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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁOWNA

L. in w.

mrlicher Funktionen pezieller orthogonaler und biorthogonaler Systeme.

Inaugural-Dissertation zur Erlangung der Doktorwürde

der philosophischen Fakultät der Schlesischen Friedrich-Wilhelms-Universität in Breslau eingereicht und mit ihrer Genehmigung veröffentlicht

von

Herbert Laudien

Kand. des höh. Lehramts aus Breslau.

Sonnabend, den 16. Mai 1914,

in der Aula Leopoldina

Уortrag

über das Thema: Cauchvs Bedeutung für die Theorie der Entwicklung willkürlicher Funktionen und

Promotion.

Borna-Leipzig

Buchdruckerei Robert Noske 1914.

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Referent: Professor Dr. Kn es er.

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Meinen Eltern.

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung............................

Erstes Kapitel. Entwicklung willkürlicher Funktionen nach den Eigenfunktionen der radial ahkühlenden Kugel........

16

28

42

Zweites Kapitel. Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Besselschen Funktionen......................

Drittes Kapitel. Entwicklung willkürlicher Funktionen nach den Eigenfunktionen des transversal schwingenden Stahes.....

Viertes Kapitel. Entwicklung willkürlicher Funktionen hei einem thermomechanischen Problem.................

Fünftes Kapitel. Entwicklung willkürlicher Funktionen bei einem analytischen Problem von Liouville............

Einleitung.

In der Theorie der Integralgleichungen wird der Nachweis der Entwickelbarkeit willkürlicher Funktionen in eine nach den Funktionen eines Orthogonalsystems fortschreitende Reihe in zwei Schritten erbracht.

Ist K(x, £) ein in den Variablen x, £ symmetrischer Kern, sind <j9v(x) seine normierten Eigenfunktionen, lv seine Eigenwerte, und gilt die Entwicklung

Ъ <Pr(x) 9>v(&

K(x,{)=y

V —1

d. h. die sogen, bilineare Formel, worin die rechtsstehende Reihe gleichmäßig konvergiert, ist ferner f(x) eine beliebige, stückweise stetige Funktion, so kann die Funktion

(a)

F(x) =

in eine nach den Funktionen <pr(x) fortschreitende Reihe auf die Fouriersche Art entwickelt werden, d. h. es gilt die Gleichung

00

F(x) =

2 <Pr(x)f F(a) cpva da .

v—l 0

Eine Funktion von der Form (a) nennen wir quellenmäßig dargestellt.¹) Sie erfüllt dieselben Randbedingungen wie der Kern K(x, £) und ist mit ihrer ersten Ableitung stetig, während ihre zweite Ableitung nur stückweise stetig ist.

Ist nun umgekehrt F(x) eine mit ihrer ersten Ableitung stetige Funktion, während ihre zweite Ableitung stückweise

*) Kneser, Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik, Braunschweig 1911 S. 9.

stetig ist, die denselben Randbedingungen genügt wie der Kern K(x, £), so ist der erste Schritt, der zum Nachweis der Entwickel-barkeit der Funktion F(x) nach den Eigenfunktionen des Kerns führt, der, nachzuweisen, daß F(x) durch den Kern K(x, £) quellenmäßig dargestellt werden kann; der zweite Schritt besteht in dem Nachweis der Gültigkeit der bilinearen Formel und der gleichmäßigen Konvergenz der bilinearen Reihe. Während der erste Schritt in den meisten Fällen leicht durchführbar ist, bietet der letztere Nachweis schon erheblichere Schwierigkeiten. Um diesen Nachweis zu führen, hat man in neuester Zeit vielfach den Cauchy sehen Integralsatz herangezogen. Die Untersuchungen über die gleichmäßige Konvergenz der bilinearen Reihe werden dabei ersetzt durch Grenzbetrachtungen über Integrale mero-morpher Funktionen, welche über unbegrenzt wachsende Konturen zu erstrecken sind. In der vorliegenden Arbeit ist diese Methode in einigen speziellen Fällen zum Nachweis der Gültigkeit der bilinearen Formel angewandt worden.

In den Beispielen des ersten und dritten Kapitels handelt es sich nm die Entwicklung willkürlicher Funktionen nach den Eigenfunktionen symmetrischer, im ganzen Grundgebiet endlicher und stetiger Kerne mit reellen, positiven Eigenwerten. Die Entwicklungen der Kerne selbst nach ihren Eigenfunktionen sind demnach durch den Satz von Mercer über definit positive Kerne¹) zwar unmittelbar gegeben; um aber die über die zu entwickelnden Funktionen zu machenden Voraussetzungen einschränken zu können, ist es nötig, auch die Entwicklung der unstetigen Ableitung des Kerns zu besitzen. Diese liefert die Cauchy sehe Methode zugleich mit der Entwicklung des Kerns selbst; sie erspart den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der durch einmalge Differentiation aus der bilinearen Reihe abgeleiteten Reihe. Auf den im dritten Kapitel behandelten Kern ist der Mercer sehe Satz nicht anwendbar.

In dem vierten und fünften Kapitel finden sich die Hauptresultate der Arbeit. Es werden darin die Entwicklungen willkürlicher Funktionen nach den Eigenfunktionen unsymmetrischer

*) Philosophical Transactions of the Royal society 1909.

Kerne behandelt.¹) Den Gegenstand des vierten Kapitels bildet ein thermoelastisches Problem von Duhamel,²) welches zu einer Integralgleichung mit unsymmetrischem Kerne führt und damit zu der Aufgabe, eine willkürliche Funktion nach den Funktionen eines Biorthogonalsystems zu entwickeln. Ebenso behandelt das fünfte Kapitel, dessen Ausgangspunkt ein rein analytisches Liou-vi 11 esches Problem bildet, die Entwickelung nach Funktionen eines Biorthogonalsystems.

Das erste Kapitel dient lediglich der Darstellung der angewandten Methode an einem einfachen Beispiel.

Erstes Kapitel.

Entwicklung willkürlicher Funktionen nach den Eigenfunktionen der radial abkühlenden Kugel.

Eine homogene Kugel vom Radius n werde im Mittelpunkte auf der konstanten Temperatur 0° gehalten und strahle nach außen Wärme aus. Die Temperatur u genügt der Differentialgleichung

ô(xu) ₂ö²(xu)

ôx'²

ôt

cl

a²

Setzt man u = e    g'², so findet man als Differential-

gleichung der Eigenfunktionen

v" + e²v = 0;

sie genügen den Randbedingungen

x = 0

(1)

= 0.

(2)

J) Entwicklungen dieser Art sind bereits durchgeführt von Hilb (Crelle 140), Haupt (Sitzungsberichte der Kgl. Bayerischen Akademie, Math.-phys. Klasse, 4. Mai 1912, Koschmieder (Crelle 143).

-) Mém. prés, par divers savants à l’Acad. de Paris T. V (1838) p. 4-10, Journal de l’école polytechnique T. XV. Cah. 25. Vgl. hierzu auch FranzNeu* mann, Die Gesetze der Doppelbrechung des Lichts in komprimierten oder ungleichmäßig erwärmten unkristallinischen Körpern. Abh. d. Beri. Akad. für 1841. Berlin 1842.

Bezeichnen wir mit % (x) und \p (x) zwei Lösungen der Differentialgleichung (4), von denen die erste der ersten, die zweite der zweiten Randbedingung genügt, so können wir den Kern ansetzen in der Form

K(x, £) = С*(х)у(£),

X<£

K (x, D = C*(*)y(x),

x>£

wobei die Konstante C aus der Gleichung

Ck'fôvŒ — zŒY''(*)] = !

hn + l _ TJ—, so ist h

Bezeichnet man mit + gv die Wurzeln der Gleichung g cos q л -f- h sin q л — 0 ,

(3)

so sind die Eigenfunktionen

vv — sin gvx.

Der Kern K(x, £) ist bestimmt als Integral der Differentialgleichung

ö²K(x,|)

öx²

(4)

durch die Forderung der Stetigkeit bezüglich der Variablen x und £ im Interval о 5g x А л: und durch die Gleichung ÔK

ÔK x=£+o

öx

ÔX

(5)

zu bestimmen ist. Setzen wir % (x) = x, yj(x) = x

hrc-f 1 ’

und wir erhalten für den Kern die Ausdrücke

x [1 -j- h (л — £)]

K (x, £) x<£

K (x, I) x>£

Die der Differentialgleichung äquivalente Integralgleichung lautet

l-f-h-я

|[1 -j-hfo — x)]

6*j K(x, I) V (x) d x . о

v„(x)

Bezeichnen wir mit

9V<X)

/V(x) dx

0 die normierten Eigenfunktionen des Kerns, so lautet die bili-neare Formel, deren Richtigkeit zu erweisen ist,

К (X, £) =

у^<Рг(х)(Ру(£) v = i    Qv

Die im folgenden durchgeführte Beweismethode führt nun nicht direkt auf diese Gleichung, vielmehr erscheint diese als spezieller Fall einer allgemeineren, deren Richtigkeit unmittelbar durch den Cauchy sehen Integra] satz erwiesen wird. In der Differentialgleichung (1) der Eigenfunktionen fügen wir zu der Konstanten q² die Konstante z² additiv hinzu; der Differentialgleichung

(6)

v" 4- (q² + z²) V = о

stellen wir als Differentialgleichung des Kerns Kx (x, £) die Gleichung

ö²Kl

öx²

f z²K₁ = 0

(7)

gegenüber. Aus (6) und (7) ergibt sich die Integralgleichung

v(£) = e

Ki(x, I) v (x) d x ; о

die normierten Eigenfunktionen des Kerns KL(x, £), der dieselben Randbedingungen erfüllt wie der Kern K(x,£), sind wiederum die Funktionen cpv (x), seine Eigenwerte sind die Größen qJ¹ — z²; es wird demnach als Entwicklung des Kerns Kt(x, £) nach seinen Eigenfunktionen die bilineare Formel

(8)

² — z²

K₁(x,a=

Qv

V — l

zu erwarten sein. Fassen wir z = v-f-iw als komplexe Veränderliche auf, so stellt die Entwicklung die Partialbruchzerlegung von Kl(x,£), aufgefaßt als meromorphe Funktion von z dar. Ist nun K₁(x,£)|z==u = K(x, £), so geht die Gleichung (8), wenn man in ihr z —0 setzt, in die bilineare Entwicklung des Kerns K(x,£) über.

(8 a)

Wir stellen zunächst für den Kern Kx (x, £) die expliziten Ansdrücke her. Verstehen wir unter a eine Wurzel der Gleichung z cos (a — n)z — h sin (a — л) z = 0

so können wir setzen

Kx(x, i) = Cx sin z x • sin z(£ — a),

X<£

Kx(x, £) = sin z £ • sin z (x — a). x>£

Aus der Gleichung

к/ (£, I — 0) — Kx' (£, £ -f 0) = 1*)

ergibt sich

Сг

z sin z а ’

Durch Umformung der Gleichung (8 a) erhält man coszji-cosza-j- 1

cos za — cosz^

cot za =

h cotzTT — z

z cotZ7r-(-h

|/h⁸ + z²

z sin za z (zcoszji-j-hsinzrc)

und somit für Kx(x, £)

KŁ(x, I) x<£

У h² 4~ z² sin z x • sin z (£ — a)

z (z cos z л -f~ h sin zu)

|/h²-f-zasinz£-sinz (x— a) z (z cos zn-\- h sin z jt)

Eine andere Form für Kx(x, £) liefert folgende Rechnung:

(9A)

Kt(x,£) =

X>£

sinz (I — a)

sin za

sin z£-cot za — cosz£

= sinz£ ■

hcot zu — z

z cot z л h

cosz£

h Mit Kd(x,^) werde kurz die Ableitung nach x bezeichnet.

sin z £ (h cos z л — z sin z л) — cos z £ (z cos z л -{- h sin z л)

гсо8гл-)-118тгл

h sin z (I — л) — z cos z (I — л)

z cos гл-J-h sin z л

Somit ergibt sich

KŁ (x, £) = sinzx-

h sin z (I — л) — z cos z (I — л)

z (h sin z л -j- z cos z л)

KŁ (x, D = sinz£

x>£

h sin z (x — л) — z cos z (x — л). z (h sin z л -j- z cos z л)

(9 В)

in dieser Form erscheint der Kern als meromorphe Funktion von z. Wir werden im folgenden beide Formen des Kerns KŁ(x, |) benutzen.

Im Falle xü£ (der Fall x>£ erledigt sich in derselben Weise) stellen wir nun die Partialbruchzerlegung des Kerns KL(x, £) her. Die Pole von Кг(х, £) sind die Wurzeln der Gleichung (3)r also die Größen z = + gv mit Ausnahme der Wurzel z = 0; sie liegen demnach sämtlich auf der reellen Achse;¹) ist Kn ein Kreis um den Nullpunkt als Mittelpunkt, der die ersten 2n-Pole von K^x, |) umfaßt, so gilt auf Grund des Ca uchy sehen Re-siduensatzes die Gleichung

^ №(x, Я

л i J z

-^dz = K₁(x,|)|z=^+ 2 Res -^5

Iх    v—l z — ±ev Z ^

K.(X, £)

(10)

darin ist fx eine beliebige komplexe Konstante, Res —

‘=evz

— fX

das

Residuum von

Kx(x, I)

für den Pol z — qv.

Res

Wir erhalten unter Zugrundelegung der Form (9A)

У IP -j- Qv ² sin Qv X • sin Qv (£ — a)

Qv (Qv — Iй) (cos Qv ⁷¹ — ⁷¹ Qv sin Qv ⁷¹    b-⁷¹ cos Qv ⁷¹)?

Ki(x, |)

b Riem ann-Weber, Partielle Differentialgleichungen der math. Physik

Bd. 2 § 53.

KL(x, g)

Res

Z = Qv Z iU

oder, wenn wir im Nenner sin^7r =

Res

K,(x, I)

Qv COS Qv П

-^-setzen,

ÿh² 4~ y„² • sin y„ x • sin y„ (I—a)

z-^

Qv(Qv—^)

cos pvn

^[h + ^(^ + h²)]

und schließlich, mit Benutzung der Relationen qv cos qv n -j- h sin gv л

yPTeT

cosy,, a h — y,, tangvn ÿ h'²-f- gv²

sin gv a

= 0,

COS Qvn

VV + Qv'

sin y„x-sin y„|

Qv(Qv /А

h² + ^²

h + ⁷¹ (Qv² ~\~ h²)

Ebenso ergibt sich

Res

Kt(x, g)

sin yvx-sin gv £

Z-/J

_    h² + gy²

Qv {Qv H~ fA h + 7i(yr²-j-ha)

Zieht man nun die Residuen für die Pole -f- gv und — gv zusammen, und beachtet dabei, daß

Jsin² gvx dx о

h -j- л(дг² + h²)

2 (h² -f- Qv²)

also

sin y „ X

<Pv (x)

2(h² + y„²)

Ь + n (h² + gv²) ist, so erhält Gleichung (10) die Form

№(x,g) tu J z

Kn

ъ—р ^у9?г(х)9?у(|)

dz = Kl(x^|

V — 1

(11)

Wir bezeichnen nun mit Kn, Kn+J, Kn+2, • • • eine Folge von Kreisen um den Nullpunkt mit unbegrenzt wachsenden Radien, welche die reelle Achse zwischen zwei aufeinanderfolgenden

Polen von KL(x, I) schneiden und somit bezw. die 2n, 2(n —|— 1), 2(n-j-2)... ersten Pole einschließen. Nähert sich dann das Konturintegral

Kn

— fi

einer bestimmten Grenze, so können wir schreiben:

Qv*—P

F lim № U Z

— fi

dz.

(12)

Es handelt sich jetzt darum, den Grenzwert des rechtsstehenden Konturintegrals zu ermitteln.

dz.

Bestimmung des Grenzwertes lim

— fi

П = CK ĘI Z

Die Grenzbetrachtungen über das Konturintegral schließen sich hier wie auch im zweiten und vierten Kapitel an einige von Freund¹) aufgestellten Sätze an, die an dieser Stelle kurz erwähnt werden mögen.

Es sei a ein positiver echter Bruch, K(z) und S(z) seien zwei rational gebrochene Funktionen von der Eigenschaft, daß limR(z) = c₁, lim S (z) = c₂ ist, lv die Wurzeln der Gleichung

Z = OD

Z — CD

ez — S (z) = 0 ; diese werden, wenn der Betrag von z groß genug ist, im Innern beliebig kleiner, um die Wurzeln der Gleichung ez — cx = 0 beschriebene Kreise liegen, können sich also, da die Nullstellen von ez — c₃ keinen Häufungspunkt haben, ebenfalls nicht häufen. Demnach läßt sich eine unendliche Folge von Kreisen Kn mit den Radien rn konstruieren, wobei immer rv+1 >r^ ist, und alle rv von den Größen Xv um einen endlichen Wert abweichen.

b Eugen Freund, Entwicklung willkürlicher Funktionen vermittelst meromorpher. Diss. Breslau 1909.

