 0,6, x —    0,8 (Kurve II).

z = 1,0, r = 0,6, x = — 0,8 (Kurve III).

Konstante Klemmenspannung E₀- fOO Vo/t Konstante Jmpedanz des Ainahmestr omPre/ses Z=f, O

J.    r - 1,0 x= 0

K.    r — 0,6 x — + 0, 8 HT. n- 0,6 x= — O, 8

16 0

J5 0_

14,0

13,0

J2 0

100

;W

90

80

III

1Ł

70

60

JUL

50

II

_5 0_

4C

J0_

30

J0.

20

20

10

i!L

OHM

INDUKTANZ

»--RE

AK1ANŻ--»-KONDENSANZ

+ 3,0 2,8 2,6 2,4 2 2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 -I0j2

0-0S 0.4 0,6 0,8 1,0 1,8-1,4

Big. 41.

Man sieht, dass die Kurve/symmetrisch liegt und dass

mit wachsendem .r₀ die Spannung E zunächst fast konstant bleibt

um dann immer schneller und schneller zu

fallen.

In einem nicht induktionsfreien oder in einem Kondensatorstromkreise verursacht die hintereinandergeschaltete Induktanz bezw. Kondensanz einen bei weitem schnelleren Spannungsabfall als in einem induktionsfreien Stromkreise.

Hintereinander geschaltete Induktanz in einem Kondensatorkreise und hintereinander geschaltete Kondensanz in einem nicht induktionsfreien Stromkreise verursachen ein

Anwachsen der Spannung. Die Spannungssteigerung ist ein Maximum für .r₀ — rb 0,8 oder für .r₀ = — x (Bedingung der Resonanz), und die elektromotorische Kraft erreicht dann den Wert E = 167 Volt, oder

E —

Lo r

Dieses Steigen der Spannung bei hintereinander geschalteter Reaktanz hält an bis x₀ — ± 1,6 oder x^ = — 2.r wird,

E.

Fig. 42.

wo E dann wieder 100 Volt ist; für ^₀^>i,6 fällt die Spannung wieder.

Wenn v₀ = d= 0,8 und x = zp 0,8, so ist die gesamte Impedanz des Stromkreises r— j (x x₀) = r = 0,6, und x = o und tgco = o; d. h. der Strom und die elektromotorische Kraft der Speiseleitung sind mit einander in Phase oder der Stromkreis befindet sich in elektrischer Resonanz.

Er

W

Ei

E.

Fig- 43-

Da ein synchroner Motor während seines Betriebes als Kondensanz wirken kann, so erhalten wir das bemerkenswerte Resultat, dass in Stromkreisen mit angeschlossenen synchronen Motoren die Spannung mit Hülfe von rückwirkenden oder Drosselspulen erhöht werden kann.

In den Figuren 42 bis 44 sind polare Diagramme unter folgenden Bedingungen dargestellt:

E₀ = 100, Xq — 0,6, x =

o (Fig. 42) x — + 0,4 (Fig. 43) 0,4 (Fig. 44)

E— 85,7

E— 13,1 E = 106,6.

47. Figur 45 zeigt in dem Abnahmestromkreis bei einer konstannten Klemmspannung E₀ — 100 die Abhängigkeit der Spannung E von der Phasendifferenz w und zwar für eine konstante Impedanz z — 1,0 (aber veränderlicher Phasendifferenz w) und für verschiedene hintereinander

geschaltete Reaktanzen, wie:

a:₀ = 0,2 (Kurve I).

Xq = 0,6 (Kurve II). a:₀ = 0,8 (Kurve III). a:₀ = i,o (Kurve IV). x₀ =i,6 (Kurve V). ar₀ =3,2 (Kurve VI).

Fig. 44.

Der Strom I ist an allen diesen Kurven gleich E, weil z = 1,0.

In den Figuren 46 und 47 sind dieselben Kurven als in Figur 45 dargestellt, nur mit dem Unterschiede, dass in Figur 46 die Reaktanzen x des Abnahmestromkreises als Abscissen und in Figur 47 die Widerstände r dieses Stromkreises ebenfalls als Abscissen eingetragen sind.

Spannun-aenEodcr Stromstar ken I

*150

HO

Konstante Klemmenspannung E₀ = 100 Konstante Jmpedanz des zu speisenden Stromkreises z - i o /. Xo -0,2    OCo = 1,0

II. oc-o =0,6 W. X₀ =0,8

V. -xo =1,6 17. oc₀ =3, Z

I >>

120

110 1

100

90

S0

, x°

70

IV

XO:

1.0

10

V,

20

VI, y°-

10

z urcickb/eiiend^-Phas en dtficrtnz im Veràraucksstrom kreis—► vorei/end.

^ W*ł-90    80 TO 60    50    40    30    20    10    0    10    20    30    40    50 60    70    80    90 Grudę

Fig. 45. Spannungsänderung bei hintereinander geschalteter konstanter Reaktanz mit dem Winkel der Phasenverschiebung in dem Abnahmestromkreis.

Hott E oder

Ampere T.

Konstante Klemmenspannung Eo = fOO

Ï50

Konstante Jmpedanz des zu speisenden Stromkreises z*f,0 /. <Ko =0,1 IV. Xo = 1,6

V.    xo =1,6

VI.    Xo =i, 2

II. OCo =0,6 ///. jco = 0,8

140

130

120

110

J00

90

4-

_Xßj=»*0i

80

70

41-

60

ivT2

60

40

. V,

30

sj I, X?=-3.

20

Reaktanz des VerbrauchSS trom kreis es

10 — Xf=

-0,7 -0,81-0,9-1 0

c|4-0,1^0,9,40,8fł-0,740,6(1-0,5|t0,‘)f:0,3|f0,lf4l|0    )-0,1-)-0.9(-0,3f-0.l4-0,S|-0,6

Fig. 46. Spannungsänderung bei hintereinander geschalteter konstanter Reaktanz mit der Reaktanz in dem Abnahmestromkreis.

Die Spannung £ an den Klemmen des zu speisenden Stromkreises ist am niedrigsten, wenn a'₀ und x dasselbe Vorzeichen, und am höchsten, wenn .r₀ und x entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Das Steigen der Spannung infolge der Änderungen von .v₀ und x ist ein Maximum für #₀ = -j- 1,0, x= — 1,0 und r = o, wo E=oo ist, d. h. es findet absolute Resonanz statt. Jedoch kann diese Bedingung in der Praxis nicht vollkommen erreicht werden.

ru

-1--S

14 ¹¹ “ "

Ç ,, •J'O'O Ï fö Ç -3 11

Il U H

o'Ö v' v''~*

Uj I 11 11 n

§‘Ï*$JÎ

IH

g-

8

CT

11

-‘I £

>!

CO

*

-►5-

zurück bleibender Strom ■<—

Widerstand des Verbrauch ss Ar om kr et ses

—^voreilender Strsm

0 0,9 0,8 [o,7 0,6 0,5 0,9- 0,3 0,2 0,1 C

Fig. 47. Spannungsänderung bei hintereinander geschalteter konstanter Reaktanz mit dem Widerstand in dem Abnahmestromkreis.

0    0,1 0,2 0,3 0,H- 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Aus der Figur 47 kann man die interessante That-sache wahrnehmen, dass der grösste Teil des Spannungsabfalls durch Induktanz und der Spannungssteigerung durch Kondensanz—oder umgekehrt — zwischen r= 1,0 und r= 0,9 stattfindet; oder mit anderen Worten: es giebt ein Stromkreis mit dem Leistungsfaktor cos w = 0,9 einen um viele Male grösseren Verlust als ein induktionsfreier, und daher muss er als solcher mit hoher Selbstinduktion angesehen werden.

3. Impedanz mit einem Stromkreise hintereinander geschaltet.

48. Durch den Gebrauch der Reaktanz bei der Regulierung von elektrischen Stromkreisen wird notwendiger Weise ein gewisser Betrag von Widerstand infolge des Ohm sehen Widerstandes des Leiters und infolge des Hysteresis-verlustes eingeführt, der, wie wir später sehen werden, als effektiver Widerstand dargestellt werden kann.

Daher kann die Impedanz einer Drosselspule folgender-

massen ausgedrückt werden:

zo = ro —A» «0 = Vr₀*+ V»

wo r₀ im Vergleich zu x₀ meistens klein ist.

Aus diesem Ausdruck erhalten wir, wenn die Klemmen

spannung

£0 = eo + J<> £0 = y + V²

und die Impedanz des Verbrauchsstromkreises

Z=r — jxz — V r² + x² ist, den Strom

£0

Z + Z₀ (r + r₀) —j (x + *₀) und die elektromotorische Kraft an den Klemmen des zu

speisenden Stromkreises £ = £o

£0

r — jx

(r+ r₀) —j(x + xQ)

Z - f- Z₀

oder es ist in absoluten Grössen der Strom

£0

£0

V{r + r₀)² -f (x + *₀)² Vz² + z² + 2 (rr₀ + xx₀) '

die elektromotorische Kraft an den Klemmen des zu speisenden Stromkreises

£₀ z

V(r + r₀)² + (x -f x₀)² Vz² + «₀² + 2 (rr₀ + x*₀) die Phasendifferenz in dem Abnahmestromkreise

cotg w₀=

und die Phasendifferenz in der Speiseleitung

COtg «y

r₀

# -p :v₀ ’

49. In diesem Falle haben wir weder für x = o bei hintereinander geschaltetem Widerstand, noch für r= o bei hintereinander geschalteter Reaktanz einen maximalen Spannungsverlust ; dieser liegt vielmehr an einem dazwischen liegenden Punkte. Der Spannungsverlust ist ein Maximum, wenn E ein Minimum wird, d. h. wenn sein Nenner ein Maximum, oder da z, z₀, r₀, x₀ konstant sind, wenn rr₀ + xx₀ ein Maximum ist, d. h. da x=-\z²— r², wenn rr₀ -f- .r₀ \ z² — r² ein Maximum ist.

150 110 130 120 110

100

30

70

0.3-Ol

‘tL

CO

50

40

Zo

6j

30

20

10

1.0

0.9

0.3

0.1

0,6

0,5

0.+

O.J

o.z

o, 10-o.t-o.i-o,y

O’t-as

■0.S-

ar-ot- 0,9 -10

Fig. 48.

Eine Funktion f= rr₀ + x₀ Vz² — r² ist ein Maximum, wenn ihr Differentialquotient Null ist. Zeichnen wir / als Kurve mit r als Abscissen, so ist an dem Punkte, wo f ein Maximum oder Minimum ist, diese Kurve für eine kurze Strecke horizontal, und die Tangentenfunktion ihrer Tangente ist Null. Die Tangentenfunktion einer Kurve ist dasVerhält-nis der Änderung der Ordinaten zu der Änderung der Abscissen, oder der Differential-Koeffizient der durch die Kurve dargestellten Funktion.

Wir erhalten demnach

f= rr₀    x₀ Vz² — r² = max. oder min.,

wenn

df

-7- = o.

dt

Durch Differentiation erhalten wir

*o

² Vz² — r²

( — 2f) = 0

und wenn wir entwickeln

r₀ Vz² — r² — x₀ r = r₀x — x₀ r =■ o,

oder

r:x= r₀: x₀ ;

d. h. der Spannungsverlust ist ein Maximum,

X

der Reaktanzfaktor —

wenn

des Abnahmestromkreises gleich

ist dem Reaktanzfaktor

x₀

der hintereinander geschalteten

Impedanz.

Ir b.

Ix

E.

Fig. 50.

Fig. 49.

50. Figur 48 zeigt uns die elektromotorische Kraft E an den Klemmen des zu speisenden Stromkreises bei der konstanten Klemmenspannung Eü = 100, konstante Impedanz des Abnahmestromkreises 2=1,0 und hintereinander geschaltete konstante Impedanzen

^0 = °»3 — °.4j (Kurve I)

Zq = 1,2 — 1,6 j (Kurve II)

als Funktionen der Reaktanz x in dem Abnahmestromkreise.

Die Figuren 49 bis 51 zeigen das Polardiagramm für A₀ = 100, x = 0,9, x — o, x= —0,9 und Z₀ = 0,3j —0,47.

~T'

,zo

Fig. 5¹-

4. Kompensation für zurückbleibende Ströme durch Kondensanz im Nebenschluss.

51. Aus den letzten Paragraphen haben wir ersehen, dass in einem Wechselstromnetz von konstanter Spannung die Spannung an den Klemmen des Abnahmestromkreises durch den Gebrauch einer veränderlichen Reaktanz,

-i

■pv

Ci

Fig- 52.

die mit dem Stromkreis hintereinander geschaltet ist, verändert werden kann, und zwar ohne Energieverlust; ausgenommen ist der unvermeidliche Verlust infolge des Widerstands und der Hystérésis der Reaktanz. Wir haben ferner ersehen, dass, wenn die hintereinander geschaltete Reaktanz im Vergleich zu dem Widerstande des Abnahmestromkreises sehr gross ist, der Strom in dem Abnahmestromkreise mehr oder weniger unabhängig von dem Widerstand wird, d. h. von der Energie, die in dem Abnahmestromkreise verbraucht wird und die sich in diesem Falle den Bedingungen in einem konstanten Wechelstromstrom-kreis nähert, dessen Strom

E

oder annähernd I = — ⁰ ist.

E,

Vr²-\- x₀²

Diese Spannungsregulierung bewirkt aber, dass der Strom, der von den Hauptleitungen abgenommen wird, beträchtlich hinter der elektromotorischen Kraft zurückbleibt und viel grösser sein muss, als der in dem Abnahmestromkreise verbrauchten Energie entspricht.

Da ein Kondensator Von den Hauptleitungen einen voreilenden Strom entnimmt, so wird er, wenn zu solchem Stromkreise mit zurückbleibendem Strom im Nebenschluss geschaltet, die Verschiebung auf heben, indem der voreilende und der zurückbleibende Strom mit einander vereinigt einen resultierenden Strom ergeben, der mehr oder weniger mit der elektromotorischen Kraft in Phase und daher proportional der verbrauchten Energie ist.

Widerstand r

In einem in Fig. 52 schematisch dargestellten Stromkreise habe der induktionsfreie Abnahmestromkreis einen der mit der Induktanz hintereinander geschaltet ist; beide liegen zu einem Kondensator von der Kondensanz c im Nebenschluss und der Energieverlust im Kondensator ist zu vernachlässigen.

der

Alsdann ist, wenn E₀ die Klemmenspannng ist Strom in dem Abnahmestromkreis

E₀

V r² -f- Xq²

r — jx 0

der Strom im Kondensatorkreise

E₀

E₀

Jc

und der gesamte Strom

/„ = / +/!=£„}-

— Eq

H—-— Jx 0    Jc

r0

r² + ^₀²

oder es ist in absoluten Einheiten

TV*

/o £°V(r»+*₀*) ⁺ (

während die elektromotorische Kraft an den Klemmen des zu speisenden Stromkreises

E — Ir —

E₀r

—J'x o

ist.

kV² -f- -^o²

52. Der Hauptstrom /₀ ist in Phase mit der Klemmen

spannung E₀, oder der zurückbleibende Strom ist vollständig ausgeglichen oder durch die Kondensanz ersetzt, wenn die imaginäre Grösse

aus

dem Ausdruck /₀ verschwindet,

d. h. wenn

r² -p v₀²

woraus sich ergiebt

c _ r* + V

xo

Daher hängt die Kapazität, die erforderlich ist, um den zurückbleibenden Strom auszugleichen, der durch Hintereinanderschaltung der Induktanz mit einem induktionsfreien Stromkreis entstanden ist, von dem Widerstand und der Induktanz des Stromkreises ab. Da .r₀ bei steigendem Widerstand r konstant ist, so muss entweder die Kondensanz wachsen oder die Kapazität fallen, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt.

Setzen wir nun ein

r² 4- ,rft2 c —-—

so erhalten wir folgende Gleichungen für einen nicht induktionsfreien Stromkreis, der durch Kondensanz ausgeglichen ist:

Jo =

Eo

Eo (r -f jx0)

Eo

r—jx 0

r² -f- a:₀!

JeqX 0

r² + ,r0 Eef

r² -f- v₀² ’ E₀r

⁷o =

]/ r² + ar₀2 EqXq , r² + *₀

Eor . r² + *0 E₀r

r—jx₀

und für die Energie, die in dem Abnahmestromkreise aufgewendet wird

— /o^o,

/V _

r² -f a:₀;

d. h. der Hauptstrom ist proportional dem Energieverbrauch.

Für r—o erhalten wir als Bedingung des Ausgleichs x — xQ.

Vollständiger Ausgleich der zurückbleibenden Komponente des Stromes durch Kapazität im Nebenschluss erfordert daher, dass sich die Kondensanz c mit dem Widerstander ändert; d. h. mit wechselnder Belastung des Abnahmestromkreises.

Fig. 53 zeigt uns für eine konstante Klemmenspannung E₀ = 1000 Volt und für eine hintereinander geschaltete konstante Reaktanz = 100 Ohm die Werte für den ausgeglichenen Stromkreis

Kurve

I den Strom in dem Abnahmestromkreis,

Kurve II den Strom in dem Kondensatorstromkreis, Kurve III den Strom in dem Hauptstromkreis,

Kurve IV die elektromotorische Kraft an den Klemmen des Abnahmestromkreises,

mit dem Widerstand r des Abnahmestromkreises als Ab-scissen.

1 100

Widerstand—er m Ohm des tu speisendrn Stromkreises

10 20 30 40 50 60    70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Fig. 53. Ausgleich phasenverspäteter Ströme in dem Abnahmestromkreis durch variable Kondensanz im Nebenschluss.

53. Lässt man die Kondensanz unverändert mit dem der Nullbelastung entsprechenden Werte c = x0f so dass der Stromkreis für r — o ausgeglichen ist, dann ist er für o mehr als ausgeglichen und der Hauptstrom eilt vor. In diesem Falle erhalten wir

C — Xq ,

r —Jxù ’ _Ä

10 1000

9 900

8 800

AMPERE

o o> «>3

ui

VOLT

ii

Konsta

Hintere

1000 Volt

nie Klemmenspannung F-o =

•mandergeschjitete Konstante Reaktanz xo=/00 Ohm -Yerinderticher Widerstand im zu speisenden Stromkreise Ausgleich durch Änderung der Kondensanz im Kdhcnsch/uss

I. Strom im tu speisenden Stromkreise II.- Strom im Kondensatorkreise Strom im Hauptstromkreise IV. elektromotorische Kraft im zu speisenden Stromkreise

III.

IV

V r- -f- x₀‘J

E₀.

E₀r

E₀r

*o (*o + jn

xq V r²    x₀ ²

Etf_

V r² -f- x₀²

Die Phasendifferenz im Hauptstromkreis ist

E = Ir =

Eq r

r—jx o’

xt)

tg w₀ = —

Sie ist == o, wenn r gleich Null ist oder wenn der Strom kreis nicht belastet ist; sie wächst mit wachsendem Widerstande als voreilender Strom. Gleichzeitig ist der Strom I in dem Abnahmestromkreise für kleine Werte von r annähernd konstant und fällt dann allmählich ab.

Konstante Klemmenspannung £0 =-WOO Hott

Hintereinandergeschaitete Konstante Reste tanu xo—f00 Ohm Konstante Kondensanz im Nebenschluss c=!00 Ohm Veränderlicher Widerstand im zu speisenden Stromkreise

I.    Strom im zu speisenden Strom kreise

II.    Strom im Kondensatorkreise

III.    Strom im Hauptstromkreise

!¥. elektromotorische Kraft im zu speisrndert Stromkreise

4MPCRF

10 TÖÖ7

II.

5 900*

I.

6 -600

5 -500

III

4 400

3- -300

ss

MO

-100,

Widerstand-*r in Ohm des zu speisenden Stromkreises

-10 20 30 40 60 60 70 80 00 100 U0 120 130 140 150 160 170 180 190 200 OHMS

Fig. 54-

In Fig. 54 sind die Werte /, /₁₍ 7₀, E durch die Kurven I, II, III und IV für = 1000 Volt, c —    = ioo Ohm

und mit r als Abscissen, ähnlich wie es in Fig. 50 geschehen ist, dargestellt.

p) Transformation von konstanter Spannung zu konstantem Strom.

54. In einem Stromkreise mit konstanter Spannung, der eine grosse und konstante Reaktanz x₁ und einen variablen Widerstand r enthält, ist der Strom annähernd konstant und fällt nur allmählich mit wachsendem Widerstand r (bei wachsender Belastung), aber er bleibt hinter der elektromotorischen Kraft bedeutend zurück.

Dieser zurückbleibende Strom in dem Abnahmestromkreise kann durch eine Kondensanz im Nebenschluss ausgeglichen werden. Lassen wir jedoch die Kondensanz c — v() konstant und zwar so, dass der zurückbleibende Strom bei Nullbelastung, d. h. bei r — o, ausgeglichen wird, so ist er bei steigender Belastung, wenn r wächst, mehr als ausgeglichen und dann eilt der Hauptstrom voraus, während der Abnahmestrom, wenn die Klemmenspannung E₀ konstant gehalten wird, sinkt. Um daher den Strom in dem Abnahmestromkreise vollkommen konstant zu halten, muss die Klemmenspannung Eq mit wachsendem Widerstande r erhöht werden, d. h. mit wachsender Voreilung im Hauptstromkreise. Wie wir bereits gesehen haben, lässt in einem Stromkreise mit voreilendem Strome eine hintereinander geschaltete Induktanz die Spannung steigen, und um den Strom in dem Abnahmestromkreis bei allen Belastungen konstant zu erhalten, kann eine in den Hauptstromkreis eingeschaltete Induktanz x₂ (Fig. 55) dazu benutzt werden, um die Spannung E₀ bei steigender Belastung zu erhöhen.

Öl

____^

Fig- 55-

Es sei

E₂ = e₂ + je₂, E₀ — V

die Klemmenspannung des Generators oder der Hauptleitungen und xc = x₀ die Kondensanz ; dann ist der Strom in dem Abnahmestromkreis

Iz=

r — jxxi

und im Kondensatorstromkreis woraus sich ergeben der Gesamtstrom in der Hauptleitung

— JX 0

Io = I+Ii=E₀\-_ £or

j\(r—jW

die elektromotorische Kraft an den Klemmen des Abnahmestromkreises

E = Ir =

Epr

r—jx o’

die elektromotorische Kraft an denKlemmen des Kondensators und die elektromotorische Kraft in der Hauptleitung

E’ — — jl₀x₂ =

*o (^— >o)

Daher ist die elektromotorische Kraft am Generator

oder

E₂ = E₀ -f- E' — E₀ i —

rx₂

x₀(r — jx₀)

r(x₀ — x₂) — >r₀²) x₀(r—jx ₀)

und die elektromotorische Kraft an den Klemmen des

E₂ —

Kondensators

Eo —

fr —V*₀)

rhr₀ — x₂) —jx₀2 und der Strom im Abnahmestromkreis

r — jxo r(xo

x2) —Jx0² ’

Dieser Wert von 1 enthält den Widerstand r nur als

Glied der Differenz

Wird daher die Reaktanz

Xq X%.

x₂ so gewählt, dass sie gleich v₀ ist, so hebt sich r vollständig heraus und wir finden, dass, wenn x₂ — x₀ ist, der Strom in dem Abnahmestromkreis

.E₂

I=j —

xp

konstant und unabhängig von dem Widerstande r ist; d. h. von der Belastung.

Setzen wir x₂ — .r₀, so erhalten wir als Spannung an den Klemmen des Generators

E₂ — Ve₂‘J -j- e₂² = konstant,

E% —- e2 +    ,

als Strom in dem Abnahmestromkreis

I=j

x₀

E₂

xo

— konstant

als elektromotorische Kraft am Abnahmestromkreis TT T E*r

E — Ir = j

E₂r

E= -

xo

xo

oder proportional der Belastung r,

als elektromotorische Kraft an den Klemmen des Kondensators

E₀ =

E₂ (.r₀ + Jr)

xQ

= E.i +j-

*0

E₀ = E₂ j/1 -4-

*0,

² ^also grösser ) als E₂,

als Strom in dem Kondensatorstromkreis

h = —j

■ E₂ (X₀ + jr)

E₂

Y 2

Xq

x₀

als Hauptstrom E₀r

*₀(*o + »

E₂r

E₂r

■vo

x₀

proportional der Belastung r und in Phase mit der elektromotorischen Kraft E₂.

Daher ist die Energie in dem Abnahmestromkreis

A₂V

IE =

und die Energie in dem Hauptstromkreise

Efr

f()E₂ —

einander gleich.

55. Diese Anordnung ist umkehrbar, wenn E₂ und I und E und E konstant sind.

In diesem Falle erhalten wir, wenn alle Grössen durch /₀ ausgedrückt werden, für den Strom in der Hauptleitung /₍₎ = konstant,

für die elektromotorische Kraft an den Klemmen des Abnahmestromkreises

E = I₀.r₀ = konstant,

für den Strom in dem Abnahmestromkreis

X

I— /₀— proportional der Belastung r

für den Strom im Kondensatorstromkreis

i—

iür die elektromotorische Kraft an den Klemmen des Kondensators

A₀ = *₀/₀]/ i +

und für die Spannung an den Klemmen des Generators

E₂ =

X ^    X

—/₀, oder proportional der Belastung —. r    r

Aus dem oben Gesagten ziehen wir folgenden Schluss :

Schalten wir zwei Reaktanzen von dem gleichen Werte x₀ mit einem induktionsfreien Abnahmestromkreis, der einen variablen Widerstand r besitzt, hintereinander, und legen wir zu dem Stromkreise und zwar in der Mitte zwischen den Induktanzen einen Nebenschluss mittels der Kapazität von der Kondensanz xc = x₀, so verwandelt sich ein Hauptstromkreis mit konstanter Spannung in einen Abnahmestromkreis mit konstantem Strom und umgekehrt ein Hauptstromkreis mit konstantem Strom in einen Abnahmestromkreis mit konstanter Spannung. Diese Kombination der Induk-tanz und Kapazität wirkt als Transformator und wandelt von konstanter Spannung in konstanten Strom um und umgekehrt, jedoch ohne eine Phasenverschiebung zwischen dem Strom und der elektromotorischen Kraft herbeizuführen.

Hierbei bemerkt man die interessante Thatsache, dass ein Kurzschluss in dem Abnahmestromkreis wie ein Unterbrecher in der Speiseleitung' und eine Unterbrechung in dem Abnahmestromkreis wie ein Kurzschluss in der Speiseleitung wirkt.

In Figur 56 sind als Beispiel die numerischen Werte einer Transformation von konstanter Spannung von 1000 Volt zu einem konstanten Strom von 10 Ampère angenommen.

Da E₂ — 1000 Volt und I = 10 Ampère, so erhalten wir .r₀ = 100 und daraus ergeben sich folgende Konstanten des Stromkreises :

E2= 1000 Volt,

I =10 Ampère,

E — 10r, als Kurve/mit denWiderständen r als Abscissen,

als Kurve II,

E₀= 1000

]/1 + ! ' Y

'    \iooj als Kurve III

100

7₀ = 0,1 r als Kurve IV.

56. In der Praxis wird die in der Hauptleitung verbrauchte Energie grösser als die in den Abnahmestromkreis übertragene Energie, was auf die unvermeidlichen Energieverluste infolge der Induktanzen und Kondensanzen zurückzuführen ist.

Es sei der effektive Widerstand der Kondensanz )\ = 2 Ohm und der effektive Widerstand jeder einzelnen Induktanz r₀ = 3 Ohm; dann ist die von der Kondensanz verbrauchte Energie /₁²    = 200 + 0,02 r², die von der

ersten Induktanz verbrauchte Energie 7²r₀ = 300 und die von der zweiten Induktanz verbrauchte Energie 7₀²r₀ — 0,03rl. Daher beträgt der gesamte Energieverlust 500 -f- 0,05 r², die Leistung in dem Netz 7²r=ioor, die in das Netz hineingeschickte Energie 500 -j- 100 r -f- 0,05 r² und das Güteverhältnis

ioor 500 4- ioor0,05r² ’

Hieraus folgt, dass der Hauptstrom 7₀, um die notwendigen Lnergieverluste in den Apparaten zu ersetzen, etwas zunimmt.

14

VOLT

1*00

13 130?

12 1200

11 1100

Konstanter Strom im r 6r? ahm estromk re/'s J-10 Ampère Konstante Klemmenspannung Ez = fOOO Vo/t 2. Reaktanzen oc₀ — /OO Ohm / in ihrer Mitte ocp = tOO Ohm im Webensehl uss Veränderlicher Widerstand des Abnahmestromkreises |

/. elektromotorische Kraft an den Klemmen des Ainahmestromkrr/ses.

Kondensatorstremkreises

die Kondensanz

II.    ,/

III.    Strom im Kondensatorstromkneise

IV.    // in der Hauptleitung

V.    Strom „    n    einschl. des Verlustes

VI.    Wirkungsgrad der Transformation

10 1000

XL

90

SO

700

600/

KZ

70

60

■?

«0

Im¹

30

100

Widerstand-

r des Speis estrom Kreises in Ohm

20

20

20. 20 . 30. 40. 50. 60. 70 . 80. 90 100. 110.-120.130.-140..150. 160.170.180.190.200. OHM

Fig. 56. Transformation von konstanter Spannung zu konstantem Strom.

Diese Stromkurve 7₀, einschliesslich der durch die Transformation hervorgerufenen Verluste, ist in der Figur 56 durch die Kurve V und das Güteverhältnis durch die Kurve VI dargestellt. Wie man sieht, ist das Güteverhältnis innerhalb weiter Grenzen konstant.

Kapitel IX.

Widerstand und Reaktanz von Leitungen.

57. In Wechselstromstromkreisen wird in den Speiseleitungen der Verteilungsnetze und ebenso in den Fernleitungen elektromotorische Kraft verbraucht und zwar nicht nur infolge des Widerstandes, sondern auch infolge der Reaktanz. Die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft ist in Phase mit dem Strom, während die durch die Reaktanz verbrauchte senkrecht zu diesem steht. Ihr Einfluss auf die elektromotorische Kraft in dem Abnahmestromkreis hängt daher von der Phasendifferenz zwischen dem Strom und der elektromotorischen Kraft in jenem Stromkreise ab. Wie bereits erörtert, ist der infolge des Widerstandes entstandene Spannungsverlust ein Maximum, wenn der Abnahmestromkreis mit der elektromotorischen Kraft in Phase ist und ein Minimum wenn er zu ihr senkrecht steht. Die in der Leitung, infolge der Reaktanz entstandene Spannungsänderung ist klein, wenn der Strom mit der elektromotorischen Kraft in Phase ist. Ein Spannungsverlust wird beim Zurückbleiben, eine Spannungserhöhung hingegen beim Voreilen des Stromes in dem Abnahmestromkreis erzeugt.

Daher hängt die in einer Leitung bei gegebenem Widerstand und bei gegebener Induktanz entstandene Spannungs-änderung von der Phasendifferenz in dem Äbnahmestrom-kreis ab und kann durch Änderung dieser Phasendifferenz geändert und bestimmt werden, d. h. durch Änderung der Admittanz    jb des Abnahmestromkreises.

Die Konduktanz g des Abnahmestromkreises hängt von dem Energieverbrauch, d. h. von der Belastung in dem Stromkreise ab und lässt sich daher nicht für die Regulierung variieren. Die Susceptanz h kann jedoch dadurch geändert werden, dass man denStromkreis mit einer Reaktanz in den Nebenschluss bringt und wird durch eine Induktanz im Nebenschluss grösser, durch eine Kondensanz im Nebenschluss dagegen kleiner. Für die Untersuchung kann man den Abnahmestromkreis als aus zwei Zweigen bestehend annehmen, nämlich aus einer Konduktanz g (dem induktionsfreien Teil des Stromkreises) und einer Susceptanz b im Nebenschluss zu^, die ohne einen Aufwand von Energie geändert werden kann. Die beiden Komponenten des Stromes können somit einzeln betrachtet werden : die Energiekomponente, bestimmt durch die Belastung im Stromkreise, und die wattlose Komponente, die sich zwecks Regulierung ändern lässt.

Anderseits kann in derselben Weise die elektromotorische Kraft des Abnahmestromkreises als aus zwei Komponenten bestehend angenommen werden, nämlich aus der Energiekomponente, die in Phase mit dem Strom ist, und aus der wattlosen Komponente, die senkrecht zu dem Strom ist. Es entspricht dies einer Reaktanz, die mit einem induktionsfreien Teil des Stromkreises hintereinander geschaltet ist. Da der Einfluss beider Auflösungen in Komponenten derselbe ist, sofern es sich um die Leitung handelt, so brauchen wir weiter keine Annahme machen, ob der wattlose Teil des Abnahmestromkreises mit dem Energieteil im Nebenschluss, oder hintereinander geschaltet ist.

Es sei

Z₀ — r₀ — jx₀ die Impedanz der Leitung,

*o = Vr<? + V)

Y = g -\-jb die Admittanz des Abnahmestromkreises

y — y g² Yb²,

Eq — e₀ + jef die Klemmenspannung am Generatorende der Leitung

E₀ =    + e₀

E — e + je' die elektromotorische Kraft am Ende der Leitung

E = Ve² + e'²,

/₀ = i₀ + jij der Strom in der Leitung

Iq — Vif -f- ifl.

Die einfachste Bedingung ist die eines induktionsfreien Abnahmestromkreises, z. B. eines Beleuchtungsstromkreises.

i) Induktionsfreier Abnahmestromkreis, der über eine nicht induktionsfreie Leitung führt.

58. In diesem Fall ist die Admittanz des Abnahmestromkreises Y = g, weil b gleich Null ist.

Wir erhalten dann für den Strom /₀ = Eg; für die Klemmenspannung E₀ — E + Z₀I₀ — E{ 1 -f- Z₍₎g).

Daraus erhalten wir die elektromotorische Kraft in dem Abnahmestromkreis

E₀

E₀

lJrZo§ lJrgro—jgx₀

und den Strom

E₀g

E₀g

¹ + Zo g

¹ + gTo—jgxf

oder in absoluten Werten: die elektromotorische Kraft an

dem Abnahmestromkreis

Eo

+ gr₀Ÿ + g*x f

und den Strom

E₀g

V (I + ^o)² + g2x0

Das Verhältnis der elektromotorischen Kräfte in dem Abnahmestromkreis und am Generator (oder der Speiseleitung) ist

Eo

V'(i Y gr^-Yg^xf ’

und die Energie, die durch den induktionsfreien Abnahmestromkreis übertragen wird, oder Leistung

P=I₀E =

E*g

(i +grQŸ +£-²V

Als Funktion von g und bei gegebenem E₀₎ r₀ und a:₀

dP

ist diese Energie ein Maximum, wenn

— i + £-V₀² + g²x₀² = o; daher ist die Konduktanz des Abnahmestromkreises für das Maximum der Leistung

dg

= o, d. h. wenn

gm

1V + V

und der Widerstand des Abnahmekreises rm =

Durch Einsetzung von P erhalten wir als maximale

F ²

_

2 (r₀ + *₀)

als Verhältnis zwischen der elektromotorischen Kraft an dem Abnahmestromkreise und am Generatorende

Leistung

P,n =

gm

= *o-

² |*o +    + V|

Va('+ ■)

z0

&m —

und als Wirkungsgrad Am

rm + r₀

ro + zo

d. h. die Leistung, die durch eine nicht induktionsfreie Leitung mit dem Widerstande r₀ und der Reaktanz x0 (d. h. der Impedanz z₀) in einen induktionsfreien Abnahmestromkreis gesandt werden kann, ist ein Maximum, wenn der Widerstand des Abnahmekreises gleich der Impedanz der Leitung, also r = z₀ ist; es ergiebt sich dann

p —

J- m —

2 (*o + «o)

Diese Leistung wird bei einem Wirkungsgrad

und

A) +

bei dem Spannungsverhältnis an den beidenEnden der Leitung

CLnl -

Hi+ä

übertragen.

59. Hieraus ersehen wir, dass die maximale Leistung, die durch eine nicht induktionsfreie Leitung gesandt werden kann, kleiner ist als die durch eine induktionsfreie Leitung

Jndi* k fions frei er Speisestrom kreis Gespeist durch eine nicht induktionsfreie Leitung mit der Jmoedanz

und durch eine induktionsfreie Leitung otem Widerstand

mit

r₀ •*& 5

Kurve /. Elektromotorische Kraft an dem Speisestromkreis in einer nicht induktionsfreien Leitung Kurve if. Elektromotorische Kraft an dem. Speise Stromkreis in einer induktionsfreien Le/turyG Leistung im Speisestrom kreis in einer jvnient induktionsfreien Leitung ,

Leistuno im Speis estrom kreis

Kurve //. Kurve V. Kurve ttt ■ Kurve Vt.

in ei.

ng im Spe. induktionsfreien Leitung    /

Wirkungsgrad der Uebertragu/ng in einer nicht induktionsfreien Lei/tung Wirkungsgrad induktionsfreit

ns fr eien Leistung den Geber /tragung in einer eien Leitung/

//

i/e b er/rJi gttnm

fets/n Vo/f

Leistun i kitowa ft

100

90

M—

s-§ —

£-■*—

■ M—

-14-

100% 1000

80

70

60

60

m 9oo

Jo

80# 800

40

70# 700

40# 6oo

30

SO# 500

40# 400

20

30# 300

Strom m der Leitung : I₀ L mp ère

N|

20# 200 ip

0# 100

0    10 SO 30 40 60 60    70 80 90 100 110 120 ISO 140 ISO 160 170 180

Fig. 57. Induktionsfreier Abnahmestromkreis durch eine nicht induktionsfreie Leitung gespeist.

gesandte Leistung, die denselben Widerstand als jene hat, d. h. die Leistung, die bei Gleichstrom bei derselben Generatorspannung abgegeben werden kann.

Fig. 57 zeigt folgende Werte für die Konstanten

E₀ — 1000 Volt,

Z₀ = 2,5 — 6/; d.h. r₀ = 2,50hm, x₀ = 60hm, z₀ = 6,50hm, mit dem Strom f₀ als Abscissen die Werte Elektromotorische Kraft am Abnahmestromkreis A (Kurve I),

Leistung der Übertragung P Wirkungsgrad der Übertragung

(Kurve II), (Kurve III).

Dieselben Grössen E und P für einen induktionsfreien Leitungswiderstand r₀ = 2,5 Ohm und .r₀ = o sind in den Kurven IV, V und VI veranschaulicht.

2) Maximale durch eine nicht induktionsfreie Leitung übertragene Energie.

60. Enthält der Abnahmestromkreis ausser der Kon-duktanz^ noch eine Susceptanz Z>, so kann seine Admittanz folgendermaassen ausgedrückt werden:

Y=g + j'b> y = ^ g² + b'²-

Dann ist der Strom

•h = EY

und die Klemmenspannung

E₀ = E + I₀Z₀ = E (1 -f- YZ₀).

Folglich ist die elektromotorische Kraft an den Abnahmeklemmen

Eo

1 + YZ₀

(l + rQg + XOb) —j (*ug — r0b)

und der Strom

E₀Y

E₀ (g + jb)

1 + YZ₀ (1 + r₀g -f x₀b) —j (x₀g— r₀6) ’ oder in absoluten Werten ist die elektromotorische Kraft am Abnahmestromkreis

der Strom

y (i + rog + xob? + (xog— roby

g‘ + b-

(i + r₀g -j- x₀bf + (x₀g das Verhältnis der elektromotorischen Kräfte am Abnahmestromkreis und am Gengratorende

a E₀ V (i + r₀g + x₀b)² + (xq# — r₀b)² ’ und die Leistung in dem Abnahmestromkreis P — E²g — E²*²g.

61. a) Abhängigkeit der Leistung von der Susceptanz des Abnahmestromkreises.

Bei einer gegebenen Konduktanz g des Abnahmestromkreises ist seine Leistung P = E₀²a²g ein Maximum, wenn a² ein Maximum, d. h. wenn

/=    = (x + rog + xoW + (xog — ro⁶)²

ein Minimum ist.

Die notwendige Bedingung ist

df

= o, oder ent-

wickelt

xo + roS + xob) — ro (xog — rob) = o. Somit ist die Susceptanz des Abnahmestromkreises

% = -b

xo

ro + V V

oder b -f- b₀ = o, d. h. wenn die Summe der Susceptanzen der Leitung und des Abnahmestromkreises gleich Null ist. Setzen wir diesen Wert ein, so erhalten wir die Gleichung für die elektromotorische Kraft bei der maximalen Leistung

für die maximale Leistung

«i =

für den Strom

Eo zo{g + go)

E₀²g²

W+£o)²

⁷0 =

E₀Y

Eo(g — Jbo)

¹ + (r₀—jx₀)(g — jb₀)

Pp (g — Jbq)_

(i + r₀g— x₀b₀) — j (r₀b₀ + x₀g) ’

i +ĄY

g² + bo²

(i + rog — xobo)² + (r0b0 + xog)

und entwickelt

4> =

Ejgs + V ~u Cr + .?o > ’

für die Phasendifferenz im Abnahmestromkreis

tg<a==^

und für die Phasendifferenz im Generatorstromkreise

tg«₀

x + *0 _ ^0 (A² — Ao²)

r + ro goy² + gy² '

62. b) Abhängigkeit der Leistung von der Konduktanz des Abnahmestromkreises.

Bei gegebener Susceptanz b des Abnahmestromkreises

dP

dg

ist seine Leistung P = E^a²g ein Maximum, wenn -j- = o, oder wenn

= o;

d_ /_l_ \ _ _d_ /(i + r₀g + x₀b)² + (x₀g— r₀b)2 dg \a²gj ~~ dg und entwickelt

(i + r₀g + V)² + (xog — rob)² — ²g (r₀ + r₀*g + xo*g) = ⁰1 oder (b + b₀)² = g² — g₀²;    g — V g₀² + (b + b₀)².

Wenn wir diesen Wert in die Gleichung für a auf Seite 97 einsetzen, so erhalten wir als Gleichungen für die elektromotorischen Kräfte:

«2 =

zo ^2 j^₀² -f (b -f b₀)² + g₀ Vg₀² + (b + b₀)²\

->'o

Zo^zgig + g₀) Vzgig + go)

für die Energie

EoW

² j^o + ^o² + & + ^o)²i

s²

2 (g + g₀)

² \ro +

Als Funktion der Susceptanz b wird diese Leistung ein

dP₂

Maximum für

= o, d. h. gemäss § 61, wenn b = — b₀.

Setzen wir diesen Wert ein, so erhalten wir b = — b₀,g = g₀,y =y₀₎ daher: Y = g + jb — g₀— jbQ;

x = —*o> r = ro> « — «o»

Z = r —jx = r₀ +jx₀; und durch Substitution dieses Wertes das Verhältnis der elektromotorischen Kräfte

Ctfyi -

zo

²5o

2 r₀

und für die Leistung

F ²

p _ ^0

dZ w -

4 ro

nämlich dieselbe als in einem Gleichstromstromkreise; oder mit anderen Worten: die Induktanz der Leitung und des Abnahmestromkreises kann in ihrer Wirkung durch die Leistung vollkommen balanciert werden.

63. Wenn wir das Gesamtresultat ziehen, so erhalten wir:

Die durch eine induktionsfreie Leitung mit der Impedanz Z₀ = r₀ — jxQ in einen induktionsfreien Abnahmestromkreis gesandte Leistung ist ein Maximum für den Widerstand r = 0O, oder für die Konduktanz g = y₀ dieses Stromkreises,

oder

TT 2 •^0

² (r₀ + *₀) ’ bei dem Spannungsverhältnis

v-K+ä

Bei einem Abnahmestromkreis mit konstanter Susceptanz

b ist die Leistung, als eine Funktion der Konduktanz gf ein Maximum für die Konduktanz g = Vg₀² 4- (b + ö₀)², und

ist dann

w

l*

bei dem Spannungsverhältnis

Jo

V2g(g + g₀)

Bei einem Abnahmestromkreise mit konstanter Konduk-tanz g ist die Leistung, als eine Funktion der Reaktanz by ein Maximum für die Reaktanz b — — b₀ und ist dann

w

V (g + ^o)²’

Leistung P und Spannung cl an den kiemmen cf er xu speis enc/en L eitung, deren

Jmpederrz

*°4-2,g-6.j 1 I

ÙQ/ constant er K/emmenspannuńg

I Eo= IOOO

l ll

III IV

\y v

om kreise sceptjn

1.5

Jnc/ukfion&freier Speisesfrc Speisestrompreis mit der Su

M vm JnduPfionsfreier Spe/sesfrnmMre/s nduktio nsfrçier Speis estromA reis\ induktionsfreie / ei fund

ßZ

3,4

>1

1,3

1,2

1,1

1,0

0,9

0,8

■Kill

■2-

0,7

0,6 0,5 0,4

0,3

\L

0,1

Hondukfeinz. des Spe/sesfwrtkrefses

0,01 0,08 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 Q14 0,15 0,16 0,17

Fig. 58. Spannungsänderung in der Leitung bei verschiedener

Belastung.

bei dem Spannungsverhältnis

Jo (Ś F £b)

Die maximale Leistung, die durch eine induktionsfreie Leitung als Funktion der Admittanz oder Impedanz des

Abnahmestromkreises übertragen werden kann, tritt ein, wenn Z — r₀ + jx₀, oder wenn Y = g₀ — jb₀ ist, d. h. wenn der Widerstand oder die Konduktanz des Abnahmestromkreises und der Leitung gleich sind, ferner wenn die Reaktanz oder Susceptanz dieses Stromkreises und der Leitung gleich, aber von entgegengesetztem Vorzeichen sind, und zwar ist dann

Leistung P und SpannungjvenAä/tni* a an dem Ende der zu speisenden Leitung, deren dmpedenz Zo- 2,5-Jjist Bei Konstanter Klemmenspannung Eo ~ iOOO

¹    g = 0, 0592

I — Letstun g

JL - Spannung    —-

Susceptanz der Speise./e/tung

!)--4

Fig. 59. Spannungsänderung in der Leitung bei verschiedener

Belastung.

-3

-2

-1

+1

oder unabhängig von den Reaktanzen, aber gleich

F 2 4ro

der Leistung eines Gleichstromstromkreises von gleichem Leitungswiderstande. Das Spannungsverhältnis ist in

diesem Falle a =

während es in einem Gleichstrom-

2 r₀

Stromkreise \ ist. Der Nutzeffekt beträgt 50°/^.

64, Als Beispiel dient Fig. 58 für die Konstanten Eq — 1000 Volt und Z₀ = 2,5 bis 6 j, d. h. für r₀ = 2,5 Ohm, x₀ = 6 Ohm und Z₀ = 6,5 Ohm mit den variablen Kon-duktanzen als Abscissen. Die Werte der Leistungen sind in Kurve I, III und V, die der Spannungen in Kurve II, IV und VI dargestellt. Die Kurven I und II beziehen sich auf einen induktionsfreien Stromkreis. Die Kurven III und IV beziehen sich auf einen Abnahmestromkreis mit konstanter Susceptanz b = 0,142, die Kurven V und VI auf eine solche mit konstanter Susceptanz b = — 0,142 und die Kurven VII und VIII auf einen induktionsfreien Abnahmestromkreis.

Die Kurven I und II in Fig. 59 stellen die Leistung und die Spannungen für dieselben Leitungskonstanten dar, nämlich für eine konstante Konduktanz g = 0,0592 Ohm und für variable Susceptanzen b des Abnahmestromkreises.

3) Maximaler Wirkungsgrad.

65. Die Leistung in einem Abnahmestromkreis bei gegebener Konduktanz g ist ein Maximum, wenn b — —b0 ist. Allgemein ist dies jedoch nicht die Bedingung für den maximalen Wirkungsgrad.

Der Energieverlust in der Leitung ist bei konstantem Strom konstant. Die Leistung des Generators ist bei gegebenem Strom und gegebener elektromotorischer Kraft des Generators ein Maximum, wenn der Strom mit der elektromotorischen Kraft an den Generatorklemmen in

Phase ist. Die Bedingung für die maximale Leistung bei gegebenem Energieverlust oder bei maximalem Wirkungsgrade ist daher tg w₀ — o. Die Stromintensität beträgt

E₀Y

Eo (g + jb)

1 + Zoy I + (r₀ —jx0) [g L jb)

Eo (g + jb)

(i + r₀g + x₀b) —j {xQg — r^b) '

Multiplizieren wir Zähler und Nenner mit (1 -\- r₀g 4 x^b)

U (i + rQg + x₀b) — b (x₀g — r₀b) j +

I=E0

J\bd + r₀g -f x₀b) -f g (x₀g — r₀b) j

(I + r0g + XS‘À +- (*0^ — r0ô)²

Der Strom /₀ ist mit der elektromotorischen Kraft E0 in Phase, wenn seine senkrechte Komponente (d. h. der imaginäre Ausdruck) verschwindet, oder wenn

b (1 + r₀g + x₀b) + g (*og ~ rob) = 0 ist, welches die Bedingung für den maximalen Wirkungsgrad ist.

Entwickeln wir obigen Ausdruck, so erhalten wir

' a    oder: x — — *o-

Daher erhalten wir als Bedingung für den maximalen Wirkungsgrad, dass die Reaktanz des Abnahmestromkreises gleich der Reaktanz der Leitung sein soll, aber von entgegengesetztem Vorzeichen.

Setzen wir nun x = — .r₀ ein, so erhalten wir als Verhältnis für die elektromotorischen Kräfte

V r² -f xQ2 (r + r₀)

ü    E₀    (r + r₀)

und für die Energie

P — E²ga² =

Efr

(r + r₀)² ’

die nur vom Widerstand und nicht von der Reaktanz abhängt.

Die Energie P ist, wie wir bereits gezeigt haben, ein Maximum, wenn g = g₀ ist. Setzen wir daher g = g0 und r = r₀ ein, so ist die maximale Energie bei maximalem Wirkungsgrad

Pnt =

+ j{* og— rob\ zu bringen, so erhalten wir

um

die imaginäre Grösse aus dem Nenner

F 2 4 r₀'

Wechselstromerscheinungen. bei einem Spannungsverhältnis

104

[§ 65

« -_5l

vtm - «

2 r₀

oder dasselbe Resultat als in § 62.

In Figur 60 sind für die Konstanten E₀ = 1000 Volt, Zo = ².5 — 6j, r₀ = 2,5 Ohm, *₀ = 6 Ohm, z₀ = 6,5 Ohm und für die variablen Konduktanzen g des Abnahmestromkreises als Abscissen dargestellt:

K. W

VOLTS

2000

1900

90

80

/ Leistung bri maximalem Nutzeffekt // Spannung an dm Spnse/eitung in Veit /// Nutzeffekt

Klemmenspannung Eo *=1000 Jmpedanz der Leitung ZomZ, 5~6j

1800

1700

1500

70

60

Nutzeffekt

1300

1200,

50

900

-1

800

700

600

III

s tel?

500

400 300

200

JOO.

der Speiseleitung g—*•

0,01    0,02    0,03    0,04    0,05    0,06    0,07    0,08

Fig. 6o. Charakteristische Belastung einer Übertragungsleitung.

die Leistung bei maximalem Wirkungsgrad in Kurve I,

die Spannung am Ende der zu speisenden Leitung in Kurve II

und der Wirkungsgrad

r+r₀

in Kurve III.

4) Regulierung der Spannung im Abnahmestromkreis durch Susceptanz im Nebenschluss.

66. Durch eine Änderung der Susceptanz in dem Abnahmestromkreis ändert sich die Spannung an den Abnahmeklemmen mehr oder weniger. Da die Susceptanz des Abnahmestromkreises beliebig geändert werden kann, so ist es bei konstanter elektromotorischer Kraft des Generators möglich, die Susceptanz des Abnahmestromkreises so zu regulieren, dass die Spannung an dem Ende der Speiseleitung entweder konstant bleibt, oder innerhalb bestimmter Grenzen unabhängig von der Generatorspannung geändert wird.

Das Verhältnis für die elektromotorischen Kräfte ist

V(i + r₀g + x₀bp + (x₀g - rj)f Soll bei der konstanten Spannung EQ des Generators die Spannung im Abnahmestromkreis E konstant sein, so muss a konstant sein, also

ä"

(1 + rog + vA)² + (*o g — ruA² = A

oder entwickelt

— {g + ^o)²-

Dies ist der Wert der Susceptanz b als Funktion der Konduktanz des Abnahmestromkreises (d. i. der Belastung), der erforderlich ist, um am Abnahmestromkreis die konstante Spannung aE₀ zu halten.

Um g, d. h. um die Belastung zu erhöhen, erreicht man einen Punkt, wo in dem Ausdruck

(g + £o)²>

⁴*+vt?r

die Bezeichnung unter dem Wurzelzeichen imaginär wird; es ist daher unmöglich, die konstante Spannung aE₀ aufrecht zu erhalten. Die maximale Leistung, die bei einer Spannung aE übertragen werden kann, ist durch folgende Formel gegeben:

~(g+g₀)² = 0;

daraus folgt b — — b

und

als Susceptanz des Abnahmestromkreises,

, als Konduktanz des Abnahmestromkreises,

Ao

g,t+~i

P=E<?ga?

g~

-^₀ , als Leistung.

67. Ist a — 1, d. h. ist die Spannung am Abnahmestromkreis gleich der am Generator, so ist

<§" — Ao — £0;

P=a*E₀² (y₀—g₀)■

Wenn 0=1, wenn — o, wenn    o,

wenn

a 1, wenn g = o oder ^^>0, b <^o,

d. i. Kondensanz,

wenn

«<1, wenn g = o,

-.//Aol²

wenn    + ]/ -°‘

»■‘•Vf?)’

V» ó<°;

wenn

oder mit anderen Worten: Ista<^i, so muss die Phasendifferenz in der Hauptleitung mit wachsender Belastung sich von Phasenverspätung zu Phasenverfrühung ändern.

68. Der Wert von a, der die maximale Leistung in einem Abnahmestromkreis ergiebt, wird durch den Ausdruck dP

—— = o bestimmt; entwickelt erhalten wir da

^    „ 1    a°-y«

a    aoj    a³

Ao = 2 ago

daher

und

Ao

Ao

²^0

= o,

zo

²l/£Vo

Die maximale Leistung wird durch

2 rü

yo

zo

²go

² r₀

J Verhältnis der speisenden Spannung zur sendenden Spannung a* "7,0

_L Jmpeaanz ater Leitung. Z B~ L2.S - 6J

I■ Energie -Strom konstante 0en era torspan not ng E₀ = 7000 ro/t \\ Reaktiver Strom

—    III Gesamter Strom    ----

iv. Strom m einem in dukhonsfre/en Aonatimesrromkreis ohne Kompensation

—    v Spannung in einen induktionsfreien Abnahmestromkreis ohne Kompensation

ampfre

280

VOLT

1000

SrromKre/s

eoo

11

180

EOO

160

700

600

rT

160

II

120

500

100

400

— —•80

300

testL-

o.f

60

200

40

100

20

10

20

Leistung im Abnahmestromkreis Kilowatt

30

40

50

60

70

80

90

Fig 61. Spannungsänderung in den Übertragungsleitungen.

>'o

S — — go +    = go

bestimmt und ist

Aus der Formel

kann die Reaktanz der Leitung gefunden werden, die eine maximale Leistung in dem Abnahmestromkreis bei dem Spannungsverhältnis a ergiebt; es ist

= r₀ Ü4 a² — 1 ; zQ = 2 r₀a

und für a =

zo = 2 r0 xo = ro ^3 •

Ist die Impedanz der Leitung 2 a mal so gross als ihr Widerstand, so erhalten wir als maximale Leistung

die bei einer Spannung a in den Abnahme-

wird, durch diese die maximale Leistung P = sandt werden.

ge-

“I—

F 2 4 ro

Stromkreis übertragen wird.

Ist z₀ = 2 r₀, oder x₀ — r₀ Ü3, so kann, ohne dass die Spannung an den Klemmen der Speiseleitung geändert

F ²

4 ro

Verne/mis afer spe/senaen Sperrung zur sendenden Spannung >' CC • C3 8

_L Jmpedunr der Z eituny : Z₀ = J2,5 - 6J

\. Energie-Strom konstante S~eneratonspanmang £ = 1000 rote 11. Redrtteer Strom ni. Oesamt er Strom

IV.    Strom in einem induktionsfreien Abnunmestromkreis etme ttompensation

V.    Spannung. ...    -

240

VOLT

220

1000

200

900

180

800

160

700

140

600

130

600

100

400

80

300

60

200

40

100

XL

20

v.

20

40

Leistung im À bna hmestromkrns tO/oreatt.

IQ

20

30

40

50

70

80

90

Fig. 62. Spannungsänderung in den Übertragungsleitungen.

Analog kann das Gesetz für die Änderung der Susceptanz des Abnahmestromkreises gefunden werden, die erforderlich ist, um die Spannung an der Speiseleitung proportional der Belastung zu erhöhen, oder die nötig ist, um eine Änderung der Spannung an dem Abnahmestromkreis unabhängig von der Änderung der Generatorspannung

zu bewirken, z. B. um die Spannung eines Abnahmestromkreises konstant zu halten, selbst wenn die Spannung des Generators stark schwankt.

69. In den Figuren 61, 62 und 63 werden die Energiekomponente des Stromes gE in Kurve I, die wattlose Stromkomponente bE in Kurve II und der gesamte Strom yE in Kurve III für a — 1 (Fig. 58), a — 0,7 (Fig. 59) a — 1,3 (Fig. 60) dargestellt. In diesen Kurven sind die Leistungen P = A₀² ga² als Abscissen eingetragen bei einer

1    1    1    1    1    1    1 r »

zur sendenden Spannung a * 1,3

4000 Vo/t

I I I I T

Verfté/trj/s, d&r speisender? Spannung 2 ' Jmpectjnx- der L esfung Z Q = 2,5 - 6 j _ I. Energie-Strom konstante 6tnrrphorspannung £*

II. fftoK/iver ötrorr?

III    6 es&mrer Strom

IV    Sfrorn in einem induAt/onsfrerer? Atrnah nt estrom A re/s ohne /Sompensat/pn

V. Spànncf    "    v    *

IMPERE

VOLT* 1300 -

280

260

1200

240

1100

-220

IOOO

2Û0

900

180

600

160

700

500

500

■>

■\£

\\

140

120

100

400

80

300

60

eoo

10

100

20

" Leistung im At/nàt7mest-rgmkrers KtiOWdit 20    30    10    50    «0    70    80

Fig. 63. Spannungsänderung in den Übertragungsleitungen.

10

eo

konstanten Klemmenspannung E₀ = 1000 Volt, einer konstanten Impedanz der Leitung Z₀ = 2,5 — 6 j, oder r₀ = 2,5 Ohm, x₀ = 6 Ohm und z — 6,5 Ohm.

Zum Vergleich sind in den drei Diagrammen die Kurven für die elektromotorische Kraft E und die für den Strom I = gE für den Fall eines induktionsfreien Abnahme-

Stromkreises als Kurven IV und V in punktierten Linien eingetragen.

Die Leistung kann also, während man die Spannung konstant hält, durch die richtige Anwendung parallel geschalteter Reaktanz bedeutend gesteigert werden, so dass ohne Spannungsverlust oder sogar bei wachsender Spannung eine weit grössere Energiemenge durch eine Leitung übertragen werden kann.

5) Maximum des Anwachsens der Spannung in dem Ah na h m estromkreis.

70. Da in gewissen Fällen die Spannung an dem Abnahmestromkreis höher als am Generator sein kann, so ist es von Interesse, den maximalen Wert der Spannung E zu bestimmen, der an dem Abnahmestromkreis bei gegebener Generatorspannung E₀ erzeugt werden kann.

Die Bedingung hierfür ist, dass a ein Maximum oder

—r ein Minimum wird, d. h. es muss

dl-

— o und

db

dg

sein. Setzen wir nun

^2 = (i + rog + V)² + (*og ~ ro⁶)²» ein, und entwickeln, so erhalten wir

'IŚ

- = o, oder g= —

iE

dg

V’

ein Wert, der unmöglich ist, weil weder r₀ noch g negativ sein kann. Der am nächsten liegende mögliche Wert ist g — o, ein wattloser Stromkreis.

Setzen wir diesen Wert ein, so erhalten wir

4=d + xob)² + ro²^²»

und durch Substitution in dem Ausdruck

d\-db

*0²

fo __b

— u0

b -f- ^0 — ⁰ 5

d. h. die Summe aller Susceptanzen ist Null, oder die Bedingung für die Resonanz ist erfüllt.

IX

VOLT 8000 1900 1800

1700

1500

1400

1300

Konstante K/emmmponnung £a = VOOO " J/rrpedênz der Le/tun g 2 5—6J /. Maximale L eisfurrg (durch Kompensation fl Maxi mai er t/ufeeffdtf durch Kempen sa hon ff/. Jndu M t/ onsfre/ c So etsefeifung IV. Jndu h Lions freie Leitung und dnduA-łionsfrei e Speiseiei tung

1200

1000

900

NuHeffîLt-

II

800

700

Â~

y

.5

600

*1

too

'S/

300

200

100

JndO

k"°l

Letstung : Kilowatt—►

'0

10    20    30    40    50    60    70    80    90 100

Fig. 64. Wirkungsgrad und Leistung der Übertragungsleitung.

Setzen wir b — — b₀, so erhalten wir

__zo₌do

r° b°

Der Strom ist in diesem Falle

Eo

I— Eo go =

oder derselbe, als ob der Widerstand der Leitung ohne jedwede Induktanz kurz geschlossen ist.

Dies ist die Bedingung für vollkommene Resonanz, wobei Strom und elektromotorische Kraft mit einander in Phase sind.

71. Als summarische Übersicht über dieses Kapitel werden in der Figur 64 dargestellt:

in Kurve I die maximale Leistung, in Kurve II der maximale Wirkungsgrad, in Kurve III ein induktionsfreier Abnahmestromkreis und eine induktionsfreie Leitung b = o und b₀ = o.

Diese Darstellungen sind für eine konstante elektromotorische Kraft des Generators E₍₎ = 1000 Volt, für eine Impedanz der Leitung Z° = 2,5 — 6j, oder r₀ = 2,5 Ohm, v₀ = 6 Ohm und z₀ = 6,5 Ohm angenommen; die Leistungen des Abnahmestromkreises sind als Abscissen und die Spannungen an der Speiseleitung als Ordinaten eingetragen.

Zum Schluss sei poch erwähnt, dass die Susceptanz oder Reaktanz, die von einer Drosselspule oder reaktiven Spule oder von einem Induktionsmotor herrührt, einer Induktanz, und die von einem Kondensator oder von einer sekundären Batterie herrührt, einer Kondensanz und die von einer synchronen Wechselstrommaschine (Motor oder Generator) herrührt, einer Induktanz oder Kondensanz entspricht.

Drosselspulen und sekundäre Elemente sind für hintereinander geschaltete Reaktanzen und Kondensatoren und synchrone Maschinen für parallel geschaltete Susceptanzen besonders geeignet.

Kapitel X.

72. Der Widerstand eines elektrischen Stromkreises wird bestimmt:

1)    Durch direkte Vergleichung mit einem bekannten Widerstand (Methode der Wheatstone’schen Brücke u. s. w.).

Diese Methode ergiebt den sogenannten wahren Ohm’-schen Widerstand des Stromkreises.

2)    Durch das Verhältnis:

Die durch einen Stromkreis verbrauchten Volt Ampères im Stromkreis

In einem Wechselstromstromkreise erhält man mit Hilfe dieser Methode nicht den Widerstand des Stromkreises, sondern seine Impedanz z — Er² + x2,.

3) Durch die Gleichung

Energieverbrauch Quadrat der Stromstärke _ Quadrat der elektromotorischen Kraft Energieverbrauch    ’

in der die Energie und die elektromotorische Kraft aber nicht die durch den Stromkreis gelieferte Arbeit und die gegenelektromotorischen Kräfte einschliessen, wie z. B. die gegenelektromotorische Kraft eines Motors.

In Wechselstromstromkreisen ist dieser Widerstandswert der Energiekoeffizient der elektromotorischen Kraft, also

_ Energiekomponente der elektromotorischen Kraft

Gesamtstrom

Er heisst der effektive Widerstand des Stromkreises, weil er den durch den Stromkreis verbrauchten Effekt oder die durch ihn verbrauchte Leistung darstellt.

Der Energiekoeffizient des Stromes

Energiekomponente des Stromes ö gesamte elektromotorische Kraft heisst die effektive Konduktanz des Stromkreises.

Ebenso ist der Wert

_ wattlose Komponente der elektromotorischen Kraft Gesamtstrom

die effektive Reaktanz und

^ wattlose Komponente des Stromes gesamte elektromotorische Kraft die effektive Susceptanz des Stromkreises.

Während der wahre Ohm’sche Widerstand den Energieverbrauch als Wärmewirkung innerhalb eines elektrischen Leiters durch einen Strom von gleichmässiger Dichte darstellt, stellt der effektive Widerstand den gesamten Energieverbrauch dar.

Da im allgemeinen in einem Wechselstromstromkreise nicht nur in dem Leiter selbst, sondern auch ausserhalb desselben, Energie verbraucht wird, und zwar durch Hystérésis, sekundäre Ströme u. s. w., weicht der effektive Widerstand von dem wahren Ohm’schen Widerstand häufig ab, in sofern als er einen grösseren Energieaufwand darstellt.

Bei der Betrachtung von Wechselstromstromkreisen ist es erforderlich, überall die Werte des effektiven Widerstandes, der effektiven Reaktanz, der effektiven Konduktanz und der effektiven Susceptanz einzusetzen, um die Rechnung auf allgemeine Wechselstromstromkreise, wie z. B. auf Induktanzen, die durch Eisen hervorgerufen sind u. s. w., anwenden zu können.

Während der wahre Ohm’sche Widerstand eine Konstante des Stromkreises ist, die nur von der Temperatur, aber nicht von der elektromotorischen Kraft u. s. w. abhängt, sind der effektive Widerstand und die effektive

Reaktanz im allgemeinen keine Konstanten; sie hängen vielmehr von der elektromotorischen Kraft, von dem Strom u. s. w. ab. Diese Abhängigkeit verursacht die meisten Schwierigkeiten bei der analytischen Behandlung von Wechselstromstromkreisen, die Eisen enthalten.

73. In erster Linie hängt der Energieverlust in Wechselstromstromkreisen ausser von dem durch den wahren Ohm’-schen Widerstand bedingten Verlust noch von folgendem ab:

1.    Von der molekularen Reibung, wie

a)    der magnetischen Hystérésis,

b)    der dielektrischen Hystérésis.

2.    Von primären elektrischen Strömen, wie

a)    dem Stromverlust oder der Stromentweichung durch die Isolation, oder durch Bürstenentladung;

b)    den Wirbelströmen in dem Leiter oder der ungleichmässigen Stromverteilung.

3.    Von sekundären oder induzierten Strömen, wie

a)    den Foucault’schen oder Wirbelströmen in in der Nähe befindlichem magnetischen Material;

b)    den Foucault’schen oder Wirbelströmen in in der Nähe befindlichen Leitern;

c)    den sekundären Strömen gegenseitiger Iuduktion mit benachbarten Stromkreisen.

4.    Von induzierten elektrischen Ladungen, wie der ■elektrostatischen Influenz.

Während alle diese Verluste in dem Begriffe „effektiver Widerstand“ u. s. w., eingeschlossen sind, sollen nur die magnetische Hystérésis und die Wirbelströme in dem Eisen den Gegenstand der folgenden Abhandlung bilden, als wichtigste und am häufigsten auftretende Ursache eines Efifekt-verlustes ausserhalb des Ohm’schen Widerstandes.

Magnetische Hystérésis.

74. In einem von Eisen oder magnetischem Material umgebenen Wechselstromstromkreise wird ausserhalb des

Leiters in dem Eisen durch eine Art Molekularreibung Energie verbraucht, die, wenn dem elektrischen Stromkreise als magnetische Hystérésis erscheint, verursacht durch cyklische Umdrehungen der magnetischen Strömung in dem Eisen im magnetischen Wechselstrom kraftfeld.

entnommen

Um diese Erscheinung zu untersuchen, wollen wir zunächst einen Strom von hoher Induktanz betrachten, d. h. einen vollständig von Eisen umgebenen Stromkreis, wie z. B. den primären Strom eines Wechselstromtransformators mit offenem sekundären Stromkreis, also ein Fall, wo der wahre Ohm’sche Widerstand zu vernachlässigen ist.

nämlich die

Die Stromwelle erzeugt in dem Eisen eine wechselnde magnetische Strömung, die in dem elektrischen Stromkreise eine elektromotorische Kraft induziert, gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion. Kann der Ohm’sche Widerstand vernachlässigt werden, so ist die gegenelektromotorische Kraft gleich der Klemmenspannung; wenn nun die Klemmenspannung eine Sinuswelle ist, so müssen die gegenelektromotorische Kraft und deswegen auch die magnetische Strömung, die die gegenelektromotorische Kraft induziert, ebenfalls Sinuswellen sein. Die Welle des Wechselstromes ist in diesem Fall keine Sinuswelle, sondern eine durch Hystérésis verzerrte Welle. Indessen ist es in diesem Fall möglich, die Strom welle aus dem Hysteresiscyklus der magnetischen Strömung zu konstruieren.

Aus der Windungszahl n des elektrischen Stromkreises wird die effektive gegenelektromotorische Kraft E und aus der Frequenz N des Stromes die maximale magnetische Strömung 0 durch folgende Formel gefunden:

E — V 2 n n N 0 io~⁸;

folglich

Ei o⁸

V 2, n n N

Die maximale Strömung 0 und der magnetische Querschnitt S geben die maximale magnetische Induktion

F, die

Bei periodischer Schwankung der magnetischen Induktion zwischen + B und — B schwankt entsprechend die magnetomotorische Kraft zwischen -j- F und als Kurve eine Schleife, den Cyklus der Hystérésis, beschreibt.

Sind die magnetischen Kraftlinien als Ordinaten und zehntel Amperewindungen als Abscissen gezeichnet, so ist die Fläche der Schleife gleich der während eines Cyklus durch Hystérésis verbrauchten Energie, ausgedrückt in Ergs.

Aus der Hysteresisschleife wird der augenblickliche

Aus der magnetomotorischen Kraft F, die in Amperewindungen pro Längeneinheit für den magnetischen Stromkreis ausgedrückt wird, aus der Länge / des magnetischen Stromkreises und der Windungszahl n des elektrischen Stromkreises werden die augenblicklichen Werte des Stromes z, die einer magnetomotorischen Kraft F entsprechen, gefunden und zwar als magnetische Induktion B und

Fl

Wert der magnetomotorischen Kraft, der dem augenblicklichen Werte der magnetischen Strömung entspricht, gefunden, d. h. der Wert der induzierten elektromotorischen Kraft.

induzierte elektromotorische Kraft e₎ also i =

75. In der Figur 65 sind vier magnetische Cyklen für die maximalen Werte der magnetischen Induktion B — 2000, 6000, 10000 und 16000 mit den entsprechenden maximalen magnetomotorischen Kräften F — 1,8; 2,8; 4,3; 20,0 gezeichnet. Sie zeigen die bekannten Hystereseschleifen, die nahe der magnetischen Sättigung in eine Spitze auslaufen.

Diese magnetischen Cyklen entsprechen einem Durchschnittseisenblech oder Stahlblech, mit einem Hysteresiskoeffizienten ij — 0,0033. Die Amperewindungen pro cm sind als Abscissen und die Tausende der magnetischen Kraftlinien als Ordinaten eingetragen.

In den Figuren 66, 67, 68 und 69 ist die Kurve der magnetischen Induktion, wie sie aus der induzierten elektromotorischen Kraft abgeleitet wird, eine Sinus welle. Für die verschiedenen Werte der magnetischen Induktion dieser Sinuskurven werden die entsprechenden Werte der magneto-

16 14 000 t<HK

6 IKK

4 0W

-20-18 -16 -14 -12 -1)    —-

/    2 00C

m

-4-    <-8    4-10 4ip 4-16 +1K 4-20

i<ybo>o

12 IKO 14 (K 0 16 000

Fig. 65. Hysteresiscyklus von Eisenblech.

motorischen Kraft, und also auch die des Stromes, aus der Figur 66 genommen und gezeichnet; sie ergeben so den Erregerstrom, der erforderlich ist, um die Sinuswelle des Magnetismus zu erzeugen; d. i. die Stromwelle, die eine Sinuswelle mit Klemmenspannung durch den Stromkreis sendet.

Wie in den Figuren 66, 67, 68 und 69 gezeigt ist, sind diese Wellen des Wechselstromes keine Sinuswellen, sondern sie sind durch das Übereinanderlagern von höheren Harmonischen verzerrt und daher komplexe harmonische Wellen. Sie erreichen ihr Maximum gleichzeitig mit dem Maximum des Magnetismus, d. h. 90⁰ vor der maximalen induzierten elektromotorischen Kraft; sie bleiben daher ungefähr 90° hinter der maximalen Klemmen-

■c

(Bf 2000

£F=-1,6

1,8

(B - 6000

ÎF-f 2,8

FH

"C"

3 f 2,9

j{_

a\:

Figg. 66 und 67. Verzerrung einer Stromwelle durch Hystérésis.

Spannung zurück, gehen aber bedeutend früher durch die Nulllinie, als der Magnetismus seinen Nullwert erreicht, bei 42⁰, 52⁰, 50° und 41 °.

Der allgemeine Charakter dieser Stromwellen ist der, dass das Maximum der Welle mit dem Maximum der Sinuswelle des Magnetismus zusammentrifift. Die Stromwelle ist auf der ansteigenden Seite stark nach aussen

gekrümmt, während sie auf der abfallenden Seite nach aussen konkav ist. Mit wachsender Magnetisierung wird die Stromwelle nach ihrem Maximum zu immer spitzer (siehe Figur 68, die Kurve für B — ioooo) und bei noch

ff

(B-- 10Ö00

3- 4,2

•Vg

-a-

(B =

16000

Cs

ff 420

C ■ 13

Figg. 68 und 69. Verzerrung der Stromwelle durch Hystérésis.

grösserer Sättigung bildet sich im Maximum eine Spitze, die in der Figur 69 für B = 16000 veranschaulicht ist. Dieses ist der Fall, wenn die Magnetisierungskurve in das Gebiet der magnetischen Sättigung steigt, denn in der Nähe der Sättigung steigt der Strom nahe dem Maximum der Magnetisierung anormal an, um nur ein kleines Wachsen der Magnetisierung hervorzurufen.

Die vier Kurven in den Figuren 66, 67, 68 und 69 sind nicht in demselben Massstab gezeichnet. Die maximalen Werte der magnetomotorischen Kraft, die den maximalen Werten der magnetischen Induktion B = 2000, B — 6000, B — 10000 und B = 16000 Kraftlinien pro cm2 entsprechen, sind F — 1,8, F — 2,8, F — 4,3 und F = 20,0 Amperewindungen für einen Centimeter Länge. In den verschiedenen Diagrammen werden sie, um die Stromkurven auf annähernd dieselbe Höhe zu bringen, in dem Verhältnis von 8:6:411 dargestellt.

Die magnetomotorische Kraft, in C.G.S.-Einheiten ausgedrückt, ist

FC = ^F= 1,257 F.

Die Kurve in

76. Die Verzerrung der Welle des magnetisierenden Stromes ist nur in einem durch Eisen geschlossenen magnetischen Stromkreise, der nur durch Hystérésis Energie verbraucht, so gross als in einem von Eisen umgebenen Transformator, dessen sekundärer Stromkreis geöffnet ist. Sobald der Stromkreis in anderer Weise Energie verbraucht, z. B. durch seinen Widerstand, durch gegenseitige Induktion, oder wenn in den magnetischen Stromkreis ein Luftzwischenraum eingeschaltet ist, so nimmt die Verzerrung der Stromwelle sehr schnell ab und verschwindet schliesslich ganz, so dass der Strom mehr sinusförmig wird; d. h. während die verzerrende Komponente dieselbe bleibt, wächst die sinusförmige Komponente des Stromes stark und lässt die Verzerrung verschwinden. In den Figuren 70 und 71 sind z. B. zwei Wellen zu sehen, die in Beziehung auf die Magnetisierung der Kurve in Figur 67 als der am meisten verzerrten entsprechen. Die Kurve in Figur 70 stellt die Stromwelle eines Transformators bei einem Zehntel seiner normalen Belastung dar. Bei grösseren Belastungen ist die Verzerrung entsprechend geringer.

Figur 71 zeigt uns den Erregerstrom eines magnetischen Stromkreises mit einem Luftzwischenraum, der den vierhundertsten Teil der Länge des ganzen magnetischen Stromkreises ausmacht. Die Figuren 70 und 71 sind in ein Drittel der Grösse der Figur 67 gezeichnet. Wie wir

_

~L

N,

-kr

•A

Figg. 70 und 71. Verzerrung der Stromwelle durch Hystérésis.

gezeigt haben, sind beide Kurven fast vollständig Sinuswellen.

77. Die verzerrte Stromwelle kann in zwei Komponenten zerlegt werden, und zwar in eine zvahre Sinnswelle, die die gleiche effektive Intensität und die gleiche Energie als die verzerrte Welle besitzt und die äquivalente Sinuswelle genannt wird, und in die wattlose höhere Harmonische, die hauptsächlich aus einem Gliede von dreifacher Frequenz besteht.

In den Figuren 66 bis 71 sind die äquivalenten Sinuswellen und die wattlosen komplexen höheren Harmonischen eingetragen, die zusammen die verzerrte Strom welle bilden. Die äquivalente Sinuswelle (Figuren 66 bis 69) der magnetomotorischen Kraft oder der magnetischen Strömung eilt dem Magnetismus um 34⁰,    44⁰,

38° und 15,5° vor. In Figur 71 koincidiert die äquivalente Sinuswelle beinahe mit der verzerrten Kurve und eilt dem Magnetismus nur 9⁰ voraus.

Bemerkenswert ist, dass selbst in den sehr verzerrten Kurven der Figuren 66 bis 68 der maximale Wert der äquivalenten Sinuswelle beinahe dem maximalen Werte der ursprünglichen verzerrten Welle der magnetomotorischen Kraft gleichkommt, so lange als die magnetische Sättigung noch nicht erreicht ist, vom Werte 1,8, 2,9 und 4,2, gegen 1,8, 2,8 und 4,3 der maximalen Werte der verzerrten Welle. Da nach der Definition der effektive Wert der äquivalenten Sinuswelle gleich dem der verzerrten Welle ist, so folgt, dass die verzerrte Welle des Erregerstromes und die Sinuswelle die gemeinsame Eigenschaft haben, dass der maximale Wert sich zum effektiven Werte verhält wie 1/2:1. Daher kann unterhalb magnetischer Sättigung der maximale Wert der verzerrten Welle aus dem effektiven Werte, der durch die Ablesung eines Elektrodynamometers gegeben ist, nach derselben Gleichung als in einer wahren Sinuswelle berechnet werden ; die magnetische Charakteristik kann also durch Wechselströme mit genügender Genauigkeit nach der elektrodynamometrischen Methode bestimmt werden.

78. In Figur 72 sieht man die wahre magnetische Charakteristik eines guten Durchschnittseisenblechs, wie sie mit Hilfe des Magnetometors gefunden wird. Zum Vergleich ist dieselbe Charakteristik, wie sie mittels Wechselströmen durch das Elektrodynamometer bestimmt wird, durch punktierte Linien dargestellt. Die Amperewindungen

J.

■4

// C-

A:

Y

(jfiYlßOO 2,000 3.000 i,000 5,000 6,000 7,000 S.oôo 9.000 10,000 11,000 12,00013,00014,00015,00016,000 17,00<T

Fig. 72. Magnetisierungs- und Hysteresiskurve.

für einen Centimeter Länge sind als Ordinaten und die magnetischen Induktionen als Abscissen eingetragen. Die beiden Kurven fallen in der That bis zu B — 13 000, d. h.

bis zu den höchsten in Wechselstromapparaten anwendbaren Induktionen, zusammen. Für höhere Sättigungen wird die Differenz der Kurven immer grösser; die Elektrodynamometerkurve zeigt verhältnismässig kleine magnetomotorische Kräfte, die scheinbar sehr hohe Magnetisierungen hervorbringen.