10

Auf diesen Kreisen, die außerdem die Pole von R(z) nicht enthalten dürfen, bleiben die Funktionen

(A)

eazR(z)

ez—S(z)

und (B)

ez R (z)

ez — S (z)

unter einer von n unabhängigen Schranke, und es gilt die Gleichung

lim f

n — cc T<7 Kn

worin [л eine beliebige komplexe Konstante ist. Um den Grenzwert des Integrals

ez R (z) dz ez — S (z) z — /n

eazR(z) dz ez — S (z) z — /л

0,

(13)

Kn

zu bestimmen, setzen wir

ez

S(z)

ez — S (z)

; dann ist

.. P ezR(z) dz

lim f -K— --

n=oo JV £Z S(z) Z [1

-*чп

oder, da

— = lim P(z)dz

n=oo tf Z

Kn

j- lim f

n = ccU

ez — S (z)

R(z)S(z) dz ez — S (z) (z—juf

lim f

n =00 Ç/

R(z)S(z) dz

Kn

ez — S (z) z — /1

= lim f®(z)dZ

П—CD (У    Z

Kn

ez R (z) dz — S (z) z — /1

lim f -

n = с» у ez

Kn

Setzt man nun R(z) — cx = f(z), so existiert eine positive Größe R derart, daß, sobald |z|>R, der Betrag von f(z) kleiner ist als eine beliebig klein vorgeschriebene Größe e; es gilt somit, wenn rn > R ist,

fR(Z) dz    fCidz <f IMil

J z — /t J z — /л    z —    ’

I Kn    Kn I

oder da

I z — A* I > rn — I I f I f (z) I < £

ist.

FR(z)

d Z — /Л Kn

11

dz — 2л1с₁    < e

Г I dz

J rn —

Kn

< e- 2гал ■

ß\

d. h.

Um r^lî = 2CiJli

n = oo d Z JA,

Kn

und somit auch

,. Is ez-R(z)-dz

nTLJ jez— S(z)] (z—fx)

Kn

Ist ß eine Zahl derart, daß 0 <; ß £ 1 ist, so ist

lim    k 4

n—cd s/ ez—S(z) zk(z — ju)

= 2с₁л\.

(14)

dz

О • (k ;> 1).

(15)

Kn

Es ist nämlich, wenn z = re1<?1 gesetzt wird,

f-

e/ ez

e/5z R (z)

dz

e^z R(z) • idę?

— S(z) zk(z [A)

Kn(ez S(z))zk

(z — h)

Bezeichnen wir die obere Grenze des Betrages der Funktion e^zR(z) ez — S (z) ga, so ist

auf den Kreisen Kn mit M, die Differenz rn — | ju | mit

e^z R(z)

idę?

. f Md cp

= I T,k — i )

V rn    Q n

iYn

2Жл

<~t^i—•

“ rn -en

Mithin ist die Richtigkeit der Gleichung (15) erwiesen. Die Folge der Kreise Kn kann, 'wie aus dem von Freund a. a. 0. durchgeführten Beweise hervorgeht, durch jede andere Folge von Konturen, auch ungeschlossenen, die nur keine Pole von R(z) und keine Nullstellen von ez — S(z) enthalten dürfen, ersetzt werden. Die bei Freund über die Funktionen R(z) und S^z)

f-

d ez

Kn

— S(z) zk_1(z — ju)

12

festgesetzten Voraussetzungen können allgemeiner formuliert werden; es werden dort R(z) und S(z) rational vorausgesetzt. Der Beweis bleibt jedoch vollständig unverändert, wenn wir von den Funktionen R(z) und S(z) nur voraussetzen, daß sie auf einer unbegrenzten Folge von Konturen endlich bleiben und mit unbegrenzt wachsenden Beträgen von z gleichmäßig gegen Konstante konvergieren. Dies sind die Bedingungen, unter welchen der Freund sehe Beweis richtig ist, welche sich dort aus der Rationalität der Funktionen R(z) und S(z) ergeben, falls in ihnen der Grad des Zählers kleiner oder höchstens gleich dem des Nenners ist. Wir werden im zweiten Kapitel von der allgemeinen Formulierung der Voraussetzungen zum F r e u n d sehen Satz Gebrauch machen.

dz zu bestimmen.

Mit Hilfe der Gleichungen (13), (15) gelingt es nun leicht, den Grenzwert lim Г—¹    ^

n = oo ï/ Z

Es ist

KŁ(x, I) = sinzx x<<r

h sin z (I — л)

z cos z (I — л)

(h sin Z л: -j- Z COS Zîl) z

ezix— e~zix ezi^~^)(h —zi)

2i

eZ7ri(h —|— z i) — e

— 2.n\

(h + zi)

Setzen wir

h -f- zi

h — zi

= S(z)

so wird

13

Bezeichnen wir mit Kn den durch die Substitution —2zjri = u aus dem Kreise Kn hervorgegangenen Kreis, setzen wir ferner ju — — 2juni, so gilt:

— fX

dz =

I e 2л S(u) du

J eu — Ś(u) u (u Je)

Kn

Kn

2лг-х-|

J eu —S(u) u(u — JÂ)

du

Kn

(16)

ny

2л S(u) du eu —S(u) u(u — Jx)

Kn

-f

'/*

2jr-fx —f

2 71

du

eu — S(u)

u(u — ju)

Кд

Variablen x und | die Ungleichungen 0<х<л

Da für die

0 ^ £ £ n gelten, liegen die Größen ^Г~Х, 2л~~х    ^, LÜ

2je    2л ⁵ 2л ’

2л 4-х — I

-- sämtlich zwischen den Grenzen 0 und 1 ; ferner ist

lim S(u) = — 1. Es verschwinden demnach, wenn wir u un-

I U 1=00

begrenzt wachsen lassen, alle vier Integrale der rechten Seite auf Grund der Gleichung (15), so daß man erhält

lim f-l(x,l)

xi — cosl Z

Кд

— fX

dz = 0.

Aus Gleichung (12) folgt dann weiter

14

sin zx z-° h sin z (£ — л) — z cos z (£— л) z h sin z я -j- z cos z л

Setzt man hierin = 0, so ergibt sich, da (x, D

ebenso

ist,

h(f —я)'

h л —j— 1 h л —{— 1

Kx (x, £)

h^ + l

ll (л: — £) -f- 1 h л —|— 1

K (x, I) =

(,Pv (x) • <Pv (ł)

v — l

Damit ist die bilineare Entwicklung des Iverns K (x, £) erwiesen.

Um die Entwicklung der Ableitung K' (x, £) herzustellenr differenzieren wir Gleichung (11) nach x:

hP

дK, (x, i) dz _r ,    *=r    ^ 4>v (x) cpv (£)

z ^    ГТ, Qv

öx

Kn

Aus Gleichung (16) folgt

f-x

K/(x,l).-

x<| Z

dz

— IX

тЧ ICQ

/е 2л • S(u) du J eu — S(u)    u — fit

Kn

Kn

toi

2л-х-£

Л"

J eu — S (u) u — fx

du

Kn

toi

fi

2jt • S(u) du eu — S(u) u—fix

Kn

toi I-¹

fi

2л + х —£

2л

du

eu — S(u) u—fx

Kn

Auf Grund der Gleichung (13) ist, wenn хф£

0.

—J“

Ebenso ist

x>! z

dz

to! н-¹

Kn

15

je 2л S (u) du J eu — S (u) u —J

Kn

-x-£

toi b-i

/У'ф

^ eu — S (u) u — /л

X + £

du

Kn

toi i—¹

je 2гг S(u) du J eu — S (u) u —J

Kn

2 л — X— £

toi I—¹

2л:

du

eu — S (u) u — fi

lim Г К/ (X, l)--dZ

П = (X) С/    ^

К AVn

Im Falle x = £ erhalten wir¹)

Kn

J-rr

о, а + к/ (£+o,£)]-

= K,' (f — 0, о Iz '+ К/ (f + 0, а \г-^ — 2 У1 фй ^W

n = ooC/ Z [Л

B. Überführung der Differentialgleichungen (44) un

¹

ez 1 (X+£~M—ez 1 (x-£) S (z)—ez 1 (£~х~2л) _|_ е-Цх+£) S (z)

z [ S(z) — e_2z7ri

oder wenn —2z^i = u, S(z) = S(u) gesetzt wird,

X-|

гл S(u)

[ S (u) — eu ] u

= K,' (f — 0, о Iz '+ К/ (f + 0, а \г-^ — 2 У¹ фй ^W

г = 1

*) vgl. Hilb а. а. 0. S. 227.

16

Nun ist

^/|K₁’(f-o,a+K₁’(f+ora]-dz

Kn

— ix

f____ r_?

J eu — S (u) n — /и J eu — S (u) u — /x

du

Kn

Kn

Mit wachsenden Radien der Konturen konvergieren die rechts stehenden Integrale für alle Werte von £ in dem betrachteten Intervall mit Ausnahme der Werte £ = 0 und £ = л gegen Null auf Grund der Gleichung (13); es gilt somit

к, ' (f—o, f    + к. ’ к+o, a

f* __ ^ <Pv (£) Vv (£)

;£i Qv —Iх

für alle Werte £ außer 0 und n. Da nun К/ (x, £)|z::=0 = K' (x,£) ist, so ist im Falle хф£

11

к'(х,а =v

V=1

Qv

im Falle x = £ :

K' (£-0, £)-f IG (£ + 0,£)

Wv (£) ■ *Pv (£)

Z 2“

Qv

Zweites Kapitel.

Entwicklung nach Besselschen Funktionen.

Wir setzen als Differentialgleichung der Eigenfunktionen des Kerns K (x, £) die Besselsche Differentialgleichung an in der Form:

d . dv‘

— 4x^—

dx

dx

(17)

17

Der Kern К (x, £) genügt der Differentialgleichung

der Kern Кг (x, £) der Differentialgleichung

n(«S+

z² у = 0 .

(19)

Ki(x,£) = 2f

KL (x, £) = я •

u(üzl₊i) u

e v ²* l—e

27r S(u)

l S (u) — eu ] u

Die Randbedingungen, denen die Eigenfunktionen und die Kerne K (x, £), Кх (x, £) zu genügen haben, seien folgende : an der Stelle x = 0 seien v, K, und Kx endlich, an der Stelle x = 1 gelte у |x=1 = К jx=1 = Kn |x=1 = 0. Bezeichnen wir die Wurzeln der Gleichung I (^>) = 0 mit + gv, so sind die Eigenwerte des Kerns K (x, £) die Größen qv², die des Kerns Kx (x, £) die Größen qv² — z². Die normierten Eigenfunktionen sind, da

/1МйУх)ах = р<е„) + Р(е„)

0

ist,

<Pr (x) =

iförl/x)

Wir stellen zunächst die expliziten Ausdrücke für den Kern K (x, I) her. Setzen wir <p (x) = c, xp (x) = log x, so genügen die Ausdrücke

9?(x) \p(£) = c-logf, cp (£) * cp (x) ⁼⁼⁼ c log x

den Randbedingungen und der Differentialgleichung (18). Aus der Gleichung

cp' (£) гр{£)—гр (I) cp (£) = ~

ergibt sich c = — wir erhalten somit K (x, I) = — \ log f,

к (x, £) = — \ log X.

x>£    ⁴

18

Nachzivweisen ist die bilineare Entwicklung des Kernes К (x, £) :

К hr f) = V

⁽ ’ ’    £ еу'-Г’ш

Zu diesem Zwecke stellen wir zunächst wiederum die expliziten Ausdrücke für den Kern KL (x, £) her. Die Integrale der Differentialgleichung (19), die Besselschen Funktionen erster und zweiter Art, in der Bezeichnung von Riemann-Weber seien l(zj/x) und Y (z j/x).

Setzen wir

<P (x) = I (z j/x),

xp (x) = I (z j/x) Y (z) — I (z) Y (z Ÿx)

so genügt der Kern

Kx (x, i) = С-ę? (x)y; (£),

(X, I) = C-Ç9 (D-v» (X)

der Differentialgleichung (19) und den Randbedingungen. Die Konstante C bestimmt sich aus der Gleichung

C [cp' (I) xp (I) — cp (I) xp' (£)] =

Es ist

cp’ (I) xp (£) — cp (£) xp' (I)

oder, da

2^=|l' (zl/f)[l(z|/f) Y(z) —I(z)Y(z|/f)] I (z Vl) [Г (z ) Y (z) - I (z) Y' (z yf)\ j;

Y' (z j/T) I (z vT) - Y (z -j/ï) I (z VT)

C = —

(19 a)

4 I (z) ‘

Danach erhalten wir für den Kern Kt (x, £) die expliziten Aus

drücke

Kx (x, I) = —

УГI (z |/x) [l (z |/^ ) Y(z) — Y(zyT)l(z)]

4 I (z)

19

JT I (z j/g) [I (z yx) Y (z) — Y (z j/x) I (z)]

4I(z)

К, (X, g) = —

x>g

Der Kern Кг (x, g) erscheint somit wiederum als meromorplie Funktion von z ; die Pole von Kx (x, g) sind die Wurzeln der Gleichung I (z) = 0, also die Größen + qv ; sie sind sämtlich reell. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Wurzeln nähert sich mit wachsender Entfernung der Wurzeln vom Nullpunkt der Zahl л. Es ist demnach möglich, eine unbegrenzte Folge von Kreisen Kn zu konstruieren, welche die reelle Achse immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wurzeln von I (z) = 0 treffen.

Wir wählen eine von den Konturen Kn aus und betrachten das Integral

rwdz

e) Z — fx

Kn

wobei wir wiederum den Fall x < g allein behandeln; es ist

4 [qv — fi) Г (qv)

Res KL (x, g) __л I (Qv j/x) Y (Qv j/g ) Y (Qv)

Z =    z — /л

und da nach (19 a)

я Y (e„) _ л Y (e„) r (&,) _    _

4Ï4oj ~ "TOT “ W’

ist, so folgt

Kt (x, g)

Res

z = f?v z~ /*

i (e„|/x) i(Qv j/g)

²Qv(Qv~ /*) ¹'²(Qv) '

Ebenso ergibt sich

Res

Ki (x, g)

-ft, z — i“

~Qr + /*) I'²(>?,,!

und

Kx (x, g)

Res z = +    Z —

KL (x, g)

Res

И'    Z = — Qv^    F

Es gilt somit die Gleichung

ifW>äz

2л1е/ Z

= K₁(x,i)P

V = 1

Wir lassen nun den Radius der Kontur über alle Grenzen zunehmen und wenden uns zu der Untersuchung des Grenzwertes

dz .

— li

20

Um fW

n —x Z

Hierbei beachten wir zunächst, daß Kt (x, |) eine gerade Funktion von z ist; es ist nämlich I(z) = I(—z) und, wie aus der Darstellung von Y (z) in der Form

Y(z) == I(z)-logz -j- G(z) , wo G(z) eine gerade Funktion ist, hervorgeht,

I (z₂) Y (zj — I (zx) Y (z₂) = I (— z₂) Y (—■ z, ) — I (— zx) Y (— z₂).

Weiterhin nimmt der Integrand, wenn wir unter fi eine reelle Konstante verstehen, für reelle Werte von z reelle Werte, also für konjugiert imaginäre Werte von z konjugiert imaginäre Werte an. Wegen der ersten Eigenschaft von Kx (z, £) ist

if№!dz

(J Z-fl

JKt (x,i)

dz =

+i

Hn

% (x, j)

e/ Z + fl

dz ,

<Pv № <Pv (£)

wenn Hn den rechts von der imaginären Achse liegenden Teil von Kn bezeichnet. Wegen der zweiten Eigenschaft des Inte-granden liefern die unterhalb und oberhalb der reellen Achse liegenden Teile von Hn konjugiert imaginäre Beiträge zum Integral. Bezeichnen wir den oberen Teil mit Qa, so genügt es also, um nachzuweisen, daß

Um Г^(Х>Й

n =00 Z

— fi

dz = 0

ist, zu zeigen, daß

ist.

lim

n = сю <v    Z

4!n

— fi

dz = 0

21

Dieser Nachweis soll im folgenden geführt werden. In dem

p>K (x fl

Integral / ■ lV d z nimmt der reelle Teil von z nur positive Kn Z_^

Werte an; setzt man noch fest, daß der reelle Teil von |/2jtz positiv ist, so können unter dem Integral die Funktionen I(z) und Y (z) durch die W e b e r sehen Ausdrücke ersetzt werden ; es ist dann

■j/2jrz'I(z) =

S(2zi) + e

I"*

(- )

S(— 2zi)

e‘M)

i"|/2 nz Y(z) =

Die Funktion S (z) ist in dem ganzen betrachteten Gebiet stetig, bleibt daselbst unter einer endlichen Grenze und besitzt ferner die Eigenschaften, daß

S (2 z i) —

S (— 2 z i) .

lim S (z) = 1 , lim S' (z) = 0 *)

(Z) = GD

Z = CO

ist.

Wir führen die Web ersehen Ausdrücke für I und Y in den Kern Kx(x, |) ein und erhalten, wenn wir y^ = x -j/£ = |1 setzen,

Ti i

e4 Xl ^S(2zix₁)S(2zi^₁)S(—2 z i)

yri

-i(z-    )

z e

S (2 z i) -j- e

4-7

S (— 2 z i)

S(—2zixx)S(2zi £t)S(—2zi)

•rH

<D

4-1 a

S (2 zi)-4-е

i(Z-

CO

S(2zix₁) S(—2zi£x)S(2zi)

-i[z-    )

z e

i(z- )

S(— 2zi)

x) Eiemann-Web er Physik I S. 182 § 77.

Partielle Differentialgleichungen der math.

22

Л1

— -г    —zi(l + X! —|Ł)

е е

S (2 z i Xj) S (— 2 z i    ) S (2 z i)

И-т)

ze

S (2 z i) e

‘(-î)

S (2 z i)

Wir erweitern den ersten und vierten Bruch der rechten

Hz- )

Seite mit e setzen 2zi=v,

den zweiten und dritten mit e

iz+ )

к h*

und

R(v); dann erhalten wir:

Xl+|l

² S(v XJ S(v|₂)

v[ev — R(v)]

У I to

(‘-M

S(—vxJSjv^)

v[ev — R(v)]

(21)

Xi + fj V • ---1

+ 7Г

² • S(— vx₁)S(— vfJRfv)

v[ev—R(v)]

^i“Xi V—-

² S (V xt) S (— v R (v)

v[ev—R(v)]

Also

I Кг(х, I)

ęj Z — /U

dz —

-..Г-

^i-j/xj, £l(*/

Qn

L_ p-

Tri|/x₁ fie/

Qn

Ttf/Xi Ę

Qn

Xi+£,

² ^S(vx₁)S(v|₁)

.ev—R (v)

^i~xA

2 ;S(—vxJSfr^) dv

v(v—2jui)

ev—R(v)

dv

v(v — 2 /ui)

S(— vx₁)S(— v^)R(y)

ev—R(v)

dv

v(v — 2/ui)

23

/-Г—

n Vxi t/

SfrxJSG- vgjRfv)

dv

Qn

ev—R(v)

v(v — 2/Л)

Läßt man nun v über alle Grenzen wachsen, so nähern sich die Beträge der Produkte S (v xL) • S (v , S (v |x) • S (— vx J • S (—vxt) •S(—v|x)B(v), S(vx₁)S(—v£L)R(v) und der Betrag von R(v) der Eins. Da 0 А хг А 1, 0 А £г А 1, also auch

Ä1

0äXi+ijÄ1 md

OAl

xi~i~ £i

Al und 0A1

Al

i_xi ~h |i i

2 ’

den für die Geltung der Gleichung (15) notwendigen Bedingungen es gilt somit auf Grund dieser Gleichung

genügen die Größen    , 1,1 ■ Xl

й - xi

lim

n = QO    ZjZ/^

dz = 0

und somit auch

lim f?ÆÜ

n = 00 С/

Kn

für alle Werte von x und | in dem betrachteten Grundgebiet mit Ausnahme der Werte x = 0, 1 = 0, welche wegen des im Nenner von Kx(x, £) auf tretenden Faktors jGq ausgeschlossen werden müssen. Aus Gleichung (20) folgt weiter die bilineare Entwicklung von KŁ(x, I) :

dz = 0

çpv (x) (pv (£)

2 : У

Qv~ — ^

Setzen wir in 1ц (x, £) /и = 0, so ergibt sich, da I (0) — 1, G (0) = 0

(22)

24

Y ( z) I (z fj—Y(z fj I (z) |x-°= — —[—I (z) I (z f,) logf,

+ I(zf,)G(z)—G(zfJI(z)]*=°=®logf₁ = ilogf.

jlogf.

jlogx

Folglich :

Ebenso ;

d. h.

Кг(х,£)Г=° = x<£

K₁(x,f)|'*=⁰ =

X>£

K₁(x,|)|^⁼⁰ = K(x, I).

Aus (22) folgt somit die bilineare Entwicklung

Vcpv ^ (Pv ®

K(x, I) =

Qv²

Entwicklung des Differentialquotienten nach den Funktionen cpv Aus Gleichung (21) ergibt sich durch Differentiation

à Kt(x, I)

öx

^rr

Ms, v

Их

fr,

<M

Wrr

Kj (X, £)

SjvxJ SjvgJ

2л xt

ev — R(v)

v(i

e v

Sl — Xl) 2 /

S (— V xL) S(v£L)

vb±li

e ² S(—vxJSt-vfilEfr)

2тгхг

ev — E(v)

2лх₁

ev — R(v)

vXCZÜ

e ² StvxjSf—'v^)R(y) ,

, а-ч*)

S'(—vxj S(v£,)

2лх₁

ev — R(v)

Л x^

ev — R(y)

25

! eT(1—^2/

S (— v xŁ) S (v

уЪ+ii

² S'(— vx₁)S(—■y^)E(v)

71

ev — E(v)

n xx

ev — E(v)

e ² S'foxJSj— v^)E(v)

nx₁

ev — E(v)

Für x > I gilt

ПГ

2xi j/х, i,

К, (x, f )

2 лх,

yïdlîî

Sfvx^ S(v£,)

ev — E(v)

H—— •

¹ 2Trxt

SfvxJSl— v&)

² S (—w x, ) S(— v it) E(v)

ev — E(v)

2лх,

ev — E(v)

Xi—

v—£

e ² S(—vxj) S(v^) E(v)

S'fvxJ S^vlJ

2tix,

ev — E(v)

лх₁

ev— E(v)

vEi=lł

e ²    S'(— vxJSfv^Bfv)

ÎIX,

ev — E(v)

Wächst v dem Betrage nach über alle Grenzen, so konvergieren die Beträge von SlvxJ S (v £t), SGvXj) SivlJ, S' (vxŁ) S(—v^), S' (—vxj S (v £j) E(v) gegen Constante. Es ist deshalb, und weil die im Exponenten von e neben v auftretenden Faktoren im Falle x = £ den in Gleichung (13) für die Größe a geforderten Bedingungen genügen,

lim

-Ki (x, i)

n = 00

dz = 0

20

für alle Werte x und £ im betrachteten Grundgebiet mit Ausnahme der Werte x = 0 und £ = 0. Im Falle x = £ bilden wir

Kt (£,£)

£i[K/ (£-0, £) -j- K₁' (£ + 0, £)] -f

1    ev(¹~£i) S² (v£t) , i ev^ S² (—у£г) R(v)

Trr

⁷¹ i

ev — R (v)

^£i

ev — R (y)

2_ e^C¹-^)S(v£,) Sf(у£г) 2i eY^S(—v£t) Sf(—v£L)

ev — R(v)

ev — R(v)

Hieraus ergibt sich für alle Werte £ zwischen 0 und 1 mit Ausnahme der Werte £ = 0, £= 1

lim

K/(£-0, £)-№'(£ + <),£)

D = CO

z — jU

dz = 0.

(24)

Nun ist K' (x, £) wiederum eine gerade Funktion von z, der Integrand ^    ^

— nimmt wiederum für konjugiert imaginäre Werte

[Л

von z konjugiert imaginäre Werte an; folglich sind mit den Gleichungen (23) und (24) zugleich die folgenden bewiesen:

dz = 0

lim f

П = co t;    Z    /1

K11

lim f

n—CO«/

Kn

K/(£-0,£)-fK/(£-f0, £)

z —[Л

dz = 0.

Aus diesen Gleichungen und der Gleichung (20) ergeben sich ebenso wie in Kap. 1 die Entwicklungen

ök^x,^!²⁻^    v^(x)^(£)

ÔX    _“i Qv² — [X*

yr9V(£) 93v(£)

К/ (£-0,

27

und

Qv

K' (£—0, f) + K' (f + О, Й    ^ Vv' (ft <pv (ft

2    2j es

Von der Voraussetzung, daß in den Entwicklungen für Kx (x, |) und К/ (x, I) [л reell sein muß, kann man sich durch folgende Betrachtung befreien. Durch die Gleichungen

JK/ix,a

lim Ç (x, I) n=8J z — [X

dz = 0, lim

dz = 0

Kn

Kn

für reelles fx war die absolute und gleichmäßige Konvergenz der

Reihen

^ cpv (x) <pv (£)    ® <p„'(x) <pv (£)    .

—s-5-,    >-5-ä~ fur reelles ix bewiesen.

qv²— /F    Qv—p

V = 1

Da aber die Glieder der Reihen

und

<Pv (x) <Pv (£)

«••(‘-fl

<Pv (x) <Pv (£)

auch für komplexes /л mit wachsendem v dem Grenzwert

<Pv (x) CPv (£)

Qv

zustreben, konvergieren die Reihen auch gleich-

bezw.

<Pv (x) <Pv (I)

Qv²

mäßig und absolut für komplexes /x und definieren somit in dem durch die ganze Ebene mit Ausschluß beliebig kleiner um die Stellen + qv beschriebenen Kreise dargestellten Gebiete analytische Funktionen von /л. Da diese auf der reellen Achse mit Kx (x, £) bezw. К/ (x, I) identisch sind, gilt dasselbe im ganzen Regularitäts-gebiet.

28

Drittes Kapitel.

Entwicklung beim Problem des transversal schwingenden Stabes.

Die Eigenfunktionen des nur an einem Ende (x = 0) eingespannten Stabes von der Länge 1 genügen der Differentialgleichung

(25)

vIV — о⁴ V = 0

und erfüllen die Randbedingungen

V1⁰ = 0, v'|° = 0, v"1¹ = 0, v'"1¹ = 0.

Bezeichnen wir die Eigenwerte gv, die Wurzeln der Gleichung cos g (£of g -J- 1 = 0 , mit qv, so sind die Eigenfunktionen v„ (x) = (sin qv + ©in qv) (cos qv x — ©of дух)

— (COS Qv -f- ©of Qv) (sin Qvx — ©in Qvx) .

Der Kern K(x, £) genügt der Differentialgleichung

vIV = 0

und hat dieselben Randbedingungen wie die Funktionen vv zu erfüllen ; er ist mit seiner ersten und zweiten Ableitung im ganzen Intervall von 0 bis 1 stetig, während die dritte Ableitung an der Stelle x = £ einen Sprung von der Größe — 1 macht. Setzen wir an

К (x, £) — ax x³ -f- bj x² -|- cxx -f- d

x>£

К (x,.£) = a₂x³ -f b₂ x² + c₂ x -j- d *>£

c₂, d₂ zu be-

Ci ? d₁ ; a₂, b

so sind die Koeffizienten ax, b stimmen aus den 8 Gleichungen

d₁ = 0, cx = 0, 3a₂ + b₂=0, a₂ = 0, ai    £² + cx £ -|- dx = a₂ £³ -f- b₂ £² -f- c₂ £ -f- d₂

3 ax £² -J- 2 bx £ -}- cx = 3 a₂ £² -f- 2 b₂ £ -j- c₂, 3ax£ + bx = 3a₂£-fb

S>(yx₁) S(— v^)

jrx₁

ev — E (v)

JZX,

ev — E(v)

29

Es ergibt sich

IM)

K(x, f) = x<£

K(xX4⁾⁼⁼2 (Х_з)-

Es ist nachzuweisen, daß die bilineare Entwicklung des Kerns K(x, I) nach den Eigenfunktionen v„(x) dargestellt wird durch die bilineare Formel

²(x)dx

oder wenn wir mit ?v(x)

Vv(x)

j//v„²(x) dx

die normierten Eigenfunktionen bezeichnen, durch die Reihe

•^7 <Pv (x) 9V (£)

r = 1

Zu diesem Zwecke erweisen wir zunächst die Gültigkeit der Gleichung

К₁(Х,Й= У

V = 1

wo Кг (x, I) der Differentialgleichung vIV — z⁴y = 0

д/ — z⁴

(26)

und im übrigen denselben Randbedingungen und Stetigkeitsforderungen genügt wie К (x, £). Aus den partikulären Integralen cos z x, sin z x, (£of z x, ©in z x der Differentialgleichung (26) setzen wir den Kern Kx (x, £) zunächst wiederum mit den unbestimmten Koeffizienten ax, ßx, yx, <5X ; a₂, ß.₂,    , ö₂ an :

Kx (x, i) = ax cos z x -|- ßx sin z x -J- yx (£of z x -j- ©in z x,

Kx (x, I) = a₂ cos z x -f- ß₂ sinx -f- y₂ ©of z x -f- <5₂ ©inz x.

30

Für die Koeffizienten ergeben sich aus den Randbedingungen, der Forderung der Stetigkeit von (x, £), К/ (x, £), K/'(x, £) und aus der Gleichung

folgende acht Gleichungen:

«i + 7i = ⁰

ßl-\- ö₁ — 0

— a₂ cos z — ß₂ sin z —f- y₂ ©of z -J- <5₂ ©in z = 0 a₂ sin z — &COSZ -f y₂ ©in z —f- <5₂ Sof z = 0 (ax — a₂) cos Z£ +    — $,) sin z £+ (yL — /₂) ©of z £+ (<5г — <5₂) ©in z £=0

—К-—a₂)sinz!+(ß₁—/?₂)cosz£+(/₁ —)'₂)©inz£+(<5₁ — <5a)©ofz£=0 - (aŁ - a₂) cos z I - {ß₁ - ßß sin z £+ (/, - ya) ©of z £+ (r\ - <5₂) ©in z£=0

К — aß sin z £•— (ß₁ —ßß cos z £+ (yl — yß ©in z £+ (dx — öß ©of z £—--- •

z

Sie liefern für den Kern folgende expliziten Ausdrücke:

4z³ (1 -f- cos z ©of z) KL (x,£)

= {— (©in z I -j- sin z I) (1 cos z ©of z) —[— (©in z £ — sinz £) ©in z sin z -j- (cosz£ — ©of z £) (sin z ©of z — cosz ©in z)} (coszx — ©ofzx)

+ J (©of z £ + cos z £) (1 -f- cos z ©of z) -f- (©of z £ — cos z £) ©in z sin z -j- (sin z £ — ©in z I) (sin z ©of z -|- cos z ©in z)} (sin z x — ©in z x). K₁(x,|) ergibt sich hieraus durch Vertauschung von x und £.

Wir beschränken uns im folgenden wiederum auf die Betrachtung

von Kx (x, I). x<£

Zur Ab-

Die Pole von KL (x, £), aufgefaßt als Funktion von z, sind die Stellen z = qv, z ==—Qvi z = gvi, z =— evi. kürzung setzen wir

X (z) = cos z ©in z — ©of z sin z y (z) = cos z ©in z -f- ©of z sin z ;

dann gelten die Relationen

*(—z) = —*(z), z (z i) = — i Z (z) y{— z) = —    (z), ip (z i) = i xp (z).

31

Auf Grund des Caucliyschen Residuensatzes gilt die Gleichung

гр5—ъ

Z-fl

dz = K₁(x,f)rB + ^

Res

KiM)

HSli

Z — fl

(27)

worin Qn eine später noch näher zn definierende, die ersten 4n-Pole umschließende Kontur bedeutet.

Es ist

KL (x, j) _ sing, (©in qv j — sin gv £) ±Qv⁹ V)X(Qv)

Res

z = Z — fl

(COSg„X—©ofg„x)

(©Of Qv £ — COS Qv £) (COS Qv X — ©of Qv x)

4g/(g„ — ft)

sin Qv ©in gv (©of Qv £ — cos Qv I)

^Qv^Qv — f^Xiöv)

(sing„x— ©ingvx)

V (qv) (sin gv! I—©in qv I) (sin Qvx — ©in gvx)

А*)яЫ

Die Residuen für die Pole z = — g„, z = ^i, z = — ^i ergeben sich in gleicher Weise; man erhält sie, wenn man in dem obenstehenden Ausdruck fi bezw. durch —fi, —fii, —j— /xi ersetzt; wir erhalten somit

Res -j- Res -j- Res + Res

z = p    z = —p    z = p

^ y    '-y

sin qv ©in ov (Sin qv£ — sin qv £)

(Qv* — P*)z{Qv)

(eosg,,x— ©of gvx)

(©of Qv X — COS Qv £) (COS g„X — ©of Qv X)

sin Qv ©ttl Qv (©of Qv £ — cos Qv £)

(e/—^⁴)яЫ

(sin qv x — ©tn g„ x)

V' (g„) (sin Qv £ — ©in ov I)

(Qv^ — ^)z(Qv)

(sin gvx—©in gvx).

so ergibt sich

V Ы _ sin gv ©in² gv — ©in gv sin² gv X (gv)    sin gv ©in gv (©in gv -f- sin gv)

sin gv — ©in gv śin² gv — ©in² gv ©in gv -f sin gv ~ (©in gv + sin gv)²

Nun ist sin² gv—©in² gv=2 — cos² gv — ©of²    — (cos +©of )²,

folglich ist

wiQv)

x(Qv)

32

Nun ist

sin gv @inpv

x(Qv)

sin gv ©in gv (cos gv -j- ©of Qv)

@tn^ cos²^ -j- cos gv ©in gv — cos gv ©of gv sin qv— ©of² Qv sin Q v

und auf Grund der Gleichung cos gv ©of gv -f- 1 = 0

sino,, ©in ov

sin gv ©in gv (cos gv + ©of Qv)

x(Qv)

©in gv (1 — cos² gv) sin gv (©of² gv— 1)

sin gv ©in gv (cos gv -f- ©of gv) sin gv ©in gv (sin gv -f- ©in gv)

(cosgv + ©of gv) (sin gv -j- ©in gv)

(sin^ + ©in^)²

i

Da nun (sin^-f-®^^)²—^/V„²(x)dx ist, ergibt sich schließlich

(cos gv —j— ©of gv) (sine„-j-©in e„)

sin gv ©in gv

X(Qv)

fv/(x)dx

Erweitert man den Bruch

WiQv)

X(9v)

ebenfalls mit (cos gv -f- ©of gv)

(cos gv -f- ©of ^v)²

/v„²(x) dx

и

33

Wir erhalten somit die Gleichung

Res —j— Res —|- Res —J— Res

-<v

*=QV ³=-9v    ³=£>„

(cos Qv X — ©ofQv X) (cos Qv £ — Sof Qv f) (sin Qv + ©in Qvf (&»⁴ —Л⁴)/vv²(x) dx 0

(cosgyX — gofgyX) (sing„g—©in^x) (cos ■-f-(Sofqv) (sinqv-f-©i:nqv)

(e/-

² (x) d x

(sin^vx—©ingyx) (cosgy^— (£ofe„f) (cosß„ +®ofev)(sine„ + @in^)

(ev⁴ — M⁴)fvr²(x) dx

(sin qvx — ©in e„x) (sin qvÇ — ©in qvx) (cos qv -f- <£of qv)

— Vv(x)-VV(D

(ft,⁴ —

f v„² (x) dx

(o/ —//⁴)Jv„²(x) dx

— ⁽Pv (x)-yy (I) £>/-/^⁴ ’

und aus Gleichung (27) folgt

^ №(х, 0

jri J z

Qn

^dz = K₁(x,a|z=^-yF

P    Qv — P

(28)

dz.