In Figur 72 ist auch noch die Kurve des Hysteresis-verlustes in Erg. für einen Kubikcentimeter und Cyklus als Ordinate und für die magnetischen Induktionen als Abscissen dargestellt.

Beim Gebrauch von Wechselstromapparaten ist zur Bestimmung der magnetischen Charakteristik die elektro-dynamometrische Methode vorzuziehen, weil sie durch die Erscheinung des magnetischen Schlüpfens nicht beeinflusst wird. Bei magnetometrischen Untersuchungen ergiebt diese Erscheinung bei geringer Kraftliniendichte einen höheren Magnetismus oder eine niedrigere magnetomotorische Kraft, als sie mittels Wechselstromapparaten gefunden werden.

Soweit Stromstärke und Energieverbrauch in Frage kommen, kann die verzerrte Welle durch die äquivalente Sinuswelle ersetzt werden, während die höhere Harmonische vernachlässigt werden kann.

Alle Messungen von Wechselströmen, mit Ausnahme von augenblicklichen Ablesungen, ergeben nur die äquivalente Sinuswelle und unterdrücken die höhere Harmonische, weil alle Messinstrumente entweder das mittlere Quadrat der Stromwelle oder das mittlere Produkt der augenblicklichen Werte des Stromes und der elektromotorischen Kraft ergeben, die der Definition gemäss sowohl in der äquivalenten Sinuswelle als auch in der verzerrten Welle einander gleich sind.

Daher ist es praktisch überall zulässig, die höhere Harmonische ganz zu vernachlässigen und die verzerrte Welle durch ihre äquivalente Sinuswelle zu ersetzen, wobei wir aber nicht vergessen dürfen, dass das Vorhandensein einer höheren Harmonischen möglicherweise ein störender Faktor werden kann, was sich in jenen seltenen Fällen bemerkbar machen kann, wo die Frequenz der höheren Harmonischen nahezu dieselbe ist, als die der Resonanz-Frequenz des Stromkreises.

79* Die äquivalente Sinuswelle des Erregerstromes eilt der Sinuswelle des Magnetismus um den Winkel a voraus, den man den Winkel der Hysteresisvoreilung in der Phase nennt. Der Strom bleibt daher hinter der elektromotorischen Kraft um den Winkel 90 ° — a zurück und es ergiebt sich daraus die Energie:

P — IE cos (90° — «) = IE sin a.

Daher besteht der Erregerstrom / aus einer Energiekomponente I sin «, die der Hysteresis-Energiestrom, oder magnetische Energiestrom, und aus einer wattlosen Komponente/cos a, die der magnetisierende Strom heisst; oder umgekehrt: die elektromotorische Kraft besteht aus einer Energiekomponente E sin cq der elektromotorischen Kraft der Hystérésis-Energie und aus einer wattlosen Komponente E cos cc, der elektromotorischen Kraft der Selbstinduktion.

Bezeichnet man den absoluten Wert der Impedanz des

Stromkreises

mit z, wo z durch die magnetische

Charakteristik des Eisens und durch die Form der magnetischen und elektrischen Stromkreise bestimmt wird, so wird die Impedanz in Intensität und Phase durch den Ausdruck

Z = r — jx = z sin a — jz cos a

und die Admittanz durch

y = £-+ jb = — sin a -+- j — cos a = y sin a -f- jy cos « dargestellt.

Die Grössen z, r, x und y, g, b sind jedoch keine Konstanten, wie es bei einem Stromkreise ohne Eisen der Fall wäre, sondern sie hängen von der Intensität der Magnetisierung B, also von der elektromotorischen Kraft ab.

Diese Abhängigkeit macht die Untersuchung von Stromkreisen, die Eisen enthalten, kompliziert.

In einem von Eisen ganz umgebenen Stromkreise ist a ganz beträchtlich und variiert für Werte unterhalb der magnetischen Sättigung von 30° bis 50°. Daher kann selbst bei einem zu vernachlässigenden wahren Ohm’schen Widerstand keine grosse Verzögerung in Wechselstromstromkreisen, die von Eisen umgeben sind, erzeugt werden.

80. Der durch Hystérésis infolge molekularer Reibung herbeigeführte Energieverlust ist annähernd der 1,6. Potenz der magnetischen Induktion B proportional. Der Verlust kann daher durch die Formel

WH — rjB¹’⁶

ausgedrückt werden, wo

Wh den Energieverlust pro Cyklus in Erg. oder C.G.S.-Einheiten (= io~7 Joule) für einen Kubikcentimeter,

B die maximale magnetische Induktion, ausgedrückt in Kraftlinien für einen Quadratcentimeter, und 7j den Hysteresiskoeffizienten bedeutet.

Ich fand, dass dieser Koeffizient beim Eisen zwischen 0,00124 und 0,0055 schwankt; bei gutem ausgeglühtem Eisen oder Stahlblech kann als Mittelwert 0,0033*) genommen werden. Bei grauem Gusseisen ist ij im Mittel 0,013; bei Gussstahl schwankt es von 0,0032 bis 0,028, je nach seiner chemischen und physikalischen Beschaffenheit und erreicht den Wert 0,08 bei gehärtetem Stahl (Tungstein und Manganstahl). Weiches Nickel und Kobalt haben ungefähr denselben Hysteresiskoeffizienten als graues Gusseisen; für Magneteisenerz fand ich rj — 0,023.

In den Kurven der Figuren 62 bis 69 ist r\ — 0,0033.

Bei der Frequenz N ist nach dieser Formel der Energieverlust in dem Volumen V

In dem gegenwärtig (1899) bei sorgfältiger Auswahl verfügbaren Materiale entspricht rj = 0,0025 etwa dem Mittelwerte.

180

170

160

Abhäng/ghe/t zwischen n und P für (, S* 20, fOO. £ = WO

g g g i g i I

P- Energie I

60

50

40

30

iO

10

nm Windungszahl

so

100

150

200

250

300

350

400

75

P** E nerqtc

100

A ôhà/7j7 /j?à e/V zwrsc/yer? £ un a7 P rür L = 6 S -20 N* 700 n - 700

Eliktromotorische Kräht

20    40    60 SO IÜ0 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Fig. 73. Hysteresisverlust als Funktion der elektromotorischen Kraft.

Fig. 74. Hysteresisverlust als Funktion der Windungszahl-

P — rj NV B⁶’¹ 10 ^ Watt io~7 Watt,

^(!)

1,6

wo S der Querschnitt der gesamten magnetischen Strömung 0 ist.

Die maximale magnetische Strömung 0 hängt von der gegenelektromotorischen Kraft der Selbstinduktion E —V 27T N n 0 1 o“⁸

ab; oder es ist

E io⁸

V 2 n N n

wo n die Zahl der Windungen des elektrischen Stromkreises ist.

Setzen wir dies in die Gleichung für den Effekt P ein, so erhalten wir

E¹’⁶ Fio5'⁸    Er>⁶ Vio3

^ N°’⁶ 2°’⁸7tI>⁶Sz,6nI>⁶    ^ ^ TV⁰’⁶ SI,^nI>6

oder

AE¹’⁶

A°>⁶ »

WO

Fio5'⁸

^    ^ 20,8^1,651,6^1,6 — 5 n

VI o3

S¹-⁶«¹’⁶ ’

oder wenn wir für 77 den Wert 0,0033 einsetzen, halten wir

so er-

S¹’⁶«¹’⁶ ’

A — 191,4

oder wenn wir V — SL setzen

wo L die Länge des

magnetischen Stromkreises ist, so erhalten wir

rj Zio5>⁸

58 rj Z,io3

2⁰’⁸    nJk

S⁰’⁶«!’⁶

und

58 rj E¹’⁶ Zios 191,4 E¹'⁶L

TV⁰,⁶ S°<⁶nlf6

^0,650,6^1,6 •

In den Figuren 73, 74 und 75 sind die Hysteresis-verluste mit den Kraftverlusten als Abscissen dargestellt, und zwar

in der Figur 73 mit der elektromotorischen Kraft E als Ordinaten, für L = 6, S = 20, N = 100 und n — 100,

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

Fig. 75. Hysteresisverlust als Funktion der Cyklen.

in der Figur 74 mit der Windungszahl als Ordinaten, für L = 6, S = 20, N = 100 und E = 100; in der Figur 75 mit der Frequenz N, oder dem Querschnitts als Ordinaten, für L = 6, n = 100 und E=z 100.

Wir sehen also, dass der Flysteresisverlust proportional der i,6ten Potenz der elektromotorischen Kraft und umgekehrt proportional der i,6ten Potenz der Windungszahl und der o,6ten Potenz der Frequenz und der o,6ten Potenz des Querschnittes ist.

81. Ist g die effektive Konduktanz, so ist Eg die Energiekomponente eines Stromes I — Eg und die durch die Konduktanz g verbrauchte Energie P = IE — E²g. Da aber

E¹’⁶

iV⁰’⁶

P= A

ist, so erhalten wir

E¹’⁶

N°’⁶

90

85

80

75

Abhängigkeit zwischen N und P für ó*20, L* 6, n* tOO E ** tOO

70

CD

60

55

50

45

35

20

15

■5

10

cf

100

N* frecj uenz

200

300

400

= £²g\

oder

= 191,4

58 fj L I03

E°aN°'⁶S°'⁶

E°>4 N°’⁶ S°’⁶ n1,6

]Y°k E°>4 Hieraus folgt:

Potenz der elektro-

infolge magnetischer Hystérésis hervor gerufene effektive Konduktanz ist dem Hysteresiskoeffizienten rj und der Länge L des magnetischen Stromkreises proportional, aber umgekehrt proportional der 0,4 motorischen Kraft, der o,6ten Potenz der Frequenz N, der o,6tcn Potenz des Querschnitts des magnetischen Stromkreises S und der 1,6ten Potenz der Windungszahl n.

Daher wächst die durch Hystérésis hervorgerufene effektive Konduktanz mit fallender elektromotorischer Kraft

$6

34

32

30

A6hänffiffAeit zwischen ff «not £ fizr L - N = WO, S -- 25,/? - WO

28

»3

21

22

20

18

16

14

12

10

50

100

150

200

250

Im

35»

400

Fig. 76. Durch Hystérésis hervorgerufene Konduktanz als Funktion der elektromotorischen Kraft.

und fällt mit wachsender elektromotorischer Kraft; sie variiert aber viel langsamer als die elektromotorische Kraft, so dass, wenn die durch Hystérésis erzeugte Konduktanz

nur einen Teil des gesamten Energieverbrauchs darstellt, • sie innerhalb einer bestimmten Grenze (z. B. bei Transformatoren mit konstanter Spannung), ohne dass man einen grossen Fehler begeht, als konstant angenommen werden kann.

In den Figuren 76, 77 und 78 ist die durch Hystérésis erzeugte Konduktanz^ für A = 6, £=100, iV=ioo, S = 20 und n — 100 angenommen und zwar mit der Konduktanz g als Ordinaten und

90

85

80

75

Abhängigkeit zwischen g und N für L^b, £- 100. 5- Sßf 100

70

«5

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

Ai =Periodenzahi

50

100

150

200

250

300

350

400

Fig. 77. Durch Hystérésis hervorgerufene Konduktanz als Funktion der Cyklen.

in Figur 76 mit E als Abscissen, in Figur 77 mit N als Abscissen, in Figur 78 mit n als Abscissen.

Wir sehen

dass bei einer Änderung der elektromotorischen Kraft um 50 °/o § sich nur um 14 °/₀ ändert, während bei einer Änderung von N oder S um 50 °/₀, g sich um 21 °/₀ ändert.

Ist ciî die magnetische Reluktanz oder der magnetische Widerstand des Stromkreises, 3rA die maximale magnetomotorische Kraft und I der effektive Strom so ist die magnetische Strömung

n IV 2

(D =

weil IV2 der maximale Strom ist. Setzen wir diesen Wert in die Gleichung für die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion

io⁻⁸,

E = V 2 71 N nO

ein, so erhalten wir

2 7T n² N L io~⁸

90

85

80

75

70

Abhäng/ffAe/t zwischen rt und ff für- L= it E=!00. A/= fOO, Ó ‘ !S

65

55

60

45

40

35

30

85

15

10

50

j N- Win dungszabT

100

150

300

250

300

360

100

Fig. 78. Durch Hystérésis hervorgerufene Konduktanz als Funktion der Windungszahl.

31

und die absolute Admittanz des Stromkreises ist daher

I 31 io⁸ a 31

2,nn²N

wo

IO⁸

2 Tt n²

eine Konstante ist.

Daher ist die absolute Admittanz y eines Stromkreises, dessen Widerstand zu vernachlässigen ist, proportional der magnetischen Reluktanz dl und umgekehrt proportional der Frequenz N und dem Quadrat der Windungszahl n.

82. In einem Stromkreise, der Eisen enthält, schwankt die Reluktanz dl mit der Magnetisierung; d. h. mit der elektromotorischen Kraft. Daher ist die Admittanz eines solchen Stromkreises keine Konstante, sondern sie ist veränderlich.

In einem von Eisen umgebenen elektrischen Stromkreise, d. h. in einem Stromkreise, dessen magnetisches Feld von Eisen ganz umgeben ist, wie z. B. der magnetische Stromkreis eines gut gebauten Wechselstromtransformators, ist dl die Reluktanz des Eisenstromkreises. Bezeichnen wir mit [x die Permeabilität und ist

da = L F —    L df die magnetomotorische Kraft,

4 TC

und dl —

0 = S B = [x S df die magnetische Strömung 10 L

4 7VfiS

so erhalten wir durch Einsetzung dieses Wertes in die

dl io⁸

Gleichung der Admittanz

2, tv n² N

L io⁹

87t²n²fxSN    N ix

wo

L io⁹

127 Z.10⁶

8 n² n² S

Daher ist in einem von Eisen umgebenen Stromkreise die absolute Admittanz y umgekehrt proportional der Fre-

n²S

quenz Nr der Permeabilität dem Querschnitt S und dem Quadrat der Windungszahl n und direkt proportional der Länge L des magnetischen Stromkreises.

Die Konduktanz ist

die Admittanz

^    N°'⁶E°A

N [j,

und daher der Winkel der Hysteresisvoreilung

•S

sin a — —

oder wenn wir für A und 0 (Seite 129)

7V°>4

sin a

fl L Io5>8 ^ A°>4    2⁰’⁸ TT¹’⁶ S°’⁶ W¹’⁶

L 10⁹ ’

^ rj iV°’4 W°'4 S°>+ 7T°’4 2²’²

A°’⁴ Io3>²

oder

E = 2°>s tv N n S B io- ⁸ ,

einsetzen, so erhalten wir

A°>4

sin a =

unabhängig von der Frequenz, von der Windungszahl und von der Form und Grösse des magnetischen und elektrischen Stromkreises.

Daher hängt in einer von Eisen umgebenen Induktanz der Winkel a der Hysteresisvoreilung von den magnetischen Konstanten, der Permeabilität und dem Hysteresiskoeffizienten und von der maximalen magnetischen Induktion ab, aber er ist von der Frequenz, von der Form und von anderen Bedingungen des magnetischen und elektrischen Stromkreises ganz unabhängig. Deshalb geben alle von Eisen umgebenen magnetischen Stromkreise bei gleicher Beschaffenheit des Eisens und bei gleicher magnetischer Dichte denselben Winkel der Hysteresisvoreilung.

Der Winkel a der Hysteresisvoreilung hängt in einem geschlossenen Transformatorstromkreise nur von der Beschaffenheit des Eisens und von der magnetischen Dichte ab.

Der Sinus des Winkels des Hysteresisvoreilung ist viermal so gross als das Produkt aus der Permeabilität und dem Koeffizienten der Hystérésis, dividiert durch die o,fe Potenz der magnetischen Dichte.

83. Wenn der magnetische Stromkreis nicht ganz von Eisen umgeben ist, also die magnetische Struktur Luftzwischenräume enthält, so ist die gesamte Reluktanz gleich der Summe der Eisen- und Luft-Reluktanz, oder

eil — Sl{ éha ;

daher ist die Admittanz

In einem Stromkreise der Eisen enthält, ist die Admittanz gleich der Summe der Admittanz des Eisenteils in

und der Admittanz der in

dem Stromkreise yy = -    ^

NSla

r^— , wenn sowohl

dem Stromkreis enthaltenen Luft ya —

Eisen als auch Luft in dem magnetischen Stromkreise hintereinander geschaltet sind.

Die Konduktanz g stellt den Energieverlust in dem Eisen dar und da Luft keine magnetische Hystérésis besitzt, so wird sie durch Einführung eines Luftraumes nicht verändert. Daher ist der Winkel der Hysteresisvoreilung der Phase

sin cc — —

c/l[

g _g _

y y i + y a    yi <$* +

und ein Maximum für — für den von Eisen umgebenen

y

Stromkreis, sinkt aber mit wachsender Grösse des Luftraumes. Die Einführung eines Luftzwischenraumes von der Reluktanz c/?a macht sin a in dem Verhältnis

ciii

sinken.

Da in der Praxis eine Kraftlinienzahl B zwischen 2000

2000

und 12000 pro Flächeneinheit angewendet wird, so variiert die Permeabilität des Eisens ungefähr zwischen 900 und während sin a in einem von Eisen umgebenen Stromkreise von 0,51 bis 0,69 variiert. In der Luft ist [i, — 1.

der Länge des Eisens durch einen

von

Wird 1 %

Luftzwischenraum ersetzt, so variiert die gesamte Reluktanz nun von i¹/₉ bis il/20l also um rund 6°/₀; d. h. sie bleibt praktisch konstant, während der Winkel der Hyste-resisvoreilung von sin a — 0,035 bis zu sin cc = 0,064 variiert. Deshalb ist g im Vergleich zu b zu vernachlässigen und b ist praktisch gleich y.

Daher ist die Susceptanz in einem elektrischen Stromkreise, der Eisen enthält, aber einen offenen magnetischen Stromkreis bildet, dessen Luftzwischenraum nicht kleiner als ¹/₁₀₀ der Länge des Eisens ist, praktisch konstant und gleich der Admittanz, so lange noch nicht die Sättigung erreicht ist, oder so lange noch nicht oder ist.

Der Winkel der Hysteresisvoreilung ist klein, unter 4°, und die Hysteresis-Konduktanz

E\ N°’⁶ '

Die Stromwelle ist praktisch eine Sinuswelle.

Als Beispiel ist in der Figur 71 durch die Kurve II die Stromwelle eines Stromkreises, die einen Luftzwischenraum von nur ¹/₄₀₀ der Länge des Eisens enthält, dargestellt; sie ergiebt eine Welle, die der Sinusform sehr ähnelt, und zwar bei einer Hysteresisvoreilung von 9⁰.

84. Um die elektrischen Konstanten eines Stromkreises, der Eisen enthält, zu bestimmen, verfahren wir auf folgende Weise:

Ist E die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion, dann erhalten wir aus der Gleichung E = V2 n n NO io⁻⁸,

wo

N die Frequenz und n die Zahl der Windungen bedeutet, den Magnetismus 0 und mittels des magnetischen Querschnitts S die maximale magnetische Induktion

cd =

Aus $ erhalten wir mittels der magnetischen Charakteristik des Eisens die magnetomotorische Kraft F als Amperewindungen für die Länge eines Centimeters, wo

Ą.7T

ist, wenn M die magnetomotorische Kraft in C. G. S. ist. Ist daher

Li die Länge des Eisenstromkreises, so sind &i = Li F

die Amperewindungen, die in dem Eisen erforderlich sind. Ist ferner

La die Länge des Luftstromkreises, so sind 10 La cd

4 n

die Amperewindungen, die in der Luft erforderlich sind.

Wir erhalten daher für die gesamten Amperewindungen als maximalen Wert

und als effektiven Wert

ff

Der Erregerstrom ist

ff

nV 2

und die absolute Admittanz

y = Vg‘ + 6* =-

Kann ff im Vergleich zu ffa nicht vernachlässigt werden, so variiert diese Admittanz y mit der elektromotorischen Kraft E.

Bezeichnet V das Volumen des Eisens und y den Hysteresiskoeffizienten, so ist der durch Hystérésis infolge der molekularen und magnetischen Reibung entstandene Energieverlust

W=7] NV <®I>⁶ ;

daraus ergiebt sich als Hysteresis-Konduktanz

g ~~ E² '

die mit der elektromotorischen Kraft E variiert. Es sind der Winkel der Hysteresisvoreilung

sin a —

der effektive Widertand

die Susceptanz

b — Vy² — g²,

und die Reaktanz

x = -y •

y

85. Aus dem letzten Kapitel ergeben sich die Schlussfolgerungen :

1. In einem von Eisen umgebenen Wechselstromstromkreise ist der durch eine Sinuswelle von elektromotorischer

Kraft erzeugte Strom keine wahre Sinuswelle, sondern sie ist durch Hystérésis verzerrt.

2.    Diese Verzerrung ist nur bei einem geschlossenen magnetischen Stromkreise, der in einem sekundären Stromkreise durch gegenseitige Induktanz keine Energie überträgt, bedeutend.

3.    Die verzerrte Stromwelle kann durch die aequi-valente Sinuswelle ersetzt werden — d. h. eine Sinuswelle von gleicher effektiver Intensität und Energie, und die darüber gelagerte höhere Harmonische, die hauptsächlich aus einer dreifachen Frequenz besteht, kann ausser in Stromkreisen mit Resonanz vernachlässigt werden.

4.    In der Nähe der Sättigung haben die verzerrte Stromkurve und ihre aequivalente Stromwelle annähernd denselben maximalen Wert.

5.    Der Winkel der Hysteresisvoreilung, d. h. die Phasendifferenz zwischen der magnetischen Strömung und der äquivalenten Sinuswelle der magnetomotorischen Kraft, ist für den geschlossenen magnetischen Stromkreis ein Maximum und hängt hier nur von den magnetischen Konstanten des Eisens, von der Permeabilität [i, von dem Koeffizienten der Hystérésis r\ und von der maximalen magnetischen Induktion ab, wie es sich aus der Gleichung

sin

$0,4

ergiebt.

6. Der durch die Hystérésis hervorgebrachte Effekt kann durch die Admittanz

Y — g Ą- j b

oder durch die Impedanz dargestellt werden.

7. Die Hysteresis-Admittanz, oder die Impedanz, variiert mit der magnetischen Induktion, also mit der elektromotorischen Kraft u. s. w.

8. Die Hysteresis-Konduktanz g ist dem Hysteresiskoeffizienten r\ und der Länge des magnetischen Stromkreises L direkt proportional, umgekehrt proportional dagegen der o,4ten Potenz der elektromotorischen Kraft E, der o,6ten Potenz der Frequenz N, der o,6ten Potenz des Querschnitts des magnetischen Stromkreises S und der i,6ten Potenz der Zahl der Windungen n des elektrischen Stromkreises, drücken lässt

sich durch folgende Gleichung aus-

was

58rjL io3

£04^0,650,6^1,6

9. Der absolute Wert der Hysteresis-Admittanz

y = Vg² + b²,

ist proportional der magnetischen Reluktanz St = St{ -f- Sia und umgekehrt proportional der Frequenz N und dem Quadrat der Windungszahl n, wie es durch die Gleichung'

(Stj -p ^a)io8 2 tc N ti²

ausgedrückt wird.

10. In einem von Eisen umschlossenen Stromkreise ist der absolute Wert der Admittanz proportional der Länge des magnetischen Stromkreises und umgekehrt proportional dem Querschnitt S, der Frequenz N, der Permeabilität fi und dem Quadrat der Windungszahl n, oder es ist

yi —

127 L io⁶

n²SN[i,

11.    In einem offenen magnetischen Stromkreise ist die Konduktanz g gleich der in einem geschlossenen magnetischen Stromkreise mit demselben Eisen.

12.    In einem offenen magnetischen Stromkreise ist die Admittanz y praktisch konstant, wenn die Länge des Luftzwischenraumes wenigstens ein Hundertstel der Länge des magnetischen Stromkreises beträgt und die Sättigung nicht erreicht werden kann.

13.    In einem geschlossenen magnetischen Stromkreise können die Konduktanz, die Susceptanz und die Admittanz nur innerhalb bestimmter Grenzen als konstant angenommen werden.

14. Aus der Form und den Dimensionen der Stromkreise und aus den magnetischen Konstanten des Eisens können die elektrischen Konstanten g, h, y und r, x, z berechnet werden.

Kapitel XL

86. Während die magnetische Hystérésis oder molekulare Reibung eine magnetische Erscheinung ist, können Wirbelströme eher als eine elektrische Erscheinung bezeichnet werden. Bewegt man Eisen durch ein magnetisches Feld, so wird durch die Hystérésis ein Energieverlust verursacht, der auf das Feld nicht magnetisch ein wirkt. Wenn ein elektrischer Leiter das magnetische Feld schneidet, so wird in ihm ein Strom induziert. Die magneto motorische Kraft dieses Stromes wirkt mehr oder weniger auf das magnetische Feld zurück. Aus diesem Grunde kann ein magnetisches Wechselstromfeld auf einen massiven Leiter nicht stark einwirken; es wird vielmehr eine Art Schirmwirkung erzeugt, die massive Eisenmassen für Wechselstromfelder ungeeignet und die die Anwendung lamellierten Eisens oder Eisendrahtes für die Leitung der magnetischen Strömung notwendig macht.

Wirbelströme sind wirkliche elektrische Ströme, obgleich sie in kleinen Stromkreisen fliessen; sie befolgen sämtliche Gesetze der elektrischen Stromkreise.

Ihre elektromotorische Kraft ist proportional der Intensität der Magnetisierung @> und der Frequenz N. Wirbelströme sind proportional der Magnetisierung der Frequenz N und der elektrischen Leitungsfähigkeit des Eisens y; sie lassen sich durch folgenden Ausdruck darstellen:

i — ß y&N.

Die durch Wirbelströme verbrauchte Energie ist ihrem Quadrat proportional, umgekehrt proportional dagegen der

elektrischen Leitungsfähigkeit: sie wird durch folgende Gleichung ausgedrückt:

P=ßy®² N².

Da cßN gemäss der Gleichung

E = V '27iSnN&>io—%

der induzierten elektromotorischen Kraft E proportional ist, so folgt, dass der durch Wirbelströme hervorgebrachte

Energieverlust dem Quadrat der elektromotorischen Kraft und der elektrischen Leitungsfähigkeit des Eisens proportional ist, oder

W— aE²y.

Daher ist die Komponente der effektiven Konduktanz

der Wirbelströme

d. h., die aequivalente Konduktanz der in dem Eisen auf-tretenden Wirbelströme ist eine Konstante des magnetischen Stromkreises, die von der elektromotorischen Kraft, von der Frequenz u. s. w. unabhängig ist, die aber der elektrischen Leitungsfähigkeit des Eisens y proportional ist.

87. Wirbelströme verursachen eine Voreilung der Phase des Stromes um den Winkel ß, ähnlich wie Hystérésis; aber im Gegensätze zur Hystérésis verzerren die Wirbelströme die Stromwelle im allgemeinen nicht.

Der Winkel der Phasenvoreilung infolge der Wirbelströme ist

Si lOtł

sin ß =r

wo y die absolute Admittanz des Stromkreises und g die Konduktanz der Wirbelströme ist.

Während die aequivalente Konduktanz g der Wirbelströme eine Konstante des Stromkreises und unabhängig von der elektromotorischen Kraft, von der Frequenz u. s. w. ist, so ist der durch die Wirbelströme bedingte Energieverlust proportional dem Quadrat der elektromotorischen

Kraft der Selbstinduktion und deshalb auch proportional dem Quadrat der Frequenz und dem Quadrat der Magnetisierung.

Nur die Energiekomponente der Wirbelströme gE ist von Interesse, weil die wattlose Komponente mit der der Hystérésis, die in einem früheren Kapitel behandelt wurde, identisch ist.

88. Um den durch Wirbelströme erzeugten Energieverlust zu bestimmen, sei

V    das Volumen des Eisens,

die maximale magnetische Induktion,

N die Frequenz,

Y    die elektrische Leitungsfähigkeit des Eisens, e der Koeffizient von Wirbelströmen.

Der Energieverlust für einen Kubikcentimeter, ausgedrückt in Erg., ist für einen Cyklus

W= s y N &²;

0,507 syl

daher ist der gesamte durch Wirbel- > ströme hervorgebrachte Effektverlust W — 8 yVN² Sb² io—7 Watt und die äquivalente Konduktanz infolge der Wirbelströme 10 8 y l

E² 2 n² S n² S n²

wo:

l die Länge des magnetischen Strom-Stromkreises,

S den Durchschnitt des magnetischen kreises,

n die Zahl der Windungen des elektrischen Stromkreises

bedeuten.

Fig. 79.

Der Koeffizient der Wirbelströme 8 hängt lediglich von der Form der Bestandteile des magnetischen Stromsteinmetz, W echselstromerscheinungen.

kreises ab, nämlich ob sie aus Eisenplatten oder aus Draht bestehen; ferner von der Dicke der Platten oder dem Durchmesser des Drahtes u. s. w.

Die beiden wichtigsten Fälle sind:

a)    Eisenlamellen,

b)    Eisendraht.

89. a) Eisenlamellen.

In Figur 79 seien d die Dicke der Eisenplatten,

& die maximale magnetische Induktion,

N die Frequenz,

y die elektrische Leitungsfähigkeit des Eisens.

Ist x die Entfernung einer Zone dx} von der Mitte des Eisenblechs aus gerechnet, so ist die Konduktanz einer Zone von der Dicke dx und von der Länge und Breite je eines Centimeters, ydx. Die magnetische Strömung, die von dieser Zone durchschnitten wird, ist Sx. Daher ist die in dieser Zone induzierte elektromotorische Kraft

ÔE — V 2 nNSx ausgedrückt in C.G.S.-Einheiten.

Diese elektromotorische Kraft erzeugt den Strom

dl — öEydx — V 2 7i NSy xdx,

ebenfalls in C.G.S.-Einheiten ausgedrückt; jedoch ist hierbei vorausgesetzt, dass die Dicke des Bleches im Verhältnis zur Länge vernachlässigt werden kann, so dass der Strom parallel zum Eisenblech fliessend angenommen werden kann und auf entgegengesetzten Seiten des Eisenbleches in entgegengesetzten Richtungen.

Die von dem induzierten Strom in der Zone dx verbrauchte Energie ist

dP — öEdl — 2 Tr² N²S²yx²dx}

ausgedrückt in C.G.S.-Einheiten, oder Ergs. pro Sekunde; daher ist die gesamte von einem Quadratcentimeter bei

einer Dicke des Eisenblechs d verbrauchte Energie in C.G.S Einheiten

ÖP =

dP =

2,71- N²oB²yJ

x² dx

7i²N²&²yd*

Die von einem Kubikcentimeter Eisen verbrauchte

Energie ist in C.G.S.-Einheiten

t = -d

ÔP n²N²Sb²yd²

und die pro Cyclus und pro einem Kubikcentimeter Eisen verbrauchte Energie

Erg.

n²yd²NSi²

Der Koeffizient der Wirbelströme ist daher für lamelliertes Eisen

TT² d²

- D645 d²

wo y in C.G.S.-Einheiten ausgedrückt ist. Wenn daher y in praktischen Einheiten oder in io~⁹ C.G.S.-Einheiten ausgedrückt wird, so ist

= 1,645 d² io~~⁹.

7X² d² io~⁹

Setzen wir für die Leitungsfähigkeit des Eisenbleches den Näherungswert

y = io⁵

ein, so erhalten wir als Koeffizienten für Eisenblech

TT²

— d² IO 9 r= 1,645 d² IO⁻9, als Energieverlust für einen Kubikcentimeter pro Cyklus

TT²

IV = £ y N &² =-d²yN&² io⁻⁹ = 1,645d²yNSb² io—9Erg.

6

= 1,645 d² ./V&?² io⁻⁴ Erg.;

■oder W — £ y NS$² io⁻⁷ = 1,645 d² N3>² io~¹¹ Joule;

als Effektverlust für ein Kubikcentimeter bei der Frequenz N p — NW = s y N² oö² 10 ~ ⁷ = 1,645 d² N² io⁻¹¹ Watt; als totalen Verlust bei einem Volumen V

P = Vp — 1,645 X^² N² *®2 10—11 Watt.

Beispiel;

d = 1 mm = 0,1 cm ; N = 100; & = 5000; V — 1000 cm³.

s = 1,645 X io-¹¹;

W = 4110 Erg.

= 0,000411 Joule; p — 0,0411 Watt;

P = 41,1 Watt.

90. b) Eisendraht.

Es sei in Figur 80 d der Durchmesser eines Stückes Eisendrahtes, x der Radius einer kreisförmigen Zone von der Dicke dx, dessen Länge 1 cm beträgt.

Die Konduktanz dieser y d x 2 71 x

durch sie eingeschlossene magnetische Strömung S$ x² 2 n.

Daher ist die in dieser Zone induzierte elektromotorische Kraft in C. G. S.-Einheiten

V--

i!

X /:

Fig. 80.

Zone ist

und die

ô E = V2 n² N Sb x² in C.G.S.-Einheiten

und der durch sie erzeugte Strom y d x

dl =

X V2 n² N cd x²

V2

— yNttxdx. 2

Die in dieser Zone verbrauchte Energie ist in C.G.S.-Einheiten

d P — d E d I = rcz y N² SP .v³ d x

und folglich die in einem Centimeter Drahtlänge verbrauchte gesamte Energie in C.G. S.-Einheiten

ÖP =

; <n

dlV=

7l³ y -V² I

Jo

x³ d x

n³

_ ₆₄ y N² $² d\

Da das Volumen eines Drahtes von einem Centimeter Länge

d² n 4

ist, so ist die pro Kubikzentimeter Eisen verbrauchte Energie in C. G.S.-Einheiten oder in Erg. pro Sekunde

ÔP

= — y N² Sb² d2 16

und die pro Cyklus und pro Kubikcentimeter Eisen verbrauchte Energie

w—

n y N SP Erg.

16

Daher ist der Koefßzient der Wirbelströme für Eisendraht

TC²

d² = 0,617 d2 16

oder, wenn y in praktischen Einheiten, oder in io—9 C.G. S.-Einheiten ausgedrückt wird,

—d² 10 ⁹ = 0,617 d² 10 ⁹. 16

Setzen wir

Y — io⁵

ein, so erhalten wir als Koefßzienten der Wirbelströme für Eisendraht

s = Tt~~ d² 10 ⁹ = 0,617 d² io~⁹. 16

Der Energieverlust für einen Kubikcentimeter Eisen ist bei einem Cyklus

7T²

d² y N @>² io⁹ = 0,617 d² y N SP io⁻⁹

V/—£YNSb² —

16

= 0,617 d'² N öS² io~⁴ Erg.

= £ Y NS² io⁻⁷ = 0,617 d² NS² io⁻¹¹ Joule;

der Effektverlust pro Kubikcentimeter bei der Frequenz N p — N h = s y N² ć3² io⁻⁷ = 0,617 d² N² &² io—11 Watt; der gesamte Effektverbist des Volumens V

P=Vp = 0,617 Vd² N² Sb² io-¹¹ Watt.

Beispiel:

Es sei d= 1 mm =0,1 cm, N—100, <$2 = 5000, V— ioooccm : dann ist

s = 0,617 X io⁻¹¹,

W = 1540 Erg. = 0,000154 Joule, p — 0,0154 Watt,

P — 15,4 Watt,

also weit geringer als in Eisenblech gleicher Dicke.

91. Vergleich von Eisenblech und Eisendraht. Bezeichnen wir mit dl die Dicke des Eisenbleches und mit d₂ den Durchmesser des Eisendrahtes, wobei der Wirbelstrom-Koeffizient des Eisenbleches

7T²

d<²10 '⁹

6

Fig. 81.

und der des Eisendrahtes

e₂ = ^d₂²io~*

ist, so ist der Energieverlust, falls = e₂, in beiden gleich,

<4² = -<4²,

oder

d₂ = 1,63 d^.

Hieraus folgt, dass der Durchmesser von Eisendraht

den gleichen Energieverlust durch

um

1,63- oder rund i²/₃mal so gross sein kann als die Dicke von Eisenblech

Wirbelströme zu erzeugen.

92. Entmagnetisierende oder Schirmwirkung durch Wirbelströme.

Die abgeleiteten Formeln des Koeffizienten der Wirbelströme für Eisenblech und Eisendraht gelten nur, wenn diese Ströme so klein sind, dass ihre magnetisierende Kraft vernachlässigt werden kann. In anderen Fällen wird

diese Erscheinung ziemlich kompliziert; die magnetische Strömung in dem Innern des Bleches oder Drahtes ist mit der Strömung auf deren Oberfläche nicht in Phase, sondern bleibt zurück.

Die magnetische Strömung auf der Oberfläche ist durch die äussere magnetomotorische Kraft hervorgerufen, während die Strömung in dem Innern von der Resultante der äusseren magnetomotorischen Kraft und der magnetomotorischen Kraft der Wirbelströme abhängt und da die magnetomotorische Kraft der Wirbelströme hinter der magnetischen Strömung 90⁰ zurückbleibt, so bleibt die Resultante aus ihr und der äusseren magnetomotorischen Kraft, und daher der Magnetismus im Innern des Eisens hinter dem an der Oberfläche zurück.

Gehen wir also von der Oberfläche allmählich in das Innere hinein, so bleibt die magnetische Strömung immer mehr in der Phase zurück und nimmt gleichzeitig in ihrer Intensität ab.

Die vollständige Lösung dieses Problems auf analytischem Wege fällt ausserhalb des Rahmens dieses Buches. Eine annähernde Bestimmung der Grössenordnung der entmagnetisierenden Wirkung der Wirbelströme, genügend zur Entscheidung, ob dieselbe vernachlässigt werden kann, oder ob die Unterteilung des Eisens weiter geführt werden muss, ergiebt sich aus der Bestimmung der theoretisch möglichen Maximalwerte der entmagnetisierenden Wirkung der Wirbelströme, unter Annahme gleichmässiger magnetischer Wirkung.

Nehmen wir die Dichte der magnetischen Kraftlinien über den ganzen Querschnitt als homogen und sämtliche Wirbelströme in Phase mit einander an, so stellt ihre gesamte magnetomotorische Kraft den überhaupt möglichen maximalen Wert dar, weil durch die Phasendifferenz und durch die geringere magnetische Dichte im Mittelpunkt die resultierende magnetomotorische Kraft reduziert wird. Bei Eisenblech, dessen Dicke / ist, ist der Strom in einer Zone von der Dicke d x bei ihrer Entfernung x vom Mittelpunkt des Bleches

d I— V 2 Ti N Sij x d x (C.G. S.J ⁼ V 2 TT N Sij x d x io⁻⁸ Ampère ; woraus sich der gesamte Strom im Eisenblech

1=

d I = V 2 Ti N Si j io⁻

J';2

ergiebt. Daher ist das überhaupt mögliche Maximum von entmagnetisierenden Amperewindungen, das auf den Mittelpunkt des Bleches wirkt,

V 2 71

N Si j P 10 ⁸ = 0,555 NSijP io "⁸

— °,555 N Si /² ÏO⁻³ Amperewindungen pro Centimeter. Beispiel: d = 0,1 cm, N — joo, Si — 5000, oder I — 2,775 Amperewindungen pro Centimeter.

93. In einem Eisendraht von dem Durchmesser / ist der Strom in einer röhrenförmigen Zone von der Dicke dx und dem Radius .r

dl —

Vz

nNSijxdx 10

Ampère ;

daraus ergiebt sich der gesamte Strom

,_L

i6

dl

— 7T Är Sj IO

x dx

~ n Ncdjft io~⁸ Ampère.

Daraus erhalten wir das überhaupt mögliche Maximum von entmagnetisierenden Amperewindungen, das auf den Mittelpunkt des Drahtes wirkt,

V 2 TI

^ NéüjPio~^ = 0,2775 Ncßjl²10

Amperewindungen pro Centimeter.

= 0,2775 N&P 10

Setzen wir z. B. I— 0,1 cm, N = 100, $ = 5000, so ist I = 1338 Amperewindungen pro Centimeter, d. h. halb so viel als in einem Blech der Dicke /.

94. Ausser den Wirbel- oder Foucault-Strömen im eigentlichen Sinne, die als parasitische Ströme im Innern der Eisenbleche oder Drähte fliessen, fliessen unter gewissen Umständen auch in grösseren Stromkreisen von Blech zu Blech durch die gesamte magnetische Struktur Wirbelströme. Natürlich ist eine Berechnung dieser Wirbelströme nur in Spezialfällen möglich.

Oberflächenströme, und zwar infolge von Kurzschlüssen zwischen den Blechen an der Oberfläche der magnetischen Struktur.

Sie sind meistens

Ferner werden Wirbelströme ausserhalb des magnetischen Eisenstromkreises durch das magnetische Streufeld, das elektrische Leiter in der Nachbarschaft schneidet, induziert, besonders wenn es gegen diese durch dahinter gelegene Eisenmassen abgelenkt wird, scheinungen lassen sich nur in besonderen Fällen berechnen und sind von geringem Interesse, weil sie vermieden werden können.

Alle diese Er-

Wirbelströme in dem Leiter und ungleichmässige Stromverteilung.

95. Hat der elektrische Leiter eine bedeutende Dicke, so kann das magnetische Wechselstromfeld, wenn es den Leiter schneidet, Spannungs-Differenzen zwischen seinen verschiedenen Teilen bewirken, sodass lokale Ströme oder Wirbelströme in dem Kupfer entstehen. Diese Erscheinung kann nur in Beziehung auf einen besonderen Fall studiert werden, nämlich dort, wo die Form des Leiters und die Verteilung des magnetischen Feldes bekannt sind. Nur in dem Falle, wo das magnetische Feld durch den in dem Leiter fliessenden Strom erzeugt wird, kann eine allgemeine Lösung gegeben werden. Der durch den Leiter fliessende Wechselstrom erzeugt ein magnetisches Feld, und zwar nicht nur ausserhalb, sondern auch innerhalb desselben. Die magnetischen Kraftlinien, die innerhalb des Leiters liegen, induzieren nur in ihrem Innern elektromotorische Kräfte. Daher ist die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion in der Nähe der Achse des Leiters am grössten, an seiner Oberfläche dagegen am kleinsten. Die Stromdichte ist daher an der Oberfläche grösser als an der Achse, und im äussersten Falle kann der Strom überhaupt nicht bis zur Mitte Vordringen, oder aber es fliesst dort ein entgegengesetzt gerichteter Strom. Daraus folgt, dass nur der äussere Teil des Leiters für die Stromleitung gebraucht werden kann, sodass also eine scheinbare Erhöhung des Ohm’schen Widerstandes infolge der ungleichen Stromverteilung stattfindet.

Die allgemeine Lösung dieses Problems für runde Leitungen führt zu komplizierten Gleichungen, die anderswo nachzusuchen sind.

In der Praxis wird diese Erscheinung nur bei Strömen von hoher Frequenz (bei Blitzableitern u. s. w.) beobachtet; bei Kraftverteilungsleitungen muss diese entweder dadurch vermieden werden, dass man mit einer genügend niedrigen Frequenz arbeitet, oder dass dem Leiter eine solche Form gegeben wird, durch die eine ungleichmässige Stromdichte im Leiter nicht auftritt, wie z. B. durch den Gebrauch eines röhrenförmigen oder verseilten Leiters, oder durch mehrere parallel geschaltete Leiter.

96. Es genügt desshalb, die maximale Grösse von runden Leitungen oder die höchste Freqeunz, wo diese Erscheinung noch vernachlässigt werden kann, zu bestimmen.

Im Innern des Leiters ist die Stromdichte nicht nur kleiner als an der Oberfläche, sondern der Strom im Innern bleibt auch hinter dem der Oberfläche zurück, und zwar infolge der erhöhten Wirkung der Selbstinduktion. Dieses Zurückbleiben des Stromes bewirkt, dass die magnetischen Strömungen im Leiter gegenseitig ausser Phase sind und daher ihre Resultante kleiner als ihre Summe wird, während die kleinere Stromdichte in der Mitte die gesamte Strömung innerhalb des Leiters verringert. Nehmen wir nun als Basis für die Berechnung eine gleichförmige Stromdichte und keine Phasendifferenz zwischen den Strömen in den verschiedenen Schichten des Leiters an, so ist der Unterschied der Selbstinduktion zwischen Oberfläche und Mitte des Leiters grösser als in der Wirklichkeit. Demnach versetzt uns diese Annahme in eine sichere Lage und vereinfacht gleichzeitig die Berechnung.

Fig. 82.

Figur 82 sei der Querschnitt eines Leiters mit dem Radius R und mit der homogenen Stromdichte

R‘¹ n ’

wo I der gesamte Strom ist, der durch den Leiter fliesst.

Die magnetische Reluktanz einer röhrenförmigen Zone von der Länge Eins und der Dicke d x mit dem Radius x ist

2.X 71

Der durch diese Zone eingeschlossene Strom ist Ix — ix²7l,

die auf diese Zone wirkende magnetomotorische Kraft

4 Tr² ix²

10

10

und die magnetische Strömung in dieser Zone

d (!) =

27xixdx

10

Daher ist die gesamte magnetische Strömung innerhalb des Leiters

CD =

d 0 = —— i x d x

IO Jo

niR²

10

IO

Hieraus erhalten wir als Überschuss der gegenelektromotorischen Kraft an der-Achse des Leiters über der an der Oberfläche

AE = V271N cb io⁻⁸ — V 2 Ti NI io~², pro Längeneinheit, = V2 u²NiR² io⁻⁹;

und die Rückwirkung, oder spezifische Reaktanz am Mittelpunkt des Leiters wird

]/ 2 7l² NR²10 ⁹.

AE

Ist Q die Widerstandsleistung oder der spezifische Widerstand des Materials des Leiters, so erhalten wir

V 2 TI² NR² IO⁻⁹

und

Vk² + o²

den prozentualen Verlust der Stromdichte in der Mitte, bezogen auf den an der Peripherie;

oder auch

V k² q

das Verhältnis zwischen den Stromdichten in der Mitte und an der Peripherie.

Wenn z. B. in Kupfer q = 1,7 • io⁻⁶ und der prozentuale Verlust der Stromdichte im Zentrum nicht 5 °/0> überschreiten soll, so verhält sich

q : V k² + q² = 0,95 : 1

und wir erhalten

folglich

oder

und wenn

k — 0,51 • io-⁶ ;

0,51 • io- 6= V 2 n² N R² io⁻⁹, N R² = 36,6 100

N =    125

R = °)54I    °,6o5    °»7⁸¹

D = 2 R = 1,08

60    33,3

B5⁶

1,05 cm 2,1 cm.

1,21

Daher kann, selbst bei einer Frequenz von 125 Cyklen, der Effekt der ungleichen Stromverteilung bei einem Leiter von einem Centimeter Durchmesser vernachlässigt werden. Leiter von diesem Durchmesser sind indessen bei solcher Frequenz vom Gebrauch wegen der äusseren Selbstinduktion, die um mehrere Male grösser ist als der Widerstand, ausgeschlossen.

Wir sehen daher, dass eine ungleiche Stromverteilung in der Praxis gewöhnlich vernachlässigt werden kann.

Gegenseitige Induktanz.

97. Wenn ein magnetisches Wechselstromfeld einen sekundären elektrischen Leiter umgiebt, so induziert es in ihm eine elektromotorische Kraft, die einen Strom erzeugt und dadurch Energie verbraucht, falls der Stromkreis des sekundären Leiters geschlossen ist.

Einen speziellen Fall solcher induzierter sekundärer Ströme bilden die Wirbel-oder Foucault-Ströme, die bereits früher erwähnt worden sind. Ein anderer wichtiger Fall ist die Induktion sekundärer elektromotorischer Kräfte in benachbarten Stromkreisen, also das Vorhandensein einander parallel laufender Stromkreise.

Im allgemeinen ist es besser, diese Erscheinung gegenseitiger Induktion nicht nur als eine Energiekomponente und wattlose Komponente der elektromotorischen Kraft in dem primären Leiter anzunehmen, sondern auch sowohl den sekundären als auch den primären Stromkreis besonders zu betrachten, wie wir es auch in dem Kapitel über den Wechselstromtransformator thun werden.

Nur in den Fällen, wo die Energie, die in einen sekundären Stromkreis übertragen wird, einen kleinen Teil der gesamten primären Energie ausmacht, wie bei der Betrachtung der durch einen Stromkreis auf einem parallelen Stromkreis verursachten Störung, kann die Wirkung auf den primären Stromkreis analog betrachtet werden, wie in dem Kapitel über Wirbe'lströme, nämlich durch die Einführung einer Energiekomponente, die den Effektverlust und durch eine wattlose Komponente, die die Verminderung der Selbstinduktion darstellt.

Es sei v — 2 7T NL die Reaktanz des Hauptstromkreises oder L die gesamte Zahl von Verkettungen mit dem Hauptleiter, erzeugt von magnetischen Kraftlinien durch den Strom Eins, der durch diesen Leiter fliesst.

xx — '2.nNL sei die Reaktanz des sekundären Stromkreises, oder Lx die gesamte Zahl der Verkettungen mit dem sekundären Leiter, erzeugt von magnetischen Kraftlinien durch den Strom Eins, der durch diesen Leiter fliesst.

xrn = 2 Tr N Lyn sei die gegenseitige Induktanz der Stromkreise oder Lm die gesamte Zahl der Verkettungen mit dem sekundären Leiter, erzeugt von magnetischen Kraftlinien durch den Strom Eins, der durch den Hauptleiter fliesst, oder die gesamte Zahl der Verkettungen mit dem Hauptleiter, erzeugt von magnetischen Kraftlinien

durch den Strom Eins, der durch den sekundären Leiter fliesst. Daher ist ² <C x x^ .*)

Es sei i\ der Widerstand des sekundären Stromkreises. Dann ist die Impedanz des sekundären Stromkreises

Zi = r, —jxl

zl = \'r² -j- xx2 und die in dem sekundären Stromkreise induzierte elektromotorische Kraft

Daher ist der

wo I den primären Strom bedeutet, sekundäre Strom

Il =

Ei

J tXfn

xx

rl~JX 1

*) Als Koeffizient der Selbstinduktion L, L‘ ist hier die gesamte den Leiter umgebende Strömung gemeint. Sehr häufig wird bei der Diskussion von Induktions-Apparaten und besonders bei Transformatoren derjenige Teil der magnetischen Strömung als Selbstinduktion des Stromkreises bezeichnet, welcher diesen Stromkreis umgiebt, aber nicht der andere Stromkreis, d. h. der, welcher zwischen beiden Stromkreisen fliesst. Daher ist die gesamte Selbstinduktion in diesem Falle gleich der Summe aus der Selbstinduktion L‘ und der gegenseitigen Induktanz Lm.

Der Grund dieser Unterscheidung ist, den wattlosen Teil L‘ der gesamten Selbstinduktion L von dem Teil Lm zu trennen, der die Übertragung der elektromotorischen Kraft in den sekundären Stromkreis darstellt, da die Wirkung dieser beiden Komponenten wesentlich verschieden ist.

Daher ist es in Wechselstromstromkreisen üblich — und dieses wird später in diesem Werk geschehen —, die Selbstinduktion A eines jeden Stromkreises nur als den durch den Stromkreis erzeugten Teil der magnetischen Strömung zu bezeichnen, der zwischen beiden Stromkreisen hindurchgeht, und der daher nur „hemmend" wirkt, aber nicht Effekt übertragend, während die Strömung, die beide Stromkreise umgiebt, gegenseitige Induktanz oder nutzbare magnetische Strömung heisst. Bei dieser Bezeichnung ist in Transformatoren die gegenseitige Induktanz Lm gewöhnlich viel grösser als die Selbstinduktion L‘ und Lx\ während, wenn die Selbstinduktion L und Lx die gesamte Strömung darstellen, ihr Produkt grösser ist als das Quadrat der gegenseitigen Induktanz Lm ; oder

LLx^Lm%\ (A'+A ) (ZV + L™)^Lm².

und die in dem primären Stromkreise durch den sekundären Strom /, induzierte elektromotorische Kraft

¹

—

E — j Xfji ly,

E-I:

oder entwickelt

/.

Daher ergiebt sich

ri² + -*1²

als effektive Konduktanz der gegenseitigen Induktanz,

Xyn" Xy

G² + Xy

als effektive Susceptanz der gegenseitigen Induktanz.

Die Susceptanz der gegenseitigen Induktanz ist negativ oder von entgegengesetztem Vorzeichen als die Susceptanz der Selbstinduktion, oder:

die wechselseitige Induktanz verbraucht Energie und vermindert die Selbstinduktion.

Dielektrische oder elektrostatische Erscheinungen.

98. Während magnetische Hystérésis und Wirbelströme als dieEnergie-Komponenten der Induktanz betrachtet werden können, besitzt die Kondensanz ebenfalls eine Energie-Komponente, die dielektrische Hystérésis genannt wird. In einem magnetischen Wechselstromfelde wird durch Hystérésis infolge molekuler Reibung Energie verbraucht und analog wird in einem elektrostatischen Wechselstromfelde in dem dielektrischen Medium durch dielektrische Hystérésis Energie verbraucht.

Während die Gesetze des Energieverlustes durch magnetische Hystérésis und die Grösse der Wirkung wohl bekannt sind, ist die Erscheinung der dielektrischen Hystérésis, was ihre Gesetze und die Grösse ihrer Wirkung betrifft, fast noch unbekannt.

Es ist ganz wahrscheinlich, dass der Energieverlust im Dielektrikum in einem elektrostatischen Wechselstromfelde aus zwei verschiedenen Komponenten besteht, wovon die eine direkt proportional der Frequenz, analog der magnetischen Hystérésis und daher ein konstanter Energieverlust pro Cyklus, unabhängig von der Frequenz ist, während die andere Komponente proportional dem Quadrat der Frequenz, analog dem Energieverlust infolge von Wirbelströmen in dem Eisen und daher ein Energieverlust pro Cyklus proportional der Frequenz ist.

Das Vorhandensein eines Energieverlustes in dem Dielektrikum, proportional dem Quadrat der Frequenz, habe ich vor einiger Zeit in mit Paraffin getränktem Papier in einem hohen elektrostatischen Felde und bei hoher Frequenz mittels der elektrodynamometrischen Methode beobachtet, und auch andere Beobachter haben unter ähnlichen Bedingungen dieselben Resultate gefunden.

Arno in Turin hat bei geringen Frequenzen und niedriger Feldstärke bei einer grossen Zahl Dielektrika einen Energieverlust pro Cyklus unabhängig von derFrequenz gefunden, aber proportional der i,6ten Potenz der Feldstärke —, d. h. also demselben Gesetz folgend, als die magnetische Hystérésis

= rj cS¹’⁶ .

Dieser Verlust, wahrscheinlich die wahre dielektrische statische Hystérésis, wurde unter solchen Bedingungen beobachtet, dass ein Verlust, der proportional dem Quadrat der Dichte und Frequenz ist, klein sein muss, während bei grossen Dichten und Frequenzen, z. B. bei Kondensatoren, die wahre dielektrische Hystérésis durch einen ausgedrückten Verlust durch    = e N3P verdeckt wird.

99. Wenn der Energieverlust durch elektrostatische Hystérésis proportional dem Quadrat der Frequenz und der Intensität des Feldes ist — wie dies beinahe wahr-

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

ungleich der magnetischen Induktanz —, so ist das Verhältnis zwischen der Konduktanz und Susceptanz, d. h. der Winkel der Phasendifferenz infolge der dielektrischen Hystérésis, eine Konstante. Dies habe ich durch Experimente als erwiesen gefunden.

scheinlich bei den Arbeitsbedingungen der Wechselstromkondensatoren der Fall ist —, dann ist er proportional dem Quadrat der elektromotorischen Kraft; d. h. die effektive Konduktanz g içt infolge der dielektrischen Hystérésis eine Konstante und da die Kondensatorsusceptanz — b — b' auch eine Konstante ist

Dies würde heissen, dass die dielektrische Hysteresis-admittanz eines Kondensators

Y — g +jb=g—'X*'>

wo g die Hysteresiskonduktanz und b' die Hysteresis-susceptanz bedeuten, und die dielektrische Hysteresis-impedanz eines Kondensators

Z — r — j b' — r -f- j xc ,

wo r der Hysteresiswiderstand und xc die Hysteresis-kondensanz, und der Winkel der dielektrischen Hysteresis-verzögerung

i *30

X'c

tga =

Konstanten des Stromkreises sind, unabhängig von der elektromotorischen Kraft und der Frequenz. Die elektromotorische Kraft ist umgekehrt proportional der Frequenz.

Die wahre statische dielektrische Hystérésis, von Arno als proportional der i,6ten Potenz der Dichte beobachtet^ lässt die Admittanz und Impedanz als einen Ausdruck zu, der variabel und abhängig von der elektromotorischen Kraft und Frequenz ist, in derselben Weise wie in dem Kapitel über magnetische Hystérésis erörtert worden ist.

Der magnetischen Hystérésis entspricht in dem elektrostatischen Felde die statische Komponente der dielektrischen Hystérésis, die wahrscheinlich demselben Gesetz der i,6ten Potenz folgt.

Den Wirbelströmen im Eisen entspricht im elektrostatischen Feld die zähe Komponente der dielektrischen Hystérésis, die demselben Gesetze folgt. Der gegenseitigen Induktanz entspricht in dem elektrostatischen Felde die elektrostatische Induktion oder die Influenz.

100. Das elektrostatische Wechselstromfeld eines elektrischen Stromkreises induziert in Leitern innerhalb des Kraftfeldes elektrostatische Ladungen durch die Influenz. Diese Ladungen sind proportional der Stärke des Feldes, d. h. proportional der elektromotorischen Kraft in dem Hauptstromkreise.

Wird durch induzierte Ladungen ein Strom erzeugt, so wird proportional dem Quadrat der Ladung oder proportional dem Quadrat der elektromotorischen Kraft Energie verbraucht. Diese induzierten Ladungen, die auf den Hauptleiter zurück wirken, beeinflussen Ladungen gleicher aber entgegengesetzter Phase und bleiben hinter der elektromotorischen Kraft im Hauptleiter um den Verschiebungswinkel zwischen der induzierten Ladung und dem induzierenden Feld zurück. Sie erfordern einen Ladungsstrom im Hauptleiter, der senkrecht zu der in ihm induzierten Ladung ist, d. h. beinahe senkrecht zur elektromotorischen Kraft und der daher aus einer Energiekomponente in Phase mit der elektromotorischen Kraft besteht, die die durch Influenz verbrauchte Energie darstellt, und aus einer wattlosen Komponente, die die Kapazität des Leiters erhöht, oder, mit anderen Worten, die seine Kapazitäts-susceptanz erhöht oder seine Kondensanz reduziert.

Daher führt die Influenz eine effektive Konduktanz g und eine effektive Susceptanz b, die jedoch von gleichen Vorzeichen als die Kondensatorsusceptanz ist, in die Gleichungen des elektrischen Stromkreises ein.

Während g und b theoretisch Konstanten des Stromkreises sein sollten, ist dies häufig gar nicht der Fall, und zwar infolge der Entladungs-Erscheinungen, die bei diesen hohen Dichten beginnen.

Sogar die Kapazitätskondensanz ändert sich bei sehr hohen Spannungen, und es findet ein Entweichen der Elektrizität in die Luft und über die Oberflächen der stützenden Isolatoren hin statt, und zwar durch Bürsten-Entladung oder elektrostatisches Leuchten. Soweit diese elektrostatische Corona reicht, ist der Raum mit dem Leiter elektrisch verbunden und che Kapazität des Stromkreises wird nicht durch die Oberfläche des metallischen Leiters, sondern durch die äussere Oberfläche des den Leiter umgebenden elektrostatischen Leuchtens bestimmt. Mit steigender Spannung erhöht sich also die Kapazität, sobald die elektrostatische Corona erscheint. Die Kondensanz nimmt daher ab und zu gleicher Zeit erscheint eine Energiekomponente, die den Energieverlust in der Corona darstellt. Diese Erscheinung ist in gewissem Sinne analog dem Sinken der magnetischen Induktanz infolge der Sättigung. Bei massigen Spannungen kann die auf die Kapazität zurückzuführende Kondensanz als eine Konstante betrachtet werden, die aus der wattlo.sen Komponente (der Kondensanz im eigentlichen Sinne) und einer Energiekomponente (der dielektrischen Hystérésis) besteht.

Indessen fängt die Kondensanz einer sekundären Zelle bei sehr niedrigen Spannungen zu zu sinken an, sobald die gegenelektromotorische Kraft der chemischen Trennung erreicht wird.

Die Kondensanz einer synchronen Wechselstrommaschine ist eine variable Grösse, d. h. die synchrone Reaktanz ändert sich allmählich, entsprechend dem Verhältnis zwischen Klemmenspannung und gegenelektromotorischer Kraft, von Induktanz über Null zu Kondensanz.

Ausser den vorhin erörterten Erscheinungen als Ursachen der Energiekomponenten und wattlosen Komponenten des Stromes und der elektromotorischen Kraft muss das Entweichen der Elektrizität ebenfalls als eine Energiekomponente betrachtet werden, d. h. das direkte Entweichen des Stromes vom Leiter zur Rückleitung durch das umgebende

Medium, infolge ungenügender Isolierungsfähigkeit. Der entweichende Strom stellt eine effektive Konduktanz g dar, die theoretisch von der elektromotorischen Kraft unabhängig ist, aber in Wirklichkeit häufig mit der elektromotorischen Kraft und zwar infolge des Sinkens des Isolationswiderstandes des Mediums stark steigt, sobald die Grenze der Isolierfähigkeit erreicht ist.

101. Im Vorangegangenen sind die Erscheinungen, die in einem Wechselstromstromkreise Energieverluste verursachen, erörtert worden und es wurde erklärt, dass das gegenseitige Verhältnis zwischen dem Strom und der elektromotorischen Kraft durch zwei der folgenden vier Konstanten ausgedrückt werden kann:

1.    durch die Energiekomponente der elektromotorischen Kraft in Phase mit dem Strom, und gleich Strom multipliziert mit dem effektiven Widerstande r;

2.    durch die wattlose Komponente der elektromotorischen Kraft senkrecht zu dem Strom, und gleich Strom multipliziert mit der effektiven Reaktanz

3.    durch die Energiekomponente des Stromes in Phase mit der elektromotorischen Kraft, und gleich elektromotorischer Kraft multipliziert mit der effektiven Konduktanz

4.    durch die wattlose Komponente des Stromes senkrecht zur elektomotorischen Kraft, und gleich elektromotorischer Kraft multipliziert mit der effektiven Susceptanz b.

In vielen Fällen ist die genaue Berechnung der Grössen r, x, g und b nicht möglich.

Im allgemeinen sind r, x, g und b nicht Konstanten des Stromkreises, sondern hängen, ausser von der Frequenz, mehr oder weniger von der elektromotorischen Kraft, von dem Strom u. s. w. ab. Daher ist es in jedem einzelnen Falle notwendig, die Änderung von r, x, g und b zu ermitteln, oder zu untersuchen, ob und durch welches

Bereich hindurch sie als Konstanten angenommen werden können.

angenommen

Werte, so dass die Resultate direkt auf den elektrischen Stromkreis, der Eisen und dielektrische Verluste enthält, angewendet werden können.

Im folgenden werden die Grössen r, x, g und b immer als die Koeffizienten der Energie und der wattlosen Komponenten des Stromes und der elektromotorischen Kraft d. h. als die effektiven oder aequivalenten

Indem wir nun in den Kapiteln VII—IX anstatt des Ohm'schen Widerstandes den effektiven Widerstand u. s. w.

einführen, wie bereits in dem vorangegangenen Kapitel erörtert wurde, finden die Resultate innerhalb des in dem vorangegangenen Kapitel erörterten Bereichs auch auf Stromkreise Anwendung, die Eisen und solches Material enthalten, das ausserhalb des elektrischen Leiters Energieverluste verursacht.

§ 102]

Kapitel XII.

Verteilte Kapazität, Induktanz, Widerstand und Stromverlust.

102. Soweit die Kapazität in den vorigen Kapiteln behandelt wurde, ist angenommen worden, dass der Kondensator oder im allgemeinen die Quelle negativer Reaktanz an einem bestimmten Punkte zu dem Stromkreise im Nebenschluss liegt. In vielen Fällen ist jedoch die Kapazität über die ganze Länge des Leiters verteilt, so dass der Stromkreis als eine unendliche Zahl von unendlich kleinen Kondensatoren, die unendlich nahe zusammen und im Nebenschluss zu ihm liegen, angenommen werden kann, wie das Diagramm in der Figur 83 zeigt.

ITT

LU

TTT»

1111

Fig. 83. Verteilte Kapazität.

In diesem Falle ändert sich sowohl die Intensität als auch die Phase des Stromes und infolgedessen auch die gegenelektromotorische Kraft der Induktanz und des Widerstandes von Punkt zu Punkt und es ist daher nicht mehr möglich, den Stromkreis in der gewöhnlichen Weise mittels des Vectordiagramms zu behandeln.

Diese Erscheinung ist besonders bei Fernleitungen bei unterirdischen Kabeln, namentlich bei konzentrischen Kabeln und bis zu einem gewissen Grade in den Hochspannungsspulen der Wechselstromtransformatoren bemerkenswert. Sie bewirkt, dass nicht nur die elektromotorischen

Kräfte, sondern auch die Ströme am Anfang und am Ende und an verschiedenen Punkten des Leiters in Intensität und Phase von einander verschieden sind.

Unter

Wo der Kapazitätseffekt der Leitung klein ist, kann er annähernd durch einen Kondensator von derselben Kapazität wie die Leitung und zu dieser im Nebenschluss dargestellt werden. Häufig macht es gar keinen Unterschied, ob dieser Kondensator am Generatorende, oder an dem Abnahmeende, oder in der Mitte der Leitung dieser parallel geschaltet gedacht wird. Am genauesten verfährt man, wenn man am Generator und am Motorende zwei Kondensatoren von je ¹/₆ der Kapazität der Leitung und in der Mitte einen Kondensator von ²/₃ der Kapazität der Leitung im Nebenschluss zu dieser betrachtet, diesem Gesichtspunkte, der auf der Simpson'schen Regel basiert, variieren die elektrischen Grössen in der Leitung parabolisch.

Ist aber die Kapazität der Leitung eine bedeutende und der Kondensatorstrom von derselben Grössenordnung als der Hauptstrom, dann ist eine derartige approximative Methode nicht zulässig; es muss vielmehr jedes Leitungselement als ein unendlich kleiner Kondensator angenommen und die dann abgeleiteten Differentialgleichungen integriert werden.

103. Daher ist es wünschenswert, zunächst die Grenzen festzustellen, innerhalb deren sich die annäherungsweise Ermittelung der Leitung durch einen oder durch drei Kondensatoren ergiebt.

Wir nehmen z. B. an, dass die Leiter einen Durch

Mikrofarad,

messer von einem Centimeter haben und 50 cm von einander entfernt sind und dass ferner die Länge der Übertragung- 50 km beträgt. Dann erhalten wir die Kapazität der Übertragungsleitung aus der Formel 1,11 X io~⁶ kl

Rn

4 log nat²

wo k die dielektrische Konstante des umgebenden Mediums, also in der Luft Eins, wo l die Länge des Leiters, also 5 • ioG cm, wo d die Entfernung der Leiter von einander, also 50 cm, und wo ô der Durchmesser des Leiters, also 1 cm ist.

C = 0,3 Mikrofarad

Da

so ist die Kapazitätsreaktanz

Ohm

io⁶

2 nNC

wo N die Frequenz ist; also bei N = 60 Cyklen ergiebt sich x = 8,900 Ohm und der Ladestrom der Leitung bei E — 20,000 Volt wird

i₀ = — = 2,25 Ampère. x

Der Widerstand einer Leitung von 100 km Länge und einem Centimeter Durchmesser beträgt 22 Ohm, so dass der durch die Leitung gesandte Hauptstrom bei einem Verlust von 10 °/₀ gleich 2,000 Volt 2,000

-= 91 Ampere

22

beträgt, was einer Energie von ungefähr 1,800 Kilowatt entspricht.

In diesem Falle beträgt der Kondensatorstrom weniger als 2,5 °/₀ und er kann daher annäherungsweise durch einen Kondensator, der zur Leitung parallel geschaltet ist, dargestellt werden.

Wenn aber die Länge der Übertragung 150 km und die Spannung 30,000 Volt beträgt, so ist die Kapazitätsreaktanz x bei 60 Cyklen = 2,970 Ohm, der Ladestrom ia = 10,1 Ampère, der Leitungswiderstand r — 66 Ohm und der Hauptstrom I bei 10 °/₀ Verlust = 45,5 Ampère.

Daher macht der Kondensatorstrom ungefähr 22 °/0 des Hauptstromes aus.

Bei einer Länge der Übertragung von 300 km steigt er bei einem Verlust von 10 °/₀ und bei denselben Dimensionen des Leiters auf nahezu 90 °/₀ des Haupt-

Stromes; es wird daher eine genaue Untersuchung der Erscheinungen in der Leitung erforderlich.

In den meisten Fällen der Praxis ist der Kapazitätseffekt klein genug, um annäherungsweise durch einen respektive drei Kondensatoren im Nebenschluss zur Leitung dargestellt zu werden.

104. A. Leitungskapazität, dargestellt durch einen Kondensator, der in der Mitte der Leitung im Nebenschluss liegt.

Es sei:

Y = g -f- jb die Admittanz des zu speisenden Stromkreises, z — r—jx die Impedanz der Leitung, bc die Kondensatorsusceptanz der Leitung.

Es sei in Fig. 84 die elektromotorische Kraft und der Strom in dem zu speisenden Stromkreis mit E, bezw. /, die elektromotorische Kraft in der Mitte der Leitung mit E' und die elektromotorische Kraft und der Strom des Generators mit E₀₎ bezw. I₀ bezeichnet.

I«3

-m

Fig. 84. Kapazität in der Mitte der Leitung im Nebenschluss. Wir erhalten

I =E(g +jby,

E = EArr-^I

i 4-

(r—jx) (g + j b) ( _

I₀ = I — j bcEc'

— jx

(r — j x) (g -I- j b) ! _

E„=E' _l _—L— j

i -f

ir — j x)(g Ar j b) , (r — j x) (g +j b)

jbc (r — j x)

(r—jx)² (g+jb) (

)K-7-1 •

oder entwickelt 4 = E ![£- + bc (r b — xg)] -\-j [{b — bc) — {r g + x b)\\ ;

jbc

— (r—* ix) 2

fr—jx) (g +jb) \

E₀—E Ji + (r — jx) (g + jb)

i -f

j i + 0r — jx) I £ +70 — ~

+ jà)\.

105. B. Leitungskapazität, dargestellt durch drei Kondensatoren in der Mitte und an den Enden der Leitung.

In der Figur 85 bezeichnen wir die elektromotorische Kraft und den Strom in dem zu speisenden Stromkreis mit E, bezw. /, die elektromotorische Kraft in der Mitte der Leitung mit E', den Strom am Ende der Leitung mit /', den Strom am Generatorende der Leitung mit 7" und die elektromotorische Kraft und den Strom am Generator mit E₀, bezw. I₀. Im übrigen behalten wir dieselben Bezeichnungen bei, wie unter A.

GENERATOR^

-m

EMPFÄNGER

Fig. 85. Verteilte Kapazität.

Wir erhalten

1 =E(g +jb);

= I-JVE 6

E' =E +

r — j x

r — jx

/„ =1"-Eeo-

— {r—jx) ^3g + 3jb-

(r—y*)² j^- + y ó — ^-j [

5A

O'-

1" = /'

4Jbc

E'

y- (^— A) {g+Jb --^|j ;

| i + (r—jx) |^ + yô — ™j—^ (r—jxŸ

5A

= £ l^+yô, ₆

E₀=E'+-1

A₀ = A

— JX TU

Ôc²

3⁶

Wie wir sehen, sind die Bezeichnungen in dem Ausdruck für A₀ und /₀ dieselben als bei ^4 und

106. C. Genaue Untersuchung der verteilten Kapazität, der Induktanz, des Stromverlustes und des Widerstandes.

In manchen Fällen, besonders in sehr langen Stromkreisen, wie bei Leitungen, die hochgespannte Wechselströme über sehr weite Entfernungen hin durch ober- oder unterirdische Leitungen führen, oder die sehr schwache Ströme bei hoher Frequenz leiten, wie Telephonströme, ist die Betrachtung des Leitungswider Standes^ welcher elektromotorische Kräfte in Phase mit dem Strom verbraucht, und die Betrachtung der Leitungsreaktanz, welche elektromotorische Kräfte senkrecht zum Strom verbraucht, für die Erklärung der in der Leitung vorkommenden Erscheinungen nicht genügend; es müssen auch noch andere Faktoren dabei in Betracht gezogen werden.

In langen Leitungen, besonders bei hohen Spannungen, verzehrt die elektrostatische Kapazität der Leitung beträchtliche Ströme. Der Ladestrom des Leitungskondensators ist proportional der Spannungsdifferenz und eilt der elektromotorischen Kraft um eine viertel Periode voraus. Entweder erhöht er den Hauptstrom oder er erniedrigt ihn, entsprechend dem Phasenverhältnis zwischen Hauptstrom und elektromotorischer Kraft.

Infolgedessen ändert sich der Strom in der Leitung von Punkt zu Punkt sowohl in Intensität als auch in Phase und die durch den Widerstand und die Induktanz verbrauchten elektromotorischen Kräfte ändern sich daher ebenfalls von Punkt zu Punkt in Phase und Intensität, weil sie von dem Strom abhängig sind.

Da kein Isolator einen unendlich grossen Widerstand besitzt und da bei hohen Spannungen nicht nur Stromverlust sondern sogar ein direktes Entweichen von Elektrizität in die Luft durch „stille“ Entladung stattfindet, so müssen wir das Vorhandensein eines Stromes annähernd proportional und in Phase mit der elektromotorischen Kraft der Leitung annehmen. Dieser Strom stellt den Energieverbrauch dar und ist analog der von dem Widerstand verbrauchten elektromotorischen Kraft, während der Kondensatorstrom und die elektromotorische Kraft der Induktanz wattlos sind.

Ferner induziert der durch eine Leitung fliessende Wechselstrom in allen benachbarten Leitern sekundäre Ströme, die auf den primären Stromkreis zurückwirken und so elektromotorische Kräfte von gegenseitiger Induktanz in den primären Stromkreis einführen. Gegenseitige Induktanz ist weder in Phase, noch senkrecht zu dem Strom und kann deshalb in eine Energiekomponente von gegenseitiger Induktanz in Phase mit dem Strom aufgelöst werden, die wie eine Erhöhung des Widerstandes wirkt, und in eine wattlose Komponente senkrecht zum Strom, die die Selbstinduktanz vermindert.

Diese gegenseitige Induktanz darf keineswegs vernachlässigt werden, wie dies z. B. ihre störende Wirkung in Telephonleitungen zeigt.

Die wechselnde Spannung der Leitung induziert durch elektrostatische Influenz elektrische Ladungen in benachbarten Leitern ausserhalb des Stromkreises, die entsprechende entgegengesetzte Ladungen in den Leitungsdrähten bilden. Diese elektrostatische Influenz erfordert einen Stromaufwand proportional der elektromotorischen Kraft, der aus einer Energiekomponente, in Phase mit der elektromotorischen Kraft, und aus einer wattlosen Komponente, senkrecht zu ihr, besteht.

das

Das elektromagnetische Wechselstromkraftfeld durch den Strom in der Leitung hervorgerufen wird, erzeugt in gewissen Materialien durch magnetische Hystérésis einen Energieverlust oder einen Verbrauch von elektromotorischer Kraft in Phase mit dem Strom, der wie eine Erhöhung des Widerstandes wirkt. Dieser elektromagnetische Hysteresisverlust findet in dem Leiter selbst statt, wenn Eisendrähte gebraucht werden ; er wird bei hohen Frequenzen ganz bedeutend, z. B. bei Telephonströmen.

Die Wirkung der Wirbelströme ist bereits bei der gegenseitigen Induktanz erwähnt worden, von der sie eine Energiekomponente ist.

Das elektrostatische Wechselstromkraftfeld verbraucht in Dielektriken durch die sogenannte dielektrische Hystérésis Energie. In konzentrischen Kabeln, wo die elektrostatische Ladung im Dielektrikum relativ gross ist, kann die dielektrische Hystérésis bei hohen Spannungen bei weitem mehr Energie verbrauchen, als der Widerstand.

Die dielektrische Hystérésis erscheint in einem Stromkreise als Stromverbrauch, dessen Komponente in Phase mit der elektromotorischen Kraft der dielektrische Energiestrom ist, der als die Energiekomponente des Kapazitätsstromes bezeichnet werden kann.

Ausserdem entsteht eine Erhöhung des Ohm'sehen Widerstandes durch ungleiche Stromverteilung, die man jedoch gewöhnlich nicht weiter zu beachten hat.

107. Es ergiebt sich also allgemein pro Längeneinheit der Leitung:

Elektromotorische Kräfte in Phase mit dem Strom, und = Ir, somit Energieverbrauch darstellend, und verursacht durch:

Widerstand und seine Zunahme durch ungleich-massige Stromverteilung im Leiter, Energiekomponente der wechselseitigen Induktion, induzierte Ströme, Energiekomponente der Selbstinduktion oder magnetische Hystérésis.

Elektromotorische Kräfte senkrecht zu dem Strom, und — Ix, somit wattlos, und verursacht durch :

Selbstinduktion, wechselseitige Induktion.

Ströme in Phase mit der elektromotorischen Kraft, und = Eg, somit Energieverbrauch darstellend, und verursacht durch:

Stromentweichung durch die Isolierung und „stille“ Entladung, Energiekomponente der elektrostatischen Influenz, Energiekomponente der Kapazität oder dielektrische Hystérésis.

Ströme senkrecht zur elektromotorischen Kraft, und = Eb, somit wattlos, und verursacht durch:

Kapazität, elektrostatische Influenz.

Wir erhalten daher vier Konstanten:

1.    den effektiven Widerstand r,

2.    die effektive Reaktanz x}

3.    die effektive Konduktanz g,

4.    die effektive Susceptanz b = — bc,

für die Länge Eins der Leitung, die für die Längeneinheit der Leitung die Koeffizienten der in Phase mit dem Strom und der senkrecht zu ihm verbrauchten elektromotorischen Kraft und des in Phase mit der elektromotorischen Kraft und senkrecht zu ihr verbrauchten Stromes darstellen.

108. Diese Leitung wollen wir als ein Stromnetz irgend welcher Art speisend annehmen und den Strom und die elektromotorische Kraft an irgend einem Punkte dieser Leitung bestimmen.

D. h., die elektromotorische Kraft, die Stromstärke und ihre Phasendifferenz seien am Ende der Leitung gegeben. Zu bestimmen sind die elektromotorische Kraft und der Strom an irgend einem Punkte der Leitung, z. B. an den Generatorklemmen.

oder

Oder es ist Z₁ = r, — j x\ als Impedanz Yl=g₁-\-jbl als Admittanz des Abnahmestromkreises und die elektromotorische Kraft E₀ an den Generatorklemmen gegeben und es sollen der Strom und die elektromotorische Kraft an irgend einem Punkte der Leitung bestimmt werden u. s. w.

109. Zählen wir nun die Entfernung x von einem Punkte o der Leitung, welche die elektromotorische Kraft E,—ex-f- je,', und den Strom I, — i, -(- ji,', hat, und zählen wir ferner x positiv in der Richtung der steigenden Energie und negativ in der Richtung der sinkenden Energie, so haben wir in einemLängendifferential dx der Leitung den Stromverlust

Egdx,

den Kapazitätsstrom

— j E bc dx ;

daher ist der gesamte von dem jLeitungselement dx verbrauchte Strom

dl = E (g—jbc)dx,

oder

» I 'S

= E(g — jbe).