Abschätzung des Konturintegrals / —¹ ^ ^

iz~^

Die reellen Wurzeln der Gleichung cos z ©of z -j-1 = 0 haben

die Form ga = |n— ijjr — (— l)“^,¹) wo an mit wachsendem n

Setzen wir

gegen Null konvergiert; die übrigen Wurzeln gehen aus diesen durch Multiplikation mit i, —1, —i hervor.

34

z == C -j- i у} , so nehmen wir als Kontur Qn ein Quadrat mit den Seiten £ = + n тг, rj = ±nл. Den Kern KL(x, f) bringen wir in folgende Form:

z³ (©of z cos z — 1) K^x, I)

= ©of z sin z (1 -|- X — I) — cos z ©in z (1 -j- x — £) -|- ©of z (1 — x — £) sin z

—    cos z (1—x—i) ©in z—(Sof z (1—x) sin z (1—£) -f- cos z (1—x) @tn z (1—£)

—    ©of z (1 — I) sin z (1 — x) -f- cos z (1 — i) ©in z (1 — x) -j- ©of z x sin z £

— coszx©inz|:-j-®t)fz^sinzx—coszf©inzx-{-sinz(x—£)—©mz(x—£). Da Кг(х, I) eine gerade Funktion von z ist und der Integrand ^X’ ^, wenn wir unter a zunächst wiederum eine reelle Kon-

z — /X

stante verstehen, für reelle Werte von z reell ist, genügt es, das Integral auf einem Viertel der oben bezeichneten Kontur abzuschätzen. Wir wählen die Strecken £ = пл:, ОА^птг und

—    0A£A П7Г.

Ersetzt man in dem Integranden die hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen durch die Exponentialfunktionen, so zerfällt das Integral in eine Anzahl von Summanden, die sämtlich die Form

f-i

Qn cos z ©of z —(— 1 z³(z—fx)

haben, wo a und b reelle Konstante sind von der Eigenschaft, daß — Ha^l, — lAbAl ist. Setzen wir

e(a + ib)

(a + ib) z

dz

F(z) = =

4 cos z ©of z -\-l

e(a4-ib)z

ez(i + l) + ez(i-l) + e z(i 1) + e—.(1+1) + 4 ’

so wollen wir im folgenden zeigen, daß lim ГF(z)    dz

11 = 00 U

0 ist. (Я £ 1.)

zA [Z—fx)

Wir schätzen zunächst F(z) auf der Geraden £ = птг von rj = 0

Qn

35

bis Tj — пл ab und erweitern zu diesem Zwecke F(x) mit ez(i dann erhalten wir

F(z) =

e—(1 —a)z_ezi(l + b)

1 + e2zi + e2z(i_1) + e~2z + 4 e^"¹»

Es ist

I e—(1 —a)z_ezi(l + b) j __ e— (1 — а)пл g—(1 + b) 77 <g— (1 — а)пл

Im Nenner ist

2zi

= 1 -|- e2njri • e~2ri

1 + e

reell und größer als 1,

I e2z(i-l) e-2z _|_ 4ez(i-l) I ^2e

-2пл

4e

folglich bleibt, wenn n eine gewisse Grenze überschritten hat, der Nenner über einer festen Grenze g, und der Betrag |F(z)| ist

; daraus folgt

0- (1 — a) njr

z = njr + njri

f F (z) • ~T7~ ,

J Zx(z — H)

tj — пл

IF (z) I

cf (n 71-ju) П

rj — 0

71

0— (1 -a) nл

= I T

g ■ Пл • 7lf'

П 71

П 71 -/Л ’

d. h.

z = n .T -|- n л: i

lim

f F(z)

Z = TUT

zA (z fl)

= 0.

(28)

Um die Funktion F(z) auf der Geraden ц = пл abzuschätzen, erweitern wir wiederum mit e²^-¹). Es ist, da 0<;С^пя,

I e— (1 — a) z , ezi (1 -f b) I < e— (1 + b) пл ,

1 -f- e_2z — 1 -j- e~²^ > 1,

— 2n л

-4- 4e—njr ;

I e2zi_j_ e2z(i-i) 4ez(i-1,| ^2e

Z — fl —

пгг

*) Es gilt auf der Geraden £=n л die Ungleichung | z — ^ | ^ n л — fi, also -—, auf der Geraden j?==n л ebenso |z — ^|>пл: also —-—- <—•

— fl    Z — fl —n Л

36

somit ist, wenn n eine gewisse Grenze überschritten hat,

— (l+b) пл:

|F(z)|ä-

und

z = njri

/F(z)•

z = m + n?ri

ъ¹ (z — fl)

e— (1-f-b) пл g(njr-

•ПЯ

d. h.

z = пл1

lim ft»- dz »=»«/    (z — /*)

Aus den Gleichungen (28) und (29) folgt dann

Иш

n = 00 (J    Z [Л

z = njr -f ujzi

Qn

0.

(29)

dz = 0.

Ebenso erhalten wir

lim

n = oo J    z

Qn

—'P

dz — 0

Um fKM

n — oo    Z fl

dz — 0

Qn

und somit die Entwicklungen

(X, I) — ]>j

V=l

А?;«?,®

V — 1

к₁"(х,а=У'

(30 a)

Ki

-l“⁴

(30b)

Qv* — fià ’

(30 c)

v=l

Die Erweiterung des Geltungsbereichs der Gleichungen (30) ebenso wie der weiter unten durchgeführten Entwicklung von K/"(x,£) erfolgt für komplexe ju in derselben Weise wie im vorangehenden Kapitel. Wir setzen nun in Gleichung (30 a) fi = 0

37

und untersuchen den Grenzwert (x, |)|“ = 0. Wir entwickeln zu diesem Zwecke Kx (x, £) nach Potenzen von z, wobei wir nur bis zur dritten Potenz fortzuschreiten brauchen. Wir setzen also

z³

z²

z³

z²

sinz = z — . cosz = 1 — g-, @inz = z-J- —, (£ofz = 1 -f-;

/    b²\

dann ist Sof asinb — cosa@tnb = b la²--^-1.

dieser Formel erhalten wir

4 (1 + coszßofz) K₁(x,|) = (l + x—I) 1 —

+d—x—a*—■I—(i—afd —

Mit Benutzung

x)²

+Ф-1)+4²-!)

(x —£)

|х³-|-4х²|.

Setzt man in dieser Gleichung z = 0, so ergibt sich

Kt(x,l»"

X<£

Ebenso ergibt sich

(X, i)

x><T

Лг 1<M

es ist also

K₁'(x,f)|,=0=K’(i,«, K₁"(x,f)|z=0=K"(x,fl, und aus den Gleichungen (30) folgen die Entwicklungen

„    угг <Pv W <Pv (£)

к (X, Ç)=2j

V =1

Qv⁴

ZI <Pv W <Pv (I)

*w"(x)çv( a

e?⁴

со

/.

Die Entwicklung der dritten Ableitung des Kerns nach seinen Eigenfunktionen.

Durch dreimalige Differentiation des Kerns Kx (x, £) nach x in der auf S. 34 angegebenen Form erhalten wir

K'" (x, £) (1 -j- cos z Cos z) x<£

= — ©of Z COS Z (1 -j- X — I) — cos z ©of z (1 —{— X — £)

— @in z (1 — x — I) sin z

-f- sin z (1 — x — I) Sin z -{- Sin z (1 — x) sin z (1 — £)

—    sin z (1 — x) Sin z (1 — I) — ©of z (1 — £) cos z (1 — x)

-j- cos z (1 — £) ■ Sin z (1 — x) -f- Siitzx-sinz£— sinzx Sinz£—©ofz£ coszx — cosz£©ofzx

—    cosz(x — I) — ©ofz(x — I);

K'" (X, I) (1 -f- COS z ©of z)

x>£

= ©of Z COS Z (1 -f- X — I) -f cos z ©of z (1 -{- X — I)

—    Sin z (1 — x — £) sin z -j- sin z (1 — x — £) Sin z

—    ©of z (1 — £) cos z (1 — x) + cos z (1 — £) Sin z (1 — x)

Sin z (1 — x) sin z (1 — I) — sin z (1 — x) Sin z (1 — £)

—    ©of z £ cos z x — cos z £ ©of z x -f- ©in z x sin z £ — sin z x Sin z £ -j-cosz(x — £) + ©ofz(x — I).

Durch dreimalige Differentiation der Gleichung (27) erhalten wir

^ СКЛ(х,

u ij z — /1

Qn

a*-XT    ■

v — l Qv Г¹

Wir betrachten wieder den Fall x<£.

Die unter dem Konturintegral auftretenden Integranden sind sämtlich von der Form

e(a + ib)z    _ dz

cos z ©of z —j— 1 z — [x ^Zz — /л'

wo a und b den auf S. 34 für diese Konstanten Bedingungen unterworfen sind; es ist unmittelbar ersichtlich, daß wenn der Fall x = £ ausgeschlossen wird, die Konstanten a und b niemals

39

gleichzeitig absolut genommen gleich 1 werden. Wir betrachten das Integral wiederum nur auf einem Viertel der Kontur Qn, und zwar zunächst auf der Strecke £ = n л:, 0 <;??<; n л ; diese teilen wir nun in zwei Teilstrecken.

Es sei к (n) eine Funktion des Index n, die folgende beiden Eigenschaften hat; es sei

1. lim к (n) = oo

n = 00

2. lim

k(n)

n =00 n

0,

also etwa к (n) = log n.

Dann grenzen wir auf der Quadratseite £ = пл hie Teile 0<;??<;k(n) und к(п)<;^<;пл ab. Auf der Strecke к(п)^^<пл ist

|F(z)| =

e— (1 — a)z e(l + b)zi

1 _j_ e2zi -f e2z(i-1) + e~2z + 4ez(i“

*)

e—(1—а)пя . e— (l + b)k(n)

wo g eine von Null verschiedene Konstante bedeutet, also

z — nn-\-inn    rj = i

|F(z)|

I d?y I

z —njr-)-ik(n)

rj—к (п)

<:

g— (1 — а)пп _ g— (l-t-b)k(n)

п л — к(п)

П Л-[Л ’

der limes des Integrals ist Null, wenn 1 — a und 1 b nicht gleichzeitig Null sind.

Auf der Strecke 0 <; rj <; к (n) ist

— (1— а)пл

s)

und

z = n7r+ik(n)

JF(Z) ź

Z — ПЛ

dz е-(1-а)пя

- <-

— И' ~ g

к (n)

h vgl. S. 35. ²) vgl. S. 35.

40

der limes des Integrals ist also Null, auch wenn a — 1 ist. Somit verschwindet das Integral

z = n7T-(-njii

/f(z)-^-

f]    Z-/Л

für n — go für alle Werte a, b zwischen —1 und -{-1 mit Ausnahme des Wertepaares a — 1, b = — 1.

Auf der Strecke )| = пл, 0 <; £ <; n л: teilen wir die Strecken 0 C <; k(n), k(n) <: С A n n ab und erhalten für die zweite Strecke

z = k(n) + n;rci

/F(z»zdZ

e— (1 — a)k(n) . e —(1 + Ь)пя

n n — к (n)

П 71

z = njr + njri

für die erste

z = k(n)-fn?ri

/F<z>^ -

e_₍l + b)n7r k(n)

П 71

d. h.

z = njri

lim

f F(z) -A^- = 0

e/    Z — ju

z = njr + njri

für alle Werte a, b zwischen — 1 und -f- 1 mit Ausnahme des Paares a = 1, b — — 1.

b= 1 b = —1 b = —1

Ähnlich gestaltet sich die Untersuchung für die drei übrigen Viertel der Kontur, und es ergibt sich, daß für alle Werte a, b mit Ausnahme der Wertepaare a —

a — — 1 a =

a = — 1

die Gleichung

lim fF(z)-^- = 0

n =    Z {A

Qn

gilt. Ersetzt man in dem Ausdruck für K'" (x, £) die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen durch die Exponential-41 großen, so erkennt man auf Grund der soeben hergeleiteten Kesultate, daß wenn x ф !

dz = 0

lim fEiZihll

¹

(e„ ^x) I (e„ j/ g)

²

   S' (— у X,) S (— у f L) E (v)

³

Lord Rayleigh Theorie des Schalls.

n = ooC/ Z [Л

Qn

ist. Im Falle x = £ erhalten wir : К/'ф-ОффК/'ф+Оф

kf

Qn

Z-jU

dz = K₁'"(f-0,D+K₁w(f+0,«)

-²2

Es ist

Qn

K^~-<U) + K/"(£ + (U)dz

Z-[X

²/

©ittzsinz (1 — 2£) — sinz@tttz (1 — 2£)

ü. z

Qn

(z — /л) (cosz (£ofz ф 1)

cosz|- (Sofz!

Qn

(z — [x) (cosz (£of z ф 1)

dz.

Ersetzt man in den beiden rechts stehenden Integralen die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen durch die Ex-ponentialgrößen, so treten unter den Integralen Exponential-größen von der Form

e[±l±i(l-2!)]z

e[±!±ü]

[ii±(l-2J)]z e >

auf, deren Exponentialfaktoren a, b also, wenn die Werte £ = 0 und ! = 1 ausgeschlossen werden, den auf S. 40 aufgestellten, für das Bestehen der Gleichung

lim /f(z) — -

n = ooj^    Z /Л

Qn

notwendigen Bedingungen genügen.

Wir erhalten somit die Entwicklungen

,    ® <Рг'"(х) ÇV(£)

₀<~*

хф{'    iti S* ß

42

К,"'!# —0,a + KT(f+ 0,й __ ÿ,?>"'(*)-РуЮ

jŁa QvA

v — l

Daraus ergeben sich, wenn man ju = 0 setzt, die Entwicklungen

“ <p/f,(x) ç>„(D

0y⁴

К"’(х,й=2

Kw(g —0, I) -f K/^ + O, g) _    Pv'"® <Pv№

V—l

Qv*

IV. Kapitel.

Entwicklung willkürlicher Funktionen bei einem thermomechanischen Problem.

Wir behandeln im folgenden Kapitel ein von Duhamel stammendes thermomechanisches Problem, das zu einer Integralgleichung mit unsymmetrischem Kern führt. Duhamel untersucht in einer Abhandlung in Bd. 14 des Journal de l’école polytechnique die Wärmebewegung in einer Kugel mit Berücksichtigung der zwischen den Molekülen wirkenden elastischen Kräfte.

Es werde im folgenden zunächst kurz erläutert, wie Duhamel zu den Differentialgleichungen eines allgemeinen thermomechanischen Problems gelangt.

Mit a, b, c bezeichnen wir die Koordinaten eines unendlich kleinen Parallelepipeds von den Kantenlängen da, db, de innerhalb eines festen Körpers. Ist ferner к die innere Leitfähigkeit, cv die spezifische Wärme bei konstantem Volumen, Л die Dichte des Körpers, so ist bei Wärmebewegung der Zuwachs der Temperatur v in der Zeit dt

dt.

к /ô²v ô²v . ô²v'

A ■ cv lôa² ' ôb² ‘ ôc²,

Durch die aus der Temperaturänderung hervorgehenden Volumenänderung des Körpers ändern die Moleküle ihre Lage; ihre ver-43

änderlichen Koordinaten seien a-j-x, b —J— y, c-[-z; es sei ferner Cp die spezifische Wärme bei konstantem Druck, ô die Ausdehnung der Längeneinheit bei Erwärmung von 0° auf 100°, (У die Ausdehnung der Einheitsstrecke bei der Wirkung der Einheitsspannung auf jeden Punkt der Oberfläche, IA der Zuwachs

öx . öy öz

ist. Läßt man nun

da ' öb ¹ dz

der Dichte, wobei Я =—

den Körper sich abkühlen, bis die Dichte um eA zugenommen hat, die Volumeneinheit 1 — e geworden ist, so ist die der

C * £

Volumeneinheit dabei entzogene Wärmemenge Qps ; ist 0 der

о d

Temperaturzuwachs bei der Dichtigkeitszunahme eA, so muß

cv

Cp • E

3d

⁽'p

-Ł-lł

äö~£o1^-

Betrachtet man immer dasselbe Molekül, so ist Я eine Funktion von t allein, und zwar ist

sein, woraus 0

cv

d/ = —

ö²x

ö²y

ö²z

dt .

,ôaôt‘ôbôt‘ôcôt>

Setzt man diesen Wert für e ein, so erhält man für den Temperaturzuwachs 0 den Wert

6-¹)

0²X

3d

Hr

ö²y

ö²z

dt,

ôaôt ¹ ôbôt ¹ ôcôt und die Differentialgleichung der Wärmeleitung erhält die Form

(r-¹)

0²X

d²y

0²Z

dv_ K /ô²v ô²v ö²v' dt cv-zl\ôa² ôb² ôc²

Nun sind die x, y, z nicht Funktionen von a, b, c, t allein, sondern hängen selbst wiederum von v ab. Die Art der Abhängigkeit ist von Duhamel in einer früheren Abhandlung (Mém. prés, à l’Acad. de Paris T.V p. 440) untersucht worden. Sind X, Y, Z die Komponenten der zwischen den Molekülen

Зд

ôaôt ôbôt ôcôt

)•

44

(!пМ=³

bb'A

wirkenden elastischen Kräfte, X', Y', Z' die Komponenten der auf die Oberfläche wirkenden Druckkräfte, m, 1, n die Winkel zwischen den nach außen gerichteten Normalen und den Koordinatenachsen, so gelten folgende Differentialgleichungen ö²x . ö²x , d²x

ôa² ‘ ôb2n^ ô c²

bd'A

d²y

ô²y

dt²

d a²

f3

ö²y

ôaôb ô²x . ô²z ôb² ‘ ôc²

f2

d²z

ÔY

bb-~

ôa

ô²x

Ô²Z

ôaôb

ôb ô c

5ô-

O/; O/

(31)

bô’A

d²z

dt²

ô²z ô²z ôa² ' ôb²

ô²x

ô c²

f2

ô²x

ôa ô c

ô²y

ôb ô c

ÔY

*) Setzt man in den Gleichungen (31) -— = О

О &

ôv

ôb

= О , setzt man

also konstante Temperatur voraus, so erkennt man, daß sie auf einer besonderen, die Konstanten /л, und I der modernen Theorie betreffenden Voraussetzung beruhen, die nicht mehr zugelassen wird. Setzt man nämlich in den allgemeinen Differentialgleichungen für die Bewegung eines isotropen elastischen Körpers

d²z

.d t²

z) = /i

ô² z

ô² z

ô b² ^ ô c²

ö²x

ö²y

Ô² z

ôaôc'ôbôc'ôc².

d²x

dt²

X =/*

0²X

.öä²

Ö²X

ôb²

0²X

ô c²

ô²x

.ôa²

ô²y , ô²z ôaôb'ôaôc.

d-y

ôa² ^öb² ‘ ôc²

~h ('Ч⁻ И)

ô²x

ô²y

ô²z

.ôaôb ¹ ôb2 1 ôbôc

(vgl. Riemann-Weber Bd. 2 S. 168) /л = Я,* so gehen sie über in die folgenden

cosm

cos n — 5 ô v cos n .

45

und für die Punkte der Oberfläche

бй'Х'=(³Й+0-Ь + Й)со81 + (й + 0-а)

⁺ (^ + Й)

⁵⁰'Y'⁼(5ï + ôb)cosl + (s + 3îl + ^)cosm

+ (Н⁺5б)

cosm

cos n — 5 ô у cos 1

cos n — 5 <3 у cos m

+ (^+5b + ³jl)

Diese Differentialgleichungen, in Verbindung mit der oben abgeleiteten Wärmeleitungsgleichung, mit den für die Randpunkte gestellten thermischen Bedingungen und dem gegebenen Anfangszustand, bestimmen die x, y, z, v als Funktionen von a, b, c, t.

Findet in einem Körper Abkühlung statt, so führen die einzelnen Moleküle Schwingungen um Gleichgewichtslagen aus, die jedoch in Anbetracht der kurzen Dauer gegenüber der langsam fortschreitenden Abkühlung vernachlässigt werden können, so daß man eine stete Aufeinanderfolge von Gleichgewichtszuständen annehmen kann. Bei dieser Annahme werden die linken Seiten der Gleichungen (31) Null.

Duhamel behandelt nun die Abkühlung einer Kugel unter der Annahme, daß keine Druckkräfte von außen auf sie einwirken. Die Anfangstemperatur ist gegeben als Funktion der

d/d²X /x \dt2 Al d²y jn \dt²

)_ 3^4

l~ ³da'²^

0²X . 0²X

ôb² ' öc²

ö²y

0²Z

ö²y

ô a²

öay , ô² У

ôb2_t“ô c²

ôa ôb

ôaôc

Ô²X

Ô²Z

ô aô b

ôaôc

[x \dt2 Z/

ô²z

ô²z

ô²z ôc²

d. h. sie gehen über in die Gleichungen (31) für den Fall konstanter Temperatur.

ôa² + ôb²

0²X

ö²y

ôaôc

ôb ô c

46

Entfernung vom Mittelpunkte, r ; im Mittelpunkte herrscht ständig die Temperatur 0, die Oberfläche strahlt Wärme aus.

Setzt man x = a ç>, y — b 99, so bedeutet cp г den Zuwachs des Radius r, und die Wärmeleitungsgleichung sowie die Gleichungen (31) gehen über in die folgenden

ôv_ K /d² v a) ôt    /1 • cv Id r²

d² cp

b)

dr²

Cvl u

Ê-¹)

M +

dr/ ‘

dcp 5d dV_

dr 3r dr

3d

(32)

Hierzu treten die Gleichungen, welche die thermischen und mechanischen Grenzbedingungen ausdrücken

Г = 1

dv

dr+hV

= 04

d cp

Ö99-|-3r^y — 5<5v = 0 .

Der Ausdruck

<P

5d

3r³

/Vr'!dr+v/

о    0

vr²dr

genügt, welches auch die Funktion v sein möge, den Differentialgleichungen (32).

Setzt man diesen Wert in (32a) ein und setzt v-r = V

* 12 (Cp cv) a ’ (4cv + 5cp)

so erhält man für У die Integrodifferentialgleichung

1

b‘rfritdr-

0

9k

(4 cv + 5 Cp) Л

= b²

dV

-r- = a²

d²V

dV

dt

dr²

Diese Gleichung ist zu lösen für die Randbedingungen

Г — 1

r =1

dV

=°’dï+hv

Für t = 0 ist V = f (r).

ł) Der Radins der Kugel ist = 1 gesetzt.

47

Es entsteht die Aufgabe, f (r) in eine nach den Lösungen einer Integrodifferentialgleichung fortschreitende Reihe zu entwickeln; diese ist von Liou ville¹) behandelt worden. Die Möglichkeit der Entwicklung beruht auf einer besonderen Eigenschaft der Lösungen, die darin besteht, daß alle zu den Lösungen einer anderen Differentialgleichung orthogonal sind. Im folgenden soll dieser Nachweis mit Hilfe der Theorie der Integralgleichungen geführt werden.

A. Das Biorthogonalsystem.

Wir schreiben für r jetzt x; wird

У = e~a2£2t • u (x)

gesetzt, so ergibt sich für den Raumfaktor u (x) die Differentialgleichung

u" -j- Q

² |u -j- b'² xf x u d xj = 0.

(34)

Die Randbedingungen, denen u zu genügen hat, sind u|x = °=0, u' -j- hu jx = 1 = 0.

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (34) hat die Form

i

u = A sin g x -f- В cos g x — b² x fx u d x.

Setzt man

a (ß)

3 b² sin Q-Q COS Q

3-f-b²

q’

(34 a)

so ist

(34b)

_sin q x — a (g) x

eine der ersten Randbedingung genügende Lösung, und die zweite Randbedingung liefert die Gleichung

h sin g a (@) (h -f-1)_q

Q    Q

ft) (@) = cos g -f

deren Wurzeln die Eigenwerte darstellen; wir bezeichnen sie mit qv (V — 1, 2, 3...). Liouville hat bewiesen, daß sie sämtlich

г) Journal Liouville Bd. 2.

48

reell und voneinander verschieden sind.¹) Für großes v haben sie die Form

Qv

= (2v+i)f+h;

be-

wo Bv eine Funktion des Index v bezeichnet, deren absoluter Wert niemals einen von v unabhängigen bestimmten Maximalwert überschreitet, so daß, sobald v eine gewisse Grenze überschritten hat, die Wurzeln qv von den Stellen (2v + l)-^-

liebig wenig verschieden sind. Neben der Gleichung (34) betrachten wir die Differentialgleichung

(35)

v" + e²v = 0, deren Lösungen den Randbedingungen

у i X = о _ о } v' (1) + h v (1) —

3 b² (1 —h) } 3+b² i

Jxvdx = 0

genügen.

Die der ersten Randbedingung genügende Lösung von (35)

ist v

= A sin о X, oder wenn wir wiederum А = — setzen,

6

(59 a)

__sin q X

Dann folgt

fxvdx

v' (1) + h v (1)

3 h² (1 + h) J 3 + b² i

— vf (1) + h v (1)

3 b² (1 + h)

e² (3+b²)

(v'(l)-v(l))

(35 b)

rH I Q/

3 b² (1 + h) £>² (3 + b²)

h sin g a (ß) (1 + h)

q cos q + h sin Q

(sing» — £>cosę>)

= cos q

Die Eigenwerte der Differentialgleichung (35) sind also ebenfalls die Größen gv.

Es sei nun u^ die zum Eigenwert q — gehörende Lösung von (34), v„ die zum Eigenwert q — qv gehörende Lösung von (35), also

x) a. a. 0. S. 445 ff.

49

iM²^iM + b²x^xuiWdxj = 0

ufi + Q

V' + e/Vv = 0;

dann ergibt sich durch Multiplikation der ersten Gleichung mit vv, der zweiten mit uM nach Subtraktion und Integration von 0 bis 1

i

— Qv²)/^vvdx о

V~ ^ VvT + (^!

1 1

+ Vb2/X v„dxfx u^dx 0 6

oder, da v„ — v/ u^ |¹ = — u^ (1) (у/ -f h v„) |1 (34 b) und (35 a) die Gleichungen 3 u (1) (1 + h) P>

17ÏW’

und nach

Jxu^dx

о

V[v/(1) — Yv(l)]

gelten,

i

(Q,u²

-^)/u,{v,dx

0

= V¹) У у (1) + h v„ (1)

3 b² (1 + h)

Qv² (3 + b²)

[V(l) — vr (!))

^ (î?y) •

Es ist demnach, wenn q    d. h. fx ф v ist,

/Vvv dx =0.

Die Funktionen /и und у bilden ein Biorthogonalsystem. Ist ju = v, so ist

V¹)

(35 c)

1

f u^V/*dx = — 0

B. Überführung der Differentialgleichungen (34) und (35) in Integralgleichungen.

Um die Differentialgleichung (34) in eine Integralgleichung überzuführen, stellen wir ihr die Differentialgleichung

50

ô² G (х, £)___

ôx²

gegenüber. Die Funktion G (x, £) genüge den Randbedingungen

G (x,£) |x = °= О

-|_hG|x = 1 = 0

außerdem sei die Ableitung an der Stelle x == £ unstetig derart, daß

ÔG x = ^-°

ÔX x = £+0

Multiplizieren wir die Gleichung (34) mit G, Gleichung (36) mit u, subtrahieren und integrieren von 0 bis 1, so erhalten wir

ô G\ 1 U ôx) о

= 1 ist.

Gu' —

-U(l) =

—    g²/G (x, £) u (x) d

о

i    i

—    g² b ²f x G dxjxu dx

о    0

oder, da

ô G\ x U ôx)

u(£) =

i

g²Ju (x) о

G (x, I) -f- b² xfa G (a, £) d a о

d x.

Wir setzen

i

/a G (a, £) da = Ф(£), и

G(x, £) + b²x Ф(£) = К(х, I); dann erhalten wir die Integralgleichung

i

M£) =

g²JK (x, I) u (x) d x. о

Während G(x, |) in x und £ symmetrisch ist, ist der Kern K(x, £) selbst unsymmetrisch; er genügt folgenden Randbedingungen :

X = 1

K(0,D = 0

ÔK

ôx+hK

= Ь²(1 + 11)Ф(£).

51

Als Funktion von £ genügt К (x, £) der Differentialgleichung

d² Ф

ö²K

ô £²

b²x

d£²

b²x£

und den Eandbedingungen

OK

K(x, 0) = 0

ÔK

0/1 О

-f-hK

£=i

= 0.

(35 d)

Sowohl T— als auch —- werden an der Stelle x = £ in derselben

öx

d£

Weise unstetig wie ~ und Es ist

G(x,£) =

x<£

(‘-r¥ł

£ (3 —f- h) — £¹ ( 1 —h)

£ -f- b² 3 x

6(l + h)

Um ferner die Differentialgleichung (35) in eine Integralgleichung überzuführen, verbinden wir sie mit der Differentialgleichung

d²K

¹ fr

b²x£.

Multiplizieren wir diese mit v(£), die Differentialgleichung v"(£) + e²v(£) = 0

mit K(x, £), subtrahieren und integrieren nach £ von 0 bis 1 so erhalten wir

dv

K^A —

ÔK1¹

d|

v+„

-V X)

52

+ Q*fv (É) K (x+) d £ — b² хД v (£) d | = 0 ;

K dv_ ÔK

d£

— b²x

1

j£-v(£)d£ 0

b²x

xvdx.

= K(x, 1)

3 b²(l —{— h)

3 + b²

Da nun die Gleichung

3 + b²

3 (1 —j— h²)

К (x, 1) = G (x, 1) + b²x Ф (1) = X •

gilt, so ist

K(x, 1) folglich

3 b² (1 —|—Ii²)

3 + b²

b²x==x

3 + b² 3 b² (1 —j— h) 3 (1 + h) 3 + b²

b²x = 0

dv

— b²x I £-v(£)d£ —0

dKl¹

К ——-V — d £ d£

L    Jo

und es ergibt sich die Integralgleichung

V(X) =

C. Quellenmäßige Darstellung von Funktionen.

Da der Kern K (x, £) unsymmetrisch ist, erhalten wir zwei verschiedene Arten der quellenmäßigen Darstellung nach der Bezeichnung von Kneser.¹) a) Ist

F(£) =fK (x, £) f (x) d x,

и

so genügt F nach (35 d) den Kandbedingungen F(0) = 0, F'(l) + hF(l) = 0

*) Integralgleichungen §§ 2, 20.

53

und der Differentialgleichung d²F

dl

f(f) —

i

b²| J x-f (x) dx. о

Ist f(x) stückweise stetig, so ist die Funktion F(|) mit ihrer ersten Ableitung stetig, während die zweite Ableitung stückweise stetig ist, und genügt denselben Eandbedingungen wie K (x, I) in bezug auf |. b) Ist

F (x) =

so genügt F nach (35 b) den Eandbedingungen

F (0)

i

= 0, F'(l) + hF(l) = b³(l + h)/<S(0f(0df

0

und der Differentialgleichung

d²F

dx²

f(x).

Trifft die oben über f (x) gemachte Voraussetzung zu, so ist die Funktion F(x) mit ihrer ersten Ableitung stetig, während die zweite stückweise stetig ist.

Umgekehrt ist jede Funktion mit stetiger erster Ableitung und stückweise stetiger zweiter Ableitung, welche den Eandbedingungen a) oder b) genügt, quellenmäßig darstellbar.

a) Die Funktion F sei mit ihrer ersten Ableitung stetig und genüge den Eandbedingungen

F(0) = 0, F'(l)-fhF(l) = 0 dann definieren wir f(x) durch die Gleichung

F" (x) =

i

— f (x) — b² x/x f (x) d x ; и

(37 a)

multipliziert man (37 a) mit x und integriert von 0 bis 1 nach x,

i

so erhält man /x f (x) d x о

зТБ^ти + Ь)

es ist also

f (x) = — F" (x) —

3 b²

3-f-b²

(l+ifi-x-Fa).¹)

(37 b)

54

öx²

Der Gleichung (37 a) stellen wir die Differentialgleichung ö²K(x,£)^Q

gegenüber.

Multiplizieren wir diese mit F (x), Gleichung (37 a) mit К (x, £), subtrahieren und integrieren von 0 bis 1 nach x, so ergibt sich

KF' —F

ÔK

dx

-FG)

■jK (x, f)f (x)dx о

— b²

i    i

¹J x K (x, I) d x f (x) d x. о    о

Weiter ist

i

J*x K (x, I) d x

о

= ф(а +

folglich

b²/x K (x, i) d xfx f (x) d x = b² (1 + h) F (1) Ф (£). о    о

Es ist aber nach (35b)

KF'-F

=— b² (1 —j— h) F (1) Ф(£)

also

OK

KF' — F^

dx

und

i    i

-j- b²/x K (x, I) dx fx f (x) d x = 0 о    о

i

F G) =/К (x, £) f (x) d x.

о

b) F genüge den Eandbedingungen

F(0)

i

= 0, F'(l) + h F(l) = b²(l + Ь)/ФШ • f (fl df.

0

(38)

(38 a)

= — f (D •

Dann bestimmen wir die Funktion f aus der Gleichung d²F

di²

55

Aus dieser und der Differentialgleichung des Kerns

d²K

di²

b²x|

ergibt sich wie im Falle a) dFD⁼¹

ÔK

ô|

+ F (X) = /К (X, I) f (I) d I — b² xfi ■ F (i) d |. (38 b)

Da nun nach (35 b)

ÔK

d|

hK

£=i

so ist nach (38)

fF»i

-K(x, 1) b*(l + h)/fP(flf(fldf.