(1)

Die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft ist Irdx, die durch die Reaktanz verbrauchte elektromotorische Kraft —jlxdx. Daher ist die gesamte in einem Leitungselement dx verbrauchte elektromotorische Kraft dE = /(r —jx) dx, oder

(2)

— I (r — j x).

Diese fundamentalen Differentialgleichungen . ^

dl

(I)

= E (g — Jbc),

dE

(2)

sind in Beziehung auf I und E symmetrisch.

Durch Differentiation dieser Gleichungen erhalten wir d²1 dE

d x²

d² E

dl

(3)

= -j- (r — j x)\ dx

d x²

und durch Substitution von (1) und (2) in (3)

d²E

d x²

= E (g— jbc) (r — j x),

(4)

— ¹ (g — Jl)c) (r — j x)

(5)

d²1

d x²

als Differentialgleichungen von E und /.

110. Diese Differentialgleichungen sind identisch und I und E daher Funktionen, die nur durch ihre Grenzwerte verschieden sind.

Die Gleichungen (4) und (5) sind von der Form

= w (g — jbc) (r — jx),

<6.)

d² w d x²

und ergeben durch Integration

wo £ die Basis der natürlichen Logarithmen ist, denn differentiiert erhalten wir

d² w

— v² a s vx — v²w\

folglich

oder

d x²

v² — ig — jbc) (r —jx) v = ± V(g—jbc) (r—jx) ;

(7)

Das allgemeine Integral ist daher

+ bs~

wo a und b die beiden Integrationskonstanten sind. Setzen wir in (7) für

W = ü€

VX

VX

(8)

v — a — jß

12

Steinmetz, Wecliselatiomerscheimmgen.

ein, so erhalten wir

oder

(a — jßf = (g —jbc) (r —jx) ;

und daraus

d² — ß² = gr — xbc;

2 a ß = gx 4~ bcr; a²-\-ß² = V (g² 4~ b²) (r²—x²) ;

(Ô)

(10)

a— y^\V(g² + bc²) (r² + x²) + {gr —bcx)\ ; ß — "I/—    6C²) (r² + x²) — (£r— £c*) i .

(u)

Indem wir (9) in (8) einsetzen, ergiebt sich w = at(a -Jft* 4-£«(-« +■//*)æ •

— asax (cosßx — j sin ßx) + bs~ax (cosßx + j sin ßx) ; w — (asttX + bs~ax) cos ßx — j (asax— be~ “x)sin ßx. (12) Dies ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen (4) und (5).

Durch Differentiation von (8) erhalten wir = v (asvx — bs~M); und daraus, wenn wir (9) einsetzen:

dw

dtu

= (ot — jß)\(asax— bs~

4- bs~ax) sin ßx\.

ax

) cosßx — j(aeax

(131

Setzen wir nun / für w und (13) in (1) ein und bezeichnen (a—jß) a mit A und (a—jß)b mit B} so erhalten wir

1 — ¹—— \(Asax + Bs~ax) cos ß—j(As ax— Bs~ax)

ct—jß

sin ß x j ;

:—¹—~\(AettX—B£-ax) cos ßx—i{A£ux-\-Bs-ax) g~Jbc

(14)

sin ßx\,

wo A und B die Integrationskonstanten sind.

Dies sind die allgemeinen Integralgleichungen des

Problems.

111. Ist /j = i₁ -f- j i\ der Strom, Ex — ex -\-j e\ die elektromotorische Kraft an dem Punkt x — o und setzen (15) wir (15) in (14) ein, so erhalten wir 2A— ;(a/j +ßi\) + (gel + bce\)\

(16)

+j\(ai\—ßil) f (ge\— £₀«i)},

2 B—    — (ge^Ą-bc e\)\

+J ! («    — ß h) — (ge' 1 — bc et) ,

wo a und ß durch die Gleichungen (11) bestimmt sind.

112. Ist Z — R — j X die Impedanz des Abnahme-

Stromkreises

(17)

E₀ — 6₀ “l⁻ J e o

die elektromotorische Kraft an den Klemmen der dynamoelektrischen Maschine und l die Länge der Leitung, so erhalten wir für x — o

/=-

E=

folglich

Z=

oder

A + B

a —fß ’

A — B g~ jb<

E A — Ba —j I~~ A + B g—jbe A — B ÄT+B

und für x = /

a—jß

(18)

E₀ =

(As“¹ — B s ~al) cos ß l —j (A s“¹ -f B s ~“¹)

g—Jb « sin ßl\.

Die Gleichungen (18) und (19) bestimmen die Konstanten Ar und B, die, in (14) eingesetzt, die bestimmten Integralgleichungen ergeben.

(19)

Die Länge

271

(20)

27V

ist eine ganze Wellenlänge, d. h. in der Entfernung -

r

wiederholen sich die Phasen des Stromes und der elektromotorischen Kraft und in der halben Entfernung sind sie entgegengesetzt.

12*

Daraus ergiebt sich die bemerkenswerte Bedingung, dass an verschiedenen Punkten sehr langer Leitungen die Ströme in entgegengesetzten Richtungen fliessen und die elektromotorischen Kräfte entgegengesetzt gerichtet sind.

113- Die Phasendifferenz co zwischen dem Strom I und der elektromotorischen Kraft E an irgend einem Punkte x der Leitung wird durch die Gleichung

E

D (cos co -p j sin ®) =

bestimmt, in der D eine Konstante ist.

Daher ändert sich co von Punkt zu Punkt und oscilliert um einen Grenzwert coX) den es für x — oo erreicht. Diese Phasendifferenz co<*,, die der Strom und die elektromotorische Kraft im Unendlichen erreichen, wird durch den Ausdruck

co -

D (cos oöoo -p j sin co

X ZU OO

bestimmt oder, wenn wir für E und I ihre Werte ein-setzen, und weil s~ ax ■= o und A eax (cos ß x — j sin ß x) herausfällt, so ist

Jß

g — Jbc

D (cos töoo + j sin cOoo) — —

(erg + ßbc) — j (abc

bc ² + g²

daraus folgt

tg <0oo

— cc bc + ß g

ag + ß bc

(21)

Der Winkel Woo wird Null, d. h. Strom und elektromotorische Kraft kommen mehr und mehr in Phase überein, wenn

a bc — ßg = °;

a:ß = g:be,

— ß² _ g² — bc² _ 2 g bc

d. h. wenn

oder

«²

2 a ß

wenn wir (io) einsetzen, so erhalten wir

gr — bcx

_g²-bc\ gxĄ-bcr 2gbc ’

und wenn wir entwickeln

(22)

r:x=g:bc;

d. h. der Widerstand verhält sich zur Induktanz wie der Elektrizitätsverlust zur Kapazität.

Der Winkel beträgt 45⁰; d. h. Strom und elektromotorische Kraft weichen um eine achtel Periode von ein-

ander ab, wenn — abc + ßg — ug + ßbc ! oder wenn

_ bc + g

+ g

rg -f xbc — o

(23)

ist, woraus sich ergiebt; d. h. zwei der vier Leitungskonstanten müssen Null sein und zwar entweder g und x oder g und bc.

114. In Figur 86 ist das Diagramm einer Leitung dargestellt, mit der Entfernung von der Speiseleitung als Abscisse. Das Diagramm stellt anderthalb vollständige Wellen dar und giebt den gesamten effektiven Strom, die gesamte elektromotorische Kraft und die Phasendififerenz zwischen beiden als Funktionen der Entfernung von dem Abnahmestromkreis, und zwar unter den Bedingungen, dass die elektromotorische Kraft an dem zu speisenden Ende 10000 Volt, also E₁ = ex = 10000 Volt, und der Strom = 65 Ampère bei einem Energiekoeffizienten von 0,385 beträgt; daher ist

I— h +Jh'= ²5 + 60/;

die Leitungskonstanten für die Längeneinheit sind:

k = Ą,

g = 2- io“⁵; j bc= 20 • 10 ⁵ ; i

folglich sind

« = 4,95<IO_3. ß = 28,36* io⁻³, «² -f ß² = 0,829- io⁻³;

2 7T

x₀— L —    — 221,5

ß

die Länge der Leitung, entsprechend einer vollständigen Periode der Fortpflanzungswelle und

a = 1,012 — 1,206y, )

B — 0,812    0,7947 - '

i*

SÏ

ESii

7l

_ 8,000

AMPER

880 2(.

24-000

~/eo

2?0 22 000

6>f

200 io OOP

J-

160    18 OOP

IflO 10.000

MO M.000

120 >1.000

100

0,000

±13

80

8,000

—t

1

1=50 000

eO

1=5 000

k_

40

4 OOP

V-

H=12.

JL

3L

5L

T

J0_

2 OOP

3L

Fig. 86.

Diese Werte eingesetzt, ergeben 1 =

\sax (47)3 cos ßx 4- 27,4 sin ßx) €~ax (22,3 cos ßx + 32,6 sin ßx) } + 7 je “* (27,4 cos ß x — 47,3 sin /S #)

_1_ f-as (32,6 cos ß x— 22,3 sin /9^)| ;

COoo = —    4,2°.

= — 0,073,

E — \sax (6450 cos ß x -j- 4410 sin ß x) + *““*<353° cos ßx + 4410 sin ßx)\ _j_ j \£ax (^IO cos ßx— 6450 sin ß x) — s~“*(4410 cos ßx 4* 3530 sin ßx)\; — a bc+ ßg

« g +- ß bc

115. Im Folgenden seien einige besondere Fälle angeführt:

A. Offener Stromkreis am Ende der Leitung: x — o Ix = o.

A = ff* 1 + bc e\) +j (ge' 1 —beex)=—B\

folglich

E=

A l(eaa! 4- s~ax)cosßx — ; («

g—jbc

ax _

s~ ax)sinßx\ ;

-— A jle“* — s~ax) cosßx —j (s

a—j ß

ax

-f- s~axsinßx\.

B. Leitung, die an ihrem Ende mit der Erde verbunden ist:

E:

x — o Ex = o.

A — (1a ix -\-ß i\) ~)r J (<* i\ —ßh) — B

_rM) cos ßx—-/(«“* + £~aa:) sin ß A⁻} ;

A {(«

ax

g—jbc

-— A j(sax -f- s~01 x) cos ßx — j (e

a—jß

ax

—s~ax) sin ß .v{.

C. Unendlich langer Leiter:

Wenn wir x durch —ersetzen, d. h. die Entfernung positiv in der Richtung der abnehmenden Energie nehmen, so erhalten wir für ^=00

folglich

und

g—jbc

I=o, E= o; B = o,

As~ax {cosßx-\-j sin ßx)]

As

ax

(cos ßx + j sin ßx),

Ct—jß

somit einen allmählichen Verfall der elektrischen Welle.

Die gesamte Impedanz des unendlich langen Leiters ist

—jß

g—jbc

g²+ bA

_ W—jß) (g+jbc) __ (ag + ßbc) —j (ßg—abc) g²+bc*

Der unendlich lange Leiter wirkt wie eine Impedanz a g + ßbc __ .ßg — cc bc _ g² + bc² ~J g² + t*c also wie ein Widerstand

J? — <*g + ßbc ~ g² + àj

der mit einer Reaktanz

ßg

cc bc

g² -f K²

kombiniert ist.

Wir erhalten also als Phasendifferenz zwischen der

elektromotorischen Kraft und dem Strom

ßg — abc

tga~ R ~ *g+ßbc '

die an allen Punkten der Leitung konstant ist. Ist g = o und x — o, so erhalten wir

» Yb°r ■

<‘ = ß=

folglich

tg 0) — i, oj = 45⁰;

d. h. Strom und elektromotorische Kraft weichen um eine

achtel Periode von einander ab.

also

und

D. Generator, der einen geschlossenen Stromkreis speist: Es sei x = o der Mittelpunkt des Stromkreises : dann ist Ex — E — x j E — o bei x — o

Ix —- I — X •

Diese Gleichungen sind dieselben wie bei B, wo die Leitung bei x — o mit der Erde verbunden ist.

Kapitel XIII.

116.    Der einfachste Wechselstrom-Apparat ist derTrans-formator. Er besteht aus einem magnetischen Stromkreise, der mit zwei elektrischen Stromkreisen, einem primären und einem sekundären, verkettet ist. Der primäre Stromkreis wird durch eine zugeführte elektromotorische Kraft erregt, während in dem sekundären eine elektromotorische Kraft induziert wird. Im primären Stromkreise wird also Energie verbraucht und im sekundären eine entsprechende Energie erzeugt.

Da der magnetische Stromkreis mit beiden elektrischen Stromkreisen verkettet ist, so muss die im sekundären und primären Stromkreise pro Windung induzierte elektromotorische Kraft dieselbe sein. Da die primäre induzierte elektromotorische Kraft annähernd gleich der Klemmenspannung ist, so stehen die elektromotorischen Kräfte an den primären und sekundären Klemmen annähernd in demselben Verhältnis wie ihre Windungen. Da die in dem sekundären Stromkreise erzeugte Energie annähernd gleich der in dem primären verbrauchten ist, so verhalten sich die primären und sekundären Ströme annähernd umgekehrt wie die Windungszahlen.

117.    Ausser dem mit beiden elektrischen Stromkreisen verketteten Kraftlinienfluss (welcher Fluss in einem geschlossenen magnetischen Transformatorstromkreise niedrige Reluktanz besitzt), geht zwischen den primären und sekundären Spulen ein magnetischer Streulinienfluss hindurch, der nur eine Spule umgiebt, ohne mit der anderen verkettet zu sein. Dieser magnetische Streulinienfluss ist

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

proportional dem in dem elektrischen Stromkreise fliessenden Strom; oder besser die sie erzeugenden Amperewindungen, oder die magnetomotorische Kraft, wachsen mit wachsender Belastung des Transformators und machen seine sogenannte Selbstinduktion aus, während die beide Spulen umgebenden Kraftlinien als gegenseitige Induktanz betrachtet werden können. Jenes Kraftlinienfeld der Streuung oder Selbstinduktion erzeugt in dem sekundären Stromkreise keine elektromotorische Kraft und ist daher nicht wünschenswert, da es einen Spannungsverlust und eine Verminderung der Leistung verursacht. Daher werden bei Transformatoren für konstante Spannung die primären und sekundären Spulen so nahe als möglich aneinander gebracht, um die Streuung zu reduzieren.

Somit ist unter der Selbstinduktion eines Stromkreises nicht der gesamte durch ihn erzeugte und mit ihm verkettete Magnetismus zu verstehen, sondern nur der (gewöhnlich kleine) Teil des magnetischen Feldes, das einen Stromkreis umgiebt, ohne sich mit dem anderen Stromkreis zu verketten.

118. Der wechselnde Kraftlinienfluss des magnetischen Stromkreises, der beide elektrische Stromkreise umgiebt, wird durch die resultierende magnetisierende Wirkung des primären und sekundären Stromkreises erzeugt.

Dieses magnetische Feld wird durch die elektromotorische Kraft des Transformators, durch die Windungszahl und durch die Frequenz bestimmt.

Ist O der maximale Kraftlinienfluss, N die Frequenz und n die Zahl der Windungen der Spule, so ist die in dieser Spule induzierte elektromotorische Kraft E — VanNn(lJio~⁸ Volt,

= 4,44 N n (D io⁻⁸ Volt;

und wenn die elektromotorische Kraft, die Frequenz und die Windungszahl bestimmt sind, so ist der maximale Kraftlinienfluss

(D =

E io⁸

Van N n

Um in dem Transformator den Magnetismus O hervorzubringen, ist eine magnetomotorische Kraft von ćfAmpere-windungen erforderlich, die durch die Form und die magnetische Charakteristik des Eisens und zwar in der in dem Kapital X beschriebenen Weise bestimmt wird.

In dem Transformator mit geschlossenem magnetischem Kreislauf ist z. B. die maximale magnetische Induktion

(D

c8 =r-4-

wo S den Querschnitt des magnetischen Stromkreises bedeutet.

119. Um eine Felddichte <8 zu induzieren, sind &Cm Amperewindungen als maximale magnetomotorische Kraft

oder

V2,

effektive Amperewindungen pro Längeneinheit des

Amperewindungen,

magnetischen Stromkreises erforderlich, also für den gesamten magnetischen Stromkreis von der Länge / iMm

I/2

oder

1= -

n n |/₂

Ampère,

wo n die Zahl der Windungen bezeichnet.

Bei Leerlauf oder offenem sekundärem Stromkreise wird diese magnetomotorische Kraft & durch den Erregerstrom /₀₀ erzeugt, d. i. durch jenen kleinen Betrag des primären Stromes, der durch den Transformator bei offenem sekundärem Stromkreis hindurchgeht.

(Siehe

In einem Transformator mit offenem magnetischem Stromkreis, z. B. in einem Igeltransformator, ist die magnetomotorische Kraft c'7 gleich der Summe der magnetomotorischen Kräfte, die in dem Eisen- und Luftteil des magnetischen Stromkreises verbraucht werden.

Kapitel X.)

13*

Die Energie des Erregerstromes ist gleich der Energie, die von der Hystérésis und den Wirbelströmen und von dem Ohm’schen Widerstand verbraucht wird.

Der Erregerstrom stellt keine Sinuswelle dar, sondern er ist wenigstens in dem Transformator mit geschlossenem magnetischem Kreislauf sehr durch Hystérésis verzerrt, weniger in dem Transformator mit offenem magnetischem Kreislauf. Der Erregerstrom kann durch eine aequivalente Sinuswelle 7₀₀ von gleicher Intensität und Energie mit der verzerrten Welle und durch eine wattlose höhere harmonische von wesentlich dreifacher Frequenz dargestellt werden.

Da die höhere harmonische Welle im Vergleich zu dem gesamten Erregerstrom klein ist und der Erregerstrom nur einen Bruchteil des gesamten primären Stromes ausmacht, so kann die höhere harmonische Welle für die meisten praktischen Zwecke vernachlässigt und der Erregerstrom durch die aequivalente Sinuswelle ersetzt werden.

Diese aequivalente Sinuswelle /₀₀ eilt der Welle O des Magnetismus um den Winkel a voran, dem Winkel der Hysteresisvoreilung, und besteht aus zwei Komponenten, aus dem hysteretischen Energiestrom senkrecht zur magnetischen Strömung und daher in Phase mit der induzierten elektromotorischen Kraft, /ü0 sin a, und aus dem magnetisierenden Strom in Phase mit dem magnetischen Feld und infolgedessen senkrecht zu der induzierten elektromotorischen Kraft, /₀₀ cos a, einer Komponente, die wattlos ist.

Der Erregerstrom /₀₀ wird durch die Form und durch die magnetische Charakteristik des Eisens und durch die Zahl der Windungen bestimmt. Der hysteretische Energiestrom ist

/₀₀ sin u —

in dem Eisen verbrauchte Energie induzierte elektromotorische Kraft

120. Graphisch wird das Polardiagramm der magnetomotorischen Kräfte eines Transformators auf folgende Weise dargestellt:

Es sei in der Figur 87 00 das magnetische Feld in Intensität und Phase (der Bequemlichkeit halber werden als Intensitäten durchweg die effektiven Werte gebraucht), wobei wir ihre Phase vertikal annehmen, d. h. wenn wir

r?

tor

ßo

E,'

EÓ

er

"*Eo

E,

tr*

E.,

Fig. 87.

die Zeit von dem Moment an zählen, wo der steigende Magnetismus seinen Null wert erreicht. Alsdann wird die resultierende magnetomotorische Kraft durch den Vektor OcF dargestellt, der 00 um den Winkel cFO0 = 00 voreilt. Die induzierten elektromotorischen Kräfte haben die

Phase 180⁰; sie werden also in der Richtung nach links eingetragen und durch die Vektoren 0Eo' und OE/ dargestellt.

Ist nun ß' der Phasenwinkel in dem sekundären Stromkreise infolge der gesamten (inneren und äusseren) sekundären Reaktanz, so verschiebt sich der sekundäre Strom Ą und auch die sekundäre magnetomotorische Kraft «Fj = Ix hinter E± um den Winkel ß' und hat somit die Phase 180⁰ + ß', die durch den Vektor 0&x repräsentiert wird. Konstruieren wir ein Parallelogramm der magnetomotorischen Kräfte mit OéF als Diagonale und Ocfy als Seite, so ist die andere Seite oder OéF₀ die primäre magnetomotorische Kraft in Intensität und Phase, und als primären Strom erhalten wir, wenn wir durch die Zahl «0 der primären Windungen dividieren,

die ihr gleich und entgegengesetzt gerichtet ist, dargestellt durch den Vektor OE'₀,

Daher erhalten wir die gesamte primäre Klemmenspannung durch Zusammensetzung von 0Eor, OEox und OE"₀ mittels des Parallelogramms der elektromotorischen Kräfte

Um das Diagramm der elektromotorischen Kräfte zu vervollständigen, erhalten wir jetzt für den primären Stromkreis die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft IQr₀ in Phase mit I0y dargestellt durch den Vektor 0Eor, die durch die Reaktanz verbrauchte elektromotorische Kraft I₀x0t die 1₀ um 90⁰ voreilt, dargestellt durch den Vektor OEox und die durch die induzierte elektromotorische Kraft verbrauchte elektromotorische Kraft E

O )

E₀ — OE

und die Phasendififerenz zwischen der primären Klemmenspannung und dem primären Strom ß o = E o O cF₀.

In dem sekundären Stromkreise erhalten wir als gegenelektromotorische Kraft des Widerstandes Ix rx entgegengesetzt gerichtet zu /r, dargestellt durch den Vektor 0EX r', als gegenelektromotorische Kraft der Reaktanz Ii w,, die 900 hinter f zurückbleibt, dargestellt durch den Vektor 0E\ xx und als induzierte elektromotorische Kräfte E\, dargestellt durch den Vektor 0E\.

Daher ist die durch Zusammensetzung von 0Ey /, 0EX f und OE'₁ mittels des Parallelogramms der elektromotorischen Kräfte erhaltene sekundäre Klemmenspannung

Ex = 0Elt

Strom

und die Phasendifferenz zwischen dieser und dem sekundären

«₁ — Ex 0&v

Für den primären Stromkreis sind der Bequemlichkeit halber die Komponenten der Klemmenspannung, die zur Überwindung der gegenelektromotorischen Kräfte erforderlich ist, benutzt, und im sekundären Stromkreise die gegenelektromotorischen Kräfte.

<P

fo

E«,

E₈

Eff

E,

Ew

Eo»

"eT

Fig. 88.

Transformatordiagramm mit einer Phasennacheilung von 80⁰ im sekundären Stromkreise.

Ei

EÓ

IT

♦E.

tF*

Fig. 89. Transformatordiagramm mit einer Phasennacheilung von 50⁰ im sekundären Stromkreise.

121. Bei der Konstruktion desTransformatordiagramms ist es meistens vorzuziehen, die sekundären Grössen, den Strom und die elektromotorische Kraft nicht direkt einzuzeichnen, sondern entsprechend aus dem primären Stromkreis durch

no

Multiplikation mit dem Windungsverhältnis — a = — abzu-

n\

leiten, und zwar aus dem Grunde, weil die primären und sekundären elektromotorischen Kräfte u. s. w. oft so ver-

<P

Ei

E.r

e'

Ei

Eitr

►Eo

E o«*

Fig. 90.

Transformatordiagramm mit einer Phasennacheilung von 20° im sekundären Stromkreise.

schieden von einander sind, dass sie nicht leicht in demselben Maassstab dargestellt werden können; auch kann der primäre Strom in derselben Weise von dem sekundären abgeleitet werden. Stets sind aber die Vektoren, die die beiden induzierten elektromotorischen Kräfte darstellen, einander gleich, also OEf — OEf.

b₀ — 0,0173 Megohm Ef — 100 Volt 7t = 60 Ampère

10

Die Figuren 88 bis 94 zeigen das Polardiagramm eines Transformators mit den Konstanten rQ — 0,2 Ohm x₀ = 0,33 Ohm rx = 0,00167 Ohm xx = 0,0025 Ohm ga = 0,0100 Megohm

Fig. 91. Transformatordiagramm, dessen sekundärer Strom in Phase mit der elektromotorischen Kraft ist.

(F

E'o

E:

e4

Fig. 92. Transformatordiagramm mit einer Phasenvoreilung von 20° im sekundären Stromkreise.

Wir sehen

5°°

20°

500 80⁰

■fo

e;

*A

'E,

iS

Eok

dass sich mit ßl die Werte E g₀ u. s. w. in Intensität und Richtung ändern. Die von diesen

Werten beschriebenen Örter sind Kreise und werden in der Figur 95 durch den entsprechenden Punkt der induktionsfreien Belastung markiert. Der Teil des Ortes, der

SFT,

4T

-A

EÓ

Eo

e;

tF.

Fig. 93. Transformatordiagramm mit einer Phasenvoreilung von 50⁰ im sekundären Stromkreise.

ff,

S?

E,

O¹

E'o

E«.

-*A

E,

E,

‘iE

Fig. 94. Transformatordiagramm mit einer Phasenvoreilung von 80⁰ im sekundären Stromkreise.

einem nacheilenden sekundären Strom entspricht, ist in vollen dicken Linien ausgezogen und der dem voreilenden Strom entsprechende Teil in vollen dünnen Linien.

* 122. Dieses Diagramm stellt die Bedingung für die konstante induzierte sekundäre elektromotorische Kraft Ef

dar, entsprechend einem konstanten maximalen Kraftlinienfluss.

Ändern wir alle Grössen in dem Diagramm, Figur 95,

\fo

SF

Ei

Eoj

-ß.

E,

Eix'

^OJC

Fig- 95-

e'

E,

e;

E₀

Fig. 96.

proportional, so erhalten wir das Diagramm für die konstante primäre (Fig. 96) und für die konstante sekundäre Klemmenspannung (Fig. 97), wo die Örter Kurven höherer Ordnung ergeben.

Figur 98 zeigt den Ort der verschiedenen Grössen, wenn die Belastung in einem induktionsfreien sekundären äusseren Stromkreise von ihrem Maximum Ix = 60 Ampère zum Leerlauf oder offenen Stromkreis übergeht und zwar a) bei Erhöhung des sekundären Widerstandes; b) bei Erhöhung der sekundären induktiven Reaktanz; c) bei Erhöhung der sekundären Kapazitätsreaktanz.

7.

E.

Fig. 97.

Wie in Figur a) gezeigt, sind die Örter der sekundären Klemmenspannung El und daher der von E₀ u. s. w. gerade Linien und in b) und c) Teile desselben Kreises, a) ist in vollen Linien, b) in dicken vollen Linien und c) in dünnen vollen Linien gezeichnet. Dieses Diagramm entspricht dem maximalen konstanten Kraftlinienfluss, also der induzierten konstanten sekundären elektromotorischen Kraft. Die Diagramme, die die konstante primäre elektromotorische Kraft und die konstante sekundäre Klemmenspannung darstellen, können aus obigem durch Proportionalität abgeleitet werden.

123. Um die Diagramme deutlicher zu machen, sind die verschiedenen Werte möglichst gleich gross gemacht worden; dabei ist wohl zu beachten, dass die für diese Diagramme gewählten Konstanten nicht die in den wirklichen Transformatoren gefundenen Grössen darstellen, sondern sich auf sehr grosse innere Verluste beziehen.

In der Praxis würden ungefähr folgende Werte gefunden werden:

xl — 0,00025 Ohm

£■<> = 0,001

b₍₎ — 0,00173    „

r₀ = 0,01 Ohm

-ro = °)°33    »

r, = 0,0008    „

(Fj

,Ero

Ei.

Eto

Fig. 98.

d. h. ungefähr ein Zehntel der angenommenen. Daher sind die Änderungen der Werte für E₀, E₁ u. s. w. unter verschiedenen Bedingungen sehr viel kleiner.

Symbolische Methode.

124. Bei der symbolischen Darstellung durch komplexe Grössen erscheint das Problem der Transformatoren folgendermaassen :

Der Erregerstrom /₀₀ des Transformators hängt von der primären elektromotorischen Kraft ab und diese Abhängigkeit kann durch eine Admittanz dargestellt werden, nämlich durch die primäre Admittanz des Transformators

^0 = £0 + jK

Der Widerstand und die Reaktanz des primären und sekundären Stromkreises werden in der Impedanz durch

Zo = ro —Jx 0

und

dargestellt.

Innerhalb der Grenzen der Änderung der magnetischen Induktion in einem Transformator mit konstanter Spannung können Admittanz und Impedanz mit genügender Genauigkeit im allgemeinen als konstant betrachtet werden.

Es sei

n₀ die Zahl der primären hintereinander geschalteten Windungen,

nl die Zahl der sekundären hintereinander geschalteten Windungen,

das Verhältnis der Windungen,

Y₀ = g₀ — jb₀ die primäre Admittanz, also

Erregerstrom

primäre gegenelektromotorische Kraft *

Z₀ = r₀ — jxQ die primäre Impedanz, also

in der primären Spule durch Widerstand und Reaktanz verbrauchte elektromot. Kraft

Primärstrom

Z₁ == rx — jxx die sekundäre Impedanz, also

in der sekundären Spule durchWiderstand und Reaktanz verbrauchte elektromot. Kralt

Sekundärstrom

wo sich die Reaktanzen a;₀ und x₁ nur auf die wahre Selbstinduktion, oder auf die Streuung, die zwischen den primären und sekundären Spulen hindurchgeht, beziehen, d. h. nur mit der einen Spule verkettet sind.

Ferner sei

Y = g + jb die gesamte Admittanz des sekundären Stromkreises, einschliesslich der inneren Impedanz, Eq die primäre Klemmenspannung,

Ef die elektromotorische Kraft, die durch die primäre gegenelektromotorische Kraft verbraucht wird, Ef die sekundäre Klemmenspannung,

Ef' die sekundär induzierte elektromotorische Kraft, I₀ der gesamte Primärstrom,

I₀₀ der primäre Erregerstrom,

4 der sekundäre Strom.

(1)

Da die primäre gegenelektromotorische Kraft E₀' und die sekundär induzierte elektromotorische Kraft Ex proportional dem Windungsverhältnis « ist, so ist E₀' =aEx'.

Der sekundäre Strom ist

(2)

4 = YES;

er besteht aus einer Energiekomponente g E\ und einer rückwirkenden Komponente bEx.

Diesem Sekundärstrom entspricht die Komponente des Primärstromes

4' =

— YE,'    YE₀'

«² '

(3)

(4)

Der primäre Erregerstrom ist loo — Y₀ E₀'\

infolgedessen der gesamte Primärstrom

4 — 4 ' 4~ 4o

YE₀'

(5)

- + YoEo',

oder

E '

J-‘0

dl

(Y+ «² Ko)

(6)

47

Die in der sekundären Spule durch die innere Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft ist Zx Ix und die in der sekundären Spule durch den Kraftlinienfluss induzierte elektromotorische Kraft Ex .

Folglich ist die sekundäre Klemmenspannung Ei = 47 — Zx Ix,

oder, wenn wir (2) einsetzen,

(7)

Ei = Ex' (1 - Zx Y).

Die in der primären Spule durch die innere Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft ist Z₀ 4 und die in

der primären Spule durch die gegenelektromotorische Kraft verbrauchte elektromotorische Kraft E₀'.

Folglich ist die primäre Klemmenspannung E₀ = E J -f- Z₀ I oder wenn wir (6) einsetzen,

E ₀ — E ₀'

¹ + ZQ Y₀ -f-

Z₀ Y

a?

= — a EI

ZoX\

a² f

(8>

125. Daher erhalten wir die primäre elektromotorische Kraft

E₀ — — a Ex

' j i +Z„Y₀ +

Z₀ Y ) a² i

(8)

die sekundäre elektromotorische Kraft Ex = Ef (1 - Z, Y),

(7>

den primären Strom

Ei

(Y+ «² Y₀)

(6)

den sekundären Strom

(2)

/1 = YEf

als Funktionen der induzierten sekundären elektromotorischen Kraft Ef als Parameter.

Aus obigem leiten wir das Verhältnis der Transformation der elektromotorischen Kräfte

E₀

i + Z₀ Y₀ +

Z₀ Y

a~

(9)

1 —ZXY

und das Verhältnis der Transformationen der Ströme

Ei

Io

¹ \    , 2 Y₀)

aV+aW\

(IO)

ab.

Hieraus erhalten wir bei konstanter primärer Klemmenspannung

E₀ = konstant

und als sekundäre induzierte elektromotorische Kraft

Eo

Z₀ Y

a i + Z₀ Y₀ -f

als elektromotorische Kraft, induziert pro Windung

ÔE

”• itz,y,+

Z₀Y ’

als sekundäre Klemmspannung £₀ i — Z₀Y

Ex=-

ü i +Z₀Yo +

ZaY

(11)

a³

als primären Strom

E₀

Io = -Z

a²

Yd- a'-Y₀

+ Y₀

i Y Z₀ Y₀ +

Z₀Y

E₀

a-

i + Z₀Y₀-\-

Z₀Y

a²

als sekundären Strom

E₀

i Y Z₀} o -f-

Z₀ Y

a²

Bei konstanter sekundärer Klemmenspannung ist Ex — konstant ;

die sekundär induzierte elektromotorische Kraft

E\

i—Z₁Y’

die elektromotorische Kraft induziert pro Windung

ÔE =

Ex

nx 1 — ZXY die primäre Klemmenspannung

Z₀ Y

E₀— — ciEx

a²

(12)

1 — ZXY

der primäre Strom

h — —

der sekundäre Strom

Ex Y-{-a²Y₀ '

a 1 —ZiYt

A = EX

1 — ZXY ‘

Steinmetz, Wechselstromerscheinunge¹¹-

14

126. Aus diesen Gleichungen können wir interessante Folgerungen ziehen:

Die scheinbare gesamte Impedanz des Transformators ist

z₀f

E₀

i T Z₀ Y₀ -T

Zt = -y- — Cl

io

f+ «²F

¹ T Z₀ ( 1₀ T

(13)

dl J .

Y₀ +

z,=

T Z₀.

(14)

Wenn wir nun die gesamte sekundäre Admittanz = Y' Setzen, die in Beziehung auf den primären Stromkreis durch das Windungsverhältnis festgesetzt wurde, so ist

z,=

z₀.

(15)

Y₀ + Y’ ist die gesamte Admittanz eines Teilstromkreises mit dem Erregerstrom von der Admittanz Y₀ und dem sekundären Strome von der Admittanz Y (bezogen auf den primären Strom) als Zweige.

Daher ist

(16)

(17)

Y₀ + F

die Impedanz dieses Teilstromes und

Z₀ — Z</ T Z₀.

Das heisst:

Der Wechselstromtransformator mit der primären Admittanz Y₀, mit der gesamten sekundären Admittanz Y und mit der primären Impedanz Z₀ kann folgendermassen ersetzt werden: er ist äquivalent einem verzweigten Stromkreis mit den Zweigen von der Admittanz Y₀, dem Erregerstrom, und von der Admittanz F = —- dem Sekun-

därstrom, welch’ letzterer durch die Hauptleitungen von der Impedanz Z₀ der primären inneren Impedanz gespeist wird. Dies zeigt diagrammatisch die Figur 99.

Generator

Transformator

Eo

Yo!

Z,

>Y

)/bnahmestrornkreis

Z*

E„

Y₀§

k-s

Fig. 99.

127. Wenn wir nun die sekundäre innere Impedanz von der sekundären äusseren Impedanz oder der Impedanz des Verbrauchsstromkreises trennen, so ist

(18)

i = z>+z-

wo Z die sekundäre äussere Impedanz, also

Ex

(19)

ist.

Auf den primären Stromkreis reduziert ist sie = a‘²Z₁ -f- «²Z

a²

Y' — Y

(20)

Das heisst:

Ein Wechselstromtransformator mit der primären Ad-mittanz Y₀, der primären Impedanz Z₀₎ der sekundären Impedanz Zy und dem Windungsverhältnis a kann, wenn der sekundäre Stromkreis durch eine Impedanz Z (die Impedanz des Abnahmestromkreises) geschlossen wird, folgendermassen ersetzt werden. Er ist aequivalent einem Stromkreise mit der Impedanz Z = a^Z, der durch die Hauptleitung von der Impedanz Z₀ — Zf, wo Zf = a²Z{ ist, gespeist wird, im Nebenschluss zu einem Stromkreise von der Admittanz Y₀, welch' letzterer Stromkreis sich von den Punkten a und b zwischen den Impedanzen ZQ und Zf abzweigt.

Generator

Tnan&fonmaton

Y°i

/ b nahm estrom kreis

!

Eo

z° a Z,=aJz,

YoS

zVz

Fig. loo.

Generator

Transformator

/ bnahmesłromkre/s

Yoi

fF

Eo

N_ N

Z„<

z™

"W

z‘

IZ“

a²

lf₂

Z'¹-

Ü²

Fig. ioi.

Dieses wird diagrammatisch durch die Figur ioo dargestellt.

Es ist klar, dass, falls der Transformator mehrere unabhängige sekundäre Stromkreise enthält, diese an den

Punkten ab in dem Diagramm in der Figur 100 und in dem Diagramm Figur 101 als abgezweigt angenommen werden müssen.

Daraus folgt:

EinWechselstromtransformator mit x sekundären Spulen, deren innere Impedanzen Zf, Zf¹,. . . Zf sind, geschlossen durch äussere sekundäre Stromkreise, deren Impedanzen Zl, Z¹¹, . ... Zx sind, ist aequivalent einem verzweigten Stromkreis von x -f- 1 Zweigen, einem Zweige von der Admittanz Y°, dem Erregerstrom, und den anderen Zweigen, deren Impedanzen Zf -\- Z¹, Zf¹ + Zzi, .... Zvx Zx sind, wobei letztere Impedanzen auf den primären Stromkreis durch das Windungsverhältnis reduziert sind und der ganze verzweigte Stromkreis durch die primäre Klemmenspannung E₀ mittels der Hauptleitungenvon der Impedanz Z^gespeist wird.

Transformator

Transformator

Abnahmestromkreis

fOi

oN

-<

Fig. 102.

Daher ändert die Transformation eines Stromkreises alle Grössen nur proportinal und führt in die Hauptleitungen die Impedanz Z₀ -f- Z/ und einen Abzweigkreis zwischen Z₀ und Z/ von der Admittanz F₀ ein.

Die doppelte Transformation wird durch das Diagramm in Figur 102 dargestellt.

Hierdurch ist die Diskussion über den Wechselstromtransformator erledigt, weil sie mit der eines Teilstromkreises, welcher Widerstände und Reaktanzen enthält, identisch ist.

Solche Stromkreise sind in dem Kapitel VIII ausführlich behandelt worden und die dort erhaltenen Resultate lassen sich jetzt direkt auf den Transformator anwenden, weil sie die Aenderung und die Regulierung der sekundären Klemmenspannung, die Resonanzerscheinungen u. s. w. behandeln.

Wenn z. B. Zf — Z₀ ist und der Transformator eine sekundäre Spule enthält, die durch eine hinreichende Kondensatorreaktanz konstant so geschlossen ist, dass dieser Hilfskreis, in Verbindung mit dem Erregerstromkreis, die Reaktanz — .r₀ in einem induktionsfreien sekundären Stromkreise Zt = rx ergiebt, so erhalten wir die Bedingung für die Transformation der konstanten primären Spannung in einen konstanten sekundären Strom und umgekehrt, wie dies früher schon erörtert wurde.

Induktionsfreier sekundärer Stromkreis.

128. In einem induktionsfreien sekundären Stromkreise ist die äussere sekundäre Impedanz

Z = Rx

oder auf den primären Stromkreis reduziert

z =hR.

al

d*

Nehmen wir an, dass die sekundäre Impedanz auf den primären Stromkreis reduziert, also gleich der primären Impedanz

cd Zx — Z₀ — r₀ / x₀

ist, so erhalten wir

a² a‘J (Z -f- Z.) A-f- r₀—-jx0 Wenn wir diese Werte in die Gleichungen (9), (10) und (13) einsetzen, so haben wir folgendes Verhältnis zwischen den elektromotorischen Kräften:

+ {r₀—jx₀)(g₀ + jb₀) .

E₀

TT = -a

r°- J x₀

R -f rQ — jx₀

+ (rQ—jxQ) {go-\-jb₀)

(r₀—jx₀)

R + rQ—jx₀

= — a 1 -j-

ro—J Xq

R + r₀—jx₀

r₀ — jx₀

R+r₀—jx₀

r₀—jxo

R + r₀—jx₀

oder wenn wir entwickeln und die Grössen von der vierten Ordnung ab vernachlässigen

E₀

r₀—jx₀

r₀ —jx₀

E,

R 4- r₀—jx₀

R 4- r₀—j x₀

(r₀— ix₀) (g₀ + jbo) ;

oder aufgelöst

E₀

E,

— — a i 4- 2

R    + (r₀ — jx₀) (go 4- jbo)

und wenn wir auch noch die Grössen dritter Ordnung fortlassen

E₀

Ex

— — a 1 4- 2

r₀ —jx₀

Als Gleichung für die Ströme erhalten wir

Io

^ [1 + (go 4- jbo) R 4- r₀—jx₀)\]

und entwickelt

Io

^ [1 +E (go +jbo) 4- (ro—jx₀) (go +jbo)]

und wenn wir auch die Grössen dritter Ordnung vernachlässigen

Io

— \ [> + E (g₀ 4-jb₀)\

so ist die gesamte scheinbare primäre Admittanz

Ro

ro —Jx 0

R ± ro —Jx0

+ ('0 —>0) (5o+A)

^ + r₀—jx 0

= [A + (r₀—>₀) + A (r₀ —A) tëb +A)1 t¹ — (5o + A)

(A + *b—A> +■ (£0 +A)² (R + ro—ßo)² + • • •]

= [R + 2 (r₀ 7A?o) — ^² <5o +A) —(ru—A)

(5o + A) +    (5o +A)²] !

oder

Zt—R 1+2

ro 7-ro

^    ^ (5o + A) — ² (*b —A) (5o + A)

+ ^²(5o+A)² •

Vernachlässigen wir auch die Grössen dritter Ordnung, so ergiebt sich

r₀=jx₀

Zt = R 1 + 2

R (5o +A> •

Der Phasenwinkel in dem primären Stromkreise ist

xt

tg®o = —

rt

folglich

2^ + Rb° + 2r° b° ~ 2X° g° ~ 2R²

’O —

2 x₀b₀ + R*g₀* + ^i²V

2 rft

i + -g- — Rg₀~ ²*o5o

und wenn wir auch hier die Grössen dritter Ordnung vernachlässigen, so erhalten wir

tg<ö₀ =

4- Rb₀

₁₊₂-±-Rgo

129. Wenn wir jetzt den äusseren Widerstand des sekundären Stromkreises bei voller Belastung (reduziert auf den primären Stromkreis) mit R₀ darstellen und

Innerer Widerstand des Transformators

2 r₀

Aeusserer Widerstand des sekundären Stromkreises

= prozentualer innerer Widerstand

2 X₀

Innere Reaktanz des Transformators

Ro

Aeusserer Widerstand des sekundären Stromkreises

= prozentuale innere Reaktanz,

*o£o= h =

Hysteretischer Energiestrom Gesamter sekundärer Strom

— prozentuale Hystérésis,

Magnetesierender Strom _ pi ozentualer magneti

sierender Strom

bezeichnen und wenn ferner d die Belastung des Transformators als Teil der vollen Belastung bezeichnet, so erhalten wir

*0*0= S —

Gesamter sekundärer Strom

und

2 ro

R =Pa'’

2.r₀

r =qrf'

Rb₀ =

sÜctq

Wenn wir diese Werte einsetzen, so erhalten wir folgende Gleichungen für den Transformator bei induktionsfreier Belastung:

Verhältnis der elektromotorischen Kräfte

i + d (p — j q) +

(p — ją) (h +/g)

ro _

- a[i + d (p — / q)]

oder durch Elimination der imaginären Grössen

eo

= a j/ ji + dp +

ph-f qg'

)’ + jdq

pq qh\²

^ a V(i -f- dp)²    d² q²

a 11 + dp 4

ph + qg' + ^²q²

a( 1 4- r/p).

Verhältnis der Ströme

(h + j g)

(p —ją) (h + yg)

112

CL

CL

ET

a »lH

im;

3:

{fl

<u

in

-.I h 1[I + d⁺

a.l<w

pg — qh\²

oo

a. er

=dI + Y +

ph -f qg + g²’

2 dl

Gesamte scheinbare primäre Impedanz

h+/g\²

R₀

co_

1 + dip—jgy

h + ,/g

oder durch Elimination der imaginären Grössen

*-ï

Vehs

h²—g²

-Ph-qg+ —p

)²+G-|-Pg+gh+²§)

te

CO

a.

ajon

te

R₀

00_u_

Phasenwinkel im primären Stromkreise

hg

a'q+^ + ph-gh-s-

sei "

I + rfp_ _ph_qg+M!^i+g!

a.|<ra

dg +

oo

R₀

00_y.

ji + dp — ^ — ph — 2qg-f

h~—g²    d² q²

g²

2 d²

d²p²

h²

2 d²

, h

I+dp~d

Das heisst: ein Wechselstromtransformator, der einen induktionsfreien sekundären Stromkreis speist, ist durch folgende Konstanten gegeben:

durch R₀ als sekundären äusseren Widerstand bei voller Belastung,

durch p als prozentualen Widerstand,

durch q als prozentuale Reaktanz,

durch h als prozentuale Hystérésis,

durch g als prozentualen magnetisierenden Strom

und durch d als sekundäre prozentuale Belastung.

Alle diese Grössen werden durch das Quadrat des Windungsverhältnisses a² auf den primären Stromkreis reduziert.

130. Als Beispiel mag ein Transformator mit folgenden Konstanten gegeben sein: e₀ = 1,000 ; a =

120 ;

10;

q = 0,06; h = 0,02; g = 0,04;

Durch Einsetzung dieser Werte erhalten wir

100

cx ■=

1/(1,0014 -j- 0,02 d)² -f- (0,0002 4- 0,06 d)² ' e₁ da² exd

R*

e₀ =

0,1 q |/|i,0014 +    +|

0,04

— 0,0002

0,06 d -j-

0,04

— 0,0004 —

0,0016

tg «0 =

d-

1,9972 + 0,02 d -j-

0,002    0,02

d*

Transformator

a.

<

I

<0

^3|

łi°A É

%

\l

®-₉

8.

’S

Ą-

^yk

%

---

Lg

>ö

6 60

5 50

■7

4 40

'V

3 30.

2 20

(U-W 20

,s«*X

"7r/märer Winkel der pr/m arm jPFasen Verschiebung

1 10

301    401    501    6o[    701    801    9p[ 1001 liol 120

Sekundär. ström Q

Fig. 103. Belastungsdiagramm des Transformators.

In der Figur 103 werden für die Werte von d = o bis zu d— 1,5 mit dem sekundären Strome cL als Abscissen folgende Werte dargestellt.

1.    die sekundäre Klemmenspannung in Volt,

2.    der sekundäre Spannungsverlust in Procenten,

4-

3.    der primäre Strom in Ampère, der Überschuss des Primärstromes über seine Proportionalität mit dem Sekundärstrome in Procenten,

5. der Winkel der primären Phasenverschiebung.

Der Leistungsfaktor cos o)₀ des Transformators ist 0,45 bei offenem sekundärem Stromkreise und ist grösser als 0,99 von 25 Ampère an aufwärts, bis er sein Maximum 0,995 bei voller Belastung erreicht.

Kapitel XIV.

Der allgemeine Wechselstromtransformator.

131. Der einfachste Wechselstromapparat ist der Wechselstromtransformator. Er besteht aus einem magnetischen Stromkreise, der mit zwei oder mehreren elektrischen Stromkreisen verkettet ist. Der eine, der primäre Stromkreis, wird durch eine bestimmte Klemmenspannung erregt, während in dem anderen, dem sekundären Stromkreise, elektrische Energie induziert wird. Daher wird in dem primären Stromkreise Kraft verbraucht, während in dem sekundären eine entsprechende Energiemenge erzeugt wird. Mit anderen Worten: vom primären zum sekundären Stromkreise wird durch den Raum Energie übertragen. Diese Energieübertragung findet ihr mechanisches Aequivalent in einer Abstossung, die zwischen dem primären und dem sekundären Stromkreise wirkt. Wenn nun die sekundäre Spule nicht festgehalten wird, wie dies in dem stationären Transformator der Fall ist, so wird sie von der primären Spule abgestossen. Diese mechanische Wirkung wird bei dem Induktionsmotor benutzt, der einen Transformator darstellt, dessen sekundäre Spule in Bezug auf die primäre beweglich ist und zwar so, dass sie während ihrer Rotation noch in dem primären Kraftlinienfelde bleibt.

Die Bedingung, dass der sekundäre Stromkreis, während er sich in Bezug auf den primären bewegt, das primäre magnetische Kraftlinienfeld nicht verlässt, erfordert, dass dieses Feld seine Richtung nicht beibehält, sondern dass nach und nach in jeder Richtung hin ein aktives Feld auftritt. Ein Mittel zur Erzeugung eines solchen magnetischen Feldes besteht darin, dass man verschiedene primäre Stromkreise, die verschiedene Winkel mit einander bilden, durch Ströme verschiedener Phase erregt. Ein zweites Mittel ist, dass man das primäre Feld nur nach einer Richtung hin ändert und ein Streufeld oder ein im Winkel stehendes Magnetfeld durch Rückwirkung des sekundären Stromes erzeugt.

Wir sehen, dass der stationäre Transformator und der Induktionsmotor nur verschiedene Anwendungen eines Apparates sind, der einen mit zwei elektrischen Stromkreisen verketteten magnetischen Stromkreis bildet. Ein solcher Apparat kann passend ein allgemeiner Wechsel-stromtransformator genannt werden.

Die Gleichungen des stationären Wechselstromtransformators und die des Induktionsmotors sind nur Spezialisierungen der allgemeinen Wechselstromtransformatorengleichungen.

Quantitativ sind die Hauptunterschiede zwischen dem Induktionsmotor und dem stationären Transformator solche, die durch den Luftzwischenraum zwischen der primären und der sekundären Wicklung erzeugt werden, was erforderlich ist, um der sekundären die mechanische Beweglichkeit zu geben. Dieser Luftzwischenraum bedingt einen grösseren magnetisierenden Strom als in einem Transformator mit geschlossenem magnetischem Stromkreis und erfordert für die primäre und sekundäre Wicklung, um den magnetisierenden Strom innerhalb annehmbarer Grenzen zu halten, einen eingeschlossenen Aufbau.

Dieser eingeschlossene Aufbau erhöht auf der anderen Seite die Selbstinduktion des primären und sekundären Stromkreises beträchtlich. Infolgedessen ist der Induktionsmotor ein Transformator mit grossem magnetisierendem Strom und grosser Selbstinduktion, also mit verhältnismässig grosser primärer Susceptanz und grosser Reaktanz.

Der allgemeine Wechselstromtransformator transformiert elektrische und mechanische Kraft und ändert nicht nur die elektromotorischen Kräfte und Ströme, sondern auch die Frequenz.

zu sein.

132. Ausser dem Kraftlinienfluss, der mit dem primären und sekundären elektrischen Stromkreise verkettet ist, verläuft ein Streulinienfluss durch den Transformator und zwar zwischen der primären und sekundären Spule und umgiebt nur eine Spule, ohne mit der anderen verkettet Dieser magnetische Streulinienfluss ist proportional dem Strom, der in dem elektrischen Stromkreise fliesst und bedingt die sogenannte Selbstinduktion des Transformators. Wie ersichtlich, wird als Selbstinduktion eines Transformatorstromkreises nicht das gesamte Kraftlinienfeld verstanden, das durch diesen Stromkreis erzeugt und mit demselben verkettet ist, sondern nur ein für gewöhnlich kleiner Theil des Feldes, der den einen Stromkreis umgiebt, ohne mit dem anderen verkettet zu sein, und er wird daher durch die magnetomotorische Kraft nur eines einzelnen Stromkreises hervorgebracht.

133-

Sie

Der gemeinsame Kraftlinienfluss des Transformators wird durch die resultierende magneto-motorische Kraft beider elektrischer Stromkreise dargestellt, wird durch die gegenelektromotorische Kraft, durch die Windungszahl und durch die Frequenz im elektrischen Stromkreise durch folgende Gleichung bestimmt:

-s

E = 1/2 n N n <Z> 10 wo E die effektive elektromotorische Kraft, N die Frequenz, n die Zahl der Windungen und O den maximalen Kraftlinienfluss bedeuten.

Die dieses Feld erzeugende magnetomotorische Kraft, oder die resultierende magnetomotorische Kraft des primären und sekundären Stromkreises, wird durch die Gestalt und die magnetische Charakteristik desjenigen Materials bestimmt, aus dem der magnetische Stromkreis zusammengesetzt ist, und ferner noch durch die magnetische Induktion Bei offenem sekundärem Stromkreise ist diese magnetomotorische Kraft gleich der des primären Stromes, die in diesem Falle Erregerstrom heisst, und aus einer Energiekomponente, dem magnetischen Energiestrom und einer rück-wirkendenKomponente, demmagnetisierendenStrom, besteht.

134.    In dem allgemeinen Wechselstromtransformator, wo die sekundäre Wicklung in Bezug auf die primäre beweglich ist, ist die Geschwindigkeit, mit der der sekundäre elektrische Stromkreis durch den gemeinsamen Kraftlinienfluss geschnitten wird, von derjenigen der primären verschieden. Daher sind die Frequenzen beider Stromkreise verschieden und die induzierten elektromotorischen Kräfte sind der Zahl der Windungen nicht proportional, wie in dem stationären Transformator, sondern proportional dem Produkt aus der Windungszahl und der Frequenz.

135.    In einem allgemeinen Wechselstromtransformator sei s das Verhältnis der sekundären zur primären Frequenz, oder die Schlupfung, d. h. wenn N die primäre Frequenz oder die Frequenz der Klemmenspannung ist, so ist sN die sekundäre Frequenz und die in einer sekundären Windung durch das gemeinsame Feld induzierte elektromotorische Kraft steht mit der in einer primären Windung induzierten elektromotorischen Kraft in dem Verhältnis s.

Es bedeutet

s = o die synchrone Bewegung der sekundären Wicklung, s<o die übersynchrone Bewegung infolge der äusseren mechanischen Kraft, s = 1 den Stillstand und

s i die Rückwärtsbewegung der sekundären Wicklung, d. h. die Bewegung entgegengesetzt der mechanischen Kraft, die zwischen der primären und sekundären Wicklung wirkt.

Es sei n₀ die Zahl der in einem Stromkreise hintereinander geschalteten primären Windungen, nx die Anzahl der in einem Stromkreise hintereinander geschalteten

*1

sekundären Windungen, a = — das Windungsverhältnis,

l5

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

Y₀ = g₀ + jb₀ die primäre Admittanz in einem Stromkreise, wo g₀ die effektive Konduktanz, bQ die Susceptanz, Z₀ = r₀ — jx₀ die innere primäre Impedanz eines Stromkreises ist, wo r₀ der effektive Widerstand, x₀ die Reaktanz des primären Stromkreises, Zn = rt — jxl die innere sekundäre Impedanz eines Stromkreises beim Stillstand ist oder für s — 1, wobei der effektive Widerstand der sekundären Spule, xx die Reaktanz der sekundären Spule beim Stillstand oder bei voller Frequenz s — 1 ist.

Da die Reaktanz proportional der Frequenz bei der Schlüpfung s oder der sekundären Frequenz s N ist, so ist die sekundäre Impedanz

Zx = rt —jsx!•

Es sei der sekundäre Stromkreis durch einen äusseren Widerstand r und durch eine äussere Reaktanz geschlossen und wir bezeichnen diese mit x bei der Frequenz N', dann ist sie bei der Frequenz s N, oder der Schlüpfung s, = sx. Folglich ist

Z—r—jsx die äussere sekundäre Impedanz.¹)

Es sei Eq die primäre Klemmenspannung pro Stromkreis, Ef die für die primäre gegenelektromotorische Kraft verbrauchte elektromotorische Kraft,

El die sekundäre Klemmenspannung,

Ef die sekundäre induzierte elektromotorische Kraft,

x"'

der Frequenz sN, als äussere sekundäre Reaktanz    — .

e die pro Windung durch das gemeinsame magnetische Feld induzierte elektromotorische Kraft bei der vollen Frequenz N,

/₀ der primäre Strom,

/u0 der primäre Erregerstrom,

It der sekundäre Strom.

Dann ist die sekundäre induzierte elektromotorische

Kraft

El ' == s hL e,

die gesamte sekundäre Impedanz

Zt+Z= (rx + r) —js (xL -f .r); folglich der sekundäre Strom

k nx e

E'

zL + z 4- n — js 4- X)

die sekundäre Klemmenspannung

E₁ = Ej — ĄZt = I,Z

ri — jsx,

= s nl e 1 —

snxe [r — /s.*4

<>'i + n —js (xx + .rjj ~~ (rx 4- n—js {xl 4-x) ’

die für die primäre gegenelektromotorische Kraft verbrauchte elektromotorische Kraft

Ej = — n₀e;

folglich der primäre Erregerstrom

⁷üo = Eo Yq= — noe (So +    ,

die Komponente des primären Stromes, entsprechend dem sekundären Strome /t

Ix

n₀se

a² [(rt + r) —js (x₁ 4- *)] folglich der gesamte primäre Strom

■^0 — ^00 +

go+jsàp

§ 135]

Wechselstr orner scheimtngen.

219

= — s n,, e — —-r-7--

a₂ fa 4- r) —js (xt 4- x)

und die primäre Klemmenspannung Eo = Eo + h Zo

= -n₀e i+ --

ro — J xo

(rx -f r) — js (jc, + x)

\-(r₀—/x₀)'(g₀+jb₀)

Daher erhalten wir als Gleichungen für den allgemeinen Wechselstromtransformator bei dem Windungsverhältnis a und dem Verhältnis der Frequenzen s mit der bei voller Frequenz pro Windung induzierten elektromotorischen Kraft e als Parameter folgende Werte:

Für die primäre Klemmenspannung

lxo

E{> n°C 1 a² (rx + r) —js (xx + x)

+ (r₀—7>₀)(^o+A) •

Für die sekundäre Klemmenspannung

Ex — snxe 1

—Jsx 1

(rx + r) —js (xt +x)

~snxe

r — jsx

(r} + r)—/s(xx + x)'

Für den primären Strom

I₀= —sn₀e

u² (rx + r) —js(xx -j- x) Für den sekundären Strom

gp+js\

s nxe

(rt + r) — j s (xx + x)

Hieraus erhalten wir das Verhältnis der Ströme

--i +

a*

— (gp +J K) + r) — ; (xx + x)]l

das Verhältnis der elektromotorischen Kräfte

« I t/5

a² «²(rj + r)—js(xx—x)

+ (ro~j*o)(go +jb 0

r\ —J s Xx

(t\ -f Y)--J S (jfj + X)

die gesamte scheinbare primäre Impedanz

Eo

Zt = -±

a²

— [(r, + n —j(xl + *)]

I + -=

r»—J *o

a² (rt + r) + j s {xx + x)

+ (ro —Jxo) (go +Jbo)

¹ + y (£b + j b₀) [(rt + r) —js (xt + x)]

wo in dem allgemeinen sekundären Stromkreise

S'²

, x" x’" x — -Y -j⁻ — “k —5-

ist.

Wenn wir in diese Gleichung s = 1

einsetzen, so erhalten wir die allgemeinen Gleichungen des stationären Wechselstromtransformators

E₀ — — «₀    1 -j- —

Ex — nl e 1

Zt

= nx e

z^+z-

a² (Z, + Z)

4-Yo •

nx e

~ Z₁₊Z

1 Ą- a² Yq (Z, -{■ Z)

Z₀

a² (ZŁ + Z)

+ Z₀Y₀

Zx

zx +z

Z,= -j2- = o*(Zt+Z)

a² (Zv Z)

+ ZqYq

i -f- a² Yq (Zx -f- Z)

Setzen wir in die Gleichungen des allgemeinen Wechselstromtransformators

Z = o

ein, so erhalten wir die allgemeinen Gleichungen des Induktionsmotors:

5 r₀ — ;.r₀

a²    —jsx\

+ (r₀=jxQ) (g₀ 4 j\) .

a² (rt — /sij)

snxe

ri —Jsxi '

a²

+jK

i 4 — (go+fi0) (*1 —jsxi\ .

s r₀ jxn

Z, = —{r.—jsxf

+ (r₀—JXo)(go+?bo

Wenn wir nun zu dem allgemeinen Wechselstromtransformator zurückkehren, so erhalten wir durch Einsetzung von

<Ti 4 r)² 4 s² (xx 4 x)² = zk²,

und wenn wir die reellen und imaginären Grössen von einander trennen,

5

a‘f^ Do^i +r) + s x₀(xx + *)] 4- (*o£b + -ro ^0)

£    i

ar^i isro (*1 + x) ~xu (n + r)] + (r₀g₀ — xM j

I--sn *i[?l±r₊ II] 4/

0_    0 } a² Z/? ⁺ s +/

47

s (.rt 4 4)

a² «*²

+ -M.

(ri 4 r) 4 js (*x 4 x) .

1_'

Wenn wir den Erregerstrom vernachlässigen oder besser ihn als einen besonderen und unabhängigen Nebenschlussstromkreis ausserhalb des Transformators bezeichnen, wie dies annähernd geschehen kann, und wenn wir ferner die primäre auf den sekundären Stromkreis reduzirte Impedanz gleich der sekundären Impedanz annehmen, so haben wir

Setzen wir dieses in die Gleichungen für den allgemeinen Wechselstromtransformator ein, so erhalten wir

Eo = — «0 e j¹ + ^5 K (ri + r) + sxL (xx + x)\

Zk²

[s r, üy + x) — xl (rt + r)]j .

Ey =

s nxe

Z*'

J V(ri + r) + s²x (xt -f- .r)] -j-y s[rxy — .v rj j.

Io=— S-!~2 Kn + r) js (xL + x)\.

h = “r [(G + r)/s (.r, +

136. Ist E = a + y/Ü die^elektromotorische Kraft in komplexen Grössen und I = c -\-jd der Strom in komplexen Grössen, so ist der Effekt

P — EI cos (E, I) = de ßd.

Machen wir hiervon Gebrauch und bezeichnen wir

s nx ² e%

Zjfr²

mit w, so erhalten wir als sekundäre Leistung des

Transformators

= srw,

als inneren Verlust in dem sekundären Stromkreise

PS = i*r 1 =

s nx e\²

Z/c

rL = s rx zu

als gesamte elektrische Leistung, einschliesslich des Verlustes

Pl = Pl + Pxl+ P₀' =

[r -J- 2rx) = sw (r 2 rj,

als gesamten sekundären Effekt s nx ć?\²

(r-\- r\) = sw(r 4- r), als inneren Verlust in dem primären Stromkreise Po¹ = *'o* ri =

*k

s nxey

Zk

rx = srxw

s nx e\²

Zk

als gesamten zugeführten elektrischen Effekt des primären Stromkreises

P₀ — s E₀ I₀ —

nxe \²

Zk

(r + y, 4-s r, ) = tv (V-i-r, -fsn).

Daher ist die mechanische Leistung des Transformators P —    — Px — w f 1 — 5) [y T rx ),

und das Verhältnis

mechanische Leistung gesamter sekundärer Effekt

_ Geschwindigkeit

Schlüpfung

137. Daher ist in einem allgemeinen Wechselstromtransformator mit dem Windungsverhältnis a und dem Verhältnis der Frequenzen s, wenn wir den Erregerstrom vernachlässigen, die elektrische Leistung in dem primären Stromkreise

Po =

snx²e²(r-\-rx -f sq)

(rx -f r)² -f s² (a'j + X)² die mechanische Leistung

s (1 — s) nx²e² (r + rx)

(rx 4- r)² 4- s² 4- x)² ’ die elektrische Leistung des sekundären Stromkreises

s²nx²e²r

{rx 4- r)² + s² (.r, 4- x)2 und der Verlust in dem Transformator

P₀' + Pl, = P’ =

2 s²nl²e²rx

(rt 4- r)² 4. s² (x\ 4- x)² ’

Von diesen Grössen sind Px und Px immer positiv; P₀ und P können positiv oder negativ, entsprechend dem Werte von s, sein. Daher kann der Apparat entweder mechanische Energie erzeugen, indem er als ein Motor wirkt, oder mechanische Energie verbrauchen; oder er kann als Generator entweder elektrische Energie verbrauchen oder erzeugen.

138. Bei Synchronismus ist s = o und Pt) = 0, P = o; Py =0 bei oO<! i zwischen Synchronismus und Stillstand-Py, P und P„ sind positiv; d. h. der Apparat verbraucht den elektrischen Effekt P{) in dem primären Stromkreise und erzeugt eine mechanische Leistung P und eine elektrische Px -4- Py¹ in dem sekundären Stromkreise; sie wird teils durch den inneren sekundären Widerstand als Px ¹ verbraucht, teils ist sie an den sekundären Klemmen nutzbar alS Py.

In diesem Falle ist

Pi+Pi

1 — s

<1. h, von der in dem primären Stromkreise P{) verbrauchten elektrischen Leistung wird ein Teil P{)' durch den inneren primären Widerstand verbraucht und der Rest auf den sekundären übertragen und verteilt sich auf die elektrische Leistung Py -f Px ¹ und in die mechanische Leistung P, und zwar in dem Verhältnis der Schlüpfung s unter dem Synchronismus zur Geschwindigkeit 1 — s.

In diesem Bereich ist der Apparat ein Motor.

Bei s > 1 oder beim Rückwärtstreiben ist P<C.o, oder negativ; d. h. der Apparat erfordert mechanische Kraft zum Betrieb.

Es ist dann; P₀ — P₀] — Py¹ < Px ; d. h. der sekundäre elektrische Effekt wird teils durch ■den primären elektrischen Effekt, teils durch die mechanische Leistung erzeugt, und der Apparat wirkt gleichzeitig als Transformator und als Wechselstromgenerator, mit der sekundären Wicklung als Armatur.

Das Verhältnis der mechanischen Leistung zur elektrischen ist gleich dem der Geschwindigkeit zum Synchronismus. In diesem Falle ist die sekundäre Frequenz grösser als die primäre.

P<o,

Bei

über Synchronismus muss der Apparat durch mechanische

Allgemeinen Wechsel Strom transformator

SXf

E=±

^ 5:

10

iy -Primärer

i8

•h

-£

*2

2/

i£

J&t

ijXunia r Ifrcjucnź

Uber Synchronismus Generator >m Primśrkręis

Gen

erster

ooer

Schlupf,uÀ s

ZZ 20 46 16 <*t- 12 10 6 6 V Z O 2 b 6 8 10 11 1b- 16 16 20 22 2*4-

Fig. 104.

zuge-

Kraft betrieben werden, bei P° o erzeugt der primäre Stromkreis elektrische Energie aus mechanisch führter.

Ist r + rt -j- s ry — o, oder s <j —

r+rt

-¹ , so wird

r

die in dem primären Stromkreis erzeugte elektromotorische Kraft kleiner als diejenige, die erforderlich ist, um die Energieverluste zu decken, und P₀ wird wieder positiv.

Folglich bei

s< —

r+ rx

wird mechanische und primäre elektrische Energie verbraucht und sekundäre elektrische Energie erzeugt.

r + r!    .

— <s<0l

wird mechanische verbraucht und elektrische Energie in dem primären und in dem sekundären Stromkreise erzeugt. Bei

wird primäre elektrische Energie verbraucht und mechanische und sekundäre elektrische Energie erzeugt.

1 <s,

wird mechanische und primäre elektrische Energie verbraucht und sekundäre elektrische Energie erzeugt.

139. Als Beispiele sind in der Figur 1 für die Werte nx e = 3 00,0, rx = o,i, kL — 0,2, r = 0,4 und s = 0,3, in Kurve I die sekundäre elektrische Leistung, in Kurve II der gesamte innere Verlust, in Kurve III die mechanische Leistung und in Kurve IV der zugeführte primäre elektrische Effekt dargestellt, und zwar mit der Schlüpfung s als Abscissen.

Folglich

Bei

Bei

P\ =

o<s< 1,

16000 s²

I -j- s²

PJ + Pi —

8000 s²

I -f- s²

Po =

4000 s + (5 + S) '

20000 S (I — s)

Kapitel XV.

Der Induktionsmotor.

Er

Diese

140. Als Spezialfall des allgemeinen Wechselstromtransformators ist der Induktionsmotor anzusehen, unterscheidet sich vom stationären Wechselstromtransformator insofern als die beiden elektrischen Stromkreise {der primäre oder erregte, und der sekundäre oder induzierte) in Beziehung aufeinander beweglich sind und auch noch dadurch, dass im allgemeinen eine Anzahl primärer und sekundärer Stromkreise gebraucht wird, die auf der Peripherie des Motors um bestimmte Winkel versetzt und elektromotorische Kräfte enthalten, die in gleicher Weise um denselben Winkel phasenverschoben sind. Anordnung vieler Stromkreise bewirkt, dass die sekundären Stromkreise andauernd durch die primären induziert werden, trotz deren relativer Bewegung.

Die Wirkung der relativen Bewegung der primären gegenüber der sekundären Wicklung ist, dass die elektromotorischen Kräfte, die in dem sekundären Stromkreise oder in dem Motoranker erzeugt werden, nicht dieselbe Frequenz haben wie die Klemmenspannungen des primären Stromkreises, sondern eine Frequenz, die gleich der Differenz zwischen der primären Frequenz und der Frequenz der Rotation ist, oder gleich der Schlüpfung, d. b. der Differenz zwischen dem Synchronismus und der Geschwindigkeit (in Cyklen).

Ist nun N die Frequenz der primären elektromotorischen Kraftund s dieSchlüpfung inProzenten, so ist demnach sA^die Frequenz des Ankers oder der sekundären elektromotorischen Kraft und (1 — s) N die Frequenz der Rotation der Armatur.

Bei seiner Rückwirkung auf den primären Stromkreis hat der Ankerstrom jedoch dieselbe Frequenz, wie der primäre Strom, weil er mechanisch gedreht wird und zwar mit einer solchen Frequenz, dass er in derselben Lage immer dasselbe Phasenverhältnis in Beziehung auf den primären Strom hat.

141. Angenommen das primäre System bestehe aus p gleichen Stromkreisen, die um Winkel, deren jeder --

P

einer Periode ist, versetzt sind, d. h. also jeder Stromkreis habe die Breite -- des Polabstandes und werde von p elektromotorischen Kräften erregt, die in der Phase um — einer Pe-

P

riode verschoben sind, oder mit anderen Worten: die Feldstromkreise mögen aus einem symmetrischen /»-Phasensystem bestehen.

das

niPi

Verhältnis der gesamten primären Windungen zu den gesamten sekundären Windungen, oder das Übersetzungsverhältnis. Da die Zahl der sekundären Stromkreise und die

Ganz analog nehmen wir an, dass der Anker oder die sekundären Stromkreise aus einem /q-Phasensystem bestehen. Nun sei n die Zahl der primären Windungen eines Stromkreises oderg/n^rPhase, nl dieZahl dersekundären Windungen eines Stromkreises oder einer Phase, a —

Windungszahl der sekundären Stromkreise bei dem Induktionsmotor ebenso wie bei dem stationären Transformator ganz ohne Bedeutung ist, so zieht man es vor, alle sekundären Grössen auf den Primärkreis mittels des Übersetzungsverhältnisses a zu reduzieren.

Ist also Ex' die sekundäre elektromotorische Kraft eines Stromkreises, so ist £j = a Ex die sekundäre elektromotorische Kraft eines Stromkreises, auf den Primärkreis reduziert; ist 7/ der sekundäre Strom eines Strom-

1'

kreises, so ist 7, = -L- der sekundäre Strom eines Strom-

kreises, reduziert auf den Primärkreis; ist rx der sekundäre Widerstand eines Stromkreises, so ist rx = a² rx ' der sekundäre Widerstand eines Stromkreises auf den Primärkreis reduziert; ist x^ die sekundäre Reaktanz eines Stromkreises, so ist xx — a²x'² die sekundäre Reaktanz eines Stromkreises, auf den Primärkreis reduziert; ist endlich zx die sekundäre Impedanz eines Stromkreises, so ist zx=a²z’² die sekundäre Impedanz eines Stromkreises, auf den Primärkreis reduziert; d. h. die Zahl der sekundären Stromkreise und die der Windungen eines sekundären Stromkreises ist gleich der in dem Primärkreis angenommen.

In der nun folgenden Diskussion werden als sekundäre Grössen ausschliesslich Werte, die auf den Primärkreis reduziert sind, gebraucht, so dass zur Ableitung der wahren sekundären Werte diese Grössen wieder rückwärts mit Hülfe des Faktors

nxpx

reduziert werden müssen.

142. Ist 0 die maximale Kraftlinienzahl eines Motor-poles, dann ist E — ^znnNO io⁻⁸ die durch das magnetische Feld eines primären Stromkreises induzierte effektive elektromotorische Kraft. Zählen wir die Zeit von dem Moment an, wo die wachsende Kraftlinienzahl der gemeinsamen Induktion 0 (ein Feld, das sowohl mit dem primären als auch mit dem sekundären Stromkreise verkettet ist) durch Null geht, und zwar in komplexen Grössen, so wird der Kraftlinienfluss durch

¹

Dies bezieht sich auf den Fall, wo die sekundäre Impedanz nur induktive Reaktanz enthält, oder besser diejenige Reaktanz, die der Frequenz proportional ist. In einem Kondensator ist die Reaktanz umgekehrt proportional der Frequenz, in einem synchronen Motor unter Umständen unabhängig von der Frequenz. Daher haben wir im allgemeinen zu setzen x = x' -f- x'' + x"\ wo ^'derjenige Teil der Reaktanz ist, der der Frequenz proportional ist, .fc" derjenige Teil der Reaktanz, der von der Frequenz unabhängig und x'" derjenige Teil der Reaktanz, der der Frequenz umgekehrt proportional ist. Wir erhalten folglich bei der Schlüpfung s, oder

0 — j0

bezeichnet und die primäre induzierte elektromotorische Kraft

durch

E — — e,

wo e = \/2 7V n N 0 io~s als die treibende elektromotorische Kraft des Motors angesehen werden kann.

Ex— — se.

Da die sekundäre Frequenz gleich s N ist, so ist die sekundäre induzierte elektromotorische Kraft (auf den Primärkreis reduziert)

Es sei 7₀ der Erregerstrom oder der einen primären Stromkreis des Motors durchfliessende Strom, wenn er keine Arbeit zu leisten hat (wie beim Synchronismus), und Y—g-\-jb die primäre Admittanz eines Strom-

/o

Preises = — e

Dann ist der magnetische Energiestrom ge, der Effektverlust durch Hystérésis (und Wirbelströme) einer primären Spule ge-. Folglich ist p g e'¹ der gesamte Energieverlust durch Hystérésis und Wirbelströme, wie im Kapitel X berechnet wurde.

b e ist der magnetisierende Strom und nb e die effektive magnetomotorische Kraft eines primären Strom-p

Preises, folglich — nb e die gesamte effektive magneto-p

motorische Kraft und —— nbe die gesamte maximale magneto-

V 2

motorische Kraft, als Resultante der magnetomotorischen Kräfte der p Phasen, zusammengesetzt nach dem Parallelogramm der magnetomotorischen Kräfte.¹)

Wenn Sl die Reluktanz des magnetischen Stromkreises pro Pol ist, wie in Kapitel X bereits erörtert wurde, so ist

l/₂

—-= nbe — cfi O.

Derart werden aus dem Hysteresisverlust und der Reluktanz die Konstanten g und b und damit die Admittanz Y abgeleitet.

Ist r der Widerstand und x die Reaktanz eines primären Stromkreises, so ist Z — r — jx die Impedanz eines primären Stromkreises, rx der Widerstand eines sekundären

Stromkreises auf den Primärkreis reduziert und x₁ die Reaktanz eines sekundären Stromkreises, reduziert auf den Primärkreis, bei voller Frequenz N.

Folglich ist sx\ die Reaktanz eines sekundären Stromkreises bei der Schlüpfung s und Z,=rL—jsxx die innere sekundäre Impedanz.

143. Wir erhalten nun für die primär induzierte elektromotorische Kraft

für die sekundär induzierte elektromotorische Kraft El = — se, folglich für den sekundären Strom

r~jsxx ’

für die entsprechende Komponente des primären Stromes

r — Jsxl

für den primären Erregerstrom

7₀ = eY= e(g+jb); also für den gesamten primären Strom

+ (£ + /*)] »

/ =Il' + I₀ = e -

—Jsx

für die durch die primäre Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft

Ez — ZI=e (r—jx)

----\-{g+jb) ,

rx — jsx

für die zur Überwindung der primär induzierten elektromotorischen Kraft erforderliche elektromotorische Kraft

— E = e ,

folglich für die primäre Klemmenspannung Eq — e -j- E-

s (r — j X)

+ (r—jx) (g+jb) .

j____g + (n —jsx 1) (g 4-jb)___

E₀.

Folglich erhalten wir in einem Induktionsmotor bei der Schlüpfung s und der treibenden elektromotorischen Kraft e als primäre Klemmenspannung s (r — j X)

E₀ = e 1 + als primären Strom

*1 —jsxt

(r — j x) (g 4- j b)

I=e

+ (g+jb) ;

— jsxx

oder in komplexen Grössen ausgedrückt für die primäre Klemmenspannung

f + ZY)

für den primären Strom

■(i+ z)

Durch Division eliminieren wir e und erhalten dann für den primären Strom bei der Schlüpfung s und für die Klemmenspannung E₀

s + ZtY Zl + sZ 4- ZZ₁ Y

E0t

oder

(r^—jsxj 4-s(r—jx) 4- (r—jx) (rx—jsxx) (g + jb)

Vernachlässigen wir im Nenner die kleine Grösse ZZX Y, so erhalten wir

s+Z^Y

Zx + s Z ⁰

_ s 4- (rx—jsxx) (g+jb)

E₀

(rjsxx) 4- s (r—jx)

(s 4- n g + sxx b) 4- j (rx g — sxx b)

(rx 4- sr) — js (xt 4* #)

E(f ;

oder entwickelt

E₀.

[($74 4- sV) 4- rx ²g + s)\ (rg — xb) 4- (xg 4- xxg 4- rb)\ 4-j[s² (x + xx) + rx*b+srx (xg 4* rb) 4- s²xx (xb 4- xx b—rg)]

(rx 4- sr)² 4* 5² (.*4 4- x)²

l6

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

•in

Daher ist die Phasenverschiebung zwischen dem Strom und der elektromotorischen Kraft

+ rx*b 4- srx (xg+rb) -f    (.xb 4- xxb— rg)

(srx + s²r) 4- rx²g 4- sr, (rg — xb) 4- s²xx (xg 4- xxg 4- rg) ' Wenn wir den Erregerstrom /₀ gänzlich vernachlässigen, d. h. wenn wir Y — o setzen, so erhalten wir

tg«o =

I=sE o

(rt 4-sr) +js(x 4- xx)

{rx 4- -sr)² 4- s^(x 4- A4)²

(rx-\-sr)— s(x 4- xx)’

tg«₀

s(x 4- V'i )

rx -|-sr

144. Graphisch sieht das Diagramm des Induktionsmotors folgendennassen aus:

'G

■b

F,-"'

Y_E,

r—

d'

.■■'GOß

•l³*l I,

Fig. 105.

Bezeichnen wir in Figur 105 den Magnetismus durch den vertikalen Vektor 0(D, so wird die magnetomotorische Kraft in Amperewindungen pro Stromkreis durch den Vektor OF dargestellt, der dem Magnetismus O® um den Winkel der Hysteresisvoreilung « vorauseilt. Die in dem sekundären Stromkreise induzierte elektromotorische Kraft ist der Schlüpfung s proportional und wird durch OE, bei

einer Amplitude von 180⁰ dargestellt, durch a im Verhältnis r, :    teilen und a mit der Mitte b

Wenn wir OE.

des oberen Bogens des Kreises OEY verbinden, so schneidet diese Linie den unteren Bogen des Kreises in dem Punkte Ixrx. Daher ist OIxrx die durch den sekundären Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft und OIvxlf das ExIxrx gleich und parallel, ist die durch die sekundäre Reaktanz verbrauchte elektromotorische Kraft. Der Winkel ExOIvi\ — co₁ ist der sekundäre Phasenwinkel.