0

Aus Gleichung (38) aber und dem oben für Ф(|) gegebenen Ausdrucke sowie der Gleichung (38a) folgt:

/Ф (f) f (£) df = —/Ф (fl F" (fl а £

= F (1) Ф (1) — F' (1) Ф (1) + f£ ■ F (fl a £

0

= — Ф (1) • b² (1 + Ь)}ф (fl i(£)i£+f£F(£)i£

ff.F(aaf

1+ьа(1 + Ь)фЩ

~(1 + Ь«Ф(1)(1 + Ь)) ist,

so folgt nach (38 d)

—V (i + h) к ix, 1>Уф (a f (a a f =

о

Folglich ergibt die Gleichung (38 c)

dFl^¹

dl

KA-r

dl

(38 c)

und hieraus

i

/ф(£)Ц£)й£

0

Da nun K(x, 1)

— b²x

Л-Ftaaf.

О/

1=1

+ bax JfF<aaf=o

0

56

und nach Gleichung (38)

F(x) = fK(x,0f(|)df.

D. Ein allgemeinerer Kern Кг (x, £) und seine Entwicklung nach den Eigenfunktionen.

Als Differentialgleichung des Kerns Kx (x, £) setzen wir an

öx²

f z°K₁(x,£) = 0.

(39)

Wir setzen gleichzeitig als erste Randbedingung an

K, (0. i) = 0

ô К

und bestimmen, daß an der Stelle x = £ in der Weise unstetig ist, daß

K, *=f-°

ÔX x = £-|-0

ist, während wir uns die Festlegung der zweiten Randbedingung noch Vorbehalten.

Aus den Gleichungen

u" -j- @²|u -j- b²xjxu dxj = 0

d*K

ô X²

f z²K1 = 0

folgt

л TZ

Aus der Forderung

oder

-11(1)

oKj

öx

fhK,

0.

57

ergibt sich die Randbedingung, der Kx (x, £) an der Stelle x = 1 genügen muß. Aus der Differentialgleichung

² |u + b² x f xu dxj = 0

u" + <?

ergibt sich durch Multiplikation mit x und Integration von 0 bis 1

f xu dx 0

3u(l) (1 + h)

<?²(3 + b²)

und ebenso ergibt sich aus Gleichung (39)

i

/+KX dx = о

Kj (1,1)

dKx x

=i

öx

Setzen wir noch

3b² (1+h)

z² (3 + b²)

= D.

(40 a)

so geht Gleichung (40) über in ÖKX x

=i

öx

(l + D) + Kx(l+)(h-D) = -D +

(41)

Um die expliziten Ausdrücke für den Kern Kx (x, £) herzustellen, setzen wir ihn zunächst mit den unbestimmten Koeffizienten bx, a₂, b.₂ an in der Form

Kx (x, I) = bx sinzx

X<£

Kj (x, £) = a₂ cos z x + b₂ sin z x.

x>£

Die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten ergeben sich aus der Forderung der Stetigkeit von Kx(x, £) an der Stelle x = i, der Unstetigkeit der Ableitung nach x an der Stelle x = £ und der zweiten Randbedingung. Sie lauten bx sin z £ — a₂ cos z £ — b₂ sin z £ = 0

bx cos z £ + a₂ sin z £ — b₂ cos z £ = ^

(— a₂ z sin z+b₂ z cos z) (1 + D) + (a₂ cos z + b₂ sin z) (h—D) =—D f. Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich

sinzf -, bx

7    '    ¹

— b₂

cosz|

aus der dritten folgt

58

a₂ [h cos z — z sin z — D (z sin z -|- cos z)]

-j- b₂ [z cos z -f- h sin z -j- D (z cos z — sin z)] = — D £ oder, da z cos z -f- h sin z -f- D (z cos z — sin z) = z co (z) ist,

S*n Z ^ [li cos z — z sin z — D (z sin z -f- cos z)] -f- z b₂ • co (z) = — D £,

woraus sich

b₂

_ sin z £ [D (z sin z -f- cos z) — h cos z -j- z sin z] — z D • £

Z² - (W (z)

_ cos z I • z • co (z) -f- sin z £ [D (z sin z -f- cos z)] -j- (z sin z — h cos z) sin z £ — z D £

z² • co (z)

und

z²-co(z)K₁(x, £)

x<£

= {cos z£-zco (z) -j- sin z£ [D (z sin z -J- cos z) -j- z sin z — h cos z] — z D £} sinzx,

z² ■ co (z) Kx (x, £) = sin z£ • z co (z) cos z x x>£

-f- {sin z£ [D (z sin z -j- cos z) -f- sin z — h cos z] — z D £} sin z x

ergibt. Kx (x, £) zerfällt in einen symmetrischen und einen unsymmetrischen Summanden.

Setzt man {z-cosz(l— £)-f-hsinz(l—£)-j-D[z cosz(l —£)—sinz (1 — £)]} sinzx

z²co (z)

Qt(x,£) = *>£

{z cos (1—x) -f- h sin z (1—x) -j- D [z cos z ( 1—x) — sin z (1—x)]} sin z £

z²- co(z)

so ist

K₁(x,|) = G₁(x,|)

x<£    x<£

D • £ • sin z x

Z • CO (z)

K₁(x,£) = G₁fr,£) *>£

D • £ • sin z x

X>|

Z ■ CO (z)

Die in x und £ symmetrische Funktion Gx (x, £) genügt den Randbedingungen

+ (h-D)G₁(l,a = 0.

Wir bezeichnen nun mit Kn einen Kreis, der die ersten 2 n Wurzeln + qv der Gleichung œ (g) = 0 umschließt ; der Radius

59

von Kn kann, sobald n eine gewisse Grenze überschritten hat, gleich (n -f-1) л gewählt werden ; in diesem Falle schneidet Kn die reelle Achse zwischen Qa und ßn+i; dann bilden wir

dz.

J_ №(x, g)

—f*

2niJ z

Res

² =QV

Es ist

K^x, £) _ sin    [D(ev) (qv sin    cos q v)+qv sin qv—h cos    —gv D(e„) £ • sine„x

Z-fl

oder, da

D (g„) (sinqv — qvc,osqv) = (1 + h) a (g„) = qvcosqv-f- hsinqv)

9у*а>'(ву) {Qv — P)

Ki(x,l)

Res

Z^9vz — fi

sin^rf-^r(l-f-h) — ß,,(l-|-h)£-a(ßv)

Qv*Co' {qv){qv— fl)(siHQv QvCOSQv)

•sin^y X

(1+h) [sin^v|—a(e„)£]-sine„x

Qv*co' (qv)(qv —fl) (sinQv — ç „ cos ß „)

Nun ist

smQv-QvcosQv = Qv-VL{l) (1 + h)

folglich

Res

Z~'X

sin qvÇ — ci(qv)Ç

qv*™’ (er)u(i)(ev—fi)

• sin^yX.

Ebenso ergibt sich

Res

smev£— a(e„)£

Qv*™' (Qv^{ 1) (e„ + /*)

• sin^x

und

Res

z = + ć>r z

— 4- Res

И'    Z —— Qv ^

Ki(x,£)

u(l) cd' (Qv)

oder, nach (35 a) und (35 c)

²Qv

(tQv² —+)

= U,(f)-Vv(x)-

Hieraus folgt weiter

Laudien.

(or² — fi²) f uvvr dx 0

60

J_ fW!

2niJ z — /л

d z = Kj (x, i)

-2-

U„ (I) • Vv (X)

. (42)

(öv

—/г²) ГиуУу d о

Das

Integral

dz zerlegen wir nach (41a) in die

Kn

beiden Summanden

dz und

D • I • sin z x

z co (z) (z — ^u)

dz.

Setzen wir

3b²

3-j- b²

(l + h) = C

so ist

z² co (z) = z² • cos z -f- h z sin z — C (sin z — z cos z)

= e“||(z + C) + i(C-hz)

gl(z) = |(z + C)+i^ — hj,

gs(z) = t(z + C)-i^-h);

ezi(i-^) (z — iii) — e_zi(1_^(z-(-hi)

Wir setzen ferner

dann ist

z cos z (1 — I) 4- b sin z (1 — I)

z²-co (z)

I 0-Zl

tOI N

(z —J— C) — g (C li z) .

z [ezi-gx(z) — e_zig₂(z)J

und

z cos z (1 — g) -f- hsinz(l — g

z²-co (z)

• sinzx

ezi(l + x-^)(z_ hi)

e-zi(i-x-^(Z + hi)

— 2 z i [ezig₁ (z) — e~zi g₂ (z)]_ 2 z i [ezi gŁ (z) — e~zi g₂ (z)]

e-zi(i+x-^)(Z —hi)

2zi[ezig₁(z) — e-zig₂ (z)]    2 z i [ezi gŁ (z) — e~z 1 g₂ (z)]

ezi(l—X —£)(z — hi)

ezi

oder, wenn man Zähler und Nenner mit multipliziert und

61

2 z i = C setzt,

z ■ cos z (1 — £) — h sin z (1 — I)

z [ezi gi (z) — e~zi g₂ (z)]

sinzx

A'-¥ï

(C —f— 2 h)

r x + £

e ² (£—2h)

Ç

e -gi

2i

2i

Si

Ml

to

+ -¹- — ^2i , f

Ч¹

² (Ç + 2h)

T gl\2i/ ga\2i

f.lzî

e ² (C — 2 h)

2i

6 gl\2i gM2i

Cegl2i g‘²

«TV

Da nun

lim

£ + 2h

c=

I I-

lim

f—2h

⁰⁰ \n

f=

2, lim

ga \2i

°° gl \2i

ist, hat jeder der vier obenstehenden Summanden die Form

/cR(î>

eC-S(f)

wo ß, R(£), S(£) den in Gleichung (15) für ß, R, S aufgestellten Bedingungen genügen; es ist also

z • cos z (1 — I) + h sin z (1 — I)

lim f

П = 00 С/

Z² • ft) (z)

sinzx -

dz

Z-fl

0.

Man hat in diesem Integral nur h = — 1 zu setzen und im Nenner den Faktor z² hinzuzufügen, um das Integral z cos z (1 — £) — sin z (1 — I)

3 + b²

3b²(l+h)

Z² • ft) (z)

sinzx

dz

Z-fl

zu erhalten; dieselben Rechnungen wie oben führen somit zu dem Resultat, daß auch dieses Integral gegen 0 konvergiert. Erinnert man nun des in den Gleichungen (41a) vorkommenden Ausdrucks GL(x,£), so folgt

lim

Qj (x> £)

n = oo

z — fl

dz = 0.

Ersetzt man ferner m dem Integral

sinzx

D -£-sinzx

za) (z)

G(J

dz

ü z²-w(z) z(z — fx)

sin z X durch die Exponentialgrößen, so erhält man wiederum auf Grund der Gleichung (15)

D • £ • sin z X    dz

lim f

n = 00 d

ZOO (z)

Z-fX

und mithin

lim fL^Ü

11 = 00 Z Kn

Es folgt demnach aus Gleichung (42)

— ix

dz = 0.

QO

="= У

u„(£)vy(x)

(42 a)

”⁼¹ (еИ—^)/u-'v*dx 0

Hierin setzen wir fx = 0, und gehen von folgenden Gleichungen

aus:

К (x £)|z=iM_cog/j£    i sin/4-sin[X£• sin/zx

И'

I%⁴ а; (/г)

C sin /л x (sin /X£ cos // — ^ £)

/i⁴ 00 {ju)

sin sin /«x-sin /x £

fxoo(fx)

h cos sin ^ x sin ^ £

/г² O) (yU)

«мг°=

Olb

cos u £---

/X

sin//x i“-°

= *,

C-/^-sin^-sinia£-sin/ax i“_0

C-x-£-b²

b²x£

sin/^cos/* — /*£ = (l — y +    ----

/r⁵ £³

3!

tOl^

63

(S+8

= — b²x

hieraus ergibt sich C-sin/zx(sin + cos/*—/и£) ^l~°

[Л* • CD (ju)

sinfx• sinjuÇ-sinfl~°

juod(ju)

h cos /л sin /л X sin /л £ ‘u 0

fJL¹ CD {/Л)

h X £ b²    hx£(3-fb²)

3(l + h)

folglich

!+,£) ^=° = x-f-b²x£ —b²x (Ç + |)

= X fl

hx£(3-f-b²)

3(l + h)

h£

j -}-b²x

3£ + h£ — £³(1 +h)

6(1 + h)

= K(x,£). x<£

Dasselbe Resultat ergibt sich im Falle x>£, es ist also

Somit folgt aus Gleichung (42 a) die bilineare Entwicklung von K(x,£)

„ ÿ irO'T.M

K(x,fl =2j    1

v= ²Qv²furv„dx

0

die man auch aus der durchgeführten Argumentation leicht als gleichmäßig konvergent erkennt.

E. Darstellung willkürlicher Funktionen.

Wir erhalten zwei Arten von Reihenentwicklungen, je nachdem die willkürliche Funktion den Randbedingungen a) oder b) genügt. Erfüllt die willkürliche Funktion F(x) die Randbedingungen a), ist F also darstellbar in der Form

i

J‘K(x,f) f (x) dx 0

so erhalten wir, wenn wir für K(x, £) die bilineare Reihe setzen,

GO

F (x) = V—

v = lQv²

i

Jv„(x) f (X) dx

64

nun ist

folglich :

fF(a)vv(a) da = Гv„(a) dajK(x, a) f (x)dx b    ob

=Jf(x) dx^K(x,a) vv(a) da о    о

= -^ö/'v„(x)f(x)dx;

» u„(£) fF(a)vv(a) da b

i

J\,-vrdx

Erfüllt F(x) die Randbedingungen b), ist F also darstellbar in der Form

F(x) =

so erhalten wir

v„(x)

F(x)=2-f-

г=1 g/J u^dx 0

00

-Ьо

1 1 1 J F(a) u„(a) da —j*u„(a) da JK(a,|) f(£) d£

о    о    ⁰

= ff(fl df|K(a,ftu,,(a)da

folglich

FW=y

= -^/uv(f)f(adf;

Qv о

„ v,,txl/Fial u,,(«l da

i₄

/uvvvdx

Wir haben somit das folgende Resultat erhalten.

Jede den Randbedingungen a) oder b) genügende, mit ihrer ersten Ableitung stetige Funktion ist in eine nach den Funktionen Uv bezw. vv fortschreitende Reihe entwickelbar.

65

F. Entwicklung unstetiger Funktionen.

Um die Entwicklung von Funktionen, die mit ihrer ersten Ableitung nur stückweise stetig sind, nach den Funktionen u„

5

und vv herzustellen, ist die Entwicklung der Ableitungen

und

ÔK

nach den Funktionen uv, vv notwendig.

Wir stellen im folgenden die Entwicklung der Ableitung her. Zu diesem Zwecke differenzieren wir Gleichung (42)

nach X und erhalten

1    öK^x,!) dz ÖKX

2л\ ôx    z — ju    öx

öl

О/

ÔX

-2-v=l{Qv ~

u„(£)v/(x)

i

ju²)furvvdx

(43)

д Кг (x, I)_ô Gx (x, £) D • £ • cos z x

ôx

ôx

со (z)

ô Gx (x, £)_z cos (1 — i) -j- h sin z (1 — £)

ÔX

Z CO (z)

coszx

(43 a)

[z cos z (1 — £) — sin z (1 — £)] cos z x

z³ cos (z)

p e-(‘+*-f)(z_hi)

li J 2 [ezigL (z) — e—zig₂ (z)] z — ^

P e^-^tz-hi) li J 2 [ezig₁(z) — e~zig₂(z)] z —./л

Kn

P e~"(1+x-f)(z + hi)

⁺ J 2[ezig₁(z) — e~zig₂(z)]’

Dividiert man Zähler und Nenner der Integranden durch gL(z)e_zi und setzt 2zi = £, so erscheinen alle vier Integrale in der Form

''zcosz (1 —I) -j- hsinz (1—£)

zco(z)

cosz

dz

dz

e-,₁₍l-x-|)(    t__

J 2[ezigL(z) — e-zig₂(z)]'z —

n

dz

dz

Fea^R(0 d£ J ez — S(£) ' £ —

Kn

66

wo a, R, S den in Gleichung (13) für diese Größen aufgestellten Bedingungen genügen, so daß sich ergibt

ô Gx (x, i) dz

lim f

11 = 00 с/

öx

z-/Л

0.

Kn x ф £

Dasselbe gilt auf Grund der Gleichung (13) von dem Integral C|cosz dz

4 z² • со (z) (z /*) "

Es gilt also im Falle x ф £

lim Г

n = 00 V.

Kn

ô K, (x, I) dz

ÔX Z-

0.