Die sekundäre magnetomotorische Kraft OGx läuft in der Richtung des Vektors 0IX1\. Vervollständigen wir das Parallelogramm der magnetomotorischen Kräfte mit OF als Diagonale und OGi als eine Seite, so erhalten wir die primäre magnetomotorische Kraft OG als andere Seite. Der primäre Strom und die durch den primären Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft, dargestellt durch O/r, fällt in die Richtung von OG, die durch die primäre Reaktanz verbrauchte elektromotorische Kraft eilt um 900 OG voraus und wird durch OIx dargestellt, und ihre

Resultante OIz ist die durch die primäre Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft.

Die in dem primären Stromkreise induzierte elektromotorische Kraft ist

Ueberwindung dieser gegenelektro-

OEx und die

motorischen Kraft erforderliche elektromotorische Kraft ist

zur

OE, gleich und entgegengesetzt gerichtet OEl. Wenn wir OE und OIz zusammensetzen, so erhalten wir die primäre Klemmenspannung, die durch den Vektor OEq und den Winkel der primären Phasenverschiebung Eq OG = w₀ dargestellt wird.

145. Soweit ist das Diagramm im wesentlichen dasselbe wie das des stationären Wechselstromtransformators.

Wenn wir die Abhängigkeit von der Schlüpfung des Motors betrachten, so wird der geometrische Ort der verschiedenen Grössen für verschiedene Werte der Schlüpfung $ folgendermassen bestimmt:

16*

Ist

so verhält sich

Ei = sEi,

OA : Ilrl = £'₁ : 4

OA =

4 rx X Ex_Iy rx X s E\

ri

E\ — konstant,

d. h. 4 rx liegt auf einem Halbkreise mit— Ex' als Durch-

messer.

r-

tî—!q,

[K

c,

Fig. 106.

Dies bedeutet, dass Gx auf einem Halbkreise gx mit OA als Durchmesser liegt. (Fig. 106.) Deshalb liegt Gu auf dem Halbkreise g₀ und FB ist gleich und parallel OA als Durchmesser.

Ir liegt auf einem Halbkreise mit DH als Durchmesser, welcher Kreis die Perspektive des Kreises FB ist. Ix liegt auf einem Halbkreise mit IK als Durchmesser und Iz ebenfalls auf einem Halbkreise mit LN als Durchmesser, welcher Kreis durch Kombination der Kreise Ir und Ix abgeleitet ist.

Die primäre Klemmenspannung E₀ liegt auf einem Halbkreise eo, der gleich dem Halbkreise Iz ist und der zu dem Punkt E dieselbe Lage hat wie der Halbkreis Iz zu dem Punkte o.

Dieses Diagramm entspricht einer konstanten Intensität des maximalen Magnetismus 0(1). Wenn die primäre Klemmenspannung E₀ konstant gehalten wird, so geht der Kreis eo der primären Klemmenspannung in einen Bogen mit O als Mittelpunkt über und alle entsprechenden Punkte der anderen Kreise müssen dementsprechend reduziert werden, so dass sich als Örter der anderen Grössen Kurven höherer Ordnung ergeben, die am bequemsten Punkt für Punkt durch Reduktion des zugehörigen Kreises in Fig. 106 konstruiert werden.

Drehmoment.

146. Das von einem Motor pro Pol entwickelte Drehmoment ist gleich dem Produkt aus dem effektiven Magnetis-

und der effektiven magnetomotorischen Kraft

mus

(D

I/2’

des Ankers

mal dem Sinus des Winkels, den beide

mit einander einschliessen, also

(pF

— —- sin ((PFO-

Wenn die Zahl der Windungen, Iv der Strom eines Stromkreises bei />-Ankerstromkreisen ist, so ist die

gesamte maximale magnetomotorische Kraft des Ankers

Pfhh

V 2

^1 =

Folglich ist das Drehmoment pro Pol

pnl0I₁

x' =

2 V2

Ist a die Zahl der Pole des Motors, so beträgt das gesamte Drehmoment des Motors dpnx 0IX

2 V2

sin (01]).

Die sekundär induzierte elektromotorische Kräftig bleibt 90⁰ hinter dem induzierenden Magnetismus zurück und erreicht daher ein Maximum, das im Raum gegen die Stellung der maximalen Magnetisierung um 90⁰ verschoben ist. Wenn daher der sekundäre Strom f hinter der elektromotorischen Kraft E] um den Winkel 00 zurückbleibt, so ist die räumliche Verschiebung zwischen dem Ankerstrom und dem Feldmagnetismus

if 0) = 90⁰ + «1

folglich

sin (0 Ix) — cos M].

Es ist aber

COS 00] =

ri

Vt\ ² -f- S² .Vj ²

\rf -f- s² X]2 e = 1 2 71 ri] 0 N io~⁸;

folglich

e ios

\ 2 TT N

Wenn wir diese Werte in die Gleichung für das Drehmoment einsetzen, so ist

dp srx e² io8 4 7T N{rx² -f s²x₁²)

oder in C. G. S.-Einheiten

dp s rx e²

¹ — \n N (rL ² + s² xx ²) '

Drehmoment und Leistung.

Bei der Schlüpfung s, der Frequenz N und der Polzahl d ist die lineare Geschwindigkeit für den Radius Eins

4 71N v = -—(1 — s);

folglich die Leistung des Motors

P — T V,

oder eingesetzt

prx e² s (1 — s) rx ² s² xx ²

Leistung des Induktionsmotors.

147. Wir können zu diesen Resultaten auch auf andere Weise gelangen:

Von der gegenelektromotorischen Kraft e des primären Stromkreises mit dem Strom I — IQ Ą- /x wird der Effekt e I = e IQ -p e verbraucht. Der Effekt e /₀ ist derjenige, welcher durch die primäre Hystérésis und durch die Wirbelströme verbraucht wird. Der Effekt elx verschwindet in dem primären Stromkreise, indem er auf das sekundäre Netz übertragen wird.

Daher ist der gesamte in die sekundäre Wicklung hineingeschickte Effekt pro Stromkreis

Pt = *It.

Hiervon wird ein Teil Ex Ix in dem sekundären Stromkreise durch den Widerstand verbraucht. Der Rest P' = Ą (e-Ex)

verschwindet als elektrische Energie vollständig und muss infolge des Gesetzes von der Erhaltung der Energie als eine andere Form von Energie erscheinen und zwar in diesem Falle als mechanische Kraft oder als Leistung des Motors

(einschliesslich mechanischer und sekundärer magnetischer Reibung).

Daher ist die mechanische Leistung eines Motorstrom

kreises

P' = IX (e — Ex).

Setzen wir

Ei — s e

rl—jsxl ’

so erhalten wir

Pf

e² s ( 1 — s)

rx — sj xx

ß²s( 1 —s) (rx + jsxx)

rx ² -f- s²^ ²

folglich, weil der imaginäre Teil als Energie keine Bedeutung hat,

rx £²s(i —s) rx ² -f- s² xx ² ’ und ferner als den gesamten Effekt des Motors

prxe^s (1 — s)

r^d-s²*!²

Bei der linearen Geschwindigkeit

P’

4 Tt N

V —-— (I — s) ,

für den Radius Eins ist das Drehmoment

dp rx e² s

T 4 n N (rx ² 4- s2 2 ’ Oben haben wir gefunden

E₀ = e\ 1 + s-Ę-

+ zy\,

oder annähernd

E₀ = e 1 -f s —-

oder

e sZ 4- Zx ’

entwickelt

e = E₀

n —jsx x

oder, wenn wir die imaginären Grössen eliminieren,

-./ na + sa*i _

⁰ ' (ri + sr)² 4- s² (44 4- ^)² '

Wenn wir diesen Wert in die Gleichungen für das Drehmoment und für die Leistung einsetzen, so ist das Drehmoment

_____dP ri E(P s___

4 n N [(rt 4- s r)² 4- s² <44 4- x)²] ’

die Leistung

prx EJ s (1 — s)

(rx 4- sr)² 4- s² (atj 4- x)² '

Maximales Drehmoment.

148. Das Drehmoment des Induktionsmotors ist ein Maximum bei der Schlüpfung s, wenn

= 0,

oder da

d p rx E₀ ² k

4 71N [(rt 4- s r)² 4- s² (x₁ 4- x)²] ’

ergiebt

2"

d \{rx 4- s r)² 4- s² (xt + x)

entwickelt

ri²

--V 4- r² 4- (xx 4- XŸ — o

s²

oder

st —

r\

1/r‘J 4- (xx 4- s)²

Wenn wir dieses in die Gleichung des Drehmomentes ein-setzen, so ergiebt sich als Wert des maximalen. Drehmomentes

Tt =

______________W___

8 n N\r -f- Vr² +    4- -*0² I ' d. h. unabhängig von dem sekundären Widerstand rv

Der entsprechende Effekt, den man durch Substitution von S; in P erhält, ist

Pt =

p E₍₎²1Vr² + {xi + -v)² — rx ]

2 Kr² -|- (Vj 4- v)² [Kr² 4- (#1 4“ x)² + r\

Dieser Effekt ist nicht die maximale Leistung des Motors, sondern geringer als diese. Die maximale Leistung erhält man bei kleinerer Schlüpfung oder grösserer Geschwindigkeit, während an dem Punkte des maximalen Drehmomentes die Leistung schon infolge der verminderten Geschwindigkeit abnimmt.

Bei wachsender Schlüpfung oder abnehmender Geschwindigkeit wächst das Drehmoment des Induktionsmotors; und umgekehrt bei wachsender Belastung sinkt die Geschwindigkeit des Motors und es steigt das Drehmoment, so-dass die Belastung bis zur Schlüpfung st , entsprechend dem maximalen Drehmoment, sinkt. Bei dieser Belastung und Schlüpfung fängt das Drehmoment an zu sinken; d. h. bei wachsender Belastung und daher wachsender Schlüpfung erreicht der Motor das maximale Drehmoment S( , d. h. er fällt aus dem Tritt und steht still.

Umgekehrt wächst das Drehmoment des Motors beim Anlassen aus seiner Ruhelage mit steigender Geschwindigkeit, bis der Punkt seines maximalen Drehmomentes erreicht ist. Von da ab fällt das Drehmoment wieder bis zum Synchronismus. Infolgedessen ist der Teil der Geschwindigkeitskurve des Drehmomentes unter dem Punkt des maximalen Drehmomentes im allgemeinen labil und kann nur dadurch beobachtetwerden, dassmandenMotormittelsteinesApparates belastet, dessen Gegendrehmoment mit der Geschwindigkeit schneller steigt, als das Drehmoment des Induktionsmotors.

Im allgemeinen liegt der Punkt st des maximalen Drehmomentes zwischen dem Synchronismus und dem Stillstand näher dem Synchronismus. Nur bei Motoren von sehr hohem Ankerwiderstand, d. h. niedrigem Wirkungsgrad, ist st 1, d. h. das maximale Drehmoment liegt unter dem Stillstand und das Drehmoment wächst ständig vom Synchronismus bis zum Stillstand.

Es ist klar, dass die Lage des Punktes sy des maximalen Drehmomentes dadurch verändert werden kann, dass man den Widerstand des sekundären Stromkreises oder den des Motorankers ändert. Da die Schlüpfung bei dem Punkt des maximalen Drehmomentes S/ direkt proportional dem Ankerwiderstande rx ist, so folgt, dass eine hohe konstante Geschwindigkeit und ein hoher Wirkungsgrad den Punkt des maximalen Drehmoments dem Synchronismus nähert und ein kleines Anzugsdrehmoment giebt, während ein gutes Anzugsmoment den Punkt des maximalen Drehmoments bei niedriger Geschwindigkeit bedeutet, d. h. einen Motor mit schlechter Geschwindigkeitsregulierung und niedrigem Wirkungsgrad.

Um daher einen hohen Wirkungsgrad und eine gute Geschwindigkeitsregulierung bei grossem Anzugsmoment zu erhalten, muss der Ankerwiderstand während des Betriebes des Motors geändert und der Motor mit hohem Ankerwiderstand angelassen und mit steigender Geschwindigkeit dieser Widerstand soweit als möglich ausgeschaltet werden.

149. Ist

st — 1

so ist

ri — Vr² + (xt x)².

In diesem Falle läuft der Motor mit maximalem Drehmoment an, und wenn er überlastet ist, fällt er nicht aus dem Tritt, sondern läuft immer langsamer, bis er schliesslich still steht.

st > i

ri kV² 4- 0*4 4- x)‘.

Bei

ist

In diesem Falle wird der Punkt des maximalen Drehmomentes nur dadurch erreicht, dass man den Motor in entgegengesetztem Sinne durch ein Gegenmoment antreibt.

Nur die

Wie aus obigem zu ersehen, ist das maximale Drehmoment %t ganz unabhängig von dem Widerstand des Ankers und dem in diesem fliessenden Strom. Geschwindigkeit des Motors hängt von dem Widerstand des Ankers ab.

Daher ändert die Einschaltung eines Widerstandes in den Ankerkreis das maximale Drehmoment und den ihm entsprechenden Strom nicht, sondern erniedrigt nur die Geschwindigkeit, bei der das maximale Drehmoment erreicht wird.

Die Wirkung des in den Induktionsmotor eingeschalteten Widerstandes ist die, nur die elektromotorische Kraft zu verbrauchen, die sonst ihr mechanisches Aequivalent in erhöhter Geschwindigkeit finden würde, ganz analog dem Widerstande in dem Ankerstromkreise eines Gleichstromnebenschlussmotors.

Weitere Abhandlungen über die Wirkung des Ankerwiderstandes sind unter ,,Anzugsmoment“ zu finden.

Maximale Leistung.

Die Leistung eines Induktionsmotors ist ein

150-

Maximum für die Schlüpfung sp> wo

d P — o;

ds

oder da

P=

prx E{)²s (1—s)

(i\ + sr)² -f s² Oq + at)²’

d (rL + sr)² 4- s² (at, -j- Ar)²

ds

s (1— s)

= o,

entwickelt, ergiebt dieses

ri ri + V {rx -f- r)² 4- (A4 4* x)²

in die Gleichung für P eingesetzt, erhalten wir die maximale Leistung

Ppr=

2 [(rx + r) + V(rx + r²) -j-    + .r)²]

Dieses Resultat hat eine einfache physikalische Bedeutung: (rx r) = R ist der gesamte primäre und sekundäre Widerstand des Motors, wobei der sekundäre auf den primären reduziert ist. -f- x) ist die gesamte Reaktanz, folglich V(rt -f r)² -j- (xx -f- x)² = Z die gesamte Impedanz des Motors. Daher ist

Ep —

pEf

z(R + Z)

ri

die maximale Leistung des Induktionsmotors bei der Schlüpfung

SP =

rx + Z '

Derselbe Wert ist im Kapitel IX für die maximale Leistung, die in einen induktionsfreien Stromkreis durch eine Leitung mit dem Widerstand R und der Impedanz Z gesandt werden kann, oder für die maximale Leistung eines Generators oder eines stationären Transformators abgeleitet worden. Daher wird:

die maximale Leistung eines Induktionsmotors durch dieselbe Formel ausgedrückt wie die eines Generators, oder eines stationären Transformators,oder wie diejenige Leistung, die durch eine nicht-induktionsfreie Leitung in einen induktionsfreien Stromkreis geschickt werden kann.

Das der maximalen Leistung Pp entsprechende Drehmoment ist

dp Ef (rx + Z)

8nNZ(R-\-Z) ‘

Dies ist nicht das maximale Drehmoment, sondern dieses Drehmoment %t findet bei niedrigerer Geschwindigkeit, also bei grösserer Schlüpfung

Tp = ,

St =

r\

Vr² -f i\\ -f- x)²

d. h.

Aus diesen Gleichungen ersieht man, dass zur Er

reichung einer möglichst grossen Leistung R und Z so klein als möglich zu wählen sind, d. h. die Widerstände rj 4- G die Impedanzen Z und daher die Reaktanzen xx -j- x müssen klein sein.

Da g 4~r im Vergleich zu xx 4-a meistens klein ist, so folgt daraus, dass das Problem des Induktionsmotors darin besteht, ihn so zu konstruieren, dass er sehr kleine Reaktanzen xt 4-x ergiebt.

Anzugsmoment.

151. In dem Augenblick, wo ein Induktionsmotor angelassen wird, ist

s == 1,

und der Anlassstrom

Eq ,

1 4- (fi —Jxt) (g —jb)

(G—jx0 + 0 —jx) 4- (G —j'xi) (r — jx) (g+jb)

oder entwickelt, unter Vernachlässigung des letzten Faktors im Nenner, als unbedeutend,

Eq)

VV² 4- Oi 4- -G²

statt, folglich

r² + l/(rj + G² 4- Oi 4- A')²

I (G 4- G 4- g Ig (G 4- G 4- *1 (xt + x)] 4- b {rxx — x rx ) j 4-j jOi 4- x) + b \rx (rx + G + xx + x)] — g(rxx — xrx)|

¹

Vollständige Diskussion siehe Kapitel XXIII.

(G + G² 4- Oi 4- G²

und die Phasenverschiebung oder der Phasenwinkel

_ Ol + G + b (g (g 4- G + x\ Oi 4- a)] — g(rxx —x rx)

(G + r) + g [rx (rv -f r) + xt (xx + x)] -f b {rxx — xrx)

Vernachlässigen wir den Erregerstrom g = o — b, so nehmen diese Gleichungen die Form

(g 4- n .+>(«, 4-g

E*

2 E() —

(G + G —/Oi + x)

an, oder wenn wir die imaginären Grössen eliminieren,

(G + G² 4- Oi + x)

Eo ]/(G + G² ■+• Oi + x)²

tg "0 =

-j- x 1\ + r

D. h. beim Anlassen des Induktionsmotors ohne Zusatzwiderstand in dem Ankerstromkreise, in welchem Falle im Vergleich zu r\ -r gross und die gesamte Impedanz Z klein ist, nimmt der Motor überwiegende und in hohem Maasse phasenverschobene Ströme auf.

Das Anzugsmoment ist

T₀ =

dpr\ E₀*

ĄTt N [(rx 4- r)² + (xt + xp]

471N Z²’

d. h., es ist proportional dem Ankerwiderstande und umgekehrt proportional dem Quadrat der gesamten Impedanz des Motors.

Es ist klar, dass zur Erreichung eines grossen Anzugsmoments die Impedanz möglichst klein und der Widerstand des Ankers möglichst gross sein muss. Erstere Bedingung ist diejenige zur Erreichung einer grossen maximalenLeistung, eines hohen Wirkungsgrades und einer guten Regulierung der Geschwindigkeit; letztere hingegen bedeutet schlechten Wirkungsgrad und schlechte Regulierung und kann daher durch den inneren Widerstand des Motors nicht erfüllt werden, sondern nur durch Einschalten eines Zusatzwiderstandes, der während des Betriebes des Motors kurz geschlossen ist.

Da also notwendig

rx <Z

ist, so ist

*o<

und

dp V ,

4 nNZ und da der Anlassstrom annähernd

⁰⁰    4 TT N

E₀I

würde das theoretische bei 100 °/₀ Nutzeffekt und Leistungsfaktor entwickelte Drehmoment sein, bei der elektromotorischen Kraft E₀ und dem Strom I bei synchroner Geschwindigkeit.

Daher ist

ro “'C Too>

und das Verhältnis zwischen dem Anzugsmoment r₀ und dem theoretischen maximalen Moment r₀₀ giebt ein Mittel an die Hand, um die Vollkommenheit eines Motors in Bezug auf sein Anzugsmoment zu beurteilen.

Dieses Verhältnis — erreicht bei den besten Motoren Too

Werte, die zwischen 0,8 und 0,9 liegen.

E

Setzen wir I = — in die Gleichung des Anzugsmomentes ein, so nimmt sie die Form

45T A

ist, so ist

*o<

4 71 N

E₀1.

PZr\

an.

Da    die synchrone Geschwindigkeit ist, so ist das

Anzugsmoment des Induktionsmotors gleich dem Verlust in dem Widerstande des Motorankers, dividiert durch die synchrone Geschwindigkeit.

Der Widerstand des Ankers, der die maximale Zugkraft beim Anlassen erzeugt, ist

drn___

drx~~ ’

oder da

ro =

dp Eo²

r\

\n N (rx + rp 4- {xl -f *)²

«l    (r₁ + ri+(xi + .v)² _ o

dr

r\

ist, so erhalten wir durch Entwicklung dieser Eormel ri ⁼ V r² -j- (x±    x)²,

denselben Wert, der in dem Paragraphen, der von dem maximalen Drehmoment handelt, abgeleitet worden ist.

Wenn wir nun vor den inneren Widerstand rx des Ankers beim Anlassen den Zusatzwiderstand ri" — Vr² + (-^i -f- x)² — rx

schalten, so läuft der Motor mit seinem maximalen Drehmoment an, während mit wachsender Geschwindigkeit das Drehmoment beständig sinkt und bei Synchronismus den Wert Null erreicht.

Unter diesen Umständen gleicht der Induktionsmotor ungefähr dem Gleichstrom-Hauptschlussmotor, dessen Geschwindigkeit mit der Belastung variiert, jedoch mit dem Unterschiede, dass der Induktionsmotor eine bestimmte Geschwindigkeit bei Leerlauf erreicht, während die Geschwindigkeit des Hauptschlussmotors mit abnehmender Belastung bis ins Unendliche wächst.

Der zusätzliche Ankerwiderstand rx\ der erforderlich ist, um ein bestimmtes Drehmoment beim Anlassen hervorzubringen, wird aus der Gleichung des Drehmoments beim Anlassen gefunden.

Bezeichnen wir den inneren Widerstand des Ankers mit r/, so ist der gesamte Widerstand des Ankers rx = rx -f- ri" >

dpE₀²

daher

r₀ =

____V + g"___.

\n N (rx 4- rx" + r)² 4- {xx 4- x)² ’

folglich

dpE ₀

JidpEp² \²

1 \87rA'V₀l

dpE^r

If

rx" = —rx'—r 4

Man erhält dadurch zwei Werte, von denen der eine über, der andere unter dem Punkt des maximalen Drehmoments liegt.

Wählen wir das positive Vorzeichen der Wurzel, so erhalten wir einen grösseren Ankerwiderstand und einen geringeren Strom beim Anlassen, während das Drehmoment beständig mit der Geschwindigkeit sinkt.

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

8tvNt₀

Ą7tNt₀

(xt Ex)².

Wählen wir das negative Vorzeichen, so erhalten wir einen kleineren Widerstand und eine hohe Stromstärke beim Anlassen, und bei wachsender Geschwindigkeit steigt zunächst das Drehmoment, erreicht dann sein Maximum und fällt schliesslich wieder bis zum Synchronismus ab.

Diese beiden Punkte entsprechen den beiden Punkten in der Kurve des Drehmoments in Abhängigkeit der Geschwindigkeit des Induktionsmotors in der Figur 107 und ergeben das gewünschte Drehmoment 7^.

Der kleinere Wert von r/' ergiebt eine ziemlich gute Konstanz der Geschwindigkeit, und es kann bei kleinen Motoren, wo die verhältnismässig hohe Stromstärke beim Anlassen keinen wichtigen Punkt bildet, der permanente Widerstand des Ankers als Darstellung dieses Wertes angesehen werden.

Der grössere Wert von 1\" erlaubt ein Anlassen bei kleiner Stromstärke, erfordert aber die Ausschaltung des Widerstandes nach dem Anlassen, um die Regulierung der Geschwindigkeit und einen annehmbaren Wirkungsgrad zu erreichen.

Synchronismus.

152.    Bei Synchronismus s = o ist

IS = E₀ (g+jb),

oder ohne komplexe Grössen

Is ⁼ EqVg² -f- b‘\

P= o, r = o;

Leistung und Drehmoment sind also Null. Daher kann der Induktionsmotor niemals vollständigen Synchronismus erreichen, sondern muss etwas schlüpfen, um das durch die Reibung verbrauchte Drehmoment zu ergeben.

Betriebsverhältnisse nahe dem Synchronismus.

153.    In der Nähe des Synchronismus, bei der Schlüpfung s über dem Punkte der maximalen Leistung, wo s klein ist und zwischen 0,02 bis 0,05 bei voller Belastung liegt, können die Gleichungen durch Vernachlässigung der mit s bezeichneten Glieder als solche höherer Ordnung vereinfacht werden.

Der Strom ist

s 4- r₂ (g + jb)

F

r\

J-o>

-oder wenn wir die imaginären Grössen eliminieren

-der Phasenwinkel

i[v₁+gi+b,E°'

tg <a₀ —

s² 4- x) 4- r^b

sri + r\²S

s²

x\ -f- x

rx

+ i\b

s 4- t\g

p£p²s

ri »

d pE(ps

An

oder umgekehrt

s = iP

PE„

4 nNrvr dpE₀ ² ’

•d. h. nahe dem Synchronismus ist die Schlüpfung s oder der Verlust der Geschwindigkeit bei einem Induktionsmotor proportional dem Widerstand rx des Ankers und der Leistung P oder dem Drehmoment.

Induktionsgenerator.

154. Im Vorhergehenden ist der Bereich der Geschwindigkeit von s — 1, dem Stillstand, bis zu s = o, dem Synchronismus, erörtert worden. In diesem Bereich verrichtet der Motor mechanische Arbeit.

Er verbraucht mechanische Arbeit, wenn er als Generator oder als Bremse ausserhalb dieses Bereiches läuft.

Für s^>i, rückwärts treibend, wird P negativ und stellt einen Effektverbrauch dar, während s positiv bleibt.

Da sich die Drehrichtung geändert hat, so stellt auch dies einen Effektverbrauch dar. Dieser ganze Effekt wird in dem Motor verbraucht, der daher als Bremse wirkt.

Für s o, oder negativ, werden P und x negativ, und die Maschine wird zu einem elektrischen Generator, der mechanische Energie in elektrische Energie umwandelt.

Setzen wir in diesem Falle s, = — s ein

wo sx die

Beschleunigung oder die Schlüpfung der Maschine über Synchronismus ist, so leiten wir die Gleichungen eines Induktionsgenerators daraus ab, die dieselben sind wie die des Induktionsmotors, ausgenommen, dass das Zeichen vor der Schlüpfung entgegengesetzt ist.

Es wird wiederum einPunkt des maximalen Drehmoments und ein Punkt der maximalen Leistung gefunden, und Drehmoment und Effekt wachsen von Null bei Synchronismus bis zu einem Maximum und fallen dann wieder abr während der Strom beständig steigt.

155. Der Induktionsgenerator unterscheidet sich von dem gewöhnlichen Wechselstromgenerator im wesentlichen dadurch, dass er keine eigentliche bestimmte Frequenz hat, aber bei einer beliebigen Frequenz über derjenigen, die seiner Geschwindigkeit entsprechen muss, arbeiten kann. Elektrische Energie kann er nur dann erzeugen, wenn er sich in einem Stromkreise mit einem Wechselstromapparat von bestimmter Frequenz befindet, wie z. B. einer Wechselstrommaschine oder einem synchronen Motor.

D. h. der Induktionsgenerator erfordert eine besondere Vorrichtung zur Festlegung seiner Frequenz, wenn er überhaupt arbeiten soll.

Bei Parallelbetrieb mit gewöhnlichen Wechselstrommaschinen hängt das Phasenverhältnis des Stromes, der aus dem Induktionsgenerator kommt, ausser von der Schlüpfung, hauptsächlich von der Selbstinduktion des Induktionsgenerators ab und kann dadurch geändert werden.

Daher kann der Induktionsgenerator zur Regulierung der Phasenverschiebung in einem Wechselstromkreise gebraucht werden.

Im Falle der Hintereinanderschaltung in einem Stromkreise ist die elektromotorische Kraft des Induktionsgenerators annähernd proportional dem Strom. Daher kann er als Zusatzmaschine gebraucht werden, um einer Leitung eine höhere Spannung zu erteilen, die proportional dem durch sie fliessenden Strom ist.

Beispiel.

156. Als Beispiel werden in der Figur 107 charakteristische Kurven eines 2opferdigen Dreiphasen-Induktions-

JO__20)    1 301    1 40 I 50j    [ 601 J0

20 Pferdiger dreiphasiger Jndu/dionsmotor

UO^-Vo/t. -900iUmdre/rungert. L60JJArier?--

O, / *■ O) ¥j\ r= 0,02/0,0/5/O, /8/0/5 Z= O, 03- 0,05/

J.= Q, Op 085,

80

90

7cscktvindigkeit

Irchmoment

hgrm

13

Id

14

10

Sefc/tw.

io

«L

/ 40    60

20

rrdigfee/f in °/o des SyncAronismus-[30 I 40) IjOj I 60)    70

Ampère

1001 1201 HOI 1601 ISol 3001 2äol 2-tol 2001 280

80

00

3001 330

340

1qo|

Fig. 107. Geschwindigkeitscharakteristik des Induktionsmotors.

motors von 900 Umdrehungen bei synchroner Geschwindig’ keit bei 8 Polen und einer Frequenz von 60 Cyklen gegeben.

Die Klemmenspannung zwischen den Leitungen beträgt 110 Volt und der Motor hat Sternschaltung. Daher ist die Phasenspannung eines jeden Stromkreises

zr ¹¹⁰    *

E₀ —    = 63,5.

20 Pferdiger dreiphasiger Jnc/äktionsm O Um Drehungen

otor

110 Vo/t. 90

60 Cyk/en

Strom — Diagramm

Y=Q,1+oWj I

Pferdestärken

Z = 0,03*- 0,09j\

__L - 0,006+0,066,_

Drehmoment

S3

§1 St Si 3| SSI SI H •

Drehmoment irr hgrrr une/ Pferdes t a r.

~r

i-

1/

Cac/nriad/ff/riĄ Maardtsmus J

iS

_£

Z_

50

ido

Ampère

1501    1    200

250

300

i ł35C

Fig. 108. Stromcharakteristik des Induktionsmotors.

Die Konstanten des Motors sind: die primäre Admittanz Y — o,i + o,4 /, die primäre Impedanz Z = 0,03 -J- 0,09 j und die sekundäre Impedanz = 0,02 — 0,085 j-

In Fig. 107 wird mit der Geschwindigkeit des Synchronismus in Prozenten als Abscissen das Drehmoment in

Kilogrammmetern als Ordinaten in ausgezogenen Linien für folgende Werte des Widerstandes des Ankers dargestellt: Für 74=0,02: Kurzschluss des Ankers, volle Geschwindigkeit.

Für 74=0,045: 0,0250hm Zusatzwiderstand.

Für 74=0,18: 0,16 Ohm Zusatzwiderstand, maximales Drehmoment beim Anlassen.

Für 74=0,75: 0,73 Ohm Zusatzwiderstand; dasselbe Drehmoment beim Anlassen wie für 74 = 0,045.

28

10 Pferdic/er aTeiphasiger Jnduktions Motor

21

20

**<

10

12

10 ro/t/ 900 i/m c/rehungen 60 Cykfen

--—t- -4—4—I—I—

Geschwindigkeitsdiûÿramm

Y Ào, 1+ Ö,W I

__Z -0,03 * 0.09i _

Z =0,0+5 + Q, 085j

——----i-1--i--——

Gesd>wnc//çAciï //? */() des Synchronismus

-lßO'80    60    O 20 10    60    80 IDO

—i—jrrf.---1 - |    ___\—\___

ljO 1,4 1,2 10 0,8 0,i 0,k O 2 0    0 2*04 06 08

Sch/üp/'urrg 5    \    "3

2 0 1.8

150

200

250!

300

^r —

-16

V-20

Rückwärts Drehung

•6

-iS

FS

Über Synchronismus

-82

Fig. 109. Geschwindigkeitscharakteristik des Induktionsmotors.

In derselben Figur wird der Strom für jede Leitung in punktierten Linien mit denVertikalen oder demDrehmoment als Abscissen und den Horizontalen oder den Ampère als Ordinaten gegeben. Demselben Drehmoment entspricht immer derselbe Strom, ohne Rücksicht auf die Geschwindigkeit.

In der Figur 108 wird mit dem jeder Leitung zugeführten Strom als Abscissen das Drehmoment in Kilogrammmetern und die Leistung in Kilowatt als Ordinaten in ausgezogenen

Linien dargestellt, und die Geschwindigkeit und der Magnetismus in Prozenten ihrer synchronen Werte als Ordinaten in punktierten Linien für den Ankerwiderstand rv — 0,02 Ohm, oder für den Kurzschluss.

In der Figur 109 wird mit der Geschwindigkeit in Prozenten des Synchronismus als Abscissen das Drehmoment in ausgezogener Linie und die Leistung in punktierter Linie für den Wert des Ankerwiderstandes rv =.- 0,045 Ohm für das ganze Bereich der Geschwindigkeit von 120 % Rückwärtsbewegung bis 220 °/₀ über dem Sjmchronismus dargestellt, wodurch zwei Maxima, nämlich das Motormaximum bei s = 0,25 und das Generatormaximum bei s = — 0.25 veranschaulicht werden.

Verkettung oder doppelte Schaltung der Induktionsmotoren.

157. Wenn von zwei Induktionsmotoren der sekundäre Stromkreis des ersten Motors mit dem primären des zweiten Motors verbunden wird, so wirkt die zweite Maschine als Motor mit der von dem sekundären Stromkreis der ersten Maschine aufgedrückten elektromotorischen Kraft und Frequenz, welche Maschine als ein gewöhnlicher Wechselstromtransformator wirkt, wodurch der eine Teil der übertragenen primären Energie in sekundäre elektrische Energie zur Speisung der sekundären Maschine und der andere Teil in mechanische Arbeit verwandelt wird.

Die Frequenz der sekundären elektromotorischen Kraft des ersten Motors und folglich die auf den zweiten Motor übertragene Frequenz ist gleich der Frequenz der Schlüpfung s unter dem vollkommenen Synchronismus. Die Frequenz der sekundär induzierten elektromotorischen Kraft des zweiten Motors ist gleich der Differenz zwischen seiner übertragenen Frequenz s und seiner Geschwindigkeit. Wenn daher beide Motoren miteinander mechanisch verbunden sind und mit gleicher Geschwindigkeit 1 — s laufen, so ist die sekundäre Frequenz des zweiten Motors 2 s— 1 und daher gleich Null bei s — 0,5; d. h. der zweite Motor erreicht seinen

Synchronismus bei halber Geschwindigkeit. Bei dieser Geschwindigkeit wird sein Drehmoment Null und der Energiestrom verschwindet; daher wird die Energiekomponente des sekundären Stromes des ersten Motors und folglich sein Drehmoment ebenfalls Null, wenn die Hystérésis des zweiten Motors vernachlässigt wird.

D. h. ein System verketteter Motoren mit kurzgeschlossener sekundärer Wicklung des zweiten Motors nähert sich dem halben Synchronismus in derselben Weise wie der gewöhnliche Induktionsmotor dem Synchronismus. Mit steigender Belastung wächst seine Schlüpfung unter halbem Synchronismus.

Allgemeiner ausgedrückt verteilt ein Paar Induktionsmotoren, das miteinander verkettet ist, seine Geschwindigkeit in der Weise, dass sich die Summe dieser beiden Geschwindigkeiten beim Leerlauf dem Synchronismus nähert; oder noch allgemeiner ausgedrückt: irgend eine Zahl verketteter Motoren läuft mit einer solchen Geschwindigkeit, dass die Summe der Geschwindigkeiten sich beim Leerlauf dem Synchronismus nähert.

Bei einer mechanischen Verbindung der beiden Motoren giebt die Verkettung ein Mittel an die Hand, um ein Paar Induktionsmotoren bei vollem Wirkungsgrad bei halber Geschwindigkeit zu zweien hintereinander, als auch bei voller Geschwindigkeit parallel zu betreiben, und gewährt daher denselben Vorteil wie die Serien-Parallel-Schaltung von Gleichstrommotoren.

Beim Anlassen wird ein verkettetes System durch den Widerstand des Ankers des zweiten Motors reguliert.

Da bei steigender Geschwindigkeit die übertragene Frequenz des sekundären Motors proportional dem Sinken der Spannung sinkt, wenn innere Verluste in dem ersten Motor vernachlässigt werden, so bleibt die magnetische Dichte des zweiten Motors praktisch konstant und das Drehmoment daher dasselbe wie beim Betrieb mit der vollexi Spannung und vollen Frequenz unter denselben Bedingungen.

Bei halbem Synchronismus wird dasDrehmoment des verketteten Paares Null, und über dem halben Synchronismus läuft der sekundäre Motor über seiner aufgedrückten Frequenz; d. h. er wird ein Generator. In diesem Falle wird infolge der Umkehrung des Stromes in der sekundären Wicklung des ersten Motors sein Drehmoment ebenfalls negativ; d. h. das verkettete Paar wird über dem halben Synchronismus ein Induktionsgenerator. Bei ungefähr zwei Dritteln des Synchronismus bei kleinem Widerstande des Ankers wird das Drehmoment des Paares wiederum Null und wieder positiv zwischen ungefähr zwei Dritteln des Synchronismus und dem vollen Synchronismus, und wiederum negativ über dem vollen Synchronismus.

Bei hohem Widerstand in der sekundären Wicklung des zweiten Motors verschwindet das zweite positive Drehmoment unter dem vollen Synchronismus.

Zwecks einer vollständigen Untersuchung und Diskussion der Verkettungserscheinung muss auf ein Buch über den Induktionsmotor verwiesen werden.

Einphasiger Induktionsmotor.

Beim

158. Der magnetische Stromkreis des Induktionsmotors bei oder nahe dem Synchronismus besteht aus zwei Kraftlinienflüssen, die sowohl im Raume als auch ihrer Lage nach senkrecht zu einander liegen, mehrphasigen Motor werden diese Felder durch die in der Phase verschobene elektromotorische Kraft erzeugt. Bei dem monocyklischen Motor ist das eine der Felder auf den primären Energiestromkreis und das andere auf den primären Erregerstrom zurückzuführen. Bei dem einphasigen Motor wird das eine Feld durch den primären Stromkreis und das andere durch Ströme, die in der sekundären Wicklung oder in dem Anker induziert werden, erzeugt, die beide durch die Drehung des Ankers senkrecht zu einander gestellt werden. Da bei allen diesen Motoren die

magnetische Verteilung dieselbe ist oder doch nahe dem Synchronismus liegt und durch ein rotierendes Feld von gleicher Intensität und gleicher Geschwindigkeit dargestellt werden kann, so bleibt sie infolgedessen auch bei mehrphasigen und monocyklischen Motoren dieselbe. Bei dem einphasigen Motor hingegen sinkt bei steigender Schlüpfung, d. h. sinkender Geschwindigkeit, das senkrechte Feld, weil die induzierten Ankerströme nicht vollständig senkrecht bewegt werden; daher ist nur eine Komponente zur Erzeugung des senkrechten Kraftlinienflusses nutzbar. Folglich kann das senkrechte Feld eines einphasigen Motors annähernd proportional seiner Geschwindigkeit gesetzt werden, und ist beim Stillstand Null.

Da dasDrehmoment des Motors proportional demProdukt aus dem sekundären Strome mal dem senkrecht stehenden magnetischen Felde ist, so folgt, dass das Drehmoment des einphasigen Motors gleich dem eines einphasigen Motors ist, unter denselben Betriebsbedingungen wie bei einem mehrphasigen Stromkreis, multipliziert mit der Geschwindigkeit; d. h. gleich Null beim Stillstand.

Während daher einphasige Induktionsmotoren bei oder nahe dem Synchronismus sehr gut arbeiten, sinkt ihr Drehmoment proportional der Geschwindigkeit und wird beim Stillstand Null; d. h. sie laufen nicht von selbst an, sondern bedürfen einer Anlassvorrichtung.

Eine solche Anlassvorrichtung kann entweder mechanischer oder elektrischer Art sein. Sämtliche elektrischen Anlassvorrichtungen bestehen im wesentlichen darin, dass sie in dem Motor bei Stillstand ein senkrechtes Kraftlinienfeld schaffen. Dieses kann entweder durch eine aussen liegende elektromotorische Kraft erreicht werden, z. B. durch eine monocyklische Anlassvorrichtung, oder durch Verschiebung der Stromkreise zweier oder mehrerer primärer Spulen gegen einander, entweder durch gegenseitige Induktion der einzelnen Spulen, d. h. durch Benutzung der einen als sekundäre zur anderen, oder durch Impedanzen von verschiedenem Induktionsfaktor, die mit den verschie denen primären Spulen verbunden sind.

Synchroner Induktionsmotor.

159. Der im Vorangegangenen besprochene Induktionsmotor besteht aus einem oder mehreren primären Stromkreisen, die auf den beweglichen Anker einwirken, die eine Anzahl von geschlossenen sekundären Stromkreisen umfasst, welche von einander im Raume so ver

schoben sind, dass nach jeder Richtung hin ein resultierender Stromkreis entsteht.

Infolgedessen kann der Motor als Transformator betrachtet werden, der zu jedem primären Stromkreise einen entsprechenden sekundären Stromkreis hat, eine sekundäre Spule, die sich aus dem Felde der primären Spule herausbewegt und durch eine andere sekundäre Spule, die sich in das Feld hineinbewegt, ersetzt wird.

Bei einem solchen Motor ist das Drehmoment beim Synchronismus Null, positiv unter und negativ über dem Synchronismus.

Wenn aber der bewegliche Anker nur einen geschlossenen Kreis enthält, so giebt er nur in der Richtung der Achse der Ankerspule einen geschlossenen sekundären Stromkreis, aber keinen sekundären Stromkreis, der mit ihm einen rechten Winkel bildet; d. h. mit der Drehung des Ankers ändert sich der sekundäre Stromkreis entsprechend dem primären Stromkreise vom Kurzschluss beim Zusammentreffen der Achse der Ankerspule mit der Achse der primären Spule bis zum offenen Stromkreis senkrecht zu demselben, mit der Periodizität der Geschwindigkeit des Ankers. Das heisst, die scheinbare Admittanz des primären Stromkreises variiert periodisch von der Admittanz des offenen Stromkreises bis zur kurzgeschlossenen Transformator-Admittanz.

Beim Synchronismus stellt ein solcher Motor einen •elektrischem Stromkreis von einer Admittanz dar, die mit der doppelten der Periodizität der primären Frequenz variiert, weil die Achse der Ankerspule und die der primären Spule pro Periode zweimal Zusammentreffen. Eine variierende Admittanz ist anderseits thatsächlich mit der variierenden Reluktanz, die in dem Kapitel über Reaktions-Maschinen behandelt werden wird, identisch. D. h. der Induktionsmotor mit einem geschlossenen Ankerstromkreise ist beim Synchronismus weiter nichts als eine Reaktionsmaschine und giebt daher kein Drehmoment beim Synchronismus, wenn die Maxima und Minima der periodisch variierenden Admittanz mit dem Maximum und den Nullwerten des primären Stromkreises zusammenfallen, sondern er giebt ein bestimmtes Drehmoment, wenn sie hiervon verschoben sind. Dieses Drehmoment kann positiv oder negativ sein, entsprechend der Phasenverschiebung zwischen der Admittanz und dem primären Stromkreise, nämlich der Verzögerung oder Voreilung der maximalen Admittanz in Bezug auf die maximale primäre. Daher wirkt ein Induktionsmotor mit einem einzigen Ankerstromkreise beim Synchronismus entweder als Motor oder als Wechselstromgenerator, entsprechend der relativen Lage des Ankerstromkreises zum primären Stromkreise. Er kann daher synchroner Induktionsmotor oder synchroner Induktionsgenerator genannt werden, da er eine Induktionsmaschine ist, die beim Synchronismus Drehmoment giebt.

Der Leistungsfaktor und der scheinbare Nutzeffekt des synchronen Induktionsmotors als Reaktionsmaschinen sind sehr niedrig, und daher nur in solchen Fällen praktisch anwendbar, wo ein kleiner Betrag von Energie bei synchroner Drehung erforderlich und Gleichstrom für Felderregung nicht anwendbar ist.

Der in dem Anker des synchronen Induktionsmotors induzierte Strom hat die doppelte Frequenz von derjenigen, welche auf den primären Teil aufgedrückt wird.

Unter und über dem Synchronismus ist das Drehmoment des gewöhnlichen Induktionsmotors oder Induktionsgenerators über dem Drehmoment der synchronenlnduktions-maschine gelagert. Da mit der Frequenz oder Schlüpfung die relative Lage der primären und der sekundären Spulen wechselt, so wechselt auch das Drehmoment der sjmchronen Induktionsmaschine periodisch mit der Frequenz oder Schlüpfung. D. h. über das konstante positive oder negative Drehmoment unter oder über Synchronismus ist ein wechselndes Drehmoment der Frequenz der Schlüpfung gelagert und daher pulsiert das resultierende Drehmoment, um einen positiven Mittelwert unter Null und um einen negativen Mittelwert über dem Synchronismus.

Wenn der Motor vom Stillstand aus angelassen wird, so ist die Bewegung eines synchronen Induktionsmotors wie die eines gewöhnlichen einphasigen Induktionsmotors eine beschleunigte, aber jener nähert sich nicht nur dem S3rnchronismus, wie es letzterer thut, sondern er läuft bis zum vollständigen Synchronismus unter Belastung. Wenn er sich dem Synchronismus nähert, so macht er bestimmte Schwingungen mit der Frequenz der Schlüpfung, die aber wieder verschwinden, sobald der Synchronismus erreicht ist.

Der Hysteresis-Motor.

160. In einem sich drehenden magnetischen Felde wird eine kreisförmige eiserne Scheibe oder ein eiserner Cylinder von gleichmässiger magnetischer Reluktanz in der Richtung des sich drehenden Feldes in Rotation versetzt, selbst wenn soweit unterteilt, dass die Induktion von Wirbelströmen ausgeschlossen ist. Diese Rotation ist auf die Wirkung der Hystérésis der sich drehenden Scheiben oder des Cylinders zurückzuführen und daher kann man einen solchen Motor einen H}^steresis-Motor nennen.

Angenommen dieEisenscheibe/werde einem rotierenden magnetischen Felde oder einer resultierenden magnetomotorischen Kraft ausgesetzt. Die Achse der resultierenden

Magnetisierung in der Scheibe I trifft nicht mit der Achse des rotierenden Feldes zusammen, sondern bleib t hinter derselben zurück, indem sie auf diese Weise einKräftepaar hervorbringt; d. h. die Komponente des Magnetismus in der Richtung der rotierenden Scheibe /, die der Achse der rotierenden magnetomotorischen Kraft vorauseilt, steigt und in einer Richtung hinter der Achse der rotierenden magnetomotorischen Kraft sinkt sie entsprechend und zwar über der Proportionalität der magnetomotorischen Kraft infolge der Verschiebung des Magnetismus in der Hystereseschleife. Daher fällt die Achse des resultierenden Magnetismus der Eisenscheibe / nicht mit der Achse der rotierenden magnetomotorischen Kraft zusammen, sondern wird durch einen Winkel a, der der Winkel der Hysteresisvoreilung (Kapitel X, § 79) ist, rückwärts verschoben.

Der induzierte Magnetismus giebt mit der resultierenden magnetomotorischen Kraft ein mechanisches Kräftepaar T = nt F 0 sin cc,

wo F die resultierende magnetomotorische Kraft, 0 der resultierende Magnetismus, a der Phasenwinkel der Hysteresisvoreilung und m eine Konstante sind.

Die scheinbar aufgewandte Arbeit des Motors in Voltampere ist

Q — m F 0.

Daher ist der scheinbareWirkungsgrad des Drehmomentes

—— — sin a

und der Effekt des Motors

P = (1 — s) T = ( 1 — s) m F 0 sin a, wo s die Schlüpfung als Bruchteil des Synchronismus ist. Der scheinbare Wirkungsgrad ist

= (1 — s) sin a.

Da in einem magnetischen, einen Luftzwischenraum enthaltenden Stromkreise der Winkel a sehr klein ist,

nämlich nur wenige Grade beträgt, so folgt daraus, dass der scheinbare Wirkungsgrad des Hysteresismotors sehr niedrig ist und der Motor sich daher nicht zur Leistung grösserer mechanischer Arbeiten eignet.

Aus der Gleichung des Drehmomentes folgt, dass bei * konstanter Klemmenspannung oder bei konstantem Stromr d. h. konstantem Fy das Drehmoment konstant und unabhängig von der Geschwindigkeit ist. Daher wird eine solche Anordnung eines Motors hin und wieder als Wechselstromzähler angewandt.

Dasselbe Resultat erreicht man, wenn man von einem ■ anderen Gesichtspunkte ausgeht. In einem magnetischen Systeme, das eine bewegliche eiserne Scheibe I von gleichförmiger magnetischer Reluktanz in einem sich drehenden Felde umfasst, ist die magnetische Reluktanz und daher die Verteilung des Magnetismus unabhängig von der Geschwindigkeit und es ist der Strom und der Energieaufwand der übertragenen magnetomotorischen Kraft daher von der Geschwindigkeit ebenfalls unabhängig. Wenn nun

V das Volumen des Eisens des beweglichen Teilsr B die magnetische Dichte und rj der Hysteresiskoeffizient ist, dann ist die durch Hystérésis in der beweglichen Scheibe I pro Cyklus verbrauchte Arbeit Wo = Vt] B*’⁶.

Wenn daher N die Frequenz ist, so ist der durch die magnetomotorische Kraft in der rotierenden Eisenscheibe vermittelst der Hystereseschleife erzeugte Effekt P₀ = NVrj B'*⁶.

Bei der Schlüpfung s N, d. h. bei der Geschwindigkeit (1 — s) N ist der durch die Hystérésis in der rotierenden Scheibe verbrauchte Effekt

Px — s NVrj B¹’⁶.

Folglich ist der durch die Übertragung von dem stationärenzumdrehendenTeil verbrauchte magnetische Effekt P = P₀ — P, = (1 — s) NVn B'£.

verschwunden und erscheint so als mechanische Arbeit, und das Drehmoment ist

= Vrj B I>⁶

(1 — s) N

d. h. unabhängig von der Geschwindigkeit.

Da, wie aus Kapitel X zu ersehen, sin a das Verhältnis der Energie der Hysteresisschleife zur gesamten scheinbaren Energie in Voltampere des magnetischen Cyklus ist, so folgt daraus, dass der scheinbare Wirkungsgrad eines solchen Motors niemals den Wert (1 — s) sin«, oder einen Bruchteil der primären Hysteresis-Energie überschreiten kann.

Da die primäre Hysteresis-Energie eines Induktionsmotors durch seine Konduktanz g dargestellt, einen Teil des Verlustes in dem Motor und daher nur einen kleinen Teil seiner Leistung bildet, so folgt, dass die Leistung eines Hysteresis-Motors nur ein kleiner Bruchteil der Leistung ist, die dasselbe magnetische Gestell mit sekundärer kurzgeschlossener Wickelung als regulärer Induktionsmotor geben könnte.

Als sekundäre Wirkung erscheint aber das rotierende Bestreben des magnetischen Gestells als Hysteresis-Motor mehr oder weniger bei allen Induktionsmotoren, obgleich sie im allgemeinen so klein ist, dass sie vernachlässigt werden kann.

Wenn in einem Hysteresismotor das rotierende Eisengestell nicht nach allen Richtungen hin gleichmässige Reluktanz besitzt, sondern wenn es z. B. stab- oder spindelförmig ist, so ist über den Effekt des Hysteresismotors der Effekt der variierenden magnetischen Reluktanz darüber gelagert, der danach strebt, den Motor zum Synchronismus hin zu beschleunigen und ihn darin zu erhalten. Dieses wird näher im Kapitel XX unter „Reaktionsmaschine“ erörtert werden.

Kapitel XVI.

Der Wechselstromgenerator.

l6l. Bei dem Wechselstromgenerator wird die elektromotorische Kraft in den Ankerleitern infolge ihrer relativen Bewegung durch ein konstantes oder annähernd kostantes magnetisches Feld induziert.

Wird Strom geliefert, so wirken zwei ganz verschiedene magnetomotorische Kräfte auf den Wechselstromanker, nämlich die magnetomotorische Kraft des Feldes infolge der das Feld erregenden Spulen und die magnetomotorische Kraft des Ankerstromes. Erstere ist konstant oder annähernd konstant, während letztere wechselt und in synchroner Bewegung zu ersterer ist; daher ist sie im Raume in Beziehung auf die magnetomotorische Kraft des Feldes festgelegt, oder von bestimmter Richtung, aber in einer einphasigen Wechselstrommaschine pulsierend. In einer mehrphasigen, gleichmässig belasteten oder elektrisch ausgeglichenen Wechselstrommaschine ist die resultierende magnetomotorische Kraft des Ankerstromes mehr oder weniger konstant.

Die in dem Anker induzierte elektromotorische Kraft wird durch das Feld erzeugt, das die Ankerleiter schneidet und mit denselben verkettet ist. Dieses Feld wird durch die Resultante der beiden magnetomotorischen Kräfte, nämlich der des Feldes und der der Anker gebildet.

Bei offenem Stromkreise ist die magnetomotorische Kraft des Ankers Null und die elektromotorische Kraft des Ankers nur auf die magnetomotorische Kraft der

Feldspulen zurückzuführen. In diesem Falle ist die elektromotorische Kraft im allgemeinen ein Maximum in dem Augenblicke, wo die Ankerspule die Mittellage zwischen den angrenzenden Feldspulen einnimmt (Fig. 110) und keine Kraftlinien einschliesst. Die Kurve der elektromotorischen Kraft ist in diesem Falle meistens symmetrisch.

Eine Ausnahme hiervon kann nur bei den Typen von Wechselstrommaschinen stattfinden, wo die magnetische Reluktanz des Ankers nach verschiedenen Richtungen hin verschieden ist; hierdurch wird während der synchronen Rotation des Ankers eine Pulsation des durch den Anker gehenden Kraftlinienflusses erzeugt. Diese Pulsation des magnetischen Feldes induziert in den Feldspulen eine elektromotorische Kraft und verursacht einen pulsierenden Feldstrom. Daher haben wir selbst bei offenem Stromkreise keine Rotation durch ein konstantes magnetisches

Ar

Fig. 110.

Feld

sondern eine solche durch ein pulsierendes Feld, das die Kurve der elektromotorischen Kraft unsymmetrisch macht und den Punkt des Maximums von seiner theoretischen Lage gegen die Mitte der Feldpole bringt. Im allgemeinen kann diese sekundäre Rückwirkung vernachlässigt und die magnetomotorische Kraft des Feldes als konstant angenommen werden.

Die relative Lage der magnetomotorischen Kraft des Ankers hängt in Bezug auf die magnetomotorische Kraft

18*

des Feldes von dem in dem elektrischen Stromkreise herrschenden Phasenverhältnis ab. Wenn zwischen Strom und elektromotorischer Kraft keine Phasenverschiebung stattfindet, so erreicht der Strom sein Maximum in dem Moment, wo ihn die elektromotorische Kraft erreicht, oder in der Lage des Ankers, die die Figur 110 in der Mitte zwischen den Feldpolen zeigt. In diesem Falle wird der Ankerstrom weder das Feld magnetisieren noch entmagnetisieren, sondern nur verzerren; d. h. er entmagnetisiert die Ecke des hinteren Pôles a und magnetisiert die Ecke des vorderen Pôles b. Ein Wechsel der gesamten Strömung und deshalb der resultierenden elektromotorischen Kraft findet in diesem Falle nur statt, wenn die magnetischen Dichten sich der Sättigung so nahe befinden, dass dasWachsen der Dichte an der Ecke des vorderen Pôles niedriger ist,- als das Sinken an der Ecke des hinteren Pôles. Da die innere Selbstinduktion der Wechselstrommaschine allein schon eine gewisse Phasenschiebung des Stromes hinter der induzierten elektromotorischen Kraft verursacht, so kann diese Bedingung keiner Verschiebung nur in einem Stromkreise mit äusserer negativer Reaktanz, wie Kapazität u. s. w. Vorkommen.

Da der Ankerstrom in entgegengesetzter

Wenn der Ankerstrom zurückbleibt, so erreicht er sein Maximum später als die elektromotorische Kraft, d. h. in einer Lage, wo die Ankerspule zum Teil dem folgenden Feldpol gegenüber zu stehen kommt, wie in dem Diagramm Figur in.

vjjä

W/.

Richtung zum Strom in dem folgenden Feldpol (in einem Generator) fliesst, so wird der Anker in diesem Falle darnach streben, das Feld zu entmagnetisieren.

sein Maximum erreicht,

Wenn aber der Ankerstrom voreilt, d. h. wenn er während die Ankerspule zum Teil noch dem vorhergehenden Feldpol gegenüber zu stehen kommt, wie in Figur 112, so wird er bestrebt sein, diese

Fig. 112.

Feldspule zu magnetisieren, weil der Ankerstrom in derselben Richtung mit dem Erregerstrom der vorhergehenden Feldspulen fliesst.

Daher unterstützt die Ankerrückwirkung der Wechselstrommaschine mit voreilendem Strom das Feld und erhöht die Spannung bei konstanter Felderregung; bei verspätetem Strom schwächt sie das Feld und vermindert die Spannung im Generator. Umgekehrt gilt dasselbe von einem synchronen Motor, in dem die Richtung der Drehung entgegengesetzt ist. Daher wird ein verspäteter Strom immer danach streben, das Feld zu magnetisieren, während ein voreilender Strom dasselbe entmagnetisiert.

und der

162. Die in der Armatur durch die resultierende magnetische Strömung induzierte elektromotorische Kraft, die durch die resultierende magnetomotorische Kraft des Feldes und des Ankers erzeugt wird, ist nicht die Klemmenspannung der Maschine. Die Klemmenspannung ist die Resultante dieser induzierten elektromotorischen Kraft,

elektromotorischen Kraft der Selbstinduktion und der elektro-die den Energieverlust durch den Widerstand in dem Anker der Wechselstrommaschine darstellt.

motorischen Kraft.

Mit anderen Worten: Der Ankerstrom ist

nicht nur der magnetomotorischen Kraft des Feldes entgegengesetzt, oder unterstützt sie, indem er das resultierende magnetische Feld erzeugt, sondern sendet einen zweiten Kraftlinienfluss in einen örtlichen Stromkreis durch den

Anker, der nicht durch die Feldspulen läuft; er wird das Ankerfeld der Streuung oder der Selbstinduktion genannt.

Daher haben wir bei einer Wechselstrommaschine

oder ihrer

zwischen der Rückwirkung des Ankers, magnetisierenden Wirkung auf das Feld, und der Selbstinduktion des Ankers, oder der in den Ankerleitern durch den in denselben fliessenden Strom induzierten elektromotorischen Kraft zu unterscheiden. Diese elektromotorische Kraft der Selbstinduktion liegt (vorausgesetzt die magnetische Reluktanz und folglich die Reaktanz des Ankerstromkreises wird als konstant angenommen) senkrecht hinter dem Ankerstrom und setzt sich daher in Bezug auf das richtige Phasenverhältnis mit der induzierten elektromotorischen Kraft zusammen. Dies bedeutet, dass, wenn der Ankerstrom verspätet ist, die elektromotorische Kraft der Selbstinduktion um mehr als 90⁰ hinter der induzierten elektromotorischen Kraft zurückbleibt und infolgedessen zum Teil entgegengesetzter Richtung ist, sodass die Klemmenspannung vermindert wird. Auf der anderen Seite bleibt, wenn der Ankerstrom voreilt, die elektromotorische Kraft der Selbstinduktion weniger als 90⁰ hinter der induzierten elektromotorischen Kraft zurück, oder ist zum Teil gleichgerichtet und die Klemmenspannung steigt. Dies bedeutet, dass die elektromotorische Kraft der Selbstinduktion die Klemmenspannung mit voreilendem Strom erhöht und mit verspätetem erniedrigt, oder in derselben Weise wirkt, als die Rückwirkung des Ankers.

Aus diesem Grunde können beide Wirkungen zu einer kombiniert und durch die sogenannte synchrone Reaktanz einer Wechselstrommaschine dargestellt werden.

Im Folgenden werden wir die gesamte Rückwirkung des Ankers einer Wechselstrommaschine durch einen Ausdruck, nämlich durch die Bezeichnung „synchrone Reaktanz“ darstellen. Obwohl dies, wie oben erwähnt, nicht korrekt ist, weil die Reaktanz in die magnetische Rückwirkung infolge der magnetisierenden Wirkung des Armaturstromes und in die elektrische Rückwirkung infolge der Selbstinduktion des Armaturstromes aufgelöst werden muss, so genügt es im allgemeinen für praktische Zwecke und ist wohl geeignet, die Erscheinungen darzustellen, die bei der Wechselstrommaschine unter verschiedenen Belastungen stattfinden.

Diese synchrone Reaktanz x ist häufig nicht konstant, sondern pulsierend, und zwar infolge der synchron variierenden Reluktanz des magnetischen Stromkreises der Armatur und des des Feldes. Sie kann aber nach dem Folgenden als konstant betrachtet werden, nämlich die dadurch induzierten elektromotorischen Kräfte können durch ihre gleichwertigen Sinuswellen dargestellt werden. Eine besondere Diskussion der Verzerrungen der Wellenform infolge der Pulsation der synchronen Reaktanz ist im Kapitel XX gegeben. Die synchrone Reaktanz x ist keine wahre Reaktanz im gewöhnlichen Sinne, sondern eine äquivalente oder effektive Reaktanz.

163. Es sei Eq die induzierte elektromotorische Kraft der Wechselstrommaschine, oder die in den Armaturspulen infolge ihrer Rotation durch das konstante magnetische Feld induzierte elektromotorische Kraft, hervorgebracht durch den Strom in den Feldspulen, oder durch die Spannung an den Enden des offenen Stromkreises der Wechselstrommaschine.

Dann ist

Eq — V 2

Tt n

TWkfio-⁸,

wo « die Zahl der gesamten auf dem Anker hintereinander geschalteten Windungen, N die Frequenz und M die gesamte magnetische Strömung eines Feldpoles ist.

Es sei Aß die synchrone Reaktanz und r₀ der innere Widerstand einer Wechselstrommaschine. Dann ist die innere Impedanz = r₍₎ —jx₀.

Wenn der Stromkreis der Wechselstrommaschine durch die äussere Impedanz

Z = r — j x

geschlossen ist, so ist der Strom

E₀

oder

1=

E₀

V (r₀ + r)² + (x₀ -F X)

und die Klemmenspannung

E = IZ = E₀ — IZ₀

oder

Eq (r —jx)

(J'o + r)—j(x o + x)

Eq kV² + x'²

V (r₀ + r)² -F (*₀ + x)²

= E₀

r₀ r + x₀x

r² -F x²

^rV'

r² -j- x²

oder zu einer Reihe entwickelt

E =E₀ i —

2 (r₀r 4- x₀x) — (r₀x-\-x₀r)

r² 4~

2 (r² 4- A'²)

Wie bereits gezeigt, ändert sich die Klemmenspannung entsprechend den Bedingungen des äusseren Stromkreises.

164. Als Beispiel werden in den Figuren 113 bis 118 bei der konstanten induzierten elektromotorischen Kraft Eq = 2500 Volt

und die Werte der inneren Impedanz Zo = 'or /*0 = ¹

loj

gegeben.

Mit dem Strome 1 als Abscissen, den Klemmenspannungen E als Ordinaten in der vollen Linie und der Leistung Er in Kilowatt in punktierten Linien, der Kilo-Volt-Ampère-Leistung IE in punktierten Linien erhalten

"*w

26

24

22

-f

18

~~7

tu

11

12

10

x IOp=Vcjlt T x IOOO = Ki Io watt

FELD

E.=

• Zo-l-iOj, IR =1 £ x —ö

20 .10 60

Amp

10ü    120    110    100 ISO 200

220

210 260

Fig. 113. Aeussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine bei induktionsfreier Belastung.

in Figur 114 den induktiven

wir für die folgenden Bedingungen des äusseren Stromkreises in Figur 113 den induktionsfreien äusseren Stromkreis für x

äusseren Stromkreis für

— -j- 0,75 mit dem Leistungs

faktor o,6: in Figur 115 den induktiven äusseren Stromkreis für r— o mit dem Leistungsfaktor o; in Figur 116 den äusseren Stromkreis mit dem voreilenden Strom für

- = — 0,75 mit dem Leistungsfaktor o,6 und in Figur 117

den äusseren Stromkreis mit dem voreilenden Strom für r — o mit dem Leistungsfaktor o.

26

El ■

FELD CHARAKTERISTIK

£72500, ,ZgM-l'0j. 4h0,7 5

oder 60% EffeKtfakt-or

22

20

18

10

11

?..

10

ii

00

x x

sV

kV

vs

l:

-y

v-\

20    10    60    80    100    120 HO 160    180    200    220    210    200 Amp.

Fig. 114. Aeussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine bei einem Leistungsfaktor von 60 °/₀ bei induktiver Belastung.

Eine solche Kurve heisst eine äussere Charakteristik.

Wir sehen, dass die Kurve der elektromotorischen Kraft bei induktionsfreier Belastung beinahe horizontal wie bei einem offenen Stromkreise und bei Kurzschluss fast vertikal und daher einen Bogen beschreibt, der einer Ellipse ähnlich ist.

Bei rückwirkender Belastung nähern sich die Kurven einer geraden Linie.

Die Spannung fällt sehr schnell bei induktiver Belastung, während sie bei einer Kapazitätsbelastung steigt.

Die Leistung steigt von Null bei offenem Stromkreise bis zum Maximum und sinkt dann beim Kurzschluss bis auf Null.

ft

85

äjf

S o-

Ul—Ih

H «-

■8.5

r

•fc—

Volt.

Il IJ

x 1000

A-

e—/

‘7

10    60    80    100    120 HO 160    180    200    220    210    260 Amp.

Fig. 115. Aeussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine bei wattloser induktiver Belastung.

165. Die Abhängigkeit der Klemmenspannung E von dem Phasenverhältnis des äusseren Stromkreises ist in Figur 119 veranschaulicht, die bei der Klemmenspannung von Eq= 2500 Volt für die Ströme 1 = 50, 100, 150, 200, 250 Ampère, die Klemmenspannungen E als Ordinaten mit dem Induktanzfaktor des äusseren Stromkreises

V r² x²

als Abscissen ergiebt.

166. Wenn die innere Impedanz im Vergleich zur äusseren vernachlässigt werden kann, so ist näherungsweise

— Eq ;

Eq y r‘² ff x²

V (r₀ ff r)² -ff (*₀ ff x)²

d. h. eine Wechselstrommaschine mit kleinem innerem Widerstand und synchroner Reaktanz strebt danach, auf konstante Klemmenspannung zu regulieren.

3600

5070

"mm"

ff

3200

Kilowatt

FELD CHARAKTERISTIK E₀=2 500, Z;r1-10j. J- -075 oder 60% Effektfaktor

2400

1000

2000

a-

i-

800

1600

-O;

fl—

1200

1:

.1

<

1-

17

P'ig. 116. Aeussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine bei einem Leistungsfaktor von 6o°/o und bei Kondensatorbelastung.

Jede Wechselstrommaschine thut dies, wenn der Stromkreis beinahe offen ist, besonders bei induktionsfreier Belastung.

Selbst wenn die synchrone Reaktanz nicht vollständig zu vernachlässigen ist, findet diese Regulierung bis

40

28

FELD CHARAKTERISTIK E₀-25OO,|z„-1-)Oj, j r =0, 90° Verspätung

f r|=o

30

Cjj

26

1+

24

22

s!

?/

ld

I;

/

r~

a ii 16 >-§

14

lo

7f

x 10)0— Amp

8    10    12    14    16    18

IL

Of,

22

24    26

Fig. X17. Aeussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine bei einer wattlosen Kondensatorbelastung.

zu einem gewissen Grade bei einem induktionsfreien Stromkreis statt, da für x — o wird; es enthält also der Ausdruck für die Klemmenspannung E die synchrone Reaktanz „r₀ nur als Glied zweiter Ordnung im Nenner.

Bei einem induktiven Stromkreise dagegen erscheint .r₀ in dem Nenner als Glied erster Ordnung und es findet infolgedessen keine Regulierung auf konstante Spannung statt.

350

300

E-(2500, ZjM-IOj

100 150 100

50

450 400 350

25tr

300

200 150 100    50    0

50 100

"Ï5Ô⁻

250*

200

300 350 400 450 500

100 150 v 200

23C

S00 .ppp 400 450

Fig. 118. Aeussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine.

In einem induktionsfreien äusseren Stromkreise ist, wenn die synchrone Reaktanz a*₀ der Wechselstrommaschine

im Vergleich zu dem äusseren Widerstande r sehr gross ist, der Strom annähernd

x₀ x₀

oder konstant enthält aber der äussere Stromkreis die Reaktanz x, so wird annähernd

.T° -J- X

Xq “t” x

oder konstant

34

32

30

E=|25pO, Z = 1-10j l⁼|50 Amp 1=100 •

28-

1 = 150 •;

26- -hl-

200

24

250

22

50

20

-16

\0$.

-14

-12

-6

«20$.

<o7-

~V r¹* s¹

1 0,9 0,8 0,7 0,0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1    0 -O,l-0,2-O,3-O,4 *0,5 ‘0,0-0,7-0,8 -0,9 l

Fig. 119. Regulierung einer Wechselstrommaschine bei verschiedener Belastung.

Die Klemmenspannung eines induktionsfreien Stromkreises ist annähernd

E = — r,

Xq

oder proportional dem äusseren Widerstande. In einem induktiven Stromkreise ist

kV² + x²,

x₀ + x

annähernd proportional der äusseren Impedanz.

167. Bei induktionsfreiem äusserem Stromkreise reguliert eine Wechselstrommaschine mit sehr niedriger synchroner Reaktanz auf konstante Klemmenspannung, genau so wie eine Maschine mit konstanter Spannung. Eine Wechselstrommaschine mit sehr hoher synchroner Reaktanz reguliert auf eine Klemmenspannung, die dem äusseren Widerstande proportional ist, genau so wie eine Maschine mit konstanter Stromstärke.

Daher wirkt jede Wechselstrommaschine als Maschine mit konstanter Spannung bei fast offenem Stromkreise und als eine Maschine mit konstantem Strom nahe dem Kurzschluss.

Die modernen Wechselstrommaschinen gehören mehr oder weniger zur ersten Gattung, während die alten Wechselstrommaschinen; wie sie von Jablockkoff, Gramme u. s. w. gebaut wurden, Maschinen der zweiten Gattung waren, die man für Bogenlicht benutzte, wo die Regulierung auf konstante Stromstärke von Vorteil war.

Anderseits verursachen grosse äussere Reaktanzen dieselbe Regulierung auf konstanten Strom, unabhängig vom Widerstand r, wie eine grosse innere Reaktanz x^.

Bei induktionsfreiem Stromkreis ist, wenn

V    (r + r₀)² + x₀² ’

V    (r + r₀)² + V ’

und

ci P

x{? — r² + r₀²

c/r

l(r + r₀)² + VJ

- F ²-

a »

folglich wenn oder

so ist

— yr² — r₀², r = Vr₀* + x₀² = £₀; d P

= o.

P=IE =

2)

die Leistung

EJr

0+ roy² -I- .r₀

D. h. der Effekt ist ein Maximum, und ² (®o + r₀) ’

y*(*+1’

und I —

V 2 ä„ («o + r₀)

Daher ist bei einem äusseren Widerstand, der gleich

der inneren Impedanz ist, oder r = z₀ = Vr₀² -f- x₀², die Leistung einer Wechselstrommaschine ein Maximum und nahe diesem Punkte reguliert sie auf konstante Leistung, d. h. eine Steigerung des Stromes verursacht ein proportionales Sinken der Klemmenspannung und umgekehrt.

Die äussere Charakteristik der Wechselstrommaschine zeigt diese Wirkung deutlich.

Kapitel XVII.

Das Parallelarbeiten von Wechselstrommaschinen.

168.    Alle Wechselstrommaschinen arbeiten, wenn sie auf Synchronismus gebracht werden, mehr oder weniger zufriedenstellend parallel. Dies ist auf die Umkehrbarkeit der Wechselstrommaschine zurückzuführen, d. h. auf ihre Fähigkeit, als Synchronmotor zu arbeiten. Wenn nun die treibende Kraft eines oder, mehrerer parallel arbeitender Generatoren entfernt wird, so bleibt dieser Generator im Synchronismus als ein Synchronmotor, und der Effekt, mit dem er danach strebt, im Synchronismus zu bleiben, ist der maximale Effekt, den er als Synchronmotor unter den Betriebsbedingungen liefern kann.

169.    Das Prinzip und die Grundbedingung des Parallelbetriebes von Wechselstrommaschinen ist die Gleichheit der Frequenz; d. h. die Kraftübertragung von den Antriebsmotoren auf die Wechselstrommaschinen muss derart sein, dass sie bei derselben Frequenz ohne Schlüpfung oder übermässige Beanspruchung der Riemen oder Transmissionen laufen.

Eine starre mechanische Verbindung der Wechselstrommaschinen kann nicht als synchronisierend angesehen werden, da sie keine Anpassung oder Phasenregulierung zwischen den Wechselstrommaschinen gestattet, sondern sie im wesentlichen zu einer Maschine macht. In diesem Falle muss bei Parallelbetrieb ein Unterschied in der Felderregung und daher in der induzierten elektromotorischen Kraft der Maschinen grosse Ausgleichsströme verursachen, weil eine Phasenregulierung der Maschinen nicht möglich ist.

Daher ist eine starre mechanische Verbindung für den Parallelbetrieb von Wechselstrommaschinen nicht geeignet.

170.    Die zweite wichtige Bedingung beim Parallelbetrieb ist eine gleichförmige Geschwindigkeit, d. i. eine konstante Frequenz.

Wenn z. B. zwei Wechselstrommaschinen durch voneinander unabhängige eincylindrige Dampfmaschinen angetrieben werden und ihre Kurbeln sich zufällig kreuzen, so wird die eine Maschine ziehen, während die andere dem toten Punkte nahe ist, und umgekehrt. Infolgedessen wird die eine Wechselstrommaschine bestrebt sein, schneller zu laufen, während die andere ihren Gang verlangsamt. Wenn diesem Übelstande nicht durch ein Schwungrad abgeholfen wird, so entsteht eine pendelnde oder eine pumpenartige Bewegung, d. h. ein Schwanken des Lichtes entsprechend den Umdrehungsperioden der Betriebsmaschine und zwar infolge der wechselnden Übertragung der Belastung von einer Betriebsmaschine zur anderen. Dies kann so überhand nehmen, dass die Maschinen aus dem Tritt fallen. Diese Schwierigkeit findet bei einem Antrieb durch Turbinen oder Wasserräder nicht statt.

171.    Beim Parallelarbeiten von Wechselstrommaschinen haben wir erstens den Vorgang zu unterscheiden, der stattfindet, wenn die Maschinen parallel geschaltet und wenn sie aus der Parallelschaltung herausgenommen werden und zweitens die Arbeitsweise, wenn die Maschinen im Synchronimus laufen.

Wenn Wechselstrommaschinen parallel geschaltet werden, werden sie zuerst annähernd auf gleicheFrequenz und Spannung gebracht, während sie in dem Moment annähernder Phasengleichheit, die an einer Phasenlampe oder einer ähnlichen Einrichtung zu erkennen ist, parallel geschaltet werden.

Gleiche Spannung ist weit weniger wichtig bei den modernen Wechselstrommaschinen als Gleichheit der Frequenz, und Phasengleichheit ist gewöhnlich nur von Wichtigkeit, um ein augenblickliches Flackern des Lichtes zu vermeiden. Wenn zwei Wechselstrommaschinen parallel geschaltet werden, so fliessen zwischen den Maschinen Ströme, die die eine Maschine beschleunigen und die andere verlangsamen, solange bis beide gleiche Frequenz und ein richtiges Phasenverhältnis besitzen.

Bei den modernen eisengeschlossenen Wechselstrommaschinen ist dieser Austausch mechanischer Arbeit sogar ohne genaue Einstellung vor dem Synchronismus gewöhnlich so begrenzt, dass die Maschinen mechanisch nicht in Gefahr gebracht werden, weil die Ausgleichsströme und daher der Energieaustausch infolge der Selbstinduktion und der Ankerrückwirkung begrenzt sind.

Bei Maschinen mit sehr geringer Ankerrückwirkung, d. h. bei Maschinen, die eine sehr gute konstante Spannungsregulierung besitzen, muss auf die Einstellung der Gleichheit der Frequenz, Spannung und Phase viel mehr Sorgfalt verwandt werden, oder der Ausgleichsstrom wird so gross, dass die Maschine durch den eintretenden mechanischen Stoss zerstört wird. Manchmal sind nämlich die Maschinen in dieser Hinsicht so empfindlich, dass es vorzuziehen ist, sie nicht parallel laufen zu lassen. Dasselbe bezieht sich auch auf das Aussertrittfallen.

172. Bei Synchronismus arbeiten fast alle Typen befriedigend. Nichtsdestoweniger ist bei den modernen Wechselstrommaschinen ein gewisser Betrag von Ankerrückwirkung vorzuziehen, der weder so gross ist, dass die synchronisierende Kraft zu hoch wird, noch so niedrig ist, dass die Maschine im Falle eines Unfalls unsicher arbeitet, z. B. wenn sie aus dem Tritt fällt.

Wenn die Ankerrückwirkung sehr niedrig ist, so kann ein Unfall, z. B. ein Kurzschluss, oder ein Aussertrittfallen, oder das Öffnen des Feldstromkreises u. s. w. die Maschine unter Umständen zerstören. Wenn die Ankerrückwirkung sehr gross ist, sc muss die Triebkraft genau auf Konstanz eingestellt werden, da die synchronisierende Kraft der Wechselstrommaschinen zu schwach ist, diese im Tritt zu erhalten und die Unregelmässigkeiten der Triebkraft zu überwinden.

373. Die Hintereinanderschaltung von Wechselstrommaschinen ist nur durch starre mechanische Verbindung möglich, oder durch Vorrichtungen, bei denen die Maschinen in Bezug auf ihre synchronisierende Kraft hauptsächlich parallel wirken, z. B. bei der Verbindung, wie sie die Figur 120 veranschaulicht, wo die beiden Wechselstrommaschinen Al und A₂ hintereinandergeschaltet, aber durch die beiden Spulen eines grossen Transformators T verkettet

suumtv

Fig. 120.

sind

wovon die eine mit den Klemmen der einen Wechselstrommaschine und die andere mit den Klemmen

der anderen Wechselstrommaschine so verbunden ist, dass beim Betrieb durch Hintereinanderschaltung die Spulen des Transformators stromlos sind.

In diesem Falle wird durch den Energieaustausch durch die Transformatoren die Reihenschaltung stabil erhalten.

174. Es sei bei zwei parallel geschalteten Wechselstrommaschinen (Fig. 121) die Spannung an den Sammelschienen als Nulllinie oder Koordinatenaxe der komplexen Methode angenommen; ferner e als Spannungsdifferenz an

den Sammelschienen der beiden Wechselstrommaschinen, Z — r — jx als Impedanz des äusseren Stromkreises und Y =£•-{- jb als Admittanz des äusseren Stromkreises.

Fig. 121.

Dann ist der Strom in dem äusseren Stromkreise

—— = e(g+Jb)-r—jx

Es sei

Ex — ex — jex' = a₂ (cos cox — j sin <»t) die induzierte elektromotorische Kraft der ersten Maschine, E₂ = e₂ — je₂ = a₂ (cos co₂ — j sin m₂) die induzierte elektromotorische Kraft der zweiten Maschine, Ix — ix + jix der Strom der ersten Maschine, I₂ — i₂ + ji₂ der Strom der zweiten Maschine, Zx ■= rx —jxx die innere Impedanz, Yx — gx -f- jbx die innere Admittanz der ersten Maschine, Z₂ = r₂ •— jx₂ die innere Impedanz und Y₂ = g₂ + }b2 die innere Admittanz der zweiten Maschine.

Dann ist

ex² -|- ex² — ax-;

eł + V² — ał\

Ex=eYlxZx,ode\-ex—jex'={e + ixrx + h'xx)—j(ixxx — ixrx)\ E₂ = e -f I₂Z₂, oder e₂ —je₂ ' = (e + i₂ r₂ + i₂ 'x₂) —j{üx₂ — i₂ ' r₂) ; 1 =4 + I₂₎ oder eg Yjcb = (ix + i₂) +j (// -f- /*')•

Dieses ergiebt die Gleichungen et = e + j\i\ + e₂ — e + 4r2 + h'x2 i h' = hx t — e₂ :=    ^2 ^*2 >

*    — h +    ;

e = i.

g ² + g'² = V;

g ² + %'² = «₂²;

diese acht Gleichungen mit neun Variablen, nämlich

G> G > G > G > h» h » G> G »

Wenn wir diese Gleichungen paarweise kombinieren

G G + g'*i =«h + h V;

G G + G' x-> — er₂ 4- 4 V î

und einsetzen in

h + h — eg,

so erhalten wir

G Ah + G' + G + G' b.₂ = e (gl + g₂ + g) ;

und analog

G bi—.ei'gi + G b₂ — e₂' g₂ =. e (bl + b₂ + b) ; und durch Division

Ar + Ah + g₂ _ G Ai + G& + g'^i -f G^2 . ó+^i+ 6₂ el bx + G b₂ — <?/ ^    ’

e₂ = a₂ cos co2 ^2 — cCi} sin co₂

ex — aY cos coi G' = «i sin «i

c*! cos (at — o)t) + a₂ v₂ cos (a₂ — co₂)

und setzen wir für g — v cos « b — v sin a so erhalten wir g+gl +^2 _

b -f* b₁ 4* b₂

aL sin (or₁ — g^) + a₂ v₂ sin (a₂ — oo₂) als Gleichungen zwischen den Phasenverschiebungswinkeln oj₁ und 00₂ beim Parallelbetrieb.

Der dem äusseren Stromkreise zugeführte Effekt ist

P = e*g>

wovon der durch die erste Maschine gelieferte

Pi = ch>

und der durch die zweite Maschine gelieferte

P2 —— e 4

ist.

Der ganze von beiden Maschinen gelieferte elektrische

Effekt ist

P=Pl+P2}

wovon der von der ersten Maschine gelieferte Px = elil ex 1x ,

und der von der zweiten Maschine gelieferte P2 —— e₂ ^2    ^2 ^2

ist.

Die Differenz der Leistungen beider Maschinen ist

4P — Pi — P-2=e (*i — 4) *

wenn man für

o\-ü)₂

Cöj -f- (»2_

setzt.

Jp

kann der synchronisierende Effekt der Maschinen,

oder der Effekt, der von einer Maschine zur anderen durch die Änderung des relativen Phasenwinkels übertragen wird, genannt werden.

175. Spezieller Fall. — Gegeben sind zwei gleiche Wechselstrommaschinen mit gleicher Erregung. Es ist dann

ax — et., — a

Zx — Z₂ — Z{).

Setzen wir dieses in die acht früheren Gleichungen ein, so nehmen sie die Form

= e + 4 r₀ + i/ x0 Ć-2 = e 4' r0 "h l2 ' *0 *1' = 4 v₀ — 4 r₀

e» — 4*o —4' ro '

eg — 4 + 4

*6=4' -f'4'

e₁² -j- et'² = e₂² -f e₂'² = a*

an.

Fassen wir diese Gleichungen zu zweien zusammen, so erhalten wir

ex + e₂ = 2 g + e (r₀g 4- x₀ b) *1'+ %' = e(x₀g— r₀b);

setzen wir

ein, so erhalten wir

e₁ = a cos o)l ßy = u sin e₂ = « cos w2 e₂' = a sin w₂

a (cos -f cos w₂) — e (² +    + -^o

« (sin <xv + sin w₂) = e (v₀ g — r₀ b).

Entwickeln wir und setzen

_ 0>1 4- W-2

O¹, - 0)₂

oder

a cos « cos d = ć 1 4-

r₀^4-^°Z>

a sin e cos d =

so ergiebt sich

Das heisst

und

oder

x0§— rob ² + rog -r 0^ 4* Wo ⁼⁼ konstant ;

^ 4- x{)bŸ

tang £ =

= konstant.

cos d =— j/1 1 4*

a cos d

V(

+ V\⁸

— V>\² ’

bei keiner Phasenverschiebung zwischen den Wechselstrommaschinen, oder setzen wir

wL — Mo

= o;

so erhalten wir e =

(7

^ + V>\²

>0^— >o⁶\²

Aus den acht Gleichungen erhalten wir durch Kombination

*1*0 + *i'*° = * i*'o + *0) + 4 (»o² + *o²)

*2*0 + *2% = e (r0 + *0) + 4 (>0* + V) ;

r₀ (*, — *₂) + x₀(e/ — e₂')

diese beiden Gleichungen von einander subtrahiert und aufgelöst, ergeben

7 2 -^0

4    4 ⁼

oder weil

e₁ — e₂ = a (cos — co₂) — — 2 a² sin £ sin d et'— e₂ — a (sin 00₁ — co₂) =    2 a cos s sin d ;

so erhalten wir

2 « sin d

wo

(x₀ cos € — r₀ sin «) = 2 a y y sin d cos (£ + «)>

2,12

tg « = —

Die Differenz der Leistungen beider Wechselstrommaschinen ist

z/p - pi p2 - * (4    *2^’

wenn wir dieses einsetzen, so erhalten wir 2 ae sin d

/p

}v₀ cos s — r₀ sin ;

und wenn wir für

a cos d

4~

Dg 4- VI²

Dg—Db\*

— Db

sin £ =

Dg + x₀b

'x()g—rQb\i

Dg b Db

COS £ =

-b PM'²

4-

xog~Pb\²

einsetzen, so erhalten wir

2 ar sin d cos ô 1 +

r₀g + x₀b

— rM

'*og —

s²

und aufgelöst

i(

I 4-

roS + x0b\ ₂

rl p =

a? sin 2d|.r₀ 4- —— j

-So² (I + rag 4- x₀b 4- zjv²) ’

oder

/I p —

a² sin 2 ô [b₀ 4-

y₀² + ggo 4- bbo 4- ^²’

zi p

2a² cos 2 d \b₀ 4——j

a«² 4- ggo 4- bbo 4- y'r

Daher ist die Übertragung des Effektes J p bei den Wechselstrommaschinen ein Maximum, wenn ö 45⁰ oder wenn 90⁰ ist, d. h. wenn die Wechselstrom-

«1    - O) ₂

maschinen senkrecht zu einander geschaltet sind.

Der synchronisierende Effekt

r/ p

ist ein Maximum,

/! à

wenn ô gleich Null ist, d. h. die Wechselstommaschinen sind in Phase miteinander.

176. Als Beispiel werden Kurven gezeichnet für a = 2500, Z₀ = rx — jx₀

1 — 10 j] oder Yo = g₀ + ßo — 0,01 4- 0,1 j;

mit dem Winkel â = ——

—— als Abscissen. Sie geben

den Wert e der Klemmenspannung, den Wert des Stromes i — ey in dem inneren Stromkreise, den Wert iv — i2 des Stromaustausches zwischen den Wechselstrommaschinen, den Wert zt p — p^ — p₂ des Effektaustausches zwischen

den Wechselstrommaschinen, den Wert--ü- d. h. den

ZÎ o

sjmchronisierenden Effekt, in der strichpunktierten Linie Kurve V.

Für den äusseren Stromkreis gelte dabei g = o,

O,

0,05,

0,08,

0,03»

0,03,

o,

O,

+ 0,04, — 0,04,

0,05,

0,08,

°,°5,

0,05.

Kapitel XVIII.

Der Synchronmotor.

177. In dem Kapitel über das Parallelarbeiten von Wechselstrommaschinen haben wir gesehen, dass, wenn eine im Synchronismus laufende Weehselstrommaschine mit einem Netz von gegebener elektromotorischer Kraft verbunden ist, die von einer Wechselstrommaschine gelieferte Arbeit entweder positiv oder negativ sein kann. In letzterem Falle verbraucht die Wechselstrommaschine elektrische Energie, und erzeugt also mechanische Leistung, d. h. sie läuft als Synchronmotor, so dass die Untersuchung eines Synchronmotors im wesentlichen bereits in den Gleichungen der parallel laufenden Wechselstrommaschinen enthalten ist.

Da wir in dem Vorangegangenen meistens von der symbolischen Methode Gebrauch gemacht haben, können wir im Folgenden als Beispiel der graphischen Methode die Wirkung des Synchronmotors diagrammatisch behandeln.

Es sei eine Wechselstrommaschine mit der elektromotorischen Kraft El als Synchronmotor mit einem Netze von der elektromotorischen Kraft E₀ über einen Stromkreis von der Impedanz Z verbunden.

Wenn Ea die Klemmenspannung am Motor ist, so ist Z die Impedanz des Motors von der induzierten elektromotorischen Kraft Ex. Wenn A₀ die elektromotorische Kraft an den Generatorklemmen ist, so ist Z die Impedanz des Motors und der Leitung, einschliesslich der Transformatoren und anderer Zwischenapparate. Wenn E₀ die induzierte elektromotorische Kraft des Generators ist, so ist Z gleich der Summe der Impedanzen des Motors, der Leitung und des Generators und daher haben wir das Problem: Generator mit induzierter elektromotorischer Kraft E₀ und Motor mit induzierter elektromotorischer Kraft Ex ; oder allgemeiner ausgedrückt, zwei Wechselstrommaschinen mit den induzierten elektromotorischen Kräften. E₀ und Elr die miteinander durch einen Stromkreis von der gesamten Impedanz Z verbunden sind.

Da in diesem Falle mehrere elektromotorische Kräfte in dem Stromkreise mit demselben Strom wirken, so kann man bequem den Strom I als Nulllinie Ol des Polardiagramms gebrauchen.

Wenn / = i der Strom, Z die Impedanz, r der effektive Widerstand, x die effektive Reaktanz und z = ]/ r² 4- x2 der absolute Wert der Impedanz ist, dann ist die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft Et —ri und in Phase mit dem Strom. Sie wird daher durch den Vektor OEx dargestellt. Die durch die Reaktanz verbrauchte elektromotorische Kraft ist E₂ — xi und eilt dem Strom um 90⁰ voraus. Daher ist die durch die Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft E = ]/(    -(- (E₂)²,

oder = i j/pVjVx² = iz, und eilt dem Strom um den Winkel ô x

voraus, wo tg d = ist. Es wirken jetzt die elektromotorischen Kräfte E, Ex und E₀, in dem Stromkreise, oder El und E sind die Komponenten von E₀] d. h. E₀ ist die Diagonale des Parallelogramms, mit El und E als Seiten.

Da die elektromotorischen Kräfte Ex, E₂, E in dem Diagramm in Fig. 122 durch die Vektoren OEly OE₂, OE dargestellt sind, so ziehen wir, um das Parallelogramm von E₀₎ EX) E zu bekommen, einen Bogen um O mit E₀ und um E mit E{. Ihr Schnittpunkt giebt die Klemmenspannung OEq — Eq und wenn wir das Parallelogramm OE, E₀₎ Et vervollständigen, so erhalten wir OEx — Et als induzierte elektromotorische Kraft des Motors.

IOEq ist die Phasendififerenz zwischen Strom und Klemmenspannung, oder die induzierte elektromotorische Kraft im Generator.

10Ex ist die Phasendifferenz zwischen dem Strom und der induzierten eletromotorischen Kraft des Motors, und der Effekt ist gleich dem Strom i, multipliziert mit der Projektion der elektromotorischen Kraft auf den Strom, oder auf die Nulllinie Ol.

Wenn wir die Lote E₀ E₀l und El Ey ¹ von E₀ und Ex auf Ol fällen, so erhalten wir

P₀ — i X OEqx als den durch die induzierte elektromotorische Kraft des Generators gelieferten Effekt,

Px ■= i X OExx als den durch den Motor in mechanische

Eo I

E.

E.P'

C.

E.

Fig. 122

Energie umgewandelten elektrischen Effekt und P = i X OEy als den durch den effektiven Widerstand in dem Stromkreise verbrauchten Effekt.

Daher ist P₀ = Py + P-

Da die mit E₀ und Ey um O und E gezogenen Kreise sich zweimal schneiden, so entstehen zwei Diagramme.

Im allgemeinen laufen in einem dieser Diagramme (Fig. 122, die ausgezogenenLinien) der Strom und die elektromotorische Kraft in derselben Richtung und stellen die von der Maschine als Motor verrichtete Leistung dar. In dem anderen punktiert ausgezogenem Diagramm laufen der Strom und die elektromotorische Kraft in entgegengesetzten Richtungen und stellen den von der Maschine als Generator verbrauchten mechanischen Effekt dar.

%\

I**

S :

\«i ' \\ '

Fig. 123.

Unter gewissen Bedingungen hat aber E₀ dieselbe und Ex die entgegengesetzte Richtung zum Strom, d. h. beide Maschinen sind Generatoren.

178. Man sieht, dass in diesen Diagrammen die elektromotorischen Kräfte auf den Motor bezogen sind, d. h. der als Synchronmotor gelieferte Effekt wird positiv und der als Generator gelieferte Effekt negativ. In dem Kapitel über das Parallelarbeiten von Generatoren gingen wir von dem entgegengesetzten Gesichtspunkt, nämlich von dem Generator aus.

Bei einer Einzelkraftübertragung, d. h. dann, wenn ein Generator einen Synchronmotor allein speist, besteht die durch die Impedanz E = OE (Fig. 123—125) verbrauchte elektromotorische Kraft aus drei Komponenten, nämlich aus der elektromotorischen Kraft OE₂' = E₂, die durch die Impedanz des Motors verbraucht wird, aus der elektromotorischen Kraft E₂ Ez' = EZ) die durch die Impedanz der

X.

Ic

Oy

Fig. 124.

Leitung verbraucht wird und aus der elektromotorischen Kraft E₂ E=Ea, die durch die Impedanz des Generators verbraucht wird. Wenn wir nun die entgegengesetzte Seite El E₀ des Parallelogramms in derselben Weise zerlegen, so erhalten wir: OE\ = Ex als induzierte elektromotorische Kraft des Motors, OE₂ = Eo als elektromotorische Kraft an den Motorklemmen oder am Ende der Leitung, OE₂ = E₃ als elektromotorische Kraft an den Klemmen des Generators oder am Anfang der Leitung und OE₀ = E₀ als induzierte elektromotorische Kraft des Generators.

20

Steinmetz, Wechseistromerscheinungen.

Das Phasenverhältnis zwischen dem Strom und den elektromotorischen Kräften EL und E₀ hängt von der Stromstärke und den elektromotorischen Kräften Et und E₀ ab.

179. Die Figuren T23 bis 125 stellen mehrere solcher Diagramme für verschiedene Werte von Elf aber für die gleichen Werte von / und E₀ dar. Das Diagramm des Motors ist in ausgezogenen und das des Generators in punktierten Linien gezeichnet.

Man sieht, dass für kleine Werte von Et die Spannung in der Wechselstrommaschine und in der Leitung fällt. Für Ex = Eq steigt die Spannung am Generator und am Motor, während sie in der Leitung fällt. Für grössere Werte von Et steigt die Spannung sowohl in der Wechselstrommaschine als auch in der Leitung, so dass die höchste Spannung die induzierte elektromotorische Kraft des Motors und die niedrigste die induzierte elektromotorische Kraft des Generators ist.

Es ist nun von Interesse, zu untersuchen, wie sich die Werte dieser Grössen mit der Änderung der Konstanten ändern.

180. A.—Die Klemmenspannung E₀, die Stromstärke 1 = i sind konstant, die Erregung Ex des Motors ist variabel (Fig. 126).

Wenn der Strom gleich i und konstant ist, so ist die durch die Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft OE und daher der Punkt E konstant. Da die Intensität, nicht aber die Phase von Ä₀ konstant ist, so liegt E₀ auf einem Kreis e₀ mit E₀ als Radius. Aus dem Parallelogramm OE E₀ Ex folgt, weil Ex E₀ parallel und gleich OE ist, dass Ex auf einem Kreise ex mit Ei, dem Spiegelbilde von E als Mittelpunkt liegt, also OEi = OE. Dieser Kreis ex ist dem Kreise e₀ kongruent.

Wir können nun die Änderung des Diagramms mit Hilfe der Änderung von Ex konstruieren. In dem Parallelogramm OE E₀ Ex sind O und E fest und EQ und Ex bewegen sich auf den Kreisen e₀ und elt sodass E₀E} parallel OE ist.

Der kleinste Wert von Ey bei der Stromstärke I ist oi₁ = Ex und oi = Eü. In diesem Falle ist die Leistung des Motors oij¹ X I) also schon bedeutend. Wenn wir Ey zu o2₁₍ o3l u. s. w. wachsen lassen, so bewegen sich die Klemmenspannungen nach 02, 03 u. s. w. fort. Die Leistung ist / X 02^, ^ X 03^ u- s- w* und steigt zuerst,

r.

iT.

Fig. 125.

erreicht dann ihr Maximum an dem Punkt 3n 3, dem allerhöchsten Punkt rechts, wobei die Klemmenspannung in Phase mit dem Strom ist und fällt dann wieder, während die induzierte elektromotorische Kraft des Motors Ex steigt und E₀ bei Ąlt 4 wird. Bei 5t, 5 wird die Leistung Null und wdrd dann negativ, d. h. der Motor hat sich in eine Dynamon a -,chine verwandelt und erzeugt elektrische Energie, während die Klemmenspannung E₀ elektrische Energie liefert, d. h. beide Maschinen als Generatoren

20*

speisen eine Leitung, bis bei 6n 6 die Klemmenspannung Eq Null wird und dann beginnt die Energie zurückzu-fliessen, d. h. der Motor hat sich in einen Generator verwandelt und der Generator in einen Motor; wir sind also

7;

\ 6 ''5

,4,

8,

\\

''J8

4'

\2.

9\\

£■

1,

10

11,\    12;

12

Fig, 126.

/

<2

Bei

auf der Generatorseite des Diagramms angelangt.

7₁₍ 7 ist der maximale Wert von Et bei dem Strom I er

reicht worden und wenn wir noch weiter gehen, so sinkt

die elektromotorische Kraft E₁ wieder, während die Energie noch bis zu ihrem Maximum bei 8X, 8 steigt; sodann sinkt

sie wieder, aber Ex bleibt noch Generator, E₀ Motor, bis bei ii₁, 11 die Energie von E₀ Null wird, d. h. E₀ verwandelt sich wieder in einen Generator und beide Maschinen sind Generatoren, bis bei 12,, 12, wo die Leistung von El Null ist, Ev sich aus einem Generator in einen Motor verwandelt und wir wieder zur Motorseite des Diagramms kommen, und während El noch steigt, steigt die Leistung des Motors, bis in 1 erreicht ist.

Daher giebt es zwei Bereiche für ein sehr grosses Eu von 5 bis 6 und für ein sehr kleines Eu von 11 bis 12, wo beide Maschinen Generatoren sind, sonst ist die eine ein Generator und die andere ein Motor.

Für kleine Werte von El bleibt der Strom zurück, fängt aber bei 2 an der induzierten elektromotorischen Kraft des Motors Elf bei 3 der induzierten elektromotorischen Kraft des Generators E₀ vorzueilen.

Es ist bemerkenswert, dass beim kleinsten Werte von El der Effekt ix schon ein bedeutender ist. Daher kann der Motor unter diesen Umständen nur bei einer bestimmten Belastung laufen. Wenn diese Belastung entfernt wird, so kann der Motor nicht mit demselben Strom laufen, sondern der Strom muss wachsen. Wir haben hier die merkwürdige Bedingung, dass das Belasten des Motors den Strom innerhalb des Bereichs zwischen 1 und 12 vermindert und das Nichtbelasten denselben erhöht.

Die Bedingung der maximalen Leistung ist 3, wo der Strom in Phase mit der Klemmenspannung ist. Da bei konstantem Strom der Verlust konstant ist, so ist folgendes zu gleicher Zeit die Bedingung des maximalen Wirkungsgrades : Keine Phasenverschiebung der Klemmenspannung, oder die Selbstinduktion des Stromkreises ist ausgeglichen durch die Voreilung des Motorstromes. Diese Bedingung des maximalen Wirkungsgrades eines Stromkreises haben wir bereits im Kapitel VIII bei der Betrachtung der Induktanz und der Kapazität gefunden.

181. Eq und Ey sind konstant und I variabel.

Eq liegt wieder auf dem Kreise e₀ mit E₀ als Radius und O als Mittelpunkt.

«i

E.

«L

Fig. 127.

E liegt aut einer geraden Linie e, die von dem Anfangspunkte ausgeht.

Da in dem Parallelogramm OE E₀ Ex EE^ — Ex ist, so leiten wir A₀ ab, indem wir eine Gerade EE₀ = Et von irgend einem Punkte E in dem Kreise e₀ ziehen und das Parallelogramm vervollständigen.

Die Endpunkte aller dieser Linien EE₀ liegen auf einer Kurve ex die als die charakteristische Kurve dieses Problems angesehen werden kann, gerade so wie der Kreis et bei dem früheren Problem.

Diese Kurven sind in den Figuren 127, 128, 129 für drei Fälle gezogen, nämlich: 1. für E₁ = E₀,    2. für

Ei < Eo, 3 für El > E₀.

Im ersteren Falle (Fig. 127) sehen wir, dass bei sehr geringem Strom, d. h. sehr kleinem OE₎ der Strom /

\e,

€‘

Fig. 128.

der Klemmenspannung EQ um den Winkel E₀OI = w₀, voreilt. Diese Voreilung sinkt mit wachsendem Strom,, wird dann Null und schliesslich eilt der Strom bei seinen grösseren Werten vor. Nehmen wir nun irgend ein Paar entsprechender Punkte E E₀ und ziehen wir die Strecke EEQ bis sie e; in Et- schneidet, so haben wir < Ei OE = 90⁰, El = E₀, folglich 0EX = EE₀ = OE₀ =

EüEi ; d. h. EEi = 2 EQ.

D. h. die charakteristische

Kurve ev ist von der Linie EE, eingeschlossen; sie hat eine konstante Länge 2 E₀, die Kurve liegt zwischen den Schenkeln des rechten Winkels E, OE, und daher ist sie

/./

e,

‘jr

Fig. 129.

eine Hypocycloide sechster Ordnung, die den Kreis eQ berührt, deren allgemeine Gleichung mit e ex als Koordinaten-axen

ist.

V x² + Vy- = V 4 E₀²

Im zweiten Falle, wo E₁ E₀ (Fig. 128), sehen wir, dass der Strom niemals Null werden kann, wie im ersten Falle, wo El = E₀₎ sondern dass er einen minimalen Wert, entsprechend dem minimalen Wert von

J? _Jß

OE,:!,'

⁰--- und einen maximalen Wert I," ==

hat. Ferner kann der Strom niemals der Klemmenspannung E₀ voreilen, sondern er bleibt immer hinter ihr zurück. Die minimale Verzögerung liegt an dem Punkt H. Der Ort e,f der die Linien EE₀ einschliesst, ist eine endliche Kurve sechster Ordnung. (Fig. 128).

Ist E, E₀ bei kleinem E₀ — E„ so kann H über Null liegen und der voreilende Strom liegt zwischen zwei Bereichen nacheilender Ströme.

In dem Falle, wo E, E₀ (Fig. 129), kann der Strom auch nicht Null sein, sondern er fängt bei einem endlichen Wert C,'

an

entsprechend dem minimalen Wert von

OE₀ :1,'

E, — E₀

Bei diesem Werte ist indessen die

Wechselstrommaschine E, noch Generator und verwandelt sich erst später in einen Motor. Ihre Leistung passiert an dem Punkte den Nullwert, der der vertikalen Tangente zu e, entspricht, mit einer grossen Voreilung der Klemmenspannung gegen den Strom. Bei H verwandelt sich die Voreilung in Nacheilung.

Das Minimum und Maximum des Stromes ist unter

den drei verschiedenen Bedingungen gegeben:

I. I =z O, I

zE₀

2. I —

E() E,

Et) + El

3- / =

El — Eo

I-

E0 + El

Da bei E, — O der durch die Leitung fliessende Strom, d. h. wenn der Motor zum Stillstand kommt, /₀ = EQ/z ist, so sehen wir, dass in einer solchen Synchronmotoranlage bei Synchronismus der Strom weit über den Wert steigen kann, den er bei Stillstand des Motors hat, bis auf den doppelten Wert bei 1, etwas weniger bei 2, aber mehr bei 3.

182. C. E₀ ist konstant, Ex variiert, sodass der Wirkungsgrad für alle Ströme ein Maximum wird. (Fig. 130.) Wir haben gesehen, dass die Leistung bei gegebener Stromstärke, d. h. bei gegebenem Verlust ein und der Wirkungsgrad auch ein Maximum wird,

Maximum wenn der des

als Ort für

Strom mit der induzierten elektromotorischen Kraft E0 Generators in Phase ist. Wir haben dann

*.³

ex

Fig. 130.

E{) den Punkt E₀ (Fig. 130) und wenn E mit wachsendem Strome in Beziehung auf e variiert, so muss Ex auf der geraden Linie ex parallel zu e variieren.

Daher sinkt Et — E₀ bei Leerlauf oder Nullstrom mit wachsender Belastung, erreicht ein Minimum bei OEx senkrecht zu ex und wächst dann wieder, erreicht aber noch einmal Ex = E₀ bei Ef und steigt dann über E{). Der Strom eilt immer der induzierten elektromotorischen Kraft Ex des Motors voraus und infolgedessen bewirkt er für die Selbstinduktion des Systems einen Ausgleich und macht den gesamten Stromkreis induktionsfrei.

Die Leistung ist ein Maximum bei wo OE^ — E^Eq = 1/2 X OEq und ist dann = I X EO\2 und wenn OE= /; = -È'q/²» 1 — ^o/2 r und = E^/ą.t, gleich der maximalen Leistung, die durch eine induktionsfreie Leitung des Widerstandes r bei 50 °/₀ Wirkungsgrad in einen induktionsfreien Stromkreis übertragen werden kann.

Ul

>\

Fig. 131.

In diesem Falle ist

E, ³ =— X — =

Im allgemeinen wird aus dem Diagramm unter der Bedingung des maximalen Wirkungsgrades

Ei = V(E₀ — Ir)³ + P x²

entnommen.

Vergleichen wir diese Resultate mit denen der Selbstinduktion und derKapazitätinKapitellX, so sehen wir, dass die Bedingung des maximalen Wirkungsgrades des Synchronmotorsystems dieselbe ist, wie in dem System, das nur Induktion und Kapazität enthält, wobei die Voreilung des Stromesgegen die induzierte elektromotorischeKraftE^ hier in derselben Weise wirkt, wie die Kapazität des Kondensators im Kapitel IX.

12-.11

■yc)

1100/1

14SM

1050/1

s;

2120

2170

10'

2200

45,5

980/1960    7 / 49

’S

Jol

1440

®v

1040

860

920/160

46

860/270

700

E₀= 1000 P=IOOO 48* Ef- 2200 t< 1^49

*>■

•è

Fig. 132.

183. D. E₀ una P sind konstant.

Wenn die Leistung eines Synchronmotors konstant bleibt, so ist (Fig. 31) I x OEi ¹ konsant, oder da OE¹ — Ir, I = OE¹/r und OÆ"¹ x Oi^¹ = OE¹ x = konstant.

Daher erhalten wir das Diagramm für irgend einen Wert des Stromes I bei konstanter Leistung PX} indem wir OE¹ — I r, ElE₀l — Pl/I machen und in E₀l eine Senkrechte errichten, die den Kreis e₀ E₀ zweimal schneidet, einmal bei der Voreilung, das andere Mal bei der Nacheilung.

Daher kann bei gegebenerKlemmenspannungiT₀ dieselbe Leistung P₁ durch denselben Strom I mit zwei verschiedenen induzierten elektromotorischen Kräften Ex des Motors übertragen werden; die eine OEx — EE₀ ist klein, entsprechend einem nacheilenden Strom und die andere OEx = EE₀ ist gross, entsprechend einem voreilenden Strom. Jene ist in punktierten Linien, diese in ausgezogenen Linien (Fig. 131) dargestellt.

e,

1450

17.3

1170/1910 10/30 1040/1920 8/37.5

711

900/1720    7/43 _,

vs

3

6'

3'

6/

750/1090    8/37.5

3'

430/030    10/30

340

17.3

E=1000 P—6000 340 < £,< 1920 7«= l< 43

Fig. 133

ver-

Folglich kann ein Synchronmotor bei gegebener Leistung mit dem gleichen Strome, aber bei zwei schiedenen gegenelektromotorischen Kräften Ex arbeiten. In einem dieser Fälle ist der Strom voreilend, in dem anderen nacheilend.

In den Figuren 132 bis 135 sind Diagramme unter folgenden Bedingungen dargestellt: die Klemmenspannung

\l

,3

1440

Ei

21,2

6'

1200/1660    15/30

1080/1750    13/34,7

900/1500    ll,8/33.2_

5'/

3'

720/1100    13/34,7

620/820    15/30

540

21,3

EflOOO P=9000 540<E<1750 11,8 < l< 38,2

Fig- 134-

E,

1280

il 2

24,5

LU

1120/1320    21/28,6

1000/1260    20/ 30

4'

k'    920/1100    21/28,6

3    920    24,5

E₀=IOOO P = 12000 920' Zf 1320 20< l<30

Fig. 135-

Eq ist konstant und zwar 1000 Volt, die durch die Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft ist E, die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft ist E.

Die gegenelektromotorische Kraft El des Motors ist OEl gleich und parallel EE₀. Aus dem Diagramm ist dies nicht zu ersehen, um einer Verwirrung vorzubeugen.

Die vier Diagramme entsprechen den Werten der Motorleistung

12000 Watt und ergeben: i</<49 Fig. 132. 7 <^<43 Fig. 133. Ei < ¹15°> TU⁸ < / < 38,2 Fig. 134.

P = 1000    6000    9000

P — I OOO 46 <C -^1 <C 2 200,

P =    6 000 340 <-£"]< 1920,

P — 9 000 540 P — 12 000 920 Ex 1 320, 20 I 30 Fig. 135.

Man sieht, dass der zulässige Wert der gegenelektromotorischen Ex und der des Stromes I bei wachsender Leistung kleiner wird.

In den Diagrammen sind verschiedene Punkte von E0) wenn sie dem vorauseilenden Strom entsprechen, mit 1, 2, 3 und wenn sie dem nacheilenden Strom entsprechen, mit 2¹, 3¹ bezeichnet.

Die Werte der gegenelektromotorischen Kraft Ex und des Stromes / sind in den Diagrammen gegenüber den entsprechenden Punkten E₀ bezeichnet.

Unter dieser Bedingung ist es interessant, den Strom als Funktion der induzierten elektromotorischen Kraft Ex des Motors für konstante Leistung Px anzunehmen. Solche Kurven sind in der Fig. 139 gegeben und auf Seite 278 erklärt.

184. Während die graphische Methode sehr bequem ist, um einen klaren Einblick in die Abhängigkeit der verschiedenen Grössen von einander zu erhalten, so ist es für die numerische Rechnung vorzuziehen, die Diagramme analytisch auszudrücken.

Zu diesem Zwecke sei z — ]/r² -(- x² die Impedanz eines Stromkreises mit dem (aequivalenten) Widerstand r und der (aequivalenten) Reaktanz x = 2 n NL, die die Klemmenspannung e₀ ¹) und die gegenelektromotorische Kraft e₁ des Synchronmotors enthält, d. h. die in dem Motoranker infolge der Rotation durch das (resultierende) magnetische Feld induzierte elektromotorische Kraft.

i sei der Strom in dem Stromkreise (effektiver Wert). Die durch den Synchronmotor (einschliesslich der Reibung und des Verlustes im Eisen) gelieferte mechanische Leistung ist der durch die gegenelektromotorische Kraft et verbrauchte elektrische Effekt; folglich ist p — iex cos (ix,ex),

daher

i ex

cos (q, ex) —

sin (ix ex) =

Die Phasenverschiebung zwischen dem Strom i und der durch die Impedanz z verbrauchten elektromotorischen Kraft e — zi ist

.    . x

sin (te) = —

Da die folgenden drei in dem geschlossenen Strom

kreise wirkenden elektromotorischen Kräfte e₀ als elektromotorische Kraft des Generators

ex als gegenelektromotorische Kraft des Synchronmotors und e = zi als die durch die Impedanz verbrauchte elektromotorische Kraft ein

als die fundamentale Gleichung des Synchronmotors in Beziehung auf die Klemmenspannung e₀, die gegenelektromotorische Kraft en den Strom i, den Effekt />, den Widerstand r, die Reaktanz x und die Impedanz z.

Diese Gleichung zeigt, dass bei gegebener Klemmenspannung e₀ und bei gegebener Impedanz z = ]/r² -j- x2 drei Variable eX) i, p vorhanden sind, von denen zwei unabhängig sind. Daher wird bei gegebenem e₀ und z der Strom i nicht nur durch die Belastung p bestimmt, sondern auch durch die Erregung, und es kann daher der Strom i je nach der Erregung verschiedene Belastungen p darstellen; bei gleicher Belastung kann sich der Strom i in weiten Grenzen ändern, indem man die Felderregung ex ändert.

Die Bedeutung der Gleichung (7) wird noch deutlicher durch einige Transformationen, die et und i als Funktionen von p und eines Winkelparameters ep von einander trennen.

Setzen wir in (7) die neuen Koordinaten

ex² =

Dreieck bilden, d. h. da e₁ und e Komponenten von e₀ sind so ist (Fig. 136)

e₀² — ex² 4- é¹ 4- 2 e e₁ cos (e₁ e),

(4)

folglich

cos (el, e)

e₀² = ex² — z²i²

2 exe

da aber in dem Diagramm

2 z iex

(5)

cos (eit e) = cos (i,e — i, ex )

= cos (i,e) cos (/,ex) 4- sin (i,e) sin (/, ex) (6) ist, ergiebt die Einsetzung von (2), (3) und (5) in (6) mit Hilfe einiger Umformungen

e₍₀² — ex ² — z² i² — 2 rp — 2 x Vïlexl — p²}

(7)

e,² -f- z²i²

u —-—--

ex² — z²i²

oder

z²i² =

cc — ß

21

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

ein, so erhalten wir

V — «1/3-2^ =

(9)

substituieren wir wiederum

= a 2 z p — b r — BZ

s — z y r _ *2 2 rp — Bb

folglich

(10)

«=zi *-"-—***

Co

c= zii

xi

riK-

«!<-

Fig. 136.

so erhalten wir

Fig. 137.

a V 2 — b h — V (1 — b²) (2 a² — 2 ß2 und in’s Quadrat erhoben

«²a²-f( 1—£²) ß² — a V 2 {a—Bb) -j-

setzen wir

b²)

(11)

b²( 1—£²)    (a—Bb)²

o, (12)

BCC

(a — b b)V 2

= V,

(13)

ßV I — B² —W,

ein, so erhalten wir mit Hilfe einige Umformungen

(i — *²)

v²    w² =

2B²

a(a — 2 sb),

(14)

folglich, wenn

R=\

/ (1 — b²) a — 2 sb) a

2 Ć²

d5>

gesetzt wird, so ist

v² + w² — R²

die Gleichung eines Kreises mit dem Radius R.

Substituieren wir nun rückwärts wieder, so erhalten wir mit Hilfe einiger Umformungen

(17)

\r² (eff 4- z² i²) — z² (eff — 2 rp)\² + [rx (eff — z² i²)\2 = s² z² eff (eff — 4 rp) als Fundamentalgleichung des Synchronmotors in modifizierter Form.

Die Trennung von ex und i kann durch Einführung ■eines Parameters cp mittelst nachstehender Gleichungen bewirkt werden:

(18)

r² (eff — z² i²) — z² (eff — 2 rp) — xze₀ Veff — Ąrpcosep rx(eff — z² i²) — xze₀ Veff — Ąrpsin cp Werden diese Gleichungen (18) umgeformt, so erhalten wir

1    z²

2    r²

(.eff—2r/>)4“ I — cosy -f sincpjVe₀²— \rp

<N

cs

H ! kj

SS

SS

. (19)

10

r .    \ J

cos cf--sincH J/ i

Der Parameter ep hat offenbar keine direkte physikalische Bedeutung. Dadurch, dass diese Gleichungen 19 und 20 die Werte von ex und i als Funktionen von p und dem Parameter (f ergeben, machen sie es möglich, dass man die Charakteristiken des Effektes des Synchronmotors als Kurven in Bezug auf ex und i für einen gegebenen Effekt p konstruieren kann, wenn man nämlich (p alle möglichen Werte giebt.

Da die Variablen v und w in der Gleichung 16 des Kreises quadratische Funktionen von ex und i sind, so sind die Charakteristiken des Effektes des Synchronmotors Kurven vierten Grades.

'S le*

2rp

Ta'

-F

4 rP

• 120)

Sie stellen die Arbeitweise des Synchronmotors unter allen Bedingungen der Belastung und Erregung als ein Element der Kraftübertragung, wobei sogar die Leitung u. s. w. mit einbegriffen ist, dar.

Bevor wir diese Charakteristiken des Effektes weiter erörtern, mögen einige bestimmte Bedingungen betrachtet werden.

185.

A. Die maximale Leistung.

Da die Ausdrücke von ex und i in den Gleichungen 19 und 20 die Quadratwurzel Ve₀² — 4 rp enthalten, so ist es klar, dass der maximale Wert von p dem Betrag entspricht, wo die Quadratwurzel beim Durchgang von dem reellen zum imaginären Teil verschwindet, d. h. bei

¹

Wenn e(t die elektromotorische Kraft an den Motorklemmen ist, so ist z die Impedanz des Motors; ist e₀ die Klemmenspannung des Generators, so ist z die gesamte Impedanz der Leitung und des Motors; wenn e₀ die elektromotorische Kraft des Generators, d. h. die infolge der Rotation durch das magnetische Feld in dem Anker des Generators induzierte elektromotorische Kraft ist, so enthält z auch die Impedanz des Generators.

^o² — 4 rP — °>

oder

(21)

*o²

4r

Dieser Wert ist derselbe, der den maximalen, durch die elektromotorische Kraft e₀ in einer induktionsfreien Leitung mit dem Widerstand r übertragbaren Effekt darstellt, oder allgemeiner ausgedrückt, der maximale Effekt, der durch eine Leitung mit der Impedanz z = V r¹ + x2 in einen Stromkreis geleitet werden kann, der im Nebenschluss auf einen Kondensator von passender Kapazität geschlossen ist.

Setzen wir 21 in 19 und 20 ein, so erhalten wir

ei = — eo

*0

und als Phasenverschiebung in dem Synchronmotor

iel

tang (ex ,i)= —

(23)

d. h. der Winkel der inneren Verschiebung in dem Synchronmotor ist gleich, aber entgegengesetzt dem Winkel der Verschiebung der Impedanz der Leitung, also (elt i) = — (e, i),

(24)

— — 0> r\

und daher

(25)

mithin

(e₀, i) — o;

d. h. der Strom i ist in Phase mit der Klemmenspannung e₀.

Ist z 2 r und e₁ <?₀, so die elektromotorische Kraft des Motors kleiner als die elektromotorische Kraft des Generators ; ist z — 2 r und el = e₀₎ so ist die elektromotorische Kraft des Motors gleich der elektromotorischen Kraft des Generators ; ist z ² r und et ?o> so ist die elektromotorische Kraft des Motors grösser als die elektromotorische Kraft des Generators.

In jedem einzelnen Falle eilt der Strom in dem Syn-chronmotor vor.

186. B. Leerlauf, d. h. p — o.

Bei Leerlauf, oder für p = o, erhalten wir, wenn wir in 19 und 20 einsetzen

e₀z

'S

fl

— cos w 4- — sin w I

«    r r J

vil[

(26)

— cos w--sin w

z    z T

Natürlich kann diese Bedingung niemals erfüllt werden, weil p mindestens der durch Reibung u. s.w. verbrauchten Leistung u.s.w. gleich sein muss und deshalb nähert sich die wahre Leerlaufkurve nur der Kurve p — o, die aber abgerundet ist, wohingegen die Kurve 26 scharfe Ecken bildet.

Setzen wir p = o in die Gleichung 7 ein, so erhalten wir durch Quadrieren und Umformung:

ef -f- ef    z¹j/⁴ — 2efe₀- — 2z²i²e₀* + ²r^Pef

— 2X² Pc,

Diese Gleichung vierten Grades kann in das Produkt der folgenden beiden quadratischen Gleichungen zerlegt werden

ef -f 2 xiel = o

(28)

ef -\- z¹ 2 P

ef -f- z²P — ef — 2 xie₁ = o I welches die Gleichungen der beiden Ellipsen sind, von denen die eine das Spiegelbild der anderen ist. Beide Ellipsen haben cchiefe Axen.

Der minimale Wert der gegenelektromotorischen Kraft ei

(29}

Der minimale Wert des Stromes i ist i—o bei el = e₀. (30) Der maximale Wert der elektromotorischen Kraft ev ist durch die Gleichung 28

/ = ef + z²i² — e0² dz 2 xiel =0 gegeben unter der Bedingung, dass

df

det

di

di

df

o, und da z²i dz xel = o,

dev

so folgt

angenommen wird, sondern Ellipsenbogen, von denen der eine konkav und der andere konvex ist.

Diese beiden Ellipsen sind in der Fig. 138 dargestellt und teilen die ganze Fläche in sechs Teile — die beiden

160-

■'s

«=#

6000    4000 SQQoXy 2000    1000

Volt 1000    2000    3000    4000    5000

D.

\>

ÎÏ

B'

-X—

/ A' / ___

Fig. 138.

Teile A und A', deren Flächen die Kurven vierten Grades der Gleichungen 19 und 20 des Synchronmotors enthalten, die beiden Teile B und B', deren Flächen die Kurven vierten Grades des Generators enthalten und der innere und äussere Raum C und D, deren Punkte keine wirkliche Bedingung des Maschinenstromkreises darstellen, sondern die ex und i imaginär machen.

A und A’ und B und B' sind identische Bedingungen für den Wechselstromstromkreis, die nur durch gleichzeitige Umkehrung des Stromes und der elektromotorischen Kraft sich von einander unterscheiden, d. h. um die Zeit einer halben Periode.

Jeder der Räume A und B enthält einen Punkt der Gleichung 22, nämlich den für die Bedingung der maximalen Leistung des Generators, oder des Synchronmotors.

187. C. Minimaler Strom bei gegebener Leistung.

Die Bedingung des minimalen Stromes i bei gegebener Leistung p wird durch das Verschwinden der Phasenverschiebung bei der Klemmenspannung e₀

{e₀₎ i) = o

bestimmt.

Dies ergiebt aus dem Diagramm Fig. 132

(33»

ex³ 4 = ć0⁴ -f- i⁴z⁴ — 2 ie₀

oder umgeformt

(34)

el = V(e₀ — ir)⁴ -f i⁴x⁴.

Diese quadratische Kurve geht durch den Nullpunkt des Stromes und des Effektes bei i = 0 und ex — e₀ und durch den Punkt des maximalen Effektes (22) bei

i = — und ex — —

und durch den Punkt des maximalen Stromes und den des Effektes Null, bei

(35>

Es ist sehr interessant, dass an letzterem Punkte der Strom viele Male grösser sein kann, als derjenige, welcher durch den Motor bei Stillstand hindurchgehen würde; dieser wäre

(36» während bei Leerlauf der Strom den maximalen Wert

(35)

erreichen würde; d. h. denselben Wert, der in einem induktionsfreien Stromkreise mit gleichem Widerstande existieren würde.

Der minimale Wert bei der gegenelektromotorischen Kraft ei} bei dem noch ein Zusammentreffen der Phasen (e₀, i) = o erreicht werden kann, wird durch die Gleichung (34) durch

de 1 di

bestimmt, als

= e₀ — und el =

z*

<07

Die Kurve, wo keine Verschiebung stattfindet, oder wo der minimale Strom auftritt, ist aus den punktierten Linien *) der Figuren 138 und 139 zu ersehen.

*) Pis ist sehr interessant, dass die Gleichung 34 dem Wert ex — \l (ep — i r)² — i² x² ähnlich ist, der die über eine induktive Leitung mit der Impedanz ^ = ]/r² -p x² in einen induktionsfreien Stromkreis übertragene Leistung darstellt.

Gleichung 34 ist identisch mit der Gleichung, die die maximale Spannung<4 beim Strom i ergiebt, die dadurch erzeugt werden kann, dass man den Stromverbraucher durch einen Kondensator nebenschliesst, d. h. die Bedingung der „kompletten Resonanz“ der Leitung z = j/r² -f- x² mit dem Strom i. Folglich, zurück-

X

kommend auf die Gleichung 35, ist et = e₀ — die maximale Resonanzspannung der Leitung, die erreicht wird, wenn sie durch einen Kondensator mit der Reaktanz — x geschlossen ist.

188. D. Maximale Phasenverschiebung.

(.e₀₎ i) - Maximum.

(3⁸>

Bei gegebenem Effekt p ist die zugeführte Leistung Po—P^r i2r = W cos (eot *) \

folglich

cos (e₀, i) —

p Pr

e₀i

(39)

Bei gegebenem Effekt p ist dieser Wert als Funktion des Stromes i ein Maximum, wenn

e₀i

— o,

dies ergiebt

(4°>

(41)

p — Pr]

oder

ff

der Effekt des

wenn

D. h. die Phasenverschiebung, die Voreilung oder die Nacheilung, ist ein Maximum Motors dem durch den Widerstand verbrauchten Effekt gleich ist; d. h. bei einem elektrischen Wirkungsgrad von 50%.

Setzen wir die Gleichung (40) in die Gleichung (7) einr so erhalten wir, wenn wir in’s Quadrat erheben und umformen, die Gleichung vierter Ordnung der maximalen Verschiebung

(e₀²

(42)

^i²)² + *⁴«² O² -f 8 r²) 4- 2 Pex ² (5r² — z²) — 2 Pe₀2 (z² 4- 3 r²) = o.

Die Kurve der maximalen Verschiebung ist in punktierten Linien in den Figg. 138 und 139 gezeichnet.

Sie läuft durch den Nullpunkt des Stromes als singulärer Punkt oder Knotenpunkt und durch den Punkt des maximalen Effektes, wo die maximale Verschiebung Null ist und schneidet die Kurve der Verschiebung Null.

(3r>

==Feo~-

di

-V

189. E. Konstante gegenelektromotorische Kraft.

Bei konstanter gegenelektromotorischer Kraft ist et

konstant.

Wenn

r² x²

SCO

—f

220

200

1*0

120

too-

80

ea

i.

Volt

500 10DO 1500    2000    2500    3000    3500    4000    4500    5000    5500

Fig. 139.

so ist der Strom bei Leerlauf kein Minimum und eilt nach. Bei steigender Belastung sinkt die Nacheilung, erreicht ein Minimum und steigt dann wieder, bis der Motor dem Tritt fällt, ohne je Phasenübereinstimmung zu

aus erreichen.

Wenn

e₀]h

r- x²

0⁴

so eilt sich der Strom bei Leerlauf nach; bei wachsender Belastung wird die Nacheilung kleiner und der Strom kommt schliesslich in Phase mit e₀, eilt dann vo rund erreicht später seine maximale Voreilung. Sodann sinkt die Voreilung wieder, der Strom kommt wiederum in Phase mit e₀ und eilt nach, bis der Motor aus dem Tritt fällt.

Wenn e₀ <C et ist, so eilt der Strom bei Leerlauf vor und die Voreilung wächst zuerst, erreicht ihr Maximum und sinkt dann wieder. Ob der Strom in Phase mit e₀ kommt und dann nacheilt, oder ob der Motor aus dem Tritt fällt, während der Strom noch voreilt, hängt davon ab, ob die gegenelektromotorische Kraft an dem Punkte der maximalen Leistung grösser als e{) oder kleiner als e₀ ist.

190.

F. Numerisches Beispiel.

Die Figg. 138 und 139 zeigen die Charakteristiken eines Motors von einer Leistung von 100 Kilowatt, der von einem Generator von 2500 Volt in einer Entfernnng von fünf englischen Meilen gespeist wird. Die Leitung besteht aus zwei Drähten No. 2 B und S. G., und diese sind 18 englische Zoll von einander entfernt.

In diesem Falle haben wir

e₀ = 2500 Volt konstant an den Generatorklemmen;

10 Ohm, einschliesslich Leitung und Motor;

20 Ohm, einschliesslich Leitung und Motor ;

folglich 0 =

22,36 Ohm.

Setzen wir diese Werte ein, so erhalten wir 2500⁵ 6— ep— 500 P — 20^ = 40 Vp et⁷ — p⁸ 9 (ep + 5°° P — 3i)25* io¹⁰ -f 100p)¹¹ -f- (2 ep — 1000 Pp = 7,8125.io¹² — 5 + 10 *p.

(7)

(17)

(19)

= 5593

^n(I—3,⁶* 10 ^p) 4~ (0,894 cos (fi 4-0,447 sinyjKi—6,4* 10 ¹⁰ p).

(20)

• — 559

^i[(i—3,2* io⁻⁶/>) 4- (0,894cos(f>—0,447 sin(f')Vi — 6,4* 10~¹⁰ p).

Die maximale Leistung p ist 156,25 Kilowatt, bei 2795 Volt und i =z 125 Ampère.

Bei Leerlauf haben wir

e\ + 5°° *⁶ — 6,25 • io⁸ =p 40 i et = 0 ex = 20 / db V 6,25 * io¹¹ — 100 P Bei minimalem Wert der gegenelektromotorischen Kraft ex =(4=0 ist i — 112,

Bei minimalem Wert des Stromes i — o istcx = 2500, (30) Bei maximalem Wert der gegenelektromotorischen Kraft *1 = 5590 ist i — 223,5

Bei maximalem Wert des Stromes i = 250 ist ex = 5000.

Die Kurve der Phasenverschiebung Null ist ex = 10 V (250 — ip 4- 4 P

= 10 V 6,25 • io⁸ — 500 i 4- 5 P.

Das Minimum der gegenelektromotorischen Kraft dieser Kurve findet statt bei

(28)

(29)

(3¹²)

l3²>

(34)

Die Fig. 139 g’.ebt die Leistungscharakteristiken des Motors für

p    — 10    Kilowatt

p    = 50    Kilowatt

p    — 100    Kilowatt

p    — 150    Kilowatt

p — 156,25 Kilowatt

/zusammen mit den Kurven der Verschiebung Null und der maximalen Verschiebung.

G. Diskussion der Resultate.

191.

Die charakteristischen Kurven des Synchronmotors (Fig. 139) in ihren Hauptzügen sind häufig beobachtet worden, und zwar die V-Kurve bei Leerlauf mit abgerundeter Spitze und den beiden leicht gekrümmten Schenkeln, von denen der eine konkav, der andere konvex ist; die zunehmende Abrundung und die Zusammenziehung der Kurven bei wachsender Belastung; ferner die Verschiebung des Punktes des minimalen Stromes bei wachsender Belastung, der sich zuerst gegen niedrige und dann gegen höhere Werte der gegenelektromotorischen Kraft ex fortbewegt.

Die oberen Teile der Kurven habe ich indessen niemals experimentell beobachten können, und ich halte es für wahrscheinlich, dass sie einem Zustand des synchron laufenden Motors entsprechen, der labil ist. Die experimentellen Beobachtungen erstrecken sich gewöhnlich ungefähr über denjenigen Teil der Kurven (Fig. 139), der in der Figur 140 gegeben ist, und wenn man versucht, die Kurven auf jeder Seite weiter zu verlängern, so wird der Motor aus dem Synchronismus gebracht.

Es ist selbstverständlich, dass diese Effektcharakteristiken des Synchronmotors (Fig. 139) nur als Annäherungen betrachtet werden können, weil viele Annahmen gemacht worden sind, die nicht, oder nur teilweise in xder Praxis erfüllt werden.

Hervorzuheben sind:

1. Es wurde angenommen, dass el sich unbeschränkt ändern lässt, während in Wirklichkeit das Anwachsen von ex durch die magnetische Sättigung begrenzt ist. So steigt in Figur 139 bei einer Klemmenspannung e₀= 2500 Volt et bis zu 5590 Volt, was über oder unter derjenigen Klemmenspannung sein kann, die der Motor erzeugen kann. Sicher liegt dieser Wert von el aber höher als derjenige, welcher vom Motor dauernd erzeugt werden kann.

[Ampere

.20

500

1000

1600

2000

Volt

2500

3000

3500

4000

4500

Fig. 140.

2. Die Reaktanz x ist als konstant angenommen. Während die Reaktanz der Leitung konstant ist, ist diejenige des Motors nicht konstant, sondern sie ändert sich mehr oder weniger mit der Sättigung und sinkt für höhere Werte. Das Sinken von x lässt den Strom 1 wachsen, entsprechend der höheren Werte von e, und biegt daher die Kurven nach oben bei einem niedrigeren Wert von et als in der Figur 139 dargestellt ist.

Es ist einleuchtend, dass die Reaktanz des Motors keine einfache Grösse ist, sondern den kombinierten Effekt der Selbstinduktion, d. h. der in den Ankerleitern durch den darin fliessenden Strom, induzierten elektromotorischen Kraft und der Ankerrückwirkung darstellt, oder die Änderung der gegenelektromotorischen Kraft des Motors durch die Änderung des resultierenden Feldes, infolge der Übereinanderlagerung der magnetomotorischen Kraft des Ankerstromes auf die Felderregung; d. h. sie ist die synchrone Reaktanz.

3. Die Kurven in Fig. 139 stellen die Bedingungen konstanter elektrischer Leistung des Motors dar und schliessen daher die mechanische und die magnetische Reibung ein (Verlust im Eisen). Während die mechanische Reibung als annähernd konstant betrachtet werden kann, ist dies bei der magnetischen Reibung nicht der Fall. Diese wächst vielmehr mit der magnetischen Induktion, also mit eu und dasselbe gilt auch von dem durch die Felderregung verbrauchten Effekt.

Folglich wird die nützliche mechanische Leistung des Motors bei derselben Kurve p = konst. an den Punkten der niedrigeren gegenelektromotorischen Kraft e{ grösser sein als bei den Punkten mit grösserem ex, und wenn die Kurven als konstante nützliche mechanische Leistung angenommen werden, so wird das ganze Kurvensystem etwas gegen die niedrigeren Werte ev verschoben. Folglich entsprechen die Punkte der maximalen Leistung des Motors auch einer niedrigeren elektromotorischen Kraft.

Es ist klar, dass die wahren Charakteristiken der mechanischen Leitung des Synchronmotors nur bestimmt werden können, wenn man die speziellen Bedingungen der in Betracht gezogenen Anlage kennt.

Kapitel XIX.

Kommutator-Motoren.

192. Kommutator-Motoren, d. h. Motoren, bei denen der Strom dem Anker mittelst Bürsten durch einen aus Segmenten bestehenden Kommutator zugeführt wird, sind in den verschiedensten Ausführungen angefertigt worden; sie haben aber wenig Anwendung gefunden, und zwar wegen der Ueberlegenheit der Induktionsmotoren und der Synchronmotoren, die keinen Kommutator besitzen.

Zu den Kommutator-Motoren gehören in erster Linie die Repulsionsmotoren, die Reihenschluss- und die Nebenschlussmotoren.

Repulsionsmotor.

193. Der Repulsionsmotor ist ein Induktionsmotor oder Transformatormotor, d. h. ein Motor, in dem der Hauptstrom nur den primären Teil, nämlich das Feld, durch-fliesst, während in dem sekundären Teil, oder dem Anker, ein Strom induziert wird. Daher ist die Wirkung auf die gegenseitige Abstossung des induzierten Stromes und des induzierenden Magnetismus zurückzuführen.

Wie bei den Induktionsmotoren erwähnt, ist ein Anker mit mehrfachem Stromkreis deshalb erforderlich, um immer während der Rotation sekundäre Stromkreise in induktiver Beziehung zum primären Stromkreis zu haben. Wenn bei einem einzigen Spulenfeld diese Stromkreise beständig in sich geschlossen bleiben, wie bei dem Induktionsmotor, so wird der primäre Stromkreis keine rotierende Wirkung auf den Anker bei Stillstand ausüben, da in der einen Hälfte der Ankerspulen der Strom so induziert wird, dass er eine rotierende Bestrebung in der

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

(35)

einen Richtung ergiebt, während in der anderen Hälfte ein Strom induziert wird, der eine rotierende Wirkung in der entgegengesetzten Richtung ergiebt, wie in der Pfeilrichtung der Fig. 141 veranschaulicht wird.

CHI

N\

In

OA

jr

W/

CZ.

Fig. 141.

Bei einem Induktionsmotor wird ein zweites magnetisches Feld gebraucht, das auf die durch das erste Feld induzierten Ströme wirkt, oder ein induzierendes magnetisches Feld, das eine Drehung verursacht, d. h. der Motor besteht aus einem primären elektrischen Stromkreise, der in dem Anker die sekundären Ströme erzeugt und aus einem primären magnetisierenden Stromkreise, der den auf die sekundären Srtöme wirkenden Magnetismus erzeugt.

Bei dem mehrphasigen Induktionsmotor sind im allgemeinen beide Funktionen des primären Stromkreises in denselben Spulen kombiniert, d. h. jede primäre Spule induziert sekundäre Ströme und erzeugt ein magnetisches Feld, das auf sekundäre, durch eine andere primäre Spule induzierte Ströme wirkt.

-v>

//•

Fig. 142.

194. Bei dem Repulsionsmotor wird die infolge der gleichen und entgegengesetzten Drehungsbestrebungen entstandene Schwierigkeit, verursacht durch die induzierten Ankerströme, wenn auf sie das induzierende magnetische Feld wirkt, dadurch beseitigt, dass die Ankerspulen in sich geschlossen werden und zwar entweder im Kurzschluss oder durch Widerstand in jener Stellung, wo die induzierten Ströme eine rotierende Wirkung nach der gewünschten Richtung hin geben, während die Ankerspulen in der Stellung Wirkung der induzierten Ströme in entgegengesetzter Richtung zur gewünschten Drehung sein würde, nicht geschlossen werden. Da dies die Forderung stellt, den Stromkreis der Ankerspulen zu öffnen oder zu schliessen, so wird der Kommutator notwendig.

wo die rotierende

.»

'«•V.

'V,

Fig. 143.

Die gewöhnliche Konstruktion der Repulsionsmotoren ist in den Figg. 142 und 143 schematisch für einen zweipoligen Motor dargestellt. Das Feld ist ein einphasiges Wechselstromfeld F. Der Anker ist in dem Schema in Ringschaltung A gezeichnet, der aus einer Anzahl Spulen besteht, die zu einem aus einzelnen Segmenten bestehenden Kommutator C

geführt werden, der analog denen der Gleichstrommaschinen konstruiert ist. Bürsten, die mit der Richtung des magnetischen Feldes einen Winkel von ungefähr 45⁰ bilden, schliessen entweder einen Teil der Ankerspulen (Fig. 142) oder den ganzen Anker durch eine Verbindung von Bürste zu Bürste (Fig 143) kurz.

'j'

///

'M\

//

//

//

Fig. 144.

dass nur ein

Die erste Anordnung hat den Nachteil Teil der Ankerspulen wirksam ist.

Die zweite Anordnung hat den Nachteil, dass beim Durchgang der Bürste von Segment zu Segment individuelle Ankerspulen kurz geschlossen werden und dadurch ein Drehmoment in entgegengesetzter Richtung ergeben, das durch den induzierten Hauptstrom, welcher durch den ganzen Anker von Bürste zu Bürste fliesst, entwickelt wird.

195. Aus diesem Grunde besteht der Repulsionsmotor aus einem primären elektrischen Stromkreise, einem mit demselben verketteten, magnetischen Stromkreise und einem sekundären Stromkreise, der in sich selbst geschlossen und um 45⁰ (bei einem zweipoligen Motor) aus der Richtung des magnetischen Feldes verschoben ist (Fig. 144).

Dieser sekundäre Stromkreis bleibt, während er in Bewegung gesetzt wird, noch um 45⁰ gegenüber dem magnetischen Felde verschoben, oder was theoretisch dasselbe ist, er wird, wenn er aus seiner ursprünglichen Lage herausgebracht wird, durch andere sekundäre Stromkreise, die die Verschiebung von 45⁰ erreichen, ersetzt.

Der Einfachheit halber sind in der Folge alle sekundären Grössen, wie die elektromotorische Kraft, der Strom, der Widerstand, die Reaktanz u. s. w. auf den primären Stromkreis durch das Windungsverhältnis in derselben Weise, wie dies in dem Kapitel über die Induktionsmotoren geschehen ist, reduziert.

196. Es sei

(p = die maximale Kraftlinienzahl eines Feldpoles, e die durch <T in den Feldwindungen induzierte eTektive elektromotorische Kraft; diese ist

e — ]/2 u N n & io~⁸,

wobei n die Zahl der Windungen und N die Frequenz bedeuten.

Daher ist

e io⁸

V 2 71 n N

Der momentane Wert des Magnetismus ist (f = O sin ß

und das mit dem Ankerstromkreis verkettete Feld — 0 sin ß sin X,

wobei X der Winkel zwischen der Ebene der Ankerspule und der Richtung des magnetischen Feldes ist.

Die in einem Ankerstromkreise mit n Windungen induzierte elektromotorische Kraft ist folglich auf den primären Stromkreis reduziert

dd\ ₈

= — n (fr-f- sin ß sin X io~⁸,

n 0 | sin X cos ß

+ sin ß cos X ^ | io⁻⁸.

Bezeichnet N die Frequenz und die Geschwindigkeit in Cyklen pro Sekunde (die Zahl der gleichen Umdrehungen pro Sekunde multipliziert mit der Zahl der Polpaare), dann ist

dß

—r- — 2 7t Ni —r~ — 2 TT N₁]

und da 2 = 45⁰, oder sin X = cos X = —L ist, so erhalten

V 2

wir, dies eingesetzt:

el = — V2Ti n 0 (N cos ß 4- Nt sin ß) 10

oder, weil

e io⁸

V 2 71 nN’

el — — e ( cos ß -f- k sin ß),

wo

Geschwindigkeit

Frequenz

ist, oder effektiven Wert der sekundären induzierten elektromotorischen Kraft

ex = e

1 -f- Æ²

Führen wir nun komplexe Grössen ein und zählen die Zeit von dem Wert Null des wachsenden Magnetismus an, so wird der Magnetismus durch jO dargestellt und die primäre induzierte elektromotorische Kraft durch E —- — e und die sekundäre induzierte elektromotorische Kraft durch

197.

Ex —    77= (T +jk) ;

folglich, wenn Zx = rx —j xx die sekundäre Impedanz, reduziert auf den primären Strom, Z — r— jx die primäre Impedanz, Y — g A- j b die primäre Admittanz ist, so ist der sekundäre Strom

Ex

i + ik

zx

der primäre Erregerstrom

V 2 r\—jxx '

h~e Y=e{g+jb) ;

und infolgedessen der gesamte primäre Strom

1= i₀ —A ;

oder

1=

e(s+J'b + y% n-gt

I +jk\.

Die primäre Klemmenspannung ist

£q = — £ + IZ\

oder

— + (g +jb) (r— jx) •

V2

E₀ — e 1 +

1 -j- jk r — j x

rx~Jxx

Vernachlässigen wir in dieser Gleichung für E₀ den letzten Ausdruck als solchen höherer Ordnung, so erhalten wir

1 -\-jk r — j x\.

n—Jxi

oder durch Elimination der imaginären Grössen

e V (r -f- rx ]/ 2 -f- k x)² -f (x -f- xx ]/ 2 — /er)²

>/2(r₁² -f xx²)

198. Der von der primären gegenelektromotorischen Kraft e verbrauchte Effekt, der in den sekundären Stromkreis übertragen wird, ist

P = elt

V² ri — Jxi ’

oder nach Elimination der imaginären Grössen

e² ry kxy

Y 2    rx² — xt²

Der durch den sekundären Widerstand verbrauchte

Effekt ist

pi = A2 ri

_ e² (1 -f- k²) rt 2 rx² -f- xt²

Folglich erhalten wir als Differenz oder als mechanische Leistung an der Axe des Motors

P=P — P₁

(V 2 — 1) 4- k xL V2 — k² r.

e²

2(^2 + xt²) und dies für e eingesetzt

e² [rt (V2 — 1) -f kxx I/2 — k²rx]

(r + r₁ V 2 -j- kx)² -f- (x -f xy V 2 — kr)²

Wenn r und rx im Vergleich zu x und xx klein sind so ist näherungsweise

e₀² kxyY 2

(X -j- Xt V 2)² + k²X²

Daher ist der Effekt ein Maximum für

dP

rf* = o;dh-

x 4- v 2

Als Beispiel werden in der Fig. 145 die Leistungen

N

als Ordinaten und die Geschwindigkeiten k = als Abs-cissen eines Repulsionsmotors mit den Konstanten

8 |§ |1 Ji li

Watt Leistung

ö:

CN

'5

o®

ji

.O

ir

300

200

100/_ _

/    0,2    0,4

0|,6

y.SeschvyinttigkelF ____Frequenz__

0₁8__1.0    1.1Ż    1 1,4

1.8 l,l8 2fl0

Fig. 145. Repulsions-Motor.

e₀ = 100

rt — 0,05 xl = 1,0

r — 0,1 .r = 2,0

dargestellt, die die Leistung

10000 (0,02 -j- 1,41 Æ— o,o5^²) (0,171 4- 2Æ)² + (3,14 — o,iÆ)²

ergeben.

Reihenschlussmotor. Nebenschlussmotor.

199. Wenn in einem Gleichstrommotor, sowohl in einem Reihenschluss- als auch in einem Nebenschlussmotor, der Strom kommutiert wird, so bleibt die Drehungsrichtung dieselbe, weil der Feldmagnetismus und der Ankerstrom-entgegengesetzte Vorzeichen haben und das Produkt jener, nämlich das Drehmoment, dasselbe Vorzeichen hat. Daher wird ein solcher Motor, wenn er mit Wechselstrom gespeist wird, ebenfalls arbeiten, unter der Voraussetzung, dass die Umkehrungen im Felde und im Anker gleichzeitig

stattfinden.

In einem Reihenschlussmotor ist dies not

wendigerweise der Fall, weil derselbe Strom durch das Feld und durch den Anker fliesst.

Offenbar muss das Feld bei Wechselstrom zur Vermeidung von Wirbelströmen lamelliert werden.

czi

Fig. 146. Reihenschlussmotor.

Es sei für einen Reihenschlussmotor (Fig. 146).

(p — der effektive Magnetismus pro Pol, n = dieZahlder hintereinandergeschaltetenFeldwindungen, nL = die Zahl der zwischen den Bürsten hintereinandergeschalteten Ankerwindungen, p — die Zahl der Pole,

R — die magnetische Reluktanz des Feldstromkreises,

R₁ = die magnetische Reluktanz des Ankerstromkreises, 0₁ = die durch den Ankerstrom (Quermagnetisierung) hervorgebrachte effektive Krafttlinienzahl, r = der Widerstand des Feldes (effektiver Widerstand, einschliesslich Hystérésis),

rx — der Widerstand des Ankers (effektiver Widerstand, einschliesslich Hystérésis),

N — die Frequenz,

N₁ — die Geschwindigkeit in Cyklen pro Sekunde.

-8

Dann ist die elektromotorische Kraft, die in den Ankerleitern infolge ihrer Rotation durch das magnetische Feld (gegenelektromotorische Kraft des Motors) induziert wird E — 4 nx Nt 0 1 o die elektromotorische Kraft der Selbstinduktion des Feldes E' — 2.7t p n N 0 10 die elektromotorische Kraft der Selbstinduktion des Ankers Ex = 2 n nl N0l io⁻⁸,

die durch den Widerstand verbrauchte elektromotorische Kraft

¹

=

rz

Der maximale Wert des Stromes i ist durch die Gleichung 28-und zwar bei

— = o und

²

— und e, ■= zp en — r    r

gegeben.

Wenn ex als Abscissen und zi als Ordinaten gewählt werden, so geht die Axe dieser Ellipsen durch die Punkte des durch die Gleichung 22Jgegebenen maximalen Effektes.

Daraus ersieht man, dass in den Kurven der Synchronmotoren bei Leerlauf die beiden Seiten der V-förmigen Kurven nicht gerade Linien sind, wie dies gewöhnlich

³

= -Ł und = e^~ r    r

⁴

und teilt jede der Kurven oder Effektcharakteristiken vierter Ordnung in zwei Teile, einen mit voreilendem und den anderen mit nacheilendem Strom, die durch die beiden Punkte der Gleichung 34 getrennt werden, einmal dem minimalen Strom und das andere Mal dem maximalen Strom entsprechend.

⁵

= 50 und ex = 2240

⁶

Die Kurve der maximalen Phasenverschiebung ist

⁷

p — 10 P (6,25* io¹⁰ — ex¹¹p 4- 0,65 • io¹² P — io¹⁰ P — o. (42)

⁸

Die Fig. 138 zeigt die beiden Ellipsen des Effektes

⁹

Null in ausgezogenen Linien mit den Kurven der Ver

¹⁰

schiebung Null in punktierten Linien, ferner die Kurven der

¹¹

maximalen Verschiebung in kurzen Linien und die Punkte

¹²

des maximalen Effektes mit Kreuzen bezeichnet.

Er = (r + rt) /,

wobei

I der Strom in effektiven Ampère ist, der durch den Motor geht.

Ferner ist der Feldmagnetismus

n / io⁸

und der Magnetismus des Ankers

nyI io⁸

0,=

Pt ’

Setzen wir diese Werte ein, so erhalten wir

4 nnv Nx I _

E' =

Ex —

27tpn?N I

2 7t nx ² NI

Pt

Er = (r + rx) I.

Folglich ist die Klemmenspannung

E„ = V(E + E,f + (£' + W

oder, weil

4 WW] A]

k r + ri|l + 4tf²A² I

pn²    W]²\²

~^ ⁺ Ä ;

p w²

a; = 2 Tr TV—=- die Reaktanz des Feldes und

W]²

.T] = 2 nN-~- die Reaktanz des Ankers,

A

+ r + rij 4- (x + X])²

-i// \nn^Nx

o = I

und

/=]/

/ / 2 W] At

TT pn N

Il 4 WW] TV,

-rj-x + r + rJ p (a; 4" A²i

Pr + rjj¹ +4tt²TV’²|

pn²

«i

2 \2

+ -7T

1 14 wWj N

ri J 4- (* + a^)²

-,// 2 wl TV.

⁼ M\npi;wx + r + r') +⁽* + **>•

200.

P = El

Die Leistung an der Axe des Ankers ist

4 WW] Ax

4 nny Ai

L + r + rx 4wwt At

+ 4 TT² A²

//>w² «j

2\ 2

P rA

/T 2

4 ««j TV]

+ r + rxJ + (x + xt)*

• a;P₀²

2 Wj

n pn A

bO

S

H-

— x + r + ^ I +(x+ a^)²

und die Phasenverschiebung zwischen dem Strom und der elektromotorischen Kraft

tang co =

E'

2 tcN

( p «2    2

4 nnx N

L + r -f rt

x xt

ni

----jrr X + r + rt.

pn N

Vernachlässigen wir bei näherungsweiser Rechnung den Widerstand r -f rlt so ist

x\

tang co =

•V

2 nx n pn N

2 nx Nx 71 pn N

xx

2 nx

n pn N

daher ein Maximum für

x\ -V

pn N 2 nx Nx n pn N

oder

A4 •V

2 nx 71 p n

Dieses eingesetzt in tang co

tang œ=i, oder co = 45⁰.

201. Als Beispiel für einen solchen Wechselstrommotor setzen wir

E₀ —100 N — 60 p — 2. r = 0,03    — 0,12

x = 0,9 n = 10

*1 = 0,5

— 48

Es werden besondere Vorkehrungen getroffen, die Reaktanz des Ankers auf ein Minimum zu reduzieren und die Verzerrung des Feldes durch die magnetomotorische Kraft des Ankers mittelst einer Spule zu verhindern, die den Anker eng umgiebt und die durch einen Strom gleicher Phase, aber in entgegengesetzter Richtung des Ankerstromes erregt ist. Hierdurch wurde es möglich, einen doppelten Stromkreis in Thätigkeit zu versetzen und zwar 96 Windungen des Ankers in einem bipolarem Felde von 20 Windungen, bei einem Verhältnis der

Ampère-Windungen des Ankers _

Ampere-Windungen des Feldes    4⁻

In diesem Falle ist

100

1/(0,023 A⁷! + 0,15)2 + 1,95

__230^1_

tang o) =

0,023 Nt + 0,15

0,023 ^1 + o,i5

(0,023 Nx + 0,15)2 + B96 oder cos co

V(o,023    + 0,15)2 + 1,96

In der Fig. 147 sind mit der Geschwindigkeit als Abscissen die Werte des Stromes /, der Effekt P und der Leistungsfaktor cos w dieses Motors gegeben.

202. Der Nebenschlussmotor mit Schenkeln aus Eisenblechen wird in einem Wechselstromstromkreis nicht zur Zufriedenheit funktionieren. Er wird mit gutem Drehmoment anlaufen, weil der Strom beim Anlaufen sowohl in dem Anker als auch im Felde sehr zurückbleibt und beide

Ströme annähernd in Phase miteinander sind. Bei wachsender Geschwindigkeit müsste indessen der Ankerstrom mit der Klemmenspannung mehr in Phase kommen, um einen Effekt darzustellen. Weil aber derFeldstrom und infolgedessen der Feldmagnetismus beinahe um 90 ⁰ zurück bleibt, so wird die

t r 1    1    1

rldu’tàchluôs moto

Watt

3200

jwyo

2600

2400

2200

2000

Amp.

1800

80

1600

-n

no/(

_60

'200

50

1000

40

800

30

000,,

'20

100

10

200

10

20

J50.

40

Er 100

03

n~. 12

x, = .9 _x - ,5

N= 60

P= = 2

u.

1=

P=

Cos GJ —

60.

■too-

>1, + 0.15)-+ 1,96

~2’3V N7

A/tO.OW.-l-0.15V j 1,96

~V (0023

'ir+o:^ZV,96

r-G°5

70

80

100

90

80

70

60

40

30

20

Ji.

Fig. 147. Reihenschlussmotor.

durch die Rotation des Ankers in diesem induzierte elektromotorische Kraft beinahe 90⁰ Zurückbleiben und keinen Effekt darstellen.

Um also einen Nebenschlussmotor in Wechselstromstromkreisen zu betreiben, muss der Magnetismus des Feldes annähernd mit der elektromotorischen Kraft in Phase sein, d. h. die Reaktanz des Feldes müsste vernachlässigt werden. Da die Selbstinduktion des Feldes weit grösser ist als der entsprechende Widerstand, so ist die Einschaltung einer negativen Reaktanz oder einer Kapazität in dem Felde erforderlich.

um den Ankerstrom annähernd in

Ist die Selbstinduktion des Feldstromkreises durch Kapazität ausgeglichen, so wird der Motor arbeiten, sofern der Anker geringe Reaktanz besitzt und beim Anlassen in den Ankerstromkreis genügend Widerstand eingeschaltet wird Phase mit der elektromotorischen Kraft zu halten. Unter diesen Umständen werden die Gleichungen des Motors denen des Reihenschlussmotors ähnlich sein.

Solche Motoren sind jedoch nicht eingeführt worden und zwar infolge der Schwierigkeit, die Ausgleichung zwischen Kapazität und Selbstinduktion in dem Feldstromkreis aufrecht zu erhalten, die von dem Quadrat der Frequenz abhängt und die durch die geringste Änderung der Frequenz gestört wird.

Den Haupteinwand gegen den Reihen- und Nebenschlussmotor giebt die Funkenbildung am Kommutator, die infolge der Induktion sekundärer Ströme in den Ankerspulen, die unter den Bürsten hindurchgehen, entstehen. Aus der Fig. 146 ersieht man, dass bei normaler Bürstenlage zwischen den Feldpolen die Ankerspule, die unter der Bürste hindurchläuft, das gesamte magnetische Feld einschliesst. Es wird in diesem Augenblick keine elektromotorische Kraft in der Ankerspule durch ihre Rotation induziert, sondern die durch den Wechsel des magnetischen Feldes induzierte elektromotorische Kraft erreicht in diesem Moment ihr Maximum und die Spule wirkt, wenn sie durch die Bürste kurzgeschlossen ist, als kurzgeschlossene sekundäre Spule in Beziehung auf die Feldspulen als primäre, d. h. es fliesst ein starker Strom durch diese Ankerspule, der sie entweder zerstört, oder nach Unterbrechung durch die Bewegung des Ankers die Bildung schädlicher Funken verursacht.

Steinme tz, Wechselstromerscheinungen.

Um diese Schwierigkeit zu überwinden, sind verschiedene Anordnungen vorgeschlagen worden, die aber alle nicht praktisch verwendet wurden.

203. Im Vergleich mit dem Synchronmotor, der praktisch keine nacheilenden Ströme besitzt, und dem Induktionsmotor, der sehr hohe Leistungsfaktoren aufweist, ist der Leistungfaktor des Reihenschlussmotors (Fig. 147), der noch dazu eine der besten Typen dieser Art darstellt, niedrig.

Bei dem Reihenschlusswechselstrommotor, und auch bei dem Nebenschlussmotor giebt es keine tote Stellung einer Ankerspule. Es wird aber bei jeder Stellung der Ankerspule in dieser eine elektromotorische Kraft induziert und zwar in der zur Feldströmung parallelen Lage eine elektromotorische Kraft in Phase mit dem Strom, in der rechtwinkligen Lage zur Feldströmung eine elektromotorische Kraft senkrecht zu dem Strom und dazwischen liegende elektromotorische Kräfte in den Zwischenstellungen.

.    . TT N

Bei der Geschwindigkeit --- sind die beiden induzierten

elektromotorischen Kräfte in Phase und senkrecht zu dem Strom gleich und die Ankerspulen sind der Sitz eines kompletten Systems symmetrischer und ausgeglichener mehrphasiger elektromotorischer Kräfte. Daher können mittels feststehender Bürsten aus einem solchen Motor mehrphasige Ströme entnommen werden.

Kapitel XX.

Reaktionsmaschinen.

204. In den Kapiteln über Wechselstro'in-Generatoren und Induktionsmotoren wurde angenommen, dass die Reaktanz x der Maschine konstant ist. Während dies mehr oder weniger bei vielen Wechselstrommaschinen der Fal ist, ist bei anderen, und besonders bei Maschinen, die eine grosse Rückwirkung des Ankers besitzen, die Reaktanz x variabel und in den verschiedenen Lagen der Ankerspulen in dem magnetischen Stromkreise verschieden. Diese Verschiedenheit der Reaktanz verursacht Erscheinungen, die durch die analytische Berechnung, die unter der Annahme konstanter Reaktanz angestellt worden ist, keine Erklärung finden.

Es ist bekannt, dass Synchronmotoren von grosser und variabler Reaktanz im Synchronismus bleiben und imstande sind, bedeutende Arbeit zu verrichten und dass sie sogar unter Umständen mit voller Belastung arbeiten, wenn der Erregerkreis des Stromkreises unterbrochen ist, und dadurch die gegenelektromotorische Kraft Ev auf Null g gebracht ist, Manchmal laufen sie sogar mit voller Belastung, wenn der Feldstromkreis kommutiert und die gegenelektromotorische Kraft El negativ gemacht wird.

Andererseits verschwinden unter gewissen Belastungsbedingungen Strom und elektromotorische Kraft eines Generators nicht, wenn das Generatorfeld unterbrochen oder wenn es bis auf einen kleinen negativen Wert kommutiert ist, in welchem Falle der Strom gegen die elektromotorische Kraft Eq des Generators fliesst.