Im Falle x = £ bezeichnen wir durch Kn' den Kreis, den die Größe £ beschreibt, wenn z den Kreis Kn durchläuft, und bilden nach (43 a) öKL *=£+°

dKL

dz

ÔX

z — JU

JeCgl[2iI g2l2i

d£

C — 2jui

Kn'

e^—g) (£-|-2h)

TV

C — 2jui

Kn

e*f(C + 2)

C

J eC,gl\2Tl~ g2l2l

TV

C\ C-2/zi

Kn

C е^-*>(£—2)

⁴lK(Jr)

>rv

î\ t — 2,Mi

к»

²/

CI sin z £ dz

■J z² со (z) z — и

Kn

67

Schalten wir die Werte 1 = 0, £ = 1 aus, so gilt wegen Gleichung (13)

lim

ÔK,

öKt

x=£+o

dz

öx

⁰⁰ TT ÔX

Kn i

Somit folgt aus Gleichung (43)

ô К (x, £)    u„(£)v/(x)

v = l Qv²

ÔX

хгИ

f uvv,dx

0.

und

ÔK x=^-° , ÔK x=^+°

öx

öx

^ u„(£)v/(£)

v=i qv² fuvvv dx о

Der Nachweis der Möglichkeit, unstetige Funktionen nach den Funktionen uv zu entwickeln, gestaltet sich im Anschluß an Kn es er, Integralgleichungen §§ 5, 25 ebenso wie hei Entwicklungen nach Funktionen orthogonaler Systeme.

V. Kapitel.

Entwicklung willkürlicher Funktionen bei einem Liouvilleschen Problem.

A. Das Biorthogonalsystem.

Im 14. Bande des Journal de l’école polytechnique behandelt Liouville die Aufgabe, das Integral der Differentialgleichung

ô U d³U

ô t Ô X⁴ 5 6 7

zu finden, das folgenden Bedingungen genügt:

ô U x==0

1. u|x=°=0

2.

dx

= 0,

3. и I X=x = 0

68

wo g ein yon X und t unabhängiger Parameter ist, so führt die Aufgabe wie bei Wärmeleitungsproblemen auf die Forderung, die willkürliche Funktion f (x) nach Funktion nv zu entwickeln, welche hier einer Differentialgleichung dritter Ordnung genügen. Um diese Aufgabe zu lösen, stellt Liouville hier wiederum dem System der Funktionen uv ein anderes gegenüber, das mit jenem ein Biorthogonalsystem bildet. Die Differentialgleichung der Funktionen ur ist

d³ u d x³

+ e³u = o,

(44)

die Randbedingungen sind u

x=0

du x-°

dx

= 0, u (1) = 0.

Eine die beiden ersten Randbedingungen befriedigende Lösung ist

u = A (e~

worin fx = —    ^ — j/ 3 die dritten Einheits

wurzeln bezeichnen.

QX

_|_ле-^х + /х²е-^х)

• rH

toi

Die dritte Randbedingung fordert, daß die Gleichung л(@) = e~e -j- [г e~~ju^e~= 0

erfüllt werde. Die reellen Wurzeln dieser Gleichung bezeichnen wir mit qv.

Die Funktionen vv des zweiten Systems genügen der Differentialgleichung

d³ у d x³

(45)

- QS у = 0

und den Randbedingungen

у Ix=o = 0, у |x=1 = 0, v'(1) = 0.

Der zweiten und dritten Randbedingung genügt die Lösung x = В [e-e(1-x) -f- /л e—_j_ ^ g-^ed-x)].

Wählen wir A=B=—Ц, so können wir schreiben

v(x) = u(l — X),

und es ist ersichtlich, daß die erste Randbedingung erfüllt wird,

69

wenn g eine Wurzel der Gleichung u (1) = л (g) = 0 ist. Die Funktionen u und у sind nun zueinander orthogonal.

Ist um die zu dem Werte q — gm gehörende Lösung der Gleichung (44), vn die zu dem Werte q = ga gehörende Lösung von (45), so daß also

Pm" -f- (?m³ u — 0

Vn'" — £n³ V = 0

ist, so ergibt sich durch Multiplikation der ersten Gleichung mit vn, der zweiten mit um, Addition und Integration von 0 bis 1

und

/[Vn Um'" + Um-v'"] d X + (^m³

О

1

— ens)/u»vI1dx = 0; 0

es ist /[V. u"' + umv'"]dx

— u„'-v„' + umv„"]dx

= [v°    V„' + Um T„"]J

= um (1) v" (1), oder da v" |x==1 = 1,

(om³-

Ist nun £mrfr£n, so erhalten wir

pa³)/um-Vndx = Um (1).

i

/Um Vn d X = 0.

О

Im Falle £>m = pn ist

/■

0

m-vn d X = —

d Um (1)

àg

3^m

Я (i?m)

¹

6(l + h)

²

X

6(l + h)

also

³

£(3 + h) — £s(l + h)

⁴

U|t=;0 = f (x),

⁵

wo f (x) eine willkürlich vorgeschriebene Funktion bedeutet. Setzt

⁶

man, um die Differentialgleichung allgemein zu integrieren,

⁷

U = u(x)-e-e⁸S

B. Überführung der Differentialgleichungen (44) und (45) in Integralgleichungen.

Der Kern К (x, f) ist eine Lösung der Differentialgleichung Ô⁸ К (x, f)

= 0.

(46)

К (x, £) = — (1 — £)

X²

x<£    ^

к(х,й=^(1-й + !Х-?А³.

x>|    ^    J

Als Funktion von £ genügt K (x, £) der Differentialgleichung

ô³ К ô£³

und den Randbedingungen К (x, 0) = 0,

K (x, 1) = 0

70

Als Funktion von x erfüllt er dieselben Randbedingungen wie die Funktionen uv ; außerdem werde die zweite Ableitung ô² К

an der Stelle x = £ in der Weise unstetig, daß ô² К x=£-°

ÔX² x = £ + 0

Man erhält für K (x, £) die expliziten Ausdrücke

öx²

= 1 ist.

ô К (x, £) l=i

di

d. h. denselben Randbedingungen, denen die Funktionen у genügen. Ferner ist

ö² К

Ô I² £ = x+0

Aus

und

d³ u

di³

+ .o³ii(£) = 0

d³K

di³

ergibt sich durch Multiplikation der ersten Gleichung mit K, der zweiten mit u Addition und Integration

d³ u

/["

о

ö³K

di³

fK

di³

oder

ô²K ôu ÔK d²u U di² d£'df~*~dx*K

df + s«A(i,î)n(î)df = 0

eä/K(x,f)u@df 0

£=o

— u (x) = —

u (x) = gsf К (X, i) n (I) d I. о

Ebenso erhält man ans

d³ V d x³

— gs v = 0

und

ö³K

71

das heißt

7T^Ï = ° ô x³

/[■

0 L

ö³K

Ô X³

— QsfK (x, i) y (X) d 0

-j-¹¹ (£)

u (£) = g³/K (x, i) V (x) d x. о

d³ V d x³

ô² K dv ô К , d² у

V ô X²

oder

d x öx

d x²

x=0

x = 0

= Q³f К (X, i) V (x) d X, и

Damit sind die Differentialgleichungen (44) und (45) in Integralgleichungen mit unsymmetrischem Kern übergeführt.

C. Quellenmäßige Darstellung von Funktionen.

Wegen der Unsymmetrie des Kerns ergeben sich wiederum zwei verschiedene Arten der quellenmäßigen Darstellung.

a)

F(x)=/K(x,£)f(9d£

0

F (x) genügt den Randbedingungen

F(0) = 0, F(0) = 0, F (1) = 0.

Aus

ô² К

0    x-f-0

ergibt sich durch abermalige Differentiation

F" (x) =

öx²

f(i) di

F'"(x) =

ô² kK=x

ÖX²J£ = x + 0

-0

F'" (x) = —f (X). F(£)=/K (x,£)f (x)dx

b)

oder

72

F (I) genügt den Randbedingungen

F(0) = 0, F(1) = 0, F a) = 0.

Aus

£-0

F' (I) =

0    £4-П

ö²K

öf²

f (x) d X

folgt durch Differentiation

d³K

f (x) d x + f (£)

ö²k]x=^-°

Ô I² x = £+0

oder

F" (£) = f (£).

Ist f (x) eine stückweise stetige Funktion, so ist demnach jede durch den Kern K(x,£) quellenmäßig dargestellte Funktion nebst ihrer ersten und zweiten Ableitung stetig, während die dritte Ableitung stückweise stetig ist.

Ist umgekehrt F eine den Randbedingungen a) oder b) genügende mit ihrer ersten und zweiten Ableitung stetige Funktion, während ihre dritte Ableitung nur stückweise stetig zu sein braucht, so ist sie quellenmäßig darstellbar.

F erfülle die Randbedingungen a), es sei also F (0) = 0, F'(0) = 0, F(1) = 0,

dann definieren wir die stückweise stetige Funktion f (£) durch die Gleichung

F" (!) = — f (I).

Aus dieser und der Gleichung

ö³K

df³

ergibt sich

d³F

ö³K

d|³

ö£³

df==

—/к (x,fl f (ö d f ;

=jK(x,£)f(adf.

F (x) =

0

Genügt F den Randbedingungen b), so definieren wir f (x) durch die Gleichung

F'" (x) = f (x).

73

f\«

о L

ö³F

ô³K

ô|³

d|³

d²F dF ô К d|² d| ' ö|

fP.*?r+F

Г d|²]₀^

0²K ^=x~°

0|² | = x + 0

= - F (X)

folglich

Aus dieser und der Gleichung

ö³K

öx³

ergibt sich wie oben (FF_dF ÔK d x² d x ô x

ô² К x

ÔX²

=i

d²K x=l-°

+ F dV» x=f+0

/К (x,|) f (x) dx и

oder

F(l) =

JЯ K (x, I) f (x) d x

и

D. Die Eigenwerte des Kerns.¹)

Aus der Reihenentwicklung der Funktion л (g) nach Potenzen

von Q

е_А_£!__§!_ i ...

5П 8! UM

erkennt man unmittelbar, daß л{д) keine negativen Nullstellen besitzen kann. Ebenso erkennt man, wenn man g = g i setzt durch Trennung des reellen und imaginären Teils, daß auch keine rein imaginären Nullstellen vorhanden sind.

74

Setzt man für ju und ju² die Werte -l + it/3

bezw.

— 1— ij/3

ein, so erscheint л (g) in der Form

3

~2e

+ sin\2^ —

Die reellen Wurzeln der Gleichung л (g) = 0 erhält man als Schnittpunkte der beiden Kurven

Oil У

£ |/3 Л

У = — sin

Sie existieren in unendlich großer Zahl und liegen in der Nähe der Stellen

У=2е

6/

e‘-^(2n+ )

ОЭ ь-*

Ist g = gv eine Wurzel von л (g) = 0, so sind [xgv und ju²gv ebenfalls Wurzeln.

Andere komplexe Wurzeln als diese können nicht existieren. Angenommen, g = a -j- i ß wäre eine andere außer diesen noch existierende komplexe Nullstelle, es sei also

— f (»-ИД

+ sin[|l/3 — I +

dann erhält man durch Trennung des reellen und imaginären Teils folgende zwei Gleichungen, denen a und ß zu genügen haben:

³ «

— cos ^ß,

= sin I ß.

л (a-{-iß) — g e

= o,

a)    2 e² ° sin || j/3 — |J ©of —

b)    2 e

Aus a) und b) folgt durch Multiplikation

СО |<М

COS

(i **-!)« -4

C)

3a

sin 3 ß

©in/i j/3 ’

und wenn man beide Gleichungen ins Quadrat erhebt und addiert,

d) e

cos²1 ß • ©in²11/3 + sin²1 ß £o[²1 |/3

4©m²|l/3eof²|l/3

75

oder, da

cos²

toi oo

ß ©in²11/3 + sin²1 ß ©of² I j/3 = -i (©of ßy/Ъ — cosZß)

e)

©of ß |/3 — cos 3 ß

2 ©in² ß j/3

Setzt man diesen Wert von e3a in c) ein, so erhält man

sin |a j/3 — ^j

sin 3 ß • ©in /? F 3

©of ß j/3 — cos 3 ß

Gleichung e) lehrt zunächst, daß

©of /5 j/3 — cos 3 ß > 0 ist.

Wir zeigen nun ferner, daß Gleichung e) nur bestehen kann, wenn а < 0 ist.

Es ist

2 ©in² ß j/3 — ©of ß УЗ -f cos 3 ß

= 2 ©of² ß /3 — 2 — ©of /51/3 -f cos 3 0

= 2 ©of²ßj/3 — ©of /3 j/ 3 + cos 3 /9 —

"g cos 3 ß

Wir behaupten:

(fWßVz-ij

17

16

Beim Beweise dieser Ungleichung können wir uns auf das

cos3/? schon in diesem

17

rH GM

Gebiet Oüßüw beschränken, da

о

Intervall alle möglichen Werte wachsend annimmt und

16

©of ß j/3

ständig wächst.

Da beide Funktionen, sowohl

und

CO

H jGM

g

cos 3 ß, vom Werte

(für ß = 0) an wachsen, so ist

Laudien.

CD'

<R

*üb

Ico

ЙН t-¹

L— ICD

tH |i—(

тн |©q

CO

wenn

äß^o]ß\/3    4j > dß yl6 2 cos3^

das heißt, wenn beständig

2j/3 ^(£of^-|/3 — ^(Sin/5-|/3 >§sin3£

oder, da

<54

йН i-¹

-j/3 ©in /? |/3 > sin 3 /5

ist.

Nun wachsen die Funktionen j/3 ©tn/?j/3 und sin3/i von 0 (für /? = 0) an, und zwar -j/3 ©inß-f/3 beständig, während sin3ß bei

71    —    —

ß—Q ihr Maximum erreicht. Die Ungleichung j/3 ©tnßj/3 >sin3/? besteht also, wenn

~|/3 ©in/5j/3

dß

dß

sin3/i

das heißt, wenn

(£of ß -(/4 > cos 3 ß

ist.

Diese Ungleichung besteht aber, wie Gleichung e) lehrt, zu Recht; damit ist gezeigt, daß 2 ©in²ß j/3 — (Sof ßj/3 cos 3 ß > 0 ist, daß also e3a < 1 sein muß. a muß demnach negativ sein. Ist nun aber g — a-\-iß eine Wurzel, so und auch /л g und /л² g Wurzeln, und es ist nicht möglich, daß д, /ид, /л² g sämtlich negative reelle Teile haben, wenn nicht g auf einem der Halbstrahlen

liegt, die mit der reellen Achse die Winkel ^ und ^ bilden.

Es gibt demnach keine komplexe Wurzeln außer denen, die aus den reellen durch Multiplikation mit и und u² hervorgehen.

77

E. Die Entwicklung des allgemeinen Kerns Ki(x, f) nach den Eigenfunktionen.

z³ Кг (x, I) = 0.

Der Kern Kx (x, £). genügt der Differentialgleichung d⁸K, (x,D

öx³

Die Randbedingungen seien dieselben wie die für К (x, £). Setzt man an

— jU zx

Kj (x, £) = aL e zx-f-b₁e

x<£

— jU zx

+ cie-^2zx, + c₂e-f‘²™,

Kx (x, |) = a₂e~zx-f- b₂e

x>£

so erhält man zur Bestimmung der Koeffizienten av by die

Gleichungen

ai ~b bi -}- cx — 0

ai ^ ^1 Ч⁻1¹“ e2⁼ 0

a₂ e_ z + b₂ е~'гх + c₂ e⁻¹“2 z —0

e~z *(aL— a₂)-j-e_iMZ^ (bt—ba)-f-e _**9zf (Cj— c₂) = 0

e_z 1 (aL — a₂) +/* e~^z * (bL — b₂) -f /г-е    (Cl — c₂) = 0

e'zf <a,

a.) + /*’ e-^ ? (b, - b.) + f. er»''■* 'f (c, - c₂( =-t

z’’

Daraus ergibt sich, wenn wir die Lösung der Gleichung (44) einführen,

Kx (x,£) = x<£

u(l — f)u(x)

U(l)

Кг(х,^)

x>£

u (1 — I) u (x)

u(l)

U(x —f).

Die Pole von Kx (x, £) als Funktion von z sind die Stellen

Z f?y [X Qv, ßy

Es ist

Kt (x, I) u„ (x) v„ (f)    1

Res

Z = QV z

Res

Kl(x,£) u„ (x) yv (£)

IX

Z = + QV-[A Z

л' ы

Res

z — Qv'^ Z

Kj_ (X, I) Uv (X) Yv (I)

—я

/i²

(&v) Qv /“’² — Я

U,, (X) • Vv (f)

(gr³-P)-f nrvrdx

i)

Verstehen wir unter Qn eine unter näher zu bezeichnende Kontur, welche die ersten 3n Nullstellen von л (о) umschließt, so gilt nach dem Cauchy sehen Residuensatz die Gleichung

z = я

(x) V„ (£)

. (47)

Qn

V = 1 {gv³ — №) f uv v^dx

и

F. Abschätzung des Integrals j ^ d z .

Qn

Bei der Abschätzung dieses Integrals beschränken wir uns wiederum auf den Fall x<£.

Wir betrachten zunächst allgemein die Funktion

e(ct 4- i Ъ) z

F(z)

еи -Ą-fji ei“z -j- iw²e-M'2 z

(a und b reell, z = C + i rj)

auf den Seiten eines Neunecks, welche durch die Gleichungen

НИ

II. , = —fj/3 + c,

in. , = trS—c,

Its,

I.

ts

Y. rj = —

to о

VL î? = — Cj/3 — с

VII. £ = —

IV. î?

t/3

VIII. rj = Çÿ3 -Ь c

z Qv

Л {Qv)

78

Res -f* Res -f- Res =

z~gv /li z = gv g?

uv(x)v„(£)    3 qv~

^³-^³

IX., = |

repräsentiert werden, wobei c eine Konstante bedeutet, über die noch verfügt werden soll.