Ferner wird sich ein Doppel „T“ Anker ohne Wicklung in einem magnetischen Wechselstromfelde dr ehen, sobald er erst einmal zum Synchronismus gebracht ist und wird als Motor bedeutende Arbeit leisten.

Diese Erscheinungen sind weder auf remanenten Magnetismu s, noch auf die magnetisierende Wirkung der Wirbelströme zurückzuführen, weil sie auch in Maschinen mit Magneten aus Eisenblechen auftreten und ferner wenn die Wechselstrommaschine durch äussere Mittel zum Synchronismus gebracht und der remanente Magnetismus der Feldpole vorher durch einen Wechselstrom beseitigt wird.

205. Diese Erscheinungen können nicht durch die Annahme einer konstanten synchronen Reaktanz erklärt werden, weil dann, wenn keine Felderregung stattfindet, die elektromotorische Kraft oder die gegenelektromotorische Kraft der Maschine Null und die einzige in der Wechselstrommaschine vorkommende elektromotorische Kraft die der Selbstinduktion ist, d. h. die durch den Wechselstrom selbst induzierte elektromotorische Kraft. Ist aber die synchrone Reaktanz konstant, so ist die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion senkrecht zum Strom und wattlos ; d. h. sie kann weder Energie erzeugen, noch verbrauchen.

In einem Synchronmotor, der ohne Felderregung läuft, herrscht stets eine grosse Verzögerung des Stromes in Beziehung auf die Klemmenspannung, und ein Wechselstromgenerator wird eine elektromotorische Kraft ohne Felderregung nur dann erzeugen, wenn er durch einen äusseren Stromkreis von grosser negativer Reaktanz geschlossen wird; d. h. wenn er durch einen Stromkreis, in dem der Strom der elektromotorischen Kraft voreilt, wie bei einem Kondensator oder bei einem zu stark erregten Synchronmotor u. s. w., geschlossen wird.

Die Selbsterregung einer Wechselstrommaschine in Folge der Rückwirkung des Ankers kann daraus erklärt werden, dass die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion weder wattlos noch senkrecht zum Strome ist, sondern dass sie eine Energiekomponente enthält; d. h. dass die Reaktanz von der Form X = h —jx ist, wo x die wattlose Komponente der Reaktanz und h die Energiekomponente der Reaktanz bedeutet und h positiv ist, wenn die Reaktanz Energie verbraucht. In diesem Falle bleibt die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion mehr als 900 hinter dem Strom zurück, während bei negativem h die Reaktanz Energie erzeugt, in welchem Falle die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion weniger als 900 hinter dem Strom zurückbleibt.

206. Ein ähnlicher Fall ist bereits in dem Kapitel über Hystérésis, jedoch von einem anderen Gesichtspunkte aus, erörtert worden.

Es wurde dabei gefunden, dass die Wirkung der magnetischen Hystérésis die Strom welle derartig verzerrt, dass die aequivalente Sinuswelle, d. h. die Sinuswelle von gleicher effektiver Stärke und gleicher Leistung mit der verzerrten Welle, der Welle des Magnetismus um den Winkel der Hysteresisvoreilung a voraus eilt. Da die durch den Magnetismus oder durch die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion induzierte elektromotorische Kraft um 90⁰ hinter dem Magnetismus zurückbleibt, so bleibt sie um 90⁰ + a hinter dem Strom zurück. D. h. die Selbstinduktion in einem Stromkreise, der Eisen enthält, ist nicht senkrecht zum Strom und folglich nicht wattlos, sondern sie bleibt um mehr als 90⁰ zurück und verbraucht daher Energie, sodass die Reaktanz durch X — h —jx dargestellt werden muss, wo h, wie oben gesagt, der effektive hysteretische Widerstand ist.

Eine ähnliche Erscheinung findet bei veränderlicher Reaktanz oder, was dasselbe ist, bei veränderlicher magnetischer Reluktanz statt.

<P

X

2\

E

\

f

&

/

$

\

A

x

\

X

/

z

\

\

\

Fig. 148. Variable Reaktanz der Reaktionsmaschine.

<P

/

\

\

E

\

¥

/

X

-p-

X

*

Vs

\

X

/

/

Ti

t

±

Y

•j

b

3*

Fig- 149. Variable Reaktanz der Reaktionsmaschine.

207.

Es ist klar, dass, wenn die Reaktanz oder

von einem Feldpol zum

Reluktanz variabel ist, sie einen vollständigen Cyklus in der Zeit durchläuft, wo die Ankerspule nächsten läuft; d. h. während einer halben Welle des Hauptstromes. Mit anderen Worten: die Reluktanz und

die Reaktanz variieren mit der doppelten Frequenz des Wechselstromes.

Ein solcher Fall ist in den Figg. 148 und 149 veranschaulicht. Es sind die Klemmenspannung

±±

Fig. 150. Hystereseschleife der Reaktionsmaschine.

und folglich bei zu vernachlässigendem Widerstande diegegen-elektromotorische Kraft durch die Sinus welle Adargestellt, und daher ist der dadurch erzeugte Magnetismus eine Sinuswelle #>, die um 90⁰ E vorauseilt. Die Reaktanz wird durch die Sinuswelle .r dargestellt, die mit der doppelten Frequenz von E variiert und in Fig. 148 gezeichnet ist, wo sie in dieser Figur während des Wachsens des Magnetismus und in

Fig. 149 während des Sinkens des Magnetismus den maximalen Wert erreicht.

der erforderlich

Der Strom /,

ist, um den Magnetismus 0 zu erzeugen, wird aus 0 und x und aus dem Cyklus der molekularen magnetischen Reibung des Materials gefunden und die Leistung P ist das Produkt IE. Wie aus der Fig. 148 zu ersehen, ist der positive Teil von P grösser als der negative Teil; d. h. die Maschine erzeugt als Generator elektrische Energie. In der Fig. 149 ist der negative Teil von P grösser als der positive; d. h. die Maschine verbraucht elektrische Energie und erzeugt als Synchronmotor mechanische Energie. In den Figg. 150 und 151 sind die beiden hysteretischen Cyklen, oder Schleifen (Z>, / unter zwei Bedingungen gegeben. Sie zeigen, dass infolge der Änderung der Reaktanz x in dem ersten Falle der Hysteresiscyklus umgekehrt worden ist, sodass er keinen Verbrauch, sondern eine Erzeugung von elektrischer Energie darstellt, während in dem zweiten Falle der H}^steresiscyklus erweitert worden ist und nicht nur die elektrische Energie darstellt, die durch die molekulare magnetische Reibung verbraucht worden ist, sondern auch die mechanische Leistung.

208. Es ist klar, dass die Änderung der Reluktanz in Beziehung auf die Feldpole symmetrisch sein muss; d. h. dass die beiden äussersten Werte des Maximums und Minimums der Reluktanz dort stattfinden, wo sich die Ankerspule auf der Vorderseite des Feldpoles und wo sie sich zwischen den Feldpolen befindet.

Die Wirkung dieser periodischen Änderung der Reluktanz ist eine Verzerrung der Welle der elektromotorischen Kraft oder der Stromwelle, oder auch beider. Hier kann die verzerrte Welle wiederum durch die aequivalente Sinuswelle oder durch die Sinuswelle gleicher effektiver Intensität und gleicher Leistung ersetzt werden.

Der augenblickliche durch den Ankerstrom hervorgebrachte Wert des Magnetismus, der in dem Ankerleiter die elektromotorische Kraft der Selbstinduktion induziert, ist proportional dem augenblicklichen Wert des Stromes, dividiert durch den augenblicklichen Wert der Reluktanz. Da die äussersten Werte der Reluktanz mit den symmetrischen Lagen des Ankers in Beziehung auf die Feldpole Zusammentreffen, d. h. mit Null und dem Maximum der induzierten elektromotorischen Kraft E₀ der Maschine, so folgt, dass, wenn der Strom mit der elektromotorischen Kraft E₀ in Phase oder senkrecht dazu steht, die Reluktanzwelle symmetrisch zur Stromwelle und die Magnetismuswelle auch symmetrisch zur Stromwelle sein muss.

±£

-<P

Fig. 151. Hystereseschleife der Reaktionsmaschine.

Daher ist die aequivalente Sinuswelle des Magnetismus in Phase mit der Stromwelle; d. h. die elektromotorische Kraft der Selbstinduktion bleibt 90⁰, hinter dem Strom zurück und ist wattlos.

Daher kann, wenn entweder keine Phasenverschiebung stattfindet, oder bei einer Phasenverschiebung von 90⁰ eine Reaktionsmaschine weder elektrische noch mechanische Energie erzeugen.

209. Weicht dagegen die Stromwelle in der Phase von der elektromotorischen Kraftwelle um weniger als 90⁰, aber um mehr als Null ab, so ist sie in Beziehung auf die Reluktanzwelle unsymmetrisch und die Reluktanz

ist für den wachsenden Strom grösser als für den sinkenden, oder sie ist für den sinkenden Strom grösser als für den wachendsen, je nach dem Phasenverhältnis des Stromes zur induzierten elektromotorischen Kraft E₀.

Im ersten Falle ist, wenn die Reluktanz für den wachsenden Strom grösser und für den sinkenden kleiner ist, der dem Strome proportionale Magnetismus, dividiert durch die Reluktanz, für den sinkenden Strom grösser als für den steigenden; d. h. seine äquivalente Sinuswelle bleibt hinter der Sinuswelle des Stromes zurück und die elektromotorische Kraft oder die Selbstinduktion bleibt dann um mehr als 90° hinter dem Strom zurück; d. h. sie verbraucht elektrische Energie und liefert dadurch mechanische Leistung und verrichtet Arbeit als Synchronmotor.

Im zweiten Falle ist, wenn die Reluktanz für den wachsenden Strom kleiner und für den sinkenden Strom grösser ist, der Magnetismus für den wachsenden Strom grösser als für den sinkenden, oder die aequivalente Sinuswelle des Magnetismus eilt der Sinuswelle des Stromes voraus und die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion bleibt weniger als 90⁰ hinter dem Strom zurück ; d. h. sie liefert als Generator elektrische Energie und verbraucht dabei mechanischen Effekt.

In dem ersten Falle wird die Reaktanz durch X — h — jx, ähnlich wie bei der Hystérésis, dargestellt, während sie in dem zweiten Falle durch X = — h—jx dargestellt wird.

210. Der Einfluss der periodischen Änderung der Reaktanz hängt offenbar von der Natur der Änderung ab, d. h. von der Gestalt der Rcaktanzkurve. Da die Welle ohne Unterschied ihrer Form immer in eine Reihe von Sinuswellen doppelter Frequenz und ihrer höheren harmonischen Glieder aufgelöst werden kann, so kann bei der ersten Annäherung vorausgesetzt werden, dass die Reaktanz oder die Reluktanz

mit der doppelten Frequenz des Hauptstromes variiert, d. h. sie werden folgendermassen ausgedrückt:

x — a -j- b cos 2 cp.

Es sei die Induktanz oder der Koeffizient der Selbstinduktion dargestellt durch

L = l -f- (f cos 2 (f = / (i Y COS 2 cp)

wo y die Amplitude der Änderung der Induktanz ist. Es sei

u.) der Winkel der Verschiebung des Nullwertes des Stromes hinter dem maximalen Werte der Induktanz L.

Dann ist, wenn wir den Strom als Sinuswelle annehmen oder ihn durch eine aequivalente Sinuswelle von der effektiven Intensität I ersetzen, der Strom i = iV2 sin (ß — oi).

Der durch diesen S:r_>m erzeugte Magnetismus ist

wo n die Zahl der Windungen bedeutet. Folglich erhalten wir eingesetzt

llV 2

-- sin (ß — m) (i -f y cos 2 ß)

oder entwickelt

i + —| sin co cos ß >

wenn wir das Glied von dreifacher Frequenz als wattlos vernachlässigen.

Daher ist die durch diesen Magnetismus induzierte elektromotorische Kraft

dcc

n -r-

und entwickelt e — — 2 7iN11 V2 ji — — J cos w cos ß + ji + — | sinwsin/?

und der effektive Wert der elektromotorischen Kraft

E — 2 77 NU]! I

COS ² W 4-1 -j-

sin² oo

Nl l]li 4- —--y cos 2 co-

Daher ist der scheinbare Effekt, oder die Voltampere

ï 4---y cos 2 w

P₀ = IE = 2 77 NIP

J v2

2 7T iV / J; I 4---^ COS 2 Cf).

Der augenblickliche Wert des Effektes ist p — e i

= — Ą7Z N l P sin (ß — w) i —

to iv*

COS Cd COS ß 4"

to

sin cd sin ß

und entwickelt

p — — 2 71 N l P

i 4-

tO |>4

sin 2 cd sin ²    —

10

sin 2 Cf) cos² ß 4- sin ² ß j cos 2 cd — —J •

Durch Integration erhalten wir als effektiven Wert der

Leistung

P = — 77 N l P y sin 2 cd ;

also negativ, wenn w 4> o (bei zurückbleibendem Strome), d. h. die Maschine verbraucht als Synchronmotor elektrische Energie und erzeugt mechanische, und positiv, wenn ci) o (bei voreilendem Strome), d. h. die Maschine erzeugt als Generator elektrische Energie und verbraucht mechanische.

Der Leistungsfaktor ist

sin 2 Cf)

y²

2 I/ 1 4“ ~— — y cos i cd ; ¹    4

folglich ein Maximum, wenn

d co

oder entwickelt

COS 2 CO =

~+'~—~rV⁸ + y²-

Y 4    4

Die Leistung Pist ein Maximum bei gegebenem Strom /,

wenn

d. h.

sin 2 co — i ;

« = 45° •

Bei gegebener elektromotorischer Kraft E ist die

Leistung

E² y sin 2 co

und ein Maximum bei

\nNl 11 -f- —--/ cos 2 co

dP_o.

da;

oder entwickelt

COS 2 CO =

r²'

211. Daher erhalten wir bei der Klemmenspannung E und bei einem zu vernachlässigendem Widerstand, wenn wir den mittleren Wert der Reaktanz mit

x = 2 rc NI

bezeichnen, für den Strom

xi

I 4---Y COS 2 co

4

die Voltampere

Po

--Y COS 2 CO

für die Leistung

E^y sin2£o

2 x 1 -1---— y cos 2 00

\    4

für den Leistungsfaktor

f— cos (£, I) =

y sin 2 1j

,/    y²

² 1/ i -j--- — y cos 2 w

4

für die maximale Leistung bei

cos 2 co =

2»

für den maximalen Leistungsfaktor bei

COS 2 CO =

--(- — i—1/78 4- ^²

^44

co 0 beim Synchronmotor mit zurückbleibendem Strom, co <d o beim Generator mit voreilendem Strom.

Als Beispiel werden in der Fig. 152 mit dem Winkel cd als Abscissen die Werte des Stromes, der Leistung, des Leistungsfaktors für die Konstanten

E —    110

y — 0,8

gezeigt. Folglich

41

1/1,45 - COS 2 Cd

— 2017 sin 2 er)

f— cos (E, I) =

1,45 — cos 2 w

0,447 sin 2 M

^/l)45

COS 2 Cd

Wie sich aus Fig. 152 ergiebt, ist der Lesitungsfaktor einer solchen Maschine sehr niedrig und im vorliegenden Falle nicht über 40 °/₀.

Reaktion s m aschme

leistmf Strom 1800 %

E= |IO

1600

x-3 Y = 0.8

1400

⁴i'

1200 60

~V 1,45— ;os. 200

—2017 jsirTTg) "VlAs— ;os. 700

1000 60

f _    0,447 sin. 2GO

VT,45—cos. 200

800

400

F--:

Y$-----

200//I

7.

->200 10

-400    20

■000 30

-800 40

-1000 60

-1200 80

4400

-1600

Syn ęhronm oŁor

-1800

-2000

Phasen voreduny ₄__

-90 1-80 1-70 1-60 K50 t-40 1-30 ^20 |-10

__> Pfia.senn acheimng

0 KIO >20 h30 No k50 l<-60 1+70 H80

Fig. 152. Reaktionsmaschine.

Kapitel XXI.

Verzerrung der Wellen-(Kurven)form und ihre Ursachen.

212. In den vorigen Kapiteln haben wir die Wechselströme und die wechselnden elektromotorischen Kräfte als Sinuswellen oder durch aequivalente Sinuswellen ersetzt betrachtet.

Während dies in den meisten Fällen korrekt ist, wird unter gewissen Umständen die Abweichung der Kurve von der Sinusform von Wichtigkeit und bei gewissen Verzerrungen dürfte es nicht möglich sein, die verzerrte Kurve durch eine aequivalente Sinuswelle zu ersetzen, weil der Winkel der Phasenverschiebung der aequivalenten Sinuswelle unbestimmt wird. Daher erscheint es angebracht, die Verzerrung der Welle und ihre Ursachen und Wirkungen einer näheren Betrachtung zu unterziehen.

Da, wie bereits gesagt, irgend eine wechselnde Kurve durch eine Reihe von Sinusfunktionen ungraden Grades dargestellt werden kann, so löst sich die Untersuchung der Verzerrung der Wellenform in die Untersuchung der höheren harmonischen Glieder der wechselnden Kurve auf.

Im allgemeinen haben wir zwischen höheren harmonischen Gliedern der elektromotorischen Kraft und höheren harmonischen Gliedern des Stromes zu unterscheiden. Beide hängen von einander insofern ab, als bei einer Sinuswelle der Klemmenspannung eine verzerrende Wirkung eine Verzerrung der Stromkurve verursacht, während bei einer Sinusstromkurve, die durch den Stromkreis hindurchgeht, eine verzerrende Wirkung höhere harmonische Glieder in der elektromotorischen Kraft verursacht.

213. In einem Leiter, der sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit durch ein homogenes und konstantes magnetisches Feld dreht, wird eine Sinuswelle der elektromotorischen Kraft induziert. In einem Stromkreise mit konstantem Widerstand und konstanter Reaktanz erzeugt diese Sinuswelle der elektromotorischen Kraft eine Sinusstromwelle.

Daher kann eine Verzerrung der Kurvenform oder können die höheren harmonischen Glieder auf ungleichförmige Geschwindigkeit des sich drehenden Leiters, auf Ungleichförmigkeit oder Pulsation des magnetischen Feldes und auf Pulsation des Widerstandes oder der Reaktanz zurückgeführt werden.

Die ersten beiden Fälle, nämlich die Ungleichförmigkeit der Rotation oder des magnetischen Feldes, verursachen bei offenem Stromkreise höhere harmonische Glieder der elektromotorischen Kraft. Die zuletzt erwähnten Fälle, nämlich Pulsation des Widerstandes und der Reaktanz, verursachen nur dann höhere harmonische Glieder, wenn ein Strom in dem Stromkreise fliesst, d. h. also bei Belastung.

Ungleichförmigkeit der Rotation ist als Ursache der Verzerrung von keinem praktischem Interesse, weil bei Wechselstrommaschinen infolge des mechanischen Momentes die Geschwindigkeit während einer Periode beinahe immer gleichförmig ist. Daher bleiben folgende Ursachen für höhere harmonische Glieder übrig:

1.    Ungleichförmigkeit und Pulsation des magnetischen Feldes, das eine Verzerrung der induzierten elektromotorischen Kraft sowohl bei offenem Stromkreise als auch bei Belastung erzeugt.

2.    Pulsation der Reaktanz, die unter Belastung höhere harmonische Glieder erzeugt.

3.    Pulsation des Widerstandes, der ebenfalls bei Belastung höhere harmonische Glieder erzeugt.

24

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

Fassen wir die verschiedenen Ursachen der höheren harmonischen Glieder zusammen, so sind diese zurückzuführen auf die Ungleichförmigkeit und die Pulsation des magnetischen Feldes.

214. Da die meisten Wechselstromgeneratoren bestimmte und scharf definierte Feldpole besitzen, die bei den verschiedenen Typen verschiedene Dimensionen haben, so wird im allgemeinen das magnetische Feld, das mit der Ankerspule verkettet ist, nicht als einfache Sinuswelle von der Form 0 cos ß, sondern als eine komplexe harmonische Funktion variieren.

Bei einem Anker von gleichförmiger magnetischer Reluktanz ist im allgemeinen die durch die Gestalt der Feldpole verursachte Verzerrung klein und kann vernachlässigt werden, wie z. B. die Kurven in den Figg. 153 und 154, die die Kurve des Leerlaufs und der vollen Belastung der elektromotorischen Kraft einer vielnutigen Dreiphasen-Wechselstrommaschine darstellen.

Selbst wo diese harmonischen Glieder zu beachten sind, können sie mit den harmonischen Gliedern zusammen betrachtet werden, die auf die variierende Reluktanz des magnetischen Stromkreises zurückzuführen sind.

Bei eisengeschlossenen Wechselstromgeneratoren mit wenigen Nuten und Zähnen pro Pol verursacht das Passieren der Nuten an den Feldpolen eine Pulsation der magnetischen Reluktanz oder ihrer Reciproken, nämlich der magnetischen Induktanz des Stromkreises.

Infolgedessen wird der Magnetismus pro Feldpol, oder mindestens der Teil des Magnetismus, der durch den Anker geht, mit einer Frequenz 2 y pulsieren, wenn y die Zahl der Nuten pro Pol ist.

Daher kann bei einer Maschine mit einer Nute pro Pol das augenblickliche magnetische Feld, das mit den Ankerleitern verkettet ist, durch die Gleichung (f — 0 COS ß [1 + s cos (2 ß- Cö)]

ausgedrückt werden, wo (f das mittlere magnetische Feld, * die Amplitude der Pulsation und co die Phase der Pulsation ist.

In einer Maschine mit y Nuten pro Pol ist das augenblickliche mit den Ankerleitern verkettete Feld annähernd (f — 0 cos ß [i -f « COS (2 y ß — Cd)], wenn angenommen wird, dass die Pulsation des magnetischen Feldes dem einfachen Sinusgesetz folgt.

Im allgemeinen ist das mit den Ankerleitern verkettete magnetische Feld

<f = O COS ß [1 + COS (2ß — 01J + f₂ cos (4 ß —co₂) + • • .], wo das Glied sy vorherrscht, wenn y die Zahl der Ankernuten pro Pol bedeutet.

Die allgemeine Gleichung schliesst auch die Wirkung der Ungleichförmigkeit des magnetischen Feldes ein.

Bei der Pulsation des magnetischen Feldes mit der Frequenz 2 yf wenn der Anker pro Pol y Nuten besitzt, ist der mit der Ankerspule verkettete augenblickliche Wert als Magnetismus

cp = 0 cos ß [1 -f « cos (2 y ß — cd)] •

Folglich ist die dadurch induzierte elektromotorische

Kraft

dq>

—    « ~r~

d t

dß

—    V 2 n N n0~ jcos ß [1 -(- « cos (2 y ß — co)] \ •

Entwickelt erhalten wir:

e —    2 n N n 0 |sin ß Ą- s

² ^ sin [(2 y — 1) ß — cd]

²    sin [(2 y + 1) ß — cd] ! •

Folglich führt die Pulsation des magnetischen Feldes mit der Frequenz 2 y, herrührend von y Nuten pro Pol, zwe harmonische Glieder der Ordnung (2 y — 1) und (2 y -{- 1) ein.

24*

HO

Bei

Leer/auf

130

x,--146,5

yi ⁼

120

110

100

90

SO

70

l\

60

50

30

1:

20

IO

1-10

IO

20

30

10 |50

00

70

80

90

100

110

laomöiiio

150 ICO

170

180

Fig. 153. Kurve der elektromotorischen Kraft einer vielnutigen dreiphasigen Maschine bei Leerlauf.

130

Bei

BeHsit.ng

120

x, =127,0

110

100

90_

80

70

60

50

40_

30

20

\\

10

10

20

30

40

50

to

21

80

_90_

100 1110

120

130

140

150

160

170

180

Fig- *54- Kurve der elektromotorischen Kraft einer vielnutigen dreiphasigen Maschine bei voller Belastung.

215. Wenn y = 1, so ist

= V2TC N nO [sin 0    ^ sin (0 — 00) -f ~ sin (3 ß — w)] ;

d. h. bei einer einnutigen Einphasen-Maschine kann man nur ein dreifaches harmonisches Glied, aber keine höheren harmonischen Glieder erwarten.

130

wo

90

jo

70

JO.

50

40

30

20

Sirucs/<ompo ycierWeile

h<p =ir

nentot

> i si 1 iy

Xi = Xj —

x»-

104 ~

24,:

4,8

6j8_

rt-2,6:" Xji^ti.rs x,j-=r>, n

J3

loi 2

0°

30°

-A-

OiS.Xcmfio. d-er Welle

me/itcn

y.=-a.

y₆ = Ą72

y,—-1,4a

XerJsyu-np van Wechs.elsirom/curven \ f(^>)⁼aS'i(x|i si|r> i jri cjsi<p)[i=2n 1] Monocvk&scfie MascJurre .\2-\ 50-1:00 JCdup-tspule. bei Xeenieacf n

r\

■y^

-',2

401 50r ,6 0°    70° 80°    90'

0,027 sm(9<

•-sr?5Kim

vr-

110°

1 20°

130*

150" 160

19 sin (1

BTsirîC

nwÇ^rr

180,‘

n-f-42)

Fig. 155. Kurve der elektromotorischen Kraft bei Leerlauf einer einnutigen monocyklischen Wechselstrommaschine.

Fig- 155 stellt die Kurve der elektromotorischen Kraft der Hauptspule einer normalen monocyklischen Wechselstrommaschine bei Leerlauf dar. Diese Kurve wird durch folgende Formel dargestellt:

e — E [sin ß — 0,242 sin (3 ß — 6,3) — 0,046 sin (5 ß — 2,6) -f 0,068 sin (7 0 — 3,3) — 0,027 sin (9 ß — IO»°) — 0,018 sin (11 0 — 6,6) -j- 0,029 sin (x3 ß — 8,2)].

Es ergiebt sich, wie man es auch nicht anders erwarten konnte, ein ausgesprochenes drittes harmonisches Glied. Wenn y — 2, so ist e — V 2 n N n 0 sin 0 + — sin (3 0 — eo) -j- — sin (5 0 — co)

2 2

wobei die Kurve für den Leerlauf einer einnutigen vier-phasigen Maschine ein ausgeprägtes drittes und fünftes harmonisches Glied enthält.

Wenn y — 3, so ist e = V2 TtNnO sin ß 4- — sin(5/S—w) -f ^ sin (7 ß— co) .

D. h.: Bei einer einnutigen Dreiphasen-Maschine kann ein ausgeprägtes fünftes und siebentes harmonisches Glied erwartet werden, aber kein drittes harmonisches Glied.

140

130

120

SinusJtomrujnxnUn.

Cos. kèriftonenier*

110

. der Welle

100

f m=

~2\ xi

zier, Welle*

J)0.

*l”

X₃=

80

Xs =

- 109^."5

-124.

sin

ix

f(<P

)=sr 1 co,s ^

22,8

I2,4l

y.“io,śb

y-3-^3,25

y₅=

-IC?8

70

x,=

*-u=

tu

60

X,a-

.5,85

.y^in⁸',

-y^=.24p

y,r

-4,?

50

40

iff

y,f3,3£

30

20

10

Xenlegunff von Wechselslromkurvesi e= * [y)|^j(xi ]in ijy-t-jyi oos i<p) [i-2n-1] ju>reip.ha*enfcrteralar mtl /. Mile çrc Pol undd/iase. /Z /50 600 Verkettete Sftannuru/ ohne Jj/ist.

10

10

20

30

40

^iisTo£’

50    6 0    70 |80    90    1 00

110

•20

HO

150

160 170( 180

Fig. 156. Kurve der elektromotorischen Kraft einer einnutigen Dreiphasen-Wechselstrommaschine bei Leerlauf.

Fig. 156 stellt die Kurve einer normalen einnutigen Dreiphasen-Maschine bei Leerlauf dar, die durch folgende Formel ausgedrückt wird;

e=E[sinß— 0,12 sin(3^—2,3)—0,23 sin (5/S —1,5) + 0,134 sin (r]ß — 6,2) — 0,002 sin (9 ß -f- 27,7) — 0,046 sin (nß —

5.5) + «W¹ sin (!3ß — 61,51].

Diese zeigt ein ausgesprochenes fünftes und siebentes, dagegen weniger ein drittes harmonisches Glied, wahrscheinlich infolge der Ungleichförmigkeit des Feldes und der Abweichung der Pulsation der Reluktanz von der Sinusform.

Wenn ganz allgemein die Pulsation der magnetischen Induktanz durch die Gleichung

00

ty cos (2 yß — coy),

ausgedrückt wird, so ist das augenblickliche magnetische Feld

o°

(f = 0 cos ß i -p fy COS (2yß

V ⁶Y

iß—Wl) + 2j ircos

i

((2y + I)ß~ Wy+l)

— <»y)

= 0 I COS ß -p —

a    \    1    + ¹

ß — *°y) + —

cos

cos

00

((2 y + 1)

folglich die elektromotorische Kraft

I sin ß

— sin (ß — toj + 2.*}    ¹

2    j 2

[«y sin ((2y + I) ß — (Oy) + «y+i sin ((2y + 1) ß — a>y+1)]! •

Pulsation der Reaktanz.

216. Die Hauptursachen einer Pulsation der Reaktanz sind erstens die magnetische Sättigung und die Hystérésis und zweitens die synchrone Bewegung.

Da in einem eisengeschlossenen Stromkreise der Magnetismus der magnetomotorischen Kraft nicht proportional ist, so unterscheidet sich die Kurve des Magnetismus und infolgedessen auch die Kurve der elektromotorischen Kraft von der Stromwelle. Soweit diese Verzerrung auf die Änderung der Permeabilität zurückzuführen ist, ist die Verzerrung eine symmetrische und die Kurve der induzierten elektromotorischen Kraft stellt keine Energie dar. Die durch Hystérésis verursachte Verzerrung oder die Verzögerung des Magnetismus hinter der magnetomotorischen Kraft verursacht eine unsymmetrische Verzerrung der Kurve, die die Kurve der induzierten elektromotorischen Kraft um mehr als 90⁰ von der Stromwelle ab weichen lässt; sie stellt somit Energie dar, nämlich die durch die Hystérésis verbrauchte Energie. In der Praxis liegen beide Wirkungen stets übereinander; d. h. bei einer durch Eisenmassen erzeugten Induktanz findet infolge des Mangels an Proportionalität zwischen dem Magnetismus und der magnetomotorischen Kraft eine Verzerrung der Wellenform statt, wie dies bei dem Hysteresiscyklus zum Ausdruck gekommen ist.

Diese Pulsation der Reaktanz giebt zu einer Verzerrung Veranlassung, die hauptsächlich aus einem dreifachen harmonischen Gliede besteht.

Solche Stromwellen, die durch Hystérésis verzerrt sind, nebst einer Sinuswelle der Klemmenspannung, sind in den Figg. 66 bis 69, in dem Kapitel X über Hystérésis, vor Augen geführt. Ist andererseits der Strom eine Sinuswelle, so weichen Magnetismus und elektromotorische Kraft von der Sinusform ab.

Weitere Erörterungen über diese Verzerrung der Wellenform durch die Hystérésis sind in dem Kapitel X erwähnt.

217. Eine Verzerrung der Wellenform findet auch noch durch die Pulsation der Reaktanz infolge der synchronen Rotation statt, wie dies bereits in dem Kapitel über Reaktionsmaschinen besprochen worden ist.

In den Figg. 148 und 149 sind neben einer Sinuswelle der Klemmenspannung noch die verzerrten Stromwellen konstruiert worden.

Wenn eine Sinuswelle des Stromes i — I cos ß

durch einen Stromkreis mit synchron variierender Reaktanz fliesst, wie z. B. bei dem Anker einer ein-nutigen Wechselstrommaschine, oder eines Synchronmotors; oder allgemeiner, wenn eine Wechselstrommaschine, deren Reluktanz des Ankers in den verschiedenen Lagen in Beziehung auf die Feldpole verschieden gross ist, und die Reaktanz ausgedrückt wird durch

X = x [1 s ços (2 ß — 0;)] ;

oder allgemeiner durch

00

X =z

so ist die Kurve des Magnetismus

C0Sß=^Nn

271N n

cos

CO

ß + Sy cos /3

COS (2 Y ß — Wy)

CO

27V N n

- cos

v fy + I

((2 y + 1) ß — «y) + —-

cos

((2 y + i)ß —

folglich die Kurve der induzierten elektromotorischen Kraft

d(f)    d vp

— n —X — — 271 JM n ■ —

00

x^i sin ß + — sin(/3—wx) +

2 y -j- I r-

⁷----[Sy sin ((2/+I)

ß — Wy) + fy + i sin ((2 Y + 1) ß

»h + 0]j;

d. h. die Pulsation der Reaktanz führt mit der Frequenz 2 y zwei höhere harmonische Glieder von der Ordnung (2 y — 1) und (2 y + 1) ein.

Wenn

X = x[i -j- s cos (2 ß — Cö)],

so ist

8 8

cos ß Ą--- cos (ß — w) -j— cos (3/3 — co) ;

8    O £

e = x sin ß -f- — sin (ß — 00) -j--- sin (3/3 — co) .

Vf =

27t N n

Da die Pulsation der Reaktanz infolge der magnetischen Sättigung und der Hystérésis im wesentlichen die Frequenz 2 N besitzt, d. h. einen kompletten Cyklus für jede halbe Stromkurve beschreibt, so sieht man daraus, warum die Verzerrung der Wellenform infolge der Hystérésis hauptsächlich aus einem dritten harmonischen Gliede besteht.

Die Phasenverschiebung zwischen e und i und die in dem elektrischen Stromkreise verbrauchte oder erzeugte Energie hängt daher, wie bereits früher gezeigt, von dem Winkel co ab.

218. Im Falle einer Verzerrung der Wellenform durch Reaktanz können die verzerrten Kurven durch ihre aequi-valenten Sinuswellen ersetzt werden und die Untersuchung kann in den meisten Fällen unter der Annahme von Sinuswellen, wie dies in den früheren Kapiteln bereits geschehen ist, mit genügender Genauigkeit ausgeführt werden. Ähnliche Erscheinungen finden in Stromkreisen statt, die Polarisationszellen, durchlässige Kondensatoren, oder andere Apparate enthalten, die eine synchron variierende negative Reaktanz ergeben. Es ist auch möglich, dass die dielektrische Hystérésis bei den Kondensatoren eine Verzerrung verursacht, die ähnlich jener ist, die auf magnetische Hystérésis zurückzuführen ist.

Pulsation des Widerstandes.

219. Die Untersuchung der Wirkung einer synchronen Pulsation des Widerstandes fällt bis zu einem gewissen Grade mit der der Reaktanz zusammen, weil eine Pulsation der Reaktanz, wenn sie in Beziehung auf die Stromkurve unsymmetrisch ist, eine Energie-Komponente einführt, die durch einen effektiven Widerstand dargestellt werden kann. Wiederum führt eine unsymmetrische Pulsation des Ohm’schen Widerstandes eine wattlose Komponente ein, die als „effektive Reaktanz“ bezeichnet wird.

Ein typisches Beispiel eines synchron pulsierenden Widerstandes wird durch den Wechselstromlichtbogen dargestellt.

Der scheinbare Widerstand eines Lichtbogens hängt von dem durch diesen laufenden Strom ab; d. h. der scheinbare

SpanmingsdifTerenz zwischen Elektroden

Strom

Widerstand des Lichtbogens ist für kleine Ströme gross und für grosse Ströme klein. Daher variiert in einem Wechselstromlichtbogen der scheinbare Widerstand während jeder halben Stromwelle zwischen einem maximalen Werte bei dem Strom Null und einem

minimalen Werte bei dem maximalen Strome und beschreibt in Folge dessen einen kompletten Cyklus während einer halben Stromwelle.

Es sei der effektive Wert des Stromes, der durch den Lichtbogen fliesst, mit I bezeichnet.

Dann wird der augenblickliche Wert des Stromes, wenn man die Stromwelle als Sinuswelle annimmt, durch i =V 2 sin ß

und der scheinbare Widerstand des Lichtbogens näherungsweise durch

R = r (i -f f cos 2 (f )

dargestellt; daher ist die Spannungsdifferenz am Lichtbogen

e = i R = IV2, r sin y (1 -f- e cos 2 (p)

= rlVz J¹ = sin ff + I sin 3 ff

folglich der effektive Wert der Spannungsdifferenz

WMF

Ć²

und der scheinbare Widerstand des Lichtbogens

r₀ = j= r ]/1 — £ +

Daher ist der von dem Lichtbogen augenblickliche verbrauchte Effekt

|i — —I sin² (ff — sin cp sin 3 cp

folglich die effektive Leistung

P—rP i

Der scheinbare durch den Bogen verbrauchte Effekt, ausgedrückt in Voltampere, ist

£~

IE = r/² "j/1 — s 4—> folglich der Leistungsfaktor des Lichtbogens

I--

IP

also kleiner als die Einheit.

220. Wir haben hier einen Lall, in dem der Leistungs-

faktor oder das Verhältnis

ohne irgendwelche

Watt

Voltampere

Phasenverschiebung von der Einheit abweicht; d. h. während der Strom und die elektromotorische Kraft in Phase miteinander aber verzerrt sind, kann die Wechselstromwelle nicht durch eine aequivalente Sinuswelle ersetzt werden, weil die Annahme einer solchen eine Phasenverschiebung cos co — f herbeiführen würde, wo das Vorzeichen des Winkels co unbestimmt ist.

Als Beispiel werden in der Lig. 157 für I — 12, r— 3 und 2 — 0,9, der Widerstand R — 3 (1 + °>9 cos 2 ß)> der Strom i — 17 sin ß und die Spannungsdifferenz e = 28 (sin ß -f 0,82 sin 3/?) dargestellt.

In diesem Lalle ist die effektive elektromotorische Kraft E = 25,5,

der scheinbare Widerstand

der Effekt

ro = ²J¹3>

P = 244,

der scheinbare Effekt

EI— 307

und der Leistungsfaktor

f — 0,796.

7\

7\

r\

TS

veränderlicher Widerstand

3 (1 + 09 cos 2 ß) C =17j sinj/3

28 (sin

+ 0.62s n 3

Fig. 157. Periodisch variierender Widerstand.

Man sieht, dass bei einer sinusförmigen Stromwelle die Kurve der elektromotorischen Kraft eines Wechselstromlichtbogens zwei Spitzen besitzt und sehr steil bis nahe auf die Nullwerte des Stromes steigt. Andererseits gestaltet sich bei einer Sinuswelle der elektromotorischen Kraft die Stromwelle eines Wechselstromlichtbogens spitz und wird sehr flach in der Nähe der Nullwerte der elektromotorischen Kraft.

Natur

221. In Wirklichkeit ist die Verzerrung mehr komplexer weil die Pulsation des Widerstandes in dem

Lichtbogen nicht dem einfachen Gesetz der doppelten Frequenz folgt, sondern weil sie nahe dem Nullwert des Stromes stärker variiert, indem dadurch das Variieren der elektromotorischen Kraft nahe dem Nullwert des Stromes

jäher, oder umgekehrt, das Variieren des Stromes allmählicher stattfindet.

1-

j.

13 11 ly

71/8    10 11 13

Ein von ETancf regui/rterZ/cftfóoye/i

I. Wechselspannung

—    Æ Wechselstrom.

-    JE. Wla.it

16 17 18 19 20 21 22 23 24\ '25

4-

X_i

Fig. 158. Elektrischer Lichtbogen.

Eine typische Welle der Spannungsdifferenz mit einer Sinuswelle des Stromes, der durch den Lichtbogen fliesst, ist in der Fig. 158¹) dargestellt.

222. Der Wert s, die Amplitude der Pulsation des Widerstandes hängt grösstenteils von der Beschaffenheit der Elektroden und von der Beständigkeit des Lichtbogens ab und ist bei weichen Kohlen und beständigem

Lichtbogen klein und der Leistungsfaktor f des Lichtbogens ist nahezu eins. Bei harten Kohlen und unruhigem Lichtbogen wächst s. Es erscheinen dann höhere harmonische Glieder bei der Pulsation des Widerstandes, während der Leistungsfaktor / sinkt, der manchmal nicht grösser als 0,6 ist.

Die Folge davon ist, dass photometrische Versuche eines Wechselstromlichtbogens nur geringen Wert haben, wenn ausser dem Strom und der Spannung nicht auch die Energie mittelst eines Elektrodynamometers bestimmt wird.

Kapitel XXII.

Wirkungen höherer harmonischer Glieder.

223. Um das Variieren der Form von Wechselstromwellen, verursacht durch verschiedene harmonische Glieder, zu erklären, werden in den Figg. 159 und 160 die Kurven dargestellt, die durch das Übereinanderlagern der dritten

Verzerrung der Kurven form -dureń ein dreifaches . harmonisches Gh'ed / Smß- O. 3 h3/}-ćO)/

Fig. 159. Wirkung eines dritten harmonischen Gliedes und fünften harmonischen Glieder über die fundamentale Sinus welle erzeugt werden.

In der Fig. 159 werden die fundamentale Sinuswelle und die komplexen Wellen, die durch die Überemanderlagerung eines dritten harmonischen Gliedes von 30°/₀ der Amplitude der Fundamentalwelle unter den relativen Phasenverschiebungen von o°, 45⁰, 90⁰, 135⁰ und 180⁰ hervorgebracht werden, dargestellt durch:

sin ß

sin ß — 0,3 sin 3/? sin ß — 0,3 sin (3 ß — 45⁰) sin ß — 0,3 sin (3 ß — 90°) sin ß — 0,3 sin (3 ß — 135⁰) sin ß — 0,3 sin (3    — 180”).

Wie man sieht, ist die Wirkung des dritten harmonischen Gliedes in der ersten Figur die, dass die Nullwerte abgeflacht und die maximalen Werte der Welle zugespitzt sind, sodass wir eine sogenannte spitze Welle erhalten. Bei wachsender Phasenverschiebung des dritten harmonischen Gliedes steigt die Abflachung von Null und verwandelt sich allmählich zu einer zweiten Spitze, indem sie schliesslich eine Welle mit breitem erhöhten Anlauf, oder sogar eine Welle mit zwei Spitzen mit steilem Nullpunkt ergiebt. Die Zwischenlagen stellen eine zackige Welle dar.

In der Fig. 160 sind die fundamentale Sinuswelle und die komplexen Wellen gezeichnet, die durch Übereinanderlagerung eines fünften harmonischen Gliedes von 20% der Amplitude der Fundamentalwelle unter der relativen Phasenverschiebung von o°, 45⁰, 90⁰, 135⁰, 180⁰ erzeugt und durch die Gleichungen:

sin ß

sin ß — 0,2 sin 5 ß sin ß — 0,2 sin (5^ — 45°) sin ß — 0,2 sin (5 ß — 90°) sin ß — 0,2 sin (5 ß — 135⁰) sin ß — 0,2 sin (5 ß — 180°).

dargestellt werden.

[§223

Das fünfte harmonische Glied verursacht eine oben flache Welle oder sogar eine mit zwei Spitzen, die beim Wert Null abgeflacht ist. Bei wachsender Phasenverschiebung wird die Welle ebenfalls eine zackige Welle.

Verzerrung der Kun/enForm durch ein Fü nFFaches \ harmonisches Glied.    /

\ Ś'n    (5 ß—C3) f

Fig. 160. Wirkung des fünften harmonischen Gliedes.

Der abgeflachte Verlauf bei Null wird steiler und es bildet sich eine dritte Spitze, während von den beiden früheren Spitzen die eine steigt und die andere sinkt.

Die Welle verwandelt sich allmählich zu einer dreifachen, zugespitzten, mit einer Hauptspitze und einem steilen Durchgang durch Null.

Wie man sieht, zeigt das dritte harmonische Glied oben einen flachen Verlauf, oder die doppelte Spitze und zugleich steilen Durchgang durch Null, während bei dem

Sin /3-0.15s n iß-010sin 5/

Sm/?q225 sm <3/3-180)

0,05 sm (5/3*180)

Sin,/?-g^5sin (3/3-180 )

“0,10 Sin.5y3

Sin/3'0,1 &sin 3/7-0,10sin

(5/3-180)

Fig. 161. Einige charakteristische Wellenformen.

fünften harmonischen Glied ein flacher Verlauf oben, oder die doppelte Spitze mit einer Abflachung beim Werte Null zusammenfällt.

zusammen.

Eine scharfe Spitze stösst mit einer Abflachung des Nullwertes bei der dritten und mit steilem Verlauf beim Werte Null bei dem fünften harmonischen Gliede

Daher kann im allgemeinen aus der einfachen Betrachtung der Wellenform das Bestehen dieser ersten harmonischen Glieder gefunden werden.

Einige charakteristische Kurvenformen sind in der Fig. 161 dargestellt.

Abflachung oben mit Abflachung beim Wert Null:

sin ß — 0,15 sin 3 ß — 0,10 sin 5 ß.

Abflachung oben mit steilem Nulldurchgang:

sinß—0,225 sin(3 ß — 180⁰) — 0,05 sin(5.?—180⁰). Doppelte Spitze mit steilem Nulldurchgang:

sin ß — 0,15 sin (3 ß — 180⁰) — 0,10 sin 5 ß. Scharfe Spitze mit steilem Nulldurchgang:

sin ß — 0,15 sin 3 ß — 0,10 sin (5 ß — 180⁰).

224. Da die Verzerrung der Wellenform in der Übereinanderlagerung höherer harmonischer Glieder besteht, d. h. vonWellen höherer Fequenz, so sind die Erscheinungen, die in einem Stromkreis durch eine solche Welle stattfinden, der kombinierte Effekt der verschiedenen Wellen.

Daher sind in einem nicht-induktiven Stromkreis der Strom und die Spannungsdifferenz in den verschiedenen Teilen des Stromkreises von derselben Gestalt wie die Klemmenspannung. Wenn hinter einen nicht-induktiven Stromkreis Selbstinduktion geschaltet wird, so verbraucht die Selbstinduktion mehr elektromotorische Kraft von den höheren harmonischen Gliedern, weil die Reaktanz proportional zur Frequenz ist und daher zeigt der Strom und die elektromotorische Kraft in dem nicht-induktiven Teil des Stromkreises die höheren harmonischen Glieder in einer reduzierten Amplitude. D. h. Selbstinduktion in Hintereinanderschaltung zu einem nicht-induktiven Stromkreis reduziert bezw. dämpft die höheren harmonischen Glieder oder macht die Welle mehr der Sinusgestalt ähnlich. Umgekehrt verbraucht Kapazität in Hintereinanderschaltung zu einem nicht-induktiven Stromkreis bei höherer Frequenz weniger elektromotorische Kraft, als bei niedriger und macht daher die höheren harmonischen Glieder des Stromes und der Spannungsdifferenz in dem nicht-induktiven Teil des Stromkreises mehr ausgesprochen — d. h. verstärkt die harmonischen Glieder.

Selbstinduktion und Kapazität in Hintereinanderschaltung können infolge vollständiger oder teilweiser Resonanz eine Steigerung der Spannung verursachen.

225. Bei Fernübertragungen über Leitungen von beträchtlicher Induktanz und Kapazität kann eine Spannungssteigerung infolge Resonanz unter Umständen bei höheren harmonischen Gliedern erwartet werden, da dies Wellen von höherer Frequenz sind, während die Fundamentalwelle im allgemeinen von zu niedriger Frequenz ist, um Resonanz zu verursachen.

Eine annähernde Schätzung der möglichen Steigerung infolge Resonanz mit verschiedenen harmonischen Gliedern erhält man durch Untersuchung eines numerischen Beispieles.

In einer Fernübertragungsleitung, die durch einen Transformator für Aufwärtsumformung gespeist wird, sei: der Widerstandsabfall in den Transformatoren bei voller Belastung — 1 °/0l

der Induktionsabfall in den Transformatoren bei voller Belastung = 5 °/₀,

der Widerstandsabfall in der Leitung bei voller Belastung = IO°/o»

der Induktionsabfall in der Leitung bei voller Belastung = 20% in der Fundamentalwelle, die Kapazität oder der Ladestrom der Leitung = 20 °/0 des vollen Belastungsstromes I bei der Frequenz der F undamentalwelle.

Die Leitungskapazität kann annähernd dargestellt werden durch einen Kondensator, der in der Mitte der Leitung im Nebenschluss liegt. Die elektromotorische Kraft an den Generatorklemmen E wird als konstant angenommen.

Die durch den Widerstand des Stromkreises von den Generatorklemmen zum Kondensator verbrauchte elektromotorische Kraft ist

Ir = 0,06 E,

oder

r = 0,06 —

Die elektromotorische Kraft der Reaktanz zwischen den Generatorklemmen und dem Kondensator ist für die fundamentale Frequenz

Ix — 0,15 E,

oder

x = 0,15-7.

daher ist die Reaktanz, entsprechend der Frequenz (2k — 1) N der höheren harmonischen Glieder:

x (2 k — 1) — 0,15 (2 k — 1)

Der Kapazitätsstrom bei der fundamentalen Frequenz ist i — 0,2 /,

folglich bei der Frequenz: (2 k— 1) N:

i = 0,2 (2 k — 1) er — » E

wenn

ten

harmonischen

e' — elektromotorische Kraft der (2 k— i)ten harmonischen Glieder am Kondensator, e — elektromotorische Kraft der (2 k — 1)

Glieder an den Generatorklemmen ist.

Die elektromotorische Kraft am Kondensator ist: e* — Ve* — Pr² -f- ix (2 k — i)²;

folglich eingesetzt:

Vi — 0,059856 (2 k — i)² -f- 0,0009 (2 k — i)⁴’ Spannungssteigerung durch Induktanz und Kapazität.

Setzen wir ein:

oder 2, k — 1 so ist

11

« = 1,03    1,36    3,76    2,18    0,70    0,38.

D. h. die Fundamentalwelle steigt bei offenem Stromkreis um 3 °/₀, das dritte harmonische Glied um 36 °/₀, das fünfte harmonische Glied um 276 °/₀, das siebente harmonische Glied um 118 °/o> während die noch höheren harmonischen Glieder reduziert werden.

Die maximale Steigerung findet statt für

oder

d (2 k — 1)

o,

k = 5)77)

d. h. bei einer Frequenz

und ist:

N = 346 a = 14,4.

D. h. vollständige Resonanz erscheint bei einer Frequenz zwischen dem fünften und siebenten harmonischen Gliede und würde die Spannung bei dieser Frequenz um das 14,4 fache erhöhen.

Soll die Spannung die Klemmenspannung um nicht mehr als 100 °/₀ überschreiten, selbst bei Zusammentreffen des maximalen harmonischen Gliedes mit der maximalen Fundamentalwelle, so muss das dritte harmonische Glied weniger als 70 °/₀, das fünfte harmonische Glied weniger als 26,5 °/0 und das siebente harmonische Glied weniger als 46 °/₀ der Fundamentalwelle betragen.

Die Spannung wird nicht das zweifache der normalen überschreiten, selbst bei einer Frequenz vollständiger Resonanz mit den höheren harmonischen Gliedern, wenn keine der höheren harmonischen Glieder mehr als 7% der Fundamental welle beträgt.

Hieraus folgt, dass die Gefahr der Resonanz in Hochspannungsleitungen im allgemeinen sehr überschätzt wird.

226. Der von einer komplexen harmonischen Welle in einem nicht-induktiven Stromkreis entwickelte Effekt ist die Summe der Effekte der einzelnen harmonischen Glieder. Wenn daher über eine Wechselstrom-Sinus welle höhere harmonische Wellen gelagert sind, so werden die effektive elektromotorische Kraft und der durch diese Welle erzeugte Effekt in einem gegebenen Stromkreis oder bei einem gegebenen effektiven Strom erhöht. Infolgedessen geben Wechselstrommaschinen und Synchronmotoren von eisengeschlossener einnutiger Konstruktion — d. h. Maschinen, die Wellen mit ausgesprochenen höheren harmonischen Gliedern ergeben — bei derselben Windungszahl auf dem Anker und derselben Kraftlinienzahl pro Feldpol bei derselben Frequenz eine höhere Leistung als Maschinen, die gebaut werden, um Sinuswellen zu erzeugen.

227. Dieses erklärt ein scheinbares Paradoxon:

Wenn in einem dreiphasigen Generator mit Sternschaltung, dessen magnetisches Feld so konstruiert ist, wie diagrammatisch in der Fig. 162 dargestellt, die Kraftlinienzahl pro Pol 0, die Windungszahl in Hintereinanderschaltung pro Stromkreis = n, die Frequenz = N ist,

so ist die elektromotorische Kraft zwischen irgend zwei Schleifringen

E = V2 n N 2 n 0 10 — 8,

da 2n Ankerwindungen gleichzeitig mit der Kraftlinienzahl 0 verkettet sind.

Die elektromotorische Kraft pro Ankerstromkreis ist: e — V2 n N n 0 10 — 8 ;

folglich die elektromotorische Kraft zwischen den Schleifringen als Resultante der beiden elektromotorischen Kräfte e, die um 60⁰ gegen einander verschoben sind E — e V 3 = V 2 TT N V 3 n 0 10 während dieselbe elektromotorische Kraft durch direkte Berechnung aus der Windungszahl, aus der Kraftlinienzahl

und aus der Frequenz gleich 2,e gefunden wurde, d. h. die beiden für dieselbe elektromotorische Kraft gefundenen Werte haben das Verhältnis F 3 : 2 = 1 : 1,154.

2:

—-t

Sx,

//

Fig. 162. Dreiphasen-Generator in Sternschaltung.

Diese Verschiedenheit ist auf das Vorhandensein ausgesprochenerer höherer harmonischer Glieder in der Welle e als in der Welle E = e X V 3 zurückzuführen, die in der Gleichung vernachlässigt worden sind.

Hieraus folgt, dass, während die elektromotorische Kraft zwischen zwei Schleifringen in der Maschine, die in der Fig. 162 diagrammatisch dargestellt ist, nur e X F3 ist, man dadurch, dass man dieselbe Windungszahl in einer, statt in zwei Nuten unterbringt, die elektromotorische Kraft ze, oder einen 15,4% höheren Wert, d. h. eine grössere Leistung erhält.

Es folgt hieraus, dass die verzerrte Elektromotorische-kraftwelle einer einnutigen Wechselstrommaschine durch ein geringeres magnetisches Feld pro Pol erzeugt wird, — d. h. im allgemeinen bei einem geringeren Hysteresis-verlust im Anker oder bei besserem Wirkungsgrad — als bei einer Sinuswelle bei gleicher Windungszahl.

228. Wird umgekehrt eine solche verzerrte Elektro-motorischekraftwelle als Klemmenspannung einem magnetischen Stromkreise zugeführt, wie z. B. einem Transformator, so wiederholt die Welle des die Primärspule durchfliessenden Magnetismus die Welle des mit den Ankerspulen der Wechselstrommaschine verketteten Magnetismus, und daher wird bei einer geringeren maximalen Kraftlinienzahl dieselbe effektive gegenelektromotorische Kraft erzeugt; d. h. derselbe Effekt im Transformator umgewandelt. Da der Hysteresis-Verlust im Transformator von dem maximalen Werte des Magnetismus abhängt, so folgt daraus, dass der Hysteresisverlust in einem Transformator bei einer verzerrten Welle einer einnutigen Wechselstrommaschine geringer ist, als bei einer Sinuswelle.

Bei verzerrten Wellen einnutiger Maschinen arbeiten Generatoren, Transformatoren und Synchronmotoren — und Induktionsmotoren, insofern sie Transformatoren sind — mit besserem Wirkungsgrad.

229.

anderen Gesichtspunkte aus betrachten:

Dasselbe Problem lässt sich noch von einem

Wird einem Transformator eine Sinuswelle der elektromotorischen Kraft zugeführt, so ist dieWelle des Magnetismus gleichfalls eine Sinuswelle. Wenn nun über die Sinuswelle der elektromotorischen Kraft höhere harmonische Glieder, wie Wellen von dreifacher, fünffacher u. s. w. Frequenz so gelagert werden, dass die entsprechenden höheren harmonischen Sinuswellen des Magnetismus den Maximalwert nicht erhöhen, oder ihn sogar durch Zusammenfallen ihrer negativen Maxima mit dem positiven Maximum der Fundamentalwelle erniedrigen, so wird in diesem Falle der ganze Effekt dieser höheren harmonischen Glieder von elektromotorischer Kraft ohne Zunahme des Hysteresisverlustes, oder sogar mit geringerem Hysteresisverlust transformiert.

Fällt dagegen das Maximum der höheren harmonischen magnetischen Welle mit dem Maximum der Fundamentalwelle zusammen und wird die magnetische Welle dadurch mehr zugespitzt, so wird der Hysteresisverlust mehr als im Verhältnis zu dem erhöhten transformierten Effekt erhöht; d. h. das Güteverhältnis des Transformators wird niedriger.

D. h. manche verzerrte elektromotorische Wellen werden mit einem geringeren, manche bei einem höheren Hysteresisverlust als die Sinuswelle transformiert, wenn der Transformator dieselbe Klemmenspannung hat.

Die Wellen einer einnutigen Wechselstrommaschine und die erste Welle in Fig. 159 gehören zu der ersten Art. Die Wellen von Gleichstrommaschinen, denen an zwei gegenüberliegenden Punkten des Ankers der Strom abgenommen wird, und die letzte Welle in Fig. 159 gehören im allgemeinen zur zweiten Art.

230. Was den Energieverlust durch Wirbel- oder Foucault-Ströme betrifft, so wird dieser durch die Verzerrung der Wellenform nicht beeinflusst, da die elektromotorische Kraft der Wirbelströme, als induzierte elektromotorische Kraft, zur sekundären elektromotorischen Kraft proportional ist. Daher steht bei konstanter primärer Klemmenspannung der durch Wirbelströme verbrauchte Effekt in einem konstanten Verhältnis zur Leistung des sekundären Stromkreises, da die Teilung des Effektes zwischen den beiden sekundären Stromkreisen — dem Wirbelstromkreis und dem nutzbaren oder Verbrauchstromkreis — von der Wellenform oder der Intensität des Magnetismus nicht beeinflusst wird.

231. In Hochspannungsleitungen sind verzerrte Wellen, deren Maxima weit über dem effektiven Werte liegen, also spitze Wellen, nicht wünschenswert, da die Beanspruchung der Isolation erhöht wird, noch nicht über allen Zweifel festgestellt, ob die Schlagweite einer schnell wechselnden Spannung von dem maximalen Werte oder von dem effektiven Wert abhängt. Da plötzliche Erscheinungen nicht immer sofort nach der Einwirkung der Spannung stattfinden, sondern da die Zeitdauer eine wichtige Rolle spielt, so ist es möglich, dass Isolationsbeanspruchung und Schlagweite in gewissem Grade von der effektiven Spannung abhängig und daher von der Wellenform unabhängig ist.

Es ist indessen

Im allgemeinen kann die Schlussfolgerung gezogen werden, dass die Wichtigkeit einer richtigen Wellenform gewöhnlich überschätzt wird, aber dass in gewissen Fällen Sinuswellen wünschenswert, in anderen Fällen wiederum gewisse verzerrte Wellen vorzuziehen sind.

Kapitel XXIII.

232. Ein Mehrphasensystem ist ein Wechselstromsystem, in dem eine Anzahl gegeneinander phasenverschobener elektromotorischer Kräfte derselben Frequenz eine Anzahl gegeneinander phasenverschobener Ströme gleicher Frequenz erzeugen.

Ein solches Mehrphasensystem kann als aus einer Anzahl einzelner Stromkreise oder Zweige des Mehrphasensystems, die mehr oder minder mit einander verkettet sein können, betrachtet werden.

Die Untersuchung eines Mehrphasensystems kann somit im allgemeinen durch Betrachtung der einphasigen Zweigsysteme unabhängig durchgeführt werden.

Alle Diskusionen über Generatoren, Synchronmotoren, Induktionsmotoren u. s. w. in den vorangegangenen Kapiteln gelten gleichzeitig sowohl für Einphasen- als auch für Mehrphasen-Systeme und in letzterem Falle ist der Gesamt-Effekt die Summe der Effekte der einzelnen oder Zweigstromkreise.

Besteht das Mehrphasensystem aus n gleichen um 1 /n Periode gegen einander verschobenen elektromotorischen Kräften, so wird es ein symmetrisches System genannt, im anderen Falle ein unsymmetrisches System.

Daher ist das Dreiphasensystem, welches aus drei gleichen, um eine drittel Periode von einander verschobenen elektromotorischen Kräften besteht, ein symmetrisches System. Das Vierphasensystem, welches aus zwei gleichen um 90⁰, oder eine viertel Periode, verschobenen elektromotorischen Kräften besteht, ist ein unsymmetrisches System.

Der Effektfluss eines Einphasensystems ist pulsierend, d.h. die Wattkurve des Stromkreises ist eine Sinuswelle doppelter Frequenz, die zwischen einem Maximum und Null oder einem negativen Maximum wechselt. In einem Mehrphasensystem sind die Wattkurven der einzelnen Zweigsysteme in gleicher Weise pulsierend, ihre Summe da-

233.

cE

rmrswct:

o    Ł

£²E

Fig. 163.

CE

2_

c²E

Fig. 164.

gegen, oder der Gesamteffekt des Systems kann entweder konstant oder pulsierend sein, das System ein ausgeglichenes, im letzteren ein unausgeglichenes.

Das Dreiphasensystem und das Vierphasensystem bei gleicher Belastung der verschiedenen Zweige sind ausgeglichene Systeme; bei ungleicher Belastung in den einzelnen Zweigen sind beide Systeme unausgeglichene Systeme.

Die verschiedenen Zweige eines Mehrphasensystems können entweder von einander unabhängig, d. h. ohne -elektrische Verbindung mit einander sein, oder sie können

Im ersteren Falle ist

Im ersteren Falle wird das Mehrphasensystem ein unabhängiges System, im letzteren ein verkettetes System genannt.

mit einander verkettet sein.

Das Dreiphasensystem mit stern- oder ringgeschaltetem Generator, wie in Figg. 163 und 164 gezeigt, ist ein verkettetes System.

-DE

-E

4-E

-j'E

Fig. 165.

_o

—E (Jo"ö « 6 SW

“JE

Fig. 166.

Das Vierphasensystem, das man erhält, wenn man vier gleichweit von einander abstehende Punkte eines Gleichstromankers mit vier Schleifringen verbindet, ist gleichfalls ein verkettetes System, wie in Fig. 165 gezeigt. Das von einem Generator mit zwei unabhängigen Ankerspulen, oder mit zwei einphasigen fest mit einander verbundenen, um 90 ⁰ versetzten Generatoren erzeugte Vierphasensystem mit vier Drähten ist ein unabhängiges System. Als verkettetes, sterngeschaltetes Vierphasensystem ist es in Pig. 166 veranschaulicht.

234. Die Mehrphasensysteme lassen sich somit einteilen in:

Symmetrische und unsymmetrische Systeme. Ausgeglichene und unausgeglichene Systeme. Verkettete und unabhängige Systeme.

Die einzigen Mehrphasensysteme, welche praktische Anwendung gefunden haben, sind:

Das Dreiphasensystem, bestehend aus drei um eine Drittelperiode verschobenen elektromotorischen Kräften, welches ausschliesslich als verkettetes System angewendet wird. Das Vierphasensystem, bestehend aus zwei zu einander senkrecht stehenden elektromotorischen Kräften, das entweder mit vier oder drei Leitern angewendet wird, welches entweder ein verkettetes oder ein unabhängiges System sein kann.

Kapitel XXIV

235. Sind alle elektromotorischen Kräfte eines Mehrphasensystems in Intensität einander gleich und um denselben Phasenwinkel gegen einander verschoben, so wird das System ein symmetrisches Mehrphasensystem genannt.

Ein symmetrisches «-Phasensystem ist somit ein System von n elektromotorischen Kräften gleicher Intensität, die um 1 \n Periode gegen einander verschoben sind. e₁ = E sin ß;

E sin |/S — -^-J ;

*3 = £sin [ß—~]

2 (n — 1) 7T

en — E sin —

Die nächste elektromotorische Kraft ist wieder

e^—E sin (ß — 2 n) — E sin ß.

Im Polardiagramm werden n elektromotorische Kräfte des symmetrischen n - Phasensystems durch n gleiche Vektoren dargestellt, die einander unter gleichen Winkeln folgen.

Da in symbolischer Darstellung die Verschiebung um i jn Periode, oder 2 tcjn Winkel durch Multiplikation mit

2 n . .    2 7t

--b j sin-

n    n

dargestellt wird, so sind die elektromotorischen Kräfte des symmetrischen Mehrphasensystems :

cos

E\

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

26

— E s\

= E «²;

cos

2 (« - i) 7T

+ y sin

2 (« - i) TT

=Esn~x.

Die nächste elektromotorische Kraft ist wieder:

E (cos 2 n + j sin in) — E sn = E.

Es ist somit

£ = cos

Oder mit anderen Worten:

In einem symmetrischen w-Phasensystem wird irgend

eine elektromotorische Kraft des Systems ausgedrückt durch

fi* E;

n

wo

£ = V I.

236. Setzt man dies nun für «-verschiedene Werte ein, so ergeben sich die verschiedenen symmetrischen Mehrphasensysteme, dargestellt durch

£' E,

wo

cos

in . . in

--b j sm-----.

n    n

1. n = 1    £ = 1 é E — E₎

das gewöhnliche Einphasensystem.

1. n = 2 e = — 1    £' E — E und — E.

Da — E die Rückleitung von E ist, so ergiebt n — 1 wieder das Einphasensystem.

3. n — 3 £ — cos

£² =

in . . in

--b i sin-

3    3

-¹ —ivi

— I +jV3

Die drei elektromotorischen Kräfte des Dreiphasensystems sind

e’E = E,

— i +/V3

E,

— ¹ —jV 3

E.

Das Dreiphasensystem ist somit das niedrigste symmetrische Mehrphasensystem.

2 7T

4.    « = 4, « = COS

I, *³=—/-

Die vier elektromotorischen Kräfte des Vierphasensystems sind

«* = E, jE,

-JE.

-E,

Sie sind paarweise einander entgegengesetzt ge-

richtet.

E und — E ; j E und — j E

lassen sich somit durch zwei senkrecht gegen einander verstellte Ankerspulen erzeugen, analog wie das Zweiphasensystem, oder gewöhnliche Wechselstromsystem durch eine Spule erzeugt werden kann.

Höhere Systeme, wie das symmetrische Vierphasensystem, sind nicht angewendet worden, und sind somit von geringem praktischem Interesse.

237. Eine charakteristische Eigenschaft des sym-metriscnen «-Phasensystems ist, dass es unter Umständen eine magnetomotorische Kraft von konstanter Intensität erzeugen kann.

Wirken n gleiche Magnetisierungsspulen auf einen Punkt unter gleichwinkliger Verschiebung im Raum und werden sie von n elektromotorischen Kräften eines symmetrischen n Phasensystems erregt, so wird eine magnetomotorische Kraft von konstanter Intensität an demjenigen Punkt erzeugt, dessen Richtung synchron mit gleichförmiger Geschwindigkeit rotiert.

Es sei

n' — Windungszahl jeder Magnetisierungsspule,

E — effektiver Wert der Klemmenspannung,

I = effektiver Wert des Stromes.

Dann ist

& — n' I — effektive magnetomotorische Kraft einer Magnetisierungsspule.

Der momentane Wert der magnetomotorischen Kraft

2 tx %

der in der Richtung - wirkenden Spule ist alsdann:

f c? I/2 sin jß — = nr IV2 sin Iß

2 n i\

2 71 l

Die beiden rechtwinkeligen Komponenten dieser magnetomotorischen Kraft sind

...    , .    2 7T l

J V ■= J l COS -

fl

und

— nr IV2

cos

— sin

n 1    n

2 7t i

f %' — f i sin

2 7t i

= ri I V 2 sin ß —

2 7t i

Die magnetomotorische Kraft dieser Spule kann somit durch die symbolische Gleichung

2 7t i

Ji =

ri IV2 sin Iß

cos

27t 1 . . . 2 7t i i

--h j sin- .

n J n

aus gedrückt werden.

Die gesamte oder resultierende magnetomotorische Kraft der unter n gleichen Winkeln gegeneinander verschobenen Spulen ist somit

fi

f=i    ⁼ n' IV2 sin Iß

T    I    ‘

2 7ti

COS

----    ,    . .    2 7t Î

--b i sin —

n ’’ n

oder entwickelt

2711

cos-

= n' iV2. I sin ß ^ ’ |cos2 2 n~ + / sin —

” j

cos ß I sin

2 71 I 2 71 i

2 71 i

cos

--j sin²- .

11    J    fi

Es ist aber:

= ł (i + ®²0

2 7li

4 I -f COS

iîî -f /sin Û7LL

n    n

sin

2 71 i 2 7t i

cos

— • /si::-2 ¹ —i t i n    n

— cos

4 7t l . . 47Tl\

1 sin-

J n i

= ł (i — «²0

und da

71

= o,

2s~ 2i=o,

als Summe aller Wurzeln von |/I( n ri I V 2

so ist

(sin ß -j- j cos ß),

oder

n n' I

(sin ß 4* j cos ß)

(sin ß + j cos ß)

der symbolische Ausdruck der von den «-Stromkreisen des symmetrischen «-Phasensystems erzeugten magnetomotorischen Kraft, wenn diese Stromkreise « gleiche und unter gleichen Winkeln gegen einander verstellte Magnetisierungsspulen ergeben.

max

Der absolute Wert dieser magnetomotorischen Kraft ist « n' I nF nF

somit konstant und gleich

2

— mal der effektiven magneto-n

oder — mal der maxi-

motorischen Kraft jeder Spule,

malen magnetomotorischen Kraft jeder Spule.

Die Phase der resultierenden magnetomotorischen Kraft zu der durch den Winkel ß repräsentierten Zeit ist: tang co = cot ß;

d. h. die vom symmetrischen «-Phasensystem erzeugte magnetomotorische Kraft rotiert mit konstanter Intensität:

nF

und konstanter Geschwindigkeit im Synchronismus mit der Frequenz des Systems; und wenn die Reluktanz der magnetischen Stromkreise konstant ist, so rotiert der Magnetismus gleichfalls mit konstanter Geschwindigkeit und konstanter Intensität an dem Punkte, der von « magnetomotorischen Kräften des «-Phasensystems symmetrisch beeinflusst wird.

Dieses ist eine charakteristische Eigenschaft des symmetrischen Mehrphasensystems.

max)

238. Im Dreiphasensystem ist « = 3, F = 1,5 F wo Fmax die maximale magnetomotorische Kraft jeder der Magnetisierungsspulen ist.

In einem symmetrischen Vierphasensystem ist n = 4, F = 2 Fmax, wo Fmax die maximale magnetomotorische Kraft jeder der vier Magnetisierungsspulen ist, oder wenn nur zwei Spulen gebraucht werden, da die Vier-phasen-Magnetomotorischen Kräfte paarweise in Phase und F = cFmax, wo &max die maximale magnetomotorische Kraft jeder der beiden Magnetisierungsspulen des Vierphasensystems ist.

Obwohl das Vierphasensystem, das aus zwei um eine Viertelperiode verschobenen elektromotorischen Kräften besteht, seiner Natur nach ein unsymmetrisches System ist, hat es doch eine Anzahl Eigenschaften mit den symmetrischen Systemen gemeinsam, z. B. die Eigenschaft, eine magnetomotorische Kraft von konstanter resultierender Intensität erzeugen zu können.

Solche Systeme von geradzahliger Phasenzahl, die aus der Hälfte eines symmetrischen Systems bestehen, werden halbsymmetrische Systeme genannt.

Kapitel XXV.

239. Wenn eine wechselnde elektromotorische Kraft e — E V 2 sin ß

einen Strom erzeugt:

i — IV2 sin (ß — co),

wo co der Phasenverschiebungswinkel ist, so ist der Effekt: p — ei—zEI sin ß sin (ß — co)

= EI (cos co — sin (2 ß — co)),

und der Mittelwert des Effektes:

P = EI cos co.

Dies eingesetzt, ergiebt als Momentanwert des Effektes: sin (2 ß — co) cos co

Der Effekt oder der Energiefluss eines gewöhnlichen Einphasen-Wechselstromstromkreises ist somit pulsierend und wechselt mit der doppelten Frequenz der elektromotorischen Kraft und Stromstärke, ungleich dem Effekt eines Gleichstromstromkreises, der konstant ist,

p — e i.

Ist der Phasenverschiebungswinkel co = o, so ist p = P (1 — sin 2 ß) ;

der Energiefluss wechselt somit zwischen o und 2 P, wo P der mittlere Energiefluss oder der Effekt des Stromkreises ist.

Wenn der Strom der elektromotorischen Kraft um den Winkel co vor- oder nacheilt, so wechselt der Effekt zwischen

Wi

cos co

und? 1+ ——I ; \ cos 00

d. h. er wird für einen gewissen Teil jeder Halbwelle negativ. D. h. während jeder halben Welle fliesst eine Zeitlang Energie in den Generator zurück; während des anderen Teils der halben Welle giebt der Generator Energie ab, und die Differenz zwischen beiden ist der effektive Effekt des Stromkreises.

Ist m = 90⁰, so ist

p — EI cos 2 ß ;

d. h., der effektive Effekt ist P — o und die Energie fliesst zwischen dem Generator und dem Speisestromkreis hin und her.

In jedem Falle ist jedoch der Energiefluss im Einphasen-Wechselstromstromkreis pulsierend, zum mindesten zwischen o und dem Maximum, häufig sogar negativ werdend.

240. Ist in einem Mehrphasensystem:

e₁, e2i e3i • ■ • • — Momentanwert der elektromotorischen Kraft,

ilt 4, 4, . . . . = Momentanwert des dadurch erzeugten Stromes,

so ist der gesamte Energiefluss des Systems:

P — ei lv + e2 4 + e3 h 4“ * • • •

Der mittlere Energiefluss ist

¹

Aus: „American Institute of Electrical Engineers, Transactions." 1890, Seite 376. Tobey and Walbridge, on the Stanley Alternate Are Dynamo.

P = Ex II cos -f- P2 -4 cos bh + • . • •

Das Mehrphasensystem wird ein ausgeglichenes System genannt, wenn der Energiefluss

p —    4 4p e₂+ e₃1₃ + • • • •

konstant ist und ein unausgeglichenes System, wenn der Energiefluss periodisch variiert, ähnlich wie im Einphasensystem, und das Verhältnis des Minimalwertes zum Maximalwert des Energieflusses wird der Ausgleichsfaktor des Systems genannt.

Im Einphasensystem mit induktionsfreiem Stromkreis, d. h. wo keine Phasenverschiebung stattfindet, ist der Ausgleichsfaktor somit Null, und ist negativ im Einphasen-system mit zurückbleibendem oder voreilendem Strom und wird = — 1, wenn die Phasenverschiebung 90⁰ ist; d. h. wenn der Stromkreis wattlos ist.

241. Augenscheinlich ist im Mehrphasensystem der Ausgleich des Systems eine Funktion derBelastungsverteilung zwischen den einzelnen Zweigstromkreisen.

Ein ausgeglichenes System im speziellen wird ein Mehrphasen - System genannt, in dem der Energiefluss konstant ist, wenn alle Stromkreise gleiche Belastung und gleiche Phasenverschiebung haben.

242. Alle symmetrischen Systeme vom Dreiphasensystem aufwärts sind ausgeglichene Systeme. Eine grosse Anzahl unsymmetrischer Systeme sind gleichfalls ausgeglichene Systeme.

1. Dreiphasensystem:

Es seien

ei — EV 2 sin ß,

<?2 —— E V 2 sin (ß — 120), c?₃ — EV 2 sin {ß — 240),

und ix = IV 2. sin (ß — io),

4 = I V2 sin (ß — o) — 120),

*3 = IV 2 sin (ß — Cd — 240) die elektromotorischen Kräfte eines Dreiphasensystems und die dadurch erzeugten Ströme.

Der gesamte Energielluss ist sodann: p — 2 EI (sin ß sin (ß — cd) + sin (ß — 120) sin (ß — m—120)

P sin (ß — 240) sin (ß — cd — 240))

= 3 EI cos cd = P, oder konstant.

Das symmetrische Dreiphasensystem ist somit ein ausgeglichenes System.

2. Vierphasensystem:

Es seien

ex = E I/2 sin ßf

e₂ — E V2 cos ß,

4 = / V 2 sin (ß — cd) y 4 = IV 2 cos (ß — Cd) , die elektromotorischen Kräfte des Vierphasensystems und die dadurch erzeugten Ströme.

Dies ist ein insymmetrisches System; der momentane Energiefluss ist indess:

p = 2 E I (sin ß sin (ß — w) 4- cos ß cos (ß —• w))

= 2 EI cos « = P, oder konstant.

Das Vierphasensystem ist somit ein unsymmetrisches ausgeglichenes System.

3. Das symmetrische «-Phasensytem mit gleicher Belastung und gleicher Phasenverschiebung aller n- Zweige ist ein ausgeglichenes System. Denn wenn

ei

— E V2 sin 0

2 711

= elektromotor. Kraft,

ii =

l}/ ₂ sin I ß — co

2 ni

— Strom,

so ist der momentane Energiefluss:

p — 2J; e'

I

W /

= 2 EI sin j/ÿ

n

= ei\e

I

sin I ß — co

2 ni

î cos co —

U I

Ęcos (

2 ß — co

4 ni

oder

p = n EI — P, oder konstant.

243. Ein unausgeglichenes Mehrphasensystem ist das sogenannte umgekehrte Dreiphasensystem. Dasselbe lässt sich aus zwei Zweigen eines Dreiphasensystems durch Transformation mittels zweier Transformatoren ableiten, deren Sekundärspulen in gegenüberliegender Richtung in Bezug auf ihre Primärspulen verbunden sind. Ein solches System nimmt eine Mittelstellung zwischen dem Edison-Dreileiter-system und dem Dreiphasensystem ein. Es hat mit dem letzteren die Mehrphasennatur gemein und mit dem Edison-

Dreileitersystem, dass die Spannungsdifferenz zwischen den Aussenleitern höher ist als zwischen Mittelleiter und Aussenleiter.

Vermittelst zweier solcher Transformatoren werden die beiden um 120⁰ gegeneinander verschobenen primären elektromotorischen Kräfte in zwei um 60⁰ gegeneinander verschobene sekundäre elektromotorische Kräfte umgewandelt. Die Spannungsdifferenz zwischen den Aussenleitern in dem sekundären Stromkreis ist somit = ]/^ mal die Spannungsdifferenz zwischen Mittelleiter und Aussenleiter. Bei gleicher Belastung der beiden Zweige sind die drei Ströme einander gleich und um 120⁰ gegeneinander verschoben, genau so wie im Dreiphasen-System. Bleibt die Belastung eines Zweiges konstant, während die des anderen von Gleichheit mit der ersteren allmählich bis auf o reduziert ist, so nimmt der Strom im Mittelleiter zunächst ab, erreicht einen Minimalwert von 87% des ursprünglichen Wertes und nimmt alsdann wieder zu und erreicht bei o Belastung denselben Wert wie bei voller Belastung.

Der Ausgleichsfaktor des umgekehrten Dreiphasensystems bei induktionsfreier Belastung ist 0,333.

244. In Figg. 167 bis 174 sind die elektromotorischen Kräfte als e und die Ströme als i in ausgezogenen Linien und der Effekt als p in punktierten Linien aufgetragen, für:

Fig. 167. Einphasensystem bei induktionsfreier Belastung.

Fig. 168. Einphasensystem bei induktiver Belastung von 6o° Phasenverschiebung.

Fig. 169. Vierphasensystem bei induktionsfreier Belastung.

Fig. 170. Vierphasensystem bei induktiver Belastung von 60⁰ Phasenverschiebung.

Fig. 171. Dreiphasensystem bei induktionsfreier Be

lastung.

Fig. 172. Dreiphasensystem bei induktiver Belastung von 60⁰ Phasenverschiebung.

Fig. 173. Umgekehrtes Dreiphasensystem bei induktionsfreier Belastung.

Fig. 174. Umgekehrtes Dreiphasensystem bei induktiver Belastung von 60⁰ Phasenverschiebung.

e/ :

Fig. 167. Einphasensystem bei induktionsfreier Belastung.

ns

'''F°

V—'

von

Fig. 168. Einphasensystem bei induktiver Belastung 60⁰ Phasenverschiebung.

yj , Ai \\ V

~ ~ ' A

/V\

/N

/'

(ĆL

Fig. 169. Vierphasensystem bei induktionsfreier Belastung.

p/

~~r~;

\/

V—''

X.y'

e,

' Fig. 170 Vierphasensystem bei induktiver Belastung 60⁰ Phasenverschiebung.

V v/JT^y y^pV' >/7V V/''

von

Fig. 171. Dreiphasensystem bei induktionsfreier Belastung.

rvxYxvv

s-'    /\^n. ; \ / /\    \ / \

/7V\

Fig. 172. Dreiphasensystem bei induktiver Belastung von 60⁰ Phasenverschiebung.

Ô.

v\

\

\\

/"\

#    w \

•    pA

/""'s

/ p'y 1 \

/ À

<■//

f*

e¹

e2

Fig- 173. Umgekehrtes Dreiphasensystem bei induktionsfreier Belastung.

einem Wechselstrom-

245. Der Energiefluss in netz ist eine der wichtigsten und charakteristischsten Eigenschaften und nach ihr werden die Systeme eingeteilt in:

Monocyklische Systeme, oder Systeme mit dem Ausgleichsfaktor o, oder negativ.

Polycyklische Systeme, oder Systeme mit positivem Ausgleichsfaktor.

Ausgleichsfaktor — 1 entspricht einem wattlosen Stromkreis, Ausgleichsfaktor o einem induktionsfreien Einphasensystem, Ausgleichsfaktor -j- 1 einem ausgeglichenen Mehrphasensystem.

Wifi

//

l/\x

fi

v\

Fig. 174. Umgekehrtes Dreiphasensystem bei induktiver Belastung von 6o° Phasenverschiebung.

246. In Polar-Koordinaten lässt sich der Energiefluss eines Wechselstromsystems darstellen mittels des Momentanwertes des Energieflusses als Radiusvektor mit dem Winkel ß, entsprechend der Zeit als Amplitude, wobei eine volle Periode durch eine Umdrehung repräsentiert wird.

In dieser Weise wird der Effekt eines Wechselstromsystems durch eine geschlossene symmetrische Kurve dargestellt, die den o-Punkt als vierfachen Punkt hat. In den monocyklischen Systemen ist der o-Punkt ein vierfacher Knotenpunkt; im polycyklischen System ist er ein vierfacher isolierter Punkt.

Diese Kurven sind somit sechsten Grades.

Da der Energiefluss jedes der Einphasenzweige eines Wechselstromsystems sich als Sinuswelle doppelter Frequenz darstellen lässt,

P = P 1-

sin (2 ß — w)

COS M

so ergiebt sich für den gesamten Energiefluss durch Addition der Energieflüsse der Einzelzweige p = P(i -f £ sin (2 ß — w) ).

Dies ist gleichfalls eine Welle doppelter Frequenz, mit £ als Amplitude der Pulsation des Effekts.

Dies ist die Gleichung der Effekt-Charakteristik des Systems in Polar-Koordinaten.

247. Um die Gleichung in rechtwinkeligen Koordinaten darzustellen, führen wir eine Substitution ein, die das

Koordinatensystem um einen Winkel — verschiebt, um die

Symmetrie-Axen der Effekt-Charakteristik zu Koordinaten-Axen zu machen. Es ist alsdann

P — Vx² -f-y²

tang J/S J

3 i Ol

somit, sin (2 ß — ui) — eingesetzt:

²sin J/S— |

to S

cos

CD

2xy

X² + y-'

,......pL 4. 2fxy I

lx2 + y2__^jI + jj-yy,

oder entwickelt:

(x² -f- y²)³ — P² (x² + y² 4- 2 £ x y)² = o die Gleichung sechsten Grades der Effekt-Charakteristik.

27

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

Führt man ein:

a = (1 4- s) P = Maximalwert des Effektes, b = (1 — s) P = Minimalwert des Effektes,

so ist

a 4- h

£ a + b' somit eingesetzt und entwickelt:

(x² 4- jy²)³ — 4 } a (x 4- y)² 4- b (x — y)2 2, die Gleichung der Effekt-Charakteristik mit den Haupt-Effekt-Axen a und b und dem Ausgleichsfaktor bja.

Es ist alsdann:

Einphasen-Stromkreis bei induktionsfreier Belastung: p z= P {i 4- sin 2 (f), b = o, a = 2 P —

(x² 4- y²)³ — P² 4- (x -F jy)⁴ = 0, bja — o. Einphasen-Stromkreis bei 6o° Phasennacheilung p — P(i 4- 2 sin 2 (p)} b — — P, a — -f 3 P —

(x² 4- V²)³ — P² (x² 4- y² 4- 4 xy)² = 0, b/a = — L Einphasen-Stromkreis bei 90⁰ Phasennacheilung p — E I sin 2^, b — — EI, a = EI

1.

(x² 4-y²)³ — (A"/)³(.x² —jy²)², bja — — Dreiphasen-Stromkreis bei induktionsfreier Belastung: p = P, b = 1, « = 1

x² 4- y² — P² — o: Kreis, b / a= 4- 1. Dreiphasen-Stromkreis bei 60⁰ Phasennacheilung p — P, b — 1, a — 1

.r² 4- .y² — P² — o : Kreis, bja — 4- 1. Vierphasen-Stromkreis bei induktionsfreier Belastung: p — P, b — 1, a — 1

.r² 4" A² — P² — o: Kreis, b/a = 4- 1. Vierphasen-Stromkreis bei 60⁰ Phasennacheilung:

P — P, b = 1, a = 1

.r² 4- jy² — P² — o : Kreis, bfa — 4- 1.

Umgekehrtes Dreiphasensystem bei induktionsfreier Belastung:

1+Sin2yl, b

(X² 4- y²)³

P² (x² 4- y² 4- *y)a = 0. b ! a = 4- U

F*gg- U5 und I7d-

Umgekehrtes Dreiphasensystem bei 60⁰ Phasennacheilung: p — P (1 + sin 2 (f), b = o, a = 2 P

(x‘² 4- v²)³

P² (y -f- y)⁴ = 0. b I a — o.

a und b werden die Haupt-Effekt-Axen des Wechselstromstromkreises genannt und das Verhältnis b/a ist der Ausgleichsfaktor des Systems.

248. Wie ersichtlich, ist somit der Effektfluss eines Wechselstromsystems vollständig charakterisiert durch seine beiden Haupt-Effekt-Axen a und b.

27*

Die Effekt-Charakteristiken in Polar-Koordinaten, entsprechend den Figg. 167,    168, 173 und 174, sind in

Fig. 175, 176, 177 und 178 dargestellt.

Figg. 177 und 178.

Das ausgeglichene Vierphasen- und Dreiphasensystem geben als Polar - Charakteristiken konzentrische Kreise.

Kapitel XXVI.

249. In einem Mehrphasensystem können die einzelnen gegen einander phasenverschobenen Zweigstromkreise entweder vollständig getrennt und ohne elektrische Verkettung mit einander sein, oder sie können in elektrischer Verkettung mit einander sein, so dass ein Teil der Leiter verschiedenen Phasen angehört. In diesem Falle wird das System ein verkettetes Mehrphasensystem genannt.

Somit wird das Vierphasensystem beispielsweise ein un verkette tes System genannt, wenn die beiden senkrecht zu einander stehenden elektromotorischen Kräfte durch zwei gänzlich getrennte Spulen desselben, oder durch verschiedene, aber fest mit einander verbundene Anker erzeugt werden und mit vier Leitern versehen sind, welche unabhängigen Stromkreisen von Motoren oder anderen Vorrichtungen Energie zuführen. Wird das Vierphasensystem durch Verbindung von vier gleich weit entfernten Punkten eines Trommel- oder Ringankers mit geschlossenem Stromkreis mit vier Schleifringen abgeleitet, so ist das System ein verkettetes Vierphasensystem.

Ähnlich ist dies beim Dreiphasensystem. Da jeder der drei Ströme, die um eine drittel Periode von einander verschoben sind, dem resultierenden der beiden anderen Ströme gleich ist, so kann er als eine Rückleitung der anderen beiden Ströme angesehen werden. Daher besteht ein verkettetes Dreiphasensystem aus drei Leitern, welche Ströme führen, die um eine drittel Periode gegen einander verschoben sind, so dass jeder der drei Ströme eine gemeinsame Rückleitung der anderen beiden bildet, und umgekehrt.

250. In einem verketteten Mehrphasen-System giebt es zwei Wege, um Apparate in das System einzuschalten.

H : SÎ

Periode gegen einander ver-

1. Die Sternschaltung, diagrammatisch in Fig. 179 dargestellt. In dieser Schaltung sind die vom Strom erregten «-Stromkreise um

6.

JL

Ck

C3

2l

JL

CJ

Ci

0;

'c<

i___

o_

Cw

Fig. 179.

schoben und sind mit ihrem einen Ende zu einem neutralen Punkt oder gemeinsamen Verbindungspunkt verbunden, der entweder geerdet oder mit anderen entsprechenden neutralen Punkten verbunden, oder isoliert sein kann.

Im Dreiphasensystem wird diese Schaltung gewöhnlich Y-Schaltung genannt, wegen der Ähnlichkeit der diagrammatischen Darstellung mit dem Buchstaben Y, wie Fig. 163 zeigt.

2. Die Ringschaltung, diagrammatisch in Fig. 180 dargestellt. In dieser Schaltung liegen die «-Stromkreise des Apparates miteinander in einem geschlossenen Stromkreis und die Verbindungsstellen benachbarter Stromkreise sind mit den «-Leitungen des Mehrphasensystems verbunden. Im Dreiphasensystem wird diese Schaltung J-Schaltung genannt, wegen der Ähnlichkeit der diagrammatischen Darstellung mit dem griechischen Buchstaben ^/, wie Fig. 164 zeigt.

Cv

Cj

Ca

>0

Cb

C,

C*

Fig. 180.

Infolgedessen unterscheidet man zwischen sterngeschalteten und ringgeschalteten Generatoren, Motoren u. s. w. oder im Dreiphasensystem zwischen Y- und ^/-Schaltungen.

251. Augenscheinlich besteht beim Mehrphasensystem, als Ganzem, kein Unterschied, ob Generatoren oder andere Apparate Stern- oder Ringschaltung haben, und die Übertragungsleitung eines symmetrischen «-Phasensystems besteht stets aus «-Leitungen, die Strom von gleicher In-

tensität führen, und wenn sie ausgeglichen, um

— Periode

in ihrer Phase gegen einander verschoben sind.

Da die

Leiter von «-Generatorklemmen ausgehen, so können die Leitungen als sterngeschaltet angesehen werden.

Die Stromkreise aller Apparate, Generatoren, Motoren u. s. w. können entweder sterngeschaltet sein, d. h. zwischen einer Leitung und einem neutralen Punkte liegen ( oder ringgeschaltet, d. h. zwischen zwei Leitungen.

Im allgemeinen werden einige der Apparate sterngeschaltet, andere ringgeschaltet, je nach Erfordernis.

252. In derselben Weise wie man von Sternschaltung und Ringschaltung der Stromkreise der Apparate spricht, gebraucht man die Ausdrücke Sternspannung und Ringspannung, Sternstrom und Ringstrom u. s. w., wobei unter Sternspannung, oder in einem Dreiphasensystem die Y-Spannung, die Spannungsdifferenz zwischen einer der Leitungen und dem neutralen Punkt, d. h. einem Punkt, der dieselbe Spannungsdifferenz gegen alle Leitungen hat, zu verstehen ist; d. h. die Spannung, gemessen von einem Voltmeter in Stern- oder Y-Schaltung. Unter Ring- oder J-Spannung ist die Spannungsdifferenz zwischen benachbarten Leitungen, gemessen von einem Voltmeter, das zwischen benachbarten Leitungen liegt, in Ring- oder zi -Schaltung, zu verstehen.

In derselben Weise ist der Stern- oder Y-Strom derjenige Strom, welcher von einer Leitung zu einem neutralen Punkt fliesst. Der Ring- oder ^/-Strom ist ein Strom, welcher von einer Leitung zur andern fliesst.

Der Strom in der Übertragungsleitung ist immer der Stern- oder Y-Strom und die Spannungsdiflferenz zwischen den Leitungsdrähten die Ring- oder ^/-Spannung.

Da die Sternspannung und die Ringspannung von einander verschieden sind, so können Apparate für verschiedene Spannungen in dasselbe Mehrphasensystem geschaltet werden, und zwar in Stern- oder Ringschaltung.

Der Gesamteffekt des Mehrphasensystems ist gleich der Summe aller Stern- oder Y-Effekte, oder gleich der Summe aller Ring- oder ^/-Effekte.

253-

E\

Ist in einem Generator mit sterngeschalteten Stromkreisen die elektromotorische Kraft pro Stromkreis = E und wird die gemeinsame Verbindung, oder der neutrale Punkt als o-Punkt angenommen, so sind die Spannungen der «-Klemmen E, f E, é² E

oder allgemein

t’E,

an der Klemme i. wo

2 TT

=Vi.

2 n

i = o, i, 2 . . . . n — 1

£ = c°s 4- j sin —

Die elektromotorische Kraft im Stromkreis von der Klemme i zur Klemme k ist somit

Ekl — sk E — £* E = (ek — ê!) E.

Die elektromotorische Kraft zwischen den benachbarten Klemmen i und i -f- 1 ist

0*⁺¹ — tl) E — ê’ (« — 1) E.

In einem Generator mit ringgeschalteten Stromkreisen ist die elektromotorische Kraft pro Stromkreis:

E

die ringelektromotorische Kraft und tritt an Stelle von

€' (€ - i) E,

während die elektromotorische Kraft zwischen Klemme und neutralem Punkt, oder die sternelektromotorische Kraft ist.

Im sterngeschalteten Generator mit der elektromotorischen Kraft E pro Stromkreis ist somit: die sternelektromotorische Kraft: f¹ E, die ringelektromotrorische Kraft: e* («— 1) E, die elektromotorische Kraft zwischen den Klemmen i und k: [sk — el) E.

Im ringgeschalteten Generator mit der elektromotorischen Kraft E pro Stromkreis ist:

E,

t*

die sternelektromotorische Kraft: ---

E.

die ringelektromotorische Kraft: tlE, die elektromotorische Kraft zwischen den Klemmen iund k : V - V

€ — I

In sterngeschalteten Apparaten müssen die elektromotorische Kraft und der Strom pro Stromkreis die sternelektromotorische Kraft und der Sternstrom sein. In ringgeschalteten Apparaten müssen die elektromotorische Kraft und der Strom pro Stromkreis die ringelektromotorische Kraft und der Ringstrom sein.

Wenn im Generator eines symmetrischen Mehrphasensystems

die elektromotorischen Kräfte zwischen n- Klemmen

und dem neutralen Punkte, oder die sternelektromotorischen Kräfte,

/,• = die Ströme, die von Klemme i über eine Leitung von der Impedanz Z, fliessen (einschliesslich der Generatorimpedanz in Sternschaltung), so ist

die Spannung am Ende der Leitung i\

€{E — Z, /,;

die Spannungsdififerenz zwischen den Klemmen k und i: (tk — t')E— <Z, Ik — Zi U),

wo /, der Sternstrom, Z, die Sternimpedanz des Systems ist.

Die Ringspannung am Ende der Leitung zwischen den Klemmen i und k ist und es ist:

E (k - E ki.

Ik,

Bezeichnet /,* den Strom, der von der Klemme i zur Klemme k fliesst, und Z,* die Impedanz des Stromkreises zwischen den Klemmen i und k₎ wo hk =

Z ik — Z ki,

so ist:

Eik - Zik Ek-

Bezeichnet /,₀ den Strom, der von der Klemme i nach einem neutralen Punkte oder zur Erde fliesst und ZI0 die Impedanz dieses Stromkreises zwischen der Klemme i und dem neutralen Punkte, so ist:

Eio — é E    Z,* I{— Zio IiQ.

254. Wir erhalten somit vermittelst der Ohm schen und KirchhofTsehen Gesetze:

Wenn tl E die elektromotorische Kraft pro Generatorstromkreis zwischen der Klemme i un 1 dem neutralen Punkte, oder die sternelektromotorische Kraft,

Ii = der von der Klemme i des Generators fliessende Strom oder Sternstrom,

Zi — die Impedanz der mit der Generatorklemme i verbundenen Leitung, einschliesslich der Generatorimpedanz, Ei = die elektromotorische Kraft am Ende der mit der Generatorklemme i verbundenen Leitung,

E{k = die Spannungsdifferenz zwischen den Enden der Leitung i und k,

Iik — der von der Leitung i zur Leitung k fliessende

Strom

Zik — die Impedanz des Stromkreises zwischen der Leitung i und k,

Iio, lioo . . . . = der Strom, der von der Leitung 1 nach den neutralen Punkten o, 00, ....

Eio, Zi₀₀

. . = die Impedanz der Stromkreise zwischen der Leitung i und den neutralen Punkten o, 00 fliesst, so ist:

1.    Eik — Eki, Ia. — Ei i Zi/. — Z/i, I/o —    Iut•,

Zio — Z₀,, etc.

2.    Ei — ti E — Zi Ii,

3- Ei - Zio I/o - Zioo lioo • • • ■

Z,!,).

4. Eik =Ek — Etz= (t* — f) E - (Z, h

5* Eik — Z/kIn..

6. 1,

7. Existiert kein neutraler Punkt im Generator, wie bei der Ringschaltung-, oder ist derselbe von den anderen neutralen Punkten isoliert, so ist;

2j ⁴ = ⁰

Jjho

= o, u.s. w.

wo o, 00 u. s. w. die verschiedenen neutralen Punkte sind, die von einander isoliert sind.

Sind der neutrale Punkt des Generators und alle anderen neutralen Punkte mit einander verbunden oder geerdet, so ist:

Jj Ii = 2ii(Iio + J<

émmeé    tdm

I

ho + y'jUoo

00

₊....

Sind der neutrale Punkt des Generators und alle anderen neutralen Punkte geerdet, so wird das System ein geerdetes System genannt. Sind die neutralen Punkte nicht geerdet, so ist das System ein isoliertes Mehrphasensystem, und ein isoliertes Mehrpasensystem mit Ausgleichsleiter, wenn alle neutralen Punkte mit einander verbunden sind.

8. Der Effekt des Mehrphasensystems ist

P = sl E Ii cos (fi im Generator.

I

n n

Ejk hk cos (pik in den Entnahmestrom

P ----

kreisen.

Kapitel XXVII.

Transformation von Mehrphasensystemen.

255. Bei der Transformation eines Mehrphasensystems in ein anderes Mehrphasensystem ist es klar, dass mit Vernachlässigung der Transformations Verluste das primäre System denselben Energiefluss haben muss, wie das sekundäre System und dass somit ein ausgeglichenes System wieder in ein ausgeglichenes System und ein unausgeglichenes System in ein unausgeglichenes System mit demselben Ausgleichsfaktor transformiert wird, weil ein Transformator kein Apparat ist, der Energie aufspeichern und somit den Energiefluss nicht ändern kann. Die als Magnetismus aufgespeicherte Energie beträgt in einem guten Transformator nur einen ganz geringen Prozentsatz der gesamten Energie. Dies zeigt die Nutzlosigkeit der Versuche, symmetrische ausgeglichene Mehrphasensysteme durch Transformation aus unausgeglichenen Einphasensystemen zu erhalten, ohne Apparate, die wirksam Energie aufspeichern können, wie rotierende Maschinen.

Da jede elektromotorische Kraft in zwei Komponenten von gegebenen Richtungen zerlegt, oder aus Komponenten von zwei gegebenen Richtungen zusammen gesetzt werden kann, so können die elektromotorischen Kräfte irgend eines Mehrphasensystems in Komponenten aufgelöst oder aus Komponenten von zwei gegebenen Richtungen zusammengesetzt werden. Dies führt zur Transformation irgend eines Mehrphasensystems in ein anderes Mehrphasensystem mit demselben Ausgleichsfaktor mittels nur zweier Transformatoren.

256. Es seien E₁, E₂₎ E₃ .... die elektromotorischen Kräfte des primären Systems, die in

E₁', E₂'f E₃ .... elektromotorische Kräfte des sekundären Systems transformiert werden sollen.

Wähltman zweimagnetischeKraftlinienflüsse (f und (f von verschiedenen Phasen als magnetische Kraftlinienflüsse zweier Transformatoren, welche die elektromotorischen Kräfte 7 und 7 pro Windung induzieren, so können nach dem Gesetz vom Parallelogramm die elektromotorischen Kräfte Elt Ex .... in zwei Komponenten Et und Ei ; E₂ und Ë₂ . . . der Phasen 7 und 7 aufgelöst werden.

Es sind alsdann

E₂₎ .... die gegenelektromotorischen Kräfte, die in den Primärwindungen des ersten Transformators der Mehrphasenstromkreise induziert werden.

Somit ist

E^ ! e, E₂ I e ■ . • . die Windungszahl der Primärspulen des ersten Transformators und analog

Et j'J E₂\P> • . • • die Windungszahl der Primärspulen des zweiten Transformators.

In derselben Weise, wie die elektromotorischen Kräfte des primären Systems in Komponenten zerlegt wurden, in Phase mit 7 und 7, werden die elektromotorischen Kräfte des sekundären Systems, Ef, Ef zusammengesetzt aus den Komponenten Ef und Ef, Ef, E₂', • • • •, in Phase mit 7 und 7, und geben als Zahl der sekundären Windungen

Ef / e , E₂x I e , . • • • im ersten Transformator,

Ei¹/e , Ec5¹ /e , ■

. . . im zweiten Transformator.

und m

D. h. jeder der beiden Transformatoren enthält im allgemeinen Primärwindungen jeder der primären

Phasen und Sekundärwindungen jeder der sekundären Phasen.

Wird nun das sekundäre Mehrphasensystem in irgend einer Weise belastet, so fliessen entsprechend den Sekundärströmen Primärströme in solcher Weise, dass der gesamte Energiefluss in dem primären Mehrphasensystem gleich dem sekundären Energiefluss ist, plus dem Effektverlust in den Transformatoren.

257. Als Beispiel kann die Transformation des symmetrischen ausgeglichenen Dreiphasensystems

E sin ß, E sin (ß — 120), E sin (ß — 240) in ein unsymmetrisches ausgeglichenes Vierphasensystem E' sin ß, E' sin (ß — 90)

angenommen werden.

Es sei der magnetische Kraftlinienfluss der beiden T ransfonnatoren

q cos ß und (f cos (ß — 90).

Die pro Windung in den Transformatoren induzierten elektromotorischen Kräfte sind alsdann:

e sin ß und e sin (ß — 90).

Im primären Stromkreis ergiebt somit die erste Phase

Primärwindungen; im

E sin ß im ersten Transformator

zweiten Transformator o Primärwindungen.

Die zweite Phase E sin iß — 240) ergiebt im ersten E

Primärwindungen: im zweiten Trans-

Transformator —

:ie

formator

e x Vi

Primärwindungen.

Die dritte Phase E sin iß — 240) ergiebt im ersten

Transformator —

2g

Primärwindungen; im zweiten Trans-

formator —

Primärwindungen.

Im Sekundärstromkreise ergiebt die erste Phase E' sin ß im ersten Transformator

Transformator o Sekundärwindungen.

Die zweite Phase E' sin iß — 90) giebt im ersten Transformator o Sekundärwindungen; im zweiten Transformator

2c

E'

Sekundärwindungen; im zweiten

— Sekundärwindungen. Oder, wenn

E — 5,000 E' — 100, e — 10

Primär.

Sekundär.

3.    1. 2    Phase.

250    — 250    10 o

⁰ +    433    — 433    0    10

1.

2.

erster Transformator -f 500 zweiter Transformator

Windungen.

Dass heisst: Jedes ausgeglichene Mehrphasensystem kann mittels zweier Transformatoren ohne Energie-Aufspeicherung in jedes andere ausgeglichene Mehrphasenystem transformiert werden.

258. Transformation unter Änderung des Ausgleichsfaktors des Systems ist nur möglich mittels solcher Apparate, die Energie aufzuspeichern imstande sind, da die Differenz des Effektes zwischen dem primären und dem sekundären Stromkreis zu der Zeit, wo der Sekundäreffekt unter dem primären ist, aufgespeichert und zu der Zeit, wo der primäre Efifektunter demsekundärenEffektliegt, wieder zurückgegeben werden muss. Die wirksamste Aufspeicherungsvorrichtung elektrischer Energie ist das mechanische Moment in Rotationsmaschinen, hat aber den Nachteil, dass es Bedienung erfordert.

Kapitel XXVIII.

Kupfer-Wirkungsgrad der Systeme.

259. Wenn in elektrischen Kraftübertragungs- und Verteilungs-Leitungen die Verbrauchsstelle vom Erzeugungsorte weit entfernt liegt, so machen die Leitungen, welche den Strom übertragen, einen so grossen Teil der Gesamtkosten aus, dass eine besondere Untersuchung in Bezug auf die Art des Systems und die Spannung notwendig ist.

Im allgemeinen ist bei Übertragung eines bestimmten Effektes über eine gegebene Entfernung bei gegebenem Verluste die in den Leitungen notwendige Kupfermenge umgekehrt proportional dem Quadrat der benutzten Spannung. Da der gesamte übertragene Effekt dem Produkte aus Strom und elektromotorischer Kraft proportional ist, so variiert bei gegebenem Effekt der Strom umgekehrt proportional zur elektromotorischen Kraft und da der Efifekt-verlust dem Produkte aus dem Quadrat des Stromes und dem Widerstand proportional ist, so muss bei gegebenem Verluste der Widerstand umgekehrt proportional dem Quadrat des Stromes variieren, d.h. proportional dem Quadrat der elektromotorischen Kraft, und da die Kupfermenge umgekehrt proportional dem Widerstand ist, so variiert dieselbe umgekehrt proportional dem Quadrat der elektromotorischen Kraft.

Dies gilt für jedes System.

Beim Vergleich der verschiedenen Systeme, wie Zweileiter-Einphasen-, Dreileiter-Einphasen-, Dreiphasen- und Vierphasen-Systeme, muss als Basis Gleichheit der Spannung vorausgesetzt werden.

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

Manche Systeme indessen, wie z. B. das Edison-Dreileitersystem, oder das umgekehrte Dreiphasenystem, besitzen verschiedene Spannungsdifferenzen in den verschiedenen Stromkreisen, die das System ausmachen, und der Vergleich lässt sich daher entweder

1.    auf Grund der Gleichheit der maximalen Spannungsdifferenz in dem System, oder

2.    auf Grund der minimalen Spannungsdifferenz in dem System, oder der Spannungsdifferenz pro Stromkreis, oder Phase des Systems durchführen.

In Stromkreisen mit niedriger Spannung, wie sekundären Leitungsnetzen, wo die Spannung nicht durch die Isolationsbeanspruchung begrenzt ist, sondern durch die Spannung der in das System eingeschalteten Apparate, wie z. B. Glühlampen, wird die korrekte Basis der Vergleichsmethode in der Gleichheit der Spannung pro Leitungszweig des Systems, oder pro Phase, bestehen.

In Fernleitungen dagegen, in denen die Spannung nicht nur aus Rücksicht auf die maximale Spannung der eingeschalteten Apparate, sondern durch die Schwierigkeit der Isolierung der Leitung für höhere Spannung begrenzt ist, ist die korrekte Vergleichsgrundlage dagegen die Gleichheit der maximalen Spannungsdifferenz in dem System.

Dasselbe gilt für Kraftverteilung bei massiger Spannung, bei Berücksichtigung eventueller Lebensgefahr durch Drähte oder Hochspannungsleitungen.

Der Vergleich verschiedener Systeme von Hochspannungs-Fernleitungen, oder Kraftverteilung für Motoren ist daher auf Grund der Gleichheit der maximalen Spannungsdifferenz, die in dem System herrscht, vorzunehmen, und der Vergleich verschiedener Verteilungsleitungen von niedriger Spannung für Lichtzwecke auf Grund der Gleichheit der minimalen Spannungsdifferenz der Leiterpaare, die mit dem Stromverbraucher verbunden sind.

260. Vergleich auf Grund der Gleichheit der minimalen Spannungsdifferenz in Stromkreisen mit niedriger Spannung für Lichtzwecke.

Ist im Emphasen -Wechselstromsystem e — elektro-Strom, r

motorische Kraft, i

Widerstand

pro

Leitung, so ist der Gesamteffekt — e i, der Efifektverlust = 2 /* r.

Bei Benutzung eines Dreileitersystems mit der gegebenen Spannung e zwischen den Aussenleitern und dem neutralen Leiter ist die Spannung zwischen den Aussenleitern = 2«; d. h. die Verteilung findet bei der doppelten Spannung statt; oder es wird nur der vierte Teil der Kupfermenge zur Übertragung desselben Effektes bei gleichem Verlust gebraucht, wenn, wie dies theoretisch möglich ist, der neutrale Leiter keinen Querschnitt besitzt. Wenn daher der neutrale Leiter denselben Querschnitt hat, wie jeder der Aussenleiter, so ist I der Kupfermenge des Einphasensystems erforderlich. Wenn der neutrale Leiter t des Querschnittes eines jeden der Aussenleiter beträgt, so ist A der Kupfermenge erforderlich. In derselben Weise ist ein Einphasen-Fünfleitersystem ein Verteilungssystem bei der Spannung \e und erfordert daher nur A der Kupfermenge des Einphasensystems in den Aussenleitern, und wenn jeder der drei neutralen Leiter 1 des Querschnitts der Aussenleiter beträgt, so ist Ab = 10,93 °/₀ der Kupfermenge eines Einphasensystems erforderlich.

Im Dreiphasensystem mit der Spannung e zwischen den Leitungen als z/-Spannung, und mit dem Strom i pro

Leitung oder Y-Strom ist

Leitung, oder der z/-Strom ; und da drei Zweige gebraucht

= e t\ }/ß der Gesamteffekt. Wird der

gleiche Effekt von dem Dreiphasensystem wie von dem Einphasensystem übertragen, so muss somit der Strom

28*

der Strom von Leitung zu

3 eii

werden, so ist

eines Dreiphasensystems i₁ — der Widerstand jeder der drei Leiter ist, so ist der

sein. Folglich, wenn ?\

T

Verlust pro Leitung if r — P —- Und der Gesamtverlust

P r1} während er in dem Einphasensystem 2 Pr ist. Bei gleichem Verluste folgt daraus rx = r; d. h. jeder der drei Dreiphasensysteme hat den doppelten Widerstand: d. h. die Hälfte der Kupfermenge eines jeden der beiden Einphasensysteme. Oder mit anderen Worten: Das Dreiphasensystem erfordert t der Kupfermenge des Einphasensystems derselben Spannung.

Bei Einführung eines vierten neutralen Leiters in das Dreiphasensystem und Schaltung der Lampen zwischen den neutralen- und die drei Aussenleiter, d. h. in Y-Schaltung, ergiebt sich als Spannung zwischen den Aussenleitern oder ^/-Spannung, e X V3, da e die Y-Spannung ist, und die Spannung des Systems ist somit von e auf e V⁷3 erhöht ; d. h. es ist nur ^ soviel Kupfer in den Aussenleitern wie im obigen Falle erforderlich; d. h. I soviel Kupfer, als im Einphasen-Zweileitersystem erforderlich ist. Ist der neutrale Leiter von demselben Querschnitt wie die Aussenleiter, so ist ł mehr Kupfer, oder i = 33,3 % der Kupfermenge des Einphasensystem erforderlich. Ist der neutrale Leiter von der Hälfte des Querschnitts, so ist i mehr oder -h — 29,17% der Kupfermenge des Einphasensystem erforderlich. Das System ist indessen jetzt ein Vierleitersystem.

Das unabhängige Vierphasensystem mit vier Leitern ist im Güteverhältnis gleich dem Einphasen-Zweileitersystem, da es weiter nichts ist, als zwei unabhängige Einphasensysteme, die zu einander senkrecht stehen.

Das Vierphasen-Vierleitersystem kann auch als zwei unabhängige Edison-Dreileitersysteme gebraucht werden und ergiebt alsdann dieselbe Kupferersparnis, wenn die Spannung zwischen den Aussenleitern verdoppelt wird. In diesem

Falle hat es den Vorteil, dass durch Verkettung derselbe neutrale Leiter für beide Phasen gebraucht und daher einer der neutralen Leiter erspart werden kann.

In diesem Falle erfordert das Vierphasensystem mit gemeinsamem neutralem Leiter von vollem Querschnitt ns = 31,25 °/₀ und das Vierphasensystem mit gemeinsamem neutralem Leiter von halbem Querschnitt + — 28,125 °/0 der Kupfermenge des Einphasen-Zweileitersystems.

In diesem Falle ist indessen das System ein Fünfleitersystem und als solches steht es in Bezug auf Leitungsgüteverhältnis bedeutend unter dem Einphasen-Fünfleiter-

sy stem.

Im Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung und der Spannung e pro Zweigkreis ist, wenn der Strom in den Aussenleitern i₂ ist, der Strom im Mittelleiter 4 V2, und wenn dieselbe Stromdichte für alle drei Leiter gewählt wird, welches die Bedingung des besten Güteverhältnisses ist — und wenn der Widerstand eines jeden der Aussenleiter r₂ ist —, so ist der Widerstand des Mittel

leiters r<i

I/2

und der Effekt Verlust pro Aussenleiter 4² G in 2 42 r2

= 4² r₂ V2. Daher ist der gesamte

Efifektverlust 2 i₂² r₂ + 42r2    •= 42 r2 (2 + ^2). Der pro

Zweig übertragene Effekt ist i₂ e, somit der gesamte Effekt 2 4 Um denselben Effekt e i zu übertragen, wie durch das Einphasensystem, muss i₂ = i sein und somit der Verlust

dem Mittelleiter

V2

i² r₂ (2 -f V2)

Da dieser Verlust derselbe sein soll, wie

der Verlust 2 i² r im Einphasensystem,

(2 4- 1/2)

so muss er 2 r —

oder r₂ =

2+I/2

betragen. Deshalb muss jeder

der Aussenleiter

2 + I/2

mal so gross sein als jeder Ein-

phasenleiter und der Mittelleiter 1^2 mal grösser, erforderliche Kupfermenge für das Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung hat zu der im Einphasensystem erforderlichen Kupfermenge folgendes Verhältnis:

Die

2 (2

+ y2)    (2 4- V2) V2

-5- 2, oder,

3 + ² V2

5- 1

= 7²>9°/o

der Kupfermenge des Einphasensystems.

Das Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung spart somit 2 °/₀ mehr Kupfer wie das Dreiphasensystem, steht indessen in Bezug auf Leitungsgüteverhältnis noch bedeutend unter dem Dreileiter-Einphasensystem.

Der Verlust in den drei Leitungen

Das umgekehrte Dreiphasensystem, das aus zwei elektromotorischen Kräften e von 6o° Phasenverschiebung-und drei gleichen Strömen i₃ in den drei Leitern von gleichem Widerstand r₃ besteht, giebt den Gesamt-Effekt 2 4 e\ d. h. verglichen mit dem Einphasensystem 4 = ~

ist 3 4² r₃ =

CO;

2² r₃. Um denselben Verlust 2 P r wie das

Einphasensystem zu

ergeben, muss r₃ — — r sein; d. h.

jeder der Dreileiter muss I des Kupfer-Querschnittes des Leiters im Zweileiter-Einphasensystem haben. Oder mit anderen Worten: Das umgekehrte Dreiphasensystem erfordert A der Kupfermenge des Einphasen-Zweileiter-systems.

Es ergiebt sich somit folgendes Resultat:

Soll ein bestimmter Effekt bei gegebenem Verlust und gegebener minimaler Spannung, z. B. iio Volt für Beleuchtung übertragen werden, so ist die für die Leitung erforderliche Kupfermenge:

2    Leiter:

3    Leiter:

4 Leiter:

5 Leiter:

Einphasen-System

Edison-Dreileiter-Einphasensystem mit

vollem Querschnitt des Mittelleiters 37,5 Edison-Dreileiter-Einphasensystem mit

halbem Querschnitt des Mittelleiters 31,25 Umgekehrtes Dreiphasensystem Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung Dreiphasen-System

Dreiphasensystem mit Mittelleiter von vollem Querschnitt

Dreiphasensystem mit Mittelleiter von halbem Querschnitt Unabhängiges Vierphasensystem Edison-Fünfleiter-Einphasensystem mit vollem Querschnitt des Mittelleiters 15,625 Edison-Fünfleiter-Einphasensystem mit

halbem Querschnitt des Mittelleiters 10,93 Vierleiter-Vierphasensystem mit gemeinsamem Mittelleiter von vollem Querschnitt

Vierleiter-Vierphasensystem mit gemeinsamem Mittelleiter von halbem Querschnitt

100

5⁶,²5

72,9

75

33,33

29,17

100

3L25

28,125.

Es ergiebt sich hieraus, dass bei Stromverteilung für Beleuchtung das Einphasensystem bei gleicher minimaler Spannung und Leiterzahl jedem Mehrphasensysteme bedeutend überlegen ist.

Das Gleichstromsystem ist bei diesem Vergleich gleich dem Einphasen-Wechselstromsystem von gleicher Effektivspannung, da der Vergleich auf Grund der Effektivspannung gemacht ist und der Effekt ebenfalls von der Effektivspannung abhängt.

261. Vergleich auf Grund der Gleichheit der maximalen Spannungsdifferenz in dem System in Fernleitungen, Kraftverteilung u. s. zv.

In Stromkreisen, in denen die Spannung so hoch ist, dass die Schwierigkeit der Isolierung der Leiter bedeutend wird, oder das Leben in Gefahr kommt, geschieht der

richtige Vergleich der verschiedenen Systeme auf Grund der Gleichheit der maximalen Spannung in dem System.

In diesem Falle, wo die maximale Spannung gegeben ist, ist somit kein Vorteil bei Verwendung von Edison-Drei- oder Fünfleitersystemen zu erwarten. Dieselben kommen somit nicht in Betracht.

Der Vergleich zwischen Dreiphasen- uud Einphasensystem bleibt derselbe, da das Dreiphasensystem dieselbe maximale und minimale Spannung hat, d. h. das Dreiphasensystem erfordert ³/₄ der Kupfermenge des Einphasensystems, um denselben Effekt bei gleichem Verlust über dieselbe Entfernung zu übertragen.

Das Vierleiter-Vierphasensystem erfordert dieselbe Kupfermenge wie das Einphasensystem, da es aus zwei Einphasensystemen besteht.

wo i dem

Im Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung ist die Spannung zwischen den Aussenleitern P 2 mal der Spannung pro Zweig. Bei gleicher Beanspruchung der Isolierung, somit gleicher Spannung e zwischen den Aussenleitern, wie im Einphasensystem, ist somit die Spannung £

V 2.'

pro Zweig = ——, folglich der Strom /₄ =

V 2

Strom des Einphasensystems von gleichem Effekt gleicht, und /₄ V 2 — i ist der Strom in dem Mittelleiter.

Ist somit r₄ der Widerstand des Aussenleiters, und

der Widerstand des Mittelleiters, so ist der gesamte

Effektverlust des Systems if 2 r₄

(2 Ą- V 2

= if r₄ (2 F J/2 = Pr4 Da im Einphasensystem der Verlust = 2 i- r ist, so ist:

2 *₄⁸ r₄ +

r4 =

d. h. jeder der Aussenleiter muss

2 F ^2

mal soviel Kupfer

enthalten, wie jeder der Einphasenleiter und die Mittelleiter

2 -J- ]/ 2    _

E2 mal so viel Kupfer. Das gesamte System ent-4

2 (2 4- I/2) , 2 -f- V —

hält somit

jeder der Einphasenleiter, d. h.

—— V2 mal so viel Kupfer als 4

3 + ²

mal so viel Kupfer

als das Einphasensystem.

Oder mit anderen Worten:

erfordert

Ein Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung 3 + 2 V2

= i,457 mal s0 viel Kupfer als ein Einphasensystem von gleicher Maximalspannung und gleichem Efifektverlust.

Da der Vergleich auf Grund gleicher Maximalspannung gemacht ist und die Maximalspannung des Wechselstromsystems I/2 mal der gleichen Effektivspannung eines Gleichstromstromkreises ist, so ist in Bezug auf Maximalspannung ein Wechselstromstromkreis von der Effektivspannung e gleich dem im Gleichstromstromkreise von der Spannung e 1^2, und der letztere verlangt somit nur ¹/₂ = 50 °/₀ der Kupfermenge des Wechselstromkreises.

Indessen ist der Vergleich des Wechselstromes mit dem Gleichstrom nicht statthaft, da die Gleichstromspannung ausser der elektrostatischen Beanspruchung noch eine elektronische Beanspruchung auf das Dielektrikum bedingt, die im Wechselstromstromkreise nicht existiert und unter Umständen im Gleichstromstromkreise zerstörender auf die Isolierung einwirkt, wie die eines Wechselstromnetzes mit gleicher Spannung.

Ausserdem ist bei den Spannungen, die in Betracht kommen, der Gleichstrom von vornherein von der Verwendung ausgeschlossen.

Es ergiebt sich somit folgendes:

Soll ein bestimmter Effekt bei gegebenem Verlust und gegebener maximaler Spannungsdifferenz des Systems, d. h.

262. Auf andere Weise lassen sich die vergleichsweisen Resultate zwischen Einphasen-, Dreiphasen und Vierphasen - Systemen ableiten durch Zerlegung der Systeme in ihre Einphasen-Zweig-Systeme.

DasDreiphasen-Systemmit der elektromotorischen Kräfte zwischen den Leitungen lässt sich betrachten als bestehend aus drei Einphasen-Stromkreisen von der elektromotorischen

Kraft

ohne Rückleitung. Das*Einphasen-System von der

elektromotorischen Kraft e zwischen den Leitungen lässt sich betrachten als bestehend aus zwei Einphasen-Stromkreisen

c

von der elektromotorischen Kraft —

ohne Rückleitung.

Der relative Kupferverbrauch beider Systeme ist umgekehrt proportional dem Quadrat der elektromotorischen Kraft, steht

(?)' ( r

somit im Verhältnis:

derselben Beanspruchung der Isolierung, übertragen werden, so ist die erforderliche Kupfermenge, wie folgt:

2    Leiter: Einphasensystem

Gleichstromsystem

3    Leiter: Dreiphasensystem

Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung

4    Leiter: Unabhängiges Vierphasensystem Das Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung

ist somit von der Verwendung für Fernleitungen praktisch ausgeschlossen.

100

5°

75

T45>7

100

= 3:4; d. h. das Dreiphasensystem erfordert 75 °/₀ der Kupfermenge des Einphasensystems.

Das Vierphasensystem mit vier gleichen Leitern erfordert dieselbe Kupfermenge wie das Einphasensystem, da es aus zwei Einphasen-Stromkreisen besteht. Werden zwei der vier Leiter des Vierphasensystems durch einen gemeinsamen Leiter desselben Querschnittes ersetzt, so ist der Strom in diesem gemeinsamen Leiter V2 mal so gross als in den anderen Leitern, somit der Effektverlust zweimal so gross; d. h. ebenso gross, wie in den beiden Leitern, die durch den gemeinsamen Leiter ersetzt wurden, oder der Gesamtverlust ist unverändert, während 25°/₀ des Kupfers gespart werden, und das System erfordert nur 75°/0 der Kupfermenge des Einphasensystems, erzeugt aber eine V 2 mal so hohe Spannung zwischen den Aussenleitern. Um dieselbe maximale Spannung zu ergeben, müssen daher die elektromotorischen Kräfte des Systems um

reduziert werden, d. h. die Kupfermenge verdoppelt werden, und daher erfordert das Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung von gleichem Querschnitt wie die Aussen-leiter i5o°/₀ der Kupfermenge des Einphasensystems. In diesem Falle ist indessen die Stromdichte im Mittelleiter grösser und das Kupfer nicht in der meist ökonomischen Weise verwendet. Bringt man einen Teil des Kupfers der Aussenleiter nach dem Mittelleiter, um alle drei auf die gleiche Stromdichte zu bringen, so wird der Effektverlust vermindert; oder bei gleichem Verluste wird die Kupfermenge auf 145,7 °/₀ der Kupfermenge eines Einphasensystems verringert.

Kapitel XXIX.

Dreiphasen-System.

263. Bei gleicher Belastung und gleicher Phasenverschiebung aller drei Zweige zeigt das symmetrische Dreiphasensystem keine besonderen Merkmale vor denen dreier gleichbelasteter Einphasen-Systeme und kann daher als solches behandelt werden, da die gegenseitige Beeinflussung der drei Phasen bei gleicher Belastung gleich o ist; d. h. jede Phase wird von der vorhergehenden Phase in gleicher, aber entgegengesetzter Weise wie von der folgenden Phase beeinflusst.

Bei ungleicher Belastung der drei Zweige werden die Spannungen und Phasendifferenzen mehr oder minder ungleich. Diese unausgeglichenen Effekte sind offenbar ein Maximum, wenn einzelne der Phasen voll belastet, andere unbelastet sind. Es sei:

E — elektromotorische Kraft zwischen Leitung i und 2 einer Dreiphasenmaschine. Dann ist:

e E = elektromotorische Kraft zwischen 2 und 3, f² E= elektromotorische Kraft zwischen 3 und 1,

wo

Es seien

Zl} Z₂, Z₃ = die Impedanzen der von den Generatorklemmen 1,2,3 ausgehenden Leitungen und YX} Y₂₎ Y₃ = die Admittanzen der zwischen Leitung 2 und 3, 3 und 1, und 1 und 2 geschalteten Verbrauchsstromkreise

Sind dann:

Iu /₂, I₃ die von den Klemmen i, 2, 3 des Generators in die Leitungen fliessenden Ströme, so ist

(1)

Ą + -4 + -4 ⁼ °-

1 und

Wenn Ą', /₂', I₃ die von 2 nach 3, 3 1 nach 2 durch die Admittanzen YXi Y₂₎ Y₃ fliessenden Ströme sind, so ist

(2)

<3*

die Spannungsdifferenzen, und

h'=Ex'

(4)

V = E%’

die Ströme in den Speiseleitungen.

Diese neun Gleichungen (2), (3), (4) bestimmen die neun Grössen Iu /₂, /₃, //, /₂', /₃', E₂f, E₃f. Gleichungen (4) in (2) eingesetzt, ergiebt:

<5)

It = E₃‘ y₃ — E₂' y2 h = El Yx - E' Y₃ .

h = E' y₂ — ex yj

Diese Gleichungen (5) eingesetzt in (3) und transponiert,

ergeben da Ex = € E E₂ = t² E E₃=E t

als elektromotorische Kräfte an den Generatoren.

£E-E₁'(i+Y₁Z₂ + Y₁ Z₃) + E₂' y₂ Z₃ + E' Y₃Z₂ = o

y₂z₃ f +

E-EJd+Y.Z + Y. Z₂) + Z/ yt Zä +    = o

als drei lineare Gleichungen mit den drei Grössen Ex E ' F '

L2 1 L3 •

Setzen wir diese Kürzungen ein:

l-(l + YXZ₂ + YXZ₃), V₂Z₃ Y₃Z2 ^Zg, - (T + Y₂Z₃ + Y₂ZX), Yg Zx

YxZ2l Y₂ZX, - G + Y₃Zy + ^3 Z₂) i, Y₂Z₃₎ Y₃Z₂

Dx — je²,    — (1 + Y₂ Z₃ + Y₂ZX), Y₃Zx

(7)

<81

T>    Y₂Zt) —(1 4- Y3Zi 4* ^3Z₂)

I—- (1 + YX Z₂ 4- Y\ z₃), y₃ z2 Y\ z₃, **, r₃zL

— (1 4- Y₃ Zx 4- Y₃ Z₂)

/— (! 4* ^1 Z₂ 4- Yx Z₂), Z3l e Z₃, -G + F₂z₃ 4- Y₂Zx), e*! YxZ₂, Y₂ Zx, I    /

so ist:

Ei = Dx/D

e,’=.d₂/e> . e₃' = d₃/d

YXD

I* =

Y₂D₂

(9)

Y₃D₃-Y₂D₂

(10)

YXDX-Y₃D₃

Y₂D₂-YxDx

folglich:

Ei + E₂ 4- A

GD

264. Besondere Fälle.

A. Ausgeglichenes System.

yx = y₂=y₃ = y

Z, = Z₂ — Z₃ = z.

Setzen wir dieses in (6) ein und transponieren, so erhalten wir

Ey =*E

E' =

bE

E₂ = s²E

EJ z=r

i + 3 YZ

t²E

1+3 YZ

E,=E

F ' —

-^3 —

sEY

h' =

~ 1+3YZ

s²E Y

I + 3 YZ

h' =

EY

" i 4- 3 YZ sHb—i)EY T+3YŹ (e—i )EY i + 3YŻ s(e — 1 )EY

(12)

i + 3 YZ

als Gleichungen des symmetrisch ausgeglichenen Dreiphasensystems.

B. Ein Zweig belastet, zwei Zweige unbelastet.

yx = y₂ = o, n = y

zx — z₂ = z₃ = z.

unbelastete Zweige,

Dieses in die Gleichungen (6) eingesetzt: f E — Ex'+ E₃'YZ = o) s°-E — E₂' + E₃’YZ=o\

E — E₃ (i -j- 2 YZ) — o, belasteter Zweig,

folglich :

£■/ =

F ' — j^₂ —

E Je + (1 + 2e) YZ\ ;

1 + 2 FZ

E Je² 4- (1 4- 2£²) YZ\

unbelastet

14-2 YZ

F ' — il₂ —

1 4- 2 yz

belastet

alle drei elektromo-J torischen Kräfte ungleich.

(13)

(13)

C. Zwei Zweige belastet, ein Zweig unbelastet.

Yl=Yi = Y, y₃ = o, zt = z₂ = z₃ = z.

Setzen wir dieses in die Gleichungen (6) ein, so erhalten wir

belastete Zweige,

o \

« E—EJ (i + 2 YZ) + E₉' YZ = e*E—E₉'( 1 4- 2 YZ) + £/ YZ =

E — E./ -f (E^ 4- E₂') YZ — o unbelasteterZweige,

oder da:

(Ex + E₂') = — E₃; E- £3' — Ea' YZ= o,

“14- YZ

Ąf = Ą' = o

EY

h' =

1 + 2 YZ

(13)

EY

i-)-2 Y Z

F ' —

£-3    -

folglich :

Ei' =

Es ji 4- (2 4- s) YZ\

F ' -

-C.₂    —

I 4- 4 rz y 3 Y*Z* Es‘i\i -f (2 4- s-) YZ\

belastete Zweige

1 4 4 TZ 4 3 y-'Z-’

• (14)

F ' —

£.3    —

unbelasteter Zweig

Wie ersichtlich werden alle drei Zweige bei unsymmetrischer Belastungsverteilung mehr oder weniger ungleich.

Kapitel XXX.

Vierphasen-System.

265. In einem Dreileiter-Vierphasen-System mit gemeinsamer Rückleitung beider Phasen seien die beiden Aussenklemmen und Leiter mit 1 und 2 und der Mittel-leiter, bezw. die gemeinsame Rückleitung mit o bezeichnet.

Dann ist:

Ex = E — die elektromotorische Kraft zwischen o und 1 im Generator,

E₂ = jE = die elektromotorische Kraft zwischen o und 2 im Generator.

Es seien:

Ix und 7₂ = die Ströme in 1 und in 2,

7₀ = der Strom in o,

Zj und Z₂ = die Impedanzen der Leitungen 1 und 2,

Z₀ = die Impedanz der Leitung o,

3^ und Y₂ — die Admittanzen der Stromkreise o bis 1 und o bis 2,

I\ und 7'₂ — die Ströme in den Stromkreisen o bis 1 und o bis 2,

Ex und E₂ = die Spannungsdifferenzen am Stromkreis o bis 1 und o bis 2.

A 4" -4 + ^0 — ⁰ I. h— — Ui + h) \

(i)

Dann ist: oder:

d. h. 7₀ ist die gemeinsame Rückleitung von Ix und 7₂. Ferner sei:

Ex — E — 7xZj -f- 7₀Z₀ — E — 7j (Zx -f Z₀) — EZ0 £■2 — }E — ĄZ₀ "h^o^o ⁼ jE — h (^2 + Zq) — I\ZX

und

h = Ï\E '/

I₂ = Y₂E,./    (

/„ = -+£/ + rs£,')\

Setzen wir (3) in (2) ein, und entwickeln:

¹ + Y₂Z₂ + Y₂Z₀(i —j)

Y,Z₀ + T&HI + Y₂Z₀ + Y₂Z₂) - Tt Y₂Z}

¹ + YXZX -(- iizo (* + J)

IY+y^o+ TiZoa + r₂z₀+r₂z^Ęz?

Die beiden elektromotorischen Kräfte am Ende der Leitung sind daher in ihrer Grösse ungleich und stehen nicht mehr senkrecht zu einander.

(3)

Ex = E

(4)

E₂’ = jE

266. Besondere Fälle.

A. Ausgeglichenes System.

Zx - Z₂ = Z; Z„ = ZI 1/2;

Yi = r₂ = r.

Diese Werte in (4) eingesetzt, ergiebt:

i+]/2 — j

EX'=E

I/2

YZ

1 + V2 (1 + ]/₂ rz + (r + j/a) r²z²

i + (1,707 — o,7°7/) 3^

I 4-

1/2

i + 3»4I4 ^Z + ²>4T4 r²Z²

L+.^ + i YZ

E₂' =jE-

i + ]/ 2 (1 + v 2) rz + (i +1/2) F²z²

_    1 + (1,707 + 0,707 j) YZ

~J I+ 3,414 rz 4-2,414 Y²Z2 Das ausgeglichene Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung ist somit in Bezug auf Spannung und Phasenverschiebung unausgeglichen; oder mit anderen Worten, selbst wenn im Vierphasensystem mit gemeinsamer Rückleitung beide Zweige oder Phasen gleich und mit gleicher Phasenverschiebung belastet sind, wird das System gleichviel unausgeglichen und die beiden elektromotorischen Kräfte am Ende der Leitung sind weder gleich, noch senkrecht zu einander.

er

B. Ein Zweig belastet; ein Zweig unbelastet.

Zx = Z₂ = Z; Z₀ =r ZI/2.

rx = o, r₉ = r. rx = y, y₂ = o.

Setzen wir diese Werte in (4) ein, so erhalten wir:

1 + rz-

+ ^2

a) EJ = E

I + YZ-

I +Ÿ2 +

YZ

2,414 4-

1.414

YZ

(6)

£2' =jE

14- rz -

4- V 2

b) Et' = E

4- 1,707 YZ

1 4- rz-

4- V 2

i 4- 1,707 YZ

. + }-zr ’• z

E₂’=jE

1 4- YZ-

4- ]/ 2

—J E

I 4- 1⁷2 4-

rz

= jE\

2,414 4-

I>4¹4

YZ

Diese beiden elektromotorischen Kräfte sind ungleich und stehen nicht senkrecht zu einander.

Die Werte im Falle a) sind indessen verschieden von den Werten im Falle b).

D. h. die beiden Phasen eines Dreileiter-Vierphasensystems sind unsymmetrisch und die voreilende Phase 1 wirkt auf die zurückbleibende Phase 2 in verschiedener Weise ein als Phase 2 auf Phase 1.

Die Benutzung eines Dreileiter - Vierphasensystems ist daher nicht empfehlenswert, ausser in Fällen, wo die Leitungs-Impedanzen Z vernachlässigt werden können.

In allen anderen Fällen ist das Vierleiter-Vierphasensystem vorzuziehen, das im wesentlichen aus zwei unabhängigen Einphasensystemen besteht und als solches behandelt wird.

Augenscheinlich können selbst in einem unabhängigen Vierphasensystem bei ungleicher Belastung unausgeglichene Effekte auftreten.

Ist einer der Zweige oder Phasen verschieden von . der andern belastet, so ist der Spannungsverlust und die Phasenverschiebung verschieden von den entsprechenden Grössen in dem anderen Zweige und somit sind die elektromotorischen Kräfte am Ende der Leitung weder gleich an Grösse, noch senkrecht zu einander.

Bei gleicher Belastung beider Zweige bleibt dagegen das System in Spannung und Phase ausgeglichen, ebenso wie das Dreiphasensystem unter den gleichen Bedingungen.

Das Vierleiter-Vierphasensystem und das Dreiphasensystem sind also bei gleicher Belastung in Bezug auf Spannung und Phase ausgeglichen, werden aber bei ungleicher Verteilung unausgeglichen. Das Dreileiter-Vierphasensystem dagegen ist selbst bei gleicher Belastung in Bezug auf Spannung und Phase unausgeglichen.

Anhang.

Anhang I.

Algebra komplexer imaginärer Grössen.

Einleitung.

267. Das Zahlensystem, mit dem die Algebra zu thun hat, hat seinen Ursprung in der Erfahrung. Direkt abgeleitet von der Erfahrung sind indessen nur die absoluten ganzen Zahlen. Brüche z. B. sind nicht direkt der Erfahrung entnommen, sondern sind Abstraktionen, die Beziehungen zwischen verschiedenen Klassen von Grössen ausdrücken. So z. B. ergeben sich durch Teilung einer Grösse in zwei gleiche Teile zwei Grössen, und die Bezeichnung der letzteren als „Halbe“ drückt eine Beziehung aus, nämlich die, dass zwei Grössen dieser Art von einer der ursprünglichen Grössen abgeleitet sind, oder zu derselben zusammengesetzt werden können.

268. Direkt der Erfahrung entnommen ist das Zählen, a, a 1

a + 2, a + 3 . . . .

Zählt man eine bestimmte Zahl von Ganzen:

<x T

i + 1 + 1 ■••+!. = c, b Ganze

so kommt man zur Addition, als dem mehrfachen Zählen:

Es ist:

ci -j- b — b -f- rt,

d. h. die Glieder der Addition oder Summanden sind vertauschbar.

Mehrfache Addition derselben Ausdrücke: a + a + a + • *• + « = c

b gleiche Zahlen führt die Multiplikation ein:

a X b = c. a X b — b X a,

Es ist

d. h. die Glieder der Multiplikation oder Faktoren sind vertauschbar.

Mehrfache Multiplikation gleicher Faktoren:

aXaXaX • • - Xa = c

b gleiche Zahlen

führt das Potenzieren ein :

ab — c.

Da

ab nicht gleich ba ist, so sind die Glieder der Potenzen nicht vertauschbar.

2ÔQ. Die umgekehrte Operation der Addition führt zur Subtraktion.

Wenn

so ist

a -u b = c — b —

Diese Operation kann im System ganzer und absoluter Zahlen nicht mehr ausgeführt werden, wenn

b c.

Um daher die Subtraktion unter allen Umständen auszuführen, muss das System absoluter Zahlen durch die Einführung der negativen Zahl erweitert werden:

wo

— a = (— i) X a,

(— i) die negative Einheit ist.

Dadurch ist das System der Zahlen unterteilt in positive und negative Zahlen und die Subtraktion möglich für alle Werte des Subtrahenden und des Minuenden,

(— i) X (— i) = i ;

oder

d. h. die negative Einheit ist definiert durch die Gleichung

(— i)² = i.

270. Die Umkehrung der Multiplikation führt zur Division :

Wenn

a X b = c,

so ist

— = a.

Im System ganzer Zahlen lässt sich diese Operation nur ausführen, wenn b ein Faktor von c ist.

Um die Division unter allen Umständen durchführbar zu machen, muss das System der ganzen Zahlen erweitert werden durch Einführung der Brüche:

wo

der ganze Bruch ist, und definiert ist durch:

i.

Die Umkehr des Potenzierens führt zwei neue

271.

Rechnungsweisen ein, da beim Potenzieren:

ab = c

die Glieder a und b nicht vertauschbar sind.

Folglich

y~ — a, das Wurzelziehen (Radizieren), logac = bt das Logarithmieren.

Das Wurzelziehen aus Grössen c, welche nicht ganze Potenzen sind, macht eine Erweiterung des Zahlensystems notwendig durch Einführung der irrationalen Einheit , z. B. :

V2 = I)4I42I3-

272. Das Wurzelziehen aus negativen Grössen c mit geraden Exponenten b, z. B.

macht wieder eine Erweiterung des Zahlensystems not-

wendig durch Einführung der imaginären Einheit:

V— I.

V—a = V— ixV

Folglich

wo: ]/— j mJt j bezeichnet wird.

Die imaginäre Einheit ist somit definiert durch

i.

f =

Durch Addition und Subtraktion reeller und imaginärer Einheiten ergeben sich zusammengesetzte Zahlen von der Form:

a 4-jb,

welche als komplexe imaginäre Zahlen bezeichnet werden.

Eine fernere Erweiterung des Zahlensystems wird durch das Wurzelziehen nicht eingeführt.

Das Logarithmieren führt gleichfalls zur irrationalen und imaginären und komplexen imaginären Zahlen, jedoch zu keinem weiteren Zahlensystem.

273. Von der absoluten ganzen Zahl der Erfahrung ausgehend, ergeben sich somit durch die beiden Bedingungen :

1.    Möglichkeit der Ausführung der algebraischen Operationen und ihrer Umkehr-Operationen für alle Bedingungen,

2.    Allgemeine Gültigkeit der Rechnungsgesetze für das erweiterte Zahlensystem, die Erweiterung des Zahlensystems in

positive und negative Zahlen, ganze Zahlen und Brüche, rationale und irrationale Zahlen,

reelle und imaginäre Zahlen und komplexe imaginäre

Zahlen.

Hiermit schliesst das Feld der Algebra und alle algebraischen Operationen und ihre Umkehr-Operationen lassen sich ausführen für alle Werte der in die Rechnung eintretenden Zahlengrössen.

⁰⁰

wo e = lim 11 -|--1 =

=00 \    ¹ h) ^

IX2X3X.. .Xi

die Basis der natürlichen Logarithmen ist. Konjugierte Zahlen :

und so ist:

Innerhalb des Gebiets der Algebra ist somit keine weitere Ausdehnung des Zahlensystems nötig, oder möglich, und die allgemeinste Zahl ist

a + jb₎

wo a und b ganze Zahlen, oder Brüche, positiv oder negativ, rational oder irrational sein können.

Algebraische Operationen mit komplexen imaginären Grössen.

274. Definition der imaginären Einheit:

P =

1.

Komplexe imaginäre Zahl.

A = a + j b.

Setzt man ein:

so ist:

wo :

a — r cos ß b = r sin ß,

A = r (cos ß j sin ß), r — Va² -f b²

tang ß —    ,

r = Vektor,

ß = Amplitude der komplexen imaginären Zahl A. Setzt man ein:

cos ß =

eiß 4. e~D

sin ß =

e>? — e~D

²y

so ist:

A = reD

a + jb = r (cos ß -|- j sin ß) = re A a — jb — r (cos [ — ß] L j sin [ — ßj) = re ~J? [a -f jb) (a — jb) = a² b² — rJ

Addition und Subtraktion:

275-

(a Ą- jb) d= («' 4* 7^) = (a i a') 4-7 (Æ i £'). Multiplikation :

(a 4- yó) [a 4- jbj = (aa' — bb') 4- j {ab' 4- ba') oder : r (cos ß -j- j sin ß) X r' (cos ß' 4- j sin ßj = rr' (cos [ß 4-ß'] 4- 7 sin [ß 4- /?']); oder : reJß X r'eA' — rr’e^ß ⁺ ß'>.

Division:

Erweiterung des komplexen imaginären Bruches zum Rationalmachen von Nenner oder Zähler durch Multiplikation mit der konjugierten Grösse: a 4- jb (a -\-jb) {a’—jb')    (aa'-\-bb') -\-j{ba—ab')

a’ 4- jb'    {a' 4" jb')(a' — jbj

Associerte Zahlen:

a + jb = r (cos ß -j- j sin ß) reA

und h -{- ja — r |cos — — ß + j sin — — ß J

— rej (j ß) ■

so ist:

Wenn:

so ist:

Wenn: so ist:

(a -f jb) (b 4- ja) = j {a² + b²) = ;V². a 4- ib = a' -f jb', a — a' b = b’, a 4- jb = o, a = o, b = o.

a'² 4- b'²

oder :

(a+jb) (a—jb) ~ {a> + jb') {a—jb)

r{cos/5 4-7sinß)

/ (cos ß' f y sin/¹?')

a² -\-b ²

{aa! 4- bb')    j {a b'-\-b aj '

— (cos [ß — ß'] + j sin [ß — ß']) ;

oder:

= Le*?-?').

Potenzieren :

(a 4- jb)- = \r{cosß 4- y sin M = \r eAj” = rn (cos n ß-\-j sin n ß) = rnejnß.

Wurzelziehen (Radizieren) :

Va -j- jb = Vr (cos ß 4- j'sinßj — V r e-iP.

— Vr

(cos — 4- y sin -] = Vr eJ'£-\ n J n)

276. Wurzeln der Einheit:

!»

+ j'V 3

1 = + i,-

i = 4- i

i.

+ 7»    -7';

— h +7» —7» - I + j V 2

. 4- i + 7 V 2 +¹ — / V 2

—7 ^².

i — cos

-f j sin

2 TT k

2 njk

k = o, 1

n — 1.

Rotation :

277.

In den komplexen imaginären Ebenen bedeutet Multiplikation mit

2 71

VI =

cos--j- / sin —

n    n

Rotation in positiver Richtung durch — Umdrehung,

n

Multiplikation mit (—1) bedeutet Umkehrung oder Rotation um 180°, Multiplikation mit (4- j) bedeutet positive Rotation um 90 °, Multiplikation mit (— j) bedeutet negative Rotation um 90°.

278. Komplexe imaginäre Ebene.

Die

Die positiven und negativen Zahlen können bekanntlich als Punkte einer Linie dargestellt werden, komplexen imaginären Zahlen lassen sich durch die Punkte

einer Ebene darstellen, mit der Horizontalaxe als reelle Axe und der Vertikalaxe als imaginäre Axe. Alsdann sind:

alle positiven reellen Zahlen durch Punkte der rechten oder Halbaxe OA,

alle negativen reellen Zahlen durch Punkte der linken oder Halbaxe OA,

alle positiven imaginären Zahlen durch Punkte der oberen oder Halbaxe OB,

alle negativen imaginären Zahlen durch Punkte der unteren oder Halbaxe OB

dargestellt.

Die komplexen imaginären Zahlen sind durch die Punkte ausserhalb der Koordinaten-Axen dargestellt.

Anhang II.

Oscillierende Ströme.

Einleitung.

279. Ein periodisch zwischen konstanten Maximal- und Minimalwerten variierender elektrischer Strom wird ein Wechselstrom genannt, wenn der arithmetische Mittelwert = o ist, und ein pulsierender Strom, wenn der arithmetische Mittelwert von o verschieden ist.

Wird die Wechselstronnvelle als Sinuswelle angenommen, oder durch die aequivalente Sinuswelle ersetzt, so wird der Wechselstrom charakterisiert durch die Periode, oder die Zeit eines vollständigen Kreislaufes und die Amplitude, oder den Maximalwert der Welle. Periode und Amplitude eines Wechselstromes sind daher konstant.

Solche Ströme bestehen aus

Eine wichtige Klasse bilden die Ströme mit konstanter Periode, aber mit geometrisch veränderlicher Amplitude; d. h. Ströme, in denen die Amplitude jeder folgenden Welle zu derjenigen der vorhergehenden Welle in konstantem Verhältnis steht, einer Reihe von Wellen konstanter Länge, die in Amplitude oder Intensität in konstantem Verhältnis abnehmen.

Dieselben werden oscillierende Ströme genannt, analog der mechanischen Oscillation — wie z. B. des Pendels —, wo die Amplitude gleichfalls in konstantem Verhältnis abnimmt.

Da die Amplitude oscillierender Ströme sich verändert, und konstant abnimmt, so unterscheiden sich oscillierende Ströme von Wechselströmen dadurch, dass sie in einem bestimmten Zeitmoment beginnen und allmählich abnehmenr und den Nullwert erreichen in theoretisch unendlicher Zeit, praktisch gewöhnlich in sehr kurzer Zeit, d. h. einer Zeit,, die im allgemeinen sehr klein ist, selbst im Vergleich zu der Zeit einer Wechselstromhalbwelle.

Charakteristische Konstanten des oscillierenden Stromes

sind die Periode T oder Frequenz N =

die erste Am

2.

180

3C0

540

720

~~|900f---j>408e

OsciHierende elektromotorische Kran

= 5 dec 8J2⁰

Fig. 181.

plitude und das Verhältnis zweier aufeinander folgender Amplituden, welche das Dekrement der Welle genannt werden. Der oscillierende Strom lässt sich somit durch das Produkt einer periodischen Funktion und einer in geometrischem Verhältnis mit der Zeit abnehmenden Funktion darstellen. Letztere ist die Exponential-Funktion

Af-s*.

280. Der allgemeine Ausdruck eines oscillierenden Stromes ist somit

I — Af~£ł COS (2 71 N t - Cd):

da

Wenn s die Basis der natürlichen Logarithmen ist, kann der oscillierende Strom ausgedrückt werden durch

I — i £ ~ b ł COS (2 71 N t — 00) — C £~a<P COS ((f- (xi),

wo (f = 2 n N t ist; d. h. die Periode ist durch eine vollständige Umdrehung dargestellt.

In derselben Weise lässt sich eine oscillierende elektromotorische Kraft durch die Gleichung ausdrücken:

E — e e~a,P cos (<p — cö).

Fig. 182.

Eine solche oscillierende elektromotorische Kraft für die Werte:

2 na — 0,4, (xi — o

e = 5, a = 0,1435 oder É ist in rechtwinkligen Koordinaten in Fig. 181 dargestellt, und in Polar-Koordinaten in Fig. 182. Wie aus Fig. 181 ersichtlich, berührt die oscillierende Welle in rechtwinkligen Koordinaten die beiden Exponentialkurven:

y = i e £ ncP.

281. In Polar-Koordinaten ist die oscillierende Welle durch eine Spirale dargestellt, die zweimal pro Periode

Steinmetz, Wecliselstromerscheinungen.

durch den Nullpunkt geht und die Exponential-Spirale

y = rb e s a<P

berührt, wie aus Fig. 182 ersichtlich.

Letztere wird die Envelope eines Systems oscillierender Wellen genannt und ist in Fig. 183 separat dargestellt, mit denselben Konstanten, wie in Fig. 181 und 182. Ihre

#■

Fig. 183.

Fig. 184.

charakteristische Eigenschaft ist : Der Winkel, den irgend ein konzentrischer Kreis mit der Kurve y — es~a(f macht, ist

tang « =

dy

= — «,

y d (f

und ist somit konstant, d. h. : „Die Envelope des oscillierenden Stromes ist die Exponential-Spirale, welche durch einen konstanten Schnittwinkel mit allen konzentrischen Kreisen oder Radienvektoren charakterisiert ist“. Der oscillierende Strom ist das Produkt der Sinuswelle und der Exponential-Spirale.

282, Es sei in Fig. 184 y — es~a<P die Exponential-Spirale und

z — e cos {(p — a)

die Sinuswelle; ferner

E = e £~a,P cos (cp — o))

die oscillierende Welle.

Es ist alsdann:

tang ß =

dE

E d cp

_ — sin (<p — co) — a cos (<p — cd)

cos (cp-CO)

= — Itang (cp — «) 4- aj ;

d. h. während die Steigung der Sinuswelle z = e cos (y — w), tang y = — tan (cp — w)

und die Steigung der Exponential-Spirale y — e £~aiP konstant ist

tang a — — a,

ist die Steigung der oscillierenden Welle E—es — a(f cos {cp — Cd)

tang ß = — jtang (cp — co) + a\.

Das Verhältnis

Dieselbe ist somit grösser wie die »der Wechselstromwelle und zwar um die Konstante a.

der Amplituden zweier aufeinander folgenden Perioden ist F

A =

Die oscillierende Welle lässt sich durch

A wird das numerische Dekrement, a das Exponential-Dekrement und « das Winkeldekrement der oscillierenden Welle genannt, die Gleichung ausdrücken:

E — e ta,,8 a cos {(p — co).

In dem in Figg. 181 und 182 dargestellten Beispiel ist A = o,4, a = 0,1435, a ~ 8,2°.

Impedanz und Admittanz.

283. In komplexen imaginären Grössen ist die Wechselstromwelle

(cp — Cd)

z = e cos

dargestellt durch das Symbol

E = e (cos o) -f- j sin co) — ć, -f j ei-

Unter Erweiterung dieses symbolischen Ausdrucks lässt sich die oscillierende Welle E = es— a,Pcos (cp— ca) durch das Symbol darstellen:

E — e (cos ca -f- j sin ca) dec a — (et -R j e₂) dec cc, wo a tang cc das Exponential-Dekrement, cc das Winkel-Dekrement und s —i7ta das numerische Dekrement ist.

Induktanz.

284. Es sei r — Widerstand, L — Induktanz und .v = 2 n N L — Reaktanz in einem Stromkreise, der von dem oscillierenden Strome durchflossen wird:

I = i € — a,P cos ((f — w) = i (cos w + j sin w) dec a — (iy + ji₂) dec cc,

wo:

iy — i cos w, 4 — ^ sin ⁶⁰> a — tang cc.

Die vom Widerstand r des Stromkreises verbrauchte elektromotorische Kraft ist sodann:

Ey—rl dec cc.

Die von der Induktanz L des Stromkreises verbrauchte elektromotorische Kraft ist

EX = L

dl

= 2 71 N L

dl

dl

d(f    dcp

Folglich Ex= — x i e~a,P jsin (cp — w) + a cos (cp — w)| x i e~a,P

sin (cp — o) -f- cc).

cos a

Daher in symbolischer Darstellung:

jsin (w — a) + j cos (m — cx) dec cc

Ex = -

cos «

= — x i (a -j- j) (cos ca + j sin ca) dec a ;

d. h.

Ex — — x I (a -|- j) dec a.

D. h. die scheinbare Reaktanz des oscillierenden Stromkreises ist in symbolischer Darstellung:

X = x (a -f j) dec cc,

enthält somit eine Energie-Komponente a x, und die Impedanz ist:

Z =(r—X) dec cc — \ r—x (a -\- j)j dec cc — (r— ax—jx) dec«.

Kapazität.

285. Es sei r = Widerstand, C = Kapazität und xc — 1/2 n C — Kapazitäts-Reaktanz. In einem Stromkreise, der vom oscillierenden Strom I durchflossen wird, ist die von der Kapazität C verbrauchte elektromotorische Kraft

^-Nc\ld* = k\Id*

oder eingesetzt:

Ex — x I i s~a (P cos (<p — w) d cp

x

sin (cp — w — «) ;

——2 i e~a(P jsin {(f — <o) — a cos (cp — «)j x i s~ a (P

(1 + a²) cos a somit in symbolischer Darstellung

(1 -j- a²) cos a)

}—sin(tö + a) j cos (w -4- a) \ dec 6'

(a -\- j) (cos co + j sin co) dec a ;

folglich

X

——^2 (— a + ß ¹ dec a ;

d. h. die scheinbare Kapazitäts-Reaktanz des oscillierenden Stromkreises ist in symbolischer Darstellung

c --

Xc

(— a + j) dec «.

286. Es ergiebt sich somit:

In einem oscillierenden Stromkreis mit dem Widerstand r, der induktiven Reaktanz x und der Kapazitäts-Reaktanz xc mit einem Exponential-Dekrement a ist die scheinbare Impedanz in symbolischer Darstellung:

x {a -f j) +

xc

(— a + /) dec a,

— Ir

— a \x 4-

Xc

Xc

1 4~ a²

a²

ec «,

— ra — j xa\

und absolut

S« = VrJ + xa‘J

.r 4-

Xc

Xc

1 + a'-'J ‘

Admittanz.

287. Es sei der Strom

/= i £~a,P cos (<p-ft)).

Aus der vorangegangenen Diskussion ergiebt sich somit als die vom Widerstand r, induktiver Reaktanz x und Kapazitäts-Reaktanz xc verbrauchte elektromotorische Kraft

E — i e~a,P I cos f(f — ft>) r — ax —

1 -f- a¹

xc — sin ((fi — &))

Xc

I -j- ß-

== i Za e~a'P COS (<f - ft) + Ô),

xc

wo:

tang ô =

I 4- a¹

1 -f dl

xc

za = \ \x

Xc

4- \r — a x

i -f d-

ft) 4* à für (») eingesetzt, und e — i za ergiebt E — e 6~a'P cos {(f — &)),

Za

£ — a,p COg    — w -

= es~a,P

COS Ô

COS {(f—ft>) 4-

sind

Za

sin (cp — &))| ;

somit in komplexen Grössen

E = e (cos o) 4- j sin &j) dec ce, . sin ô)

(COS Ô

Za

Za

dec ce ;

r — ax —

xc

oder eingesetzt:

I=E\

xe

1 + a\

4. Ir — ax

1 + a'-Xe

X--

xc

+J

xc

dec u

l4'fl²

⁺ \r-ax-7+ä*-x‘

288. In komplexen Grössen ergiebt sich somit für oscillierende Ströme: Konduktanz:

r— ax---—-*c

14- a*

xc

14-

4- r — ax---- xc

i + «²

Susceptanz:

•vf

x--

1 4- a'

xc

x--

1 4 ä²

Admittanz, in absoluten Werten:

Sir — ax--

i 4- a-

y = Vg² S b* =

]lix-

xc

1 4- a-

4- r — ax---- xc

i + «²

in symbolischer Darstellung:

r — ax —

xc

Y=gSjb =

i 4- «

xc

i 4- a\

4- I r — ax--

tA‘c

Da die Impedanz

7 l    a

Z — \ r — ax —

i 4 a²

Xc —J X —

= r« —Jx «

ist, so ist

;y =

i    ra    xa

7’g-Sb-^ d. h. dasselbe Verhältnis wie in komplexen Grössen in Wechselstromstromkreisen, nur dass im vorliegenden Falle alle Konstanten ra, xa, za, g, z, y von dem Dekrement a abhängen.

Stromkreise von Null-Impedanz.

289. In einem oscillierenden Stromkreise mit dem Dekrement a, dem Widerstand r, der induktiven Reaktanz x und der Kapazitäts-Reaktanz xc ergab sich als Impedanz in symbolischer Darstellung

xc

i -j- a²

Xc \ —J\X

Z — ra — jxa = I r — ax oder numerisch

z — Vra² + Xa² = y|r — ax

xc

xc + \x

1 + rt²/ '

Folglich repräsentieren sowohl die induktive Reaktanz x, als auch die Kapazitäts-Reaktanz xc nicht wattlose elektromotorische Kräfte wie im Wechselstromstromkreis, sondern liefern Energie-Komponenten von negativem Vor-

1+ a²

Zeichen

— ax —

d. h.:

1 4- a²

Xc 1

,,In einem oscillierenden Stromkreise liegt die gegenelektromotorische Kraft der Selbstinduktion nicht senkrecht hinter dem Strome, sondern bleibt um weniger als 90°, oder einer Viertelperiode, zurück und der Ladestrom eines Kondensators eilt der Klemmenspannung um weniger als 90⁰, oder eine Viertelperiode, vor.“

290. Infolge dieser negativen Energie-Komponenten der Reaktanz im oscillierenden Stromkreise kann eine Erscheinung auftreten, die im Wechselstromstromkreise nicht analog ist; d. h. unter gewissen Bedingungen kann die Gesamt-Impedanz des oscillierenden Stromkreises gleich Null sein:

Z — o.