79

Die Pole vonF(z) sind die Stellen —gv, —jugv, —ju²gv , liegen also auf der negativen reellen Achse und den beiden Halbstrahlen rj = C]j/3, rj = — C j/3. Auf den zwischen diesen beiden Halbstrahlen liegendem Drittel der Kontur wollen wir die Funktion F(z) abschätzen.

Wir erweitern F(z) mit e-z und erhalten

F(z)

e(a —l + ib)z

l/3    . / 3

T’-¹ 2’

(^²-l) (C -f- ii7) = —

3 t/s

со km

V + 2-1/3

I e— [(1 - a) + i b] z J _ e — [il - a) + b tj] '

Auf der Geraden I ist

— [l — а + ib] z

e~ K1—“

V)î+Ff]

Im Nenner fassen wir die Glieder

_ 1 f + А у у    +

1 -]-/“²е 2    2 -e \ ²

Уз)

zusammen.

Wählen wir die Konstante c

уз

so schneidet die

Gerade I den Halbstrahl = £ |/3 in der Entfernung

2пя

уз

vom

Nullpunkt.

In dieser Entfernung liegt keine Nullstelle von л(—g), 2пл

i ~7= ist.

уз зуз

Bei dieser Wahl der Konstanten c ist

da gv annähernd

-i

^-j-^-j/3 = 2iur also e

Li    и

Nun kann aber die Summe von 1 und einer mit u² multiplizierten

so

reellen Größe nicht unter den Wert -^j/3 herabsinken, folglich:

u

1 4- u*‘ e ²

Der Betrag

/ге

G“ —1)z

e-(D+l^)

konvergiert mit wachsendem n gegen Null; folglich bleibt der

D²-i)z

(/И — 1) Z

über einer endlichen Grenze.

Nenner 1 —(— /г e

Haben nun die Konstanten a und b die Eigenschaft, daß

+ /^²e

t/3

-Г

уз

>0

ist-, so bleibt F (z) auf der Geraden I unter einer endlichen festen Grenze.

Auf der Geraden II ist der Betrag des Zählers

— [(1 — a) C + b rj] _ — [(1 — a — b V 3 ) r\ + b c]

6 - 0 *

Im Nenner ist

[л C

- I¹ - И) z

- (1 - /г°-) z

-ic+ft/ä

— 2n л

CO

r-|l/3 = 3C—1|/3.

Nun ist auf der Seite II des Neuneckes also

3 t — |УЗг-| (2|/3 - 3) 2 2пя (2 - 1/3).

Mit wachsendem n sinkt also der Betrag j^e^-^ + ^e^²-¹)²!

81

unter jeden angebbaren Wert, der Nenner bleibt also über einer endlichen Grenze; ist

(i

a — bj/З) t-j-boO, so bleibt F(z) auf der Geraden II unter einer endlichen Grenze. Auf der Seite III ist

(1 —a) £ -j- b r] = (l — et —f— b "J/ З) C — bc,

|(Ue^-¹)ï + ^e^-¹>'|Se“^C + ïVT+e^f_ïV¥,

^е“с4-с²”я*²”У¥),

der Nenner bleibt demnach, wenn n wächst, über einer festen Grenze, der Zähler unter einer festen Grenze, wenn für alle Werte £ auf der Geraden III (l — а -(- bf/3) £ — bc > 0 ist. Auf der Geraden IV ist

bc

^2e(^²-l)z| ₌

e_ Z ⁺ ~)

t/3

)/3

A>0

äöfS

da

(¥--N₌₁

ist. Der Nenner bleibt demnach über einer festen Grenze, der Zähler unter einer festen Grenze, wenn

1 i b

1 — a -j- --

bc

ist.

Vs

A>0

Кг(х,£)

In dem Integral

wählen wir die Kontur Qn so, daß sie durch die Substitution z = — ź in das oben definierte Neuneck übergeführt wird. Durch diese Substitution geht das Integral über in

(x, £)

z 4- Я

dz.

82

Konvergiert das über ein Drittel der Kontur erstreckte Integral gegen Null, so gilt dies von dem Integral

Ki (x, £)

in gleicher Weise, da die über die anderen beiden Drittel zu erstreckenden Integrale durch die Substitutionen z — juz bezw. z = /u²z in das erste im wesentlichen übergehen. Wir können uns somit auf die Abschätzung des Integrals auf einem Drittel der Kontur beschränken.

Der Integrand zerfällt in die folgenden neun Summanden:

ez(i-£+D

“ïïPriT’

ezl>(i-£)+x]

n(—1)    ’

ezC“²(i-£)+x]

ez(i-^+^²x)

u(-l)    ’

еи[м(1-£)+,и²х]

ez(i-£+<“x)

u(— 1)

e^z(l-|+x)

u(—1)

el**z(l-f + x)

U(—1) ’ ez[a²(l-f) + ^x]

u(— 1)    •

U (— 1)

U(— 1)

Wir haben somit folgende Wertsysteme a, b: 1. a = 1 —H-x, b = 0;

2. а = 1 —

f-f, b=f|/3;

3.

I—¹

'fYe

to x

to x

со

4.

~2—b    b — ~n V 3(1 — £);

5.

to I

to 'Пгг

to ł-^

|CO

cd

км

to| X

a"

to

I CO

t—¹

7. a =

GO

r4 [Ol

to! fre

to X

cr

to I—*■

Oil

Лгу

Ho

to t—²

9. a =

_|_1_— b

' 2 2’

Erfüllen alle diese Wertsysteme a, b auf der Seite I

die Bedingung (1 — a--^ 1

\    V з/

■r

|/3

aO

auf II die Bedingung (l — a — bj/3)£-j-bc;>0, auf III die Bedingung (l — a-}-bj/3)£— bc;>0,

;>0

auf IV die Bedingung |l — a -f- -y=-j so sind alle neun Teilintegrale, in welche das Integral

dz

<■/ z

Qn

zerfällt, dem Betrage nach kleiner als

Ln

e~ö'n

Mn³’

worin о irgend reelle positive Konstante oder 0, Ln, Mn Strecken bedeuten, die mit n unbegrenzt wachsen, deren Quotient jedoch = 1 ist, d. h. der Grenzwert aller Integrale ist 0.

Im folgenden soll nun nachgewiesen werden, daß die Wertsysteme a, b in der Tat allen für die einzelnen Seiten in Frage kommenden Bedingungen genügen.

Wir weisen dies zunächst nach für die Seite I.

Auf dieser gilt:

bc

V'i

= <P i(«,b) = (£—x)£A0

2. a — 1 —

f-|, b=|l/3; «^(ab^f-f+ygO.

GO

ił-

3. a

X I CM

oo|

xc

4. a

— -j- J-

2 ' 2

I CM

I CO

r—I

(TJnp

All

уПгс

liv

5. a

to I I-¹

ю| rr<~

ю| X

?.₁(o,b) = (l + f —x)f+ j (1 —fl>0.

~öV^ (l"bx —

6. a

to I h-

Ю| <Ппр

X |<N

cr

toll-* ^3

^    'S'

ool

О |<M

тН

All

<Orr

'S

i—¹

j-т

liv

Я O |CM

to о

t/>Y

t—*

— X — 2|)^0.

7. a

8. a

to| b-¹

to ^rr

to I x

<p₁(«x,b)=(2—X—f)C—2-(l — f) 2(2—X—a-j—|-(i—« 2(f—X)j20.

•i-1/3 (x + £ —1);

?.₁(a,b) = (2-aC + |(x + f-l)

2(2-3-| + |-(x + I-1) = 2x + ^0.

85

9. a = —

2 '2

toi И

— 21/3 (i-H-x—£);

<Pi (a?b) = (2 — £-f-x)£—g ^—£~bx)

^ (2 - H-x)|-f(l- £+x) = £“x^° •

Seite II.

y,(a,b) = (l-a-b^3) t + bc; f fort-l) SfS|yS.

1.    a = 1 — £ -J-X, b = 0; <p₂ (a,b) = (£ — x) £ ^ 0.

2.    a = l — (—|,b =

Y    л V

jYŻ; 9>₂(a,b) = tf-x)f+Tł/3₂0.

3. a=l — | — ^,b = —

?>1(a,b) = (f + 2x)f~^t

г|[х(а^-8)+(г-х)(ув-1)]го. iyBd-й;

<P, (a,b)— (f—x) f+| |/3 (1 -£) 2 0.

-|УН(1 + Х —fl;

Ç’a (rt;b) = <£— X) c + ~2    (l-bx — s)20.

I|/3(x + f-l);

5. a =

6. a =

to и

УЗ ;

м KM

— + Jl

2^2

^(a,b)==(| + 2x)t-|-I/3(x + ^-l)

И I'M

₂|(f + 2x)()/3 — 1) — l/3(x + f —1)] =    [x(l/3-2)+l/3-fl.

О KM

to о

86

Setzt man

X (1/3 — 2) + 1/3 — * = ■&,

so stellt diese Gleichung eine Ebene dar, welche die x, £ - Ebene in der Geraden x(j/3 — 2) -|— j/3 — £ = 0 schneidet. Da#>0 ist für die Wertepaare x = 0, £ = 0; x = 0, £ = 1; x = l, £ = 1, so ist # positiv in allen Punkten des Dreiecks 0,0; 1,1; 0,1, also für alle Werte x, £ zwischen 0 und 1, sofern x < £.

7. a —

%(a,b) = (3 —x —20Î—||/3(1-|>

2 [(3-x-2fl(l/3-l)-V3(l-a] I

= [2 j/3—3 — £ j/3"-j- 21 — X (t/3 —1)]

Ebenso wie in 6. wird gezeigt, daß die Ebene

I (2 —j/3)—X (j/3 —l) -f- 2 j/3 — 3 = #

das Dreieck 0,0; 1,1, 0,1 nicht schneidet, daß vielmehr für alle Punkte dieses Dreiecks ê > 0 ist.

—j-i.

2^2

8. a =

со и

j/ 3 (X -f- ^ — 1) ;

%(a,b) = (3 — 2f —x)f+2-l/3(x + f —1) ₂[2l/F_₃ + x + f(2-t/3)|!>0.

CO

CO I-*

CO| rrc

CO X

er

o' t/ 3 (1 H“x — £) 5

cp, (a,b) = (3 + 2x-£)£—^(l + x-^

g[.(3 + 2x-2fl(v^ —l)-/S(l + x-fl]-|

[2j/3-3 + (£-x) (2 —1/3)]

co! О

>0.

87

Seite III.

<Pt М) = (l-a + b |/3) f-b c; ~ (-j/3 — l) | j/3 . = 1 —f + x, b = |-/3; y,(e,b) = (f — xJfgO.

2. a = l — ( — j, b =

1. a

3. a = 1 —

1/3; çy(a,b) = (f + 2xK — ^УЗгО

(s. II, 3).

-Jl/3; %(e,b)=(f-x)f+^l/3₂0.

4. a == X —

5. a =

<p₃ (a, b) = (3 - 2 £ - XK -1/3 ( 1 - f)

• ₂ [(3-2f—x)(l/3 — l)-l/3a — |)]-|

#=(3 — 2^ — X) (|/3 —l) —1/3(1 — i)

#> 0 für x = 0, | = 0; x = 0, |=1; x = l, |=1.

— —+ —

2 ‘ 2

6. a =

7. a =

2> b = ^-1/³(! + x — ^);

%(a,b)^[(3 + 2x-25)(|/S-l)-y3(l + x-|)]|-

#    = (3 -f - 2 x — 2£) (4/3 — l) — j/3 (1-f-x — I)

#    > 0 für x = 0, 1 = 0; x = 0, i = 1 ; X = 1, 1 = 1.

j, b = -±ÿ3(x + {-l);

p,(o,b)=(3 — 2f—x)f-|-t/3(l-x-ft ^ 2j/3 — .3-(-х-|-2£— IJ/3 ;> 0 .

2—b "g—bx» b = — -g"I/S (1 — I);

ç>₃(a,b) = (^-x)C + |-l/3(l-l)^0.

toi 'Лгг

88

8. a =

b=|l/3 (x + f-1);

% (a,b) = (2x +1) C- J1/3 (X + f—1)

2> [(2x-j-£) (j/3— l) —j/3 (x-f-|—1)]

■Мл КМ

со и

со о

9. a =

#    = x (f/3— 2) — £ -{- j/3

#    > 0 für x = 0, | = 0; x = 0, | = 1, x=l, 1=1.

_ ——

2 ' 2

x 1,

2’ b =

y,(a,b)=({-x)f + |^(l + x-ö>0.

Seite IV.

99₄(a,b)= 1 —a4

1/3*

col о

1.    a=l — £-f"X, b = 0; 9?₄(a,b)^0 (1,1).

2.    a = l-f—|, Ь = |УЗ; %(a,b)S0(I,3).

3.    a=l — f—    b =---УЗ; 9>,(a,b)â0 (1,2).

j 1/3 (1-1);

у,(о,Ь)=(2-х—flf—1(1 —а

2(2-х-а-|

4. a = x —

2^2

и км

о KM

(i-a=j(f—x)go.

5. a = —

2*2

X 1м

Ь=|уз.(1+х—a;

?.₄(a,b) = (2+x—af—|(1 + X—a^O.

6. a = —

со ! i-¹

toi rrr

со и

1-1 (М

l/ 3 (x —|— ^—1);

y₄(o,b)=(2-af-|a—x—a

2(2-f)|- (1—x—a=j(f+2ï)20.

b=—

CO I о

89

7. a = —

to h-¹

8. a =—

H-f + x, b = —i|/3(l —^);

<p₄(a,b)=(l-xR + |(l-^0. 2 |/ 3 (x -f-1 — 1) ;

b) = (1+ x) C(x-K-1)

= (l + x)j — g

^(3-2f —x)|^0.

2 t/ 3 (1 — £ ~f~x) ;

Ç9₄ (a, b) = C + g ^ “b x —

jL_l1 2 ' 2

9. a = —

tO| и

toi и

Damit ist gezeigt, daß

lim

Ki(x, I)

dz = 0

-c '

und ebenso

lim

ist. Aus Gleichung (47) folgt dann

CO

¹-2т-ш

r = i (Qy

Uv(x)VvG)

— Я³) ^ u„v„dx

Hierin setzen wir wieder Я = 0 und erhalten, da X² Я⁵ a⁵

u(x)= 2

2=0

5!

ist,

Kx (x, I) x<|

к, (X, £)

2=o_

2=0

и«,

toi

(l-G²

(l-G²

(X-f)²

90

also

(X, i) i

A=o

к(х,а=V

= к (X, i),

-2Ц uv(x)vv(£)

r=i e„Yu„-v„dx

Ebenso wie im Kapitel IV ergibt sich, daß jede stetige Funktion mit stetiger erster und stückweise stetiger zweiter Ableitung, wenn sie den Randbedingungen a genügt, in der Form

F (x)= V

œ ik(x)/F(a)vrf«)da

CT 0

1

f nvvvdx 0

wenn sie den Randbedingungen b genügt, in der Form

F«)=V

«, Vv (£)/F (a) uv (a) da

CT 0

entwickelbar ist.

1

/ u,T,dx 0

Lebenslauf.

Ich, Herbert Laudien, evang. Konfession, bin geboren am 17. März 1887 zu Hohenstein (Ostpreußen) als Sohn des Gymnasialdirektors, Geh. Reg.-Rates Laudien und seiner Frau geb. Schlieper. Von Ostern 1893 bis Ostern 1901 besuchte ich das Kgl. Gymnasium zu Insterburg (Ostpreußen); von Ostern 1901 ab das städtische Johannes-Gymnasium zu Breslau, das ich Ostern 1905 mit dem Zeugnis der Reife verließ. Es sei mir an dieser Stelle gestattet, meinem verehrten Lehrer Herrn Professor Dr. Emil Toeplitz für die vielfachen Anregungen, die ich von ihm im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht sowie während der Zeit meines Universitätsstudiums empfangen habe, meinen herzlichsten Dank abzustatten. Acht Semester war ich an der Breslauer, zwei an der Göttinger Universität immatrikuliert, um Mathematik und Physik zu studieren. Im Jahre 1910 bestand ich das Staatsexamen und erfüllte meine militärische Dienstpflicht beim Jäger-Bataillon v. Neumann 1. Schles. Nr. 5. An der Oberrealschule zu Breslau leistete ich mein Seminarjahr, an dem Kgl. katholischen Gymnasium zu Glatz mein Probejahr ab. Am 1. April 1914 erwarb ich die Anstellungsfähigkeit.

In dankbarer Gesinnung nenne ich die Namen der Herren Professoren und Privatdozenten, deren Vorlesungen und Übungen ich besucht habe.

In Breslau: Baumgartner, Kneser, Kühnemann, Lummer, Pringsheim, Schäfer, Sturm, Waetzmann.

In Göttingen: Ambronn, Hilbert, Klein, Koebe, Minkowskif, Toeplitz, Runge, Schwarzschild, Voigt.

Zu ganz besonderem Dank bin ich Herrn Professor Dr. Kneser für die in seinen Vorlesungen und Seminaren erhaltene Förderung und für die Anregung zu der vorliegenden Arbeit verpflichtet.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299216

V,

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100000299216

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11-5160

¹

) Die Untersuchung über die Eigenwerte ist einer von Herrn cand. math. Teich mann angefertigten Seminararbeit entnommen.

²

a — 1— £-|-x,b = 0