In diesem Falle ergiebt sich

r — ax —

xc = o ; x —

xc

1 + «²

in diese Gleichungen eingesetzt x = 2 nNL ; xc ~

= o,

zrtNC

und entwickelt, ergiebt:

•2,11 N —

-1/^4-,

Z. y r- c

2a L

d. h.:

„Wenn in einem oscillierenden StromkreisedasDekrement

l/⁴^

» r² C

und die Frequenz N = r / 4 zr a L ist, so ist die gesamte Impedanz des Stromkreises gleich Null ; d. h. der oscillierende Strom dauert, wenn einmal vorhanden, ohne weitere Zuführung äusserer Energie zum Stromkreise fort.“

291. Die physikalische Bedeutung dieser Erscheinungen ist folgende: „Wird einem elektrischen Stromkreise ein bestimmter Energiebetrag zugeführt und der Stromkreis alsdann sich selbst überlassen, so wird der Strom im Stromkreise oscillierend mit der Periodenzahl N — r j \ n a L und dem Dekrement

D. h. oscillierende Ströme sind die Erscheinungen, unter denen ein im Gleichgewicht gestörter elektrischer Stromkreis in’s Gleichgewicht zurückkehrt.

Diese Erscheinung zeigt den Ursprung oscillierender Ströme und die Mittel, solche Ströme zu erzeugen, durch Störung des Gleichgewichts eines elektrischen Stromkreises, z. B. durch Kondensator-Entladung, Schliessung und Unterbrechung des Stromkreises, durch plötzliche elektrostatische Ladung, wie Blitz u. s. w.

Die wichtigste Klasse oscillierender Ströme sind offenbar die in Stromkreisen von Null-Impedanz verlaufenden, die oscillierende Entladungen des Stromkreises darstellen. Zu dieser Klasse gehören gewöhnlich Blitzentladungen.

Oscillierende Entladungen.

292. Die Bedingung einer oscillierenden Entladung ist Z = o, d. h. :

V—

IV c

2 71 N=

2 a L 2 L 1' r2 c

Wenn r = o, d. h. in einem Stromkreise ohne Widerstand, so erhalten wir a = o, N = 1/2 nVL C; d. h. die Ströme sind Wechselströme ohne Dekrement, und die Periodenzahl ist diejenige vollständiger Resonanz.

Wenn 4 L j r- C — i<o, d. h. r 2 VL/ C / a, so werden a und N imaginär, d. h. die Entladung hört auf, oscillierend zu sein. Eine elektrische Entladung wird somit nur dann oscillierend, wenn r 2 \ L / C. Im Falle r — 2

VL/C, ist a = 00, N = o; d. h. der Strom verläuft ohne Oscillation.

Aus dem vorhergehenden ergiebt sich Z = o dec a als die Bedingung oscillierender Entladung, wie z. B. die Erscheinungen, die auftreten, wenn ein zu einer bestimmten Spannung geladener Kondensator durch einen Stromkreis entladen wird, oder wenn Blitz in einen Stromkreis ein-schlägt.

Da

Er — I r dec «,

¹ = (*1 + j 4) dec «»

£4 = x I [a + y) dec «

I 4- ft²

( — a -f j) dec «,

so ist

r — a a* —

i -j- a-

xc — o

- X -f-

xc

i -f a-

somit eingesetzt:

Exc = x I (— a 4- j) dec a.

Die beiden Konstanten der Entladung i\ und i₂ ergeben sich aus den Anfangsbedingungen, d. h. der elektromotorischen Kraft und dem Strom zur Zeit t — o.

293. Es werde ein Kondensator von der Kapazität C entladen durch einen Stromkreis von dem Widerstand r und der Induktanz L. Die elektromotorische Kraft des Kondensators im Augenblicke des Stromschlusses sei e, d. h. zur Zeit t = o, oder <p — o. In diesem Augenblicke ist der Strom gleich Null, d. h.:

I=Jh, h — o.

Da

Exc = xl (— a + j) dec cc — e bei cp — o,

x Vi -f rt²

so ist x4 Vi -f- a¹ = e oder i₂ =

Dies eingesetzt, ergiebt

I=j

x Vi -f- a¹

dec a,

Er —je

dec «,

Ex =

(1 —ja) dec a, Exa —

x Vi 4- a²

■    —- (i + je*) dec «

I^i + a²

Vi -f a²

die Gleichungen der oscillierenden Entladung eines Kondensators von der Anfangsspannung e.

/ =-je PL dec cc,

£V =

jer "|/dec «,

so ist:

lIaL- i-

2 r r² C '

Da

X = 2. 7T N L

UL

r²

2TtN=—

somit eingesetzt:

—7 dec a,

Ek =

₄L

r² C

i + /j dec a,

» r² C

1 /4^

— 1 A^ =

H r² C

4 7T Z,

die Gleichungen der oscillierenden Entladung, in symbolischer Darstellung.

Transformator für oscillierenden Strom.

294. Als ein Beispiel für die Anwendung der symbolischen Methode zur Untersuchung oscillierender Ströme mag die Transformation solcher Ströme betrachtet werden. Wird in einem die Primärspule eines Transformators enthaltenden Stromkreis ein oscillierender Strom erzeugt, so fliessen auch im Sekundärkreise des Transformators oscil-lierende Ströme.

geschlossen, wo rj = äusserer, r₁" =

Es sei p das Verhältnis der sekundären zu den primären Windungen des Transformators. Die Sekundärspule sei durch einen Stromkreis vom Gesamtwiderstand r\ = rf + rt

innerer Widerstand ist. Es sei die Gesamt-Induktanz

wo Lÿ die äussere, Ly" die innere In-

Ly=Ly' +L /'

duktanz, Q die Gesamt-Kapazität ist.

Alsdann ist die gesamte Admittanz des Sekundär

stromkreises :

Yy = (gj-/by) dec« =

ry -aXy

i -f- a-

1 + a-,

wo .r₁ = 27rA^/.₁ = die induktive Reaktanz, xcl Kapazitäts-Reaktanz ist.

Es sei r₀ der effektive hysteretische Widerstand, Z.(> die Induktanz; folglich v₀ = 2.71 NL₀ die Reaktanz. Folglich

= die Admittanz

2 re NC

die

Y(J = g₀ +A =

(ryy — ax₀)—jxn

des primären Erreger-Stromkreises des Transformators; d. h. die Admittanz des primären Stromkreises bei offenem Sekundär-Stromkreis.

Wie im vorhergehenden erörtert, lässt sich ein Transformator als aus einem sekundären Stromkreis bestehend betrachten, dem dieKlemmenspannung über die Hauptleitung zugeführt wird, dessen Impedanz gleich der Summe der primären und sekundären Transformator-Impedanz ist, und die zu dem Erreger-Stromkreis im Nebenschluss hegt, ausserhalb der sekundären, jedoch innerhalb der primären Impedanz.

Es sei r der Widerstand, L die Induktanz, C die Kapazität; folglich ist x — inNL die induktive Reaktanz

und = -

die Kapazitäts-Reaktanz des gesamten

27x N C

Primär-Stromkreises, einschliesslich der Primärspule des Transformators.

Bezeichnet Eÿ — Ey dec a die in der Sekundärspule des Transformators durch gegenseitige Induktion erzeugte elektromotorische Kraft; d. h. die elektromotorische Kraft, die durch den oscillierenden Magnetismus mit der primären und sekundären Spule verkettet ist, so ist der Sekundärstrom : ly — Ey Yy dec et.

Folglich ist /'j = pi ₁ dec a — p E\ Yl dec a = dem primären Belastungsstrom, oder der Komponente des Primärstromes, entsprechend dem Sekundärstrom. Folglich ist

/₀ = — Ex Y{) dec a der primäre Erregerstrom; folglich der

gesamte Primärstrom:

I=I/ ₊ I₀ =

EP

j Y₀ -f p¹ Yx { dec a.

E '

E' — dec a ist die induzierte primäre elektromotorische Kraft.

Folglich ist die gesamte primäre elektromotorische Kraft

E = {E' -f- IZ) dec a =

EP

ji + Z Y₀ p¹ Z Yx\ dec «.

Bei oscillierender Entladung ist die gesamte elektromotorische Kraft E — o; d. h.

1 -+- Z 1₀ -p p¹ Z \x — o

oder eingesetzt:

r— ax

i 4-

14- a -

xc

xc

I 4- Cl¹

r — a x--

xc

+ />¹

1 4- a¹

1 4-

rx — axx —

1 4- a¹

Xc\ J 1*1

xn

o.

1 4- cP

Kann der Erregerstrom des Transformators vernachlässigt werden, d. h. ist = o, so wird die Gleichung wesentlich vereinfacht:

295-

1 +p²

1 + a²

xc\ —J \x —

xc

rx— a x₁

i-\-a²

Xcl —j V,—

%Cl

d. h.

rx — a xx —

ax---—5 xe

1+ «²    1

= 0;

7+?) + p\x ~

Xe

1-f-a²

= °;

oder kombiniert:

(rx — 2    -f- P² (T — 2 a x) = o,

ri + P2 r — ² a (xx 4- p² x),

Xei s- P² Xc— (I +a²) xx 4- p² X). jfj, x, xcl,    eingesetzt, ergiebt:

1/    4 (A + Z)

' (ri + P‘‘r|! 0 + />- C)

rl + P^r

2 a {Lx 4- Z>² Z,)

ri + Z'2 r

4 (Lx + p² Z.)

2 (Z.Ł 4-/>²Z) ^ (rj 4- Z»² r)² Q 4- p² C)

1.

ZT = —— J1 4" Z*² Z } dec «,

I — p Ex Yx dec a,

/t = Ex' Yx dec a

die Gleichungen des Transformators für oscillierenden Strom, mit Ex als Parameter.

Anhang III.

Effekt und sonstige Grössen doppelter Periodizität.

I.

296. Wechselströme und wechselnde elektromotorische Kräfte werden gewöhnlich graphisch durch Vektoren dargestellt. Ein Vektor ist eine Grösse, die Länge und Richtung hat. Die Länge stellt die Intensität, die Richtung die Phase der Wechselstrom welle dar. Gewöhnlich werden die Vektoren vom Mittelpunkt der Koordinaten aus aufgetragen. In der topographischen Darstellung dagegen, die für komplizierte Stromkreise, wie verkettete Mehrphasennetze, geeigneter ist, erscheint die Wechselstromwelle als die gerade Verbindungslinie zweier Punkte, welch’ letztere die absoluten Werte der Spannung und deren Verbindung die Spannungsdifferenz in Phase und Intensität darstellen.

Algebraisch werden diese Vektoren durch komplexe Grössen dargestellt. Die Impedanz, Admittanz u. s. w. des Stromkreises erscheinen sodann in symbolischer Darstellung gleichfalls als komplexe Grössen. Strom, elektromotorische Kraft, Impedanz und Admittanz stehen daher mit einander in Beziehung durch Multiplikation und Division komplexer Grössen, in derselben Weise wie Strom, elektromotorische Kraft, Widerstand und Kon-duktanz durch das Ohm’sche Gesetz in Gleichstromstromkreisen.

Tn Gleichstromstromkreisen ist der Effekt das Produkt

von Strom und elektromotorischer Kraft. W echselstromstromkreise :

Ist in einem

E = e' + je"

so ist das Produkt :

J=ï + ß'

P₀ = EJ= (ef Ï

e" i") 4- j (.g" ï + e' i") nicht der Effekt; d. h. Multiplikation und Division, die in der gegenseitigen Beziehung zwischen Strom, elektromotorischer Kraft und Impedanz richtig sind, geben bei der gegenseitigen Abhängigkeit zwischen elektromotorischer Kraft, Strom und Effekt kein richtiges Resultat.

Die Ursache hiervon ist, dass E und y Vektoren gleicher Periodenzahl und Z ein konstanter Zahlenfaktor ist, der die Periodenzahl nicht ändert.

Der Effekt P dagegen hat im Vergleich zu E und J die doppelte Periodenzahl und kann daher nicht durch einen Vektor in demselben Diagramm mit J und E dargestellt werden. Das Produkt P^ — EJ ist von derselben Periodenzahl wie E und J und kann daher nicht den Effekt repräsentieren.

297. Da der Effekt eine Grösse von doppelter Periodenzahl von E und J ist und daher der Phasenwinkel w in E und J einem Phasenwinkel 2 to in dem Effekt entspricht, ist es von Interesse, das Produkt E und J zu untersuchen, welches durch Verdoppelung des Phasenwinkels gebildet wird.

Algebraisch ist:

P — EJ — (er 4- je") (z' + ji") = iß' if 4- j*e"i") +( je" i' + e'j i'j.

Da y² = — 1 einer Drehung von 180⁰ für E und J entspricht, so ist für die Grösse P mit der doppelten Periode oder 360° Drehung j² =4-1, und

y x i =j i xy = — y.

Diese Werte eingesetzt, ergiebt :

P=[EJ}= (X Ï 4- e” i") 4- j ie” ï — e' i").

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

Das Symbol [EJ] bezeichnet hier den Übergang von der einfachen Periode von E und J zu der doppelten Periode von P.

Das Produkt P — [EJ\ besteht aus zwei Komponenten, der reellen Komponente

P = [EJY = (E ï -f e" i“)

und der imaginären Komponente

jP] = j [EJ]J = j (e“ Ï — é i“). Die Komponente

P = [E J}' = (e' Ï + e" i") ist der Effekt des Stromkreises = E I cos (E /). Die Komponente

Pi = [EJ]i (e“ ï — é i“)

kann der ,,wattlose Effekt“, oder die energielosen oder senkrechten Volt-Ampère des Stromkreises = EI sin {EI) genannt werden. Die reelle Komponente wird mit dem Index i, die imaginäre, oder wattlose Komponente, mit dem Index j bezeichnet.

Durch Einführung dieses Symbolismus lässt sich der Effekt eines Wechselstromstromkreises in derselben Weise wie im Gleichstromstromkreise repräsentieren, als symbolisches Produkt von Strom und elektromotorischer Kraft.

In derselben Weise wie der symbolische Ausdruck von Strom und elektromotorischer Kraft als komplexe Grösse nicht nur die Intensität, sondern auch die Phase E — ef -f j e“

e“

e'

E — VV² 4- e“² tang (f —

ergiebt, so bezeichnet das doppelperiodische Vektorprodukt P — [EJ\ mehr als den Effekt, indem es mit seinen zwei Komponenten P' = [E J\ und Pi = [EJ]i die wahren Energie -Volt - Ampère und die wattlosen Volt - Ampère ergiebt.

Wenn

E — e‘ 4~ j e“

J=i‘ + j i“

E — Ve'² 4~ e‘‘²

I = Vi‘ ² -f i“ ²

so ist

und

P' = [P/]' = (*' i' -f 1")

PJ = [£ J]i = (e" i‘ — e' i")

P'² 4- Pi² = (e'² i‘)² 4- (e“² i“) ² 4- {e"² r)² + (e‘² i“²)

— (e'2 _j_ e"2₎ (//2 .X. p2)

= (E /)²

= O²

wo O = gesamte Volt-Ampère des Stromkreises.

D. h. der wahre Effekt P' und der wattlose Effekt PJ sind die beiden rechtwinkeligen Komponenten des gesamten scheinbaren Effektes O des Stromkreises.

Hieraus folgt: In symbolischer Darstellung als doppel-periodisches Vektorprodukt können Effekte nach dem Parallelogramm der Vektoren kombiniert und zerlegt werden, in derselben Weise, wie Ströme und elektromotorische Kräfte in graphischer oder symbolischer Darstellung.

Hierbei sind die graphischen Methoden der Untersuchung von Wechselstromerscheinungen auch auf die Betrachtung von doppelperiodischen Grössen, wie Effekt, Drehmoment u. s. w. ausgedehnt.

Es ist:

— p = cos o) = Leistungsfaktor,

Pj

folglich

O — q — sin ei) = Induktanzfaktor des Stromkreises, und der allgemeine Ausdruck des Effektes ist:

P = Q (p +j q)

= Q (cos Cf) -p j sin «)•

298. Die Einführung des doppelperiodischen Vektorproduktes P=\EJ] bringt uns indessen ausserhalb des Gebietes der Algebra und das kommutative Prinzip der

Algebra: a X b = b X a ist nicht mehr anwendbar, sondern es ist:

[EJ] ungleich [JE]

da

[EJ\ = [£/]' + ]{EJ]i

und

[JE] = [JE]' + )[JE]i = [EJ\'-][EJV

so ist:

[EJY = [JEY [EJV = -[EJV

d. h. die imaginäre Komponente kehrt ihr Vorzeichen um durch die Vertauschung der Faktoren.

Die physikalische Bedeutung hiervon ist, dass, wenn der wattlose Effekt \EJ]i in Bezug auf E phasenverspätet ist, so ist er in Bezug auf J phasenverfrüht.

Die wattlose Effektkomponente ist Null, d. h. der scheinbare Effekt ist der wahre Effekt, wenn

[E/JJ = (e" i' — e' i") = o ;

d. h.

i“

e“

e‘

oder

tang E— tang /;

d. h. E und J sind in Phase, oder in Opposition.

Der wahre Effekt ist Null, d. h. der gesamte scheinbare Effekt ist wattlos, wenn

[EJ]¹ = (e¹ ï + e" i“) = o;

d. h.

e‘

i“

oder

tang E — — cotg/

d. h. E und J stehen senkrecht auf einander.

Der wattlose Effekt ist phasenverspätet (in Bezug auf E, oder phasenverfrüht in Bezug auf J), wenn

[£/])> o

und phasenverfrüht, wenn

[EJV< o.

Der wahre Effekt ist negativ, d. h. der Effekt wird zurückgegeben, wenn

[EJYC o.

Es ist:

[£(—7)] = [-£/] = -[£/] [(-£)(—/)]= + ]£/]

d. h. wenn der Effekt eines Stromkreises oder eines Teils eines Stromkreises dargestellt wird, so müssen der Strom und die elektromotorische Kraft in ihrem richtigen gegenseitigen Phasenverhältnis betrachtet werden, aber ihr Phasenverhältnis mit dem übrigen Teil des Stromkreises ist unwesentlich.

299. Wenn:

PL = [E.Jxl P₂= [p2Ä\- • • Pn= [EnJn]

die symbolischen Ausdrücke des Effekts der verschiedenen Teile eines Stromkreises oder eines Netzes von Stromkreisen sind, so ist der Gesamteffekt des gesamten Stromkreises oder Netzes der Stromkreise

und es ist:

P = P₁+P₂+----+Pn

P'=Pl' + Pi' +

Pi = Pp + P₂i + • • • • + IV-Mit anderen Worten: Der Gesamteffekt eines Stromkreises oder Stromnetzes (sowohl wahrer als auch wattloser Effekt) in symbolischer Darstellung ist gleich der Summe der Effekte seiner Einzelkomponenten in symbolischer Darstellung.

Die erste Gleichung ist offenbar ein direktes Resultat aus dem Gesetz von der Erhaltung der Energie.

Als Resultat ergiebt sich hieraus z. B. :

Wenn in einem Generator, welcher einem System Energie zuführt, der Strom gegen die elektromotorische Kraft so phasenverschoben ist, dass er den wattlosen Effekt PJ ergiebt, so kann der Strom mit der Generator-Elektromotorischen Kraft in Phase gebracht werden, d. h. die Belastung des Generators kann dadurch induktionsfrei gemacht werden, dass irgendwo in den Stromkreis ein Apparat eingeschaltet wird, der den wattlosen Effekt — pJ liefert. D. h. Kompensation für wattlose Ströme in einem System findet statt ohne Rücksicht auf die Stelle, wo der Kompensationsapparat eingeschaltet ist.

Zwischen dem Kompensationsapparat und der Quelle der wattlosen Ströme, die ausgeglichen werden sollen, fliessen augenscheinlich wattlose Ströme, und aus diesem Grunde ist es ratsam, den Kompensationsapparat dem Stromkreis, welcher ausgeglichen werden soll, möglichst nahe zu bringen.

300. Wie der Effekt, so ist auch das Drehmoment ein doppelperiodisches Vektorprodukt aus Magnetismus und magnetomotorischer Kraft oder Strom und kann daher in derselben Weise behandelt werden.

Im Induktionsmotor ist das Drehmoment das Produkt aus dem magnetischen Feld in einer Richtung und der Komponente des sekundären induzierten Stromes, welche der Zeit nach in Phase mit dem magnetischen Feld ist, aber senkrecht dazu im Raume steht, mal der Windungszahl dieses Stromes. Oder da die induzierte elektromotorische Kraft senkrecht und proportional dem magnetischen Felde und der Windungszahl ist, so ist das Drehmoment des Induktionsmotors das Produkt aus der induzierten elektromotorischen Kraft und der Komponente des Sekundärstromes senkrecht dazu in Zeit und Raum, oder das Produkt des induzierten Stromes und der Komponente der induzierten elektromotorischen Kraft senkrecht dazu in Zeit und Raum.

Ist somit

E — e' -j- j e" die induzierte elektromotorische Kraft in einer Richtung im Raum,

J = i' 4- j i" der Sekundärstrom in senkrechter Richtung im Raum, so ist das Drehmoment

T — [E J] J = eu i' — e' iE

Durch diese Gleichung ist das Drehmoment in Watt gegeben, d. h. T = [E/p ist der Effekt, der durch das Drehmoment bei synchroner Geschwindigkeit erreicht werden würde, oder das Drehmoment in s}rnchronen Watt.

2 71 Np ’

Das eigentliche Drehmoment ist dann

wo p die Anzahl der Polpaare des Motors ist.

301. Als weiteres Beispiel können wir das Verhalten zweier Mehrphasen-Induktionsmotoren in Hintereinanderschaltung (Tandemschaltung, Verkettung, Kaskadenschaltung) betrachten, d. h. zwei gleiche Induktionsmotoren, in denen der Sekundärstrom des ersten Motors durch den Primärkreis des zweiten Motors geschlossen und die Motoren mechanisch so verbunden sind, so dass sie bei gleicher Geschwindigkeit laufen.

In diesem Falle sei:

N — Periodenzahl des Hauptstromkreises, s = Schlüpfung des ersten Motors unter Synchronismus. Die im Sekundärkreis des ersten Motors induzierte und somit dem zweiten Motor zugeführte Periodenzahl ist somit s N. Die Geschwindigkeit des ersten Motors ist (1 — s) N, folglich die Schlüpfung des zweiten Motors oder die in seinem Sekundärkreis induzierte Periodenzahl sN — (1 — s) N = (25 — 1) N.

Es sei e die in dem Sekundärkreis des zweiten Motors induzierte gegenelektromotorische Kraft, reduziert auf die volle Periodenzahl.

Z₀ = r₀ — jxQ — primäre Impedanz,

Zj = rt —jxt = sekundäre Impedanz,

Y — gpjb = primäre Admittanz eines Motors; alle diese Grössen reduziert auf die volle Periodenzahl und auf den primären Stromkreis durch das Verhältnis der Windungen.

Es ist alsdann

Zweiter Motor:

sekundär induzierte elektromotorische Kraft

e (2 s — 1)

sekundärer Strom

/i =

e (2 s — 1)

ry — j (2 s — 1) xL

wo

a.₂ =

(2S — 1) ry

r₁² -f (2s—i)² x\²

(2 S — I)² V,

ry² -f- (2s — i)² xy²

primärer Erregerstrom

Jo = * (g + jb)}

folglich gesamter Primärstrom wo

= a\ +

= a₂ + h

primär induzierte elektromotorische Kraft primäre elektromotorische Kraft der Impedanz

J-2 J^—jsx0),

somit primäre Klemmenspannung

E₂ = se+J₂ (r₀ —jsx₀) = e (cx +jc₂),

wo

ct = s -f r₀ by -f s.v₀ b₃

c₂ = r₀ b.₂ — sx₀ bv

Erster Motor:

Sekundärstrom

J, = e (bt +jb₂),

sekundär induzierte elektromotorische Kraft

£3 = E2 +/₂ (ri ~jsxi) = e (dx +jd.₂)

wo

d, = c₂ + ry b₂ — sxl b

Setzt man in diese Gleichung x — 2 tt N C, u. s. w. ein, so ergiebt sich eine komplexe

primär induzierte elektromotorische Kraft

e₃

wo

primärer Erregerstrom

gesamter Primärstrom

J — J2 +/i — e (<§1 +7^2))

wo

£2 = ^ + ^/₂ + ^/i

5i = ⁶i +§A — bA

primäre elektromotorische Kraft der Impedanz

J Oo— jxo)>

somit primäre Klemmenspannung

E₀ = Ei +J (r₀—jx₀) — e (hl +jh₂),

wo

K =/l + r0 £i + *0 £2 oder absolut

K =fz + rog2—xo£i,

e₀ = e Vhl ² + /?₂²

und

vV+V

Diese Werte von ć in die vorhergehenden Gleichungen eingesetzt, geben die Werte derStröme und elektromotorischen Kräfte in den verschiedenen Stromkreisen der Motorkette.

Die induzierte elektromotorische Kraft, die im Raume senkrecht zur elektromotorischen Kraft steht, ist im Mehr-phasen-Induktionsmotor

JE.

Das Drehmoment des zweiten Motors ist somit

A = \jeJi]    «₁₍

daher seine mechanische Leistung

P₉ = (i — s) T₂ — (i — s) e² av

Der zugeführte elektrische Effekt ist

= [£2/2] = [E,J.₂Y +j[E₂J₂V = «² (fci + /«>) (b, +jb-i 1]

somit das Güteverhältnis

(1 — s)

[AA]'

der Leistungsfaktor

IAA1 ₌__

A 4 Ag ² 4- g²) (V 4- A)

u. s. w.

Im ersten Motor ist das Drehmoment

4 — fAA]' — c'Vf\ + J fi) A +y Al

=    (/1 4 + A A

die mechanische Leistung

A = A (ï — s)

= *² (I — 5) (/i 4 +/₂ A,

der zugeführte elektrische Effekt

A = [A/] = e‘ [A + y A Ai -f jgl\ = [EJ\' +j[E₀J]\

somit das Güteverhältnis

(i — s) (/x bx 4- A A

[AA' - [AA]'

A gi + 4 g») — (G 4 d- Ct b₂)

der Leistungsfaktor des gesamten Systems

A + 4 g*

A¹    A4² 44 A) a ² 4- AG

der Leistungsfaktor des ersten Motors

A gj + A A — (G 4 + G A_

A ^— A 4 GA² 4- /g²) (£1² + A²/—4(g ⁸ + g²) (4² 4- AG

lias gesamte Güteverhältnis des Systems

A-A

(i - s) (A A d-A 4 + «G

IA A'

u. s. w.

Als Beispiel sind in Fig. 185 Kurven des gesamten Drehmoments, des Drehmoments des zweiten Motors und des Stromes für den Bereich der Schlüpfung von s = -(- 1,5

?Sr

©*■

'Sr

-O

Sr

-Hi

XJW

_o|.

Rfp

800

100

-8000

- 'ł000

-2000

2000

[0009

8000

LU_L~Ÿf

II

~8ElZSKm%

sR4

-t-

-V

——[

»r

.ol

Synchrßnis

MUS

■1

ö

'to?'

P.

4-

hnfft

raj

rr#

Lr

o!

4-

Ji

J.

Fig. 185. Verkettung von Induktions-Motoren. Geschwindigkeitskurven. Z = 0,1—o,37, V= 0,01 + 0,1/.

bis s =

0,7 für ein Paar Induktionsmotoren in Kaskadenschaltung von folgenden Konstanten gegeben: cp 4

ë___S

dt

Slilisictrtd

snfi

nt

4 I

Vj| tfh

Hü

§1—fi⁻

[7

SHf

■ï-4

oi

Ci

S;

-Sr

Sy> icJvutn i'ST nuĄ

*5

•HHr

il I I

Fig. 186. Verkettung von Induktions-Motoren. Geschwindigkeitskurven. I—6 — 5 — 1200 — 110.

Z₀ =    = 0,1 — 0,3/

Y = C,OI 4-0,1 j.

Fig. 186 giebt die Kurven des gesamten Drehmoments und des Stromes nach Versuchen mit einem Motor mit ähnlichen Konstanten, für den Bereich von s = + i b s s = o.

6000

400C

•2000

-2000

VeÀké

tfu na von Jnd/jkf

tons

ntoron

iqlwt&ku y v.Oi *

ż - v.l - ks\ï Vääer&landun S.-tumdtirkr,

S, hlupi

\V

raeru.

d. ztthagrv

Motors

_*p

-^•000 -6000 -8000

1,0    0,9    0,8    0.7 q& 0,5    0,4    0,3    0,2    0,1

Fig. 187. Verkettung von Induktions-Motoren. Geschwindigkeitskurven. Z = 0,1 —0,3j, Y = 0,01 -j- 0,17.

Wie ersichtlich, existieren zwei Bereiche positiven Drehmoments des Systems, das eine unterhalb halbem Synchronismus und das andere zwischen ungefähr ²/:, Synchronismus und vollem Synchronismus, ferner zwei Bereiche negativen Drehmoments, oder Generator-Wirkung des Motors zwischen halbem und ²/₃ Synchronismus, und über vollem Synchronismus.

Mit höherem Widerstande im Sekundärstromkreis des zweiten Motors verschwindet der zweite Bereich positiven Drehmoments des Systems mehr oder weniger und die Drehmoment-Kurven nehmen die in Fig. 187 gezeigte Gestalt an.

Anhang IV.

Symbolische Darstellung allgemeiner W echselstromwellen.

302. Die Vektor-Darstellung

A = a' -\-j a" == a (cos a-\-j sin a)

der Wechselstromwelle

A — a₀ cos (<p — a)

gilt nur für die Sinuswelle.

Die allgemeine Wechselstromwelle dagegen enthält eine unendliche Reihe von Gliedern von ungerader Periodizität:

A=Alcos((p — a₁)+Ascos(3<p — a₉)+A₆cos(s<p—a₅)+- • • und kann somit nicht direkt durch eine komplexe imaginäre Vektor-Grösse dargestellt werden.

in

Während die Ersetzung der allgemeinen Wechselstromwelle durch ihre aequivalente Sinuswrelle, d. h. einer Welle gleicher effektiver Intensität und gleichen Effektes manchen Fällen genügend genau ist, ist sie doch oft nicht statthaft, besonders in solchen Stromkreisen, die Kapazität enthalten, oder in Stromkreisen, die periodisch (und im Synchronismus mit der Welle) variierenden Widerstand oder Reaktanz (wie Wechselstrom-Lichtbogen, Reaktions-Maschinen u. s. w.) enthalten.

Da indessen die einzelnen höheren harmonischen Wellen der allgemeinen Wechselstromwelle von einander unabhängig sind, d. h. alle Produkte verschiedener Periodizität verschwinden, so lässt sich jedes einzelne Glied durch ein komplexes Symbol darstellen, und die Gleichungen der allgemeinen Welle sind dann die Resultante der Ausdrücke der einzelnen harmonischen Glieder.

Symbolisch lässt sich dies durch Vereinigung der symbo lischen Darstellungen verschiedener Periodizität in einer Gleichung darstellen:

co

A —    ¹ (an + Jn an')

WO

Jn = V— I

und der Index n in jn nur bedeutet, dass die j mit verschiedenen Indices n zwar algebraisch identisch sind, physikalisch aber verschiedene Periodizitäten darstellen und somit nicht miteinander kombinierbar sind.

Die allgemeine Welle des Wechselstromes elektromotorischer Kraft ist somit dargestellt durch

00

und die allgemeine Welle des Stromes durch

co

J=z

2 il —

I {in ~\~Jn ln")-

Ist

— v j {xm -p x₀ -j- vc) die Impedanz der Fundamentalwelle, wo

xm derjenige Teil der Reaktanz, der der Periodenzahl proportional ist (Induktanz u. s. w.), x₀ derjenige Teil der Reaktanz, der von der Periodenzahl unabhängig ist (gegenseitige Induktion, Synchronbewegung u. s. w.),

xc derjenige Teil der Reaktanz, der der Periodenzahl umgekehrt proportional ist (Kapazität u. s. w.), so ist die Impedanz für das nte harmonische Glied

Z = r—jn |« xm + x₀ + -~-J.

Dieser Ausdruck kann als allgemeines Symbol der Impedanz eines Stromkreises von allgemeiner Wellenform betrachtet werden.

Das Ohm sehe Gesetz in symbolischer Darstellung nimmt für die allgemeine Wechselstromwelle die Gestalt an:

oder

00

00

6n J n

E —J

¹

tc N C

imaginäre Gleichung mit den beiden Konstanten a und N. Diese Gleichung in ihren reellen und imaginären Teilen getrennt liefert zwei Gleichungen, aus denen sich die beiden Konstanten a und N der Entladung berechnen lassen.

oder

00 00 y— i (eń 4- jn e„") — y'fn—i

{in + Jn in'),

oder

Er—jn \nxm +x₀-\--

n

0n 4" Jn

in jrjn in"

Die Symbole der Multiplikation und Division der Ausdrücke E, J, Z bedeuten daher nicht algebraische Operationen, sondern Multiplikation und Division entsprechender Glieder von E₎ J, Z, d. h. solcher Glieder, die denselben Index n haben. Oder mit anderen Worten, bei algebraischer Multiplikation und Division von E J fallen alle zusammengesetzten Glieder, d. h. Glieder, welche verschiedene Indices n enthalten, heraus.

303. Der Effektivwert der allgemeinen Welle A = Ax cos ((f — ctj) + ri₃ cos (3 (f — or₃)

4- Ah cos (5 (f — a₅) + • • •

ist die Quadratwurzel aus der Summe der mittleren Quadrate der einzelnen harmonischen Glieder

4.

da, wie oben erwähnt, die zusammengesetzten Glieder, die zwei verschiedene Indices n enthalten, verschwinden.

3²

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

-bn + jn bn"

00

A = jrn

4~Jn

ist daher

00

z-

-    aP + aJ'*

-    b n² 4" Jn b n '²

Dies gestattet eine einfache Reduktion von symbolischer Darstellung zu absolutem Werte.

Der absolute Wert der elektromotorischen Kraft

00

1 (ßn 4- Jn 6n )

ist somit

CO

1 (ćn ² + Cn'²)

und der absolute Wert des Stromes

co

ist

CO

Ï (in'² + in"²).

304-

Die doppelperiodischen Produkte (Drehmoment u. s. w.) haben für die allgemeine Wechselstromwelle denselben symbolischen Ausdruck wie für die Sinuswelle.

P = [EJ]

= F +jP'

= [EJY -f j [E J]j

00

00

}an — ï {ßnln 4" en' ln") 4"

2n —

ï jn (en" in' ~ en in"),

Pi =

Jn

wo

00

= [EJY = 2}

i {eń in + Cn" ln')

00

[EJ] j = J*M~Z

^ (fiH" in' ~    in").

Die jn treten unter das Summationszeichen des „wattlosen Effektes“ Pi} so dass die wattlosen Effekte der verschiedenen harmonischen Glieder nicht mehr algebraisch addiert werden können.

Folglich :

Der gesamte „wahre Effekt“ eines allgemeinen Wechselstromstromkreises ist die algebraische Summe der Effekte der einzelnen harmonischen Glieder.

Der gesamte „wattlose Effekt“ eines allgemeinen Wechselstromstromkreises ist nicht die algebraische, sondern die absolute Summe der wattlosen Effekte der einzelnen harmonischen Glieder.

In Bezug auf den wattlosen Effekt, als ganzen, lässt sich somit im Wechselstromstromkreis kein Unterschied machen zwischen Phasennacheilung und Phasenvoreilung da manche harmonische Glieder verfrüht, manche verspätet sein können.

Der scheinbare Effekt (oder die gesamten Volt-Ampère des Stromkreises) ist

Q = EI =

-*¹

00_

+ en">) 2}n-+ in"²).

Der Leistungsfaktor des Stromkreises ist

P'

00

00

2?~

i (#n in 4" &n' ln")

CO

—    -f- en )    — I (in'² + in"²)

32*

Die Bezeichnung „Induktanzfaktor“ hat indessen keine Bedeutung mehr, da die wattlosen Effekte der verschiedenen harmonischen Glieder nicht mehr miteinander kombinierbar sind.

Die Grösse

q₀ = Vi — p²

hat keine physikalische Bedeutung und ist nicht gleich wattloser Effekt

gesamter scheinbarer Effekt.

Der Ausdruck

WO

Pi

EI

00

00

0n in *G in

2)n~¹ q»

q,i —

EI

„ 1 • n

ßn G 6n ln

EI

besteht aus einer Reihe von Induktanzfaktoren qn der einzelnen harmonischen Glieder.

Im allgemeinen ist für die allgemeine Wechselstromwelle

P² + q² < i ;

d. h. q weicht von <7₀ = Vi—p² ab.

Die komplexe Grösse

P_[EJ ]_ [EJY + j \EJ] i

Q EL

CO

—¹ (ßn öi &n G ) ff*    n — 1 ]n (ßn G ' &n G )

u—

EI

00

00

00

¹ (en/2 + en"~)

~i dn² + in"²)

CO

nimmt im Stromkreis der allgemeinen Wechselstromwelle dieselbe Stellung ein, wie Leistungsfaktor und Induktanz-faktor im Stromkreise einer Sinuswelle.

U — — kann somit als „Stromkreisfaktor“ bezeichnet werden.

Er besteht aus einem reellen Gliede p, dem Leistungsfaktor und einer Reihe imaginärer Glieder jn qtl) den Induktanzfaktoren der einzelnen harmonischen Glieder.

Der absolute Wert des Stromkreisfaktors

00

-* <Ln ²

ist gewöhnlich < i.

305. Einige Beispiele mögen die Anwendung und Nützlichkeit dieses Symbolismus erläutern.

Erstes Beispiel’.

_l_ [pn + Jn Vn")

Xe

speist einen Stromkreis von der Impedanz Z — ? j n I n xtn

d. h. einen Stromkreis, der den Widerstand r, die induktive Reaktanz xm und die Kapazität xc in Reihenschaltung enthält. Es sei

et' = 720

h' = ²⁸3 = —104

*1" = 540 h" — ²⁸3 eh" = 138

oder

el — 900 e% — 400 ^5 = *73

tang wl = 0,75 tang «₃ = — i tang w₅ = — i,33-

Es ist dann in symbolischer Darstellung

Z₁ — io + 8o/: Z₃ = io

— 10 — 32/5

und die elektromotorische Kraft

z₁ = 80,6 % = io % = 33)5»

E = (720 -f 540/j) + (283—283/3) -f- (—104 4- 138/5), oder absolut

E = 1000,

und der Strom

283—283/3

-1044-13875

_ 7²° + 540/1 Z 10 4- 80j\

= (7,76 — 8,047;) 4- (28,3 — 28,3/3) 4- (—4,86—1,73/5),

10

¹⁰ -3²7s

oder absolut

/= 41.85;

davon ist von Fundamentalperiodizität: Ix = 11,15,

„ dreifacher Periodizität: /₃ = 40,

fünffacher

4= 5,r7-

Der gesamte scheinbare Effekt des Stromkreises ist O — EI — 41,850.

Der wahre Effekt des Stromkreises ist

P' — [ E JY = 1240 4-16,000 4- 270

= 17,5¹⁰-

Der wattlose Effekt ist

jP] =j [PJV = 10,0007; —850/5, somit der gesamte Effekt

P— I7,5I° + I0)⁰⁰⁰/i —850/5.

d. h. der wattlose Effekt des ersten harmonischen Gliedes ist phasenverfrüht, derjenige des dritten harmonischen Gliedes = 0 und derjenige des fünften harmonischen Gliedes verspätet. Es ist 17,510 = Tr², wie ersichtlich.

Der Stromkreisfaktor ist

P    [EJ\

Q El

oder absolut

= °.4i8 4- 0,2397; — 0,0203/5

u — ]/o,4i8a4-o,25932 = 0,492.

Der Leistungsfaktor ist

p = 0,418,

der Induktanzfaktor des ersten harmonischen Gliedes ist qv — 0,239, derjenige des dritten harmonischen Gliedes q^ — o und derjenige des fünften harmonischen Gliedes q-₀ — — 0,0203.

Betrachtet man dagegen die Wellen durch ihre aequivalenten Sinuswellen ersetzt, so ergiebt sich aus der Gleichung der Sinuswelle

P* + q₀ ²= ¹

q 0 = ⁰,9i4

ein Induktanzfaktor

und ein Phasenwinkel

= 2,18, œ — 65,4°

tang co =

<7o _ o,9H 0,418

somit anscheinend eine sehr grosse Phasenverschiebung, während in Wirklichkeit von den 41,85 Ampère Gesamtstrom 40 Ampère (der Strom des dritten harmonischen Gliedes) mit ihrer elektromotorischen Kraft in Phase sind.

Wir haben somit hier den Fall eines Stromkreises mit komplexen harmonischen Wellen, die sich nicht durch ihre aequivalenten Sinuswellen ersetzen lassen. Die relativen Grössen der verschiedenen harmonischen Glieder sind in der Stromwelle und der elektromotorischen Kraft wesentlich verschieden und der Stromkreis hat daher gleichzeitig einen sehr niedrigen Leistungsfaktor und einen sehr niedrigen Induktanzfaktor, d. h. ein niedriger Leistungsfaktor tritt auf ohne entsprechende Phasenverschiebung. Der Stromkreisfaktor ist weniger als l/₂.

Solche Stromkreise finden sich z. B. im Wechselstromlichtbogen, in Reaktionsmaschinen, synchronen Induktionsmotoren, Reaktanzen mit übersättigtem magnetischem Stromkreis, Hochspannungsleitungen, in denen die maximale SpannungsdifFerenz die Grenze überschreitet, wo Büschelentladung u. s. w. auftritt.

Solche Stromkreise können daher nicht mehr mit genügender Genauigkeit und in vielen Fällen auch nicht einmal annähernd mittels der Theorie der aequivalenten Sinuswelle behandelt werden, sondern mittels Symbolismus der komplexen harmonischen Welle.

Zweites Beispiel:

306. Ein Kondensator von der Kapazität CQ = 20 Mikrofarad ist in den Stromkreis einer 6o-periodischen Wechselstrommaschine geschaltet, welche die Welle der elektromotorischen Kraft

e — E (cos cp — 0,10 cos 3 (f — 0,08 cos 5 cp -f- 0,06 cos 7 cp) ergiebt, oder in symbolischer Darstellung

E—e{\x — o,i os — o,o8₅ + o,o6₇).

Die Synchron-Impedanz der Wechselstrommaschine ist Zq = r₀ —jn n x₀ = 0,3 — 5 njn-

Was ist alsdann die scheinbare Kapazität C des Kondensators, berechnet aus Klemmenspannung und Ampère, wenn der Kondensator direkt mit den Klemmen der Wechselstrommaschine verbunden ist und wenn verschiedene Beträge von Widerstand und induktiver Reaktanz dazwischen geschaltet sind?

Die Kapazitätsreaktanz des Kondensators ist

io⁵

2 n N C0 oder in symbolischer Darstellung

= 132 Ohm,

. xc    132 .

+ Jh-L — —Jh-11    11

Es sei

Zx — r—jnnx — der mit dem Kondensator in Reihe geschalteten Impedanz. Die gesamte Impedanz des Stromkreises ist alsdann

Z - Zq Ą- Zi + Jn

— (o,3 + r) —

jn ( [5

x]n —

132

11

Der Strom im Stromkreise ist

0,1

⁶ 1(0,3 4- n — h (x — L3²)    (°)3 + r) — j% (3« — 29)

0,08

(0,3 + n —Jo (5*—1,4)

0,06

(0,3+^)—Ê(7X+i6,i)(

und die elektromotorische Kraft an den Kondensatorklemmen

Ex

—Jn

n

4,4.A

^3²Jx

(0,3 + r) —j\ (.x — 132)    (0,3 4- r)—73 (3* — 29)

²4i75

4-

I»I37i

(o,3 4- r) — >7 (7* 4-i6,i) \

somit die scheinbare Kapazitätsreaktanz der Kondensatoren

xx =

Ex

und die scheinbare Kapazität

io⁶

2 7T N Xi

x = o: Widerstand r in Reihe mit dem Kondensator. Auf absolute Werte reduziert ist:

a.

0,01

(0,3 4-r) 4- 17424    (0,3 4- r? 4- 841

17424

i9,4

(0,3 4- rf 4- 17424    (0,3 4- r)² -f 841

0,0064

0,0036

4- -

(0,3 4- rf 4- 1,96    (0,3 4- r)² 4- 259

4-45

1,28

(0,3 + r)² + 1,96    (0,3 4- rf 4- 259

b. r — o: Induktive Reaktanz x in Reihe mit dem Kondensator. Auf absolute Werte reduziert ist:

SharmonisaiesGued

f. a

phtksJrpÏM

ri

10    11    12    13    14    15    16    17    18    19    80

■'.Y yMn.ifrh}.

3.

hV.

f-

11

i»

_J-

4-

wp-xxp,

•sT^-JNurout

O o o & r> ^ O O O °

Fig. 188.

Kapazität C₀ = 20 Mfim Generatorstromkreis. E= E (it — o,i₃— 0,085 + o,o6;) der Impedanz Z₀ = o,3-$jn n mit Widerstand r (/) oder Reaktanz x (II) in Hintereinanderschaltung.

0,094- (7x4-16,i)²

0,09 4- (Sx—1,4)

Aus —^ ergeben sich die Werte der scheinbaren

Kapazität

4-

0,09 -f (x — 132)²

0,01

0,09 + (3* — ²9)²

17424

0,09 4- (x — 132) 0,0064

°,°9 + (5*—M)

4,45

i9,4

°)°9 + (3-v — ²9)2 0,0036

0,09+ (7^+16,i)²

1,28

io⁶

2 7t N X^

In Fig. 188 sind die Werte der scheinbaren Kapazität

konstruiert für Werte von r und x von o bis 22 Ohm.

Wie ersichtlich, ist wenn weder Zusatzwiderstand noch Reaktanz in Reihe zum Kondensator geschaltet ist, die scheinbare Kapazität mit dieser Generatorwelle 84 Mikrofarad, oder 4,2 mal die wahre Kapazität und nimmt mit zunehmendem in Reihe geschaltetem Widerstand langsam ab zu C — 27,5 Mikrofarad oder 1,375 mal die wahre Kapazität bei r = 13,2 Ohm oder */₁₀ der wahren Kapazitätsreaktanz; mit r — 132 Ohm oder mit einem Zusatzwiderstand gleich der der ganzen Kapazitätsreaktanz auf C = 20,5 Mikrofarad oder nur 2,5 °/₀, und bei r = 00, auf C = 20,3 Mikrofarad oder 1,5% mehr als die wahre Kapazität.

Mit der Reaktanz x, aber keinem Zusatzwiderstand r in Hintereinanderschaltung, steigt die scheinbare Kapazität von

4.2    mal die wahre Kapazität bei x — o bis zu einem Maximum 5,03 mal die wahre Kapazität oder C = 100,6 Mikrofarad bei x = 0,28, wo Resonanz für die fünfte harmonische Welle auftritt. Alsdann fällt die scheinbare Kapazität wieder zu einem Minimum von 27 Mikrofarad oder 35% mehr wie die wahre Kapazität, steigt wieder zu einem Maximum von

60.2    Mikrofarad oder 3,01 mal die wahre Kapazität für x — 9,67, wobei Resonanz für das dritte harmonische Glied auftritt, und nimmt wieder ab, erreicht 20 Mikrofarad oder die wahre Kapazität bei .v = 132, oder eine induktive Reaktanz gleich der Kapazitätsreaktanz und steigt wieder zu

20,2 Mikrofarad bei x = 00 .

Dieses Steigen und Fallen der scheinbaren Kapazität ist innerhalb weiter Grenzen unabhängig von der Grösse der höheren harmonischen Glieder der Generatorwelle der elektromotorischen Kraft, hängt aber lediglich von ihrer Gegenwart ab und es folgt somit, dass die wahre Kapazität eines Kondensators auch nicht annähernd durch Messung von Volt und Ampère bestimmt werden kann, wenn einige höhere harmonische Glieder im Generator vorhanden sind, ausser durch Einschaltung eines sehr grossen Widerstandes oder einer Reaktanz in Reihe zum Kondensator.

Drittes Beispiel:

307. Ein Wechselstromgenerator von der Wellenform E₀ = 2000 {ix + o,I2₃ — 0,235 — o,i3₇i und von der Synchron-Impedanz

^0 = 0,3 — 5 « jn

speist über eine Leitung von der Impedanz

= 2 — 4 n jn

einen Synchronmotor von der Wellenform Et = 2250 J(cos co 4- ji sin co) + 0,24 (cos 300 + /₃ sin 300)! und von der Synchron-Impedanz

Z₂ = 0,3 — 6 n j„.

Die Gesamt-Impedanz des Systems ist sodann

Z = Zq + Zl + Z₂

somit der Strom

= 2,6 — 15 n jn,

E₀-E

2000 — 2250 cos co — 2250sin co

2,6 — 15 À

240 — 540 cos 3 co — 540 ji sin 3 co 2,6— 45 >3

260

460

2,6—75/5    2,6 — 105/7

— (ai ~\rji ai") + (a$ 'Vjiaz") + iaö' +75 ab") +    +77 ai

4M

240

210

4t

\-44-

180

-51

150

120

4-*?

"ii

90

-d

20-

GO

tEi:

T“

SELL

40-

30

4-

ZT³

30

jlmfurei

GO

20

40

6.0

8,0

ICO.

1^0

jKO.

y,o_

JliO

130

2'i0

2I>0_

2 10

90

120

i50

180

210

240

l ij/ oćhrońrńpfhr.

cUdtjlZiL,

-270

3łl).

-cu tg. 'in ab

Zi.mVn-/) y?

’&ide, ? mUélài iduu Zf,' 2>¹' ~ t5'iw n.

en\.d tri •fv'Q-eye^aiprr -oyr-o.

300

41

Jmfied.w-T:

330

- 360

WO

sfcl

— 22,5 — 25,2 cos w + I4Ö sin co «/' = 130 — 146 cos cd — 25,2 sin co

Fig. 189. Synchronmotor.

£1 = 2250 (cos co + j\ sin w) OjSą (cos 3 (d + Js sin 3 w) angetrieben durch Generator.f£₀ = 2000 (ix + 0,123 — 0,235 — 0,137) über die vollständige Impedanz: Zn — 2,6 — 15jn n.

a₃' = 0,306 — 0,69 cos 3 m + 11,9 sin 3 co a" = 5,3 — n,9 cos 3 « — °,⁶9 sin 3 w aA — — 0,213 a₇' = — 0,61

a-J' — — 6,12 a₇" — — 2,48

oder absolut:

erstes harmonisches Glied

a{ = V a/² 4- a₁

"2

drittes harmonisches Glied

«3 =

fünftes harmonisches Glied

a₅ =r 6,12

siebentes harmonisches Glied

a₇ = 2,48

der Gesamtstrom

I —    + a₃² + a A + «7

während der Gesamtstrom höherer harmonischer Glieder /₀ = j/a₃²    «₅² + «7²

ist.

Der wahre, dem Synchronmotor zugeführte Effekt ist

^ = [EJŸ

= (2250 a/ cos co + 2250 a/' sin co)

4~ (540 a₃ cos 3 co + 540 a₃" sin 3 co)

= JV + Ą',

P₁' = 2250 (a/ cos w -j- a sin co) ist der Effekt der Fundamental welle ;

P% = 540 (a₃f cos 3 co 4- a₃" sin 3 co) ist der Effekt der dritten harmonischen Welle.

Die fünfte und siebente harmonische Welle liefern keinen Effekt, da sie in der Welle des Synchronmotors nicht enthalten sind.

Setzt man nun verschiedene numerische Werte für co, den Phasenwinkel zwischen Generator-Elektromotorische Kraft und Synchronmotor-Gegenelektromotorische Kraft, ein, so ergeben sich entsprechende Werte der Ströme I und /₀ und der Effekte P\ P\₎ P₃. Dieselben sind in Fig. 189 gezeichnet, mit dem Gesamtstrom I als Abscissen. Jedem Werte des Gesamtstromes I entsprechen zwei Werte des Gesamteffektes P', ein positiver Wert — Synchronmotor, Kurve I — und ein negativer Wert — Wechselstrom Generator Kurve II —. Kurve III giebt den Gesamtstrom höherer Periodizität /„, Kurve IV die Differenz zwischen dem Gesamtstrom und dem Strom fundamentaler Periodizität I — ax, in Prozenten des Gesamtstromes /, und Kurve V den Effekt des dritten harmonischen Gliedes PI, in Prozenten des Gesamteffektes P'.

Kurve III, IV und V entsprechen dem positiven oder Synchronmotorteil der Effektkurve P'.

Wie ersichtlich, ist die Zunahme des Stromes infolge höherer harmonischer Glieder unbedeutend und verschwindet gänzlich bei ungefähr 180 Ampère.

Der Effekt des dritten harmonischen Gliedes ist positiv, d. h. addiert sich zu dem Effekt des Synchronmotors, bis zu ungefähr 140 Ampère oder etwa dem Maximaleffekt des Motors und wird dann negativ.

Daraus folgt, dass höhere harmonische Glieder in den Wellen der elektromotorischen Kraft von Generatoren und Synchronmotoren nicht eine Stromvergeudung bedeuten, sondern die Leistung des Motors mehr oder weniger erhöhen können. Bei 75 Ampère Gesamtstrom z. B. ist die Steigerung des Effektes infolge der höheren harmonischen Glieder gleich der Steigerung des Stromes; oder mit anderen Worten: die höheren harmonischen Glieder leisten Arbeit mit demselben ■Güteverhältnis, wie die Fundamentalwelle.

eenn

rV

VW

KÓW

Namen- und Sach-Register.

A.

Admittanz, Kapitel VII 57. 58.

—    absolute, eines eisengeschlossenen Stromkreises 134.

—    in Reihenschaltung 63.

—    in Parallelschaltung 63.

—    primäre, des Transformators 197.

Algebra komplexer imaginärer

Grössen, Anhang I 447.

Allgemeiner Wechselstrom transformator, Kapitel XIV 214. 217.

Allgemeine Wirkungsweise des allgemeinen Wechselstromtransformators 225.

Amplitude oder Maximum der Welle 7.

Analytische Methode der Behandlung des Synchronmotors 311.

Aenderung der Spannung im Abnahmestromkreis durch Sus-ceptanz im Nebenschluss 105.

Ankerwiderstand des Induktionsmotors, Wirkung auf Anzugsmoment 248.

Anlasswiderstand des Induktionsmotors 249.

Anwachsen; Maximum d. Anwachsens der Spannung im Abnahmestromkreis, gespeist durch eine induktive Leitung 110.

Anzugsmoment des Induktionsmotors

241.

Arbeitsgleichung für Gleichstrom 1.

—    für Wechselstromkreise 7.

Asynchronmotor, siehe Induktionsmotor.

Auflösen von Sinuswellen in symbolischer Ausdrucksweise 42.

Ausgeglichenes Dreiphasensystem, Gleichungen 439.

Ausgeglichenes Mehrphasensystem, Kapitel XXV 390. 400. 401.

— Vierphasensystem,Gleichungen442.

Ausgleich des Mehrphasensystems in topographischer Darstellung 50.

Ausgleichsfaktor des Mehrphasensystems 401.

unveränderter, durch Transformation desMehrphasensystems 421.

Ausgleichsströme zwischen parallel arbeitenden Wechsels trommascliinen 283.

B.

Betrieb bei Hintereinanderschaltung von Wechselstrommaschinen 285.

Beziehung für den Transformator bei verzweigtem Stromkreis 202.

c.

Charakteristik, äussere einer Wechselstrommaschine 273.

—    magnetische, wahre und scheinbare 123.

Charakteristiken des Effekts des Synchronmotors 315.

Charakteristische Belastung einer Übertragungsleitung 104.

—    Wellenformen 380.

Cyklen, magnetische, der Hystérésis 117.

D.

Darstellung, symbolische, allgemeiner Wechselstrom wellen. Anhang IV. 486-503.

Delta-Schaltung des Dreiphasensystems 414.

—    Spannung des Dreiphasensystems 416.

—    Strom des Dreiphasensystems 416.

26.

Dielektrische Hystérésis 115. 160.

—    Admittanz, Impedanz u. s. w. 162.

—    Hysteresisverzögerungs - Winkel 162.

Doppelsinn der Vektoren 47.

Doppelschaltnng der Induktions-motoren 256.

Draht, Eisendraht 148. 150.

DrehmomeutdesInduktionsmotors237.

—    maximales, des Induktionsmotqrs

241.

Drehung der Vektoren 41.

Dreileiter -System, Kupferwirkungsgrad 426.

Dreiphasengenerator bei ausgeglichener Belastung 50.

—    hei nicht ausgeglichener Belastung 53.

Dreiphasensystem, Kai). XXIX 436. 392. 394.

—    als ausgeglichenes System 402. .

—    Effektfluss 406.

—    Kupferwirkungsgrad 425.

—    resultierende magnetomotorische Kraft 398.

—    topographische Darstellung 48.

—    Transformation in Vierphasensystem 423.

—    umgekehrtes als unausgeglichenes System 403.

—    umgekehrtes, Effektfluss 395.

—    unausgeglichenes, Gleichungen 436.

Drittes harmonisches Glied, Verzerrung der Wellenform 377.

E.

Effekt, maximaler, der Wechselstrommaschine 281.

—    Charakteristik der Wechselstromsysteme 408. 409.

Effektfluss im einphasigen System 400.

—    im mehrphasigen System 401. 407. Effektgleichung der Wechselströme

Einphasensystem 394.

—    Charakteristischer Effekt 408.

—    Effektfluss des 400. 404.

—    Induktionsmotor 258.

—    Kupfer Wirkungsgrad Kap. XXVHI 425.

Einwertige Funktion der Zeit und Fourier’sclie Reihe 8.

Eisenblech 146. 150.

Eisendraht 148. 150.

Eisenlamellen 146. 150. Eisengeschlossene Induktanz 135. Eisengeschlossener magnetischer Stromkreis 116.

Elektromagnetische Induktion, G e-setz der, Kap. III. 18. Elektrostatische Hystérésis, siehe Dielektrische Hystérésis.

—    Induktion oder Influenz 163. Energiekomponente der Reaktanz 349. Energiekomponenten des Stromes und

der elektromotorischen Kraft 165. Entladungs-Erscheinungen 163. Entmagnetisierende Wirkung durch Wirbelströme 151.

Erregerstrom des Transformators 187.

Effekt^-Axen des Wechselstrom-Systems 411.

Effekt einer komplexen harmonischen Welle 384.

—    und sonstige Grössen doppelter Periodizität 472.

Effektiver Wert der Welle 12. 15.

—    Widerstand 3. 7.

—    Widerstand und Reaktanz Kap. X.

113.

—    Widerstand, Reaktanz, Konduk-tanz, Susceptanz 113.

Steinmetz, Wechselstromerscheinungen.

F.

Feld des Wechselstromgenerators 266.

—    Pulsation des Feldes im Wechselstromgenerator 267.

Foucault Ströme, Kap. XI 115. 143.

Fourier’sehe

Funktion der Zeit 8.

Frequenz der Welle 8.

—    Festlegung beim Induktionsgenerator 252.

Fundamentalwelle, oder erstes harmonisches Glied 9.

Reihe

einwertige

I.

Fünftes harmonischeGlied,Verzerrung der Wellenform durch das 377. Funkenbildung in Reihen- und Nebenschlussmotoren 345.

G.

Gegenseitige Induktanz 157.

Gemeinsamer Kraftlinienfluss des Transformators 217.

Generator bei unausgeglichener Belastung in topographischer Darstellung 53.

—    dreiphasiger, bei ausgeglichener Belastung in topographischer Darstellung 50.

—    Induktions- 251.

—    Polardiagramm bei induktionsfreiem, induktivem und Kapazitäts-Stromkreis 32.

—    vierphasig, in topographischer Darstellung 54.

—    Wechselstrom, Kap. XVI 266.

Gleichförmige Geschwindigkeit als

Bedingung beim Parallelbetrieb von Wechselstrommaschinen 283.

Gleichungen der Wechselstrom-maschine 271.

—    des allgemeinen Wechselstrom-Transformators 217.

Graphische Darstellung, Kap. IV 22.

—    Methode des Induktionsmotors 234.

—    — des Synchronmotors 293. Nachteil für numerische Rechnungen 37.

Güteverhältnis konstanter Spannung für konstante Stromtransformation durch Widerstand-Reaktanz 90.

H.

Harmonische Glieder der verzerrten Welle 123.

Harmonische Glieder, Wirkung der Selbstinduktion und Kapazität 381. Harmonisches erstes Glied 9. Harmonische Glieder, gradzahlige 9.

—    — oder Obertöne 9.

—    — Resonanz in Leitungen verursachend 381.

Harmonische Glieder, Wirkungen höherer, Kap. XXII 376. Hintereinanderschaltung von Induktionsmotoren 256.

Hystérésis - Abnahme, verursacht durch eine verzerrte Welle 387.

—    dielektrische 115. ICO.

—    Effekt der, im elektrischem Stromkreis, Schlussfolgerungen 140.

—    Koefficient 127.

--, magnetische 115. 116.

--Motor 262.

—    -Schleife 117.

--Verlust 125.

—    Zunahme der, verursacht durch eine verzerrte Welle 387.

Hysteretischer Energiestrom 126.

—    Energiestrom des Transformators 188.

Hysteretische Voreilung in der Phase

126.

Igeltransformator 187.

Imaginäre Grössen, komplexe, Anhang I 447.

Impedanz 2. 5.

—    innere des Transformators 198.

—    in symbolischer oder kompleximaginärer Darstellung 43.

—    zusammengesetzte, in Parallelschaltung 63.

in Reihenschaltung 58.

—    mit einem Stromkreise hintereinander geschaltet 76.

—    scheinbare des Transformators 202.

Induktanz, Einführung und Ableitung

der Formel 20.

—    gegenseitige und Selbstinduktanz 157.

Induktion, elektrostatische, oder Influenz 163.

Induktionsfreie Belastung, Wirkung auf die äussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine 273.

Induktionsfreier Abnahmestromkreis, der durch eine nicht-induktionsfreie Leitung gespeist wird 93.

Induktionsgenerator 251.

K.

Induktionsmotor, Kap. XV 228.

—    als Spezialfall des allgemeinen Wechselstromtransformators 220. 228.

—    graphische Methode 234.

—    numerisches Beispiel 253.

—    symbolische Methode 229. Induktive Belastung, Wirkung auf die

äussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine 272.

—    Leitung, einen induktionsfreien Abnahmestromkreis speisend 95.

--,maximaler übertragenerEffekt96.

—    — bei maximalem Wirkungsgrad übertragene Leitung 102.

--einen induktionsfreien, nicht-induktionsfreien und Kapazitäts-Stromkreis speisend, graphisch 26. 30. 31.

—    — symbolische Methode 44. Induzierte elektromotorische Kraft.

Ableitung der Formel 18.

Influenz oder elektrostatische Induktion 163.

Innere Impedanz des Transformators

198.

Integralwerte der Welle, Kap. II 12. Intensität der Welle 24. Isolations-Beanspruchung in Hochspannungsleitungen , verursacht durch verzerrte Wellenform 388.

J.

j. Einführung als Symbol 40.

—    Definition als V — j 41. Joule’s Gleichstromgesetz 1.

—    Wechselstromgesetz 7.

Kapazität 5.

—    Belastung, Wirkung auf äussere Charakteristik einer Wechselstrommaschine 272.

—    Leitungs-, annäherungsweise 170.

171.

Kapazität, Wirkung auf höhere harmonische Glieder 380. Kaskadenschaltung von Induktionsmotoren 256.

Kirchhoff’s Gesetze der Gleichstromstromkreise 1.

— — in symbolischer oder kompleximaginärer Darstellung 45.

--der Wechselstromstromkreise 7.

26.

Koefficient der Wirbelströme 147. 145.

—    der Impedanzen in Reihen -schaltung 58.

—    der Konduktanzen 57.

—    der Sinuswellen im Parallelogramm oder Polygon als Vektoren 25. 26.

—    der Sinuswellen in symbolischer Darstellung 42.

—    der Widerstände 57.

Kommutator, Funkenbildung am,

Reihen- und Nebenschluss-Motor 345.

—    Motoren Kap. XIX 329.

Kompensation des Spannungsabfalls

in der Leitung bei Susceptanz im Nebenschluss 106.

—    für zurückbleibende Ströme durch Kondensanz im Nebenschluss 79.

Komplex-imaginäre Grössen, Anhang I 447.

Kondensanz im Nebenschluss, Kompensation für zurückbleibende Ströme 79.

in der Leitung, zur Regulierung der Spannung im Abnahme-Stromkreis 105.

—    oder Kapazitätsreaktanz 6.

--Reaktanz fürTransformation von

konstanter Spannung in konstanten Strom 84. symbolische oder komplex-imaginäre Darstellung 44.

Kondensatorstrom von Leitungen, Grössenordnung 168.

Konduktanz, Kapitel VII 57. 58.

—    aequivalente der Wirbelströme 144.

—    der gegenseitigen Induktanz 157.

Konduktanz der magnetischen Hystérésis 131.

—    des Abnahmestromkreises gespeist durch eine induktive Leitung 98.

M.

Magnetische Hystérésis 115. 116.

I Magnetisierender Strom 126.

I — — des Transformators 188.

Magnetomotorische Kraft des Wechselstromgenerators 266.

— — hervorgebracht durch ein symmetrisches Mehrphasensystem 395.

Maximales Drehmoment des Induktionsmotors 241.

Maximaler Effekt, übertragen durch eine nicht-induktionsfreie Leitung

Konduktanz, effektive 114.

—    zusammengesetzte 57.

Konstanten des Wechselstromtransformators 211.

—    elektrische, eines eisengeschlossenen magnetischenStromkreises 138.

Koordinaten, rechtwinklige und polare 22.

Kraft, gegenelektromotorische, und Komponente der Klemmenspannung 28.

Kupfer - Wirkungsgrad der Mehr -phasensysteme, Kap. XXVIII 425.

L.

Ladestrom der Übertragungsleitungen, Grössenordnung 169.

Leerlauf des Synchronmotors 317.

Leistung des Abnahmestromkreises, durch eine nicht-induktionsfreie Leitung gespeist 95.

—    des allgemeinen Wechselstromtransformators 223. 224.

—    des Induktionsmotors 238. 240.

—    des Kepulsionsmotors 337.

—    des Synchronmotors 341.

—    maximale, d. Induktionsmotors 244.

—    maximale, der Wechselstrom-maschine 281.

Leistung, maximale, des Synchronmotors 316.

—    maximale, eines induktionsfreien Abnahmestromkreises, der durch eine nicht induktionsfreie Leitung gespeist wird 93.

Leistung, Steigerung der, von Leitungen bei Susceptanzi. Nebenschluss

110.

Leistungsfaktor des Lichtbogens 372.

Leistungsfaktor des Reihenschlussmotors 346.

Leitungen, Widerstand und Reaktanz von, Kap. IX 91.

Leitungskapazität, annäherungsweise 168. 169. 170.

—    genaue Untersuchung der 172.

Leitung, induktive, speisend induktionsfreien, nicht-induktionsfrei e n

und Kapazitäts-Stromkreis, graphisch 26. 30. 31.

Leitung, Resonanz durch höhere harmonische Glieder 381.

— symbolische Methode 45. Lichtbogen, Leistungsfaktor des 372. Luftzwischenraum in magnetischem Stromkreis 136.

Luftzwischenraum in seiner Wirkung auf die hysteretische Verzerrung

121.

96.

Maximale Leistung des Induktionsmotors 244.

—    — des Synchronmotors 316.

---der Wechselstrommaschine 281.

Maximaler Wert der Welle 12. Maximum des Anwachsens der Spannung in dem Abnahme-Stromkreis 110.

Mechanische Leistung des allgemeinen Wechselstrom - Transformators 223. 224.

—    — des Induktionsmotors 237. 239. Mehrphasensysteme, allgemeine, Kap.

XXIII 389.

—    Ausgleichsfaktor der 401.

—    Charakteristischer Effekt der 408.

—    symmetrische 393. Mehrphasensysteme, Transformation

von, Kap. XXVII 421.

—    verkettete, Kap. XXVI 413. Minimaler Strom bei gegebener

Leistung des Synchronmotor 320. Mittelwert der Welle 14.

Molekulare Reibung 115.

12.

Monocyklische Systeme 408.

— —, charakteristischer Effekt der, 407.

Momentane Werte der Welle, Kap. II

Motor, Kommutator- 329.

—    Nebenschlussmotor 343.

—    Reihenschlussmotor 338.

—    Repulsionsmotor 329.

—    Synchronmotor, Kap. XVIII 293. Motorwirkung des allgemeinen Wechselstrom-Transformators 225.

N.

Nebenschlussmotor 338. 343.

o.

Obertöne, oder höhere harmonische Glieder 9.

Ohm’s Gleichstromgesetz 1.

— Wechselstromgesetz 2. 6. Oscillierende Ströme und elektromotorische Kräfte, Anhang II 455.

P.

Parallelarbeiten von Wechselstrommaschinen, Kap. XVII 282.

Parallelbetrieb von Wechselstrom-maschiren 282.

Parallelogramm der Vektoren oder Sinuswellen 25.

Pendelbewegung bei Parallelbetrieb von Wechselstrommaschinen 283.

Periode einer Welle 8.

Phase einer Welle 8. 24.

Phasenverhältnis des Stromes in Wechselstrommaschinen, rückwirkend auf das Feld 267.

Phasenverschiebung, maximale, im Synchronmotor 322.

Polardiagramm d. Transformators 188.

Polarisation, aequivalent der Kapazität 6. 163.

Polarkoordinaten 22.

Polycyklische Systeme 408.

— — charakteristischer Effekt der, 408.

Polygon der Sinuswellen 25.

Primäre Admittanz des Transformators 197.

Pulsation des Feldes von Wechselstromgeneratoren 267.

—    des magnetischen Feldes die Wellenform verzerrend 365.

—    der Reaktanz die Wellenform verzerrend 369.

—    der Reluktanz die Wellenform verzerrend 368.

—    des Widerstandes die Wellenform verzerrend 370.

Pulsierende Welle 13.

Iv.

Reaktanz als Komponente der Impedanz 2.

—    effektive, Kap. X 113.

—    Einführung und Ableitung der Formel 19.

—    hintereinandergeschaltet mit einem Stromkreis 67.

—    in symbolischer Darstellung 42.

—    Kapazitätsreaktanz in symbolischer Darstellung 44.

—    Kapazitätsreaktanz oder Konden-sanz 6.

—    Kondensanz, Transformation von konstanter Spannung auf konstanten Strom, Kap. IX 84.

—    magnetische 5.

—    synchrone der Wechselstrommaschine 271.

—    — des Synchronmotors 328.

—    und Widerstand von Leitungen, Kap. IX 91.

—    variable, in Reaktionsmaschinen 248. 249.

Reaktion bei Voreilung und Nacheilung des Wechselstroms im Synchronmotor 269.

Reaktionsmaschinen, Kap. XX 347.

—    Gleichungen 354.

—    Verzerrung der Wellenform 352.

Rechtwinklige Koordinaten 22.

—    — der Vektoren in graphischer Darstellung durch das Polardiagramm 39.

Regulierung der Wechselstrommaschine auf konstante Spannung 278.

Regulierung der Spannung des Abnahmestromkreises durch Susceptanz im Nebenschluss zur Leitung 106.

Reibung molekulare 115.

Reihenschlussmotor 338.

—    Gleichung 310.

—    Leistung 341.

—    Phasenverschiebung 342.

Reluktanz des magnetischen Stromkreises der Wechselstrom maschine 267.

—    variable in Reaktionsmaschinen 248.

Repulsionsmotor 329.

—    Effekt des 337.

—    Gleichungen 335.

Resonanz 72.

—    durch höhere harmonische Glieder 126.

—    durch höhere harmonische Glieder in Leitungen 381.

—    in Leitungen 111.

—    vollständige, in Leitungen 383.

Resultierendes magnetisches Feld der

Wechselstrommaschine 266.

Ringschaltung des Mehrpliasensys-tems 391.

Ringschaltung des verketteten Melxr-phasensystems 414.

Ringspannung des verketteten Mehrphasensystems 416.

Ringstrom des verketteten Mehrphasensystems 416.

Ridimkorff’scher Funkeninduktor 10

s.

Schirmwirkung durch elektrische Leiter 153.

—    durch Wirbelströme 151.

—    durch Wirbelströme in Eisen 143. Schlüpfen, magnetisches 125. Schlüpfung des allgemeinen Wechselstrom-Transformators 217.

Schlüpfung im Induktionsmotor 228. Scheinbare Impedanz des Transformators 202.

Sekundäre Belastung, über die Wirkung derselben auf hysteretische Verzerrung 121.

Selbst-Induktanz 4.

—    der Wechselstrommaschine 270.

—    und gegenseitige Induktanz 157. Selbst-Induktion des Transformators

186. 216.

—    Effekt höherer harmonischer Glieder 380.

—    elektromotorische Kraft der, 4.

—    Koeffizient der Selbst-Induktion oder Selbst-Induktanz 4.

Sinuswelle, aequi valente 123.125. 360.

—    als einfachste Welle 7.

—    in Polarkoordinaten 23. Steigerung der Leistung in Leitungen

durch Susceptanz im Nebenschluss

110.

Sternschaltung des Mehrphasensystems 391.

—    des verketteten Mehrphasensystems

414.

Sternspanmmg des verketteten Mehrphasensystems 416,

Sternstrom des verketteten Mehrphasensystems 416. Streu(linien)fluss, magnetischer des Transformators 185. 216.

Strom, minimaler, bei gegebener Leistung im Synchronmotor 320. Stromverlust 115.

—    des Transformators 187. Susceptanz, Kap. VII 57. 58.

—    des Abnahmestromkreises durch eine nicht-induktionsfreie Leitung gespeist bei verschiedener Leistung 96.

—    effektive 114.

--der gegenseitigen Induktanz 160.

—    im Nebenschluss in der Leitung, Regulierung der Spannung im Abnahmestromkreis durch 105.

Symbolische Methode, Kap. V 37. Symbolische Methode auf Transformatoren angewandt 197.

—    Darstellung 229.

Symmetrisches M ehrpliasensystem

Kap. XXIV 393. 389.

charakteris-

55.

Synchrone Reaktanz der Wechselstrommaschine 271.

—    des Synchronmotors 328. Synchroner Induktionsmotor 260. Synchrone Wechselstrommaschine als

Kondensanz oder Induktanz 164. Synchronisierende Kraft der Wechselstrommaschinen 284. 288. 290. Synchronismus, Betriebsverhältnisse nahe dem Synchronismus des Induktionsmotors 250.

—    des Induktionsmotors 250. Synchronmotor, Kap. XVIII 293.

—    analytische Methode des 312.

—    Charakteristiken des Effekts des, 315.

—    Diskussion der Resultate des 326.

—    fundamentale Gleichung des 313. -- graphische Methode des 293.

—    maximale Leistung des 316.

T.

Tandemschaltung von Induktionsmotoren 256.

Teilstrom, aequivalent einem Wechsel-,Stromtransformator 202.

Transformation, doppelte 205.

—    eines Dreiphasensystems in einVier-

phasensystem und umgekehrt 423.

—    von konstanter Spannung in konstanten Stimm 84.

—    von Mehrphasensystemen,

Kap. XXVII 421.

Transformator, Kap. XIII 185.

—    aequivalent einem verzweigten Stromkreis 202. 203.

—    allgemeiner Wechselstromtransformator, Kap. XIV 214.

—    Gleichungen 216.

—    Konstanten bei induktionsfreier Belastung 211.

—    magnetischer Streulinienfluss des Transformators 216.

—    — Motor. Siehe Induktionsmotor.

—    numerisches Beispiel 212.

Transformator, Phasendifferenz des sekundären und primären Stromes 36.

—    Polardiagramm 32. 36. 188.

I — stationärer Transformator als besonderer Fall des allgemeinen Wechselstromtransformators 221. — symbolische Methode 197. Trigonometrische Rechnungsweise und graphische Darstellung 38.

u.

Übertragungsleitung

tische Belastung der 104.

Umformer, siehe Transformator.

Umformer-Motor, siehe Induktionsmotor.

Umgekehrtes Dreiphasensystem als unausgeglichenes System 403.

—    Effektfluss des 407.

Unabhängiges Mehrphasensystem 391.

—    Vierphasensystem 444.

Unausgeglichener Dreiphasengenerator oder im ausgeglichenen System bei ungleicher Belastung 52.

Unausgeglichenes Dreiphasensystem, Gleichungen 439.

—    Mehrphasensystem, Kap. XXV 391. 400.

—    Vierphasensystem, Gleichungen 442.

—    — mit gemeinsamer Rückleitung

Ungleichmässige Stromverteilung im Leiter 154.

Unsymmetrisches Mehrphasensystem 389.

V.

Variable Reaktanz und Reluktanz in Wechselstrommaschinen 347. 348.

Vektoren 22.

Vergleichung der Systeme in Bezug auf Kupfer - Wirkungsgrad, Kap. XXVIII 425.

Verkettetes Mehrphasensystem,

Kap. XXVI 391. 413.

— Vierphasensystem 441.

Verkettung der Induktionsmotoren 256.

Verteilte Kapazität, annäherungsweise 170. 171,

11.

Verteilte Kapazität, Beispiel und besondere Fälle 180.

—    genaue Untersuchung 172.

Verzerrung der Stromwelle durch

Hystérésis 116.

—    derWellenform durchLichtbog.370.

—    der Wellenform durch ein drittes harmonisches Glied 377.

—    der Wellenform durch ein fünftes harmonisches Glied 377.

—    der Wellenform in Reaktionsmaschinen 352.

—    der Wellen-(Kurven)form und ihre Ursachen, Kap. XXI 360.

—    der Wellenform, Abnahme der Hystérésis verursachend 387.

—    der Wellenform, Zunahme der Hystérésis verursachend 387.

Verzögerungswinkel der dielektrischen Hystérésis 162.

—    des entmagnetisierenden und magnetisierenden Wechselstroms im Synchronmotor 268.

Vierphasensystem, Kap. XXX 391. 395. 441.

—    als ausgeglichenes System 402.

—    Etfektfluss 406.

—    Gleichungen 441.

—    Kupferwirkungsgrad, Kap. XXVIII 455.

—    mit gemeinsamer Rückleitung, nicht ausgeglichen 55.

—    resultierende magnetomotorische Kraft 399.

—    Transformation in Dreiphasensystem 423.

Voreilung des magnetisierenden und entmagnetisierenden Wechselstroms im Synchronmotor 267.

w.

Wattlose Komponente d. Stromes und der elektromotorischen Kraft 164.

Wechselseitige Induktion des Transformators 175.

Wechselstrommaschine mit konstantem Strom 280.

Wechselstrommaschinen, dasParallel-arbeiten von, Kap. XVII 282.

Wechselstromwelle 13.

Wellenform, Charakteristik der 378.

—    Verzerrung durch ein drittes harmonisches Glied 377.

--durch ein fünftes harmonisches

Glied 377.

—    — durch den Lichtbogen 370.

—    — in Reaktionsmaschinen 352.

--und ihre Ursachen, Kap. XXI360.

Abnahme der Hystérésis verursachend 387.

Zunahme der Hystérésis verursachend 387.

Widerstand als Komponente der Impedanz 2.

—    des Ankers des Induktionsmotors, Wirkung auf das Anzugsmoment 248.

—    effektiver 3. 6. 113.

—    hintereinandergeschaltet mit einem Stromkreis 64.

—    zusammengesetzter 57.

—    symbolische Darstellung des 42.

—    und Reaktanz von Leitungen, Kap. IX 91.

Winkel der Hysteresisvoreilung eines eisengeschlossenen Stromkreises 135.

—    der Voreilung der Wirbelströme 144.

Wirbelströme, Kap. XI 115. 143.

—    in einem Leiter 154.

—    nicht beeinflusst durch Wellenform 387.

Y.

Y    Schaltung des Dreiphasensystems 414.

Y    Spannung des Dreiphasensystems 416.

Y    Strom des Dreiphasensystems 416.

z.

Zeitkonstante 4.

Zusammengesetzte harmonische Welle

Zusammensetzung der Admittanzen in Parallelschaltung 63. Zweiphasen, siehe Vierphasen.

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